СПЕЦИДЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ

JANKE—EMDE—LOSCH
TAFELN HOHERER
FUNKTIONEN
SECHSTE AUFLAGE
Neubearbeitet von F. LOSCH
B. G. TEUBNER VERLAGSGESELLSCHAFT. STUTTGART. 1960.

Е. ЯНКЕ, Ф. ЭМДЕ, Ф. ЛЕШ
СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
ФОРМУЛЫ, ГРАФИКИ, ТАБЛИЦЫ
ПЕРЕВОД С 6-го ПЕРЕРАБОТАННОГО
НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Л. И. СЕДОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 19G4

517.2 @3)
Я 62
УДК 517.6/8@83.3)
АННОТАЦИЯ
Настоящая книга является переводом существенно
переработанного Ф. Лёшем издания широко известного во всем мире
справочника Е. Янке и Ф. Эмде. Она является совершенно
особой энциклопедией по специальным функциям: содержит их
определения и множество формул, 73 таблицы и 210
оригинальных чертежей и графиков, представляющих особую ценность.
Таблицы дают достаточную для многих прикладных вопросов
точность и удобны в обращении, а чертежи ярко иллюстрируют
качественную сторону поведения функций (как в действительной,
так и в комплексной областях).
Обилие материала и тщательность его обработки делают
книгу необходимым подручным пособием для специалистов в
области механики, физики, техники. Она будет очень полезна
студентам вычислительных специальностей и
инженерно-техническим работникам, встречающимся в своей, практической
деятельности с многочисленными расчетами.
f — II II *■■■ «"■ ■ !■ i -~Ч^ЧР*к
i BILSJIHOTF.KA |
< Е-нстктута яг?рноЙ \
Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш
Специальные функции {Формулы, графики, таблицы)
М., 1964 г., 344 стр. с илл.
Редактор Н. X. Розов.
Техн. редактор В. Н. Крючкова. Корректор С. Н. Емельянова
Сдаво в набор 28/V 1963 г Подписано к печати 7/1 1964 г. Бумага 70X1087i«- Физ.
веч. л. 21,5. Условн. печ. л. 29,46. Уч.-изд. л. 33,46. Тираж !0 500 экз.
Цена книги 1 р. 87 к. Заказ № 669.
Издательство «Наука».
Редакция физико-математических справочников.
Москва, В-71, Ленинский проспект. 15.
Гос. типография «Пяргале», г. Вильнюс, ул. Латако, 6. Заказ № 538.

СОДЕРЖАНИЕ
Перечень таблиц 8
Предисловие к русскому изданию 10
Из предисловия к 6-му немецкому изданию • , • 11
Замечания об устройстве таблиц 13
I. Некоторые константы и вспомогательные таблицы 15
A. Часто встречающиеся постоянные 15
B. Постоянны ■ Эйлера С, у ■ 15
C. Числя Б>-рнулли Вп •. . . 15
D. 4i ела Эйлера Еп 16
E. Постоянная Катал;hi G 16
F. Вспомогательные таблицы для вычислений с комплексными числами ... 16
1. Обратные величины 16
2. Квадратные корни 18
3. Прямоугольные и полярные координаты 20
4. Сложение векторов ,. . у . . . 21
II. Тригонометрические функции . 24
1. Некоторые специальные тригонометрические функции 24
2. Элементарные трансцендентные уравнения 24
ill- Гиперболические функции 30
1. Определения 30,
2. Частные значения 30
3. Основные соотношения 31
4. Представление одной функции через другие 31
5. Формулы сложения 31
6. Функции кратных аргументов 31
7. Степени 32
8. Связь с показательными функциями и логарифмами 32
9. Формулы д^ференцирования и интегрирования 32
10. Представления при малых значениях аргументов 33
11. Асимптотика при больших значениях аргументов , 33
12. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) 33
13. Некоторые трансцендентные уравнения 35
IV. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного
переменного ..... 36
1. Синус, косинус 36
2. Арксинус . 39
3. Тангенс 40
4. Арктангенс .- 43
5. Шрсход от одной функции к другой 44
6. Знак действительной и мнимой части функции 45
, 7. Приведение к положительным острым углам 46
8. Поведение функций в комплексной плоскости 47
V. Гамма-функции 49
Опрэделения и обозначения 49
А. Гамма-функция Г (г) , 52
1. Представления 52
2. Частные значения 54
3. Функциональные уравнения 54
4. Некоторые интегральные формулы 55

6 СОДЕРЖАНИЕ
В. Логарифмическая производная г|> (г) гамма-функции 56
1. Представления 56
2. Частные значения 57
3. Функциональные уравнения 57
4. Производная i|)'(z) 57
С Неполные гамма-функции Г (а, г), у (а, г) . . 60
VI. Интегральная показательная функция и родственные функции .... 62
1. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм ... 62
2. Интегральный синус и интегральный косинус 65
3. Некоторые интегральные формулы 67
VII. Интеграл ошибок и связанные с. ним функции 70
1. Интеграл ошибок 70
2. Интегралы Френеля ' 82
VIII. Дзета-функция Римана 88
1. Определение и представления . . 88
2. Частные значения 91
3. Функциональные уравнения 91
IX. Эллиптические интегралы .....' 94
Определения и обозначения 94
A. Приведение эллиптических интегралов к нормальной форме ....... 96
1. Общие замечания 96
2. Приведение к нормальной форме действительных интегралов'. .... 96-
B. Нормальная форма неполных интегралов 99
1. Представления 99
2. Функциональные уравнения 109
C. Нормальная форма полных интегралов . 109
1. Представления ............... . 109
2. Функциональные уравнения ,"...... •■■.. ........... . 116
X. Эллиптические функции 120
Определения и обозначения 120
A. Эллиптические функции Якоби * . . . 120
1. Амплитуда Якоби am (и, k) 120
2. Функции Якоби sn а, спи, dna . . .... . . . .122
3. Частные значения 123
4. Функциональные уравнения 125
5. Дзета-функция Якоби zn(«, k) 127
B. Эллиптические функции Вейершграсса 127
1. Функции Вейерштрасса фи, £и, о*и . . 127
2. Представления . . . 129
3. Функциональные уравнения 130
4. Соотношения между функциями Якоби и Вейерштрасса 130
C. Тэта-функции ■......■ 130
1. Определение и представления . . .• 130
2. Частные значения 131
3. Функциональные уравнения > . . . 132
4. Связь с эллиптическими функциями и эллиптическими интегралами.
Модулярная функция .•'..'. . 133
XI. Ортогональные полиномы 144
A. Полиномы Чебышева 44
B. Полиномы Лагерра J47
C. -Полиномы Эрмита (функции параболического цилиндра) 151
XII. Функции Лежандра (сферические функции) 158
1. Определения и обозначения 158
2. Функции Лежандра 1-го и 2-го рода 159
3. Присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода ........ 162
4. Интегральные представления . 163
Б. Частные значения. Асимптотика 164
6. Функциональные уравнения. Нормированные функции Лежандра . . . 164

СОДЕРЖАНИЕ
7
XIII. Функции Бесселя (цилиндрические функции) 178
A. Функции Бесселя 1-го, 2-го и 3-го рода 178
1. Определения и обозначения 178
2. Представления с помощью рядов 181
3. Интегральные представления 221
4. Асимптотика . ' . . 222
„*». 5. Нули 22Й.
6. Функциональные уравнения 43
7. Некоторые обыкновенные дифференциальные . уравнения, разрешимые
в функциях Бесселя 245
B. Модифицированные функции Бесселя . . . 247
1. Определения и обозначения 247
2. Функции /v(z), AT„(Z) 247
3. Функции Кельвина 264
С Функции, связанные с функциями Бесселя . . . . 287
1. Функции Ангера и Вебера 287
2. Функции Струве 288
XIV. Функции Матье (функции эллиптического цилиндра) 298
1. Определения и обозначения 298
2. Представления для собственных значений .............. 305
3. Разложение в ряды Фурье 305
4. Нули ; . . 306
5. Функциональные уравнения. Присоединенные функции Матье 306
XV. Конфлюэнтные гипергеометрические функции 308
1. Функция Ф(а, с; г) 308
2. Функция V (а, с; г) ..... ., .315
3. Функции М^и(г), Wt (z) ./.: 316
4. Частные случаи 317
XVI. Некоторые специальные функции физики 318
A. Функция излучения Плаика . , 318
B. Функция Ланжевена 320
C. Функции Планка—Эйнштейна и Дебая . . . 320
1. Функции Планка—Эйнштейна ■ . 320
2. Функции Дебая . . 323
D. Функции распространения тепла от источников 326
Библиография 329
Предметный указатель 343

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
I. Некоторые константы и вспомогательные таблицы ......... 15
1. Обратные величины для комплексных чисел 17
2. Квадратные корни из комплексных чисел .............. 18
3. Тригонометрическая форма комплексных чисел ........... 20
4. Сложение векторов 22
II. Тригонометрические функции 24
. . - . tg* "sinx _~
5. Функции х tg x, -=— н 26
6. Функции х tg -=- х и х ctg -^- х 29
7. Экстремумы функции slaxjx 29
III. Гиперболические функции 30
8. Показательные и гиперболические функции 34
9. Некоторые вспомогательные величины . У 35
IV. Тригонометрические и гиперболические функции комплексного
переменного 36
10. Функция sin (х + iy) — se'o ■ • .' 39
11. Функция tg(x + iу) = te" . 42
V. Гамма-функции 49
12. Гамма-функция Г(х) = (х—1I . 58
13. Функции г|) (х) и ф' (х) 58
-14. Величины, обратные к гймма-функции: - ., ,—.=—; и ■ —-=-; -г 59
^J ГA+л:) х\ Г A-Х) (—х)!
VI. Интегральная показательная функция и родственные функции .... 62
15. Интегральные показательные функции Ei*(a:) и —Ei (—х) .... 64
16. Интегральный синус Si (.*) и интегральный косинус Ci (x) 68
17. Экстремумы функций ci (x) и si (x) 69
VII. Интеграл ошибок и связанные с ним функции. . 70
х
18. Интеграл ошибок Ф(х)=-—= \ e-^dt . 73
уп J
о ,
19. Производные интеграла ошибок Ф (х) 74
20. Функции е**[\— Ф(х)\ и е-х* .80
X
21. Функция У=\ e*'dt 80
1 Г ——
22. Интеграл ошибок Ф(х) = -т=- 1 е * dt й его производная ф(х) 81
У 2л о
—сю
23. Интегралы Френеля С (х) и S (х) - 84
24. Интегралы Френеля С ( -^-х* 1 и S ( -~-хг ) 85
VIII. Дзета-функция Римана 88
25. Нули 0,5 +ian дзета-функции Римана £(х) . 91
26. Дзета-функция Римана £(х) 92

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
9
IX. Эллиптические интегралы 94
27. Неполный эллиптический интеграл 1-го рода F ((р, к) 103
28. Неполный эллиптический интеграл 2-го рода £((р, к) ........ 106
29. Полные эллиптические интегралы К (sin а) и E(sina) 117
30. Полные эллиптические интегралы К (k) и E(ft) • 118
31. Полные эллиптические интегралы В (ft), С (ft) и D (k) 118
32. Вспомогательные функции h (к), с (к) и d (к) 119
X. Эллиптические функции . • 120
33. Тэта-функции и их производные 138
34. Вспомогательная таблица для тэта-функций ; 139
35. Функция in q ' • .'■ 140
XI. Ортогональные полиномы 144
36. Функции Лагерра /„(*).... 149
37. Функции параболического цилиндра ф„ (х) 155
XII. Функции Лежандра 158
38. Полиномы Лежандра Р„(х) 169
39. Полиномы Лежандра P„(cos0) •- • 171
40. Производные полиномов Лежандра -т^ Р„ (cos О) 173
41. Функции Лежандра 2-го рода Qn (дс) 175
XIII. Функции Бесселя . . . 178
42. Функции Лп(х) = га1(х/2)-"/_(х) 193
43. Функции Бесселя Jb (x) и /t (х) 203
44. Функции Бесселя Jп1% (х) . , . , 208
45. Функции Бесселя Jп/з (х) и in/» (х) 210
46. Функции Бесселя J., (п) .-. 211
47. Функции Неймана JV0 (х) и N, (х) ' .' ., 216
48. Нули /0 ^ функции J0 (x) и соответствующие значения функции /j(x) 232
49. Нули /,', функции J, (х) и экстремумы функции J0(x) 232
50. Нули j'„t s функций Jn(x) ■ ■ 232
51. Два первых нуля /.^ , и /^ , функций /v (х) . . . . . . 233
52. Первые шесть корней х„( s 'уравнения J^(x)N^(kx)—J^(kx) Л?„(х)—О 242.
53. Модифицированные функции Бесселя /0 (х) и /г (х) 251
54. Модифицированные функции Бесселя /„ (х) . . . 255
2 2
55. Модифицированные функции Бесселя —/Са(х) и — Ktlx) .... 256
я я
2
56. Модифицированные функции Бесселя /„ (х) И—?- /С,(х) для v = l/3, 2/3 262
57. Первые корни хщх уравнения I„{x)Jn(x)—ta{x)ln(x)=0 .... 263
58. Функции ber(x), bei (х) 274
59. Функции ber'(x), bei'(х) 276
60. Функции her(x), hei (х) 278
61. Функции her' (х), hei' (х) . . 280
62. Функции ber (x), bei (x), ber' (х), bei' (г), her (х), hei (х), her' (x),
hei'(ж) (продолжение) .' . . . 282
63. Функции J„ (гVT) = 6„e'p» и Я*,1* (гУТ) = А,/,>п (ra = 0, 1) 283
64. Функции Ja(rVT)lJArY"?) и Н™ (rY~i)}H[l) (rVT) . . 285
65. Функции Вебера Е0 (х), Et (х) и функции Струве Н0(х), Ht(x) . . . 289
66 и 67. Неполные функции Ангера и Вебера 297
XVI. Некоторые специальные функции физики . . 318
68. Функция излучения Планка 319
69. Функция Ланжевена 32i
70. Функции Планка—Эйнштейна С, и (U—U0)IT 322
71. Функции Планка—Эйнштейна—(F—F„)jT и S . . 32з
72. Функции Дебая С, и (U — Ua)jT 32j
73. Функции Дебая —(F—F0)IT и S . . . . 325

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Написанный много лет назад, справочник Е. Янке и Ф. Эмде получил
широкое распространение как в Советском Союзе, так и за границей. Он являлся
и является сейчас ценным пособием при решении различных инженерных и
прикладных задач, требующих применения аппарата специальных функций. Эта
книга будет полезна не только при различного рода численных расчетах, но и
при изучении разнообразных задач механики, физики, техники, а также для
знакомства со специальными функциями или для быстрого наведения какой-
нибудь справки.
В 1960 году появилось новое немецкое издание этого справочника,
значительно усовершенствованное, переработанное и расширенное Ф. Лёшем.
Внесенные им изменения настолько существенны, что, по существу, можно говорить
о появлении новой книги. Нет необходимости останавливаться здесь на этих
изменениях—они подробно перечислены в предисловии самого Ф. Лёша к
немецкому изданию.
Предлагаемая русскому читателю книга представляет собой заново
выполненный перевод с немецкого издания 1960 года. Перевод этот был сделан
Г. В. Толстовой; значительное участие в обработке рукописи и ее подготовке
к печати принял редактор издательства Н. X. Розов. ^
Необходимо указать следующие изменения, внесенные в-русское издание
по сравнению с немецким оригиналом.
В последних зарубежных изданиях был целиком опущен первый раздел
справочника Янке и Эмде, посвященный элементарным функциям. Однако он
содержал важные и далеко не «элементарные» сведения о гиперболических
функциях, о тригонометрических функциях комплексного аргумента и т. п., а
также полезные таблицы. Поэтому издательство сочло целесообразным
восстановить подавляющее большинство материала этого раздела, использовав третье
русское издание (опущены только главы, посвященные степеням и кубическим
уравнениям, стоящие в стороне от основной темы книги). Деление книги на два
раздела —элементарные и специальные функции — признано излишним.
В нескольких местах материал немецкого издания был псреплаш:рэван по-
иному для удобства пользования книгой (так, таблица коэффициентов , для
квадратичной интерполяции, находившаяся в конце книги, перенесена в
предисловие о пользовании таблицами и т. п.) или пополнен из третьего русского
издания.
Подстрочные примечания, а также добавления в 'тексте, взятые в
квадратные скобки, включены в книгу Н. X. Розовым.
В подготовке библиографии для настоящего издания большое участие
приняла Н. С. Мельникова.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 6-му НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящее издание заново тщательно переработано. Вследствие широкого
распространения и исключительного одобрения, которые эта книга нашла
повсюду, переработка была произведена с чувством глубокой ответственности. Я
старался не изменять характера книги, но, с другой стороны, стремился
расширить ее и облегчить, насколько возможно, пользование ею.
С этой целью я часто располагал материал по-новому. Объяснению
функций и обозначений отведено гораздо больше места, чем это было раньше. При
выборе обозначений, которые в области специальных функций все еще не
являются едиными, я отдавал предпочтение тем, которые в настоящее время
наиболее употребительны в литературе *).
Все таблицы тщательно пересмотрены с целью обеспечить- их надежность. В
помощь вычислителю большая часть таблиц снабжена разностями, которые
позволяют удобным образом производить линейную или квадратичную интерполяцию.
Обновленная библиография находится в конце книги. Так как число
учебников и собраний формул и таблиц специальных функций значительно
увеличилось за последние десятилетия, то при их перечислении пришлось
ограничиться только наиболее значительными работами **).
Выбор материала в прежних изданиях оказался настолько хорошим, что его
можно было бы сохранить целиком. Однако значение, которое новые классы
специальных функций приобретают в приложениях, было принято во внимание,
и поэтому сделаны многочисленные расширения и добавления. Это касается
почти всех разделов книги; ниже перечислены только наиболее существенные
изменения.
1. Для интеграла ошибок и его производной, чаще всего применяемых в
теории вероятности и в статистике, добавлены новые таблицы.
2. Расширены таблицы интегралов Френеля.
3. В разделе об эллиптических функциях приведена таблица для 1п #, в
которой использованы десятые доли градуса. К таблице тэта-функций, по
предложению Ф. Трикоми***), добавлена вспомогательная таблица, которая позво-
■ ляет удобно получать значения функций вплоть до окрестности а = 90°.
4. Изложения полиномов Лагерра и Эрмита, которые были разбросаны
в различных местах, собраны в расширенном виде в разделе об ортогональных
полиномах и дополнены изложением полиномов Чебышева.
*) В настоящем русском издании все обозначения величии и функций приведены
по возможности в соответствие с обозначениями, установившимися в отечественной
литературе. Для биномиальных коэффициентов сохранено обозначение (^) вместо
распространенной у нас записи С".—Прим.. ред.
**) В настоящем русском издании в список литературы добавлены
многочисленные отечественные книги, справочники и таблицы, более доступные советскому
читателю. — Прим. ред.
***) Имеется в виду книга F. G. Tricomi, Funzioni Ellittiche, Bologna, Ш51.—
Прим. ред.

12 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 6-МУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
5. Раздел о функциях Бесселя подвергся самым многочисленным изменениям:
специальный раздел посвящен модифицированным функциям Бесселя; заново
вычислена таблица корней уравнения J^(x) N4(kx)— J^(kx) N4 (x) = 0; таблица
функций Струве, которая была выброшена в двух предыдущих изданиях, вновь
включена согласно многочисленным пожеланиям.
6. Раздел о конфлюэнтных гипергеометрических функциях написан заново
на основании известных работ Ф. Трикоми*).
7. Раздел о некоторых специальных функциях физики содержит функцию
излучения Планка, функцию Ланжевена и функции распространения тепла от
источников, а также вновь вычисленные таблицы функций Планка—Эйнштейна
и Дебая, имеющие существенное значение в физической химии.
Желание не увеличивать объем книги заставило меня компенсировать
предпринятые расширения сокращениями в других местах. Так, были выброшены
таблицы функций последействия и индуктивности катушек, которые могут быть
взяты из соответствующей технической литературы.
Фридрих Лёш
*) Имеется в виду книга E.iG. Tricomi, Funzioni ipergeometriche confluemi,
Roma, 1954. См. также работу F. G. Tricomi, Mem. Sciences Math., № 140, Paris,
1959. — Прим. ред.
У

ЗАМЕЧАНИЯ ОБ УСТРОЙСТВЕ ТАБЛИЦ
Значения функций, содержащиеся в последующих таблицах, получены из более
точных значений округлением их обычным образом, а именно: последний десятичный
знак увеличен на 1, если величина последующих цифр превосходит 1/2 единицы
последнего десятичного знака. Эти табличные значения, следовательно, вообще имеют
ошибку самое большее в 1/2 единицы последнего десятичного знакч. Только в немногих
таблицах возможна ошибка в единицу последнего десятичного знака.
Если для всех табличных значений какого-нибудь столбца (или строки) одна или
несколько начальных цифр совпадают, то эти цифры отделены и поставлены жирным
шрифтом сверху и снизу этого столбца (или в начале строки). Таким же образом мы
поступили, когда отброшенные начальные цифры в рассматриваемом столбце отличаются
только на единицу в последнем десятичном знаке. Тогда те табличные значения, для
которых происходит изменение, отмечены звездочкой (*).
|В некоторых таблицах употребляются также следующие обозначения: число (—га),
прибавленное в скобках после табличного значения, указывает, что это значение должно
быть умножгно на множитель 10~™. Например, из таблицы 37 получаем: Ф,A,20)=
= —0,030396, а ср, A,30)= +0,092024.]
Табличный шаг везде равен 1, 2 или 5 единицам последнего десятичного знака
табличного аргумента. В большинстве случаев нужные значения функций нельзя взять
непосредственно из таблицы; тогда их надо получить интерполяцией. Почти все таблицы
приспособлены для линейной или квадрат» чяой интерполяции, причем предполагается,
что при интерполяции допустима наибольшая ошибка в 2единицы последнего десятичного
знака. Разности 1-го и 2-го порядков, необходимые для интерполяции, присоединены к
таблицам; их всегда надо понимать в единицах последнего десятичного знака. В некоторых
случаях разности 1-го порядка снабжены предупреждающим знаком (!); он означает,
что ошибка при линейной интерполяции, возможно, превосходит 2 единицы, но ни в коем
случае не 5 единиц последнего десятичного знака, а для большей степени точности надо
применить квадратичлую интерполяцию.
Линейная интерполяция. Разности 1-го порядка, служащие для линейной
интерполяции, обозначены обычным шрифтом и стоят между строками таблицы.
Для удобства вычислителя они всегда приведены для табличного шага, равного 1
(в единицах последнего десятичного знака табличного аргумента). Для значения
аргумента х, лежащего в табличном интервале <*„ *,>, значение функции y = f(x),
следовательно, получается прибавлением к табличному значению #,'■=/ (*,) произведения разности
аргументов х—х0 (в единицах последнего знака табличного аргумента) на табличную
разность, соответствующую <*„, *,>.
Примеры. 1). Из таблицы 38 надо получить Р3 @,6635). Находим: х0 = 0,66,
f(*0)=—0,2713, табличная разность равна 182, х—*а = 0,35; отсюда
/>, @,6635) = /(х)= — 0,2713 + 0,35.185.10-*=— 0,2649.
Точное значение равно —0,2650.
2). Из таблицы 69 надо получить L C,126). Находим: *0 = 3,10, /(х0) = 0,6815,
табличная разность равна 9,4, х—х„ = 2,6; отсюда
LC,l26) = /(x) =0,6815 +2,6-9,4.10-4 = 0,6839.
Точное значение равно 0,6840.
Квадратичная интерполяция. Разности 2-го порядка, служащие для квадратичной
интерполяции, напечатаны курсивом и стоят в табличных строках. Обозначив
разности 2-го порядка
табличные аргументы
х„
х,
табличные значения
Uo=f(x0)

14
ЗАМЕЧАНИЯ ОБ устройстве ТАБЛИЦ
вычисляют значение функции y=f{x) для значения аргумента х, лежащего в
табличном интервале <х0, х,>, по формуле Эверетта — Лапласа:
х х
где t= х _лГ ' а зиачеиия коэффициентов £* , £* должны быть взяты из следующей
таблицы
1
0.00
01
02
03
04
0.05
06
07
08
09
0.10
11
12
13
14
0.15
16
17
18
19
0.20
21
22
23
24
0.25
4
0,0000 и
-0.0033 п
0065 „
0096 „
0125 „
-0.0154 м
0182 „
0209 17
0236 ш
0261 м
— 0,0285 u
0308 u
0331 „
0352 „
0373 м
- 0.0393 „
°*12 1«
0430 ,„
О**8 и
0*" и
-0.0480 п
0495 14
0509 „
05й и
0535 „
— 0,0547
Е?
£?
0.0000 17
-0.0017 u
0033 17
0050 17
0067 14
— 0.0083 17
0100 u
0116 t4
0132 17
0149 u
-0.0165 u
0181 н
oiw ,»
0213 u
0229 „
-0.0244 „
0260 ,5
0275 „
0290 15
0305 „
-0.0320 15
0335 u.
03» u
0363 u
0377 u
-0,0391
3
1
1,00.
0.99
98
97
96
0.95
94
93
92
91
0.90
89
88
87
86
0.85
G-
83
82
81
0.80
79
78
77
76
0.75
1
1
0.25
26
27
28
29
0.30
31
32
33
! 34
0.35
36
37
38
39
0.40
41
42
43
44
0.45
46
47
48
49
0.50
4
- 0.0547
0558
0568
0578
0587
- 0.0595
0602
0609
061S
0621
- 0,0626
0630
0633
0636
0638
-0.0640
0641
0641
0641
0641
- 0,0639
0638
0635
0632
0629
-0.062S
E?
11
10
10
9
a
7
7
6
6
5
4
i
2
1
1
о
о
о -
2
1
]
]
3 .
4
«J
-0.0391 „
0404 13
0417 n
0430 „
0443 „
-0.0455 n
0467 12
0479 „
0490 „
0501 „
-0.0512 10
0522 10
0»2 10
0542 ,
0551 ,
-0.0560
0568 ,
0577 7
0584 7
0591 ,
- 0.0598 4
0604 t
0610 t
0616 -
0621 t
-0,0625
4
0.75
74
73
72
71
0,70
69
68
67
U
0.65
64
63
62
61
0.60
59
58
57
56
0.55
54
53
52
51
0.50
I
Можно получить улучшение формулы Эверетта—Лапласа, если заменить в ией
разности 2-го порядка &гу на видоизмененные разности 2-го порядка
о\,=ог«/—0,I84oV
[Формула Эверетта-^Лапласа примет тогда вид
y=(l-t)y^-i-El/6'y0+ty1+E^y1;
остальные обозначения имеюттот же смысл,, что и выше.] В техХслучаях, когда это
оказывается существенным для получения требуемой точности, в таблицах вместо
разностей 2-го порядка даются прямо видоизмененные разности 2-го порядка.
Примеры. 1). Из таблицы 16 надо получить Si A2,2). Находим:
хв=12,0, «/„=1,5050, 6г«/„=190, х1=!2,5, «/, = 1,4923, 6\/1=205.
Так как t=0,4, то, согласно приведенной выше таблице, £j=—0,064, £,2 = —0,056.
Поэтому
«/=SiA2,2)=0,6.1,5050—0,064-190-10-4-r.O,4-1,4923—0,056-205-Ш-«= 1,4976.
Точное значение равно 1,4975.
2). Из таблицы 40 надо получить Q, @,8835). Находим:
х„=0,88, «/„ = 0,21068, бг«/0=391, х^О.89, {/,=0,26551, 62«/1 = 460.
Так как *=0,35, то £j= —0,0626, £j=—0,0512. Поэтому
«/ = Q1@,8835) = 0,65-0,21068—0,0626-39Ы0-1-г-0,35.0,26551—0,0512-460-10-» = 0,22939.
Точное значение равно 0,22939.

I. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ
А. ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ ПОСТОЯННЫЕ
У1= 1,414213 562 = 1 -.0,707 106 781 ~ = 1,570 796 327= 1:0,б3б 619 772
УЗ = 1,732 050 808 = 1:0,577 350 269.. я8 = 9,869 604 401 = 1 =0,101 321 184
У10 = 3,162 277 660 = 1:0,316 227 766 я* = 31,006 276 680 = 1:0,032 251 534
У 2 = 1,259 921 050 = 1:0,793 700 526 nV^= 4,442 882 938 ..= 1:0,225 079079
j/lO = 2,154434690 = 1:0,464158 883 У~п= 1,772 453 851 = 1:0,564189 584
е .= 2,718 281 828 = 1:0,367 879 441 /2л = 2,506 628 275 = 1:0,398942 280
ег = 7,389 056 099 = 1:0,135 335 283 /~я \ ' ■
/7=1,648 721271 =1:0,606 530 660 У ^1,253314137 = 1:0,797 884561
In 10 = 2,302 585 093 = 1:0,434 294 482 j/л = 1,464 591 888 = 1:0,682 784 063
lge-= 0,434 294 482 е* = 23,140 692 633 = 1:0,043 213918
1п2 =0,693 147 181 е™/* =4,810 477 381=1:0,207 879 576
In 3=1,098 612 289 lg я = 0,497 149 873
я = 3,141 592 654 =1:0,318309 886 1пя = 1,144 729 886
В. ПОСТОЯННЫЕ ЭЙЛЕРА С, у
Постоянная Эйлера (или Эйлера—Маске ронй) С [определяется как предел
C=lim |Х4г—Inni;
так же называют постоянную у, связанную с С соотношениями]
С=1пу, У = ес,
С= 0,577 215 665, у= 1,781 072 418.
С. ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ Вп
Числами Бернулли Вп называются коэффициенты в разложении
CD
в„
Именно, справедливы равенства
е"
во
П = 1

16 I. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ
в частности,
Вг = 1:6 = 0,166 666 667 #„= —691:2730=—0,253 113 553
Bt =—1:30 =—0,033 333 333 #14= 7:6 = 1,166 666 667
Я, = 1:42 = 0,023 809 524 #„ = —3617:510 = —7,092 156 863
В, =.-1:30 =—0,033 333 333 Blt= 43 867:798 = 54,971177 945
#10= 5:66 = 0,075 757 576 Вго=—174 611:330=—529,124242 424
Иногда (— 1)л+,£г„ называется п-м числом Берну лли и обозначается
через Вп.
D. ЧИСЛА ЭЙЛЕРА Е„
[Числами Эйлера Еп называются коэффициенты в разложении
ю
2 V En. . , „ Л
-г
ez+e
= Е£* и<|-
Именно, справедливы равенства
F 1 F -О F -* ц* I**'ОД' У" ("О" ,fe_l 9 \.
в частности,
£г=—1 £„ = 2 702 765 \
£4 = 5 £14=—199 360 981
£,=—61 £„ = 19391512145
£,=1385 £18 = —2 404 879 675 441
£,„=—50251 £го = 370 371 188 237 525
Е. ПОСТОЯННАЯ КАТАЛА НА О
Постоянной Каталана G называется величина
G=f ^i±dx, G= 0,915 965 594.]
о
F. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Все следующие формулы остаются верными, если в обеих частях равенств
заменить г на —/.
1. Обратные величины
Таблица 1 позволяет находить величины (рис. 1)
I . l—ix I .
= Н IV = г-.—Г, r-r=V Ш.
l+ix 1+*8 ' x + i
В общем случае
О<0<а: х = —, ,■ , ..== ± —t —
^ а ' ± a+ib a a
п ^ ^ и а ' I . v .и
0<а<Ь: х=0, ±Т+П = ±Т-1Т-

ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo
сосйсососо tototossto toiotototo —
айю«о «ooo~jo5en *Вм«о со
oo ~J ел ел ^ со to
Soopp opoo
ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo © © о ©—
00 ID ID ID ID
ID О О — —
ел — ~J to ~J
^ oo — со ^
CD CD CD CD CD
to toco со *■
tostjm>-
*. eo — ~j to
CD CD CO CD CD
>£» л. ел ел ел
■- coco ~j —
oo oooo ел
к*
CD CD CD CD CD
ел ел ~j ~j ~j
ел oo — ел oo
to ел id о о
CD CD CD CD CO
00 00 00 00 CO
о со ел оо о
oo *. ооо —
CD CD CD CO <
ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo oooo©
eo to to to to
© CD CD 00 ^J
oo ел со oo to
to to to to to
^j cd — со ел
ел ел ~j ел со
to to to to —
to — О OCD
oo ~j en ел .*.
со *■ ел ел ел
ел со — о
_>-■_>-■©
со ' з — ocd
-s] -s] OPOO СО
ooooo
oo ~j ел ел и^
CD CD CD CD CD
to *. ел ~joo
oo cd ел oo oo
CD CD cot
*N]tOt
ooooo
ooooo ооopо ooooo ooooo ooooo ooooo
ел ел ел ел ел ел ел ел ел ел елелелелел .*. *■ *■ *. а.
и^ :о to — о cd oo ~j ел ел .t» со to — © cd oo ~j 2л ел -
со со со со со
.^coto —© сооо^слел
ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo- ooooo ooooo
~jco о ел со
ел оо to ел о
S—totoco и&.и&.слслсл
ел to oo ел — oo ^ — ~j
и^СОСОООСО OOCOOOCOOO
~J ~J ~J ~J 00
~J 00 00 CD ©
*OSMO
to ~j to ел о
00 00 00 00 00
о — — ю со
ел to со ел —
и^ ^j — и^ ел
oooo oooo oo
00 00 00 00 00
со .*. ел ел ел
ооо — — — оооелсос
ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo
*" *" *" Л *" *»*»!&&*> cococococo cococoeoco cococococo
cococototo — — о о о cd eo 35 ~j ~j отслелели «... —
елелелелел ел ел js. js. js.
елелелелел ел ел ^ ^ ,*. cococototo — — ©©о cdcooo~j~j ел ел ел ел *. cocoto ——
_ ,~J ел to cd q> *>-Sifc« ni^ooio oococOi^o tnotneo* oo to ~J — *. ооюслоо —
■•• «o^-^ib oooocnto soweoco — ooco-~j© — — © ~j to елсооооо ел — ^ ~j oo
— ooooo ooooo ooooo ooooo oo © © о
00 00 00 00 (
CD 00 ~J СЛ t
o© ©©©
© CD CDCD CDCD
© cooo ~j ел ел
CD CD CO CD CD
и&. COtO — ©
00 00 00 00 00
*> со to i— ©
~J ~J ~J ~J ~J
cd oo ~j ел ел
~J ~J ~J ~J ~J
*. со to — ©
© ©©©©© ©©o©© ©©©©© ©©©©© ©©©©© ©©©©©
ел елелелелел елелелелел
go — — to to
ел © ел © ел
■о © — to и^ ел
coco #> *■ ел _
©ел —~Jto до .. _
союсл©ел ©елсооосл
ел ел ел ел ел
ел ел ел ~j оо
"" СО CD *■ ©
g ел ел ел Ф ел ел ел ел ел елелелелел
cdcdoo —сососол .*. ел ел ел ~j
cnto^JcocD ел —~Jco© ел to оо £» —
со — со оо оо ~ —
Р~ © © © © О ©©О©© ©©©ОО' ©-©©©■©-©©©©© ©©©©©
ел
о
© COCO CDCD
© СО 00 СП СО
CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD
со оо оо ^j ^j ел ел ел и^ со
очеооою cncDto*.Cn
И^И^И^И^А- И^И^И^И^А- И^И^И^И^!^
СО СО CD 00 00 0000000000 ~>J ^J ^J ^J СЛ
•- —©cd~j слелсо —© oo ел .*. to со
4s. CO — 00 .*. © rfb ~J © tONOtO©00
s:
+
I
E
re
m
s
s
X
s
в
E
g
о
3
a
&
re
ж
о
я
E
x
' +
II
a
Л Л Л ^ a j^ Л .«а 5а -;•
S
+
Н I
«
Л
<*
§
.«а
^
S
1
Л Л Л .«а л Л
^ К> Ц * ^ «»
Л .«а л
N О» Ч>

18 I. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ
2. Квадратные корни
Таблица 2 позволяет находить величины (рис. 2)
Положив je=jsh2£, получим также
В общем случае
х =
Уа-j-ib — ± (и.У~а-\- iv У а),
У _а + /6=± {г<У~а + 1лУ~а)\
О < а < 6:
* = £, Va+ib=±(Uyj+iVVb),
У—a + ib =±(V V~b + ШУ~Ь).
Таблица 2. Квадратные корни из'комплексиых чисел
yi+ix=u+iv V—l+ix = o+iu
X
0,0
0.1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0.7
0,8
0.9
1,00
0,0
1,00
0,0
1,00
0,0
1,01
0,1
1.0
0,1
1,0
0.2
1,0
0,2
1,0
0,3
1.0
0,3
1.0
0,4
0
00
000
12
499
49
995
09
484
191
963
291
429
407
883
537
322
678
746
829
156
i
00
050
15
549
54
*044
17
532
200
•'010
302
475
420
927
55!
365
693
787
844
196
2
00
Ш0
18
599
60
•093
24
580
209
*057
313
52!
432
972
565
408
708
.829
860
236
3
or
150
21
649
65
*I42
32
629
219
*I04
324
567
445
*0I6
579
450
723
870
876
276
4
02
200
■24l
698
71
*192
40
677
229
*I5I
336
612
458
*060
593
493
738
911
89!
315
5
03
250
28
748
77
*240
48
724
239
*I98
347
658
47!
*I04
607
536
753
952
907
355
6
04
300
32
798
83
*289
56
772
249
*244
359
703
484
*I48
621
578
768
993
923
394
7
06
350
36
847
89
*338
64
820
259
*29I
37!
748
497
*ГЭ2
635
620
783
•034
939
434
8
08
400
40
896
96
*387
73
868
269
*337
383
793
510
*235
649
662
798
•075
955
473
9
10
450
45
946
*02
*435
82
915
280
*383
395
838
524
*278
664
704
814
*1I5
971
512

F. ВЫЧИСЛЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ Л9
V
V
Of
и
и.
V
]Г
О OJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
-*-Л
Рис. 2. Yl+ix= ±(u + iv), V~x + i= ±(U + iV).
Vx + i=U + tV
Продолжение табл. 2
V—x + i^-V+iU
0,0
o.i"
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
0,7
0.7
0.7
0,6
0.7
0.6
0.8
0.6
0,8
0,5
0,8
0,5
0,9
0,5
0,9
0,5
1,0
0,4
1,0
0,4
071
071
433
727
810
402
198
099
594
818
995
559
397
321
800
102
200
902
596
719
107
036
470
693
848
371
237
070
634
791
*035
534
438
298
840
• 081
239
883
635
701
142
001
507
660
886
340
276
041
674
765
•075
5Ю
478
275
880
061
279
864
674
684
178
*966
545
627
925
309
316
013
714
738
*115
485
518
253
920
040
319
845
714
667
214
•931
582
595
964
279
355
*984
754
712
•156
461
558
231
960
020
359
827
753
65Q'
250
•897
620
562.
•002
248
395
*956
794
686
*196
437
599
209
•000
000
398
?09
792
633
286
•862
657
530
•041
218
435
*928
834
660
•236
414
639
187
•040
*980
438
790
831
616
323
•828
695
497
*080
188
474
*900
874
634
*276
390
679
166
•080
•960
477
772
870
600
359
•794
733
466
•119
158
514
*873
914
609
*317
367
719
144
•120
*941
517
754
909
58-3 -
396
•760
771
434
•158
129
554
•845
954
584
•357
344
759
123
•160
•921
556
737
948
567

20
I, НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ
3. Прямоугольные и полярные координаты
Таблица 3 позволяет находить величины (рис, 3)
Очевидно, что
В общем случае пусть
Даны а, Ь; определяются г, q:
О < b < а: х = -
± a.-\-ib = re1^
г = am,
0<Ca<Cb: x=-r-, r = bm,
о
\ o=180°— ц;
q = 90°=F{a.
Даны r, q; определяются a, b:
0<o<45°
Ji = Q.
b = — xr,
m
135°<o<180°: fi=180° —o, /. a~~ m '
45°<o<135°: [x = j90°—o|, a = -!-x, b=^
К
*V
, ...
m •
0,S
0.4
0-Л
SO
30'
го'\\\\\\\уг\\\\ | "VI l l l l l l o,z
,0"\ I 1>K1 1 1- 'J^f1!—ill' '~{~t~l 1 I 10-f
ifllzLD^nT i M 1 I i 1 П I II 1,,
- OJ 0,2 0,3 0,4 0,5 0,S 0,г ' 0,8 0,9 t,0
Рис. 3. l+ix = me;v-, x +i = me'"(90° "»> ■
Таблица З: Тригонометрическая форма комплексных чисел
l+ix = me
1Д
x + i = meim°-M
0,00
1
2
0,03
1,0000
о,
1,000
о,
1,000
1.
000 005
0000° 0573°
0500 0605
5729° 6302°
2000 2205
1458° 2030°
020
1146°
0720
6875°
2420
2603°
045 080
1719° 2292°
1,000 4499 4804 5119
1,
7184° 7756° 8328°
0845
7448°
2645
3176°
5444
8901°
0980
8021°
2880
3748°
5778
9473°
125 180 245 320 405
2865° 3438° 4011° 4584° 5157°
1125 1280 1445 1620 1805
8594° 9167° 9740° *0312° *0885°
3124 3379 3644 3919 4204
4321° 4891° 5466° 6039° 6611°
6123 6478 6843 7217 7602
*О045° *0618° *1190° *1762° *2334°

F. ВЫЧИСЛЕНИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ 21
1+£* =
X
0,04
5
6
7
8
9
0,1
2
3
4
•5
6
7
8
9
-
те1»
1,0Й0
2,
1,001.
2,
1,001
3,
1,002
4*
1,003
•4»
1..004
1.0
1,0
10x1,
1,0
10X1,
1,0
10X2,
1,1
10X2,
1,1
дохз,
1,2
10X3,
1.2
юхз,
1,3
10X4,
0
7997
2906°
2492
8624°
7984
4336°
4470
0042°
1948
5739°
0418
1428°
0499
5,711°
1980
1310°
4403
6699°
7703
1801°
1803
6565°
6619
0964°
2066
4992°
8063
8660°
4537
1987°
i
8401
3478°
2997
9196°
8588
4907°
5173
0612°
2751
6308°
1320
1996°
0603
6,277°
2181
1860°
2
8816
4050°
3511
9767°
9202
5478°
5886
1182е
3564
6878°
2231
2564°
0717
6,843°
2391
2407°
4695 4995
7223°-:-Т/'45°
8079
2294°
2254
7022°
7137
1383°
2642
5375°
8690
9008°
5208
2302°
8462
2782°
2712
7474°
7661
1799°
3224
5754°
9322
9352°
5882
2614°
3
9241
4622°
4035
*0338°
9825
6049°
6610
1752°
4386
7447°
3152
3132°
0841
7,407°
2611
2S53°
5304
8263°
8?53
3268°
3177
7924°
8190
2211°
3811
6129°
9958
9693°
6562
2923°
4
9675
5194°
4569
*0910°
*0459
6619°
7343
2322°
5218
8016°
4083
3700°
0975
7,970°
2Р40
3496°
5622
8778°
9252
3750°
3649
8369°
8727
2619°
4403
6501°
*0599
•0030°
7242
3229°
П
5
*0120
5766°
5114
•1481°
•1103
7190°
8086
2891°
6С60
8585°
5024
4268°
1119
8,531°
3078
4036°
5948
9290°
9659
4228°
4127
8811°
9269
3024°
5001
6870°
•1245
•0365°
7932
3531°
родолжениетаб
6
*0573
6337°
5668
*2052°
•1756
7760°
8839
3461°
6912
9153°
5974
4836°
1272
9,090°
3325
4574°
6283
9799°
*0073
4702°
4613
9249°
9817
3425°
5603
7235°
•1894
•0696°
8623
3831°
x+t=
7
*1037
6909°
6232
•2623°
*2420
8331°
9601
4031°
7774
9722°
6935
5404°
я. 3
= «в«(90*-«»>
8
*1513
7481°
6806
*3194°
*3093
8901'
•0374
4600°
8645
*0291°
7905
5971°
9
•1998
8052"
7390
•3765е
•3777
9472"
•1156
5170*
9527
•0859*
8886
6539"
1435 1607 1789
9,648°Ю,204°10,758'
3581
5110°
6626
*0305°
*0494
5174°
5105
9683°
•0371
3822°
6211
7596°
•2548
*1023°
9316
4128°
3846
5642°
6977
*0807°
*0923
5641°
5603
•0114°
•0930
4216°
6823
7954°
•3207
•1348''
•0015
. 4421°
4120
6172е
7336
*130Ьв
•1360
6105'
6108
*0541'
•1495
46Q6V
7440
8309'
•3870
*1669*
•0716
4712*
4; Сложение векторов
[Таблица 4 позволяет находить величины
1 -f re г =se
r-j-e г =se s
Очевидно, что
s = \^ I-{■ г*-{-2r cos q, ctg a = ctg q-f
1
г sin g
* и be " ,
Если в общем случае надо сложить заданные векторы ае
находится так: определим по
0 < b <С &, то их сумма ае г
таблице 4 величины s и а, соответствующие
-\- be г = се
/• = -, Q = l«—PU
тогда
{а^-о*. если а<^р,
а—в, если а>р.]

to
8
о
S?
e
о
ПО
о
о
о
о
~J
о
о
о
о
S
о
о
■ о
о
in
о
о
о
о
СО
о
по
о
о
00
о
~J
о
СО
о
СИ
о
to
о
СЛ «1
о
о
о
о
4*
о
о
о
о
в
о
о
о
to
s
о
_
о
5
•о
Q
й
о
СО
о
4*
о
4*
СИ
о
со
о
V.I
|—'
о
ю
ю
о
о
h-
►0
4*.
о
о
~J
%
88
о
о
о
*»
о
00
о
СО
1—1
о
~J
о
СЛ
СО
о
СИ
о
по
N3
о
СЛ
ю
N3
о
4*
по
1—1
о
со
ю
~J
СЛ
о
ю
4*
4*
СО
о
^
~J
«о
СО
о
^
гл
а
о
о
S
СО
""'
о
00
о
СП
о
о
~J
*?-*
~J
о
о
00
"^
о
СЛ
ю
СП
о
о
4*
м
о
СЛ
о
й
00
-J
о
N3
Й
tO
о
ко
444
о
ю
Гп
оо
о
о
о
CJ
СЛ
*-
о
00
1—'
N3
|—'
о
~J
N3
о
~J
о
8
00
о
СЛ
#-
СП
00
о
4*
СП
~J
~J
о
со
о
по
*"~
о
го
#-
#-
о
о
со
со
N3
о
к:
о
СЛ
о
о
UJ
00
#-
о
по
1—1
00
00
о
~J
СО
о
о
СП
*-
по
00
о
СЛ
~J
•—'
1—1
о
8
1—1
СО
о
£
со
4*
о
4*
О
ю
N3
о
8
SS
о
<Г)
о
N3
о
о
о
N3
с_>
о
00
to
00
о
~J
*-
ui
to
о
©
о
о
СП
to
о
по
с^
"-1
о
~J
8
Сл
о-
2 ®
а>
по
~J
о
СЛ
а;
о
to
о
СЛ
(О
(ft
со
о
4*
(Л
ю
Сл
о
ft
со
о
о
4>>
СЛ
4*
о
*.
со
о
СП
со
о
*-
о
СП
по
о
#-
о
СП
4*
4*
СО
о
СП
и
о
СП
to
S
о
35 &.
СП
о
to
о
8
о
о
to
о
о
по
4*
СП
#-
о
~J
~J
~J
СП
о
~J
СП
1—1
о
СП
СП
4*
1—1
о
СП
to
8
о
СП
о
~J
по
о
СП
по
~J
о
о
СП
<£
о
СП
по
о
СП
СП
о
о
to
СП
to
о
по
°\
00
о
~J
CD
и:
^
о
~J
*»
to
~J
о
СП
CD
о
~J
о
СП
СП
о
с_>
о
СП
Сл
ю
СО
о
СП
8
~J
о
СП
СП
4*
СО
о
СП
(Л
ю
to
Сл
о
о
о
СО
to
о
о
по
~J
С_>
1—1
о
по
1—'
Сл
о
о
~J
~J
о
о
о
~J
СО
СП
ио
о
~J
Сл
1—1
о
~J
о
~J
*"~
о
~J
СО
о
~J
СО
to
о
о
~J
СП
Сл
#-
4*
Сл
о
о
8
1—1
о
по
по
СО
СО
о
по
8
о
о
по
о
о
СО
о
~J
~J
s.
о
~J
СП
to
о
о
~J
СП
to
о
~J
~J
Сл
СО
о
8
о
СП
о
по
со
~J
со
4*
о
о
о
it
~J
о
по
о
~J
to
о
по
Сл
00
~J
о
по
СО
ы
о
по
ы
о
8
о
1—1
о
по
СП
по
о
00
8
4*
о
00
о
"*4
to
о
о
о
по
о
8 8 8
о
о
Сл
СП
о
о
1—'
СП
о
по
по
to
о
о
Сл
по
по
о
о
to
СП
Сл
о
о
о
4*
to
о о
по по
to
*> СП
о
по
Сл
to
о
о
по
Сл
СП
to
о
по
~J
о
о
о
по
о
СП
~J
о
о
со
to
сл
о
о
~J
~J
N3
о
по
о
to
to
о
о
о
to
о
о
о
to
4*
СО
о
о
Сл
Сл
по
о
о
о
СП
4*
о
4*
8
о
%
сп
to
о
о
4»
по
о
о
to
~J
сп
о
о
to
4»
о
о
о
со
со
о
О'
4»
о
h—
о
о
~4
о>
О-
*-
о
ГР
по
*-
f-)
Q\
ш
м«
м
^-
to
о
о
о
~J
£
о
о
Сл
~J
СО
о
о
Сл
*^
о
о
й
>^
о
о
~J
о
о
о
о
о
.*.
СП
о
to
по
со
о
~J
о
со
^
^-1
Si
^
~.|
Сл
СП
Сл
о
о
по
Сл
о
о
~J
g
о
о
~J
>^
СП
о
о
по
СП
Сл
о
о
по
to
о
со
о
to
о
~J
по
Сл
^
to
гл
^
~J
по
«о
to
ffi
to
о
о
о
00
о
со
о
'Г>
по
по
сп
о
<0
чО
по
о
~J
со
о
4^
СП
~J
о
по
to
~J
н^
to
~J
и^
^
~J
по
о
ь>?
о
Сл
о
о
о
~J
to
о
о
.*.
СО.
1-
о
to
to
о
rf^
~J
Сл
о
по
to
rfb
h^
to
Сл
1—1
*~
~J
rf^
no
to
CO
о
СП
сЗ из
сп
со
to
о
по
о
no
M
Cn
~J
СП
-
8
о
о
g
о
о
по
о
.*.
4^
о
о
~J
~J
о
ь^
по
о
*~
СП
СП
to
to
to
g
to
8
СП
со
rfb
s
rfb
4>-
to
о
CO
Сл
о
to
00
о
ы
гл
о
8
со
ь^
о
и
о
о
о
о
ьо
о
&
о
О 00
rf^
о
8
о
о
по
по
^
со
00 0>
м~
гл
to
сп
to
о
СЛ
о
to
СП
4^
00
со
to
по
~J
со
696
ft
по
сп
ь^
по
Сл
о
to
rfb
rf^
со
о
~J
со
со
~.|
rfb
о
rf^
rf^
СП
to
Сл
to
о
о
о
СП
4ь
СП
ь^
о
о
^
СП
о
Сл
to
по
о
to
по
о
~J
со
rfb
~J
о
*■
S
rf^
СО
»
СП
~J
о
So а>
о
■00
о
о
8
СО
о
~J
00
■vl
и^
!8
со
и^
00
СП
со
to
.*.
00
СП
со
Сл
СП
со
00
СП
СП
*»
СП
о
ел
со
00
со
СП
с»
о
о
Сл
о
4ь
to
rf^
о
о
м
СО
ь^
4ь
по
~J
to
о
по
to
-J
-J
по
'А
Ji
по
по
rf^
to
со
со
Сл
о
о
00
Сл
по
о
по
СП
СП
to
о
о
о
о
rfb
о
to
о
СП
со
^
СП
-J
to
to
Со
о
8!
я
сл
~J
t—L
■vl
СП
^
по
Л-
~J
to
*. о
to
fo
Сл
rf^
со
по
о
ft
-J
о
Сл
8
СО
СП
60S
-J
о
to
со
*■
ft
о
СП
*■
о
8
СП
-J
S
СЛ
Ol
S
■ч
4^
сл сл
СО
о
о
о
о
88ё
о
СП
о
«
to
to
о
*^
to
-J
S7>
о
СП
■ч
~J
4^
о
to
СП
4ь
to
<г>
So о
со
я
СП
4ь
со
~J
|—'
Сл
to
о
по
8
СП
4ь
СП
■ о
со
-J
по
to
■&
о
V.I
(р
о
СП
CJ
to
со
г^
о
со
со
~J
со
<г>
CD
о
55 по
to
СП
Сл
4^
по
о
СП
со
СП
по
Й
$8
-J
по
8
по
>—*
СП
со
сп
^--
сл
~J
4>
по
ст>
СП
4*
~J
~J
558
по
4»
~J
по
О '
*■
Сл
о
■ч
по
о
Сл
о
4^
to
4ь
со
СП
СО
8
по
4ь
■ч
о
Сл
о
--I
Сл
Сл
о
по
СО
СП
о
Г_1
to
~J
по
&
по
~J
СП
*-
■6
ё
S
to
о
о
о
£88
о
по
1л ©1
СП
■ч
~J
to
Сл
СП
to
'СО
~J
СП
to
№
СП
о
<г>
о
о
по
~J
К")
■ч
СП СП
*> СП
4Ь
СО
4^
SS
о
Сл
to
СП
~J
СП
о
Сл
-J
8
по
о
СО
8
to
!—•
^.1
to
4>
СП
8
сл
со
по
сп
й
to
~J
со
со
со
по
ю
я?
о
о
S
о
со
СП
по
Сл
4ь
СП
со
to
Сл
СП
!J0
СП
СП
Сл
4ь
Сл
~J
8
о
по
4»
о
4^
4».
~J
я
со
по
-J
to
to
по
to
со
со
-J
по
4^
■ч
4^
4^
Сл
■ч
to
СП
4^
~J
СП
SS
8
о1
о
СП
СП
о
8
г~>
т
S
@
00
to
00
по
~J
со
00
о
ft
8
СЛ
00
СЛ
СП
-J
о
-J
~J
~J
00
■ *~
по
~J
ей
<ч
^J
UI
4»
о
СП
о
<г>
■ч
~J
о
СП
4^
to
о
8
со
<г>
to
4ь
о
о
по
Й
о
СП
СП
по
по
СП
~J
по
~J
~J
ш
СП
о
о
по
*~*
о
о
S
по
о
<г>
■ч
о
to
о
-J
to
со
<г>
СП
Сл
4^
<г>
Сл
о
Сл
о
сл
4ь
СП
о
4ь
о
~J
о
4^
Сл
по
«Э
to
о
о
&
в
a
f^,
~4
<г>
<Г)
СП'
»
<г>
СО
СО
<г>
<Г)
4^
<г>
о
о
сл
<Г)
по
по
СП
о
по
~4
~J
о
по
СП
по
о
00
Сл
о
о
00
Сл
в
8
ь-*
я
о
»
8.
8 '
о
о
4ь
я
о
Сл
^
о
СП
о
о
о
~J
о
о
о
по
о
8
«Э
о
8 .
to
о
8
о
1
о
•ч
и
о
■*
о
■*
о
о
о
о
о
00
:
о
10
.
о
to
о
%
гр
X
X
г»
а
S
-)
о
■о
S
п
о
н
о
ЕЕ
ГА
О
В
о
н
>
в
н
е
со
о
я
о
3
о
п
>
н
т
&
о-
I

N3
8
о
о
8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
to
СЛ
о
8
СЛ
ел
СЛ
о
о
ю
*-
00
о
о
to
со
~J
о
о
со
со
to
о
о
о
J*
to
СП
со
о
о
~J
*■
to
J*
о
*-
*■
&
о
*-
to
со
00
о
to
о
о
о
о
СЛ
о
о
ю
&
^
о
о
*■
to
со
to
о
о
СП
ел
ГЛ
to
о
о
to
-J
СП
^
о
^
*■
*■
СП
о
to
•^1
|—'
о
*■
to
о
00
ел
о
о
*■
СП
о
о
со
СП
00
СП
о
о
СП
to
-J
*■
о
о
to
СП
Сл
*■
о
*-
*■
to
ю
*~
о
to
о
СП
сл
о
со
о
н-
о
*.
*■
сл
о
00
о
о
о
ю
-J
со
о
о
*■
(»
*■
о
о
о
00
to
N3
о
^
ю
сл
со
СП
о
*-
00
ю
со
to
о
to
сл
to
сл
о
со
СП
сл
СП
о
сл
о
СИ
о
-J
сл
о
о
ю
£
со
о
о
сл
to
сл
to
о
о
о
to
~J
о
^
сл
СП
*■
о
to
-J
сл
о
о
to
to
о
*■
со
о
о
сл
S
-J
о
-J
о
о
о
со
■ч
о
о
о
-^]
о
о
сл
о
-J
о
о
о
^
-J
сл
о
00
о
to
*■
-J
*■
О
СО
-J
о
*■
*■
СП
сл
о
сл
*■
о
СП
сл
о
о
й
со
to
о
о
~J
to
~J
00
о
со
to
СП
о
^
to
сл
сл
со
о
to
-J
to
о
о
со
С7>
со
со
о
*■
СП
to
1—1
о
сл
00
СП
о
СП
о
о
о
*■
о
СП
СП
о
о
00
00
■^1
^
о
*■
сл
СП
*■
о
КЗ
СО
о
о
to
to
(О
о
со
00
ю
сл
о
*■
00
а
о
сл
to
о
ю
о
сл
сл
о
о
*■
СП
~J
о
о
to
СП
~J
~J
о
сл
-J
*■
о
о
to
to
-J
сл
о
со
о
-J
to
о
to
сл
00
о
*.
to
о
о
сл
ЦО
U0
00
о
сл
о
о
о
*-
00
со
сл
о
о
со
to
со
о
СП
-J
*■
*■
о
ю
со
to
to
о
со
00
СЛ
о
*■
о
*■
со
о
*■
to
а>
о
л
1»
to
о
*■
сл
о
о
сл
$
о
о
СП
о
■ч
сл
-J
СП
о
to
оо
to
о
Ы
to
3
о
ft
00
-J
о
*■
to
N9
со
о
сл
-J
*■
сл
о
*■
о
о
о
сл
.4*
сл
со
о
сл
*■
сл
о
00
ю
*■
со
о
ю
UI
*■
00
о
со
со
to
о
*■
о
СО
СП
о
*■
00
^1
~J
о
сл
СП
СО
о
со
сл
о
S
~J
to
о
to
00
о
о
00
-VI
сл
о
о
to
сл
to
ю
о
со
со
со
to
о
4*
о
-J
-J
о
*■
00
3
-<
о
сл
сл
о
со
о
у
О Сл
о
о
сл
to
to
сл
о
ю
со
to
^
о
СО
с J
сл
о
to
СП
U1
о
со
со
to
00
о
*■
о
со
£*
о
4>-
~.|
сл
3
СП
сл
00
о
о
§
о
со
~J
о
ю
сл
~J
to
о
to
со
00
о
К"!
СП
со
о
со
о
.*.
о
со
со
-^1
о
.*.
.л
о
СП
о
сл
ю
о
о
to
о
о
о
СП
to
to
00
о
to
~J
со
.*.
о
со
со
СП
о
to
СП
о
~J
о
to
СП
to
о
00
со
о
о
.*.
.*.
00
со
о
сл
CJ
4^
о
и^
сл
о
о
СП
ы
~J
о
ю
00
>—
о
со
со
сл
о
ю
сл
00
о
о
со
ю
о
со
о
С/3
-J
со
сл
о
*■
со
.*■
00
0
■а-
г»
сл
■•о
о
^^
о
о
о
СП
со
!»
о
ю
00
CJ
СП
о
со
'»
О
о
to
a
со
о
со
03
о
со
СП
00
~J
о
.*.
ю
.5
оэ
о
rf^
,п
~.|
СП
о
о
сл
о
о
СП
со
~J
Сл
о
to
~J
to
со
о
<»
со
м
^-
о
ю
rf^
00
СП
о
со
о
.*.
~J
о
со
сл
СП
00
о
.*.
о
rf^
со
о
5^
S
о
«
о
о
о
о
СП
со
.*.
сл
о
ю
сл
СП
~J
о
00
сл
сл
сл
о
to
rfb
to
to
о
to
со
сл
to
о
w
£
о
о
со
00
00
00
о
.*.
to
со
СП
о
о
со
сл
о
о
СП
to
~J
СП
о
to
со
,и
о
о
00
.-5
со
00
о
to
со
.*.
со
о
to
00
4з>
~J
о
со
со
Г_1
.*.
о
со
~J
to
|—'
о
4>-
о
03
'Я
о
о
со
о
о
о
СП
~J
to
о
to
CJ
rfb
00
о
~J
Сл
сл
<о
о
to
to
СП
СП
о
ю
~J
со
J*
о
со
1—>
СП
о
со
сл
#■
00
о
со
:я
со
г»
о
о
00
сл
о
8
о
со
о
<7>
со
сл
о
со
.*.
rf^
о
to
~J
о»
о
to
СП
.*.
о
со
CJ
о
со
i'jO
~J
С_)
о
■о
о»
со
*-
о
о
00
о
о
о
£
сл
~J
о
to
00
rfb
о
СП
to
СП
о
о
to
о
~J
00
о
ю
.*.
00
~J
о
ю
00
№
о
со
00
о
со
о
~.1
сл
о
о
сл
СЛ
сл
о
о
Г_1
00
to
о
сл
сл
со
о
*~
со
~J
rfb
сл
о
ю
со
сл
сл
о
ю
СП
со
о
со
о
о
со
о
со
*■ ю
00
~J
о
:»
о
о
~J
о
о
о
сл
.*.
со
о
о
со
о
со
о
.*.
~.|
о
о
^
00
("Л
сл
'_)
о
м
ю
~.|
о
to
сл
со
ю
о
to
00
*-
о
со
о
~J
о
о
СП
сл
о
о
сл
.*.
~J
о
о
со
~J
.сл
to
о
ю
00
сл
сл
о
_
~J
сл
о
rf^
о
to
_>
~J
сл
о
to
я
*-
о
to
to
оз
э
'О
о
OI
о
о
О!
о
о
о
£>
СЛ
СЛ
о
о
СО
сл
*.■
о
to
со
сл
СО
о
^
О!
со
СО
о
^
со
ю
со
о
о
to
со
СО
о
S
£
о
to
О)
в
о
о
СП
СЛ
о
о
.*.
СЛ
со
00
о
о
00
СЛ
00
о
to
о
о
^
СП
о
00
to
о
^
~J
~J
со
СО
о
to
< ;
со
сл
о
IO
ю
СО
со
о
to
rfb
to
rfb
о
о
g
о
о
rfb
со
00
о
о
~J
;ю
.*.
00
о
о
8
о
^^
со
00
Сл
о
^
СП
ю
сл
Сл
о
^
00
rf^
со
о
S
СП
сЯ
о
ю
,о
о
~J
о
о
.*.
СЛ
о
о
й
й
о
5
rfb
ч
о
о
о
да
о
^
к
"J
о
^
4>-
~.|
о
о
^
СП
СП
rf^
СЛ
о
*~-
оо
со
СП
о
^
ID
х>
<Л
N3
о
о
4>-
о
о
о
to
о
й
о
о
*. о
СП
00
о
о
СП
.*.
to
о
о
о
00
<Л
~.|
rf^
о
^
<Л
to
о
^
со
СО
to
о
^
rf^
00
rf^
о
о
*~
СП
vO
СЛ
о
^^
-vl
~J
с-з
'^3
о
СП
СО
о
о
СП
о
СП
о
о
о
^.1
<Л
о
СЛ
о
a
rfb
to
о
^
СЛ
со
со
о
»-.
СО
о
ID
о
*~
*-
СО
СО
о
^^
СЛ
;л
о
аз
о
о
со
о
о
о
to
СП
СП
to
о
о
.*.
00
(ft
~J
о
г->
СП
00
СП
о
о
00
ф-
~J
СО
о
о
(ft
(Л
СП
о
^
1—1
00
.*.
о
^^
to
СО
о
о
*~
J3
^3
г>
\э
о
о
to
СЛ
о
о
to
to
g
о
о
^-
о
~J
о
о
СП
~J
о
~J
о
о
~.|
ГТ
00
СП
о
о
00
to
с»
СЛ
о
8
й
~J
о
*~
о
266
о
^
(i
^
о
о
to
о
о
о
■vl
(ft
СП
о
о
(•о
со
о
СО
о
о
.*.
гл
00
J*
о
о
S
00
СЛ
о
8
сл
*>
to
о
о
~J
л.
(Я
>—
о
о
00
1С
to
о
о
00
00
00
о
о.
о
^
СЛ
о
о
ft
rfb
о
о
to
rfb
00
~J
о
о
со
£
00
о
о
.*.
to
-vl
rf^
о
о
rfb
(ft
(ft
о
о
о
СЛ
а>
~J
о
о
о
о
л
4
м
о
о
^
о
о
о
о
со
о
СП
о
о
СП
СП
СО
о
о
to
*■
о
о
to
on
сл
rfb
о
о
СО
со
СО
о
о
о
СО
~J
rfb
СЛ
о
о
*-
'Л
о
о
.*.
rf^
rf^
^3
о
о
a
о
о
о
.*.
гл
rf^
о
о
С">
00
со
СО
о
о
гл
СО
о
о
.*.
to
00
о
о
СП
С7>
СП
о
!">
1—1
00
~J
СЛ
о
о
to
059
о
о
ю
to
to
to
о
о
о
о
о
8
s ■
о
о
о
о
о ■
о
о
о
8
о
8
о .
8
я
о
о
8
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о •
о
о
000
о
8 ■
о
о
о
о-
8
СЛ СП
~J СЛ
&. 00
СП ~J ~J ~J
со « « о
сл о to s
00 СО СП СЛ
СП СП СП СП
СО 00 СП СЛ
~J £» CO tO
00 00 СЛ СП
СП СП СЛ СЛ
со *- со ^1
4» СЛ СЛ СЛ
сл со сл о
СЛ СЛ СЛ 4*
сл со *-* оо
я- to о оо
О СП 00 00
и&. и&. #- СО
СП rfb tO СО
СП rfb и- 00
сл « #- сп
СО СО СО "О
~J сл to о
сл to со а>
~J СП СЛ СО
N3 to to to
00 СЛ СО «
tO СО (Л tO
СО СП « СП
00 о> *> «
(ft СЛ « 00
*- сл (ft со
" сл а> I».
ОООО
(ft ^J и^ lO
^ ^- Ч со
СП О СО СП
(ft СО 00 00
I
ООО ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО ОООО
со со
сл to
8S
СО 00 00 00
о ~j сл to
о сл о сл
оооо
00 ~J ~J ~J
S~J СЛ tO
сл о сл
оооо
^J СП СП СП
О vl СЛ М
о сл о сл
оооо
СП СЛ СЛ СЛ
о ^J сл to
8S8S
4* СО СО СО
si СЛ М
— о сл
о о
со to to to
О ~J СЛ КЗ
О СЛ О СЛ
ОООО
О ~J СЛ to
8S8g
оооо
я
•а
о
За
о.
8а
*
о
в
и
8а
га
ЕЕ
л
s
о
го
я
X
к
о
а
я
го
о
я
ЕЕ
а
х
X
о
>
S
S
to
СО

II. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Некоторые специальные тригонометрические функции
Таблицы 5, & позволяют находить значения часто встречающихся функций
. tgx sin х- . „ .,
•*tg-t, ~- • —Г- <РИС- 4)-
, О ОЛ Я* ОА Ofi tfi IjZ f,4 IS tfi 2,0 2Л 2,4 2,6 2,8 3,0 &
—-JC
о - i *. г tg X ' Sin X
Рис. 4. Функции- x tg x, -S— и .
Рис. 5, 6 дают представление о корнях трансцендентных уравнений
xtg-s-x=M и хctg-д-х = г>, а таблица 7—об экстремальных точках функции
sinx 
х ']
2. Элементарные трансцендентные уравнения
a) tgx=x или tg£ = —, где х= [п + -^) п— Е = а — £.
Решение; х=а-
_1_ 2 13 146
а За* 15а5 105а'
P).*g*=2^?'. ^, = 0,^ = 119,26-^, х, = 340,35-^,'.
Y) tgx = -g=^: ^ = 0, х2= 3,3422

2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
I
о.
о
S
О.
S
S
s
>>
•е-
«
: я
I
а.
к.
S
а.
о
о
S
а.
S
S
cf
ы
S
•е-

26 и. тригонометрические функции
tg х sin х
Таблица 5. Функции хtgх, —г и —-—
X X
tax sin*. . „ tg* sin*
±* xtgx S_ — ±x *tg* — —
0 00 о l l °-53 0,3105 1,1055 0,9538
0*01 0,040000 1,0000 1,0000 0,54 0,3237 I, HOI 0,952!
0*02 0,03400I 1,000! 0,9999 0,55 0,3372 1,1147 0,9503
0'03 0,059003 1,0003 0.99Э8 0,56 0.35П 1,1196 0,9485
0,04 0,046009 1,0005 0,9997 0,57 0,3654 1,1245 0,9467
0,05 0,0*2502 1,0008. 0,9996 0,58 0,3800 1,1296 0,9449
0 06 0,0*3604 1,0012 0,9994 0,59 0,3950 1,1348 0,9430
0 07 0,024908 1,0016 0,9992 0,60 0,4105 1,1402 0.94П
0 08 0,0264I4 1,002! 0,9989 0,6! 0,4263 1,1458 0,939!
0,09 0,QS8I22 1,0027 0,9987 0,62 0,4426 !,!5!5 0,9372
0,10 0,010033 1,0033 .0,9983 0,63 0,4593 1,1573 0,9352
0 II 0,012149 1,0041 0,9980 0,64 0,4765 1,1633 0,933!
0 12 0,014470 1,0048 0,9976 0,65 0,494! 1,1695 0,93!I
0,13 0,016996 I.0C57 0,9972 0,66 0,5122 1,1759 0,9290
0,14 0,01973 1,0066 0,9967 I 0,67 0,5308 1,1825 0,9268
0,15 0,02267 1,0076 0,9953 0,68 0,5499 1,1892 0,9247
0,16 0,02582 1,0086 0,9957 0,69 0,5695 1,1961 0,9225
0,17 0,02918 1,0097 0,9952 0 70 0,5896 1,2033 0,9203
0 18 0,03275 1,0109 0,9946 0,7! 0,6!03 1,2106 0,9181
0,19 0,03654 1,0!22 0,9940 0,72 0,6315 1,2181 0,9158
0,20 0,04054 1,0136 ■ 0,9933 . 0,73 0,6533 1,2259 0,9135
0 2! 0,04476 K0I50 0,9927 0,74 0,6757 1,2339 0,9112
0 22 0,04920 1,0165 0 9920 0,75 0,6987 1,242! 0,9089
0,23 0,05385 1,0180 0,9912 0,76 0,7223 1,2506 0,9065
0,24 0,05873 1,0197 0,9904 0,77 0,7466 !,2593 0,904!
0,25 0 06384 1,0214 0 9896 0,78 0,77!6 1,2683 0.9016
0 26 о 06917 1,0232 0,9888 0,79 0,7973 .1,2775 0,8992
027 007473 1,0250 0 9879 0,80 0,8237 1,2870 0,8967
0,28 0*08051 1,0270 0,9870 0,81 0,8509 1,2969 0,8942
0,29 0,08654 1,0290 0)9860 0,82 Ю.8788 1,3070 0,8916
0.30 0 09280 1,0311 0 9851 0,83 0,9075 1,3174 0,8891
0 31 0 09930 I 0333 0 984 0,84 0,9371 1,3281 0,8865
0 32 о 10604 1 0356 o;9830 0,85 0;9676 1,3392 0Д839
0!33 о;Ж 10380 0 9819 0,86 0,9989 1,3506 0,8812
0,34 0^12027 1,0404 0,9808 °.87 1.Q312 1,3624 0,8785
0,35 0 12776 1,0429 0,9797 0,88 1>0645 1,3746 0,8758
О 36 о 13550 I 0456 0 9785 0,89 1,0938 1,3872 0,8731
0!37 S:i435? 1,0483 019773 0,90 ,1341 1,4002 0,8704
0,38 о 15178 1,0511 0,9761 0,91 1,1706 1,4136 0,8676
0,39 0,16031 1,0540 0,9748 0,92 . 1,2082 1,4275 0,8648
0,40 0,16912 1,0570 0,9735 0,93, 1,2470 1,4418 0,8620
0,41 0 1782 lioeOI 0,9722 0,94' 1,2871 1,4566 0,8591
0,42 0,1876 1,0633 0,9709 0,95 1,3285 1,4720 0,8562
0,43 0,1972 1,0666 0,9695 0,96 1,3712 1,4879 0,8533
0,44' 0,2071 1,0700 0,9680 0,97 1,4154 1,5343 0,85.4
0,45 0,2174 1,0735 0,9666 0,98 1,4611 1>$214 0.8474
0,46 0,2279 1,0771 0,9651 0,99 1,5084 1,5391 0,8445
0,47 0,2387 1,0808 0,9636 1,00 1.5574 1,5574 X'qqq,
0,48 0,2499 1,0846 0,9620 1,01 1,6081 1,5764 Х'°~51
0,49 0,2614 1,0885 0,9605 1,02 1,6607 1,5962 0,8cS54
0,50 0,2732 1,0926 0,9589 1,03 J,7152 1,6167 0,8323
0,51 0,2853 1,0968 0,9572 1,04 1,7718 1,6381 "оосГ
0,52 0,2977 1,101! 0,9555 1,05 . 1,8305 1,6603 0,826!

■таблицы 27
Продолжение табл. 5
. tgjc sin* . tgjc sJnjc
± x xi%x ~ —£- ± x *tgJ: 2_
1.06 1,891 1,6834 0,8230 я „, ■ ~ " ■' n e->cc
1.07 1,955 1,7075 0,8198 T v.OJbb
1.08 2,02! 1,7326 0,8166 1,58 —171,67 —68,77 0,6329
1.09 2,090 1,7588 0,8134 1,59 —82,79 —32,75 0,6288
1.10 2,161 1,7861 0,8102 1,60 —54,77 —21,40 0,6247
1.11 2,236 1,8147 0,8069 1,61 —41,05 —15,835 0,6206
1.12 2,314 1,845 0,8037 1,62 —32,90 —12,535 0,6165
1.13 2,395 1,876 0,8004 1,63 —27,50 —10,350 0,6124
1.14 2,481 1,909 0,7970 1,64 —23,66 —8,797 0,6083
1.15 2,570 ' 1,943 0,7937 1,65 —20,79 —7,636 0,6042
1.16 2,663 1,979 0,7903 1,66 —18,56 —6,735 0,6000
1.17 2,761 2,017 0,7870 1,67 —16,779 —6,016 0,5959
1.18 2,864 2,057 0,7836 1,68 —15,323 —5,429 0,5917
1.19 2,973 2,099 0,7801 1,69 —14,110 —4,940 0,5875
1.20 3,087 2,143 0,7767 1,70 —13,084 —4,527 0,5833
1.21 3,207 2,190 0,7732 1,71 —12,205 —4,174 0,5791
1.22 3,334 2,240 0,7698 1,72 —11,442 —3,868 0,5749
1.23 3,468 2,293 0,7663 1,73 —10,775 —3,600 0,5707
1.24 3,611 2,348 0,7627 1,74 —Ю.185 —3,354 0,5635
1.25 3,762 2,408 0,7592 1,75 —9 661 —3,155 0,5623
1.26 3,923 2,471 0,7556 1,76 —9,191 —2,967 0,5580
1.27 4,094 2,538 0,7520 1,77 —8,768 —2,799 0,5538
1.28 4,277 ' 2,610 0,7484 1,78 —8,384 —2,646 0,5495
1.29 4,473 2,688 0,7448 1,79 —8,035 —2,508 0,5453
1.30 4,683 2,771 0,7412 1,80 —7,715 —2,381 0,5410
1.31 4,909 2,860 0,7375 1,81 —7,422 —2,265 0,5368
1.32 5,152 2,957 0,7339 1,82 —7,151 —2,159 0,5325
1.33 ; 5,416 3,062 0,7302 1,83 —6,901 —2,061 0,5282
1.34 5,703 ' 3,176 0,7265 1,84 —6,669 —1,970 0,5239
1.35 6,015 3,300 0,7228 1,85 —6,453 —1,885 0,5196
1.36 6,356 3,436 0,7190 1,86 —6,251 —1,807 0,5153
J,37 6,731 3,586 0,7153 i,87 —6,062 —1,7336 0,5110
1.38 7,145 3,752 0,7115 1,88 —5,885 —1,6651 0,5067
1.39 7,604 3,936 0,7077 1,89 —5,719 —1,6009 0,5024
1.40 8,117 4,141 0,7039 \tQ0 —5,561 ^-1,5406 0,4981
1.41 8,693 4,373. 0,7001 I 91 —5,413 —1,4838 0,4937
1.42 9,345 4,635 0,6962 i,92 —5,273 ' —1,4304 0,4894
1.43 10,089 4,934 0,6924 i 93 —5,140 —J,3799 0,4851
1.44 10,947 5,279 0,6885 1,94 —5,014 —1,3321 0,4807
1.45 11,945 5,681 0,6846 \ ,95 —4,893 —1,2869 0,4764
1.46 13,123 6,157 0,6807 1,96 —4,779 —1,2440 0,4720
1.47 14,534 6,726 0,6768 1,97 —4,670 -1,2033 0,4677
1.48 16,255 7,421 0,6729 1,98 -4,566 —1,1646 0,4634
1.49 18,40 8,288 0,6690 1,99 —4,466 —1,1277 0,4590
1.50 21,15 9,401 0,6650 2,00 —4,370 —1,0925 0,4546
1.51 24,81 10,880 0,6610 2,01 —4,278 — 1 059.1 0,4503
1.52 29,90 12,940 ,0,6570 2,02 —4,190 —1,0269 0,4459
1.53 37,48 16,012 0,6531 2,03 —4,106 —0,9963 0,4416
1.54 49,99 21,08 0,6490 2,04 —4,024 —0,9669 0,4372
1.55 74,52 31,02 0,6450 2,05 —3,945 —0,9388 0,4329
1.56 144,49 59,37 0,6410 2,06 —3,870 —0 9118 0 4285
1.57 1971,55 799,85 0,6369 2.07 —3.796 _fl 88fi() I n 4241

28 И. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Продолжение табл. 5
. tg х sin jc . . tg x ' sin x
.+ X X tg X — + X XtgX ——
- x * ' I ~ ' • * '" x
2.08 —3,726 ^0,8611 0,4198 2,62 — 1,5057 —0,2193 0,!902
2.09 —3,657 —0,8372 0,4154 2,63 —1,4766 — 0,2135 0,1861
; 2,64 ,—1,4477 —0,2077. 0.J1821
2.10 —3,591 -Uo.8142 0,4111 2,65 — lUl89 —0,2021 0,17812
2.11 -^3,526 —0,7921 0,4067 2,66 *—1,3902 —0,1965 0,17413
2.12 —3,464 —0,7707 0,4023 2,67 —1,3616 —0,1910 0,17015
2.13 —3,403 —0,7502 0,3980 2,68 —1,3331 —0,1856 0,16618
2.14 —3,345 —0,7303 0,3936 2,69 —1,3047 —0,1803' 0,16223
2.15 —3,287 —0,7112 0,3893 2,70 —1,2764 —0,17508 0,15829
2(!6 —3,232 —0,6926 0,3849 2,71 —1,2481 —0,16994 0,15436
2j7 —3,177 _o,6747 0,3805 2,72 —1,2199 —0,16488 0,15045
2,i8 —3,124 —0,6574 0,3762 2,73 —1,1917 — 0,15990 0,14655
2.19 —3,073 —0,6407 0,3718 2,74 —1,1.636 —0,15499 0,14266
2.20 —3,022 —0,6245 0,3675 2,75 —1,1355 —0,15015 о',13879
2.21 —2,973 —0,6088 0,3632 2,76 —1,1075 —0 14538 0,13493
2.-22J —2,925 —0,5935 0,3588 2,77 —1,0795 —0,14069 0,13108
2.23 —2,878 —0,5787 0,3545 2,78 —1,0515 —0,13605 0,12725
2.24 —2,832 —0,5644 0,3501 2,79 —1,0235 —0,13148 ' 0,12344
2.25 —2,787 —0,5505 0,3458 2,80 —0,9955 —0,12697 0,11964
2.26 —2,743 —0,5370 0,3415 2,81 —0,9675 —0,12253 0,11585
2.27 —2,699 —0,5239 0,3372 2,82 —0,9395 —0,11814 0,11208
2.28 —2,657 —0,5111 0,3328 2,83 —0,9115 —0,11381 0,10833
2.29 —2,615 —0,4987 0,3285 2,84 —0,8835 —0,10954 0;10459
2.30 —2,574 —0,4866 0,3242 2,85 —0,8554' —0,10532 0,10087
2.31 —2,534 —0,4749 0,3199 2,86 —0,8273 --0,10115 0,09716
2.32 —2,494 i—0,4634 0,3156 2,87 —0,7992 —0,09703 0,09347
2.33 —2,455 i— 0,4523 0,3113 2,88 —0,7711 —0,09296 0,08980
2.34 —2,417 : —0,4414 0,3070 2,89 —0,7428 —0,08894 0,08614
2.35 —2,379 1 — 0,4308 0,3028 2,90' —0,7146 —0,08497 0,08250
2.36 —2,342 —0,4205 0,2985 2,91 —0,6862 —0,08104 0,07888
2.37 —2,305 — 0,4104 0,2942 2,92 —0,6579 —0,07715 0,07527
2 38 —2,269 —0,4006 0,2899 2,93 —0,6294 —0,07331 0,07168
2,39 —2,234 j—0,3910 0,2857 2,94 —0,6008 —0,0695) 0.068И
2 40 —2,198 j—0,3817 0,2814 2,95 —0,5722 —0;06575 0,06455
2,4! i-2,164 1 — 0,3725 0,2772 2,96 —0,5435 —0,06203 0,06101
2,42 —2,129' —0,3636 0,2730 2 97 —0,5147 ,— 0,05835 0,05749
2 43 —2,095 — 0,3549 0,2687 2,98 —0,4858 —0,05470 0,05299
2.44 —2,062 j —0,3463 0,2645 2,99 —.0,4568 —0,05109 Q,05051
2.45 —2,029 ;—0,3380 0,2603 3,00 —0,4276 —0,047^2 0,04704
2.46 —1,996 —0,3298 0,2561 3,01 —0,3984 —0,04397 0,04359
2.47 —1,963 —0 3218 0,2519 3,02 —0,3690 —0,04046 0,04016
2.48 —1,931 '—0,3140 0,2477 13,03 —0,3395 — 0.03C98 0,03675
2.49 —1,899 —0,3063 0,2436 3,04 —0,3099 —0,03353 0,03336
2.50 —1,868 —0,2988 0,2394 3,05 —0,2801 —0,03011 0,02999
2.51 —1,836 —0,2915 0,2352 3,06 —0,2502 —0,02672 0,02663
2.52 —1,8051 —0,2843 0,2311 3,07 —0,2202 —0,02336 0,02330
2.53 —1,7743 —0,2772 0,2269 3,08 —0,1899 —0,02002 0,01998
2.54 —1,7437 —0,2703 0,2228 3,09 —0,15956 —0,016711 0,016689
2.55 —1,7133 —0,2635 0,2187 3,10 —0,12901 —0,013425 0,013413
2.56 —1,6831 —0,2568 0,2146 3,11 —0,09829 —0.0Ю162 0,010157
2.57 —1,6531 —0,2503 0,2105 3,12 —0,06738 —0,006922 0,006920
2.58 —1,6233 —0,2439 0 2064 3,13 —0,03629 :—0,003704 0,003704
2.59 —1,5936 —0,2376 0,2023 3,14 —О.^бОО! — 0,0*5072 р,0'£072
2.60 —1,5642 —0,2314 0,1983 я - 0 0.'->. i>
2.61 ;—1,5348 ; —0,2253 0,1942 | .' ■ "'.,'.,*,, j .

ТАБЛИЦЫ 29
Таблица 6. Функции х tg-^-JC и х ctg -g- x
.я ■ * я * я * я . я '.я
х jctg — х jc ctg — х х *tg — * * ctg — jc л: jc tg — х jc ctg — х
. 0,0 0,000000 0,6366 3,0 ±00 ± 0,0000 6,0 + 0,0000 + оо
0.1 0,015838 0,6314 3,1 — 19,573 ' — 0,4910 6,1 + 0,986! +38,5!
0.2 0,06498 0,6155 3,2 — 9,849 — 1,0397 6,2 2,0145 19,082
0,3 0,15286 0,5888 3,3 — 6,477 — 1,6814 6,3 3,210 12,364
0,4 0,2906 0,5506 3,4 — 4,680 — 2,470 6.4 4,650 8,839
. 0,5 0,5000 0,5000 3,5 — 3,500 — 3,500 6,5 6,500 6,500
0,6 0,8258 0,4359 3,6 — 2,616 — 4,955 6,6 9,084 4,795
0,7 1,3738 0,3567 3,7 — 1,8852 — 7,262 6,7 13,149 3,414
0,8 2,462 0,2599 3,8 — 1,2347 — 11,695 6,8 20,93 2,209
0,9 5,682 0,14255 3,9 — 0,6177 —24,62 6,9 43,56 1,0928
1.0 ±оо ± 0,00000 4,0 + 0,0000 + оо 7,0 ±оо ± 0,0000
1.1 —6,945 — 0,17422 4,1 + 0,6494 +25,89 7,1 —44,83 — 1,1245
1.2 —3,693 — 0,3899 4,2 1,3647 12,926 7,2 —22,159 — 2,3394
1.3 —2,551 — 0,6624 4,3 2,191 8,439 7,3 —14,327 — 3,720
1.4 —1,9269 — 1,0172 4,4 3,197 , 6,056 7,4—10,185 — 5,376
1.5 —1,5000 — 1,5000 4,5 4,500 4,500- 7,5 — 7,500 — 7,500
1.6 —1,1625 — 2,202 4,6 6,331 . 3,342 7,6 —5,522 —10,461
. 1,7 —0,8662 — 3,336 4,7 9,224 2,395 ' 7,7 — 3,923 — 15,Il2
1.8 —0,5849 — 5,540 4,8 14,773 1,5596 7,8 — 2,5344 — 24,006
1.9 —.0,3009 —11,996 4,9 30,94 0,776! 7,9 — 1,2512 —49,879
2.0 + 0,0000 Too 5,0 ±оо ± О.ОООо 8,0 + 0,0000 + оо
2.1 10,3326 +13,259 5,1 —32,20 — 0,8078 8,1 + 1,2839 +51,14
2.2 0,7148 6,77! 5,2 —16,004 — 1,6896 8,2 2,6643 25,237
2.3 . 1,!719: 4,514, 5,3 —10,402 — 2,700 8,3 4,229 16,290
2.4 1,7437 3,303 5,4 — 7,432 — 3,923 8,4 6,103 11,562
2.5 ;2,5000 ' 2,500 5,5 —.5,500.. —,5,500 8,5 ; 8,500 8,500
2.6 3,579 1,8890 5,6 — 4,069 — 7,708 8,6 11,837 6,248
2.7 5,299 1,3757 5,7 — 2,904 — II, 187 8,7 17,075 4,433
2.8 8,617 0.90Э8 5,8 — !,8845 —17,851 8,8 27,084 2,8593
2.9 18,310 0,4593 5,9 — 0,9345 —37,25 8,9 56,19 1,4096
3,0 ±оо ± 0,0000 6,0 +0,0000 +оо 9,0 ±оо ± 0,0000
• . I :
т _. - ~ . sin*
Таблица /. Экстремумы функции
max /fto_£\ max / sin x \
« xn min \ * J " *n min ^ x )
! 0 1 9 26,6661 +0,0375
2 4,4934 —0,2172 10 29,8116 —0,0335
5 14,0662 +0,0709 || g,,006 -0,02/,
6 17,2208 —0,0580 !4 ■ 42,3879 —0,0236
7 20,3713 +0,0490 15 ,. 45„53ll , +0,0220
8 23,5195 - -0,0425 ,6 ^^ _G>0205
I I7 ; 5!,8170 +0,0193 '. .

III. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Определения
sh*=£
v=o
sh x
Bv + I)!—* + 3!+5!+ ••'
v^ jc** x2 x*
■Bv)J
2! '■ 4!
I
Шх=сТ^ = Д:-3- + 15~315+--Л1Д:1<Т]' Cth*=th*
At. I ** . l'3*s I-3-5*' . „ , ^n
Arsh X = X-Y- + —--^T-ET+ ... (|x\ < 1),
Arph jc = Arsh VOc* — 1.
Arfh* = * + %+^- + y + . . .(| *| < 1).
Графики функций см. на рис. 7.
iff
3,0
Zfi
КО
-Ch
1?
Л?*
~)
si1''
\ T
Of
i,°
15
2.0
2,5
3,0
Рис. 7. Показательная функция, гиперболические синус и косинус.
2. Частные значения
shO = 0, chO=l, thO=0, shoo=oo, choo=oo, thoo=I.
Другие значения приведены ниже в таблице 8.

6. ФУНКЦИИ КРАТНЫХ АРГУМЕНТОВ 31
3. Основные соотношения
sh{—*) = — sh*, ch(—*) = ch*, th(— *) =— thx,
ch2*—shs*=l, (chx ± shx)" = chnx ± shnx.
4. Представление одной функции через другие
th* . -,/-, , ., 1
shj^j/ch**—1 = -—Н^= , ch*=y"l -fsh**
T^l — th2jc УЧ — th**'
th _ sh * _T^ch2*—1 ch* + sh*_l + th* .
У1 -L-sh4* ch * ' ch *—sh * 1—th*'
Arsh* = ArchV x2 -f 1 = Arth-^^^ ,
^ yV + 1
Arch x = Arsh yV — 1 = Arth V^~1 = 2 Arch j/^p = 2Arsh j/^ ,
Arth * = Arsh * = Arch , 1 = 4- Arsh r^-s = 4 Arch !-±^ = 4- Arth 2x
Y\=x* Vl^? 2 "*—i— x*~ 2 1—*s 2 1+x8-
5. Формулы сложения
sh(*± j/) = sh*chj/±ch*sh_y, ч _ th x ± th у
«./ i ■ ч *, t. , v, Ч, (Х±-У)" 1 ± th*th«/;
ch(*± j/) = ch*ch<y ± sh*shj/,
sh* + sh j/ = 2sh^ch~^ , ch*+chj/ = 2ch^ch^p ,
sh*—shj/ = 2ch^sh^, eh*—chj/ = 2sh^ sh~^ ,
th* I thv- аЬ(*±УУ •
2sh * sh у = ch{* -\-y) — ch (x—y), 2ch * chj? = ch (*4-.У) + ch (*—y),
2sh*chj/= sh(*-fj/)-f sh(*—y), 2ch*shjf= sh (*-fj/) —sh(*-— y);
Ar,h* ± Arsh^ Arsh (*yi -f/^УН?). АгШд; ± Arthj;== Arth^ .
Arch* ± Archy = Arch(*y ± VV—*)(/ — 1)), ± y
Achx-{-B&x = V A*-r-B*ch (*-f АгШ-|Л =У #*—A*sh f*-f Arth A\ .
6. функции кратных аргументов
sh2* = 2sh*ch* = —^- , sh3* = 4sh'*-f 38Ь* = 8Ь*DсЬг*—1),
sh(n-f l)* = 2ch*chn*—sh(n — 1)*,
shrtx = n sh*ch"-,* + (g) sh8*chn-!,*+/g W*ch"-S*+ ... ;
ch2* = chs*.+ shs* = [-±|J^, ch3* = 4ch8*—ЗсЬ* = сЬ*D8Ьг*+1),
ch(n-f-l)* = 2ch*chn*—ch(n— 1)*,
ch nx = ch" * -f f£\ sh2 * ch"-8 * -f (пЛ sh4 * ch"— * -f ... ;
ih2x= TWI' ib3* = Ш3thtf+1- ' 2<:th2*=.th* + cth*,
flliL i/^chj;—1 sh * ch*—1
^ У ch * -f 1 ch * -f 1 sh*

32
III. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7. Степени
2sh*A:=ch2.x:—1, 4sh»*: = sh3>:—ЗвЬл:, 8sh4.K = ch4.*: — 4сЬ2л: + 3,
16shsA: = sh5A:—5sh3A:+ lOsh.*:,
32sh«A:= сЬбл:—6 ch 4*+ 15ch 2x—10,
QAstf x = shlx —7 sh5.K-i-21 sh3.K—35stiA:,
128sh" x = ch 8*—8 ch 6* -f 28 ch 4л:—56 ch 2x + 35;
2сЬгл:=сЬ2л:+1, 4сЬ*л: = сЬЗл: + ЗсЬд:, ' 8 ch4 л: = ch 4* + 4 ch 2л:-f 3,
16 chs x = ch 5л: + 5 ch 3* + 10 ch x,
32 ch* x = ch 6* + 6 ch 4лН- 15 ch 2x + 10,
64сЬ'л: = сЬ7л: + 7сЬ5л: + 21 сЬЗл: + ЗбсЬлг,
128 ch" x = ch 8л: + 8 ch 6л: Ч- 28 ch 4л: -+- 56 ch 2x + 35.
8, Связь с показательными функциями и логарифмами
t, «*—е~х и ех+е~х х, е*—е х 1-е
$Ьл: = s—, сЬл: = —i=—, thx - —
-8JC
2 • ш*— ^ + е-л; 1+e-
Шл:=1 — V"» . сЙ1л:=1+^— ;
сп х ' sh *
ch-l+shf l+thf - ch4-.4hi 1-th 4-
e*=ch*+,slu:=—^ - — —, e-x=chx—sbx-- 2
chy-Wi-.r-th'i / ' chi-fshA l + th|
ArshA:=inU-4- VV+1) = — 1пA/л^4-1—л:),
Arch x = In (л: -+- J/V — 1) = — In (л: — Ухг — 1),
. Arthx-±ln}±|.: Arthl=ll„f±j;
1„л: = Arsh^i = Arch '*+} =Arth^ .
9. Формулы дифференцирования и интегрирования
dshx=chxdx, , dchx = shxdx, dthx=-^-;
dАгзЬл:= ,^_ , ДАгсЬ* = - **'
dArthA:='-~?(|A:|<lI 4АгсШл:==^| (|л:|>1).
^зЬл:йгл:=сЬл:, \chxdx = shx, $ thл:Лс = In chjc,
Js^=lnthl'JtO?=lnsh^ j>^ = arcsinthA:=amphA:,
Jyfe = A-h^ Jyfer = Arch* ^ = -АгсШл: (л:>,),
Г^,= АгШл: <*<1), 4-^=---Arshli-vf_7^= = -Archl
J !—ж J^FI+JC8 л: J жУ 1 — Xs ж
jsh^^=r7ch"-^jy--^;
-■ j^xax^^^+^i^'xax, ;
Jth"A:dA: = ^^^+jth''-aA:dA: . L .('»;> 2>, '

12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ АМПЛИТУДА (ГУДЕРМАНИАн) 33
С dx _ ch x п—2 Г dx <й->т
Jshnx (л— l)shn_1x я—ljshn-i!x \n<***h
Г_*Е . shx n-2 Г dx (n>2)
J chnx~(n— l)ch"-'*^n— 1 J ch"-2* Кп***)*
Г dx — 1 , С dx '/•-=» o\
J th« x ~~ (n —1)Л»-**'+ J th»"* *__" ''
С Arshj«:d.*: = .*: Arshjc—У x* + \,
J Arch x dx = jc Arch x—Ух*—1,
\ Arthx dx = x Arthx -f -y In A — x*).
10. Представления при малых значениях аргументов
shx t , х* 3/-7— . 1 , Jf8 thx ■. x* S
6 _ у _„ , _ . n- 2 , jf. -. 3-_ з/а_ ,
. ■ „ . , . ' shx slaw ** + »'
ClUC-f-COSJ/^r^, Sh^-fsinj/^: X+y, -=*: —- ,
« xz + u* . . x*
ch*—cosj^—g-2-, slue—smx^-j ;
Arch(l+*) = ^-| /|+ g Y\-U /1 + ••' •
11. Асимптотика при брльших значениях аргументов
shjc^chjc ^-^е*, th* =^1 — 2е~гх; IgBshx)=s lgBchjc)=fc jclge;
Arsh*^ In Bx) + ^i, Arch x= In Bж) — ~ , ArthA ._*) ^1 In |-i f .
12. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан)
Гудерманиан определяется равенством (рис. 8, таблица 8)
X
у = I сО = 2 arctg е* ~Т ^ amph * = gd х-
о
'-^-'■*(i+T)-'»<o-l»t,(f+«'):
о
1 + tg —
th* = sinY, e* = -1, tgX = th|-;
shjc =
я
2
Y =
= tgY.
—Y —
X»
* 6
ch
1
chx
X»
1 24
cosy '
! l 1
1 6ch»x '
x .
T = tS
61x'
5040 ' *
dx
d amph x = dgdx = ~- . ■ ;
s, ch x , I

3:4
JIT. -ГИПИГБ.ОЛЯЧЕСКИЕ- ФУНКЦИИ
Если y = 2Ltaphx, то гд: ='ampR су. Если положить
го получим 1 . . • .
, sh х, .«
^ fl cos*, ' -, -- * ch yj
sin v, ■• ■ .. ' sin*, ■
tg*s
= i!lYL
= cos Yi
90°
80°
70"
60'
JIT
UO"
JO"
го°
10°
-
—
--
-,.y
1
".
0 / 2 J 4 S
Рис. 8. Гиперболическая амплитуда (гудерйаниан) amphx=gdjc.
Таблица 8. Показательные и гиперболические функции
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0 ,
1,1
1,2
1,3
1,4
1.5
1,6
1.7
1,8
1,9
2,0
л .
X
2
е
1,1H00
1,1701
1,3691
1,6020
1,8745
2,1933
2,5663
3,003
3,514
4,111
4,811
' 5,629
6,586
7,706
9,017
10,551
12,345
14,445 -
/16,902.-
■j'9,777 :
23,141
л
■ X
2
е
1,0000
' 0,8546
0,7304
0,6242
' 0,5335
0,4559
0,3897.
0,3330 :
0,2846-
. 4324
0788
0,17766
5184
• 2976
1090 '
0,09478
8J0Q -
6923
, 5916
' ■ 5С56'.
4321
sh х
2.
0,00000
0,15773
0,3194
0,4889
0,6705
0,8687
1,0883
1,3349
1,6145
1,9340
2,3013
2,726 '■•
3,217
3,78а
-4Г453 s '
„5,228,
6,132 ■;
7,188
■ 8,421/ :.
9,863'
11,549 • i
ch*—л:
2
1,0000
•1,0124
1,0498
1,1131
1,2040
1,3246
1,4780
1,6679
1,8991'
2,1772
2,5092.
2,903
3,369
3,918
4,564 "
-,5,32а
6,213 '
7,257
, .8,-481
9,914
11,592..;
th ■—х
2 ,
0,00000
0,15580
0,3042
0,4392
0,5569
0,6558
0,7364 '
0,8003
501
883
0,9172
.388
549
669,
• 757 ',
822 .
870 '
905 ...
930 :.
" 949 •
.--> 963
cth, — х
00
6,418
3,287
2,2769
1,7957
1,5249
1,3580
V 1,2495
1,1763
1,1258
1,0903
652
472
• 343
249
181
132
.1,0096
"- ■ 70
51
37
2 . Л
-amphT*
0,00000
0,09959
19679
2895
3760
4553
5269
5907
6470
6898
; 7390
7761
0,8081
357
. 594
797
971
0,9120
248
357
450

13. НЕКОТОРЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 35
13. Некоторые трансцендентные уравнения
a) xth*=l или сЙ1д: = д:: х= 1,199678 ...
р") a) thjc = — ctgjc, или cos[xyr2i) = с l/V(c—вещественное), или tgg=e-**,
гдел:=/я—-Ля — £, или cos2xch2х = — 1, или*) gd 2x = {2n—1)я ± 2jcv
л==1, 2,3, .;..:
*в = 0,93755, ^ = 2,3470, *, = 5,4978, ...
b) Vkx = — tg.K, или sfn\х V^2i) = s Y^— i {s—действительное), или»
tgi —е_2ДС, где л: = ( га j-JJi.+ E. или cos 2xch 2х = -f- 1:
х0 = 0, д:,—2,3650, *2 = 5,4978, ...
c) thх = tgх, или sin(xY2i)*= *Vi («—действительное), или tg| = e-lljr,
где х = {п-\- — \л — %, или cos2jcch2je = + U
*0 = 0, я, =3,9266, *, = 7,0686, ...
d) thjc-=ctgx или cos (л: К2/) = с У—/ (с—действительное), или tg| = e_",
где х= ( й-{—)я + £> или cPs2A:ch2A: = —1:
хь = 0,9375, .д:, =3,9274, ж, = 7,0686, ...
e) Общее для этих четырех случаев уравнение:
cos 2х ch 2х = ± 1;
его решения:
где
{■'■■(-■■ \\ \ ~("+"г
Для вычисления величин '1"'л'±-т-)я и —=е
пользована таблица 9.
Таблица 9. Некоторые вспомогательные величины
может бытЬ ис-
' п
0
1
2
3
4
: (-т)-
2.356Л95
5,497 787
8,639 380
11,780 973
(»+т) *
0,785 398
3,926 991
7,068 584
10,210 176
, 13,351769
1 ,
а ^
0,207 880
,898 329 (—2) ..
0,388 203 (—3)
- 0,167 758 (—4)
0,724 947 (—6)
196, стр.
) Исправления внесены по книге. Ф, Тр и ком и, ..Интегвальные уравнения, ИЛ,

IV. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
z = х + iy = re'0"
1. Синус, косинус
sin 2 = se£e = и -\-iv {рис. 9, 10, 11; таблица 10),
Рис. 9. Рельеф синуса с
горизонталями и линиями ската.
и = sin х ch у, v = cos х sh у„ и, = cos х ch у, v^ — — sinjcsh_y;
s* = sin2* -f sh*_y, c* = cos** + sh*_y, 2s*= ch 2^ — cos 2x, ,2c2 = ch 2_y + cos 2x,
tga = ctgA:th_v, tgy = — tgjcth_y.
Для г<^1 имеем:
s = r—~cos2Q + ~ (i+-^cos4q)—. .., a= e—^sin2e — щ51&4о —.. .,
c=l— ^-cos2o + je [l~~jcos4Q)— -'• ••. Y=— -2-sin2e—l2,sin4e— • -;
для у^>1
s = 0,5^—O^e^ms 2x + 0Л25е-*-'' A —cos Ax) — ... x
a=nj2—x—e~iy sin2x — 0,5e~iy sinAx—...,
c = 0,5^-M>,5e--,'cbs2je -Ь0,125<ГЧ'A — ;os4*)-f . . .,
y——x-{-e~*y sin2jc—0,5e-*-''sih4jc-f .. .
1йежду s, a, с и у существуют соотношения
^cos2Uvf c*cos2y=1, ctg2q + ctg(^2Y)= , .' „ =.'.-} „.,

у и
«я
цв
ОА
0J.
i 0
- W
-до
-as
-м
-v
-и
-1А
№0'
Л—.1
Ojl/
°-p?
о|Д
-
—-X
^
/#7*
f4*
^
. -/
A
w
\
1
го'
0
tISO'
f
i
p
л
^zz
1
4
/
i
—
_£.
—
i.6
f,2
^
-
*«0
\j
^
til
2.0
22
2,*
V*
1
%
v
M
l.3"!
Ц
1'
Ьд.
Й
ш
ш
£
\\mi
Щ
2V1
*\i
ж
CS
-%
"*^
#7»
31
г
s^
sc
to"
: 5
.♦f-
Ц_
4>c
^
i^
EI
if-
r s-
\
1 +
IB
ty
no'
;0°
1
[
Щ
•A
ISO'
s^_
-w
Ю
f
1,0
\i-
{0,2
)$g<
>^L
pC
<s^y
/Д
%
N-
Рнс. 10. Функция sih(;c-Wy) = se". Карта горизонталей рельефа сииуса. Если рассматривать карту с различных
сторон, то получим функции sin г, cos г, ch г, ±ishz в зависимости от выбора начала координат.

-38.
IV. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
-4-
1ЦЭ
*\
%
гц5т*л
Т
4
5»
•Л
s*V
ча!
d^^ \
I 0=n
\a-J\-
I 0*л
/^0*л"Т —
^Ч
S ^ w
1 v*0
w&v
«5>
и
i
И=0 11 1
ч/
/
tf=» 1
ii^-V
<?=Л /
ч <$>
/\*
sfcr4-
V^
- 0*1-j
i ^PK
Г4^/
Ml
—T
«•
+
o-H
N>
Ш
с*
слг
SftZ
i
Ef
u + iv. Кривые и = const
дставление также о функ
II g.
нкция sin
■
а.
п
4*

• "■ • 2, арксинус '.-':■.■ 39
Таблица 10. Функция sin (х + ly) = sei°
х в радианах
s о = 0° 15" 30" 45° 60° 75° • 90"
0,2 0,2014 0,1941 0,1732 0,1405 0,0987 0,0508 0,0000
0,4 0,4115 0,3941 0,3457 0,2748 0,1901 0,0967 0,0000
0,6 0,6435 0,6059 0,5136 0,3957 0,2673 0,1345 0,0000
0,8 0,9273 0,8311 0,6656 0,4959 0,3286 0,1637 0,0000
1,0 1,5708 1,0371 0,7854 0,5719 0,3747 0,1857 0,0000
1,2 1,5708 1,1585 0,8667 0,6261 0,4084 0,2019 0,0000
1,4 1,5708 1,2149 0,9182 0,6640 0,4329 0,2139 0,0000
1,6 1,5708 1,2439 0,9511 0,6906 0,4509 0,2228 0,0000
1,8 1,5708 1,2608 0,9730 0,7097 0,4643 0,2297 0,0000
2,0 1,5708 1,2717 0,9881 0,7237 0,4745 0,2349 0,0000
2,2 1,5708 1,2792 0,9991 0,7342 .0,4823 . 0,2390 0,0000
■ х в градусах : \-
s 0=0° 15° 30° 45° 60° 75° ~ 90°'
0,2 11,54 11,12" ' 9,92 8,05 5,65 2,91 0,00
0,4 , 23,58 22,58 19,81 15,75 10,89 5,54 0,00
0,6 36,87 34,71 29,43 22,67, 15,31 7,70 0,00
0,8 53,13 47,62 38,14 28,41 ■ 18,83 " 9,38 0,00
1,0 90,00 59,42 45,00 32,76 -21,47 .10,64 0,00
1,2 90,00 66,37 49,66 35,87 23,40 11,57 0,00
1,4 90,00 69,61 52,61' 38,05 24,80 12,25 0,00
1,6 90,00 71,27 54,49 39,57 25,84 12,77 0,00
: 1,8 . 90,00 72,24 ! 55,75 40,66 26,60 13,16 '0,00
2,0 90,00 72,86 56,62 41,46 27,18 13,46 0,00
2,2 I 90,00 73,29 57,24 42,07 27,63 13,70 0,00
; У
s 0=0° 15" 30° 45° 60° 75" 90°
*0,2 0,0000 0,0527 0,1013 . 0,1423 0,1732 0,1923 0,1987
0,4 : 0,0000 0,1119 0,2110 0,2898 0,3458 0,3790 0,3900
0,6 0,0000 ' 0,1878 0,3380 0,4450 0,5156 0,5558 0,5688
0,8 0,0000 0,3026 0,4884 0,6055 0,6787 0,7195 0,7327
1,0 0,0000 0,4890 0,6585 0,7643 0,8314 0,8692 0,8814
1,2 0,6224 0,7130 0,8287 0,9143 0,9719 1,0051 1,0160
1,4 0,8670 0,9093 0,9853 1,0520 1,1000 1,1285 1,1380
1,6 1,0462 1,0721 1,1248 1,1767 1,2165 1,2408 1,2490
1,8 1,1929 1,2099 1,2485 1,2896 1,3226 1,3434 1,3504
2,0 1,3170 1,3293 1,3588 1,3920 1,4197 1,4375 1,4436
2,2 | 1,4254 1,4349 1,4583 1,4855 1,5090 1,5244 1,5297.
2. Арксинус

40 iv. функции комплексного переменного
При s <^ 1 имеем:
s* 3ss 5s'
х = s cos a -f- -г- cos 3a+ж cos 5a+Тто cos 7a -f
s* 3 s5 5s7
у = s sin a -f--v- sin 3a -f- ттг- sin 5a -f ууд sin 7a -f-.
а при s^>\
я
sin 2a 3 sin 40 10 sin 60 35 sin 80
\n2s-
Bsf 2 Bs)* 3 Bs)e . 4 Bs)8
cos 20 3 cos 4a 10 cos 6a 35 cos 80
Bs)s 2 BsL 3 BsN 4 Bs)8
Если \s—1|<^1 и a<5;0,5, то сначала подсчитывается
^^(^y.is-lf + issinof^Vis-V' + stfo,
и тогда
■-ш/~<? i I+s/1 \ -ш f& i 1
:OS*= у "+ -2— (I— S)(V у -2+l—S,
3. Тангенс
tg2=-ferti=t/-f-/V , (рис. 12; 13, 14; таблица 11), с^2 = ^е~'х
sin 2x
<т-')-
£/=
cos 2x + ch 2# '
V =
sh2#
' cos 2x + ch 1y '
_ sin's + sh2y ch 2jf—cos 2x
~ cos'.ic+sh2^'-ch2y-|-cos2*'
sh2y
tgr
sin 2x '.
Для x = 45° получим ? = 1,
т = amph 2y,
1
U= cos т
Рис. 12. Рельеф
тангенса с горизонталями
и линиями ската.
ch2«/'
V = sin т = th 1y,
Sgx=sh2,y.
Если г<^1, то имеем:
■ ^=r+yCOs2e +J(l+Tcos^)+ •••
= у—yCos2e + SA—"Tcos4e)~ •••' T = e+i-sin2e+^-sin 4p+ .

3. ТАНГЕНС
41
и
1.0
0.8
0.S
ОЛ
0.2
0
-0.2
-0.1
-ОЛ
-&S
-п.
90'
§
-2£
0*/
о'?/
«Л*
^
Л
11
-а'
<sJ
>
у.
^v
^
К
\
уУ
*%
V/
s~~
—
—
■—
—
S-
-30'
що_
*t№°
\&L
-л
^
'&»
4>
\
к
>.
1
0
\_Щ
U*
/■
-М.
м/
\\м1/
■&L.
30'
X
\
N^
у^
зо\
ho°
^'
"сэ
во"
\.
&">
ж>
/V*

fern
И
os_
W.
\ Р^-
Sir
-УК£
-*£_
-адг
tgz
тбп
Рис. 13. Функция tg(x + iy)==te'~. Карта горизонталей рельефа тангенса. Если
рассматривать карту с различных сторон, то получим функции tg2, —ctgz,
* th z, tcthz, ctgz в зависимости от выбора начала координат.
IS
Ю-
0.5
*
-
—~
1
1
i
>
w
/
^
/
/
/
\02
$/
-V
^
/
У,
/ "
&
<и
\
/
г=0 1
Ф-
/
А
ьу
1
0.S
">■
\&
~"
ifl
>/
-*L
S®
4\

3=1Г
№\
ff
S5
Ю
Рис. 14. Функция tgz=u + «i. Кривые M = const и u=const
в плоскости z = x + iy. Карта дает представление также о
функциях — ctgz, i thz, i cthz.

42 IV. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Если у ^> 1, то имеем:
U= 2е~гу sin 2дг—2e~ty sin 4х + ...,
у = 1 — 2е ~ ^ cos 2* + 2е ~ *-''cos 4* — ..
f = 1 —2е-*У cos 2* + <Г*^A + cos 4x)-
ctgт = 2е~^sin2дгA+ е-^ + ...);
cos2jc
затем при р =
сЪ2у
и при^ =
. sin 2x
sh2y ~~
t-
:CtgT
/S--
Р+'
Я . Я
т— arctg?=-5"
_р» Зр«_
2 "г" 8
9s
-*+v-v+
Таблица- II. Функция tg (л + (у):
У
te'*
т=0°
15°
•30°
45°
60°
75°
90°
0,2
0.4
0,6
0,8
1,0
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
,0,0000
• 0,0499
0,0902
0,1162
0,1290
0,1324
0,0974
0,1798
0,2368
0,2666
0,2747
0,1395
0,2665
0,3657
0,4239
0,4407
0,1732
0,3444
0,5030
0,6190
Q.6585
0,1951;
0,4019
0,6322
0,8794
1,0137
0,2027
0,4237
0,6931
1,0987
оо
t
0,2
0,4
0.6
0,8
1,0
т=о°
0,1974
0,3805
0,5404
0,6747
0,7854
. '59
0,1913
0,3719
0,5332
0,6710
0,7854
х в радианах
, 30°
0,1732
0,3448
0,5094
0,6583
0,7854
45°
0,1433
0,2963
0,4623
0,6314
0,7854
60° .
0,1027
0,2222
0,3766
0,5740
0,7854
,75° .'
0,0537
0,1208
0,2259
0,4276
0,7854
■ ,-; , ,90°
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
X
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
т=0°
II,ЗГ
21,80
30,96
38,66
45,00
15°
10,96
21,31
30,55
38,44
45,0»
х в градусах
30° -
9,92
19,76
29,19
37,72
45,00
45°
8,21
16,98
26,49
36,17
45,00
60°
5,88
12,73
21,58
32,89
45,00
. '75°
3,08
6,92
12,94
24,50
45,00
90°
0;оо
0,00
0,00
0,00
X
t
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
т=75°
1,1371
1,1087
1,0830
1,0603
1,0405
1,0238
1,0102
0,9996
80°
1,0225
0,9879
0,9557
0,9262
0,8997
0,8765
0,8569
0,8413
85°
0,9409
0,8991
0,8584
0,8191
0,7814
0,7455
0,7124
0,6831
ЧУ
90°
0,9102
0,8644
0,8189
0,7732
0,7269
0,6792
0,6293
0,5754
t
0,96
0,98
0,990
0,999
1—I0~«
1—Ю-9
1,00
т=75°
0,9922
0,9878
0,9867
0,9864
0,9864
0,9864
0,9864
80°
0,8300
0,8232
0,8215
0,8209
0,8209
0,8209
0,8209
85°
0,6595
0,6441
0,6401
0,6387
0,6387
0,6387
0,6387
90°
0,5139
0,4352
0,3778
0,2631
0,1378
0,0934
0,0000

' 4; АРКТАНГЕНС
43
х в радианах
Продолжение табл. 11
х в градусах
Т = 75°
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
0,990
0.999
1—Ю-6
1—10-»
1,00
0,427f
0,4567
0,487!
0,5208
0,5555
0,5 18
0,6294
0,F80
0,7072
10,7464
0,7660
0,7835
0,7854
0,7854
0,7854
80°
85°
tg2* =
2 cost
Г.3286
0,3578
0,3904
0,4269
0,4O^
0,5125
0,561?
0,6141
0,6699
0.7275
0,7565
0,7825
0,7854
0,7854
0,7854
2U
0,1848
0,2057
0,2308
U,2612
,1,2986
0,3451
0,4035
0,4766
0,5663
0,6715
0,7280
0,7797
0,7854
0,7854
0,7854
90°
Л,ПП00
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
X
4. Арктангенс
COST
(
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
0,990
0 999
1—Ю-6
1—10-»
1,00
т=75°
24,50
26,17
27 95
29,84
31,83
33,91
36,06
38,27
40.52
42,77
43,89
44,89
45,00
45,00
45,00
80°
18,83
20,50
22,37
24,46
26,78
29,35
32,16
35,19
38,38
41,68
43,34
44,83
45,00
45,00
45,00
85'
10,59
11,79
13,22
14,96
17,11
19,77
23.12
27,30
32,45
38,47
41,71
44,67
45,00
45,00
45,00
90°
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
X
"J ( i—U* — V*~ shd '
..• 2 suit 2V sinT
t +t
где Ф=1п*; следовательно, Intgz = H-\-ix.
Положив ...
N* = sh'ft -f cbs4 = dffft—sin4, 2Л/8 = ch 2ft 4- cos 2т,
получим:
Nsin2^=cosTr, Ncos2a: = — shOy
Nsh2.y = sint, Nch2y = ch&.
Для t = \ и —90е<т< 90° получим:
лг.= 45°, thj' = tg~.
Для т = 90° имеем соответственно:
х=6, х произвольно, х= ±90°,
y = Attht, У=°о, j/=Arcth*.
Если t<^l, то ' ,
■ V /» . - t* - ''■■', t*
X=tCQSX 7f COS ЗТ + -£- COS 5Т—.
а при t^>l
^^woo» i ^-wam, — ..., y=ts\nx—— sin Зт + T- sin 5т
x =
cos x , cos 3x cos 5r
sin x sin Зт , sin 5x
y= —
T'Ч"т"з? ВТ»-"""' J— t = W^~~b&~
Пусть t стремится к 1 и т стремится к прямому углу; положим:
1— t
T* + coszx = N*.
Тогда имеем:
tg2* =
cqsx cost :cos т 1—t cost
sinT
\—t
ch4y:
2 + Г2 —cos*!
Nz
—T=7. ■5Ъ2у=1Г)
2 !
' 1,4 , T"~cos'x 3r4 + 3cos*r—2rscossT
y*»T^Ni+. 8 — . 64 '

44
IV. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
5
= sin
= cos
= г sh
= ch
Переход от одной фу
sin 2 =
я— г
*(-т)
— гг
Цг±л)
*(-*)
COS 2 =
— 2
<(-т)
±гг
1кции к дру
г sh г =
г'г
я — гг
*Ы)
гя— г
±(.+lf)
гой
ch 2 =
я , •
т±гг
±гг
±г-B-
— 2
= tg
= ctg
= ith
= i cth
tg2 =
2
-г±т
— г'г
<(-*?)'
Ctg2 =
-г±т
2
'('**)
г'г.
;'th2=
гг
-tz±T
2
.Я
г±!2
г cth г =
гг±т
—iz
. я
2
— arcsin
= arccos
= г Arch
=-1" Arsh
arcsin z =
2
У 1-22
—г'г
arccos г =
г Arch г =
У 1 — 2»
z
-Уг2-!
; Arsh г =
гг
У 1+z*
г
= arctg
= arcctg
= i Arth
= i Arcth
arctg z =
2
1
г
—iz
L
z
i arcctg z =
1
2
г
1
г'г
iz
iArth2 =
г'г
1
iz
z
1
z
г Arcth ? =
2
—iz
1
2
Z

6. ЗНАК ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ ЧАСТИ ФУНКЦИИ 45
6. Знак действительной
Аргумент
Г
J
90° — х
180°—*
sin
Г
J
Г
th
Г
J
Р
Г
cth
Г
_)
Р
Г
ctg
г
_1
р
1
—J
tg
г
J
р
sh
Г
J
J
и мнимой части функции
СП
Г
Г
J
cos
Г
Г
_1
Объяснение
Изменение знака у
мнимой части
Изменение знака у
действительной части
Переход к углу,
дополнительному до прямого
Переход к углу,
дополнительному до двух
прямых
Символ Р означает, что модуль функции переходит в обратную величину-
Поворот горизонтальной стоэоны п рямого угла 1_ означает перемену знака
Ч\
SA
th
cm
X
iff
,cn
sin eta
cth
sm
ctn
cos
sh
th
X
c&2
ch
cth sin
tg s/r
\/CDS
ctg
sin si
■tg tn
/\ch
Ctff
cth
ctg
cth
X
sin sh
iff th
СЛ
cos
th
ctg
cfi v
j/\ COS
ctn sm sfi
iff
я
sin ctn
.sh tg
a
ctg
<
sin sn
tg in
ctg
cth
en
as
<
sin sA
tg tn
en
2
tn
ctg
Jlcos
ch/\
sA sin
tgctn
sh
tg th
ch
sin
ctg ct»
я-
? ctg
cos
sin
cth
S\ch
tg sh
th
-Я.
Гис. ?5. Знаки действительной и мнимой частей тригонометрических
и гиперболических функций от | + £т].
у действительной части; ловорот вертикальной стороны означает перемену знака
мнимой части.
В схеме, изображенной на рис. 15, символ у обозначает первую четверть,
\—вторую, У—третью и \—четвертую. [Эта схема позволяет сразу
определять, в каком квадранте комплексной плоскости значений лежат точки,
соответствующие sin £, cosg и т. д., £=-• g + tti, т. е, находить знаки
действительной и мнимой частей этих функций.] '■-,..

46
гё\ Функций комплексного переменного
Пример. Для аргумента .£= |+-Л1, _ где. | заключено между 0 и у,
a т]— между-н- и я* и*геем схему; в правом верхнем квадрате на рис. 15, из
которой следует: значения sin £,~ tg~£ и cth£ лежат в первой четверти (т. е. их
действительные и мнимые части положительны), sh £ и ch £ — во второй
(действительные части отрицательны, а мнимые положительны), cos £, ctg £ и th £ —
в четвертой (действительные .ласти положительны,, а мнимые отрицательны).
7. Приведение к положительным .острым углам
(Прежде всего надо найти приближенные значений по рис. 10 или 13.)
[Помещенные ниже схемы позволяют решать для функций синус и тангенс
следующие основные задачи:
a) Дан комплексный аргумент; Определяется функция.
b) Дана функция; определяется комплексный аргумент.}
а)
se"F=sin
х'+iy
X
— (I80~—jc)
—X
X
180°— х
x'—t
Ф
—A80°—0)
180°—0
0
— 0
sin
У
sh
y + ix"
4>
— (90°+ 0)
— (90°—0)
90°—0
9O° + 0
sh
, y—lx'
sh
—У + ix'
<P
— (90° —0)
— (90°+ 0)
90°+ 0
90°—0
sh
-y—ix"
sin (x + iy) = se",
O<0<9O°,
0<f<«>.
(См. таблицу 10)
a)
se&=cas(x' + iy)
=ch(—y + ix)
b)
sh
■(и:
'О)!
y + ix
■у + Цл—х)
—(90°+*)
—(90°^-*)
90° ~x
i0° + x
180°—a
0
—0
— A80°—0)
—y + ix
у + Цл—х)
se'9=cos (x' — iy)
=ch [y + ix')
b)
se'°
jgKt-o) ;
sin
x+iy
(n—x) — iy~
'. —х + 'У
— (n-^xj—iy
cos
ch
-»-*:(T-Jr)..,
;.«/+^('f+^ ;

8. поЬеденШ л функций - в комплексной плоскости 4f
а),, .•;
;г . t-nei'?=ctg
; x' — iy
x'+iy
x'
90°+*
— (90°—*)
180°—*
—^x
. X
_(I80° —x)
90°—*
; —(90° + *)
ri
— 1
+ 1
+ 1
— I
Ф
I 180°—x
> X
)
x'+iy

Pe*'—iy
.
Ctl
y—ix'
th
У + ix" .-
Ф
— (й0°^т)
D0°rx
cth
y + ix'
th
y—ix'
■'. cth
; —y—ix'
\ th
—«/+;<*'
Ф
-(90°+x)
90°+x
cth
—y + ix'.
th
—y—ix'
4(x + iy)=te*,
0<*<45°,
0<«/<oo,
0</<I,
0<т<90°
(См. таблицу И)
b)
1<"
IV«"-4
tg
*.+ <>
—x + iy
(f-*)+«,
ctg
iy ■■ te V* '.
(f-«)r''
x—ty
4 . '("*)
; + н, ? le '(т+т)
th
* + **
—У + ix
У + .
Hi-)
-y+
+<(тг*)
cth
*-&
—y—ix
8. Поведение функций в комплексной плоскости
; ... ■*'.-■'." ' * ■, ■.-''"' : ■. - J *
[Схемы, приведённые на рис. 16 ш 17, описывают поведение тригоио^-
метрических функций комплексного аргумента при его постоянной мнимой
части и гиперболических функций—при постоянной действительной ча\.ти
аргумента.] ' " • " " * -~•--• .-- —. ■- —

48
IV. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
а1 та S
'• «с m о
а !< i
(- х
£ X «
S а» о
о S. ь
х -я °
£ 2 g
Ь* (U С ,
"е- - |
§ + i
а» н
а»
та
Ш vi t"
О * М
С н °
о х
to « 5
!£ X
о я 2
о. .&
X
>-.
•е-
X
S
«
Я"
X
ч
о
к>
с
a
<и
S
X
<и
л
с
о
X
а
ч
S
X
та
X
о.
ч
та
В)
м
X
о.
a
н
Я"
В)
b|<n
+
з»
*• -
о
>х
Sf
=»
X
о
X
X
к
о
н
о
о
с
X
с
X
нта
S
о
N (\
1*т /
$с
~"\5
_-/£
Si
N
SSi'lt\a:Z=z
N
№V'+x£=z ■•
x£/+s&/f=z
О
t
wfc
/
^
' fJ,
^
•v
»4
х£1+ш*'о=г
Si
Vi
•4-
«<>
i
/vi
■* x^*,
■ ^
"^
J?
„1
■*^J
■>
1

V. ГАММА-ФУНКЦИИ
Определения и обозначения
Гамма-функция Г (г) определяется как решение функционального уравнения
Tfz+C = zT(Z), где ГA) = 1.
Она является мероморфной функцией от z = x-\-iy с простыми полюсами
в точках z = — п (л = 0, 1, 2, ...). Из всех аналитических решений этого
уравнения она выделяется тем, что лля действительных положительных значений
-4-3 -3 -1 0\ I
Рис. 18. Рельеф гамма-функции Г (г).
аргумента z=*x она положительна, действительна и удовлетворяет неравенству
(Т'{х)Г<Г(х)Г"(х),
которое выражает ее логарифмическую выпуклость (рис. 18—22, таблицы 12, 14;.
Логарифмическая производная от Г (z) обозначается через
din Г (г) _ Г'(г)
Ч {Z> - dz Г (г) •
Для этих функций употребляют также другие обозначения:
Г(*+1) = П(*) = *1. *(«+i) = *W = ^££i = ^.
Определение неполных гамма-функций Г (a, z), у (а, z) дано в С.
4 Ё. Ярые, ф. Эмде, Ф. Леш

50
V. ГАММА-ФУНКЦИИ
Рис. !9. Рельеф обрат-
4 ных значений гамма-
функции p-jr.
*
J
г
1
0
-i
-г
-3
•4
У\
^
I^VVJ^f
\фН
\\
Л"
<С5ж
п^^&Ояг^г/^
^Шй
*§5»б£к~^
\Ш
ж>/
jp%-
Щ,
КСУС
■#/
Iе3 \
г?тТ'да
Щичг
i9/
14 v13» \
• ш
#\
/"^С4
>W
Л
})
^ч^
т
N?v
--ЛМ.
^v
~Л$/
t0°
X
N^>
■^.f
/ i\ ,
Ao^
Jv
<? X
><Jg
Ч
iCZi \C
к/Щ
3 к-13
\ 3c
ад
^
^^
-3
-x
Рис. 20. Карта горизонталей рельефа обратных значении гамма-функции.yrrrv.

ОПРЕДЫШНИН И ОБОЗНАЧЕНИЯ
51
,
* " _:"t
r + Ц-..1-
/
т^ 1г
С
гУ"~ч
"а ф-
-/ -И 7"Г
Д -W-
о
о —
,
я
,у
- '- 33
- - i
- .- it t
г
- Д 4^
X L
: l iiz
- \£^
0 х
А-
tt i:
LI ' J
-5 -* -3 -2 ~l 0 7 2 3 4
'Рис' 2l. Гамма-функция- Г(х).
-л:
«2
ft*
0,4
Oft
0,4
'0,8
-12
J
1
\
\
>
M
у
Л
у
/
'
*
У
f
?
/
0
J
r
с
3
'
4
'
S
Рис. 22. Обратные значения гамма-функции
Г(х>

52 V. ГАММА-ФУНКЦИИ
А. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г (г)
1. Представления
1.1. Произведения и ряды. Для z Ф О, =—1, —2, ... им«ем:
V п-»«г(г + 1);...(г+п)*
w-ln(.+i)'(Hir;4-n-(Hi)-'
(C—постоянная Эйлера). Пусть z = x~\-ly и
тогда Г(г) = Ае'">, где
1.+ИиГ = Г»Л ^>0; л==0> Ь 2' • • •>•
При |-г]<^1 имеем:
ГB+1)= т/-^-^еЛ, где Л^С.*—С,*»— CS2S — . . . ;
Сх = 0,422 784 335, Cs = 0,007 385 551, С, =0,000 223 155,
С8~= 0,067 352 301, С7 = 0,001 192754, С„ =0,000 044 926.
Если в этом случае положить г==д: + /¥у = ге"?(г<^ 1), то получим:
Г (гИ-1) = Ае"в,
где
' Л, = *'(** + »/*) fl-*)» + »* giAi
sitf nx-\-sxa? пу (l+xf+y* '
2ю=ф—о—т—х + 2Л4, Al + iAl = Clz—Caz'~-Ci3* — .., ,
-*чн- v-^.- tgX=rb-
1.2. Интегралы. При Re 2>0 имеет место представление
■ . . Г (i) = J е~* **:? Л = J (in у)'"' Л (arg * =0): :
о . •
(интеграл Эйлера 2-го рода); при гфЬ, ±1, ±2, ...
r(z) = -~-^ § erU^dt @<arg/<2n), !
+ф
при всех значениях z
+о ■ ■ ■ !
{контурный интеграл Ганкеля).
1.3. Асимптотика. Если ]г|^>1 при условии, что |atgz|sS«—& (в>0), то
<»
1пГ(г) ^ (z—|Л \nz— z + ± Ьгя + Ха^Ьт)?5^

а. гаммл-функция Г (г)
53
ф числа Бернулли). Для действительного z = x>0 ошибка, получающаяся
при обрывании ряда, меньше первого отброшенного члена и имеет знак этого
10
20
30
X 40
*
4
<
4
1
■
/
%
у
/
V
у
-
ф
О Ю 20 30 40 SO 60 70 80 90
Рис. 23. Функция Г (х) для больших х.
члена (рис. 23). Отсюда следует формула Стирланга:
r(*)-]/f<r*z*tf(*),
I t I 139 571
H(z)^ 1 +12^ + 288?" 5!840z» 2488320z*
Имеет место, представление
70
ВО
50
40
30
го
Для чисто мнимого 2 = /y, J/>1 имеем Г (гу) = йе,0\ где
А=& V =г*

54
V. ГАММА-ФУНКЦИИ
2. Частные значения
ГA) = 1, ГB)=1, Г(л) = (л—1)! = 1-2...(л —1) (л = 3, 4,...):
Точка —п —простой полюс, вычет в этом полюсе равен ——~— (п = 0, 1, 2,. . .)
Г(д) = 1/"я = 1,772453850. .. , Г(—1)=_2/я,
Г'('/,) = 2,678 938 535 = 1:0,373 282174,
Г(г%/,)= 1,354 И 7 939 ='l:0,738488 112,
ГD/3) = 0,892 979 512 = 1:1,119 846 522,
х Г{'/,) = 0,902 745 293= 1:1,107 732 167,
Г('/4) = 3,625 609 908 = 1:0,275 815 663,
Г ('/4) = 1.225 416 702 = 1:0,816 048 939,
Г Си) = 0.906 402 477 = 1:1,103 262 651,
Г CU) = 0,919 062 527 = 1:1,088 065 252.
гУ-л + 2У=1/^. <~2)" («=1,2,...),
1 [ П^ 2). * Л ]-3-5...Bп~Л)
тшГ(х) = ГA,4б163 . . .) = 0,88560 ...
3. Функциональные уравнения
ЗЛ. Рекуррентные формулы:
Y(z+\) = zT{e),
Г (г + я) = *'(* +1),.. .(z + n—l)T(z)
1
r(z— D = F±Tr<z), (/г=1,2,...),
Г<*-Я) = г -Г<г>
(z—,1)(г—2)...(г-л)'
3.2. Формулы дополнения:
Г(г)'Г(— г)-
V(z)V-(\—z)
z sm яг
я
~ sin itz'
cos яг
JIZ
ГA+г)ГA— z)
Если положить (л=1,2,...)
Яв (z) = — z' A — z») D — z2) . . . [(л —1)* —z%
Q0(z)=h
Qn(^=(~-^)(b2+l-za)...[(«^l>« + |-^],

А. ГАММА-ФУНКЦИЯ Г (z)
55
то справедливы равенства .(л=0,1,2, ...)
-яР„{г)
T(n + z)T(n — z)=-
Г (— я + z) Г (— я — z) =
г sm яг
иг
Ph+l (z) sin яг *
r(.+4+,)r(.+i-.)-S£.
г(-»+1+г)г(-»+|-,)-йл^Г1Гг.
Для чисто мнимого z = iy выражения в правых частях этих равенств будут
действительными и означают квадрат модуля каждого из двух комплексно-
сопряженных множителей, стоящих в левых частях.
3.3. Формула умножения:
Y{Z)Y{Z^)...Y{z + ^) = V^f^nT-P-.
В частности, при л = 2 получаем формулу удвоения:
'ГB*) = ^!=2»-,Г-(*)Г(;М-1).
4. Некоторые интегральные формулы
При условии Re z>0, Rew>0 имеет место равенство
о
Интеграле стоящий слева (интеграл Эйлера 1-го рода) называется
бэта-функцией B{z; w); приведенная формула позволяет находить значения бэта-функции
через значения гамма-функции.
Далее, споаведливы следующие формуды:
t*-^ rjz)T{w—z) (Rew > Re.z > 0,
J A + ty " T{w) \ arg t.= 0
T'e-'V-Л- Г ^ »') (*** >0- ReV> H
,J w^ \arg* = 0, /z=l,2, .../
J £Л— *ra rfl-l- —— — ^ ? ;(«=1, .2, ..... я = 2,.3, ..-.),
в V. m "я/
tt+±ryM'+!)
(ro = l, 2,...),
г
^ S" —r(f+1)r(l + l)r.(^ + l)- 2Г(^+1)
(Reu>—1, Rep>-1).

