Text
                    Алгебра
Начала математического анализа
БИНОМ
I
М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев Т. А. Олейник, Т. В. Соколова
МАТЕМАТИКА
Алгебра
Начала математического анализа
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Методическое пособие для 10 класса
5^»
Москва БИНОМ. Лаборатория знаний 2008
УДК 373.167.1:51(072)
ББК 22.1
Ш12
Шабунин М. И.
Ш12 Математика. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень : методическое пособие для 10 класса / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев, Т. А. Олейник, Т. В. Соколова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 448 с. : ил.
ISBN 978-5-94774-454-5
Методическое пособие для 10 класса является частью учебно-методического комплекта для старших классов школ с углубленным изучением математики. Представлены разделы: элементы математической логики, числовые множества, рациональные функции и графики, многочлены и системы уравнений, комплексные числа, степенная, показательная и логарифмическая функции, тригонометрические формулы, предел и непрерывность функции.
Главы методического пособия соответствуют главам учебника. В каждой из них содержатся краткие теоретические сведения, примеры с решениями, методические комментарии и дидактические материалы.
Для учителей, работающих в классах физико-математического и естественно-научных профилей.
УДК 373.167.1:51(072)
ББК 22.1
Учебное издание
Шабунин Михаил Иванович Прокофьев Александр Александрович Олейник Татьяна Анатольевна Соколова Татьяна Владимировна МАТЕМАТИКА. АЛГЕБРА. НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Методическое пособие для 10 класса
Ведущий редактор М. Стригунова Художник Ф. Инфантэ. Корректор Н. Ектова Оригинал-макет подготовлен О. Лапк.о в пакете BTj?X2£ Подписано в печать 28.09.07. Формат 60x90/16. Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 28. Тираж 2000 экз. Заказ 4567
БИНОМ. Лаборатория знаний 125167, Москва, проезд Аэропорта, д.З Телефон; (499) 157-5272 e-mail: Lbz@aha.ru, http://www.Lbz.ru
При участии ООО «Эмпреза» Отпечатано в ОАО «ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
ISBN 978-5-94774-454-5
© Шабунин М. И., Прокофьев А. А., Олейник Т. А., Соколова Т. В., 2008
© БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое читателям пособие содержит методические рекомендации и дидактические материалы к учебнику «Математика. Алгебра. Начала математического анализа: 10 класс» М. И. Шабунина и А. А. Прокофьева и предназначено для преподавания в десятых классах школ с углубленным изучением математики в объеме 6 часов в неделю. В конце пособия приведено примерное поурочное планирование учебного материала.
Последовательность изложения материала полностью соответствует содержанию учебника. Каждый параграф содержит краткое изложение теоретических сведений и разбор большого количества примеров, отражающих применение основных методов решения. Большое внимание уделено геометрическим иллюстрациям и графическим методам решения алгебраических задач. В каждом параграфе приводится разбор задач с параметрами на соответствующую тему. Начало решения примеров отмечено знаком А, окончание — знаком ▲.
Каждая глава завершается набором дидактических материалов, которые включают самостоятельные и контрольные работы, а также домашние контрольные работы. Самостоятельные работы рассчитаны на часть урока, и авторы предлагают учителю определять время их выполнения в зависимости от уровня подготовки учащихся. Время на выполнение контрольной работы (один или два урока) указаны для каждой работы. В каждом наборе контрольных работ представлены варианты двух уровней сложности, что позволит учителю дифференцированно подходить к проверке усвоения материала. Варианты повышенного уровня сложности отмечены знаком *. Домашние контрольные работы содержат более трудоемкие задания и рассчитаны на выполнение в течение 10-14 дней.
Авторы не предлагают схему оценивания контрольных работ и домашних контрольных работ. Учитель может самостоятельно установить критерии оценивания в зависимости от уровня подготовки учащихся.
4
Предисловие
Задачи, аналогичные предлагающимся в самостоятельных, контрольных и домашних контрольных работах, разобраны в основном тексте. Часть примеров и задач взята из вариантов выпускных экзаменов для классов с углубленным изучением предмета и вариантов вступительных испытаний в вузы, предъявляющих повышенные требования к математической подготовке поступающих (МФТИ, МГУ, СПГУ, НГУ, МВТУ, МИЭТ и др.). В пособии использованы материалы, разработанные авторами для проведения занятий по индивидуальным учебным планам в физико-математическом лицее № 1557 и классах с углубленным изучением математики средней школы № 853 г. Москвы.
Пособие предназначено в основном для учителей, но может быть использовано и школьниками, желающими самостоятельно расширить и углубить свои знания по математике.
Глава I
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ
Материал, изучаемый в этой главе, является обобщением и систематизацией начальных представлений о математической логике, широко применяемых в основной школе при решении задач и доказательствах теорем. При рассмотрении высказываний и операций над ними учащиеся могут с помощью простых высказываний и интуитивных представлений самостоятельно составить таблицы истинности для основных операций. Следует уделить особое внимание составлению таблицы истинности для импликации и построение отрицания импликации.
Также необходимо подчеркнуть, что часто для доказательства истинности высказывания бывает проще доказать ложность его отрицания.
При изучении неопределенных высказываний особое место занимают примеры записи теорем, известных из геометрии и алгебры, в формальном виде, а также построение их отрицаний.
Рассмотрение различных приемов доказательства начинается с изучения теорем, связанных с исходной. При этом важно понимать, истинность каких теорем равносильна истинности исходной. Часто встречающейся ошибкой является неверное построение отрицания теоремы «Для всех, х из А следует В», что приводит к неправильным доказательствам.
Отдельный параграф посвящен такому важному приему доказательства, как метод математической индукции. В данной главе рассматриваются только примеры доказательства равенств для сумм и делимости выражений. Примеры доказательства неравенств приведены в гл. 2. Следует обратить внимание на выделение шагов доказательства методом математической индукции и на его обобщения.
§1. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Высказыванием называется утверждение, которое является либо истинным, либо ложным (закон исключенного третьего).
6
Глава I. Элементы математической логики
Никакое высказывание не может быть одновременно истинным или ложным (закон противоречия); утверждение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием не является.
Отрицанием высказывания Л (обозначается символом А, читается «не А») называется такое высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда когда А ложно (табл. 1).
Конъюнкцией двух высказываний А и В (обозначается символом АкВ, читается «А и В») называется высказывание, которое является истинным в случае, когда истинны оба высказывания А и В, и ложным во всех остальных случаях (табл. 2).
Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначается символом А \/В, читается «А или В») называется высказывание, которое истинно в тех случаях, когда истинно хотя бы одно из высказываний А или В, и ложно, если ложны оба высказывания А и В.
Таблица 2
А	в	А КВ	A VB	А~В	А ^В
И	и	И	И	И	И
И	л	л	И	л	л
л	и	л	И	л	И
л	л	л	л	И	И
Замечание. Дизъюнкция («или») понимается в смысле, отличном от бытового: логическая операция дизъюнкции не является «разделительным или». Дизъюнкция двух высказываний является истинной не только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, но и в том случае, когда истинны оба.
Эквиваленцией высказываний А и В (обозначается А ~ В, читается «Л эквивалентно В») называется такое высказывание, которое истинно, если оба высказывания А и В истинны или оба ложны, и ложно, если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.
Импликацией высказываний А и В (обозначается Д=>В, читается «если А, то В» или «из А следует В», «Д влечет за собой В»)
§1. Высказывания и операции над ними
7
называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, когда А истинно, а В ложно.
Свойства операций (законы алгебры высказываний):
1)	Коммутативность: Лу В = В V А, А Л В = В Л А.
2)	Ассоциативность: AV(BvC) = (A vB)vC, Ал(ВлС) = (АлВ)лС.
3)	Дистрибутивность: А Л (В V С) = (А Л В) V (А Л С), Av(BaC) = = (А vB)A(A VC).
4)	Законы де Моргана: Av В = А Л В, А Л В = А V В.
Кроме того, справедливы следующие равенства (через / обозначено тождественно истинное высказывание):
А=А, AvA=A, АлА=А,
AvA=/,	A\/J = J,	A/\J = A.
Если L — тождественно ложное высказывание, то
AvL = A, AaA=L, A/\L = L, J = L.
Замечание. Знак конъюнкции, как и знак умножения в алгебраических операциях, часто опускается:
А1 АА2А...ЛАп_| A An —A|Ao...An_|A;j.
Для конъюнкции и дизъюнкции нескольких высказываний также выполняются законы де Моргана:
A] V А2 V ... V А„_) V An — A|A2...An_jAn,
AiA2...An-iAn —А| VA2V ... V Ап_| V А п.
Пример 1. Установить, является истинным или ложным высказывание А = {Число 54 делится на 2 или на 3}.
Д Высказывание А можно представить в виде дизъюнкции двух высказываний: А=В\/С, где В = {Число 54 делится на 2}, С= {Число 54 делится на 3}. Так как оба высказывания истинны, то А истинно.	А
При решении задач, в которых присутствует операция импликации, важно понимать, что высказывание А => В является ложным в единственном случае — когда А истинно, а В ложно.
Пример 2. Даны два высказывания:
А = {Число 2222 — 1 делится на 15},
В = {Число 2222 — 1 делится на 3}.
Является ли истинным высказывание С = А => В?
8
Глава I. Элементы математической логики
А Не выясняя, являются ли истинными высказывания Л и В, покажем, что
С = {Если число 2222 — 1 делится на 15, то оно делится на 3} истинно.
Рассмотрим несколько случаев.
Если А истинно, т. е. 2222 — 1 делится на 15, то 2222 — 1 делится на 3, т. е. В истинно. Таким образом, если А и В истинны, то А=>В истинно. В данном случае невозможна ситуация, когда А истинно, а В ложно.
Если А ложно, т. е. 2222 — 1 не делится на 15, то 2222 — 1 может как делиться, так и не делиться на 3, т. е. В может быть как истинным, так и ложным. Таким образом, если А ложно, то высказывание С={Л=фВ} является истинным независимо от того, каким является В.	А
Пример 3. Установить, являются истинными или ложными высказывания:
А = {Если 54 — простое число, то 27 — простое число};
В = {Если 54 — простое число, то 22006+ 32007 — простое число};
С = {Если 54 — простое число, то число д меньше 4}.
А Зададим высказывания и выясним, истинны они или ложны:
D = {54 —простое число} — ложно;
Е = {27 —простое число} — ложно;
F = {22006 + З2007 — простое число} — неизвестно;
G = {число д меньше 4} — истинно.
Высказывания А, В и С можно представить в виде импликаций: A = {D^E}, B = {D=>F], C={D=>G}.
Тогда высказывания А, В, С являются истинными, так как D — ложно.
Важно отметить, что в высказывании С ={£)=>(?} высказывания D и G по смыслу между собой никак не связаны.	А
При решении задач и доказательстве теорем часто используется отрицание импликации:
А^В = AvB = A/\B = AfB.
Пример 4. Дано высказывание А = {Если число 19171941 делится на 19412, то оно делится на 1941}. Выяснить смысл высказывания А. А Положим Л = {В=фС}, где В = {Число 19171941 делится на 19412}, С = {Число 19171941 делится на 1941}. Тогда А=В^С = В/\С. А = {Число 19171941 делится на 19412, и не делится на 1941}. А
§1. Высказывания и операции над ними
9
Таблица 3
1	2	3	4	5	6	7	8
А	В	с	BVC	Д => (В V С)	А^В	А => С	(Д => В) У (Д => С)
И	и	и	и	и	и	И	и
И	и	л	и	и	и	л	и
И	л	и	и	и	л	и	и
и	л	л	л	л	л	л	л
л	и	и	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и	и
л	л	л	л	и	и	и	и
Равносильность высказываний можно доказывать двумя способами: с помощью сравнения таблиц истинности и преобразования высказываний по законам алгебры высказываний.
Пример 5. С помощью таблиц истинности и преобразований высказываний проверить, верно ли равенство
{Л => (В V С)} = (Л => В) V (Д => С).
Д Первый способ. Составим таблицу истинности высказываний (табл. 2). Сравнивая 5-й и 8-й столбцы этой таблицы, получаем равносильность данных высказываний.
Второй способ. Проверим теперь равносильность высказываний с помощью их преобразований:
{Л => (В V С)} = А V (В V С) = А V В V С-
(А^ В)У (А С) = (А\/ B)\J (Av C) = ^A\J Ву~Ау С = А\/ В\/ С.
Высказывания равносильны.	▲
Пример 6. Построить отрицание высказывания и упростить его: ДВ => (Д V (В => Д)).
Д ДВ=> (Д v(B=> Д)) = ДВ(Д 7(В=>Д)) = А В А (В => Д) =
= ABBA=AL = L. ▲
Покажем, как с помощью преобразований высказываний можно решать логические задачи.
Пример 7. На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышках коробок
10
Глава I. Элементы математической логики
написано: «В обеих коробках лежит по табличке „Принят11». Причем известно, что если в первой коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке ложна. Что касается второй коробки, то там все наоборот: если в ней находится табличка «Принят» , то надпись на коробке ложна, если же там табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна. Какие таблички находятся в коробках? А Обозначим высказывания: Д = {В первой коробке лежит табличка «Принят»}, В = {Во второй коробке лежит табличка «Принят»}.
Тогда надписи на коробках —это высказывание АВ. Условие «Если в первой коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке ложна» означает, что истинно высказывание
(Д => АВ)(А => ДВ) = (Д => ДВ)(ДВ ^А)=А~ДВ =
- Д(ДВ) уД(ДВ) = АВ уД(Д VB) = АВ УД УД В = АВ уД = И.
-л
Условие «Если во второй коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке ложна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна» означает, что истинно высказывание
(В => АВ)(В => ДВ) = (В => ДВ)(ДВ => В) = В ~ АВ =
= В(ДВ)УВ(ДВ) = В(Д VB)= ВВ УВД = ВА = И.
=л	=л
Таким образом, истинна конъюнкция этих высказываний:
(АВ у А) В А = ABBA V АВА = АВ.
=л =АВ
Таким образом, высказывание А ложно, В — истинно. В первой коробке находится табличка «Не принят», во второй коробке — табличка «Принят».	▲
§2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ. ЗНАКИ ОБЩНОСТИ И СУЩЕСТВОВАНИЯ
Утверждения, зависящие от переменной, заданной на некотором множестве, и обращающиеся в высказывание при конкретном значении переменной, называются неопределенными высказываниями или предикатами.
§2. Неопределенные высказывания
11
Множеством истинности предиката Р(х), заданного на множестве М, называют множество таких значений х, при которых высказывание Р(х) истинно.
На предикаты естественным образом переносятся логические операции, рассмотренные в § 1. Свойства операций при этом сохраняются.
Неопределенные высказывания возникают при решении задач алгебры и геометрии. Например, всякое уравнение или неравенство можно рассматривать как неопределенное высказывание, и решить это уравнение или неравенство означает найти множество истинности некоторого неопределенного высказывания Д(х). При этом путем цепочек преобразований исходные уравнения или неравенства заменяются на равносильные уравнения, неравенства, их совокупности или системы.
Если на множестве М задан предикат Д(х), то утверждение «неопределённое высказывание истинно для всех элементов множества М» записывают с помощью знака общности V следующим образом:
Vx /1(х) или (Vx G Л4) Д(х).
Если неопределенное высказывание Д(х) истинно хотя бы для одного элемента из множества М, т. е. существует элемент xq G М такой, что Л (хд) — истинное высказывание, то используют знак существования 3:
Зх /1(х) или (Зх е М) /1(х).
Если перед неопределенным высказыванием стоит знак V или знак 3, то каждое такое утверждение либо истинно, либо ложно и поэтому оно является высказыванием.
Если истинно высказывание Vx /1(х) ~ В(х), то множества истинности предикатов /1(х) и В(х) совпадают.
Пример 1. Пусть /(х) и ^(х) — некоторые функции, заданные на множестве X с R. Доказать истинность высказывания
Vx G X {|/(х)I > g(x)} ~ ({/(х) > £(х)} V {/(х) < -g(x)}).
А Рассмотрим неопределенные высказывания, заданные на множестве X".	Л. .	,	। Z
Д(Х) ЕЕ {|/(х)| >g(x)},
£(х) = {/(х) >g(x)}, С(х) = {/(х) < -g(x)}, D(x) = {Kx)^0}.
Нам нужно доказать истинность высказывания
VxGX G4(x)~(B(x)VC(x))).
12
Глава I. Элементы математической логики
При любом хЕХ имеем: |/(х)| = /(х), если /(х) О, и |/(х)| = — f(x), если /(х) < 0. Получаем:
{|/(x) I > g(x)} -(({/(%) > 0} Л {/(х) > g(x)})V V ({/(х) < 0} Л {—/(х) > g(x)})), А(х) ~{(£)(х) Л В(х)) V (D(x) Л ОД)}.
Сравним высказывания (D(x)Afi(x))V(Z)(x)AC(x)) и B(x)vC(x) с помощью таблицы истинности (табл. 4).
Таблица 4
D(x)	ОД	од	(D(x) Л ОД) V (ОД Л ОД)	В(х) V С(х)
И	и	и	и	и
И	и	л	и	и
И	л	и	л	и
И	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	и	л	л	и
л	л	и	и	и
л	л	л	л	л
Заметим, что значения высказываний высказываний В(х) V С(х) и (£)(x)Afi(x))V(D(x)AC(x)) не совпадают в двух случаях: когда £)(х) и С(х) истинны, а В(х) ложно, и когда Z)(x) и С(х) ложны, а В(х) истинно. В первом случае получаем неравенства /(х) > О, /(х) < — g(x), f(x) <g(x), которые не могут выполняться одновременно.
Во втором случае получаем неравенства /(х) > g(x), /(х) > — g(x), /(х) < 0, которые также не могут выполняться одновременно. ▲
Замечание. При решении уравнений и неравенств конъюнкции высказываний соответствует система, дизъюнкции — совокупность. Таким образом, мы показали, что неравенство |/(х)| > g(x) равносильно совокупности двух неравенств: /(х) > g(x) или /(х) < — g(x).	'
При установлении истинности или ложности высказываний, содержащих кванторы всеобщности и существования, полезно переходить к их отрицаниям. Так, для того чтобы доказать ложность высказывания VxG/И Д(х), необходимо указать только один элемент хеМ, для которого Д(х) ложно, т. е. доказать истинность высказывания Vx е М Д(х) = ЗхеЛ4 Д(х).
Для того чтобы доказать ложность высказывания Зх е М Д(х), необходимо доказать, что для всех хеМ высказывание Д(х) ложно, т. е. доказать истинность высказывания Зх G М Д(х) = \/хеЛ4 Д(х).
§ 2. Неопределенные высказывания
13
Следующий пример показывает, как перестановка кванторов изменяет высказывания.
Пример 2. Выяснить смысл приведенных высказываний и установить, истинны они или ложны:
а) \/х Эу (x + z/ = 3); б) 3z/Vx (x4-z/ = 3); в) Vx (х 1 =>х2
г) Va, b, с (Эх (ах2 + Ьх + с = 0)<^Ь2 -4ас^0);
д) Va, Ь, с (а^ОлЭх (ах2 -ЬЬх + с = 0)-&Ь2 — 4ас^0).
Л 1) Высказывание означает, что для любого х найдется у такой, что х + у = 3. Высказывание истинно: для каждого х найдется у = 3 — х, тогда, действительно, х + у = 3.
2)	Высказывание означает, что найдется у такой, что для любого х выполняется х + у = 3. Построим отрицание этого высказывания: Эу\/х (х + у = 3) ~ \/у Эх (х + у ф 3). Это высказывание означает, что для любого у найдется х такой, что хН-у^З. Это высказывание истинно. Действительно, для произвольного у можно взять х, равный, например, 4 — у, и тогда х + у = 4 --£ 3. Таким образом, исходное высказывание ложно.
3)	Высказывание означает, что для всех х из неравенства х 1 следует неравенство х2 ^х. Построим отрицание высказывания:
\/х (х С 1 => %2 < х) ~ Ebe (х С 1 => х2 С х) ~
~ Эх (х 1 Л х2 х) ~ Эх (х 1 Л х2 > х).
Последнее высказывание является истинным, в качестве х можно взять любое отрицательное число. Исходное высказывание ложно.
4)	Высказывание означает, что для любых коэффициентов а, Ь и с уравнение ах2 + Ьх 4- с = 0 имеет решение тогда и только тогда, когда Ь2 — 4ас 0. Это высказывание ложно, так как найдутся значения коэффициентов, а именно, а = 0, & = 0, с^О, при которых высказывание Ь2 — 4ас 0 истинно, а уравнение ах2 + Ьх 4- с = 0 решений не имеет.
5)	В отличие от предыдущего случая, высказывание означает, что квадратное уравнение ах2 + Ьх 4- с = 0 имеет решение тогда и только тогда, когда Ь2 — 4ас 0. Это высказывание истинно.	А
Пример 3. Натуральное число п является составным тогда и только тогда, когда оно имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Записать символически с помощью кванторов это определение.
14
Глава I. Элементы математической логики
А Обозначим неопределенное высказывание Д(п) = {Число п является составным}. Получим высказывание:
Vn G N (А (п) ~ (3m	= km)).	▲
Пример 4. Записать с помощью кванторов неопределенное высказывание А(т, и), заданное на множестве натуральных чисел: А(т, п) = {Числа т и п не имеют общих делителей, отличных от 1}. Л Высказывание означает, что если числа тип имеют общий делитель а, то он равен 1:
А(т, п) = {Viz G N ((36 G N (m = ab)) Л (Зс G N (п = ас)) => (а — 1)}.	▲
§3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Пусть А(х), В(х) — неопределенные высказывания, заданные на множестве X. Рассмотрим теорему
УхеХ А(х)=>В(х).
Эту теорему можно выразить одной из следующих формулировок: если А(х), то В(х), из А(х) следует В(х), А(х) влечет за собой В(х), В необходимое условие для А, А достаточное условие для В.
Запишем теоремы, связанные с теоремой Vx е ХА(х) => В(х) : V х е X В (х) => А (х) — обратная1,
Vх е X А (х) => В(х) — противоположная;
Vx е X В(х) => А(х) — противоположная обратной.
Так как высказывания Vx G ХА(х) => В(х) и VxgX В(х) => А(х) эквивалентны, то прямая теорема справедлива в том и только в том случае, когда справедлива теорема, противоположная обратной. На этом основывается метод доказательства от противного.
Пример 1. Определить, верны ли следующие теоремы:
7\ = {Для того чтобы произведение двух чисел было положительным, необходимо, чтобы оба числа были положительны};
Т<2 = {Для того чтобы произведение двух чисел было положительным, достаточно, чтобы оба числа были положительны};
?з = {Для того чтобы через две прямые в пространстве можно было провести плоскость, необходимо, чтобы прямые пересекались};
§3. Некоторые приемы доказательства
15
Т4 = {Для того чтобы через две прямые в пространстве можно было провести плоскость, достаточно, чтобы прямые пересекались};
Т$ = {Для того чтобы через две прямые в пространстве можно было провести плоскость, необходимо, чтобы прямые пересекались или были параллельны}.
А Сформулируем теоремы в виде если А, то В :
Т\ = {Если произведение двух чисел положительно, то оба числа положительны} — неверно.
= {Если два числа положительны, то их произведение положительно} — верно.
7з = {Если через две прямые в пространстве можно провести плоскость, то эти прямые пересекаются} — неверно.
1\ = {Если две прямые в пространстве пересекаются, то через них можно провести плоскость} — верно.
= {Если через две прямые в пространстве можно провести плоскость, то эти прямые либо пересекаются, либо параллельны} — верно.	к
Пример 2. Сформулировать следующие теоремы в виде В необходимо для А и А достаточно для В:
7} = {Если треугольник равносторонний, то он равнобедренный};
Т% = {Если все углы треугольника равны между собой, то треугольник равносторонний}.
А Т\ = {Для того чтобы треугольник был равносторонним, необходимо, чтобы он был равнобедренным} =
= {Для того чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, он был равносторонним};
Т% = {Для того чтобы все углы треугольника были равны между собой, необходимо, чтобы треугольник был равносторонним} ~~
= {Для того чтобы треугольник был равносторонним, достаточно, чтобы все его углы были равны между собой}.	к
Пример 3. Сформулировать символически с помощью кванторов теорему: Если суммы противоположных внутренних углов четырехугольника равны между собой, то около него можно описать окружность. Сформулировать (не в символическом виде) для нее обратную, противоположную, противоположную обратной теоремы.
16
Глава I. Элементы математической логики
А Обозначим через М множество точек плоскости, через М4 — множество всех четырехугольников.Тогда теорема символически запишется следующим образом:
X/ABCD е М4 (ХАВС + Z.CDA = XBCD + XDAB => => 30 G М (04 = АВ = ОС = AD).
Обратная теорема: Если около четырехугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных внутренних углов равны между собой.
Противоположная теорема: Если суммы противоположных внутренних углов четырехугольника не равны между собой, то около него нельзя описать окружность.
Теорема, противоположная обратной: Если около четырехугольника нельзя описать окружность, то суммы его противоположных внутренних углов не равны между собой.	▲
При доказательстве теоремы часто строится высказывание, являющееся отрицанием теоремы, и доказывается его ложность. Действительно, пусть теорема сформулирована в виде высказывания \/х е X /1(л:) => В(х).
Это высказывание истинно в том и только в том случае, когда ложно его отрицание. Построим отрицание:
\/х е X Л(х) => В(х) = Зх G X А(х) => В(х) = Зх е X А(х)/\В(х)
Следует особо подчеркнуть, что в словесных формулировках теорем не всегда присутствуют слова «для любого», однако они подразумеваются по смыслу. Поэтому отрицание начинается со слова «существует».
Пример 4. Сформулировать символически с помощью кванторов теорему: Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.
Построить отрицание теоремы и сформулировать его не в символическом виде.
А Обозначим через L множество прямых на плоскости. Запишем символически теорему:
Viz G L \/b G L Vc е L (а ± с Л b ± с) => zz|\Ь.
Построим отрицание теоремы сначала в символическом виде:
Va G L \/b G L \/с е L (а ± с Л b ± с) => zz|\Ь = = 3а е L3b е L3c е L: а ± с /\Ь ± с /\а Ц' Ь.
Сформулируем последнее высказывание: На плоскости найдутся две пересекающиеся прямые, перпендикулярные одной и той же прямой.	▲
§3. Некоторые приемы доказательства
17
Замечание. Доказательство этой теоремы проводится именно путем доказательства ложности отрицания. Предположение о том, что на плоскости найдутся две пересекающиеся прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, приводит к противоречию. Отрицание теоремы ложно, сама теорема — истинна.
Пример 5. Записать символически с помощью кванторов следующую теорему: Серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Сформулировать (не в символическом виде) для нее теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной. Построить отрицание обратной теоремы и сформулировать ее не в символическом виде.
Д Обозначим X множество точек на плоскости, через Х2 — множество отрезков, через — множество треугольников. Рассмотрим на множестве упорядоченных четверок (р\, р2, р$, ДАВС), где pi G Х2, р2 е Х2, Рз G Х2 — отрезки, ДДВС е Х$ — треугольник. Зададим на этот множестве неопределенное высказывание P(pi, Р2, РЗ’ А^АВС) = {Отрезки р\, р2, р$ являются серединными перпендикулярами, проведенными к различным сторонам треугольника ДАВС}.
На множестве упорядоченных четверок (O,pi, Р2, Рз), где ОеХ — точка, р\ЕХ2, р%еХ2, рз G Х2 — отрезки, зададим неопределенное высказывание /?(О, р\, р^, рз) = {Отрезки р\, р2, р% пересекаются в точке О}.
Зададим также на множестве упорядоченных пар (О, ДДВС), где О G Хз — точка, ДАВС е Х$ — треугольник, неопределенное высказывание Q(O, ДАВС) = {Точка О является центром окружности, описанной около треугольника ДДВС}.
Тогда исходная теорема записывается в виде:
УДДВС g X3VP1 G Х2ур2 е Х2, VP3 е Х2 (P(Pi, Ръ Рз, ДАВС) => =>30еХ: (R(O, pi, р2, рз)А0(О,ДД5С)).
Обратная теорема: Если три отрезка пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной около некоторого треугольника окружности, то данные отрезки являются серединными перпендикулярами к сторонам этого треугольника.
Противоположная теорема: Если три отрезка не являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника, то либо они не пересекаются в одной точке, либо точка в которой они пересекаются, не является центром описанной около этого треугольника окружности.
Теорема, противоположная обратной: Если три отрезка не пересекаются в одной точке, или пересекаются в точке, не
18
Глава I. Элементы математической логики
являющейся центром описанной около некоторого треугольника окружности, то данные отрезки не являются серединными перпендикулярами к сторонам этого треугольника.
Отрицание обратной:
ЯД/1ВС G G Х2, Зр2 с Х2,3 рз G Х2 (P(pi, р2, рз, ДАВС) Л
Л\/ОеХ (Я(О, pj, р2, Рз) v ДЛВС)).
То есть найдется треугольник, в котором серединные перпендикуляры либо не пересекаются в одной точке, либо пересекаются в одной точке, но это точка не является центром описанной окружности. '▲
§4. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
При доказательствах с помощью метода математической индукции рассматриваются неопределенные высказывания А(п) на множестве натуральных чисел. Если истинно высказывание /1(1), и для всякого натурального числа k из истинности высказывания A(k) следует истинность высказывания A(k + 1), то высказывание А(п) истинно при всех натуральных п.
С помощью логических символов принцип математической индукции можно записать следующим образом:
(A(I)A(VPgN A(£)=>/l(/?+l)))=>(VnGN /1(п))
Из логической записи принципа математической индукции видно, что новый индекс k можно и не вводить, а заменить высказывание
VHN A(k)=>A(k + l)
на высказывание
\/п G N А(п) => А(п + 1).
При доказательствах методом математической индукции важно четко выделять шаги доказательства:
1.	Формулировка и проверка истинности высказывания /1(1) (базы индукции).
2.	Формулировка высказываний А(п) и А(пЦ-1).
3.	Проверка истинности высказывания Vn G N А(п) => А(п + 1) (индуктивного перехода).
4.	Формулировка вывода о том, что высказывание А(п) выполняется при всех п G N.
При доказательстве методом математической индукции часто возникает ошибка из-за того, что что импликация /1(п) =>А(п + 1) истинна не для всех натуральных п.
§4. Метод математической индукции
19
Если эта импликация истинна при всех п G N, п$, то базу индукции нужно проверять для высказывания /1(но). Тогда можно делать вывод о том, что высказывание А(п) истинно при всех п G N, п"£ nQ.
С помощью метода математической индукции доказываются, в частности, формулы для вычисления суммы п слагаемых, которую можно записать как S(n). При этом, при доказательстве истинности высказывания
Vn G N /1(ц) => А(п + 1)
сумма п + 1 слагаемых S(n + 1) представляется в виде суммы S(n) + a„+i, где ап+\ — последнее слагаемое в сумме S(n + 1).
Пример 1. Доказать, что при всех п G N справедливо равенство
12 . 22 ।	।_______л2________	+ О
1 • 3	3 • 5	(2/1 - 1) • (2/7 + 1) “ 2(2/7 + 1) ’
А В данном случае высказывание А(п) представляет собой равенство
I2 । 22 .	।_______/72_____ _ п(п + 1)
1 • 3	3 • 5	(2/7 — 1) - (2/7 -Н 1) ~ 2(2/7 + 1)'
При п = 1 равенство верно, т. е. высказывание Д(1) истинно:
12 _ 1 • 2 1-3	2.3’
I2 о2	„2
Обозначим через S(ri) сумму — + — +... + (г„_(2я4_„
Предположим, что верно равенство S(n) =	Д°кажем’
с/ . п (п + 1)(/г + 2)
что тогда верно равенство S(n + 1) = ——-----------——, т. е. истинно
высказывание Vn G N А(п) =+ А(п + 1).
Действительно,
s(n +1) = S(n) + —— =
(2/7 + 1) • (2/7 + 3)
_ /7(/7 + 1)	(/г + I)2	_ (/7 + 1) fn п + 1 \ _
~ 2(2/7 + 1) + (2/7 + 1) • (2/7 + 3) ~ (2/7 + 1) \ 2 + 2/7 + 3 / ~
_ (/г + 1)(2/72 + 5/7 + 2) _ (/7 + I)(2/7 + 1)(/7 + 2) _ (п + 1)(п + 2) 2(2/7 + 1)(2л + 3)	”	2(2/7 + 1)(2/7 + 3)	~	2(2/7 + 3)
Таким образом, равенство справедливо при всех п е N. А
Замечание. Сумму чисел а\, а2,...,ап принято записывать в виде
п
^1 + 0-2 + • • • Т й-п. —	' Oft-
/г=1
20
Глава I. Элементы математической логики
Таким образом, равенство, которое требовалось доказать в предыдущем примере, можно записать следующим образом:
__ п(п + 1)
(2/е - 1)  (2Л 4-1) ~ 2(2п + 1) '
£=1
Следует отметить, что с помощью метода математической индукции даются также определения математических понятий. Например, многоточие в определении степени с натуральным показателем п, а именно
ап - а - а -... • а,
п множителей фактически означает индукцию по п.
Строго говоря, сначала определим а} = а. Затем предположим, что ап уже определено, тогда определим an+i = ап  а. Тогда по методу математической индукции ап определено при любом п е N.
Приведем словесное определение факториала натурального числа п («!). Факториалом числа п (п е N) называется произведение всех натуральных чисел от 1 до п:
п\ = 1 • 2 • 3 •... • п.
Теперь дадим это определение с помощью индукции. Положим 1! = 1. Пусть п\ уже определено, тогда положим (п + 1)! = п\ • (п + 1). Тогда по методу математической индукции п\ определено при любом п е N.
Пример 2. Доказать, что при всех п е N выполняется равенство
A • (fe + 1)! = (и+ 2)! _ 2
Z_> 2ft	2"
k=\
л п 1	1(1 + 1)!	(1 + 2)! Q .	.
А При п = 1 равенство является верным: ------= —-------2, 1 = 1.
Предположим, что верно равенство
/г-1 и докажем равенство
k • (k + 1)!
—>	2k
(п + 2)! 2"
п+1
k - (* +1)!
/г-1
2*
(п + 3)! 2«+1
-2.
-2, '
Заметим, что п+1 /г-(/г + 1)!
2k k=\
k • (k + 1)! (n + 1) • (n + 2)! _
/	2^	2rt+1
k=l
§4. Метод математической индукции
21
= (гс + 2)! _ (гс + 1) • (гс + 2)! = (гс + 2)! • (2 + (гс + 1)) _ 2 = (гс + 3)! _ 2 2п+1	2'г+1
Таким образом, по принципу математической индукции равенство справедливо для всех п € N.	А
При доказательстве равенства произведения п множителей некоторому числу Р(п) произведение можно обозначать так:
п
• а2-. • • • ап =
k=l
При доказательстве методом математической индукции используется равенство
гс+1	ГС
П 0/г+1 = 0rt+i а1{.
/г=1	k=l
Пример 3. Доказать, что при всех п е N справедливо равенство fi_n (1 _ n. .fi_______________________l_L«+2
\	4/ \	9/	\	(гс+1)2/ 2гс + 2
Д При п = 1 утверждение верно:
1 _ 1 = 1 + 2
4 ~ 2. 1 + 2 '
Предположим, что верно равенство
1	\ = п + 2
(k + I)2 J 2гс + 2 ’
fl /
П
k=l 4
и докажем равенство
гс+1 /	ч
П|1________1	। _ (гс + 1) + 2
I (Л+1)2/	2(гс+1) + 2-
Л=1 х
Действительно, гс+1 ,	Ч	ГС	/	\
ГГ|1_______!—) = (1-	+п(1__________— I =
J--H	(Л+1)2/	\ (гс + 2)2/	J-l	1	(Л+1)2/
k—1 х	7	k=\	х
_ А________1 А гс + 2 _ (гс + 3)(гс + 1)(гс + 2) _ (гс + 1) + 2
\	(гс + 2)2 J ’ 2гс + 2 2(гс + 1)(гс + 2)2 ~ 2(гс + 1) + 2 ‘
Согласно принципу математической индукции равенство справедливо
при всех п е N.	А
С помощью метода математической индукции доказываются утверждения о делимости некоторого выражения Р(п), зависящего
22
Глава I. Элементы математической логики
от п, на натуральное число k. При этом вместо слова «делится» в математике используется обозначение отношения делимости « : ». При этом доказательство того, что для всякого натурального п из делимости Р(п) на k следует делимость Р(п + 1) на k можно проводить двумя способами.
Во-первых, можно рассмотреть разность Р(п +1) — Р(п) и доказать, что она делится на /г. Тогда из того, что (P(n + 1) — Р(п)): k и Р(п) : k будет следовать, что Р(п + \) k.
Во-вторых, можно в выражении Р(п -Ь 1) выделить выражение Р(п), т. е. представить Р(п + \) в виде Т(п) • Р(п) + Q(n), и показать, что Q(n) : k. Тогда и Р(п + 1) : k.
Пример 4. Доказать, что (7"+1 4-82""') : 57 при всех п е N.
А При п = 1 высказывание истинно: 72 4- 8 = 57 : 57. Если обозначить через А(п) высказывание (7"+1 + 82"~!) : 57, то А(п + 1) = {(7"+1 4- 4-82"+1) : 57}. Предположим, что (7«+1 _|_ 82л-*) : 57, и докажем, что тогда (7"+2 + 82"'1"1) • 57.
Это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно рассмотреть разность чисел 7"+2 4- 82"+1 и 7"+1 + 82"-1 и доказать, что она делится на 57:
7л+2 + 82/г+2 _ (7п+1 +82п-1) = 7"(7 - 1) + 82"-1 (64 - 1) =
= 6 • 7" 4- 6 • 82"-1 + 57 • 82"-1 = 6(7" + 82"-1) + 57-S2""1,.
"	Н57	'	'-Ы
Таким образом, разность чисел 7"+2 4-82"+1 и 7"+1 +82"-1 делится на 57, следовательно, (7"+2 + 82rt+1) : 57.
Во-вторых, можно преобразовать число 7"+2 + 82"+1, выделив в нем число 7п+1 + 82"-1:
ул+2 । 82л+2 __ у(уп4~1 । 82п—1)_у . 82/г—1 । 82п4-1 _
= 7(7n~1 +82""1) + 57 • 82"-‘ .
'	”?57	'	:57
Таким образом, (7"+2 + 82"+1) : 57, и методом математической индукции доказано, что (7"+1+82"-1) : 57 при всех п е N. А
Пример 5. Доказать, что (23" +1); з"+1 при всех п е N.
А При п = 1 имеем 23* = 9 : З2.
Предположим, что (23" + 1) : 3"+1, и докажем, что (23”+1 +1) : 3"+2.
§ 4. Метод математической индукции
23
Преобразуем выражение 23"hl + 1, выделяя в нем сумму 23" + 1: 23"+' + 1 = 23"'3 = (23")3 + 1 = (23" + 1)  (22'3” - 23“ + 1) = = (23" + 1) • (23"'2 + 2 - (23" + 1)) = (23" + 1) -((23"-2 - 1) + 3 - (23" + 1)).
;з"|’	:з"+‘
Осталось показать, что (23"’2 - 1) : 3 всех п е N:
23"-2-1 = (23"-1)(23" + 1).
Окончательно получаем, что выражение 23"НЧ-1 представимо в виде произведения двух множителей, один из которых делится на 3/г+1, а другой на 3, т. е. все выражение делится на 3/г |~2. Согласно принципу математической индукции доказано, что (23” + 1) : 3'/+1 при всех п g N.	А
В некоторых задачах для доказательства истинности высказывания А(п + 1) недостаточно предположения об истинности только высказывания А(п), а требуется предположение об истинности нескольких предыдущих высказываний А(п — 2), ..., А(п — k). Тогда импликация А(п — k) Л ... Л А(п) => А(п + 1) имеет смысл только при п > k. Таким образом, нужно в качестве базы индукции проводить проверку истинности не только высказывания А(п), но и 4(2),	A(k).
Пример 6. Доказать, что если число а Ч-является целым, то число ап + также является целым при любом п е N.
А При п=1 получаем само число а + -, которое является целым по условию.
Предположим, что число ап + ~ является целым и попробуем доказать, что тогда и число an+i + целое.
Умножим целое число ап Ч- -V на целое число а + -, получим а"	а
целое число:
(ап + —• (а +	= an+i + —~ + ап~1 Ч—Ц-.
\ ап J \ а/	ап+{	а""1
Мы видим, что для доказательства того, что an+i + —— целое, ап+‘
нам нужно еще и предположение, что ап~1 Ч----— целое.
лп 1
24
Глава I. Элементы математической логики
Пока мы доказали, что высказывание
А(п — 1) Л А(п) => А(п + 1), является истинным при п > 1.
Поэтому нужно проверить, что число а2 -Ь -Д — целое, если число а2
/	\ 2
а -|- - — целое. Действительно, а2 + -Д = ( а -Ь - ) —2 является целым
а	а2 \ а /
числом.
Согласно принципу математической индукции получаем, что если число а-Ь- является целым, то число ап -|- Дтакже является целым а	а"
при любом п G N.	▲
Замечание. На данном примере вместо проверки истинности высказывания /1(2) можно было заметить, что /4(0) = {а0 + -Д € Z} также является высказыванием, причем истинным, и импликация (3) истинна уже при любом п € N. Фактически в этом случае мы заменили проверку истинности высказываний /1(1) и /1(2) на проверку истинности высказываний /1(0) и /1(1).
На этом примере мы проследили часто встречающуюся ошибку в доказательстве методом математической индукции. Если в приведенном примере убрать условие а -|- G Z, а при доказательстве проверить только истинность высказывания А(0), то получим, что все числа вида ап -|- Др являются целыми, что, очевидно, неверно.
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа 1.1
Вариант 1
1. Решить задачу, составив логическое уравнение:
На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышке первой коробки написано: «По крайней мере, в одной из коробок лежит табличка „Принят11», на крышке второй: «В другой коробке находится табличка „Принят"». Причем известно, что если в первой коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке ложна. Что касается второй коробки, то там все наоборот: если в ней находится табличка «Принят»^ то надпись на коробке ложна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна. Какие таблички находятся в коробках?
Дидактические материалы
25
2. Записать высказывание А не в символическом_виде, построить его отрицание и выяснить, какое из высказываний А или А истинно.
А = {Va, b, с (Ух (ах2 + Ьх + с > 0) => (Ь2 — 4ас < 0 А а > 0))}.
Вариант 2
1. Решить задачу, составив логическое уравнение:
На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышке первой коробки написапо: «По крайней мере, в одной из коробок лежит табличка „Принят"», на крышке второй: «В другой коробке находится табличка „Не принят"». Причем известно, что надписи либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Какие таблички находятся в коробках?
2. Записать высказывание А не в символическом_виде, построить его отрицание и выяснить, какое из высказываний А или А истинно.
А = {УЬ За Ух (х2 + ах + b > 0)}.
Вариант 3
1. Решить задачу, составив логическое уравнение:
На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышке первой коробки написано: «По крайней мере, в одной из коробок лежит табличка „Не принят"», на крышке второй: «В другой коробке находится табличка „Не принят"». Причем известно, что если в первой коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке ложна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна. Что касается второй коробки, то там все наоборот: если в ней находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке ложна. Какие таблички находятся в коробках?
2. Записать высказывание А не в символическом_виде, построить его отрицание и выяснить, какое из высказываний А или А истинно.
А = {ЗЬУаЗх (х2 + ах + b = 0)}.
Вариант 4
1. Решить задачу, составив логическое уравнение:
На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышке первой коробки написано: «По крайней мере, в одной из коробок лежит табличка «Не принят»», на крышке второй: «В другой коробке находится табличка „Принят"». Причем известно, что надписи на коробках либо одновременно истинны, либо одновременно ложны. Какие таблички находятся в коробках?
2. Записать высказывание А не в символическом_виде, построить его отрицание и выяснить, какое из высказываний А или А истинно.
А = {ЗаУЬЗх (х2 + ах + b — 0)}.
26
Глава I. Элементы математической логики
Ответы
Вариант 1. 1. В первой коробке — табличка «Принят», во второй —«Не принят». 2. Для любых а, 6, с, если неравенство ах2 + Ьх + с > 0 выполняется при любых х, то 62 — 4ас <0 и а > 0. Отрицание: А = {За, Ь, с (Ух (ах2 -\-Ьх + с> > 0) Л (Ь2 — 4ас 0 V а 0))}. Высказывание А истинно. Действительно, при а = 0, b — 0, с > 0 при любом х выполняются неравенства ах2 + Ьх + с > О и а 0.
Вариант 2. 1. В первой коробке — табличка «Нс принят», во второй —«Принят». 2. При любом Ь найдется а такое, что неравенство х2 + ах + Ь > О выполняется при всех значениях х. Отрицание: А = {ВЬУа Зх (х2 + ах + b 0). Высказывание А истинно. Действительно, при Ь < 0 для любого а при х = О выполняется неравенство х2 + ах + b 0.
Вариант 3. 1. В первой коробке — табличка «Не принят», во второй —«Принят». 2. Существует Ь такое, что при любом а уравнение х2 + ах + Ь = 0 имеет решение. Отрицание А = {V63aVx(x2 -hax + b 0)}. Высказывание А истинно. Действительно, при 6<0 при любом а выполняется неравенство D = a2 — 4Z?> О, т. е. уравнение х2 + ах + Ь = 0 имеет решение.
Вариант 4. 1. В первой коробке — табличка «Принят», во второй —«Не принят». 2. Существует а такое, что при любом Ь уравнение х2 + ах + b = 0 имеет решение. Отрицание: А = {Va 36 Vx (х2 + ах + b 0)}. Высказывание А истинно. Действительно, при любом а найдется Ь такое, что выполняется неравенство D — а2 — 46 < 0, т. е. уравнение х2 + ах + 6 = 0 не имеет решения.
Самостоятельная работа 1.2
Вариант 1 1. Доказать, что при всех п G N выполняется равенство
= (п — 1)2" + 1.
й=1
2. Доказать, что (23" + 22ц — 1) : 44 при всех п е N.
Вариант 2
1. Доказать, что при всех ибН выполняется равенство
^k(3>k- 1) = п2(п + 1).
k=\
2. Доказать, что (7" + 6/г — 1) : 12 при всех п € N.
Дидактические материалы
27
Вариант 3
1. Доказать, что при всех п е N выполняется равенство
1) = "("+1)('l+2>.
»=| 3
2. Доказать, что (17” — 16лг + 31) : 32 при всех п Е N.
Вариант 4
1. Доказать, что при всех п е N выполняется равенство
п
Е1	п
(3/г + 1)(3/г + 4) “ 12«+7б ’
2. Доказать, что (13" — 12и + 23) : 24 при всех п Е N.
Контрольная работа 1.1
по теме «Элементы математической логики» (1 урок)
Вариант 1
1.	С помощью таблицы истинности установить, верно ли равенство {Д V (В =>£)} = {(Д VB)=> (Л VC)}.
2.	Построить отрицание формулы АВ V (В => Д) V АВ и упростить полученную формулу.
3.	Записать символически с помощью кванторов следующее высказывание: Существуют три рациональных числа, сумма и произведение которых равны 1.
4.	Записать символически с помощью кванторов следующую теорему: Если на плоскости две прямые перпендикулярны третьей, то они либо параллельны между собой, либо совпадают.
Сформулировать (не в символическом виде) для нее теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной.
5.	Построить отрицание обратной теоремы из предыдущей задачи и сформулировать ее не в символическом виде.
Вариант 2
1.	С помощью таблицы истинности установить, верно ли равенство {ДЛ(В=>С)} = {(Д ^В)=>(ДЛС)}. _	___
2.	Построить отрицание формулы АВ V (В А)\/АВ и упростить полученную формулу.
3.	Записать символически с помощью кванторов следующее высказывание: В ряду натуральных чисел существуют 100 идущих подряд составных чисел.
4.	Записать символически с помощью кванторов следующую теорему: Сумма внутренних углов выпуклого и-угольника равна 18О°(и-2).
Сформулировать (не в символическом виде) для нее теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной.
5.	Построить отрицание противоположной теоремы из предыдущей задачи и сформулировать ее не в символическом виде.
28
Глава I. Элементы математической логики
Вариант 3
1.	С помощью таблицы истинности установить, верно ли равенство {Л => (В Л С)} = {(Л =>В)Д(/1 =>_С))}.	_ ____
2.	Построить отрицание формулы ВА \/(В=>Л)\/ЛВ и упростить полученную формулу.
3.	Записать символически с помощью кванторов следующее высказывание: В прямоугольном треугольнике, длины сторон которого выражаются натуральными числами, длины обоих катетов не могут быть нечетными числами.
4.	Записать символически с помощью кванторов следующую теорему: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Сформулировать (не в символическом виде) для нее теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной.
5.	Построить отрицание теоремы из предыдущей задачи и сформулировать ее не в символическом виде.
Вариант 4
1.	С помощью таблицы истинности установить, верно ли равенство {(В=>С)Д/1}-{(В=>/1) V(C=>J4)}._	_	___
2.	Построить отрицание формулы BA V {В => /1) \/АВ и упростить полученную формулу.
3.	Записать символически с помощью кванторов следующее высказывание: Не найдется такого нечетного числа, сумма всех делителей которого в два раза больше его самого.
4.	Записать символически с помощью кванторов следующую теорему: В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Сформулировать (не в символическом виде) для нее теоремы: обратную, противоположную и противоположную обратной.
5.	Построить отрицание противоположной теоремы из предыдущей задачи и сформулировать ее не в символическом виде.
Ответы
Вариант 1. 1. Равенство верно. 2. АВ. 3. 3aeQ36GQ3ceQ(a + 6 + c = — 1 Л abc = 1). 4. Обозначим через L множество прямых на плоскости. Тогда теорема запишется в виде: V а е L V b е А V с е L ((а 1 с _L 6±с) => (а||6 V а = Ь)). Обратная теорема: если две прямые совпадают или параллельны, то они обе перпендикулярны произвольной третьей прямой. Противоположная: если хотя бы одна из двух прямых не перпендикулярна третьей, то эти две прямые не параллельны и не совпадают. Противоположная обратной: если две прямые не параллельны и не совпадают, то хотя бы одна из них не перпендикулярна произвольной третьей прямой. 5. За Е L3b Е L3c Е L ((а\\ Ь\/ а = Ь) /\ (a с \/ b с\). Найдутся три такие прямые, что две из них параллельны или совпадают и хотя бы одна из этих двух прямых не перпендикулярна третьей.
Вариант 2. 1. Равенство верно. 2, АВ. 3. Обозначим через S множество составных чисел. Тогда высказывание можно записать в виде:
Дидактические материалы
29
3 п е N V/г е П(& 100 => п + k 6 S). 4. Обозначим для произвольного натурального п через М(п) множество n-угольников, через MV(n) — множество выпуклых многоугольников, через S(m) — сумму внутренних углов многоугольника тЕМ. Тогда теорему можно записать в виде: Vn Е N Vm G М(п) (т G MV(n) => S(m) = = 180°(я - 2)). Обратная теорема: если в «-угольнике сумма внутренних углов равна 180°(« —2), то «-угольник выпуклый. Противоположная: в невыпуклом «-угольнике сумма внутренних углов не равна 180°(«	2). Противоположная
обратной: если в п-угольпике сумма внутренних углов нс равна 180°(« -2), то п-угольпик певыпуклый. 5. Зп G МЗ/и ЕМ(п) (tn	Л$(т) — 180°(п — 2)) —
найдется певыпуклый «-угольник, сумма внутренних углов которого равна 180°(« — 2).
Вариант 3. 1. Равенство верно. 2. АВ. 3. Обозначим через Т множество прямоугольных треугольников, для прямоугольного треугольника tE Т обозначим катеты через «(/), /;(/), гипотенузу--через c(t), множество четных чисел- через А/). Тогда высказывание запишется в виде: Vfe ?((«(/) G N А/?(/) G NAc(/) С 14) -> (a(t) GA/] Vb(l) С N\)). 4. Обозначим через Р множество плоскостей, через L — множество прямых в пространстве, через А (а, а) — неопределенное высказывание {Прямая а пересекает плоскость а}. Тогда теорема запишется в виде: Va G L V/; G AVa G Р((а || Ь/\А(а, а)) ^Д(6,а)). Обратная теорема: если одна из двух прямых пересекает плоскость, то вторая прямая параллельна первой и тоже пересекает чту плоскость. Противоположная: если прямые не параллельны или одна из них не пересекает произвольную плоскость, то вторая прямая также не пересекает эту плоскость. Противоположная обратной: если одна из двух прямых не пересекает произвольную плоскость, то и вторая прямая не пересекает эту плоскость, либо прямые не параллельны. 5. 3 а <Е L 3 b G L J a g Р ((a || b \/А(а, а)) А А(Ь, а)) — найдутся две параллельные прямые такие, что одна из них пересекает некоторую плоскость, а вторая пет.
Вариант 4. 1. Равенство неверно. 2. АВ. 3. Обозначим множество нечетных чисел через А/], сумму делителей натурального числа п через S(n). Тогда высказывание можно записать в виде: 3 п G A/) (S(n) — 2п) — \/п G A/] (S(n) = 2«). 4. Обозначим /И 4 множество четырехугольников, через /? —множество ромбов, через А(т), где т G М4, — неопределенное высказывание {В четырехугольнике т диагонали перпендикулярны}, через В(т), где т G М4, — неопределенное высказывание {В четырехугольнике т диагонали точкой пересечения делятся пополам}. Тогда теорему можно записать в виде: Vm е М4 (т 6 R => (А(т) А В(т))). Обратная теорема: если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и делятся в точке пересечения пополам, то этот четырехугольник — ромб. Противоположная: если четырехугольник не ромб, то его диагонали не перпендикулярны или не делятся в точке пересечения пополам. Противоположная обратной: если в четырехугольнике диагонали не перпендикулярны или не делятся в точке пересечения пополам, то этот четырехугольник — не ромб. 5. 3 т е М4 (т 0 R А А(т) А В(т)) — найдется четырехугольник, не являющийся ромбом, у которого диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.
Глава II
МНОЖЕСТВА
И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Изучение темы следует начать с определения операций над множествами и вывода их свойств. При этом следует отметить, что основные свойства необходимо доказывать с помощью преобразования высказываний или построением таблиц истинности. Только после этого равенство множеств можно доказывать путем преобразований множеств согласно основным свойствам операций. Диаграммы Эйлера—Венна являются лишь иллюстрацией и не могут служить доказательством.
Второй параграф в основном содержит повторение материала, изученного в основной школе. Особое внимание уделено способам перевода рациональных дробей в десятичные периодические и наоборот. Следует подчеркнуть, что для того, чтобы производить арифметические действия с числами, представленными периодическими дробями, необходимо записать их в виде рациональных дробей. Также необходимо рассмотреть вопросы, связанные со сравнением действительных чисел, как необходимые в дальнейшем при решении уравнений и неравенств. Важно подчеркнуть, что при этом простое округление без привлечения соответствующих неравенств может привести к неверному результату.
При изучении степеней и корней следует обратить внимание на различие числовых множеств, на которых определены корни нечетной степени и соответствующие степени. Часто встречающейся ошибкой является неверное вынесение выражения из-под знака корня четной степени. Также важным для дальнейшего решения уравнений и неравенств является умение выделять полные квадраты в подкоренных выражениях, особенно содержащих иррациональность.
В параграфе «Логарифмы» приводится лишь определение логарифма и его основные свойства. Изучение параграфа следует начать с подробного рассмотрения определения: вычислений различных логарифмов, решений простейших уравнений, основанных только на определении. Особое внимание следует уделить условиям, при которых определены логарифмические выражения, содержащие переменную под знаком логарифма или в основании.
§1. Операции над множествами
31
Параграф «Суммирование» является не только повторением и обобщением тем, изученных в основной школе, но и включает в себя задачи, связанные с применением бинома Ньютона. При рассмотрении арифметической и геометрической, в том числе бесконечно убывающей, прогрессий следует обратить внимание на применение их характеристических свойств.
При изучении способов доказательства числовых неравенств имеет смысл подробно остановиться на доказательствах методом математической индукции. Следует также подчеркнуть, что применение неравенств, в частности, неравенств Коши, Коши—Буняковского и Бернулли, оказывается полезным при решении уравнений. Многие из приведенных в примерах неравенств легко преобразуются в уравнения. Тогда вопрос о том, при каких значениях достигается равенство, превращается в вопрос о решениях уравнения.
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
Считается, что множество задается свойством, обладание которым делает объект принадлежащим к этому множеству. Предметы (объекты), составляющие множество, называются его элементами. То, что а является элементом множества А записывается так: аЕА (читается «а принадлежит множеству А» или «а входит в множество Л»), Запись а А означает, что а не является элементом множества А.
Множество, не содержащее элементов, называют пустым множеством и обозначают 0.
Множества А и В равны, если они состоят из одних и тех же элементов. В этом случае пишут А = В.
Если любой элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В (обозначается А С В, читается «множество А содержится в множестве В», или «А включено в В», или «множество В содержит множество /1»). Справедливо утверждение А С А.
Если А С В и ВсА то А = В.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением множеств А и В (обозначается Л U В, или А + В, читается «объединение А и В»). При этом не исключается, что элемент а принадлежит обоим множествам.
Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В, называется пересечением множеств А и В (обозначается АпВ или АВ, читается «пересечение А и В»). Два множества называются непересекающимися, если АГ\В = 0.
Множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В (обозначается А \ В, читается «А без В» или «А минус В»).
Дополнением множества А называется множество всех объектов из некоторого универсального множества U, не являющихся элементами множества А.
32
Глава II. Множества и операции над ними
Замечание. С точки зрения теории множеств слова о принадлежности прямой I плоскости а являются некорректными. Элементами множества «плоскость» являются точки, прямая не является элементом плоскости, но является подмножеством плоскости: I С а.
Вопрос о нахождении пересечения, объединения, разности числовых множеств возникает, в частности, при решении уравнений, систем и неравенств. Например, при решениях, связанных с разбором случаев, в ответе нужно объединить полученные множества. Если при решении задачи возникает ограничение в виде отрицания, например, знаменатель не равен 0, то мы фактически находим разность множеств.
Пример 1. Пусть А = {2; 5; 7} — множество решений уравнения /(х) = О, В = {—2; —5; 2} — множество решений уравнения g(x) = 0. Найти множество С решений уравнения = 0.
А Решением уравнения = 0 являются те значения х, при которых
/(х) = 0 и g(x) 0, т. е. С = А \ В = {5, 7}.	▲
Пример 2. Пусть А = [2; 3] U [5; +оо) — множество решений уравнения f(x) = О, В = [3; 6) U (6; +ос) — множество решений уравнения g(x) = 0. Найти множество С решений уравнения /2(х) + g2(x) = 0. А Решением уравнения /2(х) + g2(x) = 0 являются те значения х. при которых /(х) = 0 и g(x) = 0, т. е. С = А ПВ = {3} U [5; 6) U (6; +оо). ▲
Пример 3. Пусть В — множество всех ромбов, Р — множество всех прямоугольников. Что из себя представляет множество 7?ПР? А В — множество всех четырехугольников, у которых все стороны равны между собой, Р— множество всех четырехугольников, у которых все углы прямые. Пересечение этих множеств — множество четырехугольников, у которых все стороны равны между собой, и все углы прямые, т. е. множество квадратов.	▲
Пример 4. Рассмотрим в качестве универсального множества множество натуральных чисел N. Пусть Л —множество простых чисел, В —множество нечетных чисел. Что представляют из себя множества АпВ, АиВ, В, А, А\В?
А Любое простое число, кроме 2, является нечетным, поэтому А П В = А \ {2} — множество всех простых чисел, кроме 2. A U В — В U {2} — множество, состоящее из всех нечетных чисел и числа 2; А — множество, состоящее из составных чисел и числа 1; В — множество четных чисел; А \ В = {2} — множество, состоящее из простых четных чисел.	А
§1. Операции над множествами
33
Пример 5. Пусть Кп — множество натуральных чисел, кратных п. Найти пересечение множеств
Л /С5 П /Сз — множество чисел, кратных одновременно 3 и 5, т. е. чисел, кратных 15: К^Г\К^ = К[^.	▲
Замечание. Если даны натуральные числа щ, п^,	то множество
чисел, кратных одновременно п.\, п%,	это множество чисел, кратных их
наименьшему общему кратному [щ, п^, .
Кп\ П ^П2 И ... Г) Kti/t К[П}, ..
Все операции над множествами можно записать с помощью логической символики, используя операции над высказываниями. Свойства операций над множествами аналогичны свойствам операций над высказываниями.
Пример 6. Доказать равенство А \ (Д \ В) = А П В.
Л Чтобы установить равенство данных множеств, нужно доказать, что при любом х высказывания х е Л \ (Л \В) и х е А А В эквивалентны. Это можно сделать с помощью таблицы истинности и путем преобразования высказываний.
Первый способ. Составим таблицу истинности (табл. 1).
Таблица 1
хе А	х е в	х е А \ в	х е А\в	X е А \ (А \ В)	х е А п в
И	и	л	и	и	и
И	л	и	л	л	л
л	и	л	и	л	л
л	л	л	и	л	л
Сравнивая два последних столбца таблицы, видим, что неопределенные высказывания х е Л \ (Л \ В) и х е А П В эквивалентны, множества совпадают.
Второй способ. Докажем равенство множеств с помощью свойств операций над ними. Преобразуем исходное множество:
Д\(Д\В) = ДпДпВ = Дп(ДиВ) = (ДпД)и(ДпВ) = ДпВ. ▲
=0
Замечание. Аналогичными способами можно устанавливать включения А С В, проверяя истинность высказывания Vx(xgA=^xgB) с помощью таблицы истинности или преобразования высказываний.
При решении задач на нахождение числа элементов конечных множеств используется так называемая формула включений и исключений. Если А — конечное множество, то число его элементов обозначается через |Л|.
34
Глава II. Множества и операции над ними
Пусть А\,^2,	—конечные множества. Тогда справедливо равенство
|Д 1 и Д2 и... и Дд| = |Д 11 + |Д21 т • • • + |Дд| —
— (|Д। n Дг| + Hi Г) Д3| + • • • + Ип-1 Г) Дд|) +
□се попарные пересечения
+ (|Д1 П Д2 П Д3| +    + Ип-2 ПДд-1 П Дп|) -
асе тройные пересечения
- ... + (- 1),г~' |Д 1 П Д2 П • • • П Д„|.
Из этой формулы, в частности, следует, что если множество А представимо в виде объединения непересекающихся множеств А =А[ U^2 и иД,г, то число элементов множества А равно сумме числа элементов множеств А[, А%, ..., Ап.
В частности, множество A U В в виде объединения непересекающихся множеств можно представить следующим образом:
А и В - (А \ В) U (В \ Д) U (А П В).
Пример 7. Найти количество трехзначных чисел, а) кратных по крайней мере одному из чисел 3 или 4; б) кратных 4, но не кратных 3.
А а) Согласно формуле включений и исключений, чтобы найти количество трехзначных чисел, кратных по крайней мере одному из чисел 3 или 4, нужно к количеству чисел, кратных 3 прибавить количество чисел, кратных 4, и отнять количество чисел, кратных 3 и 4 одновременно, т. е. кратных 12.
Первое трехзначное число, кратное 3, равно 102, последнее — 999. Количество трехзначных чисел, кратных 3 равно (999 — 102)/3 + 1 = -300.
Первое трехзначное число, кратное 4, равно 100, последнее — 996. Количество трехзначных чисел, кратных 4 равно (996 — 100)/4 + 1 — = 225.
Первое трехзначное число, кратное 12, равно 108, последнее— 996. Количество трехзначных чисел, кратных 12, равно (996 — 108)/12 + 1 = 75. Количество трехзначных чисел, кратных по крайней мере одному из чисел 3 или 4, равно 300 + 225 — 75 = 450.
б) Множество А чисел, кратных 4, можно представить в виде объединения двух непересекающихся множеств: множества В — чисел, кратных 12, и множества С —чисел, кратных 4, но не кратных 3. Тогда количество элементов множества С равно разности количества элементов множеств А и В, т.е. равно 225 — 75=150. А
§2. Целые, рациональные и иррациональные числа
35
§ 2. ЦЕЛЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Любое действительное число можно представить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби o.q,aja? ..an ..., где GZ при всех ft, и при k 1, т. e. ар — целое число, а остальные <ц — цифры.
Среди бесконечных десятичных дробей выделяются периодические и непериодические. На самом деле, конечные десятичные дроби можно считать бесконечными периодическими с периодом (0). Следует отметить, что бесконечная периодическая дробь с периодом (9) на самом деле является конечной.
Пример 1. Представить число х =	• • • я«(9), О-п / 9, в виде
конечной десятичной дроби.
А Запишем х в виде суммы двух десятичных дробей:
х = а0, а\а<2 .. .ап-\- 0,00 „ . 0(9),
п раз
Рассмотрим число у = 0,0_^Д)(9). Умножим его на 10: п раз
10г/ = 0,00... 0(9). Найдем разность чисел 10// и у: п—1 раз
10// — у — 0,00 „. 0,9. Отсюда получаем у = 0,00 „.01
п— 1 раз	п—1 раз
и х = а0, а\а.2 ... ап_{Ь, где b = ап + 1 < 9, так как ап < 9 по условию.	А
Замечание. Для того, чтобы представление действительного числа в виде десятичной дроби было единственным, десятичные дроби с периодом 9 принято исключать из рассмотрения.
Любая периодическая десятичная дробь является рациональным числом, и наоборот, любое рациональное число представимо в виде периодической десятичной дроби.
Для того чтобы представить число х = 0, (р\рч ... рЦ в рациональном виде, р
т. е. в виде обыкновенной дроби - , где р G Z, q G N, нужно умножить х на 7
ink	i	Р\Р<)    Pk
10 , сдвинув запятую на k разрядов вправо, тогда х —	—р.
Пример 2. Представить число 0,(09) в виде обыкновенной дроби.
А	х = 0, (09);100х = 9, (09), 99х = 9, х = 1.	▲
Пример 3. Представить число 1,9(076923) в виде обыкновенной дроби.
А Представим число х = 1,9(076923) в виде х = 1,9 + р//, где у = 0, (076923). Представим у в виде обыкновенной дроби:
36
Глава II. Множества и операции над ними
106 • у = 76923,(076923); 999999г/ = 76923; у
1,9(076923) = 19-13 + 1 = — .
v	130	65
76923 _ 1
999999 ~ 13 ’
Чтобы представить правильную дробь p/q, 0<p<q, в виде периодической дроби, нужно делить р на q уголком до тех пор, пока не повторится остаток или остаток станет равным 0 (в этом случае p/q — конечная десятичная дробь).
Пример 4. Представить в виде периодической десятичной дроби число 117/7.
Д Выделим в дроби 117/7 целую часть: 117/7=16 + 5/7. Разделим 5
на 7 уголком:	5,0 |_7	 0	0,7142857... 50 49 10 7 30 28 20 14 60 56 4
Итак, 117/7 = 16, (714285).	А
Пример 5. Представить в виде периодической десятичной дроби число 11/240.
Д Разложим число 240 на простые множители: 240 = 23-3-5 и представим число у — 103-11/240 в виде периодической десятичной дроби: у = <273/3 = 91 + 2/3 = 91, (6). Тогда 11/240 = Z//103 = 0,091(6). А
Количество знаков после запятой, не входящих в период, в представлении рационального числа в виде десятичной дроби зависит от вида разложения знаменателя несократимой дроби на простые множители. Точнее, от того, в какой степени там встречаются числа 2 и 5. Пусть знаменатель несократимой дроби имеет вид q — 2n-5m-qo, где qo взаимно просто с числом 10, k — тах{щ tn}. Тогда если qo — 1, то дробь конечная и имеет k знаков после запятой (можно считать, что k знаков до нулевого периода). Если qQ + 1, то дробь имеет k знаков после запятой до ненулевого периода.
Пример 6. Не выполняя деления, выяснить, в виде какой десятичной дроби представимо данное рациональное число, конечной
§2. Целые, рациональные и иррациональные числа
37
или бесконечной периодической: а) 231/1440; б) 33/625. Если в виде конечной десятичной дроби, то сколько знаков после запятой она имеет, если в виде периодической, то сколько знаков после запятой не входят в период?
Д а) Сначала сократим дробь, разложив числитель и знаменатель
на простые множители: 231 = 3-7-11, 1440 = 25 -З2 -5. Число 231/1440
7-11
-=----. Следовательно, дробь представима
2 *3*5
равно несократимой дроби
в виде бесконечной периодической, после запятой до периода 5
знаков.
б) Дробь 33/625 — несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: 625 = 54. Следовательно, дробь представима в виде конечной десятичной, после запятой 4 знака.	▲
Мы уже говорили о том, что рациональных чисел не хватает для решения, например, уравнения, х2 = а, где a G Q. Но следует подчеркнуть, что числами вида у/а и полученными из них с помощью операций сложения и умножения не исчерпывается все множество действительных чисел. Примером может служить число тс. Более того, число тс не является корнем никакого уравнения вида
апхп + а1г_[Хп~[ + ... + aQ = О
с рациональными коэффициентами а^. Однако, доказательство этого факта довольно сложно.
Покажем на примере, как производится доказательство того, что некоторое число, содержащее корни, является иррациональным.
Пример 7. Доказать, что число s/5 является иррациональным. Д Предположим, что s/5gQ, тогда оно представимо в виде несократимой дроби \/b=p/q, pGN,7GN. Тогда 5 = p3/g3, и получаем 5<?3 — р3,р3 : 5,р : 5,р = 5п, где п G N. Тогда 5#3 = 125n3, д3 = 25п3, следовательно, q : 25, q : 5. Так как р : 5, то дробь p/q сократима, что противоречит условию. Итак, предположение о том, что число \/Ъ является рациональным, привело к противоречию, значит, это число иррационально.	▲
При доказательстве иррациональности чисел, состоящих из суммы корней, нельзя доказывать иррациональность каждого слагаемого и делать вывод о том, что сумма также иррациональна. Сумма и произведение рационального и иррационального числа действительно является иррациональным числом (можно предложить учащимся самостоятельно это доказать). Однако ничего нельзя сказать о сумме или произведении двух иррациональных чисел. Так, если, например,
38
Глава II. Множества и операции над ними
a 6 Q, b Q, то с = a — b Q. Таким образом, сумма двух иррациональных чисел & и с равна рациональному числу а.
Пример 8. Доказать, что число Зл/2 + 2УЗ - Уб является иррациональным.
Д Предположим, что ЗУ2 + 2а/3 - Уб = а е Q. Тогда ЗУ2 + 2УЗ = а + Уб. Возведем обе части равенства в квадрат:
30 + 12Уб = а2 + 6 + 2аУб, Уб(12 - 2а) = а2 - 24.
/—	— 24
При а = 6 получаем 0 = 12. При а / 6 имеем Уб = ——— G Q. Доказательство того, что число Уб является иррациональным, проводится так же, как в примере 7.
Таким образом, предположение о том, что число ЗУЗ + 2УЗ —Уб является рациональным, привело к противоречию, тем самым доказано, что оно иррационально.	▲
Замечание. Можно доказать, что если натуральные числа х и у не являются полными квадратами, а, b и с —целые числа, отличные от 0, то число а^/х + by/у + Cy/ху иррационально.
Пример 9. Доказать, что число УЗ + У9 является иррациональным.
Д Предположим, что Уз + У9 = а 6 Q. Тогда возведем обе части этого равенства в куб: 12 + 9(Уз + У9) = а3. Так как УЗ + У9 = а, то получаем уравнение а3 — 9а — 12 = 0. Покажем, что оно не имеет рациональных корней. Действительно, пусть а = -, где р 6 Z, Q 3
q 6 N, р и д —взаимно простые числа. Тогда — 9^ — 12 = 0, qA Q
р3 — Qpq2 -12g3 = 0. Таким образом, р : д, так как р и g взаимно простые, то g = 1 и а —целое. Но 1 < УЗ <2, 2 < У9 < 3, следовательно, 3 < а < 5, т. е. а = 4. Проверкой убеждаемся, что а = 4 не является решением уравнения а3 — 9а — 12 = 0. Таким образом, предположение о том, что число УЗ + У9 является рациональным, привело к противоречию, следовательно, доказано, что оно иррационально.	▲
Пример 10. Является ли число \/4 + У7 + У8-ЗУ7 рациональным?
§2. Целые, рациональные и иррациональные числа
39
Д Преобразуем число:
д/4 + л/7 + д/в — 3V7 = -^ \Д + 2\/7+ -J= у/к-6\/7 =
= i/l + 2\/7 + (л/7)2 +	\/з2-б77 + (\/7)2 =
= ^/(1 + \/7)2 + ±У(3-л/7)2 = А = 2л/2£О.	▲
В следующем примере покажем, что довольно сложное числовое выражение, содержащее радикалы, может оказаться рациональным числом.
