Author: Шабунин М.И. Прокофьев А.А. Олейников Т.А. Соколова Т.В
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике математический анализ алгебра
ISBN: 978-5-94774-455-2
Year: 2010
Similar
Text
М.И. Шабунин
А. А. Прокофьев
Т.А. Олейник
Т. В. Соколова
Методическое пособие
МАТЕМАТИКА
Алгебра
Начала математического анализа
^ИЗДАТЕЛЬСТВО
М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев,
Т. А. Олейник, Т. В. Соколова
МАТЕМАТИКА
Алгебра
Начала математического анализа
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Методическое пособие
для 11 класса
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний
2010
УДК 373.167.1:51(072)
ББК 22.1я721.6
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12 Математика. Алгебра. Начала математического анализа.
Профильный уровень : методическое пособие для 11 класса /
М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соко-
лова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 360 с. :
ил.
ISBN 978-5-94774-455-2
Методическое пособие для 11 класса является частью учебно-методическо-
го комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики.
Представлены разделы: тригонометрические, показательная и логарифми-
ческая функции, производная и ее применение, элементы комбинаторики
и теории вероятностей.
Главы методического пособия соответствуют главам учебника. В каждой
из них содержатся краткие теоретические сведения, примеры с решениями,
методические комментарии и дидактические материалы.
Для учителей, работающих в классах физико-математического и есте-
ственно-научных профилей.
УДК 373.167.1:51(072)
ББК 22.1я721.6
Учебное издание
Шабунин Михаил Иванович
Прокофьев Александр Александрович
Олейник Татьяна Анатольевна
Соколова Татьяна Владимировна
МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА.
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Методическое пособие для 11 класса
Ведущий редактор М. Стригунова
Художник Н. Новак
Технический редактор Е. Денюкова. Корректор Н. Ектова.
Оригинал-макет подготовлен О. Лапко в пакете ИТеХ2£
Подписано в печать 08.06.10. Формат 60x90/16.
Усл. печ. л. 22,5. Тираж 300 экз. Заказ 1366.
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499) 157-5272, e-mail: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru
Отпечатано в ООО ПФ «Полиграфист»,
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
ISBN 978-5-94774-455-2
© БИНОМ. Лаборатория знаний,
2010
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое читателям пособие содержит методические реко-
мендации и дидактические материалы к учебнику для 11 класса
«Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профиль-
ный уровень» М. И Шабунина и А. А. Прокофьева и предназначено
для преподавания в одиннадцатых классах школ с углубленным
изучением математики в объеме 6 часов в неделю. В конце пособия
приведено примерное поурочное планирование учебного материала.
Последовательность изложения материала полностью соответ-
ствует содержанию глав учебника с XI по XXI. Каждый параграф
содержит краткое изложение теоретических сведений и разбор
большого количества примеров, отражающих применение основ-
ных методов решения. Большое внимание уделено геометрическим
иллюстрациям и графическим методам решения алгебраических
задач. В каждом параграфе приводится разбор задач с параметрами
на соответствующую тему. Начало решения примеров отмечено
знаком А, окончание — знаком А.
Каждая глава завершается набором дидактических материалов,
которые включают самостоятельные и контрольные работы. В неко-
торые главы пособия включены домашние контрольные работы.
Самостоятельные работы рассчитаны на часть урока, и авторы
предлагают учителю определять время их выполнения в зависимости
от уровня подготовки учащихся. Время на выполнение контрольной
работы (один или два урока) указаны для каждой работы. В каждом
наборе контрольных работ представлены варианты двух уровней
сложности, что позволит учителю дифференцированно подходить
к проверке усвоения материала. Варианты повышенного уровня
сложности помечены знаком *. Домашние контрольные работы
содержат более трудоемкие задания и рассчитаны на выполнение
в течение 10-14 дней.
Авторы не предлагают схему оценивания контрольных работ
и домашних заданий. Учитель может самостоятельно установить
критерии оценивания в зависимости от уровня подготовки учащихся.
4
Предисловие
Задачи, аналогичные предлагающимся в самостоятельных, кон-
трольных работах и в домашних заданиях, разобраны в основном
тексте пособия. Часть примеров и задач взята из вариантов вы-
пускных экзаменов для классов с углубленным изучением предмета
и вариантов вступительных испытаний в вузы, предъявляющие
повышенные требования к математической подготовке поступающих
(МФТИ, МГУ, СИГУ, НГУ, МВТУ, МИЭТ и др.), что является
весьма актуальным при переходе на новую структуру вариантов ЕГЭ.
В пособии использованы материалы, разработанные авторами для
проведения занятий по индивидуальным учебным планам в физико-
математическом лицее № 1557 и классах с углубленным изучением
математики средней школы № 853 г. Москвы.
В приложение включен материал, который будет полезен при
работе с учащимися в период итогового повторения при подготовке
к сдаче итоговой аттестации в форме ЕГЭ, Он содержит методические
указания к решению задач глав XXII и XXIII задачника для 10-
11 классов. Эти главы задачника содержат задачи обобщающего
характера (в частности, задачи с параметрами, текстовые задачи
и др.), а непосредственно последняя глава содержит избранные задачи
уровней В и С из вариантов прошлых лет.
Пособие предназначено в основном для учителей, но может
быть использовано и школьниками, желающими самостоятельно
расширить и углубить свои знания по математике.
Глава XI
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
В данной главе последовательно изучаются следующие тригоно-
метрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс, аркси-
нус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Систему упражнений
составляют задачи, решение которых основано на установлении
и использовании основных свойств этих функций. В первую очередь
речь идет о поиске области определения и множества значений
сложных функций, построенных с участием тригонометрических,
об исследовании этих функций на четность и периодичность,
об отыскании их нулей, а также об определении промежутков
знакопостоянства и монотонности.
Важное место в системе упражнений отводится задачам на отыс-
кание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном
промежутке и на оценку и сравнение значений функции при различ-
ных значениях аргумента. Особое внимание уделяется построению
путем геометрических преобразований графиков сложных тригоно-
метрических функций, «чтению» полученных графиков и, наконец,
функционально-графическому решению уравнений и неравенств.
Следует обратить внимание учащихся на то, что сложные
функции, построенные с участием тригонометрических, в боль-
шинстве случаев — периодические, и это обстоятельство позволяет
существенно упростить изучение их свойств и построение графиков.
Периодическую функцию можно вначале изучить на периоде и затем
распространить выводы, касающиеся ее свойств, на всю область опре-
деления. Аналогичный подход удобно использовать и при построении
графиков периодических функций: вначале построить часть графика
на отрезке, длина которого совпадает с одним из периодов Т функции,
и затем дополнить построенную часть участками, полученными ее
параллельным переносом вдоль оси Ох влево и вправо на Т, 2Т,
ЗТ и т. д.
При изучении обратных тригонометрических функций следует
уделить достаточное внимание их графикам, и, в частности, акцен-
6
Глава XI. Тригонометрические функции
тировать внимание учащихся на взаимном расположении графиков
прямых и обратных тригонометрических функций.
Нужно стремиться к тому, чтобы построение графиков сложных
функций воспринималось учащимися как средство, помогающее
установить свойства этих функций, а также найти решения уравнений
и неравенств. При этом учащиеся должны усвоить, что ссылка на
график не всегда является достаточным основанием для выводов,
в некоторых случаях графическая иллюстрация должна быть допол-
нена аналитическими рассуждениями.
§1. ФУНКЦИИ СИНУС И КОСИНУС
Основные свойства функции у = sin х:
1) область определения R;
2) множество значений [—!;!];
3) нечетная;
4) периодическая с периодом 2л;
5) обращается в ноль при х = пп, принимает положительные значения
на промежутках (2л/г; л 4-2л/г), п е Z, и отрицательные значения на
промежутках (л + 2 л/г; 2 л 4- 2кп), п G Z;
6) возрастает на отрезках [—л/2 4-2 л/г; л/2 4-2л/г], п G Z, убывает на
отрезках [л/2 4-2л/г; Зл/2 4-2л/г], п е Z;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на R;
9) принимает наименьшее значение у = — 1 при х = — л/2 + 2л/г, п G Z,
и наибольшее значение у — 1 при х — л/2 + 2л/г, п G Z;
10) экстремумы функции: х = —л/2 4- 2л/г, п G Z, — точки минимума,
х = л/2 + 2л/г, пбй, —точки максимума.
На рис. 1 представлен эскиз графика функции у = sin х.
Основные свойства функции у = cos х:
1) область определения R;
2) множество значений [ — 1; 1];
3) четная;
4) периодическая с периодом 2л;
5) обращается в ноль при х = K.f2 4- л/г, п G Z, принимает положительные
значения на промежутках (—л/2 4-2л/г; л/2 4-2л/г), neZ, и отрицатель-
ные значения на промежутках (л/2 4- 2кп\ Зл/2 4- 2л/г), п G Z;
6) возрастает на отрезках [—л 4-2л/г; 2л/г], п G Z, убывает на отрезках
[2л/г; л 4- 2л/г], /г G Z;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на R;
9) принимает наименьшее значение у = — 1 при х = л 4- 2л/г, п g Z,
и наибольшее значение у = 1 при х = 2тт, ntl',
10) экстремумы функции: х = л4-2л/г, n G Z, — точки минимума, х — 2кп,
п G Z, — точки максимума.
§1. Функции синус и косинус
7
На рис. 2 представлен эскиз графика функции t/ = cosx.
Рассмотрим задачи, решение которых основано на использовании основных
свойств функций t/ = cosx и t/ = sinx.
Область определения и множество значений
Пример 1. Найти область определения и множество значений
функции /(%) = ^(cosx - l)(cosx + 1).
Л Выражение у/(cos % — 1) (cos % + 1) определено, если (cos % — 1)х
к (cos % + 1) 0, или — sin2x^0, sinx = 0. Значит, область опреде-
ления функции /(%) можно задать формулой х = nk, kEh.
При каждом целом k имеем /(д/г) = х/— sin2 д/г = 0, следовательно,
множество значений /(х) состоит из одного числа —нуля.
Ответ. D(J) = {ilk \k е Z}, £(/) = {0} • А
В разобранном примере область определения функции дискретна,
что, вообще говоря, нетипично для сложных тригонометрических
функций. То обстоятельство, что все значения х, входящие в область
определения данной функции, находятся по формуле, позволило
нам найти множество ее значений непосредственным вычислением.
В большинстве случаев приходится действовать иначе.
Ранее, в рамках изучения темы «Тригонометрические формулы»
(гл. V «Методического пособия для 10-го класса»), обсуждалась
проблема поиска наибольшего и наименьшего значений тригоно-
метрических выражений. В частности, были рассмотрены некоторые
приемы решения этой проблемы для квадратных трехчленов синуса
8
Глава XI. Тригонометрические функции
(косинуса) одного угла и двучленов вида a sin а + b cos а. Эти же
приемы будем использовать для отыскания множества значений
сложных тригонометрических функций.
Пример 2. Найти множество значений функции
/(%) = 8 sin2 4х + 5 sin 8%.
А Представим функцию в более удобном для анализа виде:
/(х) = 8 sin2 4х + 5 sin 8х =
= 4 — 4 cos 8х + 5 sin 8% =
= 4 + У52 + 42 •
5 4
—= sin 8%-----= cos 8%
Vaa Vai
= 4 + л/41 • (cos ср sin 8% - sin ср cos 8%) =
- 4 + a/41 • sin (8% - (p)
(здесь <p = arcsin -%=).
v41
Так как sin (8% — (p) принимает все значения из отрезка [ — 1; 1],
то 4 + л/44 • sin (8% — ср) принимает все значения из отрезка
[4 — x/4l; 4 + л/41] -
Ответ. [4 — л/44;4 + а/4Т]. А
Пример 3. Найти множество значений функции
/(%) = 2 cos х + cos 2х.
А Запишем /(%) в виде /(%) = 2 cosx + 2 cos2 х — 1
и положим t = cos %. Так как функция /(%)
определена на всей числовой оси, то переменная
t = cosx принимает все значения из отрезка
[—1;1]. Следовательно, множество значений
функции /(%) = 2cosx + cos2x совпадает с мно-
жеством значений функции g(t) = 2t2 + 2t - 1
на отрезке [ —1;1]. С геометрической точки
зрения значения функции —это ординаты точек
ее графика. Графиком квадратичной функции
g(t) является парабола с вершиной в точке
(—0,5;—1,5) и ветвями, направленными вверх
(рис. 3), проходящая через точки (—1;-1), (1;3). По рисунку
заключаем, что множество значений g(t) на отрезке [ —1;1] есть
отрезок [—1,5;3]. Тот же отрезок является множеством значений
исходной функции /(%) = 2 cosx + cos 2%.
Ответ. [—1,5;3]. А
§1. Функции синус и косинус
9
Пример 4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
/(х) = sin8 х + cos8 х.
1\ Преобразуем выражение cos8x + sin8x, используя метод выделения
полного квадрата:
• Я Я / . 4 4 \ 2 п . 4 4
sin х + COS X = (sin х + cos x) — 2 sin X COS X =
/, \2 A2 i
= । f sin2 x + cos2 x ) — 2 sin2 x cos2 x ] — sin4 2x =
\\ / /8
— fl — - sin2 2x\ 2 — - sin4 2x =
\ 2 /8
= - sin4 2x — sin2 2x + 1.
8
Положим ^ = sin22x и рассмотрим функцию g(t) = p2-^+l. Так
как функция /(х) определена при любом действительном значении х,
то Е (sin2 2х) = [0;1]. Следовательно, наибольшее (наименьшее)
шачение функции /(х) = | sin4 2х — sin2 2х + 1 совпадает с наибольшим
(наименьшим) значением функции g(t)~ ^t2 — ^+1 на отрезке [0; 1].
На отрезке [0; 1] функция g(t) = - 4)2 - 1 убывает, и, значит,
8
своего наибольшего значения достигает на левом, а наименьшего —
па правом конце этого отрезка. Эти значения равны соответственно
/'(0) = 1 и g(l) =
Ответ. Наибольшее значение равно 1, а наименьшее равно |. ▲
8
Замечание. Наибольшее значение функции /(х) = sin8 х + cos8 х можно
ыкже найти путем оценивания ее значений. Заметим, что
•an x = sin x-sin x^l-sin x = sin X, cos x = cos x-cos x^l-cos X = COS X.
Следовательно, sin8x + cos8x sin2x + cos2 x = 1. Кроме того,
ап8 0 + cos8 0 = 1, т. e. существует такое значение х, при котором значение
функции равно 1. Значит, наибольшее значение функции /(х) = sin8 х + cos8 х
равно 1.
Использованный прием не является универсальным. В этом примере
найденная верхняя граница функции /(х) оказалась достижимой. Столь же
удачно оценить значения функции снизу, без предварительного преобразования
О о
выражения sin х + cos х, не удается.
10 Глава XI. Тригонометрические функции
Четность и нечетность
Функция sin х — нечетная, cosx —четная, поэтому естественно
задаться вопросом, обладают ли свойством четности (нечетности)
сложные функции, образованные с их участием.
Напомним, что функция называется четной (нечетной), если ее область
определения симметрична относительно начала координат и для любого х из
области определения справедливо равенство /(—х) =/(х) (/(—х) = —/(х)).
Пример 5. Исследовать функцию /(х) = 2sinx—Г на четность
и нечетность.
А Функция определена при любых действительных значениях х, за
исключением х = (—l)rt^ + яп, следовательно, ее область определения
не симметрична относительно начала координат (например, х=^ не
принадлежит области определения, а симметричная ей относительно
начала координат точка х=-| принадлежит). Значит, функция не
является ни четной, ни нечетной.
Ответ, /(х) — функция общего вида. ▲
Пример 6. Исследовать функцию у (х) = sin (2 cos %) на четность
и нечетность.
А Областью определения данной функции является вся числовая
ось, и для любого х имеем y(-x) = sin(2cos(-x)) = sin(2cosx) = y(x).
Следовательно, функция является четной. ▲
Периодичность функции
Напомним, что функция f называется периодической, если существует
такое число Т>0, называемое периодом, что для каждого х G D(f) выполнены
следующие условия:
1) точки х + Т и х — Т принадлежат области определения функции;
2) /(х) = /(х+Т).
Функции sinx, cos х — периодические с периодом 2тг.
Пример 7. Доказать, что число 2д является периодом функции
/(x) = sinx + cos7x. Указать несколько других периодов этой функции.
А Чтобы доказать, что функция /(х) — периодическая, нужно ука-
зать такое положительное число Т, при котором выполняются оба
условия периодичности.
Так как функция /(х) определена на всей числовой оси, то
при любом х и любом Т > 0 числа х + Т и х — Т принадлежат
§1. Функции синус и косинус
и
области определения /(х). Кроме того, для любого действительного х
выполнены равенства
/(х + 2д) = sin(x + 2д) + cos (7(х + 2д)) =
= sin х + cos(7x + 14д) = sin х + cos 7х = /(х).
Следовательно, 2д —период функции. Периодами также являются
все числа вида 2jik, где k G N, в том числе 4д, 6д, 8д и т. д. ▲
Чтобы доказать, что функция не является периодической, доста-
точно показать, что либо первое, либо второе условие периодичности
не выполняется ни для одного положительного Т.
Пример 8. Является ли периодической функция /(х) = cos (\/х)?
Д Область определения данной функции определяется условием
х 0. Поэтому для любого Т > 0 число 0 — Т не принадлежит
области определения функции. Следовательно, функция не является
периодической. А
При установлении периодичности функций можно опираться на следующие
три утверждения:
1. Если функция /(%) периодическая с периодом Т, то при а^О функция
Т
f(ax + b) также периодическая и число — является ее периодом.
|а|
2. Если функция /(%) периодическая с периодом Т, то при 4^0 функция
4/(х) + В также периодическая с периодом Т.
3. Пусть Д — период функции g(x) и Т2 — период функции /г(х), причем
числа Т[ и ?2 соизмеримы, т. е. — = —, где п\ Е N, Е N. В этом
т2 п2
случае найдется такое число Tq > 0, что 7\ = п\ • Tq, Т% = п^- Tq. Если
существуют значения х, при которых функции g(x) и h(x) одновременно
определены, то функция /(%)=§(%) +/г(х) — периодическая, причем одним
из периодов функции /(%) является число Т = HOK(rci, Tq. При этом
Т = п\ • ^2 ‘ Tq, если дробь — несократима.
п2
Пример 9. Найти один из периодов функции /(х) = 4cos2 | + sin у.
Д Воспользовавшись формулой понижения степени, можем предста-
х Зх
вить функцию в виде /(х) = 2 + 2 cos - + sin Рассмотрим функции
g(x) = 2cos^ и /z(x) = siny. Они периодические с периодами Т[=8к
ггч 4л 7*1 _ 6 ггч £ 4тг rri _ 1 4тг
и /2 = у соответственно, причем — = 7} = о • —, 1% = 1 • -у.
о 7^2 1 □ □
Следовательно, согласно утверждению 3, число Т = НОК (6,1) • у = 8д
является периодом функции g(x) + /z(x), а значит, и периодом функции
/(х) = 2 + g(x) + h(x). ▲
12
Глава XI. Тригонометрические функции
Если функция периодическая, то наименьший из ее периодов (если он
существует) называется основным или главным периодом.
Основной период функций sinх и cosx равен 2тг.
Заметим, что в утверждении 3, которым мы воспользовались для нахождения
периода функции в примере 9, говорится, что число Т = НОК (я), пъ) • Tq является
одним из периодов функции /(х) (не обязательно основным). Может оказаться,
что функция /(х) = g(x) + А(х) имеет периоды, меньшие Т. Рассмотрим прием,
который используется для отыскания основного периода функции.
Пример 10. Найти основной период функции /(х) = sin
Л Если Г —период данной функции, то для всех х выполняется
равенство
. (х + Т) + к . х + к
sin -------= sin----,
6 6
т т
из которого при х = — к следует: sin - = 0, - = тиг, Т = бди, п Е Z.
Значит, период нужно искать среди чисел вида бтт, п Е N.
Вначале проверим, не является ли периодом наименьшее из
этих чисел, т. е. 6д. Если 6 д—период, то для любых х должно
. (х + бтт) + к . х +к л
выполняться равенство sin----------= sin —, откуда при х = О
получим sin у = sin что неверно. Следовательно, число 6д периодом
функции не является.
Следующее по величине из чисел вида бдя — это 12д. Так как
для любого х выполняются равенства
. (х + 12тт) + к . /х+тг1Г1\ . х + к
sin --------= sin ------+ 2д = sin------,
6 \ 6 / 6
то 12д —период, причем, как мы убедились, наименьший.
Ответ. 12д. ▲
Основной период существует не всегда. Покажем это на примере.
Пример И. Доказать, что функция /(х) = 2sin2x + cos2x пери-
одическая, и найти ее основной период.
А Для каждого действительного значения х справедливо равенство
2sin2х + cos2x = 1 — cos2x + cos2x = 1. Следовательно, функция /(х)
на множестве действительных чисел тождественно равна 1.
Имеем: 1) для любого действительного х и любого Т > 0 числа
х + Т и х - Т принадлежат области определения функции /(х)
и 2) /(х + Т) = 1 = /(х). Следовательно, функция /(х) является
периодической с периодом Т, где Т — любое положительное число.
Так как среди всех положительных чисел нет наименьшего, то /(х)
основного периода не имеет. А
§ 1. Функции синус и косинус 13
Пример 12. Доказать, что функция /(х) = 2 |sin 6х| периодическая,
и найти ее основной период.
Л Пусть Г —период данной функции, тогда для любого х
m ее области определения должно выполняться равенство
2 |sin 6 (х + Т)\ = 2|sin6x|. В частности при х = — Т получим:
О -2|sin 6Т\, sin6Т = 0, Т= nGZ. Следовательно, период функции
/(х) нужно искать среди чисел вида пбП, наименьшим из которых
является
6
Убедимся, что | — период данной функции. Действительно, так
как Я(/(х)) = К, то при любом х и любом Т > 0 числа х + Т и х — Т
принадлежат области определения /(х). Кроме того, для каждого
действительного х имеем:
2 |sin 6 (х + | = 2 |sin (6х + д)| = 21- sin 6х| = 2 |sin 6х|.
Значит, ^ — период, причем основой.
г\ л
Ответ. -. ▲
6
Пример 13. Доказать, что функция /(х) = sin 2х — |cosx| пери-
одическая, и найти ее основной период.
Л Пусть Г — период данной функции, тогда для всех х имеет место
равенство
sin (2 (х + Т)) — |cos (х + Т)\ = sin 2х — |cos х|.
В частности, при х = 0 и х = — Т соответственно имеем:
sin 2Т - |cos Т\ = -1, — 1 = - sin 27 - | cos Т\.
Складывая почленно уравнения этой системы, получим sin27" = 0,
г. е. Т=™, nEl. Таким образом, период нужно искать среди чисел
7ГГ7 _ т\т
вида — , п 6 N.
Проверим вначале, является ли периодом наименьшее из чисел
п gN, т.е. Если — период, то для любого х должно выполняться
равенство
sin ^2 (х + |cos (х + | = sin 2х — |cosх|.
14 Глава XI. Тригонометрические функции
В частности, из этого равенства при х = следует, что
sin — |cos ^| = sin — |cos ^|, а это неверно. Следовательно,
периодом не является.
Следующее по величине из чисел вида neN,- число я. Так
как для любого х равенство sin (2 (х + я)) — |cos (х + я)| = sin2x — |cosx
выполняется, делаем вывод, что я —искомый основной период
функции.
О т в е т. я. ▲
Нули и промежутки знакопостоянства функции
Пример 14. Найти нули и указать промежутки знакопостоянства
функции /(х) = \/3sinx — cosx.
А Функцию /(х) можно задать формулой /(х) = 2 sin (х — . Зна-
чит, ее нулями являются корни уравнения 2sin(x—^)=0, т. е.
х = J + Tin., л eZ.
Найдем промежутки знакопостоянства /(х):
1) /(*) > 0, если sin (х — > 0, отю
или £ + 2яп < х < + 2яп, п е Z;
6 6
2) /(х) < 0, если sin (х - ^ ) < 0, откуда -я + 2 ял < х - ^ < 2ял,
X 6 / 6
или — + 2яп < х < + 2яп, п G Z. ▲
6 6
J < я + 2яп,
6
Промежутки монотонности
Пример 15. Найти промежутки монотонности функции
/(х) = 3 — 4 cos2 2х.
А Функцию /(х) можно задать формулой /(х) = 1 — 2 cos4x. Функ-
ция cosx возрастает на промежутках — я + 2ял х 2ял, зна-
чит, cos4x возрастает на промежутках, определенных условиями
— я + 2яп 4х 2ял. Следовательно, функция 1 — 2cos4x убывает
Г 7Г . КП тгл! гт,
на каждом отрезке — 4 + "jp '
Функция cosx убывает на промежутках 2ял < х 2ял + я,
значит, cos4x убывает на промежутках, определенных условиями
§1. Функции синус и косинус 15
2яп 4х 2яп + я. Следовательно, функция 1 —2cos4x возрастает
Г 7ГП 7ГП Tri rz, *
на каждом отрезке + 4 А
Если исследуемая функция — периодическая, то поиск ее про-
межутков монотонности можно выполнить следующим образом:
вначале найти промежутки монотонности функции в пределах любого
отрезка, длина которого равна периоду функции, а затем, с учетом
периодичности, указать промежутки монотонности на всей числовой
оси.
Пример 16. Найти промежутки монотонности функции
/(х) = 2 |cosх| - cosx.
Л Функция /(x) = 2|cosx| — cosx периодическая, один из ее периодов
равен 2 л. Рассмотрим функцию на отрезке [О;2лг].
1. Если хе [О; , то |cosx| = cosx, /(х) = cosx, значит, на отрезке
^0; функция убывает.
2. Если xg [^;л], то |cosx| = - cosx, /(x) = -3cosx, и так как
на отрезке л] cosx убывает, то /(х) = — 3cosx на этом
отрезке возрастает.
3. Если хе [д; > т0 |cosx| = — cosx, /(х) = —3cosx, и так как
на отрезке [я; у] cosx возрастает, то /(х) = — 3cosx на этом
отрезке убывает.
4. Если хе [у; 2 л], то |cosx| = cosx и /(x) = cosx, значит, на
отрезке [у; 2 л] функция возрастает.
Учитывая периодичность функции /(х), получим: /(х) убывает
па отрезках [2ля; + 2ля], [л + 2лп; у + 2т и возрастает на
отрезках + 2ял; л + 2яя|, [у + 2лл;2л + 2тт , п ей. А
16 Глава XI. Тригонометрические функции
Графики сложных функций
Для построения графиков сложных тригонометрических функций
будем использовать метод геометрических преобразований.
Пример 17. Построить график функции у — — 4cos2 у.
Л Функцию можно задать формулой у = — 2 • (1 + cos 5%). Построим
ее график путем геометрических преобразований, действуя по схеме:
12 3 4
cos х ь-> cos 5х ь-> (1 + cos 5x) йэ 2•(1 + cos 5x) «—>—2(1 + cos 5x).
1. График функции сжимается в 5 раз вдоль оси Ох (абсцисса
каждой точки графика уменьшается по модулю в пять раз).
2. График поднимается на единицу вверх (ордината каждой точки
графика увеличивается на 1);
3. График растягивается в два раза вдоль оси Оу (ордината
каждой точки графика увеличивается по модулю в 2 раза);
4. График отражается относительно оси Ох.
У>
Зя л к л л Зя
10 5 10 0 10 5 10
Итоговый график представлен на
рис. 4. ▲
Чтобы построить график периоди-
ческой функции, можно действовать
следующим образом: вначале постро-
ить часть графика на отрезке, длина
которого совпадает с одним из пери-
одов Т функции, а затем перенести
построенную часть параллельно оси
Ох влево и вправо на 7, 27, 37, и т. д.
Пример 18. Построить график
функции у = sin |х| — |sin х|.
Рис. 4 д Данная функция определена на
всей числовой оси, причем для любого х выполняется равенство
у(-х) = у(х). Значит, функция у(х) — четная, а ее график симмет-
ричен относительно оси ординат. Поэтому можно вначале построить
часть графика у(х), лежащую справа от оси Оу, а затем дополнить
чертеж симметричным отражением этой части относительно оси Оу.
На промежутке [0;+оо) sin |х| - |sinx| = sinx — |sinx|, следова-
тельно, построение части графика t/(x) в правой полуплоскости сво-
дится к построению графика тождественно равной ей на промежутке
[0:+оо) функции /(х) = sinx — |sinх|. Функция Дх) — периодическая
с периодом 2д, поэтому, чтобы построить ее график на промежутке
(0;+оо), можно вначале построить график Дх) на отрезке [0;2я],
после чего периодически продолжить рисунок на всю правую полуось.
§1. Функции синус и косинус 17
Рис. 5
11а отрезке [0; лг] имеем |sin х| = sinх, поэтому/(х) = 0. На промежутке
(д; 2ти] имеем [sin х| = - sin х, поэтому /(х) = 2 sin х.
Таким образом, график функции у(х) строим поэтапно по
следующей схеме:
1. На отрезке [0; 2л:] строим график функции
( 0, х 6 [0; д],
[ 2sinx, х 6 (д; 2д].
2. Построенный график периодически продолжаем на весь про-
межуток [0;+оо).
3. Дополняем рисунок симметричным отражением построенного
на втором шаге графика относительно оси Оу.
Построенный таким образом график функции у(х) представлен
на рис. 5. А
Замечание. График сложной функции, построенный методом геометри-
чсских преобразований из графика sinх или cosx, может служить источником
информации о свойствах этой функции. С его помощью можно отвечать на
нонросы о множестве ее значений, в частности, наибольшем и наименьшем
иi.i'iciihhx, промежутках монотонности функции. С помощью графика функции
//(>) можно определять число решений уравнения у(х) = а на каком-либо
промежутке.
Пример 19. Сколько корней имеет уравнение sin |х| — |sin х| = а
па отрезке [-Зд/2; 4д], если а = — 3; -2; —0,5; 0; 1?
Л С геометрической точки зрения число корней уравнения
Ju |х| — |sinx| = а на отрезке [-Зд/2; 4д] равно числу точек
пересечения на этом отрезке графиков функций у = sin |х| - |sin х|
и у — а . Поэтому для ответа на вопрос достаточно на том же
рисунке, на котором построен график функции у = sin |х| — |sin х|,
провести прямые у - —3, у -= —2, у = —0,5, у = 0 и у = 1 и определить
число точек пересечения графика с каждой из этих прямых.
Имеем: если а = —3 и а = \, то уравнение корней не имеет; если
ч 2, то уравнение имеет 3 корня; если а = —0,5, то уравнение
имеет 5 корней; если а = 0, то уравнение имеет бесконечно много
|.орпей. А
18 Глава XI. Тригонометрические функции
Пример 20. Изобразить на плоскости хОу множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству у {у — cos х) 0.
Д Неравенство у (у — cosx) 0 выполняется в двух случаях:
1) И 2)
[ t/— cosx^O; [t/ —cosx^O.
Точки, координаты которых удовлетворяют первой системе, лежат
в верхней полуплоскости под графиком функции у —cosx. Точки,
координаты которых удовлетворяют второй системе, лежат в нижней
полуплоскости над графиком функции у = cosx.
множество заштриховано.
На рис. 6 искомое
Пример 21. Изобразить на плоскости хОу множество точек,
координаты которых удовлетворяют неравенству \у + 2| sin х.
Д Неравенство |у + 2| sin х равносильно системе
(у + 2 sinx,
[у + 2 - sinx.
Точки, координаты которых удовлетворяют первому неравенству,
лежат под графиком функции t/ = sinx —2. Точки, координаты которых
удовлетворяют второму неравенству, лежат над графиком функции
у — — sinx — 2. На рис. 7 искомое множество заштриховано. ▲
Рис. 7
§1. Функции синус и косинус 19
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств
и графиков функций
Пример 22. Решить уравнение 3 cos (2х — 4) = х2 - 4х + 7.
А Оценим левую и правую части уравнения: cos(2x —4) < 1,
3 cos (2х - 4) 3;
х2 - 4х + 7 = (х - 2)2 + 3 3.
Следовательно, равенство 3cos(2x —4) = х2 — 4х + 7 может быть
выполнено в том и только в том случае, когда одновременно
3cos(2x —4) = 3 и х2 — 4х + 7 = 3. Единственное значение, удо-
влетворяющее одновременно двум условиям, — х = 2.
Ответ. 2. ▲
Пример 23. Решить уравнение х + = cosx — \/3sinx - 2.
А Оценим левую и правую части уравнения.
1) p + fl^O.
2) cosx — \/3sinx — 2 = 2 sin
(£-х) - 2^0.
\ О /
Следовательно, равенство |х + ^| — cosx — \/3sinx - 2 может
быть выполнено в том и только в том случае, когда одновременно
|х+^|=0 и cosx-Узsinx-2-0. Первое условие выполняется
только при х = — Подстановкой убеждаемся, что при этом значении
х второе условие также выполняется. Следовательно, х = — —
решение исходного уравнения.
ГУ Я А
Ответ. ▲
Пример 24. Найти сумму наибольшего и наименьшего кор-
ней уравнения sin2 2х — 2 cos3 х = — 1, принадлежащих промежутку
Г 7Г . 7Г
L 2’ 2]’
А Пусть /(х) — sin2 2х — 2 cos3 х + 1, тогда уравнение запишется
в виде /(х) = 0.
Заметим, что /(0) — —1 < О, / — 1 > 0. Так как функция /(х)
непрерывна на отрезке рЭ; и принимает на его концах значения
разных знаков, то, согласно теореме о нулях непрерывной функции
(учебник для 10 класса, гл. IX, § 4), на отрезке [О; функция имеет
20 Глава XI. Тригонометрические функции
хотя бы один нуль. Это означает, что уравнение /(х) = 0 имеет на
отрезке [О; хотя бы один корень. Пусть xq — наибольший из
корней уравнения /(х) = 0 на отрезке [О;. Значит, хо является
наибольшим корнем этого уравнения и на отрезке • Поскольку
функция /(х) четная, то (—хо) также является корнем уравнения
/(х) = 0, причем, очевидно, наименьшим на Сумма этих
корней хо + (-хо) = 0.
Ответ. 0. ▲
§2. ФУНКЦИИ ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
Основные свойства функции у = tg х:
1) определена при х / л/2 + тт, neZ;
2) множество значений R;
3) нечетная;
4) периодическая с периодом л;
5) обращается в ноль при х = ли, п е Z, принимает положительные значения
на промежутках (ли; л/2 + ли), п е Z, и отрицательные значения на
промежутках (—л/2 + лп; ли), п е Z;
6) возрастает на промежутках (—л/2 + ля; л/2 + ля), п е Z;
7) не ограничена ни сверху, ни снизу;
8) непрерывна на промежутках (—л/2 + ли; л/2 + ли), neZ;
9) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
10) экстремумов не имеет.
На рис. 8 представлен эскиз графика функции y = tgx.
Рис. 8
§2. Функции тангенс и котангенс 21
Основные свойства функции y = ctgx:
1) определена при х кп, п GZ;
2) множество значений R;
3) нечетная;
4) периодическая с периодом тг;
5) обращается в ноль при х = к/2 + кп, nEZ, принимает положительные
значения на промежутках (ял; тг/2 + тгп), п е Z, и отрицательные
значения на промежутках (—тг/2 + кп\ кп), nEZ;
6) убывает на промежутках (кп-,к+кп), nEZ;
7) не ограничена ни сверху, ни снизу;
8) непрерывна на промежутках (кп-, д+ кп), nEZ;
9) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
10) экстремумов не имеет.
На рис. 9 представлен эскиз графика функции у = ctgx.
Рассмотрим задачи, решение которых основано на использовании
основных свойств функций y = igx и у = ctgx.
Область определения и множество значений функции
Пример 1. Найти область определения и множество значений
функции f(x) = (tgx — ctgx) • sin 2x.
Д Функция определена при всех действительных значениях х за
исключением х=-у, п G Z. Для всех х из области определения
f(x) = (tgx — ctgx) • sin 2x = —c-°- x • 2sinx • cosx — -2cos2x.
sinx cosx
Так какху^ф, то cos2xy^±l. Следовательно, множество значений
функции /(х) — интервал (—2; 2).
Ответ. D(fl = R\{^}(neZ), £(/) = (-2;2). А
22 Глава XI. Тригонометрические функции
Пример 2. Найти область определения и множество значений
функции /(х) = |ctgх| • sin 2х.
А Данная функция определена при всех действительных значениях
х за исключением х = тш, n G Z.
Если х G (лл; 7г/2 + тот], то ctg% > 0 и /(х) = 2cos2%. На
рассматриваемом множестве — 1<cosx<1 и, значит, функция Дх)
принимает значения из промежутка [0; 2).
Если х G [—тг/2 + тш\ кп), то ctgx 0 и Дх) = —2cos2x. На
рассматриваемом множестве — 1<cosx<1 и, значит, функция Дх)
принимает значения из промежутка (—2; 0].
Ответ. Z)(/) = R\{7rn}(neZ), Е(Д = (-2;2). А
Четность и нечетность
Пример 3. Исследовать функцию Дх) = ctg (х + на четность
и нечетность.
А Функция определена при любом х кроме х = тш — п G Z, т. е. ее
область определения не симметрична относительно начала координат.
Следовательно, /(х) — функция общего вида. А
Пример 4. Исследовать на четность и нечетность функцию
Дх) = ctgЗх • %/cosx + 2 • sin х.
А Функция определена при всех действительных х, за исключением
х = у, neZ. Значит, область определения функции симметрична от-
носительно начала координат. Для любого х из области определения
имеем ___________
Д-х) = ctg (-Зх) • у cos (—х) + 2 • sin (—х) =
= (— ctg3x) • \/cosx + 2 • (- sinx) = Дх)
Следовательно, функция является четной. А
Периодичность функции
Пример 5. Найти один из периодов функции Дх) = ctg3x + tg5x.
А Функции g(x) = ctg3x и /i(x) = tg5x определены на всей числовой
прямой за исключением точек х = ™ и х = я £ N,
соответственно. Один из периодов g(x) равен Т\ = ^, один из периодов
О
/;(х) равен Т‘2 = причем ~ Л — 5• = 3• 2L. Следовательно,
§2. Функции тангенс и котангенс 23
число Т= (5 • 3) = д является периодом функции /(х) = g(x) + /г(х).
Заметим, что любое число вида дп, где neN, также будет периодом
функции /(х). А
Пример 6. Доказать, что функция /(х) = 8 sin2 % • cos2 % + tgx
периодична, и найти ее основной период.
Д Данная функция определена при всех действительных х за
исключением x=^ + 7cn,neZ. Для любого х из области определения
8 sin2 х • cos2 х + tgx — 2 sin2 2% + tgx = 1 — cos 4% + tgx,
значит, Дх) можно задать формулой /(х) = 1 - cos4x +tgx. Функции
g(x) = — cos4x и /г(х) = tgx — периодические с периодами T\ = ~
и T<2 — д соответственно, причем — = |, T\ = 1 • T<2 = 2
T2 2 2 2
Следовательно, число T = (1 • 2) • = к является периодом функции
Дх) = 1 +g(x) + /z(x).
Теперь покажем, что д—основной период /(х). Предположим,
что существует период 0 < Т < д. Тогда при каждом х справедливо
равенство
1 - cos 4 (х + Т) + tg (х + Т) = 1 - cos 4х + tg х
или
- cos 4 (х + Т) + tg (х + Т) = - cos4x + tgx.
В частности, эти равенства должны выполняться при х — О
и х — -Т:
- cos4T + tg Т = -1, — 1 = — cos4T — tg Т.
Складывая почленно полученные равенства, получим tgT = O, т. е.
Т= кп, neZ. Это означает, что положительного периода, меньшего д,
не существует. А
Нули и промежутки знакопостоянства
Пример 7. Найти нули и промежутки знакопостоянства функции
/(x) = ctgx-tgx.
A ctgx - tgx = = cos2x-sin2x = 2ctg2x, значит, /(х)
sinx cosx sinx cosx
можно задать формулой /(х) = 2 ctg2x.
Нули функции /(х) — корни уравнения 2ctg2x = 0, т. е. х= + ф,
и (Е Z.
24 Глава XI. Тригонометрические функции
Найдем промежутки знакопостоянства:
1) /(х) > 0, если ctg2x > 0, откуда кп < 2х < + тот, или
кп к . кп гъ
Y<x<4 + V' rt€Z;
2) /(х) < 0, если ctg2x < 0, откуда — + кп < 2х < кп, или
~4 + Т <Х< 2 ' neZ- А
Промежутки монотонности
Пример 8. Найти промежутки монотонности функции /(х) =
= ctg2 х.
Л Данная функция определена на промежутках (кп;к+кп), nEZ.
Очевидно, что /(х) является периодической функцией и один из ее
периодов равен к. Поэтому вначале найдем промежутки монотонности
/(х) на интервале (0; к).
1) Для любых х\ и х2 таких, что 0 < х\ < х2 к/2, имеем:
/(%1) - /(х2) = ctg2 - ctg2 х2 =
= (ctg- ctgx2) (ctgxj + ctgx2) > 0.
Действительно, ctgxi — ctgx2 > 0, поскольку ctgx убывает на
промежутке (0; д/2], и ctgxi + ctgx2 > 0, поскольку ctgx > О
при х 6 (0; д/2) и равен нулю при х = к/2.
Значит, согласно определению, /(х) = ctg2 х убывает на
(0; к/2].
2) Для любых Xi и х2 таких, что к/2 Х[ < х2 < к, имеем:
/(xi) - /(х2) = ctg2 Xi - ctg2х2 =
= (ctgxi - ctgx2) (ctgxi + ctgx2) < 0.
Действительно, ctgxi — ctgx2 > 0, так как ctgx на промежутке
[д/2; к) убывает, и ctgxi + ctgx2 < 0, так как ctgx < 0 при
(д/2; к) и равен нулю при х = к/2.
Значит, /(х) = ctg2 х возрастает на [к/2; к).
Окончательно, с учетом периодичности функции /(х) получаем:
/(х) убывает на промежутках (кп; к/2 + кп] и возрастает на проме-
жутках [к/2 + кп; д-Ь кп), п € Z. ▲
§2. Функции тангенс и котангенс 25
Графики сложных функций
Пример 9. Построить график функции у = tg|— ^|. Определить,
сколько корней имеет уравнение tg|- ^| = а на отрезке [—2 л:; 2л:],
если = —0, 5; 0; 0,5; 1.
Л Запишем функцию в виде у = tg (х - |. Ее график можно
получить из графика функции у = tgx путем геометрических
преобразований по следующей схеме:
tgx-> tg|x| -> tg|l%| -> tg|l (х- |.
Эскиз итогового графика изображен на рис. 10.
С геометрической точки зрения число корней уравнения
1g | =a на отрезке [—2л:; 2л:] есть число точек пересечения на
этом отрезке графиков функций z/ = tg|^ — и у = а. Поэтому для
ответа на поставленный вопрос нам достаточно на том же рисунке,
где мы построили график функции z/ = tg|^-^|, провести прямые
// = —0,5, // = 0, // = 0,5, у— 1 и подсчитать число точек пересечения
с каждой прямой. Если а = —0,5, то уравнение имеет одно решение;
если а = 0, то два решения; если а = 0,5, то три решения; если
а = 1, то два решения. А
Рис. 10
26 Глава XI. Тригонометрические функции
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств
и графиков функций
Пример 10. Определить графически число корней уравнения
|tgS|=2-\ZT+T.
А Решение уравнения можно интерпретировать как определение абс-
цисс точек пересечения графиков функций у= |tg ™| и у = 2 — у/х + 1.
Графики функций (построенные путем геометрических преобразова-
ний) представлены на рис. 11. Они имеют четыре точки пересечения,
следовательно, уравнение имеет четыре корня. ▲
Пример II. Решить неравенство tg ™ + ctg ™ 2у/2х — х2.
А Правая часть неравенства определена, если 2х — х2 0, т. е.
на отрезке [0;2]. Левая часть неравенства определена при всех
значениях х из этого отрезка за исключением его концов. Следова-
тельно, решение неравенства следует искать на интервале (0; 2). Если
хе(0;2), то tg^>0, следовательно, tg™ + ctg™ = tg™ + >2,
причем знак равенства имеет место при tg ™ = 1, т. е. при х= 1 (мы
воспользовались числовым неравенством а-{--^2 при а>0). Правая
часть исходного неравенства, напротив, при любых значениях х из
интервала (0;2) меньше либо равна 2 (2х — х2 = 1 — (х — I)2 1,
откуда 2\/2х — х2 2), причем знак равенства также имеет место
при х — 1.
Следовательно, неравенство tg + ctg ™ 2\/2х — х2 выполня-
ется в том и только в том случае, когда выражения tg — + ctg —
и 2\/2х —х2 одновременно равны 2, т. е. при х—1.
Ответ. 1. ▲
§ 3. Обратные тригонометрические функции 27
§3. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Функция, определенная на отрезке [—1;1], обратная функции у = sinх,
рассмотренной на отрезке [—тг/2; тг/2], называется арксинусом и обозначается
и - arcsin х.
Свойства функции у = arcsin х:
1) область определения [—1;!];
2) множество значений [—к/2; к/2];
3) обращается в ноль в точке х = 0, принимает положительные значения
на промежутке (0; 1] и отрицательные значения на промежутке [ —1;0);
4) возрастает на всей области определения;
5) является нечетной;
6) не является периодической;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на [ — !;!];
9) принимает наименьшее значение у =—к/2 при х = — 1 и наибольшее
значение у = к/2 при х = 1;
10) экстремумов не имеет.
Следует подчеркнуть, что функция arcsin% является обратной не
к определенной на всей числовой оси функции sin %, а к функции,
определенной на отрезке [—д/2; д/2] и совпадающей на этом отрезке
с sinx. В свою очередь, обратной к arcsinx является функция, опреде-
ленная на отрезке [ — тг/2; д/2] и совпадающая на этом отрезке с sinx.
В силу свойств взаимно-обратных функций,
справедливо следующее утверждение:
для любых xq е [—к/2, к/2],
£/Ое[—1,1] sin х0 =у0 <!=> arcsin уо = *0-
В частности, верны высказывания:
1) для любого уо € [—1; 1] sin(arcsinyg) = Уо<
2) для любого х0 е [ — тг/2; к/2]
arcsin(sin xq) = xq.
График арксинуса получается симметрией от-
носительно прямой у = х части графика синуса,
Рис. 12
1аданного на отрезке хЕ [ — тг/2; тг/2]. На рис. 12 график арксинуса изображен
сплошной линией, а часть графика синуса — пунктирной.
Функция, определенная на отрезке [—1; 1], обратная функции у = cosx,
рассмотренной на отрезке [0;д], называется арккосинусом и обозначается
// - arccosx.
Свойства функции у = arccos х:
1) область определения [—1;!];
2) множество значений [0; тг];
3) обращается в ноль в точке х = 1 и принимает положительные значения
на промежутке (—1; 1);
28 Глава XI. Тригонометрические функции
4) убывает на всей области определения;
5) является функцией общего вида;
6) не является периодической;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на [-!;!];
9) принимает наименьшее значение у = 0 при х = 1и наибольшее значение
у - тг при х = — 1;
10) экстремумов не имеет.
Для любого х е [— 1; 1] arccos(—х) = тг— arccosx.
Функция arccosx и функция, определенная
на отрезке [0; тг] и совпадающая на этом отрезке
с cosx, являются взаимно-обратными. В силу
свойств взаимно-обратных функций, справедливо
следующее утверждение:
для любых xq е [0; тг] ,
Уо е [-1; 1] cos х0 = уо <4-arccosz/o = *0-
В частности, верны высказывания:
1) для любого z/oG[—1; 1] cos(arccosz/o)—1/(Ъ
2) для любого Xq g [0; tv] arccos(cosxo) = x0.
График арккосинуса получается симметрией относительно прямой у = х части
графика косинуса, заданного на отрезке xG [0; тг]. На рис. 13 график арккосинуса
изображен сплошной линией, а часть графика косинуса — пунктирной.
Для любого х G [—1; 1] arcsin х + arccosx = тг/2.
Функция, определенная на К, обратная функции у = tgx, х G (—тг/2; тг/2),
называется арктангенсом и обозначается z/ = arctgx.
Свойства функции у = arctg х:
1) область определения К;
2) множество значений (—тг/2; тг/2);
3) обращается в ноль в точке х = 0, принимает положительные значения на
промежутке (0;+оо) и отрицательные значения на промежутке (—оо;0);
4) возрастает на всей области определения;
5) является нечетной;
6) не является периодической;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на К;
9) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
10) экстремумов не имеет.
Функция arctgx и функция, определенная на интервале (—тг/2; тг/2) и совпа-
дающая на этом интервале с tgx, являются взаимно-обратными. В силу свойств
взаимно-обратных функций, справедливо следующее утверждение;
для любых х0 G (—тг/2; тг/2) , yQ G К tgx0 = у0 <=> arctgyo = Xq.
§3. Обратные тригонометрические функции 29
В частности, верны высказывания:
1) для любого Уо е к tg(arctgi/0) = z/0;
2) для любого хое(-л/2;л/2) arctg(tgx0)=x0.
График арктангенса получается симметрией
относительно прямой у = х части графика тан-
। енса, заданного на интервале х G (—л/2; л/2). На
рис. 14 график арктангенса изображен сплошной
линией, а часть графика тангенса — пунктирной.
Функция, определенная на R, обратная функ-
ции у = ctgx, хб(0;л), называется арккотанген-
сом и обозначается z/ = arcctgx.
Свойства функции у = arcctg х;
1) область определения К;
2) множество значений (0;л);
3) принимает положительные значения на всей области определения;
4) убывает на всей области определения;
5) функция общего вида;
6) не является периодической;
7) ограничена сверху и снизу;
8) непрерывна на К;
9) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
10) экстремумов не имеет;
11) для любого х G К arcctg(—х) = л — arcctgx.
Функция arcctgx и функция, определенная на интервале (0; л) и совпадающая
па этом интервале с ctgx, являются взаимно-обратными. В силу свойств взаимно-
обратных функций, справедливо следующее утверждение:
для любых хд е (0; л), уо <Е К ctgxg = уо <=> arcctgyo = хо-
В частности, верны высказывания:
1) для любого уо G К ctg(arcctgyo) = уо',
2) для любого хо G (0; л) arcctg(ctgxo) = хц.
График арккотангенса получается симмет-
рией относительно прямой у = х части графика
котангенса, заданного на интервале хЕ(0;л).
На рис. 15 график арккотангенса изображен
сплошной линией, а часть графика котангенса —
пунктирной.
При всех х G К выполняется равенство
aretgx + arcctgx = л/2.
Рис. 15
30 Глава XI. Тригонометрические функции
Основные свойства обратных тригонометрических функций
Покажем на ряде примеров, как свойства обратных тригономет-
рических функций можно использовать при исследовании сложных
функций.
Пример I. Найти область определения и множество значений
функции /(х) = arcsin(2 - 2%) + arccos(2 — 2%) + arccos х.
Д Выражение arcsin(2 — 2х) + arccos(2 — 2х) + arccosх определено
при значениях х, удовлетворяющих неравенствам: — 1^2 —2x^1,
— l^x^l. Следовательно, £)(/) = [0, 5; 1].
Так как при любом а, — 1 1, arcsina + arccosa = тг/2, то всюду
в области определения /(х) = л/2 + arccosx. На отрезке [0,5; 1] функ-
ция л/2 + arccosx монотонно убывает и непрерывна, следовательно,
на левом конце этого отрезка она принимает наибольшее, а на
правом — наименьшее значение. Эти значения равны соответственно
5л/6 и тг/2, значит, E(f) = • А
Пример 2. Найти область определения и множество значений
функции /(х) = arctg (х/З - 3 + 2\/Зх - %2).
Д Данная функция определена на всей числовой оси. Множество
значений квадратного трехчлена х/З — 3 + 2л/3х — х2 = х/З — (х — х/З)2
есть промежуток (—оо;л/3], поэтому множество значений /(х)
совпадает с множеством значений arctgx на промежутке (—сю;х/3].
Следовательно, Е (/) = . ▲
Пример 3. Исследовать на четность и нечетность функцию
f (х) = arcsin (0, 5 sin х) — arccos (sin %).
Д — l^sinx^l, —0, 5 0, 5 sin х 0, 5, значит, f (%) определена
на всей числовой оси. Для произвольного значения х имеем:
/ (-х) = arcsin(O, 5 sin(—х)) — arccos (sin(-x)) =
= arcsin(—0, 5 sin x) — arccos (— sin x) =
= — arcsin(O, 5 sin x) — (л — arccos (sin x)) =
= — (arcsin (0, 5 sin x) — arccos (sin x)) — л = — /(x) — л.
Следовательно, /(x) — функция общего вида. ▲
Графики обратных тригонометрических функций
Пример 4. Построить график функции и указать область ее опре-
деления, множество значений, промежутки возрастания и убывания,
наибольшее и наименьшее значения: а) у = 2 arccos (х — 3); б) у =
= arcsin |4 + 2х|.
§3. Обратные тригонометрические функции 31
Рис. 17
Л а) График функции у = 2 arccos (х — 3) построим путем гео-
метрических преобразований, действуя по схеме: arccosx ь4
arccos(x — 3) 1-4- 2 arccos(x — 3) (рис. 16).
На основании графика делаем выводы: D(y) = [2; 4];
£(//) = [0; 2 д]; функция убывает на всей области определения;
наибольшее значение функции равно 2д, наименьшее равно 0.
б) График функции z/ = arcsin |4 + 2х| построим путем геометриче-
ских преобразований, действуя по схеме: arcsinx>-> arcsin |х| i-4
i-> arcsin |2х| i-> arcsin |2 (х + 2)| (рис. 17).
На основании графика делаем выводы: D(y) = [—2,5;—1,5];
/:(//)= [0; д/2]; функция убывает на отрезке [—2,5;—2] и возрастает
на отрезке [—2;—1,5]; наибольшее значение функции равно
наименьшее равно 0. А
Пример 5. Построить график функции у = arcctg(ctg5x).
Л Вначале построим график функции
у — arcctg(ctgx). Эта функция, опре-
деленная на интервалах (д/г; д+д/г),
п G Z, является периодической с пери-
одом д. Следовательно, можно сначала
построить часть ее графика на каком-
нибудь промежутке длины д, а за-
тем, сдвигая полученную кривую вдоль
оси Ох вправо и влево на д/г, п G Z,
получить график на всей числовой оси.
Возьмем интервал (0; д). Для любого
значения х из этого интервала arcctg(ctgx) =х, значит, на интервале
(0; д) график функции у = arcctg(ctgx) представляется собой часть
прямой у = х. Учитывая периодичность функции у = arcctg(ctgx),
продолжаем график на всю числовую ось.
Осталось сжать построенный график в пять раз вдоль оси Ох,
совершив тем самым переход от графика функции у = arcctg(ctgx)
к графику функции у = arcctg(ctg5х) (рис. 18). А
32 Глава XI. Тригонометрические функции
Решение уравнений и неравенств с использованием свойств
и графиков обратных тригонометрических функций
Пример 6. Решить графически уравнение arccos2x = ^ + arctgx.
А Решение данного уравнения можно интерпретировать как опре-
деление абсцисс точек пересечения графиков функций y = arccos2x
и у = + arctgx. Эти графики имеют одну точку пересечения
(рис. 19) — (б; значит, уравнение имеет один корень х = 0. ▲
Пример 7. Решить графически неравенство arcsin х < arccosx.
А Решение данного неравенства можно интерпретировать как поиск
множества значений х, при которых ординаты графика функции
у = arcsinх меньше ординат графика функции у = arccosx (рис. 20).
Точка пересечения графиков функций угадывается, ее координаты
i)’ Искомое множество 1; на рис. 20 заштриховано. ▲
Пример 8. Решить неравенство arccos Зх arccos (1 — 2х).
А Решение данного неравенства должно принадлежать пересечению
областей определения функций arccos3x и arccos (1 — 2х), кото-
рое задается системой неравенств — 1 Зх 1, —1^1 — 2x^1
и представляет собой отрезок [0; 1/3]. Всюду в области определения
arccos/ убывает, т. е. большему значению функции соответствует
меньшее значение аргумента. Следовательно, исходное неравенство
0^х^1/3,
„ . ' решением которой является
О л 1 ~~
отрезок [0;1/5]. ▲
равносильно системе
Рис. 19
Рис. 20
Дидактические материалы 33
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XL1
Вариант 1
Построить график функции. Указать область определения, множество значений,
период, промежутки знакопостоянства и монотонности:
I. у = sinх — cosx. 2. z/ = |tg2x|- 1.
Вариант 2
Построить график функции. Указать область определения, множество значений,
период, промежутки знакопостоянства и монотонности:
I. у = cosx — л/Зsinх. 2. у — — |ctg2x|.
Самостоятельная работа XI.2
Вариант 1
Построить график функции. Указать область определения, множество значений,
промежутки знакопостоянства и монотонности:
1. у = |arcsin(2x — 4)|. 2. у = — arcctg(x + 3).
Вариант 2
Построить график функции. Указать область определения, множество значений,
промежутки знакопостоянства и монотонности:
1. у — arccos(0,5х — 1). 2. у — |arctg(x — 3)|.
Контрольная работа XL 1
по теме «Тригонометрические и обратные тригонометрические
функции» (1 урок)
Вариант 1
1. Найти область определения и указать множество значений функций:
а) /(х) = ctg2x • sin 4х; б) /(х) = 3 — 2 arccos(2x — 5).
2. Исследовать на четность и нечетность функцию /(х) = |sinx| • tgO,5x —
— cos2x • ctgx.
3. Доказать, что функция /(х) = |2cos24x — 1| периодическая, и найти ее основной
период.
4. Найти множество значений функции /(х) = 6 cos2 Зх — 8 sin 6х.
Б. Построить график функции у — 2 — (sin2х — cos2x)2.
6. Построить график функции у = arctg(2x + 4).
Вариант 2
1. Найти область определения и указать множество значений функций:
а) /(х) = tgx sin 2х; б) /(х) = 2 + 3arcsin(8 — 2х).
2. Исследовать на четность и нечетность функцию /(x)=sin4x+\/cosx + 2-ctg2x.
? 1367
34 Глава XI. Тригонометрические функции
3. Доказать, что функция Дх) = |sin2 4% — cos2 4х| периодическая, и найти ее
основной период.
4. Найти множество значений функции у = 4 sin2 5% + 6 sin 10%.
5. Построить график функции у = (sin3x — cos3x)2 — 3.
6. Построить график функции у = — arcctg(х + 3).
Вариант 3*
1. Найти область определения и указать множество значений функций:
а) /(х) = 2 tgx • ctgx - cos2%; б) Дх) = arctg(|2 - х| — 1).
2. Исследовать на четность и нечетность функцию /(х) = tgx • (sin |3х| +cos2x).
3. Доказать, что функция Дх) = |sin Зх| — 2cos6x периодическая, и найти ее
основной период.
4. Построить график функции у = arcsin (3 — |2х|).
5. Изобразить геометрическое место точек плоскости Ох.у, координаты которых
удовлетворяют неравенству (у — cos лх)(г/ — sin лх) 0.
6. Решить уравнение 4 |3х + 8| + 5 = 4 sin2 лх — 4 cos лх.
Вариант 4*
1. Найти область определения и указать множество значений функций:
а) /(х) = (tgx + ctgx) • sin 4х; б) Дх) = arcctg (л/3 — |х + 1|).
2. Является ли четной или нечетной функция Дх) = cos2x• (|tgx| — 4) — 4|sinx|?
3. Доказать, что функция Дх) = — sin 4х — |cosx| периодическая, и найти ее
основной период.
4. Построить график функции у = arccos (2 |х| — 4).
5. Изобразить геометрическое место точек плоскости Оху, координаты которых
удовлетворяют неравенству (у + cos лх)(г/ + sin лх) 0.
6. Решить уравнение 3 + 4 sin лх + |6х + 5| = 2 со5 2лх.
Ответы
Вариант 1.
1.
Область определения х/
т
Т’
neZ, множество значений [0; 2).
2. Нечетная. 3.
8
4. [4 - х/41; 4 + х/41].
Вариант 2. 1. Область определения х / + лп, п е Z, множество значений
[0; 2). 2. Нечетная. 3. 4. [8 — \/б8; 8 + л/681.
8
Вариант 3*. 1. Область определения функции х/ множество
значений (1;3). 2. Нечетная. 3. 4. —5. -2-.
7 3 3 3
Вариант 4*. 1. Область определения функции х / множество
значений (—4;4). 2. Четная. 3. л. 4. —
6
Глава XII
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Изучение данного раздела начинается с решения простейших
тригонометрических уравнений. Это не первое обращение к три-
гонометрическим уравнениям в данном курсе. При изучении темы
«Тригонометрические формулы» мы уже искали решения простей-
ших тригонометрических уравнений, используя при этом триго-
нометрическую окружность. Затем этот вопрос затрагивался при
обсуждении тригонометрических и обратных тригонометрических
функций. Тогда в центре внимания была уже другая геометрическая
модель — графики тригонометрических функций. Таким образом,
вначале требуется освежить в памяти учащихся уже имеющиеся
в их арсенале навыки решения простейших тригонометрических
уравнений. При этом хотелось бы предостеречь от поспешности
перехода к использованию объединенных формул для записи решений
уравнений cosx = а и sinx = a для —1<а<0 и 0 < а < 1. На наш
взгляд, полезно вначале отработать запись решения этих уравнений
в виде совокупности серий корней. Такой подход позволит добиться
осознанного восприятия решений простейших тригонометрических
уравнений и в дальнейшем облегчит обучение приемам отбора корней.
Обучение отбору корней тригонометрических уравнений сле-
дует рассматривать как важную составляющую процесса обуче-
ния. В систему упражнений необходимо включить как примеры
с дополнительными заданиями по отбору корней, так и уравнения,
для которых отбор корней обусловлен ходом решения. Обучать
отбору корней следует постепенно. Лучше начинать с отбора
корней простейших тригонометрических уравнений, принадлежащих
промежутку. Полезно показать учащимся различные приемы решения
»той задачи, в том числе отбор, основанный на решении двойных
неравенств, и отбор с использованием модели тригонометрической
окружности. Заметим, что задачи, связанные с отбором корней про-
стейших тригонометрических уравнений, эффективны для осознания
структуры формул корней, и, в особенности, для понимания роли
целочисленного параметра в этих формулах.
Обязательно следует обсудить решение уравнений вида asinx +
I bcosx = c с помощью введения вспомогательного угла.
36 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Важный этап изучения темы — решение уравнений методом введе-
ния новой переменной. В первую очередь речь идет об уравнениях,
сводящихся путем использования тригонометрического тождества
к квадратным относительно синуса и косинуса, а также об однород-
ных уравнениях. Помимо этого следует обсудить решение симметри-
ческих уравнений, а также уравнений, сводящихся к рациональным
с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Решение большинства тригонометрических уравнений основано на
преобразованиях тригонометрических уравнений с целью их упроще-
ния — сведению к одному или нескольким простейшим, в частности
с помощью разложения на множители. Поэтому необходимо рассмот-
реть основные преобразования, способствующие упрощению, такие
как понижение степени, преобразование суммы тригонометрических
функций в произведение и произведения в сумму.
Следует иметь в виду, что с упрощением тригонометрических
уравнений связана проблема отбора корней. Вообще, при решении
тригонометрических уравнений используются как переходы к уравне-
ниям-следствиям, так и равносильные преобразования. С проблемой
отбора можно столкнуться и в том, и другом случае, и на этом следует
акцентировать внимание учащихся. Если в ходе преобразований
использовался переход к уравнениям-следствиям, то решение должно
завершаться проверкой найденных значений путем их подстановки
в исходное уравнение. В свою очередь в ходе равносильных преобра-
зований нередко возникают дополнительные ограничения, например,
связанные с расширением области определения или возведением
в четную степень обеих частей уравнения. Поэтому, когда корни
последнего в цепочке преобразований уравнения найдены, приходится
отбирать те из них, которые удовлетворяют этим ограничениям.
Существует ряд приемов, позволяющих оптимизировать этот процесс,
и с этими приемами обязательно нужно познакомить учащихся.
Хотелось бы подчеркнуть, что это можно и нужно сделать на простых
примерах.
Обязательно нужно рассмотреть тригонометрические уравнения
и неравенства, решение которых основано на оценке значений
входящих в них выражений. В систему упражнений также следует
включить решение тригонометрических уравнений, содержащих знак
модуля и радикалы, а также обратные тригонометрические функции.
Отдельного обсуждения требуют задачи с параметром.
Еще одной важной темой, изучаемой в рамках данного раздела,
являются тригонометрические неравенства. Их изучение, безусловно,
следует начинать с обсуждения простейших неравенств вида /(х) > a
где /(х) —одна из тригонометрических функций. Ре-
шать простейшие неравенства можно, опираясь либо на график
тригонометрической функции, либо на модель тригонометрической
§1. Простейшие тригонометрические уравнения 37
окружности. Наряду с простейшими неравенствами рекомендуем
включить в систему упражнений неравенства, решаемые методом
введения новой переменой, а также путем разложения на множители
с последующим переходом к совокупности систем неравенств.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение простейших тригонометрических уравнений
на всей числовой оси
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида
sinx = a, cosx = a, tgx —a, ctgx — a. Выпишем решения этих уравнений,
опираясь на модель тригонометрической окружности.
а) Уравнение sinx = а. Корнями уравнения sinx = а являются числа,
соответствующие точкам тригонометрической окружности с ординатой а (рис. 1).
Ординаты точек тригонометрической окружности образуют отрезок [ — 1; 1],
следовательно, если |а| > 1, то уравнение sinx —а корней не имеет.
Ординату a = 1 имеет только одна точка тригонометрической окружности —
на рис. 1 это точка А. Все числа вида х = + 2тт, п G Z, соответствующие
>той точке, — корни уравнения sinx= 1.
Ординату a = — 1 также имеет только одна точка тригонометрической
окружности — на рис. 1 это точка В. Все числа вида х — — + 2тт, п G Z,
соответствующие этой точке,— корни уравнения sinx = —1.
Ординату а = 0 имеют две точки тригонометрической окружности — на рис. 1
»то точки С и D. Все числа вида х = тгп, neZ, соответствующие этим точкам, —
корни уравнения sinx = 0.
Для любого а, 0 < а < 1, ординату а имеют две точки тригонометрической
окружности — на рис. 1 это точки Е и F. Точке Е соответствуют числа
х = arcsinа + 2тт, nGZ, точке F — числа х = тг — arcsinа + 2тт, nGZ. Того же вида
числа соответствуют точкам G и Н с ординатой а, — 1 < а < 0. Следовательно,
\ = arcsin a + 2тт и х — п — arcsin a + 2тт, п 6 Z, — корни уравнения sinx = a,
0 < |а| < 1.
б) Уравнение cosx = а. Корнями уравнения cosx = а являются числа,
соответствующие точкам тригонометрической окружности с абсциссой а (рис. 2).
Абсциссы точек тригонометрической окружности образуют отрезок [—1;1].
Значит, если |а| > 1, то уравнение cosx = а корней не имеет.
Абсциссу а = 1 имеет только одна точка тригонометрической окружности —
на рис. 2 это точка А. Все числа вида х = 2m, соответствующие этой
точке, — корни уравнения cosx = 1.
Абсциссу а = — 1 также имеет только одна точка тригонометрической
окружности — на рис. 2 это точка В. Все числа вида х = п + 2m, neZ,
соответствующие этой точке, — корни уравнения cosx = —1.
38 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Абсциссу a = 0 имеют две точки тригонометрической окружности — на рис. 2
это точки С и D. Все числа вида х = + m, п G Z, соответствующие этим
точкам, — корни уравнения cosx = 0.
Для любого a, 0<а< 1, абсциссу а имеют две точки тригонометрической
окружности — на рис. 2 это точки Е и G. Точке Е соответствуют числа
х = arccosа + 2лтг, nGZ, точке G —числа х = — arccosa + 27m, nGZ. Того же вида
числа соответствуют точкам F и Н с абсциссой а, — 1 < а < 0. Следовательно,
х = arccosа + 2m и х = — arccosа + 2m, п е Z, — корни уравнения cosx = а,
0 < |а| < I.
Сведем перечисленные результаты в итоговую таблицу:
Вид урав- нения Значение а
|а|>1 а= — 1 а = 0 а = 1 -1 <а< 1
sinx = a корней нет х = — - +2лтг 2 х — кп х = - + 2кп 2 Гх — arcsin а + 2кп, |_х = к — arcsin а + 2кп или х = (—1)” arcsin а + кп
cosx = а корней нет X — тг+ 2лтг тг , X = - + кп х — 2кп Гх = arccos а + 2лтг, |_х = — arccos а + 2кп или х = ± arccos а + 2лтг
Примечание: во всех формулах п G Z
в) Уравнения tgx = a и ctgx = а. Чтобы найти корни уравнения tgx = a,
отметим на оси тангенсов точку с координатой а, проведем через нее и начало
координат прямую (рис. 3). Пусть А и В —точки пересечения этой прямой
с тригонометрической окружностью. Все числа вида х = arctga + кп, ntl,
соответствующие этим точкам, — корни уравнения tgx = a.
Чтобы найти корни уравнения ctgx = а, отметим на оси котангенсов точку
с координатой а, проведем через нее и начало координат прямую (рис. 4). Пусть
А и В —точки пересечения этой прямой с тригонометрической окружностью.
Все числа вида х = arcctga + кп, соответствующие этим точкам, — корни
уравнения ctgx = а.
§1. Простейшие тригонометрические уравнения 39
Уравнения sin/(x) = a, cos/(x) = a, tg/(x) = a и ctg/(x) = a сводятся
к простейшим путем замены f(x) = t. После приобретения некоторого
опыта вполне допустимо при решении таких уравнений делать эту
замену «в уме».
Пример 1. Решить уравнение sin — х) = —
Л Используя нечетность синуса, перепишем уравнение в виде
sin (х — Последнее равенство выполняется в двух случаях:
v — v = т + 2лтг и х — у = к — v + 2тт. Упростив, соответственно
4 4 4 4 г
получим: х = + 2тт и х = д4-2тт.
Ответ. 4- 2кп, д + 2дп, n G Z. ▲
Решение простейших тригонометрических уравнений
на промежутках
Усложним задачу. Пусть нас интересуют не все корни данного
тригонометрического уравнения, а лишь те из них, которые принад-
лежат указанному промежутку. Покажем на примерах, как можно
рассуждать в этом случае.
Пример 2. Найти корни уравнения sin 2% = принадлежащие
промежутку [д;2д].
Л Уравнение sin 2% = | имеет две серии корней: х = + тт
11 х = if + кп' п
Вначале отберем корни, лежащие на промежутке [тг; 2тг], из первой
серии. Для этого решим относительно целой переменной п двойное
40 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
неравенство к + тт 2л. Получим п 1 , п G Z, откуда
п ~ 1 и, значит, х - + л • 1 =
Для отбора корней из второй серии решим неравенство
л + лп. 2л. Получим п 1^, п G Z, откуда п = 1 и,
значит, х = + л • 1 =
13д 17л *
° Т’ 12 ’ ~12 '
Замечание. Решение уравнения sinx = а может быть записано как одной,
так и двумя формулами. Первая форма записи компактнее второй. Однако в тех
задачах, где нужно делать отбор корней из указанного промежутка, удобнее
работать с двумя формулами, поскольку они монотонны по целочисленному
параметру п.
Пример 3. Решить уравнение (2cos2x — 1) • >/2 — |х| = 0.
А Корнями исходного уравнения являются корни уравнения
л/2 — |х| = 0, т. е. числа х = ±2, а также корни уравнения
2cos2x — 1 = 0, удовлетворяющие условию 2 — |х| 0.
Уравнение 2cos2х — 1=0 имеет две серии корней: х = | + пп
и х = — + дп, п G Z. Отберем из них те, которые удовлетворяют
неравенству —2 х 2.
Оценим значения корней первой серии: если п —1, то
7Г . 57Г ^5*3. Q г\ Д Q 7Г о
х = - + пп < — -= < -—г- < —2; если п - 0, то х = —, а — 2 < д < 2;
обо 66
если п то х = | + л:/О^Д> > 2. Значит, в промежуток
—2 х 2 попадает только одно значение: х = %.
О
Для корней второй серии имеем: если п —1, то
х = —^ + лп^—— ДД < — 2; если п — 0, то х = — — 2 < — 5 С 2;
6 6 6 6 6
если п 1, то х = — £ + лп > 2. Значит, только один
О 0 0
корень х = — | лежит на промежутке — 2 < х < 2.
Ответ. ±2, ±^. ▲
О
В тех случаях, когда промежутки привязаны к четвертям триго-
нометрической окружности, для отбора корней удобно использовать
модель тригонометрической окружности.
л/2
Пример 4. Найти корни уравнения sin3x=-^-, для которых
tg3x < 0.
§1. Простейшие тригонометрические уравнения 41
л/2
Л Положим t = Зх и будем искать корни уравнения sin Z
удовлетворяющие условию tg t < 0. Воспользуемся тем, что корни
уравнения sin t = можно интерпретировать как числа, соответ-
ствующие точкам тригонометрической окружности с ординатой
(па рис. 5 это точки А и В). Числа, соответствующие точке А, имеют
положительный тангенс, и, следовательно, нас не интересуют. Числа,
соответствующие точке В, имеют отрицательный тангенс и задаются
формулой t — + 2лп. Значит, Зх = + 2л/г, откуда х = ? +
0 71 . 2тГА2 гту д
твет. - Н—— , п 6 Z. ▲
Пример 5. Найти корни уравнения cos 4х = 0,3, принадлежащие
промежутку [0; л].
Л Положив t = 4х, будем искать корни уравнения cos t = 0,3,
принадлежащие промежутку [0;4л]. Отметим на тригонометриче-
ской окружности точки с абсциссой 0,3 (на рис. 6 это А и В).
В промежуток [0; 4л:] попадают два числа, соответствующие точке А
(arccos0,3 и arccos 0,3 + 2л) и два числа, соответствующие точке В
(2л - arccos 0,3 и 4л — arccos 0,3).
Возвратившись к исходной переменной, получим: x = 0,25arccos0,3
v = 0,25 arccos 0,3 + 0,5л и х = 0,5л — 0,25 arccos 0,3, х = л —
0,25 arccos 0,3.
Ответ. 0,25arccos0,3, 0,5л±0,25arccos0,3, л —0,25arccos0,3.
▲
Линейные уравнения вида a cos х + b sin х = с
Если а = 0 или 6 = 0, то линейное уравнение a cosx + b sinx = с
приводится к простейшему уравнению sinx = c/6 или cosx = с/а.
Если а и b отличны от нуля, то данное линейное уравнение
преобразуется к простейшему методом введения вспомогательного
угла. Рассмотрим этот метод на примерах.
42 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 6. Решить уравнение \/3sinx — cosx = 2.
А Данное уравнение равносильно следующим:
• sinx — F > cosx = 1; cos F • sinx — sin ~ • cosx = 1;
2 2 6 6
sin (x - = 1; х-£ = £ + 2дм; x = ^ + 2дм.
\ 6/ 62 3
Ответ. + 2 дм, n G Z. A
Пример 7. Решить уравнение 3 cosx + 4 sin x = 2.
А Данное уравнение равносильно следующим:
л/З2 + 42 (р • cosх + F • sin х') =2;
ч ✓ \ 5 5 /
5
3 4 2 2
=• • cosx + - sinx = cos (p • cosx + sin (0 • sinx = F,
5 5 5 J 1 5
где
3 2
(p = arccos 5; cos (x — <p) = -;
x - (p — ± arccos | + 2дп; x = ± arccos F + arccos F + 2дп.
7 5 5 5
2 3
Ответ. ± arccos F + arccos F + 2дм, n G Z. A
5 5
Уравнение acosx + 6sinx = с, правая часть которого равна
нулю, а коэффициенты а и b отличны от нуля, легче привести
к простейшему не введением вспомогательного угла, а делением на
cosx или sinx.
Пример 8. Решить уравнение sinx - 5cosx = 0.
А Среди значений х, для которых cosx = 0, корней уравнения
нет (если cosx = 0, то из уравнения следует, что и sinx = 0,
а одновременно эти два равенства выполняться не могут). Значит,
деление обеих частей уравнения на cosx не приведет к потере корней.
Разделив, получим уравнение tgx — 5 = 0, откуда х = arctg5 + дм.
Ответ. arctgS+дм, п G Z. А
Уравнения, представляющие собой равенства
тригонометрических функций одного вида
Поскольку тригонометрические функции не являются монотон-
ными на всей области определения, то равенство значений синусов,
косинусов, тангенсов или котангенсов неравносильно равенству аргу-
§1. Простейшие тригонометрические уравнения 43
ментов. Нетрудно показать (например, используя модель тригономет-
рической окружности), что имеют место следующие равносильности:
I. sin a = sin/3<=>
3. tga=tg/3<=><
' а=р+2лп,
а= д-/3+2дп;
а=/3+д/г,
а^ + дт;
а=р+2тш,
2. cosa = cosp<=> о , о
г [а=-р + 2кп-,
л . l q Г лг/2,
4. ctga=ctgfl<=>< .
s [а^тип
(во всех формулах neZ, meZ).
Заметим также, что уравнения вида sin f (х) = cosg(x)
и tg/(x) = ctgg(x) с помощью формул приведения сводятся к урав-
нениям-равенствам однотипных функций: sin/ (х) = sin -g (х)),
lg/(x) = tg (j -£(*))•
Пример 9. Найти корни уравнения sinx = cos7x.
Л Воспользовавшись тождеством cos 7х = sin — 7х), перепишем
уравнение в виде sinx = sin — 7х). Применив равносильный
переход 1, сведем решение уравнения к решению совокупности
х = — 7х + 2д/г,
х = д — — 7х) + 2т1п.
., о /г . тг к тт
В результате получим две серии решении: х = — + -— и х = .
Заметим, что вторую серию решений можно также задать в виде
V — — у| + у- Знак перед дробью у не имеет значения, поскольку
параметр п пробегает все целые значения.
Ответ: Тё + ” + А
Пример 10. Найти корни уравнения tgx = tg3x.
Л tgx = tg3x<=>
х = 3х +д/г,
х ф + дт
Х 2 ’
хф | + дт.
На тригонометрической окружности выде-
лим точки А, В, С и D, соответствующие числам
( т) (рис. 7). Затем на той же окружности
крестиками пометим точки, соответствующие
числам +дт, которые не могут быть корнями
44 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
уравнения. Как видно из рисунка, точки А и С попадают в разряд
«запрещенных». Значит, корнями исходного уравнения являются
числа, соответствующие точкам В и D, т. е. х = лп.
Ответ, лп, n е Z. ▲
Замечание. Уравнения, представляющие собой равенства синусов или
косинусов, можно решать иначе: путем преобразования разности синусов или
косинусов в произведение.
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СВОДЯЩИЕСЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ПУТЕМ ЗАМЕНЫ
ПЕРЕМЕННОЙ
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим путем
замены переменной — одна из наиболее плодотворных идей, исполь-
зуемая для решения тригонометрических уравнений. Рассмотрим
несколько типичных ситуаций введения новой переменной.
Решение уравнений преобразованием их к квадратным
относительно синуса, косинуса, тангенса или котангенса
Пример 1. Решить уравнение 2 sin2 | — 9 cos | + 3 = 0.
А Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством,
перепишем уравнение в виде 2 (1 — cos2 |
9 cos | + 3 = 0, или
2 cos2 | + 9cos^ — 5 = 0. Заменой cos = t уравнение сводится
к квадратному 2t2 + 9t - 5 = 0, которое имеет два корня: t\ = |
и /2 = _5. Возвращаясь к переменной х, получим: cos |
и cos | = —5. Уравнение cos | | имеет корни х = ±л+6лп; уравнение
cos | = — 5 корней не имеет.
Ответ. ±д-|-6дц, п е Z.
Замечание. Вводя новую переменную £ = cos^, можно было сразу
учесть, что значения косинуса ограничены отрезком [—1; 1], и, значит, интерес
представляют только те корни уравнения 2£2-|-9£ — 5 = 0, которые удовлетворяют
условию |^| 1. Накладывать при замене ограничения на новую переменную не
обязательно, но во многих случаях полезно, поскольку это иногда упрощает
решение.
Пример 2. Найти корни уравнения tgx - 3ctgx + 2 = 0, удовле-
творяющие условию sin2x<0.
А Если записать условие sin2x<0 в виде 2sinх • cosx < 0, то
становится очевидным, что оно выполняется в том и только в том
§2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены 45
< лучае, когда sinx и cosx имеют разные знаки, что в свою очередь
равносильно условию tgx<0.
Введением новой переменной t = tgx сведем исходную задачу
к решению смешанной системы: t - 3 • j + 2 = О, t < 0, или
I' I- 2^ — 3 = 0, t < 0. Уравнение £2 + 2^ — 3 = 0 имеет два корня
/| - —3, ^2 — 1» из которых только первый удовлетворяет условию
I 0. Возвратившись к исходной переменной, получим уравнение
Igx = — 3, Следовательно, х = — arctg3 + Tin.
Ответ. — arctg3 + 7in, n G Z. k
Решение уравнений,
однородных относительно синуса и косинуса
Однородными относительно sinx и cosx называют уравнения вида
an sin” х + а„_] sin”-1 xcosxH-...sin”Je хсо5/г х + .. .+ao cos”x = 0,
в которых сумма показателей степеней у sinx и cosx (степень уравнения) во
всех членах уравнения одинакова. Например,
a sinx + b cosx = 0
однородное уравнение первой степени,
2 2
a sin х + сsinx cosx + b cos x — Q
однородное уравнение второй степени,
3 2 2 3
a sin x + csin xcosx + dsinxcos x + 6cos x = 0
однородное уравнение третьей степени.
Путем деления на cosfex или sin^x, где & —степень уравнения,
однородные уравнения сводятся к алгебраическим относительно
I - tgx или t = ctgx.
Однако следует иметь в виду, что деление может привести к потере
корней. Чтобы избежать этого, будем действовать по следующей
схеме. Пусть, для определенности, мы хотим разделить на cos^x.
Прежде чем делать это, выясняем, обращается или не обращается
в ноль левая часть уравнения при тех х, для которых cosx = 0. Если
не обращается, то делим обе части уравнения на cosfex (к потере
корней это не приведет). Если обращается, отмечаем, что х = | + Tin —
корни уравнения. Далее делим на cos^x и ищем другие решение
уравнения, не равные + Tin.
Уравнения вида asin2x + с sin xcosx + &cos2x = d приво-
дятся к однородным путем представления правой части в виде
d = d (sin2 х + cos2 x).
46 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 3. Решить уравнение 10 cos2 х — 5 sin 2х = 4.
А Преобразуем обе части уравнения, воспользовавшись тождествами
sin 2х = 2 sinх cosx, sin2 x + cos2 x = 1. Последовательно имеем:
10 cos2 x — 5 sin 2x = 4;
10 cos2 x — 5 • 2 sin x cos x = 4 (sin2 x + cos2 x) ;
2 sin2 x + 5 sin x cosx — 3 cos2 x = 0.
Заметим, что среди значений х, для которых cosx = 0, корней
уравнения нет, поскольку, если cosx = 0, то из уравнения следует,
что и sinx = 0, а одновременно эти два равенства выполняться не
могут. Значит, можно разделить обе части уравнения на cos2x,
не опасаясь потери корней. После деления получим уравнение
2 tg2 х + 5 tgx — 3 = 0. Решив его как квадратное относительно
tgx, найдем: tgx = 0,5, tgx = -3, откуда х = arctgO,5 + кп,
х = - arctg3 + кп.
Ответ. arctgO,5 + кп, — arctg3 + кп, п е Z. А
Решение симметрических уравнений
Рассмотрим тригонометрические уравнения /(х) = 0, левая часть
которых представляет собой рациональное выражение от переменных
t = sinх + cosx (или t = sinx — cosx) и v = sinx cosx. Поскольку
t2 — (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2 sin x cos x = 1 ± 2v, to v = f ~ 1, если
1 -t2
t = sinx + cosx, и v=——, если t = sinx — cosx. Следовательно,
исходное уравнение сводится к алгебраическому относительно пе-
ременной t. Так как sinx ± cosx = \/2sin (х±^, то поиск корней
алгебраического уравнения можно ограничить промежутком |£| а/2.
Пример 4. Решить уравнение l + 2sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 0.
А Введем новую переменную t = sinx + cosx, |£| \/2. С учетом равен-
t2 _ J ,2 1
ства sinxcosx= —-— перепишем уравнение в виде 1 + 2—--h2t = О,
или t(t + 2) = Q. Последнее уравнение имеет два корня ^ = 0 и t% = — 2,
из которых только первый удовлетворяет условию |f| + а/2.
Вернемся к переменной х. Получим sinx + cosx = 0, или
-\/2 sin (х + = 0, откуда х = — + кп.
Ответ. — кп, neL А
4
§2. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим путем замены 47
Пример 5. Решить уравнение sin3 х — cos3 х — sin х cosх = 1.
Л Воспользовавшись формулой разности кубов
sin3 х — cos3 х — (sin х — cosx) (sin2 x + sin x cosx + cos2x) ,
перепишем уравнение в виде
(sin х — cosx) (1 + sin x cos x) — sin x cos x = 1.
Положим t = sin x - cosx, |/| л/2. Тогда t2 = (sin x — cos я)2 =
1 -t2
1 — 2 sin x cosx, и, значит, sinx cosx = ——. Таким образом, после
замены получим уравнение
1 _ /2 \ 1 — /2
—- ) - —— -1 = 0,
2/2
t-
/ 1 - /2 \
которое преобразуется к виду Н + —— Mt — 1) = 0, или
(3 — /2) (t — 1) = 0. Отсюда ^ 2 = ±УЗ, h = 1. Условию |/| х/2
удовлетворяет только одно из найденных значений: t=\.
Возвратимся к исходной переменной. Получим sinх — cosx: = 1,
/~с\ * ( 7Г\ 1 • ( Л\ V 2 7Г 7Г . гч
или v2sin х — -г = 1, sin х — - = —, откуда х - - = - + 2тт или
\ 4/ \ 4/ 2 J 44
х — = я — + 2тт. Таким образом, исходное уравнение имеет две
серии решений: х = ^ + 2лл и х = я + 2дп.
Ответ. ^+2лл, я + 2лл, /г G Z. ▲
Уравнения /(х) = 0, левая часть которых может быть представлена
как многочлен от tgx + ctgx, сводятся к алгебраическим заменой
/ = tgx + ctgx.
Пример 6. Решить уравнение tg2x + ctg2x — 3(tgx + ctgx) + 4 = 0.
Л Положим t = tgx + ctgx. Заметим, что tgx + ctgx = j —
- sjri2— и, следовательно, |/| > 2. Поскольку tg2x + ctg2x =
~ (tgx + ctgx)2 — 2tgx • ctgx = t2 — 2, то после замены получим
уравнение (t2 — 2) — it + 4 = 0, или t2 — it + 2 = 0. Последнее
уравнение имеет два корня /1 = 1 и /2 = 2, из которых только
второй удовлетворяет условию |/| ^ 2. Если t = 2,то tgx + ctgx = 2,
или sin 2х = 1, откуда х = + кп.
Ответ. + Tin, n G Z. ▲
48 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим
с помощью универсальной тригонометрической подстановки
Так как sinx, cosx, tgx и ctgx выражаются через tg^, то
уравнение вида /(sinx, cosx, tgx, ctgx) = 0 подстановкой t = tg
можно свести к алгебраическому уравнению. При этом следует
2tg(x/2) 1 — tg2(x/2)
иметь в виду, что замена sinx на ----------- и cosx на -----——-
l + tg2(x/2) 1 + tg2(x/2)
ведет к сужению области определения уравнения, поскольку из
рассмотрения исключаются значения х, при которых cos | = 0, т. е.
х = д+2дп. Поэтому при применении универсальной тригонометри-
ческой подстановки необходимо дополнительно выяснить, являются
или нет исключаемые из рассмотрения значения х корнями исходного
уравнения.
Пример 7. Решить уравнение tgx + 1 = 2 sin (1,5л: + 2х).
А Преобразовав уравнение к виду tgx + 1 = — 2cos2x, введем новую
переменную £ = tgx. Так как исходное уравнение не определено для
х = | + то такая замена не может привести к потере корней.
1 _ ft 1 — /2
Заменив cos2x на -—получим уравнение £+1 = — 2-—которое
равносильно каждому следующему уравнению:
(£ + 1) (1-Н2) + 2 (1 — £2) = 0;
(^+1)(1 + ^2)+2(1 + 0(1-0 = О;
(^ + 1) (^ — 2^ + 3) =0; ^=-1.