56
V. ГАММА-ФУНКЦИИ
В. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ф (г) ГАММА-ФУНКЦИИ
Логарифмическая производная от Г(г) обозначается через ^^г) — ~т^л
(рис. 24, таблица 13).]
15
to
т ; 4 ZD 7
$ ij d / у
:^::^::Si'"^ /
_., t ...ж ^
-t-t-t- Ч ^ ,-*
' L_ J <Ф' ^
- / v$C^
- t J£
4- J- Л Л ^2
J- J- Si. J- i*w1 -, ^' /-
l I \%L <№' £
X и JhV -^? ^ mx) -
'шЬ$г\1 k^ <i- ■ r"T
» $J « vu'*
«f &[ £ -siV
1 / / /
T T T ■ T
I I f
: :: :: r
._ _ ._ t
_ ._ _ _
~% -B -1 0 1 Z 3 4 5 6 7 6 9 W if
Рис. 24. Логарифм гамма-функции и его производные.
1. Представления
1.1. Ряды. Для гфО, —1, —2, ... имеем:
*(*>
= —' С+£ (й*+Т—T+k) (С~ постоянная Эйлера)
*=0
1.2. Интегралы. При Re«>0
о О
I
yp(z) = -C+^l-^~-di (arg* = 0).

в. логарифмическая производная *ф(г) гамма-функции 57
1.3. Асимптотика. Если |.г|^>1 при условии, что \aigz\ <:л^-«(е>0),
то
00
Ifasl , . "■ v '
2. Частные значения
-фA) = —С, ' Ч»(л) = — С+,+Т+---+/Г=Т («-=2,3,...).
Точка — л — простой полюс, вычет в этом полюсе равен — 1;
■ty(j)= — С—2 In 2 = — In 4у«= — 1,9635100260...,
*(т±л) = -1п4^ + 2(,+Т+Т+--+2^) ("=1,2,...)
(С—постоянная Эйлера, у=ес).
3. Функциональные уравнения
3.1. Рекуррентные формулы:
Ч»(* + 1) = Ч><*> + 4». ^(^ + Д) = 'Ф(г)+4 + 7^тЧ----Ч-г+1п_1,
г|)(г-1)=-ф(г)^—, ч»(*--^=*(*)-;^Т--г^2--...-~.
3.2. Формулы дополнения:
*ф(г) — -ф(- — z) =— nctgnz , *ф(.г)—*фA — .г)= —nctgn.?,
г1'(у+'г)~'*(т"^^) = я1ёЯ'г' *(!+*) —"♦(!■—*) = 4~rtd8 «*•
1>(—я+Т-)"Ч,(Я + т)-+я- •ф(-я+4) = -ф(я+4)-11(л=».2. •••)-
3.3. Формула умножения:
■ У№ = -к'Ё^{*+1г) + 1пп (я-2.3, ...)•
ft=o
4. Производная тф'(£)
[В силу отмеченной выше логарифмической выпуклости гаммз функции,
производная ty'(z) всюду неотрицательна (рис. 24, таблица 13).]
4.1. Представление. Для гфО,—1,—2,... имеем:

8
s s g s g
£ £ £ jo
u ы M
о о о о
CO О* f* Щ О Д О* f- Ы О ID » » М О Ю. » ^
о о о о о о о о о о
00 *-1
W О*
4J 4J —
Ч* Ч* W W ^* ЧР
& ** tn ** ** и>
09 00 — 9 О* £
о в о о р
р о о р р р р р о р 4 р р р р р р р о о р р р р о р р р р р р р р р р _-*
§§§3 33
1Л 2 в ^ W -к
*0 ~%0 *© 4 4 4 41 4 < < < <
5SSS
£ К й й
** ь» ± -
i О. К>
+
о- ♦* '
Ш ** uj щ К> Ы 9> <-л 4J ^ *л
,£ч ф <_J ф U) 4 ^
W £* m ui 9> sJ
w *. о> Ш О
*» в> Ш С
nj да *- О* *- -sj nj
■xl о w в> чВ
8 3**38 8 g g S 8
KJ
U£SS
£ £ £ м §
00 9> *■> К> О в О* *■ KJ , О Ш <?• *■ К> О
о о о о о
да <£ *. kj О
+ е£ « « m CD ю S nJ sj sj ^ »
x ^ w a fr fj « » u о ч **
5 wtoi-jb*-i ui i. *. ui ^ to
wO C* -* <?• О **■ w fr *- -» *л -xJ
0". tn tn tn
g £
u u u ы w k) M K> Kl
Ф № Ь M ■» 4> ^ (Л >>
M sj D 4 Q W 1Л QD K>
O0O0WW Ф О О* О* Ы
secgg
M -»-»-» О О О О ^ *
-* вэ w м * ^ w о ч v
3 g
jxj y» i*l
*л W KJ ** О
M * ^ t J
%o <■" » о ш
4
o> o> » o> o>
•Л *J *- W —
SS2 8 8+
* ^ *J P v _
m %o О* 0*> Of*
VI Lfl И V> И ЬП
N0 SJ !•> W «* О
s &
Wl ^ Kl.
8 8 S * S 8 8 8 g 3 8
S0> ?> 9> £ и (л in ui ui £ 4" *> ** £ wwwww к» к> м K> K>
<S *• M О (8 » Ь M О в C>> M О т0**--К»©Ш0**-К»О
О S ° ? S б
*л i/y
0» **-1
(Л О
НИШ?
*■.*■■*..*■.*. *■. W Ы W W W Ы W W W W W W W
3 § 3 8
(Л 3 <3 W
+
(Л
** w
!6S
s
+
.251
.181
w
,112
s
И
+
918
a
857
S
NJ S »
8 68
+
w к» у
* * to
.629
.575
5
К
473
+
К Si
J" N
K-c К в а
v* ww t/>.
^ ui (> sj
И И И 1Л
8 S^^S SSrSS
S ^ £ M S « <£ *> M О Ш $ £ K> О (В № ^ M О ЬЭ0**>К>О » 0t JS KJ О ё » E S б
ЕЕ
+ +
sj уч y. yt yt t* t* ». Ш ш
Ы "OD W *W ♦* ''Ф *t" *-* **■"! W О •* К» "*C О*
«sis;* * as s § ss*§a
.K» W — — — — О О О
~ k» **© V ы Ъ "ч *#» "-»
- - ■ ■ -к в л -» w
♦* tn 4 ^j »,
g 11 £ К s я § s 3 ?iHf si jsi-ssics ; 3 S s s I
4 4 4 4 Ф CO 00 00 *J  «g 4 4 0< 9> № № О № 9>
I S S 'i 8 '5 '* =5 * a '* * ^ 2 '2 £ '5 - 5 S
}• б » № Ш iO ф » W ^ 9> Ы W О W OW-»WO
s г
w» wn w»
W» W» W» «Л V*
8 $$*£'$ 8$gS8 SSS3S HtB'S 8УЙ»"8 fcftfc&'S ПУВ8 KSifeK
О 00 » **
о S °° 3 8
4-jK »>tMWWW W W W KJ N» U fJ Ю M U -*-*_*-*-* «*QOOO б О O. P О О •*-»-» -» ^ M м
в Ы 9 9> W <Л » KlS«x49 О(Л%0««й К) 9> § W » S 2 w (Л № 4J3ZZS К» S К 5» * К>1"<0
- S ф Ч W vD M U W -» ^ О 3 ■» (в W ш О W в ^ О Ч -» К» О *П ^ ^ -» -» *» -* К» Ю ^ К» ^(ЛШ
* - ч и
4J О -О 1Л
+ +
8* ^ ""J N "xl
* О -» w w
-1-в> » А » О » в> sj Ч S »J
ег -»w<336 w а» »■ ». о
«
7476
a
7585
7698
775
7813
40
7932
3 9 S S S
Vt \A W4 'w. W.
8446
8312
8181
8055
g в В в I я я
.* 8 s s a s * .« I s s i I s s s 3 S p 5 .S 3 5 S S s i £ 5 s
У* У* УЛ
и wn и
§ § § S I
*nj wi *^ tn ю
8
- "* •> -> M H N> Kiwww»
-»W У»в»-*Ы9\ * |3 ^ 4 W
t* Vt 1Л Vt
О w VI 1Л sj
fiCttS « ,U S S В « * .3 .3 2 £ .5 5 5 . а И S 3 2 S в 8 S 3 8 .8 8 S J5 В Jtj p S jt SSJ2J S § 2 g g
•V .
u
г
г
u
■е- ^
<< н
Я ш
g с
В Ь
» S
(^ р:
А
4л
00
S
2S
* ■*
W,-

8 $$z$'$ sssss a s s й "a s n г s « s * »"s utss s s j: к s g s s к e ; s г г "s s g s s 8
Big
s s s s s
lilliyiiiilsslisisiiiSgsggsisliHl
ш
VI 4 « ._ ._ .,
1Л 4> 00 -* ©WOW
I +
£-2 ■*■*
+ + + +
-*-*-*.* К) К М ю w www*». »• •> i^ w yi
О w ул <B © W v» M О M v* » О w v 8) ■» w ffi
V» V» И VI И
!•> V» V» V»
+
w CB e* o» —
+
Ui S 4 ^ S
IIШИИШШИШ
0* ft м м
э""'"П!ШШ№
i
in K> * «• W О
О* О К> lb О- «0 О W 3» б> N >3 О ^ W i Vi № N в» * О О •* - iil ^ W К»
8
JggSSiS 8S2S3 3 5! 2 3 3 £ g: S: ^ S S^S'S £ fc £ S S ^^й'й g£KB8 S?^5 gggS*8
IS1IS5 Ш1! 1IIII iilii Hill ИШ IttU lift 11Ш1 Ш№
8 S Ш
+
£ a a s S
iiiiilliliiiiliiiilillliiiiiil
«09 4 W ♦* SI
2JSSa
-» W "Ч "Ч W
iiil
8« ct » « >o
w o* * •* w
* "O "O "O
as* ^ a * p" ?•
» w <5 ^
Oi M « » ^ •« $
'8 S$£3 3 HSS'g 2 S 2 3 3 S S £ £ S П i£ Я 'IS S££SS SS^S'g gSKBg S S S 5 S S S £ S '8
s sags
§"* -* -? У У *" n>NNk>H w s> M *" si si
уОФ QO-> -* Й С С W *. К W fri ON 4
w о а ч w a w о h 3 ui ■! ч м i ш
о cewS «w aowtftvsj si ^ S $'w S
M w w w w w W
355
il НШ НШ If ШШИ'
г Ш. S g ^ .Sjl.SSS
K) M M W WWWWW WWW W W WWW
Is as 8S3KS icssss a $ a
W W W As *. ».».».*.#' ».*.*.*->#»
sssss sssss § 5 § к 5
I/) И V» V»
V* V» V» V» V»
V» V» V» VI
11Ш
lllll Ш111Ш1 lllll llfll illli Ш111
ft3l
SSSiSSJsSS'SSSSSS x s i s i 5 5 2 $ S si 3 S к г s з s г а %
ss
I
_ N1
W Oi
О» б .W
4
: *
+
H
я
2
m.
г
к
о
•a
pi
•i-
Я
С
n
S
S
P>
i
■e-
я
?!
J=
SB
S
5
0).
Sa
я-
i:
«3

60
V. ГАММА-ФУНКЦИИ
Если |г|^>1 при условии, что \atgz\*sin, — г (е>0); то
\|)' (Z) === — +2^4- ^ ^ягп = — + 2? + ор~Щк+ • • •
П = 1
4.2. Частные значения
•ф'A)=^=1,6449340668 ..., V (у) =y=4-9348022005...,
Если'л =1, 2, 3, .. • , то
4.3. Функциональные уравнения
С. НЕПОЛНЫЕ ГАММА ФУНКЦИИ Г (а, г), у («■ «)
Неполные гамма-функции определяются следующими равенствами:
Г(а,г)=[е-Ча-%<Н, у{а, г) = Г(а) — Г(а, z).
г
Путь интегрирования выбирается так, чтобы он не проходил через начало
координат и чтобы вдоль него argf изменялся непрерывно OTarg£ = argz в начале
пути до lim arg t —- р, где I р | < -=-, в конце. Для Re a > 0 имеем:
г ■
Y(fli,*)=Se-t'<-1«,
о
где путь интегрирования может быть' выбран произвольно (рис. 25).
Эти функции являются функциями двух комплексных пергменных а, 2. Если
рассматривать их как функции z при подходящим образом фиксированных
значениях а, то получаются многие специальные функции (интегральная
показательная функция, интегральный логарифм, интегральные синус и косинус,
интеграл ошибок и интегралы Френеля).
Употребляются и другие обозначения для этих функций. Иногда,
например, у(а, z), Г (a, z) обозначаются соответственно через P(a,z), Q(a, z). По
аналогии с обозначением ГB) = B—1I часто пишут y(a,z) = (a—1, z)\
В астрофизике и ядерной физике употребляют обозначение
00
Ea{z) = z"-1T{1— n,z) = \e-ztrndt.

С. НЕПОЛНЫЕ ГАММА-ФУНКЦИИ Г (a, Z), у (a, Z) 61
При фиксированном а функции Г (a, z) и у (a, z) будут аналитическими
функциями переменного 2, причем для y{a,z) исключаются значения а = 0,
— 1, —2, ... Если а не является натуральным числом, то они многозначны
с единственной конечной точкой ветвления 2 = 0 н не имеют других
особенностей в конечных точках.
z /5
10
.,, .-.да
JR^
i
<S>
\
N
ss^>
^
1 1
ь-
f
V
V
^
N
гг
095
W
44-
4,7
1
0,5
-ч
0 т
-4?
■1
4/
_
/5
#>
J0
40
50
Рис. 25. Кривые 3lL_- ' а "["*'■=const в плоскости а, х,
Г(в + 1)
При а#0, — 1,— 2, ... имеет место разложение в степенной ряд
В сек-горе ^--f e <; arg 2 <-^ е (е>0) существует при 121 ^> I
асимптотическое представление
■-. у(а,г)^Г{а)^-'-е^\1+^а-1><а-^^-пЯ.
IJ = 1 J ■
По аргументу а справедливы следующие функциональные уравнения:
У(ач\-1,г) = ау(а,г) — гае-*, Г(а + 1,г) = аГ[а,г)+2?е-г.

VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Интегральная показательная функция и интегральный логарифм
■1.1. Интегральная показательная функция определяется как
EI(Z):
Г F, ze~ni
■>*-*.т
dt.
где путь интегрррования должен быть взят от z до оо так, чтобы вдоль него
ltm arg t — р,
л
Т
:р=
Зя
CJJ J—
1
IEi*(x)
г
/о J
7 Z
t V
^h 7
J L
« 7 -/
t ^Ф—
h^ I
/ Г"
j /«f*; J
,,1l 1
t 4
It I-
I I
I f
го i-
/ Li (x)
1
—— —™
:■
L_ —
, и Re£ оставалась ограниченной справа. Функция
Ei (z) является бесконечнозначной
функцией z с единственной
конечной точкой ветвления 2 = 0.
Значение этой функции после т
обходов вокруг точки ветвления
определяется формулой
Ei (г,егтП) =*= Ei B) rf 2МШ
(да=0, ±1, ±2, ...)
[т. е. циклическая постоянная
функции Ei (z) равна 2ni].
Выполняющееся при 2=£0 разложение
в ряд
* я
Ei B) = С- яг +jb 2 + 2 ^jj-
• ■ < n=i
(С— постоянная Эйлера)
указывает на логарифмическую
особенность в начале координат.
[Иногда употребляются
обозначения
Ei+.(.*:) = Ei(.*:rf-iO),
ЕГ(*) = Е1(л:— гОЦ
• ■ * '
-*-х
Рис. 26. Интегральная показательная функция
и интегральный'логарифм. Действительная ветвь
функции Ед B) додумается при z = — х,
где х — действительная положительная величина (рис. 26, 27, таблица 15):
ЕЦ-х) = С + \пХ + £(-\Г^

1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ЛОГАРИФМ
6»
Иногда рассматривается функция Ei* (г)а= Ei B).+шт .которую обозначают
также через Ei(z). Ее действительная ветвь получается при действительных
положительных значениях
аргумента z = х (рис. 26, »ЧУ д
27, таблица 15); 200°
Ei*(jc) = C-f \пх +
500
+ У —'
/да
■
U
^
г^
\у
юоо^ппл
гоов
fOOff
V
V
Действительные
ветви обеих этих функций
допускают интегральные
представления:
—X
Ei(-jc)= j eTdt,
— GO
Jr.-
El •'(*)=» J 7-Л,
где второй интеграл
понимается как главное
значение в смысле Коши:
_» е->о L-0» е J Рис. 27. Функции Ei* (х) и Li (x).
При jc^>1 получается следующая асимптотика:
При х > 2 справедлива приближенная формула:
Ei ( — х) = ^ <! 0,9999965 — 0,9989710 \ + 1,9487646 -^—4,9482092 -1 +
+ 11,7850792.р—20,4523840^ + 21,1491469^—9,5240410~±0,35-Ю-5 i .
[При малых х, как видно из разложений.
El * (д:)я» Ё1 (—• х) ж In у х
(у — постоянная Эйлера).] >
1.2. Интегральный логарифм определяется как
Он связан 6 Ei (z) соотношениями
И (г) = Ei.(ln z), E\(z) = %{e%
В частности, для действительных положительных значений аргумента Z = х можно
определить действительную функцию (рис. 26, 27):
:Ei(lnjc) при0<д:<1,
Ei*(ln x) при jc> 1.
| 11 (х) =1

64 VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
X
0.00
01
02
03
04
0.05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
0.1 S
16
17
18
19
0.20
21 !
22
23
24
0.2S
26
27
28
29
•0.30
31
32
33
34
0,35
36
' 37
38
39
0,40
41
42
43
**
0,45
46
47
48
49
0,50
Таблица 15. Интегральные показательные
E>*W
— оо
4.0179
3.3147/
2,8991
2,6013
— 2,3679 —387
2,1753 272
2,0108 201
1,8669 154
1.7387 122
— 1.6228 — 99
1,5170 «2
1.4193 «9
1,3287 5в
1.2438 SO
— 1,1641 — 44
1,0887 38
1,0172 34
.0,9491 30
0,8841 27
— 0,8218 — 24
0.7619 22
!0,7042 20
0,4485 18
0,5947 17
-0,5425 — *f
+ S0&
0,4919 %„
0,4427 „8
0,3949 ш
0,3482 <55
- 0.3027 +м
0,2582 in
0,2147 iU
0,1721 w
0,1304 410
-0,0894 +aI
0,0493 „J
-0,0098 JS8
+ 0,0290 И1
0,0672 J74
+ 0,1048 + J70
0,1418 J45
0,1783 ii0
0,2143 355
0,2498 351
+ 0Д849 + iit
0,3195 j„
0,3537 ,j,
0,3876 3J5
0,4211 J3,
+ 0,4542
-El<_x)
+ OO '
4.0379
3,3547
2.9591
2,6813
+ 2.4679 + 387
2.2953 272
2,1508 . 201
2,0269 154
1.9187 122
+ 1.8229 + 99
1,7371 82
1.6595 •»
1,5889 58
1,5241 SO
+ 1,4645 + M
1.4092 39
1,3578 3*
1,3098 30
1,2649 27
+ 1,2227 + 25
1.1829 22
1.1454 20
1.1099 18
1.0762 17
+ 1.0443 + £
1.0139 2,0
0.98*9 274
0,9573 Ui
0,9309 2S2
+ 0.90S7 _ j^,
0.8815 M2
0,8583 212
0,8361 J14
0,8147 205
+ 0,7942 _ „7
0,7745 ,„•
°.4 183
0,7371 ,„
0,7194 ,70
+ 0,7024 _, 45
0,6859 ,5,
0,6700 ,54
0,6546 ,4,
0,6397 1U
+ 0,6253 _,j,
0,6114 ,,5
O.S»79 13,
0,5848 ,27
0,5721 ,2j
+ 0,5598
X
0,50
51
52
S3
54
0.55
56
57
58
59
0,60
6i
62
63
64
0,65
66
67
68
69
0.70
71
72
73
74
0,75
76
77
78
79
0,80
81
82
83
84
0,85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
0.95
96
97
98
99
1,00
£!•(*)
+ 0.
«542 + jig
4870 325
5195 J22
5517 з„
5836 },7
6153 + 3,4
6467 J,,
6778 jo,
7087 307
7394 jos
7699 + J03
8002 joo
8302 299
8601 297
8898 29»
9194 + 294
9488 292
9780 291
•0071 290
0361 288
0**9 + ig7
0936 28»
1222 28S
1507 284
1791 282
2073 + 282
2355 га,
2636 280
2916 279
3195 279
3*74 + 278
3752 277
4029 277
4306 276
4582 27S
4857 + 275
5132 27S
5407 27*
5681 274
5955 273
6228 + 273
6501 273
6774 273
7047 2П
7319 2П
7591 +273
7864 m
8136 271
8407 272
8679 272
8951
— Ei
+ 0,
5598
5478
5362
5250
5140
5034
4930
4830
4732
4636
4544
4454
4366
4280
4197
4115
4036
3959
3883
3810
3738
3668
3599
3532
3467
3403
3341
3280
3221
3163
3106
3050
2996
2943
2891
2840 .
2790
2742
2694
2647
2602 .
2557
2513
2*70
2*29
2387
2347
2308
2269
2231
2194
функции Ei* (X) и — Ei (— x)
(-*)
— 120
11»
112
110
106
— 104
100
98
9»
92
— 90
S8
8»
S3
82
— 79
77
76
73
72
— 70
»9
67
65
64
— 42
61
59
58
$7
— 56
54
53
52
51
- SO
«S
48
47
45
- 45
44
43
41
42
— 40
39
39
38
37
X
1.0
1
2
3
4
1.5
6
7
a
9
го
1
2
3
4
2.5
6
7
8
9
з,о
1
2
3
4
3,5
6
7
8
9
4,0
1
2
3
4
4,5
6
7
8
9
5,0
*
7
8
9
10
11
12
13
14
IS
El»<x)
+ .1,8951 + I
2,1674 25
2,4*21 46
2,7214 «5
" 3,0072 83
+ 3,3013 + 100
3,6053 1N
3,9210 133
4,2*99 149
4.S937 167
+ 4.9542'+ 18i
5,3332 204
5.7326 22*
6.1544 2*5
«,6007 268
+ 7.0738 + 292
7,5761 318
8,1103 347
8,6793 377
9,2860 «10
+ 9,9338 + *4A
10,6263 *85
11,3673 527
12.1610 572
13,0121 622
+ 13.9254 + 675
14,9063 734
15,9606 797
17.0948 866
18,3157 9*1
+ 19,6309+ 1023
21.0485 1112
22,5774 1209
24,2274 1314
26,0090 1*2»
+ 27,9337 + 1555
30,0141 1691
32,2639 1840
34,6979 2003
37,3325 2180
40,1853+ 2373
+ 85,9898
191,505
440,380
1037,88
2*92,13
+ 6071.41
14959,5
37197,7
93192,5
234956
-Ei(-x)
+ 0,
21938 + 729
18599 573
158*1 «57
13545 369
11622 JOO
10002 + 247
08631 20*
07465 170
06471 142
05620 ПО
0*890 + @)
04261 U
03719 . 13
03250 62
0284* S3
02491 + 46
02185 »
01918 .3»
01686 39
01482 IS
013048 + 321
011494 192
010133 >67
008939 145
007891 127
006970 + HI
006160 97
0054*8 «5
00*820 ,74
00*267 65
003779 + 57
003349 50
002969 46
002633 39
002336 34 ,
002073 + 30
0018*1 27
001635 23
001453 21
001291 1»
001148 + **
3601 (-3)
1155(-3) ;
3767 (-4) .
1245 {—*)
4157 *-5)
1400 (-5)
4751 (-6)
1622 (-6)
5566 (-7)
1918J-7)
+ 0,

2. интегральный Синус и интегральный косинус 65
2. Интегральный синус и интегральный косинус
2.1. Интегральный синус si (z) и интегральный косинус ci (z) определяются
формулами
si (*> =~ [Ё1 (Щ - Е1 (- iz)\ = ^ ^ *•
CD
г
ci (г) = b{Ei (iz) + Ei<- **)] =J ^ dt.
причем путь интегрирования должен быть выбран так, чтобы в начале пути
iimarg*=0 и \mt оставалась вдоль него ограниченной.
Употребляют также следующие обозначения для этих функций:
-г
Si (*)« si (г) +-j- = J ^ *• Ci <*> = ci <*>•
о
Функция si (г) является целой функцией г, a ci B) — бесконечнозначной
аналитической функцией z с единственной конечной точкой ветвления 2 = 0.
40
V
-Ю
-ZJ0
tC^" ~^~~~^-^-
■ "^ "=i~ —-_ ^
у я Г^
у
/
>
у' _ —■
/ /" ~^^ci(x)
/ / ^-^»
г ~--— ^^
5
/
Г
4 ^t
1
I
О 1 г . 3 4 5 6
Рис..28. Интегральный синус и интегральный косинус"
7
Значение функции ci (г) после т обходов вокруг точки ветвления определяется
формулой
cHzem^) = ci(z) + mni (от = 0, ±1, ±2, ...)
[т. е. циклическая постоянная этой функции равна яг].
Имеют место представления
si^)=--r+g(-i)"Bn+I}Brt+1I, dw-urY»+2(-ir
Bл) Bге)!

66 VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Отсюда видно, что
COS t—1
ciB)-InY*=C^
dt
является целой функцией z.
Функция si (х) принимает действительные значения при всех
действительных значениях х, a ci (лс) — при действительных * > 0 (рис. 28, таблица 16).
Эти действительные функции si {x) и ci {x) получаются, если для
соответствующего определяющего инте!рала путь интегрирования взят вдоль
действительной оси, начиная с -f oo. Имеем:
si( — х) = — si(*) —я, Si(— *) = — Si(.*).
Асимптотическое поведение при jc^>1 дается формулами
о. . , cos*/. 2! , 4t \ shi-x/II 31 , 5! \
.. , sin*/, 2t , 4! \ cos*/l! 3! ,5! \
ci(*)~ — ^i__+__...j _^___+__...J,
и, следовательно, в качестве первого приближения получим:
... COS X
si(.k)<« — ,
Wsinjc
fa .
x
[Обе функции имеют бесчисленное количество экстремумов (таблица 17).-}
В прямоугольной системе координат (с, s) кривая c=ci{x), s=si(*)
(х—действительный положительный параметр) представляет собой так называе-
030
♦
Ц20
а/о
-Q20
ffjff
020
G40
-OJO
-m
. 3.0
-*-" "~~*«!b
*? - "i
J7 n- it
/■ \
iv ъ.
7 Ъь
J st ~
f \
A - =.^.30 _l V
f -xZair S ^v ^"+"
L j.' *. = _-,,,JV 4-
T ' ''- ^f *s V r-
1 / /^tv\\ y Y=^
ft /и- Г ft^foUl ^ - \
JX -\-jao &Л_ш1}ц0 L '
A0\ ~\ |> vpg^W \
v Ч-^гр^'у , r^.t
^_ !2,qK~~-.-*?w ~ L -4- Д
>, /
^ ^^1
^~™~- *■•* г
III ... . 1-
•- tTt t
&Я7
/£?/?
ЯЛ7
-tf/Z7
-/Z-^ -«a? ^ ЩР 020 030
Рис. 29. sici-спираль.
0,40 050
-9- CIS
-0,2ff
мую sizi-спираль (рис. 29). Длина дуги от начальной точки (д:=0) до точки
(ci.K, si jc) равна lnx, а кривизна х в этой точке имеет величину x = jc.
Кривизна, следовательно, возрастет по экспоненциальному Закону с возрастанием
длины дуги.

3. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
67
2.2. Вводят функции shi (z), chi (z), называемые: интегральными
гиперболическими синусом и косинусом:
2
shiB)=\-^—dt = —iSi(iz),
г
chiD = C+ln^ + f ^j—^-dt = CHtz)-
in
При этом shi (г)—действительная функция для всех действительных, a chi (г) —
для действительных положительных значений z = x. [При jc>0 имеем:
!_,.,. Ei*(*) — Ei (—х) ■ , . Ei*(*) + Ei(—х) . . . . , .. . . , . х
shi(j^ = ^~2—- ', сЪ1(д:)=—~-ъ— ', chi (х) + shi (х) = Li ex,
откуда получаются разложения
9Ы(х)=л + ^1 + ^Г+..., сЫ(х) = \пух + ^ + ~+. ..
Функция shi (л;) является нечетной:
shi(— х) = — shi{.*:).]
+ 0О
,-mt
3. Некоторые интегральные формулы
Р а— ВЯ
\i~-tdt = — emaEi[—m(a-i-x)] (от>0, а>0, х + а>0),
\"«^Л = _,*-*-Ы[А.<а + *)] (*>?'<а>°Л * + ">0Л .
J a + t i \ т\ /J \varg[2OT(a4-^:)I=n/2 /'
X
4-OD
f ±=^ e'»* dt = — eme Ei (— ma)
(от>0, a>0),
4-00
о
л f Л—1ЯХ
\Ei{-^mt)dt = x^\(--mx}—~ir- (от>0, *>0),
( Ei (m*)dt = xEi (ш)-Ь 1~.е"ЯЖ f .. ">°' *>°' ',_) ,
J v ' v ' im \9Tg(imt) = arg{imx) = nl2j *
0 ...
Ю0
je^ci(^)^ = -2^ln(l+f)
(P>0, ?>()),
j e~" si ($*) dt = — j arctg^ ,
0
+ 0» + 00
С cos*ci*df= V sin*sHd* =— ~ ,
о о
t» +00 +00
$ ci*(*)<«— $-si*(t)dt = ^, . I cl(t)si{t)dt = —Ы2.

fi 2
о ■* со -ч *> m
+ 5 fc «3 ft fii'ft
a w w w J> Я й
J~ -» 1л 43 w i> О
+
S? * * 3 *
-0,2715
0.2517
0.2325
0,2138
0.1956
— 0.1778
+
■•* oa a <e •«
а й' *j kj 3>
-» о
Q <A 4 4 4 4
О « CO vj * V»
-° £ у s з в к
4
CD 0Э A CD Ш
^ w» w» w» С*
+ W W W W W W
w w w к* -» о
О -ч -» cn о ♦* 8
«* fr * W О» ^ S
■ +
4Л l/t Vl- l/t t>
V* *> --I V» -»
О
О
+ a
•* 00
1
Kt
t
О
■1
+
a
о
SS fi u 6
3965
4062
4159
4256
4353
4
S5555
1
).3788
>,3S61
3.3341
).3126
3,2918
+
S § В в В
w $ V» о *4
о
* 3 S 2 g
8605
8692
8778
8865
8951
+
(D Ш Ш П S
v< e> ч s> ч
2761
2829
2896
2961
302*
+
SSJ5S
vO
69' № * Ni ©
О* №> 0* 0* 0*
зз »аа
J
'•* fc *• fr ;*
■SI Q U/ *• i**
1 + +
о о о о о
о о о о о
К* О -* Ш <л
■si -4J W *» ЪП
И Ч U it u
м -» m i/1 in
+ 1 1
00 - U/ >л С
я
w^ t^ b^ b^ bj
* 09 Ч 0* W
3*76
3574
3672
3770
3867
+
<е * * ■& л
а ы a a- 9
— 0.5031
0.4767
0.4511
0.4263
0,4022
+
г>> к> М М М
о
s s з я s
8166
8254
8342
8430
8518
+
3 g g g g
2394
2471
2546
2619
2691
+
■>* »j м м s
О N w V* -J
09
09 0* #* Ni О
о* о* о* v v»
Wi U ^ 4 4
w m vo 09 **
00 fr 09 •* W
1
О о б к» *
+
ооооо
12243
1164*
10607
0919*
07*76
1
s & 3 5 §
о
bi Ш Ш Ш W
» w м <* о
W W W W Si
SSS§-5
+
4 4 <о О >t
m a n « й
- 0.6*92
0.6179
03877
0.5585
0.5304
+
М (J KJ w W
ч Ь « о -»
ш -» м к) W
О
g g S 2 g
7721
7811
7900
7989
8078
+
S 3 S 3 8
w hi -» p *
^ u ui о о
№ U* U 4 w
+
s 2 s г $
^
О » № W О
4546
4751
«983
5233
5489
1 + +
» fr N 09 S
+
о о о о о
07670
09596
11036
11960
12359
1
= й Й | fi
в
2886
„а
вч*«
2*91
2590
2689
2788
+
$ & $ $ $
3.6816
W
7631
1
3.8247
3.7867
3.7503
3.7153
+ 1
ч о ♦* о»
о
^ Ч ^ ^
00 ^J С* <л
SJ ^ SJ N
W» ♦* LO К>
h W» 0^ Ч
+
3 3 g 2 §
1895
00 NJ о> ЪЛ
5 -* -* w
W» К* 00 К»
+
S 8 8 8 $
00
4379
**
^
О
0S3C8
IF
о»
OV ** N О
** i £ **
К * 00 К,
00 К* -Ч -Ч
ts г-a 5
+ 1 1
р о о о
06806
03587
00418
02582
| +
a a s a
e
M hJ kj K> Ni
► w С - о
Cj KJ -» Q *o
*Q * * * *
M w «« vt 0^
+
sssss
1
.0*22
3.9944
1.9490
1.9057
1.8643
1
- - Ki KJ Ki
О
■sj M Ni 4J 4J
*. W K> -» О
ч Ч № № №
< 4J J f. W
+
SS2SIS
*. Ш M -» О
К* К* -» -» О
w M if) w ut
: +
«0 i* w 3* Ш
w»'
09 0^ *■ W О
5499
5137
4823
*S67
*37*
+
1
о о о о о
19003
17525
15*39
12867
0994*
+
ё g s s з
.о
iSsj;
Uili
+
2 2 311.
i
.3255
.2618
.2020
.1*57
.0925
1
KJ W W W •>■
И - U < 1л
о
о* о* о* о* о*
-о а nj on w»
О* О* О* 9> О*
S о> и *• w
к» к* w F ♦*
О 00 W» Sf -О
+
S 3 8 8 8,
0426
0548
0666
0782
0895
+
-» ы ^ -•" М
о w о* ем
*^
00. 0> ♦* К* О
КЛ 0* 0* Ы Ы
*д ш Ы -* Ц\
8 К £ g S
+ 1 1
К. К) ^
№ « в) Ч №
1
ооооо
1*10
1690
1877
1970
1976
+
00 0в чо чо чо
о
* ш Ы -» О
39994
0993
1990
2988
3985
+
1211!
i
.7279
1.6331
.5466
.4672
.3938
1
a is s г 8
о
Оч ^ ^ ^ (К
(• w м ^ о
5881
5975
6069
6163
6256
+
8 8 * 2 *
S28*8 S
и № № ч w
+
_Ь _» _Ь _Ь _»
К* К* W W W
W м О w №
ы
оо о* ♦* к* о
3 SRSg
*• so ле ** %j
1
s г а ь s
i + +
ооооо
1196
0553
0045
0580
1038
+
sasst
о
SS3 S?S
96680
998
.8328
,23
40
5787
0*999
05999
06998
07997
+
000
999
999
999
1
'■© Ъ N* V
ш ш w -»
OU ч| 4
_* U> -» -»
' 1
- Ki kl W
1л О Ч OB
U, Ко W 00
О
V VI Ifl Ш
00 -Ч О^ tn
И ЪЛ И tfi
0^ W» 1Л ♦*
w да w со
+
<С 4ft" ч» ч> ч>
f |« in i/i in
0362
139
00
8321
Й
о
1865
+
0953
0800
0650
0504
+
h к и> VI
Ь> № О W
N«
* «. М О
6054
6876
7525
8004
i '
г s й a
+
О О о О
4230
3751
3173
2533
1 .!■
К) » « ^
О
SSS28
III
J.3349
i.9296
с,6421
И И 1Л
♦* w ы
Ut 1Л ЪЛ
Ы М •>
-» •* м
W 00 ,W
+ 0.
000000
010000
;
1
S8
8
о
-» о
+ 0,
4931
5027
+
ss«s$
^ н *•
4?S
00 Оч **
2562
3892
5058
S J ta
о о о
4620
4717
4568
» r^
-0.
1778
1605
+
^ W
_»
ы о
+ 0,
9461
♦1080
|
Й ^
+
Р о
.3374
4205
)
?s
X
•£
i
0
i
v
i
0.
£
<£
S
0
■
H
в
о
ь
A В
I
из
I
I
» 40 о о

WWKJN*N*N* K»N*WK»M -»-»-»-»-» -»-»-»-»-» -*-*_*_._* _*-*_*_*-*
VI ** *•• W W _N* N» -» -» О О * « в в Ч J41 J*4 ,°Ч У У ♦* ♦* W W _K» ^W __-» ф-* О р
О 1л о 1л О Vt О 1л О 1л о 1л о 1л О 1л О 1л о 1л о 1л О 1л о 1л О 1л о 1л О
\Л ♦* Ш М ;■» О j*0 00 ;•** * yi ♦* W |J -» О
i^ v» v» vi 1л In v» 1л v» ^ 1л 1л 1л v» in v»
| + * + | + 1 + | + | + | + | +
оорроооооорооооо
Ь Ь р-,р о о о о *р р о о о *-* *-* *•
0-'UVlN0W4K)ffl404Ua)V
lAfrww-»0<e.N^W(**wM-
+ 1 + J + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +
ooooopooооооооо
S S S 'S 8 '2 S 8 8 '2 'g 3 S 5 S
- 0.019879
+ 0.018711
- 0.017673
+ 0.016744
-0.015907 w
+ 0.015151
- 0.Q14463
+ 0.013834
- 0.013258
«I-
ff
0
s
-
и.
s
x|.
a.
S
+ И И Ui И И № № № Ui V< И V< 1Л VI VI № V» ^ О* О О^ VI VI VI *» 4К VI trt VI О* вч +
w u in Ч « •> ^^^njKo^kjw№ yj -* w w -*■ О VI M vp i О w -4 s> & '
- sssbs? 28$aS8ssss 2 s s s s sssls s ч ss s a .-
+ + +IM MM++ + + + +.MMI i + + +++ + +i i
8й5£ I55is.B'8»t5 s:s3s SSasl -
Ov
!a '
s
p
a
(I)
■"8
«■■
E
■&
•<
я
я
s
а»
M.IMI+ + +++++III I I I +++ + +•+ I Mill
оооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо
"8 'S 8 Е 8 2 8 8 Е 2 2 S 8 8 2 8 8 | S 2 | *§§*§§ 2 Е 8 8 3 й
К ,о w ~ S S S- w 3 о ы S ui -• Si о v ■• о « а * о о» » -» ш s r a К
++++++ +
+ + ++++ I I Ml
I + + + + +
suns a s I s* a sales aass. estistt 5 s s » s
ViOViOinO «в Ю -Ч Йч V» Ь W S> -" О * » nJ О» Wi *. W NJ -» О vf> 00 Nj 0* UT
.- £
vi vi vi vi in vi
VI VI
Vi O*
VI Vi VI VI И VIVIVVIVI
Оч к» 4J 4J 0*
VI V< V VI VI И VI VI V< Vfl VI Vi VI VI VI VI.
в> a « ч vi is ui so >e a o« »< vi ч 4 %o -4 *•
Vi Ь -> vO Щ 0Э Ф Q *> :±J W VI Q Vf # Vi О i«
•> VI О) в) Ч -kwfivOO **( V» 3v -» ■* WWMOO
W 4U « VI.
I + + I I I
III—
I I + + +
infill
fill!
+ + + I
+ + + I
+ + + I
_ - - ,-> P P О О О О p О О О
8 о о о о о о о о р о о о о
■» W ■» -» w -» -» w к> •* w м о
sJ *J *J ■» № Q № W ы ^ О VI (D S
-» *© ** * mmwvoo « со s ^ a
W M •> в № № « Vi W Vi Ч м О Vi
8 2,f£fs 111 ii§8§ ilss s lis
- 1 V> VI VI VI VI VIVIVIVIVIVIVIVI VI VI «win VI VI И VI V» VI И VI VI VI VI 4.
5»'.-8888S ЗгёККйЗг SSBSS В В § 3 В ё 3 S 2 $.-
I I
+ I + I I + + I
OOOOO OOOOi
"8 "8 8 8 8 "8 8 8 28
-» 4j Ш -»
-B 2 S $
p&
>
Sa
X
я
Е
3
•в
о
о
ь
р
О)

VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
1. Интеграл ошибок
1.1. Интеграл ошибок Ф(г) определяется равенством
оо о
(определения функций у (a, z) и H^\z) см. соответственно в V, С и ХШ, А).
1.0
Oft
0,8
0,7
0,6
0,5
0.4
0,3
ол
0,1
0,7 0,8 Oft 1,0 11 12 1,3
п
h,
,;с
j
f
"г
i
1,0
0,9
0,8
0.7
0.6
0.5
0.0
Oft 0,1 OJ 0,3 0,4 Oft 0,6 0,7 0,8 Of 1,0 1,1 1,2 1,3
Рис. 30. Функции En (x); Et (x) = Ф (x).
Интеграл ошибок*) является целой функцией от z, причем
ф(— z) = — Ф(г).
Для действительных значений аргумента z — х интеграл ошибок принимает
действительные значения (рис. 30, таблица 18). В частности, имеем:
Ф@) = 0,
lira Ф(*)=1.
*) Эту функцию называют часто интегралом вероятности ошибок или интегралом
вероятности.—Прим. ред.

1. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК
71
[Часто встречаются также производные интеграла ошибок (рис. 51, таблица 19):
V п
&n+i№ = &in+14x)==2a<t>1(x)U—x)n—n'^T±{—x)n-* +
4-я
(я-1)(п--2)(я-3)
32
(—*)—-
)■]
Из представлений для у (a, z) получаем для Ф{г) степенные ряды
on
* -5П+1
Bn + 0-
Зя , ' Зя . „.
а в секторе 7"-4-B!^arg« <-7 е(е>0) имеет место асимптотическое
разложение для |г|^>1:
__^l 4>IZ)J«* ^ -ji ог' + сгг»)8 Bг»),+ - •■/■ ■
При этом для положительных действительных значений аргумента z = x ошибка,
1.0
0.5
0.0
-0.5
Ч'°0 0.5 1ft 1,5 2,0 2,5 3.0
Рис. 31. Производные интеграла ошибок.
получающаяся при обрывании ряда, по абсолютной величине меньше первого
отбрасываемого члена и имеет тот же знак (таблица 20).
Обобщением интеграла ошибок являются функции Еп (z)t определяемые
равенством (рис. 30)
'(s^)^w-i»(i.«-)-if'-^-'«-i'-*-
1
&>
1фп
1р*
32
Г
1
Ф-
\
У
^
^
'£_
1
Ф
V*
VI
L '
" L
\
р/М
»ч
т
&*"
TfiVy
?&V1

72 VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
(в частности,
E1(z)= 1-<Гг, Et(z) = <P(z)].
Для функций Еп (z) легко получить степенные ряды и асимптотику из
представлений для у (а, г). [А именно:
1 +Гу£п(г) = г~П(л+0 + 2!Bп + 0-!C/г + 0+---'
и при действительных положительных лт^>1
rA+i)l1-^-wi«
g-*» J п-1 (я—ПBп-1) (n-I)Bn-l)Cn-I) 11
^nF^l nxn {пхпУ (пхпУ У')'']
1.2. В статистике обычно принимают несколько иную нормировку
интеграла ошибок. Именно, полагают (таблица 22)
^--увК'^МтО]
В частности имеем:
Ф@) = |,
Нт Ф(л:)=1.
Производная от этой функции равна (таблица 22)
Кроме этих обозначений, употребляются еще следующие*):
в(х) = Н(х) = Ф(х),
Eti(x) = ^<P(x),
Erfc(*) = J^(I —Ф(х)), а(*) = 2Ф(ж) —1.
*) Часто рассматривается также функция (таблица 21)
X
{,=jVw=-/iJ*0(/x),
о
которая обозначается обычно через Erfi (x).— Прим', ред.

ТАБЛИЦЫ
73
Таблица 18." Интеграл ошибок Ф (х) = —у=. \ е~*' dt
У»J
о
X
0.00
01
02
03
04
0.0S
06
07
08
09
0.10
11
12
13
14
0.15
16
17
18
19
0.20
21
22
23
24
0.25
26
27
28
29
0.30
31
32
33
34
0.35
36
37
38
39
0.40
«1
42
«3
44
0.45
46
47
48
49
0,50
Ф(х)
0,
00000+1,28
0,128 те
02256 1128
03384 „„■
°1 U26
05637+1,25
06762 ,т
07886 „„
09008 то
10128 ,„„
112<6+„16
12362 ,т
13476 ,,,,
U587 1,08
15695 ,105
16800 +,101
17901 1098
18999 10и
20094 ,0,0
2118< ,086
22270+1082
23352 107в
24430 ,071
25502 ,068
26570 ,065
27633 +,057
28690 ,051
297« ,0F
30788 10@
31828 1035
32863+,018
33891 10„
34913 10M
35928 ,008
36936 10т
37938 + „5
38933 ,вв
39921 ,з0
40901 ,73
41874 „$
42839 + ,5в
43797 ,50
44747 ,41
45689 чи
46623 ,15
47548 + „з
48466 ,0,
49375 ?00
50275 з,2
51167 ^
S2050
0.
X
0.50
51
52
53
54
0.55
56
57
58
59
0.60
61
62
63
64
0.65
66
67
68
69
0.70
71
72
73
74
0.75
76
77
78
79
0.80
81
82
83
84
0.85
86
87
88
89
0.90
91
92
93
94
0.95
96
97
98
99
1.00
Ф(х)
0,
52050
52924
53790
54646
55494
56332
57162
57982
58792
59594
60386
61168
61941
62705
63459
64203
64938
65663
66378
67084
67780
68467
69143
69810
70468
71116
71754
72382
73001
73610
74210
74800
75381
75952
76514
77067
77610
78144
78669
79184
79691
80188
80677
81156
81627
82089
82542
82987
83423
83851
84270
0,
+ 87(
866
856
8(8
81В
+ 830
820
810
802
792
+ 782
773
764
75(
7((
+ 735
725
715
706
696
+ 687
676
667
6S8
6(8
+ 638
628
619
609
600
+ 590
581
571
562
S53
+ 5C
53(
525
5,5
S07
+ (97
(89
G9
G1
F2
+ (S3
4E
C6
B8
A9
X
1.00
01
02
03
04
1.05
06
07
08
09
1.Ю
11
12
13
14
1.15
16
17
18
19
1.20
21
22
23
24
1.25
26
27
28
29
1.30
31
32
33
34
1.35
36
37
38
39
1.40
41
42
43
44
1.45
46
47
48
49
1.50
Ф(х)
0,
84270
84681
85084
85478
85865
86244
86614
86977
87333
87680
88021
88353
88679
88997
89308
89612
89910
90200
90484
90761
91031
91296
91553
91805
92051
92290
92524
92751
92973
93190
93401
93606
93807
94002
94191
94376
94556
94731
94902
95067
95229
95385
95538
95686
95830
95970
96105
96237
96365
96490
96611
0,
+ 411
@3
3«(
387
379
+ 370
363
356
3G
3A
+ 332
326
318
3,1
304
+ 298
290
284
277
270
+ 265
257
152
2F
239
+ 23(
227
222
2,7
211
+ 205
201
,95
,89
185
+ 180
,75
,71
165
'162
+ 156
153
1(8
,44
140
+ 135
,32
128
125
,21
X
1.50
51
52
53
54
1.55
56
57
58
59
1.60
61
62
63
64
1.65
66
67
68
69
1.70
71
72
73
74
1.75
76
77
78
79
1.80
81
82
83
84
1.85
86
87
88
89
1.90
91
92
93
94
1.95
96
97
98
99
Ф(х)
0,9
6611
6728
6841
6952
7059
7162
7263
7360
7455
7546
7635
7721
7804
7884
7962
8038 +
8110
8181
8249
8315
8379
8441
8500
8558
8613
8667
87,9
3769
8817
8864
8909
8952
8994
9035
9074
^111
9147
9182
9216
9248
9279
9309
9338
9366
9392
9418
9443
9466
9489
9511
2.00 9532
0,9
х Ф (х) х
117
113
1,1
107
103
,01
97
95
91
89
86
83
80
78
76
72
71
68
66
64
62
S9
S8
55
5(
52
SO
(8
G
E
C
B
A
39
37
36
35
34
32
31
30
29
28
16
26
25
23
23
22
2,
2.00
01
02
03
04
2.05
06
07
09
09
2.10
11
12
13
14
2.15
16
17
18
19
2.20
21
22
23
24
2.25
26
27
28
29
2.30
31
32
33
34
2.35
36
37
38
39
2.40
41
42
43
44
2.45
46
47
48
49
2.S0
0,99
5322 + 203
5525
5719
5906
6086
6258
6423
6582
6734
6880
7021
7155
7284
7407
7525
7639
7747
7851
7951
8046
8137
8224
8308
8388
8464
8537
8607
8674
8738
8799
8857
8912
8966
9016
9065
9111
9155
9197
9237
9275
9311
9346
9379
9411
9441
9469
9497
9523
9547
9571
9593
0,99
19(
187
180
172
165
159
152
1F
1A
13(
129
,23
118
11(
108
104
100
95
91
87
84
80
76
73
70
67
6(
61
58
55
5(
50
(9
F
44
B
@
18
36
35
33
32
30
28
28
26
2(
2(
22
2.50
51
52
53
54
2.55
56
57
58
59
2.60
61
62
63
64
2.65
66
67
68
69
2.70
71
72
73
74
2.75
76
77
78
79
2.80
81
82
83
94
2.85
86
87
88
89
2.90
91
92
93
94
2.95
96
97
98
99
3.00
Ф(х)
0,9»
9593
9614
9635
9654
9672
9689
9706.
9722
9736
9751
21
21
19
18
17
17
16
К
,s
1»
97640 ,„
97767
97888
98003
98112
98215 +
98313
98406
98494
98578
98657
98732
98803
98870
98934
98994 +
99051
99105
99156
99204
99250
99293
99334
99373
99409
99443
99476'
99507
99536
99563
99589
99613
99636
996S8
99679
99698
99716
99733
99750
99765'
99779
0,99
121
11S
109
103
98
93
8В
84
7»
7S
7,
«7
64
60
S7
S4
5,
(8
46
C
41
W
36
34
а
31
2»
27
26
24
23
22
2t
19
,8
17
17
,5-
14

о ооооо
8 ¥fcVsfft
ооооо
* * * * *
* СО to— О
4p44i
со со "со со со
tooo ~лсл ел
ооооо
со со со со со
* СО tO— О
йойрр
IoVoVoVo'm
(О ОО ^1 СЛ СЛ
ооооо
to to to to to
* СО N3— О
_©jbo6_0
tooo ~j сл сл
ооооо
* со to — о
Гор о
i^fi СЭ ^^ ^S ^&
SOOOO ррррр
55 ~J -Л СЛ * СО tO — О
»4
+ +++++ +++++ +++++ ■+++++■+++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
Р, РРРРР РРРРР ООООО — — — — — *-— — — — — — — — — — — — — — ——— — — —— — — — — — — ——
о
и
К
я
н
го
ООООО ООООО РРРРР РРРРР РРРРР РРРРР РРРРР РРРРР РРРРР РРРРР
£
to *owo*
* to to to — ~j
йёййй
* * СО СО СО
Sp to to оо
со -~i — *
— COCO— Cft
оо— * a> to
p — — 00 *
со со со со со
— со ел -~J i_
00 to tO -~) *
со to to to to
§tO00 -~)СЛ
toco * сл
— N3 N3.P
N3 WO tO tO
СЛ A. CO tO —
СЛ СЛ СЛ СЛ Q>
-~) tOCn -~) 00
N3
cfi сл S5 сл en
Q0-^O5 Cn*COtO — P
->g><
00 CT> * О СЛ
**uto«
goo о t
с- •-■
^_ CO tO> , _
otooo~joi tncota—о
~J~JC5CnCO — COCiWO
I
3.
о
X
E
a
s
s
4
re
I
S3
о
E
X
и
о
ж
о
га
а
U
>
я
я
Е
го
я
X
3
©
ч
я
ж
и
X
X
ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ООО.ОО ООООО 'ООООО
to to to to to to to to со со со
"- ■ 00 tOO — to
* СЛ СП СЛ СП
со * сл ст> ~j
О— tO CO*
«■JC5 СЛ * N3
tO СП— СЛОД
со со со со со
со* сл a> ~J
-~i ~J ~J ~J СЛ
N3 CO CO— tO
#* * * tf* £
CO CO* СЛ СЛ
... __ —toooenco
4^ 00 О О 00 *, ф О О 00
CO CO ** *
00 tOO— N3
СЛ СЛ СП*. N3
*****
-~) ~J 00 tO tO
— 00 СЛ N3 00
СО СЛ СЛ to ~J
СЛ Сл СЛ СЛ СЛ
р — — to to
* О СЛ —" СЛ
to оо * оо оо
Сл Сл сл сл сп
COCO * * *
^- сл о со ^i
0>О — tO *
сл сл сп сл сл
Сл СП СП
I * to— о
Сл Сл Сл <
ЙСЛ СЛ СЛ СЛ С. ^.
О — N3 СО* *
= СЛ -~i СП о to
1 «It
> en a>
+ +++++
р РРРРР
+++++
ррррр.
+++++
РРРРР
+++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
РРРРР РРРРР РРРРР ООООО ООООО ООООО ООООО
сл спел спел сл
* * * * * со
to -о а> со— оо
to to— to to —
сл ел ел сл сп
СО СО N3 Ю >
■ оооо*
ел ел * * *
О О 'О 00 00
tococn to —
ел — coo со
~j а> ел * С-
со * ел сл ел
— а> ел — to
сл ел * too
о со to оо 55
сососососо cototototo toto — — — — — — — о op
5>сл*со — ©оо-Зсл* to— tooocn ел со — обо слел_._
оо а> со о а> tooo*to* tocoootoo o*~jo* ~jococno
оо to со — а> ~3 сл to сл сп со to со сл сл со о сл to со сл ~j So us о
о оо
со— о
!
*
■*
+
о
+++++
ооооо
+++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
ООООО ООООО1 ООООО .'ООООО ООООО ООООО ООООО
+4-+++
ооооо
ооооо
чо соа> to
сл со — — —
со со со со со
_ , о to ел ~j to
to ел бо -- * ~jtoto*a>
NJtococoto —ooco~joo
*q^2
оо p— toco
>)* ~j ~j *
СЛСЛСЛСЛО). OlOlOinOl
to*cnooo —coencnoo
cocoto — o ooentoto*
слелюю* * ос ~j о ~J
СЛ ~J ~J~J ~J
to— to * en
to* от — со
оо со о — сп
-^-j-j-j со oooooooooo со со со со оо
01409 100 — — tOCOCO CO****
слслспсл* totoen —сл юьэ*слсл
toto*ooen со * ~J — ~J СЛСЛСЛГ.ОСО
I
— — — — — — — — — — — —— — — —■■ —— — — — — OOOO OOOOO POOOO OOOOO OOOOO OOOOP
"— "— "— —"—"— "—"—"—"— "— "—"—"— — *— "о о po'o ototototo oo"to"oooo~j ~л^слсЛ(., enen*"** cocotototo — — о р Q
to со***сл ел ел ел * * cocoto— о oo~Jcn*to рооосо— oocncop~J wp~jcop mtstoen— ~Jcotocn— Й'й'РЙЯ
en tppentoto coco—go* go — to ю — оо * & — со totopento cnoooSo oocnto--)to Й»дйео Чё°Ь5~Р s^ifcSa
to oo*~Jaito *cooooocn ~j en to to сл ~j*oooocn oo~j*ooo to^Jto1^— * ~j — сл— оо~)фел* ~Jcnooooco aswus

_— 6 6 066 ррррр бвббб &PPPP PP^PP Gppop ppppp Opppp ppppp, ppppp
S "to "o"o "to *o "n r-o"n"n"n oo oo oo oo Ьо ЪоЬоЬо'оооо »-j~j~j~j~j %i»~j"-j~j asgsosas'ps enpsascsas ел слеп ел ел ел ел ел ел ел
to 00 ~J C> СП * CO to — О 'O 00 ~J eft СЛ *U10»O 'O 00 ~J OS Cn *. CO to — О tO 00 ~J OS 01 AUKI"-0 <B»~)UUl i^ CO SS — ©
+
p
+++++
о о о о о
+++++
OO ООО'
+++++
■ oo ооо
+++++
о ооо о
+++++
о о о о о
+++++
о оо оо.
+++++
о о оо о
+++++
ооо оо
+++-Н-
о о о о о
+++++
о о о о о
4* tUrib^^i^
— tOCO * * СП
ел со — о to -^
* * * * СП СЛСЛСЛСЛСЛ
en ~j oo too — to <о со *
eft СЛ * СО to «OfDM^
* to О О О О кэ СО СП 'О
ел ел ел ел ел
ел en ~j оо 'О
--J ел ел ui ел
to а> о ел о
СП СП СП СП OS
2— toco *
* из со to
СЛ— --JCOtO
О) eft о eft о
oic -
_ -~i ~j ~j ~j ~j ~j ~j ~j ~j ~J
_icn~jooto o—totoco *cncn~joo
toto—— — -ooe* tocooo~j«j
ostotocsco ocscotocn — ~Jcoooto
-j л со со со oooooooooo
too —toco ^uio:ss
СПСПел*00 COtO— O00
~jo*.cnco oooooo
©
*
ел
о о с о о
©U©©
о о о о о
Цооо
I I I I I
о о о о о
© © © о о ооооо ооооо
Uooo
UUi
* * * * *
— to to coco
о со ^j — *
to to too -J
oo — ел со —
* ia со en oo
*****
ел ел en eft en
oo ~j oi to ~J
. * * * *
_) ~J ~J ~J ~J
oo о to * eft
— coco too
ft:
* * * * *
~j ~joo oooo
^1 CD © — tO
ОЧ О to CO to
ос со со со со
to со со со со
tO * оо to (O
oooooo r^ -s 5* "S!S
нръ >J^ >£ь >£ь иР* иР* иР* >J^ иР* иР*
^СЭСЛСЛСЛ СЛ СЛ иР* иР». CO
СО СО tO"—"О СОООСЛирьМ О ■*■) *С* — 00 СЛ >—' ■*■) СО СО
--J tO О) ■%) -*J СЛ О СО иР* СО © СЛ 00 00 СП Ю СЛ ■%)■%) иР*
+
о
"to
en
+++++
ооооо
+++++
ооооо
+++++
ооооо
+++++
ооооо
+ ++++
ооооо
4--Н-+1
ооооо
ооооо ооооо ооооо ооооо
to— — — —
о о о оо оо
со оо to со to
-~i -~i eft eft ел
oo со ■s— ел
* * со ю to
to to en to —
Ce-JOOlO
— — о oo
— © CO CO 00
£ -~i CO — CO
cn о со * со
о ооо о
~jcft ел — *.
ел ..) -~) too
о en to— to
ооооо
со to— о о
— — to to ^
— оо*. оо to
ооооо ©©о© — — — — —— — — — to to
— юсо.«.сл cn^oouj— toco*cncs ~jootoo —
cs en 65 ~j ~j -~i oo oo со © ~-icua en en ~j oo eg
oo ~j oo © со -~) to oo ел со © to oo ~j ~J -~i -J ~j ~j ^
о
to
5
+++++
ooo oo
ooo oo
о о о oo
+++++
ооооо
+++++
ооооо
+++++
ооооо
+++++ +++++ +++++
ооооо ооооо ооооо
+++++
ооооо
tOtOtOtOtOtOtOtOCOCOCOCOCOCOCO СО СО СО * * * * * * * * * * * * * СП Л СП СП _ . . _
— toco*cn ~joo«30— to со* ел en чиооо — to со* ел cna>~Joooo too о— — totocococ. . __„_„_
oooooororo oo — — — tototototo — — ооо oo~jen*to со ~J * — оо о i — Ч to oo to ~J — ел оо — * oi ~J to
o*oocooo to ел — * ~J о — to to — oo*toto* со — en о — toentoto^ to 4=. to со о оо со * — ui * о — to to
ел слеп ел ел
zjiorzjr 'лел
ел f en'en *
oppo to
— en en — to
ООООО ©ОООО ООООО ООООО ООООО ООООО OOOOO OOOOO
ooooo
ел ел ел ел ел ел
- tow^gto
ел ел ел ел ел слепел**.
ьэ to — — — -oototo
оо ■
^ёй£?
coco со со со
оо ~joi * со
оо ©toSococo кз— 'О en* © о — en о * ~j to — to со со to — to 05*©еп|--
(О -si — 'О to — со—со го о enjs.^jeno'j to — ел со * о о со — со tooen*~j
cocotototo ioto— — — — — oop
— Qooenen со—to~Jcn со—to~J0i
g?o*~Jo со * en ~J ~j ~j~j~joien
CT>t005tO~J OOOtOtOOO tO~J— tOO
I I +++
OOOOO
OOOOO
со— — со ел
Si — о Ко Ь.
ел ao со ел to
± ++++I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I Mill Mil
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOOOOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
*T ©pooo © © — *и — to to to со cococo** *елслело5 №cncn~j~j ~j~joooooo oototototp oopp© po — —
о -Ч ел to о to *sowoi oo —*~jq соепфюел oo—*~j© tccftto—* ~jtoto*~j «o— *oioo о —сселет ootoo —
со to ms. to со to roen*.to© tooo~j~j^ cftcftoicftcft efteftcnen* союооосл кзеосооосо cSto—toto — ow со ce g * as en
3S
. ф Ф
■%) О -ft. ■—' ГД О 0O 0O 00 0)^ОСЛО
goo co<
toco ■
ig=£?i
. to-o>- со ce Rs * as en;
I -J 'О CTj — © S *. 00 t
to

[,50
+
о
189
1
о
1784
+
о
2081
—0,1338
1
■о
СЛ
+
о
4348
sfiVsffc
tooto
ШёЗ
LLLLL
11=11
ооооо
g£S£S
—0,1204
—0,1235
—0,1263
—0,1290
—0,1315
—0,1567
—0,1474
—0,1382
—0,1292
—0,1203
+ + + + +
о oooo
4* *Ь *Ь *Ь 4*
4* 4». Сл СП СП
to CD СЛ tOOO
N3 to 00 .— .—
"-tasVus.
oottt
3 о to ел со
LLLLL
6о?ЙЗЙ
tooot
iiiii
UUo
sssif
LLLLL
lllll
+++++
ooo oo
III!!
S838&
+++++
о о о о о
СП СП ^J ^J 00
сооо to ~j to
Mill
о о о о о
to to to to to
to со со 4». 4».
~J — СП — 05
tO CD СП *. tO
+++++
о oo oo
to to to to to
CO CO CO CO 4*
4>- СП --J CD —
— О 00 СЛ tO
—0,0794
—0,0844
—0,0892
—0,0938
—0,0982
IIIII
о о о о о
to to to to to
— tOCO 4^ СЛ
^ ^ 4^ ^ ^
05 05 СЛ СЛ Oi
+++++
о о о о о
CD CD CO О О
4>. ~J CO— tO
~J 4». ~J 4* СЛ
CO CO CO CO CO
5. со to —о
+++++
о о о о о
00 (Г! CD О О
~j to ~J to oo
CO 4». СП 00 tO
Mill
о о о о о
to to to to to
СЛ СЛ СП СП --J
« memo
О CD ОС ~J ~J
+++++
О О О С* О
to to to to (Ю
tO ^k. СЛ О) --J
IIIII
о о о о о
о о о о о
^} СЛ ОЭ СЛ СЛ
*. со co^J —
tO 00 tO*. *.
IIIII
oo oo о
to to to toco
qssoocoo
05 ^00 00 00
+++++
о о о о о
ел ел ел ел 4».
оооою
со со to — со
ОСМО"
8S3£K
+++++
о о о о о
to to to to to
— — to coco
CO CD 4» О СП
-~i to CD -~)СЛ
Mill
о о о о о
tO tO SO tO tO
-~i 00 0O со '.O
ел о ел о ел
СП СП СП СП --J
+++++
о о о о о
to to to to to
*». j^ ел ел ел
00 CO О О —
-~i o> со со со
IIIII
о о о о о
ооооо
4ь COCO tO —
en oo to ел oo
to oo to ел ел
—0,3539
—0,3442
—0,3345
—0,3247
—0,3148
+ + + + +
ооооо
1^ ^l^l^l^
CD CO 0O 00 ^J
О CO CO 4». CO
ел Ю GO О": СО
to to to to to
4*. CO tO— О
+ + + + +
ООООО
to to to to to
tO 00 4b — -~i
ел ел ~j о со
IIIII
ООООО
со со со со со
о о to
о ел о ел о
-~i ~J -~i 00 00
+++++
ооооо
to to to ю to
ui ел ел ел ел
СП 00 00 СП СО
+0,0192
+0,0113
+0,0036
—0,0039
—0,0113
—0,4001
—0,3911
—0,3820
—0,3728
—0-3534
+ ++++
ООООО
иРк ьРк. ьРк. ьРк. ьРк.
■%) О) СП ел 4^.
СОО> 00 О ■—■
N5 0*. СО СТэ СТэ
(ОСОЫ СЛ СЛ
+++++
ооооо
to to to to со
-5 OO 00 CO О
со о ~J со о
00 4>. О 00 ~J
IIIII
ооооо
со со со со со
ю со со -и ^
ел о сп о ел
00 00 00 00 00
+++++
ооооо
to to to to to
ел ел 4ь jx 4».
О О CD 00 ~J
00 tO 4* 4». CO
+0,0614
+0,0526
+0,0440
+0,0356
+ 0,0273
—0,4415
—0,4337
—0,4256
—0,4173
—0,4088
+ +++ +
ООООО
ф. 4ь *■ COCO
со to о со oo
— — со ~j ел
Q0 tO СО СО О
*. СОЬЭ — О
+++++
ООООО
COCO СО СО СО
о — to toco
*sj 4». — CD CO
СП ~J CO— СП
IIIII
о о о о о
со со со со со
ел ел о! сп ^j
о ел о ел о
~jcn сл со —
+ + ++ +
ооооо
to to to to to
4*. 4*. 4* 4^ CO
СП 4ь tO— 00
о ел oo о cd
+ 0,1073
+0,0979
+0,0885
+0,0793
+0,0703
—0,4764
—0,4701
—0,4634
—0,4564
--0,4491
+0,3094
+ 0,3260
+0,3419
+ 0,3570
+ 0,3714
ооооо
<5 oo -~icn en
+ + + + +■
О О О О О
со со со со со
rfa. СЛ СП OD ■%)
СО — СО СП иР*
СО СЛ ~ 00 ■%)
1 1 1 1 1
ООООО
со со со со со
■%) -J 00 00 tO
*кЮ4^ 00 W
СО СТЭ СО СО ий*
+++++
ооооо
tO tO tO tO N3
со со со to to
CD 4>. — 00 СП
-~i tO СП 00 -~i
+0,1564
+0,1464
+0,1364
+0,1266
+0,1169
—0,5028
—0,4983
—0,4934
—0,4881
—0,4824
+0,2152
+ 0,2355
+ 0,2550
+ 0,2739
+0,2920
ооооо
it со to— о
+ ++++
ООООО
СО СО СО 4^. ^
00 <0 СО О —
to о оо сп сл
СТ> Ф --J 00 >—"
1 II 1 1
ооооо
Со -t* -ь. 4^. hPk.
■%) Ю CD О СЛ
со со о> о-—«
+++++
ооооо
to to to to to
to — — — о
to со ел — ~j
ел — 4». сп сп
+0,2076
+0,1972
+0,1869
+0,1766
+0,1665
LLLLL
сл сл сл сл сл
О СЛ 00 СЛ О
+0,1038
+0,1273
+0,1503
+0,1726
+ 0,1942
X
■а
S
§
to
■е.
4*>
f
00
S
1
ю
О)
•о
о
Ja
О
ь
о\
ь
X
3
ч
и
п
•V
>
о
Е
X
и
о
о
ш
ш
W
>
3
3
с
3
X
S
*
ч
3
в
X
X

8 (О to to (О (О
poo ^j спел
P P P P P
*. CO tO>— О
00 00 00 00 00
p oo -~i o> en
00 00 00 00 00
*. CO tO« P
P 00 ~J Ci СЛ
<l -~1 -~> --J -J
*■ COtO" p
Ci CI СЭ р СЭ ОФОФ'ф СП СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ
РСв^СПСЛ ^W@>-0 Р СО ~J Ci СЛ *. СО IS3 « Р
+ +++++ +++++ +++Н-+ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
О OOOOO ppppp ppppp ppppp PPPPP OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO - OOOO
О OOOOO OOOOO OOOOO ppppp ppppp OOOOO OOQPP — "—"—" *
tOtOfOlptO rOtOtOtOCO СОСОСОСОСЙ $3 CO *• *, .*. * *» *■ СЛ СЛ СЛСЛСЛРСТ» CiCiCn^J^J
►- to CO >£ СЛ OSOOOO « to *■ СЛ OS 00 p « |\3 *, Си ~J P « to «СПСЬоЮ ifcSe«*
._. .._ . — i. .._._ оосльэроо ojoioms —. . . —
ел* со to to to to со* ел
tOCi" Ci N3
p « * ^J « Ci tO 00 СЛ N9
^^oooooo соррЗр ppi—« —
Ci P .— * ^J О СО СЛ Р tO СЛ 00 t-O СЛ О?
.._ СОС5Р*.Р
' О- P P "
OOOOO OOOOO 'OPPPP ppppp pp,OPO OOOOp PPPPP PPPOO PPPPP PPPPP
* * * 2 * 2 слслслслсл ел §> 8 3? §> s-jnss -ooooooooS 8 p p p <
>— tO * СЛ ~J p P tO * СЛ 00 Ю >- W & 00 O'tO f S (O tO * ~J P tO СЛ^РСОС
CO OOWWOl" ООСЛСО^О РРСОО" CO СЛ 00 to СЛ Otn^S* *- P ~J g> «
CO N3 СЛ Р КЭ
cs -~5 p "» Co
to to coco со
СЛ CO tO 5> P
31
» СЛ СЛ СП О ф *-} ^ --}
>p*oo каст>р*оо
?сэ*со to to to со*
!
+ ++ + + + +++ + + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ■+ + + + + + ++++
О OOOOO OOOOO PPPOO PPPPP PPPPO PPPPP PPPPP OOOOO PPPPP OOOOP
о Po'ppp pp'p'pp o"o">—">—^ «"«"_"_ V "«"«",— "«".— "►- „"^"„"^ >_."►_««_ "„"^„"^„- "„"„__"_- «.—isatow
^J ^J^J^JOOOO 00 00 CO P P PPPOO *- .— .— .— ЬЭ tO tO Ю СО СО CO * * * * .СЛСЛСЛС7505 OJ^J^J^J^ 00 00 00 P CO PPPPP
to * m oo p со wmoki* --j p to ел ^ p to ел oo ~ со оно to ел oo « * о р Б? ел oo •— *■ sstoaio to ел эо .— * -~i io to ел oo
^OOi-Ol'fl ^(в^ОО) tO P Ci CO >— P ~J СЛ * tO ►-PPPP
00 CO
000000 OOGOOO^J^ С5СЭСЛ*
ё 2j
I
>
X
с
OPPPP PPPPO PPPOO
UUo
OOOOP OOOOO OOOOO
I
PPOP PPPPP PPPPP
OPP«« ««•—tOtO
gn ~j p •— со •-
СЛ О5 00 С
005S1
t-O t-J t-O tO CO
tO P Ci CO ©
COCOCOCOCO CO * * * * * * * * * »^ * * * * * * * * * *****. -*COCOCoCO
to * ел ^j со p *- to со * слст505^оо oopppp p p to oo ^4 *-} о ел * to *- со ^j ел со
СЛ « 5> P * --J p IS3 CO CO CO « p Ci to >g « CO СЛ Ci СЛСОрспР to CO CO to 00 *>>Jloe»
3
•o
о
о
и
N
re
s
s
+ +++++
О OP PPO
+++++
О P PP О
+++++
OOOO©
+++++
ooooo
+++++
OOOOP
ooooo ooooo
OOOOO OOOOO'OOOOP
ppppp
S -J-Jgioi
РСЛ " * -~1
too ©<
p p <5 с
COtO — t
cp p oo ел *
H0 00<
!§
00 СЛ СЛ CO О
ОКОСОФ
ooooo
~J ~J ~J ~J Ci
00 gj COO ^1
СЛ О * СП СЛ
OOOOP
O) 0> СЛ СЛ ^
PPPPP PPPPC
A.*.COCON3 Ю« — О"
&>—Sito^i ■ —
N3 05" СЛ Р
P ~J (\ЭСЛ *.
PPPOO
О •— " N3CO
CO * СЛ Л '
is«oiwo
p PP •— >-
SOO^O'-'
00 Ol*. N3 —
P « *■ CO СЛ
?
+ +++++
О OOOPO
+++++
OP POO
+++++
PPPPO
+++++
P P О p P
+++++
PPPPO
+++++
OPPPP
+++++
ppppp
+++++
ppppp
+++++
ppppp
+++++
ppppp
О OOPPO
i— ►- ЬЭсОСОСО
p cn« -3 cop
to oo*. to to en
OPPpO
J^ СЛ СЛ OS ^J
P ел со сосл
POP ■—"-
oo oo p о «
P00 05 &■ tO
p ел со to со
to toco*. W
SP ~J СП 01
« ~i * со
~ «^-« to
0)SO)@0
*. cototo^
CO СЛ 00 tO^J
to to to to to
►- toco *■ ел
^PPPP QPPPP
coia^cnw E»o(oco
> со со со со
) P P 00 00
> СЛ [O P *
8!
-^ ~J О) СЛ *
p to со со to
p «i— toco
> toco to oo
й;
f
-)
CD
а

tO to tO tO to N3 tO tO to tOt>* tOtOtOtOtO WMMMM tOSStOtOt* tObStOtON» t* t>* to Ю to b»^*b»tOtsS b* to tO Ю М tO>*_tO_betO
5 V&Vabi-tbfeVfe 8*sss*»8 ses&Vg s'BVsfa "sslisg sVsfss;- sr'sbVs ■ s'sVg'a 28828
+ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
О OOOOO OOOOO OOOOO PPPPO PPPPO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO PPPPP
>o op
to to to t3 F3 C ко со со со со C5&SSS S ел ел ел ел
to со*.сл-3оо <в—ъэ&-5> ~<to — со ел som*s
8 88888 88888
pop о о ос
en en en о 5 --J ~j 66 66 66
РЮСлООм СЛ00ЮСЛСО
§oooo opppp 222°2 2222S
iOOO" «Mtooioo *■ *I 5i СП СП ~J 00 CO CO Q
со ~j to en м 05"CT)to~j сосослюео ou- <o~3
I
о
LLLLL
OOOOO OOOOO PPPPO PPPPO PPPPP OPPPP
f 1'
ooc
PPPPO PPPPO
T-3 ~J ~J U, W
м СЛ 00 ЮСЛ
«C.CO -~1 to
-^ О О PPPPO PPPPO PPPPP OPPPP OOPPP PPPPO PPPpp
S —м м м м _ м „ м м м м „ „ м м м S3 to to F5 to to to to to to to со о: со со со со со со 5.
ПО mi— to to CO 'tO**010l СП ~J 00 00 CO ОмюЮСО КСЛСЛЧОО (О ■— tO CO S ед^ООсЬм
So — ■— м ■—м ■— м ммммм „„—.-.i— tototototo tototototo
to z> о mi— to to со coi^ifeCTtcn cn^jooooco рмююсо Ktnoisioo
CO^JtOCn м СЛ р СЛ м otooob" vi^^lOO) StJi-lDOO CO^J~J^00
JO tO *. I
CO ЮСЛ COCO
+ +++++ +■++++
О OOOOO OOOOO
+++++ +++++
OOOOO OOOOO
+++++
OOOOO
+++++
OOOOO
+++++
OOOOO
+++++
OOOOO
OOOOO OOOOO
,0125
1
p
OOOOO
'м8Ёо$£
LLLLL
22222
SSSSSS
LLLLL
2ggg|
*. toooooi
LLLLL
III!
LLLLL
,0326
,0315
,0304
,0293
,0283
LLLLL
ppppp
со со со со со
со a. 55 ~j oo
-~1 CO tO *. -~1
'III
■ PPPPP
,0457
,0442
,0428
,0414
,0401
LLLLL
,0536
,0520
,0504
,0488
,0472
1И 1 1
OPPPP
Hill
UUi
OPPPP
05 СП CTJ -s] *^
* oi oo о (С.
a. coco coco
Mill
p pppp
Sooop poooo
to kj 53 53 со со ее со
05 -s] 00 CD P ■— tO if». СЛ СЛ
OOOO^J^JCO COCOOtO*.
орорр ppppo
CO CO *■ i& i& A. A. A. S .*■
S»Q>-t3 ifetncnOOCP
05000C005 OCj)M«ft
о oop p
ct en ел on £n
■-tobtn^
«cti-su
О О О О О
Сл en en en en
со р to сосл
со Si to oo en
8о ооо
СЛ ~J ~J --J
SIOOM*
со м со спел
оо с
СП ~0 СО
~J ~JC5C5 СЛ
рррмм
_ Ш(ОфОО
со ел ~j со м со'
ел it». .*. .*. со
+ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++■
О. "О О© О© OOOOO OOOOO PPPPO OOOOO OPPPO OOPPO OOPOO О.ОРРО РРРРО
n~j^i сооосоcoco■ 'cocoSSS S8SSS SSSSS SSSS8
-Jooco мюсоелеп ^оосорм KscoS^cn oiois^ce oooocooooo
._ ._.. ... Su^ceoi tocctocno to со >V со to
2к2елсл слсл°елел SSSoiS ooi°vi
~J00COm|O . CO СЛ Л -s] CO OtOCOA.cn --JCOOm
PPPPO
^}»4 - • -
CO м *. ^j о ■*>■ M1-+MM
gtOCOA.cn M©Oi-U А. СЛ _
О *• 00 tO Ci О A. CO tO СП'ОСОСПСО tO СЛ ~J P
to а. ел ел ел
I
о
LLLLL
LLLLL
©OOCО PPPPC
PPPPO OPPOO OPPPO OOPOO OPPPO
OPPPO
18S38?
о poo
-s] ^J СЛ CD _.
QP CO CO CO
55 — во»"
Э Qoooo pooop opoop poooo ooooo poooo
en cS en en o> en сВсосососл елслелелм **.cococo юююмм ороом
10 29?Г^??Й г^5й9? 8i*tcoS слюср»вз соелюорсо fflKowo
— cftptoeoc> мроI-* cjjcjic/itoc» Ej*.cj;i&.C спу?м§— - - »
о
И&. ~J м м to

со to to to to to юююьэю to to to to ьэ tototototo to w w S3 S3 tototototo sotosototo bototosoto t>a to tsa to to ьэ to ьэ ь* iss
ее to to со to
СО 00 -ч] О) СЛ
cototototo оооооооооо оо оо оо оо оо —^ —^ —^ —^ —^ ^^^^^ О4 ел ел ф oi ффффф слслслслсл слслслслсл
4^С0Й^-О СО 00 ■%) О) СЛ ►**■ СО Ю ^- О СО 00 -ч] Oi СЛ ►** СО tO -— О СО 00 ■%) 0> СЛ i^. CO t-i ■— О СО 00 ■*■) СП СП & СО tO -— О
+ +++++ +++++ +++++ +++++ '+++++ +++++ +++++ ++'+++ +++++ +++++
о ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо .ооооо ооооо ооооо ооооо
§оосоо
ссо с©
ооооо _ _ _ ^ ,
>— >—tOtOtOtO tOtOMtOC
588 iliii §8888 88§§§.
SO© •—•— tOtOCO *CnCnC5~J ОввС- N3
1?
о UlU ioUo UUo Uooo UUo UUoUiU UUo UUo UUo
18 88888 88888 88888 8888S
-. i— i— i— i— i— i— ____,— _,_,_. to tO tO tO M tO t
'— ©»-»-tOb3 С0*СЛСЛО5 --iOOtO©'— tOCO*Cn-
88888 88888 88888
JO P5 63 CO CO CO C*5 "
t* tO •— tO " ~ ■
05 --J tO *- CO ■ Ol-^OWJ
!
+ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
о ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо
=ggg§ 88S88
о ооооо
О ООООО
■—. I— — ■— ■—Ю М tO К. tO ЬЭ
ЬЭ ЬЭСО^СПСЛ Ci~J00tO© •—tOCO^Ci
1888 '88888 SI
О teco coco
~J 00 О — CO
CJCOCOUJJk 4ь i. _ _
*.CV00(Oi— SCnOOOM
>og ggooo 22222
. ,^«jB 0ооо®й© © — •—toto
JbSCnOOtO OitOCO~JtO Ol ■— СП О СЛ.
■9
о;
Sa
X
р-
Е
о UlU UUo UUi ЦШ Uooo Uooo UUo UUo UUo iUii
О COCO© OOOOQ QCOOO
8 0OOOO OOCOO OC—OO
00 CO CO CO Ф* ^^4^^СЛ СП СП 01 3} СП
"- CoOnCiOO© t0*.CV00O COCnOOQCO
88888'
55 O) ~J ~J ~5
o> to to en to
M Ci© *00
ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо
.— •—.— •—.— ______ fc_____ .—•—t3tOt3 t-O t-O t-O t-O t-O
' - N3 CO CO A. ■ — " . — —
en ■— o>>—
gO — ■— N3
05 ■— 050
SCn 05 ^J --J
too to to
00 tOC
O5C0C
O ■— N3C0 А. СП СП
00 Ci *M i— O tO'
+ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++ +++++
о ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо
о ооооо
О р >- О О О
-~i So оо оо© to
'2222 ооооо ооооо ооооо рооо<
j о о — *; ьэ to со со >.
■tOCO~JtOO> "-05>—СЛЬЭ
>£> СП СП 05 --J'
-~iC0 tO Ci to
~J 00 © tO © . — to CO CO »
00CntOtO~J *(OOW-
ооооо
-->--, COCOCOCOCO
СП*. CO to tO *-•—•— tOtO
1$
goooop
COCO CO CO
ОТ ~J OOtB
CO & СП ~J 00
■— tOCO А. СП
p Ю А. О! tO
I
I
a
•a
о
о
Sa
о
в
о UlU UUo UUo UUo UUo-UUo UUo UUo UUo UUo
s £9222 ggSgt
ggiss
a> ~j ~j oo © to о ■— Nb to со *-cna>05~J o.oc'-ks co*cftc;j~J
Ol U/tO СП U; <£> OiCOi—O0CT1 *. to i—to 00 ->) СЛ СП *■ *■ COCOCOCOCO
о ooo<
to tv со c^ <
OO CO <
ooopp
So top ■— to
W«i6 *.cn
CO 4^ СП и; ^1
от в» ~J оо to
«©■—toco
tO©"- N»NS
СП 05 05 C» 05
tOO ■— N3C<
CO W SS ■— ©
s
Ov
•^
«

»0
VU. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
Таблица 20. Функции е^Ц— Ф(х)\ и е~
х | е*2[1-
3.00
02
04
06
08
3.10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
3.30
32
34
36
38
3,40
«2
44
46
48
3,50
0,1
79001
77920
768S1
7S79S
747S1
73718
72698
71689
70691
69704
68728
67763
66809
65865
64931
64007
63094
62190
61295
60411
S9S3S
58669
57812
56964
56124
55294
0,1
-Ф(х)]
— Sto.s
S34.S
S28
S22
S16.S
— 510
S04.S
499
493.5
«88
— «82 S
«77
«72
«67
«62
— «S6.S
4S2
447 S
442
438
— 433
«2B.S
«24
«20
41S
'
3.50
52
54
56
58
3,60
62
64
66
68
3.70
72
74
76
78
3.80
82
84
86
88
3.90
92
94
96
98
4.00
е*2[1
0,1
55294
54471
53658
52852
52054
51265
50484
49710
48944
48186
«7435
«6691
«5955
«5226
44504
43789
43081
«2379
«1684
40996
40314
39639
38970
38307
37650
36999
0,1
-Ф(х)]
-411.S
«06.5
«03
399
394.S
— 390.S
387
383
37»
37S.S
— ЗП
368
364,S
. 361
3S7.S
— 3S4-
3S1
3«7.S
3*4
341
— 337 .S
334.S
331.S
328, S
32S.5
X
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4,20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
e*2A
0,13
6999
6355
5716
5083
4456
3834
3218
2608
2003
1403
0808
0219
♦9635
9056
8483
7914
7350
6791
6236
5687
5142
4601
4065
3534
3007
2485
0,12
-Ф(х)]
— за
319.S
316.S
313.S
31 f
— 308
30S
302 S
300
297 S
— 2»«.S
292
289 S
286.5
284.S
— 282
279.S
277JS
274 .S
272 S
— 270.S
26»
26S.S
263,5
261
X
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
8*
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
e*2[l—Ф(х)]
0.12
2485
1967
1453
0943
0438
♦9936
9439
8946
8456
7971
7490
7012
6538
6068
5602
5139
4681
4224
3773
3324
2879
2437
1999
1564
1133
0705
0,11
— 2S9
2S7
25S
252 .S
251
— 248. i
246.S
24S
242 S
240.5
— 23»
237
23S
233
2I S
— 22»
228.S
22SS
224. S
222.S
— 221 •
21»
217.S
21S.S
214
X
3.0
1
2
3
4
3.5
6
7
8
9
4.0
1
2
3
4
4.5
6
7
8
9
5.0
Г*
0.
1234 098 (-
0670
0357
1864
0954
0478
2352
1133
0535
2479
1125
0500
2182
548 (-
128 (-
374 (-
016 (-
512 (-
575 (-
727 (-
535 (-
596 (-
352 (-
622 (-
958 (-
0933 029 (-
0390 894 (-
1605
0646
25«9
0985
0373
1388
0,
228 (-
1«3 (-
382 (-
951 (-
757 (-
794 <-
-3)
-3)
-3)
-4)
-4)
-4)
-5)
-5)
-5)
-6)
-6)
-6)
-7)
-7)
-7)
-8)
-8)
-9)
-9)
-9)
-10)
T а бл и ца 21. Функция у= С el* dt
v
».1
0.00
02
04
06
08
О.Ю
12
14
16
18
0.20
22
24
26
28
V.30
32
34
36
38
0.40
0.
0000
0200
0400
0601
0802
1003
1206
1409
1614
1820
2027
2236
2447
2660
2875
3092
3313
3536
3762
3991
4224
0.
у 
+ 100
100
100.S
100.5
100.S
+ 101.5
101,5
102.S
103
103.S
+ I04.S
Ю5.5
106.S
107. 5
108.5
t '10.5
111.5
11J
114.5
■ 16.S
Х-
'"
0.40
42
44
46
48
0.50
52
54
56
S8
0,60
62
64
66
68
0,70
72
74
76
78
0.80
0.
4224
4461
4701
4946
5196
5450
5709
5974
6245
6522
6805
7095
7393
7698
8011
8333
8664
9005
9356
9718
♦0091
1,
У
-
+ 118.S
120
122 5
125
127
■* 129.S
132.S
US.S
138.S
141.5
+ *М
149
1S2.5
1S6.S
141
+ 14S.S
170.S
17S.S
181
186.5
X
0.80
82
84
86
88
0.90
92
94
96
98
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
1.
0091
0477
0875
1287
1713
215
261
309
358
409
463
518
576
636
699
765
833
90S
980
•059
141
2.
У
+ 1»3
199
206
213
221
+ 23
24
24.5
2S.S
27
+ 27.5
2»
30
31 .S
33
+ 34
36
37.S
3».S
41
X
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
56
58
1.60
2.141
2.228
2.318
2.414
2.514
2.620
2.731
2.848
2.972
3.103
3.241
3.387
3.542
3.705
3.879
4.063
4.259
4.467
4.688
4.923
S.174
у !
+ 43.S .
4S
48
SO
S3
+ 5S.S
SB. S
62
6S.S
69
+ 73
77.S
81 .S
87
92
+ 98
104
110.S
117.S
125.S
X
1.60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1.80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
У
5.17
5.44
5.73
6.03
6.36
6.70
7.08
7.47
7.90
8.36
8.85
9.38
9.95
10.57
11.23
11.94
12.71
13.54
14.43
15.40
16.4S
+ •».»
14.S
1S
16.S
17
+ 19
19.S
21.5
23
24.S
+ 26.5
28.S
31
31
3S.S
+ 38. S
41 .S
44.S
48.S
S2.S

ТАБЛИЦЫ
81
Таблица 22. Интеграл ошибок
ф(х)=тш< I
dt и его производная <р (х)
'
Q.00
02
04
06
08
0.10
12
14
16
18
0.20
.22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
«2
44
46
48
0,50
52
54
56
S8
0.60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0.80
«1
84
86
88
0.90
42
94
96
98
1.00
Ф
0,
50000
S0798
51595
S2392
S3188
53983
S4776
SSS67
S63S6
57142
57926
58706
59483
60257
61026
•61791
62552
63307
64058
64803
65542
66276
67003
6772*
68439
69146
69847
70540
71226
71904
72575
73237
73891
74537
75175
75804
76424
7703S
77637
78230
78814
79389
79955
80511
81057
8TS94
82121
82639
83147
83646
84134
е.
М
.
+ 3»»
-398. S
398, S
39В
397, S
+ 396. S
39S.S
394. S
393
392
+ 390
388, S
387
384,5
382.S
4- 380.5
377.S
37S.S
372,5
369.5
+ 367
363.S
360.5
357, S
353,5
+ 350,5
346,5
343
339
335.5
+-331
327
323
319
314.5
4- 310
305,5
301
296.5
292
+ 287,5
283
278
273
268,5
+ 263,5
259
254
249,5
144
<рМ
0.
39894 _ 4
39886 12
39862 м
39822 „s
39767 м
39695 _<JS
39608 S1 s
39505 „'
39387 4Т
««з 7<5
39Ю4 _ 82
38940 „
38762 „
38568 10JS
38361 ,„
38139 _118
37903 „<
37654 1J1S
37391 138
37115 w
368i7-1S0.S
36526 156.5
36213 U2
3S889 1М
35553 17J
ЗЯ07_,7,
348*9 18J5
34482 Ш5
3*'0S , s
33718 „g
333ii_202
П»1» 206
32506 M
32086 2,3S
31659 2U
31»S_220
3078S 22J
30339 22t
29887 228
29431 23,
28969 _2WS
28SW 2J5
28034 JJ4
27562 2J8
27086 2J85
26609 _240
26129 M
"<*7 241.5
i5«4 .241.5
24681 ul
24197
0.
«
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1,50
52
54
56
58
1,60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1,80
82
84
86
88
1,90
92
94
96
98
2.00
ФМ
0,
84134
84614
85083
85543
85993
86433
86864
87286
87698
88100
88493
88877
89251
89617
89973
90320
90658
90988
91309
91621
91924
92220
92507
92785
93C56
93319
93574
93822
94062
94295
94520
94738
94950
95154
95352
95543
95728
95907
96080
96246
96407
96562
96712
96856
96995
97128
97257
97381
97500
97615
97725
o,
+ 240
234,5
230
225
220
+ 21S.S
211
206
201
196.5
+ 192
1S7
183
178
173.5
+ 169
165
160,5
156
151,5
4- 148
143.5
139
135.5
131.5
+ 127.5
124
120
116,5
112.5
+ 109
106
102
99
95.5
+ 92,5
89,5
86,5
S3
80.5
+ 77.5
75
72
«9,5
66,5
+ 64,5
62
59,5
57,5
55
. '
t
0.
24197
23713
23230
22747
22265
21785
21307
20831
20357
19886
19419
18954
18494
18037
17585
17137
16694
16256
15822
15395
14973
14556
14146
13742
13344
12952
12566
12188
11816
11450
11092
10741
10396
10059
08728
09405
09089
08780
08478
08183
07895
07614
07341
07074
06814
06562
06316
06077
058a
05618
05399
0. ,
00 .
— 242
241,5
241,5
241
240
— 239
238
2Э7
215,5'
233,5
— 232.5
230
228,5
226
. 224
— 221,5
219
217
213.5
211
— 208,5
205
202
199
196
— 193
189
186
183
179
— 175.5
172.5
168,5
165,5
161,5
— 158
154.5
151
147.5
144
— 160,5
136,5
133,$
130
126
— 123
119,5
116,5
113
109.5
.j>V,M
'
2.00
02
04
06
08
2.10
12
14
16
18
2.20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2,40
42
44
46
48
2.50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2,70
72
74
76
78
2.80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3.00
Ф(ж)
0.9
7725
7831
7932
8030
8124
8214
8300
8382
8461
8537
8610
8679
8745
8809
8870
8928
8983
9036
9086
9134
9180
9224
9266
9305
9343
93790
94132
94457
94766
95060
95339
95604
9S8SS
96093
96319
96533
96736
96928
97110
97282
97445
97599
97744
97882
98012
98134
98250
98359
98462
98559
98650
0.9
+ S3
50,5
49
47
45
+ 43
41
39,5
38
36.5
+ 34.5
jj
32
30.5
29
+ 27,5
26.5
25
2*
23
+ »
21
19.5
19
18
+ 171!
162,5!
154.5
147
139.5
+ 132.5
125,5
119
113
107
+ Ю1.5
96
91
86
81.5
+ 77
72,5
69
65
61
+ 58
54,5
51.5
48,5
45,5
-r
¥
0,0
5399
5186
4980
4780
4586
4398
4217
4041
3871
3706
3547
3394
3246
3103
2965
2833
2705
2582
2463
2349
2239
2134
2033
1936
1842
1753
1667
.1585
1506
1431
1358
1289
1223
1160
1100
1042
0987
0935
0885
0837
0792
0748
0707
0668
0631
0595
0562
0530
0499
0470
0443
0,0
W
— 106,5
103
100
97
94
— 90,5
88
85
82,5
79,5
— 76.S
74
71,5
69
' 6*
— 64
61,5
59.5
S7
55
— 52,5
50,5
48.5
«7
44,5
— 41
41
3».S
37,5
36,5
— 34,5
])
31.5
30
29
— 2T.5
26
IS
24
22,5
— 22
20,5
19,5
18.5
18
— 16,5
16
15^
14,5
13,5

82 VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ.
2. Интегралы Френеля
Под интегралами Френеля подразумевают функции
о. о
S (г) = -tLs Г ^У dt = l/ 1- Г sin rttt.
Они связаны с интегралом ошибок равенствами
C(*) + «(*) = ^e *Ф(*'*1/7),
_ . л . л
С(*) —£S(*)=-p= e"' 4" Ф(е' 4 W).
Далее очевидно "~
Z Z
с(т**)"= Iе08 ?'"*•' -s"(-f- **)=i" *•" ? **d*-
о о
(Часто в литературе именно эти последние интегралы называются интегралами
Френеля и обозначаются через C(z), S(z).)
-Q
0?11 -
Х-Х -
offL, A j3
4ui
astXtl
tXt-
ntXti-
*titt-
\Jr
qj ■ L
111
'
0
,ч
s
\p -». *
LLZni
1ГППТ7
A\tXt-
^l£Xb_
С b
.S—s
\\'/\\
%4-V
С '
-^:v£--/=
3^t5
£^Д7
s s
6/2f
A2/5
Is*7 с
О Ю 20 30 W
Рис. 32. Интегралы Френеля С (х) и S (х).
SO
Обе функции, C(z) и S(z),— двулистные аналитические функншг от z;; точка
г = 0 является точкой ветвления. Вдоль действительной оси они принимают
действительные значения, причем
C@) = S@) = 0, lim-C{x)= lim 5(дг) = -1
(рис. 32, таблицы 23, 24).

2. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ ,83
Разложения в степенные ряды вблизи нуля имеют вид
c(*)=.i/'f*Z
' я fe=o
(^.1)*;**-
Dft + ])-Bft)!
■■JU
DA + 3) B^ + 1I
Рис. 33. Спираль Корню (клотоида).
Асимптотическое поведение этих функций для j z | ^> Гв области | arg z I
;я—е(в>0) описывается формулами . .,
п~\~. ' ) sinz fl ь3 j ьз-5
■ Ч^!+^я1 ' B*)8+l2i>
1-3 , ЬЗ-5-7
\ cosz / 1
1-3-5
S(z)^-
cos z
|^2лг
(
Bz)?
Bz)
1^2^ \2г 7B2)' + ■•'}•
LZ_ V sinz / 1 1-3-5 \
и, следовательно, а качестве первого приближения можно браты
i 1 , sin г _ , , : 1 cos г
C(z)^-
*%L, sm*1
VI
яг.
Vl*
В прямоугольной системе координат (С, S) кривая
(и—действительный параметр) представляет собой так называемую спираль Корню
(клотоиду, рис. 33). Длина дуги от точки @, 0) до точки, соответствующей

84 VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
Таблица 23. Интегралы Френеля С(х) и S (х)
ж
0.00
02
0*
06
08
0.10
12
14
16
18
0J0
п
и
и
28
).30
32
34
26
38
о.«о
62
и
46
48
0.50
52
54
S6
S8
0.60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0.80
82
84
86
88
0,90
«2
94
96
98
140
. С(х)
0.
0000
1128
1S96
1954
225S
2521 +..»*•
2760 110»
2,80 101 S!
3183 «J
«74 щ
3554 + „
3724 „
3886 „л
4041 „
418» „
* + 6..S
4468 ej
4S9» UJ
4726 t1
4848 я
4966 ^ „
5080 «л
5191 НЛ
5298 я
S402 я
S502 + „
s«oo „$
5695 «j
*78* «4Л
5875 «.,
5962 + t1j
6045 41
6127 „
6205 WJ
6282 э7
«5* + U
•О" ил
6497 „
6565 MJ
"*> З.Л
М93 + ЗОЛ
£* **
6813 ,„
«870 ж
«* 2*Л
™ + »■*
122 *
^ «■*
7127 а
7173 а
7217
в.
S(x)
0.
оооо 4
0008 „
0021 ,
0039 10J
0060 „
0084 +„
0110 1М
0139 ,„
О170 «J
0203 „
0237 w
0273 „
0311 ж
03S1 „„
0392 „
0434 + а
0478 aJ
0523 „
0S69 ^
0617 „
665 ■ 25
0715
0766 jsj
0817 м$
0870 „
0924 +ю
0978 „
1034 „
1090 »Л
1147 9
120S +И
1263 ж^
1322 *
,ЗИ ЗОЛ
"" ЮЛ
"°* + *
«* И
1628 „л
1691 MJ
1754 м
1818 +м
,$ю дал
'•» ал
»* ^
2077 «
2143 +И
2209 „
2275
»в ,„
2409 ззл
2476
X
1.0
2
4
6
8
2.0
" 2
4
6
8
3.0
2
4
6
8
4.0
2
4
6
8
S.0
2
4
6
8
6.0
2
4
6
8
7.0
2
4
6
8
8.0
2
4
6
8
9.0
2
6
6
8
10,0
С(х)
0,
7217
7563
7751
7798
7719
7533
7256
6906
6503
6064
5610
5158
472S
4326
3975
3682
3456
-3302
3222
3218
3285
3418
3610
3850
4129
4433
4750
5067
5372
5654
5901
6106
6261
6362
6406
6393
6325
6206
6041
5839
6608
5358
5099
4841
459S
4370
9,
— «74
157
141
125
101
— 91
п
и
и
— 16
+ г
19
35
4*
59
+ 67
»3
п
п
п
+ а
»
49
38
24
+ 13
0
— п
24
34
— «
50
55
57
57
— »
51
44
31
2»
— 19
— ♦
+ 2
12
21
+ 30
S(x)
0.
2476 + 1»
31S3 — 4
3826 25
4475 43
5081 Я
5628 -73
6103 «3
6495 91
6797 «
7005 96
7117 -94
7136 89
7067 81
6918 70
6698 58
6421 -45
6099 30
5747 ->5
5380 0
5013 + «
4659 +27
6333 39
4045 49
3805 54
3621 «2
3499 +64
3440 65
3445 £2
3512 58
3637 51
3812 +43
4030 33
4281 22
4553 +))
4837 - 1
5120 -12
5392 22
5641 32
5859 Я
6038 44
6172 -50
62S6 52
6289 52
6270 59
6200 «7
6084 -41
0,
я
10.0
2
4
6
8
11.0
2
4
*
8
12.0
2
4
6
в
13.0
2
4
6
8
14,0
2
4
6
8
15.0
2
4
6
8
16.0
2
6
6
8
«.О
2
4
6
8
18.0
2
' 4
6
8
19,0
2'
4
6
8
20,0
С(х)
0.
4370
4174
4015
3898
3827
3804
3829
3900
4013
4164
4346
«550
4769
4994
5216
542S
S615
5777
S906
5997
6047
6055
6021
5947
5836
5693
5525
5338
5140
4939
4743
4560
4396
4258
4152
4080
4046
4050
4091
4169
4278
4415
4S74
4748
4930
5113
5290
5453
5597
5715
5804
0,
+ 30
37
42
44
48
+ 48
44
*}
38
И
+ 23
«5
+ 6
— 3
•2
— 20
27
34
38
41
— 43
42
40
37
32
— 2*
19
•1
— 3
+ 5
+ «3
20
26
31
35
+ 38
39
38
36
32
+ 28
22
15
8
+ 1
— 6
13
20
25
30
— 33
S(x)
0.
6084 —41
5928 3<
5737 24
5521 О
5288 - 7
5048 + 7
4810 12
4584 21
4378 2*
4201 35
4058 +40
3955 44
3895 45
3880 45
3910 43
3983 +40
4095 35
4241 28
441S 21
4610 13
4818 + 4
5030 - 4
5238 17
5433 20
5609 27
5758 -32
5875 37
5956 39
5998 40
5999 40
5961 -3»
5885 34
5775 X
5636 24
5473 п
5293 -10
5103 - 2
4912 + 6
4726 13
4553 20
4400 +24
4272 31
4175 3*
4112 34
4084 3»
4093 +3f
4139 34
4217 31
4327 24
4462 20
4616 +>4

2. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
85
Продолжение табл. 23
* 1
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
22.5
23.0
23.5
24.0
24.5
25.0
25.5
26.0
26.S
27.0
27.S
28.0
28.5
29.0
29.5 •
30.0
CW_j
0.
S8M
5878
5738
5423
S012
4607
4307
4181
4256
4511
4879
5269
5586
5755
5738
5S41
5217
4846
4518
4314
4279
0.
SW |
0.
4616
5049
5459
5748
5849
5742
5458
5068
4670
4361
4212
4258
4483
4829
5211
5534
5721
5731
5562
5260
4900
0.
X
30.0
30.5
31.0
31.5
32.0
32.5
33.0
33.5
34.0
34.5
35.0
35.5
36.0
36.S
37.0
37.5
38.0
38.5
39.0
39.5
40.0
'
см |
•.
4279
4420
4700
5048
5379
5613
5694
5605
5370
5049
4720
4464
4342
4382
4571
4863
5184
5456
5613
5620
5475
0.
5(x)
0.
4900
4570
4350
4291
4406
4663
4999
5329
5575
5677
5613
5401
5094
- 4769
4504
4363
4380
4S47
4822
SI 37
5415
0.
X
40.0
40.5
41.0
41.5
42.0
42.5
43.0
43.5
44.0
44,5
45.0
45.5
46.0
46.5
47,0
47.5
48.0
48.5
49.0
49.5
50.0
С (ж)
0.
5475
5217
4909
4627
4439
4390
4490
4713
5004
5290
5502
5590
5533
5347
5078
4793
4562
4439
44SS
4603
4847
0.
S(x)
0.
5415
5588
5616
5494
5253
4953
4668
4468
4399
4477
4682
4962
5248
5471
5577
5540
5373
5117
4834
459S
4457
0.
Таблцца 24. Интегралы Френеля c(^-**J ■ *(■?• '**
X
0.00
OS
10
15
20
0.25
30
35
40
45
0.50
SS
60
65
70
0.7S
80
85
90
95
1,00
OS
10
15
20
1.2S
H
0.
0000
0500
1000
1500
1999
2498
2994
3487
3975
4455
4923
5377
5811
6219
6597
6935
7228
7469
7648
7760
7799
7759
7638
7436
7154
6801
0.
и
+ 100
too
too
9».в
99.8
+ 99.2
98.6
97.»
96
931.6
— 15
20
25
31
за
— **•
S3.
«f
68
74
— 79
82
82
79
73
— 63
S(f-)
0,
0000 о
0001 + i
0005 8
0018 12
0042 16
0082 + 20
0141 23
0224 27
0334 30
0474 3*
0647 + 36
0857 38
1105 40
1393 60
1721 60
2089 +3S
2493 36
2932 28
3398 2f
3885 + 12
4383 0
4880 -13
5365 28
5821 44
6234 to
6587 -76
0.
X
1.25
30
35
40
45
1.50
55
60
65
70
1.75
80
85
90
95
2.00
OS
10
15
20
2.2S
30
35
40
45
2.50
C(H
0.
6801 - 63
6386 48
5923 30
5431 - 7
4933 + 18
4453 + 45
4018 72
3655 97
3388 lis
3238 П2
3219 + 138
3336 133
3584 116
3945 87
4391 + 48
4883 0
5374 - 51
5816 too
6159 141
6363 169
6401 —178
6266 164
5970 128
5550 - 71
5061 0
4574 + 76
0,
s(t")
0,
6587
6863
7050
7135
7111
6975
6731
6389
5968
5492
4994
4509
4077
3733
3511
3434
3513
3743
4103
4557
5053
5532
5931
6197
6289
6192
0.
— 7»
91
102
110
113
— 110
99
81
55
— 23
+ 13
52
90
123
147
+ 159
155
136
96
+ 44
— 17
80
137
178
195
— 184
X
2.50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2.70
72
74
76
78
2.80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3.00
1
c(t
0.
4574
4396
4235
4094
3978
3889
3831
3805
3812
3853
3925
4028
4158
4313
4487
4675
4872
5072
5268
5454
5624
5772
5893
5983
6038
6057
0.
-)
+ 12
17
21
25
28
+ 30
32
33
33
32
+ 31
28
24
20
«
+ 9
+ 3
— 4
to
16
— 22
27
31
3i
37
— за
s(t")
0.
6192 —»
6101 zr
5983 24
5842 »
5679 IT
5500 —12
5309 Г
5111 —.2
4911 +-4
4715 to
4529 +15
4358 20
4207 25
4080 29
3982 22
3915 +24
3883 25
3886 M
3924 Э5
3996 23
4101 +2»
4235 1
4394 20
4572 И
4764 + 7
4963 0
0,

86 VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
Продолжение табл. 24
■~и
3.00
02
04
06
■ 08
3.10
12
14
-' 16
. 18
3.20
22
24
26
28
3.30
32
34
* 36
38
. 3.40
42
44
46
48
' 3.S0
S2
S4
56
58
' 3.60
, «
64
' 66
68
3.70
72
74
~ 76
78
3.80
82
84
86
88
3.90
92
94
96
98
4.00
С(М
е.
6057 -J8
6038 37
5982 36
5891 32
5767 гв
5616 -23
S442 К
5253 9
5054 - 1
4855 + 7
4663 + ч
4486 22
4331 29
4204 34
4111 38
4057 + 41
4043 42
4071 41
4139 за
4246 34
4385 + 27
4551 20
4738 И
4935 + г
5134 - 8
S326 -17
S501 2ir
5650 »
5767 39
5845 «3
5880 -43
5869 «S
5815 42
5718 38
5584 3)
5419 —22
5233 12
5036 - i
4837 + Ю
4649 2f
4481 + 31
4343 39
4244 «5
4189 «8
4182 49
4223 + 47
4311 42
4439 34
4601 24
6786 13
4984 0
0.
5(т**)
0,
4963 0
5162 — 7
5354 14
5531 21
5688 27
5818 -32
5917 36
5979 39
6003 40
5988 39
S933 - 38
5842 »
5716 29
5562 23
5385 15
5193 - 7
4994 + »
4796 10
4608 »
4439 26
4296 +33
6186 38
4114 42
4084 44
4097 43
41S2 >*t
4249 36
4381 30
4543 »
4727 if
4923 + г
5122 - 7
S3U 18
5489 27.
5637 33
5750 -м
S822 45
5849 47
S830 46
5764 43
5656 -37
5512 Я
5338 «
5147 - 8
4947 + 4
4752 4-16
4573 27
4420 36
4303 «4
«230 49
4205 +51
••'. "
X
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
с(т
0,
4984
5182
5368
S528
5654
5737
5771
5753
5684
5570
5417
5236
5040
4841
46S5
4494
4371
4295
4270
4301
4383
4512
4678
4868
5067
5260
5432
5568
5658
5694
5672
5595
5469
5304
5114
4914
4723
4557
4431
43S5
4338
4380
4479
4624
4804
5002
5198
5375
5515
5605
5636
0,
-)
0
— 13
23
35
44
— SO
32
•31
«7
39
— 2».
16
— 2
+ 12
26
+ 38
♦7 •
S3
и
S3
+ 47
37
24
+-W
— t
— 22
36
«7
55
SB
— 56
so
40
2*
— »
+ 8
25
40
32
59
+А1
37
48
и
+ »
— *
20
' 37
Я
№
-63
$(|
0.
4205
4230
4304
4422
4576
4758
4955
5153
5341
5504
5632
5716
5769
5730
5658
5540
5383
5199
5001
4804
4623
4471
4360
4299
4293
4343
4444
4590
4768
4964
5162
5346
5500
5611
5670
5671
5615
5504
5350
5166
6968
4773
4600
4464
4378
4351
4384
4476
4618
4795
4992
0,
")
+ 31
49
43
37
27
+ «
+ 2
— 11
24
36
— 43
S1
54
52
48
— 39
28
— 14
+ »
1»
+ 30
42
5»
56
56
+ 53
«5
33
«
+ *
— 14
30
43
S3
Я
—59
54
45
И
— 14
+ 4
22
38
51
59
+ 42
59
so
37
20
0
X
5.0
5.5
8
9
6.0
1
2
3
4
6.5
6
7
8
9
7.0
1
2
3
4
7.5
6
7
8
9
8.0
1
2
3
6
8.5
6
7
8
9
9.0
1
2
3
4
9.5
6
7
8
9
10,0
■
е(ИИ**)
0.
5636
4998
4349
5078
5572
4784
4517
5385
5298
4486
4995
5495
4676
4760
5496
4816
4690
5467
4831
4732
5455
4733
4887
5393
4601
5160
5156
4628
5395
6760
6998
5228
4638
5377
6709
5142
5025
4827
5280
4661
5354
4666
5291
6763
5180
4873
5081
6955
5019
4996
4999
0.
0.
4992
5624
4969
4405
5140
5537
4700
4595
5460
5163
4470
5165
5398
4555
4965
5454
4631
4915
5436
4624
4997
5360
4573
5189
5161
4607
5389
4820
4896
5323
4602
5320
4859
4932
5243
4653
5369
4677
5229
4886
4999
S104
4814
5247
4713
5310
4679
5325
4676
5321
4682
в,

2. ИНТЕГРАЛЫ ФРЕНЕЛЯ
87
значению к параметра, равна и, а кривизна и в этой точке будет К = 1Ш.
Кривизна, следовательно, пропорциональна длине дуги.
Рис. 34. Интегралы Френеля С ( -^-иг \ и S ( -к-и2) .
Если рассматривать ц, С Г -=■ нг ) , «S (■=• и2 ) как координаты в
прямоугольной системе (и, С, S), то получим пространственную спираль (рис. 34),
проекциями которой на три координатные плоскости будут спираль Корню и кри-
вые

VIII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
1. Определение и представления
В этом разделе п означает целое число, р—простое число; как всегда,
z = x + iv
При х ~> 1 можно определить дзета-функцию Римана £ (z) как
где произведение распространено на все простые числа. Имеем:

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
89
и вообще
£(г)A_2-г)A-3-г)...A-р-г) = 1+Х '1 (х>\),
я
где произведение в левой части рчспрострэнено на все простые числа, не
превосходящие р, а 2' означает суммирование только по тем значениям л>р,
у которых все простые множители больше р.
Рис. 36. Карта горизонталей рельефа лзета-функаии Римана £(z).
[Эта функция аналитически продолжается на всю плоскость комплексного
переменного z (рис. 35—37). Вдоль действительной оси функция £ (х)
принимает действительные значения (таблица 26).]
При jc>0 справедливо представление
A-2—>СС)-1-^ + ^-^+... =f^j£V«-

90 VIII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
-« -j -г -/ о 1
Рис. 37. Продолжение рис. 36 вверх.
г з ^ 5
-—*-х

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 91
При |z|<^l особенно удобен для вычисления следующий ряд:
c(*)=Zi
1
.1
111 г -
2 ra3r + 12rae+I
z— 1 я
1 г(г+1)...(г + 4)
1 г(г+1)(«+2).
г+» "Т"
720 nf
1 z(z+l)
'B+6)
30 240
,г+5
+
1209 600 гаг+7
1 г(г + 1)...(г+8)
^ 47 900 160 пг + *
Если положим для краткости z = -^-\-it—2u, то функция
будет четной относительно t и имеет действительные • коэффициенты в
разложении по возрастаю-дим степеням t2. Нетривиальные нули ^-функции,
расположенные на прямой х = -к , являются действительными корнями для функции
5 (i) (таблица 25).
2. Частные значения
1
S(,_2„)=-lfe\
С@) = -
СBл) = (—1)п;
2, U— 2л) = 0,
п— \c\in-i п
Bп)УВ™
(л=1,2, 3, ...),
«*>«{£. -SF) = Q^, 5(8)-^,
9450-
'90' *,u/ 945
[В точке г = \ дзета-функция имеет полюс]
3. Функциональные уравнения
^ (* + IV С С+ 2) С A-г) ^ ,
Таблица 25. Нули -^+/а„ Дзета-функции Римана £ (*)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
<*п
14,134725
21.022040
25.010856
30.424878
32.935057
37.586176
40,918720
43.327073
48.005150-
49,773832
п
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ао
52,970
56.446
59,347
60.833
65.113
67.080
69,546
72,067
75,705
77,145
п
21
22
23
24
25
26
2?
28
29
<*,
79.337
82.910
84,734
87,426
е8.809
92.494
94.651
95,871
98,831

.<" ^ £
m ■* со >i e» ш «■ ы ro .» о
+ + +
Ъ b'ob Ъ о "о *© Ъ Ъ о
U» Ы *• *• in in in * ON St 00
0* %0 Ul •> О С» <0 C« 4 Ц1 KJ
*> <J J N И S» Ul Ul 00 St Ul
1 1
1 I t
о ooooo ooooo
8 '8*8888 88 8 8 8
Ul Ы U U U U bJ M 2 О Q
t» «QMui -3 Ы -O (is fj. 5
09 О О 1Л in W st f» s0 09 О
p >o _>o
О %0 09 St t> "in C» Ul Ю •* О
+
.О OOOOO OOOOO
■* О -»■*■*«* 3 •*•*•* 2 K)
"о <о © -* w ui •> in on st ш о
(Л st *ч St St UI (Л № |ч К) 09
1 i
335SS S ^ S S S
1 I I
О О р О О О р О О О О
8 о о о о о о о о о о
3 -» Ul *>s L^ 0*> StStStsJSt
О -4 W 41 Ш <Г> Ю 1> 00 Ф (Л
Q Ф 9- •* ■» ^ <Л ч| ^ О st
О U Nl OU М ■* St W К* 9*
_ь ~Л вЛ,
1Л *- **
О ^ 00 М № (Л С» UI Ю •* О
i о о о о о о о о о о о
« Ul Ш Ы UI С* С» *s p. tn in ON
О О М 1Л st О Ы в» о U st л
Son ср •* st I*, ui *» sj w -* к»
t t
■+• + +
о pop p p p о p p p
>. V W U M Is- .* *U p О О
p. Q in О tn O in O ON Ы О
W О ls> ts> ^ •« Ы О St ^ Q
Ul .* £s •* Ю Ю Ы St « B> О
Ul
« О S 9> Ui
i* _k «ft «ft -b
О Ь '•<> '•<> "•*
s0 3 О •* Ю
O 09 * 9* st
п ш ш о •*
+ 0,004441
0.003520
0.002599
0.001696
+ 0.000825
■о се ч » wi
iilii
1
S S 3 S S
— 0,004416
0,005240
0,005992
0,006648
0.007183
<o w «j,o» *ui
1
S U S К S
1 1
Ul
!>, w kj ^ b
_b .* -b •* •*
Ij, V» "!* ^A *|0
3-3 5 88
- - L
3 w v. »• «
+ 0.008333
0.007729
0.007012
0,006209
0.005344
c* w w .* о
liiii
)
к В К К g
0.000000
-0.000854.
0,001742
0,002645
0.003543
*- w ю -* о
lifts
1
B.5 а у s
- 0.08333
0.08888
0.09249
0,09371
0.09209
<0 в N » bft IK Ы KJ -* О
+ +
io io 'м ы w ui V- V- in a»
IOC»StO«w09Ul4DO><PN
ui st ** in -* w to •* О in
1 1
S t S S t. ,t J » S 8
+ +
ooooo ooooo
8 8 8*8*1 8 8 8 8 8
st О ^ < V st in 09 st ©
s0 09 1Л « •* •» ^ stislS
Ln •* l> M "W Ul s0 s0 s0 О
s0 CD sj О* 1л ► Ы W л О
OOOOO OOOOO
*- ^ in у* у* on on st st Ш
Ul St Q *• (p N St Is) SI Ы
00 О in Ю w 9* Ul Ul st in
I 1
SSS45 £!iUli
+ + +
ooooo ooooo
§'§'§'8*8 8 8888
О •* Ю Ю Ш Ul Ul С» С» ■
00 1Л Ю St Ы Q* s£ •* .* .*
О ** О 00 9* in Ы ^ sO О
f» *» 00 1Л >0 p. v> in ^ St
to ы
>0 0)st в> (Л f» Ul Ю -* О
•*> вЛ, ЛЛ, вЛ, •*> •*>•*> Ю K> K>
Ul «s 1Л 9* st 00 sO •* Ю £>
•*•*•* K> Ul О* ъ0 «■» sO •>
(Л О M >a CD Ы *sl «* 1Л «*
1 1
t 1
ooooo ooooo
0 0 0 b 0 0 0 0 Ъ о
ч» СЬ 1Л *« Г» Ы KJ .* Q Q
№ CO .9 >Л О .* W IS » 5
W -* W *0 ЧЛ Ы1ЛЫ40
4"*ю*.4 4t 0* -* 1л О
О ф Ч 0» If)
+ 2,612
2.286
2.054
1.882
1,750
- 0,02549
0.01845
0,01251
0.00752
- 0,00339
-о ■ n e» 1л
IHif
1
£5338
+ 0.002747
0,003178
0.003545
0.003837
0.004047
•*>
•*>
SO 09 st О* "in
Ю Ю Ul Ul Ul
ON 00 О Ю *-.
*s Ul Ul *Л sO
1
• « 8 В S
+ 0.02040
0,01810
0.01493
0,01086
+ 0,00588
1. u м ^ b
00
+ 10,584
S.592
3.932
3.106
- 0,08333
0.06798
0,05479
0.04346
0.03376
*. uj.kj -» о.
Д a rf rf rf
и ы «. № м
из*-*
1
S * 8 S Ё
0.000000
+ 0,000590
0,001171
0,001732
0,002261
•*>
MJ W ■* О
Ul ^ *ч *. *N
st 0 ui e> so
** •* 0 •* *»
1
какав
+ 0,02109
0,02214
0.02268
0,02262
0.02188
о
410D4 1>(Л
- 1.460
1.953
2.778
4.438
- 9.430
P
*. w s> •» О
- 0.5000
0.6030
0.7339
0,9046
1.135
lllSSSIilf
* се ч » &
1
- 0,002671
0,002211
0.001703
0.001158
- 0,000586
0
* да 4 o* v.
W Ul ft 0* 4
ы 0. 0 \j\ 0
О CD N0 IN -»
1
+ 0,01115
0,01349
0,01574
0,01781
0,01962
«о Ul tM •* О
>3 ы 4 s> -о о
1
в а й а а
— 0.003968
0,003867
0.003680
0.003614
.0.003076
p
«^ ы ю ^» 
W» (л Что
о
о
1
а « S B,S
0,00000
+ 0.00199
0.00413
0.00641
0.00876
к
£
Т
к
■г»
■S
т
X
Я
I
о
ь
S
р
С'
N3
1а
ч
к
i
■е-
•<
S
я
р
S
а

.*
X
р
*
•»
(Tf
^
Л
<
а
г
*
ЗЕТ
>
О
•<
X
я
[=
X
' а

X
г
>
X
>

ТАБЛИЦЫ
93
Продолжение табл. 26
X
15,0
1
2
3
4
15.5
6
7
8
9
16,0
1
2
3
4
16.5
6
7
8
9
17.0
1
2
3
4
17.5
6
7
8
9
18,0
С(х)
1,0000
306
285
266
. 248
232
216
202 ~
188
176
164
1528
1426 ~
1330
1241
1158
1080 _
1008
0940
0877
0819
0764 _
0713
0665
0620
0579
0540 _
0504
0470
0439
0409
0382
1.0000
21
19
18
16
«
14
1*
12
12
11
102
»&
89
83
78
72
48
63
SS
»
S1
48
«
«1
3»
16
и
11
30
27
С(-»Г
+ 0,4433
0.4793
0.5057
0,5193
0,5173
+ 0,4963
0.4531
0,3846
0,2879
+ 0,1604
0,0000
- 0,1945
0,4236
0,6865
0.9810
-1.303
1448
2.006
2.369
2.723
-3.054
3.343
3,569
3.710
3,739
-3,630
3,353
2.880
2.181
-1.229
0,000
!-■
18,0
1
2
3
6
18.5
6
7
8
9
19,0
1
2
3
4
19.5
6
7
8
9
20.0
1
2
3
4
20.5
6
7
8
9
21.0
СМ
1,00000
382 _ и
356 к
332 -п
310 2,
289 „
»0 _,8
252 ,7
235 и
219 м
205 м
1908 _,м
1780 ,„
1661 ,„
1550 ,м
1446 „
1349 - 90
1259 м
«75 „
1096 .„
«^ «
09М - 6*
0890 ш
0830 55 .
0775 sl
0723 «
0675 _ u .
0629 а
0587 „
0548 „
0511 „
0477
1,00000
«-*)
0,000
+- 1.525
3.359
5,505
7,955
+- 10,69
13*6
16,82
20,08
23,34
+ 26.46
29,27
31.59
33.19
33,81
- + 33.17
30,96
26,87
20,56
* 11.71
0.00
- 16.83
33,00
54.63
79.75
-108.2
139,7
173.7
209,5
245,9
- 281,5
X
21,0
1
2
3
4
21.5
6
7
8
9
22,0
1
2
3
4
22.5
6
7
8
9
23.0
1
2
3
6
23.5
6
7
8
9
24,0
Ш
1,000000
4" -32
445 jo
415 jg
387 м
361 и
337 _ ^
315 21
294 м
"* 18
И* ,8
2385 _160
2225 ,„
2076 ,„
7 ,зо
1807 ,2,
1686 ■ ,,,
1573 ~105
1468 „
1369 „
1278 w
1192 _ 80
1112 ж
1038 п
0968 6J
0903 ^
0843 _ и
0787
0734 4,
0685 и
0639 й
0596
1,000000
{(-*)
~ 281,5
314.5
342.7
363,5
373,9
- 370.3
349,0
305.8
236.2
- 135.7
0.0
+ 175.2
393.4
65>.3
968.3
+ 1326
1728
2168
2638
3123
+ 3608
4066
4471
4784
4966
+ 6960
4715
4167
3246
+ 1882
0

IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определения и обозначения
Эллиптическим интегралом называется интеграл вида
\ R(z, w)dz,
причем R — рациональная функция двух своих аргументов, a w* = P(z), где
P(z)—полином 3-й или 4-й степени без кратных нулей.
Рис. 38. Рельеф функции А (г|), k) при fe = 0,8. Точки ветвления
+^+fArchl.
Следующие интегралы:
I
dt
V{\ — t2)(l— ft2*2) "
j/^«.
Г dt
J (l+nt*)V(l-t*)(l-
-m*)

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 95
или, что то же, в тригонометрической форме B=sinq>, * = sirup, Ф = ф,-f«ps.
J F l—fea sin21|>
0
Ф
£(ф, k) --= ГVl — A2 sin*г|) di|),
0
П(Ф, я, A)=[- rf*
sin2if>
нлзываются неполными эллиптическими интегралами 1-го, 2-го и 3-го родо»
Рис. 39. Рельеф функции ■; . , при fe = 0,8. Точки ветвления ± -=-±i Arch -r .
в нормальной форме Лежандра. Кроме, того, еще вводят
#(Ф, k)
/=ЧФ> к)-Е(ц>, ft)
J |Al_fe2sm2it> Y
Число k называется модулем интегралов, число п—параметром интеграла
3-го рода. Для краткости положим
Д(^, k) = V\— A!sin*T|>'
(рис. 38, 39), причем А(г|), &) = 1 в начале г|) = О пути интегрирования, и
определим
k' называется дополнительным модулем.

96 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если верхний предел интегрирования ф = —, то получаем полные
эллиптические интегралы в нормальной форме. Обозначают:
О . u
Я
_ ' 2 1 -
Е (k) = £ [f ■ &J = J Д (-ф, A) di|> = J |/ 3=^- <«,
и и
& L2 J J A(t|>, fe) * J Y(\—fi)(\—k42)
Нормальная форма. полных интегралов, соответствующих дополнительному
модулю k', обозначается так:
_К'(*) = К(*').' -Е'(*)-=Е(*').
А. ПРИВЕДЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
1. Общие замечания
Всякий эллиптический интеграл может быть представлен как линейная
комбинация элементарных функций и интегралов 1-го, 2-го и 3-го родов
в нормальной форме Лежандра. Для действительных эллиптических интегралов
это представление *) можно произвести так, что модуль к в нормальных формах
инте! ралов и параметр п в нормальной форме интегралов 3-го рода будут
действительны и 0<6< 1. Верхний предел интегрирования ф может при этом
л _ _ л
лежать в промежутке к- < ф «S -у .
2. Приведение к нормальной форме действительных интегралов
2.1. Если преобразовать действительный эллиптический интеграл
J Ж*, V а,*4 + а,** + а^х2 -f-агх + а4) dx
подходящим образом выбранной подстановкой
х — Р.Т_^ (если аЛФО) или x=iz—г (если а0 = 0)
к виду
$/?•(*. V ±(t*— ХМ*1 — V))dt,
то во многих случаях можно привести его к нормальной форме с помощью
следующей вспомогательной таблицы. Она содержит в первом и последнем
*) Формулы, необходимые в различных возможных случаях, можно найти в удобной
для вычислений форме, например, в книгах: P. F. Byrd and M. D. Friedman,
Handbook of elliptic integrals юг engineers and physicists, Berlin—Gottingen—Heidelberg,
1954; F Tricomi, Funzioni hiiittiche, Bologna, 1951; J. Hoflel, Recueil de formules
et de Ub.es numeriques, Paris, 1901.

А. ПРИВЕДЕНИЕ К НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
97
столбцах эллиптические интегралы, равные соответственно —F(q>, к) или да£(ф, к),
причем модуль & = —, а значения ф и да находятся из средних столбцов
(числа а, Ь, с связаны соотношением а* -f- b2 = cz).
аг + Ь* = с\ & = -, . &'=-
' ' в с
■F(q>. Щ
тЕ (ф, ft)
dt
.' Y~it?+ ?)(? + ?)
о
+ оо
d*
1^(б2 +12) (с2 + г2)
dJ
V(a2— t2) (b2 +12)
X
I
Г dt
J V^-t^itf+t2).
X
X
V(t2 + a2)(t2—b*)
ь
+ ot>
<tf
J Y(/2 + a2)(^2 — ft*)
J V(a2— t2)(c*— t*)
о
a
r м
J Via2— ?)(сг— t2)
X
X
С dt
.) У~и2 — Ьг)(с*—Ъ
b
\ dt 7
J Yit2 — a2) (t2—c2) ■
Г dt_
J V{t*-a2)\
+ 05
2) (*2-C2)
(' dj_
J V(t2-a2) i
2) (*2—e2)
*8Ф = Т
^ф = -
sin ф ex
Д (ф, ft)-ab
cos ф = -
cos ф= —
X
Д (ф, ft) _ x
sin <p ~~ с
sin ф = —
COS ф X
Д (ф, ft)— a
Д(Ф. fe)=T
А(ф, ft);
Д (ф, fc)__x_
cos ф с
81Пф = —
X
с
¥
с
1
Й2С
1
ь2!
с
ft8"
\_
с
J V (t>* + t2)'
0
f-i/'-y + F
J К (с2 + г2)!
d*
d*
f d*
J- l^(a2—г2)(й2+г2K
о -
Ivm-
X
f 1 /"^+T2 di
J К t2—b2t2
dt.
'■dt
b
+ 05
Л«
l^(^2 + a2)8(^ — b2)
X
)vm
,dt
1
dt
V(a2-
г2У(*
V(*2-
-гг)(сг-
d*
! —ft2) (c2
-b2)(c2-
t2dt
-P)*
-t2)
t2)
\Г(Р—а2У(Р—с?)
+ 05
— a2^
,2 ^2

98
IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
2.2. Первый столбец приводимой ниже вспомогательной таблицы дает
некоторые эллиптические интегралы, равные mF(<p, k) при соответствующих
значениях ф, k, т.
mF(<v, ft)
Ф
f .dt
J Vp-i
x
X
С dt
J Vt>=A
l
С dt
J V\ -~^
x
x
С dt
J V\-t*
— CD
1
I
dt
x
+ 00
Vi+r
Г dt
J VT+F
X
X
ГI dt
J fiTi*
0
X
Г dt
1
Г dt
совф=
• 1 —У
cos9=
1^3 + 1—x
V2-Y3"
1 =
совф—-7==
1^3-1+*
VZ-\+x
= 0,2588190 =
= sin 15°
Со8ф =
V^ + X-x
1-х-1^3"
1-x+Vz
tg¥=(V^"+D
1-х
V2+V3
2 ~~
=0,9659258 =
= sin 75°
2(V2— l)V%-
=0,9851714 =
= sin 80°, 12070
1
VI
rr=0,7598357
2 — У=0^857864
x* — l
С08ф=*Ч-1
1-х*
C0S<P=bH?
1
СОвф =—
X
С05ф=Х
V2
=0,7071068=
= sin 45°
1
V2
2.3. Следующие интегралы могут быть выражены через F, Е и D (все от
аргументов <р, k):
J A (if, ft) Y .' J Д (ib, ft) T
А(ф, fe)tg9—£
ft* sin ф cos <p
Д(ф, ft) '
P rftb _ А(ф, k)tgf + ^(D—F) f_J?}L_ =,_£__-*!
JA(rb, ft)cos*tb_ ft-\ ■■ "' JA'W». *) ft'8 ft'
ф <p
P sin'tb _F—D sit^cos<p Г cos'^b g^=j} 1 sln<PC0S<P
JAs(ib, ft) * — ft'* й'8Д(ф, ft)* .J A* (ib, ft) - Д(Ф, ft)*
ф
J A M>, k) tgs ^ dij> = Д ф, k) tg ф 4- ^—2fi-

В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
99
В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Представления
1.1. Неполный эллиптический интеграл 1-го рода F(<p, k) (рис. 40—44)
и неполный эллиптический интеграл 2-го рода Е(у, k) (рис. 45—48) допускают
г
Рнс. 40. Рельеф функции F (у, к) при А=г0,8 над плоскостью x + iy = sijnp.
следующие представлений в действительной области:
О СОЭф
зт2ф
' 2 J УТ Y(\-t)(\-k4)~ J VTl/^(l+^) + 2(l+fe2)<_
__ Г d£_ _ - Г dt
J KrKl+^ + 2(fe'2—k2)l J VtVk'*(l+tz) + 2(l+k*)t'
о
ИПф
О COStp
0 1
1
*'(t-t).