Пример 11. Доказать, что число ляется рациональным.
Д Положим а :
,х — a — b. Требуется
доказать, что число х — рационально.
Возведем равенство х — a — b в куб: х3 = а3 — 63 — За2Ь + ЗаЬ2,
х3 = а3 — Ь3 — 3ab(a — b).
то получаем, что х удовлетворяет уравнению х3 — х + 6 = 0. Решим его, разложив на множители левую часть:
х3 + 8 - (х + 2) = О,
(х + 2)(х2 — 2х + 4) - (х + 2) = О,
(х + 2)(х2 -2х + 3) = 0.
Уравнение имеет единственный действительный корень х = —2, следовательно,
При сравнении действительных чисел следует обратить внимание на обоснование равносильных переходов в неравенствах, основанных на свойствах действительных чисел. Так, слова о том, что мы переносим величину t из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, на самом деле означают, что мы прибавляем к обеим частям неравенства величину «—/»: a + t>b^a + t—t>b — t^a>b — t.
40
Глава II. Множества и операции над ними
Подчеркнем, что умножать неравенства, не теряя равносильности, можно только на положительные числа. Поэтому при решении неравенств можно умножать их только на такие выражения, содержащие переменные, которые заведомо больше нуля, например, на х2 + 1. Часто встречающейся ошибкой является умножение неравенства на неотрицательное выражение, например на х2 или |х|. При этом равносильность может потеряться, если при некоторых значениях переменной выражение обращается в нуль.
Наконец, при возведении обеих частей неравенства a < b в степень n, n е N, получается равносильное неравенство an < bn лишь при нечетных п. Однако, если известно, что a > О, b > 0, то равносильность a < b о atl < bn справедливо и при четных п.
Изучению способов доказательства числовых неравенств и решений неравенств будет посвящена отдельная тема. Здесь мы рассмотрим только примеры сравнения чисел, основанных на равносильных преобразованиях неравенств.
Проблема сравнения чисел часто возникает при решении неравенств методом интервалов, при решении уравнений с учетом ОДЗ, когда требуется расположить иррациональные корни на числовой прямой, и произвести отбор корней.
Вместо слов «сравнить числа а и Ь» используется запись я V Ь.
Чтобы сравнить числа а и Ь, можно сравнить числа:
1)	a + с и b + с, с Е R;
2)	ас и Ьс, если с > 0;
3)	а2п+1 и b2rt+1;
4)	а2п и Ь2п, если известно, что а > О, b > 0.
Отметим, что при сравнении иррациональных чисел нельзя просто заменять числа их известными десятичными приближениями, при этом может получиться неправильный результат. Например, если вместо иррациональных положительных чисел а и b рассматривать их некоторые десятичные приближения а* и Ь* соответственно, то а > а*, b > Ь*, и из неравенства а* > Ь* не следует неравенство а> Ь.
Пример 12. Сравнить числа 4л/2 + 3 и 5л/3-
Д Если при сравнении чисел Ь = 4\/2 + 3 и а = 5л/3 мы воспользуемся десятичными приближениями л/3 ~ 1,7, и д/2 « 1,4, то получим 5 • 1,7 < 4 • 1,4 + 3. Покажем, что на самом деле а > Ь, записав цепочку сравнений:
4х/2 + 3 V 5^3; 41 + 24^2 V 75; 12\/2 V 17; 288 V 289.
Так как 288 < 289, то b < а, 4л/2 + 3 — бд/З < 0.	А
§2. Целые, рациональные и иррациональные числа
41
Часто также при решении тригонометрических и смешанных уравнений, содержащих иррациональность или модули, приходится сравнивать числа вида kii с рациональными. Например, чтобы выяснить знак значений тригонометрических функций от рационального числа а, необходимо определить, при каком п выполняются неравенства
7Г	7Г	7Г
-п<а<- + -п, или
2	2	2
Tin тг(и + 1)
Т 2
Пример 13. При каком натуральном п выполняется неравенство
Д Очевидно, Зд < 11
11	7л:
сравнить Пи—:
.	6 тг
4д, —
2
8тг
11 < — . Таким образом, необходимо
VII;
2
22
7
д V
Так как — > 3,142 > д, то 11 > — . Итак, — < 11 < — , п = 7. ▲ 7	2	2	2
Целой частью [х] действительного числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х.
Из определения следует, что для любого действительного числа х его целая часть удовлетворяет неравенствам х — 1 < [х] х.
Свойства целой части:
1°. Если р —целое число, то [х + р] = [х] + р.
2°. Для любых целых х и у справедливо неравенство [х + у} [х] + [//].
3°. Если [х] = [//], то |х — у\ < 1.
ло с	Г И] Г*
4. Если п — целое число, то — = - .
п J
5°. Для любого действительного х справедливо равенство [[х]] = [х].
6°. Если х < у, то [х]	[р].
Пример 14. Решить уравнение
Д Обозначим t =	— j = |_—
целой части имеем систему
t С Z. Тогда по определению
х — 3
2
< t + 1,
< ^ +1;
х — 2
3
Г 2£ -|- 3 < х 2t + 5, 2>t -|- 2 х < 3Z -|- 5.
42
Глава II. Множества и операции над ними
Таким образом, t удовлетворяет системе				<3.
	Г 2Z -Г 3 < } 3t Т 2 <	3t Т 5, 2Z + 5;	1 t	
Так как При При При При	t G Z, то t может принимать значения —1, 0, 1, 2. t~— 1 получаем ( 1 х < 3, {-Ю<2Л“1О<2' t = 0 получаем Г3^х<5, < Л	о 3 х < 5. [2<х<5; 1 = 1 получаем ( 5 х < 8. '	_'^5О<7. [ 5 х < 7; t =2 получаем (7^Х<11, о <	о 8 х < 9. 1 8 < х < 9;			
Окончательно получаем хе [1; 2) U [3; 7) U [8; 9).	А
Дробной частью {х} действительного числа х называют разность х — [х]. Из определения следует, что для любого действительного числа х его дробная часть удовлетворяет неравенствам 0	{х} < 1. Очевидно, что при n е N выполняется
равенство {х + п} — {х} .
Пример 15. Решить уравнение {4х + 0,3} = {х} — 0,6.
Д По определению дробной части {//} = у — [z/], получаем уравнение 4х + 0,3 - [4х + 0,3] = х — [х] — 0,6;
Зх + 0,9 = [4х + 0,3] — [х].
так как [Зх + 0,3] G Z, [x]eZ, то 3x + 0,9gZ. Пусть Зх + 0,9 — k, k G Z. Тогда x = - — 0,3.
3
Iz
Мы получили условие х = ~ &GZ, являющееся необходимым для того, чтобы х было решением исходного уравнения. Проверим его достаточность. Подставив х в уравнение, получим
| _ 0,9} =	- 0,з} - 0,6.
Воспользовавшись свойством (у + п} = {//} , где n G Z, получим — 0,э} =	+ 0,1} , и уравнение имеет вид
{l+^MF0-3}-0’6-
§3. Степень и корни
43
Рассмотрим различные случаи.
При k = 3/z, n G Z, получаем
{п + 0,1} = {п - 0,3} - 0,6; 0,1 = 0,7 - 0,6 — верно,
х = п — 0,3, n G Z, — решение уравнения.
При k = 3/z + 1, n С Z, получаем
| + 0,1} = {/1 + - 0,3} - 0,6;	— неверно.
При k = 3/2 + 2, n е. Z, получаем
(/i + -+0,ll = (/i + -- 0,3 У - 0,6;	- -- — неверно.
I 3 J I 3 J 30	30
Итак, решение уравнения х = п- 0,3, n е Z.
Пример 16. Доказать равенство
[а/Й] = [\А] •
Д Обозначим k = [^/х] G Z. Тогда имеем неравенства
k \fx < k + 1; k2 ^х <(k + I)2;
&2 [x] < (k + I)2; k \/[x[ < k + 1-Последнее неравенство означает, что [л/Й] —k = [\А] •
§3. СТЕПЕНЬ И КОРНИ
Корнем п-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а. При четном п существуют два корня п-й степени из любого положительного числа; корень п-й степени из числа 0 равен нулю; корней четной степени из отрицательных чисел не существует. При нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один; справедливо равенство а — —у/а.
Замечание. Пока мы не можем обосновать существование корней. Для доказательства этого необходимо понятие непрерывности, которое будет рассмотрено позже.
Для любых положительных чисел а и b и натуральных чисел п, т и k
справедливы следующие равенства.
1°. tfab= у/а- tfb.
v	v	v	\ ь y/b
4°. tya™ = n\/a^.	5°. ^/a- tya = n'\/am+n.
Если 0 < a < b, to y/a < \/Ъ.
Если ab 0, to 2tyab = 2л/|а} • 2л/|б[.
3°. ^Jlfa = ntya.
6°.	(^)k.
44
Глава II. Множества и операции над ними
Для любого действительного а справедливо равенство
1а , если n — 2k, а, если и. = 2k + 1.
Пример 1. Упростить выражение а6 — Уа12 — 4Ь4 + 4а~12/?8.
Д Преобразуем выражение:
л 6 Г~й) л. , л Г777	6	/°24 ~ 464а12 + 468
А = а- \/а12 - 4/?4 + 4а~12Ь8 = ст - \/---------------
V а12
= аб_^у(а12_2б4)2 = аб_|^^.
Г а6 - а6 + ^7 = 2Ь4а-6, если |6| -й= ;
Д = Z	а 4	75	А
I а6 + а6 —	= 2а6 — 2Ь4а~6, если |Ь| >	.
I	а6	1	75
Во многих задачах возникает необходимость выделения полного квадрата в подкоренных выражениях.
Пример 2. Сравнить числа Д = У98-40Уб и В = 5УЗ-ЗУ2-4. Д Преобразуем число А :
А = ^98 — 40Уб = \Ло + 48 - 2 • 5У2 • 4УЗ =
- У(5У2 - 4д/3)2 = |5У2 - 4УЗ| = 5У2 - 4Уз.
Сравним числа А и В :
572 — 4УЗ V 5УЗ — 3\/2 — 4; 4 + 8У2у9УЗ;
144 + 6472 V 243: 64\/2v99.
Так как — > 1,5, а У2 < 1,4, то А < В.	▲
64
Часто при выделении полного квадрата в подкоренном выражении удобно бывает домножать его на некоторое число а > 0, вынося за 1 знак корня —. у/а
Пример 3. Упростить числовое выражение У123 - 55\/5 — 2,бУ10.
Д Преобразуем число А = \/123 — 55У5 :
А = \/123-55\/5 = Д46-"0^ = л/121 +125-2-11-5V? =
v	л..	42
_ У(11 -5У5)2 _ |11 - 5х/5|
-	75	- 75 ’
§3. Степень и корни
45
Так как 11 = /121 < /125 = 5л/5, то А =	11 .
х/2
Таким образом, получаем
А - 2,5/10 =	- 2,5/10 = -5,5/2.
л/2
Пример 4. Сократить дробь ---------- ..N_..=^C----.
у а2 — 2а + 1
А Выражение имеет смысл, если выполняются неравенства а2 + 4а - 5 0, а2 - За + 2 0, а2 - 2а + 1 > 0,
т. е. при а е (—сю; —5] U [2; +эо). Преобразуем выражение при допустимых значениях а :
у/g2 + 4а - 5 + у^а2 — За + 2 _ >/(а — 1)(а + 5) + У(а - 1)(а — 2) _ /а2 — 2а + 1	у/а — 1)2
=	+ У|а - 1| • /|а- 2| =	+ 5| + у|а _ 2| =
/1«- 1|
_ (/а + 5 + \/а - 2, если а 2, (/—а — 5 + /2 — а, если а -5.
При упрощении выражений при переходе от корней к степени с рациональным показателем необходимо следить за тем, чтобы область допустимых значений выражения не изменялась. Так, вообще говоря, мы не можем заменять, например, у/х на х1/3, так как выражение у/х определено при отрицательных значениях х, а х1/3 — нет.
Пример 5. Решить уравнение /х2 • /х^ — /х /х = 56.
А Так как в уравнении встречается выражение /х и х = 0 не является решением уравнения, то х > 0, и можно переходить от корней к степени с рациональным показателем:
\JX2 • /х2 - /х/х = (х2 • X2/5) 1>/4 - (х • X1/2)	=
= (х12/ву/4 _ (хЗ/2)1/5 =хЗ/5 _хЗ/10
Сделав замену t = х3/10 > 0, получаем уравнение t2 — t = 56, имеющее единственный положительный корень t = 8. Тогда х3/10 = 8, х = 1024.	▲
Пример 6.
Решить уравнение
А Проверим, можно ли в этом уравнении переходить к рациональным степеням. Так как при х < 0 имеем /х < 0, х5 < 0, х5 • /х > 0, то
46	Глава II. Множества и операции над ними
выражение \/х5 • имеет смысл при всех х. Рассуждая аналогично,
ПГ
получаем, что при всех имеет смысл выражение	Таким
образом, к рациональным степеням переходить нельзя. Преобразуем выражения без этого перехода:
Сделав замену t =	> 0 (так как х 0), получаем уравнение
t2 — t = 240, имеющее один положительный корень t = 16. Следовательно, vCv4 = 16, х4 = 163, х = ±\У163 = ± (\/1б)3 = ±8. А
§4. ЛОГАРИФМЫ
Логарифмом положительного числа b по основанию а, где а > 0, а 7^ 1, называется показатель степени с, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число Ь. Обозначение: loga b — с.
Определение логарифма можно записать в виде равенства
alog°b — b, где а > 0, а 7^ 1, b > 0.	(1)
Это равенство называют основным логарифмическим тождеством.
Перечислим основные свойства логарифмов.
При любом a>0(ay 1) справедливы соотношения:
Г. loga ху = loga X + loga у, X > 0, у > 0.
2°. 1о£а - = loga х - 1о£а у, х>0, у>0.
У
3° \°£ахР =Р1о2ах> х > °;
если р = 2п, то loga хр = р loga |х|, х ф 0.
4° logaP х = - loga х, х > 0, р / 0;
5°. loga 1 = 0.
6°. loga a = 1-
7°. loga > l°£ax2, если a > 1,	> x2 > 0,
И l°£a-И > loga x2’ ССЛИ 0 < a < 1, 0 < X] < x2.
8°. logax =	V , x > 0, b > 0, b 1 [формула перехода к другому
\ogba
основанию).
Для логарифмов по некоторым основаниям применяют отдельные обозначения. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо log10 b.
§ 4. Логарифмы
47
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е— иррациональное число (е ~ 2,72), и пишут In b вместо loge Ь.
Приведем примеры применения определения логарифма.
Пример 1. Решить уравнение 2х-3 = 7.
А По определению логарифма х — 3 — log2 7, х = 3 + log2 7. А
Пример 2. Решить уравнение log]/3(2x + 1) = —3.
/1\-3
А По определению логарифма 2х +1 =(- I , 2х +1 =27, х = 13. ▲
Пример 3. Выяснить, при каких значениях х выражение logx._3(5 — х)2 имеет смысл.
А Запишем ограничения на основание: х-3>0, х — 3^1. Получаем х > 3, х / 4.
Запишем ограничения на выражение под знаком логарифма: (5 — х)2 > 0. Получаем х 7^ 5. Итак, х G (3; 4) U (4; 5) U (5; +оо). ▲
Пример 4.
А 1°£з/1б
D	1
Вычислить log3/16 —- .
зУз . И3
-^-=IOg3/l6=3L =
='og3/i6(<=l
з \3/2
-)	=1,5.
Пример 5. Вычислить значение выражения
А Найдем значения каждого логарифма, представив выражение, стоящее под знаком логарифма, в виде степени соответствующего основания:
1 1 / 1 \ 5 / 1 \ 5/2 l°gl/4^ = log|/4-s=log1/4(-) =log1/4(~)	=2.5;
<3	£	\ /	\ т /
/	, 3\ 3/2
log^^ = log 3/2 v23 = log3^23/2 = log 3/2 H 1	=
= 10g^	1 = 4>5’
Подставляя вычисленные значения логарифмов в исходное выражение, получаем А = 1.	▲
48
Глава II. Множества и операции над ними
Приведем примеры, использующие свойства логарифмов.
Пример 6. Вычислить 5log1/5 0,5 -ь logy^ + logj/2 ——•
А Преобразуем каждое слагаемое (номер используемого свойства записан над знаком равенства):
51оё|/50’5 — 51о&5- 1 °’5 = 5- log5 о,5 32 ^log5 0,5_ 1 _ glog5 2 _ 2-
log^2 77771= 2 log2 777712== 21о^24 - 21о?2 (\/7 + Уз) =
= 4-log2 (\/7 + Ve)2 = 4 - log2 (10 + 2л/2Т) ;
log -----*	= _ log ----* Alog (Ю + 2У2Т) .
S1/2 1О + 2х/21 S2 10 + 2%/П S2 \	/
Подставляя полученные выражения в исходное, получаем
5log|/5°’5 + log /п 4	+ log. /2----[-^=
sv2y? + ^3	51/2 Ю + 2У2Т
Пример 7. Сравнить числа log0 3 5 и log0 2 5.
А Чтобы применить свойство 7°, перейдем в логарифмах к основанию 5: log0 3 5 = —1—, log0 2 5 =—. Так как 0,2 < 0,3 < 1, ’ iog5 0,3	’ log5 о,2
а основание логарифмов равно 5 > 1, то по свойству 7° имеем log5 0,2 < log5 0,3 < log5 1 = 0. Так как обе величины отрицательны, то переходя к обратным, получаем —J— > —5— , log0 3 5 < 1 og0 2 5. А 1°ё5 °>2	1о£5 °>3
Пример 8. Выразить через заданные величины а и b следующие логарифмы:
a)	log15 49, если log7 9 = a, log7 45 = А;
б)	log350 140, если a = log5 2, b = log75.
А а) Преобразуем log15 49 :
logi549 =
log7 49 log7 15
logy 49 log? у
log? 49 log7 45 — 0,5 log7 9
2
b — 0,5a
4
2b — a
§ 4. Логарифмы
49
б) Разложим числа 350 и 140 на простые множители: 350 = 2 • 52 • 7, 140 = 22 • 5 • 7 и перейдем к основанию, например, 5, учитывая, что log52 = a, log57 = —!— = -. Тогда получаем log7 5 b
log.35o 140 —
log5 140 _ 2 log5 2 + log5 5 + log5 7
log5 350 log5 2 + 2 log5 5 + log5 7
2a + 1 +
a + 2 + I
_ 2ab + b + 1
ab + 2b + 1
Пример 9. Решить уравнение logr 5 — logx2 28 — l°gJ- 7 = 1.
Д Преобразуем левую часть уравнения, перейдя к основанию х > 0, х ф 1:
logx 5 - '2 lQgx 28 + | logx 7 = I, 2 log, 5 - log, 28 + log, 7 = 2,
log, 25 - log, 28 + log, 7 = 2, log, = 2.
По определению логарифма получаем %2 = —, х > 0, х ф 1, 4
следовательно, х = 2,5.	▲
Пример 10. Сравнить числа:
a)	log7 11 + logjj 7 и 2; б) log9 32 + log4 27 и 4.
A a) log7 11 + logii 7= log7 11 + —. Так как основание логарифма log711
равно 7 > 1, то по свойству 7° получаем log7 11 > log7 7 = 1.
Тогда согласно неравенству Коши имеем log7 11 + logn 7 > 2.
б)	Определим знак числа log932 + log427 —4, приведя логарифмы к основанию 3 :
log9 32 + log4 27 - 4 = log32 25 +	~4 =
1°£з2
= £ log 2 +	3	-4= 5lQg32~8lQg32 + 3
2 ё3	2 log3 2	log32
Так как 3 > 1, 2 > 1, то log3 2 > 0, поэтому 5 log? 2 — 8 log3 2 + 3
знак числа ——----------------- совпадает со знаком числа
log3 2
5 log3 2 — 8 log3 2 + 3. Рассмотрим квадратный трехчлен 5?2 — 8Z + 3 и найдем его промежутки знакопостоянства: 5Z2-8Z + 3<0 при t е (0,6; 1), 5t2 — 8£ + 3> 0, при ?^(0,6; 1).
50
Глава II. Множества и операции над ними
Чтобы определить знак числа 51og|2 — 81og32 + 3, выясним, принадлежит ли log32 промежутку (0,6; 1).
Так как 2 < 3, то log3 2 < log3 3 < 1. Для того, чтобы сравнить log3 2 и 0,6 = log3 З0,6, сравним 2 и З3/5. Так как 25 = 32 > 27 = З3, то 2 > З3/5, log3 2 > 0,6, log3 2 G (0,6; 1). Следовательно, 51 og| 2 — 81 og3 2 + 3 < 0, 5 log‘3 2—81о£з2 + 3 < q, log3 2
log9 32 + log4 27 < 4.	▲
Пример 11. Доказать равенство
1оёа2 «1 • log«3 а2  • •  • loga/i+1 ak •... • logan = log0z( ah (2) где а/г > 0, а/г 1 при k = 1, 2, ..., n.
Д Докажем равенство методом математической индукции. При п = 2 получаем loga<2 ai = logG2 а\. Пусть равенство (2) выполняется при некотором п. Тогда
loga2 ai  loga3 а2 • • • •  logflH • logfln+| an = log«n+i1	1
=-----—• log_ an — log- ai.
Ioga an Kc"-H	a',+l
“n + 1
Согласно принципу математической индукции равенство (2) доказано.	▲
Пример 12. Вода в глубоком озере содержит известь, которая уменьшает проходимость света в воде. Эксперименты показали, что при прохождении каждых 20 см воды интенсивность света уменьшается на 10%. Днем измерительный прибор, фиксирующий количество света через каждые 20 см, начали опускать на дно озера. На какой глубине h впервые покажет отсутствие света прибор, способный обнаруживать 0,17% дневного света?
Д Найдем интенсивность света E(k) в процентах на глубине h = 2Qk (см), /геН. На глубине h = 20 интенсивность света составляет £(1) = 90 = 0,9£(0) (%), на глубине h = 20 • 2 интенсивность света составляет £(2) = 0,9 • £(1) = 0,9 • 90 (%), на глубине h = 20 • k2 — E(k) = 0,9 • E(k - 1) = 0,92 • E(k - 2) = ... = (0,9)A • 100 (%).
Решим уравнение (0,9/100 = 0,17:
(0,9/ = 0,0017, k = log0 9 0,0017 = lg0^-017 = 4~^17 « 60,5.
60)9	lg0,9	1 - Ig9
Следовательно, при k = 60 прибор еще покажет наличие света, а при £ = 61, т. е. h = 20 • 61 = 1220 (см) — уже нет. Итак, глубина равна 1220 см, или 12,2 м.	▲
§5. Суммирование
51
§5. СУММИРОВАНИЕ
Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность {аЛ(}, п 6 N, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d, т. е. = ап + d.
Число d называется разностью арифметической прогрессии, число а\ — первым ее членом, а число ап— общим ее членом.
Член арифметической прогрессии с номером п выражается через ее первый член и разность по формуле
ап ~ «1 + d(n - 1).	(1)
Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т. е. при k 2 справедливо равенство	„	. „
'	П _ «/г-1 +«/г-Н
ak — --------,	И)
которое называют характеристическим свойством арифметической прогрессии.
Сумма первых п членов прогрессии Sn — щ + «9 + • • • + ап выражается формулами	‘
8п =-----• п =------------- п.	(3)
2	2
Пример 1. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, равна 2, а сумма их квадратов равна 14/9. Найти эти числа.
А Пусть второе из чисел равно х, разность прогрессии равна d. Тогда первое число равно х — d, второе равно x + d, сумма трех чисел равна Зх = 2, х = |. Сумма квадратов чисел равна (х — d)2 + x2 + (x + d)2 = 3	9
3x2 + 2d2 = ^, ^-h2d2 — ^, d — ± - . Числа равны 1, или, 9	3	9	3	3	3
в другом порядке 1, |,	▲
Пример 2. Какое наибольшее число членов прогрессии 21,5, 24,5, 27,5, . .. можно взять, чтобы их сумма была меньше 1600? А Согласно условиям задачи имеем арифметическую прогрессию, у которой ai — 21,5 и d = 3. Сумму первых п членов прогрессии 2 • 21,5 + 3(лг — 1)	(40 + Зл) • л
вычислим по формуле (3): 8п =---------------• п =---------.
От нас требуется найти наибольшее натуральное значение п, при котором	п < 1600, или Зп2 + 40гс - 3200 < 0. Найдем корни
квадратного трехчлена Зп2 + 40гс — 3200 : п\ = 2б|, я2 — — 40. Решением неравенства является промежуток (—40; 2б|^ . Наибольшее целое п, удовлетворяющее неравенству, равно 26.	▲
52
Глава II. Множества и операции над ними
Пример 3. Сумма первых п членов некоторой последовательности 11 ^2 ______________________________________________ 5 Л/ 2
{an}, пеН, при любом п выражается формулой Sn =----------. Найти
сумму первых пятидесяти четных членов этой последовательности. А Докажем, что последовательность {on}, n G N, является арифметической прогрессией. Для этого найдем формулу общего члена:
_ „	„	_ Пи-5м2	11(м - 1) - 5(м - 1)2	_	г . о
О-П — ^>П	^п— I-----“	“	—	+ о.
Тогда an+i — an — —5, последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = —5, первым членом, равным al = 3.
Четные члены этой Первые пятьдесят из
прогрессии — это члены с четными номерами, них в свою очередь можно рассматривать
как первые пятьдесят членов прогрессии с первым членом О| = —2 и разностью d = -10. Искомую сумму найдем, воспользовавшись
формулой (3):
S50 = 2-( 2)2 10-49 . 50 = -12350.
Пример 4. Арифметическая прогрессия состоит из 105 членов. Сумма членов с нечетными номерами на 1 больше суммы остальных членов. Найти 53-й член прогрессии.
А Пусть {о,г}, n е N, — исходная прогрессия с разностью d. Тогда ее члены с нечетными номерами составляют арифметическую прогрессию с первым членом, равным tzi, и разностью 2d, их количество равно 53, сумма равна S' = 2а!-+2^—52 • 53 = (ai + 52d) • 53. Оставшиеся члены прогрессии {оп}, т. е. члены с четными номерами, составляют арифметическую прогрессию с первым членом, равным ^2 — ^1+и разностью 2d, их количество равно 52, сумма равна S" = 2(a'.±^+2.d'51 . 52 = (ai + 520 • 52.
По условию S' = S" + 1, (oj + 52d) • 53 = (oi + 52d) -52 + 1, oj + 52d=l, т. е. 053 = 1.	А
Пример 5. Пятый член и разность арифметической прогрессии удовлетворяют неравенствам 1^05^2, 2^d^3. Найти наименьшее и наибольшее из значений, которые может принимать сумма первых шести членов прогрессии.
А Выразим сумму первых шести членов прогрессии через ее пятый член и разность. По формуле (1) получаем 05 = О] + 4d. Отсюда Oi = 05 — 4d. По формуле (3) найдем Sg :
S6 = 2al + 5d .6 = 3- (2oi + 5d) = 3 • (2 • (o5 - 4d) + 5d) = 3 • (2a5 - 3d).
§5. Суммирование
53
Так как 1	2, то 2 2^5 4. Так как 2 d 3, то 6 3d 9
и —7 2я5 - 3d -2, -21^3- (2а5 - 3d) -6, -21 S6 -6.
Итак, наименьшее значение Sg равно -21 при	= 1, d = 3;
наибольшее значение Sg равно —6 при а$ = 2, d = 2.	▲
Пример 6. Второй и четырнадцатый члены арифметической прогрессии — целые положительные числа. Вычислить сумму первых девяти членов прогрессии, если известно, что она удовлетворяет неравенству 12,5 < Sg < 14.
А Выразим Sg через а2 и ai4. Имеем: а2 — а\ + d, ^14 = а\ + 13б/. Отсюда ай — а2 = 12б/, а значит, d = -14-—— .
Далее, а\ = а2 — d = а2 — —4- — = ,13а2^ Следовательно, Sg = 2ai±8rf.9= <2 13а2 ~ аы + 8 “14 ~ “2") = -(За2 + ан)  Нам дано, 2	2 \	12	12	7	4
что 12,5 < S9 < 14, следовательно, 12,5 < |(3а2 +	< 14, или
50 < 27а2 + 9^14 < 56. По условию я2 и сщ — натуральные числа. Если а2 2, то 27я2 + 9я]4 27 • 2 + 9 = 63, что невозможно. Значит,
23	29	5	2
ц2 = 1. Отсюда у < а]4 <	2- < а]4 < 3-. Так как аи — целое
число, то а\4 = 3. Следовательно, Sg = |(9 • 1 + 3 • 3) = 13,5.	▲
Пример 7. Последовательность {&«}, такова, что разности соседних членов Ьп+\ — Ьп образуют арифметическую прогрессию. Найти Ь2о2, если Ь] = 2, Ь2 = 4, &з = 10.
А Рассмотрим арифметическую прогрессию {ап}, п С N, составленную из разностей соседних членов последовательности [Ьп] :
ап = Ьп+\ Ьп, &п+1 — dfi-,
^202 = ^201 + й201 — ^200 + й200 + й201 ==•
= b\ + ai + а2 + ... + а2оо + ^201 = &i + S2oi-
Найдем S20]: щ = Ь2 - Ь[ = 2, а2 = Ь3 - Ь2 = 6, d = а2 - а[ = 4, S201 = 2а1+^2О1~11.201= 2'2 + 4'2О° • 201 = 80802, Ь202 = 80 8 04. ▲
Пример 8. В арифметической прогрессии {a«}, п G N, разность которой отлична 3Sn = S2n. Найти
А Выразим Sn и
от 0, при некотором п выполняется условие
Q4n —1 О-п
S2n по формуле (3):
, _2aj+d(n-l)	„	_ 2aj + d(2n - 1)
п	п ' Щ ^2п	-	’
2
2
54
Глава II. Множества и операции над ними
Так как 3Sn = 5>2/п получаем
„ 2ti[ + d(n — 1)	_2a.[+d(2n— 1)
о *----------* П — -------------- • /2.
2	2
6(2i + 3dn — 3d = 4a\ + 4dn — 2d, 2я] = d(n + 1).
Так как d y<= 0, to n = ——Выразим an и a^-i через a,[ и d: d
an = a\+ d(n - 1) = a\ + d (——- - l') = 3ai - 2d;
1 = a\ + d(4n - 2) = a\ + d —— — 2^) = 9aj - 6d. \ d /
Получаем
^An — 1_9^1 —	Д
an 3a । — 2d
Пример 9. Из пункта А в пункт В с интервалом 10 минут выехали 24 велосипедиста, каждый из которых затратил на весь путь 5 часов. Одновременно с ними из пункта В в пункт А выезжали мотоциклисты, каждый из которых затратил на весь путь одинаковое время. В пути произошло 498 встреч (без учета встреч в пунктах А и В ). Какие значения может принимать время нахождения в пути каждого мотоциклиста?
А Последние велосипедист и мотоциклист выехали через 230, а первый велосипедист в это время в пункт В еще не приехал. Следовательно, последний мотоциклист встречает в пути всех велосипедистов. Пусть первый мотоциклист встречает в пути i велосипедистов. Тогда время т нахождения в пути этого (а значит, и любого другого) мотоциклиста удовлетворяет неравенству 10(/ — 1) < т 10/. Если бы первый мотоциклист встретил всех велосипедистов, то каждый мотоциклист встретил бы всех велосипедистов, и количество встреч было бы равно 242 = 576, что противоречит условию. Значит, /<24. Тогда второй мотоциклист встречает / 4- 1 велосипедиста, третий — / 4- 2, k-и — k 4- / — 1, 25 — /-й и все остальные 24 — (25 — /) = / — ! мотоциклиста встречают в пути — 24 велосипедиста. Таким образом, общее количество встреч равно
/ 4- (/ + 1) + (/ 4- 2) 4- • • • 4- 23 4- 24 + 24 4-    + 24 = 498.
24 — I слагаемых	г слагаемых
Сумму первых 24 — / слагаемых подсчитаем по формуле суммы членов арифметической прогрессии 3. Тогда будем иметь:
Ц^23 • (24 - /) + 24/ = 498; /2 - 49/ + 444 = 0; Z = 12 или Z = 37.
Так как / < 24. то / = 12, т. е. ПО < т 120.	А
§ 5. Суммирование
55
Пример 10. Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от (•уммы следующих шести членов менее чем на 450, а сумма первых пяти членов превышает более чем на 5 сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.
А По условию S5 — Sg > 5, так как прогрессия целочисленная, то S5 — Sg — целое, следовательно, S5 — Sg 6, S5 — Sg = — a§,	—6.
Кроме того, S5 — S4 > 5, S5 — S4 = а5, £5^6, d —	—12.
Сумма первых шести членов прогрессии равна Sg, сумма последующих шести равна S]2 — Sg, согласно условию имеем S6 _ (S]2 — 5б) < 450, 2S6 — S12 < 450. Выразим Sj2 и Sg через (/,5 и d :
Sg =	• 6 = ба] + 15d, S12 = 2a' + lld . 12 = 12aj + 66б/,
£5 = Я] + 4t/, щ - 4t/,
Sg -- 6#5 — 9с/, S]2 — 12czg + 18с/.
450 Таким образом, получаем 2Sg — .S]2 = — 36с/, —36с/< 450, d > — —, 36
с/>—12,5. Так как разность целочисленной арифметической прогрессии — целое число, то d —12. Следовательно, d — —12.
Так как czg А —6, d = —12, то czg = czg — d А — 6 + 12 = 6, т. е. с/g 6. Ранее мы получили czg 6, следовательно, czg = 6, тогда (1] = а$ — 4с/ = 54.	▲
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — последовательность ненулевых чисел {/>п}, п G N, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число: bn+\ = bn- q.
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, число Ь\ — первым ее членом, а число Ьп— общим ее членом.
Член геометрической прогрессии с номером п выражается через ее первый член и знаменатель по формуле
(4)
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов, т. е. при k 2 справедливо равенство bl — bk-\ •	(5)
которое называют характеристическим свойством геометрической прогрессии.
Сумма первых п членов прогрессии Sn = b\ +	. + Ьп выражается
формулой
bi~bnq < ]-q	,,	,С\
Sn - —-----~ b\------, если q £ 1,	(6)
\-q	1-q
и
Sn = nb\, если q = 1.
56
Глава II. Множества и операции нал. ними
Пример 11. Произведение третьего и девятого членов геометрической прогрессии равно 16. Найти шестой член прогрессии.
А Используя формулу (4), выразим Ьз, и Ь$ через Ь\ и q-. b$ = b\ -q2, bQ = b[-q5, b$ = b[-q\ Тогда по условию задачи получаем равенство (b\  q2}  (b] • 78) = 16, или (b\  Z/5)2 = 16. Следовательно, Ь^ = 16, Ьь = ±4.	▲
Пример 12. Найти знаменатель геометрической прогрессии с положительными членами, если разность третьего и второго членов прогрессии составляет 231% от ее первого члена.
А По условию	— 2,31b]. Так как bn = b[qn~\ имеем
b\q2 — b\q = 2,31b], q2 — 7 = 2,31, 7] =2,1 или q% = -1,1.
По условию все члены прогрессии положительны, следовательно, 7 = 2,1.	▲
Пример 13. Геометрическая прогрессия состоит из 2003 членов. Произведение членов с нечетными номерами в 3 раза больше произведения членов с четными номерами. Найти 1002-й член прогрессии.
А Пусть b], Ь2, - - -, Ь2ооз ~ члены прогрессии, 7 —ее знаменатель. Тогда Ь|оо2 — Ь\ • 71001. Произведение членов с нечетными номерами равно Ь] • Ьз • ... • Ь2ооз> произведение членов с четными номерами Ь2 • Ь4 •... • Ь2оо2- Тогда bl ' Ь‘2003 = 3. Получаем
&2  ^4 ’ • • • ' ^2002
^3 . ^5 .	. ^2003 _ з
^2	^4	^2002
Ь\  71001 — 3, Ьюо2 — 3-	А
64
Пример 14. Найти сумму 6 чисел, расположенных между —
.	64	. -
и 4,5, из которых вместе с числами — и 4,5 можно составить геометрическую прогрессию.
64	7	64 7
А По условию Ь] = — , bg = 4,5. Имеем: 4,5 = bg = b\q — — 7 .
г	9	64 7 „	/9-243\1/7	/37\1/7
Следовательно, - = —7'. Отсюда q= ----------- = —
2	243	\ 2-64 /	\27/
По формуле суммы членов геометрической прогрессии (6)
чаем:
243
_ 3
~ 2 ’
полу-
6
А _1_ А _1_ хА W?6”1)
Ьг + Ь3 + ... 4- by =--—
?-1
= 8—.
81
3
2
§5. Суммирование
57
Пример 15. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 3, а сумма членов с пятого по восьмой равна 12. Вычислить сумму членов с девятого по двенадцатый.
Д Пусть А = Ь[ +	+ 63 + 64,
С = 69 + bio + b\\ + &12- По условию Выразим А, В, С через Ь\ и q (где
А = b\ + b\q + b\q2 + b\q8,
В = 61(?4
C = btqs
Получаем
В = 65 + &б + 67 + 6g, А = 3, В = 12 и надо найти С. (/ — знаменатель прогрессии):
Л = 6j (1 + q + q2 + /),
В = b\q^ (1 + q + q2 + /), С = 6i/(l+ (7 + / + (/3).
АС = 6,(1 + ... + /) • biq8(\ + ...+/) = b2q8(1 + ... + (?3)2 = (61/(1 + ... + /))2 = В2.
+ b[q5 + b\q& + b[q7, + b\q$ + б)/0 + 61711;
Отсюда находим С = — = — = 48.	▲
4	3
Пример 16. Три числа являются последовательными членами возрастающей геометрической прогрессии. Если первый член прогрессии умножить на (—3), то новые числа в том же порядке составят арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.
Д Так как данные числа составляют геометрическую прогрессию, то они представимы в виде b, bq, bq2, где b 0, q 0. По условию числа —36, 67, bq2 составляют арифметическую прогрессию. Поэтому, согласно характеристическому свойству (2) арифметической прогрессии, имеем 2bq = — 36 + bq2. Сокращая на 6, получим:
2(/ = -3 + (/2, /-2(7-3 = 0, (?i = -l, 72 = 3.
При q < 0 геометрическая прогрессия не может быть ни возрастающей, ни убывающей, поэтому q = 3.	▲
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по абсолютной величине меньше 1, называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В этом случае (т. е. при условии |^| < 1) существует сумма всех членов прогрессии S = Ь\ 4- Ь% 4- Ь% 4-.... Она определяется как число, к которому стремится сумма Sn = b\ 4- Ь% + • • • 4- Ьп первых ее п членов при бесконечном возрастании п.
Формула суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеет вид	,
М < 1-	(7)
1-7
Отметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия при — 1 < (? < 0 не является убывающей последовательностью, так как у ее членов чередуются знаки.
58
Глава II. Множества и операции над ними
Пример 17. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если ее сумма равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192.
А Пусть Ь\ — первый член, q — знаменатель, S —сумма прогрессии, S' — сумма кубов ее членов. Последовательность, составленная из кубов членов прогрессии также представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом, равным Ь3 и знаменателем, равным q3. По формуле (7) суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:
откуда получаем
S3 _ 1 - q3 _ 43 _ 1
F ~ (1 -<7)3 ~ 192 ~ 3 ’
3 (1 + q + q1 2) = 1 -2q + q2, так как q ф 1, 2q2 + 5q + 2 = 0, q} = -0,5, q2 = -2.
так как |z?| < 1, то q — —0,5, b\ — S(1 — q) — 6.
Пример 18. Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех ее членов, стоящих на четных местах, в три раза меньше суммы всех ее членов, стоящих на нечетных местах, и сумма первых пяти членов этой прогрессии равна 484.
А Пусть Ь[ — первый член, q — знаменатель, S —сумма прогрессии, S' — сумма ее членов, стоящих на четных местах, S" — сумма ее членов, стоящих на нечетных местах.
Тогда последовательность, состоящую из членов прогрессии, стоящих на четных местах, можно рассматривать как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом, равным b\q и знаменателем zy2. По формуле (7) имеем:
о/ _ b{q
1	- я2
Последовательность, состоящую из членов прогрессии, стоящих на нечетных местах, можно рассматривать как бесконечно убывающую геометрическую и знаменателем zy2. По
прогрессию с первым членом, равным Ь\ формуле (7) имеем:
о// _ Ь1
1 -Z?2 ’
S'
1
следовательно, — = q = -
S"
§5. Суммирование
59
Кроме того, известно, что S5 = 484. По формуле (6) получаем Ь1(1-?5) ь' (1-(0)
S.5 = ЗА—-ЗА, 484 =-------А--------61 = 324.
1 -q	1_1
з
Таким образом, S =	= 486.	▲
Формулы суммы (разности) л-х степеней
При любом п 2 справедливо равенство (см. гл. 2, § 5 учебника):
d‘ -bn - (а — Ь)(ап~1 + ап~‘2Ь + ап~Ч2 + ...+ abn~2 -|- Ьп~[) =	(8)
п— I
k=0
Аналогичная формула справедлива и для суммы нечетных степеней д2п+1 + &2пЧ-1.
2/1
д2п+1 + д2л + 1 = а2/1+1 _ (_6)2п + 1 =	+ a2n~k(-b)k =
k—Q
i _i_ м
= (a + b) 	(-1) a 0 =
/г—0
= (a + b)(a2n - a2n~[b + a2n~2b2 - ... - ab2'l~[ + b2n).
Из формул (8) и (9) выводятся важные формулы для преобразования разности корней любой степени и суммы корней нечетной степени. Часто в задачах, например, при вычислении пределов, возникает необходимость избавиться от иррациональности вида у/х±^у. Пусть х > 0, у > 0. Положим в формуле (8) а = у/х, b = tyy.
Тогда получим
п—1
X-у =
k=0
Аналогично, если при нечетном п в формуле (9) положить а = {/х, b= tfy, то получим
п — 1 х+у = (№+№) /г=0
Пример 19. Избавиться от иррациональности в знаменателе 2
дроби ЖЛ'
Д Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к выражению х/З — 1, а именно, на (л/З)4 + (v^3)3 + (*УЗ)2 + у/З + 1.
60
Глава И. Множества и операции над ними
Получим
2	=	2((W + (W + (W + ^3+1)	=
^3-1	(^3- l)((v/3)4 + (W + (W + \/3 +1)
= 2(^1+^27+Ж^+1)=ж	^7 + ^9 + ^3 + 1. А
3	- 1
п Пример 20. Вычислить сумму S = ^2 &3. k=l п
A S = ^2 /?3 = I3 + 23 + ... + я3. Применяя формулу (8), рассмотрим k=\ тождество
(% + I)4 — %4 = (х + I)3 + (% -|-1)2% + (х + 1)%2 + х3 = = 4х3 + 6х2 + 4х + 1.
Полагая в этом тождестве x — k и складывая почленно получаемые равенства, находим ^2 ((^ + О4 — ^4) = 4 ^2 /г3 + 6 ^2 /г2 + 4 ^2 /г + /г.
А=1	k=\	k=\	/г=1
~	А ,2	+ 1)(2/г + 1) А, л(л+1)
Так как 2^ « =-------------, > , k =------, то получаем
k=\	6	k=\	2
(n + I)4 - 1 = 4S + n(n + 1)(2лг + 1) + 2n(n + 1) + n\
4S = (n + I)4 — n(n + 1) (2лг + 1) — (n + 1) — 2n(n + 1) = = {n + l)(rc3 + 3rc2 + 3rt + 1 — 2rc2 — n — 1 — 2rc) = = (n + l)(rc3 + /г2) = n2(n + I)2;
S _ ft2(n + I)2 ~	4
Замечание. Аналогичным образом можно выразить сумму Sm — km 6=1 через предыдущие SOT_i, Sm_2, .... Si, но для этого понадобится разложение (х+1)т-1 по формуле бинома Ньютона.
Бином Ньютона
При любых a, b и при любом n G N справедлива формула Бинома Ньютона
Л=о
k множителей
rk	п(п - 1) • ... • (Д - k + 1)
где Сп = --------- =----------------------биномиальные коэффициенты.
k\ • (п — k)l	kl.
При нахождении биномиальных коэффициентов удобнее пользоваться второй
§5. Суммирование
61
формулой. Кроме того, если k>n/2, то проще вместо вычисления коэффициента
Сц находить равный ему коэффициент Crt\ к
Например, С[о =	=
10-9-8
3!
= 120.
Важно отметить, что 0! = 1, таким образом, С'„ = С„ = 1. Кроме того, /'1 _ рп-l _	г>/г—1 । /-k _ f-k
— п,	•
Последнее свойство позволяет находить биномиальные коэффициенты с помощью так называемого треугольника Паскаля — таблицы, в п-й строке которой стоят коэффициенты Ск. В каждой строке первое и последнее числа равны 1 (С„ = Cf‘~ —1), все остальные числа в строках, начиная со второй, получены в результате сложения двух соответствующих чисел из предыдущей строки.
п = 1	1	1
п = 2	1	2	1
п—3	1331
ц = 4	14641
ц = 5	1	5	10	10	5	1
ц = 6	1	6	15	20	15	6	1
ц = 7	1	7	21	35	35	21	7	1
п = т	1 ...	Ckm~] Скт	... 1
п = т + \	1  • •	С*+1	... 1
Количество членов разложения равно п + 1, сумма всех биномиальных п k коэффициентов равна 2п : Сп = 2п.
Л=1
Если показатель бинома п — четное число, п = 21, то наибольший биномиальный коэффициент С1п (коэффициент (/ + 1)-го члена разложения), при этом выполняются неравенства:
Z>0	Z'»/—1 . Z'»/ Z>/	—1 z>2/
^2/ < ^2/ < • • < ь2/ <	(>2/ > С2/ > . . . > С2^	> С2/.
Если показатель бинома п — нечетное число, п = 21 — 1, то наибольших биномиальных коэффициентов два: С^-1 = С1п (коэффициенты, соответственно, /-го и (/ + 1)-го членов разложения), при этом выполняются неравенства:
Z>0	. Z>1	.	Z>/— 2	. Z>/—1	Z>/	Z>/~|"1	Z>2/—2	Z>2/—1
с2/-1 < с2/-1	<	• • * < ь2/-1	ь2/-1 ’	ь2/-1	> с2/-1	> * • • > с2/-1	> ь2/-1*
Пример 21. Найти сумму коэффициентов разложения (a + b)n, если известно, что наибольший коэффициент имеют пятый и шестой
члены разложения.
Д Так как наибольшие коэффициенты имеют два члена разложения, то п — нечетное, п = 21— 1, где / = 5. Таким образом, п = 9, и сумма всех коэффициентов в разложении равна 29 = 512.	▲
Пример 22.
Найти член разложения
щий х.
'	1 Ч!2
х + J , не содержа-
62
Глава II. Множества и операции над ними
Д Члены разложения имеют вид C^2-x[2~k-(—И = 2-ЛС^2 • х12-ЗЛ, 6 = 0, 1, 2, ..., 12.	2Х
Так как искомый член разложения не содержит х, то 12 — 36 = 0, , . „	_4-4 12 •!!-10-9 495	.
6 = 4. Член разложения равен 2 4Cj2 = —-— = —.	А
Пример 23. Найти члены разложения (л/З + а/З)17 , не содержащие иррациональностей.
Д Члены разложения имеют вид С![7 • 3<17 /г)/6 . 3/г/4 — С^7 • з(34+^)/12) где 6 = 0, 1, 2,..., 17. Так как искомые члены разложения не содержат иррациональностей, то (34 + 6)/12 — целое число. В силу того что 0^6^ 17, получаем 6 = 2 или 6 = 14.
Соответствующие члены разложения равны С27 • З3 = ——— • 27 =
= 3672 и С\]  З4 = С37 • 81 =	• 81 = 55080.	А
и
Пример 24. Вычислить сумму ^2 (6 + 1)С^.
/<=1
Д Обозначим	п
S = ^(k + l)Cb.	(10)
А=1
Используя равенство Ckn = C^~ky преобразуем S, введя замену переменной суммирования я - 6 = /, / = 1, 2 ..., /г :
п	п
S = (А + 1)С"~‘ = £>+!- 0С'„. k=l	/=1
Поменяв в последнем равенстве переменную суммирования I на 6, получим равенство
S = £ (n + 1 - k)Cb„.	(11)
k=\
Сложим равенства (10) и (И):
п	п	п
2.S = (n + 1 - А)С‘+ (А + 1)С£ = £ (п + 2)С* = (п + 2)2";
k=\	k=]	k=\
S= (тг + 2)2п-1.	A
§ 6. Числовые неравенства
63
§6. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Ранее мы уже рассматривали применение основных свойств неравенств для сравнения действительных чисел. Перечислим основные свойства неравенств. Ниже буквами а, Ь, с обозначены действительные числа, а буквой п — натуральное число.
1°. Если а > b и b > с, то а > с (транзитивность).
2°. Если а > Ь, то при любом с имеет место неравенство а + с > b + с.
3°. Если а + b > с, то а > с — Ь, т. е. любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
4°. Если а > b и с > d, то а + с > b + d, т. е. при сложении двух неравенств одного и того же смысла получается неравенство того же смысла.
5°. Если а > Ь, то при с > 0 имеем ас > Ьс, а при с < 0 имеем ас < Ьс.
6°. Если а>Ь>0 и c>d>Q, то aobd, т.е. если все члены двух неравенств одинакового смысла положительны, то при почленном умножении этих неравенств получается неравенство того же смысла.
7°. Если а^ b> Q и с > d > 0, то - > - (деление неравенств). d с
8°	Если	а	>	b 0,	то	ап > Ьп при любом п е N, п 2.
9°.	Если	а	>	b 0,	то	a2,l+1 > b2”+l при любом п G N.
10°.	Если	а	>	b > О,	то	{/а > \Ab при любом п € N, п 2.
11°. Если а, Ь — любые действительные числа такие, что а > Ь, то 2"Д/а > ~'l+-\/b при любом п G N.
12°. Неравенство а2” > Ь2л, где п G N, имеет место в том и только в том случае, когда |а| > |6|.
Рассмотрим примеры доказательства неравенств с помощью метода математической индукции.
С помощью метода математической индукции доказываются неравенства, в одной из частей которых стоит сумма п слагаемых или произведение п множителей. При этом при доказательстве импликации А(п) =>А(п + 1) к неравенству А(п) прибавляется соответствующее слагаемое, или оно умножается на соответствующий множитель так, чтобы получилась одна из частей неравенства А(п + 1).
Пример 1. Доказать, что 2п > п2 при всех п е N, 0 5.
Д При п = 5 имеем 25 > 52, 32 >25 —верно.
Предположим, что выполняется неравенство 2п > п2, и докажем, что тогда выполняется неравенство 2n+1 > (п + I)2.
Для этого умножим неравенство 2п>п2 на 2. Получим 2л+1 >2п2.
Осталось доказать, что 2п2 > (п. + I)2.
Решим последнее неравенство: 2п2 > (п + I)2, п2 - 2п — 1 > О, п < 1 - V2 или п > 1 -I- V2 . Так как 1 + V2 < 5, то для всех
64
Глава II. Множества и операции над ними
п 5 выполняется неравенство 2/г2 > {n + I)2, следовательно, из неравенства 2П > п2 следует неравенство 2n+1 > (n +I)2.
Согласно принципу математической индукции, неравенство 2'1>/г2 выполняется при всех n G N, п 5.	А
Пример 2. Доказать, что 1 +	+ ... +	1 п при всех
п е N.
А При п — 1 имеем неравенство 1^1 — истинно.
Предположим, что выполняется неравенство
и докажем, что тогда справедливо и неравенство
1 + - Ч--I- ... Ч---Ч-	.—• -С п Ч- 1 •
3	7	2Л — 1	2л+1 - 1
Прибавим к обеим частям первого неравенства слагаемое
Получим неравенство , 11 1 1 1
1 + з + 7+ "- + 2^Л +	" +	
Так как 2п+1 > 4, то —----< 1 и п Ч- —гт < п Ч- 1, и доказы-
2л+1 - 1	2л+1 - 1
ваемое неравенство выполняется.
Таким образом, согласно принципу математической индукции 1 ll	I	TXT	А
неравенство I Ч- - Ч- - Ч- • • • Ч- ——- п справедливо при всех n е N. ▲
При доказательствах числовых неравенств часто используются неравенства Коши, Коши—Буняковского и Бернулли.
Пример 3. Пусть U[, a2,  •., an — произвольные неотрицательные числа. Доказать неравенство Коиит.
al +	+ • • • Ч- an n /	Z1 ч
------------->	-a2-...’an.	(1)
п
Доказать, что равенство достигается тогда и только тогда, когда а\ = а2 = ... = ап.
А Если среди чисел а.[, а2, . , ап есть равное нулю, то неравенство очевидно. При этом для выполнения равенства необходимо, чтобы все числа были равны нулю.
Пусть все числа отличны от нуля. Запишем неравенство (1) в виде
(2)
у а । •а2 •... • ап
Если положительные числа %], х2, .. ., хп удовлетворяют условию
xix2...xn = l,	(3)
§ 6. Числовые неравенства
65
то справедливо неравенство
Х[ + х2 Н---\-хп^п.	(4)
(см. в учебнике пример 9, гл. 2, § 6).
Положим Х/<= ,	a------, k = 1.2,..п. Тогда положительные
у Я[ • а2 • . . . • ап
числа Х[, %2- •••’ хп удовлетворяют условию (3), следовательно, выполняется неравенство (4), т. е. и неравенство (2).
При этом равенство в неравенстве (4) достигается тогда и только тогда, когда х\ — %2 — • • • = хп — 1, т. е. а\ = а2 =    = ап. ▲
Отметим, что неравенство Коши означает, что среднее геометрическое неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического, и эти средние равны тогда и только тогда, когда равны между собой все числа. Если в неравенстве Коши положить 1 , a-i = — , bi > 0, получим bi
X + X + + X .------------------
6, + &2 +	+	/	1
п	у bj • b<2 • . .. • Ьц ’
--------"-------^brb2-...-bn,
Х + Х + +-L ьх ф ь2 ++ Ьп
т. е. среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического, а следовательно, и среднего арифметического.
Пример 4. Две хозяйки покупали молоко у одной молочницы каждый день в течение п дней. Первая покупала в день один литр, а вторая — на а рублей. Цена на молоко ежедневно менялась и средняя цена в день составила а рублей за литр. Кто из хозяек купил больше молока и кто потратил больше денег?
Д Пусть а/г — цена литра молока в k-й день. Тогда средняя цена
литра молока в день равна —--------------- = а. Первая хозяйка
п
потратила денег а\ + а2 + ... + ап = па рублей. Вторая покупала каждый день молока на а рублей и потратила также па рублей. Итак, денег хозяйки потратили поровну.
Первая хозяйка покупала один литр в день и купила п литров молока, вторая покупала в день на а рублей, т. е. — литров, и купила (а	а	а \
— Я----+ ... 4--I литров.
«1	01	«л /
66
Глава II. Множества и операции над ними
Применяя неравенство для среднего арифметического и среднего a
гармонического к величинам — , получим
ak
a I a I	I о, Я] Я1	ап			 = 1,
п	Я|	Яо	Яд; Я	Я	я
следовательно, — + — +	п.
Я) Я]	Яд;
Так как известно, что цена на молоко менялась, т. е. среди чисел ak есть различные, то неравенство строгое, вторая хозяйка купила молока больше.	А
Пример 5. Доказать, что при всех хбК выполняется неравенство >/l6x4(x2 + Зх + 3) Зх2 + х + 1.
При каких значениях х достигается равенство?
А Положим в неравенстве Коши (I) aj = 4х2	0, а2 = 4х2 О,
яз = х2 + Зх + 3 > 0. Получим
У|6х%2 + 3х + 3) j<+4*2 + *2 + 3* + 3 = Зх2 + х + 1.
При этом равенство выполняется при условии 4х2 =х2 + Зх + 3, т. е. 1 ±%/5
при значениях х = —-— .	А
Пример 6. Пусть а О, b 0, с 0. Доказать неравенство
3 (а3 + /?3 + с3) (а + b + с) (а2 + Ь2 + с2) .
А Применяя неравенство Коши при п = 3, получаем а3 + а3 + /?3	За2/?;	а3 + а3 + с3	За2с;
/?3 + /?3 + а3	За/?2;	/?3 + /?3 + с3	3/?2с;
с3 + с3 + а3	Зас2;	с3 + с3 + /?3	ЗЬс2.
Складывая полученные неравенства, получаем:
6 (а3 + /?3 + с3)	3 (а2/? + а2с + а/?2 + Ь2с + ас2 + /?с2) .
Прибавляя к последнему неравенству 3 (а3 + /?3 + с3), получаем: 9 (а3 + /?3 + с3) ^3 (а2/? + а2с + а/?2 + Ь2с + ас2 + Ьс2 + а3 + /?3 + с3) = =3 (а + /? + с) (а2 + /?2 + с2) ;
3 (а3 + /?3 + с3) (а + /?4-с) (а2 + /?2 + с2) .	А
§6. Числовые неравенства
67
Пример 7. Пусть a > О, b > О, с > 0. Доказать, что при любом п е N выполняется неравенство
При этом равенство в исходном неравенстве достигается только тогда, когда оно достигается в обоих неравенствах цепочки. Получаем a + b = \/ab, т. е. a = b, a + с — у/ас, т. е. а = с. Таким образом, а = b = с, и в исходном неравенстве достигается равенство. ▲
Обратим внимание на следующие неравенства, часто используемые при решении задач:
1)	Если я О, b 0, то а + b 2\fab; равенство достигается при а = Ь.
2)	Если х > О, то х +2 ; равенство достигается при х = 1.
3)	Если х > 0, а > 0, то х +	2>/а; равенство достигается
при х = у/а.
Пример 8. Пусть х > 0, а > 0. Доказать неравенство х + -	2у/а.
х
(5)
А Положим в неравенстве Коши = х, я2 = - , получим
2
а
X
х + -	2у/а.
X
Равенство достигается при х= т. е. х = у/а.
Пример 9. Доказать неравенство
(х2 + х + 2)(х2 + х + 1)	(3 - х2)(х2 + х 4-1) - 1.
68
Глава II. Множества и операции над ними
При каких значениях х достигается равенство?
А Так как х2 Ч-х + 1 = (х + 0,5)2 + 0,75>0, то разделив на х2 Ч-х Ч-1, получим
х2Ч-х + 2^3-х2- i,
х2 + х + 1
х Ч~ х Т" 1 Т" -о---^2 — х .
X2 + х + 1
Так как	.
х2 + х + 1 +	2 2 - х2,
х2 + х + 1
то неравенство доказано.
Равенство достигается в случае, если в обоих неравенствах последнего двойного неравенства имеет место равенство:
х2 + х + 1 + —5-----= 2, если х2 + х Ч- 1 — 1,
х2 ч- х + 1
т. е. при х = 0, х = -1;
2 = 2 - х2
при х = 0. Таким образом, равенство в исходном неравенстве
достигается при х = 0.	А
Пример 10. Доказать неравенство
(2х2 + 5х — 2)(х2 + х + 2) + 16 0.
При каких значениях х достигается равенство?
А Учитывая, что х2 + х + 2	0, преобразуем неравенство:
((х2 + х + 2) + (х2 + 4% - 4))(х2 + х Ч- 2) + 16 0;
х2 + х + 2 + -т,-—--4 - х2 - 4х;
х2+х + 2
х2 + х + 2 Ч—?------8 — (х Ч- 2)2.
х + х Н- 2
Оценим выражение в левой части неравенства. Так как х2Ч-хЧ-2>0, то в силу неравенства (5) имеем
х2 + х + 2 +	2х/16 = 8,
х2 + х + 2
при этом х2 Ч- х Ч- 2 Ч- 16---= 8, если х2 Ч- х Ч- 2 = д/Тб = 4, т. е.
х2 + х ч- 2
х = — 2 или х = 1.
Для правой части выполняется неравенство 8 —(хЧ-2)2^8, при этом 8 — (х Ч- 2)2 = 8, если х = —2.
§6. Числовые неравенства
69
Таким образом, имеем неравенство
х2 + х + 2 -|—=-----8 — (х + 2)2,
х2 + х + 2
равенство в котором достигается только в случае х = —2.
Неравенство Коши—Буняковского. Для любых наборов чисел (/|. а2, • • •, ап и b\,b2,..-/bn справедливо неравенство
(«1^1 + а2Ь2 + ... + апЬп)2 (4 + 4 + • • • + 4)(4 + ^ + • • • + 4), (6) при этом равенство достигается тогда и только тогда, когда найдется такой коэффициент k, что at = kbi при всех i = 1, ... п.
Геометрический смысл неравенства состоит в том, что для любых двух векторов а = (оц, аг, • • •, ап) и b = (&1, &2> •••,^1) модуль их скалярного произведения а • b = а[Ь\ + (22^2 + • • • + апЬп не превосходит произведения их длин
|а| • |Ь| = ^4 + а2 + • • • + ’ ^4 + ^2 + • • • +
При этом а • b = |а| • |Ь| тогда и только тогда, когда векторы сонаправлены, т. е. а = k b, где k 0, и а • b = —|а| • |Ь| тогда и только тогда, когда векторы противоположно направлены, т. е. а = k • b, где k 0, (нулевой вектор считается сонаправленным любому, оба равенства, очевидно выполняются).
Отметим, что на самом деле это свойство скалярного произведения следует из неравенства Коши—Буняковского, а не наоборот. Поэтому неравенство нельзя доказывать, исходя из свойства скалярного произведения, оно может служить лишь для облегчения запоминания неравенства.
Пример 11. Применяя неравенство Коши—Буняковского, доказать, что при а е [1; 7,5] выполняется неравенство
х/о^Т + 2>/За — 1 + Зд/ЗО —4а 14х/2.
При каких значениях а достигается равенство?
А Положим в неравенстве Коши—Буняковского а.[ = 1, аг = 2, <23 = 3, Ь\ = у/а — 1, &2 — х/За — 1, &з ~ л/ЗО — 4а. Тогда получим
Va^l + 2х/3а - 1 + Зд/ЗО —4а х/14 • V28 = 14^2.
Равенство выполняется лишь в случае, когда
у/а — 1 = k, — 1 = 2k, х/ЗО — 4а = 36.
Из первых двух уравнений получаем а = 3, k = V2. При этих значениях третье уравнение обращается в тождество: х/ЗО — 12 = 3\/2. А
70
Глава II. Множества и операции над ними
Пример 12. Найти максимальное значение выражения a — ЗЬ — 2с, если 5а2 + b2 + 2с2 = 70. При каких значениях а, b и с оно достигается? . А Положим в неравенстве Коши—Буняковского а\ = ~^= , а% = —3, v 5
«3 = —д/2, Ь\ = \/5а,	= Ь, Ь% = у/2с. Получим
а-ЗЬ —2с=-^= • \/5а-3-&-\/2-\/2с^ д/-±9±2-\/5а2 ±Ь2 ±2с2 = 28. v5	у 5
Равенство достигается при у/5а = ~ , b = — 3k, у/2с = —kV2. v5
Отсюда получаем а=~, c=—k. Подставляя эти значения в равенство 5
5а2 + Ь2 + 2с2 = 70, находим k = ±2,5. Нам нужно положительное значение k, поэтому k = 2,5; а = 0,5, Ь = — 7,5, с = —2,5, и наибольшее значение выражения равно 28.	А
Пример 13. Найти наименьшее значение выражения
А = 2а2 + 6b2 — 4аЬ + Зс2 — 6с,
если 4а - 2Ь ± Зс = 43.
А Преобразуем выражение:
А = 2а2 + ЗЬ2 - 4аЬ ± Зс2 - 6с = 2(а ± b)2 ± (2b)2 ± 3(с - I)2 - 3.
Положим x — a + b, ц = 2Ь, z — с — 1. Тогда b=- , а = х — - , с = z ± 1 2	2
и условие 4а — 2&±3с = 43 эквивалентно условию 4х — Зу ± 3z = 40. Найдем наименьшее значение выражения
А ± 3 = В = 2х2 + у2 + 3z2 = (х/2х)2 + у2 + (\/3z)2, если х, у, г удовлетворяют условию 4х — Зу + 3z = 40. Согласно неравенству Коши—Буняковского, получаем
40 = 4х - Зу + 3z = 2 \/2 • \/2х ± (—3) • у ± у/З • \/Зг \/8± 9 + 3 • у/В,
Г- 40
В^80.
л/20
Равенство достигается в случае у/2х = k • 2у/2, y=-k-3, y/3z = k  \/3, т. е. х = 2k, у = — 3k, г = k. Подставляя эти значения в условие 4х - Зу + 3z = 40, получаем 8k ± 9fe ± 3k = 40, откуда k = 2, х = 4, У = -6, г = 2.
Таким образом, наименьшее значение Д±3 равно 80, наименьшее значение А равно 77, оно достигается при а = х—^ = 7, Ь=| = — 3, с = z + 1 = 3.	А
Дидактические материалы
71
Неравенство Бернулли. При решении уравнений и неравенств часто используется неравенство Бернулли-.
если р е N, х>— 1, то (1 + х)р 1 + рх\ (7)
если р 1, то равенство имеет место только при х = 0.
Пример 14. Доказать неравенство (1 + 2а2 + 2а)3 24а2 + 24а — 4. При каких значениях а выполняется равенство?
А Преобразуем неравенство, разделив обе его части на 8 : (0,5 + а2 + а)3 За2 + За — 0,5;
(1 - 0,5 + а2 4- а)3	1 + 3(а2 + а - 0,5).
Так как а2 + а — 0,5 = (а + 0,5)2 — 0,75 > —1, то, применяя неравенство Бернулли (7), получим:
(1 + (а2 + а - 0,5))3 > 1 + 3(а2 + а - 0,5).
Неравенство доказано. Равенство выполняется при а2 + а — 0,5 = 0,
-1 ±7з
т. е. при а = —-— .	А
Пример 15. Известно, что Х[, Х2, ..., хп — натуральные числа. Доказать неравенство
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа 11.1
Вариант 1
Даны множества А, В и С. Пусть Х = СГ\В и У = С \ (Д \ (В U С)).
1. Показать множества X и Y на диаграммах Эйлера—Венна.
2. Выяснить, верно ли включение X С У, с помощью таблицы истинности и преобразований множеств.
72 Глава II. Множества и операции над ними
Вариант 2
Даны множества А, В и С. Пусть Х = А и (ВП С) и У = (Д U С) \ (Д \В).
1. Показать множества X и У на диаграммах Эйлера—Венна.
2. Выяснить, верно ли равенство X = У, с помощью таблицы истинности и преобразований множеств.
Вариант 3
Даны множества А, В и С. Пусть X = С\ (В\ Д) и У = С\ (Д \ (В и С)).
1. Показать множества X и У на диаграммах Эйлера—Венна.
2. Выяснить, верно ли равенство X = У, с помощью таблицы истинности и преобразований множеств.
Вариант 4
Даны множества А, В и С. Пусть Х = С\В и У = (Д U С) \ (Д \ В).
1. Показать множества X и У на диаграммах Эйлера—Венна.
2. Выяснить, верно ли включение X С У, с помощью таблицы истинности и преобразований множеств.
Ответы
Вариант	1.	1.	См.	рис. 1,	2.	2. Верно.
Вариант	2.	1.	См.	рис. 3.	2.	Верно.
Вариант	3.	1.	См.	рис. 4.	2.	Верно.
Вариант	4.	1.	См.	рис. 5,	6.	2. Верно.
Самостоятельная работа II.2
Вариант 1
1. Выяснить, являются следующие числа рациональными, или нет:
Рис. 3
Рис. 1
Рис. 2
Дидактические материалы
73
2. При каком натуральном п к 2
выполняется неравенство
и < 19 < —|— п!
2	2
Вариант 2
1. Выяснить, являются следующие числа рациональными, или нет: a) V2 + V5 - V3-, б) b = ^2 + ^4.
2. Упростить выражение ЦЗя2 — 40| — Зл2 + 18|.
Вариант 3
1. Выяснить, являются следующие числа рациональными, или нет:
2. При каком натуральном п выполняется неравенство
Вариант 4
1, Выяснить, являются следующие числа рациональными, или нет: а) У7+ \/2- л/З; б) ^5+^25.
2. Упростить выражение ||19 — 2я2\ + 2л2 — 21|.
Ответы
Вариант.	1.	1.	а)	а	Q;	б)	b =	2 е Q.	2. 12.
Вариант	2.	1.	а)	а	Q;	б)	b	Q.	2.	6л2 — 58.
Вариант	3.	1.	а)	а	Q;	б)	b — 3 е	Q.	2. 40.
Вариант	4.	1.	a)	б)	b	Q.	2.	40 — 4л2.
74
Глава II. Множества и операции над ними
Самостоятельная работа II.3 Вариант 1 1. Решить уравнения:
а) 3х 4-Зх+1 = 20; б) iog4(2x 4-1) = —3; в) iogx_2 125 = 6.
2. При каких значениях а имеют смысл выражения:
a) log3(l -2а2 4-а); б) log|_2(J3; в) loga+3(a - 2)2?
Вариант 2
1. Решить уравнения:
а) 4-v+i _ 4-< = 15. б) ]О£3(Зх + 3) = 5; в) log4_ v 32 = -10.
2. При каких значениях а имеют смысл выражения:
a) log3(3a2 + 2а — 5); б) log„_4 3; в) loga2+4u+4(a + 5)?
Вариант 3
1. Решить уравнения:
а) 5х — 5Х—1 = 12; б) log)6(3x — 5) = —1,5; в) logv+5 81 = 8.
2. При каких значениях а имеют смысл выражения:
a) log3(l - 4а2 - За); б) log_j_2a3; в) log3_a(a - I)2?
Вариант 4
1. Решить уравнения:
а) 6х + 6Х~2 = 74; б) log25(5 - Зх) = 1,5; в) logx_3 128 = -14.
2. При каких значениях а имеют смысл выражения:
a) log3(2a2 -За-5); б) log4+(J 3; в) loga2_2a+1(a + 2)?
Ответы .
Вариант 1. 1. a) log3 5; б) —	; в) \/5 + 2. 2. а) (—0,5; 1); б)
(-оо; 0) U (0; 0,5); в) (-3; -2) U (-2; 2) U (2; +оо).
Jo
Вариант 2. 1. a) log4 5; б) 80; в) 4--— . 2. а) (—оо; — 5/3) U (1; +ос); б)
(4; 5) U U(5; +оо); в) (—5; —3) U (—3; —2) U (—2; —1) U ( —1; +оо).
107	г-
Вариант 3. 1. a) logr 3 4- 1; б) —; в) х/3 — 5. 2. а) (-1; 0,25); б) 64
(-оо; -1) U (-1; -0,5); в) (-оо; 1) U (1; 2) U (2; 3).
х/2
Вариант 4. 1. a) log6 2 4- 2; б) —40; в) +3. 2. а) (—оо; — 1) U (2,5; +оо); б) (-4; -3) U (-3; 4-оо): в) (-2; 0) U (0; 1) U (1; 2) U (2; 4-оо).
Дидактические материалы
75
Самостоятельная работа II.4
Вариант 1
1. Решить неравенство _ Ся-3 100. /	/_\ 10
2. Найти члены разложения ( v24-v21 , являющиеся целыми числами.
Вариант 2
1. Решить неравенство 76^21
2. Найти коэффициент при х3 в разложении (у'х+х/х)8.
Вариант 3
1. Решить неравенство С'^ + С”ф3 105.
/ !	( \41
2. Найти члены разложения ( ---л/2 ) , не содержащие иррациональности.
1.
2.
Вариант 4
Решить неравенство HC?j’~+l
'( i И34
Найти члены разложения I — \/3 I , не содержащие иррациональности.
Ответы
Вариант /. 1. 3 п 10, п G N . 2. 1680.
Вариант 2. 1. 2 п 7, п е N . 2. 28.
Вариант 3. 1. 3^/г^б, neN. 2. 22С^ = 164,2“3С^,2“8С^ = 128
Вариант 4. 1. 1 п 6, п G N . 2. -34С24 = -5049, -З-3^, -3-8С|4
Самостоятельная работа II.5
Вариант 1
1. Доказать, что при всех п G N выполняется неравенство
2. Пусть Х[,	• • ч хя — произвольные неотрицательные числа, причем
Х[ 4- Х2 4-.. • 4- хп 1/2. Доказать, что
(1-х1)(1-х2)-....(1-Хп)^1/2.
Вариант 2
1. Доказать, что при всех п G N, п 2, выполняется неравенство
76
Глава II. Множества и операции над ними
2. Пусть %], Х‘2, , хп — произвольные положительные числа, причем х\ + х% + ... + хп < и. Доказать, что
Л'1  х2 ' • • • • *п < 1.
Вариант 3
1. Доказать, что при всех n G N выполняется неравенство
п\ < 2"2.