Вернемся к переменной х: tgx = — 1, х = — + лп.
Ответ. — + лп, neZ.
Л '
§3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ.
ТИПИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ
УПРОЩЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Один из основных подходов к решению тригонометрических
уравнений состоит в их последовательном упрощении с целью
сведения к одному или нескольким простейшим. Для упрощения
используются тригонометрические формулы. Универсального ответа
на вопрос, какие формулы следует применить в том или ином случае,
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования 49
пет, однако есть ряд приемов, которые полезно иметь в виду при
поиске решения.
Решение тригонометрических уравнений
методом разложения на множители
Довольно часто в результате преобразований удается привести
уравнение к виду /Дх)-/2(х) ' • • • ’fk(x) — О- В этом случае дальнейшее
решение сводится к поиску корней уравнений fi(x) = 0, /2(х) = 0, .. .,
fk(x) = 0 и дальнейшему отбору тех из них, которые принадлежат
области определения исходного уравнения.
Такой подход к решению уравнений, известный как метод
разложения на множители, является универсальным (мы применяли
его при решении рациональных, иррациональных, показательных
и логарифмических уравнений).
Пример 1. Решить уравнение: cos 8х • tgx = tgx.
А Перепишем уравнение в виде tgx • (cos 8х — 1) = 0.
Функции, входящие в последнее уравнение, определены при
всех х таких,-что cosx^O. На этом множестве последнее уравнение
равносильно совокупности уравнений tgx = O и cos8x=l, решения ко-
торых определяются формулами х =
Теперь необходимо отобрать из полученных f Л.
значений х те, которые удовлетворяют условию / \
cosx ф 0. Для первой серии корней условие -4--------------1—
cosx ф 0 выполняется. Для отбора корней вто- \ /
рой серии воспользуемся тригонометрической 'Ч jf
окружностью. Отметим на окружности «за-
прейденные» точки, соответствующие множест- рис g
ву ^ + дт, и «хорошие» точки, соответствующие
множеству ™ (рис. 8). Видим, что из восьми «хороших» точек две
«запрещенные». Числа, соответствующие оставшимся шести точкам,
можно задать, например, как совокупность серий: + -у и
причем вторая из этих серий была получена нами ранее.
Ответ. + лп, м 6 Z. ▲
В случае тригонометрических уравнений проблема преобразования
исходного уравнения к виду /Дх) • /2(х) • • • • • fk(x) = 0 решается,
главным образом, путем использования тригонометрических формул.
Рассмотрим, как это делается, на примерах.
50 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 2. Решить уравнение: cos 2л: — sinx + cosx = 0.
А Так как cos2x = cos2x — sin2x, то данное уравнение равносильно
следующим:
(cos х — sin я) • (cos х + sin х) + (cos х - sin х) = 0;
(cosJC — sinx) • (cosx + sinx + 1) = 0.
Полученное уравнение в свою очередь равносильно совокупности
уравнений cosx — sinjc = 0 и cosx + sinх + 1 = 0.
1) cosx — sinx = 0; -\/2cos (x + ) = 0; x + ? + ял; x = + ял.
\ 4 7 4 2 4
2) cosx + sinx + 1 = 0; y/2 cos fx — = — 1; cosfx— v') =-----
\ 47 \ 47 \/2
x = + 7 + 2л:п.
4 4
Ответ. 7 + Tin, ±^ + 7+2дп, n G Z. ▲
4 4 4
Если уравнение содержит выражения sin а ± sin /3, cos а ± cos/3,
то для разложения на множители можно попробовать применить
формулы преобразования этих сумм (разностей) в произведения.
Пример 3. Решить уравнение sinx + sin2х + sinЗх + sin4х = 0.
А Перепишем уравнение в виде (sin х + sin Зх) + (sin 2х + sin 4х) = 0.
Далее преобразуем это уравнение, используя формулу sina + sin/3 =
= 2sin a+ • cos aПолучим
2sin2xcosx + 2 sin Зх cosx = 0;
cos x (sin 2x + sin 3x) = 0;
. 5x x r.
cosx • sin — • cos - = 0.
2 2
Последнее уравнение распадается на три:
1 \ /"х 7Т . гь\ • 5х /"х 2 ТТЛ.
1) cosx: = 0; х = - + лтг; 2) sin — = 0; х = ;
2 2 5
3) cos = 0; х—к + 2кп.
Ответ. £ + яп, 7c + 27m,nGZ. ▲
2 5
Типичные преобразования, используемые для упрощения
тригонометрических уравнений
Пожалуй, наиболее часто для упрощения уравнений используются
формулы двойных углов, понижения степени, преобразования сумм
в произведения и произведений в суммы. В результате использова-
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования 51
пня этих формул получаются уравнения, равносильные исходным.
Рассмотрим на примерах ряд типичных ситуаций.
Если тригонометрические функции входят в уравнения в четных
степенях, то можно попробовать упростить уравнение, понизив сте-
, . 9 1 —cos 2а 2 1 +cos 2а
пени его членов с помощью формул sinza =-------, cosza = ——----.
Пример 4. Решить уравнение 4 sin4 2х + 16 cos4 2% = 5.
А Преобразуем уравнение, воспользовавшись формулами понижения
степени: 2
Л /1 —cos4x\ . /l + cos4x\ г
4(~2~) +16(-............2 ~ / =5i
5 cos2 4х + 6 cos 4х — 0;
cos 4х • (5 cos 4х + 6) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений
cos4x = 0 и cos4x = —1|. Корни первого находятся по формуле
□
7Г . 71П
х=- + —, второе уравнение корней не имеет.
Ответ. £ + п 6 Z. ▲
8 4
Пример 5. Решить уравнение cos 8х = 1 — 2 sin2 2х.
А Вновь воспользуемся формулами понижения степени:
cos 8х = 1 — 2 sin2 2х;
2 cos2 4х — 1 = 1 — (1 — cos 4х);
2 cos2 4х — cos 4х - 1 = 0.
Решив последнее уравнение как квадратное относительно cos4x,
получим:
1) cos4x = 1; х = ф;
л 1 I 7Г I ТГ/2
2) cos4x = —х = ±- + —.
2 6 2
Ответ. ▲
Z О Z
Замечание. Многие тригонометрические уравнения можно решить
несколькими способами. Например, уравнение в примере 4 можно свести
алгебраическому заменой переменной f = sin22x. А однородные уравнения,
которые в §2 мы сводили к алгебраическим заменой переменной, можно решать,
используя формулы понижения степени и введения вспомогательного угла.
Проиллюстрируем этот подход, вернувшись к уравнению в примере 3 §2 этой
главы.
52 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 6. Решить уравнение 10 cos2 х — 5 sin 2х = 4.
Д Данное уравнение равносильно каждому следующему:
5 + 5 cos 2х — 5 sin 2х = 4;
cos 2х — sin 2х — —
5
( п I 7с\ л/2
cos + +
2х + ; = ± arccos ( — ~ | + 2яп:
4 \ 10 J
л । 1 ( \/2 А .
х = - - ± - д — arccos — + тт.
8 2 \ 10 /
3 л 1 \/2 . 5 л । 1 л/2 I z— Гуу а
Ответ. ——- arccos + 7m, — -— + -arccos-— +ди, п 6 Z. ▲
8 2 10 8 2 10
Может показаться, что разные способы решения привели к раз-
ному ответу. Это, конечно, не так: полученные формулы, различаясь
по форме, задают одно множество.
Уравнение, которое содержит произведение тригонометрических
функций (sin а • sin cos a-cos sin a-cosj3), можно попробовать упро-
стить, применив формулы преобразования произведений в суммы.
Полезными бывают и обратные преобразования — суммы (разности)
синусов и косинусов в произведение.
Пример 7. Решить уравнение sinx • cos5% = sin9x • cos3x.
Д Воспользуемся формулой sina-cos/3= sin + sin (a + £j):
sin (x — 5x) + sin (x + 5x) _ sin (9x — 3x) + sin (9x + 3x)
2 2 ’
sin (—4x) + sin 6% = sin 6x + sin 12x;
sin 12x + sin 4x = 0;
2 sin 8% • cos4x = 0.
Все корни уравнения cos4x = 0 содержатся среди корней уравне-
ния sin 8х = 0, так как sin8x = 2sin4x • cos4x. Поэтому полученное
уравнение равносильно уравнению sin8x = 0, и, значит, х=^ —
8
формула корней исходного уравнения.
Ответ. п G Z. ▲
8
§3. Метод разложения на множители. Типичные преобразования 53
Упрощение тригонометрических уравнений
и проблема отбора корней
Преобразование тригонометрического уравнения может привести
не только к равносильному уравнению, но и к уравнению-следствию.
Если на каком-то шаге мы перешли к уравнению, про которое точно
таем, что оно — следствие исходного, и при этом не уверены в его
равносильности исходному, то, найдя корни нового уравнения, необ-
ходимо сделать проверку (например, подставив найденные значения
и исходное уравнение).
Однако следует иметь в виду, что проверка путем подстановки
найденных значений в тригонометрическое уравнение в большинстве
случаев сопряжена с техническими трудностями. Если сомнение
в равносильности первого и последнего в цепочке преобразований
уравнения вызвано расширением в ходе преобразований области
допустимых значений, лучше начать решение с записи ограничений,
определяющих область допустимых значений исходного уравнения,
и, найдя корни последнего уравнения, проверить, удовлетворяют ли
они этим ограничениям.
Пример 8. Решить уравнение } C°^x — 1-
Д Область допустимых значений уравнения определяется условием
l+sinx^O. На ОДЗ исходное уравнение равносильно следующим:
cosx-sinx-1 _ . 1 л / , 7г\ х/2
--------------- 0; cosx — sinх - 1 = 0; cosx +-
1 + sinx \ 4 7 2
Из последнего уравнения находим х + + 2дп или х + =
= — ^ + 2тт, откуда х — 2лп или х = — ^ + 2тт.
Если х = 2тот, то sinx + 1 = sin2кп + 1 = 1; если х = -^+2дп, то
sinx + 1 = sin+ 2тш) + 1 = 0. Следовательно, числа 2кп входят,
а числа — ^ + 2тш не входят в область допустимых значений исходного
уравнения.
Ответ. 2тш, n G Z. ▲
Пример 9. Решить уравнение:
2 sin2 х + 2 cos2 fx 4- 2) - 1
--------- - v 47------ = 0.
\/бх — X2
Д Данное уравнение равносильно смешанной системе
f 2 sin2 х + 2 cos2 (х + ^ — 1 = 0,
< \ 4/
( 6х — х2 > 0.
54 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнение 2sin2х + 2cos2 [х + j — 1 = 0 равносильно каждому
следующему:
2 sin2 х + 1 + cos (2х + 0-1 = 0; 2 sin2 х — sin 2х = 0;
2sin2x — 2sinx cosx = 0; sinx • (sinx — cosx) = 0.
Последнее уравнение распадается на два равносильных ему
в совокупности уравнения:
1) sin х - 0 <=> х = дп;
2) sinx — cosx = 0 <=> tgx : 1 <=> х = + тт.
Осталось выяснить, какие из найденных значений удовлетворяют
условию 6х — х2 > 0, т. е. принадлежат промежутку 0 < х < 6.
Рассмотрим первую серию корней. Подставляем в двойное нера-
венство 0 < х < 6 числа вида тип: 0 < тт < 6, 0 < п < ®. С учетом
того, что п — целое, находим п — 1, откуда, х = д.
Для второй серии условие отбора корней примет вид 0 < + тт < 6,
или — | < п < - - |. Поскольку 1,25 1,75,
4 7С 4 J 4 4 x 4 3 4
то неравенству — — | удовлетворяют два целых значения
п: 0 и 1. Им соответствуют корни х = и х=^-.
О7Г 5 7U *
твет. -,д, —. ▲
4 4
В рассмотренных выше примерах проблема отбора корней возни-
кала в связи с освобождением от знаменателя. Однако причиной рас-
ширения области допустимых значений тригонометрического уравне-
ния может быть также использование некоторых тригонометрических
формул. В первую очередь следует обратить внимание на формулы,
выражающие синус, косинус, тангенс или котангенс угла через
тангенс половинного угла. Обсуждая решение уравнений с помощью
универсальной тригонометрической подстановки, мы уже говорили
о том, что использование этих формул может привести к сужению
области допустимых значений и, как следствие, к потере корней.
Использование тех же формул в обратном направлении, напротив,
может привести к расширению области допустимых значений и, как
следствие, к появлению посторонних корней. Сказанное относится
также к формулам тангенса суммы и разности аргументов.
Также к приобретению корней может привести использование
формул tga cos a = sin a или ctg a • sin a = cos a.
§4. Метод оценки левой и правой частей уравнения 55
§ 4. МЕТОД ОЦЕНКИ ЛЕВОЙ И ПРАВОЙ ЧАСТЕЙ
УРАВНЕНИЯ
5х
Пример 1. Решить уравнение cos4x + sin у = 2.
5%
А Перепишем уравнение в виде cos4x = 2 — sin —. Так как при любом
5х 5х
значении х cos4x 1, а 2 — sin у 1, то равенство cos4x = 2 — sin у
может выполняться в том и только в том случае, когда
'cos4x=l, х=^, nel,
_ 1 Зтг . блти _ rj,
[ sin т - 1 _ + ___ m е Z.
т т «.» 7Г/2 3 7Г । 6 7ГГЛ
Найдем такие целые значения пит, что — = — 4—— ,
2 10 5
т. е. 5гг = 3 4- 12/72. Выражая из последнего равенства п, полу-
чаем п = 2т + 2от&+ 3. Так как п — целое, то последнее равенство
возможно, если 2m 4- 3 делится на 5, т. е. 2т + 3 = 5k, 6 G Z.
Отсюда т = 2k — 1 + ^у^- Поскольку т должно быть це-
лым, то k должно быть нечетным. Если k — 2р + 1, где
р G Z, то т = 2(2р + 1) — 1 + + ~ 1 = 5р + 1. Следовательно,
Зтг
То
6ти(5р + 1) _ Зтг
5 2
4- 6 тер.
Ответ, у + 6тср,р G Z.
Пример 2. Решить уравнение sin 7х • cos4x — — 1.
А Воспользовавшись формулой преобразования произведения синуса
и косинуса в сумму, приводим уравнение к виду sin Их 4-sin3x = — 2,
откуда получим sin Их = — 2 — sin Зх. Так как при любом значении х
sin Их ^—1, а — 2 —sin 3x^—1, то равенство sin Их = -2 — sin Зх
может выполняться в том и только в том случае, когда
sin Их = —1,
—2 — sin Зх = —1
7Г 2 Л72 _ гут
х = -й + ТГ’пе2’
% = -£ + ^, m€Z.
О о
тт о 7Г
Найдем такие целые значения пит, при которых — — 4-у-=
_ т е Зп = -2-Ь 11т. Выражая из последнего равенства п,
6 3
2/?z ~~ 2
получаем n = 3m + —-—. Так как п — целое, то последнее равенство
56 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
возможно, только если 2m — 2 делится на 3, т. е. 2m — 2 = 3/г, k е Z.
Отсюда т = 1 + /? + |. Поскольку т должно быть целым, то k должно
быть четным. Если k = 2р, где р G Z, то m = 1 + 2р + у = Зр + 1.
Следовательно, х — — J + = к + 2тир.
Ответ. ^ + 2др,рб2. А
Пример 3. Решить уравнение tgx + ctgx = 2cos8х.
А Оценим левую и правую части данного уравнения.
Так как tgx + ctgx =--------= 2п , то Itgx + ctgxl 2. В то
° sinx cosx sin2x 1 ° 1
же время |2cos8х| 2. Значит, равенство tgx + ctgx = 2cos8x
выполняется только в двух случаях:
Г tgx + ctgx = 2, Г tgx + ctgx =-2,
1) < или 2) <
[2cos8x = 2 I2cos8x = —2.
1) Из первого уравнения последовательно находим: = 2,
sin2x = 1, х = ^-Тл:п; из второго: cos8x = l, х=^- Нетрудно
убедиться (например, воспользовавшись моделью тригономет-
рической окружности), что первое множество значений х
содержится во втором, и, значит, х = + лп — решение системы.
2) Решение первого уравнения х = — + дп, второго х = ^-Т~.
Равенство — + тт — т. е. 8п = 3 + 2k, невозможно
4 8 4
ни при каких целых значениях п и k (в его левой части
стоит четное, а в правой — нечетное число). Следовательно,
эта система решений не имеет.
Ответ. + пп, п G Z. А
4
Идея приведенного выше решения выглядит так: если |/(х)| ^М,
|g(x)| то уравнение /(x)=g(x) равносильно совокупности систем:
Г/(х) = Л4, Г/(х) = -М,
U(x)=M \g(x) = -M.
§5. Отбор корней. Уравнения, содержащие знаки модуля и корни 57
§5. ОТБОР КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАКИ МОДУЛЯ И КОРНИ
Тригонометрические уравнения, содержащие знак модуля
Решение тригонометрических уравнений с модулем неразрывно
связано с проблемой отбора корней. Рассмотрим несколько примеров.
\/3
Пример 1. Решить уравнение tgx • |cosx| =
А Данное уравнение выполняется в двух случаях:
1)
cosx > О,
tgx • cosx = —
{cosx < О,
tgx - (-cosx) = .
1) С учетом области определения тангенса
первую систему можно записать в виде
п / 2 \
cosx >0, / \
5 . Аз • —I-----л-------]—-
sin X = \ О I
П - \ Л J
Для решения этой системы используем
модель тригонометрической окружности. С
Корни уравнения sinx = ~^ можно интер- Рис- 9
претировать как числа, соответствующие точкам тригонометри-
л/З
ческой окружности с ординатой -^-(на рис. 9 это точки А и В).
Для чисел, соответствующих точке А, косинус положителен,
а для чисел, соответствующих точке В, — отрицателен. Следо-
вательно, решение системы образуют числа, соответствующие
точке А, т. е. х = | + 2дп.
2) Вторую систему можно преобразовать к виду
' cosx < О,
< . Аз
sin X =----
Аз
Ординату —— на тригонометрической окружности имеют
две точки (на рис. 9 это С и D). Для чисел, соответствующих
точке С, косинус положителен, а для чисел, соответствую-
щих точке D,— отрицателен. Следовательно, решение системы
образуют числа, соответствующие точке D, т. е. х — — ^ + 2дп.
58 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Заметим, что объединение серий ^ + 2дп и — ^ + 2дп можно
задать одной формулой - + тт.
Ответ. ^ + тт,пе%. ▲
Пример 2. Решить уравнение cosx |sinx| = 0,25.
А Уравнение равносильно совокупности двух систем
' sin х 0,
• О 1
sin 2х =
Г sinx < 0,
sin 2х = —
1)
и
1) Уравнение sin 2х = имеет корни х = (“0”^ + у, я G Z.
Так как любое число п е Z можно представить в виде
п = 4k + г, где k G Z, а г принимает значения 0, 1, 2, 3, то
х = (-1)«+г2т. + ^ik + r} = (-!)г-£ + 5Г + 2Й.
Последовательно полагая в этой формуле г = 0,1,2,3,
получаем х = + 2д&, х = 4~2jik, х = + 2 д/г, х = у- + 2 д/г.
Значения х из первых двух серий (и только они) удовлетворяют
условию sinx 0 и являются решениями первой системы.
2) Для второй системы аналогично получаем х = (—1)г+1у^ + у +
+ 2д/г. Полагая в этой формуле г = 0,1,2,3, находим следующие
серии корней: х = -£- + 2 д/г, х = + 2д/г, х = + 2д/г,
1 /л 1 /л 1
19 7Г
х = — + 2д/г, из которых условию sinx < 0 удовлетворяют
корни первой и четвертой серий.
Ответ. ±-А+2д£, ±^ + 2д/г, k е Z. ▲
В некоторых случаях удачная замена помогает избежать решения
уравнения на отдельных промежутках.
Пример 3. Решить уравнение 2cos2x + |— sinx| = 2.
А Вначале преобразуем уравнение:
2(1 — sin2x) + |sinx| = 2, 2sin2x - |sinx| = 0.
Положим t = |sinx|. Так как /2 = (|sin x|)2 = (sin x)2, то получим
уравнение 2/2 — t = 0, откуда / = 0, /=^.
Если / = 0, то имеем: |sinx| = 0; sinx = 0; x = тт.
Если /=^, то имеем: |sinx| = sinx = ±j; x = ±| + тт.
О т в е т. ± J + тт, тт, п G Z. ▲
О
§5. Отбор корней. Уравнения, содержащие знаки модуля и корни 59
Пример 4. Решить уравнение sin 2х — 5 |sin х 4- cosx| 4- 5 = 0.
Л Положим t= |sin х 4- cos х|. Поскольку sinх-Ь cosx = \/2cos (х — .
го t = у/2 |cos (х — | и, значит, 0 /2.
Так как t2 = (|sin х + cosх|)2 = (sin х 4-cosx)2 = 1 + sin 2х, то
sin2x = /2 — 1. Следовательно, исходное уравнение сводится к сме-
шанной системе t2 - 5/ 4- 4 = 0, 0 \/2.
Уравнение t2 — 5/4-4 = 0 имеет два корня t\ = 4 и /2 — h первый
из которых не удовлетворяет условию 0 t д/2. Если t = 1, то,
возвращаясь к переменной х, получим /2 |cos (х — | = 1. Это
уравнение равносильно каждому из уравнений 2 cos2 (х --^) = 1,
1 4- cos ^2х — = 1, sin 2х = 0, откуда х =
Ответ. ---, п 6 Z.
Иррациональные тригонометрические уравнения
Для решения иррациональных уравнений, содержащих триго-
нометрические функции, используются все изученные нами ранее
приемы решения иррациональных уравнений. Пожалуй, элементы
новизны и основные трудности связаны с проблемой отбора корней.
Необходимость проверки тех или иных условий возникает в ходе
решения любого иррационального уравнения, не только тригоно-
метрического. Но в случае тригонометрических иррациональных
уравнений проверка условий, которым должны удовлетворять корни,
осложнена тем, что число корней тригонометрического уравнения
бесконечно.
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 5. Решить уравнение (х2 — 4х 4- 3) • /cosx = 0.
А Корнями исходного уравнения будут все корни уравнения
/cosx = 0, а также корни уравнения х2 — 4x4-3 = 0, удовлетворяющие
условию cos х 0.
1) -/cosx = 0; cosx = 0; х = 4- кп.
2) Уравнение х2 — 4х 4- 3 = 0 имеет два корня xi = 1 и х2 = 3. Так
как cosl>0, a cos3<0, то исходному уравнению удовлетворяет
только первое значение.
Ответ. 1; 4- кп, п 6 Z. ▲
60 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
В тех случаях, когда удается избавиться от иррациональности
путем введения новой переменной, проблемы отбора корней, как
правило, не возникает.
Пример 6. Решить уравнение 8 sin х + 2\/sin х — 1 = 0.
А Введем новую переменную t = \/sinx. Учитывая, что
t2 = (x/sinх)2 = sinx, получим уравнение St2 + 2t — 1 = 0, откуда
2 4
Если t = — то \/sinx = — Полученное уравнение не имеет
решений.
Если t= 4, то имеем: \/sinx =4; sinx= 4^; х = (— 1)пarcsin+ кп.
4 4 16 16
Ответ. (—1)п arcsin 1/16 + кп, п 6 Z. ▲
Основным приемом избавления от иррациональности является
возведение в квадрат обеих частей уравнения. В результате этого
преобразования получается уравнение, которое является следствием
исходного, и зачастую неравносильно ему. Поэтому возникает необ-
ходимость либо накладывать ограничения на значения переменной,
при выполнении которых полученное после возведения в квадрат
уравнение равносильно исходному, либо в конце решения делать
проверку.
Пример 7. Решить уравнение ^/1 + = ctgx.
А Данное уравнение равносильно смешанной системе
' ctgx О,
1 + — = ctg2x.
sinx
Вначале решим уравнение:
1+^=с‘82*;
1 + = Ц- - 1;
sinx sin2x
sinx \sinx / \sinx /
П + -Ц (2--!-) = 0.
\ sinx/ \ sinx/
В области определения, которая задается условием sinx ф О,
последнее уравнение распадается на два, равносильных ему в сово-
купности уравнения:
1) 1-|—— = 0; sinx = —1; х = —£ + 2тгп;
sinx 2
2) 2—— — 0; sinx=^; х = (-1)п J + кп.
sinx 2 6
§5. Отбор корней. Уравнения, содержащие знаки модуля и корни 61
Отберем значения х, удовлетворяющие условию ctgx + 0.
Для корней первой серии ctg + 2тт) = 0, следовательно,
условие ctgx > 0 выполнено для всех х = + 2лтг.
Для корней второй серии
ctg = ctg ((-Iff) =
3, если п четно,
Уз, если п нечетно.
Таким образом, условие ctgx > 0 выполнено только для четных
значений п (n = 2m, m G Z), т. е. для х=^+2лтп.
6
Ответ. — £ + 2лтг, ^+2тш, n 6 Z. ▲
2 6
Пример 8. Решить уравнение: \/3 2 sin2 х = Уб cos *.
А Данное уравнение равносильно системе
cos - > О,
< 2
3 + 2 sin2 х = 6 cos2 У
2
Уравнение, входящее в систему, равносильно каждому из урав-
нений
3 + 2(1 — cos2 х) = 3(1 + cosx); 2 cos2 х + 3 cosx — 2 = 0,
откуда cosx = Тогда cos2 = |.
Таким образом, исходное уравнение равносильно системе
COS - > О,
кчч-
2 4
Следовательно, cos х = + 4 лл.
Ответ. ±^+4тот, п 6 Z. ▲
Разные задачи, связанные с отбором корней
Проблема отбора корней может возникать не только в процессе
решения тригонометрического уравнения, но и содержаться в самой
постановке задачи.
62 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 9. Для какого из корней уравнения 4cosxsin — xj =\/3
выражение 2х2 * + х - 3 принимает наименьшее значение?
А Уравнение 4cosxsin - х) = х/З равносильно следующим урав-
нениям:
2 fsin + sin f — х - х) ) = х/З; 2 [ + sin — 2х) ) = х/З;
\ О \ U / / \ " \ //
sinfj- 2х)=0; х=^ + ^, п Е Z.
\ о / О Z
/ \ 2
Если привести выражение 2х2 + х — 3 к виду 2 (х+ |) — 3|, то
становится очевидным, что оно принимает наименьшее на множестве
n6Z, значение при том из корней уравнения, который ближе
остальных расположен на оси Ох к — Заметим, что для любых
целых п — 2 и m 1
7Г . КП 7Г . Л(—1) _1 7Г . 7Г- О К . ЛГП
6 + T<6H < 4 < 6 + ~2~ < 6 + ~2’
— к/?> тг/6
Следовательно, нам остается выяснить, какой из двух корней, х — —
О
или х = ближе расположен к точке х = — |. Расстояние между
точками х = — и х = — | равно , а расстояние между точками
* = 4 ИХ = | равно + Но (2 + 1) - (| - 1) = 1 - 5 < О,
значит, + —Следовательно, ^ — искомый корень.
Ответ. А
6
Пример 10. Найти корни уравнения 2sin2x — cos2x = 2ctg2x,
удовлетворяющие неравенству cosx sinx.
А Область допустимых значений уравнения определяется условием
sinx^O. На ОДЗ уравнение 2 sin2 х - cos2 х = 2 ctg2 х равносильно
следующим уравнениям:
3 sin2 х - 1 = 2 (—--1) ; 3 sin4 х 4- sin2 х — 2 = 0;
\sin2x /
2 2 /2"
sin х—-, откуда sinx = ±y-.
§6. Решение тригонометрических уравнений с параметром 63
Из корней уравнений sinx = у | и sinx = -у | отберем те,
которые удовлетворяют неравенству cosx sinx.
1. Если sinx = у^|, то либо cosx = у^|, либо cosx = — 4.
Ни в том, ни в другом случае неравенство cosx sinx не
выполняется.
2. Если sinx = -y^, то либо cosx = у^|, либо cosx = --y/J.
В том и в другом случае неравенство cosx sinx выполняется,
следовательно, х = (—l)n+1 arcsin у^| + дп — искомое решение.
Ответ. (—l)n+l arcsin у^| + тсп, nel. ▲
§6. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С ПАРАМЕТРОМ
Пример 1. При каких неотрицательных значениях параметра a
уравнение УЗа • cosx — sinx = 2 имеет корни?
Л Преобразуем уравнение путем введения вспомогательного угла:
v/За + 1 • | . • cos х — 1 • sin х ] - 2:
\ х/37+1 л/ЗаТТ /
2
cos ср • cos х - sin (р • sin х — —== , где (р = arccos , ;
r г х/з^ТТ r х/З^ТТ
cos(^+x) = 7Stt'
Последнее уравнение имеет корни в том и только в том
случае, когда параметр а удовлетворяет двойному неравенству:
-1 2 1, или 2 \/3a + 1, За + 1 4, а 1.
х/ЗаТТ
Ответ, а > 1. ▲
Пример 2. Определить, при каких значениях параметра а
уравнение sin4 х + cos4 х + sin 2х + а = 0 имеет корни, и найти все
эти корни.
А Данное уравнение равносильно следующим уравнениям:
sin4 х + cos4 х + 2 cos2 х sin2 х — 2 cos2 х sin2 х + sin 2х + а = 0;
(sin2х + cos2х ) — 0,5sin2 2х + sin2х + а = 0;
sin2 2х - 2 sin 2х - 2а — 2 = 0;
(sin 2х — I)2 — 2а — 3 = 0; (sin 2х — I)2 = 2а + 3.
64 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Если правая часть полученного уравнения отрицательна, т. е. если
a < —1,5, то уравнение не имеет корней.
Пусть а ^-1,5. Тогда уравнение (sin2x — 1)2 = 2а + 3 равносильно
уравнению sin 2jc = 1 — y/2a + 3. Полученное уравнение имеет корни
тогда и только тогда, когда |1 — у/2а + 3| 1, т. е. О у/2а + 3 2,
откуда —1,5 а 0,5. При этих значениях а находим корни
х = |(-1)А arcsin (1 - V2a + 3) + у.
Ответ. -1,5^<з^0,5; l)ftarcsin (1 - \/2а-ГЗ) + у,▲
Пример 3. Найти все значения а, при каждом из которых
уравнение sin2 х — |sin х cosx| = а имеет хотя бы один корень.
А Уравнение равносильно следующим:
sin2x - |sinxcosx| = а • (sin2x + cos2x);
a cos2 х + (sin x cosx| + (a — 1) sin2 x = 0.
Если a = 0 или a = 1, то последнее уравнение имеет корни
(например, х = 0 и х = л/2 соответственно).
Рассмотрим значения а^О, ау^1. В этом случае среди значений х,
для которых sinx = 0, корней уравнения нет, поскольку, если sinx = О,
то из уравнения следует, что и cosx = 0, а одновременно эти
два равенства выполняться не могут. Следовательно, деление обеих
частей уравнения на sin2x не приведет к потере корней. Разделив,
получим уравнение, равносильное исходному:
actg2x + |ctgx| + (а - 1) = 0.
Полученное уравнение заменой |ctgx| = t сводится к системе
at2 + t + (а — 1) — 0, t^O.
Для того чтобы корни квадратного уравнения at2 + t + (а — 1) = О
существовали, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант
D — 1 + 4а — 4а2 этого уравнения был неотрицателен, что имеет
1 — х/2 . 1 + V2 г>
место, если —-— а 1 . В этом случае согласно теореме
Виета для корней /1,^2 имеем: — и ^1+^2 = — -• Рассмотрим
два случая.
1 — д/2
1) —а < 0. Тогда t\ • t% > 0 и t\ + /2 > 0, следовательно, оба
корня положительны и смешанная система at2 + t + (а — 1) = О,
t 0 имеет решение.
1 I \/2
2) 0 < а < —, а 1. Тогда t\ + < 0, следовательно, хотя
бы один из корней отрицателен и, значит, второй будет
§7. Решение тригонометрических неравенств 65
положителен лишь при условии < 0» откуда получим
О < a < 1.
Таким образом, исходное уравнение имеет решение, если a = О,
a = 1, 1 a < 0 и 0 < a < 1.
§ 7. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Решение простейших тригонометрических неравенств
Простейшими тригонометрическим неравенствами называют нера-
венства вида sinx > a, cosx > a, tgx>a, ctgx > a, sinx < a, cosx < a,
tgx<a, ctgx < a, aeR, а также нестрогие неравенства, аналогичные
данным.
Все простейшие неравенства решают, используя либо графики три-
гонометрических функций, либо модель тригонометрической окруж-
ности. Решение разбивают на два шага. На первом шаге находят
решение неравенства на каком-либо отрезке, длина которого равна
периоду входящей в неравенство тригонометрической функции (этот
отрезок называют базовым). Для решения неравенства на базовом
отрезке используют график тригонометрической функции или модель
тригонометрической окружности. На втором шаге распространяют
решение на всю числовую ось, добавляя к каждому найденному
значению переменной совокупность чисел, отличающихся от него на
любое целое число периодов.
Неравенства вида /(<р(х))<а (>,^,^), где / — синус, косинус,
тангенс или котангенс, сводятся к простейшим путем замены cp(x) = t.
Пример 1. Решить неравенство 2 sin (Зх — — 1 0.
Д Переписав неравенство в виде sin I Зх — - ) - и положив
\ 6 / 2
t = 3x — ^, получим неравенство sinZ^|. Функция sint имеет период
6 2
2я, поэтому вначале нужно решить неравенство на каком-нибудь
отрезке длиной 2д. Это можно сделать двумя способами.
1-й способ. С графической точки зрения решениями неравенства
sin t | являются значения переменной t, для которых
соответствующие точки графика функции у = sin t лежат не
выше прямой у = В качестве базового отрезка возьмем
3-1367
66 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
о 7Г 7Г I т г °
— — \ - . На этом отрезке множеством решении неравенства
является отрезок [— (рис. 10).
Заметим, что выбор отрезка как базового оказался
удачен с точки зрения удобства задания множества решений
неравенства. Например, на отрезке [0;2тт] множеством решений
неравенства sin t является не отрезок, а объединение двух
промежутков.
2-й способ. На тригонометрической окружности выделим дугу,
точки которой имеют ординаты, меньшие или равные
В качестве базового возьмем отрезок который удобен
тем, что при обходе тригонометрической окружности против
хода часовой стрелки от —— до - выделенная дуга будет
пройдена без разрывов. Точке, с которой начинается обход
дуги, соответствует число —-у, а точке, в которой обход
заканчивается, — число (рис. 11). Следовательно, решение
неравенства на базовом отрезке задается двойным неравен-
7я . , 7Г
ством - — < Z -.
о о
Распространив, с учетом периодичности синуса, решение
неравенства sin t | на всю числовую ось, получим совокуп-
ность промежутков вида —-у + 2лтг t +2тш.
Вернемся к переменной х:
+ 2тт Зх — £ + 2яп; -д+ 2тт Зх J + 2тш;
обо 3
_ тг 2тш у л . 2тт
3 + ~ 9 + “3"'
ГУ Г 7Г , 2яи 7Г . 2тгп~] -гл А
Ответ. nGZ. ▲
L о о У о J
§7. Решение тригонометрических неравенств 67
Пример 2. Решить неравенство 4 cos (%х — — 3 < 0.
Л Переписав неравенство в виде cos (%х — | и положив
I = 2х — получим неравенство cosf<|. Как и в предыдущем
примере, покажем два способа решения этого неравенства на базовом
отрезке.
1-й способ. Возьмем в качестве базового отрезок [0; 2л:]. Найдем
все точки из этого отрезка на оси Ot, для которых соответ-
ствующие точки графика функции у = cost лежат ниже прямой
у= Из рис. 12 видно, что искомые значения t принадлежат
интервалу гДе arccos |, = 2 л: - arccos |.
2-й способ. На тригонометрической окружности выделим дугу,
О
точки которой имеют абсциссы, меньшие В качестве базо-
вого возьмем отрезок [0; 2д]. Это удобно, поскольку при обходе
тригонометрической окружности против хода часовой стрелки
от 0 до 2д выделенная дуга будет пройдена без разрывов.
Точке, с которой начинается обход дуги, соответствует число
Q
t\— arccos-, а точке, в которой обход заканчивается, — число
= 2я — arccos Следовательно, решение неравенства на
базовом отрезке задается двойным неравенством t\ < t <
(рис. 13).
С учетом периодичности косинуса получим: 2дп + arccos <
< t < 2д - arccos + 2дп.
4
Поскольку t = 2x — р то для исходной задачи имеем:
2дп + arccos % < 2х - J < 2д - arccos + 2дп;
кп + $ + arccos 7 < * < т? ~ х arccos ? + кп.
6 2 4 6 2 4
Рис. 13
Рис. 12
68 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Решение тригонометрических неравенств
методом разложения на множители
1)
Пример 3. Решить неравенство v3sinx — sin 2х < 0.
А Функция /(х) = х/З sin х — sin 2х имеет период 2л, поэтому если
некоторое число х является решением неравенства, то и числа
х + 2лп,п EZ, также будут его решениями. Поэтому можно вначале
найти множество решений неравенства на отрезке [0; 2л] и затем
с учетом периодичности функций выписать окончательный ответ.
Данное неравенство можно записать в виде \/3sinx — 2sinxcosx<
< 0, или sinx (\/3 — 2cosx) < 0. Следовательно, оно выполняется
в двух случаях:
' sin х < 0, ( sin х > 0,
< Уз и 2) < Уз
I 2 I 2
На промежутке [0; 2л] неравенство sinx<0 выполнено при
х/З
х G (л;2л), а на этом интервале неравенство cosx <
< х < ~ (рис. 14).
[0; 2л] неравенство sinx > 0 справедливо
на этом интервале неравенство cosx > —
0 < х < ~ (рис. 15).
О
выполнено при л
На промежутке
при х 6 (0; л), а
2)
выполняется при
Таким образом, на промежутке [0; 2л] исходное неравен-
ство выполнено, если х 6 (0;^) U (л;-Ц^). Следовательно, ис-
ходному неравенству будут удовлетворять все такие х, что
х G f2лп; £ + 2лп) U f л + 2ли; + 2лп\ п 6 Z.
\ о / \ о /
Ответ: (2лп\ J + 2лп) U (л + 2лп; + 2лп), п G Z. ▲
\ О / \ 6 /
§7. Решение тригонометрических неравенств 69
Решение тригонометрических неравенств
методом введения новой переменной
Пример 4. Решить неравенство cosx + 0.
Л Используя основное тригонометрическое тождество, перепишем
неравенство в виде 0- Положив t = cosx, получим
1 — 2t
систему -—->0,— решением которой является промежуток
21. Таким образом, исходная задача свелась к решению двойного
неравенства ~ cosx 1.
В качестве базового возьмем отрезок [ — л; л].
Решением неравенства на этом отрезке является
промежуток — ~ х (см. рис. 16) и, зна-
чит, решением исходного неравенства на всей
числовой оси — совокупность промежутков вида
-^ + 2лп х + 2кп.
О о
Ответ.
+ 2лп; + 2лл|,
п 6 Z.
Решение тригонометрических неравенств,
содержащих модули и радикалы
Пример 5. Решить неравенство | л/3 cosx| sin х.
Д Прежде всего, заметим, что среди значений х, удовлетворяющих
условию sinx < 0, решений неравенства нет. Значения х, удовлетво-
ряющие условию sinx = 0, т. е. х = л/г, также не являются решениями
неравенства (в этом легко убедиться, подставив х = nk в неравенство).
Будем искать решения неравенства среди значений х, удовлетво-
ряющих условию sinx>0. Раскроем знак модуля и поделим полу-
чившееся неравенство почленно на i/3sinx: — sinx \/3 cosx sinx,
—ctgx Таким образом, решение исходного неравенства
свелось к решению системы sinx > 0, —-^= ctgx -^=. Вначале
найдем решение системы на базовом отрезке. Так как наименьший
общий период функций, входящих в эту систему неравенств, равен
2л, то в качестве базового можно взять отрезок [0;2л].
70 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
тервале решением
Рис. 17
является отрезок
Распространяя
На этом отрезке решением неравенства
sin х > 0 является интервал (0; д). На этом ин-
неравенства —ctgx
7Г 27Г~] / 1 *-74
yj (см. рис. 17).
эешение системы на всю чис-
ловую ось, получим совокупность промежутков
вида + 2дп; у + 2дп].
Ответ. | ^ + 2тш; + 2тш"1, п <Е Z. ▲
L о u J
Пример 6. Решить неравенство >/6sinх 2 cosx.
А Область допустимых значений неравенства определяется усло-
вием sin х 0. Среди значений х, удовлетворяющих неравенству
2cosx < 0, решений исходного неравенства нет, поскольку левая
часть неравенства при всех допустимых значениях переменной
неотрицательна. Значит, решения следует искать на множестве,
определенном условиями cosx > 0, sinx > 0. На этом множестве
обе части исходного неравенства определены и неотрицательны,
следовательно, оно равносильно неравенству 6sinx 4cos2x,
2sin2x + 3sinx — 2^0, откуда получим sinx^0,5.
Таким образом, решение неравенства
\/6sinx 2cosx свелось к решению смешанной
системы cosx > 0, 0 sinx 0,5.
Вначале найдем ее решение на базовом
отрезке. Так как наименьший общий период
функций, входящих в систему неравенств, равен
2д, то в качестве базового можно взять отрезок
[0;2д]. На этом множестве решением системы
является отрезок 0; (см. рис. 18).
Распространяя решение системы на всю числовую
совокупность промежутков вида ^2лп; + 2дп].
; + 2дп], и е Z.
или
ось, получим
Ответ.
§8. Задачи с обратными тригонометрическими функциями 71
Решение тригонометрических неравенств
методом оценки левой и правой частей
Пример 7. Решить неравенство
бд2 (cos — 2 cos + 24дх — 2х2 — 81л2.
Л Вначале преобразуем и оценим левую часть неравенства:
бд2 (cos £ - 2 cos = бд2 (2 cos2 - 2 cos Л - 1) =
(/ \ 2 , \
“I) =
\ 1О Z / Ч /
= 12л2 (cos 7^-5) - Эд2 -Эд2.
Теперь преобразуем и оценим правую часть неравенства:
24 дх — 2х2 — 81 д2 = -2 (%2 - 12дх + Збд2) - Эд2 =
- -2 (х - бд)2 - Эд2 < -Эд2.
Таким образом, при любом значении х левая часть неравенства
больше либо равна —Этт2, а правая часть меньше либо равна —Эд2.
Следовательно, неравенство будет выполнено в том и только в том
случае, когда левая и правая части будут равны —Этт2:
12^(005^-1) - Эд2 = —Эд2, |с°5-Т = ^,
< \ 18 2/ <=> <j 18 2 <=>% = 6д.
. -2 (х - бд)2 - Эд2 = -Эд2 I % = бд
Ответ, бд.
§8. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Решение уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции
Пример 1. Решить уравнение arccos2 х — 8 arccos х + 15 = 0.
А Положим t = arccos %. Так как множество значений функции
arccosх — отрезок [0; д], найдем решения уравнения t2 — 8/+15 = О,
удовлетворяющие условию 0 + t д. Такой корень один: t = 3. Если
t = 3, то arccosx = 3, откуда x = cos3.
Ответ. cos3. А
72 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Пример 2. Решить уравнение
2 arcsin ( х2 — х + 0,5 ) = arccos (х2 — х + 0,5
А Применив тождество arcsin а + arccos а = получим:
2 arcsin | %
— arcsin
arcsin
х2 — х + 0,5 = sin
о
х2 — х = 0, х= 1, х - 0.
Ответ. 0;1.
Пример 3. Решить
уравнение arccos х = arcsin 2х.
А Область допустимых значений уравнения
определяется условиями |х| 1, |2х| 1, т. е.
|х| 0,5. Более того, поскольку значения
арккосинуса ограничены отрезком [0,д],
а арксинуса — отрезком [— трту], то ра-
венство левой и правой частей уравнения
возможно только в случае, если их значения
лежат на отрезке р); ^], т. е. с учетом об-
ласти допустимых значений при 0^х^0,5.
Таким образом, решение уравнения сле-
дует искать на множестве 0 х 0,5. На
этом множестве значения левой и правой частей лежат на отрезке
[О; , где имеет место взаимно однозначное соответствие между
углами и значениями косинусов этих углов. Следовательно, на
отрезке [0; 0,5] уравнение arccosх = arcsin2х равносильно уравнению
cos (arccosх) = cos (arcsin 2х), которое, в свою очередь, на [0; 0,5]
равносильно уравнениям: х=\/\ — 4х2, х2 = 1 — 4х2, 5х2 = 1, х=-^=.
V 5
Ответ. А
у/5
Замечание. Процесс решения уравнения в примере 3 можно сделать
наглядным, построив графики функций z/ = arccosx и у = arcsin2% (см. рис. 19).
§8. Задачи с обратными тригонометрическими функциями 73
Решение неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции
Пример 4. Решить неравенство arccosx arcsin Зх.
Л Левая и правая части неравенства имеют смысл тогда и только
тогда, когда выполнены условия
|х| 1, |3х| 1, т. е. |х| |.
Разобьем область допустимых значений на два промежутка
и решим неравенство на каждом из них.
1) Пусть хе о). Тогда arccosx > a arcsinЗх <
следовательно, неравенство выполнено.
2) Пусть х е [О; . Тогда 0 arccosx
и О arcsin Зх Так как на
отрезке [О; функция cos/ моно-
тонно убывает, то большему значе-
нию аргумента соответствует меньшее
значение функции, и, значит, исход-
ное неравенство равносильно нера-
венству cos (arccosx) cos (arcsin Зх).
Так как значение косинуса на
отрезке [б; неотрицательно, то
Рис. 20
cos (arcsin Зх) = у 1 — (sin arcsin Зх)2, следовательно, последнее
неравенство равносильно неравенству х^ у 1 — (sin arcsinЗх)2,
которое, в свою очередь, на отрезке ^0; равносильно
следующим неравенствам: х \/1 — 9х2, х2 1 — 9х2, 10х2 1,
Ответ. Г——У . А
L 3’ yioJ
Замечание. Процесс решения неравенства в примере 4 можно сделать
наглядным, построив графики функций у — arccosx и у = arcsinЗх (см. рис. 20).
74 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XII.1
Вариант 1
1. Решить уравнение ( cos I х + ) + 1 ) (sin 2х + 3) tg I х — ) =0.
\ \ 3 у / у 6 у
2. Найти все решения уравнения sin2xsin3x + 0,5 = — cos2xcos3x, удовле-
творяющие условию tgx>0.
3. Найти корни уравнения V^sin 4х + cos4x = — 1, принадлежащие отрезку
2л к
з '
4. Не выполняя построений, найти абсциссы точек пересечения графиков
функций у = cos2х и у = cos ( — xj.
у = Sin IX— -I и
Вариант 2
1. Решить уравнение ^sin - х^ + 1^ (cos3x — 2) ctg ^х — = 0.
2. Найти все решения уравнения sinх cos2х = cosxsin 2х + 0,5, удовлетворя-
ющие условию ctgx < 0.
3. Найти корни уравнения a/3cos4x — sin4x = 1, принадлежащие отрезку
5л к
6
4. Не выполняя построений, найти абсциссы точек пересечения графиков
у = sin 2х.
Ответы
о 2 Л q t-tj п I л л 7 л
2. + 2™, neZ. 3. .
2. —+ 2тот, neZ. 3. —.
6 ’ 24 ’ 24 ’ 8 ’ 8
1. + тт,п G Z.
6
— - + 2тт, п е Z.
4
1. + лп, п G Z.
Л , с, rj.
Вариант 1.
‘ 12 + 3 ’
Вариант 2.
7л . 2лл д , с, г,,
— + —-, - - + 2лтг, п е Z.
4.
Самостоятельная работа XII.2
Вариант 1
1. Решить уравнение 8 cos2 + 6 sin = 9.
8 8
2. Найти все решения уравнения 5sin2x + 4sin2x + cos2x = 7, удовлетворяющие
условию sin х < 0.
Дидактические материалы 75
Вариант 2
1. Решить уравнение 2 sin -+cos-=2.
6 о
2. Найти все решения уравнения 1 — 4sinxcosx — 6cos2х = 0, удовлетворяющие
условию cosx < 0.
Ответы
Вариант!. 1. 8 • ((-1)" • arcsin 0,25 + тт) , (-1)" • + 8m,n е Z.
2. — + 2тт, arctg3 — тг + 2тт, п е Z.
Вариант 2. 1. Зтг + бтт, ±2тг + 12тт, п е Z. 2. +2яп, arctg5 - тг + 2тт,
а е Z.
Самостоятельная работа XII.3
Вариант 1
Решить уравнения:
1. (cos8x— 1)-tg(x— =0.
2. sin2x = |cosx|. 3. \/sin —cosx = \/-cos2х.
Вариант 2
Решить уравнения:
1. sin4x-ctg(x— =0.
2. — sin2x = |sinx|. 3. \/sin + cosx = \Zcos2x.
Ответы
Вариант!. 1. —, - + 2. £ + тт, + 2тт, + 2пп, п е Z.
2 4 2 6 6
3. + тм, | + 2тт, п е Z.
Вариант 2. 1. + тт, п е Z. 2. тт, — + 2тт, + 2тт, п 6 Z.
3. — - + тт, 2лт, п е Z.
Самостоятельная работа XII.4
1. Решить неравенство: а)
2. Найти значения х, при
выше прямой у — 0,25.
Вариант 1
sinxsin + cosxcos^ < б) — -\/3tg2xtg
которых график функции у = |sinx • cosx| лежит
76 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Вариант 2
1. Решить неравенство: a) sinxcos + cosxcos б) tg^ctg3x^l.
2. Найти значения х, при которых график
функции у — 4cos2x — 2 лежит
ниже прямой у — УЗ.
Ответы
Вариант 2. 1. а) (2тт; + 2т
пп 2л
Т’ Т
п G Z;
Вариант!. 1. а) + 2тпг; £ + 2тгп\ п е Z; б) [-77 + тт! 7 +
п е Z; 2. + т; + тип), (-+ т\ -+ тгп), п G Z.
, п G Z; б) (
2. (т| + 7Ш;^+ 7Ш)- + 7Ш;-г1 + 7Г'1)’п eZ-
Домашняя контрольная работа XII.1
по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»
Вариант 1
1. Найти все решения уравнения sin2х — cosx + 2sinх = 1, удовлетворяющие
условию 5х — х2 > 0.
2. Решить уравнение sin 2х — 12(sin х — cos х) + 12 = 0.
3. Решить уравнение tg5xtg8x = —1.
4. Решить уравнение sin2 1,5х + sin2(zr/4 - 2,5х) = sin2 5,5х + sin2(nr/4 — 6,5х).
г г, УЗ + 3cosx + sin 2х /7
5. Решить уравнение --------------= —УЗ-f-cosx.
1 + 2sinx
6. Решить уравнение |sinх| — sin х + 2 cosх.
7. Решить неравенство 2cos3x < cosx — 0,5cos2х.
8. Решить уравнение л/cos4х — sin6x = sin х — cosx.
9. Решить уравнение arccos sin^x = х.
sin Зх
10. Решить неравенство (sin 6х — cos 6х) (8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20) —23У2.
Вариант 2
1. Найти все решения уравнения Уз sinx + 2cosx = УЗ + sin 2х, удовлетво-
ряющие условию х2 — 2х < 0.
2. Решить уравнение 1 + 2 sin х cos х + 2(sin х + cos х) — 0.
3. Решить уравнение ctg2x • ctg9x = 1.
. r~. 9 X 2 Зх . 2 • 2 . /ч
4. Решить уравнение cos - + cos —— sin 2х - sin 4х = 0.
_ г, 2(cosx + sinx) 4-1 — cos2x /7
5. Решить уравнение —-------- ------= y3 + sinx.
6. Решить уравнение ltgx| — tgx------—.
cosx
7. Решить неравенство 2 sin x — cos 2x < 4 cos2 x • sin x.
8. Решить уравнение ysinЗх + sinx + 1 = sinx — cosx.
Дидактические материалы 77
„ „ .cos Зх
9. Решить уравнение arcsin — = —х.
10. Решить неравенство (cos 1,5х + sin 1,5х) (11 + 4 cos 2х + 8 sin х) У —17\/2.
Вариант 3
1. Найти все решения уравнения sin2х + cosx + 2sinx = — 1, удовлетворяющие
условию х2 — 5х < 0.
2. Решить
3. Решить
4. Решить
5. Решить
6. Решить
7. Решить
8. Решить
уравнение
уравнение
уравнение
уравнение
уравнение
з
2 sin х cos х Н—(sin х + cos х) + 2 = 0.
У2
tg3xtg4x = 1.
2 cos2(rc/4 + Зх) = 1 + sin 4х + 2 sin5х • cos2 х.
I — sin х + УЗ sin 2х _ 1
2 Уз cosx — 3 3
| cos х| = cosx — 2 sin х.
+ sin х.
неравенство 2 cos х — 4 sin2 х • cos х cos 2х.
уравнение ysin 2х — sin 4х + 2 = \/2 cos х.
9. Решить уравнение arccos ( — sin* ] = Зх.
\ sin2x/
10. Решить неравенство (cos 6х — 2 sin Зх cos Зх) (12 sin 4х — 6 cos 8х — 5) — 14-У2
Вариант 4
1. Найти все решения уравнения 2sin4x + sin8x = 2cos22x, удовлетворяющие
условию х — х2 > 0.
2. Решить уравнение sinxcosx — 6(sinx — cosx) + 6 = 0.
3. Решить уравнение ctg2x ctg3x = 1.
4. Решить уравнение cos2(tt/4 + 5х) = sin2 х cos 9х + cos2(tt/4 + 4х).
_ „ (УЗ + 2) sinx — sin2х n n
5. - Решить уравнение 3---у-----------= 3 + 2 sin х.
1 — cosx
6. Решить уравнение |ctgx| = ctgxH----—.
sin х
7. Решить неравенство 4cos3х — x/Scos2х 2cosx.
8. Решить уравнение У cos 2х — cos Зх = %/2 sin х.
_ _. sin Зх
9. Решить уравнение arccos-----= х.
sin 2х
10. Решить неравенство (sin Зх — cos Зх) (4 sin 2х — 2 cos4x — 12) — 15-У2.
Вариант 5
1. Найти все решения уравнения \/2 sin х + cos 2х — л/2 cos х = 0, удовлетво-
ряющие условию 3 — 2х — х2 > 0.
2. Решить уравнение cos ^х — = 1 + sin 2х.
3. Решить уравнение tgxtg4x = l.
4. Решить уравнение cos Зх + sin 7х — 2 sin2 (тг/4 + 2,5х) — 2 cos2 4,5х.
_ sin 4х — sin 2х — cos Зх + 2 sin х — 1 п
5. Решить уравнение ------------------=---------= 0.
2 sin 2х — УЗ
6. Решить уравнение |sinx| = sinx — tgx.
7. Решить неравенство 2sinx + x/3cos2x < 4sin3x.
78 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
8. Решить уравнение \/sin Зх — sin х + 2 = %/2 sin 2х.
9. Решить уравнение arcsin sin = —х.
cos Зх
10. Решить неравенство (9 + 2 cos 4х — 4 sin 2х) (cos3x — sin Зх) 12\/2.
Ответы
Вариант!. 1. ,тг. 2. -+2тт, л+2тт, neZ. 3. -+itk, — + itk, keZ.
6 6 2 6 6
4. JL + ^tkeZ. 5. --+2^,feeZ. 6. -+2tw, -- + 2m, n e Z.
4 32 8 2 2 4
7. +2тш; +2тот), (^+2тш;^ 4-2лтг), + 2тот;+2тт), n G Z.
8. ^+2m,-К+271П, ~+2m, ^+2m, neZ. 9. 10. ^+тгр,
2 4 12 12 6 2 6 24
~^+71p' PE%-
Вариант 2. 1. X[ — ^,X2=^. 2. — ^+xk, keZ. 3. + n^Uk+5, n, keZ.
4. - + —, - +—, - + ^, kez. 5. -- + 2^, Aiez. 6. — +2nk, kez.
427755 6 6
7. —+2лп;-7+2лп), (—+2лп; +2лп\ + 2тт\-+2тт\ , n e Z.
\ 4 4 / \ 4 6 / \ 6 4 /
8. - +2тгп, л+27т, +2m, neZ. 9. 10. — + 4m, — +4:m,
2 3 4 4 6 6
nez.
Вариант 3. 1. X[ = тг, x% = 2. + 2xk, rtt — (— k 6 Z.
3. - + ^, n^3 + 7k, nez, kez. 4. J + zrfe, feez. 5. -J+2^, kez.
14 7 2 5 2
6. 2nk, - + x{2k + 1), k G Z. 7. + 2м; — +2яп], [— — 4-2 тэт;+ 2 тэт],
4 L34JL4 3J
[— - +2яп; - +2ml , neZ. 8. 2лтг, - + 2лп, — —+2лп, — -+2тг, neZ.
L 4 4 J 8 8 4
9* Il 10- ~Т4+т' ~ +
Вариант 4. 1. Х1 = ^,х2 = -^-,хз = ^. 2. л+2т, ^-+2т, neZ. 3. +
4 24 24 2 10 5
n^2+5k,nez,kez. 4. + 7ik, kez. 5. J+2^, kez. 6. ^+2^,
18 9 3 3
keZ. 7. [— +2тт-, — +2ml, +2лтг; - +2ml, [— - +2w, — +2тт], neZ.
L 4 4 J L6 4 J L 4 6 J
8. 2лтг, -+2тт, —+2тт, nEZ. 9. . 10. — +2лтг, — — +2m, neZ.
6 6 • 4 4 12 12
о с -t 3 ТГ 7Г « 7Г • 7Г q 3 ТГ ™ ™ 7£ 7ГЛ1
Вариант 5. 1. Х[ =----.х^ — -. 2. -±-+2т,------\-im.nEZ. 3.---1-,
4 4 4 3 4 10 5
П 2 + 5k, п е z, k е z. 4. k е z. 5. к +2^,
12 6 8 2
— +2^, --+2тгё, kez. 6. nk, -5+2тг£, kez. 7. (-+2тш; —+2тгД
6 3 3 \4 4 /
+2тш;+2тт\ (-£ + 2лп-,-- +2twV п g Z. 8. - + 2т, ^-4-2кт,
\4 3/\3 4/ 4 2
у+2тггг, neZ. 9. 0; -10. -^+2тгп, ^+2™, nGZ.
Дидактические материалы 79
1.
2.
3.
Разбор варианта № 1
Исходное уравнение равносильно каждому из уравнений 2sinxcosx — cosx +
+ 2sinx = 1, 2sinx (cosx + 1) - (cosx + 1) = 0, (cosx + 1) (2sinx — 1) = 0.
Последнее уравнение распадается на два: cosx = —1 и sinx = 0,5. Корни
уравнения cosx = —1 определяются формулой х = д + 2дп, корни уравнения
sin х = 0,5 — формулами х = + 2т и х = — + 2т. Из каждой серии
6 6
отберем корни, удовлетворяющие неравенству
в интервале (0;5). Таких корней три: д,
6
второй и третьей серии соответственно).
Д 5я
Ответ. -, —, д.
6 6
Введем новую переменную ? = sinx — cosx, |?| ^ \/2. С учетом того, что
?2 = 1 — sin2x, перепишем уравнение в виде (1 — ?2) — 12? + 12 = 0, или
?2 + 12? — 13 = 0. Последнее уравнение имеет два корня ?] = 1 и ?2 = -13,
из которых только первый удовлетворяет условию |?| \/2. Возвратимся
к исходной переменной: sinx —cosx = 1; \/2sin (х — = 1; х = + 2т
и х = д + 2дп.
Ответ. ^+2дгг, д + 2дгг, п е Z.
Область допустимых значений уравнения определяется условиями cos8x^0,
cos5x 0. На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнениям
sin5xsin8x = — cos5xcos8x, cos5xcos8x + sin5xsin8x = 0, cos3x = 0, откуда
я , кп т,
х = - Н----. Из найденного множества нужно исключить значения, не
6 3
входящие в ОДЗ.
Так как любое число п е Z можно записать в виде п = 3k + г, где k G Z, а г
принимает значения г = 0,1,2, то х=^ + ^ + д£. Последовательно полагая
6 3
в этой формуле г = 0,1,2, получаем х = + д/г, х = ^ + д£, х = ^ + д£.
Условию cos 8х^ 0 удовлетворяют корни всех трех серий. Условию cos 5x^0
не удовлетворяют только корни второй серии.
Таким образом, имеем две серии корней: + д£ и + д£.
6 6
Ответ. + nk, + д£, k € Z.
6 6
уравнение, используя тригонометрические тождества:
5x — x2 > 0, t. e. лежащие
5тг ,
— (по одному из первой,
6
Ответ. - + 7tk, — + itk, k € Z.
4. Преобразуем
1 — cos Зх
2
1 — cos
2
, ,, 1 — cos
1 — cos Их !
2 +
2
cos Зх + cos (---5x I = cos 1 lx + cos (-13.
\2 / \2
cos 3x — cos 1 lx + sin 5x — sin 13x = 0,
—2 sin 7x sin(-4x) + 2 sin(-4x) cos 9x = 0,
sin 4x (cos 9x — sin 7x) = 0.
80 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Последнее уравнение распадается на два:
1) sin4х = 0, 4х = тт, х = — \
4
2) cos9x — sin7x = 0, cos9x = cos - 7х), откуда либо
9х = £ — 7х + 2л7г,х = А _|_ 2^ либо 9х — — (
2 ’ 32 8 \
X ------\-nk.
| - 7х) + 2дй,
7Г , L
что множество х = -- + Ttk содержится
в
Записывая ответ, учтем,
тт
множестве х = —•.
4
Ответ. —, —Н-------, k 6 Z.
4 32 8
5. Область допустимых значений уравнения определяется условием: sinx^ —|.
На ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнениям:
Уз + 3cosx + sin2х = (-УЗ + cosx) (1 + 2sinх),
УЗ + 3cosx + sin2x = — Уз + cosx — 2\/3sinx + sin2x,
cosx + Уз sinx = — Уз,
cos x — - =
\ 3/
Таким образом, либо x — - = —
3 6
x - J = + 2дй, x = - J + 2xk.
Jo z
исключить те, которые не удовлетвор$
1) sin (+ 2тг&') = —|, следователь»
\ 6 / 2
_ УЗ
2 ’
+ 2тг£, откуда х — — + 2xk, либо
6
Осталось из найденных значений
:ют ОДЗ.
), значения х = + 2xk ОДЗ не
6
удовлетворяют.
2) sin(—^+2тг&) = —1, следовательно, значения х
удовлетворяют.
+ 2Ttk ОДЗ
Ответ. — ^ + 2xk, keZ.
6. Рассмотрим два случая:
1. Пусть sinx^O. Тогда уравнение перепишется в виде sinx = sinx + 2cosx,
откуда cosx = 0, х= + тт. Условие sinx 0 выполняется для х= +2тт.
2. Пусть sinx<0. Тогда уравнение перепишется в виде — sinx = sinx + 2cosx,
откуда cosx + sinx = 0, tgx = —1. Воспользовавшись моделью тригоно-
метрической окружности, нетрудно установить, что условиям sinx < О,
tgx = — 1 удовлетворяют х = — ^ +2тт.
Ответ. ^+2тт, — ^+2тт, п е Z.
Дидактические материалы 81
7. Перепишем неравенство в виде 2cos3х < cosx — 0,5 (2 cos2 х — 1). Введя но-
вую переменную £ = cosx, получим: 2£3 <t — 0,5(2Z2 — 1), 2£3-Н2 — t — 0,5<0,
(гн-0,5)(2£2 - 1) < 0, откуда t < -0,5</<^.
Вернемся к переменной х. Если t < —т0 cosx < ——,
Зя . о 5я п г n г . t . V2 1 . \/2
И 2яп < х < Н 2яп. Если —0,5 < t < то — < cosx < ——,
4-----------------4-2 2 2
откуда
откуда
+ 2m < х < + 2пп или — + 2пп < х < — + 2m.
Ответ. ( — + 2пп\ — + 2кп\, (- + 2тш\ + 2пп\,
\ 4 4 / \4 3 /
—- + 2 ям; — - + 2m), п G Z.
3 4 /
2
8. Возведем обе части уравнения в квадрат: cos4х — sin6х = (sinx — cosx) .
Решениями исходного уравнения будут те и только те из корней полученного
уравнения, которые удовлетворяют неравенству sinx — cosx 0.
Уравнение cos4x — sin6x = (sinx —cosx)2 равносильно следующим
уравнениям: cos 4х — sin 6х — 1 - sin 2х, (1 — cos 4х) + (sin 6х - sin 2х) =
= 0, 2sin22x + 2cos4xsin2x = 0, sin 2х (sin 2х + cos 4х) = О,
sin 2х (sin 2х + I — 2 sin2 2х) = 0. Следовательно, либо sin2x = 0,
кп
х~ т
(1)
А |
либо sin 2х + 1 — 2 sin 2х = 0, и тогда sin 2х = 1 или sin2x = —-, откуда
я я , 5я ,
х=- + ям, х=- — + ям, х = -— + ям. (2)
4 12 12
Из найденных значений х следует отобрать удовлетворяющие неравен-
ству sinx — cosx 0, которое равносильно неравенству
sin (х — 0.
\ 4/
(3)
Положим /(х) = sin (х — Выясним, при каких значениях и G Z серии
(1) и (2) удовлетворяют условию (3).
1) Если х = , то /(х) — sin j. Представим п G Z в виде п = 4/г + г,
где k G Z, а г может принимать значения 0,1,2,3. Тогда х = = 2я£ + у
и /(х) = sin ^2яЛ + Если г — 0, то /(х) — sin ^2яЛ - < 0; если
г = 1, то /(х) = sin ^2я£ + > 0; если г = 2, то /(х) = sin (2nk + > 0;
если г = 3, то /(х) = sin (2я/г + — J < 0. Таким образом, значения
х = 2я£+у, где k G Z, при г=1 и г = 2 являются корнями исходного
уравнения.
82 Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
2)
3)
Если х = + тт, то /(х) = sinтт = 0, и поэтому значения - + тт, п^1,-
корни исходного уравнения.
Если х — — + тт, то /(х) = sin + тт — = sin > откуда
следует, что /(х) < 0 при п = 2k и /(х) > 0 при п — 2k + 1. Поэтому
Пл , о ,
— + 2 л/г — корни исходного уравнения.
п о 5л , , . / 5л , л\ . ( 2л , \
4) Если х = — — + гсп, то /(х) = sin — + тт--J = sin — + ттJ, откуда
следует, что при п = 2k справедливо неравенство /(х) < 0, а при и. = 2k+1 —
неравенство /(х) > 0. Поэтому значения — + л + 2 л/г — ~ +2nk, где
k G Z, — корни исходного уравнения.
Ответ. ^+2л&, л+2л/г, - + nk, -Ц^+2л&, +2rtk, ftGZ.
2 4 12 12
{Sin 2х sin 2х — sin Зх • cosx,
— cosx,
sin Зх <=> sin Зх 0,
О^х^л 0 х л.
Уравнение sin 2х = sin Зх • cosx равносильно уравнениям
. n sin2x + sin4x . п . .
sin 2х =-------------, sin 2х — sin 4х.
2 ’
Последнее равенство выполняется в двух случаях: 2х = 4х + 2тт
и 2х = л— 4х + 2лп, откуда х = лп,х=^ + ^. Корни первой серии не
6 3
удовлетворяют условию sin Зх 0. Из корней второй серии условию 0 х л
л л 5л п
удовлетворяют только три корня Непосредственной подстановкой
6 2 6
убеждаемся, что для этих значений условие sin Зх 0 не нарушается.
л л 5л
6’ 2’ Т'
Ответ.
10. Так как sin6x — cos6x = \/2sin (бх — а
то и —у/2 sin6x — cos6x \/2. Далее,
— у/2 x/2sin (бх- ?) < у/2,
8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20 = 4 sin 4х + 4 sin2 4х — 22 = 4t2 + 4t — 22,
где t = sin4x. Функция f(t) = 4/2 + 4t — 22 = (2t + I)2 — 23 на отрезке
[—1; 1] принимает наименьшее значение —23 при t — — 0,5 и наибольшее
значение —14 при t = 1. Следовательно, справедлива оценка —23
<С 8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20 —14.
Итак, —23-/2 (sin 6х — cos 6х) (8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20) 23-/2.
Следовательно, неравенство (sin 6х — cos 6х) (8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20)
23д/2 может выполняться только в том случае, когда sin6x — cos6x = -\/2,
a 8sin2xcos2x — 2cos8x — 20 = —23. Значит, исходное неравенство
равносильно системе
{sin 6х — cos 6х = у/2,
8 sin 2х cos 2х — 2 cos 8х — 20 = —23.
(4)
Дидактические материалы 83
(5)
Первое уравнение этой системы равносильно уравнению sin
0ТКУДа _ Я ЯП
х — « € Z.
о Э
Второе уравнение равносильно каждому из уравнений 4sin4x — 2cos8x +
+ 3 = 0, 4 sin 4х — 2 (1 - 2 sin2 4х) +3 = 0, 4 sin2 4х + 4 sin 4х + 1 = О,
(2 sin 4х + I)2 = О,
(6)
sin4x = — -
2
Задача сводится к нахождению таких значений п G Z в формуле (5),
при которых справедливо равенство (6). Заметим, что любое число п е Z
можно записать в виде п = 3р + г, гдербй, а г принимает значения 0,1,—1.
Если г = 0, то х = + пр, sin 4х = sin + 4пр^ = 1.
т- it я , ! я . п . 4я , . . . ( . 4я\ 1
Если г = ±1,тох=-+яр±-,4х=-± — +4 др, sin4x = cos I ± — I — - -.
8 323 \ 3 / 2
Следовательно, х=^ + яр±^~ решения системы (4).
8 3
117Г 3 7Г . Г7}
Ответ: — + яр, - — + яр, р G Z.
Контрольная работа XII.1
по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства»
(2 урока)
Вариант, 1
1. Найти все решения уравнения 3 — 5cosx + cos2% = 0, удовлетворяющие
неравенству tgx 0.
2. Решить уравнение 3sin2х + sinxcosx = 1.
3. Решить уравнение cos х + cos 2х + cos Зх = 0.
4. Решить уравнение cosx = |cosx| • (х + 3).
5. Решить неравенство \/3sinх + cosx > —1.
6. Решить уравнение 2cosx = У5 + ЗУ2 sinx.
Вариант 2
1. Найти все решения уравнения 8sinx + 5 = 2cos2x, удовлетворяющие
неравенству ctgx 0.
2. Решить уравнение 2cos2х — 4sinxcosx + 1 = 0.
3. Решить уравнение sin xsin Зх + cos 4х = 0.
4. Решить уравнение sin х = |sin х| • (х - 5).
5. Решить неравенство\/3sinх — cosx < 1.
6. Решить уравнение \/бcosх = \/3 —vTsinx.
Вариант 3*
1. Найти все решения уравнения sin2 6х + 5 sin2 Зх = 2, лежащие на отрезке
31
2. Решить уравнение 5sin2х + sinх + cosx = у.
84
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства
Решить неравенство 2cos2х — cosx < 0.
Решить уравнение cos ^2х - - sin х = |.
Решить уравнение sin Зх 4- |sin х| = 0.
Решить уравнение sin х + cosх = д/д/3 cos 2х.
Вариант 4*
Найти все решения уравнения 2sin2 2х 4-sin2 4х — 5/4, лежащие на
[-3; 1].
отрезке
Решить
Решить
Решить
Решить
Решить
уравнение 9sin2x — 3sinx — 3cosx = 11.
неравенство 2 sin2 х 4-sin х 0.
уравнение
уравнение
уравнение
sin ( 2х 4- ? ) 4- cosx =
\ ° /
cos3x — |cosx| = 0.
2'
д/ — \/3cos2x = sin х — cos х.
Ответы
Вариант /. 1. 4-
П е Z. 3. 4-
5. 4-2/171;/г4-2/ш)
2т, п е Z. 2. — ^ + т, arctgO,5 4- т,
4- 2/гп, ne Z. 4. —4, 4- Ttk, k е Z.
nGZ. 6. -- 4-2/гп, — arcsin — + 2т, neZ.
4 4
Вариант 2.
« п пп
3- б + у
1. —- 4- 2лт1, п G Z. 2.-4- т, arctg3 + тип, п е Z.
6 4
п е Z. 4. 6, тг£, k е Z. 5. /г4-2/гп; 4-2/гп), п G Z.
6. 4-2тгп, — arcsin -^= 4-2тгп, п GZ.
3 v3
Вариант 3. 1. - —, — ±-^, ±7^.
г 18 18 18 18
2. 4-(-1)” arcsin-уу 4-тгп,
п G Z. 3. ^4-2/171;4-2тш) U 4-2л7г, 4-2/171) , п е Z. 4. т,
-^+2т, -4-2/сп, neZ. 5. т, -4-2/гп, (-1)л+1-4-/гп, neZ. 6. --4-/гп,
2 6 2 4 4
-^+2лп, nGZ.
п л « Ня ?я 5я , л п 5я 2>/2 , п
Вариант 4. 1.-----,-----,------, ± —. 2.-----arccos—-----И 2яп,
к 12 12 12 12 4 3
— — 4-arccos 4-2т, 3. [2/гп; /г4-2/гп]U [-^4-2/гп;4-2/гп] ,
4 3 L 6 6 J
neZ. 4. /г4-2/т, — ^4-2/m, -^4-zm, neZ. 5. 2т, 4-т, ±у 4-2/гп,
mgZ. 6. ^ + т, ^ + 2т, neZ.
Глава XIII
ПРОИЗВОДНАЯ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
При изучении главы следует обратить особое внимание на задачи,
приводящие к понятию производной. При нахождении приращения
функции необходимо подчеркнуть, что приращения вычисляются
н точках при конкретных значениях приращений аргумента.
Очень важны примеры на вычисление производной в точке по
определению. Только после их подробного рассмотрения следует пере-
ходить к технике дифференцирования. При вычислении производной
особые трудности обычно вызывает нахождение производной сложной
функции. Важно, чтобы учащиеся умели правильно восстанавливать
последовательность преобразований аргумента при построении слож-
ной функции, представляя сложную функцию в виде суперпозиции
элементарных.
§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИЙ хп, sinx, cosx
Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости. Если материальная точка движется прямолинейно вдоль
оси Os по закону S(Z), то расстояние, которое она проходит за промежуток
времени от t до t + Д/ (приращение координаты) равно AS = S(t + Д/) — S(f).
Тогда средняя скорость за этот промежуток времени определяется формулой
AS S(t + At)-S(j)
Следует обратить внимание на то, что средняя скорость зависит и от момента
времени t, и от приращения Д/.
Скоростью (мгновенной скоростью) точки в момент времени t называют
предел, к которому стремится ее средняя скорость при Д£ —> 0, т. е. скорость
v(t) определяется равенством
.. .. S(Z + A0-S(0
= hm иСр = lim --------------.
A/—>0 Д/->0 д?
Пример 1. Материальная точка движется по закону S(t) =
= + 2? — 1. Определить ее скорость в момент времени t = 3.
86 Глава XIII. Производная и дифференциал
А При произвольном приращении времени А? в момент времени
t = 3 приращение координаты равно
AS = S(3 + АО - S(3) = (3 + АО2 + 2(3 + АО - 1 - (з2 + 3 • 2 - 1) =
= (А02 + 8АЛ
Средняя скорость за промежуток времени от 3 до 3 + А? равна
AS (А/)2 + 8AZ
цСо = — =------------= А/ + 8.
Az AZ
Скорость в момент времени t = 3 равна
zj(3) = lim wcp = lim (A? + 8) = 8. A
AZ->0 AZ—>0
Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по
закону S(0 = \/i- Найти ее скорость v(t) в момент времени t.
А При произвольном приращении скорости А? в момент времени t
приращение координаты равно
AS = S(t + Д0 - S(0 = + -Vt= ---------------.
VZ +AZ + y/t
Скорость в момент времени t равна
/а г AS .. Az 1 .
v(t) = lim — = lim -------- ----------= —. A
Az—>0 AZ AZ->0 AZ (x/Z + Az + л/z) 2x/Z
Задача о касательной. Рассмотрим функцию /(х), определенную в неко-
торой (5-окрестности точки хд и непрерывную в точке хд. Зададим приращение
аргумента Дх, где 0 < |Дх| < 3. Уравнение секущей, проходящей через точки
Л4д(хд, /(хд)) и М((хо + Дх),/(х0 + Ах)) графика функции, имеет вид
(, ч /(х0 + Ах) -/(х0)
У ~ /Uo) =-------------U - *о),
Ах
или
А/
У~!Ы = — (х-х0),
Ах
А/
и угловой коэффициент секущей равен /г(Дх) — —.
Ах
Тогда угловой коэффициент касательной как предельного положения
секущих равен
А/
k - lim fe(Ax) - lim —.
Дх->0 AZ—>0 Дх
Пример 3. Найти угловой коэффициент касательной к графику
функции /(х) = х3 + 2х в точке с абсциссой х$ = 0.
А Зададим произвольное приращение аргумента Ах. Так как/(0) = 0,
/(Ах) = (Ах)3 + 2Ах, то угловой коэффициент секущей, проходящей
§1. Определение производной. Производные функций xn, sinx, cosx 87
через точки /Wq(xq, /(хо)) и М((хо + Ах), [(xq + Ах)) графика
функции, равен ..
ЫДх) = — = (Ах)2 + 2.
Дх
Тогда угловой коэффициент касательной равен
k= lim &(Ах) = lim ((Ax)2+ 2) = 2. ▲
Дх—>0 Дх—>0
Таким образом, и задача о нахождении скорости материальной
точки, и задача о нахождении углового коэффициента касательной
сводятся к нахождению предела отношения приращения функции
к приращению аргумента.
Определение производной. Пусть функция /(х) определена в некоторой
окрестности точки хд, т. е. хд — внутренняя точка области определения функции.
Если существует предел отношения приращения функции к приращению
аргумента
lim —,
Дх—>0 Дх
то он называется производной функции f в точке Хд и обозначается ['(xq),
Т’е’ . ,. А/ ,. /(х0 + Дх)-/(х0)
/ (хд) = игл —= lim ----------------.
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
Для нахождения производной функции Дх) в точке xq следует задать
приращение переменной Дх в точке хд, найти приращение функции Д/, соот-
ветствующее заданному приращению Дх, затем записать отношение приращения
.
функции к приращению аргумента — и наити предел этого отношения при
Дх
Дх, стремящемся к нулю.
Пример 4. Найти производную функции /(х) = в точке xq = —2.
X2
А Функция f(x) = — определена при всех х7^0. Зададим приращение
1
аргумента Ах в точке xq = —2 такое, чтобы функция /(х) = — была
х2
определена в точке —2 +Ах, т. е. Ах < 2. Найдем соответствующее
этому приращению аргумента приращение функции
1 1 _ 4Дх - (Дх)2
~ (—2 + Дх)2 (—2)2 ~~ 4(—2 + Дх)2 '
Тогда Д/ _ 4 — Дх
Дх 4(—2 + Дх)2 ’
откуда следует
lim — = j.
Дх->0 Дх 4
Таким образом, /'(—2) = ▲
88 Глава XIII. Производная и дифференциал
Если функция /(х) имеет производную f(x) в каждой точке
некоторого промежутка, то производную ['(х) можно рассматривать
как функцию от х на этом промежутке.
Пример 5. Найти производную функции у = [(х), если:
а) /(х) = -у, б) /(х) = tyx; в) /(х) - -L
Х° у/х
Д а) Функция у = [(х) = -4 определена при х^О. При х^О зададим
х3
приращение аргумента Дх такое, что |Дх| < |х| (для того, чтобы
функция /(х) была определена в точке х + Дх). Тогда при-
ращение функции, соответствующее заданному приращению
аргумента, равно
д 1 1 х3 — (х 4-Дх)3 Дх(3х2 4-ЗхДх-|-(Дх)2)
(х 4-Дх)3 х3 х3(х4-Дх)3 х3(х4-Дх)3
Тогда
Ду Зх2 4- ЗхДх 4- (Дх)2
Дх х3(х 4- Дх)3
откуда следует
,. Ду 3
Пт —= - —,
Дх—>0 Дх х4
т. е.
б) Функция у = f(x) = yfx определена при всех значениях
хей. Приращению аргумента Дх соответствует приращение
функции
Л 3/ Л О / ^ХХ
£ху = vx + Дх — \/х = - • - —---------------- - —5—
\/(х 4- Дх)2 4- \/х у/х 4- Дх 4- vCc2.
Тогда
Ду ________________1____________
Дх W 4- Дх)2 4- х у/х 4- Дх 4- ^2
откуда следует при х ф О
lim .
Дх—>0 Дх 3 (Д-2
Таким образом, при х О имеем
§1. Определение производной. Производные функций xn, sin х, cosx 89
в) Функция у = /(х) = — определена при х > 0. При х > 0 зададим
а/х
приращение аргумента Дх такое, что Дх > —х (для того, чтобы
функция /(х) была определена в точке х + Дх). Тогда при-
ращение функции, соответствующее заданному приращению
аргумента, равно
. 1 1 -Jx — у/х + Дх
Дг/ = - - — = —-------------=
у/х + Дх у/х у/х + Дх • у/х.
Ах
Тогда
Ах
откуда следует
1-
lim —
Дх—>0 Дх
27x3’
т. е. при х > 0
2у/х^
для производных
При выводе формул
(sinх)'= cosx, (cosx)7 = -sinх
используется первый замечательный предел и непрерывность триго-
нометрических функций cosx и sinx.
При выводе формул для производной степенной функции
(хл) = пхп~[, n G N,
используется формула бинома Ньютона или формула
а" - Ьп = (а - 6) (а""1 + а'"*2* +... + Ьп~'} .
Пример 6. Доказать, что:
а) производная четной функции является нечетной функцией;
б) производная нечетной функции является четной функцией;
в) производная периодической функции является периодической
функцией с тем же периодом.
Д а) Пусть /(х) — четная функция, имеющая производную в точке
Xq, т. е. xq€D(['\ Производная функции /(х) в точке Xq равна
/'(х0) = Ит +
Дх—>0 Дх
90 Глава XIII. Производная и дифференциал
Так как точка Xq — внутренняя точка области определения
функции /(х), то _— также внутренняя точка области
определения, и производная функции /(х) в точке — Xq равна
r/z ч Д/ Д-х0 + Дх)-/(-х0)
I \~хо) — hm — = lim-----------------------=
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
Дх0 - Дх) -/(х0) Дх0+ (-Дх))-Дх0) /
= ИГЛ —---------------= — lim------------------— - — Г (Xq).
Дх->0 Дх -Дх->0 — Дх
Таким образом, если Xq £/)(/'), то — XqGZX/7), и выполняется
равенство f'(-xo) = —следовательно, f(x) — нечетная
функция.
б) Пусть /(х) — нечетная функция, имеющая производную в точке
х0, т. е. х0 е D(f').
Производная функции /(х) в точке xq равна
f’(x0) = Hm (Uo+^Wlfo).
Дх—>0 Дх
Так как точка xq — внутренняя точка области определения
функции /(х), то —Xq — также внутренняя точка области
определения и производная функции /(х) в точке — xq равна
r/z ч Д/ .. Д-х0 + Дх) -/(-х0)
I (~*о) = *1т — — Ьт-----------------------=
Дх->0 Дх Дх->0 Дх
—/(х0 - Дх) +/(х0) /(х0 + (-Дх))-Дх0) /
— lim ----------------= lim ----------------------= I \х0).
Дх->0 Дх -Дх—>0 —Дх
Таким образом, если xq£ £)(/'), то —xq eD(f'), и выполня-
ется равенство f'(-xo) = f'(xo), следовательно, f'(x) — четная
функция.
в) Пусть /(х) — функция, периодическая с периодом Т, имеющая
производную в точке Xq, т. е. xq € D(f').
Производная функции /(х) в точке х0 равна
f(x0) = |jm /(хо + Дх)-/(хо)
Дх->0 Дх
Так как точка Xq — внутренняя точка области определения
функции /(х), то хо + Т —также внутренняя точка области
определения, и производная функции /(х) в точке xq + T равна
r/z , тч .. Д/ /(х0 + Т + Дх) - /(х0 + Т)
f (xq + Т) = lim — = lim -----------------------=
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
= lim /<^о+^)-№о)=Г(Хо)
Дх—>0 Дх
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал 91
Таким образом, если xq е D(f), то %о + Т е D(f'), и выполня-
ется равенство ?'(xq + Т) = ['(xq), следовательно, f'(x) — функция,
периодическая с периодом Т. А
§2. ПРОИЗВОДНЫЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
При выводе формул для производных показательной и логарифмической
функций
(ах)' = ах In a, (log£, х)' = -----
4 \ u / xlna
используются второй замечательный предел
( 1 \п
lim (1 + - ) = е
Х-->оо \ X/
и следствия из него: если а>0 и а / 1, то справедливы равенства
Hm w.t'Lx, di
X->0 х In а
। • - 1 1
lim ----= In a.
x—>0 x
Пример 1. Найти производные функций:
a) z/ = 4x; б) у = log0 2 х.
Д а) Используя формулу производной показательной функции, по-
лучаем (4х)' = 4х • In 4;
б) используя формулу производной логарифмической функции,
получаем (log0 2 х)' = —i— - - -Ц . А
’ х In 0,2 xln5
§3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Дифференцирование суммы, произведения, частного
Если функции Дх) и g(x) дифференцируемы в точке х, то в этой точке
дифференцируемы и функции f+g, fg, Cf, £ (при условии, что g(x)/0), и при
g
этом
(f(x)+g(x))' =/'(%)+g'(x), (1)
(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x), (2)
(Q« = Q'(x),
/ДА
gW J
f'(x)g(x) - f(x)g'(x)
g2(x)
(3)
(4)
92 Глава XIII. Производная и дифференциал
Пример 1. Найти производную функции /(х), если:
а) Кх) — *3 + 4 In х; б) /(х) = cosx — 3х;
в) Кх) = хех + г) /(х) = -xlnx.
А а) Используя формулы для вычисления производных (хп)' = пхп~1,
(1пх)/ = ^ и правила (1), (3), получаем
(х3 + 4 1пх)' = (х3)7 + (4 1пх)7 = Зх2 + 4 (1пх)' = Зх2 + ^.
б) Используя формулы для вычисления производных (cosx/ =
= —sinx, (3х) = 3х In 3 и правила (1), (3), получаем
(cosx — 3х)7 = (cosx)7 + (—3х)7 = — sinx — (3х)7 = — sinx — 3х In 3.
в) Используя формулы для вычисления производных (х)7 = 1,
(ех)7 = ех, (In)7 = и правила (1)-(4), получаем
/ х , 1пх\7 / Х\/ , /1пх\7
хе 4----= (хе ) + — =
\ х / \ х /
. v , гч/ (lnx)z х — lnx(x)z v у 1 — Inx
= (х)7 е + х (е ) + —----------- = е + хех + ——.
X1 X1
г) Используя формулы для вычисления производных (х)7 = 1,
(ех)7 = ех, (In)7 = и правила (1)-(4), получаем
/ V /V
f^-xlnx) = (^) -(^1пх)7 =
(х)'ех-х(ехУ , , ех (1 — х)
—---------------— (Inx) х — Inx (х) - ------— 1 - Inx. А
е2х е2х
Дифференцирование сложной функции
Пусть функция у = ф(х) имеет производную в точке Хд, а функция z = [(у)
имеет производную в точке уо = <p(xq). Тогда сложная функция z = /(<р(х))
имеет производную в точке Хд, равную
z'(xo) =['(уо)(р'Ы-
Это правило можно записать следующим образом:
2х=2уу'х, (5)
т. е. при нахождении производной сложной функции z(y(x)) необходимо пе-
ремножить производные функций z(y) и у(х), заменив затем в производной
z'y переменную у на функцию ср(х). При этом важно правильно представить
сложную функцию как суперпозицию элементарных. Для этого можно записать
последовательность преобразований аргумента.
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал 93
Пример 2. Представить функцию /(х) как суперпозицию эле-
ментарных, если:
a) /W = cos(x3); б) /(х) = sin3(x).
Л а) Запишем последовательность преобразований аргумента:
х —> у(х) = х3 —> z(y) = cos у = cos х3.
Тогда /(х) = z(y(x)), где */(х) = х3, z(y) = cos у.