1,5
Рис. 41. Рельеф первой ветви функции F (ф, k), ф = ф,+%, при
к ^= и,О.
1,0
0,5
А
W
/
"А
с
//
///
t-WbO'W 1
//
У
7/
7_
т
/ /
Л
'/&
v//-
////
ЛГ
if
фг
:■
г....
-■
1
Рис. 42. Рельеф второй ветви функции F(<f, k), ф = ф.+jm,
при й = 0,8. т
10 Ш 30 40 SO 60 70 80 90
50'
SO'
го-
10'
О'
S3
S3
X
а
н
к
а
со
о
ж
X
гя
X
ж
гя
1
"О
>
Б
Рис. 43. Кривые ^(ф, sin а), а = const.
Я

В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
101
2,0
1.S
1.0
0,5
0,0,
пЛ
г%
4
7"
о
Л£
lJ0°
40°
1
1
30'
20°
|
10°
\
а"
0 /0 20 30 40 50 60' 70 80 90°
Рис. 44. Кривые F (<p, sma), ф=const.
Рис. 4§. Рельеф первой ветви функции Е (ф, к), ф=Ч>1+'Фг> ПРИ Л = 0,8.
Рис. 46. Рельеф второй ветви функции Е!&, k), Ф=ф,-Н'ф2, при А=0>8.

102 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
2ft
1,5
1.0
Oj
\
\
1
■
-
W
&г
•
ф
1-
1
1
А
■£$■
4'1
ж
9-'-
У
.
io-
го-
ж
w

soar
70-

воза
40
50
ш
70 80
? —
Рис. 47. Кривые Е (q>, sin a), a=const.
ЯГ
\г,о
/,5
U0
,0А
ofi>
-р_л_
r~«L
_tf
<w
70°
_&0°]
\W°
Г
40°
1
30"
1—t—
20°
1
w°
о -
—
1
О Ю 20- JO 40 50 60. 70 SO 30°
Рис 48. Кривые £(<р, sin a), q>=const.

В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 103
Таблица 27. Неполный эллиптический интеграл 1-го рода Z7 v<p, ft)
<р
0°
2°
4°
6°
8°
10°
12°
14°
16°
18°
20е
22"
24е
26"
28е
30е
32е
34"
36"
38°
40°
42°
44°
46°
48°
50°
52°
54°
56°
58°
«0°
62°
64°
66°
«8°
70°
72°
74°
76°
78°
30°
82°
84°
96°
88°
90°
а =
0,
00000
03491
06981
10472
13963
1745
2094
2443
2793
3U2
3491
3840
4189
4538
4887
5236
5585
5934
6283
6632
6981
7330
7679
8029
8378
8727
9076
9425
9774
♦0123
0472
0821
1170
1519
1868
2217
2566
2915
3265
3614
3963
4312
4661
5010
5359
5708
».
= 0"
+ 174S.S
1745
ras,5
1745,5
'■ 17*5
+ 174.5
«74,5
175
17«,5
17*4
+ 1744
17«,5
,74,5
174,5
174,5
+ 174,5
174,5
174,5
174,5
174,5
+ 174,5
174,5
175
174,5
17*4
+ 17*4
174^
174,5
174,5
174,5
+ 174,5
174,5
1744
«74,5
174,5
+ 174,5
174.5
175
174,5
174,5
+ 1744
174,5
1744
174,5
1744
а =5°
0,
UUUUU • 4 ТИС С
03491 „К-
06981 1Я55
1«72 17455
13963 17455
"« + 175
Ю« 174.5
2444 174.5
2793 174>$
*« т.,
*** +174,5
3840 т
4190 174.5
4539 174.5
4888 ,75
S238 + 174,5
5587 т
*937 174,5
6286 175
6636 т5
6985 + т
7335 т
7«» „4.5
8034 175
8384 т
!£*+'*
9084 т
9434 175/
9784 ^
*0134 т
0484 +175
0834 175
1184 175
1534 175
1884 ,„
2234 + 175.5
2585 175
2935 т
3285 175.5
3636 175
3986 175
4336 1755
4687 ,и
5037 175.5
5388 т
5738
1,
«=10° | а=15° |
0,
00000.
03491
06981
10473
13964
1746 .
2095
2444
2794
3143
3493 .
3842
4192
4542
4893
5243
5593
5944
6295
6646
6997
7348
7700
8052
8403
8756 .
9108
9460
.9813
*0166
0519 .
0872
1225
1579
1932
2286 .
2640
2994
3348
3702
4056
4411
4765
5120
5474
5828
1,
1745.5
1745
1746
1745,5
1746
174,5
174.5
175
1744
ITS
1744
175
175
175.5
17S
175
175.5
175.5
175,5
175,5
175,5
176
174
175,5
176,5
176
176
174,5
176,5
176,5
176,5
176,5
177
176,5
177
177
177
177
177
177
177,5
177
177,5
177
177
0,
00000,
03491
06982
10473
13966
1746 .
2095
2445
2795
31*5
3495 +
3846
4197
4548
4899
5251
5603
5956
6309
6662
7016
7370
7725
8080
8436
8792 .
9148
9505
9862
♦0219
0577
0936
1295
1654
2013
2373
2733 ,
3093 ,
3454 ,
3814 ,
4175 ,
4536 ,
4897 ,
5259 ,
5620
5981
1,
1745,5
1745,5
1745,5
1746,5
1744,5
174.5
175
17S
175
ITS
175,5
175,5
175,5
175,5
176
176
176,5
1764
176,5
177
177
177,5
177.5
178
178
178
178,5
7В,5
78,5
79
79,5
79,5
79,5
794
80
80
80
80,5
во
80,5
80,5
804
81
80,5
80,5
а = 20°
в,
00000
03491
06982
10474
13968
1746
2096
2446
2797
3148
3499
3851
4203
4556
4909
5263
5617
5973
6329
6685
7043
7401
7760
8120 '.
8480
8842 +
9204
9567
9930
♦0295
0660 +
1026
1392
1759
2127
2495 .
2864
3234
3603
3974
4344 .
4715
5086
5457
5829
6200
1.
1745,5
1745,5
1744
1747
1748
175
175
175,5
175,5
175,5
176
176
176,5
176,5
177
177
178
178
178
17»
179
179,5
180
180
181
И»
181,5
181.5
182,5
182,5
18}
183
183,5
184
184
184,5
185
184.5
185,5
185
185,5
185,5
185.5
186
185,5
а = 25°
в.
00000+1745.5
03491
06982 1746,5
10475 17<8
13971 ,„,
1747 + 175
2097 175.5
2448 ,75,5
2799 176
*« щ
3503 + 176.5
3856 т
«10 177.5
45« ,78
,4921 17в
5277 + 179
5635 Ш5
5994 179.5
6353 1вС5
6™ 181
7076 + im
7440 182
7804 ,„
8170 1Ю>5
8537 w
8905 4. «s
9275 1854
9646 186
*0018 , 5
0391 187,5
0766 + 187,5
1 188.5
IS" ,89
I896 1894
227S w
2655 -f 190.S
3036 , 5
34" 191,5
3800 191,5
«« ,914
4566 +т
49*> 1924
5335 192,5
5720 1,2.5
6105 т5
6490
1,
а =30°
в,
00000
03491
06983
10477
13974
1748
2098
2450
2802
3154
3508 .
3863
4219
4576
4934
5294 .
5656
6018
6383
6749
7116 .
7486
7857
8230
8606
■8982
9361.
9742
♦0125
0509
0896 .
1284
1674
2065
2458 ■
2853 .
3249
3647
4045 ;
4445 J
4846" j
5247 .
5649 з
6052 2
6454 з
6858
1,
1745,5
1746
1747
1748,5
17504
17S
176
176
176
177
177,5
178
178,5
179
180.
181
181
182,5
183
183.S
«85
,85,5
186,5
188
188
189.5
190,5
191,5
92
93,5
94
95
95,5
96,5
W,5
98
99
99
ЮО
Ю04
100,5
101
ИИ ,5
.01
102

1
ш
к
Ы
о
ш
9
к
н
с
S
ч
ч
СП
ч
*>
я
t-
4)
Я
в
4)
&■
ч
о
а
С
II
«5
■л и л
■л Л
5*S5 E SSS s siisg «S§§§ S g § Э a -Я 3 !Ш Я8ЯМ 2 S S 3 5 S3S.S
г «Й <0 К
с* N<ofiac 4ЛГЧГП0О0О «s «s в о e«
e* in о «p а со >* j- со и m гч «- 5 «- s»
fn f*4 ?! ^ r°. £ !l! ? ri !? S' "f со f. *5 P
tf о о* о' с?
> т <л & гп к *- *$ оо «» И "о* N ч> О' «*_..__
£ о ©^ *-в ч-^ ^ П. *Ч ^ П. **1 П. "Ч. "*- - **ь "** *Ч *°- ""I
о о о о о о о о о о
о о о о о
!!11!
Г-4 1Л ГЧ Г-4
ШМ'ШЫ иш а;»
- <~f о!
с*
И S О Ч О Irt Irt ■ Irt 1Л «А *Л^ Irt
5 5 ■'£ & I В В ? I 5 S 2 2 i S S 5 £ § 8 §
t/l И И |Л 1/1 . ■ *Л 1Л t/t U1 to
s н г a s з" я s я щ s 12 s s я' s 1 s s ■ я § § g
f 1ЛИП
000000 <v*u^oh<>K
- С* ^ С* ИО 4JffK
g о m,
+ +
3 С? JO ?! £? ifi ;P У !
,*tf *л m о
О О О 1- ГЧ
£ К 00 00
Л ^ (О fS ^
ass* ftgasfe *Ш§ Ш**-&Ш* Ш13 а.58« |ш* вше 2
о о
о" о о" о о"
ооооо ооооо
о о о о о
о" d о* о о t> о
от t^ ^ п ш . _ _-
Й S S fi В Й fc £ Й 8
> О 00 00
_ О П
О г г
sills
1Л Ш irt Ml
п Ь о ffi n
W >й f О П
я£я
+
5 3 За* 83818 3 S я" 3 2 3 S S 5 5
+ . + +
m к *- wi о
lip
i sisn asm
IS
' *« И И 4)
llgii
к к к »•* к
Й ft £ R J5 | 5
+ +
3'S
вгяяя' s:
+ +
1Л 1Л 1Л
a a si *d
я а
Vt49>*->,r4 m irt 4) *0 H
Ч> К О чЭ 1Л
>Л О И г* Ч) ГЧ 00 U1 <
Ki-^COi- *Л 00 ГЧ
*- гч гч гч m mm**'
Ш
f (mno m *•• «^ гч »л ** со со m гч N к оох
*" тк со о м л в Г2 :fi x: ^ И с* чэ ^ *■* <
СО N N г И ff« «» (О PI fs П чЭ «•• 49 «•• •
— > сг* © © О *- *- гч гч m m ^ *» in i
S со !
а.
II
«5
8 3 3 8 3
К К К Г» К ■
•Л Л Л (Л trt Irt l/^ lA IA 1/1 Irt Irt
Й Й К" К R SSS.S3 3 S Й S К SSSS
' С^ CD СО СО С^
^ е* ^ о*
1Ш1 11§:
iiliS
пт
8 8 8 3 8 S Н г! Я Я
.+ + .
irt irt irt
§эзэа азаа.а
п и гн m к
к ^ 59 a s
г И О* п в
№ С1 9> и О
sills SS313' ИШ
о
irt «0 К © <N
■* sf 4 Д «1
к к s Ь к
iiiii
irt "i mi
s fc fc
R i
+
5 S
* * »Л
irt irt^
irtirt irt irtirt «л 1Л«л
ШЦ 2SSI1 85ilB sft?e^
««« gssii 11Ш 121 a 8 ёШ1£Ш11
ЬЪЪЪЪ ЬЪЪЪЪ Ь ?< i 5> & b^S»i& Ь^0ч>&> %£ч%^&> Ь^^гЬ8о fe^S,i&> Ь ?ч 5t Ь & Ь

В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
105
Продолжение табл. 27
<р\ а. = 65° а = 70°
0°
2°
4°
6°
8°
10°
12°
14°
16°
18°
20°
22°
24°
26°
28°
30°
32°
34°
36°
38°
40°
42°
44°
46°
48°
50°
52°
54°
56°
58°
60°
62°
64°
66°
68°
70°
72°
74°
76°
78°
80°
82°
84°
86°
88°
90°
0.00000 ms5
0.03491
0.06986 I7S,
0.10488 1Bt
0.14000 ,7tJ
0,1753 + m
0.2107 ,
0,2464 ,„
0,2823 .r81
0.3185 mi
°--3550+,ws
0,3919 , ,
0.4292 189
0.4670 lt)J
0.5053 ,„5
0.5442 75
0.5837 mJ
0.6238 -^ 5
0,6647 ^
0.7063 21W
0.7488 m
0.7922 m5
0.8367 ^
0.8821 MJ
0.9287 и,5
0.9766 + 13
1,0258 u
1,0764 15
1.1285 16
1.1822 17
1.2376 + 18
1.2949 1»
1.3541 20
1.4153 2!
1.4786 22
1.S441 + 22.
1.6118 25
1.6818 22
1.7540 22
1.8284 21
1.90*8 + 19
1,9831 it
2,0630 П
2,1442 9
2.2263 i
2,3088 •
o.ooooo+17„s
0.03491 m7s
0.06986 1751 s
0.10489 17s7'
0,14003 ,7fc45
°.3 +177.5
0,2108 1785
0.2465 180
0,2825 181S
0,3188 183i5
W55S+185.S
0.3926 1g75
0.4301 1M
0.4681 „J
0,5067 m
«««»+««
0.5858 ж.%
0,6265 ^
0.6679 2„5
0.7102 И45
0.7535 + jj2
0.7979 ^
0.8433 J33J
0.8900 Mi
0.9381 K7;5
0.9876 + 16
1.0387 17
1,0915 19
1,1462 20
1.2030 22
1,2619 + 2*
1.3231 26
1.3870 IS
1.4536 30
1,5232 32
1.S959 + 33
1.6720 35
1.7516 36
1.8347 37
1,9215 36
2.0119+ 34-
2.1057 X
2,2024 25
2,3017 • a
2.4026 9
2.5046 0
| «=75°
o.ooooo ,„ss
0.03491 UiS
0.06987 mi s
0.10490 17S7;5
0,14005 vt6,
О-17*+177.5
О-""» 178.5
0,2466 1eas
0.2827 18J
0,3191 llt
0,3559 +186
0,3931 18e5
0.4308 1w
0,4690 „45
0.5079 „„
0.5474 +2Ы
0.5876 2055
0.6287 2M5
0.6706 2U 5
0.7135 ^
0.7575+ »2
0.8026 13
0.8490 u
0.8968 15
0,9461 17
0.9971 + 18
1,0499 20
1,1048 22
1.1619 25
1.H1S 27
1.2837 + 30
1.3490 33
1,4175 37
1,4898 4i
1,5661 45
1.6468 + 49
1.7326 54
1.8237 59
1.9207 «3
2.0240 66
2.1339 + 47
2.2504 «4
2,3731 Si
2.5013 42
2.6336 23
2.7681 о 1
|- « = 80°
0,00000+,„5,5
0.03491 Uie
0.06987 17S2
0,10491 „sg
0,14007 ,7*4.5!
0.1754+177.5
0,2109 ,79
0.2467 ,80,5
0,2828 182.S
0,3193 184
0,3561'+,87
0.3935 189
0.4313 «г
0.4697 1,5
0.5087. i,8,s
0,5484 +202,5
0.5889 207
0.6303 211.5
0.6726 M4.5
0,7159 222.5
0.7604 + «
0.8062 ♦«
0.8533 «
0.9019 "
0.9523 •»
1.0044 + 2>
1.0587 23
1.1152 25
1.1743 *8
1.2362 я
1.3014+ *
1.3701 «•
1.4429 «•
1.5203 «
1.6030 ' «°
1.6918 + 70'
1.7876 81
1.8915 93
2,0047 108
2.1288 124
2.2653 +140
2.4157 152
2.5811 I5i
2,7612 129
2.9537 7*
3.1534 0
«=85°
0,00000+ i7«s 5
0.03491 ,7t8'
0.06987 ,7s2
0.10491 1758.5
0,14008 1767!
0,1754+1И
0,2110 179
0.2468 180,5
0.2829 ,82,5
0.3194 ,84.5
0.3563 +t87
0,3937 ,89.5
0.4316 „25
0.4701 „5 s
0,5092 ,„;5
0.5491 +203_5
0,5898 2075
0.6313 2i3
0.6739 2,e
0.7175 j^
0.7623 + «
0,8084 15
0.8560 16
0.9052 18
0.9S61 20
1,0091 + 22
1.0642 25
1,1219 28
1,1823 31
1.2458 35
1.3129 + 40
1.3841 46
1.4599 54
1.5411 »3
1.6287 74
1.7237 + 89
1,8277 108
1.9427 133
2.0711 16Я
2.2164 215
2.3836 + 282
2.5795 377
2,8136 507
3,0978 630
3.4412
3.8317
« = 89°
0,00000 „u 5
0,03491 ,748
0.06987 ,7S2
0.10491 mg5
0.14008 ,7475,
0,1754 „
0.2110 ,„
0.2468 ,3,
0,2830 ,и5
0.3195 1MS
0.3564 -,„
0-3938 ,8,5
0.4317 ,Я5
0.4702 „6
0,5094 ,„ s
0,5493 +203_s
0.5900 20e
0.6316 2,35
0.6743 Mes
0.7180 ms
0,7629 + 13
0.8091 15
0.8569 )«
0,9062 18
0,9574 20
1,0106 +23
1,0661 25
1,1241 28
1,1849 32
1Л490 37
1.3168 + 42
1.3888 49
1.4657 57
1.5482 67
1.6376 80
1,7349 + 97
1.8421 120
1.9614 152
2.0962 198
2.2513 26*
2.4340 + 3»i
2.6566 578
2,9421
3.3396
3.9911
5.4349
a = 90°
0,00000+ ,„5 s
0.03491 ,„„'
0.06987 m2
0,10491 ,7585
0,14008 ,7475,
0.1754 +178
0.2110 ,„
0,2468 181
0.2830 ,KtS
0,3195 leo
0,3564+,87
0.3938 18,s
0.4317
0.4702 m
0,5094 ws
0.5*91+203.s
0.5900 ^
0.6317 M3
0.6743 2,g5
0,7180 шл
0,7629 + 13
0,8092 15
0.8569 it .
0.9063 18 -J
0.9575 20
1.0107+ 23 >
1,0662 25 ?
1.1242 28 ,
1,1851 32
1,2492 37
1.3170 + 42
1.3890 49
1.4659 57
1.5485 67
1.6379 80
1.7354 + 97
1.8427 120
1,9623 153
2.0973 199
2.2528 270 ,
2.4362 + 386
2.6603 589
2.9487
3.3547 "
4.0481
oo

106 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таблица 28. Неполный эллиптический интеграл 2-го рода Е (ф, k)
<р
0е
2°
4°
6°
8°
10е
12°
14°
16°
18°
20°
22°
24°
26°
28°
30°
32°
34°
56°
38°
.0°
.2°
.4°
.6°
.8°
0°
2°
4°
6°
8°
Ю°
2°
4"
6°
8°
0°
2°
4°
Ъ°
8°
0°
2°
14°
6°
8°
0°
о ~
0.
ооооо
03491
06981
10472
13963
1745
2094
2443
2793
3142
3491
3840
4189
4538
4887
5236
5585
5934
6283
6632
6981
7330
7679
8029
8378
8727
9076
9425
9774
*0123
0472
0821
1170
1519
1663
2217
2S66
2915
3265
3614
3963
4312
4661
50Ю
5359
5708
1.
= 0°
+ 1745.5
1745
1745.5
1745.5
1745
+• IM.5
174.5
175
174.5
174.5
+ 174.5
174.5
174.5
174.5
174.5
+ 174.5
174.5
174 5
174.5
174 S
+ 174.5
174 S
17S •
174.5
'74 5
+ 174 S
 S
'74 S
A74 S
 S
+ 174 S
174 5
-174 S
174 S
174 5
+ 174 S
-«474 S
US
 S
174 S
+ 174 S
174 S
174 5
174.5
174.S
а -
0,
00000
03491
06981
10472
13962
1745
2094
2443
2792
3141
3490
3839
4188
4537
4886
5234
5583
5932
6280
6629
6977
7326
•7674
8023
8371
8719
9С68
9416
9764
•0112
0460
0808
1156
15С4
1852
2200
2548
2896
3244
3592
3939
4287
4635
4983
5330
I 5678
I
I
1,
= 5°
+ 1745.S
1745
1745.S
174S
17*5.5
+ 174.5
174.5
174.S
174.S
174.S
+ 174.S
174.S
174.S
174.S
174
+ 174.S
174.5
174
174.5
174
+ 174.S
174
174.S
174
174
+ 174.S
174
17»
174
174
+ 174
174
174
'74
174
+ 174
•74
174
174
173.5
+ 174
174
174
17J 5
174
а =
0.
ооооо
03491
06981
10471
13961
1745
2094
2443
2791
3140
3489
3837
4185
4533
4881
5229
5577
5924
6272
6619
6966
7313
7659
8006
8352
8698
9044
9389
9735
•0080
0426
0771
1115
1460
1805
2149
2493
2838
3182
3526
3870
4214
4558
4901
5245
5589
1.
10°
+ 1745,5
174S
17*5
17*5
174S
+ 174.S
174.S
174
174.S
174.S
+ 174
174
174
174
174
+ 174
173.5
174
173 S
173.S
+ 173.S
173
173.S
173
173
+ 173
. 1J2.S
17Э
172.5
173
+ 171.$
172
1725.
172.5
172
+ 172
173.5
171
172
172
+ 171
172
171 S
172
172
а —
0,
ооооо
03491
06981
10471
13960
1745
2093;
2442
2790
3138
3486
3834
4181
4528
4874
5221
5567
599
6258
6602
6947
7291
7634
7977
8320
8663
9004
9346
9687
♦0028
0368
0708
1048
1387
1726
2065
2403
2742
3080
3417
3755
4093
4430
4767
5104
5442
1.
= 15°
+ 174S.S
1745
1745
1744.5
1743.5
+ 174
174.5
174
174
174
+ 174
173.5
173.5
173
173.5
+ 173
172.5
173
172
172,5
+ 172
171 5
171.5
171.5
171.5
+ 170.5
171
170.5
170.5
170
+ 170
170
169.S
169 5
169,S
+ 169
169.5
16»
1*8.5
16»
+ 1t9
168.S
168.5
168.5
169
а= 20°
0.
°0°00+ 1745 5
03491 ms
06981 1J44J
10470 174JS
13957 174J
1744 +174.5
2093 ,74
2441 173.5
2788 m
3136 17JS
3483 + 173
3829 „,
«" 172 5
0 172S
4865 .72-
5209 + m
5553 17J s
5896 171
6238 171
6580 170S
6921 + 17,
7261 169.5
7600 169.5
7939 ,69
8277 168.5
<*U + 168.5
8951 148
9287 147 s
%22 u7
9956 147
*0290 +166.5
0623 1M
0955 ,u
1287 165.5
1618 165.5
19*9 +U5.S
2280 iui
2609 ,65
9 164s
3268 164.5
3597 + 1M
3925 1t4s
4254 144
4582 m
4910 ш
5238
1,
a =25°
0.
00000 +mss
03491 17ttS
06980 „u 5
10469 174J
13955 1741s
"«* + 174
2092 173 s
2439 173s
2786 17JS
31 зз 172S
3478 + 172.5
3823 173 s
4168
"» 171.5
4854 170:5
5195 +170S
553* 170
5876 m
6214 169
6552 ,„
6888 +168
7224 167
7558 166.5
7891 ,66
8223 ,„.5
!o" + '«
8884 ш
9212 14t
9540 ш
9866 142.5
*0191 +162.5
V?l ™-s
0839 U1S
1162 160.5
1483 160.5
1804 + ,60
2124 159.5
л =30°
0,
ооооо
03490 ms
06980 1743.5
10467
13951 1je
1743 + ,74
2091 1?3
?l7, 1"-s
2784 172.5
3129 172
It? + "»
« « «"
«E "°S
%Z "°
4840 169.5
«"+'«•»
«,s <«
Я? w
6 ^ «•».»
6519 166
68ll + 1**
7 I '"
7=« •"•*
83« "M
8160 ,61.5
==n< + '«
f°,\ ™
2» «•
Л1 "M
9760 158
TJ + «*■*
S£ '«M
Jo» «"
ЛИ 1»
1323 154.5
16= +15J.S
1939 153 5
2443 2246 1U
2762 1S,
3080 1S,
"'? +158.5
3715 158.5
4032 158
4348 158.5
4665 158
4981
1.
« i«
285& 153.5
3161 +151.5
3464 ,51.5
3767 151.5
4070 „,
4372 Hi Л
«675
1.

В. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА НЕПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 107
Продолжение табл. 28
<р
0°
2°
4°
6°
8"
10°
12°
14°
1«°
18»
20е
22"
24°
26°
28°
30°
32°
34°
36°
38°
40°
42°
44°
46°
48е
50°
52°
54°
S6°
58°
60°
62°
64°
66°
68"
70»
72°
74°
76°
78°
В0°
В2°
В4°
В6°
W
« = 35°
0.
ооооо 745
03490
06979 17U.S
10466 1И|
13948 1738
1742 +173.S
2089 173.5
2436 ins
2781 171
3125 ,71.5
WM+itcs
3809 17D.S
'«» ,69
*«« ,68.S
*в" ш
5161 + ,66.5
5494 m
5826 m,s
6155 ш
4483 ни
6808 +142
7132 160.S
7453 1»J
7772 «8*
8089 ш?
8*04 +154
8716 1ss
9026 1it|5
9335 „J
MCI ,я
9945 +1S0.S
*0246 1S0-S
0547 U9
0845 148
1141 u7>s
1729 1t4
2021 145>5
2312 m>s
2601 m>s
Z*» +1*3.5
31" U3.S
3**4 ,63,5
3751 la
4037 ш
4323
1,
« = 40°
0..
00000 +17*5
03490 „ttS
06979 1742S
1С*** 1И0
"944 ,736.5
2 +,73
2088 172.S
2433 ins
2778 171.S
3«1 17D.S
3 +170
3802 148s
4139 ,68
5 «7
«W ,6*
51" +1M.S
5*70 «sis
5797 ,62.S
6122 ui
**** ,w.s
££*«•
7079 157
7393 1SS.S
7704 ш
*»2 m,s
8317 + 1S1.S
8620 1».S
8919 148.S
9216 U7
9510 ,<„
9801 +U4.5
«0090 w
0376 ш
0660 1405
0941 140
<221 + m.S
M* 137*
1773 137
2047 136
2319 ,35.5
2590 +134.S
2859
3128 w
3396 w
З*** 113,5
3931
1.
«=45°
0.
00000 i 174$
03490 174t
06978 17M
10462 l7J9
«940 mii
1»1 +173
2087 m
2431 1n
2775 17D.S
3116 170
3*56 +,m,s
3793 14B
4«9 164.5
**62 165*
*7« 163.S
5120 +14,
5«6 ui
5768 1595
«»7 ,58
6*03 ist
б7" + ,s«.S
7024 15J
7ззо ,s,.s
7633 ш
7931 ш
8227 +US.S
8518 1U
8806 ms
9091 ,*o,s
9372 ,„
9650 +1J7
■ "" ,35.5
*019S w
°«3 „js
0728 131
^"° +,зо
I2» ,28.5
1507 m
1762 ,26.5
2015 ,,„
i** +Ш
2516 W
2765
3012 w
3260 ш
3506
1.
« = 50°
0.
00000+,7*5
03490 17u
06978 1741s
*°*« ,737.5
«936 17}2S
"«° +,n.S
20E5 1n
2429 171
2771 170.5
3112 1t9
3*50 +147.5 *
3785 ,66.s
4«8 ,6S.S
44*9 ,63.s
4776 ,62
SI»0 +,60.5
54" 1S8.S
S738 15ts
6051 1ss
6361 1S3
6667 +1S,
6969 14i-s
7266 UJ
7560 ,«*.s
7849 ,«2.5
8134 140
в4" ,зв
8690 ш
8962 1M
9230 131,S
9493 + ,2».S
97S2 Ш.5
*0007 17S5
0258 1M
0S06 m
0750 ш
0991 1,8.5
1228 ,,7.5
"" „6
1695 ,,5.5
192* +,,«
2154 ,,3.5
2381 ,,2.5
*°» ,,2*
2831 m
3055
1.
л = 55°
0.
0о000ц_ ^^j
03490 17u
06978 1740S
1°"9 ,73*.s
13932 W1
1739 + ,n.s
2084 ,71 .S
2427 ,70.S
2768 ,6».S
3107 ,68.5
344* + lt4,5
3777 ,65.S
4108 1&4
4436 ,62
4760 160
5080 +,58
5396 ,56.S
5709 ш
6017 1s2
6321 U9.5
6620 +U7
6914 us
7204 U1
7488 140
7768 U7
8042 +136.S
8311 1J2
8575 ,2«.S
8834 127
9088 ,26
9336 + m
9580 ,„
9818 117
*°°52 ,u.5
0281 ,,2.5
0506 +,,0.5
0727 108.5
0944 ,07
11 *8 ,05
1368 104
1SL6 +i«5
1781 ,01.5
1984 101
2186 100
2386 1(XW
2587
V
« = 60°
0,
00000 -l_ 1745
03490 174Ji$
06977 1740S
10458 17JSS
13929 1n9
I739 +m
2083 171
2*25 ,70
27« ,4,
31°3 ,*7.5
3438 +,6»
3770 144
4098 147S
4423 ,60.5
4744 ,S8.S
5061 +1S4
5373 1M
5681 1515
5984 U9
6282 1<45
6575 +U3.S
6862 u,
71a ,37.s
7419 ,3S.S
7690 131
7954 .
82« ,26
8464 1U
8710 ш
8950 117
9184 + ,u
9412 ,,,
9634 ,08
*» ,05.5
•a»1 ,02.5
02«+,00.5
°«7 WiS
0662 „
0854 „,5
1041 „
1225 ,„5
1406 + ю
158< 88.5
1 87.5
1936 87.5
2111
1.

108 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Продолжение табл. 26
<р
0°
2°
4°
6°
8"
10°
12°
U°
16°
18"
20°
22°
24°
26°
28°
30°
32°
34°
36°
38°
«0°
42°
44°
46°
«8е
50°
52°
54°
56°
S8°
60°
62°
S4°
66°
68°
70°
72°
74°
76°
78°
50°
12°
34°
56°
W
W
« = 65°
0.
ШллЛ/ «^ 17ХС
03490 1?ад
06977
10456 1Л<
"Я» 1728
8 +ш
2082 171
2424 169,5
3 1М
3099 «7
3433 +ш
37« ,63.5
<°» 1*1
4412 15,
4730 „7
5044 +15*
5352
5656 "М,
5«4 1U.S
6247 14J
«33 + 1*0.5
6814 1J7
7088 w-
7356 iif
7618 ш
7872 + ш
8120 120,5
8361 117
8595 113.S
8822 „о
9042 + 106
925* 103
9460 nA
%59 96.S
9852 ,3
*°°38 + 90 .
0218 „
0392 w5
0561 81 .S
0724 ю
0884 +78
1040 76
1192 „
1342 7«,5
1491 73.S
1638
»• 1
« = 70°
0,
ooooo+W5
03490 1MI
06976 1ТИД
10455 1734
»W3 ,72*
,738 + .7..S
2081 170.S
2422 169.5
27« 147>5
3096 166.5
3429 w .
3757 1«.S
«»2 160
4402 158
4718 1SS.S
5029 + 152.5
S334 1M
*34 1*7 •
5928 166
6216 140<s
6497 + 137.S
6772 w
7040 130.J
73<" «7
7555 ш
7801 + 119
8039 1WR
8270 111.S
8493 107
8707 103.S
8914 + 99.S
9113 9S.S
9304 9,.S
9487 87.5
9662 M
9830 ад
9990 76.5
*0143 73.S
0290 „,
0430 ,„
0565 u
0695 „
«О1 MS
O944 60
«6* я
1184
«.
a = 75°
0,
00000 „
03490 1?4J
06976 173,
10454 17JJ
13920 1ВД
1737 +171.S
2080 170.S
2421 16,
2759 1*7.5
3094 14S.S
3425 + 1*3,5
37*2 i«
4076 1S9
4394 ш
4708 ш
5016 + 1S1.S
5319 1*8,5
5616 1is>5
5907 ш
«"■' ,18.5
6*t!+^
*738 131
7000 127.5
7255
7502 119.S
7741 +11S.S
7972 .,,,,
8194 107
8408 102
8612 „
8808 + 93.S
8995 89
9173 „,
9341 ад
9*>1 7S.S
9652 „
9794 «7
9928 й5
•0053 „
«71 ss,s
0Ш + 5, s"
0387 „5
««* «7.S
058t u
0673 «5.5
0764.
1.
«-80°
0.
O0000+1M$
03490 „a
f*97* 1738.5
,10453 17J3
13919 iw!
1737 + 171,5
2080 170
«» i«e.s
2757 167.S
3092 ш
3422 + 163.S
3749 16V
4071 15,
-4389 iu
4701 153
И»7 + 1SO.S
5308 U75
5603 ш
5891 1*0,5
6172 137
«" +133
*712 129.5
6971 ш
7221 121.5
74" 116,5
7697 + 112.5
7922 107.5
8137 103.5
8344 9.
8540 „
8728 + 88.S
8905 83.S
9072 „
9230 73.5
9377 «i.s
9514 + a
9642 ад
9759 «
9867 „
9965 6«.S
•t»54 + «o.s
0135 37
0209 u
0277 31.S
0348 38.5
0401
1.
a-85е
/■«•
<*юоо+1М5
03490 174J
06976 1И„
10453 17И5
13918 1723.S!
1737 + 171
2079 170
2419 169
2757 167
3091 w
»" +163
3747 160.5
4068 158.S
4385 155.S
4696 153
5802 +1*9.5
5301 1*7
5595 Ui
5881 13,5
«*° 134
6432 + m.s
6697 ,M
6953 123,5
7288 120
7440 115
WO + ,,o.s
7891 10S.S
8«* ioi
8304 %
"*»* 90.S
8677 + 86
8849 „•
9009 „
«S9 70
9299 a
9427 + 5.5
9544 + „•
9650 «7.S
9745
9829 3*.5
9902 + J1.5
"*S U
*°°17 21,5
0060 17,5
°0»S 14
0127
1.
«=»90»
0,
00000+w$
03490 174J
06976 iJ38j
10453 17n
13917 17M!
1736 +1ЯД
»» 170
2419 168.S
2756 w
3090 ia
З^+ш.
3746
4067
4384 155.5
4695 152.5
5000+1*9.5
5299 1*4.5
5592 1*3
5878 139.S
«57 «S.S
«M+llLS
6691 ш
6947 m
7193 119
7431 .11*^
7660 110
7880 10S
8090 100 ,
8290 ,5
8480 „
8**0 + в*д
8829 7.Л
8988 jj,
«3S «8Л
9272 «.5
9397 S7
9511 51
961J ^
9703 „
9781 33.5
9848 + 27.5
9903 + „■ -
9945 15,5
9976 ,
9994 j
•0000
1.

С. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 109
В таблицах 27 и 28 для нормальной формы действительных интегралов
F{q>, ft), £(ф, ft) аргументами выбраны ф и а, где а определяется через
модули по формулам: ft = sin a, ft'= cos a @=^a=^90°).
Если ф и а оба очень близки к 90°, то при вычислении F(<p, ft)
целесообразно пользоваться формулой
/ЧФ, k)^K{k)-F«p*, ft),
где ф* определяется из условия ft' tg ф tg ф* = 1. Значение К (ft) берется из
таблицы 30 полных интегралов в нормальной форме.
1.2. Имеют место следующие формулы:
?(■%■+■*%, *) = к(А)+//г.(ак5Ш^, ft') (l< ch% <-£-),■
^(т+'Х' ft)=/^aresta-j^,*) + «'<*> (х^сЬХ<Ро).,
F(+ioo,k) = iK'(k), F(±-+tAt<bjr, ft)=K<ft)+«'(*)•
2. Функциональные уравнения
/Ч—q>, *) = —/Чф, ft), /?(ля±Ф, &) = 2лК(£)±,Р(ф, ft),
Е(— ф, ft) = — ^(ф, ft), £(ля±ф, &) = 2лЕ(&)±£(ф, ft).
Дифференцирование и интегрирование по модулю ft приводят к следующим
соотношениям (все функции F, Е, D от аргументов ф, ft):
dF_
dk
dD
dk
' =k_(p £)_sftMPCOsq>\ <№_ kD
k'*\ Д(ф, k) J ' dk ' * . .
» I /p ^ sin ф cos qA D
~*~ ft*'1 \ Д (ф, k) ) ~k '
$У=7Ы& = Е — ft'2/7 — [1— Д(ф, &)]с1£ф, $Dftdft = — £.
С. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Полные интегралы (рис. 49—56) получаются из неполных при
определенном выборе пределов интегрирования.
1. Представления
1.1. При ft*<^l пригодны следующие степенные ряды для К, Е и D;
iK-.+i[^=^-'--,+<+»ff),+»(f)'t!?(^--.
= 1+3 ¥+ 15 (T) 4-2" ( g-J ■+— U J + • • • •
где принято обозначение {2п—1I1 = 1-3-5 ... Bл—1).

w
Sa
Sa
X.
■Я.
е.
X
А
Я-
Я!
х.
и-
X.'
ЭВ'
•н.
и-
т
•В'
>■
Е-
О" 10° 20° 30° 40° SO" 60° 70° 80° SO'
~{*г»
Вис. 49. 90°-^-=>ф—периодическая функция.
Рис. 50. фзвЭО* -те- -Ь периодическая функция.

ft
k*
0,4
■ Lw
1 ■'
L
OJ
OS
\» ■
*0,3
—4
■^L
■~-
5
,
N
"S
»■>
^
«,
N
к
i
=:
i.'
\
\
^
П
V
^
^
\
\
I
as
£
E
Рис. 51, <p=90°-=—периодическая функция.
I
«<I|UJ
20
/5"
IP
5°
J
1
1
L
///
V/
i
/
t j
.
f
K*
0,9
££
07
*0.t
0,3
1— u,£
01
I
?
^
у
V
\
'
L
\
^
s\
\
\
\
\\
V
^
\
\
\
,\
JO"
so'
Рис. 52, 90°-S-=<P +периодическая функция.

112
IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
4 6
Рис. 53. Рельеф полного эллиптического интеграла К как функции
ft2 = А., + 1\г.
3
2
1
О
-/
-2
-3
it
-5
-6
<р/
ч
\
0°
\л
У
**€.'/
* ^\
У^
х°
&/-
\^
%~
12-
J^~-
\^
V»
v/
£/
,
[_
ч
—-
—•
1Л /
кх
',*
о
р
у
\\
Vs.
V°
\
/
о f\
1
Г
ЛНЯв
-;
;
г , з 4 5 .. в
Рис. 54. Карта горизонталей рельефа полного эллиптического интеграла К,

-6-4
Рис. 55. Рельеф полного эллиптического интеграла Е как функции k* — %l +tXr
~Z
-3
-4
у
\
у/
<<?
■j<g°l
0°\
\s\
\а
т^
<^У
п
1
ч J
\ %j
^4?
^^
^4?
^JV
1СЛ
ДА-
1&-Л-
\ЛЦ-
*0[£-
6*
? /
7
•53-1
V ^Чч
1 >
t^
sjf-
У^"
/
x°
-« -з -г -i о i г з 4 s
Рис. 56. Карта горизонталей рельефа полного эллиптического интеграла Е.
6
'Л,

114 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Если k* я» 1 и, следовательно, &'г<^1, пользуются рядами
K-A+4f?V+i(A^)*"+fi(A-i)*'+.-...
E-+;(A4)*"-bfe(A-fl)*-+i|(A-|L-+...,
г, а 1 , 3 / . 4 \ , ,8 , 45 / А 4l\ ,,4 , 175 / . 289N ,«
где Л = 1пр- или, иначе, &' = 4e~A (рис. 57).
Некоторые разложения для К и Е можно получить с помощью
тэта-функций (см. X, С).
/С* "*— ^ I ■ '
0J02S 0,020 DJ015 0J010 0,005 0,000
Ю~ ——— ——
0,9
Ofi
0,7
0,6
0,5
04
0J
&
о;
0,0
1
7
fc'
==
i
- 1
■ P-f
-
0,975 0M0 Q9S5 0J90
Рис 57. Поведение эллиптических интегралов К, D и С при к*—>Л.
0,995 1,000
Таблицы нормальных форм полных эллиптических интегралов дают значения
К.Еа зависимости от аргумента а, где k = sin а (таблица 29), или в
зависимости от аргумента k2 (таблица 30).
При вычислениях иногда бывает выгодно (особенно чтобы избежать
неточности, появляющейся для малых разностей) пользоваться, кроме К и Е,
также следующими интегралами *) (таблица 31, рис. 58):
л
г
_,,,, Г c°s2 ф ,, ,_. ., v Г sin2 г|) cos2 г|) _. .,. . f* sin2 ib ,
о о о
Между этими интегралами имеют место соотношения:
K = D + B, 2D = K + £8C, E = (i+*'")B + ik',ft,C,
К = 2В + &гС, E = &'2D + B. (l-f&")K = 2E+£4C,
D = B + &SG. E = &'!K + &8B, (l+&'8)D = E-f k*C.
*) Введенными F. E m d ё, Arch, fur Elektrotechnik, т. 30 A936), стр. 243—250.

С. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2J
f.5
tP
OS
i
1
■
■"fc
t^
V
£2-
ИИ
1
1
1
' 7
__
-—
--
fc
D*l-lri$.
1
*;*
«
Л
,
^4
A*4
A
Ml l
ft]
\
х*г-ъ{
t,ff
z.
n-**
\S
\fK-2
ln£-2
k
t—
C+
к
г-ш%
'=.
x —
I
1
'
I
7
/
/
t
0
2fl
IJS
Ifi
0J5
OJt
0.85
OJ
OSS
to
Рис. 58. Полные эллиптические интегралы действительного аргумента x=k
0,005 0,000 0,007 0,008 0,009
0,010
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
OfiOi
\
Pi
-
/%\
1\
ч
1
7*
/■
>
6"
\>
10
1
',
**
F,
А
/
1
III
>
0,0/0
0,009
0,008
0,007
0.006
0,005
0,004'
0,003
OJ002
oj)Of
0,000
OflOO 0,001 Ofl02 0J30J 0J004 0,005 OpOS 0ft07 0,008 0,003 0,0/0
Рис. 59. E—^(О.б^+е,) In p—@.25ft'*+«J,
1—B = @.5fe'2+Pi) In ~@,75ft'2 + Ps), hMO^ft'^ + jcJIn ~@,25ft's + xs),
d—l0,76ft'l' + ej'n4—i*'"+*i). С«B,25А'г+¥i) In p-13,75ft"+TJ-

11 6 IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Так как К(&)—>- оо при k—s-1, то значения аргумента в таблице 29
выбираются вблизи а = 90° через малые интервалы. Таблица 32 для функции
(рис. 59)
h(k)=K(k) — 1п4/&'
используется для улучшения точности вычислений при значениях модуля k,
близких к единице. Величина К(k) легко получается, если взять 1пD/&') по
таблице логарифмов и прибавить значения h (&), получаемые по таблице 32.
Таблица 32 для функций (рис. 59) .
С (k) = С Щ + 2 — 1п 4/&', d (*) = D (k) +1 — In Ajk'
/
позволяет получать значения С (&) и D (k) вблизи k --= 1 аналогичным приемом.
1.2. Для нормальной формы полного интеграла 3-го рода при больших
значениях модуля, точнее, когда &'/А/<^1, имеем*):
(»+&)пD^ж.*Ь'?к(*)-=
л
7 / 1
arccos 7
J cos2i)) + r2sin2i)) \х'УХ'г— I
где
^ 16 L 16 к"^\ ^ 6 Д'Ч 8 A'* "X'V J
I5fe" Г 37
403
+ ^=_r_3L_J! 1 | /л | 1 \ I /Б , 9 I 14 \j
^ 256 L 144 40V2 V4 \ 8Л'Ч24^Ш'8 Г4 .3V*/J '"'
2. Функциональные уравнения
2.1. Соотношение Лежандра:
Е (А)К' (&) + Е' (k)K (k) - К (А)К' (&) '= я/2.
2.2. Формулы перехода к другому модулю:
Е(йр)-й?р[Е<*Н-*'К(*Й.. еB^) = Щ[2Е(*)-*'*К(*)],
К''(|-)=*'[К'(*)-/К(*)], К (-|-) = *К(*>+«'(*)-
2.3. Производные и интегралы:
{\)K{k)dk = 2(± — & + £■ — ...) = 20, 0=0,915965594...
0
(G—постоянная Каталзна).
*) См. G. Hamel, S.-Вэг. Berliner Math. Ges., т. 31 A932),. стр. 17—22
и М. Kolscher, Z. Angew. Math. Meeh., т. 31 A951), стр. 114—1*20.'

С. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
117
Таблица 29. Полные эллиптические интегралы К (sin а) и E(sina)
л
0°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10»
11°
12е
13°
1*°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29"
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
37°
38°
39°
W
11"
42°
43"
и."
И°
46°
47°
MP
*9°
SO*
«.
5708
S709
5713
5719
S727
5738
5751
5767
5785
5805
5828
5854
5882
5913
5946
5981
6020
6061
6105
6151
6200
6252
6307
6365
6426
6490
«557
6627
6701
6777
6858
6941
7028
7119
7214
7312
7415
7522
7633
7748
7868
7992
8122
8256
8396
8541
8691
8848
9011
9180
9356
1,
К
+ 1
*
*
8
11
+ "
16
1в
20
23
+ гь
28
31
}}
35
+ з»
41
44
Ч
*9
+ S2
SS
SB
61
64
+ ' «7
70
74
76
81
+ в3
87
91
95
98
+ 10}
107
111
115
120
+ 124
НО
134
140
145
+ ISO
157
163
169
176
■Е
1.
5708
5707
5703
5697
5689
5678
5665
5649
5632
5611
5589
5564
5537
5507
5476
5442
5405
5367
5326
5283
5238
5191
5141
5090
5037
4981
4924
4864
4803
4740
4675
4608
4539
4469
4397
4323
4248
4171
4092
4013 •
3931
3849
3765
3680
3594
3506
3418
3329
3238
3147
3055
«.
— 1
4
6
в
11
— 13
16
17
21
22
— 2S
27
30
31
34
— 37
38
11
43
45
— 47
SO
51
S3
56
— 57
60
61
63
65
— 67
69
70
72
74
— 75
77
79
79
82
— 82
84
85
в«
88
— 88
89
91
91
92
1 -
50°
51°
52°
53°
54°
55°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70»
70°.5
71°
71°.5
72°
72°.5
73°
73°.5
74°
74°,5
75°
75°,5
76°
76°.5
77°
77°.5
78°
7в°,5
79°
79°.5
80°.0
80°,2
80°,4
80°,6
80°.8
81°.0
81°.2
81°.4
81°.6
81°.8
82°.0
1.9356
1.9539
1.9729
1.9927
2.0133
2.0347
2.0571
2.0804
2.1047
2.1300
2.1565
2.1842
2.2132
2.2415
2.2754
2.3088
2.3419
2.3809
2.4198
2.4610
2.5046
2.5273
2J507
2.5749
2.5998
2.6256
2.6521
2,6796
2.7081
2.737S
2.7681
2.7998
2.8327
2.8669
2.9026
2.9397
2.9786
3,0192
3.0617
3.1064
3.1534
3.1729
3.1928
3.2132
3.2340
3.2553
3.2771
3.2995
3.3223
3.3458
3.3699
К
+ 183
190
198
206
214
+ 224
233
243
2S3
26S
+ 277
290
303
319!
334!
+ 351!
370!
389!
412!
436!
+ 4S.4
' «4,8
48,4
49,8
S1.6
+ 53,0
SS.0
57,0
SB.8
61.2
+ 63.4
4S.8
68.4
71.4
74.2!
+ 77.8!
81.2!
85,0!
89.4!
94.0!
+ 97.5
99.5
102
104
. 106.5
+ 10»
112
114
117.5
120.5
«.
3055
2963
2870
2776
2681
2587
2492
2397
2301
2206
2111
2015
1920
1826
1732
1638
1545
1453
1362
1272
1184
1140
1096
1053
1011
0968
0927
0885
0844
0804
0764
0725
0686
0648
0611
0574
0538
0502
0468
0434
0401
0388
0375
0363
0350
0338
0326
0314
0302
0290
0278
1.
Е
— 92
93
94
95
94
— 95
95
96
95
95
— 9*
95
94
94
94
— 93
92
91
90
88
— 8.8
8.8
8.6
8.4
8.6
— 8,2
8.4
8,2
8.0
8.0
— 7.8
7.8
7,6'
7.*
7.4
— 7.2
7,2
6.8
6.8
6.6
— 6.S
6.5
6
6.5
6
— »
«
«
4
4
а
82°.0
82°Д
82°.4
82°.6
82°.8
вз°.о
83°.2
83°.4
83°.6
83°.8
84°.0
84°Д
84°4
84°.6
84°.8
8S°,0
85°,2
8S°.4
8S°.6
85°,8
86°.0
М°Л
86°.*
86°,6
86°.8
87°.0
87°Д
87°.4
87°,6
87°.8
88°.0
88° .2
88°.4
88°,6
88°,8
89°.0
89°.1
89°,2
89°.3
89°,4
89°.5
89°.6
89°.7
89°,8
89°,9
90°
I .
3.3699
3.3946
3.4199
3.4460
3.4728
3.5004
3.5288
3.5581
3.5884
3.6196
3.6519
3.6852
3.7198
3.7557
3,7930
3.8317
3.8721
3.9142
3.9583
4.0044
4.0528
4.1037
4.1574
4.2142*
4.2744
4.3387
4.4073
4.4811
4.5609
4.6477
4.7427
4,8478
4.9654
5.0988
5.2527
5.4349
5.5402
5.6579
5.7914
5.9455
6,1278
6.3509
6.6385
7.0440
7.7371
,оо
■
К
+ «3.S
124.5
130,5
134
138
+ 142
144.5
151.5
156
161.5
+ 146.5
173
179.5
184.S
193.S
+ »*
17
п
2»
23
+ 25
28
31
35
39
+ 44
5»
59
69
82
+ too
123
tss
201
273
+ 388
Е
1.
0278
0267
0256
0245
0234
0223
0213
0202
0192
0182
0172
0163
0153
0144
0135
0127
0118
0110
0102
0094
0086
0079
0072
0065
0059
0053
0047
0041
0036
0031
0026
0021
0017
0014
0010
0008
0006
0005
0004
0003
0002
0001
0001
0000
0000
0000
1.
-S.S
«
S.S
J.S
м
— S
*л
$
5
S
-«л
S
4Д
ад'
4
— 4.S
4
4
4
4
—м
3.S
3.5
3
3
— 3
3
2.S
2,i
2.5
-м
2
1.»
2
1
— 2
1
1
1
1
— 1
0
. 1
0
•
е-

о
8
1.
ш о* £ б S
£S
СО СО CD
W w U
о *->
со сь *- ю а
S S S 8 2
ч© С* * - СО
*■ -ч о *• со
р
kl U N М U
да о »• ю о
5SSS»
О) № МО О
1111
§§888
3xj Ч Ч S
о со со ш
W — О 4J Ся '
1/ч *•*>.*» *■
*Л ц** ЬЛ 1/1 *>
£Ш8
§«'£«■
1Л Ф ф 1Л W
' ft й И ^
| и* <3 м w
w en tn ■*
Ю (О (О (О S*
W W - -» -
aW « 1Л С
u v< ep w
W О •* С* W
N Ы Ы ■* «
Ш ьп NJ «0 № '
s яйй§
s к у s
s S S ё S
■w «т ** w #•
о и> * »■ «
SSI2£ gSSfS I9SE8 В5
со со со
„ i*i W 3
_. -si О W 0-
W * S »J Я
S S 2 S jf
ft В iS S .3
8107
4>
СО
803
»
«j
Ь/1
3
w
3
*
3
ш
3
785
•>
+.
р
о
о
8 8 8 8 3
£ S S 2 S
lilll
1Ш1
_ о 3 -»
S " ? S S о
s а г а
i*> ui ui ш М
1я «*, V*
+
to! к а й
*Л V ЬЛ
•"* ."* Р Я Р
К) (О CS 1Л sj
О w ю ш ш
w «п О ьп W
SffSfi
OOOOO
w» **» "*.
о о о р о to о р о о
1!Ш11ШН<
ШЪ •
я a s г х
I'it*
illii
iiiii
wm
mnm
О» f» Ю О
w *. ^ w
Jill
S 2 5 inl
is sstss sssafsKSsfss^ssi sssss
a
о
fa
5--ШШМШШ11ШШШ*
i
Ш ill
1 * s s ft ft s s s s ft «teep pa tit a s к s s ss
В V. (л V- in 1я. и In !я in <" <" w <" <"
-s
■ »^^ — ;
S i ssss's gsss's ssasas ssfcsi ansa's
IS
tffimfii»
i .iifiHSiiii;;;;;:..»
K) W С* *4 ^ Й 8 VI б «
о
О
m

С. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ПОЛНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 119
аблица 32. Вспомогательные функции h (ft), С (ft) и d (ft)
K-lnp
е=С+ 2—ln-
d=D-H —in.
Jt3
0.70
71
72
73
74
0.75
76
72
78
79
0.80
81
82
83
84
0,85
1 ь.
0.0
871
851
832
812
791
™ _
750
728
707
684
662 _
639
615
591
567
542
0.0
o.
4497
4416
4331
4246
4159
4069
3976
3883
3785
3687
358S
3479
3372
3260
3145
3027
0.
,— 81
8S
85
67
' 90
— 93
П
98
98
101
— 106
107
111
115
118
I * I
од
027
*986
943
900
857
812
766
720
672
624
574
523
471
417
362
306
0.1
—41
43
43
43
4S
— 46
46
48
48
SO
— S1
S2
54
55
54
0,85
86
87
88
89
0.90
91
92
93
94
0.95
■ 96
97
98
99
1,00
0.0
S42
S16
«89
462
434
405
375
344
311
278
242
204
163
118
068
000
0.0
— 24
27
27
28
2»
— 3»
31
33
33
34
— 38
41
45
SO!
-
o.
3027
2902
2775
2642
2503
236
220
204
187
169
14»
128
10$
078
046
000
0.
— 125
127
133
139
146
— 16
16
17
18
20
— at
23
27
32
0.1
306
247
188
126
061
*994
924
852
.776
«95
60»
$18
418
307
178
000
0.0
— s»
s»
42
45
a
— 70
72
74
81
86
— 91
100
1111
Если рэссматривать интегралы К, Е как функции аргумента х = й*, то
получим (аргументы опущены):
а£~
ах х
ах-хЦ-х) х' "ах- х • £к**=2 [E-(l-*)K] = 2*<K-D),
СеАс = -|[A.+*)Е-A — х)К], $Dd*= — 2Е. $(K + D)dx = — 2A -х)К,
j К*Ле=.| [D + *)Е +(Зх*4-*-4)К],
^Е*<**=^[(9** + * + 4)Е+C** + *-4)К],
Bл+3)' Jlfcc**'»**—4(я+1J$К*пЛе=2*в+1 [Е —Bл+3)A -*)К],
4 (л +1)* $ Ex"dx—Bл — 3) Bп+ 5) $ Exn+idx =
= 2хп+1{[Bп+\)-Bп+3)х]Е + A-х)К\ (л=0, 1, 2,...),
lxT7dX = -2V7> J^-^K-D),
JrH^- ^РЁ+Cx-DK]. Jjy^—Tlhr [D-2х)Е + (.-1)К].
f—d* = 2(K-E) = 2*D, Г Ц7=Лр = 21/«'К.
J 1-х J (i— x) У x
2.4. К, Е и D удовлетворяют гипёргеометрическим дифференциальным
уравнениям [в которых принято обозначение аргумента x = k2]:
^o-*):a|+(i-j:)§+4e-o..
D = 0.

X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определения и обозначения
Эллиптическими функциями называются функции, обратные к
эллиптическим интегралам.
Эллиптическая функция является двоякопериодической мероморфной
функцией комплексного переменного. Все ее периоды можно представить в виде
2да(й1 + 2лаJ (да, п—целые числа), где 2а),, 2ш2 называются парой основных
периодов. Отношение основных периодов т = —- является комплексной
величиной, и можно считать, что 1тт>0.
Начиная из произвольной точки и0, можно покрыть всю плоскость
комплексного аргумента сеткой параллелограммов периодов, вершинами которых
будут точки и0 -+- 2дааI -+- 2па>2 (да, п—целые числа). В силу своей двоякоперио-
дичности функция принимает одно и то же значение в соответствующих
(гомологических) точках всех параллелограммов периодов.
А. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Я КОБ И
1. Амплитуда Якоби am (u, k)
Если
<р
г"* *»-Ii#
k)
о
— неполный эллиптический интеграл 1-го рода, то ф называется амплитудой и:
q>=am(«, k).
Она является бесконечнозначной периодической функцией от и = и1-±-шг
(рис. 60, 61) с точками ветвления*) и = 2даК+Bя+l)K'i (да, я—целые числа)
н с периодом 4K'i:
am(« + 4K'i", А) = ат(и, k).
Далее, имеют место свойства
am(a + 2K, k) = n-\- am (и, k), am(«-4-2K'i, А) = я—am (и, Щ,
ат(—«,&)=—am (и, k)\
при и близких к нулю верно представление
2
am (iK' —ш, k)miIn -r-.
*) Здесь К означает полный эллиптический интеграл 1-го рода К = К (k), K' = KI(A')>
где k'±= V^X — h? .— Прим. ред.

А. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 121
-5К -4Я -ЗК -2К -НУ К 2Н
Рис; 60. Рельеф амплитуды Якоби am (u, k) при й = 0,8. Четыре заштрихованные
поверхности слева означают линии ветвления.
Рис. 61. Карта горизонталей рельефа амплитуды Якоби ф14-?ф! = агп(«, k) при £=0,8
(К = 2,00, К'= 1,75). Обратите внимание на линии ветвления!

122 X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Функции Якоби sn«, спи, dna
Двоякопериодические функции Якоби получаются из ф=ат(в, к)
посредством формул
"sn(H, ft)=sin9 = sinam(H, k),
en (и, k) = cos ф = cos am (и, k),
dn(a, &) = Д(ф, k) = У 1 —A2 sin2 am (a, A).
Парами основных, периодов являются соответственно
4К, 2К'«; 4К, 2K + 2K'i; 2K, 4K't.
Если эти функции рассматриваются как функции только одного аргумента
Рис. 62. Рельеф функции Якоби sn u при k =0,8.
Рис. 63. Рельеф функции Якоби сп и при &=0Д
и = и, + *иг при постоянном модуле k, то пишут для краткости sn и (рис. 62,65).
спи (рис. 63,66) dna (рис. 64,67). Представления этих функций через тэта-
функции см. в С, 4,3.

А. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 123
Отметим два исключительных случая:
& = 0, k' = \: sna = sin», en и = cosh, dna = l,
A=*l,.fc'=0:
K = f-, К'= 00, lira I е-"«'/К:
16:
Ф = gd и, sn и = th и, сп н = dn и =-=— , «/
3. Частные значения
sn(Q) = 0, cn@) = l, dn@)=l.
sn и
СП U
dn и
Нули
2тК + 2яК'1
Bт+1)К+2яК'1
Bm+l)K+Bn + l)K'i
Полюсы
2тК + Bп+ПК';
2тК + Bя + 1)К'£
Вычеты
(-in/ft
(— 1IЯ + »-1 ijk
(- 1Г~Ч
Если ii = eI-T-te1 и £>0, то
Рис. 64. Нельеф функции Яко0и йаи лри *-=0,8-

124
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
SnulJI
45
■У
V
У
L
ш
%
///
К*ш
1
,Ь w
ш
//
г/
Т7/
/
//
Уф
«,
1л
(-У-У
'&
■5%
о
4
г
№
«
^
Спи 1,0
\
ОЛ
0J
. 44
0.6
0.8
1.0
. и. F_р
ц-ц-iv
Рнс. 65. sn (К '2») как функция 2».
"^
II
■м
S
\
•^
^
^
\
^
\
\
\
>
К*=1
Ь'ъ
\
^ <о
•>
V.
<Z
ы
л,
>^
&
^
^
^
^
S
^
^.
^
^
0J
ол
0.6
0.8 1.0
, a f «
Рис. 66. en (К-2i>) как функция Ъз.
1
1,0
0,5
1
if»
1
о
Z
\£
^>>
'>1
кЧ
>-
о,
4
&
^ч^
N
р
,
$
0,
■*4l
«Ц
6
Щ
Ы
?
о,1*>
&*
*
0.
8
f,c
Рис. 67. dn(K-2i>) как функция 2».

А. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ 126
4. Функциональные уравнения
4.1. Справедливы следующие равенства:
sn(—в) =—sna, сп(—а) = спа,
dn(—-a)=^=dna, sn*a + cnsa = l,
dn2a = 1 — k% sn2 a = k'* + k% en* a■ = cn2a+A"sn2 a,
, en 2u + dn 2«
cn'a =
1— cn2u
l+dn2u' " l + dn2«
sn и en v dn v ± sn о сп и dn u
dn2a =
dn2u + fc2cn2u+fc'1
sn(a±©)
cn(a±©) =
1 — fc2sn2«sn2p '
сп и en p T sn и sn p dn и dn p
1—fc2sn*«sn*p
sn (iu, k) = i
сп (ш, A) =
1 + dn 2a
sn (a, k')
en (а, &') '
1
cn(u, fc')'
dn (a, fe')
dn(a±©) = ;—r=—= j —— , dnim, д) = — ,
v 1—fc2sn2«sn2w v en (u, я )
sn (a +©)sn (a—©) = sn'a —sn*©,
en (a +v) en (a—v) = cn2a —sn2© dn2a,
dn (a + v) dn (a —v) = dn2a —k" sn2 © en* a.
A— &*sn*Bsn*©) X-
4.2. Изменение функций при возрастании аргумента а на четверть- и
полупериод берется из следующих таблиц, в которых для краткости написано S, с, d
вместо sn a, en a, dn а:
sn(mK + nK'i-f-u)
dn(mK + nK'f+u)
±.iK'
0
-К
—d
kc
с
~~d
0
1
Is
s
+K
d
kc
~d
±2K
— 1
ks
— S
+ tK'
0
^t*K
cr
-K
ik'
kc
k' -
A d
k'
ike
(mK + tiK'i + u)
0
iks
с
id
ks
+K
k'
ike
-k'±
* d
ik'
kc
±2K
id
ks
—с
d
.iks
±2tK'
+ tK
0
—iK
0
—d
с
is
- ■ - tr-
Uf
s
±«
k'
d
a? 1.
с
k'
d
k's
IS
4.3. Функции спи, dna выражаются через sna посредством соотношений
cn(a, ft) = sn f k'K+k'u, -jp J,
dn(a, k) = k' sa(K —iK + iu, k').

Ш
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Для перехода от одного модуля к другому имеем таблицу, где для
краткости вместо sn (и, k), сп (и, k), dn (и, k) пишем соответственно s, с, d:
*.
sn (ии kt)
СП (»,, kO
dn («,, ft,)
iu
k'u
iku
ik'u
(l+k)u
a+k')U
2
k
k'
ik
k'
M_
k
_1_
k'
2V"k
l+k
l—k'
1 +k'
1 + Vh'J
ks
is
с
k's
d
iks
~~d
ik's
с
A + k)s
l+ks* .
(!+*-)?
6*SC
y'fti(l + d)(A4<i)
с
с
~&
_1_
d
d^
с
cd
1+fcs*
1 — A +Jfe')sa
d—Vk
l- j^T
/r
2 1 + 6'
+ dfc'+d
с
\_
d
с
~d
\_
с
1—ks2
l + ks*
l—(l—k')s*
d
V\Tkl(d + Ykr)
Vl+dVk' +d
4.4. Формулы дифференцирования и дифференциальные уравнения:
dam и dsnu . den и . d dn и ..
an и, —^— = cnadna, —-з— = —snadna, —j—=—ft sn a en a,
<iu
du
du
du
(^Sf), = (l-sn,«)-(l-*tsneo), (^J = A-спга)(А'8 + ^спга),
d dn u \ *
du
'=■(!—dn2 a) (dn* a—A'2).
4.5. Формулы интегрирования:
k f sn a da = In ^=*™ « _ _ i- dn " +* en «
! \ sn a<
1-й
Ы
l + k
. . I dn и — k% en a \
д Arch 1-Arch j = Arsh (ft dn \Z™ ") = Arsh j - Arsh ffi .
ft ] en a da = arccos (dn a) = arcsin (ft sn a), J dn a da = arcsin (sn a) = am a,
о о
К и и
Г du i„ cnu + dnu ,, Г du , dn«+fe'sn« f . s . _.
n о °
и ■ о
,, Г d« „„„„„ /сп и\ . /,, snu\ ,, fsnu . , dh« + fc'
* \ hT^= arccos -г—- = arcsin ft -,— , ft' \ da = In , T ,
J dn и \unuj \ Anu) ' J спи (l+fc)cn«'
• 0
[^dtt=lnl+mu f-^da-^"—ft' ft'8fiHiLda-—— 1
Jcnu"" cnu ' Jsn^^-snu R ' Й Jcn»UflH_cnu '•
о « о
» К и и
ь'1 ( iHif.//,,_ i спц rdrT"j спи pdnu- snu Рспи . sna
Jdn^H"-1-!^' Ji^rda = -i^' Jcr^a = 7nH' ЗН5^ЛвЗп5-

В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 127
5. Дзета-функция Якоби zn (о*~ &)
Дзета-функция Якоба (рис. 68) определяется так:
«
Е С Е
zn(H, k) = E(amu, k)—-^- и = \ dn* (и, k) du—-r^u.
Она является периодической мероморфной функцией от и (модуль k считается
постоянным) с одним
периодом 2К: оь
zn и = — znBK — н)'= апи'
= znBK + H)= — zn (— и), j
Нули этой функции лежат ь
точках лК (л = 0. ± 1,. . .).
-О ее представлении с
помощью тэта-функций см. С,
4.3.
В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА
1. Функции Вейерщтрасса
W U, go,; 0И
Нормальной формой
Вейерштрасса
эллиптического интеграла 1-го рода
называется
0,3
02
0.1
С ds
У
~Т_
1
7/
-tt-
1-4-,*-
Wl-
U j *
Th/'
Ч 0/ £
^LlLt^C^'-
U'/,/*s''
Э^-r:
i
|
Ofi
0.8 \
*<■
0
0
с
T^^vs
F=^ 4
Г^ "V N
5 ___ *V
4 ^4
0,3 "vl
0
? ~~-
., ~" —i
0J
ч 4 \
^Sv
b^u
^S£
i^>0§
^$§l
nS\»
"""~-~!Ss8k
S = 4s* — fts — ft =
= 4(s—e,)(s—в4)(*—e,).
0,/ 4<? ^J 0,4 0,5 0,6 07 0,8 Of 1,0
Рис. 68. zn (K-2o) как функция 2d.
Обратная функция называется эллиптической функцией Вейерштрасса и
обозначается через
s=^h=^(h; ^„ g-,).
Она является двоякопериодической функцией комплексного аргумента и=и%-{-
-\- шг (рис. 691 с основными периодами 2ш, 2ш', которые для действительных
е1>ег^>еж даются равенствами
2ш
1г <*
2ш' = 2г [ф=
Величины ft, ft нчзывчются инвариантами функции. Инвчриянты ft, ft, нули
е , вг е, полинома S и периолы «о. <о' связаны равенствами iV' означает
суммирование по всем отличным от нуля периодам да = 2пиа + 2яш'; т. п = 0, ± 1, ...):
Л = -*(«Л + 'Л + «,«,> = б°^'-5*-: ^ = 4W.= 140 E'i":
e, = !f(a)), в, = # (ш + ш л «-, = !?(«'); e1-\-et r ^ = 0.

128 X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Дзета-функция Вейерштрасса £и и сигма-функция аи определяются как
d%u d* In au
>и=.
du
du*
и
E»=T-Ki?"-^r)'/"' ""=
S (*-*)
Ли
Ш"
Рис. 69. Рельеф функции Вейерштрасса $>и при <а = К=2,00,
ш' = »К'=1,75/, й=0,8, *'=0,6, е, = 0,453 =l+e„ <?s = 0,093,
ег=— 0,546, g,= 1,026, g3 = — 0,092.
Для действительных нулей ех^е1'^ ег полинома 5 возможны следующие
частные случаи:
=e.= -4?-J ' -, ■ Р* = —е.о + уЪе.сЙИ/Зе.а),
ci—с*— 9 ' \ » / rt*
оо) ^^^«'^ТшГ
аи-
е -«»»ч* sh(]/3^a).
«О)
Уз*
*» = «i + f-«idg*( у \еги),
gt = ely ca =00,
аи
-w-^ *(/*'.■)•
*, = ** — e,=0: g,,=A=0,' са = (в'=оо,
»и = -
£«=—, аи = и.
[При gt = О, g-, = 1 получается так называемый эквиангармонический случай
8 1
эллиптических функций (рис. 70, 71). В этом случае е, = -т-= , е4 =-7-^=0,6300,
/4 ,/4
е. = -т-=, где 1, в, 8*—кубические корни из единицы. Из ег~ $><ut опреде-
/4 '
ляется действительный полупериод со, = 1,52995.]

В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА 129
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
TZ
1
—1 Cfu
1
11
1 —
\
Plus
|
-P'tu)
О" 10° 20" 30" Ь0° 50" 60° 70" 80" 90" 100" 110" 120" 130" ПО" 150°
4,U
?,5
10
1,и
0.5
п
л \
t(uf\
л
ъу
\fciu
\
\
\
-pfui
OIul,
/
/
\
s4/i
+p'(u)
WU)
0'
50°
100°
ISO"
200"
250°
300'
Рис. 70 и 71. Функции Вейерштрасса как функциит = 180° — при g2 = 0, g,= l.
2. Представления
В окрестности и = 0 справедливы разложения в степенные ряды
, 2 g2u gsu> g>% 3g2g8a' ■
0 и3 "•" 10 "•" 7 "г 200 "г 770 "•"•••'
®и--
1 ■ g»»' ■ £•"* . _£f"_ , 3g2g3u8
£" = -
g2"'
fi^5
20
28
1200
6160
60
140
8400
240
g3 еУ
840 161280"

130
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Функциональные уравнения
3.1. Формулы интегрирования:
§rudu=mr''u-±gx-&+y.u>
J ^"—Wv a(u-\-u)'
Pa^u + |3 , au a6—Bv Г, a(u —о)', _ ,. "I / ^ 6\
JYi°" + S Y Y*l? » I o(u + o)^ feJ V Y/
3.2. Дифференциальные уравнения, приводящие к функциям Вейерштрасса:
(dx \г
—j =4x?—gtx—gt, x=$>(u; git gt);
/ <1ж V , » о i . о .» 2 4—За2 .
(■^-L = 1Г^ + аг)^ + 6)*. * = 6§>*(и; ft, 0)-6, *, = ■§-(«-*)-■
4. Соотношения между функциями Якоби и Вейерштрасса
Функции Якоби, соответствующие модулю
k*= *~ * @<[Аг<1 для действительных е,>е.>е.)
gj—et v i ж •»
могут быть выражены через ЦР«
sn
(B/gt-g.)= "fe-iL , «(о^-е,)
V9u—e, ' ' V»a—eu
Наоборот,
ч i «1—«i
Для периодов имеем соотношения:
К , Ж'' <в' Ж'
в>= /—-^=- , © =—т=, т = -^-=-г-.-
V^=7, /«,-е. ш к
С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
1. Определение и представления
»-
Тэта-функции для комплексного переменного v и комплексного параметра и
при Rex>0 определяются посредством рядов
1 -
Ф, {v, x) = 2qA (sin nv — q* sin Зя© -f q* sin 5я©—...) =

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
131
J. *- (п-±у
■ОДо, и) = 2^4 (cosn© + 9acos3n© + 9s соз5я©+...)= 2 ЯУ *' ет~1)Ж'\
П= — 00
+ 00
т), (о, и) = 1 + 2 (q cos 2nv +дл cos 4я© + 9* eos 6я© + ...) = 2 ' ?"*«*"*"',
л= — да
+ 00
ft4 (о, и) = 1 — 2 (д cos 2я© —9* cos 4я© + 9* cos 6я© —...)= 2 (— * )пд^е*тЫ.
Здесь q = e~KX, а под 01/* понимают однозначно определенное значение е * ;
можно также представить q = e'*x, где т = т, + /т2 = ix (т2>0).
Если параметр и фиксирован, то вместо ■& («, и) пишут сокращенно Од (©).
Функцию Ф4(?>) обозначают также через.О(и) или О,, (©). Тэта-функции являются
целыми трансцендентными функциями.
Логарифмическими производными no v будут:
J_dhv&Av) \
2я dv !
1 rfln04(o) /
2я do J
1 d In *. . 1 .
1 d!n*, 1 .
5ш2яр 5ш4яр sin 6ito
■" sh nx "■" sh 2ях ""•" sh Зях
-с5'11 2Я0 _i_ a sin 4яо , sin 6яр
г „ь „„ т" «ь о«« "г" sh Зях
sh ях
sh 2ях
2. Частные значения
2.1. Нули тэта-функций даны в таблице (да, п—целые числа)
«,(о, у)
m + nxi
<М". х)
. 1 , .
«»(».'*)
m + i-+(/i+i-)xt
«4@. *)
m+( " + ") к*
2.2. Значения тэта-функций $„(©) и их производных ■(>„(©) по v прий^В
обозначаются без указания аргумента: ftn @) = 0Я; ,fl,„@) = ,fl'n.
Имеют место формулы:
й = 2я9М1—302 + 59' —7?" + ...), ^=1+29 + 29*+ 29*+...,
Ог^2?МЦ-9а+?' + 9"+.-.), «€=1— 2? + 294 —2^+.,.,
*,' *S *3 *4
j; ~Л 1—3^+5<76—... ' *, -0Jl l+2<7 + 2^+2<7' + ....''
A_„* 1+3V+5Y+...
0* l+<7*+ <?« + ...
О»
,, ?-у+у-...
1—2<7 + 2<7*—2<7»+...-

132 ' X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3. Функциональные уравнения
3.1. Тэта-функции удовлетворяют соотношениям симметрии
3.2. Тэта-функции являются периодическими функциями: для dj («) и <KS (v)
период равен 2, для 0,(©) и 04(©) равен 1. Если обозначить
At g e > N —qe '
то следующая таблица показывает изменение О-функций при сдвигах аргумента
v и ил связь между собой:
".
— V
■4 .
•'+¥
. 1 ix
о±1
г.» +ix .
. в—1—ix .
*,(».)
«,(")
<м«?>
МО, (о)'
Ш«, (о)
*,<«>>
- #<М»)
#«,(»).
*4<«S)
♦*(")
А-И
*Л*Ф,|°)
МО, (о)
*4Й-
-A?V).
■ -«*4(оХ.
A<"i)-
««(f)
l*r-@.)
ОДШ
—ШФ4(о)
—'«.(о)
:■ W*,@).
..—ЛИ>,(л)
:*i(»i)
-*»<»)
±♦.@)
Ш *<.(»)
Л1*,(»)
'-*, («»)
~#*, (о)
.--*.#,(»)
3.3. Обозначим для краткости
: ■ ; , 1 lire1 ч \. • \ ''■'• [1 до»
Тэта-функции как функции v и и следующим образом изменяются при переходе
от одних значений аргументов v,,H к другим:
Pi
V
"хГ
V
1—ix
9
X
1
X .
X
1—ix
1+ix
*i(»i. *i)
f*,(o. х)
.G*,(-,-x)
<М». х)
*«(»i. х,>
Я>„ @ , X)
VlGQt(v, x)
<Мё, x) •
*!(»,. X,)
F«4 (o, x)
G*,(t;, x)
V^2(». x)
Ф, (t»„ У J
— if Mo, x)
VTG*,^. x)
3.4. Тэта-функции 'являются' решениями дифференциального уравнения
В ЧаСТИЫХ ПРОИЗВОДНЫХ '/■■ .... ;,'
а»
ж-*"
ах

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
133,
4. Связь с эллиптическими функциями и эллиптическими интегралами.
Модулярная функция
4.1. Между модулем k и отношением : соответствующих нормальных
форм полных эллиптических интегралов существует соотношение, которое с
помощью значений тэта-функций в нуле записывается в виде
fe2= —, где q=e ", * = -£-.
ч*_1Сл '+4<72
Функцию кг = Х(т), получаемую после подстановки т = /и = т1+/т2 в правую
часть, называют эллиптической модулярной функцией {рис. 72—74). Для
| q | <^ 1 получим:
*,!te1'6* 1+^+24^-
В таблице 33 тэта-функции Ьа Bv) и их производные даны прямо как
функции a (ft = sin а) (рис. 75—78).
Первые члены рядов, определяющих О-функции, дают приближенные
значения, которые могут быть вычислены с помощью таблицы 35 и таблицы
тригонометрических функций. Соответствующие поправки даны во вспомогательной
таблице 34, которая допускает линейную интерполяцию.
Вычисление q для данного модуля k (рис. 79, таблица 35) может быть
произведено посредством соответствующих нормальных форм интегралов К, К'
(таблицы 29, 30). Соответствующие значения q получаются и непосредственно
из ряда
q = в 4- 2а' 4-156* 4- 150b" 4-1707в" 4- ....
о 1—/F 1—^cosa ,. . .,
2е = 4= = -—- ... (k = sma, k = cos a).
1 + \V \ + V co&a
4.2. Нормальные формы полных эллиптических интегрзлов могут быть
представлены через значения тэта-функций в нуле, причем величина q для
данного модуля k должна быть вычислена согласно 4.L Для &*<-д- приближенно
-jj-K=<«3al+4f, "■ -|-АК = Ф*-4У7, -|-*'К-*:=*= 1-4*
J_F-_±-^L-i- 1+9<?г+25<7«+... ■
я л2 «, V ~A+<7г + <7,,+ ...)A+2<7 + 291 + .../:;=1— Ч,
4П 2 К К A+2? + у+...),A—4^ + 9?'-...)
я"-я»в* *4 ~ A+<7г + <?«+...LA-2<7 + 2<7»-...) ~l+b«'
Если **>-=-, то найдем ^ для модуля k' и положим —lnq = A. Тогда
при соответствующих значениях тэта-функций

134 X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рис. 72 и 73. Рельеф эллиптической модулярной функции £2 = Д,(т).

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
135
0
1+
///
т
wmr
о 1
col
/^
■ <
_\Л—
_\м
о \
*$s^
1Д_
¥ff° _
^ч
W
о 1
nfi -.-A
\ rift ,
\ j*^
*/
V~\V
^>
рр&лн
^^Ш
^f^N
p
Oil
Ц§5
\
TV
/^yv,
-~—ДЗГ"*'
--ElT
" f-s~J
"T l-zg T
'TFtT
1Л\ \3Pvf
№Г
i-
^v
jfc
$
>5^
^K
§
^
i
!§i
^
о I с
■ч-l t
-v#<
Щ
—■—~i^
\
1 +l
lv
■^ч. \
*^ft *
lk*} = 0
с*э /
0
0,5
CO /
CO
Рис. 74. Kapfa горизонталей рельефа эллиптической модулярной функции
&2 = А,(т;.

136
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
<^
1
*&-
it
д£.
5*°
15
о
36°
?7°
W
1
3°
0 0.1 0,2 ЦЗ Ц4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
*-2о
18°
1
1
45°
5Р
63°
72°
в£
27°
+~
8£
36°
Рис. 75. <
1>ункци
и i
>,(»
) =
<М
.
»i).
20+2»! =
= 1.
*А
J-
М
с.
д°
63°
5^
Л?
36"
IS
15
',*
1,3
12
1,1
1,0
из
US
0,7
Ofi
Of
w
О 0,1 0,2 0,3 O.'t 0J5 Ц6 0,7 0,8 0,9 1,0
*-2o
Рис. 76. Функции *»(»)=*,(Pj), 2a+2o, = l.

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
137
'1,0
0,9
0,8
0,7
0.6
0,5
0,4
0.3
0.2
0.1
1
г*
\
/
/
ч
в!"
72°
63°
~М° _
•,
>5°-
36°
27°
■ щ°
1
к-'
•
О 0,1 0,2 0,3 ОЛ 0,5 ОМ 07 0,8 Of 1J)
*~2t)
г, т-7 а 1 dlnOtCti) I din О, (и)
Рис. 77. Функции . 1 = ., . 2о+2а, = 1.
п dv я dv1
Iff
S
8
7
6
5
и
з
г
1
О 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,S 0,7 0,8 0,0 1.0
•■ ... _± —-*v
Рис* 78. Функции 1 ^ИМЕ) = _ 1 dlnO.Kj
я at) я dyt '
2и+2о. = 1.
1
1
1
чй
<?,
^
1
0
)
""" ^ ** *» т.

138
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Таблица 33. Тэта-функции и их производные
2»
0.0
1
2
3
4
0.5
6
7
в
*
1.0
0.0
1
2
3
4
0.S
6
7
8
9
1.0
0.0
1
2
3
4
0.5
6
7
8
9
1.0
00
■>
2
3
4
0.S
6
7
8
9
1.0
»•
я=0°
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
о.ооос
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
00000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
со
6.3138
3.0777
1.9626
1.3764
1.0000
0.7265
0.S09S
0.3249
0.1584
0.0000
,=0. |
9°
0.9970
0.9970
0.997S
0.9982
Q.9991
1.0000
1.001
1.002
1.003
1.003
1.003
0.0000
0.06206
0.1226
0.1801
0.2332
0.2805
0.3210
0.3S3S
0.3773
0.3918
0.3967
0.0000
0.001920
0,003650
0.005020
0.005897
0.006194
0.005883
0.005002
0.003632
0.001909
0.0000
оо
6.314
3.078
1.962
1.376
1.0000
0.7266
0,5096
9.3249
6.1584
0.0000
9°
18°
0.9874
0.9881
0.9899
0.9927
0.9961
1.0000
1.004
1,007
1.010
1.012
1.013
0.0000
0.08804
0.1739
0.2SSS
0.3308
0.3980
0.4SS3
0.5015
O.S3S3
0.SSS9
0.5629
0.0000
0.007845
0.01490
0.02045
0.02396
0.02509
0.02377
0,02015
0.01460
0,007661
0.0000
оо
6.314
3.078
1.963
1.377
1.0000
0.7268
0.S097
0,3250
0.1584
0.0000
1в°
27°
0.9712
0.9725
0.9766
0.9831
0.9911
1.0000
1.009
1.017
1.023
1.028
1.029
0.0000
0.1084
0.2140
0.3145
0.4073
0.4900
0.5607
0.6176
0.6592
0.6847
0.6933
0.0000
0.01833
0.03471
0.04747
O.0SS36
0.05769
0.05438
0.04589
0.03314
0.01735
0.0000
ОО
6.314
3.078
1.963
1.377
1.001
0.7273
0.5102
0,3254
0.1586
0.0000
27°
36°
0.9471
0.9497
0.9572
0.9689
0.9836
1.0000
1.016
1.031
1.043
1.050
1.053
0,0000
0.1260
0.2488
0.3657
0.4736
о;5700
0.6524
0.7188
0.7675
0.7973
0.8074
0.0000
0.03444
0.06S02
0.08839
0.1024
0.1059
0.09906
0.08306
0.0S968
0.03115
0.0000
оо
6.314
3.080
1.965
1.379
1.003
0.7293
0.5118
0.3266
0,1593
0.0000
36°
45°
0.9135
0.9178
0.9300
0.9493
0.9732
1.0000
1,027
1.051
1.070
1.082
1.086
•0.0000
0,1419
0.2804
0.4123
0.5343
0.6436
0.7372
0.8129
0.8682
0.9022
0.9135
0.0000
0.05806
0.1092
0.1473
0.1689
0.1729
0.1601
0.1331
0.09S00
0.04945
0.0000
оо
6.316 *
3.082
1.969
1,384-
1.007
0.7337
0.S1S6
0.3293
0.1607
0.0000
лу»
54°
0.8680
0.8744
0.8931
0.9223
0.9592
1.0000
1.041
1.078
1.107
.1.126
1.132
0.0000
0.1566
0,3098
0.4S60
0.5917
0.7139
0.8188
0.9041
0.9669
1.005
1.018
0.0000
0.09324
0.1737
0.2315
0.2613
0.2642
0.2415
0.1984
0,1404
0.07260
0,0000
оо
6.320
3.088
1.977
1.393
1.017
0.7432
0.5236
0.3351
0.1638
0.0000
54°
63°
0.8052
0.8147
0.8424.
0.8853
0.9397
0,9999
1.060
1.115
1.158
1.186
1.195
0.0000
0.1700
0,3368
0.4968
0.6467
0,7827
0.9007
0.9972
1.069
1.113
1.128
0.0000
0.1473
0.2712
0.3SSS
0,3942
0.3899
0.3502
0.2836
0.1985
0,1020
0.0000
оо
6,326
3.100
1.994
1.413
1.038
0.7628
0.5403
0,3473
0.1700
0.0000
63*
72°
0.7152
0.7290
0.7691
0,8318
0.9110
0.9992
1.088
1.168
1.231
1.272
1.286
0.0000
0.1810
0.3597
O.S33S
0.6989
0.8517
09870
1.100
1.184
1.237
1.255
0.0000
0.2401
0.4333
0.5527
0,5947
0.5719
0.5011
0,3980
0.2748
0.1400
0.0000
оо
6.340
3.128
2.031
1,457
1.083
0.8048
O.S7S3
0.3723
0.1831
0.0000
: 72»
81°
0.5694
0.5898
0.6494
0.7429
0,8619
0.99S6
1.131
1.254
1.353
1.417
1.439
0.0000
0.1843
0.3698
0.5563
0.7413
0.9200
1,085
1.227
1.337
1.407
1.431
0.0000
0.4380
0.7614
0.9247
0.9469
0.8742
0.7411
0.5748
0.3906
0.1972
0.0000
оо
6.384
3.218
2.132
1.570
1.198
0.9099
0.6619
0.4336
0.2148
0,0000
[ 81°
н
1,0
0.9
0,8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0,2
0.1
0.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2*
0.1
0.0
г*%
~^_
чГ
•■»
>
■fc*
—.
>
II
>
°>
*£•
£
с
■о
■а
К
I
If
N*
с
■о
>
■а
>
с
"О
fc:
"О
I
I!
.-.
~-^.
с
■о
К
I
I

с. тэта-функции 139
Таблица 34. Вспомогательная таблица для тэта-функций
«IW-W
2т
£.00
05
10
15
20
«.25
30
35
40
45
Ю,50
55
60
65
70
Ю.75
80
85
90
95
1,00
«=63°
+0.2
0.2
0.1
0.1
+0.1
0.0
-0.1
0.1
0.1
0.2
-0,2
0.2
0.1
0.1
-0.1
0.0
+0.1
0.1
0.1
0.2
+0.2
72"
+0.8
0.8
0.7
0.5
+0.3
0.0
-0.3
0.S
0.7
0.8
-0.8
0.8
0.7
0.5
-0.3
0.G
+0.3
0.5
0.7
0.8
+0.8
75°
+1.*
13
1.1
0.8
+0.4
0.0
-0.4
Q.8
1.1
1.3
—1.4
1.3
1.1
0.8
-0.4
0.0
+0.4
0.8
1.1
1.3
+1.4
78»
+2.S
2.3
2.0
1.4
+Р.8
0.0
-0.8
1.4
2.0
2.3
-2J
2.3
2.0
1.4
-0.8
0.0
+0,8
1.4
2.0
2.3
+2.5
81°
+4.5
4.3
3.6
2.6
+1.4
0.0
-1.4
2.6
3.6
4.3
-4.5
4.3
3.6
2.6
-1.4
0:0
+1.4
2.6
3.6
4.3
+4.5
82°
+ S.6
5.3
4.5
3.3
+1.7
0.0
-1.7
3.3
4.5
5.3
-5.6
5.3
4.5
3.3
-1,7
0.0
+1.7
3.3
4.5
5.3
+5.6
83°
+7.0
6.6
5.6
4.1
+2.2
0.0
-2.1
4.1
5.6
6.6
-7.0
6.6
5.6
4.1
-2.2
0.0
+2.2
4.1
5.6
6.6
+7.0
84°
+8.8
8.4
7.2
5.2
+2.7
0.0
—2.7
5.2
7.2
8.4
-8.9
8.4
7.2
5.2
-2.7
0.0
+2.7
5.2
7.2
8.4
+8.9
85°
+11.S
10.9
9.3
6.7
+ 3.5
0.0
- 3.5
6.7
9.3
10,9
-11.5
10.9
9.3
6.8
— 3.6
0.0
+ 3.5
6.7
9.3
10.9
+11.5
86°
+1S.2
14.5
12.3
9.0
+ 4.7
0.0
— 4.7
8.9
12.3
14.5
-15.2
14.5
12*
9.0
- 4.7
0.0
+ 4.7
9.0
12*
14.5
+15.3
87°
+21
20
17
12
+ 7
0
— 6
12
17
20
-21
20
17
12
- 7
0
+ 6
12
17
20
+21
87.5°
+25
24
20
15
+ 8
0
- 8
15
20
24
-25
24
21
15
- 8
0
+ 8
15
21
24
+25
88°
+31
29
25
18
+10
0
- 9
18
25
30
-31
30
25
18
-10
0
+10
18
25
30
+31
88.5°
+39
37
32
23
+12
0
-12
23
32
37
-39
38
32
23
-12
0
+12
.23
32
38
+40
89°
+ 52
50
42
31
+17
0
-16
31
42
50
-53
51
43
32
-17
0
+16
31
.43
51
+53
2»,
1.00
0.95
90
85
80
0.75
70
65
60
55
0.50
45
40
35
30
0.25
20
15
10
05
0.00
*
*,»=ад
2т
0.00
05
10
15
20
«.25
30
35
40
45
0.50
55
60
65
70
0.75
80
85
90
95
1.00
«=54°
0
-1
2
3
4
—4
4
4
4
4
-3
2
—1
0
+ 1
+2
3
3
4
4
+4
63°
0
- 2
5
7
9
-10
10
11
10
9
-8
6
3
- 1
+ 2
+ 4
6
8
9
10
+11
72°
0
- 6
11
16
20
-23
25
25
24
21
-18
13
8
- 2
+ 4
+10
15
19
22
24
+25
75° | 78°
0
- 8
15
22
27
—31
33
34
32
29
-24
18
10
- 3
+ 5
+13
20
26
30
33
+34
0
-11
21
30
37
-43
46
46
44
39
-33
24
14
— 4
+ 7
+18
27
35
41
45
+46
81°
0
-15
29
42
52
-60
64
64
61
55
-46
34
20
- 5
+10
+25
38
49
58
63
+65
82°
0
-17
33
47
59
-67
72
73
69
62
-52
38
23
- 6
+11
+ 28
43
56
65
71
+73
83°
0
-19
37
54
67
-76
82
82
79
71
-59
44
26
- 7
+13
+ 32
49
63
74
81
+83
83.5°
0
-21
40
57
71
-81
87
88
84
76
-63
47
28
- 7
+14
+34
52
67
79
86
+89
84°
0
-22
43
61
76
-87
93
94
90
81
-67
50
30
— 8
+15
+36
56
72
85
93
+95
84.5°
0
- 24
46
66
82
- 94
100
101
97
87
- 72
54
32
- 8
+ 16
+ 39
60
78
91
99
+102
85°
0
-25
49
71
88
-101
■ 108
109
104
94
— 78
58
35
- 9
+ 17
+ 42
64
84
98
107
+110
85.5°
0
— 27
S3
76
95
—109
117
118
113
101
— 84
63
37
- 10
+ 18
+ 45
70
90
106
116
+119
86°
0
- 30
58
83
103
—118
126
128
122
110
- »2
68
41
- 11
+ 19
+ 49
76
98
115
126
+130
86.5°
0
- 32
63
90
112
-129
138
140
134
120
-100
75
45
- 12
+ 21
+ 53
83
107
126
138
+142
87°
0
- 35
69
99
123
-141
151
153
147
132
-110
82
49
- 14
+ 23
+ 58
91
118
139
152
+156
2»,
1.00
0.9S
90
85
80
0.75
70
65
60
55
0.50
45
40
35
30
0.25
20
15
10
05
0.00
«,(*) =2o//<sin«»+1O-J0;(v). 02{*,) = 2<|1'*аял»1+1О-10'(*1).
**М = 1 -2<jeo»2s» + W-*0»(v). *,<*,) -1 + lqtotlitr, + 10-» «;(*,).

140 X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Таблица 35. Функция In q
«
е°.о
1
2
3
4
o°.s
6
7
8
9
1°.0
1
2
3
4
1°,5
6
7
8
9
2°.0
1
2
3
4
2°.5
6
7
8
9
з°.о
1
2
3
4
3*.5
6
7
8
9
4°.0
1
2
3
4
4°.5
6
7
8
9
5°.0
logq
— ОО"
7.2796
7.8817
6.2339
6.4838
6.6776 — 337
6.8359 237
6.9698 175
3.0858 134
.1881 Ю»
.2797 — 86
.3624 7»
.4380 60
1.5076 Я
.5719 44
1.6319 — 38
.6879 34
.7406 30
5,7903 27
5.8372 24
.8818 — 22
5.9242 20
3.9646 »8
4.0032 >6
4.0402 IS
4.0757 — 1*
-4.1097 +£
4.1425 JM.
4.1741 305
4.2046 Ms
4.2341 M5
4.2626 276
4.2902 M7
4.3169 M,
4.3428 252
4.3680 + lti
4.3925 2J8
4.4163 ,32
4.4395 „6
4.4621 J20
*48*1 + 21S
4.5056 20,
4.5265 20S
4.5470 200
4.5670 ,9i
4.5865 ,„
4.6056 le7
1.6243 ,„
4.6426 180
4.6606 175
.6781 -
«
5°.0
1
2
3
4
5°.S
6
7
8
9
6°.0
1
2
3
4
6°.S
6
7
8
9
7°.0
1
2
3
4
7°. 5
6
7
•8
9
8°.0
1
2
3
4
8°.S
6
7
8
9
9°,0
1
2
3
4
9°,S
6
7
8
9
10°.0
logq
w.
6781
6953
7122
7288
7451
7610 +
7767
7921
8072
8221
8367 +
8511
8653
8792
8929
9064 +
9197
9328
9457
9584
9709 +
9833
9954
•0075
0193
0310 +
0425
0539
0652
0763
0872 +
0981
1087
1193
1298
1401 +
1503
1603
1703
1802
1899 +
1996
2091
2185
2278
2371 +.
2462
2553
2642
2731
2818
172
169
166
163
IS9
IS7
154
Я
49
46
44
42
39
37
35
))
31
29
27
2S
24
21
21
18
17
IS
14
13
11
ОТ
ОТ
06
06
OS
03
02
00
00
»9
97
97
9S
94
93
93
91
91
89
89
87
a
10°.0
1
2
3
4
w°.s
6
7
8
9
11°.0
1
2
3
4
11°.5
6
7
8
9
12°,0
1
2
3
4
12°. 5
6
7
8
9
13°,0
1
2
3
4
13°,5
6
7
8
9
14°.0
1
2
3
4
14°. 5
6
7
8
9
15°.0
logq
T.
2818 + „
2905 86
f91 86
3077 84
3161 84
32« + 82
3327 82
3409 82
3491 80
3571 и
3651 + „
3730 7,
3809 77
3886 77
3963 77
4040 _j. 75
4115 7S
4190 7S
4265 ,4
4339 73
4412 + 73
4485 7j
4557 „
4628 7)
4699 70
4769 + ,0
4839 6,
4908 6,
*977 ja
5045 68
51" + 67
5180 67
5247 66
S3" 65
5378 66
5444 + 6<
5508 65
5573 63
5636 64
5700 63
5763 + 62
5825 62
5887 62
59*9 41
6010 61
6071 + 60
6131 60
6191 5,
6250 60
6310 S8
6368
5;
ОС
1S°0
1
2
3
4
15°. 5
6
7
8
9
16°.0
1
2
3
4
16°.5
6
7
8
9
17°.0
1
2
3
4
17°.5
6
7
8
9
18°.0
1
2
3
4
18°.S
6
7
8
9
19°.0
1
2
3
4
19°. 5.
6
7
8
9
20°.0
logq
T,
6368 5,
6427 58
6485 57
"" 58
6600 „
6657 + 56
6713 56
6769 56
6825 56
6881 w
6936 + 55
6991 54
7045 54
7099 54
7153 5<
7207 +5J
7260 уз
731.3 S3
7366 я
7418 sj
7470 + si
7522 51
7573 51
7624 51
7675 51
7726 + jo
7776 so
7826 jo
7876 4,
7925 4,
7974 + 4,
8023 49
8072 48
8120 4,
8169 47
8216 + «a
8264 4a
8312 4,
8359 47
8406 46
8452 + 47
8499 ^
8545 46
8591 46
8637 45
8692 + 46
8728 45
8773 4s
8818 44
8862 45
8907
T.
a
20°.0
1
2
3
4
20°. 5
6
7
8
9
21°.0
1
2
J
4
21°.S
6
7
8
9
22°.0
1
2
3
4
22°,5
6
7
8
9
23°.0
t
2
3
4
23°.S
6
7
8
9
24°.0
1
2
3
4
24°.S
6
7
8
9
2S°,0
logq
T.
8907 + 44
8951 44
8995 44
9039 u
9083 i}
9126 + 43
9169 43
9212 43
9255 43
9298 42
9340 + 42
9382 42
9424 42
9466 42
9508 4,
9549 + 42
9591 4,
9632 4,
9673 ад
9™ «
9754 ^o
9794 4,
9835 40
9875 ад
9915 J,
9954 + 40
9994 J,
*0033 40
0073 39
0112 39
0151 + 38
0189 3,
0228- за
0266 39
0305 за
0343 + за
0381 за
0419 37
0456 за
0494 37
0531 + 37
0568 37
0605 37
0642 37
0679 37
0716 + 36
0752 37
0789 36
0825 36
0861 36
0897
X
»
2S°.0
1
2
3
4
2S°.S
6
7
8
9
26°,0
1
2
3
4
26°. 5
6
7
8
*
2Г.0
1
2
3
4
27°.S
6
7
8
9
28°.0
1
2
3
4
28°.S
6
7
8
9
29°.0
1
2
3
4
29°. 5
6
7
8
9
30°.0
logq
T,
0897 + 3.
0933 34
0969 3J
1004 it
1040 JS
1075 + js.
1110 JS
1145 3S
1180 ]s
1215 3S
1250 + 34
1284 ,s
«19 к
«S3 j4
1387 34
1421 + ,4
1455 j4
1489 ,4
1523 u
1557 з,
1590 + n
1623 J*
1657 _n
1690 jjt
1723 j,
1756 + jj
1789 J
1821 j,
1854 jj
1887 3j
1919 + 32
1951 n
1984 32
2016 за
2048 ]t
2079 + J2
2111 32
2143 u
2175 JV
2206 3t
2237 + 31
2269 3r
2300 Jt
2331 j,
2362 n
2393 + „
2424 jo
2454 j,
2485 j,
2516 jo
2546
T.
В немецком оригинале настоящей книги для натуральных логарифмов
употребляется обозначение log q вместо принятого у нас la q. — Прим. ред.

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
141
Продолжение табд. 35
.
эо°.о
1
2
3
• *
30°,5
6
7
8
9
31°.0
1
2
3
*
31°.5
6
7
8
9
32°.0
1
2
3
*
32°.5
6
7
8
. . 9
33°.в
1
2
3
*
33°,5
6
7
8
9
34°.0
1
2
3
*
3*°,5
6
7
8
9
35°,0
logg
2.
*»« + зо
2576 31
2607 зо
2637 ,0
2667 jo
2697 + 30
i7i7 30
2757 „
2786 jo
2816 30
28*6 + „
2875 „
2904 30
2934 2,
2963 2,
2992 „
3021 2,
3050 2,
3079 „
3108 м
3137 + 28
3165 „
3194 м
3222 2»
«5' 28
3279 + „
3308 м
3336 м
336* м
3391 ,м
3"° + 28
3448 м
3476 „
3503 м
3531 М
3559 + 27
3586 м
3614 27
3641 „
3*68 м
3696 + „
3723 27
3750 27
3777 27
3804 27
3831 + 27
3858 27
3885 26
3911 27
3938 27
3965
-
35°,0
1
2
3
4
35°,5
6
7
8
9
36°,0
1
2
3
4
36°,5
6
7
8
9
37°.0
1
: 2
3
4
37°,5
6
7
8
9
38°.0
1
2
3
4
38°;s
6
7
8
9
39°.0
1
2
3
4
39°.5
6
7
8
9
*0°,0
logg
2.
3'*5 + и
3991 27
4018 26
40*4 и
4070 27
"»7 + 26
*1i3 к
*1*9 26
*175 26
*201 и
>>™ + 26
3 26
9 26
*305 25
*ззо 26
*356 + 26
4382 25
ао7 ,26
**зз 25
4458 25
*«3 + 26
4509 25
4534 25
4559 „
4584 26
4610 + 25
4635 2-
4660 и
4684 25
4709 25
4734 + и
4759 25
4784 и
4808 15
4833 25
4«8 + и
4882 2<
4906 2S
«31 2*
4955 25
4980 + и
5004 и
5028 и
5052 24
5076 ы
5100 + 24
5124 и
5148 и
5172 2<
5196 и
5226
Г.
•
*0°.0
*. 1
2
3
4
*0°.5
6
7
8
9
41°,0
1
2
3
4
41°5
6
7
8
9
42°.0
1
2
3
4
42°. 5
6
7
8
9
43°,0
1
2
3
4
; 43°.5
6
: 7
8
9
44° ,0
1
2
3
4
44°,5
6
7
8
9
*5°.0
logq
2.
5220 + м
52W 23
5267 и
5291 „
5315 „
5338 и
5362 „
5385 м
5409 2,
5432 24
5456 23
5479 23
5502 23
5525 м
5549 2,
5572 + 23
5595 23
5618 23
S641 23
5664 23
5687 + J,
5710 22
5732 23
5755 23
5778 2J
5801 + jj
5823 23
5846 „
5869 22
5891 23
5914 22
5936 23
5959 22
5981 22
6003 J3
6026 + 2J
6048 22
6070 jj
6093 jj
6115 22
6137 + 22
6159 22
6181 22
6203 22
6225 22
6247 + jj
6269 jj
6291 и
6313 21
6334 jj
6356
2^
.«
45°,0
1
2:
•3
' 4
45в,5
6
7
8
9
46°.0
1
2.
3
4
46°,5
6
7
8
9
47°.0
1
-. г-
3
4
4Л5
: 6
7
8
9
48°.0
1
2
3
4
*8°.5
6
7
3
9
*9°0
1
2
3
*
*9°,5
6
7
8
9
50°.0
log q
2,
6356 + jj
6378 jj
6400 ,1
6*21 22
6443 22
6465 + j,
6486 22
6508 21
6529' j!
6551 j»
6572 + 22
659* j,
6615 21
6636 22
6658 j,
6679 + j,
6700 21
6721 22
67*3 21
676* 21
6785 + 2,
6827 : 21
6848 j,
6869 j,
6890 + j,
6911 21
6932 21
6953 j,
6974 jo
'"* + 21
7015 21
7036 21
7057 jo
7077 21
7098 + „
7»9 20
7"» 21
7160 j,
7181 JO
7201 21
7222 10
7242 21
7263 м
7283 у
73W + 20
73« 20
734* 21
7365 jo
7385 10
7*0$
2".
а
50°,0
1
2
3
4
50°5
6
7
8
9
51°,0
1
2
3
*
51°,5
6
7
8
9-
sa°.o
1
: 2
3
4
52°.5
.■• 6
■7
I 8
. .9
53°.0
: 1
2
1
Л
53°,5
6
7
8
9
54°,0
1
2
3
*
5*°,5
6
7
8
9
55°.0
logg
2,
™5 + 20
7425 31
74*6 jo
7*66 jo
7*86 jo
7506 + 20
7526 21
75*7 20
7547 20
7587 20
7607 + jo
7627 jo
76*7 20
7667 jo
7687 и
7707 + 20
7727 „
77*6 jo
7766 20
7786 jo
7806 ;+ jo
7826 20
7846 „
7865 jo
7885 jo
790S л „
™* 20
"** 20
796* „
798J .-,„
«Ю + 20
8023 „
8042 и
8062 „
«081 jo
8101 „
8120 jo
81*° „
8159 jo
8179- „
8198 + „
8217 jo
8237 „
8256 „
8275 jo
8295 „
831* „
8333 и
8353 „
8372 19
8391
a logg
55°,0
1
2
3
4
55°,5
6
7
8
9
5б°.0
1
2
3
*
56°.5
6
7
8
9
57°. 0
1
- 2!
3
*
57°,5
6
7
!. 8
9.
58°,0
1
2
3
4
58°,5
6
■ 7
8
9
. 59°,0
1
2
3
*
590.5
6
7
8
9
60°,0
2,
8391 +„
8*10 jo
8430 19
84*9 „
8*68 19
8*87+ „
8506 „
8525 „
К« 20
8564 ,,
8583 +.„
8602 ,9
8621 19
8640 „
8659 „
8678 +.„
8697 „
8716 ,,
8735 „
8754 „
8773 .+ 18
8791 „
88Ю ,,
8829 „
8848 „
8867 + „
8886 )9
8905 „
8W* ie
89*2 ,j
8961 + „
8980 „
8999 „
9017 „
9036 ■„■
905S „
907* ,8
9092 „
9111 „
9"Р ,в
91*8 л „
9167 „
9186 1в
920* „
9223 „-
92« + 18
9260 ,,
9279 18
9297 „
9316 „
9335
21

142
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Продолжение т а б л; 35
• 1
60°.0
1
2
3
4
««•.s
&
7
8
9
«1°.0
1
2
3
4
«1°.5
6
7
8
9
«2°.0
1
2
3
4
М°.5
6
7
8
9
м°.о
1
2
3
4
«3°,5
6
7
8
9
64°,0
1
2
3
4
64°,5
6
7
8
9
'б5°.0
logq |
2.
9335 + 1в
9353 „
9372 1в
9390 „
9409 „
9427 „
9446 1в
9464 „
9483 1в
9501 „
9520 + 1в
9538 „
9557 „
9575 „
9594 1в
9612
9631 1в
9649 „
9668 „
9686 „
9705 +1в
9723 16
9741 ,,
9760 „
9778 „
9797 + 1в
9815 1в
9833 „
98S2 „
9870 1в
9888 „
9907 1в
9925 „
9944 1в
9962 „
"80 + 19
9999 1в
•0017 1в
0035 19
0054 1в
0072 + ie
0090 „
0109 ,в
0127 ,в
0145 „
0164 + 18
°Ш 1в
0200 ,,
0219 1в
0237 1в
025S
1.
л
65°.0
1
2
3
4
65°,5
6
7
8
9
66°.0
1
2
3
4
66°,5
6
7
8
9
67°,0
1
2
3,
4
67°,5
6
7
8
9
68°.0
1
2
3
4
68°.5
6
7
8
9
69°.0
1
2
3
4
69°,5
6
7
8
9
70°.0
logq |
1.
0255 „
0274 1в
0292 1в
озю 19
0329 „
0347 + 1в
0365 „
0384 1в
0402 ,в
0420 „
0438
0457 1в
0475 1в
0493 ,,
0512 1в
0530+1в
0548 ,,
0547 1в
0585 „
0603 ,,
O^+ie
0640 19
0659 1в
0677 1в
0695 19
°7?4 + 1в
0732 1в
0750 19
0769 1в
0787 1в
0805 + 19
0824 18
0842 19
0861 1в
0879 ,,
0898+ ,в
0916 1в
0934 „
.0953 „
0971 „
0990+,в
1008 „
1027 1в
1045 „
1064 1в
1082
1101 1в
1119 „
1138 1в
1156 „
1175
~.
л
70°,0
1
2
3
4
70°,5
6
7
8
9
71°.0.
1
2
3
4
71°,5
6
7
8
9
72°,0
1
2
3
4
72°.5
6
7
8
9
73°.0
1
2
3
4
73°.5
6
7
8
9
74°,0
1
2
3
4
74°,5
6
7
8
9
75°.0
logq |
1.
1175 +ie
1193 „
1212 „
1230 „
1249 „
1268+,в
1286 •„
1305 „
1324 1в
1342 „
1361
1380 1в
1398 „
1417 „
14* 1в
1454 „
1473 19
1492 ,,
1511 „
1530 18
1548 + 19
1567 19
1586 ,',
1605 „
1624 „
1643+19
1662 „
1681 19
1700 19
1719 ,,
1738
17S7 „
1776 „
1795 19
1814 ,,
1833 19
1852 ,,
1871 ,,
1890 и
1910 ,,
1929 „
1948 „
1967 ю
1987 „
2006 ю
2026 „
2045 „
2064 20
2084 19
2103 и
2123
1.
л | log q
75°.0
1
2
3
4
75°.5
6
7
8
9
76°.0
1
2
3
4
76°,5
6
7
8
9
77°,0
1
2
3
4
77°.5
6
7
8
9
78°.0
1
2
3
4
78°.5
6
7
8
9
79°,0
1
2
3
4
79°.5
6
^ 7
8
9
80°.0
1.
2123 +19
2142 м
2162 ,,
2181 20
2201 ю
2221 +„
2240 w
2260 м
2280 ю
2300 20
232°+20
2340 „
2359 ю
2379 м
2399 20
2419 +20
2439 „
2460 ю
2480 20
2500 ю
2520 +м
2540 м
2561 ю
2581 21
2602 м
2622 + 21
2643 20
2663 21
1684 20
2704 2,
2725 21
2746 21
2767 20
2787 2,
2808 2,
2829 + 2,
2850 21
2871 22
2893 21
2914 2,
2935 + 21
295* н
2978 21
2999 м
3021 2,
3042+ 22
3064 22
3086 н
3108 н
3130 н
3152
П
- л
80°,0
1
2
3
4
80°.5
6
7
8
9
81°,0
1
2
3
4
81°.5
6
7
8
9
82°,0
1
2
3
4
82°.5
6
7
8
9
83°.0
1
2
3
4
83°,5
6
7
8
9
84°.0
1
2
3
4
84°.5
6
7
8
9
8S°,0
logq
1.
3152 22
3174 22
3196 22
3218 п
3240 22
3262 23
3285 22
3307 23
3330 j,
335* 23
3376 22
3398 23
3421 м
3445 23
3468 23
3491 23
3S14 м
3538 w
3562 23
3585 24
3609 2<
3633 м
3657 м
3681 25
3706 м
3730 25
3755 „
3779 25
3804 2S
3829 м
3855 25
3880 25
3905 и
3931 26
39" 26
3983+ 26
4009 ^
4035 27
4062 26
4088 27
4115 „
4142 28
4170 27
4197 28
4225 м
4253+2в
4281 м
4309 •„
4338 2,
4367 2,
4396
Т,
«
85°,0
1
2
3
4
85°.5
6
7
8
9
86°.0
1
2
3
4
86°.5
6
" 7
8
9
87°.0
1
2
3
4
87°.5
6
7
8
9
88°,0
1
2
3
4
88°,5
6
7
8
9
89°,0
1
2
3
4
89°.5
6
7
8
9
90°.0
logq
1.
4396 + 30
4426 29
4455 за
^S з*
4516 3t
4547 n
4578 Jv
4609 n
4641 „
«П 32
4705 3J
4738 u
4772 34
4806 3t
4840 3S
4875 3S
4910 34
4946 3«
4982 „
5019 ,8
5057 + 38
5095 „
5134 to
5174 4,
5215 „
515*+*3
S299 „
5342 45
5387 u
5433 „
5480 + «a
5528
5578 52
5630 SJ
5683 и
5738 + S3
5796
5854 «3
5919 67
5986 7C
6056 7J
6131 81
6212 87
6299 „
6395 Ml
6502
6625
6772
6957
7230
•oooo
в»

С. ТЭТА-ФУНКЦИИ
143
4.3. Эллиптические функция Якоби могут быть выражены через тэта-функции:
sau = —F=~-{, Спн= I/ -г-д , i, dnи = 1/й .. ; :
Г=2К' • 5^1 ' Х = ТГ)'
Если положить a = a,+«4i и для действительных К, К' в первый раз взять
С
КО
0J9
0,8
0.7
0,6
Of
ОЛ
0,3
ОЛ
0J
W
Щ
Верхняя шкапа
№
У
1*
J*
**
-L4-
t
?Л
га;
F
лЧ
9,
9.
rf«
X
Л
,/
ЛИ
/
*
О 0J ОЛ 0,3 0,4 4* OjS 0,7 0,8 OS Ш
Рис. 79. Величина </=в-,с* как функция от k?=sit£a.
•2К'<а2<2К', а во второй раз нг = 0, то для малых q получим приближенно
dn^ ;-^<;-^;;^i-8,sinv.
1 riln ft4 4<? sin 2#
ZnH~ fl* d«/ 4=l+2<7B—cos2«/)+4<7s(l—2cos2^)-

XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
А. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
Полиномы Чебышева 1-го рода, Ta(z) и 2-го рода £/„(•*) определяют как*)
Тп (z) = cos (л arecos z) = j \(z + i]A — z*)n + (z—i У\ —г2)"],
Un (z) = sin (л arecos z) = ^ Uz + i ]Л—г2)"—(z — / V 1 —г*)я1.
Они являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения
Имеют место представления:
Г„(х)'=«•— ( J ) >-• (I — «■) + ( J ) ■«—*(! —«^
I '» 1-3-5.,.Bп— 1) Йг"*1 г'
1
и— —
2
л
_/ 1\я-» 5 ^М Z*\
1
2
Производящие фу н к ц я и;
1—<2
l—2tz +
Т = Т, ■(*) + 2^7. (г) Л
00
' 1 — 2/г -Н*~^i^nZTi ^- Un+* И *"*
" * * и=о
Рекуррентные формулы:
>„+1(г)-2гТп(г) + 7я.1(г) = 0,
£/я+, (z) - 2zUn (z) + Un_, (z) = 0.
Функция Un(z) обращается в нуль при г-—1 и 2 = 1. Кроме того,
Tn(z) и Un(z) имеют только действительные простые нули, которые все лежат
в интервале — 1 < z < 1.
*) Иногда употребляется и иная нормировка этих полиномов.—Прим. ред.

Л. ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫЩЕВА
145
7>
У
ГЛ
V
А
j>
*4с
3-
\
\
\\
'1
J
i
1 ^
*ъ
^
ХГз
г«\
Л
\ >
V
^А
у.
'д'
XJ
/л
/
/J
/
А
4
\
л
1
/J
1
1
в/ 42 /JJ «* 0,5 0,6 0,7 0JS
Рис. 80. Полиномы Чебышева Тп(х), п==2, 3 10.
в»
4f
1,6
OS
0JB
0.2
а
-в.2
-«б
-в*
-W
3^-
>^
^
V
vS,
^Г
.>
/1?
/^8
Л,
Aw
,
/ н
1
1
//
/
///
■
«до
/Mff
Рие< 81. Полиномы Чебышева Тп(х), п = 2, 3, .... 10.
W7
-Я

146 XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Частные значения:
7.A) = 1, 7",(-1)=(-1)», 7-4я@) = (-1)я, 7„+1@)=0,-
£/„A) = 0, ■ £/,( —1) = 0, £/,„@)=0. Ця+1@) = (-1)я.
Функции Тп(х) действительны при всех действительных значениях аргумента
z =х (рис. 80 — 82), а функции Un(x) — при —1^*^ + 1. На этом отрезке
выполняются соотношения ортогональности
"Г I
I
Тт(х)Тп(х)
V 1-х»
dx
{ 0 , +1
I _я г t;m (х) и„ (х)
'2' J ^П=1*
[я, -»
О , если тфп.
^- J j^r=? d*=i-2- вслн m=**o>
О, если т=я=0.
Справедливо важное равенство, следующее из определения:
Тп (cos О) = cos яО.
Среди всех полиномов й-й степени с единичным старшим коэффициентом
полином _t Тп(х) выделяется тем, что он меньше всего уклоняется от нуля
на отрезке —lsgjesg+l.
0,m 0J996 0J98
.Рис. 82. Полиномы Чебышева Тп(х), я=10, 11 20.
Полиномы Чебышева низших степеней:
1,000
7.W-1,
Тг(г) = z,
Ttiz) = 2z*—l
7,(г) = ;4*'-3г,
Tt(z) = 8zl —8s2+ 1,
Г. (z)
£/.<*) = 0,
^,(g) = Kl—g';
£/2B) = ^1-гг2г,
£/,(z) = j/l-za[4z*-ll,
f/t (г) = |/1-гг [8zs _4?j,
= 16г5 —20г* + 5г, £/8(г)=У1 — z* [16г4- 12гг+ 1].

В. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
147
В. ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА
Полиномы Лагерра являются решениями дифференциального уравнения
Z d? + (a+ l ~ Z) 37 + "*" = °'
где я = 0, 1, 2, ..., a a—произвольное комплексное число. Именно*),
В частности, Ln(z) = Lf(z) = l _(»}«-+(;) J- ... -M-i^g;
Производящие функции:
,e '"' д VUa){*)Л «-*;(i +<)" = yUa-B)(г)*» (И <i).
(l —0 + ^ x-
Рекуррентные формулы:
nLT(z) = Bn + a—l~z)dl (z)-(n + a—l)L{°lt(z)i
dL{aHz\ (я = 2, 3, ...)
Теоремы сложения:
. tf> <«, +«J = * Ё Ц£ «Si?**» w,
*=о
Если параметр a действителен и > — 1, то все нули полинома Xna>(«)
простые и являются действительными положительными числами.
Если параметр а действителен, то для действительных положительных
значений аргумента z = x функции L^ (х) будут действительными. Если, кроме
того, a> — 1, то выполняется соотношение ортогональности:
"V _ „.им иг, ' { О ПРИ тфп.
I --vis?wi^wite-ii^^^+.j njHmr„: ;
ж
'я'
Для функций /„(*) = в~* £„(*) (рис. 83, 84, табл. 36)-получаем,
следовательно,
•fas
5@ при тфп,
LM lAx)dx=\x при m = rt.
* -. ' - I ,
П один омы ^Л are рра низших степеней для а'=0
Lt(z)=h 1,(^=1-32+1^-^»,
Ljz) = l— z, \ L:x(z)^\— 4г + 3г, + 1г4<;
£,(*) = !—2*+у Л Л,(г) = 1+5г» + ^г1-г15г5
*) Иногда применяется и иная нормировка этих полиномов. —Прим. ред.

148
XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
V
с
-в.4
h(x)\
\L,(x)
Лг(х\
ls(x)
- ■
л
*Ш
. --.
\ "■"V.
1^хТ
sllrfC)
~%м
Хм
0.5 1
1,5
.2,5
®
¥
5,5
6
-х
Рис. 83. Функции Лагерра *„{*), п=1>2, ,..., 5.
9
А*
0
-Ofi
•-о,в
1
i'
I 'w
1
I
i о
■ -■ ■
la (xL
11/
WLs{
JS 1
'775?
?W
x)
'■: r.
. I
;-■ ■ :■
5 1
■ -
> -\
. . ■;
Si
::.-.
'
- ' Л "
'-■ "■
t ' 4
Lw(x)/
, • .
:: г:-;'
5 i
'1а(хЬ
T~-]
-■ r' . ■
к
^(xh
l7(x)^
ls(x)
-■■■■
5 1
1 5
5 6
■+-X
Рис. 84.• Функций Лагерра ln{x), п. =6, 7, ..".," 10.

It! S 13 В К К ti Й • * £им'е «
*"* 5Ш SSSS 5S5ё SS5« SSSi SSSig ISSSi
Ш!
+ +
p ppp-p p
+ + +
p p ppop ppop о p j
■* № Ul M w
ШМ mi Ш! mi ^»'n mi §rm I
+■ +■
о oooo-*
I I I I I MM! Mill Mil I II I I
M 9> № ff> И V» #• #• W W W U M Ю M "^ ^ ^, ^ ^ ,^ ^ -» о*
s
I I I
p ?. e я p p p p p p p p p ? i
i i ii
p p p p ?. p. p p p p ? e p ? e
i + + +
es ppp pp pppp
nm mmmi mi ни .iiiuhi ни гш нш §§§§!
Mill I II I I II I II I
VI 1Л И «• *• W W W Ю Ю -*-*_*-*_* -ь
s
H
Bl
6«
fa
Б
Я
fi>
i
}
rail
TTTTT
Illii
TTTTT
Sill
тт.
fes
""чНшШШЙШН
nmm
§шг
II
i i i
i i
s
I +
: ft ggg
*ч 8 W W
О OOOOO
ИШ1ШНШ1Ш
I M II
w w w to to
II I I
SSSH!
+ ii i
p p p p p p p p
i +
:Н1|ШШ1Ш;
Sill
о о
+
о о
I
I I +
+■ +
о о о о о
+ I I
р р о о р о
I i +
I II I I
w w ы - -
1Ш1ШМ:Ш1ШШМШ1ШШ111НШ11!
тт
I I
ттт
I
11Ш
ттттт
iifii
isi
тт
II
+ I I
I I + + ■ + + м l
р р р р р р р р р р р р р р р р р р
Ш1ШШШШШ1ШН>Ш II
I + +
i i
i
5

150 XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Продолжение табл. 36
« /tW М*> г8(*> М»> haM ~
0,00 +1.0000 +1.0000 +1.0000 +1,0000 +1.0000
0.10 * + 0.4487 + 0.3798 + 0.3148 + 0.253S + 0.19S8
0^0 + 0.6725 (-1) — 0,2207(—1) — 0.9967 (— 1) —0.1664 — 0.2232
0.30 —0.1808 0.2S92 0.3180 0,3597 0.386$
0.40 0.3257 0.3748 0.3990 0,4027 0.3900
0.50 —0.3926 . —0.4037 —0.3881 —ff.3527 ^ —0.3032
0,60 0.4021 0.373$ 0.3204 0.2S19 "~ 0,1751
0.70 0.3710 0.3058 0.2220 0.1302 - 0.3851 (-1)
0.80 0.3128 0.2173 * 0.1120 —0.8407 (—2) + 0.8548 {—1)
0.90 0.2383 0.120$ —0.3837 (—2) +0.1002 0.184»
1.00 -0.1S58 -0.24$$ (-1) + 0.9340 (-1) +0.1879 +0.2541
1Д5 +0.46$3(-1) +0.1742 0.2587 0.2979 0.29S9
1.50 0,2008 0.2828 0.301$ 0.2679 0.197S
1.75 0.2856 0.2992 0.2456 0.1 $03 + 0.3811 {-1)
2.00 +0.3025 +0.2441 +0.1320 +0.2985 (—2) -0.1137
275 0,2646 0,1456 + 0.5606 (-3) -0.128$ 0.2158
Х50 0.1897 + 0.3093 (-1) —0,1176 0.2170 0.2S22
2.75 + 0.9541 (-1) - 0.7816 (-1) 0.2032 0.2S22 0,2270
3.00 —0.2789 (—2) —0.1666 —0.2474 —0.2368 —0.1 $62
3.25 0.9298 (-1) 0.2258 0.2502 0.1816 - 0.608$ (—1)
' 3.50 0.1669 0.2530 0.2176 . 0.1016 + 0,3842 (—1)
3.75 07197 0.2497 0.1S89 — 0.1196 (—1) 0.1248
4,00 —0.2496 И —0.2204 — 0.8464 (—1) + 0.7366 (—1) +0.1867
475 07571 0.1713 -0,$254(-2) 0.1448 0.2183
4,50 07442 ; : 0.1093 + 0.7024 (—1) 0.1947 ' 0.219»
475 071** ' — 0.4123 (—1) 0,134» 0.2201 :■ 0.1923
5,00 '—0.1716 + 0.2671 (—1) +0.1835 ;?,'. ^в.2210 + 0.1442
S7S 0.1199 0.8936 (—1) 0.2138 0.1997 0.8217 (-1)
5.50 0,6336 (—1) 0,1427 0.2250 0.1606 » + 0.1429 (—1)
575 —0.5728 (—2) 0.1841 0.2179 S:r 0.1087 — 0.5207 (— 1)
6 + 0,4979 (—1) +0.2120 +0.1949 + 0.4979 (—1) —0.1107
7". 0.2066 0.190$ I +0.9683 (-2) —0.1S86 0.1990
8 0,2202 + 0.3274 (—1) I —0.1640 . 0,1931 —0.6481 (—1)
9 +0.1198 —0,1296 0,2020 — 0.6441 (—1) +0,1174
10 — 0.2321 (—1) —0.2081 —0.1098 + 0.9967 (—1) +0.1886
11 0.1454 0.1844 + 0.3S06 (— 1) 0.1873 +0.1183
12 v. 0.2117 - 0,8846 (-1) 0.1S21 0.1631 — 0.2268 (-1)
U s 07149 + 0.3166 (-1) 0,1786 + 0.5896 (-1) 0.1410
14 —0.1670 0.1340 +0.1629 — 0.6478 (—1) 0.1790
1« +0.1528 (-2) +0^036 -07*7»(-1) -0.1840 -0.31О8(-1)
1В 0.1547 +0,1080 ' 0.1759 — 0.7642 (—1) +0.1 $06
20 0.2317 — 0.4623 (—1) 0;1738 + 0,9904 (—1) +0.146$
22 07373 0.167» - 0.6068 (-1) 0.1830 —0.2839 £-3)
24 0.2012 07239 + 0.7588 (-1) 0,1400 0.1383
26 +- 0.1513 -07231 +0.1744 +0.2391 -0.1767
2В 0.1043 0.1892 0.2162 — 0.9606 (—1) —0.1081
30 0.6740 (—1) 0.1442 . 0*7113 0.1771 +0.4628 (—2)
32 0.4132 (-1) 0,101$ 0.1795 0.208» 0.1101
34 07428 (-1) 0,6715 (-1) 0,1382 0,2014 0.1777

С. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА (ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА) 151
С. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА (ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА)
Полиномы Эрмита являются решениями дифференциального уравнения
d*w _ dw , п п
где л=0, 1, 2, ... Именно,
W„B) = (-l)"^gH(e-si),
или
Ha(z) = 2nzn —2п-1(£)гп-* + 2п-г- I -3- (^)znr* — 2a-, -I-3-5- (fjz"-' + ...'
-Т ( * \
Вместо Ня{г) часто рассматривают полиномы 2 На\~^ъ) > называя их также
полиномами Эрмита *).
Полиномы Эрмита связаны с полиномами Лагерра соотношениями
Htm(z) = (-\)m2tmm\V^(z\
Производящая функция:
Рекуррентные формулы;
Hn+1(z)=*2zH„(z)-2nHn_l(z),
d-^ = 2nHn_Az).
Теорема сложения:
2^ ■//,(*,+ *,) = £(* )Hk(zy2)Hn.k(ztV2),
— /
КК+^тО ' ( а1г1+аА + ...+а.г„^=а
rtl "\ 1/ 2 , 2 , ,2 /
a, + a+...+aL /
я ?' я*1 ... a?m
Все нули полиномов Эрмита действительные и простые. Для
действительных значений аргумента z = х полиномы Эрмита действительны и на
действительной оси выполняется соотношение ортогональности
*) Иногда употребляются и другие нормировки этих полиномов.—Прим. ред.

152
XI, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Отсюда следует, что функции
Ф„ (*)=
е гНп(г)
у п\2п\/~л
(рис. 85, 86, табл. 37) ортогональны и нормированы на всей прямой:
7 (о
} <Р»{х)ЧиМ<**—\ 1
для тфп,
для т=^п.
0,8
0,6
Oft
02
О
-0,2
-Oft
-0.6
Го
?*
?*V
/г<
?2
К
fV
S^T'"
\fn/
?з
•
'ws
fh
?г
?в
/?ш\
Л^
' 0 0,2 Oft Ofi Ofi Ifi If l* Ifi ifi 2fl 22
Рис. 85. Функции параболического цилиндра <р„ (*)•
-*-£
Ofi
0,6
Oft
0,2
О
-0,2
-0,1
-Ofi
р*
?8
ft
%f2
?s
g/
?ю
Fj
?7
fn
2fi 3fi ?ув ЗА 32 ЗА 3fi 3fi W WW ifi t,S
*-x
Рис. 86. Функции параболического цилиндра ф„1*>.

С. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА (ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА) 163:
Полиномы Эрмита низших степеней:
//„(*)= 1, Ht(z) = 8z> — \2z,
Hl(z) = 2z, Я4(г)=16^4 —482J + 12,
Нг {z) = 4zs — 2, Я, (г) = 32г* — 160г* 4-120г.
Полиномы Эрмита тесно связаны с функциями параболического цилиндра
D4(z). Функции D,(z) удовлетворяют дифференциальному уравнению
где v~параметр. Для целых значений параметра v = п = 0, 1, 2, ... имеем;
п г1
т. е. введенная выше функция
-l/ л! К Я
Если определить
Dn(z)^VnlY2^Wn(z),
гр (у) = -1-Ф f-L-U Р"(г) =' 4//"^j
то функции ^„(x) (рис. 87) будут ортогональными и нормированными на всей
прямой:
+ 00
для т^я,
для т=п.
Функции On{z) допускают интегральное представление (которое также имеет
место н для произвольного параметра \Ф — 1, —2, ...)
_-L*+? rf_i<2
Dn^-IS^Le'i Je * Г"'*
— 00
При |z[—► оо получаем в секторе —-r'hS^&Tgz^-f—б (б>0)
асимптотическое представление
D ,_^ " Т* „f . п(п-1) п(п-Щп-2)(п-3) \

154 XJ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
cl
1
w
s?|/
*f
Й?
K| J
A
*"(
*\
*?\
V
/
I
/
/
\
1
/l
//
r /
$)
Д
&
sr
\&
\&
\
«o
*■»
*\|
•
i
c»
St
4
a
о
s
s
я
I
~s
sa" «5Г cs-

с. полиномы эрмита (функции параболического цилиндра) 156
Таблица 37. Функции параболического цилиндра <р„(х)
' 1
0.00
04
08
12
16
0.20
24
28
32
36
«.40
44
48
52
56
0.60
64
68
72
76
0.80
84
88
п
96
1.00
10
20
30
40
1.50
60
70
80
90
2.00
10
20
30
40
2.50
60
70
80
90
3.00
10
20
30
40
3.S0
9>о(«)
+ 0.
75113
75052
74873
74574
74157
73625
72980
72225
71364
70400
69338.
68183
66940
65614
64212
62739
61202
59608
57962
S6271
54543
52783
50998
49195
47379
4S558
41017
36561
32265
28190
24385
20884
17708
14865
1235$
10166
82812 (-
66792 (-
53334 (-
42164 (-
33002 (-
25574(-
19б20(-
14903 (-
11208 (-
83443 (-
61507 (-
44887 (-
32432(-
23200 {-
16431(-
+ ».
1)
1)
1)
1)
1)
1)
•1)
1)
-1)
•2)
2)
-2)
-2)
-'2>
-2)
9>, М |
+ ».
00000
42456 (-1)
84709 (-1)
12656
16780
20824
24770
28600
32296
3S341
39223
42427
45440
48252
50853
53235
55394
57324
59019
60479
61706
62705
63470
64006
64325
64431
63809
62046
59321
55816
51730
47255
42572
37840
33196
28752
24594
20781
17348
14311
11668
94036 (—1)
74921 (—1)
59013 (—1)
45964 (-1)
35402 (-1)
26965 (- f)
20314 (—1)
15136 (—1)
11155 (-1)
81326 (—2)
+ 0,
»*(*) |
-•»
53113
52900
5226$
51214
49753
47897
45661
43064
40127
36876
33339
29544
2S522
21305
16927
12422
78245 С- 1)
31698 (—1)
•15083 (—1)
61754 (-1)
10799
15347
1»790
14100
28251
32215
41186
48603
54300
58206
«0352
60840
$9850
57601
54337
50316
45791
40995
36130
31366
26836
22641
18841
15470
12537
10031
79244 (—1)
61831 (—1)
47655 (—1)
34289 (-1)
27303 (-1)
+ о.
?3(')
-0.
00000
51942 (-1)
10330
15351
20200
24824
29172
33197
36854
40104
42914
45255
47104
48443
49261
49552
49318
48564
47302
45550
43330
40671
37602
34158
30378
26303
15109
30396 (—1)
*92024(—1)
20963
31678
40399
48316
53758
57189
58690
58436
56671
53683
49778
45253
40386
35418
30549
25933
2167»
17856
14496
11605
91630 (—1)
. 71384 (-1)
+ 0.
<Pt(*>
+ 0.45*97
0.45667
0.44678
0.43049
0,40803
+ 0.37970
0.34592
0.30721
0.26412
0.21728
+ 0.16735
0.11506
0,61153 (—1)
+ 0.63840 (—2)
- 0.48473 (—1)
— 0.10266
0.15543
0,20606
0.25388
0,29827
— 0.33864
0.37448
0,40536
0,43091
0.45085
— 0.46499
0,47419
0.44671
0,38565
0.29656
— 0.18666
— 0,64185 (—1)
+ 0,62475 (—1)
0.18541 '
0.29778
+ 0.39425
0.47115
0.52657
0.56019
0.57313
+ 0,56755
034641
0.51303
0.47086
0.42321
+ 0.37Э01
0.32278
0.27447
0.22951
0,18887
+ 0.15302
ъМ
+ 0.00000
0.58011 (—1)
0.11500
0.16998
0,22198
+ 0.27007
0.31343
0,35132
0,38308
0.40817
+ 0,42617
0,43680
0,43968
0,43539
0.42343
+ 0.40426
0,37821
0.34575
0.30747
0.26404
+ 0.21622
0,16482
0.11071
+ 0.54782 (-1)
— 0.20325 (- 2)
- 0.58816 (—1)
0.19476
0.31184
0.39939
0.45009
— 0.46042
0.43076
0.36498
0.26976
0.15369
— 0,26247 (-1)
+ 0.10310
0.2257»
0.33472
0.42472
+ 0.4926)
033728
0.55*27
0.56060
034426
+ 031384
0/7314
0.42580
0,37522
0.32417
+ 0.274а»
-п

Ш6 XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Продолжение табл. 37
* Ч>6(*) <М*> Ув(х) Р9(*> ffio (*) [ Ри (*>
0,00 — 0.41989 —0.00000 +0,39277 +0.00000 —0.37262 —0.00000
04 0.41552 0.62592 (-1) 0.38744 0.66320 (-1) 0.36637 0.69480 (— \ъ
08 0.40254 0.12367 0.37159 0.13063 0.34786 0.1364»
1i 0.38119 0.18182 0.34566 0.19097 0.3Т769 0.19834.
1* 0.35195 0.23563 0.31038 0.24554 0.2768» 0.2530»
0.20 —0,31542 —0.28378 +0.26666 +0.29268 —0.22681 —0,2983»
24 0,27235 0.32513 0.21574 0.33094 0,16916 0.3328S
28 0.22365 0,35873 0.15898 0.35920 0,10584 0.35S1J
32 0.17033 0.38380 0.97924 (-1) 0.37662 — 0,39002 (— 1) 0.36443
36 0.11351 0.39974 + 0.34225 (—1) 0.38268 + 0.29143 (—1) 0.3604!
0.40 — 0.54348 (-1) —0.40618 — 0.30398 (—1) +0.37722 + 0,96317 (—1) —0,34323
44 +0,59254 (-2) 0,40300 0.94202 (-1) 0.36041 0.16028 0.31356
48 0.66077 (-1) 0,39029 0.15548 0,33279 0.21894 0,27249
52 0,12489 0,36838 0.21260 0.29520 0.27034 0.22152
56 0.18116 0.33780 0.26404 0.24878 0.311279 0.162И
0,60 +0.23375 —0,29930 —0.30844 +0.19494 +0.3449} —0.97624 4-1 f
64 0,28163 0.25381 0.34466 0.13531 0.36569 — 0,29210 (—1)
68 0,32385 0,20239 0,37175 0.71650 (—1) 0.37445 + 0,40260 (—П
72 0,35959 0.14628 0,38901 +0.58762 (—2) 0,37094 0.10828
76 0,38816 0.86783 (—1) 0.39606 — 0.60071 (—1) 0.35530 . 0J7242
8,80 +0,40901 —0,25288(—1) —0.39270 —0.12426' +0.32810 +0.23039
84 0.42179 +0.36788(-1) 0.37910 0.18480 0,29022 а28015
88 0,42630 0.98025 (—1) 9.3S562 0.23995 0.24295 0.31995
92 0.42248 0,15704 0.32294 0.28813 0.18782 0,34840
96 0,41044 0.21250 0,28193 0.32794 0,1266» о!зб453
1,00 +0.39050 + 0.263W —0,23369 -0,35830 +0^61461(—1) +0.36784
10 0.30919 0,36211 — 0.90060 (—1) 0,38810 —0,10548 0.32056
20 0,19174 0.41169 + 0.67662 (-1) 0.34987 0,25195 070467
30 + 0,52287 (—1) 0.40609 0.21505 0,25108 0.34998 +ОЧ5390(— 1J.
40 — 0,93080 (—1) 0,34704 О.ЗЗООО —0.10941 0,38156 —0.12346
1.50 —0,22833 +0.24319 +0.39598 + 0.50714 (—1) —0.34164 —0,26686
60 0.33933 + 0.10860 0.40429 0.20255 0,23862 0,35588
70 0,41527 — 0.39433(-1) 0.35493 0.32161 — 0.92202 (— 1) о!з7347
80 0,44960 0.18283 0.25602 0.38966 -f-0.70747 (—1) 0.31726
90 0.44043 0.30501 +0.12222 0.39704 0.22141 OJ9930
2ДО —0.39021 —0.39285 — 0,27844 (—1) +0,34413 +0.33421 — 0,43146 (-1>
10 0,30509 0.43792 0,17443 0.24020 0.39106 + 0/12115
20 0.19390 0.43705 0,29938 + 0.10157 0.38395 0^26334
30 — 0.66902 (—1) 0.39214 0,38838 —0.51381 (-1) 0.31560 0.35851
40 +0.65318(—1) 0.30942 0.43240 0.19749 0.19825 0^39118
2.50 +0.19294 -0.19825 —0.42830 —0.31784 + 0,50964 (—1) +0.35738
60 0,30772 — 0,69767 (—1) 0.37855 0.39819 —0.10388 0,26450
70 0,40350 + 0.64541 (—1) 0.29030 0.43035 0.24423 +0^12916
80 0,47642 0,19403 0.17402 0.41262 0.35159 — 0^26351 (—1>
90 0.52493 0,30982 — 0.41793 (—1) 0,34923 0.41328 0,17807
3.00 +0.54949 +0.40541 + 0.94123 (-1) —0.24911* —0.42352 —0.30424
10 0.55216 0.47695 0.22277 —0.12416 0,38340 03884©
20 0,53613 0.52280 0.33497 +0.12502(-1) 0.29995 0^2121
30 0.50537 0.54403 0.42491 0,14819 0.18447 0.40089
40 0.40393 0.54303 0.48916 0.27206 — 0.50381 (—1) 0.3324*
3.50 +0.41576 | +0.52334 +0.52694 +0,37599 + 0.88619 (— ц _ 0.22623

С. ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА (ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА) V57
Продолжение табл. 37
к
3.50
60
70
80
90
«.00
20
«0
60
80
5,00
20
«0
60
80
«.00
20
40
60
80
7.00
50
8.00
9>0(*)
+ 0.
16431 (—2)
11521 (—2)
79980 (— 3)
54967 (—3)
37403 (— 3)
25197 (—3)
11098 (—3)
46962 (— 4)
19093 (—4)
74583 (— 5)
27992 (—5)
10094 (— 5)
34970 (— 6)
11641 (—6)
37229 (—7)
11440 (—7)
33774 (—8)
95799 (— 9)
26108 (—9)
68364 (—10)
17199 (-10)
45833 (-12>
95123 (—14)
+ 0.
9>1 М
+ 0.
81326 (—2)
58652 (— 2)
41849 (—2)
29540 (— 2)
20629 (— 2)
14254 (-2)
65918 (—3)
29222 (— 3)
12421 (—3)
50629 (— 4)
19793 (—4)
74230 (— 5)
26706 (— 5)
92188 (—6)
30537 (— 6)
97069 (— 7)
29613 (—7)
86706 (— 8)
24369 (— 8)
65743 (— 9)
17026 (—9)
48613 (—11)
10762 (—12)
+ 0.
9^(")
+ 0.
27303 (—1)
20301 (—1)
14919 (—1)
10836 (—1)
77810 (—2)
55234 (— 2)
26901 (— 2)
12526 (-2)
55787 (— 3)
23774 (— 3)
96986 (— 4)
37885 (— 4)
14174 (—4)
50802 (— 5)
17448 (—5)
57433 (—6)
18121 (—6)
54815 (—7)
15899 (-7)
44222 (— 8)
11797 (—8)
36135(—10)
85424 (—12)
+ ог
9>3 W
+ 0.
71384 (—1)
54883 (—1)
41653 (—1)
31210 (-1)
23093 (—1)
16876 (—1)
86867 (— 2)
42613 (— 2)
19939 (—2)
89043 (— 3) '
37979 (—3)
15478 (—3)
60314 (—4)
22477 (— 4)
80135 (—5)
27343 (— 5)
89316 (—6)
27937 (— 6)
83688 (— 7)
24016 (—7)
66034 (— 8)
21732 (—9)
54920 (—11)
+ Р,
94 М
+ 0,
15302
12213
96057 (—1)
74477 (—1)
S6944(—1)
42950 (-1)
23469 (—1)
12173 (—1)
60022 (—2)
28163 (-2)
12588 (-2)
S3636 (— 3)
21764 (—3)
84600 (— 4)
31354 (—4)
11104 (—4)
37587 (— 5)
12168 (—5)
37679 (— 6)
11165 (—6)
31664 (—7)
11212 (—8)
30331 (— 1Q)
+ 0»
9>5М
+ 0.
27489
22898
18753
■ 15108
11979
.., 93556 (—1)
54570 (—1)
30065(—1)
15679 (—1)
77533 (-2J
36408 (- 2J
16241 (—2)
68935 (— 3)
27953 (— 3)
10785(— 3)
39689 (— 4)
13941 (—4)
46753 (— 5)
14980 (—5)
45873 (— 6)
13428 (-6)
50501 (— 8)
14853 (-9>
+ 0.
X
3,50
60
70
80
90
4,00
20
40
60
80
5.00
20
40
60
80
6.00
20
40
60
80
7,00
50
8.00
9>б<*)
+ 0.
■ 4157*
36443
31290
26346
21777
1768S.
11090
65262 (—1)
36160 (—1)
18916 (—1)
93611 (—2)
43865 (— 2)
19505 (— 2)
82652 (- 3)
33252 (-3)
12735 (-3)
46468 (-4)
16165 (—4)
53640 (—5)
' 16991 (-5)
51377 (-6)
20844 (— 7)
65836 (—9)
+ 0.
9>/ (*)
+ °.
52334
48928
44525
39528
34288
29151
19845
12565
74396 (—1)
41354 (-1)
21648 (—1)
10689 (— 1)
49918 (—2)
22152 (—2)
93103 (— 3)
37168 (—3)
14109 (—3)
50970 (— 4)
17537 (-4)
57511 (—5)
17980 (—5)
79255 (— 7)
26778 (— 8)
+ 0.
4>в (*)
+ 0.
52694
53981
53101
50458
46491
41759
31301
21539
13729
81555 (-1)
45363 (—1)
23688 (—1)
11653 (—1)
54296 (— 2)
23889 (— 2)
99360 (— 3)
39392(— 3)
14797 (—3)
52853 (—4)
17964 (—4)
58123 (—5)
27770 (— 6)
10095 (—7)
+ °,
9>»М
+ 0.
37599
45479
50S33
53120
53211
51258
43263
32830
22756
14555
86512 (—1) .
47988 (—1)
24958 (—1)
12245 (—1)
56538 (—2)
24665 (—2)
10183 (—2)
39841 (— 3)
14791 (—3)
52164 (—4)
17485 (—4)
■ 90715 (—6)
35547 (—7)
+ 0.
9>ю ДО
+ 0.
88619 (—1)
22009
33410
42404
4866S
52076
51566
44166
33I789
23507
15041
89124 (-1)
49216 (—1)
25523 (-1)
12400 (—1)
56734 (— 2)
24497 (— 2)
99993(— 3)
38642 (—3)
14159 (—3)
49223 (— 4)
27791 (— 5)
11760 (—6)
+ 0,
9>11 (*)
+ о.
22623
95779(—1>
♦44335 (-1J
18060
30198
39949
51099
51561
44578
34235
23819
15186
89530 (—1)
49252(—1) -
25274 (—1)
12163 (-1J
55058 (- 2J
23489 (— 2)
94647 (—3)
36080 (— 3|
13025 (—3)
80228 (— 5»
36726 (— 6)
+ •'

XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
1. Определения и обозначения
Функциями Лежандра (или сферическими функциями) называют решения
дифференциального уравнения
(i_^g_a,£+[v(v+1,_T^].=o.
Здесь z — комплексная переменная, постоянные v, \i, называемые индексами,
также могут быть произвольными комплексными числами. Однако в дальнейшем
—-р
Рис. 88. Кривые Р„ (х)=const в плоскости v, x.
часто -будет предполагаться, что индексы являются действительными целым»
неотрицательными числами: v = п, ц = т.
В частном случае /» = 0 получается дифференциальное уравнение Лежандра
Это уравнение при v = п ;з= 0 имеет своим решением полином Рп (г), который
называется полиномом Лежандра первого рода п-й степени (функцией Ле--
жандра первого рода или зональной гармонической сферической функцией
1-го рода).

2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1-ГО И 2-ГО РОДА 159
Второе решение, линейно независимое от первого, называется функцией
Лежандра 1-го рода (или зональной гармонической сферической функцией
2-го рода). Она является бесконечнозначной аналитической функцией z,
точками ветвления которой будут ± 1. На интервале —1<#<1 действительной
оси эта функция будет действительной однозначной функцией, которую дальше
будем обозначать через Qn (x). Далее, в комплексной плоскости, разрезанной
вдоль действительной оси от — 1 до + 1, она определяет однозначную
функцию, которая действительна вдоль полупрямой лг>1; эта ветвь функции
в дальнейшем обозначается через Ся(г).
Для произвольного комплексного индекса v дифференциальное уравнение
Лежандра имеет два решения P^(z), Q^(z), которые являются аналитическими
функциями от v и обращаются в Pn(z), Qn(z) при v—л. Очевидно, P_v_,(jz) =
= P^(z). Функции P„(z)> Q^(z) — бесконечнозначные, точками ветвления для
Р,(z) будут —1-й сю,.для QvB)—± 1 и сю. Рис. 88 показывает Р^(х) для
действительных v и х.
Решение при /»=^=0 может быть вырчжено через решение при /й = 0. В
общем случае v = /z, |л = /и=^=0 в качестве решений дифференциального уравнения
получаем присоединенные функции Лежандра 1-го рода P™(z) и 2-го рода
Q£(z). Здесь п называется степенью, а т — порядком функции. На
действительной оси между точками — 1 и 1 обе функции будут действительными и
обозначаются через Рт (х) и Qm (x). Подобным обр isom можно определить
в разрезанной от — 1 до +1 комплексной плоскости однозначные ветви
функций, действительные вдоль прямой je> 1 действительной оси; они
обозначаются через ty™ (z) и £_m (z).-
2. Функции Лежандра 1-го и 2-го рода
2.1. Полином (функция) Лежандра Pn(z) я-й степени может быть
определен как
С помощью производящей функции [1—2гг+гг] * можно получить полиномы
Лежандра из разложения (выполняющегося для \r | <min |г± V гг — 11)
[\-2zr +ra]-lh = X PnW**
или нз разложения (выполняющегося для | г | > max | z ± \^z* — Ц)
[1 ~2zr + г1]-'/» = £ Рп(г) pbi.
Разложение Pn(z) по степеням г имеет вид
„ ,_, 1-3-5... Bя- 1) Г_я n(n-l)_„_t П(П^1)(П-2)(п-3)^_« 1
^»w~ n\ L 2Bл — \)Z ~*~ 2-4-Bл— 1)Bп—3) Ъ ■■■^.
Для действительного аргумента х = cos Ф имеем тригонометрическое представление
Ptt(cosO)-=2-b3'52n;^)[cos/zd4-i--2^cos(/z-2H-i-
1.3 п{п — \) , . .lt 1-3-5 п(п— 1)(п—2) „ . „.„ . 1
+Г^Ч2П^1М2га-3)СО5("-4)»+Ь2ГЗBп^1)BП-3)Bга-5)СО^Л^6H+--]-

160 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Д5
АО
~05
-ц>
л
Ь
Рг
Р5.
*—■
Ps-
'j
Р7
Ъ
£
"
- Q*t/
У
г5
Ь
Рв
S*1
■р?
1)
1
f
Qfi
Если п—нечетное целое число, то сумма кончается на члене с cosd; если п.
четное — на члене, не зависящем от cos О, причем этот член умножается до-
К01—1 | | 1 | 1 | | | | | | | | i J I *C~F% полнительно на •=■'„■
Функции Лежандра
низших степеней (рис.
89, 90; таблицы 38—40):
*>. <■*) = !,
Pl{x) = x = cos&,
Pt{x) = ~Cx1-l)^
=~{3 cos 2# + t),
Р,(х) = ±Eх*—3х) =
=-g-Ecos3*+3cosO)f,"
Pt (x) = ~ C5*«~30*» + 3) =
-J =gjC5 cos 4# + 20 cos 2d + 9),
,/>s (x) = -i-F3** — 70*» + 15) =
= liF3 cos 5* + 35 cos 3® +
+30 cos d),
Pt{x) = ±B3lx* — 3l5x* +
+ 105*» —5) =
=^231 cos 60+ 126 cos 4ft+
+ 105 cos 20 + 50).
2.2. Функции Лежандра
2-го рода при предположениях,
сделанных выше относительно
их определения, могут быть
при — 1 <; х <; 1
представлены в виде
<?„(*) =
=Pn(x)Attbx— Wn_i{x) =
-»-x=cosd
Рис. 89. Функции Лежандра 1-го рода Рп(х).
ЛО
W
АО
-0,5
^. 10 20 30 40 S0 60 70 SO 90'
Рис. 90. Функции Лежандра 1-го рода P„(cosG).
а для комплексного аргумента г вне отрезка -
в виде
D„(*) = Pn(z}АгсШг—^, (я) =4Р,(г)In
3!S-^ X
^^N*_""^4.'?
XS^V ^
1КЛ
HtL. V %-
л2да \
JE^vT
йхХХ-,
xiit^J
jict X
v? Й
P P n
r7 ^6 yS
^
P7 Рб "S ~Jj5~ ^?
/ /\ /\ v> \ -
'SZ -^^ Pi
-*- P3- "%
^1 действительной оси —
z+1
-1
»-,D.

2. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 1-ГО И 2-ГО РОДА
161
где №„_, \z) означает полином:
01 = 1
\п~ь (}__ 1 п(п-\) д(гг-1)(гг^-2)(и-3)У ■ \
~Z \Ъ 3 2Bя—I)" 2.4-B/г—1)Bп —3) У^"' '/ *
+ i
Если л четное, то Wn_t(z) оканчивается на члене с zx, если я нечетное —
на члене с z°.
1.4
U
1.0
0$
0.6
0.4
0,2
О
-02
-ОА
-0,6
-0.8
-1.0
-и
~'Л0 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0,$ 0/ 0,8 Of 1.0
Рис. 91. Функции Лежандра 2-го рода ф„(х).
^
%
й,
h
До,
^5
к
%
^
а4
&S
1
\
/
/
\\
/I
1
Если обозначить значения H„(z) на верхнем и нижнем краях разреза
1<*<1 через £l„(x + 0-i) и Ип(х— Oi), то
.' Qh (х) = =1 { Оя.(*+ О- О -НС. (#—.0 • ОУ,
D»(* ±0-0 = (?;(*) qF-i-^-W'
Для | z | > 1 справедливо разложение
1 , {№+1)(п + 2) 1
2-Bл+3) " гя+
"»('*) — ьз-5...Bгг + 1) \гя+1 +
-.+
(* + l)(ri + 2)(ra+3)(/i+4) l
2-4Bга+3)Bга+5)
гя+» + • • • f
Для действительного аргумент i je = cos(>, О-^О-СЖ можно получить
тригонометрическое представление
QB (cos Д),2. a.'.'.4: B Д1) { «*<» + »>» + НТО «* <" + »>» +■
. l-3-(rt + l)(t + 2) . „ _.л , |
+ 1.2.B«+3)B№+5)С05<Я-Ь-5>д+---}-

162 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Функции Лежандра 2-го рода низших индексов (рис. 91,
таблица 41):
Q0 (х) = j In {±5 = Arth x, Qt(x) = P, (x) Q„ (x)-1 x* +1,
Q,(*) = *Q0(*)—1, <?4(*)-=.P4(x) Qe (*) _ | *« +1 *,
Соответствующие выражения для Оя(г) получаются при замене Arthje на Aretha.
3. Присоединенные функции Лежандра 1-го и 2-го рода
3.1. Присоединенные функции Лежандра 1-го рода на основании
предположений, сделанных выше, определяются при —1<JC<1 или при л: = cos О,
0<0<;я, как
т
Более подробно
Г»№~ 2»л1(л —m)lU ХГ) \Х 2-Bгг-1) * +
(п~т)(п—т— 1)(гг— /и— 2)(гг —/и—3) »_„,_« (^
~ 2-4-Bя—1)Bгг— 3) •••)
или
nmiY\— (»- + т)\ п ,£( . (п—т)(п + т + 1) 1-х .
^nW— 2*тЦп—m)!U_,_Jr> ) ' Ь^Г+1) Т~ ~*~
(n—m) (n—m—l)(n + m + l) (n + m+2) /1—х\1 {
+ l-2.(m + l)(m + 2) \ 2 ) •'•\'
В частности, Р%(х) =|^уA — *V = 1 -3. . .{2л—1)A — jc1I".
Присоединенные функции Лежандра 1-го рода низших
индексов:
— - ч ■
7».(х)=-A—-ж*)'" =sinO, PJ(a:) = 3A—jcV* = jsin20,
P|(*)=3(l — *r) = -|(l — cos20),
ч ■ - ' з
/>* (*)= ± A — *2) * EX* — 1) = -J (sin 0 + 5 sin 30),
Я*(д:)=15A—jc*)a: = ^(cos'& —cos30),
■ — 14
P;(*) = l5(l—*V —-jCsinO—sinSO),
P4 (*) = -J A — x*)* G**—3*) = j| B sin 2» + 7 sin 40),
P* (*) = ^ A — x*) G*a — 1) = j| C + 4 cos 20— 7 cos 40),
P» (*)= 105 (I — x'yx = ^Bsin 20 — sin 40),
P\ (*) = 105 A — x*¥ = ^ C—4 cos 20 -t- cos 40).

4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 163
В комплексной плоскости, разрезанной между точками —1 и -\-1,
присоединенные функции Лежандра 1-го рода определяются как
^(г)^^-\у^Ш-
dzm
Представления для ^З^(г), соответствующие приведенным выше формулам для
Р™{х), получаются, если заменить в этих формулах повсюду A —-х*)т!г через
(z*— l)m'2 и х через г. Значения 9$m(z) на верхнем и нижнем краях разреза
связаны соотношением'
I—
Ч$"*(*±0.-0 = «* * тР^(х).
3.2. Присоединенные функции Лежандра 2-го рода определяются при
— 1 < х < 1 или при х = cos ■&, О < ■& < я, как
4„[X) — (i—x) dx„ -sin v (dcosd)« ,
а в комплексной плоскости, разрезанной "между точками —1 и 4-1:
От(г) = (г*_1)*1_^£>..
Для 121 > 1 справедливо разложение
Г>«/-1-Г л^ппЦп + т}\ t --UTf. I \n + m + l)(n + m+2) 1__ I
иИг'-1 1' Bя + 1)],л* " Iz»*»*1"*"-: 2Bn+3) z«+/»+«+---J •
Далее, для значений £lm(z) на краях разреза выполнены равенства
Qma (х) =±{ е~'~ *С*(*+0-0 + «'Т "Ъ™(*—<МЬ
О» (*±o-i) = e±i^m{ <3?(*)т^.я?(*) } ■
Часто в литературе функции (—1)тР%(х), (-—l)mCfi?{x) обозначают через
Р*п(х), Оп{х\ и называют присоединенными функциями Лежандра.
4. Интегральные представления
л л
р (z) = — Г у^М == i- Г (г± Кг2 —1 cos <р)я dip, (Лаплас)
я J(*±/>—Uos9)"+» "J т/ т. v
-•■'.. о
|Л2ГС05(я+т)ф |/Г5'ш(я + т) «Р
/>.(COsd)~— \ rX =L=dW=-^\ rX J=dq>, @<0<Л),
"V Я J »^COS ф—COS 0 ^ 1 J 1^COS0 —СОБф *
о Ф
(Мелер)
я
*» (z)=^£r S(г + ^2 —l cos Ф)" cos ""P d(V [аг& (г*—1)=0 для l г I > 1},
a
1 f Pn(t)
W=j] 7=}dt> (Нейман)

164
xii. функции лежандра (сферические функции)
£3.(г) = Г -г=М = f (г —1^г* -1 ch г|>)" d^
о о
ft,e = lln5±i, clh■*, = «; argBa—1) = 0 для |г|>1),
(Гейне)
Q?W = (_l)-_Jl_;-f 7^$ —dtp [arg(z*—1) = 0 для |г[>1].
" *' v (n—m)lj (г+V^z2—lchilj)^.1 T l '
• ' о
5. Частные значения. Асимптотика
6.1. Имеют место следующие равенства:
р„A)=и, р„(_1) = (-1)», pan+it0) = o, - Pt»(Q) = (-i)',1'32.4".(fW1) •
lim |Q„(*)| = oo, Ит | D-„ (г) | = оо..
6.2. Все нули полинома Рп\х) действительны^, различны и лежат в
интервале — 1 < х,<С 1. Нули полиномов Рп (х) и Ptt+l {x) разделяют друг друга.
Присоединенная функция P%(z) имеет точно п—т простых действительных
нулей в интервале —\ <^х<^\. Функция Qn(x) имеет точно я + 1 нулей в
интервале — \<С.х<С\. ■: ;
5.3. Для | z | ^> 1 получаем в первом приближении
jn^m)i ..-„« Bг)" Г<и+3/2) Vmflv 'f A» ^
Г(« + 1/2) ^я1г,~у~я ' (Щ-тI ^«^'^ ' "Щ5^'
5.4. При вг^Ог^я—8 (8>0) имеем для я^»1, я^>— асимптотическое
представление ;
QB(cosO)~ 1/^^[(l -^}свзФ+1 ctgdsmq,] ,
Ffle ф=Г я+—J ■ft + -^-, Я для я^>1, я^>да, я^>^- »
^(созО)^(-яГ |/"^^(ф + ?):, .
<ff (cos в)М_ лГ )/^Ьcos (» +f}'
где (р=^л-)- —JO + j .
,. 6»-Функциональные уравнения. Нормированные функции Лежандра
6.1. Имеем правила изменения знака аргумента: ..••..
Рп(-х)=(-1ГРп(х), ' 4 (-*)==(-1)"+14 W.
f?(— *)=(— i)"-mРп (х),., ;о£ (—*)=<— D"+m+1 о? (*).
Эти уравнения остаются верными, если заменить Р через ^ в Q через Q.

6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
6.2. Теорема сложения. Пусть а означает расстояние между двумя точками
на единичной сфере с координатами (#, ф) и (•&', ф'):
тогда
cos a= cos ■& cos ■&' +sin ■& sin ■&' cos (ф—ф');
(n—m)\
P„ (cos a) = P, (cos ■&) Pu (cos 0') + 2 J] \n-m)\ К (cos 0) P^ (cos 0') cos от (<p — «p'J
ИЛИ
^±lp„(cosa)= X ЯГ (cos 0)P^ (cos OOe""^-«''>,
где PJT—нормированные функции (см. 6.6).
6.3. Соотношения между Р и Q (^ и Q):
РО — Р О-- РО —Р О =Bп~Х)х
vo \пРР
'Л/ *
(\-x*)[PnQ'„^QaPn]=:\,
Рп-г<Х- (%-гР7 = Р?-*0%-г- <£-гК-г>
Здесь у всех функций аргумент х.
Все равенства останутся верными, если заменим х через z и Р через ^5,
Q через О.
4
—
\
s
4
^><
Ч/»-
Х.'0'
45
с?
Yfi
Js
"*=
/
/
h
и
ъ
/
/
/
i
ч\
7]
У
1
1
/,
1
А'
х
i^
-5
'
Si
ч
>
£/
*'
\
>
г-1
У
к,
4
>
/
1
\
^
L'
^
/-
\
,-И
У
р^
#
^
\
У
1
•v.
Р'з
р;
pj
3
2
1
О
-1
-г
-з
-4
s
О 10 Z0 30 40 50 60 70 80 90"
Рис. 92. Производные по ■&■ от функций Лежандра
1-го рода P„(cosd).
6.4. Пусть, далее, К означает любую функцию Лежандра, а именно, Кп(х)
означает Р„ (х) или Qn (х), Кп (г) означает <$п (z) или D„ (z) и К„ означает Кп (х)
или K„(z). Аналогичные значения имеют К™(х), Кп (г) и /С, В следующих
формулах вместо | можно положить х или z.

166 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Справедливы рекуррентные формулы:
лЛГ,+(«-1)ЛГ,_,-Bя-1)ЕАГ,_1 = 0|
/С+*(*)+2(/»-И) -7==/С+1(г)-(л-/»)(л+/» + 1)С(г) = 0,
у гг — 1
С+г(х)—2(/» + 1) ' С'М+(д- »)(»+я1 + 1)ЛГ(лс) = 0,-
Bл +1) |/С — (л — /» +1) 1С+1 — (л + т) /С-, = 0.
6.5. Дифференциальные уравнения:
(Г -1) Кп = п (lKn-Kn_t) = - (л +1) (tKn-Kn+i),
пКя = 1К'п—К'п„1{п+\)Кя = — ЪКп + Кп+1,
Bn + l)Kn = K'„+i—Kn-u
(¥-l)(lC)'-(n-m + \)lC+1 + (n+A)tlC = 0.
Положив х = cos А, получим производные по А от полиномов Лежандра Р„ (cos А)
(рис. 92, таблица 40):
dPn+1(cos&) dP„ ,(cosd) .„ . ,. „ . «•. . л
" ^ ="= n d& J — Bn+l)PB(cosA)sinA
н, в частности, для низших индексов:
dP0 (cos Ф) dP. (cos 0) „ rfP,(cosO) 3 „
db ~U' 5F S ' d* -2-sin2Wl
—=2a—- = — 6 sin V + -^ sin w, —^s—- = —5 sin 2w + -j- sin2 A sin 2d,
dP5(cosd) ,e • a . 105 • »a 315 . 5Л
—^к ' = — I5sin A4--K-sin" A g-sin5A,
dP.(cosd) 21 - oA , 189 . JA . oA 693 . 1A . оЛ
—Чтг—- = — -js,n2w-f--5-sin wsin2v гд-sin wsin2A,
dP7(cosd) oq • a 1 ,on • »a 693 . s„ . 3003 . ,„
—-щ—' = —28 sin A +189 sin" A _- sins A + -nr- sin A.
6.6. Соотношения ортогональности:
+i +i
J Pn(x) />,(*) dx = 0, если /=£ л, J [Pn(*)]» dx = ^-j ,
-1 -1
+ 1 +1
J P?{x)PTix)dx = 0, если /=£л, J [P2»W]»rfje = _2_r.g±g
Отсюда получим нормированные функции Лежандра (рис. 93—96):
*■<*> = /^±Ч(*), ^w-yfiHj^^/ffw.
Далее,
+i +1
j[ РГ(*)в1(*)т^- = 0 для /=^/», J [/>;(*)]*d* =/z(л+1),
-» -1
00
Bл + 1)^[ОЛ^)Г^=^ + GГ^+....
1
1
Bл + 1)][дя(^^ = ^-(-^-^_...

6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. НОРМИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕжАНДРА
167
' 1,6
1,4
лг
1,0
0,8
Ofi
0,4
ол
о
-ол
-0,4
-0,5
~0,8
~1.0
щ*
ч
N
&
^
\
уО
•в-
п
'в
*■ sJ
P7
1
-/A
№
Q^^
7^z_
A
~/_
ss
f /
7
SIl' "^
-Рг-Р'
i
i
1
4
ft, ■(-
''1
/
/
/
\4M
a
n)\
Г v yv
' 0 0,1 OJ 0,3 0,4 № 0,6 0/ 0,8 0,9 1,0
—*- K^cos^
Рис. 93. Нормированные присоединенные функции Лежаидра
/.*
1.4
кг
1.0
0,8
0.6
0,4
0.2
-иг
-0.4
-0.6
-0,8
-1,0
~1.2
-1.4
_1
. %
л
-ЛЪ
-^^
/
/А
7А/
У/А
////
р? р5
/Л
'//'
Ж'
AL/
\\
%^
/
^
s'Q
X 1
\
\
Л
\
\
!>
\
\
V
у
/
<
\
Н п
Л/
й\\
^шЖ
щхж
XJ V ; S.
325\
1T1S
' /
7 t
\tj
zz
'О U ОЛ 0.J 0,4 0,5 0.6 0.7
0,8 0JS 1.0
Рис. 94. Нормированные присоединенные функции ЛеЖандра

1б8 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
1.Ь
IA
1.2
1,0
0,8
0,6
ОА
0,2
0,0
-0,2
-ОА
-0,6
-0,8
-Ю
-и,
W-
ь>
£
-V
<
<=
^
^
=з»
j ^-
V
\
£=■
f---
N S
л
\
"*F-
--*
\
\
0
\
Pi
\
\
\
\
g
<^
\
\
^
&
\
п?
'>
■2*^
i.^5%
& г
"•
}
/
/
/
Ps
£'l
4£>t
1
v\
\\
\
^
0,1
6,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0
Рис. 95, Нормированные присоединенные функции Лежандра
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
-0Л
-0,4
-0.6
-0,8
-1,0
-1,2
4,i0 0,f 0.2 0.3 0,4 0,5 ■ 0,S 0,7 0,8 0J9 1,0
_ x=COs&
Рис. 96. Нормированные присоединенные функции Лежандра
к
\
^
№
^
n
/
/
/
/
У
/
/ ,
7
' /
/
/
у
V
л
/
А
Л
у
/
\
/
/
\\
1x4*
ф/
ь
/
V
\
\
\
У,
ц
1
■р?
1— '
^1
i
/
1

ТАБЛИЦЫ
169
Т а б л н ц а 38. Полиномы Лежандра Р„ (х)
А(х)
0,00
01
02
03
04
0,05
08
07
08
09
0,10
11
12
13
1*
0,15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0.25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0.35
36
37
38
39
0.40
41
42
43
44
0.45
46
47
48
49
0.50
'г
-о.
5000
4998
4994
4986
4976
4962
4946
4926
. 4904
4878
4850
4818
4784
4746
4706
4662
4616
4566
4514
4458
4400
4338
4274
4206
4136
4062
3986
3906
3824
3738
3650
3558
3464
3366
3266
3162
3056
2946
2834
2718
2600
2478
2354
2226
2096
1962
. 1826
. 1686
1544
1398
1250
-в.
<*)
+ 2
4
8
10
14
+ 1*
20
22
24
28
+ и
}4
38
40
и,
+ D
SO
52
S6
SB
+ «
44
68
70
74
+ 76
во
82
84
88
+ «
94
98
100
104
+ 106
110
112
116
118
+ 1Н
124
128
130
134
+ 136
1*0
142
1D
148
'з
-0.
0000
0150
0300
0449
0598
0747
0895
1041
1187
1332
1475
1617
1757
1895
2031
2166
2298
2427
2554
2679
2800
2918
3034
3146
3254
3359
3461
3558
3651
3740
3825
3905
3981
4052
4117
4178
4234
4284
4328
4367
4400
4427
4448
4462
4470
4472
4467
4454
4435
4409
4375
-0.
W
— ISO
ISO
149
149
149
— 148
1D
1D
US
143
— 142
1@
138
136
13S
— 132
129
127
12S
121
— 119
116
112
108
10S
— 102
97
93
89
8S
— 80
76
71
is
61
— S6
SO
44
39
33
— 27
21
14
в
— 2
+ *
13
19
26
34
'4
+ 0.
3750
3746
3735
3716
3690
3657
3616
3567
3512
3449
3379
3303
3219
3129
3032
2928
2819
2703
2581
2453
2320
2181
2037
1889
1735
1577
1415
1249
1079
0906
0729
0550
0369
0185
•0000
0187
0375
0564
0753
0942
1130
1317
1504
1688
1870
2050
2226
2399
2568
2732
2891
-о.
(')
— 4
11
19
26
33
— 41
49
SS
63
70
— 76
84
90
97
104
— 109
116
122
128
133
— 139
144
148
1S4
1S8
— 162
166
170
173
177
— 179
181
184
18S
187
— 188
189
189
189
188
— 187
187
154
182
180
— 176
173
169
164
1S9
's
+ 0.
0000
0187
0374
0560
0744
0927
1106
1283
1455
1624
1788
1947
2101.
2248
2389
2523
2650
2769
2880
2982
3075
3159
3234
3299
3353
3397
3431
3453
3465
3465
3454
3431
3397
3351
3294
3225
3144
3051
2948
2833
2706
2569
2421
2263
2095
1917
1730
1534
1330
1118
'0898
w
+ 187
187
184
154
183
+ 179
177
172
169
164
+ 1S9
1S(
147
141
134
+ 127
119
111
102
93
+ 84
75
65
- 54
44
+ 34
22
+ И
0
— 11
— 23
34
D
S7
49
— 81
93
103
IIS
127
— 137
148
1S8
168
178
— 187
196
204
212
220
*•«
-o.
3125
3118
3099
3066
3021
2962
2891
2S08
2713
2606
2488
2360
2220
2071
1913
1746
1572
1389
1201
"• 1006
0806
0601
0394
0183
♦0029
0243
0456
0669
0879
1087
1292
1492
1686
1873
2053
2225
2388
.2540
2681
2810
2926
3029
3118
3191
3249
3290
3314
3321
3310
3280
3232
+ 0.
W
+ 7
1»
33
4S
S9
+ 71
S3
9S
107
118
+ 128
1@
1(9
1S8
167
+ 174
183
188
19S
200
+ 20S
207
211
212
214
+ 213
213
210
208
20S
+ 200
194
187
180
172
+ 163
1S2
141
129
116
— »4
14
15
16
16
— »7
17
18
18
19
— »9
*1
-0.
0000
0219
0436
0651
0862
1069
1270
1464
1651
1828
1995
2151
2295
2427
2545
2649
2738
2812
2870
2911
2935
2943
2933
2906
2861
2799
2720
2625
2512
2384
2241
2082
1910
1724
1527
1318
1098
0870
0635
0393
0146
*0104
0356
0608
0859
1106
1348
1584
1811
2027
2231
+ 0.
w
— 21»
217
21S
2И
207
— 201
194
187
177
1*7
— 1S4
14(
132
118
to*
— 89
74
S8f
411
24!
- 8!
+ 10!
271
45 *
62!
+ 79Г
9S!
113
128
143
+ 1S9
172
184
197
209
+ 220
228,
23S
242
247
+ 250
2S2
2S2
251
247
+ 241
234
227
214
204.

170 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 38
PiWl
0.50
51
52
53
54
0.55
56
57
58
59
0.60
61
а
63
64
«.65
«7
68
69
О.70
71
72
73
74
«.75
76
77
7$
79
4,80
81
82
83
84
•0.85
86
87
88
89
«.90
91
92
93
94
«.95
96
97
98
99
1.00
Р2М
-«•""■МИ
0.1098 +
0.0944
0.0786
0.0626 ;tt
— 0.0462
-0.0126
+ 0.0046
°-и21 :«
+ 0,0400 "
0•058, 185
0.0766 ._
0.0,53 ^
«мш „3
+ 0.1337
0.1534 +
0.1733 «
°-1936 205
°'21*1 2»
+ 0.2350 ,
0.2561 +
0.2776 ■
0.2993
0.3214 2М
+ 0.3437 27
■ °-36М 229
0.3893
?•«» 235
0.4361 2М
+ 0.4600
0.4841 +
°'5086 2,7
0.533Э
0.5584 2Н
+ 0,5837
0,6094 +
ww 2«
0.6616
°-6881 26,
+ °-7150 + 27,
■°-7*21 275
0.7696 ™
°'7973 Ж
"'в25* 283
+ ода/
"■"^ 289
0.9113 293
0.9406
0.9701 2„
-1- 1,0000
PjW
.4375 4,
0.433*+ *;
0,4285 s7
0.4228
0.4163 „
-0.4091
0,4010 Т ,,,
0,3920
°-3822 ,06
°-3716 „6
0.3475 +
0.3342 UJ
0.3199 |И
0.3046 ш
-0.2884
0.2713 Т lg2
0.2531
0.2339 „д
0.2137 И2
-0.1925
0.1702 + 233
0.1469
01225 2S6
0.0969 ш
-007Ю+277
О-0*26 28»
-0.0137 301
+ 0.0164 312
0.0476 ш
+ 0-0800 + 336
0.11J6 + 3<8
°'1484. 36,
0.1845 373
°-2218 385
+ °-М03 + 398
03001 +
0-3*13 <24
03837 w
0.«74 да
+ 0.4725
0.5189 478
0.5667 4П
0.6159 sot
0.6665 и,
+ 0-7Ш + 534
0.7718 Т s4,
08267 S63
0,8830 s77
0.9407 S93
+ 1,0000
р< (*>■
— 0.2891 _,53
0.3044 и7
0.3191 ,«
0.3332 ,зз
0,3465 . 125
— 0,3590 _117
0,3707- ,ов
0.3815 „
0.3914 ю
0.4002 7в
-0,4080 _ и
0,4146 54
0.4200 ti
0.4242 28
0.4270 u
-0,4284 + 15
0.4284 15
0.4268 F
0.4236 G
0,4187 G
-0.4121 + 1»
0.4036 (9
0.3933 20
0.3810 20
0,3666 21
— 0,3501 + 22
0,3314 23
0,3104 24
0,2871 24
0,261} JU
-0,2330+ 26
0.2021 27
0,1685 28
0,1321 29
0.0928 X
— 0,0506 + 30
— 0,0053 31
+ 0.0431 32
0.0947 33
0,1496 34
+ 0.2079 + 35
0,2698 36
0.3352 37
0.4044 J»
0,4773 39
+ 0.5541 + 40
0.6349 41
0.7198 42
0.8089 43
0,9022 44
+ 1,0000 + 45
М*)
+ 0,0898
0.0673 •".
0,0441 23Т
+ 0,0204
-0.0037 ^
-0.0282 _М7
0.0529
°'0779 "
°-1028 250
0.1278 ^
-°-1-2U
0.1772 м
0.2014 23?
0,2251
0^482 ™
-°-2705-2,4
0.2919 2М
0,3122 ,„
0,3313
°-3*90 иг
— 0.3652 + 17
0.3796 19
0,3922 21
0,4026 23
0,4107 25
— 0,4164 + 27
0,4193 29
0,4193 31
0.4162 3*
0,4097 36
— 0.3995+ 39
0,3855 41
0,3674 44
0,3449 46
0.3177 49
- 0.2857 + 52
0,2484 55
0,2056 58
0.1570 61
0.1023 64
— 0.0411 + 6*
+ 0,0268 71
0.1017 74
0.1842 78
0.2744 81
+ 0.3727 + 81
0,4796 89
0,5954 93
0.720* 97
0,8552 101
+ 1.0000 + 105
Р4(*>
■+ 0,3232 — 19
0.3166 19
0.3080 19
0,2975 19
0.2851 19
+ 0,2708 — 19
0,2546 18
0,2366 18
0,2168 17
0.1953 17
+ 0,1721 — 16
0,1473 15
0,1211 1*
0,0935 12
0,0646 if
+ 0,0347 — »
+ 0,0038 в
— 0.0279 6
0,0601 4
0,0926 — 1
-0,1253 + 1
0,1578 4
0.1899 7
0.2214 Ю
0,2518 14
— 0.2808+ 17
0,3081 ,21
0.3333 25
0,3559 30
0.3756 34
— 0.3918 + 39
0.4041 *5
0,4119 50
"■' 0,4147 56
0,4120 62
— 0,4030 + 68
0.3872 75
0.3638 82
0,3322 90
0,2916 98
— 0,2412 + 106
0.1802 114
0.1077 123
— 0.0229 133
+ 0^0751 142
+ 0.187S + 153
0.3151 163
0,4590 174
0,6204 m
0.8003 198
+ 1.0000 + 210
м*>
+ 0,2231 —
0.2422
0.2596
0.27S3
0.2891
+ 0.3007 -
0,3102
0,3172
0.3217
0,3235
+ 0,3226 —
0,3188
0.3121
0.3023
0,2895
+ 0.2737 —
0,2548
0.2329
0.2081
0.1805
+ 0.1502 -
0.1173
0,0822
0,0450
+ 0,0061
— 0,0342 —
0,0754 —
0,1 Ш
0,1588 +
0,1999
— 0,2397 +
0.2774
0,3124
0,3437
0.3703
— 0,3913 +
0.4055
0,4116
0.4083
0.3942
— 0,3678 +
0.3274
0,2713
0.1975
— 0.1040
+ 0.0112 +
0.1506
0.3165
0,5115
0.7384
+ 1.0000 +
14
16
1*
19
21
22
24
25
27
28
29
29
30
30
3!
,30
30
29
28
27
25
23
20
17
14
10
5
0
6
13
2Q
28
37
46
57
68
80
94
108
123
140
157
176
196
2(8
241
265
29»
318
347
378

ТАБЛИЦЫ
171
Таблица 39. Полиномы Лежандра Рп (cos Ь)
9 | Р,(с<и
0°
1°
2°
3°
4°
3°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19»
20°
21°
22°
23°
24е
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
37°
38°
39°
40°
41°
42е
43°
44°
45°
+ 1.
0000 _
♦9998
9994
9986
9976
9962 _
9945
9925
9903
9877
9848 _
9816
9781
97а
9703
9659 _
9613
9563
9511
9455
9397 _
9336
9272
9205
9135
9063 _
8988
8910
8829
8746
8660 _
8572
8480
8387
8290
8192 _
8090
7986
7880
7771
7660 _
7547
7431
7314
7193
7071
+ 0.
»)
г
4
8
10
14
17
20
22
26
29
32
3S
37
41
44
46-
50
S2
S6
5в
61
64
67
70
72
• 75
78
81
S3
86
- 88
92
93
97
98
-102
104
106
109
ill
-113
116
117
121
122
P2(cos0)
+ 1,
0000 .
*999S
9982
9959
9927
9886.
9836
9777
9709
9633
9548 _
9454
9352
9241
9122
8995 _
8860
8718
8568
8410
8245 .
8074
7895
7710
7518
7321 .
7117
6908
6694
6474
6250.
6021 "
5788
5551
.5310
5065 .
4818
4S67
4314
4059
3802 .
3544
3284
3023
2762
2500
+ 0.
— S
13
23
32
41
- SO
59
68
76
85
- 94
102
111
119
127
-135
142
150
1S8
145
-171
179
185
192
197
-204
209
214
220
224
-229
233
237
241
245
-247
251
253
255
257
-2S8
260
261
241
262
P3(cos
+ 1.0000
0.9991
0.9963
0.9918
0.9854
+ 0.9773
0.9674
0.9557
0.9423
0.9273
-I- 0,9106
0.8923
0.8724
0.8511
0.8283
+ 0.8042
0.7787
0.7519
0.7240
0.695a
+ 0.6649
0.6338
0.6019
0.5692
0.5357
+ 0.5016
0.4670 "
0.4319
0.3964
0.3607
+ 0.3248
0.2887*
0.2527
0.2167
0.1809
+ 0.1454
0.1102
0.07SS
0.0413
■+ 0.0077
- 0.0252
0.0574
0.0887
0.1191
0.1485
- 0.1768
»)
— 9!
28!
4S!
64!
81!
— 99!
117!
134!
ISO!
167'
— 183
199
213
228
241
-255
268
279
290
301
— 311
319
327
335
341
— 346
351
355
357
359
— 361
360
360
358
355
— 352
347
342
336
319
— 322
313
304
294
283
-
P4(cos »)
+ 1.0000 — 30
0,9985 30
0.9939 30
0.9863 30
0.9758 29
+ 0.9623—79
0.9459 28
0.9267 27
0,9048 26
0.8803 25
+ 0.8532 — 24
0.8238 23
0.7920 21
0.7582 20
0,7224 18
+ 0,6847 — 17
0.6454 15
0.6046 13
0.5624 11
0.5192 9
+ 0.4750 — 8
0.4300 6
0.3845 4
0.3386 — 2"
0.2926 0
+ 0.2465 + 2
0.2007 4
0.1553 6
0.1105 8
0.0665 10
+ 0t0234 + 11
— 0.0185 13
0.0591 15
0,0982 16
0.1357 18
— 0.1Л4 + 19
0.2052 20
0.2370 22
0.2666 23
0.2940 24
— 0.3190 + 24
0.3416 25
0,3616 26
0,3791 26
0.3940 26
— 0.4062 + 27
Ps(cos 0)
+ 1.0000 — *6
0,9977 46
0.9909 *5
0.9795 44
0,9638 43
+ 0,9437 — 42
0,9194 40
0,8911 38
0,8589 36
0.8232 34
+ 0,7840 — 3»
0,7417 29
0.6966 26
0,6489 22
0.5990 19
+ 0,5*71 — 16
0.4937 12
0.4391 9
0,3836 S
03276 - 1
+ 0.2715 + 2
0.2t56 6
0.1602 9
0.1057 13
. 0,0525 16
+ 0.0009 + 19
— 0.0489 22
0.0964 25
0.1415 27
0.1839 30
— 0.2233 + 32
0.2595 34
0,2923 3S
0.3216 37
0.3473 18
— 0.3691 + 39
0.3871 39
0.4011 39
0.4112 39
0.4174 39
— 0.4197 + Ж
0.4181 38
0.4128 36
0.4038 3S
0,3914 33
~. 0.3757 + 31
Pt(cos 0)
+ 1.0000 —64
0.9968 64
0.9872 63
0.9714 61
0.9495 J9
+ 0.9216 — J7
0,8881 53
0.8492 50
0.8054 46
0,7570 4»
+ 0.7045 —36
0.6483 31
0.5891 26
0,5273 20
0,4635 D
+ 0,3983 — »
0,3323 — 2
0.2661 + 4
0,2002 10
0.1353 15
+ 0.0719 + 21
+ 0.0106 26
— 0.0481 31
0.1038 35
0.1558 40
— 0.2040 + 43
0.2478 47
0.2869 49
0.3212 52
0.3502 S3
— 0,3740 + 54
0.3924 55
0.4053 И
0.4127 54
0.4147 S3
— 0,4114 + 51
0,4031 49
0,3898 46
0.3719 43
0.3497 «0.
— 0.3236 + 36
0.2939 31
0.2610 27
0.2255 32
0.1878 17
— 0,1484 + 12
P7(cos#>
+ 1,0000— »5
0,9957 »5
0,9830 «3
0,9620 «1
0,9329 77
+ 0.8962 — 72
0.8522 67
0.8016 60
0.7449 53
0,6830 46
+ 0.6164 — 37
0.5462 29
0.4731 20
0.3980 1»
0Л218 — t
+ 0.2455 + 8
0.1700 17
0.0961 25
+ 0.0248 33
— 0.043Э 41
-0.1072 + 48
0,1664 54
0,2202 40
0.2680 64
0.3094 48
— 0.3441 + 70
0.3717 72
0i3922 73
0.4053 72
0.4113 71
— 0,4102 + «9
0.4022 65
0.3877 41
0.3671 56
0.3409 51
— 0.3096 + 44
0.2738 38
0.2343 30
0.1918 23
0.1470 15
-0.1006+ 7
0.0535 e
— 0.0064 — •
+ 0.0398 15
0.0846 22
+ 0,1»»— 29

172 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 39
в
48°
46°
47"
48°
49»
50°
51е
52°
S3»
S4"
SS»
56°
57°
S8»
S9»
60°
61е
62»
63»
64°
6S°
66»
67°
68»
69»
70»
71е
72°
73е
74е
75е
76°
77*
78е
79»
80*
81°
82°
83»
84е
85°
86°
87°
88°
89»
90»
P,(cos0)
+ 0.
. 7071 .
6947
6820
6691
6561
6428 .
6293
61S7
6018
5878
5736
5592
5446
5299
5150
5000
4848
4695
4540
4384
4226
4067
3907-
3746
3S84
3420
32S6
3090
292*
2756
2588
2419
2250
2079
1908-
1736
1564
1392
1219
1045
0872
0698
0523
0349
0175
0000
+ о.
^124
127
12»
130
133
-135
136
139
' 140
142
-144
146
147
149
150
-152
153
155
156
1SB
— 159
160
161
162
164
-164
164
166
168
168
— 169
169
171
171
172
— 172
172
173
174
173
— 174
175
174
174
175
P2(cos0)
+ 0,
2500
2238
1977
1716
1456
1198
0941
0686
0433
0182
*0О65,
0310
0551
0788
1021
1250
1474
1694
1908
2117
2321
•2518
2710
2895
3074
3245
3410
3568
3718
3860
3995
4122
4241
4352
4454
4548
4633
4709
4777
4836
4886
4927
4959
4982
4995-
- 5000
— в.
-262
261.
261
260
258
-257
255
253
251
247
-245
241
237
233
229
— 224
220
214
209
204
— 197
' 192
185
.179
171 .
— 165
158
- 150
142
135
— 127
119
111-
102
94
— 85
76
68
59
50
— 41
32
23
- 13
5
Р3(со$ 0)
-о.
"М-272
м*о 260
2300 w
2547 ид
2781 н,
3002 -207
3209 ,и
34? 177
***» 162
3740 ш
3886 _,jo.
4016 „s,
*131 98!
*229 81!
*310 «5!
*37s - 48I
4423 32-
4*55 _ и,
4471 ,;
4470 ,„,
4452 + зз
4419 „
*37° 65
4305 w
4225 ,5
*"°+109
4021 ш
3898 ,37
376J :150
*И 142
3"9 + 174
3275 185
3090 „6
М9* 20»
2688 1и
*7*+223
2251 М1
2020 М7
1783 ш
«39 2<8
«" +253
1038 257
0781 „,
0522 260
0262 иг
оооо
-о.
P4(cos 0)
-0.
4062 +27
4158 27
4227 27
4270 26
4286 26
4275 + 26
4239 25
4178 24
4093 24
3984 23
3852 + 22
3698 21
3524 19
3331 18
3119 17
2891 + М
2647 14
2390 12
2121 U1
1841 *
1552+7
1256 5
0955 4
0651 + 2
«344 0
0038 — г
♦0267 3
0568 5
0864 г
1153 8
1434 — 10
1705 12
1964 13
2211 14
2443 16
2659 — П
2859 18
3040 19
3203 20
3345 21
3468 -21
3569 22
3648 22
3704 23
3739 23
3750 —23
+ 0.
Ps(cos0)
-о.
3757 + 31
3568 29
3350 27
3105 24
2836 22
2545 + 19
2235 16
1910 13
157t 10
1223 7
088S + 4
0509 0
0150 - 3
♦0206 6
0557 9
0898—12
1229 14
1545 П
1844 19
2123 22
2381 —24
2615 26
2824 27
3005 2»
3158 JO
3281 —31
3373 31
3434 32
3463 32
3461 32
3427^-31
3362 30
3267 2»
3143 28
2990 27
2810 -25
2606 23
2378 21
2129 1»
1861 17
1577 -14
1278 11
0969 »
0651 6
0327 3
оооо о
+ 0.
Pt(cos0)
— 0.1484 + 12
0.1078 7
0,0665 + 2
— 0.0251 — 3
+ 0.0161 в
+ 0.0564 — 13
0.0954 18
0,1326 22
0,1677 26
0.2002 30
+ 0,2297 — 33
0.2560 36
0,2787 38
" 0.2976 40
1 0.3125 4»
+ 0,3232 ->■ 42
0,3298 43
0,3321 43
0,3302 42
0.3240 41
+ 0,3138 —39
0,2997 37
0,2819 35
0,2606 32
0.2362 29
+ 0,2089 — 25
0,1791 21
0,1472 17
0,1136 13
0.0788 8
+ 0.0431 — 4
+ 0.0070 + 1
— 0,0290 S
■ 0,0644 10
0,0990 14
—.0,1321 + It
0,1635 22
0,1927 25
0,2193 29
0,2431 32
N
— 0,2638 + 34
0.2810 36
0,2947 38
0,3045 39
0,3105 40
-0,3125 +40
P7(cos0)
+ 0,
1271 — 29-
1667 35-
2028 4»
2350 4*
2626 4?
285* -52
3031 54
3154 sy
3221 54
3234 5*
3191 — St-
' 3095 51
2947 48.
2752 45
2512 40>
2231 .— 3S
1916 3tr
1572 2*
1203 17
0818 It
0422 — 4
0022 + 3-
*037S 9-
0763 1*
1135 22
1485 + 29
1808 33
2099 37
2352 41
2563 45
2730*+ 47
2850 49
2921 SO
2942 SO
2913 SO
2835 + 48
2708 46
2536 «3
2321 39
2067 35
1778 + 3»
1460 25
1117 19
0755 13
0381 6
оооо о
-0.

ТАБЛИЦЫ
173
Таблица 40. Производные полиномов Лежандра -3-=P„(cosd)
в
0°
1°
7°
3°
4°
5°
6°
7°
(«°
I „о
10°
11°
12°
13°
1*°
15°
16°
17°
18°
19°
' 20°
"и*
22°
23°
24°
1 -25°
: 76°
27°
28°
9°
30°
31°
32°
33°
I **°
i
; 35°
: 36°
! 37°
38°
39°
40°
«1°
42°
43°
44°
45"
dP,(cos»)/d0
-0.
0000 _,„
0175 w
0349 ,„•
0523 ,„
0698 ,„
°8«-,73
1045 m
1219 ,„
1392 ,„
1564 т
1»6_,72
1908 „,
2079 „,
2250 U9
м* It*
г*88-,бв
«5° 168
292* 166
3090 166
3256 164
"М-164
3*8* 162
3746 161
3907 160
4067 ,5?
*22«-ise
*38* ut
«540 ,„
4695 1S3.
«848 ,и
5000 _,50
5150 и,
5299 147
5««6
5592 , -
5736-,42
5878 140
6018 „,
6157 136
6293 „f
6428-133
6561 130
6691 т
6820 т
6947 m
7071. .
dP2(cosfl)/d»
-0.
°°°°_S23
0523 52Э
10«6 ш
1568 S20
2088 я?
2405 -514
3119 S10
3629 S06
*135 S0O
4635 495
5130-489
5619 482
6101 4„
6576 м
'042 ш
7500-449
79«9. №
8388 <„
8817 «18
923* 407
96«-395
*°°37 383
0420 ЭТО
0790 ,57
11«7 ш
«"-Э29
1820 „5
2135 30,
2436 285
2721 26»
2990+ ,6
3244 ,6
3482 ,6
3703 17
3908 ,7
«095+ ,7
«266 ,7
4419 ,8
«554 is
«672 18
«772+ 18
4854 ,8
4918 18
4963 ,8
4991 18
5000+ 18
-и
dP3(cos0)/d0
0.0000 0
— 0.1047+ J
0.2091 5
0.3129 8
0.4160 ,,
— 0.5180+ U
0.6186 ,6
0.7176 I»
0.8148 2,
0.9099 2*
— 1.0026+ 26
1.0928 28
1.1801 30
1.2643 33
1.3453 35
-1.4229+ 37
1.4968 39
1.5668 40
1.6328 42
'1,6946 43
—1,7521 + «5
1,8050 46
1.8534 47
' 1.8970 48
1.9358 4»
— 1.9696+J0
1.9984 5,
2.0222 5,
2.0408 52
2.0542 52
— 2.0625+52
2.0656 52
2,0634 52
2.0562 51
2,0437 51
— 2.0262 + 50
2.0037 So
1,9761 4»
1.9438 «8
1.9066 47
— 1.8648 + 45
1.8185 44
1.7678 42
1.7129 4,
,6539 34
ч-. 1.5910+ 31
dP^cos^/d*
0.0000
—0.17а +
0.3480
0.5201
0,6899
— 0.8567 +
1.0197
1,1782
1.3315
1.4789
-1.6199 +
1.7537
1.8798
1.9978
2.1069
- 2.2069 +
2.2973
2.3777
2.4478
2^073
о'
8
15
23
30
18
45
52
5»
65
71
п
82
87
92
96
100
газ
,06
,08
— 2.5560+ 110
2.5937
2.6203
2.6358
2.6400
— 2.6330 +
2.6150
2.5861
2.5464
2.4961
— 2.4357 +
2.3654
2.2855
2.1966
2,0991
— 1,9934 +
1.8802
. 1.7600
1.6334
1.5011
-1.3637 +
1.2219
1.0764
0.9279
0.7772
-^0.6250 +
!,!
„2
,12
,,2
,„
110
10В
,05
,02
99
95
41
86
8,
76
70
64
57
5,
4*
37
30
22
,5
<
dP5 (cos 0)/d в
0,0000 0
-0.2615+ ,8
0.5213 35
0.7775 52
1.0286 69
-1.2728+ 85
1.5085 101
1.7341 lit
1.9481 ,30
., 2.1492 ,43
— 2.3360 + ,55
2.5074 ,66
2.6621 176
2.7993 ,84
i 2.9181 1»,
- 3.0178 + ,97
3.0978 202
3.1576 205
3.1970 206
3,2158 206
-3.2141 + 204
3.1920 20,
3.1497 ,97
3.0878 ,9,
3,0067 ,84
— 2.9073 + ,76
2.7903 ,66
2.6568 ,55
2.5077 из
2.3444 ,30
— 2.1680+1,7
: 1.9799 ,02
1.7817 87
\ 1.5748 7,
; 1.3608 55
— 1.1413+ 38
0.9179 22
0.6924+ 5
0.4664— ,2
0.2415 . 28
— 0,0194— 44
+ 0,1983 60
0,4100 75
0.6142 90
0.8094 103
+ 0,99a —Мб
dPt (cos {ri/d 9
0.0000 0
— 0.3*659+ 35
0.7284 69
1.0841 * ,02
1.4295 ,35
— 1.7614+ ,66
2.0768 ,95
2,3727 223
2.4464 248
2.8954 270
— 3.1174+ 290
3.3104 307
3.4729 320
3.6034 331
3.7008 338
— 3.7646 + 341
3.7943 34,
3.7899 338
3.7518 33f
3,6806 321
— 3.5774 + 308
3.4435 292
3.2804 272
3.0902 250
2,8749 226
— 2.6371 + 200
2.3794 171
2.1045 ,42
; 1.8156 1,0
1.5155 78
— 1.2077+ 46
0.8953 + ,3
0.5815— ,9
— 0.2697 52
+ 0,0370 83
+ 0.3354 — 113
0.6225 ,42
0,8955 ,69
1.1516 193
1.3885 2,6
+ 1.6038 — 236
1.7955 253
1.9620 268
2,1017 279
2,2136 287
+ 2.2969 - 292
|dP7(cos0)/d#
0.0000 0
— 0.4877+ 62
0,9692 ,23
1.4384 ,82
1,8896 238
— 2.3170+292 J
, 2,7152 34*
3.0795 386
3,4053 425
3,6887 458
— 3.9263 + 485
4.1156 506
4.2544 5,9.
4.3413 SU
4,3758 5»
— 4.3580 + 5Г7
4.2885 503 '
4,1688 48)
4.0012 453
3,7884 tit
■ — 3.5338 + 389
• 3.2413 336
2.9153 287
2.5607 235
2,1827 «80
-1.7866+ tl*
1.3782 M
0.9633 + 7
0,5476 — 58
— 0,1369 107
+ 0.2632 —161
0.6472 2,7
1.0102 260
1.3472 303
1,6540 3*2
+ 1.9267 — 375
2,1620 402
2.3573 " 423
2.5103 438
• . 2.6196 44*
+ 2.6845 — 448
2.7047 442
2,6807 43,
2,6138 4,3
2,5057 389
+ 2.3589 —J*»"

174
XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ^
Продолжение табл. 40
0
iS"
46°
«7°
48°
«9°
50°
51°
52°
53°
5*°
5$°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70°
71"
72°
73е
7*°
75°
76°
77°
78°
79°
80°
81°
82°
83°
84"
85°
86°
87°
88°
89°
90°
dP,(cort>)/d0
-0.
7071 _
7193 ~
7314
7431
7S47
7660 _
7771
7880
7986
8090
8192 _
8290
8387
8480
8S72
8660_
8746
8829
8910 •
8988
9063 _
9135
9205
9272
9336
9397 _
9455
9511
9563
9613
9659 _
9703
97а
9781
9816
9848 _
9877
9903
9925
9945
9962 _
9976
9986
9994
9998
*0000
-1П
121
117
11ь
113
- 111
109
106
104
102
- 98
97
93
92
88
- 84
83
81
78
7S
- 72
70
67
64
61
- 58
S6
52
50
46
- 44
61
J7
35
32
- 29
26
22
20
17
- 14
10
g
£
2
dPj(cOS0)/d0
— t.
5000 +
4991
4963
4918
4854
4772 +
4672
4554
4419
4266
4095 +
3908
3703
3482
3244
2990 Н
2721 +
2436
2135
1820
1491
1147
0790
0420
0037
*9642.
9235
8817
8388
7949
7500.
7042
6576
6101
S619
5130 +
4635
4135
3629
3119
2605 +
2088
1568
1046
0523
0000
-0.
>в
(в
18
(в
(в
(в
(в
(в
18
17
17
17 •
17
16
16
16
269
285
301
315
329
344
357
370
383
395
407
418
429
439
449
458
466
475
482
489
495
500
506
510
Я 4
517
520
522
523
523
dP3(cos0)/d0
— 1.5910+37
1.5244 35
1.4542 33
1,3808 31
1.3042 29
— 1.2248+ 27
1.1427 2»
1,0581 22
0.9714 19
0.8828 17
— 0.7925 + 14
0.7007 12
0.6078 9
0.5140 6
0.4196 4'
-0.3248+ 1
0.2299— 2
0.1351 4
— 0.0408 /
+ 0,0528 10
+ 0.1454 — 12
0.2368 15
0,3268 17
0,4149 20
0,5011 22
+ 0.5ВИ *■ 25
0.6666 27
0,7455 29
0.8214 31
0,8941 33
+ 0,9636 — 35
1,0295 37
1,0918 39
1,1501 40
1.2044 42
'+1.2545—43
1,3003 «5
1.3415 46
1,3783 «7
1,4103 48
.+ 1,4375-^-49
1.4599 49
1,4774 SO
1,4900 50
1,4975 50
+ 1,5000-50
6Pi(cm9)/6»
— 0.6250 +
0.4720
0.3190 —
0.1668
— 0.0160
+ 0.1327 —
0.2784
0.4205
0.5584
0,6914
+ 0.8188 —
0.9401
1.0547
1,1620
1.2617
+ 1.3532 —
1,4361
1.5101
1.5748
1.6300
+ 1,6755 —
1,7111
1,7366
1,7520
1,7573
+ 1.7525 —
1,7377
1,7131
1,6787
1.6349
+ 1.5819 —
1,5201
1.449а
1.3714
1.2854
+ 1,1923 —
1,0926
0,9869
0,8758
0,7598
+ 0,6396 —
0.5160
0,3895
0.2608
0,1308
0.0000
в
0
7
15
22
29
36
43
49
55
61
67
72
77
•2
86
89
93
95
97
9»
100
101
101
101
100
99
97
95
92
в9
85
•1
76
71
66
60
54
48
42
35
28
21
14
7
0
dP5(cos0)/d#
+ 0.9944- Мб
1.1677 128
1,3282 139
1.4749 149
1.6067 157
+ 1.7228—164
1.8225- 170
1.9052 175
1,9704 178
2,0178 180
+ 2.0473 — ISO
2.0587 179
2.0522 177
2.0280 173
1,9865 168
+ 1.9283 — 162
1.8538 154
1.7640 145
1.6596 C6
1,5418 125
+ 1.4114—ПЗ
1.2698 100
1,1183 87
0.9580 73
0.7905 58
+ 0.6173— 43
0,4397 28
0,2593— 13
+ 0,0776 + 3
— 0,1037 18
— 0,2833+ 33
0,4595 48
0,6309 62
0,7961 76
0,9536 89
— 1,1023+ 102
1.2407 113
1.3679 124
.1,4827 133
1,5842 142
— 1.6Л5 + 149
1,7439 155
1.8009 160
1.8420 163
1.8667 165
-1.8750+16»
dP6(ct»0)/d<9
+ 2.296» — 292
2.3510 294
2.3757 292
2.3713 288
2.3382 280
+ 2.2771 — 269
2.1892 255
2,0759 239
1,9387 219
1.7797 198
+ 1.6008— 175
1.4046 150
1.1934 123
0,9699 95
0.7369 66
+ 0.4973 — 37
0.2540 — в
+ 0,0098 + 21
— 0,2321 50
0,4691 78
— 0,6983 + 105
0,9170 131
1.1226 154
1.3129 176
1,4855 196
— 1.6386+213
1,7704 228
1,8794 240
1,9645 249
2,0248 255
— 2,0596 + 258
2,0687 258
2,0520 255
2,0098 249
1,9428 240
— 1.8519+ 228
1.7382 214
1,6031 197
1,4484 178
1,2760 6
— 1.0881 + 133
0,8868 108
0.6747 82
0,4544 55
0.2286 28
0.0000 0
dP7(cos0)/d*
+ 2.3589— 34»
2.1761 32i
1.9609 286
1.7172 243
1.44И 197
+ 1.1614 — 49
0.8588 99-
0.5463 — 47
+ 0.2291 + 4
—0,0877 35
— 0.3990+ 104
0.7001 ij>
0.9860 196
1.2524 237
1.4953 273
— 1.7109+ 306
1,8960 3»
2.0480 354
2.1646 370
2.2443 380
— 2.2861 + 384
2.2896 382
2,2550 37*
2,1833 359
2.0757 33»
—1,9344+314
1.7617 284
1.5608 249
1,3350 211
1,0882 169
— 0.8245+ i2i
0.5483 80
— 0.2641 + 33
+ 0,0234— 15
0.3094 62
+ 0,5892 — 107
0,8584 151
1.1125 193
1.3473 231
1.5592 265
+ 1.7446 — 295
1.9006 321
2,0246 34»
2,1146 355
2.1692 164
S + 2.1875— 367

ТАБЛИЦЫ
175
Таблица 41. Функции Лежандра 2-го рода Q„(x)
X
0,00
01
02
03
04
0.05
06
07
08
09
0.10
11
12
13
14
0.15
16
17
18
19
0.20
21
22
23
24
0.25
26
27
28
29
0.30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
J»
0,40
41
42
43
u
0,45
46
47
48
49
0.50
OoW
+ Op
00000
01000
02000
03001'
04002
05004
06007
07011
08017
09024
10034
11045
12058
13074
14093
15114
16139
17167
18198
19234
20273
21317
22366
23419
24477
25541
26611
27686
28768
29857
30952
3205$
33165
34281
35409
365а
37689
38842
40006
41180
42365
43S61
44769
45990
47223
48470
49731
51007
52298
53606
54931
+ 0.
+4000
1000
1001
1001
1002
+ 1003
1004
100t
1007
1010
+ 1011
1013
1016
1019
1021
+ 102S
102В
1031
1036
1039
+ 10D
10(9
10S3
10S8
1064
+ 1070
1075
1082
1089
1095
+ 1103
1110
1118
1126
1135
+ IKS
1153
1164
1174
IMS
+ 1196
1208
1221
1233
1247
+ 14
15
15
16
17
+ И
0, W
— 1,
00000
•99990
99960
99910
99840
99750
99640
99509
99359
99188
98997
98785
98553
98300
98027
97733
97418
97082
96724
96346
95945
95523
95080
94614
94125
93615
93081
92525
91945
91342
90714
90063
89387
88687
87961
87209
86432
85628
84798
83940
83054
82140
81197
80224
79222
78188
77124
76027
74897
73733
72535
-0.
+ 20
20
20
20
20
+ 20
20
20
20
20
+ 20
20
21
21
21
+ 2'
21
21
21
22
+ 22
22
22
22
23
+ 23
23
23
24
24
+ 24
24
25
2S
26
+ 26
24
27
27
2»
+ 28
2»
2»
30
31
+ 31
32
33
3*
35
+ 36
o,W
—0.
00000
02000
03999
05996
07991
09983
11971
13954
15932
17903
19866
21822
23769
25706
27632
29547
31450
33339
35215
37075
38920
40748
42559
44351
46124
47876
49607
51316
53001
54662
56297
57907
59488
61041
62565
64057
65518
66945
68338
69695
71015
72297
73539
74740
75898
77012
78081
79102
80075
80997
81866
— 2000
1999
1997
1995
1992
— 1988
1983
1978
1971
1963
— 1956
19G
1937
1926
1915
— 1903
1889
1876
I860
1845
+ '7
IS
IS
19
■20
+ 21
22
23
24
25
+ 26
27
29
30
31
+ 32
33
34
36
37
+ 3»
40
41
43
44
+ 44
47
, 4»
' 51
52
+ 54
Q3W
+ 0.
66667
66627
66507
66307
66027
65668
65229
64711
64115
63440
62687
61856
60948
59964
58904
57769
56559
55275
53918
52490
50990
49420
47781
46074
44301
42461
40558
38591
36563
34474
32328
30124
27864
25552
23187
20773
18311
15803
13251
10658
08026
05357
02654
♦00080
02844
05634
08446
11279
14129
16992
19865
-0,
— «0
«0
«0
«0
80
— 79
79
79
78
78
— »
77
77
76
75
— 75
74
73
72
71
— 79
69
68
67
66
— 64
63
42
68
59
— 57
55
5*
^
50 ■
— 48
46
44
41
39
— 37
34
32
29
26
— 23
20
17
14
' 10
— 7
°4
+ 0.
00000
02666
05327
07978
10615
13233
15827
18393
20925
23419
25870
28274
30626
32921
35155
37324
39424
41449
43395
45259
47037
48723
50315
51808
53199
54484
55659
56721
$7667
58492
59195
59772
60220
60537
60720
60766
60674
60441
60065
59545
58879
58066
57105
55994
54734
53323
51761
50050
48188
46177
44017
+ 0.
M
'
0
— 5
10
14
19
— 24
29
33
38
43
— 47
52
56
61
65
- 70
74
78
S3
87
— 91
95
9»
102
106
— IH>
113

120
123
— 126
12»
131
134
136
— 139
141
143
144
144
— 147
148
149
150
150
— 150
150
150
149
148
— 147
Q5W
— 0.
53333
53253
53014
52615
52057
51343
50474
49452
48279
46958
45493
43887
42144
40268
38264
36137
33893
31537
29075
26513
23859
21119
18300
15411
12459
09451
06398
03306
00186
*02953
06103
09254
12395
15518
18611
21664
24668
27611
30484
33274
35972
38567
41048
43404
45624
47698
49615
51365
52937
54322
55508
+ P.
+ 160
16»
«5»
«5*
■1ST
+ 155
153
15»
148
145
+ '«'
■ «37
133
128
Ui
+ 118
• «
106
too
V
+ 86
79
7»
63
55
+ **
38
29
20
10
+ '
— 9
19
29
39
— 50
60
71
82
92
— 103
114
125
134
146
— 157
167
178
188
198
— 20»

176 XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА (СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 41
X
0.50
51
52
53
5*
«.55
56
57
58
59
4,60
61
62
63
64
«,65
66
67
68
.*»
•0.70
7»
72
73
7*
>0.75
76
77
78
79
.0.80
81
Ь2
83
*84
•0,85
86
87
88
89
0^0
9»
92
93
94
►0,95
96
97
98
99
-1.00
ОоМ
+ 0.5*93» +
0.56273
0.57634
0.590» 5
0,604» 6
+ 0,6» 838 +
0.63283
0.647S2
0.66246
0.67767
+ 0.693» 5 +
0.70892
0.72S0»
0.74142
0.758» 7
+ 0.77530 +
0.7928»
0.81074
0.82911
0.84796
+ 0,86730 +
0.88718
0.90764
0.92873
0.95048
+ 0.97296 +
0.99622
1.02033
». 04537
»,07»43
+ 1,0986» +
».»2703
1.15682
1.18814
1.22»»7
+ ».256»5 +
1.29334
1.33308
».37577
1.42193
+ »,47222 +
I ».S27S2
».S8903
1.65839
1.73805
+ ».83»78
»,9459»
2.09230
. 2.29756
2.64665
+ оо
18
If
20
20
22
23
24
25
26
28
29
31
33
3S
37
39
41
44
47
50
54
58
62
67
72
78
85
93
102
112
123
137
153
171
193
220
253
293
344
410
495
«цм
— 0,72535 + 36
0,7» 30» 37
0,70030 38
0,68722 39
0.67376 40
— 0.65989 + 41
0,6456» 42
0.63091 44
0,6» 577 45
0,60018 47
— 0.S841» + 49
0,5G56 . 51
0,55050 S3
0.53291 -Я
0,51477 57
— 0,49606 + *0
0.47674 63
0.45680 66
0.43620 «9
0.41491 73
-0.39289+ 77
0.37010 81
0.34650 86
0.32203 92
0.296*5 98
— 0.27028+ 104
0,24288 112
0.21435 121
0.18461 130
0,»5357 141
— 0.12»»» + 154
0.08711 169
0.05141 1о6
— 0.01385 206
+ 0,02579 230
+ 0,06773 + 259
0.11228 294
0,»5978 337
0,21068 391
0,2655» - 460
+ 0.32500 + 551
0.39005
0.46» 90
0.54230
0.63377
+ 0.740»9
0.86807
».02953
».25»6»
1.62019
+ оо
«М»)
— 0.81866 +
0.82682
0.83441
0,84141
0,84782
— 0,85360 +
0.8S873
0.86319
0.86695
0.86999
- 0,87227 +
0,87378
0,87446
0.8743»
0,87326
— 0.87» 30 +
0.86838
0.86446
0.85948
0,8534»
— 0.84618 +
0.83775
0,82804
0,81699
0.80452
54
56
58
60
63
65
67
70
72
75
78
81
85
88
92
96
100
105
ПО
115
121
127
134
142
150
— 0.79055 + 159
0.77499
0.75774
0.73868
0,7»770
-0,69464 +
0.66935
0.64» 64
0.61131
0,57810
169
130
193
207
223
241
262
287
316
— 0.SW72 + 350
0.50184'
0.45803
0.40979
0.35650
-0.29736 +
0,23» 35
0.15708
— 0.07268
+ 0.02459
+ 0.13888
0.27707
0.4518»
0.69» 08
1.08265
+ оо
391
441
502
580
681
в3М
— 0.19865 - 7
0.22745 — 3
0,25628 + 1
0,28510 5
0.31387 9
— 0,34254 + 14
0,37»07 18
0,39942 23
0,42754 28
0.45537 34
— 0.48287 + 39
0.50997 45
0.53662 51
0.56275 58
0.58830 45
— 0.6» 32» + 72
0,63739 80
0,66078 88
0,68328 97
0,70481 - «06
— 0.72529 +116
0,74460 127
0.76265 138
0.7793» 150
0.79447 М4
— 0.80799 + 1»
0.8»973 194
0.82953 211
0.8372» 230
0.84259 251
— 0.84544 + 275
0,84555 301
0,84264 331
0.&-М» 365
0.82Ш 404
— 0,8125»+449
0.79415 503
0,77JB66 >>
0,74» 48 6*4
0,70582 740
— 0,6627» + «42
0.61091
0.54880
0,474»9
0,38399
-0.27356
— 0,»3540
+ 0.04408
0,29437
0,70625
+ оо
0<(х)
+ 0.440»7 —
0.4171»
0.39259
0.36663
0.33926
+ 0.31051 —
0.28040
0,24897
0.21626
0,18232
+ 0.14720 j-
0.М094
0.07362
+ 0.03530
— 0.00395
-0.0440S —
0.08490
0,»2642
0.»6В49 •
0.21101
— 0.25384 —
0.29686 —
0,3399» +
0,38283
0.42S46
— 0.46758 +
0,50900
0,54949
0,58878
0.62660
— 0,66264 +
0,69656
0.72795
0.7564»
0,78142
— 0.80244 +
0.81882
0.8298»
0.83453
0.83194
— 0.8207S +
0,79936
0,76575
0,7» 724
0,65011
— 0.5SB96
0.43528
0.26403
— 0.01348
+ 0.41159
+ оо ,
147
146
144
141
139
135
132
128
124
118
113
107
100
93
85
76-
66
56
45
32
19
4
12
30
49
70
93
II»
147
178
212
250
294
3*1
398
462
536
624
728
«54
1011
o5W
+ 0.55508 —
0,56487
0.57249
0.57785
0,58086
+ 0,58143 —
0.57950
0.57498
0,56781
0,55792
+ 0.54526 —
0.52979
0.51145
0.49023
0.46609
+ 0,43903 —
0.40905
0,37616
0,34039
0.30178
+ 0,26039 —
0,21630
0.16960
0,12041
0,06887
+ 0,01516 —
— 0.04053
0.09797
0.15688
0.21696
— 0.27785 —
0,33914 +
0,40035
' 0.46094
0.52029
— 0.57766 +
0.63221
0.68295
0,72872
0,76811
208
217
226
235
243
251
259
265
272
277
282
286
289
291
292
292
291
288
284
278
27»
241
249
235
218
198
175
148
118
82
41
4
60
123
ns
279
378
494
632
79»
— 0,79944 + <0М
0.82063
0,82905
0,82130
0.79279
— 0.73697
0.64384
0,49627
- 0,25926
+ 0.16845
+ «*>

ТАБЛИЦЫ
177
П р о д о\л ж е н и е т а б л. 4 1
X
0.00
01
02
03
04
0,05
06
07
08
09
0,10
.11
12
13
14
0,15
16
17
18 .
19
0.20
2»
22
23
24
0.25
26
27
28
29
0.30
3»
32
33
34
0.35
36
37
38
39
0.40
41
42
43
а
0.45
46
47
48
4»
0,50
в.
-0,
00000
03198
06383
09542
12664
15734
18742
21674
24518
27264
29899
32412
34793
37031
39117
41041
42795
44370
45757
46952
47946
48734
49310
49672
49814
49735
49432
48904
48151
47173
45972
44551
42912
41059
- 38999
.36737
34281
3N38
28818
25830
22687
19399
15981
12445
08808
05085
01292
•02552
06428
10318
14201
+ 0.
м
0
+ и'
24
за
51
+ *3
75
87 .
99
III
+ 122
132
1+3
• IM
142
+ 171
17»
187
194
200
+ 206
211
216
21»
222
+ 224
225
225
225
223
+ 221
218
213
208
202
+ i»5 .
т
\п
167
..1*6
.+ '**
131
Н7
102
«6
+ «
52
33
+ '3
— 7
— 2»
| °7W
+ в.
45714
45586
45203
44567
43680
42548
41175
39570
37739
35693
33*41
30996
28369
25S75
22627
19542
16335
13023
09625
06158
02642
♦00904
04461
08008
11524
14990
18385
21688
24879
27938
30845
33580
36126
38464
40577
42449
44063
45407
46466
47229
47686
47828
47649
47142
46304
45133
43631
41800
39645
37172
34392
-0,
— 156
2SS
154
250
244
— 240
233.
225
216
206
— 1»4
181
168
153
: 138
— 122
105
87
69
50
— 30
— 10
+ ю
30
51
+ 7»
»2
112
132
152
+ 171
|»0
208
225
242
+ 257
271
284
296
306
+ 315
322
328
331
333
+ 332
330
325
318
308
+ 296
X
0.50
51
52
53
54
0.55
56
57
58
59
0.60
61
62
63
«4
0.65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
0.75
76
77
78
79
0.80
81
82
83
84
0.85
. 86
87
88
89
0.90
91
92
93
94
0.95
96 .
97
*■
99
1.00
06(х)
+ 0.14201
0,18056
0,21862
0,25595
0,29233
+ 0.32752
0.36129
0,39338
0.42355
0.45155
+ 0.47713
О.500ОЗ
0.52000
0.53680
0.55017
+ 0,55989
0.56570
0.56740
0.56476
0.55759
+ 0.54570
0.52893
0.50713
0.48017 '
0.44798
+ 0.41050.
0.36770
0.31961
0.26631
0.20794
+ 0.14469
0.07684
+ 0,00477
— 0.07106
0,15006
— 0,23149
0.31444
0,39780
0.48022
0.56002
— 0.63512
0.70295
0,76020
0.80262
0.82448
— 0,81776
0,77043
0,66250
0.45458
-0.03725
+ оо
— 28
50
72
»5
II»
— 143
• 1*7
192
217
242
— 268
293
318
342
36»
— 390
412
434
454
472
— 4*9
503-
515
524
530
— 532
530
522
509
489
— 441
425
378
31»
244
— 156
— 46
+ 8»
255
460
+ 715
■ *
...
а,(х)
-0.34392
0.31316
0,27958
0,24337
0,20471
— 0.16383
0.12097
0.07642
- 0,03047
+ 0,01655
+ 0,06429
0.11234
0.16036
0.20784
0.25441
+ 0.29955
0.34277
0.38358
0,42145
0,45585
+ 0,48622
0.51203
0.53273
0.54777
0.55662
+ 0.55877
0,55372
0,54101
0.52024
0,49104
+ 0,45312
0,40628
0,35042
0,28556
0,21187
+ 0,12972
+ 0,03969
-0,05735
0.16020
0,26725
— 0,37633
0,48458
0.58824
0.68227
0,75978
-0,81107
0.82170
0.76807
0,60511
-0.21288
+ оо
+ 29»
282
245
245
223
+ 1»8
170
140
107
72
+ Э4
— 7
4»
»4
142
— 1»|
241
294
347
402
— 457
511
'564
4»»
471
— 720
7М
•08
844
873 .
— 894
»05
903
886
850 .
— 7»3
708
589
429
— 216
+ 45

ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-го, 2-го И 3-го РОДА
1. Определения и обозначения
Бесселевыми функциями (цилиндрическими функциями или
цилиндрическими гармониками) называют решения Zv(z) дифференциального уравнения
Бесселя *) ■
2 d7w dw , , , 2, г.
z2-T-T + z-j- + (z2—v*)w = 0.
Здесь z — комплексное переменное; число v, которое называется порядком
(параметром или индексом) может также быть произвольным комплексным; если же
оно действительное ppt^ число, то пишут v = п.
Рис, 97, Поверхность функции Бесселя J,,(x) над плоскостью действительных
переменных v, x.
Под бесселевыми функциями понимают следующие (определенные в 2 своими
аналитическими представлениями) функции: функции Бесселя /v(z); функции
Неймана N\(z) (которые часто называют функциями Вебера и обозначают Kv(z))
и функции Ганкеля Ну (z), Н^] (z). Их называют также бесселевымм функциями
соответственно 1-го, 2-го и 3-го рода.
*) Определение цилиндрических функций по Нильсену см. и 6.1.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 179*
Для фиксированного порядка v все эти функции являются аналитическими
функциями от z; за исключением функций Jn (z) целого порядка, все эти функции
многозначны и имеют z = 0 точкой ветвления. Если аргумент z фиксирован; то
Рис. 98 и 99. Функции Бесселя J4 (х) от двух действительных перб-'
менных v и х; —4<v<10.
все эти функции, рассматриваемые как функции порядка V, являются
однозначными целыми функциями (рис. 97—101). >'
При произвольном v каждая пар J функций
Jjz), Njz) и /#>(*), /#>(«),
а также, если у не является целым числом,
Л B), J.jz)
представляет собой фундаментальную систему решений дифференциального
уравнения Бесселя.
Определение модифицированных функций Бесселя дано в В. 1; определения
некоторых функций, связанных с бесселевым.i функциями, см. в С. 1 и С. 2.

180 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
-* * -* ^ЛгдО t 2 J 4 5 6 7 8
iS
Рис. 100. Кривые y^,(x) = const в плоскости действительных переменных v, x.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 181
Рис. 101. Кривые Л^(л:) = const в плоскости действительных переменных v, х.
2. Представления с помощью рядов
2.1. Если порядок v есть целое число v = n = 0, 1, 2, ..., то функции
Бесселя Jn (z) могут быть получены с помощью производящей
функций из разложения
П = 1
Для целого етрицательного порядка J-n(z) = (—1)" J„(z). Для произвольного

1$2. МП. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
порядка v имеем представление
j \г) = -Ш Ш + -W _Ali .
J'v ' 0!Г(\ + 1) 1!Г(\ + 2)^2!Г(\+3) 3! Г(\ + 4)^ ' ' "'
причем J- (z) — У„ (z). Можно записать:
• fe=o
— целая функция от z (рис. 102—105, таблица 42).
Функция J^(z) многозначна, если v не есть целое число; после т обходов
вокруг точки ветвления z = 0 получим: J^(emniz)= emym{J4(z) (/»—целое).
Функции Jv(z) любого положительного и целых отрицательных порядков
отличаются от всех остальных, бесселевых функций тем, что они остаются
f,0
0,8
0,6
0А
01
О
-0,2
-0А
\
N
0
\
X
\?

У
■tS
1 N
/
N?
pv
S^
s
'
f
о
\
\
^v
10
Рис. 102. Функции Л, (х).
конечными при z—>0. При |z|^l для фиксированного порядка v 5*0 имеем
приближенно: s .. .
Если v = /z + T|, где п^з>\, 0<щ<\, то
(-ir(f)V.,w-ffili.lW!E5r!+(l)V.w,
где
(I)"
C„(z) = 2- Г(А + 1) V г V ' г«^- 2-.Г(*-тЦ-1)Г(т+А + 1)-
*=0 k-D ,
Отсюда получается поведение У_,(г), v==/i + ti>0 при |г|<^1:

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 183
U, J " Т — -
/7? - -
£/+?
-I \"S
L
54 I
0> JoB
nr
J„Bibi
7
г
- 7
. /
г
7
г
i22
Щ
\
\
■ ^_
X
J-
&&~,
Щ&
лЩ)
_,
1
/.
^ s\
i
j_
! f
Г ^ -l
7,B™!-
-t-W-т-
Ix>
-r^
i
-U
1
"' 10 SO JO W 50 60
P ic. 103. Ееличина Л„ i ак функция квадрата половины аргумента.
Рис. 104. Рельеф функции Бесселя J0(x + iy).

184 . XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКГИИ^
При | z | <^ 1, v > 0 справедливы также приближенные формулы:
So\z)fJ0 (z)f* — |, Л («)/У, {*)*»% (v ф О).
£■-,..
6 . 7
С 12,
J0[x+igJ=sei*
Рис. 105. Карта горизонталей рельефа функции Бесселя J0(x + iy).
Для действительного порядка v функции Бесселя от действительного
аргумента х>0 будут действительными функциями Jv(x); J4{x)—*0 при х—»-|-°°
». (рис. 106—111, таблицы 43—46).
. . 2.2. Если порядок v не есть
\.У~-/о'х' целое число, то функции
Неймана Nv(z) (бесселевы функции
2-го рода) определяются как
I
■[y,(z)cos-vn—y_.,(z)].
sin vn '
а если порядок есть целое число
-0,5-
Рис. 106. Функции Бесселя У0 (*) и Jx (x). v = л, то
(рис. 112). При целом индексе справедливо представление
ад_#л<*>.^-;И1ГЁ^(Ш£т+1:|)-
fe=0 •■=-1- I; 1
(Y — константа Эйлера) и /V_„(z) = (—l)nN„(z). Для произвольного v имеем

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
185
0,5
0,4
0,3
02
0,1
'0,1
-0,2
-0,3
-ОА
-К
~Т/\ ' 1 -' |
, , 1 \ 7 /у)
ЗгШ ^-^J'x' |
' hr J"> 4-
/ / \ \ •^Т4 7 /1-1
11 \\ а-4-н- aJ^-
Ж1 Х\ -Л^ЬХ ^ V
tt АЛ t iMV-Ej^\^ ^
!Z >hi Lfflt ЛЖ-А ^^%
11 _J 1 н\Ц.^£жЛ 17 й
2 -=?t t-i %&-i tJ x^tlT
ti О IElI Л иД-уУ
ti fcf Xtti Х^ж
IJL f £ц£/ л г лг
1 a ^ uLr vA^o
Л \n ^^^
t^7
' 5
to
15
20
Рис. 107. Функции Бесселя Jt(x)r Jt(x), Je(*), J ,,(*).
OS
0,4
0,3
0.2
0,1
±0,0
~0J
-0Z
-0.3
-0,4
-0.5
10
I
\
\
\
\
\
\
\
1
1
j
-
\
\
1
1
15
-15
\
\
\
1
I
1
k
\l
у
л
II
1
h
i/
r
k,
VLn
1
I
L
7
/
'
\ ■
,
v"
■o — /Jf V
Lj
1
t
^
-?y
л
k
Д5
-/^
IV
-45
.
Я
Г
-^5.
-tS-4,5-
.4^
-4i
05
<$Г
-&
' 1 2 $ i 5 6 7 8 9 10 11 12 13
■■■-■. - —*-л
Рис. 108. Функции Бесселя /,.(х) при v=—п — -=-.
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
±0,0
-0,1
-0,2
-0J
-0.4
-OS

186 ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Функция N,B) многозначна; после т обходов вокруг точки ветвления 2=0
получим:
N„(emniz) = e-m™'N„{z) + 2i!^^m cosvnJ4(z) (/«—целое);
v \ ' ч S1II \П *
в частности, для целого порядка v = я
Ntt (e™az) = (— 1 )тп [Nn (z) + 2imJn (z)].
0.8
0,6
OA
0
-OA
-0,6
~0.8
\V/>
kJJ2)
•JVU/
J*l3)J.M)
%I7)
JvIb
> ys,
JM!
0
9 10 It 12
as
a*
oj
0.2
0,1
-oj
-0,2
-ол
-OA
-OS
V
4
H
/
~JV(8)
""■■^
/—
\tJJK)
fyf/v/
I
jpta
/^
r~
LjVw jv(w
ЪМ
4
W 12 14 16 18
Рис. 109 и НО. Функции Бесселя прн постоянном аргументе и
переменном порядке.

А. ФУНКЦИИ ЕЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 187
1,0
0,5
-0,5
■1,0
~iiv4
ту
тт
т^д
/ л
\ \
1 \
/ \
/
/ ,
\
\ \
\
\
\7
М
7"ДУ 7/-J Л/
Vk* /
JJ4 U £
flj \V _
tt±xi -
L^ Г J У
u X бх
7 /-»? "'
/ Jyl7I
1
w_ :
•
ч) J*¥-'L \№
\ V7/1 ^ s^^JtT-
:y 5± / /K^
_7< v ^ ^ ^
/f 3 _> _/ ±
2 A £/ 2
- Л- у ^
- ^ Д-^
л^
7 -6-5-4-3-2-1 О 12 3 4 5 В
—*~v
Рис. 111. Значения У,E) н У,G).
J'"
05 -
■°\
-UJi ~\
1
J
.1,0
Лэ»
Г*\
\
^
-п
j it j
/\
г л
1
у
\
^
\
-15
^
1.5
1
'
(
\
\
-0,5
v:-1.5
0£\
v=E
as
l
v-.* J±5
-0,5
0,3
_V=tf
45
-1,5
1,5
-oj
V=-tf
>
N.
t,
xi
lS<r
'=U,i
0 1 2 3 4 5 6 7 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Рис. П2. Производная —^-^ как функция x.
av

*p
V
\
,5
,0
1,0 ,
1
.[_
/
_J
/
/
7
/
/
/ W
f 1
i
p*i
/j
/ /
4
/
/
A°
j
I
j
V
/
/>
/
r
- i
/
1
/
*>
z
>
4
/
/
/
f
л-,
/
4-
"г
'n0
— -
"j
»,
" NVM
^
/V^
No
"т
N,
/V,
?k
у
■ —
>50 I 2 3 4 5 6 7 . 8 9 to H .12
Рис. 113. Функция Неймана N4\x). v=0, 1, 2, 3, 4.
0,5
-0,5
■1,0
•'A
У
/
•^У Ah/
L /L^y
/ / f
ФА-/-7' ./
._/ f/7h
7 Z-/J. I
-4 4A-/4-
7 t-tl t-
t-t-1- t-t-i
<J t-Tl- I
-4 t M t
1 L 7 tl
t- t'LJ t h4-
I ILL
г^ j
v /
' *Y /
7y
i /
/ /
/ /
/ /
/ /
/
— a r- -/
У
n/ _/
f /
m/
/
/
^r
i
/
/
/
r~
0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 tl 12
Рис. 114. Функции Неймаиа N„ (x), v = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА ■ 189
Для действительного v^O поведение N„(z) при |z|<^l описывается
формулами
JV,(i)«-|lnA,--.W;W^_I|!!>^ -(у>0).
Для действительного порядка v функции Неймана от действительного
аргумента х^>0 будут действительными функциями N^(x); N^(x)—>-0 при х—>- + оо
(рис. 113, 114, таблица 47).
Рис. 115 и 116. Рельеф функции Ганкеля Я(*' (z); z — x-\-iy=re"?, T<-V<-s- •
Линия ветвления—вдоль отрицательной действительной полуоси.
2.3. Функции Ганкеля f$} (z), H^^ (z) (бесселевы функции 3-го рода)
определяются как

190 Xllt. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
что для нецелого v эквивалентно
Из определений следует, что
/,(*) = /tf'W - IN, (z) = /#'(*) + W, (г) = y [M*'.(*) + /#' (*)],
#,(*) = */,(*)—*/#'(*) = */#' (г) — l/, (г) = f [/#' (г)—/#' (г)],
2y_„ (г) = e^'M1' (г) + е-^М*' (г), /^ (г) = <?"" /#' (г),
/Й1(г) = «--«'Л?' (г), ■«$' (г) = Мг)(г), *£ (г) = /#>(*)•
Функции Ганкеля многозначны; после да обходов вокруг точки ветвления z = 0
получим:
/#> (е-»"г) = - sin(m-I)VJt /#> (г) -^«' "™ /#> (г),
1 . smvit . , , t. s,nvit (да—целое)
/#' (е—» = *««' s-^=-/#>(z) + S'"(m + 1)vJt Мг) (г);
v х ' sin \п v ' sin \я v v '
в частности, для целого v = «
/#'(*"""*) = (— i)mn [/#> (*) —2«У„ (*)],'
/#' (е»«!*) = (— 1 )тп [/#> (z) +2mJa (г)]..
В отличие от У„(г) и JV„(z), функции Ганкеля действительного порядка v
принимают комплексные значения для действительного аргумента лг>0. Роль
функций Ганкеля в приложениях заключается в том, что они—единственные
из бесселевых функций которые обращаются в нуль при бесконечных значениях
комплексного аргумента (рис. 115—120), а именно: H^]{z)—когда мнимая часть
аргумента положительна, /У^2)(г)—когда она отрицательна:
lim M1,(Qe'?) = 0, lim /#№*-'') = 0 для 0<ф<я.
2.4. Бесселевьг функции порядка v = n-\-— (й = 0,.±1, ...) являются
элементарными функциями (рис. 108, таблица 44):
2 „— 1 (я = 0, 1, 2, ...),
Л^п+А(г) = (—l)B+V_n__LB),
2 г
tln+-(z)- у лге в 2j( I) ^_^__,
/£-L(«) = л/-е^ {л+1) е<* У (_ 1)* <" + *>■' _L_
+ «1 ' ' лг £\ ' и(я-*)«B&)*-
В частности,
Jj_ (г) = Yltz sin г' ^_L <г> = — Yiz cos *»

Ж. ФУНЙЦИИ БЕССЕЛЯ Л:1*0, *2-Г0 И 3-ГО РОДА f
191
х~*г— ■ ■ ■ - b,l"'=(/>.">xJ{g0jJf
JO'V S'£ ОЪ S? 07 S4 Я> SV О 5Ь- Ot- 9?~
-25 -ло -2j -&o -is -io -as о. as w is &o
s*ig=re^ -яу<*я
Рис. 117. Карта горизонталей рельефа функций Ганкеля #'"(z) и #<2 (z).
Рис. 118. Рельеф функции Ганкеля #<', (z).

192 XIII. ФУНКЦИИ ВЁССЕЛЯ /ЦИЯИВДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
3 У
Рис. 119. Карта горизонталей рельефа функции Ганкеля Н^Ц (г).
\
1,5
1.0
0,5
I " ^ ^
Т У /
X ^ У^
Л \- -**? ^
X ^ ^^
Л ^7" >^
Г1 ^j- ^ ^
\^ f ./ ^
\ \ /' ^\У
Л W'7 ^
К^ у7*
S ч \ *s
-У** ^5<
Т ^" ^ ^ *^ ^ ■>». у
^.^' ^"^=4=^. . "Ь^ "
^^ — ■J ^'
-^ .
/
j^ jK-7
_/ ^
1,2 3 4 5
Рис. 120. Функция Ганкеля //^(х) = А^'Х. v = 0, 1.
Ш*;
5/?*
Л*
-ДО*
180'
*-К

ТАБЛИЦЫ
193
Т а б л и ц а 42. Функции А„ (*)—«!{ ^ ) Jn (x)
•
0,00
02
04
06
08
0.10
12
14
16
18
0.20
22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
42
44
46
48
0.50
5?
54
56
53
0,60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0.80
82
84
36
88
0.90
92
94
96
98
1.00
*>
+ ».
0000
•9999
9993
9996
9992
9988
9982
9976
9968
9960
9950
9940
9928
9916
9902
9888
9873
9856
9839
9821
9801
9781
9760
9738
9715
9691
9666
9640
9613
9585
9557
9527
9497
9465
9433
9400
9366
9331
9295
9258*
9221
9183
9144
9104
9063
9021
8979
8935
8891
8847
8801
+ »,
(х)
— 0.5
OS
1
г
2 .
— j
}
4
4
S
— 5
6
&
7
7
— 7,5
8.5
8.S
9
10
— 10
10.5
11
11.S
12
— 12.5
13
11.S
14
14
— IS
IS
It
16
16.5
— 17
17.5
18
ie.s
18.5
— 19
19.5
20
20.5
21
— 21
22
22
22
2}
A
+ 1.
oooo
0000
•9999
9997
9995
9992
9988
9984
9979
9973
9967
9960
9952
9944
9935
9925
9915
9904
9892
9880
9867
9854
9840
9825
9809
9793
9777
9759
9741
9723
9703
9684
9663
9642
9620
9598
9575
9551
9527
9503
9477 _
9451
9425
9398
9370
9342
9313
9284
9254
9223
9192
+ o,
(«)
0
— 0.5
1
1
1,5
— 2
2
2,5
J
i
— 1,5
4
4
4.5
S
— S
5.5
6
6
4.5
— 6.5
7
7.S
8
8
— 8
9
9
9
10
— 9.S
Ю.5
10.5
11
11
— 11.5
12
12
12
11
- 11
11
11.5
14
14
— 14.5
14.5
15
15.5
15.5
•"I
+ ».
0000
0000
•9999
9998
9996
9994
9991
9983
9984
9980
9975
9970
9964
9958
9951
9944
9936
9928
9919
9910
9900
9890
9830
9868
9857
9845
9832
9819
9806
9792
9777
9762
9747
9731
9714
9698
9680
9662
9644
9626
9606
9587
9567
9546
9525
9504
9482
9460
9437
9414
9390
+ 0,
(»)
0
~ 0.5
0.5
1
1
— 1.5
1,5
2
2
2.5
— 2.5
J
3
3.5
1.5
— 4
4
4.5
4.S
5
— S
5
6
5.S
6
— *.$
4.S
4.5
7
7.$
— 7.S
7.S
В
B.S
8
— »
9-
9
9
10
— 9.5
10
10.5
10^5
10.5
— 11
11
11,5
11.5
12
■\
+ 1.
0000
0000
•9999
9998
9997
9995
9993
9990
9987
9984
9980
9976
9971
9966
9961
9955
9949
9942
9935
9928
9920
9912
9904
9395
9885
9876
9866
9855
9844
9833
9821
9809
9797
9784
9771
9758
9744
9729
9715
9700
9684
9669
9652
9636
9619
9602
9584
9566
9548
9529
9510
+ 0,
(*>
0
— 0,5
0.5
0.5
1
— 1
',5
l.S
1.5
2
— 2
2.5
2.5
2.5
1
— 3
1.5
1,5
1.5
4
— 4
4
4.5
5
4.5
— S
S.S
s.s
S.S
6
— 6
6
6.5
',5
4.5
— 7
7.S
7
7.5
в
— 7.5
8.5
В
8.5
e.s
— 9
9
9
9.5
'.5
"s
+ 1.
.0000
0000
•9999
9999
9997
9996
9994
9992
9989
9987
9983
9980
9976
9972
9967
9963
9957
9952
9946
9940
9934
9927
9920
9912
9904
9896
9888
9879
9870
9861
9851
9841
9831
9820
9809
9798
9786
9774
9762
9749
9736
9723
9710
9696
9682
9667
9653
9638
9622
9607
9591
+ 0,
<*)
0
— 0.5
0
1
0.5
— 1
1
1.5
1
2
— 1.5
2
2
2.5
2
— 3
2,5
3
1
1
- 3.S
1,5
4
4
4
— 4
4.5
4.5
4.5
5
— 5
5
S.S
5.5
S.S
— 6
6
6
4.S
6.S
~4.5
6.5
7
T
7.5
— 7
7.5
В
7.5
8
лк
.+ ».
0000
0000
•9999
9999
9998
9996
9995
9993
9991
9988
9986
9983
9979
9976
9972
9968
9964
9959
9954
994»
9943
9937
9931
9925
9918
9911
9904
9896
9889
9881
9872
9864
9855
9846
9836
9826
9816
9806
9796
9785
9774
9761
9751
9739
9727
9714
9702
9689
9676
9662
9648
+ 0.
м
0
— 0,5
0
0.5
1
— 0.S
1 '.
l'
1.5
1
— 1.5
2
1,J
2
2
— 2
2.S
2.S
2.5
1
~3
]
3
1.5
1.S
— i.s
4
1.5
4
4.S
— 4
4.S
4.S
s
s ••
— 5
5
$
5.5
5.S
— *
s.s
6
4
6.5
— 6
6.5
6,5
7
7

+ ».
0000
0000
0000
•9999
9998
9997
9995
9993
9991
9990
9988
9985
9982
9979
9976
9972
9968
9964
9960
9955
9950
9945
9940
9934
9928
9922
9916
9909
9902
9895
9888
9881
9873
9865
9856
9848
9839
9830
9821
9812
9802
9792
9782
9771
9761
9750
9739
9727
9716
9704
9692
+ o,.
<»)
0
0
— 0,5
0.5
0.5
— 1
1
1
0.5
1
— '.5
1,5
1,5
1ф5
2
— 2
2
2
2.5
2.S
— 2.S
2.5
3
]
1
— 1
1.5
1.5
l.S
3.5
— J.S
4
4
4.S
4
— 4.5
4.5
4.S
4.5
5
— 5
s
S.S
s
5.5
— 5.5
6
S.5
4
4 .
"в
+ ».
0000
0000
0000
•9999
9998
9997
9996
9995
9993
9991
9989
9987
9984
9981
9978
9975
9972
9968
9964
9960
9956
9951
9946
9941
9936
9931
992S
9919
9913
9907
9900
9894
9837
9880
9872
9865
9857
9849
9841
9832
9824
9815
9806
,9796
9787
9777
9767
9757
9747
9736
9726
+ •
M
0
0
— 0,5
o.s
0.5
— 0.5
■ o.s
1 '
1
1
— 1
l.S
1_J
1.5
1.S
— 1.5
2*
■ 2
1
2
— 2.S
2.S
2.S
2.5
2.S
— 3
1
3
3
3.S
— 3
l.S
3.S
4
3,5
— 4
4
4
f-S
i
4
— 4.S
4.S
S
4.5
5
— 5
5
s
5.S
s
^

194
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение габл. 42
ж
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1,30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
56
58
1.60
42
64
66
8
1.70
72
74
76
78
1.80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
л,
+ 0.
8801 .
8755
8708
8660
8611
8562
8512 "
8461
8410
8358
8305.
8251
8197
8143
8087
8031
7975
7917
7860
7801
7742
7683
7623
7562
7501
7439
7377
7314
7251
7188
7124
7059
6994
6929
6863
6797
6731
6664
6597
6529
6461
6393
6325
625»
6187
6117
6048
5978
5908
5838
5767
+ 0,
(х)
-23
23.5
24
24.5
24.5
- 25
25.5
25.5
76
26.5
-27
■27
27
28
28
— 28
29
28.5
29.5
29.5
-29.5
30
30.5
30.5
31
— 31
31.5
31.5
31.5
32
- 32.5
32,5
32.S
33 "
33
— 33
33.5
33.5
34
34
— 34
34
34.5
34.5
JS
-34.5
35
35
3$
35,5
Лг
+ 0,
9192 .
9161
9129
9096
9063
9029 .
8995
8960
8925
8889
8853.
8816
8779
8741
8703
8664
8625
8585
8545
8505
8464
8422
8380
8338
8295
8252
8209
8165
8120
8075
8030
7985
7939
7893
7846
7799
7752
7704
7656
7608
7559
7510
7461
7411
7362
7311
7261
7210
7159
7108
7057
+ 0.
<*)
-1S.5
16
16.5
16.5
17
-17
17.5
17.5
18
18
- 18.5
18.5
19
19
19.5
- 19.5
20
20
20
20.5
- 21
21
21
21.5
21.5
- 21.5
22
22.5
22.5
12.5
-22.5
23
23
23.5
23,5
— 23.5
24
24
24
24,5
-24.5
24.5
25
24.5
25.5
— 25
25.5
25.5
25.5
25.5
лг
+ в.
9390.
9366
9342
9317
9292
9266.
9240
9214
9187
9160
9132.
9104
9075
9046
9017
8987
8957
8927
8896
8865
8833
8802
8769
8737
8704
8670
8637
8603
8569
8534
8499
8464
8428
8392
8356
8319
8282
8245
8208
8170
8132
8094
8055
8016
7977
7938
7898
7853
7818
7777
7737
+ 0,
М
-12
12
12.5
12.5
13
-13
13
" j.5
U.5
14
-14
14.5
14.5
14.5
15
-15
15
15.5
15.5
16
- 15.5
16,5
16
16.5
17
-16.5
17
17
17.5
17.5
-17.5
18
18
18
18.5
- 18.5
18.5
18.5
19
19
- 19
19,5
19.5
19.5
19.S
-20
20
20
20.5
20
■\
+ 0.
9S10;
9491
9471
9451
9431
9410
9389
9368
9346
9324
9301 .
9279
9255
9232
9208
9184
9160
9135
9110
9085
9059
9033
9007
8980
8954
8926.
8899
8871
8843
8815
8786
8757
8728
8699
8669
8639
8609
8578
8548
«516
8485
8454
8422
8390
8358
8325
8292
8259
8226
8193
8159
+ •.
(х)
- 9Д
10
10
10
10.5
-10.5
.5
11.5
11.5
12.5
12.5
12.5
13.5
-13,5
14.5
-14.5
1*,5
14.5
15.5
15.5
— 15.5
16.5
- 16.5
16.5
16.5
16JS
*ь
+ 0.
9591 .
9575
9558
9541
9524
9S07.
9489
9471
9453
9434
9415 .
9396
9377
9357
9337
9317
9296
9275
9254
9233
9211
9190
9167
9145
9122
9099
9076
9053
9029
9005
8981
8956
8932
8907
8882
8856
8831
8805
8779
8752
8726
8699
8672
8644
8617
8589
8561
8533
8505
8476
8448
4*0.
(х)
- 8
8.5
8.5
8,5
8.5
- 9
9
9
9.5
9.5
- 9.5
9.5
10
10
10
^10.5
10.5
10.5
Ю.5
11
-10.5
11.5
11
11.5
11.5
- 11.5
11.5
. 12
12
12
-12.5
12
12.5
12.5
13
-12.5
13
13
13.5
1»
— 13.5
1W
14
13.5
14
- 14
14
14
14.5
14
Л^
+ в.
9648.
9634
9620
9606
9591
9576.
9561
9545
9529
9513
9497.
9481
9464
9447
9430
9412.
9394
9376
9358
9340
9321 .
9302
9283
9264
9244
9224
9204
9184
9163
9142
9121
9100
9079
9057
9035
9013
8991
8969
8946
8923
8900
8876
8853
8829
8805
8781
8757
8732
8708
8683
8658
(х)
- 7
7
7
7.5
7.5
- 7.5
8
8
8
8
- 8
8.5
8.5
8.5
Ч
- 9
9
Ч
9
9.5
- 9.5
9.5
9.5
10
10
- 10
10
10.5
10.5
10.5
-10.5
10,5
11'
11
11
— 11
11
11.5
11.5
11.5
- 12
11.5
12
12
12
- 12
12.5
12
12.5
1*-s
Л!
+ в.
9692.
9680
9667
9654
9641
9628.
9615
9601
9587
9573
9559.
9544
9530
9515
9500
9484
9469
9453
9437
-9420
9404
9387
9370
9353
9336
9318
9301
9283
9265
9246
9228
9209
9190
9171
9152
9132
9113
9093
9073
9052
9032
9011
8990
8969
8948
8927
8905
8884
8862
8840
8817
+ 0
(*>
- 6
6.5
6.5
6.5
6.5
- 6.5
7
7
7
7
- 7.5
7
7.5
7.5
8
- 7.5
8
8
8.5
8
- 8.5
8,5
8.5
8.5
9
- 8.5
9
9
9.5
9
- 9.5
9.5
9.5
?.5
10
- 9,5
10
10
10.5
10
- 10,5
10.5
10.5
10.5
10.5
- 11
10.5
11
11
11.5
лв
+ 0.
972*.
9715
970*
9692
9681
9669.
9657
9645
9632
9620
9607.
9594
9581
9568
9554
9540.
9526
9512
9498
9483
9469
9454
9439
9423
9408
9392
9376
9360
9344
9328
9311
9294
9278
9260
9243
9226
9208
9190
9172
9154
9136
9117
9098
9080
9061
9041
9022
9002
8983
8963
8943
+ 0.
(х)
- 5,5
5.5
6
S.S
6
- 6
6 '
6.5
6
6.5
- 6.5
6.5
6.S
7
7
- 7
7
7'
7.5
7
- 7.5
7.5
•
7.5
8
- 8
8
8
8
8.5
- 8.5
а
9
••'
8.5
- 9 .
9
»
9
»
- 9.5
9.5
9
9.5
10
- 9.S
10
1 9.5
10
10

ТАБЛИЦЫ
195
Продолжение табл. 42
X
2.00
02
04
06
08
2.10
12
14
16
18
2.20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2.50
52
54
56
58
:\бо
62
64
66
68
2.70
72
74
76
78
2.80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3.00
Л
+ 0.
5767
5697
5626
5555
5484
5412
5341
5269
5198
5126
5054
4982
4910
4839
4767
4695
4623
4551
4479
4407
4335,
4263
4191
4120
4048
3977
3905
3834
3763
3692
3622.
3551
3481
3411
3341
3271
3202
3133
3064
2995
2926.
2858
2791
2723
2656
2S89 .
2523
2457
2391
2325
2260
+ 0.
W
— 35
35.5
3S.5
35.5-
36
- 15.5
36
35.5
36
it
-36
ЗЬ
35.5
36
36
- 36
36
36
36
36
-36
36
35,5
36
35.S
-36
35.S
35.5
3S.5
3S
-15.5
35
3S
35
3S
- 34.5
34.5
34.5
34.5
14.5
-34
33.5
34
33.S
33.5
- 33
33
33
33
32,5
Лг
+ 0.
7057
7005
6953
6901
6849
6796
6743
6690
6637
6584
6530 _
6476
6422
6368
6314
6260
620S
6150
6096
6041
5986.
5931
5876
5820
5765
5710
5654
5599
5543
5487
5432.
5376
5320
5265
5209
5153.
5097
5041
4986
4930
4874 _
4819
4763
4708
4652
4597.
4541
4486
4431
4376
4321
+ 0.
(х)
— 2»
26
26
26
26.5
-26.5
26.5
26.5
26.5
27
-27
27
27
27
27
-27.5
27.5
27
27.5
27.5
-27.5
27.5
28
27.5
27.5
-28
27.S
28
28
27,5
-28
28
27.5
28
28
-28
28
27.5
28
28
- 27.5
28
27,5
28
27,5
-28
27,5
27,5
27,5
27.5
^
+ 0.
7737
7696
765S
7613
7572
7530
7488
7445
7403
7360
7318.
7274
7231
7188
7144
7100
7056
7012
6968
6924
6879.
6834
6789
6744
6699
6654
6609
6563
6517
6472
6426.
6380
6334
6288
6242
6195.
6149
6103
6056
6009
5963 .
5916
5869
5823
5776
5729.
5682
5635
5588
5541
5494
+ 0.
W
-20.5
20.5
21
20.5
2»
-21
21.5
21
21.5
21
-22
21.5
21.5
22
22
- 22
22
22
22
22.5
-22.5
22.5
22.5
22.5
22.5
-22.5
23
23
22.5
23
-23
23
23
23
23.5
-23
23
23.5
23.5
13
-23.5
23.5
23
23.5
23.5
-23.5
23.5
23.5
23.5
23.5
лк
+ о.
8159
8125
8091
8057
8022
7987
7952
7917
7882
7846
7811
7775
7738
7702
7666
7629.
7592
7555
7518
7480
7443.
7404
7367
7330
7291
7253.
7215
7176
7137
7099
7060.
7021
6981
6942
6903
6863 .
6824
6784
6744
6704
6664
6624 "
6564
6543
6503
6463 _
6422 ~
6382
6341
6300
6259
+ в.
(«)
•
- 17
17
17
17.5
17.5
- 17.5
17.5
17.5
18
17.5
-18
18.5
18
18
18.5
- 18.5
18.5
18.5
19
18.5
-19.5
18.5
'8.5
19.5
19
-19
19.5
19.5
19
19.5
-19.5
20
19.5
19.5
20
-19,5
20
20
20
20
-20
20
20.5
20
20
-20.5
20
20.5
20,5
20,5
*ь
+ 0.
8448
8419
8389
8360
8331
8301
8271
8241
8210
8180
8149
8118
8087
8056
8025
7993
7961
7929
7897
7865
7833
7800
7767
7735
7702
7668,
7635
7602
7568
7534
7501
7466
7432
7398
7364
7329
7295
7260
7225
7190
7155 .
7120
7085
7050
7014
6979.
6943
6907
6871
6836
6800
+ 0,
(х)
-14.5
15
14,5
14.5
15
- 15
15
15 5
15
15.5
- 15.5
15.5
15,5
15.5
16
- 16
16
16
16
16
- 16.5
16.5
16
16.5
17
- 16.5
16.5
17
17 -
16.5
- 17.5
17
17
17
17.5
-17
17.S
17.5
17.5
17,5
-17.5
17.5
17.5
18
17.5
- 18
18
18
17,5
18
Л
+ 0.
8658
8632
8607
8581
855S
8529
8503
8477
8450
8423
8397.
8369
8342
8315
8287
8260
8232
8204
8175
8147
8119
8090
8061
8032
8003
7974.
7944
7915
7885
7855
7825 .
7795
7765
7735
7704
7674
7643
7612
7582
7550
7519
7488
7457
7425
7394
7362.
7330
7298
7266
7234
7202
+ 0,
(х)
— 13
12.5
13
13
13
-11
13
13.5
13.5
13
-14
13.5
13.5
14
13.5
-14
'.4
14.5
14
14
-14.5
14.5
14.5
14.5
14,5
- 15
14.5
15
15
15
- 15
is
is
15.5
15
-15.5
1S.5
15
16
15.5
- 15,5
15.5
16
15.5
16
- 16
16
16
16
16
л-,
+ 0.
8817
8795
8772
8749
8726
8703 .
8680
8657
8633
8609
8S8S.
8561
8537
8512
8488
8463.
8438
8413
8388
8363
8337.
8312
8286
8260
8234
8208
8182
8155
8129
8102
8075
8048
8021
7994
7966
7939
7912
7884
7856
7828
7800.
7772
7744
7715
7687
7658.
7630
7601
7572
7543
7514
+ ».'
(х)
— ii
11.5
11.5
11.5
11.5
-11.S
11.5
12
12
12
-12
12
12.5
12
12.5
-12.5
12.5
12.5
12.5
13
-12.5
13
13
13
13
-13
13.5
13
13.S
13.5
- 13.5
13.S
13.5
14
13.S
-13.5
14
14
14
14
-14
14
14.5
14
14.S
- 14
14.5
14.5
14,5
14.5
'U
+ 0,
8943.
8923
8902
8882
8861
8840
8819
8798
8777
8756
8734
8712
8690
8668
8646
8624
8602
8579
8556
8533
8510
8487
8464
8441
8417
8393
8370
8346
8322
8297
8273
8249
8224
8199
8175
8150
8125
8100
8074
8049
8024.
7998
7972
7946
7921
7895.
7868
7842
7816
7789
7763
+ 0,
(х)
-10
10.S
10
10,5
10.S.
-10.5.
10.5
Ю.5
10.5.
Я
— 11
It
11-
1t
11
— 11
11.5
л.х
11.5
11.5
— 11.5
J1.5
Л .5
12
12
— 11.5
12
12
12.5
12
— 12
12.5
12,5
12
12,5
-12,5
12,5
13
12.5
12.5
— 13
и
13
12.5
13
— 13,5
13
13
13,5
13
«*

196 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 42
*
3,00
02
04
Об
08
3.10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
3.30
32
34
36
38
3.40
42
44
46
48
3.50
51
54
56
58
3,60
«2
64
66
68
370
72
74
76
78
3.80
82
84
86
88
3,»0
92
п
96
98
4.00
Л, (х)
+ 0.
2260 _
2196
2132
2068
2004
1941
1879
1817
1755
1694
1633
1573
1514
1454
1396
1337
1280
1222
1166
1110
1054
0999
0945
0891
0838
0785
0733
0681
06 30
0580
0530
048*1
0433
0365
0338
02910 _
02450
01997
01550
01109
00675.
00247
.♦00174
00588
00996
01397
01792
021»
O2S60
02935
03302
-•.
- 32
32
32
32
J1.S
-31
31
31
30.S
30,5
-30
29,5
30
29
29.5
-28.S
29
28
28
28
-27.S
27
27
26.S
26.5
-26
26
2S.S
2S
2S
- 24.5
24
24
23.5
23.S
-230
226.S
223.5
220.S
117
-214
210.S
207
204
200.S
- 197,5
193,5
190.5
187.5
183,5
уЦ(х)
+ 0.
4321.
4266
4211
4156
4102
4048.
3993
3939
3885
3831
3773.
3724
3671
3618
3565
3512.
3459
3407
3355
3303
3251.
3199
3148
3097
3046
2995.
2945 "
2895
2845
2795
2746.
2697 ~
2648
2599
2551
2503.
2455
2403
2361
2314
2268.
2222
2176
2130
2085
2040.
1996
1951
1907
1864
1821
+ 0.
-27,5
27,5
27.5
27
27
-27,5
27
27
27
26.5
-27
26,5
26.5
26,5
26.5
-26,5
26
26
26
24
-26
25.5
25.5
25.5
25,5
-25 .
25
25
25
24.5
-24.5
24.5
24.5
24
24
-24
23.5
23,5
23.S
•23
-23
23
23
22.5
22.5
-22
22.5
22
21.5
21.5
Лз
+ 0,
5494.
5448
5400
5354
5307
5260.
5213
5166
5119
5072
5025.
4979
«932
4885
4839
4792.
4745
4699
4653
4606
4560.
4514
4463
4422
4376
4330.
4284
4239
4193
4148
4103
4057
4012
3967
3923
3878.
3833
3789
3745
3701
3657
3613
3569
3526
3483
3439.
3396
3354
3311
3269
3226
+ 0.
W
-23
24
23
23.5
23,5
-23.5
23,5
23.5
23.5
23;5
-23
23.5
23.5
23
23,5
-23.5
23
23
23,5
23
-23
23
23
23
23
-23
22.5
23
22.5
22.5
-23
22.5
22.5
22
22.5
-22.5
22
22
22
22
-22
22
21.5
21.5
22
-21.5
21
21.5
21
21,5
л*
+ 0.
6259.
6219
6178
6137
6096
6055.
6014
5973
5931
5890
5849.
5808
5767
5726
5684
5643.
5602
5560
5519
5478
5437.
5395
5354
5313
5272
5231.
5189
5148
5107
5066
5025.
4984
4943
4902
4862
4821
4780
4739
4699
4658
4618
4577
4537
4497
4456
4416
4376
4336
4296
4257
4217
+ 0.
Ч
-20
20,5
20.5
20,5
20,5
-20,5
20.5.
21
20,5
20.5
-20,5
20.5
20,5
21
20.S
-20.5
21
20.5
20,5
20,5,
-21
20,5
20,5
20.5
20.5
-21
20.5
20.5
20.5
20.5
-20,5
20.5
20.5
20
20.5
- 20.5
20.5
20
20,5
20
-20.5
20
20
20.5
20
-20
20
20
19.5
20
1S
+ 0.
6800.
6764
6727
6691
6655
6619
6582
6546
6509
6473
6436.
6399
6363
6326
6289
6252.
6215
6178
6141
6104
6067.
6030
5993
5956
5919
5881.
5844
5807
5770
5733
5695.
5658
5621
5584
5546
5509.
5472
5435
5398
5360
5323,
5286
5249
5212
5175
5138
5101
5064
5027
4990
4953
+ 0.
М
-18
18,5
18
IS
18
-18.5
18
18,5
18
18,5
-18,5
18
18.5
18,5
18,5
-18,5
18,5
18,5
18,5
. 1S.5
-18,5
18.5
18.5
18.5
19
-18.5
18.5
18.5
18.5
19
-18.5
18.5
18.5
19
18.5
- 18.5
18.5
18.5
19.
18.5
-18.5
18.5
18.5
18.5
18.5
-18.5
18.5
18,5
18.5
18.5
Л.
+ 0,
7202.
7170
7138
7105
7073
7040.
7007
6975
6942
6909
6876.
6843
6810
6777
6743
6710
6677
6643
6610
6576
6543
6509
6476
6442
6408
6374.
6341
6307
6273
6239
6205.
6171
6137
6103
6069
6035.
6001
5966
5932
5898
5864.
5830
5796
5762
5727
5693
5659
5625
5591
5557
5522
+ 0.
(х)
-16
16
16.5
16
16.5
- 16,5
16
16,5
16,5
16,5
-16.5
16.5
16.5
17 .
16.5
-16.5
17
16,5
17
16,5
- 17
16,5
17
17
17
-16.5
17
17
17
17
- 17
17
17
17.
17
-17
17.5
17
17
17
— 17
17
17
17.5
17
- 17
17
17
17
17.5
л-,
+ 0.
7514.
7485
7456
7426
7397
7367.
7338
7308
7278
7248
7218.
7188
7158
.7128
7098
7068.
7037
7007
6976
6946
6915
6884
6854
6823
6792
6761,
6730
6699
6668
6637
6606.
6575
6543
6512
6481
6449.
6418
6387
6355
6324
6292.
6260
6229
6197
6166
6134
6102
6071
6039
6007
5976
+ 0,
(х)
-14.5
14.5
15
14.S
15
-14,5
15
15
15
15
-15
15
15
15
15
-15.5
15
15.5
15
15.5
-1S.S
15
15,5
15,5
15.5
-15.5
15,5
15,5
15.5
15,5
-1S.S
16
15.5
15.5
16
-15.5
15.5
16
«,5
16
- 16
15,5
16
15.5
16
- 16
15.5
16
16
15.5
Лв(х)
+ •.
7763 _
7736
7710
7683
7656
7629 _
7602
7575
7548
7520
7493 _
7465
7438
7410
7382
7355 _
7327
7299
7271
724Э
7215 _
7186
Л58
7130
7101
7073.
7044
7016
6987
6958
6930 _
6901
6872
6843
6814
6785 _
6756 ~
6727
6698
6669
6639 _
6610
6581
6551
6522
6493.
6463
6434
6404
6375
6345
+ 0.
-1Э.5
13
13.5
13.5
13.5
-13.5
13.5
13.5
14
13.5
- 14
13.5
14
14
13,5
- 14
14
14
14
14
-14.5
14
14
14.5
14
-14.5
14.
J4.S
14,5
.14
-'4.5
14.5
14,5
14.5
14.5
-14.5
14.5
14.5
14.5
15
-14.5
14.5
15-
14,5
14.5
-15
14.5"
15
14.5
15