2. Пусть X], х2, хп — произвольные неотрицательные числа, причем (1 — Xi)(1 — х2) •...•(!— х,()	1/3. Доказать, что
Х[ -|- х2 + •.. + Хц 2/3.
Вариант 4
1. Доказать, что при всех п С Н выполняется неравенство
2. Пусть X). х2, ..., хп — произвольные неотрицательные числа, причем 1
X] • х2 •... • Хп > —  Доказать, что пп
X] + Х2 + . . . -|- Хп > 1.
Контрольная работа II.1
по теме «Множества. Действительные числа» (2 урока)
Вариант 1
1.	Найти количество трехзначных чисел, кратных 3 или 7.
2.	На экзамене в университете было предложено 5 задач. В результате было зачислено 100 человек, решивших не менее четырех задач. Первые две задачи решили все; 80 человек решили третью задачу, 70 — четвертую, 60 —пятую. Сколько человек решили ровно четыре задачи?
3.	Вычислить 2, (04) : 2,2(4). Ответ записать в виде десятичной дроби.
4.	Решить уравнение |х2 — Зх — 39 — 21 х/2| = 21 л/2 — Зх.
3 y_5
5.	Решить уравнение '	-
Вариант 2
1.	Найти количество трехзначных чисел, кратных 4 или 11.
2.	При голосовании в городскую думу в списке из трех кандидатов можно было оставить не более 1 человека. Против кандидатов А и В проголосовало 65% избирателей, против В и С —75% , против А и С—80%. Сколько процентов избирателей проголосовало против всех?
3.	Вычислить 1, (02) : 5,6(1). Ответ записать в виде десятичной дроби.
4.	Решить уравнение |х2 — 5х + 22 — 15\/5| = 15\/5 — 5х.
_ г,	4х + 5
5.	Решить уравнение ----
2х + 7 3
5х — 1 " 8
Дидактические материалы
77
Вариант 3
1. Найти количество трехзначных чисел, кратных 3 или 11.
2.
В выпускных экзаменах участвовали 120 человек. На экзаменах по алгебре,
геометрии и физике каждый выпускник получил оценку «5» или «4», причем оценку «5» каждый получил не менее двух раз. Оценку «5» по алгебре получили 100 выпускников, по геометрии — 90, по физике —80. Сколько
3.
4.
5.
выпускников получили оценку «5» ровно по двум предметам?
Вычислить 4, (05): 8,9(1). Ответ записать в виде десятичной дроби.
Решить уравнение
Решить уравнение
х2 4-х — 62 4-4\/3| = 4\/3 - х.
—2х 4- 5	— 5х + 3
.	3 J ” [ ~‘
Вариант 4
1.
Найти количество трехзначных чисел, кратных 4 или 7.
2.	В группе на филологическом факультете 30 студентов. Каждый из них
изучает хотя бы два языка из трех: английский, французский, немецкий.
Английский и французский язык изучают 12 студентов, английский и немец-
кий—15, французский и немецкий—13. Сколько студентов изучают
все
три языка?
3.	Вычислить 3, (05) : 10,0(6). Ответ записать в виде десятичной дроби.
4.	Решить уравнение
5.	Решить уравнение
|х2 4- х - 27 4- 3v^l = ЗУ2 - х.
Г—3x4-41 _ Г—5x4- 1Г
5	-	3
Вариант 5*
1.	Найти количество трехзначных чисел, кратных 6 или 9.
2.	В детском саду каждому из 60 детей для раскрашивания орнамента было выданы красная, желтая и зеленая краски. Выяснилось, что каждый ребенок использовал по крайней мере две краски. При этом красную использовали 35 детей, желтую — 40, зеленую —50. Сколько детей использовали красную и зеленую краски?
3.	Вычислить 0,1(04) : 0, (0721). Ответ записать в виде десятичной дроби.
4.	Решить уравнение |х2 4- х — 4 4- х/7 — \/2| = х/7 — \/2 — х.
5.	Решить уравнение {4х — 0,6} = 7 {х} — 5,1.
Вариант 6*
1.	Найти количество трехзначных чисел, кратных 6 или 14.
2.	На экзамене по русской литературе на филологическом факультете выяснилось, что каждый из 95 студентов читал хотя бы две книги из трилогии Л. Н. Толстого «Детство», «Отрочество», «Юность». Книги «Детство» и «Отрочество» читали 55 студентов, «Детство» и «Юность» —25, «Отрочество» и «Юность» — 35. Сколько студентов читали книгу «Детство»?
3.	Вычислить 0.0(05) : 0,(0065). Ответ записать в виде десятичной дроби.
4.	Решить уравнение |х2 4- х — 5 4- \/10 — \/3| = х/Ю — х/3 - х.
5.	Решить уравнение {5х 4-0,3} = 8 {х} — 1,2.
78
Глава II. Множества и операции над ними
Ответы
Вариант 1.
5.-[5: 5,5) U
1. 385. 2. 90.
э — . о — ) .
3	3/
3. 10/11 = 0,(90). 4. 3 - 4л/3; - У39 + 42х/2.
Вариант 2. 1. 286. 2. 60%. 3. 2/11 = 0,(18). 4. 5 — д/З; -х/30д/5 - 22.
5. [-3,5; -3) U [-2,75; -2) U [-1,4; -1,25).
Вариант 3. 1. 354. 2. 90. 3. 5/11 = 0,(45). 4. -1 - 3^7;-\/б2 - 8^3.
5. (-0,5; -0,2] U (-1,8; — 1] U (—2,6; 2].
Вариант 4. 1. 321. 2. 5. 3. 10/33 = 0,(30). 4. -1 - 2\/7; -\/27 - 6/2. 5. (2,2; 2,8] U (3; 3,4].
Вариант 5*. 1. 200. 2. 25. 3. 101/70 =	1,4(428571). 4. -1	-	/5’;
- \/4 +2/2-2^/7. 5. п + - , n е Z.
6
Вариант 6*. 1. 193. 2. 70 3. 101/130 = 0,7(769230). 4. -1 - /б;
— л/б 4- 2/3 — 2/10. 5. п + - , n е Z.
6
Контрольная работа II.2
по теме «Степени и корни. Логарифмы» (2 урока) Вариант 1
1.	Сравнить числа А = у/‘23 — 4\/33 и В — /3 — -/ГТ + 2.
2.	Упростить выражение
аЗ/2 + 63/2	(а_6)1/3.а-2/3
7~2 /Ж : аЗ/2 _ 63/2	•
(а — abj ______________
3.	Решить уравнение /	— у/х  у/х = 72.
logo 25
4.	Вычислить: a) log( 8 log512 32; б) 3 log3 36 --—.
’	I°g725
5.	Выразить log15 49 через а и Ь, если a — log7 9, b = log745.
Вариант 2
1.	Сравнить числа А = \/55 — 12/21 и В — 2/7 — 4/3 + 2.
2.	Упростить выражение
( I _	/ 27/-5 \~1/3
у (х1/2 _|_ у1/2)	х1/2^-//2^ \64x~1’5/
3.	Решить уравнение у/х2  \fx^ — 31 "Уx/j/ = 32.
Дидактические материалы
79
4.	Вычислить: a) log, 95 log243 81;	6) logo 20 - log280
’	logs2
5.	Выразить 1g 196 через a и b, если a = lg2, b = log27.
Вариант 3*
1.	Сравнить числа A = \/47 - 21 \/5 и В = 2л/2 — 4\/Ю 4-10.
2.	Преобразовать выражение
25а — 11 Oy/ab + b y/b — 10 \АаЬ — 5л/а
4- 30\/а — 5\/а — \/b.
3.	Решить уравнение (х2 - 24х j — 124х •>/%(% — 24)3 = 125.
4.	Вычислить: а)	б) 2710 log‘J^(2+	1оК9(.
5.	Выразить log|2 90 через а и Ь, если а = log24 3, b = log24 5.
Вариант 4*
1. Сравнить числа А — д/78 — 45\/3 и В = л/б — 3\/2 4- 2.
2. Преобразовать выражение
4а 12у/ab 4- b	Л i—	л/~ *1/т
-------4	~	+ 2\/а - 2- V&.
3. Решить уравнение (х2 4- 6хJ 4- 63х\/х(х 4- 6)3 = 64. ли	\ с. i‘ ч	/s(3—ч/б)—61og8(\/3—\/2)
4. Вычислить: а) 6|п18 1,13; б) 4	4 5 * * В.^2к	) ьн\ ).
5. Выразить log20 45 через а и Ь, если а = 1g2, b — 1g 3.
Ответы
Вариант 1. 1. А < В.
Вариант 2. 1. А < В.
Вариант 3*. 1. А >
5а 4- ЗЬ 4-1
5. ---------.
а 4- 2
2. a2 + ab + b2. 3. ±27. 4. a) -1; б) 2. 5. ------.
2Ь — а
2. 4. 3. 256. 4. а) -1; б) 4. 5. 2а(6±1).
В. 2. 0. 3. 25; 12 - У145. 4. а) 14;	б) 64.
Вариант 4*. 1. Л >
2b + 1 — а а 4-1
В. 2. 0. 3. -8; -3 ± У10. 4. а) 20; б) 9.
Контрольная работа II.3
по теме «Суммирование. Числовые неравенства» (2 урока)
Вариант 1
1. Последовательность {&«}, п 6 N, такова, что разности соседних членов Ьп+[—Ьп образуют арифметическую прогрессию. Найти &203, если &1=93, Ь2 = 96, &з = 103.
80
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
Глава II. Множества и операции над ними
тт о	г	81	64
Наити сумму 5 положительных чисел, расположенных между — и —,
81 из которых вместе с числами — и
64
— можно составить геометрическую
прогрессию.
Доказать неравенство
(х2 + 4х + 7)(2х2 4- 12х 4- 9) + 49	0.
При каких значениях х достигается равенство?
Доказать, что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство, и найти, при каких значениях х достигается равенство:
/2х + 7 + л/3х + 104- \/-14 - 5х 3.
Числа a, b и с удовлетворяют условию 2а2 4- Ь2 4- 4с2 = 84. Доказать неравенство 2а. — b 4- 3	—21. При каких значениях а, b и с достигается
равенство?
Вариант 2 Последовательность {bZ!}, n е N, такова, ba+[ - Ьп образуют арифметическую прогрессию. Найти если Ь2 = 5, й3 = 10.
Найти сумму 5 положительных чисел, расположенных между 625 гпг 64
из которых вместе с числами 625 и — можно составить геометрическую
что разности соседних
членов = 2,
64 и — ,
25
прогрессию.
Доказать неравенство
(х2 + Зх 4- 5)(2х2 4- 9х 4- 4) 4- 25	0.
При каких значениях х достигается равенство?
Доказать, что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство х/х 4- 7 4- 3-\/2х + 35 4- 5\/бЗ — Зх 35\/3.
При каких значениях х достигается равенство?
Числа а, b и с удовлетворяют условию За — 2Ь — 2с — 33. Доказать неравенство 4а2 4-Ь2 4-2с2	132. При каких значениях а, b и с достигается
равенство?
Вариант 3*
Пятый и двенадцатый члены арифметической прогрессии — целые положительные числа. Вычислить сумму первых тринадцати членов прогрессии, если известно, что она удовлетворяет неравенству 16 <5|з < 18.
Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 8, а сумма членов с 11-го по 15-й равна 18. Вычислить сумму членов с 6-го по 10-й, если известно, что все члены положительны.
Доказать, что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство х2 4- 4х - 17 4- т8х/54х - 9х2 - 80.
х2 4-4х — 17
При каких значениях х достигается равенство?
Дидактические материалы
81
4. Доказать, что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство V2х2 — х + л/Зх2 — 2 + 2 а/8 + х - 5х2	6.
При каких значениях х достигается равенство?
5. Доказать неравенство
у/ 50х(х2 - Зх + 3) 4х - 2 + - приху^О. ’	г
При каких значениях х достигается равенство?
Вариант 4*
1.	Четвертый и тринадцатый члены арифметической прогрессии — целые положительные числа. Вычислить сумму первых одиннадцати членов прогрессии, если известно, что она удовлетворяет неравенству 12<5ц < 14.
2.	Сумма шести последовательных членов геометрической прогрессии, начиная с седьмого, равна 5, а сумма членов с 13-го по 18-й равна 10. Вычислить сумму первых шести членов прогрессии.
3.	Доказать, что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство х2 + 6х - 34 + 0 36-----------------12л/128х — 16х2 - 255.
х2 + 6х - 34
При каких значениях х достигается равенство?
4.	Доказать,что при всех допустимых значениях х выполняется неравенство 2а/4х2 — 6х + 2v/8x2 + 2 + За/15 + 6х - 12х2	17.
При каких значениях х достигается равенство?
5.	Доказать неравенство
(2 + Зх2 + х)3	81х2 + 27х.
При каких значениях х достигается равенство?
Ответы
Вариант 1. 1. 81903. 2.	. 3. —4. 4. —3. 5. а = — 4, b — 4, с = — 3.
Вариант 2. 1. 40402. 2. 412,4. 3. —3. 4. —4. 5. <2 = 3, b = — 8, с = — 4.
Вариант 3*. 1. 16 -. 2. 12. 3. 3. 4. -1. 5. -1±л/3.
4	_ I 4- х/Й
Вариант 4*. 1. 13 -. 2. 2,5. 3. 4. 4. -0,5. 5.	•
Глава III
ФУНКЦИИ
При изучении главы большое внимание уделяется графическим методам и решению задач с параметром. При рассмотрении монотонности функций следует обратить внимание на то, что если функция монотонно убывает (возрастает) на двух промежутках, то из этого не следует, что она убывает (возрастает) на объединении этих промежутков. При выяснении вопроса о четности (нечетности) функции сначала выясняется, является ли ее область определения симметричной относительно нуля. Для нахождения обратной функции необходимо определить промежутки монотонности функции. На различных промежутках монотонности обратная функция имеет разный вид.
При построении графиков функций путем элементарных преобразований часто возникает ошибка из-за неверного определения последовательности преобразований. Поэтому удобно сначала привести последовательность преобразования переменной, а затем производить преобразования графика в обратном порядке.
При построении графиков уравнений необходимо подчеркнуть, что преобразования графика, происходящие при изменении переменной у, аналогичны преобразованиям, происходящим при изменении переменной х.
§1. ЛИНЕЙНАЯ, КВАДРАТИЧНАЯ И ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИИ
Линейная функция
Функцию вида
у = kx + b, где k и Ь — заданные числа, называют линейной. Она определена при всех х G R, а ее график — прямая, пересекающая ось Оу в точке (0; 6) (см. рис. 1) и составляющая с положительным направлением оси Ох угол а, тангенс которого равен k. Число k называют угловым коэффициентом, прямой.
Уравнение прямой, проходящей1 через точку (хц; уф) и имеющей угловой коэффициент k, имеет вид
у = i/o + ^U-^o)-
(1)
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
83
Если у\ и у2 — значения функции y = kx + b соответственно при x = %i и х = %2 (^i /^2)» т0
ь = У2-У1 х2 - х.
При h > 0 функция у = kx + 6 — возрастающая, угол а между прямой, являющейся ее графиком, и положительным направлением оси Ох, отсчитываемый против часовой стрелки, острый. При /? < 0 функция убывающая, угол а тупой. При k = 0 функция имеет вид у = Ь, ее график — прямая, проходящая через точку (0; Ь) п параллельная оси Ox (tga — 0, a -0).
Если прямые 1\ и 12 заданы соответственно
уравнениями
у = k\x + b\,
y = k2x + b2,
то они параллельны тогда и только тогда, когда A] ~ k2. Если при этом Ь\ ----- Ь2, прямые совпадают.
Прямые 1[ и 12 перпендикулярны тогда и только тогда, когда
k{-k2 = -\.	(3)
В общем случае, если ср — угол между прямыми 1\ и 12, то

Ь\ - k2
1 + k2
(4)
Угол между параллельными прямыми считается равным 0.
Пример 1. Написать уравнение прямой /], которая проходит через точку Д(1; 2) и перпендикулярна прямой 12, задаваемой уравнением у - -2х + 3.
Д Так как прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты удовлетворяют условию (3). Так как k2 = —2, то k\ = 0,5. По формуле (1) получаем уравнение прямой 1\. у = 2 + 0,5(х — 1), у = 0,5х + 1,5.	▲
Пример 2. Написать уравнение прямой 1\, проходящей через точку Д(—2; 3) и параллельной прямой /2, проходящей через точки В(2; 2,5) и С(1; 3).
Д Так как прямые и /2 параллельны, то их угловые коэффициенты равны: k\ = k2. Угловой коэффициент прямой /2 находим по 3 — 25
формуле (2): k2 = -j—^- = —0,5. По формуле (1) получаем уравнение прямой 1[ : у = 3 — 0,5(х + 2), у = — 0,5х + 2.	▲
84
Глава III. Функции
Рис. 2
Пример 3. Написать уравнение прямой /, проходящей через начало координат и пересекающей прямую Zj, заданную уравнением у = —Зх + 2, под углом <р = 30°.
А Угловой коэффициент прямой 1\ равен k\ = — 3. Угловой коэффициент k прямой I находим из уравнения, вытекающего из формулы (4):
ч/3(—3 - k) = 1 - 3k или >/3(3 + /г) = 1 - 3k, ,	I+ЗУЗ q . 5УЗ ,	1 — Зх/3 q 5\/3
k =	_ - 2 + -; - или k =---= 2 — -4-.
з - Уз 3	3 + Уз з
Итак, условию задачи удовлетворяют две прямые, задаваемые урав-
(о । бУзА	(о бУз\	*
нениями у = I 2 + -у- ) • х и у — I 2-у ) • х.	▲
Пример 4. На рис. 2 изображен график функции y — kx + k2 — 1. Найти k.
А Так как график функции y = kx + k2 — 1 пересекает ось Оу в точке (0; 2), то k2 - 1 = 2, k = ±\/3. Так как функция возрастающая (угол между прямой и положительным направлением оси Ох острый), то k > 0, k = у/3.	▲
Пример 5. При всех значениях параметра а выяснить взаимное расположение прямых у = а2х — 1 и у = (2а + 3)х + а.
Выясним, когда прямые параллельны или совпадают. Если k\=kz, т. е. а2 = 2а + 3, то а = — 1 или а = 3. При я = — 1 получаем Ь\ = Ь<} = — 1 — прямые совпадают. При а = 3 получаем b\ = —1, Ь% = 3 —прямые параллельны, не имеют общих точек. В остальных случаях k[^k^, прямые имеют одну общую точку, т. е. пересекаются.	▲
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
85
Пример 6. При каких значениях параметра а площадь треугольника, ограниченного прямыми у = х, у = ах + 2х + 4а + 4 и осью Ох, равна 2?
Л Одной из вершин треугольника является начало координат 0(0; 0) (см. рис. 3).
Найдем абсциссу точки А пересечения прямых у — х и у = ах + 2х + 4а + 4 из уравнения х = ах + 2х + 4а -Т 4, х(а + 1) + 4(а+ 1) = 0, (х + 4)(а+1) = 0, х = — 4 или а = -1. При а = — 1 прямые совпадают, треугольника не образуется, следовательно, при любом а 7^-1 прямые пересекаются в точке Д(-4; -4).
Пусть В — точка пересечения прямой у = ах + 2х + 4а + 4 с осью Ох. Тогда площадь треугольника АВО равна S = —где АН = 4. Тогда 50=1, абсцисса точки В равна —1. или 1, точка В совпадает с одной из точек В[ и В% на рис. 3.
В первом случае угловой коэффициент прямой равен k = 4/3 = а + 2, а = — 2/3. Во втором случае угловой коэффициент прямой равен /г = 4/5 = а + 2, а = -6/5.	▲
Квадратичная функция
Функция	2
у ах1 + Ьх + с,
где а, Ь и с —заданные действительные числа и а^О, называется квадратичной.
Эта функция определена па всей числовой прямой. Ее графиком является парабола, ветви которой при а>0 направлены вверх, при а < 0 —вниз.
Эта парабола имеет вершину в точке 4(хо; t/o)> где
b	I \	— 4ас
Хп =-----, Уо — У(Хп) = с-----=-----------.
и 2а, ни и/ 4а	4а
Выражение Ь2 — 4ас называют дискриминантом квадратного трехчлена у = ах2 + Ьх + с и обозначают буквой D. Таким образом, уп = При 4а
а>0 ордината уо является наименьшим значением функции у = ах2+Ьх + с, при а < 0 — наибольшим.
Парабола симметрична относительно прямой х — — — . параллельной оси Оу 2а
и проходящей через вершину 4(хо; Уо) параболы. То есть для всех значений х
выполняется равенство y(xQ + х) — y(xQ — х). Прямую х — —-^- называют осью параболы.
При а > 0 функция у = ах2 + Ьх + с возрастает на промежутке [хр; +оо) и убывает на промежутке (—ос; хд].
При а < 0 функция у = ах2 + Ьх + с. возрастает на промежутке (—оо; хд] и убывает на промежутке [хо; +оо).
Если D < 0, то функция у — ах2 + Ьх + с при всех х сохраняет знак коэффициента а. Если D 0, то функция у — ах2 + Ьх + с сохраняет знак
86
Глава III. Функции
коэффициента а на промежутках (—оо; %|) и (х2; +оо), где х\, х2 — корни
квадратного уравнения
2 . , . n —b — y/D	-b-\-y/D
ах +bx + c = 0,	= —--------, х2 = —------
2а	2а
Пример 7. Построить график функции ,	у* 1' у = —х2 * — 6х 4- а, если известно, что ее
---4 наибольшее значение равно 4.
/| ! |\	Л Графиком квадратичной функции
-5/ ' -3 ' \-1 У ~ —%2 ~	4- а является парабола, ветви
/ -41 -2 \О—” которой направлены вниз. Вершина параболы । /	1	\ имеет координаты: %о =-3, z/o — */(%о) — 9 + а-
\	।	\ Наибольшее значение функции равно ординате
Ч 1	\ вершины. Следовательно, для определения а
i ] I решим уравнение: 9 +а = 4, а = — 5.
/ i V Таким образом, требуется построить пара-/	।	\ болу у = —х2 — 6х — 5. Вершина этой пара-
/	]	\ болы —точка Д(—3; 4). Прямая х = — 3 — ось
/	]	\ параболы. Точки пересечения графика с осью
Рис. 4	Ох находим, решая уравнение у = — х2 — 6х — 5,
получаем х = —5, х = — 1. Ордината точки пересечения с осью Оу равна л/(0) = — 5. В качестве дополнительных точек можно взять точки: (—2; 3), (—4; 3), и (—6; —5). График
представлен на рис. 4.
Пример 8. При каких значениях параметра а функция у — ах2 + 4х + 2 возрастает на промежутке [2; 4]?
Л При а = 0 функция является линейной, у = 4х + 2, возрастает на всей числовой оси.
При а / 0 функция является квадратичной.
Если а > 0, то функция возрастает на промежутке [xq; 4-оо), где Xq — — -. Для того, чтобы функция возрастала на промежутке [2; 4] о необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 2>—-. При всех а > 0 это неравенство выполняется.
Если а<0, то функция возрастает на промежутке (—оо;хд]. Для того, чтобы функция возрастала на промежутке [2; 4] необходимо о и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 4^—-. Умножая на а < 0, получаем 4а —2, а —0,5, a G [—0,5; 0).
Объединяя полученные промежутки и точку 0, получаем, а С [—0,5; 4-оо).	Ж
§1. Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции
87
Рис. 6
+ х — 2а пересекает ось Ох функции является парабола,
Пример 9. При каких значениях параметра а график функции у — ах2 + х — 2а пересекает ось Ох в двух точках, расположенных по разные стороны от точки (1; 0)?
А Так как график функции у = ах2 в двух точках, то а / 0 и графиком
возможные случаи расположения которой показаны на рис. 5.
Если а > 0, то у\ = //(1) <0, -а + 1 < 0, а > 1.
Если а < 0, то //2 = //(1) > 0, —а + 1 > 0, а<\, ае(-оо;0).
Окончательно получаем а е (—оо; 0) U (1; +оо).	А
Замечание. В предыдущем примере условие D > 0, необходимое для существования двух точек пересечения с осью Ох, проверять не нужно. Если при а > 0 значение квадратичной функции в некоторой точке отрицательно (при а < 0 — положительно), то точек пересечения две.
Пример 10. При каких значениях а каждое число из промежутка [5; 7] является решением неравенства ах2 + 2(5а - 1)х — 75а + 4 О? А При а —0 получаем неравенство —2х + 4^0, х^2, каждое число из промежутка [5; 7] является решением неравенства.
При а / 0 рассмотрим квадратичную функцию
f(x) = ах2 + 2(5а — 1)х - 75а + 4.
Для выполнения неравенства /(я)	0 при всех х € [5; 7] отрезок
оси Ох, соединяющий точки (5; 0) и (7; 0), должен лежать не ниже графика функции.
Заметим, что /(5) = —6 при всех значениях параметра. Кроме того, абсцисса вершины параболы равна
1 — 5а	Eil
Хв = ---- = -5 + А.
а	а
При а < 0 имеем хв < 0. Функция f(x) убывает на отрезке [5; 7] (см. рис. 6), неравенство выполняется при всех х € [5; 7].
При а > 0 возможное расположение параболы показано на рис. 7. Получаем условие /(7) 0, а 5/22, а е (0; 5/22].
Окончательно получаем а е (—оо; 5/22].	▲
88
Глава III. Функции
Пример И. График функции у = ах2 + Ьх + с не пересекает ось Ох. Известно, что \/бЗа — \/21Ь + \/1с < 0. Определить знак числа с.
[\ Так как график функции у — ах^ + Ьх + с не пересекает ось Ох, то функция сохраняет знак при всех значениях переменной х. Преобразуем выражение х/бЗбг — х/2Т& + \Пс :
\/бЗа - \PT\b + ^7с =
= yfl	+ 6(— х/З) + с) = х/7 • y{-V3) < 0.
Так как c = z/(O) и имеет тот же знак, что и у{— х/З), то с<0. А
Дробно-линейная функция
Функцию вида
ах + b
У = ~77’ сх 7 а
где а, Ь, с, d — заданные числа такие, что с / 0, ad Ьс, называют дробнолинейной.
Ее графиком является гипербола, для построения которой необходимо
л	1	ах + b
преобразовать функцию, выделив в выражении--------------целую часть,
т. е.
представить функцию в виде у — уо Н-------—. Очевидно, XQ = —d/c. При этом
X — Xq
нет необходимости запоминать формулы, по которым вычисляются у§ и k.
Графиком функции у = уо Н-----— является гипербола, получаемая сдвигом
X — XQ
гиперболы у — - вдоль оси Ох на Xq и вдоль оси Оу на уо (см. рис. 8). k
Функция у = уо Н--------определена при всех х xq и принимает все
X - Xq
значения, кроме уо- Прямые x = Xq и у — уо называют асимптотами графика, график функции не пересекает эти прямые, бесконечно к ним приближаясь.
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям
89
График функции £/ = £/о Ч-имеет центр симметрии — точку пересечения
X — Xq
.к нмптот Д(%о! //о)> т- е- если некоторая точка (xq + х; у0 + у) принадлежит । рафику функции, то ему принадлежит и симметричная ей точка (xq — х; Уо — у)-
При k > 0 функция у = уо Ч------— убывает на промежутках (—сю; xq)
X — Xq
и (xq; Ч-сю). Отметим, что нельзя говорить, что функция убывает на объединении них промежутков, т. е. на области определения, так как если Х[ < х<2, Ч G (—оо; Xq), Х9 Е (xq; Ч-оо), то y(xj) < 0 < yfa).
При k < 0 функция у = у0 Ч----- возрастает на промежутках (—оо; Xq)
X - х0
II (х0; Ч-оо).
Пример 12. При каких значениях параметра с функция у= убывает на промежутке [—0,5; 1)?
А Если с = 0, получаем функцию у= — линейную возрастающую.
Если с = 2, получаем у = 0,5 при х^—1.
При остальных значениях с преобразуем функцию, выделив целую часть:
Таким образом, мы представили функцию в виде у = у$-\--------,
X — Xq 1 , с — 2	2
где г/0 = -,	х0 = --.
С	Q	С
Во-первых, так как функция убывает на промежутке [—0,5; 1), то k > 0, т. е. с > 2. При с > 2 для того, чтобы функция убывала на промежутке, необходимо и достаточно, чтобы точка Xq ему не 2	2
принадлежала: х$ < —0,5 или Xq 1, т. е. -- < —0,5 или —-	1.
Объединяя решения последних двух неравенств при условии с > 2, получаем с < 4. Итак, с е (2; 4).	▲
§2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К ЧИСЛОВЫМ ФУНКЦИЯМ
Функции y = f(x) и у — g(x) называются тождественно равными или просто равными на множестве М, если они определены на множестве М и для каждого xq 6 М выполняется равенство /(xq) = §(xq).
90
Глава III. Функции
Пример 1. Построить график функции /(х) = 2х + 5^ '
А Найдем функцию g(x), тождественно равную функции /(х) на множестве £>(/) —области определения функции /(х). Функция /(х) определена при всех значениях х, для которых 2х + 8 О и 2х + 5 ф 0, т. е. /)(/') = [—4; —2,5) U (-2,5; +оо). Преобразуем функцию на множестве £)(/) :
г, ч = (ч/2х + 8)2 = 2х + 8 == (2х + 5) + 3 = .	1,5
Л ’ 2х + 5 2х + 5	2(х + 2,5)	+ х + 2,5 '
Таким образом, две функции /(х) =	- и g(x) = 1	5
тождественно равны на множестве D(J).
График функции g(x) = 1 + получается сдвигом гиперболы
1 5
у = -у вдоль оси Ох на Xq = — 2,5 и вдоль оси Оу на уо = I (см. рис. 9). Учитывая область определения функции /(х), получаем ее график.
Чтобы найти множество значений функции /(х), нужно выяснить, при каких значениях параметра а уравнение /(х) = а имеет решение.
Пример 2. Найти область определения и множество значений функции /(х) =
Д Функция определена при х — 3 0, т. е. при х е (—оо; 3) U (3; +оо). Для нахождения множества значений функции, выясним, при каких значениях параметра а уравнение +3~ — а имеет решение:
х2+х = а(х — 3), х2 + х(1 — а) + За = 0.
Уравнение имеет решение, если D = (1 — а)2 — 12а О, а2 — 14а + 1^0. Решая квадратное уравнение а2 — 14а Ч- 1 = 0, находим а\ = 7 — 4л/3, а2 = 7 + 4л/3. Получаем а е (—оо; 7 - 4л/3] U [7 + 4л/3; +оо).
Таким образом,
/)(/) = (-оо; 3) U (3; +оо), £(/) = (-оо; 7 - 4^3] U [7 + 4^3; +оо).
Пример 3. Найти область определения и множество значений функции /(х) = х + \/х — 1.
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям
91
Рис. 10
Рис. 9
А Функция определена при х — 1	0, т. е. при х G [1; +оо). Для
нахождения множества значений функции, преобразуем ее, выделив полный квадрат:
Дх) — х + Vx — 1 = (х — 1) + 2 • 0,5 • Ух — 1 + 0,25 + 0,75,
Дх) = (Ух^Т 4-0,5)2 + 0,75.
так как Ух — 1 + 0,5 принимает все значения из промежутка [0,5; +оо) и только их, то /(х) принимает все значения из промежутка [1; +оо) и только их. Таким образом, £)(/) = [1; +оо), Е(/) = [1; +оо).	▲
Множество значений функции можно найти, построив ее график.
Пример 4. Найти множество значений функции /(х)=|х— 11—|х—2| А Построим график функции Дх) = |х — 1| — |х — 2|.
При х < 1 имеем |х — 1| = — х + 1, |х - 2| = -х + 2, /(х) = -1. При 1 < х < 2 имеем |х — 1| = х — 1, |х — 2| = — х 4- 2, /(х) = 2х — 3. При х > 2 имеем |х — 1| = х — 1, |х — 2| = х - 2, Дх) = 1.
График функции /(х) = |х — 11 — |х — 2| изображен на рис. 10.
Ц/) = [-1;1].	А
Для того, чтобы найти множество значений сложной функции /(х) = g(y(x)), можно сначала найти множество значений Е(у) функции z/(x), а затем найти множество значений функции g(y) с областью определения D(g) = Е(у).
Пример 5. Найти множество значений функции
/(х) = х2 + 4х +	4
xz + 4% + 7
А Рассмотрим функцию z/(x) = х2 + 4х + 7, тогда /(х) = г/(х) + -р- - 7. У\Х)
Найдем множество значений функции z/(x): z/(x) = (х + 2)2 4- 3, £(//) = [3; +оо).
92
Глава III. Функции
hi
Рис. И
Таким образом, нам нужно найти множество значений функции g(y) = У + — 7, заданной на множестве D(g) = Е(у) = [3; +ос). Для этого выясним, при каких значениях параметра а уравнение у + — 7 - а, или
У
</2 — (а + 7)у + 4 = О,	(1)
имеет решение, принадлежащее промежутку [3; +эс).
Если это уравнение имеет два решения у[ ф у%, то только одно из них может быть больше 2, так как по теореме Виета у\у% — 4. Если же z/o — единственное решение, то у^ = 4, z/o = 2 или у$ = —2.
Таким образом уравнение (1) имеет решение, принадлежащее промежутку [3; +оо), тогда и только тогда, когда оно имеет ровно два решения, одно из которых принадлежит этому промежутку, а другое —нет. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для квадратичной функции h(y) = у2 - (а 4- 7)у + 4 = 0 выполнялось условие й(3) + 0 (см. рис. 11).
Получаем неравенство 13 — 3(а + 7)	0, а	— 2~. Итак,
E(f) = [-2|; +оо).	А
Пример 6. Решить неравенство f(a) < f(a - 2), если f(x) = -	.
Д Имеем f(a) = f(a - 2) = 3_2('о_2) = Решим нера-венство f(a) < f(a — 2) :
3 — 2a 7-2a’ 3 - 2a 7 - 2a ’ ------*	 < 0 __------- < 0. (3-2a)(7-2a)------------------’ (a - l,5)(a - 3,5)_’
a e (1,5; 3,5).	▲
При решении функциональных уравнений требуется найти функцию, удовлетворяющую заданным условиям. Приведем примеры решения некоторых видов таких уравнений. Для нахождения функции
§2. Основные понятия, относящиеся к числовым функциям
93
/(х), удовлетворяющей условию f(kx + b) = h(x), где k и Ь — заданные числа, k Ф 0, h(x) — известная функция, делается замена y = kx + b.
Пример 7. Найти функцию /(х), если известно, что /(2х- 1) = | при х ф 0.
Д Пусть у = 2х — 1, тогда х = При у 7^ -1 получаем f(y) = —
2	у -|- 1
Следовательно, /(х) = ПРИ L /(—1) можно задать произвольным образом.	▲
Пример 8. Найти функцию /(х), если известно, что /(x) = 2/Q)+x при х ф 0.
Д Подставив вместо х в исходное уравнение 0, получим
/Q)=2f(x) + 1.
Умножим это уравнение на 2 и сложим с исходным: /(х) + 2/(1)=2/(-!)+х + 4/(х) + |, 3/(х) = -х-|, /(х) = - х 2 при х ф 0.
Пример 9. Числовая функция для любых действительных х и у удовлетворяет условию /(х + у) = f(x) + [(у) + 80xz/. Найти /(0,8), если /(0,25) = 2.
Д Выведем формулу, по которой f(nx) выражается через /(х). Имеем /(2х) = /(х + х) = 2/(х) + 80х2, /(Зх) = /(2х + х) = 3/(х) + 80х2 + 2 • 80х2. Докажем методом математической индукции, что при всех n G N
f(nx) = /г/(х) + 80х2(1 + 2 + ... + (п — 1)) = nf(x) + 40/?(/? — 1)х2. (2)
База индукции уже проверена при п = 2 и /2 = 3. Формула верна и при /2=1. Действительно, /(1 • х) = 1 • /(х) + 40 • 1 • 0 • х2.
Пусть f(nx) — nf(x) + 4О/г(/2 — 1)х2. Тогда
/((/г + 1)х) = /(/2Х + х) = f(nx) + /(х) + 80/гх2 =
= (/2 + 1)/(х) + 4О/г(/2 — 1)х2 + 80/гх2 = (/г + 1)/(х) + 40/г(/г + 1)х2.
Согласно принципу математической индукции формула (2) верна при всех /2 G N.
94
Глава III. Функции
Выразим /(4) по формуле (2) двумя способами, сначала взяв х = 1, п = 16, а затем х = п = 5 :
4	5
/(4) = /(16-1) = 16/(1)+40-16-15-1 = 8-79, /О) = f (5-1) = 5/ (1) +40-5- 4-1| = 8-79, \ О /	\ О /	ZD
5/(1) =8- (79- 64), /(0,8) = 24.
§3. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Элементарные (геометрические) преобразования графиков
В настоящем пункте рассматриваются функции, графики которых могут быть построены с помощью элементарных преобразований. При построении важно проследить, в какую точку графика новой функции переходит произвольная точка Д(х0;«/0) графика функции у = [(х). Перечислим элементарные преобразования графика, указав соответствие точек старого и нового графиков.
1)	График функции у = [(х — а) получается из графика функции у — f(x) сдвигом вдоль оси Ох на а. Если а > 0, то это сдвиг на а единиц вправо, если а < 0, то это сдвиг на —а единиц влево. Точка /4(xq; у$) графика функции у = /(х) переходит в точку A\(xq + а; уо) графика функции y = f(x-a) (рис. 12).
2)	График функции у — /(х) + а получается из графика функции у — [(х) сдвигом вдоль оси Оу на а. Если а > 0, то это сдвиг на а единиц вверх, если а < 0, то это сдвиг на —а единиц вниз. Точка Л(хд; уо) графика функции у — /(х) переходит в точку Л[(хо; у$ + а) графика функции у = [(х)+а (рис. 13).
3)	График функции у = —/(х) получается из графика функции у — f(x) зеркальным отражением относительно оси Ох. Точка Д(хд; z/q) графика функции у = [(х) переходит в точку Ai(xq; —уо) графика функции У = -/W (рис. 14).
4)	График функции у = f(—x) получается из графика функции у = /(х) зеркальным отражением относительно оси Оу. Точка Л(хо; Уо) графика функции у = f(x) переходит в точку /?i(—xq; уо) графика функции У = К~х) (рис. 15).
5)	Если a>Q, то график функции у = а[(х) получается из графика функции у = f(x) растяжением к оси Ох в а раз. Если 0 < а < 1 то растяжение
в а раз означает сжатие в - раз (рис. 16).
а
Если а < 0, то график функции у = а/(х) получается зеркальным отражением относительно оси Ох графика функции у=\а\[(х).
Во всех случаях точка Д(хд; z/0) графика функции z/ = /(x) переходит в точку /1i(xq; ауо) графика функции у = а[(х).
§ 3. Графики функций
95
«/I
y = f(x) + a
Уо + a
^f(x>
^0
y=f(x) + b\
b<Q
VJ ^<4? Уь + Ь
О х
Рис.
13
Рис. 15
6)	Если a > 0, то график функции y = f(ax) получается из графика функции у = /(х) сжатием к оси Оу в а раз. Если 0 < a < 1, то сжатие в а раз означает растяжение в - раз (рис. 17).
a
Если a < 0, то график функции у = /(ах) получается зеркальным отражением относительно оси Ох графика функции у = /(|а|х).
Во всех случаях точка 4(xq; уф) графика функции у — [(х) переходит в точку Л|(х0/а; уф) графика функции у —[(ах).
7)	Для построения графика функции у = |/(х)| часть графика функции у — [(х), расположенную выше оси Ох, нужно оставить без изменения,
96
Глава III. Функции
а часть, лежащую ниже оси Ох, нужно зеркально отразить относительно этой оси (рис. 18).
Если yo^Q, то точка Д(хд;Уо) графика функции у = [(х) принадлежит графику функции у = |/(х)|. Если уц < 0, то точка Д(хд; уц) графика функции у — f(x) переходит в точку ДДхд; ~Уо) графика функции У = I/WI-
8)	Для построения графика функции у = Д|х|) нужно часть графика, расположенную левее оси Оу, т. е. при х < 0, удалить, а часть графика функции у = [(х), расположенную правее оси Оу, т. е. при х > 0, нужно оставить без изменения и зеркально отразить относительно оси Оу. Точка графика, лежащая на оси Оу, остается без изменений (рис. 19).
Еслихо^О, а точка Д (xq: t/g) принадлежит графику функции у — /(х), то точки Д(х0; уд) и Д](—xg; t/o) принадлежат графику функции у = /(|х|). 9) Для построения графика уравнения |г/| = /(х) нужно часть графика функции у — [(х), расположенную ниже оси Ох, т. е. при у<0, удалить, а часть графика функции y — f(,x), расположенную выше оси Ох, т. е. при у > 0, нужно оставить без изменения и зеркально отразить относительно оси Ох. Точки графика, лежащие на оси Ох, остаются без изменений (рис. 20).
Если у0 0, а точка Д(хд;г/д) принадлежит графику функции у = [(х), то точки Д(хд; уд) и ДДхд; —уо) принадлежат графику функции у — /(|х|).
§3. Графики функции
97
Рис. 23
Пример 1. Построить график функции у = —Х- 2.
М -1
Д Преобразуем функцию, выделив целую часть: у = 3 + ——--
Следовательно, график функции у =
можно получить из
графика функции у = | путем геометрических преобразований по схеме (над стрелкой указан номер элементарного преобразования):
X
1з + 1Лз + -1-X	X — 1
^»3 +
(рис. 21).
При построении графика функции у = f(g(x)) с помощью элементарных преобразований графика функции у = /(х) удобно сначала записать схему преобразований переменной х, а затем преобразование графика производить в обратном порядке.
Пример 2. На рис. 22 показан график функции у = f(x). Построить графики функций
а)	у = |f(2x + 1) - 4|; б) у = f(\\x - 1| - 2| - 3).
Д а) График функции у = |/(2х + 1) — 4| построим по схеме
Дх) Л Дх + 1) Л Д2х + 1) Я Д2х + 1) - 4 Л |Д2х + 1) - 4| (рис. 23, 24).
Замечание. Построение графика функции у = /(2х + 1) можно произвести другим способом, записав функцию в виде у — /(2(х + 0,5)). Тогда последовательность преобразований аргумента имеет вид
х х + 0,5 н-> 2(х + 0,5).
=-Ч	=2x[=%2
Преобразования графика функции у — f(x) производятся в обратном порядке по схеме
/(х) А /(2х) А /(2(х + 0,5)) = /(2х + 1).
98
Глава III. Функции
У*
t/ = |/(2x + l)-4|3
/ = /(2х + 1)-4
б)	Запишем схему преобразований переменной х:
х^х-Пн-> |х — 1| I—> |х — 1| - 2>—> ||х — 1| — 2| >—> | |х — 1| - 2| — 3.
~Л|	=к||=Х2	=х2—2=х3	=|х3|=х4	=х4—3=Х5
Преобразования графика функции y = f(x) будем производить в обратном порядке по схеме
fM ±f(x - 3) Д К\х\ - 3) Д f(\x - 2| - 3) Д /(IM - 2| - 3) Д
«/(||х-1|-2|-3)
(рис. 25-29).
§3. Графики функций
99
Рис. 30
Рис. 31
Пример 3. Построить графики функций:
а)	у — [х2 + 4х 4- 3] ; б) у = {х2 4- 4х + 3} .
Д а) Обозначим /(х) = [х2 + 4х + 3] . Тогда /(х) = п, п G Z, если п х2 + 4х 4- 3 < п + 1, т. е. х2 4- 4х 4- 2 < п х2 + 4х + 3. Следовательно, графиком функции у = [(х) являются части прямых у = п, расположенные между параболами у = х2 4- 4х 4- 3 = (х 4- 2)2 - 1 и у = х2 4- 4х 4- 2 = (х 4- 2)2 - 2, включая точки параболы //= (х 4-2)2 — 1 (рис. 30).
б)	График функции у = {х2 4- 4х 4- 3} построим как график разности функций г/ = (х4-2)2 — 1 и у= [х2 4- 4х 4- 3] (рис. 31). А
Пример 4. Графики функций /(х) =	4 и g(x) симметричны
относительно прямой у — х — 1. Найти функцию g(x) и построить ее график.
Д Обозначив / = х —1, /1(0 — /(^ + 1) — 2<+26, £1(0 — £(^ + 0» получим, что графики функций /] (0 и gi(0 симметричны относительно прямой y = t. Следовательно, функция gi(0 является обратной к функции
/1(0- Найдем gi(0, выразив у из уравнения t = 2j/ + 6
У “1“ £
gx(t) = -2+ Тогда g(x) = £i(x- 1) = -2 + -Ц I — Z	л — о
У 2+ Г-2’
(рис. 32). А
Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций /(х) = -|х — 3| 4- 3 и g(x) = 2 — \/бх — х2 — 8.
Д График функции /(х) = —|х - 3| 4-3 построим по схеме
|х| i-> — |х|	— |х|4-3>—>— |х — 3| 4- 3 (рис. 33).
100
Глава III. Функции
Преобразуем функцию g(x)'.
у = 2 - \/бх - х2 — 8;
(у — 2)2 + (х — З)2 — 1, у^2.
Графиком функции g(x) является нижняя часть окружности с центром в точке Д(3; 2) и радиусом 1. График функции /(х) проходит через точки окружности В(2; 2) и 0(4; 2). Площадь фигуры найдем как сумму площадей полукруга и треугольника ВНС} получим 5=|+L	А
Если построен график уравнения g(y) = f(x)} то для построения графиков уравнений g(y - а) = /(х), g(-y) = /(х), g(ay) = /(х), g(|z/|) = /(х) применяются элементарные преобразования, аналогичные, соответственно, преобразованиям 1, 4, 6, 8 переменной х. Преобразования переменных можно проводить одновременно. График уравнения g(y — b) = /(х — а) получается из графика уравнения §(//) = /(х) параллельным переносом на а вдоль оси Ох и на b вдоль оси Оу.
Пример 6. На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют условию
х2 + 10|х| + у2 + Ю|г/|	119.	(1)
Л Построим график уравнения
х2 + 10|х| + у2 + 10|z/| = 119.	(2)
Преобразуя уравнение (2), получаем (|х| + 5)2 + (|z/| + 5)2 = 169. Графиком уравнения х2 Ч-г/2 = 169 является окружность с центром в точке 0(0; 0) и радиусом 13. Графиком уравнения
(х + 5)2 + (у + 5)2 = 169	(3)
является окружность с центром в точке О(—5; —5) и радиусом 13. Для того чтобы получить график уравнения (2), удалим все части
§3. Графики функций
101
графика уравнения (3), кроме той, для которой х^О, у^О, и эту часть отразим симметрично относительно осей Ох, Оу и начала координат (рис. 34). Точки, координаты которых удовлетворяют неравенству (1), расположены внутри графика уравнения.	▲
Пример 7. Построить график уравнения ||г/| — 2| + |2|х| — 11 = 2. Д График уравнения построим с помощью элементарных преобразований по схеме
2х + у = 2	|2(х - 0,5)1 + \у - 2| = 2	|2|х| - 1| + ||t/| - 2| = 2
(рис. 35).	А
Центральный поворот и гомотетия
Пусть дана точка Л(хо; у§)- Все прямые, задаваемые уравнениями вида у — yQ = k(x — Xg), получены из прямой у = г/о поворотом на угол а такой, что tga = k, относительно точки А (центр поворота).
Пример 8. В зависимости от значения параметра а найти количество точек пересечения графиков функций [(х) = 2||х| — 2| и g(x) = ax — 2a + 1.
Д График функции Дх) построим с помощью элементарных преобразований по схеме |х| н-> |х| — 2 н-> ||х| — 2| н-> 2||х| — 2| (рис. 36).
График функции g(x) = ax — 2a + 1 = a(x — 2) + 1 — прямая, проходящая через точку (2; 1), полученная из прямой у = 1 с помощью поворота на угол a, tga = a.
При а^—2 (прямые 1\ и /2) графики пересекаются в одной точке, при — 2<а<—1,5 (прямая /3) — в двух, при а = —1,5 (прямая /4) — в трех, при —1,5 < а < 0,25 (прямая /5) — в четырех, при а = 0,25 (прямая 1$) — в трех,
102
Глава III. Функции
при 0,25 < а < 2 (прямая /7) — в двух, при а 2 (прямые /д и ^9) — в одной.
Пример 9. В зависимости от значения параметра b > 0 найти количество точек пересечения графиков соответствий |х| + |z/| = b м у2 <<2 — 1 И л “г У — —й. LZ
Л Графиком уравнения |х| + \у\ = b является квадрат с центром в точке 0(0; 0), диагональю d = 2b, стороной а = \/2Ь (рис. 37).
Графиком уравнения х2 + t/2 = 4, является окружность с центром bz
в точке 0(0; 0), радиусом г=
2
Если диагональ квадрата меньше диаметра круга, т. е. 2Ь <
О < b < 1, то графики не имеют общих точек.
Если диагональ квадрата равна диаметру круга, т. е. b = 1, то графики имеют 4 общие точки.
Если диагональ квадрата больше диаметра круга, а сторона меньше, т. е. 1 < b < У2, то графики имеют 8 общих точек.
Если сторона квадрата равна диаметру круга, т. е. b — \/2, то графики имеют 4 общие точки.
Если сторона квадрата больше диаметра круга, т. е. b > \/2, то графики не имеют общих точек.	▲
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа III.1
Вариант 1
1.	Даны точки Д(1; 2), В(2; 4) и С(-1; 2).
а)	Написать уравнение прямой АВ.
Написать уравнение прямых, проходящих через точку С
б)	параллельно прямой АВ;	в) перпендикулярно прямой АВ;
г)	под углом 45° к прямой АВ.
2.	Выяснить взаимное расположение прямых у — а2х + а + 1 и у = = (5 — 4с)х — а — 9.
Вариант 2
1.	Даны точки Д(1; -2), В(3; 4) и С(-1; -2).
а)	Написать уравнение прямой АВ.
Написать уравнение прямых, проходящих через точку С
б)	параллельно прямой АВ; в) перпендикулярно прямой АВ;
г)	под углом 45° к прямой АВ.
Дидактические материалы
103
2.	При каких значениях параметра а площадь треугольника, ограниченного прямыми у = Зх, у = 2ах + х — 2а + 2 и осью Ох, равна 3?
Вариант. 3
1.	Даны точки Д(-1; —2), В(—3; 4) и С(1; —3).
а)	Написать уравнение прямой АВ.
Написать уравнение прямых, проходящих через точку С
б)	параллельно прямой АВ;	в) перпендикулярно прямой АВ;
г)	под углом 45° к прямой АВ.
2.	Выяснить взаимное расположение прямых у — —а2х + 2а - 3 и у = (За + 4)х - а + 9.
Вариант 4
1.	Даны точки Д( -1; -2), В(-2; 1) и С(2; 2).
а)	Написать уравнение прямой АВ.
Написать уравнение прямых, проходящих через точку С
б)	параллельно прямой АВ;	в) перпендикулярно прямой АВ;
г)	под углом 45° к прямой АВ.
2.	При каких значениях параметра а площадь треугольника, ограниченного прямыми у =—Зх, у = Зах + х + За + 3 и осью Ох, равна 3?
Ответы
Вариант 1. 1. а) у = 2х; б) у = 2х + 4; в) у = — 0,5х + 1,5; г) у=±х + 2±, у — — Зх — 1. 2. При а=1 параллельны, при а — — 5 совпадают, при а / 1, а — 5 пересекаются.
Вариант 2. 1. а) у = 3х — 5; б) у = 3х + 1; в) у = —	2^; г) у = 0,5х — 1,5,
у— — 2х — 4. 2. а = 0, а — -2.
Вариант 3. 1.	а)	у — — Зх — 5;	б) у = — Зх;	в) у	=	— з|;	г)	у —	2х — 5,
у= -0,5х — 2,5.	2. При а = -1	параллельны,	при а	—4	совпадают,	при	а^ — 1,
а 4 пересекаются.
Вариант 4. 1.	а)	у = — Зх — 5;	б) у= — Зх +	8; в)	г/=^х + 1~;	г) у =	2х — 2,
у= — 0,5х + 3.	1. 2. а = 0, а	= — 0,5.
Самостоятельная работа III.2
Вариант 1
1. На рисунке изображен график функции у — ах2 4- Ьх + с. Определить знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D = Ь2 — 4ас.
2. Построить график функции у — 4хЛ — 8х — а, если известно, что ее наименьшее значение равно z/mjn = -1.
104
Глава III. Функции
Вариант 2
1. На рисунке изображен график функции у = ах2 4- Ьх + с. Определить знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D = 62 — 4ас.
2. Построить график функции у= — х2 + 4х + а, если известно, что ее наибольшее значение равно z/max = 9.
Вариант 3
1. На рисунке изображен график функции у = ах2 4- Ьх 4- с. Определить знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D = Ь2 — 4ас.
2. Построить график функции у = 2х2 — 12х + а, если известно, что ее наименьшее значение равно z/mjn = —8.
Вариант 4
1. На рисунке изображен график функции у = ах2 4- Ьх + с. Определить знаки коэффициентов а, Ь, с и дискриминанта D — Ь2 — 4ас.
2. Построить график функции у = — х2 — 2х + а, если известно, что ее наибольшее значение равно z/max = 4.
О х
Вариант 1. см. рис. 38.
Вариант 2. см. рис. 39.
Вариант 3. см. рис. 40.
Вариант 4. см. рис. 41.
Ответы
1. а > О, Ь < 0. с > О, D > 0. 2. График функции у = 4х2 — 8х 4- 3,
1. а < О, Ь > 0, с < О, D < 0. 2. График функции у = — х2 4- 4х 4- 5,
1. а<0, Ь<0, О О, D>0. 2. График функции у = 2х2 — 12x4-10,
1. а>0, Ь>0. с>0, D<0. 2. График функции у = — х2 — 2х4-3.
Рис. 40
«/А
Рис. 41
Дидактические материалы
105
Самостоятельная работа III.3
Вариант 1
1. Известно, что Дх) — нечетная периодическая функция с периодом 6 и Дх) — Зх — х2 при х € [0; 3]. Вычислить сумму Д1) 4 /(2) + ... + ДЮО).
2. Функция Дх) для каждого х равна наибольшему значению квадратного трехчлена g(t) — -t2 — 10/ + 11 па отрезке [х — 1; х + 2]. Найти функцию Дх). В каких точках она непрерывна?
Вариант 2
1. Известно, что Дх) — нечетная периодическая функция с периодом 4 и Дх) = 2х — х2 при х 6 ]0; 2]. Вычислить сумму Д1) 4 Д2) 4   • + /(75).
2. Функция Дх) для каждого х равна наименьшему значению квадратного трехчлена g(t) — /2 4 8/ 4 7 на отрезке [х —2; х—1]. Найти функцию Дх). В каких точках она непрерывна?
Вариант 3
1. Известно, что Дх) — нечетная периодическая функция с периодом 6 и Дх) = х3 — Зх2 при х € [0; 3]. Вычислить сумму /(1) 4 /(2) 4 ... 4-/(80).
2. Функция Дх) для каждого х равна наибольшему значению квадратного трехчлена g(t) = — i2 — 8/ - 15 на отрезке [х — 3; х 4 1]. Найти функцию Дх). В каких точках она непрерывна?
Вариант 4
1. Известно, что Дх) — нечетная периодическая функция с периодом 4 и Дх) = х3 — 2х2 при х 6 [0; 2]. Вычислить сумму /(1) + /(2) 4 ... 4-/(130).
2. Функция Дх) для каждого х равна наименьшему значению квадратного трехчлена g(t) = t2 4 4/ — 12 на отрезке [х + 2; х 4 3]. Найти функцию Дх). В каких точках она непрерывна?
Ответы
Вариант 1. 1. 2. 2. Дх) = —х2 — 14х — 13 при х G (—оо; —7], Дх) — 36 при х € (—7; -4], Дх) = -х2 — 8х 4 20 при х € (—4; +оо). Непрерывна во всех точках х Е R.
Вариант 2. 1. 0. 2. Дх) = х2 + 6х при х£(—оо; —3], Дх) = -9 при х€(—3; —2], Дх) = х2 4 4х — 5 при х G (—2; +оо). Непрерывна во всех точках х Е R.
Вариант 3. 1. —6.	2.	Дх) = -х2 — 10х —	24 при х е (—оо; —5],	/(х) = 1 при
х € (-5; -1], /(х) =	—х2 — 2х при х G (—1;	+оо). Непрерывна	во	всех точках
хек.
Вариант 4. 1. —1.	2.	Дх) = х2 4 10х 4 9	при х € (—оо; -5],	Дх) = —16 при
х € (—5; —4], Дх) =	х2	4 8х при х € (—4;	+оо). Непрерывна	во	всех точках
х е К.
106
Глава III. Функции
Контрольная работа III.1 (2 урока)
Вариант 1
1.	Найти область определения и множество значений функций:
а) /U) = \/б - х - х2; б) /(х) = |х + 1| + |2х - 4|;
х2 - х + 1
в) /U) = -о—х------ •
х2 — 2х + 2
2.	Решить неравенство /(2а) </(3 + 2а), если /(х) =—-—.
1 — х
3.	Найти функцию /(х), если /(2х — 3) = х2 + Зх — 1.
4.	Функция /(х), определенная при всех значениях х и не равная 0 ни при /(х) — 1	_
каком значении х, удовлетворяет равенству /(х + 4) =--------. Доказать,
/(х)
что функция /(х) является периодической и найти /(2020), если /(8) = 5.
5.	Найти наибольшее значение функции
/(х) — (5 - х)(х - 1)(х + 2)(х 4- 6).
Вариант 2
1.	Найти область определения и множество значений функций:
а) /(*) =	б) /(х) = |х-1|-|2х + 4|;
V Ю + Зх — xz
.....	2х2 +3x4-3
В) /U) = -9“^---+ ’
х2 + 2х + 2
% __ 2
2.	Решить неравенство /(а) < /(а + 5), если /(х) —-.
х - 1
3.	Найти функцию /(х), если /(1 — Зх) = х2 — х + 1.
4.	Функция /(х), определенная при всех значениях х и не равная 1 ни при 2
каком значении х, удовлетворяет равенству /(х + 4) =------1. Доказать,
1 - /W
что функция /(х) является периодической и найти /(2021), если /(9) = 2.
5.	Найти наименьшее значение функции
у = (7 - х)(2 - х)(х + 1)(х + 6).
Вариант 3*
1.	Найти область определения и множество значений функций: .	/4х+12	6х
а) К%) = \—-•>	б) /U) = , ^	;
V х — 2	|х + 3| — |х — 3|
в) /(х) = х2 + 2х + -s- 3 — . хл + 2х 4- 7
2.	Решить неравенство /(/(х))	0, если /(х) — —-— .
х + 1
3.	Найти функцию /(х), если
(х - 1)/(х) + / | - ) — —— при х 0, х уИ.
\х / х — 1
Дидактические материалы
107
4.	Функция Дх) для всех х удовлетворяет равенству Дх + 4) = 2х — 1 — Дх), а при хб [0; 4) задается формулой Дх) = х2 — Зх. Найти /(135).
5.	При каком значении параметра а наибольшее на промежутке [ — 1; —0,5] значение функции Дх) --	8х2 - 10х — a — б| является наименьшим из всех
возможных?
Вариант. 4*
1.	Найти область определения и множество значений функций:
а)
Дх) =
б)	Дх) - -----------
|2-х|-|х + 2|
в)	Дх) - х2 -- 4х + --------
х2 — 4х + 10
2.	Решить неравенство ДДх)) 0, если Дх) =------.
х - 2
3.	Найти функцию Дх), если
(х + 1)/(х) + 2/ ( - ) = х + 3, при х £ 0. \х/
4.	Функция Дх) для всех х удовлетворяет равенству Дх + 2) = Зх + 2 - Дх), а при х G [0; 2) задается формулой Дх) = 9,5х — 2х2 — 8. Найти /(83).
5.	При каком значении параметра а наибольшее на промежутке [2; 3] значение функции Дх) =	2х2 + Их - 2а — 15| является наименьшим из
всех возможных?
Ответы
Вариант /. 1. а) £)(/) = [-3; 2], £(/) = [0; 2,5]; б) £>(/) = К, £(/) = [3; +оо); в) D(/) = K, £(/) = [0,5; 1,5]. 2. (-оо; -1)U(0,5; 4-оо). 3. Дх) = * +12 + 23 4
4. 0,25. 5. 196.
Вариант 2. 1. a) £>(/) = (-2; 5), £(/) = [2/7; +оо); б) £>(/) = К, F(/) = (—оо; 3]; в) £>(/) = К, £(/) = [1,5; 2,5]. 2. (-оо; -4) и (1; +оо). 3. Дх) = —t±±Z . 4. 1/3. 5. -400.
Вариант 3*. 1. а) £>(/) = (—оо; — 3] U (2; +оо), £(/) = [0; 2) U (2; +оо); б) D(/) = = (-оо; 0) U (0; +оо), £(/) = [3; +оо); в) £(/) = К, Е([) = [-0,5;+оо).
2. (-2; -1). 3. Дх) = — прих/0, х/1. 4.133. 5.-2-. 1 — х	16
Вариант 4*. 1. а) £>(/) = (—оо; —1) U (1/3; +оо), £(/) = [0; 3) U (3; +оо); б) £)(/) = (-оо; 0) U (0; +оо), £(/) = (-оо; -2]; в) £>(/) = К, £(/) = [-3,5; +оо). 2. (2; 2,5). 3. Дх) = 1, при х 0. 4. 125,5. 5. -7/32.
108
Глава III. Функции
Контрольная работа IIL2 (2 урока)
Вариант 1
Построить графики следующих функций:
1. Дх) = |х2 — 2х — в| - 2х + 8.	2. Дх) = 4 — 3 - [ 1 — |х - 2||.
о f(v\ - —Зх2 + 8х + 3
‘ Л |х + 2| —|1 —2х|
2 — х
4. Графики функции Дх) =------- и g(x) симметричны относительно прямой
X — 6
у = х. Найти функцию g(x) и построить ее график.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций Дх) = |х — 2| — 3
и g(x) = У — х2 + 4х + 5.
Вариант 2
Построить графики следующих функций:
Дх) = |3 + 2х - х21 - 3 + 2х.	2. Дх) = 2  ||х — 3| — 4| — 1.
г/ \__ Зх2 4~ 14х 4~ 8
|2х + 3| - |х - 1Г
5.
1.
3.
4. Графики функции Дх) =	~ и g(x) симметричны относительно прямой
у = х. Найти функцию g(x) и построить ее график.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций Дх) = |х + 4| —2, g(x) = — У - х2 — 8х - 12.
Вариант 3*
Построить графики следующих функций:
1.	/(х) = У(2х - 4)2 + (Ух2 - 2х) .
2.	g(x) = К~Кх - 1) - 0,5), если Дх) =
3.	Графики функции Дх) = и g(%) симметричны относительно прямой у — х + 2. Найти функцию g(x) и построить ее график.
Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют следующим равенствам:
4.	х2 + 5|х - у\ — 4г/ + х - 4 = 0.	5. |3 - |х|| + |5 - |//|| = 6.
Вариант 4*
Построить графики следующих функций:
1.	Дх) = У(х + I)2 + (Ух2 +х) . (
2.	g(x) = ДДх - 1) + 0,5), если Дх) =
Дидактические материалы
109
3.	Графики функции Дх) = -------— и g(x) симметричны относительно прямой
у = х — 3. Найти функцию g(x) и построить ее график.
Изобразить па координатной плоскости множество точек, координаты которых (х; у) удовлетворяют следующим равенствам:
4.	х2 + 5|х + у\ + Зу + х - 3 = 0.	5. |5 - |х|| + |6 - |z/|| - 7.
Ответы
Вариант 1. 1. /(х) = х2 — 4х при х 6 (—оо; —2] U [4; +оо|, /(х) = 16 - х2 при х е (—2; 4) (рис. 42). 2. См. рис. 43. 3. Дх) = -Зх - 1 при х 6 (—оо; —2), /(х) — — х + 3 при XG [-2; -1/3) U (—1/3; 0,5), Дх) = 3х + 1 при xG [0,5; 3)U(3;+oo) (рис. 44). 4. g(x) = 6--(рис. 45). 5. ^+9 (рис. 46).
Рис. 46
Вариант 2. 1. /(х) = х2 - 6 при х G (—оо;-1] U [3; +оо], Дх) = 4х - х2 при х G (—1; 3) (рис. 47). 2. См. рис. 48. 3. Дх) = -Зх - 2 при х G (—оо; —4) U (-4;-1,5,) Дх) = х + 4 при х G [-1,5;-2/3) U (-2/3; 1), Дх) = Зх + 2 при х G [1; 4-оо) (рис. 49). 4. g(x) = —2 —	(Рис- 30).
5.	2тг- 4 (рис. 51).
110
Глава III. Функции
Рис. 49
Рис. 51
Вариант 3*. 1. Дх) = (х — 2)2 при х G (—оо; 0], Дх) = х2 — 4 при х G [2; +оо) (рис. 52). 2. g(x) = 0,5 — х при х 0,5 (рис. 53). 3. g(x) = —3+^Ц- (рис. 54). 4. у = х +	~при у х, у = — х2 + 4х + 4 при у>х (рис. 55). 5. См. рис. 56.
Дидактические материалы
111
Вариант 4*. 1. /(х) — х2 — \ при х е (--оо; —1], /(х) = (х + I)2 при х G [0; +оо) (рис. 57). 2. g(x) = 0,5 + х при х	—0,5 (рис. 58). 3. g(x) = 3 —
(рис. 59). 4. у = ~л ~ 6£±_3 ПрИ у у _ х'-4х-3 При у <. _х (рИС gQ) У	2
5. См. рис. 61.
Рис. 59
Рис. 60
Рис. 61
112
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
Глава III. Функции
Домашняя контрольная работа III. 1 по теме «Построение графиков функций»
Вариант 1
Построить графики
следующих функций:
у — * х + 2,
ч -Зх + 4,
если
если
если
х < — 1;
— 1 С х < 3;
х 3.
а) у = х2 + 3|х| — 4; б) у — |х2 + 3|х| — 4|.
' 2х + 1,
. 2х - 1	2|х| - 1	.
а) У = --------7; б)	в) у =
х — 2	х — 2
2И-1 х-2
_ 2х2 - 7х + 3
У ~ х1 - 5х + 6
На рисунке изображен график функции i/ = /(x). С помощью последовательных преобразований графиков	ук
построить графики следующих функций (результат	4
каждого шага изображать на отдельном рисунке):
а) 6/= 2/(-2х+1); б) i/ = /(x+1)+/(х-1);	/ \n = f(x)
в) £/= |/(х — 1) — 3|; г) y = /(W-l)-3;	------
д) У = Як — 1 [) — з.	-2 о| 2 Г
Построить графики следующих функций: ( х2 — 1 \
У = Slgn (	) •
\xz — 9/
а) У — [2х + 3]; б) у —	+ з] .
а) у = {2x4-3}; б) !/={j; + 3}.
На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты (х; у} которых удовлетворяют условию
(И - 2)2 + (|у| - 2)2 4.
Вариант 2 Построить графики следующих функций: если если если
а) у = —х2 + 6|х| — 5;
ч 4 - 4х ,,, а) У = ^-----г; б) у =
2х — 1
( —2х + 1, 4/= < х + 7,
[Зх — 4,
-2
б) у = |—х2 + 6|х| — 5|.
4 — 4|х|
в)у = 2х — 1 У
2х — 1
0
= 4 - 4х2
У 2х2 + х - 1 ’
На рисунке изображен график функции y = f(x). С помощью последовательных преобразований графиков построить графики следующих функций (результат каждого шага изображать на отдельном рисунке): а) У = —2/(2х +1);	б) у = f(x + 2) + /(х - 2);
в) = |/(х - 2) - 2|;	г) = /(|х| - 2)-2;
д) у = f(]x — 2\) — 2.
Дидактические материалы
113
5.
Построить графики следующих функций: ( 4 — х2 А
У = Sign
6.
:2 - 9 /
а) у = [0,5х + 2];
б) У =
7.
а) у = {0,5х + 2};
8. На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют условию
? +«2 $ 8|х| - 6Ы.
Вариант 3
Построить графики следующих функций: (Зх + 1,
б) у =
1.
У =
если
если
если
2.
[ — 2х + 5, а) у = х1 — 3|х| + 2;
3.
v X + 2	|х| -I- 2
а) у=----------т; б) // =
х — 2	х - 2
- 3 х < — 1;
х -1.
б)	у= |х2 - 3|х| + 2|.
,	|х| 4- 2
в)	у= —;
,	2х2 + Зх — 2
; г) у =	---------
2х2 - 5х + 2
4.
5.
6.
На рисунке изображен график функции у = /(х). С помощью последовательных преобразований графиков построить графики следующих функций (результат каждого шага ном рисунке): а) 4/ = 2/(—0,5х —3);	б)
в) 4/=!/(—-*+О—31; г) д) у=К~k+1|) - з.
Построить графики f х2 — Зб\ У = Sl£n -----2	
\ 4 - х£ 7
а) у = [2 - Зх];
изображать на отдель-
4/ = /(х + 3) +/(х— 1);
4/= /(—|х| + 1) — 3;
следующих
функций:
б) у =
7.
8.
1.
а) У = {2 - Зх};
На координатной динаты (х; у) которых удовлетворяют условию х2 + г/2 + 9	6|х — 3| + 8|у\ + 6х.
Вариант. 4
Построить графики следующих функций: г —2х — 1,
4х — 9,
У‘
4
У = Кх)
-4 -2 О|
х
плоскости построить геометрическое место точек, коор-
если
если
если х > 3.
-2;
! < х 3;
114
Глава III. Функции
2. а) у = -х2 - |х| + 3; б) у = |-х2 - |х| + 3
3. а)
2х — 3
б)
2|х| - 3.
У И - 1 ’
в) У =
2|х| - 3 |х|-2
г)
У =
2х2 - 7х + 6 х2 — 5х 4- 6
4.	На рисунке изображен график функции y = f(x). С помощью последовательных преобразований графиков построить графики следующих функций (результат каждого шага изображать на отдельном рисунке): а) у= —2Д0,5х —2); б) у = Дх + 2) + Дх - 2);
в) 4/= |/(-х - 2) - 3|; г) у = Д-[х| - 2) - 3;
Д) 4/ = Д-|х - 2|) - 3.
Построить графики следующих функций: -	.	/2х — 1 — х2 \
5-	у = Sl£n ) • \ 36 — х /
6.	а) у=[2~0,2х]- б) у = 2--1- .
7.	а) у = {2 - 0,2х}; б) у = |2 -	.
8.	На координатной плоскости построить геометрическое место точек, координаты (х; у) которых удовлетворяют условию
х 4- у 4- 8// 4- 23	8|х| 4- 8|г/ + 4|.
Ответы
Вариант 1.	1. См. рис. 62.	2. а) См.	рис. 63. б) см.	рис. 64. 3.	а)	См.
рис. 65;	б)	см. рис. 66;	в) см.	рис. 67; г)	см. рис. 68. 4. а)	См. рис. 69;	б)	см.
рис. 70;	в)	см. рис. 71;	г) см.	рис. 72; д)	см. рис. 73. 5. См. рис. 74. 6.	а)	См.
рис. 75;	б)	см. рис. 76.	7. а)	См. рис. 77; б) см. рис. 78.	8. См. рис.	79.
Рис. 62
Дидактические материалы
115
У^
2_________
"\--л Л । \ /\ / 1 _)__[у । \/	1 ы,
-10 1/31 5/3 Зх
Рис. 71
Рис. 74
Рис. 75
116
Глава III. Функции
1
I J >\	 0.5	। о
з .у~~ + 6 у=^+з с9Гг-----£=^+2 _______l».	z.; __ 	—
Рис. 76
7/<///z о]0,5 х
Рис. 77
№
Ж.
-0,5 ’ О
Рис. 78
0,25
х
Рис. 79
Вариант 2. 1. См. рис. 80. 2.	а) См. рис. 81. б) см.	рис. 82. 3.	а)	См.
рис. 83;	б) см. рис. 84;	в) см. рис.	85; г) см. рис. 86. 4. а)	См. рис. 87;	б)	см.
рис. 88;	в) см. рис. 89;	г) см. рис.	90; д) см. рис. 91. 5. См. рис. 92. 6.	а)	См.
рис. 93;	б) см. рис. 94.	7. а) См.	рис. 95; б) см. рис. 96.	8. См. рис.	97.