б) Запишем последовательность преобразований аргумента:
х —> у(х) = sin х —> z(y) — у^ = sin3 х.
Тогда /(х) = z(y(x)), где z/(x) = sinx, z(y) — у3. А
Пример 3. Найти производную функции /(х) = i/4х2 + 3.
Л Функцию /(х) можно представить как суперпозицию функций
z = д/у, у — 4х2 + 3. Тогда /(х) = z(y(x)). Так как г'(у) — ----,
Ъ'/У
а у'(х) = 8х, то, по формуле (5) получаем
Пример 4. Найти производную функции /(х) = где a > 0.
А При a > 0 областью определения функции /(х) = ах является вся
числовая прямая, D(f) = R. Преобразуем функцию:
/(х) = ах = (е'"“)х = ех|л“.
Таким образом, функцию /(х) можно рассматривать как сложную
функцию /(х) = z(y(x)), где у(х) = xlna, z(y) = еу. Тогда при xeR
получаем
f'(x) = z'(у) у'(х) — еу In а = ех 1п а in а = ах In а.
Итак, (ах)' = ах\па. к
Аналогичным образом последовательно вычисляется производная сложной
функции, являющейся суперпозицией трех и более функций. Пусть функция
у = у(х) имеет производную в точке Хд, функция z = z(y) имеет производную
в точке Уо-у(хо), а функция t — t(z) имеет производную в точке Zq = г(уд),
Тогда сложная функция Дх) = t(z(y(x))) имеет производную в точке хд,
равную
/'(х0) = t'iz^z'iy^ytxp).
Это правило можно записать следующим образом:
t'x = tz-Zyy'x, (6)
Пример 5. Найти производную функции /(х), если:
a) f(x) = 1g3(Зх2 + 3); б) /(х) = 2cos2%.
94 Глава XIII. Производная и дифференциал
А а) Запишем последовательность преобразований аргумента:
х —> у(х) = Зх2 + 3 —>
—> 4#) = 1gу = lg(3x2 + 3) —> /(z) = 1g3 z = lg3(3x2 + 3).
Таким образом, функцию /(x) можно представить как
суперпозицию функций t(z) = z3, z(y) — Igr/, y(x) = Зх2 + 3.
Тогда f(x) = f(z(#(x))),
Так как t'(z) = 3z2, z!(y) = .1
w yin 10
a y'(x) = 6x то получаем
f(x) = 3z2 • —Д— • 6x = 3 lg2(3x2 + 3) • — ——1-• 6%.
1 V 7 //In 10 S V 7 (3x2+3)lnl0
б) Запишем последовательность преобразований аргумента
х —> у{х) — 2х —> z(y) - cos у = cos 2х —> Z(z) = 2Z = 2C0S y = 2C0S 2*
Функцию /(x) можно представить как суперпозицию функ-
ций t(z) = 2Z, z(y) = cos у, y(x) = 2x. Тогда f(x) = t(z(y(x))).
Так как t'{z) — 2zln2, z'(y) = — sin#, a #'{x) = 2xln2, to
получаем
f'(x) = 2Z In 2 • (- sin#) • 2х In 2 = -2cos2A • sin 2х • 2x(ln 2)2
f(x) = -2x+cos2*-sin2x(in2)2.
Пример 6. Найти производную функции /(x) = logx5.
Д Так как /(х) — logx 5 =
1
logs х
= (log5x) 1
то
f'(x) = ((log5x) = -1 • (log5 x) 2(log5x)' =
1
x log| x In 5
log2 5
x In 5
Производная обратной функции
Производные обратных тригонометрических функций вычисляются по сле-
дующим формулам:
(arcsin х)' = , |х| < 1,
V1 — х2
(arccosx)z = - |х| < 1,
(arctgx)'=—Ц-, хеК,
1 + х2
(arcctgx)' =---—к, хеК.
1 + х2
§3. Правила дифференцирования. Дифференциал 95
Пример 7. Найти производную функции /(х), если:
а) /(х) = arcsin 4х2; б) f(x) = arctg^/x.
Л а) При 4х2 < 1, т. е. |х| < 0,5 имеем
arcsin 4х2>) = 1 • ^4х2
> yl —(4х2)2 V
8х
у/1 - 16л/1 ’
б) При х > О имеем
(arctg = ---/—у (•/?)' =
1 + (\Д)
1
2л/х(1 + x)
Дифференциал
Если функция у — Дх) имеет производную в точке Хд, то приращение
функции в этой точке представимо в виде
Ау = Д/ = f(xQ)Ax + е(Дх) • Дх, (7)
где е(Дх) —> 0 при Д —> 0.
При этом слагаемое /'(хд)Дх, являющееся главной линейной частью
приращения функции, называется дифференциалом функции Дх) в точке Xq
и обозначается df(XQ) или просто df.
Так как для функции Дх) = х получаем df(x) = Дх, т. е. ^х = Дх, то имеет
место равенство
df(x) — f'(x)dx.
На рис. 1 приращение аргумента в точке Xq равно BMq = Дх, приращение
функции равно ВМ — Ау, дифференциал равен АВ = dx = ['(xq) • Ах.
96 Глава XIII. Производная и дифференциал
Пример 8. Найти дифференциал функции /(х) в точке хд, если:
a) = Хо = л/4;
б) у = х arctgx — In у/1 +х1 2, Xq = 1.
А а) Так как
_ /tgX-Ctgx\' _ (tgx-ctgx)'%-(tgx - ctgx)x' _
‘ {X) \ x ) x2
( 1 1 \
—9— H-----9— X - tgx + ctgx
__ \coszx sin x/
то /'(л/4) = и
б) Так как
= (%arctgx — In (1 + я2))) =
= arctgx + | • 2х = arctgx,
1 4- X. 2 1 _|_ г2
то f(l) = f и df=^dx. А
Если отбросить второе слагаемое в правой части формулы (7), то получится
приближенное равенство
Д/^ГМДх, (8)
с помощью которого можно находить значение функции в точке х — %о + Дх,
близкой к х0, зная /(%о) и f'(xo)-
Пример 9. Найти с помощью формулы (8) приближенное зна-
чение выражения \/25.
А Рассмотрим функцию f(x) = tyx. Положим xq — 27, А% = —2. Тогда
Д/ = /(х0 + Дх) - /Ы = $25- /(27)
и, следовательно,
^25 = 3 + А/.
Найдем с помощью формулы (8) приближенное значение А/. Так
как f(x) = 3 то f(27) = По формуле (8) получаем
1 27 27
>__2 3/Тс; q25
5 27’ VJ0~227‘
§4. Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала 97
Пример 10. Найти приближенное значение V объема шара
радиуса г = 1,02 м.
4 о
Л Объем шара радиуса г равен У(г) = --иг6. Рассмотрим приращение
функции в точке го = 1 ПРИ Дг = 0,02. Имеем V'(r) = 4лг2, I/'До) = 4л,
Д1/До, Дг) « 4л • 0,02 = 0,08л. Отсюда получаем
7(1,02) = И(г0 + Дг)= 1/Д0) + Д 7 ~ | л + 0,08л ~ 4,43(м3). ▲
§4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛЫ
ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Касательная к графику функции. Скорость движения
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции
y = f(x) в данной точке xq равна угловому коэффициенту касательной к графику
функции в точке Л40(х0> /До))' Уравнение касательной имеет вид
У = + /'До) Д -*())•
Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции
/ = sin (тгх2) в точке с абсциссой xq = 1.
Д Так как
/'(х) = cos ( лх2) • 2лх,
то /'(1) = —2л. Значение функции в точке xq равно /(1) = 0. Уравнение
касательной имеет вид
у = -2л(х — 1), или у = — 2лх + 2л. ▲
Нормалью к графику функции y = f(x) называется прямая, проходящая через
точку графика 7И0(х0, /До)) перпендикулярно касательной.
Две прямые, задаваемые уравнениями у = k^x + Ь\ и y = k%x + b2, где &i^0,
и &2 0, перпендикулярны тогда и только тогда, когда k^2 — —Г Так как
угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой xq равен k\ = f(xQ), то
если /'До) /0, угловой коэффициент нормали равен ~ и уравнение
/ До)
нормали имеет вид
Если /'До) = О, то касательная параллельна оси Ох, а нормаль параллельна
оси Оу. Уравнение нормали тогда имеет вид
X = Xq.
4-1367
98 Глава XIII. Производная и дифференциал
Пример 2. Написать уравнения касательной и нормали к графику
— 2% _|- 1
функции / = In —-------- в точке Xq = 0.
X2 + X + 1
х2 — 2х -j- 1
А Функция / = 1п —— -------- определена при всех значениях х, при
х2 + х 4- 1
х2 - 2х 4- 1
которых выполняется неравенство ------------- > 0, т. е. при х 7^ 1,
х 4- х 4- 1
£)(/) = (—оо; 1) U (1; +оо). Найдем производную функции:
= fin fx2 — 2х + l') — In (x2 + x + =
\ x2 4- x 4-1 / \ \ / \ / /
2x — 2 2x 4- 1
x2 — 2x 4- 1 x2 4- x 4- 1
Так как f'(0) = — 3 и /(0) = О, то уравнение касательной у = — Зх,
нормали у = |х. А
Пример 3. Касательная к графику функции у = -^х4 — образует
с осью абсцисс угол, равный arctg|, и пересекает в точках А
и В окружность с центром в начале координат. Найти радиус этой
Л D 24
окружности, если АВ =— .
А Так как касательная к графику функции образует с осью абсцисс
а
угол, равный arctg-, то угловой коэффициент касательной равен
k\ — | или k% = — Найдем точки касания, приравняв производную
в точке к угловому коэффициенту:
3 уЗ — з — ।
4Х0 4> х0 Ь
ИЛИ
3 З__3
4Х0 — 4’ х0 — Г
При хо = 1 получаем /(1) = -1, и уравнение касательной имеет
вид у = + |(х - 1), или у = |х - х =
Пусть касательная пересекается с окружностью х2 + у2 = г2
в точках А(х\\у\) и В(х<2\у<2). Тогда квадрат расстояния р между
этими точками равен
р2 = (Х1 - х2)2 + (г/1 - У2)2 = xf + х% + у2 + У2 - 2(Х1Х2 + У\У2) =
= Ъ2 - 2(Х]Х2 +У\У2)- (О
§ 4. Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала 99
Абсциссы точек пересечения касательной с окружностью удовлетво-
ряют уравнению
v2 , /Зх-5\2 _ 9
х + (/ 4 )
или + = (2)
ординаты — уравнению
/. г \ 2
у2 + (ДА =г2,
или
25 2 , Ю 25 2 л /сп
9 х + ТХ + V “ г ~ °’
Следовательно, по теореме Виета для уравнений (2) и (3) имеем
1 16г2 < 9г2
Од=1- У,У2=\-^.
Таким образом, подставляя значения Х[Х% и у\у^ в (1), получаем
уравнение
, х 2 ,
(у) = <2г2 -2 (2-г2), г=~.
Во втором случае, при k = — | и xq = — 1, получается касательная,
задаваемая уравнением у = —— |(х + 1) и симметричная первой
относительно оси Оу. Она пересекает окружность в точках, сим-
метричных точкам пересечения с окружностью первой касательной.
Расстояние между ними также равно заданному при г=^- 1
Пример 4. Пусть /(х) — нечетная периодическая функция, период
которой равен 2. Зная, что /(х) = х2 — Зх при 0 х < 1, составить
уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой
х0 = 9,7.
Д Запишем уравнение касательной: у = /(хо) + /'(хо)(х — хо),
где xq = 9,7. Найдем /(хо). В силу периодичности
/(9,7) = /(9,7 -5-2) = /(—0,3). Так как функция /(х) нечетная,
получаем /(-0,3) = —/(0,3) = —(0,09 — 0,9) = 0,81.
Найдем /'(xq). Так как производная периодической функции также
является периодической функцией с тем же периодом, получаем
/'(9,7) =/'(—0,3). Производная нечетной функции — четная функция,
следовательно, /'(—0,3) = /'(0,3). Так как /(х) = х2 — Зх при 0 < х • I,
то /'(х) = 2х - 3 и /'(0,3) = -2,4.
100 Глава XIII. Производная и дифференциал
Таким образом, /(9,7) = 0,81 и /'(9,7) = -2,4.
Уравнение касательной имеет вид
у = 0,81 — 2,4(х - 9,7), или у = -2,4х + 24,09. А
Пример 5. Найдите уравнения общих касательных к параболам
у = х2 — 5х + 6 и г/ = х2+х + 1.
Л Уравнение касательной к параболе у = х2 — 5х + 6 в точке
с абсциссой х\ имеет вид
у = xf — 5xi + 6 + (2xi — 5)(х — xi),
ИЛИ /Г1 _. о „
у = (2xi — 5)х - X) + 6.
Уравнение касательной к параболе у = х2 + х + 1 в точке
с абсциссой Х2 имеет вид
у — Х^ + Х2 + 1 + (2x2 "Г 1)(х — Х2),
ИЛИ 2 «
у = (2x2 + 1)х — *2 + 1-
Прямые у = k%x + b\ и у = k%x + &2 совпадают, если k\ = k%
и b[ = Ь<2~ Таким образом, получаем систему
{2xj — 5 = 2х2 + 1, Jxi — 3 = х2,
—х2 + 6 - — х2 + 1 [— х2 + 6 = — х% + 1.
Откуда получаем х\ = - и уравнение общей касательной имеет
О
вид у = | (рис. 2). А
Если х = x(t) — координата материальной точки, движущейся вдоль прямой,
то производная x'(t) есть скорость этой точки в момент времени t (физический
смысл производной).
Рис. 2
§4. Геометрический и физический смыслы производной и дифференциала 101
Пример 6. Закон движения материальной точки по прямой имеет
вид х = t4/4 — 4/3 + 16£2.
а) В какие моменты времени точка находится в начале координат?
б) В какие моменты времени направление ее движения совпадает
с положительным направлением оси Ох?
А а) Решая уравнение x(t) = 0, получаем, что точка находится
в начале координат в моменты времени t\ = 0 и /2 = 8.
б) Скорость в момент времени t равна
и(/) = /(/) = /3 - 12£2 + 32/ = t(t2 - 12/ + 32) = /(/ - 4)(/ - 8).
Решая неравенство v(t) > 0, получаем, что направление дви-
жения точки совпадает с положительным направлением оси
Ох при / е (0; 4) и /6 (8; +оо). ▲
Односторонние и бесконечные производные
Если функция /(х) непрерывна слева в точке xq и существует предел
д/ /(х0 + Ах) - /(х0)
lim — = lim ----------------— ,
Дх—>-0 Дх Дх—>—о Дх
то этот предел называют левой производной функции / в точке х0 и обозна-
чают /1(х0).
Аналогично, если функция /(х) непрерывна справа в точке xq и существует
предел
.. Д/ .. /(х0 + Дх)-/(х0)
lim — = lim — --------------—,
Дх—>+0 Дх Дх—>+0 Дх
то этот предел называют правой производной функции / в точке х0 и обозна-
чают /+(х0).
Пример 7. Найти левую и правую производные функции /(х) =
= |х2 — 5х + 6| в точке xq = 2.
А Так как
/(х) = |х2 - 5х + 6| = |(х — 2)(х — 3)|,
то при х<2 имеем /(х) = (х — 2)(х — 3), следовательно, /(2 + Ах) =
= Ах(Ах—1) при Ах < 0. Таким образом, получаем
f_(2) = lim /<хо + Дх)-/<хо) = ,im Ах(Дх-1) =
Дх—>-0 Дх Ах—>—0 Дх
При х>2 имеем /(х) = — (х - 2)(х — 3), следовательно, /(2 + Ах) =
= -Ах(Ах— 1) при Ах > 0. Таким образом, получаем
/(х0 +Дх)-/(х0) —Дх(Дх — 1)
lim --------------- - lim —-------------= 1. ▲
Ах—>+0 Дх Ах—>+0 Дх
4(2) =
102 Глава XIII. Производная и дифференциал
Если функция /(х) определена в окрестности точки Хд и выполняется
равенство д, + Дх) _
lim — = lim -----------------= с»,
Дх—>0 Дх Дх—>0 Дх
то говорят, что производная в точке х0 равна бесконечности и пишут //(х0) = оо.
При этом прямую x = xq принято считать касательной к графику функции /(х)
в точке с абсциссой xq. Аналогичным образом определяются и производные,
равные +оо и —сю, а также односторонние бесконечные производные.
Пример 8. Найти односторонние производные функции /(х) =
= у/(х — I)4 в точке Xq = 1.
Д При приращении аргумента Дх приращение функции равно
Д/ = /(х0 + Дх) - /(х0) = \/((1 + Дх) - I)4 - \/(1 - I)4 = УН
Следовательно,
/+(1) = lim — - lim -----------------------= +ос,
Дх->4-0 Дх Дх—>4-0 д/Дх
/п г г 1 ж
/1(1): lim —= lim -------------=-оо. А
Дх->—О Дх Дх—>-0 /\х
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XIII.1
Вариант 1
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти значение
/'(2), если:
1. /(х) = (х - 2)(2х + 3)х2. 2. /(х) = - - 4.
х2 4-1
3. /(х) = sin3(3x — 1) — cos у.
Вариант 2
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти значение
/'(—1), если:
1, /(х) = (х 4- 1)х2(2х 4-3). 2, /(х) = №- - 5.
3, /(х) = cos3(l - 2х) 4- sin2 Д.
Вариант 3
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти значение
/7(3), если:
1. /(х) = х2(2х - 3)(х 4-3). 2. /(х) = УЗх^4- - 2.
3. /(х) = sin3(l — 6х) 4- cos3(tt— 6).
Дидактические материалы 103
Вариант 4
Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти значение
f(—2), если:
1. Дх) = (Зх - 2)(х2 - 3)(х + 2). 2. Дх) = Ж - + 3.
3. Дх) = cos100(2x) 4-sin100 4. +
Ответы
Вариант 1. 1. 28. 2. 3. 9 sin2 5 cos 5.
Вариант 2. 1. 1. 2. 3. 6 cos2 3sin 3.
Вариант 3. 1. 243. 2. 0,77. 3. —18 sin2 17 cos 17.
Вариант. 4. 1. —8. 2. 3. 200 cos" 4 sin 4.
Контрольная работа XIIL1
по теме «Производная» (2 урока)
Вариант 1
1.
2.
3.
Решить
I 5 — х
уравнение Д(х) = 0, если Дх) = — sin 2х + ~ cos2x 4-------—.
2х
В каких точках касательная к графику функции у = -------------- образует
х — 2
с положительным направлением оси Ох угол в 135°?
Решить неравенство Д(х) 0, если Дх) = 2 — Зх2 — х3.
4. Найти значение коэффициента k, при котором кривая у — х2 + kx + 4 касается
оси Ох.
5. Найти уравнения касательных к параболе у = —х2 4- Зх — 2, проходящих
через точку (1,5; 2,5).
Вариант 2
1. Решить уравнение Д(х) = 0, если Дх) = \/3cos + sin — —у—•
2. Определить угол, который образуют с положительным направлением оси Ох
касательные к графику функции у = х в точках пересечения с прямой
У = х.
3. Решить неравенство Д(х) 0, если Дх) = 2х3 — Зх2 — 4.
4. Найти значение коэффициента т, при котором кривая у — —х2 + тх — 6
касается оси Ох.
5. Найти уравнения касательных к параболе z/ = x2 — 5х + 6, проходящих через
точку (2,5; —6,5).
104 Глава XIII. Производная и дифференциал
Вариант 3*
1. Решить уравнение /'(х) = 0,5, если /(х) = cos3x — \/3sin Зх — -——
2. В каких точках касательная к графику функции у — * перпендикулярна
прямой у = —Зх 4- 5?
3. Решить неравенство /'(х) 0, если /(х) = д/х4---
у/х
4. Найти значение коэффициента k, при котором кривая y——x^-\-kx касается
прямой у — 3.
5. Найти уравнения общих касательных к параболам у = х2 — 5х + 6
и у = х2 + х 4- 1.
Вариант 4*
3 v — 5
1. Решить уравнение f'(x) = 4,5, если /(х) = cos Зх 4-sin 6х-—
2. В каких точках касательная к графику функции у =
—- образует с прямой
х — 5
у = Зх + 2 угол в 45°?
3. Решить неравенство f{x) 0, если /(х) — \/х + о—
v^x
4. Найти значение коэффициента т, при котором кривая у — х^ + тх2 касается
прямой у = —3.
5. Найти уравнения общих касательных к параболам у — х2 и у = — х2 4- Зх — 2.
Ответы
Вариант 1. 1. | - (-1)'г^| + у, п е Z. 2. (0; 0), (4; 4). 3. [-2; 0]. 4. ±4.
5. у = Зх — 2, у = —Зх + 7.
Вариант 2. 1. + 4тглг, 4тглг, п е Z. 2. 135°. 3. [0; 1]. 4. ±2\/б. 5. у = —5х + 6,
у = 5х — 19.
Вариант 3*. 1. (—1)я2L - А 4- —, п G Z. 2. (0; 0), (-6; 2). 3. [-2; +оо]. 4.
18 18 3
зМ 5. </=
Вариант 4*. 1. (~1),l+l arcsin 0,25 + т, п Q г 2.(6; 3), (4;-1). 3.
|-1; 0]U[0; 1]. 4. -3-У|. 5. г/=-Ц^х-
Глава XIV
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
В данной главе большое внимание уделяется теоретическим
обоснованиям применения производной к исследованию функций
с помощью производной.
При изучении основных теорем для дифференцируемых функций
следует обратить внимание на их физический смысл и применение
к доказательству неравенств.
При рассмотрении монотонности функций следует обратить вни-
мание на то, что если функция монотонно убывает (возрастает)
на двух промежутках, то из этого не следует, что она убывает
(возрастает) на объединении этих промежутков. Кроме этого, важно
подчеркнуть, что в точках, где производная равна нулю, функция
может возрастать, убывать, а также иметь точки экстремума. Однако,
если функция непрерывна на отрезке [а; Ь] и ее производная равна
нулю в некоторой внутренней точке с отрезка и положительна
(отрицательна) на интервалах (а; с), и (с; а), то функция возрастает
(убывает) на всём отрезке [а; Ь]. Следует также обратить внима-
ние на использование монотонности функций при доказательстве
неравенств.
При нахождении точек экстремума функции важно понимать, что
точкой экстремума может быть только внутренняя точка области
определения функции, при этом в точке экстремума функция может
быть и разрывной.
Особое внимание следует уделить текстовым и геометрическим
задачам на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функций и определению количества корней уравнения с помощью
исследования функции.
При исследовании функции с помощью второй производной
необходимо обратить внимание на то, что свойство выпуклости
вверх или вниз графика функции согласуется с геометрическим
определением выпуклости множества. При этом выпуклость функции
на отрезке может иметь место и в том случае, если функция
недифференцируема.
106 Глава XIV. Производная и исследование функций
При нахождении асимптот графика функции важно подчеркнуть,
что не всякой точке разрыва функции соответствует вертикальная
асимптота, и что график функции может пересекать наклонную
асимптоту.
§1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Локальный экстремум и теорема Ферма
Теорема Ферма дает возможность среди точек, в которых функция диффе-
ренцируема, выделить те, в которых возможен экстремум.
Если функция /(х) имеет экстремум в точке xq и дифференцируема
в этой точке, то f'(xQ) — Q. Таким образом, функция может иметь экстремум
лишь в точках, где она недифференцируема и в точках, где ее производная равна
нулю. Теорема Ферма дает необходимое условие экстремума, с ее помощью
можно лишь сделать вывод о том, что точка не является точкой экстремума.
Пример 1. Является ли точка Xq = 1 точкой экстремума функции
х2 — х
х + 2
А Область определения функции £)(/) = (—ос; —2) U (—2; +оо).
Найдем производную функции:
(2х — 1)(х + 2) — (х2 — х) х2 + 4х — 2
(х + 2)2 “ (х + 2)2
В точке х0 = 1 функция /(%) дифференцируема и /'(х0) = | ф О,
следовательно, эта точка не является точкой экстремума. А
при х ф —2.
Теорема Ролля о нулях производной
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [о; Ь] и дифференцируема на
интервале (а\ Ь). Если f(a) = [(b), то найдется точка сЕ (а; Ь), что f'(c) = O.
Это означает, что касательная к графику функции, проведенная в точке
с абсциссой с, параллельна оси Ох.
Следует подчеркнуть, что при ослаблении хотя бы одного из условий теоремы
заключение не выполняется.
Пример 2. Привести пример функции, непрерывной на полуинтервале (о; 6]
и дифференцируемой на интервале (а; Ь) такой, что f(a) = f(b) и /z(c)^0 для
всех с Е (а; &).
А Пусть /(х) = 2х при х G (0; 2] и /(0) = 4. Тогда функция /(х) непрерывна
на полуинтервале (0. 2], дифференцируема на интервале (0; 2), /(0) =/(2) = 4
и /'(с) = 2^0 для всех с Е (0; 2). А
§1. Основные теоремы для дифференцируемых функций 107
Пример 3. Доказать, что уравнение Зх+2 — 26% = 29 имеет не
более двух различных действительных корней.
Д Предположим, что уравнение Зх+2 — 26% = 29 имеет более
двух различных действительных корней. Пусть xi < Х2 < хз — его
корни. Тогда на каждом из отрезков [xi, х%] и [хг, %з] функция
/(х) = Зх+2 — 26х — 29 удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда
найдутся точки q G (xi, Х2) и G (х2, Х3) такие, что /'(ci) = О
и /Чсг) — 0- Очевидно, ci<c2. Так как f'(x) = Зх+2 In 3 — 26, то
уравнение /'(х) = 0 имеет только один корень х = log3(26/ In 3) — 2.
Следовательно, С[ = с>2-
Предположение о том, что уравнение имеет более двух корней,
привело к противоречию. ▲
Формула конечных приращений Лагранжа
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на
интервале (а; Ь). Тогда найдется точка с G (а; Ь) такая, что
[(b) — [(а) = ['(с)(Ь — а).
Пример 4. Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства:
а) ех > 1 + х при х G Ж, х 0;
б) cosx > 1 — у при 0 < х < ?.
Д а) Рассмотрим функцию = — 1. Функция f(f) удовлетворяет
условию теоремы Лагранжа на отрезке [0; х] при х > 0 или,
соответственно на отрезке [х; 0] при х < 0. Имеем /(0) = О,
/(х) — ех - 1 и /'(0 = et-
Следовательно, при х > 0 найдется точка с 6(0; х) такая,
что
ех - 1 - есх.
Так как с > 0, то ес > 1. Тогда при х > 0 выполняется неравенство
есх > х. Следовательно, ех > 1 + х. Аналогично, при х < О
найдется точка с е (х; 0) такая, что
1 — ех — ес(—х).
Так как с < 0, то ес < 1. Тогда при х < 0 имеем —х > О
и ес(—х) < —х. Следовательно, 1 — ех < —х, ех > 1 +х.
б) При х > 0 неравенство равносильно следующему:
2 —2 cosx
< X.
х
Рассмотрим функцию f(t) = 2 — 2cos \Д, удовлетворяющую
на отрезке [0: х2] условию теоремы Лагранжа. I l.n'iнек'я ючвп
108 Глава XIV. Производная и исследование функций
сб(0;х2) такая, что выполняется равенство /(х) — /(0) =['(с)х.
Так как /(х2) = 2 — 2cosx, /(0) = 0 и f'(t) =
sin v?
—— , то получаем
2 — 2 cos х - х2
sin у/с
у/с
Так как с 6 (0; %2) и 0 < х < то у/с G (0; тг/2).
Следовательно, выполняется неравенство 0 < sin у/с < л/с, или
sin
О <-----<1, т. е. справедливо неравенство
\/с
2 —2cosx < %2, или cosx>l —у. ▲
Следует обратить внимание на важное следствие теоремы
Лагранжа о том, что если функция /(х) непрерывна на отрезке
[а, Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), причем /'(%) = 0 при
всех х 6 (а; Ь), то функция /(х) является постоянной на этом отрезке.
Пример 5. Доказать, что если функция /(х) удовлетворяет
условию теоремы Ролля на отрезке [а, Ь] и не является постоянной,
то на этом отрезке найдутся такие точки с\ и С2, что /Ч^О/Ч^г) < О-
А Предположим, что таких точек не найдется. Пусть для определен-
ности /'(с) 0 при всех с G (а, Ь). При любом х 6 (а, Ь) функция /(х)
удовлетворяет условию теоремы Лагранжа на каждом из отрезков
[а, х] и [%, Ь]. Следовательно, найдутся точки с\ 6 (а, %) и С (%, Ь)
такие, что выполняются равенства
/(х) - /(а) = f(ci)(x - а) и f(b} - f(d) = f\c2)(b - х).
Так как f(c\) >0 и /'(сг) 0, справедливы неравенства
В силу того, что по условию /(b) =/(а), заключаем, что /(х) = /(а),
т. е. функция постоянна на отрезке [а, Ь].
Предположение о том, что точек с\ и С2, для которых
/z(ci)/'(c2) < 0, не существует, привело к противоречию. ▲
Формула Коши
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а; Ь] и дифферен-
цируемы на интервале (а; Ь), причем g'(x) 0 0 во всех точках интервала.
Тогда найдется точка с G (а; Ь) такая, что
Kb)-f(a) = /z(c)
g(b)-g(a) g'(c)'
При решении задач на доказательство с помощью теоремы Коши
важно удачно подобрать функции /(х) и g(x).
§2. Возрастание и убывание функции 109
Пример 6. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [1, 2]
и дифференцируема на интервале (1; 2). Доказать, что найдется
точка сб (1; 2) такая, что
г2 ,
Д Рассмотрим функцию g(x) = -L На отрезке [1, 2] функции /(х)
и удовлетворяют условию теоремы Коши. Имеем g(2) =
g(l) = 1, g'(x) = — Таким образом, согласно теореме Коши, найдется
%2
точка се (1; 2) такая, что
/(2) - /(о = лд
0,5-1 __1/с2
ИЛИ
/(2)-/(l) = f/,(c). А
§2. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
С помощью производной можно находить промежутки монотон-
ности, т. е. возрастания и убывания функции.
Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [а; Ь\ и дифференцируема на
интервале (а; Ь). Тогда если Д(х) > 0 для всех х G (а; 6), то функция /(х)
возрастает на отрезке [о; 6], а если Д(х) <0 для всех х G (а; Ь), то она убывает
на этом отрезке.
Если функция возрастает (убывает) на отрезках [о; Ь] и [6; с], то она
соответственно возрастает (убывает) на всем отрезке [о; с]. Таким образом,
если /'(х) > 0 (Д(х) < 0) для всех х G (о; Ь), кроме конечного числа точек,
в которых Д(х) = 0, то функция также возрастает (убывает) на этом интервале.
Если при этом функция непрерывна на концах отрезка, то она возрастает
(убывает) на отрезке.
Следует обратить особое внимание на то, что если возрастает
(убывает) на интервалах (а; Ь) и (Ь; с), то из этого не следует, что
она возрастает (убывает) на множестве, равном объединению этих
интервалов. Так, функция /(%) = ^ убывает на промежутках (—оо;0)
и (0;+оо), но не является убывающей на всей области определения,
так как при Х[ < 0 < %2 неравенство /(xi) > /(*2) не выполняется.
Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции:
а) /(х) = (х — 3)2е1%1; б) /(х) = \/х — 1 — \/х + 1.
Д а) Функция /(х) определена и непрерывна на R. При х < 0
имеем /(х) = (х — 3)2е-х, /Дх) = 2(х — 3)е-х — (х — 3)2е-х =
- е~х(х — 3)(5 — х) < 0.
110 Глава XIV. Производная и исследование функций
При х > 0 имеем /(х) = (х — 3)2ех, ['(х) = 2(х — 3)ех +
+ (х — 3)2ех = ех(х — 3)(х — 1), т. е. /'(х) < 0 при 1 < х < 3
и f(x) > 0 при 0 < х < 1 и при х > 3.
Таким образом, f(x) < 0 при х < 0 и 1 < х < 3, и функция
f(x) непрерывна в точках х = 0, х=1 и х = 3. Поэтому функция
/(х) убывает на промежутках (—оо; 0] и [1; 3]. Так как /'(х) >0
при х>3 и при 0<х<1 и функция /(х) непрерывна в точках
х = 0, х = 1 и х = 3, то /(х) возрастает на промежутках [0; 1]
и [3; -Too).
б) Функция /(х) определена и непрерывна на IR. Найдем ее
производную:
ff( } = _ j_______ 1 = Ж+о2- У(Г=тя
Х зУсГ-П)2 з?/(х + 1)2 зУ(х- о2 • Ж+Tj2"
Производная существует при х 1 и х — 1, Dtf1) =
= ( —оо; —1) U (—1; 1) U (1; -Too).
Так как Зу/(х — I)2 • >/(х + I)2 > О при xeD(f'), то решая
неравенство /'(х) > 0, получаем
^(х + 1)2 - ^(х-1)2 > О \/(х + 1)2 > ^/(х-1)2«
<=> (х + I)2 > (х — I)2 <=> (х + I)2 — (х — I)2 > 0 <=> 2 • 2х > 0 <=>х > 0.
Отсюда следует, что /'(х) < 0 при х < -1 и при — 1 < х < 0. Так
как функция непрерывна на промежутках (—оо;—1] и [—1; 0],
то она убывает на каждом из этих промежутков, а значит,
и на их объединении (—оо;0].
Аналогично получаем, что /'(х) > 0 при 0 < х < 1 и при
х > 1 и функция возрастает на каждом из промежутков [0; 1]
и [1; -Too), следовательно, и на их объединении [0; -Too). А
Пример 2. Найти все значения параметра а, при которых
jj-З п
функция /(х) = -—ах + (а + 2)х + 5 возрастает на R.
А Так как f'(x) = х2 - 2ах + а + 2, то £)(/') =£)(/) = IR. Функция
возрастает на IR, если ff(x) > 0 при всех х G R за исключением, быть
может, конечного числа точек.
Так как f'(x) = (х — а)2 + 2 -Т а — а2, то f'(x) > 0 при всех xeR,
если 2 + а — а2 > 0, т. е. при а G (—1; 2).
При а = — 1 получаем f'(x) = (х + I)2 > 0 при х^—1, и функция
/(х) возрастает на R.
При а = 2 получаем /'(х) = (х — 2)2 > О при х^2, и функция /(х)
возрастает на R.
Таким образом, функция /(х) возрастает на R при а G [—1; 2]. А
§3. Экстремумы функций 111
Исследование функций на монотонность с помощью производной
применяется также при доказательстве неравенств.
Пример 3. Доказать, что при всех х>0 выполняется неравенство
„2
1п(1 + х) > X -
Л Рассмотрим функцию
= -1- - 1 + t = /27
1 ’ 1 +1 t +1
/2
/(/) = ln(l + 0 - t + ---. Так как
при t > 0, то функция f(t) является
возрастающей при t > 0. Функция f(t) непрерывна на отрезке
[0; х] для любого х > 0. Поэтому она возрастает на этом отрезке
и Дх) > /(0). Так как /(0) = 0, то /(х) > 0 при х > 0, т. е. выполняется
х2
неравенство 1п(1+х)>х — -- при всех х > 0.
§3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ
Необходимое условие экстремума
Согласно теореме Ферма точки локального экстремума функции
следует искать среди тех точек области определения, в которых
производная функции либо не существует, либо равна нулю.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называют стацио-
нарными точками функции. А все внутренние точки области определения
функции, в которых функция непрерывна, но производная либо не существует,
либо равна нулю, —ее критическими точками.
При нахождении точек, в которых может достигаться экстремум,
необходимо найти все критические точки. При этом следует особо
подчеркнуть, что согласно определению точки экстремума, функция
должна быть определена в некоторой окрестности этой точки, т. е.
являться внутренней точкой области определения функции.
Кроме того, может оказаться, что точка, в которой достигается
экстремум, является точкой разрыва функции и в этом случае не
является критической, несмотря на то, что производной в этой точке
не существует.
Пример 1. Найти точки экстремума функции
х
/(х) = < х - 1
л
при х
при О
при х
0;
X <
2.
2;
Д Функция определена при всех х € К, возрастает на промежутках
(—оо;0], (0:2] и (2;+оо).
112 Глава XIV. Производная и исследование функций
Точками экстремума могут оказаться только точки х = 0 и х = 2.
При всех х < 0 имеем Дх) = х < 0, При 0 < х < 1 получаем
Дх) = х - 1 < 0. Таким образом, при всех % € (-1; 1) выполняется
неравенство Дх) 0 = /(0), следовательно, точка х = 0 —точка
максимума.
При х € (0; 2) выполняется неравенство fix) = х - 1 < 1 = /(2),
однако при всех х>2 имеем fix) — х > 2 > /(1), следовательно, точка
х = 1 не является точкой экстремума (рис. 1). ▲
Пример 2. Найти стационарные точки функции:
а) /(х) = я4 — 14х2 + 24% + 3; б) fix) = sin 2х - | cos 4х.
Д а) Функция Дх) дифференцируема при всех х G R
и fix) = 4х3 — 28% + 24. Стационарные точки функции fix) —
корни уравнения х3 — 7х + 6 = 0. Разложив многочлен х3 — 7х + 6
на множители, получаем уравнение (х — 1)(х — 2)(х + 3) = 0.
Следовательно, xi = 1, х% = 2, хз — — 3 — стационарные точки
функции Дх).
б) Функция Дх) дифференцируема при всех х G К
и fix) = 2cos2x + 2sin4x = 2cos2x(l + 2sin 2x). Стационарные
точки функции Дх) — корни уравнений cos2x = 0 и sin2x = —
7Г । 7TZ2 / 1 \и-|-1 7Г I ТСП _ т-п *
т. е. X = - + — и х = (-1)п+1- + —, п е Z. А
Пример 3. Найти критические точки функции fix) = xfx? — у/х.
Д Функция fix) непрерывна при всех xeR, дифференцируема при
, п х 2 1 2^-1
X / О И f (X) = —----5-- = --5---.
3^ 3^?
§3. Экстремумы функций ИЗ
В критических точках производная не существует или равна нулю.
Это точки = 0 и %2 — I- А
О
Достаточные условия экстремума
Пусть функция Дх) дифференцируема в некоторой окрестности точки хо,
кроме, может быть, самой точки хо, и непрерывна в точке xq. Если производная
f'(x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку хд, то х0 — точка
минимума функции Дх), если производная меняет знак с плюса на минус, то
Хд — точка максимума.
Другими словами, если функция /(х) непрерывна в точке хо и найдется
такое число <5 > О, что f'(x) < 0 при всех х G (хо — 5, Xg) и f'(x) > 0 при всех
xe(xg,xg + S), то хо — точка минимума функции /(х). Если же Д(х) > О при
всех х G (хо - 3,хо) и ['(х) < 0 при всех х G (xg,xg + 5), то хо — точка максимума.
Следует подчеркнуть, что достаточное условие справедливо
и в случае, когда в самой точке функция недифференцируема.
Пример 4. Найти точки экстремума функции:
а) /СО = 2хл/х + Зх - 12л/г + 1; б) /(х) =
в) /(х) = е2х - 2ех - 4% + 2; г) /(х) = |х2 - 1 |elxL
Д а) Функция/(х) = 2х>/х + Зх — 12^/х + 1 определена и непрерывна
на промежутке [0; +оо), дифференцируема при х > 0. Так как
eZz . Q г . □ 6 3(x + V*-2) 3(7х-1)(>/х + 2)
/ (х) - Зух + 3 - — =------------=---------------,
ух ух у/х
то х = 1 — стационарная точка функции. Других критических
точек нет. Если 0 < х < 1, то /'(х) < 0, если х > 1, то /'(х) > 0,
т. е. при переходе через точку х = 1 производная меняет знак
с минуса на плюс, х=1 —точка минимума функции /(х)
(рис. 2).
б) Функция /(х) = определена, непрерывна и дифференциру-
ема на множестве /)(/) = (0; 1) U (1; +оо). Так как
то х = е — стационарная точка функции. Других критических
точек нет.
Если х € (0; 1) U (1; е), то /'(х) < О, если хе(е;+ос), то
/'(х) > 0, т. е. при переходе через точку х = е производная меняет
знак с минуса на плюс, х = е —точка минимума функции /(х)
(рис. 3).
114 Глава XIV. Производная и исследование функций
Рис. 2
Рис. 3
в) Функция /(%) = е2х — 2ех — 4% + 2 определена, непрерывна
и дифференцируема на R, причем
/'(%) = 2е1х - 2ех - 4 = 2 (ех + 1) (ех - 2).
Поэтому х = In 2 — единственная критическая точка функции.
При переходе через нее производная меняет знак с минуса на
плюс, следовательно, х — In 2 — точка минимума (рис. 4).
г) Функция /(%) = |х2 — определена и непрерывна на R,
дифференцируема при х /= 1, хф— 1, х 0. Поэтому Х[ = — 1,
%2 = 0 и %з = 1 — критические точки функции /(%), в которых
производной не существует. Найдем стационарные точки.
Если х < — 1, то /(%) = (%2 — 1)е~Л, и
/'(х) = е-х(2х-х2 + 1) <0.
Стационарных точек на промежутке (—оо; — 1) нет.
Если — 1 < х < 0, то /(%) = —(%2 - 1)е“х, и
/'(%) = —е~х(2х - %2 + 1) = е~х(х2 — 2х — 1).
На промежутке (—1;0) стационарная точка %4 = 1 —\/2, причем
f'(x) > 0 при — 1 < х < 1 — \[2 и /'(х) < 0 ПРИ 1 — \/2 < х < 0.
Следовательно, Х4 = 1 — л/2 — точка максимума (рис. 5).
Рис. 5
§3. Экстремумы функций 115
а 0 а+ 7 6 х О а 6 а+ 7 х
а б
Рис. 6
Если 0 < х < 1, то /(х) = —(%2 — 1)ех, и
/'(%) = ех(- -2х — х2 + 1).
На промежутке (0; 1) стационарная точка Х5 = V2 - 1, причем
f'(x) > 0 при 0 < х < х/2 — 1 и ['(х) < 0 при \/2 - 1 < х < 1.
Следовательно, Х5 = \/2 — 1 — точка максимума.
Если х > 1, то /(х) = (х2 — 1)е~х, и
/'(х) = e-'v(2x - х2 + 1) < 0.
Стационарных точек на промежутке (1; — оо) нет.
При переходе через критические точки Х[ = -1, х% = О
и Х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс,
следовательно, это точки минимума функции /(х). А
Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых
функция /(х) = х6е~х имеет ровно одну точку экстремума на
промежутке [а; а + 7].
Д Функция /(х) дифференцируема при всех х G К, причем
/'(х) = е--"(-х6 4- 6х5) = —х5е-Л(х - 6).
Если х < 0 или х > 6, то f(x} < 0. Если 0 < х < 6, то f'(x) > 0.
При переходе через точки xj=O и х% = 6 производная меняет знак,
поэтому эти точки являются точками экстремума.
Функция /(х) имеет ровно одну точку экстремума на промежутке
[а; а + 7], если одна из точек Х[, Х2 принадлежит этому промежутку,
а другая — нет.
Точка Х[ = 0 принадлежит отрезку [а; а + 7], а х% — 6 нет, если
а 0 а + 7 < 6, т. е. — 7 а < — 1 (рис. 6, а).
Точка Х2 = 6 принадлежит отрезку [а; а + 7], a xj = 0 нет, если
0<а^6^а-|-7, т. е. Ося^б (рис. 6, б). А
116 Глава XIV, Производная и исследование функций
§4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ
Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; 6] и имеет на нем конечное
число критических точек х\, х%, . .. , хп, то наибольшее и наименьшее значения
функции на этом отрезке равны соответственно наибольшему и наименьшему
из чисел /(а), /(&), /(%i), /(х2), , /(х„).
Таким образом, для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение
непрерывной на отрезке функции, необходимо сравнить значения функции
в критических точках и на концах отрезка.
Кроме того, если у непрерывной на отрезке или интервале функции
точка минимума (максимума) — единственная, то наименьшее (соответственно,
наибольшее значение) достигается в ней.
Пример 1. Найти наибольшее М и наименьшее т значения
функции /(х) на отрезке /, если:
a) /W — я2 (я2 - 8) - 9, / = [-1; 3];
б) /(х) = %5 + 5х4 + 5х3 + 8, / = [-2; 1];
в) /W = sin 2х + 2 cosx, / = [0; я];
г) /(х) = (х-3)2вИ, /= [-1; 4].
Д а) Функция /(х) = х2 (х2 — 8) — 9 определена, непрерывна и диф-
ференцируема при всех х G R, причем ['(х) = 2х(2х2 - 8),
и уравнение /'(х) = 0 на отрезке [-1; 3] имеет два решения
xi = 0 и Х2 = 2. Сравнивая значения /(—1) = —16, /(3) = О,
/(0) = -9 и /(2) = -25, получаем М - /(3) = 0, т = /(2) = -25.
б) Функция /(х) = х5 + 5х4 + 5х3 + 8 определена, непрерывна
и дифференцируема при всех хеК. Уравнение
/'(х) = 5х4 + 20х3 + 15х2 = 5х2(х + 1)(х + 3) = 0
имеет корни Х[ = —3, х2 = —1, %з = 0. Отрезку [—2; 1]
принадлежат точки х2 = — 1, %з = 0, при этом
/(-2) = 16, /(—1) = 7, /(0) = 8, /(1) = 19.
Следовательно, /И = /(1) = 19, m = f(—1)7.
в) Функция /(х) = sin2х + 2cosx определена, непрерывна и диф-
ференцируема при всех хеК. Уравнение
f'(x) = 2cos2x — 2sinx = 2 (cos2x — cos — x)) =0
равносильно совокупности уравнений
2x = ^ — x + 2дп, 2x = x — + 2лтг, n e Z,
или
7Г . ЧКП 7Г । _ ry,
x= - + —, x =--+ 2тш, n e Z.
о <3 2
§4. Наибольшее и наименьшее значение функции 117
Отрезку [0; л] принадлежат точки х\ = х% = у, при этом
/(0) = 2, f(K) = -2, f (I) = f (^) =
г' м 3\/3 г/5лА ЗУЗ
Следовательно, М — f - — — - , т = / — = ——, .
\Ь/ 2 \ 6 /
г) Функция /(х) = (% - 3)2е1%1, определена и непрерывна при всех
х € R и дифференцируема при всех х =4 0, причем
, _ (~(х - 3)(х - 5)е~х при х < 0,
цх — 3)(х - 1)ех при х > 0.
Уравнение /'(^) = 0 имеет решения х = 1, х = 3, х = 5.
Это стационарные точки функции /(х). Кроме этих точек
критической также является точка х = 0, в которой производная
не существует.
Промежутку [ — 1; 4] принадлежат критические точки Х[ = 0,
Х2 = 1, хз = 3, при этом
Д-1) = 16е, /(0) = 9, /(1) = 4е, /(3) = 0,
поэтому М = /( — 1) = 16е, т = /(3) = 0. А
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на
промежутке часто используется при решении уравнений и неравенств.
Пример 2. Найти все действительные числа х такие, что при
всех положительных у выполнено неравенство 5х у3 — Зх2у.
Д Перепишем неравенство в виде у3 — Зх2у — 5x^0, и при каждом
значении параметра х рассмотрим функцию /(у) = у3 — Зх2у — 5х.
Тогда исходную задачу можно переформулировать следующим
образом: найти все значения параметра х, при каждом из которых
функция /(у) принимает неотрицательные значения на множестве
(0; +оо).
Так как f'(y} = Зу2 - Зх2 = 3(у - |х|)(у + |х|), то при х = 0 на
промежутке (0; +ос) функция /(у) не имеет критических точек,
а при х^0 имеет одну критическую точку у = |х|.
Если х = 0, то /(у) = у3 и при у > 0 выполняется неравенство
Ку) > о.
Если х^О, то /'(//) < О при 0 < у < |х| и f(y) > 0 при у > |х|,
т. е. функция /(у) убывает на промежутке (0; |х|] и возрастает на
промежутке [|х|; +оо). Поэтому наименьшее значение функции /(у)
на промежутке (0; +ос) равно /(|х|) = — 2х2|х| — 5х. Для того, чтобы
на промежутке (0; -Гос) функция принимала только неотрицательные
118 Глава XIV. Производная и исследование функций
значения, необходимо и достаточно, чтобы ее наименьшее значение
было неотрицательным. Решая неравенство
—2х2|х| — 5х О,
при х 7^ О получаем х G [->у%5; 0) .
Объединив этот промежуток с точкой х = 0, окончательно
получаем хб [->/2Д 0] . А
Часто встречаются уравнения вида f(x) =g(x) или, соответственно,
неравенства вида /(х) g(x), где наименьшее значение /(х) равно
наибольшему значению g(x) (или наоборот), и эти значения дости-
гаются в одной и той же точке.
Пример 3. Решить неравенство:
х/х + 7 4- УТТ^х $> 3\/х2 - 4% 4- 20.
Д Рассмотрим функции
/(х) = у/х+ 7 4- х/11 — х
g(x) = 3 \/х2 — 4х 4- 20.
Найдем наибольшее значение функции /(х). Функция /(х) опре-
делена на отрезке [-7; Н], непрерывна на этом отрезке и диффе-
ренцируема на интервале (—7; 11), причем
г// ч 1 1 х/11 — х — v/xЧ- 7
/ (х) = — \---------= , —, •
у/ X + 7 х/11 — X у/X -У 1 • у/11 — X
Решая уравнение ['(х) = 0, получаем
.____ t_____ ( %/11 — х - у/х+ 7 = О,
— - — — 0 <=> < х > —7,
х/х + 7 • х/11 - * I ,,
I X < 11
у/11 - х = у/х 4- 7,
х > —7,
х< 11
11 — X = X
х > —7,
х < И
х = 2.
Тогда fix) — 0 при х — 2. Если —7<х < 2, то 11 — х > у/х 4- 7
и /'(х) > 0, если 2 < х < И, то \/11 — х < у/х 4- 7 и /'(х) < 0. Таким
образом, х = 2 — точка максимума функции /(х) и так как это
единственная критическая точка, то /(2) = 6 является наибольшим
значением функции. При всех х G [-7; 11] таких, что х 2,
выполняется неравенство /(х) < 6 и /(2) = 6.
Так как
g(x) = Зх/х2 -4х + 20 = 3^/(х - 2)2 + 16,
то g(x) > 6 при х 7^ 2 и g(2) = 6.
§4. Наибольшее и наименьшее значение функции 119
Тогда при хе[-7; 11], х 2, выполняются неравенства
/(х) < 6 < g(x)
и /(2) = g(2) = 6. Следовательно, решением исходного неравенства
является х = 2. А
Пример 4. Сравнить еп и дД
Д Так как л<? = е<?1п7Г и функция у = ех является возрастающей, то
достаточно сравнить числа д и е!пд. Для этого рассмотрим функцию
/(х) = х — е In х, определенную, непрерывную и дифференцируемую
при х > 0. Так как /z(x) = 1 — то f'(x) = 0 при х = е. Если 0 < х < е,
то f(x)<0, если х > е, то /'(х) > 0. Следовательно, х — е — точка
минимума функции /(х). Тогда при всех х > 0, х^е, выполняется
неравенство /(х)>/(е). Так как f(e) = 0, то /(д) > 0 и д— е1пд>0,
т. е. д > е In д и еп > л?. А
При решении геометрических задач на нахождение наибольшего
или наименьшего значения некоторой величины бывает удобно
исследовать не саму функцию, равную этой величине, а напри-
мер, функцию, полученную из искомой величины умножением на
константу или квадрат величины (в случае, если эта величина
положительна по смыслу задачи).
Пример 5. В равнобедренный треугольник
с боковой стороной а и высотой h вписан пря-
моугольник так, что две его вершины лежат
на основании треугольника, а две другие — на
боковых сторонах. Какова должна быть высота
прямоугольника, чтобы он имел наибольшую пло-
щадь? Найти эту площадь.
Д Пусть в равнобедренный треугольник АВС
с боковой стороной АВ=ВС=а и высотой BH — h
вписан прямоугольник KLMN (рис. 7). Обозначим
PH = х. Тогда BP = h ~ х,
АН = \/а2 -й2,
В
А К Н N С
Рис. 7
и из подобия треугольников LBP и АВН имеем
LP = — л/а2 — й2.
п
Тогда площадь прямоугольника KLMN равна
2 \J cfi — ь2
S = 2LPPH = —- (h - х)х.
Рассмотрим функцию /(х) = х(й — х) при 0 < х < h. Так как
/'(х) = h — 2х,
120 Глава XIV. Производная и исследование функций
h
то х = - — единственная критическая точка, и при переходе через
нее производная /'(х) меняет знак с плюса на минус. Следовательно,
х = - — точка максимума. В силу того, что это единственная точка
экстремума на интервале (0; 1), то в этой точке функция /(х)
достигает своего наибольшего значения, равного fih/ty = /г2/4.
Тогда наибольшее значение площади равно S = h\/cP — /z2/2. ▲
А г Н С
Рис. 8
Пример 6. Найти высоту конуса наименьшего
объема, описанного около полушара радиуса 7?=\/3
так, что центры основания конуса и полушара
совпадают.
Д Объем конуса вычисляется по формуле
где г — радиус основания, h — высота конуса (рис. 8). Выразим радиус
основания конуса через его высоту:
г = АН = hlgct.
где а —угол между образующей'конуса и
Тогда
2 /2x2 (ftsina)2
z = tgz a = ———
1 — sin a
O . ГС
его высотой и sin a = -
h
h2 — /?2
v _ 7Г/?2/!3
~ 3(/i2 - Я2)'
/l3
Рассмотрим функцию f(h) = —--------------- при h> R. Тогда
/г2 — /?2
, _ 3/i2(/i2 - Я2) - 2/i4 _ /г2(/г2 - 3/?2)
и функция [(h) на промежутке (R; +ос) имеет единственную
критическую точку h.Q — R\/3. При переходе через эту точку
производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка Hq
является точкой минимума, а число /(/?о) — наименьшим значением
функции /(Л) на промежутке (R; +оо).
Таким образом, высота конуса наименьшего объема равна
ho - R\/3 — 3, а наименьшее значение объема равно V = 4,5л:. ▲
Пример 7. Имеется два мешка муки. В мешке весом 16 кг —
мука первого и высшего сорта, в мешке весом 25 кг —мука первого
и второго сортов. В оба мешка добавили муки первого сорта так,
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 121
что процентное содержание муки высшего сорта в первом мешке
уменьшилось в п раз, а процентное содержание муки второго сорта
во втором мешке уменьшилось в m раз.
О числах пит известно только, что тп = т + п + 3. Найти
наименьшее количество муки первого сорта, которое могло быть
добавлено в оба мешка вместе.
А Пусть в первый мешок добавили % кг муки первого сорта, во
второй — у. Если в первом мешке муки высшего сорта было р кг,
то ее процентное содержание было равно а стало . Тогда
имеем
= п
16
х = 16 п — 16.
Аналогично для второго мешка получим
-—.% = т, у = 25m - 25.
25 J
Учитывая равенство тп = т + п + 3, получим
п + 3 __ । . 4
п — 1 п — 1 ’
т =
У =
100
п — 1
Тогда в оба мешка было добавлено
х + у= 16^-16+-%
' п - 1
килограммов муки первого сорта.
Рассмотрим функцию f(n) = 16лг - 16 + где п > 1. Так как
f\n) = 16------12% = (4п-14)(4п + 6)1
(п — I)2 (п — I)2
то при п > 1 функция /(я) имеет единственную критическую точку
п = 3,5. При переходе через эту точку производная меняет знак
с минуса на плюс, следовательно, я = 3,5 —точка минимума функции
/(%), и наименьшее значение функции /(%) при п > 1 равно /(3,5) = 80.
Наименьшее количество муки первого сорта, которое могло быть
добавлено в оба мешка вместе, равно 80 кг. ▲
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ВЫПУКЛОСТЬ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Производные второго порядка
Производную функции называют также первой производной
или производной первого порядка. Производную от производной
называют второй производной или производной второго порядно
ГМ = (/'(х))'.
122 Глава XIV. Производная и исследование функций
Следует подчеркнуть, что при этом первая производная рассматрива-
ется как функция переменной %, следовательно, для существования
второй производной необходимо, чтобы функция /(х) была диффе-
ренцируема в некоторой окрестности точки xq, включая и саму
точку Xq.
Пример 1. Найти производную второго порядка функции:
а) /(х) = е!/х; б) /(х) = х 1п(х2 + 1).
А а) /'(х) = — -*2 el/x, ff/(x) = 4- е[/х = —— е!/х.
б) /'(*) = 1п(х2 4- 1) 4- = 1п(х2 + О + 2 -
xL + 1
fit/ \_ 2% । 4х _ 2х(х2 + 3)
/ W “ РГр-j + (х2~- (х2 + 1)2 •
Пример 2. Найти вторую производную функции в указанной
точке:
V2
а) = -—-з , % = 1; б) у = (Зх + 4)2Х, х = 0.
1 + 2г3
А а)
X2
Функция /(х) = -—дифференцируема в каждой точке своей
области определения £)(/) =
1 \ / 1
Fu- з- ; +«
72/ \ V2
f!( ч _ 2%0 + 2%3) 6%2 %2 _ -2%4 + 2% n(f'\ —
(1 + 2л4)2 (1 + 2л4)2
и
Так как
у// _ <-8*3 + 2W + 2%3)2 “ 2U + 2%3) ’ 6%2 ’ (“2%4 + 2%) _
‘ W ~ (1 + 2х3)4 ~
_ 8х6 — 28х3 + 2
(1 + 2х3)3 ’
то f (1) = - |-
б) Функция /(х) = (Зх 4-4)2Х определена и дифференцируема на
R и
/'(х) = 3 2х + (Зх + 4)2% In 2
Так как о
/"(х) = 9 • 2х In 2 + (Зх + 4)2Х In2 2,
то /'(О) = In 2(9 4-4 In 2).
Если закон прямолинейного движения материальной точки задается урав-
нением
S = /(0,
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 123
то мгновенная скорость движения v(t) в момент времени t определяется формулой
а ускорение a(t) — формулой
a(f) =и'(/) =/"(/)-
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону S(t) =
= t + 3t2 + |/3 (S измеряется в метрах, t— в секундах). Найти
ее ускорение через 3 с после начала движения.
Д Ускорение a(t) в момент времени t равно
a(t) = S"(t) = (/ + 3t2 + |/3)" = (1 + 6/ + 2t2)' = 6 + 4/.
Через 3 с после начала движения ускорение равно а(3)=18 (ж/с2). А
Выпуклость функции
Если функция /(%) непрерывна на отрезке [а; 6], то ее график называется
выпуклым вниз, если для любых двух точек отрезка %i, %2> а Х1 < х2
хорда АВ, соединяющая точки графика функции Л(%1; /(xj) и В(%2! /(х2)) лежит
не ниже соответствующей ей части графика функции (рис. 9.а)).
График непрерывной на отрезке [а; Ь] функции /(%) называется выпуклым
вверх, если для любых двух точек отрезка х\, х%, а %i < х% С Ь, хорда АВ,
соединяющая точки графика функции A(%i; f(x\)) и В(%2; /(хг)) лежит не выше
соответствующей ей части графика функции (рис. 9.6)).
При этом уравнение прямой АВ имеет вид
y-ZUi) _ /(х2)-/(*1) или u-f(xA + ^х2)-/(+) ,(х
------- — ---------- или у — 1\х\) “г -------- — ^1/*
х — х\ х2 — Х1 х2 ~ Х1
Рис. 9
124
Глава XIV. Производная и исследование функций
Если график функции имеет выпуклость вниз, то для любой точки %6(%i; х2)
выполняется неравенство
/(х) ^/(Х,) + /(Л2)~/(Х|) -(х-х,).
х2 —
Если график функции имеет выпуклость вверх, то для любой точки хе (х|; х2)
выполняется неравенство
/(х) > /(х,) + /(*2)~/(Х|) (х - X,).
х2
Пример 4. Дана функция /(%), непрерывная на отрезке [а; Ь]
и дифференцируемая на интервале (а; Ь). Любая касательная,
проведенная к графику функции в точке с абсциссой xq G (а; Ь),
расположена не выше графика функции. Доказать, что график
функции имеет на отрезке [а; Ь] выпуклость вниз.
Д Возьмем произвольные точки Х[, х^ а^х\<Х2^Ь, и х$ G (хи х%)
(рис. 10, а)). Касательная А'В', проведенная к графику функции
в точке С с абсциссой xq, расположена не выше графика функции.
Тогда точки А' и В' лежат не выше точек А и В соответственно.
Отрезок А'В' лежит не выше отрезка АВ. В частности, точка касания
С лежит не выше хорды АВ. Так как точка Xq е (хи Х2) взята
произвольно, тем самым доказано, что хорда АВ лежит не ниже
соответствующей ей части графика функции, т. е. график функции
имеет на отрезке [а; Ь] выпуклость вниз. ▲
Аналогично, если любая касательная, проведенная к графику
функции в точке с абсциссой xq G (а; Ь), расположена не ниже графика
функции, график функции имеет на отрезке [а; Ь] выпуклость вверх
(рис. 10, б)).
§5. Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 125
Пример 5. Дана функция /(х), непрерывная на отрезке [а; Ь]
и имеющая вторую производную на интервале (а; Ь). При этом для
всех х е (а; Ь) выполняется неравенство f"(x) 0 (соответственно
/"W 0).
Доказать, что график функции имеет на отрезке [а; Ь] выпуклость
вниз (соответственно вверх).
Д Рассмотрим случай, когда /"(х)>0 на (а; Ь). Возьмем произволь-
ную точку xq G (а; Ь) и проведем касательную к графику в точке
Л4(х0; Кхо)- Ее уравнение имеет вид
Укас = ZUo) + Z'Uo)U - Xq) •
Докажем, что на отрезке [а; Ь] касательная расположена не выше
графика функции, т. е. при всех хе [а; Ь] выполняется неравенство
Кх)^укас(х) или
Кх) - Укас(х) = Кх) - Кхо) - f(xQ)(x - Xq) 0.
При х = xq неравенство превращается в равенство. Пусть х > Xq
(случай х < xq рассматривается аналогично). Применим теорему
Лагранжа к функции /(х), непрерывной на отрезке [х0; х] и диффе-
ренцируемой на интервале (х0; х). Найдется точка с\ е (хд; х) такая,
что
Кх) ~Kxq) =K(c1)(x-xq).
Тогда выполняется равенство
Кх) - Укас(х) = Кх) - ZUo) - [\xq)(x - Xq) = (/'(q) - ['(Xq))(x - Xq).
Так как функция /(х) имеет вторую производную на интервале
(а; Ь), то функция g(x) = f'(x) дифференцируема на этом интервале,
следовательно, непрерывна на нем. Так как а < х0 < С[ < х < Ь, то
функция g(x)=f'(x) непрерывна на отрезке [xg; ci] и дифференци-
руема на интервале (х0; ci).
Применим теорему Лагранжа к функции g(x) = ff(x). Найдется
точка С2 6 (хо; С[) такая, что
Z,(ci)-/,Uo)=/"(c2)(ci-xo)
и выполняется равенство
Кх) - укас(х) = (/'(Cl) - ['(Xq)Kx - Xq) = ККс2)(сХ ~ Х0)(х - Х0).
Так как С[ > xq, х > xq и f'Kcz) 0, то /(х) г/касМ- В силу
утверждения, доказанного в примере 4, график функции /(х) имеет
на отрезке [а; Ь] выпуклость вниз.
Случай, когда /"(х) 0 на (а; Ь), рассматривается аналогично. ▲
Если график функции /(х) имеет на отрезке [а; Ь] выпуклость вниз (соот-
ветственно, вверх), то функция /(х) является выпуклой вниз (соответственно
вверх) на интервале (а; Ь).
126 Глава XIV. Производная и исследование функций
Таким образом, если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь], имеет на
интервале (а; Ь) вторую производную и f"(x) > 0 (соответственно f"(x) < 0)
при всех х G (а; Ь), то функция /(х) является выпуклой вниз (соответственно
вверх) на интервале (a;b).
Интервалы, на которых функция выпукла вверх или вниз, называются
интервалами выпуклости функции.
Пример 6. Найти интервалы выпуклости функции:
а) /(х) = х4 - 6х2 + 5х — 3, б) /(х) = х3е-4х.
Д а) Функция /(х) = х4 - 6х2 + 5х — 3 определена при всех х G 1R
и /'(х) = 4х3 — 12х + 5, f”(x) = 12(х2 - 1) = 12(х- 1)(х + 1). Так
как /"(х) >0 при х< —1 и при х> 1, и f"(x) <0 при —1 <х< 1, то
функция /(х) выпукла вниз на интервалах (-ос; —1) и (1; +оо),
а на интервале (—1; 1) эта функция выпукла вверх.
б) Функция /(х) = х3е-4х определена при всех х £ R
и /'(х) = Зх2е"4х — 4х3е-4х = е-4х(3х2 — 4х3),
/"(х) = (6х—12х2)е-4х —4(3х2 —4х3)е-4х = 2х(8х2 —12х + 3)е-4х.
Уравнение 8х2 — 12х + 3 = 0 имеет корни Х[ =
и Х2 = 3 Следовательно, /"(х) < 0 при х < 0 и при
Х[ < х < Х2, /"(х) > 0 при 0 < х < Xi и при х > Х2- Откуда
следует, что функция /(х) выпукла вверх на интервалах
/ (з — УЗ з + ч/зА 3 — л/3 \
(—оо; 0) и I —-—; —, а на интервалах 10; —-— I
( з I \
и I ; +оо I эта функция выпукла вниз (рис. 11). ▲
Рис. 11
§6. Построение графиков функций 127
Точки перегиба
Если в точке хц дифференцируемая функция меняет направление выпуклости,
то эта точка называется точкой перегиба. Пусть функция /(х) имеет вторую
производную на интервале (а; 6) и (а; 6). Тогда если вторая производная
/"(х) меняет знак при переходе через точку Xq, то xq — точка перегиба.
Важно подчеркнуть, что слева и справа от точки перегиба график
функции расположен по разные стороны от касательной. Поэтому
в дальнейшем при построении графиков важно будет не только найти
точки перегиба, но и определить угловой коэффициент касательной
в этой точке, т. е. найти производную.
Пример 7. Найти точки перегиба и угловые коэффициенты
касательных в точках перегиба функции:
а) /(%) = е1/-1'; б) /(х) = х2 Inx + 1.
А а) Функция /(х) = е1/х определена при х 0. Так как
/z(x) = - 4 е^х и rw = (4 + 4) е^х = —4- е^х'то
х£ \х° / х
меняет знак при переходе через точку xq = —0,5, которая
является точкой перегиба функции /(х).
Угловой коэффициент касательной в точке xq — — 0,5 равен
/'(-0,5) = —4е-2.
б) Функция /(х) = x2lnx 4- 1 определена при х > 0
и /'(х) = 2х In х + %, //Х(х) = 2 In х + 3. Из уравнения //Х(х) — 0
или 21пх + 3 = 0 получаем х§ = е-3/2. Так как f"(x) меняет
знак при переходе через точку х0 = е_3/2, то точка хо = е~+2
является точкой перегиба функции f(x).
Угловой коэффициент касательной в точке хо = е-3/2 равен
/z(e-3/2) = 2е-3/2 In е-3/2 + е-3/2 = —2е-3/2. А
§ 6. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Асимптоты
Прямую х — xq называют вертикальной асимптотой графика функции
у = [(х), если выполнено хотя бы одно из условий
lim /(х) — оо, lim /(х) = оо.
X—»Xq—0 X—»Xq+0
Если функция /(х) определена и непрерывна на интервале (а; &), то
следует проверить точки х = аих = &на наличие в них вертикальных
асимптот.
128 Глава XIV. Производная и исследование функций
Пример 1. Найти вертикальные асимптоты графика функции
е~Ух
А Так как функция у = ——— непрерывна на интервалах (—оо; 0),
(0; 1) и (1; +оо), то вертикальными асимптотами могут быть лишь
прямые х = 0 и х = 1.
Так как при %, стремящемся к 0, — стремится к —оо, то
v2'
и прямая х = 0 не является асимптотой.
Так как
<• е-1/х .. е~*/х
lim ------ = —оо, lim --------- = +оо,
х-И—0 х- 1 х->1+0 х- 1
то прямая х = 1 — вертикальная асимптота. ▲
Прямая у = kx + b называется асимптотой графика функции у = /(х) при
х -4- +оо, если
lim (Дх) - {kx + &)) = 0.
Аналогичным образом определяется асимптота при х -4- —оо.
При k = 0 асимптота называется горизонтальной, при k 0 — наклонной.
Для того чтобы график функции имел асимптоту при х —> +оо необходимо
и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
k = lim —b— lim (Дх) — kx).
x—>+oo X x—>+<x>
Тогда прямая у = kx + b является асимптотой графика функции у = Дх) при
х —> +оо.
Аналогично, для того чтобы график функции имел асимптоту при х—>—оо
необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
k — lim b= lim (Дх) — kx).
X—t — CXl X х—>—оо
Тогда прямая у = kx + b является асимптотой графика функции у = Дх) при
х —> —оо.
Необходимо подчеркнуть, что асимптоты при х +оо и при
х—>— оо могут быть различными или может существовать лишь одна
из них, и тогда случаи х—>+оо и х—>—оо необходимо рассматривать
отдельно.
Следует отметить, что возможны случаи, когда первый из этих
пределов существует, а второй нет. Например, для функции у = у/х,
при х +оо получим k — 0, однако lim (у(х) — kx) = +оо.
х—>+оо
§6. Построение графиков функций 129
Пример 2. Найти асимптоты графика функции:
а) у =---------, б) у = х + arctgx.
А а) Если прямая у = kx + b является асимптотой графика, то
, 4 cosx — Зх ,. 4 cosx
k = lim ---------— lim —z— .
X—>OO X2 X—>00 X2
Так как функция /(x) = cosx является ограниченной, a g(x) =
= — бесконечно малой при х—>оо, то предел равен 0, k = 0.
Найдем Ь:
b = lim 4-c?s*~3* =-3.
X—>ОО X
Прямая у = — 3 является горизонтальной асимптотой при
х —> ±оо.
Найдем вертикальные асимптоты. Функция у =
непрерывна при х ф 0. Так как
то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой,
б) Так как функция непрерывна при всех xeR, то вертикальных
асимптот нет. При х —> оо имеем
k = lim £^rctg t = L
х—>ОО X
Найдем Ъ :
{л/2 при х —> Too,
— л/2 при х —> -оо.
Таким образом, прямая у = х Т л/2 является асимптотой
графика функции y = f(x) при х—> Too, а прямая у = х — л/2 —
при х —> —оо. ▲
Графики функций
При построении графика функции у = /(х) удобно придерживаться следу-
ющего плана.
1. Найти область определения функции, выяснить, является ли она четной
(нечетной), периодической.
2. Найти, если возможно, точки пересечения с осями координат, промежутки
знакопостоянства.
3. Найти асимптоты графика функции.
5-1367
130 Глава XIV. Производная и исследование функций
4. Вычислить f'(x) и найти промежутки монотонности функции.
5. Найти экстремумы функции.
6. Вычислить f"(x) и найти промежутки выпуклости.
7. Построить график функции.
Пример 3. Построить график функции у = Зх3 — х + 2.
А Функция определена при всех х € R, не является ни четной, ни
нечетной, ни периодической.
Точка пересечения с осью Оу имеет координаты (0; 2). Для
нахождения точек пересечения с осью Ох решим уравнение
Зх3 — х + 2 = 0.
Заметив, что х — — 1 является корнем многочлена /(х) = Зх3 — х + 2,
разложим многочлен на множители, используя схему Горнера.
Получим
Зх3 — х + 2 — (х + 1)(3х2 — Зх + 2).
Других корней многочлен не имеет. Следовательно, у = 0 при х = —1,
у < 0 при х <-1 и у > 0 при х>—1.
Так как функция определена и непрерывна на всей числовой
прямой, то вертикальных асимптот у графика нет. Покажем, что
наклонных и горизонтальных нет:
k — lim — lim (Зх2 — 1 + -) = ос.
X —>ОО X X—>ОО X
Итак, асимптот у графика нет.
Рис. 12
Так как
У(х) = 9х2 - 1 = (Зх - 1)(3х + 1),
то У(х) > 0 при х < —1/3 и при х > 1/3,
у'(х) < 0 при —1/3 < х < 1/3. Следова-
тельно, функция возрастает на промежутках
(—ос; —1/3] и [1/3; +оо), и убывает на про-
межутке [—1/3; 1/3]. Точка Х[ = —1/3 — точка
максимума, Х2 — 1/3 —точка минимума. При
этом у(-1/3) = 20/9, г/(1/3) = 16/9.
Так как
у"(х) = 18х,
то у"(х) > 0 при х > 0 и yf'(x) < 0 при х < 0. Функция выпукла
вверх при х < 0, выпукла вниз при х > 0, х = 0 — точка перегиба,
угловой коэффициент касательной в этой точке равен у'((У) = — 1,
значение функции равно г/(0) = 2.
Используя результат исследования, строим график функции
(рис. 12). ▲
§6. Построение графиков функций 131
Пример 4. Построить график функции у — —?--------
А Функция определена и непрерывна при х^1и х/—1. Проверим,
являются ли прямые х=1 и х = —1 вертикальными асимптотами.
Так как .. х3 — х2 + 1 lim —z - —оо, х->-1-0 х2 -1 .. X3 — х2 + 1 lim X—— = +оо, х->-1+0 х2 — 1 .. X3 - X2 + 1 lim —5 = —оо, х-И-0 х2 — 1 .. X3 - X2 + 1 lim —=—-— = +оо, х—> 1 4-0 х 1
то прямые Найдем х — — 1 и х = —1 — вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты: k = lim = lim -—: 1, х->оо X X—>ОО х(хЛ — 1) / Д _ „2 । 1 \ b= lim (у(х) - х) = lim [ —5 х 1 = X—ЮО X—>ОО \ х2 — 1 / = lim х3-хг + 1-(хЗ-х) = _| X—>ОО х2 — 1
Прямая у = х — 1 является наклонной асимптотой при х —> — оо и при
х —У +оо.
Найдем первую и вторую производные:
/ _ (Зх2 — 2х)(х2 — 1) — 2х(х3 — х2 + 1) _ х4 — Зх2 _ х2(х2 — 3)
У (х2 — I)2 (х2 — I)2 (х2 — I)2 ’
п _ (4х3 - 6х)(х2 - I)2 - 2(х2 - 1)2х(х4 - Зх2) _ 2х(х2 + 3)
У ~ (х2 - I)4 (х - I)3 ‘
Решая неравенство у'>0 методом интервалов, получаем, что уг >0
при х< —х/З и при х > \/3, и f’(x) < 0 при ->/3<х< —1, при — 1 <х < 1
и при 1 < х < х/З (рис. 13, а)). Таким образом, функция возрастает
на промежутках (—оо; — \/3] и [х/З; +оо), убывает на промежутках
[-х/З; -1), (—1; 1) и (1; л/3]. Точка Х[ = —х/З является точкой
максимума, точка %2 = х/З —точкой минимума, у(—х/З) = —1 — ,
</(л/3) = -1 + ^
Решая неравенство у” > 0, получаем, что функция выпукла пни i
на промежутках (—1; 0) и (1; +оо), выпукла вверх па промгжу i кич
132 Глава XIV. Производная и исследование функций
Рис. 13
(—оо; —1) и (0; 1) (рис. 13. б)). Так как функция не определена при
х = — 1 и при х = 1, то точка х = 0 — единственная точка перегиба,
при этом у(0) = — 1, /(0) = 0.
Используя результат исследования, строим график функции
(рис. 14). ▲
Пример 5. Построить график функции у = 2sinx -f-sin2x.
А Функция определена и непрерывна на всей числовой оси. Так
как у(—х) = 2 sin(—х) + sin(—2х) =
= -2 sinx — sin 2х = —у(х),
то функция нечетная, ее график симметричен относительно начала
координат. Функция периодическая с периодом 2ти, поэтому доста-
точно построить ее график на отрезке [0; 2я].
Найдем нули функции, решив уравнение
2 sin х + sin 2х = 0,
или sinx(l + cosx) = 0.
Числа х = Tin, п G Z, — его корни.
§ 6. Построение графиков функций 133
Так как 1 -f-cosx 0 при всех х, то /(х) > 0 при 2лп < х < л+ 2лм,
и /(х) < 0 при л + 2лм < х < 27г4-2тт, п е Z.
Вертикальных асимптот нет. Покажем, что не существует также
горизонтальных и наклонных асимптот. Имеем
k = lim = lim 2slnx + sln2x = О
X—>OO X x—>OO X
(как произведение бесконечно малой функции на ограниченную).
Тогда
b= lim (r/(x)) = lim (2sinx + sin2х),
X—>ОО X —юо
но последнего предела не существует, так как найдутся сколь угодно
большие значения аргумента х = тг/2 + 7tk, k € Z, при которых значения
функции равны 1, и значения аргумента х = — л/2 + тг£, k G Z, при
которых значения функции равны —1. Следовательно, наклонных
и горизонтальных асимптот нет. Вывод об отсутствии наклонных
и горизонтальных асимптот графика функции можно было также
сделать на основании ее периодичности. Периодическая функция,
отличная от константы, не имеет наклонных и горизонтальных
асимптот.
Найдем первую производную. Имеем
у' = 2 cosx + 2 cos2x = 2(2 cos2 х + cosx — 1) = 2(cosx + 1) (2 cosx — 1).
Следовательно, у' — 0 при х = л(2£ + 1), х = ±тг/3 + 2л£, k е Z,
Так как у' > 0 при - л/3 + 2тг£ < х < тг/З + 2л£, k е Z, то функция
возрастает на этих промежутках (рис. 15, а)). Функция убывает на
промежутках л/3 + 2л£ < х < 5тг/3 + 2л£. При переходе через точки
х = — тг/З + 2л£, k G Z, производная меняет знак с минуса на плюс,
это точки минимума, /(—тг/З + 2л£) = — При переходе через
точки х — л/3 + 2л£, k 6 Z, производная меняет знак с плюса на
минус, это точки максимума, /(тг/З + 2nk) =
При переходе через критические точки х = л + 2л/г, k 6 Z,
производная знака не меняет, эти точки не являются точками
экстремума.
Рис. 15
134 Глава XIV. Производная и исследование функций
Найдем вторую производную:
у" = —2sinx - 4sin 2х = —2sinx(l 4- 2cosx).
Вторая производная равна 0 в точках х = дм, х = 2д/3 + 2дм,
х = 4д/3 + 2дм, п е Z. Решая неравенство у" > 0, получаем,
что функция выпукла вверх на промежутках (2дм; 2д/3 + 2дм)
и (д + 2дп;4д/3 + 2дм), neZ (рис. 15,6)). Функция выпукла вниз на
промежутках (2д/3 4-2дм; д 4-2дм) и (4д/3 4-2дп; 2д 4-2дм), п G Z.
При переходе через точки х = тт, х, = 2д/3 + 2дп, х = 4д/3 + 2дп,
п G Z, вторая производная меняет знак, следовательно, это точки
перегиба.
Найдем значения функции и угловые коэффициенты касательных
в точках перегиба:
у(тт) = 0, z/(2д/3 + 2дп) = \/3/2, г/(4д/3 4- 2дп) = — \/3/2.
У(2дм) = 4, /(д+ 2тт) — 0 У(2д/3 + 2дп) =-2,/(4д/3 + 2дгг) =-2.
Используя результат исследования, строим график функции (рис. 16).
Пример 6. Построить график функции у — е V*.
А Функция определена и непрерывна при х^О. Функция принимает
только положительные значения. Найдем односторонние пределы
в точке х = 0. При х, стремящемся к 0 справа, —1/х стремится
к — оо, поэтому
lim е-1/х = 0.
х—>+0
При х, стремящемся к 0 слева, —1/х стремится к 4-оо, поэтому
lim е-1/х = +оо.
х->-0
Прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика функции.
Так как , .
lim е-1/х = 1,
х—>оо
то прямая у — 1 является горизонтальной асимптотой при х —> оо.
Найдем первую и вторую производные. Имеем:
/ = 1е“1/х.
xz
Так как у' > 0 при х О, то функция возрастает на промежутках
(—оо;0) и (0; 4-оо). Следует подчеркнуть, что при этом функция не
является возрастающей на всей области определения. Экстремумов
нет.
Дидактические материалы 135
Следовательно, при х > 0,5 функция выпукла вверх, при х < 0
и при 0 < х < 0,5 функция выпукла вниз. При переходе через точку
х = 0,5 вторая производная меняет знак, следовательно, это точка
1 4
перегиба, причем t/(0,5) = , z/(0,5) = .
еЛ е2
Используя результат исследования, строим график функции
(рис. 17). А
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XIV. 1
Вариант 1
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
у/3 . о ,1 о . 5 - х
и = — sin 2х 4- - cos 2х 4---------------------.
4 4 2
2. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции
Зх
У = “9-------•
х2 + 2х + 2
Вариант 2
1. Найти промежутки возрастания и убывания функции
/х х . х х — 3
у = v 3 cos - 4- sin - —.
у 2 2 2
2. Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции
х — 1
У ~ х2 - 2х + 2 '
136 Глава XIV. Производная и исследование функций
1.
2.
Найти
Найти
промежутки
промежутки
Вариант 3
возрастания и убывания функции у = sinx — cos2х — 1.
возрастания и убывания и точки экстремума функции
2х
У = 9 . '
1.
2.
Найти
Найти
промежутки
промежутки
Вариант 4
возрастания и убывания функции у = (1 4- cosx) sinx.
возрастания и убывания и точки экстремума функции
X2
У =
х° - 1
Ответы
Вариант!. 1. Возрастает на + лп, ~ + ял], п G Z; убывает на
['^+7Гп> у'+7ГЛ]> л^^- 2. Возрастает на [—л/2;л/2]; убывает на [—оо; — >/2]
и . Точка минимума xmin = —>/2 и точка максимума хтах = >/2.
Г 4тг 1
Вариант 2. 1. Возрастает на |_— — + 4тт, 4?rnj ,п е Z; убывает на
[4яп, + ,neZ. 2. Возрастает на [0;2]; убывает на [—оо;0] и [2;4-оо].
Точка минимума xmjn = O и точка максимума Хтах = 2.
Вариант 3. 1. Возрастает на [^4-2тгл, Ц^4-2тгп1 и [2тгп, я+2т] neZ; убывает
L 6 с
на д4-2дп, 4-2m,j и 4-2яп, 2тгл]
на ' " -
[^4-2ди, ^4-2тгп]
Lb О J
2. Возрастает на [—1; 1]; убывает
—оо;—1] и [1;+оо]. Точка минимума xmjn = — 1 и точка максимума Хтах = 1.
Вариант 4. 1. Убывает на ^4-2ял, ^4-яп] ,п G Z; возрастает на
+2яп, +2яп^ ,neZ. 2. Возрастает на [—-^2;0]; убывает на (—оо; — -^2]
и [0; 1) и (1;4-оо). Точка минимума xmjn = —v^2 и точка максимума хтах=0.
на отрезке
Контрольная работа XIV. 1
по теме «Применение производной» (2 урока)
Вариант 1
1. Наити наибольшее и наименьшее значение функции у= - i
х2 + 3
[-2; 1].
2. Исследовать с помощью производной функцию и построить эскиз ее графика:
а) у = 2 — Зх2 — х3; б) у = —-
3. Определить угол при вершине равнобедренного треугольника заданной
площади S, при котором радиус вписанного в этот треугольник круга
является наибольшим.
Дидактические материалы 137
4. При каких значениях параметра р уравнение cos3x — 5cos2x + 10cosx — р
имеет решение?
Вариант 2
х -|- 2
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = ------ на отрезке
[-1;2]. Х +5
2. Исследовать с помощью производной функцию и построить эскиз ее графика:
a) у = х(х-2)3; б) у = -------
х
3. Дан равносторонний треугольник, длина стороны которого равна а. Найти
длину наименьшего отрезка, соединяющего точки двух сторон этого
треугольника и делящего треугольник на две равновеликие части.
4. При каких значениях параметра р уравнение sin Зх + 6 cos2x — 12 sin х — р
имеет решение?
Вариант 3
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у=\х\ех+2 на отрезке
1-2; 0].
2. Исследовать с помощью производной функцию и построить эскиз ее графика:
ч х2 — 4
а) У = х(х - 2) , б) у =-----.
х
3. Найти длины сторон прямоугольника наибольшего периметра, вписанного
в полуокружность радиуса R так, что одна из его сторон лежит на диаметре
окружности.
4. Найти все действительные числа х такие, что при всех положительных у
выполнено неравенство
о 2 2 3
х Зу — х у .
Вариант 4
1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции у — хе^х+^ на отрезке
[-3; 0].
2. Исследовать с помощью производной функции и построить эскиз ее графика:
а) у = (х- 1)(х + 1)3; 6) у = ^Л.
3. Найти углы прямоугольного треугольника, в котором отношение радиусов
вписанной и описанной окружностей будет наибольшим.
4. Найти все действительные числа х такие, что при всех положительных у
выполнено неравенство
9x2z/2 — Зх z/3.
138 Глава XIV. Производная и исследование функций
Ответы
Вариант 1. 1. z/min — £/(—1) — -0,5, z/max = t/(l) = 0. 2. a) D(y) = R,
Е(у) = R; функция общего вида. Нули функции: х = — 1, х = — 1 ± д/3;
у > 0 при х € (—оо; — 1 — д/3) U (-1; -1 + д/З), у < 0 при
х G (-1 — д/З; —1) U (—1 + д/3; +оо) . Функция возрастает на отрезке [—2; 0],
убывает на промежутках (—оо; —2] и [0; +оо); точка максимума х = 0, £/(0) = 2,
точка минимума х = —2, у(—2) = —2. Функция выпукла вверх на интервале
(— 1; +оо), выпукла вниз на интервале (—оо; —1), х=—1 — точка перегиба,
у( — 1) = 0, у'{—1) = 3. Асимптот нет (рис. 18). б) D(y) = (—оо; 0) U (0; +оо),
Е(у) = R; функция нечетная. Нули функции: х = ±д/0Д у > 0 при
х е (-0) U (д/ОД +оо), У < 0 при х е (-оо; ->/0^5) U (0; д/б\5) •
Функция возрастает на промежутках (—оо; 0) и (0; +оо), точек экстремума
нет. Функция выпукла вверх на интервале (0; +оо), выпукла вниз на интервале
(—оо; 0), точек перегиба нет. Вертикальная асимптота х = 0, lim у(х) = — оо,
х—>+0
lim^у(х) — +оо, наклонная асимптота у = 2х (рис. 19). 3. 4. [ — 16; 6,5].
Вариант 2. 1. £/min = у{~ 1) = 1/6, r/max = 1/(1) = 0,5. 2. a) D(y) = R, Е(у) = R;
функция общего вида. Нули функции: х=—2, х=1; у > 0 при хе (1; +оо), у<0
при х е (—оо; —2) U (—2; 1). Функция убывает на отрезке [—2; 0], возрастает
на промежутках (—оо; —2] и [0; +оо); точка максимума х = —2, у(—2) = О,
точка минимума х = 0, £/(0) = —4. Функция выпукла вверх на интервале
(—оо; —1), выпукла вниз на интервале (—1; +оо), х = —1— точка перегиба,
у{—1) = —2, у'(—1) = —3. Асимптот нет (рис. 20). б) D(y) = (—оо; 0) U (0; +оо),
Е(у) = (—оо; —4] U [4; +оо); функция нечетная. Нулей нет, у > 0 при х е (0; +оо),
у < 0 при х е (—оо; 0). Функция возрастает на интервалах (—оо; —0,5)
и (0,5; +оо), убывает на интервалах (—0,5; 0) и (0; 0,5); точка максимума
х = —0,5, у{—0,5) = — 4, точка минимума х = 0,5, £/(0,5) = 4. Функция выпукла
вверх на интервале (—оо; 0), выпукла вниз на интервале (0; +оо), точек перегиба
Рис. 18
Рис. 19
Рис. 20
Дидактические материалы 139
нет. Вертикальная асимптота х = 0,
lim «(%) =+оо, lim у(х) = —оо, наклонная
х—>+0 х->-о
асимптота у = 4х (рис. 21). 3. -у-- 4. [ — 19; 8].