ТАБЛИЦЫ
197
Продолжение табл. 42
*
4.00
02
04
06
08
*.Ю
12
14
16
18
«,20
22
2*
26
28
4.30
12
34
36
38
4.40
42
и
46
48
4.50
52
S4
56
58
4,60
62
64
66
68
«.70
72
74
76
.те
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
л*
-«.0
3302 _
3663
4017
4364
4704
5038 _
5364
5684
5997
6303
6602 _
6895
7180
74S9
7730
7995 _
8253
8504
8749
8986
9217_
9441
9658
9869
*0072
0269 _
0460
0643
0820
0991
1154 _
1312
1462
1607
1744
1876 _
2001
2119
2232
2338
2437 __
2531 ~
2619
2700
2775
2845 _
2908
2966
3017
3063
3103
-0,1
М
-180.5
177
™».5
170
167
-16}
140
156.5
1S1
im.s
-146.5
142.S
139.5
135.5
132.5
-129
125.5
122.5
"8,5
,5
112
10В S
105,5
101.5
«8,5
95.5
913
88.5
85.5
81.5
79
75
П.5
«8.5
66
- 42.5
59
46.5
53
49.5
47
44
40.5
37.5
35
Л .5
29
25.5
23
2*
Л1
+ 0.
1821
1778
1735
1693
1651
1610
1569
1528
1488
1448
1408
1369
1330
1292
125*
1216
1179
1142
1105
1069
1033
0998
0963
0929
0894
0861
0827
0794
0762
0730
06979
06666
06356
06051
05750
054S3
05160
04871
04S87
04306
04030
037S7
03489
03225
02965
02709
02457
02209
01965
01726
01490
+ 0,
<*)
-21.5
21.5
21
21
20.5
-20.5
20.5
20
20
20
-19.5
19.5
19
19
19
- 18.5
18.5
18.5
18
18
-".5
17.5
17
17. 5
16.5
-17
1*,5
16
16
16
- 156.5
155
152.5
•S0.5
'48.5
— 144.5
144.5
142
140.5
138
- 136.5
134
133
130
128
-126
124
122
119.5
118
^3
+ 0,
3226.
3184
3142
3101
3059
3018.
2977
2936
2895
2855
2814 _
2774
2734
2695
2655
2616.
2577
2538
1500
2462
2424 _
2386
2348
2311
2274
2237
2201
2164
2128
2092
2057.
2021
1986
1952
1917
1883.
1849
1815
1782
1748
1715.
1683
1650
1618
1586
1555.
1523~
1492
1462
1431
1401
+ 0.
<х)
-21
21
20.i
21
20.5
-20.S
20,5
20.5
20
20.5
- 20
20
19.5
20
19.5
-19.5
19.5
19
1»
19
- 19
19
18.5
•8.5
18.5
- 18
18.5
18
18
17.5
-18
17.5
17
17.S
17
- 17
17
16.5
17
'6.5
- 16
16.5
16
16
15.5
- 16
1S.S
15
15,5
15
лк
+ 0.
4217.
4177
4138
4099
4059
«020.
3981
3942
3903
3865
3826.
3787
3749
3711
3673
3635.
3597
3559
3522
3484
3447
3410
3373
3336
3299
3263.
3226
3190
3154
3118
3082.
3047
3011
2976
2941
2906
2871
2837
2802
2768
2734.
2700
2666
2633
2600
2567
2534
2501
2468
2436
2404
+ 0.
<х)
-20
19.5
19.5
20
19.5
-19.5
19.5
19.5
19
19.5
-19.5
19
19
19
19
-19
19
18.5
19
18.5
- 18.5
18.5
«9.5
18.5
18
- 18.5
18
18
18
18
-17.5
18
17.5
17.5
17 5
- 17.5
17
17.5
17
17
-17
17
14.5
16.5
16.5
-16.S
14.5
16.5
16
16
л5оо
+ 0.
«"-,.
4917 18.5
4880 .8.5
4843 18.5
4806 1в
4770 -18.5
4733 18
4697 .8.5
4660 1в
4624 18
"<Я_,в5
1 18
«« ,8
4479 18
***3 18
**°7-18
4371 18
4335 175
*300 18
«М .7.5
«»_.8
4,93 17.5
*,М .8
4,« 175
4087 175
«>И_,7 5
«О17 .7 5
3982 175
Э947 17.5
391} 17
3878 _„ s
3843 17
3809 17
3775 .7.5
3740 „
3706 _,7
3672 17
3«8 ,6 5
3605 |7
3571 17
3537-Г6.5
3504 ,45
3471 16.5
3438 16.5
3405 16.5
3372 -.6.5
3339 .6.5
3306. 14
3274 16.5
И*1 1»
3209
+0,
\
+ 0,
5522.
5488
5454
5420
5386
5352.
5318
5284
5250
5216
5182.
5148
5114
5080
5046
5012.
4979
4945
4911
4878
4844.
4810
4777
4744
4710
4677 _
4643
4610
4577
4544
4511.
4478
4445
4412
4379
4347
4314
4281
4249
4216
4184
4152
4120
4087
4055
4023.
3991
3960
3928
38%
386S
+ 0,
(х)
- 17
17
17
17
17
- 17
17
17
17
17
- 17
17
17
17
17
- 16.5
17
17
•6.5
1»
-11
16.5
16.5
17
14.5
- 17
16.5
16.5
16.5
14.5
- 16.5
16.5
16.5
16.5
Н
-16.5
16.5
16
16.5
16
- 16
16
16.5
16
16
-16
15.5
16
16
15.5
ч7
+ 0.
5976.
5944
5912
5880
5849
S817.
5785
5753
5722
5690
5658
5626
559S
5563
5531
5499.
5468
5436
5404
5373
5341.
5309
5278
5246
521S
5183.
5152
5120
5089
5057
5026.
4995
4963
4932
4901
4870.
4839
4807
4776
4745
4714.
4684
4653
4622
4591
4560.
4530
4499
4469
4438
4408
+ 0.
(*)
-16
и
16
15.5
16
- 16
16
15,5
16
16
-16
15.5
1»
16
16
-1S.5
16
16
1S.S
16
- 16
153
16
15.5
16
-1S.S
16
15.5
16
15.5
- 15.5
16
1S.S
15,5
15.5
— 15.5
16
15.5
15.5
1S.S
— 15
15.5
15.5
15.5
15.5
- 15
15.5
15
15.5
15
^8
+ •.
6345.
6316
6286
6256
6227
6197.
6167
6137
6108
6078
6049.
6019
5989
5959
592»
5900.
5870
5840
5810
5781
5751.
5721
5691
5661
5631
5602.
5572
5542
5512
5483
5453
5423
5394
5364
5334
5305.
5275
5246
5216
5186
5157.
5127
5098
5069
5039
5010.
4980
4951
4922
4893
4863
+ 0,
<*>
-16.S
15
15
14. S
15
- 15
15
16.5
15
14.5
-15
15
15
15
14.5
- 15
15
15
1*5
15
-1«-
«I
15
15
14.5
-15
15
15
14J
15
-15
14\5
15
«5
16.5
— 15
16.5
15
»5
14.5
- 15
163
14.5
15
16Д
-15
14.5
14.5
14.5
15

198
X11I. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 42
х | ,!,<*) |
5.00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
5.20
22
24
26
28
5.30
32
34
.36
38
^.40
42
44
46
48
5 50
52
54
S6
58
S 60
62
64
66
68
5'С
72
74
76
78
S.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
-0.1
З'°3_,7 5
3138 u
3166 ,2
3190 85
3207 t
1219 - 3.5
3226 ,
3228_ г
3224 45
3215 7
3201 - 9.5
3,82 12.5
31S7 ,„
3128 ,7
3094 „5
3055 -22
зон 14
2963 1*S
29,0 28.5
2853 „
2791 - 33.5
2721 35.5
2653 375
2578 „ 5
2499 4,_5
2416_ 43.5
2329 46
2237 475
2142 495
2043 515
1940_5J
1834 „
1724 565
,6" 58.1
1494 60
1374-62
1250 63.5
<!23 64.5
0994 66.5
0861 68
0725+69 5
«586 70 5
0445 п
0301 ,s 5
0154 ;4S
ooos+76
•9853 „
9699 78.1
9542 7,
9384 80S
•5 00 I 9223
0.»
л1
+ 0,0
1490_
1259
1031
С 808
0589
0373 _
0162
•0045
0248
0447
0643 _
0834
1021
1204
1384
1559 _
1731
1898
2062
2222
2378 _
2S31
2679
2824
2965
3103 _
3236
3366 '
3492
361S
3734 _
38SC
3961
4070
4175
4276 _
4374
4468
4SS9
4647
«731 .
4812
4890
4965
5036
5104
5169
5230
5289
S345
5397
' - 0 0
х) |
-45.5
114
111.5
109.5
108
-105.5
103.5
101.5
99,5
98
- 95.5
93.5
91.5
90
87.5
- 84
83.5
82
80
78
- 76.5
74
72.5
70.5
69
- 66 5
65
63
61.5
59 5
- 58
55 5
54.5
525
50.5
- 49
47
45 5
44
42
- 40 5
3»
37 S
35 5
34
- >2.S
30.S
29.5
28
26
/lj(x) |
+ 0,1
4010 _
3710
3414
3121
283G
2542 _
2258
1975
1696
1420
1146 _
0876
G6G8
0343
008V
*9822 .
9566
9312
9062
8814
8S70_
8323
8089
7853
7619
7389 _
7162
6937
671S
6496
6280 _
6067
5857
5649
5445
S243_
5044
4848
4654
4464
4276
4091
3909
3730
3553
3379
3208
3039
2874
2711
2SS0
i _ о.О
150
148
146.5
145.5
144
- 142
141.5
139 5
138
137
•135
134
132.5
131
129.5
- 128
127
125
124
122
-121
119.5
118
117
115
-43 5
112 5
111
109.5
108
- 106 5
105
'04
102
101
- 99.5
98
97
95
94
-92 5
91
89.5
88.5
87
- 85.5
84,5
82.5
81.5
80,5
Лк (х) j
+ 0.
2404 _
2372
2340
2308
2277
2246 _
2215
2184
2153
2123
2093
2G63
2G33
2003
1974
1945 _
1914
1887
18S9
1830
1802 _
1774
1747
1719
1692
16648 _
16380
16114
158S0
1S588
1S328_
15071
14816
14563
14312
14063_
13817
.13572
13330
13090
128S3_
12617
12384
121 S3
11924
11697_
11473
11250
11030
10812
10597
! + o.
. I
u
u
i6
15.5
15.5
15.5
15,5
15.5
15
15
15
15
15
14.5
14.5
14.5
14.5
14
14.5
14
14
13.5
14
13.5
13.5
•1L
133
132
131
130
- 128.5
127.5
126.5
125.5
124.5
-123
122.5
121
120
118.5
- 118
116,5
115,5
114,5
113,5
-112
111.5
110
109
107.S
^5
+ 0.
3209 _
3177
314S
3113
3081
3050 _
3018
2987
29S6
292S
2894 _
2863
2832
2802
2772
2742.
2712
2682
2652
2623
2S93_
2564
2S3S
2506
2477
2449
2420
2392
2364
2336
2308
2281
2253
2226
2199
2172.
2145
2118
2092
2066
2040.
2014
1988
1962
1937
1912
1887
1862
1837
1813
1788
+ 0.
x) |
- 16
16
16
16
15.5
-16
15,5
15.5
15.5
15.5
-15,5
15.5
15
15
15
- IS
15
15
14,5
ts
- 14.5
14.5
14.5
14.5
14
- 14.5
14
14
14
14
-13.5
14
13.5
13.5
13.5
-13.5
13.5
13
13
13
-13
13
13
12.5
n.s
- 12.5
12.5
12,5
12
12,5
\
+ 0,
3865 _
3833
3802
3771
3740
3709 _
3678
3647
3616
3585
3555 _
3524
3494
3464
3434
3404 _
3374
3344
3314
3285
32SS
3226
3196
3167
3138
3109 _
3G81
3052
3G23
2995
2967
2939
2911
2883
2855
2827
2800
2772
2745
2718
2691
2664
2637
2611
2584
2558
2532
2505
2480
2454
2428
i +0,
x)
j
- 16
15,5
15.5
15.5
15.5
- 15.5
15 5
15,5
15,5
15 •
-15 5
15
15
15
15
- 1S
15
15
14.5
15
-14.5
15
14.S
US
14.5
- 14
14,5
14.5
14
14
- 14
14
14
14
14
• 13 s
14
13 5
13 5
'.3.5
- 13.5
'3 s
13
13.5
13
-U
13.5
12.5
13
13
'17
+ o.
4408 _
4377
4347
4317
4287
4256 _
4226
4196
4166
4137
4107 _
4077
4048
4018
3989
3959 _
3930
3901
3871
3842
3813.
3784
3756
3727
3698
3670 _
3641
3613
3585
3556
3528
3500
3472
3444
3417
3389
3361
3334
3307
3279
3252
3225
3198
3171
3U5
3118
3091
3065
3039
3013
2986
+ 0.
(x) |
- 15.S
15
15
15
15.5
- 15
IS
1 5
14.5
15
-15
H.5
15
14.5
15
-14.5'
14.5
15
14.5
14.5
- 14.5
14
14.5
14.5
14
- 14.5
14
14
14 5
U
-<4
14
14
13.5
14
- 14
13,5
13.5
14
13.5
- 13lS
13.5
13.5
13
'3.S
-11.S
13
13
13
13,5
■\
+ 0,
4863 _
4834
4805
4776
4747
4718 _
4689
4660
4631
4603
4574 _
454S
4516
4488
4459
4431 _
4402
4374
4346
4317
4289 _
4261
4233
4205
4.177
4149_
4121
4093
4066
4038
4010.
3983
3955
3928
3901
3873.
3846
3819
3792
376S
3738
3712
3685
3658
3632
3605
3579
355)
3526
3509
1474
+ 0.
x)
-14.5
14.5
14.5
14.5
14.5
- 14.5
14.5
14.5
14
14.5
-14.S
14 5
14
14.5
14
-14.5
14
•4
14.S
14
-14
14
14
14
14
- 14
14
13.;
14
u
- '3.5
14
13.5
13.5
14
-U.5
13.5
13.»
13.5
13.5
-13
13.S
13.5
13
«1,5
-13
15
n.s
13
1J

ТАБЛИЦЫ
199
Продолжение табл. 42
X
6.00
02
04
06
08
6.10
12
14
16
18
6.20
22
24
26
28
6.30
32
34
36
38
6.40
42
44
46
48
6.SO
52
54
56
58
6.60
62
64
66
68
6.70
72
74
76
78
6.80
82
84
86
88
6.90
92
94
96
98
7.00
Л,(х)
-0.0
'»з+815
9060 n.s
8895 8J5
8728 8<5
8559 в5
8389+84
8217 g7
8°" 87.5
7868 ет5
7691 g,
75,3 +89.S
7334 ю
7154 „
6972 „
6790 п
6606 + п 5
6421 92.5
6236 ,3
6050 9J.5
5863 .„
5676+9*
5488 м
5300 ,4
5112 94,5
4923 94.5
473* + „
«544
*355 94.5
4166 „
3976 ,<5
3787 м 5
3598 ,4
3410 ,4S
3221 ,<
зозз ,J5
2846 + 93.5
2659 ,3
.2473 „
2287 „5
2102 п
1918+„5
1735 „
1553 „
1371 90
,,9« 89.S
1012 + 89
0834 М5
0657 ю
041 87
0307 84.5
0134
-М
Л2(х)
— 0,0
5397_25
5447 „
5493 в
5537 10
5577 „
5615-17.S
5«0 14
5682 „
5712 „
5738 „
57«-11
5784 ,
5802 8
5818 7
5832 „
S843_ t
5851 ,
5857 2
5861 - 0.5
5862 + 0.5
5861 2
5857 25
58S2 4
5844 5.5
5833 6
5821 + 7
5807 85
5790 ,
5™ ,0.5
5751 115
5728 „
5704 „
5678 14.5
5649 „
5"9 ,6
5587 + U.5
5554 ,75
55" ,8.s
5482 „5
5W3 м
5403 +v
5361 21.5
53,8 22.5
5273 23
5227 м
5,79 + мл
5'30 25.
5080 26
5028 26.5
4975 „
«921
— •>
^3
+ 0,0
2550 _
2393
2238
2086
1936
1789.
1645
1503
1364
1227
1093.
0962
0833
0707
0583
0462.
0343
0226
0112
0001
*0108
0215
0319
0421
0521
0618
0713
0805
0896
0984
1070.
1153
1235
1314
1391
1466 _
1538
1609
1678
17W
1809
1871
1931
1990
2046
2101
2153
2204
2253
2300
2345
,- оя
(х)
-78,5
77.5
76
75
73,5
-71
71
49,5
68,5
67
-65,5
64,5
63
62
60, 5
-59.5
58.5
57
55,5
54,5
-53,5
52
51
SO
48,5
-47,5
44
45,5
44
4J
-41,5
41
J9.S
J8, 5
17,5
- J6
35,5
34,5
3J
32,5
- 31
30
29.5
28
27.5
-26
25, 5
24.5
21.5
22, 5
Л<(х)
+ 0,1
0597 _
0383
0172
*9963
9756
9551 _
9349
9149
8950
8754
8561 _
8369 ~
8180
7992
7807
7624 _
7443
7265
7088
6914
6741 _
6571
6403
6237
6073
5912 _
5752
5594
5439
5285
5134_
4984
4837
4692
4549
4407 _
4268
4131
3996
3862
3731 _
3602
3474
3349
3225
3104 _
2984
2866
2750
2636
2S24
+ 0,0
107
105,5
104. 5
103,5
102,5
101
100
99,5
98
94.5
96
94,5
94
92,5
91.5
90,5
89
88,5
87
86,5
85
84
83
82
80,5
80
79
77,5
77
75*5
75
73,S
72,5
71,5
71
69,5
68 5
67,5
67
65,5
64,5
64 ,
62,5
62
60,5
60
59
58
57
56.
л,
+ 0.1
7881 _
7639
7399
7160
6924
6689.
6456
6224
5995
5767
5541 _
5317
5094
4873
4654
4437 _
4222
4008
3796
3586
3378 _
3171
2967
2764
2563
2363 _
2166
1970
1776
1583
1393 _
1204
1017
0832
0648
0466 _
0286
0108
•9932
9757
9584 _
9413
9243
9075
8909
8745 _
8582
8421
8262
8104
7949
+ 0.0
{*)
- 121
120
119,5
118
117.5
- 116,5
116
114,5
114
113
-112
111,5
110.5
109,5
108.5
- 107,5
107
104
105
104
-103,5
10}
101".»
100.5
100
- 98.5
98
97
96.5
- 95
- 94.5
93,5
92.5
92
91
- 90
89
88
87.5
B6.S
- 85.5
85
84
в)
82
- 81,5
80.5
79.5
79
77.S
л
+ 0,
2428
2403
2377
2352
2327
2302
2277
2252
2228
2203
2179
2155
2131
2Ю7
2083
2060
2037
2013
1990
1967
19а
1922
1899
1877
1855
1832
1811
1789
1767
1746
17242.
17010
16820
16611
16403
16197
15993
15790
15588.
15388
15189
14992
14797
14603
14410
14219
14029
13841
13654
13469
13285
+ •.
(х)
— 12.5
13
12,5
12,5
12,5
- 12,5
12,5
12
12,5
И
- 12
12
12
12
11,5
- 11,5
12
11,5
11,5
11,5
— 11
11,5
11
11
11,5
- 10,5
11
п
10,5
11 .
-104
105
104.5
104
103
-102
101,5
101
100
99.5
- 98,5
97.5
97
96.5
95.5
- 95
94
91,5
92,5
92
Л7(х)
+ 0.
2986 _
2960
2935
2909 ,
2883 ,
2857 _
2832
2807
2781
2756
2731 _
2706
2682
2657
2633
2608 _
2584
2560
2536
2512
2488_
2464
2440
2417
2394
2370 _
2347
2324
2301
2279
2256 _
2234
22И
2189
2167
2145 _
2123
2101
2080
2058
2037 _
20.15 ,
1994
1973
1952
1932 __,
1911
1891
1870
1850
1830
+ о.
3
2.5
3
J
3
2.5
2.5
3
2.5
2,5
2,5
2
2,5
Г2
2,5
2
2
2
2
2
2
2
1,5
1.5
2
1,5
1.S
1,5
1
1,5
1
1,5
1
1
1
1
1
0,5
1 '
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0
0.5
0
0,5
0
0
л
+ 0.
3474.
3448
3422
3397
3371
3345.
3320
3294
3269
32а
3218.
3193
3168
3143
3119
3094.
3069
3045
3020
2996
2972.
2948
2923
2900
2876
2852.
2828
2805
2781
2758
2735.
2711
2688
2665
2643
2620.
2597
2575
2552
2530
2508.
2486
2464
2442
2420
2398
237?
2355
J334
2313
2291
+ 0.
(»)
12.5
- 12,5
12,5
12,5
- 12,5
12.5
12,5
12.5
-12.5
12,5
12,5
11,5
11,5
11,5
11,5
11.5
11,5
11.5
- 11.5
11.5
- 10.5
10,5
10.5

200 ли. функции бесселя (цилиндрические функции)
Продолжение табл. 42
X
7.00
02
04
06
08
7,10
12
14
16
18
7.20
22
24
26
28
7,30
32
34
36
38
7.40
42
а
46
48
7,50
52
54
56
58
7.60
62
64
66
68
7.70
72
74
76
78
7.80
82
84
86
88
7.90
92
94
96
98
8.00
Л, (*) |
— 0.0
«>»«+•*
*0038 ю
0208 w
0376 „л
0543 вз
0709+в,5
0872 „,
1034 „
1194 79.5
'«3 та
1509+77,5
1644 76
1816 „s
1967 70
2116 73
M« + «.s
2407 „
"« 70
2689 ,,
2827 а
29«+6б,5
3096 t5i5
3227 64.5
3356 tJi5
3483 „
36°7+60S
3728 5,5
3847 ses
3964 57
4078 5t
4,90+54.5
4299 „
4405 52
4509 M
4611 „
4709+48
4805 i7
4899 «.5
4990 u
5078 i2i
5163 +4, 5
5246 40
5j26 38,p
5403 „
5477 36
5549+34.5
5618 3J
S*8* 31.5
5747 J0.5
5808
29
5866
+ 0.0
Л 2 <*>
-0.0
*»' + 27.5
4846 28.5
**» 28.5
47« 29.5
«693 w
4433+ 30
4573 „
4511 „
4449 32
4385 32
4321 + 33
«*s „.,
4190 33,5
«U u
4055 ,4
3987 + Jt s
3918 34.5
3849 J5
3779 35.5
3708 355
З6З7 + 35.S
3566 3t
3494 36.5
3421 36.5
33*8 M,5
3275+37
3*" J6.5
5128 37.5
3053 37
2979 3,5
2904 +J7
2830 375
27« 37.5
2680 „j
2605 }e'
2"9+J7.5
2454 37.5
2379 37.5
4 37.5
2229 37.5
2l5*+*37.5
2°79 37.5
2004 ,„
1929 37.S
1854 37
"80+37
1706 j7
1632 36.5
1559 37
1485 36.S
1412
— 0.0
Л3(х)
-0.0
»«S-21.S
2388 2,
0 „.,
2469 „
2507 „
25«_,7.5
2578 16.5
2611 15.5
2442 14.5
2671 M
2699 _,3
272S US
2750 11.5
2773 10.5
2794 10.5
2815 ,
2833 es
2850 8
2866 ,
2880 t_5
2893 _ 55
2904 5
2914 4,5
2923 3.5
2930 j
2934-2.5
2941 1,5
2944 1.5
2947 - 0.5
2948 „
2948 + 0.5
2947 1.5
2944 1.5
2941 2.5
2936 ,
2,30 + ,.5
2923 3.5
2916 45
2907 s
2897 $5
2886+ „
2874 6
2862 7
2848 7
2834 „
2818+ e
2802 g5
2785 ,
2767 .,
2749 1Q
2729
-0.0
Лк{*)
+ 0.0
2524 _
2413~
2305
2198
2093
1990 _
1889
1789
1692
1596
1502 _
1409
1318
1229
1142
1056 _
0972
0890
0809
0730
0653 _
0S77
0503
0430
0359
0289_
0221
0155
0090
0026
*0036_
0097
0156
0213
0270
0324 _
0378
0430
0481
0530'
0578,
0625
0670
0714
0757
0799 _
0839
0878
0916
0952
0988
-0.0
-55.5
54
53.5
52.5
SI .5
-50.5
50
48,5
48
47
-46.5
45.5
44.5
43.5
43
-42
41
40.5
39.S
38,5
- 38
37
36.5
35.5
35
-34
33
33.5
32
31
-30.5
29.5
28.5
28.5
17
-17
26
25,5
24.5
24
-23.5
22.S
22
21.5
21
-20
19.5
19
18
18
ASW
+ 0.0
7949 _
7794
7642
7491
7342
7195 _
7049
6905
6762
6622
6482_
6345
6209
6075
5942
5811 _
5681
5554
5427
5303
5179_
5058
4938
4819
4702
4587_
4473
4361
4250
4141
4033 _
3927
3822
3718
3616
3516 _
3417
3319
3223.
3128
3035 _
294з"
2853
2763
2676
2589 _
2504
2420
2338
22S7
2177
+ 0.0
-77.5
76
75.5
74.5
73.5
-73
72
71.5
70
70
-68,5
68
67
66.5
65.5
-65
63.5
63.5
62
62
-60.5
60
59.5
58.5
57.S
-S7
56
55.5
54.5
54
-S3
52.5
52
51
50
-49.5
49
48
47;5
46.5
-46
45
45
43.5
43,5
-42,5
42
41
40.5
to
Л6(*)
+ 0.1
3285 _
3103
2922
2743
2565
2389 _
2214
2041
1869
1698
1530 _
1362
1196
1031
0868
0707 _
0546 ~
0388
0230
0074
*9920_
9767
9615
9465
9316
9169 _
9023 "
8879
8735
8594
8453.
8315
8177
8041
7906
7773 _
7641
7510
7381
7253
7126 _
7002
6877
6755
6634
6514 _
6395 "
6273
6162
6047
5934
+ 0.0
-91
90.5
89.5
89
88
-87.5
86.5
86
85,5
84
-84
83
82.5
81.5
'80.5
-80.5
79
79
78
7»
-76 J
76
75
74.5
73.5
-73
72
72
70.S
70,5
-69
69
69
67.5
66.5
-66
65.5
64.5
64
63,5
-62
62.S
61
60.5
60
-59.5
58,5
58
57.S
56.5
Л
+ 0.1
830
810
790
770
751
7311.
7118
6926
6735
6545
6357 _
6170
5984
5799
5616
5434.
5253
5074
4896
471*
4543 _
4369
4196
4024
3854
3685.
3517
3350
3184
3020
2857.
2696
2535
2376
2219
2062,
1907
1752
1600
1448
1298.
1149
1001
0854
0709
0564.
0421
0280
0139
0000
♦9862
+ 0J»
w
-10
10
10
9.5
10
-96.5
96
95,5
9S
94
-93,5
93
92.5
91.5
91
-90.5
89,5
89
88,5
88
-87
86,5
86
85
84.5
-84
83,5
83
87.
81.5
-80.5
80.5
79,5
78,5
78,5
-77,5
77.5
76
76 .
7S
-74.5
74
73,5
72.5
72.5
-71.5
70.5
70.5
6*5
69
лвм
+ 0.
2291
2270
2249
2229
2208
2187
2167
2146
2126
2106
2086
2066
2046
2026
2007
1987
1968
1949
1929
1910
1891
1872
1854
1835
1817
17982.
17799
17617
17437
17257
17079,
16902
16726
16551
16377
16204.
16033
15862
15693
1552S
15358.
15i 92
15027
14863
14700
14539
.14378
14219
14061
13904
137X8
+ °-
— 10.5
10,5
10
10.5
10,5
-10
10.5
10
10
10
-10
10
10
9.5
16
- 9,5
9,5
10
9,5
9,5
— 9.5
»
9.S
»
9.5
-M.5
91
90
90
89
-88.5
88
87.5
87
86.5
-85.5
85.5
84.5
84
83,5
-83
82,5
82
81.5
80.5
-80.5
79.5
79
78.5
78

ТАБЛИЦЫ
201
Продолжение табл. 42
X
8.00
02
04
06
08
8.10
12
14
16
18
8.20
22
24
26
28
8.30
32
34
36
38
8.40
42
44
46
48
8.50
52
54
56
58
8.60
62
64
66
68
8.70
72
74
76
78
8,80
82
84
86
88
8,90
92
94
96
98
9.00
>М
+ 0.0
5866 +
5921
5973
6023
6070
6114
61S5
6194
6229
6262
6293 +
6320
6345
6367
6387
6403
6417
6429
6438
6444
6447 +
6448 _
6447
6442
6436
«426 _
6415
6400
6384
636S
6343 _
6319
6293
6264
6234
62О0._
616S*
6127
6088
6046
6002 _
5956
5907
5857
5805
5751 _
5694
5636
5577
5515
5451
+ 0,0
27.5
26
25
23.5
22
20. S
19.5
".5
1&.5
IS 5
13.S
• 2 5
11
10
8
7
6
4.5
3
1.S
05
05
2S
3
5
5 5
7.5
в
9.5
1»
12
13
U.5
15
17
17.5
1»
19,5
21
22
23
24 5
25
26
27
28,5
29
2», 5
11
32
Л2(х)
-0.0
1412
1340
1268
1196
1124
1053 +
0983
0913
0843
0774
0705
0637
0570
0503
0437
0371
0306
0242
0178
0115
0053 +
•0008
0069
0129
0189
0247 +
0305
0362
0418
0473
0528 +
0582
0634
0686
0737
0788 +
0837
0885
0933
0980
1025
1070
1114
1157
1199
1240
1280
1319
1357
1394
1431
+ 0.0
36
36
36
36
35 5
35
35
35
34 5
34 5
34
33 5
33,5
33
33
32,5
32
32
31 5
31
30 5
30 5
30
30
29
29
18 5
28
27,5
27.5
27
26
26
25,5
25.5
24 5
24
24
23.5
22,5
22 5
22
21.5
21
20,5
20
19.5
1»
1в,5
1в,5
Л3 (х)
-0.0
9 t 10
2709 10.5
2688 10 5
2667 „
2645 „ 5
2622 + ,2
2598 12
2574 12 5
2549 ,2j
2524 ,j
M98+13.5
2471 13.s
2444 13's
2417 M
2389 U5
2360 + i«!s
2331 u 5
2302 15'
2272 15
2242 15S
и» + ,5'5
2180 ,5 5
2149 u
2117 ,t
2085 u
*°"+16.5
2020 u 5
1987 165
1954 1t5
1921 17'
1887 ,7
1853 O
1819 ,7
1785 17
1751 ,75
1716+ ,7
1682 175
1647 17'5
1612 ,75
1577 ,75
1542+ ,75
1507 175
1472 175
1437 17'5
1402 ,7'5
1367 ,75
1332 1g'
1296 17 5
1261 175
1226 17s
1191
-0,0
/l^*
-0,0
0988 _
1022
1055
1087
1118
1147 _
1176
1204
1230
1255
1280 _
1303
1325
1346
1367
1386 _
1404
1421
1438
1453
1468 _
1482
1495
1506
1518
1528
1537
1546
1554
1561
1567_
1573
1578
1582
1585
1588 _
1590
1591 _
1592
1592 +
1591
1590
1588
1586
1583
1580 +
1575
1571
1566
1560
1554
— 0.0
6 5
5,5
4,5
4,5
2 5
2 5
1,5
05
0.5
9.5
»
•,5
a.s
7.S
7.5
7
6S
S.5
6
5
4,5
4 5
4
3.5
3
3
2 5
2
1 5
1.5
1
05
0,5
0
OS
05
1 5
1 5
2 5
2,5
Л5(х)
+ 0,0
2177
2099
2021
1946
1871
1798 .
1725 "
1655
1585
1517
1449 _
1384
131*
1255
1193
1132.
1071
1013
0955
0898
0842 _
0788
0735
0682
0631
0581 _
0532 "
0484
0437
0391
0346.
0302
0259
0217
0176
0136_
0096 ~
0058
002i
♦0015
0051 _
0085
0119
0152
0184
0215.
0245
0275
0303
0331
0358
-0.0
-39
39
37 5
375
36 5
- 36 5
35
35
34
34
- 32,5
32 5
32
J1
30 5
-J0.5
29
29
28.S
IS
-27
26 5
26 5
25 5
25
-245
24
23,5
23
22.5
-22
21 5
21
20 5
20
-10
19
18.5
18
18
-17
17
16.5
16
15.5
- 15
U
14
14
13.5
\
+ 0.0
5934 _
5822
5711
5602
5493
5386.
5281
5176
5073
4971
4870.
4771
4673
4575
4480
4385.
4291
4199
4108
4018
3929.
3842
3755
3670
3586
3503.
3421
3340
3260
3182
3104.
3028
2952
2878
2805
2733.
2661
2591
2522
2454
2387.
2321
2256
2192
2129
2067.
2006
1946
1887
1829
1772
+ 0,0
M
-56
55 5
54 5
54 5
53 5
-52 5
52 5
51 5
SI
50 5
-49 5
49
49
47 5
47 5
-47
46
45 5
45
44 5
-S3 5
43 5
42.5
42
41.S
- 41
40.5
40
39
39
- 38
38
37
36.5
36
- 36
35
34 5
34
33,5
-33
32. S
32
31,S
31
- 30,«
4o •
2».S
29
28,5
Лп
+ 0.0
9862.
9725
9589
9455
9322
9190.
9059
8929
8801
8673
8547.
8422
8298
8176
8054
7934.
7815
7697
7580
7464
7350.
7236
7124
7013
6903
6794.
6686
6579
6473
6369
6265.
6163
6062
5961
5862
5764.
5667
5571
5476
5382
5289.
5198
5107
ЯИ7
4928
4841 _
.4754
4668
4583
4500
4417
+ 0,0
(')
-685
68
67
66,5
66
-65,5
65
64
64
63
-62.5
62
61
61
40
-S9.S
5»
58 5
se
57
- 57
56
55 5
is
54,5
- 54
53 5
53
52
53
- 51
50,5
50 5
49,5
49
-48.5
48
47.5
47
46.5
-45.5
45.5
45
44,5
43,5
-43,5
43
42,5
41,5
41.5
Лв(*)
+ 0.1
3748 _
3593
3439
3286
3135
29B4\
2835
2687
2540
2393
2248 _
2105
1962
1820
1679
1540 _
1401
1264
1128
0992
0858 _
0725
0593
0462
0332
0203 _
0075
*9949
9823
9698
9574 _
9452
9330
9210
9090
8972.
8854
8738
8622
8508
8394 _
8282
8171
8060
7951
7842 _
7735
7629
7523
741»
7315
+ 0.0
-77,5
77
76.S
75,5
75 5
74 5
74
735
73 S
72 5
71.5
71 5
71
70S
69 5
-69 5
685
68
68
67
-66,5
66
65 5
65
645
- 64
63
63
62.5
62
-61
61
60
60
59
- 59
58
58
57
57
56
55,5
55.5
54,5
54.5
-SJ.S
53
53
52
52

202 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 42
*
9,00
02
04
06
08
9.10
12
14
16
18
9.20
22
24
26
28
9.30
32
34
36
38
9.40
42
44
46
48
9. SO
S2
S4
S6
S8
9.60
62
64
66
68
9 70
72
74
76
78
9.80
82
84
86
88
9.90
92
94
96
98
10.00
Л,(х)
+ 0,0
5_3J.S
5386 зз <
S319 3;
5251 jbS
5180 36
s,°e_36S
SO" J7.S
4960 Зв.5
4883 38 5
4806 ю
4726 _ю
4646 и
4564 w
4480 42
4396 „
4310 -43.5
4223 а
4135 44.5
4046 4S
39" 45.5
3865-46.5
3772 46.5
3679 47
3585 47
3491 „
33«-«8
3299 WJ
3202 4,
3104 4,
3006 ttS
2907 - SO
2807 so
2707 J0
2607 sos
2506 S05
2405 _ 5,
2303 S05
2202 5, s
2099 s,
1997 5,
1895 _ s, 5
1792 S1 5
1689 s,
1587 s, 5
1484 S|5
«M-S1
1279 5, s
1176 s,'
1074 5, 5
0971 „
0869
+ 0.0
/tj(x)
+ 0.0
143' + ,7 5
1466 17
,S0° 16.5
1533 16.5
15» 15.5
"^-MS.S
1628 ,4S
1*57 u
•1685 „
1713 „
1739 +„
1765 12
1789 „
1813 „
18*5 „
1857 + 10.5
1878 , j
1897 , s
1916 ,
1934 „
1950 + „
1966 7 s
1981 7
1995 6.$
1008 j
20» + ss
2031 j
2041 s
2051 4
2059 3S
2066 + J s
2073 J
2079 2
2083 2
2087 , s
2090 + ,
2092 + ,
2094 „
2094 0
20»1 _ 05
2093 _ ,
2091 ,s
2088 2
2084 2
2080 2S
2075 _. j
2069 J5
2062 „'
2054 4
2046 <5
2037
+ 0.0
Л}(х)
-ол
1,91+17.5
1156 17
*122 ,7.5
1087 ,7.5
1052 ,7
1018+,7.S
0983 ,7
0949 ,7
0915 „
0881 17
0847 ,
0813 1ts
О7®» ,6.5
О7*7 16.$
0714 16,5
<*<" + , 65
0648 u
0616 lt
0584 ,t
0«2 ,6
0520+, s s
«в» 16
0457 ,$
0427 i$.$
0396 1S
0366+ lS
0336 ,s
0306 14.5
о*77 u.s
O"8 U.S
0219+14,5
0190 u
0162 13.5
0135 u
0107 13.5
ooeo+1J
00S4 ns
0027 ,3
0001 ,2 j
*«П4 13.5
0049 + „.,
0074 n s
0099 ,2
0123 „ s
0146 12
0170+11.5
0193 „
0215 „
0237 „
<И5' ,0 5
0280
+ 0.0
Л,(х)
— 0.0
1554+i,5
1547 з s
1540 t
1532 4
152* 4
1516+4.5
1507 5
1497 s
1487 s
1477 5
1467 + S.S
1456 t
1444 5.5
1433 t
1421 t.S
1408+6
1396 6 5
1383 7
1369 6.5
1356 7
1342 +7
1328 7.S
1313 7
1299 7.5
1284 7.5
1269+7.5
1254 g
1238 „
1222 8
1206 „
11*>+e
1174 g
11S8 8S
1141 8S
1124 8S
7 + 8 s
1090 8S
1073 8S
1056 8 s
1039 ,'
1021 + 8.5
1004 ,
0986 ,
0968 8S
0951 ,
0933
0915 ,
0897 ,
•0879 ,
0861 ,
0843
-0.0
Лъ{х)
— 0.0
0358 _
0384
0409
0434
0458
0481 _
0503
0525
0546
056»
0586 _
0605
0623
0640
0657
0673 _
0689
0703
0718
0731
07W _
07S7
0768
0780
0790
0801 _
0810
0819
08S7
0836
0843 _
0850
0857
0863
0868
0873 _
0878
0882
0886
0889
0892 _
0894
0896
0898
0899
0900
0900_
0901 +
0900
0900
0899
-0.0
13
11.5
12.5
12
11.5
11
11
10.5
10
10
- 9.5
9
e.s
e.s
в
- e
7
7S
6.S
6.S
- i,S
s.s
6
5
s.s
- 4.S
4.S
4
4.5
3.5
- 3,S
3 S
3
2.5
2.5
25
2
2
1,5
1.5.
1
1
1
0.5
o.s
0
o.s
o.s
0
o.s
Л4(х)
+ 0.0
1772-28.S
1715 275
1660 2fi
1605 u's
1» 26,5-
1499 -26
1447 2S.S
1396 25
1346 24.5
1297 M
1249-23.5
1202 23.S
1155 23
1109 22.5
1064 и
1020-21,5
0977 21.5
0934 20.5
0893 20,S
0852 20
Oei2_M
0772 „
0734 „
o*9* ie.s
0659 18
0623_ie
0587 17S
0552 17
OS18 16.S
0485 16.S
0452 _1t
0420 ,t
0388 1S
0358 15
0328 u,
0299-14,5
0270 M
0242 u
0214 ,3
0188 13
0162 _„
0136 ,25
0111 n
0087 ,2
oo*3 n.s
00*0-11
0018 ,,
•0004 „
0026 ,„
0046 10,$
0067
-Oft
л7оо
+ 0,0
4417 _ a
4335 W5
4254 to
4174 3».S
4095 J,
4017-38,5
3940 38
3864 37.5
3789 37
3715 Э6.5
змг-з.л
3569 35.5
3498 35.5
3427 34,5
3358 34,5
3289-34
3221 33.5
3154 зз
3088 32 j
3023 и!$
2958-31,5
2895 31.5
2832 j,
2770 30,5
2709 30
2649-29.5
2590 2,s
^31 28.5
2474 28.5
2417 28
2361 -28
2305 27
2251 27
2197 26.5
2144 ^
2092-25.5
2041 25.5
1990 2S
1940 2*.$
1891 ^
I843-24
1795 23.5
1748 23
1702 jj
1656 22
1612 „jj
1568 j!
1524 21,5
1481 21
I439 20.5
1398
+ 0.0
Лв(х)
+ 0.0
731S -51.5
72,2 50.5
71" 50.5
7010 „j
6911 «9.5
6812 _„
6714 48.5
6617 ^
6521 47.5
6426 47
6332-46.5
6239 u
6147 «5.5
6056 ws
*»« 44!s
5876-44.5
5787 43.5
5700 43.5
561Э „
5527 *2.$
S442_«
5358 41.5
5275 ■ 41.$
5192 40.5
5111 40.5
5030-40
4950 3».$
4871 „
4793 38.5
4716 M
4640_M
4564 37.$
4489 36.S
4416 36.$
4343 36.$
4270-35,$
4199 35.5
4128 JS
4058 34.5
3989 u
3921 -Щ
3854 3J.$
3787 j.
3721 32.5
3«* 32,5
3591 -31.5
3528 11.5
3465 j,
3403 j, •
3341 w
3281
+ 0Л

ТАБЛИЦЫ
202
X
0.00
02
04
06
03
0,10
12
u
16
18
0,20
22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
42
44
46
48
0.50
52
54
56
58
0.60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0.80
82
84
86
88
0.90
92
94
96
98
1.00
4>
+ 1.
0000
*9999
9996
9991
9984
9975
9964
9951
993&
9919
9900
9879
9857
9832
9805
9776
9746
9713
9679
9642
9604
9564
9522
9478
9432
9385
9335
9284
9231
9177
9120
9062
9002
8940
8877
8812
8745
8677
8607
8536
8463
8388
8312
8235
8156
8075
7993
7910
7825
7739
7652
+ 0.
<«)
— 0.5
i.s
J,S
3.5
4.5
— s.s
4.5
7.5
ел
9.5
— 10.5
11
12.4
13.5
14.5
— IS
16.5
17
1B.S
1»
— 20
21
22
23
23Л
— В
25.5
26.5
27
28.5
— 2»
за
31
31.S
32,5
— 33 5
34
п
35,5
36.5
— 37,5
38
38.5
3».5
40.5
-41
41,5
42.5
43
43,5
Таблица 43. Функции
J,(')
+ 0.
«X» +50
oioo so
0200 J0
0300 so
°«» 49.5
0499 +50
0599 49.5
0498 49.5
0797 49.5
0894 49.5
0995 +H
1093 „
1191 „
1289
1386 48.5
1483 + 48.5
1580 ,3
1676 „,
1771 47Л
1866 „
1960
2054 46.5
2147 Ui
2240 u
2332 UA
«» +45
2513 <s
2603 44.S
2692 u
»*> 43.5
2867 e
2953 w
3039 42.$
3124 41.5
3107 41.5
3290 „
3372 <0
3452 40
3532 39,5
3611 38,5
3688 + 38.5
3765 37,5
3340 37,5
3915 36,5
3988 35,5
4059 + 35.5
4130 3S
4200 M
4248 33.5
433S „
4401
+ 0.
X
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1,50
52
54
56
58
1.60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1,80
82
84
86
88
1,90
92
94
96
98
2,00
Jo
+ 0.
7652
7563
7473
7382
7290
7196
7101
7006
6909
6810
6711
6611
6510
6408
6305
6201
6096
5990
5884
5777
5669
5560
5450
5340
5230
5118
5006
4894
4781
4668
4554 '
4440
4325
4210
4095
3980
3864
3748
3632
3516
3400
3284
3167
3051
2934
2818
2702
2586
2470
2354
2239
+ 0.
<*)
— 44,5
45
45.5
46
47
— 47.5
47 5
48,5
49.5
49.5
— 50
50.5
51
51 5
52
— 52 5
53
53
53.5
54
— 54.5
ss
55
55
56
— 56
56
s«,s
56$
57
-57
57.5
57,5
57 5
57.5
-58
58
58
58
58
— 58
58 5
58
58.5
53
-58
58
58
58
57,5
Бесселя J0
M')
+ o.
4401
4445 31.$
4528 M
4590 J0
4450 ».s
4709 +„
4767 M
4823 27.5
4878 26.$
4931 26
4983 +JS
5033 24.5
S082 „
5130 и
5176 и
5220+i1.$
5263 j,
5305 „j
5344 w!s
5383 18.
5419 + 18
5455 16 5
5488 16
5520 15.5
5551 u
5579 M
5607 „$
5632 „'
5656 „
5678 10.$
5699 + 9.5
5718 es
5735 „■
5751 j
5765 ts
5778 + 5
5788 $
5798 J5
5805 ,
5811 2
5815 + 1,5
5818 + os
5819 _ os
5818 ,
5816 2
5812 j
5806 ,j
5799 4,$
5790 $$
5779 t
S767
+ 0.
(•*) н
X
2.00
02
04
06
08
2.10
12
14
16
18
2.20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2,50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2.70
72
74
76
78
2,80
82
84
86
88
2,90
92
94
96
98
3,00
./,(*)
J0
+ 0.
2239
2124
2009
1894
1780
1666
1553
1440
1327
1215
1104
0993
0882
0773
0664
0555
0448
0341
0235
0130
0025
*0079
0181
0283
0384
0484
0583
0681
0778
0873
0968
1062
1154
1245
1336
1424
1512
1599
1684
1768
1850
1932
2012
2090
2167
2243
2317
2390
2462
2532
2601
-o.
M
— 57.5
57.5
57.5
$7
57
— 56.5
56.5
56,5
56
55,5
— 55.5
55.5
54.5
54.5
54.5
— 53.5
$3.5
5}
52.5
52.5
— $2
SI
51
50.5
50
— 49.5
49
48,5
47,5
47 5
— 47
46
45.5
45,5
44
-44
43.5
42,5
42
41
— 41
40
39
38,5
38
-37
36,5
36
15
34,5
AW
+ ».
5767
S75*
5738
5721
5703
5683
5661
5638
5614
5587
5560
5530
5500
5468
5434
5399
5362
5324
$285
5244
5202
$158
$113
5067
$020
4971
4921
4870
4817
4763
4708
4652
4595
4536
4477
4416
4354
4291
4228
4163
4097
4030
3963
3894
3825
3754 ,
3683
3611
3538
3465
3391
+ 0.
— 65
В
8,5
9
10
— 11
11.5
12
13.5
13,5
— 15
15
16
17
17.5
— 18,5
19
19.5
20.5
21
— 22
22.5
23
23 5
24.5
— 25
2S.5
24.5
27
275
— 28
28 5
29,5
29.5
M.5
— 31
3f.$
31,$
323
33
-33,5
33,5
34,5
34,5
35.5
- 35,5
36
36,5
36 5
37

264 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 43
X
3.00
02
04
06
08
3,10
12
14
16
18
3,20
22
24
26
28
3.30
32
34
36
38
3,40
42
44
46
48
3,50
52
54
56
58
3.60
62
64
66
68
3.70
72
74
76
78
3,80
82
84
86
88
3.90
92
94
96
98
4,00
Jo
— о.
2601
2668
2733
2797
2860
2921
2980
3038
3094
3149
3202
3253
ЗЗОЭ
3351
3398
3443
3486
3528
3568
3606
3643
3678
3711
3743
3773
3801
3828
3853
3876
3898
3918
3936
3953
3967
3981
3992
4002
4011
4017
4022
4026
4027
4027
4026
4023
4018
4012
4004
3995
3984
3971
— 0,
(*)
— 11.S
12. S
12
I1.S
30.S
— 29.S
29
28
27. S
26,i
— 2S5
2S
24
23,5
22 Л
— 21,4
21
20
19
18.5
— 17.5
16.5
16
15
«U
— 11.S
12.S
11.S
11
10
— 9
8.5
7
7
5,5
— S
4,5
3
2,5
2
— 0.5
0
+ 0.5
1.5
2.5
+ 3
£
4.5
5,5
6.5
.
Л
+ 0,
3391
3316
3240
3164
3087
3009
2931
2852
2773
2694
2613
2533
2452
2370
2289
2207
2124
2042
1959
1876
1792
1709
1625
1541
1458
1374
1290
1206
1122
1038
0955
0871
0788
0704
0621
0538
0456
0373
0291
0210
0128
0047
*0033
0114
0193
0272
0351
0*29
0507
0584
0660
— 0,
(')
— 17.S
38
18
38,5
1»
— 19
19,5
39.S
19.5
40 5
— 10
40.5
41
40,5
41
— 41.5
41
41.5
41.5
42
— 41,5
42
42
41.5
42
— 42
42
42
42
41.5
— 42
41,5
42
41,5
41.5
— 41
41.5
41
40.5
41
— 40.5
40
40.5
39.5
39.5
— 39.5
39
39
38,5
38
X
4,00
02
04
06
08
4,10
12
14
16
18
4,20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4,40
42
44
46
48
4,50
S3
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
Jo
— 0,
3971
3958
3942
3925
3907
3887
3865
3842
3818
3793
3766
3737
3707
3676
3644
3610
3575
3539
3501
3463
3423
3381
3339
3296
3251
3205
3159
3111
3062
3012
2961
2910
2857
2803
2749
2693
2637
2530
2522
2464
2404
2344
2283
2222
2160
2097
2034
1970
1906
1841
1776
— 0,
м
+ *.*
8
8,5
9
10
+ 11
11,S
12
12.S
11.*
+ 14.S
IS
14 4
16
17
+ 17.S
18
19
19
20
+ 21
21
213
125
23
+ 21
24
24.5
25
25 5
+ 25,5
26,5
27
27
28
+ 28
28,5
29
29
30
+ 30
30.5
30,5
31
31'5.
+ 31,5
32 ■
32
32.5
32,5
J,
— 0,
0660
0736
0811
0886
0960
1033
1105
1177
1247
1317
1386
1455
1522
1589
1654
1719
1783
1845
1907
1968
2028
2086
21 а
2201
2256
2311
2364
2416
2467
2517
2566
2613
2659
2704
2748
2791
2832
2872
2911
2949
2985
3020
3054
3086
3117
3147
3175
3202
3228
3253
3276
-0,
м
— 18
37.S
17 Л
17
36,5
— 36
16
35
IS
14.5
— 14.S
33.5
31.S
12.S
12 .S
— 32
11
11
30,5
10
,-29
29
28, S
27.S
27.S
-26,5^
26
25.S
25
24,5
— 23.5
23
22,5
22
21.5
— 20.5
20
19.5
19
18
— 17.5
17
16
15,5
15
— 14
13,5
13
12.5
11.5
X
5,00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
5,20
22
24
26
28
5,30
32
34
36
38
5,40
42
44
46
48
5,50
52
54
56
58
5,60
62
64
66
68
5,70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
\00
Jo
— о,
1776
1710
1644
1578
1511
1443
1376
1308
1240
1171
1103
1034
0965
0896
0827
0758
0689
0620
0550
0481
0412
0343
ОПА
0205
0137
0068
0000
*0068
0135
0203
0270
0336
0403
0469
0534
0599
0664
0728
0791
0855
0917
0979
1040
1101
1161
1220
1279
1337
1394
1451
1506
+ 0,
М
+ 11
31
11
33,5
14
+ H.S
14
14
34,5
14
+ 34,5
34,5
34 5
34,5
34,5
+ 34,5
34.S
35
34 5
34.5
+ 14.S
14.5
34 5
14
34 5
+ 14
14
33.5
14
33,5
+ 33
33,5
33
32,5
32,5
+ 32,5
32
31,5
32
31
+ 31
30.5
30.5
30
29.5
+ 29,5
29
28.5
28.5
27.5
Л
— 0.
3276
3298
3318
3337
33S5
3371
3386
3400
3412
3423
3432
3440
3447
3453
3457
3460
3461
3461
3460
3457
3453
3448
3442
3434
3425
3414
3403
3390
3376
3360
3343
3325
3306
3286
3264
3241
3218
3192
3166
3139
3110
3081
3050
3018
2985
2951
2917
2881
2844
2806
2767
м
— 11
10
9.S
9
8
— 7.S
7
6
5 5
4,5
— 4
1,*
3
2
1.S
— 0.S
0
+ 0.»
1.S
+ 2.S
4.5
5 5
+ *.5
6,5
8
8,5
+ 9
1 5
10
11
11.5
+ 11,5
13
13
13,5
14 5
+ 14,5
15 5
16
16.S
17
+ 17
18
18,5
19
19.5

ТАБЛИЦЫ
205
Продолжение табл. 43
X
600
02
04
06
08
6.10
12
14
16
18
6,20
22
24
26
28
6.30
32
34
36
38
6,40
42
а
46
48
6,50
52
54
56
58
6,60
62
64
66
68
6.70
72
74
76
78
6,80
82
84
86
88
6,90
92
94
96
98
7,00
А>
+ ••
1506
1561
1616
1669
1721
1773
1824
1873
1922
1970
2017
2064
2109
2153
2196
2238
2279
2319
2358
2396
2433
2469
2504
2537
2570
2601
2631
2660
2688
2715
2740
2765
2788
2810
2831
2851
2869
2886
2902
2917
2931
294Э
2955
2965
2973
2981
2987
2993
2997
2999
3001
+ 0.
(»)
+ 27.5
27.5
26?
26
.26
+ 25.5
24.5
24.5
24
23.5
+ 23,5
22.5
22
21,5
21
+ 20.5
. 20
19-.5
19
1В.5
+ 18
17.5
, '6,5
16,5
15,5
+ 1S
14.5
14
13.5
12.5
+ 12.S
11,5
11
10.5
10
+ »
0,5
8
7.5
7
+ 6
6
5
4
4
+ 3
3
2
1
1
J, <*)
— 0,
2767 + 20
2727 20.5
2«* 20.5
2645 21.5
2602 „_,
2559 + 22.5
2514 HS
246» и-
2423 13
2377 м
2329
2281 MS
223Д и-
2182 м
2132 25,5
2081 +и
2°» 2»
1977 265
1924 „
1870 17
1816 + 17
2 27.5
1707 м
1651 м
1** 28.5
1538 + 28.5
1481 28.5
1424 „
1366 „
1308 2,
12М + 29.5
1191 29.5
1132 29.5
1073 30
1013 30
"Я + зо
0893 jo
0833 30
0773 „
О713 30.5
«И + 30
°«2 30.5
0531 ЗОД
0470 JO
°*10 10.5
0349 + 10.5
0288 30
0228 эо5
0167 м
0107 jo
0047
— 0.
X
7.00
02
04
06
08
7.10
12
14
16
18
7.20
22
24
26
28
7.30
32
34
36
38
7,40
42
44
46
48
7.50
52
54
56
58
7,60
62
64
66
68
7.70
72
74
76
78
7.80
82
84
86
88
7,90
92
94
96
98
8.00
■М*)
+ о,
3001
3001
3000
2998
2995
2991
2985
2978
2970
2961
2951
2939
2927
2913
2898
2882
2865
2847
2828
2807
2786
2764
2740
2715
2690
2663
2636
2607
2578
2547
2516
2484
2451
2416
2381
2346
2309
2271
2233
2194
2154
2113
2072
2030
1987
1944
1899
1855
1809
1763
1717
+ 0,
0
— 05
1,5
3 5
4.5
- 6
7Л
в
— 8.5
9
9,5
10.5
10,5
— 11
12
12.5
12.5
13,5
— 13.5
14.5
14.5
15,5
15.S
— 16
16,5
17.5
17,5
17.5
— 18.5
19
19
19.5
20
— 20,5
20.5
21
21,5
21.5
— 22,5
22
23
23
23
•»,(»)
— 0.
0047 +10
*0013 J0
0073 jo
0133 „s
0192 jo
0252 + „
0310 MS
0369 MS
0428 „
О*86 28.5
0543
0601 MS
0658 м
0714 м
0770 м
0826 „
0881 „
0935 27.5
0990 26.5
1043 26,5
1094 + 26.5
1149 6
1201 jjs,
1252 в
1302 и
1352 + „
1402 м
14S0 м
1498 и
'»• 21
1592 +и
1638 22.5
1683 22
1727 2,
1771 21
1813 + „
1855 20,$
1896 и
1936 19.5
1975 19.5
2014 + 18.5
2051 18.5
2088 17S
2123 17.S
2158 17
2192 + 16.5
2225 16
22S7 „
2287 1S
2317 14.5
2346
+ 0,
X
8.00
02
04
06
08
8.10
12
14
16
18
8.20
22
24
26
28
8,30
32
34
36
38
8,40
42
44
46
48
8,50
52
54
56
58
8.60
62
64
66
68
a7o
72
74
76
78
8.80
82
84
86
88
8.90
92
94
96
98
9,00
'о
+ 0,
1717
1669
1622
1573
1524
1475
1425
1375
1325
1274
1222
1170
1118
1066
1013
0960
0907
0853
0800
0746
0692
0637
0583
0529
0474
0419
0365
0310
0255
0201
0146
0092
0037
♦0017
0071
012$
0179
0233
0286
0339
0392
0445
0497
0549
0601
0653
0704
0754
0804
0854
0903
-о.
М
— 24
23.5
24.5
24.5
24,5
— 2S
25
25
25.5
26
— 26
26
26
26.5
26.5
— 26.5
27
26.5
27
27
— 27,5
27
27
27.5
27.5
— 27
27.5
27.5
27
27,5
— 27
27.S
27
27
27
-27
27
26,5
26.5
24.5
— 26,5
24
26
26
26
— 2S.5
25
25
2S
24.5
M')
+ 0.
*» +„
2374 «J.
2401 „
2427 12.5
2452 „.
2476 + 1f.5
2499 „
2521 10.5
2542 „
2561 9.5
2S80+ ,
2598 ,
2614 ,
2630 f
2644 6.S
2657 + 6.5
2670 s s
2681 s"
2691 „
2700 4
2708 + Э.5
2715 2.5
2720 „
2725 2
2729 ,
2731 ,
2733 „
2733 _ „
2732 ,
2730 ,
2728 2
2724 2.S
2Л9 ,
2713 4
270$ 4
2688 j
2678 t
2666 t
2654 ts
2^ - 7.5
2626 7J
2611 8'
2595 ,
2577 ,
2559 - 9.5
2540 10.5
2519 10.5
2498 „
2476 11,5
2451
+ «.

20b
XIII ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 43
X
9 00
02
04
06
08
910
12
14
16
18
9 20
22
24
26
28
9 30
32
34
36
38
9 40
42
44
46
48
9 50
52
54
56
58
960
62
64
66
68
9 70
72
74
76
78
9 80
82
84
86
88
J9 90
92
94
96
98
1000
Jo
— о.
0903
0952
1000
1043
1096
1142
1189
1234
1279
1324
1367
1411
1453
1495
1536
1577
1616
1655
1694
1731
1768
1804
1839
1873
« 1907
1939
1971
2002
2032
2061
2090
2117
2144
2169
2194
2218
2241
2263
2284
2304
2323
2341
2358
2374
2389
2403
2417
2429
2440
2450
245»
-0.
<*)
— 24 5
24
24
24
23
-23 S
22 S
22 S
22 S
21 5
— 22
21
21
20 S
20 S
— 19 5
19 5
19 S
18 S
18 5
— 18
17 5
17
17
16
— 16
)S *>
1 s
14 S
14 5
— US
13 5
12 5
12 5
12
— 11 5
11
10 S
10
9 5
_ 9
8 5
В
7 5
7
— 7
6
5 5
5
4 5
Jl
+ 0.
2453
2429
2404
2378
2352
2324
2296
2267
2237
2206
2174
2142
2108
2074
2040
2004
1968
1931
1893
1855
1816
1777
1737
1696
1655
1613
1570
1527
1484
1440
1395
1350
1305
1259
1213
1166
1119
1072
1025
0977
0928
0880
0831
0782
0733
0684
0634
0584
0535
0485
0435
+ 0.
00
— 17
12.5
13
13
14
— 14
14 5
15
15 5
16
— 16
17
17
17
18
— 18
18 5
19
19
19 5
— 19 5
20
20 5
20 5
21
— 21 5
21 5
21 5
22
!! 5
— 22 5
22 5
21
23
2) S
— 2) 5
23 5
23 5
24
24 5
— 24
24 5
24 5
24 S
24 5
— 25
25
24 5
25
25
X
10 00
02
04
06
08
10,10
12
14
16
18
10 20
22
24
26
28
10 30
32
34
36
38
10 40
42
44
44
48
10 50
52
54
56
58
1060
62
64
66
68
10 70
72
74
76
78
10 80
82
84
86
88
10 90
92
94
96
98
11.00
Jo
— o,
2459
2468
2475
2481
2486
2490
2493
2496
2497
2497
2496
2494
2492
2488
2483
2477
2470
24 .,3
2454
2444
2434
2422
2410
2396
2382
2366
2350
2333
2315
2296
2276
2256
2234
2212
2188
2164
2140
2114
2087
2060
2032
2003
1974
1943
1912
1881
1848
1815
1781
1747
1712
-0,
w
— 45
3 5
3
2 5
2
— 1 5
1 5
— 05
0
+ 05
+ 1
1
2
25
3
+ 3 5
3 5
4 5
5
5
+ 6
6
7
7
8
+ 8
8 5
9
9 5
10
+ Ю
11
11
12
12
+ 12
13
13 5
U 5
14
+ 14 5
14 5
15 5
15 5
15 5
+ 16 5
16 5
17
17
17 5
Jl
+ 0,
0435
0385
0334
0284
0234
0184
0134
0084
0034
•0016
0066
0116
^0165
0215
0264
0313
0362
0411
0459
0507
0555
0602
0649
0696
0742
0789
0834
0879
0924
0968
1012
1056
1099
1141
1183
1224
1265
1305
1344
1383
1422
1459
1496
1533
1563
1603
1638
1671
1704
1736
1768
-0,
<*) |
— 25
25 5
25
2S
25
— 25
25
25
25
25
— 25
24 5
25
24 5
24 5
— 24 5
24 5
24
24
24
— 23 5
23 i
2J4
23
23 5
— 22 5
22 5
22 5
22
22
— 22
21 S
21
21
20 5
- 20 5
20
1»5
1»5
1*5
— 18 5
18 5
18 5
175
17 5
-1*5
/16 5
/
16 5
16
16
X
11 00
02
04
06
08
11 10
12
14
16
18
11,20
22
24
26
28
11 30
32
34
36
38
11 40
42
44
46
48
11 50
52
54
56
58
11 60
62
64
66
68
11 70
72
74
76
78
11 80
82
84
86
88
11 90
9?
94
96
98
1200
Jo
-0.
1712
1676
1640
1603
1566
1528
1489
1450
1411
1370
1330
1289
1247
1206
1163
1121
1078
1034
0991
0946
0902
0858
0813
0767
0722
0677
0631
0585
0539
0493
0446
0400
0353
0307
0260
0213
0167
0120
0073
0027
*0O2O
0066
0112
0159
0205
0250
0296
0342
0387
0432
0477
+ 0,
00
+ 18
18
18 5
18,5
1»
+ 19 S
19 5
19 5
20 5
20
+ 20 5
21
20 5
21 5
21
+ 21 S
22
21 5
22 5
22
+ 22
22 5
23
22 5
22 5
+ 23
23
23
23
23 5
+ 23
23 5
23
23 5
23 5
+ 23
23 5
23 5
23
23 5
+ 23
23
23 5
23
22 5
+ 23
23
23 5
22 S
22 S
J, 00
— 0,
1768
1798
1828
1857
1886
1913
1940
1966
1991
2015
2039
2061
2083
2104
2123
2143
2161
2178
2194
2210
2225
2238
2251
2263
2274
2284
2293
2301
2308
2315
2320
2324
2328
2331
2332
2333
2333
2332
2330
2327
2323
2318
2312
2306
2298
2290
2281
2270
225Э
2247
2234
— 0.
— 15
15
145
14 5
13S
— 13 5
13
125
12
12
— 11
11
105
95
10
— 9
8 5
8
8
7 5
— 65
6 5
5 5
— 4 5
3 5
3 1
2 5
— 2
2
1 5
05
— 05
0
+ 05
1
1 5
2
+ 25
3
3
4
4
+ *.S
5.5
S.5
6
4.5

ТАБЛИЦЫ
207
Продолжение т а б л 43
X
12,00
02
04
06
08
12.10
12
14
16
18
12.20
22
24
26
28
12.30
32
34
36
38
12.40
42
44
46
48
12,50
52
54
56
58
12.60
62
64
66
68
12.70
72
74
76
78
12.80
82
84
86
88
12.90
92
94
96
98
3.00
02
04
06
08
13.10
12
14
16
18
13,20
•»<><*)
+0,
0477
0521 22.5
0566 n
0610 21.5
0653 jj
0697 + 21.5
0740 j,
0782 j,
0824 21
0866 j,
0908 + МЛ
0949 и
0989 и
1029 и
1069 19.5
1108 + „5
1147 „
1,85 18.5
1222 18.S
1259 18.S
1294 + 17.S
1331 18
1367 ,7
1401 ,7
1435 ,7
1469 + 16.5
1502 16
1Я* 15.5
1565 ,ад
1596 ,s
1626 u s
1655 14.5
1684 ,<
1712 13.S
1739 13.5
1766 „
1792
1817 н
18*1 11.S
18М 11.S
1887 „
1909 10.S
1930 ,0
1950 ,0
1970 ,
1988 ,
200e 8.S
2023 в
2039 в
2055 7
2069 + 7
2083 6.S
2096 t
2108 5^
2119 s
2,29 + 4.5
2138 <5
2147 ,^
2154 ад
2161 ]
2167
+ Г
м*>
—о.
22,4 + *.s
1211 7.S
2206 75
2191 8
2175 ,
2«7 + 8.S
2140 ,s
2121 ,0
2101 ,„
2081 10.S
2060
™ 11.S
2015 11.S
1992 „
1948 12.5
1943 „
1917 „
1891 м
1863 13.S
1836 14.S
1807 + 14.S
1778 „
1748 15
1718 15.5
I*87 U
1655 + 16
1623 16.S
1590 ,7
1556 ,7
1522 17<$
1487 + 17.5
1 ,7Ji
U17 18.S
1380 „
13" 18.5
1307 ,
1269 „
1231 «.5
1192 „
1154 20
11U + 19.5
1075 и
1035 20.S
0994 и
0954 j,
0912 + 20.5
0871 20.S
0830 j,
0788 j,
0746 j,..
0703 +ц
0661 j, 5
0618 2,.S
0575 21.5
0532 21.S
0489+22
О 21.S
0402 22
0358 22
03U 21.S
0271
1 -
13.20
22
24
26
28
13.30
32
34
36
38
13,40
42
а
46
48
13.50
52
54
56
58
13,60
62
64
66
68
13,70
72
74
76
78
13.80
82
84
86
88
13.90
92
94
96
98
14.00
02
04
06
08
14.10
12
14
16
18
14.20
22
24
26
28
14.30
32
34
36
38
14,40
'0
+ 0,
2167
2172
2176
2179
2182
2183
2184
2183
2182
2180
2177
2173
2169
2163
2157
2150
2142
2133
2123
2113
2101
2089
2076
2062
2048
2032
2016
1999
1981
1963
1943
1923
1903
1881
1859
1836
1812
1788
1763
1737
1711
1684
1656
1628
1599
1570
1539
1509
1478
1446
1414
1381
1348
1314
1280
1245
1210
1174
1138
1102
1065
+ 0,
(*)
+ 2.5
г
1 5
1.S
0.S
+ o.s
— 0.S
o.s
1.S
3.S
i 5
6.5
— 8
8S
9
Ч
10
— 10
10
11
11
11 5
— 12
12
12,5
13
13
— 13.5
14
14
U.S
U.S
— 15.5
IS
15.5
16
16
— 16.5
16.5
17
17
17.5
— 17,5
18
18
18
18,5
AW
— 0.
0271 +22
0227 j!
0183 22
0139 21.S
0096 22
0052 +22
0008 22
*°°36 21.S
0079 22
0123 21 .S
0209 T21S
02S2 21 S
0295 2..S
0338 21
0380 +21.S
0423 21
0465 21
0507 20.S
0548 21
0590 + 20.S
0631 JO
0471 20.S
0712 м
0752 19.5
0791 +и
0831 19.5
0870 „
0908 „
0946 „
О98* + 18.S
1021 18.5
1058 IS
109« 18
1,30 17.5
1165 + 17,5
1200 „
1234 ,7
1268 U.S
1301 16.S
"" + 1*
1366 1S.S
1397
1428 „
1458 ,5
1488 + 14.S
1517 u
1545 u
1573
1600 „
1626 „
1652
12,5
1677
12
1701
11,5
1724
11,5
1747 . ,.
+ if
1769 ,,
11
17»1 in
10
1811 ,-
10
1831 ,5
1850
+ <\
*
14,40
42
44
46
48
14.50
52
54
56
58
14.60
62
64
66
68
14.70
72
74
76
78
14,80
82
84
86
88
14,90
92
94
.96
98
15.00
02
04
06
08
15.10
12
14
16
18
15.20
22
24
26
28
15.30
32
34
36
38
15,40
42
а
46
48
15,50
1
!
I
'о
+ 0.
1065
1028
0990
0952
0914
0875
0837
0798
0758
0719
0679
0639
0598
0558
0517
0476
0436
0394
0353
0312
0271
0229
0188
0147
0105
0064
0023
*0019
0060
0101
0142
0183
0224
0265
0305
0346
0386
0426
0465
0505
0544
0583
0622
0660
0698
0736
0773
0811
0847
0883
0919
0955
0990
1024
1059
1092
—0,
м I
— 18.5
19
19
1»
19.5
— 1»
19.5
20
19.S
20
— 20
20,5
20
20.5
20.5
— 20
21
20.5
20.5
20,5
— 21
20.5
20,5
21
20.5
— 20,5
21
20.5
20.5
20,5
— 20.S
20.5
20.5
20
20.5
— 20
20
19.5
20
19.5
— 19,5
19.5
1»
1»
1»
— 18.5
1»
18
18
18
— 18
17,5
17
17.5
16.5
■»,(»>
+ •.
18S0 +
1869
1886
1903
1919
1934 +
1949
1962
1975
1987
1999 .
2009
2019
2027
2035
20*3 .
20(9
2054
2059
2063
2066 .
2068 +
2070
2070
2070 _
2069 _
2067
2064
2061
2056
2051 _
2045
2038
2031
2022
2013 _
2003
1992
1981
1969
1955 _
1942
1927
1912 *
1896
1879 _
1861
1843
1824
1804
1784 _
1763
1741
1719
1696
1672
+ 0,
9.S
8.5
8.5
8
7.5
7.S
6.5
6.5
6
6
S
5
4
4
4
3
2.5
2.5
2
1.S
1
1
0
0
0.5
1
1.5
1.5
2,5
2.5
3
3.5
3.5
4,5
4.5
5
5.5
5.5
6
7
6.5
7.5
7.5
8
8,5
»
»
».5
10
10
10,5
н
11
11.5
12

208
X1U ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ^
Таблица 44. Функции Бесселя Jn,t (х)
X
0
1
2
3
4
У
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18 .
19
20
21
22
23
24
2S
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
«0
41
42
43
а
45
46
47
48
49
50
*«.(?>
0
+ 0.6714
+ 0.5130
+ 0.6501 (—1)
•fl/lM
0
+ 0.2403
+ 0.4913
+ 0.4777
— 0,3019 |-fO,1853
^0,3422
— 0.9102 {—1>
— 0.1697
— 0.3279
+ 0,1981 - 0.1991
+ 0,2791
+ 0.1096
—0.1373
— 0,2406
— 0,1236
+ 0,9298 (—1)
+ 0.2112
+ 0.1340
— 0,5743 (—1)
— 0.1860
*- 0.1412
+ 0.2743 (— 1)
+ 0.U29
+ 0 1457
— 0.1506 (—2)
— 0.1408
— 0,1475
— 0.2112 (—1)
+ 0.1193
+ 0.1469
+ 0.4085 (—1)
— 0.9833 (—1)
— 0,1439
— 0.5790 (—»)
+ 0.7778 (—1)
+ 0.1389
+ 0,7240 (—1)
— 0.5775 (—1)
— 0.1319
— 0.8441 (—1)
+ 0.3836 (—1)
+ 0.1231
+ 0.9400 (—1)
— 0.1977 (—1)
— 0.1128
— 0.1012
+ 0,2129 (—2)
+ 0.1012
+ 0.106 J
+ 0.1438 (—1)
-0.8848 (—1)
— 0.1087
— 0,2961 (—1)
+ 0.7593. (- 1)
+ 0,2545
+ 0.1980
— 0.2293 (—1)
— 0,2047
— 0,1937
— 0.1407 (—1)
+ 0,1654
+ 0.1874
+ 0.4230 (-1)
— 0,1320
— 0.1795
— 0.6466 (—1)
+ 0.1023
+ 0.1700
+ 0.8253 (—1)
— 0.7523 (—1)
— 0,1590
— 0.9664 (—1)
+ 0.5030 {—1)
+ 0.1466
+ 0.1074
— 0.2727 (—1)
— 0.1330
— 0.1152
4- 0,6053 (— 2)
4- 0.1182
+ 0.1202
+ 0.1335 (—1)
— 0.1027
— 0.1226
— 0.3091 (—1)
+ 0.8649 (— 1)
+ 0.1225
+ 0,4656 (—1)
—0.6990 (—1)
— 0,1202
— 0.6023 (—1)
+ 0.5315 (—1]
+ 0.1158
+ 0.7188 (—1)
— 0.3648 f—1)
— 0,1095
' 5/1 to
0
+ £.4950<— 1)
+,0.2239
+ 0,4127
+ 0.4409
+ 0.2404
— 0.7295 (—1)
-0.2834
— 0.2506
— 0.2477 (—1)
+ 0.1967
+ 0.2343
+ 0.7242 (—1)
-0.1Э77
- 0.2143
— 0.1009
+ 0.9257 (- 1)
+ 0.193S
+ 0.1192
— 0.5578 (-1)
— 0,1726
— 0,1311
+ 0.2469 (—1)
+ 0.1516
+ 0,1381
+ 0.2038 (— 2)
— 0.1305
— 0.1413
— 0.2514 (—1)
+ 0.1094
+ 0,1412
+ 0.4503 (—1)
— 0,8858 (—1)
— 0,1383
— 0.6196 (—1)
+ 0.6905 (-1)
+ 0.1330
+ 0.7609 (—1)
-0.4804 (—1)
-0.1255
— 0.875M—1)
+ 0.2873 (— 1)
+ 0.1162
+ 0.9632 (—1)
— 0.1033 (— 1)
— 0,1052
— 0.@26
— 0.6991 (— 2)
+ 0.9297 (—1)
+ 0.1065
+ 0.2304 (-1)
hp. (*>
0
+ 0.7186 (—2)
+ 0.6852 (—1)
+ 0,2101
+ 0.3658
+ 0.4100
+ 0.2671
— 0,3403 (—2)
— 0.2326
-0.2683
— 0,996S(—1)
+ 0.1294
+ 0.2348
+ 0,1407
-0.6245 (-1)
-0.1»»1
-0.1585
+ 0.1461 (-1)
+ 0.1*51
+ 0.164»
+ 0.2152 (—1)
— 0.1335
— 0.1644
— 0.4958 (—1)
+ 0.1040
+ 0.1594
+ 0.7155 (~1)
— 0.7646 (—1)
— 0.1511
— 0.8858 (—1)
+ 0.5080 {—1)
+ 0.1402
+ 0.1014
— 0.2701 (—1)
— 0.1274
— 0.110S
+ 0511» {-2)
+ 0.1130
+ 0.1163
+ 0.1482 (— 1)
— 0.9743 (—1)
— 0.1190
— 0.3273 (-1)
+ 0.8110 (-1)
'+ 0,1190
+ 0.4854 (—1)
— 0.6430 (—1)
—0.1165
— 0.6220 (—1)
+ 0.4735 (—1)
+ 0.1118
' 9/1 to
0
+ 0,8067 {—3)
+ 0,1589 (-1)
+ 0,7760 (— 1)
+ 0,1993
+ 0,3337
+ 0,3846
+ 0,2800
+ 0.4712 (—1)
-0.1839
— 0.2664
— 0.1519
+ 0 6457 (—1)
+ 0.2134
+ 0.1830
+ 0.7984 (— 2)
— 0,1619
— 0.1875
— 0.5500 (—1)
+ 0.1165
+ 0.1801
+ 0.8656 (— 1)
— 0,7701 (—1)
— 0.1666
— 0.1078
+ 0.4260 (—1)
+ 0,1497
+ 0.1214
— 0,1263 (—1)
— 0.1308
— 0.1293
— 0.1337 (—1)
+ 0.1108
+ 0.1326
+ 0.3574 (—1)
—0.9015 (—1)
— 0.1320
— 0.5472 (—1)
+ 0.6946 (—1)
+ 0,1252
+ 0.7046 (—1)
— 0.4906 (—1)
— 0,1216
— 0.8311 (—1)
+ 0.2927 (—1)
+ 0.1128
+ 0.9284 (—1)
— 0.1037 (-1)
— 0.1020
— 0.9972 (—1)
— 0,7388 (—2)
'lip (*)
0
+ 0.7385 (- 4)
+ 0.2973 (— 2)
+ 0.226* (—1)
+ 0.8261 (-1)
+ 0,1906
+ 0,3098
+ 0.3634
+ 0.2BS6
+ 0.8439 (—1)
— 0.1401
—0.2538
— 0.1864
+ 0.7055 (-2)
+ 0.1801
+ 0.2039
+ 0,6743 (—1)
— 0.1139
— 0,1926
> 13/2 (*)
0
+ 0,571 С (— 5)
-f 0,46Г^(— 3)
+ 0 5493 (—2)
+ 0,2787 (-1)
+ 0.8558 (—1)
+ 0.1833
+ 0.2911
+ 0.3456
+ 0,2870
+ 0,1123
— 0.1013
— 0.23S4
— 0.2075
— 0.4151 (—1)
+ 0.1415
+ 0.2083
+ 0.1138
— 0.6273 (— I)
— 0,1097 1—0.1800
+ 0.5953 (— 1)
+ 0.1706
+ 0.1329
— 0.1563 (—1)
— 0.1444
— 0.1441
- 0.1972 (—1)
+ 0.1169
+ 0.1470
+ 0.4793 (—1)
— 0.8961 (—1)
— 0.1441
— 0,7024 (—1)
+ 0.6318 (—1)
+ 0,1368
+ 0.8732 (—1)
— 0.3812 (-1)
— 0.1263
— 0.9984 (-1)
+ 0.1476 (—1)
+ 0.1133
+ 0.1083
+ 0.6668 (—2)
— 0.9850 (— 1)
— 0.1131
— 0.2599 (— 1)
— 0.8247 (-1)
+ 0.1146
+ 0.4306 (~ 1)
— 0.6S66(—1)
— 0.1131
— 0,1474
+ 0.2808 (—2)
+ 0,1435
+ 0.1592
+ 0,4157 (—1)
— 0,1060
— 0.1581
—5.7380 (--1)
+ 0.7040 <—1)
+ 0.1490
+ 0.9649 (—1)
— 0.3776 (—1)
— 0.1349
-0.1115
+ 0,8521 (— 2>
+ 0.1174
+ 0.1204
+ 0.1718 {—1)
- 0.9836 (-1)
— 0,1240
— 0.3931 (—1)
+ 0.7811 (—1)
+ 0.1234
+ p.5793(—1)
— 0,5753 (—1)
— 0,1191
— 0.7312 (— 1
+ 0.3718 (—1
+ 0.1119
+ 0.8497 (- 11
—O.1750(—1)

■ L - , , , ТАБЛИЦЫ— ..,..• • • 'УвВ
Продолжение табл. 44
* j -Lt/iM J-mM J-s/2(*> >-m<.*) J-9/:(») | *-un (») | Jii»Ci
-4- 1 $ •-< ' ' '■ ' ■ '
0 + eo , — oo +1 со — oo . ( + «a -* oo > '+' oo !
1 + 0.4311 — 1.1025 ' + 1.87*4 <— 13,279 -/-,90.080 ' —797.44 + 8681,7
2 —0 2348 — 0,3956 + 0.8282 -1.6749 +5,0340 —10,978 +110.35
3 —0,4560 . + 0,8701 (—1) + 0.36»0 —0.7021 + Г.2691 -3.1053 +'-10.117
4 —0.2608 +0.1671 —0.H57(-1) —0,348» +0,6251 —1.0577 ' +2.2834
5 + 0.1Ф12 +0,3219 —0.2944 — 0.2755 (-1) + 0.3329 —0.5717 +'0,9249
6 +0.3128 + 0.3889 (-1) —0.3322 +0.2379 + 0.5460 (— 1) — 0,3198 +0,5318
7 +0.2274 -0.2306 -0,1285 +0.3224 —0.1939 — 0,7313 (—1) + 0.3088
8 —0,4104 (—1) —0,2740 +01438 +0,1841- —0,3049 +0.1589 +0,8641 (—1)
9 —0.2423 — 0.8268 (—1) + 0.2699 — 0.672S (— 1) — 0,2176 +0.2848 —0 1306
10 —0.2117 +0.1584 +0.1642 —0,2405 + 0,4188 (— 2) + 0.2368 —0,2646
11 + 0 1065 (—2) + 0,2405 — 0,6665 (- 1) —0,2102 +0,2004 + 0,4622 (—1) — 0,2466
12 +01944 +01074 —0,2212 — 0.1522 (—1) + 0,2301 —0,1573 — 0,8586 (— 1)
13 +02008 —0.1084 —0.1758 +0,1760 + 0.8100 (—1) — 0,2321 +0,1154
14 + 0.2916 (—1) —0,2133 + 0,1655 (—1) + 0.2074 —0.1203 —0,1301 +0,2225
15 —0,1565 —0,1235 +0,1812 + 0 6313 (— 1) —0,2107 + 0.6327 (—1) + 0,1643
16 —0,1910 + 0 6937 (—1) + 0,1780 ~-0,12SO —0,1233 + 0,1944 — 0,1030 (— 1)
17 — 0.5325 (—1) + 0,1892 + 0,1986 (—1) — 0,1950 + 0,6044 (—1) + 0,1630 -0,1659
18 +0,1242 +01343 —0,1466 —09362(—II +0,1830 +0,2131(—2) —0,1843
19 +01810 -0,3696(—1) —0.1751 + 0.830S(—1) +0.J445 —0,1515 — 0.5682 (— 1)
20 +07281 (- 1) —0 1665 —0,4783 (—1) + 0,1785 —0,1464 (—1) — 0,1719 +0 1092
21 —0 95371—1) —0,1411 +0,1155 +01136 —0,1534 —0,4788 (- 1) + 0 1785
22 —01701 + 0,9238 (—2) +0,1688 —0,4761 (—1) — 0,1537 +0,1105 + 0 9845 (— 1)
23 — 0,8865 (— 1) + 0 1446 + 0.6978 (—1) —0,1598 —0,2114 (-1) + 0.1681 — 0,5924 (— 1)
24 + 0.6908 1-1) +0,1446 — 0.8716 (-1) -r 0,1265 +0.1240 + 0.7994 (—1) — 0.1607
25 +0.1582 + 0,1479 (—1) —0.159» + 0.1720'(-1) + 0,1551 — 0,7304 (—1) — 0.1230
26 +0,1012 —0,1232 —0,8701 (—1) + 0,1399 + 0,4933 (— 1) —0.1570 + 0.1710 (—1)
27 — 0,4486 (—1) -0,1452 + 0.6099 (-1) + 0,1339 — 0,9571 (-1) — 0.1020 +0,1373
28 —0,1451 — 0 3566 (—1) +0.1490 + 0.9064 (— 2) - 0,1512 + 0.3955 (—1) + 0 1357
29 —0.1108 +0.1021 +0.1003 —0.1194 —0.7144 (— 1) + 0.1416 + 0,1773 (—1)
30 + 0,2247 (—1) + 0,1432 — 0.3679 (—1) — 0,1370 + 0 6877 (—1) + 0.1164 —0,1115
31 +0,1311 + 0 5367(- 1) — 0.136Э —0,3169 f—1) + 0,1434 — 0 9951 (—2) — 0,1399
32 +0,1177 — 0 8145 (-1) —0,1100 + 0.9865 (—1) + 0,8845 (-1) — 0 1235 — 0,4599 (— 1)
33 —0,1844 (—2) —0,1388 + 0,1447 (-1) + 0,1366 — 0,4345 (— 1) — 0,1248 + 0,8504 (—1)
34 —0.1161 — 0,6898 (—1) + 0.1202 +0.5101 (—1) -0.1327 —0.1588 {—1) + 0,1378
35 —0,1219 + 0,6123 (—1) + 0.1166 —0.7789 (—11 —0.1011 +0,1039 + 0,6841 (—1)
36 — 0 1702 (—1) + 0,1324 + 0,5987 (—2) — 0 1332 + 0,1991 (—1) + 0 1282 — 0,5909 (—1)
37 +0,1004 + 0,8170 (—1) — 0,1070 —0 6724 (- 1) + 0,1197 + 0 3811 (—1) — 0,1311
38 +0,1236 —0.4161 (—11 —0 1203 + 0,5745 (—1) + 0,1098 — 0,8344 (—1) —0,8560 (—1)
39 + 0,3407 (-1) —0,1240 — 0,2453 (—1) + 0,12'2 + 0,1705 (—2) — 0,1276 + 0,3427 (—1)
40 — 0.8414 (—1) —0 9190 (—11 + 0,9103 (—1) + 0.8052 (—1) —0,1051 —0 5687 (—1) +0.1208
41 —01230 + 0 2277 (—1) +0,1214 —0 3757 (—1) —0,1150 + 0 6280 (—1) + 0,9810 (—1)
42 — 04924 (—1) + 0,1140 + 0.4110 (—1) — 0.1189 —0 2128 (— 1) + 0,1204 — 0.1026 (— 1)
43 -+06754 (—1) +0.9964 (—1) - 0,7450 (— 1) —0,9097 (—1) + 0,8931 (—1) +0.7228(-1) —0,1078
44 +01203 —0,4863 (—2) —0,1200 + 0,1849 (— 1) + 0,1170 — 0,4243 (—1) — 0.1064
45 + 0 6248 (—1) —0.1026 — 0.5564 (—1) + 0 1088 + 0.3874 (— 1) —0,1165 — 0,1026 (— 1)
46 — 0 5084 (-1) —0 1050 + 0.5769 (— 1) + 0 9371 (—1) - 0.7271 (— 1) — 0 8449 (—1) + 0.9291 (—1)
47 —01155 — 0,1192 (—1) -»-0.1163 — 04427 (—3) —0,1162 + 0.2269 (—1) + 0 1109
48 -0 7372(-1) + 0 9001 (-1) + 0,6810 (—1) —0 8292 (—1) — 0 5600 (—1) + 0,9342 (—1) + 0.3460 (—1)
49 + 0.3426 (-1) + 0,1080 — 0,4088 (-1) —0.1038 + 0.5571 (—1) + 0,9361 (—1) —0,7673 (-1)
50 +0.1089 + Q;2743(-1) — 0.110S —0.1*38 (—1) + 0.1128 — 0.3933^—2) —01120 .

210 XIII, ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 45. Функции Ьесселя Ja>t (x) и Уп/4 (*)
у > 1 — 1 — , ~
0.0 0.0000 оо 0,0000 со 0.0000 со 0,0000 со
2 + 0.615S + 1.4319 +0.192* + 1.4892 + 0.5159 + 1,5*72 +0.2372 + 1.68Х»
4 0.71 U 1.1559 0,3180 0.7770 0.6354 1.1879 0.3698 0.96Й,
& 0.7589 0.9737 0.4187 0.4442 0.7000 0.9582 0.4701 0.6156
0 0.7490 0.8170 0.4987 0Д193 0.7194 0.7731 0.54SJ 0.3769.
. 1.0 +0.7522 +0.6694 +0.5587 '+0.04*7 +0 7309 +0.6069 +0.5979 +0.1883
I 2 0.7129 0.5260 0.5989 —0.0985 0.7085 0 4516 0.6289 +0.0307
' * 0.654S 0.3862 0.6194 0.2172 0.6654 0.3049 0 6391 - 0.103J
« 0.5804 . 0.2512 0.6208 0,3143 0 6048 0.1672 0.6296 0.2163
8 0,4937 0.1229 0.6038 0.3906 0.5296 + 0.0397 0.6016 9.3093
2.0 +0,3978 '+0.0036 +0.5698 —0.4467 +0.4429 —0.07S7 +0.5570 —0.3823
2 0.2962 —0.1045 0.5204 0.4829 0.3482 0.1774 0.4978 0.4355
4 0.1923- 0,1992 0.4578 0,4996 0.2488 0.2636 0.4265 0.4689
6 ' 4- 0.0895 0.2788 0,38*4 0.4977 0.1479 0.3330 0.3459 0.4831
8 —0,0092 0.3418 0,3029 0.478* +0,0*90 0.38*7 0.2589 0.4789
3.0 —0.1006 —0.3875 +0.2162 —0.4434 —0.0*50 —0,4182 +0.1684 —0,4576
2 0.1824 0.4154 0.1273 0.3945 0.1312 0,4336 + 0,0776 0.4209
4 0.2S21 0,4256 +0,0391 0.3343 0.2071 0,4314 —0,0105 ' 0.3708
6 0,3081 ' 0,4188 —0,0*55 0,2651 0.2707 0,4129 0,0932- 0.3098
8 0.3493 0,3962 0,1238 0,1899 0,3205 0,379* 0,1680 0,2*05
4,0 —0,3748 —0,3595 —0,1935 —0,1114 —0.3554 —0,3331 —0,2325 -0.1657
2 0,3845 0,3106 0,2525 —0,0326 0,3749 0.2761 0,2852 0,0882
4 0.3788 0,2519 0.2992 +0.0*38 0.3789 0.2111 0.3245 —0.0110
6 0.3587 0,1861 0.3325 0.1152 0,3681 0,1409 0.3498 + 0.0631
8 0,3255 0.1158 0.3518 0.1791 0.3*3* —0.0681 0.3606 0.1317
5,0 —0.2810 —0.0439 —0.3569 +0.2336 -0.306* +0.00*3 -0.3571 +0.1925
2 0.22П + 0.0269 0.3481 0.2770 0,2589 0.0738 0.3401 • 0.243*
* 0.1666 0,0940 0.3264 0.3082 0,2032 0.1377 0 3106 0.2831
* 0.1017 0,1550 0.2929 0,326* 0.1*15 0,1939 0.2703 0.3105
8 — 0,0351 0,2078 0.2493 0.3314 0,0765 0.2406 0.2209 0,3248
6.0 +0,0306 +0,2506 —0.1976 +0.323* -0.0107 +0,2763 —0.1646 +0.3262
2 0.0929 0,2823 0.1399 0,3033 + 0.0534 0.3001 0.1038 0.3148
* 0.1*97 0.3019 0.0787 0.2720 0.1133 0.3113 -0.0*09 0 2916
6 0,1988 0,3090 —0,0163 0.2312 0.1670 0.3100 +0.0216 0.2578
8 0.2387 0,3038 + 0,0449 0.1827 0.2125 0.2966 0.0815 0.2150
7.0 + 0,2680 + 0.2869 + 0.1025- + 0.128* + 0.2*8* + 0.2720 + 0.136* + 0.1650
2 0.2860 0.2591 0,1545 0.0707 0.2735 0.2374 . 0.1844 0.1101
4 0.2923 0.2220 0.1991 + 0.0118 0.2872 0.19*4 0.2240 + 0.0523
6 0.2869 0.1771 0.2348 —0,0*59 0.2893 0.1*49 0.2538 — О.0О59
8 0.2704 0.1264 0.2604 0.1004 0.2799 0.0911 0.2729 0 0624
8.0 +0.2436 +0.0720 +0.2752 —0.1496 +0.2598 +0.0350 +0.2808 —0.1151
2 0.2080 +0.0161 0.2788 0.1917 0,2299 -0.0211 0.2775 01619-
4 0.1650 -0.0390 0.2715 0.2253 0.1918 0.0750 0.2635 0.20П
6 0,1165 0.0913 0.2538 0.2493 0,1470 0.1247 0.2395 0.2319-
8 0.0646 0.1388 0.2265 0.2631 0.0974 0,1683 0,2067 0.2526.
9.0 +0.0113 —0.1798 +0.1910 —0.2662 +0.0*51 —0,20*3 +0,1665 —0,263»
2 —0.0413 0.2128 0.1*88 0.2588 —0.0078 0.2315 0.1206 0 2629
4 0.0911 0.2367 0.1017 0.2*15 0.0592 0,2*90 0.0710 0.2525.
6 0,1363 0,2508 0.0515 0.2150 0.1073 0.2563 +0.0197 0.2323
8 0.1752 0.2S47 +0.000* 0.1807 0.1501 0.2533 -0.0314 0 2035
10.0 —0,206* —0,2*84 —0,0*97 —0.1399 —0.1861 —0.2*05 —0.0801 —0.1671

ТАБЛИЦЫ 211•
Таблица 46. Функции Бесселя У, (я)
> f J.P) | КО) КМ >ЛЧ l.(S) KM
0 + 0.7652 +0.2239 -0,2601 -0.3971 -0,1776 + 0.1S06
0.S +0.671* +0.5130 + 0.6501 (-1) -0,3019 -0.3422 -0.9102(-1)
1.0 +0,4401 +0.5767 +0,3391 — 0,6604 (—1) -0.3276 —0.2767
1.5 +0.2403 +0.4913 +0,4777 +0.1853 -0.1697 —0,3279
2.0 +0.1149 + 0.3S28 +0.4861 + 0.3641 + 0.4657 (—1) —0.2429
2.5 +0.49S0(-1) +0.2239 +0.4127 +0.4409 +0.2404 - 0.7295 (-1).
3.0 + 0.1956 (—1) +0.1289 +0.3091 +0.4302 +0.3648 +0.1148
3.5 +0,7186 (-2) + 0.6852 (-1) +0.2101 +0.3658 +0.4100 +0.2671
4.0 +0,2477 (-2) + 0.3400 (-1) +6.1320 +0.2811 +0.3912 +0.3576
4,5 + 0.8067 (—3) + 0.1589 (-1) + 0,7760 (-1) +0.1993 +0.3337 +0,3846
5.0 + 0.2498 (-3) +0,7040 (-2) ■+■ 0.4303 (-1) +0,1321 +0.2611 +0,3621
5.5 +0,7385 (-4) + 0,2973 (- 2) + 0,2266 (—1) + 0.8261 (-1) +0,1906 +- 0.3098)
, 6.0 +0,2094 (-4) +0.1202 (-2^ + 0.ТЯ9 (-1) + 0.4909 (-1) +0,1310 +0,2458
6.5 + 0,5710 (- 5) + 0,4672 (- 3) + 0.S493 (_ 2) + 0.2787 (-1) + 0.8558 (-1) + 0,1833
•' 7.0 + 0.1502 (-5> + 0.1749 (-3) + 0.2S47 (_ 2) + 0.1518 (-1) + 0.5338 (—1) + b.J296
' 8 +0.9422 (—7) +0.2218 (-4) + 0,4934 (_ 3) + 0.4029 (-2) + 0.1841 (—1) + 3,5653 (■■- 1)
9 +0,5249 (-8) +0.2492 (-5) + 0.8440 (_ 4) + 0.9386 (-3) + 0.5520 (-2) + 0,2117 (-1)
10 +0.2631 (-9) +0,2515 (-6) + 0.1293 (- 4) + 0,1950 (-3) + 0.1468|(-2) '+ 1,6964 (-2)
11 +0.1198 (-10) +0.2304 (-7) +0,1794 (—5) +0.3660 (-4) +0.35091—3) + J.2048 (— 2)
12 +0.5000 (-12) +0.1933 (-8) + 0.2276 (-6) + 0,6264 (-5) +0,7628 (-4) + 0,5452 (-3)
13 + 0.1926(-13) +0.l4SSfr~9) + 0.2659 (— 7) + 0.9859 (— 6) +0.1521 (—4) + D.1327(—3)
H +0.689 (-15) +0ЛКЩ-Ю) +0.2880(-8) + 0.1436 (-+ 6) + 'o,2801(-5) + J0.2976(-*)
15 +0.23 (-16) +0.7183 (-12) +0.2908 (-9) +0.1948 (-7) +lo.4797(-6) + lo,6t92(-5)
16 +0.1 (-17) +0.4506 (-13) +0.2749 (-10) +0,2472 (—8) +0.7675 (—7) +0,1202 (-5)
17 +0,2659(—14) +0,2444(—11) + 0.2947 (—9) + 0.1153(-7) +/ 0.2187 (— 6)'
18 +0.148 (-15) +0.2050(-12) +0,3313(-10) + 0.1631 (- a) 4 0.3746 (- 7)
19 +0.8 (-17) +0.1628 (-13) +0.3525 (-11) + 0,218з'(- 7) + 0.6062 (-8)
20 \ +0.1228 (-14) +0.3560 (-12) + 0.2770 (-10) +0.9296 (—9)
21 , +0,88 (-16) +0,3420(-13) + 0.3344(-14) +0.1355(-9)
22 +0,6 (-17) +0.3134(-14) +0.3848(-12) + 0.1882(-10>
23 +0.275 (-15) +0,4231 (-13) +0,2496 (-11)
24 +0,23 (-16) +0.4454 (-14) + 0.3168 (-12)
25 +0.2 (-17) +0,450 (-15) +0,3855 (-13)
26 + 0,44 (- 16) + 0.4507 (— U)
27 + 0,4 (-17) + 0.507 (-15)
M + 0.55 (-16)
29 + 0,6 (-17)
30 + 0.1 (-17)
" i. U) К (8) I, (9) I. A0) )v A1) J„ A2) '
0 +0.3001 +0,1717 - 0.9033 (-1) -0.2459 -0.1712 + 0.4769 (-1)
0.5 +0,1981 +0.2791 +0.1096 -0.1373 -0.2406 -o!l236
1.0 —0,4683 (-2) +0.2346 +0.2453 + 0.4347 (-1) —0,1768 -0.2234
1.5 -0,1991 +0.7593(-1) +0,2545 +0,1980 -0.2293(-1). -0,2047
2.0 -0,301* -0,1130 +0,1448 +0,2546 +0.1390 - 0,8*93 (— 1)

212 xm. функции бесселя (цилиндрические функции)
1 > Пгр одолжение i аб я. 46
* » { J.o t- J»w '*№ ''№ I J'<M> I J'^
15 -0.283* — 0.2506 — 0.2477 (— 1) +0.1967 +0.2343 + 0.7242t-l)
3.0 —0.1676 — 0.2911 —0,1809 + 0.5838 (—1) -t- ОД273 +0.1951
'" 3.S —0.3403 (—2) —0,2326 —0.2683 — 0.9965 (-1) +0,129* + 0,2348
4.0 +0.1578 —0.1054 -0.2655 —0,2196 -0,1W(— 1) +0.1825
*,S + 0.2800 +0.4712(—1> —0,1839 -0.2664 —0,1519 + 0,64*7 (-1)
5.0 +0.3479 +0,1858 — 0,5504 (—1) —0 2341 — 0.2383 — 0,7347 (-1)
5,5 +0,3634 +0.2856 + 0.8439 (-1) —0.1401 -0.2538 —6.1864
6,0 +0392 +0.3376 +0.2043 - 0.1446 (-1) -0.2016 -0J437
W +0.2911 +0.3456 +0,2870 +0,1123 — 0.1018 —0,2354
7.0 +0.2336 +0.3206 +0.3275 +0,2167 + 0.1838 (-1) —0.1703
7.5 +0,1772 +0,2759 +0,3302 +0,2961 +0.1334 - 0.6865 (-1)
8.0 +0.1280 +a223S +0.3051 +0,3179 +0.2250 + 0.4510 (-1)
as + 0.8853 (-1) +0.1718 +0.2633 + 0.3168 + 0.2838 +0.1496
9.0 + 0.5892 (—1) +0,1263 +0.2149 + 0.2919 +0.3089 +0,2304
9.5 + 0.3785 (—1) + 0,892-(-1) +0.1672 +0.2526 +0,3051 + 0.2806
10.0 + 0.2354 (—1) + 0.6077 (— 1) + а1247 +0,2075 +0,2804 +0.3005
10,5 + 0,1420 (—1) + 0.4004 (—1) + 0.8959 (—1) +0.1630 + 0,2433 + 0.2947
11.0 + 0.8335(-2) +О.2560(-1) + 0.6222(-1) +0.1231 + ОДОЮ + 0Д704
11.5 +0.4763(-2) + 0.1590(-1) +0Д188(-1) + 0,8976(-1) +0,1593 + 0.2351
1iO + 0.2fS6(-2) +0,9624 (-2) + 0,2739 (-1) + 0.6337 (-1) +0,1216 +0.1953
12,5 + 0.l446(-2) +O.S680(-2) +0,1744(-1) +0.4344(-1) +0.8978(—1) +0,1559
13,0 +07702(-3) + Q.327S(-2) + ОД083(-1) +0Д897(-1) +0.6429(-1) +0.1201
13.5 + 0.4016 (-3) + 0.1846 (— 2) +0.6568 (-2) + 0.1884 (-1) + 0,4477 (-1) + 0.8969 (-1)
14.0 +ОД052(-3) +0.1019(-2) + 0.3895(-2) + 0.1196 (-1) +0,3037 (-1) + 0.6504(-1)
1S + 05059(-4) + 0,2926(-3) +0.1296(-2) -rO,4508(-2) +0,1301(-1) + 0,3161 (-1)
Чб + 0.1l61(-4) +0.7801(—4) + 0.3»33(-3) +0,1567(-2) + 0,5110(-2) +0,139»(-1)
17 + 0,2494(-5) +0.1942(-4) +O.1120(-3) + 0,50S6(—3) + 0.1856(-2) +0,S698(—2)
18 +0.5037 (-6) + 0.4S38(-5) +0,2988(-4) + 0,1524(-3) + 0.6280(-3) +0,2152(-2)
19 +0,9598 (-7) +0.9992 (-6) + 0.7497 (- 5) + 0,4315 (-4) + 0.1990 (-3) + 0.7590 (-3)
20 +0,1731 (-7) +0,2081 (-6) +0,1777 (-5) +0,1151 (-4) +0,5931 (-4) +0.2512(-3)
21 +0,2966 (-8) +0,4110 (—7) +0,3990 (-6) +0,2907 (-5) +0.1670 (-4) +0.7839 (—4)
21 +0.4839 (-9) +0.7725 (—8) +0.8515 (—7) +0.6969 (-6) +0.4458 (-5) +0.2315 (-4)
23 +a7535(-10) +0.1385(-8) +<X1732(-7) +0.1590(-6) + 0.1132(-5) + 0.6491(-5)
24 +0.1122 (-10) +0.2373 (-9) +0.3364 (-8) +0.3463 (-7) +0.2738 (-6) +0.1733 (-5)
25 +0.1602 (-11) +0.3895 (-10) +0.6257 (-9) +0.7215 (—8) +0.6333 (-7) + 0.4418 (— 6)
26 +0Д195(-12) +0.6135(-11) +0.1116(-9) +0.1441(-8) + 0.1403(-7) +0.1078(-6)
27 +0Д893(—13) +0.9289(-12) +0.1913(-10) +0.2762(-9) +0.2981(-8) + 0Д521(-7)
28 +0.3673(-14) +0,1354(-12) +0.3154(-11) +0.509*(-10) +0.6092(-9) +0.5665(-8)
29 + 0.450 (-15) +0.1903 (-13) +0.SQ14(-12) +0.9050 (-11) +0.1198 (-9) +0.1225 (-8)
' 30 +0.4 (-16) +0.2583(-14) +0.7692(-13) +0,1551 (-11) +0.227*(-10) +0,2S52(-9)
31 +0.6 (-17) +0,339 (-15) +0.1140(-13) +0.2568(-l2) + 0.*165(-11) +0.5133(-10)
32 +0,1 (-17) +0,43 (-16) +0.1636(-14) +0.*112(-13) +0.7375(-l2) +0.9976(-11)
33 +0.5 (-17) +0.227 (-15) +0.6376 (-14) +0,1264 (-12) +0.1876 (-11)
U +0.1 t-") +0.31 (-16) +0,958 (-15) +0.2100 (-13) + 0.3417 (-12) ,
35 +0.4 fc-17) +0.1*0 (~15) +0.3383 (—14) +0.6035 (-13)
3b +0.20 (-16) +0.529 (-15) +0.1035 (-13)
37 +0.3 (-17) +0.80 (-16) +0.1723 (—14)
38 +0.12 (-16) +0.279 (-15)
3» +0.2 (-17) +0.44 (-16)
@ +0,7 (-17)
41 +W t-l7)

ТАБЛИЦЫ
213
Продолжение табл. 4&
.V '
0
0J
1.0
1.5
ю
w
ад
з,5
• *л
<•$
5.0
S.S
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
as
9,0
9.5
10.0
10,5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14,5
15.0
15,5
16.0
1*.5
17.0
17.5
18,0
18.5
19,0
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
',(«)
+ 0.2069
+ 0,9298 (-1)
- 0.7032 (-1)
-0.1937
-0.2177
-0.1377
+ 0.3320 (- 2)
+ 0.1407
+ 0.2193
+ 0.2134
+ 0.13Гб
+ 0.7055 (- 2)
— 0.1180
- 0.2075
-0,2406
- 0.2145
— 0.1410
- 0.4006 (—1)
+ 0.6698 (-1)
+ 0.1621
+ 0Д338
+ 0.2770
+ 0.2927
+ 0,2854
+ 0.2615
+ 0.2279
+ 0.1901
+ 0,1528
+ 0.1188
+ 0.8953 (-1)
+ 0.6564 (-1)
+ 0.4691 (-1)
+ 0.3272 (-1)
+ 0,2232 (-1)
+ 0,1491 (-1)
+ 0.9760 (- 2)
+ 0.6269 (—2)
+ 0.3955 (-2)
+ 0.2452 (—2)
+ 0.8971 (- 3)
+ 0,3087 (- 3)
+ 0.1004 (- 3)
+ 0,3092 (—4)
+ 0.9060 (- 5)
+ 0.2532 (—5)
+ 0.6761 (- 6)
+ 0.1730 (—6)
+ 0.4249 (-7)
+ 0.1004 (-7)
+ 0.2283 (-8)
+ 0.5009 (-9)
+ 0.1062 (-9)
+ 0,2176 (-10)
+ 0,4320 (-11)
+ 0.8310 (-12)
+ 0.1551 (-12)
+ 0.2812 (—13)
+ 0.4956 (—14)
+ 0.850 (-15)
1,М
+ 0.1711
+ 0,2112
+ 0.1334
- 0.1407 (-1)
-0.1520
-0.2143
-0.1768
- 0.6245 (-1)
+ 0,7624 (-1)
+ 0,1830
+ 0.2204
+ 0.1801
+ 0.8117 (-1)
—0.4151 (-1)
—0.1508
-0.2187
—0.2320
— 0,1928
-0.1143
— 0.1541 (—1)
+ 0.8501 (-1)
+ 0.1718
+ 0.2357
+ 0.2732
+ 0,2855
+ 0,2770
+ 0,2536
+ 0,2214
+ 0.1855
+ 0.1500
+ 0.1174
+ 0.8931 (—1)
+ 0.6613 (—1)
+ 0,4777 (-1)
+ 0.3372 (-1)
+ 0.23 30 (-1)
+ 0.1577 (-1)
+ 0,1047 (-1)
+-0,6824 (-2)
+ 0,2753 (- 2)
+ 0.1041 (-2)
+ 0.3711 (- 3)
+ 0,1251 (—3)
+ 0.4006 (- 4)
+ 0.1221 (—4)
+ 0.3555 (- 5)
+ 0,9902 (—6)
+ 0,2645 (— 6)
+ 0,6790 (—7)
+ 0,1678 (-7)
+ 0,3995 (- 8)
+ 0.9187 (-9)
+ 0,2042 (-9)
+ 0.4392 (-10)
+ 0.9155 (-11)
+ 0,1851 (-11)
+ 0.3632 (-12)
+ 0,6928 (-13)
+ 0,1285 (-13)
',04
-0.1422 (-1)
+ 0.1340
+ 0.2051
+ 0,1654
+ 0,4157 (-1)
—0.1009
— 0.1940
-0.1991
- 0.1192
+ 0.7984 (-2)
+ 0.1305
+ 0.2039
+ 0.2061
+ 0.1415
+ 0.3446 (—1)
-0.8121 (-1)
-0.1740
-0,2227
-0.2200
— 0.1712
-0.9007 (—1)
+ 0.5862 (—2)
+ 0.9995 (—1)
+ 0.1794
+ 0,2367
+ 0,2692
+ 0Д787
+ 0.2693
+ 6.2464
+ 0.2155
+ 0.1813
+ 0.1474
+ 0,1162
+ 0.8905 (-1)
+ 0.6653 (— 1)
+ 0,4853 (-1)
+ 0,3463 (— 1)
+ 0,2419 (-1)
+ 0.1657 (—1)
+ 0,7360 (—2)
+ 0.3054 (—2)
+ 0,1190 (—2)
+ 0,4379 (—3)
+ 0,1527 (-3)
+ 0.5060 (-4)
+ 0.1599 (-4)
+ 0.4829 (-5)
+ 0,1398 (—5)
+ 0,3883 (-6)
+ 0,1037 (- 6)
+ 0,2670 (- 7)
+ 0,6632 (- 8)
+ 0,1591 (-8)
+ 0.3693 (—9)
+ 0,8301 (-10)
+ 0,1809 (—10)
+ 0.3827 (- 11)
+ 0,7863 (—12)
+ 0,1571 (-12)
>.(*)
— 0,1749
-0.5743 (-1)
+ 0.9040 (-1)
+ 0.1874
+ 0,1862
+ 0.9257 (—1)
— 0.4385 (-1)
—0.1585
—0,2026
-0.1619
- 0.5747 (-1)
+ 0.6743 (-1)
+ 0.1667
+ 0,2083
+ 0,1825
+ 0.1018
-0.7021 (-2)
- 0,1128
-0,1895
- 0.2217
-0.2062
-0.1504
— 0.6822 (-1)
+ 0,2427 (-1)
+ 0.1124
+ 0.1853
+ 0.2368
+ 0,2653
+ 0,2724
+ 0,2623
+ 0.2399
+ 0.2102
+ 0,1775
+ 0.14S0
+ 0.1150
+ 0.8876 (-1)
+ 0,6685 (- 1)
+ 0.4920 (-1)
+ 0.354* (-1)
+ 0,1733 (—1)
+ 0.7879 (- 2)
+ 0.3354 (-2)
+ 0.1343 (-2)
+ 0.5087 (- 3)
+ 0.1828 (-3)
+ 0.6253 (-4)
+ 0.2042 (- 4)
+ 0.6380 (— 5)
+ 0.1912 (- 5)
+ 0.5505 (-6)
+ 0,1526 (-6)
+ 0,4078 (—7)
+ 0,1052 (—7)
+ 0,2625 (- 8)
+ 0,6339 (_ 9)
+ 0.1484 (- 9)
+ 0.3368 (—10)
+ 0.7426 (-11)
+ 0.1591 (—11)
l,W
—0.1699
-0,1860
- 0,9767 (-1)
+ 0.4230 (—1)
+ 0.1584
+ 0.1935
+ 0.1349
+ 0.1461 (-1)
— 0.1107
— 0.1875
— 0.1870
-0.1139
+ 0.7153 (-3)
+ 0.1138
+ 0.1875
+ 0,2009
+ 0,1537
+ 0.6346 (—1)
— 0.4296 (-1)
-0.1374
-0.1991
-0.2171
-0,1914
— 0.1307
- 0.4857 (-1)
+ 0.4024 (-1)
+ 0,1228
+ 0.1899
+ 0,2364
+ 0.2613
+ 0JM6
+ 0.255*
+ 0.2340
+ 0.2054
+ 0.1739
+ 0.1427
+ 0,1138
+ 0,8844 (-1)
+ 0.6710 (—1)
+ 0.3619 (-1)
+ 0,1804 (-1)
+ 0.8380 (- 2)
+ 0,3651 (-2)
+ 0.1500 (—2)
+ 0.5831 (- 3)
+ 0,2154 (-3)
+ 0,7586 (-4)
+ 0,2553 (-4)
+ 0,8228 (—5)
+ 0,2546 (-5)
+ 0,7577 (- 6)
+ 0,2172 (- 6)
+ 0.6009 (- 7)
+ 0,1606 (—7)
+ 0,4153 (-8)
+ 0.1040 (- 8)
+ 0.2526 (- 9)
+ 0,5956 (—10)
+ 0,1364 (-10)
К(Щ
— 0.1336 (-1)
- 0.1412
— 0.1'"•О
— u.><iD
0 741 (-2)
■4 0.1192
-> .1863
' 0,1651
- 0.6V.64(-1)
- 0,5500 (-1)
— 0.1554
— 0.1926
— 0.1560
— 0.6273 (—1)
+ 0.5140 (-1)
+ 0.1473
+ 0.1959
+ 0.1855
+ 0.1228
+ 0.2786 (-1)
- 0.7317 (-1)
-0.1561
-0.2041
— ОД100
— 0.1762
-0.1122
- 0.3092 (-1)
+ 0.5414 (-1)
+ 0.1316
+ 0.1934
+ 0.2356
+ 0.2575
+ 0.2611
+ 0.2500
+ 0.2286
+ 0.2009
+ 0,1706
+ 0,1406
+ 0,1127
+ 0,6731 (-1)
+ 0,3686 (-1)
+ 0,1871 (-1)
+ 0.8864 (- 2,
+ 0,3946 (-2)
+ 0,1658 (—2;
+ 0,6607 (- 3)
+ 0,2504 (—3)
+ 0,9057 (-4)
+ 0,3133 (-4)
+ 0,1039 (-4)
+ 0,3313 (-5)
+ 0,1016 (—5)
+ 0.3005 (-6)
+ 0.8583 (-7)
+ 0.2370 (-7)
+ 0,6335 (—8)
+ 0.1641 (-8)
+ 0,4126 (-9)
+ 0,1007 (- 9)

214 XUI. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 46
" | М») 1 М") | ^ 05) J, A6) J, A7) ' J, Q8»
«О +0,1*2 (-15) + 0,2320(-14) + 0,3054(-13) + 0.3317(-12) ч- 0.3039 (—11) +0.2391(-10)
41 +0,23 (-16) +0,408 (-15) + 0,5781(-14) + 0.6733(-13) + 0.6590 (-12) +0,5520(—11)
42 +0,* (-17) +0.70 (-16) +01067 (-14) +0.1331 (-13) +0.1392 (-12) +0.1241 (-11)
43 +0,1 (-17) +0.12 (-16) +0.192 (-15) + 0.2567 (-14) +0.2865(-13) + 0.2719{-12)
44 +0.2 (-17) +0,34 (-16) +0.483 (-15) +0.5752(-14) +0.5810(-13)
45 +0.6 (-17) +0.89 (-16) +0,1127 (-14) +0.1211 (-13)
46 +0.1 (—17) +0,16 (-16) +0.216 (-15) +0,2466 (-14)
47 +0,3 (-17) +0,40 (-16) +0.490 (-15)
48 + 0,7 (-17) + 0.9S (-16)
49 +0,1 (-17) +0.18 (-16)
50 J +0.3 (-17)
у J, A9) [ J, B0) | 1, B1) j J, B2) | J, B3) | 1, B4)
О +0,1466 +0,1670 +0,3658(— 1) -0,1207 —0,1624 —0,5623 (—1)
0,5 + 0.2743 (—1) +0,1629 +0,1457 —0,1506(-2) —0,1408 —0,1475
1,0 -0,1057 + 0.6683 (-1) +0,1711 +0,1172 —0.3952(—1) —0.1540
1.5 -0.1795 -0,6466(-1) +О.1023 +0,1700 +0,8253(-1) — 0,7523 (— 1)
2,0 -0,1578 -0,1603 -0,2028(-1) +0,1313 +0.1590 + 0.4339<-1)
2.5 —0,5578(-1) -0.1726 -0,1311 +0,2469(-1) +0,1516 +0.1381
3,0 + 0,7249(-1) -0,»890(-1) -0,1750 -0,9330(-1) +0,6717(-1) +0.1613
3.5 +0.1649 +0,2152(-1) -0,1335 -0,1644 -0,4958(-1) +0.1040
4.0 +0.1806 +0.1307 -0.2971 (-1) -0.1568 —0,1415 —0.3076 (—2)
4.5 +0,1165 +0.1801 + 0.8656 (-1) -0.7701 (—1) —0.1666 —0,1078
5.0 +0.3572(-2) +0.1512 +0.1637 + О.3630 (— 1) —0.1164 —0.1623
5.5 -0.1097 + 0.5953 (-1) +0,1706 +0.1329 —0.1563 (—1) —0.1444
6,0 -0.1788 —О.5509(-1) +0.1076 +0.1733 + 0.9086 (-1) —0.6455 (-1)
6,5 -0.1800 —0.1474 +0.2808 (-2) +0.1435 +0.1592 + 0.4157 (-1)
7,0 -0,1165 -0,1842 -0,1022 + 0.5820 (-1) +0,1638 +0.1300
8 + 0,9294 (-1) —0.7387 (-1) -0.1757 -0,1362 +0,8829 (-2) +0.1404
» +0.1947 +0.1251 -О.ЭШ(-1) -0,1573 -0.1576 -0.3б43(-1)
10 +0,9155(-1) +0,1865 +0,1485 +б.7547(-2) -0,1322 -0.1677
11 - 0,9837 (-1) + 0,6136 (-1) +0.1732 +0,1641 + 0.4268 (-1) -0.1033
12 -0.2055 -0.1190 + 0,3293 (-1) +0,1566 +0.1730 + 0.7299 (-1)
13 -0.1612 —0.2041 -0,1356 +0.6688 (-2) +0,1379 +0,1763
14 -0.1507 (—1) —0,1444 — 0,2008 -0.1487 —0,1718(—1) +0,1180
15 +0,1389 —0.8121 (-3) -0,1321 —0,1959 -0,1588 —0,3863(-1)
16 +0.2345 +0,1452 +0.1202(-1) -0,1185 -0,1899 —0,1663
17 +0.2559 +0.2331 +0.1505 + 0.2358 (—1) —0.1055 -0,1831
18 +0,2235 +0,2511 +0,2316 +0,1549 + 0.3402 (-1) -0.9311 (—1)
19 +0.1676 +0.2189 +0.2465 +0.2299 +0.1587 + 0.4345 (-1)
20 +0.1116 +0.1647 +0,2145 +0,2422 +0.2282 +0,1619
21 + 0.6746 (-1) +О.1106 +0,1621 +О.2105 +0,2381 +0.2264
22 + 0,3748 (-1) + 0,6758 (-1) + 0.1097 +0,1596 +0,2067 +0,2343
23 + 0,1934 (-1) + 0.3805 (-1) + 0,6767 (-1) +0.1087 +0,1573 +0.7031
24 +0,9331 (-2) + 0,1993 (-1) + 0,3857 (-1) + 0,6773 (-1) +0,1078 +0,1550
25 +0,4237 (-2) +0,9781 (-2) + 0,2049 (-1) + 0,3905 (-1) + 0.6777 (-1) +0,1070
26 +0,1819(-2) +0,4524 (-2) + 0.1022(-1) + 0,2102(-1) + 0,3949(-1) +.0,6778(-Ц
27 + 0,7412 (-3) +0,1981 (-2) +0,4806 (-2) + 0,1064 (-1) + 0,2152 (-1) + 0,3990 (-1»
28 + 0.2877 (-3) + 0,8242 (-3) +0,2143 (-2) +0,5084 (-2) + 0,1104 (-1) + 0,2200 (-1)
29 + 0,1066 (-3) + 0,3270 (-3) + 0,9094 (-3) +0,2307 (-2) +0,5357 (-2) + 0.1143 (-1)
30 +0,3785 (-4) + 0,1240 (—3) + 0,3682 (-3) + 0,9965 (-3) +0,2470 (-2) +0,5626 (-2)
31 +0,1289 (-4) +О,4508(-4) + 0,1427 (-3) + 0,4113 (-3) +0,1085 (-2) +0,2633 (-2)
32 +0,4223 (-5) +0,1574 (-4) + 0,5304 (-4) + 0,1626 (-3) + 0,4561 (-3) +0,1176 (-2)
33 +0,1333 (-5) + Т>,5289(-5) +0,1895 (-4) +0,6171 (-4) Ю,1837(-3) + 0,5024 (-3)
34 +0,4057(-6) +0,1713(-5) +0,6521(-5) + 0,2253 (-4) +0,7110(-4) +0,2060(-3)
35 + 0,1193 (- 6) + 0,5358 (- 6) + 0,2164 (- 5) + 0.7927 (- 5) + 0,2649 (- 4) + 0,8119 (- 4)
36 +0,3396 (-7) +0,1620 (-6) +0,6941 (-6) +0,2692 (-5) + 0,9516 (_ 5) + 0,3083 (-4)
37 + 0,9362 (- 8) + 0,4742 (- 7) + 0,2153 (- 6) + 03839 (- 6) + 0,3302 (- 5) + 0,1130 (- 4)
38 +О,2503(-8) +0,1345 (-7) + 0,6471 (-7) +О.2809(-6) +0,1108 (-5) + 0,4000 (-S)
39 +Ч),6496(-9) +0,3704 (-8) +0,1886 (-7) + 0,8652 (-7) +0,3603 (-6) + 0,1371 (—S)
40 +0.1638 (-9) +0,9902 (-9) +0,5336 (-8) +0,2586 (-7) +0,1136 (-6) + 0,4553 (-6J
41 + 0,4018 (- 10) + 0,2574 (- 9) + 0,1467 (- 8) + 0,7506 (- 8) + 0,3476 (- 7) + 0,1467 (- 6)
42 +0,9594(-11) +О,651О(-10) +0,3922(-9) +0,2118(-8) +0.1034(-7) +0.4590(-7)
43 +0.2231(—11) +0 1604(-10) +0,Ю21(-9) +0,5816(-9) +02989(-8) + 0.1396(-7}
« +0,5059 (-12) +0,3849 (-11) +0,2589 (-10) +0,1555 (-9) +0,8*17 (-9) +0,4133 (-8)

таблицы 215
Продолжение табл. 46
» 1 К A9) К B0) I, B1) ■>, B1) t, B3) | ir B4)
45 +0.И19(-12) + 0.9011(-i2) + 0,6402(-11) + 0,4054(-Ю) +0.2309(-9) + 0,1191(-8)
46 + 0.2416(-13) + 0.2059(—12) + 0.1544(— 11) + 0,1031 (- 10) +0.6175(—10) + 0.3347(-9)
«7 + 0,5096(_14) +0.4594 (—13) + 0.3637(-12) + 0.2557(-1i) + 0,1611 (- 10) +0,9172(-10)
48 +0.1051 (-14) +0,1002(-13) +0,8368(—13) + 0.6l96(-12) + 0,4105(-<1) + 0,2453 (- 10)
49 +0.212 (—15) +0,1135(—14) +0.1882(-13) +0.146?(-12) +0.1022(-11) +0.6409(-11)
50 +0.42 (-16) +0.445 (-15) +0,4139(—14) +0,3397(-l3) +0.2486(-l2) + 0.l636(-11)
51 +0.8 (-17) +0.91 (-16) +0,891 (—15) +0.7696 (—14) +0,5917 (-13) + 0.4085 (-12)
Я +0Д (-17) +0.18 (—16) +0.188 (—15) + 0.1706(—14) +0.1378(-13) +0.9976(-l3)
53 +0.4 (—17) +0.39 (—16) +0,370 (-15) +0.3142 (-14) +0.2385 (-13)
54 +0.1 (-17) +0.8 (-17) +0.79 (-16) +0.702 (-15) +0.5585 (-14)
55 +0,2 (—17) +0.16 (—16) +0.154 (-15) + 0.1281 (-14)
Ж +0.3 (-17) +0,34 (-16) +0.288 (-15)
57 +0,1 (—17) +0.7 (-17) +0.64 (-16)
58 +0.1 (-17) +0,14 (—16)
59 +0,3 fr-17)
«0 +0.1 fr-17)
» ' 1 i. B5)' I. B6) J. B7) I. B8) I. B9)
0 +0.096J +0 1560 +0.0727 —0.0732 —0.1478
1 —0.1254 +0.0150 +0 1366 +0.1306 +0.0069
2 —0.1063 -0.1548 -0 0626 + 0.082S +0.1483
3 +0,1083 -0.0389 -0,1459 -0.1188 +0.0135
4 +0,1323 +0,145» +0.0302 —0.1079 —0.1455
5 -0.0660 +0.0838 +0.1S48 +0.0879 —0.0537
« —0.1587 -0.1137 +0.0271 +0.1393 +0,1270
7 —0.0102 -0.1362 -0.1428 —0.0282 +0.1062
8 +0.1530 +0.0403 -0.1012 —0,1534 -0.0757
9 +8.1081 +0.16Ю +0.0828 -0.0595 —0.1480
10 —0.0752 +0.0712 +0.1564 +0.1152 —0.0161
11 —0.1682 -0.1063 +0.0330 +0.1418 +0.1369
12 —0.0729 -0.1611 > -0.1295 —0.0038 +0.1200
13 +0.0983 —0.0424 —0.1481 —0.1450 —0.0376
14 +0,1751 +0.1187 -0,0131 —0,1309 —0,1537
15 +0,0978 +0.1702 +0.1345 +0.0142 -0.1108
16 —0,0577 +0.0777 +0.1625 +0,1461 +0.0391
17 —0,1717 -0.0745 +0.0582 +0.1527 +0.1539
18 —0.1758 —0,1752 —0.0893 + 8.5K94 +0.1414
19 —0.0814 -- 0.1681 —0.1772 —0,1021 +0.0216
20 +0,0520 -0.0704 —0.1601 -0.1779 —0.1131
21 +0.1*46 +0.0597 -0.0600 -0.1521 -0.1776
22 +0.2246 +0,1669 +0.0668 —0.0502 —0.1441
23 + 0.2306 + 0,2227 + 0.1688 + 0.0732 — 0.0410
24 +0.1998 +0.2271 +0.2209 +0.1704 +0.0790
25 +0.1529 +0.196* +0.2238 +0.2190 +0.1718
26 + 0.1061 + 0.1510 + 0.193* + 0,2207 + 0.2172
27 + 0.6778 (—1) +0,1053 +0,1491 +0.1908 +0.2176
28 + 0.4028 (—1) + 0.6776 (-1) +0.1045 +0.1473 +0.1881
29 +0.2245 (-1) + 0.4063 (-1) + 0.6773 (-1) +0,1038 +0.1456
30 +0.1181 (-1) + 0.2288 (-1) + 0.4096 (-1) + 0.6769 (-1) + 0,1030
31. +0.5889 (-2) + 0.1217 (-1) - + 0,2329 (-1) + 0.4126 (-1) + 0.6763 (-1)
32 + 0.2795 (-2) + 0.6147 (- 2) + 0.1253 (- 1) + 0.2368 (- 1) + 0.4155 (- 1)
33 + 0,1267 (- 2) + 0,2957 (- 2) + 0.6400 (- 2) + 0.1287 (-1) + 0.2405 (- 1)
* 34 +0.550 (-31 +0.1360 (-2) +0.3118 (-2) +0.6648 (-2) + 0.1320 (-1)
35 +0,229 (-3) +0.599 (-3) + 0.1453 (-2) +0.3278 (-2) +0,6891 (-2)
36 +0.92 (-4) +0.254 (-3) +0.650 (-3) + 0.1548 (-2) +0.3437 (-2)
37 +0.36 (-4) +0.103 (-3) +0.279 (-3) +0.701 (-3) +0.1642 (-2)
38 +0.13 (-4) + 0.4Г (-4) +0.116 (-3) +0.306 (-3) +0.754 (-3)
39 +0.5 (-5) +0.15 (-4) +0,46 (-4) +0.128 (-3) +0.333 (-3)
40 +0.2 (-5) +0.6 (-5) +0Я8 (-4) +0.52 (-4) +0.142 (-3)
41 +0,1 (-5) +0.2 (-5) +0.7 (-5) +0.20 (-4) +0.58 (-4)
tt +0.1 (-5) +0.2 (-5) +0.8 (-5) +0.23 (-4)
*3 +0,1 (-5) +0.3 (-5) +0.9 (-5)
« +0,1 (-$) +0.3 (-S)

216
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
1 а б л и ц а 47. Функции Неймана N„ (X) и /V, (х)
*
«000
02
04
06
08
0 10
12
14
16
18
0 20
22
24
26
• 28
0,30
32
J* 34
36
38
0.40
42
44
46
48
0.50
52
54
S6
S8
0.60
62
64
66
68
0,70
72
74
76
78
0,80
82
84
86
88
090
92
94
96
98
1,00
N0W
— оо
2,564
2122
1.863
1,678
-1.534 + 5,,
1,416 м
1.316 u
1.228 38 5
1.151 JS
-'■О81 + 31 S
,018 29.S
0.959 „
0.905 is
0.855 u
"'— + 22
0.763 „
0.721 20
°-Ш 19.S
0.642 18
— 0 6060 + 174
0.5712 ,675
0 5377 161
0.5055 155
0.4745 150
- 0.4445 + ,U5
О-*156 140
0.3876 136
0.3604 131 5
0.3341 1М
-0.3085 124
0.2837 121
0.2595 ,18
О-23» 114.5
0.2130 ,М5
-0.1907
М«» 104 s
0.1476 1Ю5
0.1269 1015
0,1066 „
-0.0868 ,65
0.0675 ,45
0.0486
0.0301 Л,
^070120 ^
+ 0.0056 + К5
0.0229
0.0398 и s
0.056J, м
0.0725 v 7,
+ 00883
N,W
— оо
31.860
15.964
10.676
8.038
— 6.459
5.409
4.662
4,103
3,670
— 3.324
3.042
2.807
2,609
2.440
- 2.293
2.165
2.052
1.952
1.862
— 1 781 ,
1.708
1.641
1,580
1.523
- '-«1
1.423
1.378
1 337
1.297
- 1260 +
1.226
1.193
1.161
1 132
— 1,1032 +
1,0761
1,0502
1.0253
1.0013
— 0,9781 .
0,9558
0,9342
0,9132
0,8929
— 0,8731
0,8539
0,8351
0,8167
0,7988
~ 0,7812
-
F
64
S6S
SO
4S
40 5
36 S
33 S
30 S
28 S
26
24
22 5
20 5
20
18 S
17
16S
16
14 S
US
135 S
129.5
124 S
120
116
111 S
10в
10S
101 S
9»
96
94
»2
89, S
88
*
1,00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
120
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1 50
52
54
56
58
1.60
62
64
66
68
1,70
72
74
76
78
1 80
82
84
86
88
1,90
»2
94
96
98
200
N0(x)
+ 0.
0883+ 77
1037 7SS
1188 7i
1336 7J
1480 71
1622 + 69
1760 67 S
,895 65 5
2026 64 5
2,55 63
2281 + 6. 5
2404 5,s
2523 58 5
2640 5,
2754 555
2865 + 5*5
2974 525
3079 S1 s
3182 ад
3282 ^5
3379 + „
3473 46
3565 445
3654 4, s
3741 41 s
3824 + 4.
3906 „
3984 J8
.*«» 36 5
« ,S5
«04 + J4 s
4273 32S
4338 31 5
4401 305
4462 „
«20 + 28
4576 2. 5
4629 2S 5
4680 I4
4728 21
4774 n
4818 20 5
4859 „s
4898 18
4934 ,7
4948 + 16
5000 us
5029 „ 5
5056 125
5081 „ 5
5104
+ 0,
N,0,)
— 0.
7812 + 84
7640 MS
7471 83
73°5 81 5
7,42 80 5
6981 7,
6823 7g
6667 77
«« 7»
6361 75
6211 +u
6063 7J s
5916 ,„
5771 „ s
5628 „ s
5*85 + 70 5
53" 7o
^ 69
5066 „
4928 68 S
4791 + 67.5
«56 675
«521 66 5
4388 66 5
«55 66
4,23 + 6, 5
3992 65
3862 65
3732 6.
3«* 64
3476 + 63 5
3349 63 5
3222 6J
30* 63
2972 62 5
2847 + 61 5
2724 61 5
2601 61
2479 61
23" 60
2237 + 60
2117 60
1997 „
1879 5,
1761 „,
1644 + 58
1528 53
1412 575
1297 56 5
1184 5?
1070
-o.
X
200
02
04
06
08
2 10
12
14
16
18
2 20
22
24
26
28
2 30
32
34
36
38
2 40
42
44
46
48
2 50
52
54
56
58
260
62
64
66
68
2 70
72
74
76
78
2 80
82
84
86
88
2,90
92
94
96
98
3,00
N0(»)
+ 0.
5104
5124
5142
5158
5172
5183
5192
5199
5204
5207
5208
5207
5203
5198
5190
5181
5169
5156
5141
5123
5@4
S083
5060
5036
5009
4981
4951
4919
4885
4850
4813
4775
4735
4693
4650
4605
4559
4511
4462
4411
4359
4306
4251
4195
4138
4079
4019
3958
3896
3833
3769
+ 0.
+ io
9
8
7
55
-t » 5
1 i
J 5
l 5
+ OS
-OS
J
2 S
4
• 5
— 6
65
JS
9
9 5
— 105
11 S
12
13 5
14
— 15
16
17
17 5
18 5
— 19
20
21
21 S
22 5
— 23
24
24,5
2S.S
26
- 56 5
27 S
28
28 5
29 5
— 30
30 5
31
31,5
32
K,M
-0.
1070 + 56
0»58 56
0846 5S
0736 5s
0626 S4 5
°5" «. 54
040» 54
0301 S)
0195 s, .
0090 ц<
•°°14 * 5, S
0118 s, s
0221 S1
0323 50
0423 ю
0523 + „
0621 4,
0719 л
0815 ^
0911 „
'<»5 + 46 5
1098 46
1190 45i
1281 4S
1371 u
1459 u
1547 43
1633 42.5
1718 41 s
1801 41S
1884 + 40 i
1965 «,
2045 „
2123 38 5
2200 3g
2276+ 37 s
23« 36 5
2424 36
2496 35
2566 34 4
2635 34
2703 33
2769 32S
2834 „ s
2897 „
ft59 4 J0 s
3020 „ i
3079 28 5
3136 M
3192 275
3247
+ 0.