Дидактические материалы
117
Рис. 91	Рис. 92
Рис. 93
Рис. 96
118
Глава III. Функции
Вариант 3. 1. См. рис. 98. 2. а) См. рис. 99. б) см. рис. 100. 3. а) См. рис. 101; б) см. рис. 102; в) см. рис. 103; г) см. рис. 104. 4. а) См. рис. 105; б) см. рис. 106; в) см. рис. 107; г) см. рис. 108; д) см. рис. 109. 5. См. рис. ПО. 6. а) См. рис. 111; б) см. рис. 112. 7. а) См. рис. 113; б) см. рис. 114. 8. См. рис. 115.
Рис. 100
Рис. 104
Рис. 105
Дидактические материалы
119
Рис. 107
Рис. ПО	Рис. 111
120
Глава III. Функции
Вариант 4. 1. См. рис. 116. 2. а) См. рис. 117. б) см. рис. 118. 3. а) См. рис. 119; б) см. рис. 120; в) см. рис. 121; г) см. рис. 122. 4. а) См. рис. 123; б) см. рис. 124; в) см. рис. 125; г) см. рис. 126; д) см. рис. 127. 5. См. рис. 128. 6. а) См. рис. 129; б) см. рис. 130. 7. а) См. рис. 131; б) см. рис. 132. 8. См. рис. 133.
Рис. 121
Рис. 122
Дидактические материалы
121
Рис. 128
Рис. 129
Рис. 130
Я
Рис. 132
Глава IV
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В данной главе рассматривается ряд общих понятий, относящихся к уравнениям и неравенствам: множество решений, область допустимых значений, равносильность. Обсуждаются проблемы, связанные с преобразованиями уравнений и неравенств:
-	какие преобразования ведут к равносильным уравнениям или неравенствам;
-	какие преобразования приводят к уравнениям-следствиям;
-	в каких случаях происходит приобретение и потеря решений;
-	каковы общие приемы и методы решения уравнений и неравенств.
Все эти вопросы рассматриваются в процессе изучения следующих тем: рациональные, иррациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.
Авторы рекомендуют организовать изучение материала в два этапа. Цель первого этапа обучения — приобретение базовых знаний и навыков решения типовых задач по всем перечисленным темам. После того как по первому разу тема пройдена, дается самостоятельная работа. Если самостоятельные работы по всем темам успешно выполнены, можно перейти ко второму этапу обучения. В систему упражнений второго этапа включаются более сложные задачи, для успешного решения которых необходимо комплексно использовать приемы и методы рассуждений, пройденные на первом этапе.
Изучаемый материал желательно структурировать таким образом, чтобы за частными приемами и методами решения уравнений и неравенств тех или иных видов просматривались общие идеи.
Изучение уравнений и неравенств каждого класса лучше начинать с обсуждения геометрической интерпретации их решений на координатной плоскости. После этого целесообразно на примерах рассмотреть графический подхо'д к решению уравнений и неравенств. Это позволит использовать геометрические методы решения наряду с аналитическими.
§1. Методы решения рациональных уравнений
123
Основной аналитический прием решения уравнений и неравенств включается в их последовательном упрощении, поэтому для каждого класса уравнений и неравенств следует обсудить набор преобразований, наиболее часто используемых для этой цели. Особое внимание следует обратить на то, какие из типичных преобразований уравнений (неравенств) данного класса приводят к равносильным уравнениям (неравенствам), а какие — к их следствиям. Постарайтесь добиваться понимания причин, по которым то или иное преобразование может привести к потере или приобретению корней.
При рассмотрении приемов упрощений лучше избегать излишней детализации и не злоупотреблять использованием готовых схем решения отдельных классов уравнений и неравенств (особенно на начальных этапах изучения темы).
Очень часто для того, чтобы решить задачу, необходимо выделить несколько случаев. Например, приходится действовать по-разному в зависимости от знаков левой и правой частей уравнения или неравенства при возведении в квадрат или в зависимости от знака величины, стоящей под модулем. На этот прием рассуждений следует обратить особое внимание.
При изучении каждого класса уравнений и неравенств необходимо попрактиковаться в использовании такого общего метода решений, как введение новой переменной.
Важное место в системе упражнений по данному разделу программы занимают задачи с параметром. В первую очередь речь идет о поиске решений линейных, квадратных, простейших рациональных, иррациональных уравнений или неравенств. Главное в таких задачах — учесть, что множество решений меняется в зависимости от значения параметра.
Для решений задач с параметром наряду с аналитическими методами широко используются геометрические приемы решения. В частности, они эффективны для задач на исследование расположения на числовой оси корней квадратного уравнения, которые мы настоятельно рекомендуем включить в систему упражнений.
§ 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
К десятому классу школьники уже имеют большой опыт решения рациональных уравнений, более того, знают практически все основные приемы их решения. Основная задача данного этапа обучения — систематизировать знания, научиться видеть за частными методами решения уравнений общие приемы рассуждений. Ведь большинство подходов, используемых при решении рациональных
124
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
уравнений, не являются специфичными, и могут использоваться при решении уравнений других классов.
Решение уравнений функционально-графическим методом. На проблему решения алгебраического уравнения можно смотреть с геометрической точки зрения, интерпретируя процесс решения уравнения /(х) = g(x) как поиск множества абсцисс тех точек, в которых пересекаются графики функций у — [(х) и y = g(x).
Пример 1. Определить графически число корней уравнения хз =____3
А Корни данного уравнения суть абсциссы точек пересечения графиков функций у = х и у = — Графиком первой функции является кубическая парабола, второй — гипербола с асимптотами х = —1 и у = 0 (рис. 1). По рисунку видно, что графики не имеют общих точек. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Нетрудно дать и аналитическое решение. Разобьем область допустимых значений уравнения на три промежутка: (—ос;—1), (-1;0], (0;+оо).
Если х G (—оо; —1), то х3 < 0, —	> 0 и поэтому равенство
з 3 х = —------ невозможно.
х + 1
Если х 6 (—1; 0], то -1 < х3 0, —	-3. Следовательно,
равенство х3 = — невозможно.
Если х G (0; +оо), то х3 > 0, — —< 0. Следовательно, равенство х "Г 1 о	з
х° = —----- невозможно.
х +1
Вывод: уравнение не имеет корней.
Ответ. Корней нет.	▲
Пример 2. Решить уравнение х4(х — 1) = 16.
А Приведем уравнение к виду х4 = (предварительно убедившись, что х = 1 не является корнем данного уравнения). Построив эскизы графиков функций у = х4 и у = (рис. 2), устанавливаем, что графики имеют одну общую точку с абсциссой, равной 2.
Тот факт, что исходное уравнение имеет единственное решение, можно обосновать, не прибегая к построению графиков. Например, можно рассуждать так. Правая часть уравнения х4(х — 1) = 16
§ 1. Методы решения рациональных уравнений
125
положительна. Следовательно, решениями могут быть только такие значения х, при которых левая часть также положительна. Значит, поиск корней можно ограничить множеством х > 1. Но на этом множестве функция х4(х — 1) строго возрастает, поэтому принимает каждое свое значение ровно при одном значении аргумента. Таким образом, уравнение х4(х — 1) = 16 либо имеет один корень, либо не имеет корней вовсе. Подбором находим: х = 2.
Ответ. 2.	▲
Решение рациональных уравнений методом последовательных упрощений
В большинстве случаев, чтобы решить уравнение, его последовательно преобразуют, стремясь на каждом шаге получить более простое уравнение. При этом довольно часто заменяют решение уравнения решением системы (и том числе смешанной, состоящей из уравнений и неравенств). Иногда единым образом преобразовать уравнение на всей области допустимых значений переменой не удается и приходится перебирать варианты, связанные с теми пли иными ограничениями на переменную. Таким образом, в общем случае преобразования ведут нас не от одного уравнения к другому, а от одной задачи к другой.
При преобразовании уравнения могут реализоваться следующие ситуации.
1)	Множества решений исходной и новой задач совпадают. В этом случае говорят, что произошел равносильный переход.
2)	Множество решений исходной задачи содержится во множестве решений новой задачи, т. е. все решения исходной задачи обязательно являются решениями новой задачи, в то время как некоторые решения новой задачи могут не быть решениями исходной задачи, окажутся «посторонними» для нее. В этом случае говорят, что произошел переход-следствие.
3)	Множество решений исходной задачи содержит множество решений новой задачи. Иначе говоря, все решения новой задачи обязательно являются
126
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
решениями исходной задачи, в то время как некоторые решения исходной задачи могут не быть решениями новой задачи, т. е. будут «потеряны».
Совершая по ходу решения то или иное преобразование, мы должны обязательно понимать, какая из трех ситуаций при этом реализуется, и адекватно на нее реагировать.
Последней ситуации, чреватой потерей корней, следует избегать.
Если в процессе преобразований все переходы были равносильными, то множество решений последней в цепочке задачи совпадает с множеством решений исходной задачи. Поэтому с решением последней в цепочке задачи завершается решение исходного уравнения.
Если мы не можем утверждать, что все переходы были равносильными, но точно знаем, что все переходы были переходами-следствиями, то, получив множество решений последней задачи, мы должны каждый элемент этого множества подвергнуть проверке, с тем чтобы отсеять посторонние корни. Проверка заключается в подстановке каждого найденного значения в исходное уравнение (если значение не удовлетворяет уравнению, его «отсеивают»).
Основной причиной неравносильных переходов и, как следствие, приобретения или потери корней, является изменение области допустимых значений уравнения. Если область допустимых значений в результате преобразования была «расширена», то имел место переход-следствие, могли появиться «посторонние» корни, и, значит, требуется проверка. Если же область допустимых значений в результате преобразований была «сужена», то некоторые корни могли «потеряться».
Пример 3. Решить уравнение —х — 2 = 0.
Д Равенство х3 — 1 = (х - 1) (х2 + х + 1) позволяет преобразовать уравнение к виду х2 + х + 1 —х —2 = 0. Новое уравнение является следствием исходного, поскольку при переходе к нему к области допустимых значений исходного уравнения добавилось значение х = 1. Уравнение-следствие имеет два решения xi = —1 и Х2 = 1, но только первое из них является решением исходного уравнения.
Ответ. —1.	▲
Цель преобразований при решении рационального уравнения — сведение его к совокупности линейных или квадратных уравнений. Для достижения этой цели активно используется такой прием, как разложение на множители. Если левую часть уравнения /(х) = 0 удается привести к виду /Дх) • ... • Д(х) = 0, то оно заменяется совокупностью более простых уравнений /Дх) = 0,..., Д(х) = 0. Корнями исходного уравнения являются все лежащие в его области допустимых значений корни уравнений этой совокупности. Других корней уравнение не имеет. 
Универсального алгоритма разложения произвольной функции /(х) на множители не существует. Однако есть набор общих приемов,
§ 1. Методы решения рациональных уравнении
127
таких как вынесение общего сомножителя за скобки, группировка членов, использование формул сокращенного умножения. В некоторых случаях применяется операция выделения полного квадрата.
Пример 4. Решить уравнение х4 + 10х3 + 24х2 — 6х — 9 = 0.
Л Данное уравнение равносильно следующим:
х4 + 10х3 + 25х2 — х2 — 6х — 9 = 0;
(х4 + 10х3 + 25х2) - (х2 + 6х + 9) =0;
(х2 + 5х)2 — (х + З)2 = 0;
(х2 Ч- 5х — х — 3) (х2 + 5х + х + 3) = 0;
(х2 + 4х - 3) (х2 4- 6х + 3) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений х2 + 4х — 3 = 0 и х2 + 6х + 3 = О, первое из которых имеет корни х - — 2 ± л/7, второе — х = — 3 ± \/б.
Ответ. —2±\/7, — 3± \/б.
Решение рациональных уравнений методом замены переменных. Путем равносильных преобразований решение любого рационального уравнения можно свести к поиску корней некоторого многочлена. Однако это не всегда приближает нас к цели, поскольку общих методов поиска корней многочленов степени выше третьей не существует. Поэтому не следует торопиться с преобразованиями, вначале нужно посмотреть, нельзя ли записать уравнение проще, используя, например, новую переменную. Многие рациональные уравнения с помощью замены переменной сводятся к квадратным уравнениям.
Рассмотрим на примерах некоторые специальные виды уравнений.
Трехчленные уравнения ах2п + Ьхп + с = 0, а 0, (при п = 2 их называют биквадратными) сводятся к квадратным заменой хп = t.
Пример 5. Решить уравнение х8 - 15х4 — 16 = 0.
Д Положив t = x\ t^O, получим квадратное уравнение t2 — 15Z— 16 = = 0. Оно имеет два корня t\ — 16 и £2 = “1. из которых только первый удовлетворяет условию t 0. Если t = 16, то х = ±2.
Ответ. ±2.	▲
Путем замены переменной к квадратному уравнению сводятся симметрические уравнения четвертой степени, т. е. уравнения вида ах4 + Ьх3 + ex2 ± Ьх + a = 0, а ф 0.
128
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 6. Решить уравнение 2х4 + Зх3 — 4х2 — Зх + 2 = 0.
А Непосредственная проверка показывает, что х = 0 не является корнем данного уравнения.
При х ф 0 уравнение равносильно следующему:
2х2 + Зх - 4 - ^ + 4 = 0.
х Xz
Сгруппируем члены последнего уравнения:
2 (х2 + -Й + 3 (х -	- 4 = 0.
\	X2/	\	*/
Введем новую переменную t = х — -. Тогда /2 = х2 + ~ — 2, откуда х	х2
х2 + -а- = £2 + 2. Таким образом, в результате замены переменной задача сводится к решению уравнения 2 (£2 + 2) + 3t — 4 = 0, или 2/2 + 3/ = 0. Его корни: t[ = 0 и ^2 = —1,5. Возвратимся к исходной переменной.
1) Если t = 0, то х - = 0, или х2 - 1 = О, х О, откуда х = ±1.
2) Если £=—1,5, то х— -^ = —1,5, или 2х2 + Зх — 2 = 0, откуда х = —2 и х = 0,5.
Ответ. ±1; —2; 0,5.	▲
Рассмотрим уравнение /2(х) +/(x)g’(x) + g-2(x) = О, левая часть которого представляет собой однородное выражение. Чтобы решить такое уравнение, можно действовать следующим образом. Вначале найти значения х, при которых g(x) = 0, и отобрать из них корни уравнения. Затем, уже считая, что g(x) ф 0, разделить обе части
уравнения на g2(x) и сделать замену t = уравнение к квадратному.
сведя, тем самым,
Пример 7. Решить уравнение
(х2 + х + 2)2 - 6х (х2 + х + 2) + 8х2 = 0.
А Первый способ. Непосредственная проверка показывает, что х = 0 не является корнем данного уравнения.
При х ф 0 уравнение равносильно следующему:
(\ 2
Jc2 + + 2 \ _g х2 ~Т х -|- 2 g_q
X J	X
Введя новую переменную t — х — х + 2, получим квадратное уравнение £2 — 6£ + 8 = О, имеющее два корня £] =4, t% — 2. Возвратимся к исходной переменной.
§1. Методы решения рациональных уравнений
129
1) Если t = 4, то Х +^ + 2 = 4, или %2 - Зх + 2 = 0. Откуда х = 1 и х : 2.
2) Если t = 2, то £_d_£+2 = 2, или х2-х + 2 = 0. Это уравнение корней не имеет.
Второй способ. Положив / = х2+х + 2, получим уравнение /2 - 6xt + 8х2 = 0, которое будем рассматривать как квадратное относительно t. Найдем корни уравнения, воспользовавшись теоремой Виета или формулой корней квадратного трехчлена: t\=4x и t% = 2x. Заменив t на х2+х + 2, получим х2 + х + 2 = 4х и х2 + х + 2 = 2х, или х2 - Зх + 2 = О и х2 — х + 2 = 0. Корни первого уравнения х = 1 и х = 2, второе уравнение корней не имеет.
О т в е т. 1; 2.	А
Рассмотрим еще одно рациональное уравнение, сводящееся к квадратному.
Пример 8. Решить уравнение
(х2 4- 6х + 5) (х2 + 14х + 45) = —39.
А Данное уравнение равносильно следующим:
(х2 + 6х + 5) (х2 + 14х + 45) = —39;
(х + 1)(х + 5)(х + 9)(х + 5) = —39;
((х + 1)(х + 9)) ((х + 5)(х + 5)) = -39; (х2 + 10х + 9) (х2 + 10х + 25) = -39.
Положив t = х2 + 10х + 9, получим квадратное уравнение /(/+16) = = —39, или /2 + 16/ + 39 = 0, откуда t\ = -13,
Возвратимся к исходной переменной.
1) Если / = —13, то х2 + 10х + 9 = —13, или х2 + 10х + 22 = О, откуда х = -5 ± >/3.
2) Если t = -3, то х2 + 10х + 9 = —3, или х2 + 10х + 12 = О, откуда х = — 5 ± уТЗ.
Ответ. — 5 ± л/З, — 5± \/ТЗ.	А
Рассмотрим уравнение, решение которого основано на свойствах симметрических многочленов. Многочлен Р(х,г/) от аргументов х и у называется симметрическим, если он не изменяется при перестановке аргументов, т. е. Р (х, у) = Р(у,х). При решении уравнения используется тот факт, что всякий симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических функций и = х + у и v = xy.
130
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 9. Решить уравнение (5 — х)4 4-(х — 2)4 = 17.
А Обозначим 5 — х = а, х — 2 = b и запишем уравнение в виде а4 + Ь4 = 17. Заметим, что а 4- b = 3. Сумма а4 4- Ь4 представляет собой симметрический многочлен четвертой степени относительно переменных а, b и, следовательно, может быть представлена через а + b и ab:
а4 + Ь4 = (а2 + Ь2)2 — 2 (ab)2 = ((а + b)2 —	— 2 (ab)2 .
Таким образом, уравнение а4 + Ь4 = 17 приобретает вид ((a + b)2—2czb) — 2(аЬ)2 = 17, или, с учетом равенства а + b = 3, вид (9 — 2аЬ)2 — 2 (ab)2 = 17. Положив v = ab, получим квадратное уравнение v2 — 18у + 32 = 0, которое имеет два корня: V[ = 2 и и2 = 16. Возвратимся к исходной переменной.
1) Если v = 2, то (5 — х)(х — 2) = 2, или х2 — 7x4-12 = 0. Откуда х - 3 и х = 4.
2) Если v = 16, то (5 — х)(х — 2) = 16, или х2 - 7x4- 26 = 0. Это уравнение корней не имеет.
Ответ. 3; 4.	▲
Решение рациональных уравнений с параметром. По ходу решения рациональных уравнений, содержащих параметр, область изменения параметра разбивается на подмножества, и уравнение решается на каждом из этих подмножеств. Необходимость разбиения на подмножества логически возникает в ходе преобразований. На каком-то этапе обнаруживается, что одинаково рассуждать при всех возможных значения параметра невозможно, поскольку дальнейшие преобразования качественно зависят от того, какие значения принимает параметр.
Рассмотрим несколько примеров. Начнем с решения совсем простого уравнения — линейного.
Пример 10. Решить уравнение а(х — 1) = а2 4- 2(х — 3) при каждом значении параметра а.
А Перегруппируем члены уравнения: (а — 2)х = а2 4- а. — 6. Естественное желание — разделить левую и правую части уравнения на (а — 2) с тем, чтобы выразить переменную х. Однако это можно сделать только когда а — 2	0. Поэтому рассмотрим два случая:
а = 2 и а ф 2.
1) Если а = 2, то имеем уравнение 0 • х = 0, корнями которого являются все действительные значения х.
§ 1. Методы решения рациональных уравнений
131
2) Если а ф 2, то х = а‘ +	6, или, с учетом равенства
а2 + а — 6 = (а + 3)(а — 2), х — а + 3.
Ответ. Если а = 2, то х — любое действительное число; если и 2, то х = а + 3.	А
Пример И. Решить уравнение х + За — —5— — — 2а = 0 при х 4- а х — а х1 — аг каждом значении параметра а.
Л Приведем слагаемые в левой части уравнения к общему знаменателю:	9 /Л „ „ ,
х2 4- х(2« — 1) - - За(а +1) _ q (х + а) (х — а)
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
(х2 + х(2а - 1) - За(а + 1) = О,
< х ф а, (х Ф -а.
Квадратное уравнение х2 + х(2а - 1) - За(а + 1) = 0 имеет корни Х1 = —За, Х2 = а + 1. Выясним, при каких значениях а они удовлетворяют условиям х а, хф —а.
1) Равенства -За = а и — За = — а выполняются только при а = 0. Следовательно, х = — За является корнем уравнения при любом а /0.
2) Равенство а+1 = а не выполняется ни при одном значении а, а равенство а + 1 = — а — только при а = —0,5. Следовательно, х = а + 1 является корнем уравнения при любом а —0,5.
Ответ. Если а^О и а ф — 0,5, то уравнение имеет корни Х[ = -За, Х2 = а + 1 (при а = —1/4 они совпадают); если а = 0, то х = а + 1; если а = — 0,5, то х = — За.	А
Наряду с задачами, в которых требуется решить уравнение при каждом значении параметра, интерес представляют задачи, в которых из множества значений параметра надо выделить значения, отвечающие некоторым условиям. Например, требуется определить, при каких значениях параметра уравнение имеет то или иное число решений.
Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых уравнение — (а + 7) • Дг + 9а — 18 = 0 имеет ровно два корня.
X4	X2
А Положив Ду = t, получим квадратное уравнение
х2
t2 - (а + 7) • t + 9а — 18 = О,
которое имеет два корня Ц = 9,	= а — 2.
132
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Возвратимся к исходной переменной. Если t — 9, то Д- = 9, откуда X2
Х[ = |, Х2 = — Следовательно, исходное уравнение независимо от значения параметра а имеет не менее двух корней.
Далее, если t = a — 2, то = a — 2. Рассмотрим два случая.
х2
1) Пусть a — 2	0, т. е. а 2. Тогда уравнение ~ = a — 2 не
X2
имеет решений и, следовательно, исходное уравнение имеет ровно два корня.
2) Пусть а — 2 > 0, т. е. а > 2. Тогда уравнение ~ = а-2 имеет X2
два корня х = ±у	 Чтобы выполнялось условие задачи,
нужно, чтобы эти корни совпадали с уже найденными, т. е.
чтобы ч / —= ! и - J —Последние равенства имеют \1 а- - 2	3	\1 а - 2	3
место только, если а = 11.
Ответ. (—оо; 2] U {11}.	А
При разложении на множители левой части уравнения, содержащего параметр, бывает полезно рассматривать это уравнение как уравнение относительно параметра, считая при этом переменную, входящую в уравнение, известной. Приведем пример использования такого приема.
Пример 13. Исследовать уравнение х4 + 2ах2 + х + а2 + а = 0. А Исследовать уравнение — это значит указать те значения параметра а, при которых оно имеет корни, указать число этих корней и найти их, а также указать значения параметра а, при которых уравнение корней не имеет.
Перепишем уравнение в виде а2 + а(2х2 + 1) + х4 + х = 0 и рассмотрим его как квадратное относительно а. Найдем дискриминант (2х2 + I)2 - 4(х4 + х) = (2х — I)2, а затем и корни уравнения: aj = — х2 — х и 02 = — х2 + х— 1. Разложим левую часть уравнения на множители: (а + х2 — х + 1)(а + х2 + х) = 0. Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: х2+х + а = 0 и х2 - х + 1 + а = 0. Рассмотрим каждое из них отдельно.
1) Дискриминант уравнения х2 + х + а = 0 равен 1 — 4а, следовательно, если а > 0,25, то уравнение не имеет решений; если а = 0,25, то имеет одно решение (х = —0,5); если а < 0,25, то имеет два решения (х = —0,5 ± 0,5%/1 — 4а).
§ 1. Методы решения рациональных уравнений
133
2) Дискриминант уравнения х2-х + 1 + а = 0 равен —3 - 4a, следовательно, если а>—0,75, то уравнение не имеет решений; если а = — 0,75, то имеет одно решение (х = 0,5); если а<— 0,75, то имеет два решения (х = 0,5 ± 0,5V—3 — 4а).
Для наглядности сведем полученные результаты в таблицу.
Значения а	а< — 0,75	а = -0,75	—0,75<а<0,25
Корни х “Их-ра~0	х = — 0,5 ±0,5\/1 — 4а	x = -O,5±O,5Vl — 4а	х =—0,5±0,5\/1 — 4а
Корни х2 — х-М+а = 0	x = 0,5±0,5V~3 — 4а	х—0,5	Нет решений
Значения а	а = 0,25	а > 0,25
Корни х2 + х + а — 0	х = -0,5	Нет решений
Корни х2 — х + 1 + а = 0	Нет решений	Нет решений
Осталось выяснить, при каких значениях а корни уравнений х2 + х + а = 0 и х2 — х + 1 + а = 0 совпадают. Для этого нужно составить из этих уравнений систему и решить ее. После несложных выкладок получим: х = 0,5, а = — 0,75. Следовательно, при а = -0,75 один корень уравнения х2 + х + а = 0 (нетрудно убедиться, что это х = —0,5 + 0,5\/1 — 4а) совпадает с единственным корнем уравнения х2 - х + 1 + а = 0.
Ответ. Если а < —0,75, то уравнение имеет четыре корня х = —0,5 ± 0,5д/1 — 4а, х = 0,5 ± 0,5\/—3 — 4а; если а = —0,75, то уравнение имеет два корня х = —1,5 и х = 0,5; если — 0,75 < а < 0,25, то уравнение имеет два корня х = —0,5 ± 0,5VI — 4а; если а = 0,25, то уравнение имеет один корень х = —0,5; если а > 0,25, то уравнение не имеет корней.	А
Исследование корней квадратного уравнения. В системе упражнений важное место занимают задачи на применение теоремы Виета к исследованию свойств корней квадратных уравнений.
Пример 14. Пусть xj,X2 — корни квадратного уравнения 2х2 + 4х — 1 = 0. Не вычисляя их, найти: а) х2 + х^; б) Х[— х%; в) х^+х^; г) xi/x2-
Д Данное квадратное уравнение имеет положительный дискриминант, следовательно, применима теорема Виета. Имеем: хгХ2 = — 0,5, Х[ -И Х2 —2.
а)	х2 + х^ = (xi + Х2)2 — 2xiX2 = 4 -|- 1 = 5.
134
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
б)	Пусть А — X] — х2- Тогда
А2 = (xi - Х2)2 — х2 — 2%jx2 + %2 = (xf +	— 2%i%2 — 5 + 1 - 6,
откуда А = ±\/б. Таким образом, если %i > %2> то Х1 ~ х2 — V^, а если < х2> то Х1 — х2 — —д/б.
в)	Aq _|_ %4 _	_|_ х2^2 _ 2х^х2 = 25 — 2 • 0,25 = 24,5.
г)	Пусть А = Х\/х2- Заметим, что 4^0, поэтому определено выражение А +
/I
/l + l = il + S. = ±^ = 4- = -10,
А х<2 Х\ Х1Х2 —0,5
откуда А2 + 10/4 + 1 = 0, А = -5 ± 2\/б.	А
Пример 15. Пусть xi, %2 — действительные корни уравнения х2 — ах -|- а = 0, где а — действительное число. При каком значении а 9	9
выражение х^ + х^ принимает наименьшее значение?
А Уравнение х2 — ах + а = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант D = а2 — 4а 0, т. е. при а 0 и а^4. Представим выражение [ = х2 + х^ в виде f = (х\ + Х2)2 — 2х1%2 и воспользуемся теоремой
Виета. Имеем: Х\-Х2 = а, х\ + Х2 = а, и, значит, / = я2 — 2а. Таким
образом, исходная задача свелась к поиску наименьшего значения квадратичной функции [(a) = а2 — 2а в области а + 0 и а 4.
Представив функцию /(а) в виде f(a) = (а — I)2 — 1, заключаем, что она убывает при а + 1 и возрастает при а 1. Следовательно, своего наименьшего значения на промежутке а + 0 она достигает при а = 0, а на промежутке а 4 — при а = 4. Так как /(0) = 0, а /(4) = 8, то выражение х2 + х^ принимает наименьшее значение при а = 0.
Заметим, что рассуждения на тему наименьшего значения функции [(а) можно сделать наглядными, построив ее график (рис. 3).
Ответ. а = 0.	А
Особый класс задач на исследование рациональных уравнений с параметром образуют задачи на определение положения корней квадратного трехчлена относительно различных точек числовой оси. При решении таких уравнений используются как аналитические, так и функционально-графические методы.
§1. Методы решения рациональных уравнений
135
Если нас интересует расположение корней относительно нуля, то /|.ля получения результатов можно воспользоваться теоремой Виета.
Пример 16. Найти все действительные значения параметра а, при которых корни уравнения (4 + а)х2 — 2ах + 2а + 6 = 0 действительны, и определить знаки корней в зависимости от значения параметра. Л Если а = —4, то уравнение является линейным и имеет один корень, равный 1/4. При а — 4 уравнение имеет действительные корни, если дискриминант квадратного трехчлена неотрицателен: '1а2 - 4 • (2а + 6) • (4 + а) 0, или -12 а — 2 (а -4).
Для определения знаков корней воспользуемся теоремой Виета:
Корни имеют разные знаки, если их произведение отрицательно, г. е. выполняется неравенство	!— < 0. Зто имеет место при
4 < а < — 3 (условия — 12^ а ^—2, а — 4 при этом выполнены).
Корни имеют одинаковые знаки, если их произведение положительно. С учетом условия —12 а — 2 это имеет место при ае [-12; -4) U (—3; -2].
Если при положительном произведении сумма корней положительна, то оба корня положительны. Это имеет место, если одновременно выполняются условия а 6 [—12; -4) U (—3; -2] и > О, т. е. при а 6 [—12; -4).
Если при положительном произведении сумма корней отрицательна, то оба корня отрицательны. Это имеет место, если а е [-12; — 4) U (-3; -2] и < 0, т. е. при а 6 (-3; -2].
Наконец, если хотя бы один из корней равен нулю, то выполняется равенство = 0, из которого находим а = —3. Поскольку при а — — 3 сумма корней отрицательна, то другой корень отрицателен.
Ответ. Корни действительны при аЕ [—12;—2]; при aG [—12;-4] корни положительны; при a G (—4; —3) корни разных знаков; при а = — 3 один из корней равен нулю, а другой отрицателен; при a G (—3; — 2] корни отрицательны.	▲
Рассмотрим вопрос о расположении на числовой оси корней квадратного трехчлена относительно некоторой точки %о (не обязательно нулевой). В общем случае определить значения параметра, при которых то или иное расположение корней будет иметь место, можно, наложив ограничения на знак дискриминанта, на результат
136
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
сравнения абсциссы вершины параболы (графика квадратного трехчлена) с Xq, а также на знак квадратного трехчлена в точке %о- Эти ограничения несложно выписать, если использовать геометрическую интерпретацию задачи. Рассмотрим примеры.
Пример 17. Определить значение параметра р, при котором корни уравнения 2х2 + х — р = 0 меньше 1.
Д Из условия задачи следует, что корни должны существовать, т. е. D 0. Изобразим схематично график функции у = 2х2 + х — р, приняв во внимание, что ветви параболы направлены вверх, есть точки пресечения с осью Ох (или касания ее), прямая х = — | — ось параболы. В зависимости от значения р возможны
два качественно различных случая (1) и (2) расположения параболы
на координатной плоскости (рис. 4). Условию задачи удовлетворяет
только случай (2). Таким образом, для того, чтобы 1 была больше
корней заданного уравнения, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Ц/(1)>0
1 + 8р 0; 3-р> о
Ответ. р=[—1;3).	А
Пример 18. При каких значениях параметра а корни уравнения ах2 + (2а — 1) х + 1 = 0 различны и содержатся в интервале (— 1; 1)? Д Если а = 0, то уравнение является линейным и имеет один корень, равный 1, не содержащийся в интервале (—1; 1).
При а^О уравнение имеет различные действительные корни, если дискриминант D квадратного трехчлена положителен. Изобразим
Рис. 5
§2. Методы решения рациональных неравенств
137
)скиз графика функции /(%) = ах2 + (2а — 1)х + 1 с учетом того, что парабола должна иметь две точки пересечения с осью Ох, лежащие на интервале (—1; 1). Очевидно, что эскиз будет разным для случаев а>0 и а <0 (рис. 5 а и 5 6). Аналитически поиск значений параметра а, при котором эскизы графика функции f(x) выглядят так, как это показано на рис. 5 а и 5 6, можно интерпретировать как отыскание значений параметра, удовлетворяющих соответственно системам (1) п (2):
(1)
и
(2)
'а > 0,
D>0,
<	-1 < хь < 1,
/(-1) > 0, 1/(1) > О
'а < О,
D>0,
<	-1 < хь < 1,
/(-1) < О, 1/(1) <0-
Система (1) равносильна системе а > О, 4а2 — 8а + 1 > О,
< -1 < < 1 2cz
—а + 2 > О, За > О,
2 I v3 решением которой является промежуток - < а < 2.
Система (2) решений не имеет, поскольку условие — 1 < хь < 1 выполняется только для а > 1/4, а это противоречит неравенству а < 0.
Ответ. ^~^-<а<2.	▲
§2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Решение неравенств функционально-графическим методом.
Геометрически решение неравенства f(x) > g(x) можно интерпретировать как поиск множества значений аргумента х, для которых
138
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
точки графика функции у = f(x) расположены выше точек графика функции у = g(x).
х — 3 = -. Это х — — 1 и
X
Пример 1. Воспользовавшись графической интерпретацией, решить неравенство х —3^ -.
X
Д Решение неравенства х — 3	- геомет-
рически можно интерпретировать как отыскание множества значений х, для которых ординаты графика функции у = х~ 3 больше или равны ординатам графика функции У = -(рис. 6). Абсциссы точек пересечения графиков функций найдем, решив уравнение х = 4. Искомое множество [ —1; 0) U [4;+оо)
на рисунке заштриховано.
Решение рациональных неравенств методом интервалов. Вначале рассмотрим несколько примеров.
Пример 2. Решить неравенство (х - 1) (1 - 2х) х < 0.
Рис. 7
Д Перепишем неравенство так, чтобы старшие коэффициенты у всех сомножителей были равными 1: (х — 1) (х — 0,5) х > 0. Знак произведения в левой части неравенства зависит от сочетания знаков составляющих его сомножителей. Отметим на числовой оси точки 1, 0,5 и 0, в которых обращается в нуль хотя бы один из них (рис. 7 а). Этими точками числовая прямая разобьется на 4 интервала, в каждом из которых все сомножители, а, значит, и их произведение, сохраняют определенный знак.
При х > 1 все три сомножителя положительны; ставим в этой области знак «+». При переходе в соседнюю область 0,5 < х < 1 сомножитель (х — 1) меняет знак, а два других сохраняют знаки; ставим в этой области знак «—». При дальнейшем движении влево по числовой оси, при переходе от одной области к другой, знаки
§2. Методы решения рациональных неравенств
139
«+» и «—» будут чередоваться, так как будет менять знак ровно один из сомножителей. Таким образом, неравенство выполняется при х G (0; 0,5) U (1; +эс).
Рассуждения можно сделать более наглядными, если ввести понятие кривой знаков. Под кривой знаков выражения, зависящего от переменной х, будем понимать линию, которая расположена выше оси Ох в тех областях, где выражение положительно, и ниже оси Ох в областях, где выражение отрицательно.
В нашем примере все три сомножителя выражения (х — 1)(х — 0,5)х представляют собой линейные функции от х, которые обращаются в ноль в точках 1, 0,5 и 0 соответственно и меняют знаки с «-» на «+» при переходе через эти точки. Изобразив на одном рисунке кривые знаков сомножителей (рис. 76), получаем наглядное представление о сочетании знаков сомножителей на различных промежутках числовой оси, что, в свою очередь, делает очевидными выводы о знаке произведения в целом.
Ответ. (0; 0,5) U (1;+оо).	А
Пример 3. Решить неравенство (х — З)2 (4 - х)3 > 0.
Д Запишем неравенство в виде (х — З)2 (х — 4)3 < 0 и определим знаки сомножителей, стоящих в его левой части. Выражение (х — З)2 положительно при любом значении за исключением точки х = 3. Знак выражения (х — 4)3 в каждой точке совпадает со знаком двучлена (х —4), поэтому в области х < 4 множитель (х — 4)3 отрицателен, а в области х > 4 положителен.
Таким образом, произведение (х — З)2 (х — 4)3 сохраняет свой знак на промежутках (—оо;3), (3;4), (4;+оо). Если х > 4, то оба сомножителя положительны. При переходе через точку х = 4 меняется знак одного сомножителя (х — 4)3, при переходе через х = 3 знаки сомножителей не меняются (рис. 8).
Рис. 8
Ответ. (—оо; 3) U (3;4).	▲
Рассмотрим общую схему решения неравенств /(х) > 0 (^,^,>), где /(х) = (х — X] (х — хг)^2... (х — xn)kn, называемую обычно методом интервалов.
На числовой оси отмечаем точки Х], Х2, .... хп (если неравенство строгое, выкалываем их). Пусть для определенности X] <Х2 < ... <хп. Над бесконечным интервалом, лежащим справа от хп, ставим знак «+». Переходим через хп и сохраняем над интервалом (xn_[;x«) знак «+», если kn — четное число, или же изменяем знак на «-», если kn — нечетное число. В следующем слева
140
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
промежутке (х„_2;хп-1) аналогично, сохраняем знак, поставленный справа от х„_], если kn_\ — четное число, и меняем знак на противоположный, если £„-1 — нечетное число, и т. д.
После того, как знаки на всех промежутках расставлены, выписываем решение неравенства. Решение неравенства /(х) > 0 составляем из объединения всех открытых промежутков, над которыми поставлен знак «+»; решение неравенства /(х) < 0 составляем из объединения всех открытых промежутков, над которыми поставлен знак «—». Для нестрогих неравенств к соответствующим промежуткам добавляются их концы, а также в решение включаются все изолированные точки Х[, х?,... ,хп.
Пример 4. Решить неравенство х5 (х — 4)2 (5 — х) (х + 2)4 0. Д Запишем неравенство в виде (х + 2)4 (х — О)5 (х — 4)2 (х — 5)	0.
Согласно методу интервалов, наносим числа —2, 0, 4 и 5 на числовую ось и ставим знак «+» над правым бесконечным промежутком (рис. 9). Переходя через точку 5, меняем знак на «—», так как двучлен (х — 5) имеет нечетную степень 1; переходя через точку 4, знак « —» сохраняем, так как двучлен (х — 4) имеет четную степень 2; переходя через точку 0, меняем знак на «+», так как двучлен (х — 0) имеет нечетную степень 5; переходя через точку —2, сохраняем знак «+», так как двучлен (х + 2) имеет четную степень 4.
+ + - - +
——•-------•----•----— i>-
-2	0	4	5 х
Рис. 9
Решением неравенства является объединение всех промежутков, над которыми поставлен знак «+», включая концы этих промежутков, с точкой 4.
Ответ. (—оо; 0] U {4} U [5;+оо).	▲
Решение рациональных неравенств методом последовательных упрощений. При аналитическом решении рациональных неравенств допустимы только равносильные переходы (в отличие от уравнений, при решении которых вполне можно использовать переходы-следствия). В большинстве случаев целью равносильных преобразований является приведение неравенства к виду (х — Х1)Л| (х — х^'2 • • • (х - xn)kn > 0 (<,^,^) и дальнейшее его решение методом интервалов.
Довольно часто приходится применять преобразование, сводящееся к делению или умножению обеих частей неравенства на выражение g(x). Следует иметь в виду, что такое преобразование применимо только в том случае, когда выражение g(x), во-первых,
§2. Методы решения рациональных неравенств
141
определено для всех значений аргумента х, принадлежащих области допустимых значений исходного неравенства, и во-вторых, будучи отличным от нуля, сохраняет свой знак на этом множестве. Если эти условия выполнены, то при g(x) > 0 в результате деления (или умножения) на g(x) получим неравенство, равносильное исходному. Если g(x)<0, то равносильным будет неравенство противоположного смысла.
Пример 5. Решить неравенство
(х2 - 2х - 3)(4х - х2 - 20)(х - 3) < 0.
А Разложив квадратный трехчлен х2 — 2х — 3 на множители (х — 3)(х + 1) и поменяв знаки квадратного трехчлена 4х — х2 — 20, перепишем исходное неравенство в виде (х2 — 4х + 20)(х — 3)2(х + 1) > 0. Квадратный трехчлен х2 — 4х + 20 положителен при всех значениях х, поскольку его дискриминант отрицателен, а старший коэффициент больше нуля. Следовательно, неравенство (х2 — 4х + 20)(х - 3)2(х + 1) > 0 равносильно неравенству (х — 3)2(х + 1) > 0, решив которое методом интервалов (рис. 10), получим ответ.
+ +
-----0...........	....L-хЛ! > -1....................3.X
Рис. 10
Ответ. (—1; 3) U (3;+ос).	А
Следующие утверждения позволяют освобождаться в неравенствах от знаменателя:
/(х) л Кх) л
1) неравенства > 0 и ^-4- < 0 равносильны, соответственно, неравен-h(x) h(x)
ствам /(х) • /г(х) > 0 и /(х) • h(x) < 0;
2) неравенства 0 и 0 равносильны, соответственно, системам
(f(x)  h(x)	О,	ГДх) • /г(х) С О,
(Л(х) / 0	|/i(x) / 0.
Пример 6. Решить неравенство -- +	0.
А Данное неравенство равносильно системе
(х2 + 2х - 3)(х — 1)2(х + 2) 0, х / —2.
Разложив квадратный трехчлен х2 + 2х — 3 на множители (х + 3)(х - 1), перепишем неравенство системы в виде
142
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
(х — 1)3(х + 3)(х + 2)	0 и решим его методом интервалов (точку
—2 на числовой оси выколем). Искомое множество на рис. 11 заштриховано.
-I-	-	+
-------сн-^——-------------► -3	-2	1 х
Рис. И
Ответ. (—ос; —3] U (—2; 1].	А
Пример 7. Решить неравенство 1 —
А Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:
1 - -А- - —— > 0; х + 2 4х - 1	’
х2 — 5х + 4 п.
(х + 2)(4х- 1)	’
(х2 - 5х + 4) (х + 2)(4х - 1) > 0;
(х- 1)(х-4)(х + 2)(4х- 1) > 0.
Последнее неравенство решим методом интервалов (рис. 12).
+ _ _ “ +
-211	4 X
Рис. 12
Ответ. (—ос; —2) U (1/4; 1) U (4;+ос).	А
Решение рациональных неравенств методом замены переменной. Во многих случаях рациональное неравенство существенно упрощается, если ввести новую переменную. Решение неравенства, полученного после замены переменной, выписывают в виде совокупности линейных (возможно двойных) неравенств. После чего возвращаются к исходной переменной.
Пример 8. Решить неравенство х2(13 —х2) ^36.
А Перепишем неравенство в виде х4 — 13х2 + 36	0 и сделаем
замену t = x2. Получим неравенство t2 — 13£ + 36 0, которое равносильно неравенству (t — 4)(f — 9) 0, решением которого является промежуток 4 t 9. Таким образом, 4 х2 9, хе [—3; —2] U [2; 3].
Ответ. [—3; —2] U [2;3].	А
§2. Методы решения рациональных неравенств
143
Пример 9. Решить неравенство
(6 — х)(х — 2)(х + 3)(х + 9) > 24х2.
Д Сгруппируем определенным образом сомножители в левой части неравенства: (6 — х)(х + 3) • (х - 2)(х + 9) > 24х2, или (-х2 + Зх + 18) • (х2 + 7х — 18) > 24х2. При х = 0 неравенство не выполняется, следовательно, поиск его решений можно ограничить множеством действительных чисел, отличных от нуля. Если х^О, то х2>0, поэтому, разделив на х2 обе части неравенства, получим неравенство, которое равносильно исходному: х + 3 + —) • (х + 7 — ) > 24.
Положим £ — х — - Получим (3 - f)(f+7) > 24, или f2 + 4/ + 3 < 0.
Откуда — 3 < t < — 1.
Возвратившись к переменной х, получаем двойное неравенство
18
-3 < х —- < —1. Таким образом, решение исходного неравенства °	18	1	18 о
свелось к поиску решении системы х —	< —1, х— — > —3.
п 18 . 1х2+х—18 n (	—1 — л/7з\ । । (п — 1 4- л/7з\
1) х < -1; —3---------< 0; х G I -оо;    ) U I 0;    I.
2) х - ^ > -3; -<2 + 3* - 18 > 0; х 6 ( 6.0) и (3. +оо)
гл	z- ( с. ~ — \/73 \ . ( q — 1 + У73 \
Окончательно имеем: х 6 I —о;-------- 10(3; —-------1.
гл	( с. — 1 — \/73 \ । . (г\ — 1 4- \/73 \	л
Ответ. I -6; — ) О 13; —— 1 .	А
Решение рациональных неравенств с параметром. Перейдем к решению неравенств с параметром. Вначале выясним, как для их решения применяется метод интервалов. Характерная особенность его использования в этом случае — перебор вариантов, связанный с расстановкой нулей левой части неравенства на числовой оси. Рассмотрим пример.
Пример 10. При каждом значении параметра а решить нера-(х — а)(х 4- 2) . п венство  ----——- > 0.
х — а — 1
А Данное неравенство равносильно неравенству
(х — а){х + 2)(х - а — 1) > О, которое решим методом интервалов. Сомножители, стоящие в левой части этого неравенства, обращаются в ноль в точках а, —2, а+1
144
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
соответственно и, следовательно, меняют знак при переходе через эти точки. Расстановка точек а, —2, а + 1 на числовой оси неоднозначна. Точка а при любом значении параметра расположена левее точки а + 1, в то время как —2 может разместиться относительно остальных двух точек по-разному. Рассмотрим все возможные случаи.
+ - +
-О--——ю-----6—----
-2 а а + 1 х
а
-I-	-	+
-6^—>
а -2	а + 1	х
б
+ - + - +
-о ---------61—".------------о--------6 М
а а+1	-2 х -2	-1	х
в	г
Рис. 13
1)	Пусть а > —2. Тогда х е (—2; a) U (а + 1; +оо) (рис. 13 а).
2)	Пусть а < — 2 < а + 1, т. е. — 3 < а < —2. Тогда х G (а;-2) U (а + 1;+оо) (рис. 13 6).
3)	Пусть а + 1 < -2, т. е. а < —3. Тогда х 6 (а; а + 1) U (—2; +оо) (рис. 13 в).
4)	Пусть а	=	—2.	Тогда	неравенство принимает вид
(х + 2)2(х	+	1) >	0 и	имеет решение х 6 (-1;+оо)
(рис. 13 г).
5)	Пусть а	—	—3.	Тогда	неравенство принимает вид
(х + 2)2(х + 3) > 0 и имеет решение х 6 (—3; — 2) U (—2; +оо).
Заметим, что случай 5 вполне можно объединить со случаем 3 (учтем это в ответе).
Ответ. Если а — 3, то х 6 (а;а + 1)и (—2;+оо); если — 3 < а < — 2, то х 6 (а; — 2) U (а + 1;+оо); если а= —2, то х 6 (—1; +оо); если а > —2, то х G (—2; а) U (а + 1; +оо).	А
Многие рациональные неравенства с параметром можно решить, используя графический подход.
Пример 11. При каждом значении параметра а решить неравен-ство д-^-‘ $ 0.
а + 2х — 4
А Воспользуемся геометрической интерпретацией задачи. На координатной плоскости Оха начертим графики функций а = х2 + 1 и а = 4 — 2х. Если воспринимать х и а как равноправные переменные, то заштрихованная область трактуется как решение неравенства (рис. 14). Зафиксируем а и проведем через точку (0, а) прямую, параллельную оси Ох. Абсциссы тех точек этой прямой, которые
§3. Методы решения иррациональных уравнении
145
попали в заштрихованную область, образуют решение неравенства относительно переменной х. На рис. 14 представлены все качественно отличные случаи расположения этой прямой относительно графиков функций а = х2Н-1 и а = 4 — 2х. Опираясь на рисунок, для каждого шачения параметра а выпишем решение исходного неравенства.
1)	Если a < 1, то х G	.
2)	Если a = 1, то х G {0} U	+оо).
3)	Если 1 < a < 2, то х G [—\/а - 1; \/а - 1] U ; +оо).
4)	Если	a	= 2, то хе [~\/а — 1; 1) U (1; +оо).
5)	Если	2	< a <	10, то х е \/а — 1; -у^) U	[\/a	— 1;	+оо).
6)	Если	а	= 10,	то х G [/а — 1; +оо).
7)	Если	а	> 10,	то х G (уу! —	— 11 U [х/а	- 1;	+оо) .	А
§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение иррациональных уравнений функционально-графическим методом. Начнем изучение иррациональных уравнений с использования геометрической интерпретации их решений.
Пример 1. Показать, что уравнение у/х = — х2 + 6х-8 не имеет решений.
Д Корни данного уравнения суть абсциссы точек пересечения графиков функций у= у/х и у = — х2 + 6х — 8. По рисунку заключаем, что графики не имеют общих точек (рис. 15), и, значит, уравнение не имеет решений.
Дадим аналитическое обоснование. Разобьем область допустимых значений уравнения [0; +оо) на два промежутка: [0; 2) и [2; +оо).
Если х G [0; 2), то у/х 0, —х2 + 6х — 8 = 1 — (х — З)2 < 0, следовательно, равенство у/х = —х2 + 6х — 8 невозможно.
Если х G [2; +оо), то у/х —х2 + 6х — 8 - 1 — (х — З)2	1,
следовательно, равенство у/х = —х2 + 6х — 8 невозможно.	А
Решение иррациональных уравнений методом последовательных упрощений. Прежде чем начать обсуждение основных аналитических приемов решения иррациональных уравнений, сделаем ряд замечаний.
146
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Рис. 15
Преобразования, применяемые в школьной практике для решения уравнений, разнообразны. Некоторые из них являются универсальными, т. е. используются при решении уравнений разных классов. Другие имеют специфический характер и применяются исключительно для решения уравнений определенного вида. На наш взгляд, нужно в первую очередь усвоить универсальные преобразования.
Поясним сказанное. Положим, есть специфическое равносильное преобразование, которое позволяет решить уравнение данного вида в «две строчки». А в основе этого преобразования (т. е. в начале логической цепочки, которая приводит к эффектному равносильному переходу) лежит преобразование более общее, которое используется при решении уравнений многих классов. Будет лучше начинать обучение решению уравнений данного вида с воспроизведения всей логической цепочки.
Универсальным преобразованием, используемым при решении иррациональных уравнений, является возведение левой и правой частей уравнения в степень. Это преобразование позволяет «избавиться от иррациональности». Главное, что необходимо усвоить,— это условия равносильности такого перехода.
Напомним, что если обе части уравнения f(x) = g(x) возвести в четную степень m = 2п, то полученное уравнение /2/г(х) = g2n(x) будет следствием исходного. Однако на множестве, где функции f(x) и g(x) определены и неотрицательны, уравнение /2п(х) =g2n(x) равносильно уравнению [(х) = g(x).
Возведение в любую нечетную степень приводит к равносильному уравнению.
Если в ходе решения уравнения мы «бездумно» возводили обе его части в четную степень, то нельзя ручаться, что найденные нами значения переменной являются корнями исходного уравнения,
§3. Методы решения иррациональных уравнений
147
они могут оказаться и «посторонними» для него. Поэтому необходимо сделать проверку: подставить найденные значения в исходное уравнение с тем, чтобы выяснить, удовлетворяется ли оно.
Важно понимать причины, по которым возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней. Таких причин две: расширение области допустимых значений и различие знаков левой и правой частей исходного уравнения при некоторых значениях переменной. Рассмотрим ряд примеров.
Пример 2. Решить уравнение 3\/5 - х + 1 = х.
Д Первый способ. Отметим, что область допустимых значений уравнения определяется условием 5 — х 0, или х < 5. Запишем уравнение в виде: 3\/5 — х = х—\. Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то всякое его решение должно удовлетворять ограничению х — 1	0. Поэтому с учетом ОДЗ решение следует
искать на промежутке 1 ^х^5. На этом промежутке левая и правая части уравнения определены и неотрицательны и, следовательно, возведя их в квадрат, получим уравнение, равносильное исходному: 9(5 — х) = (х — I)2; х2 + 7х - 44 = 0. Последнее уравнение имеет два корня х,=4и Х2 = —11, но только первый из них удовлетворяет условию 1 х 5. Таким образом, исходное уравнение имеет один корень х = 4.
Второй способ. Возведем обе части уравнения 3\/5 — х = х — 1 в квадрат. Получим уравнение-следствие: 9(5 — х) = (х — I)2, или х2 + 7х — 44 = 0. Оно имеет два решения: Х[ = 4 и х% = —11. Сделаем проверку:
1) подставим х = 4 в исходное уравнение: 3\/5 — 4 = 4—1, или 3 = 3, что верно, следовательно, х = 4 — корень исходного уравнения;
2) подставим х = —11 в исходное уравнение: 3^/5 -+-11 = —11 — 1, или 12 = —12, что неверно, следовательно, х = —11 корнем исходного уравнения не является (он «посторонний»).
Ответ. 4.	▲
Может сложиться впечатление, что второй способ менее трудоемкий, нежели первый. Однако даже при решении простых уравнений возникают ситуации, когда проверка может привести к сложной задаче на упрощение. Чтобы не быть голословными, рассмотрим пример.
Пример 3. Решить уравнение
х +*8 — х + 2 — 0.
148
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Л Запишем уравнение в виде \/х + 8 = х — 2, после чего возведем обе его части в квадрат. После упрощений получим уравнение х2 — 5х — 4 = 0, которое имеет два решения
Х1,2 =
5± л/41
2
При проверке нам придется иметь дело с корнем из иррационального выражения, а это совсем непросто. Сложностей можно избежать, если действовать методом равносильных преобразований. Убедимся в этом.
Область допустимых значений уравнения \/х + 8 = х — 2 определяется условием х —8. Так как левая часть уравнения неотрицательна при любом допустимом значении аргумента, то всякое решение уравнения должно удовлетворять условию х — 2	0. Этот
вывод позволяет ограничить поиск решения промежутком х 2. На этом промежутке левая и правая части уравнения определены и неотрицательны и, следовательно, возведя их в квадрат, получим уравнение, равносильное исходному: х2 — 5х — 4 = 0. Оно имеет два корня
из которых только один, а именно
х =
5 + л/41
2
удовлетворяет условию х 2 (этот факт можно установить грубой прикидкой).
ГЧ	5 + л/41	а
Ответ. ——.	▲
Уравнения вида y/f(x) = g(x) встречаются настолько часто, что имеет смысл формализовать их решение. Легко доказать, что любое уравнение вида >//(х) = g(x) равносильно смешанной системе
/(х) =g2(x), g(x) > 0.
Заметим, что в этой системе отсутствует неравенство /(х) > 0, определяющее область допустимых значений уравнения. Нет необходимости указывать это условие в смешанной системе, поскольку если некоторое значение х удовлетворяет уравнению /(х) =g2(x), то оно удовлетворяет и неравенству /(х) > 0.
§3. Методы решения иррациональных уравнений
149
Замечание. Используя смешанную систему, решение примера 3 можно вписать следующим образом:
\/х Н- 8 — х 4- 2 = 0 о уА 4- 8 - х — 2 о
(х + 8 — (х — 2)2,	(х2 — 5х - 4 = О,
| х > 2	1 х > 2
Вернемся к вопросу об использовании равносильных переходов и переходов-следствий. Безусловно, до начала решения уравнения трудно определить, что удобней: отследить условия равносильности переходов или сделать в конце проверку. В большинстве случаев можно рекомендовать начинать решение с замены уравнения на его следствия и уже после нахождения корней (среди которых могут оказаться и посторонние) принимать решение: делать проверку или же еще раз проследить всю цепочку преобразований, дополнив ее условиями равносильности переходов.
Пример 4. Решить уравнение
\/2х — 6 + у/х 4- 4 -= 5.
А Преобразуем уравнение, заботясь только о том, чтобы каждое следующее уравнение было следствием предыдущего:
\/2х — 6 = 5 — у/х 4- 4;
2х — 6 = (5 — VTT4)2 ;
Юл/х + 4 = 35 — х;
100(х + 4) = (35-х)2;
х2 — 170x4-825 = 0.
Последнее уравнение имеет два решения: xi = 165 их2 = 5. В процессе решения мы дважды возводили в квадрат части уравнения, не оговаривая никаких условий. Следовательно, могли приобрести корни. Поэтому сделаем проверку.
1) Пусть х = 165. Тогда имеем: у/2  165 — 6 + \/165 + 4 = 5, что, очевидно, неверно. Следовательно, х = 165 — посторонний корень.
2) Пусть х = 5. Тогда имеем: л/2 • 5 - 6 4- л/5 4- 4 = 5, что, верно. Следовательно, х = 5 — корень исходного уравнения.
Ответ. 5.	А
150
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Еще один комментарий к рассмотренному примеру: можно было не «уединять» радикал перед первым возведением в квадрат, а непосредственно возвести в квадрат обе части исходного уравнения. В следующем примере мы поступим именно так.
Пример 5. Решить уравнение у/х + 3 + \/2х — 1 = 4.
Л Преобразуем уравнение, заботясь только о том, чтобы каждое следующее уравнение было следствием предыдущего:
(1)	х + 3 + 2\/х + 3  \/2х - 1 + 2% — 1 = 16;
(2)	2^/(х4-3)(2х — 1) = 14 - Зх;
(3)	4(х + 3)(2х - 1) = (14 - Зх)1 2;
(4)	х2- 104х + 208 = 0.
Последнее уравнение имеет два корня: х\ = 52 + 8\/39 и Х2 = 52 —8\/39. В процессе решения мы дважды возводили в квадрат части уравнения, не оговаривая никаких условий. Следовательно, могли приобрести посторонние корни. Однако проверка в данном случае будет слишком громоздкой. Поэтому выпишем условия, при выполнении которых совершенные нами переходы будут равносильными.
Переход от исходного уравнения к уравнению (1) равносильный, поскольку оба уравнения определены на одном множестве и обе части исходного уравнения на этом множестве неотрицательны. При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произошло расширение области допустимых значений. Чтобы сделать переход равносильным, достаточно наложить на переменную х два ограничения: х —3, х^0,5. Неравносильность перехода от уравнения (2) к уравнению (3) связана с отсутствием требования неотрицательности правой части уравнения: 14 — Зх 0. И, наконец, переход от уравнения (3) к уравнению (4) был равносильным. Таким образом, исходное уравнение равносильно смешанной системе:
х2 - 104х + 208 = 0, х 0,5, 14 - Зх 0.
Нам осталось проверить, удовлетворяют ли корни квадратного уравнения ограничениям-неравенствам х 0,5 и х 14/3.
1) Пусть х = 52 + 8\/39. Тогда, очевидно, условие х 14/3 не выполнено.
2) Пусть х = 52 — 8а/39. Так как (52 — 8\/39) — 0,5 = л/2652,25 — — х/2496 > 0, то условие х^0,5 выполнено. С другой стороны
§3. Методы решения иррациональных уравнений
151
52 - 8л/39 < 52 - 8л/36 = 4, следовательно, условие х 14/3 также выполнено.
Следовательно, исходное уравнение имеет один корень: х = = 52-8\/39.
Ответ. 52 — 8\/39.	А
При решении некоторых иррациональных уравнений рассуждать единым образом во всей области допустимых значений уравнения не удается и приходится перебирать варианты. В большинстве случаев перебор связан с необходимостью занесения некоторого выражения под знак корня (или вынесением из под знака корня), т. е. с использованием формулы \/f2(x) = |/(х)|.
Пример 6. Решить уравнение
у/х(х + 2) + (х + 2)	= х + 4.
А Область допустимых значений уравнения состоит из двух промежутков: х< — 2 и х^О. Уравнение существенно упростится, если внести множитель х + 2 под знак корня, однако результат этой процедуры зависит от знака данного множителя. Поэтому рассмотрим случаи х < —2 и х^ О отдельно.
1)	Пусть х < —2. Тогда х + 2<0 и х + 2 = — (-х — 2) = - |х + 2| = = — ^(х + 2)2. Значит, уравнение можно записать в виде:
у/ х(х + 2) - л/(х + 2)2л= х + 4. Далее имеем:
\/х(х + 2) - у (х + 2)2 •	= х + 4;
у/х(х + 2) — -у/(х + 2)х = х + 4; 0 = х + 4; х = —4. Найденное значение удовлетворяет условию х < —2, и, следовательно, является корнем исходного уравнения.
2)	Пусть х 0. Тогда х + 2>0 и х + 2 = |х + 2| = л/(х + 2)2. Значит, уравнение можно записать в виде: у/х(х + 2) + + х/(х + 2)2А /	= х + 4. Далее имеем:
V х + 2
у/х(х + 2) + у (х + 2)2 •	2 —	4;
2у/х(х + 2) = х + 4; 4х(х + 2) = (х + 4)2 ; х = ±-^=.
152
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Из двух найденных значений только х = -4= удовлетворяет условию х 0, и, следовательно, является корнем исходного уравнения.
Ответ. —4;-^.	▲
х/з
Решение иррациональных уравнений методом замены переменной. Некоторые иррациональные уравнения можно решать методом замены переменных. При этом часто эффективна замена вида у/[(х) = t. Используя такую замену, имеет смысл дополнять уравнение, полученное для новой переменной, естественным ограничением / О, поскольку во многих случаях это несколько упрощает решение.
Пример 7. Решить уравнение ху/^х + Зх + \/-х + 3 = 0.
А Положим t = \/—х, t 0. Тогда х = — t2 и относительно переменной t уравнение примет вид —Z3 — 3t2 + t + 3 = 0, или — (/3 - /) - (З/2 — 3) = 0, (t2 — 1) (t + 3) = 0. Откуда t\ = 1,	= —1,
= —3. Условию t 0 удовлетворяет только первое значение, и, значит, исходное уравнение имеет один корень х — — 1.
Ответ. —1.	▲
Пример 8. Решить уравнение 9\/х — 5 + 5 = 2\/х — 5.
А Положим t = у/х — 5, тогда уравнение примет вид 9/+ 5 = 2t2, откуда t\ = —0,5, /2 — Возвращаясь к переменной х, получаем уравнение ^х — 5 = —0,5, которое не имеет корней, и уравнение х/х — 5 = 5, имеющее один корень х = 630.
Ответ. 630.	▲
Пример 9. Решить уравнение у/х + 4 = 2х - 7.
А Перепишем уравнение в виде у/х + 4 = 2(х + 4) — 15. Полагая t = у/х + 4, t 0, получим уравнение t — 2t2 — 15, откуда t\ = -2,5, ?2 = 3. Условию t 0 удовлетворяет только второй корень. Имеем у/х + 4 = 3, откуда х = 5.
Ответ. 5.	▲
Пример 10. Решить уравнение \/х3 — 4х + 24 = 4х — х3 — 12.
А Перепишем уравнение в виде \А3 — 4х + 24 = 12 — (х3 — 4х + 24). Полагая t = \/х3 — 4х + 24, t 0, получим квадратное уравнение t2 + t — 12 = 0. Оно имеет два корня 0 = —4,	= 3, из которых
только второй удовлетворяет условию /^0. Возвратимся к исходной переменной.
§ 3. Методы решения иррациональных уравнений
153
Если t = 3, то ух3 - 4х + 24 = 3, откуда х3 — 4х + 24 = 9, или х3 — 4х + 15 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: х3-4х + 15=х3-4х+27-12=(х3 + 27)-4(х + 3) = (х + 3) (х2-Зх + 5). Таким образом, имеем (х + 3) (%2 — Зх + 5) = 0, откуда х + 3 = 0 или х2 —Зх + 5 = 0. Квадратное уравнение корней не имеет, следовательно, исходное уравнение имеет один корень х — —3.
Ответ. —3.	А
Пример 11. Решить уравнение \/24 + х + \/12 — х = 6.
А Введем новую переменную t = \/12 — х, t 0. Тогда х = 12 — t2 и уравнение примет вид >/36 —	+ t = 6. Полученное уравнение
равносильно следующим:
У36 - Р = 6-t-
36 -t2 = (6 - О3;
(6-0(6 +0-(6-О3 = 0;
(6 — о (13£ — ;2 -зо) = о.
Последнее уравнение имеет три решения: 0 = 6,	= 3 и = 10.
Все они удовлетворяют условию + 0. Возвратимся к переменной х\ 1) если t = 6, то \/12 — х = 6, х = —24; 2) если t = 3, то \/12 — х = 3, х = 3; 3) если t = 10, то \/12 — х = 10, х = —88.
Ответ. —24; 3; —88.	А
Путем замены переменной решаются и уравнения с однородной структурой.
Пример 12. Решить уравнение 2х2 — Зхх/З + х = 2(3 + х).
А Перепишем уравнение в виде 2(3 + х) + 3х\/3 + х - 2х2 = 0. Непосредственная проверка показывает, что х = 0 не является корнем данного уравнения.
Далее будем искать решения, отличные от нуля. Разделим обе части уравнения на х2. Получим равносильное уравнение ________ 2	___ ________________________________________ q (v/3 4“ х \ I о v3 4~ х ci гх г)	±  у/3 х
2 I  х ) + 3 * - —2 — 0. Вводя новую переменную t =	,
получим квадратное уравнение 2/2 + 3£ — 2 = 0, имеющее два корня t[ = —2, t<2 = 0,5. Возвратимся к исходной переменной.
х/З I X
1) Если t= — 2, то	— = —2. Поскольку рассматриваются ху^О,
то это уравнение равносильно уравнению у/3 + х = —2х. При х>0 последнее уравнение решений не имеет, а при х<0 оно равносильно уравнению 3 + х = 4х2, откуда х=— 0,75.
154
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
2) Если t = 0,5, то = При х^О это уравнение равносильно уравнению 2л/3 + х = х. При х < 0 последнее уравнение решений не имеет; если х>0, то оно равносильно уравнению 4 (3 + х) = х2, откуда х = 6.
Ответ. -0,75; 6.	▲
Помимо общих схем решения иррациональных уравнений, есть целый ряд специфических приемов, которые удобно применять при решении уравнений отдельных видов. И хотя знакомство с такими приемами не лишено интереса и в большинстве случаев поучительно, в условиях дефицита времени увлекаться их изучением, на наш взгляд, нецелесообразно. В качестве примера рассмотрим один из частных методов, используемый для решения уравнений, содержащих сумму кубических корней.
Пример 13. Решить уравнение \/2х + 3 +	+ 1 = 1.
А Возведем обе части уравнения в куб:
(1)	2х + 3 + 3-(ЖТЗ)2-^Г+Т + 3-ЖТЗ- (\/7+Т)2+х+1 = 1;
(2)	3 • #2хТЗ • д/х+П (ЖТЗ + a/F+T) + Зх + 3 = 0;
(3)	^2х + 3-\УхТТ=-х-1.
При переходе (2) => (3) удалось существенно упростить задачу, заменив \/2х + 3 + у/х 4- 1 на 1. Однако такая замена не всегда ведет к равносильному уравнению. Если некоторое значение х удовлетворяет уравнению \/2х + 3+ у/х + 1 = 1, то оно удовлетворяет и уравнению (3), значит, уравнение (3) является следствием исходного уравнения. Однако у нас нет оснований утверждать обратное. Поэтому, найдя корни уравнения (3), мы должны сделать проверку.
Возведем обе части уравнения (3) в куб:
(2х + 3)(х + 1) = - (х + I)3;
(х + 1)(х2 + 4х + 4) = 0.
Последнее уравнение имеет два решения: х\ = — 1 и х% = —2. Подставим найденные значения в исходное уравнение.
1)	Пусть х = -1. Тогда ^/2-(-1) + 3 + У(-1) + 1 = 1, т. е. 1 = 1, следовательно, х = —1 — корень уравнения.
2)	Пусть х = —2. Тогда s/2 • (-2) + 3+s/(-2) + 1 = 1, т. е. —2=1, следовательно, х = — 2 — «посторонний» корень.
Ответ. -1.	▲
Во многих случаях решение уравнения вовсе необязательно начинать с поиска ОДЗ. Однако встречаются ситуации, когда начинать решение задачи нужно именно с этого.
§ 3. Методы решения иррациональных уравнений
155
В качестве примера обсудим решение уравнения \/3 — х + х — 4 = = у/х — 2. Если мы пойдем традиционным путем и начнем последовательно возводить обе части этого уравнения в квадрат (заметим, что ОДЗ при этом находить необязательно), то придем к уравнению четвертой степени, которое является следствием исходного. Мало того, что при таком подходе нас ожидают трудоемкие преобразования, так еще и нет гарантии, что полученное уравнение четвертой степени удастся решить. Поэтому логично вначале данное уравнение проанализировать. Для этого есть два традиционных приема: графически интерпретировать уравнение и оценить возможные значения его частей. Построение графиков в данном случае довольно проблематично, поэтому попробуем использовать метод оценок.
Пример 14, Решить уравнение \/3 - х + х - 4 = у/х — 2.
Л Перепишем уравнение в виде \/3^- х — у/х — 2 = 4 — х. Область допустимых значений уравнения — отрезок [2;3]. Оценим левую и правую части уравнения. Так как функция \/3 — х — у/х — 2 убывает на всей области определения, то своего наибольшего значения она достигает на левом конце этого отрезка, а наименьшего на правом. Следовательно, для любого х е [2; 3] верно, что —1	у/3 — х — у/х — 2	1. Функции 4 — х убывает на всей
числовой оси, и, в частности, на отрезке [2; 3], поэтому для любого х е [2; 3] справедлива оценка 1	4 — х 2. Как видим, множества
значений левой и правой частей уравнения имеют только одно общее значение —1. Следовательно, уравнение равносильно системе
(у/3 — х — у/х — 2 = 1,
[4-х = 1,
которая, как нетрудно убедиться, не имеет решений.
Ответ. Нет решений.	▲
Решение иррациональных уравнений с параметром
Пример 15. При каждом значении параметра а решить уравнение у/х^ ~ а —2 — х — а.
[\ Уравнение равносильно смешанной системе
{х2 — а — 2 = (х — а/2 ,
х — <2^0, которую можно переписать в виде
{2ах = а2 + а + 2,
х> а.
156
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Естественное желание — выразить в первом уравнении переменную х через а. Но это можно сделать только при условии а ф 0. Поэтому рассмотрим два случая.
1) Если а = 0, то из первого уравнения получим 0 = 2, следовательно, система не имеет решений.
2) Если а ф 0, то система запишется в виде
с? 4- а + 2
<	2а ’
х а
и, значит, будет иметь решения только при выполнении условия а +2д + 2 т. е- при а £ ("°°! — 1] U (0; 2].
Ответ. Если a G (—оо; — 1] U (0; 2], то х = Q +2^ + 2, если a G (-1; 0] U (2; +оо), то решений нет.	А
Пример 16. При каких значениях параметра а уравнение \/а + 13х = — 1 — Зх не имеет корней?
А Первый способ. Уравнение равносильно смешанной системе (а + 13х = (—1 — Зх)2 , \ — 1 — Зх 0, которую можно переписать в виде
( 9х2 — 7х + (1 — а) = 0, tx —1/3.
Значит, наша задача состоит в том, чтобы найти значения параметра а, при которых квадратное уравнение 9х2 — 7х + (1 — а) = 0 либо вовсе не имеет корней, либо имеет их, но не в указанном промежутке. Рассмотрим каждый случай отдельно.
1) Уравнение 9х2 — 7х + (1 — а) = 0 не имеет корней, когда его дискриминант отрицателен, т. е. если 49 — 36(1 — а) < 0, или а <-13/36.
2) Пусть теперь уравнение 9х2 — 7х + (1 - а) = 0 имеет корни. Это возможно при неотрицательном дискриминанте, т. е. если а —13/36. Чтобы узнать, при каких значениях а оба корня больше —1/3, воспользуемся геометрической интерпретацией. Интересующие нас корни являются абсциссами точек пересечения графика функции у = 9х2 — 7х + (1 — а) с осью абсцисс. Про этот график .известно следующее: это парабола, симметричная относительно прямой х = 7/18, пересекающая ось абсцисс в двух точках при любом значении параметра
§3. Методы решения иррациональных уравнений
157
a > —13/36 и касающаяся ее при a = -13/36 (рис. 16 а). Наша задача найти условие, при котором обе точки пересечения (или точка касания) графика с осью Ох лежат правее —1/3. По рисунку заключаем, что это будет иметь место в том и только в том случае, если ордината графика в точке х = — 1/3 положительна. Значит, должно выполняться условие у(-1/3) > 0, или 9-	-7- (-0 + (1 -а) >0, откуда а< у.
Следовательно, с учетом ограничения а —13/36, получим
Таким образом, исходное уравнение не имеет корней при а<— и	а < у, т. е. при а < у.
ОО	О	о
Второй способ. Так же как при решении первым способом, воспользуемся равносильностью уравнения и смешанной системы
9х2 — lx + (1 — а) = О, х	-1/3.