Вариант 3. 1. z/min = //(0) = °. Утах = у(-1) = е. 2. a) D(y) - К,
Е(у) = [—27/16; +оо); функция общего вида. Нули функции: х = 0, х = 2;
у > 0 при х G (—оо; 0) U (2; +оо), у < 0 при х G (0; 2). Функция убывает на
промежутке(—оо; 0,5], возрастает на промежутке [0,5; +оо); точка минимума
х = 0,5, z/(0,5) = —27/16. Функция выпукла вверх на интервале (1; 2), выпукла
вниз на интервалах (—оо; 1) и (2; +оо); х = 1 и х = 2 — точки перегиба, z/(l) = —1,
у = 2, у(2) = 0, у'(2) = 0. Асимптот нет (рис. 22). б) D(z/) = (-oo; 0)U(0; +оо),
Е(у) — К; функция нечетная. Нули функции: х = —2, х = 2; у > 0 при
х G (—2; 0) U (2; +оо), у < 0 при х G (—оо; —2) U (0; 2). Функция возрастает
на интервале (0; +оо), убывает на интервале (—оо; 0); точек экстремума нет.
Функция выпукла вверх на интервале (0; +оо), выпукла вниз на интервале
(-оо; 0), точек перегиба нет. Вертикальная асимптота х = 0, lim у(х) = — оо,
х->+0
lim у(х) = +оо, наклонная асимптота у — х (рис. 23). 3.
4/?>/5
5
^^4; 4-ooj .
Вариант 4. 1. i/min = У(~3) = -Зе, z/max = у(0) = 0. 2. a) D(y) = К,
Е(у) = [—27/16; +оо); функция общего вида. Нули функции: х = — 1, х = 1;
у > 0 при х G (—оо; —1) U (1; +оо), у < 0 при х G (—1; 1). Функция убывает на
промежутке(—оо; 0,5], возрастает на промежутке [0,5; +оо); точка минимума
х — 0,5, г/(0,5) = —27/16. Функция выпукла вверх на интервале (—1; 0),
выпукла вниз на интервалах (—оо; —1) и (0; +оо); х — — 1 и х — О —
точки перегиба, у(— 1) = 0, у'(— 1) = 0, z/(0) = — 1, r/z(0) = — 2. Асимптот нет
(рис. 24). б) D(y) = (-оо; 0) U (0; +оо), Е(у) — (-оо; -4] U [4; +оо); функция
140 Глава XIV. Производная и исследование функций
нечетная. Нулей нет, у > 0 при х G (0; +оо), у < 0 при х 6 (-оо; 0). Функция
возрастает на интервалах (—оо; —2) и (2; +оо), убывает на интервалах (—2; 0)
и (0; 2); точка максимума х=—2, у(—2) = — 4, точка минимума х = 2, у(2) — 4.
Функция выпукла вверх на интервале (—оо; 0), выпукла вниз на интервале
(0; +оо), точек перегиба нет. Вертикальная асимптота х = 0, lim z/(x) = +оо,
lim^z/(x) — — оо, наклонная асимптота у — х (рис. 25). 3. 4.
Глава XV
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ
При изучении интеграла сначала вводится понятие первообразной
и неопределенного интеграла. Отрабатывается техника интегрирова-
ния. Большое внимание следует уделить нахождению первообразных,
особенно для функций вида f(ax + b), если известна первообразная
функции [(х). В зависимости от уровня подготовки учащихся
можно опустить способы интегрирования иррациональных выраже-
ний, подробно остановившись на рассмотрении простых примеров,
интегрировании с помощью замены без введения переменной под
знак дифференциала.
Прежде чем вводить понятие определенного интеграла, следует по-
дробно рассмотреть примеры непосредственного вычисления площади
криволинейной трапеции. Также важны примеры непосредственного
вычисления определенного интеграла, без использования формулы
Ньютона—Лейбница.
При вычислении площадей следует обратить особое внимание
на вычисление площадей фигур, не являющихся криволинейными
трапециями. Подробное рассмотрение задач на приложения опреде-
ленного интеграла необходимо для более глубокого понимания его
геометрического и физического смысла.
§1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ
Действие, обратное дифференцированию и заключающееся в нахождении
всех таких функций Fix), производная каждой из которых равна данной функции
/(х), называется интегрированием.
Пусть функции Дх) и Г(х) определены на интервале (а- Ь). Если функция
Г(х) имеет производную на интервале (а; Ь) и если для всех xG (а; Ь) выполняется
равенство
F'(x)=f(x),
то F(x) называют первообразной функции f(x) на интервале (а; Ь).
Замечание. Понятие первообразной можно ввести и для других проме-
жутков (полуинтервала — конечного или бесконечного, отрезка).
142 Глава XV. Первообразная и интеграл
Основное свойство первообразных
Если Fi(x) — первообразная функции /(х) на интервале (а; 6), то функция
^(х) = ^(х) + С, где С — постоянная, Сей, также является первообразной
функции /(х) на интервале (а; Ь). Верно и обратное утверждение. Если F\(x)
и /^(х) —две первообразные функции /(х) на интервале (а; 6), то для всех
х е (а; Ь) выполняется равенство /•Дх) — F%(x) = С, где С — постоянная, С е К.
Таким образом, если F(x) — первообразная функции /(х) на интервале (а; 6),
то функции G(x) — F(x) + С и только они являются первообразными функции
/(х) на интервале (а; Ь), т. е. других первообразных на этом интервале нет.
Простейшие правила нахождения первообразных
1. Если Г(х) есть первообразная функции /(х), a G(x)— первообразная
функции g(x), то F(x) + C(x) есть первообразная функции f(x)+g(x).
2. Если F(x) есть первообразная для функции /(х), a k — постоянная, то
kF(x) есть первообразная функции kf(x).
3. Если F(x) есть первообразная функции /(х), a k и Ь — постоянные, причем
k 0, то j-F(kx + Ь) есть первообразная функции f(kx + b).
Таблица первообразных
Функция /(X) Общий вид первообразных F(x) Функция Лх) Общий вид первообразных Fix)
k (k е к) kx + С ех ех + С
(Р/-1 ) ^-+С р+1 ах + с In а
1 (х/0) In |х| + С 1 х/1 — х2 arcsin х + С
COSX sinx sinx + С — cos х + С 1 /1 — X2 arccosx + С
1 2 cosx X tg х + С 1 1 + X2 arctg х + С
1 . 2 sin^ X ctg х + С 1 1 +х2 arcctg х + С
Каждая из формул этой таблицы верна на любом промежутке, на котором
имеют смысл ее левая и правая части. Отметим, что таблица первообразных
получается из таблицы производных.
Пример 1. Доказать, что функция F(x) = In |х + Дх2 + а| является
первообразной функции /(х) = —
Vx2 + а
§1. Первообразная функции 143
Д Действительно, имеем
F'(x) = fin |х 4- Vх2 -[
a
функция F(x) является первообразной функции /(х). А
Пример 2. Найти все первообразные функции /(х) =
S/X
Д Заметим, что при х > 0 функцию f(x) можно представить в виде
/(х) = —— = х-1/3, и все первообразные функции /(х) на промежутке
(0; 4-оо) имеют вид F(x) = | • х2/3 4- С = | • убс2 4- С.
Покажем, что функция F(x) = | • v^c2 является первообраз-
ной функции /(х) и при х < 0. При х < 0 имеем — х > 0
и (^y=(^/^y=((-x)2/3)' = -|.(-x)-1/3 = -|.;51- = |.±.
Таким образом, все первообразные функции /(х) = на про-
з.
межутках (—оо; 0) и (0 4-оо) имеют вид F(x) = ^ убс2 + С. А
Замечание. Так как, вообще говоря, функции /(х) = \[xF и g(x) = xn^k,
где k G N;, k — нечетное, n G Z, имеют разные области определения, то
с помощью таблицы первообразных можно найти первообразные функ-
ции /(х) только на интервале (0; +оо). Получим, что функции вида
F(x) = [k + 1 + £ = + являются первообразными функции
/(х) = д/х” на интервале (0; +оо). Однако можно показать, что функции вида
F(x) — 1 • х/xn+k являются первообразными функции /(х) также и на
интервале (—оо; 0).
Если F(x) 4- С — множество первообразных функции /(х) на
интервале (а; Ь) и %oG(a; b), то константа С однозначно определяется
из условия [(xq) = уо, т. е. через любую точку ЛДхд; z/q) проходит
график единственной первообразной.
5
Пример 3. Найти первообразную функции /(х) =—z-----------, график
sin2(x/3)
которой проходит через точку 0).
5
Д Найдем все первообразные функции [(х) = —----------. Так как одной
sin2(x/3)
из первообразных функции g(x) = —z— является функция
sin2 х
144 Глава XV. Первообразная и интеграл
G(x) = — ctgx, то все первообразные функции вида h(x) = ——
sin2(fe%)
при k / 0 имеют вид /7(х) = — | • ctg(£x) + С. При k = 1/3
получаем, что все первообразные функции [\(х) = —— имеют вид
sin2 х/З
5
F[(x) = — 3ctg(x/3) + С. Все первообразные функции Дх) = —-----
sin2 х/З
имеют вид Л(х) = —15 ctg(x/3) + С.
Найдем ту из первообразных, график которой проходит через
точку М(л; 0), решив уравнение /?(л:) = 0. Получим: -15ctg(zr/3) + С=
= 0, —5\/3 + С = 0, С = 5\/3. Таким образом, F(x) = -15ctg(x/3) +
+ 5\/3. А
Пример 4. Найти все первообразные функции [(х) = .
А Представим функцию следующим образом /(х) = е-х/5. Так как
все первообразные функции h\(x) = ех имеют вид Н(х) = ех, то все
первообразные функции [(х) =е~х/5 имеют вид F(x) = — 5е-х/5 + С —
= ~1^ + С. ▲
+ 1
Пример 5. Найти все первообразные функции f(x) =---------.
3 + х
Л Преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель
с остатком:
ftx) = x-3 +
Все первообразные функции /Дх) = х имеют вид +Дх) = у + С,
первообразные функции f2(x) = 3 имеют вид /^(х) = Зх + С, перво-
образные функции /Дх) = имеют вид F^(x) = 10 In |х + 3| + С.
Тогда согласно свойствам первообразных, все первообразные функции
Дх) = /Дх) + Д(х) + Д(х) имеют вид /Дх) = ГДх) + /Дх) + /Дх) =
v2
= — - Зх + 101п(х + 3) + С. ▲
Пример 6. Найти ту первообразную функции Дх) = —4х — 3,
график которой касается прямой у — Зх — 2.
А Все первообразные функции Дх) имеют вид F(x) = — 2х2 — Зх + С,
их графики являются параболами.
Парабола F(x) = -2х2 — Зх + С, касается прямой у = Зх - 2
тогда и только тогда, когда уравнение -2х2 — Зх + С = Зх - 2
имеет ровно одно решение, т. е. когда дискриминант уравнения
§2. Неопределенный интеграл 145
2х2 4- 6х — (С + 2) = 0 равен 0. Получаем С = — 6,5. Следовательно,
F(x) = —2х2 - Зх - 6,5. ▲
Пример 7. Найти те первообразные функции /(х) = Зх2 4-2х - 4,
графики которых касаются прямой у = х + 5.
Л Найдем абсциссы точек, в которых касательные к графикам
первообразных параллельны прямой у = х + 5 или совпадают с ней.
Имеем F'(x) = /(х) = 1, Зх2 4- 2х — 4 = 1, отсюда х = 1 или х = —5/3.
Все первообразные функции /(х) = Зх2 + 2х - 4 имеют вид
F(x) =х3 4-х2 — 4x4-С. Те из них, которые касаются прямой у = х 4-5,
найдем из условий F(l) = £/(1) или F(-5/3) = £/(-5/3). Получаем
С1 = 8, С2 = -^; Л(х) = х34-х2-4x4-8, F2(x)=x34-x2-4x-▲
Пример 8. Найти первообразную F(x) функции /(х) = —,
9 — х~
график которой проходит через точку М = (2; 3).
А Представим функцию /(х) в следующем виде:
м 7 9 — х2 (3-х)(з + х) х + 3 х —3’
На промежутке (—3; 4-оо) одной из первообразных функции
является функция Fj(x) = In |х 4- 3|.
На промежутке (—оо; 3) одной из первообразных функции
/2(%) ~ ~3 является функция F2(x) = In |х - 3|. Следовательно, на
промежутке (—3; 3) все первообразные функции /(х) = ——- имеют
9 — х2
вид F(x) = In |х 4- 3| — In |х — 3| 4- С. Из равенства F(2) = 3 находим
С = 3 — In 5. Таким образом, F(x) = In |х 4- 3| — In |х — 3| 4- 3 — In 5. ▲
§2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Совокупность всех первообразных функции /(х) на некотором промежутке /
называют неопределенным интегралом от функции /(х) на этом промежутке
и обозначают символом J /(х) dx. Если F(x) — какая-нибудь из первообразных
функции /(х) на промежутке /, С — произвольная постоянная, то все первооб-
разные имеют вид F(x) + С, поэтому
/(х) dx — F(x) + С.
146 Глава XV. Первообразная и интеграл
Свойства неопределенного интеграла
1. d (J /(х) dx) = /(х) dx.
2. $F'(x)dx = F(x) + C.
3. J (а/(х) 4-/3g(x)) dx — aJ/(x) dx 4-(3Jg(x) dx, где а и /3—произвольные
числа.
4. Если J/(х) dx = F(x) 4- С и а — произвольное число, а 0, то J/(ах 4- b) dx —
= - • F(ax 4- b) 4- С.
а
Следует подчеркнуть, что свойства неопределенного интеграла
следуют из соответствующих свойств первообразных и определения.
Таблица интегралов
1) \xadx = -—г 4- С, ael, а^-1.
J «4-1
2) J = In И + С.
3) \axdx = ^ + С.
4) J ех dx = ех 4- С.
5) J cosxdx = sinх 4- С.
6) J sin х dx = — cos x 4- С.
7) J-^- = tgx + C.
coszx
8) J = - ctg X + C.
sin X
9) J ch x dx = sh x 4- C.
10) J sh x dx = ch x 4- C.
11) f dx - = arcsin - 4- C, a > 0.
J Va2 - x2 a
12) J -^4 =1 arc‘g - + c- a / °-
J a2 4-x2 a a
13) J^T = HL-lnl£:L£l + c>
J x2-a2 2a I x 4- a |
14) J dx = In lx 4- \/^2 + ^1 + С, а Ф 0.
V x2 4- a I I
§2. Неопределенный интеграл 147
Непосредственное интегрирование
При вычислении интегралов путем непосредственного интегриро-
вания исходный интеграл с помощью основных свойств приводится
к линейной комбинации табличных интегралов. При изучении этого
способа следует особо подчеркнуть, что интеграл от произведения
нельзя свести к произведению интегралов.
Пример 1. Вычислить интегралы:
a) ftg2xdx; б) f-^L-dx.
V 3 — 5х
А а) Преобразуем интеграл:
1
2
COSZ X
tg2 х dx =
—- dx — dx - tg x - x + C.
COS2 X J
б) Преобразуем интеграл:
(3 - 5x) - 8
5^/3^5x
dx =
= -| (3 - 5x)3/4 dx + | (3 - 5x)-1/4 dx.
Так как J x3/4 dx = + С, to
J (3 - 5x)3/4 dx = — 4(3 ~+ С. Так как f x-1/4 dx = + C,
TO f(3-5x)-1/4dx = -^=^^- + C.
J 15
Таким образом,
’ x+1 , 4 £/(3 - 5x)7 32^(3- 5x)3
rr—dx —--------------------------+ C. A
J v3 — 5x 175 75
Метод замены переменного и подстановки
Если на промежутке /[ функция u(f) интегрируема и
u(t)dt=U(t) + C, (1)
а функция ф(х) дифференцируема на таком промежутке /2, что ее множество
значений на этом промежутке содержится в промежутке /), то функция
Дх) = и(<р(х)) • ср'(х) интегрируема на промежутке 1% и при этом справедливо
равенство
I u(c/j(x))</(х) dx = U(<p(x)) + С. (2)
Таким образом, вычисление интеграла вида J u(<p(x))<j/(x) dx сводится к вы-
числению интеграла вида $u(t)dt. При вычислении интегралов важно увидеть,
148 Глава XV. Первообразная и интеграл
что подынтегральная функция представима в виде произведения выражения,
зависящего только от <р(х), на производную (р'(х).
Пример 2. Вычислить интегралы:
Jtgxdx; 6)J^; в) J —.
sinx x + 2y/x
Преобразуем подынтегральное выражение:
siH* dx = - [ dx.
cosx
Сделав замену cosx = £/, получим
у = - In |z/| + С = — In | cosx| + C.
а)
б)
tgx dx =
COS X
cos X
Преобразуем подынтегральное выражение:
dx
sin x
dx
cos - dx
2 sin • cos2
2 2
------ dx =
о x
cos -
tg2
~dx
J 2 sin - cos -
2 2
‘ 2 ’
Сделав замену z/ = tg|, получим
-l7(tg|)'^x = jld{/ = ln|{/| + C = ln|tg^| + C.
tg 2
в) Преобразуем подынтегральное выражение:
dx ' dx 2 (y/x)' dx
t x + 2\/x b y/x (y/x + 2) b y/x + 2
Сделав замену у = у/х, получим
£L^_^=2l'^- = 21n|// + 2| + C = 21n|v/x + 2|+C. ▲
v^ + 2 J У + 2 11 1 1
После рассмотрения примеров, в которых замена оформлялась
с помощью введения новой переменной, покажем способ оформления
введением под знак дифференциала. Следует обратить внимание на
то, что из самого определения неопределенного интеграла не следует,
что в его обозначении J* f(x) dx выражение dx имеет тот же смысл,
что и прежде, т. е. дифференциала. Однако если в равенство (1)
подставить вместо независимой переменной t дифференцируемую
§2. Неопределенный интеграл 149
функцию ф(х) и воспользоваться равенством d(cp(x)) = cp,(x)dx
(предположив, что выражение d(cp(x)), стоящее под знаком интеграла
по-прежнему обозначает дифференциал), то получится равенство (2).
Таким образом, в равенство (2) вместо переменной t можно
подставлять дифференцируемую функцию cp(t) :
u(cp(x)) d(cp(x)) = U(cp(x)) + С.
(3)
Вычисление интеграла с помощью равенства (3) и называется
введением под знак дифференциала.
Перечислим равенства, часто встречающиеся при введении под
знак дифференциала:
х dx = | d (х2 + с) , — = 2 d (у/х + С) при х > О,
\ / у/х
xndx = — - d (xn+l 4- С) при п / — 1;
Y = d In (Сх) при х > О, С > 0;
cosxdx = d (sinx + С), sinxdx = —d (cosx + C);
cos(tzx + b) dx = d(sin(ax + b) + С) при a / 0;
sin(tzx + b) dx — — d (cos(tzx + b) + С) при a / 0;
exdx = d ex; eaxdx = ± deax при a / 0.
Пример 3. Вычислить интегралы:
a) Jxex2dx; б) Jsin^x; в) J * dx;
у/x xb + 2x3 + 1
r) J—~—5 Д) J cos(2x) sin3(2x) dx; e) J ////
x + x In x 1 + eix
A a) J xex2 dx = f ex2 d (x2) — ± ex2 + C;
. p s i n v/x dx ~ p /— .
6) J--------- = 2 J sin y/x dy/x = —2 cos у/х + C;
yfx
. p x2 , i p d (x3) 1
B /* + 2x3 + 1 X 3 (x3 + I)2 3 (x3 + 1) + ’
Г) f—зЦ—=f dx =J rfa + lHx) =1П|1+|ПХ| + С
' J x + xlnx J x(14-lnx) J 1 + lnx
150 Глава XV. Первообразная и интеграл
д) . е) В п ‘ cos(2x) sii ех dx л3(2х) dx = l- J sin3(2x) d (sin(2x)) = + C; _ arctp (ex} -I- C ▲
1 + е2х эиведенны 1 + (ex)2 к выше примерах вычисление интеграла вида J u(cp(x))tp'(x)dx (4)
сводилось к вычислению более простого интеграла
J u(t) dt,
(5)
если последний интеграл существует.
Можно также при интегрировании осуществлять и обратный
переход, т. е. вычислять интеграл (5) с помощью интеграла (4).
Пусть функция x = cp(t) на промежутке Ц дифференцируема и имеет
обратную функцию t = ф(х), заданную на промежутке /2- Пусть
функция /(ф(/)) • интегрируема на промежутке /1 и
1/М0)/(0<»=ад+с. (6)
Тогда функция /(х) интегрируема на промежутке 1% и при этом
выполняется равенство
Sf(x)dx = и(ф(х)) + С. (7)
Переход от равенства (6) к равенству (7) при вычислении инте-
грала J f(x) dx называется интегрированием с помощью подстановки.
dx
Пример 4. Вычислить интеграл
А Введем подстановку x — tg/, t G (—тг/2; тг/2) = I[. На этом
промежутке функция x = tgt дифференцируема и имеет обратную
фукнцию t = arctgx, определенную на R. При этом dx
\/1 + х2 = (так как G (-тс/2; тс/2)). Получаем
[ —Л =
9
J cos t
dt
n 1
COS t
dx
cos t dt = sin t + C.
Выразим sin t через x :
sin t — cos t • tg /, tg t — x. cos t =
, 1 sin t =
\/1 + %2
\/l + x2
Окончательно получаем
dx x
‘ A/tl+х2? Vх! +X2
§2. Неопределенный интеграл 151
Метод интегрирования по частям
Пусть и(х) и v(x) — функции, дифференцируемые на промежутке /, функция
п(х) и'(х) интегрируема на промежутке /. Тогда функция и(х) v'(x) также
интегрируема на промежутке / и выполняется равенство
и(х) • v'(x) dx = u(x)v(x) — v(x) u (x) dx.
Это равенство можно записать в виде
u dv = uv — и du.
(8)
При интегрировании по частям подынтегральная функция пред-
ставляется в виде g’(x) • /г(х), где от h(x) легко находится пер-
вообразная. Если подынтегральное выражение представляет собой
произведение многочлена степени п на показательную или триго-
нометрическую функцию, то в качестве функции и следует брать
многочлен. При этом формула (8) применяется последовательно п раз.
Пример 5. Вычислить интегралы:
а) \ хех dx\ б) J (х2 + Зх) cos 2х dx\ в) J
sin2x
Д а) =
u dv
и = х, du = dx,
dv — ех dx, v — ех
= хех - ех + С;
б) J (х2 + Зх) cos 2х <jx =
4 v z dv
и
(х2 + Зх) sin 2х
~~ 2
и = 2х + 3,
— dv = sin 2х dx,v = — | cos 2х —
(2х + 3) cos 2х _ , \
-------------+ cos 2х dx] =
2 J /
(х2 + Зх) sin 2х (2х + 3) cos 2х sin 2х
2 4 4
и = х2 + Зх, du = (2х + 3) dx,
dv = cos 2х dx, v = | sin 2х
(2х + 3) sin 2х dx =
и dv
du = 2 dx,
(х2 + Зх) sin 2х । /
2 “2 I
(2х2 + 6х — 1) sin 2х + (2х + 3) cos 2х
4
152 Глава XV. Первообразная и интеграл
и = х, du = dx,
dx
dv ==——, v = — ctgx
sin2 x
= — XCtgX + ctgx dx = —x ctgx + —:-
= — xctgx+ --sin— = — x ctgx + In I sin xl + C. ▲
sinx '
Если подынтегральное выражение представляет собой произведе-
ние многочлена на логарифмическую или обратную тригонометри-
ческую функции, то в формуле (8) в качестве функции и следует
брать эту функцию.
Пример 6. Вычислить интегралы:
a) J’x3lnxrfx; б) J In2 х dx\ в) Jx arctgx dx.
Д а)
и - 1пх,
dv = х3 dx,
_ x4 Inx x4 dx x4 In x x3 dx
4 4x 4 4
= ^(41nx-l) + C;
, dx
du= —-
x ____
x4
4
X4 In X _ X4 , p
Tf)
6)
u dv
। 2 j 21nxdx
и — In x, du ----------
X
dv = dx, v = x
= x In2
In x dx =
и = In x,
dv = dx,
j dx
du= —
x
V = X
= x In2 x - 2
= x In2 x — 2x In x + 2x + C;
x2 arctgx 1
~2 2
u = arctgx, du=-----------
1 + x2
x2
dv = x dx, v = —
x2arctgx 1
2 2
x2 arctgx — x + arctgx
2
x2 arctgx
2
x2 dx
1 + x2
§2. Неопределенный интеграл 153
Если при интегрировании по частям возникает равенство
/(х) dx = h(x) + k j/(x) dx, k / (9)
то оно означает, что для любой первообразной F(x) функции /(х)
найдется первообразная G(x) такая, что выполняется равенство
F(x) = h(x) + kG(x).
Так как G(x) — F(x) + Ci, то получаем
F(x} = -(x) + K?1.
т. e. функция является первообразной функции /(х), следова-
тельно,
f(x)dx = ^L + C. (10)
Пример 7. Вычислить интеграл f ех sin 2х dx.
Д sin 2х • ех dx =
u = sin2x, du = 2 cos2x
dv = ex dx, v = ex
= ex sin 2x - 2 cos 2x ex dx =
u = cos2x, du = -2sin2x
dv - ex dx, v = ex
= exsin2x - 2excos2x — 4 exsin2xdx.
Получили равенство, аналогичное равенству (9), в котором h(x) =
= ех sin 2х — 2ех cos 2х, k = — 4. Тогда согласно равенству (9) имеем
[ г sin 2х dx = ^п-2-*-Т 2с* + С. А
J 5
Вычисление интегралов вида N dx
J +px + q
При вычислении интегралов такого вида следует сначала выделить
в числителе производную знаменателя, а затем представить интеграл
в виде суммы двух. Тогда вычисление исходного интеграла сводится
fd (х2 + рх + о) f dx
—------------ и “о--------•
х2 + рх + q J х1 + рх + q
Второй интеграл после выделения полного квадрата в знаменателе
сводится к табличному.
154 Глава XV. Первообразная и интеграл
тт „ r-> f Зх 4- 2 ,
Пример 8. Вычислить интеграл —---------------dx.
J х2 + х + 1
А Выделим в числителе производную знаменателя и разобьем
интеграл на сумму двух:
3 1
f 3x4-2 , + й , з f (2x + l)dx । f dx
J x2 + x + I J x2+x + l 2jx2_|_x_|_[ 2jx2_|_x_|_|
В первом интеграле внесем выражение 2х + 1 под знак диффе-
ренциала, во втором в знаменателе выделим полный квадрат:
(2х + l)dx
х2 + х + 1
dx
х2 4- х + 1
3
2
3
2
’ d (х2 + х + 1)
X2 + х + 1
----—------= 5 In Iу? + х + 11 + -arctg X + + C =
(x + 0,5)* + | 21 f
3 < ( 2 i\ 1 , 2x +1
= In (xl + x + 11 + —arctg—— + С. к
2 \ / Уз УЗ
Метод разложения на простейшие дроби
Рассмотрим рациональную дробь
где Р(х) и Q(x) —много-
члены. Если эта дробь правильная, т. е. степень числителя меньше
степени знаменателя, то эта дробь представима в виде суммы
простейших, т. е. дробей вида -—и —Mx + N . Если же
(х-а) (х2+рх + ^й
дробь неправильная, то можно разделить числитель на знаменатель
с остатком и представить ее в виде суммы многочлена и правильной
дроби.
Для того, чтобы представить правильную дробь в виде суммы
простейших, необходимо разложить знаменатель на линейные и квад-
ратичные множители. Каждому множителю вида (х - а)п соот-
ветствуют в разложении п простейших дробей ,
х^а’ Каждому множителю вида (х2 + рх + q)k соответствуют
в разложении k простейших дробей —Mkx + Nk , Mk-\x + Nk-^ ,
(х2 4- рх + (?) (х2 4- рх 4- q)
M\x + N[
х2 +px + q
§2. Неопределенный интеграл 155
Пример 9. Вычислить интеграл f ------------ dx.
х6 — 7х + 6
Д Разложим знаменатель дроби на множители. Заметив, что х = 1 —
корень знаменателя и разделив многочлен (х3 — 7х + 6) на двучлен
(х — 1), получим
х3 — 7х + 6 = (х - 1)(х2 + х - 6) = (х — 1)(х — 2)(х + 3).
Представим дробь
У V — I и
(х-1)(х-2)(х + 3) в виде СУММЫ простейших.
Множителю (х — 1) соответствует слагаемое множителю (х — 2)
соответствует слагаемое ——
множителю (х + 3) соответствует
слагаемое — Итак,
х + 3
2х —1 _ А , В , С
(х — 1)(х — 2)(х + 3) х— 1 х-2 х + 3’
Для того, чтобы найти коэффициенты А, В и С, приведем правую
часть равенства к общему знаменателю:
2х — 1 = А(х- 2)(х + 3) + В(х - 1)(х + 3) + С(х - 1)(х - 2)
(х - 1)(х - 2)(х + 3) - U - 1)(х - 2)(х + 3)
Приравняем числители дробей:
2х - 1 = А(х - 2)(х + 3) + В(х - 1)(х + 3) + С(х - 1)(х - 2).
Подставив х = 1, получим 1 = -4А, А = — подставив х — 2,
получим 3 = 5В, В = -=•, подставив х = —3, получим —7 = 20С,
□
С = Итак,
2х-1 _ 1,3 7
х3-7х + 6 4(х-1) + 5(х-2) 20(х + 3)’
Вычислим интеграл:
2*~' dx= Г(______!_ + _з__________Т-Д dx =
. х3-7х + 6 J\ 4(х-1) т 5(х-2) 20(х + 3)/
= -11п|х- 1| + |ln|x-2| - ±|п|х + 3| + С. ▲
Пример 10. Вычислить интеграл J +1)( 2 + 4-----
Л Разложим подынтегральную дробь на простейшие. Множителю
(х + 1) соответствует слагаемое множителю (х2 — 4х + 17)
Мх+Н
соответствует слагаемое —-------.
х2 - 4х + 17
156 Глава XV. Первообразная и интеграл
Получаем
Зх 4-1 д /Их + N
(х + 1)(х2 — 4х + 17) х + 1 %2 _ 4х + 17
Приведя правую часть к общему знаменателю и приравняв
числители, получаем
Зх + 1 = А(х2 - 4х + 17) + (Мх + N)(x + 1).
Подставив х=—1, получим — 2 = 22А. Отсюда А = — Приравняв
далее коэффициенты при х2 в левой и правой части, получим
0 = Л+М, М = -jj. Приравняв свободные члены в левой и правой
части, получим 1 — 17А + Af, N - 1 — 17А -
Окончательно получаем
Зх 4-1
(х 4- 1)(х2 — 4х 4-17)
Вычислим интеграл:
1 х + 28
11(х + 1) 11(х2 — 4х + 17)
Зх +1
dx =
11
Вычислим интегралы
(х+1)(х2-4х +17)
1 х 4" 28 \
П(х + 1) + 11(х2 — 4х 4- 17) /
х 4- 28
х2 — 4х 4- 17
отдельно:
dx । 1
: + 1) П
dx =
dx.
. 1 dx = In |х + 1| + С;
J (Х4-1) 1 1
х 4- 28 , if (2х — 4) 4- 60 ,
-5-------dx = 7- -Ц------------dx =
J х2 —4x4-17 2 J х2 —4x4-17
_ 1 f d(x2 - 4х 4- 17) । go f dx —
— 2 J x2 -4x4-17 J (x - 2)2 4- 13 ~~
= 1 ln(x2 - 4x + 17) + -^= arctg ^2 + C.
£ v Id vid
Окончательно получаем:
Зх 4- 1 ,
----------5--------dx =
J (X4-1)(X2-4x +17)
= -1 In |x + 1| + ± ln(x2 - 4x + 17) + -^= arctg ^2 + C. A
11 llvlo vl3
§3. Определенный интеграл 157
f Мх + N
Интегрирование выражений вида - dx
При интегрировании таких выражений следует сначала выделить
в числителе производную подкоренного
d(x2 + рх + q)
выражения, и вычислить
Г dx
затем два интеграла вида
Второй интеграл с помощью выделения полного квадрата из
подкоренного выражения сводится при этом к табличному интегралу.
Пример 11. Вычислить интеграл
УЗ — 2х — х‘
Д Выделим в числителе производную подкоренного выражения,
равную (3 — 2х — х2) = —2х — 2 :
2х + 3 ,
, ах =
Уз — 2х — х2
__ d (3 — 2х — х2
Уз — 2х — х2 „ \/3 — 2х — х2
= — 2 \/3 — 2х — х2 + . .
УЗ — 2х — х2
2х + 3 ,
= dx.
•2
—(—2х —2) + 1 ,
=- dx —
•2
dx
„ Уз — 2х — х2 У 3 — 2х — х:
л 0\ г
В интеграле
полный квадрат:
dx
dx
dx
= выделим в подкоренном выражении
„ у/З — 2х — х'
dx
dx
и
. УЗ - 2х - X2 J \/4 — (1 + 2х + х2) У 4 - (х + I)2
= /(х + 1> = arcsin ^±1 + с.
х/4 — (% +1)2 2
Окончательно получаем
2х + 3 = dx — -2\/3 - 2х - х2 4- arcsin + С.
2 2
УЗ — 2х — х'
§3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Задача, приводящая к понятию определенного интеграла.
Площадь криволинейной трапеции
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком
непрерывной на отрезке [а; 6] функции у — f(x) (причем /(х) 0 для всех
х € [а; 6]), двумя вертикальными прямыми х = а и х = Ь и осью Ох.
При нахождении ее площади следует
1) разбить отрезок [а;6] произвольным образом на п частей, обозначив
последовательно точки деления через xq,xj,.. ,,xrt_i,хп (рис. 1), причем
а — хр < xi < ... < xn_i < Хп — Ь\
158 Глава XV. Первообразная и интеграл
2) в каждом из отрезков [х^_|,хд], где k = 1,2,.. .,п, выбрать произвольную
точку q;
3) составить сумму
п
<Уп = /(с|) • Дх[ + /(с2) • Д%2 + • • • + /(с«) • Д*Г1 = • Д-’С/г,
Л=1
где Дх^ — х/{ х/е_|.
Если обозначить через Т само разбиение, а через ЦТ) максимальное значение
Дх/г, k = 1,2,..., п, то сумма оп будет стремиться к площади криволинейной
трапеции при ЦТ) —> 0.
Заметим, что при каждом neN эта сумма зависит как от способа разбиения
отрезка [а; 6], т. е. выбора точек xg,Х|,...,хп — точек деления отрезка [а;6],
так и точек q е [xfc_|;xj. Однако предел не зависит ни от способа разбиения
отрезка [а; 6], ни от выбора точек сА.
Пример 1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, огра-
ниченной графиком функции у = х2, вертикальными прямыми х = 0
и х = 1 и осью Ох.
А Разобьем отрезок [0; 1] на п равных частей, тогда Дх^ = i/n
и хь = k/п (рис. 2). Положим q = x^_j = (k — l)/n, k = 1,2,..n (t. e.
q совпадает с левым концом отрезка [x£_i,xj). Тогда /(q) = .
п2-
Составляя сумму, получим
E(k - I)2 j I2 + 22 + ... + (n — I)2
п2 п п6
k=\
Так как I2 + 22 + ... + (п — I)2 = ~ ~ 0 + 0 т0> ПОдСтавляя
О
в сумму, получим
_ (п-1)п(2п-1) _ 2 А _ X\ _ Л £
п би3 6\ nJ \ п) и^ооЗ'
Поэтому искомая площадь равна S = ▲
§ 3. Определенный интеграл 159
Пример 2. Вычислить площадь криво-
линейной трапеции, ограниченной графиком
функции у = sinх и и осью Ох (О^х^д).
А Разобьем отрезок [0; д] на п равных
частей, тогда Ах^ = и/п и = Ttk/n (рис. 3).
Положим Ck= Xk = nk/n, 6 = 1,2,.. .,п (т. e.
q совпадает с правым концом отрезка
[х^_1,х^]). Тогда /(q) = sin —. Составляя
сумму, получим
<Уп
л | sin - + sin — +... + sin
I n n
Так как
• na . (n + l)a
sin sin 1
sin a + sin 2a + ... + sin na =------------------------------
sin 2
TO
. (n — 1)тг . ПЛ
. 7Г , . 2tt . . . (n-l)TT 2n 2n
sin - + sin — + ... + sin ----------=
n n n
sin £-
2n
(n — 1)tt
2n
Подставляя в сумму, получим
. (п — 1)тг
TTSin -—Ti——
2п
Sin 7^- • п
2п
160 Глава XV. Первообразная и интеграл
Так как
(п — 1)я
TTSin -—п——
lim (Уп = lim -----------------—
П—>ОО П—>00 . тт
sin • п
2п
lim sin ( £ - £ .
п—>оо \ Z Zn / 1 Л
= К-----------------------— = 71- — — 2,
Я
2
sin #
lim ----
-Юо к Zn
2п
• п
то искомая площадь равна S = 2.
Понятие определенного интеграла
Пусть функция /(х) определена на отрезке [а;6], и пусть задано разбиение
отрезка [а; 6] произвольным образом на п частей так, что
a = Xq < Х| < ... < хп_[ < хп = Ь.
Назовем совокупность точек xq, xj,..x„_i, хп разбиением отрезка [а;
и обозначим Т= {xf(,k = O,\,...,n}, а отрезки Д/г = [x£_i; х&], где k = 1,..п,
назовем отрезками разбиения Т.
Пусть Дх£ = Х£ — х/[_1 — длина k-vo отрезка разбиения Т. Тогда число
ЦТ) = тах{Дх],..Дхп} назовем мелкостью разбиения Т {или диаметром
этого разбиения). Если q € [x^_i;x^], то совокупность точек {k = 1,..., п)
назовем выборкой и обозначим {q} {k = 1,..., п).
Составим сумму всех произведений /(q) • Дх^ {k = 1,.. .,п), которую
обозначим а{Т, {q}) и назовем интегральной суммой функции /(х) для данного
разбиения Т и фиксированной выборке {q} {k — 1,..п), т. е.
п
Ах*. (1)
k=l
Число J называется определенным интегралом от функции / на отрезке
Ь
[а; Ь] и обозначается Jf{x)dx, если для любого О О существует такое число
а
д = 5(e) > 0, что для любого разбиения Т, мелкость которого l(T) < 5, и для
любой выборки {q} (k = 1,..., п), выполняется неравенство
\a{T,{ck})-J\<e. (2)
Рис. 4
§3. Определенный интеграл 161
Следует особо подчеркнуть, что в определении определенного
интеграла содержится два «произвола»: неравенство (2) должно
выполняться для любого разбиения с мелкостью, меньшей 3, и при
любом выборе точек q этого разбиения.
ь
Пример 3. Вычислить J* С dx.
a
А Для любого разбиения Т{х^, k = 0,1,..., п} отрезка [а; /?] и для
любой выборки точек {с^} (k — \,...,n) имеем /(q,) = С, поэтому
П П р
^Kck)-Axk = C^Axk = C(b-a), С dx = C(b-a). ▲
k=] k=\ ц
Суммы Дарбу
Пусть функция Дх), определенная на отрезке [а; 6], ограничена на этом
отрезке, и пусть Т = {х/г, k — 0,1,..л} — некоторое разбиение отрезка [а; Ь],
Л/, = Хд.], Дх^ = х^ —х^-1 (k = 1,..п). Обозначим
Mk = sup Дх), mk = inf Дх),
(3)
от = S oT = E zn^Ax^,.
£=1 Й = 1
Назовем &т и &т соответственно верхней и нижней суммами Дарбу для
функции f при заданном разбиении Т отрезка [а; Ь]. Заметим, что в отличие
от интегральных сумм суммы Дарбу зависят только от разбиения отрезка [а; 6].
В качестве примера на рисунках 5 и 6 указаны значения М\, ... , и т\,
... , т5.
Если на отрезке [а; 6] задана неотрицательная функция Дх), то для соответ-
ствующей криволинейной трапеции верхняя сумма Дарбу будет численно равна
площади ступенчатой фигуры, состоящей из объединения прямоугольников,
целиком содержащей криволинейную трапецию, нижняя — площади ступенчатой
6-1367
162 Глава XV. Первообразная и интеграл
фигуры, состоящей из объединения прямоугольников, целиком содержащейся
в трапеции (рис. 7, 8).
Пример 4. Найти верхнюю и нижнюю суммы Дарбу для функции
/(х) = 2х на отрезке [1; 2], соответствующие разбиению отрезка на
п равных частей.
Д При разбиении отрезка [1; 2] на п равных частей имеем
Xk = 1 + k/n, k = 0,1,..п; Дх^ = 1/п; на каждом из отрезков
Д^ = [x*_i;xj супремум достигается на правом конце, инфимум—
на левом.
Mk = sup Дх) = 2 fl + * ), mk = inf Дх) = 2 fl + —) ;
\ nJ \ nJ
аг = £м^ = £2(1 + ^.1 = ?.(п+(4^).
fc=l k=l
aT = 3+i;
-T = 52 = 52 2 (* + ' П = л ' (n + ( 2n ) ’
k=l k=l
cr? = 3--L ▲
Критерии интегрируемости функции
Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция
была интегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы
lim (ат — от) - 0.
/(Т)->0 “
Теорема 2. Ограниченная на отрезке [а; 6] функция интегрируема на
этом отрезке тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует
такое разбиение Т этого отрезка, что
от — оТ < е.
§3. Определенный интеграл 163
Пример 5. Доказать, что функция /(х), неубывающая на отрезке
[a; ft], интегрируема на этом отрезке.
Д Зададим произвольно £ > 0. Рассмотрим разбиение Т отрезка
[a; ft] на п равных отрезков: = а + k(b — а)/п, = (Ь — а)/п.
Тогда на каждом из отрезков A& = [x&_i;xJ супремум достигается
на правом конце, инфимум — на левом: М^=[(х^), = /(x&i).
= Е MkAxk = Е f(xk) •
k=\ /г=1
n п <
<zt = Е mk^k = Е
Л=1 k=\
от-от= tf(xn) - /(хо)) = (/(*) - /(а)) •
т- . (b — a) (НЬ) — На)) Л
Если взять п> ---- •то будет выполняться неравенство
от — ат<£, и по теореме 2 функция /(х) интегрируема на отрезке
[а; 6]. ▲
1
Пример 6. Вычислить J х3 dx.
-1
Д Так как функция /(х) = х3 непрерывна на отрезке [—1; 1], то она
интегрируема на нем. Тогда предел интегральных сумм не зависит
от способа разбиения и выбора точек. Разобьем отрезок [—1; 1] на 2п
равных отрезков: х^ = — 1 + k/n, k = 0,1,2,..., 2n, £xxk = \/n. В каждом
отрезке [x&_j; х^] в качестве точки q возьмем возьмем середину
отрезка, т. е. ck = (x*_i + xk)/2. Тогда ck = -cn_k и /(cfe) = -f(cn_k).
Вычислим интегральные суммы
o(t,{q}) = Е = Е + Е = °;
Л=1 k=\ Л=1
1
J х3 dx = 0. ▲
-1
Формула Ньютона—Лейбница
Пусть /(х) — непрерывная функция, F(x) — любая ее первообразная. Тогда
справедлива формула Ньютона — Лейбница
ь
$f(f)dt = F(b)-F(aY
а
Эта формула осуществляет связь между первообразной данной фу 11 к mu i
и определенным интегралом. Правую часть формулы часто записывают в вил,с
164 Глава XV. Первообразная и интеграл
F(x) \ba. Тогда формула принимает вид
ь
^(t}dt=F(x)\ba.
a
_ _ _ р dx
Пример 7. Вычислить интеграл —-----------------.
_1%2+2х + 2
Д Одной из первообразных функции /(х) = ——!-------------=-------—-
х -|- 2х -|- 2 (х -|- 1) -|- 1
является F(x) = arctg(x + 1), поэтому
о
J* х2 + 2х + 2 = arctgU + 01-1 = arctgl — arctgO - р ▲
Имеет место аддитивное свойство определенного интеграла. Если функция
/(х) интегрируема на отрезках [а; с] и [с; &], то она интегрируема и на отрезке
[а; Ь] и справедливо равенство
Ь с b
J /(х) dx — J /(х) dx + J ftx) dx
а а с
5
Пример 8. Вычислить интеграл J (|х| + |х — 3|) dx.
-1
Д Подынтегральная функция равна
2х + 3 при х < 0,
3 при 0 < х 3,
2х - 3 при х > 3.
Данный интеграл представим в виде суммы интегралов:
5 о 3 5
J (|х| + |х — 3|) dx = J (-2х + 3) dx + J 3dx + J (2х — 3) dx =
-1 -1 оз
= (-х2 + Зх) | + Зх|о 4- (х2 - Зх) | =
= 0 - (-1 - 3) + 3(3 - 0) + (25 - 15) - (9 - 9) = 23. ▲
Способы вычисления определенного интеграла
Для вычисления определенных интегралов так же, как и для неопределенных,
применяются формулы интегрирования по частям (4) и замены переменного (5):
ь ь
J u(x}dv(x) = (и(х)о(х))|ц — J u(x)du(x), (4)
a a
/з b
J / (<?(0) <f>'(t)dt = J f(x)dx, (5)
a a
§3. Определенный интеграл 165
где <p(f) — непрерывная и дифференцируемая на отрезке [а; [3] функция, ср(а) = а,
<р(/3) = Ь, и множество значений функции cp(t) на отрезке [а; [3] содержится
в области определения функции /(х).
Пример 9. Вычислить интеграл J* ---.
О V 3 + 4х — 4х2
А Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в подкоренном
выражении полный квадрат:
1 1
f _ Г
{ \/з^н4х—Тх2 ~ I х/4-(2х-1)2 ‘
Введем замену у = 2х — 1, dx = dy/2
х = 0 и у = 1 при х = 1. Получаем
и учтем,
что у = — 1 при
г dx
Jo /4-(2х-1)2
dy _
• У
arcsin
2
__ arcsin 0,5 _ arcsin(—0,5) тг
2 2 6’
2
Пример 10. Вычислить интеграл J*xe3xdx.
1
А Так как функции и(х) — х и w(x) = непрерывно дифферен-
цируемы на всей числовой оси, применим формулу интегрирования
по частям (5):
2
J xe^xdx
1
и - х, du — dx
О g3x
dv — eMdx, v = —
_ xe3x _ _1 3x j _ 2e6 e3 e3x
- 3 j 3 ‘ “ 3 3 9 j
_ 2e6 _ e3 _ / e6 _ e3 \ _ 5e6 _ 2e3
Г T \ T 9“) 9 9“’
Понятие определенного интеграла распространяется на случай
а> b следующим образом:
J/(х) dx = — J /(х) dx.
a b
166 Глава XV. Первообразная и интеграл
Пример И. Для каждого значения параметра а найти значение
a
определенного интеграла J /(х) dx, если
-2
f 2х
/«= 2
если х
если х
^0,
>0.
Д Если а < 0, то /(х) = 2х при всех х е [-2; а] при — 2 < а < О
(или хе [а;—2] при а < -2). Тогда получаем
J* /(х) dx = j* 2х dx = х21 = а2 — 4.
—2 -2 “2
Если а > 0, то /(х) = 2х при всех х е [—2; 0] и /(х) — х^ при
всех х е [0; а] Тогда получаем
а 0 а о 3
J* /(х) dx = j* 2х dx + J х2 dx = x2 + y
—2 —2 0 -2
а
О
3 ’
Пример 12. Найти все числа а и Ь, при которых функция
/(х) удовлетворяет заданным условиям: /(х) = а • 3х + 6, /'(0) — 2
2
и J /(х) dx = 12.
1
Д Так как /'(*) — (а • 3х + Ь)' — а • 3х • In 3, то из условия /'(0) = 2
получаем а • 3° • In 3 = 2, а — •
Вычислим интеграл
2
f Дг • 3х + dx — • 3х + bx
* МпЗ ) \1п23
2 12
Так как по условию j*/(х) dx = 12, то b = 12 —
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 167
§4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ
При вычислении площадей фигур с помощью определенного
интеграла при различных расположениях фигур относительно оси
абсцисс можно использовать различные формулы (см. пример 3 § 4
гл. XV учебника).
Рассмотрим фигуру, ограниченную графиком непрерывной функ-
ции на отрезке [а; 6], принимающей только неположительные
значения, двумя вертикальными прямыми х = а и х = b (а < Ь)
ь
и осью Ох. Тогда ее площадь вычисляется по формуле S = — § f(x)dx.
а
Рис. 9
рис. 9. ▲
фигуру, ограниченную на
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограничен-
ной прямыми х = -2, х = —1, у — 0 и графиком
функции у — х^.
А Так как на отрезке [—2; —1] функция у = х3
принимает только отрицательные значения, то
площадь фигуры равна
-1
S = — J х3 dx = —
-2
Фигура изображена на
Рассмотрим теперь
отрезке [а; Ь] осью Ох и графиком непрерывной
функции у = f(x), принимающей как положительные, так и от-
ft
рицательные значения. Тогда число, равное Jf(x)dx, совпадает
а
с величиной, равной сумме площадей фигур между графиком
функции у = f(x), х € [а; b], и осью Ох, лежащих выше оси Ох,
уменьшенной на сумму площадей фигур между графиком функции
У — Кх), * 6 [а; £>], и осью Ох, лежащих ниже оси Ох. Площадь
ft
фигуры при этом равна J |/(х)| dx.
а
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
х = тс/6, х = Зд/4, у = 0 и графиком функции у = cosx.
168 Глава XV. Первообразная и интеграл
Рис. 11
Д Так как на отрезке [тс/6; тс/4] функция у = cosx принимает и по-
ложительные, и отрицательные значения, то площадь фигуры равна
Зтг/4 тг/2 Зтг/4
S= J |cosx|dx = J cosxrfx — J cosxdx =
7г/6 7Г/6 7t/2
iTt/2
= sln</6
|Зтг/4 . 1 \/2 . «
sl"4/2 = I" 2 “ T + 1 =
3- v/2
2
Фигура изображена на рис. 10.
Рассмотрим фигуру, ограниченную отрезками прямых х = а и х = Ь
(а<Ь) и графиками неотрицательных и непрерывных на [а; 6] функ-
ций /1(х) и /2(x)j причем /1(х) Площадь данной фигуры равна
разности площадей двух криволинейных трапеций ACDB и AC'D'B
ь ь ь
(рис. 11), т. е. S = ]f2{x)dx-]f\{x)dx = ]{f2{x)-f\{x)}dx. к
а а а
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями у = 2х2 и у = 4х.
Д Найдем точки пересечения графиков функций
у = 2х2 и у — 4х, решив уравнение 2х2 — 4х, х = О
или х = 2. Графики пересекаются в точках 0(0; 0)
и 0(2; 8) (рис. 12), 4х 2х2 при хе [0; 2]. Площадь
данной фигуры равна
2 2 ,2 о 3 2
S = f 4х dx — 2 • Г х2 dx = 2х2 — —
о о 1о 3 о
Рис. 12 = 8 - 16/3 = 8/3.
Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = \/х + 1 + 2, у = 2(х - 2)3 + 2 и у = 1 - х.
Д Построим графики функций, они попарно пересекаются в точках
Д(—1; 2), 0(1; 0), 0(3; 4)(рис. 13). Площадь фигуры находим как
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 169
сумму площадей фигур АВС и BCD:
1
S — j* (у/х + 1 + 2 - (1 — х)) dx +
-1
з
dx =
з _________ 1 з
— J (\/x + 1 + 2) dx — J (1 — %) dx — J ^2(x — 2)3 + 2^ dx =
(2<W+2x
\ 3
3
1
= ^ + 6-0-(-2)-(1-1-(-1)4-1)-(l+6-1-2) =71. ▲
О it J \ L £ / D
В общем случае площадь фигуры, ограниченной графиками
функций у = fi(x) и у = AW и прямыми х = а, х = Ь, выражается
формулой
ь
S = J* IZ2W - AW \dx.
а
Иногда удобно использовать аналогичную формулу, но по пере-
d
менной у (считая х функцией у), т. е. S = J* (АО/) — АО/)) <ty-
с
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми
х = 0,5, х = 1, у = 0 и графиком функции у — arcsin х.
L Площадь криволинейной трапеции ABCD найдем как разность
площадей прямоугольника AECD и фигуры ВЕС (рис. 14). Площадь
170 Глава XV. Первообразная и интеграл
ВЕС вычислим как площадь фигуры, ограниченной прямыми у^к/Ъ,
у = д/2, х = и графиком функции х = sin у.
л/2
$вес = J* (sin г/ —0,5) dy — (- cos г/- 0,5г/))=
7Г/6
__ УЗ _ л
“ V - 6’
/3 . тг _ 5тг
У + 6 _ 12
$abcd — $aecd ~ $вес —
уз
2
Используя
0,5 1 2 х
Рис. 15
геометрический
вычислить
Пример 6.
смысл определенного интеграла,
2 _______
J* у 2х — x2dx.
0,5
А Построим график подынтегральной функ-
ции у = \j2x- х2, т. е. у2 + (х - I)2 = 1, у 0 —
полуокружность с центром в точке Л(1; 0)
графиком является
и радиусом 1 (рис. 15).
Интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной
полуокружностью и прямыми х = 0,5 у = 0. Площадь равна сумме
площадей треугольника АВС и сектора CAD. В треугольнике АВС
катеты равны АВ = 0,5, ВС = 0,5\/3, угол АСАВ — 60°. Площадь
треугольника АВС равна л/3/8, площадь сектора, градусная мера
которого 120°, равна д/3. Таким образом
2 _______
[ \/2х - x2dx =
О О
Площадь фигуры, ограниченной двумя линиями, можно вычислить
и без построения графиков.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1 1
Г/ = —------ и у .
х2+2х+1 4х + 7
А Найдем точки пересечения линий из уравнения ——------- = — —7
х2 + 2х + 1 = — (4х + 7), х = — 2 или х = —4.
При х е [—4; —2] обе функции определены и непрерывны
1 . 1
и выполняется неравенство —--------
н х2 + 2х+1 4х + 7
У
о
§4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей 171
Найдем площадь фигуры:
—2 -2
5 = —1-----f(x+ I)-2 + dx =
J \х2 + 2х + 1 \ 4х + 7/у J \ 4x4-7/
-4 —4
_9
= (-(x + i)-| + !^±^)|_4 = i + o-Q + !^) = ?-!^ а
Пример 8. Найти площадь фигуры, огра-
ниченной гиперболой у = — 1/х, касательной
к ней, проведенной в точке с абсциссой х = 1,
и прямой х = 2.
Д Составим уравнение касательной:
^кас(х) = У(ХО) +У'(ХО)(Х-ХО), (1)
где х0 = 1, г/(1) = -1, у'(х) = 1/х2, у'(1) = 1,
*/кас(*) = X — 2.
Рис. 16
Так как при х G [1; 2] график касательной
лежит не ниже графика функции у = -\/х
(рис. 16), то площадь фигуры равна
2 2
5= (УкасМ - //(*)) dx = (х-2+^
1
/ „2
= I — - 2х + In |х|
1
2
= In 2 — 0,5.
1
Пример 9. Найти все такие значения параметра а, при которых
площадь фигуры, ограниченная линиями у^/х = 2^ х = 1, х = а, у = 0,
вдвое меньше, чем площадь фигуры, ограниченной линиями уу/~х = 2,
х = 1, х = 4, у = 0.
Д Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
2
У= —, х= I х = 4, г/= 0 :
ух
S2 =
4
Г 2
172 Глава XV. Первообразная и интеграл
Найдем значения а, при которых площадь фигуры, ограниченной
линиями уу/х, = 2, х = 1, х = а, у = 0, равна Si = S2/2 = 2.
возможны случаи а > 1 и а < 1, то площадь равна
а
— dx
J у/х
1
Решая уравнение 4 \у/а — 11 = 2 или \у/а — 1| = 0,5, получаем
или а = 2,25.
Так как
14л/х|“| = |4V7z - 4| - 4 \y/d - 1|.
51 =
а -- 0,25
фигуры,
5 =
Пример 10. Найти наибольшее значение площади
ограниченной линиями у = 2 + cosx, у = sinx, х = а, х = а Ч- л.
А Так как при всех х выполняется неравенство 2 4-cosx 1 sinx,
то площадь фигуры равна
а+л
(2 + cosx — sinх) dx = (2х Ч- sinх + cosx)|“+rt =
а
= 2{а + л) + sin(a Ч- л) Ч- cos(a Ч- л) — 2а — sin а — cos а =
= 2л — 2 sin а — 2 cos а.
Найдем наибольшее значение площади:
S = 2л - 2 sin а — 2 cos а = 2л — 2\/2 ( sin a cos + cos a sin ?
\ 4 4
При этом S = 2л + 2\/2, если sin
Зя
при а = —
S = 2 л Ч- 2\/2.
= —1, например,
Итак, наибольшее значение площади равно
Пример И. При каком значении t площадь фигуры, ограниченной
графиком функции /(х) = х4 Ч-2х2, касательной к нему, проведенной
в точке графика с абсциссой /, и прямой x = t— 1, наименьшая?
А Рассмотрим сначала взаимное расположение графика функции
и касательной, проведенной к нему в произвольной точке. Найдем
вторую производную функции /(х) :
f(x} — 4х3 Ч- 4х, f"(x) = 12х2 Ч- 4 > 0 при всех х е R.
Следовательно, функция всюду выпукла вниз, любая касательная
имеет с графиком одну общую точку и лежит не выше графика.
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 173
Уравнение касательной, проведенной в точке с абсциссой t, имеет
вид
у(х) =f(t) + /'(0(*- О-
у(х) — t4 + 2/2 + (4/3 + 4/)(х - /),
Тогда площадь фигуры находится с помощью интеграла
t
S(t)= (f(x) - у(х)) dx =
t-i
t
= ((x4 + 2x2) — ^/4 + 2t2 + (4/3 + 4t)(x — /))) dx =
r-i
= + 2x^ _ (^4 + 2^)x _ (4/3 + 4,}(x 02) ' =
= | + - (Z4 + 2Z2)Z-+(Z4 + 2Z2)(Z- 1) + =
= /5-(/-i)5 + 2 (г3 - (t - 1)3) _ t4 _ 2z2 + 2Z3 + 2Z
5 3
Для того чтобы найти наименьшее значение 5(0, вычислим
производную 5'(0 и приравняем ее к 0:
S'(/) = t4 - (t - О4 + 2/2 _ 2(/ - I)2 - 4/3 - 4/ + б/2 + 2 = 4/ - 1.
Производная 5'(0 равна 0 при / = 0,25, при / < 0,25 производная
отрицательна, при />0,25 производная положительна, следовательно,
/ = 0,25 —точка минимума функции 5(/). Площадь фигуры наимень-
шая при / = 0,25. ▲
§5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
К ФИЗИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
Определенный интеграл широко применяется при решении различ-
ных физических задач, в которых требуется найти закон изменения
некоторой величины у(х) или ее приращение при заданном изменении
независимой переменной х, если у(х) удовлетворяет уравнению
У(х) = /(х).
В частности, величина у(х) может быть перемещением, работой,
массой, электрическим зарядом, давлением, теплотой. Функция Дх)
в этих случаях задает скорость изменения величины г/(х).
174 Глава XV. Первообразная и интеграл
Пример 1. Два тела движутся по одной и той же прямой: первое
со скоростью V] = З/2 — 4/ м/с, второе со скоростью U2 = 4(t + 3) м/с.
Если в начальный момент времени они были в одной точке, то через
какое время и на каком расстоянии от точки начала движения они
снова окажутся в одной точке?
Д Найдем функции x\(t) и x%(t), выражающие зависимости ко-
ординат точек от времени. Положим, согласно условию задачи,
%1(0) = %2(0) = 0 и найдем момент времени t\ > 0, при котором
xi(^i) = %2(^1)- Так как функция скорости v(t) равна производной от
функции перемещения x(t), то x(t) является первообразной функции
v(t). Разность первообразных равна определенному интегралу:
xi(?i) — Х1(0) = v/f)dt= (3t2 - 4t) dt = - 2/2,
о о
й 6
%2^1) — *2(0) = V2(t)dt = 4 (t + 3) dt = 2/2 + 12/1.
0 0
Так как xi(0) = X2(0) = 0, x\(t\) = X2(t/), получаем уравнение
/3 - 2/2 = 2/2 + 12/i, /i(/2 - 4/i - 12) = 0,
Так как по смыслу задачи t\ > 0, то /1=6, xi(6) = Х2(6) = 144. ▲
Пример 2. В неоднородном стержне длиной Л = 5 функция р(х) =
= 1 + 0,1х3 (кг/м) выражает линейную плотность стержня в точке
с координатой х (один из концов стержня принимается за начало
отсчета). Найти массу и координату центра масс стержня.
Д Массу стержня вычислим по формуле
L 5
(1 + 0,lx3) dx —
о о
Координату центра масс вычислим по формуле
L
хр(х) dx,
о
0,1х4
4
М — р(х) dx =
5
= 20,625.
о
Яц. М. —
L 5
х(1 + 0,1 х3) dx =
о о
Л , /х2
) dx= -
0,1х5
5
5
= 75,
о
г = 75 = 40
ц' м- 20,625 11 ’
§5. Приложения определенного интеграла к физическим задачам 175
Пример 3. Электрический заряд е0, сосредоточенный в начале
координат, отталкивает заряд е из точки (а; 0) в точку (Ь; 0).
Определить работу силы отталкивания.
А Работа по перемещению заряда из точки (а; 0) в точку (Ь\ 0)
вычисляется по формуле
b
А = J* F(x) dx,
a
в которой согласно закону Кулона сила взаимодействия зарядов
в пустоте равна
где х — расстояние между зарядами, т. е. от точки (х; 0), в которой
расположен заряд е, до начала координат, в котором расположен
заряд е0. Получаем
a
Пример 4. Вычислить работу, ко-
торую надо затратить, чтобы насыпать
кучу песка конической формы с ради-
усом основания R и высотой Н, если
плотность песка равна у.
А Разобьем конус на части плоско-
стями, параллельными плоскости ос-
нования (рис. 17). Рассмотрим один из
получившихся усеченных конусов, вы-
сеченный плоскостями, находящимися
на расстояниях х и х +Дх от плоскости
основания исходного конуса. Радиус его
Н — к
основания равен 7?(х) = R——, высота Дх. Его объем примерно
н
равен объему цилиндра с теми же радиусом основания и высотой,
V(x) « 7г/?2(х)Дх а масса — т(х) ~ тг/?2(х)уДх.
Обозначим через ДД работу, требуемую для подъема рассмат-
риваемого цилиндра на высоту х. Тогда ДД « Tt/?2(x)yg Дх, или
176 Глава XV. Первообразная и интеграл
(И — х)2х dx =
— «7iR2(x)Ygx. Переходя к пределу, получим А' = nR2(x)Ygx. Тогда
Дх
н н
А = TiR2 (х) Ygx dx =
J H2
о о
н
(H2x-2Hx4xbdx=^(^-™£ + ^
Н
тг/?2уя
О
О
12
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XV. 1
Вариант 1
1. Найти все первообразные функций:
а) /(х) =2Х + + 1; б) /(х) = cos(3x + 5); в) /(х) = — 1
xz 1 + 4х2
2. Найти те первообразные функции /(х) = 6х2 + 4х — 8, графики которых
касаются прямой у = 2х + 13.
Вариант 2
1. Найти все первообразные функций:
а) /(х) = —--б) /(х) = sin(0,5x - 3); в) /(х) = 1 .
х5 л/1 - 9х2
2. Найти те первообразные функции /(х) = Зх2 + 4х — 6, графики которых
касаются прямой у — х + 14.
Вариант 3
1. Найти все первообразные функций:
а) >М = 2Х^1Х5"2; б) /(х) = -2,7 аТ' в) = -7т-
2х + 5 cos2(5 + 4x) у/е*-
2. Найти те первообразные функции /(х) — 6х2 — 4х — 11, графики которых
касаются прямой у = —х — 13.
Вариант 4
1. Найти все первообразные функций:
а) /(х) = Х 3 -; б) /(х) = 1 —; в)/(х) = -^=.
х2 + 2х + 1 sm2(3 — 0,5х)
2. Найти те первообразные функции /(х) = 9х2 — 12х — 23, графики которых
касаются прямой у = —2х — 44.
Дидактические материалы 177
Ответы
Вариант 1. 1. а) + 3 In |х| - i + С; б) ^£±^2 + с- в) arct|(2x) + С.
2. 2х3 + 2х2 -8х +19; 2х3 + 2х2-8х + 1/27.
Вариант.2. 1. а)21п|х| + ~—^+С; б) -2cos(0,5x-3)+C; в) arcs*n(3x) +С.
хд 4х4 3
2. х3 +2х2 - 6х +18; х3 + 2х2-6х-14/27.
о о « \ *2 . 3In 12x4-51 п tg(4x-|-5) , „ ч 2
Вариант 3. 1. а) — - х 4--——1 4- С; б) 4 + С; в) --^= 4-С.
2. 2х3 — 2х2 — Их—1/27; 2х3-2х2 - 11х-3.
о 3
Вариант 4. 1. a) In 1x4-II---- 4- С; б) 2 ctg(3 - 0,5х) 4-С; в) -h С.
х4-1 уе*
2. Зх3 —6х2 —23х —4/9; Зх3-6х2-23х-20.
Самостоятельная работа XV. 2
Вариант 1
Вычислить интегралы:
1. Jx2cosx3Jx. 2. Jx23xJx.
Вариант 2
Вычислить интегралы:
1. f 2 Г (х2 4- Зх 4-1) In xdx.
J 1 4- х8
Вариант 3
Вычислить интегралы:
1. I --—---. 2. Jxcos(0,5x)dx
J у/х + x/x
Вариант 4
Вычислить интегралы:
, Г dx п г, ,
1. -------. 2. J Inxах.
J у/х. — Ху/х
Ответы
Вариант 1. 1. + С. 2. 23х ---О + С.
3 \31n2 91П2 2/
D „ , arctg х4 , п . (х3 Зх2 , \ Зх2 х3 г
Вариант 2. 1. ---5---1- С. 2. Inx —4-----Нх — х--------— 4- С.
4 \32/49
Вариант 3. 1. 2 arctg у/х 4- С. 2. 4cos(0,5x) 4- 2xsin(0,5x) 4- С.
\/х 4-1
Вариант 4. 1. In-------h С. 2. xlnx — х 4-С.
у/х — 1
178 Глава XV. Первообразная и интеграл
Контрольная работа XV. 1
по теме «Неопределенный интеграл» (2 урока)
Вариант 1
Вычислить неопределенные интегралы:
1.
4.
Г ( „ I 1 \ f dx
cos(3 - 2х) + —— + dx. 2. -——2 .
J \ Зх+2 J/^5/ J 1 + 4х2
Г (х 4-1) dx _ г „ р . ,п . .
—---------. 5. J cos хох. 6. Jxsin(2x)ox.
J х2 + 4х — 5
f 1п(х + 1) dx
J X “|“ 1
Г (х — 1) dx
J х2 - 4х + 8
Вариант 2
Вычислить неопределенные интегралы:
1. sin(5 — Зх) 4------------=
J \ (2х - З)5
3. J х2 cos(2x3 + 1) dx. 4.
6. J хе3х dx. 1.
+ v х' I ox.
Г (x + 2) dx
J x2 4- 5x — 6
Г (x 4- 1) dx
J x2 — 6x 4- 10
f dx
2. -y -
J v 1 — 4x2
5. Jsin3xdx.
<3*
Вариант
Вычислить неопределенные интегралы:
1. [ 25x 4- J- 4- ) dx.
J \ 2x 4/(3 _ 2x)7
f xdx
3- . - •
J \/1 — 4x4
6. J (x2 4-1) cos 3x dx.
(2x2 4- 1) dx
x2 — 5x — 6
(x - 1) dx
\/8 — x2 — 2x
f dx
2. -------
J 9 + 25x2
5. Jcos4xdx.
Вариант 4*
Вычислить неопределенные интегралы:
1.
(з2л + —
\ (Зх - I)3
cos х dx
1 4- 9 sin2 х
4- ^/(1 — 2x)5 j dx.
6. J (x2 — x)e2x dx.
4.
7.
3x2 4-1 ,
-r--------- Ox.
xz — 4x - 5
(x — 1) dx
f dx
2. z
J V9-25x2
5. J sin4 xdx.
a/9 — x2 4- 8x
Дидактические материалы 179
Ответы
D , . sin(3 —2х) ln|3x+2| 3 arctg(2x) г
Вариант 1. 1.-----Ц------ + —1 0 . + С. 2. ------------ + С.
2 3 2
3. 1п2(л + 1) + с 4. 21п|х+5|-1п|х-1| + с s s.nx _ sl^x + с
х — 2
л sin(2x) —2xcos(2x) r _ ln(x2-4х+8)-arctg —-
ь. 2 + 2 +С.
„ Q 1 cos(5 —Зх) 1 3\/х*0
Вариант 2. 1. --------- — ---------7 +--------+ С.
3 8(2х-3)4 10
3 sin(2x3 + l) с 4 41п|х + 6|-31п|х-1| 5
6 7
6. е3х(Зх-1)+с 7 1п(х2-6х+Ю) _4arctg(x_3) + C-
5х
D 2* 1 25х 1п|х| 2 „ alct£y arcsin(2x2) r
Варианта*. 1. ——- + —НН---------,........ 2. -----^-+С. 3.-------------НС.
51п2 2 З^Г^ 15 4
4. 2x | 731nk-6|-31n |x+l|
7sin(3x)
+ 27
7
x2 sin(3x) £
С g Зх sin(2x) sin(4x) ~
+ ' 8 + 4 + 32 + '
7. — \/8 — х2 — 2х — 2 arcsin + С.
6.
2xcos(3x)
9
Вариант 4*.
1.
32х
2 In 3
6(3х —I)2
2.
. 5х
arcsin —
________3_
5
с.
, sinx
arctg —-
3. ----------3-
3
, Sin(4x) r
+ 32 +
4.
„ 38 In |х — 5| — 2 In |х +1|
Зх -j- ------------------------------
5.
Зх
т
3
6. е2х(0,5 — х + 0,5х2) + С. 7. — \/9 — х2 + 8х + 3 arcsin
sin(2x)
4
3
3
Контрольная работа XV.2
по теме «Определенный интеграл» (2 урока)
Вариант 1
1. Найти значения параметра а, при которых выполняется равенство
-1/5
J* (5x + l)dx =-10.
а
xdx
2. Вычислить интеграл J 3
1 v9 — х2
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у ‘ 2х2 — Зх и у = 5;
б) z/2 = x + 3 и х + 2у = 5;
в) у — — 1,5х2 — 9х — 7,5 и у = —х2 — 6х — 5;
г) графиком функции у — \/1 — Зх, касательной, проведенной к этому
к графику в точке с абсциссой хд = —5, и прямой у = 0.
180 Глава XV. Первообразная и интеграл
4. Найти все такие значения а, при которых площадь фигуры, ограниченная
линиями у2х = 1, х = 9, х — а, у = 0, вдвое больше, чем площадь фигуры,
ограниченной линиями у2х — 1, х = 9, х = 16, у = 0.
Вариант 2
1. Найти значения параметра а, при которых выполняется равенство
За
J (х2 + х — 2)Jx = 26/3.
а
_ _ x2dx
2. Вычислить интеграл J .
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 2х2 + Зх и у = — 1;
б) у2 = 3 — х и 2у — х - - 5;
в) у = — 1,5х2 + 9х — 7,5 и у=— х2 + 6х — 5;
г) графиком функции у — у/2х — 1, касательной, проведенной к этому
графику в точке с абсциссой хо = 5, и прямой у = 0.
4. Найти все такие значения а, при которых площадь фигуры, ограниченной
линиями х2у3 — 2, х = 27, х — а, у = 0, вдвое меньше, чем площадь фигуры,
ограниченной линиями х2//3 = 2, х = 27, х = 125, у = 0.
Вариант 3*
1. Найти значения параметра а, при которых выполняется равенство
J cos8xt/x = —1/16.
л/16
_ _ г dx
2. Вычислить интеграл .
1/2У2х-х2
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 2х2 — Зх и у = 5;
б) у2 - х + 3 и х + 2у = 5;
в) у = (Зх — 1)(5 — х) и у = (х — 5)(2х + 1);
г) графиком функции у = х2 — 6х+1, касательной, проведенной к этому
к графику в точке с абсциссой xq = 2, и прямой х = 5.
4. Найти наибольшее значение площади фигуры, ограниченной линиями
у — 7 + 3 cos 2х, у = 4 sin 2х, х = а, х = а + тг/2.
Вариант 4*
1. Найти значения параметра а, при которых выполняется равенство
6/5
f — 1
а 5х — 1 — 5
р dx
2. Вычислить интеграл . ----.
О \/3 + 4х - 4х2
Дидактические материалы 181
3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 2/х и у = 3 — х;
б) г/2 = 3 — х и 2у — х = 5;
в) у = — 1,5х2 + 9х — 7,5 и I/= — х2 + 6х — 5;
г) графиком функции у = >/2х — 1, касательной, проведенной к этому
к графику в точке с абсциссой хд — 5, и прямой у — 0.
4. Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной линиями
г/= 5cos у - 12sin — 17, х = а, х = а + 2д.
Ответы
D , < 11 9 о 9 „ . 353 , 16 . 64
Вариант 1. 1. О[ = — — и 02 — 7- 2- т- 3- а) “—1 б) 36; в) —; г) —.
5 о 4 24 3 9
4. = 25 и а2 = 1-
Вариант 2. 1. 1. 2. 4(х^~1). 3. а) 6)36; в) у; г) 4,5.
4. Я[ = 64 и 02 = 8.
Вариант 3. 1. (-!)*-£ + k 6 Z. 2. £. 3. а) 6)36; в) г) 9.
4о о 0/4 о
4. 3,5д+10
Вариант 4. 1. а\ — 6 и а2 = — 2. 3. а) 1,5 —1п4; 6) 36; в)
5е 5е 6 3
г) 4,5. 4. -34д-26.
Глава XVI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Изучение дифференциальных уравнений следует начать с рассмот-
рения задач, к ним приводящих. При этом важно уметь записывать
условия физических и геометрических задач с помощью приращений,
затем переходя к производным.
При решении простейших дифференциальных уравнений необ-
ходимо уметь распознавать их тип, после чего применять схему
решения для этого конкретного типа.
§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое содержит
неизвестную функцию и ее производные. Общий вид такого уравнения:
F(x, у, у', у",..., уЩ = 0. (1)
К дифференциальным уравнениям приводят многие физические задачи, на-
пример, задача о радиоактивном распаде, задача о падении тела в воздушной
среде и др.
Решением дифференциального уравнения (1) называют п раз дифферен-
цируемую функцию, обращающую его в тождество на некотором промежутке
изменения переменной х.
Пример 1. Показать, что функция у(х) = cos 2% + sin 2% + е~х
является решением дифференциального уравнения у" + 4у = 5е~х.
Д У(^) = — 2 sin 2х + 2 cos 2% — е~х, у"(х) = -4 cos 2% — 4 sin 2% + е~х.
Подставляя у(х) и у"(х) в уравнение, получаем, что для лю-
бого х е К верно равенство y// + 4y = ~4cos2x — 4sin2x + g-x +
+ 4 (cos2x + sin 2х + е-х) = ▲
Дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Функ-
ция у = (р(х,С), где С—произвольная константа, называется общим решением
уравнения (1), если при каждом фиксированном значении С она является
решением этого уравнения. И наоборот, каждое решение уравнения получается
из общего решения подстановкой некоторой константы С.
Пример 2. Показать, что при каждом действительном значении
параметра С функция у=----------- является решением дифферен-
1 + Сх + In х
циального уравнения ху! + у = у2 In х.
§2. Уравнения с разделяющимися переменными 183
л / С + 1 /х Сх +1 _
Д у —----------------~ . Подставляя в уравнение у
(1 + Сх + In х)2 х(1 + Сх + Inx)2 г
и у', получаем
/ . х(Сх +1) 1 1пх 21 д
*У+У =------------------□+----------- =-------------- = y lnx. ▲
х(1+Сх + 1пх)2 1 + Сх + In х (Г+Сх + 1пх)2
Задача нахождения решения дифференциального уравнения
У = К*,У), (2)
удовлетворяющего условию
у(хо) — Уо, (3)
называется задачей Коши. Само условие (3) носит название начального условия,
а решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию, называется
решением задачи Коши (2)-(3).
Пример 3. Показать, что функция у(х) = 1 4- (% - 1) 1п(х — 1)
является решением задачи Коши х 4- у — 2 4- (1 — х)у' = 0, //(2) = 1.
Д Проверим, что функция у(х) является решением уравнения.
Подставив в уравнение у и г/= 1п(х — 1)4-1, получим
х+у — 2 + (1 — %)//' = % 4-14-(х — 1) 1п(х — 1) -24- (1 — х)(1п(х —1)4-1) = 0.
Функция удовлетворяет и начальному условию, так как
t/(2) = 1 4- In 1 = 1, значит, функция у(х) является решением задачи
Коши.
§2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно
производной, записывается в виде
i/'(x) = /(х, у)
или
(О
ах
Уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными, если
функция /(х, у) представляет собой произведение функции переменной х
и функции переменной у :
^=г(х)Л(!/). (2)
ах
Тогда при h(y) 0 имеет место равенство
[ 7/5 = [g(x)dx.
J h(y) J
184 Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Последнее равенство понимается как равенство множества первообразных,
т. е. если Ф(г/) — одна из первообразных функции -у—, a G(x) — одна из
”\У)
первообразных функции g(x), то эти первообразные отличаются на константу:
ф(4/) = G(x) + С.
Следует подчеркнуть, что необходимо проверить, является ли
функция h(y) = 0 решением уравнения.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравне-
f I + у2
ния у = —и указать его частное решение, удовлетворяющее
1 + х1
начальному условию г/(1) = 0.
А Запишем уравнение в виде
dx
dy _
х „2
,2
2
или
dx
I „2
dx
I v2 ’
Проинтегрировав обе части, получим
dy
, 1 + у2 , 1
arctg// = arctg % + Cj.
Тогда
у = tg(arctgx + Cj) = ,x + tgC* •
1 - X tgCj
Обозначив C=tgCj, окончательно получим общее решение уравнения
У 1 - Сх ’
Найдем решение задачи Коши, подставив в общее решение
начальное условие. Получим:
0=}±|, с = -1'
Начальному условию удовлетворяет решение у = -------
Пример 2. Вывести уравнение кривой, проходящей через точку
М(0; 2), если угловой коэффициент касательной в любой точке кривой
равен произведению координат точки касания.
А Найдем сначала уравнения всех кривых у = у(х\ обладающих
указанным свойством. Так как угловой коэффициент касательной
в точке с абсциссой х равен у'(х), то функция у(х) удовлетворяет
уравнению
У =У*
§2. Уравнения с разделяющимися переменными 185
или
dy
dx
= ух.
Функция у = 0 удовлетворяет уравнению. При у Ф 0 получаем
— = х dx,
У
— = xdx,
J У
In ы = у + С1, \у\ = ес' -ех2/<1.
Обозначив С = ±еС|, получим
у - Сех1!2,
где С / 0. Однако при С = 0 получаем функцию у = 0, которая
является решением дифференциального уравнения. Таким образом,
у = Сех1!2, где с G R.
Для того чтобы получить уравнение кривой, проходящей через
точку ЛДО; 2), найдем С, подставив координаты точки в общее
решение:
2 = Се°, С = 2.
Следовательно, уравнение кривой, проходящей через точку Л4(0; 2),
имеет вид у = 2ех !2. А
Пример 3. Корабль замедляет свое движение под действием силы
сопротивления воды, которая пропорциональна скорости корабля.
Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость его через 5 с станет
8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?
1\ Сила сопротивления воды, с одной стороны, пропорциональна
ускорению, с другой, по условию задачи — скорости. Следовательно,
ускорение, равное производной от скорости, пропорционально самой
скорости, т. е. v' = kv, ~=kdt. Получили уравнение с раз-
деляющимися переменными. Проинтегрируем обе части уравнения
= In |и| = kt + Ci, |и|=?/+С|, v(t) = Cekt.
Так как начальная скорость корабля 10 м/с, то и(0) = 10, 10 = Се®,
С= 10. Так как через 5 с скорость корабля 8 м/с, то у(5) = 8, 8 = 10е5А:,
, _ In 0,8
“ 5 ’
Чтобы выяснить, когда скорость уменьшится до 1 м/с, нужно
о , , kt 4. In0,1 . 51n0,l а
наити t из уравнения 1 = 10е , t=—т. е. t = , ’ . л.
г k In 0,8
186 Глава XVI. Дифференциальные уравнения
§3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Для того чтобы решить линейное дифференциальное уравнение
первого порядка с постоянным коэффициентом
y' + ay = f(x), (О
где а — число, /(%) — заданная функция, необходимо сначала найти
общее решение однородного уравнения
у1 + ау = 0. (2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися перемен-
ными. Решая его, получим:
— — a dx,
у
— = —а\ dx,
J У J
In \у\ = -ах In |С|,
= (3)
где Се К (при С = 0 получаем решение // = 0). Формула (3) дает общее
решение линейного однородного дифференциального уравнения (2).
Чтобы найти общее решение уравнения (1) достаточно знать какое-
либо его частное решение у$(х).
Если уо(%) — частное решение неоднородного уравнения (1), то
его общее решение есть сумма общего решения соответствующего
однородного уравнения (1) и этого частного решения:
£/ = Се-ах + //0(х).
Если правая часть /(%) уравнения (1) является многочленом
степени п, то его частное решение ищется в виде многочлена той
же степени с неопределенными коэффициентами.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
у1 — у = 2х и указать его частное решение, удовлетворяющее
начальному условию //(0) = 3.
А Общее решение однородного уравнения у1 — у = 0 имеет вид
у = Сех. Будем искать частное решение исходного неоднородного
§3. Линейные дифференциальные уравнения 187
уравнения в виде многочлена первой степени уо(х) = Ах + В. Тогда
у'0(х) = А. Подставляя у и у' в уравнение, получаем
А — (Ах + В) = 2х, — Ах + (Л — В) = 2х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
А = —2, В = —2, и уо(х) — —2х — 2. Тогда у — Сех — 2х — 2 —
общее решение исходного уравнения. Подставляя в общее решение
начальное условие у(0) = 3, получаем
3 = С—2, 6 = 5,
и частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию
имеет вид у = 5ех — 2х — 2. £
Если правая часть f(x) уравнения (1) имеет вид
f(x) = k cos ax + m sin ax, то его частное решение ищется в виде
Уо(х) = A cos ax 4- В sin ax. Следует подчеркнуть, что если при этом
в /(х) входит только одна из тригонометрических функций (k или
т равно 0), то частное решение тем не менее ищется в виде суммы
двух функций.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
у' - у = sin 2х.
А Общее решение однородного уравнения имеет вид у — Сех. Будем
искать частное решение неоднородного в виде у$ =А cos2x + Bsin2x.
Имеем:
—2А sin 2х + 2В cos 2х — (Л cos 2х + В sin 2х) = sin 2х.
Приравнивая коэффициенты при cos 2% и sin 2% в левой и правой
частях равенства, получим 2В — 71 = 0, — 271— В = \, откуда 71 = —
О
В = — Общее решение имеет вид у = Сех — | cos2x — | sin 2х. ▲
О и и
Аналогично, если /(х) = keax, где а а, то частное решение
ищется в виде уо(х)=Аеах.
В общем случае общее решение уравнения (1) будет иметь вид
у = С(х)е~ах, где 6(х) — неизвестная функция, которую можно найти,
подставив у и уг в уравнение (1).
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
у' — 2у = хех.
А Решение однородного уравнения у1 — 2у = 0 имеет вид у — Се2х,
где 6 е R.
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
у = С(х)е2х. Так как у' = 2С(х)е2х + 6'(х)е2х, то подставив у и у'
в исходное уравнение, получим
2С(х)е2х + Сг(х)е2х — 2С(х)е2х = хех,
С'(х) = хе~х.
188 Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Тогда
С(х) = J* хе х dx.
Полагая u = х, dv = е~х dx и интегрируя по частям, получим
С(х) = — хе~х + J е~х dx = —е~х(х + 1) + С.
Следовательно, общее решение исходного дифференциального
уравнения имеет вид
у = (~е~х(х + 1) + С)е2х = -ех(х + 1) + Се2х. ▲
Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Для нахождения общего решения линейного однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными ко-
эффициентами
у" + ау' + by = 0 (4)
необходимо решить характеристическое уравнение
A2 -|- аХ -j- b — 0. (5)
При решении квадратного уравнения (5) возможны случаи:
1) уравнение имеет два различных действительных корня;
2) уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
3) уравнение имеет комплексные корни.
Если уравнение (5) имеет два различных действительных корня
Aj / ^2, т0 общее решение уравнения (4) имеет вид
y = Ciex'x + C2e^x.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
у" - by' + Sy = 0.
А Характеристическое уравнение А2 — 6А + 8 = О имеет два раз-
личных действительных корня Aj = 2, А2 = 4. Следовательно, общее
решение уравнения имеет вид у = С\е2х + С2е^х. ▲
Если уравнение (5) имеет один действительный корень крат-
ности 2, т. е. Ai = А2 = А, то решение уравнения (4) имеет вид
у = еХх(С[х + С2).
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
у" + 4yf + 4у = 0.
А Характеристическое уравнение А2+4А + 4 = 0 имеет один корень
кратности 2: Aj = A2 = —2. Следовательно, общее решение уравнения
имеет вид у = е~2х(С\Х + С2). ▲
§3. Линейные дифференциальные уравнения 189
Если уравнение (5) имеет комплексные корни, то эти корни
являются комплексно сопряженными и имеют вид Л] = a + ico,
Л2 = ос — 1б), Тогда общее решение уравнения (4) имеет вид
у = eax(C\ cos б)х + С2 sin б>х).
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
г/" - 4г/ + 13г/ = 0.
А Характеристическое уравнение Л2 - 4А +13 = 0 имеет комплексные
корни Л] = 2 + Зс, Л2 = 2 — 3t. Следовательно, общее решение уравнения
имеет вид у = e2x(Ci cos Зя + С2 sin 3%). ▲
Задача Коши для уравнения второго порядка содержит два
начальных условия:
У(*о) = УО, y'(xQ)=y,Q.
Для ее решения необходимо в общее решение уравнения подставить
начальные условия и найти константы С] и С2.
Пример 7. Найти частное решение уравнения у" + Зу' = О,
удовлетворяющее начальным условиям у(0) = 2, /(0) = 3.
А Характеристическое уравнение Л2 + ЗА = 0 имеет корни Aj = —3
и А2 = 0. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
у = С[в~3х + С2. Тогда у' = -ЗС}е~3х. Подставив в общее решение
начальные условия, получим систему
С] + С*2 = 2,
—ЗС1 = 3,
откуда получаем Ci = — 1, С2 = 3. Таким образом, частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид у = 3 — е~3х. ▲
Уравнение гармонических колебаний
Уравнение вида
и . 2 о
х + о) х = О,
где &> —некоторое положительное число, a x(t) — искомая функция, описывает
гармонический колебательный процесс и называется уравнением гармонических
колебаний. Его общее решение имеет вид
x(t) = Ci cos (ot + C2 sin <ot.
Это решение можно привести к виду
x(t) = A cos(<ot + а).
Число |Л| называется амплитудой, а—начальной фазой, а (О —частотой
колебаний.
190 Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Пример 8. Найти уравнение гармонических колебаний, которому
удовлетворяет функция х(0 = 2 sin 3% + cos Зх. Найти амплитуду,
начальную фазу и частоту колебания.
А Так как щ = 3, то уравнение, которому удовлетворяет функция
Х(О, имеет вид + дх _ 0
Частота колебаний равна сд = 3. Чтобы найти амплитуду и фазу,
приведем функцию х(/) к виду x(t) = A cos(ciV + а) :
х(0 = 2 sin Зх + cos Зх = л/5 (cos Зх cos а - sin Зх sin а),
х(0 = \/5 cos(3x + а),
1 2 , п
где cosa=^=, sina= —— , т. е. a—— arctg2.
V5 v5
Таким образом, амплитуда колебаний равна А — д/5, фаза—
а=— arctg2, частота со = 3. ▲
§4. НЕОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Общее решение неоднородного линейного уравнения
у" + ay + Ьу = Дх)
представимо в виде суммы общего решения однородного уравнения
у" + ау' + by = О
и частного решения неоднородного.
Рассмотрим случай, когда /(х) — многочлен. Если 0 не является
корнем характеристического уравнения, то частное решение неодно-
родного уравнения следует искать в виде многочлена той же степени,
что и /(х).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
у" — бу' + 9у = 2х.