ТАБЛИЦЫ
217
Продолжение табл. 47
X
3,00
02
04
06
08
3,10
12
14
16
18
3 20
22
24
26
28
3 30
32
34
36
38
3 40
42
44
46
48
3.50
52
S4
56
5В
3 60
62
64
66
68
3,70
72
74
76
78
3.80
82
84
86
88
390
97.
94
96
98
400
N0
+ 0.
3769
3703
3637
3569
3500
3431
3361
3289
3217
3144
3071
2996
2921
2845
2768
2691
2613
2535
2456
2376
2296
2216
2135
2054
1972
1890
1808
1726
1643
1560
1477
1394
1311
1227
1144
1061
0977
0894
0811
0728
0645
0562
0480
0397
0315
0234
0152
0071
*0009
0090
0169
— 0.
М
— 33
33
34
34.5
14,5
— 35
36
36
36,5
36 5
— 37.5
37.5
Зв
38.5
385
— 39
39
39,5
40
40
-40
40.5
40,5
41
41
— 41
41
41 5
41.5
41.5
— 41,5
41,5
42
41,5
41.5
— 41
41,5
41,5
41 5
41 5
—41.S
41
41,5
41
40.5
— 41
40.5
40
40,5
39,5
N1
+ 0.
3247
3300
3351
3401
3449
3496
3542
3585
3627
3668
3707
3745
3780
3815
3847
3879
3908
3936
3962
3987
4010
4032
4052
4070
4087
4102
4115
4127
4138
4147
4154
4160
4164
4166
4167
4167
4165
4161
4156
4149
4141
4132
4120
4108
4094
4078
4061
«043
4023
4002
3979
+ 0.
(')
+ 26,5
75,5
25
24
23,5
+ 23
21,5
21
30.5
19,5
+ 19
17,5
17,5
16
16
+ 14,5
14
13
12.5
11.5
+ 11
10
9
8.5
7,5
+ 6.5
6
S5
4,5
3,5
+ 3
2
1
+ OS
0
— 1
2
2,5
3.5
4
— 4.5
6
£
7
8
— 8,5
»
10
10.5
11.5
X
4,00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4,20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4,90
92
94
96
98
5,00
"o(*>
— 0.
0169 _
0249
0328
0406
0484
0561 _
0638
0714
0789
0864
0938 _
1011
1083
1155
1226
1296 _
1365
1434
1501
1568
«633 _
1698
1762
1825
1886
1947 _
2007
2065
2123
1179
2235 _
2289
2342
2394
2444
2494 _
2542
2589
2635
2680
2723 _
2765
2806
2845
2884
2921 _
2956
2990
3023
3055
3085
— 0.
@
39 5
39
39
38 5
)8,5
38
37,5
37,5
17
i',5
N
36
15.5
M
34.5
14.5
13,5
13 5
12,5
2,5
12
11 S
10 5
10 5
10
19
19
18
18
17
16,5
16
!S
IS
14
13.5
13
12.5
11,5
11
10,5
19,5
9,5
8,5
7,5
7
6,5
16
5
N1
+ 0.
3979
3955
3930
3903
3875
3846
3815
3783
3750
3716
3680
3643
3605
3566
3525
3484
3441
3397
3353
3307
3260
3212
3163
3113
3062
3010
2957
2904
2849
2794
2737
2680
2623
2564
2505
2445
2384
2323
2261
2199
2136
2072
2008
1943
1878
1812
1746
1680
1613
1546
1479
+ 0.
(x)
— 12
12.5
13.5
14
14,5
— 15.5
16
16.5
17
18
— 18.5
19
19,5
20,5
20.5
— 21.5
22
22
23
23.5
— 24
24.5
25
25.5
24
— 26,5
26.S
27.5
27,5
28,5
— 28 5
28,5
29,5
29.5
30
— 30.5
30.S
31
31
31.5
— 32
32
32,5
32,5
33
— 33
33
33,5
33,5
33,5
X
5,00
02
04
06
08
5,10
12
14
16
18
5,20
22
24
26
28
5.30
32
34
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50
52
54
56
58
5.60
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
6,00
"
-0.
3085
3114
3142
3168
3193
3216
3238
3259
3278
3296
3313
3328
3341 -
3354
3365
3374
3383
3389
3395
3399
3402
3403
3403
3402-
3399
3395
3389
3383
3375
3365
3354
3342
3329
331S
3299
3282
3263
3244
3223
3201
3177
3153
3127
3101
3073
3044
3013
2982
2950
2916
2882
— 0.
ew
— 14,5
D
13
12,5
U.5
— 11
10,5
95
9
" 8,5
— 7,5
6,5
6 5
55
4,5
— 4,S
3
3
2
1.5
— 0,5
0
+ 0,5
1,5
2
+ 3
3
4
5
5.5
+ 6
6i
7
8
8,5
+ 9.5
9.5
10.5
11
12
+ «
13
13
14
14.5
+ 15.5
15.5
16
17
17
N1
+ 0.
1479
1411
1343
1275
1206
1137
1069
1000
0930
0861
0792
0723
0653
0584
0515
0445
0376
0307
.0238'
0176
0101
0033
*0O35
0103
0170
0238
0304
0371
0437
0503
0568
0633
0697
0761
0824
0887
0949
1011
1072
1133
1192
1251
1310
1368
1425
1481
1536
1591
1645
1698
1750
— ».
(*)
— 34
34
34
34,5
34,5
— 34
34 5
IS
34 5
34 5
-34 S
3»
34.5
34.5
35
-34.5
14.5
34,5
34
34.5
-34 J
34
34.
33 S
34
— 33
33 5
33
33
32.5
— 32.5
32
32
31.5
31.5
— 31
31
30.5
30.5
29,5
— 29,5
29.5
29
28,5
28
— 27.5
27.5
27
26,5
26

218
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 47
X
6.00
02
»°*
06
08
6.10
12
14
IS
18
«,20
22
24
26
28
6,30
32
34
36
38
6,40
42
44
46
48
6,50
52
54
56
58
6.60
«2
64
66
68
6.70
72
74
76
78
6,80
82
84
86
88
«,90
92
94
96
98
7,00
N0(x)
— в,
2882 + )8
28« 1в
2810 „
2772 „ .
2734 ,0
2694 + 20 '
2«4 20.5
2613 21.S
2570 „ s
2527 а
2483 + 22.S
2438 22S
2393 23.5
"« 23.5
2299 м
2251 + 2*5
2202 м
2152 м
2102 25.5
2051 26
1999 +26
'947 26.5
1894 26.5
1841 „
1787 27,5
1732 + 27.S
1677 27.5
1622 а
15<* 28,5
1*>» 28.5
1452 + 28.5
1395 и
1337 „
1279 „
1221 29.S
1162 + 29,5
1103 29.5
1044 30
0984 J0
о92* зо
«" +30
0804 }0
О7" зо
«Я* 30.5
0623 30
0563 + 30.5
0502 30.5
0441 30
0381 30.5
0320 30.5
0259
— о,
N1
— 0.
1750
1801
18S2
1902
1950
1998
2045
2091
2136
2180
2223
2265
2306
2346
2385
2422
2459
2495
2530
2563
2596
2627
2657
2686
2714
2741
27«7
2791
2814
2836
2857
2877
2896
2913
2930
2945
2958
2971
2983
2993
3002
3010
3016
3022
3026
3029
3031
3032
'3031
3030
3027
— в.
(*>
— 2S.S
25,5
25
24
— 23 S
23
22 5
22
21,5
— 21
20,5
20
19,5
18.5
— 18.5
18
17.5
16.5
16.5
— 15.5
15
14,5
14
13.5
— И
12
11.S
11
10.S
— 10
9.5
85
85
7.S
— 6.5
6,5
6
5
4.5
— 4
3
3
2
1.S
— 1
— 0,5
+ 0.5
05
1.5
X
7.00
02
04
06
08
7.10
12
14
1С
18
7,20
22
24
26
28
7.30
32
34
Зь
38
7,40
42
а
46
48
7.И
52
54
56
58
7.60
62
64
66
68
7,70
72
74
76
78
7,80
82
84
86
88
7,90
92
94
96
98
8.00
N0<*>
— в.
«И*9 +зо
0199 30
0139 305
0078 30
0018 м
*°°" +30
О102 29,5
0161 ,„
0221 29.5
0280 29.5
03» + „
03*7 „
0455 „
0513 „
0571 28,5
0628 +28
0684 28.5
О7*1 28
0797 27S
0852 27.5
0907
0961 Т27
1015 26.5
1068 26.S
,»* 26
1173 +26
122S 2S.5
1276 JJ
1326 24.S
1375 24.5
'«* + 24
U72 и
1520 w
1567
1613 И5
1658 a
1702 a
1746 21.5
1789 м
1831 20.5
1872 + 20.5
1913 19.5
1952 „s
1991 18.5
2028. 18S
2065 + 18 "
2101 17.5
2136 „
2170 16.5
2203 м
2235
+ в.
N,(x)
— 0,
КЯ7 2
3023 ,
3017 j
3011 t
3003 t
2995 ,
298S 5.5
2974 t
2962 t5
2949 7.5
2,34 + 7.5
2919 8 5
2902 ,5
2885
2866 i0
2846 + Ю.5
2825 ,,
2803 11.S
2780 12
2756 12.5
2711 ,
2705 13.5
2678 14
26S0 u,s-
2621 15
2591 +1S.5
2560 ,5j
2529 16.5
2496 17
2462 17
2428 + 17.5
2393 18
2357 ,es
2320 „
2282 19.5
2243 +19.5
2204 20
2164 20.5
2123 21
2081 21
2039 + 21.5
1996 a
1952 a
1908
1863 M
1817 M
1771 23.5
1724 23.5
1677 M
1629 M
1S81
-в.
X
8.00
02
04
06
08
8.10
12
14
16
18
8 20
22
24
26
8
8.30
32
34
36
38
8.40
42
а
46
" 48
8.50
52
54
56
58
8.60
62
64
66
68
8.70
72
74
76
78
8,80
82
84
86
88
8.90
92
94
96
98
9.00
NC
+ •.
2235
2266
2296
2326
2354
2381
2407
2432
2456
2479
2501
2522
2542
2561
2578
2595
2611
2625
2639
2651
2662
2672
2681,
2689
2696
2702
2707
2710
2713
2Л4
2Л5
2714
2712
2709
2705
2700
2694
2687
2678
2669
2659
2647
2635
2621
2607
2592
2575
2558
2539
2520
2499
+ 0.
<*)
+.15 5
IS
15
14
13.5
+ 13
12 5
12
11 5
11
+ 10,5
10
9 5
85
85
+ в
7
7
6
5,5
+ s
4 5
4
3 5
3
+ 25
1.5
1.5
o.s
+ 0.5
— 0.5
1,5
2.5
1,5
4.5
4.5
- «
7.5
— 8,5
B,S
9.5
9.5
10.S
N,(x)
-в.
1S81 +245
1532 J5
1482 25
1432 25
1382 BS
13« +25,5
1280 М5
1229 26
1177 26
,,2S 2«.5
1072 + 2«
1020 26 5
0967 27
0913 26 5
0860 „
0806 7
0752 27
0698 v
0644 27.5
0589 27
0S3S +27 5
0480 27
0426
0371 27.5
0316 27
0262 + 27.S
0207 Vi
0152 v
0098 27.5
oow v
♦0011 „
0065 v
0119 „
0173 „
0227 2«.5
0280 +2«.S
0333 26.5
0384 26.5
0439 M
0491 ил
0544 + 25.5
05,5 2t
0647 2S.S
0698 25
0748 25.5
0799
0849 24.5
0898 24.5
0947 u
0995 M
10*3
+ e.

ТАБЛИЦЫ
219
Продолжение табл. 47
' 1
1
4,00 |
02
04
06
08
9,10
12
14
16
18
9,20
22
24
26
28
9,30
32
34
36
38
9,40
42
и
46
48
9.50
52
S4
S6
S8
9.60
62
64
66
68
9.70
72
74
76
78
9,80
82
84
86
88
9,90
92
94
96
98
10.00
"о
+ 0.
2*99
2478
2456
2433
2408
2383
2357
2331
2303
2274
2245
2215
2184
2152
2119
2086
2052
2017
1981
1945
1907
1870
1831
1792
1752
1712
1671
1630
1588
1S4S
1502
1458
1414
1369
1324
1279
1233
1186
1140
1093
1045
0998
0949
0901
0853
0804
0755
0705
0656
0606
0557
+ 0.
(*)
-10 5
11
11.5
12,5
12 S
— 13
13
14
14 5
14 5
— 15
15,5
16
16S
16 5
— 1>
1? 5
18
18
19
— 18.S
1» 5
19 5
20
20
— 20.5
20 5
21
21 S
21 5
— 22
22
22.5
22.5
22.S
— 23
23 ,S
23
23 .S
24
— 23.S
24 S
24
24
24.5
— 24.S
25
24,5
25
24.S
NiW |
+ 0.
1043 „
1091 и
1,37 23.5
1184 ni
1229 и
1275 и
1319 и
1363 2, ,5
1406 21S
1449 м
1*91 +20 5
1532 20S
1*73 20
*« ,9,5
1652 „ 5
1691 +18,5
1728 ,8.5
1765 ,8
1801 ,8
1837 ,7
1871 ,7
1** ,6 5
1938 16
1970 ,55
2001 ,55
2°32 + ,4,5
2061 u 5
2090 ,<
2118 ,J5
2145 13
2171 +U5
2196 ,2
2220 „ s
2243 „
2265 „
"87 + ,„
2307 ,s
2326 ,s
23« e.s
»« 8 5
2379 1Л
239« 7.5
240» ,
2423 &
2435 t
2447 + 5.5
2458 <5
2467 4.5
2476 t
2484 ,
2490
+ в.
X
10,00
02
04
06
08
10.10
12
14
16
18
10.20
22
24
26
28
10,30
32
34
36
38
10,40
42
44
46
48
10,50
52
54
56
S8
1060
62
64
66
68
10.70
72
74
76
78
10,80
82
84
86
88
10,90
92
94
96
98
11.00
*0<*>
+ 0.
0557
0507
0457
0407
0357
0307
0256
0206
0156
0106
0056
0006
•0044
0094
0143
0193
0242
0291
0340
0389
0437
0486
0534
0581
0628
067 S
0722
0768
0814
0859
0904
0949
0993
1036
1079
1122
1164
1205
1246
1287
1326
1366
1404
1442
1479
1516
1552
1587
1622
1655
1688
-в.
-75
25
25
25
25
-25.5
25
25
25
25
-25
25
25
24.5
25
— М>
24.5
24,5
24.5
24
— 24.5
24
23,5
23,5
23,5
— 23 5
23
23
22,5
22 5
— 22,5
22
21.5
21,5
21,5
- 2'
20,5
20 5
20 5
19.5
— 20
19
1»
18 5
18,5
— 18
17.5
17.5
Н.5
16.5
",(*> |
+ 0,
2490 +
2496
2500
2504
2507
2508
250»
250» _
2507
2505
2502 _
2498
2492
2486
2479
2471 _
2462
2451
2440
2428
2416 _
2402
2387
2371
2355
2337 _
2319
2299
2279
2258
2236 _
2214
2190
2166
2140
2114 _
2088
2060
2032
2003
1973 _
1942
1911
1879
1846
1813
1779
1745
170»
1674
1637
+ 0,
3
2
2
1.5
0.5
0.5
0
1
1
1.5
2
3
3
3.5
4
4,5
5.5
5'.5
6
6
7
75
8
8
9
9
10
10
10.5
11
11
12
12
13
13
13
14
14
14,5
15
15.5
15.5
16
16,5
'6,5
-17
17
18
17Д
18.5
™ |
11.00
02
04
06
08
11,10
12
14
16
18
11.20
22
24
26
28
11.30
32
• 34
36
38
11.40
42
44
46
48
11.50
52
54
56
58
11.60
62
64
66
68
11.70
72
74
76
78
11.80
82
84
86
88
11.90
92
94
96
98
12.00
N0U)
-0.
1688 .
1721
1752
1783
1813
1843
1871
1899
1926
1952
1977
2002
2025
2048
2070
2091
2111
2130
2149
2166
2183
2199
2213
2227
2240
2252
2263
2274
2283
2291
2299
2305
2311
2315
2319
2322
2324
2325
2324
2324
2322
2319
2315
2310
2305
2298
2291
2283
2273
2263
2252
-0.
-16,5
15.5
15.5
15
15
-14
14
13 5
13
12.5
-12.5
11.5
11,5
11
10 5
— 10
9,5
9.5
8,5
8.5
— 8
7
7
6 5
6
— 5.5
5.5
4,5
i
4
— 3
3
2
2
1 5
— 1
— 0,5
+ 0,5
0
1
+ 1,5
2
2.5
2,5
1.5
+ 3.5
4
5
5
5.5
*1<*>
+ 0.
1637
1600
1562
1524
1486
1446 .
1407
1366
1326
1285
1243
1201
1159
1116
1073
1029
0986
0941
0897
0852
0807
0762
0717
0671
0625
0579
0533
0487
0441
0394
0348
0301
0254
0208
0161
0114
0068
0021
*0025
0072
0118
0164
0210
0256
0302
0347
0392
0437
0482
0527
0571
-0.
-18.5
1»
19
19
10
-19.S
20.5
20
10,5
21
-21
21
21.5
И .5
22
-21.5
22,5
22
22.5
22 .S
— 22.$
22.5
23
23
23
— 21
21
21
21.5
23
-23,5
21,5
21
21.5
21.5
— 23
21,5
23
21.5
23
— 21
23
23
23
22.5
— 22.5
22.5
22.S
22.5
22

22§
XIII. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 47
X
12.00
02
04
06
08
12.10
12
14
16
18
12.20
22
и
26
28
12.30
32
34
36
38
12.40
42
44
46
48
12.50
52
54
56
58
12,60
62
64
66
68
12,70
72
74
76
78
12.80
32
84
86
88
12,90
92
94
96
98
13,00
| N0(x)
-0.
2252 + 5.5
2241 6.S
2228 7
2214 7
2200 8
2184 + „
2168 85
2151 ,
2133 ,
2115 „
^S +10
20?5 10-s
20S4 1t
20» ,1,S
га» 11,5
1986 + 12
1962 12.5
1937 „
1911 „
1885 «Д
1858 + 1*
1830 ,4
1802 1S
1772 U.S
1743 15.5
1712 + 1S.S
1681 u
1«» 16
«" 16.S
1584 U5
1551 „
«" ,7.S
1482 17.S
1447 18
1411 18
1375 +18.5
1338 18.S
1301 18.S
1264 „
122* 19.5
1187 + 19.S
1148 19.S
1109 м
1069 20
102» ю
О»8* + 20.5
8948 M.s
0907 М5
0866 21
0824 м
0782
-0.
N1
— 0.
0571
0615
0659
0702
0745
0787
0830
0871
0913
0954
0994
1034
1074
1113
1151
1189
1227
1264
1300
1336
1371
1406
1440
1474
1506
1538
1570
1601
1631
1660
168»
1717
1744
1771
1796
1821
1846
1869
1892
1914
1935
1955
1975
1»93
2011
2028
2044
2060
2074
2088
2101
-0.
М
— 22
12
21.S
21,5
21
— 21,5
20.S
21
10.S
20
— 20
20
19.5
1»
1»
— 1»
1S.5
' 18
18
17,5
— 17,5
17
17
16
16
— 16
15.5
IS
U.S
14.5
— 1*
13.5
13,5
12.5
12.5
— 12,5
11.5
11.5
11
10.5
— 10
10
»
Ч
8.5
— 8
8
7
7
6.5
X
13,00
Л2
04
06
08
13,10
12
14
16
18
13,20
22
24
26
28
13.30
32
34
36
38
13,40
42
44
46
48
13.50
52
54
56
58
13.60
62
64
66
68
13.70
72
74
76
78
1380
82
84
86
88
13,90
92
94
96
98
14.00
"о<*>
— 0.
0782 + 21
0740 2,
0698 21,5
0655 21.5
0612 21.5
0569 + 21.5
0526 215
0483 22
0439 21,5
0396 22
0352 + 21.5
0309 22
0265 u
0221 22
0177 21.5
0134 +22
0090 м
0046 22
0002 21.5
*0041 22
«»S + 21,5
0128 22
0172 21.5
0215 21.5
0258 21.5
0301 +21
0343 21.5
0386 21
0428 21
0470 21
0512 +21
0554 20.5
°59* 20.5
0636 20.5
0677 м
О +20
0757 19.5
0796 20
0836 195
0875 19"
0913 „
0951 „
0989 18.5
1026 ,8
1062 18.5
1099 + 17.5
* 17.5
1169 17.5
1204 ,7
1238 17
1272
+ 0,
N,(x)
— 0.
2101 t
2113 5.5
2124 s
2134 s
2144 4
2152 _ 4
2160 J j
2167 j s
2172 j
2178 j
2182 _ 1rS
2185 ,
2187 ,
2189 _ o.5
2190 „
2190 ,
2188 os
2187 1.5
2184 ,
2180 2
2176 3
2170 j
21" 3.5
2157 4
2149 4.5
2140 + 4.5
2131 5.5
2120 55
2109 t
2097 6.5
2084 T
2070 7
2056 8
2040 g
2024 85
2007 + 8.5
1990 „
1971 »Д
1952 10
1932 10
1912 „
1890 t1
1868 ,1д
1845 11.5
1822 fa
1798 + 12.5
1773 „
1747 „
1 11.5
1694 „
1666
— 0.
X
14.00
02
04
06
08
14.10
12
14
16
18
1420
22
24
26
28
14.30
32
34
36
38
14,40
42
44
46
48
14.50
52
54
56
58
14,60
62
64
66
68
14,* J
72
74
76
78
1480
82
84
86
88
14.90
92
94
96
98
15.00
N0W
+ 0.
«72 +.6 5
1305 u
1337 <4
1369 u
1401 1S
1431 +1s
1461 ,5
1491 14,5
1520 14
1"<» 11.5
1*7* + 13,5
1602 n
1628 ,}
1«4 12.5
1679 „
1703 +11.5
1726 11,5
1749 „
1771 10.5
1792 10
1812 + 10
1832 ,s
1851 ,
1869 8S
188* B.i
1903 8
1919 7.5
1934 7
1948 7
1962 t
4 + 6
1986 55
1997 s'
2007 5
2017 4
2025 4
2033 3,5
2040 ,
2046 2.5
2051 2.5
20« + 1.5
2059 1.5
2062 ,
2064 + 0.5
2065 „
2065 „
2065 - 0.5
2064 1S
2061 15
2058 1s
2055
+ 0.
N,(x)
— 0,
1666 + |4
1638 14
1610 n
1580 1$
1550 15
1528 + 15,5
1489 „
1457 14
1425 16.5
1392 16.5
1359 „
1325 „
1291 „
W 175
1222 18
1186 +18
1150 „
1114 18 5
1077 18 s
1040 18.5
1003 + „
0965 „
0927 i».5
0888 1fJ
8849 1».S
0810 + „ s
0771 19.5
0732 jo
0692 j,,
0652 20
0612 20.S
0571 20
0531 JOS
04»0 20.5
0449 20,5
0408 +20.5
0367 JOS
0326 21
0284 20.5
8243 20.5
0202 +1|
0160 JOS
0119 21
0077 JO $
0036 20 5
*ooos 21
0047 JO.*
0088 jjs
0129 20;5
0170 20.5
0211
+ 0.

'ТАБЛИЦЫ
221
tb'Xl 41
v<
родолжение табл. 47
* 1
1
15.00
02
04
06
08
15.10
12
14
16
18
15 20
22
24
26
28
15 30
32
34
36
38
15.40
- Чм
+ 6, '
2055 _
2050
2045
2038
2031
2023 _
2015
2005
1995
1984
1972 _
1960
1946
1932
1917
1902 _
1885
1868
1851
1832
1813
+ 6.
-■m-
*
2 S
г s
is
J S
i
4
s
5
5 S
6
6
7
7 S
8S
8 S
9 S
9 5
tf,'w
+ 6.
«" +20
0251 20.S
0292 20
0332 20.S
0373 M
0413 + 20
0453 ,„
0492 ,„
0531 и
0571 „
0609 +„5
0648 „
0686 1f
072* 18.S
0761 ,,
0799 +18
0835 185
0872 18
0908 ,75
0943 ,8
0979
+ 6,
X
15.40
42
44
46
48
15.50
52
54
56
58
15 60
62
64
66
68
15 70
n
74
76
78
15.80
No
+ 6,
1813
1793
1772
1751
1729
1706
1683
1659
1635
1610
1584
1557
1530
1503
1475
1446
1417
1387
1357
1326
1295
+ 6,
(»)
— 10
10 S
10 S
11
11 S
— 11.S
12
12
t2
U
— US
1} S
11 S
14
US
— US
IS
IS
IS S
1SS
■V
+ 6.
0979
1013
1048
1082
1115
1148
1180
4212
12a
1274
1305
1334
1363
1392
1420
1447
1474
1500
1526
1551
1575
+ 6,
IV"
+ 17
17 S
17
16 S
16 S
+ 14
. 1»
16
IS
1SS
+ us
us
u.s
u
13.S
+ 13.5
1Э
1Э
12 5
12
X
1580
82
84
86
88
15,90
92
94
96
98
16.00
4
+ 0.
1295
1263
1231
1198
1165
1132
1098
1063
1029
0994
0958
W
— 16
16
16 5
16 5
16 5
— 17
17 S
17
17 5
18
N
+ 0,
1575
1599
1621
1644
1665
1686
1706
1726
17W
1762
1780
+ 0.
(*>
+ 12
11
11.5
10.5
10 5
+ «,
1Q
9
9
9
3, Интегральные представления
3.1. Для л = 0, 1, 2, ... имеем:
Jn(z) = — J cos (z sin t—nt) dt = ~ J <?< <*sin t-nt)dt (Бессель).
3.2. npnRev>—=- справедливы формулы (Пуассон)
г
2 Ur
yv (*) = _ V „ J cos (z cos t) sin nt dt.
>^r(v+4)J
N* <*) = / ! x [ j sin (z sin t)cos"t dt — ^ ег-*я * th-t dt\ (Re«>0),
У Я1 I V -j 9" J u 0
а при —2"<Rev<~o~ для положительных значений аргумента
ы-Ж^\
У*г (?-') ■ (f-o""=-
I
sin xt
Tat,
2
Wv(*> =
(*)'
•^(г-*)'«--i/^
С cosxf
J' *±-
(Мелер, Совин)
dt.

222
ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
3.3. Для произвольного v в правой полуплоскости (Re£>0 или
■-~-<argz<L-K-) получаем представление через контурный интеграл
. +° J-(t-L\
Я
X
к
i
i
1
i
-•4 1J
t
^
Ц
V
/я
ч,
1J 1*-
II t-ruiocKocmt
'Д7г
2л -~
Рис. 121. Пути интегрирования в интеграле
Зоммерфельда.
4U.
(Сонин)
3.4. Для произвольного v
имеем (Зоммерфельд):
У»(г) = 2S Jе" СМ'e<V ('"Я/4> di>
При этом пути интегрирования выбираются следующим образом (рис. 121): для
любого числа т), 0 < т) =g: я, @t есть кривая, пробегаемая от —tj + too до
2я—T|-(-ioo; ©а — от —т)+'<» ДО т)— too; ©4—от т)— ioo до 2я— т)-|-*оо.
Приведенные интегральные представления Зоммерфельда справедливы в
области —Tj<arg,z<Ji — tj.
4. Асимптотика
4.1. Асимптотические разложения Ганкеля справедливы для больших
значений аргумента: |z|3>>l, |z|;>>v. Обозначим
i лч 1 / -v Dv2—l2)Dv2—38)... Dv'—Bm—1J) , _ „
(v, 0) = 1, (v, т) = К- ^ ф^ i >-i- для /и = 1, 2, 3, ...,
и пусть P„(z), Qv(г), 5V(z) означают следующие, формально построенные ряды*):
- у, 2 (v, 4)
PJz)=\
BzJ ^ BzL
v, w — Bг) Bг), -т- •..,
формально удовлетворяющие соотношению
*) Для v=0, I получим:
с /о ч_1 °'125 i 0.0703125 0,07324219 0,1121521 0.2271С80 ,
6„Bг)=1 — + ? ? + jf—. i5— +..
с /о ч—t j0>375 0,1171875 . 0,10253906 0,1441956 , 0,2775764
£>,Bz)=I+ — ^ • + з г* 1 Zi ••

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
223
Тогда имеем:
г— ; ( —— — ^\
^'W88/!' * ""*'S,(—2te) (—n<args<2n),
/#>(*) ^j/J-* ^ * *'5vBfe) (—2л<аг£*<я),
ЛW* VI [cos (*-?-|) я,W-- («-?--?) <Ш]
(—n<argz<n),
".«* /I [- (*-т-т) *.<*>+«» (*-t-t) <H
(—n<arg2<ji).
Эти представления надо понимать в асимптотическом смысле; если оборвать
ряды .S'v, Pv, Qv после члена с z~m, то получим ошибку, абсолютная величина
которой меньше const-|z| -m_1 и которая, следовательно, стремится к нулю при
г\—>- ос. Отсюда следует, что в указанных выше областях справедливо
первое приближение
Если порядок v и аргумент z = x действительны и положительны, то ошибка,
получаемая при обрывании асимптотических рядов после л-го члена, по
абсолютной величине будет меньше первого отброшенного члена (и имеег для рядов
Р-,, Q* знак отброшенного члена), если только п выбрано таким, чтобы соот-
13 1
ветственно 2n>v ^ в Р„ 2n>v—у в Qv и n>v—~- в Sv . Следовательно,
в практических вычислениях имеет смысл продолжать ряды только до тех пор,
пока их члены убывают.
Чтобы уменьшить ошибку вычислений, получающуюся при обрывании ряда
перед членом с наименьшей абсолютной величиной, можно прибавить этот член,
умноженный на /= —+ 8 (е — малая величина). Более точные выражения для
множителей / даны Барнеттом*):
1) z = re"*, /и—1</-</и + 1, т—целое, г^/и+V, — 4<«р f %;'•
2) z = iy, m—1<2_у<;да+ 1, т—целое, 2у = т-\-1;
. _3 ± Р
1 1 -4-2t 8 4 2
^т+т^ т—+--* для 5*Bj,)-
*) D. Burnett, Proc. Cambridge Philos. Soc. т. 26 A930), стр. f45—151.

>$24
XUI. ФУНКЦИИ, 5ЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Эти же множители/в удобной форме нэйденыЭри*) ^х, у целые, и=1
/^■giTY+T" ~~Т"Н •*• Для р.(*),
^=T^^t4H'T"TH4--- дляРги>,
/=4+^-l^+4-w'+f f-T°e---для -w).
/=4- + ^+|«s-4«'-|«4... для 5,B^).
Если х, у—не целые, то множители/из этих формул можно получить
интерполированием
4.2. Ряды Ле^ая дают чсимптотические представления бесселевых
функций для больших значений порядк > или ар!ументч. В следую цих выражениях
пусть v везде будет положительной яействительной величиной.
Через ©(то) обозначим формально построенный ряд
П?/ \_i_l1/'1 5v2\ 1-3/ 3 77v2 385v4\
1-3-5 I 5 1521v* 17017-И 17017v*\
• 3-5 I 5
8" ^2tw"
50tw5 T 270tw7 486tw* У
sr 1 +
Если m-й член этого ряда записать в форме
l-3...Bm— !)■£, r (lv\tn
(8ш)/я £0 *• n\W J '
то имеется рекуррентная формула
^o, о = ' > ^m, -1 —('т, т+л ==s">
gM+„ ,+, =Bm + lHUl) tBfe-3)C"- . + Bfe+ 1)C., ,+l], ft = m + 2/z+2.
В практических вычислениях следующие ряды должны быть оборваны на
том месте, начиная с которого их члены перестают убывать.
а) Пусть аргумент z = x положителен, действителен и меньше, чем
порядок v. Если положить
s*~y*—x\ и=— A + Arth^- = ^j + g^+...,
то npnl<^s-<v, v*<^s* (практически может быть s>6, s>2, 5v*'')
*) J. R. Airey, Arch. Math. Phys., т. 20 A913), стр 240—244; i. 32A914),
стр. 213^-226."-' .4i. л

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
225
Ь) Пусть аргумент z = x положителен, действителен и больше, чем
порядок v. Если положить
si=x1-v\ Ф = 5—varctg-i—-£-, (S(is) = %(s) — i(S,{s),
то получим для 1 <* s, V2 <^ s*
у ys 'J* № =*©,(*) cos ф + ©j {s) sin ф,
у -f-s*^v (■*) == ©, (*)sin<p — ©2(s) соэф.
t/;*/
44
0,J
0,2
0,1
|| \
^
v
V
1
V
1
'
<""
/ л
"~-^L
u
r*
I'
v>>
*3
)
10
20
30
40
SO
Рис. 122. Функции Бесселя и Неймана при х=\ и x=v + l.
c) Пусть аргумент Z = iy чисто мнимый и у > 0. Если положить
s* = v2+y, и=~arctg у,
то получим для l<^s, v2<^s*
. таг у (V+D я
d) Пусть аргумент z=re* , где г > 0. Если положить;
s*=v* + r*, cos 2a= v2/s2, откуда г2 = v2 tg 2a = s* sin 2а,
cos2p=tga= |/J^I, gd2a = 2p, откуда a^ = cos2p,
a = ch2a—a, © = ctg 2|3-f-J3 — л,; 2

226 ХШ. ФУНКЦИИ БКССКЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
(и=0 при а= 1,0327 и v=0 при 0=0,3415), то получим для \<^s, v'-^s'
Yt>
\Z,(re' )
±VU + i
(т-)
®(±se"°).
[i^irg* )j
Лпяг<2\ имеем Z,= 27v, для г > 2v имеем Zv = H1^ =^ 2yv.
Если аргумент г мало отличается от порядка v, в частности, если z~x
действите-ч им и \х—v| сравнимо с v1'», то указанные выше приближения
0,15
0,10
0JM
X Л"'-
S Л-
V- ^ - >
д: \__.
д _^_.
^ S
5: :::!
л
s
\
S
- ^ ScVr
" >•. &■'
' ' Щи __..
"'■^
' "
f0 50 100 500 WOO
Рис. 123. Функции Бесселя при х=\ и a = v + 1 для больших значений v.
5000 10000
непригодны. Для случая \х—v|/v''«<^l Дебай дал другие представления. При
jc=v|>1 имеем (рис. 122, 123):
иО/ ч Т"Г '0.8946146368 / . 1 \ , *Щ-Ю
,0117385770 / 1213 \
,Б/. \ 141
I625v»;
. 0,4473073184/ л 1_ \ 0,0058f92885 ( , 1213 ^
J*{y) "* JU \1 225vV v5', \l I4tebv<)>
., , . 0,7747590021 ( л 1 \ . 0,0101659059 / , 1213 \
-"Л-*\=* ^ [1~Ш?) + ^ I1—iT625^j-
Так же получаем *) приближенные выражения для производных по аргументу z:
0,8217003878 / . 23 \ ±^0,1789229274/^ 947 \
VN V ^ 315UV2)+ е v', V 69 300v*) '
\ 0,0894614637 /
ГУ
Ж' (V)
я.,
9 *
/ . . 0,4108501939/ , ,
Л (v) ^= i ( 1 4
V ' \
23
3l5dv2
947 \
69 300v*J '
./ . . 0,7116134100/ л . 23 \ , 0,1549518004/, 947 \
AW* тй { l+Jiso?) + ^ A-ШШ?)-
*) Более подробно см. F. Emde, Z. Angew. Math. Mech., т. 17 A937), стр. 324—340;
т. 19A939), стр.' 101—118; P. Beckmann und W. Franz, там же, т. 37 A957),
стр. 17—27.

А. ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
227
4.3. Формулы Никольсона дают хорошие приближения для целого порядка
v=/j^>1 и положительного аргумента х при условии
|*-у| _
1, а также для
больших и произвольно малых \х—v|. Если положим (рис. 124, 125)
J « (*)±А (*)=■
у з^(х}' т
(где ф действительно), то получим*)
Jn{x)^= 1Y-e^B(n—х)е), где е = у |/ ^ '-, для л > .*,
У„ (*) =5= е© B (*—л)е),
-Nft(*)=;=e3}B(*—я)е),
где е;
, для je > л.
4.4. Формулы Ватсона дают хорошие приближения для произвольного
порядка v ^> 1 и положительного аргумента х в той же области, что и
формулы Никольсона, но справедливы без ограничений на величину \х — v|.
Употребляя те же обозначения, что и в 4.3, получим для х < v
УД*)^—рЦе^ф^та/М , r^e w= у \—^-, t|>= \\w +y — Arthwj
С Ошибкой, ие ПревОСХОДЯЩеЙ _ gVW-Artlm». „ для х>у/
© ( jw*j совф + З) (yw*J sia(¥
/i1)W*-f[e(-J«')Te)(i^)]«**se^«±(,'+T-)/ip)(^«'),
где «/ = l/*2/v*—!• <P=v (*»—w*/3 — aatgw), с ошибкой^24/v.
4.5. Формулы Лангера дают при произвольном v^>l асимптотическое
представление, которое выполняется равномерно в интервале 0<д;<.оо.
Употребляя те же обозначения, что и в 4.3, и положив
[ ©* (X), vnt m
I_l(x)±lL(x)= | 1^/335.^ где !ч(х)=е~* У,(в* х),
получим для х< v
У, {Х)Ъ:±УХ Ф* (VW%), — Ыч (X) «= VH ©* (V«d),
«я я
/#' (*) ^1/le"' V,2)(в"=ЧшЛ),
где
и;
ArthW-l = ^- + ^+^! + ...,
*) См. также W. Schbbe, Acta math., т. 92 A954J, стр. 265—307.

228 XIII ФУНКЦИИ ВЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
V / /
$ _J 2
fy\ V /_ *£-*>
/Is. J /
/| у ys> ^Ч У
\^*\ /» ^-г./ л '
l/ 1/U X ^^р"ч<'> Z
/ $Y \V 2 "f /^\ ^\\?Ч "d-/*-"-^^
/?/ У\ 11 \ ' / / s Л N?*/ /j К
1 1 \ AY? \/ _/j j V^*^"^^-^ 'С' / ч
1__1^ч\х>|^^^" 7 /
л, / / -,*^"^ / /
ол VI *-* f- -£
Р/ t 1
4W + 4V /
42T -v^t ^
,-чг Z r
w-f^ j- f
1 &Г 2
4 + 4- - -v
J v Z
_,Л £ ^
/50*
90'
'0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Рис 124 Функции Бесселя / 1 (x), N , (л:), Hl? (x)=h, e*
-№*
i," ■ ■ к
д:
J t
„:-4z=z~;t*
05 A t \j-
ь -J Д J
Ik-/ -V V-
t t ' I %
о X A 4 ' V-
3 4 7 3 X
J l_ t 7 Л
JT V h Г
V \j i
05 А К J~
j t\t
V^lA-S^^
in _.. .1 ... .,
■ ' -
v ,.J> k
\ _/ \,П±
v 7 vC \
Л _/ £ V \
± 1 J ^ \
A I t V
r- V-/^ ^ ^
^ Y V ±
V Zv / ^
^ -^
1 :£_
0 / ^ 3 4 5 5 7 5 9 10 11 12 13 14 15
Рис. 125. Функции ©=/ j (x) + /j (x) йХ=/<-' , (x) — Jt {.x)).

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО. 2-ГО И 3-ГО РОДА
229
И ДЛЯ X > V
У, {х) « j/4~ © (v«/fi), —\\ (х, %}/£-© (v«;n),
где
w
= j/"£_l, ^ = 1 —
ar аг
■aictg« = -3- Г + 
Ошибка будет порядка
v j/v
5. Нули
5.1. Нули бесселевых функций, за исключением может быть г = 0. все
простые.
Функчия У, (г) имеет для произвольного действительного порядка v
бесконечно много действительных нулей, которые расположены симметрично
^> W
«о
i
* 3
,. 8
4
^^
^ ^
*,
^
*
\
л
уы
%,
*\
]„
1
* ж**
Г о-в
JvA^j-^'
h
J*
v-5.
r-1
£l
-Г
Я?
tf
-»- V
Рис. 126. Нули l^g функций J^(x): величина ]4tS—v как
функция v.
относительно 2 = 0. Положительные нули, расположенные в порядке
возрастания, обозначают через
У», 1' /», а' • ■ • > /», s> • • *
Для v>—1 все нули будут действителыш (рис. 126—128, таблицы 48—51).

230 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Бесконечную последовательность положительных нулей функций J'v(z),
расположенных в порядке возрастания, обозначают
Л\ 1' Л\ а> • ■ •' Л\ s'
Для v>0 имеем y0jl >y^ j> v. Если v>—1 и а, Ь, с, d—действительные
числа, причем ad — ЬсфЬ, то положительные нули функций aj4 (z)-\-bzfv (z)
Я 40 60 SO №
> V
Рис. 127. Нули ]\>s функций /,(*): величина /„,, —v как
функция v.
и с/, (z) + dzfv (z) разделяют друг друга. При v>—1 положительные нули
функций 7VB) и У„+1 (z) также разделяют друг д| уга.
Для действительного v действительная функция Л/,(дг) имеет бесконечно
много положительных нулей, которые, будучи расположены в порядке
возрастания, обозначаются через
Уч, i> .У», *> • • *' -Vv, s>
(рис. 129). Положительные нули функций N^<x) и Nv+1(x) разделяют друг
друга. Далее имеем /,,, >Л, i >Л. г Для Действительного v и
действительных а, Ь, с, d (ad — ЬсфО) положительные нули функций aJ^(z) + bN^(z) и
cJ4(z) + dN,{z) разделяют друг друга.

А. ФУНКЦИИ БЬССХЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
231
Рис. 128. Нули /„^ функций /„(дг): величина J4tS — v как функция v.
4
3
2
1
У
/Л
s
•
%
**"^
***\
** \
1
V
1
1
У
3
T
^!U
^
'Т.Л
№f^
1 ..-&.
v£
Ц
f
^Л!
5
Уис. 129. Нули y^ функций Afv(je): величина y^—v как функция v.

232
ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 48. Нули/,, s функции Ja(x) и соответствующие значения функции У, (х)
• 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
U
15
16
17
18
19
20
io.i
2.4048
S.S201
8.6S37
11.7915
14.9309
18.0711
21.2116
24.3525
27.4935
30.6346
33.7758
36.9171
40.0584
43.1998
46.3412
49.4826
52.6241
55.7655
58.9070
I 62.0485
h Uo.s>
+ 0.5191
— 0.3403
+ P.271S
- 0.2325
+ 0.2065
— 0.1877
+ 0.1733
— 0.1617
+ 0.1522
— 0.1442
+ 0.1373
— 0.1313
+ 0.1261
- 0.121*
+ 0.1172
— 0.113*
+ 0.1100
— 0.10*8
+ 0.1040
— 0.1013
I
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38 -
39
| 40
/0.5
65.1900
. 68.3315
71.4730
74.61*5
77.7560
80.8976
84.0391
87.1806
90.3222
93.4637
96.6053
99.7468
102.8884
106.0299
109.1Л5
112.3131
115.4546
118.5962
121.7377
I 124.8793
h 0o.«) j
+ 0.09882
— 0.09652
+ 0.09438
— 0.09237
+ 0.09049
— 0.08871
+ 0.08704
— 0.085*5
+ 0.08395
-0.08253
+ 0.08118
— 0.07989
+ 0.07866
— 0 07749
+ 0.07636
— 0.07529
+ 0.07*26
— 0.07327
+ 0.072Э2
— 0.07140
s
41
42
43
44
45
46
47
48
49
SO
51
52
S3
S4
SS
56
S7
58
59
60
'0.» j
128.0209 |
131.1624
1Э4.3040
137.4456
140.S872
143.7287
146.8703
150.0119
1S3.1S3S
1S6.29S0
159.4366
162.5782
165 7198
168.8613
172.0029
17S.1445
178.2861
181.4277
184.5692
187.7108
'1<W
+ 0.07052
— 0.06967
+ 0.06885
— 0.06806
+ 0.06729
-0.066SS
+ 0.0658*
— 0.06514
+ 0.064*7
— 0.08382
+ 0.86319
— 0.06258
+ 0.06198
— 0.06140
+ 0.06084
— 0.06029
+ 0.05976
- 0.05924
+ 0.0587Э
— 0.0S824
Таблица 49. Нули /, „ функции J,(X) н экстремумы функции J„(X)
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
/l.s
3.8317
7.0156
10,1735
13.3237
16.4706
19.6159
22,7601
25.9037
29.0468
S2.t897
35,3323
38,4748
41,6171
44.7593
47,9015
51,0435
54,1856
57.3275
60.4695
63.6114
J° <*.*>= ~
— 0,4028
+ 0,3001
— 0,2497
+ 0.2184
- 0.1965
+ 0.1801
— 0.1672
+ 0.1S67
— 0,1480
+ 0.1406
— 0.1342
+ 0,1286
— 0.1237
+ 0.1192
— 0,1153
+ 0.1И7
— 0,1084
+ 0.1054
—0,1026
+ 0,1000
I
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
'l.s
66.7532
69.8951
73.0369
76.1787
79,3205
82.4623
85.6040
88.7458
91,8875
95,0292
98.1710
101.3127
104.45*4
107.5961
110,7378
113.8794
117.0211
120.1628
123.3045
126.4461
v ■ max
— 0.09765
+ 0.09543
— 0.09336
+ 0,09141
— 0.08958
+ 0.08786
— 0.08623
+ 0.08469
— 0,08323
+ 0,08185
- 0.08053
+ 0.07927
— 0.07807
+ 0.07692
— 0.07582
+ 0.07477
— 0.07376
+ 0.07279
— 0,07185
+ 0.07095
s
41
42
43
44
45
46
47
48
49
SO
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
h.s
129.5878
132.7295
135.8711
139.0128
142.1544
145.2961
148.4377
151.5794
154.7210
157.8627
161.0043
164.1459
167,2876
170.4292
173.5708
176.7125
179,8541
182,9957
186,1374
189,2790
v • max
— 0.07009
+ 0.06926
— 0.06845
+ 0.06767
— 0.06692
+ 0.06619
— 0.06549
+ 0.06481
— 0.06414
+ 0.06350
— 0,06288
+ 0,06228
— 0.06169
+ 0,06112
— 0,06056
+ 0.06002
- 0,05949
+ 0.05898
— 0,05848
+ 0,05799
1 я б л и ц а 50. Нули /„ а функций Jn (х)
S
1
2
3
4
5
6
7
*
9
п = 0
2.405
5.520
8.654
11.792
14.931
18.071
21,212
24.352
27,493
П&1
3.832
7.016
10.173
13.324
16.471
19.616
22.760
25.904
29,047
л = 2
5,136
8.417
11.620
14.796
17,960
21.117
24.270
27,421
30.569
п = 3
6,380
9.761
13.015
16.223
19.409
22.583
25.748
28.908
32.065
л = 4
7,588
11.065
14.373
17.616
20.827
24.019
27,199
30.371
33.537
л= S
8.771
12.339
15.700
18.980
22.218
25.430
28.627
31.812
34.98»

А. ФУНКЦИИ ЬЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
233
Таблица 51. Два первых нуля /^, иу"^, функций J4(x)
/о
j'.i
1:1
.1
+ 1S6
1S7
156
1S6
1S6
+ 1SS
1SS
1S6
1SS
1SS
+ is*
1SS
1S4
1SS
1S4
+ is*
1S3
15*
1S3
1S4
+ 1S3
1S3
1S2
1S3
1S3
+ 1S2
1S3
1S2
1S2
1S2
■f «2
1S1
152
1S1
1S1
+ 1S1
151
1S1
1S1
1S0
+ 1S0
1S1
1S0
1S0
1S0
+ 1S0
149
1S0
149
1S0
•I
0,50
51
52
S3
s*
0.55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
0.65
66
67
68
69
0.70
71
72
73
74
0.75
76
77
78
79
0.80
81
82
83
84
0.85
86
87
88
89
0.90
91
92
93
94
0.95
96
97
98
99
1,00
/'.1
I: г
/».i
1,
5708 H
5892
6076
6258
6439
6620 H
6800
6979
7157
733Э
7509 ц
7684
7859
8033
8206
8378 ^
8S49
8720
8890
9059
9228
9396
9563
9731
9897
1*0063H
0228
0393
0557
0720
0883 H
1045
1207
1369
1530
1690
1851
2010
2169
2328
2486
2644
2801
2959
3115
3272 H
3428
3583
3739
3893
40(8
2,
*.
712*
7291
7458
7624
7791
7958
8124
8289
8455
8620
8785
8949
»"* ,64
9278 Чб4
+ 167
167
166
167
167
+ 166
16S
166
US
16S
+ 164
16S
9442
9606
9769
9932
'0095
0258
0421
0583
0746
0907
1068
1230
1391
1S52
1713
1874
2034
2194
2354
2514
2673
2833
2992
3151
3310
3469
164
+ 163
163
163
163
163
+ 162
163
161
161
162
+ 161
161
161
161
160
+ 160
160
160
1S9
160
+ 1S9
1S9
1S9
1S9
1S8
3627
3785
3943
4101
4258
+ 1S8
158
1S8
1S7
1S8
M16+157
4573 1J7
4730 157
4887 157
SO** 156
5200
$.
0.00
01
02
03
04
0,05
06
07
08
09
0.10
11
12
13
14
0.15
16
17
18
19
0.20
21
22
23
24
0.25
26
27
28
29
0.30
31
32
33
34
0.35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
0.45
46
47
48
49
0,50
2.
4048
4202
4356
4510
4663
4815
4968
5120
5272
5423
5574
5725
5876
6026
6176
6326
647 S
6625
6773
6922
7070
7218
7366
7S14
7662
7809
7955
8102
8248
8395
8541
8687
8832
8978
9122
9267
9412
9556
9700
9844
9988
*0132
0275
0418
0561
0704
0847
0990
1132
, f274
1416
J.
+ 154
154
154
1S3
1S2
+ 1S3
1S2
1S2
1S1
1S1
+ 1S1
1S1
1S0
1S0
1S0
+ 149
1S0
148
149
148
+ 148
148
148
148
147
+ 146
147
146
147
146
+ 146
14S
146
144
14S
+ US
144
144
144
144
+ 144
143
143
143
143
+ 143
143
142
142
142
$,
5200
5356
5513
5669
5825
5981
6136
6291
6447
6602
6757
6911
7066
7220
7375
7529
7683
7836
7990
8143
8297
8450
8603
8755
8908
9061
9213
9366
9518
9670
9822
9974
*0125
0277
0428
0579
0730
0881
1032
11«3
1333
1483
1634
1784
1934
2084
2234
2383
2533
2682
2832
3,
1416
1558
1699
1841
1982
2123
2263
2404
2544
2684
2825
2965
3105
3245
3385
3524
3663
3802
3941
4080
4219
4358
4496
4634
4772
4910
5048
5185
5323
5460
5597
5734
5871
6008
6145
6282
6419
6555
6691
6827
6963
7099
7234
7370
7505
7641
7776
7911
8047
8181
8317
J,
+ 142
141
142
141
141
+ 140
141
140
140
141
+ 140
140
140
140
139
+ 139
139
139
139
139
+ 139
138
138
118
138
138
137
138
137
137
+ 137
137
137
137
137
+ 137
136
136
136
136
+ 136
13S
136
13S
136
+ 13S
13S
136
134
136
6,
2832
2981
3130
3278
3427
3576
3724
3873
4021
4170
4318
4466
4614
4762
4909
5057
5204
5351
5498
5646
5793
5940
6087
'233
6330
6536
6672
6819
6965
7111
7257
7403
7548
7694
7839
798S
8130
8275
8421
8566
8711
8856
9001
9145
9290
9435
9579
9723
9867
♦0011
0156
7.
+ 149
149
148
149
149
+ 148
149
148
149
148
+ 148
148
148
147
148
+ 147
147
147
148
147
+ 147
147
146
147
146
+ 146
147
146
146
146
-) 146
14S
146
US
146
+ us
US
146
US
14S
1,00
01
02
03
04
1.05
06
07
08
09
1.10
11
12
13
14
1.15
16
17
18
19
1.20
21
22
23
24
1.25
26
27
28
29
1.30
31
32
33
34
1.3S
36
37
38
39
+ 14S
US
144
US
145
+ 144
144
144
144
US
1.40
41
42
43
44
1.45
46
47
48
49
1.50
3.
8317
8452
8587
8721
8856
8990+134
9124 m
9258
9392
9526
+ 135
13S
134
135-
134
134
134
134
9660
9794
9927
*0061
0194
0327
0460
059Э
0726
0859
0992
1125
1257
1390
1522
1655
1787
1919
2051
2183
2315
2446
2578
2710
2841
2972
3104
3235
3366
3497
3628
3759
3890
4021
4152
4282
4413
4543
4673
4804
4934
+ 134
133
114,
13»
133
+ 133
133
131
133
133
+1»
132
1ЭЭ
132
133
+ 132
132
132
132
132
+ 131
132
132
131
131
+ 132
Л31
131
131
131
+ 131
131
131
131
130
+ 131
130
130-
131
130-

234
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
5.2. Для большого s положительные нули jcVi s функции
Z„ (x) = У„ (х) cos a—N„ {x) sin а
допускают асимптотическое представление
x*,s^$
8р
ч
1 +
р,
2Р,
Р,
3DР)8^ 15DРL^ 105 DР)
-,+ ■■■),
где n = 4v*. p = (v— l/2+2s)n/2 — а, Р, = 7ц—31, Р2== 83ц2 —982ц + 3779,
-Р,==6949ц*—153 855ц2+ 1 583 743ц —6 277 237. В частности,
Jo, .
S —
1 0,050661 0,053041 0,252051
4s—1 D*—IK ' Di — l)s
_1_ . __ J 0,151982 0,015399 0,245270
л A. s~s + 4 4s + l ~*~Ds + lK Ds + l)s + '
30
25
20
15
to
1
— -_„~-!S-
_
—, 1— _!E_i|J-L
1
^.-^
--■^sS —-Sgs
i P S ■ i ^* ■" B ffi "
-
■
N/Ш-
■>, , \'i
"h
^
-__.„ 7 ,<:
At/ n^?
'\-:z:^~Y'.\
''.'''.'• -^2 ^ *"
:S = = :
1/ •
г
/-"'
._::::■ z::::
r
1
t --.
1
1
7 __,_.
- -J/ . -
V 1
■ /=zz:,::
-./. <£ Д.
? 7 V ' :
'_... Z_/Л_.
/ //v>/
'. \\\\*2жг_~'::.
.--,;.
У у'
. ....
г з 4 5 to
50 100
500 WOO
5000
Рис. 130. Нули функций Бесселя /,(*) высокого порядка.
Для положительных нулей x"v 6 функции Z'v(x) при больших s получается
представление
ц + 3 <?, <?2
a\,.,=^y-
сде
8у 6DY)* 15Dy)s"
H=4v2, Y=(v+-|-+2*)-j-— a,
Q, = 7ц2 +82ц—9, Qi== 83ц* + 2075ц2—3039ц + 3537.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 235
5.3. Для первых положительных нулей функции /„(л:) при большом порядке
v^>l имеем приближенные выражения (рис. 130—133):
L JL _±
Л, , = v-f-1,855757V 4-l,03315v~« — 0,00403V-1— 0,09083v • +
7
+ 0,0448v
/», s = v + 3,2447vT + 3,1584v "T ..., y„, ,=*= v +4,3817v7 + 5,7598v~T ...
Так же получаем асимптотические представления для первых положительных
нулей /_»,, функций У_,(а;), порядок которых v = n ■+ -^^>]:
1 1
i y_VI = v-f-0,951v7 + 0,271v » ...,
-L _L J. -JL
/_v i==v-f-2,596v«+2,022v"«, . .., /_„ , s» v + 3,834v« +4,410v • ...
not —
^
4"
Qf*%
J)f/i
n
"s;^
>. \
4 V
:s
^
>J
\"
S -s-
""" *-£ "jnN"
4--^ :
>:
^-j—
4. "^
v
."ytTf}
Г tl >
r л л
r\ ^
os:^Uv _...
»:\ \ \
_^ :^
/7/71
fe ГЛ/%
Ж-**
V
^N^
V^ |\
gljj.j^l
\
\
\
"Й"
^wt
7Г11>та
ш ды
^"^"■-s
§Si--,
w го зо
100
500 WOO
5000 1000O
—9~V
Рис. 131. Экстремальные значения функций Бесселя J,,(x) высокого порядка.
Для наименьшего положительного нуля функции J'v (x) получим при v ^> 1
1
Л. i =5=v + 0,808618vT4-...
8 точке у" функция Jv(x) HMeef максимум.
Дл1 наименьшего положительного нуля функции N^{x) получим ьри v^> l
1 1
У», t~ v+0,931577v» -f-0,26035v »+...
5.4. Для л=1, 2, ... имеем:
где 0<ев<11, я для больших я
, „ 0,03944
8„ = 1 —6 jr- .
" FЛ— 1)'»

2Й6
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
020
an
шо
аиз
\ \
\
\
\
V
О
\\
^
>
i
\\
Л\/
V </*
4 А/
ч >ЛХ
\\^
3~
4 г~
J
\'s
SS --
^§Д
5i
-~4а
__.£
^:_zq
~7<?*'
3
\
Л
Л /
К- /
=\Л
? *>
1; -Ч?
1
tt___..
^ "
-g-"t
_
£-
'
.
1
£
v ■■
4 5 Iff
50 70tJ
5Ю WOO
5Ш
—~>
Ряс. 132. Модуль производной в нулях функций Бесселя J4(x) высокого
порядка.
40
J0
20
10
п
0,0
OS
0,00/
II
J,w
— •._.>-
■ г
1
ь-
S"
___,/
-Л
*1 ;
| , X-V
V—Ь*
w
\
\
U ---
\
\,'~.
~*1'W
—l,s
~"\у
/
'
/
/
/
.
40
SO 100
500 1000
5000
Рис. 133. Первые кории уравнений /„(*) = 0,001 и /„(*) = 0,005
при больших значениях v.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
ш
5,0
\s
3,5
3,0
2,5
2.0,
л
«Й
/,
^
/
-*
Л:
^
<'t
v=
т
?
1>
=/
;■*
^
_Е
0 12 3 4 5
6 ? 8 9 /0 It
Рис. 134. Первый корень xNI уравнения jfhj = N ,^'
величина (& — l)*„,i как функция k.
V
го
15
W
05
1
1
o,t
J
/
4
/
'
i
0
^•l
2
A,
ЧЛ#
/ \
03
/
V
A
LA)
Ac
0,4
/
$
w
\ ,
V
/<#
A
it^i
>/
0.5
'~
~1
7~
7
/>
#v
/*
/
j
/
A
//
/
7
>^
^
,47
/
7
/
7
/
/
'
&
<z=/7
/
/
i
A8
/
'
OS
/.0
■
ca
«
2$
zo
/.5
W
0 0,1 02 02 OA 05 0£ 0,7 0,8 03 W
05
Рис. 1&. Первый лорень *„ , = ,-^A + <x) уравнения тг^гт= »'(,*,*1 .
к— 1 /Vv (л) /Va (йд.)

238
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
ив
«
V
/,J
иг
1,1
(.0
0,9
0,8
0,7
0,6
г-77
--2
\л=/
^
п-
Is
•s-
0,5
1,0
0.S
0,0
— /Г
t,w
1,03
1,08
1,07
1,08
1,03
1,09
1,03
7,02
1,01
6
[
\
л
V
\
\
-
,6Ы
V
и
—
J
,3
л
\п-г
2
0
3
'
о,
*
4
—э
-^
— л
л—0.5
Рис. 136 и 137. Периые шесть корней х„ =я ' A +а)
уравнения
N„ М Л/, {kx) ■

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
23»
?
1,010
0,5 0,6 07 0,8 0,9 1.0
4,005
1,000
0,935
0,Щ
~~
\
<
>
^
У
1
<v*
<->
А
1
'
I
1
1
х
1
1
/
^
j-
&*
N
ff
Ч
—
0.5 0,6 0,7 0,8 0.3 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
t
К
0J95
0,330
0.S85
~п
— ~~ /7-6
— —. 1—^ ~7~~"~-J
"""^""■-х ""* """■*■•• =». *4i"v4_
"^^■^ "^s^ ^S^
"^^=5. *""V"'^, ^^ ^
""^"^ ^Ч '"^ "^Чг-
^"^ч^ S ^ \
^^ Ч Ч V
^4: ^-Д
S, Л X J
S, ч W~-
*\ >. чГ
S X А
S \ -■- ^ 3
5 V \
\п~г >. д 1
5 X ^
S \ ^
5> _S L.
as
W
03
02
0,1
я—0,5,
Рис. 138 и 139. Первые шесть корней х„ = я -^—j- A+а)
J0{X) J,lk*-)
уравнения ., , = .-г—г—. •
3V N„(x) Л', {kx)

240
XIII ФУНКЦИИ ВРССРЛЯ (НИЛИНДРИЧРСКИР ФУНКЦИИ)
в -of. -0,4 -as -at -1.0 -о.а -o.s -a* -oj о
0,4 as oj iji as as цф & е
Рис. 140. Функция, обратная к
в -ог -о,4 -0.6 -as -tj -о.а -as -о,* ~ол о eg a* as aa i.o o# o,s ел ej в
Ч» Jo Л N.
Рис 141, Функция, обратная к

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
241
О -0.2 -O.i -Ц6 -0.8 -1.0 -0.8 -0,8 -0.4 0J О 0.2 0.4 0.S 0.8 1.0 0.8 в# 0.4 0J О
*, N. N6 N,
Рис. 142. Функция, обратная к
0 -<7,г -0,4 -0.# -^ -;.<7 -Д.* -OS -0.4 -0*2 О 0.2 ОЛ 0,6 0.8 1.0 0.8 0,6 0,4 0,2 О
-' ■*- -*- -> ' 1> 1>
Ni Ji J, *~>V,
Рис. 143. Функция, обратная к

242
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
5.5. Для корней xVi s уравнений
J Л*) _J.(kx) J0(x) _7,(fat)
(рис. 134—143) составлена*) таблица 52. Величины (k — l)x,if, содержащиеся
в таблице, совпадают с величинами (г2—'",)т1) s, где т„>$—корни уравнения
Л (',*) *Ч С,т) —Л (г,т) Л/, (г,т) = О,
причем —z-=k.
Таблица 52. Первые шесть корней х„, s уравнения
J (x\N (kx) — J {kx)N (jr)='o
к
1.2
1.S
2.0
1Д
1.5
2.0
1.2
1.S
2Л
1Д
1.S
2.0
1Д
1.S
2.0
1.2
1.S
10
*г.1
15.7014
6.2702
3.1230
15.7080
6.2832
3.1416
15.7277
6,3219
3.1966
15.7607
6,3858
3,2860
15.8066
6.4742
3.4069
15.8655
6.5861
3.5558
*.А
31,4126
12.SS98
6,2736
31/159
12.5666
6.2832
31.4259
12,5861
6,3123
31.4424
12.6190
6.3607
31/656
12.6648
6/278
31.4953
12.7235
6.5131
х,з
47.1217
18.8451
9.4182
47,1239
18,8496
9,4248
47.1305
18,8628
9,4445
47,1616
18,8848
9,4772
«7.1570
18.9156
9.5229
47.1769
18.9551
9.5813
\t
62,8302
25.1294
12,5614
62,8319
25.1327
12.5664
62.8368
25.1427
12.5812
62,8451
25.1592
12.6059
62.8567
25.1823
12.6404
62.8716
25.2121
12.6846
х..5
78,5385
31.4133
15.7040
78,5398
31.415?
15.7080
78,5438
31.4239
15,7199
78.5504
31.4371
15.7397
78.5597
31.4556
15.7673
78.5716
31.4795
15,8029
*..<.
943467
37.6969
18.8462
94.2478
37,6991
18.8496
94.2511
37.7057
18.8595
94,2566
37.7168
18.8760
94,2644
37.7322
18.8991
94Д743
37,7521
18,9288
У
] i> = 0
|» = 1/2
)...
}» = У2
I-
|»=5/2
к
1.2
1.5
2.0
со
1.2
1.5
2.0
со
1Д
1.5
2.0
со
1Д
1.5
2.0
со
1Д
1.5
2,0
оо
1.2
1.5
2.0
оо
(*-1)"..i
3.1403
3.1351
3.1230
2/048
3.1416
3.1416
3.1416
3,1416
3.1455
3.1609
3.1966
3.8317
3.1521
3,1929
3.2860
4/934
3,1613
3.2371
3/069
5.1356
3.1731
3.2931
3.5558
5.7635
(*-1)*,.2
6.282S
6.2799
6.2734
5.5201
6.2832
6.2832
6.2832
6,2832
6.2852
6.2931
6.3123
7.0156
6,2885
6.3095
6.3607
7.7253
6,2931
63324
6/278
8/172'
6.2991
6.3618
6.5131
9,0950
(*-1>**э
9/243
9,4226
9.4182
8.6537
9.4248
9,4248
9,4248
9/248
9/261
9,4314
9,4445
10.1735
9.4283
'9,4424
9/772
10.9041
9/314
9/578
9.5229
11/198
9/354
9.4776
9,5813
12.3229
(*-1)*..4
12.5660
12.5647
12,5614
11.7915
12.5664
12,5664
12,5664
12.5664
12,5674
12.5713
12.5812
13.3237<
12,5690
12.5796
T2.60S9
14,0662
12,5713
12.5912
12.6404
14.7960
12.5743
12.6060
12.6846
15.5146
(*-1>*. 5
15.7077
15.7066
15.7040
14.9309
15.7080 -
15.7080
15.7080
15.7080
15,7088
15,7119
15 7199
16.4706
15.7101
15,7186
15,7397
17.2208
15.7119
15.7278
15.7673
17.9598
15.7143
15.7397
15.8029
18.6890
(*-1)*,.»
18,8493
18,8485
18.8462
18.0711
18.8496
18.8496
18,8496
18.8496
18.8502
18,8529
18,8595
19,6159
18,8513
18,8584
18.8760
20,3713
18.8529
18,8661
18,8991
21,1170
18,8549
18,8760
18.9288
21.8539
У
'
,
у
,
ч
,
»
,
V «з 0
г ш1Д
у = t
v — ЗД
г
I ,
|» = 2
J
\
\ СП
}»-5/2
,
*) См., например, А. N. Low an and A. Hillman, J. Math. Physics, т. 22
A943), стр 208—209; S. Chandrasekhar and D. Elbert, Proc. Cambridge
Philos Soc. т. 50 A954V сто. 266—268.

А. ФУНКЦИИ БЕССЕ.ЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА
243
Продолжение табл. 52
к
1,0
1
2
3
4
1.5
6
7
в
9
2.0
2JS
3.0
зд
4.0
4.5
5.0
1.0
1
2
3
4
1.5
6
Т
в
9
2.0
W
3.»
(*-1)'.,1
3.1416
3.1412
3.1403
3.138?
3.13Л
3.1351
3.1329
3,1306
3.1281
3,1256
3.1230
3.110
3.097
3.085
3.073
3.063
3.053
3.1416
3.1427
3.1455
3.1498
3.1550
3.1609
3.167S
3.1744
3.1816
3.1890
3.1966
3.235
3.271
№-1)V2
6.2832
6.2830
6.2825
6.2818
6.2809
6.2799
6.2787
6.2775
6.2762
6.2748
6.2734
6.266
6.2S8
6.2S0
6.243
6.235
6,228
6.2832
6.2837
6.28S2
6.2873
6.2900
6Д931
6.2965
6.3002
6.3041
6.30В1
6.3123
6.335
6.358
№-1)*.,»
9.4248
9.4247
9.4243
9.4239
9.4233
9.4226
9.4218
9,4210
94201
9,4192
9.4182
9413
9.408
9,402
9,397
9.391
9.386
9,4248
9.4251
9,4261
9427S
9.4293
9,4314
94337
9.4362
94388
94416
9.444S
9.460
9476
(*-1)*..«
12.5664
12.5663
12.5660
12.5657
12.5652
115*47
12.5641
12.5635
12.5628
12,5621
12.5614
12.558
12.553
12.549
12.545
12.540
12.536
12.5664
12.5666
12.5674
1X5684
12.5698
12.S713
12J731
12.S749
12.5769
12.5790
12.5812
12.593
12405
1»
» = 0
» = 1
(*-1)х..1
к
1.2
1.S
10
11
19
39
оо
»-0
3.1416
3.1403
3.1351
3.1230
3.097
3,073
3,053
3.035
3.019
3.006
2.994
2.983
2.973
2.92
2.85
24048
»-'/.
3,1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
1.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
3.1416
г-1
3.1416
3.1455
3.1609
3.1966
ЗД71
3.336
3.389
3432
3468
3499
3.525
3.547
3.566
3.66
3.74
3.8317
»-*/.
3.1416
3.1521
3.1929
ЗД860
3474
3429
3J49
3.844
3.918
3.979
4.029
4.070
4.105
4.24
) 4.38
44934
г-2
3.1416
3.1613
3.2371
34069
3.736
3.990
4.177
4.317
4.424
4.507
4.574
4428
4.673
4.87
5.00
S.13S4
' »-'/.
3.1416
3.1731
3.2931
3.SSS8
4.041
4.393
4.640
4.816
4.947
5.047
5.125
5.188
5.240
546
542
5.7635
6. Функциональные уравнения
В дальнейшем Zv(z) и Zv(z) означают любую из функций 7V (z), Nt(z)^
//j,l) (z), И^' (z) или линейную комбинацию этих функций с постоянными (не
зависящими от индекса v) коэффициентами.
6.1. Для Zv{z) при различных значениях порядка выполняются соотношения
zZ^ (*) +*Zv+] (z) = 2vZv (z), Zv_, (.z)-Zv+] (z) = 2Z;^).
Согласно Н. Нильсену, каждое аналитическое по переменным z, v решение этих
уравнений называется цилиндрической функцией (S„ (z); оно является также и

244
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЬЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
решением дифференциального уравнения Бесселя. Функции Jv(z), Nv{z), ^Цг),
НР(г) являются цилиндрическими функциями @„ {z) в смысле Нильсена. Однако
решение J_v(z) дифференциального уравнения Бесселя, также соответствующее
параметру v, должно быть обозначено не через (£„(£), а через (£_„(£).
Справедливы следующие формулы дифференцирования:
Z'v(*) = — -JZv(z) + Zv_, (z) = jZ,(z)-Zv+1 (z),
Z'0 (z) = — Z, (г), z; (г) = Ze (г) —L Z, {z),
± [*'Z, (cur)] = a^Zv_, (as), ;g [«"'Z, (a*)] = — a*_v *,+, («),
£[i?Z,(Kdi)]-!^«/r Z... (KJ5),
j v i/— v+1
£[,~ z,(KJ5)]—»j!*-—z,+1(VS).
6.2. Между функциями J, N и /J существуют соотношения v
Л_, (z) Л?» U)- Л (^) «?2. (г) = J;, Я?!. <*) У, (г) -Мг) (г) Л -, <*) = ^ .
6.3. Теорема сложения. Пусть а, Ь, с — стороны и а, р\ у — углы
треугольника, так что
се'Р = а — Ье~п,
или же комплексные величины, в которые эти шесть действительных величин
можно непрерывно преобразовать таким образом, чтобы выполнялось указанное
выше соотношение. Тогда имеем: ' -
Zv(c)e'v? = 2 Z,+i(aLF)eiS7 Для \Ье**\ <\я\.
При Р = 0> у = я, |*|<|а| имеем:
Z,(a+ft)= 2 Z,_k(a)Jk(b),
а при
справедливы равенства:
^(K^+F)cosvp= S (—П*-г,+14(а)У14(*),
£= — 00
ft = — 00
В стностаьн,

А. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 1-ГО, 2-ГО И 3-ГО РОДА 245
6.4. Теорема умножения:
*=0
В случае, когда ZV = JV, X может быть произвольным; во всех остальных
случаях должно быть 11—Х,8| < 1.
6.5. Формулы интегрирования:
сю
$*'+'Z,(*)<fe = *'+,Z,+1(*), ]z-^Z4(z)dz = -z-^Z,_l(z),
J Z, (z) dz = — Ze (z), J zZe B) dz = zZx (z),
j [{a8 - p8) 2- £=£] ZF @2) Zv фх) d2 -
= P*ZF(eu!)Z,.1(P«)-eu!ZF_1(«u!)Z,(P*) + (|i-v)Z.(o«)Z.(p«),
J * Z^ (az) Z^ @2) d2 = —= = аг_рг - ,
J 2 [Za (аг)]8 <*г = ^ {[ZF (аг)]8 - Z^_, (аг) Z^, (аг)},
I — Z^ (аг) Zv (az) dz — az
Z^, (аг) 2„ (аг)—2,, (аг) 2„,, (аг) Z,, (аг) Zt (аг)
цг—v2 J*+v
7. Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешимые
в функциях Бесселя*).
*• +1=^ w' + [(Руг*" Т + ^=Р^] « = 0, « = *»Z, фО;
«Ч- [(PY^-?-^11] « = 0, w = V7z,(P*«);
«''+(ft2-^zi:1)«' = 0, w = l/Tz,(P*);
w" + ~^w' + (p + ?^)w = 0, w = z*Z^z);
* +1 „' + [(Pv*t- ')8- (^)8] =0, « = Zv ф**);
T-yw' + (p*-£)w = 0, ™ = ZV(P2);
' + 7«'4(l-?)«' = 0, w = Zv(z);
«/^-ри;'—(l-f-^«i=V to = Zv(«);
vf + ^-w'-\-(i — ^\w = 0, w = Z^{zV~i)',
*,-г7«'-(«,+7)в=о) w-z.c*/13*);
и»
и»
*) Более подробный список уравнений, разрешимых в бесселевых функциях,
найти в книге Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Физматгиэ, Г981.— Прим рео.

246 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
W
+ -Jw'-[t + {£J}w = 0> ™ = ZvBiV~z);
w"-\—w'-\-me'^w = О, w = Z„ Qfmze 2);
'" + (me,ll+ --p) w = 0, w = V7z„ (K~/»«' T);
wr + bzmw = 0, w = V"zZ i C-f
m + 2
,m+2Z
"+bzw = o, w=Yzz1{^^-Yz*\\ w"+bz2w = o, w = У1гл(У^-z*)\
;"+(i^?T2pY^-,)«''+ [^=^TPY(Y-2a)/^-8] w = Q,
w"+(i-T2/)«»'—^±f)«; = 0, te; = e±^ZvD;
г
гг/'+ге/
T~v
w
. /2v+l fc\ » 2v— 1, е-*' /i£z\
да
да"
.•+(i._2tg*)w'-E +
2z
tgz
«» = 0, tw=- ^
г ; cos г v
ЗД;
TO
«"+(-]—2«)w'+( 1 — уг + иг—и' — j-)w = 0, w=eSu**Z,iz);
«0
3A-
2\
\2yJ
,v , 4—2v ,,, , (v—l)(v —2) „ й4
г гг 16г2
,v . 4v—2 ,,, , (v—l)Bv—1) „ b4 -
wl v -\ w + v 4-= ' да
1 vz v8z8
= 0,ffl = z2[Z,(tK«) + Z) (ft V z)\;
I17^V w = 0'
_ _i_ i
w=tfz [Zv(te^) -f Zv(Я***)];
IV ■ 6 „«,'" i /% i 7—2v2—2(x2\ „ , /16 , 1 — 2v2— 2a8\ , ,
Ч7« +^H p— J^+'vT ?—Jw +

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
247
В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
1. Определения и обозначения
В приложениях часто играют роль бесселевы функции, рассматриваемые
вдоль прямых, проходящих через нулевую точку (argz = const). Поэтому
выгодно «видоизменить^ эти функции поворотом системы координат так, чтобы
действительная ось совпала с вышеупомяну!ой прямой. Два наиболее важных
случая соответствуют поворотам на 90° и 135°; для соответствующих
модифицированных {видоизмененных) функций употребляют специальные обозначения.
При повороте на 90° получаем бесселевы функции Iy{z), Kv(z); при
повороте на 135° получаем функции Кельвина Ьег„(г), beiv(.z), her„(z), heivB),
ker„(.z), ke\v(z).
2. Функции /„(г), KV(Z)
2.1. Повороту на 90° соответствуют функции Бесселя Zv(iz). Они
являются решениями дифференциального уравнения
Рис. 144. Поверхность модифицированной функции Бесселя /„ (х)
над плоскостью действительных переменных v, x.
Исходя из функций Jv{z) и ^(z), определяют модифицированные функции
Ьесселя *)
(г V*
1,{г) = е 2 Jv(*e2 ^{YJ L*T(v + A+l)'
ад=|е^>(*Д')=_| Г*1 «•«(„"*-,).
При этом l_n(z) = IJz), K_4(z) = Kjz) и для нецелых v
. ^>
*) Первую из них иногда называют функцией Бесселч мнимого аргумента, а
«вторую— функцией Макдональда или модифицированной функцией Ганкеля.—Прим. ред.

248 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Разложение в ряды для Kv(z) при нецелочисленном порядке v получается из
разложения для Jv(z). В случае целого v = /z имеем:
*=0 1 = 1 l-l
+1%1-* V'-'* (if <.-o.i.a....)
(у — константа Эйлера).
Если порядок действителен и аргумент z = x > О, то обе функции
принимают действительные значения (рис. 144—149, таблицы 53^-56). При 0<х<^ 1
их поведение описывается формулами
При х^>1 функция Iv{x) возрастает по показательному закону, a Kv(x)
убывает по показательному закону.
2.2. Дальнейшие представления и свойства функций /v{z), Kv{z) получаются
из представлений и свойств У„ (z), Н%} (z) на основании определений.
Обе функции, /v(z) и K4(z), многозначны и после да обходов вокруг гочки
ьетвл^ния z=0 получаются значения
lje™z)=e™4jj:),
v 1о«"*,\ o-m™k-i,\ ,-_.sln»iv££ . (да—целое);
в частности, 7„(—z) = { — l)" ln(z).
Справедливы формулы:
2v
',-,(*)—',+,(*) = тЧ(«).
2v
2/Uz) = I^l(z)+Jv+1(z),
• ■ —2Kv(z) = Kv_1(z)+KvJ,l(z),
/e (*) = /t (.z), К'в{г) = — К1{г),
К (*) K+l (г) + Iv+l (z) К (*) = т •
О нулях этих функций см. рис. 150—154, таблицу 57.
Корень уравнения Н\г) (z) = 0 или /^2) (z)~zt?*l(z) равен
z = 0,5012 + Ю.6435 = re"9,
где г = 0,8156, ф = 52Г,085 = 0,9091 радиана.

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
249
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
40
30
20
10
) 1
L=
~
1
у
Лг
/
1
1
,
/
1
7
\
\
(
Ъ
ч_,
ч7
/
i
/
/
/
'
■$
'
1
/
/
/
^
х1
\/
*/
г
J
/
/
/
'
>
-7\/
V*
ч\
? а
,
/
/
/
'
6/
vy
\у
——'
\
——■
л/-
^
/
/
1
1
>
3)
Lii
г з 4 5^s
&
>
*)
У
/
г/
/
f
/
/
ч
1
'
J
/
/
>J
/ ,
У
\
У
1
I
й
1
/
/
'
UA
'и
{*
л
^»
0 / 2 3 4
Рнс. 145 н 146. Модифнцнрованные функции Бесселя 1„(х).
5 в

250 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧРСКИЕ ФУНКЦИИ)
О 123456789 W If
—*-т>
40
JO
го
/о
°'0" 1 2 J 4 5 6 ? S 9 Ю
Рнс 147 н 148. Модифицированные функции Бесселя У„(л) прн
постоянном аргументе и переменном порядке.
чЛ^
^^'v С/
_1и
Ы2
'ч\
о)
\
\
\
\
'
1рF
)
1
'

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
251
1 абли'ца 53. Модифицированные функции Бесселя 1„(х) и У, (х)
л
0.00
02
04
о*
08
0.10
12
14
16
18
0,20
22
24
26
28
0,30
32
34
36
за
0,40
42
44
46
48
0.S0
52
54
56
58
0,60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0,80
82
84
86
88
0.90
92
94
96
98
1.00
Ы*) |
1.
0000 -„5
0001 15
0004 15
0009 J.S
0016 JJ
0025 + 5.5
0036 6S
0049 75
0064 85
0081 95
0100 + 10.5
0121 „
0145 1W
0170 135
0197 14.5
0224 +16
0258 ,„
0291 „
О 18.5
0364 м
0404 м
0446 п
0490 м
0536 м
0584 вл
0"S + 26.5
0688 17
0742 „
0800 195
О"» 30.5
0920 п
0984 33J
1051 и
1119 35Л
1198 36.5
1263 + 38
1339 J,
1417 ю
1«»7 4,.5
1580 42.5
1665 +„
1753 „
1843 46.5
1936 „,
2032 „
2130 + 50.5
2231 5,.5
2334 53
2440 54.S
И*» 54
2661
1,
Ых) |
0.
0000 50
0100 so
0200 50
0300 50
О"» 50.5
°*>1 + 50
0601 S0.S
0702 50.5
0803 50.S
<»0* S0.5
1005 51
1107 51
1209 51
«" 51.5
1414 51.5
1517 52
1621 52
1725 52
1829 53
1935 52.5
г»40 + 53.5
2147 53.5
2254 S3.S
2361 54.5
2470 54.5
2579 +55
2689 55.5
2800 S5.5
2911 5«.5
3024 S4J
3137 57
3251 58
3367 58
3483 58.5
3«°° 59.5
3719+S9.5
3838 60.S
3959 «1
4081 «1.5
4204 «2.5
4329 +«2.5
4454 «3.5
4581 «4.5
4710 65
4840 «5.5
4971 + ««.5
5104 «7.5
5239 «8
5375 «8.5
5512 70
S652
0.
•
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
S6
58
1.60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1.80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
/о(»)
1.
2661
2775
2892
3013
3136
3262
3391
3523
3658
3796
3937
4082
4230
4381
4535
4693
4854
5019
5187
5359
5534
5713
5896
6082
6273
6467
6666
6868
7074
7285
7500
7719
7942
8170
8403
864
888
913
938
963
990
•016
043
071
099
128
157
187
217
248
280
2.
+ 57
58,5
«0,5
«1.5
«3
+ «4.5
«6
«7.5
«9
70.5
+ 72.5
74
75.5
77
79
+ 80,5
82.5
84
86
87,5
+ 89.5
91.5
93
95.5
97
+ 99.5
101
103
105.5
107.5
+ 109.5
111.5
114
116,5
118.5
+ «
12.5
12.5
12.5
13.5
+ 13
13.5
14
14
14.5
+ 14.S
15
15
15.5
16
/1М ]
0.
5452 + 70.S
5793 7,
5935 72.5
6080 73Л
6227 74
6375 75
6525 76
6477 77.S
6832 п
6988 7,5
7147 + 80.5
7308 „
7470 „
763о юл
7803 ю
7973 + 86.5
8144 87.S
832> 88.5
8498 w
8678 „5
в84' + 92.5
*>" 94.5
9235 9S.5
9426 „
«» 98.5
9817 100
*°°17 101Л
0220 1М
0424 104.S
0435 106.5
О848 +108
1044 110
1284 111.5
1507 113
1733 1И
«« + 117
2197 ,„
2435 П1
2677 122.S
2922 ш
3172 + 1М.5
3425 ,„
3683 131
3945 133.5
4212 ,35
4482 +138
4758 140
5038 тл
5323 144.S
5612 147
5906
1.
X
2.00
02
04
06
08
2.10
12
14
16
18
2.20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2.50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2,70
72
74
76
78
2.80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3,00
/о(»)
"во + ,»
2-3" 1«
2.344 ,7
2.378 ,7
2.412 ,7
i*44 +18
2482 17.5
i517 .8.5
*-554 18 S
2.591 „
9 + .9.5
2И8 19.5
2.707 м
7 20.5
2.788 „
2.830 м
l87* 21.5
2.91S н
2-959 22.5
3004 22.S
3-<*9 + 23.5
3.096 „J
3.143 и
3191 24.5
3.240 „
3.290 + „ 5
3-3« 2S.5
3392 2«.5
3.44S 17
3.499 „
3.553 м
3.609 w
3.666 м5
3-723 29.5
3.7И ,0
3.«2 + 10.5
3.903 J,
3-965 11.5
4.028 J!
^О»2 12.S
4157 + 33J
4.224 м
«■» 14.5
4.361 35
4.431 „
4-МЗ + 36.5
4.576 37
4.650 ,75
«^ 38.5
4.802 „5
4,881
/1W
1.5906
1.6206
1.6510
1.6820
1.7135
1.745
1.778
1.811
1.845
1.879
1.914
1.950
1.986
2.022
2.060
2.098
2.136
2.176
2.216
2.257
2.298
2.340
2.383
2.427
2.471
2.517
2.563
2.610
2.657
2.706
2.755
2.806
2.857
2.909
2.962
3.016
3.071
3.127
3.184
3.242
3.301
3.361
3.422
3,485
3.S48
3.613
3.678
3.745
3.813
3.883
3.9S3
+ 150
1S2
155
1S7.S
160
+ 16.5
16.5
17
17
17.S
+ 18
18
18
19
1*
+ 19
20
20
20.5
205
Ч- 21
11.5
22
22
23
+ 23
23.5
23.5
24.S
24.5
+ 25.S
25.5
26
26.5
27
+ 27.5
28
28.5
29
2«5
+ м
W.S
31.5
31.5
пл
+ 32.S
W.J
34
3S
IS

252
ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 53
*
3.00
02
04
04
08
3.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
3.30
12
14
36
38
3.40
«2
44
46
<Л
3.50
S2
$4
S6
S8
3.60
-.2
64
66
68
3.70
72
74
76
78
3.80
82
84
■J6
38
3.90
»2
94
96
98
4.00
ТоМ
4.881 +<0
*«1 «OS
5.042 4,s
5.125 и
5-209 a.i
5.294 + „
5.382 U5
5.471 ts
5.561 16
5.653 „
5.747 + „
5«3 „,
5.940 t9s
6.039 ws
"*° «5
6.243 + а
*-М7 43.S
6.454 „
6362 „
*-672 4*5
6.785-+„
6.899 м5
7.016 и
713* 60.5
7&S 61.S
7378 + 62.S
7-S°3 м
7.631 6S
7.761 „
7-8»3 «S
8.028 + „ s
8.165 „, s
8.304 „s
8.447 „
8.591 „
8.739 + ,5
8.889 ,6
9.041 ,„
<М97 п S
9.356 gos
9.517 + „
9-68' «3 S
9848 И5
10.019 ^s
10.192 юл
10.369 + то
10.549 „j
10.732 ,j'5
10.919 „5
11.108 „
11.302
'iW
3953 + 34
«-015 36.5
4.098 „л
4.173 ,8
4.249 л,
4.326 + J9 s
4.405 ад
4.485 t1
*-И7 (i.s
4.650 41
4.734 + и
4.820 u
4*w u.s
tw «.s
*•«» «.5
5.181 w
S.275 „,
5.371 t,
5.469 ад
s-5*» ».s
5.670 + 51 5
5.773 s3
5879 53.S
S»8* ил
6.095 5SS
*-*°* + S».S
«-319 57.5
6.434 5,
6.552 ws
6.671 M
67,3 4- rt
6.917 „
7.043 и
7171 6S.S
7.302 „
7 *3« + 49
7.572 6,
7-7,° ГС.5
7-«1 tl.5
7.994 „
8.140 + 74s
8.289 ,6
•M1 T7
8.S9S „
8.753 n
8,13 + 81.S
9.076 e3
9.242 мл
9*'1 86.5
»•«♦ «7.S
9.7S9
*
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
79
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
Л>М
"J" + «8.S
11.499
11.699
11.904
12.112»
100
101.5
10*
106
12.324 + |07д
12.539
12.759
12.983
13.210
HO
112
И 3.5
116
"•**2 + H8.S
13.679
13.919
14.164
14.414
110
• 22.5
<2S
117
14.668 + ,M s
14.927
15.190
15.459
15.732
I11.S
U*.S
I36.S
139
16.010 + M1
16.294
16.583
16.877
17,176
l**.S
1*7
1*9.5
152.5
"*8 + ,5.5
17.79
18.11
18.43
18.76
l«
16
16.5
16.S
19.09 + ,7
19.43
19,78
20.13
20.49
17.5
17.5
18
18Л
Ю-8* Ч- .8.5
21.23
21.61
22.00
22.39
19
19.5
l*.S
10
n-" + «0.S
23.20
23.62
24.04
24.47
24.91
25.36
25.82
26.28
26.76
27.24
11
11
21.5
22
4- 22.S
13
13
24
24
ftW
9.759
9.938
10.121
10,306
10.495
10.688
10.884
11.084
11.287
11.494
11.706
И.921
12.140
12.363
B.590
12.822
13.05»
13.298
13.543
13.7*2
14,046
14.305
14.569
14.837
15.111
15.389
15.673
15.962
16.257
16.557
16.86
17.17
17.49
17.81
18.14
18.48
18.82
19.17
19.52
19.88
20.25
20.63
21.01
21.40
21.80
22.20
22.61
23.03
23.46
23.89
24.34
+ 89.5
«1.5
92.S
94.5
«4.5
+ w
100
101.5
Ю3.5
«06
+ 107.5
109.5
111,5
111.5
116
+ 118
120
122.5
124.5
127
+ 129.S
Itt
134
137
139
+ 142
144.5
147.5
150
153
+ 1S.S
n
14
•6.5
17
+ 17
17.5
17.5
18
18.5
+ 19
,»
19.5
10
10
-t- 10.5
11
21J
21.5
ПЯ
X
5.00
02
04
06
08
5.10
12
U
16
18
5.20
22
24
26
28
5.30
32
34
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50
52
54
56
58
5.60
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
S.90
92
94
96
98
6.00
/oW
W-2* + 24.5
27.73 „
М-23 И.5
28.74 -
29-M *s
29.79 „
3033 27.S
30.88 27s
31" M.5
32.00 „
«•М + 29.5
3317 ЗОЛ
33.78 „is
34.39 „
35.01 sl
35.65 315
Зб.зо ,3
36.96 ,зл
37.63 u
38.31 ,5
3901 + 35.5
39.72 ,6
40.44 J7
*118 37.S
41.93 „
42.69 +3,
43.47 «,
**Д7 ш
45.08 t1
45.90 „
**-7« + 42.5
*7-59 43.5
48.46 ал
49.35 и
50.25 u
51.17 + „
n." 47.5
53.06 4,
54.04 ws
55.03 Ms
»*4 + 51 j
57.07 5j
S8-11 S3J
5918 54.5
«°.» 55Д
61.38 + и 5
62.51 s7
63,65 5,
«чда 5„
66.02 ША
«W3
Ы')
24.34 +2„
24.79 ц
25.25 u-s
25.72 us
2«-« 24.5
26.68 + и
27.18 и
27.68 M
28.20 u
»Я 24.5
»K + 27.5
»•*> 27.5
30.35 „^
30.92 M5
31-*' 19.5
«.« + 30
31*8 30.5
33.29 ,,
3391 31.5
34.54 n
35,18 ,3
35-в* 33.5
36.51 M
3719 U.S
3788 1S.5
38-59 + 36
39-31 36.S
«O-04 J7.S
40.79 j,
41.55 „
<2-33 + 39.5
43.12 ws
43.93 u
«*-75 61.S
45.58 e
UM + a
*7-30 44.S
48.19 t5
49.09 u
56.01 „
M-9S+47.S
51.90 MiS
52.87 ns
53.86 Ю5
«•» S1J
*•*> ч- OS
и'5 ал
58.02 и
».« ».*
60J1 ^
61.34

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 253
Продолжение табл. 53
» Л>(») Л(») ' Л)(х) Л(х) » | 1ф) Гф)
«.00 67,21 + и 61.34 575 7.00 168,6 + ,5 5 156.04 + U7, 8.00 427,6 + ад 199.9 „
02 68.47 6J 62,49 $9 02 171.7 N'5 158,99 150'5 02 435,6 41 5 «07.S „
04 69,73 615 63.67 5,5 04 175.0 ,s' 162.00 15} 5 04 «3,9 ,,'5 ««5.3 „s
06 71.02 655 64,86 61 06 178Д 17 165,07 ,565 °* *"-2 « i23-2 40S
08 72.33 ^ 6608 62 08 181'6 17 ,68Ю 159 М **°.8 43,5 *j1-3 41
6,10 73.66 + „ 67.32 + tJ 7.10 185,0 + ,7 171,4 + u 8.10 469. S + as «19.5 <2
12 75,02 6,5 68.58 м5 ,2 ,88* 17 S 17'6 US П *78-« *i' **7-9 41»
14 76.41 „,5 69-87 6SS U 191'9 18 1779 17 u т* U *56-* 4JS
16 77,82 71 5 71,18 „ 16 195,5 1g 5 181.3 и * 16 496.6 47 465.1 ^Д
13 79.25 735 72.52 46 5 ,8 19»-2 IBS 1W7 18 ,8 50*'° -, 48 *7*-0 45
«,20 80.72 + 7<5 73,89 + „ 7.20 202.9 + „ 188.3 + 17S 8.20 51S.6 + „ 5 «81.0 + u s
22 82.21 7t 75.27 „ 22 206.7 „ 5 191 8 „ 5 12 j 525,3 и 492.3 „
24 83.73 ns 76.69 п 24 210.6 „ 5М95 5 ,„ 5 24 535,3 ,„ 5 501.7 <7 5
26 85,28 7g5 78.13 7J 5 26 214,5 м5 199,2 1в 5 26 545.4 5|'5 511,3 <f'
28 86.85 go^j 79,60 „' 28 218,6 м 5 202,9 ,, 5 28 555,7 5J Я,>° 50
6,30 88,46 + п 81,10 + 765 7,30 222,7 + м s 206.8 + „ 5 8,30 566.3 + „ & 531.0+505
32 90.Т0 ej5 82,63 П5 32 226,8 2, 5 210.7 м 32 577.0 54 5 "^ 515
34 91,77 85 84,18 7, j 34 231,1 „ 5 214,7 J0 5 34 587.9 „5 S5'* 5J
36 93,47 865 85,77 Bgs 36 235.4 п 218.8 м'5 36 599.0 57 5"-° 5J 5
38 9S-M 88 87'38 82 5 38 239-8 22.5 W j, 5 38 610,4 „ $ S72.7 „"
6.40 96,96 + ,„ 89.03 + 8} 5 7,40 244.3 „ 227.2 2, 5 8,40 621,9 „ 583.7 $5 5
42 98.76 „ 5 90,70 „5 $ 42 248,9 1% 5 231 5 и 42 633,7 ,0 59*-8 57
44 100,59 ,J5 92.41 „7 44 2S3.6 „ 235.9 г15 44 645,7 4, s 606.2 м
46 102.46 ,5' 94.15 8, 46 258,4 п 240.4 „ 5 46 658,0 6,'5 6*7.8 $,
48 104.36 ,45 95.93 Ms 48 263,2 JS 244.9 „ 5 48 670,5 63,5 "9-6 «О
6,50 106.29 + „ 97.74 + „ 7.50 268,2 „ 249.6 „ 5 8.50 68J.2 44 5 М1-6 + «I 5
52 108.27 10о5 ".58 ,} 5 52 273,2 „5 254 3 215 " 69* ' 66 «3.9 „'5
54 110.28 ,т 101.45 ,4 54 278.3 26 5 259-2 24 5 м 709-3 67 5 ***•* 635
56 112.32 1045 Ю3.37 ,75 56 283.6 ,6 5 2Ы* 25 К га-8 685 679-' 6$'
58 114.41 ,„4 5 'О'-3! 99 58 28а-9 27 2б9-' 25 5 58 736S то' 691-' 66,4
6.60 116.54 + 1М 107,30 + ,01 5 7.60 294.3 ,„ 274 2 + 16 «•«> 750.5 71 705.4 67 5
62 118,70 „05 109.33 ,03 62 299,9 м 279,4 „ 62 764.7 „ 5 718,9 485
64 120.91 1П5 111.39 ,05 64 305.5 „ 284.8 „ 64 779.2 „ 732,6 70'5
66 123.16 ,U5 113.49 ,07S 66 311.3 „ 290.2 „ 5 66 794,0 „ 5 746.7 ?1'
68 125.45 ,,7' 115.64 ,„, 68 317.1 i0 295.7 2g' 68 809.1 76'5 760.9 7,
6.70 127.79+ 1185 117.82 + ,„ 5 7.70 323.1 + J0 5 301,3 + ,„ 5 8.70 824.4 ,35 775.5 „ s
72 130.16 П15 120.05 „j 72 329,2 }, 307.0 „5 72 840,1 ■ ю 790.4 „ 5
74 132.59 ,„;5 122.31 „55 74 335,4 „ 5 312.9 г,'5 74 856.1 „, 805.S „'
76 135.06 ,J5S 124.62 „з 76 341.7 п 318.8 ,„ 5 76 872.3 „ 820.9 п ,
78 137.57 п85 126.98 ,2„ 78 348.1 33 32*-9 31 78 в»-9 84.5 8J6-6 80^5
6.80 140.1«+ш5 129,38 + ,„ 7.80 354.7+}} 5 331.1 „ 5 8.80 905.8 , w 852.7 „'5
82 142,75 ш 131.82 ,„ % 82 361.4 J4 337.4 J2 82 923.0 ю 869.0 8}-
84 145,«1 1J55 134.31 ,„ 84 368.2 315 343.8 „ 84 940,6 ю 885.6 в5
86 148.12 )}8 136.85 ,„5 86 375.1 355 350.* »5 86 958* 915 «И* 86 5
88 150.88 и, 139.44 ,„ 88 382.2 и 357.1 Jt 88 976.7 „, 919.9 „„'
6,90 153.70 +UJ 5 142.08+mJ 7.90 389,4 + „ 363.9 U5 8,90 995.2 ,5' 917.5 , м =
92 156.S7 m 144.77 ,}7 92 396,8 „ 370.8 J5'5 92 10U.2 Т „ 5 9S5.S ^ „ ,
94 159.49 и,- 147.51 ,}, 5 94 404.2 ^ 377,9 ,6 »* ,03»-5 9в' 97»-8 935
96 162.47 ,s,5 150.30 Ui 96 «11.9 „#5 385.1 Jt 5 9* '°5J.1 100 s 9»2.S „"
98 165.50 ,MS 153.14 u5 98 419,6 «„ . 392.4 „5 98 1071.2 ,и' 1011.5 „
7.00 168.59 156,04 8.00 427.6 399.9 9.00 1093,6 1030.9

254
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 53
*
9.00
02
04
06
08
9.10
12
14
16
18
9.20
22
24
26
28
9.10
32
34
36
38
9М>
/оМ
1093.6 + ,w
1114.4 104
1135.6 1М
1157.2 „05
1179.3 ,„
1201.7 + ms
1224.6 ,„
1248.0 „J 5
1271.7 ,215
1296.0 ,ид
1320.7 + 125 5
1345.8 ,М5
U71.5 ,J05
1397.6 ,JJ5
1424.3 1J5>
W-*+l!i5
1479.1 u,
1507,3 -m
1536.1 ltt5
1565,4 u,5
159S.3
/iW
1030,9 „
1050,7 100s
1070,8 10J
1091,4 ,W5
1112-3 104.5
1133.6 ,„,
1155.4 f11
1177.6 ,„
1200.2 115
1223.2 117s
1246.7 + „, s
1270.6 ш
1295.0 m5
1319.9 ,мл
1345.2 n,
1371,0 ,„
1397.4 1J4
1424.2 ,„
1451.6 ,}95
1479.5 w
1507.9
X
9.40
42
44
46
48
9.50
52
54
56
58
9.60
62
64
66
68
9.70
72
7*
76
78
9.80
Ы*)
1595 + 1S.S
1626 155
1657 1S.S
16«» 16.5
1™ ,6
1753 17
>»7 17
1821 ,„
1856 ,75
1891 ,„
1927 + 18 5
1964 „
2002 „
2040 „5
2079 M
21" + м
2159 v
2201 „
2243 lt 5
2286 J15
2329
Ы*)
1508 + 14.S
1537 14.S
1566 ,5
«" 1S.5
1«7 1S.S
1658 + „
1690 16.5
1711 H.S
1756 ,7
1790 ,7
1824 + 17,5
1859 ,g
1895 18
1931 „
"» 1B.5
2006+19.S
20" !9,5
MB* jo.5
2125 M
2165 „
2207
X
9.80
82
84
86
88
9,90
92
94
96
98
10,00
/0(x)
1329 + B.5
2374 as
14,9 2Э.5
2466 2}5
2513 M
2561 + 24.5
2610 2S
2660 255
2711 u
2761 ui
2816
/i(x)
2207 + 2, 5
2250 21 5
2293 M
2337 12.S
2382 2,
2428 + 2J 5
2475 13.S
2522 24.5
2571 «
2621 15
2671
0,*
0,3
0,2
0,1
IT _
J p -
■г LU
iV^ttiV^
д5 :
V-t--
Ct-
ДД-
± v.
4- X$
^
-U S
\
A
\\
4
4
.
2 2
Рис. 149. Модифицированные функции Бесселя — /f0 (*) и — Kt (x).

Таблица 54. Модифицированные функции Бесселя /„ (х)
X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
U
м
1.6
1.8
2.0
2.2
гл
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.2
АЛ
4.6
4.8
5.0
5.2
SA
5.6
5Л
W
IoU)
1.0000
1.0100
1.0404
1.0920
1.1665
1.2661
1.3937
1.5534
1.7500
1.9896
2,2796
2.6291
3.0493
3.5533
4,1573
4.8808
5.7472
6,7848
8,0277
9,5169
11.3019
13.4425
16.0104
19,0926
22.7937
27,2399
32.5836
39,0088
46.7376
56.0381
67.2344
/i(x)
0,0000
0.1005
0.2040
0.3137
0.4329
0.5652
0.7147
0.8861
1.0848
1.3172
1.5906
1.9141
2.2981
2.7554
3.3011
3,9534
4,7343
5.6701
6.7927
8.1404
9.7595
11.7056
14,0462
16,8626
20.2528
24.3356
29.2543
35,1821
42.3283
50.9462
61.3419
Ы*)
0,0000
0.5017 (-2)
0.2027 (-1)
0.4637 (—1)
0.8435 (-1)
0,1357
0.2026
0.2875
0.3940
0.5260
0.6889
0.8891
1.1342
1.4337
1.7994
2.2452
2.7883
3.4495
4.2540
5.2325
6.4222
7,8684
9,6258
11,7611
14.3550
17,5056
21.3319
25,9784
31.6203
38.4704
46.7871
ЛМ
0.0000
0.1671 (-3)
0.1347 (-2)
0.4602 (- 2)
0,1110 (-1)
0.2217 (-1)
0.3936 (-1)
0.6452 (-1)
0.9989 (-1)
0.1482
0.2127
0.2976
0,4079
0.5496
0.7305
0.9598
1,2489
1,6119
2,0661
2.6326
3.3373
4.2120
5.2955
6.6355
8.2903
10.3312
12.8451
15.9388
19.7424
24.4148
30.1505
/«(*)
0.0000
0.4175 (- 5)
0.6720 (- 4)
0.3436 (- 3)
0.1101 (-2)
0.2737 (- 2)
0.5801 (—2)
0.1103 (-1)
0.1937 (-1)
0.3208 (-1)
0.5073 (—1)
0.7734 (-1)
0.1145
0.1654
0,2341
0,3257
0.4466
0,6049
0.8105
1,0758
1,4163
1.8513
2.4046
3.1060
3,9921
5,1082
6,5106
8.2686
10.4678
13.2137
16,6366
Л(х)
0.0000
0.8347 (- 7)
0.2684 (- 5)
0.2056 (- 4)
0.8764 (—4)
0.2715 (-3)
0.6879 (— 3)
0,1519 (-2)
0.3036 (- 2)
0.5625 (-2)
0.9826 (— 2)
0.1637 (-1)
0.2626 (—1)
0.4079 (—1)
0.6169 (-1)
0.9121 (-1)
0.1323
0.1886
0.2651
0.3678
0.5047
0.6857
0.9234
1.2338
1.6369
2.1580
2.8288
3.6890
4.7884
6.1890
7.9685
ж
0.0
0.2
, 0,4
0,6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2,2
2.4
2Л
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4,2
4.4
4.6
4.8
' 5,0
5.2
5.4
5.6
5.8
I *.0
/б(«)
0,0000
0,1391 (- 8)
0.8940 (- 7)
0,1026 (—5)
0.5820 (- 5)
0.22*9 (- 4)
0,6821 (—4)
0.1752 (-3)
0,3987 (- 3)
0,8280 (- 3)
0,1600 (—2)
0,2919 (-2)
0.S081 (-2)
0,8505 (-2)
0,1377 (-1)
0,2168 (-1)
0.3332 (-1)
0,5015 (-1)
0,7*11 (-1)
0.1078
0,1545
0.2186
0.3060
0,*239
0,5819
0.7923
1,0707
1.4371
1.9171
2.5430
3.3558
- Ь(х)
0.0000
0,1987 (—10)
0.2552 (- 8)
0.4388 (- 7)
0,3316 (- 6)
0,1599 (- 5)
0.5809 (-5)
0,1737 (-4)
0,4506 (- 4)
0.1050 (- 3)
0,2246 (-3)
0.4492 (— 3)
0.8497 (- 3)
0.153* (—2)
0.266* (-2)
0.447J (- 2)
0.7295 (—2)
0.1160 (-1)
0.1806 (—1)
0,2755 (-1)
0.4133 (-1)
0,6105 (—1)
0.8894 {~ 1)
0.1280
0.1821
0,2565
0.3580
0,4954
0.6803
0.9277
1.2569
/вМ
0,0000
0.2483 (-12)
0.6377 (-10)
0.16*4 (-8)
0.1655 (- 7)
0.9961 (-7)
0,4335 (- 6)
0.1510 (-5)
0,4467 (- 5)
0.1168 (-4)
0,2770 (- 4)
0.6076 (-4)
0,1250 (-3)
0.2437 (- 3)
0.4540 (- 3)
0.8137 (-3)
0,1410 (— 2)
0.2373 (-2)
0.3893 (— 2)
0,6243. (-2)
0,9810 (- 2)
0,1514 (-1)
0,2299 (— 1)
0.3440 (-1)
0.5080 (-1)
0,7412 (-1)
0,1070
0.1528
0.2163
0.3037
0,4230
• /»to
0.0000
0.2758 (-14)
0,1417 (—11)
0,5473 (-10)
0,7340 (- 9)
0,5518 (—8)
0.2879 (- 7)
0.1168 (-6)
0,3942 (-6)
0,1157 (-5)
0,3044 (- 5)
0,7329 (- 5)
0,1641 (-4)
0,3456 (- 4)
0.6915 (-4)
0,1324 (-3)
0.2439 (- 3)
0.4347 (— 3)
0,7523 (- 3)
0.1269 (-2)
0.2090 (- 2)
0.3373 (- 2)
0.5344 (-2)
0.8324 (—2)
0,1277 (—1)
0.1932 (-1)
0,2885 (— 1)
0,4260 (- 1)
0.6222 (-1)
0,9000 (—1)
0.1290
/io(»)
0.0000
0.2758 (-16)
0.2832 (-13)
0.1641 (-11)
0.2932 (-10)
0,2753 (-9)
0.1722 (-8)
0,8138 (—8)
0,3136 (-7)
0,1034 (— 6)
0,3017 (-6)
0.7975 (- 6)
0,1944 (—5)
0,4426 (- 5)
0.9513 (-5)
0,1946 (-4)
0,3816 (-4)
0.7205 (- 4)
0.1316 (—3)
0,2336 (- 3)
0,4038 (- 3)
0,6819 (—3)
0.1128 (-2)
0,1830 (— 2)
0,2918 (- 2)
0,4580 (-2)
0,7086 (—2)
' 0,1082 (-1)
0,1632 (—1)
0.2435 (-1)
0.3594 (-1)
/n M
0.0000
0.2507 (-18)
0.5148 (-15)
0,4471 (-13)
0,1065 (-11)
0.1249 (-10)
0.9365 (-10)
0.5160 (-9)
0,2270 (-8)
0,8409 (- 8)
0.2722 (-7)
0,7903 (-7)
0,2098 (- 6)
0,5165 (- 6)
0.1193 (— 5)
0.2610 (-5)
0,5*46 (-5)
0,1090 (-4)
0,2103 (-4)
0,3929 (— 4)
0.7131 (—4)
0.1261 (- 3)
0,2178 (- 3)
0,3683 (- 3)
0,6109 (-3)
0,9955 (- 3)
0.1596 (-2)
0,2523 (-2)
•0,3932 (-2)
0.6052 (-2)
0,9207 (-2)

256 xiii. функции вьссьля (цилиндрические функции)
2 2
Таблица 55. Модифицированные функции Бесселя —К„(х) и—/f, (x)
^ К0(х)=-.Н?>(|*) = -.Н?) (-IX). |-K,(,) = -H<1>(„)=-H(,2l(-fx)
* 4KoW TKlW х 4KoW | 4Kl<x) * ! ^K°W | |К,И
f _ _ —- —
0,00 oo oo 1,00 2680 _ j7 5 3832 _ M 2,00 7251 _ M 890*_i,5s
02 +2.565 +31,802 02 2605 J6 5 3704 t, 02 7075 85 5 8673 „2
04 2,124 15.867 04 2532 Js 3582 58 5 04 6904 gJ 5 84*9 10g 5
06 1.867 10.545 06 2462 3< 5 3465 5t' 06 6737 g, 5 8232 ,M
08 1.685 " 7.878 08 2393 jj' 3353 5< 08 6574 7, 8020 ,0J
0,10 +1.5451 + 249 + 6,273 1.10 2327 _ 3, 5 3245 _ 5, 5 2,10 6416 _ 77 781* _ ,„<,
12 1.4310 <76 5,200 12 2264 Jf 3142 50 12 6262 „ 5 7614 „
14 1.3351 IX 4.432 14 2202 J0 3042 <? s 14 6111 7J 7420 ,4 5
16 1,2525 100 3.854 16 2142 2, 2947 <& 16 5965 71 5' 7231 „ 5
18 1.1801 80 3,403 18 2084 M 2855 w 18 5822 t, 5 7048 8,'5
0.20 4 1.1158+ 65 + 3.0405 + «34 1.20 2028 _ „5 2767 _ „ 5 2.20 5683 _ tg 6869 _ g7
22 1,0581 J4 2.7433 47? 22 1973 u 5 2682 <f" 22 5547 t6 6695 g< 5
2* 1.0057 *S 2.4950 370 2* 1920 25 5 260° 39 S 2i 5*15 b« 5 6526 81
26 0,9580 39 2,2842 292 26 1869 2<'5 2521 M' 26 5286 t2 5 6362 M
28 0,9142 34 2,1030 23J 28 1820 M\ 2445 Jt 5 28 5161 t1'5 6202 „ 5
0,30 +0.8737+ 2» т. 1,9455+»9f 1,30 1771 _ 2J 2372 _ 35 5 2 30 5038 _ 5, 5 6047 _ y% 5
32 0.8362 2« 1.8074 1M 32 1725 2} 2301 M" 32 4919 58 5 5896 74
34 0,8013 23 1,6852 <J2 34 1679 2J MSJ 3J 34 4802 H 5 5748 7, 5
36 0,7687 2f 1.5763 112 36 1635 a 2167 3, s 36 4689 55 5 5605 и5
38 0,7382 18 1,4786 95 38 1593 2, 2104 J0'5 38 4578 M 5466 6g
0,40 +0,7095+ 17 + 1,3906+ 82 1,40 15512 _ 20, 5 2043 __ 30 2.40 4470 _n 5 5330 _ 66
«2 0,6825 <5 1,3108 71 42 15109 ,,s|5 1983 2g ^ 42 i 4365 51 5 5198 ъ4
44 0,6571 l* 1,2381 *2 4* 14718 m' 1926 27'5 44 4262 м' 5070 6J
46 0,6330 13 1.1Л7 54 46 14338 ш 1871 M's 46 4162 4, 4944 6„ 5
48 0,6101+ <2 1,1107 »8 48 13970 m5 1818 ^ 48 «064 <7 5 «823 5,5
0,50 +0,5885+ к + 1,0545+ «3 1.50* 13611 _ 174 1766 __ 25 2,50 3969 _46$ 4704 _ „ 5
52 0,5679— 'j" 1.0026 38 52 13263 ,6, 1716 M 52 3876 45 458» я5
54 0,5484 0.9545 34 54 12925 u< 5 1668 „ $ S4 3786 us 4476 и'5
56 0,5297 ■ 0.9099 31 56 12596 lt0" t 1M1 И5 '* 3697 43' 4367 5J",
58 0,5120 ' 0.8683 28 58 12276 ,5S 1576 H' 58 3611 <2 4260 52'
0,60 + 0,4950 _ + 0.8294+ 25 1,60 11966 _1515 15319 _212 2,60 3527 _ 4, 4156 _ 5„ 5
62 0.4788 0.7931 23 62 11663 146 5 14895 J05 62 3445 ед 4055 „5
64 0,4632 0.7590 2» 64 11370 1<} 1448S ,M 64 3365 3, 5 3956 зд
66 0,4484 0.7270 19 66 11084 m 1*087 m s 66 3286 3g' 3860 5
68 0,4342 0.6970 17 68 10806 ,J$ 13702 да" 68 3210 37 3767 45 5
0.70 + 0.4205 _ + 0,6686+ <6 1,70 10536 _,„ s 13328 _ ieo 5 2.70 3136 _Jt5 3676 _ ui
71 0,4074 0W19~;2^55 Л 10273 ,28' 12967 ,„ 5 72 3063 Js's 3587 4J
74 0,3948 0.6166 ■ 74 10017 ,„ 5 12616 ,70 74 2992 34 , 3500 42
76 0,3827 ■ 0.S927 ' 76 09768 1Я 12276 ,„ 76 2923 „ , 3416 „
78 0.3711 s6 0.S701 1075 78 09S26 ,„ 119*6 ^ 78 2856 33 3334 <Q
0.80 + 0.3599 _ + 0,5486 1.80 09290 _ms 11626 _„5 2,80 2790 _ J2 5 3254 _ 3,
82 0,3491 0.S282 82 09061 „,V 11316 ,505 82 272S 3, 3176 }8
84 0,3388 „ 0.S089 ' 84 08838 1OT 11015 ,46 84 2663 3, 3100 „
86 0,3288 0,4904 ' 86 08620 1055 10723 ,<2 86 2601 „ 5 3026 36 5
88 0,3192 <6s 0.4729 ^ 88 08409. да 10439 „„ 88 2542 „, 2953 „
0,90 +0,3099 + 0.4562 1.90 08203 _ 100 5 10164 _ms 2.90 2483 _ M 5 2883 _ }4 5
П °г<ХЯ °**°2 76 П 08O°2  098'7 1 '2 UU 27 5 MU 33 5
94 0,2922 • 0 42S0 »4 07807 „ , 09638 ,„ 94 2371 2, $ 2747
96 0.2839 0,4104 96 07616 „, 09386 ,a 96 2316 24 5 2682 „
98 0.2758 j9 0.3965 м_$ 98 07431 эд 09142 „, 98 2263 2S 5 2618 3,
1,00 + 0,2680 + 0.3832 2.00 0П51 08904 3.00 2212 2556
' | 0. 0. 0,0 1 0.0

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
257
Продолжение табл. S5
X
3.00
02
04
OS
08
3,10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
3.30
32
34
36
38
3,40
42
44
46
48
3,50
52
54
56
58
3,60
62
64
66
68
3,70
72
74
76
78
3.80
82
84
86
88
3.90
92
94
94
98
4.00
4 Мх)
0.0
2212 _
2161
2112
2064
2017
1971
1926
1882
1839
1798
17568 _
17169
16781
16401
16030
15668 _
1S3U
14968
14631
14301
13979 .
13664
13357
13057
12764
12*77".
12197
11924
11657
11396
111*1 .
10891
10648
10410
10178
09951
09729
09512
09300
09093
08891 .
08693
08500
08311
08127
07946 .
07770
07598
07430
07265
07104
0.0
■ 25,5
24.S
24
23,5
23
- И.5
22
21.5
20,5
M.S
-199,5
194
1*0
185 5
181
-177
173
168.5
165
161
-157,5
153 5
150
K6.S
1*3,5
-1*0
136,5
133,5
130,5
127.S
-125 -
121,5
119
116
113,5
—111
108,5
106
103,5
101
— 99
96,5
94,5
92
90,s'
— В8
86
84 '
82,5
80,5
iKiW
0.0
2556
2496
2437
2379
2323
2269
2215
2163
2112
2063
2014
1967
1921
1876
1833
17900 .
17483
17077
16680
16293
15915 .
15546
15186
14835
1*493
1*158 .
13832
13513
13202
12898
12602.
12313
12030
11754
11485
11222
10966
10Л5
10471
10232
09999
09771
09548
09331
09119
08912
08710
08512
08320
08131
07947
0.0
- 30
29J
29
28
27
- 27
26
25,5
2*,S
24.S
- 23,5
23
22,5
21.5
21,5
-208,5
203
198.5
193,5
189
-184,5
180
175,5
171
167,5
-163
159,5
155,5
152
148
— 1*4,5
1*1 ,S
138
134.5
131.5
-128
125.S
122
119,5
116.5
-11*
111,5
108,5
106
103,5
-101
99
96
94,5
92
X
4,00
02
04
06
08
4,10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4,30
32
34
36
38
*,40
*2
44
46
48
4,50
52
5*
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
7*
76
78
4,80
82
. 84
86
88
4,90
92
94
96
98
5,00
4 КоМ
10-1x0,.
* -78.5
6947 76J
679* „
«** 73,5
6497 п
"S3 _п
6213 68J
6076 67
5942 65,5
5811 u
5683 -62.5
5558 61
5436 to
5316 58
5200 „,5
5085 -55,5
*97* 55
4864 5j
4758 51,5
4653 51
4551 -<9,5
4452- 49
4354 *7,5
4259 „
4165 45,5
<°7*-**.5
3985 43,5
3893 ад
3813 «1.S
3730 41
3648 _«,
3568 Ю5
3491 38,5
3*1* 37
3340 36.S
32«7 -35,5
3196 ,5
3126 м
3058 зз
2992 32,5
2927 _и
2863 31
2801 30.5
2740 30
2680 19
2622-28*5
2545 27.S
2510 27,5
2455 26.5
г*»2 26
2350
10-1x0.
i*W |
10-1x0,
7947 -89.5
7768 ю
7592 85.5
7421 м
Я» 81.5
7090 _м
6930 78
6774 76.S
6621 7<5
6472 72,5
•6327 _7,
6185 И5
6046 68
5910 „
5778 и
5648-63
5522 а
5398 60.5
5277 в
5159 57.5
5044 -56 J
*931 и
4821 53Л
4714 52J
4609 S1.5
4506 _„
4406 „
4308 а
«212 „
4"8 «S.S
«07-4S
3937 «3.5
3850 43
3764 41.5
3681 41
3599 -39.5
3520 „
3442 38.5
3365 ,7
32« 36.5
3218 -35,5
3147 3*J
3078 м
3010 з,5
2943 32,5
2878-31J
2815 31
2753 30,5
2692 29J
2633 „
2575
10^X0,
X
5.00
02
04
06
08
5,10
12
1*
16
18
5.20
22
24
26
'28
5,30
32
3*
36
38
5,40
42
44
46
48
5.50
52
5*
56
58
5.60
62
64
- 66
68
5.70
72
7*
76
78
5,80
82
84
86
88
5,90
92
9*
96
98
6,00
±*>М
10-1х 0.
2350
2299
2249
2200
2153
2106
2061
2016
1972
1930
1888
1847
1807
1768
1730
16928 .
16563
16206
15857
15515
15181 .
1485*
14534,
1*221
13915
13615 .
13323
13036
12756
12482
1221* .
11951
11695
11443
11198
10958 .
10723
10493
10268
10047
09832
09622
09*15
0921*
09017
08824
08635
08450
08269
08093
07920
jlO-lxO,
— 2S.5
2S
24,5
23.5
23.5
— 22,5
22.5
22
21
21
— 20,5
20
19,5.
19
18.5
-182,5
178,5
17*,5
171
167
-163,5
1@
156,5
153
150
-1*6
1*3,5
1*0
137
13*
-131,5
128
126
122,5
120
-117,5
I1S
A2.5
110,5
107,5
-10S
103,5
100,5
98J
96.5
— 94,5
92.S
90,5
88
86,5
iiCM
10-1x0.
2575
2518
2463
2409
2356
230*
2253
2204
2156
2108
2062 _
2017
1973
1930
1887
1846
1806
1766
1728
1690
16531 _
16170
15817
15472
15135
14805 _
14483
14167
13859
13557
13262 _
1297*
12692
12*16
12146
11882 _
11625
11372
11126
10884
10648 .
10417
10192
09971
09755
09544 .
09337
09135
08938
08745
08556
10-1x0,
- 28.5
27,5
27
26.5
26
- 2S,S
24,5
24-
14
21
- 22.S
22
21,5
21,5
20.5
- 20
20
19
1»
18,5
-180 J
176.5
172.5
168,5
165
-161
158
154
151
147J
-144
1*1
138
135
132
-128Л
126.S
123
121
118
-115,5
112,5
110,5
108
105.5
-103.5
101
98.5
•6,5
«Л

368 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 55
2 ком
К,(х)
4 КоМ
1 к,
(»)
■l-KeW
|10-3х0,
7920 _
7750
7S8S
7423
7264
7109
6957
6809
6663
6521
6382
6246
6113
5983
5855
5730
5608
5489
5372
5258
S146
S036
4929
4824
4722
4621
4523
4427
4333
4241
41S1
4063
3977
3892
3810
3729 .
3650
3S72
3496
3422
3350 .
3279
3209
3141
3075
ЗОЮ .
2946
2884
2823
2763
2704
It0-Jjc0,
-8S
82,5
81
79 5
П 5
-74
74
73
71
6«.S
-68
66 S
65
Ы
62.5
-61
59 S
58.5
S7
Si
- SS
MS
52.5
SI
50.5
-49
48
47
44
45
-44
43
42.5
41
40. S
- 39.5
39
38
37
36
-3S.S
35
34
33
32,5
-32
31
30.5
30
29.S
10->xO,
8556
8371
8190
8013
7840
7671
7505
7344
7185
7030
6879-
6731
6586
6444
6305
6170
6037
5907
5780
5656
— 925
90,5
88, S
84S
«4 5
— 83
80.5
7»,5
775
75.5
— 74
72.5
71
69.S
67.S
— 66.5
65
63.5
62
61
5534
5415
5299
5185
5074
**« - 51.5
48S8 „
4754
4652
4553
59.5
58
57
55 5
54.5
51
49.5
49
4455
4359
4266
4175
4085
3998
3912
3829
3747
3667
3588
3511
3436
3363
3291
3221
3152
3085
3019
2954
2891
— 48
46.5
45..»
«5
43.5
— 43
41.5
41
40
39.5
— 38.5
37.5
34.5
34
35
— 34.5
33.5
33
32.5
31.5
7,00
02
04
06
08
7,10
12
14
•16
18
7,20
22
24
26
28
7.30
32
34
36
38
7.40
42
44
46
48
7.50
52
54
56
58
7.60
62
64
66
68
7.70
72
74
76
78
7.80
82
84
86
88
7.90
92
94
96
98
8.00
IOJxO,
2704
2647
2591
2536
2483
2430
2379
2329
2279
2231
2184
2138
2093
2049
2005
1963
1922
1881
1841
1803
17646
17274
16910
16553
16205
15863 .
15529
15202
14882
14568
14262 .
13961
13668
13380
13098
12823
12553
12289
12031
11778
11530 .
11288
11050
10818
10591
10368 .
10151
09938
09729
09525
09325
10-3*0»
- 28.S
28
27 5
245
26,5
- 25 5
25
25
24
23,5
- 23
22 S
22
22
21
- 20.5
20.5
20
1*
19
-184
182
178.5
174
171
-147
163.5
160
157
153
-150.5
146.5
144
141
137.5
-135
132
M29
126,5
124
-121
119
116
113.5
111.5
-108.5
106.5
104.5
102
100
10-3 xO,
2891
2830
2769^
2710
2653
2596
2541
2487
2434
2382
2331
2282
2233
2185
2139
2093
2049
2005
1963
1921
1880
1840
1801
1763
1726
16889 .
16531
16180
15837
15501
15172 .
14851
14536
14228
13926
13631
13343
13060
12784
12513
12248 .
11989
11735
11487
11244
11006 _
10773
10546
10323
10105
09891
10-JxO,
- 30,5
30 5
29 S
285
28 S
- 27-5
27
26.5
26
25 5
-24 5
2« 5
24
23
23
- 22
22
21
21
20,5
- 20
19.5
19
18.5
18.5
-179
175.5
171.5
168
166.5
- 160.5
157.5
154
151
147.5
-144
141 5
138
135 5
132.5
-129.5
127
12«
121.5
119
-114.5
113.5
111.5
109
107
8.00
02
04
06
08
8.Ю
12
14
16
18
8.20
22
24
26
28
8,30
32
34
36
38
8.40
42
44
46
48
8.50
52
54
56
58
8.@
62
64
66
68
8.70
72
74
76
78
8.80
82
84
86
88
8.90
92
94
96
98
9.00
10<х0,
9325 _
9129
8937
8750
8566
8386 _
8211
8038
7870
7705
7543 _
7385
7230
7079
6930
6785 _
6643
6504
6368
6234
6104 _
5976
5851
5729
5609
5491
5376
5264
5154
5046
4941
4837
4736
4637
4540
4445
4352
4261
4172
4085
4000
3916
3835
3755
3676
3599 _
3524
3451
3379
3308
3239
tO-*xO.
96
93 5
92
90
-87,5
845
84
82.5
81
-79
77.5
75 5
74.5
72,5
-71
6«,S
68
67
65
-64
62 5
61
60
59
-57.5
56
55
54
52.5
-51
50.5
49.5
48.5
47.5
-46.5
45.5
44.5
«3.5
42.5
-42
40.5
«0
39.5
38.5
-37.5
36.5
36
35.5
34.5

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
259
Продолжение табл. 53
X
$.00
02
04
06
08
9.10
12
14
16
18
9.20
22
24
26
28
9.30
32
34
36
38
9.40
42
44
46
40
9.50
52
54
56
58
9.60
62
64
66
68
9.70
72
74
76
78
9.80
82
84
86
88
9.90
92
94
96
98
10.00
±Ко(*)
«НхО.
3239 _
3172
3105
3041
2977
2915 _
2854
2795
2737
2680
2624 _
2569
2516
2463
2412
2362 _
2312
2264
2217
2171
2126 _
2081
2038
1996
1954 '
1914 _
1874
1835
1797
1759
17226_
16868
16517
16174
15837
15508_
15186
14870
14561
14259
13962_
13672
13388
13110
12838
12571 _
12310
12054
11804
11559
11319
10-** 0.
33.5
33.S
32
32
31
30.S
2».5
2*
28.5
28
27.S
26 .S
26.5
2S S
2S
2S
24
23.5
23
22.S
22.S
21 S
21
21
20
20
19.5
19
19
18
179
175.5
171.5
148 5
144.5
141
158
15( 5
151
148.5
1E
142
139
136
133.5
130 5
128
125
122 5
120
1/С,(х)
10-4x0.
3415 _
3343
3273
3204
3137
3071 _
3007
2944
2882
2822 -
2763
2705
2648
2593
2539
2485 _
2433
2383
2333
2284
2236 .
2189
2144
2099
20SS
2012
1970
1929
1888
1849
1810
1772
1735
1699
1664
16289.
15949
15616
15290
149Л
14658.
14352
14053
13760
13472
13191 _
12916
12647
12383
12125
11872
1(НхО.
- 34
35
34.5
33.5
33
- 12
31.5
31
30
29.5
- 29
28.5
27.5
27
27
- 26
25
25
24.5-
24
- 23.5
22.5
22 5
22
21.5
- 21
30.5
20.5
19.5
19.5
- 19
18.5
18
17.5
17.5
-170
166.5
163
159.5
156.5
-153
149.5
144.5
144
140.5
-137 5
134.5
132
129
126.5
X
10.00
02
04
06
08
10.10
12
14
16
18
10.20
22
24
26
28
10.30
32
34
36
38
10.40
42
44
46
48
10.50
52
54
56
58
10.60
62
64
66
68
10.70
72
74
76
78
10.80
82
•84
86
88
10.90
92
94
96
98
11.00
|квМ
10-4x0.
11319 _
11084
10854
10629
10408
10192 _
09981
09774
09571
09372
09178 _
08988
08801
08619
08440
08265.
08094
07926
07762
07601
07443.
07289*
07138
06990
06845
06704.
06565
06429
06296
06165
06038.
95WJ
05790
05670
0SSS3
05438 .
05325*
05215
0S107
05002
04898.
04797
04698
04600
04S0S
04412.
04321
04232
04144
04058
03974
1fr*x0,
-117.5
115
112.5
110.5
108
-105.5
103.5
101.5
99.5
97
- 95
93.5
91
89.5
87.5
- 85.5
84
82
80.5
7»
- 77
75.5
74
72.5
70.5
- 69.5
68
66.5
65.5
63.5
- 62 5
64.4
to
58.5
57 5
-56 5
55
54
52.5
52
- 50.5
49.5
49
47.5
46.5
- 45.5
- 44.5
44
43
42
2к,м
10-*x0.
11872.
11625
11382
11145
10913
10685.
10463~
10245
10031
09822
09618.
09418
09221
09029
08842
08657.
08477 "
08301
08128
07959
07/93.
07631
07472
07317
07165
07016.
06870
06727
06587
06450
06316.
06185 "
06056
05931
05807
05687.
05569
05453
05340
05229
05120.
05014
04910
04808
04708
04610.
04515 "
04421
04329
04239
04151
1fr*x0.
-123.5
121.5
118.5
116
114
-111
109
107
104.5
102
-100
98.5
96
93.5
92.5
- 90
88
86.5
84.5
83
- 81
79.5
77.5
76
74.5
- 73
71.5
70
685
67
- 65.5
66.5
62.5
62
60
- 59
S8
$6.5
55.5
S4.S
- 53
52
SI
50
49
-.47.5
47
46
45
4*
X
11.00
02
04
06
08
11.10
12
14
16
18
T1.20
22
24
26
28
11.30
32
34
36
38
11.40
42
44
46
48
11.50
52
54
56
58
11.60
62
64
66
68
11.70
72
74
76
78
11.80
82
84
86
88
11.90
92
94
96
98
12.00
iKo(x)
10-5x0.
3974 _
3892
3812
3733
3656
3580 _
3506
3434
3363
3293
3225 _
3159
3094
3030
2967
2906 _
2846
2787
2729
2673
2618 _
2564
2511
2459
2408
2359 _
2310
2262
2216
2170
2125 _
2081
2038
1996
1955
1915 _
1875
1837
1799
1762
17255 _
16899
16SS0
16209
15875
15548 _
15228
14914
14607
14306
14011
10-5x0.
41
40
39.5
38.5
38
37
36
35.5
35
34
33
32.5
32
31.5
30.5
30
29.5
29
28
27.5
27
26.5
26
25.5
24.5
24.5
24
23
23
22.5
22
21.5
21
20.5
20
20
19
19
18.5
18.5
178
174.5
170.5
167
163.5
160
157
153.5
150 5
147.5
!*(*>
10-5x0.
4151 _
4065
3981
3898
3817
3738
3661
3585
35Ю
3438
3366
3297
3228
3161
3096
3032
2969
2907
2847
2788
2730 _
2674
2619
2564
2511
2459
2408
2358
2310
2262
2215
2169
2124
2080
2037
1995
1954
1913
1874
1835
17971 .
17600 ~
17236
16879
16530
16189.
15854 ~
15526
1S20S
14891
14563
10-5x0.
- 4)
42
41.5
40.5
39.5
- МЯ
38
37.5
36
36
- ПЛ
34J
33.5
32.5
»,
- 31.1
31
30
aw
»
- аэ
27J
27.1
26.1
26
- 25.5
25
24
24
23.5
- 23
22.1
22
21Д
21
- 20.3
203
t»J
1»J
t»
-185J
182
178.J
174Л
170.S
-167J
164
160.3
157
154

260
ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
ж
1200
02
04
06
08
1210
12
1*
1«
IS
42 20
22
2*
' 28
12 30
Э2
34
36
38
12 40
42
44
. 46
48
12 50
52
54
56
58
1260
62
64
66
«8
1270
72
74
76
78
12 80
82
84
86
88
1290
92
94
96
98
1300
^КоИ
to-s*o.
14011 _
13722
13440
13163
12892
12826 _
12366
12111
11862
11618
11379 _
11144
10915
10690
10470
10255 _
10044
09837
09634
09436
09241 _
090S2
08866
08683
O8S05
08330 _
08158
07990
07826
07665
0750? _
073SJ
0720*
07054
06909
06767 _
06628
06491
0*35*
06217
8609» _
0S97*
05851
05731
054*3
05498 _
05385
05274
05166
050*9
0495*
101@,
144 5
141
118 5
IIS S
13
10
27 5
24 S
22
19S
17 S
US
13 S
10
07 S
OSS
оз s
01 S
99
97
•a
93
91 S
89
87 S
86
84
82
SO S
39
77
7S S
74
72 S
71
69 S
68 5
66 5
65 5
64
62 S
41 S
60
59
57 S
56 5
55 S
S4
53
52
2 у
— Л1i*
105»0,
U583 _
14282
13987
13698
13415
13138 _
12866
12601
1Й40
12086
11836 _
11592
11352
11118
10888
10664 _
10443
10228
10017
09810
09608 _^
09409
09215
09025
08839
08657 _
08478
08303
08132
07964
07800 _
07639
07482
07327
07176
07028 _
06883
06742
06603
06466
06333 _
06203
06075
05950
05827
0S707 _
05589
05474
05362
05251
05143
10**0.
)
505
47 5
«4 S
41 S
38 S
36
32 S
30 5
27
25
n
10
♦7
IS
12
Ю S
07 S
OSS
01 5
01
99S
97
95
93
91
89 S
87 S
85 S
84
8}
80S
78 S
775
7SS
74
72S
70S
69 S
68 S
66S
65
64
62 S
61 S
60
S9
17 S
56
SSS
54
— KoU) i — Kt(x)
1300
02
04
06
08
t310
12
14
16
18
13 20
22
24
26
28
13 30
32
34
36
38
1340
42
44
4b
48
13 50
52
54
56
58
1360
62
64
66
68
13 70
72
74
76
78
1380
82
84
86
88
1390
92
94
96
98
1400
10**0
4956 _
4854
4754
4657
4561
4467 _
4376
4286
4198
4112
4027 _
3944
3863
3784
3707
3630 _
3556
3483
3411
3j41
3273 _
3206
3140
3076
3012
2951
2890
2831
2773
2716
2660 _
2606
2552
2500
2449
2398 _
2349
2301
2254
2208
2162 _
2118
2075
2032
1990
1950 _
1910
1871
1832
1795
1758
10 6x0,
-SI
50
«8S
48
*7
-*S 5
45
<4
43
42 5
-41 S
40 5
19 S
38 5
18 5
- 17
36 5
36
35
34
-13S
31
33
12
30 5
- 30 S
29 S
39
28 5
28
-27
27
26
25 S
25 S
-24S
24
23 5
23
73
-22
21 S
21 S
21
20
-20
19S
19 S
18 5
18 5
10"» xO.
5143 _
5037
4933
4832
4732
4635 _
4539
4446
4354
4265
4177 _
4091
4007
3924
3844
3765 _
3687
3611
3537
3464
3393 _
3323
325S
3188
3122
3058 _
2995
2934
2873
2814
2756 _
2700
2644
2590
2537
2484 _
2433
2383
2334
2286
2239 _
2193
2148
2104
2061
2019 ^
1977 "
1937
1897
1858
1820
10*x0,
-S3
S2
SOS
50
485
- 48
46 5
46
445
44
-43
42
41 S
40
39 S
- 39
38
37
165
MS
- 3S
34
33 s
13
12
- 31 S
305
305
29 5
29
-28
18
17
26 5
26 5
-25 5
25
24 5
24
23 5
-2}
22 5
22
21 5
21
-21
20
20
19 5
19
родолжение табл. 55
^ко(д) j it'W
1400
02
04
06
08
14 10
12
U
16
18
14 20
22
24
26
28
14 30
32
34
36
38
14 40
42
44
46
48
14 50
52
54
56
58
1460
62
64
66
68
14 70
72
74
76
78
14 80
82
84
86
88
1490
92
94
96
98
1500
Ifr* jcO.
1757»
17219
16866
16521
16182
15851
15526
15208
14897
14592
14293
14000
13713
13433
13158
12888
12624
12366
12113
11865
11622
11384
11151
10923
10699
10480
10266
10055
09850
09648
09451
09257
09068
08882
08701
08523
08348
08178
08010
07846
07686
07529
07375
07224
07076
06932
06790
06651
06515
06382
06251
10-* xO,
— 180
176 5
172 5
169 5
165 5
— 162 5
159
155 5
152 5
149 5
- 146 5
143 5
140
117 5
115
- 112
129
126 5
124
121 5
— 119
116 5
114
112
109 5
_ 107
105 5
102 5
101
98 5
— 97
94 5
93
90 5
89
— 87 5
85
84
82
80
— 78 5
77
75 5
74
72
— 71
69 5
68
66 5
65 5
I0-»jc0,
1*197
17813
17457
17099
16748
16404
16067
15737
15414
15098
14788
14484
14187
13896
13611
13331
13058
12790
12527
12270
12019
11772
11531
11294
11062
10836
10613
10396
10182
09974
09769
09569
09373
09181
08992
08808
08627
08451
08277
08108
07942
07779
07619
07463
07310
07160
07014
06870
06729
06591
06456
I0»x#,
-18*
183
179
175 5
172
- 168 5
165
161 S
158
155
-152
1485
145 5
142 5
140
— 114 5
134
131 5
128 5
125 5
— 123 5
120 5
118 S
116
113
-111S
108 5
107
104
102 5
— 100
98
96
96 5
92
— 905
88
87
145
83
— 81 5
80
78
76 5
75
— 73
71
70S
49
675

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 261
Продолжение табл. 55г
X
1500
02
04
06
08
15 10
12
14
16
18
1520
22
24
26
28
15 30
32
34
36
38
1540
iKo(x)
1*г7х0
6251 -63 S
6124 6J
5998 м
5876 w
5756 „
8 _57 5
5НЗ 56 5
5418 555
529» и
5191 „
5085 -Я
4981 „
487» и
477» „,
4682 „
*586 _47
«492 „S
4401 «
4311 „
*Р* 43 5
4136
10-' хО
iK,W
107х0
и56 -66
*И* 64 S
*195 63 S
6068 И5
5943 М5
мн -5» 5
5703 585
5586 „ ,
5471 S6
5359 54S
«50 _5«
5142 52 5
5037 я 5
*93* 50 5
«833 „5
*734-48 5
4637 „ъ
45« 46 5
4449 45 5
4358 U5
.4269
10'хО.
1 "
1540
42
44
46
48
1550
52
54
56
58
15 60
62
64
66
68
J5 70
72
74
76
78
1580
V Ко(х,
107х0
41 * -42
4052 „ 5
3«» 40 5
3888 395
3809 „
3731 -38
3655 }75
«80 36 5
3507 36
3435 „
33« -34 5
3296 „ 5
3229 „
3163 „
3099 п
*°3* _„
"" 30
W13 30
2853 2,
2795 *>5
2738
Ю7хО
±К1(х,
10-7х0
4269 _и
4181 42 5
4096 м
4012 41
3930 Wi
3849 _ },
3771 и 5
3694 зв
3618 J?
3544 36 5
3471 - 35 5
3400 34 S
3331 M
3263 J35
3196 ^,
3131 -n
3067 и 5
3004 „
2942 J0
2882 „5
2823
107xO
X
1580
82
84
86
88
1590
92
94
96
98
1600
V M«)
10-7x0
2738 .
2682
2627
2574
2521
2470
2419
2370
2322
2274
2228
10-7x0.
-28
27 5
265
265
255
-25 5
245
24
24
23
i-K,W
>0-7 x 0,
2823
2766
2709
2654
259»
2546
2494
2443
2393
2344
2296
Юг'хв
-285
28S
27 S
27 S,
26. b.
—26
IS S.
2S
24 S
24
-J <£<-/-•-•- -i<q<3 3*Q<5
Рис. 150. Нули функций Н^ (г) и Н"* (z)

262 ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 56. Модифицированные функции Бесселя /„(JC) и —К„(х) для v=—,
I. (х) = е"ГЧAх). ~ К. (х)= е(' + 1 'Т' H?>(ix)
'i/»W
0,0000
0,4133
0,5237
0,6051
0,6747
0,7390
0,8012
0.8636
0.9276
0.994Э
1.0646
1.1396
1.2199
1.306S
1.4000
1.5014
1.6115
1.7313
1,8617
2.0038
2.1588
2.3279
2,5124
2.7139
2.9339
3.174
3.437
3,724
4.038
4.381
4.756
5.166
5.615
6.106
6.642
7,230
7.873
8.577
9,347
10,190
11,114
12,125
13,233
14,446
15,775
17,231
18.827
20.576
21*93
24.594
26,898
iK.pM
оо
1,8461
1.2601
0.9607
0.7676
0.6296
0,5253
0.4434
0.3776
0,3238
0,27911
0.24167
0.21001
0.18306
0,16000
0.14016
0.12302
0,10818
0,09527
0,08402
0,07419
0.06SS9
0.05805
0.05142
0,04559
0.04045
0.03592
0.03192
0.028380
0.025249
0.022476
0.020018
0.017838
0.015902
0,014183
0.012654
0.011295
0.010085
0,009008
0,008049
0.007194
0 006432
0.005752
0,005145
0,004604
0.004120
0.003688
0.003303
0 0029578
0.0026495
0.0023739
%(*)
0,00000
0.15057
0,24009
0,3170
0,3880
0.4563/
0,5237
0.5915
0.F09
0.7326
0,8075
0.8864
0.9701
1.0593
1,1547
1.2573
1.3678
1.4872
1.6165
1.7567
1.9089
2.0745
2.2546
2.4509
2.6648
2.8981
3.153
3.431
3,734
4.066
4,429
4.826
5,259
5.734
6.253
6.821
7.443
8.124
8,869
9.686
10.580
11.560
12.633
13,809
15.098
16.511
18.060
19,759
21.621
23.663
25.902
2к2/з(х)
оо
3.026
1.7837
1,2716
0.9681
0,7678
0.6257
0.5187
0,4354
0,3688
0.Э148
0.27024
0.23312
0.20191
0П7547
0.15294
0,13364 '
0,11704
0,10270
0.09027
0.07947
0,07007
0.06185
0,05466
0.04835
0.04282
0,03795
0,03366
асэ9в?7
а 626540
0,023591
0.020982
0.018672
0,016625
0.О14810
0,013200
0.011770
0,010499
0,009369
0.008362
0.007468
0.006671
0.005961
0.005329
0.004764
0.004261
0.003812
0,003411
0.003053
0.0027332
0.0024474
X
' 5,0
1
2
3
4
S.S
6
7
8
9
6.0
1
2
3
4
*д
6
7
8
9
7.0
1
2
Э
4
7.5
6
7
8
9
8.0
1
2
Э
4
8,5
6
7
8
9
9.0
1
2
3
4
».s
6
7
8
9
10.0
'i/iM
26.898
29.423
32.19
3S.23
38,56
42,21
46.22
50.62
55.45
60.74
66.55
72.93
79.93
87,61
96.04
105,30
115,47
126,63
138.89
152.36
167,15
18Э.Э9
201.23
220.03
2*2.37
266.43
292.02
320.6
352.0
386,5
424.4
466,1
511,9
562.2
617.6
678.4
745.3
818.9
899,7
988.6
1086,4
1194.0
1312.2
1442,3
1585.3
1742.6
1915,7
2106.1
2315.5
2545.8
2799.2
LK^x)
0,00
23739
21273
19067
17093
15325
13743
12326
11057
09920
08901
07988
07169
06469
0S778
05188
04658
04184
03758
03375
03032
027245
024481
022000
019772
017779
015974
014360
012910
011608
010438
009386
008U1
007592
006828
006142
00SS25
004971
004472
004024
003621
003258
0029322
0026389
0023751
0021377
0019242
0017321
0015593
0014038
0012639
0011379
0,00
'1/3W
25,902
28.359
31.05
34.01
37.25
40.81
44,72
49,00
53.71
58.87
64.54
70.77
77,60
85.10
93,34
102.39
112.33
123,25
135,24
148.41
162.89
178.79
196.26
215.45
236.55
259,73
285.21
313.2
344,0
377,8
415.0
455.9
500.9
550.3
604,6
664.4
730.1
802.3
881,8
969,1
1065.3
1171.0
1287.2
1415.1
1SSS.8
1710.6
1880.8
2068,1
2274,2
2500.9
2750.4
Iic^m
0,00
2447'
21920
19637
17594 |
15767
14132
12669
11360
10187
09137
08196
07354
06599
05922
05315
04771
04283
03846
03454
03102
027860
025026
022483
020200
018151
016312
014660
013176
011844
010647
009572
008607
007739
006959
006259
005629
005063
004554
004097
003686
003316
0029837
0026847
0024159
0021741
0019566
0017610
0015851
0014268
0012843
0011562
0.M

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
263
5
У
U
Таблица 57. Первые корни x„tS уравнения
Г» (х) Уп (х) -Jn (х) Г'п (х)=0
(
1
2
3
4
5
6
п=0
3,196
6,306
9,439
12.577
15,716
18,857
n=i
4,611
7.799
10,958
14,109
17.256
п=2
5,906
9,197
12,402
15 579
18,744
п=3
7.144
10,537
13.795
17,005
0,0 0,1 0.2 0,3 0А 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
П <?
9
тг
7O
Ц'
Л/!
/
11
1
п т .
U,0
"
О А
/А
т
1
1 f
1
/
/
/
/
г
Г
/
У
/
У
/
/
S
У
/
.--
^
-—"
n]-f
ni
п=з
/7-а.
1
[ \
1
1
\
4*
«7
«5
ДО 0,/ 02 0,3 0,Ь 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
0,4>
Рис. 151 н 152. Нули уп функций /^,(«^)=е * /_,(#)•

264 ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
0.7
У
\
as
0,5
0.4
"N.
-
о.г
Ч'
Л'^
ц
w
{
-
i
а
b.J
к?
It
i
•
i>
\
=j,y
O.J
OA
_!_>(£* L
4VL
г»/
/
<
/
r^
_J
\"
y
г
j
г,г
__,
/
I
k
&j
f
о
38/
0.5
ГЛ
0Ц;5
v =4.9
i Д
0,6
to
1 \47 4fi
J.2
J.f
Г
4.8
•
4.1
\44 1
J
/
H,JL
r'
kt
1
0.2
OJ
0.7
0,5
-0,5
0,4
0,4
0,5 0J5.
OJ) 0,1 OJ OJ 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 f,0
Рис 153 и 154. Нули xa+ty„ функций J_Д* +1#).
3. Функции f* с льв и и ft
3.1. Повороту на 135° соответствуют функции Бесселя Zv (е * г). Они
являются решениями дифференциального уравнения
Z dF + Z Тг {tZ + v )да = °-
Исходя из функций Jv(z), М"^) и H^\z), определяют функции Кельвина

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
265
соотношениями
от л п
bQTv(z)±ibeiJz) = JJze± * ) = е±'*т ' Iv(ze± * ),
Н,
her„ (г) + i hei„ (г) = /#' (ze * ), herv (г) — / heiv (z) = /#' (ге * ),
kerv (г) + / keiv (*) = f /#' (*е * ), kerv (z)—i keiv (г) ~ Н? (ze * ),
W 1 —
j
-Г- t
г
1 -beifrj /
-А/
Y_
~i~ ~-——.^ 2
"T" "т——^, ***-";»» /
"es~~'~—. "^^ t^
— "~—*"C
4,
5 ^4
. berfo/ v, 1
i_ 4^
"^^
, "^-_
in — — 1 1—1—1—1—'—
X
140
120
100
80
60
40
20
О
-20
-40
SO.
!_
V
1
4»
f ber(x)
Ъе\.[л}
Рис.
в 7 8 S _^£ 10
155 v 156. Функции Кельвина lex (x) и ben*;.