Перепишем равенство 9х2 — lx + (1 — а) = 0 в виде а = 9х2 — lx + 1
и изобразим на координатной плоскости Оха график функции а = 9х2 — 7х+1. Это парабола, ветви которой направлены вверх, (7	13 \
18’—з!/’ Парабола проходит через
точку
/_1. 13 \ к 3’ 3 /
Выделенная часть параболы представляет собой
решение системы (рис. 166) (в данном случае х и а рассматриваются
как равноправные переменные). По рисунку видно, что система не
158	Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
13 z.
имеет решении, если a < —. Следовательно, исходное уравнение
также не имеет решений, если а< у.
Ответ, а < у. ▲	А
§4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С МОДУЛЕМ
Решение уравнений с модулем функционально-графическим
методом
Пример 1. Используя графическую интерпретацию, определить число корней уравнения х + 2 |х + 1| — 2 = 0.
А Перепишем уравнение в виде 2 |х + 1| = 2 — х. Тогда его решение геометрически можно интерпретировать как определение абсцисс точек пересечения графиков функций у — 2 |х + 1| и £/ = 2 — х (рис. 17). По рисунку видно, что графики имеют две точки пересечения, и, значит, исходное уравнение имеет два решения.
Ответ. Два решения.	А
Решение уравнений с модулем методом последовательных упрощений. При решении уравнений, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, естественно «раскрыть» модули и тем самым упростить уравнение. Однако модуль «раскрывается» по-разному, в зависимости от знака величины, от которой он берется. Чтобы учесть это, удобно использовать метод перебора вариантов, сводящийся к отдельному исследованию случаев, увязанных со знаками «подмодульных» выражений.
Пример 2. Решить уравнение |х7 — х — 1| = х — 1.
А Рассмотрим два случая:
1) Пусть х7 — х — 1 0. Тогда |х7 — х — 11 = х7 — х— 1 и уравнение может быть записано в виде х7 — х — 1 = х — 1, или х7 — 2х = О, откуда х = 0, х = д/2. Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения переменной условию х7 — х — 1	0.
Проще всего это сделать непосредственной подстановкой. При х = 0 имеем О7 — 0 — 1 О, что неверно, а при х = \/2 имеем
§4. Методы решения уравнений с модулем
159
(-У2)7 — У2 — 1 0, что верно. Таким образом, в исследуемом случае корнем является только х = У2.
2) Пусть х7 -х — 1 < 0. Тогда |х7 - х - 1| = -х7 + х +1 и уравнение может быть записано в виде -х7 + х + 1 = х- 1, или х1 — 2 = 0. Откуда х = v^2. Проверим выполнение условия х7 — х— 1 < 0. Имеем (v^2)7 — v^2 — 1 < 0, или 1 — v^2 < 0, что верно. Значит, х = \^2 —корень исходного уравнения.
Таким образом, уравнение имеет два корня: \/2 и У2.
Ответ. v^2, у/2.	▲
Замечание. Перебор случаев можно оформить более формально: f х7 — х — 1	0,	f х7 - х — 1 < 0,
1) S 7	и 2) {
I X — х - 1 = X - 1	I —х + X + 1 = X — 1.
Если уравнение содержит несколько выражений под знаком модуля, то нужно перебирать случаи, порождаемые различным сочетанием знаков этих выражений. Наиболее рационально этот перебор организован в методе частичных областей. Суть метода сводится к тому, что множество, на котором ищется решение уравнения, разбивается на подмножества («частичные области») и уравнение отдельно решается в каждой из этих частичных областей. Частичные области выбираются так, чтобы в каждой из них выражения, стоящие под знаком модуля, имели определенный знак. Это позволяет в каждой из областей записать уравнение без знака модуля.
Если под знаком модуля стоят только рациональные выражения, то частичными областями будут промежутки числовой оси Ох, на которые она разбивается точками xi, х2, • • •, *п такими, что рациональные выражения в этих точках либо равны нулю, либо не существуют.
Пример 3. Решить уравнение: |х2 — 6х — 1б| + |2х + 4| = 13.
Д Запишем уравнение в виде |(х — 8)(х + 2)| + 2 |х + 2| = 13.
Разобьем числовую ось точками х = —2 и х = 8 (в этих точках выражения под знаком абсолютной величины обращаются в нуль) на три частичные области: —оо < х —2, — 2 < х 8, 8 < х < +оо. Будем искать решение уравнения в каждой из этих частичных областей. По определению абсолютной величины действительного числа имеем:
\i qw । o\i JU — 8)(х + 2), х € (—оо; —2] и [8;+оо), |(х-8)(х + 2)| = |_(х_8)(х + 2)х6(_2;8);
I у । 9|_ Г (л: + 2), х Е ( оо, —2],
1 ~ 1x4-2, хе (—2;+оо).
160
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
1)	Пусть х G (—оо;—2]. Тогда исходное уравнение примет вид х2 — 6х — 16 — 2х — 4 = 13, или х2 — 8х — 33 - = 0. Откуда получим: Х[ - 11, %2 — Промежутку (—оо; —2] принадлежит только второе значение, следовательно, в рассматриваемой области исходное уравнение имеет один корень х = —3.
2)	Пусть х Е (-2; 8]. Тогда исходное уравнение примет вид —х2 + 6х + 16 + 2х + 4 = 13, или х2 — 8х — 1 ~ 0. Откуда получим: Х[ = 4 + л/23, %2 = 4 — \/23. Определим, попали ли эти корни в рассматриваемый промежуток: 4 + У23 > 4 + \/Тб >4 + 4 = 8, 4 — л/23 > 4 — \/36 > 4 — 6 = —2, 4 — \/23 + 8. Следовательно, на промежутке (—2; 8] исходное уравнение имеет один корень х = 4 - л/23.
3)	Пусть х G (8:+оо). Тогда исходное уравнение примет вид х2 — 6х - 16 + 2х + 4 = 13, или х2 — 4х — 25 = 0, откуда получим: %1 = 2 + х/29, х2 = 2 - л/29. Но 2 - л/29 < 2 + У29 < 2 + \/36 = 8, следовательно, на промежутке (8; +ос) исходное уравнение корней не имеет.
Объединяя найденные решения, приходим к ответу.
Ответ. —3; 4 — \/23.	▲
Замечание. Можно было заменить рассмотренное уравнение на равносильную ему совокупность трех смешанных систем:
(х —2,
1)	S 2
(%2 - 6х - 16 - 2% - 4 = 13;
f 2 < х 8,
2)	S 9
х2 + 6х + 16 + 2% + 4 = 13;
f х > 8,
3)	S 9
[%2 — 6х — 16 + 2х + 4 = 13.
Решив каждую из этих систем и объединив найденные решения, получим ответ.
После изучения общего подхода к решению уравнений с модулем, рассмотрим уравнения следующих частных видов: |/(х)| = а, lftx)l = l£U)l и
Решение этих уравнений может быть построено на следующем универсальном утверждении: если в обеих частях уравнения /(x)=g(x) стоят функции, принимающие на некотором множестве только неотрицательные значения, то возведение левой и правой частей уравнения в одну и ту же целую положительную степень приводит к уравнению, равносильному на этом множестве исходному.
Вначале рассмотрим уравнение вида |/(х)| = а. Если а<0, то это уравнение, очевидно, не имеет решений. Если а 0, то уравнение |/(х)| = а равносильно
§4. Методы решения уравнений с модулем
161
уравнениям /2(х) = а2, (/(х) — а) (Дх) +а) = 0, откуда получим Дх) = а или Дх) = -а.
Рассмотрим уравнение вида |Дх)| = |g(x)|. Так как обе его части принимают только неотрицательные значения, то уравнение |Дх)| = |g(x)| равносильно уравнениям |Дх)|2 = |g(x)|2, f2(x) =g2(x), (Дх) - g(x)) (Дх) + g(x)) = 0, последнее из которых, очевидно, выполняется, когда Дх) = g(x) или Дх) = g(x).
И, наконец, рассмотрим уравнение вида |Дх)| =g(x). Левая часть этого уравнения при любых значениях х неотрицательна, значит, корни уравнения следует искать среди таких значений х, при которых правая часть уравнения также неотрицательна, т. е. на множестве, определенном условием g(x) 0. На этом множестве исходное уравнение равносильно уравнениям |Дх)|2 = |g(x)|2, [2(x)=g2(x), (Дх) “ g(x)) (f(x) + g(x)) — 0, последнее из которых, выполняется, когда Дх) = g(x) или Дх) = -g(x).
Конечно, можно использовать при решении готовые схемы, т. е. равносильные переходы
7(x)=g(x), J(x) = -g(x)
lf(x)| = |g(x)|O
' \K*) = g(x), l/W I =gM & < lf(x) = -g(x), л(х) > о.
Однако будет лучше, если вначале изучения темы при решении каждого уравнения будет воспроизводиться вся цепочка рассуждений.
Пример 4. Решить уравнение |х3 — 2| = |х3 — х + 2|.
Д Данное уравнение равносильно каждому из следующих уравне
ний:
(х3 — 2) 2 = (х3 — х + 2)2 ;
(х3-2)2- (х3-х + 2)2 = 0;
((х3 - 2) — (х3 — х + 2)) ((х3 — 2) + (х3 - х + 2)) = 0; (х - 4) (2х3 - х) = 0.
Последнее уравнение распадается на два: х — 4 = 0 и 2х3 - х = 0. Решив их, найдем корни исходного уравнения: Х[ = 4, х% = — 1/л/2, хз = 1/а/2, Х4 = 0.
Ответ. 4, - 1/а/2, 1/л/2, 0.
Пример 5. Решить уравнение |3 —|5 —х|| = 4.
'5-х = 7, 5 —х = —7
|5-х| = -1, _|5 —х| = 7
х = —2, х = 12.
Ответ. —2; 12.
162
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Пример 6. Решить уравнение |4х3 — Ах — \/2| = 4х3 + л/2.
А Левая часть уравнения при любых значениях х неотрицательна, значит, корни уравнения следует искать среди таких значений х, при которых правая часть уравнения также неотрицательна, т. е. на множестве, определяемом условием 4х3 + \/2^0. На этом множестве исходное уравнение равносильно каждому следующему уравнению:
|4х3 - Ах -	= ^4х3 + \/2^ ;
(4х3 - Ах - \/2)2 = (4х3 + \/2)2 ;
((4х3 - Ах - \/2) - (4х3 + \/2) ) ( (4х3 - Ах - /2) -Г (4х3 + \/2)) = 0;
Ах - 2л/2^ (8х3 - 4х) =0.
Последнее уравнение имеет три различных корня: Х[ = —1/\/2, Х2 = 1/\/2, %з = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся, что все они удовлетворяют условию 4х3 + V2 0 и, значит, являются корнями исходного уравнения.
Ответ. —1/\/2, 1/У2, 0.	▲
Решение уравнений с модулем методом замены переменной. Иногда упростить решение уравнений с модулем удается с помощью замены, основанной на использовании тождества а2 = (|а|)2.
Пример 7.
Решить уравнение
Зх2 -5
И-2
= |24
3/2 _ г
А Положив t = |х|, t 0, получим уравнение ——— = 2t, откуда t2 + At — 5 = 0, t^2. В области t О квадратное уравнение имеет один корень ?=1. Значит, |х| = 1, откуда х = ±1.
Ответ. ±1.	▲
Пример 8. Найти решение уравнения х2 - 3 |х — 2| = Ах.
А Уравнение можно записать в виде (х — 2)2 — 3 |х — 2| — 4 = 0. Положив £= |х — 2|, получим уравнение t2 — St — 4 = 0. Оно имеет два корня t\=— 1 и — 4, из которых только второй удовлетворяет условию t 0. Возвратимся к исходной переменной: |х — 2| = 4; х — 2 = ±4, xi = —2, Х2 = 6.
Ответ. —2, 6.	▲
§4. Методы решения уравнений с модулем
163
х = — а - 1, _ а — 1
/	З-’
х —0,5.
Решение параметрических уравнений с модулем
Пример 9. Найти решение уравнения |х — а| = 2х + 1 при каждом значении параметра а.
А Уравнение равносильно системе
' Гх — а = 2х + 1, < х — а = —2х - 1,	или
k 2х -|- 1 О,
Значение х = — а - 1 удовлетворяет условию х -0,5, если —а — 1 > —0,5, т. е. при а —0,5. Значение х = ‘Ц'- удовлетворяет условию х —0,5, если —0,5, т. е. при а —0,5.
Естественно задаться вопросом: один или два корня мы имеем, если а = —0,5? При а = —0,5 находим: х = — а — 1 = —0,5 и х = —= —0,5, т. е. корень один. Учтем это, выписывая ответ.
Ответ. Если а —0,5, то х = — а — 1; если а > —0,5, то х =
Рис. 18
Пример 10. При каких значениях параметра а уравнение (|х — 2| - а — 4) (а + 6 + х2 — 4х) = 0 имеет ровно три корня?
А Уравнение равносильно совокупности уравнений |х — 2| — а — 4 = 0 и а + 6 + х2 — 4х = 0. Геометрически число решений совокупности при некотором значении параметра а можно интерпретировать, как число точек графиков функций а — \х — 2| — 4 и а = — х2 + 4х — 6 на плоскости Оха, имеющих ординату а. Строим эти графики (рис. 18) и по рисунку заключаем, что графики имеют в совокупности ровно три точки с ординатой а только в двух случаях: когда а = — 4 и а = —2.
Ответ, а = — 4, а = -2.	▲
164
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
§5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Решение иррациональных неравенств функционально-графи-
ческим методом
Пример 1. Используя графическую интерпретацию, выписать решение неравенства \/3 + х > X
А Решение неравенства \/3 + х > - геометрически можно интерпретировать как определение множества значений х, для которых ординаты графика функции у = у/3 + х больше ординат графика функции у = % (рис. 19). Точка пересечения
графиков функций легко угадывается. Ее координаты (1;2). Искомое множество [—3; 0) U (1;+ос) на рисунке заштриховано.	А
Покажем на примере, как можно использовать для решения иррационального неравенства свойства функций.
Пример 2. Решить неравенство х2 + 2х + у/х + 2 3 + у/3.
А Перепишем неравенство в виде (х + I)2 + у/х + 2	4 + у/3
и попробуем оценить его левую часть. Заметим, что функция \/х + 2 возрастает на всей области определения [—2;+оо), а функция (х + 1)2 убывает на отрезке [—2;—1] и возрастает на промежутке [ —1;+оо). Будем искать решение неравенства отдельно на промежутках [—2; —1] и (— 1; +оо).
На отрезке [—2;—1] справедливы неравенства (х + I)2	1,
у/х 4-2^1, следовательно, (х + I)2 + у/х 4-2^2. Значит, исходное неравенство на отрезке [—2;—1] решений не имеет.
Легко проверить, что х = 1 удовлетворяет неравенству. Воспользуемся тем, что на промежутке (—1;+оо) функция /(х) = = (х+ I)2 + у/х 4- 2 возрастает. Если хе (—1; 1), то /(х) </(1) = 4 + у/3, значит, для х е (—1; 1) неравенство не выполняется. Если же хе (1;+оо), то /(х) >/(1) =4 + у/3, поэтому при хе (1;+оо) неравенство выполнено.
Ответ. [1;+оо).	▲
Решение иррациональных неравенств методом последовательных упрощений. Основным преобразованием, используемым при решении иррациональных неравенств, является возведение левой
§5. Методы решения иррациональных неравенств
165
и правой частей неравенства в степень. Однако применять это преобразование можно далеко не всегда.
Возведение в нечетную степень не вызывает проблем: это преобразование приводит к неравенству, которое равносильно исходному. С четной степенью все не так просто.
Возводить в четную степень можно только при определенных условиях. Руководством к действию служит следующее утверждение: если функции /(х) и g(x) на некотором множестве определены и неотрицательны, то на этом множестве неравенство /(х) g(x) равносильно неравенству /2/’(х) g2n(x)-
Однако на практике приходится решать неравенства, части которых принимают как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому в общем случае решение неравенства f(x)^g(x) в области его допустимых значений сводится к рассмотрению следующих случаев:
1)	g(x)>0, /2"W^g2"(x);
2) Дх) > о, g(x) < о.
Пример 3. Решить неравенство \/1 +х \/11 — х.
Д Область допустимых значений неравенства определяется условиями: 1 4-х 0, 11-%^ 0, или —На этом множестве обе части неравенства неотрицательны, следовательно, возведя обе части неравенства в четвертую степень, получим неравенство, равносильное исходному: (1 + х)2 11 -х, или х2 + 3х — 10 0, —5	^2. Осталось
найти общую часть двух промежутков —и —5^х^2. Это отрезок [—1;2].
Ответ. [—1;2].	А
Замечание. Решение можно оформить более формально:
((1+х)2	11 — х,
х/1 4- х 4 v^ll — х \ 1 + х 0,	<=>
( И — х > О
Гх2 + Зх - 10 О, [-1 4 х 4 Н
Г—5 х 2, [-1 4 х 4 Н
^Х е [-1;2].
Во многих случаях в результате преобразований иррациональные неравенства приводятся к неравенствам двух частных видов: y/f(x) ^g(x), y/f(x) ^g(x) (знак, конечно, может быть и строгим). Для их решения, безусловно, подходят общие схемы рассуждений. Если конкретизировать общие схемы для этих случаев, то можно получить следующие равносильности, ведущие к избавлению от
иррациональности:
(fM > о,
v7(x) < g(x) <
g(x) О,

166
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
и
л//(х) > g(x) о
igM	О,
/(х) > g2(x), g(x) < О, /(х) > О.
Советуем в начале изучения темы удержаться от использования этих готовых схем. Лучше прийти к этим равносильным переходам постепенно, в результате подробного обсуждения решений конкретных неравенств.
Пример 4. Решить неравенство \/2 + х > х — 10.
А Область допустимых значений неравенства определяется условием
Было бы ошибкой сразу возвести в квадрат обе части неравенства, поскольку неизвестно, какой знак имеет его правая часть. Поэтому рассмотрим два случая.
1) Пусть х 10. На этом множестве обе части неравенства определены и неотрицательны, следовательно, исходное неравенство равносильно неравенству (л/2 + х)2 > (х — 10)2, или х2 — 21х + 98 < 0, 7 < х < 14. С учетом условия х 10 получим 10 х < 14.
2) Пусть —2 х < 10. На этом множестве правая часть отрицательна, следовательно, возводить обе части неравенства в квадрат нельзя. Но очевидно, что для тех х, для которых правая часть отрицательна, а левая больше или равна нулю, неравенство выполнено. Таким образом, в этом случае решением неравенства является промежуток —2
Ответ. [—2; 14).
Замечание 1. Решение можно оформить более формально:
ч fx^lO,	fx^lO,	Гх^Ю,
Цл/2+х) >(х-10)2	(х2-21х + 98<0	[7<х<
х<14.
2)
х + 2 О
Замечание 2. Геометрически решение рассмотренного неравенства можно интерпретировать как отыскание множества значений х, для которых ординаты графика функции у \/2 + х больше ординат графика функции у — х — 10 (рис. 20). Абсцисса точки пересечения графиков находится из уравнения \/2 + х = х — 10, она равна 14. Искомое множество [—2; 14) на рисунке заштриховано.
§5. Методы решения иррациональных неравенств
167
Рис. 20
Пример 5. Решить неравенство —— > ——
V 3 — х	х — 2
А Область допустимых значений неравенства определяется условиями: 3 — х > 0, х-2 ^0, или х < 3, х ф 2. На этом множестве правая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Соответственно рассмотрим два случая.
1)	Вначале найдем решение неравенства на множестве тех значений переменной х, при которых правая часть неравенства меньше нуля: х — 2 < 0, т. е. х < 2.
При х < 2 левая часть исходного неравенства определена и положительна, а правая часть — отрицательна. Следовательно, все значения х < 2 являются решениями исходного неравенства.
2)	Теперь найдем решение исходного неравенства для тех значений х, при которых правая часть неравенства больше нуля, т. е. для х > 2. Точнее, с учетом ОДЗ, для 2 < х < 3.
В промежутке 2 < х < 3 выражения \/3 — х и х > 2 положительны, следовательно, умножив обе части неравенства на произведение этих выражений, получим неравенство х — 2 > V3 — х, равносильное исходному. Возводя обе положительные части этого последнего неравенства в квадрат, получим равносильное ему на рассматриваемом промежутке неравенство (х — 2)2 > 3 — х, или х2 — Зх + 1 > 0. Следовательно, Ц^<х<3.
Объединим решения, полученные в обоих случаях:
хе (—oo;2)U (Ц^;з).
Ответ. (—ос; 2) U	; 3^ .	А
Пример 6. Решить неравенство уЗ + 2х — х2 4 — 2х.
А Область допустимых значений данного неравенства определяется условием 3 + 2х — х2 0, откуда —1 х 3. На этом проме
168
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
жутке правая часть неравенства принимает как положительные, так и отрицательные значения. Однако, если 4 — 2х < 0, то исходное неравенство решений не имеет, поскольку значения левой его части могут быть только неотрицательными. Значит, решения следует искать на множестве 4 — 2x^0, или, с учетом области допустимых значений, на промежутке — 1 х 2. При таких значениях х обе части исходного неравенства определены и неотрицательны, следовательно, оно равносильно неравенству 3 + 2х — х2 (4 — 2х)2, которое удовлетворяется при и х 2,6. Но -1^х^2, поэтому окончательно получим: -1 ^х^ 1.
Решение можно оформить более формально:
\/з + 2х - х2
' 3 + 2х — х2
4 - 2х <=> < 4 - 2х О,
<=> -1
1.
.2 + 2х-х2	(4 — 2х)2
Ответ. [ — 1; 1].	▲
Пример 7. Решить неравенство У5х + 7 — УЗх + 1 > Ух + 3.
А Область допустимых значений неравенства определяется системой ( 5х + 7 О, < Зх + 1 О,
х -Г 3 О
и представляет собой промежуток х^—1/3.
Перепишем исходное неравенство следующим образом:
5х + 7 > \/Зх + 1 + \/ х + 3.
Так как в области допустимых значений правая и левая части этого неравенства неотрицательны, то, возводя их в квадрат, получим равносильную этому неравенству систему:
Г 5х + 7 > Зх + 1 4~ 2л/3х -Г 1\/х З- 3 + х 3- 3,
tx —1/3, или	,	,_____ ,____
( 2 УЗх 3~йУх -|- 3 < х + 3, [х > —1/3.
На множестве х —1/3 обе части первого неравенства системы определены и неотрицательны, следовательно, на этом множестве данное неравенство равносильно каждому следующему: 4(3x3- 1)(х 3-3) < (х 3- З)2, (хЗ-3) (Их 3- 1) <0, -3<х< —1/11. С учетом условия х^—1/3, окончательно получим: —1/3 х <—1/11.
Ответ. [-1/3;—1/11).	▲
§5. Методы решения иррациональных неравенств
169
Мы уже не раз имели возможность убедиться, что перебор вариантов, как способ рассуждений, эффективен для решения уравнений и неравенств. Посмотрим еще один пример его использования.
Пример 8. Решить неравенство
(х* 2 * * — 9) • \/х2 — 4х - 12	(41-х2) • \/х2 — 4х - 12.
А Неравенство равносильно следующим:
(х2 — 9) • \/х2 — 4х — 12 - (41 - х2) • \/х2 - 4х — 12 0;
\/х2 - 4х - 12 • (2х2 - 50)	0.
Рассмотрим два случая:
1) Пусть х2 - 4х - 12 = 0, т. е. х = 6 или х = -2. При этих значениях переменной неравенство выполнено.
2) Пусть х2 — 4х — 12 > 0, т. е. хе (—сю;—2) U (6;4~сю). На этом множестве неравенство у/х2 — 4х — 12  (2х2 — 50)	0
равносильно неравенству 2х2 — 50^0, решая которое, получим хе [—5; 5]. Следовательно, в этом случае решением является промежуток [—5; —2).
Объединяя найденные решения, получим: х е [—5;-2] U {6}.
Ответ. [-5;-2] и{6).	▲
Пример 9. Решить неравенство ~ 5 > -1.
А Запишем неравенство в виде случая:
1)
(y/lx — 5 4- 4 — х < 0,
[х — 4 > 0
Г2х - 5 < (х - 4)2 ,
<=> < 2х — 5 0,
(х > 4
\J2х — 5 И- 4 — х гх
-------------< 0 и рассмотрим два
(у/Чх — 5 < х — 4, |х > 4
л/2х — 5 4- 4 — х > 0,	(у/2х — 5 > х - 4,
х — 4 < 0	<=>[х<4
<=> 2,5 х < 4.
Объединяя найденные решения, получим: х е [2,5; 4) U (7; 4~сю).
Ответ. [2,5;4) U (7; 4-сю).	J
170
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Решение иррациональных неравенств методом замены переменной. Одним из общих методов решения иррациональных неравенств является замена переменной. Замена, по возможности, подбирается таким образом, чтобы неравенство, записанное относительно новой переменной, было рациональным.
Пример 10. Решить неравенство -—3.
Л Положив t=y/x, получим неравенство	Преобразуем
3/ — 5	5
его к виду ——-	0, откуда - t < 2.
5 г~
Возвращаясь к переменной х, получаем неравенство - у/х < 2. Все части этого двойного неравенства неотрицательны, значит, возведение его в квадрат приводит к равносильному неравенству 2^х<4.
Ответ. ^;4
Рассмотрим неравенство, замена в котором становится очевидной только после некоторых преобразований.
2
11. Решить неравенство _	— 4\/5х — 6 + Зх < 0.
А Область допустимых значений неравенства определяется условием х > 6/5. На этом множестве \/5х — 6 > 0 и, значит, разделив обе части на \/5х — 6 получим неравенство, равносильное исходному: 9
—Д— _ 4 + 3 *	<-0
5х - 6	757=3
Положив t =  х =, получим + 3£ — 4 < 0, откуда — 4 < £ < 1. 75х — 6
Возвратимся к переменной х: —4 <	_ < 1. Для любого х
5х 6
из промежутка х > 6/5 левая часть двойного неравенства выполняется, следовательно, наша задача сводится к решению неравенства
х - < 1, или 75х — 6 > х. При х > 6/5 обе части последнего v5x — 6 неравенства определены и неотрицательны, значит, неравенство равносильно неравенству 5х — 6>х2. Откуда получим 2<х<3.
Ответ. (2;3).	▲
Решение сколько-нибудь сложного неравенства, как правило, представляет собой синтез различных приемов.
Пример 12. Решить неравенство
\/(х - 3) (—х + 5) > - \/х-3 - 1 + \/—х + 5.
§5. Методы решения иррациональных неравенств
171
Л Область допустимых значений неравенства определяется условиями: х — 3 0, — х + 5 0, (х — 3) (—х + 5) 0, и, следовательно, представляет собой промежуток 3^х^5. На этом множестве и будем искать решение исходного неравенства.
Начнем с того, что перепишем его в виде
У(х - 3) (-х + 5) + 1 > \/-х + 5 - Ух - 3.	(1)
Традиционный прием упрощения иррациональных неравенств — возведение их левых и правых частей в квадрат. Однако применять этот прием можно только к неравенствам, обе части которых неотрицательны. Выполняется ли это условие в нашем случае?
Поскольку левая часть неравенства (1) представляет собой сумму единицы и неотрицательного радикала, то при любом значении х из области определения она положительна. Правая же часть неравенства (1) в зависимости от значений переменной может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В связи с этим уместно рассмотреть два случая.
1) Вначале найдем решение неравенства (1) на множестве тех значений переменной х, для которых правая часть этого неравенства меньше нуля: \/-х-|- 5 — \/ х — 3 < 0.
При значениях х, удовлетворяющих этому условию, левая часть неравенства (1) положительна, а правая часть — отрицательна. Следовательно, все значения х, удовлетворяющие этому условию, являются решениями исходного неравенства. Определим эти значения.
В ОДЗ исходного неравенства, т.е. на промежутке 3^х^5, следующие неравенства равносильны: У—х -|- 5 — Vx — 3 < 0; \/-х + 5 < х — 3; —х + 5 < х - 3; х > 4. Таким образом, мы нашли часть решений: 4 < х 5.
2) Найдем решение неравенства (1) на множестве тех значений переменной х, при которых правая часть этого неравенства больше или равна нулю.
Решив неравенство >/—х + 5 — у/х — 3	0, находим, что
3^х^4. На этом промежутке левая и правая части неравенства (1) определены и неотрицательны. Следовательно, возведя обе части неравенства в квадрат, получим равносильное неравенство:
(х - 3)(-х + 5) + 2У(х - 3) (—х + 5) + 1 >
> (—х + 5) - 2У(х — 3)(—х + 5) + (х - 3).
Приведем подобные слагаемые:
(х - 3)(-х + 5) + 4У(х-3)(-х + 5) - 1 > 0.
172
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Положив t = у/(х — 3) {—х + 5), 1>О, получим квадратное неравенство /2 + At — 1 > 0, решение которого (с учетом ограничения / 0) имеет вид ? > х/5 — 2.
Возвратимся к исходной переменной:
У(х-З) (-х + 5) > \/5 - 2.
Тогда	2
(х-3)(-х + 5) > (V5 - 2J ;
х2 — 8х + 24 — 4\/5 < 0;
4 - ^4\/5-8 < х < 4 + i/4x/5 — 8
(в этой цепочке все неравенства равносильны). Осталось учесть, что 3 х 4. Сравним 4 — \/4-*/5 — 8 и 3:
4 - \/4\/5-8 V 3	1 V >/4\/5 — 8 4Ф
4Ф 1 V 4х/5 - 8	9 V 4\/5 х/вТ V \/80.
Так как х/81>а/80, то и 4— \/4\/5 — 8>3. Поэтому решениями во втором случае, являются 4 - у/4\/5-8 < х 4.
Объединяя решения, найденные в обоих случаях, получим 4 - х/4\/5 — 8 < х ^5.
Ответ, (а — \/4\/5 — 8: 5] .	▲
Решение иррациональных неравенств с параметром
Пример. Для каждого значения параметра а найти решение неравенства у/2х + а х.
А Неравенство выполняется в двух случаях:
(х < 0,	(х О,
1) L ’ и 2) <	9
[ 2х + а О	[2х + а х2.
Исследуем каждый случай отдельно.
(х < О,
1) Запишем систему в виде 4
Если 0 — а/2, т. е. а 0, то система не имеет решений.
Если 0 > — а/2, т. е. а > 0, то решением системы является множество х G [—а/2; 0).
fx О,
2) Запишем систему в виде < 9
[ х — 2х — а 0.
§6. Методы решения неравенств с модулем
173
Если дискриминант D = 1 + а квадратного трехчлена х2 — 2% — а отрицателен, то неравенство х2 — 2х — а 0 не выполняется ни при каких значениях х, т. е. при a < — 1 система не имеет решений.
Если + т. е. a^ — 1, то решением неравенства х2 — 2х — <2^0 является отрезок [1 — л/Г+а; l + x/1 + а]. Решение системы определяется расположением на числовой оси концов этого отрезка относительно нуля. Заметим, что 1 + л/1 + <2 > О при любом а^— 1, следовательно, точка х = 1 -Ь \/1 + а лежит правее нуля. Что же касается значения х = 1 — \/1 + а, то оно неотрицательно при —и отрицательно при а > 0. Значит, при —1 а 0 точка х = 1 — \/1 + <2 расположена правее нуля (или совпадает с ним), а при а > 0 — левее нуля (советуем для каждого случая сделать рисунки). Таким образом, если — 1	<2	0, то решением системы является
множество [1 — л/1 + а; 1 + \/1 + а], а если <2>0, то множество [0; 1 + х/1 + .
Осталось объединить результаты, полученные для каждого случая. Для наглядности сведем их в таблицу.
Значения а	а < — 1	/А о /А о ।		G>0
Решения, 1-й случай	Нет решений	Нет решений	хе [—а/2; 0)
Решения, 2-й случай	Нет решений	X G	Ч- 1	у/1 я]	х G [0; 1 Ч- у/1 Ч- я]
Ответ.___Если а < —1, то решений нет; если — 1	<2	0, то
х 6 [1 — л/1 + а; 1 + >/1 + я], если а > 0, то х G [—а/2; 1 + vT + я] • А
§6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ С МОДУЛЕМ
Решение неравенств с модулем функционально-графическим методом
Пример 1. Используя графическую интерпретацию, решить неравенство 2 \х — 2| < х + 1.
Д Решение неравенства 2 |х — 2| < х + 1 геометрически можно интерпретировать как отыскание множества значений х, для которых ординаты графика функции z/ = 2|x —2| меньше ординат графика
174
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
функции у = х + 1 (рис. 21). Точки пересечения графиков функций легко угадываются. Их координаты (1;2) и (5; 6). Искомое множество (1;5) на рисунке заштриховано.	▲
Решение неравенств с модулем методом последовательных упрощений. Универсальным методом решения неравенств, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, является метод «частичных областей».
|х + 5| =
Пример 2. Решить неравенство |х + 3| + |х + 5| 2 — х.
А Разобьем числовую ось точками х = —5 и х = — 3 (в которых выражения под знаком абсолютной величины обращаются в нуль) на три частичные области: —оо < х —5, —5 < х —3, —3 < х < Too. Будем искать решение неравенства в каждой из этих частичных областей. По определению абсолютной величины действительного числа имеем:
f-(хТЗ), х 6 (-оо;-3],
[х Т 3, х 6 (-3; Too);
— (х Т 5), х G (—оо; —5], х Т 5, хе (—5; Too).
1) Пусть х е (—оо;—5]. Тогда неравенство примет вид (—х —3) Т (—х — 5)	2 — х, или х > —10. Следовательно,
хе [-10;-5].
2) Пусть х е (—5;—3].	Тогда неравенство примет вид
(—х — 3) ТхТ5^2 - х, или х 0. Следовательно, все значения х из промежутка (—5; —3] удовлетворяют исходному неравенству.
3) Пусть х е (—3;Тоо). Тогда неравенство примет вид хтЗТхт5^2 —х, или х	—2. Найденные значения х не
попадают в промежуток (—3;Тоо) и, следовательно, решениями исходного неравенства не являются.
Объединяя найденные решения, получим х е [—10;— 3].
Ответ. [—10;—3].	▲
При решении неравенств с модулем часто используются следующие утверждения, непосредственно вытекающие из определения абсолютной величины:
1) неравенство |х — а| < b равносильно системе неравенств — b < х — a < b;
2) неравенство |х — а| > b равносильно совокупности неравенств х — a > b, х — a < —b.
Для избавления от знака абсолютной величины можно использовать равносильный переход от /(х) < g(x) к неравенству /1 2 3(x)<g2(x), при условии неотрицательности f(x) и g(x\ В частности |/(х)| < |g(x)| <=> /2(х) < g2(x).
§6. Методы решения неравенств с модулем
175
Пример 3. Решить неравенство: ||2х + 4| — 2| > 3.
Д Обе части неравенства при любых значениях х неотрицательны, следовательно, оно равносильно каждому следующему:
||2х + 4| -2|2 > З2;
(|2х + 4| - 2)2 - З2 > 0;
((|2х + 4| - 2) - 3) ((|2х + 4| — 2) + 3) > 0;
(|2х + 4| - 5) (|2х + 4| + 1) > 0.
Второй сомножитель последнего неравенства при любых значениях х положителен, поэтому на него можно сократить. Получим |2х + 4| — 5 > 0, или |х + 2| > 2,5, откуда х < —4,5 или х > 0,5.
Ответ. (—оо; — 4,5) U (0,5; +оо).	А
Отдельного рассмотрения заслуживают неравенства вида |/(х)| < g(x) и |/(х)|>g(x). Безусловно, их можно решать универсальным способом — методом частичных областей, или же использовать для избавления от знака модуля возведение в квадрат. Однако самым экономичным способом их решения является f Кх) < g(x)i применение следующих равносильных переходов: 1/(х)| < g(x) о <
UM > ~g(x) if/ м /х I7W >£(*),
l/W < -gM-
Пример 4. Решить неравенство |х2 — х — 1| < х + 2.
Д Покажем несколько способов решения данного неравенства.
Первый способ. Воспользуемся методом частичных областей. Квадратный трехчлен х2 — х — 1 больше нуля, если х G (—оо;0,5 — 0,5\/5) U (0,5 + 0,5\/5; +оо), и меньше либо равен нулю, если хе [0,5 — 0,5х/5; 0,5 + 0,5\/5].
На первом промежутке исходное неравенство примет вид х2 — х — 1 < х + 2, или х2 — 2х — 3 < 0, откуда —1 < х < 3. Из этого множества в рассматриваемый промежуток попадают только хе (-1; 0,5 -0,5^/5) U (0,5 + 0,5 л/5;3).
На втором промежутке исходное неравенство примет вид —х2 + х +1 <х + 2, или х2 + 1 > 0. Неравенство х2 + 1 > 0 выполняется при любых значениях х, значит, весь второй промежуток является решением исходного неравенства.
Объединив найденные решения, получим ответ: х G (—1;3).
Второй способ. Если х + 2<0, то данное неравенство решений не имеет. Если х + 2^0, то обе части неравенства неотрицательны,
176
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Рис. 22
поэтому оно равносильно неравенствам:
(%2 — х - 1)2 < (х + 2)2;
((%2 - х- 1) - (х + 2)) ((х2 - х - 1) + (х + 2)) < 0;
(х2 — 2х — 3) (х2 + 1) < 0;
х2 — 2х — 3 < 0;	-1 < х < 3.
Все найденные значения удовлетворяют условию х + 2^0 и, значит, являются решениями неравенства.
Третий способ.
|х2 - X
Г г2
I < * + 2 » х2 — 2х — 3 < 0, х2 + 1 > 0
—х — 2
Ответ. (—1;3).
Замечание. Геометрически решение рассмотренного неравенства можно интерпретировать как отыскание множества значений х, для которых ординаты графика функции у — х2—х —1| меньше ординат графика функции у — х + 2. Строим графики этих функций (рис. 22). По рисунку видим, что абсциссы точек пересечения графиков находятся из уравнения х2 — х— 1 = х Н- 2, откуда Х[ — — 1, Х2 = 3. Искомое множество (—1;3) на рисунке заштриховано.
Пример 5. Решить неравенство |х2 — 8х — 9| + 4х > 3.
А Запишем неравенство в виде |х2 — 8х — 9| > 3 — 4х и перейдем к равносильной ему совокупности:
|х2 —8х —9| >3 —4х<=>
х2 —8х —9>3 —4х, х2 —8х —9<4х —3
х2 —4х—12 > 0, х2 — 12х —6 < 0
"х < —2, х > 6, _6-л/42<х<6 + л/42.
§6. Методы решения неравенств с модулем
177
Сравним —2 и 6 — х/42: — 2 V 6 — х/42 фф \/42 V 8 <=> 42 V 64. Так как 42 < 64, то —2 < 6 — х/42. Следовательно, решением совокупности является множество (—оо; — 2) U (6 — л/42; +оо).
Ответ. (—оо; —2) U (6 — \/42; +ос).	А
Решение параметрических неравенств с модулем
Пример 6. Решить неравенство |2х — 4| Зх + 2а. до	м . / х f[(x)^g(x),
Д Воспользуемся тем, что дх) g(x) <=> < р. ч
UU) > -g(x).
in л। о , л	f 2х — 4 Зх Т 2а, fx^— 4 - 2а,
|2х - 4] Зх -Т 2а _ 4 _3% _ 2с/ <=>	0 8 _ 0>4а
Имеем:
Возможны два случая: 1) 0,8 - 0,4а	—4 -2a,
является промежуток 2) 0,8 - 0,4а > -4 -% € [0,8 — 0,4а; -Too).
Ответ. Если a G (—оо;—3], то х G [—4 — 2a; Too); если a (Е (—3; 4-ос), то x (E [0,8 — 0,4a; -Too).	A
или а —3. Тогда решением системы [—4 — 2а; -Too).
2a, или a > —3. В этом случае
Пример 7. Решить неравенство |х + а| + |х — а| < 4.
Д Решение неравенства геометрически можно интерпретировать как отыскание значений х, для которых ординаты графика функции z/ = |х + а| + |х — а| меньше ординат графика функции у = 4. Построим график функции у = |х + а| + |х — а|. Чтобы раскрыть знак модуля, используем метод частичных областей. Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в ноль в точках х = — a и х = а. Расположение этих точек на числовой оси зависит от знака
параметра а, поэтому надо рассматривать три случая: а > 0, а < 0 и а = 0.
1)	Для случая а > 0 имеем:
—2х,
у = 2а,
J2x,
а,
График этой функции изображен на рис. 23 а. Графиком функции у = 4 является прямая, параллельная оси Ох. Из рисунка видно, если 4 2а, т. е. а > 2, то нет точек графика функции у = |х + а| + |х — а], расположенных ниже этой прямой, и значит, исходное неравенство не имеет решений. Если же а < 2, то решением будет интервал (xj,Х2), где — 2xj — 4 и 2x2 = 4, т. е. xi = — 2 и Х2 = 2 (именно этот случай показан на рис. 23а).
178
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
2)	Случай a > 0 рассматривается аналогично. Имеем:
' —2х,
У = 2-а, к2х,
X <2, a < х х > —а.
-а,
График этой функции изображен на рис. 23 б. Из рисунка видно, что если а —2, то нет точек графика функции у = \х + а\-\- |х — а|, расположенных ниже прямой у = 4, и значит, исходное неравенство не имеет решений. Если же а > — 2, то решением будет интервал (—2,2).
Рис. 23
3)	В случае <2 = 0 имеем 2 |х| < 4, т. е. х 6 (-2, 2).
Ответ. При |а| 2 решений нет; при |а| <2 имеем хЕ (—2,2). ▲
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа IV.1
Вариант 1 с f 3	\ о
1. Решить неравенство (1 — х) -1 I (х + 2) < 0.
\х / 9	9
2. Решить неравенство ---------------4^0.
(х4 + 2) х + 2
(х + 5)2 3. При каждом значении параметра а решить неравенство --< 0.
х + а
Вариант 2
Q f 4 \	Л
1.	Решить неравенство (4 — х) ( 1 + - ) (х — 3)	0.
\ х / 4	8
2.	Решить неравенство -----%- 4—j----5^0.
(х4 + 1) х + 1 _ _	х — а п
3.	При каждом значении параметра а решить неравенство -у > 0.
(х - 4/
Дидактические материалы
179
Ответы
Вариант 1. 1. (—оо; —2) U (—2;0) U (1; 5). 2. [ — 1; 1]. 3. Если а < 5, то х £ (—оо; —5) U (—5; —а); если а 5, то х G (—оо; —а).
Вариант 2. 1. [—4;0) U {3} U |4;+оо). 2. [ —1;1]. 3. Если а < 4, то х Е (а; 4) и (4; 4-оо); если а 4, то х Е (а; +оо).
Самостоятельная работа IV.2
Вариант 1
1.	Решить уравнение \/х + 3 = 6 — 4х. Дать геометрическую иллюстрацию.
2.	Решить уравнение (\/х • 3 — 1) (х2 -25^ —0.
3.	Решить уравнение у/х + \/х — 6 = 0.
Вариант 2
1.	Решить уравнение у/х — 2 = 7 — '2х. Дать геометрическую иллюстрацию.
2.	Решить уравнение (х/2 — х — 1) (х2 — 1б) =0.
3.	Решить уравнение у/х 4- 2у/х — 15 = 0.
Ответы
Вариант 1. 1. 1. 2. 4; 5. 3. 16.
Вариант 2. 1. 2. 1; —4. 3. 81.
Самостоятельная работа IV.3
Вариант 1
1.	Решить графически уравнение |х — 3| = 0,5х — 4.
2.	Решить уравнение |х — 2| 4- |х — 31 = 5.
3.	При каждом значении параметра а решить уравнение |х — 6| = 2 — а.
Вариант 2
1.	Решить графически уравнение |х 4- 1| — — 0, 5х — 2.
2.	Решить уравнение |х — 4| 4-|х 4- 2| = 6.
3.	При каждом значении параметра а решить уравнение |х 4- 3| = 4 — а.
Ответы
Вариант 1. 1. Решений нет. 2. [—3;2]. 3. Если а ^2, то х = 8 — а, х = 4 + а; если а > 2, то решений нет.
Вариант 2. 1. Решений нет. 2. [—2; 4]. 3. Если а 4, то х= 1 — а, х — а — 7; если а > 4, то решений нет.
180
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Самостоятельная работа IV. 4
Вариант. 1
1.	Решить графически неравенство л/х — 4	1 — х.
2.	Решить неравенство Ух 4- 4 < \/3 — х.
3.	При каждом значении параметра а решить неравенство Ух + 3 > а — 2.
Вариант 2
1. Решить графически неравенство У2 — х > х
2. Решить неравенство Уб — х Vx 4- 2.
— 4.
неравенство V* — 4 < а 4-1.
3. При каждом значении параметра а решить
Ответы
Вариант 1. 1. [4;4-оо). 2. [—4;—0,5). 3. Если а < 2, то х Е [—3;4-оо); если а 2, то х Е (а2 - 4а 4-1; +оо).
Вариант 2. 1. (—оо;2]. 2. [—2;2]. 3. Если а < —1, то решений нет; если а — 1, то х € [4; а2 Г 2а 4- 5).
Самостоятельная работа IV.5
Вариант 1
1.	Решить графически неравенство |х — 2| х.
2.	Решить неравенство |х2 — 4| > |х2 — 2|.
3.	При каждом значении параметра а решить неравенство а |х — 2| > 1.
Вариант 2
1.	Решить графически неравенство |х4-4|< — х.
2.	Решить неравенство |х2 — б| |4 —х2|.
3.	При каждом значении параметра а решить неравенство а|х4-1| У 2.
Ответы
Вариант 1. 1. (—оо; 1]. 2. (—л/З; х/З). 3. Если а У О, то решений нет; если а > 0, то х Е ( —оо; 2 — - ) U ( 2 -Г - ; 4-оо \	а/ \ а
Вариант 2. 1. (—оо;—2). 2. [—д/5; х/5].
Г 2	21
если а > 0, то х Е — 1----; — 1 4- — -
а а
3. Если а У О, то х Е (—оо;4-оо);
Дидактические материалы
181
Контрольная работа IV. 1
по теме «Алгебраические уравнения» (2 урока)
Вариант 1
1.	Решить уравнение 4х4 - Г2х3 4- 13х2 - 12х + 4 = 0.
2.	Решить уравнение (х2 — 36) Vx — 3 = 2 (х + 6) /х — 6.
3.	Решить уравнение |х + 3| = 2 + |х + 5|.
4.	Решить уравнение \/х + 4 + \/2х + 6 = 7.
5.	Решить уравнение |>/х — х + 5| = у/х + х — 7.
6.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни уравнения (2 — а)х2 + 2ах + 3 — 2а = 0 действительны и отрицательны.
Вариант 2
1.	Решить	уравнение	4х4 + 8х3 - 13х2 - 8х + 4 = 0.
2.	Решить	уравнение	(х2 - 25)>/3 - х = 4 (х - 5) /х +• 5
3.	Решить	уравнение	|х - 3| = |х + 2| + 5.
4.	Решить	уравнение	л/15 х + х/3 - х = 6.
5.	Решить	уравнение	| у/х - 2х + 9| = у/х + 2х- 11.
6. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни уравнения (1 + 2а)х2 — 4ах + а — 3 = 0 действительны и положительны.
Вариант 3
1.	Решить уравнение (х — 9)(х - 3)(х + 2)(х + 6) = 56х2.
2.	Решить уравнение \/22 — 4х — х2 + 2 = х.
3.	Решить уравнение |х — 2 — |4 — х|| + х = 7.
4.	Решить уравнение \/2х + 7 — \/х + 7 = 1.
5.	Решить уравнение |х — 2| + |х + 2| = х5/10.
6.	Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения у^За — 1 + 2а |х| — х2 = а.
Вариант 4
1.	Решить уравнение (х — 3)(х + 6)(х — 4)(х + 2) = 126х2.
2.	Решить уравнение — 4х — х2 — 4 = х.
3.	Решить уравнение |х + 1 + | —3 — х|| — 6 = х.
4.	Решить уравнение \/3 — 2x+v/x — 5 = 1.
5.	Решить уравнение |х — 3| + |х + 3| = 8 — х4.
6.	Для каждого значения параметра а определить число решений уравнения
-J4а + 1 — 2а |х| — х2 = —а.
Ответы
Вариант 1. 1. 2; 0,5. 2. 6; 7. 3. (—оо; —5]. 4. 5. 5. 6. 6. а G [1; 1,5). Вариант 2. 1. —2,5;—0,5. 2. —5;—1. 3. (—оо; —2]. 4. —1. 5. 5. 6. а G G (—оо; -1,5] U [ — 1; —0,5) U (3; +оо).
182
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Вариант 3. 1. -9; 2; П±^93; 2. 2. 3. —1;5. 4. 1. 5. ^= + 1. 6- Если а < 1/3, то уравнение не имеет корней; если a Е	U	’ 00 ’ т0
уравнение имеет четыре корня; если об	’ т0 УРавнеиие
3± \/5 имеет два корня; если а = —, то уравнение имеет три корня.
Вариант 4. 1. 1; 12;-7 ± у/37. 2. -1. 3. -4; 2. 4. -3. 5. ±{/2. 6. Если a Е (—оо; —0,25) U (0;+оо), то уравнение не имеет корней; если а Е (—0,25; 1 — 0,5\/2), то уравнение имеет четыре корня; если а — 1 - О,5\/2, то уравнение имеет три корня; если a Е (1 — О,5ч/2; 0] U {—0,25}, то уравнение имеет два корня.
Контрольная работа IV.2 по теме «Алгебраические неравенства» (2 урока)
Вариант 1
in	1^1
1.	Решить неравенство Э 7.
2.	Решить неравенство |3х + 3|	—х3 — 1.
3.	Решить неравенство х2 — 2\/х2 — 24х > 24х + 15.
4.	Решить неравенство 2%/х2 — х — 2 > 2х — 3.
5.	Решить неравенство (х + 2)Vx2 + 6 х2 — 4.
6.	Для каждого значения параметра а решить неравенство |х —а| ^|х + 3|.
Вариант 2
1.	Решить неравенство Дг	——д.
X 256ху
2.	Решить	неравенство|7х — 7| х3 — 1.
3.	Решить	неравенство	9х — 3 \/х2 + 9х	18 — х2.
4.	Решить	неравенство	2х — 5 < 2-\/х2 — х — 6.
5.	Решить	неравенство	(х + 3) ул2+4	х2 — 9.
6.	Для каждого значения параметра а решить неравенство |х + 2а|	|4 — х|.
Вариант 3
1.	Решить неравенство |2х + 5| • (х4 — 16 — 6х2)	0.
2.	Решить неравенство 5^/1 — -	7х \
3.	Решить неравенство |х — 4| + |х|	7 — х.
4.	Решить неравенство \/5х + 6 - у/х — 1 < 4.
5.	Решить неравенство л/а: — 2 + |х —'8|	6.
6.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х2 + 5|х + а|^а2 справедливо для всех действительных х.
Дидактические материалы
183
Вариант 4
1.	Решить неравенство |2х — 3| • (х4 — 2х2 — 3)	0.
2.	Решить неравенство 6^2 —
3.	Решить неравенство |х 4- 3| 4- |х|	1 — х.
4.	Решить неравенство л/Зх 4- 7 — Vx 4- 2 < 3.
5.	Решить неравенство Vx — 3	3 — |х — 6|.
6.	Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство х“ 4- 2 |х — а| а2 справедливо для всех действительных х.
Ответы
Вариант 1. 1. [—0,2;0) U [0,2; 4-оо). 2. (—оо; — 1]. 3. (—оо; — 1) U (25;-|-оо). 4. (—оо; — 1] U (Ц; 4-оо^). 5. (—оо; —2]. 6. Если а < — 3, то х £ [а 0	4- оо^;
если а — —3, то х —любое; если а > —3, то х 6 оо; .
(—оо; 2]. 3. (—оо;—12] U ]3;4-оо).
6. Если а < —2, то х G (—оо; 2 — а]; то х G [2 — а; 4-оо).
Вариант 2. 1. (—оо; —0,5] U (0;0,5[. 2. 4. (—оо; —2] U ; 4-ooY 5. (—оо; — 3]. если а = —2, то х — любое; если а > —2,
Вариант 3. 1. (—оо; —2х/2] U {—2,5} U [2х/2;4-оо). 2. 3. [—3;3]. 4. [1;29/4). 5. {2} и [3; 11]. 6. -2,5 а 2,5.
Вариант 4. 1. (—оо; — х/З] U {1,5} U [х/З; 4-оо). 2. [— ^; —	3. [—4;—2].
4.	[—2; 14). 5. {3}U[4;7], 6. -l^a^l.
Домашняя контрольная работа IV. 1 по теме «Алгебраические уравнения и неравенства»
Вариант 1
1.	Решить неравенство (х2 4-4х — 5) (х2 4- 4х 4-з) <105.
2.	Решить уравнение (х2 — 3 |х| — ю) (л/Зх 4- 7 4- 1 4-х) =0.
3.	Решить неравенство max (Зх — 1,х2) < х, где max(a,b) обозначает наибольшее из чисел а,Ь.	______
4.	Решить уравнение V$x + 7 — х/17 — 8х — 4.
5. Решить неравенство -	5	i |х — 5
	|х4-1|-2 *	
30 - 4х 4- х/х2 - 7х 4- 6	_
6. Решить неравенство --------> 2.
8 — х
7. Решить уравнение д/2 — х — 2л/1 — х 4- х/2 — х 4- 2\/1 — х = 2.
о г>	11^1
о. Решить неравенство > —-з= > ——
V*^x V2V+1 у8 4- 15х - 2х2
184
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
9. Решить неравенство 8 4- 6 • |3 — х/х + 51 > х.
10. Решить уравнение у/х — 2 4- у/х 4- 2 = х + \/х2 — 4 — 4.
Вариант 2
1.	Решить
2.	Решить
3.	Решить шее из
4.	Решить
5.	Решить
неравенство (х2 + 2х) (х2 4- 2х — з) < 40.
уравнение (х/ 4- |х| — 2о) (У7 — 2х 4- 2 — х) =0.
неравенство min (х, 3 — х2) < 2х, где min (а, Ь) обозначает наимень-чисел а, Ь.
уравнение У9 - 4х — 4 4- х/4х Г 23.
неравенство
3
|х + 3| - 1
|х + 2|.
с п	13 - Зх 4- у/х2 - х - 6	.
6.	Решить неравенство-----------> 1.
5-х
7.	Решить уравнение у/х 4-1 — 2ух = 2 — у/х + 1 4- 2у/х.
Q О	11^1
8.	Решить	неравенство --- =__= >	.	__ ..
\/4 - х	УЗх - 5 у 17х	_	зх2	_ 20
9.	Решить	неравенство	х — 9	7 • |4 — у/х 4- 9|.
10.	Решить	уравнение у/х — 1 4-	\/х 4- 1 = х 4- у/х2	—	1 —	12.
Вариант 3
1.	Решить неравенство (х2 — 6х 4-8) (х2 — 6x4-21) <48.
2.	Решить уравнение (х2 4- 3 |х| — 18) (2Ух — 2 4- 10 — х) = 0.
3.	Решить неравенство max (4х — 1,2х2) > х 4- 1, где max (а, Ь) обозначает наибольшее из чисел а, Ь.
4.	Решить уравнение У2х 4- 3 — 2 — У9 — 2х.
5.	Решить неравенство ।	|х — 1|.
с г,	7 — Зх -|- х/х2 4- Зх — 4	.
6.	Решить неравенство -------------- < — 1.
х — 3
7.	Решить уравнение у/4 - х 4- 4У^х = 4 — д/4 — х — 4У^х.
о о	11^3
8.	Решить неравенство --------,	> —,
х/7-х У2х 4- 4	У28 + 10х- 2х2
9.	Решить	неравенство 5  |3 — У12 — х| > 1 — х.
10.	Решить	уравнение у/х — 3 4- Ух 4- 3 = х 4- -у/х2	—9	— 4.
Вариант 4
1.	Решить	неравенство (х2 — 8х 4-18) (х2 — 8х 4-	27)	< 90.
2.	Решить	уравнение (х2 4- 4 |х| — 21) (У—2х — 9	4-	6	4- х)	= 0.
3.	Решить неравенство min (13 — х,х2) ^х4-6, где min (а, Ь) обозначает наименьшее из чисел а, Ь.
Дидактические материалы
185
4. Решить
5. Решить
уравнение ч/Зх 4- 8 — 3 = ч/Ю — Зх.
неравенство
|х-5| -3

„г,	13 — 6х 4- V 4х2 — 2х — 6	.
6. Решить неравенство----—------> 1.
7. Решить уравнение у/х + 4у/х -4 4- у/х — 4у/х — 4 = 4.
о г>	11.2
\/2х - 5 ч/х + 6	+ 7х _ зо
9. Решить неравенство х 3 — 4 • |2 — У11 - х|.
10. Решить уравнение у/х — 2 4- у/х 4- 2 = х 4- у/х1 - 4 — 12.
Вариант 5
1.	Решить неравенство (х2 — Зх — 1) (х2 — Зх 4- 4^ < 24.
2.	Решить уравнение (х2 — 2 |х| — 24^ (у/4х + 1 — 7 4- 2х) = 0.
3.	Решить неравенство гпах(х2,х~з) Зх — 2, где тах(а,Ь) обозначает наибольшее из чисел а,Ь.
4.	Решить уравнение ч/З - 5х 4- 2 = у/5х 4-13.
7
5.	Решить неравенство  -----—-^|х4-2|.
|х — 11 — 3
_ „	26 — Зх 4- ч/х2 — 2х — 24	.
6.	Решить неравенство--------------------< — 1.
'	х - 10
7.	Решить уравнение у/х. 4- 6\/х — 9 4- л/х — 6ч/х -9 = 6.
СП	1	1	1
8.	Решить неравенство --------т- > ,
ч/2+I ч/Т^Зх у2 - 5х - Зх2
9.	Решить неравенство х < 5 • |3 — у/4 4- х| 4-7.
10.	Решить уравнение у/х — 1 4- у/х 4-1 = х 4- ч/х2 - 1 — 4.
Ответы
Вариант /. 1. (—6; 2). 2. —2; 5. 3. (0;0,5). 4. 0,625 — \/2.
5. [1 —	—3) U (1; 6]. 6. (—оо;0] U [6; 8) U (10;4-оо). 7. [0; 1]. 8. (4; 8).
9. [-9; 16]. 10. 17/4.
Вариант 2. 1. (—4; 2). 2. —4; 3. 3. (—оо; — 3] U [0; 4-оо). 4. —1,75 —2\/3. 5. [-5;-4) U (—2; —2 4- \/3]. 6. (-оо;-2) U [3; 5) U (7;4-оо). 7. [0;1]. 8. (3;4). 9. [-5; 20). 10. 325/36.
Вариант 3. 1. (1; 5). 2. 18; 3. 3. (—оо; —0,5) U (2/3;4-оо). 4. 1,5 4- д/5. 5. [—1 — 2х/2;—3) U (1;3|. 6. (—оо; —4] U [1,3) U (5;4-оо). 7. [-4;0]. 8. (6; 7). 9. (-4; 12). 10. 73/16.
Вариант 4. 1. (2; 6). 2. -9;-3. 3. (-оо;-2]. 4. ^4-^р.
5. (8; 5 4-3^2] U [-1; 2]. 6. (—оо; — 1] U [1,5; 2,5) U (3,5; 4-оо). 7. [4; 8].
8. (2,5:3]. 9. [-5; И]. 10. 82/9.
186
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Вариант 5. 1. (-1; 4). 2. 2; 6. 3. [1,2]. 4. 0,4>/7 - 1.
5. [-2 - а/7; -2) и (4; 5]. 6. (-оо;-4] U [6; 10) U (14;+оо). 7. [9; 18]. 8. (—2;—1). 9. [-4; 12). 10.65/16.
Разбор варианта № 1
1.	Положим х2 + 4х — 5 =/. Тогда х2 4х + 3 = t + 8 и неравенство запишется в виде t(t + 8) < 105, или t2 + 8/ — 105 < 0, откуда —15 < Z < 7. Возвратимся к переменной х: —15 < х2 + 4х — 5 < 7, откуда -6 < х < 2.
Ответ. (-6; 2).
2.	Произведение двух сомножителей равно нулю, когда один из них равен нулю, а другой определен. Соответственно рассмотрим два случая.
1)	Пусть х2 — 3 |х| — 10 = 0 и Зх + 7^0 (условие существования второго сомножителя). Положим t = |х|, t 0. Получим уравнение t2 — 3Z — 10 = 0. Оно имеет два корня 0=5, t% = — 2, из которых только первый удовлетворяет условию t 0. Тогда |х| = 5, и, значит, х = ±5. Значение я = 5 удовлетворяет условию Зх + 7^0, а х = --5 — не удовлетворяет. Значит, нашли один корень х = 5.
2)	Пусть х/Зх + 7 = -1 - х (заметим, что второй сомножитель определен при любых значениях х). На множестве, определенном условием — 1 — х < 0, решений уравнения нет. Будем искать их на множестве — 1 — х 0, т. е. х — 1. При х — 1 уравнение равносильно каждому следующему: Зх + 7 = (—1 — х)2; х2 — х — 6 = 0. Откуда Х\ = 3, Х2 = -2. Условию х^ — 1 удовлетворяет только второе значение. Следовательно, нашли еще один корень исходного уравнения х = —2.
Ответ. —2; 5.
о Zq 1 2\	(Зх-1<х,	Гх<0,5,
3.	max (Зх — 1, xz < х < о	„	. Ф>0<х<0,5.
v 7 [xz < х	[0 < х < 1
Ответ. (0;0,5).
4.	Для упрощения выкладок положим 3x = t и перепишем уравнение в виде хЛ + 7 = л/17 —1 — 4. Полученное уравнение равносильно следующим:
х/17 — t = х/ Z Т 7 4- 4;
17-/ = / + 7 + 8хА + 7 + 16;
-6 - 2Z = 8x/Z + 7;
-3 - t = 4x/Z + 7.
Дидактические материалы
187
Последнее уравнение равносильно системе Г-3- t > О, \(-3-Г)2 = 16(Г + 7).
Далее имеем: (—3 — Г)2 = 16(Г + 7); t2 — ЮГ - 103 = 0; Г) 2 = 5 ± 8\/2. Из двух полученных значений условию t —3 удовлетворяет только t — 5-8^2.
Возвратимся к исходной переменной: 8х = 5 - 8\/2; х = 0,625 — \/2.
Ответ. 0,625 — V2.
5.	Разобьем числовую ось точками х = — 1 и х = 5 на три частичные области: —оо < х —1, — 1 < х 5, 5 < х < +оо. Будем искать решение неравенства в каждой из этих частичных областей. По определению абсолютной величины действительного числа имеем:	/ ( п	п
Г - (х + 1), х е (-оо; -1],
X + 1 — \
( х + 1, х е (— 1; Too);
। ci (~(х~5), х € (-5L
х - 5 = <	_	.
(х — 5, хе (5; Too).
1)	Пусть х е (—оо;—1]. Тогда неравенство примет вид —> -х Т 5, или ------------------— > 0. Откуда получим:
х е [1 — л/21; —3) U [1 Т V21; Too). Из этого множества в промежуток (—оо;—1] попадают хе [1 — л/2Т; —3).
2)	Пусть х е (—1; 5]. Тогда неравенство примет вид “Ц - хТ5, <^2________। J Q
или ---—ТО, откуда хе(1;Тоо). Из этого множества
в промежуток (—1; 5] попадают хе(1;5].
3)	Пусть хе (5; Too). Тогда неравенство примет вид -^Ц-Тх —5, х2 — 6х
или —-—р- 0. Откуда получим: х 6 (—оо; 0] U (1; 6]. Из этого множества в промежуток (5; +оо) попадают хе (5; 6].
Объединяя найденные решения, приходим к ответу: хе [1 — л/2Т; —3) U (1; 6].
Ответ. [1 - У21; -3) U (1; 6].
6.	Исходное неравенство равносильно неравенству
Ух2 - 7х + 6 — 2х + 14 q
188
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем:
п Г \/x2 —7х + 6 —2х+ 14<0,	~ + 6 - 2х +14 > О,
1)	<	и l) <
[8 —х<0	(8 —х>0.
Решим каждую из систем отдельно.
{л/%2 _ 7% g < 2х - 14 v	,
х > 8.
Областью допустимых значений первого неравенства этой системы является промежуток (—оо; 1] U [6;+оо). Следовательно, при х > 8 обе части первого неравенства неотрицательны и определены, и, значит, оно равносильно каждому следующему: х2 — Чх + 6 < (2х — 14)2, Зх2 — 49х + 190 > 0, 3 (х — (х — 10) > 0. Решением последнего неравенства является промежуток х < б| и х > 10. Учитывая условие х > 8, получим решение первой системы: хе(10;+оо).
2)	Перепишем вторую систему в виде
х/х2 — 7х -Ь 6 > 2х - 14, х < 8.
Решим первое неравенство. Областью его допустимых значений является промежуток (—ос; 1] U [6;+оо). На этом множестве правая часть неравенства может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Соответственно рассмотрим два случая.
а) Вначале найдем решение неравенства на множестве тех значений переменной х, при которых правая часть неравенства меньше нуля, т. е. на множестве х< 7. Точнее, с учетом ОДЗ, на множестве х е (-оо; 1]U[6; 7).
При значениях х, удовлетворяющих этому условию, левая часть исходного неравенства определена и положительна, а правая часть — отрицательна. Следовательно, все значения хе (—оо; 1] U [6; 7) являются решениями исходного неравенства, б) Теперь найдем решение неравенства для тех значений х, при которых правая часть неравенства больше или равна нулю, т. е. для х 7. Заметим, что все эти значения принадлежат ОДЗ неравенства.
На промежутке х 7 выражения у/х2 — Чх + 6 и 2х — 14 определены и неотрицательны, и, значит, неравенство
Дидактические материалы
189
\/х2 —7х 4- 6 > 2х — 14 равносильно каждому из следующих: х2 - 7х 4- 6 > (2х - 14)2, Зх2 - 49% + 190 < О, 3 (х — б|^ (х — 10) < 0. Решением последнего неравенства является промежуток (б|; io). С учетом условия х 7, получим х € [7; 10).
Таким образом, решением первого неравенства рассматриваемой системы являются х е (—сю; 1] U [6; 10). Но согласно второму неравенству х < 8, значит, решение второй системы: х е (—сю; 1] U [6; 8).
Объединяя решения обеих систем, приходим к ответу: х € (—сю; 1] U [6; 8) U (10; +оо).
Ответ. (—сю; 1] U [6; 8) U (10;+ос).
7.	Преобразуем подкоренные выражения:
2-x-2vT^x = (УГ^х)2-2УГ^х+1 = (х/ПГх- I)2;
2-х + 2х/Г^х= (УГ^х)2 + 2\/Г^х + 1 = (\/Г^х + 1)2.
Воспользуемся тождеством а/о2 = |а| и запишем исходное уравнение в виде |\/1 — х — 1| 4- |\/1 — х + 1| = 2, или |УГ^х-1| + УГ^х = 1.
Рассмотрим сначала случай \/1 — х — 1	0, т. е. \/1 — х 1,
0^1—x^l, O^x^l. Тогда |\/1 — -V — 1| = 1 — \/1 — х и уравнение превращается в тождество 1 = 1. Следовательно, все числа из отрезка [0; 1] являются корнями исходного уравнения.
Если же у/\ — х- 1 > 0, т. е. х < 0, то приходим к уравнению — х = 1. Его корень х = 0 не удовлетворяет условию х < 0. Ответ. [0;1].
8.	Область допустимых значений неравенства определяется системой
'8 — х > О,
< 2х -Ь 1 > О, к8 4- 15х — 2х2 > О и представляет собой интервал (—0,5; 8).
Перепишем исходное неравенство следующим образом:
1 _ 1 1
\/8 - х л/2х + 1	д/(8 - х)('2х + 1) ’
Так как всюду в области допустимых значений у(8 — х)(2х 4-1) > 0, то, умножив левую и правую часть
190
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
неравенства на д/(8 — х)(2х + 1), получим эквивалентное ему неравенство:
л/(8 — х)(2х + 1) _ У(8-х)(2х+ 1)	।
л/8 - х	%/2х +1	’
или	.----	.---
V 2х + 1 — v 8 — х > 1,
\/2х Т 1 > 1 -I- у/8- х.
Левая и правая части последнего неравенства неотрицательны. Поэтому, возведя их в квадрат, после упрощений получим неравенство
2\/ 8 - х < Зх — 8, эквивалентное исходному всюду в его области допустимых значений, т. е. на интервале (—0,5; 8).
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно системе
'Зх - 8 О, < —0,5 < х < 8,
,4(8 —х) < (Зх-8)2,
решением которой является интервал (4; 8).
Ответ. (4; 8).
9.	Положим t — \/x + 5, ^0. Относительно новой переменной неравенство примет вид 8 + 6 • |3 — > t2 — 5, или t2 — 6 • |3 — — 13 < 0.
Выражение 3 — t, стоящее под знаком модуля, меняет свой знак при переходе через точку ^ = 3. Поэтому удобно разбить область возможных значений переменной t на два промежутка: 0 0^3 и t > 3, и искать решение неравенства t2 — 6 • |3 — t\ - 13 < 0 на каждом из этих промежутков отдельно.
1)	Пусть 0 t 3. Тогда 3 — ^0 и, значит, неравенство t2 — 6 • |3 — t\ — 13 < 0 примет вид t2 — 6 • (3 — t) — 13 < 0. Откуда £2 + б£ — 31 <0, — 3 — 2х/10<^< — 3 + 2\/Т0. Выясним, как расположены точки О, 3, -3-2У10 и -3 + 2У10 друг относительно друга на числовой оси. Очевидно, что — 3 — 2д/Т0 < 0. Сравним 3 и — 3 + 2\/10: 3 7-3 + 2У1Оф>6у2У1Оф>а/36 7х4о. Но \/36 < а/40, и, значит, 3 < — 3 + 2л/Т0.
Следовательно, неравенство t2 — 6 • |3 — t\ — 13 < 0 выполняется при любом t из промежутка 0	3.
Дидактические материалы
191
Заметим, что запись решения может быть и более формальной:
ГО < t 3,	ГО < t 3,
\t2 - 6(3 - 0 - 13 < 0	1/ + 6Г-31 <0
ГО +	3,
<=><	.—	,— «оо/з.
3 —2v/10<£< -3 + 2/10
2)	Пусть I > 3. Тогда 3 — t < 0 и, значит, неравенство t2 - 6 • |3 - t\ - 13 < 0 примет вид t2 - 6 • (t — 3) - 13 < 0. Откуда t2 - 6/ + 5 < 0, 1 < t < 5. С учетом условия t > 3, окончательно получим 3 < t < 5.
Более формально решение можно записать так:
Р>3,	Р>3,
ft2 - 6(Г - 3) - 13 < О |/-6/ + 5<0
ft > 3,	ft > 3,
- 1)(Г - 5) < О V<Z<5^3<Z<5-
Объединяя найденные при рассмотрении двух случаев решения, получим 0 + t < 5.
Вернемся к исходной переменной х:
О + у/х + 5 <5<=>0^х + 5<25<=>—5^х<20.
Ответ. [—5;20).
10.	Исходное уравнение равносильно каждому следующему:
2 (у/х - 2 + у/х + 2^ = 2х + 2у/х2 - 4 - 8;
2 (у/х — 2 + у/х + 2^ = х — 2 + 2 у/(х — 2) (х + 2) + х + 2 — 8;
2 ( у/х — 2 + у/х + 2^ = ( у/х — 2^ + 2 у/(х — 2) (х + 2) + ( у/х+ 2^ — 8;
2 (у/х — 2 + у/х + 2^ = (у/х — 2 + у/х + 2^ — 8.
Положим t = у/х — 2 + у/х + 2, + 0. Относительно новой переменной уравнение примет вид t2 — 2t — 8 = 0, откуда t[ = —2, ?2 = 4. Условию t 0 удовлетворяет только второй корень.
Вернемся к переменной х: у/х — 2+у/х + 2 = 4. Перепишем последнее уравнение в виде у/х + 2 = 4 — у/х — 2. На множестве, определенном условием 4 — у/х — 2 < 0, решений, очевидно, нет. Будем искать их на множестве 4 — у/х — 2 + 0. На этом
192
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
множестве возведение в квадрат приводит к равносильному уравнению х + 2 = 16 — 8\/х-2 + х — 2, или 2у/х — 2 = 3 (для обоснования равносильности также заметим, что область допустимых значений в результате наших действий не изменилась). Откуда х = 17/4. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что условие 4 — \/х — 2 0 при этом значении х удовлетворено.
Ответ. 17/4.
Домашняя контрольная работа IV.2 по теме «Алгебраические уравнения и неравенства»
Вариант 1
1.	Дано квадратное уравнение 4х2 — 2х + а = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение:
а)	не имеет корней;
б)	имеет один корень;
в)	имеет два различных корпя;
г)	не имеет корней на отрезке [—1,1|;
д)	имеет два различных корня па отрезке [ — 1,1];
е)	имеет ровно один корень па отрезке [ — 1,1];
ж)	имеет хотя бы один корень на отрезке [ — 1,1];
з)	не имеет корней, меньших —1.