А Решим соответствующее однородное уравнение у" — бу' + 9t/ = 0.
Его характеристическое уравнение А2 — 6А + 9 = 0 имеет один
корень А = 3, Общее решение однородного уравнения имеет вид
t/= е3х(С]Х + С2).
Правая часть неоднородного уравнения /(х) = х — многочлен
первой степени, поэтому его частное решение будем искать в виде
у = Ах + В. Подставив в уравнение у, у’= А и у" = 0, получим:
—6А + 9(Ах + В) = 2х.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях х в левой и пра-
вой частях равенства, находим А — В = Частное решение
неоднородного уравнения имеет вид
2 4
Дидактические материалы 191
Запишем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего
решения однородного и частного решения неоднородного:
У = z/ = e3x(Cix + C2) + |х + А
Если 0 является корнем характеристического уравнения, а /(х) —
многочлен, то частное решение неоднородного уравнения ищется
в виде у = хР(х), где Р(х) — многочлен той же степени, что и /(х).
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
у” -у' = х.
Решим соответствующее однородное уравнение у" -у' = 0. Его ха-
рактеристическое уравнение Л2 — Л = 0 имеет два корня Л[ = 1 и Л2 — 0
Общее решение однородного уравнения имеет вид у = С[вх + С2.
Правая часть неоднородного уравнения /(х) = х — многочлен
первой степени. Так как 0 является корнем характеристического
уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем
искать в виде у = х(Ах + В) — Ах2 + Вх. Подставив в уравнение
г/, у' — 2Ах + В и у" = 2Д, получим:
2А — (2Ах + В) = х.
Приравнивая коэффициенты при равных степенях х в левой и правой
частях равенства, находим А = —В = —1. Частное решение
неоднородного уравнения имеет вид
х2
у = — X.
V 2
Запишем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего
решения однородного и частного решения неоднородного:
„2
у = С\ех + С2 - — - х. ▲
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XVI. 1
Вариант 1
1. Доказать, что функция у = —-— является решением дифференциального
JC COS JC
/ 2
уравнения у — yigx — y cosx.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
у1 л/х2 + 1 + хе2у — 0.
192 Глава XVI. Дифференциальные уравнения
Вариант 2
1.
2.
Доказать, что функция у =
f 9
уравнения ху + у = у In х.
1
1 + In х + X
является решением дифференциального
Найти общее решение дифференциального уравнения
AV1 -х2 +/ + 1 = о.
Вариант 3
1. Доказать, что функция у= /Зх — Зх? является решением дифференциального
! 1 -2х
уравнения у — —.
У
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
ytgx+y+ 1 = 0.
Вариант 4
1. Доказать, что функция у = х2 — 2 + е~х /2 является решением дифференци-
ального уравнения у' + ху = х2,.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
z/'(x3 + 1) + х2у = 0.
Ответы
Вариант 1. 2. у = — | In ^2/х2 + 1 + С
Вариант 2. 2. у = х/Се3 arcsin х — 1.
Вариант 3. 2. у = Cetgx — 1.
Q
Вариант 4. 2. у = .
Контрольная работа XVI. 1
по теме «Дифференциальные уравнения» (2 урока)
Вариант 1
1. Решить задачу Коши y'tgx + y = O, у (д/2) =2.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения / + y = cos2x.
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) у" - Ьу' - бу = 0; б) у” - 4у' + 13у = 0; в) у" + Зу' + 16у = 0.
4. Решить задачу Коши у” — 2у' = 2ех, у(1) = — 1, у'(1) = 0.
Дидактические материалы 193
Вариант 2
1. Решить задачу Коши у'(х2 — 1) — хе2у = 0, у (л/2) = —1.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения у' — 2у = е4х.
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) у" + у’ - 20г/ = 0; б) у" + 6/ + 13г/ = 0; в) у" - 10/ + 25у = 0.
4. Решить задачу Коши у"+4у = х, г/(0) = 1, г/'(0) = 1.
Вариант 3
1. Решить задачу Коши уу' + (у2 + 3) sin 2х = 0, г/(тг/4) = 0.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения у' + Зу = sin Зх.
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) у" + у' - ЗОу = 0; б) г/" — 4г/'+ 29г/= 0; в) у" + \2у' + 36 г/ = 0.
4. Решить задачу Коши у" + у = 4ех, г/(0) = 4, у'(0) = -3.
Вариант 4
1. Решить задачу Коши ху' + у\х2 + 1) = 0, г/(1) = 1.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения у' — 4у — х2.
3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) у" + у' - 12г/ = 0; б) у" + Юг/' + 29 г/ = 0; в) г/" - 14г/'+ 49г/= 0.
4. Решить задачу Коши у” + у' = cosx, г/(0) = 0,5, г/'(0) = —0,5.
Ответы
Вариант.1. 1. у=—— • 2. у = Се х + % sin2х+1 cos2x. 3. а) у = С^е х +
sin х 5 5
+С2в6х; б) у—е2х (С] cos3x + C2 sin Зх); в) у=е~4х (С1Х + С2). 4. у—е2х~х —
-2ех + е- 1.
Вариант 2. 1. у=-In (e-ln(x2- 1)) . 2. у=Се2х+е-^-. 3. а) у—С\е~5х +
+ С2е4х; б) у — е~3х (Cj cos2x + C2sin2x); в) у — еЪх (Cjx + C2). 4. z/=^ +
+ cos2x+ | sin2x.
Вариант 3. 1. у=±\/3ecos2х-3. 2. z/=Ce-3x + |sin3x+|cos3x. 3. a) y=
—C\e~&x+C2e5x; 6) z/—e2x (Ci cos 5x + C2 sin 5x); в) y=e~3x (C1X + C2). 4. y—
= 2 cos x - 5 sin x + 2ex.
Вариант 4. 1. y—-n— -------• 2. y=Ce4x-^-x2-^x-^~. 3. а) у=С[в~4х+
xz + lnx+l 4 в 32
+ C2e3x; 6) z/ = e-5x (Ci cos2x + C2 sin2x); в) y = e7x (C[X + C2). 4. y=e~x —
— cosx+ x sin x.
2 2
7-1367
Глава XVII
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ РАЗЛИЧНЫХ
ТИПОВ
Прежде чем приступать к решению систем, необходимо восстано-
вить навыки и углубить знания, относящиеся к решению показатель-
ных и логарифмических уравнений и неравенств. В конце 10-го класса
учащиеся познакомились с основными методами решения уравнений
и неравенств этого типа. Однако следует признать, что времени,
отведенного в 10-м классе на их изучение, недостаточно для прочного
усвоения темы. Поэтому в 11-м классе решению показательных
и логарифмических уравнений и неравенств необходимо вновь
уделить внимание. На наш взгляд, наиболее уместно это сделать
в начале изучения данной главы.
При подборе задач следует сделать акцент на логарифмические
уравнения и неравенства с переменным основанием, показательно-
степенные уравнения и неравенства, а также на смешанные уравнения
и неравенства, содержащие наряду с логарифмами и степенями знаки
модуля и корня. Полезно включить в систему упражнений задачи
с параметром. Разбор задач перечисленных видов можно найти
в методическом пособии для 10 класса, а подборку упражнений —
в главе X задачника для 10 класса. В систему упражнений
мы рекомендуем преимущественно включить задачи 2-го уровня
сложности. И последнее замечание: домашнюю контрольную работу
по теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции»,
запланированную на конец 10-го класса, можно перенести на 11-й
класс, завершив ее выполнением данный этап изучения показатель-
ных и логарифмических уравнений и неравенств.
Далее следует перейти к решению систем показательных и лога-
рифмических уравнений, а затем к решению тригонометрических
систем. Наряду с общими приемами решения систем, такими
как подстановка и введение новых переменных, необходимо об-
судить особенности, присущие решению систем указанных видов.
В первую очередь это касается тригонометрических систем. Речь идет
о принципе использования различных обозначений целочисленного
параметра при записи решений отдельных уравнений, входящих
в систему, а также о целесообразности записи решений отдельных
§1. Показательные и логарифмические системы 195
уравнений не объединенной формулой, а в виде совокупности серий
корней. На примерах следует рассмотреть такие, довольно часто
используемые для решения тригонометрических систем приемы, как
замена уравнений системы их суммой и разностью, возведение
отдельных уравнений в квадрат и т. д.
При обсуждении способов решения систем и разборе конкретных
примеров следует уделять особое внимание проблеме равносильности
преобразований.
В систему упражнений полезно включить системы, решение
которых связано с использованием свойств входящих в них функций,
а также системы с параметром.
§1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
Решение показательных и логарифмических систем основывается
с одной стороны на общей теории систем уравнений, изложенной
в главе VIII учебника для 10 класса, а с другой — на методах решения
показательных и логарифмических уравнений.
Решение логарифмических и показательных систем
методом подстановки
Метод подстановки является общим методом, используемым для
решения систем самых разных видов. Системы логарифмических
и показательных уравнений не составляют исключения.
Напомним, что в основе метода подстановки лежит следующее
утверждение: система уравнений
х = ср(у),
Ж*/) = 0
равносильна системе
(х - ф(у),
= °-
Таким образом, если удается выразить, используя какое-либо из
уравнений системы, одну переменную через другие, то подстановка
полученного выражения в остальные уравнения позволяет сократить
общее число неизвестных, входящих в эти уравнения (в частности,
в случае системы из двух уравнений, приводит к уравнению,
содержащему только одну переменную).
Во многих случаях, прежде чем выполнять подстановку, уравне-
ния, входящие в систему, полезно упростить.
196 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Пример 1. Решить систему
(2Х-3# = 54,
[2х -|- Зу = И.
А Прологарифмируем первое уравнение системы по основанию три
и затем преобразуем его:
log3 (2х • Зу) = log3 54; log3 2х + log3 Зу = log3 (з3 • 2) ;
х • log3 2 4- у = 3 4- log3 2.
В результате получим систему, линейную относительно х и у.
(х • bg3 2 + у = 3 + log3 2,
|2х 4- Зу = 11.
Умножая первое уравнение системы на 3 и вычитая его из второго,
получим х • (2 — 3 log3 2) = 2 - 3 log3 2, откуда х = 1, и, следовательно,
*/ = 3.
Ответ. (1;3). А
О методе подстановки говорят не только тогда, когда выражают
одно неизвестное через другие с целью его исключения из остальных
уравнений, но и в том случае, когда с помощью одного уравнения
находят связь между некоторыми выражениями, содержащими неиз-
вестные, и затем используют эту связь для упрощения остальных
уравнений системы.
Пример 2. Решить систему
Г log2(x + у) - log3(x - у) = 1,
]х2 — у2 = 2.
А Из второго уравнения системы выразим х — у через х 4- у и подста-
9
вим найденное выражение х — у=-------- в первое уравнение. Получим
log2(x + у) - log3 = 1 и далее:
1о£з(* + 0 = 1 + 9 1о£з2;
\10g3Z /
1О^Х+У) _ log 2 + logз (х + у) = 1;
1°8з2
Iog3(x+V) = log3 2; x + y = 2.
Таким образом, искомые значения х, у должны удовлетворять
системе
x + V = 2,
х - у = 1.
Значит, х = 1,5, у = 0,5.
Ответ. (1,5;0,5).
Пример 3. Найти все числа х и у, для которых
Г 41og2(—х) + 1 = 21og2y,
. log2 %2 log2 у.
§1. Показательные и логарифмические системы 197
Д Из уравнения, входящего в систему, выразим log2у и подставим
полученное выражение в неравенство:
log2х2 2 log2(-x) + 0,5.
Полученное неравенство определено при х < 0 и в области
определения может быть преобразовано к виду:
4 logJj (—х) - 4 log2(—х) + 1^0,
или _
(2log2(-x)-l)40.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит,
2 log2(-x) — 1 = 0, откуда х = — V2. Далее находим: log2y = 1, у = 2.
Ответ. (—\/2; 2). ▲
Если одно из уравнений системы удается разложить на множи-
тели, то система заменяется совокупностью более простых систем.
Этот важный прием основан на следующем утверждении: если
функции / и g определены на одном и том же множестве (это
существенное условие!), то система уравнений
(fg = O,
[Л = 0
равносильна совокупности систем
И=о, Ц = о,
\h = 0 }Л = 0.
Вместо слов «система равносильна совокупности систем» иногда
говорят, что «система распадается на системы».
Пример 4. Решить систему
< lg2^ — 3 lg2 х + 1g2 у,
Jg2(y - Зх) + Igx • 1gу = 0.
Д Первое уравнение системы равносильно каждому следующему
уравнению:
(Igx ~ 1g У)2 = 31g2x + 1g2 у; lg2x + Igx lgy = 0; lgx(lgx + lgy) = O.
Следовательно, исходная система равносильна совокупности си-
стем
m Hgx = 0, Jlgx + lgJ/ = O,
' llg2G/-3x) + lgx-lgy = 0 ' (lg2(y - Зх)-Ь Igx • Igy = 0.
Рассмотрим систему (1): lgx = 0<4>x = l, значит, 1g2 (у — 3) = 0,
откуда у = 4.
198 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Обратимся к системе (2). Имеем: Igx + Igy = О у = 1/х,х > 0.
Подставив выражение у=1]х во второе уравнение системы, приходим
о ।________________зх2 п
к уравнению 1g —-— — 1g х = 0, которое выполняется, если
j_1 1_Зх2
—-— = - или —-— —х, причем в том и другом случае значения
х должны быть положительными. Первое уравнение не имеет
положительных решений; второе имеет один положительный корень
х = 0,5. Если х = 0,5, то у = 2.
Ответ. (1;4), (0,5; 2). ▲
Решение показательных и логарифмических систем
путем введения новых переменных
Довольно часто решение системы облегчается, если ввести новые
переменные. Как правило, новые переменные выбираются с таким
расчетом, чтобы полученная в результате замены система оказалась
рациональной.
Пример 5. Решить систему уравнений
3х + 4у = 11,
9х+ 24^ = Зх+1 -4^ + 31.
А Обозначив 3х = u, 4У = v (и>0, и>0), запишем исходную систему
в виде
(и + v = И,
[и2 + и2 = Зии + 31.
Исключив с помощью равенства и =11 — и из второго уравнения и,
после ряда преобразований придем к уравнению и2 — Ии + 18 = 0 для
определения и. Полученное уравнение имеет два корня uj=9, «2 — 2,
которым, согласно равенству и—И —и, соответствуют значения U]=2
и и2 — 9- Для каждой пары и, v находим пару значений исходных
переменных: из равенств 3х = 9, 4У = 2 получим х = 2, у = 0,5,
а из равенств 3х = 2, 4у = 9, используя логарифмирование, найдем
х = log3 2 и y = log23.
Ответ. (2; 0,5); (log3 2; log2 3). ▲
Пример 6. Решить систему уравнений
log4xz/ + 3- = 0,
< log2 у
21og16^-log4x-log4v = 0.
§ 1. Показательные и логарифмические системы 199
А Перепишем систему в виде
10g4 * + log4 у 4- 3 • = 0,
< 10ё4У
k 1 og4 X - log4 у - log4 х • log4 у = 0.
Обозначив log4x = u, и log4y = w, получим
f и 4- v 4- 3 — —0,
1 v
I и — v — uv = 0.
Выразим из второго уравнения v: v — (заметим, что деление
на 1 + и допустимо, так как при и = —1 равенство u — v — uv = 0 не
выполняется). Подставив v в первое уравнение, после преобразований
получим равносильное уравнение 4w2 + 8w + 3 = 0 для определения и,
имеющее два корня: щ = —1,5, и% = — 0,5. Вычислим соответствующие
им значения v: ^ = 3 и v% = — 1. Из равенств log4x = —1,5, log4у = 3
находим % = 1/8, у = 64, а из равенств log4x = —0,5, log4z/ = —1
находим х = 1 /2 и у =1/4.
Ответ. (1/2; 1/4), (1/8;64). ▲
Решение систем с использованием свойств логарифмических
и показательных функций
Пример 7. Решить систему уравнений
2х = 2У 4- (х2 4- Зг/2 - 4ху^ ,
4^/ — 4х _|_ ^2х2 - 5 г/3 4- Зх2у) .
А Перепишем систему в виде
J 2х — 2У = (х2 4- Зг/2 — 4xz/) ,
1 4^ - 4х = ^2х2 - 5г/3 4- Зх2у) .
Правые части обоих уравнений системы неотрицательны, сле-
довательно, неотрицательны и их левые части, т. е. 2х — 2^ 0
и 4У _ 4* о, или 2х 2У и 4У 4х. Последние два неравенства
эквивалентны неравенствам х^у и у^х, одновременное выполнение
которых возможно только в случае х = у.
Если х = у, то 2х — 2У = 2х — 2х = 0 и (х2 4-3z/2 — 4xz/)2 =
= (х2 4-Зх2 — 4х2)2 = 0. Таким образом, первое уравнение системы
при х = у обращается в верное тождество.
200 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Аналогично, если х = у, то 4У — 4х = 0 и (2х3 — 5г/3 + Зх2г/)4 = 0.
Значит, второе уравнение при х = у также выполняется. Следова-
тельно, решением системы являются пары чисел (а-,а), где а — любое
действительное число.
Ответ, (а-, а), где а —любое действительное число. ▲
Решение систем с параметром
Пример 8. Найти все значения параметра а, при которых система
уравнений
Г log3(2x - у) = 1 —I— log3 х,
( х(2х + у — 2а) = а - 2
имеет два решения.
Д Уравнение log3(2x — у) = 1 + log3 х выполняется в том и только
в том случае, когда 2х — у = Зх, х > 0. Следовательно, исходная
система равносильна смешанной системе
(х = -у, (х = -у,
< х > 0, или < х > О,
[х(2х + у - 2а) = а - 2, [х2 - 2ах + 2 - а = 0.
Заметим, что каждому значению х, удовлетворяющему условиям
х2 — 2ах + 2 — а = 0, х > 0, соответствует единственное значение у,
определяемое равенством у = —х. Значит, исходную задачу можно
переформулировать следующим образом: найти все значения пара-
метра а, при которых уравнение х2 — 2ах + 2 — а = 0 имеет два
положительных корня.
Квадратное уравнение х2 — 2ах + 2 — а = 0 имеет два действи-
тельных корня, если его дискриминант, 4(а2 + а —2), положителен,
т. е. при а 6 (-сю; -2) U (1; +сю). При этом корни положительны
в том и только в том случае, когда положительны их сумма
и произведение. Согласно теореме Виета имеем: xi + х% = 2а,
X] • Х2 = 2 — а, следовательно, значения а должны удовлетворять
условиям 2а > 0, 2 — а > 0, откуда 0 < а < 2. С учетом условия
а 6 (-сю; -2) U (1; +оо) окончательно получим: 1 < а < 2.
Ответ. (1;2). ▲
§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим на примерах основные методы решения тригономет-
рических систем, ограничившись системами двух уравнений с двумя
неизвестными.
§2. Тригонометрические системы 201
Решение тригонометрических систем методом подстановки
Приступая к решению тригонометрической системы, следует
выяснить, нельзя ли выразить одно неизвестное через другое и, тем
самым, свести задачу к решению уравнения с одним неизвестным.
Пример 1. Решить систему уравнений
{sin х = sin 2у,
2 sin(4x + 8t/) sin(3x + 10t/) + cos(7x + 2y) = 1.
Д Равенство sinx = sin2y выполняется в двух случаях: когда
х = 2у + 2тш и когда х = я — 2у + 2m. Следовательно, исходная
система равносильна совокупности систем:
Гх = 2г/ + 2тш,
[2 sin(4x 4- 8г/) sin(3x + Юг/) + cos(7x + 2у) = 1
и
ч fx = я - 2ц + 2тш,
(2) <
[2 sin(4x + 8г/) sin(3x + 1 Оу) + cos(7x + 2у) = 1.
Решим систему (1). Заметим, что фактически речь идет не об
одной системе, а о совокупности систем: каждому целому значению
п соответствует своя система. Подставив выражение х = 2у + 2яп во
второе уравнение системы, получим 2 sin2 16г/+ cos 16у — 1 = 0, откуда
2cos216г/ — cos 16г/ — 1 = 0. Далее находим: cos 16г/ = -0,5, y = ±3L_|_
24 о
и cos 16г/ = 1, у = Если у = ±3L + т0 % = ±А + + 2m.
о Z4 о LZ Ч
Если у = то х = + 2m.
у 8 4
Переходим к решению системы (2). Подставив х = тг —2г/ + 2тш во
второе уравнение системы, получим cos 12г/ = -1, откуда у = ^ + -у-
Соответствующие значения х равны — у + 2m.
Ответ. (±А + ^ + 2т; ±А + ^), + 2м: i
\ 12 4 24 о / \ о о 12 о/
(k,neZ). А
Замечание. Главное, что отличает тригонометрические системы от систем
других видов, — это наличие целочисленных параметров в записи их решений.
В связи с этим обратим внимание на следующие моменты.
1. При записи серий решений отдельных тригонометрических уравнений,
входящих в одну систему, для параметров следует использовать различ-
ные обозначения. Действительно, поскольку целочисленные параметры
(в разобранном выше примере 1 это п и k) появляются при решении
разных уравнений, то их значения не должны быть связанными друг
с другом. Употребляя в этой ситуации для обозначения параметров разные
202 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
буквы, мы рассматриваем все возможные пары значений этих параметров.
Употребление же для обозначения параметров одной буквы ведет к потере
решений исходной системы.
2. Если в процессе решения система была заменена совокупностью систем,
то в разных системах совокупности параметр можно обозначить одной
буквой (так, в разобранном выше примере в первых уравнениях систем
(1) и (2) была использована буква п).
3. Появление в процессе преобразований в записи системы целочисленного
параметра п, по сути, означает замену одной системы совокупностью
систем. В частности, в разобранном выше примере 1 можно было бы
говорить не о системе (1) и системе (2), а о совокупности систем (1)
и совокупности систем (2) (каждому значению параметра п соответствуют
системы вида (1) и (2)).
Пример 2. Решить систему уравнений
Vх— cos у cos х — О,
cos 2х — 2 cos2 у + 2 = 0.
Д Данная система равносильна совокупности двух систем:
(П
cos у = О,
cos 2% — 2 cos2 у + 2 = О
Icosx = О,
cost/ < О,
cos 2% — 2 cos2 у 4- 2 = 0.
Система (1) решений не имеет (исключив из ее второго уравнения
cost/, получим уравнение cos2x = —2, не имеющее корней).
Система (2) равносильна системе
'cosx = О,
< V2
cost/ —-----
из первого уравнения которой находим х = + я/г, а из второго
I/ = + 2яп.
J 4
Ответ. + я/г; ±, /г, п € Z. ▲
Связь между переменными системы не всегда очевидна. В неко-
торых случаях, чтобы установить ее, требуется преобразовать исход-
ные уравнения, используя тригонометрические тождества. Вообще,
следует иметь в виду, что для решения подавляющего большинства
тригонометрических систем необходимы хорошие навыки выполнения
тригонометрических преобразований.
§2. Тригонометрические системы 203
Пример 3. Решить систему уравнений
' tgx4-tg# = 1,
< г
cosx • cos у = l/v2.
Д Уравнение tgx4-tgt/=l равносильно следующим:
sinx sin у _ 1 sinх cos t/ +cosx sin t/ _ । sin(x + у) _ ।
cosx cost/ ’ cosx-cost/ ’ cosx-cost/
Следовательно, исходную систему можно переписать в виде:
= или fsin(x + 0) = lM,
[ cos х cos у = l/x/2, [cos х • cos у = i/v 2.
\/2
Равенство sin(x 4- у) = — выполняется в двух случаях: когда
х + у=^-\-2яп и когда х 4- у = ~ 4- 2пп. Следовательно, исходная
система равносильна совокупности систем:
У = у -х-\-2тш,
^cosx • cos у = l/x/2.
(1) \у~ 4 % + и (2) <
[cosx • cos у = l/y/2
Решим систему, а точнее совокупность систем, (1). Подставим
у — — х 4- 2тт во второе уравнение системы и преобразуем
получившееся уравнение:
cosx-cos
2, cos
Последнее уравнение имеет две серии корней: X] = 4- л/г и х% = 7ik.
Если X] = 4- 7ik, то у\ = 2т1п — 7ik. Если х% = 7ik, то у2 = 4- 2л:п — 7lk.
Переходим к решению системы (2). Подставив у = — х 4- 2лп
во второе уравнение системы, после ряда преобразований получим
уравнение cos (2х — = л/2 4- не имеющее корней.
Ответ. 4- 2лп - Tik^, (л/г; 4- 2тш — Tikj, k,neZ. ▲
Решение тригонометрических систем
путем введения новых переменных
Некоторые тригонометрические системы после замены переменных
приводятся к алгебраическим. Решив получившуюся алгебраическую
систему и сделав обратную замену, удается свести исходную задачу
к решению простейших тригонометрических уравнений.
204 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Пример 4. Решить систему уравнений
'cos 2х — 2 tg4 у = —4,
sinx + —— 3.
. cos2 у
к Используя формулы 1 — cos 2% = 2sin2x и tg2x + 1 = —,
перепишем систему в виде
f2sin2x + 2tg4 у = 5,
[sinx + tg2 у = 2.
Обозначив sin х = и и tg2 у = v (|ы| 1, v 0), получим
Г 2u2 + 2v2 = 5,
[u + v = 2.
Исключив с помощью равенства v = 2 — и из первого уравнения
переменную и, после ряда преобразований получим уравнение
4и2 — 8и + 3 = 0 для определения и. Это уравнение имеет два корня
U] = 1,5, ^2 = 0,5, первый из которых не удовлетворяет условию
|ы| 1. Если и = 0,5, то и = 1,5. Следовательно, имеем: sinx = 0,5,
tg2t/ = 1,5, откуда х = (-1)/г| + у = ±arctg\/П5 + nk.
Ответ. ((—1)п| + кп\ ± arctg + nkj , n, k G Z. ▲
Специальные приемы решения тригонометрических систем
Чтобы свести тригонометрическую систему к решению простей-
ших тригонометрических уравнений, нередко приходится применять
такие преобразования как почленное сложение, вычитание и возве-
дение в квадрат.
В частности, довольно часто систему двух тригонометрических
уравнений удается упростить, если заменить уравнения системы их
суммой и разностью. Этот прием основан на следующем утверждении:
система уравнений
ffl =£b
U2 = §2
равносильна системе
171 = g\ +g2,
Vl ~ ?2= gl - g2-
Пример 5. Решить систему уравнений
2 sin х cos у = 2 ctg x + ctg y,
2 sin у cos x = ctg x + 2 ctg y.
§2. Тригонометрические системы 205
Д Складывая и вычитая уравнения системы, получим равносильную
ей систему
(2(sinx cos у + cosx sin у) = 3ctgx + 3 ctg у,
[2(sinx cos у — cosx sin y) = ctgx — ctg y,
которая, в свою очередь, равносильна каждой из систем:
2 sin(x + у} = 3
sin(x + у)
sin х. sin у
sin(x + у) (2------------
\ sinx sin у
sin(x — u) (2 H----------
\ sinx sin у
2 sin(x — у) =
sin(x - у)
sinx sin у ’
sin(x + y) (2 sinx sin у — 3) = 0,
sin(x - y) (2 sinx sin у + 1) = 0,
sinx sin у / 0.
Произведение sinx sin у лежит в пределах от —1 до 1, поэтому
2sinxsint/^3 ни при каких значениях неизвестных и, следовательно,
уравнение sin(x 4- t/)(2 sin х sin у — 3) = 0 равносильно уравнению
sin(x + z/) = O. Значит, исходная система равносильна совокупности
систем:
{sin(x + у) = 0, fsin(x + у) = О,
sin(x — у) — О, и (2) < 2sinxsint/+ 1 = О,
sinxsint/7^0 ^sinxsin у 0.
Система (1), в свою очередь, равносильна совокупности систем
вида
{х + у = 71П,
х — у = нт,
sin х sin у / О
(каждой паре целых чисел пит соответствует своя система).
Следовательно, для каждой пары чисел п е Z и т G Z имеем
х _ 7с(п + т), у _ - т) > sin%sjn^ ф о. Условие sinx sin у О
выполняется в том и только в том случае, когда числа п + т и п — т
нечетные, т. е. п + т = 2t + 1, п — т = 2s + 1, где t, s € Z. Отсюда
п = t + s + 1, m = t — s и, значит, любой паре целых чисел t и s
соответствует пара целых чисел пит. Следовательно, равенствами
n = / + s+l, m = t — s при t, s G Z определяются все допустимые
значения пит, что позволяет рассматривать t и s как новые
целочисленные параметры. Таким образом, пары чисел х = + nt,
y=^ + ns, t, s € Z, — решения системы (1).
206 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Система (2) равносильна совокупности систем вида
'х + у = тт,
< sinх sin (тт — х) = -1/2,
ksin х sin у / О
(каждому целому п соответствует своя система). Если п нечетное,
т. е. тг = 2т + 1, то второе уравнение системы равносильно уравнению
sin2 х = —0,5, не имеющему корней. Если п четное, т. е. n = 2m,
то второе уравнение системы равносильно уравнению sin2 х = 0,5,
7Г , T.k о Ilk 7Г
откуда х = - + —, и соответственно, у — 2itm — — — -.
Ответ. (J + Tri; | + 7is), t,s € Z, ^ + ^;-^-^+2тт),
k,nEl. ▲
При решении некоторых тригонометрических систем помогает
прием, основанный на использовании тригонометрического тожде-
ства: в левой части одного уравнения уединяют синус, в левой
части другого — косинус переменной; после чего уравнения возводят
в квадрат и почленно складывают, переходя таким образом от
системы f Р
1/1 =£1,
[/2 = ^2
к системе ( г
171 = gh
V?+/22=g?+gi-
При этом следует иметь в виду, что вторая из этих систем не
равносильна первой, а является ее следствием. Значит, при возве-
дении в квадрат следует либо оговорить условия, при соблюдении
которых преобразование системы будет равносильным, либо сделать
проверку полученных корней путем непосредственной их подстановки
в исходную систему.
Заметим, что переход к новой системе на множестве, где
определены функции /2 и g2> будет равносильным, если эту систему
дополнить условием /2 -£2 О-
Пример 6. Решить систему уравнений
( х/2 sin х — sin у = О,
[ х/2 cos х — д/3 cos у = 0.
А Перепишем систему в виде
( х/2 sin х = sin у,
\ х/2 cos х = д/3 cos у.
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим получившиеся
равенства: 2 = sin2 у + 3 cos2 у. Это преобразование не является
§2. Тригонометрические системы 207
равносильным. Если, например, заменить второе уравнение исходной
системы этим уравнением, новая система будет следствием исходной.
Поэтому нам нужно либо оговорить условия, при которых переход
от исходной системы к новой системе равносилен, либо, решив
новую систему, сделать проверку (подставить найденные решения
системы-следствия в исходную систему и выяснить, являются ли
они ее решениями). Пойдем по пути равносильных преобразований.
Чтобы преобразование, сводящееся к замене второго уравнения
исходной системы уравнением 2 = sin2 г/4-3 cos2 г/, было равносильным,
нужно включить в новую систему неравенство cos х cost/ О —
условие того, что обе части возводимого в квадрат уравнения
х/2 cos х — \/3 cos у имеют одинаковые знаки. Заметим, что анало-
гичное условие для уравнения >/2sinx = sin у, также возводимого
в квадрат, выписывать не нужно, поскольку это уравнение остается
в системе. Таким образом, исходная система равносильна системе
{\/2sinx = sin t/,
2 = sin2 у 4-3 cos2 г/,
cosx cos у 0,
которая, в свою очередь, равносильна совокупности систем
(sinx = 1/2, ( sinx = —1/2,
sin у = а/2/2, и (2) < sin г/=->/2/2,
cos х cos у 0 [cosx cos у 0.
Из системы (1) находим xi = 14- 2дп, у\ = 4- 2д/г и Х2 = 4- 2яп,
Уч — + 2д/г.
Из системы (2) находим хз = — 4- 2тш, t/з — — т + 2я/г
б 4
и Х4 = — 4- 2тш, г/4 = — 4- 2я/г.
Ответ. {J + 2tw; J + 2д/г), + 2тш; ^ + 2я/г),
(-£ + 2яп;-?+2лД + 2дп;+ 2я/г\ k, п G Z. ▲
\ 6 4 / \ 6 4 /
Замечание. Систему из примера 6 можно также решить заменой
уравнений системы на их сумму и разность. Действительно, в результате такого
преобразования приходим к системе
(-/2(sin х 4- cos х) = sin у 4- л/З cos у,
(/2(sin х — cosx) = sin у — -/3 cos у.
208 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Преобразовав каждое уравнение методом введения вспомогательного угла,
получим равносильную систему
{sin (х + тг/4) = sin (у + д/3),
sin (х - д/4) = sin (д/3 - у),
или
. х — у — тг/12 х + у + 7тг/12 Л
sin---------— • cos-------— = О,
< 2 2
sin £±£^/12 . cos х-И + ^2 = 0
12 2
Последняя система равносильна совокупности простейших тригонометри-
ческих систем; решив их, получим ответ (заметим, что по форме записи он
будет отличаться от полученного ранее, что является обычным при решении
тригонометрических систем разными способами).
Решение тригонометрических систем с использованием оценок
и свойств тригонометрических функций
Пример 7. Решить систему уравнений
ftgx + ctgx = 2sin ,
[ tgу + ctgz/ = 2 sin •
Д Напомним два числовых неравенства: 1) если a > 0, то a + 2,
причем равенство достигается при a = 1; 2) если a < 0, то a + < — 2,
причем равенство достигается при a = —1.
Начнем с поиска тех решений системы, которые удовлетворяют
условию tgx > 0. В этом случае левая часть первого уравнения,
входящего в систему, больше или равна 2, причем знак равенства
достигается тогда и только тогда, когда tgx = 1. Очевидно, что
правая часть уравнения при всех значениях у меньше или равна 2,
причем знак равенства достигается, когда sin (у — = 1. Поэтому
в случае tgx>0 первое уравнение равносильно системе
'tgx = 1,
\ . ( 7г\ <
sin \у — - = 1,
к \ 4 /
откуда х=-^ + тт, У=^ +2д^. Теперь надо проверить, удовлетворяют
ли найденные значения х и у второму уравнению исходной системы.
Подставив их в это уравнение, получим равенство — 2 = 2sin + тт),
которое верно только при нечетных значениях параметра п, т. е. при
§2. Тригонометрические системы 209
n = 2m + l. Таким образом, решения исходной системы можно задать
формулами х = + 2лтп, у = + 2 д/г (m, k 6 Z).
Пусть теперь tgx<0. В этом случае левая часть уравнения меньше
или равна 2, причем знак равенства достигается тогда и только тогда,
когда tgx = —1. Правая часть уравнения при любых значениях у
всегда больше или равна —2, причем знак равенства достигается,
когда sin (у — = —1. Поэтому в случае tgx < 0 первое уравнение
равносильно системе
Jtgx = —1,
(sin (у-= -1,
решения которой задаются формулами х = — + яп, y = —^ + 2n:k.
Подставляя найденные значения х и у во второе уравнение исходной
системы, получим —2 = 0, что неверно. Следовательно, ни одно из
решений первого уравнения не удовлетворяет второму уравнению
исходной системы.
Ответ. Г^ + 2лтп; ^ + 2д/г\ А
Пример 8. Решить систему уравнений
{3 sin х + 15t/ — 5х + 3 sin Зу,
3х = 5<
Л Перепишем первое уравнение системы в виде 3sinx — 5х =
= 3 sin Зу — 15t/. Введем функцию /(/) = 3 sin t — 5/. Заметим, что
левая и правая части уравнения — значения этой функции в точках
t = x, t = 3y. Функция f(t) определена и дифференцируема при всех
действительных значениях переменной t. Кроме того, /(/) является
монотонно убывающей, так как /'(/) = 3 cos t — 5 < 0 при всех t.
Следовательно, каждое свое значение она принимает только при
одном значении аргумента, и равенство левой и правой частей
возможно лишь в случае х = Зу. Из второго уравнения системы
получим З3у = 5^2, или Зу — у2, log3 5, откуда у = 0, у — 3 log5 3. Если
у - 0, то х = 0. Если у = 3 log5 3, то x = 91og53.
Ответ. (0;0), (9log5 3; 3 log5 3). А
Тригонометрические системы с параметром
Пример 9. Для каждого значения параметра а решить систему
sin х • cos у = а,
cosx • sin у = а — 1.
210 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
А Сложив первое уравнение системы со вторым, а затем вычтя из
первого уравнения второе, получим систему, равносильную исходной:
sin х cos у 4- cos х • sin у = 2a — 1, (sin(x 4- у) = 2a — 1,
sin x • cos у — cosx • sin у = 1, (sin(x - y) = 1.
Если |2a —1| >1, t. e. a G (—oo; 0) U (l;4-oo), то уравнение
sin(x 4-y) = 2a — 1, а, значит, и исходная система, не имеет решений.
Если же |2а - 1| 1, т.е. ас [0; 1], то полученная система равносильна
совокупности систем
х 4- у — (-1)" arcsin(2a -1)4- тсп,
х - у = J 4- 2itk
3 2
(каждой паре значений целочисленных параметров n,k соответствует
своя система). Выражая х,у, получим:
_ (-1)" arcsin(2a - 1) тг кп . ,
X-----------2 + 4 + Т +
_ (—1)” arcsin(2a - 1) _ тг . кп _ ,
£/ 2 4'2^"”
Ответ. Если ае(-оо;0)и(1;4-оо), то решений нет; если ас [0; 1],
_ v _ (-1)" arcsin(2a - 1) , тг , тгп , ___(—1)" arcsin(2a — 1) тг ,
то х - - -f- - + — ф лк, у - - +
4- -у - TCk, П, k G Z. ▲
Пример 10. Определить, при каких целых значениях параметра k
система 9 9
I (arctgx) 4- (arccosу) = n?k,
(arctgx 4- arccosу = л/2;
имеет решения, и найти все эти решения.
Д Обозначив arctgx = и, — ^ < и < у и arccosx = v, 0 v тс, получим
(а2 4- v2 = тс2^,
(и 4- v = тс/2.
Выясним, при каких целочисленных значениях параметра k по-
лученная система может иметь решения. Поскольку — < и <
и 0 v тс, то 0 и2 < —, 0 v2 тс2, откуда 0 и2 4- v2 < у-, и,
значит, 0 Ti^k < -С-. Таким образом, k может принимать только
два значения: k = 0 и k = 1.
Дидактические материалы 211
Если k = 0, то для определения и и v получаем систему
Г и2 + v2 = О
\и + v = п/2,
которая не имеет решений.
Если k= 1, то для определения и и v получаем систему
Г и2 + и2 = тс2
[и + v = тг/2,
решениями которой являются пары чисел щ = тг (1 + \/7) /4,
vi = 71 (1 - у/7) /4 и «2 = ^(1- у/7) /А, v2 — 7i (1 + у/7) /А. Однако,
первая пара не является решением исходной системы уравнений, так
как ни щ, ни не удовлетворяют условиям -^ < w < и
Вторая пара (u2‘,v2) этим условиям удовлетворяет и, значит, является
решением системы. Возвратившись к исходным переменным получим
ответ.
_ , . . ти(1-ч/7) тг(1 + ч/7) .
Ответ. = , у = cos —----А
4 4
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Домашняя контрольная работа XVII.1
Вариант 1
1. Решить систему уравнений
Г 4 log2(2x + у) = 3 log0>2(2x +у) log0>2(3x + у) + log2(3x + у),
( 6х2 + 5ху + у2 — 8. 2х+3«/+2 _|_ 5.2*/-3 = 6,
2. Решить систему уравнений < х2 + 5ху + 5у2 + у = х + 3у. ' у(у + 3) = (х + 2)(х + 5),
3. Решить систему уравнений < log (х + 2) = .
4. Решить систему уравнений < 1о&0,5<х + 0 + l°g2(2У -0 = 1, у/у — 1 4- у/ 2у 4- 2х + 8 = у/ у 4- 2х + 9.
5. Решить систему уравнений < / о \ sin 1 2х + sin у) = 0, . 2 о L х - sin у = 3.
6. Решить систему уравнений с sinx + sin у — у/З, cosx — cos у — 1.
7. Решить систему уравнений < 7 cosx sin у — 3 sinx cos у = 4, 3 sinx cos у + 5 cosx sin у = — 1.
212 Глава XVII. Системы уравнении и неравенств различных типов
{|cos Зх| = — \/2 cos г/,
cos 2у + 2 cos 2х sin 2х = —0,75.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
(а2 + з) • 2х - 3 log5 у = 5а — 6,
4 • 2х — 3 = log5 у
не имеет решений.
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
10&3 4/ — 1о&з<а — х) = Ь
х(у + 2) = 3
имеет два различных решения.
Вариант 2
1. Решить систему уравнений
Г 2 log2(x + 2у) = log1/3(x + 2у) log1/3(x - у) + log3(x - у),
[ х2 + ху — 2у2 — 9.
3x+z/+i +7.3z/-2 = 8)
(х-2)(х + 3) = //(#-5),
2. Решить систему уравнений
3. Решить систему уравнений
4. Решить систему уравнений
5. Решить систему уравнений
6. Решить систему уравнений
7. Решить систему уравнений
8. Решить систему уравнений
log (2 — у) =.
У
4- (0,5)у~х = 2“х~2,
\/2х + 1 + i/4x + 2у + 5 = \/2х + 2у + 4.
cos ^2х + 6 sin2 у) = 1,
Зх — 3sin2 у — —8.
sinx — sin у = —1,
cosx + cos// = Уз.
3 cos х cos # + 7 sinx sin у = 4,
5 cos x cos у — 3 sin x sin у = 3.
cos(3x+^J = —x/2cost/,
[ cos 2у + 2 sin 2х + 0,75 = 2 sin3 2х.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
2 log3 x + (a2 — 2) • 5^ = 6a — 2,
log3 x + 5^ = 5
не имеет решений.
Дидактические материалы 213
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
log3#-log3(x-a) = 2,
х(у + 1) - -9
имеет два различных решения.
Вариант 3
1. Решить систему уравнений
log2(x+#) + log1/2(x + #) log1/2(x — 2#) = 21og2(x- 2у),
х - ху - 2у2 = 4.
' 2х+у+1 +7 - 2У~5 = 4,
2. Решить систему уравнений < ^2х + у1 — х + у. (Х+ 1)(х - 4) = у(у + 5),
3. Решить систему уравнений < 108,-2(2 + !/)=^.
4. Решить систему уравнений < ' 1°ёз(7 - 2х) + logi/3(5х - 7У) = °> \/х + у + 3 — у/З — 2х = у/3х + у — 9.
5. Решить систему уравнений < cos (Зу — 5 cos2 х) = 1, k Зу — 10 cos2 х = —1.
6. Решить систему уравнений < sinx — sin у = 1, cosx — cos# = — >/3.
7. Решить систему уравнений < 6 sinx cos # + 2 cosx sin# = — 3, 5 sinx cos# — 3 cosx sin# = 1.
8. Решить систему уравнений < |sin 3x| = —>/2 sin#, cos 2# + 2 cos 2x sin2 2x = 0,75.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
( 6 • log2 х - 2У (а2 — з) = 2а + 18,
I log2 х — 2У = 2
не имеет решений.
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
log2# — log2(—х — а) = 2,
х(у + 1) = 4
имеет два различных решения.
214 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
Вариант 4
1. Решить систему уравнений
Г 1о&з(х + 2у) + log1/3(x + 2г/) log1/3(x - у) = 2 log2(x - у),
I 2 . Q 2 А
( X + ху — 2у =4.
' 5*+у+1 + 16.5^-2 = 10,
2. Решить систему уравнений < /
ух + #2 = х + #.
' (х-3)(х + 4) = г/(г/ — 7),
3. Решить систему уравнений <
logx_1(2-z/) = .
1 У
4. Решить систему уравнений < ' 25- (x/5)2-2i/ = 5-2х,
\/х + 2 + \/2х + у + 14 = \/х + у + 12
sin (4у — 2 cos2 х) = 1,
5. Решить систему уравнений < г* 1 г" 2 3 7Г . бу — 15 cos х = 4. 1 4
sinx — sin у = ч/З,
6. Решить систему уравнений <
cosx + cosy — —1.
9 cosx cos у — 5 sinx sin у = —6,
7. Решить систему уравнений <
7 cosx cos у — 3 sinx sin у = —4.
sin 3x d— = sin у — cos w,
8. Решить систему уравнений \ 4 J
sin 2y + 2 sin 2x = 0,75 + 2 sin3 2x.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
4 • log6 у -|- — 8^ -5 — я + 8,
2 • 5х + log6 у = 3
не имеет решений.
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
log4 у - log4(a - х) = 0,5,
х(г/+ 1) = 8
имеет два различных решения.
Вариант 5
1. Решить систему уравнений
J 2log|(x + у} = log1/2(x + у} log1/2(x - 2г/) + log2(x - 2у),
1 х2 — ху — 2г/2 = 9.
2.
Решить систему уравнений
' 3х+г/+1 + 16.3</-3 =
\/2х+у2 = х + у.
Дидактические материалы 215
' (х- 1)(х + 5) = у(у + 6),
3. Решить систему уравнений < logx+1(2 + у) = ^±2 .
4. Решить систему уравнений < ' log2(10 - Зх) + >ogo,5<2х ~ 5У) = °> \/2х + у + 1 — \/11 — Зх = \/4х + 2у — 12. cos (Зх — cos2 у) = 0,
5. Решить систему уравнений < \ / х — cos2 у = 3 + у
6. Решить систему уравнений < sinx — sin у = л/з, cosx + cos у = 1.
7. Решить систему уравнений < ’ 3 sin х cos у — 7 cos х sin у — 6, . 7 sin x cos у + 5 cos x sin у — —2.
8. Решить систему уравнений < |cos 3x| = sin у + cos y, 2 sin2 2x cos 2x + 0,75 = - sin 2y.
9. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
( (1 — а2) • 4х — 5 • log3 у = 2а — 2,
I 2 - 3 • 4х = log3 у
не имеет решений.
10. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
Г loggt/- log9(x + a) = 0,5,
|х(у + 4) = -3
имеет два различных решения.
Ответы
Вариант!. 1. (0;2л/2), (15,5;—30,5). 2. (log2^;0), (41og25-ll;3-log25).
3. (3;5). 4. (-0,5; 1).- 5. (у +1;±|arccos+ ли), neZ.
6. Г^ + 2лп;
\3
2тг л \ г™ гу (/ 1 \ и ~|~ 1 7U 7Г ТТЛ < / 7Г . 7Г TZTI * \
у+2лт), n,m€Z. 7. (^(-1) + -+4+ у+ 7Г^-
n,AeZ. 8. (±^ + лп;±у+2л/г), n,feeZ. 9. (—оо;—3]. 10. (4/3;3/2).
D 9 1 /о m f1459 728>i о (п 1 36А Л 49 1 9>1
Вариант?. 1. (3;0), 2- Q°;loS3 yj) • (J°&3 27 > 1о&3 у J -
3. (4;-2). 4. (—0,5;3). 5. (—2; ±0,5(л—arccos(l/3)) + лп), п е Z.
6. (— - + 2яп; - +2лтИ, n,mGZ. 7. (±- + тт + ±- + пп — nk\ n,kel.
8. + n,feeZ. 9. (—00;—2]. 10. (-9;-17/9).
Вариант 3. 1. (2;0), (у,у). 2. (0;log2^), (21og27-6;4-log27).
/ Stt
3. (6;2). 4. (3;2). 5. (±0,5(л-агссоз0,6) + лп, 1/3), n e Z. 6. ^у+2лп;
216 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
3. (5;-2). 4. (—2; —1). 5. (±1
- ) + лп; - + - ), n. G Z.
□ / О 0 /
Я . л \ *71 ( 7Г । / i \ А Л , , 7Г& 7Г , / 1 Я , 7Г& \
—-+2лт^, n,mGZ. 7. - + (— 0 + яп + — ; — - + (—1) + —2/’
ti'keft. 8. f±J H-тт*; (—1)"+1? H-TrnY n,ke%. 9. [3; + oo). 10. (—4;—7/4).
Вариант 4. 1. (2;0), (~;^). 2. (o;log5^), (21og58-3;2-log58).
л—arccos
6. (у + 2tw;-y + 2mn^, n,meZ. 7. +лтг-|-я&; -яп +лй),
n,k g z. 8. ((-1)^ + y;^+2™), ((-о^ + ^я+гтш), n,k g z.
9. (—00;—4]. 10. (3,5;8).
Вариант 5. 1. (3;0), 2. (o;log3^), (21og38-4;3-log38).
3. (3,2). 4. (3;1). 5. f 1°7^9 ±1 агссо5(3л-10) -|- m}, n gZ. 6. (?+2лп;
-j + 2TOi). n.meZ. 7. (?Н-1)"+1^+Л+у:-^Я-1)"+1^-я*+у),
n,k e Z. 8. (±^ + nfe;2rtn), + nfe; -+2тгп), nji e Z. 9. [4;+ oo).
10. (2/3;3/4).
Разбор варианта № 1
1. Запишем исходную систему в виде
(log5(3x + у) + 4 log5(2x +1/)) (log5(3x + у) - log5(2x + у)) = О,
(Зх + #)(2х + у) = 8.
Решения системы должны удовлетворять условиям Зх + у>0, 2х + у>0.
При этих ограничениях первое уравнение системы распадается на два
(Зх +у)(2х +у)4 = 1 и Зх + у = 2х + у, и, значит, исходная система равносильна
совокупности двух систем:
m ((Зх + у)(2х + у)4 = 1, (Зх + у = 2х + у,
Ш [(3x + z/)(2x + z/) = 8 k } \(3х + у)(2х + у) = 3.
Система (1) имеет единственное решение (15,5;—30,5), которое удовле-
творяет условиям Зх + у > 0, 2х + г/>0. Система (2) имеет два решения
(0;2х/2), (0;-2л/2), из которых только первое удовлетворяет тем же
условиям.
2. Решения системы должны удовлетворять условию х + Зу 0. Неравенство
х + Зу 0 задает множество значений х,у, на котором второе уравнение
системы равносильно уравнению х2 + 5ху + Зу2 + у = х2 + Зху + 9у2, или
у(4у + х — 1) = 0. Следовательно, либо у = 0, либо х = 1 — \у.
а) Пусть у = 0, тогда из первого уравнения системы получим
2Х+2 + 5 2-3 = 6, 2х = х = log2 ^|. Пара чисел (log2 ^;0)
удовлетворяет условию х + 3#^0 и, значит, является решением исходной
системы.
Дидактические материалы 217
б) Пусть х = 1 — 4у, тогда первое уравнение системы примет вид
23-у + 5 • 2у-3 = 6. Обозначив t = 23“^, получим t + 5 • j = 6, или
/2 - 6/ + 5 = О, откуда /1 = 1, /г = 5.
Если / = 1, то 23-у = 1, откуда у = 3, и, значит, х = —11. Пара чисел
(—11; 3) не удовлетворяет условию х + Зг/^О и, следовательно, не является
решением системы.
Если / = 5, то 23-у = 5, откуда у = 3 — log2 5, х = 4 log2 5 — 11. Тогда
х + Зу = log2 5 — 2^0, значит, пара чисел (4 log2 5 — 11; 3 — log2 5) является
решением исходной системы.
3. Если переписать первое уравнение системы в виде г/2 + Зг/ + (х + 2)(—х-5) = 0
и рассмотреть его как квадратное относительно у, то, опираясь на теорему
Виета, можно заключить, что у — х + 2 или у — — х — 5.
Из второго уравнения системы следует, что решения системы должны
удовлетворять условиям х + 2>0, у > 0, у ?И.
а) Если справедливо равенство у = х + 2, то из второго уравнения системы
находим + + или х2 _ х _ 6 = о, 0ТКуДа Х) = ~2, xq = 3. Если
х2
х = —2, то условие х + 2 > 0 не выполняется. Если х = 3, то у = 5
и (3; 5) — решение исходной системы.
б) Если справедливо равенство у — — х — 5, то из условий х + 2>0, у > О,
у 1 получим: х + 2 > 0, —х — 5 > 0, или х > —2, х < —5, что невозможно.
4. Из первого уравнения системы имеем: log2(2z/ — 1) = log2(2x + 2), откуда
2у — 1 = 2х + 2, у > 0,5.
Исключив х с помощью соотношения 2х = 2у — 3 из второго уравнения
системы, получим иррациональное уравнение у/у — 1 + д/4г/ + 5 = д/Зг/ + 6.
Допустимыми являются те у, которые удовлетворяют неравенству у 1.
Поскольку при этом условии обе части уравнения определены и неотрица-
тельны, то после их возведения в квадрат получим уравнение, равносильное
исходному: д/г/ — 1 • д/4г/ + 5 = — (г/ — 1). Заметим, что для существования
действительных решений этого уравнения необходимо, чтобы выполнялось
условие у 1. Сравнивая это условием с условием, ограничивающим ОДЗ,
получим, что у может равняться только 1. Непосредственной проверкой
убеждаемся, что у = 1 есть решение уравнения y/у — 1 • у/4у + 5 = —(г/ — 1).
Таким образом, х = —0,5, у = 1 — единственное решение исходной системы.
5. Перепишем систему в виде
( sin (Зх — 3) = О,
[ sin2 у = х — 3
и решим ее первое уравнение:
sin(3x — 3) = 0; Зх — 3 = ди; х=-у + 1, п G Z.
Учитывая, что sin2z/ = x —3 и 0 sin2 г/ 1, найдем допустимые целые
значения п: 0 ™ — 2 1, или 6 лп С 9, откуда п — 2. Следовательно,
218 Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных типов
2п - „
х= — + 1. Подставим найденное значение х во второе уравнение системы:
1 - cos 2у 2тг о о 15-4я .1 15 — 4тг , „
-----—- = —— 2; cos2z/ = —-—; у = ±- arccos —-------h дм, n Е Z.
2 3 * 3 * 2 3
6. Перепишем систему в виде
sinx = л/З — sin у,
cosx = 1 + cos у.
Возведя каждое уравнение системы в квадрат и сложив почленно полу-
ченные уравнения, получим l=sinY/ — ^Y откуда у = + 2пт. Заменим
первое уравнение системы этим равенством. Поскольку правые части
возводимых в квадрат уравнений неотрицательны при любых значениях у, то
такое преобразование будет равносильным, при условии включения
систему неравенств sinx 0, cosx 0.
Подставляя найденные значения у во второе уравнение системы,
cosx = Нас интересуют те корни полученного уравнения,
в новую
находим
которые
удовлетворяют условию sinx
0, т.е. х— + 2лп. Таким образом, решениями
исходной системы являются пары чисел
+ 2тт\ + 2mnj, G Z.
7. Обозначив cosxsinz/ = u, sinxcosi/ = o, получим систему линейных уравнений
lu — Зи — 4,
5и + Зи = — 1,
I 3
которая имеет одно решение u=-, v= — Таким образом, исходная система
(sin у cosx = 1/4,
равносильна системе < . ' ,. почленно складывая и вычитая
r (cosi/sinx = —3/4,
уравнения которой, получим:
sin(r/ + x) = -i,
sin (у — х) = 1.
откуда
У + х = (-1)"+1£ + дп,
п о
у — х = - + 2тг&,
и, значит, х = (-1)п+1-^ - + ™ - 7г&, # = (-1)"+1^ + ^ + у+д&, n,fceZ.
8. Исходная система равносильна системе
"cos2 Зх = 2 cos2 у,
cos у 0,
k cos 2у + 2 cos 2х sin2 2х = -0,75.
Первое уравнение преобразуем к виду cos 2# — cos2 Зх — 1. Используя
это равенство, исключим у из последнего уравнения системы: cos2 Зх +
+ 2cos2xsin22x = 0,25. Полученное уравнение равносильно каждому следу-
ющему: (cos 6х + 1) + 2sin 4х sin 2х = 0,5, (cos 6х + 1) + cos 2х — cos 6х = 0,5,
cos2x = —0,5. Следовательно, sin2 2х = 0,75 и из последнего уравнения
Дидактические материалы 219
системы получим cos2z/ = 0, откуда, с учетом неравенства cosy О,
cos у = — 1/л/2. Итак cos2x = —0,5, cos у = — 1/л/2, и, значит, х = ±^ + тгл,
у = ±— + 2тг/г, n,k€l.
4
9. Обозначим р = 2х, / = log5z/. Так как уравнения р = 2х, t — \og5y разрешимы
относительно х и у при любом значении t и любом значении р > 0, то
исходная задача равносильна следующей: найти все значения параметра а,
при которых система
{(а2 + з) • р — 3 • t = 5а — 6,
4 • р — 3 = t,
p>Q
не имеет решений. Исключив из первого уравнения системы перемен-
ную t, получим (а — 3)(а + 3)р = 5(а — 3). Так как каждому р согласно
равенству t = 4р — 3 соответствует ровно одно значение р, то число
решений системы совпадает с числом положительных корней уравнения
(а — 3)(а + 3)р = 5(а — 3).
а) Если а — 3, то это уравнение принимает вид 0 = 0, и, значит, имеет
бесконечно много решений.
б) Если а = — 3, то уравнение принимает вид 0 = —30, и, значит, не имеет
решений.
5
в) Если а=^±3, то р— --- и, значит, уравнение не имеет положительных
а + 3
5
решений, если < 0, т. е. если а < —3.
Таким, образом, исходная система не имеет решений, если а —3.
10.
J >og3 У ~ iog3(a - х) = 1, 110&3 а - х
1x(z/ + 2) = 3 ] х(у + 2) =
U > О
С геометрической точки зрения ре-
шение системы — это множество точек
плоскости Оху, координаты которых
удовлетворяют каждому из условий си-
3
стемы. Уравнение у=— 2+- задает на
плоскости гиперболу (рис. 1). Уравнение
у = — 3(х — а) определяет семейство пря-
мых. Чтобы ответить на вопрос задачи,
необходимо выяснить, при каких значе-
ниях параметра а прямая у = — 3(х — а)
3
пересекает гиперболу у—— 2+- в двух
точках, лежащих выше оси абсцисс.
Такая ситуация имеет место для всех
прямых, лежащих между касательной
(1) к гиперболе и прямой (2), пересека-
ющей гиперболу в точке (1,5; 0) (рис. 1).
= 1 (У=-З(х-а),
Ь>0.
Рис. 1
220 Глава XVII. Системы уравнении и неравенств различных типов
Значение параметра, при котором прямая у = — 3(х — а) касается гипер-
3 3
болы у = — 2+- в точке xq, определяется условиями — 3(хд —а) = — 2н---,
х хо
—3 = —к (первое из них представляет собой равенство в точке xq значений
Х° 3
функций у = — 3(х — а), у = —2 + ~, второе — равенство их производных).
Учитывая, что значение х0 должно быть положительным, получим: xq = 1,
4
Значение параметра, соответствующее прямой (2), получим из условия
прохождения этой прямой через точку
Так как с увеличением параметра
вправо вдоль оси Ох, то прямым,
и прямой (2), соответствуют значения
(1,5; 0): 0 = -3(1,5-а), а = 1,5.
а прямая у = —3(х — а) сдвигается
лежащим между касательной (1)
/4 3\
параметра из интервала
Глава XVIII
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Основу системы упражнений по данному разделу составляют
задачи на геометрическое описание решений уравнений и неравенств
с двумя переменными. В первую очередь следует уделить внима-
ние линейным уравнениям и неравенствам, а также уравнениям
и неравенствам, задающим окружность и круг. Также необходимо
рассмотреть геометрическое описание решений уравнений и нера-
венств, содержащих переменные под знаком модуля.
Полезно обсудить использование геометрического подхода для
исследования уравнений, неравенств и их систем. Также следует уде-
лить внимание аналитическим приемам решений уравнений и нера-
венств с двумя переменными. И, наконец, желательно рассмотреть на
примерах различные приемы исследования уравнений и неравенств
с двумя неизвестными, содержащими параметр.
§ 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Под геометрическим описанием решений уравнений, неравенств,
а также их систем, понимают построение на координатной плос-
кости множества точек, координаты которых удовлетворяют этим
уравнениям, неравенствам, системам.
Геометрическое описание решений уравнений
с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными Ах + By + С — О,
в котором хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля, определяет
на координатной плоскости хОу прямую. Чтобы построить эту
прямую, достаточно отметить на координатной плоскости хОу две
точки (xi,yi), (x2i№)> координаты которых удовлетворяют данному
уравнению, и провести через них прямую.
222 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Если В ф 0, то уравнение Дх + + С = О можно записать в виде
Л С А С
У = — -бх~Ъ’ или У — кх, + Ь, где k = — Ь = — ъ. Угловой коэффициент
в в в в
прямой k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному
направлению оси Ох. В частности, при k — 0 прямая параллельна
оси Ох.
Если В = 0, то прямая Ах + Ву-\-С = ® параллельна оси Оу.
Уравнение (х — а)2 + (у — b)2 = R2, где R — положительное число,
определяет на координатной плоскости хОу окружность радиуса R
с центром в точке А(а,Ь).
Пример 1. Дать геометрическое описание множества то-
чек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
х2 - 2ху - 4х + 8z/ = 0.
А Разложив левую часть уравнения на множители
х2 — 2ху — 4х + 8у — х(х — 2у) — 4 (% — 2у) = (% — 4)(х — 2у),
получим уравнение (% — 4)(х — 2у) = 0, которое выполняется в двух
случаях: когда х — 4 = 0 или х — 2у = 0. Значит, искомое множество —
совокупность прямых х = 4 и у = 0,5х (рис. 1). ▲
Пример 2. Дать геометрическое описание множества то-
чек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
+ J/2 - 6х + 4z/ = 12.
А Перепишем уравнение, выделив полные квадраты относительно
переменных х и у.
(х2 - 6х) + (у2 + 4у} = 12;
(х2 — 6х + 9^ + (у2 + 4у + 4^ = 25;
(х - З)2 + (у + 2)2 = 52.
§1. Геометрическое описание решений 223
Следовательно, с геометрической точки зрения множество реше-
ний данного уравнения — окружность радиусом 5 с центром в точке
(3; -2).
Ответ. Искомое множество точек представлено на рис. 2. ▲
Довольно часто встречаются уравнения с двумя неизвестными,
в которых условия на переменные записаны с использованием знака
модуля. Рассмотрим возможные подходы к решению таких задач.
Чтобы изобразить множество точек, координаты которых удо-
влетворяют уравнению |z/| = /(х), можно вначале построить график
функции у = f(x), затем удалить часть этого графика, лежащую
в нижней полуплоскости, после чего дополнить оставшуюся часть
графика ее зеркальным отражением относительно оси Ох.
Пример 3. Дать геометрическое описание множества точек
координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению |z/| = х + 3.
А Построим прямую у = х + 3 и удалим ее у
часть, лежащую в нижней полуплоскости. Лежа- /
щую в верхней полуплоскости оставшуюся часть 3 /
прямой дополним ее зеркальным отражением /
относительно оси Ох. /
Ответ. Искомое множество точек представ- —-------------------
о л -3\ О х
лено на рис. 3. А X
Замечание. Множество точек из примера 3 обла-
дает симметрией относительно оси Ох. Данная снимет- -3\.
рия — следствие того, что переменная у входит в уравнение
|z/| = х + 3 под знаком модуля. Вообще при выполнении
заданий на геометрическое описание решений уравнений г ИС. о
с двумя переменными полезно учитывать следующее: если переменная х входит
в уравнение под знаком модуля, то множество точек плоскости, определяемое
этим уравнением, симметрично относительно оси Оу, если переменная у входит
в уравнение под знаком модуля, то множество симметрично относительно оси Ох\
если обе переменные х и у входят в уравнение под знаком модуля, то множество
симметрично относительно обеих координатных осей.
В следующем примере переменные х и у входят в уравнение
как под знаком модуля, так и сами по себе. Это не позволяет
воспользоваться соображениями симметрии. Поэтому используем
другой подход: разобьем координатную плоскость на несколько
областей так, чтобы в каждой из них знаки модуля в уравнении
можно было бы опустить, и поочередно решим уравнение в каждой
такой области.
Пример 4. Дать геометрическое описание множества точек
координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению |z/| +у = |х| + х.
А Рассмотрим уравнение отдельно в каждом из координатных углов.
224 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
I. Если х^О, у О, то \у\ + у = |х| + х у = х, т. е. уравнение
задает биссектрису первого координатного угла.
II. Если х 0, у 0, то \у\ + у = |х| + х <=>// = 0.
III. Если х 0, у 0, то \у\ + у = |х| +х <=> 0 = 0, т. е. уравнению
удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного
угла.
IV. Если х^О, у 0, то |z/| + у = |х| + х <=> х = 0.
Ответ. Искомое множество точек представлено на рис. 4. ▲
Пример 5. Дать геометрическое описание множества точек коор-
динатной плоскости, удовлетворяющих уравнению у — kx — 3k + 1 = О
при всевозможных действительных значениях k из отрезка —1.
А Перепишем уравнение в виде у = k(x + 3) — 1. При любом
фиксированном значении k это уравнение определяет прямую,
проходящую через точку (—3;—1). Угловой коэффициент k прямой
равен тангенсу угла, который эта прямая составляет с положительным
направлением оси Ох. Таким образом, уравнение у — k(x + 3) — 1
при — 1 1 есть уравнение множества прямых (пучка прямых),
проходящих через точку (—3;—1) и составляющих с положительным
« Г 7Г 7Г
направлением оси Ох угол а, заключенный в промежутке •
Ответ. Искомое множество точек представлено на рис. 5. ▲
Пример 6. Дать геометрическое описание множества то-
чек координатной плоскости, удовлетворяющих уравнению
х2 + у2 — 2 (х cos а + у sin а) + 0,75 = 0 при всевозможных дей-
ствительных значениях а.
А Перепишем уравнение в виде (х — cos а)2 + (у — sin а)2 = 0,52. При
любом фиксированном значении а полученное уравнение определяет
окружность с центром в точке (cos a, sin а) и радиусом 0,5. Поскольку
cos2 а + sin2 а = 1, то центр каждой такой окружности удален на
расстояние 1 от начала координат.
§1. Геометрическое описание решений 225
Ответ. Искомое
Таким образом, искомое геометрическое
место точек есть совокупность окружностей
радиуса 0,5, центры которых лежат на окруж-
ности единичного радиуса с центром в начале
координат. Эта совокупность (на рис. 6 она
выделена серым цветом) образует кольцо,
внутренняя и внешняя границы которого —
окружности с общим центром в начале коор-
динат и радиусами 0,5, и 1,5 соответственно,
множество точек представлено на рис. 6. ▲
Рассмотрим другие примеры задания линий на плоскости с по-
мощью уравнений.
Пример 7. Найти множество точек координатной плоскости,
(У - О4 ,
удовлетворяющих уравнению —-------? = 1.
(х + 4)в
Л . Н//-1)4 = (х + 4)8
(х + 4)8 ( X ф —4
(|{/-1| = (х + 4)2,
I х / -4
-17
1 ,
0 х
' У~ 1 = (х + 4)2,
< У- 1 = -(х + 4)2,
х ф -4
у = 1 + (х + 4)2,
ч х ~/~ — 4.
Множество точек плоскости, координаты кото-
рых удовлетворяют уравнению у = 1 + (х + 4)2,
образует параболу с вершиной в точке (-4; 1)
и ветвями, направленными вверх. Точка (0; 17) — точка
Рис. 7
пересечения
параболы с осью Оу. Точек пересечения с осью Ох парабола не имеет.
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
уравнению у = \ — (% + 4)2, образует параболу с вершиной в точке
(—4; 1) и ветвями, направленными вниз. Координаты точек пересе-
чения параболы с осью Ох —(-3; 0), (—5; 0), с осью Оу — (0; —15).
Точка (—4; 1) на обоих графиках выколота, поскольку не
удовлетворяет условию х ф —4.
Ответ. Искомое множество точек представлено на рис. 7. ▲
Пример 8. Дать геометрическое описание множества точек ко-
ординатной плоскости, удовлетворяющих уравнению logo cos2% = —3.
4 Ы
8-1367
226 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Л Так как logo-----= —3<=>-----= -, то задача сводится к изображе-
4 Ы 4 |у| а
нию множества точек плоскости, координаты которых удовлетворяют
условиям |#| = 2 cos 2х, у 0.
Вначале строим график функции # = 2cos2x. Действуем по
1 2
схеме: # = cosxi-># = cos2xi-># = 2cos2x (преобразованием 1 график
Рис. 8
функции# = 2 cos 2х, лежащие
функции у —cosx сжимается в два
раза вдоль оси Ох, после чего пре-
образованием 2 растягивается в два
раза вдоль оси Оу).
Чтобы получить множество то-
чек, координаты которых удовле-
творяют условиям |#| = 2 cos 2х,
у^О, надо взять участки графика
выше оси Ох, и добавить к ним их
зеркальные отражения относительно этой оси.
Ответ. Искомое множество точек изображено на рис. 8. ▲
Геометрическое описание решений неравенств
с двумя переменными
Прямая, заданная уравнением Ах + By + С = 0, разбивает плос-
кость на две полуплоскости такие, что во всех точках одной из
этих полуплоскостей выполняется неравенство Ах + By + С > 0,
а в другой — неравенство Ах + By + С < 0. Чтобы определить, в ка-
кой из полуплоскостей какое неравенство справедливо, достаточно
определить знак выражения Ах + By + С в какой-либо точке одной
из полуплоскостей (эту точку называют «пробной»). Если в пробной
точке справедливо неравенство Ах + Ву + С< 0, то это же неравенство
верно и во всех остальных точках полуплоскости, содержащей
пробную точку.
Неравенство (х — а)2 + (у — b)2 < R2, где R — положительное
число, задает на координатной плоскости хОу множество точек,
расположенных внутри окружности радиуса R с центром в точке
А (а, Ь) (т. е. внутреннюю часть круга радиуса R с центром в точке
А (а, Ь)). Неравенство (% — а)2 + (# — Ь)2 > R2, где R — положительное
число, задает на координатной плоскости хОу множество точек,
расположенных вне круга радиуса R с центром в точке А (а, Ь). Если
неравенства нестрогие, то к описанным множествам присоединяются
их границы — окружности.
Пример 9. Дать геометрическое описание множества точек коор-
динатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 4#2^х2 + 4х + 4.
§ 1. Геометрическое описание решений 227
Рис. 10
А Имеем:
4z/2 х2 + 4х + 4 4z/2 - (х + 2)2 0
(2у - х — 2)(2у + х + 2) 0.
Значит, исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:
m (2*/-х-2^°, (2у-х-2^0,
[) (2z/ + x + 2^0 И 1 } \2у + х + 2^0.
Возьмем в качестве пробной точку (0;0). Так как ее координаты
не удовлетворяют первому неравенству системы (1) и удовлетворяют
ее второму неравенству, то системе (1) удовлетворяют координаты
тех и только тех точек, которые лежат не ниже каждой из прямых
2у-х-2 = 0 и 2у + х + 2 = 0.
Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точки, координаты ко-
торых удовлетворяют системе (2), лежат не выше каждой из этих
прямых.
Ответ. Искомое множество точек изображено на рис. 9. А
Пример 10. Построить множество точек плоскости, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств %2 + у2 2х, и найти
площадь получившейся фигуры.
А Преобразовав неравенства к виду (% — I)2 + у2 \,у ^у^,
заключаем, что первое из них задает круг с центром в точке 4(1;0)
и радиусом 1, а второе — полуплоскость, лежащую ниже прямой
у = ^. Искомая область — часть круга без сегмента, ограничен-
ного хордой CD (точки С и D — точки пересечения окружности
(х — I)2 + у2 = 1 и прямой у = На рис. 10 эта область
заштрихована.
Решив систему уравнений
\ х2 + у2 = 2х,
]х = 7у-4,
получим координаты точек пересечения: С(0,2;0,6) и £)(1,6; 0,8).
228 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Найдем угол ACAD', cos ACAD = уак как _
KI |дд1
= 0, следовательно,
= {-0,8; 0,6}, дЗ = {0,6; 0,8}, то
ACAD = j.
Искомая площадь S равна разности площадей Sj — S2, где S]—
площадь круга, S2 — площадь сегмента. Площадь сегмента в свою
очередь равна разности площади сектора с углом и площади S&cad
Таким образом,
прямоугольного треугольника, т. е.
S = Sl-S2 = rt-(^-l):
+ г
на рис. 10 и имеет
2’
Зтг
Т
Ответ. Искомое множество изображено
площадь у + |-
Пример И. Дать геометрическое описание
Пример 11. Дать геометрическое описание множества точек ко-
ординатной плоскости, удовлетворяющих неравенству |2Х + у\< 2х+1.
У
О
1 I
1 2
-3
-6
А Данное неравенство равносильно каждому сле-
дующему:
_2х+! <2х + //<2х+1,
-2х ~2Х+1 < у < 2х+1 -2х, —3 • 2х <у < 2х.
Следовательно, искомое множество точек
представляет собой часть плоскости, ограничен-
ную снизу графиком функции у = — 3-2Х, а сверху
графиком функции у = <2.х (точки самих графиков
в множество не входят).
Ответ. Искомое множество точек изобра-
жено на рис. 11. ▲
Замечание. Поиск области, образуемой множе-
ством точек координатной плоскости, удовлетворяющих
, 2х+1 (
можно организовать иначе. Вначале построить
Рис. И
неравенству |2Х + у\
множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству |2Х + у\ = 2х+1.
Это множество состоит из графиков функций у = — 3 -2х, у = 2х, разбивающих
плоскость на три части. Для каждой из этих частей верно следующее
утверждение: если в какой-либо наугад взятой (пробной) точке данной части
неравенство |2Х + z/| < 2x+1 выполняется, то оно выполняется и во всех других
точках этой части. В нашем случае в качестве пробных точек можно взять точки
с координатами (0; 4), (0;0), (0;—6). Подставив последовательно координаты
выбранных точек в неравенство |2Х + z/| < 2x+1, убеждаемся, что неравенству
удовлетворяют координаты только одной из них, а именно точки (0;0). Осталось
выделить на рисунке ту часть плоскости, в которой лежит эта точка.
§ 1. Геометрическое описание решений 229
Пример 12. Дать геометрическое описание множества то-
чек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству
у \/б |х + 6| - (х + 6)2.
Д Рассмотрим неравенство отдельно в двух областях: у 0 и у < 0.
1) В области у 0 неравенство у \/б |х + 6| — (% + 6)2 рав-
носильно неравенству у2 6|х + 6| - (х + 6)2, или z/2 +
п
+ (|х + 6| — 3) 9. Таким образом,
имеем: если х + 6 0,
то (х + З)2 + у2 З2, если х + 6 < 0,
Система неравенств z/^О, х+6^0,
(x+3)2+z/2^32 определяет множество
точек, лежащих в верхней полуплос-
кости внутри окружности с центром
(—3;0) и радиусом 3 (включая точки
полуокружности и отрезок оси Ох).
Система неравенств z/^О, х+6<0,
то (% + 9)2 + z/2 З2.
(х, + 9)2 + z/2 З2 определяет множество точек, лежащих
в верхней полуплоскости внутри окружности с центром в точке
(—9; 0) и радиусом 3 (включая точки полуокружности и отрезок
оси Ох).
2) В области z/<0 неравенство у>/б |х + 6| — (х + 6)2 равносильно
неравенству 6|х + 6| — (х+6)2^0, решением которого является
промежуток — 12^х^0.
Система неравенств z/<0, — 12^х^0 задает часть полосы, лежащую
в нижней полуплоскости между прямыми х = —12, х = 0.
Ответ. Искомое множество точек представлено на рис. 12. ▲
Пример 13. Найти площадь фигуры, которая задается на коор-
динатной плоскости неравенством |3 - |х|| + |5 — |z/|| 6.
Д Если в неравенстве
|3 - |х|| + |5 - \у\\6
заменить х на — х и (или) у на — у, то получится неравенство
равносильное исходному. Значит, задаваемая этим неравенством фи-
гура симметрична относительно координатных осей. Следовательно,
площадь этой фигуры в четыре раза больше площади ее части,
лежащей в первой четверти координатной плоскости. Построим эту
часть и вычислим ее площадь.
Согласно определению абсолютной величины, в области х0, у 0
имеем |х| = х, \у\=у, поэтому исходное неравенство можно записать
в виде |3 — х| + |5 — у\ 6. Чтобы опустить оставшиеся знаки модуля,
230 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
нужно рассмотреть неравенство отдельно в каждой из следующих
областей первой четверти:
I. 3— х О, 5 — у 0; II. 3 — х О, 5 — у 0;
III. 3-х^О, 5-у^0; IV. 3 - х 0, 5 - у 0.
В области I (0 х 3, 0 у 5) неравенство преобразуется
к виду (3 — %) + (5 — у) 6, или х + у 2; в области II (0 х 3,
у 5) — к виду (3 — х) — (5 — у) 6, или у — х 8; в области III (% 3,
у 5) — к виду — (3 — %) - (5 — у) 6, или х + у 14; в области IV
СО 3, 0 у 5) — к виду —(3 — х) + (5 - у) 6 или х — у 4.
Геометрическое место точек, координаты (х, у) которых удовлетво-
ряют полученным системам неравенств, на рис. 13 выделено серым
цветом. Площадь выделенной части плоскости удобно вычислить как
разность площади квадрата ABCD и площадей треугольников EAF
и KND. Так как AC = BD= 12, EF = 6, АР=3, KN = 2, TD=1, то
Sebcnkf = $abcd ~ $eaf ~ $knd = j • 12 • 12 - j • 6 • 3 - j • 2 • 1 = 62.
В силу симметрии фигуры, координаты точек которой удо-
влетворяют неравенству 3 — |х|| + |5 — |у|| 6, относительно обеих
координатных осей, ее площадь в четыре раза больше площади
заштрихованной на рисунке области, и, значит, равна 248.
Ответ. Искомая фигура имеет площадь 248. ▲
Использование геометрического подхода для исследования
уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными
Пример 14. При каких значениях х оба неравенства |х + у| 1
и |х — Зу| 2 выполняются хотя бы для одного значения у?
§ 1. Геометрическое описание решений 231
Д Неравенство |х + у\ 1 равносильно системе неравенств у — х + 1,
у^— х — 1. Точки, координаты которых удовлетворяют этой системе,
лежат не выше прямой у = — х+1 и не ниже прямой у = —х—\.
Неравенство |х — Зг/| 2 равносильно системе неравенств у
^(х + 2)/3, у^(х — 2)/3, Точки, координаты которых удовлетворяют
этой системе, лежат не выше прямой г/= (х +2)/3 и не ниже прямой
</=(х-2)/3.
Множество точек, координаты кото-
рых одновременно удовлетворяют нера-
венствам |х + г/| 1 и |х - Зг/| 2,
на рис. 14 выделено серым цветом.
Пусть А — точка пересечения прямых
у -- (х + 2)/3 и у = — х — 1, В —
точка пересечения прямых у = (х — 2)/3
и у = — х + 1, а хд, xq — координаты
точек А и В по оси Ох. Оба неравенства
при некотором Хд выполняются хотя бы
для одного значения у, если найдется
точка с абсциссой Хд, принадлежащая выделенной области. Значит,
искомые значения х должны быть не больше хд и не меньше Хд.
Из уравнения (х + 2)/3 =-х-1 находим хд = —1,25, из уравнения
(х — 2)/3 = — х + 1 получаем хд = 1,25.
Ответ. [-1,25; 1,25]. ▲
Замечание. Пример 14 можно легко трансформировать в задачу с пара-
метром, а именно: найти все значения параметра х, при которых имеет решение
/|х 4- у\ < 1,
система неравенств < < %
Пример 15. Найти все значения переменной х, удовлетворяющие
неравенству \у - х2| ^2 при любом у из отрезка [1;3].
Д Неравенство \у — х2| 2 равносильно си-
стеме неравенств г/ х2 + 2, г/ х2 — 2.
Точки, координаты которых удовлетворяют
этой системе, лежат на параболах t/ = x2 + 2,
г/ = х2 —2 и между ними (на рис. 15 множество
этих точек выделено серым цветом).
Значение х0 удовлетворяет неравенству
\у — х2| ^2 при любом у из отрезка [1;3]
в том и только в том случае, если отрезок,
вырезаемый прямыми г/=1, у = 3 из верти-
кальной прямой х = хд, целиком попадает в выделенную область. Из
рисунка видно, что удовлетворяющие этому условию отрицательные
232 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
значения xq лежат между абсциссами точек пересечения параболы
у = х2 - 2 с прямой у = 1 и параболы у = х2 + 2 с прямой
г/ = 3, и, значит, принадлежат отрезку [—\/3; — 1]. Удовлетворяющие
условию положительные значения xq лежат между абсциссами точек
пересечения параболы у = х2 + 2 с прямой у = 3 и параболы у = х2 — 2
с прямой у = \, и, значит, принадлежат отрезку [1; х/З].
Ответ. [—х/3; — 1] U [1; х/3]- А
Замечание. Пример 15 также можно переформулировать как задачу
с параметром: найти все значения параметра х, при которых неравенство
\у — х2 2 выполняется при любом у из отрезка [1; 3].
Пример 16. Решить систему неравенств
х2 + у2 + 4х + 2у 20,
х2 + У2 - 8х - 14г/ -40.
Д Данную систему можно записать сле-
дующим образом:
Г(х + 2)2 + (</ + I)2 52,
\(х — 4)2 + (г/ — 7)2 -S.52.
Первое неравенство системы задает
круг радиуса 5 с центром в точке
А(—2; —1), второе неравенство — круг ра-
диуса 5 с центром в точке В(4; 7)
(см. рис. 16). Расстояние между цен-
трами этих кругов равно АВ =
= л/(4 + 2)2 + (7 + I)2 = 10, и, следо-
вательно, равно сумме их радиусов.
Значит, круги касаются, и координаты
точки касания С — единственное решение системы. Точка касания С
является серединой отрезка АВ, и ее координаты можно найти как
среднее арифметическое соответствующих координат точек А и В.
Ответ. (1;3). ▲
§2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Для исследования уравнений и неравенств с двумя переменными
необязательно прибегать к геометрическому описанию их решений.
Рассмотрим, как можно использовать для упрощения уравнений
и неравенств метод оценок отдельных их частей.
§2. Аналитические приемы решения 233
Пример 1. Найти все пары чисел (х;у), для каждой из которых
справедливо равенство у4 — 4у2 — cos2x + 5 = 0.
Д Уравнение у4 — 4у2 - cos2x + 5 = О можно переписать в виде
(у2 — 2)2 = — sin2x. Левая часть полученного уравнения принимает
неотрицательные значения при любом у, правая — неположительные
значения при любом х. Следовательно, уравнение (у2 — 2)2 = — sin2x
равносильно системе
f (г/2 - 2)2 = О,
[- sin2 а: = О,
из которой получим: у = ±л/2, х = im (neZ).
Ответ. (±\/2; яп), n G Z. ▲
Пример 2. Найти все пары чисел (х;у), для каждой из которых
справедливо равенство 2х + 2“х = 2 sin у.
Д Напомним, что при любом а> 0 выполняется неравенство а + ± 2,
причем знак равенства имеет место только при а — 1. Значит, при
любом значении х левая часть уравнения 2х + 2-х ^2. В то же время
при любом значении у справедлива оценка 2siny^2. Следовательно,
уравнение 2x + 2-x = 2siny равносильно системе
Г 2х + 2~х = 2,
[2 sin у = 2,
решениями которой являются пары чисел х = 0, у = ^ + 2тт, nel.
Ответ. (О; + 2тт^, пЕ1. А
При решении следующего примера также используется анализ
возможных значений левой и правой частей уравнения.
Пример 3. Найти все значения у, при которых равенство
। / 2 г . гА 6х3 + 28х2 -Ь 42х 4- 20
log5 \У ~ Ьу + 9 =----=----ъ--------
й V * / 2х3 + 9х2 + 13х + 6
выполняется хотя бы при одном значении х.
Д Упростим правую часть равенства. Для этого найдем корни
многочленов
/(х) = 6х3 + 28х2 + 42х + 20 и g(x) = 2х3 + 9х2 + 13х + 6,
после чего разложим многочлены на множители.
Легко убедиться, что /(— 1) = 0, следовательно, х = —1 — корень
многочлена /(х), и, значит, /(х) делится на (х + 1) без остатка.
Разделив /(х) на (х + 1) «уголком», получим частное — трехчлен
234 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
6х2 + 22х + 20, корнями которого являются числа —2 и — Таким
О
образом, /(х) = (х + 1)(6х2 + 22х + 20) = 6(х + 1)(х + 2) (х + |).
Применив сходные рассуждения к многочлену g’(x), получим:
g(x) = 2(х + 1)(х + 2) (х + |). Значит, для правой части исходного
равенства имеем:
gM
6(х + 1)(х + 2) ^х +
2(х + 1)(х + 2) fx +
6х + 10
2х 4-3 ’
X ф —1, X ф —2.
Преобразуем левую часть исходного равенства:
log5 {у2 - + 9) = log5(у - З)2 = 2 log5 \у - 3|.
Теперь исходную задачу можно переформулировать следую-
щим образом: найти все значения у, при которых равенство
|0^-3| = ёй
равном -1 и —2.
выполнено хотя бы при одном значении х, не
Множество значений функции
Зх 4- 5
2х 4-3
(с учетом ограничений
х — 1, х —2), — это множество (—оо; 1) U (1; 1,5) U (1,5; 2) U (2; +оо).
В этом можно убедиться, построив ее график. Таким образом,
требуется найти все значения у, при которых выражение log5 \у — 3|
определено и не равно 1; 1,5; 2:
\У - 3| / 0; log5 \у - 3| / 1; log5 \у - 3| 1,5; log5 \у - 3| / 2 о
<=> У Ф 3, у ф -2, у / 8, у / 3 ± 5V5, у ± -22, у 28.
Ответ, у / 3,у ± -2,у ф 8,у ± 3 ± 5\/5,у ф -22,у 28. ▲
Для решения следующей задачи используем интересный прием, —
искусственное введение параметра.
Пример 4. Найти наибольшее значение выражения х + Зу, если
пары чисел х и у удовлетворяют неравенству х2 + ху + 4у2 6.
Д Пусть значение х + Зу = а, тогда х = а — Зу. Подставляя
выражение для х в неравенство х2 + ху + 4у2 6, получим
(а - Зу)2 + (а — Зу)у + 4у2 6, или 10у2 — 8ау + а2 6.
Теперь задачу можно переформулировать так: найти наибольшее
значение параметра а, при котором неравенство 10у2 — 5ау + а2 — 6^0
имеет решение. Очевидно, что условием существования решения
данного неравенства является неотрицательность дискриминанта
квадратного трехчлена 1 Оу2 — 5ау 4- а2 — 6: D = 240 — 15а2 0, откуда
|а| 4. Следовательно, искомое значение параметра а равно 4.
Ответ. 4. А
§3. Геометрический подход для задач с параметрами 235
§3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПОДХОДА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ, СОДЕРЖАЩИХ
ПАРАМЕТРЫ
Пример 1. При каких значениях параметра а найдутся числа х
и у, удовлетворяющие уравнению >/2ху + а = х + у + 1 ?
А Данное уравнение равносильно системе
С х ~Г у ~Г I 0, Гх + у + 1 О,
\2ху + a = (х + у + I)2, ИЛИ Цх+,1)2 + (у + I)2 = а + 1.
При а + 1 < 0 не существует чисел х, у, удовлетворяющих
уравнению (х + I)2 + (у + I)2 = а + 1.
При <2 + 1 = 0 равенство (х + I)2 + (у + I)2 = а + 1 выполняется
только для х = —1, у = —1. Однако при этих значениях х, у условие
х + у + 1^0 не выполняется.
При а + 1 > 0 уравнение (х + I)2 + (у + I)2 = у
= а + 1 задает на координатной плоскости хОу
окружность с центром в точке А(—1; —1) и ради- - О х
усом \Ja + 1 (рис. 17). Неравенство х + у +1 0,
в свою очередь, задает на координатной плоско- f 1
сти множество точек, лежащих не ниже прямой \ \
х + у + 1 = 0. Так как центр окружности А \
лежит ниже этой прямой, то система будет
иметь решения тогда и только тогда, когда Рис. 17
радиус окружности будет не меньше расстояния от ее центра
до прямой, т. е. \/а +1 АС (рис. 17). В треугольнике АВС:
АС = АВ • sin АСВА = 1 • sin ^ = ^. Следовательно, условие существо-
вания решений системы, а, значит, и исходного уравнения, можно
записать в виде неравенства + 1 откуда а — 0,5.