266
XU1. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
ИЛИ
±i«
так что
ker,(*)±/kel,(*) = e 2 Kv (ze*• ),
her* (*) = Jf kei, (г), hei„ («)=— — ker„ (г).
Для наиболее важного случая v=0 индекс у знака функции опускается:
ber (г), beiB), her (г), hei(^), ker(.z), kei(^). Разложения ber (г), bei(^) в
степенные ряды таковы:
ber (z) = 1
~2242~г2г4г6282"
Ье1(*)=-| г
2*4*6*
+ ...
Если порядок v действителен и аргумент z = x принимает
действительные положительные значения, то все функции Кельвина действительны
-5
■10,
ЛИГ
1 1
beit^j
-дг
£
/40
120
W
80
50
40
20
-20
.-40
'^2
-ber,l
fx)
Г
Ъънх).
10
Рис. 157 и 158. Функции Кельвина betj (х) и beij (х).

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
267
<рис. 155'—162, таблицы 58—62). В окрестности x = Q имеем:
Ьег(А;)=:1, Ье1(л:):5=£, her(je)ю —J-, Ье1(л:)«Д ln^ ,
а для х^>1, a;^>v* справедливы представления (выписаны лишь первые
приближения):
У*
УТ
У^Ш. \V2 8 У к> У?лх \\Г2 «У,
t1er(^-/Ae-^sln/^+M,heiW^_/|e^cos(-^+^.
Uyt
ОА
03
о.г
0.1
■0,1
■0,2
0.3
0.4
• пч
—
i
1
/
/
/
г
he
у
г
г(
/
т!
heife
;
ojooa
0,006
0,004
0,002
-0,002
-0,004
-0,006
-0,008
J
-Jr.
he* ^i
-herteJ
<J
/0
Рис 159 и 160 Функции Кельвина her (х) и hei ^x).

268
ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
их
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-мс
1
/
/
/
/
/
'
1
к
3!
±
-\\R\.(.rL
>
г
3
4
5
-X
6
о,от
0,008
0,006
0,004
0,002
о
'0,002
-0,004
1
1
her,
-1161,1.27
х)
6 у 7 8 9 — х
Рис. 161 и 162. Функции Кельвина her,(x) н hej, (x).
Ю
3.2. Дальней1ше представления и свойства функций Кельвина получаются
kj, представлений и свойств функций Jv (z) и Н^л) (г).
Правила дифференцирования:
ber'(.z)±Jbei'(z) = e * [ber,B)±ibei, {г)],
Til
her' (z)±ihei'(z) = e * [her, (^)±ihei, (z)].
Для действительного x>0 имеем:
Jn (xVJ) = Jn (xe~ ') = (-1)" [ber„ (x) — i bei„ (*)],
№{хУТ) = №(хе^ ') = (_1)"+' [her„(*)_;hei„(*)];
в частности,
Л(.«VT) = ber (x) — ibei (a;), fft* (xV~l) = —her (je)+/hei (*),
g [/„ (*VT)] = — VTy, (jcVT) = ber' (*)—i bel' (*),
dx
[//<*> (xl/" г)] = — К» Н[ц {xV i) = —her' (*) + ihei' (jc).

В. М ОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
269
Часто бывает необходимо знать модуль и аргумент функций Кельвина;
тогда пишут:
J4(zVT) =b4(z)Jb>iZ),
Hi1)(zVT) = hJz)eir>viz\
или
ber„ (z) + i beiv (z) = Mv (z) ei(>><*\
kerv (z) + i kei„ (z) = Л/, (г) е!ф'(г>
'рис. 163 — 172, таблицы 63, 64).
О'
-90'
-180
Ьо
h-
fio
р
-
Ьо/
^
s
ь,
г—
-Г
1180°
90'
О'
^ X i
^s, 2
^^ -^2_
^^■^ /
N. "^ч^, д /у
^■-^ "у^ , //
^ >» ^ ^ - IV »/
^^ ~?у?
^"v, А> ^^' "^s^
Nv & г '"^ ^. ^
^^^
*-assSSS ^^
1в«»*"*,"в' ^^ _,
^•■v^
/50
/00
50
/0
Рне. 163 и 164. Модуль Ъа и аргумент Р„ функций J'a{rV^ i),. й=0, Г,
как функции г.

270 хш функции ьесселя (цилиндрические функции)
КГ-в— £>> ч». ,
+ + Съ
1 1 I I I I I I 1 1 I I I I I I I I I 1^-
. ^
JT
■--«О о
■-—
'it и
р
«й
•* cf
ж
о
to
<о
I I I I I ' ' I—J—I—L_fca==LJ_J—I—I—I—I—I—I—I—r4»JQ
«r> ~» »-J C\, »•. Q>
• *
cs i i
I I I I I I I I I | ) I ]) I I |"| 'гттг ч I j g||5
■:;; t д.
— - - oa
hf «> i
ТГ -^K
f— <o Iе- r1-
f ^^
v. v.
f ж
^— e
Ю
<£>
■—i—i—i—i—i—i—i—i—i—■—i—■—i—i—.—i—i—i—i—■—i—i—i—I—1^
•о о- *"> «\i "*» «a

90'
90'
Рис. 167. Векторы /„ (г V I) = Ъ^*1 выходят перпендикулярно Рнс. 168. Векторы У, (г V~l) = ft,e?i' выходят перпендикулярно
из оси г. из оси г.
Првмер: плотность переменного электрического тока в круглом проводе на Првмер: напряжение переменного магнитного поля в круглом проводе
различных расстояниях от оси провода. иа различных расстояниях от оси провода.

272
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
/,5
1,0
0,5
i
Л
\
\
\
1
1
\
V'/-
U.
^
f
«-*
-
»
>
\
<J
-180'
0,020
0,0/5
0,010
0,005
1
>>
sV
ъ
Vo
ъ
6
8
-90'
+180'
9 10
—*-Г
Рйс. 169 и 170. Модуль А„ и аргумент х\п функций //'„"(г V~i\, л = 0, 1,
как функции г.

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
273
Рис. 171 и 172. Векторы Н™{rV 0==ftneTta'. л=0, I, выходят
перпендикулярно из оси г.

XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 58. Функции Ьег (х) и bei (x)
•
0.00
02
04
06
08
010
12
14
16
18
0 20
22
24
26
28
0 30
32
34
36
38
o.to
42
44
46
48
0 50
S2
54
56
58
060
62
64
66
68
0 70
72
74
76
78
0.80
82
84
86
88
0.90
92
94
96
98
1.00
Ьег ж
+ 1.
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
0000
•9999
9999
9999
9999
9998
9998
9997
9997
9996
9995
9994
9993
9992
9990 _ о ь
9989 ,
9987 ,
9985 , ь
9982 ,
9980 _ , 5
9977 , 5
9974 2
9970 , 5
9967 2 S
9962 _ 2
9958 2 S
9953 2 S
9948 ,
9942 j
9936 _ Э-5
9929 3'5
9922 3 5
9915 <5
9906 к
9898 _5
9888 5
9878 ss
9867 s'5
9856 s'
9844
+ 0.
be
+ 0.
ooooo
ооою
00040
00090
00160
00250
00360
00490
00640
00810
..
+ 20
20
20
го
к
+ го
20
20
го
20
01000 + *>
01210
01440
01690
01960
20
20
20
20
02250 + »
02560
02890
03240'
03610
04000
04410
04840
05290
05759
0625
0676
0729
0784
0841
0900
0961
1024
1089
1156
1224
1295
1368
1443
1S20
1S99
1680 ,
1762
1847
1934
2023
2113
2206
2301
2397
2496
+ 0.
20
20
20
20
+ 20
20
го
20
20
* 24 5
25 5
26 S
27 5
28 5
29 5
+ 30 5
31 5
32 5
]] 5
34
+ 3S.5
34.5
37.5
Э8.5
39.S
+ 40S
41
42 S
43 S
44 S
+ «
46 S
47.S
4В
49.5
'
1 00
02
04
06
08
1 10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
S2
54
56
S8
' 60
Ы
64
66
68
170
72
74
76
78
1 80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
Ьег х
+ 0.
9844 .
9831
9817
9803
9788
9771 .
97S4
9736
9717
9697
9676 .
96S4
9631
9607
9581
9SS4 .
9S26
9497
9466 V
9434
9401 .
9366
9329
9291
92S2
9211
9168
9123
9077
9029
8979 .
8927
8873
8817
8760
8700 .
8638
8573
8507
8438
8367 .
8294
8218
8140
8059
797S .
7889
7800
7709
7615
7517
-hO,
- 6S
7
7
75
85
- 85
9
9S
10
10 S
-11
11 S
12
13
113
-14
14S
15.S
16
16 5
-17*5
18 5
19
19.5
20 S
-11 S
225
>]
24
25
-2»
27
28
28 S
10
- 31
12 S
31
14 5
IS 5
-36 5
38
19
40 S
42
-43
44 S
45 S
47
49
"
beix
+ •.
2496+so
2S96 S1 ,
2699 S2
2803 53
2909 54
3017 + 55
3127 56
3239 57
3353 i.
3469 S9
3S87 + jo
3707 „j j
3828 и
»« 62 S
4077 63s
«04 +645
4333 45 5
4 665
4S97 67
4731 и
4867 +6,
SOOS 70
SUS 71
S287 71J
5430 7j
«76 + ,3 s
S723 74
5871 7S.5
6022 7b
6174 у» s
6327 + 78
6483 78 5
6640 7f
6798 80.5
69S9 go 5
0 + и
7284 и s
7449 „
761S 84
7783 (j
7«3 + 8S.S
8124 M
8296 87
8470 87.S
864S ю
8821 + 89
8999 e,5
9178 «о
9358 9i
9S40 „ j
9723
+ 0,
*
2.00
02
04
06
08
210
12
14
16
18
2 20
22
24
26
28
220
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2.50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2.70
72
74
76
78
2.80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3.00
ber x
+ 0.
7S17
7417
у 7314
7208
7099
6987
6871
6753
6631
6506
6377
6245
6109
S970
S827
5680
5530
S376
5218
5056
4890
4721
4S47
4369
4186
4000
3809
3614
3414
3210
3001
2788
2570
2347
2119
1887
16S0
1408
1161
0908
0651
0389
0121
*0152
0430
0714
1003
1297
1S97
19<JJ
2214
-8.
— SO
51 5
S3
54 5
56
- »•
5,„
61*
62 S
66.S
— 66
68
69 5
71 S
71.S
— 75
77
79
81
81
— 84 S
87
89
91 S
91
— 9SS
97.5
100
102
104 S
— 106 S
109
111 S
114
116
— 118 S
121
121 S
126 S
128 S
— 131
134
116 S
119
142
— 144.S
147
150
153
1SS.S
bei x
+ 0.
9723 +
9907
*0092
0278
0466
06S4 +
0843
1033
1225
1417
1610 +
1803
1998
2193
2389
2585 +
2782
2980
3178
3376
3S7S +
3774
3973
4173
4372
4S72 +
4771
4971
S171
S370
SS69 +
S747
S966
6164
6361
6SS7 +
67S3
6949
7143
7336
7S29 +
7720
7910
8098
8286
8472 +
8656
8839
9020
9199
9376
+ t,
91
92 Ы
9)
94
94
94 V
95
96
96
96 5
96 5
97 5
97 i
98
98
98 5
99
V>
V>
99 5
995
Vt 5
100
99 S
100
995
too
100
99 S.
995
99
99S
9»
98 5
98
«8
98
97
«6 5
96 5
95 5
95
94
94
»1
n
91 S
90S
89 S
88 S

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
275
Продолжение табл. 58
X
3.00
02
04
06
08
З.Ц>
.12
14
.'6
18
3 20
22
24
26
28
З.ЗД
32
34
36
38
340
42
44
46
48
3.50
S3
5.4
56
S8
3.60
62
64
66
68
370
72
74
76
78
380
82
84
86
88
390
92
94
96
98
4 00
Ьегх
— 0.22U.
0.25 ЗГ
0.2853
0.3181
0.3515
— 0.3855 .
0.4201
0.4553
0.4910
0.5274
— 0,5644 .
0.6020
0.6401
0.6789
0.7184
- 0,7584 .
0,7991
0.8404
0.8823
0.9248
— 0.968 .
1.012
1.056
1.181
1.147
— 1,194
1.241
1.288
1.337
1.386
— 1.415
1 486
1,537
1 588
1 640
— 1.69J .
1.747
1 801
1.856
1.911
— 1 967 .
2.024
2 082
2 140
2.198
— 2 258 .
2.318
2.378
2.439
2.501
- 2.562
-1S8.S
161
164
167
170
-17}
176
178.S
1«
18S
-188
190.5
f«4
m.s
200
- 203.S
206.5
209.S
212,5
216
- 22
22
22,5
23
23.S
- 21.5
23 S
2*.S
2*.S
2«.S
- 25.S
2S S
2S.S
26
26.S
- 17
27
J7S
27.S
28
- 28 5
2»
29
29
30
- 30
H
30.5
11
31
bei x
+1.
9376 + 87.5
9551 e*.S
9724 85
9894 84.5
*0O63 82.5
0228 + g!
0392 go
05S2 7,
0710 ту
0864 76
1016 + 7,
1164 „s
1309 71
1451 и
1S89 67
1 + 45,5
1854 tJ
«»80 4,5
2103 59
2221 56.5
2334 + 55
2444 52
2548 so
2648 <75
2743 «5
2832 + „ 5
2917 j, 5
2996 j6 5
3069 3«
3137 j,
3,99 + 27.5
3254 ,5
3304 2( 5
3347 18
3383 15
344+ ,, s
3436 g
3452 t
3460 + 0 5
J461_ J.5
3454 _ 7
54*0 115
3417 15
3387 „ 5
3348 u
3300 _ га
3244 32 5
3179 37.5
ЗЮ4 i2
3020 «5
29J7
+ 2,
X
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
SB
4.60
62
64
66
68
470
72
74
76
78
480
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
Ьегх
-1-*" -31.S
2.626 л
2,690 3j
2.754 3U
*•«» 32Л
- 2.884 _„
2.950 3J5
3.°" 33,5
5.08* 33.5
3.151 „
-3,219_M5
3.288 3<,5
3.357 35
3.427 3S
3.*" JJ.S
-3,S68_35 5
3.639 j»
3711 ,4
3.783 34
3.85S 34.5
- 3.928 _ 37
*.0O2 J*.s
*075 37.5
4.150 ,7
4.224 „5
-4.299_,7 5
4.374 ю
4.450 ,8
4.526 jg
4.602 j8
- 4.678 _ за s
4.75S 38 5
4,832 3,5
4,909 38$
4.986 з,
- 5 064 _ j,
5.«42 И5
5 219 „
5.297 „
5.375 j,
- 5.453 _з,
5.531 з.
5.609 j,
5.687 j,
S.765 j, ,
- 5,843 _ j,
5»21 И.5
S998 39
6,076 за 5
«.153 J85
- 6.230
bet x
+ 2.2927 _
2.2824
2.2711
2.25B7
2.2454
+ 2.2309 _
2.2154
2.1988
2.1811
2.1622
+ 2,142 _
2.121
2.098
2.07S
2.050
+ 2.024 _
1.996
1.967
1,937
1.906
+ 1.873 _
1.838
1.802
1.765
1.726
+ 1.686 _
1.644
1.601
1.556
1 509
+ 1.461 _
1.411
1.360
1.306
1.251
+ 1.19S _
1.136
1.076
1.014
0.950
+ 0.884 _
0,816
0.746
0.674
0.601
+ 0.52S _
0.447
0.368
0.286
0.202
+ 0*116
51.5
56.5
62
66.5
72.S
77.5
83
68.5
94.5
100
10.5
11.5
11,5
U.5
13
К
1« 5
15
15.5
16 5
17.5
18
18.5
19.S
20
21
21 5
22 5
2) 5
2«
25
25 5
'27
27,5
26
29.5
30
31
32
33
34
35
36
36/5
18
19
3».S
41
B
43
*
5.00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
S.20
22
24
26
28
5.30
32
34
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50
52
54
56
58
560
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
6.00
Ьегх
— 6.230_ за s
6.307 J8
6.383 j.
6,459 J8
6.535 j8
- 6.611 _ j, 5
6^86 37
6.760 37
6.834 j,
6.908 J4
- 6.980 _ 36 s
7.0S3 355
7.124 J5.5
7.195 35
7.265 з<]5
- 7.334 _ j< 5
7.403 33.5
7.470 3J5
7.537 л
7.603 32
— 7.667 _ j2
7.731 j,
7.793 j,
7.3S5 30
7915 29.5
~ 7.974 _ 28,5
8 031 28
8 087 27 5
8.142 jt 5
8 195 M
-8 247_25
8.297 j*
8.345 23,5
8.392 22
8.436 „5
- 8,479 _ 20,5
8.520 20
8 560 18 5
8.597 „5
8.632 и
— 8.664 _ 15 5
8 695 ,t
8.723 ,j
8.749 ,2
8.773 10 5
- 8.794 _ ,
8.812 g
8.828 4.5
8.841 5
8.851 3,s
- 8 858
be>x
+ 0.116 _
+ 0.028
— 0.062
0.155
0.250
— 0.347 _
0.446
0.547
0.6S1
0,757
— 0.866 _
0,977
1.090
1.206
1.324
—1.4*4 _
1.547
1.693
1.821
1.951
— 2.08S_
2.220
2.358
2.499
2.643
— 2.789 _
2 938
3.089
3.24]
3.400
- 3.560 _
3.722
3.887
4.0SS
4.22S
— 4.399 _
4.S7S
4.7S3
4.93S
S.120
-S.307_
S.497
5,690
S.886
6.084
-6J8S_
6.490
6.697
6.907
2.119
-7.33S
D
45
46.S
47.5
485
(«5
50 i
52
53
54 5
55 5
56.5
SS
59
60
61. S
63
64
65
67
67.S
69
705
72
73
7*.5>
75 i
77
784
«0
81
82 5
84
85
87
88
89
«1
92S
93 i
<K
Hi
«8
99"
100 5
102 5
105 i
105
106
108

276
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 59. Функции Ьег' {х) я bei' (х)
ber'x = -j^-1Ы0(*УГ)= ~Re"/TJi(xyT). bei'x- —-^•Im/0(xy7) = lm УТЛ (хУГ)
х
0.00
02
04
06
08
0.10
12
14
16
18
0.20
22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
42
44
46
48
0,50
S2
54
S6
58
0.60
62
64
66
68
0.70
п
74
76
78
0.80
82
84
86
88
Э.90
п
94
96
98
1,00
Ьег
-0,0
0000
0000
0000 _
0001
0003
0006 _
0011
0017
0026
0036
0050 _
00*7
0086
0110
0137
0169 _
0205
0246
0292
0343
0400 _
0463
0532
0608
0691
0781 _
0879
0984
1098
1219
1350 _
1489
1638
1797
1965
2143 _
2332
2532
2743
296S
3199 _
344S
3703
3973
4257
4554 _
4864,
5188
5526
5878
6245
-0,0
X
0.S
1
1.5
3.5
3
4.S
S
7
8 5
9.S
12
и 5
16
18
20 5
23
25 5
28 5
Л 5
34.5
38
41.5
«5
*9
52 5
57
60 5
E 5
69 5
74 5
79.S
84
89
9*. 5
100
105.5
111
117
123
129
135
U2
148,5
155
162
169
176
183,5
ЬеГх
+ 0.
0000 +
0100
0200
0300
0400
0500 +
0600
0700
0800
0900
1000 +
1100
1200
1300
14О0
1500 +
1600
1700
1800
1900
2000 +
2100
2200
2299
2399
2499 +
2599
2699
2799
2898
2998 +
3098
3197
3297
3396
3496 +
3595
3694
3793'
3892
3991 +
4090
4189
4288
4386
4485 +
4583
4681
4779
4876
4974
+ 0.
SO
50
SO
SO
SO
50
50
SO
50
50
50
SO
50
50
50
50
50
50
SO
50
SO
50
49.S
SO
SO
50
SO
SO
49.5
SO
SO
49.S
SO
49.S
SO
(9 5
«9 5
49 5
49,5
49,5
49.S
49,5
49.5
49
49.S
(9
49
4»
48,5
4»
X
1.00
02
04
06
08
1.Ю
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
56
53
1.60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1 80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
be
— 0.
0624
0663
0702
0744
0786
0831
0877
0925
0974
1025
1078
1133
1189
1248
1308
1370
1434
1500
1567
1637
1709
1783
1859
1937
2018
2100
2185
2272
2361
2452
2545
2641
2740
2840
2943
3048
3156
3266
3379
3494
3612
3732
3855
3980
4108
4238
4372
4507
4646
4787
4931
-o,
''■
— 19 5
19 5
21
21
22.5
— 23
24
24.5
25,5
26.5
— 27.5
28'
29,5
30
31
— 32
33
33,5
35
36
— 37
38
39
40.5
*1
— «5
43,5
44.5
<V5
46 5
— 48
49.5
50
51.5
52.5
— s*
55
56 5
57 5
59
— 60
61 S
62 5
64
65
— 67
67 5
69,5
70,5
72
ЬеГх
+ 0.
4974 + u 5
5071 u 5
5168 435
5265 48,5
5362 4,
5458 + 4,
5554 4,
5650 <7 5
5745 i7 5
5«0 475
5 + «7 5
6030 t7
6124 46.5
6217 t7
6311 u
6403 + 44,S
6496 w
6588 45 5
6679 455
6770 45
6860 + 45
6950 445
7039 44
7127 44
7215 44
7J03 + 43
7389 4,
7475 42 5
7560 42
7644 4,5
7717 +41.S
7810 4,
7892 40
7972 40
8052 39 5
8131 + „
8209 MS
8286 J75
8361 J75
8*36 Jt5
8509 + }t
8581 J55
8652 j5
8722 j4
•8790 jjs
8857 + „
8923 j2
8987 }1 5
9050 H 5
»111 29.5
9170
+ 0,
X
2,00
02
04
06
08
2.10
12
14
16
18
2,20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2,50
52
54
56
58
2,60
62
64
66
68
2,70
72
74
76
78
280
82
84
86
88
2,90
92
94
96
98
3,00
ber'x
— 0,
4931
5077
5226
5378
5533
5691
5851
6014
6180
6348
6520
6694
6872
7052
7234
7420
7609
7800
7995
8192
8392
8595
8801
9010
9221
9436
9653
9873
•0097
0323
0551
0783
1017
1255
1495
1738
1983
2231
2482
2736
2993
3252
3513
1778
4045
4314
4S86
4861
5137
5417
5698
— 1,
— 73
»4.S
7*
77.S
79
— 80
81,5
8)
84
86
— 87
89
90
91
93
— 9« 5
95 5
97 5
98 5
100
— 101 .S
поз
104,5
105 5
107 5
— 108 5
110
112
113
111
— 116
119
120
111.5
— 122,5
124
125,S
127
128,5
— 129 5
130 5
132,5
13Э.5
134.5
— 136
1J7S
138
140
140,5
bei'x
+ 0.
9170 + j,
9228 28
928* „
»»8 JbS
9391 25.5
»*« + 2* S
9491 2,5
9538 21
9582 21 5
9625 ,0iS
9666 + 19 5
9705 1B
9741 „
9775 14.
9807 u 5
9836 +,J5
9863 „
9887 „
9909 ,5
9928 ,
9944 + ,
9958 5
9968 4
9976 ,s
9981 + ,
9983 _ ,
9981 j
9977 4
9969 6
9957 j
9943 _ 95
»"* 10.S
9903 ,j
9877 ,45
98*8 1ts
9815 _1в.5
9778 j0S
9737 22 S
9692 24.S
96*3 J6.5
9590 _ 29
«32 j,
9470 j, 5
9403 J5S
9332 J75
«57 _ jo 5
9176 42.S
9091 45.S
9000 475
8905 и
8805
+ 0.

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
277
Продолжение табл. 59
п
3.00
02
04
06
08
3.10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
3J0
32
34
36
38
3.40
42
44
46
48
3.50
52
54
56
58
3.60
62
64
66
68
3.70
72
7*
76
78
ЗЛО
82
84
86
88
3,90
92
94
96
98
4.00
Ьет'х
—1.570 _.
1.598
1.627
1.656
1.68S .
— 1.714 .,
t.744
1.773
1.803
1.833
-1.864 „.
1.894
1.925
1.956
1.987 ,
— 2.01 И _
2.049 ,
2.080 ,
2.112 ,
2.144
— 2.175 _
2.207
2.239
2.272
2.304
— 2.3Э6 _
2.Э68
2.401
2.433
2.466
- 2.498 _
2.5Э1
2.563
2.596
2.628
— 2.661 _
2.69Э
2.726
2.7S8
2.790
— 2.822 _
2.854
2.886
2.918
2.9*9
— 2.981 _
3.012
1 3.043
3.074
3.104
— 3.135
4
4.S
4,5
4.S
4.S
S
4.S
■
S
5.5
S
S.S
S.S
S.S
S.S
S.S
5 5
6
6
s.s
6
6
6.5
6
6
6
6.5
6
6.5
6
6S
6
HS
•6
16.5
16
6 5
6
16
16
16
16
16
15.5
16
1S.S
1S.S
«5.5
15
15.5
bei
+ 0,
8805 _
8699
8388
8472
8350
Б223 _
8390
i951
7807
7656
7499 _
7336
7167
6992
6810
6621 _
6426
6224
6016
5800
5577 _
5347
5110
4865
4613
4353 _
4086
3810
3527
3236
2937 _
2629
2313
1989
1656
1315 _
0965
0606
0238
*0139
0525 _
0921
132S
1739
2163
2597 _
3040
3493
3955
4428
4911
-0.
-
- S3
55.5
58
61
63.5
- 66.5
69.5
72
75.5
78.5
- 81.5
84.5
87.5
*1
94.5
- 97.5
101
104
108
111.5
-115
118 5
122.5
126
130
-133.5
138
141.5
145.5
149.5
-154
158
162
166.5
170 5
-175
179.5
184
188.5
193
- 198
202
207
212
217
-221.5
226 5
231
236.5
241.5
""
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
Ьег'
— J,
135 _
165
194
224
253
282 _
310 .
338
366
393
420 _
446
472
497
522
547^
570
593
616
638
659 _
679
699
718
736
754 _
770
786
801
815
828 _
840
851
861
870
878 _
885
891
895
899 _
901
901
901 +
899
896
891 +
885
877
868
858
845
-3,
к
15
14.5
5
4.5
4.5
4
4
4
3.S
3.5
3
3
2.5
2.5
12.5
11.5
1.5
1,5
И
10.5
10
10
9.5
9
9
8
8
7.5
1
4,5
6
5.5
5
4.5
4
3.5
3
2
2
1
0
0
1
1.S
2.5
3
4
4.5
5
6.5
bei'
— 0.491 .
0.540
0.591
0.642
0,695
— 0.748 .
0.803
0.858
0.915
0.973
— 1,032 .
1.092
1.153
1.215
1.279
— 1.343 .
1,409
1,476
.- 1.544
1,613
— 1.683 .
1,755
1.827
1.901
1.976
— 2.053
1.130
2.209
2.289
2.370
— 2.452 .
2.536
2.620
1.706
2.793
— 2.882
2.971
3.062
3.154
3.248
— 3.342
3.438
3.535
3.633
3.732
— 3.833
3.935
4.038
4.142
4.248
— 4.354
к
-24.5
25.5
25,5
26.5
26.5
-27.5
27.5
28.5
29
29.5
-30
30.5
31
32
32
-33
33.5
34
34.5
35
-36
36
37
37.5
38.5
- 38.5
39.5
40
605
41
-42
42
43
43 5
44.5
— U.5
45.5
46
47
47
— 48
48 5
49
49 5
50 5
— 51
51.5
52
53
53
Л
5,00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
5.20
22
24
26
28
5.30
32
34
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50
52
54
56
58
5.60
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
6.00
Ьег'х
-3.845+ 7
3.831 75
3.816 85
3.799 ,5
3.780 105
- 3.759 + 115
3.736 „
3.712 „
З.*86 Ui5
3.657 E
- 3.627 + 16
3.595 175
3,560 18
3.524 195
3.485 м
- 3.445 + 215
3.402 „
3.356 2j5
3.309 25
3.159 гь 5
- 3.206 + 17
3.152 „
3.094 }0
3.034 31
2.972 Н5
-2.907 + „
2.839 }5
2.»9 36.5
2.696 }8
1.6Ю J9.5
-2.541 +<1
1.*59 а
1.375 „
1.187 45.5
1196 47
- 1.Ю1 + 48 s
1.005 50
1.»05 51.5
1.801 53 5
1 695 54 5
-1.586 + 57
1.*" 58
1.356 MS
1.135 61 s
1.112 64
-0.984 +65
0 8S4 675
0 719 и
0.581 71
0.439 „
— 0.293
bel'x
— 4.354 .
4.462
4.571
4.681
4.792
— 4.905 .
5.018
S.133
5.249
5,366
— 5.484 .
5.603
5.723
5,844
5.966
-6.089 .
6.213
6.339
6.465
6.592
- 6.720
6.849
6.979
7.109
7.241
— 7.373
7.506
7.640
7.774
7.909
-8.045
8.182
8.319
8.457
8.595
- 8.734
8 873
9.012
9,152
9.293
— 9.433
9.574
9 715
9 857
9998
-10139
10.281
10 422
10 564
10.705
-10,844
-54
54 5
55
55.5
56.5
-56.5
57.5
58
58.5
S»
-59.5
40
40.5
61
61.5
-62
«3
63
6Э.5-
44
- 66,5
65
65
66
66
— 66.5
67
67
47.5
'«8
-685
68.1
69
69
«9.5
-69.5
69.5
70
70.5
70
— 70.5
70.5
71.
705
70 5
— 71
ГО.5
71
70.5
».5

278 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 60. Функции her (x) и hei (x)
hcrx = — ke.x = - ReH01,(*Vi). hei x = - — kerx = |тН01,(х/»)
* her» heix x herx heix x herx heix
— o. — o. — o. — o, + o.o
0 00 5000 + M -oo 1.00 3151 + 22S 1825 + 4, s 2 00 1289 + u 2652 + 6t $
02 4997 4 2.564 02 3106 2г 1738 42 02 1261 u 2785 6}
04 4989 4 2.123 04 3062 B5 1654 40 5 04 1233 ,35 2911 60
06 4977 7 1.865 06 3017 и 157Э }, 06 1206 ,j 3031 57
08 4963 ,5 1.683 08 2973 22 1*»5 38 08 1180 « 5 3145 54 5
0 10 4946 + 10 —15*1 + 58. 110 2929 + 2, 5 U19 + J7 2.10 1153 + ,, 3254 + „
12 «926 „ 1.42b 4giS 12 2886 22 1345 J5 5 12 1127 n 5 3356 48 5
14 4904 „ 1.328 n' U 2842 j, 5 J27* J4 14 1102 ,2S 3*53 **
16 4880 ,j 1.244 375 16 2799 21 S 1206 33 16 1077 „ j 3545 4, s
18 4854 ,4 1.169 j}' 18 2756 21 5 1140 Jz 18 1052 12 3632 t8
0 20 4826 + 14 5 -1.103 +29 5 120 2713 + и 1076 + j, 2.20 10277 + m 371* + ,„ 5
22 «797 1V 1.04* 27s 22 2671 21 5 101* J0 22 10037 118 5 3791 ,t
24 *767 u 0.989 us 24 2628 jO.S 095* 19 2* 09800 116 5 3863 L
26 *735 ,7 0.9*0 j3 26 2587 21 0896 M 26 09567 114 5 3931 j, 5
28 *701 ,; 0.89* 21 S 28 25*5 20, 0840 17 28 09338 „, 399* j, 5
0.30 4667 +17s -0.851 + 19s 1.30 2504 + j0 5 0786 + 2i 2.30 09112 + ,„ *053 +-27 5
32 4632 18s 0 812 ,85 32 2463 M5 0734 25 5 32 08890 109 *108 js 5
J* «595 18s 0.775 us 34 2422 M' 0683 ' 2A 3* 08672 toe *159 „5
36 *558 19 0.7*0 165 36 2382 20 0635 2* 36 08456 ,05 5 4206 H
38 *520 ,95 0.707 ,55 38 2342 20 0587 H5 38 082*5 ,w *250 ,95
0.*0 4481 + j0 - 0.4765 + U5 5 1 40 2302 + „ 5 05*2 + 21 2.*0 08037 + 101 5 «28» + ,t
42 4441 los 0.6*74 ,з85 «2 2263 „5 0*98 21 *J 0783J 100 5 *3JS US
** 4400 jos 0.6197 ,3, 44 2224 ,9' 0*56 MS 4* 07631 99 «358 145
46 *359 jo 5 0.5935 ,24 5 *6 2186 „ 041S M 46 07*33 97 s «387 ,,
48 *318 21.S 0.S686 ,18s 48 2148 „ 037S „ 48 07238 955 «41J „5
0.50 «275 + л —0,5*49 + ,,j 1.50 2110 + „ 0337 + 18s 2 50 07047 + ,4 «436 + l0 s
S2 «233 2,5 0.S223 108 s 52 2072 ,8 5 0300 ,75 52 0685? 9l *4S7 e5
5* «190 21 O.S00* 103 s* M3S 18 5 0265 ,75 54 06675 91 447* 7
56 *146 n 0.4800 „ 56 1998 t8 0230 H 56 06493 39 4*88 t
S8 4102 22 0.4602 ,45 58 1962 ,8 0198 M 58 06315 875 4500 45
0.60 4058 + 22 -0.4413 + „ 160 1926 + 175 0166 + ,S5 2.60 06140 + M «50» + j
62 401* 22.S 0.4231 87 62 1891 18 0135 14'5 62 05968 84.5 «515 2 5
6* 3969 2j 5 0,*057 e* 64 1855 ,7 0106 „ 5 64 05799 8," «520 + 0 5
66 392* 225 0.3889 w 5 66 1821 ,7 s 0077 ,3 5 66 056J3 ,, «521 0
68 3879 ns 0.3728 77 68 1786 ,7 0050 ,3'5 68 05471 M «521 _ , 5
0/0 3834 + 23 -0.357* + 745 J 70 1752 +16s 0023 + 12 5 2.70 05311 + n 5 4518 _ 2
72 3788 225 0.3425 71 5 72 1719 17 *0002 u 72 0515* n *S1* ,5
74 3743 23 0.3282 69 74 1685 165 0026 12 74 05000 75 5 4507 t'5
76 3697 23 0.3144 665 76 1652 u" 0050 ,, 76 048*9 u 4498 5
'8 3651 22 s 0.3011 64 78 1620 16 0072 ц 78 04701 ni 4408 t5
080 3606 + 23 - 0.2883 + 6, 5 1.80 1588 + 1t 009* + 10 2.80 0455* + 71 U7S _ 7
82 3560 23 0.2760 595 82 1556 155 0114 10 82 04414 70 4461 e
84 35U МЛ О-26*1 57 5 8* 1HS 15 5 °13* 9.S 8* M27i 68 ***S 8 5
86 3469 23 0.2526 55 5 86 1494 15 s 0153 9 86 0*138 67 4428 95
88 3423 23 0.2415 535 88 1463 15 0171 9 88 0400* 66 4409 to
090 3377 + 22 j -0.2308 + 51 5 1 90 1433 + ,45 01888 + w 5 2.90 03872 + M *38»_n
92 3332 22^ 0.7701 ю 92 140* ,5 02055 so 92 03744 435 4367 u 5
94 3287 i3 0.2105 48,5 9* 137* 145 02215 7b 5 94 03617 M[5 43** 12
96 32*'1 22.5 0.2008 445 96 1345 ,» 02368 72i5 96 03494 «,'5 4320 u
98 3196 22.5 0.1915 45' 98 1317 14 02513 6,'s 98 03373 s9* 429* ,,5
100 3151 -0.1825 2.00 1289 02652 3.00 03255 4267
—•. -0, +0. —0, +.oj

в. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИЙ БЁССЁЛЯ
279
Продолжение табл. 60
•1
3.00
02
04
06
08
Э.10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
330
32
34
36
38
340
42
44
46
48
150
52
54
56
58
360
62
64
66
68
3.70
72
74
76
•78
3.80
82
84
86
88
J.90
92
94
96
98
4.00
her x
-о*
3255+ 5,
3139 S7
3025 SS.S
2914 S4.S
2805 S3
2699 + sl
2595" 51
2*93 W.S
2394 48.S
2297 475
2202 + «t.s
2109 <S.S
2018 w.s
1929 а
1843 e.s
1758 + 41
1676 <о,5
1595 „'
1517 38.S
1*«0 37.S
13»5 + 34.5
1292 3S S
1221 34.S
US» 33.S
toes зз
1019+ n
0955 31 .S
0892 зо
0832 зо
0772 M.S
0715 + 78
0659 17
0605 Ms
0552 M
0500 MiS
0451 + мл
0402 23.S
0355 M'
0309 22
0265 us
0222 + 2,
0180 20
0140 „/
0101 19
0063 ,8.s
0026 + O.s
•0009 17iS
0044 ч6л
0077 16
0109 ,„
0140
+ 0.0
he
+ 0.0
4267 .
4239
4210
4180
4149
4118 .
4085
4051
4017
3982
3946 .
3910
3873
3835
3797
3758 .
3719
3679
3639
3599
3558 .
3518
3476
3435
3393
3351 .
3309
3267
3224
3182
3140 .
3097
3054
3012
2969
2927
2884
2842
2799
2757
2715
2673
2631
2S89
2548
2507
2465
2425
2384
2343
2303
+ 0,8
* I
-14
14.5
15
15.5
1S.5
-16.5
17
17
17.5
18
-IB
18.5
IS
19
19.5
-19.5
20
20
20
305
-30
21
20.5
21 >
21
-21
21
21.5
21
21
-21.S
21.5
21
21.5
21
-21.S
21
21.5
21
21
-21
21
21
Й),5
20.5
-21
20
20.5
20.5
20
- I
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
IB
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4,40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
herx
+ 0.00
1*00 + 149 5
1699 ,„
1987 ,J9-5
2266 w
2534 u,
2792 + m.s
3041 ,„.s
3280 „s
3510 „os
3731 10s
394S + 101.s
4146 97s
4341 ,3-S
4528 e,,s
4707 es
*877+ и,5
5040 78
5196 7i
S344 70,5
5485 a
5619 + t3.S
5746 jo
5866 57
S980 53.5
6087 s,
6189 + <7 s
6284 U|S
6373 a
6457 з,
6535 3t
6607+ „
6675 з,
6737 M.S
6794 j4
6846 24
6894 + i, 5
6937 ,,
6975 17
7009 ,s
7039 13
7065+ „
7087 ,
7105 7
7119 s
7129 3iS
7136+2
7140 о
7140 _ 1S
7137 * з'
'131 4.s
7122
+ O.0D
heix |
+ 0.0
2303 _
2263
2224
2184
2145
2106 _
2068
2029
1992
1954
1917 _
1880
1843
1807
1771
1736 _
1700
1666
1631
1597
1563 _
1530
1497
1465
1432
1401 _
1369
1338
1308
1277
1247 _
1218
1189
1160
1132
11042 _
10767
10496
10229
09966
09707 _
09452
09201
08953
08710
08470 _
08234
08002
07774
07549
07329
+ 0.0
20
1».S
20
1».S
19.5
19
19.S
18.5
19
18.S
18.5
18.5
18
18
17.5
- 18
f7
17J
17
17
- 14.5
16.5
14
14.5
15.5
• 16
15.5
15
15.5
15
- 14.5
14,5
14.:
14
14
-137.5
135.5
133.5
131.5
129.5
-127 J
125.5
124
121.5
120
-118
114
114
112J
HO
X
5.00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
5.20
22
24
26
28
5.30
32
3*
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50*
52
54
56
58
5,60
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
5.80
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
6,00
herx
+ 0.00
7122 _ 6
7110 7
7096 9
7078 ,o
7058 ,,
7036 _,is
7011 ,3.s
6984 ,5
»54 ,s.s
6923 ,7
6889 _,8
«853 ,8.s
6816 20
6776 MJ
«735 i, .s
6692 _22
66*8 23
6602 24
6554 24.5
«Я» 2s
**SS_2*
6403 26
6351 27
«297 27.5
6242 28
6186 _28.S
6129 29
«071 29.S
6012 зо
S9S2 jo
5892 _30.5
S831 j,
5769 з,
S707 3l.s
5644 n
5580 _31is
SS17 n.s
S*52 n.s
S387 325
S322 32.5
5257 _ 33
S11 32.S
S126 33.5
5059 зз
4993 зз
*»27 -33.S
4860 33
*79* 33J
«727 33
«61 33.S
4594
+ 0ДЮ
heix
+ 0.00
7329 _
7112
6898
6689
6482
6280 _
6081
5886
5694
5506
5322 _
5140
4963
4788
4617
4450 _
4285
4124
3966
3812
3660 _
3S12
3366
3224
3085
2949 _
2816
2685
2558
2434
2312 „
2193
2077
1963
18S3
1745 _
1639
1S36
1436
1338
1242 _
1149
1059
0971
088S
0801 _
0720
0640
0563
0488
0416
+ 0.00
108.5
107
104.5
103.5
101
99.5
97.5
94
94
»2
91
88.5
87.5
8S.S
83.S
- 82.5
80.5
79
7»
74
- 74
73
71
49,5
«8
- *6J
ЮЛ
6J.S
42
61
- S9.S
58
57
&
54
- 51
S1.S
50
4»
48
- «* Л
4S
44
4J
41
- «W
40
38,!
37J
36

280 XIII. ФУНКЦИЯ БЕСОЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 61. Функции her (х) и hei' (ж)
heKxi
!-^ReHg>(xyi) = ReViH*,>(xyi). Ьй'х-±1т^№=-1ту1Й?>(*П
X
0,00
02
04
06
08
0,10
12
и
16
1В
0.20
22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
42
44
«6
48
0.50
52
54
56
58
0.60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
78
0.80
82
84
86
88
0.90
92
94
96
98
1.00
hefx
+ 0»
0000
0288
0488
0655
0800
°»2»+58.S
to* ss
1152 «
«*• 44.S
1337 41
1*1» + 38 .
1495 3S
1»S 3„
1630 30
1690 ад
6+ M
1798 M
1846 ns
*■" 20.S
1932 19
1W0+18
2006 ,6
2038 15
2068 w
2096 12,s
2121 + 11.S
21" 10.S
2165 trS
2184 8iS
2201 7>5
2216 + 7
2230 6
2242 s
2252 4iS
-Л261 3S
2268 + 3'
2274 2.S
2279 1.S
2282 1iS
2285+ 0iS
2286 0
2286 _ 0iS
2285 ,
2283 1iS
2280 2
2276 _ „
2271 j
2265 j
2259 ^
2251 4
2243
+ 0.
hei'x
oo
+ 31.8
15,9
10.6
7,94
+ 6.3*
.5.28
4.Я
. 3.94
3.49
+ 3.134
2.840
2.594
2.385
2.206
+ 2,050 _
1.913
1.791
1.683
1.585
+ 1.497 _
1.417
1.344
1.277
1.216
+ 1.159 _
1.106
1.0S6
1.010
0.968
+ 0.927 _
0.889
0.856
0,820
0.788
+ 0,7582 _
0.7296
0.7025-
0.6766
0.6520
+ 0.6286 _
0.6061
0.5847
0.5642
0,5446
+ 0.5258 _
0.5077
0.4903
0,4737
0,4576
+ 0.4422
- 68.S
61
54
49
44
- 40
36.S
33.5
30.5
28.5
- 24.5
is •
23
21
20,5
- 19
17.S
17
14
15
-143
135.5
129.5
123
117
-112.5
107
102.5
98
94
■ «0.5
87
83
80.5
77
x •
1.00
02
04
06
08
1,10
12
14
16
18
1,20
22
24
> 26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
56
58
1.60
62
64
66
68
1.70
72
74
76
78
1.80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2.00
her'x
+ 0.
2243
2235
2225
2215
2205
2193
2182
2169
2156
2143
2129
2115
2101
2086
2070
2054
2038
2022
2005
1988
1971
195*
1936
1918
1900
1882
1863
1845
1826
1807
1788
1769
1750
1731
1711
1692
1673
1653
1633
1614
15943
15748
1SSS2
15356
15160
14965
14770
14575
14381
14187
13993
+ 0,
— s.J
4.S
4.S
6.S
7.5
8
8
— 8
8
8.5
8.5
8.5
— 8.5
9
9
' 9
9
— 9.5
9
9.S
9S
9.5
— 9.5
9.5
95
10
9.5
— 9.5
10
10
9.5
10
— 97.5
98
98
98
97.5
— 97.5
97.5
97
97
97
hei
+ 0.
4422.
4273
4130
3992
3859
3730.
3606
3486
3370
3258
3149 .
3044
2942
2844
2749
2656.
2567
2480
2396
2314
2235 .
2158
2084
2011
1941
1873 .
1807
1742
1680
1619
1560.
1503
1448
1394
1341
1290.
1241
1193
1146
1101
1056 .
1014
0972
0931
0892
0854 .
0817
0781
0746
0712
0679
+ 0.
'x
-74.5
71.5
49
66.5
64.5
-42
60
SB
56
54.5
-52.5
51
49
«7.5
44.S
-44.5
43.5
42
41
39.S
-38.5
37
34.5
35
34
-33
32.5
31
30.5
29.5
-28.5
27.5
27
26.5
2S.5
-24.5
24
23.5
22.5
22.5
-21
21
20.5
19.5
19
-18.5
18
17.5
17
16.S
X
2.00
02
04
06
08
2.10
12
14
.16
18
2.20
22
24
26
28
2.30
32
34
36
38
2.40
42
44
46
48
2.50
52
54
56
58
2.60
62
64
66
68
2.70
72
74
76
78
2,80
82
84
86
88
2.90
92
94
96
98
3.00
her
+ 0,
13993 .
13801
13609
13417
13227
13037.
12849
12661
12474
12288
12103 .
11919
11737
11555
11375
11196.
11018
10842
10666
10493
10320
10149
09979
09811
09644
09479 .
•09315
09153
08992
08833
08675 .
08519
08364
08212
08060
07910 .
07762
07616
07471
07327
07186 .
07046
06907
06771
06636
06502 .
06370
06240
06112
0S98S
05860
+ 0,
'x
-96
96
96
95
95
-94
94
93 5
93
92.5
-92
91
91
90
8».S
-89
88
88
86.5
84.5
-85.5
85
84
83.5
82.5
-82
81
80.5
79.5
79
-78
77.Г
76
76
75
-74
73
72.5
72
70.5
-70
69.5
68
67.5
67
-66
65
64
63.S
62.5
hel'
+ 0,0
6786.
6466
6154
5852
5558
5273 _
4996
4727
4467
4214
3969.
3731
3500
3276
3059
2849.
2645
2447
2256
2071
1892.
1718
1550
X
-160
156
151
147
142.5
- 138.5
134.5
130
126 S
122.5
-119
115 5
112
108 5
10S
-101
99
95.5
92.5
89.5
- 87
84
81.5
1387* пл
1230
1078 .
0931
0789
0651
0519
0391 ,
0267
0148
0033
♦0078
0185.
0288
0387
0482
0574
0662.
0747
0828
0906
0981
1053 .
1121
1187
1250
1310
1367
-8.0
76
- 73.S
71
69
66
64
- 62
5»,S
57,5
S5.5
S3.S
- 51.5
49.5
47.5
44
44
- 42.5
40.5
19
37.S
16
- 34
13
I1.S
Ю
28.5

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 281
Продолжение табл. 61
ж
3,00
02
04
06
08
3.10
12
14
16
18
3.20
22
24
26
28
3.30
32
34
36
38
3.40
42
44
46
48
3.S0
S2
54
56
58
3.60
62
64
66
68
3.70
72
74
76
78
3.80
82
84
86
88
3.90
92
94
96
98
4.00
her
+ 0.»
5860 _
5736
5614
5494
5375
5258 .
5143
5029
4916
4806
4697.
4589
4483
4379
4276
4175 _
4075
3977
3880
3785
3692.
3599
3509
3420
3332
3246.
3161
3077
2995
2915
2835 .
2758
2681
2606
2532
2460.
2388
2319
2250
2183
2117 .
2052
1988
1926
1865
1805 .
1746
1688
1632
1576
1522
+ 0.0
'ж
-41
41
to
S9.S
S8.S
-S7.S
57
S6.S
55
54.5
-54
S3
52
51.5
S0.S
-50
49
48.5
47.S
46.S
-46,5
4S
44.S
44
43
-42 5
42
41
40
40
-38.S
38.S
37.S
J7
36
-36
3*5
34.5
33.5
33
-Э2.5
32
31
30.S
30
-29.S
29
28
28
27
hei'
— 0.0
1367 _
1422
1474
1524
1571
1615 _
1658
1698
1736
1772
18055 _
18372
18670
18949
19210
19452 _
19677
19886
20077
20253
20414 _
20560
20691
20808
20911
21001 _
21079
21144
21197
21238
21269 _
21288 _
21297 +
21296
2128S
21265 +
21236
21198
21151
21096
21034 +
20964
20887
20802
20711
20614 +
20511
20401
20286
20166
20040
— 0.0
"ж
27,5
26
25
23.S
22
21.S
20
19
18
17
1S8.S!
149!
139.5'
130.S!
121'
112.S!
104.5!
95.5!
ев
ЙОЛ
7>
65,5
S8.S
51.S
4S
39
32.S
36.5
20.5
15.5
- 9,5
4.5
0.5
5.5
10
14.5
19
23.5
27.5
31
35
38.5
42.5
45.5
48,5
51.5
55
57.5
60
£3
*
4.00
02
04
06
08
4.10
12
14
16
18
4.20
22
24
26
28
4.30
32
34
36
38
4.40
42
44
46
48
4.50
52
54
56
58
4.60
62
64
66
68
4.70
72
74
76
78
4.80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5,00
her**
+ 0.0
1522 .
1469
1417
1366
1316
1267 .
1220
1173
1127
1082
1039 .
0996
0954
0913
0873
0834 .
0796
0759
0722
0687
06521 .
06183
05853
OS531
05218
04912.
04614
04323
04040
03765
03496.
03235
02981
02734
02494
02260
02033
01812
01597
01389
01187
00991
00801
00616
00438
00264
00097
* 00066
00223
00375
00522
-0.»
- 26.5
26
25.5
25
24.5
- 23.5
23.5
23
22.5
21.5
- 21.5
21
20.5
20
19.5
- 19
18.5
18.5
17.5
17.5
-1*9
165
161
156.5
153
-149
145.5
141,5
137.5
134.5
- 130.5
127
123.5
120
117
-J13.5
110 5
107 5
104
101
- 98
95
92.5
89
87
- 83,5
81.5
78.5
76
73,5
hei'x
— 0.0
20040 + 6SS
19909 67s
19774 70
19634 72
19490 74
19342 + 76
19190 и
19034 79.5
18875 81's
18712 8j
18S46 + 84
18378 86
18206 87
18032 eg
17856 в,,.
17677 + ,0.5
17496 91
17314 И5
17129 9}'
16943 94
16755 + 9< 5
16566 95.5
16375 ,s!s
16184 ,6|s
15991 97
15797 + w
15603 97.5
15408 ,8'
15212 98
15016 98
14820 + 98.5
14623 98 S
14426 ,8 5
14229 ад 5
14032 ,8
13836 + ад5
13639 ад
13443 98
13247 ад
13051 ,7,5
128S6 + „.5
12661 97
12467 ад.
12274 м'
12082 ,4
11890 + 9ss
11699 95
11509 ,4S
11320 м'
11132 ,з
10946
-м
* I
5.00
02
04
06
08
5.10
12
14
16
18
5.20
22
24
26
28
5.30
32
34
36
38
5.40
42
44
46
48
5.50
52
54
56
58
5.60
62
64
66
68
5.70
72
74
76
78
580
82
84
86
88
5.90
92
94
96
98
4.00
I
her'я
— 0.00
0522 _71
0664 48.5
0801 46.5
0934 43.5
1061 а
1185 _5,
1303 57.5
1418 55
1528 53
1634 50 5
1735 _«,
1833 47
1927 45
2017 43
ПОЗ 41.5
2186_з,,5
2265 37.5
2340 з*
2*12 34.5
2*81 32.5
2546 _3,
2608 зо
2668 28
2724 24.5
2777 25
2827 _ J3.5
2874 „.5
291» 20.5
2960 JO
3000 18
3036 _17
3070 16
3102 ,4.5
3131 и
3159 п
3183 _ „,5
3206 105
3227 9
3245 а
3261 7.5
3276 _ 4.5
3289 s
3299 4.5
3308 4
3316 2.5
3321 _ 2
3325 _ , s
3328 0
3328 0
3328 + ,
3326
-о.«о
hei'x
— 0,0
10946 + 93
10760 ,2
10576 ,2
10392 91
10210 «о
10030 + ,о
09850 89
09672 ее
09496 g.
09320 86.5.
09147 + 86.S.
08974 ю
08804 „J.
08635 м
08467 83
08301 +и
08137 „5
07974 во.5
07813 79.5
07654 79
07496 + та
07340 77
07186 76 s.
07033 „л
06882 74.5
06733 + 73.S-
06586 73
06440 72
06296 71
06154 70
06014 + м
05876 и J.
05739 „>
05604 46.5
05471 45.5
05340 + 44.5
05211 44
05083 43
04957 4»
04833 41
04711 + 40.5
04590 s.
04472 58.5
043SS 58
04239 56.S.
04126 + и
04014 J4.S.
0390S 54.5
03796 и"
03690 52.S.
03585
-м

282 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Таблица 62. Функции ber (xJt bei (х), ber' (х), bei' (x), her (jc), hei (x),
her1 (x). hei' (x) (продолжение)
х ber х bei x ber' ж bei' x her x hei x her' x hei' к
' ^o7 +1Г ^oT ^A
6.0 — 8.858 - 7.335 — 0.293 — 10.8*6 «59* (—2) «1S7 (-3) 3326 (—2) 3585 (—2)
1 8.8*9 8.45* + 0.49* 11,5*7 «263 (—2) 0825 (—3) 329S (—2) 3087 (—2)
2 8.756 9.6*4 1.38* 12.235 3936 (—2) *2031 (—3) 3236 (—2) 2631 (—2)
3 8.569 10.901 2.380 12,901 3616 (-2) 4451 (—3) 3152 (—2) 2215 (—2)
4 8.276 12.223 3.490 13.536 3306 (—2) 6*73 (—3) 3048 (—2) 1837 (—2)
6.5" — 7.867 —13,607 + 4.717 — 14,129 3007 (—2) 8137 (—3) 2928 (—2) 1495 (-2)
6 7.329 15,047 6,067 1«,670 2721 (—2) 9476 (—3) 2796 (—2) 1189 [~2)
7 6.649 16.538 7.5*4 15.1*6 1448 (-2) 10525 (—2) 2655 (—2) 9145 (- 3)
8 5,816 18.07* 9.151 15,543 2190 (—2) 11315 (—2) 2508 (-2) 6710 (-31
9 4.815 19.6M 10.891 153*7 t9*7Q (—2) 11876 (—2) 2356 (-2) 4561 (-3)
7.0 — 3.633 —21.239 +12.765 — 16.041 17191 (-2) 12236 (-2) 2202 (-2) 2677 (-3)
1 2.257 22.848 14.774 16.109 15066 (—2) 12420 (—2) 20*9 (-2) 1039 (— 3)
2 — 0.67* 24.456 16.918 16.033 13093 (—2) 12451 (-2) 18968 (—2) *0372 (—3)
3 + 1.131 26.049 19.194 15.792 11271 (—2) 12352 (—2) 17475 (—2) 1575 (—3)
4 3.169 27.609 21.600 15.367 9597 (—3) 12143 (—2) 16022 (-2) 2589 (-3)
7.5 + 5.455 —29.116 + 24.130 — 14.736 8065 (—3) 118*0 (—2) 14616 (—2) 3430 (— 3)
6 7.99» 30,55 26.777 13.87S 6вП (-3) 11462 (-2) 13266 (-2) 4116 (-3)
7 10.814 31,88 29.532 12.763 5*10 (—3) 11022 (—2) 11976 (—2) 4661 (—3)
8 13.909 33,09 32,38 11,373 4274 (—3) 10534 (—2) 10752 (—2) 5081 (—3)
9 • 17.293 34.15 35.31 9.681 J2S7 (-3) 10009 (-2) 9595 (-3) 5390 (—3)
8.0 + 20.974 —35.02 +38.31 — 7,660 2353 (—3) 9459 (—3) 8507 (—3) 5600 (—3)
1 24.957 35.67 41.35 5.285 1554 (-3) 8892 (-3) 7490 (-3) 5725 (-1J
2 29.245 36.06 44.42 — 2.530 8524 (—4) 8317 (—3) 6544 (—3) 5773 (—3)
3 33.8*0 36,16 47.47 + 0,634 2425 (-4) 7740 (-3) 5667 (-3) 57S8 (-3)
4 38.738 35.92 50.49 4.232 *2832 (—4) 7167 (—3) 4859 (—3) 5686 (—3>
8.5 + 43.94 —35.30 +53.44 + 8.290 7315 (—4) 6604 (—3) 4117 (-3) 5568 (—3)
6 49.42 34.25 56,28 12.832 11088 (—3) 6055 (—3) 3440 (—3) 5411 (—3)
7 55.19 32,71 58.97 17.883 14216 (—3) 5523 (—3) 2825 (—3) 5223 (—3)
8 61.21 30.65 61.45 23.465 16759 (—3) 5011 (—3) 2270 (—3) 5009 (— 3)
9 67.47 28.00 63.68 29,598 18775 (—3) 4522 (—3) 1771 (—3) 4776 <—3)
.9.0 + 73.94 —24.71 +65.60 + 36.30 20318 (—3) 4056 (—3) 1325 (—3) 4528 (—3)
> 1 80.S» 20.72 67.14 43.58 21441 (—3) 3616 (—3) 9288 (—4) 4270 (—3)
2 87.35 15.98 68,25 51.46 22191 (— 3) 3202 (— 3) S799 (- 4) 4006 (- J)
i 94.21 10.41 68.83 59.94 22615 (—3) 2815 (—3) 2747 (—4) 3740 (-3)
* 101.10 — 3.97 68.82 69,01 22754 (— 3) 2454 (—3) 0099 (—4) 3475 (—3>
9,5 +107,95 + 3.41 +68.13 + 78.68 22647 (—3) 2120 (—3) *217S (—4) 3212 1-3)
* 114,70 11,79 66.67 88.94 22331 (-3) 1812 (—3) 4105 (—4) 2955 (—3)
7 121.26 21.22 64.35 99.76 21837 (-3) 1529 (-3) 5722 (-4) 270* (-3)
8 127,54 31.76 61.07 111.12 21196 (—3) 1271 (—3) 7054 (—4, 2463 (— 3}
9. 133,43 43.46 56.72 122.99 20434 (-3) 1036 (-3) 8129 (-4) 2231 <-3)
10,0 +13834 +56,37 +51,20 + П5.Э1 19578 (-3) 0824 (-3) 8971 (-4) 2009 t-3)
J —•» —0. +0. +0.

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 283
Таблица 63. Функции Jn\r У Г)=ЬпеЫ и Н)}'(г КГ)=й„*"'« (в=0, I)
[*n=«..ft.- -©«./»,= 180»-в,; H.--JN..4,,--•,-90». ,,--♦, + «•)
' ( *о | ^о ^ ^1 | ^ % ^ ^
0,0 1.0000 I 0° 0.0000 +45° см — 90° оо —135°
«1 1.0000 I - 0°.U 0.0500 44°.93 1.6184 72°,21 6.342 13*°.1«
3 1.0000 0°,57 0.1000 44°.Л 1.2043 66°,37 3.137 132°.41
3 1.000» 1°,29 0.1500 44°,36 0.9708 61°.27 2.057 13СР.13
4 1.0004 I 2°,29 0.2000 43°.8S 0.8114 S6°,48 1.510 127°.S0
I
0.5 1.0010 j - 3°.S8 0.2500 + 43°,21 0.6926 - S1°,88 1.1778 —124°,62
6 1,0020 ! 5°.15 O.JOOi 42°,42 0.599S *7°,40 0.9534 1210.56
7 1.0037 7°,0) 0.3502 '41°,49 0.5241 42°,99 0.7914 118°.34
8 1.0064 9°.H 0.4004 40°,42 0.4617 38°.6S 0.6688 115°ДJ
9 1.0102 11°.S5 0.4508 39°,20 0.4091 34° .35 0.5729 M1°.60
1.0 1.0155 1 - 14°.2J 0.5013 + 37°.8« 0.3642 - ЗС.Ов 0.49S» —108°.10
1 1,0227 17° 16 0.5521 36°.34 0.3255 25°,84 0.4327 104*54
2 1.0320 20O.34 Э.6032 34°.71 0.2918 21°,63 0.3801 Мб°.93
- 3 1,0438 23°.75 0,6548 32°.93 0.2624 17°.43 0,3358 97°Дв
4 1.0586 27°,37 0.7070 31°.01 0.2365 13°.24 0.2980 93eJ59
1J5. 1.0767 - 31°.19 0.7598 + 28°.96 0.2136 - 9°.08 0.26SS - 89\в*
6 1.0984 3S°,17 0.8136 26°,77 0.193Э 4°.92 0,2373 86e.»1
7 1.1241 39°.30 0,8684 24°.45 0.17S2 - 0°.77 0.2128 вЛЭЗ
8 1.1544 43°.S4 0,9244 ^.OO 0Л591 + 3*37 0.1913 78°.S3
» 1.1892 47°.88 0.9819 19°.43 0.144» 7°.S1 0.172Э 74V
2,0 1.2290 - S2°.29 1.0412 + 16°.73 0.13155 + 11°.63 0.1555 - 7СРЯР
1 1.2741 56°.74 1.1024 13°.92 0.11984 1S°.75 0.14063 67°.02
2 1.3246 61°,22 1,1659 11°.00 0.10927 19°.87 0.12737 63e.1S
3 1,3808 65°.Л 1.2321 7°,97 0,09973 23°.98 0.11SS3 5»*.в
4 1.441 70°.19 1.301 у 4°,84 0.09110 28°,09 0.10492 5S°.39
2.5 1,511 - 74°.6S 1.3736 + 1°.61 0.08327 + 32°.19 0.09540 - S1e.*9
6 1.586 79°,09 1.4498 - 1°,70 0.07618 36°.29 0.08684 47°.S8
7 1.666 83°.50 1.530 5°.10 0.06973 40°.39 0.07913 43°.66
8 1.754 87°,87 1.615 . 8°.S7 0.06387 44°.49 0.07216 39°,74
9 1.84» 92°Д1 1.705 12°.11 0.05853 48°,58 0.06587 Э5°.в0
3,0 1.950 — 96°,52 1.800 — 1S°,71 0.0S367 + 52°.67 0.06017 - 31e.B7
1 2.059 100°.79 1.901 19°.37 0.04923 S6°.76 0.0S501 27»,»
2 2.176 105°.0Э 2,009 23°,08 0.04519 60°,84 0.05032 2У.Ч7
3 2.301 109°.2i 2.124 26°,83 0.04149 64°,93 0.04606 2O°,02
4 2.434 113°.41 2.246 30°.62 0.03811 69°,01 0.04218 16».06
3.S 2,576 -117°,60 2.37* — 34°.44 0.03503 + 73".09 0.03866 - 12е.»
6 2.728 121°.7i 2.515 38°.30 0,03220 77".17 0,03544 8°.1Э
7 2.889 125°.87 2,664 42°.17 0.0296» 81°.25 0.03251 4°.tt
8 3.061 129°,99 2.823 46°.07 0.02724 85°.33 0.02984 — 0°.tt
9 3,244 134°,10 2,992 49°. 98 0.02507 89°.40 0.02740 + 3°.80
4*9 3,439 —138°.19 3.17Э — 53°.90 0,02307 + 93°,48 0.02517 + 7°,78
1 3.646 142°.28 3.36» S7°.84 0,02125 97°.SS 0.02312 11°.76
2 3.867 146°.36 3.572 61°.79 0.01957 101°.62 0,02126 IS»;»
3 4.102 150°.4* 3.792 65°,74 -0.01803 10S°.70 0.01955 19°,74
4 4,353 154°,S1 4.027 69°,Л 0.01661 109°,77 0.01798 23°,73
4,5 4.618 — 1S8°,59 4Д78 — 73°,67 0,01531 + 113°,84 0,01654 + 27°,73
6 4,901 162°,66 4.54» 77°,64 0.014116 117°.91 0.01523 31°,72
7 5.203 166°.73 4.832 81°.61 0.013017 121°,98 0.01402 35°.72
8 5.524 170°,80 5.137 85°.S9 0,012006 126°.0S 0.012911 39°,72
9 5,866 174°.86 5.462 89°.S7 0,011076 130°,11 0.011893 «З^З
5.0 «ДО -178°,93 5.809 —W.S5 0,010219 +134°,18 0,010958 + 47°,73

264 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 63
/
5.8
1
2
3
4
5.5
6
7
8
9
6,0
1
2
3
4
«Д
в
7
8
9
7,0
1
2
3
4
1А
6
7
0
9
8.0
1
2
3
4
*fi
С
7
•
9
9.0
1
2
3
4
9.S
6
7
в
9
10@
"о
6,231
6.620
7.036
7.67S
7,946
8.467
8.982
9,552
10,160
10.809
11.501
12,239
13.026
13.865
14.761
15.72
16.74
17,83
18.99
20.23
21,55
22.96
24.47
26.07
47,79
29.62
31,58
33.67
35.90
38.28
40.82
43,53
46.43
49.52
52,83
56.36
60.13
64,15
68.46
7i,0S
77.96
83.20
88.80
94.78
101,17
108.00
115.30
123.10
131.43
140.33
149,85
Ро
- 17в°.9Э
183° 00
187°,07
191°.14
195°.21
— 199°Д8
203°,35
тп°.а
211°.49
215°,56
— 219°,62
223°,69
227°,76
231°,83
235°.90
— 239°,96
244°.03
248°.10
252°.16
256°.23
— 260°.29
264°.36
268°.42
272°,49
276°,55
-280°,61
284°,67
288°,74
292°,80
296°,86
— 300°,92
304°,98
309°.04
313°,10
317°,16
- 321°,22
325°.28
329°.34
333°.40
337°.46
- 341°.52
345°.58
349°.64
353*.69
357°,75
- 361*.81
365*.87
369°,93
373°,98
378».04
— 382М0
Ц
5.809
6.179
6.574
6.996
7.446
7,925
8.437
8.983
9,566
10.187
10.850
11.558
12.313
13.119
13.978
14,896
15.88
16.92
18.04
19.23
20.50
21.86
23.31
24.86
26.51
28,27
30.16
32.17
34.32
36.62
39,07
41.69
44.49
47.48
50,67
54.08
57,73
61,62
65.78
70.22
74.97
80,04
85.47
91.27
97.46
104,08
111,16
118.72
126,80
135.44
144,67
Ь
- 93°,55
97°,53
101°,52
105°.50
109°,49
— 113°.4в
117°.47
121°,46
125°.46
129°.45
—133°.45
137°.45
141°.45
1450.45
149°.46
-153°,46
157°.47
161°.48
165°.49
169°.50
—173°.51
177°.52
181°,54
185°.55
189°.57
— 193°J59
197°,61
201°.63
205°,65
209°,67
— 213°,69
217°,72
221°,74
225°,77
229°,79
— 233°.в2
237°,84
241°,87
245°,90
249°,93
-253°,96
257°,99
262*,02
266*,05
270°,08
-274*,11
278°,14
282*,18
286*,21
29СР.24
—294*.28
"о
0,01
0219
* 9431
8705
8036
7420
6853
6329
5847
5402
4991
4613
4264
3941
3644
3369
3116
2881
2665
2465
2281
2110
1952
1807
1672
1548
1433
13262
12278
11368
10526
09747
09027
08360
07743
07173
06644
06155
05703
05284
04896
04537
04204
03896
03611
03347
03102
02876
02666
02471
02291
02124
0,00
40
+ 134М8
13в°,25
142°.31
146°,38
150°,45
+ 154°.51
15в°,58
162°.64
166°.70
170°.77
+ 174*.83
1780.89
182°.9S
187°.02
191°.08
+ 195°,14
199°,20
203°Д6
207°,32
211°,38
+ 215°,44
219°.50
223°.56
227°,62
231°,68
+ 235°.74
239°,80
243°,86
247°.92
251°,97
+ 256°,03
260Р.09
264°.15
268°Д1
272°.26
+ 276°,32
2800.38
284°,44
288°,49
292°,55
+ 296°,61
3000,66
304*,72
308°,78
312*33
+ 316*39
320O.9S
325*,00
329°.06
333°,11
+ 3370.17
*1
0,01
0958
0099
• 9310
8584
7917
7302
6737
6217
5738
5297
4890
4516
4170
3852
3SS9
3288
3039
2808
2596
2400
2219
2051
1897
17SS
1623
1501
13890
12851
11892
11005
10185
09427
08727
08079
07479
06925
06412
05938
05499
05093
04718
04370
04048
03750
03475
03219
02983
02764
02562
02374
02200
щ
+ 47°,73
51°,74
55",74
59°.75
63°.7«
+ 67°,77
7Г.79
75°де.
79°да
83°,83
+ вгда
91в,87
95°,89
99°.9t
10Г.93
+ 10Г.95
111°,97
116°,00
1200.02
124°,04
+ 1280.07
132°,10
136М2
140P.1S
144°.18
+ 14в"Д1
152°,24
156°Д7
160°,30
164*,33
+ 168°,36
172°,39
176°,42
1800,45
184°Л9
+ 188°,52
192°Д»
196°,59
200°,62
204°,66
+ 2080,69
212°,73
216°,76
220°,80
224*34
+ 2280.87
2320.91
236*.95
2400.98
245°.02
+ 2490,06

В. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ 285
т * ^ * Л V-/Г) H^(rVT)
Таблица 64. Функции ,— и —г- -==-
ft)-ft* Ьд/Ь, т— Т7- Ч0-.Ч, Ьд/h, у-^- -;■■,;-.
. _ j -
0.0 — 450.00 оо 0000 оо + «5*.00 0000 0.0000 оо
1 45°.07 20.000 0000 400.00 61*.9$ 2645 0.0132 S.290
2 *5°,29 10.001 0001 100.01 бб'.ОЗ 38Э9 0.0384 3.839
3 iS'M 6.667 0001 44.45 68°.86 4726 0.0709 3.151
4 46MS 5.002 0003 25.01 71".02 5372 0.1074 ,2.686
03 — *6°.79 4.002 0008 16.01 + 72V4 5880 0.1470 2.3S2
6 47°.57 3.339 0017 11.13 7*М6 6288 0,188* 2.096
7 48°,50 2.866 0032 8.188 75*.35 6622 0.2318 1.892
8 *9°,56 2.513 0054 6.284 76Г37 6903 0.2761 1.726
9 50°,75 2.241 0084 4.980 77°.25 7140 0.3213 1.587
1.0 — 52°.07 2.026 0128 4.051 + 78°,02 73*6 0.3673 1.46»
1 53".51 1,852 0188 3.368 78°.70 7523 0.4138 1,368
2 55*.05 1.711 0265 2.8SV 79°.31 7677 0.4606 1.2795
3 56".68 1.594 0361 2^52 79°,85 7814 0.5079 1.2022
4 Stf,3B 1.497 0481 2,139 80°.34 7936 O.SSSS 1,1337
1.5 — 60°.14 1.417 0627 1.889 + 80°.79 8045 0.6034 1,0727
6 61*.94 1.350 0800 1,688 81*,19 8145 0,6516 1.0181
7 63*.75 1,295 1004 1.523 81*,56 8234 0.6999 0.9687
8 65*.55 1,249 1239 1.387 81°.90 8316 0.7484 0.9240
9 67°.31 1.211 1506 1.275 82* .21 8391 0.7971 0.8833
2.0 — 69°.02 1.1804 1805 1.1804 + 82°.50 8459 0.8459 0.8459
1 70°,67 1.1557 2135 1.1007 В7?.ТГ 8522 0.8948 0.8116
2 72°,22 1,1361 «97 1.0328 83°,02 8579 0.9437 /0.779»
3 73°.68 1.1207 2888 0.9745 83°,26 8632 0.9927 0.7506
4 75°.03 1.1089 331 0.9241 83*.47 8683- 1.0419 0,7235
2.5 — 76».26 1.1001 375 0.8801 + 83».68 8728 1.0911 0.698Э
6 77°.39 1.0936 422 0,8413 83»,87 8772 1.140* 0.674»
7 78°,40 1,0892 470 0.8068 84*.05 8812 1.1896 0.6527
8 79°.30 1.0863 521 0.7759 84*.22 8851 1.2391 0.6322
9 80°.J0 1.0844 572 0.7479 84*.38 8886 1.2885 0.6128
3.0 -80°,80 1.0835 625 0.7223 + 84*.53 8920 1.338 0J5947
1 81<\42 1.0832 679 0.6988 84*.68 8949 1,387 0.577*
2 81*.95 1.0832 733 0.6769 84*.81 8980 1.437 0.5612
3 82".41 1.0835 787 0.6567 84*.94 9008 1.486 0.5459
4 82*.81 1.0839 842 0.6375 85°.07 9035 1.536 0.5315
3J5 — 83°.15 1.0842 897 0.6195 + 85".19 9061 1.S86 0.5178
6 83*.4S 1.084S 952 0.6026 85°,30 9086 1.636 0.5048
7 83°,70 1.0846 * 006 0.5862 85°,40 9108 1.685 0.4923
8 83".92 1.0846 060 0.5707 85".51 9128 1.73* 0.4804
9 8V.12 1,0843 114 0.5560 85°.60 9147 1.78* 0,4691
4.0 — 8*0.29 1,0838 168 0.5419 + 85*.70 916* 1,833 0.4583
1 8V.44 1.0832 221 0.5284 85*.79 9184 1.883 0.4480
2 84*.57 1.0826 273 0.5155 85».87 9204 1.933 0.4383
3 84*.69 1.0816 326 0,5031 85*.96 9223 1,983 0.4290
4 84»,81 1.0805 378 0.4912 86».03 9240 2.033 0,4200
4.5 — 8*0.91 1.079* 429 0.4798 + Вб'.П 9256 2.083 0.4114
6 85°.02 1,0781 480 0.4688 86*.18 9270 .132 0.4030
7 8SM1 1.07*8 530 0.4582 86*,25 9285 2.182 0.3951
8 85",20 1.07SS 581 0.4481 86*.32 9300 2,232 0.3875
9 85".29 1,0740 631 0.4384 86*.39 9313 2.282 0.3801
5.0 -85",38 1.07Ц 682 0.4291 + 86*.45 9326 2,332 0.3730

286 ХШ, ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 64
_ __ __ __ __ ___ __
Ро-Рх b<Jbi тц- Ть7 ч»» ^ ТьГ ТТц"
5,0 -85°,38 727 2.682 *291 + 86°.45 326 2J32 3730
1 В5?А7 713 2.732 4201 86*.51 339 2.381 3662
2 BSTSS 699 2.782 *11S 86».S7 350 2.431 3596
3 85*,64 685 2.832 4032 86°,63 362 2.481 3533
4 8S*,72 672 2.881 39S2 86*,68 372 2.530 3471
S.S — 85*Д> 659 2.931 3876 + 86в.74 383 2.580 3412
6 85°,88 646 2.981 3802 86*79 393 2.630 3355
7 8S*.95 633 3.030 3731 86*.84 405 2.680 3300
8 86°.03 621 3.080 3663 86°.89 «1* 2.730 3246
9 86М0 611 3.130 3597 86в.9Э 421 2.780 3194
6.0 — 86М7 600 3.180 3533 + 86*.98 433 2.830 3144
1 86°.24 589 3.230 3472 870.02 443 2.880 3096
2 86*.31 578 3.279 3412 87°.07 451 2.930 3049
3 86*,38 568 3.329 3355 870.11 460 2.980 3003
4 86*.44 559 3.379 3300 87°.15 466 3.029 2958
6.5 — 86*.50 551 3.429 3246 + 87°.19 474 3.079 2915
6 86*.56 542 3.479 31»» 87°.23 480 3.128 2873
7 86».62 534 3J529 3144 87°.27 487 3.178 2832
8 86в.68 526 3.579 3096 87°.30 495 3.228 2793
9 86*.73 520 3.629 3050 87°.34 503 3.278 2754
7,0 — 86в.78 513 3.680 3004 + 87°,37 510 3.328 2717
1 86°.83 505 3.729 2959 87° 41 517 3.379 2681
2 86*.88 497 3.779 2916 87°.44 524 3.429 2646
3 86°.93 490 3.829 287* 87°.47 531 3.479 2611
4 86°,98 * 483 3.879 2833 В7вЛ0 537 3.529 257»
7,5 — tV°.Oi 477 3.929 2794 + В7в.53 542 3.578 254S
6 вг°.С7 «71 3.979 2756 87°.56 548 3.628 2513
7 В7°,11 465 4.029 2718 87°.S9 553 3.678 2481
8 В7°,15 459 4,079 2682 87°.62 559 3.728 245t
9 В7°,19 453 4,129 2646 87°.65 565 3.778 2422
8.0 -гВ7°.23 447 4.179 2612 + 87°,67 570 3.828 2393
1 В7°.26 441 4.229 2578 В7°,70 576 3.878 2364
2 В7°.30 436 4.279 2545 87V3 580 3.928 2336
3 В7°.34 430 4.329 2513 В7°.75 584 3.977 230»
4 В7°,37 426 4.379 2482 87W S89 . 4.027 2283
8.5 -В7°.40 421 4.429 2452 + в7°.80 594 ■ 4Л77 2257
6 ( В7°.44 416 4.479 2422 В7°.82 599 4.128 2232
7 В7°,47 411 4.529 2393 В7°.85 «04 4.178 2208
8 В7°.50 407 4,579 2365 В7°,87 609 4.228 2184
9 87°,53 403 4.629 2338 В7°.89 614 4.278 2160
9,0 — BI°JSt 398 4.679 2311 + ВТ».* 617 4.328 2137
1 В7°,59 394 4.729 2284 В7°,93 «20 4.377 2114
2 В7°.62 389 4.779 2258 В7°,96 B4 4^27 2092
3 87°,65 385 4.82» 2233 В7°,98 «29 4.477 2071
4 В7°.67 381 4.879 220» 88°.00 «32 4.527 204»
9.S — в7»70 378 4,930 2185 + 88°.02 637 4.578 202»
6 В7°.Л 374 4.980 2161 8в°.04 &41 4.628 200»
7 В7°,75 370 5.029 2138 88°.05 644 4.677 198»
8 В7°,77 365 5.07» 2115 88°,07 647 «.727 196»
9 В7°.в0 361 5.129 2093 8В°,09 651 4.777 1950
10.0 -VPgl 358 5.17» 2072 + 88°.11 «55 4Д27 1934
1.8 О. ДО »,

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ
287
С ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ
1. Функции Аигера и Вебера
1.1. Функции Ангера Jv(z) и функции Вебера c4(z) получаются в связи
с интегральным представлением Бесселя для Jv{z). Именно,
JvB)±/Ev(*)=-j-f%±/<v'~i,,,,0*tt.
« Jo
т. е. J,(z)*=-l-{n cos {vt~z sin t)dt, Е,(г) = — f"sin(W — г sin/) Л.
л J о л j о
В некоторых случаях — Е„ ?) обозначают через Qv{z) и называют функцией
Ломмеля—Вебера (рис. 173, таблица 65).
'•" j ■'" - ■ I "■
<л^^^^
А -Л^^
f- -£\ \~f-
йч *V V^W
f ~1 \/ Г^Л
xw_X aXS -/*?-
/ • v \ * \ \ */V
f- 4V)>/- \- \\\ yp-T-i
г7 Л ^Л Ъ%'*х2.
~1 ~£_ \ \\л/ / у
Т / ч^-^'^^^---'
-V £
ist-l
и
Ь>"
>С >\ ^"N, --""~>«" >г-
С- A V_vX &S /L 2^''
/\ \\ \ Л^а>Г У 7ч
ьу 'ч ч К^7 у^тУ л
^ ^^^2^2^
в 9 10 11 12 13 14 IS IB
—*-*
Рис. 173. Функция Вебера Е,,(х).
Эти функции являются решениями следующих неоднородных днфференци
альных уравнений Бесселя:
M''^^dw^ti _. (^U-v)sinv*,
Ejz): [ ——[(z+v) + (z-*-v)cosvn\.
Для целого порядка л имеем JB(j) = ./n(.z). Если v не целое, то функции
Jv(z) и E„(z) связаны соотношениями
sin хл ■ J, {z) = cos vn- Е, (z) — E_v (z), sin vn • Ev (z) = J_„ (г) —cos vn • Jv (z).
Функция Вебера Ev(.z) разлагается в степенной ряд
2 tv{Z) — v sin 2 J^I g*—^ + B»—v*)D*—v*) •••J —
U 2 [l2-^v* Aг—л^)(Зг—vV ;*'J '
Ее асимптотика при |_z|^>l, |.z|^>[v| описывается формулой
E.W-HV. w* -i±gS [! Jy+i'-y-^ ...) -
1 —cosуя |v vB»—v8) уBг—^D'—v8) 1
' яг [г г* + г» . -J •

288 хш. функции бесселя (цилиндрические функции)
1.2. Неполными функциями Ангера и Вебгра называются функции
г г
" = ~П J C°S (V^ ~Г Sln ^ dt' —V = 4" 1 Sil) <V^ —Г Sin 0 rf*-
о о
Если верхний предел z — n, то они превращаются соответственно в функции
Нигера и Вебера Jv(r) и Ev(r). Для г = v см. таблицы 66 и 67.
2. Функции Струве
Функции Струве Hv (г) получаются в связи с интегральным представлением
Пуассона для функций Бесселя при Rev>—1/2. Именно,
2 (zl2Y С
Н„ (z) = -^ г (v + i/2) J sin (,г cos ^ sin"t dtk
0
Они являются решениями следующего неоднородного дифференциального
уравнения Бесселя:
„*<***», dw , . 4 (г/2)у+1
* 5F + г^ + <* ~v > w = T7WT (v + i/2) •
Функции Струве целого порядка п связаны с функциями Вебера; в
частности, имеем (рис. 174, таблица 65): Н„(г)= — E„(z), Иг (г) = — Е, (z) + 2jn.
0 12 3
4 5 6 7 6 9 Ю 11 12 13 14 15
— X
Рис. 174. Функции Струве Н„(лг).
Функции Струве порядка л+1/2 (л—целое число) являются элементарными
функциями, например
/я . , , , 1 —cosг
Разложение функции Hv(z) в степенной ряд таково:
_ 2 (г'Р)у-И Г, гг г^ 1
HvU)^7Sr(v + 3/2) [ 3Bv+3) +3-5Bv+3)Bv + 5) -"J '
Ее асимптотика при |г|^>1, |2|^>fv| дается формулой
Н,(*)-Л/,(*)*17=/2)
У'п Mv + 1/2)
^ + HgvFl) + 1.3.Bv-l)Bv-3)+ j

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 289
Таблица 65. Функции Вебера Е0 (х), Е, (х) и функции Струве Н0 (х), Н, (х)
X
0.00
02
64
06
08
0.10
12
14
16
18
0 20
22
24
26
28
0.30
32
34
36
38
0.40
42
44
46
48
0.50
52
54
56
58
0.60
62
64
66
68
0.70
72
74
76
79
0.80
82
84
86
88
090
92
94
94
98
1.М
-EqW
= н0м
+ 0.
«wo + tss
0127 «
°2!* 63 S
0382 63 S
0509 63.S
0636 + 63 5
0763 63
0889 63S
1016 „
1142 63
1268 + 62.5
1393 ал
1518 62.S
1643 62
1767 61
1891 + 61.5
1014 61.S
2137 61
И» 61
2381 60
2501 + 60.S
1622 S9.S
2741 S9.S
2860 „
2978 „
3096 + 58
3212 м
3328 „
3442 „
3556 56.5
3669+56
3781 5S.5
3892 „
4002 $45
4111 „ 5
4218 + 53.5
4325 53
4*31 $1
4535 51.5
4638 51
4740 + SOS
4841 Wi,
4940 „
5038 ^д
5135 47.5
5230 + „
5324 «.S
5417
5508 <s
5598 44.5
5687
+ 0,
- Е, (х)
-0.
6Э66
6365
6363
6359
635]
6345
6336
6325
6312
6298
6282
6264
6244
6223
6201
6176
6150
6123
6094
6063
6030
5996
5961
5923
S885
5844
5803
5759
5715
5668
5620
5571
5520
5468
5415
5360
5304
5246
5187
5127
5065
5002
4938
4872
4806
+ os
1
2
3
4
+ *s
s s
65
7
a
+ »
10
10.S
11
12 S
+ 13
13.S
1*5
IS.S
16.5
+ 17
17.5
19
19
20. S
+ 20.S
22
22
23.5
24
+ 24.S
2S.5
26
26.5
27.5
+ 28
29
29. S
30
31
+ 11.S
12
33
33
34
473в+34.$
4669
4599
4528
445S
4382
-о,
35
3S,5
36.5
36. S
H
+ 0.
0000
0001
0003
0008
0014
0021
0031
0042
0054
0069
0085
0102
0122
0143
0166
0190
0216
0243
0273
0303
0336
0370
0406
0443
0481
0522
0564
0607
0652
0698
0746
0795
0846
0898
0951
1006
1063
1120
1179
1240
1301
1364
1428
1494
1560
1628
1697
1767
1839
1911
1985
+ 0,
,(*)
+ 0.S
•1
2S
3
3.5
+ S
s.s
6
7.5
8
+ 8.S
10
10.S
11.5
12
+ 13
13. S
IS
15
16.S
+ 17
18
18.S
19
20.5
+ 21
21.S
22.5
23
24
+ J«5
15.S
26
265
27.5
+ 28.5
28.5
29.5
30.5
30.5
+ 31 ,S
32
33
3}
3i
¥ M.S
35
36
34
37
^
Ж
1.00
02
04
06
08
1.10
12
14
16
18
1.20
22
24
26
28
1.30
32
34
36
38
1.40
42
44
46
48
1.50
52
54
56
58
1.60
62
64
66
68
^
4
74X
76
78
1.80
82
84
86
88
1.90
92
94
96
98
2,00
-E0
(x)
= h0w
+ 0.
5687 a
5773
5859
5943
6025
6106 4
6185
6263
6339
6413
6485
6557
6626
6693
6759
6824
6886
6947
7005
7063
43
42
41
40.5
39,5
39
38
37
36
36
34.5
33.S
33
32.5
31
30.5
29
29
27.S
7118 + 16.S
7171
7223
7273
7321
7367
7412
7454
7495
7533
7570
7605
7638
7669
7699
7726 +
7752
7775
7797
7817
7835
7850
7865
7877
7887
7895
7902
7906
7909
7910 _
7909
+ 0.
26
25
24
23
22.5
21
20.5
19
18.5
17.5
16.S
15.5
15
13.5
13
11.S
11
10
9
7.5
7.S
6
5
4
3.S
2
1.5
0.5
0.5
-E
— 0.
4382
4307
4231
4155
4077
3999
3919
3839
3757
3675
3592
3508
3423
3338
3252
3165
3077
2989
2900
2811
2721
2630
2539
2448
2356
2263
2170
2077
1984
1890
1796
1701
1607
1512
1417
1322
1227
1131
1036
0941
0845
0750
0655
0559"
0464
0370
0275
0180
0086
♦0008
0101
+ 0,
,W
+ 37.S
38
38
39
39
+ 40
40
41
41
41.5
+ 42
42.S
42.S
43
43.5
+ 44
44
44.5
44.5
45
+ 45.5
45J
45,5
46
46.5
+ 46,5
46,5
46.5
47
47
+ 47.S
47
47.5
47.5
47,5
+ 47,5
48
47.5
47,5
48
+ 47.5
47.5
48
47. S
47
+ 47.5
47,1
47
47
46,5
H1
+ 0.
1985
2059
2135
2211
2289
2368
2447
2528
2609
2691
2774
2858
2943
3028
3114
3201
3289
3377
3466
3555
3645
3736
3827
3918
4010
4103
4196
4289
4382
4476
4570
4665
4759
4854
4949
5044
5140
S235
5330
5426
5521
5616
5712
5807
5902
5997
6091
6186
6280
«374
6468
+ 0.
(*)
+ »
38
38
39
39.5
+ 39.5
40.S
40.S
41
41.5
+ 42
42.5
42.5
43
43.5
+ 44
44
44.5
44.5
45
+ 45.5
45.5
45.5
46
46.5
+ 46,5
46.5
46.5
47
47
+ 47.S
47
47.5
47.5
47.1
+ 4»
47.5
47,5
48
47.S
+ 47.5
48
47,5
47,5
47.S
+ 47
47.5
47
47
47 .

290 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. об
+ о. +7к +1»; тт. +о. +т
2.00 7909 J. , s 0101 + i7 6W8 + <es 3.00 5743 ._ „ s 383S + м 0201 + ,3
02 7906 j s 0195 w s 6561 ^ 02 5666 J9" 3881 21s 0247 »,S
04 7901 3 5 0288 46 665* и'л 04 5588 j,s 3926 2,'j 0292 21[s
06 7894 4" 0380 w 6747 44' 06 5509 w' 3969 2," 033S 2,"
08 7886 5S 0472 u 6839 45^ 08 5*29 ws 4011 ю 5 0377 ю s
2.10 7875 _6 0564 + <s 5 6930 + u 3.10 5348 _ ^ 4052 + „ 5 0418 + „ &
12 7863 7 0655 iS5 7022 <s 12 5267 41 4091 ,„ 5 0457 1g s
14 7849 g 0746 iS" 7112 is s 1* 5185 41 s 4128 1g' 0494 ,8'
16 7833 es 0836 a 7203 „'5 16 5102 <2' 4164 17S 0S30 17S
18 7816 10 0926 445 7292 445 18 5018 <2 4199 ,4]s 0S6S 16]s
Z20 7796 _10s 1015 + 445 7381 + 44^ 3.20 «»3«_«.S «« + 1* 0598 + 16
22 7775 „ s 1104 44 7470 u 22 4849 4J «264 1s 0639 1S
24 7752 12S 1192 455 7558 4J s 24 4763 4J 4294 us 0660 us
26 7727 ,j* 1279 4J* 7645 45*5 26 4677 4, 4323 1}S 0489 1JS
28 7701 u 136$ 4j 7732 0]s 28 4591 44 4350 13' 0Щ „"
2.30 7673 _,s 1+4jS 7817 + u 3.30 4503 _ 44 4376 + „ 0742 + ,2
32 7643 16 1536 42S 7903 a 32 4415 44 4400 „ s 0766 „ s
34 7611 16S 1621 41S 7987 a 34 4327 44 4423 10]s 078» 10|s
36 7578 17S 1704 i% s 8071 n 36 4239 445 4444 9's 0816 10'
38 7543 ,8S 1787 t1" 8153 41 38 4150 и' 4463 9S 0830 ,
2.40 7506 _ „ 1869 + 4,, s 8235 + 4,, s 3.40 4060 _ <$ 4482 + , 0848 + 8
42 7468 ,0 1950 ад' 8316 4,,' 42 3970 45 4498 7S 0864 8
44 7428 MS 2030 4,, 8396 M 44 3880 45 4513 7' 0880 65
66 7387 j,'s 2110 3, 8476 J9 46 3790 ws 4527 & 0893 6'
48 7344 H" 2188 385 8554 J9 48 • 3699 ws 4539 ss 090$ s5
2S0 «00_2J 2265 + J85 8632 + j8 3.50 3608 _ iS s 4550 + 4 s 091*+45
52 7254 j4 2342 j7s 8708 J7, 52 3517 is s 4559 Js 0925 J5
54 7206 j4S 2417 }75 8783 j7s 54 3426 44 4566 3' 0932 j'
56 7157 „s 2492 J6S 8858 }6 s 56 3334 i5 s «572 2S 0938 2S
58 7106 J6' 2565 J6 8931 J6 s 58 3243 44 4577 )s 0943 ,s
2 60 TO54_26S 2637 + J6 9004+ J5 s 3.60 3151 _ 455 4580 + os 0944 + 0 s
62 7001 27S 2709 JS 9075 JS' 62 3060 44' «581 „ 0»«7 „
64 6946 jg' 2779 34 s 9145 J4 s 64 2968 iS s 4S81 _ , 0947 _ ^
66 6890 29 2848 M 9214 м' 66 2877 44' 4S79 1S 0946 1S
68 6832 29S 2916 JJS 9282 J} s 68 2785 iS s 4576 2' 0943 2S
2.70 6773 _J0 2983 . n s 9349 „ 3.70 2694 _ 44 4572 _ } 09J8 _ 3
72 6713 }1 3048 J2S 9415 J2 П 2602 -J^~ 4566 4 0932 3S
74 6651 j, s 3113 j, s 9479 „ s 74 2511 455 4558 4S 092S 4'5
76 6548 J2 3176 }1 9542 j," 76 2420 455 4549 s' 0916j ss
78 6>i-. 32S 3238 ю s 9604 M s 78 2329 45'5 4539 6 0905 -,"
2.80 6459 _ jj s 3299 „ s 9665 . m 3.80 2238 _tt 4527 _ , s 0893 _ , s
82 6392 M" 3353 2,s 9725 29 82 2148 45 4514 7S 0880 ?i
84 6324 MS 3417 м' 9783 M s 84 2058 u 4499 g' 0865 g'
86 6255 J5 3473 M 9840 „ s 86 1968 45 4483 8.S fl849 8 5
88 6185 JSS 3529 27 9895 27 s 88 1878 44, 4466 9's 0832 ,[s
230 6114 _J6 3583 +26S W50 + 26S 3.90 1789 _44 «447 _,ад 081J_10S
92 6042 J6 s 3636 26 »0003 „5 92 1701 445 4426 „ 0792 tts
94 5969 „ 3688 Js 0054 „5 9* 1612 44 4404 ,, s 0771 ft s
96 5895 jj 3738 j, s 0105 ^'5 96 1524 4J s 4381 ,,' 0748 ,-,'j
98 5819 M 3787 ^ 0154 ^ 98 1*37 43^ 4357 „ 072J „'
3,00 5743 383S 0201 4,00 1350 «331 0697
+ 0, +0, +1. +0, +0. +1.

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 291
Продолжение табл. 65
X
«,00
02
04
06
08
«,10
12
14
16
18
«.20
22
24
26
28
4.30
32
3«
36
38
«.40
«2
44
46
48
«,50
52
54
56
58
4,60
62
64
.66
68
4,70
72
74
76
78
4,80
82
84
86
88
4.90
92
94
96
98
5.00
-Е
= Н
+ 0.
1350
1264
1178
1093
1008
0924
0841
0758
0676
0595
0515
0435
0356
0278
0201
012S .
0049
*002S
0099
0171
0243.
0313
0383
0452
0519
0585 .
0651
0715
0778
0840
0901 .
0960
1019
1076
1132
1187.
1240
1292
1343
1393
1442 _
1489
1534
1579
1622
1664 _
1704
1743
1781
1817
1852
-в.
0»
— «1
«]
«,s
«2.5
«2
-41,5
41.S
41
40.5
40
-40
19,5
19
38,5
38
-38
37
17
34
34
-35
35
34,5
33.5
33
-33 '
32
31.5
31
30,5
-29,5
29.5
28,5
28
27,5
-26,5
24
25,5
25
24,5
-23,5
22.5
22,5
21,5
21
-20
19,5
19
1*
17.S
-Е,
+ 0.
4331
4304
4275
4246
4215
4182
4149
4114
4078
4040
4002
3962
3921
3880
3836
3792
3747
3701
3653
3605
3555
3505
3453
3401
3348
3294.
3238
3183
3126
3068
ЗОЮ .
2951
2891
2830
2769
2707 .
2644
2581
2517
2452
2387.
2322
2256
2189
2122
2055_
1987
1919
1850
1781
1712
(*)
— 11.5
К.5
К.5
15.5
16.5
— 16.5
17.5
18
19
19
— 20
20,5
20.S
22
22
-22.5
23
24
24
25
— 25
24
26
26,5
27
-28
27.5
28.5
29
29
-29.5
30
30,5
30.5
31
-31,5
31,5
32
32.5'
32,5
-32,5
11
33,5
33,5
33,5
-34
34
34.S
34,5
34,5
Н1
+ 1.
0697
0670
0642
0612
0581
0548
0515
0480
0444
0407
0368
0329
0288
0246
0203
0158
0113
0067
0019
*9971
9921 .
9871
9820
9767
9714
9660.
9605
9549
9492
9434
9376 .
9317
9257
9196
9135
9073 _
9010
8947
8883
8819
8754 .
8688
8622
8555
8488
8421 _
8353 ~
8285
8216
8147
8078
М
— 13.5
14"
15
15.5*
16,5
— 16,5
17.5
18
18,5
19.5
— 19.5
20.5
21
21.5
22.S
-22.5
23
24
24
25
-25
25,5
26,5
26,5
27
-2T.S
28
28,5
29
29
-29.5
30
30,5
30,5
31
-31,5
31.5
32
32
32,5
-33
33
33,5
33,5
33,5
-34
34
34.S
34,5
34,5
X
5,00
02
04
.06
08
5.10
12
14
16
18
5.20
22
24
26
28
5,30
32
34
36
38
5,40
42
44
. 46
48
5,50
52
54
56
58
5,60
62
64
66
68
57ЛЬ-
72
74
76
78
5,80
82
84
86
88
5,90
92
94
96
98
6,00
- Е0М
= Н0(х)
-0.
1852
1886
1918
1949
1978
2006
2032
2058
2081
2104
2124
2144
2162
2179
2194
2208
2220
2231
2241
224$
2256
2261
2265
2267
2269
2268
2267
2264
2260
2254
2247
2239
2230
2219
2206
— 17
16
15.5
14,5
14
— 13
11
11.5
11.5
10
-\о
9
8,5
7.5
7
— 6
S.S
- S
«
3.5
— 2.5
2
1
— 1
1- 0.S
1- 0.5
1.5
2
3
3.S
4- 4
«.5
5
6.5
6.5
2193 + 7.5
2178
2162
2145
2127
8
8,5
9
10 '
2107 + 10.5
2086
2064
2041
2016
11
11,5
12,5
13
1990 + 13
1964
1936
1907
1877
1846
14
4.5
15
15,5
- Е, (»)
+ 0,
1712
1642
1573
1503
1433
1362
1292
1221
1150
1080
1009
0938
0867
0796
0725
0655
058^4
0514
0443
0373
0303
0234
0164
0095
0026
*0042 .
0111
0178
0246
0313
0379.
0445
0511
0576
0641
0705.
0768
0831
0893
0955
1016.
1076
1136
1194
1252
1310 _
1366
1422
1477
1531
1584
— 35
34,5
35
,35
3S.5
— 35
35.5
35.5
3S
35.5
- 35.5
35.5
35.5
35.5
35
-35.5
35
35,5
3S
35
-34.S
35
34,5
34,5
34
-34,5
33,5
34 ,
33,5
33
-33
33
32.5
3W
32
-31.S
31,5
31
31
30.S
-30
30
29
29
29
-28
28
27,5
27
26.5
н,
+ в.
8078
6009
7939
7869
7799
7728
7658
7587
7517
7446
7375
7304
7233
7162
7092
7021
6950
6880
6810
6739
6670
6600
6530
'6461
6392
6324
6256
6188
6120
6053
5987
5921
5855
5790
5725
5661 .
5598
5535
5473
5411
5350 .
5290
5231
5172
5114
5056 .
5000 "
4944
4889
4835
4782
(*)
-ил
3S
3S
35
35.5
—35
35.5
35
35.5
35.5.
— 3S.S
35Д
35.S
35
35.5
— 35.5
35
35
'35.S
34,5
-3S \
35
34.S
34Д
34
— 34
34
34
ззд
31
— 31
33
32.5
32.S
32
-31.5
31,5
31
3|
30,5
-30
29,5
29,5
29
29
-28
28
27,5
27
26,5
.

292 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 65
— Е (х) — Е (х)
о <r
—0. —О, +0. +0. —О, + О,
fcvOO 18*6 + us 1584 _М5 «782_J6S 7.00 0634 + 2, 2903 , s МЫ + , 5
02 18K 16'5 1637 И5 4729 2S 5 02 0692 2, 2900 2j 3466 25
04 1780 17 1688 25'5 4678 ^\ 04 0750 ю 2895 3 3471 ,'
86 1746 ,„ 1739 25' 4627 jj 06 0808 M 5 2889 3 3477 35
08 1711 ,g 17^9 м_5 4577 21 08 0865 „' 2883 4 348* 4"
6.10 167*+18S ,838-21S *H9_24 7-10 °9n + 28S • M7S + S 3492 , 4>
12 1637 ,," 1885 2J 448t 23 5 12 0980 „' 2865 s 3501 5
14 1599 „j 1932 23' 4434 M' 14 1038 M 5 2855 55 3511 6
16 1560 ,0" 1978 H5 4388 j^j 16 1095 м" 2844 6"s 3523 6
18 1S20 M5 2023 H" 4343 n 18 1151 M s 2831 7" 3535 7
6.20 1479 + 2, 2067_И5 4299_2,5 7.20 1208 + 28 2817 + 7 5 3549 + 7 5
22 1437 21 s 2110 2|' 4256 j, 22 1264 2g 2802 g 3564 g
24 1394 2, 2152 205 4214 Ki 24 1320 27 5 2786 „s 3580 Bs
26 1351 22 2193 2Q 4173 ^ 26 1375 M 2769 , 3597 ,
28 1307 as 2233 „ 4133 „ 28 U31 2J 2751 ,s 3615 95
4,30 1262 +2J 2271 _„ 409S_„ 7.30 1485 +275 2732 + ,„ 3634 + ,„ s
32 1216 23S 2309 ,85 4057 ,8S 32 1540 „ 2712 „ 3655 10j
34 1169 jJ5 2346 „s 4020 ,7J 34 1594 27 2690 ,, 3676 „
36 1122 M' 2381 ,7'5 3985 ,7 s 36 1648 26 5 2668 ,, 5 3698 12
38 1074 мд 2416 ,65 39S0 ^ 38 1701 u' 2645 ,2S 3722 ,2
6.40 1025 u s 2449 _,, 3917 _ „ ' 7.40 1753 + 26 2620 + ,„ 3746 + „
42 0976 2S 2481 1S5 3885 ,ss 42 1805 26 2S9S ,JS 3772 13
44 0926 25 2512 ,5' 3854 „' 44 1857 й 5 2S68 ,3's 3793 ,JS
46 0876 25 s 2S42 ,„ 3824 u 5 46 1908 • 25 s 2541 ,<s 3825 ,AS
48 0825 26 2571 ,4 3795 „ s 48 1959 ^ 2512 u s 3B54 u 5
6.50 0773 +26 2599 _„ 3768 _ 135 7.50 2009 + M 5 2483 + ,s 3883 + ,5
52 0721 2t5 2625 ,2 j 3741 ,„ 52 2058 „ s 2453 ,„ 3913 „
54 0668 М5 2650 ,2S 3716 ,2 54 2Ю7 24 2422 ,65 394S u
56 0615 27" 2675 ,,* 3692 „ 5 56 2155 23 5 2389 „j 3977 ,65
58 0561 27 2697 „ 3669 „ 58 2202 23д 2356 ,t 5 4010 17
6.60 0507 +27S 2719 _,0 s 3647 _,0, 7.60 2249 + 23 2323 + ,7 5 4044 + 17
62 04S2 27's 2740 ,5 3626 9S 62 2295 23 2288 „ 4078 18
64 0397 27'5 2759 ," 3607 ,' 64 2341 22 2252 ,8 4114 „ 5
66 0342 M 2777 gs 3589 gs 66 2385 22 2216 „ 4151 ,BS
68 0286 2, 2794 8' 3572 8" 68 2429 2, 5 2178 „ 4188 „"
6.70 0230 . 2, 2810 _ 7 5 355« _ 7 , 7.70 2472 + 2, 5 2140 + 19 s " 4226 + „ s
72 0174 285 2B25 bS 3541 6 72 2515 205 2101 19'5 4265 19s
74 0117 28S 2838 t5 3528 t 74 2556 20 5 2062 20 4304 M\
76 0060 28'5 2851 55 3516 55 76 2597/20 2021 2Q 5 4345 20 5
78 0003 285 2862 <5 3505 5 78 2637 M 1980 20's 4386 21'
6.80 «0054 2, 2871 _ 4 5 3495 _ , 5' 7,80 2677 + „ 193» + 21 s 4428 + 21
82 0112 „ 2880 35 3486 35 82 2715 ,g 5 1896 21^ 4470 2, 5
84 0170 2gs 2887 ,' 3479 3' 84 2752 1g's 1853 22 4513 и'
86 0227 2, 2893 25 3473 25 86 2789 ,g 1809 у 5 4557 И5
88 0285 2, 2898 2 3468 2' 88 2825 ,7 5 1764 jjj 4602 и
6.90 0343 + 29 2902 _ , 5 3464 _, 5 7.90 2860 + u 5 1719 a 5 4647 + 23
92 0401 2, 2905 _ os 3461 _„ 5 92 2893 ,, s 1674 2J 5 4693 ,}
94 0459 2,s 2906 „ 3460 fl 94 2926 u 5 1627 H s 4739 23 5
96 0518 „' 2906 + 05 3460 + 05 96 2959 1S'§ 1580 23\ 4786 23S
98 0576 19 2905 ,' 3461 ,' 98 2990 1S 1533 M" 4833 u'
7,eff 0634 2903 3463 8,00 3020 1485 4881
+ 0. - 0. jtO. + 0. - 0, \ + •.

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 293
Продолжение табл. 65
- Е (xj "t " ~Т -Е (х)
= Н°(х) -EiM Hi<*> x =H(x) -EiM Н1<*>
То. ^Т, +T ЙПГ +^i +~o.
8.00 3020 + 1<5 1*85 +м «81+мл 9-00 3199 _„s Щ9 „.S 7«»5 „
02 3049 u 1*37 Л4 4930 v s 02 3176 12 1166 us 7533 2J
04 3077 u 1388 M 4979 M5 04 3152 ,2 5 1213 „" 757» 2J
06 3105 13 1338 M S028 ,5' 06 3127 ,2 5 12S9 11% 762S Ms
08 3131 11.5 1288 IS M78 25 W 3102 US 1J0* «is 7*70 22.5
8.10 3156 + „ 1238 + „ 5128 + „ s 9.10 3075 _ „ 5 1349 + n 771S + щ
12 3180 ,j 1188 M 5179 „ 5 12 3048 u5 1393 H 7760 21 t
14 3204 „ 1136 M5 5230 Ms 14 3019 ,4 5 1*37 2, j 7803 2,s
16 3226 10, 1085 M" 5281 M" 16 2990 15 1480 21' 7846 21 j
18 3247 ,„' 1033 26 5333 26 18 2960 155 1S22 21 7889 ^
8.20 3267 ,s 0981 +26 5385 + 26 9.20 »»_,55 15W + 29.* 793° + 20S
22 3286 ," 0929 26 5 5437 26 5 22 2898 ,6 5 160S ю 7971 ю 5
24 3304 es 0876 265 5490 26 5 24 2865 16 s 1645 j,, 8012 „ j
26 3321 8" 0823 2t 5 5S43 u , 26 2832 17 1685 „ s 8051 „ 5
28 3337 7S 0770 ,6 s 5596 26 5 28 2798 17s 1724 „' 8090 19
8 30 3352 + 7 0717 + 27 5649 + JT 9.30 2763 _ ,8 1762 + 1gs 8128 + „
32 3366 65 0663 265 5703 J65 32 2727 18 1799 ,„ 5 8166 18
34 3379 s's 0610 27 5756 „ 34 2691 ,8 s 1836 ,8 8202 . ,g
36 3390 s 5 0556 27 5810 27 36 2654 ,,." 1872 17 j 8238 ,7 5
38 340t ,5 0502 27 5864 „ 38 2616 „ 1907 17" 8273 ,7"
840 3410 + tJ 0448 + 27 5918 + 27 9.40 2S78 _ 2Q 1941 + ,, 8307 + ,7
42 3419 j 0394 27 5972 27 s 42 2S38 „ 5 1975 ,6 8341 ,6,
44 3426 , 0340 275 6027 „" 44 2499 ,„ s 2007 ,6 8374 ,ss
46 3432 , 0285 27" 6081 27 46 2458 M"s 2039 ,ss 8405 1is
48 3438 2 0231 27 6135 27 s 48 2417 2," 2070 1s" 8436 15
8 50 3442 + ,j 0177 275 6190 + 27 9.50 2375 _i1# 2100 + 15 8466 + ,j
52 3445 + ," 0122 27' 6244 27 52 2333 2, s 2130 ,4 8496 ,4
54 3447 0 0068 27 6298 27 54 2290 2,'s 2158 ,} 5 8524 u
S6 3447 0 0014 „ 6352 „ 56 2247 22" 2185 12"& 8552 ,,
58 J447 _ 05 *0040 2J 6406 27 58 2203 22 s 2212 ,j" 8578 u
8 60 3446 _, 5 0094 +27 6460+ 27 9,60 2158_ja,s ИЗ8 + 12 в604 + U.i
62 3443 , 0148 265 6514 27 62 2113 jj'j 22*2 ,2 8629 ,2'
64 3440 j 0201 27' 6568 26 5 64 2068 2J" 2286 „ s 8653 „
66 3435 25 0255 2SJ 6621 26s 66 2022 2J s 2309 „ 8675 „
68 3430 j"s 0308 26 6674 27" 68 1975 2," 1331 ,„ s 8697 „
8 70 3423 _ 4 0361 + 26 s 6728 + u 9.70 1929 _ u 2352 + 10 871» + 10
72 3415 45 0414 26S 6780 u 5 72 1881 2J s 2372 10 8739 ,,
74 3406 i5 0467 26" 6833 26 74 1834 u 2392 , 87S8 ,
76 3397 ss 0519 26 6885 26 76 1786 u s 2410 gs 8776 85
78 3386 ," 0571 24 6937 ,6 78 1737 u' 2427 8" 8793 gs
8.80 3374 _6S 0623 +25 5 *»89+2(. 9.80 1689 _ M 5 2443 + „ 8810 + 7S
82 3361 7' 0674 2& 7041 2S s 82 1640 25 2459 ? 8825 7
84 3347 7S 0726 jj 7092 2S 84 1590 M 5 2473 65 8839 7
86 3332 8' 0776 255 7142 M s 86 1541 и" 2486 6S 8853 6
88 3316 8S 0827 j^j 7193 2S" 88 1491 -^ 2499 ss 8865 ss
8.90 3299 _ , 0876 +J5 7243 + u 5 9.90 1441 _ -^ s 2510 + ss 8876 + ss
92 3281 ,s 0926 2^5 7292 j^ 92 1390 25 2521 4]s 8887 4S
94 3262 10' 0975 J4 5 7341 ui 94 1340 25 s 2530 4' 8896 4
96 3242 10S 1024 24' 7390 ^ 96 1289 25S 2538 4 8905 3"s
98 3221 ,,* 1072 2J s 7438 2J 5 98 1238 м 2546 j 8912 j'
9.00 3199 1119 7485 10.00 1187 2552 8918
+ 0, +0, +0, +0, +0. +0.