2.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство (х — За)(х — а — 3) < 0 выполняется для всех х таких, что 1 х 3.
3.	Сформулированы следующие два утверждения:
А. Уравнение х + у/х = а имеет хотя бы одно решение.
Б. Неравенство 4х2 + (а — 3)х +1^0 справедливо при любых действительных значениях х.
Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы.
4.	При каких значениях параметра а уравнение х4 — х2 = а(х4 + 2х2) имеет ровно три различных корня?
с гт	л	х2 (1 - d) +1 . .
5.	При каких значениях параметра а неравенство —1 выполняется х2 — dx + 3
при всех х?
6.	При каких значениях параметра а уравнение 5х4 + lax + 2а2 = 0 имеет хотя бы один целый корень?
7.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение 3||х| —1| = = а(х — 1) + 1 имеет ровно три решения.
8.	При каких значениях параметра а неравенство х2 + 3|х —а|+а + х —3^0 имеет хотя бы одно неположительное решение?
9.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение (х2 + (2а + 3)х + 6а)  у/х -У a1 — Q имеет ровно два различных корня.
Дидактические материалы
193
10.	При каждом значении параметра а решить неравенство х — За — Зу/а2 — 2ах > 0.
Вариант 2
1.	Дано квадратное уравнение Зх2 + 2х -|- 1 — а — 0. Найти все значения
параметра а, при которых уравнение:
а)	нс имеет корней;
б)	имеет два равных корпя;
в)	имеет два различных корпя;
г)	не имеет корней на промежутке (—2,1);
д)	имеет два различных корпя па промежутке (—2,1);
е)	имеет хотя бы один корень на промежутке (—2,1);
ж)	имеет ровно один корень на промежутке (—2,1);
з)	не имеет корней, больших 1.
2.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство -— выполняется для всех х таких, что 2 х 4.
3.	Сформулированы следующие два утверждения:
А. Уравнение ах Ух+ 1=0 имеет ровно одно решение.
Б. Неравенство х2 — Зах + 1	0 имеет хотя бы одно решение.
< О
Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба
утверждения справедливы.
4.	При каких значениях параметра а уравнение х4 — х2 = (а + 1) (х4 + х2) имеет ровно три различных корня?
Е ГТ	Х2(1 — (,’) + 1	,
5.	При каких значениях параметра с неравенство —---------+ 1 выполняется
х2 + сх + 2
при всех х?
6.	При каких значениях параметра а уравнение Зх6 — Ъах + 2а2 = 0 имеет хотя бы один целый корень?
7.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2||х| — 2| = = а(х - 2) + 1 имеет ровно три решения.
8.	При каких значениях параметра а неравенство х2 + 5 |х - а| — 4а + х — 4^0 имеет хотя бы одно неположительное решение?
9.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение (х2 — 2(2а + 1)х + 8а)  -\/х — 9а2 = 0 имеет ровно два различных корня.
10.	При каждом значении параметра а решить неравенство
х + 2а — 2\/Зах + а2 > 0.
Вариант 3
1.	Дано квадратное уравнение х2 + Зх + 1— а = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение:
а)	не имеет корней;
б)	имеет два равных корня;
в)	имеет два различных корня;
г)	не имеет корней на промежутке (-4,-1];
194
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
д)	имеет два различных корня на промежутке (-4,-1];
е)	имеет хотя бы один корень на промежутке (—4,-1];
ж)	имеет ровно один корень на промежутке (-4,-1];
з)	не имеет корней, меньших —4.
л 1 г	х — 2а - 1 Л
2.	Наити все значения параметра а, при которых неравенство --------< О
х — а выполняется для всех х таких, что 1 х 2.
3.	Сформулированы следующие два утверждения:
А. Уравнение х2 — 4 |х| + 1 = а не имеет решений.
Б. Неравенство 2х2 + (а — 2)х — 2а + 4	0 справедливо при любых
действительных значениях х.
Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы.
4.	При каких значениях параметра а уравнение 2х3 + х = а(4х3 — х) имеет ровно три различных корня?
еп	л	х2(6 + 0 + 2 - ,
5.	При каких значениях параметра b неравенство —5-------1 выполняется
х2 + Ьх | 3
при всех х?
6.	При каких значениях параметра а уравнение 2х4 + 9ах + 7а2 — 0 имеет хотя бы один целый корень?
7.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2||х| — 1| = = а(х — 1) + 1 имеет ровно три решения.
8.	При каких значениях параметра а неравенство х2 + 3 |х — а| + а — 5х — 5 0 имеет хотя бы одно неположительное решение?
9.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение (х2 + (1 — 2а)х — 2а)  \/х — 6а3 = 0 имеет ровно два различных корня.
10.	При каждом значении параметра а решить неравенство
х - а - \f\ax + а2 > 0.
Вариант 4
1.	Дано квадратное уравнение —х2 + Зх — а + 2 = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение:
а)	не имеет корней;
б)	имеет два равных корня;
в)	имеет два различных корня;
г)	не имеет корней на отрезке [1,5];
д)	имеет два различных корня на отрезке [1,5];
е)	имеет хотя бы один корень на отрезке [1;5];
ж)	имеет ровно один корень на отрезке [1,5];
з)	не имеет корней, больших 5.
2.	Найти все значения параметра а, при которых неравенство (х + 3 — 2а)(х + За — 2) < 0 выподняется для всех х таких, что 2 х 3.
3.	Сформулированы следующие два утверждения:
А. Уравнение х — у/х — а имеет ровно два решения.
Дидактические материалы
195
Б. Неравенство ах2+х + 9а^О не имеет решений.
Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы.
4.	При каких значениях параметра а уравнение Зх — х3 4 5 = а(Зх3 + х) имеет ровно три различных корпя?
Е П	I.	х2(« +1) +1 .,
5.	При каких значениях параметра о неравенство --------1 выполняется
х2 — ах + 2
при всех х?
6.	При каких значениях параметра а уравнение Зх6 — 7ах + 5а2 = 0 имеет хотя бы один целый корень?
7.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 ||х| - 2| = = а(х + 2) + 1 имеет ровно три решения.
8.	При каких значениях параметра а неравенство х2 + 5 |х + а\ + За + х — 5 О имеет хотя бы одно неотрицательное решение?
9.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение (х2 + (а — 2)х — 2а) • у/ 16х — 9а2 — О имеет ровно два различных корня.
10.	При каждом значении параметра а решить неравенство
х + 4а — \/а2 - ах > 0.
Вариант 5
1.	Дано квадратное уравнение —х2 — 4х + а — 1 = 0. Найти все значения параметра а, при которых уравнение:
а)	не имеет корней;
б)	имеет два равных корня;
в)	имеет два различных корня;
г)	не имеет корней на промежутке (—3;!];
д)	имеет два различных корня на промежутке (—3;!];
е)	имеет хотя бы один корень на промежутке (—3;!];
ж)	имеет ровно один корень на промежутке (—3; 1];
з)	не имеет корней, меньших —3.
2. Найти все значения параметра а, при которых неравенство ——-	О
а — х выполняется для всех х таких, что 2 х 5.
3. Сформулированы следующие два утверждения:
А. Уравнение х2 + 2ах + 7а — 12 = 0 не имеет решений.
Б. Неравенство х + а-</х^9 — За справедливо при любых положительных действительных значениях х.
Определить все значения параметра а, при каждом из которых оба утверждения справедливы.
4. При каких значениях параметра а уравнение х3 — 2х = а(х3 + Зх) имеет ровно три различных корня?
е п	х2(1 — а) + 3 ,,
5. При каких значениях параметра а неравенство —1 выполняется
х2 — ах + 5
при всех х?
196
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
6.	При каких значениях параметра а уравнение Зх4 ± 5ах ± 2а2 = 0 имеет хотя бы один целый корень?
7.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение 3 ||х| — 1| = а(х + 1) + 1 имеет ровно три решения.
8.	При каких значениях параметра а неравенство х2 +3 |х ± а| — 2а + х — 4 <С О имеет хотя бы одно неположительное решение?
9.	Найти все значения параметра а, при которых уравнение (х2 + 2(2 - а)х — 8а) • \/5х — 2а3 = О имеет ровно два различных корпя.
10.	При каждом значении параметра а решить неравенство
х — 2а - 2 \/а2 — Зах > 0.
Ответы
Вариант 1. 1. а) (1/4, ±оо); б) 1/4; в) (—оо;1/4); г) (- оо, —6) U (1/4; Ч-оо); д) [-2,1/4); е) [-6,-2) U {1/4}; ж) [-6,1/4]; з) [-6,±оо). 2.(0;	1/3). 3. [0;7|. 4. (-0,5; 1). 5. [0;2\/3). 6.0;	±1;	±2,5.
7. 0,5; - 2. 8. [ 3,5:0,75|. 9. [—х/3;0) U (\/3;2]. 10. Если а < 0, то х G [а/2; 0) U ( —12а; ±оо); если а — 0, то xG(0;±oo); если а > 0, то решений
нет.
Вариант 2. 1. а) (— оо, ^); б) \	V /
д) [?;б); е) [|;9); ж) [6,9)
в) ±оо); г) (-оо, U [9; ±оо); U {|}; з) (-оо;|] U [6; Ч-оо). 2. (2; 8).
3. а -0,25,	а = 0,25. 4. (—2;0).
7. 0,25;-1,5. 8.	9. (-^;0 и
решений нет; если a — Q, то хе(0;±оо); если
5. [0;2\/2). 6. 0; ±1; ±1,5.
10. Если а < 0, то а > 0, то х е [—а/3; 0) U (8а; ±оо).
Вариант 3. 1. а) (—оо;-1,25); б) —1,25; в) U [5;±оо); д) (-1,25;-1]; е) [1,25; 5); ж) 2. (0,5;	1). 3. [-14;-3). 4. (-оо;-1)
6.0; ±1; ±2/7. 7. 0,5;-1. 8. [-2,5; 1,25].
10. Если а < 0, то хе (0;—9/4); если а = О, х € (6а; ±оо).
(-1,25; ±оо); г) (-oo,-l,25)U (1; 5) и {-1,25}; з) (-оо;5]. U (0,5; ±оо). 5. (—2л/3;О].
9.----1	} U (о;-UY
то х е (0; ±оо); если а > 0, то
Вариант 4. 1. а) (-^,±оо); б) в) (—оо;-^); г) (—оо, — 8) U (-^; ±оо); Д) [4, 2): е) [-8,Д|; ж) (-8,4) и {^}; з) |-8,+оо). 2. (-оо;-1/3) и
и
7.
то
(3; ±оо). 3. (-1; -4. (-1/3;3). 5. (—2х/2;0]. 6. 0; ±1; ±0,4.
-0,25; 1,5. 8. [-3,5;0,375]. 9.
16
9
10. Если а<0,
х е (—24а; ±оо); если а = 0, то х G (0; ±оо); если а > 0, то х е (0; а].
U 0;<^
Вариант 5. 1. а) (—оо; —3); б) —3; в) (—3;±оо); г) (—оо, —3) U (6;±оо); д) (—3; -2); е) [ - 3; 6]; ж) [-2;6] U {-3}; з) (-оо; -2]. 2. [0,5;2).
Дидактические материалы
197
3. (3;4). 4. (-2/3; 1). 5. [0; 2х/5). 6. О;
8. [—О,8;8]. 9. [-/5; -U (0; /5). 10.
U(-8a;+oo); если a = 0, то х G (0; +оо); если
±1;	±1,5. 7. -0,5;	2.
Если a < 0, то х G [а/3; 0) U a > 0, то решений нет.
Разбор варианта № 1
1.	Запишем уравнение в виде 2х2 - х + 0,5а = 0. Число корней данного уравнения определяется знаком его дискриминанта D = 1 -4а.
а)	Корней нет, если D = 1 — 4а < 0; а >1/4.
б)	Корень один, если D = 1 — 4а = 0; а = 1/4.
в)	Корней два, если D = 1 — 4а > 0; а < 1/4.
Введем в рассмотрение квадратичную функцию f(x) = = 2х2 — х + 0.5а. С геометрической точки зрения корни уравнения — это абсциссы точек пересечения графика функции /(х) = 2х2 — х + 0,5а с осью абсцисс. Этим графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина лежит на прямой х = 0,25. Каждому случаю г)—е) отвечает характерное положение параболы на рисунке.
г)	Уравнение 2х2 — х + 0,5а = 0 не имеет решений на отрезке [—1,1], если парабола лежит выше оси абсцисс или пересекает ее вне отрезка [—1,1]. Первое имеет место, если D<0, т. е. при а >1/4, второе — при одновременном выполнении следующих условий: D > 0, /(—1) < 0, /(1) > 0, т. е. при а < -6.
д)	Уравнение имеет на отрезке [—1,1] два корня, если парабола пересекает ось абсцисс на отрезке [ — 1,1], что аналитически выражается условиями D > 0, /(-1)	0, /(1)	0. Значит,
-2^а< 1/4.
е)	С геометрической точки зрения уравнение имеет на отрезке [—1,1] один корень в двух случаях: (1) если парабола f(x) = 2х2 — х + 0,5а касается оси абсцисс в точке х = 0,25; (2) правая ветвь параболы пересекает ось абсцисс правее точки х = 1, а левая —левее х — — 1. Случай (1) имеет место при а = 1/4. Случай (2) определяется условиями £)>0, /(—1)^0, /(1) > 0, и, значит, имеет место при a G [—6;— 2). Найденные значения параметра следует объединить: a G [-6, —2) U {1/4}.
ж)	Нас интересуют значения а, при которых уравнение на отрезке [—1,1] имеет либо один, либо два корня. Объединив случаи д) и е), получим a G [—6,1/4].
з)	Чтобы уравнение не имело корней, меньших —1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство /(—1)	0.
Откуда а —6.
198
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
Ответ, а) (1/4. +оо); б) 1/4; в) (—со; 1/4); г) (—оо, — 6) U U(l/4;+oo); д) [-2,1/4); е) [-6,-2) U {1/4}; ж) [-6,1/4]; з) [-6, -Too).
2.	Найдем сначала решение неравенства (х — За)(х — a — 3) < 0. Рассмотрим два случая.
1)	За	< а	+ 3,	т.	е.	а <	1,5.	Тогда	За < х < а + 3.
2)	За	— а	+ 3,	т.	е.	а =	1,5.	Тогда	решений нет.
3)	За	> а	+ 3,	т.	е.	а >	1,5.	Тогда	а + 3 < х < За.
В первом случае, чтобы все числа 1 х 3 входили в множество За < х < а + 3, необходимо выполнение двух неравенств За < 1 и 3 < а + 3. Их совместное решение приводит к условию 0<а< 1/3
Второй случай можно не рассматривать.
В третьем случае все решения неравенства больше 4,5 и, следовательно, не могут удовлетворять условию 1 х 3.
Ответ. (0; 1/3).
3.	Вначале определим значения а, при которых справедливо утверждение А. Положим t = у/х, t 0. Тогда утверждение А будет
справедливым в том и только в том случае, когда уравнение £2-Н —а = 0 имеет действительные корни, причем хотя бы один из них неотрицателен.
Условие существование корней — неотрицательность дискриминанта D = 1 + 4а. Оно выполнено, если а —0,25.
Пусть t[,t2~ корни уравнения, тогда по теореме Виета t[ • ^2 = — a, t[ + ^2 — ~ 1- Из второго равенства следует, что один из корней при любом а отрицателен, и, значит, необходимым и достаточным условием неотрицательности второго (естественно в области а —0,25) является выполнение условия t\ • = — а 0. Таким образом, утверждение А справедливо при любом а 0.
Перейдем к утверждению Б. Неравенство 4х2 + (а — 3)х + 1^0 справедливо при любых действительных значениях х, если дискриминант (а — З)2 — 16 квадратного трехчлена 4х2 + (а — 3)х + 1 меньше или равен нулю. Значит, — 1 а 7.
Следовательно, оба утверждения А и Б справедливы при одновременном выполнении условий а^0 и — 1 а 7. Откуда 0 а 7.
Ответ. [0;7].
4.	Преобразуем уравнение: (1 — а)х4 - х2(1 + 2а) = 0; х2 ((1 - а)х2 — (1 + 2а)) =0. При любом значении параметра х = 0 является решением исходного уравнения. Для того чтобы уравнение имело ровно три различных корня, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (1 - а)х2 — (1 + 2а) = 0 имело
Дидактические материалы
199
ровно два решения и оба они были отличны от нуля. При a = 1 это уравнение решений не имеет. При а ф 1 получаем х2 = 1 + 2^. Очевидно, что последнее уравнение имеет два различных ненулевых решения только тогда, когда 1 + 2^- > О, т. е. при —0,5 < a < 1.
Ответ. (—0,5; 1).
5.	Для того чтобы данное неравенство выполнялось при всех х, необходимо, чтобы знаменатель дроби х2 — dx + 3 ни при каких значениях х не обращался в ноль. Это условие будет выполнено только в том случае, когда дискриминант d2 — 12 квадратного трехчлена х2 - dx + 3 будет отрицательным. Следовательно, искомые значения параметра d должны принадлежать промежутку (~2л/3; 2ч/3).
Если d 6	2л/3), то квадратный трехчлен х2 — dx + 3
принимает только положительные значения, поэтому неравенство х (1 - Д + 1	। равносильно неравенству х2(1 — d) + 1 =Сх2 — dx + 3
х2 — dx + 3 или dx2 - dx + 2 0.
При d = 0 неравенство dx2 — dx + 2 0 принимает вид 2^0, т. е. выполняется при любом х.
Пусть d / 0. Для того, чтобы квадратный трехчлен принимал неотрицательные значения при любом х, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при х2 был положителен, а дискриминант, напротив, был неположителен. Таким образом, неравенство dx2 - dx + 2	0 будет выполняться при любом х
только в случае, если d > 0, d2 — 8d 0, т. е. при <Уб(0;8].
Учитывая, что d е (—2л/3; 2л/3), окончательно получим: de [0; 2л/3).
Ответ. [0; 2л/3).
6.	Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а. Его дискриминант равен 49х2 — 40х4 = х2 (49 — 40х2). Чтобы уравнение имело решение, его дискриминант должен быть неотрицательным, т. е. должно выполнять неравенство х2 (49 — 40х2) > 0. Есть только три целых значения х, удовлетворяющих этому условию —0 и ±1.
Подставив найденные значения х в исходное уравнение, найдем соответствующие им значения параметра а. Если х = 0, то а = 0. Если х = 1, то 2а2 + 7а + 5 = 0, откуда а =—1 или
200
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
a =—2,5. Если х = — 1, то 2a2 — 7a + 5 = 0, откуда а = 1 или a = 2,5.
Ответ. 0; ±1; ±2,5.
7.	Уравнение имеет ровно три решения тогда и только с тогда, когда графики функций j/ = 3||x|-1| и у = а(х — 1) + 1 пересекаются ровно в трех точках.
График функции // = 3||х| — 1| построим путем геометрических преобразований согласно следующей схеме: у\ = |х| —> у% = = И - 1 ~*Уз = IIх! - 1Н У = 3 • ||х| - 1| (рис. 24).
Графиком функции у = а(х — 1)±1 является прямая, проходящая через точку/1(1; 1), с угловым коэффициентом а (см. рис. 24).
Графики имеют ровно три точки пересечения в том и только в том случае, если прямая у — а(х — 1)±1 проходит через точку 5(0;3) или точку С(—1;0) (на рис. 24 прямые 1[ и 1%). Подставляя координаты точек в уравнение прямой у = а(х — 1)±1, получаем а = 0,5 и а = —2.
Ответ. 0,5;—2.
8.	Чтобы избавиться от знака модуля, перейдем к системе:
3 |х - а\ < 3 — х2 — а - х
3(х — а) С 3 - х2 — а - х, 3(х — а) х2 + а + х — 3
( а 0,5 (х2 ± 4х — 3) , [а 0,25 (3-х2 ±2%).
Решим задачу, используя геометрическую интерпретацию. На координатной плоскости хОа изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств а 0,5 (х2 ± 4х — 3) и а 0,25 (3 — х2 ± 2х). Это множество образовано точками, лежащими выше параболы а = 0,5 (х2 + 4х — 3), но ниже параболы а = 0,25 (3 — х2 ± 2xj. Ветви первой из них направлены вверх, вершина лежит в точке (—2;—3,5). Ветви второй направлены вниз, вершина имеет координаты (1; 1). Абсциссы точек пересечения парабол найдем из условия 0,5 (х2 + 4х — 3) = 0,25 (3 — х2 + 2х), откуда х2 + 2х — 3 = 0; %1 = —3,%2 = 1- Если х = —3, то а = —3; если х - 1, то а = 1, значит, параболы пересекаются в точках (—3; —3) и (1; 1). На рис. 25 искомая область заштрихована.
Неположительные решения неравенства — это абсциссы точек заштрихованной области, лежащие на оси ординат или левее ее. Из рисунка видно, что такие точки существуют для тех а,
Дидактические материалы
201
которые расположены на оси ординат между точками А (—2; —3,5) и В(0;0,75), т. е. для — 3,5 а 0,75.
Ответ. [-3,5;0,75j.
9.	Область допустимых значений уравнения определяется условием а2. Следовательно, его корнями являются корни уравнений
+ а2 = 0 и х2 + (2a + 3)х + 6а = О, удовлетворяющие неравенству х —а2. Из первого уравнения получим х = —а2 (это значение является решением исходного уравнения при любом значении параметра а), из второго — х = —2а и х = — 3. Исходное уравнение может иметь ровно два корня только в следующих случаях:
1)	корни квадратного трехчлена совпадают и лежат в области .	2
х > —а,
2)	корни квадратного трехчлена различны, причем один из них либо совпадает, либо меньше х = — а2, а другой лежит в области
2 х > —а.
Рассмотрим каждый случай подробнее.
1)	Если х = —2а = —3, то а = 1,5 и, значит, неравенство х> —а2 не выполнено. Следовательно, исходное уравнение имеет только один корень.
2)	Есть два варианта реализации второго случая: — 2а — а2<— 3 и — 3^— а2<— 2а. Решением первого двойного неравенства является промежуток аЕ (>/3; 2], решением второго — [—>/3; 0). Ответ. [—л/З;0) U (л/З;2].
202
Глава IV. Алгебраические уравнения и неравенства
10.	Неравенство Зу/a2 — ‘lax <х — За равносильно системе
а2 - lax О,	Г а (х - 0,5а) О,
х — За О,	или < х За,
9 (а2 — 2ах) < (х — За)2 , (х(х + 12а) > 0.
Рассмотрим три случая: а < 0, а = 0, а > 0.
1)	Если а < 0, то решением неравенства а (х — 0,5а)	0 яв-
ляется промежуток [0,5а;+оо), а решением неравенства х(х + 12а) > 0 — множество (—оо; 0) U (—12а; +оо). Учитывая, что За < 0,5а < —12а, заключаем, что решением системы является множество [0,5а; 0) U (—12а;+оо).
2)	Если а = 0, то первое неравенство системы выполняется при любом значении х, второе —при х 0, третье — при х2 > 0. Значит, решением системы является промежуток (0;+оо).
3)	Если а > 0, то из неравенства а (х — 0,5а) 0 получаем х 0,5а, что противоречит условию х За. Следовательно, система решений не имеет.
Ответ. Если а < 0, то х G [а/2; 0) U(—12а; +оо); если а = О, то хб(0;+ос); если а > 0, то решений нет.
Глава V
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Отправной точкой в изучении данной темы является тригонометрическая окружность. Эта математическая модель связана с геометрическим толкованием основных понятий тригонометрии и играет исключительно важную роль в их осознанном восприятии. Рекомендуем уделить достаточное время задачам на установление соответствия между действительными числами и точками тригонометрической окружности.
Следует включить в систему упражнений задачи на отыскание на тригонометрической окружности точек, соответствующих данным числам, и аналитическую запись множества действительных чисел, соответствующих точкам тригонометрической окружности. Полезно поупражняться в использовании тригонометрической окружности для определения пересечения и объединения числовых множеств (аналогичных тем, которые возникают при решении тригонометрических уравнений), научиться составлять аналитические записи для дуг тригонометрической окружности. И, наконец, каждый учащийся должен уметь, используя тригонометрическую окружность, по «табличным» декартовым координатам определять множество соответствующих им действительных чисел (углов), а также уметь решать обратную задачу.
После введения с помощью тригонометрической окружности понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса действительного числа (угла) авторы рекомендуют упражнения на определение углов по значениям синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, на определение знаков, сравнение и оценку значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. При выполнении всех этих заданий следует использовать тригонометрическую окружность.
Обратите внимание на то, что задания на определение числа а, если синус, косинус, тангенс или котангенс его известен, по сути своей являются простейшими тригонометрическими уравнениями. Принципиально важно, чтобы решение этих уравнений выписывались с помощью тригонометрической окружности.
204
Глава V. Тригонометрические формулы
На следующем этапе обучения вводятся тригонометрические формулы. После простых тренировочных упражнений, выполнение которых требует лишь узнавания тригонометрических формул, следует научиться использовать формулы для вычисления и сравнения значений тригонометрических выражений, для доказательства тригонометрических формул и упрощения тригонометрических выражений.
В § 4 настоящей главы приведен список из тридцати тригонометрических формул, который учащимся желательно заучить наизусть. Большинство включенных в список формул легко выводятся из нескольких основных. Усвоение такого вывода из основных формул полезно учащимся, поскольку оно дает представление о приемах преобразования тригонометрических выражений. Помимо этого необходимо овладеть методом введения вспомогательного угла, используемым для преобразования выражений вида asina + bcosa.
При выполнении упражнений следует иметь в виду, что под тригонометрическим тождеством принято понимать равенство, выполняющееся для всех тех значений переменных, при которых одновременно определены левая и правая часть равенства. Причем при выполнении заданий на доказательство тригонометрических тождеств не принято устанавливать множество допустимых значений переменной. Сказанное относится и к заданиям на упрощение тригонометрических выражений. Однако в дальнейшем, при использовании тригонометрических формул для решения тригонометрических уравнений, установление множества допустимых значений переменных является важным элементом решения. Поэтому целесообразно включить в систему упражнений данной главы ряд заданий, требующих определения множества, на котором имеет место то или иное тождество.
Важная роль в системе упражнений отводится задачам на отыскание наибольшего и наименьшего значений тригонометрических выражений. В первую очередь речь идет о линейных выражениях и квадратных трехчленах от синуса (косинуса) одного угла, а также выражений вида a sin a + b cos а.
Следующая группа задач связана с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Задачи на вычисление и сравнение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа следует выполнять с использованием определений и геометрического толкования этих объектов на тригонометрической окружности. Важное место в системе упражнений занимают задачи на вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса от аргументов, .выраженных как значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
§1. Тригонометрическая окружность
205
И, наконец, в систему упражнений следует включить задачи с параметром (в первую очередь, задачи на установление области значений тригонометрических выражений).
Лучше, если изучение раздела будет проходить в два этапа. На первом этапе на простых задачах происходит знакомство с основными понятиями данного раздела программы и отрабатываются основные приемы, используемые при решении задач этого раздела. Умение решать задачи первого этапа проверяется с помощью самостоятельных работ. На втором этапе обсуждаются более сложные задачи, решение которых, как правило, сводится к комплексному применению приемов и методов, изученных па первом этапе.
§1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале прямоугольной системы координат Оху. Пересечение окружности с осью Ох обозначим Pq. Произвольно отметим на окружности точку Ра. Угол, который луч ОРа составляет с положительным направлением оси Ох, обозначим а (рис. 1). Будем считать этот угол положительным, если луч ОРа получен из луча OPq поворотом против хода часовой стрелки, и отрицательным, если поворот осуществлялся по ходу часовой стрелки.
Измерять угол а можно по-разному. Во-первых, в качестве единицы измерения можно принять угол, равный части полного оборота. Этот угол называют одним градусом и обозначают как 1°.
Другой единицей измерения является угол, равный центральному углу нашей окружности, опирающемуся на дугу единичной длины. Этот угол называется углом в один радиан (1 рад).
v io	д	,	(180 \
Угол	в 1	равен углу в —	рад , а угол в 1	рад равен углу в I — I	.
Пример 1. Найти радианную меру угла, равного: а) 45°; б) 270°.
А а) 45° = 45 • 1° = 45  рад = £ рад;
1OU	4
б) 270° = 270.1» = 270  i рад= рад. loU	Z
Пример 2. Найти градусную меру угла, равного: а) - рад; б) — рад.
206
Глава V. Тригонометрические формулы
А\	К	К	,	Я	/ 180 \	г) z*\n
а)	-	рад= -	•	1	рад= -	•	—	=	30°;
6	6	Г 6	\ 7Г /
2тг <	2ти /180\°	1<->по	а
б)	— рад= — • 1 рад= — • —	= 120°.	▲
3	3 г 3 \ тг /
§2. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ
Построение на тригонометрической окружности точек, соответствующих заданным числам
Пусть дана окружность единичного радиуса. Использование радианной меры измерения углов позволяет каждому действительному числу а поставить в соответствие точку окружности. Устанавливается это соответствие следующим правилом:
1)	положительному действительному числу а ставится в соответствие точка Ра окружности, в которую мы попадаем, если, начав движение из точки Pq, проходим по окружности в положительном направлении путь длиной а;
2)	отрицательному действительному числу а ставится в соответствие точка Ра окружности, в которую мы попадаем, если, начав движение из точки Pq, проходим по окружности в отрицательном направлении путь длиной а;
3)	числу а = 0 ставится в соответствие точка Pq.
Окружность единичного радиуса с установленным соответствием называется тригонометрической окружностью. Число а называется координатой точки Ра на тригонометрической окружности.
Отметим, что при таком сопоставлении каждой точке единичной окружности соответствует бесконечно много чисел (ее координат), отличающихся друг от друга на величину 2тт, где п G Z.
Тригонометрическая окружность — очень важная математическая модель. Осваивая ее, мы закладываем фундамент для успешного изучения тригонометрии в целом. Поэтому нужно настроиться на выполнение достаточно большого числа тренировочных упражнений, связанных с этим математическим объектом.
Первое, чему нужно научиться — находить на тригонометрической окружности точки, соответствующие конкретным числам, причем как выраженным, так и не выраженным в долях числа д. Заметим, что в последнем случае рисунок может быть условным, главное — поместить точки в нужную четверть окружности и правильно расположить их друг относительно друга.
Пример 1. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам:
а) 4; б) —7.
§2. Координаты точек тригонометрической окружности
207
Л а) Будем опираться на то, что 3,14 <д< 3,15, 1,57 <	< 1,58. Поэтому д < 4 < ^, и,
значит, точка, соответствующая числу 4, лежит в третьей четверти тригонометрической окружности (рис. 2).
б) Так как —2,5д < -7 < -2д, то чтобы попасть в точку, соответствующую —7, нужно пройти по тригонометрической окружности по ходу часовой стрелки полный оборот
и
еще некоторую дугу, меньшую четверти окружности. Следовательно, точка, соответствующая числу —7, лежит в четвертой четверти (рис. 2).	▲
Рассмотрим задачу изображения на тригонометрической окружности множества точек с координатами а+~ и а+^, где k — фиксированное натуральное число, а параметр п пробегает все целые значения.
Пример 2. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам д+^,лб2. 5
А Вначале отметим на тригонометрической окружности угол д, соответствующий значению п = 0. Если значение п изменяется на 1, . 2тгт?	2ти	1
то угол д+— изменяется на величину —, т. е. на - часть полного угла 2д. Поэтому, если, начав из точки д движение в положительном о	2тг
направлении, пройдем по окружности дугу в — радиан, то окажемся О
в точке Д+? = ?, которая соответствует значению п = \. Отметим и О
эту точку и пойдем дальше. Пройдя дугу в — радиан, попадем 7л , 2л 9л	о тт
в точку — + — = —, соответствующую значению п = 2. Двигаясь
5	5	5
9л	.	2л	Нти	/	Пти	. 2л	13тг	/ .п
далее, помечаем точки	—	+	— =	—	(п = 3),	— + — =	—	(« = 4).
5	5	5	5	5	5
Если и дальше будем увеличивать значения «на 1, то будем обходить в положительном направлении уже отмеченные точки окружности. Уменьшая последовательно значение п на единицу, будем обходить уже отмеченные точки окружности в противоположном направлении.
Таким образом, множество д + G Z, изображается на □ о	7л
тригонометрической окружности пятью различными точками д, —,
208
Глава V. Тригонометрические формулы
Эти Нти 13тг	г
—, —, которые делят ее на 5 равных дуг, начиная от точки тс (рис. 3). Заметим, что эти точки являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в тригонометрическую окружность. А
Сделаем обобщение: множество а +	, п G Z, изображается на
тригонометрической окружности k различными точками. Эти точки делят окружность на k равных дуг, начиная от точки а.
Пример 3. Отметить на тригонометрической окружности точки, соответствующие числам л: + — , n е Z.
А Множество можно задать формулой тс Н—^'п G Значит, на тригонометрической окружности ему соответствует 10 точек, которые делят окружность на 10 дуг, равных	Ставим на
окружность первую точку; она соответствует числу тс и, значит, имеет координаты (—1;0). Начав с этой точки, последовательно откладываем на окружности дуги в рад (рис. 4).	А
Пересечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности. При отборе корней тригонометрических уравнений и систем, а также для компактной записи их решений, нам понадобится умение находить пересечение и объединение числовых множеств, соответствующих точкам тригонометрической окружности. Для решения этой задачи используется два подхода: геометрический и аналитический. Посмотрим на нескольких примерах, как нужно действовать. Вначале рассмотрим случай, когда геометрическая иллюстрация дает очевидное решение; затем посмотрим пример, в котором геометрической иллюстрацией можно было бы обойтись, но аналитическое решение
§2. Координаты точек тригонометрической окружности
209
предпочтительнее; после чего перейдем к задаче, в которой геометрическая иллюстрация не эффективна, нужно выполнить аналитическое исследование.
Пример 4. Найти пересечение множеств + л/г, где n,k GZ.
А В этом примере для ответа па вопрос достаточно геометрической иллюстрации. На тригонометрической окружности отмечаем точки, соответствующие множествам —- и - + д/г, после чего делаем очевидный вывод: второе множество содержится в первом и, следовательно, является искомым пересечением.
Ответ. J + л/г, k Е Z.	А
Пример 5. Найти пересечение множеств
КП КЙ ~	г,,
--, где n,A:GZ. о 4
А Вначале используем геометрический подход. На тригонометрической окружности отмечаем точки, соответствующие первому множеству. Эти точки поделят тригонометрическую окружность на 12 равных дуг (каждую четверть на три), начиная от точки с координатой 0 (на рис. 5 они помечены жирными точками). Точки, соответствующие второму
множеству, поделят
тригонометрическую окружность на 8 равных дуг (каждую четверть на две), начиная от точки с координатой 0 (на рис. 5 они помечены крестиками). Из рисунка видно, что общими будут точки, лежащие на пересечении окружности с координатными осями. Их можно
задать формулой tn е Z.
Теперь покажем, как найти пересечение аналитически. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, при каких целых п и /г выполняется равенство	т. е. п = ^k. Удобно рассмотреть два случая: k —
четно и k — нечетно. Если k — четно, т. е. может быть представлено з
в виде k = 2m, где m — целое число, то из равенства получим о	о	тг • 3/72 кт
п = от, и, значит, в искомое пересечение войдут числа —— = —.
Если k — нечетно, т. е. может быть представлено в виде /г = 2т + 1, то з
из равенства n=?k полУчим я = 3m+ 0,5, откуда следует, что любому
210
Глава V. Тригонометрические формулы
целому tn соответствует нецелое п. Следовательно, при нечетных k кп nk
множества —, — не пересекаются.
О7Г/72	_ Г77	Л
т в е т. —, m G Z.	▲
Пример 6. Найти пересечение множеств	-А + ^-,n,k gZ.
А В этой задаче геометрический подход не продуктивен. Будем действовать аналитически. Задача сводится к тому, чтобы выяснить, при каких целых п и k выполняется равенство А- + AJ = А +
20	10	12	6
т. е. Зп = 1 -|- 5k или п — -	. Удобно рассмотреть три случая:
k — Зр, k = 3/7 + 1, k = Зр + 2, где р G Z (ими исчерпываются все целые значения /г).
1)	Если k = Зр, то п ~ 1 + з 3/7 = | + 5/7, что невозможно ни при каких целых р и п. Это означает, что при k = Зр множества + тк + ?>	е не пересекаются.
20	10 12 о
2)	Если k = Зр+1, то и = 1 + 5'	+ =2 + 5/7. Это означает, что
в искомое пересечение войдут числа 2Е + ^2 +5р) = где р — любое целое число.
3)	Если k = Зр + 2, то п = -~-5 ' -'-р— 2- = 3| + 5/7, что невозможно О	и
ни при каких целых р и п. Это означает, что при k = 3р + 2 множества ^ + —,	+ -g-> я, k Е Z, не пересекаются.
Ответ. т + ^,/7Е Z.	▲
4	2
Аналитическое задание дуг тригонометрической окружности Пример 7.
а)	Задать аналитически открытую дугу четвертой четверти тригонометрической окружности.
б)	Задать аналитически объединение первых трех четвертей тригонометрической окружности.
А а) Пусть А и В — концы нашей дуги (рис. 6). Пройдем дугу в положительном направлении: от точки А до точки В. Возьмем любое из чисел, соответствующих точке А, например,
§ 2. Координаты точек тригонометрической окружности
211
Двигаясь по дуге АВ, дойдем до точки В, чья координата равна 0. Следовательно, координаты точек дуги АВ удовлетворяют неравенству — ^<а<0. Мы получили ядро аналитической записи. Поскольку, обойдя сколько угодно раз окружность, мы можем попасть в ту же точку дуги АВ, из которой начали движение, то для задания всех координат, надо к левой и правой части неравенства добавить 2тт, где п е Z. Таким образом, общая запись имеет вид:
— + 2кп < а < 0 + 2яп, n€l.
б) Пусть А и В концы объединенной дуги (рис. 7). Пройдем дугу в положительном направлении: от точки В до точки А. Возьмем любое из чисел, соответствующих точке В, например, 0. Двигаясь по дуге ВА, дойдем до точки А, Зя г
чья координата равна —. Следовательно, координаты точек
дуги ВА удовлетворяют неравенству 0 < ос < ~. Мы получили основу аналитической записи. Осталось составить общую запись: 0 + 2тот < а <	+ 2im, п е Z.
Ответ, а) +	2тт^, neZ; б) ^2тш; у + 2тш),
п е Z.	▲
Координаты точек тригонометрической окружности в декартовой системе координат. Главное, что нужно уяснить и запомнить, это чему равны декартовы координаты точек тригонометрической окружности, отмеченные на рис. 8, 9, 10.
212
Глава V. Тригонометрические формулы
В дальнейшем при решении тригонометрических уравнений понадобится умение задавать аналитически множества чисел, соответствующих точкам тригонометрической окружности с теми или иными декартовыми координатами. Поэтому необходимо научиться записывать числовые множества, соответствующие точкам тригонометрической окружности с «табличными» ординатами и абсциссами: О, 1, -1, ±1/2, ±>/2/2, ±/3/2.
Пример 8. Отметить на тригонометрической окружности точки с абсциссой — х/3/2 и записать, каким числам они соответствуют.
А По рис. 9 устанавливаем, что на тригонометрической окружности есть две точки с абсциссой — л/3/2: одна соответствует числу
и, значит, всем числам вида у ± 2д/г, п G Z, другая — числу у и, значит, всем числам вида ^±2дп, п g Z.	▲
6
Обратите внимание, что те же множества можно задать иначе.
Например, множество — ± 2дм можно задать формулой — — ±2дм, 6	6
п е Z.
§3. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов
Ордината точки Ра тригонометрической окружности (рис. 11), полученной при повороте точки Ро на угол а, называется синусом угла а (обозначается sin а), а абсцисса — косинусом а (обозначается cos а).
Ось ординат назовем осью синусов-, ось абсцисс — осью косинусов.
§ 3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
213
Тангенсом угла
tga =
а (а 7^ ~ + л/г, Л 6 Z) называется отношение sin а к cos а:
sin a cos a
Котангенсом угла а (а 7^ izk,k G Z) называется отношение cos а к sin а:
, cos a etga =------.
sin a
Прямую x=l, па которой выбрано направление, совпадающее с направлением оси ординат, называют осью тангенсов. Это название оправдано тем, что прямая
ОРа при а + nk (/г G Z) пересекает ось тангенсов в точке с координатой tga (рис. 12).
Прямую # = 1, на которой выбрано направление, совпадающее с направлением оси абсцисс, называют осью котангенсов. Это название оправдано тем, что прямая ОРа при ct^Ttk (&GZ) пересекает ось котангенсов в точке с координатой etga (рис. 12).
В первую очередь необходимо научиться по рис. 8, 9, 10 определять значения синусов и косинусов, а по рис. 13, 14 значения тангенсов и котангенсов «табличных» углов. Обратите внимание: достаточно запомнить только значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов первой четверти. Значения для остальных «табличных» углов отличаются от значений для углов первой четверти только знаками, определить которые можно по тригонометрической окружности.
Пример 1. Определить, чему равен:
а)	cos у; б) tg(-y).
8 7Г
А а) Задача сводится к отысканию абсциссы угла —. Так как
О
8л о2 п , 2л
— = 2-л:= 2л:+—, то точка, имеющая на тригонометрической и О	□
214
Глава V. Тригонометрические формулы
окружности координату —, совпадает с точкой, имеющей
2ти о	8тг	2тг т-г	1П
координату у. Значит, cos — = cos у. По рис. 10 заключаем,
8 те	1
ЧТО COS
о	Z
б)	Задача сводится к отысканию на оси тангенсов координаты 5 7Г
угла — — . Точка, имеющая на тригонометрической окружности
5 Л7
координату — — , совпадает с точкой, имеющей координату у. Значит, tg у) = tgy. По рис. 13 заключаем, что
Ответ, а) -у б) -1.	▲
Выше были рассмотрены задачи на отыскание значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов. Не меньший интерес представляют задачи, обратные к ним, т. е. отыскание углов по значениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Фактически, речь идет о решении простейших тригонометрических уравнений.
Пример 2. Решить уравнение sin £ = |.
А Задача сводится к отысканию чисел, соответствующих точкам тригонометрической окружности с ординатой |. Отметим эти точки
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
215
на тригонометрической окружности (рис. 15). По рис. 11 устанавливаем, что точка А соответствует числу и значит, она соответствует всем числам вида ^4-2лтг. Точка В соответствует числу и значит, 6	6
она соответствует всем числам вида + 2лтг.
Ответ, J + 2лтг, + 2тпг, п g Z.	▲
6	6
Определение знаков синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов. Для решения этой задачи будем опираться на то, что синус, косинус, тангенс и котангенс трактуются как координаты точек соответствующих осей. Поэтому, чтобы определить, например, знак синуса какого-либо угла, нужно вначале на тригонометрической окружности поставить соответствующую этому углу точку, затем отметить координату этой точки на оси синусов, после чего сделать вывод относительно знака.
Пример 3. Определить знак выражения (tg3 — ctg7) • cos2 • sin 4.
А Отметим на тригонометрической окружности точки, соответствующие углам 2, 3, 4 и 7 (рис. 16). При этом учтем очевидные оценки:
2<2<*>	тг<4<—, 2л<7<у
Координата точки 3 по оси тангенсов отрицательна, следовательно, tg3<0. Координата точки 7 по оси котангенсов положительна, следовательно, ctg7>0. Таким образом, tg3 — ctg7<0. Абсцисса точки 2 отрицательна, следовательно, cos2<0. Ордината точки 4 отрицательна, значит, sin4<0. Итак, выражение (tg3 — ctg7) • cos 2 • sin 4 есть произведение трех отрицательных чисел, и, значит, отрицательно.	▲
216
Глава V. Тригонометрические формулы
Сравнение и оценка значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов. Задача на сравнение значений косинусов (синусов) двух углов а и /3, будучи переформулирована на геометрическом языке, звучит следующим образом: на тригонометрической окружности отмечены точки а и /3; у какой из них абсцисса (ордината) больше? Поэтому, чтобы сравнить значения косинусов (синусов) двух углов а и /3, достаточно поставить на тригонометрической окружности точки, соответствующие эти углам, и сравнить их абсциссы (ординаты). Аналогично сравниваются значения тангенсов (котангенсов) углов.
Последовательно рассмотрим следующие случаи:
а)	сравнение значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, основанное на различии знаков;
б)	сравнение значений синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) углов, соответствующих точкам тригонометрической окружности, лежащим в одной четверти;
в)	сравнение одинаковых по знаку значений синусов (косинусов, тангенсов, котангенсов) углов, соответствующих точкам тригонометрической окружности, лежащим в разных четвертях.
Пример 4. Сравнить cos 4 и sin 7.
А С учетом оценок д< 4 <	2д< 7 < отметим на тригономет-
рической окружности точки, соответствующие углам 4 и 7 (рис. 16). Абсцисса точки 4 отрицательна, следовательно, cos4<0. Ордината точки 7 положительна, значит, sin 7 > 0. Вывод: cos 4 < sin 7.	▲
Пример 5. Сравнить sin 2 и sin3.
А Имеем: < 2 < д, < 3 < д, т. е. углы 2 и 3 рад лежат во второй четверти, причем первый меньше второго. Ставим на тригонометрической окружности точки, соответствующие этим углам (рис. 16). Отмечаем ординаты этих точек. Видим, что ордината точки 2 больше ординаты точки 3. Следовательно, sin 2 > sin 3. ▲
Заметим, что если точки, соответствующие углам а и /3, лежат в одной четверти, то понять, как они расположены друг относительно друга, проще, если углы а и /3 соответствуют одному и тому же обороту (отсчет оборотов ведем с нуля).
Пример 6. Сравнить sin 2 и sin 8.
А Точки, соответствующие углам 2 и 8 радиан, хоть и лежат в одной четверти тригонометрической окружности, но соответствуют разным оборотам вокруг нее. С точки зрения сравнения это неудобно. Лучше свести задачу к сравнению синусов углов, соответствующих одному
§3. Синус, косинус, тангенс и котангенс
217
и тому же обороту. Так как sin 8 = sin(8 — 2д), наша задача — сравнить sin 2 и зт(8-2д). Так как 8 — 2 • 3,15 < 8 — 2д < 8 - 2 • 3,14, т. е. 1,7 < 8 — 2д < 1,72, то угол (8 — 2д) меньше угла в 2 рад и, так же как угол 2, лежит во второй четверти тригонометрической окружности. Ставим на тригонометрической окружности точки, соответствующие этим углам. Отмечаем ординаты этих точек. Видим, что ордината точки 2 меньше ординаты точки (8 — 2д). Делаем вывод: sin 2 < sin(8 - 2д) и, значит, sin 2 < sin 8.	▲
Пример 7. Сравнить sin 2 и sin 0,5.
А Точки, соответствующие углам 2 и 0,5 радиан, хоть и соответствуют одному обороту, но лежат в разных четвертях тригонометрической окружности. Так как sin 2 = sin(zc: — 2), то задача сводится к сравнению sin (тс—2) и sin 0,5. Далее рассуждаем так же, как в предыдущем примере.
Ответ, sin 2 > sin 0,5.	▲
Рассмотрим несколько задач, в которых определение знаков и сравнение значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов не самоцель, а средство для достижения цели.
Пример 8. Решить неравенство |х| • ctg9 > cos 9.
А Поскольку 2,5д^ 9 Зд, то ctg9 < 0, sin 9 > 0. Следовательно, наше неравенство равносильно неравенствам |х| < cos 9 : ctg9, |х| < sin 9, — sin 9 < х < sin 9.
Ответ. (—sin 9; sin 9).	▲
Пример 9. В какой полуплоскости расположен график функции у = х2 sin 4 — cos 6? А Графиком функции является парабола. Поскольку д 4	1,5д, то sin 4 < 0,
следовательно, ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты вершины: хв = 0, Ув = */(хв) = - cos 6. Так как 1,5д^6^2д, то cos 6 > 0, и, следовательно, ув <0. Вывод: парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 17).	▲
Пример 10. Найти все решения неравенства х2 + 2х + cos 5 < 0, лежащие в промежутке —2 х —1/3.
А Корнями квадратного трехчлена х2 + 2х + cos 5 являются числа X] = — 1 — %/1 — cos 5 и Х2 = — 1 + л/1 — cos 5. Следовательно, неравенство х2 + 2х + cos5 < 0 выполняется для Xi<x<X2- Из промежутка Xi < х < Х2 нужно выбрать точки, принадлежащие промежутку
218
Глава V. Тригонометрические формулы
—2 О -1/3. Так как 1,5д^ 5 2д, то 0 < cos 5 <1, — 1 < — cos 5 < О, О < 1 — cos5 <1, 0 < \/1 — cos5 <1, —1 < —Vl — cos5 < О, —2 < —1 — л/1 — cos 5 < —1, т. е. — 2 < х\ < —1/3. Теперь сравним %2 с —1/3: — 1 Ч- д/1 — cos 5 V —1/3, \/1 - cos 5 V 2/3, 1 —cos 5 V 4/9, 5/9 V cos 5. С учетом оценок < 5 < ^ < 2д на тригонометри-ческой окружности ставим точки, соответствующие углам 5 и у, и убеждаемся, что абсцисса точки 5 меньше абсциссы точки у. Делаем выводы: cos 5 < cos у, cos 5 < ~ и, значит, cos 5 < Таким образом, показано, что — 1 + \/1 — cos5> —1/3. Следовательно, искомое множество имеет вид (—1 — \/1 — cos 5; —1/3].
Ответ. (— 1 — д/1 — cos5; -1/3].	▲
§4. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
Основное тригонометрическое тождество
1.	sin2 а + cos2 а = 1
Следствия основного тригонометрического тождества
2.	1 + tg2 а = —, если а ^ - + тг, п 6 2 cos2 а	2
9	1
3.	1 + ctg а=—х—, если а^тгп, nEZ sin2 а
Формулы суммы и разности углов
4.	sin(a±/3) = sin a cos/3 ± cos a sin/3
5.	cos(a±/3) = cos acos/3=F sin asin/3
6.	tg(a + /3) = tg“ + tg^ если a,/3,a + /3^ J+ яп, neZ 1-tga-tgp	'	'	2
7.	tg(a — B) = tgtg^ если а, В, a — В 7^ - + m, n. 6Z
6V ‘ l + tga-tg/3	'^2
8.	ctg(a + /3) = ———ctg^ .yJ-, если а, В, a + В 7^ m, neZ ctga + ctgp
9.	ctg(a - B) =	ctg^ + * если а, В, a - В 7^ m, n e Z
ctga —ctg/3	'
§4. Основные тригонометрические формулы
219
Основные формулы приведения
10.	cos । - — а । — sin а 11. sin ( - — а ) = cos а \2 / \2 /
12.	sin (тг — а) = sin а 13. cos (тг - а) = — cos а
Формулы двойного аргумента 14. sin 2а = 2 sin acos а 15. cos 2а = cos2 а — sin2 а , /? , п 2 tg а	, к ,	, я , тс/е >
16.	tg2a=--- 9—- если а^-4-тгп, а^-4-----, n,ktl
1 — tg2 а	2	4	2
. 2	1
1-7	. о ctg а — 1	/ЯП _
17.	ctg2a=—---------, если а^—, nGZ
е 2ctga	2
Формулы тройного аргумента
18.	sin За — 3 sin а — 4 sin3 а 19. cos За = 4 cos3 а — 3 cos а
Формулы понижения степени
пл • 2	1-cos 2а	П1 2	1+cos 2а
20.	sin а----------	21. cosа= —'---
2	2
Формулы универсальной тригонометрической подстановки
22.	sin 2а =	, если а £ 4- тг, neZ
1 + tg2 а	2
23.	cos 2а =-—если а ± - 4- тг, n£Z 1 + tg2 а	2
Формулы преобразований произведений в суммы
ОЛ	Q cos (а - В) + cos (а + В)
24.	cos а • cos р =---—-------------—
к	2
ОС .	. п cos (а -/3) - cos (а 4-/3)
25.	sin а • sin р =-1-—--------—
к	2
ОС • a sin (а +/3) + sin (а —/3) 26. sin а • cosр = —--1--------—
Формулы преобразований сумм в произведение
о-7		/2о а + В а-В
27.	cos а 4- cos р = 2 cos — cos —
оо	/2 о • “4-/3	. а-В
28.	cos а — cos р — — 2 sin--  sin-с-
2	2
on •	। • /2 о  “4/3 (Х-В
29.	sin а 4- sin р = 2 sin —• cos —
30.	sin а — sin в — 2 sin -—-  cos ^22
220
Глава V. Тригонометрические формулы
Обратите внимание на следующее обстоятельство. Большинство приведенных формул справедливы при любых значениях входящих в них переменных. Однако часть тригонометрических соотношений имеет место только при определенных ограничениях. Среди этих соотношений встречаются формулы, левая и правая часть которых определены на разных множествах. В частности, это относится к формулам тангенса и котангенса суммы и разности, тангенса и котангенса двойного аргумента, формулам универсальной тригонометрической подстановки. Следует иметь в виду, что формулы, у которых область определения левой и правой частей не совпадают, «коварны» при решении уравнений, их использование может привести к потере или к приобретению корней. Причина тому —сужение или расширение после применения таких формул области допустимых значений уравнения.
Осваивать основные тригонометрические формулы лучше последовательно, одну за другой, на простых упражнениях, выполнение которых предполагает использование одной, двух формул (такие упражнения в достаточном количестве присутствуют в задачнике). Мы не приводим здесь образцы решения таких тренировочных задач. Они просты и их выполнение обычно не вызывает трудностей.
Сделаем одно исключение: рассмотрим задачу преобразования выражений вида a sin а + b cos а.
Пример 1. Выразить \/3cos t — sin t\ а) через косинус; б) через синус некоторого угла.
Г-	[ у/b	1	\
Л a) v3 cos t - sin t = 2 ( -у- • cos t — | • sin t) —
= 2 (cos • cos t — sin • sin Л = 2 cos (	;
\	6	6	/	\ 6	/
r~	i \/3	1 i
6)	v 3 cos t — sin t = 2 • I -y- • cos t — • sin t\ =
= 2 • (sin • cos t — cos • sin Л = 2 sin ( — t \ .	▲
\ <J	О	/	\ О /
В учебнике (гл. V, § 10) показано, что в общем случае подобные преобразования приводят к следующим формулам:
•	a sin а + 6 cos а= у/а2	+	b2 cos (а — ф),	где	угол	ф	определяется
равенствами sin (р =	,	а _ , cos (р =	,	b
•	a sin а + b cos а = уа2	+	b2 sin (а + ф),	где	угол	(р	определяется
равенствами cos (р =	,	а sin (р =	,	b
§5. Преобразования тригонометрических выражений
221
Заучивать эти формулы наизусть необязательно, главное запомнить идею, лежащую в основе преобразований (ее реализация называется методом вспомогательного угла).
§5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Задачи, решение которых основано на преобразовании тригонометрических выражений с использованием формул, чрезвычайно многообразны. Естественно возникает желание их систематизировать. В пятой главе учебника в основу систематизации материала положены используемые при решении задач тригонометрические формулы. В данном пособии мы решили поступить иначе и систематизировали задачи по их целевой направленности.
Вычисление значений синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов «нетабличных» углов
Пример 1. Вычислить sin 585° • cos(—930°) • ctg 510°.
A sin 585° = sin(720° - 135°) = sin (-135°) = - sin 135° =
cos (-930°) = cos(—930° + 3 • 360°) = cos 150° =
ctg 510° = ctg(510° - 360°) = ctg 150° = -\/3;
sin 585° • cos(-930°) • ctg 510° =
3\/2	*
Ответ.-------—.	▲
4
Рассмотрим на примере способ вычисления значений синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов, кратных 15°.
Пример 2. Вычислить tglO65°.
A tg 1065° = tg(180° • 6 - 15°) = tg (-15°) = tg (45° - 60°) =
= tg45° - tg60° = 1 — x/3 =
1 + tg45° tg60°	1 + УЗ
-	(1~^)2	_ 4 - 2x/3 _ /о „
(l + л/з) (l-x/3)	-2 V
Ответ. \/3 —2.	A
Куда труднее найти значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса углов, кратных 18°.
222
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 3. Вычислить cos 36°.
А Воспользуемся равенством sin 72° = sin 108°. Обозначив 36° = а, перепишем его в виде sin2a=sin3a. Или 2sinacosa = 3sina — 4sin3a. Так как sin a = sin 36° ф 0, то можем сократить последнее равенство на sin а. В результате получим: 2 cos a = 3 — 4 sin2 а или 2 cos a=3 — 4 (1 — cos2 a), 4 cos2 a — 2 cos a — 1 = 0. Решая это уравнение 1 + V5	I - т
относительно cos a, найдем: cosa=—4— и cosa=----------Так как
4	4
cos a = cos 36° > 0, то второе значение не подходит.
~	1 +л/5	*
Ответ. —4—.	▲
4
Сравнение и оценка значений тригонометрических выражений
Пример 4. Что больше: sin 13 или sin 12?
А Определим знак разности sin 13 — sin 12. Для этого преобразуем ее по формуле разности синусов в произведение: sin 13 — sin 12 = 2 • cos 12,5 • sin 0,5. Поскольку угол в 0,5 радиан лежит в первой четверти, то sin 0,5 > 0. Поскольку 3,5л: < 3,5 • 3,2 < 12,5 < 4 • 3,14 < 4л:, то угол 12,5 радиан лежит в четвертой четверти и, следовательно, cos 12,5 > 0. Таким образом, sin 13 — sin 12 > 0 и, значит, sin 13 > sin 12.	▲
Для сравнения значений sin а и cos/З сначала следует представить синус через косинус (или косинус через синус), например, заменить cos а на sin — а) или на sin + а) и тем самым свести задачу к предыдущей.
Пример 5. Что больше: sin 12 или cos 10?
А Так как cos 10 = sin + ю), то задача сводится к сравнению sin 12 и sin + ю). Поскольку 3,5тг < 11,57 < ^ + 10 < 12 < 4д, то sin 12 > sin + ю), sin 12 > cos 10.	▲
Пример 6. Определить знак выражения tg2 + ctg4.
л	l о+сг/1 — sin 2 । cos 4 _ sin 2-sin 4 4-cos 2 cos 4 _
A	tg2 + ctg4-—+ —- cos2.sin4---------------------
_ cos(4 — 2) _ cos 2	_ 1
cos 2-sin 4' cos 2-sin 4	sin 4"
Так как л:< 4 < то sin4 < 0 и, следовательно, tg2 + ctg4 <0. ▲
§5. Преобразования тригонометрических выражений
223
Рассмотрим упражнения, в которых требуется определить знаки тригонометрических выражений в зависимости от того, какому промежутку принадлежат входящие в это выражение углы.
Пример 7. Для каких углов аб	выполняется неравенство
sin а sin 2а?
А Преобразуем неравенство, воспользовавшись формулой синуса двойного угла: sin а — 2 sin а cos а > 0, sin а • (1 — 2 cos а) О,
sin а • Q-cosa) 0. Заметим, что на отрезке	есть ТРИ
точки, а именно, и 0, в которых один из сомножителей в левой части неравенства обращается в ноль, и, следовательно,
неравенство выполнено. Разобьем отрезок I — I за вычетом этих
трех точек на четыре промежутка	v ’ f) ’ \Д’f j
и поищем ответ на вопрос задачи в каждой из этих «частичных» областей. На первом промежутке	имеем sina<0, cosa<
следовательно, неравенство sin a (5 — cos a) 0 не выполняется.
На интервале (—^;0) имеем sin a < 0, cosa>^, следовательно, \ о /	2
неравенство выполняется. На интервале ^0; имеем sin a > О, cosa>^, следовательно, неравенство не выполняется. На промежутке
(тг я . А	^.1
sina>0, cosa<-, следовательно, неравенство выполняется. Подытожим: неравенство sin a sin 2a выполняется для углов ае Н;0] и Д
Ответ. [-2;0] и	А
L	L о z J
Вычисление значений тригонометрических выражений через известные значения других тригонометрических выражений
Пример 8. Найти значение выражения sin	если из-
вестно, что sin a = —0,6,	< a < 2д.
224
Глава V. Тригонометрические формулы
Д Вначале преобразуем	sin	по	формуле	суммы синусов:
. /За + лЛ	.	/а	.	-а	тг	.	а • л
sin —-— =	sin	- +	- = sin -	cos - + cos - sin -	=
\ 6 /	\ 2	6 /	2	6	2 6
л/3	. а . 1 а
= l-'Sin2 + 2-COS2'
3л ,	„	n	Зл	а _	а A
Так как — < а < 2тг, то — < - < к, следовательно, cos - < О
и sin > 0. Чтобы найти cos и sin^, можно воспользоваться 2	2	2
,	о of 1 -Н cos а  о а 1 — cos а
формулами понижения степени cos - = —-—, sinz - = —-—.
Но для этого вначале нужно вычислить cos а. Дальнейшее решение складывается из следующих шагов:
1)	cos2 а = 1 — sin2 а = 0,64 и, поскольку < а < 2тг, cosa>0, значит cos а = 0,8;
2 <х 1 + 0,8	9 х А	а 3
2)	cos - = —= — и cos - < 0, следовательно, cos - = —=; ’	2	2	10	2	2 д/ю
• 9 а 1 — 0,8	1	. а n	.al
3)	sinz - — —~ Тб И Sln 2 > 0’ следовательно’ Sln 2 = уТб’
лч ,;„/За+л\	1.1/	3 \	\/3 - 3
4)	sm(—) = -2'уш+2'|-^; = 1гж'
~	л/З-З	д
2v46
Довольно часто возникают ситуации, когда вычисление тригонометрического выражения проще начать с вычисления его квадрата.
Пример 9. Найти значение выражения cos a + sin а, если известно, что cos a — sina=| и 0 < a < д/2.
Д Так как 0 < a < д/2, то cos a >0 и sin a > 0, следовательно, cos a + sin a >0. Имеем:
(cos a + sin a)2 = cos2 a + 2 sin a cos a + sin2 a = 1 + sin 2a.
По условию задачи
(cos a - sin a)2 = cos2 a- 2 sin a cos a + sin2 a — 1 — sin 2a = ( ? ) = Л-x	\ 4 I 1К
7	9	7	23
Откуда sin 2a = —. Следовательно, (cos a + sin a) = 1 + — = —, J	16	16	16
I  n	I •	\/23
как cos a + sin a > 0, to cos a + sin a = ——.
4
а так
v23 Ответ. ——.
4
§ 5. Преобразования тригонометрических выражений
225
Тот же прием используем в следующем примере.
Пример 10. Вычислить cos3 2а — sin3 2а при а=^.
А Преобразуем выражение cos3 2а — sin3 2а как разность кубов: cos3 2а — sin3 2а = (cos 2а — sin 2а) (sin2 2а + sin 2аcos 2а + cos2 2а) = = (cos 2а — sin 2а) (1 + 0,5 • sin 4а).
Найдем sin4а: sin4а = sin = sin [ 2тт — J ) =sin ( — J ) = — sin J = b \	6/	\ 6 /	Ь2
Чтобы найти cos 2а— sin 2а, вычислим вначале квадрат этого выражения:
(cos2а - sin 2а)2 = cos2 2а — 2sin 2acos2a + sin2 2а = 1 — sin 4а = |.
Так как 2а= и	д, то cos2a<0 и sin2a>0, следовательно,
cos 2а — sin 2а < 0, и, значит, cos 2а —sin
Таким образом, cos3 2a — sin3 2a =
3\/б Ответ. ——.
о
зУб
8 '
Рассмотрим прием преобразований, основанный на использовании однородности тригонометрических выражений.
Пример 11. Найти значение выражения 4 + s!P^t если
cos2 a ч- 4 tga= -0,5.
А Преобразуем выражение, используя формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество:
4 (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a cos2 a + 4 (sin2 a + cos2 a)
_ 4 sin2 a + 2 sin geos a + 4 cos2 a _ 4 tg2 a + 2 tg a + 4 _ 2
5cos2a + 4sin2a	5 + 4tg2a 3
Ответ. |.	A
Многие задачи на преобразование тригонометрических выражений можно решить несколькими способами. Возвратимся к примеру 9.
226
Глава V. Тригонометрические формулы
Пример 12. Найти значение выражения cosa + sina, если известно, что cos a — sina=| и 0 < а < д/2.
А Перепишем искомое выражение, используя метод введения вспомогательного угла:
, . /д (V2 . V2 .	\
cos a + sin a = v 2 I — cos a + — sin a	I =
=	( sin v • cos a+ cos ~  sin a) = a/2 • sin	( + a)	•
\	4	4 /	\4	/
Q
Аналогично преобразуем равенство cos a — sina=-:
Согласно основному тригонометрическому тождеству
. 2 (Д ,	\	1	2 / 7Г I \	1	9	23
sin ^- + aj = l-cos +	=	=
Поскольку 0 < a < д/2, то < а+ и, значит, sin (д +	> О-
Следовательно, sin + а) =	0ТКУда cos a + sin a =
ГЛ	л/23	А
Ответ. .	▲
4
В следующем примере вновь используем метод введения вспомогательного угла.
Пример 13. Какие значения может принимать сумма sin а —2 cos а, если углы а удовлетворяют условию sin а + cosa= 1? А Из условия sin а + cos а = 1 получим: д/2 sin (а +	= 1,
(I 7Г \ V2 , 7Г 7Г , Q	, 7Г 3 7Г .	гп
а+-	, а + - = - + 2тт и а+- = —- +2 дщ где п 6 Z.
4/	2	4	4	4	4
Таким образом, имеем две серии значений а: а = 2тш и а=^ + 2тт. Если а = 2дщ то sin 2дп — 2 cos2ди = --2. Если а = ^ + 2дп, то sin Q + 2дп) - 2 cos + 2дп) = 1.
Ответ. —2; 1.	▲
§ 5. Преобразования тригонометрических выражений
227
В заключение раздела рассмотрим задачу с нестандартной формулировкой.
Пример 14. Найти sin если cos2a^—7/8, cos a —1/4.
А По условию cos2a -7/8, следовательно, 1 + cos2a 1/8, 2cos2a^ 1/8, cos2a^ 1/16, — l/4^cosa^ 1/4. Вместе с тем известно, что cosa^—1/4. Значит, cosa=—1/4. По найденному значению . 2 a 1 — cos a 5	. a . /5
cos а вычисляем sin - = —-— = -. Следовательно, sin - = ±a /-. z 2 о	2 V о
Ответ. ±
Упрощение тригонометрических выражений и доказательство тригонометрических тождеств
Пример 15. Доказать тождество 8 cos4 a = 3 + 4 cos 2a + cos 4a. А С помощью формулы cos2 a — 1 1 c°s2oc преобразуем левую часть тождества:
8 cos4 a = 2 (2 cos2 a)2 = 2 (1 + cos2a)2 = 2 + 4 cos2a + 2 cos2 2a = = 2 + 4 cos 2a + 1 + cos4a = 3 + 4 cos 2a + cos 4a.	A
Пример 16. Упростить sin2 a + sin (60° + a) • sin (60° — a).
A	sin2 a + sin (60° + a) •	sin (60° — a) =
= sin2 a +	(sin	60° cos a + cos 60° sin a)	(sin 60° cos a — cos 60° sin a) =
. 2	, ( УЗ , 1 . \	(УЗ 1 .	\
= sin	Ct + I — cos Ct + - sin Ct I	I — cos ct — - sin	Ct I	=
= sin2 a + v cos2 a — 4 sin2 a = 7 (cos2 a + sin2 a) = 7. A 4	4	4 '	>4
Пример 17. Доказать тождество sin6 ct + cos6 a = 1 - | • sin2 2a. А Преобразуем левую часть данного тождества, используя формулу разложения на сомножители суммы кубов a3 + 63 = = (a + b) (а2 - ab + Ь2):
sin6 а + cos6 а = (sin2 а)3 + (cos2 а)3 =
= (sin2 а + cos2 a) (sin4 а — cos2 a sin2 а + cos4 а) =
= (sin2 а)2 + 2 cos2 a sin2 а + (cos2 а) 2 — 3 cos2 a sin2 а =
— (sin2 а + cos2 а)2 - 3 (sin a cos а)2 = 1 — 3 f sin^2aA = 1 - | sin2 2а.
228
Глава V. Тригонометрические формулы
По ходу приведенного выше доказательства мы преобразовали выражение sin4 а + cos4 а с помощью формулы а2 + Ь2 = (а + /?)2 — 2аЬ, что в конечном итоге привело к понижению степени входящих в него тригонометрических выражений. Того же эффекта можно было бы достичь, используя формулы понижения степени, однако, примененный нами прием, безусловно, красив, а главное, может пригодиться во многих случаях.
Вообще выражения вида sinn а + cosn а интересны тем, что относятся к классу симметрических многочленов. Напомним, что многочлен Р(х,у) от аргументов % и у называется симметрическим, если он не изменяется при перестановке его аргументов, т. е. Р(х,у) = Р(у, х). Всякий симметрический многочлен может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических функций и=х+у и v = xy. Так, выражение sin6 а +cos6 а можно рассматривать как симметрический многочлен 6-й степени относительно sin а и cos a и, следовательно, его можно выразить через функции w = sin a+cosa и v = sin a cos а. Вместе с тем многочлен sin6 a + cos6 а есть симметрический многочлен 3-й степени относительно sin2 а и cos2 а и, следовательно, может быть выражен через основные симметрические функции и = sin2 a + cos2 a = 1 и u = sin2 acos2 a= | sin2 2a (что и было нами сделано в рассмотренном выше примере).
Следующий пример интересен с двух точек зрения: по ходу его решения, во-первых, возникает потребность представить выражение в виде полного квадрата, а во-вторых, нужно раскрывать знак модуля.
Пример 18. Доказать тождество
если
— < a < —.
4	4
Д	a /sin - 2 sin (J - a^) cos (+ a^) + 1 =
V з \б / \б /
=	1 +	— (sin(-2a) + sin = y/l + sin 2a =
= Vcos2 a + sin2 a + 2 sin a cos a = yj(cos a + sin a)2 =
= |cos a + sin a|.
Чтобы определить знак выражения cos a + sin а на промежутке < a< преобразуем его, используя метод введения вспомогатель-
§ 5. Преобразования тригонометрических выражений
229
। .	_ /q {\/2	। х/2 •	।   /п	( тс \
ного угла: cos а + sin а = V2 I — cos а + — sin а I = V2 cos I а — - I.
'р	5 7Г	7 7Г	- 7Г 3 7Г	( 7Г \ г\
Так как — < а < —, то тг < а — - < —, следовательно, cos а — - < О
4	4	4	2	\	4 /
и, значит, cos а + sin а <0. Следовательно, в промежутке ^<а<^ имеем: |cos а + sin а| = — cos а — sin а. Тождество доказано. ▲
Пример 19. Доказать тождество
cos а • cos 2а • cos 4а •... • cos2/ca = s!n,^ + — .
2/?+1sina
А Левая часть тождества легко приводится к виду правой, если воспользоваться равенствами cosa=——cos 2a — sin4^ , 2 sin a	2 sin 2a
л sin 8a	ok sin2/?+1a
cos4a = „	..., со5 2яа=------т—:
2 sin 4a	2 sin 2* a
cos a • cos 2a • cos 4a •... • cos 2/га = *ln  A1"-4— . sin8oc x ...
2 sin a 2 sin 2a 2 sin 4a
x sin 2l{a sin 2/г+1а _ sin 2/г+1а 2sin2^“'a 2 sin 2/га 2/?+'sina
Определение наибольшего и наименьшего значения тригонометрических выражений. Вначале рассмотрим задачи на определение наибольшего и наименьшего значений линейных выражений от синуса (косинуса) одного угла. Ключом к решению таких задач является использование свойств числовых неравенств.
Пример 20. Какие значения может принимать сумма 1 — 3 cos а? А Так как —1 С cos a С 1, то — 3 С —3cos a С 3, -2^1 — 3cos a< 4. Поскольку cosa может принимать любые значения из отрезка [ — 1; 1], то и выражение 1 — 3 cos а может принимать любые значения из отрезка [—2; 4].
Ответ. [—2;4].	А
Пример 21. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения sin4 0,5/ + cos4 0,5t + cos21.
/\ Для любого t справедлива цепочка равенств:
(sin2 0,5/)2 + (cos2 0,5/)2 + cos2 / =
— (sin2 0,5/ + cos2 0,5/)2 — 2 sin2 0,5/ cos2 0,5/ + cos2 / =
= 1 — 0,5sin2 / + cos2 / = 1 — 0,25 + 0,25 cos2/ + 0,5 + 0,5 cos2/ =
= 1,25 + 0,75 cos 2/.