Ответ. [—0,5;+оо). А
Пример 2. Найти все значения параметра <2, при которых имеет
решение система неравенств
|х-1| + 3|у|^3,
х2 + у2 + (2 4х — бу.
А На координатной плоскости построим геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют данной системе.
Рассмотрим неравенство |х— 1| + 3|у|^3 поочередно в каждой
из четырех областей:
I) х — 1 0, у 0;
III) х - 1 0, у 0;
II) х — 1 0, у 0;
IV) х - 1 0, у ^0.
236 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Получим множество точек, лежащих на границе и внутри
четырехугольника ABCD (рис. 18).
Второе неравенство системы перепишем в виде (х-2)2 +(у + 3)2^
13 — а. Очевидно, что в случае 13 — а < 0, этому неравен-
ству удовлетворяют координаты всех точек плоскости и, значит,
исследуемая система неравенств имеет решение. При 13 — а О
неравенство (х — 2)2 + (у + З)2 13 — а определяет множество точек,
лежащих на границе и вне круга радиуса V13 — а с центром
в точке £(2;—3). В этом случае система имеет решение при условии,
что четырехугольник ABCD не содержится целиком внутри круга.
Вершина 7?(—2;0) является наиболее удаленной от точки £(2; —3) —
центра круга (£5 = 5, ЕС = \/17, ££> = \/ТЗ). Следовательно, система
будет иметь решение, если V13 — а 5, т. е. при —12^ а ^13.
Ответ. [ —12;+оо). ▲
Пример 3. При каком значении параметра а система неравенств
у < ах — х2 — 3,
х ау — у2 — 3
имеет единственное решение?
А Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют
данной системе. Прежде всего, заметим, что параболы у = ах — х2 — 3
и х = ау — у2 — 3 симметричны друг другу относительно прямой у = х,
так как их уравнения получаются одно из другого заменой х на у
и у на х. Множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству у ах — х2 - 3, лежат под параболой у = ах — х2 — 3.
Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
х ау — у2 — 3, лежат левее параболы х = ау — у2 — 3. Искомое
множество выделено на рис. 19 темно-серым цветом.
§3. Геометрический подход для задач с параметрами 237
Для единственности решения необходимо и достаточно, чтобы
парабола у = ах — х2 — 3 касалась прямой у = х. Условие касания
кривых у = f(x) и у = g(x) в точке (хо;г/о) выглядит следующим
образом:
Г/ (хо) = йг(хо),
V Uo) = s' Uo) •
В нашем случае имеем:
Г axQ — х^ — 3 = Xq,
— 2%о = 1,
откуда Х\ = \/3, <2] = 1 + 2\/3 и %2 — а% = 1 — 2\/3-
Ответ. 1 ± 2\/3. А
Пример 4. При каких значениях параметра а равносильны
системы уравнений
\х-Гу=-и, Г cos(x + у) = -1,
[ х + у + 4у = а \ х + у + 4у = а?
А С геометрической точки зрения решение системы — это множество
точек плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют каждому
уравнению системы.
Имеем cos(x + у) = -1 ох + у = — д + 2лп, nel. Таким образом,
уравнение cos(x + y) = — 1 определяет на плоскости хОу совокупность
прямых (причем одной из этих прямых является прямая х + у = — я)
(рис. 20).
Если записать уравнение х2 -\-у2 -]-4у = а в виде х2 + (t/ + 2)2 = a + 4,
то становится очевидным, что при а < — 4 оно не имеет решений,
а при а —4 определяет окружность с центром (0; —2) и радиусом
у/а + 4 (при а = — 4 окружность превращается в точку).
Системы равносильны, если множества их решений совпадают
(в частности, если системы не имеют решений). Поэтому на
геометрическом языке поставленную задачу можно сформулировать
следующим образом: найти, при каких значениях параметра а
множество точек плоскости (х;г/), координаты которых удовлетворяют
первой системе, совпадает с множеством точек плоскости (х; г/),
координаты которых удовлетворяют второй системе. Это имеет место
в двух случаях: (1) когда второе уравнение систем не имеет
решений, т. е. когда а < -4; (2) когда окружность х2 + {у + 2)2 = а + 4
пересекает не более одной прямой совокупности х + у = — я + 2ям.
Второй случай имеет место, когда расстояние от точки /1(0; — 2)
до прямой /2 больше радиуса yja + 4. Расстояние от А до /2 равно
АВ = = ^3. Так как АВ > у/а + 4, то 0 yja + 4 < т. е.
у/2 V2 у/2
238 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
—4 a < — 4 + л + Объединяя результаты, полученные для
случаев (1) и (2), получим ответ: a <
Ответ. а<------------. ▲
Пример 5. При каких значениях параметра а площадь фигуры,
заданной на координатной плоскости условием
Г 2 |г/| 0 + 8;
[ |i/| > ах - 2,
равна 100?
Д Начнем с изображения множества точек, задаваемого неравен-
ством 21г/| х + 8. Заметим, что это множество симметрично
относительно оси Ох, так как неравенство 2|г/| ^х + 8 преобразуется
к равносильному ему заменой у на —у. В случае у 0 неравенство
можно записать в виде у 0,5х + 4.
Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют
условиям у 0, у + 4, расположено в верхней полуплоскости
и заключено между прямыми у — 0,5х + 4 и у = 0. Дополнив это
множество его отражением относительно оси Ох, получим геомет-
рическое множество точек, задаваемое неравенством 2 |г/| х + 8 (на
рис. 21 оно выделено вертикальной штриховкой).
Множество точек, координаты которых удовлетворяют неравен-
ству |г/| > ах — 2, строится аналогично, однако его вид зависит
от значения параметра а. Нас интересуют только такие значения
а, при которых пересечение множеств, задаваемое неравенствами
2 \у \ х + 8 и \у\^ах — 2, образует ограниченную фигуру. Это условие
позволяет сразу исключить из рассмотрения а 0. Действительно,
если а = 0, то неравенство выполнено для всех точек координатной
§3. Геометрический подход для задач с параметрами 239
плоскости. Если a < 0, то неравенство |у| > ах — 2 выполняется
при всех значениях у и х > 2/а, и, следовательно, в задаваемую
неравенством область входит вся правая полуплоскость. В обоих
случаях фигура, задаваемая на координатной плоскости системой
2 |t/| х + 8, |t/| > ах — 2, не ограничена.
При каждом значении а > 0 множество точек, задаваемое нера-
венством |t/| > ах — 2, представляет собой часть плоскости, которая
заключена между лежащей в верхней полуплоскости частью прямой
у — ах — 2 и лежащей в нижней полуплоскости частью прямой
у = 2 — ах (на рис. 21 это множество выделено горизонтальной
штриховкой). Пересечение этого множества с множеством точек,
задаваемым неравенством 2|t/| ^х + 8, образует ограниченную фигуру,
только если угловой коэффициент прямой у = ах — 2 больше углового
коэффициента прямой t/= Н-4, т. е. если а > 0,5 (на рис. 21 фигура
имеет двойную штриховку).
Площадь этой фигуры S = 2 = АС ' где h ~ высота
Д.АВС, опущенная из вершины В. Значение h равно ординате точки
пересечения прямых t/=^ + 4 и у = ах — 2. В результате вычислений
получим h = Абсциссы точек А и С равны соответственно —8
и -, следовательно, АС = - + 8. Таким образом, S = f - + 8 V ^Q-+%.
a a r \aJ2a—\
Но по условию задачи S = 100. Значит, искомое значение
параметра а определяется условиями + 8^ • — Ю0, а > 0,5,
откуда а — 1.
Ответ. <2 = 1. А
Пример 6. При каких значениях параметра а решением системы
( 2х — у + а 0,
[ 6х + 3t/ + 5а 0
будут координаты хотя бы одной точки отрезка АВ, если /1(0; 9)
и В(3;6)?
Д Пусть у = kx + b — уравнение прямой, на которой лежит отре-
зок АВ. Подставив в это уравнение координаты точек А (0; 9) и /3(3; 6),
найдем коэффициенты k и Ь:
( 9 = k-0 + b,
6 = k • 3 + b,
откуда b = 9, k = — 1. Таким образом, уравнение прямой АВ имеет
вид у = —х 4- 9. Вместе с ограничением 0 х 3 это уравнение
задает отрезок АВ.
240 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Теперь исходную задачу можно переформулировать следующим
образом: найти, при каких значениях параметра а существует хотя
бы одна пара чисел (х\у), удовлетворяющих смешанной системе
(у = -х + 9,
00^3,
2х — у + а О,
6х + Зу + 5а 0.
Исключив с помощью первого равенства из последних двух
неравенств переменную у, придем к более простой формулировке
той же задачи: найти, при каких значениях параметра а существует
хотя бы одно решение системы
Г 0 х 3,
< Зх + a - 9 О,
( Зх + 5a + 27 0.
Рис. 22
Для исследования системы используем геомет-
рическое описание ее решений, т. е. изобразим
на плоскости хОа множество точек, координаты
которых удовлетворяют этой системе (на рис. 22
соответствующая область выделена серым цветом).
Множество значений параметра а, при которых
система имеет хотя бы одно решение, — это сово-
купность ординат точек выделенной области, т. е.
отрезок [—7,2; 9] (левая граница отрезка — орди-
ната точки пересечения прямых Зх + 5а + 27 = О,
х = 3, а правая граница — ордината точки пересе-
чения прямых Зх + а — 9 = 0, х = 0).
Ответ. [—7,2; 9]. ▲
Для решения следующей задачи используем уже знакомый
прием — искусственное введение параметра (см. решение примера 4
§2 настоящей главы).
Пример 7. В каких пределах изменяется величина х2 — Зу при
условии
log_2_(-f/-2) 1?
л-2
Д На плоскости хОу изобразим множество точек, координаты (%,//)
которых удовлетворяют неравенству log 2 (—у — 2) 1. Рассмотрим
отдельно два случая.
OCAjcl,
(1) < х-2
I log^_(-//-2)^l
х-2
О < 2 < 1
и х —2 ’
— £/ — 2 > О,
х > 4,
У < -2,
§3. Геометрический подход для задач с параметрами 241
Множество точек, координаты которых удовлетворяют этим уело-
9
виям, лежат над правой веткой гиперболы у = — 2 - -—правее
прямой х = 4 и ниже прямой у =—2 (рис. 23).
-2->1
х-2 ’
-V-2 > О,
-у - 2 -Д
х-2
2 < х < 4,
Множество точек, координаты которых удовлетворяют этим уело-
о
виям, лежат ниже правой ветки гиперболы у — —2 — -—- между
прямыми х - 2, х = 4.
На рис. 23 область, для которой log 2 (—у — 2) > 1, заштрихована.
х-2
Рассмотрим семейство кривых, заданных уравнением х2 — Зу = a
2
или z/= Пусть D — множество значений, которые выражение
3 з
х2 — Зу принимает в точках (х; г/) заштрихованной области. Тот
факт, что значение а принадлежит D, допускает следующую геомет-
рическую интерпретацию: существует точка (x;z/), принадлежащая
2
заштрихованной области и лежащая на параболе у= у — -. Иначе
говоря, множество D образовано значениями а, при которых парабола
2
у = | имеет с заштрихованной областью хотя бы одну общую
точку.
X2 а х2
Парабола у = у — может быть получена из параболы у = у
путем параллельного переноса на | единицы вдоль оси Оу (вверх,
242 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
если a < 0, и вниз, если a > 0). Чем больше значение а, тем ниже
расположена парабола. Исходя из рисунка, можно предположить,
что наименьшее значение а, при котором парабола имеет общие
точки с заштрихованной областью, соответствует касанию параболы
о
с гиперболой у = — 2 — - (впрочем, следует удостовериться,
что парабола, проходящая через точку (4; —2), расположена ниже
параболы, касающейся гиперболы).
Найдем значение параметра а, при котором парабола у =
касается гиперболы у = —2 — Условия касания графиков двух
функций в некоторой точке xq можно сформулировать следующим
образом:
1) значения функций в точке xq равны;
2) значения производных функций в точке xq равны.
Таким образом, для нахождения значения а имеем систему:
( 2
^0 _ а = _2 _ 2
3 3 хд ~ 2 ’
< 2 _ 2х0
(х0 - 2)2 “ Т ’
*0 2.
Из второго уравнения получим х^ — 4xq + 4%о — 3 — 0, или
(%о — 3) — х0 + 1) — 0> откуда xq = 3. Подставляя найденное
значение в первое уравнение системы, находим, что а = 21.
Заметим, что при а = 21 ордината точки параболы с абсциссой х = 4
равна — -, т. е. больше —2. Значит, как мы и предполагали, парабола,
проходящая через точку (4;—2), расположена ниже параболы,
касающейся гиперболы.
При значениях а > 21 парабола пересекает заштрихованную
область, следовательно, выражение %2 — Зг/ принимает все значения
из промежутка [21;+оо).
Ответ. [21;+оо). А
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XVIII. 1
Вариант 1
Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению:
1. Зх2 — Ихг/— 4г/2 = 0. 2. х2 + г/2 + 8х - Юг/+ 32 = 0. 3. |х - 2| - |г/| = 2.
Дидактические материалы 243
Вариант 2
Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению:
1. 4х2 + 19хг/— 5г/2 = 0. 2. х2 + у2 - 4х + 12г/ + 24 = 0. 3. |г/| - \х + 4| = 4.
Самостоятельная работа XVIII.2
Вариант 1
Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
1. х2 - Зхг/ + 6х 0. 2. х2 + г/2 — 8 |г/| > 0. 3. Iog2 (х — 2г/) 3.
Вариант 2
Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству:
1. у2 + 4хг/ — 8г/ > 0. 2. х2 + г/2 — 9 |х| 0. 3. Iog05 (Зх + 0,5г/) 2.
Контрольная работа XVIIL1
по теме «Уравнения и неравенства с двумя переменными»
(2 урока)
Вариант 1
1. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению у2 + г/(1 — х) + х - 2х2 = 0.
2. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству |г/ + 5| +х2 1.
3. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
системой неравенств
Г у2 + х2 6х - 4г/ — 4,
\у + 2х 4.
4. Найти все пары чисел (х;г/), для каждой из которых справедливо равенство
х4 + х-4 + 5 = — cos у (cos у + 8).
5. Найти все значения параметра, при которых система неравенств
Г у2 + х2 + 4г/ О,
(г/ -а - |х|
имеет решение.
Вариант 2
1. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих уравнению х2 + х(2г/ — 1) — Зг/2 — Зг/ = 0.
2. Дать геометрическое описание множества точек координатной плоскости,
удовлетворяющих неравенству \у — 3| — х2 2.
244 Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными
3. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
системой неравенств
(у2 + х2 + 4 8у - 4х,
(4х + у 4.
4. Найти все пары чисел (x;t/), для каждой из которых справедливо равенство
у/2у Н—— = sinx(6 — sinx) — 3.
5. Найти все значения параметра, при которых система неравенств
(у2 + х2 - 2у < О,
\у |х| - 2a
имеет решение.
Вариант 3*
1. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
системой неравенств
fx \/4-I/2,
\у2 + х2 - 2ху -4^0.
2. Решить систему
ГМ + \у +1| 1,
\|х-2| + |у + 1| 1.
3. Найти все пары чисел (х; £/), для каждой из которых справедливо равенство
>/2у Н—~ = 4 — log3 (2sinx + П).
v 2у
4. При каких значениях х неравенство \у + Зх| + \у — Зх| 6 выполняется хотя
бы для одного значения у?
5. Найти все значения параметра, при которых система уравнений
(у2 + х2 + 4 = 4х — 2у,
\у + а = |х - 2|
имеет решение.
Вариант 4*
1. Найти площадь фигуры, которая задается на координатной плоскости
системой неравенств
(у х/1 -*2,
\у2 + х2 + 2ху -1^0.
2. Решить систему
f |х + 2| + |(/| 2,
[|х + 2| + \у — 4| ^2.
3. Найти все пары чисел (х;г/), для каждой из которых справедливо равенство
>og0j5 (* - + 0,5) - 1 = cos2 у + tg2 у.
4. При каких значениях у неравенство |2у + х| + |2г/ — х| ^4 выполняется хотя
бы для одного значения х?
Дидактические материалы 245
5. Найти все значения параметра, при которых система уравнений
г/2 + х2 = 2г/ — 6х — 9,
у+ |х + 3| = а
имеет решение.
Ответы
Вариант 1. 3. 4,5л. 4. (±1; я + 2т), п € Z. 5. (—оо;4).
Вариант?. 3. 8л. 4. (^+2лп;0,51, nGl 5. (—1;+оо).
ВариантЗ*. 1. 10 + л. 2. (1; —1). 3. + 2т\ 0,5j, п е Z. 4. [—1;1].
5. [0;1 + л/2].
Вариант 4*. 1. 2,5 + 0,25л. 2. (—2; 2). 3. (0,25; ли), nGZ. 4. [-2; 2].
5. [1 + х/2;0].
Глава XIX
ДЕЛИМОСТЬ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ.
При изучении главы следует обратить внимание на систематиза-
цию и доказательство уже известных свойств делимости, свойств
простых и составных чисел. Необходимо отработать также оба
способа нахождения наибольшего общего делителя: с помощью
разложения чисел на простые множители и с помощью алгоритма
Евклида.
Решение задач на сравнения основывается на свойствах деления
с остатком, доказательства которых необходимо подробно разобрать.
При изучении уравнений в целых числах особое внимание следует
обратить на способы решения линейных уравнений и систем, так как
они часто возникают при решении тригонометрических уравнений.
Решение текстовых задач с целочисленными неизвестными сво-
дятся к решению уравнений и неравенств. При этом необходимо,
учитывая условия задачи, ограничить перебор возможных решений.
Следует особо подчеркнуть, что неравенство а < b при целых
значениях а и b равносильно неравенству a^b — 1.
§ 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ
Пусть а — целое число (aGZ), т — натуральное число (m^N). Говорят, что
а делится на т, если существует такое целое число р (р G Z), что
а тр.
При этом число т называется делителем числа а, р — частным от деления
а на т.
При решении задач на доказательство делимости используются
свойства делимости чисел. В главе I были подробно разобраны при-
меры доказательства делимости с помощью метода математической
индукции. Приведем примеры доказательств делимости с помощью
разложение числового выражения на множители.
Пример 1. Доказать, что число 256 + 1615 делится на 17.
А Имеем:
256 + 1615 = 256 + (24)15 = 256 + 260 = 256 (1 + 24) = 256 • 17.
Следовательно, число 256 + 1615 делится на 17. ▲
§1. Делимость чисел 247
Пример 2. Доказать, что число З93 + 774 + 36 делится на 19.
Д Преобразуем числовое выражения, выделив в нем слагаемые,
которые делятся на 19:
З93 + 774 + 36 = З93 - I3 + 774 - I4 + 38 =
= (39 - 1) (392 + 39 + 1)+(77 - 1) (773 + 772 + 77 + 1)+38 =
А В
= 38Л + 76В + 38 = 19 • 2(71 + 2В + 1).
Следовательно, исходное число делится на 19. А
И- 2п
Пример 3. Доказать, что дробь --------ъ— несократима ни при
П “I- Зп Н- 1
каком целом значении п.
Д Предположим, что дробь сократима. Это означает, что у числителя
и знаменателя есть общий делитель руИ. Если числа а и b делятся
на р, то при любых целых числах k и m число ka + mb делится
на р.
Положим а = п3 + 2n, b — п4 + Зп2 + 1, k - —n, m — 1. Тогда
получим, что число
с = —п(п3 + 2п) + (п4 + Зп2 + 1) = п2 + 1
делится на р.
Рассуждая далее аналогичным образом, получим, что число
d = а — пс — п3 + 2п — п(и2 + 1) — п
делится на р, а также число
е = с — nd = n2 + 1 — п2 = 1
делится на р. Следовательно, р=1, и дробь несократима. А
Два натуральных числа тип называют взаимно простыми, и пишут
(т, п) = 1, если единственным общим натуральным делителем этих чисел
является число единица.
При доказательстве делимости целочисленных выражений иногда использу-
ется следующее свойство: если число а делится на каждое из взаимно простых
чисел т и п, то оно делится на их произведение тп.
Пример 4. Доказать, что при любом натуральном значении п
число п3-25и + 28 —4 делится на 6.
Л Для того, чтобы доказать, что число делится на 6, достаточно
показать, что оно делится на числа 2 и 3. Имеем:
п3 - 25п + 28 - 4 = п3 - п - 24п + 22(2б - 1) =
= п(п2 - 1) - 24п + 22(23 + 1)(23 - 1) =
= п(п — !)(« + !) — 24п + 4-9-7.
248 Глава XIX. Делимость
Так как среди трех последовательных натуральных чисел п — 1,
п, п + 1 хотя бы одно четное и ровно одно делится на 3, то
их произведение п(п — l)(n + 1) делится на 6. Кроме того, 24п
делится на 6 и 4-9-7 делится на 6. Следовательно, сумма
п(п — l)(n + 1) — 24« + 4 • 9 • 7 делится на 6. . А
Пример 5. Доказать, что при любых натуральных тип число
(5т + Зп + 7)4(3т + 5п + 2)5 делится на 16.
А При любом нечетном k числа а и ka одинаковой четности. Поэтому
числа 5m + Зп и 3m + 5п также одинаковой четности, тогда числа
5т + Зп + 7 и Зт + 5п + 2 разной четности, т. е. одно из них четно.
Тогда либо (5m + Зп + 7)4 делится на 24 = 16, либо (3m + 5п + 2)5
делится на 25, следовательно, и на 16. А
Наибольшее натуральное число, являющееся натуральным делителем каж-
дого из натуральных чисел m и п, называют наибольшим общим делителем
этих чисел и обозначают НОД(т, п) или (т, п). При любом целом k справедливо
равенство
(т, п) = (т, п + km). (1)
Пример 6. Известно, что дробь | несократима (a, b е N).
и - а2 + ab + 62
Доказать, что дробь —~— также несократима.
А Пусть (а, Ь) — наибольший общий делитель чисел а и Ь. При
любом целом k выполняется равенство (a, b) — (а — kb, b). Пусть
« — наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби
° ’ Т’е‘ п = (а2 + аЫ~ Ь2> а + ^)- В силу равенства (1)
п = (а2 + ab + Ь2 - а(а + Ь), а + Ь) = (Ь2, а + Ь).
г? а% -j- ab -j- 62 / ।
Если дробь —— сократима, то следовательно, п имеет
простой делитель р. Тогда, так как Ь2 кратно п, то Ь2 кратно р.
Так как р — простое число, то b кратно р. Так как а + b кратно п,
то а + b кратно р, следовательно, а кратно р, дробь сократима,
что противоречит условию. Следовательно, предположение о том,
g. а2 + ab + 62 - а
что дробь —— сократима — неверно, дробь несократима. А
Натуральное число п называется составным, если оно имеет по крайней
мере один натуральный делитель, отличный от 1 и п. Натуральное число р > 1
называется простым, если оно не имеет натуральных делителей, отличных
от 1 и р.
§ 1. Делимость чисел 249
Пример 7. Доказать, что число а = 6n + 3n + 2n+1 + 2 является
составным при любом натуральном п.
1\ Обозначив b = Зп, с = 2п, получим
6z = 6n + 3n + 2n+l + 2 = ^ + 6 + 2c + 2 = 6(c + l) + 2(c + l) = (6 + 2)(c+l).
Так как 1 < с + 1 < (b + 2)(с + 1) < а, то число а имеет делитель
с+1, отличный от 1 и а, следовательно, число а — составное. ▲
Пример 8. Найти все простые числа р, для которых число 4р +1
является квадратом некоторого целого числа.
А Пусть 4р + 1 = а2, а€1 Тогда
4р = а2 - 1 = (а - 1)(а + 1).
Так как (а — 1)(а + 1) делится на 4, то а — нечетное, т. е. а = 2^+1.
Имеем: Л п, /п,
4р = 2k(2k + 2), р = /г(/г + 1).
Из того, что р — простое число, получаем k = 1 и р = 2. ▲
Каноническим разложением натурального числа п > 1 называется его
представление в виде k k ь
п=Р\ ' Р% Pss,
где р[, р%, ...р/г — попарно различные простые числа, a k\, .... ks —
натуральные числа.
Пример 9. Определить, каким количеством нулей оканчивается
десятичная запись числа 40!.
А Число а оканчивается ровно k нулями, если оно делится на 10^
и не делится на 10*+1. Если каноническое разложение натурального
числа п имеет вид . . ь .
п = 2к'-б*2 -р%
то количество нулей, которыми оканчивается его десятичная запись,
равно k = min{/ji, k%}. Для канонического разложения числа 40!
получаем k[>k%, поэтому необходимо определить, в какой степени
в произведение чисел 1, 2, .. . , 40 входит число 5. Количество
чисел, не превосходящих 40 и кратных 5, равно 8. Кроме того,
среди этих чисел встречается одно число, а именно 25, кратное 52.
Таким образом, — количество нулей, которыми оканчивается
число 40!, равно 9. А
Пример 10. Найти все простые числа р, такие, что числа р + 10
и р +14 также являются простыми.
А Так как р + 10 = р + 9 + 1, а р + 14 = р + 12 + 2, то числа р, р +10
и р + 14 имеют различные остатки от деления на 3. Следовательно,
среди них найдется число, кратное 3. Так как все эти числа простые,
то число, кратное 3, равно 3. Из чисел р, р + 10 и р + 14 равным 3
может быть только р. При этом получаем р + 10 — 13 и р+ 14 = 17—
простые. Итак, р = 3. А
250 Глава XIX. Делимость
§2. СРАВНЕНИЯ
Если целые числа а и b при делении на натуральное число пг дают равные
остатки, то говорят, что эти числа сравнимы по модулю пг и пишут
а = b (modzn).
Свойства сравнений следуют из свойств делимости чисел. Если а = Г[( mod пг),
Ь = Г2 ( m0Cl т) 5 т0
а + Ь = Г[ + r<2 (mod пг),
ab = rj^lmod/n),
а1{ = (mod пг).
При решении задач на нахождение остатка от деления чисел вида
аь на m следует разделить а на m с остатком г и последовательно
рассмотреть остатки от деления на m чисел rk, заменяя при
вычислении каждой последующей степени число на сравнимое с ним
по модулю т.
Пример 1. Найти остаток от деления числа а на т, если
а) а = 14267, b = 17; б) а = 3027‘47, т = 13.
А а) Так как 14 = (-3)(mod 17), то 14256 = (-3)256( mod 17). Запишем
сравнения по модулю 17 для чисел (—3)fe :
(—З)1 = —3 (modl7),
(—З)2 = 9 = —8 (modl7),
(-3)3 = (-3) • (-8) = 24 ее 7 (modl7),
(-3)4 = (-3) • 7 = -21 = —4 (modl7),
(-3)5 = (-3) • (-4) = 12 = -5 (modl7),
(-3)6 = (-3) • (-5) 15 -2 (modl7),
(—З)7 = (—3) • (—2) = 6 (modl7),
(-3)8 (-3) • (6) = -18 = -1 (modl7).
Так как (—З)8 = -l(mod 17), то (—З)16 = l(mod 17) и верно
равенство
(_3)16*+г = ((-3)16)/г • (-3)r = (-3)r(mod 17).
Разделив 267 на 16 с остатком, получаем
(-3)267 = (-3)16 16+11 = (_3)11 = (—3)8 . (_3)3 =
= —1 • 7 = —7 = 10 (modl7).
Таким образом, остаток от деления числа а = 4267 на число
т — 17 равен 10.
§ 2. Сравнения 251
б) Так как 30 = 4(modl3), то 3027'47 = 427'47 (modl3). Запишем
сравнения по модулю 13 для чисел 4k :
41 = 4 (mod 13),
42 = 16 = 3 (modl3),
43 = 4 • 3 = 12 = —1 (modl3).
Так как 43 = — l(modl3), то 46 = l(modl3) и верно равенство
46fe+r = (46)*.4r = 4r(modl3)
Найдем теперь остаток от деления 27147 на 6. Так как
27 = 3( mod6), то 27147 = 3147 ( mod 6). Очевидно, что 3fe = 3( mod
6) при всех натуральных k, т. е. 27147 = 6п + 3. Получаем:
427147 = 46/1+3 = 43 = —1 = 12 (mod 13).
Таким образом, остаток от деления числа a — 3027*47 на число
т = 13 равен 12. к
При решении задач на доказательство делимости и решений
уравнений в сравнениях удобно пользоваться таблицами остатков.
Пример 2. Доказать, что число а не может быть квадратом
натурального числа, если a — 3 делится на 7.
Д Если a — 3 делится на 7, то a = 3(mod7). Пусть a = п2, тогда
п2 = 3(mod7).
Построим таблицу остатков, которые получаются при делении
на 7 целого числа п и его квадрата:
Остатки от деления на 7
п 0 1 2 3 4 5 6
п2 0 1 4 2 2 4 1
Из таблицы видно, что остатка 3 у числа п2 получиться не
может. к
Пример 3. Решить сравнение х2 + 1 = 0(modl3).
Д Построим таблицу остатков, которые дают целые числа при
делении на 13:
Остатки от деления на 13
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
х2 0 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1
х2 + 1 1 2 5 10 4 0 11 11 0 4 10 5 2
Таким образом, х2 + 1 = 0( mod 13), если х при делении на 13 дает
остатки 5 или 8, x = 5(modl3) или x = 8(modl3). к
252 Глава XIX. Делимость
При решении систем сравнений удобно пользоваться свойствами
сравнений.
Пример 4. Доказать, что если a = b(modm), то ka = kb( modern).
Д Так как а — Ь делится на т, то a — b = tm, teZ. Тогда ka — kb = ktm,
т. е. ka - &b(mod£m). ▲
Аналогично, из сравнения ka = kb(modkm) следует сравнение
а = b(modm).
Пример 5. Решить систему сравнений
(Зх + 4 = 0(modl4),
\2х + 1 = 0(mod5).
Д Первый способ. Из сравнений системы получаем Зх + 4 = 14&,
2х + 1 = 5m, где k, m е Z, т. е. х = 14^~-4 и х = . Если
система сравнений имеет решение, то найдутся такие k и т, что
справедливо равенство ЦЛ-4 _ 5m- 1 или _ 2g^ _ 5 Отсюда
о Z
m = 28 ~ k = 2k - -- j? 5, т. е. 26 + 5 делится на 15 или 2k + 5 = 15р,
где р е Z. Тогда k — 15р2~ - = 1р — 2 + Последнее равенство
возможно, если р — 21 + 1, где I € Z, т. е. р — нечетное число.
Получаем, что k = 15/ + 5 и х — 701 + 22, где / € Z, — решение
системы сравнений.
Второй способ. Приведем оба сравнения к одному модулю,
умножив первое сравнение на 5, второе на 14:
(15% + 20 = 0(mod70), .
[28х + 14 = 0(mod70). ( }
Найдем такие х и у, что 15х + 2.8у = 1 :
15х + ЗОу — 1 + 2у, \-\-2y — 156.
При k = l имеем у = 1, х = —13. Умножив первое сравнение на
— 13, второе — на 7 и сложив получившиеся сравнения, получим
х — 162 = 0(mod70) <=> х = 22(mod70). (2)
Так как уравнение (2) является следствием системы (1), то
необходима проверка:
х = 22(mod70) => х = 8(modl4),
Зх + 4 = 28 = 0(modl4).
х = 22(mod70) => х = 2(mod5),
2х + 1 = 5 = 0(mod5).
Таким образом, х = 22(mod70) является решением исходной
системы. ▲
§3. Решение уравнений в целых числах 253
§ 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется
диофантовым уравнением. Линейное диофантово уравнение ах + by — с, где
a,b,ce Z, имеет решение (х, у) в целых числах тогда и только тогда, когда с
делится на НОД чисел а и Ь. Если с/ = НОД(а, &), a = a\d, b — b\d, и (x0,z/0) —
некоторое решение уравнения ах-\-Ьу = с, то все решения задаются формулами
х = х0 + &^, y = yQ-a\t,
где t — произвольное целое число. При этом решение (хд, Уо) находится подбором.
Важно рассмотреть и другой способ решения линейного диофан-
това уравнения, основанный на алгоритме Евклида.
Пример 1. Решить в целых числах уравнение 35% + 16z/ = 3.
Д Преобразуем уравнение, разделив с остатком 35 на 16:
2 • 16х + Зх + 16г/ = 3, 2 • 16х + 1 бу = 3 - Зх.
Так как левая часть уравнения делится на 16, то и правая тоже:
3 — Зх = 16&, k G Z.
Аналогично, разделив теперь с остатком 16 на 3, получим
3 — Зх = 3 • 6k + k,
следовательно, k делится на 3, т. е. k = 3t, Z G Z. Тогда получаем
3 — Зх = 3 • 5 • 3t + 3Z, 1 — x = 16£, x “ 1 — 16t
Найдем у, подставив x в исходное уравнение:
у = (3 - 35х)/16 = (3 - 35(1 - 160)/16 = -2 + 35Л
Итак, х = 1 — 16£, у = — 2 + 35^, t G Z. ▲
Замечание. В приведенном способе решения мы сначала разделили а на
b с остатком:
а - bq\ +ri.
Затем b разделили с остатком на г\ :
& = П<72 + г2,
затем Г1 на Г2 И так далее, т. е. фактически воспользовались алгоритмом Евклида.
При решении систем двух линейных уравнений с тремя неизвест-
ными в целых числах сначала, избавившись от одной переменной,
необходимо решить линейное диофантово уравнение с двумя пе-
ременными, а затем, подставить полученное решение в одно из
исходных уравнений. Аналогичным образом поступают при решении
систем п — 1 уравнения с п неизвестными.
Пример 2. Пусть А — множество целых чисел, имеющих при
делении на 7 остаток 2, В — множество целых чисел, имеющих при
делении на 6 остаток 5, а С —множество целых чисел, имеющих
при делении на 5 остаток 3. Найти все числа, которые одновременно
входят во все три множества.
254 Глава XIX. Делимость
Д В множество А входят числа вида х = 2 + 7k, в множество В
входят числа вида х — 5 + 6m, в множество С входят числа вида
х = 3 + 5п, k, m, п. е Z. Для нахождения чисел, входящих во все
множества, решим в целых числах систему
(2 + 7k = 5 + 6m,
[3 + 5n - 5 + 6m.
Из первого уравнения получаем 7k — 6m = 3, k — 3 = Qm — 66,
откуда k — 3 = 6t, k = 3 + 5t, t e 1 При этом Qm = 7k — 3 = 42f + 18,
m = 7f + 3. Подставляя m во второе уравнение системы, получаем
5n = 42t + 20, 5п — 20 — 40f = 2t, откуда 2t = 51, I е Z. Так как
2 и 5 взаимно простые числа, то t = 5р, ре Z. Таким образом,
m = 7t + 3 — 35/? + 3, х - 5 + 6m = 210/? + 23.
Всем трем множествам принадлежат числа, дающие при делении
на 210 остаток 23. ▲
При решении нелинейных диофантовых уравнений используется
разложение на множители.
Пример 3. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих
уравнению _ п
2ху + 5у + х = 2.
Д Перепишем уравнение в виде
у(2х + 3) + 0,5(2% + 3) = 3,5 (2% + 3) (2у + 1) = 7.
Так как х, t/ G Z, то 2х + 3, 2у + 1 GZ. Поэтому достаточно рассмотреть
все разложения числа 7 на множители:
7 = 1 • 7 = (-1) (-7).
Решение уравнения, таким образом, сводится к решению систем
линейных уравнений:
(2% + 3 = 1, (2х + 3 = 7,
\2у+ 1 = 7; \2у + 1 = 1;
Г2х + 3 = -1, (2х + 3 = - 7,
J [2у+ 1 = -7; } [2у + 1 = -1.
Целыми решениями уравнения являются пары чисел (—1; 1), (2; 0),
(-2; -4), (-5; -1). А
Пример 4. Найти все пары целых чисел хну, удовлетворяющих
уравнению
Ъх2у — Зх2 — 5ху — 2х + у + 1 = 0.
Д Перепишем уравнение в виде
г/(6х2 — 5х + 1) = Зх2 + 2х — 1.
§3. Решение уравнений в целых числах 255
Если 6х2 — 5х + 1 = О, то х = 0,5 Z или х = 1/3 £ Z. Поэтому
( _ Зх2 + 2х — 1 _ (Зх — 1)(х +1) _ х + 1
У ~ 6х2 - 5х + 1 ~~ (2х- 1)(3х- 1) - 2х- 1 '
При х=— 1 имеем г/ = 0. При х^—1 дробь
целым числом, если |х + 1| |2х — 1|, т. е. при
—может являться
2х — 1
0 х 2. Если х = О,
то у = — 1, если х = 1, то у = 2, если х = 2, то у = 1. Таким образом,
целыми решениями уравнения являются пары чисел (—1; 0), (0; —1),
(1; 2), (2; 1). ▲
При решении уравнений в целых числах применяется также
метод бесконечного спуска. При этом доказывается, что х кратно
некоторому а, т. е. х = Х[а, затем, что Х[ также кратно а, т. е. х\ =х^а
и т. д. Таким образом, х кратно любой степени а, т. е. х = 0.
Пример 5. Найти все пары целых чисел х и у, удовлетворяющих
уравнению
х2 + 19100хг/ - 91100г/2 = 0.
Д Рассмотрим остатки от деления на 3: 19 = l(mod3),
19100 = l(mod3), 91 = l(mod3), 91100 = l(mod3). Тогда получаем
х2 + хг/ — у2 = 0(mod3). (1)
Рассмотрим различные остатки от деления х и у на 3 и получающиеся
при этом остатки от деления выражения х2 + хг/ —г/2 на 3. Результат
представлен в таблице.
0 1 2
0 0 2 2
1 1 1 2
2 1 2 1
Таким образом, равенство (1) возможно только в случае, если
хиг/ кратны 3, т. е. x = 3xi, у = 3у\. Подставляя в равенство (1),
получаем, что Х[ и у\ также удовлетворяют равенству (1), т. е. в свою
очередь кратны 3. Следовательно, х и у кратны Зп при любом п 6 Z,
значит х = 0, у - 0. ▲
При решении уравнений в целых числах часто удобно сделать
замену, приводящую уравнение к квадратному относительно одной
из новых переменных и использовать целочисленность корня из
дискриминанта.
Пример 6. Найти все пары целых чисел х и г/, удовлетворяющих
уравнению
(х2 + у1) (х + у - 5) = 2ху.
256 Глава XIX. Делимость
Д Введем замену а = х2+у2, Ь = х+у, тогда Уху = к? — а и уравнение
принимает вид
а(Ь — 5) = b2 — а, Ь2 — ab + 4а = 0.
Так как дискриминант последнего уравнения является квадратом
неотрицательного целого числа, то
а2 — 16а = с2, с 0 (а — 8)2 — с2 - 64, (а — 8 — с)(а — 8 + с) = 64.
Так как а — 8 — с а — 8 + с и эти числа одинаковой четности, то
достаточно рассмотреть случаи:
Га —8-с = 2, Га-8 —а = 4,
[а — 8 + с = 32; (а — 8 +с = 16;
Га — 8 - с = 8, Га-8-с = -32,
(а — 8 + с = 8; (а — 8 + с = — 2;
Га —8 —с=-16, (а-8-с = — 8,
[а — 8 + с = — 4; [а —8 + с=—8.
1) с = 15, а = 25, Ь = 5 или b = 20. Решая системы
Г х2 + а2 = 25, fx2 + t/2 = 25,
\ и л
[% + у = 5 [x + t/ = 20,
получаем решения первой системы (0; 5), (5; 0), вторая система
решений не имеет.
2) с = 6, а = 18, 6 = 6 или b = 12. Решая системы
Гх2 + а2 = 18, Гх2 + //2 = 18,
< и < у
[х + у = 6 [% + !/= 12,
получаем решение первой системы (3; 3), вторая система
решений не имеет.
3) с = 0, а = 16, b = 8. Система
X2 + Г/2 = 16,
х + у = 8
решений не имеет.
4) с = 15, а =—9 < 0 — случай невозможен.
5) с = 6, а =-2, < 0 — случай невозможен.
6) с = 0, а = 0, b = 0. Система
х2 + j/2 = 0,
х + у = 0
решение (0; 0).
имеет
Итак, исходное уравнение имеет следующие целочисленные ре-
шения: (0; 0), (3; 3), (5; 0), (0; 5). ▲
§3. Решение уравнений в целых числах 257
Пример 7. Найти два действительных корня уравнения
%4 — 5х + a = 0, если известно, что это различные целые числа.
Д Пусть т и п — два различных целых корня уравнения х4 —5х + а =
= 0. Тогда имеем .
пг — 5m + a - О,
м4 — 5м + a = 0.
Вычтя из первого уравнения второе, получаем
т4 — и4 - 5т + 5и = 0, (т - п)(т + п)(т2 + ft2) - 5(т - п) = 0.
Учитывая,
Так как т / п, то . ч/ 9 9ч
(m + ft)(m2 + п2) = 5.
что m2 + ft2 0, получаем две системы уравнений:
Cm2 + ft2 = 5, Ст2 + п2 = 1,
[m + ft=l; [т + м = 5.
система дает пару чисел — 1 и 2, вторая решений не
Первая
имеет.
При решении уравнений для ограничения перебора необходимо
оценивать значения переменных. При этом важно обратить внимание
на то, что если для целого числа х выполняется неравенство х > п,
(х < п), где п е Z, то х п + 1 (х п - 1).
Пример 8. Найти различные между собой натуральные числа
fe, m и п такие, что 1111
A "I" т п 2‘
Д Пусть k < m < п, т. е. 1/k > \/п > \/т. Тогда \/k > 1/6, иначе
\/k + \/п + 1/т < 1/2. Следовательно, & < 6, т. е. k ^5. С другой
стороны, 1/fe < 1/2, k > 2, k 3.
1) k = 3. Тогда 1/m + \/п = 1/6, 6m + 6ft = tnn,
tn(n - 6) - 6(ft — 6) = 36, (m - 6)(ft — 6) = 36. Учитывая, что
6 < m < n, t. e. 0 < m — Q < n — 6, и раскладывая 36 на два
положительных множителя, получаем: т = п = 42; m = 8,
п = 24; т = 9, п= 18; т = 10, п = 15.
2) k - 4. Тогда 1/т + 1/м - 1/4, 4т + 4ft = тм,
т(п — 4) — 4(и - 4) = 16, (т — 4)(ft — 4) = 16. Учитывая,
что 4 < m < ft, т. е. О < m — 4 < п — 4, и раскладывая 16 на
два положительных множителя, получаем: т = 5, п — 20;
т = 6, п = 12.
3) k = 5. Тогда 1/т + 1/п — 3/10, Ют + 10м = Зтп,
- 10) - 1О/З(3п - 10) = 100/3, (Зт - 10)(Згг -10) = 100. Так
как 6 тп < п, то 8 Зт — 10 < Зя — 10. Разложения числа 100
на два множителя, при котором меньший из множителей не
меньше 8, не существует.
9-1367
258 Глава XIX. Делимость
Таким образом, решением уравнения с точностью до обозначений
являются тройки чисел (3; 7; 42), (3; 8; 24), (3; 9; 18), (3; 10; 15),
(4; 5; 20), (4; 6; 12). А
§4. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
При решении текстовых задач с целочисленными неизвестными
важно, как и при решении любых текстовых задач, правильно
выбрать неизвестные величины и записать условие в виде уравнений
и неравенств.
Пример 1. Поменяв местами две первые цифры натурального
четырехзначного числа и, получили четырехзначное число k. Разность
п — k оказалась в 100 раз больше суммы цифр числа п. При каком
наибольшем п это возможно?
Д Пусть п = 1000% + 100г/ + Юг + /, где %, у, г, t — цифры, причем
х / 0. Тогда k = 1000// + 100% + Юг + t и п — k — 1000% — ЮОх —
— (1000// — 100г/) — 100(9% — 9//). По условию п — k = 100(x + y+z +1),
т. е. 9% — 9у = х + у + г + t, 8х=Ю// + г + Л Наибольшее значение
первой цифры х равно 9, при этом 8% = 72 и наибольшее значение
второй цифры у равно 7. Тогда г + / = 2 и наибольшее п получается
при г = 2, £ = 0. Итак, наибольшее и, при котором выполнены условия,
равно 9720. А
Пример 2. На заводе «Гиперон» есть цеха трех типов. В каждом
цехе первого типа 108 рабочих и 53 инженера, второго типа — 20
рабочих и 13 инженеров, третьего типа — 11 рабочих и 5 инженеров.
Общее число рабочих на заводе равно 353, инженеров —180.
Найти количество цехов каждого типа, если их общее число не
превосходит 16.
Д Пусть х — количество цехов первого типа, // — второго, г — тре-
тьего. Тогда по условию задачи имеем
' 108% + 20// + 11г = 353,
53х + 13// + 5г = 180,
%, //, г 1,
х + у + г 16.
Вычтем из первого уравнения удвоенное второе: 2х — 6// + г = —7.
Отсюда г = —2х + 6// — 7; 53х + 13// + 5(—2х + 6// — 7) = 180;
43х + 43// = 215; х + у — 5, у = 5 — х. При этом
г = 6// — 2х — 7 = 23 — 8х > 1, х 11/4, значит х 2. Так как
х + у + г = 28 — 8х 16, то х 1,5, значит х 2.
Таким образом, получаем х = 2, у = 3, г = 7. А
§4. Текстовые задачи с целочисленными неизвестными 259
Пример 3. В корзине лежало не более 70 грибов. После разбора
оказалось, что 52% из них —белые. Если отложить 3 самых мелких
гриба, то среди оставшихся будет ровно половина белых. Сколько
грибов было в корзине?
А Пусть в корзине лежало х грибов, тогда белых среди них было
0,52х = 13х/25. Следовательно, х кратно 25, х = 25&. Так как в корзине
лежало не более 70 грибов, то k^2. При этом белых грибов в корзине
было 13&.
Пусть среди отложенных грибов tn белых, 0 m 3. В корзине
осталось 25& — 3 грибов, среди которых 13& — tn белых. Согласно
условию ~ = 0,5, 26& — 2m = 25k — 3, k = 2m — 3. Так как k 2,
то 2m - 3 > 2, 2m 5, m 2,5. Следовательно, m = 3, k — 1. В корзине
было 25 грибов. А
Пример 4. Для участия в совещании по борьбе с терроризмом
в город прибыли 117 человек, которые были размещены в гостинице
и заполнили 40 номеров: одно-, двух-, трех- и четырехместных.
Известно, что количество четырехместных номеров на 20% больше
чем количество двух- и трехместных номеров в совокупности.
Сколько номеров каждого вида заняли участники совещания?
А Пусть %, у, z, t — соответственно количество занятых одно-,
двух-, трех-, четырехместных номеров. Тогда %, у, z, t — целые
неотрицательные числа, удовлетворяющие системе
{х у z 1 =: 40, (x~Ty-j-z-}-t = 40,
х + 2у + 3z + 4£ = 117, о < х + 2у 4- 3z 4- 4t = 117,
t=\,2(y + z) [5^ = 61/4-62.
Вычтем из второго уравнения первое:
{х = 40 — у — z — f,
у -Т 2z 4- 3t = 77,
5t = 5у 4- 6z.
Тогда, учитывая, что t делится
получим систему
{х = 40 — у — z — 5m,
у 4- 2z 4- 18m = 77,
5m = у 4- z
Из второго уравнения следует
m 3, из третьего уравнения получаем z
Следовательно, 77 28m, m > 3. Отсюда m = 3, £=18, z = 8, у = 7,
х = 7. А
на 6, т. е. t = 5m, tntl, m>l,
' х = 40 — 11m,
о < z 4- 23m = 77,
,5m = у 4- z.
23m 77, так как m — целое, то
5m, z 4- 23m 45 28m.
260 Глава XIX. Делимость
Пример 5. Имеются два бассейна, причем первый вдвое большего
объема, чем второй. Эти бассейны наполняются трубами одинаковой
производительности. Известно, что второй бассейн наполняется на
полчаса дольше первого. Если бы к трубам, наполняющим второй
бассейн, были добавлены две трубы, то время наполнения этого
бассейна сократилось бы на полтора часа. Определить количество
труб, наполняющих каждый из бассейнов.
Д Пусть m — количество труб, наполняющих первый бассейн, п —
количество труб, наполняющих второй бассейн, х — производитель-
ность одной трубы, t — время наполнения первого бассейна, 1 — объем
второго бассейна. Тогда получаем систему
(mxt = 2,
пх + I) = 11
(п + 2)х(Г- 1) = 1.
Имеем: xt = —, х£+х = -, xt — х =—Цг. Отсюда получаем:
т 2 п п + 2
{2 _ ]_ _ х
т п 2’
^ = ^2+Х-
fTl fl -j- £
Выразим х из первого и второго уравнений: х = —2 ,
х - —----Ц-. Следовательно, + - = — — —Ц-. Далее получаем:
т п + 2 т п т п + 2
6 2 , 1 Зп + 4
т п п + 2 п(п 4- 2) ’
_ 6п(п + 2) _ 6я2 + 12я _ 2п(3п + 4) 4- 4я _ п . 4п
Зп + 4 Зп + 4 Зп + 4 Зп 4- 4 ’
3m = би + = 6м + 4(3" +4)-16 = 6п + 4 _ 16
Зп 4- 4 Зп 4- 4 Зп 4- 4
Так как тип — целые числа, то „ 16 Л — также целое число.
Зя 4- 4
Следовательно, 16 делится на Зм + 4, поэтому Зп + 4 G {1, 2, 4, 8, 16}.
Так как п > 0 и п — целое число, то Зп + 4 = 16. Отсюда п = 4.
Находим т: 3m = 6 • 4 + 4 — - 27, откуда m = 9. А
Дидактические материалы 261
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XIX.1
Вариант 1
1. Найти остаток от деления:
/ 9ПП„ \ 2006 „2006
а) / 22006 - П на 17; б) 22 на 13.
2. Найти все целочисленные решения уравнения 37х + 16г/ = 4.
Вариант 2
1. Найти остаток от деления:
/ onnfi \2006 „2006
а) (22006 + П на 13; б) З2 на 17.
2. Найти все целочисленные решения уравнения 15х — 22у = 3.
Вариант 3
1. Найти остаток от деления:
/ 9ппг \2005 ,2005
а) Г2200 — 1J на 17; б) 22 на 13.
2. Найти все целочисленные решения уравнения 19х + 16г/ — 4.
Вариант 4
1. Найти остаток от деления:
/ 9ПП7 \ 2007 „2005
а) (22007 + П на 13; б) З2 на 17.
2. Найти все целочисленные решения уравнения 17х — 25 у = 3.
Ответы
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант 3.
Вариант 4.
1. а) 2; б) 3. 2. х - -16/ + 4, у = ХИ - 9, / е Z.
1. а) 12; б) 1. 2. х = 22/ + 9, у = 15/ + 6, / е Z.
1. а) 12; б) 9. 2. х = 16/ - 4, у = -19/ + 5, / е Z.
1. а) 1; б) 1. 2. х = 25/ + 9, t/=17/ + 6, / € Z.
Контрольная работа XIX. 1
«Делимость целых чисел» (2 урока)
Вариант 1
1. Решить в целых числах уравнение 10xt/— 6х + 15t/= 26.
2. Найти все целые значения х, такие что х3 + 4х2 = 2 (mod9).
3. Доказать, что уравнение 19х3 — 17t/3 = 2003 не имеет решений в целых
числах.
4. Фирма владеет торговыми палатками трех типов. В палатки первого типа
завезли по 85 банок фанты и по 119 пепси-колы, второго типа — 20 фанты
и 31 пепси-колы, третьего типа —30 фанты и 38 пепси-колы. Всего завезли
480 банок фанты и 659 пепси-колы. Сколько палаток каждого типа имеет
фирма, если общее их число не превосходит 13?
10-1367
262 Глава XIX. Делимость
5. Две бригады каменщиков выложили по одинаковой стенке. Вторая бригада
работала на полтора часа больше первой. Если бы в первой бригаде было на
5 человек больше, то она могла бы закончить работу на шесть часов раньше.
Определить число рабочих в каждой бригаде, если производительность у них
одинакова.
Вариант 2
1. Решить в целых числах уравнение 4х2у — 12х2 + Зху + Их — у — 2 = 0.
2. Найти все целые значения х, такие что Зх2 + 5х = 1 (mod7).
3. Доказать, что уравнение 19х3 — 17t/3 = 2012 не имеет решений в целых
числах.
4. Заповедник разбит на несколько секторов, каждый из которых относится
к одному из трех типов. В каждом из секторов первого типа обитает 77
кабанов и 47 косуль, второго типа — 87 кабанов и 45 косуль, третьего типа —
19 кабанов и 17 косуль. Всего в заповеднике 452 кабана и 284 косули. Сколько
секторов каждого типа имеется в заповеднике, если общее число секторов
превосходит 8?
5. Три авиарейса обслуживают самолеты одного типа. Продолжительность
полета на втором рейсе на полчаса больше, а на третьем рейсе —на 20
минут больше, чем на первом. Количество самолетов на третьем рейсе
на три меньше, чем на первом. Общий расход топлива на каждом рейсе
одинаков. Сколько самолетов обслуживают первый рейс и сколько второй?
Расход топлива считается пропорциональным продолжительности рейса.
Вариант 3
1. Решить в целых числах уравнение 10х(/ — 6х + 15г/ = 26.
2. Найти все целые значения х такие, что х3 + 4х2 = 1 (mod7).
3. Доказать, что уравнение 19х3 — 17г/3 = 1994 не имеет решений в целых
числах.
4. Группа из 30 абитуриентов получила на экзамене оценки «2», «3», «4»,
«5». Сумма полученных оценок равна 99, причем общее число абитуриентов,
получивших «4» и «5», на 20% больше числа абитуриентов, получивших
«3». Сколько абитуриентов получили на экзамене оценки «2», «3», «4», «5»?
5. Заводы «Бозон» и «Мезон» изготавливают микросхемы на установках оди-
наковой производительности. Заказ на изготовление некоторого количества
микросхем на «Мезоне» выполняется на 2 дня дольше, чем на «Бозоне».
Если на завод «Бозон» поставить дополнительно 3 установки, то тот же
заказ будет изготавливаться на этом заводе на 4 дня быстрее, чем раньше.
Определить, сколько установок имеется на заводе «Бозон» и сколько на
заводе «Мезон».
Вариант 4
1. Решить в целых числах уравнение 6x2t/ + 2х2 + 7ху + 7х + 2у + 3 = 0.
2. Найти все целые значения х такие, что Зх2 + 5х = 1 (mod9).
3. Доказать, что уравнение 19х3 — 17t/3 = 2021 не имеет решений в целых
числах.
Дидактические материалы 263
4. На стоянку такси в течение часа прибыло 35 машин, и в них уехало 99
пассажиров. В каждую машину сели от одного до четырех пассажиров.
Известно, что количество машин, в которые сели три пассажира, на
40% больше количества машин с четырьмя пассажирами. Определите,
какое количество машин везло одного, двух, трех и четырех пассажиров
соответственно.
5. Две бригады косарей выкосили по одинаковому участку луга. Вторая бригада
работала на 2,5 часа больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5
человек меньше, то она закончила бы работу на 2 часа позже. Определить
число косарей в каждой бригаде, если производительность у них одинакова.
Ответы
Вариант 1. I. (—1; 4). 2. 9& + 4, k € Z. 4. 4; 1; 4. 5. 25; 24.
Вариант 2. I. (0;-2), (-2;8), (4;2), (-6;4). 2. 76 + 1, 76 + 2,6eZ. 4. 1; 3; 6.
5. 12; 8.
Вариант 3. 1. (1; —3), (10; 3). 2. 76 + 5, k € Z. 4. 8, 10, 7, 5. 5. 9; 8.
Вариант 4. I. (—3; 0), (—1; 2). 2. 96 + 5, k € Z. 4. 5, 6, 14, 10. 5. 30; 24.
Глава XX
КОМБИНАТОРИКА
При изучении темы следует рассмотреть основные схемы рас-
суждений, используемые для подсчета числа элементов конечных
множеств. Поскольку в основе этих схем лежат правило произведения
и правило суммы, то знакомство с комбинаторикой лучше начать
с обсуждения этих правил и использования их для решения задач.
Далее рекомендуем заняться изучением комбинаторных объектов:
рассмотреть перестановки и перестановки с повторениями, затем
перейти к размещениям и сочетаниям без повторений, и, наконец,
познакомиться с размещениями и сочетаниями с повторениями.
Решение практически любой комбинаторной задачи начинается
с описания некоторого множества, число элементов которого тре-
буется подсчитать. В большинстве случаев эти множества можно
описать как множества выборок. На наш взгляд использование
такого подхода упрощает процесс подсчета мощности множеств,
поскольку все комбинаторные объекты могут быть интерпретированы
как выборки различных видов.
В завершении данного раздела рекомендуем обсудить различные
приемы получения и доказательств комбинаторных тождеств. В част-
ности, имеет смысл рассмотреть задачи на получение комбинаторных
соотношений с использованием алгебраических методов, комбина-
торных соображений, а также методов математического анализа.
§ 1. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ ПОДСЧЕТА ЭЛЕМЕНТОВ
В КОНЕЧНОМ МНОЖЕСТВЕ
В комбинаторике изучаются способы подсчета числа элементов
конечных множеств. Основной вопрос комбинаторики — сколько эле-
ментов содержится в том или ином конечном множестве. Стандартные
схемы рассуждений, используемые для подсчета числа элементов
множества, основываются на двух правилах: правиле суммы и пра-
виле произведения.
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 265
Правило произведения
Пример 1. Семья Ивановых в полном составе (мама, папа и их
дети Таня, Оля, Лена, Ваня, Игорь, Боря и Андрей) принимает
участие в игре «Дружная семья». Один из конкурсов игры —эста-
фета, на первом этапе которой соревнуются взрослые, на втором —
мальчики, на третьем — девочки. Сколькими способами Ивановы
могут сформировать команду для участия в эстафете?
Д Будем формировать команду в три шага. Вначале выберем
взрослого для участия в первом этапе эстафеты, затем мальчика
для участия во втором этапе, и, наконец, девочку для участия
в третьем этапе. Представим все варианты формирования команды
с помощью схемы (рис. 1). В первой строчке схемы укажем варианты
выбора взрослого: М — мама, П — папа. Во второй строчке схемы
укажем варианты выбора мальчика: В —Ваня, И — Игорь, Б —Боря,
А —Андрей. Заметим, что число вариантов выбора на втором шаге
не зависит от выбора, сделанного на первом шаге (на схеме эта
независимость выражается в том, что из букв М и П первой строчки
выходит одинаковое число стрелок во вторую строчку). В третьей
строчке укажем варианты выбора девочки (для каждого выбора,
сделанного на первых двух шагах, таких вариантов три: Т —Таня,
О —Оля, Л —Лена).
Каждому варианту выбора команды на схеме соответствует путь,
идущий из верхней строчки в нижнюю (например, М —> И —> Л).
Поэтому число всех возможных вариантов формирования команды
для участия в эстафете равно числу путей из верхней строчки
в нижнюю. Так как в первой строчке две буквы, во второй вчетверо
266 Глава XX. Комбинаторика
больше, чем в первой, а третьей — втрое больше, чем во второй, то
общее число путей равно произведению 2-4-3 = 24. Таким образом,
имеем 24 варианта формирования команды. ▲
Вопрос «Сколькими способами можно сформировать такой-то
объект?» является типичным для комбинаторных задач. При этом
в большинстве случаев его можно заменить вопросом «Сколько
элементов содержится в таком-то множестве?». Поэтому решение
практически любой комбинаторной задачи начинается с описания
множества, число элементов которого требуется подсчитать. Во
многих случаях множества удобно описывать как множества выборок.
Под выборками понимают наборы элементов некоторого исходного
множества А. Выборка — понятие широкое. В выборках элементы
в соответствии с условиями задачи могут, как повторяться, так
и не повторяться. Порядок следования элементов в выборке может
учитываться (в этом случае выборку называют упорядоченной),
а может не учитываться. Вообще в соответствии с условиями
задачи могут рассматриваться выборки, удовлетворяющие самым
разным ограничениям. Например, может оказаться, что некоторые
элементы множества А должны обязательно входить в выборку,
а другие элементы могут, как входить, так и не входить. Или, может
оказаться, что нужно рассматривать только такие упорядоченные
выборки, в которые некоторые элементы множества А не только
обязательно входят, но и идут друг за другом. При составлении
математической модели комбинаторной задачи ее условия должны
быть переформулированы как описания характерных особенностей
выборки.
Замечание 1. Вернемся к обсуждению примера 1. Проанализируем
ситуацию, используя понятие выборки. Рассмотрим множество, элементами
которого являются члены семьи Ивановых. Чтобы сформировать команду, нужно
отобрать три элемента этого множества, т. е. составить из его элементов
выборку объема 3. В этой выборке элементы должны идти в определенном
порядке: первым — взрослый член семьи, вторым — мальчик, третьим — девочка.
Таким образом, команда —это выборка упорядоченная, и вопрос «Сколькими
способами можно сформировать команду?» можно заменить вопросом «Сколько
имеется упорядоченных выборок объема 3, в которых первым элементом является
взрослый, вторым — мальчик, третьим — девочка?».
Когда выборки описаны, переходят к следующему шагу — подсчету числа всех
выборок, соответствующих описанию. При подсчете числа выборок используют
ряд правил, одно из которых — правило произведения.
Правило произведения. Пусть нам нужно подсчитать число упорядоченных
выборок объема п, удовлетворяющих некоторым условиям. Предположим, что
построение произвольной такой выборки можно разбить на п. последовательных
шагов так, чтобы на каждом шаге выбирать один из элементов выборки,
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 267
при этом на первом шаге имеется выбор из k\ возможностей; независимо
от результата первого шага, на втором шаге есть выбор из k% возможностей;
независимо от результата первых двух шагов, на третьем шаге есть выбор из k%
возможностей и т. д.; и, наконец, независимо от того, какой выбор был сделан
на всех предыдущих шагах, на последнем шаге у нас имеется выбор из kn
возможностей. Тогда общее число интересующих нас упорядоченных выборок
равно • • • * •
Замечание 2. Вновь обратимся к обсуждению примера 1. Нам нужно
подсчитать число упорядоченных выборок, первым элементом которых является
взрослый член семьи, вторым элементом — мальчик, третьим — девочка. Любую
такую выборку можно сформировать за три шага: вначале выбрать первый
элемент, затем — второй, и, наконец, третий. На первом шаге у нас есть
две возможности (выбрать маму или папу), на втором — четыре возможности
(выбрать Ваню, Игоря, Борю или Андрея), на третьем —три возможности
(выбрать Таню, Олю или Лену). Согласно правилу произведения общее число
интересующих нас выборок равно произведению 2 • 4 • 3 = 24.
Пример 2.
а) Сколько имеется четырехзначных чисел, составленных из
цифр 1,2, 3,4,5,6,7,8,9, причем цифры в записи числа не
повторяются?
б) Сколько имеется четных четырехзначных чисел, составленных
из цифр 1,2, 3,4,5,6,7,8,9, причем соседние цифры в записи
числа не повторяются?
Д а) Четырехзначное число, удовлетворяющее условию задачи,
можно рассматривать как упорядоченную выборку объема 4,
составленную из цифр 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9, в которой эле-
менты не повторяются. Построение такой выборки можно
осуществить за четыре шага. На первом шаге выбирается
первая цифра числа. Этот выбор можно осуществить девятью
способами. На втором шаге выбирается вторая цифра числа.
Так как по условию вторая цифра не должна совпадать
с первой, то ее выбор зависит от выбора первой цифры, однако
эта зависимость не распространяется на число возможностей
выбора второй цифры (при каждом выборе, сделанном на
первом шаге, имеется восемь вариантов выбора второй цифры).
На третьем шаге выбирается третья цифра. Так как она должна
быть отлична от первых двух, то на третьем шаге, независимо
от выбора, сделанного на первых двух шагах, у нас есть
выбор из семи возможностей. На четвертом шаге наш выбор
сужается до шести возможностей. Следовательно, согласно
правилу произведения количество чисел, удовлетворяющих
условию, равно 9 • 8 • 7 • 6 = 3024.
268 Глава XX. Комбинаторика
б) Четырехзначные числа, удовлетворяющие условию задачи,
можно рассматривать как упорядоченные выборки объема 4,
составленные из элементов множества 1,2, 3,4, 5,6,7,8,9,
в которых соседние элементы не повторяются и последний
элемент —либо 2, либо 4, либо 6, либо 8. Попробуем подойти
к построению такой выборки так же как в предыдущем
случае, т. е. на первом шаге выбирать первую цифру числа,
на втором — вторую, и т. д. Тогда на первом шаге у нас будет
выбор из 9 возможностей, на втором и третьем, независимо
от выбора сделанного на предыдущих шагах, — выбор из 8
возможностей (на каждом из этих шагов можем выбрать лю-
бую цифру за исключением выбранной на предыдущем шаге).
Однако число возможностей при осуществлении четвертого
шага оказывается зависящим от выбора, сделанного на третьем
шаге: если на третьем шаге выбор пал на четную цифру,
то для выбора четвертой цифры имеется три возможности,
если на нечетную — то четыре. Значит, при таком подходе
к построению выборки (при написании числа слева направо)
правило произведения не применимо.
Выберем другую последовательность шагов — будем писать число
справа налево, т. е. на первом шаге выбирать последнюю цифру числа,
на втором — предпоследнюю, и т. д. Тогда на первом шаге у нас будет
выбор из 4 возможностей, на втором, третьем и четвертом шагах,
независимо от ранее сделанного выбора, — выбор из 8 возможностей.
Следовательно, согласно правилу произведения количество чисел,
удовлетворяющих условию, равно 4 • 8 • 8 • 8 = 2048. А
Пример 3. У Саши десять марок, а у Вани — двадцать. Сколь-
кими способами можно осуществить обмен одной Сашиной марки
на одну Ванину?
А Чтобы обмен осуществился, Саша должен выбрать одну из своих
марок, а Ваня — одну из своих. Пара выбранных ими марок опреде-
ляет обмен, поэтому обмен можно отождествить с выборкой объема 2,
первый элемент которой — марка Саши, второй — марка Вани. Число
способов обмена равно количеству таких выборок. Произвольную
выборку можно составить в два шага: на первом выбрать одну из
десяти Сашиных марок, на втором — одну из двадцати Ваниных.
Следовательно, по правилу произведения количество выборок, а,
значит, и число способов обмена, равно 10 • 20 = 200. ▲
Пример 4. В классе двадцать человек — десять девочек и десять
мальчиков. Сколькими способами можно составить график дежурств
по классу на десять дней так, чтобы каждый день дежурил один
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 269
мальчик и одна девочка, и при этом никто из ребят не дежурил
дважды?
Д Будем составлять график дежурств за 10 шагов. На первом выбе-
рем дежурных на первый день, на втором — на второй и т. д. Выбор
пары дежурных на первый день в свою очередь осуществим за два
шага — сначала выберем девочку (выбор из десяти возможностей),
затем мальчика (выбор из десяти возможностей). Следовательно,
имеется 10 • 10 возможностей выбрать пару дежурных на первый
день. Выбор пары дежурных на второй день также осуществим за
два шага — сначала выберем девочку (выбор сократился до девяти
возможностей, так как одна из девочек уже отдежурила), затем
мальчика (выбор из девяти возможностей, так как один из мальчиков
уже отдежурил). Следовательно, имеется 9-9 возможностей выбрать
пару дежурных на второй день. Аналогично рассуждая, получим, что
имеется 8 • 8 возможностей выбрать пару дежурных на третий день,
7 • 7 — на четвертый и т. д. И, наконец, 1 • 1 возможностей выбрать
пару дежурных на десятый день. По правилу произведения график
дежурств можно составить 10• 10• 9-9-... • 1 • 1 = (10!)2 способами. ▲
Правило суммы и формула включений и исключений
При подсчете числа элементов в конечных множествах поль-
зуются формулами, связывающими число элементов в каждом из
данных конечных множеств с числом элементов других множеств,
составленных из данных множеств с помощью операций объединения
и пересечения. Напомним эти правила.
Если множества А и В конечны и не пересекаются, то множество АиВ
также конечно и число его элементов можно подсчитать по правилу суммы
|А иВ| = | А | + |В|.
Если множества А и В конечны, то множество АиВ также конечно и число
его элементов можно подсчитать по формуле включений и исключений
|А UB| = |А| + |В| — |А П В|.
Правило суммы и формула включений и исключений распространяются на
любое конечное число множеств. В частности, их обобщения на случай трех
множеств выглядят следующим образом:
- если А[,А2,A3 — конечные, попарно непересекающиеся множества, то
множество A1UA2UA3 также конечно и
|Ai UA2 UA3I = |Aj| + IA2I + |Аз|;
- если А[,А2,A3 — конечные множества, то множество A1UA2UA3 также
конечно и
|А[ UA2 LJ А з |=| А11 + |А 21 + |А з | — |А [ П А21 — |А|ПАз| — | А2 пАз|+|А| ПА2ПА31.
270 Глава XX. Комбинаторика
Пример 5. Сколько имеется натуральных чисел, меньших 10000,
в десятичной записи которых все цифры различны?
А Множество натуральных чисел, удовлетворяющих условию,
можно разбить на четыре подмножества: четырехзначных, трехзнач-
ных, двузначных и однозначных чисел. Подсчитаем по отдельности
количество чисел, входящих в каждое из этих подмножеств.
Каждое четырехзначное число, в десятичной записи которого
все цифры различны, можно выписать за четыре шага: на первом
шаге выбирать первую цифру числа, на втором — вторую, и т. д. На
первом шаге можно выбрать любую цифру за исключением 0, т. е.
имеется выбор из 9 возможностей. На втором шаге можно выбрать
любую цифру, за исключением уже выбранной первой, значит, вновь
имеем 9 возможностей. На третьем шаге число вариантов выбора
сокращается до 8, а на четвертом до 7. Следовательно, количество
четырехзначных чисел, в десятичной записи которых все цифры
различны, равно 9 • 9 • 8 • 7 = 4536. Рассуждая аналогично, находим,
что количество трехзначных чисел, удовлетворяющих условию, равно
9 • 9 • 8 = 648, количество двухзначных равно 9-9 = 81. Очевидно,
что количество однозначных натуральных чисел равно 9.
Число натуральных чисел, меньших 10000, в десятичной за-
писи которых все цифры различны, найдем по правилу суммы:
4536 + 648 + 81 + 9 = 5274. ▲
Процесс решения любой комбинаторной задачи предполагает
поиск подходящей схемы рассуждения. Логично начинать этот поиск
с опробования тех схем, которые использовались ранее при решении
других задач.
Пример 6. Сколько имеется четных четырехзначных чисел,
в десятичной записи которых все цифры различны?
А Начнем решение нашего примера с попытки записывать произ-
вольное число, удовлетворяющее условию, слева направо. Однако при
такой последовательности шагов число вариантов выбора последней
цифры зависит оттого, какая цифра выбрана на третьем шаге
(если нечетная, то вариантов будет 5, в противном случае —4).
Следовательно, в этом случае правило произведения применить
нельзя.
Схожая ситуация возникает, если записывать произвольное число,
удовлетворяющее условию, справа налево. В этом случае число
вариантов выбора на последнем шаге, т. е. при записи первой цифры
числа, также зависит от того, какие цифры были выбраны на
предыдущих шагах. В самом деле, если среди цифр, выбранных
на первых трех шагах, оказался 0, то число вариантов выбора на
последнем шаге будет равно 7 (можно выбрать любую из семи
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 271
неиспользованных цифр). Если же на первых трех шагах ноль не
был выбран, то на последнем шаге придется выбирать из 6 цифр (так
как в этом случае одной из семи неиспользованных цифр будет ноль,
а его выбирать нельзя). Следовательно, и при такой очередности
шагов правило произведения применить нельзя.
Чтобы ответить на вопрос задачи, принципиально изменим подход:
попробуем разбить множество чисел, удовлетворяющих условию
задачи, на два подмножества так, чтобы при подсчете числа элементов
каждого из них можно было применить правило произведения.
Поступим так: в первое подмножество включим числа, в десятичной
записи которых на последнем месте стоит одна из цифр 2, 4, 6, 8,
во второе — числа, оканчивающиеся нулем.
Произвольное число, как из первого, так и из второго подмноже-
ства, можно образовать за четыре шага: на первом шаге записать
последнюю цифру числа, на втором — первую, на третьем — вторую,
на четвертом — третью. Однако число вариантов выбора на каждом
шаге для чисел первого и второго подмножества будет различным.
При записи произвольного числа из первого подмножества на
первом шаге имеется выбор из четырех возможностей, на втором —
выбор из восьми возможностей (можно выбрать любую цифру, за
исключением выбранной на первом шаге и нуля), на третьем — выбор
из восьми возможностей (можно выбрать любую цифру за исключе-
нием выбранных на первых двух шагах), на четвертом — выбор из
семи возможностей (можно выбрать любую цифру за исключением
выбранных на первых трех шагах). Следовательно, согласно правилу
произведения общее число чисел, входящих в первое подмножество,
равно 4 • 8 • 8 • 7 = 1792.
Для произвольного числа из второго подмножества первый шаг
однозначен (пишем 0). На втором шаге имеется выбор из девяти
возможностей (можно выбрать любую цифру, за исключением нуля),
на третьем и четвертом шагах —выбор из восьми и семи возмож-
ностей соответственно (на каждом из этих шагов можно выбрать
любую цифру за исключением выбранных на предыдущих шагах).
Следовательно, количество чисел, образующих второе подмножество,
равно 1 • 9 • 8 • 7 = 504.
Согласно правилу суммы условию задачи удовлетворяет
1792 + 504 = 2296 чисел.
Ответ. 2296. ▲
Пример 7. Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной
записи которых встречается цифра 5?
А Множество четырехзначных чисел можно разбить на два под-
множества: в первое включить числа, в десятичной записи которых
272 Глава XX. Комбинаторика
цифра пять есть, а во второе — числа, в десятичной записи которых
этой цифры нет. Значит, используя правило суммы, количество
четырехзначных чисел, в десятичной записи которых встречается
цифра 5, можно найти как разность количества всех четырехзначных
чисел и количества чисел, в которых цифра 5 не встречается.
Произвольное четырехзначное число можно рассматри-
вать как упорядоченную выборку объема 4 из множества
{0,1,2,3,4,5,6, 7, 8,9}, в которой элементы могут повторяться,
причем первый элемент не должен быть нулем. Построение такой
выборки можно осуществить за четыре шага: на первом шаге
записать первую цифру числа, на втором — вторую и т. д. На
первом шаге имеется выбор из девяти возможностей (можно
выбрать любую цифру кроме 0), на остальных шагах —выбор из
десяти возможностей. Следовательно, согласно правилу произведения
количество четырехзначных чисел равно 9 10 • 10 • 10 = 9000.
Четырехзначное число, в десятичной записи которого нет цифры 5,
можно рассматривать как упорядоченную выборку объема 4, состав-
ленную из элементов множества {0,1,2,3,4,6, 7, 8, 9}. Построение
такой выборки можно осуществить за четыре шага: на первом
шаге записать первую цифру числа, на втором — вторую и т. д. На
первом шаге имеется выбор из восьми возможностей (можно выбрать
любую цифру кроме 5 и 0), на остальных шагах — выбор из девяти
возможностей. Следовательно, количество четырехзначных чисел,
в десятичной записи которых нет цифры 5, равно 8 • 9 • 9 • 9 = 5832.
Количество четырехзначных чисел, в десятичной записи которых
встречается цифра 5, равно 9000 — 5832 = 3168.
Ответ. 3168. А
Перестановки
Пример 8. У Вани есть десять карточек, на которых записаны
цифры от 0 до 9. Сколькими способами он может выложить их на
столе в ряд?
Д Выкладывая карточки в ряд, естественно придерживаться сле-
дующего порядка: вначале положить одну карточку, затем справа
от нее —вторую, справа от второй — третью и т. д. На первом шаге
имеется 10 возможностей, на втором — 9, на третьем — 8 и т. д., и,
наконец, на десятом шаге останется одна возможность: выложить
последнюю карточку. Следовательно, по правилу произведения общее
число способов выложить карточки в ряд равно 10 • 9 • 8 •... • 1 = 10!.
Ответ. 10!. А
Пример 8 является частным случаем следующей важной задачи:
найти, сколькими способами можно упорядочить данное множество,
§1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 273
состоящее из п элементов. Упорядочить множество — это значит
расположить его элементы в определенном порядке. Каждое такое
расположение называют перестановкой элементов данного мно-
жества. Поэтому задачу можно сформулировать так: найти число
перестановок множества из п элементов.
Рассуждая так же, как при решении примера 8, получим, что
число перестановок множества, состоящего из п элементов, равно п\.
Заметим, что перестановку множества из п элементов можно
рассматривать как упорядоченную выборку объема п, элементы
которой не повторяются.
Пример 9. У Вани есть десять карточек, на которых написаны
цифры от 0 до 9. Сколькими способами он может выложить их на
столе в ряд так, чтобы карточки, на которых записаны цифры 1,2,3,
лежали рядом?
А Построение произвольной перестановки, удовлетворяющей усло-
вию задачи, разобьем на три шага: на первом выберем три
последовательных места для карточек с цифрами 1,2,3; на втором
расставим эти три карточки по выбранным местам; на третьем
расположим остальные семь карточек на оставшихся семи местах.
На первом шаге имеется выбор из 8 возможных вариантов (выбрать
места с 1 по 3, или места со 2 по 4, и т. д., или, наконец, места с 8 по
10). На втором шаге имеется выбор из 3! вариантов. На третьем шаге
имеется выбор из 7! вариантов расположения оставшихся карточек
на семи свободных местах. Согласно правилу произведения, ответом
на вопрос задачи является число 8 • 3! • 7! = 6 • 8!.
Ответ. 6-8!. А
Пример 10. Сколько различных каруселей можно сделать, распо-
ложив по окружности фигурки десяти зверей (карусели считаются
одинаковыми, если фигурки идут друг за другом в одинаковом
порядке)?
А Если занумеровать места на окружности, то число различных
расположений фигурок на ней окажется равным числу их переста-
новок между собой, т. е. 10!. Разобьем все 10! расположений на
группы, отнеся к одной группе те расположения, которые совпадут,
если изменить точку отсчета (место с номером 1). Число получаемых
таким образом групп и есть число различных каруселей. Поскольку
точкой отсчета может быть любое из десяти мест на окружности,
то в каждую группу войдут 10 расположений. Следовательно, чтобы
найти число групп, остается разделить общее число расположении
К)! (1|
на число расположении в одной группе: 9!.
Ответ. 9!. А
274 Глава XX. Комбинаторика
Перестановки с повторениями
Пример 11.
а) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, пе-
реставляя буквы в слове «фартук»?
б) Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, пе-
реставляя буквы в слове «физика»?
в) Сколько разных восьмибуквенных слов можно получить,
переставляя буквы в слове «черчение»?
А Прежде всего, заметим, что под «словом» в комбинаторных
задачах понимают любую конечную последовательность букв.
а) Каждое шестибуквенное слово из разных букв — перестановка
из 6 элементов, следовательно, разных шестибуквенных слов
столько, сколько перестановок из 6 элементов, т. е. 6!.
б) Если бы все буквы в слове «физика» были разными, то
для подсчета числа «слов» можно было бы воспользоваться
формулой для нахождения числа перестановок. Однако в слове
«физика» две буквы одинаковые. Поэтому поступим так.
Представим, что у нас есть шесть карточек с написанными на
них буквами, из которых сложено слово «физика». Закрасим
одну карточку с буквой «и» синим цветом, а другую —
красным. Тогда все карточки окажутся различными, и с учетом
этого различия из них можно будет составить 6! «слов».
Разобьем эти раскрашенные «слова» на группы, отнеся к одной
группе те «слова», которые можно получить одно из другого,
если поменять местами синюю и красную карточку. Тогда
в каждой группе окажутся одинаковые, с точки зрения
прочтения, «слова», поэтому число таких групп и есть ответ
задачи. Очевидно, что в каждой такой группе по два слова,
следовательно, чтобы получить число таких групп нужно
разделить число разноцветных «слов» на 2. Таким образом,
переставляя буквы в слове «физика», можно получить у = 360
разных «слов».
в) Будем рассуждать также как в пункте б). Представим,
что у нас есть восемь карточек с написанными на них
буквами, из которых сложено слово «черчение». Раскрасим
карточки с буквами «е» в желтый, зеленый и голубой цвета,
а с буквами «ч» — в синий и красный. В результате все
карточки окажутся различными, и с учетом этого различия
из них можно будет составить 8! «слов». Вначале разобьем
эти разноцветные «слова» на группы так, чтобы «слова»,
которые можно получить одно из другого, если поменять
§2. Сочетания и размещения 275
местами карточки с буквой «е», оказались вместе. Тогда
в каждой группе окажется 3! слов (столько имеется способов
переставить карточки с буквой «е» между собой), и, значит,
8!
число образованных групп будет равно —. В свою очередь
каждую из этих групп разобьем на подгруппы, отнеся к одной
подгруппе «слова», которые можно получить одно из другого,
поменяв местами карточки с буквой «ч». В каждую такую
подгруппу войдут по два слова, поэтому число подгрупп
окажется в два раза меньше числа групп. Таким образом,
переставляя буквы в слове «черчение», можно получить
~ = 3360 «слов».
Ответ, а) 720; б) 360; в) 3360. ▲
Рассуждения, использованные в процессе решения примера 11,
можно применить и для решения следующей общей задачи: найти,
сколькими способами можно упорядочить набор, в котором элемент
х\ повторяется п\ раз, элемент %2 повторяется «2 Раза и т- Д-» и>
наконец, элемент х^ повторяется раз. Каждое такое упорядо-
чивание называют перестановкой с повторениями. Число таких
перестановок с повторениями можно найти
ПО
полиномиальной
формуле:
(»1 + »2 + • • • +
«1! • п2! •... nk\
Пример 12. У Вани восемь шаров: три синих и пять красных.
Сколькими способами он может разложить их по восьми зануме-
рованным коробкам так, чтобы в каждой коробке оказалось ровно
по одному шару?
А Задача сводится к упорядочиванию набора, состоящего из трех
синих и пяти красных шаров. Следовательно, можно использовать
полиномиальную формулу:
(3 + 5)! _ 8! =
3! -5! 3! -5!
Ответ. 56.
§2. СОЧЕТАНИЯ И РАЗМЕЩЕНИЯ
Набор элементов , +2,..., atk из множества А — {Л], а2, • • •, ап} называется
выборкой из п элементов по k.
Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов
в ней имеет значение (две упорядоченные выборки, различающиеся лишь
порядком следования элементов, считаются различными).
276 Глава XX. Комбинаторика
Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то
выборка называется неупорядоченной (две неупорядоченные выборки считаются
различными только тогда, когда они отличаются составом).
В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.
Если повторения элементов не допускаются, то выборка называется выборкой
без повторений. Если повторения элементов допускаются — выборкой с повто-
рениями. В выборках без повторений все элементы попарно различны.
Комбинируя эти свойства выборок, получают четыре основные разновидности
выборок.
1) Упорядоченная выборка без повторений называется размещением из п
элементов по k.
2) Неупорядоченная выборка без повторений называется сочетанием из п
элементов по k.
3) Упорядоченная выборка с повторениями называется размещением с по-
вторением из п элементов по k.
4) Неупорядоченная выборка с повторениями называется сочетанием с по-
вторением из п элементов по /г.
Проиллюстрируем введенные понятия на примере. Пусть множе-
ство А состоит из трех элементов А = {а, Ь, с}. Рассмотрим различные
виды выборок, состоящие из двух элементов. Имеем:
1) шесть упорядоченных выборок без повторений, т. е. размеще-
ний из 3 по 2:
(a, b), (b,a), (cl, с), (с, а), (Ь,с), (с,Ь).
2) три неупорядоченные выборки без повторений, т. е. сочетания
из 3 по 2:
(а,Ь), (а, с), (Ь,с).
3) девять упорядоченных выборок с повторениями, т. е. разме-
щений с повторениями из 3 по 2:
(a,b), (b,a), (а, с), (с, a), (b,c), (c,b), (а,а), (b,b), (с, с).
4) шесть неупорядоченных выборок с повторениями, т. е. соче-
таний с повторениями из 3 по 2:
(a, b), (а, с), (b,c), (а, а), (b,b), (с, с).
Для числа размещений без повторений из п по k используется
обозначение Akn. Для любого k, 0 k п, справедлива формула
дй _ п!
п (п —&)!’
Для числа сочетаний без повторений из п по k используется
обозначение С\. Для любого k, 0 k п, справедлива формула
Ck = п-
п kl-(n-k)!'
§2. Сочетания и размещения 277
Для числа размещений с повторениями из п по k используется
обозначение А*. Для любого натурального k справедлива формула
- nk.
Для числа сочетаний с повторениями из п по k используется
обозначение С^. Для любого натурального k справедлива формула
г’/г _
— ^n+k-l-
Замечание. Сочетания из п элементов по k по сути являются подмно-
жествами из /г элементов заданного n-элементного множества.
Пример 1. У Ани есть семь цветных карандашей. Мама на-
рисовала на листке бумаги девочку и предложила Ане раскрасить
ее шапочку, платье и туфельки, используя для каждого предмета
одежды один цвет.
а) Сколькими способами Аня сможет раскрасить картинку, если
она решила, что шапочка, платье и туфельки должны быть
раскрашены в разные цвета?
б) Сколькими способами Аня сможет раскрасить картинку, если
она готова раскрашивать шапочку, платья и туфельки, как
в разные, так и в одинаковые цвета?
А а) Чтобы раскрасить картинку, Аня должна не только выбрать
три карандаша, но и решить, каким из них она будет рас-
крашивать шапочку, каким — платье, каким — туфельки. Если
мысленно сопоставить картинки, соответствующие разным
способам раскрашивания, то они будут отличаться как набо-
ром цветов, так и местом их использования. Следовательно,
каждый способ раскрашивания можно интерпретировать как
упорядоченную выборку без повторений из семи карандашей
по три, т. е. размещение без повторений из 7 по 3. Число
таких размещений найдем по формуле А3 = = 210.
б) Отличие от ситуации, рассмотренной в пункте а), состоит
в том, что для раскраски различных предметов одежды Аня
может использовать один карандаш. Значит, каждый способ
раскрашивания можно интерпретировать как упорядоченную
выборку с повторениями из семи карандашей по три, т. е. раз-
мещение с повторениями из 7 по 3. Число таких размещений
найдем по формуле А3 = 73 = 343.
Ответ, а) 210; б) 343. А
Пример 2. В магазине продаются воздушные шарики семи
цветов. Саша решил купить для праздника три шарика.
а) Сколькими способами Саша может выбрать шарики, гели он
хочет, чтобы шарики отличались по цвету?
278 Глава XX. Комбинаторика
б) Сколькими способами Саша может выбрать шарики, если ему
все равно, будут они отличаться по цвету, или нет?
А а) Каждый Сашин выбор можно интерпретировать как неупоря-
доченную выборку без повторений из семи цветов по три, т. е.
сочетание без повторений из 7 по 3. Число таких сочетаний
найдем по формуле С? = = 35.
б) Отличие от ситуации, рассмотренной в пункте а), состоит
в том, что Саша может купить два или три шарика одного
цвета. Значит, каждый Сашин выбор можно интерпретировать
как неупорядоченную выборку с повторениями из семи цветов
по три, т. е. сочетание с повторениями из 7 по 3. Число таких
сочетаний найдем по формуле С? = C?+3_i = Cg = = 84.
Ответ, а) 35; б) 84. ▲
Пример 3.
а) Сколькими способами можно разместить пять занумерованных
шаров по девяти пронумерованным коробкам, если в одну
коробку можно положить не более одного шара?
б) Сколько пятибуквенных «слов» можно составить в алфавите
из девяти букв, если буквы в «словах» не должны повторяться?
А а) Каждому размещению шаров по коробкам можно сопоставить
упорядоченную выборку, элементы которой — номера коробок:
первый элемент выборки — номер коробки, в которую помещен
первый шар, второй элемент — номер коробки, в которую
помещен второй шар и т. д. В этих упорядоченных выбор-
ках элементы не повторяются (так как по условию задачи
в каждую коробку можно положить не более одного шара),
следовательно, мы имеем дело с размещениями из 9 эле-
ментов по 5. Число таких размещений найдем по формуле
= Ц = 15120.
б) Каждому пятибуквенному «слову» можно сопоставить упо-
рядоченную выборку, элементами которой являются буквы
алфавита: первый элемент выборки — первая буква в «слове»,
второй элемент — вторая буква в «слове» и т. д. В этих
упорядоченных выборках элементы не повторяются (так как
буквы в «словах» не должны по условию быть одинаковыми),
следовательно, мы имеем дело с размещениями из 9 элементов
по 5. Всего таких размещений Лд = — = 15 120.