294 ХШ. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
Продолжение табл. 65
• 1 :£ 1 -w H,w""r"I"r'ST;.!:!L-LJE!
+ 0, + в, +0. —0, 4 0, +0.
10.00 1187 _М5 2552 + 3 8918 ч , 11.00 1"*_,7 1««8_ie.S в»55-1»
02 1136 ,' 2558 - I 8924 2 02 1148 16 1651 „ 8017 WJ
04 108S '. 2562 1Ь 1 8928 2 (С "80 16 1613 19 7980 „ 5
06 1034 м, 2565 15 8932 , 06 1212 15 5 «75 195 -7941 „ 5
08 0983 и' 2568 0'> 8934 05 08 1243 15 5 1S36 195 7902 19 5
10.10 0931 _25 s 2569 + 05 8935 + os 11.10 | 1274 _и5 1497 _м 7863 _м
12 0880 и" 2570 _ 0'5 8936 _ 05 12 1303 u5 14S7 20 ,ИЗ 20
14 0828 м 5 2S«» OS &iS OJ U "И 14 U17 M.S 7783 M.S
16 0777 "j 2S68 15 8934 ,s 16 1360 11S 1376 2„ 7742 ю s
18 0726 it' 2565 ," 8931 )s 18 1387 „ 1335 21 7701 и
10.20 0674 _J5 5 2561 _ , 8928 _2S 11.20 1413 _13 1293 _21 7659 _и
22 0ИЗ jss 2557 3 8913 2'5 22 1439 n 1251 21 s 7617 21 s
24 0572 ,„ 1И1 j 8918 ,s 24 1463 „ 1208 21 s 7574 21 s
26 0521 255 2545 3S 8911 „ 26 1487 „ s 1165 21 s 753* „ s
28 0470 25 2538 4]s 8904 4Л 28 1510 „ 1122 u 7488 n
10.30 dho «5 2529 _45 8895 _^b 11.30 1S32_10S 1078 _n 7444 _n
32 0369 ~25' 2520 s' 8886 5 32 1553 10 Ю34 n 7400 n
34 0319 и 2510 6 8876 , 34 1573 10 0990 и s 7356 и
36 0269 и 2498 6 8864 t 36 1593 9 0945 и 7312 ад
38 0219 и 2486 6S 8852 ^ 38 1611 9 0901 и 7267 HS
10.40 0169 _„ 5 2473 _ 7 8839 _7 11.40 1629 _ „ 0855 _w 2 _u
42 0120 M'5 2459 7S 8825 75 42 1645 „ 0810 u 7176 n^
44 0071 „s 2444 ,' 8810 e' 44 1661 75 0764 Ms 7131 H
46 0022 ' 2428 es 8794 es 46 1676 7 0719 2J 7085 „
48 *0026 „ 2411 9' 8777 a% 48 1690 t5 0673 M 703» „
10.50 0074 _2< 2393 _ 9 8760 _9S 11.50 1703 _ 6 0627 _ns 6993 _us
52 0122 ,jS 2375 10 8741 ,„' 52 1715 S5 0580 u 6946 j,
54 0169 " 2355 10 8721 10 54 1726 s 0534 M s 690Q и
56 0216 „ 2335 10S 8701 10 s 56 1736 ,5 0487 и 6854 и s
58 0262 j,iS 2314 „' 8680 „ 58 1745 45 0441 Hs -6807 и s
10.60 0309 _„', 2292 _„ 5 8658_,1iS 11.60 17S4 _ 3 5 0394 _HS 6760_2JS
62 0354 г s 2269 ,,' I 8635 12 62 1761 J5 0347 2J 5 6713 M
64 0399 HS 2245 12 s 8611 „ 64 1768 „ 0300 i3 6667 J3 s
66 0444 ' 2220 12s 8587 „ 66 1773 2 $ 0254 2J s 6620 Ms
68 0488 n /Й95 13' 8561 „ 68 1778 15 0207 Hs 6573 Ms
10.70 0532 _a1 s 2169 _13 s 8535 _1JS 11.70 1781 _ 15 0160 _2ii 6526 _HS
72 0575 ' 2142 u' 8508 u" 72 1784 , 0113 и 6479 u
74 0617 21 2114 1<5 8480 u 74 1786 _ 0 5 0067 MJ 6433 Hs
76 0659 ,, 2085 u 5 8452 1s 76 1787 0 0020 H % 6386 H
78 0701 MS 2056 „' 8422 1s 78 1787 + o5 * 0027 „ 6340 M>5
10.80 0742 _20 M26_1SS 8392 _„ 11.80 1786 + , 0073 _M 6293 _„
82 0782 195 1995 1$'s 8362 16 82 1784 , 5 0119 u5 6247 2-
84 0821 19'5 1964 u' 8330 16 84 1781 2 0166 2J 6201 2,
86 0860 ,9'5 1932 1t5 8298 16 s 86 1777 г 0212 ns 61SS и
88 0899 18 5 1899 1t>5 8265 16 s 88 1773 j 0257 M 610» и
10.90 0936 _18 5 1866 _17 s 8232 _17 11,90 1767 + 3 5 0303 _ns 6063 _ и s
92 0973 185 1831 „' 8198 17 s 92 1760 35 0348 H 6018 n5
94 1010 17S 1797 „ 8163 18' 94 1753 4 0394 ns 5973 n$
96 1045 17" 1761 18 8127 1g 96 1745 5 0439 и 592» ns
98 1080 17' 1725 ,„ s 8091 18 98 1735 s 0483 И5 588Э H
11,00 1114 1688 8055 12,00 1725 0528 583»
-0. +0. +0. -0. -0. +0,
17*

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 295
Продолжение табл. 65
- Е (х) — Е (х)
= h°oV) -Ei(*> h,w x = H°l(x) -e,(,)_ hiW
^ ^o^ +~oi ^oi ^^"о] +"о|
12,00 1725 + 55 0528 _п Й39_И5 13.00 0295 + 20S 2064 _ 6 4302 _ t
02 1714 6" 0572 21 5 5794 2,'s * 02 02S4 2,' 2076 s 5, 4290 5S
04 1702 6 0*15 и' 5751 J2' 04 0212 2) 2087 s' 4279 s
06 1690 7 0659 21 5 5707 21 5 06 0170 21 2097 s 4269 5
08 1676 7 0702 21'5 5664 21|5 08 0128 21 2107 <5 4259 4
12.10 1662 + , 0745 _M 5621 _21 13.10 0086 г1 2116 _ 3 5 4251 _ 4
12 1646 , 0787 21 5579 ~21 12 0044 j, 5 2123 зл 4243 ~ ,5
14 1630 85 082» M5 5537 M5 14 0001 21"s 2130 3 4236 ,'
16 1613 ,' 0870 21 S*96 10 s 16 *°°*2 21 2136 IS *230 25
18 1595 , 0912 20 5455 M|s 18 0084 21 s 2141 2S 4225 2S
12.20 1577 + Ю 0952 _M S4U _20 13.20 0127 21 5 2146 _, s 4220 _, 5
22 1557 ,0 0992 20 5374 M 22 0170 2, 5 2149 ,'s 4217 .
24 1537 105 1032 „5 5334 19 5 24 0213 21'5 215,2 0'5 4214 „5
26 1516 ,, 1071 „5 5295 195 26 0256 21 5 2153 _05 4213 _05
28 1494 „ 1110 19' 5256 19' 28 0299 21'5 2154 „' 4212 „'
12,30 1472 + 12 1148 _19 S218_,9 13.30 0342 + n 2154 05 4212+os
32 1448 12 1186 1gs 5180 1gs 32 0386 21 5 21S3 ,' 4213 ,'
34 1424 125 1223 18' 5143 18' 34 0429 21|5 2151 , 421S , 5
36 1399 12's 1259 ,8 5107 18 36 0472 21's 2149 2 4218 ,'j
38 137* 13' 1295 18 5071 18 38 0S1S 21' 2145 2 4221 2]s
12,40 "*8 + 1JS 1331 _|7 5 5035 _„ 13.40 0SS7 + 21 s 2141 + 3 4226 + 25
42 1321 u" 1366 „' 5001 l75 42 0600 21j 2135 3 4231 3'
44 1293 u 1400 U5 4966 16'5 44 0643 2, 2129 35 «237 3S
46 1265 u s M33 ,6 5 4933 16 5 46 0685 21 5 2122 4 «244 4
48 1236 -,s' 1466 16' 4900 16' 48 0728 21' 2114 4 «252, 4
12,50 1206+ 1S 1498 _16 4868 _16 13.50 0770 21 2106 . s «260 . s
52 1176 15 5 1530 155 4836 1S s 52 0812 21 2096 s «270 5
54 1145 16' 1561 1S' 4805 1S' 54 0854 205 2086 s s 4280 Js
56 1113 u 1591 15 «775 U5 56 0895 21' 2075 6' «291 t'
58 1081 165 1621 14 «746 14'5 58 0937 Ms 2063 4J 4303 ы
П60 1048 + 16S 1649 _u 4717 _u 13,60 0978 M s 2050 + 7 «316 + 7
62 1015 ,7' 1677 u 4689 14 62 1019 2fl' 2036 7 «330 7
64 0981 ,7 1705 1} 4661 13 64 1059 20 s 2022 7J 4344 7S
66 0947 175 1731 13 4635 ,j 66 1100 2Q 2007 8 4359 ,'
68 0912 175 1757 125 4609 12 s 68 1140 19 s 1991 ,s 437S 8S
12 70 0877 + ,„ 1782 _12 5 4584 _125 13.70 1179 + 20 1974 . , «392 , 9
72 0841 185 1807 „'5 4559 ,,'5 72 1219 19 1956 ,9 «410 9
74 080* ,8 1830 115 «536 ,,'5 7« 1257 195 1938 9S 4428 95
76 0768 19 1853 „' 4513 „' 76 1296 „' 1919 ,„' 4447 ,„'
78 0730 185 1875 „ 4491 ,„ 5 78 1334 19 189» 10 4467 ,„ s
1280 0693 + „5 1897 _10 4470 _ ,0 5 13.80 1372 + 18 5 1879 „ 4488 105
82 0654 ,9 1917 10 44*9 9$ 82 1409 ,8 5 1857 „ 4509 „'
8* 0616 „ 5 1937 9 4430 ,5 84 1446 18'5 1835 „ 4531 (> э
86 0577 ,,'5 1955 , 4411 , 86 1483 „' 1813 12 4554 „'5
88 0538 20' 1973 , 4393 ,5 88 1519 „ s 1789 ,2 «S77 ,2"
12 90 0498 + 20 1991 _ , 4376 _85 13.90 1554 ,„ 1765 s 4601 „ 5
92 0458 20 2007 75 4359 75 92 1589 17 5 1740 ,2 $ 4626 12 s
94 0418 205 2022 ,5 4344 Js 94 1624 17 1715 13' 4651 ,3\
96 0377 J,, s 2037 7 4329 7" 96 1658 165 1689 1JS 4678 K"
98 0336 20J 2051 65 4315 6S 98 1691 „^ 1662 „' 4704 ,<
13.00 0295 2064 4302 14.00 1724 1634 4732
- 0, - 0, +0. +0, - 0. +0. ,

296 XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ)
1
Продолжение табл. 65
+1Г I -о. ТТ, +Т, ТТ. +Т,
14.00 17М + 165 1634 u «732 + u 15.00 2477 _ , s 0239 м «60S + M5
02 1757 ,6 1606 м «760 u 02 2472 , 0279 М5 6646 м
04 1789 1S.5 1578 1S 4788 1S °* 2Ш j s 0320 ю" 6686 ю
06 1820 tss 1S4B 1ts 4818 „ 06 2*59 3'5 0360 ю 6726 м 5
08 1851 15- 1519 15'5 4848 M 08 2*52 А\ 0400 м 6767 20'
14.10 1881 + и s 148В + 15 5 4878 + ,„ 15.10 2443 _ , 5 0440 м 6807 + „_,
12 1910 us 1457 155 «909 1$5 12 2434 5 0480 м 6846 ю
1« 1939 u U26 16 «9*0 1ts 1« MM ss 0520 „s 6886 19S
16 1967 u 139« U5 «973 u 16 2413 5S 0559 „\ 6925 195
18 1995 1JS 1361 1ts 5005 ,„ 18 2402 ^ 0598 19s 6964 19 5
14Д0 2022+ 1J 1328+ O 5038 + 17 15.20 2389 _, 5 0637 + )9 7003 + 19
22 2048 12S 129* 17 5072 „ 22 2376 7' 0675 „ 70*1 19
24 2073 ns 1260 17 5106 17 24 2362 7 0713 19 707» 19
26 2098 n 1226 OS 5140 17s 26 2348 g 0751 1gs 7117 l9
28 2122 „ 1191 ,„• S17S „' 28 2332 „ 0788 „^ 7155 )8S
14.30 21*6 „ 1155 + 17 5 5211 + 18 15,30 2316 0825 ,„ 7192 )8
32 2169 „ 1120 185 5247 18 32 2299 „s 0862 18 5 7228 18i
34 2191 10S 1083 18 S283 18 U 2282 9S 0899 17S 726S 18
36 2212 los 1047 18S 5319 ,„ 36 2263 ,'$ 093« )8' 7301 17s
38 2233 9S 1010 19 5356 19 38 2244 ,5 0970 17 s 7336 OS
U.40 2252 + ,", 0972 185 539* „ 1S.*0 2225 _,„ 1005 „j 7371 17*s
42 2271 ,s 0935 )9 5*32 „ 42 2204 105 1040 17 7406 17
44 2290 8's 0897 19s 5*70 „ 44 2183 1(- 1074 „ 7440 ,7
46 2307 8's 0858 )9' 5508 „ s 46 2161 „ 1108 1ts 7*7* u s
«8 232* ,' 0820 19, 55*7 19s «8 2139 ,, s 11*1 u|s 7507 ,^5
14.50 23*0 + 7S 0781 +J0 5586 + 19 s 15.50 2116 _„ 1174 + )t 7540 + ,„
52 2355 7'5 07*1 )9 s 5625 19s 52 2092 12 s 1206 1t 7573 15 s
5* 2370 t's 0702 20' 5664 20' 5* 2067 ns 1238 15д 7604 )t*
56 2383 t's 0662 M 5704 w 56 2042 13' 1269 1SJ 7636 15
58 2396 4" 0622 M 5744 M 58 2016 ,, 1300 „' 7666 1s s
14.60 2408 + ss 0582+ M 578* + M 15.60 1W)_,jS 1330 + )s 7697 + u s
62 2«19 it 0S«2 M5 5824 M5 62 1963 „j 1360 Ui 7726 1t5
64 2430 s 0501 M 5865 70s 64 1936 M 1389 KJ 7755 us
66 2440 4 0461 Ю5 5906 M 66 1908 us 1*18 M 7786 ,/
68 2448 , 0420 ^ 59*6 M5 68 1879 ,„ 1446 ,„ 7812 „5
14.70 2456 зл 0379 +MS 5987 + ю5 15.70 1850 _„ 1*73 + „5 7839 + „5
72 2*63 35 0338 M5 6028 21 72 1820 ,s 1500 ,3 7866 „
7* 2*70 2 5 0297 и' 6070 M 5 7* 1790 1SS 1526 n s 7892 125
76 247S 2\ 0255 Mj 6111 MS 76 1759 „5 1551 ^ 7917 „"s
78 2480 j' 021* Ms 6152 Mj 78 1728 ,t 1576 n 7942 n'
14 80 2*84 + 1S m73+ws 6193+21 1S80 1696 —16 160° + 12 796* + 12
82 2487 ,' 0132 21' 6235 Ms 82 1664 1tJ 1624 „5 7990 „ s
8* 2489, , 0090 20i 6276 MS 84 1631 u s 1647 „' 8013 „
86 2491 „ 0049 M5 6317 M" 86 1598 17' 1669 ,os 803S 10S
88 2491 0 0008 v 6359 MS 88 1564 17 1690 XQS 8056 10s
U90 2491 _ os *0034 + ад «00+MS 15,90 1S»_„ 1711 + ,„ 8077 + 10
92 2*90 , 0075 Ms 6441 Ms 92 1*96 ,7S 1731 9S 8097 10
9* 2488 1S 0116 M'5 6482 Ms 94 1461 „'5 1750 ,'s 8117 ,
96 2485 ,'s 0157 M's 6523 20'5 96 1*26 ,8* 1769 ,' 8135 ,
98 2482 j's 0198 юл 6564 м'л 98 1390 1в 1787 8S 815i 9
15.00 2477 0239 6605 16,00 1354 1804 8171
+ 0, +0, +0. +0. +0, + 6.

С. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 297
Таблицы bb и 67. Неполные функции Ангера и Вебера
-4-/-Т (т—»т')-' - г-4-/-т(т»—f')d'
х I q = 0,1 q = 0,2 q = 0.3 q — 0.4 q = 0,S ж q — 0.1 q = 0,2 q = 0,3 q = 0,4 I q = 0.5
0. 0. 0. 0, 0, 0, 0. 0, 0, 0.
o.o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo o.o oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo
1 05000 05000 05000 05000 05000 1 OOOOOO 000001 000001 000002 000002
2 10000 10000 10000 10000 10000 2 000006 000013 000019 000026 000032
3 15000 15000 15000 15000 15000 3 000032 000065 000097 000130 000162
4 20000 20000 20000 20000 20000 4 000102 000204 000306 000408 000510
0,5 25000 25000 25000 25000 24999 0 5 000247 000494 000742 000989 001236
6 3000 3000 29999 29998 29998 6 000508 001016 001524 002032 002540
7 3500 3500 3500 3500 3499 7 000931 001862 002793 003724 004655
8 4000 4000 3999 3999 3998 8 001569 003138 004706 006275 007842
9 4500 4499 4499 4498 4496 9 002478 004956 007434 009909 012333
1,0 5000 4999 4997 «995 4992 1,0 003719 007437 011153 0U865 018572
1 5499 5498 5495 5491 5486 1 005353 010702 016046 021380 026703
2 5999 5996 5991 5984 5975 2 007440 014872 022292 029691 03706
3 6498 6493 6485 6473 6458 3 010040 020066 03006 04002 04992
4 6997 6989 6976 6957 6933 4 013210 02639.1 03952 05257 06552
1,5 7496 7483 7463 7434 7397 1,5 017001 03395 05081 06752 08404
6 799* 7975 7945 7902 7848 6 02U60 04284 06404 08500 10562
7 8491 8465 8421 8360 8282 7 026625 05311 07932 10511 13035
8 8988 8951 8890 8805 8697 8 03252В 06483 09669 12790 15823
9 9483 9433 9350 9235 9090 9 039190 07804 11621 15337 18920
2.0 9978 9911 9801 9649 9457 2,0 046624 09274 13785 18147 22313
О, 0. О, 0, 0. О, 0, 0. О, О,
х q = 0,6 q = 0.7|q = 0,8 q = 0,9 q = 1.0 x q = 0,6 I q = 0,7 | q — 0,8 q = 0.9|q = 1,0
0. 0, 0. 0. 0, 0, 0, 0, 0. 0,
oja ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo o.o oooooo oooooo oooooo oooooo oooooo
1 05000 05000 05000 05000 05000 1 000002 000003 000003 000004 000004
2 10000 10000 10000 10000 10000 2 000039 000045 000052 000058 000064
3 15000 15000 15000 15000 15000 3 000195 000227 000260 000292 000325
4 20000 20000 20000 19999 19999 4 000612 000714 000816 000918 001020
0.5 24999 24999 24998 24998 24997 0,S 001483 001730 001977 002225 002472
6 29996 29995 29994 29992 29990 6 003048 003555 004063 004571 005078
7 3499 3499 3498 3498 3497 7 005585 006515 007445 O0a375 009304
8 3998 3997 3996 3994 3993 8 009409 010975 012540 014103 015666
9 4495 4493 4490 4488 4485 9 014855 017324 019789 022251 024709
1,0 4989 4985 4980 4975 4969 1,0 022272 025966 029650 03332 03699
1 5479 5472 5463 5454 5443 1 03201 03730 04257 04781 05303
2 5964 5951 5936 5919 5900 2 04440 05170 05896 06616 07330
3 6439 6418 6393 6365 6333 3 05976 06951 07916 08871 09814
4 6903 6869 6829 6785 6736 4 07833 09098 10346 11572 12776
1,5 7352 7300 7240 7173 7098 1,5 10031 11631 13197 14727 16214
6 7782 7705 7617 7519 7412 6 12583 14555 16471 18324 20106
7 8189 8080 7955 7818 7667 7 15491 17868 20152 ' 22333 24401
8 8568 8417 8248 8060 7855 8 18749 21550 24207 2670* 29026
9 8915 8714 8488 8239 7971 9 22341 25572 28588 3137 3388
2,0 9228 8965 8672 8352 8011 2.0 26242 29894 3323 3623 3886
°. °. o, o. o, o. o, o. o. o.

XIV. ФУНКЦИИ МАТЬЕ (ФУНКЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА)
1. Определения и обозначения
1.1. Функциями Матье (функциями эллиптического цилиндра) в общем
случае называются решения дифференциального уравнения Матье
j^ + (a—4qcos2z)w = 0.
В узком смысле под (периодическими) функциями Матье <рш (z, q\ понимают
периодические решения это! о уравнения с периодом 2л.
Не для каждой пары значений a, q уравнение Матье имеет периодическое
решение периода 2л Однако для каждою действительного значения параметра </
Рис 175 Собственные значения параметра а как функции q
существует бесконечная последовательность «собственных значений» параметра а
(рис 175), для которых такое решение есть, и оно определяется при цф§ с
точности) до постоянного множителя Эти функции ipm {z, q) все являются целыми
функциями от z и действительны для действительных значений аргумента z = x
1.2. Функции Матье в зависимости от приводимых ниже свойств разделя
ются на четыре класса, причем для этих функций и соответствующих собствен
ных значений параметра а обычно употребляют обозначения
се2„B, q), se2n+1(z, q), ce2n + 1 (z, q), se2„+2B, q), Q . „
О П ft ' * " "
a87»' Psb + 1' °8B + 1 PsB + S'
Если эти функции рассмпривают как функции только ар!умента z при
постоянном значении нарамефа q, то пишу i короче i_e2n (Z), ье2п+1{з), ...
(рис 176—187).

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ 299
Рис 176. Поверхность функции Матье се0(х, q) над плоскостью х, q.
Рис. 177 Функция се0 (х, q) как функция ctg8 x при х, близких к 90".
Имеют место следующие соотношения (рис. 188):
cem(z) =cem{—z), sem{z) = ~sem(—z),
zem(bn+z) =+cem(kn — z), sem{kn + z) = ~sem(kn — z), k—целее,
cem (я/2 + z) = (— 1)- cem (я/2 — z), sem (я/2 + г) = ( - 1 )m+ • sem (я/2 — z),
Ф»(г + я) = ( — 1Гф»(г).
Следовательно, достаточно определить функции Матье в полосе O^Rez^-^-.

ЗОв XIV. ФУНКЦИИ МАТЬв (ФУНКЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРЕ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОЬО$НАЧ1.НИИ 30 J
Рис. 180. Поверхность функции Матье se, (г а* над плоскостью х, q.
Рис. 181. Поверхность функции Матье се, (х, q) паи плоскостью х, q.
Нормировка функций производится таким образом, чтобы
г И, если от = 0;
о [-g-, если от=1, 2,
чтобы при z= -к- следующие выражения были положительны:
(-1)"се,в(*). (-l)nse,„+>(*), (-Vn:^r-> (-1)""'!^ГГ.

302 XIV. ФУНКЦИИ МАТЬЕ (ФУНКЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА)

1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Рис IP5 Поверхность функции Матье sea(Jc, q) над плоскостью *. д.
Рис. 186. Поверхность функции Матье сег (х, tq) иад плоскостью х, д.

304 XIV. ФУНКЦИИ МАТЬЕ (ФУНКЦИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА)
Рис. 187. Функция ее„(х, q)=u+iv при чисто мнимом д.
Рис. 188. Симметрия функций Матье.

3. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ ФУРЬЕ
306
На каждом действительном интервале длины 2я произведение двух
различных функций Матье, соответствующих одному и тому же значению параметра q,
имеет среднее значение нуль.
В предположениях, сделанных выше, при q—*0 имеем:
4ая — т\ 4рда-*/»8 (от=0, 1, 2, ,..),
се. («г» <?) -— 1 > сея (z, q)—- cos mz, see (г, q) — sin /иг («=1,2, ...).
2. Представления для собственных значений
Если заменить z на я/2—г и q на —0, то дифференциальное уравнение
Матье не изменится и для значения параметра —q получаем решения:
се.«(*. —?) = (-1)" <**»(-?—*> ?)> сегв+1(г, — д) = ( — DBse8B+1(y—z,q} ,
se,B(^. —?) = ( — 1Р*е»(-|—z,q}, setn+1(z, —q) = ( — l)nceBl+l(~z,qy) .
Таким образом, достаточно вычислить функции для положительных значений q.
Представления для первых собственных значений при малых q таковы:
4в,=4-^ + ^^-.,.,4at = 4+f *'-.£?-. 10&.«*+...,
4^ = 9 + 49.^ V + '| 94+..«,
4Р.-16 + ^ + %|?»Ч-.... 44.-16 + 5^ + 5^^—..
Если число /z = 2v—1 нечетно, то приближенные значения для собственных
значений а,,, и р, при больших q (для £>я*/8) получают из выражений
л*+1 , я л* + 3 , 5л4+34л* + 9 33л*+410л2+ 405 ,
-§, / ^ «К^-т- as +2,0 ^ + 2"«7
22S<7 V^
63я* + 1260л*+2943л2+ 486 2108л' + 62 468я4+276 004 я3 + 166 428 + ...
При больших положительных q четырем функциям
«*,«-,(*, Ч), se8B_,(.z, —Я), selB(z, q), se„,(*, — q)
принадлежит почти одно и то же значение а; это же утверждение справедливо
для четырех функций
сегвB, q), сега(г, —q), seI(t+1 (z, q)t ceM+1 (z, — q).
Для функций сев и seB имеется а = 0 при следующих значениях q:
л= 0 1 2 л велико
9=0,11 0,94 2,66 0,109 Bл+1)г
3. Разложение в ряды Фурье
Справедливы следующие разложения в ряды Фурье:
ов со
<**„(*) = 2 A»iW-cos2rx, celB+J(x) = 2U,B+1, i|l+1 cosCr+l)«,
r=e r=o
CO CO
sez»W=S^,„,zrSin2rx, seM+1 W=Sflln+li il>+1 sinBi-+l)x.

ЗОё xiv. функции матье "(функции эллиптического цилиндра)
Ряды сходятся тем слабее, чем больше q. Для коэффициентов А, В
справедливы следующие рекуррентные формулы:
a) для се2п(л:):
'" 4<7Л2ПH + A-а)Л2„J + 2<7Л2п>4 = 0,
1 2<7Л2П, 2Г_2 + (г2-а)Л2п> 2Г + 2дЛ2П1 2г+2 = 0 (г>1);
b) для se2n(Ai):
A-аM2п,2+2<752ПL = 0,
^Вгщ tr-b + (r*-a)Binjir + 2qB2n<sr^=0 (г>1);
c) для сегп+1(лг):
2<Игп+1) 1+D-а)^п+.,. + 2^п+ь» = 0'
d) для se2n+1(x):
-2<752n+1, , + (-i-aM2ff+1, I + 2952n+1M = 0,
2<752n+1) 2,_,+ [(r+ j)?-«] 52n+1, lr+t4-2<752n+1) 2r+s = 0 (r>0).
Из условия нормировки* следует при любом q, любом номере функции и любом
первом индексе: . , .
2Al + A\ + AZ+ ...=£ + &+... =А\ + А\+ ... =Bi + Bi+ ... *=\;
для сеЛ(л:) первая сумма равна 2.
4. Нули
се0(л:)>0; seiak-£ = se2n+Ifot = ce2n+I(fc-+ у J n = 0 (k—целое).
Каждая из четырех функций
се2п(л:), se2n+1(A;), ce2n+1(*), se2„;2(*)
я
имеет п действительных нулей строго между # = 0 и х = -^ ; эти нули прибли-
л
жаются к -^ при возрастании q.
б. Функциональные уравнения. Присоединенные функции Матье
Функции Матье удовлетворяют интегральному уравнению
<p(z) = l[ е iV*<>sin "in < ф (t) dt.
—л
Если в дифференциальном уравнение Матье сделать замену независимой
переменной t = t{z), то получим:
fdtyd2w , d2t dw . „ , . „ .

5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
307
В частности,
t=;CQs2z:
(X-nl^—t^ + ia-Ww-Q,
Если положить t= ±iz, то функции
w = <pm{±it, k)
будут решениями дифференциального
уравнения
| ij!^_ (a _4? clr20 *» = 0.
Полученные таким образом" функции
Се,„(.г) = се2п(м:), .
Се,,*, (*) = «,..„(/*).
Se!n+,(*) = — 'se8n+1(^).
' Se1>+1(*)=—/se^+,(/«)
называются присоединенными функциями
Матье. Они действительны для
действительных значений аргумента г = х.
О функциях Матье с чисто мнимым ^ см.
рис. 189—191. . ,,
*а'
Рис. 189. Параметр an = an + antj
л=0, 2, при «7 чисто мнимом.
ко
Of
0.8
*0.7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
— в— —
ч^
ltN„
^Аг.
>
V
1
^
F
,
7
7"
~J
/aR
s
mf"""^
o,f _^J oj
\
- <<
/
v
\
7
/
«г
Л*
^*>
0
eft
А-
Y*
в
*
' ,
0,5
W
US
q г,о
Рис. 190 и 191. Параметр a„ = a^-f-<V> л=о, 2, как функция -— при ^ чисто мнимом.

XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
I. Функция Ф(а, с; г)
Конфлюттными гипергеометрическими функциями называются решения
ъконфлюэнтного дифференциального уравнениям *)
d2w Яда
где а и с—произвольные комплексные постоянные. Если с=£0, —1, —2, ...,
то одним из решений является функция Куммера**)
Ф(в С 2)-1 + а * I а<а + 1>г2 ■ а(а+0(а + 2)г» ,
(Иногда ее обозначают через М{а, с; г).) Если а, с фиксированы, то она
является (однозначной) целой функцией г. Для действительных значений
параметров а, с и для действительных значений аргумента z = x она действительна
(рис. 192—205).
При 0 < Re a < Re с функция Ф (с, с; г) допускает интегральное
представление
ф <***>-г ми?-.) S^'-d-*)—*;
кроме того, при Re а > 0, Re с > 0 справедливо представление через
функции Бесселя /„(г):
ф(*'с; -т)~ гй*" J <-*<в"^ Jc-A2Vl)dt.
Асимптотическое поведение функции Куммера при |г|^>|а|, |г|^>|г:| оли-
сывается формулой
Ф(а,с;г)х=
~ г (с) , »\-«Ji а(а—с + 1) , а(а + 1)(а—с+1)(а-с+2) \
~Г(С-а)<—*' I1 i + 21? ■■■\ +
л. £M „V*-' j , , (l-a)(c-a) A-g) B-a) (c- a) (c- a + 1) 1
+ Г (a)e Z )' 5 r~ "*^ 2T? + ' • • ]
(—n<arg.z=s£n, —n<arg(—.г)е£я).
*) Это уравнение называют иногда также выродкденным гипепгеаметрическим
уравнением.—Прим. ред.
**) Иначе: функция Похгаммера или вырожденная гипергеометрическая функция.—
Прим. ред.

1. функция Ф(а, с; г) 309
Рис. 192. Функция Ф(а, —1,5; х).
Рис. 193. Функция (а, —0,5; х).

•310 XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИтУ»ГЕОМЕТРИЧБСКИЕ ФУНКЦИИ
Рис. 194 и 195. Функция Ф(а, +0,5, х).

1. функция Ф(а, с; z) 311
Рис. 196 и 197. Функция Ф (а, +1,0; х).

312 XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЁОЙЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рис. 198 и 199. Функция Ф (а, +1,5; х).

1. функция Ф(а, с; г) 313
Рис. 200 и 201. Функция Ф(а, +2,0; х).
I E Яанке Ф Эмде Ф Леш

314 XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Рис. 202 и 203. Функция Ф(а, +d,0; x).

2. функция W {а, с; z)
315
Имеют место следующие формулы:
(с — а)Ф(а — 1, с; z) + Ba — с + г)Ф (а, с; ^)—аФ(а+1, c;z) = 0,
с(а±г)Ф(а, с; г) — {с—а)гФ(а, с+1; г)— асФ(а+1, с; г) = 0,
сФ(а, с; г)-сФ(а—1, с; г)—гФ(а, с+1; г) = 0,
(а—1+г)Ф(а, с; г) + (с—а)Ф(а — 1, с; г)—(с—\)Ф{а, с — 1; г) = 0,
(а —с+1)Ф(а, с; г)—аФ(а+1, с; г) + (с —1)Ф(а, с — 1; г) = 0,
с<£ — 1)Ф(а. с — 1; г)— с(с — \+г)Ф(а, с; z) + (с—a) z Ф (а, с+1; 2) = 0,
131-
гтг,
tw
fit
ifc ,
~Tjfil
hill
-Mtktti
шУЖ
liiti-
-jttjt-
MjLLJ— ^
,w/7/ У
Jm(/j>__7
KV,/^^,^'
Zj^—'■-''*
N^^^ —
fe^:>2£?--5
111 4
Г f 7
--4 -t t
1 T £
i + -/
X 7 ±7
-it t
t 4 4
t 1 %
-J- -t-
4 7
1 <"l
l Ж
* Ф/
,S С;+4Д
0.0
*^ 1 '" »™*»| -
-w
45
ao
-Q5
-7,0
^Л
\SV4
1&VN
1\
Isv
J&$
1S§£
С
_- Л.
Vv ^^
?^" К
fi\\ ^
\\ VTS
's* 4- V*
d
=+•&>
—3(L^
vfv*
[?0i^
v," \
^Й -^
^^V
Sa,
S&
^£u
3
s
/ г J 4 5 6 7 8 °
Рнс. 204 и 205. Функция Ф (о, +4,0; х).
Г 2 3 4 5 в 7 8
Правило дифференцирования функции Ф(а, с; г):
2-!»£•<■+■• •+«*
Формула Куммера:
Ф(а, с; г) = егФ(с—а, с; —z).
2. Функция W (а, с; z)
Если с не есть целое число, то линейно независимым от Ф{а. с; г)
решением конфлюэнтно! о дифференциального уравнения является функция
г1~сФ(а—с+1, 2—с; z).
Вместо нее можно взять функцию
W(a' с; z)= г(Га-7+1)Ф(д' с; z)+ £ЛНГ *,_сФ(в-с+1, 2-е; z).
Эта последняя с помощью предельного перехода \Р (а, л; ^)=lim4'(o, с; г)

316 XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
———— _ , , ,_
может быть определена и для всех целых значений параметра с. Для л =
=0, 1, 2,... получим:
Т(». /.+ !; г)= т^~да{Ф(«- я + 1: *>1пг+
fc = 0
n-i
(n— 1I *^ (а — я) (a — я + 1)...(а — n+k— 1) г*+я
+ Г(а)" 2~t A— л)B — л)...(й — л) fe!
fc=0
Г' (г)
(if (z) = YT\ » в случае я = 0 последняя сумма должна быть отброшена)
Если с не есть целое положительное число, то представление для Чг(а, с; г)
можно получить из следующей формулы, которая справедлива при всех
значениях с:
W(a, с; z) = z'-cW(a—c+\, 2-е; z).
При а и с фиксированных W (а, с; г) является (в общем случае) бесконечно-
значной аналитической функцией от z с единственной конечной точкой ветвления
z = 0. При положительных действительных значениях аргумента z=xy>0 эта
функция имеет действительную ветвь. При Rea>0, Re с > 0 функция
W(a, с; z) допускает интегральное представление
I ' +«
J V{a. с; *)=г^ S e-?f-4\+t)e—ldt.
Асимптотическое поведение функции W (а, с; г) при \z\ ^> \a\, \z\ ^> |с| в обла-
гги i—=- < arg z < -^ дается формулой
Т(а,с; *) = *"« ± (с-ап-1) «<« + '>••;<«+—'>.
я = 0
Имеют место следующие рекуррентные формулы:
W(a— 1, с; г) — Bа—c + z)W(a, с; z) + a (а —с + X)W {а + 1, с;г) = 0.
(а + г)Чг(а, с; ,г)-|-а(с — а — 1)^(а + 1, с; z)—zW{a, c-f 1; г)=0,
(с_а)Чг(а, с; г)-гТ(а, с + 1; i)+T(a—1, с; z) = 0,
(a—-[+z)W{a, с; z) — W(a—\, с; z) + (a — c + \)W(а, с—1; z) = 0,
W(a, с; z)—aW(a+\, с; z) — W{a, c—U z) = 0,
(с — a--[)Y{a, c — V, z) — (c — 1 + z)W(a, c; z)+zW{a, e + 1; z) = 0.
Правило дифференцирования функции W(а, с; z):
"to*
^=(-l)n^±p)Y(a + n, c+n; z).
3. Функции Af,t|lBT) я W,, ,,B)
С помощью функций Ф (а, с; г) я W (а, с, г) можно получить такие
интегралы конфлюэнтного дифференциального уравнения:
г^)ф(а> с; г)' П?=с)'г,"Сф(а_с4' 2_с: г)' Т(а> с; х)'
ег W (с — а, с; — г)

4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ
317
(причем первые два имеют смысл также и при неположительном целом значении
параметра с). Среди них всегда существуют пары независимых интегралов.
Для фундаментальной системы интегралов употребляют и друг ое
представление, данное Э. Уиттекером и Дж. Ватсоном. После преобрпзования
<в = е~ « z* w, х = у —a, [i= —^~
конфлюэнтное дифференциальное уравнение принимает вид
Решениями этого уравнения являются:
Мх^(г) = е-Тг»+^Ф(\1-*+±, 2ц + 1;г),
W%j^(z)^e~* г»+тУ(р-х+±, 2^ + V, г);
последняя функция называется функцией Уиттекера. Если 2 ц не есть целое
число, то обе функции связаны соотношением
Функции Afx> (z), W,t lz) являются бесконечнозначными аналитическими
функциями, которые имеют действительную ветвь при действительных положительных
значениях аргумента.
4. Частные случаи
Конфлюэнтные гипергеометрические функции содержат как частные случаи:
функции Бесселя при с = 2а, функции параболического -цилиндра при с = -^ ,
неполные гамма-функции при а=1 и полиномы Лагерра при а=—л.

XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
А. ФУНКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛАНКА
Тело, имеющее абсолютную температуру Т, испускает электромагнитные
волны со всевозможными длинами К. Излучаемая при этом энергия
распределяется весьма неравномерно по волнам различной длины.
У
t
ии
10
ЬН
/
,7_
_
/ 0
1,0
0J
0,9
0J
0,3
0,3
0,7
0,4
OS
•2- Ш
Рнс. 206. Функция излучения Планка.
Волнам, длины которых- заключены между а и л -f-dА, соответствует
плотность излучения JdX. Тогда, согласно Планку,
ftc
У = Ас,Я-,(е*яг—1)~*.
Здесь с означает скорость света в пустоте, k — постоянную Больцмана, h —
постоянную Планка. Если ввести два числа х и у, положив
. he , кьТь
кТш
hV
то уравнение Планка принимает вид:
1
(е*~ — 1)х5д> = 1.
Зависимость у от х называется функцией излучения Планка (рис. 206,
таблица 68) Эта функция показывает, как при постоянной температуре плотность
излучения зависит от длнн'о! волны.

А. ФУНКЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПЛАНКА 319
Таблица 68. Функция излучения Планка
х|у * 1 * \ Г * Г * У
0.060 0.07430 0.1Ю 6.998 0.160 18.446 0,350 11.601 0.600 2.995
1 О.О8990 1 7.259 1 18.589 55 11.279 05 2.922
2 0.10797 2 7.522 2 18.73 60 10.965 10 2.852
3 0,12875 3 7.787 3 18.86 65 10.658 15 2.783
4 0.15249 4 8.053 4 18,99 70 10.360 20 2.717
0.065 0.17946 0.115 8.320 0.165 19.12 0.375 10.069 0.625 2.653
6 0.2099 6 8.588 6 19.24 80 9.787 30 2.590
7 0,2441 7 8.856 7 19.36 85 9.512 35 2.529
8 0.2823 8 9.125 8 19.48 90 9.245 40 2.470
9 0.3248 9 9.393 9 19.5* 95 8.985 45 2.412
0.070 0.3718 0.120 9.662 0.170 19.69 0.400 8.733 0.650 2.356
1 0.4235 1 9.931 2 19.89 05 8.488 • 55 2.302
2 0.48С2 2 10.198 4 20.08 j, 10 8.250 60 2.249
3 0,5422 3 10.465 6 20.25 '.' 15 8.020 65 2.198
4 0.6095 4 10.731 8 20.40 20 7.796 70 2.148
0.075 0.6825 0.125 10.996 0.425 7.578 0.675 2.099
6 0.7613 6 11,259 0.180 20.54 30 7.368 80 2.052
7 0.8460 7 11.521 5 20.82 35 7.163 85 2.006
8 0.9368 8 11.781 0.190 21.02 40 6.965 90 1.961
9 1.0339 9 12.040 5 21.15 45 6.773 95 1.918
0.080 1.1373 0.130 12.296 0.200 21.20 0.450 6.586 0.700 1.875
1 1.2471 1 12.550 05 21.18 55 6.406 05 1.8341
2 1.3635 2 12.801 10 21.11 60 6.231 10 1.7939
3 1.4864 3 13.050 15 20.99 65 6.061 15 1.7548
4 1.6160 4 13.296 20 20.82 70 5.896 20 1.7168
0.085 1.7521 0.135 13.540 0.225 20.61 0.475 5.736 0.725 1.6797
6 1.8948 6 13.780 30 20.36 80 5.582 30 1.6436
7 2.044 7 14.017 35 20.08 85 5.432 35 1.6085
8 2.200 8 14.251 40 19.78 90 5.286 40 1.5743
9 2.362 9 14.482 « 19.45 95 5.145 45 1.5409
0,090 2.531 0.140 14.710 0.250 19.10 0.500 5.009 0.750 1.5084
1 2.706 1 14.934 55 18.74 05 4.876 55 1.4768
2 2.887 2 15.154 60 18.372 Ю 4.748 60 1.4459
3 3.074 3 15.371 65 17.989 15 4.623 65 1.4158
4 3.267 4 15.584 70 17.600 20 4.502 70 1.3865
0.095 3.466 0.145 15.793 °.*75 17.206 0.525 4.385 0.775 1.3580
6 3.671 6 15.998 80 16.809 30 4.271 80 1.3301
7 3.880 7 16.200 85 16.411 35 4.161 85 1.3029
8 4.095 8 16.397 90 16.013 40 4.054 90 1.2764
9 4.315 9 16.591 95 15.617 45 3.951 95 1.2506
0,100 4.540 0.150 16.780 0.300 15.224 0.550 3.850 0.800 1.2254
1 4.769 1 16.966 05 14.834 55 3.753 05 . 1.2009
2 5.003 2 17.147 Ю 14.449 60 3.658 10 1.1769
3 5.241 3 17.324 15 14.070 65 3.566 15 1.1535
4 5.482 4 17.497 20 13.696 70 3.477 20 1.1307
0.105 5.727 0.155 17.666 0.325 13.329 0.575 3.390 0.825 1.1084
6 5.976 6 17.830 30 12.968 80 3.307 30 1.0867
7 6.227 7 17.990 35 12.615 85 3.225 35 1.0655
8 6.481 8 18.146 40 12,270 90 3.146 40 1.0448
9 6.738 9 18,298 45 11,932 95 3.069 45 1.0246
0.110 6.998 0.160 18.446 0,350 11.601 0.600 | 2.995 0.850 1.0048

320 XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
Продолжение табл. 68
х у х у х у х у * у
т. <г б; «и м
0.8S0 0048 0.97S 6344 1.20 3089 1 4S 5711 1 70 8795
SS *9856 80 6235 1 3000 6 5325 1 8607
60 9667 85 6128 2 2914 7 4951 2 8424
65 9484 90 6023 3 2831 8 4588 3 8246
70 9304 95 5920 4 2751 9 4236 4 8073
0.875 9129 1,00 5820 1,25 2674 1 50 3895 1,75 7904
80 8958 1 5625 6 2599 1 3564 6 7740
85 8790 2 5438 7 2527 2 3242 7 7580
90 8627 3 5259 8 2458 3 2930 8 7424
95 8467 4 5087 9 2390 4 2627 » 7272
0.900 8311 1.05 4922 1 30 2326 1.5S 2333 1.80 7124
05 8158 6 4764 1 2263 6 2047 1 6979
10 8009 7 4611 2 2202 7 1770 2 6838
15 7863 8 4465 3 2144 8 1500 3 6701
20 7721 9 4325 4 2087 9 1239 4 6567
0.925 7581 1.10 4190 1 35 2032 160 0984 1.85 6437
30 7445 1 4060 6 1979 1 0737 * 6309
3S , 7311 2 3935 7 1928 2 0496 7 6185
40 7181 3 3814 8 1878 3 0262 8 6064
45 7054 4 3699 9 18298 4 0035 9 5946
0.950 6929 1.1$ 3587 140 17831 165 *9814 1.90 5830
5S 6807 6 3480 1 17380 6 9599 1 5718
60 6687 7 3377 2 16943 7 9389 2 5608
65 6571 8 3277 3 16519 8 9186 3 5501
70 6456 9 3181 4 16109 9 8988 4 5396
0.975 6344 1,20 3089 1.45 15711 1.70 8795 1.95 5294
О, 0. 0. 0.0 | 0.0
В. ФУНКЦИЯ ЛАНЖЕВЕНА
Рассмотрим систему одинаковых молекулярных магнитных стрелок во внеш
нем магнитном поле. Если ц означает молекулярный магнитный момент,
ф — напряженность магнитного поля и k — постоянную Больцмана, то поведение
молекулярного магнетика при данной температуре Т определяется средним
моментом (формула Ланжевена):
где х = т^- • Входящая сюда функция
L(x) = ctox
называется функцией Ланжевена (таблица 69).
С. ФУНКЦИИ ПЛАНКА —ЭЙНШТЕЙНА И ДЕБАЯ
1. Функции Планка — Эйнштейна
Обозначим через в = -г характеристическую температуру для системы
частиц, которые совершают свободные гармонические колебания с частотой
v (А—постоянная Планка, k — постоянная Больцмана) Тогда характеризующие
эту систему атомная теплоемкость С„, отношение полной энергии U—Ua
к абсолютной температуре Т, отношение свободной энергии F—Ft к
абсолютной температуре 7 и зн1рония 6 MoiyT быть представлены, согласно Планку и

Таблица 69. Функция Ланжевена
__ _ . _ | __ _ _ р_ | __ _ ._
_ _ _ __. _
О.ОО 000000 J3JJ 1,00 3130 27 5 2.00 5373 17 5 4,0 7507 „ 11.0 9091 78
02 006666 J33J 02 3185 27'5 02 5408 ,/ 1 7566 57 S 9130 7\
04 013332 ззз15 04 3240 27' 04 5442 ,7 2 7623 55 120 9167 6*
06 019995 ззз0" 06 3294 27 06 5476 ,7 3 7678 52 5 9200 62
08 026655 j3M 08 3348 и s OS 5510 ,t 5 4 7730 5„ 13.0 9231 ,]б
0.10 03331 JJJ5 1.10 3401 1б5 2,10 5543 ,6Д 5 7780 ^ 5 9259 $А
12 03996 гп"% 12 3454 и\ 15 5624 ,5в 6 7828 и 14.0 9286 4'8
14 04661 зз, 5 14 3507 16 20 5703 ,5^ 7 7874 и 5 9310 4',
16 05324 J31.S 16 3559 2* 2.25 5780 ,,' 8 7918 «2 15-° 9333 М
18 05987 зз, « 3611 255 j8 5855 £° 9 7960 «, 5 9355 <0
0.20 06649 3J0S 1,20 3662 25 5 35 5928 ,t'2 5,0 8001 3, 16.0 9375 38
22 07310 J,,';. 22 3713 25' 40 5999 ,3 8 1 8040 38 S 9394 ,',
24 07969 3^5 24 3763 25 45 6068 l3 4 2 8078 36 17.0 9412 3\
26 08628 jM;s 26 3813 25 2М 6135 " 3 8114 35 5 9429 ^
28 09285 ш 28 3863 „ 5 55 6201 '^ 4 8149 33 18.0 9444 „
0.30 09941 327 1,30 3912 и 5 60 6265 ,2[< 5 8182 33 19 9474 и
32 10555 326 32 3961 2<5 65 6327 ,2'0 6 8215 3, 20 9500 м
34 11247 325 34 4010 и' 70 6387 ,,'„ 7 8246 30 21 9524 и
36 11897 J24iS 36 4058 235 2 75 6446 ' 8 8276 29 " 9546 „
38 12546 321 S 38 «1(» 11.5 80 6503 ,,* 9 83°5 08 23- 95«1в
0.40 13193 3225 1,40 4152 2i 5 85 6558 ,0 8 6.0 8333 27 24 9583 ,7
42 13838 321 S *2 *199 23 *° Ш2 106 2 8387 25 5 25 940° 15
44 14481 320 44 4245 23 95 6665 ,02 4 8438 23'5 26 9615 ,s
46 15121 J,» « *291 22.5 3.00 6716 ,.„ * 8485 2/ 27 9630 ,3
48 15759 J,, 48 4336 п s 05 6766 1°° 8 8529 21 28 9643 ,2
0.50 16395 317 1М *381 22 5 10 М15 »4 7-° 8571 20 30 9447 10 S
52 17029 315 5 52 4426 ц' 15 6862 ,2 2 8Ы1 „ 32 9688 ,'
5* 17660 зи' 54 4470 и 20 6908 ,„ 4 8649 ,7 s 34 9706 ,
56 18288 312 5 56 *5U 21.S 3.25 6953 '„ 6 86М 17* 3« 9Та 7.5
58 18913 3,1.5 » "« 21,5 30 6997 " Я 8718 1* 38 9737 6.5
0.60 19536 з,„ 1.60 4600 2, 35 7040 „ 8,0 8750 |5 5 40 9750 ,
62 20156 30в5 a ***2 21 *° 7081 8 2 2 8781 14 5 *2 9762 SS
64 20773 307 64 4684 2, 45 7122 78 4 8810 |35 4* 9773 $'
66 21387 }05 66 4726 205 з,50 7161 ", * в837 13 5 «* »»3 4.5
68 21997 }04 68 4767 м 5 55 7200 7" 8 8864 12,5 И »» «
0.70 22605 }025 1.70 4808 20 60 7237 7'2 9.0 8889 ,2 50 9800 3,
72 23210 3005 72 4848 20 65 7273 72 2 8913 „5 S5 9818 ,'„
74 23811 2„' 74 4888 20 70 7309 70 4 8936 „' «> 9833 26
76 24409 ,„ 76 4928 „5 3.75 7344 ' « в958 11 « 98« 2^
78 25003 295i5 78 4967 „s g,, 7378 „ 8 <SM 10 70 ^ 2.0
0.80 25594 ,„ 1.80 5006 „s 85 7412 6'А 10.0 9000 H 75 9867 ,(
82 26182 292 82 5045 „' 90 7444 , 2 9020 ,5 80 9875 ,'<
84 26766 190 84 5083 „ 95 7*76 б1 4 9039 ,' 90 9889 ,',
86 27346 ш. 86 5121 ,8S 400 7М7 ' 6 9057 8, 100 9900
88 27923 ^5 88 5158 ,„ s в> В 9074 ,^ 0.
0,90 28496 ^5 1.«> S19S ,8 11,0 9091
92 29065 Jg2s 92 5231 ,g О,
94 29630 ,„' 94 5267 ,„
96 30192 2„ 96 5303 17 $
98 30750 J77 98 5338 ,7S
1,00 31304 2,00 5373
0. 0.

322 XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
Таблица 70. Функции Планка —Эйнштейна С», и ~?
в/г | с, | ^ в/г | с, | i^i | в/т | с ib*.
1^ 1^ О, Ofi «М» I ОДП
0.0 987 987 S.0 339 67* 10,0 90 О»
1 985 889 1 319 622 1 83 08
2 980 795 2 300 573 2 77 08
3 972 704 3 281 528 3 71 07
4 961 616 4 264 487 4 65 06
0.5 946 531 5.5 248 448 10.5 60 Об
6 928 450 6 232 413 6 56 05
7 908 372 7 217 380 7 51 05
8884297 8 204 350 847 04
9 858 225 9 191 322 94404
1.0 829 156 6.0 178 296 11,0 40 04
1 798 091 1 167 272 1 37 03
2 765 028 2 156 251 2 34 03
3 729 «968 3 145 230 3 31 03
4 692 911 4 136 212 4 29 03
1.5 653 856 6,5 127 194 11.5 27 02
6 612 804 6 ?»8 179 6 25 02
7 570 755 7 I.'J 164 7 23 02
8 527 708 в W3 151 8 21 02
9 483 664 9 096 138 9 19 02
2.0 «39 622 7,0 0889 127 12.0 18 01
1 393 582 1 0828 116 1 16 0,00
2 348 545 2 0770 107 2 15
3 302 509 3 0716 098 3 14
4 256 476 4 0666 090 4 13
2.5 210 444 7,5 0619 082 12,5 12
6 164 4U 6 0575 076 6 11
7 119 387 7 0534 069 7 10
8 07* 360 в 0496 064 8 09
9 030 336 9 0460 058 9 08
3.0 «986 312 8,0 0427 053 13,0 08
1 943 291 1 0396 049 1 07
2 901 270 2 0367 045 2 06 -
3 860 251 3 0340 041 3 06
4 820 233 4 0315 038 4 05
3.5 782 217 8,5 0292 034 13.5 05
6 744 201 6 ' 0271 031 6 05
7 707 186 7 0251 029 7 04
8 672- 173 8 0232 026 8 04
9 637 160 9 0215 024 9 04
4.0 604 148 9,0 0199 022 14.0 03
1 572 137 1 0184 020 1 03
2 542 127 2 0170 018 2 03
3 512 118 3 0157 017 3 03
4 484 109 4 0145 015 4 02
4,5 457 1004 5,5 0134 014 14.5 02
6 431 0928 6 0124 013 6 02
7 407 0857 7 0115 012 7 02
8 383 0791 8 0106 011 8 02
9 361 0730 9 0098 010 9 01
5.0 339 0674 10,0 0090 009 15,0 01
О, О, О, 0,0 0,00
Эйнштейну, как универсальные функции от в/7. Для случая колебания частиц
с одной степенью свободы эти функции имеют вид
Cv = Rx?ex{ex — 1)-,
г
V-^ = t\ C,dT=*Rx{ex-\)-\
о

С. ФУНКЦИИ ПЛАНКА ЭЙНШТЕЙНА И ДЕБАЯ 323
Т Т
о о
S— Г zS. //Т — ' о
— \ т* — т т '
о
в
где х = -уг.
Таблицы 70 и 71 дают значения этих функций в кал\град-мол; для
газовой постоянной взято значение /?= 1,987 кал\град- мол.
Асимптотическое поведение функций Планка — Эйнштейна при х^>\
описывается формулами:
Cv = Rx*e-*, i~^^ Rxe~x, - -^~^^ Re~x, S = «A+х)<Г *.
p с
Таблица 71. Функции Планка — Эйнштейна —— и S
в/Т — f~f° S в/Т _ r-ro S в/Г _f.-f°. S
— . — . ■ И » '— _ _ — —
0. 0. 0.0 00
OiO оо оо J3 170 6U 5.0 13 81
1 4,67* 6,563 6 > 1S3 568 1 12 7*
2 3.393 5.188 7 138 S2S 2 11 68
3 2.683 «.387 8 IIS 48S 3 10 63
4 2,205 3.821 9 112 «48 « 09 S8
0J5 1.853 3,385 3,0 101 «1« 5,5 08 S3
6 1,581 3,032 1 092 382 6 07 49
7 1,364 2.736 2 083 353 7 07 «5 •
8 1.185 2,483 Э 075 326 8 06 «1
9 1.037 2.262 « 067 301 9 05 38
1.0 0.911 2.068 3.5 Oil 277 6,0 OS 35
1 0.804 1.895 6 OSS 256 1 04 32
2 0.712 1.740 7 050 236 2 04 29
3 0,632 1.600 8 045 218 3 04 27
4 0.563 1,473 9 04» 201 « 03 14
IJS 0,502 1.358 4.0 037 185 6,5 03 22
6 0.448 1.252 1 033 170 6 03 21
7 0,401 1,156 2 029 1S7 7 02 19
8 0,359 1.067 3 027 1*5 8 02 17
9 0.322 0.986 4- 02S 133 9 02 16
10 0.289 0.911 «.5 022 123 7,0 02 15
1 0.260 0.842 6 020 113 0,0 0,0
2 0.233 0.778 7 018 104
3 0,210 0.719 8 016 096
4 0,189 0,665 9 01S 088
tH 0,170 0.614 5,0 013 081
2. Функции Дебая
Если колеблющиеся частицы взаимодействуют друг с другом (случай
твердого тела), то вместо фиксированной частоты v получается спектр часто!.
В этом случае тоже можно ввести понятие характеристической температуры
в так, чтобы атомная теплоемкость Cv и другие указанные выше величины
являлись универсальными функциями ог в/Г. Если определить функцию
X
°w4 J.-rEi'*,

324 XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
Таблица 72. Функции Дебая С, и "
__ _ _ е/т | - ^р; — ~ j"-^o
_ . _ _
0.0 5 961 S.9610 S.0 2.197 7010 10,0 «520 150
1 5,958 5,740* 1 2,128 6718 1 «39* 117
2 5,949 5,5258 2 2.060 6439 2 4273 085
3 5.93* 5,3172 3 1,994 6173 3 4157 055
4 5.914 5.1144 4 1,930 5919 4 4044 025
0.5 5.887 4.9176 5.5 1.867 5677 10.5 3935 *9966
6 5.855 4.7266 6. 1.807 5447 6 3829 9691
7 5.817 «541* i 1,748 5226 7 3727 9426
8 5,775 4,3620 8 1.692 5016 8 3629 9170
9 5.726 4.1883 9 1,637 4816 9 3533 8924
1.0 5.673 4,0202 6.0 1.584 4625 11 0 3*41 8685
1 5.615, 3.8576 1 1.532 4*42 1 3352 8456
2 5.553 ' 3.7006 2 1.482 4268 2 3266 8234
3 5.486 3.5489 3 1.433 4102 3 3183 8019
4 5.415 3.4025 4 1,387 3943 4 3102 7812
1.5 5.341 3.2613 6.5 1.342 3791 11.5 3024 7612
6 5 263 3.1252 6 1.298 3647 6 2948 7419
7 5.181 2.9941 7 1,256 3509 7 2875 7232
8 5.097 2.8679 8 .1.215 3377 8 2804 7051
9 5.010 2.7464 9 1.176 3250 9 2736 6876
2,0 4 920 2.6296 7.0 1.138 3130 12,0 2669 6706
1 4 829 2.5173 1 1.101 3015 1 2605 6542
2 4.735 2.4094 2 1.066 2905 2 2543 6384
3 4.640 2.3058 3 1.031 2799 3 2482 6230
4 4.544 2.2064 4 0.9985 2699 4 2423 6081
2.5 4.446 2,1110 7,5 0,9667 2602 12,5 2367 5937
6 4,348 2.0195 6 09360 2510 6 2312 5798
7 4.249 1,9319 7 0.9064 2422 7 2258 5662
8 4.149 1.8479 в ,0.8778 2338 8 2206 5531
9 4.050 .1.767* 9 0.8503 2257 9 2156 5404
3.0 3.951 1,6904 8.0 0.8237 2179 13.0 2107 5281
1 3.852 1.6167 1 0.7981 2105 1 2060 5161
2 3.753 1.5462 2 0.7734 2034 2 2014 5045
3 3.655 1,4787 3 0.7496 1966 3 1969 4932
4 3 558 1.4143 4 ! 0.7266 1901 4 1926 4823
3.5 3,462 1.3S26 8.5 0,7044 1838 13,5 1883 4717
6 3 366 1.2937 6 0.6830 1778 6 1843 4614
7 3 272 1.2374 7 0.6624 1711 7 1803 4514
8 3180 1.1837 8 06425 1666 8 176* 4417
9 3 088 1.1323 9 0.6234 ' 1613 9 1727 4322
4.0 2 999 1.0833 9.0 0.6048 1562 14.0 1690 4230
1 2911 1.0365 1 0.5870 1513 1 1655 4141
2 2 824 0.9919 2 0.5698 1466 2 1620 405*
3 2 739 0.9493 3 0,5532 1421 3 1586 3970
4 2.656 0.9086 * 0,5371 1378 * 155* 3888
4 5 2 575 0,8698 9,5 0.5216 1336 14,5 1522 3808
6 2.496 0.8328 6 0.5067 1296 6 1491 3731
7 2.420 0.7978 7 0.4923 1257 7 1461 3655
8 2.3*3 0.7638 8 0.4784 1220 8 1432 3581
9 2.269 0.7316 9 0.4649 1185 9 1403 3510
5.0 2.197 0.7010 10.0 0.4S20 1150 15.0 1375 3440
О, 0, 0,0

С. ФУНКЦИИ ПЛАНКА ЭЙНШТЕЙНА И ЛЕВАЯ 325
f р
Таблица 73. Функции Дебая — ———- и 5
в/Т f~f° 5 в/Т f~F° S в/Т f~f° ' S
| ' о] оГ™ "" ojo 0,1
0.0 со оо $,0 2740 9750 10.0 386 536
1 . 1S.93S 21.675 1 2604 9321 1 375 «92
2 12.022 17.548 2 2G6 8915 2 364 449
3 9.821 15.138 Э 23S6 8529 3 354 408
4 8.319 13.434 4 2243 8162 4 343 369
0.5 7.199 12.117 5.5 2137 7814 10.S 334 330
6 6,320 11.046 6 2036 7483 6 325 294
7 5.605 10.147 7 1942 7168 7 '316 258
в 5.010 9.372 8 1853 6869 8 307 224
9 4.507 8.695 '9 1769 6585 9 299 191
1.0 4,074 8.094 6,0 1689 6314 11.0 291 159
1 3.699 7.SS6 1 1615 6057 1 283 128
2 3.370 7,070 2 1544 5812 2 275 099
3 3,080 6.629 3 1477 5578 3 268 070
4 2,822 6.225 4 1413 5356 4 261 042
1.5 2.592 5,853 6.5 1354 5145 11.5 254 016
6 2,386 5.511 6 1297 4943 6 248 • 990
7 2,201 5,195 7 1243 4751 7 242 965
8 2.033 4,901 S 1192 4568 8 235 941
9 1,881 4.628 9 1144 4394 9 230 917
20 1,7433 4,373 7,0 1098 4228 12.0 224 895
1 1,6178 4,135 1 1054 4069 1 218- 873
2 1.5032 3.913 2 , 1013 , 3917 2 213 851
3 1.3984 3.704 3 0973 3773 3 208 831
4 1,3024 3,509 4 0936 3635 4 , 203 811
Xfi 1.2142 3,325 7.5 0900 35035 '12.5 198 792
6 1,1332 3,153 6 0867 3377 6 193 773
7 1,0587 2.991 7 0834, 3256 7 ' 189 755
8 0,9899 2.838 8 0804 ' 3141 8 185 738
9 0.9265 гб94 9 0774 3031 9 180 721
3,0 0.8679 2.558 8,0 0746 2926 13.0 176 704
1 0.81Э7 2,430 1 0720 2825 1 172 688
2 0,7635 2.310 3 ' 0694 2729 2 168 673
3 0.7169 2,196 3 0670 2636 3 165 658
4 0,6738 2,088 4 0647 2548 4 161 643
3,5 0,6337 1,986 8.5 0625 2463 13,5 157 629
6 0,5964 1,890 6 0604 2382 6 154 615
7 0.5617 1.799 7 0584 , 2304 7 151 602
8 0.5294 1.713 8 0564 2230 8 147 589
9 0,4993 1.632 9 0544 2158 9 144 576
4.0 0,4713 1,5546 9,0 0528 2090 14.0 141 564
1 0,4451 1.4817 1 0511 - 2024 1 138 552
2 0.4207 1,4126 2 049S ' 1961 2 135 541
3 0,3979 1,3471 3 0479 1900 3 132 529
4 0,3765 1.2851 4 0464 1842 4 130 518
4,5 0.3565 1,2263 9,5 0450 1786 14.5 127 508
6 0,3378 1.1706 6 0436 1732 6 124 497
7 0,3204 1,1183 7 0423 1680 7 122 487
8 0.3039 1,0676 8 0410 1630 8 119 478
9 0,2884 1,0201 9 0398 1582 9 117 468
5.0. 0,2740 0,9750 10,0 0386 1536 15.0 115 459
I °. О, 0.0 0.0

326 XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
то, согласно Дебаю, для случая колебаний частиц с тремя степенями свобоаы
имеем:
Cv=3R[4D(x) — Ъх(ех — 1Г'Ь где г=-£.
Далее, так же как и выше, можно получить выражения для —^—», ~ -?
и 5; в частности:
—^ = 3RD(x).
Таблицы 72 и 73 дают значения этих функций в «ал/град-мол; для
газовой постоянной взято значение R = 1,987 кал\град-мол.
Асимптотическое поведение функций Дебая при х^>1 описывается
формулами:
C^^Rx*, <L^b^*fR*, _^.*4u*«, S^t*Rx\
D. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА ОТ ИСТОЧНИКОВ
Пусть в бесконечном однородном не движущемся теле помещен в началь
ный момент источник тепла в виде точки (я = 3), бесконечной прямой (л = 2,
или плоскости (л=1). Никаких других источников тепла в этот и в
последующие моменты времени нет. Пусть соответствующий интеграл от температуры
Рис. 207. Функция распространения тепла от нагретой плоскости.

D. ФУНКЦИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА ОТ ИСТОЧНИКОВ 327

328 XVI. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ФИЗИКИ
распространенный на все пространство, который пропорционален этому
количеству тепла и, следовательно, не зависит от времени, равен единице. Тогда
в момент времени t = ^ (а2 — коэффициент теплопроводности тела)
температура и на расстоянии х от начала координат будет:
Рис 210. Функции распространения тепла от источников.
Рис. 207—210 представляют эти функции для случаев я=1 (нагретая
плоскость, изотермы —плоскости), л = 2 (нагретая прямая изотермы — круговые
цилиндры х = г), л = 3 (нагретая точка, изотермы—сферические поверхности
x = R).

БИБЛИОГРАФИЯ
Сокращения: D—десятичные знаки, S—значащие цифры. [Запись «lg Г (х) для
ж=1(.001J, 12D» после названия таблицы (см. V, [12]) означает, что в этой таблице
приведены значения функции lg Г (х) для х от 1 до 2 через каждые 0,001 с двенадцатью
десятичными знаками.]
Среди перечисленных ниже работ, выбранных из обширной литературы по
специальным функциям, прежде всего указаны общие руководства Затем для каждого раздела
настоящей книги приведен список работ, специально посвященных тем функциям, о
которых идет речь в этом разделе.
Руководства
Смирнов В. И., Курс высшей математики, Физматгиз, т. I, 1962; т. III,
ч. II, 1958.
Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, Физматгиз,
т. I, 1962; т. II, 1963.
Кузнецов Д. С, Специальные функции, Высшая школа, 1962.
Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физматгиз, 1963.
Маделунг Э., Математический аппарат физики, Физматгиз, 1961.
Морс Ф. М. и Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, ИЛ, т. 1, 1958,
т. 2, 1960.
Erdelyi A., Magnus W., Oberhettinger F. and Tri com i F. G., Higher
transcendental functions, т. I — III, New York—Toronto—London, 1953—1955.
Сборники формул
Градштейн И. С. и Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, Физматгиз, 1962.
Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и
операционное исчисление (серия «Справочная математи йская библиотека»), Физматгиз, 1961.
Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям,
Физматгиз, 1961.
Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т., Функции
математической физики, Физматгиз, 1963.
Magnus W. und Oberhettinger F., Formeln und Satze fur die speziellen
Funktionen der mathematischen Physik, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1948.
Таблицы
В следующих книгах содержатся перечни математических таблиц, вышедших в
различных странах в разные годы.
Лебедев А В. и Федорова Р. М., Справочник по математическим табли<
цам, Изд-во АН СССР, 1%6.
Бурунова Н М., Справочник по математическим таблицам (Дополнение 1),
Изд-во АН СССР, 1959.
Fletcher A., Miller С. P., Rosenhead L. and С от г i e L. J., An index of
mathematical tables, I, II, Oxford, 1962.
Текущие сообщения о всех новых работах в области математических таблиц даются
журналом: Mathematical tables and other aids to computation, a Quarterly Journal
published by the National Research Council, Washington.
[I) — £IVJ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ
Руководства
[1]ЛюстериикЛ. А., Червоненкис О. А., Янпольский А. Р.,
Математический анализ (вычисление элементарных функций), Физматгиз, 1963.
|2] Смирнов р. И., Курс высшей математики, т. I, Физматгиз, 1962.
[3] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, т. 1, Фиэ-•
матгиз, 1962.
22 е. Яике, Ф. Эмде, Ф Леш

330
БИБЛИОГРАФИЯ
|4] Фяхтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления.
т. 1, Физматгиз, 1957.
51 Яяпольский А. Р., Гиперболические функции, Физматгиз, 1960.
Сборники формул
[6] Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., Справочник по математике,
Физматгиз, 1962.
Таблицы
[7] Ангелов С. А., Шестизначные таблицы тригонометрических функций, Гостех-
издат, 1957.
[8] Андреев П. П., Математические таблицы, Госстатиздат, 1958.
[9] Барлоу Питер, Таблицы Барлоу квадратов, кубов, квадратных корней,
кубических корней и обратных величин всех целых чисел от 1 до 15 000, ИЛ, 1964
[10] Библиотека математических таблиц, вып. 9, Многозначные таблицы элементарных
функции (sinx, соь.х, е*, е~х), ВЦ АН СССР, i960.
[11] Библиотека математических таблиц, вып. 10, Таблицы aicsinx и arctgx,
ВЦ АН СССР, 1960.
[12] Библиотека математических таблиц, вып. 11, Таблицы обратных гиперболических
функций, ВЦ АН СССР, 1960
[13] Библиотека математических таблиц, вып. 7 и 8, Таблицы натуральных логарифмов
ВЦ АН СССР, тт. I, И, 1960.
[14] Библиотека математических таблиц, вып. 1, Таблицы круговых и гиперболических
синусов и косинусов в радианной мере угла, ВЦ АН СССР, 1958.
[15] Библиотека математических таблиц, вып. 6, Таблицы круговых и гиперболических
тангенсов и коташеисов в радианной мере угла, ВЦ АН СССР, 1959.
[16] Библиотека математических таблиц, вып. 15 и 16, Томсон А., Таблицы
двадцатизначных десятичных ло1арифмоь чисел, ВЦ АН СССР, тт. 1, 2, 1961.
[17] Брадис В. М., Четырехзначные математические таблицы, Учпедгиз, 1963.
[18] Бремикер К., Таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций
с шестью десятичными знаками, Физматгиз, 1962.
[19] В era Г., Таблицы семизначных логарифмов, Геодезиздат, 1962.
[20] Восьмизначные таблицы тригонометрических функции, Геодезиздат, 1959.
[21] Милн-Том со и Л М. и Комри Л. Дж., Четырехзначны? математические
таблицы, Физматгиз, 1961.
[22] Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их
логарифмов и логарифмов чисел, Геодезиздат, 1962.
[23] СегалБ. И и Семендяев К. А., Пятизначные математические таблицы,
Физматгиз, 1962.
[24] Субботин М. Ф., Многозначные таблицы логарифмов, Изд-во АН СССР, 1940
{25] Таблицы е* и е~х, под ред В. А. Диткина, Изд-во АН СССР, 1955.
[261 Хренов Л. С, Пятизначные таблицы тригонометрических функций, Физматгиз
1962.
[27] Хренов Л. С, Шестизначные таблицы тригонометрических функций, Физматгиз,
1960.
[28] Хренов Л. С, Семизначные таблицы тригонометрических функций, Гостехиздат,
1956.
[29] Cohen L., Formulae and tables for the calculation of alternating current problems,
New York, 1913. Содержит в конце таблицы bh и ch от г = 0 до 0,98+£• 1,00 с
интервалами в 0,02 и 1-0,02.
[30] Hawelka R., Vierstellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktionen sowie ihrer
л
Umkehrfunktionen im komplexen in Schritten von — 0,02 und t'-0,02, Berlin, 1931.
[31] Ken nelly A. E., Tables of complex hyperbolic and circular functions, Cambridge,
1914. Содержит много таблиц, например sh и ch от г=0 до 3,95+ J — -2,00 с ин-
л
тервалами в 0,05 и t-^-»0,05.
V. ГАММА-ФУНКЦИИ
Руководства
1] Артии Е., Введение в теорию гамма-функции, ГТТИ, 1934.
2] Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А., см. I — IV, [6].
3] Кратцер А. и Франц В., Трансцендентные функции, ИЛ, 1963.
4] Кузнецов Д. С, Специальные функции, Высшая школа, 1962.
5] Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.

БИБЛИОГРАФИЯ
331
[6] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, Физматгиз, 1963.
[7] Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. Ill, ч. 2, Физматгиз, 1958.
[8] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. I —IV, [3].
[9] В oh me r P. E., Differenzengleichungen und bebtimmte Integrate, Leipzig, 1939,
[10] Losch F. und Schoblik F., Die Fakultat (Gammafunktion) und verwandte
Funktionen, Leipzig, 1951.
[11], Nielsen N.. Handbuch der Theorie der Gammafunktion, Leipzig, 1906.
Таблицы
[12] Абрамов А. А. Таблицы In Г (г) в комплексной области, Изд-во АН СССР, 1953-
In Г (x+iy) для х = 1(.01J, у = 0(.01L; 60.
[13] СегалБ. И. иСемендяев К А., Пятизначные математические таблицы,.
Физматгиз, 1952 Г(х) для х= 1( 001J; 50; Г(п + 1) для п = 1AM0; 6S.
[14] Таблицы специальных функций, под ред. Я. Н. Шп и л ь р е И н а, ГТТИ 1934L
Г(х) для х=1(.ОО2,2,50.
[15] Legendre A. M., Tables of the logarithms of the complete Г-function to twelve-
figures. Tracts for computers Nr. IV, London, 1921. Ig Г (х) для х=1 (.001J, 120.
[16] Hay ash l K., Sieben- und mehn>tellige Tafeln der Kreis- und Hyperbelfunktioneib
und deren Produkte sowie dtr Gammafunktion, Berlin, 1926. Ig Г (х) для х=-
=0 (.01) 1 (.00001) 1.001 (.0001) 1.1 (.001) 2@1) 3, 8—130; Г (х) для *=
= — 5(.01) 1 (.001) 2 (.01M,7—81).
[17] Davis H. Т., Tables of the higher mathematical functions I, II, Bloomington,
1933—1935. I: Ig T(x) для x= — 10 (.01) 1 (.001) 2(.01) 11 (.1) 101, 12— 150; 1 (.0001) 1.1,
10 0; 1 (.01J,200. T(x) для x= — 10(.01) 1, 10S; 1 (.001) 2, 100; 1 (.0001) 1.1, 100.
Mp(x) для х= — 10 (.01) 1 (.001) 2 (.02) 20, 10—15 0; 0.5 (.5) 100, 16 0; 100AL50, 10 0;
1 (.0001) 1.1, 100; 1 (.0П2, 180. Ig г|>(х) для x = —10(.01) 1 (.001J, 100; 1 (.0001) 1.1,
100. ИГ(ге'в) = Р(г, в)+ Q(r, в)для r= — 1 (.1I, 6 = 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°,
135°, 15OM20. II:\j>(*>(x), л = 1,2,3,4 для *= — 10(.l) 0 (.01) 4 (.02) 20 (.1) 100,
10 — 19 0. In г|) (и> (х), п = 1, 2, 3, 4 для х= — 10 (.1H (.01) 1, 10 0.
[18] Briti h Association Mathematical Tables 1: Circular and hyperbolic functions,
exponential, sine and cosine integrals, factorial function and allied functions, Hermitian
probability functions, 3rd ed., Cambridge, 1951. Г (дс) для х=1 (.01) 2, 120. if(n>(*),
*
n=0, 1, 2,3 для * = I (.01J, H (.1) 61, 10—120. С lgT(l-f t) dt для х=0 (.01) 1",
о
100.
[19] Ghizzetti A., Tavola della funzione euleriana Г (г) per valori complessi dell' argo,-
mento, Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. VIII, Ser. 3A947), 254—257. Г (x + iy) для
*=4(.1M, </ = 0(.l)l, 5S.
[20] Stanley J. P. and Wilkes M. V., Table of the reciprocal of the gamma function
for complex argument, Toronto, 1950. 1/ T(x + iy) для x= — 0.5 (.01) 0.5, # = 0(.01) 1, 60.
[21] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 34: Table of the gamma
function for complex arguments, Washington, 1954. 1пГ (x-\-iy) для дс = 0 (.1) 10,
j, = 0(.I) 10, 120.
[22] Pearson К., Tables of the incomplete Г-functfon, London, 1922.
X 00
/(u, p) = \ e-4Pdt j \e-*tPdt с u = xlVp~+\ для p=—1 (.05) 0 (.1) 5 (.2) 50,
о о
u=0 (.1) до / (u, p)=l,7 0; затем для р=—1 (.01)—0.75, u=0 (.1) 6, 5 0,
lg/(u, p)luf+1 для p = —1(.05H (.1) 10, u = 0(.1I.5,80.
[23] Pearson K., Tables of the incomplete beta-function, London, 1934, Ix(p,q) =
x
=Bx(j>lq)IB(p,q)cBx(p,q)=^ XP~* {l—xf^dx, для p,q=0.5{.5) 11 AM0, p3s<7,
. о
*=Q(.01I и соответствующие значения знаменателя В (р, q)=B1(p, q), ID.
VI. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И РОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Руководства
[1] Смирнов В. И., см. V, [7].
[2] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н„ см. I—IV, [3].
[3] В oh mer P. E., см. V, [9].
[4] Losch F. und Sc h о Ы i k F., см. V, [10].
[5] Nielsen N., Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transcendenten,
Leipzig, 1906.

332
БИБЛИОГРАФИЯ
Таблицы
[6] Таблицы интегральной показательной функции, под ред. В. А. Д и тки на, Изд-во
АН СССР, 1954. Ei (х), — Ei (—х) для х = 0 (.0001I, 3 (.001K (.0005) 10 (.1I5; 7S.
17] Таблицы интегрального синуса и косинуса, под ред. В. А. Диткина, Изд-во
АН СССР, 1954. Si (x), Ci (x) для х = 0(.0001) 2(.001) 10 (.005) 100; ID.
{8] Карпов К. А. и Разумовский С. Н., Таблицы Интегрального логарифма,
Изд-во АН СССР, 1956. li (x) для х = 0 (.0001) 2,5 (.001) 20 (.01) 200 (.1) 500 A) 10000; 7S.
[9] National Bureau of Standards, Mathematical Tables Project [MT 5, 6]: Tables of sine,
cosine and exponential integrals, I, II. Washington, 1940. I:—Ei(—x), Ei* (x),
Si(*). Ci(x) для x = 0(.0001) 2, W; 0 (.1) 10, 9D. — Ei ( — x) +ln x, Ei*(*) — In*,
Ci(*)—lnx для x = Q(.0001H.01,91). II: — Ei(— x) для х = 0(.001) 10, 9S; 10 (.1) 15,
14£». Ei*(x) для x = 0 (.001I0, 10S; 10(.l) 15, 10 — US. Si (x), Ci (*), для
*=^0(.001) 10 (.1J0 (.2) 40, 10D.
[10] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 32: Table of sine and
cosine integrals for arguments from 10 to 100, Washington, 1954. Si (x), Ci (x) для
*= 10 (.01) 100, 10 D.
[11] British Association Mathematical Tables I: — Ei(— x), Ei* (x) для *=5(.l) 15, 10 —
—HS.Si(x), Ci(x) для *=5 (.1J0 (.2) 40, 10D. Ei (—x) — Inx, Ei* (*) —In x, Si (x),
Ci(*)—lnx для х = 0(.1M, 11 D.
[12] Herman R. C. and Meyer Ch. F., The thermoluminescence and conductivity
of phosphors, J. Appl. Phvs. 17 A946), 748. — Ei(—x) для x = 15 (.1J0. 6 S.
[13] AkaMra Т., Sci. Pap. Inst. Phys. and Chem. Res., p. 181—215, Table 3, Tokyo,
1929. — Ei( — x) для х = 20(.02) 50, 5— 6S.
[14] Tani K., Tables of si (x) and ci (x) for the range x = 0 to x = 50, Tokyo, 1931.
Si<*) для x=0(.01M0, 6D;Ci(x) для x = 0 (.0001) 0.05 (.001) 1 (.01) 50, 6 D.
VII. ИНТЕГРАЛ ОШИБОК И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ФУНКЦИИ
Руководства
[I] В а н-де р-В а р ден Б. Л., Математическая статистика, ИЛ, 1960.
[2] Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, Физматгиз, 1961.
[3] Зоммерфельд А., Волновая механика, ГТТИ, 1933.
[4] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, т. II,
Физматгиз, 1963.
[5] Bohmer Р Е.. см. V, [9].
[6] Losch F. und Schoblik F., см. V, [10].
[7] Nielsen N.. см. VI, [5].
Таблицы
[8] Башарин Г. П., Таблицы вероятностей и средних квадратических отклонений
потерь на полнодоступном пучке линий, Изд-во АН СССР, 1962.
[9] Б е р л я н д О. С, Г а в р и л о в а Р. И. и Прудников А. П.. Таблицы
интегральных ошибок и полиномов Эрмита, Изд-во АН БССР, 1961.
[10] Библиотека математических таблиц, вып. 2, 3, Таблицы вероятностных
функций, ВЦ АН СССР, тт. I, II, 1958.
[II] Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, т. II, ИЛ, 1949. С(х), 5(*)для
* = 0(.02I(.5M0; 6D.
[12]Сегал Б. И. иСемеидяев К. А., см. V, [13], Ф (*) для х=0 (.001) 2,5(.01K;
5^—7 D. '
[13] Таблицы, под ред. Я. Н. Шпильрециа, см. V, [14]. Ф(дс) для х=О(.001) 1,5
(.01) 2,9; AD.
[14] Смирнов Н. В. и Большее Л. Н., Таблицы для вычисления функции
двумерного нормального распределения, Изд-во АН СССР, 1962.
[15] Таблицы интегралов Френеля, под ред. В. А. Диткина, Изд-во АН СССР, 1953.
С(—х?' 1 д, S[ %■** )'ДЛЯ * = 0 (.001) 25, ID. Вспомогательные таблицы для

малых х.
[16] Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее
нормальных производных, под ред. Н. В. Смирнова, Изд-во АН СССР, 1960.
[17] Таблицы функций распределения и плотностей распределения Стьюдеита, под ред
Н. В. Смирнова. Изд-во АН СССР, 1960.
[18] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 41: Tables of tb,e error
2 r ... ... 2 _ 2
jnnctiori and its derivative H(x)= r^=\ е~"г da и ff'(x)= ^7=e~x ■ Washington,

БИБЛИОГРАФИЯ
333
1954. Ф(х), Ф' (х) для * = 0(.0001) 1 (.001M.6— 6, 15 D. \—Ф (х), Ф'(х) для *=а
=4 (.01) 10, 8S.
[19] Markoff А. А (Марков A A.), Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig und
Berlin, 1912.Ф(х) для х = 0(.001) 2.5( 01K.79, 6D.
[20] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 23: Tables of the normal
probability functions -^=e~x P and -7= ( Г"8/« da, Washington, 1953. 2Ф(лс)—1,
у 2л У 2л J
Ф'(*)для дс = 0(.0001) 1 (.001) 7,8—8.112 и 8*285, 15D. 2 [1— Ф (*)], ф' (*) для х=*
=6@1I0. 7S.
121] Harvard University, Computation Laboratory, Annals 23: Tables of the error function
and of its first twenty derivatives, Cambridge, 1952. Ф(*) к< <»{щ (х), ж=1 A) II
для х=0 (.004) X, 6 D сФ(Х)-|=1 фЧ»> (Х)=±=0в 6D. Ф(п> (x),h±±l2(i) 2l для
дс=0(.002)Л", 7S или 6 £>, где Ф(п>(Л')=0 в 6D. Нули всех табулированных
функций в 101).
[22] British Association Mathematical Tables VII- The probability integral, Cambridge,
1939. F(x) = [l—Ф(х)](Ф'(х) для x=Q(.lI0,24D;0(.01) 10, 12£>. L (x) = — In [1 —
—Ф(х)] для х=0A) 10, 24D, 0(.l) 10, 160. l(x) = — lg[l — Ф (х)] для x=0(.l) 10,
12J0; 0 (.01) 10, 8D: Дополнительные таблицы для интерполяции посредством формулы
Тейлора.
[23] Pearson К., см. V, [22]. Таблица дает значения Еп (х) при обозначеннв
Е„(х) = Г(и, р), где u=Ynxn, р = — ^-или x = (uVpTl)p+1, п= —-.
[24] Schumann W. О., Elektrische Durchbruchfeldstarke von Ga*en, Berlin,
1923 ГE/4)£4 (x) для х=0.1 (.1I, 4D.i~1Et(tx) для х = 0.1 (.1) 2.6 (.2O.4,
4—5S.
[25] Terrill H. M. and Sweeny L., An extension of Dawson's table of the
integral e*a, J. Franklin Inst. 237 A944), 495—497; Table of the integral of e*2,
x
J. Franklin Inst. 238 A944), 220 — 222. С e*%te для х=0 (.01J, 6D; 2(.01L,
0
7—9U.
x.
[26] Lohmander B. and Rittsten S., Table of the function y=e~** f «**<*/,
•
Land, 1958. (From Fysiogr. Sallsk. Lund Forhdl. 28 A958), 45 — 52,) у для
x= 0 (.01) 3 (.02) 5, l/x = 0 (.005) 0.2, 10 D; x = 0.5 (.5) 10, 20 D.
CO
[27] British Association Mathematical Tables I, см. V, [18]. Hh0(x)= С e"*** dt, Hhn (x) =
X
Ш
= f Я»,.,@<йдля л = 0AI1, x= -7(.1)X; л=12A) 17, x = — 5 (.1) X; л = 14AJ1,
x = — 2,5(.1)X; 10D X всюду s£6.6
[28] Pearsey Т., Table of the Fresnel integral to six decimal places, Cambridge,
1957. C(x\ S (x) для x = 0(.01) 1, ID; 1@1M0, 6D.
[29] Von Wijngaarden A. and Scbeen W. L., Table of Fresnel integrals,
Amsterdam, 1949. cfy xA, S (-£ x*\ для х = 0 (.01) 20, 5D.
[30] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 21: A guide to tables of
the normal probability integral, Washington, 1952.
VIII. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Руководства
[1] Титчмарш Е. К-. Теория дзета-функции Римана, ИЛ, 1953.
[2[Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4).
[3] Ingham A. E., The distribution of prime numbers, Cambridge, 1932.
[4] Landau E., Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen I, It, New
York, 1953.

334
БИБЛИОГРАФИЯ
Таблицы
E1 Gram J. P., Tafeln fur die Riemannsche Zetamnktion. Danske Vid. Selsk. Skrifter,
Nat. Math. Afd. 10 A925—26), 311—325. £(s) для s = — 24 (.1) —16.5, 10S;
— 16.4 (.1J4, 10£». (s—l)£(s) для s=— 2(.1H, 10D; 0 (.1) 4, 11 D.
T6] Peters J., Zehnstellige Logarithmentafel I, Berlin. 1922. t, (я) — 1 для
/i = 2(l) 100,32/?.
G) T i t с h m a rs h E. C, The zeros of the Riemann zeta-function, Proc. Roy. Soc.
London, Ser. A151 A935), 234 — 235 and 157A936), 261 —263. 1)Сообщение о вычислении:
1) 195 иулей -i- -f it, где 0 < t < 390. 2) 1041 нулей у -f it, где 0 < t < 1468.
8] Lehnier D. H., Extended computation of the Riemann zeta-function, Mathematika
3 A956), 102—108. Сообщение о вычислении первых 25000 нулей •=--±- "•
Таблица отклонений от закона Грама.
IX. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Руководства
\\\ Бронштейн И. Н. и СемендяевК- А., см. I—IV, [6].
B] Градштейн И. С. и Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, Физматгиз, 1962.
13] Гурса Э., Курс математического анализа, т. 2, ч. 2, ГТТИ, 1933.
[4] Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплексиого
переменного, Физматгиз, 195G.
[5] Смирнов В. И., см. V, [7].
{6] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и иитегральиого исчисления,
т. II, Физматгиз, 1957.
]7] Эр мит Ш., Курс анализа, ОНТИ, 1936.
[8] Byrd P. F. and Friedman M. D., Handbook of elliptic integrals for engineers
and physicists, Berlin — Gottingen—Heidelberg, 1954.
(9]Grobner W. und Hofreiter N.. Integraltafel I, II, 2. Aufl., Wien und
Innsbruck, 1957—1958.
[10] Hancock H., Elliptic integrals, New York, 1917.
[11] West гор p Roberts W. R., Elliptic and Hyperelliptics integrals and allied theory,
Cambridge, 1938.
Таблицы
A2) Беляков В. М., Кравцова Р. И. и Раппопорт М. Г., Таблицы
эллиптических интегралов, Изд-во АН СССР, т. 1, 1962; т. 2, 1963.
[13] Ветчинкин В П., Новые формулы и таблицы эллиптических интегралов и
функций с приложением сокращенных семизначных таблиц логарифмов и
тригонометрических функций, Изд-во Воен.-возд. акад. РККА, 1935.
A4] Глазенап С П., Математические и астрономические таблицы (в двух частях),
Изд-во АН СССР, 1932.
[15] Самойлова-Яхонтова Н. С, Таблицы эллиптических интегралов, ОНТИ,
1935.
[16] Legend re A M., Tables of the complete and incomplete elliptic integrals.
Reissued by K. Pearson, London, 1934 F (ф, k), E (ф, k), (£ = sina), для ф, a =
= 0°(Г)90°, 9— 100 lgK(fe), lgE(fc), (A: = sin a), для a = 0°@° 1)90°, 12— 14D.
[17] Heuman C. A., Tables of complete elliptic integrals, J Math Physics 20 A941),
p. 127—206, 336. 2K(k)ln, 2Е(£)/я, (fc = sina), для a=0° @°.l) 90°, 6D. 2(я)[К +
-fin (90—a)] для a = 65o@°.l)90°, 6D. Полный интеграл 3-го рода
я/*
2_ Г cos' a sin P cos P VT^cos2 a sin' P d(P
я J cos2 a cos8 P + sin2 a cos2 ф У 1 —sin2 a sin2 ф
о
для o=0o(l°)90°, P = 0°(lo)90° и a = 0o@°.lM°.9, P = 80° A°) 89°, 6D.
[18] Hayashi K., Tafeln der Besselschen, Theta-, Kugel- und anderen Funktionen,
Berlin, 1930. K(k), K' (k), K'/K, К/К' для fc2 = 0 (.001) 1, 10—12D; fc2 =
=0A0-7I0-5A0~5) 0.003, 8—10D.
[19] Hayashi K., Tafeln fur die Differenzengleichung sowie fur die Hyperbel-,
Besselschen, elliptischen und anderen Funktionen, Berlin, 1933. E (k), E' (k) для
" A8 = 0(.001)l, 10D.

БИБЛИОГРАФИЯ
335
X. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Руководства
J1] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, Гостехиздат, 1948.
B| Гурвиц А., Теория аналитических и эллиптических функций, ГТТИ, 1933.
{3] Гурса Э., Курс математического анализа, т. 2, ч. 1, ГТТИ, 1933.
J4] Ж у р а вс к и й А. М., Справочник по эллиптическим функциям, Изд-во АН СССР,
1941.
151 Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., см. IX, [4].
F] С и коре кий Ю. С, Элементы теории эллиптических функций с приложениями
к механике, ОНТИ, 1936.
{7] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4].
{8] Ар ре 11 P. et La со и г E.t Principes de la theorie des fonctions elli'ptiq'ues,
Paris, 1922.
(9] Hurwitz A. und Courant R., Funktionentheorie, Berlin, 1929. ' , .
(lOl Neville E. H., Jacobian elliptic functions, Oxford, 1951.
{llj О b e r h e t t i n ge r F. und Magnus W., Anwendungen der elliptischen Funktio-
nen in Physic und Technik, Berlin —Gottingen— Heidelberg, 1949.
A2] Thomae J., Sammlung von Formeln und Satzen aus dem Gebiete der elliptischen
Funktionen nebst Anwendungen, Leipzig, 1905.
fl3] Tricomi F., Funzioni Ellittiche, Bologna, 1951.
Таблицы
[14] Библиотека математических таблиц, вып. 13, Таблицы эллиптических функций,
ВЦ АН СССР, 1961.
{15] М!лн-Томсон Л., Елштичш функци ЯкобЬ ДНТВУ, 1933.
{16] Schuler M. und Gebelein H., Acht- und neunstellige Tabellen zu den
elliptischen Funktionen, Berlin —Gottingen —Heidelberg, 1955. С использованием
аргумента z — cos 2* = cos (яи/К) и вспомогательных функций G, Я, G, Я, где ■&, (х) =
= 2qlli sinxG, ■&,(*) = Я, G = 1 — qsG, Я = 1 + qH, даны таблицы: G (q'z) для q* =
= 0(.001H.1,г = — 1(.05) 1, 90. Я (q\ z) для <7S = 0 (.002) 0.176, z = — 1 (.05) 1, Ю.
lg(sn u/sin x), Ig (en u/cos x), Ig dn и для <7 = 0(.01H.55,z = — 1 (.05) 1, 8D. a, q для
<7* = 0 (.001) 0.1, <7* = 0 (.002) 0.176 с O'.OOOl соотв. ID. a, —Igcosa, К, К/Е для q =
= 0 (.01) 0.55 с O'.Ol соотв. 8D. 1/A — q). К, К/Е для —lg k' = — lg cos a = 0 (.005) 3 с 8D.
A7] Schuler M. und Gebelein H., Ffln'stellige Tabellen zu den elliptischen
Funktionen, Berlin—Gottingen — Heidelberg, 1955. С использованием обозначений [16]
даны таблицы: G (q, z), Я (q, г) для q = 0 (.01) 0.5, z~— 1 (.1) 1, 5D. lg (sn u/sin x),
lg (en u/cos x), lg dn u для <7=0(. 01H5, z = —1(.1I, 5D. a, —Igcosa,
К, К/Едля <7 = 0(.01H.5c O'.Ol соотв. 5D. a, 1/A ~-<7), К, К/Е для —lg*' = — lgcosa=*
= 0 (.01) 2.5 с O'.Ol соотв. 5D.
A8] Adams E. P. and Hippisley R. L., Smithsonian mathematical formulae and
• tables of elliptic functions, Smithson. Misc. Coll. 74 A922), 259—309; reprint 1939.
К, Е для а = 0°(ГI0оEо)80оAо)90°, 9— I0ZX am u для а = 0° E°) 80° A°) 89°,
х = яи/2К = 0°(Г)90° в 1'. znu для а = 0° E°) 80° (Г) 89°, х = яи/2К = 0° A°) 90°, 10D.
■&г, ■&< для а = 0°E°)80о(Г)89о, 10-120. О, (х)/0„ Ог (х)/Ог, О, (*)/0*. ^М/Ъ для
а = 0°Eо)80оAо)89о, х = яи = ли/2К = 0° A°) 90°, 10D. q для а = 0° E°) 80° A°) 90°,
14—15D. ц = 2Ки=2Кх/я для а = 0° E°) 80° (Г) 89е, х = 0°A°)9Эо, WD.
A9] Hay a shi К., см. IX, {18]. $[, 0„ Ъ„ 04, #">!• К&» 0>„ 0>4, Я, Я*. Я4* ,
<7e/*. я* для £2 = 0(.00П0.5, Ю. lg<7, lg q' для ftz = 0(.001) 1.10D;
fc« = 0 A0-') 10-5A0-5) 0.003, W.
XI. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Руководства
fl] Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, 1948.
[2] Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, т. I,
Гостехиздат, 1951.
C] Лаврентьев М. А. и Ш а бат Б. В., см. IX, [4].
D] Лебедев Н. Н., см. V, [6].
[5] Сеге Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962,
[6] Смирнов В. И., см. V, [7].
[7] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4].
[8} Tricomi F. G., Vorlesungen fiber Orthogonalreihen, Berlin—Gottingen—Heidel*'*
berg, 1955.

336
БИБЛИОГРАФИЯ
Таблицы
[9] Библиотека математических таблиц, вып. 19, Таблицы полиномов Чебышева,
ВЦ АН СССР, 1963.
[10] Митропольский А. А., Интеграл вероятностей, изд. Лесотехн. акад. им.
Кирова, Л., 1948, Нп(х) для х = 0 (.01) 4, л = 2, 3, 4; 4—8D.
[11] Таблицы, под ред. Я. Н Шпильрейна, см. V, [14]. Р„(х) для х=0{.01) 1
и Р„ (cos 9) дла 9=0 (Г) 90°; л=1 AO; AD.
[12] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 9: Tables of Chebyshev
polynomials Sn(x) and Cn(x), Washington, 1952. При (Тпх)=-^ C„Bx),
Un (x)lV~\ —jc* = S„_, B*) даны таблицы: C„ (x), Sa(x) для я = 2AI2, x=0(.001J,
121». Cn(x), Sn(x), Tn(x), Un+1(x)lVl-^ явно для л = 0A) 12, T*n (х)=~С„ Dх— 2)
для л = 0AJ0.
[13] Salzer Н. E., Tables for facilitating the use of Chebyshev's quadrature formula,
J. Math. Physics 26 A947), 191 — 194. Нули полиномов Та(х) для л = 3AO, 9, 10£>.
Соответствующие множители для численного интегрирования, 9S.
[14] Tricomi F. G., Valori numerici di funcioni ortogonali di Laguerre, Atti Accad.
Sci. Torino 90 A956). ln(x) для л = 0A) 10, x = 0(.l) 1 (.25) 6 A) 14 B) 34, 6S.
[15] Slater L. J., A short table of the Laguerre polynomials, Inst. Elect. Engineers,
Monograph, London, 1955. Ln(x) для л = 0A) 10, x = 0(.lM, 5—6£>.
[16] Head J. W. and Wilson W. P., Laguerre functions: Tables and properties, Inst.
Elect. Engineers, Monograph, London, 1956. e~xL„(x) для л = 0AJ0, x = 0(.l)l(.2)
3(.5N(II4BL0EH00, AD или 2S Нули полиномов Ln(x) для л=1AJ0, 6£>.
[17] Salzer H. E. and Zucker R., Table of the zeros and weight factors of the first
fifteen Laguerre polynomials, Bull. Amer Math. Soc. 55 A949), 1004—1012. Нули
полиномов Ln (x) для я=1AI5, 12£>, соответствующие множители для численного
интегрирования, 12S.
[18] Smith E. R., Zeros of the Hermitian polynomials, Amer. Math. Monthly 43 A936),
p. 354—358. Нули полиномов Hn(xlV~2~) для л = 3AJ7, 6D.
[19] Salzer H. E., Zucker R. and Capuano R., Table of the zeros and weight
factors of the first twenty Hermite polynomials, NBS, J. Res. 48 A952). 111 — 116.
Нули полиномов Н„(х) для л ==1AJ0, 15£>; соответствующие множители для
численного интегрирования, 13 S.
XII. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Руководства
[I] Вебстер А. и Сеге Г., Дифференциальные уравнения в частных производных
математической физики, ч. 2, ОНТИ, 1934.
[2] Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ, 1952.
[3] К о ш л я к о в Н. С, Г л и н е р Э. Б,, Смирнов М. М., Основные
дифференциальные уравнения математической физики, Физматгиз, 1962.
[4] Кузнецов Д. С, см. V, [4].
[5] Курант Р. и Гильберт Д., см. XI, [2].
[6] Лебедев Н. Н., см. V, [6].
[7] Смирнов В. И., см. V, [7].
[8] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, Гостехиздат, 1954.
[9] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4].
[10] Lense J., Kugelfunktionen, Leipzig, 1954.
[II] Mac Robert Т. М., Spherical harmonics, London, 1947.
[12] Robin L., Fonctions spheriques de Legendre et fonctions spheroidales, I—III,
Paris, 1957—1959.
Таблицы
[13] Белоусов С. Л., Таблица нормированных присоединенных полиномов Лежандра,
Изд-во АН СССР, 1956. Р™ (cos 9) для 9 = 0е B°,5) 90°, т = 0 A) 36, л = т AM6; 6£>.
[14] Библиотека математических таблиц, вып. 14, Таблицы присоединенных функций
Лежандра, ВЦ АН СССР, 1962.
[15] Журина М. И. и Кармазина Л. М., Таблицы функций Лежандра P-ip+ix (x),
Изд-во АН СССР, т. 1, 1960; т. 2, 1962; т. 3, 1963. Даны таблицы для х=—1(.1I,
т = 0(.01M0; 7S и т. д.
|16] Журина М. И. и Кармазина Л. М., Таблицы и формулы для сферических
функций />™,,8+JX B), Изд-во АН СССР, 1962.

БИБЛИОГРАФИЯ
337
[17] Hayashi K-, см. IX, [18]. Р„(х) для л = 2A)8, х = 0(.01I, точно. P„(cos#)
для л= 1A)8, 0 = 0° A°) 90°. WD.
[18] British Association Mathematical Tables, Part-Volume A: Legendre polynomials,
Cambridge, 1946 P„(x) для n = 2(l)]2, x = 0(.01)l, 7£>; n = 2(lI2, x=l (.01N,
6—8S; n = 2(lN, x = 6(.l)ll, 7—8S.
[19] T al 1 qvist Hj., Sechsstelhge Tafeln der 16 ersten Kugelfunktionen P„(x), Acta Soc.
Sci. Fennicae, n Ser. A 2, № 4 A937) P„(x) для n-=\ A) 16, x = 0(.00l) I, 6£>.
[20] Tallqvist Hj., Sechsstellige Tafeln der 32 er&ten Kugelfunktionen Pn(cos9), Acta
Soc. Sci. Fennicae, n. Ser. A 2, №11 A938). Pn(cosfl) для л = 1AK2,
■& = 0°A0')90°, 6£>.
[21] Clark G. С and Churchill St. W., Tables of Legendre polynomials P„(cos9)
for я = 0A)80 and 6=0° A°) 180°, Ann Arbor, 1957. P„(cosfl) для л=1A)80,
■& = 1°A°) 180°, 6£>.
[22] Mursi Z., Tables of Legendre associated functions, Fouad I University, Faculty of
Science, № 4, Cairo, 1941. P% (x) для л=1 A) 10, m=l A) л, x = 0(.001) 1, 8—13S.
[23] National Bureau of Standards, Mathematical Tables Project [MT 18]: Tables of
associated Legendre functions, Washington, 1945. P™ (cos ■&), dP% (costy/dO для
n = 0(lI0, m = 0 A) 4, m^n, ■& = 0° A°) 90°, 6S. $,% (x), (-l)m£™ (x),
d%% (x)ldx, (— l)"+«dO™(x)/dx Для л = 0AI0, /n=0(lL,/п<л, х=1 (.1) 10, fiS.
1~ "$"(»*). <»+««+1E:™ (ix), i-ndSQ% (ix)ldx, in+*m-4£.% (ix)fdx для л = 0A) 10, m =
= 0AL, т<л, x=0(.lI0, 6S. C+1/,W. I-»)" £?+,/•(*>. <4C+i,i <*>/**•
(_l)«+> d£™+l/s (x)/d* для л = -1AL, m = 0(lL, x= 1 (.1) 10, 4—6S.
[24] Prevost G., Tables des fonctions spheriques et de leurs integrales, Paris, 1933.
P™(x) для л=1 A)8, т = 0A)л и (л, m) = (9, 0), (9, 1), A0, 0), х = 0(.01) 1, 5—6S.
X
^P™(x)dx для л = 0A)8, т = 0A)л и (л, /д) = (9, 0), (9, 1), A0, 0), х = 0(.01I,
о
-Л—7S. Нули функций Р%(х) для л = 2A)8, т = 0A)л и (л, /и) = (9, 0), (9, 1), A0,
0), 4£>. Нули функций Р™(соьд) для л = 2AI0, т = 0 и л = 2A)8, т=1A)л, 1'.
[25] Schmidt A., Tafeln der normierten Kugelfunktionen, Gotha, 1935. P„ (x), \ogPn(x)
для я=1 (lO,x = 0(.l) 1,5—6£>.P„(cosfl), log Pn(cosfl) для n= 1 A) 7, ■& = 0° E°)90°,
5-6D. —J==P^(x).log-7d==P^(x) для я-1AN, т=1A)л, * = 0(.1I,
У Zfi -f" I y 2/1 -f- I
5—60. 2 P"» (cos ft), log 2 P"(cosO) для л=1AN, т=1A)л, # =
К 2n + 1 У 2л + 1
= 0°E°)90о, 5—6£>. Нули полиномов Р„(х). P„(cosft) для л = 2AN, 7D соотв. 1*.
Нули полиномов Р™ (х), Р™ (cos■&) и первых производных для л = 2A) 6, т= 1A) л,
7D соотв. Г.
[26] Lowan A. N., Davids N. and Levenson A., Table of the zeros of the
Legendre polynomials of order 1—16 and the weight coefficients for Gauss' mechanical
quadrature formula, Bull. Amer. Math. Soc. 48 A942), 739—743. Нули полиномов
P„(x) для л=2AI6, 15D; соответствующие множители для численного
интегрирования, 15D.
[27] Smith E. R. and H i g d о п A., Zeros of the Legendre polynomials, Iowa State
College, J. Sci. 12 A938), 263—274. Нули полиномов Р„ (х) для n = 2(lL0, 6£>.
[28] Gray M. C, Legendre functions of fractional order, Quart. Appl. Math. 11 A953),
311—318. P,(cosft) для v = 0.1(.lJ, ■&=10°A0°) 170°, 175°, 6£>.
[29] Le Centre National d'Etudes des Telecommunications: Tables des fonctions de Legendre
associees, Paris, 1952. (—1)M p™ (cos ■&) = (—sin Ъ)т dmP4 (cos $)l(d cos ft) для m=0(IM,
v = —0.5 (.1I0, 0 = 0° A°) 90°, точность различная.
XIII. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Руководства
[1] В а тс о и Г. Н., Теория бесселевых функций, т. 1, ИЛ, 1949.
[2] Грей Э. и М э т ь ю з Г. Б., Функции Бесселя и их приложения к физике и
механике, ИЛ, 1953.
J3] Карман Т. и Био И. М., Математические методы в инжевервом деле, 1остех-
иэдат, 1948.
И] Кош л яков И. С, Глинер Э. Б,, Смир нов М. М., см. XII, [3].

338
БИБЛИОГРАФИЯ
[5] Кр атцер А. и Ф р ан ц В., см. V, [3].
[6] Кузнецов Д. С, см. V, [4].
[7] Кузьмин Р. О., см. V, [5].
[8] Курант Р. и Гильберт Д., см. XI, [2].
[9] Лебедев Н. Н., см. V, [6].
[10] Смирнов В. И., см. V, [7].
[11] Соболев С. Л., см. XII, [8].
[12] Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и специальных
полиномах, Гостехиздат, 1954.
[13] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4].
[14] McLachlan N. W., Bessel functions for engineers, Oxford, 1955.
[15] Nielsen N., Handbuch der Theorie der Cylinderfuriktionen, Leipzig, 1904.
[16] Petiau G., La theorie des fonctions de Bessel exposee en vue de ses applications
a la physique mathematique, Paris, 1955.
[17] Weyrich R., Die Zylinderfunktionen und ihre Anwendungen, Leipzig und
Berlin, 1937.
Таблицы
[18] Ватсон Г. Н., см. VII, [11].
[19] Библиотека математических таблиц, вып. 12, Таблицы функций Бесселя целого
положительного индекса, ВЦ АН СССР, 1960.
[20] Библиотека математических таблиц, вып. 4 и 5, Таблицы функций Бесселя дробного
индекса, ВЦ АН СССР, тт. 1—2, 1959.
[21] Библиотека математических таблиц, вып.-20 и 21, Таблицы сферических функций
Бесселя, тт. 1, 2, ВЦ АН СССР, 1963.
[22] Дин ни к А. Н., Таблицы бесселевых функций дробного порядка, КиТв, Зак. прир.
техн. в;дд1лу АН УРСР, 29 A933).
[23] Люстерник Л. А., Акушский И. Я. и Диткии В. А., Таблицы
бесселевых функций, Гостехиздат, 1949. /„(*) и J1(x) для дс=0 (.001) 16(.01) 25; 7D. Корни
уравнений /о(дс)=0, /,(дс)=0, j[ (х)=0 и ряд связанных с ними величин*
[24] Фадеева В. Н. и Гавурин М. К., Таблицы функций Бесселя целых
номеров от 0 до 120, Гостехиздат, 1950. J„{x) для дс=0(. 1) 125, л=0A) 120; 6£>. J„(x)
для дс = 0(.01) 15, л=0A) 13; 8S. Вычислены корни уравнений Jn(x)=Q для я=0
AI15.
[25] Сегал Б. И. иСемендяев К. А., см. V, [13]. Даны функции Бесселя
индексов 0 и 1 для *=0(.01) 10; 5£>, 5—6S.
[26] Чистова Э. А., Таблицы функций Бесселя от действительного аргумента и
интегралов от них, Изд-во АН СССР, 1958. Даны функции Бесселя индексов 0 и 1
для х=0(.001I5(.01I00; 7£>, 7S.
[27] Кармазина Л. Н. и Чистова Э. А., Таблицы функций Бесселя от мнимого
аогумента и интегралов от них, Изд-во АН СССР, 1958.
[28] Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента, под ред. И. М.
Виноградова и Н. Г. Четаева, Изд-во АН СССР, 1950. /„(*) и Кп(х) ДЛЯ П=0, 1,
х=0{.001I0; 8£>, 8S.
[29] Декапосидзе Е. Н., Таблицы цилиндрических функций от двух переменных,
Изд-во АН СССР, 1956.
[30] Барк Л. С. и Кузнецов П. И., Таблицы цилиндрических функций от двух
мнимых переменных, Изд-во АН СССР, 1962.
[31] Смирнов А. Д., Таблицы функций Эйри и специальных вырожденных
гипергеометрических функций, Изд-во АН СССР, 1955.
[32] Карпов К- А. и Киреева Н. Е., Таблицы функций Вебера, т. 1, Изд-во
АН СССР, 1959; т. 2, ВЦ АН СССР, 1963.
[33] Носова Л. Н., Таблицы функций Томсона и их первых производных, Изд-во
АН СССР, 1960.
[34] Носова Л. Н. и Тумаркин С. А., Таблицы обобщенных функций Эйри
для асимптотического решения дифференциальных уравнений г(ру')' + (<7 + ег) у =/,
ВЦ АН СССР. 1961.
[35] Фок В. А., Таблицы функций Эйри, 1946.
[36] Harvard University, Computation Laboratory, Annals 3—14: Tables of the Bessel
functions, Cambridge, 1947, 1951. J„(x) для л = 0AK, х = 0 (.001) 25 (.01)99.99, 18£>;
для л = 4A) 15, x = 0 (.001) 25 (.01) 99.99, 10D; для я= 16A) 111, x = 0 (.01) 99.99, 10D;
для л= 112A) 135, x = 0 (.1)99.99, 10D. Последний том дает далее /„A00) для
л = 0A) 135 и /„(л),для л = 0A) 100, 10D,

БИБЛИОГРАФИЯ
339
[37] British Association Mathematical Tables VI: Bessel functions, Cambridge, I, 1950,
II, 1952. I: J0<x), Jt(x) для x = 0(.001) 16(.01J5, 10D; W0(x), Nt(x) для x = 0(.01J5,
8D; Вспомогательные таблицы для x = 0(.01H.5 и 25 sg x ==s 6000. /„ (х), /, (х) для
х = 0(.001M, 7 — 8£>; К„(х), Kt(x) для дс = 0 (.01) 5, 8— 9S; Вспомогательные
таблицы для х = 0(.01H.5 и х = 5(.01) 10 (.1) 20. Нули /0, s и значения /, (/0i ,) для
s=l A) 150, 10D: нули •', s и значения J„ (у, s) для s=l A) 150, 10D. II: J„\x) для
n=2(lI2, x = 0(.01) 10('.1J5; /1=13AJ0*. x = 0 (.01) 5(.l) 25, 8£>. Л/„ (x) для
л = 2AI1, x = 0(.01) 10(.1J5; n = 12 AJ0, x = 0(.lJ5, 8S. /„ (x), K„(x) для
n = 2(I) II, x = 0(.01M(.lJ0; /1=12AJ0, x=0(.lJ0, 8S. Для осуществления
интерполяции N, I, К частично заменены через x"N„, x~"I„, e~xIn, x"K„, exK„.
Jn(x), N„(x) для /1 = 0AJ0, x = 0 (.1J5, 10D соотв. 10S. /„(*). Kn (*) Для л = 0A)
20, x = 0(. 1J0, 10S.
[38] Hayashi К., см. IX, [18]. J0(x), /, (*) для x = 0(.001) 0.11 (.01) 25.1, 12—18£>.
J„(x) для л при 0^Ж135, х = 0.01 (.01H.05, 0.1 (.1H.5, 1, 2, 10A0M0, 100,
10—103D. /±1Я!(х), /±1/г (х) для х = 0(.01) 10(.1J0A) 100, 9—12£>.
[39] Cambi E., Eleven- and fifteen-place tables of Bessel functions of the first kind, to
all significant orders, New York, 1948. J„(x) для x = 0(.01)_10.5, 11D; x = 0(.001) 0.5,
15D. Включены все /„, которые >0.5-10~" соотз. > 10~15. Коэффициенты
разложения в ряд Тейлора Jn(x-\-h) и разложения Jn(x-\-h) no функциям Бесселя
Jk СО-
f40] Goodwin Е. Т. and St a ton J., Table of /„(/„ „ r), Quart. J Mech. Appl.
Math. 1 A948), 220—224. J0(i„iS x) для s=l(lI0, x'=0(.01)l, 5£>.
D1] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series I: Tables of the Bessel
functions Y?(x), V, (x), K„(x), /C, (x), O^x^l. Washington, 1948. Reissued as
NBS, Applied Mathematics Series 25, Washington, 1952. N0(x), Л/, (х) для
x = 0(.0001) 0.05(.001) 1, 8D или 8—9S; вспомогательные таблицы для х =
= 0 (.0001) 0.005, 8£>. K0(x), Кг(х) для х = 0(.0001) 0.033 (.001) 1, 8£> или 8—9S;
вспомогательные таблицы для х = 0(.001) 0 03, 8D.
[42] National Bureau of Standards, Mathematical Tables Project [MT 14]: Table of
the Bessel functions J„(z) and /, (z) for complex arguments, 2nd ed., New
York, 1947. Действительная и мнимая части Jt(rei<f), /, (re'f) для г = 0(.01) 10,
Ф = 0оE°)90°, 10£».
D3] National Bureau of Standards, Computation Laboratory: Table of the Bessel functions
Y0 (z) and Y1 (г) for complex arguments, New York, 1950. Действительная и мнимая
части Nn(re'% N^re"*) для г = 0(.01I0, ф = 0° E°) 90°, 10D. Вспомогательные
таблицы для г = 0(.01) 0.5, 10D. Комплексные нули z0<s функции N„ z, s функции
Л/„ г, s функции К, для s= 1 A) 15, 5D; z„tS со значениями Л/, и N[ для s= 1 AK,
9D; zljS со значениями Л?0 = Л?, для s= 1AK, 9Z>; z\ s со значениями N0 и Л?,
для s=l AL, 9D.
|44] Tolke F., Besselsche und Hankelsche Zylinderfunktionen, Stuttgart, 1936.
Ja(r VT) и у НУ(г YT) для л = 0AK. r=0(.01J1, 4S.
D5] British Association Report, 1923. M„(r), Mt(r), в0 (r), 6,(r)—180° для r = 0(.l) 10,
6—5£> соотв. 0°.00001.
146] National Bureau of Standards, Computation Laboratory: Tables of Bessel functions
order I, II, New York, 1948—1949. I: /v(x) для v = — 3/4 и —2/3,
x = 0 (.001) 0.9 ^01) 25; v = —1/3 и —1/4, x = 0 (.001) 0.8 (.01) 25; v=l/4 и 1/3,
x = 0(.001H.6(.01J5; v = 2/3 и 3/4, x = 0 (.001) 0.5 (.01) 25; 10D. Вспомогательные
функции Ач(х), Bv(x) для x = 25(.l) 50AM00 A0) 5000A00I0 000B00K0 000, 10D.
Нули / s для s= 1AK0, 10D. II: /v(x) для v = —3/4 и —2/3, x = 0(.001) 1 (.01) 13;
v = —1/3 и —1/4, х = 0(.001H.8(.01I3; v=l/4 и 1/3, x = 0 (.001) 0.6 (.01) 25; v =
= 2/3 и 3/4, x = 0 (.001) 0.5 (.01) 25; 10£> или 10S. Вспомогательные функции е~*/„(х)
для х = 25(.1M0AM00A0M000A00) 10000B00K0000, 10D.
[47] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 37: Tables of functions and
the zeros of functions, Washington, 1954. Нули jv<s, см. [42]. Нули /v s для
v=±3/4, ±2/3, ± 1/3, ± 1/4, s=l(l)8, ID. Комплексные нули функций Na, ЛГ„
N[, см. [39].
[48] British Association Report, 1927. Нули /v , функций /v(x) для v = — 1 (.01) 1,
5£>. '
[49] British Association Report, 1928. dJ,(x)/dv для v= ± 1/2, ±3/2, x = 0(,iJ0,
6D. >

340
БИБЛИОГРАФИЯ
--I a)
[50] National Bureau of Standards, Computation Laboratory: Tables of spherical Bessel
functions, I, II, New York, 1946—1947. I: Vnl2xJv(x) для ±v = ^-(l)^,
x = 0(.01I0(.lJ5; ±х=Ц, x = 0(.01) 10(.05) 10.5(.l) 25; 8—10S для x<10,
7S для x>10. II: ]/"я/2*/,(*) для ± \=Щ d)y, x = 0 (.01) 10 (.1J5; ±v =
45 61
= -^A)— , x=-10(.lJ5; 8 —IDS для x«10, 7S для х>10. A,(*) для
^(l)y, * = 0(.1I0, 9£>; v=i-(l)y, x=10(.lJ5, большей частью
29 61
7S; —v="o" 0)-o-» x = 0(.lJ5, большей частью 7S. Нули /Vj^, /^ s функций /v(*)>
/v (x) с соответствующими значениями /v соотв. Jv для ± v=-=-AW , s=l(l)S,
где 1=»SS«S8, 6—10D.
[51] Crowder H. K. and Francis G. C, Tables of spherical Bessel functions and
ordinary Bessel functions of order half an odd integer of the first and second kinds,
Ballistic Research Laboratories, Mem. Report 1027, Aberdeen Proving Ground, Mary-
1
land, 1956. Vn]2xJ^x), VH(UN,(x), /„(x), ЛГ„(х) для x = l(lM0 (v=n + j ,
n=0(l)m Ггде N^(x)<WB<Nll+1(x) для fi=irt + i-|, 9£> для n < x, 7S для
n^sx.
[52] Royal Society Mathematical Tables Committee: Short table of Bessel functions
/ , (x), К , (x), Cambridge, 1952. x-"I^(x), B1я)х*К,{х) для v=n+JL n = 0(lI0,
m— in— 2
x = 0(.lM; e-*/„(*), B(я)ехК,(х) для v = n-f-y, n = 0(lI0, х=5(.П10;
большей частью 8S.
[53] National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series 28: Tables of Bessel —
Clifford functions of orders zero and one, Washington, 1953. x ~" *J„ B У^х~)г
x-nl2NnB\rx') для_ л = 0, 1, x=0(.02I.5@.5K(.lI3(.2) 45 (.5) 115 A) 410,
8—9£>. rs'!/„Bfx), x-n^K„B Vx) для n = 0, 1, x = 0(.02) 1.5 (.05) F.2), 6—W.
е~2У1Гх-п1ЧпB V~x~),e2V Xx-""K„B V~x~) с 8—9 десятичными знаками для
n=0, 1, х = 6.2(.1I3BK6(.5) 115AI60EL10.
[54] British Association Report, 1924. — Ея (х) для n = 0, 1, x = 0(.02)I6, 6D.
XIV. ФУНКЦИИ МАТЬЕ
Руководства
[1] КупрадзеВ. Д., О функциях Матье—Ханкеля, Изд-во АН СССР. 1933.
[2J Мак-Лахлан Н., Теория и приложения функций Матье, ИЛ, 1953.
[3] Смирнов В. И., см. V, [7]
[4] Стрэтт М. Д. О., Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике,
Харьков—Киев, 1935.
[5] Уиттекер Э. Т. и Ватсои Дж. Н., см. VII, ]4].
[6] Me ix пег 1. und Schafke F. W., Mathieusche Funktionen und Spharoidfunkti-
onen mit Anwendungen auf physikalische und technisclie Probleme. Berlin — Gottin-
gen — Heidelberg, 1954.
Таблицы
[7] Goldstein S., Mathieu functions, Trans. Cambridge Philos. Soc. 23 A927),
303—336. Собственные значения a0, p,, a,, рг, аг и коэффициенты Фурье се„, se,,
се„ se2, се, для <7 = 0.1 (.1) 1 (.2LAME) 30A0L0B0) 100E0J00, 5£>.
In се Е. L., Tables of the elliptic-cylinder functions, Proc. Roy. Soc. Edinburgh 52
[8] A932), 355—423, 424—433. С использованием обозначения а = 4а, 6=8*7 таблицы
дают: собственные значения а„ — 4а„, л = 0AM; Ь„ = 4р„, л=1 AN и коэффициенты
Фурье для соответствующих функций се„, se„ для в=8<7=0 A) 10BJ0D) 40, 7D.

БИБЛИОГРАФИЯ
341
се„(х, q), л=-0AM; se„ (х, q), л=1AN для в = 89=1 A) 10, х = 0° A°)90°, 5£>.
Нули функции се„, я=2AM, sen, л = 3AN и экстремальные значения функций
се„, л=1AM, se„, л=2AN при 0 < х < я/2 для 6=8^ = 0AI0BJ0DL0
в 0°.0001.
[9] Hidaka К., Tables for computing the Mathieu functions of odd order se, (x, в),
се, (x, в), se3 (x, в), , se7 (x, в) and се, (х, в) and their derivatives, Mem. Imp.
Marine Obs 6, № 2 A936), 137—157. Собственные значения b„=4p„, a„ = 4a„,
л=1 BO, и коэффициенты Фурье для соответствующих функций и нх производных
для в = 8<7 = 0 (.1J.3, 7£>
[10] National Bureau of Standards, Computation Laboratory: Tables relating to Mathieu
functions, New York, 1951. С использованием обозначения s=32<7, ft=4a+-^-
для коэффициентов дифференциального уравнения Матье, ber——s—4ar,
Ьог—— 5=4рлдля собственных значений nSer(s, х)=-т-сег(х, q),Sor(s, x) = — se^(x, q)
для нормированных в соответствии с Ser(s, 0) = 1, [dSor(s, x)ldx]x_„~l
периодических функций Матье таблицы дают. ber(s), /- = 0AI5; bor(s), r=l(lI5 для
области 0=^s=^100 с табличными шагами между 0.2 и 10 в 8D. Коэффициенты
Фурье соответствующих функций Se^s, x), Sor(s, x), которые позволяют составить
ряды Ф>рье в области 0^s=s:100 с точностью 9—10D. Нормирующие множители
А, В и соответствующие множители для вычисления видоизмененных функций
Матье.
[11] Blanch G. and Rhodes I., Table of characteristic values of Mathieu's equation
for large values of the parameter, J. Washington Acad. Sci. 45 A955), 166—196
Вдополнешек [10] таблица дает Ber(/) = ber(s) — Br+ \)jt, Bor(t)=^bor(s) — Br— \)jt
для r = 0(l) 15 и s=l/*2> 100. Табличный шаг для аргумента t выбран так, что
возможно получать значения с точностью в 8£>.
XV. КОНФЛЮЭНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Руководства
[I] Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., ПетьоГ., Фогель Т., Функции
математической физики, Физматгиз, 1963 ,
B] К р атцер А. и Ф р а н ц В., см. V, [3].
[3] Кузнецов Д. С , см. V, [4].
[4] Лебедев Н. Н., см V, [6].
[5] Сан со не Д., Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. I, ИЛ, 1953.
[6] Смирнов В. И., см. V, [7].
[7] Трикоми Ф, Дифференциальные уравнения, ИЛ, 1962.
[8] Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н., см. VII, [4].
[9] Buchholz H., Die konfluente hypergeometrische Funktion rait Berucksichtigung
lhrer Anwendungen, Berlin —Gottingen — Heidelberg, 1953.
[10] Slater L. J., Confluent hypergeometnc functions, Cambridge, 1960.
[II] Tricomi F., Fonctions hypergeometriques confluentes, Paris, 1960.
[12] Appell P., Kampe de Feriet J., Fonctions hypergeometriques et hypersphe-
riques; polynomes d'Hermite, Paris, 1926.
Таблицы
[13] British Association Report, 1926. 1926: M (а, у, х) для у=± 1/2, ± 3/2,
a=—4(.5L, x = 0 (.1) 1 (.2) 3 (.5) 8, 5£> или 6—7S. 1927: M (a, v, x) для
Y=±l/2, ±3/2, a = —4(.5L, x = 0@2H.08, 0.15(.l) 0.95, 1. 1 (.2) 1.9, 5D
или 6S; и для y=1AL, a=—4(.5L. x = 0(.02H 1(.05I(.1JBK(.5)8, 5D
или 6—7S.
[14] С о n о 1 1 у В. W., A short table of the confluent hypergeometnc function M (a, y, x).
Quart. J. Mech. Appl. Math. 2A950), 236—240. M (а, у, х) для v = 0.2 (.2) 1,
a=— 1 (.2) 1, x = 0.1, 0 2(.2) 1, 11D.
[15] Slater L. J., On the evaluation of the confluent hypergeometnc function, Proc.
Cambridge Philos. Soc. 49 A953), 612—622. M (a, v, x) для v = 0.1 (-1) 1. a = —1 (.1) 1,
x=l(lI0, 8S.
[16]Nath P, Confluent hypergeometric function, Sankhya 11 A951), 153—166.
M (а, у. x) для y=3, о = 1 A) 40 и Y = 4, a= 1 A) 50, x = 0.02 (.02) 0.1 (.1) 1 A) 10A0) 50,
100, 200, 7S.

342
БИБЛИОГРАФИЯ
[171 Rushton S. and Lang E. D., Tables of the confluent hypergeometnc function,
Sankhya 13 A954), 377—411. M (а, у, x) для у=0.5 (.5) 3.5, 4.5, a—целое и
половина целого из 0<;а<;25 до 0<;а<;50 с табличным шагом 0.5 или 1, х как и в [14].
[18J Gran Olsson R., Tabellen der konfluenten hypergeometrischen Funktion erster
und zweiter Art, Ingenieur-Arch. 8 A937), 99—103. M (a, y, kg") для я = 2, 4,
частные значения а между —0.675 и 1.65, частные значения у между 0.5 и 3.
k = — 2(.5J, Q = 0(.l) 1, AD.
[19] Gran Olsson R., Uber einige Losungen des Problems der rotierenden Scheibe,
II, lngenieur. Arch. 8 A937), 373—380. MA.3, 3, x), M @.65, 2, x), M @.325, 1.5, x),
X-4*M(— 0.175, 0.5, x) для x = 0.02(.02H.1 (.05) 1(.П2.5, AD.
[20] Chap pel G. E., The properties of a new orthogonal function associated with the
confluent hypergeometric function, Proc. Edinburgh Math. Soc. 43 A925), 117—130.
M(a, y, x) для y=1. a=l/2—k, £=1AI0, fat = 0.1 (.1) 10, kx = 0.l (A) 1.5,
2A) 10, AD.
[21] Low an A. N. and Horenstein W., On the function H (m, a, x) = exp (— ix) F (m +
+ 1— ia, 2m + 2; 2ix), J. Math. Physics 21 A942), 264—283. Reprint in NBS,
Applied Mathematical Series 37, Washington, 1954. H (m, a, x)=e IX M (m+l — ia,
2m + 2, 2ix) и dH (m, a, x)\dx для а = 0A) 10, m = 0(lK, x = 0(l) 10, 7S.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда гиперболическая amph х 33
— Якоби am (u, k) 120
Ангера функции J„(z) 287
неполные 288
Бернулли числа Вп 15, 53, 57, 60
Бесселя интегральное представление 221,
287
Бесселя функции 178, 317
— —, асимптотические разложения 222
— — второго рода см Неймана функции
мнимого аргумента /„ (г) 247
модифицированные 247
, нули 229
первого рода J4 (г) 181
, порядок (параметр, индекс) 178
, теоремы сложения и умножения
244, 245
• третьего рода см Ганкеля функции
— —, формулы дифференцирования и ин-
тегрировчния 244, 245
Бэта-функии i В (z, w) 55
Ватсона формула 227
Вебера функции Еч (г) 287
неполные 288
Вейерштрассл эллиптические функции f^u,
£u, ou 127, 128
Гамма-функции Г (г), П (г), г" 49, 52
, логарифмическая выпуклость 49, 57
, ло! арифмическая производная гЬ (г),
W(z) 49, 56, 316
неполные Г (а, г), у (а, г), Р (а, г),
Q(a, г), (а—1, гI 60, Ь2, 70, 71, 317
, формулы дополнения и умножения
54, 55
Ганкеля контурный интеграл 52
— разложение асимптотическое 222
— функции Н^(г), Я^>(г) 70, 189
модифицированные К„(г) 247
Гармоники сферические 178
Гейне интегральное представление 164
Гиперболические функции sh х, ch x, th x,
cthx 30
— — комплексного аргумента 36
обратные Arsh x, Arch x, Arth x 30
— —, связь с показательной и
логарифмической функциями 32
, формулы дифференцирования и
интегрирования 32
— —, формулы сложения 31
Гипергеометрическая вырожденная
функция Ф (а, с, г) 308
Гипергеометрические конфлюэнтные
функции Ф(а с, г), ¥ (а, с, г), М_ „(z),
Wx y (г) 308 *
Гипергеометрическое уравнение 119
— — вырожденное 308
Гидерманиан gd x 33
Дебая ряды 224
— функции 326
Зоммерфельда интегральное представление
222
Интеграл вероятности см. Интеграл
ошибок
—, главное значение в смысле Коши 63
— ошибок Ф(г), Ф(-), Erf(x), Erfc(t),
Erfi(x), 6(x), H(x) a(x) 60, 70, 72, 82
, обобщение Е„ (г) 71
, производные Фч+1(х), ф(*) 71, 72
— эллиптический сад. Эллиптический
интеграл
Интегральная показательная функция
Ei (г), Ei(— х), Ei-^x), Ei* (г), Ei (г)
60, 62, 67
Интегральный гиперболический косинус
chi(z) 67
синус shi(z) 67
— косинус ci (г) О (г) 60, 65
— логарифм 11(г), Li (x) 60, 63, 67
— синус si (z), Si (г) 60, 65
Интерполяция квадратичная 13
— линейная 13
Каталана постоянная G 16, 116
Кельвина функции berv(z), beiv(z), her„(z),
hei,(z), ker,(z), kei,(z) 264
Клотоида 83
Конфлюэнтное дифференциальное
уравнение 308, 315—317
Куммера формула 315
— функция Ф (а, с, z), M (а, с; г) 308
Лагерра полиномы L^(г), 1а(х) 147, 151,
317
Лангера формула 227
Ланжевена функция L (х) 320

344
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лапласа интегральное представление 163
Лежандра соотношение 116
— функции второго рода Qn(z), £i(z) 159,
160
, индексы 158
нормированные 166
первого рода Р„(г), $(г) 158, 159
, порядок 159
присоединенные 1-го и 2-го рода
Я? (г), Q?(z), $?(г), QJ (г) 159, 162,
163
, степень 159
, теорема сложения 165
Ломмеля — Вебера функция Q, (г) 287
Макдональда функция Кч(г) 247
Матье дифференциальное уравнение 298,
306
— функции ce„(z, q), se„(z, q) 298
нормированные 301
— — присоединенные Ce„(z), Sen(z) 307
Меллера интегральное представление 163,
221
Неймана интегральное представление 163
— функции N, (?) 184
Никольсона формулы 227
Плайка уравнение 318
— функция излучения 318
Планка — Эйнштейна функции 322, 323
±Х ± ~Х
Показательные функции е , е 2 32,34
Постоянная циклическая 62
Постоянные я, е и т д 15
Похгаммера функция Ф (а, с; г) 308
Пуассона интегральное представление 221,
288
Разности 1-го порядка 13
— 2-го порядка 6гц0 13
видоизмененные 82(/0 14
Римана дзета-функция Z, (г) 88
Соиииа интегральное представление 221,
222
Спираль Корию 83
— sici 66
Стирлинга формула 53
Струве функция H„(z) 288
Сферические функции см. Лежандра
функции
Тригонометрические функции 24, 29
комплексного аргумента smz, cos г,
tgz, arcsinz, arctgz 36, 39, 40, 43
Тэта-функции ©„(а, к) 130
Уиттекера функция Wyt;h(z) 317
Уравнения элементарные трансцендентные
24, 35
Френеля интегралы С (г), S (z) 60, 82, 87
Функции параболического цилиндра
О, (г). Т„(г).Фв(г) 153,317
— распространения тепла от источников
326
— цилиндрические см. Бесселя функции
— эллиптического цилиндра см. Матье
функции
Чебышева ортогональные полиномы 1-го
и 2-го рода Тп(г), Un(z) 144
Числа комплексные 16, 18, 20, 21
Эверетта—Лапласа формула 14
Эйлера интегралы 1-го и 2-го рода 52, 55
— постоянные с, у 15, 52, 57, 63, 184, 249
— числа Еп 16
Эллиптическая функция 120
~ модулярная 133
Эллиптический интеграл 94
, дополнительный модуль 95
, модуль 95, 133
неполный 1-го, 2-го или 3-го рода
в нормальной форме Лежандра D (ф, k),
F (ф, k), Е (ф, k), П (ф, п, k) 95, 99
— —, нормальная форма Вейерштрасса
127
, параметр 95
полный в нормальной форме К (k),
E(k), D(A), В (А), С (А) 96, 109, 114, 133
, приведение к нормальной форме 96
Эрмита полиномы Я„(г), ф„(г) 151, 153
Якоби дзета-функция zn (u, k) 127, 134
— эллиптические функции sn (u,k),cn (u,k),
dn(u, k) 122, 134