230
Глава V. Тригонометрические формулы
Так как наименьшее и наибольшее значения cos2^ равны соответственно — 1 и 1, то наименьшее значение выражения равно 0,5, а наибольшее равно 2.	▲
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратного трехчлена от синуса (косинуса) одного угла удобно использовать прием, заключающийся в выделении полного квадрата относительно синуса (косинуса).
Пример 22. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2 sin2 2t — 4 cos2 t + 1.
А Обозначим рассматриваемое выражение через А и, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством и формулой понижения степени, выразим его только через cos2Z:
А = 2 sin2 2/ — 4 cos2 t + 1 = 2(1 — cos2 2t) - 2 (1 + cos 2t) + 1 =
= —2 cos2 2^ — 2 cos 2^ + 1.
Выделим полный квадрат относительно cos 2/:
А = —2(cos2 2t + cos 2t + 0,25) + 1,5 =
= 1,5 — 2 (cos 2^ + 0,5)2 .
Таким образом, рассматриваемое выражение равно 1,5 за вычетом некоторого неотрицательного значения. Если cos2/ = —0,5, то А = 1,5, если cos2// —0,5, то А < 1,5, следовательно, наибольшее значение А равно 1,5. А наименьшего значения А достигает при наибольшем по модулю значении (cos2t + 0,5), т. е., если cos2^=l. Значит, наименьшее значение А равно —3.
Ответ. Наибольшее значение равно 1,5; наименьшее значение равно —3.	А
Пример 23. Найти наибольшее значение выражения ____________________________1______ 4 sin4 a — sin2 а + 1
А Выделяя полный квадрат в знаменателе, запишем выражение в виде ---------—п---=-------------—п-----. Знаменатель дроби
4 sin4 а - sin2 а + 1	sin2 а _1/4)2 + 15/16
при всех значениях а положителен. Поэтому дробь принимает наибольшее значение в том случае, когда знаменатель принимает наименьшее значение. Справедлива оценка (2 sin2 ое — 1/4)2 -Ь 15/16
15/16. Посмотрим, существуют ли значения а, при которых (2 sin2 а — 1/4)2 + 15/16 = 15/16. Имеем (2 sin2 а - 1/4)2 = О,
§5. Преобразования тригонометрических выражений
231
2sin2 а— 1/4 = 0, sin а = ±\/1/8. Значения а, при которых выполняется последнее равенство, существуют, следовательно, наименьшее значение знаменателя равно 15/16, а искомое наибольшее значение выражения равно 16/15.
Ответ. 16/15.	А
Определение наибольшего и наименьшего значений выражений a sin а + b cos а основывается на преобразовании этого выражения к синусу или косинусу некоторого угла.
Пример 24. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 3 sin a — 4 cos a + 2.
А Преобразуем выражение путем введения вспомогательного угла:
3 sin a — 4 cos a + 2 = а/З2 + 42 • | j • sin a - i • cos a) + 2 = ч .	__/ \5	5	/
=5
= 5 • (cos (p • sin a — sin cp • cos a) + 2 = 5 sin (a — cp) + 2,
3	4
где угол ср определяется условиями cos ср = -, sin ср = -. 1ак как sin (а— ср) принимает любые значения из отрезка [—1;1], то 5sin(a-<p) + 2 принимает любые значения из отрезка [—3;7] (—1 sin (a — ср) 1, — 5 5 sin (a - ср) 5, -3 5 sin (a - ср) + 2 7). Таким образом, наименьшее значение выражения равно —3, а наибольшее равно 7.	А
Пример 25. Показать, что выражение
sin2 a - 14 sin a cos a — 5 cos2 ct + 12
принимает только положительные значения.
А Воспользовавшись формулами sin2 ct — 1 ~ c°s2a, cos2 a = 1 + c°s2a 2 sin a cos a = sin 2a, перепишем исходное выражение в виде
А = £-cos2a _ 7sin2» _ 5 • -1-+c2°s2^ + 12 = -3cos2a- 7sin 2a + 10,
или в виде A = —\/58 ( —cos 2a + —£= sin 2a ] + 10. \x/58	a/58	)
a	7
Пусть угол ср определяется условиями sin<p=-/=, cos ср = —= v58	v58
тогда А запишется в виде
А — -л/58 (sin ср cos 2a + cos ср sin 2a) + 10 = — x/58sin (ср + 2a) + 10.
Теперь очевидно, что выражение А принимает наименьшее значение при тех углах а, при которых sin(^ + 2a) = l. Это наименьшее значение равно — л/58 + 10. И поскольку 10 = л/Ю0 > \/58, то А — \/58+ 10 > 0, т. е. требуемое утверждение доказано. А
232
Глава V. Тригонометрические формулы
И, наконец, рассмотрим задачи на определение наибольшего и наименьшего значения выражений, представляющих собой сумму (произведение) независимых слагаемых (сомножителей)
Пример 26. Какие значения может принимать выражение sina-3cos/3, д/4 а 5д/6, -д/6 /3 д/З?
А На тригонометрической окружности выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла а. Ординаты точек этой дуги образуют отрезок [0,5; 1] (рис. 18), т. е. 0,5 sin a 1. Затем на тригонометрической окружности выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла /3 (рис. 19). Абсциссы точек этой дуги также образуют отрезок [0,5; 1], т. е. 0,5 cos/3 1 и, значит, -3	— 3cos/3 —1,5. В выражении sin a - 3cos/3 члены не за-
висят друг от друга, поэтому для определения диапазона его значений достаточно почленно сложить неравенства 0,5 sin a 1 и —3 —3 cos/З —1,5, задающие диапазон значений слагаемых: —2,5 sin a — 3 cos/3 —0,5.
Ответ. [—2,5;—0,5].	А
Пример 27. Какие значения может принимать выражение sin a- cos/3, д/4 а 5д/6; д/3 /3 5д/6?
§5. Преобразования тригонометрических выражений
233
А На промежутке тг/З (3 5ти/6 выражение cos/З принимает как положительные, так и отрицательные значения. А произведение sina-cos/З удобно оценивать на интервалах знакопостоянства сомножителей, поэтому рассмотрим два случая.
1) Пусть тг/З /3	тг/2. На тригонометрической окружности
выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла {3 (рис. 20). Абсциссы точек этой дуги образуют отрезок [0; 1/2], т. с. О < cos/3 1 /2. Далее на тригонометрической окружности выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла а (рис. 21). Ординаты точек этой дуги образуют отрезок 1 следовательно, |<sina^l. Границы, в которых изменяются cos{3 и sin а, положительны, поэтому неравенства 0<cos/3< | и |sin a 1 можно почленно перемножить. В результате получим 0 sin a • cos/3 причем очевидно, что нижняя и верхняя границы этого двойного неравенства достигаются.
2) Пусть тг/2 (3	5тг/6. На тригонометрической окружности
выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла /3. Абсциссы точек этой дуги образуют отрезок [—а/3/2;0], т. е. — \/3/2 cos/З 0 или 0	— cos/З \/3/2. Границы,
в которых изменяются — cos/З и sin а, положительны, поэтому неравенства 0 — cos/З \/3/2 и sin a 1 можно почленно перемножить. В результате получим 0 — sin a- cos/3 а/3/2 или -V3/2 sin a • cos/З О, причем очевидно, что нижняя и верхняя границы этого двойного неравенства достигаются.
Объединив случаи 1 и 2, получим — \/3/2 sin a- cos/3 1/2.
ГЛ	Г 11	а
Ответ. —▲
Пример 28. Какие значения может принимать выражение sina-|cosa|, если тг/6 а 2тг/3?
А На промежутке тг/6 а 2тг/3 выражение cos а принимает как положительные, так и отрицательные значения. Поскольку нам хочется раскрыть знак модуля, рассмотрим два случая.
1)	Если тг/6 а тг/2, то cos a	0, следовательно,
sin a • |cos a| = sin a • cos a = • sin 2a. Так как тг/6 a тг/2, то тг/З 2a л. На тригонометрической окружности выделим
234
Глава V. Тригонометрические формулы
дугу, соответствующую диапазону изменений угла 2а. Ординаты точек этой дуги образуют отрезок [0; 1], следовательно, О sin 2а 1 и 0 У i • sin 2а У
2	2
2)	Если д/2 < а 2л/3, то cos а < 0, следовательно, sin а - |cos а| = — sin а-cosа = — - sin 2а. Так как д/2< а^2л/3, то д<2а^4д/3. На тригонометрической окружности выделим дугу, соответствующую диапазону изменений угла 2а. Орди-
наты точек этой дуги образуют отрезок
Уз 2
;0
значит,
— ^^sin2a^0 и — ~ < х • sin 2a < О, О У — - • sin 2a < — • 2	4	2	2	4
Объединив случаи 1 и 2, получим, что выражение sina-|cosa| принимает значения из отрезка [О;	А
Пример 29. Найти наибольшее значение выражения sin18 a + cos12 a.
А Оценим слагаемые данного выражения:
sin18 a = sin16 a • sin2 a у 1 • sin2 a = sin2 a
cos12 a = cos10 a • cos2 a у 1 • cos2 a = cos2 a.
Следовательно, sin18 a + cos12 a у sin2 a + cos2 a = 1. Кроме того, sin18 0 + cos12 0 = 1, t. e. существует такое значение a, при котором выражение достигает значения 1. Таким образом, наибольшее значение выражения sin18 a + cos12 а равно 1.	▲
Пример 30. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
6 sin х cosy + 2 sin х sin у + 3 cos я.
A 6 sin x cos //+2 sin x sin z/+3cosx=(6cosz/+2sin y) sinx+3 cosjc=
_________1	s i n x+ у (6 cos y+2 sin z/)2 + 9
3	\
+	= COS X I =
у (6cosz/ + 2sin z/)2 + 9	/
= (6 cosz/+2 sin z/)2 + 9• sin (jc+a), где угол a определяется условиями:
1	.	з
cos a =	- sin a =	—
у (6 cost/ + 2 sin y)2 + 9	у (6 cos у + 2 sin z/)2 + 9
= y (6 cos// + 2 sin z/)2 + 9•
§6. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа
235
Чтобы избежать громоздкой записи, преобразуем выражение, стоящее под знаком квадратного корня, отдельно:
(6 cos у + 2 sin г/)2 + 9 = 36 cos2 у + 24 sin у cos у + 4 sin2 у + 9 = = 16 cos 2г/ + 12 sin 2г/ + 29 =
= \/162 Н- 122 • cos 2у + || sin 2г/) + 29 = 20 sin (2г/ + /3) + 29,
где угол /3 определяется условиями cos/3=|; sin/3=|.
Таким образом, исходное выражение представляется в виде
6 sin х cos у + 2 sin х sin у + 3 cos х = \/20 sin (2г/ + /3) + 29 • sin (х + а).
Так как число 2г/+/3 может принимать любое действительное значение, то множеством значений sin (2г/+/3) является отрезок [ —1; 1], в свою очередь множеством значений выражения 20 sin(2г/ + /3) + 29 является отрезок [9; 49], и, значит, выражение ^20 sin(2г/ + /3) + 29 может принимать любое значение из отрезка [3;7]. Далее, так как число х + а может принимать любое действительное значение, то множеством значений ^/20 sin(2г/ + /3) + 29  sin (х + а) является отрезок [-7; 7].
Ответ. Наименьшее значение равно—7, наибольшее равно 7. ▲
§6. АРКСИНУС, АРККОСИНУС, АРКТАНГЕНС, АРККОТАНГЕНС ЧИСЛА
Вычисление и сравнение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Арксинусом числа а (|а|	1) называется такое число t из отрезка	,
синус которого равен а. Арксинус числа а обозначается arcsina.
Арккосинусом числа а (|а|	1) называется такое число t из отрезка [0; тг],
косинус которого равен а. Арккосинус числа а обозначается arccosa.
Арктангенсом числа a (a G R) называется такое число t из интервала (— ^>^)> тангенс которого равен а. Арктангенс числа а обозначается arctga.
Арккотангенсом числа a (a G К) называется такое число t из интервала (0; тг), котангенс которого равен а. Арккотангенс числа а обозначается arcctga.
Пример 1. Вычислить arccos (—0,5). Дать геометрическое толкование.
Д По определению arccos(—0,5) — это угол а, лежащий в пределах от 0 до тг, для которого cos а = — 0,5. Это означает, что на тригонометрической окружности ему соответствует точка В с абсциссой
236
Глава V. Тригонометрические формулы
(—0,5), лежащая в верхней полуплоскости, и величина а определяется длиной дуги АВ (рис. 22). Следовательно, arccos(—0,5) = 2д/3 и дуга АВ — геометрический аналог arccos(—0,5).	▲
Задачи на сравнение также можно решать с помощью геометрического толкования арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса как дуг тригонометрической окружности.
Пример 2. Сравнить arcsin0,3 и arcsin 0.7.
Д По определению arcsin 0,3 — это угол а, лежащий в пределах от — f Д° для КОТОРОГО sin а = 0,3. Это означает, что на тригонометрической окружности ему соответствует точка В с ординатой 0,3, лежащая в верхней полуплоскости, а его величина определяется длиной дуги АВ. Выделим на тригонометрической окружности эту дугу (рис. 23). В свою очередь, согласно определению, arcsin0,7 — это угол /3, лежащий в пределах от — до для которого sin/3 = 0,7. Это означает, что на тригонометрической окружности ему соответствует точка С с ординатой 0,7, лежащая в верхней полуплоскости, а его величина определяется длиной дуги АС (см. рис. 23). Так как длина дуги АС больше длины дуги АВ, то arcsin 0,3 < arcsin 0,7.	▲
Вычисление значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса от аргументов, выраженных значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Пример 3. Вычислить arcsin sin 8.
Д Положим arcsin sin 8 = а. Опыт показывает, что, увидев это равенство, многие, не задумываясь, выдают неверный ответ а = 8. Ошибки удается избежать, если аккуратно пользоваться определением арксинуса: arcsinb = а<=>sin а = Ь, —	Заметим, что для
любого b, |b| 1, а находится однозначно. В нашем случае а определяется условиями sin а = sin8,	Первое равенство можно
§6. Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс числа
237
переписать в виде sin a = sin (8 — 2д) = sin (д — (8 — 2д)) = sin (Зд — 8). Так как 2,5д < 2,5 • 3,15 < 8 < Зд, то —Зд < — 8 < — у иО<Зд—8<^. Следовательно, для угла Зд—8 условия sin а = sin 8, — а выполнены, и, значит, arcsin sin 8 = Зд — 8.	▲
Пример 4. Вычислить arccos (sin 7).
А Положим arccos (sin 7) = а. Тогда а определяется условиями cos a — sin 7, 0 а д. Так как sin 7 = cos — 7^ = cos (у ~ 7^, то
(5 7Г	*\
— — 71. По-
скольку 2д<7<2,5-3<2,5д, то 0<2,5д—7<0,5д, следовательно, для угла 2,5д—7 оба условия выполнены, т. е. arccossin 7 = 2,5д—7. ▲
Вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса от аргументов, выраженных значениями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Пример 5. Вычислить sin ^2 arctg |.
А Положим arctg = а. Это означает, что а определяется условиями tga =	| < а < ^. Более того, так как тангенс положителен,
то угол а принадлежит интервалу (О; Поэтому задачу можно переформулировать следующим образом: вычислить sin 2a, если tga=| и 0 < a < ^. Чтобы найти sin 2a, представим его в виде sin2a = 2sinacosa. Так как 1 + tg2 a= —то cos2a=------------—
cos2 a	1 + (1/2)2	5
Учитывая, что 0 < a < ^, получим cosa= ~^=. Далее находим 2	v 5
1	4
sin a = tg a • cos a = —В итоге получаем sin2a=-.	▲
v 5	5
Сравнение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса с использованием тригонометрических тождеств
Пример 6. Доказать справедливость равенства
3 з
arcsin - = arctg
5	& 4
238
Глава V. Тригонометрические формулы
3
Д Положим arcsin - = а. Это означает, что а определяется условиями □
3 7Г / ТГ тг
sina=-, — -^а^-. ^олее того’ поскольку синус положителен, то ае	Далее положим arctg | = /3. Это означает, что /3
определяется условиями tg/3 = |, —	Более того, поскольку
тангенс положителен, то /3 е (0;^). Таким образом, нам нужно сравнить два угла, лежащих в первой четверти. Но в первой четверти имеет место взаимно однозначное соответствие между углами и значениями синусов этих углов. Этот факт означает, 3	3
что равенство arcsin - = arctg- верно в том и только в том
(3 \	/	о \
arcsin - I = sin (arctg I. Вычислим sin (arctg l) или, согласно введенным выше обозначениям, sin/3. Нам известно, что tg/3 = | и /Зе (б; следовательно, используя равенство 1 + ctg2/3 =—, получим sin/3 = |. Таким образом, имеем: sin2/3	5
(3 \ з	(	з \	з
arctg - I = - и sin I arcsin - I = sin a = -, т. e. исходное равенство доказано.	А
Пример 7. Сравнить числа arcctg0,4 и arccos3/8.
Д Положим arcctg0,4 = а и arccos 3/8 = /3. Это означает, что а определяется условиями etga = 0,4, 0 < a < д, а /3 —условиями cos/3 = 3/8, 0 /3 д. Более того, так как etga > 0 и cos/З > О, то углы а и /3 принадлежат интервалу (О; Но на интервале (О; имеет место взаимно однозначное соответствие между углами и значениями котангенсов этих углов, причем, если котангенс одного угла больше котангенса другого, то первый угол меньше второго. Для дальнейшего сравнения нам понадобится ctg/З. Воспользовавшись
равенством 1 + tg2 /3 =—, находим tg2/3=-||, откуда с учетом cos2 /3	9
того, что /Зе (0;-), получим ctg/3 = —==. Таким образом, можем \	2/	V55
записать цепочку равносильных сравнений: arcctg0,4 V arccos3/8,
a V/3, ctgaActg/З, 0,4А-Д=, А |л^. Так как 1 < 2 то v DD ivv оо и 11	и 11
arcctg 0,4 > arccos 3/8.	А
§7. Задачи с параметром
239
Пример 8. Преобразовать выражение 6cost — 8sin/ а) к косинусу; б) к синусу некоторого угла.
А Воспользуемся методом введения вспомогательного угла:
а)	6 cos t — 8 sin t — \/б2 + 82 •	• cos ~ ]|j ' s*n =
= 10
= 10 • (cos I'/? • cos t - sin (p • sin /) = 10 COS ((p + /), где cp = arcsin 0,8 (или ср = arccos 0,6);
6)	6 cos t - 8 sin t = х/б2”4- 82 •	• cos t - -8- • sin =
=10
= 10 • (sin <p  cos t - cos cp • sin /) = 10 sin (^ — /), где ср — arccos 0,8 (или ср = arcsin 0,6).
§7. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ
Пример 1. Найти решение неравенства |х - cos2 а| < sin2 а в зависимости от значения параметра а.
.	9 .	9 (х — cos2 a < sin2 а,
A	х — cos а < sin а о <	4Ф
(х — cos2 а > — sin а
{х < cos2 a + sin2 а,	Гх<1,
х > cos2 а — sin2 а	[x>cos2a.
Дальнейшие рассуждения зависят от значения параметра а. Рассмотрим два принципиально разных случая.
1) cos2a =1, т. е. a—тт, где n е Z. В этом случае система, а, значит, и исходное неравенство, решений не имеют.
2) cos 2a < 1, т. е. а —любое, кроме а = тот, n е Z. В этом случае решением системы, а, значит, и исходного неравенства, является интервал (cos 2a; 1).
Ответ. Если a = тот, то решений нет; если a лп, то (cos 2a; 1).	▲
Пример 2. Укажите значения параметра а из промежутка ПРИ КОТОРЬ1Х УРавнение
|х — 2| = \/2cos^2a—
не имеет решений.
240
Глава V. Тригонометрические формулы
Л т'	71 /	/ 5я	71 / п , / 5?Г	71 п я 2тг
Д Так как - — а , то 2а — и -- 2а - -	—.
12	12	6	6	3	6	3
Уравнение |х — 2| = \/2cos^2a — не имеет решений, если
/о f ci Я \ г\	К ci Я	2 Я	Я	5 Я
v2 cos 2а — - < 0, т. е. если - < 2а — -	— или - < а .
\	6/	2	633	12
О/ Я 5 Я |	*
ТВеТ' 1з’12Г	А
Пример 3. При каких значениях параметра а наибольшее значение выражения a sin 2t + 4 sin2 t -|- 3 не превышает 8?
Д Преобразуем выражение к виду, удобному для оценки его значений:
a sin 2^ + 4 sin2 t + 3 = a sin 2t — 2 cos 2t + 5 = \/a2 + 4 sin(2^ - (p) 4- 5,
где (p определяется условиями cos cp =	sin (p = 
v a2 + 4	v a2 + 4
Следовательно, наибольшее значение исходного выражения равно \/а2 + 4 + 5, и значит, нас интересуют значения а, при которых \/а2 + 4 + 5^8, \/а2 + 4	3, а2 + 4	9, а2 5, —д/5 а д/б.
Итак, tie [—>/5;	-
Ответ. [— х/5;\/5].	А
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Самостоятельная работа V.1
Вариант 1
4 г>	• бтг бтг 6л:
1.	Расположить числа sin—, cos—, ctg — в порядке возрастания.
2.	Найти tga, если sin (я+«) = — - и - < а < к.
3.	Найти наибольшее значение выражения 2 cos а—5 на отрезке
5я 4я
Т ’ т
Вариант 2
.	. 10я Ютг , 10я
1. Расположить числа sin —, cos-^-, в порядке
„ тт „	.	. ( 71	\	1	Зя
2. Наити ctg а, если sin —а —-----и я < а < —.
\2	J	3	2
возрастания.
3. Найти наименьшее значение выражения 6 —2 sin а на
отрезке
Зя 5я 4 ’ 6
Дидактические материалы
241
Ответы
6л	6л . 6л	5\/6
Вариант 1. 1. ctg—, cos—, sin—. 2.-----------
7	7	7	12
Юл:	Юл Юл	л/2
Вариант 2. 1. cos—, sin—, tg—. 2. —. 9	9	ь 9	4
3. -4.
3. 5.
Самостоятельная работа V.2
Вариант 1
1.	Вычислить sin 10° sin 50° — cos 10° sin 40°.
2.	Упростить 1 + cos 4a — tg (тг — 2a) • sin 4a.
3.	Указать значение a из промежутка ~! 0^ > П1)И котором выражение cos a—Vasina принимает наибольшее значение.
Вариант 2
1.	Вычислить sin 40° sin 20° — cos40° sin 70°.
2.	Упростить 1 - cos 6a + tg ( — 3aJ • sin 6a.
3.	Указать значение a из промежутка	; nJ, при котором выражение
cos a —sin а принимает наименьшее значение.
Ответы
Вариант 1. 1. —0,5. 2. 2. 3. — ^.
Вариант 2. 1. —0,5. 2. 2. 3.
Самостоятельная работа V.3
Вариант 1
/ л/2\
1.	Вычислить: а) arcsin (—— у,	б) arcctg(—1).
2.	Упростить: a) arcctg (с tg (—2)); б) arccos (sin 163°).
3.	Найти численное значение: sin \ arccos ( — -11. \	\ 3//
4.	Сравнить arcctg(—3) и arctg3.
Вариант 2
1.	Вычислить: a) arctg (—л/З); б) arccos
2.	Упростить a) arcctg (etg (—0,5));	б) arccos (sin 263°).
3.	Найти численное значение: cos ( arcsin ( — -]].
\ к 3//
4.	Сравнить arccos (—0,9) и arcsin (0,9).
242
Глава V. Тригонометрические формулы
Ответы
Вариант 1. 1. а) — -, б) — -6	4
4. arcctg(-3) больше arctg3.
Вариант 2. 1. а) — б)
4. arccos (—0,9) больше arcsin (0,9).
73
2. а) л — 2; б) — л.
180
, 2У2
о» ----
3
173
2. а) п - 0,5; б) — п.
180
3. ”
3
Контрольная работа V.1 по теме «Тригонометрические формулы» (2 урока)
Вариант 1
1. Определить знак выражения sin | • cos — • tg 4 • ctg (—230°). 3	8
а —— \, если известно, что cos а = —0,6 и тг < а < 2тг.
3.	Вычислить без таблиц и калькулятора:
2 cos2 36° • (1 - cos 72°) + sin218°.
4.	Упростить |sin а| • yj 1 + ctg2	если 2,5л: < а < Зд.
г п	7 1	1 \ /cos2а sin2a\	. , о
5.	Доказать тождество: (----1--------------------= 4 ctg 2a.
\ cos 3a	cos a/ \ sin a cos a J
6.	Найти наименьшее и наибольшее значения выражения 2 — (sin a + cos а)2,
Я	Я
если - < а < -.
Вариант 2
1.	Определить знак выражения tg | • sin • ctg (—2) • tg425°.
2.	Найти cos (а— — ], если известно, что sin а =—0,8 и -<а<—. \	3/	2	2
3.	Вычислить без таблиц и калькулятора:
2 sin213° • (1 + cos 26°) + sin2 64°.
4.	Упростить |sin a| • у 1 + tg2 если 6тг<а<6,5тг.
с п „ „	sin 4а • cos 2а(1 — cos 2а)
5.	Доказать тождество---------------------------—- =
(sin За — sin a)(cos За — cos 5а)
2
6. Найти наименьшее и наибольшее значения выражения (sin a — cos а)2 + 3,
я _ к
если — - < а < --.
8	3
Дидактические материалы
243
Вариант 3
1.	Определить знак выражения
cos - • fsin — — sin — • tg 5,7 • ctg (-37°).
5 k 17	17 / e	7
3 И
4
sin 60°
sin 80° '
2.	Найти sin — aj, если известно, что tga = —
3.	Вычислить без таблиц и калькулятора:
\ шго	cos 60°
a) cos 105 ;	б . ---о
sin 10°
4.	Упростить выражения:
. cos Та — cos 8а - cos 9а + cos 10а
Э J -------------- ----—	,
sin 7а — sin 8а - - sin 9а + sin 10а
Зтг
Т
б)	\Jsin2 а• (1 — ctg а) + cos2 а• (1 — tg а), если —	< а<
сп	• 2 (15тт о \	2 (17rt n \ cos4a
5.	Доказать тождество: sin I —-----2a I — cos I —--2a I —------/=—
6.	Найти наименьшее значение выражения 3cos2 a—2sin a.
Вариант 4
1.	Определить знак выражения
ctg | • tg (sin 2,5 _ sin t) • cos (—285°).
o т, ..	, /	, rt \	40	Ort	_ n
2.	Наити tg ad— , если известно, что sina =------------и — < a< 2тг.
s \	4/	41	2
3.	Вычислить без таблиц и калькулятора:
а) sin 75°; б) sin 10° • sin 110° + sin2 50°.
4.	Упростить выражения:
. cos 2a — cos 6a + cos 10a — cos 14a
a)		;
sin 2a + sin 6a + sin 10a + sin 14a
б)	У cos2/? - (1 +tg /3) d-sin2/3- (1 +ctg /3), если
5.	Доказать тождество: sin2 2a — cos ( ^ — 2a ) • sin ( 2a — ^ ) = \ 3	/	\	6)
6.	Найти наименьшее значение выражения 3 cos a — 7 sin2 cl.
Ответы
Вариант 1. 1. Плюс. 2. 0,4\/3 + 0,3. 3. 1. 4. —2cos^. 6. Наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1 — л/2/2.
Вариант 2. 1. Минус. 2. —0,4л/3 — 0,3. 3. 1. 4. —2sin^. 6. Наимень-\/2
шее значение равно 4 + наибольшее значение равно 5.
244
Глава V. Тригонометрические формулы
Вариант 3. 1. Плюс. 2. 0,4\/3 + 0,3. 3. а) ^2-	; б) 2. 4. a) ctg8,5a;
б) cos а - sin а. 6. —2.
Вариант 4. 1. Плюс. 2.	3. а) 	4 б) |.
4.	a) tg2a; б) — sin ft — cos/3. 6. —7^.
Домашняя контрольная работа V.1
Вариант 1
1.	Известно, что tga = 4/3, — л<а<—л/2.
Вычислить: а) cos^; б) cos^a+^^; в) sin^2a — г) ctg3a; д) cos 4a.
2.	Вычислить без использования микрокалькулятора
sin 22° cos 8° + cos 158° cos 98°
sin 23° cos 7° + cos 157° cos 97°
3.	Упростить выражение
tg 2x ctg (70° — a) + tg 2x ctg (20° — x) — ctg (20° — a) ctg (70° - x) .
4.	Доказать тождество
sin (2a + 4te) + cos(3a + 4,5л) — sin (4a - 7л) _ , «
sin (2a — 3,5л) — cos(3a — 8л) + sin (0,5л — 4a)	&
5.	Доказать тождество
1 + cos 2a + cos 4a = 4 cos 2a cos ( - + a ) cos ( - - a ) . \6	/	\6	/
fi	fi 1
6.	Доказать тождество cos a + sin a = - (5 + 3cos4a).
8
7.	Найти значение выражения cos2x + sin2x, если известно, что cosx + sinx = 0,75 и тг/4 < х < Зтг/4.
8.	Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
о	ГУ
4 sin a — 8 sin -2
- 1
a cos -
2
л ..	. 7л
на промежутке - a^ —.
6	6
(1	3	/ I \ \
- arccos - - 2 arcctg ( — I I.
2	5	\ 2 / J
10. Доказать, что неравенство sin х • sin 2х • sin Зх < 0,75 справедливо при любом
действительном значении х.
Дидактические материалы
245
Вариант 2
1.	Известно, что ctg а = 4/3, —2л<а<—Зл/2. Вычислить:
a) sin б) sin[a+^]; в) cos [2а—-); г) tg4a; д) sin6а.
2	у 6 )	у 4 J
2.	Вычислить без использования микрокалькулятора
96 sin 80° sin 65° sin 35° sin 20° + sin50° + sin 110°
3.	Упростить выражение
tg 4x tg (40° - 2x) + tg 4x tg (50° - 2x) + tg (50° - 2x) tg (40° - 2x).
4.	Доказать тождество
cos (2a — 6,5л) — sin(5a + л) + cos (3a — 7,5л)	., .
1 — cos (a + 5л) - 2 sin1 2 3 * 2a
\/2sin
5.	Доказать тождество tga + cos-1 a — 1 =-------------------.
<!)
6.	Доказать тождество cos8 a — sin8 a = | cos 2a (3 + cos 4a).
7.	Найти значение sin4x, если известно, что cosx + sinx = 4/3 и л/4 <х<Зл/4.
8.	Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
2	(X
2 sin a + 4cos-
a sin -
2
-3
л .	, 5л
на промежутке — -	а —.
6	6
4	\
9.	Вычислить sin arcsin - — 2arctg(-2)J.
10.	Доказать, что неравенство cosx + 3cos Зх + 6cos6x	— 7—
16 при любом действительном значении х.
справедливо
1. Известно, что tga=—3/4,
Вариант 3
2,5л < a < Зл. Вычислить:
, . a
а) sin
г) ctg 4a;
б) sin f a+ — д) cos 6a.
в) cos ( 2a +	);
\	6 /
2. Вычислить без использования микрокалькулятора значение выражения
ctg 10° • ctg50° • ctg70°.
3. Упростить выражение
sin (250° + х) cos (200° — х) — cos 240° cos (220° — 2х).
246
Глава V. Тригонометрические формулы
4.	Доказать тождество
sin (2а + 2л) + 2 sin(4a — л) + cos (6а + 3,5тг) _ , .
cos (бтг — 2а) — 2 sin(4a + 6,5тг) — cos (Зл — 6а)
5.	Доказать тождество ctg a — tg a — 2 tg2a — 4 tg4a = 8 ctg 8a.
6.	Доказать тождество
-6	.6 o . 2 /	7л\ . -2 ( , Зл\ , ।
cos a - tg a = 3 ctg la—— ) sin la+— 1+1.
7.	Найти значение cos2x — sin2x, если известно, что cosx + sin x = — 0,2 и Зтг/4 < x < тг.
8.	Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
/о , о • a v3cos a + 2sin -
a
2
— 4
9.
10.
Л	7л
на промежутке - + а —. 6	6
Вычислить tg f arccos | — 2 arcctg(—2) j .
g
Доказать, что неравенство cosxcos2x-cos3x> — —- справедливо при любом действительном значении х.
Вариант 4
1.	Известно, что sin а = —0,8, 1,5тг<а<2тг. Вычислить:
a) tg—; б) tgt а—— I; в) sin I 2а- - 1;
г) ctg 4а; д) sin 6а.
2.	Вычислить без использования микрокалькулятора sin 50° cos 12° — sin 40° cos 78° cos 68° — л/З sin 68°
n v	sin (80°+4a)
3.	Упростить выражение ----——----------— ------------—-—.
4 sin (20 4- a) sin (70 - a) sin (50 — 2a)
4.	Доказать тождество
sin (3a + 4,5л) — cos(4a — 7л) — sin (3,5л — 5a) _ , .
cos (0,5л - 4a) - sin(3a — 3л) + sin (5a — 10л)
5. Доказать тождество ctg a — tg a — 2 tg2a = 4 ctg 4a.
6. Доказать тождество — 4 cos a------= —2ctg2a.
sin4 5 6 7 8 a + cos4 a — 1
7. Найти значение выражения cos3 x —sin3 x, если известно, что sin2x = 3/5 и 5л/4 < х < 7тг/4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
cosa + 2>/3cos - sin- —2 2	2
2
л
на промежутке — - + a
5л
Т’
Дидактические материалы
247
9.
10.
/1	4	/	1 \ \
Вычислить cos I - arcsin - — 2arctg	-j I.
Доказать, что неравенство cos 2л + cos6x + 2cos8x — 2,25 справедливо при любом действительном значении х.
Вариант 5
1.	Известно, что cos а = 4/5, 7л/2<а<4л. Вычислить:
a) ctg^; б) sin(a+-^); в) sin^2a+^
г) sin 4а; д) cos 6а.
2.	Вычислить без использования микрокалькулятора sin2 70°-sin2 50°-sin2 10°.
3.	Упростить выражение
sin2 (135° — 2х) — sin2 (210° — 2х) — sin 195° cos (165° — 4х) — sin 4х.
4.	Доказать тождество
1 + sin (а - 5,5тг) - cos(2a - 9л) + cos (За - 8л) _ %
2sin2(a + 2,5л) — sin(a 4- 1,5л) - 1
_ -г	1 л	-1л sin 2а —cos 2а
5.	Доказать тождество tg4a — cos 4a —----.
sin 2a + cos 2a
6	6	3/9	9 \2	1
6.	Доказать тождество sin a + cos a-sin a-cos a =-
4 \	/4
7.
Найти значение
‘Ч'
если известно, что cosx + sinх = 1,4 и 0<х<л/4.
8. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения
9	ГУ
3 sin a — 2 sin -2
a cos -
2
л	7л
на промежутке - / a / —.
6	6
/13	\
9.	Вычислить tg - arccos - — 2 arctg(—2) I.
\2	5	J
10.	Доказать, что неравенство 2cosx-cos2x + 2cos6x —3— справедливо при
16 любом действительном
значении x.
Ответы
Вариант!. 1. а) 0,2х/5; б) 0,1^2; в) 0,48х/3 + 0,14; г) д) -Щ. 3л/23	7
2.	1. 3. —1. 7.----гт---77г. 8. Наименьшее значение равно-2, наибольшее
16	16
значение равно -1. 9. —2.
о	о 1	1 . «\ 4 —Зл/З. х 31л/2. \	336. ч 10296 о
Вариант 2. 1. а)	б) ю , в) 50 , г) 527> д) 15625 • 2- 24.
3.	1. 7. — 5^/2. 8. Наименьшее значение равно —3, а наибольшее значение равно 1. 9. 0,2.
248
Глава V. Тригонометрические формулы
Вариант 3. 1. а)
3 .
Ую’
2. ч/З. 3. 0,5. 7. 1,24. шее значение равно —2.
Лх —3 — 4ч/3 х 24-7УЗ х 527. х 11753
б) —В) —50—- Г) 336' Д) '15625-
8. Наименьшее значение равно -\/3 —4, а наиболь-9. 5,5.
о	л 1	\ п к 1 /т \ 7 —24УЗ х 527 х 10296 о
Вариант 4. 1. а) -0,5; б) -1/7; в) -—; г)	д) ,гКОг  2. -0,5.
□U	ООО luOZu
3.	1. 7. О,2бИо. 8. На именьшее значение равно —2, а наибольшее значение равно 0. 9.
О	С <	\ Q. 3 —4л/3. х 17\/2. х 336. х 11753 о , /гЛ
Вариант. 5. 1. а) 3, б) 10 , в) 50 , г) б25, д) 15625' 2- 1/64-3. 0. 7. 1/3. 8. Наименьшее значение равно —13/12, а наибольшее значение равно 1. 9. —0,5.
Разбор варианта № 1
а) Действуем пошагово. 2	1	о	1	9
1)	По формуле 1 + tg а = —у— находим cos" а = -----— —,
cos2 а	1 + tg2 а 25
и поскольку — тг<а<—тг/2, то cosa<0, и, значит, cosa= — -.
5
Ох гт д.	2 а 1 + cos а	2 “	1 - 3/5	1
2)	По формуле cos - =------- находим cos - — —= - и по-
2	2	2	2	5
7Г	а	7Г	«	п	а 1	п о /с
скольку — < - < —, то cos - > 0, и, значит, cos - = —= = 0,2v5.
у 2	2	4	2	2	Уб
б)
cos
Вначале преобразуем искомое выражение по формуле суммы косинусов тг .	. тг „
- 1 = cos acos - — sin asm-. Далее действуем так:
4 / 3\	4
1)	sin a = tga • cos a = - • — - ) = — -;
3 \ 5/	5
Qx ( ,	3 У2 / 4\ \/2 n , /н
2)	cos ^a+-J	• — = 0,lv2.
Вначале преобразуем искомое выражение по формуле разности синусов
4\ f_3\ _ 24. 5/1 5 J ~ 25 ’
sin \2а — J = sin 2a • cos — cos 2a • sin Далее действуем так: 1) sin 2a = 2 sin a • cos a = 2 •
2)	cos 2a = cos2 cl — sin2 cl = — —; ’	'25
3)	sin (2a-1 =0,48\/3+ 0,14. V 6/	25	2	\ 257 2
Дидактические материалы
249
г) Вначале представим искомое выражение как ctgЗа = ——
sin За
Далее
действуем так:
1)
2)
cos За — 4 cos3 а — 3 cos а = 4 • (——— 3 (— - ) = —; \ 125/	\ 5/	125
sin За = 3 sin а — 4 sin3 а = 3 • f — - ) — 4 (—
\ 5/	\ 1257	125
3)
ctg За =
117/125 = _ 117
-44/125	44 ’
д) cos 4а = cos2 2а — sin2 2а =	.
625	625	625
Ответ, а) 0,2х/5; б) 0,1л/2; в) 0,48\/3 + 0,14; г) - —; д)
44	625
sin 22° cos 8° + cos 158° cos 98° _
sin 23° cos 7° + cos 157° cos 97°
__ sin 22° cos 8° + cos (180° - 22°) cos (90° + 8°) _ sin 23° cos 7° + cos (180° — 23°) cos (90° + 7°) _ sin 22° cos 8° + cos 22° sin 8° _ sin 30° _ .
sin 23° cos 7° + cos 23° sin 7° sin 30°
Ответ. 1.
3.
tg 2x ctg (70° — x) + tg 2x ctg (20° — x) — ctg (20° - x) ctg (70° - x) =
— t 2 cos (70° - x)	cos (20° — x) \	cos (20° — x) cos (70° — x) _
\sin(70°— x)	sin (20° — x) J	sin (20° — x) sin (70° — x)
_. g cos (70° — x) sin (20° — x) + cos (20° — x) sin (70° — x) sin (20° — x) sin (70° — x)
cos (-50°) + cos (90° — 2x) _
2 sin (20° — x) sin (70° — x)
_ sin2x sin (90° — 2x)cos (—50°) + sin 2x _ cos2x sin (20° — x) sin (70° — x) 2 sin (20° — x) sin (70° — x) _ sin 2x cos 50° + sin 2x _
sin (20° — x) sin (70° — x) 2 sin (20° — x) sin (70° — x)
_ sin2x — cos50°	_ sin2x — cos50° _—J
2 sin (20° — x) sin (70° — x) cos 50° — sin 2x
Ответ. —1.
4.	Преобразуем левую часть:
sin (2а + 4тг) + cos(3a + 4,5тг) — sin (4a — 7 тт) _ sin (2a - 3,5tt) - cos(3a - 8тг) + sin (0,5л: - 4a)
_ sin 2a — sin 3a + sin 4a _ (sin 2a + sin 4a) — sin 3a cos 2a — cos 3a + cos 4a (cos 2a + cos 4a) — cos 3a
_ 2sin 3a cos a — sin 3a _ sin 3a (2 cos a — 1) _ . ~
2 cos 3a cos a — cos 3a cos 3a (2 cos a — 1)
250
Глава V. Тригонометрические формулы
5.	Преобразуем левую часть:
1 + cos 2а + cos 4а = (1 + cos 4а) + cos 2а = = 2 cos2 2а + cos 2а = cos 2а (2 cos 2а + 1).
Преобразуем правую часть:
4 cos 2а cos [ - + а ) cos I - — а ) =2 cos 2а I 2 cos I - + а ) cos |	— а ) Н
\6/\6/	\	\6 J \6 J J
= 2 cos 2а ^cos 2а + cos = 2 cos 2а (cos 2а +	= cos 2а (2 cos 2а + 1).
Тождество доказано.
6.	Преобразуем левую часть:
cos6 cl + sin6 а = (cos2 а) + (sin2 а) = /2	. 2 \ (	4	2	.2	• 4 \
= (cos а + sm al (cos a —cos a-sin a 4-sin al =
/ /	2	2 \	2	9 \
— II (cos a + sin al — 3cos a-sin a =
= 1 - | sin2 2a = 1 - | (1 - cos 4a) = | (5 + 3 cos 4a).
7.	Преобразуем искомое выражение, воспользовавшись формулами двойных углов:
cos 2х + sin 2х = cos2 х — sin2 х 4- 2 sin х cos х =
— (cosx — sin х) (cos х + sin х) + (1 + 2 sin х cos х) — 1 =
= (cosx — sin x)(cosx + sin x) + (sin2 x + cos2 x + 2 sin x cos x) — 1 =
= (cosx — sin x)(cosx + sin x) + (sin x + cosx)2 — 1 —
= - • (cos x — sin x) ——
4 v	’	16.
3
Перепишем условие cosx 4-sin x =-, тельного угла:
используя метод введения вспомога-
• cosx 4---sin х
2
3
4
3
4 ИГ
Следовательно, sin | -\ 4
Дидактические материалы
251
Теперь преобразуем cosх — sin х, используя метод введения вспомогательного угла:
Согласно основному тригонометрическому тождеству,
2 / я	, \	1	. 2	(я	,	\	.	9
cos -	+ х	=	1	—	sin	-	-р	х I	=	1	-	—
\ 4	/	\4	/	32
23
32.
Поскольку л/4 < х < Зтт/4, то -<х+-<яи, значит, cos ( - + х ] < 0.
2	4	\4	/
г	(Л . \
Следовательно, cos - + х —------= и cos х — sin х =----.
\4 J 4^2	4
3	7	3 Лз 7
Таким образом, cos2x + sin2x = - • (cosx — sinx) — — =-—--—.
Ответ.
3у/23 _ 7_
16	16’
от	я	.	.	7л	я а	г-	.	а „
8.	Так как	-	—-,	то	—	С - С	—.	Следовательно,	sin	- >0	и выражение
6	6	12	2	12	2
можно переписать в виде А = 4sin2 <х — 4-
Q . a a
2 • sin - • cos -
2	2
- l = 4sin2a-4|sin a| -1.
На промежутке a C выражение |sin a| меняется от 0 до 1. 6	6
Поэтому заменой t = |sin a| задача сводится к определению наименьшего и наибольшего значения квадратного трехчлена 4/2 — 4t— 1 на отрезке [0; 1]. Записав квадратный трехчлен в виде (2/ —I)2 —2, приходим к следующим выводам: свое наименьшее значение, равное —2, он принимает при t = 0,5, а наибольшее, равное —1, на концах отрезка.
Ответ. Наименьшее значение равно —2, а наибольшее значение равно —1.
3	3
9.	Пусть arccos - = а. Это означает, что а определяется условиями cosa=-, 5	5
О а я. Более того, поскольку косинус положителен, ae	Далее
положим arcctg 0 = /3. Это означает, что [3 определяется условиями 1	f (У \
ctg[3— — -, 0<^3<я. Таким образом, нам нужно вычислить ctg I 2/31,
252
Глава V. Тригонометрические формулы
зная, что a G
и 0 < /3 < тг. Представим ctg
! + tg? -tg2/3 -------------. Далее действуем так:
- tg2/3
1)
9	9	16
sin а — 1 — cos а = —, 25
4
, следовательно, sina=-;
5
2)	tff - = sina = 4/5 = 1-ё 2	1 + cos а 1 + 3/5	2 ’
3)	tg2/3 = 2--gff -= — = ё 1 -tg2/3	1-4	3’
4) ctg (j -2/з) -
1 + tg a- • tg 2/3
-tg2/3
Ответ. —2.
10.	Преобразуем левую часть неравенства:
(sin х • sin 2х) • sin Зх —
cos х — cos Зх . ,, --------------• sin Зх =
cos х  sin Зх — cos Зх • sin Зх _ sin 2x + sin 4x — sin 6x 2	“ ~	4
Для любого x выполняются неравенства sin2x^ 1, sin4x 1, — sin6x 1, почленно сложив которые, получим sin2x + sin4.v — sin6x 3. Отметим, что
знак равенства может достигаться только при тех значениях х, для которых одновременно выполняются условия sin 2х = 1, sin 4х = 1, — sin6x=l. Но если верно первое условие, то второе неверно, так как из sin2x= 1 следует, что cos2x = 0 и, значит, sin 4х — 2 sin 2х • cos 2х = 0 7^ 1. Таким образом, при всех значениях х справедливы неравенства sin 2х + sin 4х — sin 6х < 3,
sin 2х + sin 4х — sin 6х
4
3
4’
sin х  sin 2х  sin Зх < 0,75.
Глава VI
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Изучение раздела начинается с обсуждения формального определения комплексных чисел как множества упорядоченных пар действительных чисел, для которых формулами определены операции сложения и умножения и введено понятие равенства. При работе необходимо учитывать, что понятие комплексных чисел встречается в курсе впервые, и при этом обладает высокой степенью абстрактности. Для того чтобы это понятие начало адекватно восприниматься, необходимо накопить опыт его использования, выполнив серию упражнений на действия с комплексными числами в форме упорядоченной пары действительных чисел, на использование понятия равенства комплексных чисел, на установление свойств операций сложения и умножения.
Обычно трудным для осмысления является вопрос о связи действительных и комплексных чисел. Утверждение, что на действительные числа можно смотреть как на частный случай комплексных, следует понимать в том смысле, что во множестве комплексных чисел выделяется подмножество, элементы которого ведут себя также как действительные числа и поэтому могут быть отождествлены с ними.
В процессе обучения обязательного обсуждения требует такой теоретический момент, как переход к алгебраической форме комплексного числа. Введение алгебраической формы значительно упрощает арифметику комплексных чисел, поскольку позволяет при сложении и умножении обращаться с комплексными числами как двучленами с заменой произведения i-i на -1.
Помимо операций сложения и умножения комплексных чисел в курсе также рассматриваются операции вычитания, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корня любой степени. Первые две операции вводятся сразу вслед за алгебраической формой комплексного числа, понятием комплексно сопряженных чисел и модуля. Две другие обсуждаются только после изучения вопроса о геометрическом изображении комплексных чисел и введения тригонометрической формы комплексного числа.
Если для изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат
254
Глава VI. Комплексные числа
точки плоскости. Может применяться также способ изображения с помощью векторов плоскости (этот подход позволяет достаточно просто геометрически интерпретировать операции сложения и вычитания комплексных чисел, поскольку данные операции сводятся к сложению и вычитанию соответствующих векторов на плоскости).
От изображения комплексных чисел векторами плоскости естественно перейти к введению понятия аргумента комплексного числа, а от него к знакомству с еще одной формой комплексного числа — тригонометрической. Следует обратить внимание, что тригонометрическая форма комплексного числа находится неоднозначно, поскольку входящий в нее аргумент определяется с точностью до 2т. Для того, чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме, имеет смысл вначале изобразить его на комплексной плоскости (это существенно упрощает поиск аргумента).
Комплексные числа, заданные в тригонометрической форме, легко складывать и делить. Но, главное, использование тригонометрической формы существенно облегчает возведение чисел в натуральную степень и извлечение корня любой степени из комплексного числа. Обратите внимание школьников на то, что все корни степени п из числа соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность определенного радиуса с центром в начале координат. Поэтому, если одно из значений корня нам известно, другие можно получить из геометрических соображений.
Изучение раздела заканчивается решением несложных алгебраических уравнений. Основное внимание уделяется квадратным уравнениям, а также уравнениям, сводящимся к ним путем замены переменной или разложения на множители.
§1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
Определение комплексных чисел
Комплексными числами называются упорядоченные пары (а; Ь) действительных чисел а и Ь, для которых следующим образом определены понятие равенства, а также операции сложения и умножения:
а)	два комплексных числа Z[ = (а[; Ь[) и Z2 = (<22^2) называются равными, если = U2 и b\= Ь2',
б)	суммой комплексных чисел Z[ =	и Z2 = (<22^2) называется
комплексное число Z\ 4- Z2 = (flj + 0^5 Ф + Mi
в)	произведением комплексных чисел z\=(a.\:,b]) и Z2 = (a.2\b2) называется комплексное число Z[ • 22 = (04^2 — ^1^2! а1^2 + а2^1)-
§ 1. Определение комплексных чисел
255
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами:
1)	Z] + г2 = ^2+ г], z\Z2 = z^z\ (коммутативность);
2)	(zi + гг) + гз = г1 + (г2 + гз)> (г1г2) гз = г1 (г2гз) (ассоциативность);
3)	2] (z2 + z3) — г1г2 + г12з (дистрибутивность).
Пример 1. Выполнить действия:
а)	(2; — 1) + (3; 1); б) (2;-1) • (3; 1).
А а) (2; — 1) + (3; 1) = (2 + 3; — 1 + 1) = (5; 0);
б)	(2;--1) - (3; 1) = (2 • 3-(-1) • 1;2-1 + (-1)-3) = (7;-1). А Пример 2. Найти комплексные числа (а; Ь) и (c;d) такие, что: а) (3; 4) + (а- Ь) = (7; 8); б) (3; 4) • (с; d) = (25; 0).
А а) По определению операции сложения (3;4) + (а; 6) = (3 + а; 4 + 6). Следовательно, (3 + а; 4 + Ь) = (7; 8). Значит, согласно определению равных чисел 3 + а = 7, 4 + 6 = 8, откуда а = 4, 6 = 4, т. е. (а; 6) = (4; 4).
б)	По определению операции умножения (3;4) • (с; d) = = (3-с — 4-d; 3 d+4 c). Следовательно, (3-с —4-d; 3-d+4-c) = = (25; 0), откуда Зс —4d=25 и 3d+4c = 0. Обоим равенствам удовлетворяет только одна пара чисел: с = 3, d=— 4, т. е. (с; rf) = (3; —4).
Ответ, а) (4;4); б) (3;-4).	А
Пример 3. Найти комплексное число z, удовлетворяющее равенству (2; 3) • z = (4; 1) • (0; 1).
А Пусть z = (x;z/), тогда
(2;3) - 2: = (2;3) - (x;z/) = (2-х - 3 - £/; 2 - £/ + 3 х).
Перемножим числа в правой части равенства: (4; 1) • (0; 1) = =	(4 • 0 — 1 • 1; 4 • 1 + 1 • 0)	=	(—1;4).	В	результате	имеем
(2х — 3z/; 2у + Зх) = (—1; 4), откуда 2х	—	Зу	=	— 1, 2у + Зх	= 4 и,
значит, х= 10/13, у= 11/13, т. е. z = (10/13; 11/13).
Ответ. (10/13; 11/13).	А
Пример 4. Показать,	что	операция	умножения комплексных
чисел, коммутативна.
А Пусть z\ = (аг, 61) и 22 = («2; 62). Необходимо доказать, что z\z^ = z^z.\. Согласно определению имеем:
(1) 21 -г2 = (агЛ) • («2^2) = (Я1Д2 - 61б2;а]62 + a26i);
(2) ?2 • = (а2; ^2) • («15 ^1) = («2«1 “ а2Ь} + а]62).
Умножение действительных чисел коммутативно, следовательно, а\а^ = «2^1 и 6162 = 6261, и, значит, «1^2 — 6162 =	— 6261. Из
коммутативности операции сложения действительных чисел следует: tzi 62 + «261 = «261 + 6Z162.
Мы убедились, что правые части соотношений (1) и (2) равны. Значит, равны и их левые части.	А
256
Глава VI. Комплексные числа
Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме
Комплексное число (zz;O) отождествим с действительным числом а, т. е. положим (zz;O)=a. Такое отождествление корректно, поскольку не приводит к противоречию с арифметикой действительных чисел (операции над комплексными числами вида (zz; 0) дают те же результаты, что и операции над действительными числами).
Число (0; 1) называют мнимой единицей и обозначают буквой z, т. е. пишут (0; 1) = /. Мнимая единица обладает следующим свойством: i • i — (0; 1)(0; 1) — = (-1;0) = ~1.
Составим выражение а + ib и преобразуем его с учетом того, что zz = (zz;O), b = (b;O), z = (0;l):
а + ib = (zz; 0) + (0; 1) • (/?; 0) = (zz; 0) + (0 • b - 1 • 0; 0 • 0 + 1 • b) =
= (zz; 0) + (0;/z) = (a-,b).
Таким образом, любое комплексное число z = (a\b) можно записать в виде z а + ib, который называют алгебраической формой комплексного числа. Число а называют действительной частью комплексного числа z и обозначают Re г, число Ь —мнимой частью и обозначают Im г. С использованием этой терминологии равенство комплексных чисел можно определить как равенство их действительных и равенство их мнимых частей.
Комплексные числа в алгебраической форме складываются и умножаются как двучлены относительно символа z с заменой i-i на —1.
Пример 5. Выполнить действия:
1)	(1 + 0 + (2 + 3z);	2)	2(3 + 40;
3)	(3 + 0(4 + 50;	4)	(1 + 30(2 +	0	+ 4(1	+ 0(1	+	0-
А 1)	(1 + 0 + (2 + 30 =	1 +	i + 2 + 3i =	(1	+ 2) +	z(l +	3)	= 3 + 4i;
2)	2(3 + 40 = 2 • 3 +	2 • 4i	= 6 + 8t;
3)	(3 +0(4 + 50 = 3-4 + z-4 + 3-5i +t-5z= 12 +z(4 +15)-5 = 7 +19z;
4)	(1 + 30(2 + 0 + 4(1 + 0(1 + 0 = 2 + 6z + i + 3i% + 4(1 + 2z + z^) = = 2 + 7/ - 3 + 4(1 + 2z - 1) = -1 + 7z + 8z = -1 + 15A	▲
Пример 6. Решить уравнение Re г = iz + 1 + 2 Im z.
l\ Положим z = x + iy (здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, числа х и у считаются действительными), Тогда Re г = х, Im г = у и уравнение можно переписать в виде % = i (х + iy) + 1 + 2у или х = (1 + у) + ix. Поскольку равенство двух комплексных чисел означает равенство их действительных и мнимых частей, то х = 1 + у, х — 0. Значит, х = 0, у = — 1 и искомое число z = 0 + г(— О = — i-
Ответ, —i.	А
Пример 7. Какие значения может принимать in при различных натуральных значениях п?
§2. Комплексно-сопряженные числа
257
Д Имеем: z1 = z; z2 = — 1; z3 = z2 • z -- —z; z4 = (z2)2 = 1.
Если /04, то оно представимо в виде n=Am + r (m — натуральное, г = 0,1,2,3).
1)	Пусть	n -	4m, тогда in = z4m	=	(z4)w =	= 1;
2)	пусть	n =	4m + 1,	тогда	in =	z4m+1	= - i = 1	. j = ц
3)	пусть	и =	4m + 2,	тогда	i'1 =	= /4от . /2 ~	1 . (—1)	=	— 1;
4)	пусть	n =	4m + 3,	тогда	in =	= i4rn • z3 =	1 • (—z)	=	—z.
Ответ. l,-l,z,-z.	▲
§ 2. КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА. МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ОПЕРАЦИИ ВЫЧИТАНИЯ И ДЕЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа
Сопряженным с числом z = a + lb называется комплексное число a — ib, обозначаемое как z.
Для любого комплексного числа z имеет место равенство (z) — z.
Модулем комплексного числа z — a 4- ib называется действительное число у/d2 +- Ь2, обозначаемое как |z|.
Для любого комплексного числа z справедливы формулы \z\ = |z|, z-z = \z\2.
Пример 1. При каких действительных значениях х и у числа 2| = х + 6z — 2xi + 2 и 22 = z/3 + 4zx будут комплексно сопряженными? Д Задача сводится к тому, чтобы найти такие действительные числа х и у, при которых z\ = z%, т. е. х + 6z - 2xi + 2 = z/3 — 4ix или (х + 2) + (6 — 2х) z = z/3 — 4zx. Последнее равенство равносильно системе	Гх + 2 = у3
[6 — 2х = -4х,
решением которой является пара действительных чисел х = —3, У = -1-
Ответ, х = — 3, у = —1.	▲
Пример 2. Показать, что если z = z, то z — действительное число. Д Пусть z = а + ib, тогда равенство z = z запишется в виде а + ib = а - ib, откуда b = —b, b = 0.	▲
Пример 3. Решить уравнение г2 + 2z + 6 = 0.
Д Положим z = х + iy. Тогда z — х — iy и уравнение можно переписать в виде: (х + zy)2 + 2 (х — iy) + 6 = 0 или (х2 — у2 + 2х + 6) + (2ху — 2у) i = 0. Последнее уравнение равносильно системе	/ о о	„
f х2 - / + 2х + 6 = О,
[2ху - 2у = О,
258
Глава VI. Комплексные числа
которая имеет два решения: х = 1,£/ = 3 и х = 1,// = —3. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня 1 + 3/ и 1 — 3/.
Ответ. 1 + 3/.	А
Пример 4. Найти пару комплексных чисел (г,да), для которых одновременно выполняются равенства: 3 г + w = 1 , z + iw = 4i.
Л Представим г как a + ib, w — как с + id и перепишем равенства в виде За + 3/6 + с — id = 1, a — ib + ic — d = 4/, или (За + с)+ /(36 — d) = 1,(а — d) +/(с - 6) = 4/. Следовательно, За + с=1, 3b-d = 0, a-d = 0, с - 6 - 4, откуда а = Ь = -^, с=^, q	9	3	37	9
d = Таким образом, г =	w = - -
Ответ. г = -1-+,	А
Пример 5. Показать, что
а)	г| +г2 = zf + z^; б) zi • z2 =	• г^.
Да) 2| + г2 = (ai + a2) + / (6i + 62) = (a| + a2) - / (b{ + 62) = = (ai - /60 + (a2 - /62) =	+ z^.
6)	(aia2 - 6i62)+ /(aj62+ a26i) =
= (aia2 - 6j62) - / (aj62 + a26j);
zi • zi = (aj - /61) (a2 - /62) =
= (aia2 - 6j62) + / (ai(-62) + a2(-b^ =
= (a{a2 - 6]62) - / (ai62 + a26i).
Правые части равенств совпадают, значит, их левые части равны, т. е. z\  z2 = z~[ -z^.	▲
Пример 6. Найти модуль комплексного числа: а) 5 — 3/; б) 5/.
Д а) |5-3/| = i/52 + (-3)2 = У34; б) |5z| = 10 + 5£| = д/02 + 52 = 5. ▲
Пример 7. Решить уравнение 2г = —|г|+2/.
Д Пусть г = % + ///. Тогда |г| = л/х2 + //2 и уравнение можно переписать в виде: 2(х + ///) = — л/х2 + //2 + 2/ или 2х + 2/// = — д/х2 + //2 + 2/. Последнее уравнение равносильно системе
Г2г/ = 2,
[2х = -д/х2 + у2,
§ 2. Комплексно-сопряженные числа
259
которая имеет одно действительное решение: х = —~^,у = \. Следовательно, z = —	+ i.
Ответ. —Ц + г.	А
у/З
Вычитание и деление комплексных чисел
Для двух комплексных чисел z\,z2 имеется, причем только одно, комплексное число z такое, что Z| = z + z2. Это число называется разностью этих чисел и обозначается Z\ — z2- При этом говорят, что z2 вычитается из z\. Разность чисел z\ = а\ 4- ib[,Z2 = а2 + ib^ находят по следующему правилу: zi — Z‘2~(ai — а2) + i(bi — b2), т. e. комплексные числа вычитают как многочлены относительно символа i.
Пример 8. Выполнить действия:
a)	(l	+ 2z)-(2+ 3z); б) (2 - 0(2 + 30 - (1 - 30-
А а)	(1	+ 20 - (2 + 30 = (1 - 2) + z(2 - 3) = -1 - z;
б)	(2	- 0(2 + 30 - (1 - 30 = (2 • 2 - i • 2 + 2 • 3z -	i •	30 - (1 - 30 =
= (4 + 4z - 3z2) - (1 - 3z) = 7 + 4z - 1 + 3z	=	6	+ 7i.	A
Пример 9. Показать, что z\ — z2 =	— z2.
A zi -г2 = («1 - a2) + i (6j - 62) = («1 ~	~ * (&1 - ^2) =
- (tzi - ib\) - (a2 - ib2) = г?- z£.	A
Пример 10. Вычислить (3z4 — z7)2 — (z6 — 2z3)3.
А Вычисления проведем по действиям:
1)	z3 = z2 • z = (—1) • i = -z;
2)	z4 = (г2)2 = (-1)2 = 1;
3)	z6 = i4-i2 = b(-l) = -l;
4)	i7 = i4 • z3 = 1 • (-0 = —z;
5)	(3z4 - z7)2 = (3 + г’)2 = 32 + 2 • 3 • i + z2 = 9 + 6z - 1 = 8 + 6z;
6)	(z6 - 2z3)3 = (-1 + 2z')3 = (203 - 3 • (202 • 1 + 3 • 2z • I2 — I3 = = -8z + 12 + 6г — 1 = 11 — 2г;
7)	(3z4 - z7)2 - (z6 - 2z3)3 = (8 + 60 - (H - 20 = -3 + 8z.
Ответ. — 3 + 8z.	A
Для двух комплексных чисел zi,z2 (z2 + 0) имеется, причем только одно, комплексное число z такое, что z\ = z • z2. Это число называется частным, этих чисел и обозначается При этом говорят, что z\ делится на г2- Чтобы г2
260
Глава VI. Комплексные числа
найти частное чисел z\ = aj + ib[, z% = a? + ib?, умножают делимое и делитель па число, комплексно-сопряженное с делителем: = Z| — -1 ^2.
+	z2‘z2	|z2|2
Пример 11. Вычислить:
A al 1 + 3t' = (1 + Зл) (-1 -20 =	5 - 5/	= 5-5/ = . _ •
> -1 + 2/	(-1+20 (-1- 20	(-1)2 _ (2г)2	1 + 4
б> <1+уЧ, = 2П+= 2[ = -°Х
Ответ, а) 1 —/; б) —0,5/.	▲
Пример 12. Вычислить	V
и F	(1 + 03 \3-/	2-/7
П (£г.2'12 = 16- 16/+ 4/2 = 12 - 16/ = (6 - 8Z)(—/ - 1) = _ 7.
J (1-1-03	1 + з/ + З/2 + /3	-2 + 2/	(/-!)(-/-!)
п\ 2 + /	3 + / _ (2 + 0(2 — /) — (3 + 0(3 — /) _ 5—10 _ —1 _ _1 + /.
' 3^1 ” 2 ^7	(3 - 0(2 - /)	_ 5 — 5/ ~	“ ~2~’
3) (/ - 7) • (—Yr) = -(t'~7)2(1±7) = 4 + з/.
Ответ. 4 + 3/.	▲
Пример 13. Решить уравнение —Ц- + | = J—3_. z 4- ot о b “F 2t
Л Так как 3~L = (3-0(6-20 = 16-12/ = 4-3/
6 + 2/	(6 + 20(6 -20	40	10 ’
1	.2	4 — 3/	1
равносильно следующим:	+ - = 1Q ;
уравнение
4 — 3/ _ 2.
10	5’
Ответ. |/.
Пример 14. Найти пару комплексных чисел (z,w), для которых одновременно выполняются равенства: Зг — 2iw= 14 + 3/, 2/г — w = — 9.
Г Зг — 2iw = 14 + 3/, Г Зг — 2iw = 14 + 3/,
| 2lz — w = — 9	I w = 2iz + 9
J3г — 2/ (2/г + 9) = 14 + 3/, (да = 2/г + 9
2 = 2 + 3/,	(2 = 2 + 3/,	(г = 2 + 3/,
w = 2/2 + 9	[да = 2/(2 + 3/) + 9 (да = 4/‘ + 3.
Ответ. 2 = 2 + 3/, да = 3 + 4/.
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел
261
Пример 15. Показать, что a)Rez=£±l; 6)Imz=^.
А Пусть z — a + lb. Тогда имеем:
X	z + z	_	{a + ib)	+ (a-	ib)	_	2a	_
a)	—	--------------	—	— a	— \tez,
z-z _ (a + ib) -(a- ib) = <2db__h_}
’	2i	2i	2i
Пример	16.	Показать,	что	(^)	=	1L
\?2/ г2
А
К
Z2
§3. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Изображение комплексных чисел точками плоскости
Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости. Комплексное число z = a + ib условимся изображать точкой с координатами (a,b) (рис. 1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, будем называть комплексной плоскостью.
Величина |z| равна расстоянию от начала координат до точки z на комплексной плоскости. Величина |z[ — z%\ равна расстоянию между точками Z1 и z2.
Пример 1. Описать геометрически множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию:
a)	Im (z — 2 + /) = -2; б) Re(z + 3 + 4/) > 1.
A a) Im (z — 2 + i) = Im(x + iy — 2 + t) = у + 1, значит, условие Im (z — 2 + t) = -2 задает прямую у = — 3 (рис. 2).
б)	Re(z + 3 + 4z) = Re(x + iy + 3 + 4t) = x + 3, следовательно, множество, определяемое условием Re(z + 3 + 4z) > 1, состоит из точек плоскости Оху, лежащих правее прямой х = — 2 (рис. 3) (сама прямая в множество не входит).	▲
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
262
Глава VI. Комплексные числа
Рис. 4
У±
1 у = [
О	х
Рис. 6
Пример 2. Описать геометрически множество на комплексной плоскости, состоящее из точек, для которых выполняется условие:
a)	\z — 2-Tz|=2; б) 1 < \z + i\ 3.
Д а) Величина \z - 2 + z| = \z — (2 — z)| равна расстоянию между точками z и 2 — z на комплексной плоскости. Следовательно, множество точек, определяемое условием |z — 2 + z| = 2, есть окружность радиуса 2 с центром в точке (2,-1) (рис. 4).
б)	Перепишем условие в виде 1 < |z —(—z)|	3. Неравенству
|z — (—z)| 3 удовлетворяют все точки круга радиуса 3 с центром в точке (—z). Неравенству |z — (—z)| > 1 удовлетворяют точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке (—z). Оба неравенства выполняются для точек кольца, заключенного между окружностями радиусов 1 и 3 с центром в точке (0,-1) (включая внешнюю границу) (рис. 5).	▲
Пример 3. Среди комплексных чисел г, удовлетворяющих условию |z + z| = |z — 3z'|, найти число с наименьшим модулем.
Д Согласно геометрическому смыслу модуля разности комплексных чисел, точки, для которых выполняется равенство |z — (—z)| = |z — 3z|, равноудалены от точек (0;—1) и (0;3), т. е. образуют прямую у = 1 (рис. 6). Среди точек этой прямой наименьший модуль имеет точка, ближайшая к началу координат, т. е. точка с координатами (0;1).
Ответ./.	▲
Пример 4. Изобразить множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих условию Re = 0.
д 2+ 1 _ x + \ + ly _ (х + (1 + iy\}{x - (1 + 1уУ) _ х2 - (1 + tj/)2 _ z-1 x-l + iy	(х-1)2+у2	(х-1)2+у2
_ х2 + г/2 — 1____2iy
(х - I)2 + у2 (х - I)2 + у2 '
значит, условие Re = 0 можно записать в виде	~-L = О-
Таким образом, имеем: х2 + z/2 = 1, (х — I)2 + z/2	0. Уравнение
§3. Геометрическое изображение комплексных чисел
263
Рис. 8
Рис. 9
х2 + у2 = 1 определяет окружность радиуса 1 с центром в точке (0;0). Условием (%—1)2 + г/2^О из окружности выкалывается точка (1;0) (рис. 7).	▲
Пример 5. Изобразить множество точек комплексной плоскости, (9	1 \
- — - I 1.
А Положим z = х + 1у. Тогда
2 _ 1 — 2 _ 1 = х ~ ^1У  Re \ х ~ Зи/ | _ х
z z x + iy	x-iy X2 + у21	\х2 -by2 J х2 -by2'
Неравенство Л- + 1 при %2 + у2 ф 0 равносильно неравенствам х2 + у2 — х 0, (% — 0,5)2 + у2 0,25. Следовательно, искомое множество — круг с центром в точке (0,5; 0) и радиусом 0,5 с выколотой точкой (0; 0) (рис. 8).	А
Пример 6. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию |г|	1 - Im г.
А Положив z = x + iy, перепишем условие в виде у/х2 + у2 \ — у. При у > 1 неравенство д/х2 + г/2	1 — у решений не имеет, при у + 1
оно равносильно неравенствам х2 -Гу2 (1 — у)2, у 0,5 — 0,5х2. Следовательно, условием |г| + 1 - Im г задается парабола у = 0,5 —0,5х2 и область, лежащая ниже нее (рис. 9).	А
Пример 7. Изобразить множество точек комплексной плоскости, I 2/ I
удовлетворяющих условию 1 < г — р-р+ < 2.
А Так как = 1 +1, то условие 1 < |г — р^С | <2 можно переписать в виде 1 < |г —(1 + 01 < 2. Следовательно, искомое множество представляет собой кольцо, заключенное между двумя окружностями с центром в точке (1; 1) и радиусами 1 и 2. Сами окружности в искомое множество не входят (рис. 10).	А
264
Глава VI. Комплексные числа
Рис. 10
Рис. И
УЬ
И
Изображение комплексных чисел векторами на плоскости
Комплексное число z = a + ib можно изображать па комплексной плоскости вектором с началом в точке О и концом в точке г. Отметим, что длина этого вектора равна модулю числа z.
Число z\ + Z2 изображается на комплексной плоскости вектором, построенным по правилу параллелограмма сложения векторов z\ и z^. Число аз, где а 6 К, изображается вектором, длина которого равна произведению |а| • |z| и который сонаправлен вектору z при а>0 и противоположно направлен при а < 0.
Пример 8. Пусть z\ = 2 — 3t, 22 = 1 + 2t. Выполнить на комплексной плоскости следующие действия: а) 21 + 22; б) 21 —З22.
---► -------> ----------->
А 1) На рис. 11 имеем z\ — ОА, 22 = OB, z\ + 22 = ОС. --------------------------------------------------------------
2) Запишем z\ — З22 как z\ + (—З22). На рис. 12 имеем 21 = ОА,
22 = OB, — 3z2 - ОС, 2] + (—З22) = OD.	▲
Пример 9. Задать равенством геометрическое место точек комплексной плоскости, лежащих на биссектрисе угла z\Oz<z, если 21 = 12 — 5z, 22 = 3 + 4z.
А Начнем с того, что найдем какой-нибудь вектор, идущий по биссектрисе нашего угла. Для этого достаточно сложить два вектора одинаковой длины, имеющих направление векторов Z\ и z%. Например, это могут	быть	единичные векторы требуемого	направления,	т. е.
г, 12	5	•	Зо	3.4./-. z\	। zo 99 .	27 •
= 7q - и тА = ё + с1- Сложим их: w =	= — + — i.
|zi| 13	13	|z2|	5 5 |zj|	|z2|	65	65
Итак, мы получили один из векторов, лежащих на биссектрисе нашего угла.
Остальные векторы 2, а, значит, и точки, лежащие на биссектрисе, можно задать формулой z = tw, где t — произвольное положительное
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
265
число. Представим г как х + 1у. Тогда условие z = tw примет вид 99	27
х + iy — t - - + i • t • —. Следовательно, оно равносильно системе из
99	27
двух условий Х = Д—, У = ' 05’ ИСКЛЮЧИВ из которых t, получим 27% = 99г/, или 27 Re z = 99 Im z.