Ответ, а) 15120; б) 15 120. ▲
§2. Сочетания и размещения 279
Пример 4.
а) Сколькими способами можно разместить пять занумерованных
шаров по девяти пронумерованным коробкам, если в одну
коробку можно положить неограниченное число шаров?
б) Сколько пятибуквенных «слов» можно составить в алфавите
из девяти букв, если буквы в словах могут повторяться?
Д а) Каждому размещению шаров по коробкам можно сопоставить
упорядоченную выборку, элементами которой являются номера
коробок: первый элемент выборки — номер коробки, в кото-
рую помещен первый шар, второй элемент — номер коробки,
в которую помещен второй шар и т. д. В отличие от ситуации,
рассмотренной в примере 3 п. а), в этих выборках элементы
могут повторяться (так как по условию задачи в каждую
коробку можно положить сразу несколько шаров), следова-
тельно, мы имеем дело с размещениями с повторениями из
9 элементов по 5. Число таких размещений найдем по формуле
= 95.
б) Каждому пятибуквенному «слову» можно сопоставить упо-
рядоченную выборку, элементами которой являются буквы
алфавита: первый элемент выборки — первая буква в «слове»,
второй элемент — вторая буква в «слове» и т. д. В отличие от
ситуации, рассмотренной в примере 3 п. б), в этих выборках
элементы могут повторяться (так как буквы в «словах» по
условию могут быть одинаковыми), следовательно, мы имеем
дело с размещениями с повторениями из 9 элементов по 5.
Всего таких размещений Дд = 95.
Ответ, а) 95; б) 95. А
Пример 5.
а) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи
которых цифры расположены в порядке убывания?
б) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи
которых каждая следующая цифра меньше либо равна преды-
дущей?
Д а) Каждому числу, удовлетворяющему условию задачи, можно
сопоставить неупорядоченную выборку без повторений (эле-
ментами выборки будут цифры, использованные в десятичной
записи этого числа). И наоборот, каждому сочетанию из
10 цифр по 5 можно однозначно сопоставить пятизначное
число, в десятичной записи которого цифры расположены
в порядке убывания (для этого достаточно упорядочить
элементы сочетания по убыванию). Значит, пятизначных
280 Глава XX. Комбинаторика
чисел, удовлетворяющих условию задачи, столько же, сколько
сочетаний из 10 по 5, т. е. = 252.
5! • 5!
б) Каждому числу, удовлетворяющему условию задачи, можно
сопоставить неупорядоченную выборку с повторениями (эле-
ментами выборки будут цифры, использованные в десятичной
записи этого числа). И наоборот, каждому сочетанию с повто-
рением из 10 цифр по 5 (за исключением сочетания, в которое
входят пять нулей) можно однозначно сопоставить пятизнач-
ное число, в десятичной записи которых каждая следующая
цифра меньше либо равна предыдущей (для этого достаточно
упорядочить элементы сочетания в нужном порядке). Значит,
пятизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, на
единицу меньше, чем число сочетаний с повторениями из 10
по 5, т.е. cfo - 1 = С?4 - 1 = - 1 = 2001.
Ответ, а) 252; б) 2001. ▲
Пример 6. Сколько различных шестизначных чисел можно
получить, выкладывая в ряд карточки с цифрами от 1 до 9 так,
чтобы на первых трех местах стояли четные, а на последних трех—
нечетные цифры?
А Каждое число, удовлетворяющее условию задачи, можно вы-
ложить за два шага: на первом положить в ряд три карточки
с четными цифрами, на втором — три карточки с нечетными цифрами.
Число возможностей на первом шаге равно числу упорядоченных
выборок объема три без повторений, элементами которых являются
четные цифры, т. е. числу размещений из 4 по 3: А^. Число
возможностей на втором шаге равно числу упорядоченных выборок
объема три без повторений, элементами которых являются нечетные
цифры, т. е. числу размещений из 5 по 3: Согласно правилу-
произведения общее число чисел, удовлетворяющих условию задачи,
равно ДЗ . лз = 4! . |! = 24 • 60 = 1440.
Ответ. 1440. А
Пример 7. У Саши десять марок, а у Вани — двадцать. Сколь-
кими способами можно осуществить обмен трех Сашиных марок на
три Ванины?
А Для каждого обмена Саша должен отобрать три марки из десяти.
Он может это сделать Cjg способами, поскольку каждый результат
отбора можно интерпретировать как неупорядоченную выборку без
повторений 3 элементов из 10, т. е. сочетание из 10 по 3. В свою
очередь Ваня может отобрать три марки для обмена С^о способами.
§2. Сочетания и размещения 281
Каждому обмену можно однозначно сопоставить упорядоченную пару,
первый элемент которой — набор марок, приготовленный для обмена
Сашей, а второй — набор марок, приготовленный для обмена Ваней.
Согласно правилу произведения число таких пар, а, значит, и число
способов обмена, равно произведению С^о •
Ответ. С^о • C^q. ▲
Пример 8. В классе учатся 9 девочек и 11 мальчиков. Сколькими
способами можно сформировать команду из 7 человек для участия
в спортивном состязании, если в нее должно войти не менее трех
мальчиков?
Л Число команд из семи человек, в составе которых присутствуют не
менее трех мальчиков, можно вычислить как разность между числом
команд, на состав которых не наложено ограничений, и числом
команд либо вовсе без мальчиков, либо с одним мальчиком, либо
с двумя мальчиками.
Каждая команда из 7 человек —это неупорядоченная выборка
без повторений, элементами которой являются ученики класса. Если
ограничений на состав команды не наложено, то число команд равно
числу всех таких выборок, т. е. числу сочетаний из 20 по 7: С^о.
Если в команде нет мальчиков, то элементами выборки являются
девочки, следовательно, число команд без мальчиков равно числу
сочетаний из 9 по 7: Сд.
Формирование команды, в составе которой один мальчик и шесть
девочек можно осуществить за два шага: на первом выбрать
мальчика, на втором — шесть девочек. На первом этапе имеем
11 возможностей, на втором — возможностей. Значит, число
команд, в состав которых входят один мальчик и шесть девочек,
равно 11 • Сд.
Рассуждая аналогично, получим, что число команд, в состав
которых входят два мальчика и пять девочек, равно Сц • С|.
Таким образом, ответом на вопрос задачи является число
С7 - Cl - 11 • с£ - Cf, = 74 580.
Ответ. 74 580. А
Пример 9. Собрание из 50 человек выбирает председателя,
секретаря и трех членов счетной комиссии. Сколькими способами
это можно сделать?
Л Выбор председателя, секретаря и трех членов счетной комиссии
можно осуществить за три шага. На первом выбрать председателя,
на втором — секретаря, на третьем — членов счетной комиссии. На
первом шаге имеем 50 возможностей, на втором —49, на третьем —
11-1367
282 Глава XX. Комбинаторика
возможностей столько же, сколько неупорядоченных выборок без
повторений трех человек из 48, т. е. Следовательно, по правилу
произведения выбор председателя, секретаря и трех членов счетной
комиссии можно осуществить 50 • 49 • С38 = 42 375 200 способами.
Ответ. 42 375 200. ▲
А
Пример 10.
а) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно
составить график дежурств по классу на шесть дней так,
чтобы каждый день дежурили по три человека, причем никто
не дежурил дважды?
б) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно
разбить его учеников на 6 групп?
а) Будем составлять такой график за 6 шагов. На первом шаге
выберем дежурных на первый день, на втором — на второй
и т. д. На первом шаге выбираем трех дежурных из 18 учеников
класса (это можно сделать С38 способами — таково число
сочетаний из 18 по 3). Поскольку никто не дежурит дважды,
то на втором шаге приходится выбирать дежурных уже из 15
учеников (это можно сделать С35 способами), на третьем —
из 12 учеников (С^2 способа) и т. д. И, наконец, на шестом
шаге выбор однозначен, так как приходится выбирать трех
человек из трех. По правилу произведения график дежурств
можно составить
С3 С3 С3 •
с18 с15 с12
•3 _ 18!
3 (З!)6
способами.
б)
Отличие от ситуации, рассмотренной в пункте а), состоит
в том, что группы по три человека не сопоставлены кон-
кретным дням. Для ответа на поставленный вопрос вернемся
к задаче, рассмотренной в пункте а). Представим, что мы
составляем график дежурств за два шага. На первом —
разбиваем 18 человек на группы по три человека (пусть
это можно сделать N способами). На втором — сопоставляем
эти группы конкретным дням, т. е. упорядочиваем их (это
можно сделать 6! способами). Тогда по правилу произведения
график дежурств можно составить N 6! способами. Но,
рассуждая другим образом, мы показали, что есть
18!
(З!)6
способов составить такой график. Значит, N- 6! = -^g, откуда
N=-^-
(3!)66! ’
Ответ, а) б) 18! .
(З!)6 (3!)66!
§2. Сочетания и размещения 283
Пример 11. В классе три ряда парт: в каждом ряду по четыре
парты. За каждой партой могут сидеть два человека. Сколькими
способами учительница может рассадить девять девочек и девять
мальчиков, если мальчики должны сидеть рядом с девочками, Машу
нужно обязательно посадить за первую парту, а Ваню нужно
разместить за партой в левом ряду?
А Разобьем множество способов рассадки, удовлетворяющих усло-
вию задачи, на три группы. К первой группе отнесем способы, при
которых Маша и Ваня сидят вместе за первой партой в левом ряду.
Ко второй группе отнесем способы, при которых Маша сидит за
первой партой в левом ряду, а Ваня — на другой парте левого ряда.
К третьей группе отнесем способы, при которых Маша сидит за
первой партой либо центрального, либо правого ряда.
Выясним, сколько способов рассадки входит в первую группу.
Произвольную рассадку из первой группы можем осуществить за пять
шагов: на первом шаге посадим Машу за первую парту левого ряда
(2 возможности), на втором — подсадим к ней Ваню (1 возможность),
на третьем — выберем парту для каждой из оставшихся восьми
девочек (Дц возможностей), на четвертом — выберем для каждой
девочки место за партой (28 возможности), на пятом — подсадим
к девочкам мальчиков (8! возможностей). Число способов рассадки,
входящих в первую группу, найдем по правилу произведения:
2 • 1 • Д8! • 28 • 8! = Лц • 29 • 8!.
Выясним, сколько способов рассадки входит во вторую группу.
Рассадку из второй группы можем осуществить за семь шагов:
на первом шаге посадим Машу за первую парту левого ряда
(2 возможности), на втором — посадим Ваню в левом ряду (но не
к Маше!) (6 возможностей), на третьем — подсадим к Маше мальчика
(8 возможностей), на четвертом — подсадим к Ване девочку (8 воз-
можностей), на пятом — выберем парту для каждой из оставшихся
семи девочек (Л[о возможностей), на шестом — выберем для каждой
девочки место за партой (27 возможности), на седьмом — подсадим
к девочкам мальчиков (7! возможностей). Число способов рассадки,
входящих во вторую группу, найдем по правилу произведения:
2 • 6 • 8 8 • Д[о • 27 • 7! = Д[о • 3 • 215 • 7!.
Осталось найти, сколько способов рассадки входит в третью
группу. Рассадку из третьей группы можем осуществить за семь
шагов: на первом шаге посадим Машу за первую парту (но не
в левый ряд!) (4 возможности), на втором — посадим Ваню в левом
ряду (8 возможностей), на третьем — подсадим к Маше мальчика
(8 возможностей), на четвертом — подсадим к Ване девочку (8 воз-
можностей), на пятом — выберем парту для каждой из оставшихся
284 Глава XX. Комбинаторика
семи девочек (Д[о возможностей), на шестом — выберем для каждой
девочки место за партой (27 возможности), на седьмом — подсадим
к девочкам мальчиков (7! возможностей). По правилу произведения
находим число способов рассадки, входящих во третью группу:
4 • 8 • 8 • 8 • А[о • 27 • 7! = А[о • 218 • 7!.
Суммируя число способов, входящих в первую, вторую и третью
группу, получим: Лц • 29 • 8! + Л70 • 215 • 3 • 7! + Л70 • 218 • 7! = 28 • 3 • 8! • 11!.
Ответ. 768-8!-11!. ▲
Пример 12.
а) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров
по трем занумерованным коробкам так, чтобы ни одна из
коробок не осталась пустой?
б) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров
по трем занумерованным коробкам?
А а) Раскладку шаров можно осуществить следующим образом:
выложить шары произвольным образом в ряд и в промежутки
между ними положить две разделяющие палочки. Шары,
оказавшиеся слева от первой палочки, сложить в первую
коробку. Шары, оказавшиеся между палочками, сложить
во вторую коробку. Шары, оказавшиеся справа от второй
палочки, сложить в третью коробку. Значит, число способов,
какими можно разложить 8 одинаковых шаров по трем
занумерованным коробкам, совпадает с числом способов,
какими можно выбрать для палочек два разных места из
семи. Следовательно, искомое число способов равно числу
сочетаний из 7 по 2, т. е. С? = -Ц- = 21.
Z1D!
б) Так же как при решении пункта а) сопоставим раскладке
шаров по коробкам разделение ряда из восьми шаров па-
лочками. Однако теперь палочки можно класть не только
в промежутки между шарами, но и на места слева от первого
или справа от последнего в ряду шара; кроме того обе палочки
можно положить на одно место (например, если обе палочки
положить слева от первого шара в ряду, то при последующей
раскладке шаров по коробкам первые две коробки останутся
пустыми). Значит, число способов, какими можно разложить
шары, совпадает с числом способов, какими можно выбрать
для палочек два (возможно одинаковых) места из девяти
(имеем семь мест между шарами, одно место слева и одно —
справа от ряда). Следовательно, способ раскладки можно
рассматривать как неупорядоченную выборку с повторениями
§2. Сочетания и размещения 285
двух мест из девяти, т. е. как сочетание с повторениями из 9
по 2. Число таких сочетаний равно Сд = С^о = = 55.
Ответ, а) 21; б) 55. А
Пример 13.
а) Сколькими способами можно представить число п в виде
упорядоченной суммы k положительных целых чисел?
б) Сколькими способами можно представить число п в виде
упорядоченной суммы k неотрицательных чисел?
А а) Представление, удовлетворяющее условию задачи, одно-
значно определяется набором положительных целых чисел
(%1,%2 • • >хл)> гДе х/ — г"е слагаемое в сумме. Каждому набору
в свою очередь можно сопоставить ряд из п одинаковых шаров,
в промежутки между которыми положено k — 1 разделяющих
палочек так, что слева от первой палочки лежит Х[ шаров,
между первой и второй палочками лежит Х2 шаров и т. д.
Тогда число разложений будет равно числу способов, каким
можно разместить k — 1 палочек на п — 1 местах, т. е.
б) 1-й способ. Представление, удовлетворяющее условию за-
дачи, однозначно определяется набором неотрицательных
целых чисел (х|,Х2,..,х^), где х, — t-e слагаемое в сумме.
Каждому такому набору в свою очередь можно сопоставить
ряд из п одинаковых шаров, в промежутки между которыми,
или же слева и справа от ряда, положено k — 1 разделяющих
палочек так, что слева от первой палочки лежит Xi шаров,
между первой и второй палочками лежит х^ шаров и т. д. Если
xi = 0, то первая палочка лежит слева от ряда. Если х/ = О
(t = 2,3, —1), то z-я палочка лежит на том же месте, что
и (t — 1)-я. Если х& = 0, то (&—1)-я палочка лежит справа от
ряда. Следовательно, способ раскладки можно рассматривать
как неупорядоченную выборку с повторениями k— 1 мест из
п +1, т. е. как сочетание с повторениями из п + 1 элементов
по (&—1). Число таких сочетаний равно
2-й способ. Запишем разложение числа п в виде упо-
рядоченной суммы k неотрицательных чисел как уравнение
Х[ + Х2 + ... + х^ = п. Заменив в уравнении X/ на yi = Xi + l,
получим уравнение у\ + у2 + ... + yk = п + k, под решени-
ями которого будем понимать упорядоченные наборы целых
положительных чисел (у\, У2,-чУк)- Число таких наборов
(см. пункт а)) равно
Ответ, a) б) Cj;‘. А
286 Глава XX. Комбинаторика
Замечание. Сопоставление результатов, полученных при решении задачи
первым и вторым способами, приводит нас к равенству
Фактически, мы вывели формулу для числа сочетаний с повторениями. Если
обозначить т = п + 1 и р = Л — 1, то она приобретет привычный вид: Срт = (.
§3. КОМБИНАТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим несколько подходов, используемых для доказатель-
ства комбинаторных соотношений.
Доказательство комбинаторных соотношений
алгебраическими методами
Пример 1. Доказать тождество + k • = Akn-
Преобразуем левую часть доказываемого тождества:
. ("т1)!п, + k =
1 п 1 (п — k — 1)! (п — 6)!
_ (и- 1)! • (n -k) , k(n- 1)! _
(п — k — 1)! (n-k) "г (n-Л)!
_ (n — 1)! • (n — k) . k • (n — 1)! _ (n — 1)! • (n — k + k) _
(n — Л)! (n — k)\ (n — Л)!
_ (n - 1)! n _ n! _ nk a
(n-Л)! (п-Л)! n'
Пример 2. Найти такое число k, при котором число сочетаний
из п элементов по k наибольшее, в случае если:
а) п — четное натуральное число;
б) п — нечетное натуральное число.
А Чтобы выяснить, какой из членов последовательности
С1п,..С" имеет наибольшее значение, будем сравнивать
l,Ckn (k = Так как Ckn 1 = 1)!("_fe + 1)!, a Ckn =
то Ckn : С*-1 = п~^ +1. Таким образом, имеем: Ckn = С*-1, если
п — Л “Ь 1 1 < n 1 /-*Л—1 п — Л l i
---- = 1, т. е. k = —\ если -—Г- >1, т. е. при
Л--------------------------------------------2 п " Л
k<4±i- С«п<Ск-\ если k>n-±^.
а) Пусть п — четное натуральное число. Тогда не является
натуральным, следовательно, равенство k = —не выполня-
§3. Комбинаторные соотношения 287
ется ни при каком k. В то же время, если п четно, то —
натуральное число и k < —при k = 1,2,..-, k > —— при
k = + 1,..п. Следовательно, С® < С1п < ... < С”/2-1 < С^2
и C„/2 >С^2+1 >. ->С". Таким образом, наибольшее значение
среди биномиальных коэффициентов С®, С1п,..С" при
четном п имеет сп' .
б) Пусть п — нечетное натуральное число. Тогда — натураль-
ное число и для k = выполнено равенство = С^"1,
л 4-1 п-1 п , j
т. е. Сп2 = Сп2 . В то же время имеем: k < при
k = 1,2,..и k > ~~ при k— • -,п- Следовательно,
л —3 л— I л -1 л -М л+1 л+3
СО s' г 2 s г 2 Г 2 Г-2,. Г'2^Г'2^ Сп
п 14
Таким образом, наибольшее значение среди биномиальных
коэффициентов С®, С1п,..., С^,..., С” при нечетном п имеют
Доказательство комбинаторных соотношений
с использованием комбинаторных соображений
Пусть дана прямоугольная сетка со сторо-
нами пит (рис. 2). В § 3 гл. 20 учебника
для 11 класса показано, что число кратчайших
путей из левого нижнего угла (0,0) в правый
верхний угол (n,m), проходящих по сторонам
решетки, равно С%+п, или С"+п.
Пример 3. Группируя различным образом
пути, ведущие из левого нижнего угла (0,0)
в правый верхний угол (n,m) решетки, доказать
формулу:
а) С”+И = С^_1 + С«.И_1; б) C0_| + C‘+... + C^m_1 = C”+m.
А а) В точку (n,m) можно попасть двумя способами: через точку
(n,m —1) и через точку (п — 1,т). Следовательно, число
кратчайших путей, ведущих из точки (0,0) в точку (n,m),
можно найти как сумму числа кратчайших путей, ведущих
288 Глава XX. Комбинаторика
из точки (0,0) в точку (n, m - 1) (имеем таких
путей) и числа кратчайших путей, ведущих из точки (0,0)
в точку (n-l,m) (имеем С^+^п_^ таких путей). Так как
число кратчайших путей из (0,0) в (n, т) можно найти по
формуле С%+п, то верно равенство С£+п = + C£+n_lt
что и требовалось доказать.
Полученная формула известна как формула Паскаля (чтобы
она приобрела привычный вид Ckn = Ckn zj + cL-p достаточно
обозначить т за k и вместо п взять n — k).
б) Разобьем множество путей, которые ведут из точки (0,0)
в точку (n,m), на /п + 1 групп, включив в первую из них
пути, выходящие на правую сторону решетки в точке (п,0), во
вторую — пути, выходящие на правую сторону решетки в точке
(n, 1), в третью — пути, выходящие на правую сторону решетки
в точке (п,2), и т. д. Заметим, что все пути, выходящие на
правую сторону решетки в точке (n,k) (& = 0,1,..., т), имеют
общий последний участок (от точки (п—1,&) до точки (п,/п)),
поэтому число таких путей совпадает с числом путей, ведущих
из точки (0,0) в точку (п—1,&), и, значит, равно
Число кратчайших путей из точки (0,0) в точку (п,т)
найдем как сумму числа путей, входящих в каждую из групп:
+ ... + С%+т_\- В то же время это число равно
Сп+т- Значит, верно равенство C^+m=C®_1 + CjI+.. .+С^_П_1.
Тождество доказано. ▲
Доказательство комбинаторных соотношений методами
математического анализа
Пример 4. Доказать, что при любом натуральном п. выполняется
равенство
^»=(с’)2+(+2+(Сп)2 + --+(С+-
А Воспользуемся тем, что при всех действительных значениях х
выполняется равенство (1 + х)2л = (1 + х)л• (1 + х)п. Заменим (1+х)2л
и (1+х)л их биномиальными разложениями:
+ + • + ЦХ + ... + =
= + С1пх + ... + С„хп^ + С1пх + ... + СпХп^ .
Дидактические материалы 289
Поскольку мы имеем тождество относительно х, коэффициенты
при одинаковых степенях х в обеих его частях должны быть
одинаковыми. Рассмотрим коэффициенты при хп. В левой части
интересующий нас коэффициент равен Cg . Чтобы понять, чему
равен коэффициент при хп в правой части, перепишем ее, изменив
порядок слагаемых во втором множителе:
С1пх + С^х2 + .,. + С" Iхп 1 + С”хп^ х
х (с”хп + + С^-2хи-2 + ... + С1пх1 + С°) .
Теперь видно, что слагаемые, содержащие хп, получаются при
перемножении друг на друга первых, вторых, третьих и т. д.
слагаемых, стоящих в скобках. Следовательно, верно равенство
= С° С" + С' • СГ* + С2 • С"„~2 + ... + С"„ С®. Учитывая, что
С* = C£~k, окончательно получим: С%п — (С®)2 + (С„)2 + (С2)2 +
+ -.-HCJ)2. А
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа XX.1
Вариант 1
1. Сколькими способами можно раздать четырем игрокам по одной карте из
колоды, содержащей 36 карт так, чтобы карты были разной масти?
2. Известно, что замочный код состоит из двух пятерок, трех единиц и четырех
троек? Какое максимальное число проб придется сделать, чтобы открыть
замок?
Вариант 2
1. В спортивной секции занимаются 8 пятиклассников, 8 шестиклассников
и 8 семиклассников. Сколькими способами их можно расставить по трем
этапам эстафеты, если в команде должны быть представлены учащиеся
всех классов?
2. Известно, что телефонный номер содержит две тройки, три четверки, одну
пятерки и четыре шестерки. Какое максимальное число проб придется
сделать, чтобы дозвониться абоненту?
Ответы
Вариант 1. 1. 36 • 27 • 18 • 9. 2. - .
Вариант 2. 1. 24 • 16 • 8. 2.
290 Глава XX. Комбинаторика
Самостоятельная работа XX.2
Вариант 1
1. В кондитерской имеются пирожные 8 видов. Оля хочет купить 6 пирожных.
Сколькими способами она сможет это сделать, если:
а) она решила купить пирожные только разных видов;
б) она не против того, чтобы пирожные оказались одинаковыми?
2. В камере хранения имеется 8 отсеков. Сколькими способами в ней можно
разместить чемодан, сумку, ящик и пакет, если:
а) в каждый отсек можно поместить только одну вещь;
б) в каждый отсек можно поместить до десяти вещей?
Вариант 2
1. В магазине продаются саженцы роз 7 сортов. Сколько разных наборов из
5 саженцев может приобрести Иван Иванович, если:
а) он решил купить саженцы разных сортов;
б) ему не важно, какого сорта окажутся выбранные им розы?
2. В кабину лифта девятиэтажного дома вошли три пассажира. Сколько
существует способов разгрузки лифта, если:
а) на каждом этаже выходит не более одного пассажира;
б) среди пассажиров могут оказаться живущие на одном этаже?
Ответы
Вариант 1. 1. a) Cf; б) С|. 2. а) б)
Вариант 2. 1. а) С$\ б) Су. 2. а) Д|; б) Лд.
Контрольная работа XX. 1 (1 урок)
Вариант 1
1. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «демонстрация»,
если первая и последняя буква «слова» должны быть гласными?
2. В магазине продается 6 видов глазированных сырков. Сколькими способами
мама может купить 8 сырков на завтрак?
3. Известно, что замочный код состоит из 6 цифр. Сколько существует
замочных кодов, содержащих хотя бы одну из цифр 0 или 2?
4. На родительском собрании в школе присутствуют 12 мам и 9 пап. Сколькими
способами можно выбрать трех человек в родительский комитет так, чтобы
он состоял из лиц одного пола?
5. В зрительном зале 18 кресел (8 в первом и 10 —во втором ряду). Сколькими
способами там могут усесться 5 мальчиков и 6 девочек, если девочки должны
занять места в первом ряду, а мальчики — во втором?
6. В шахматном кружке занимаются 9 пятиклассников, 7 шестиклассников
и 4 семиклассников. Сколькими способами можно сформировать команду,
если в нее должны войти три пятиклассника, два шестиклассника и один
семиклассник?
Дидактические материалы 291
Вариант 2
1. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «выдающийся»,
если первые три буквы должны быть гласными?
2. В магазине продается 7 видов йогуртов. Сколькими способами мама может
купить 9 йогуртов на завтрак?
3. В спортивной секции занимаются 8 девушек и 10 юношей. Между ними
разыгрываются четыре путевки в зимний лагерь. В скольких случаях
путевки достанутся лицам одного пола?
4. Известно, что шифр замка состоит из 8 цифр. Сколько существует замочных
кодов, содержащих хотя бы одну нечетную цифру?
5. В хрестоматию по литературе включено 12 стихотворений Пушкина,
10 — Лермонтова и 8 —Блока. К экзамену Ваня должен выучить по четыре
стихотворения каждого автора. Сколькими способами он может сделать
свой выбор?
6. За праздничным столом 16 мест — восемь с одной и восемь с другой стороны.
Сколькими способами за ним могут усесться 8 женщин и 6 мужчин, если
женщины не должны занимать четыре крайних места?
Вариант 3*
1. Сколько существует восьмизначных чисел, в которых цифра ноль встре-
чается дважды, а цифра 1 — трижды?
2. В вазе стоят 9 гвоздик: 3 белого, 4 розового, и 2 красного цвета. Сколькими
способами можно раздать по одному цветку девяти девушкам?
3. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «умножение»,
если буква «м» должна занимать одно из первых пяти мест, а буква «и» —
одно из семи последних?
4. В магазине продается 8 видов глазированных сырков. Сколькими способами
мама может купить 6 сырков на завтрак, если она не хочет, чтобы все 6
сырков были одного вида?
5. За праздничным столом 18 мест —девять с одной и девять с другой стороны.
Сколькими способами за ним могут усесться 4 женщины и 7 мужчин, если
женщины не должны сидеть напротив друг друга?
6. В туристической секции занимаются 20 человек: 10 юношей и 10 девушек.
Сколькими способами они могут разбиться на 5 команд так, чтобы в каждую
команду вошли два юноши и две девушки? (Команды не занумерованы.)
Вариант 4*
1. Сколько существует нечетных девятизначных чисел, в которых цифра ноль
встречается три раза?
2. В вазе лежат 12 карамелек: 5 лимонных, 3 апельсиновых и 4 малиновых.
Сколькими способами Ваня может раздать по одной конфете двенадцати
девочкам?
3. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «телевидение»,
если буква «л» должна занимать одно из первых семи мест, а буква «в» —
одно из шести последних?
292 Глава XX. Комбинаторика
4. В магазине продается 9 видов йогуртов. Сколькими способами мама может
купить 5 йогуртов па завтрак, если она хочет купить йогурты не менее
двух видов?
5. В классной комнате 20 мест (по два места на 10 партах). Сколькими
способами там могут занять места 8 мальчиков и 5 девочек так, чтобы
у девочек не было соседей по парте?
6. В классе 18 учеников: 12 юношей и 6 девочек. Для участия в конкурсе
им нужно разбиться на 6 команд так, чтобы в каждую команду вошло
два юноши и одна девушка. Сколькими способами они могут это сделать?
(Команды не занумерованы.)
Ответы
Вариант 1. 1. 20 • 10!. 2. С|. 3. 106 - 86. 4. Cf2 + С|.
6. С8С?-4.
Вариант 2. 1. 60-7!. 2. Су. 3. С8 + С10- 4. 108 -58. 5.
6. Вариант 3*. 1. Су • Cg • 86. 2. 9! 3!4!2! 3. 40 320.
5 Л4 • 24 • Л7 6 (Юр2 12! 5!3!4!’
Вариант 4*. 1. Су • 5 • 95. 2. 3. 60 480.
4. Cl - 9.
5- Л?0-25.Л»0. 6.
к 45 . Д6
о. л10 л8.
/-•4 z-<4
с12 ’ с10 ’ с8-
4- - 8.
Глава XXI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В рамках изучения данной темы следует обсудить следующие
понятия и результаты: эксперимент и множество исходов экспе-
римента; случайные события и действия над ними; классическая
и геометрическая вероятность; условные вероятности и независи-
мость событий; подсчет вероятностей сложных событий; формулы
полной вероятности и формула Байеса; схема Бернулли повторных
независимых испытаний. Также необходимо познакомить учащихся
с понятием дискретной случайной величины, ее основными число-
выми характеристиками (математическим ожиданием и дисперсией)
и функцией распределения.
При решении каждой задачи особое внимание следует уделять
построению модели случайного эксперимента, адекватной описанной
в задаче эмпирической ситуации: подробно обсуждать возможные
подходы к составлению множества исходов эксперимента и обяза-
тельно описывать наблюдаемые события как подмножества этого
множества.
При построении модели случайного эксперимента полезно иметь
в виду, что большинство экспериментов можно интерпретировать как
опыт по случайному выбору k элементов из заданного множества,
содержащего п элементов, а результаты такого опыта — как выборки
из п элементов k. Такой подход упрощает подсчет мощности
множества элементарных событий, а также подсчет вероятности
событий, наблюдаемых в данном эксперименте.
Рассматривая понятие классической вероятности, следует ак-
центировать внимание учащихся на таком условии применения
формулы классической вероятности, как равновозможность исходов
эксперимента.
§1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПЕРИМЕНТА
СО СЛУЧАЙНЫМ ИСХОДОМ
Теория вероятностей, как и любая другая математическая теория,
содержит ряд первичных понятий, которые строго не определяются,
а только поясняются, описываются. В первую очередь это относится
к понятиям случайного эксперимента и элементарного события
(исхода).
294 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Под экспериментом (опытом) понимают выполнение некоторого действия
и наблюдения за его результатом. Эксперимент, результат которого нельзя точно
предсказать до его осуществления, называют случайным. Говоря о случайном
эксперименте, также предполагают, что его можно повторить при одних и тех
же условиях неограниченное число раз (по крайней мере, теоретически).
Взаимоисключающие друг друга результаты случайного эксперимента, ко-
торые нельзя представить через другие его результаты, называют исходами
(или элементарными событиями), а их совокупность — множеством исходов
эксперимента.
Любое подмножество множества исходов называют событием.
В результате однократного проведения эксперимента конкретное
событие может произойти, а может и не произойти. Если многократно
провести один и тот же опыт, то окажется, что одни события
происходят чаще, чем другие. Для количественного сравнения
событий по частоте их появления вводят понятие вероятности.
Построение математической модели эксперимента предполагает
описание: 1) возможных исходов, 2) событий и 3) вероятностей
наступления этих событий.
Множество исходов эксперимента
Построение математической модели эксперимента начинается
с описания множества его исходов.
Пример 1. Ваня проводит следующий эксперимент: два раза
подбрасывает монету и после каждого броска записывает на листе,
что выпало — герб или цифра. Описать множество исходов данного
эксперимента.
А Исходы: o>i ={оба раза выпал герб} (на листе мальчик записывает:
гг), а>2= {первый раз выпал герб, второй — цифра} (гц), о>з= {первый
раз выпала цифра, второй — герб} (цг), (х>^= {оба раза выпала цифра}
(цц). Таким образом, множество исходов Q состоит из четырех
элементов: $1={гг, гц, цг, цц}. А
Пример 2. Саша проводит следующий эксперимент: подбрасывает
монету до тех пор, пока не выпадет герб, после каждого броска
фиксируя на листе, что выпало — герб или цифра. Описать множество
исходов данного эксперимента.
А Исходы: o>i ={герб выпал при первом подбрасывании монеты}
(на листе останется запись г), а>2= {герб выпал при втором
подбрасывании монеты} (цг), о>з= {герб выпал при третьем подбра-
сывании монеты} (ццг) и т. д. Поскольку имеется принципиальная
возможность, что герб не выпадет никогда, то все возможные
ситуации будут описаны, только если считать множество исходов
Q бесконечным: Q={<?, цг, ццг, цццг, ...}. А
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 295
Пример 3. Маша проводит следующий эксперимент: рисует
в тетради отрезок ОА длиной 10 см, произвольно ставит на нем
точку В, после чего измеряет длину отрезка ОВ. Описать множество
исходов данного эксперимента.
А Исходами эксперимента являются числа х, лежащие в пределах
от 0 до 10 см. Они образуют отрезок [0; 10], т. е. Q = {х| х е [0; 10]} .
А
Пример 4. В коробке лежат три шара: красный, синий и белый.
Рассмотрим четыре эксперимента, состоящие в последовательном
извлечении из коробки двух шаров и фиксации их цветов. Экспе-
рименты различаются по условиям проведения:
1) в эксперименте А шар, извлеченный из коробки первым,
откладывается в сторону; порядок, в котором были извлечены
шары, фиксируется;
2) в эксперименте Б шар, извлеченный из коробки первым,
откладывается в сторону; порядок, в котором были извлечены
шары, не фиксируется;
3) в эксперименте В шар, извлеченный из коробки первым,
возвращается в коробку перед извлечением второго шара;
порядок, в котором были извлечены шары, фиксируется;
4) в эксперименте Г шар, извлеченный из коробки первым,
возвращается в коробку перед извлечением второго шара;
порядок, в котором были извлечены шары, не фиксируется.
Описать множество исходов каждого эксперимента.
А Эксперименты имеют следующие множества исходов:
1) Qyj = {кс, ск, кб, бк, сб, бс};
2) = {кс, кб, сб};
3) = {кс, ск, кб, бк, сб, бс, кк, сс, бб};
4) = {кс, кб, сб, кк, сс, 66}. А
Замечание. Эксперименты А, Б, В, Г дают представление о четырех
видах опыта, состоящих в случайном выборе k элементов из заданного
множества, содержащего п элементов. Результат такого опыта есть выборка
из п элементов по k.
В опытах, аналогичных по условиям протекания эксперименту А, выбор
элементов происходит без возвращения, при этом порядок выбора элементов
учитывается. В этом случае говорят об упорядоченной выборке без повторе-
ний. Эта разновидность выборки есть размещение из п по k. Таким образом,
исходами опытов данного вида являются размещения из п по k.
В опытах, аналогичных эксперименту Б, выбор элементов происходит без
возвращения и порядок выбора элементов не учитывается. В этом случае
говорят о неупорядоченной выборке без повторений. Эта разновидность выборки
296 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
есть сочетание из- п по k. Таким образом, исходами опытов данного вида
являются сочетания из п по k.
В опытах, аналогичных эксперименту В, выбор элементов происходит
с возвращением, при этом порядок выбора элементов учитывается. В этом
случае говорят об упорядоченной выборке с повторениями. Эта разновидность
выборки есть размещение с повторением из п по k. Таким образом, исходами
опытов данного вида являются размещения с повторениями из п по k.
В опытах, аналогичных эксперименту Г, выбор элементов происходит
с возвращением, при этом порядок выбора элементов не учитывается. В этом
случае говорят о неупорядоченной выборке с повторениями. Эта разновидность
выборки есть сочетание с повторением из п по k. Таким образом, исходами
опытов данного вида являются сочетания с повторениями из п по /г.
При решении задач на определение вероятностей событий важно
знать, являются исходы множества исходов «равновозможными» или
нет. Понятие равновозможных исходов является неопределяемым.
Говоря о том, что исходы в случайном опыте являются равновозмож-
ными, подразумевают, что при многократном повторении опыта, эти
исходы наблюдаются примерно одинаково часто. О равновозможных
исходах говорят в том случае, если по условиям опыта ни один из
исходов не является объективно более возможным, чем другие.
В некоторых экспериментах равновозможность исходов является
очевидной. Рассмотрим, например, опыт, состоящий в подбрасывании
игральной кости (симметричного кубика, на гранях которого записано
различное число очков (от 1 до 6)) и фиксации числа очков на
его верхней грани. В силу симметрии кубика есть все основания
предполагать, что при многократном подбрасывании кости каждая
ее грань выпадает примерно в 1/6 части случаев, т. е. выпадения
1,2,3,4,5 и 6 очков можно считать равновозможными. Также равно-
возможными являются исходы опыта, состоящего в подбрасывании
монеты ({выпадение герба} и {выпадение цифры}).
Однако в некоторых случаях затруднительно определить, пола-
гаясь только на интуицию, являются ли исходы опыта равновоз-
можными или нет. Рассмотрим, например, эксперимент, состоящий
в одновременном подбрасывании двух монет. Естественно составить
множество его исходов из следующих трех элементов: {выпадение
двух гербов}, {выпадение герба и цифры} и {выпадение двух цифр}.
При этом было бы ошибкой считать перечисленные исходы (гг,гц,цц)
равновозможными. Если повторить опыт многократно, то окажется,
что выпадение пары {герб и цифра} происходит в два раза чаще,
чем выпадение двух гербов, и в два раза чаще, чем выпадение двух
цифр.
Следует иметь в виду, что способ построения множества исходов
не всегда очевиден и единственен. Так, для эксперимента по
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 297
подбрасыванию двух монет можно наряду с упомянутым выше
множеством исходов построить другое множество, исходы которого
будут равновозможными. Для этого достаточно считать монеты
различными. Чтобы учесть это различие при построении множества
исходов, необходимо заменить исход {выпадение герба и цифры}
двумя исходами — {на первой монете выпал герб, на второй —
цифра} и {на первой монете выпала цифра, на второй — герб}.
Построенное таким образом множество исходов будет состоять из
четырех равновозможных элементов (гг, гц, цг, цц).
Эксперимент с множеством исходов Qj = {гг, гц, цц} можно
интерпретировать как опыт по случайному выбору двух элементов
из множества {г, ц}, в котором выбор происходит с возвращением
и без учета порядка выбора элементов. Эксперимент с множеством
исходов Q2 — {гг, гц, Цг, ЦЦ} можно интерпретировать как опыт по
случайному выбору двух элементов из множества {г, ц}, в котором
выбор происходит с возвращением, причем с учетом порядка выбора
элементов.
При составлении множества исходов в опытах по случай-
ному выбору элементов из заданного множества важно знать
следующее. Если выбор производится с возвращением, то исходы
равновозможны только в случае учета порядка выбора элементов.
Если выбор производится без возвращения, то исходы равновоз-
можны независимо от того, учитывается или нет порядок выбора
элементов.
Пример 5. В городе N проводится следующий опыт: наугад
выбирается семья с тремя детьми и выясняется, сколько мальчиков
и сколько девочек растет в этой семье. Построить множество исходов
опыта так, чтобы исходы были равновозможными.
А Опыт можно интерпретировать как выбор трех элементов из
множества {м, д}. Выбор производится с возвращением, следова-
тельно, чтобы исходы были равновозможными, необходимо учитывать
порядок выбора элементов. Поэтому в качестве исходов следует
взять размещения с повторениями из двух элементов по три:
Q = {ммм, ммд, мдм, дмм, мдд, дмд, ддм, ддд}. А
Замечание. По условиям опыта примера 5 не имеет значения, кто из
детей старший, кто младший, поэтому, если бы не требование равновозможности
исходов опыта, то порядок выбора элементов при построении множества исходов
можно было не учитывать. При таком подходе исходами опыта были бы четыре
сочетания с повторениями из двух элементов по три: ммм,ммд,мдд, ддд.
Пример 6. В коробке лежат 4 белых и 2 черных шара. Экспери-
мент состоит в одновременном извлечении пяти шаров и регистрации
12-1367
298 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
числа черных шаров среди извлеченных. Построить множество
исходов эксперимента так, чтобы исходы были равновозможными.
Д Занумеруем белые шары числами от 1 до 4, а черные — числами 5
и 6. Это позволит интерпретировать эксперимент как опыт по выбору
пяти элементов из множества {1,2,3,4, 5, 6}. Выбор производится
без возвращения и без учета порядка. Следовательно, элементами
множества исходов будут неупорядоченные выборки без повторений
из 6 элементов по 5, т. е. сочетания из 6 по 5 (число черных шаров
равно количеству чисел 5 и 6 в выборке).
Эксперимент можно интерпретировать и как опыт по выбору
без возвращения с учетом порядка. При таком подходе элементами
множества исходов будут размещения из 6 по 5.
Поскольку выбор производится без возвращения, то обоим вариан-
там опыта (с учетом и без учета порядка) соответствуют множество
равновозможных исходов. ▲
События и действия над ними
Любое подмножество множества исходов Q называется случайным событием
или просто событием.
Суммой событий А и В называется событие А+ В, состоящее из исходов,
которые входят хотя бы в одно из подмножеств А или В.
Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее из тех
и только тех исходов, которые принадлежат и подмножеству А, и подмноже-
ству В.
События А и В называются несовместными, если АВ = 0.
Событие А, состоящее из всех исходов, не входящих в подмножество А,
называют противоположным к событию А.
На языке множеств сумма событий А и В есть объединение множеств А
и В, а произведение событий А и В есть пересечение множеств А и В.
Свойства операций над событиями аналогичны свойствам операций над
множествами:
А+В = В + А; (4 + В) + С = 4 + (В + С); А+А=А;
АВ = BA; (АВ) С = А (ВС); АА=А;
4 + 0=4; 4-0 = 0; 4-Q = 4; 4+4=Q; 4-4 = 0;
4 (В + С) = АВ + 4С; АВ + С = (4 + С)(В + С).
АВ = А+В; АТВ^А-В.
Пример 7. Каждая из цифр 1, 2, 3 записана на отдельной
карточке. Наугад вынимается одна карточка, на листок записывается
находящаяся на ней цифра, и карточка возвращается обратно
в стопку. Затем вынимается вторая карточка, и ее цифра записыва-
ется справа от первой цифры. Наблюдаемый результат — двузначное
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 299
число. События: Л={число четное}, В={количество десятков не равно
количеству единиц}.
а) Построить множество исходов эксперимента.
б) Задать перечислением элементов события А, В, А, В, АВ,
А + В, АВ.
в) Определить, какие события, упомянутые в пункте б), попарно
несовместны.
Д а) Множество исходов:
Q = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}.
б) А = {12, 22, 32}, В = {12, 13, 21, 23, 31, 32},
А = {11, 13, 21, 23, 31, 33}, В={11, 22, 33}, АВ = {12, 32},
А + В = {12, 13, 21, 22, 23, 31, 32}, АВ = {22}.
в) Пары несовместных событий: Л и Л, В и В, В и АВ, А и АВ,
А и АВ, В и АВ, АВ и АВ. А
Пример 8. Используя свойства операций над событиями, дока-
зать тождество А + В = АВ + АВ + АВ.
ДЛ + В = Л-^ + В-^ =
= А • (В + В) + В • (Л + А) = (Л В + А В) + (ВА + В А) =
= АВ + АВ-\-ВА+АВ =
= АВ + АВ + {АВ + АВ) =АВ + АВ + АВ. А
Пример 9. Пусть Л и В —события, наблюдаемые в данном
эксперименте. Выразить, используя операции над Л и В, следующие
события:
С = {из двух событий не произойдет ни одного},
D = {из двух событий произойдет ровно одно},
Е — {из двух событий произойдет ровно два},
В={из двух событий произойдет хотя бы одно}.
Д Например, С = Л • В, D = АВ + АВ, Е = АВ, F = Л + В или
В = ЛВ + ЛВ + ВЛ. А
Пример 10. Опыт состоит в произведении трех выстрелов по
мишени и фиксации факта попадания (промаха) при каждом из них.
Событие Лй={попадание при /г-м выстреле} {k= 1,2,3).
а) Построить множество исходов этого эксперимента и выразить
каждый исход через события А^\
б) Выразить через Л^ следующие события: Л = {ровно три
попадания}, В = {не меньше двух попаданий}, С = {промах
не раньше, чем при втором выстреле}, D = {хотя бы одно
попадание}.
300 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Л а) Будем обозначать попадание цифрой 1, а промах цифрой О,
тогда каждому исходу опыта можно сопоставить упорядо-
ченную тройку этих цифр. Например, запись 011 будет
означать, что при первом выстреле имел место промах,
а при втором и третьем — попадание. Множество исходов
опыта: Q = {ООО, 001, 010, 100, ОН, 101, НО, 111}. Элементы
множества Q можно представить через события Л/г следующим
образом: ООО — Л1'Л2 *Лз, 001 = Л1 ‘Л2 ’Лз, 010 = Л1 • Л2 • Л3,
100 = А[ • Л2 Лз, 011 — /11 • А2 • Аз, 101 = /11 • А2 • Аз,
ПО = /11 -Л2 -Л^, 111 = /11 • а2-Л3.
б) Выразить события A,B,C,D через А/г можно разными фор-
мулами. Вот некоторые из них:
А = {111} = Л1 • Л2 • Л3,
В = {011, 101, ПО, 111} =
= /11 • Л2 • Л3 + А1 • Л2 • Л3 + А1 • Л2 • Л3 + А1 • Л2 • А 3.
Полученную формулу можно упростить:
В=А \А 2Л3 +Л [A 2Л3 +А [A 2Л3 +А [A 2Л3 +Л [A 2Л3 +А [А 2Л3 =
— (Л M2^3+/li/l2/l3) + (Л1Л2Л3-|-Л1Л2Л3) + (Л1Л2Л3-|-Л1Л2Л3) =
—л2л3 (Л 1Н-Л1) Ч-л 1 л 3 (л2+л2)+Л1Л2 (л3+л3) =
=Л2Л 3 • Q+Л1Л 3 • Q+Л [А 2 • Q—Л 2Л 3 + Л1Л3+Л1Л2.
С={100,101,110,111} =
=Л1-Л2-Л3+Л1 - Л 2 Л з -|-Л 1 • Л 2 - Л 3 Н-Л1 -Л2-Л3.
Полученную формулу можно упростить:
С = Л1 • Л2 • (Лз + Л3) + Л1 • Л2 • (Л3 + Л3) =
= Л j • А 2 Q + Л1 • А 2 • = Л j • А 2 Л j • Л 2 =
— А[ • (Л2 + Л2) = Л1 - £7 = Л1.
D = {001, 010,100, 011, 101, ПО, 111} =
= А[ - Л2 - Лз + Л1 • Л2 • Л3 + Л1 • Л2 • Л3 +
+Л1 • А2 - Лз + Л1 • А2 • Л3 + Л1 • А2 - Л3 -4- Л1 • Л2 - Л3,
D = {000} =Л?Л^-Л^. А
или
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 301
Классическое определение вероятности
Если опыт удовлетворяет условиям:
а) множество его исходов Q конечно;
б) исходы равновозможны,
то его называют классической схемой.
Пусть Af(Q) — общее число исходов этого опыта, а ?/(Л) —число
исходов, образующих событие A (N(A) также называют числом
исходов, благоприятствующих событию Л). Тогда под классической
вероятностью события А понимают отношение числа исходов,
благоприятствующих событию А, к общему числу исходов опыта,
т е- =
Решение задачи на классическое определение вероятности начина-
ется с построения множества исходов эксперимента. В большинстве
случаев любой эксперимент можно интерпретировать как опыт по
случайному выбору k элементов из заданного множества, содержа-
щего п элементов. Если выбор производится с возвращением, то
порядок элементов в выборке следует учитывать, иначе исходы не
будут равновозможными. Если выбор производится без возвращения,
то вопрос, учитывать или не учитывать порядок, решается в соот-
ветствии с тем, зависит или не зависит появление рассматриваемого
события от порядка выбора элементов (если зависит, то порядок
элементов в выборке следует обязательно учитывать, а если не
зависит, то порядок можно как учитывать, так и не учитывать).
Важно помнить, что любое событие А — подмножество мно-
жества исходов Q, поэтому, если при построении Q порядок
элементов учитывается (не учитывается), то его следует учитывать
(не учитывать) и при подсчете числа исходов, благоприятствующих
событию А.
Пример 11. Учительница попросила Сашу написать в тетради
двухзначное число, используя цифры от 1 до 9. С какой вероятностью
написанное Сашей число окажется кратным 5?
А Опыт, состоящий в написании числа, можно интерпретировать как
выбор двух элементов из множества {1,2,.. .,9}. Выбор производится
с возвращением с учетом порядка выбора элементов. Следовательно,
исходами опыта являются размещения с повторениями из 9 по 2.
Их число Af(Q) = 92 = 81.
Исходы, благоприятствующие событию А = {число кратно пяти}, —
выборки, второй элемент которых равен 5. N(A) = 9.
Окончательно имеем: Р(А) = = А = 1.
Ответ. ▲
302 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Пример 12. Подбрасывают три игральные кости. Найти вероят-
ность того, что на всех гранях выпадет четное число очков.
А Опыт, состоящий в подбрасывании трех игральных костей и фик-
сации чисел, выпадающих на их верхних гранях, можно интерпрети-
ровать как выбор трех элементов из множества {1,2,3,4,5,6}. Выбор
производится с возвращением. По условиям опыта порядок, в котором
выбираются элементы, неважен. Тем не менее, при построении мно-
жества исходов его следует учитывать, в противном случае исходы
не будут равновозможными и воспользоваться классической схемой
будет нельзя. Таким образом, исходы опыта следует рассматривать
как размещения с повторениями из 6 по 3. Их число Af(Q) = 63 = 216.
Исходы, благоприятствующие событию А = {на всех гранях
выпадет четное число очков}, — упорядоченные выборки трех эле-
ментов с возвращением из множества {2,4,6}, т. е. размещения
с повторением из 3 по 3. W (Л) = З3 = 27.
Окончательно имеем: Р(А) = L
216 8
Ответ. 1.
8
Пример 13. В семье пятеро детей. Какова вероятность того,
среди них три девочки и два мальчика?
А Имеем опыт по определению числа мальчиков и девочек в наугад
выбранной семье с пятью детьми. Этот опыт можно интерпретировать
как выбор пяти элементов из множества {м, д}. Выбор производится
с возвращением, поэтому, чтобы исходы были равновозможными,
необходимо учитывать порядок выбора элементов. Таким образом,
исходами опыта являются размещения с повторениями из 2 по 5.
Их число jV(Q) = 25 = 32.
Исходы, благоприятствующие событию А = {в семье три девочки
и два мальчика}, — выборки, в которых элемент д встречается ровно
три раза. Такую выборку можно задать, указав порядковые номера
элемента д в выборке. Поэтому число исходов, благоприятствующих
событию А, совпадает с числом способов, каким можно выбрать три
порядковых номера из пяти, т. е. ?/(Л) = = 10.
Окончательно имеем:
С
Ответ.
Р(Д\ = W- = 12 = А
V 32 16’
Пример 14. Какова вероятность того, что хотя бы у одного из
25 учеников класса, рожденных в високосном году, день рождения
будет 29 февраля?
А Опыт состоит в фиксации дней рождения всех учеников класса.
Наблюдаемый результат — 25 дат рождения. Поэтому опыт можно ин-
терпретировать как выбор с возвращением 25 элементов из множества
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 303
{1, 2,..., 366} (занумерованных дней года). Для того чтобы исходы
были равновозможными, необходимо учитывать порядок выбора
элементов. Таким образом, исходами опыта являются размещения
с повторениями из 366 по 25. Их число Af(Q) = 36625.
Число исходов, благоприятствующих событию Д={хотя бы у од-
ного ученика день рождения 29 февраля}, найдем как разность
общего числа исходов опыта и числа исходов, благоприятствующих
событию А. Элементы события А = {ни один из учеников не родился
29 февраля} — упорядоченные выборки 25 элементов с возвращением
из множества, куда входят все дни года кроме 29 февраля,
т. е. размещения с повторением из 365 по 25. Следовательно,
W (Д) = 36525, откуда М(Д) = Af(Q) - N (А) = 36625 - 36525.
Окончательно имеем: Р(Д) = 1 — .
/ \ 25 К3667
гл , /365Vb а
Ответ. 1 - Hzc ) •
\ 366/
Пример 15. Цифры от 1 до 7 написаны на семи карточках. Наугад
последовательно вытягиваются три карточки и выкладываются на
столе слева направо. Найти вероятность того, что выложенное число
будет нечетным.
Д Опыт, состоящий в выкладывании числа, можно интерпретиро-
вать как выбор трех элементов из множества {1,2,...,7}. Выбор
производится без возвращения с учетом порядка выбора элементов.
Следовательно, исходами опыта являются размещения из 7 по 3.
Их число /V (Q) = Д? = 210.
Исходы, благоприятствующие событию А = {число нечетное}, —
выборки, в которых последним элементом является одна из четырех
цифр 1,3,5,7. Для подсчета числа таких выборок используем правило
произведения. Составляем выборку в два шага. Вначале выбираем
последнюю цифру (это можно сделать четырьмя способами), затем —
упорядоченную пару первых двух цифр выборки (так как одна из
цифр {1,2,...,7} уже использована, то каждая такая пара есть
размещение из 6 по 2, и, значит, выбрать такую пару можно Д| = 30
способами). Следовательно, Af (Д) = 4 30 = 120.
Окончательно имеем: Р(Д) =
гл 4
Ответ.
N(A) _ 120 _ 4
N(£l) 210 7‘
Пример 16. На семи карточках написаны числа 4, 5, 6, 8, 7, 13
и 16. Наугад берутся 2 карточки. Определить вероятность того, что
дробь, которую можно составить из чисел, записанных на карточках,
сократима.
304 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
А Опыт, состоящий в извлечении двух карточек, можно интерпре-
тировать как выбор двух элементов из множества {4,5,6,8,7,13,16}.
Выбор производится без возвращения. Условия опыта таковы, что
порядок выбора элементов можно как учитывать, так и не учитывать.
Решим задачу с использованием обоих подходов.
1) Пусть множество исходов построено с учетом порядка выбора
элементов. Тогда исходы — размещения из 7 по 2 и, значит,
Л^(!Т) = Л2 = 42.
Заметим, что числа 5, 7, 13 простые и не имеют общих
делителей с числами 4, 6, 8, 16. Следовательно, исходы,
благоприятствующие событию А = {дробь сократима}, — это
упорядоченные выборки без возвращения, составленные из
четырех четных чисел 4, 6, 8, 16, т. е. размещения из 4 по 2.
Их количество ЛЦЛ) = Л4 = 12.
Окончательно имеем: Р(Л) = = || =
2) Пусть множество исходов построено без учета порядка выбора
элементов. Тогда исходы — сочетания из 7 по 2 и, значит,
W(Q) = C^ = 21.
Исходы, благоприятствующие событию Л = {дробь сокра-
тима}, — неупорядоченные выборки без возвращения, состав-
ленные из четырех четных чисел 4, 6, 8, 16, т. е. сочетания
из 4 по 2. Их количество М(Л) = С4 = 6.
Находим вероятность события Л: Р(Л) = = = 7
Как и ожидалось, вероятность Р(Л), найденная без учета порядка
выбора элементов, оказалась такой же, как и при учете порядка
выбора элементов.
Ответ, у. А
Пример 17. В спортивной секции занимаются 6 девушек и 10 юно-
шей. Между ними путем жеребьевки разыгрываются 4 путевки в зим-
ний лагерь. Какова вероятность того, что три путевки достанутся
девушкам, а одна — юноше?
А Опыт состоит в случайном выборе четырех членов секции,
которым предстоит поехать по путевке в зимний лагерь. Этот опыт
можно интерпретировать как выбор без возвращения 4 элементов
из 16-элементного множества членов секции. По условиям опыта
порядок выбора элементов неважен, поэтому его можно не учитывать.
Таким образом, исходами опыта являются сочетания из 16 элементов
по 4. Их число N (Q) = С^6 = 1820.
Исходами, благоприятствующими событию Л = {три путевки
достанутся девушкам, а одна — юноше}, являются неупорядоченные
§ 1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 305
выборки, три элемента которых — девушки и один элемент — юноша.
Составляем такую выборку за два шага. Вначале отбираем трех
девушек (это можно сделать Cg = 20 способами), затем — юношу
(это можно сделать десятью способами). Окончательно по правилу
произведения имеем: (Л) = 20 • 10 = 200.
Следовательно, Р(А) =
Ответ. —. А
91
Пример 18. В спортивной секции занимаются 6 девушек
и 10 юношей. Между ними путем жеребьевки разыгрывается
1 путевка в лагерь под Москвой и три путевки — в лагерь под
Новгородом. Какова вероятность того, что путевка в подмосковный
лагерь достанется юноше, а остальные путевки достанутся девушкам?
Д Так же, как и в предыдущем примере, опыт состоит в выборе
четырех членов секции, которым предстоит поехать по путевке
в зимний лагерь. Однако теперь в исходе опыта должна отражаться не
только информация о числе девушек и юношей, получивших путевки,
но и информация о том, в какой лагерь досталась счастливчику
путевка. Поэтому, образуя событие А — {путевка в подмосковный
лагерь достанется юноше, а три путевки в лагерь под Новгород —
девушкам}, будем учитывать порядок следования элементов в вы-
борках. Например, можно считать, что первый элемент выборки —
спортсмен, который поедет в подмосковный лагерь, а второй, третий
и четвертый элементы — спортсмены, которые поедут в лагерь под
Новгородом. Поэтому в данном случае исходами опыта являются
размещения с повторениями из 16 по 4. Их число jV(Q) = 4i6.
Исходами, благоприятствующими событию А, являются упорядо-
ченные выборки, первый элемент которых — юноша, а остальные
три —девушки. Один юноша из десяти может быть выбран 10
способами, а три девушки из шести (в определенном порядке)—
способами. Поэтому по правилу произведения ?/(Л) = 10-Л|.
~ N(A) 10-^3 10-6’12! 5
Окончательно получим: Р(А) = ^ =
Ответ. 16 А
182
Пример 19. Из колоды в 36 карт наугад выбирают десять карт.
Найти вероятность того, что среди них окажутся две дамы, три
короля и один валет.
Д Опыт, состоящий в случайном выборе десяти карт, можно
интерпретировать как выбор без возвращения 10 элементов из 36-эле-
ментного множества. По условиям опыта порядок выбора элементов
неважен, поэтому его можно не учитывать. Таким образом, исходами
опыта являются сочетания из 36 по 10. Их число W (Q) = C^g.
306 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Исходами, благоприятствующими событию А = {среди выбранных
карт окажутся две дамы, три короля и один валет}, являются
неупорядоченные выборки, в которые входят две дамы, три короля,
один валет, а также четыре карты других видов. Такую выборку
можно составить за четыре шага. На первом шаге отберем двух
дам (С4 способа выбора), на втором — трех королей (С4 способа),
на третьем — одного валета (4 способа) и, наконец, на четвертом —
четыре карты других видов (С^4 способа). Окончательно по правилу
произведения имеем: N (Л) = С4 • С4 • 4 • С^4.
Следовательно, Р(А) = = 4^9 * °’004'
Ответ. «0,004. 36 ▲
Пример 20. Из коробки, в которой лежат 2 белых, 3 синих
и 5 красных шаров, наугад вынимаются три шара.
1) Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы
два будут одного цвета.
2) Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы
два будут различаться по цвету.
А Опыт, состоящий в случайном выборе трех шаров, можно
интерпретировать как выбор без возвращения трех элементов из
10-элементного множества. По условиям опыта порядок выбора
элементов неважен, поэтому его можно не учитывать. Таким образом,
исходами опыта являются сочетания из 10 по 3. Их число N(Q) = С^.
а) Наряду с событием А = {среди вынутых шаров хотя бы два
будут одного цвета} рассмотрим противоположное ему событие
А = {все вынутые шары различаются по цвету}. Исходами,
благоприятствующими событию А, являются неупорядоченные
выборки, состоящие из одного белого, одного синего и одного
красного шара. При составлении такой выборки мы должны
выбрать один из двух белых шаров, один из трех синих,
один из пяти красных. Следовательно, N (Л) = 2 3 • 5 = 30
и, значит, а 7У(Л) = 7V(Q) — N (Л) = 120 — 30 = 90. Тогда
р(А\ = = 90 = §
V 7 /V(Q) 120 4’
б) Наряду с событием В = {среди вынутых шаров хотя бы два
будут различаться по цвету} рассмотрим противоположное
ему событие В = {вынутые шары одного цвета}. Исходами,
благоприятствующими событию В, являются неупорядоченные
выборки, состоящие из трех шаров одного цвета. Так как
в коробке всего два белых шара и выбор производится без
возвращения, то выборок из трех белых шаров нет. Выборка из
§ 1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 307
трех синих шаров одна. Число выборок из трех красных шаров
равно = 10. Следовательно, Af (В) = 1 + 10 = 11 и, значит,
N(B) = JV(fl) - N (В) = 120 -11 = 109. Тогда Р(В) = ® .
Ответ, а) б) А
Пример 21. Класс, в котором учатся 12 девочек и 8 мальчиков,
разбивается на две группы по 10 человек в каждой. Какова
вероятность того, что все мальчики окажутся в одной группе?
А Можно переформулировать задачу следующим образом. Из
класса, в котором учатся 12 девочек и 8 мальчиков, отбирается
группа из 10 человек. Какова вероятность того, что либо все мальчики
попадут в эту группу, либо ни один мальчик не попадет в эту группу?
Опыт, состоящий в случайном отборе группы из 10 человек класса,
можно интерпретировать как выбор без возвращения 10 элементов
из 20-элементного множества. По условиям опыта порядок выбора
элементов не важен, поэтому его можно не учитывать. Таким
образом, исходами опыта являются сочетания из 20 по 10. Их
число N (Q) = Сэд-
Событие А = {либо все мальчики попадут в группу, либо ни
один мальчик не попадет в группу} можно представить как сумму
двух событий: события В = {все мальчики попадут в группу}
и события С = {ни один мальчик не попадет в группу}. События В
и С несовместные, значит, ?/(Л) = N(B) + N(C). Исходами, благо-
приятствующими событию В, являются неупорядоченные выборки,
в которые входят все восемь мальчиков и две девочки. Число
таких выборок равно числу вариантов выбора двух девочек из 12,
т. е. С^2- Исходами, благоприятствующими событию С, являются
неупорядоченные выборки, в которые входят десять девочек. Число
таких выборок равно числу вариантов выбора десяти девочек из 12,
т. е. Таким образом, М(Л) = + С.1? = 132.
1 Z А 1 Z 1 Z
Тогда Р(А) =
°ТВеТ' 4^9'
ЛГ(Л) _ 132 = +_
MQ) С‘0 4199’
Пример 22. Десять школьников, среди которых 5 юношей
и 5 девушек, случайным образом группируются попарно. Найти ве-
роятность того, что каждая из пяти пар состоит из лиц разного пола.
А Случайную группировку школьников осуществим следующим
образом. Напишем фамилии школьников на карточках и в случайном
порядке выложим карточки на столе в ряд слева направо. Первую
группу составим из школьников, фамилии которых записаны на
первых двух карточках ряда, вторую группу —из школьников,
308 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
фамилии которых записаны на 3-й и 4-й карточке ряда и т. д.
Таким образом, выложив случайным образом 10 карточек в ряд, мы
разобьем школьников на 5 групп. При этом группы у нас получа-
ются занумерованными, а элементы внутри групп упорядоченными.
Исходами опыта по выкладыванию карточек являются перестановки
из десяти элементов, число которых равно 10!.
Исходами, благоприятствующими событию А — {каждая из пяти
групп состоит из лиц разного пола}, являются перестановки, в ко-
торых на первом или втором месте находится карточка с фамилией
одного юноши, на третьем или четвертом — карточка с фамилией дру-
гого юноши, на пятом или шестом — карточка с фамилией третьего
юноши и т. д. Составляем перестановку, отвечающую этим требо-
ваниям, пошагово. Вначале распределяем карточки с фамилиями
юношей по группам (это можно сделать 5! способами). Затем после-
довательно для каждой карточки с фамилией юноши выбираем место,
которое та займет в своей группе (для каждой карточки имеется
выбор из двух мест —первого или второго). И, наконец, когда кар-
точки с фамилиями юношей заняли свои места, на оставшиеся пять
мест кладем карточки с фамилиями девушек (это можно сделать 5!
способами). Согласно правилу произведения имеем: TV (/1) = 5! • 25 • 5!.
Следовательно, Р(А) = $$ =
Ответ. ▲
Геометрическая вероятность
Рассмотрим эксперимент, множество исходов которого можно описать как
некоторое множество точек Q, лежащих либо на числовой прямой, либо на
плоскости, либо в пространстве. При этом каждому исходу эксперимента
соответствует одна точка множества и каждой точке множества соответствует
один исход.
Если эксперимент удовлетворяет условиям: а) множество исходов Q имеет
меру (длину, площадь, объем); б) вероятность попадания в любую часть Q'
множества Q пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения
и формы, то его называют геометрической схемой.
Если случайный опыт представляет собой геометрическую схему и событие Л,
являющееся подмножеством Q, имеет меру, то геометрической вероятностью
события А называют число
mes(A)
mes(£l) ’
где mes(A) — мера А и mes(Q,) — мера Q.
Заметим, что условие б) в определении геометрической схемы
аналогично требованию равновозможности исходов в классической
схеме.
§ 1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 309
Пример 23. На отрезке, длина которого равна 6 см, наудачу
поставлена точка. Какова вероятность того, что расстояние от этой
точки до левого конца отрезка будет отличаться от расстояния от
нее до правого конца не менее чем на 2 см?
А Расстояние от точки до правого конца отрезка равно 6 — х,
следовательно, событие А = {расстояние от точки до левого конца
отрезка будет отличаться от расстояния от нее до правого конца
не менее чем на 2 см} можно задать неравенством |х — (6 — х)|>2,
или |х — 3| > 1.
Множества Q и А изображены на рис. 1. В данном случае мерой
множества Q является длина отрезка [0; 6], а мерой множества А —
сумма длин отрезков ОС и DB.
Таким образом, имеем: mes(Q) = 6, mes(A) = 4 и Р(А) = —^Ш = 1-
Ответ. |. А
Пример 24. На перекрестке установлен автоматический свето-
фор, на котором одну минуту горит зеленый свет и две минуты —
красный, затем вновь одну минуту — зеленый и две минуты — крас-
ный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает
автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток
без остановки?
А В силу периодичности работы светофора можно ограничиться
рассмотрением промежутка времени между двумя последователь-
ными моментами включения зеленого света, считая, что автомобиль
подъезжает к перекрестку в случайный момент времени в пределах
этого промежутка. Начав отсчет времени с момента включения
зеленого света и обозначив через t время подъезда автомобиля
к перекрестку, получим опыт, состоящий в случайном выборе момента
времени t из промежутка от 0 до 3 минут. Число t, 0 t 3, —
исход этого опыта, а отрезок [0; 3] — множество исходов Q.
Событие А = {автомобиль проезжает перекресток без остановки}
задается неравенством 0 t 1.
Множества Q и А изображены на рис. 2 (это отрезки ОВ и ОС
соответственно). В данном случае мерами множеств Q и А являются
длины отрезков ОВ и ОС. Таким образом, имеем: mes(CL) = 3,
mes(A) = l и Р(Д) = = 1.
Ответ. |. А
О С D В ОС В
О 2 4 6 х о 1 3 х
Рис. 1 Рис. 2
310 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Пример 25. На окружность радиуса 1 случайным образом
поставлены две точки. Какова вероятность того, что меньшая из
дуг, заключенных между ними, не превосходит
А Так как в данном опыте важно лишь взаимное расположение
точек на окружности, то можно считать, что положение первой точки
фиксировано. При таком подходе положение второй точки можно
однозначно определить длиной дуги а, которую нужно пройти по
окружности от первой до второй точки, если двигаться против хода
часовой стрелки. Таким образом, опыт можно интерпретировать как
случайный выбор числа а из отрезка [0; 2л:]. Каждое такое число а
можно изобразить точкой числовой оси и рассматривать множество
точек с координатами аб[0;2л:] в качестве множества исходов Q.
Событие А = {меньшая из дуг, заключенных между точками, не
превосходит |} задается неравенством min {а, 2тс — а} которое
выполняется в двух случаях: если и если 0^2я-а^^,
т. е. у а 2тг.
Множества Q и А изображены на рис. 3. В данном случае мерой
множества Q является длина отрезка ОВ, а мерой множества А
сумма длин отрезков ОС и DB.
О С____________D В
О я/3 5я/3 2л
Рис. 3
Таким образом, имеем: mes(Q) = 2л:, mes(A) = у и Р(А) =
_ mes(A) _
/nes(Q) 3 ’
Ответ. ▲
Пример 26. На отрезке [—2;4] наудачу взяты два числа. Какова
вероятность того, что их сумма окажется меньше единицы?
А Обозначим одно число через х, другое —через у. Тогда опыт
можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел
2 х 4, — 2 у 4). Каждой такой паре соответствует
точка плоскости с координатами (х\у) (см. рис. 4). Таким образом,
с геометрической точки зрения каждая точка плоскости, координаты
(х\у) которой удовлетворяют условиям — 2 х 4, — 2 г/4, есть
исход опыта, а квадрат ABCD, образованный этими точками, есть
множество исходов Q.
§1. Математическая модель эксперимента со случайным исходом 311
Событие G = {сумма чисел меньше единицы} задается неравен-
ством х + у < 1 (на рис. 4 область, соответствующая событию G,
заштрихована).
В данном случае мерой множества Q является площадь квадрата
ABCD, а мерой множества G —площадь треугольника AEF.
Таким образом имеем: mes (Q) = 36, mes (G) = 12,5 и Р(А) =
_ mes(G) _ 25
mesial) 72’
гл 25 а
Ответ. —. ▲
Пример 27. На отрезке АВ, длина которого равна 10 см, наудачу
поставлены две точки С и D. Какова вероятность того, что площадь
квадрата, построенного на отрезке CD, не превосходит 36 сж2?
А Обозначим расстояние от точки А до точки С через х, а расстояние
от точки А до точки D — через у. Опыт можно интерпретировать как
случайный выбор упорядоченной пары чисел х и у из отрезка [0; 10],
и под множеством исходов Q понимать множество точек плоскости,
координаты {х-,у) которых удовлетворяют условиям 0 х 10,
0 у 10 (на рис. 5 это квадрат OEFG).
Длина отрезка CD равна |х — у\ см, поэтому событие Н = {площадь
квадрата, построенного на отрезке CD, не превосходит 36 см2}
задается неравенством (|х — г/|)2 36. Значит, событие Н можно
интерпретировать как множество точек плоскости, координаты ко-
торых удовлетворяют условию |х — у\ ^6 или системе неравенств
г/^х + 6, у^х — 6 (на рис. 5 это множество заштриховано).
В данном случае мерой множества Q является площадь квад-
рата OEFG, а мерой множества Н — площадь заштрихованной на
рис. 5 области. Площадь заштрихованной области можно найти как
разность площади квадрата и двух угловых треугольников, поэтому
mes (Я) = 100 -16 = 84.
312 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Таким образом, имеем: Р(Н) =
mes(Q) 100 25
Ответ. ▲
Zu
Пример 28. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу
взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит /, будет
меньше /?
А Обозначим через х длину первого отрезка, через у — длину
второго отрезка, через z — длину третьего отрезка. Опыт состоит
в случайном выборе упорядоченной тройки чисел (х;г/;г), каждое
из которых неотрицательно и не превосходит I. Каждой такой
тройке соответствует точка трехмерного пространства с координатами
(х;г/;г). Совокупность таких точек — куб с ребром I — есть множество
исходов Q (рис. 6).
Событие А = {сумма трех наудачу взятых отрезков будет меньше /}
происходит, если выполняется неравенство х + у + z < I. Следова-
тельно, событие А изображается точками пирамиды OBCD (рис. 6).
В данном случае мерой множества Q является объем куба,
а мерой множества А — объем пирамиды. Таким образом, имеем:
р(/п _ mes(A) _ 3 2 _
V 6‘
О т в е т. -L А
6
Статистическая вероятность
Пусть А — некоторое событие, наблюдаемое в эксперименте.
Выполним эксперимент многократно (скажем W раз) и подсчи-
таем, сколько раз событие А произошло. Обозначим это число
через т. Отношение называют частотой появления события
или статистической вероятностью. Частота появления события
имеет случайный характер, меняясь от одной серии испытаний
к другой. Однако опыт практической деятельности показывает, что
имеет место свойство устойчивости частот: частоты, вычисленные при
достаточно больших N, группируются вокруг некоторой константы.
Если эксперимент сводится к классической или геометрической
схеме, то эта константа совпадает с классической или геометрической
вероятностью.
Поэтому при построении математических моделей реальных
явлений вероятность тех или иных событий оценивают по частоте
их появления в большой серии опытов.
Пример 29. На плоскость с нанесенной на ней квадратной сеткой
многократно подбрасывается монета диаметром 2 см, в результате
§2. Сложение вероятностей 313
чего установлено, что в 25% случаев монета не пересекает ни одной
стороны квадрата. Оценить размер сетки.
А Пусть а — размер сетки. Поскольку размеры плоскости теоре-
тически неограниченны, можно считать, что исход эксперимента
полностью определяется положением центра упавшей монеты отно-
сительно сторон квадрата, содержащего этот центр. Введем систему
координат, поместив ее начало в одну из вершин указанного квадрата
и направив оси вдоль его сторон. Пусть х,у — координаты центра
упавшей монеты. Тогда точки плоскости с координатами (х;г/),
О^х^а, образуют множество исходов Q рассматриваемого
эксперимента (рис. 7).
Событию А = {монета не пересекает ни одной стороны квадрата}
соответствует множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют условиям: х 1, а — х 1, г/^1, а — г/ 1 (на рис. 7
это множество окрашено в серый цвет).
В данном случае мерой множества Q является площадь квадрата
со стороной а, а мерой множества А — площадь квадрата со
стороной {а — 2). По формуле геометрической вероятности находим
а
По условию задачи вероятность события А можно считать равной
(g — 2)2
0,25. Следовательно, ---5— = 0,25, откуда а = 4.
а2
Ответ. 4 см. А
§2. СЛОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть А и В —события, наблюдаемые в одном эксперименте.
Если события А и В несовместны, то верна формула сложения вероятностей
для несовместных событий:
Р(4+В) = Р(4)+Р(В).
314 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
В частности, если В —событие, противоположное А (В = А), имеем:
1 = Р(А) + Р (Л), откуда Р (Д) = 1 — Р(А).
Для произвольных событий А и В верна формула сложения вероятностей'.
Р(А + В) = Р(А) + В(В) - Р(ДВ).
Пример 1. Статистика, собранная среди студентов одного из
вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимается
спортом, 40% участвуют в научной работе на кафедрах и 20%
занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах.
Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному
студенту. Найти вероятности следующих событий: В = {студент
занимается хотя бы одним из двух указанных видов деятельности},
С = {студент занимается только одним видом деятельности}.
А Рассмотрим два события: А\ = {студент занимается спортом},
Д2 = {студент занимается наукой}. Событие {студент занимается
спортом и научной работой} можно выразить как произведение
событий А} и Д2. Условия задачи дают основания для следующих
оценок вероятностей: P(Ai) = 0,6, Р(Д2):=0,4, Р(Д1Д2) = 0,2.
Событие В можно представить как сумму событий А\ и А2.
Для подсчета вероятности В воспользуемся формулой сложения
вероятностей:
Р(В) = Р(А\ + Д2) =P(Al)+P(A2) -PiA^) = 0,6 + 0,4 - 0,2 = 0,8.
Событие С произойдет в одном из двух случаев: 1) студент
занимается спортом, но не участвует в научной работе, 2) студент не
занимается спортом, но участвует в научной работе. Следовательно,
событие С можно представить как сумму двух несовместных
событий Д1 • Д2 и Д] А2, т. е. С = А\ А2 + А\ Д2. Значит,
согласно формуле сложения вероятностей для несовместных событий
/’(о=р(д1д;)+/’(4;-42).
Событие Д] можно выразить следующим образом: Д1 =
= Д1 Q = Д1 • (Д2 + Л2) = Л1Д2 + Д1Д2- Следовательно, Р(Д]) =
= Р(А1А2) + Р (Д1Д2), откуда Р (Д1Д2) = Р(Д1) - Р(Д1Д2) и> значит,
Р(А1А^) =0,6-0,2 = 0,4.
Аналогично получим: Р (AjA2) = Р(Д2) — Р(Д1Д2), Р(Д1Д2) =
= 0,4 — 0,2 = 0,2. _ _
Окончательно имеем: Р(С) = Р (Ai • Д2) + Р (А] • Д2) — 0,4 + 0,2 —
= 0,6.
Ответ. Р(В) = 0,8, Р(С) = 0,6. ▲
Если противоположному событию соответствует меньшее число
исходов эксперимента, чем прямому, то имеет смысл сначала
§2. Сложение вероятностей 315
найти вероятность противоположного события, а затем по формуле
Р (Л) = 1 — Р(А) вычислить вероятность прямого.
Пример 2. Из ящика, содержащего 6 белых и 8 черных шаров,
одновременно вынимают пять шаров. Найти вероятность того, что
количество белых и количество черных шаров в выборке различаются
не менее, чем на два шара.
Д Наряду с событием А ={количество белых и количество чер-
ных шаров в выборке различаются не менее чем на два шара},
рассмотрим противоположное ему событие А = {количество белых
и количество черных шаров в выборке различаются менее чем
на два шара}. Событие А можно представить как сумму двух
несовместных событий: В — {в выборке три белых и два черных
шара} и С = {в выборке два белых и три черных шара}. Значит,
Р (А) = 1 - Р (А) = 1 - (Р(В) + Р(С)).
Опыт, состоящий в случайном выборе пяти шаров из ящика,
можно интерпретировать как выбор без возвращения пяти элементов
из 14-элементного множества. По условиям опыта порядок выбора
элементов не важен, поэтому его можно не учитывать. Таким
образом, исходами опыта являются сочетания из 14 по 5. Их число
W(O) = CS4.
Исходами, благоприятствующими событию В, являются неупо-
рядоченные выборки, в которые входят три белых и два черных
шара. Составляем такую выборку по частям. Вначале отбираем три
белых шара (это можно сделать способами), затем —два черных
(это можно сделать способами). По правилу произведения имеем:
N (В) = • С|. Следовательно, Р(В) = -6 5 8 =
С14 3
С2 • с3
Аналогичные рассуждения дают: Р(С) = 6 5 8
С14
Находим искомую вероятность:
Р (А) = 1 - (Р(В) + Р(С)) = 1 - 40 60
= 60
143 ‘
__________= 43
143 143 143 ‘
Ответ.
316 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
§3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ
Условная вероятность
Пусть А и В — события, наблюдаемые в эксперименте, причем
Р(В) > 0. Предположим, что нам известно, что в результате проведе-
ния эксперимента событие В произошло. Зададимся вопросом, каким
образом это знание может повлиять на наши прогнозы относительно
того, наблюдалось ли в эксперименте событие В?
Пример 1. Маша участвует в розыгрыше призов, который
организован следующим образом. Десять карточек, на которых
записаны натуральные числа от 1 до 10, сложены в коробку. Ведущий,
действуя случайным образом, достает из коробки одну карточку.
Чтобы получить приз, Маша должна угадать, какое число, четное
или нечетное, записано на карточке. Есть два варианта правил, по
которым проводится розыгрыш:
1) при игре по первым правилам ведущий, вытянув карточку, не
сообщает игроку никакой информации;
2) при игре по вторым правилам ведущий, вытянув карточку,
сообщает игроку кратно или не кратно трем записанное на
карточке число.
По каким правилам выгоднее играть Маше?
А 1) Предположим, что игра ведется по первому правилу. В этом
случае множество исходов опыта состоит из десяти элементов:
Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Рассмотрим два события: А = {на карточке записано
четное число} и А = {на карточке записано нечетное число}.
Тогда А = {2, 4, 6, 8, 10}, А = {1, 3, 5, 7, 9} и, значит,
Р(А) = Р (А) = Так как вероятности событий А и А
совпадают, то Маше придется выбрать один из вариантов
наобум. Какой бы выбор она не сделала, он будем правильным
с вероятностью Следовательно, если игра ведется по первому
правилу, то Маша может выиграть с вероятностью
2) Предположим, что игра ведется по второму правилу. Рас-
смотрим два случая: а) ведущий вынул карточку с числом
кратным трем; б) ведущий вынул карточку с числом не
кратным трем.
а) Пусть ведущий, вытянув карточку, обнаружил, что запи-
санное на ней число кратно трем, и сообщил об этом Маше.
§3. Условная вероятность. Независимость событий 317
В этом случае Маше имеет смысл исходить при подсчете
вероятностей не из полного, а усеченного множества
исходов Q' = {3, 6, 9}, которое, по сути, соответствует
новому эксперименту (его называют вспомогательным).
В рамках этого вспомогательного эксперимента Машу
интересуют два события: А' = {на карточке записано четное
число} и А' = {на карточке записано нечетное число}.
Тогда А' = {6}, А’ = {3, 9} и Р{А) = Р (д') = Так
О \ / о
как вероятность события А' больше вероятности события
А', то Маше выгоднее выбрать вариант {число нечетное}.
о
В этом случае она окажется права с вероятностью -.
б) Если ведущий, вынув карточку, обнаружил, что число
не кратно трем и сообщил об этом Маше, то Маше
имеет смысл исходить при подсчете вероятностей из
множества исходов Q" = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}. В рамках
вспомогательного эксперимента с множеством исходов
Q" Машу интересуют два события: А" = {на карточке
-т-//
записано четное число} и А = {на карточке записано
нечетное число}. Имеем: А" = {2, 4, 8, 10}, А" = {1, 5, 7}
и Р(А") = у, Р^а"^ = ^. Так как вероятность события
А" больше вероятности события А", то Маше выгоднее
выбрать вариант {число четное}. В этом случае она
4
окажется права с вероятностью
Независимо от того, кратно трем или не кратно трем
вытянутое ведущим число, играя по второму правилу, Маша
может выиграть с вероятностью, большей |. Эта вероятность
превышает вероятность ее выигрыша при игре по первому
правилу. Значит, играть по второму правилу Маше выгоднее.
Ответ. Маше выгоднее играть по второму правилу. ▲
Рассмотренный пример в некоторой степени мотивирует введение
понятия условной вероятности. Повторим рассуждения, использован-
ные в процессе его решения, для произвольного опыта, укладыва-
ющегося в классическую схему.
Пусть А и В —события, наблюдаемые в эксперименте, причем
Р(В) > 0. Предположим, нам известно, что в результате проведения
эксперимента событие В произошло. Значит, реализовался один из
М(В) исходов, благоприятствующих этому событию. То обстоятель-
318 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
ство, что вместо Af(Q) возможных исходов остались возможными
только Af(B), можно интерпретировать как замену исходного экспери-
мента с множеством исходов Q на новый эксперимент с множеством
исходов Q' = В. Этот новый эксперимент назовем вспомогательным.
Из множества исходов вспомогательного эксперимента выделим под-
множество А' исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно,
что А' — АВ. Тогда
р(д'\ = W') _ ИДО) = _ Р(АВ)
N(B) N(B)/N(Si) Р(В) ‘
Проведенные рассуждения привели нас к новому понятию —
условной вероятности.
Условной вероятностью события А при наступлении события В называется
Р(АВ)
величина, обозначаемая Р(/1|В) и определяемая равенством Р(Л|В) =
Равенство Р(Д|В) = Р(А') = Рр^ позволяет интерпретировать
условную вероятность как обычную безусловную вероятность, только
заданную не на всем множестве исходов эксперимента, а на
множестве, совпадающем с В.
Пример 2. Двадцать учеников класса писали самостоятельную
работу по математике, состоявшую из двух задач. Положительная
оценка ставилась, если хотя бы одна задача была решена правильно.
После проверки оказалось, что первую задачу правильно решили
70%, вторую — 60%, обе задачи —40% учеников класса. С какой
вероятностью можно утверждать, что ученик правильно решил
первую задачу, если известно, что он получил за самостоятельную
работу положительную оценку?
А Рассмотрим события: = {ученик правильно решил первую
задачу}, Дз — {ученик правильно решил вторую задачу} и А = {ученик
получил положительную оценку}. Нужно найти Р(Д1|Д).
Согласно определению условной вероятности Р(Д]|Д) =
Р\А)
Заметим, что А = Ai + А2 и А\А = А[ (Д1 -+ А2) = AjA} + Д1Д2 =
= А[ +Д1Д2— Д1- По условию Р(Д1) = 0,7, РНз) — 0,6, Р(ДИ2) = 0,4,
следовательно,
р(А, i/п = ЛЛ1) = P(Ai) = 0,7 = 7
v 11 7 /’б'Ь+Лг) Р(А[)+Р(А2)-Р(А[А2) 0,7 + 0,6-0,4 9’
Ответ. А
9
Пример 3. Известно, что при подбрасывании двух игральных
костей не выпало ни одной единицы. С какой вероятностью можно
утверждать, что хотя бы на одной кости выпала шестерка?
§3. Условная вероятность. Независимость событий 319
А Рассмотрим события: А = {хотя бы на одной игральной кости
выпала шестерка}, В = {ни на одной игральной кости не выпала
единица}. Для поиска условной вероятности Р(Д|В) используем
вспомогательный эксперимент, организованный с учетом того, что
событие В произошло. Этот эксперимент можно интерпретировать как
упорядоченный выбор с возвращением двух элементов из множества
{2,3,4,5,6}. Его исходами будут размещения с повторениями из 5
по 2. Их число N (1У) = 52 = 25.
В рамках этого вспомогательного эксперимента рассмотрим со-
бытия А' = {хотя бы на одной игральной кости выпала шестерка}
и противоположное ему событие А = {ни на одной игральной кости
не выпала шестерка}. Исходами, благоприятствующими событию А ,
являются упорядоченные выборки с возвращением двух элементов
из множества {2,3,4,5}, т. е. размещения с повторениями из 4
по 2. Значит, N (Д ) = 42 = 16 и Р(А ) = Следовательно,
\ / \ / 25
Р(Д') = 1-Р(д') = ^. Таким образом, Р(А\В) = Р(Д') =
О т в е т. X. А
Формула умножения вероятностей
Из формулы Р(А\В) =
по)
следует формула умножения вероятностей
Р(АВ) = Р(В)Р(А\В).
Последняя формула обобщается на случай произведения п событий:
Р(Д1Д2...ДЛ) = Р(Д1)Р(Д2|Л1)Р(Д3|Д1Д2)...Р(ДЛ|Д|Д2...ЛЛ_1).
Пример 4. Из коробки, содержащей 6 белых и 4 красных шара,
наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления
красного шара. Найти вероятность того, что придется производить
четвертое извлечение, если каждый извлеченный шар: а) отклады-
вается в сторону; б) возвращается обратно в коробку.
А Рассмотрим события Д( = {при г-м извлечении вынут белый шар}
(/ = 1,2,3). Событие А = {придется производить четвертое извлечение}
представляет собой произведение этих событий: А = Д1Д2Дз- По
теореме умножения вероятностей имеем:
Р(Д1Д2Дз)-РИ1)Р(Д2|Д1)Р(Д3|Д1Д2).
а) Пусть после извлечения шары откладываются в сторону.
Очевидно, что P(Ai) = Если событие Д] произошло, то ко
320 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
второму извлечению в коробке осталось 9 шаров, из которых
5 —белые, следовательно, Р(Л2И1) — |- Если произошло
событие А}А2, т. е. и в первый, и во второй раз извлекли
белый шар, то к третьему извлечению в коробке осталось 8
шаров, из которых 4 —белые, следовательно, Р(Лз|Л1Л2) — I-
О
Таким образом, Р(Д) = Р(Л1Л2^з) = | = |-
б) Если после извлечения шары возвращаются в коробку, то
перед каждым извлечением в коробке лежат 10 шаров, из
которых 6 —белые. Следовательно, P(Ai) = -^, Р(Л2И1) ~
= />(Л3|Л ,Л2) = А и, значит, Р(Л) = Р(Л|Л2Л3) =
= А . А . А = о,216.
10 10 10 ’
Ответ, а) б) 0,216. ▲
О
Независимые события
События А и В называются независимыми, если Р(АВ) — Р(Л) • Р(В).
События Ai,A2,...,An называются независимыми в совокуп-
ности, если для любых k из них выполняется соотношение
Р(Л(, • Ai2 •... • Aik) = Р(Л(1) • P(Ai2) •... • P(Aik).
В частности, если события Д[,А2, • • -,Ап независимы в совокупности, то
Р(Л1 -А2 •... -Ап) = Р(Д1) • РИг) •... • PfA?). Это равенство называют формулой
умножения вероятностей для независимых событий.
Если события А[,А2,...,Ап независимы в совокупности, то они и по-
парно независимы, т. е. /’(Д/Ду) = P(Ai)P(Aj) для любых различных i и /
( i,j G {1,2,..., и}). Обратного в общем случае утверждать нельзя, т. е.
попарно независимые события А\,А2,. - .,Ап могут и не быть независимыми
в совокупности.
Пример 5.
а) Показать, что если А и В — независимые события и Р(Д)^0,
Р(В)^0, то Р(Д|В) = Р(Д), Р(В|Д) = Р(В).
б) Показать, что если выполняется одно из равенств
Р(А\В) = Р(А) или Р(В\А) = Р(В), то А и В — независимые
события.
Д а) Пусть А и В — независимые события и Р(Д) 0, Р(В) 0.
Тогда Р(Д|В) = Р-Ш = = Р(А), Р(В\А) = =
= Р(В)Р(А) = p(R}
Р(А) k h
§ 3. Условная вероятность. Независимость событий 321
б) Пусть Р(А\В) = Р(А). Тогда = Р(Д), откуда Р(АВ) =
= Р(А) • Р(В), следовательно, А и В — независимые события.
Для случая Р(В\А) — Р(В) рассуждения аналогичны. ▲
Пример 6. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта.
Наблюдаемые события: А = {вынутая карта —дама}, В = {вынута
карта красной масти}, С= {вынутая карта — фигура (т. е. валет, дама,
король или туз)}. Установить, зависимы или независимы следующие
три пары событий: А и В, А и С, В и С. Выяснить, являются ли
события Л, В и С независимыми в совокупности.
А Имеем: Р(Л) = 1, Р(В)='-, Р(С) = ^, Р(АВ) = Т Р(ВС) = 1 Р(АС) =' 10 У У Р(ЛВ) = ± = 1.1=Р(Л).р(В), 10 У 2
значит, А и В — независимые события; = = Р(С),
значит, А и С —зависимые события; Р(ВС)=1 = ^ 1 =Р(В) Р(С),
значит, В и С — независимые события.
Согласно определению, события А, В и С независимы в совокуп-
ности, если они попарно независимы и Р(АВС) = Р(А) • Р(В) • Р(С\
А и С —зависимые события, следовательно, А, В и С не являются
независимыми в совокупности. ▲
Замечание. Формула Р(АВ) = Р(Д)• Р(В) позволяет выделять независимые
события в тех случаях, когда модель эксперимента формализована и вероятности
всех нужных событий определены. Однако в практических задачах, связанных
с проведением реальных экспериментов, проверка выполнения этой формулы
не всегда возможна. В таких случаях применяют гипотезу о физической неза-
висимости событий. Например, естественно считать независимыми результаты
стрельбы из двух орудий, бросков нескольких монет или процент брака для
изделий, произведенных на станках разной конструкции.
Пример 7. Три пушки производят по одному выстрелу по мишени.
Вероятность попадания для первой пушки равна 0,8, для второй —
0,7, для третьей — 0,4. С какой вероятностью в мишени окажется
ровно две пробоины?
Л Рассмотрим события Д, = {z-я пушка попала в мишень} (г =
= 1,2,3). Событие А = {в мишени оказалось ровно две про-
боины} можно выразить через события Дг- следующим образом:
322 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
А — Д] • А2 • Д3 + Д1 • А2 • Д3 + Д1 • А2 • Д3. В этой сумме
слагаемые — несовместные события, следовательно, можно исполь-
зовать формулу сложения вероятностей несовместных событий:
Р(Д) = Р (Д1 • А2 Лз) + Р (Д i • А2 Д3) + Р (Д1 • Д2 • Дз) • Естественно
считать, что события, составляющие тройки событий Д1,Д2,Дз,
Д1,Д2,Дз и Д],Д2,Дз, независимы в совокупности, поэтому
Р(А) = Р (А\) Р(А3)Р(А3) + Р(А\) Р (А^) Р(А3) + Р(А\) Р(А<^Р (А^).
По условию Р (Д]) = 0,8, Р02) = 0,7, Р(Дз) = 0,4, откуда Р(Д]) =
= 0,2, Р (Д2) = 0,3, Р (Д3) = 0,6. Следовательно,
Р(Д) = 0,2 • 0,7 • 0,4 + 0,8 • 0,3 • 0,4 + 0,8 • 0,7 • 0,6 = 0,488.
Ответ. 0,488. ▲
Пример 8. Два игрока по очереди подбрасывают монету. Выиг-
равшим считается тот, у кого первого выпадет герб. Найти вероят-
ности выигрыша для каждого из игроков, если игроки договорились,
что каждый сделает не более 100 подбрасываний.
А Рассмотрим события А^ ={при k-м подбрасывании у первого
игрока выпал герб} и В^ = {при k-м подбрасывании у второго
игрока выпал герб}, k = 1,2,..., 100, а также события Сп = {первый
игрок выиграл, сделав свой п-й ход} и Dn = {второй игрок выиграл,
сделав свой п-й ход}, п = 1,2,..., 100. Тогда Cj = Д1, С2 =Д1 • В\ Д2,
..., Сп — Д1 - Bi •... • Дп_1 -Вп_[ -Ап и D\=A[-B\, D2 = A\-B\-A2-B2,
• • , В)п = А\ • В\ •... • Д^—1 • Вп_[ • Ап • Вп.
События Е = {первый игрок выиграл} и F= {второй игрок выиграл}
можно представить как суммы событий Е = С] + С2 + • • • + Qoo
и F = D[ + D2 + ... + А>юо- Так как в этих суммах слагае-
мые-события несовместные, то по формуле сложения вероят-
ностей получим Р(Е) = Р (Ci) + Р (С2) + ... + Р (Сщо) и P(F) =
= Р (£>i) + Р(D2) + . .. + Р(£)100). События Д/г, Др,Bt,Bq, где индексы
в парах k и р, t и q различны и &,р, /, q G {1,2,..., 100}, независимы
в совокупности, поэтому Р (Сп) = Р (Д1) • Р (В]) •... Р (Bn-i) -Р(Ап)
и Ррп) = Р(А1)-Р(В1)-...-Р(А~п)-Р(Вп). Так как P0fe) = O,5,
Р(Д^) =0,5, /’(Е/г) —0,5, Е(5/г) =0,5 при любом k, то Р(Сп) = 0,52п-1
и Р(ад = 0,52'1.
Таким образом, Р(Е) = 0,5 + 0,53 + ... + 0,52п—1 + ... + 0,5199
и P(F) = 0,52 + 0,54 + ... + 0,52п + ... + О,5200. Полученные для
подсчета Р(Е) и P(F) выражения — суммы 100 членов геометрических
прогрессий, знаменатель которых равен 0,25, а первые члены равны
§ 3. Условная вероятность. Независимость событий 323
0,5 и 0,25 соответственно. Следовательно, Р(Е) = | (1 — О,5100),
P(F) = 1 (1-О,5100).
Ответ. Вероятность выигрыша первого игрока равна
|(1-О,5100), второго — | (1 - О,5100). ▲
Формула полной вероятности
Пусть события Н\, Н^, наблюдаемые в эксперименте с множеством
исходов Q, образуют полную группу попарно несовместных событий (гипотез),
т. е. Н\ + Н% + ... + Hk = Q и при любых различных i и / Н[ • Hj = 0. Тогда для
любого наблюдаемого в данном эксперименте события А справедлива формула
полной вероятности
k
1=1
Пример 9. На складе хранятся 2000 деталей, изготовленных на
первом станке, и 3000 деталей, изготовленных на втором станке.
Известно, что первый станок дает в среднем 0,1% брака, второй —
0,2%. На сборку берется одна деталь со склада. Какова вероятность
того, что она окажется бракованной?
А Рассмотрим события А — {со склада взята бракованная деталь}
и Н[ = {взятая со склада деталь была изготовлена на первом станке},
= {взятая со склада деталь была изготовлена на втором станке}.
Очевидно, что пара событий Н[ и Н% образует полную группу попарно
несовместных событий.
По условию задачи из 5000 деталей, хранящихся на складе,
2000 было изготовлено на первом станке, а 3000 —на втором.
Эти данные позволяют вычислить вероятности гипотез Н\ и Н<2\
Р(Н[) = = 0,4, Р(//2) — = 0,6. Также согласно условию
Р = 0,001, Р(Л|Я2) = 0,002.
По формуле полной вероятности находим:
Р(Д)=Р(//1)Р(Д|#1) + Р(//2)Р(Д|/72) = 0,4-0,001 + 0,6-0,002 = 0,0016.
Ответ. 0,0016. ▲
Пример 10. В ящике лежат 16 теннисных мячей, в том числе
10 новых и 6 играных. Для игры из ящика берут два мяча наугад,
а после игры их возвращают обратно в ящик. После этого из ящика
вынимают два мяча для следующей игры. Найти вероятность того,
что оба меча будут играными.
А Помимо интересующего нас события А = {оба мяча, взятые для
второй игры, играные}, рассмотрим три события (гипотезы): Н\ = {оба
324 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
мяча, взятые для первой игры, оказались новыми}, = {один мяч,
взятый для первой игры, оказался новым, а другой — играным},
/Уз = {оба мяча, взятые для первой игры, оказались играными}.
Очевидно, что Н[, и //3 образуют полную группу попарно
несовместных событий и могут быть использованы для подсчета
вероятности события А по формуле полной вероятности.
Найдем вероятности гипотез Н[, и //3.
Опыт, состоящий в случайном выборе двух мячей для первой
игры, можно интерпретировать как выбор без возвращения двух
элементов из 16-элементного множества. По условиям опыта порядок
выбора элементов не важен, поэтому его можно не учитывать. Таким
образом, исходами опыта являются сочетания из 16 по 2. Их число
W (Q) = С26 = 120.
Исходами, благоприятствующими событию Н\, являются неупо-
рядоченные выборки двух новых мячей из десяти. Следовательно,
= Cfn = 45 и Р(Н\) = 177Х = Исходами, благоприятствующими
120 8
событию //3, являются неупорядоченные выборки двух играных мячей
из шести. Следовательно, 7V (Л/3) = С? = 15 и Р(Н^) = Так
как Н[, и //3 образуют полную группу событий, то сумма их
вероятностей равна 1, так что Р (Н2) = i — Р (Н\) — Р(Н^) =
Чтобы найти условные вероятности события А при наступле-
нии Hi, используем метод вспомогательного эксперимента. Если
произошло событие Н\, то вспомогательный эксперимент состоит
в извлечении двух мячей из ящика, содержащего 8 новых и 8
играных мячей. Его исходами являются сочетания из 16 по 2, число
которых равно = 120. В рамках этого эксперимента событие,
состоящее в том, что оба мяча, взятые для второй игры, играные,
образовано выборками двух мячей из восьми играных. Число таких
выборок равно С| = 28. Следовательно, Р(А |/7i) = . Рассуждая
С2 7 С2 1
аналогично, найдем Р(А|/72) = = тт? и Р(А|/73) = -£ = -.
Чб 40 с1б 8
По формуле полной вероятности имеем:
Р(А) = P(Ht )Р (Д |//j) + Р(Н2)Р (А |Я2) + Р(Н3)Р (Д\Н3) =
= з . ± + 1. Z + 1.1 =«_« 0,1906.
8 30 2 40 8 8 320 ’
Ответ. ~ 0,1906. А
§3. Условная вероятность. Независимость событий 325
Формула Байеса
Пусть в случайном эксперименте событие А может произойти только вместе
с одной из гипотез Hi, t = 1,2, Предположим, что событие А произошло.
Тогда условную вероятность осуществления гипотезы Hi при наступлении
события А можно рассчитать по формуле Байеса
P(HlW=P™P™» , „ли Р№|Л)= .
Р[А) SPWi)P(A\Hi)
/=1
Пример 11. Статистические данные показывают, что 95% всех
изделий некоторого производства удовлетворяют стандарту. Пред-
лагается упрощенная система контроля качества, которая с ве-
роятностью 0,03 классифицирует стандартное изделие как брако-
ванное и с вероятностью 0,06 расценивает бракованное изделие
как стандартное. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее
упрощенный контроль с положительным результатом, удовлетворяет
стандарту?
Д Рассмотрим событие А = {изделие прошло упрощенный контроль
с положительным результатом} и гипотезы Н\ = {изделие удовлетво-
ряет стандарту}, = {изделие не удовлетворяет стандарту}. Задача
состоит в нахождении Р(Н\\А).
Согласно условию задачи Р(Н[) = 0,95, Р(Н2) = 0,05,
Р И|/71) = 0,97, Р (4 |/72) — 0,06. По формуле Байеса находим:
Р (Hi\A) =------т)^(Ж)----------=-------°>95' °>97-~ о,9968.
1 Р(НАР(А\НА+Р(Н2)Р(А\Н2) 0,95 0,97 + 0,05 0,06
Ответ. «0,9968. ▲
Пример 12. В урне лежал шар неизвестного цвета — с равной
вероятностью белый или красный. В урну опустили один белый
и один красный шар и после тщательного перемешивания наудачу
извлекли из нее один шар. Он оказался белым. Какова вероятность
того, что в урне остались шары одного цвета?
Д Рассмотрим событие А = {шар, извлеченный из урны, —белый}
и гипотезы Н[ = {в урне лежал белый шар}, Я2 = {в урне лежал
красный шар}. Если событие А произошло, то в урне никак не
могло остаться двух шаров белого цвета, а два красных шара там
могли оказаться только в том случае, если изначально в урне
лежал шар красного цвета. Следовательно, вопрос задачи можно
интерпретировать как определение Р(Н2\А).
По условию Р(Н[) = |, Р(//2) = Чтобы найти условные
вероятности события А при наступлении Н\ и Я2, используем метод
326 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
вспомогательного эксперимента. Если имело место событие Н[, то
к моменту извлечения шара из урны в ней лежали два белых и один
красный шар, следовательно, вероятность извлечь из нее белый шар
9
равнялась -. Если имело место событие Н%, то к моменту извлечения
шара из урны в ней лежали два красных и один белый шар, значит,
вероятность извлечь из нее белый шар равнялась
Таким образом, имеем: Р{Н\) = |, Р(Н%) — |, Р (A|//j) =
P(A\Hz) = ^. По формуле Байеса находим:
P№W= , 2 1 =Т
2 ‘ 3 + 2 ‘ 3
Ответ. |. А
§4. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Говорят, что эксперимент проведен по схеме Бернулли, если он представляет
собой серию одинаковых испытаний, удовлетворяющих следующим условиям:
1) в каждом испытании может быть два исхода: появление определенного
события А (его называют успехом) или противоположного ему события
А (его называют неудачей);
2) испытания являются независимыми, т. е. вероятность успеха в каждом
испытании не зависит от исходов в других испытаниях.
Исходами эксперимента, проведенного по схеме Бернулли, являются_все-
возможные упорядоченные наборы длины п, состоящие из событий А и А.
Пусть эксперимент, проведенный по схеме Бернулли, состоит из п испытаний,
и р — вероятность успеха в каждом испытании (и, следовательно, q = 1 — р —
вероятность неудачи). Тогда вероятность Pn(k) того, что в этом эксперименте
успех будет наблюдаться ровно k раз, можно вычислить по формуле Бернулли-.
P„(k) =
Пример 1. Пара игральных костей подбрасывается 8 раз. Какова
вероятность того, что пять раз сумма очков, выпавшая на костях,
окажется четной?
А Эксперимент можно рассматривать как последовательность восьми
независимых испытаний, каждое из которых представляет собой
бросок двух игральных костей и фиксацию очков, выпавших на их
верхних гранях. Под успехом испытания будем понимать событие
А, состоящее в том, что сумма очков, выпавших на верхних гранях
костей, — четное число.
Вычислим вероятность р успеха в одном испытании. Исходами
каждого испытания являются упорядоченные выборки двух элементов
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 327
из множества {1,2, 3,4,5, 6}, в которых элементы могут повторяться,
т. е. размещения с повторениями из 6 по 2, общее число которых
равно 62 = 36. Нетрудно подсчитать, что число исходов, благопри-
ятствующих событию А, равно 18. Следовательно, Р(А) = т. е.
Р = Ч= I-
Таким образом, можно считать, что эксперимент проведен по
схеме Бернулли с общим числом испытаний, равным восьми,
и вероятностью успеха в одном испытании, равной |. Вероятность
того, что сумма очков, выпавшая на костях, окажется четной ровно
в пяти испытаниях, найдем по формуле Бернулли:
р /г\ 7 1 \ ° / 1 \ J 7
P8(5)-C8^J (jJ
Ответ. А
32
Пример 2. На сборку поступили 12 деталей из партии, в которой
10% всех деталей не удовлетворяет стандарту. Найти вероятность
того, что на сборку попадет хотя бы одна бракованная деталь.
Д Рассмотрим эксперимент, состоящий из двенадцати испытаний.
В первом испытании проверяется, удовлетворяет ли стандарту первая
деталь, во втором такой же проверке подвергается вторая деталь,
в третьем — третья и так далее (заметим, что порядок, в котором
берутся детали, не имеет значения). Под успехом испытания будем
понимать событие А, состоящее в том, что деталь удовлетворяет
стандарту. По условию р = Р(А) = 0,9.
Наряду с интересующим нас событием В = {в партию попала
хотя бы одна бракованная деталь} рассмотрим противоположное ему
событие В = {в партии все детали стандартные}. Другими словами,
событие В состоит в том, что во всех 12 испытаниях произошел
успех. Вероятность события В вычислим по формуле Бернулли:
р (в) = Р12(12) = СЦ (0,9)12 (0,1)° « 0,2824.
Значит, Р(В) = \-Р(В)^ 0,7176.
Ответ. « 0,7176. А
§5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Понятие случайной величины
Рассмотрим эксперимент с множеством исходов Q. Случайной величиной
£ называют функцию, которая каждому исходу со из множества Q ставит
в соответствие некоторое действительное число.
328 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Ограничимся рассмотрением случайных величин, множество значений ко-
торых конечно. Такие случайные величины называют дискретными (следует
заметить, что дискретными также называют случайные величины, множество
значений которых счетно, но мы такие величины рассматривать не будем).
Каждому значению х, случайной величины соответствует некоторое
событие, наблюдаемое в эксперименте. Это событие будем обозначать {£=%(},
а его вероятность Р{^ = Х[} или р,. Перечень всех возможных значений
случайной величины и соответствующих этим значений вероятностей называют
законом распределения случайной величины.
Пример 1. Эксперимент состоит в подбрасывании игральной
кости и фиксации выпавшего на верхней грани числа. Задать на
множестве исходов этого эксперимента какие-нибудь две случайные
величины. Для каждой из них записать закон распределения.
А Исходами данного эксперимента являются числа 1,2, 3,4, 5, 6.
а) Определим случайную величину % следующим образом: £=0,
если выпало нечетное число очков, и <f=l, если выпало четное
число очков.
В событие {£ = 0} входят исходы 1, 3, 5. Следовательно,
Pl = Р {£ = 0} = | = 0,5. В событие {£ = 1} входят исходы 2,
4, 6. Следовательно, р% = Р {£ = 1} = | = 0,5. Зададим закон
распределения в виде таблицы:
Xi 0 1
Pi 0,5 0,5
б) Определим случайную величину р следующим образом:
7) = —1, если выпала единица, Г) = 0, если выпало простое
число, 17= 1, если выпало составное число.
Событие {77= —1} состоит из одного исхода 1;
Pi=P{fj= — 1} = |. Событие {г) = 0} состоит из исходов 2, 3,
5; Р2 — Р {?) = 0} = | Событие {г) = 1} состоит из исходов
4, 6; рз = Р{г)= 1} = | = |. Зададим закон распределения
в виде таблицы:
-1 0 1
Pi 1 6 2 2 1 з
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 329
Функция распределения и числовые характеристики
случайной величины
Пусть случайная величина, наблюдаемая в эксперименте с множеством
исходов Q. Возьмем любое конкретное действительное число х и рассмотрим
исходы со, для которых выполняется неравенство £(о>) < х. Эти исходы образуют
некоторое подмножество множества Q, т. е. неравенством £(<о)<х определяется
некоторое событие, наблюдаемое в данном эксперименте. Рассмотрим функцию,
которая каждому действительному числу ставит в соответствие число, опре-
деляемое формулой F^(x) = Р {£(<о) < х}. Эту функцию называют функцией
распределения случайной величины
Математическим ожиданием Л4(£) дискретной случайной величины £,
принимающей значения xj,X2, .,хп с вероятностями р\,р%,...,рп, называется
число, вычисляемое по формуле
М(£) = Х\р\ + Х%Р2 + . . . + ХпРп-
Дисперсией D(£) дискретной случайной величины £, принимающей значения
Х[,Х2, -,хп с вероятностями р\,р2, • • -,Рп, называется число, вычисляемое по
формуле
D& = (х, - Л4(£))2 р, + (х2 - Л4(£))2 р2 +... + (хп - М(£))2 рп.
Функция распределения полностью описывает случайную ве-
личину, т. е. по функции распределения можно определить все
возможные значения случайной величины и найти вероятности,
с которыми случайная величина эти значения принимает.
Математическое ожидание и дисперсия выражают лишь некото-
рые особенности распределения случайной величины. Математиче-
ское ожидание дает представление о числе, вокруг которого группи-
руются значения случайной величины с учетом того, что значения
наблюдаются в эксперименте с разными вероятностями. Дисперсия
дает представление о степени разброса значений случайной величины
вокруг математического ожидания.
Пример 2. Из ящика, содержащего 3 красных и 5 синих шаров,
случайным образом и без возвращения отбираются 2 шара. Случайная
величина число синих шаров в выборке.
а) Задать таблицей закон распределения £.
б) Найти Р {% < 1} и Р 1,5}.
в) Найти функцию распределения случайной величины £ и по-
строить ее график.
г) Вычислить математическое ожидание и дисперсию %.
Л а) Случайными исходами описанного опыта являются неупоря-
доченные выборки без возвращения двух шаров из восьми,
т. е. сочетания из 8 по 2. Следовательно, M(Q) = Cg = 28.
По условию случайная величина £ принимает три значения:
О, 1, 2. Исходами, благоприятствующими событию {£=0},
13-1367
330 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
являются неупорядоченные выборки двух красных шаров
из трех. Число таких выборок равно трем, следовательно,
Р{^=0} = Исходами, благоприятствующими событию
28
{£= 1}, являются неупорядоченные выборки, в которые входят
один синий и один красный шар. Число таких выборок равно
3-5 = 15 (здесь 3 —число способов выбрать красный шар
из трех, 5 —число способов выбрать синий шар из пяти),
следовательно, Р{£=1} = ^|. И, наконец, исходами, благо-
28
приятствующими событию {£= 2}, являются неупорядоченные
выборки двух синих шаров из пяти. Число таких выборок
= 10, следовательно, Р {£ = 2} = .
Запишем закон распределения £ в виде таблицы:
X/ 0 1 2
Pi 28 15 28 5^ 14
б) Событие {£ < 1} совпадает с событием {£=0}, и, значит,
Р{£< 1} = =0} = А
Событие {£^1,5} можно представить как сумму двух
несовместных событий {£=0} и {£=1}, следовательно,
р{?<1,5} = /’И=о}+/’И=1} = А+'| = ||= 9
в) Построим функцию распределения случайной величины
1) при х < 0 /\г(х) = Р{£(й)) < х} = О, так как ни одного
исхода, для которого £(о>) < х, нет;
2) при 0<х^1 /^(х) = Р{£(щ) <х} =Р{£ = 0} = А;
3) при1<х^2 ^(х) = Р{£(со) < х} =Р{% = 0} +Р{% = 1} =
_ 18 _ jL
28 14’
4) при х > 2
^(х) = Р{^(щ)<х} = Р{^=0} + Р{^=1} + Р{^=1} = 1.
График функции распределения представлен на рис. 8.
г) Ж) = 0.1 + 1.1| + 2.А = g = 11;
D(E) = fo - - V • — + fl--V- — + f2--V’- = — ▲
V 4 J 28 + V 4/ 28 + V 4J 14 112' A
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 331
1
9/14
3/28<
О
Рис. 8
Пример 3. Известно, что только один ключ из четырех подходит
к данной двери. Последовательно опробуют ключи для открывания
замка.
а) Задать таблицей закон распределения случайной величины
£ —числа проб, понадобившихся для открывания замка.
б) Найти Р{£<2} и Р{£>2}.
в) Найти функцию распределения случайной величины £ и по-
строить ее график.
г) Вычислить математическое ожидание и дисперсию
А а) По условию случайная величина £ принимает четыре значения:
1, 2, 3, 4. Рассмотрим события А^ = {&-й ключ подошел},
£ = 1,2,3,4.
Событие {£=1} совпадает с событием /Ц, Р{£= 1} =
= Р(Л1) = {. _
Событие {£= 2} = Д1 • Д2, следовательно, по формуле умно-
жения вероятностей Р{^— 2} = Р (Д i • Д2) = Р 1) Р (^2И1) =
= 3 £ _ 1
4 3 4’ __ ___
Событие {£= 3} = Д] • Д2 • Д3, следовательно, по фор-
муле умножения вероятностей Р {^ — 3} = Р (Д1 • Д2 • Д3) =
= Р(А7)Р(ВД = 114 = |.
Событие {£= 4} = А[ Д2 • Д3 • Д4, следовательно, по фор-
муле умножения вероятностей Р{£ = 4} = Р (Д] •Д2•Д3• Д4) =
= Р (Д?) Р (Д^|Д?) Р (Д^| (д? Д^)) Р (Д4| (д? д? ЛО) =
_ 3 2 | 1
4’3’2 4’
Запишем закон распределения £ в виде таблицы:
%; 1 2 3 4
Pi 4 4 4 4 4 4 4 4
332 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
б) Р{£<2] = P{i= 1} = 1.
P{f>2}=P{f=3} + P{f=4} = l.
в) Построим функцию распределения случайной величины
1) при х 1 F^(x) — 0;
2) при 1<х^2 F?(x) = P{f=l} = 1;
3) при 2<х^3 Ff(x) = P{i= 1} + P{f = 2} = 1;
4) приЗ<х^4 ff(x) = P{f=l}+P{f=2}+P{f=3} = |;
5) при х>4 Ff(x) = P{f = 1} + P{f=2} + P{f=3} +
+ P {£ = 4} = 1.
График функции распределения представлен на рис. 9.
г) Ж) = 1-1 + 2.1 + 3.1 + 4.1 =
дю=0-1) М(Н) МН) МН) Н-ж
Замечание. Дискретная случайная величина, принимающая значения
1,2,..., и с вероятностями -, называется равномерно распределенной дис-
п
кретной случайной величиной.
Биномиальное распределение
Рассмотрим эксперимент, проведенный по схеме Бернулли, с п испытаниями
и вероятностью р успеха в каждом испытании. Напомним, что исходами
такого эксперимента являются всевозможные упорядоченные наборы длины п,
состоящие из событий А (успеха) и А (неудачи).
Определим на множестве исходов этого эксперимента случайную величину
£ следующим соглашением: каждому исходу поставим в соответствие число,
равное количеству успехов в п испытаниях, т. е. количеству событий А
в наборе, соответствующем данному исходу. Вероятности, с которыми величина
§5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики 333
% принимает свои значения 0, 1, 2, .... п, можно рассчитать по формуле
Бернулли: для любого k, k = 0,1,2,..., п, Р {£ = k} = Pn(k) = Cknpkqn~k Закон
распределения случайной величины £ называют биномиальным распределением.
Пример 4. Монету подбрасывают 3 раза. Случайная величина
£ — число выпадений герба.
а) Задать таблицей закон распределения
б) Найти функцию распределения случайной величины £.
в) Вычислить математическое ожидание и дисперсию
А а) Эксперимент состоит из трех независимых испытаний, в каж-
дом из которых происходит либо успех (выпал герб), либо
неудача (выпала цифра). Вероятность успеха в одном испы-
тании р = 0,5, вероятность неудачи q = 0,5. Таким образом,
можно считать, что эксперимент проведен по схеме Бернулли
с общим числом испытаний, равным трем, и вероятностью
успеха в одном испытании, равной 0,5, а саму случайную
величину £ можно трактовать как число успехов в трех
испытаниях.
Таким образом, случайная величина £ имеет биноми-
альное распределение. Ее возможными значениями явля-
ются числа 0, 1, 2, 3. По формуле Бернулли находим:
РК = 0} = 0,5° 0,53 = 0,125, РК = 1} = С* 0.51 • 0,52 = 0,375,
Р{£ =2} = С20,52-0,51=0,375, Р{% = 3} = С30,53-0,5° = 0,125.
Запишем закон распределения £ в виде таблицы:
Xj 0 1 2 3
Pi 0,125 0,375 0,375 0,125
б) Построим функцию распределения случайной величины £:
1) при х 0 F^x) = 0;
2) при 0 < х 1 F?(x) = P{<f=0} = 0,125;
3) при 1<х^2 Г^(х) = Р{£ = 0} + Р{£= 1} = 0,5;
4) при 2<х^3 F^x) = P{^=Q}+P{^=l}+P{^=2} =
= 0,875;
5) при х > 3 F^(x) = Р {£ = 0} + Р {£ = 1} + Р {£ = 2} +
+ />К=3} = 1.
в) М(£) = 0 • 0,125 + 1 • 0,375 + 2 • 0,375 + 3 • 0,125 = 1,5;
D(g) = (0 - 1,5)2 • 0,125 + (1 - 1,5)2 • 0,375 +
+ (2 - 1,5)2 • 0,375 + (3 - 1,5)2 • 0,125 = 0,75. ▲
334 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
Математическое ожидание и дисперсию случайной величины £,
имеющей биномиальное распределение, можно также вычислить по
формулам
= и D(£) = npq,
которые являются частными случаями общих формул для матема-
тического ожидания и дисперсии.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Контрольная работа XXI.1
по теме «Теория вероятностей» (2 урока)
Вариант 1
1. Из класса, в котором учатся 9 девочек и 11 мальчиков, методом жеребьевки
отбирают группу из 8 человек для поездки в летний лагерь. С какой
вероятностью в группе окажется поровну девочек и мальчиков?
2. Известно, что при подбрасывании двух игральных костей не выпало ни одной
единицы. Какова вероятность того, что произведение очков на выпавших
костях нечетно?
3. На склад поступают болты, произведенные на двух станках, причем 40%
болтов изготавливается на первом станке, а 60% — на втором. Доля брака
в продукции первого станка составляет 6%, а в продукции второго —
4%. С какой вероятностью наудачу взятый на складе болт окажется
качественным?
4. Наудачу взяты два положительных числа, сумма которых меньше пяти.
С какой вероятностью одно число отличается от другого менее чем в четыре
раза?
5. Процент брака в массовом производстве деталей равен 10%. На контроль
взято шесть деталей. С какой вероятностью среди них может оказаться не
менее двух бракованных?
6. Закон распределения случайной величины £ задан таблицей
Xi -1 0 3 4
Pi 0,3 0,1 0,2 0,4
а) Найти функцию распределения случайной величины £ и построить ее
график.
б) Найти Р 0} и Р {£ 2,9}.
в) Вычислить математическое ожидание и дисперсию £.
Вариант 2
1. В корзинке лежат 8 луковиц красных тюльпанов и 10 луковиц желтых
(луковицы неразличимы по виду). Маша взяла 9 луковиц для посадки.
С какой вероятностью среди них могло оказаться ровно шесть красных?
2. При подбрасывании двух игральных костей произведение выпавших очков
оказалось четным. Какова вероятность того, что при этом на костях не
выпало ни одной двойки?
Дидактические материалы 335
3. На сборку поступают однотипные детали, произведенные на двух станках,
причем с первого станка поступает втрое больше деталей, чем со второго.
Какова вероятность попадания на сборку некачественной детали, если
первый станок дает в среднем 7%, а второй — 3% брака?
4. Наудачу взяты два положительных числа, сумма квадратов которых не
превышает четырех. С какой вероятностью сумма этих чисел больше двух?
5. Стрелок, попадающий в мишень с вероятностью 0,6, выстрелил пять раз.
С какой вероятностью в мишени может оказаться менее четырех пробоин?
6. Закон распределения случайной величины % задан таблицей
—2 0 1 4
Pi 0,4 0,1 0,3 0,2
а) Найти функцию распределения случайной величины % и построить ее
график.
б) Найти Р{£ 0,5} и Р{^> 1}.
в) Вычислить математическое ожидание и дисперсию £.
Вариант 3*
1. Колоду из 36 карт случайным образом делят пополам. С какой вероятностью
все дамы попадут в одну половину, а все короли — в другую?
2. На полке стоят 10 пар ботинок. Из них случайным образом отбирают
4 ботинка. Какова вероятность того, что среди выбранных ботинок имеется
ровно одна комплектная пара?
3. Имеются три урны: в первой лежит 6 белых и 4 черных шара, во второй —
3 белых и 5 черных, в третьей —5 белых и 8 черных. Из первых двух урн
вынули по одному шару и переложили в третью, после чего из третьей урны
вынули наугад два шара. Эти шары оказались белыми. С какой вероятностью
из первых двух урн в третью были переложены шары разного цвета?
4. Известно, что при подбрасывании семи игральных костей появилась, по
крайней мере, одна тройка. Какова вероятность того, что появились две
или более тройки?
5. На отрезке [0; 6] случайным образом поставлены две точки. С какой
вероятностью они окажутся дальше друг от друга, чем хотя бы одно
из них от левого конца отрезка?
6. Из урны, содержащей 4 красных и 6 зеленых шаров, вынули три шара.
Случайная величина число зеленых шаров в выборке.
а) Задать в виде таблицы закон распределения случайной величины £.
б) Найти функцию распределения случайной величины % и построить ее
график.
в) Вычислить математическое ожидание и дисперсию £.
Вариант 4*
1. Колоду из 36 карт случайным образом делят пополам. С какой вероятностью
в каждой половине окажется по два туза и хотя бы по одной королеве?
2. На батарее сушатся 12 пар варежек. Из них случайным образом отбирают
6 варежек. Какова вероятность того, что среди выбранных варежек ровно
две комплектные пары?
336 Глава XXI. Элементы теории вероятностей
3. Имеются три урны: в первой лежат 3 белых и 7 черных шаров, во второй —
12 белых и 8 черных, в третьей — 5 белых и 3 черных. Из первой и второй урн
вынули по одному шару и переложили в третью, после чего из третьей урны
вынули наугад два шара. Эти шары оказались разных цветов. С какой веро-
ятностью из первых двух урн в третью были переложены шары одного цвета?
4. Известно, что при восьмикратном подбрасывании игральной кости четное
число очков выпало, по крайней мере, один раз. Какова вероятность того,
что четное число очков выпало не менее чем на 7 игральных костях?
5. На отрезке [—2; 2] случайным образом поставлены две точки. С какой
вероятностью они окажутся ближе друг к другу, чем каждая из них
к середине отрезка?
6. Из пакета, в котором лежат семь карамелек с яблочной и три карамельки
с малиновой начинкой, поочередно вынимают по одной конфете и съедают
ее. Случайная величина число конфет, которое будет съедено, прежде
чем во рту окажется карамелька с яблочной начинкой.
а) Задать в виде таблицы закон распределения случайной величины £.
6) Найти функцию распределения случайной величины £ и построить ее
график.
в) Вычислить математическое ожидание и дисперсию
Ответы
Вариант 1. 1- ~ 0,3301. 2. 0,36. 3. 0,952. 4. 0,6. 5. 0,114265.
6. а) При х — 1 F^(x) = 0; при — 1 < х 0 F^(x) = 0,3; при
0 < х 3 F^(x) = 0,4; при 3 < х 4 F^(x) = 0,6; при х > 4 Fg(x) = 1;
б) Р{£<С0} = 0,4, 2,9} = 0,6; в) М(& = 1,9, £>(<₽) = 4,89.
Вариант 2. 1. « 0,0691. 2. 3. 0,06. 4. 1 - 5. 0,66304.
у 2431 27 я
6. а) При х — 2 F^(x) — 0; при — 2 < х 0 Р^(х) = 0,4;
при 0 < х 1 F^(x) = 0,5; при 1 < х 4 F^(x) = 0,8; при
х > 4 F^(x) = 1; б) Р{^ 0,5} = 0,5, Р{£> 1} = 0,2; в) М(£) = 0,3,
№ = 5,01.
Вариант 3*. 1. « 0,0088. 2. —. 3. — 0,5215.
г 207669 ’ 323 604
4. 0,9998. 5. 0,5.
55987
х(- 0 1 2 3
Pi 1/30 3/10 1/2 1/6
б) при х 0 Р?(х) = 0; при 0 < х 1 Р^-(х) = 1 /30; при 1 < х 2 Р^-(х) = 1 /3;
при 2 < х 3 Р?(х) = 5/6; при х > 3 F^x) = 1; в) Л4(£) = 1,8, = 0,56.
Вариант 4*. 1. 4^-^0,1923. 2. 3. ^-0,4541. 4. А «0,0314.
г 2387 ’ 3059 1187 ’ 255
5. 0,25. 6. а) х,- 0 1 2 3 б) при X 0 Р?(х) = 0;
Pi 7/10 7/30 7/120 1/120
при 0 < х 1 Р^(х) = 7/10; при 1 < х 2 Р^(х) = 28/30; при 2 < х 3
7\г(х) = 119/120; при х > 3 Fr(x) = 1; в) = 3/8, № = 77/192 « 0,4010.
Пр иложение
ПОВТОРЕНИЕ УЧЕБНОГО
МАТЕРИАЛА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОГО
И ВЫСОКОГО УРОВНЕЙ
СЛОЖНОСТИ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ
Данный материал посвящен завершающему этапу изучения углуб-
ленного курса алгебры и начал математического анализа. Пер-
воочередные задачи этого этапа — систематизированное повторение
основных способов и методов решения задач школьного курса
алгебры и начал анализа, диагностика и ликвидация пробелов
в изученных ранее разделах курса математики, финальная подготовка
к сдаче Единого государственного экзамена.
Для решения этих задач предлагается использовать реальные
задания, которые были представлены на Едином государственном
экзамене по математике в предыдущие годы. Целесообразность
организации повторения и систематизации школьного курса алгебры
и начал анализа с использованием избранных задач из вариантов
ЕГЭ прежних лет диктуется несколькими соображениями.
Во-первых, использование материалов ЕГЭ для повторения курса
математики повышает мотивацию выпускников к занятиям (на-
блюдается психологическая отзывчивость учащихся на ощущение
непосредственной связи занятий с уже близкой целью — успешной
сдачей выпускного (вступительного) экзамена).
Во-вторых, учащимся необходимо адаптироваться к некоторой
специфике формулировок, присущей задачам Единого государствен-
ного экзамена и связанной, в первую очередь, с тестовой формой
контроля.
При организации повторения материала следует учитывать, что
очень многие задачи повышенного и высокого уровней сложности
являются по своей сути «смешанными». Это «смешение» относится
и к темам (например, тригонометрические и логарифмические
функции могут присутствовать в одном уравнении или неравен-
стве), и к методам решения задач. Поэтому имеет смысл делать
«комплексное», а не узконаправленное повторение. Учитывая это,
мы предлагаем разбить набор упражнений на пять крупных блоков:
«Преобразование и вычисление значений выражений», «Функции»,
338 Приложение . Повторение учебного материала
«Уравнения и системы уравнений», «Неравенства», «Текстовые за-
дачи». При этом следует иметь в виду, что отнесение того или иного
задания к определенному блоку достаточно условно. В особенности
это касается задач высокого уровня сложности. В решении почти
каждого такого задания имеются и преобразования выражений,
и решение уравнений или неравенств, и, зачастую, требуется
применение методов исследования функций.
Хотелось бы подчеркнуть, что подготовка к ЕГЭ не является
некой обособленной задачей, а служит естественным завершением
всего курса изучения математики. Этап повторения — это самая
верхушка айсберга, имя которому — школьное математическое обра-
зование. При выполнении заданий повышенного и высокого уровней
сложности от выпускника требуется не только продемонстрировать
знание стандартных методов преобразования выражений, исследова-
ния функций, решений уравнений и неравенств, но и показать умение
анализировать условие, переформулировать его, соотносить данные
и требования задания, выводить из условия различные следствия
и т. п. Владение этими умениями предполагает высокий уровень
математического мышления, на развитие которого и был направлен
углубленный курс алгебры и начал анализа, представленный учебно-
методическим комплектом, частью которого является данное пособие.
§1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ
ЗНАЧЕНИЙ ВЫРАЖЕНИЙ
Алгебраические преобразования лежат в основе решения многих
задач из различных разделов математики. Поэтому повторению этого
материала следует уделить должное внимание. В процессе повторения
учащиеся, как минимум, должны вспомнить все основные формулы
(сокращенного умножения, свойства степеней и логарифмов, триго-
нометрические тождества) и повторить основные приемы и способы
преобразований.
Как известно, в целом ряде случаев упрощение зависит от того,
на каком множестве чисел выполняются действия. В первую очередь,
это касается раскрытия знака модуля. В систему упражнений следует
обязательно включить ряд тренировочных заданий, которые помо-
гут акцентировать внимание школьников на этом обстоятельстве.
Приведем пример одного из таких упражнений.
Пример 1. Найдите значение выражения д/25 — 10 • 6х + 36х —
-6х -1,5, если 4х = 13.
А Преобразуем выражение:
л/25-10-6-* + 36х — 6х -1,5 = У (5 -6 х)2 -6х -1,5 = |5 - 6Х| - 6х -1,5.
§1. Преобразование и вычисление значений выражений 339
Дальнейшее упрощение выражения связано с раскрытием знака
модуля. Чтобы раскрыть знак модуля, необходимо определить знак
выражения 5 —6х.
Если 4х = 13, то х = log4 13. Так как функция log41 возрастает на
всей области определения, то log4 13 > log4 4, и, значит, х = log4 13 > 1.
Так как функция 6* возрастает на всей области определения, то
61 < 6х, и, следовательно, 5 — 6х < 0 и |5 — 6х | = 6х — 5.
Таким образом, |5 — 6Х| — 6х — 1,5 = 6х — 5 — 6х — 1,5 = —6,5.
Ответ. —6,5. А
Также следует обратить внимание на преобразования выражений,
содержащих корни четной степени. Особенно часто совершаются
ошибки при преобразованиях корней из произведения и частного.
Справедливы равенства
yfab = yfa y/b, при a О, b 0;
Vab = yf^a • y/^-b, при a 0, b 0.
Поэтому важно учитывать, на каком множестве значений подко-
ренных выражений производятся преобразования.
Пример 2. При каком целом положительном х значение выра-
жения
х — 3 1 + (х — 1) у/х2 — 2х — 3 — х2
у х + 1 х2 — (х + 3) \/х2 — 2х — 3 — 9
ближе всего к 0,66?
А Выполним тождественные преобразования выражения, разложив
на множители числитель и знаменатель второго множителя:
1 + (х-1)\/х2-2х —3 — х2 = (1 — х)(1 +х) + (%- 1)у/(х + 1)(х —3) =
= (х-1) (^/(хН- 1)(х — 3) — (х +1)) ,
х2 — (х + 3) \А2 — 2х — 3 — 9 = (х + 3) (х — 3) — (х + 3) у/ (х + 1)(х —3) —
= (х + 3) ((х — 3) — у/(х + 1)(х —3)) .
Так как по условию х > 0, то х+ 1 > 0. Так как одним из усло-
вий существования исследуемого выражения является выполнение
неравенства (х + 1)(х — 3) 0, то х - 3 0 и справедливы равенства
х + 1 = (у/х + I)2, х — 3 = (у/х - З)2 , у/(х + 1)(х - 3) = у/х + 1 • у/х — 3,
/х - 3 _ Ух-3
V х + 1 Ух + 1 '
340 Приложение . Повторение учебного материала
Таким образом, получаем
(% — 1) (% + 1)(% — 3) — (% + 1)) = (% — 1)л/х + 1 (Vx — 3 — V% + 1) ,
(х + 3) ((х — 3) - \/(х + 1)(х - 3)) = (х + 3)\/х — 3 (Vx — 3 — Vx + 1)
/ х — 3 1 + (х — 1)\/х2 — 2х — 3 — х2 _ у/х — 3
у х + 1 х2 — (х + 3) \/х2 — 2х — 3 — 9 у/х + 1
(х — 1)\/х + 1 (у/х — 3 — у/х + 1) _ х — 1
(х + 3)у/х — 3 (\/х — 3 — у/х + 1) х + 3
при х > 3.
Решая уравнение ^-| = 0,66, получаем х = 8-^. Так как функция
у(х) = = 1 — при х > 3 является возрастающей, то целое
положительное %, при котором значение у(х) ближе всего к 0,66,
равно 8 либо 9. Так как |у(8) - 0,66| = |у(9) - 0,66| =
1 13
и — < —то это искомое значение х равно 9.
150 550
Ответ. 9. ▲
§2. ФУНКЦИИ
Перечислим основные умения, которые нужно актуализировать
в процессе повторения материала, относящегося к разделу «Функ-
ции».
1) Построение графика функции, «чтение» графика, т. е. «перевод»
свойств функции с алгебраического языка на графический
(и наоборот).
2) Основные приемы исследования функций: поиск области
определения, множества значений, нулей, промежутков зна-
копостоянства, точек максимума и минимума. Важно уделить
внимание как методам исследования функций, так и приемам
исследования с использованием производной.
3) Использование свойств функций для решения уравнений
и неравенств.
Пример 1. Даны четная функция у = f(x) и нечетная функ-
ция у = g(x). Найдите сумму корней уравнения f(x) = g(x),
если для всех действительных значений х выполняется равенство
/(х) + g(x) = х2 - 8х — 6.
А Найдем функции /(х) и g(x). Для всех действитель-
ных значений х выполняются равенства /(—%) + g(—x) =
§2. Функции 341
= (-х)2 - 8(-х) - 6,/(-х) + g(-x) - х2 + 8х - 6. Так как функ-
ция /(х) четная, a g(x) нечетная, то /(—х) = f(x),g(—х) = —g(x),
и выполняется равенство /(х) — g(x) = х2 + 8х — 6. Складывая
последнее равенство с равенством /(х) + g(x) = х2 — 8х — 6, получаем
2/(х) = 2х2 - 12, /(х) = х2 — 6. Тогда g(x) = х2 - 8х - 6 — /(х) = —8х.
Уравнение /(х) = g(x) принимает вид х2 — 6 = —8х,х2 + 8х — 6 = 0.
Уравнение имеет два корня, сумма которых по теореме Виета равна
Х1 + Х2 = -8.
Ответ. —8. А
При повторении способов решения задач на нахождение наиболь-
шего и наименьшего значений функции необходимо подчеркнуть, что
в ряде случаев исследование поведения функции элементарными
методами может оказаться значительно проще решения задачи
с применением производной. Поэтому, необходимо повторить свойства
квадратного трехчлена и свойства сложной функции.
Пример 2. Найдите разность между наибольшим и наименьшим
значениями функции у = 2зх ”1 на отрезке [-3;1].
А Функция у = 2* является возрастающей. Поэтому наибольшее
и наименьшее значения функции у = 2зх равны соответственно
У _ 2^тах и у — 2zmin, где £тах и ^min — наибольшее и наименьшее
значения функции f(x) = |х2 — 1 на отрезке [—3;1].
Так как t(x) = |х2 — 1 — квадратичная функция, то наименьшее
ее значение достигается в вершине х = 0. Учитывая, что Об [—3; 1],
получаем /mjn = = — 1, //т,п = 2-1 = Наибольшее значение
функции t(x) = |х2 — 1 достигается на одном из концов отрезка
[—3,1]. Так как /(—3) = 2, £(1) = -|, то taax = 2 и утах = 22 - 4.
Таким образом, Z/max-//min = 4 — 0,5 = 3,5.
Ответ. 3,5. А
Пример 3. Найдите множество значений функции у = sin 2х,
если хе [arctg 0,5; arctg 3].
А Пусть / = 2х. Множество значений функции у = sin 2х на отрезке
[arctg 0,5; arctg 3] совпадает с множеством значений функции // sin /
на отрезке [2 arctg0,5; 2 arctg3]. Функция у — sin / определена
и непрерывна на любом отрезке [а;/?] числовой оси, следонагелию,
множество ее значений на отрезке [а;Ь] есть отрезок, левый конец
которого совпадает с наименьшим, а правый с наибольшим значением
функции у = sin t на отрезке [а;Ь].
342 Приложение . Повторение учебного материала
Функция arctgx возрастает на множестве R и принимает значения
из интервала следовательно, arctg0 < arctg0,5 < arctg 1
и arctg 1 < arctg3 < Таким образом, справедливы оценки
Ср < arctg3 < р т. е. 0 < 2arctgO,5 < р
д. Следовательно, функция у = sin t возрастает на
и убывает на отрезке 2 arctg з], достигая
при х = р а наименьшего значения на
[2 arctg 0,5; 2 arctg 3]. Значит, чтобы найти
0 < arctg 0,5
< 2 arctg 3 <
отрезке |^2 arctg 0,5; -
наибольшего значения 1
одном из концов отрезка
наименьшее значение функции у = sin t на данном отрезке, достаточно
сравнить ее значения на его концах.
Вычислим значения sin (2 arctg0,5) и sin (2 arctg3).
Если а = arctg0,5, то tga = 0,5 и sin (2 arctg0,5) =
- sin 2а = 2tg9 = 2-0,59 = 0,8.
1 + tg2 а 1+0,52
Если )3 = arctg 3, to tg/3 = 3 и sin (2 arctg 3) = sin 2/3 = 2 =
= ———2 = 0,6.
i + з2
Таким образом, наименьшее значение функции у = sin t на
отрезке [2 arctg 0,5; 2 arctg 3] равно 0,6. Учитывая, что ее наибольшее
значение, как было показано ранее, равно 1, заключаем, что искомое
множество значений есть отрезок [0,6; 1].
Ответ. [0,6; 1]. А
Пример 4. Найдите множество значений функции
.. 9______/ 3>/2+- sinх — cosx \
у = - arccos --------=------ .
тт у 4-У2 /
А Преобразуем выражение sinx —cosx методом введения вспомо-
гательного угла:
/л ( • v2 \ fci ( лА
sinx — cosx = V2 — sinx — A- cosx = v2sin x — - .
\2 2 J \ 4/
Множество значений функции y = sin t — отрезок [—1; 1]. Следо-
вательно, выражение
до а/2, а выражение
4\/2. Таким образом,
отрезок [0,5:1].
sinx —cosx принимает все значения от — v2
За/2 + sinх — cosx — все значения от 2а/2 до
_________ _______л 3\/2 + sinx — cosx
множество значении дроби
4л/2
§2. Функции 343
Функция arccos/ определена, непрерывна и монотонно убы-
вает отрезке [ —1;1], следовательно, при изменении аргумента
от 0,5 до 1 значения арккосинуса изменяются от arccos 0,5 до
arccos 1, т. е. от до 0. Поэтому множество значений функции
g ( Зл/2 + sin х — cosx\ г„
у — - arccos I------------ I — отрезок [0;
Ответ. [0;3]. А
При повторении темы «Дифференцирование» следует уделить
особое внимание задачам на геометрический и физический смыслы
производной и чтение графика производной. При исследовании функ-
ции с помощью производной часто допускаются ошибки в нахождении
области определения функции и ее производной. При преобразовании
выражения, задающего функцию, область допустимых значений
аргумента получившегося в итоге выражения может оказаться шире
области определения функции.
Пример 5. Найдите точки минимума функции
у = (о,6^°^ _ 2х) (О,6а/о^ + 2%) + 2х4 _ 0,36^~А
А Функция определена на промежутке D(y) = (—оо; 0,5] и диффе-
ренцируема на интервале D(y’) = (—оо; 0,5). Преобразуем функцию
у = (о,6^~~х - 2х) (0,6+ 2х) + 2х4 -0,36V^ = -4х2 + 2х4
Производная функции равна
у' = 8х3 — 8х = 8х(х — 1)(х + 1).
Производная равна 0 при х = 0 и х = — 1 (точка х = 1 не
принадлежит D(y)). Определив знаки производной, получим: у’ > 0
при х е (—1; 0), у' < 0 при х 6 (-оо; -1) U (0; 0,5), х — -1 — точка
минимума.
Ответ. —1. А
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции часто
используется при решении уравнений и неравенств.
Пример 6. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых неравенство
а - (2х7 + \/бх_7 - 5)
(3 sin у/х — 1 — 4) — а
не имеет решений.
А Введем функции
Дх) = 2х7 + х/бх“7 - 5, D(f) = (-оо; 0) U (0; +оо),
344 Приложение . Повторение учебного материала
и ____
g(x) = 3 sin л/х — 1 — 4, D(g) = [1; +оо).
Нас интересуют те значения а, при которых неравенство
Кх) - а > q
g(x) -а
не имеет решений на множестве D(g) — общей части областей
определения функций /(х) и g(x).
Найдем наименьшее значение функции /(х). Так как х > 0, то
можно воспользоваться неравенством о среднем арифметическом
и среднем геометрическом у/ab при а О, b 0, полагая
а = 2х7, b = у/бх~7. Получим неравенство
2х7 + у/бх~7 > 2^2У^,
равенство в котором достигается при 2х7 = х/бх~7, т.е. при Xq=
Хо>1, xoGZ)(g). Таким образом, наименьшее значение функции /(х)
равно /min = 2а/2\/6 - 5.
Наибольшее значение функции g(x) равно gmax ——1, оно дости-
гается при sin у/х — 1 = 1.
Сравним наибольшее значение g(x) и наименьшее значение /(х).
Так как \/б > 2, то 2\/2у/6 > 4 и /min > -1 = gmax-
Если <O/rnin> то найдутся такие значения xeZ)(g), при которых
/(х) — а^О. В то же время при всех xe/)(g) выполняется неравенство
g(x) gmax < /min я, т. е. g(x) — а < 0. Следовательно, неравенство
/(*) - а > q
g(x) -а'
имеет решения.
Если а < gmax, то найдутся такие значения xG/)(g), при которых
g(x) — а>0. В то же время при всех xe/)(g) выполняется неравенство
f(x) /min > gmax > а, т. е. /(х) — а > 0. Следовательно, неравенство
&х) - а > 0
g{x) -а
имеет решения.
Если gmax а < /min, то при всех значениях х 6 Z)(g) выполняются
неравенства /(х) — а > 0 и g(x) — а 0, следовательно неравенство
Кх) - а > 0
g(x) -а
не имеет решений.
§ 2. Функции 345
Таким образом, неравенство не имеет решений при а е
G [-1; 2V2?6-5) .
Ответ. 1; 2\/2х/б — 5^ . А
Пример 7. Решить уравнение
х8 + 90 cos(15 — 8х) = 90 cos х2 + (15 - 8х)4.
А Запишем уравнение в виде
х8 — 90 cosx2 = (15 — 8х)4 — 90cos(15 — 8х).
Введем функцию = t4 - 90 cos t. Тогда уравнение принимает вид
/(х2) = /(15 - 8х). Функция f(f) четная. Докажем, что функция
возрастает при О 0. Действительно, f'(t) = 4/3 + 90 sin t и при Oct^n
выполняются неравенства 4f3 > 0, 90 sin t 0, > 0. При t > тс
получаем t > 3, 4f3 > 90, 90 sin t -90, f(f) > 0. Таким образом,
функция f(t) четная, возрастающая при t 0. Тогда уравнение
/(^1) = /(Z2) равносильно уравнению |0| —l^l- Получаем два уравнения
х2 = 15 — 8х и х2 = 8х — 15, решениями которых являются числа
Xj 2 — -4 ± \/зТ, Хз = 3, Х4 = 5.
Ответ. —4 ± \/31; 3; 5. А
При решении задач на оценивание количества решений уравнений
и систем часто используются свойства непрерывных функций. Орга-
низуя повторение темы, целесообразно разобрать примеры решения
подобных задач.
Пример 8. Найдите все корни уравнения 6х3 + 28х2 + 39х + 15 = 0,
при подстановке каждого из которых в уравнение
5 logio+зх (у + 8 + 5) - 3 = + ^-Зх(7 + Зх) + 5 1п(у+5)
получается уравнение относительно у, имеющее более одного корня.
А Найдем допустимые значения х:
'10 + 3x>0, fx>-V’
< Ю + Зх^1, L/-3,
— — Зх(7 + Зх) + 5^0 | 9х3 + 21х2 - 5х - 25 < Q
Решим уравнение 9х3 + 21х2 — 5х — 25 = 0. Заметив, что \ I
является его корнем, разделим левую часть на х I по схеме
Горнера. Получим (х — 1)(9х2 + ЗОх + 25) — 0, (х l)(3v I 5)' О,
5 I 91 'и '*!»
х = 1, х = —-. Решая неравенство ’ k ’ О метолом
интервалов, получаем х е (0; 1] U | .
346 Приложение . Повторение учебного материала
Заметив, что х — — | является корнем уравнения 6х3 4-28х2 4-39х 4-
+ 15 = 0, и разложив его левую часть на множители при помощи
схемы Горнера, получим уравнение
I) (^х2 + ^) = О-
Уравнение 6х2 4-18х 4-9 = О имеет два корня. Согласно теореме
Виета их произведение положительно, а сумма отрицательна, следо-
вательно, оба корня отрицательны, т. е. не принадлежат области
допустимых значений переменной х второго уравнения. Таким
образом, первое уравнение имеет только одно решение х = — при
котором второе уравнение имеет смысл. Подставив это значение во
второе уравнение, получим
5log5(y + 5) - 3 = |, 51og5(i/ + 5) -3-2 = 0.
Рассмотрим функцию /(//) = 5 log5 (у 4- 5) - 3 - . Функция опреде-
лена и непрерывна при у>—5. Так как /(-4) = - 2 < 0, /(20) = 2 > 0,
/(120) = —18 < 0, то в силу непрерывности функции уравнение /(z/) = 0
имеет корни на интервалах (-4; 20) и (20; 120). Таким образом,
5 <
при х — — - второе уравнение имеет более одного корня.
О
Ответ. — А
Особую трудность при решении вариантов ЕГЭ вызывают у вы-
пускников задачи, содержащие суперпозиции функций и обратные
функции. При повторении важно разобрать эти задачи, обращая
особое внимание на нахождение множества значений функций.
Пример 9. Для чисел а\, а^, ..., <239 верны равенства an+i =f(an),
n = i, 2, ..., 38. Найти бц, если известно, что 6X39 = 0, а
{у
7 4---=, если х < 7,
, г7. /о 77 \ >7
5 - ; + log2 (8 - —5 ), если 0 7.
«X \ «X | О /
L Введем функции g(x) = 74- ~^—= и й(х) = 5 — — 4- log2 (в — —
Если х < 7, то /(х) = g(x) = 7 4- < 7.
Таким образом, если при некотором k выполняется неравенство
ak < 7, то ak+l =g(ak) < 7, ak+2=g(ak+x) <7, .... 6Z39 =g(a38) < 7.
Если х 7, то /(х) = Л(х) = 5 - — 4- log2 (8 - —• Тогда
выполняются неравенства 0 < 8 — < 8, log2 ^8 — “^3) <3, ~ > О,
§3. Уравнения и системы уравнений 347
5 — — + log2 (~) < 8. Таким образом, выполняется неравенство
х \ х “I- 3 /
/(х) < 8.
И
Если 7 < х < 8, то /(х) = Л(х) = 5 — — -Ь log2 (&------,
х \ х + 3 /
выполняются неравенства
7 > 5, /(х) =
< 3’
= 5 - - + logo (8 - -Д.') < 3 < 7.
х \ х + 3/
Таким образом, если а\ < 7, то ап+\ = g(an) при п = 1, 2, ...,
38. Если сц > 7, то а2 = h(a\) < 8. Если а2 < 7то an+i = g(an) при
п = 2, ..., 38. Если 7 а2 < 8, то = h(a) и ап+[ = g(an) при п = 3,
..., 38. Следовательно в любом случае an+i = g(an) при п = 3, ...,
38.
7
Так как ап+2 = g(g(an)) и g(g(x)) = 7 + -------------- = х, то
выполняются равенства ап^2 = ап при м = 3, . .., 38. Тогда получаем
6z4 = а38 = g(a37) - g(a39) = g(0) = 6.
Ответ. 6. А
§3. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
При повторении данного раздела важно охватить все общие
методы решения уравнений применительно к иррациональным, три-
гонометрическим, показательным и логарифмическим уравнениям
и уравнениям с модулем. В первую очередь речь идет о методе
приведения уравнений к простейшим с помощью преобразования
различных выражений, входящих в заданное уравнение, о методе
разложения на множители, замены переменной, а также о функци-
онально-графическом методе.
В ходе повторения следует обсудить ряд принципиальных во-
просов, связанных с решением уравнений, а именно: какие пре-
образования являются равносильными, какие ведут к уравнениям-
следствиям, а какие могут привести к потере корней.
Рекомендуем обратить внимание учащихся на то, что в вариантах
Единого государственного экзамена задания, практически идентич-
ные в содержательном плане, могут иметь формулировки, значительно
различающиеся по форме. Например, задание, сводящееся к решению
уравнения, может формулироваться так: «Найти абсциссы точек
пересечения графиков функций /(х) и£(х)», или так: «Найти значения
х, при которых значения функций /(х) и g(x) равны».
В задачах повышенного и высокого уровней сложности успех
зачастую определяется рациональностью выбранного способа реше-
348 Приложение . Повторение учебного материала
ния. В некоторых случаях выбор нерационального способа решения
уравнения не только увеличивает время решения задачи, но и на-
столько усложняет ее, что ставит под сомнение получение ответа.
В связи с этим нелишне напомнить учащимся, что не стоит спешить
использовать стандартные приемы. Вначале следует внимательно
проанализировать условие задачи. Типичная ситуация для ЕГЭ —
упрощение задачи (способа задания функции, вида уравнения или
неравенства), связанное с учетом множества чисел, на котором имеет
смысл искать решение задачи. Приведем типичный пример.
Пример 1. Решить уравнение
\/1 — 2х + х2 + \/26 + Зх — 5х2 = х — 1.
А Так как 1 - 2х + х2 = (1 - х)2 и д/(1 — х)2 = |1 - х|, то данное
уравнение можно записать в виде |1 — х| + \/26 + Зх — 5х2 = х — 1.
Далее, казалось бы, естественно использовать стандартный прием
раскрытия знака модуля — рассмотреть уравнение на двух проме-
жутках. Однако этот путь сопряжен с определенными техническими
трудностями. Решение будет существенно проще, если заметить, что
корни уравнения следует искать только на промежутке [1;+оо).
Действительно, так как |1—х| О и \/26 + Зх — 5х2 0 при
всех допустимых значениях переменной, то необходимым условием
равенства выражений, стоящих в левой и правой частях уравнения,
является неотрицательность его правой части. Значит, исходное
уравнение равносильно системе
Г х — 1 + д/26 + Зх — 5х2 = х — 1, Г \/26 + Зх — 5х2 = О
\х — 1 0 \х 1
(26 + Зх — 5х2 = 0 о £
о < ' о х = 2,6.
[х > 1
Ответ. 2,6. ▲
На протяжении всего курса алгебры и начал анализа мы
обращались к применению функционально-графического подхода
к решению уравнений. Многие задачи Единого государственного
экзамена отсылают нас к этой теме. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Решите уравнение -----------------~ 7 s’n Зх.
(sin х + -\/3 cosx) 4
А Так как sinх + д/3cosx = 2sin (х + , то уравнение можно
записать в виде
------------ - sin Зх.
• 9 / тг\
sin (х + J
§3. Уравнения и системы уравнений 349
При всех допустимых значениях х выполняется двойное неравен-
ство 0 < sin2 (х + 1, поэтому -----1, в то время как
\ 3/ . о I , я\
sinz X + -
\ /
sin3x 1. Следовательно, равенство ------/-----— = sin3x достигается
. 9 I
sinz I X + -
\ /
тогда и только тогда, когда обе его части равны 1. Таким образом,
исходное уравнение равносильно системе
sinz (х + - I = 1,
sin Зх = 1.
Из первого уравнения системы находим х = - + тт, п G Z.
Чтобы выяснить, какие из найденных значений х являются также
корнями второго уравнения, вычислим значение sin3x при х = ^ + л:п:
sin (з + тсп)) = sin + Зял). Полученное выражение равно 1
только при четных значениях и, т. е. при п — 2k. Следовательно,
корнями системы, а, значит, и корнями исходного уравнения,
являются значения х = + 2 лг/г, k G Z.
6
Ответ. £ +2л/г, k G Z. А
6
Пример 3. Решите уравнение cosx + cos 16х sinx = v2.
Д Обозначив cos 16х = a, — 1 a 1, запишем уравнение в виде
cosx + <isinx = \/2, после чего преобразуем его левую часть, используя
метод введения вспомогательного угла:
cosx+asinx=\/1 +а2 ( • 1 . cosxT . a sinx ) = v1+a2sin (x + <p)
\vl+a2 уНй2 /
где siny^-n-1- , coscp= ,a . Таким образом, уравнение примет
V 1 + а2 V 1 + а2
вид: х/1 + sin (х + (jp) = у/2, или sin (х + <р) = . Так как
\/1 + а2
— 1 a 1, то справедливы оценки: 0 a2 1, 1 а2 + 1 2,
1 \Л*2 + 1 /2, 1. Значит, уравнение sin(х + (f>) =
V 1 + Я2 V 1 + а2
\/2 , .
может иметь корни, только если -^=-------- = 1, т. е. при а = 1
или а = — 1. Поскольку а = cos 16х, из этого следует, что корни
исходного уравнения находятся среди корней уравнений cos16х = 1
и cos 16х = —1.
350 Приложение . Повторение учебного материала
Если cos 16х = 1, то х = —, где п е Z. Значение х = является кор-
О о
нем исходного уравнения, если верно равенство cos — + sin — = VД
О о
т. е. если sin (7 + =1, 7 + тг = х + 2л:&, п = 2 + 16&, где k G Z.
\4 8 / 4 8 2
Таким образом, при каждом целом k значение х= ^2 ++ 2ти/г
удовлетворяет уравнению.
Если cos 16х = — 1, то х = где nEZ. Значение х = -Д +
1о 8 1b 8
является корнем исходного уравнения, если верно равенство
(И , кп\ . ( 7Г , яп\ /П ( 7Г ( тг . 7ГМ \ \ «
тд + -Г - Sln т? + т = v 2, т. е. если sin 7 - — + — = 1,
16 8 ) \1б 8 ) \4 \16 8//
= £ + 2л:&, k = —2,5 — I6/2. Но последнее равенство невозможно
16 8 2
/ о 7Г тип
ни при каких целых п и k, значит ни одно из значении х — + —
1Ь 8
не является корнем исходного уравнения.
Ответ. 7 + 2лтг, n 6 Z. А
4
Тема, которой следует обязательно уделить внимание — иссле-
дование квадратного трехчлена. Многие задачи из самых разных
разделов математики (исследование экстремальных свойств функций,
решение рациональных, тригонометрических, показательных и ло-
гарифмических уравнений и неравенств) довольно часто сводятся
этому вопросу.
Пример 4. Найдите все целые значения параметра а, при каждом
из которых среди решений уравнения
____Зх 4
____= а есть целые числа.
х2 — 2х + 2
Д Знаменатель дроби не обращается в ноль ни при одном значе-
нии х, следовательно, данное уравнение равносильно уравнению
х2 — Зх + 4 = а (х2 — 2х + 2), которое удобно записать в виде
{а — 1)х2 + х(3 — 2d) + 2а — 4 — 0.
При а — 1 полученное уравнение вырождается в линейное
уравнение х — 2 = 0, имеющее целый корень х = 2. Значит, значение
а = 1 удовлетворяет условию задачи.
При а / 1 имеем квадратное уравнение, у которого имеются
корни только при условии неотрицательности его дискриминанта.
Значит, искомые значения а должны удовлетворять неравенству
(2а — З)2 - 4(2я - 4)(а — 1) 0, откуда 3 а 3+2^- Согласно
условию нас интересуют только целые значения параметра а.
3 — \/2 3 I \/2
Заметим, что 0 < —-— < 1 и 2 < —— < 3, следовательно, на
§3. Уравнения и системы уравнений 351
3-V2 З + л/2 . с>
отрезке —-—; —-— лежат только два целых числа 1 и 2, причем
первое из них нас в рассматриваемом случае не интересует. При
a — 2 получаем уравнение %2 — % = 0, имеющее два целых корня О
и 1. Следовательно, a = 2 удовлетворяет условию задачи.
Ответ. 1; 2. ▲
Рис. 1
Пример 5. Найдите все значения а, для которых при каждом
х из промежутка (2; 4] значение выражения log2 х + 3 log2 х — 7 не
равно значению выражения alog2x.
А Задачу можно переформулировать следующим
образом: найти все значения а, для которых
уравнение log2 х + 3 log2 х — 7 = a log2 х не имеет
корней на промежутке (2; 4].
После замены переменной t — log2x задача
сводится к поиску всех значений а, для которых
уравнение t2 + (3 — d)t — 7 = 0 не имеет корней
на промежутке (1;2].
Начнем с того, что выясним, при каких значениях а уравнение
t2 + (3 - d)t - 7 = 0 имеет корни на промежутке (1; 2]. Пусть
/(/) = t2 + (3 - a)t — 7. Корни исследуемого уравнения — это нули
квадратного трехчлена /(/) и, значит, абсциссы точек пересечения
графика функции у = /(0 с осью абсцисс. График функции у = f(t)
есть парабола, ветви которой направлены вверх, а точка пересечения
с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как /(0) = —7).
Следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках,
лежащих по разные стороны от оси ординат (эскиз графика
изображен на рис. 1). Таким образом, квадратный трехчлен /(0 имеет
два корня: <0 и ^>0- На промежутке (1;2] может лежать только
причем это будет иметь место в том и только в том случае,
когда
Г/(1) < 0, (I2 + (3 - а) • 1 - 7 < 0, (а>-3,
\/(2) 0 [22 + (3 - а) • 2 - 7 0 V 1,5.
Итак, уравнение t2 + (3 — a)t — 7 = 0 имеет корни на промежутке
(1;2] при -3 < а 1,5. Следовательно, уравнение не имеет корней
на данном промежутке при всех остальных значениях а, т. е. тогда
и только тогда, когда а — 3 или а > 1,5.
Ответ. (—оо;-3] U (1,5;+оо). ▲
Решение многих задач высокого уровня сложности предполагает
на определенном этапе исследование функции с помощью производ-
ной.
352 Приложение . Повторение учебного материала
Пример 6. Найдите количество всех решений системы уравнений
г/(1 - %)2 + х3 = О,
2х - = 5 log32 (0,125</2) — 7.
А Решения системы следует искать среди значений переменных х
и у, удовлетворяющих условиям: у > 0, у 1,х 0. При соблюдении
этих ограничений второе уравнение системы равносильно каждому
следующему:
2x-^ = log2(£)-7,
2х — 101°g2V = 2 log2 г/ — 10,
х — 5 |о^2-^ — log2 у + 5 = О,
(х + 5) - (5 + х) = 0,
(х + 5)(1-!^) =0.
Последнее уравнение выполняется в двух случаях, когда х + 5 = 0
и 1 — log2у = 0. Таким образом, исходная система распадается на
две системы:
(у(\ - %)2 +х3
И (2) 1 | _ Iog2 У = Q
+ 5 = 0
125
Система (1) имеет одно решение: х — — 5, у= —.
Рассмотрим систему (2). Если х = 1, то первое уравнение системы
не выполняется ни при одном значении у, значит, систему можно
преобразовать к виду:
р = 2х,
у = 2Х
X3
] И = ___z____ '' 1 -_____= 2х
Г (х-1)2 I (х-l)2
х3
Рассмотрим второе уравнение системы: —--------^ = <2Х-.
х3
Если х> 0 (ху^ 1), то — --^2 <0, 2х > 0, следовательно, уравнение
не имеет корней.
Будем искать корни уравнения в области х<0. Исследуем функ-
х3 х2(3 — х)
цию /(%) =-------s-, для чего найдем ее производную: /'(х) =---
(х-1)2 (x-l)J
Для всех х < 0 выполняется неравенство /'(х) < 0. Итак, на
X3
промежутке (—оо; 0) функция /(%) = - ---убывает, в то время как
§ 4. Неравенства 353
функция g(x) = 2x возрастает. Значит, уравнение /(х) = g(x) имеет
на этом промежутке не более одного корня. Так как /(—2) > g(—2),
а /(—l)<g(—1), то уравнение имеет корень xq 6 (—2; — 1). Значит,
система (2) имеет одно решение x = xq, у = 2х°, причем это решение не
совпадает с решением системы (1). Следовательно, исходная система
имеет ровно два решения.
Ответ. 2. ▲
§4. НЕРАВЕНСТВА
При повторении данного раздела желательно обсудить общие
подходы к решению неравенств применительно к иррациональным,
показательным, логарифмическим, тригонометрическим неравенствам
и неравенствам с модулем.
Рекомендуем обратить внимание на многообразие формулировок
задач, сводящихся в содержательном плане к решению неравенств.
Приведем несколько примеров таких формулировок: «Найти все
значения х, для каждого из которых точка графика функции
у = /(х)лежит выше соответствующей точки графика функции
y = g(x)>, «Найти значения х, при каждом из которых расстояние
между точками графиков функций у = /(х) и у — g(x) меньше
числа А», «Найти все значения х, при котором произведение
выражений А и В отрицательно» и т. п..
В ходе повторения следует обязательно уделить внимание основ-
ным вопросам, связанным с понятием равносильности неравенств,
а также равносильности их систем и совокупностей. Необходимо
включить в систему упражнений неравенства, решение которых
можно свести к перебору случаев, а также неравенства, для решения
которых можно использовать метод замены переменной.
Также будет нелишним повторить метод решения неравенств,
основанный на свойствах непрерывных функций, известный как
обобщенный метод интервалов.
тт 1 г» (25х -3*2 +18) п
Пример 1. Решить неравенство 0.
log4|x-7|-l
А Решим неравенство обобщенным методом интервалов.
„ , х, ч (25х - Зх2 + 18)
Рассмотрим функцию /(х) = ---------------------.
log4 I* - 71 - 1
Найдем ее область определения из условий: х - 1 0, |х - 7| 0,
log4 |х - 7| - 1 ф 0. Получаем: [1; 3) U (3; 7) U (7; 11) U (11;+оо).
Находим нули функции:
{Г25х — Зх2 + 18 = 0, г ,
, Г л X = 1,
|_х/х - 1 = 0 X = 9
Х6 [1; 3) и (3; 7) U (7; 11) U (11; ч-оо) L
354 Приложение . Повторение учебного материала
С учетом найденных нулей в области определения функции
/(х) имеем пять промежутков [1;3), (3;7), (7; 9], [9; 11), (11;+оо),
внутри каждого из которых функция непрерывна и сохраняет знак.
Определим знаки функции в пробных точках из этих промежутков:
/(2) > 0, /(5) < 0, /(8) < 0, /(10) > 0,/(20) < 0. Следовательно, /(х) О
на промежутках [1;3) и [9; 11) (см. рис. 2).
Рис. 2
Ответ. [1;3) U [9; 11).
Выше мы уже отмечали, что формулировки заданий на решение
неравенств могут быть разнообразными. Например, с их помощью
может проверяться умение учащихся переводить свойства функций
с графического языка на алгебраический. Ниже мы приводим
задание, первый шаг в решении которого требует навыков логического
мышления учащихся.
Пример 2.
1) Найдите все положительные значения а, при каждом из
которых наименьшее из двух чисел b = 6а2 (2а~2 - а) - а6
и с = a~G — 6а-3 + 1 не меньше —4.
2) Найдите все значения а, при каждом из которых наибольшее
из двух чисел b — 4а + 23+а — 3 и с = 23-а — 4-а - 9 меньше 6.
^-4,
с -4.
А 1) Наименьшее из двух чисел b и с не меньше —4 тогда и только
тогда, когда каждое из них не меньше -4, т. е. когда
Решим сначала в области а > 0 неравенство b —4. В рас-
сматриваемой области значений а это неравенство равносильно
каждому следующему условию:
12 - 6а3 - а6 + 4 0,
а6 + 6а3 -16^0,
(а3 + 8) (а3- 2) 0,
а3-2^0,
ае (0;^2] .
Решим в области а>0 неравенство с ^-4. В рассматривае-
мой области значений а это неравенство равносильно каждому
§4. Неравенства 355
следующему условию:
а~6 — 6я-3 + 5^0,
5а6 - 6я3 + 1 > 0,
5(аЗ-1)(а3-1),0,
а е ^0; U [1; +оо) .
Пересекая промежутки а £ (0; s/2] и а 6 ^0; U [1; +оо),
получим искомые значения а\ а £ ^0; U [1; \/2].
2) Наибольшее из двух чисел b и с меньше 6 тогда и только
„ (Ь <6,
тогда, когда каждое из них меньше 6, т. е. когда с < g
Решим сначала неравенство b < 6. Это неравенство равно-
сильно каждому следующему условию:
4а + 8 • 2а - 9 < 0,
(2а + 9) (2а - 1) <0,
2а - 1 < 0,
а £ (—оо; 0).
Решим неравенство с < 6. Это неравенство равносильно
каждому следующему условию:
8 • 2-а — 4-а - 15 < 0,
2-2а — 8 • 2-а + 15 > 0,
(2“а - 3) (2“а-5) >0,
[2~а < 3,
|_2-а > 5,
Г-а < log2 3,
[-а > log2 5,
а е (-оо; - log2 5) U (- log2 3; +оо).
Пересекая промежутки
а е (—оо; 0) и а £ (—оо; - log2 5) U (- log2 3; +оо),
получим искомые значения а: а £ (—оо; - log2 5) U (- log2 3; 0).
Ответ. 1) и[1;^2]; 2) ( -oo;-log25)U(-log23;0). ▲
Еще одной важной темой для повторения являются неравенства
с параметром.
356 Приложение . Повторение учебного материала
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из
которых неравенство (х — 2)а2 — (х2 — 2х + 8) а + 8х 0 верно хотя
бы для одного значения переменной хе [4; 6].
А Преобразуем левую часть данного неравенства следующим обра-
зом:
ха2 - 2а2 - х2а + 2ха - 8я + 8х =
= (ха2 - х2а) — 2а(а - х) — 8(я — х) - - (ах - 2а — 8)(я — х).
Исследуемое неравенство примет
вид (а(х - 2) - 8)(я - х) 0. Мы
исследуем это неравенство на проме-
жутке [4; 6]. Для всех значений х из
этого промежутка х — 2 > 0, следо-
вательно, на промежутке [4; 6] исход-
ное неравенство равносильно неравен-
ству (а - (а - х) 0, которое,
в свою очередь, равносильно совокуп-
ности систем:
( < 8 ( > 8
(1) и (2) ^^7^2’
[а х [я х.
Для исследования на промежутке [4; 6] совокупности систем (1),
(2) используем геометрическое описание ее решений, т. е. изобразим
на плоскости хОа множество точек, лежащих внутри полосы 4^х^6,
координаты которых удовлетворяют хотя бы одной из систем (1)
или (2) (на рис. 3 это множество выделено серым цветом).
Искомое множество значений параметра а — это совокупность
ординат точек выделенной области. На основании рисунка заключаем,
что максимальную ординату 6 имеет точка пересечения прямых а = х
и х = 6, а минимальную ординату 2 —точка пересечения гиперболы
8 - с
а = £ и прямой х -- 6.
Ответ. [2;6]. ▲
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при которых
множество решений неравенства я2 + 8я< — -х(х-2я-4) содержит
какой-нибудь отрезок длиной 2, но не содержит никакого отрезка
длиной 3.
§ 4. Неравенства 357
Д Данное неравенство равносильно каждому следующему:
а2 + 8а - — + я2 - 2ах - 4% < О,
X
(а2 - Чах + х2) - 1К2-.2.У + ^1 < о,
(а_х)2_И“_^.<0,
(а-х)2^ <0.
Поскольку при х = а неравенство не выполняется, а при х а
(а —я)2 > 0, то неравенство (а — х)2 < 0 равносильно системе
(х^а
1^<0 откуда 10<х<4.
При а 0 и а 4 множество решений системы — это интервал
(0;4), который содержит отрезок длиной 3. Следовательно, такие
значения а не удовлетворяют условию задачи.
При 0 < а < 4 множество решений системы — это объединение
двух интервалов (0; а) и (а; 4), длиной а и 4 —а соответственно.
Рассмотрим три случая.
1) Пусть 0 < а < 2. Тогда 4 - а > 2 и, значит, интервал
(0;а) не содержит, а интервал (а; 4) содержит какой-нибудь
отрезок длиной 2. При этом интервал (а; 4) не содержит
никакого отрезка длиной 3, если 4 - а 3, т. е. а 1. Итак,
из рассматриваемого диапазона значений а условию задачи
удовлетворяют 1 а < 2.
2) Пусть а = 2. Тогда ни один из интервалов (0; а) и (а; 4)
не содержит отрезок длиной 2, следовательно, а = 2 не
удовлетворяет условию задачи.
3) Пусть 2 < а < 4. Тогда 4 - а < 2 и, значит, интервал (0;а)
содержит, а интервал (а; 4) не содержит какой-нибудь отрезок
длиной 2. При этом интервал (0; а) не содержит никакого
отрезка длиной 3, если а 3. Итак, из рассматриваемого
диапазона значений а условию задачи удовлетворяют 2 < а 3.
Ответ. [1;2)U(2;3]. А
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................ 3
Глава XI. Тригонометрические и обратные тригонометри-
ческие функции .................................................. 5
§ 1. Функции синус и косинус .................................. 6
§2 . Функции тангенс и котангенс.............................. 20
§3 . Обратные тригонометрические функции...................... 27
Дидактические материалы................................... 33
Глава XII. Тригонометрические уравнения и неравенства .. 35
§1 . Простейшие тригонометрические уравнения............ 37
§2 . Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраиче-
ским путем замены переменной.............................. 44
§3 . Метод разложения на множители. Типичные преобразования,
используемые для упрощения тригонометрических уравнений 48
§4 . Метод оценки левой и правой частей уравнения............ 55
§5 . Отбор корней уравнений. Тригонометрические уравнения,
содержащие знаки модуля и корни.......................... 57
§6 . Решение тригонометрических уравнений с параметром. 63
§7 . Решение тригонометрических неравенств................... 65
§8 . Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные
тригонометрические функции............................... 71
Дидактические материалы........................................ 74
Глава XIII. Производная и дифференциал................................ 85
§1 . Определение производной. Производные функций хп, sinx,
cosx..................................................... 85
§2 . Производные показательной и логарифмической функции. . . 91
§3 . Правила дифференцирования. Дифференциал........ 91
§4 . Геометрический и физический смыслы производной и диф-
ференциала .............................................. 97
Дидактические материалы.................................. 102
Глава XIV. Применение производной к исследованию функ-
ций ........................................................... 105
§1 . Основные теоремы для дифференцируемых функций..... 106
§2 . Возрастание и убывание функции......................... 109
§3 . Экстремумы функций..................................... 111
§4 . Наибольшее и наименьшее значение функции............... 116
§5 . Производные второго порядка. Выпуклость и точки перегиба 121
§6 . Построение графиков функций............................ 127
Дидактические материалы....................................... 135
Оглавление 359
Глава XV. Первообразная и интеграл.......................... 141
§1 . Первообразная функции........................... 141
§2 . Неопределенный интеграл......................... 145
§3 . Определенный интеграл........................... 157
§4 . Применение определенного интеграла для вычисления пло-
щадей ................................................. 167
§5 . Приложения определенного интеграла к физическим задачам 173
Дидактические материалы................................ 176
Глава XVI. Дифференциальные уравнения ....................... 182
§1 . Основные понятия................................ 182
§2 . Уравнения с разделяющимися переменными.......... 183
§3 . Линейные дифференциальные уравнения первого и второго
порядков с постоянными коэффициентами.................. 186
§4 . Неоднородные линейные уравнения................. 190
Дидактические материалы................................ 191
Глава XVII. Системы уравнений и неравенств различных
типов........................................................... 194
§1 . Показательные и логарифмические системы........... 195
§2 . Тригонометрические системы...................... 200
Дидактические материалы.................................. 211
Глава XVIII. Уравнения и неравенства с двумя переменными 221
§1 . Геометрическое описание решений уравнений, неравенств
и систем с двумя переменными........................... 221
§2 . Аналитические приемы решения уравнений и неравенств
с двумя переменными.................................... 232
§3 . Использование геометрического подхода для решения уравне-
ний, неравенств и систем с двумя неизвестными, содержащих
параметры.............................................. 235
Дидактические материалы................................ 242
Глава XIX. Делимость целых чисел. Целочисленные реше-
ния уравнений................................................. 246
§ 1. Делимость чисел................................. 246
§2 . Сравнения....................................... 250
§3 . Решение уравнений в целых числах................ 253
§4 . Текстовые задачи с целочисленными неизвестными.. 258
Дидактические материалы................................ 261
Глава XX. Комбинаторика....................................... 264
§ 1. Основные схемы подсчета элементов в конечном множестве 264
§2 . Сочетания и размещения.......................... 275
§3 . Комбинаторные соотношения....................... 286
Дидактические материалы................................ 289
360 Оглавление
Глава XXI. Элементы теории вероятностей......................... 293
§1 . Математическая модель эксперимента со случайным исходом 293
§2 . Сложение вероятностей............................. 313
§3 . Условная вероятность. Независимость событий....... 316
§4 . Формула Бернулли.................................. 326
§5 . Дискретные случайные величины и их числовые характери-
стики................................................... 327
Дидактические материалы................................... 334
Приложение. Повторение учебного материала с использова-
нием избранных задач повышенного и высокого
уровней сложности из вариантов ЕГЭ....... 337
§1 . Преобразование и вычисление значений выражений. 338
§2 . Функции........................................... 340
§3 . Уравнения и системы уравнений..................... 347
§4 . Неравенства....................................... 353
Методическое пособие является частью учебно-методического
комплекта для преподавания математики в старших классах
физико-математического и естественно-научных профилей.
Комплект включает в себя:
• учебник для 10 класса
• учебник для 11 класса
• методическое пособие и дидактические материалы для 10 класса
• методическое пособие и дидактические материалы для 11 класса
• задачник для 10-11 классов
Шабунин Михаил Иванович —
доктор педагогических наук, профессор кафедры
высшей математики МФТИ. Автор свыше 200 научных и
учебно-методических работ, один из авторов учебников
алгебры для 7-11 классов средней школы, учебных
пособий для студентов.
Прокофьев Александр Александрович —
доктор педагогических наук, доцент, профессор
кафедры высшей математики МИЭТ, преподаватель
математики физико-математического лицея №1557
Зеленоградского округа г. Москвы, учитель высшей
категории. Автор более 40 книг, в том числе для
школьников и студентов.
Олейник Татьяна Анатольевна —
кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей
математики МИЭТ. Автор более 20 учебных
и методических пособий по математике для
старшеклассников, абитуриентов и студентов.
Соколова Татьяна Владимировна —
I кандидат физико-математических наук,
" доцент кафедры высшей математики МИЭТ.
bj. ЯЛ Автор более 25 научных статей и методических пособий
по математике для старшеклассников и студентов