Ответ. 27Rez = 99Imz.	▲
§4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Аргумент комплексного числа
Аргументом комплексного числа г/0 называется угол между действительной осью и вектором г, отсчитываемый от положительного направления действительной оси (обозначается arg г). Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, если по часовой — отрицательной.
Аргумент числа г определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого вида 2тт, где п — любое целое число.
Поиск аргумента комплексного числа лучше начинать с изображения числа на комплексной плоскости. Если число чисто мнимое или действительное, то его аргумент можно определить непосредственно по рисунку. В общем случае аргументы (р комплексного числа г = a + ib можно найти, решив систему
cos ср = , a , sin (i) -	 b_ ..
\/a2 + b2	\/a2 + b2
Если a ф 0, то для нахождения аргумента можно использовать не саму систему, а уравнение tgq> = b/a, которое является ее следствием. При этом следует иметь в виду, что уравнение tg<^ = 6/a помимо аргументов комплексного числа имеет и другие корни. Чтобы отобрать аргументы, нужно определить, в какой четверти комплексной плоскости лежит точка z — a^iby и из корней уравнения tg<^ = fr/a отобрать те, которые лежат в соответствующей четверти тригонометрической окружности.
Пример 1. Найти аргументы комплексного числа:
a)	z = — 2; б) z = — i;	в) z = 2 — i; г) г = -3 + 4Л
Д а) Отметим z = —2 на комплексной плоскости (на рис. 13 точка А).
На основании рисунка заключаем, что argz = 7r + 2nn, nd.
б)	Отметим z = — i на комплексной плоскости (на рис. 13 точка В).
На основании рисунка заключаем, что argz =	+ 2пп, п£%.
266
Глава VI. Комплексные числа
Рис. 13
в)	Аргументы (р числа z = 2 — i определяются системой cos (р — = 2/\/5, sin (р= —1/\/5, следствием которой является уравнение tg<p = —0,5. Число z — 2 — i лежит в четвертой четверти комплексной плоскости (на рис. 13 точка С), поэтому множество аргументов можно задать одной из следующих формул: (р = — arccos -у= + 2nn, n g Z, (р = — arcsin + 2тсп, n ё Z,
V 5	v5
ср =— arctg 0,5 + 2гл., и G Z.
г)	Аргументы (р определяются системой cos(p= — 3/5, sin(р = 4/5, следствием которой является уравнение tgr/>= — 4/3. Число z = -3 + 4/ лежит во второй четверти комплексной плоскости (на рис. 13 точка £)), следовательно, множество аргументов можно задать одной из следующих формул:
(р = тс — arccos + 2тт, n g Z, (р = тс - arcsin + 2тт, и ё Z, D	D
(р = 71 — arctg | + 2тт, nel.	▲
Пример 2. Описать геометрически множество на комплексной плоскости, состоящее из точек, для которых выполняется условие: \	77	I	I ТГ
a)	argz = б) - -argz| -.
Д а) Множество, определяемое условием argz = есть луч, выходящий из начала координат и образующий угол с положительным направлением оси Ох (рис. 14).
б)	Запишем условие |^ —argz| в виде двойного неравенства
—	— argz или argz Множество изображено
на рис. 15.	▲
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
267
Запись комплексного числа в тригонометрической форме
Пусть число г/Ои г —его модуль, а ф —аргумент. Тогда число z можно записать в виде z = r(cos<p + zsin<p). Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число
a) z = — 3; б) z = 4z; в) z =—1 — i; г) z = -1 + 2/.
А а) г = 3, можно взять ф = д, следовательно, z = 3(cos д + zsin д). б) г= 4, можно взять ф = , следовательно, 2 = 4 (cos + i sin . в) г = | — 1 — t| = х/2. Так как tg ф = 1 и число лежит в третьей четверти, то можно взять ф = — у. Следовательно, /д /	( Зд\ , . . ( Зд\\
2 = v2 • I cos I —— I H- z sin I — у ) ) •
г) г = х/Ь. Так как tg ф = -2 и число лежит во второй четверти, то можно взять ф=д — arctg2. Следовательно, 2 = х/Ь  (cos (д — arctg2) + isin (д— arctg2)).	▲
Обратите внимание, что для любого комплексного числа тригонометрическая форма находится неоднозначно. Например, тригонометрической формой числа 2 = — 1 — I будет любая запись вида 2 = \/2 • (cos (-у+ 2дп)-H’sin (-^+ 2дп)), если в качестве п взято любое целое число. В то же время записи
/д ( Зд • . Зд\	/д (	д । д\
2= V2 • cos — — i sin — или 2= — v2 • cos - + i sin - не являются \4	4/	\4	4/
тригонометрической формой этого числа.
Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число:
\	7Г •	• 7Г z*'\	• ТС .	ТС
а)	2 = — cos - - i sinб) z = sin - + i cos-. 9	9	5	5
Д а) Имеем:
= 1. Аргументом числа
2 = — cos — tsin является всякое число ср, удовлетворяющее 9	9
равенствам cos ф = — cos sin ф = — sin^. Согласно формулам приведения — cos = cos (д + 0, — sin = sin (д +
268
Глава VI. Комплексные числа
следовательно, можно взять <р=тс+^ = ^. Таким образом, , ( Югг . • . ЮлЛ
2=1- I cos — + i sin — I.
б)	Имеем: |z| = 1. Аргумент ф числа z = sin^ + tcos^ опре-
О	D
деляется условиями cos ф = sin sin ф = cos Поскольку э	□
. 7Г	( 7Г 7Г\	7Г .	( 7Г 7Г \
sin -	= cos -	— -	, cos -	= sin - — -r- ,	TO МОЖНО ВЗЯТЬ
5	\2	5/	5	\2	57’
Ф = J — J = Таким образом, z — 1 • (cos + i sin . ▲
'2510	\	10	10/
Пример 5. Записать в тригонометрической форме комплексное
число:
a) z — sin а — i cos а; б) z = 1 - cos a + i sin a (тс/2<а<тг).
A 1) Имеем: |z| = \/sin2 а + (— cos a) 2 = 1. Аргументом числа z = sin a — i cos а является всякое число ср, удовлетворяющее равенствам cos ф = sin a, sin (р — — cos а. Поскольку sin а = cos (а —	— cos а = sin (а —	, то можно взять
(р = а — Таким образом, 2 = 1- (cos (a —	+ i sin (a —
2) Имеем:
|г| = \/(1 — cos a)2 + sin 2a = д/2 — 2 cos 2a = 2 |sin a| = 2 sin a. Поскольку тг/2 < a < тг, то 1 - cos a > 0, sin a > 0, и, значит, число z лежит в первой четверти. Следовательно, аргументом z является угол первой четверти, удовлетворяющий х	sin а т-	sin a . ot .	(7Г
условию tg ф  ,	. Так как ,	- . .. = ctg = tg - — -
7	БГ 1 — cos a	1-cosa Б 2 Б \2	2)
и 0 <	то можно взять ср = х —
2	2	4	г 2
о .	/	(к а\ , . . f я
Z = 2 sin a • (^cos (j - 2 ) + 1 sin (2 ~ 2 J ) •
Таким образом,
Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме
Пусть комплексные числа z\ и Z2 записаны в тригонометрической форме: z\ = г। (cos ср\ + i sin ф1), 22 = Г2 (cos ф2 + 1sin ^2). Тогда
£1^2 = tv? (С05.(ф1 + ф2) + * sin (ф1 + ф2))
и
н = A- (cos (ф1 - ф2) +1 sin (ф1 - фг)) • г2 г2
§4. Тригонометрическая форма комплексного числа
269
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Для любого n G N справедлива формула
(cos <р + i sin ep)rl = cos nep + i sin nep.
которую называют формулой Myaepa.
Для любого числа г, записанного в тригонометрической форме z — г (cos ер + i sin ер), справедлива формула возведения в степень z'1 * * * — г'1 (cos nep + i sin пер), п G й.
Пример 6. Записать число z~ (/ — УЗ) (cos ~ — / sin в тригонометрической форме.
Д Положим z\ = — УЗ + /’, Z2 = cos •— — / sin А. Модуль г\ числа z\ равен 2. Аргумент ер{ числа z\ определяется равенствами cos ер\ = х/З	1	5тг
= —S **n(^1 = 2’ возьмем ер[ =	. Модуль /'2 числа z^ равен 1.
Аргумент 9>2 числа z^ определяется равенствами cos — cos у, sin<^2 —— sin которые можно переписать в виде: cos6/>2 — cos (—у), sin ер2 = sin (—у^. Значит, можем взять (р% = — у. Имеем: |z| = = /'1 • /'2 = 2, argz = Ф1 + Ф2 = ^ —	— тг- Следовательно, z =
6	10	15
о	(	Птг	.	.	.	11тг\
= 2 • cos — + / sin — .
\	15	15 /
Ci f 117Г . • • 117г\	л
Ответ. 2 • cos — + / sin — .	A
\	15	15 /
Пример 7. Записать (У3 + /)10 в алгебраической форме.
Д Пусть z = УЗ + /. Тогда |z| = 2. Аргументом числа z является ..	х/З •	1
всякий угол (р, удовлетворяющий равенствам cosep=—, sin^= -,
в частности ер=^. Следовательно, z = 2 • ( cos £ + / sin . Тогда по '	6	\	6	6 /
1.	10 пЮ (	10я .  • 10тг\
формуле возведения в степень имеем: z и = 21  t cos — + / sin — I =
= 1024 • (cos у + / sin у) = 512 - 512УЗ/.
Ответ. 512 —512V^/-	А
Пример 8. Представить число ~)9 в тригонометрической
форме.
270
Глава VI. Комплексные числа
А 1) |а/3 —z|=2; arg(\/3-z)=-£; \/3-z=2 (cos (-|) +/sin (_f))-Следовательно, (а/З — z)7 = 27 (cos (—-у) + zsin (—
2) \i — 11 = >/2; arg(z-l) —i— 1 = а/2 (cos у + z’sin у). Следовательно,
/•	1 \9 1с /о ( ЪТк . . . 27дА
(I - 1) —16v2 (cos —+ zsin — I =
= 16\/2 (cos	+ / sin •
7	128 fcos	+ zsin f-~
з)	c/з -jf =	\ 6 /_____y 62L =
l6v/2 (cos sin ^)
= 4x/2(cos(^-4*)+isin (-£Л’)) =
= 4\/2 (cos p+Zsin
Ответ, 4\/2 (cos p-H’sin p) .	▲
Пример 9. Вычислить -----^c+ °°—<«.
r r	(1-z)96 -i(l -H)98
A 1) |l + z| = x/2; arg(l + z) =	1 + i = \/2 (cos ~ + i sin
Следовательно, (1 + z)100 == 250 (cos 25л + z sin 25л) = —250; (1 + z)98 = 249 (cos 24,5л + i sin 24,5л) = 249z.
2) |1 - t| = x/2; arg(l-z) = -p l-z = \/2(cos (-^ + zsin (~^))-Следовательно, (1 — z)96 = 248 (cos(—24л) + z sin(—24л)) = 248.
3) (1 - z)96 - z(l + z)98 = 248 - z  249z = 248 + 249 = 3 • 248.
4ч (1 + z)io° = -250 _ _4
' (1-О96-«О+ 098	3 • 248	3'
Ответ. —▲
Пример 10. Выразить cos За через cos а и sin а.
Л 1)	(cos а + z sin а)3 =
= cos3 а + 3 • cos2 а • z sin а + 3 • cos а • (z sin а)2 + (z sin а)3.
§5. Извлечение корня из комплексного числа
271
С другой стороны, согласно формуле Муавра имеем (cos a + i sin a)3 = cos 3a + i sin 3a. Следовательно, cos3a + zsin3a = cos3a + z-3cos2asina — 3 • cos a-sin2 a — zsin3a.
2)	(cos a — i sin a)3 =
= cos3 a — 3 • cos2 a  i sin a + 3 • cos a • (z sin a)2 — (z sin a)3 .
С другой стороны, используя формулу Муавра, получим: (cos a - z sin a)3 = (cos(—a) + z sin(—a))3 = = cos(—3a) + z sin(—3a) = cos 3a — z sin 3a.
Следовательно, cos 3a — z sin 3a =
= cos3 a — z • 3 cos2 a sin a - 3 • cos a • sin2 a + i sin3 a.
3)	Сложим почленно полученные равенства:
(cos 3a + z sin 3a) + (cos 3a — z sin 3a) = 2 cos3 a - 6 • cos a • sin2 a.
Таким образом, cos 3a = cos3 a — 3 • cos a • sin2 a.	▲
§5. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Определение корня степени п из комплексного числа
Число w называется корнем степени п из комплексного числа z (обозначается {/г), если wn — г.
Пример 1. Найти V-5 + 12г.
Д Положим \/—5 + 12г’ = х + iy (х и у — действительные числа). Тогда —5 + 121 = х2 + 2ixy — у2. И, значит, х и у удовлетворяют системе	z „
fx2-//2 = -5, (/1/ = 6.
Система имеет два действительных решения х = 2, у = 3 и х = — 2, у = — 3. Таким образом, V—5 + 12г имеет два значения: 2 + 3z и —2 — Зг.
Ответ. 2 + Зг, —2 — Зг.	▲
Пример 2. Найти yj—a2, где а — действительное число.
Д Положим у/—а2 = х + 1у (х и у — действительные числа). Тогда
—а2 = х2 + 2ixy — у2. И, значит, х и у удовлетворяют системе
272
Глава VI. Комплексные числа
{2 _ 2 _ _ 2
*	— a ’ Система имеет два действительных решения х = 0,
у = |а| и х — 0, у = — \а\. Таким образом, \/—а1 = ±1 |а|.
Ответ. |а|.	▲
Так, например, х/~Т = =Ь, х/~9 = ±3/, х/~~3 = ±/х/3 (в правой части последнего равенства под \/3 подразумевается арифметический квадратный корень). Безусловно, есть некоторое неудобство в использовании одинакового обозначения (/z для множества корней степени п из комплексного числа и арифметического корня степени п. Когда из контекста неочевидно, в каком именно смысле используется обозначение, необходимо давать пояснения.
Извлечение корня степени п из комплексного числа
Для любого mGM и любого комплексного числа zy^O существует н различных значений корня n-и степени из г. Если z -- г (cos ср 4- i sin ср), то эти значения выражаются формулой
пГ (	+	. . <р + 2тг/г\ , П1	.
wk = v г cos -------1- / sin —-- , k = 0,1....n — 1.
у п	п )
(под д/г понимается арифметический корень n-и степени).
На комплексной плоскости точки w/{ расположены па окружности радиуса {/г с центром в начале координат, причем аргументы соседних точек отличаются
2тг	„ „
на — и поэтому точки w/{ делят окружность на п равных частей. Это означает, п
что точки являются вершинами правильного м-угольника, вписанного в эту окружность.
Пример 3. Найти \/1 + V?>i и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям.
Д Имеем 1 + х/З; = 2 (cos + i sin ). Следовательно, у о	□ /
з /	-М- (	% + 2л/г	5 + 2nk
1 + V3i = x/2 I cos --------+ i sin---------
Полагая k последовательно равным 0,1,2, найдем все три значения + х/З/:
1)	при k — О получаем \/2 (cos + i sin ;
2)	при k = 1 имеем lcos + i sin ; у 9	9 /
о \	/_ о	3/q [	13 ТС । • • 13 тс \
3)	при k — 2 получаем v2 ( cos — + t sin — I.
§6. Алгебраические уравнения
273
Точки, соответствующие полученным числам, отмечены на рис. 16.	▲
Пример 4. Найти все значения и отметить на комплексной плоскости точки, соответствующие найденным значениям.
А Имеем —4 = 4 (cos лН-г sin тс). Следовательно, \/—л	/3 (о	. 7г-Ь2л:/А
V —4 = V 2 cos —!—--h f si п —Ц— .
X 4	4	/
Полагая k последовательно равным 0,1.2,3, найдем все четыре значения У^4:
1)	при k = 0: л/2 (cos 4- t sin = 14- i\
2)	при	А=1:	л/2 (cos ~	+ i sin	— — 1 + /;
3)	при	k = 2:	х/2 (cos	4- i sin	=-!-/;
4)	при	k = 3:	V2 fcos	4- t sin	= 1 - i.
1	\	4	4 j
Точки, соответствующие полученным числам, отмечены на рис. 17.	▲
§ 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решение квадратных уравнений
Пример 1. Решить уравнение г2 4- 9 = 0.
А Исходное уравнение равносильно следующим: г2 - (Зг)2 = 0, (г — Зг)(г + Зг) = 0. Последнее уравнение распадается на два: г —3i = 0 и z 4- 31 = 0, откуда 2j = 31 и 22 — — 3/.
Ответ. 4=3/.	▲
Пример 2. Решить уравнение г2 4- 4г 4- 5 = 0.
А Уравнение равносильно следующим: (г2 4-4г 4-4) 4- 1 = 0, (г 4-2)2 — (г)2 = 0, (г 4- 2 — г) (г 4- 2 4- 0 = 0. Последнее уравнение
274
Глава VI. Комплексные числа
распадается на два: 2 + 2 — / = О и 2 + 2 + / = О. Таким образом, имеем два корня: — 2 + i и — 2 — i.	▲
Ответ. — 2 ± i.
В общем случае корни квадратного уравнения az2 + bz + с = 0, а О определяются формулой Z) 2 =	±	 Здесь D = Ь2 — 4ас и VD — один из
корней второй степени из комплексного числа D.
Пример 3. Решить уравнение 22 + 2г +10 = 0.
.Д По формуле корней квадратного трехчлена получаем z = — —	Возьмем \Л-36 = 6/. Тогда Z\ = — 1 + 3/, z^ : — 1 — 3/.
Ответ. — 1 + 3/.	▲
Заметим, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами всегда комплексно сопряжены.
Пример 4. Решить уравнение 22 + 62 — 40/ = 0.
Д По формуле корней квадратного трехчлена имеем _ -6 ± +36 + 160/
2 -	2
Чтобы найти значения \/36 + 160/, можно использовать формулу извлечения корня, но проще непосредственно применить определение. Положим \/36 + 160/ = % + /у (% и // — действительные числа). Тогда 36 + 160/ = х2 + 21ху — у2. И, значит, х и у удовлетворяют системе х2 — у2 = 36, ху = 80.
Система имеет два действительных решения % =10, у = 8 и х = —10, у = —8. Следовательно, д/36 + 160/ имеет два значения: 10 + 8/ и —10 — 8/. Подставив первое из них в формулу корней квадрат--6+ (10+ 8/)	-6-(10+ 8/)
ного трехчлена, получим z\ =-----22 —--------------или
21=2 + 4/, 22 — — 8 - 4/.
Ответ. 2 + 4/, —8 — 4/.	А
Решение уравнений высших степеней
Пример 5. Решить уравнение 2 4 — б22 +25 = 0.
Д Перепишем уравнение в виде (24 — б22 + 9) + 16 = 0 или (22 — З)2 - (4/)2 = 0, (z2 — 3 — 4/) (z2 — 3 + 4z) = 0. Последнее уравнение распадается на два: z2 — 3 — 4/ = 0 и z2 — 3 + 4/ = 0. Решим их.
1) Для первого уравнения имеем z2 — 3 — 4/ = 0 <=> 2 = \/3 + 4/. Положим \/3 + 4/ = х + /у (% и у — действительные числа).
§6. Алгебраические уравнения
275
{2 _ 2 _ g
х _У ~~ ’ Система имеет ху — Z.
два действительных решения х = 2, у = 1 и х = — 2, у = — 1.
Таким образом, \/3 + 4/ имеет два значения: 2 + / и — 2 — I.
2) г2 —3 + 4/ = 0ог = \/3 — 41. Действуя так же, как при решении первого уравнения, найдем: Z\ = 2 — i и z% = — 2 + +
Ответ. 2±/, —2±/.	А
Пример 6. Решить уравнение г3 =
д 'т'	1 + i (1 + /)	•	з _ *	'т*
А Так как	= i, то г1’ = г, откуда z = \/i. Так как
1	-i l + l	J
(х + 2тг/г	+ 2nk \
2	...	2	1
COS----------1- I SIB ----- .
О	о J
Полагая k последовательно равным 0,1,2, найдем все три значения (рис. 18):
1)	при k = 0: 1 • (cos £ + /sin = ^ + d;
у о	о /	2	2
2)	при 6 = 1: 1 • (cos (^ + у) + /sin	+ Ц;
у у О о /	у о О//	2	2
3)	при 6 = 2: 1 • (cos + у) + /sin + у)) = -+
Рис. 18
Покажем другой способ решения уравнения. Так как / = —/3, то уравнение можно переписать в виде г3 = —/3, откуда г3 + /3 = 0, (г + /) (г2 — iz — 1) = 0. Приравняв каждый из сомножителей к нулю, найдем: zl = -i, г2]з =	| +
Ответ. -/, ±-у + ^/.
276
Глава VI. Комплексные числа
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Самостоятельная работа VI.1 Вариант 1
1. Вычислить:
а) (2 - i)(3 + 2<) - (I + 4<)2; б)
2. Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:
a) Imz = 2/?ег; б) |г — 3| < 2, Imz > 0.
Вариант 2
о _ -5
1.	Вычислить: а) (2 — З/')2 — (4Ч-Z)(2 — 3Z); б)-
6 — 8/
2.	Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:
a) Rez = -2Imz; б) \z — 2i\	3, Rez < 0.
Ответы
Вариант /. 1. а) 23 — 7/; б) 0,84 + 0,88/.
Вариант 2. 1. а) — 16 — 2/; б) 0,26 + 0,18/.
Самостоятельная работа VL2 Вариант 1
1.	Представить число —3 — 3/ в тригонометрической форме.
2.	Выполнить действие, представив результат в алгебраической форме:
1 + Уз/
3.	Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям
-_<Cargz<-, |z| < 6.
Вариант 2
1.	Представить число — 4х/3 + 4/ в тригонометрической форме.
2.	Выполнить действие, представив результат в алгебраической форме: , _	( 5я . . 5я
(—2 — 2г) cos--1- г sin —
\	12	12
3.	Изобразить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям
— — <argz<-, |г|	4.
Дидактические материалы
277
Ответы
Вариант 1.
п V2 . /2
2. — + z —.
2	2
/	О7Г	О7Г \	1
Вариант 2. 1. 8 I cos----Н i sin — 1. 2. v2 — z -.
\	6	6 7	з
Контрольная работа VI.1 по теме «Комплексные числа» (1 урок)
Вариант 1
1.	Вычислить: | 3 + 4 i | + Im ((2 — 3 i) (1 + z)) +
2.	Решить уравнение:
a) г2 + 8г + 17 = 0; б) г2 - 2г + 22 = 0.
3.	Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для которых Re((2 + z)z) = 2.
( г~ 8
4.	Представить ( v 3 — z 1 в алгебраической форме.
5.	Найти все значения >Уб4/ и отметить их на комплексной плоскости.
6.	Найти пару комплексных чисел (г,ш), для которых одновременно выполняются соотношения: 2г + 3iw — 8z - 3, 4z‘z — w = 4 + 9z.
Вариант 2
Go \ Q — I
3 - z)	— -—.
/	2 + z
2.	Решить уравнение:
а) г2-2г+17 = 0;	б)г2-4г + 3 = 0.
3.	Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для которых Im (г2) = 2.
/	г 11 \ 9
4.	Представить в алгебраической форме комплексное число (1 + v 3z I .
5.	Найти все значения 27 z и отметить их на комплексной плоскости.
6.	Найти пару комплексных чисел (г.ау), для которых одновременно выполняются соотношения: 2/г + Зге? = 7 — z, Зг + 2iw = 5 — 4z.
Вариант 3
1.	Вычислить 11 + z’a/3| + Im f(l + z‘)3>) — -—
1	1	\	/	1 - /S'
2.	Решить уравнение:
а) г2 - 7г + 2z + 16 = 0; б) Зг + 12z - |г| = 4.
3.	Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для которых
| г - 3 | > | г — 1 +2z|.
278
Глава VI. Комплексные числа
4.	Представить в алгебраической форме число ----------.
(16 + 16г)6
5.	Найти все значения \/б4 и отметить их на комплексной плоскости.
6.	Найти пару комплексных чисел (z, w), для которых одновременно выполняются соотношения: 2г — w = i, iw — 4г = — 1 — 2/.
Вариант 4
Л ( 9 — 4/31 \ п
1.	Вычислить 18 + 6z| + (1 — iy + Re | ---) 4-------—.
\ 1 - /26 /	1 + 2/
2.	Решить уравнение:
а) г2 — Зг + 5 + 15/ = 0; б) | г | + г = 8 + 4 /.
3.	Изобразить на комплексной плоскости множество точек г, для которых
| г — 1 — /1 < | г + 2 /1.
4.	Представить в алгебраической форме комплексное число ------
5.	Найти все значения "У—8 + 8\/3/ и отметить их на комплексной плоскости.
6.	Найти пару комплексных чисел (г, о/), для которых одновременно выполняются соотношения: г —4oi = /, z + iw— — 4.
Ответы
Вариант 1. 1. 5 — 2/. 2. а) 4 ± /; б) —1 ± 5/. 3. Прямая 2х + у = 2. 4. 128 + 128д/3/. 5. 2/±2д/3, -4/. 6. г = 3 - 2/, w = 4 + 3/.
Вариант 2. 1. —24. 2. а) 1+4/; б) 1; 3; —2±\/Т5/. 3. Гипербола у—— 4.512. 5. ±1,5д/3 - 1,5/, 3/. 6. г = 1 - 2/, w = 1 - /.
Вариант 3. 1. 6 + 3/. 2. а) 4 — 2/, 3 + 2/; б) 3 — 41. 3. Полуплоскость, лежащая ниже прямой 4у + 4х — 5 = 0. 4. —8 + 8д/3/. 5. ±2, 1±/д/3, — 1±/д/3. 6. г - 1 — /, w = 2 — 3/.
Вариант 4. 1. 8 — 2/. 2. а) 4 — 3/, —1 + 4/; б) 3 + 4/. 3. Полуплоскость, лежащая выше прямой у = 0,5 — 0.5%. 4. —8 — 8/. 5. л/З + Л — V3±i. 6. г = = —4 — / , w = -1.
Глава VII
МНОГОЧЛЕНЫ
Изучение темы начинается с рассмотрения понятия многочленов и действий над ними. Можно отметить, что равенство многочленов соответствует равенству функций. При рассмотрении понятий, связанных с делимостью многочленов и алгоритмом Евклида, необходимо подчеркнуть аналогию с соответствующими понятиями и методами для натуральных чисел.
При применении схемы Горнера следует обратить внимание на то, что в таблицу часто забывают выписать коэффициенты многочлена. Необходимо подчеркнуть, что при подборе целых и рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами вместо подстановки чисел в многочлен удобнее пользоваться схемой Горнера. В этом случае одновременно с выяснением того, что некоторое число а является корнем, получается и остаток от деления многочлена на двучлен на х — а, и дальнейший подбор корней можно осуществлять уже для остатка.
§1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Действия над многочленами. Метод неопределенных коэффициентов
Многочленом (полиномом) от одной переменной х называется выражение вида Р(х) — аохп + а\хп~{ + ... +akxn~k +... + ап_[Х + ап, где oq, щ,..., ап — числовые коэффициенты, Uq^O. Число п называется степенью многочлена Р(х) и обозначается deg/3.
Равенство многочленов и действия над ними определяются как равенство и действия над функциями.
Многочлены
Р(х) — Qqx + gjx 4-... 4- akx 4- ... + Un-, Qq О,
И	1	А
5(х) = boxm + blXm-' +... + bkxm~k + ... + bm, b0 ± 0, равны тогда и только тогда, когда п — т и при всех k, 0 k п, имеем ak — т. е. равны степени многочленов и коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Из этого условия, в частности, вытекают правила сложения и умножения многочленов.
280
Глава VII. Многочлены
При этом степень суммы и разности многочленов не превосходит максимальной из степеней многочленов, входящих в сумму, степень произведения многочленов равна сумме степеней многочленов, входящих в произведение.
При умножении многочленов Р(х) — а^х'1 + а\хп~1 + ... -|- ап и S(x) = b^xm + Ь\хт~[ + ... + Ьт часто бывает удобным подсчитывать коэффициенты одночленов, входящих в произведение Р(х)  Q(x) - с^х'1^"1 -I- c\x'l+m~ \ + ... + скхп+т~к + ... + cll+m по формуле
k ('k a‘bk—i' (=0
если считать zz, 0 при z > rz, bj — 0 при j > tn. Таким образом, для того чтобы найти коэффициент с/, при х"^т~к в произведении, нужно сложить все возможные произведения коэффициентов при х,- из Р(х) и Xj из Q(x), таких, что i +j-.lt.
Пример 1. Найти произведение многочленов
Р(х) = х4 + 2х3 - Зх + 1 и Q(x) = х4 — Зх2 + 2х - 1.
А Найдем коэффициенты с/е при х8~к\ 0 /г 8, в произведении Р(х) • Q(x) :
при %8	коэффициент	с0 = 1 • 1 = 1,
при х7	коэффициент	с\ = 2 • 1 = 2,
при х6	коэффициент	с% =	1	• (—3) = —3,
при х5	коэффициент	с3 =	1	• 2 + 2 • (—3) +	(—3) •	1 = —7,
при х4	коэффициент	q =	1	• (—1) + 2 • 2 +	1 • 1 =	4,
при х3	коэффициент	С5 =	2	• (—1) + (-3) •	(-3) = 7,
при х2	коэффициент	с6 = (—3) • 2 + 1	•	(—3) =	—9,
при х1	коэффициент	С7 = (—3) • (—1) +	1-2 =	5,
при х° коэффициент с3 = 1 • (—1) = —1.
Таким образом, получаем
Р(х) • Q(x) = х8 + 2х7 — Зх6 — 7х5 + 4х4 + 7х3 — 9х2 + 5х — 1.	▲
Фактически изложенный способ умножения многочленов просто позволяет одновременно раскрывать скобки и приводить подобные члены, сокращая запись. Его удобно применять и при делении одного многочлена на другой с остатком с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Напомним, что для того, чтобы разделить многочлен Р(х) на многочлен Г(х) с остатком, нужно найти такие два многочлена Q(x) и /?(х), что P(x) = Q(x)-7'(x) + /?(x) и deg/?(x) < deg 7'(х). При
§1. Основные определения
281
этом если degP(x) = n, deg Т(х) = т и п < т, то Q(x) = 0, /?(х) = Р(х). Если п т, то deg Q(x) = n. — т.
Пример 2. Разделить многочлен Р(х) = х5 — 1 на Т(х) = х2 + 2х — 1 с остатком методом неопределенных коэффициентов.
А Так как степень многочлена Р(х) равна 5, степень многочлена Т(х) равна 2, то степень многочлена Q(x) равна 3, т. е. Q(x) имеет вид cqX^ + С[Х2 + с2х + С3. Степень многочлена R(x) меньше 2, т. е. R(x) имеет вид dQX + d\. Заметим, что do может оказаться равным 0.
Имеем равенство
х5 - 1 = (сдх3 + с\х2 + с2х + с?з)(а:2 + 2х - 1) + d^x + d\.
Приравнивая коэффициенты при степенях х получим:
Х° :	1 = со;		
х4 :	0 =	2с0 + С1,	с’1 — —2;
х3 :	0 =	— Cq + 2с\ + С-2,	С‘2 = 5;
х2 :	0-;	-С1 + 2с-2 + с3,	сз = -12;
х1 :	0 =	-c2 + 2c3 + d0,	do — 39;
х° :	-1 =	—с3 + d 1,	d\ = -13
Окончательно получаем:
х5 - 1 = (х3 - 2х2 + 5х - 12)(х2 + 2х - 1) + 39а - 13. А
Пример 3. При каких значениях а и b многочлен
х3 + ах2 — х + b
делится на многочлен х2 + 2х + 5 без остатка?
А Запишем условие деления без остатка:
х3 + ах2 - х + b = (х2 + 2х + 5) (сх + d).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему
!с = 1, d + 2с = а, 2d + 5с = — 1, 5d = b.
Отсюда с = 1, d = —3, b = -15, а = —1.	А
Метод деления многочленов «уголком». Необходимость деления многочленов с остатком возникает во многих задачах при преобразованиях дробно-рациональных выражений, например, при построении графиков, вычислении производных и интегралов, а также во многих других.
282
Глава VII. Многочлены
Пример 4. При каких целых значениях х выражение
х4 + Зх3 + 2х2 + х + 2
X2 + X + 1
принимает целые значения?
А Разделим числитель дроби на ее знаменатель с остатком «уголком»:
х4 + Зх3 + 2х2 + х + 2 г + х + 1
х4 + х3 + х2	х2 + 2х - 1
2х3 + х2 + х + 2
2х3 + 2х2 + 2х
-	х2 — х + 2
-	х2 — х — 1
3
Запишем результат деления с остатком:
х4 + Зх3 + 2х2 + х + 2 = (х2 + 2х — 1)(х2 + х + 1) + 3.
Таким образом, имеем:
х4 + Зх3 + 2х2 + х + 2 _ v2 । о v ii 3
о	— X Т ZX 1 “Г Q	•
х -|- х -I-1	х + х + 1
Так как по условию х —целое, то исходная дробь принимает целые значения, когда —----------— целое, т. е. х2 + х + 1 = ±3 или
X И- X -|- 1
х2 + х + 1 =±1. Решая квадратные уравнения, получаем х = 0, х = -1, х = 1, х = -2.	А
Пример 5. Найти наименьшее значение функции
г/ \_х4 + 2х3 + 6х2 + 5х + 7
- х2 + х + 2	•
А Преобразуем функцию, разделив числитель на знаменатель с остатком «уголком»:
х4+2х3+6х2+5х+7 х2 + х + 2
х4+ х3+2х2	х2 + х + 3
х3+4х2+5х+7
х3+ х2+2х
Зх2+Зх+7
3х2+3х+6
1
§1. Основные определения
283
Запишем результат деления с остатком:
х4 + 2х3 + 6х2 + 5х + 7 = (х2 + х + 3)(х2 + х + 2) + 1. Преобразуем функцию:
г/ \ _ Х^ + 2х3	6х2 |	| у _ (х2	%	%	2)	1 _
х2 + х + 2	х2 + х + 2
Сделаем замену х2 + х + 2 = £: /(х) = t + j + 1. Выясним, какие значения может принимать t, т. е. при каких значениях t уравнение х2 + х + 2 = t имеет решение: D = 1 — 4(2 — t) = 4t — 7, уравнение имеет решение при t^7/4, I принимает все значения из промежутка [7/4; +оо).
Таким образом, нам необходимо найти наименьшее значение функции h{t) = t + - + 1 на промежутке [7/4; +оо).
Первый способ. Найдем, какие значения может принимать функция h(t) = t + у + 1, если t Е [7/4; +оо). Для этого необходимо найти те значения а, при которых уравнение £+j=a— 1, или t2 + (1 — a)t + 1 = 0, имеет решения на промежутке [7/4; +оо).
Заметим, что если уравнение t2 + (1 — a)t + 1 = 0 имеет корни, то по теореме Виета их произведение равно 1 (если корень один, то его квадрат равен 1), т. е. уравнение не может иметь два решения на промежутке [7/4; +ос).
Уравнение имеет одно решение на данном промежутке тогда и только тогда, когда значение квадратичной функции g{t) = t2 + (1 - a)t + 1 в точке 7/4 неположительно. Итак, получаем 49/16 +(1-а)-7/4 + 1 ^0, 0 93/28.
Таким образом, мы получили, что уравнение
х4 + 2х3 + 6х2 + 5х + 7 _ х2 + х + 2
имеет решение при а ^ 93/28.
Множеством значений функции /(х) является промежуток [93/28; +оо), наименьшее значение функции равно 93/28.
Второй способ. Найдем наименьшее значение функции h(t) = t + j + 1 на промежутке [7/4; +оо).
Функция p(t) = t + у, где а>0, является монотонно возрастающей на промежутках [yTz; +оо), (—оо; — ^/а] и монотонно убывающей на промежутках [—0), (0; т/а].
284
Глава VII. Многочлены
Следовательно, функция h(t) = t + j на промежутке [7/4; +оо) является возрастающей и принимает свое наименьшее значение на левом конце, оно равно h (7/4) = 93/28.	А
Алгоритм Евклида. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух многочленов часто оказывается полезным при преобразованиях алгебраических выражений и решении уравнений и неравенств.
При нахождении наибольшего общего делителя двух многочленов используется тот же способ, что и для нахождения наибольшего общего делителя двух двух целых чисел, — алгоритм Евклида.
При нахождении НОД многочленов Р(х) = Uqx" + a|Xrt-1 + ... + ап и Q(x) = b$xm + Ь\хт~{ + ... + Ьт бывает удобнее находить НОД многочленов Р\(х~) = — Р(х) и Qj = где с = НОК(а0, Ьо). Тогда
aQ	Ь О
коэффициенты при старших степенях многочленов Р\(х) и Qi(x) будут равны.
Пример 6. Сократить дробь
2х3 — 2х4 + Зх3 — 5х2 4- х — 2
Зх3 — Зх4 4- 4х3 — 7х2 4- х — 2
А Преобразуем дробь так, чтобы легче было находить НОК числителя и знаменателя:
2х5 — 2х4 4- Зх3 - 5х2 4- х — 2 _ 2 6х5 — 6х4 4- 9х3 — 15х2 4- Зх — 6
Зх5 — Зх4 4- 4х3 — 7х2 4- х — 2	3 6х5 — 6х4 4- 8х3 — 14х2 -I- 2х — 4
Для того, чтобы сократить дробь, найдем НОК многочленов Р(х) = = 6х5 - 6х4 + 9х3 — 15х2 + Зх - 6 и Q(x) = 6х5 — 6х4 + 8х3 — 14х2 + 2х — 4 с помощью алгоритма Евклида. Разделим Р(х) на Q(x) с остатком:
6х5 - 6х4 + 9х3 — 15х2 + Зх — 6
6х5 - 6х4 + 8х3 - 14х2 + 2х - 4
х3 - х2 + х - 2
6х5 - 6х4 4- 8х3 — 14х2 + 2х - 4
Р(х) = Q(x) + (х), где R[ (х) = х3 - х2 + х — 2.
Разделим теперь Q(x) на 7?i(x) :
6х5 — 6х4 + 8х3 — 14х2 + 2х — 4
6х5 — 6х4 + 6х3 — 12х2
2х3 - , 2х2 + 2х — 4
2х3 — 2х2 + 2х — 4
х3 - х2 + х - 2
6х2 + 2
О
§1. Основные определения
285
Таким образом получаем:
НОК(Р(х), Q(x)) = /?!(х) = х3 - х2 + х - 2,
Q(x) = 2(3х2 + 1)(х3 - х2 + х - 2),
Р(х) = Q(x) + /?i(x) = 2(3х2 + 1)(х3 - х2 + х - 2) + (х3 - х2 + х - 2) = = (6х2 + З)(х3 - х2 + х - 2) = 3(2х2 + 1)(х3 - х2 + х - 2).
Окончательно получаем
2х5 — 2х4 + Зх3 — 5х2 -|- х — 2 _ 2 Р(х) _ 2х2 I- 1	д
3х^~3х4 + 4х3 - 7х2 + х - 2 ” 3 Q(x) ~ Зх2 + 1 ‘
В следующем примере разберем, как по остаткам, которые получаются при делении некоторого многочлена Р(х) на взаимно простые многочлены Г](х) и Г2(х), можно найти общий вид многочлена Р(х). При этом используется метод, аналогичный методу нахождения остатка от деления числа на произведение взаимно простых множителей по известным остаткам от деления этого числа на каждый из множителей.
Пример 7. Некоторый многочлен Р(х) при делении на многочлен Ti(x) = х2 + 2х + 2 дает в остатке 1, а при делении на многочлен Г2(х) = х —1 дает в остатке 2.
а)	Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен П(х)Г2(х).
б)	Найти многочлен Р(х) минимальной степени.
А а) По условию имеем
Р(х) = (х2 + 2х + 2)Q| (х) + 1, Р(х) = (х - 1)С?2(х) + 2;
(х2 + 2х + 2)Qj(х) = (х - l)Q2(x) + 1-
Найдем общий вид многочленов Qi(x) и Q2(x). Разделим многочлен х2 + 2х + 2 на х — 1 с остатком:
х2 + 2х + 2 = (х — 1)(х + 3) + 5.
Получаем:
((х - 1)(х + 3) + 5)Qi(x) = (х - 1)Q2(x) + 1, 5Qi(x) - 1 = (х - 1)(Q2(x) - (х + 3)Qi(x)).
286
Глава VII. Многочлены
Обозначим Q3(x) = Q2(x) — (* + 3)Qi(х). Этот многочлен можно выбрать произвольным образом и построить последовательно многочлены
Ql(x) =	+
Q2(x) = Q3(x) + (х + 3)Q,(x) = Q3(x) +	+	+ 3) =
__	+ 2x + 2) + x + 3 -	5	’
P(x) = (x2 4- 2x + 2)Qi(x) + 1 =
= (x - l)(x2 + 2x + 2)^ + £t±2£±Z. О	О
Итак, остаток от деления многочлена на Р(х) на многочлен ?](%)• r2U) Равен + 2х + 7• о
б) Рассмотрим произвольный многочлен Р(х), удовлетворяющий условию
Р(х) = (х - 1 )(х2 + 2х + 2)^ + *2 + 2* + 7.
При Q3(x) ф 0 степень первого слагаемого в многочлене Р\х} больше степени второго и degP(x) 3. Таким образом, многочлен Р(х) минимальной степени получается при Q3 = О, и/ \ -Ь 2х + 7	д
т. е. Р(х) = —!-=——.	А
□
Пример 8. Найти многочлен Р(х) минимальной степени, дающий остаток R[ = х3 + 1 при делении на многочлен 7\(х) = х4 + х + 1 и остаток /?2 = х + 2 при делении на многочлен Т^х) = х2 + 1.
А Найдем общий вид многочленов Р(х), дающих заданные остатки /?1(х) и R<z(x) при делении на многочлены Т\(х) и Т^х) соответственно:
Р(х) = Q](x)(x4 + х+ 1) + х3 + 1, Р(х) = Q2(x)(*2 + 1) + х + 2, Q1 (х)(х4 + х + 1) + х3 - х - 1 = Q2 W(*2 + 1)-
В отличие от предыдущего примера deg/?i(x) > degT2(x). Разделим многочлены Ti(x) и R\(x) — Т?2(х) = х3 — х — 1 на T^ix) с остатком
§1. Основные определения
287
и подставим полученные выражения в последнее равенство:
х4 + х + 1 = (х2 + 1)(х2 - 1) + х + 2,
х3 - х — 1 = (х2 + 1)х — 2х - 1,
Qi(x)(x2 + 1)(х2 - 1) + (х + 2)Q] + (х2 + 1)х - 2х - 1 = Q2(x)(x2 + 1), (х + 2)Q, - 2х - 1 = (х2 + 1HQ2(*)-Q1(*)(*2-1)-*)-
=Q-.M
Разделим теперь х2 + 1 и 2х + 1 на х + 2 с остатком и подставим полученные выражения в последнее равенство:
х2 + 1 = (х + 2)(х - 2) + 5,
2х + 1 = 2(х + 2) — 3,
(х + 2)Q](x) - 2(х + 2) + 3 = (х + 2)(х - 2)Q3(x) + 5Q3(x),
(х + 2)-^^---(-~-2)Q3(%) ~2 + | = Оз W-
Если теперь задать многочлен Q4(x) = ОМ ~ (х - 2)Q3(x) - 2: произвольным образом, то можно последовательно получить многочлены Q3(x), Qi(x) и Р(х):
Оз(%) = (х + 2)Q4(x) + |,
Qj(x) = (х - 2)Q3(x) + 2 + 5Q4(x) = (х2 + l)Q4(x) +
Р(х) = (х4 + X + l)Qi(x) + Х3 + 1 =
= (X4 + X + 1)(Х2 + 1)Q4(X) + Зх5 + 4х4 + 5х3 + Зх2 + 7х + 9.
5
Таким образом, многочлен Р(х) минимальной степени получается / \	гу/ \ Зх3 + 4х4 5х3 4- Зх2 4- 7х 4-9	х
при Q4(x) = 0 и равен Р(х) =------!-------------——.	▲
О
Если даны остатки 7?i(x) и R^fx) от деления некоторого многочлена Р(х) на многочлены Ti(x) = (х — ai)(x - а?) • ... • (х — ап) и Т2(х) = (х - Ь\)(х - Ь2) • ... • (х - Ьт) соответственно, и среди чисел а], а2 • • • > ani b[,	  -Ьт нет равных, то для того, чтобы найти
остаток R(x) от деления многочлена Р(х) на многочлен Ti(x)T2(x) можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.
Так как deg(Ti(x)T2(x)) = т + п, то deg/?(x) т + п — 1, R(x) = CQXn+m~x + ... + сп+т_\. Подставив 1 i п, в равенство Р(х) — T’lWQiU) + ^1(х),	1	в равенство
Р(х) = T2(x)Q2(^) + РЖР), найдем Р{а^ = 7?i(az), P(bj) = R^ibj). Подставив далее а/ и Ь] в равенство Р(х) = Ti(x)T2(x)Q(x) + R(x),
288
Глава VII. Многочлены
получим P(at) = /?(аг), P(bj) = R(bj), откуда и найдем неопределенные коэффициенты С/г, O^k^n+m— 1.
Пример 9. При делении многочлена Р(х) на многочлен (х + 1)(х — 2) получается остаток 2х + 1, а при делении на многочлен х — 1 получается остаток 5. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен (х + 1)(х — 2)(х — 1).
А По условию при делении многочлена Р(х) на многочлен (х + 1)(х - 2) получается остаток 2х + 1. Тогда Р(х) = = (х + 1)(х — 2)Qi(x) 4- 2х + 1. Подставив в это равенство х = — 1 и х = 2, получим Р(—1) = — 1, Р(2) = 5.
При делении многочлена Р(х) на многочлен х — 1 получается остаток 5. Тогда Р(х) = (х - l)Q2(x) + 5. Подставив в это равенство х= 1, получим /’(I) = 5.
Пусть остаток от деления Р(х) на многочлен (х + 1)(х - 2)(х - 1) равен Я(х). Тогда Р(х) = (х + 1)(х - 2)(х — l)Q(x) + R(x) И R(x) =CqX2 + С\Х + С2, i°(x) = (х+ 1)(Х ~ 2)(Х - l)Q(x) +С0Х2+С[Х + С2. Подставив в это равенство х = —1, х = 2, и х=1 получим систему С0 - С] + с2 = -1.
4cq + 2с\ + с2 = 5, с0 + С] + с2 = 5.
Отсюда получаем eg = — 1, cj=3, с2 = 3 и искомый остаток равен Я(х) = —х2 + Зх + 3.	А
§2. СХЕМА ГОРНЕРА
Деление многочлена Р(х) на двучлен х - а производится с использованием схемы Горнера. Результат деления записывается в виде Р(х) = (х - a)Q(x) + R-
Пример 1. Разделить многочлен
Р(х) = х4 - 30х3 + 81х2 - 10х + 271 на двучлен х — 27.
А Найдем неполное частное и остаток с помощью схемы Горнера.
Коэффициенты Р(х)
	1	-30	81	-10	271
27	1	27 -1 — 30 = = -3	27 • (-3) + 81 = = 0	27 0 - 10 = = -10	27- (-10) + 271 = = 1
Коэффициенты Q(x)	R
Итак, Р(х) = (х - 27)(х3 - Зх2 - 10) + 1.
§ 2. Схема Горнера
289
Пример 2. Проверить, что многочлен
Р(х) = Зх5 - х4 - 83х3 - 17х2 - 8х + Ю делится на двучлен х + 5, и найти частное от деления. Д Составим таблицу для схемы Горнера.
Коэффициенты Р(х)
	3	-1	-83	-17	-8	10
1 -5	3	-16	-3	-2	2	0
Коэффициенты Q(x)	R
Запишем результат применения схемы Горнера:
Зх5 - х4 - 83х3 - 17х2 - 8х + 10 = (х + 5)(3х4 - 16х3 - Зх2 - 2х + 2). Действительно, многочлен Р(х) делится на двучлен х + 5 и частное от деления равно
Q(x) = Зх4 - 16х3 - Зх2 - 2х + 2.	А
Для того чтобы многочлен Р(х) разделить с остатком на двучлен ах — Ь, где а^О, можно с помощью схемы Горнера разделить Р(х) на двучлен x-\-bfa. Тогда если при делении на х 4- bja частное равно Qi, а остаток /?, то при делении на ах 4- b частное равно Qi/а, а остаток также равен R :
Р(х) = (х - b/a)Q\(x) + R = (ах - b)(Qi(x)/a) + R.
Пример 3. Разделить с остатком многочлен
Р(х) = 4х4 + 2х3 + ^х2 + х
49
на двучлен 7х + 3.
Д Разделим сначала с помощью схемы Горнера многочлен Р(х) на двучлен х + 3/7.
Коэффициенты Р(х)
4	2	55 49	1	0
4	+ 7	1	4 7	_ 12 49
Коэффициенты Q(x) R
Запишем результат деления:
Р(Х) = (х +	(4х3 + |х2 + X + |) -
Окончательно получаем:
Р« = (7х + 3)(+ + ^2 + |х + А)-1|. А
290
Глава VII. Многочлены
Доказательство того, что многочлен Р(х) делится на многочлен Т(х) = (х — а[)П{(х — а^)п‘2 • ... • (х — аьУ4, проводится с помощью применения схемы Горнера п,\ + /г2 + - • - + nk Раз- При этом результаты вычислений удобно записывать в одну таблицу.
Пример 4. Доказать, что многочлен
Р(х) = х6 - За5 - а4 + 1 За:3 - 54а2 + 140а - 120
делится на многочлен Т(х) = (х — 2)3(а + 3), и найти частное от деления.
А Разделим многочлен Р(х) на двучлен х — 2. Получим
Р(х) = (х - 2)Qi(x),
где Qi(a) = а5 - а4 — Зх3 + 7а2 — 40а + 60.
Разделим многочлен Qi(a) на двучлен а — 2. Получим
Qi(a) = (а - 2)Q2(x), Р(а) = (а - 2)2Q2(a),
где Q2(x) = а4 + а3 — а2 + 5а — 30.
Разделим многочлен Q2(a) на двучлен а — 2. Получим
Q2(x) = (х - 2)0з(х),Р(х) = (х - 2)3<Эз(х),
где Q3(a) = а3 + За2 + 5а + 15.
Наконец, разделим многочлен Q3(a) на двучлен а + 3. Получим Q3(a) = (а + 3)Q(a), Р(х) = U - 2)2(х + 3)Q(a), где Q(a) = а2 + 5.	▲
С помощью схемы Горнера можно доказывать также делимость многочлена Р(х) на квадратный трехчлен Т(х) = ах2 + Ьх + с.
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
291
Для этого нужно найти корни х\ и х2 квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, а затем разделить последовательно Р(х) на двучлены X — X] И X — Х2.
Пример 5. Применяя схему Горнера, доказать, что многочлен Р(х) = х7 + 2х6 — х5 + х3 - 5х + 2
делится на квадратный трехчлен Т(х) = х2 + 2х — 1.
Д Корнями квадратного уравнения Т(х) =х2 + 2х — 1 являются числа х\ = — 1 + л/2 и х2 = — 1 — л/2. Разделим многочлен Р(х) на двучлен х + 1 — л/2, а затем частное — на двучлен х + 1 + л/2.
	1	2	-1	0	1	0	-5	2
-1 + У2	1	1 + У2	0	0	1	-1 + У2	-2-2^2	0
- 1 - У2	1	0	0	0	1	—2	0	
Р(х) = (х + 1-\/2)(х + 1 + \/2)(х5 + х-2) = (х2 + 2х-1)(х5 + х-2). А
Пример 6. Применяя схему Горнера, доказать, что многочлен Р(х) = 2х6 + Зх5 + 8х4 — 6х3 — х2 — Зх + 5 делится на квадратный трехчлен Т(х) = х2 + 2х + 5.
Д Корнями квадратного уравнения Т(х) — х2 + 2х + 5 являются числа X] = -1 +2/ и х2 = — 1 — 21. Разделим многочлен Р(х) на двучлен х + 1 — 2i, а затем частное — на двучлен х + 1 + 21.
	2	3	8	-6	-1	-3	5
-1+2/	2	1+4/	-1-2/	-1	-2/	1+2/	0
-1-2/	2	-1	0	-1	1	0	
Р(х) = (х + 1 — 2/)(х + 1 + 2z)(2x4 — х3 — х - 1) = = (х2 + 2х + 5)(2х4 — х3 — х + 1).
§3. ТЕОРЕМА БЕЗУ. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА
Теорема (Безу). Если Xq — произвольное число, то при делении многочлена Р(х) на двучлен х — xq получается остаток, равный значению многочлена при x = Xq, т. е. R = P(xq).
Пример 1. Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена хп — 1 на х — а.
& По теореме Безу остаток равен значению многочлена Р(х) = хп — 1 при х = а : R = ап — 1.	А
292
Глава VII. Многочлены
Замечание. Из теоремы Безу, в частности следует, что остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен ах — Ь, а^О, равен Р(Ь/а\
Пример 2. Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена Зх20 + х19 — 7х + 1 на Зх + 1.
А Остаток равен значению многочлена Р(х) = Зя20 + я19 — 7х + 1 при х = -1/3 : R = 3(—1 /З)20 + (—1/3)19 + 7/3 + 1 = 10/3. А
Пример 3. При каких значениях а и b многочлен 2х4 + ах3 + Ьх2 + 1 при делении на х — 1 дает остаток 3, а при делении на lx + 1 дает остаток 3/8?
А Остаток от деления многочлена Р(х) = 2х4 + ах3 + Ьх2 + 1 на двучлен х-1 равен /Д1). Получаем 3 + а + 6 = 3, Ь = -а. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен 2х + 1 равен Р(-0,5). Получаем
Корни многочлена. Для доказательства того, что различные числа xi, Х2,... ,х/г являются корнями многочлена Р(х), т. е. /Дх) = 0, удобно пользоваться схемой Горнера. При этом нет необходимости каждый раз делить сам многочлен Р(х) на двучлен х —хг-. Применяя схему Горнера в первый раз, мы не только убеждаемся в том, что число Х[ является корнем Р(х), но и получаем частное от деления: /Дх) = (х — xi)Qi(x). Для того, чтобы убедиться в том, что число Х2 является корнем Р(х), достаточно разделить по схеме Горнера многочлен Qi(x) на х —Х2, и т. д. Все вычисления удобно производить в одной таблице и записывать окончательный результат деления в виде разложении многочлена на множители:
Р(х) = (х-Х])(х-х2) ... • (х-Xk')Qk(x).
Пример 4. Применяя схему Горнера, доказать, что числа Х[ = — 2 и Х2 = —1/3 являются корнями многочлена Р(х) = = Зх6 + 7х5 + 2х4 + Зх3 + 10х2 + 9х + 2.
А Разделим многочлен Р(х) на двучлен х + 2, а затем получившиеся частное —на двучлен х + 1 /3.
	3	7	2	3	10	9	2
— 2	3	1	0	3	4	1	0
3	3	0	0	3	3	0	
Итак,
/Дх) = (х + 2) (х + 0 (Зх4 + Зх + 3) = (х + 2)(3х + 1)(х4 + х + 1). А
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
293
Для того чтобы доказать, что кратность корня Хд многочлена Р(х) равна k, необходимо показать, что многочлен Р(х) делится на многочлен (х —хд)Л и не делится на многочлен (х — хд)Л+1, т-е- нужно многочлен Р(х) разделить последовательно /г + 1 раз на двучлен x — Xq и представить Р(х) в виде Р(х) = (х — Xo)k(Q(x)(x — xg) + R), где/2^0.
Пример 5. Определить кратность корня xq — —0,5 многочлена
Р(х) = 8х8 + 12х7 + бх6 + х5 — 24х4 — 28х3 — 6х2 + Зх + 1.
Д Разделим последовательно многочлен Р(х) на двучлен х + 0,5 до получения ненулевого остатка.
	8	12	6	1	-24	-28	-6	3	1
-0,5	8	8	2	0	-24	-16	2	2	0
-0.5	8	4	0	0	-24	-4	4	0	
-0,5	8	0	0	0	-24	8	0		
-0,5	8	—4	2	-1	-23,5	19,75			
Коэффициенты Q(x)	R
Запишем результат деления:
Р(х) = (х + 0,5)3((8х4 - 4х3 + 2х2 - х - 23,5)(х + 0,5) + 19,75), кратность корня хд = —0,5 равна 3.	А
Разложение многочлена на множители. При решении алгебраических уравнений высоких степеней бывает удобно разложить многочлен, стоящий в левой части уравнения, на множители. При этом степени множителей уже будут ниже степени исходного многочлена. Кроме того, необходимость разложения многочлена на множители возникает при интегрировании рациональных дробей, вычислении различных сумм и т. д.
При разложении многочлена на множители необходимо помнить, что любой многочлен с действительными коэффициентами раскладывается на линейные и квадратичные множители.
Пример 6. Разложить на неприводимые множители с действительными коэффициентами многочлен Р(х) = х4 + 4.
Д Найдем корни многочлена Р(х), решив уравнение х4 + 4 = 0. Его решениями являются числа 1±ги —1±/. Таким образом, получаем х4 + 1 = (х— 1 — i)(x— 1+/)(х+1 — /)(х+1 — z) = (x2-2x+2)(x2+2x+2). А
При разложении на множители бывает удобно представить исходный многочлен в виде разности квадратов двух многочленов.
294
Глава VII. Многочлены
Пример 7. Разложить на множители многочлен
Р(х) — х4 + 2х2 + 6.
А Если мы попытаемся разложить многочлен Р(х) на множители, решив биквадратное уравнение, нам придется извлекать корень из «неудобных» комплексных чисел. Действительно сделав замену x2 = t, получим Z2+ 2^ + 6 = 0, откуда t=— 1 ±/Уб, х2 = — 1 ± г'Уб.
Поэтому произведем разложение на множители другим способом. Дополним выражение х4 + 6в многочлене Р(х) до полного квадрата. Получим
Р(х) = х4 + 2х2 + 6 = х4 + 2х2х/б + 6 — х2 (2х/б — 2) =
- (х2 + Уб)2 - (х\/2 Уб - 2^ =
= (х2 + х'У2Уб — 2 + Уб) (х2 — х^/2Уб — 2 + Уб). А Замечание. Приведенный способ разложения многочлена Р(х) = х4 + рх2 4- q на множители применяется тогда, когда р2 < 4<у.
Если же р2 4р, то разложив квадратный трехчлен P'+pt + q на линейные множители Р + pt 4- q = (t — t[)(t — t%), получим
x4 4-px2 4- q = (x2 - 0)(x2 - t%).
Пример 8. Решить уравнение
_____!_____+ ________!_____=_________!______. x4 + 5x2 + 9 x4 + 2x3 + x2 - 9 x4 - x2 + 6x — 9
А Разложим на множители знаменатели дробей, представив их в виде разности квадратов:
х4 + 5х2 + 9 - х4 + бх2 + 9 — х2 =
= (х2 + З)2 - х2 = (х2 + х + 3)(х2 — х + 3);
х4 + 2х3 + х2 — 9 = (х2 + х)2 — 9 = (х2 + х + 3)(х2 + х — 3);
х4 — х2 + бх — 9 = х4 — (х — З)2 = (х2 — х + 3)(х2 + х - 3).
Подставив эти выражения в исходное уравнение, приведем дроби к общему знаменателю:
________1	+________1___________ (х2 + х 4- 3)(х2 — х + 3)___________________(х2 + х + 3)(х2 + х - 3)
-----------1_________= О'
(х2 — х + 3)(х2 + х — 3)	’
х2 4-х — 3 4“ х2 — х 4“ 3 — (х2 4“ х 4“ 3)  q в (х2 4-х 4-3)(х2 — х 4-3)(х2 4-х — 3)	’
r2 Y о
X — X — О	__ Q
(х2 4- х 4- 3)(х2 — х 4- 3)(х2 4- х — 3)
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
295
Отсюда получаем
(х~ — х — 3 = О, х2 + х + 3 О, х2 — х + 3 О, х1 + х — 3 7^ О
Пример 9. Вычислить сумму
99
2k
64 + 762 + 16*
Д Разложим многочлен P{k) = /г4 + 7/г2 + 16 на множители, дополнив выражение /г4 + 16 до полного квадрата:
£4 + 7k2 + 16 = (^4 + Sk2 + 16) _ k2 = ^2 + 4)2 _ ^2 =
= (/г2 - k + 4)(/г2 + k + 4) = (/г2 - k + 4)((£ + I)2 - (k + 1) + 4).
Представим каждое слагаемое суммы в виде
2k = _____________2k________ _ (	1____________1	\
k4 + 762 + 16	(62 - k + 4)(62 + k + 4)	\62 — 6 + 4	/г2 4-6 + 4/
Таким образом, исходная сумма записывается в виде
99	99
___26	_ _	(	1
64 + 762 + 16	^\62-6 + 4
6=1	6=1
1
62 + 6 + 4
99
= V (______1_____________1____________) =
^\62-6 + 4	(6 + I)2 - (6 + -1) + 4/
6=1
- ( 1	_	1 А + f 1	_	1 \ ।
\12 — 1 + 4	22 — 2 + 4/	\22 — 2 + 4	32 - 3 + 4/
+ f_________1_____________I________+
\ (6 — I)2 — (6 — 1) + 4	62 - 6 + 4/
-|- (--1-----------------1___________ф
\62- 6 + 4	(6 + I)2 - (6 + 1) + 4/
1 _ 1 \ + / 1 1
982 - 98 + 4	992 -99 + 4/	\992 -99 + 4	1002 -100 + 4
1 _ 1 = 2475 4	9904	9904’
296
Глава VII. Многочлены
Покажем формальную запись вывода формулы для суммы (пояснения переходам дадим ниже):
1
_______________1_______________
(Л + I)2 - (k + 1) + 4
п
4
п
V___________L_______
(/г-hl)2- (/г + 1)+4
k=2
п
k'2 - k -h 4
1=2 п
/2 - I + 4
/г2 - k + 4 k=2
/г=2
k'2 — k + 4 (n I)2 — (n + 1) + 4
(1)
(2)
(3)
,2
(п + I)2 - п + 3
4(/г2 + п + 4)
п 1
4
4
В равенстве (1) мы представили сумму в виде разности двух сумм. В равенстве (2) мы из первой суммы выделили первое слагаемое, получаемое при k = 1, а во второй сумме ввели замену l = k+\. В равенстве (3) мы из второй суммы выделили последнее слагаемое, получаемое при k = n + l, и заменили I на k.	А
Разложение многочлена на множители методом неопределенных коэффициентов. Если при разложении многочлена Р(х) на множители не удается удачно сгруппировать слагаемые, найти корни многочлена или выделить разность квадратов, часто используется метод неопределенных коэффициентов. Отметим, что после составления системы для коэффициентов, ее решение подбирается. Если мы будем решать эту систему, то придем к уравнению Р(х) = 0.
Пример 10. Найти корни многочлена
Р(х) = х4 + х3 + Зх2 + 32х — 10.
Д Разложим многочлен, стоящий в левой части уравнения, на квадратичные множители с неопределенными действительными коэффициентами. Если у многочлена есть действительные корни, то эти множители, в свою очередь далее раскладываются на линейные. Можно считать, что старшие коэффициенты в квадратичных множителях равны 1. Итак, пусть
х4 + х3 + Зх2 + 32х — 10 = (х2 + ах + b)(x2 + сх + d\
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
297
Раскрывая скобки в правой части и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему
' a + с - 1, b 4- d 4- ac — 3, ad 4- be = 32, bd= -10.
Попробуем подобрать целые значения коэффициентов b и d, учитывая последнее уравнение. Отметим, что если мы проверили пару b = x\, d=x<2, где х\х<2 = —10, то пару b = x<2,d = х\ проверять уже не нужно. Необходимо проверить следующие пары (Ь; с): (±1; =р10), (±2; 4-5). При b = -1, с = 10 получаем a = 3, с = -2.
Итак,
х4 4- х3 4- Зх2 + 32х — 10 = (х2 + Зх — 1)(х2 - 2х + 10).
Решая уравнения х2 + Зх - 1 = 0 и х2 — 2х 4- 10 = 0, получаем
корни многочлена -------- и 1 ± 3l	А
При решении систем уравнений бывает необходимо разложить на множители многочлен от двух переменных. Кроме удачной группировки слагаемых часто бывает удобным считать одну переменную параметром и раскладывать на множители многочлен от одной переменной.
Пример 11. Разложить на множители многочлен Р(х,,у) — — ух1 + Зух 4- х - 4у — 1.
А Считая у параметром, разложим при у 0 квадратный трехчлен ух2 + (Зу + 1)х — 4у - 1 от переменной х на линейные множители: D = (Зу + I)2 + 4г/(4г/ + 1) = (5у + I)2, х, = ~3y~^5y + 1 = 1, _ -Зу - 1 - 5г/ - 1 _ _ 4г/ + 1
2	2//	у '
Таким образом,
ух2 + (Зу + 1)х - 4у - 1 = у(х - 1) (х + ^±1) = U - 1)(ху 4- 4у 4- 1).
Осталось заметить, что при у = 0 имеем Р(х, у) = х — 1, и при всех у получаем Р(х,у) = (х — 1)(ху + 4у + 1).	А
298
Глава VII. Многочлены
Обобщенная теорема Виета
Если Х1,Х2,*з,   •, хп — корни многочлена /3(х)=аох'г+Л|Хп-1+.. .+ап-\х+ап, где дото справедливы равенства:
X] +%2 + • • • ~Ь~Хп = — й-[ /oq ,
Х|%2 + Х]Хз "Г  • • Ь-^2-^3 ~1~х2х4 "Г • • • ~\~хп — 1хп =
< Х1Х2Х3 + .. .+х2*3-Ч + - • -+хп^2хп-1хп = -а3/ао,
.xix2x3.. .Хп = (-1)"а,1/а0.
Подчеркнем, что корни многочлена выписаны с учетом кратности, т. е. составлена полная система корней. Кроме того, если в условии задачи подразумевается, что корни действительные (как и происходит на вступительных экзаменах в вузы), необходима проверка этого, так как теорема Виета верна для всех корней, в том числе и комплексных.
Пример 12. При каких значениях параметра а уравнение Зя2 + Зах + 4а + 9 = 0 имеет два различных действительных решения, удовлетворяющих условию х3 + х1^ = 36?
А Преобразуем выражение x^-bx^:
Х^ + %2 — U1 + Х2)3 “ Зх2Х2 — 3%i%2 — U1 + Х2)3 — ЗХ]Х<2(Xj + Х2).
По теореме Виета имеем Х\ + х2 = -а, Х]Х2 =
Получаем уравнение —а3 + За4а^~9 = 36, а3 — 4а2 — 9а + 36 = 0. Решениями последнего уравнения являются а = 3, а = — 3, а = 4.
Кроме того, так как уравнение Зх2 + Зах + 4а + 9 = 0 имеет два различных действительных решения, то D = 9а2 — 12(4а + 9) > 0. Это условие выполняется только при а = —3.	А
Пример 13. Найти многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни, равные 1 кратности 3 и 1 + i кратности 1.
А Так как искомый многочлен — многочлен с действительными коэффициентами, то вместе С корнем 1 + i кратности 1, он имеет корень 1 —/ также кратности 1. Следовательно, минимальная степень многочлена равна 5, и его корни xi =х2 = хз = 1, Х4 = 1 -Н’, х —5 = 1 — г.
§3. Теорема Безу. Корни многочлена
299
Найдем коэффициенты многочлена, воспользовавшись обобщенной теоремой Виета:
г Х[+х2+х3+Х4-Ьх5 = -а[/а0,
XfX2 + Х1Х3 + %1%4 + Х1Х5 +	+ ^2*4 + *2%5 + *3*4 + *3*5 + *4*5 =
= a2/a0,
< Xi%2%3 + *1*2*4 + *1*2*5 + *1*3*4 + *1*3*5 + X1X4X5 + *2X3X4 +
+ X2X3X5 + X2X4X5 +X3X4X5 = -a3/a0,
X1X2X3X4 +X1X2X3X5 + X|X2X4X5 +X1X3X4X5 +X2X3X4X5 = £4/^0
*1*2*3*4*5 = —CL3/(1q.
Подставляя в систему значения xj, х2, х3, Х4, Х5, получаем ' -а\/аь = -5, а2/а0 = 11.
< -а3/а0 = -13, а4/а0 = 8, k ^5/^0	2.
Таким образом, многочлен имеет вид
Р(х) = agx5 — 5agx4 + llaox3 — 13flQX2 + 8а0х - 2ад, гдеаоу^О. ▲
Пример 14. Пусть xi, х2, х3, Х4 — решения уравнения 4х4 - х3 - 12х2 + 2х + 5 = 0.
Найти значение выражения
*1*2*3 %4
Х[Х2*4
*3
X1X3X4
*2
*2*3*4
*1
А Преобразуем выражение:
*1*2*3 _|_ *1*2*4	*1*3*4	*2*3*4 _
*4	*3	*2	*1
_ (*1*2*з)2 + (*1*2*4)2 + (*1*з*4)2 + (*2*3*4)2
%1%2*3*4
Преобразуем отдельно числитель:
(xix2x3)2 + (xix2x4)2 + (Х1Х3Х4)2 + (х2х3х4)2 =
= (Х1Х2Х3 + Х1Х2Х4 + Х1Х3Х4 + Х2Х3Х4)2 —
-2(Х2Х2Х3Х4 +Х2Х2Х2Х4 +Х2Х2Х3Х2 +Х1Х2Х3Х4 +Х1Х2Х3Х2 +Х1Х2Х2Х2) =
= (Х]Х2Хз +Х1Х2Х4 +Х1Х3Х4 +Х2Х3Х4)2 -
—2Х1Х2ХзХ4(Х1*2 + Х1Х3 +Х1Х4 + Х2Х3 +Х2Х4 +Х3Х4).
300
Глава VII. Многочлены
так как Х1Х2Х3Х4 =	Х\Х2Х3 + *1*2*4 + *1*3*4 + Х2*з*4 = — ^з/ао?
%1%2+*1*3+*1*4+*2*3+*2*4+*3*4 — ^2/а0, гДе Gq = 4, а2 = ~12, аз = —2, ^4 = 5, получаем
++	*1*2*4	*1*3*4	*2*3*4	_ (дз/ао)2	_ 2а /ао	= 6 2 А
%4	Х3	%2	%i	«4/а0	2/0	’
Приведем пример применения теоремы, обратной к обобщенной теореме Виета, для решения простейшей симметрической системы.
Если числа Х[, Х2, ..., х„ удовлетворяют системе
*1 + *2 + • • • + *« — ~а1/а0^
*1*2 + *1*3 + ... + *2*3 + *2*4 + • • • + *п-1*« = а2/а0,
< *1*2*3 + • •  + *2*3*4 + •  • + хп-2хп-1хп = -аз/а0,
^1*2*3... хп = (-\)nan/aQ.
то они являются корнями многочлена
Р(х) = aQXn + a[Xrl~[ + ... + a/{xn~k + ... + ап_[Х + ап.
Так, например, решая систему
( х + у = а,
I ХУ = Ь, можно сразу сказать, что пары (х;у) образуют полный набор корней многочлена Р(х) = х2 — ах + Ь. Отметим, что если бы мы решали эту систему подстановкой, то мы пришли бы к тому же уравнению х2 — ах + b = 0. Если Xj, Х2 — корни многочлена, то решением системы будут пары (*15*2) и (*25*1)- Решение таких систем с использованием теоремы, обратной к обобщенной теореме Виета, позволяет значительно сократить решение, особенно если количество переменных больше двух.
Пример 15. Решить систему уравнений
' х + у + z = —1, ху + xz + yz = —13, k xyz = 21.
Д Взяв в теореме, обратной к обобщенной теореме Виета, а$ = 1, получаем, что х, y,z образуют полный набор корней многочлена Р(х) = х3 + х2 — 13х — 21. И обратно, если Xj, х2, х3 Х1.Х2, Х3 — все корни многочлена, то по теореме Виета тройка Xi, Х2, х3 и все тройки, полученные из нее перестановкой корней, являются решениями системы.
§ 4. Алгебраические уравнения
301
Подобрав с использованием схемы Горнера целый корень многочлена Xi = — 3 и одновременно разделив Р(х) на двучлен х + 3, получаем Р(х) = (х + 3)(х2 — 2х — 7). Решая квадратное уравнение х2 - 2х — 7 = 0, находим Х2 = 1 + 2\/2, х3 = 1 — 2\/2. Итак, решением системы являются тройка чисел (—3; 1 + 2\/2; 1 — 2\/2) и тройки, полученные из нее всеми перестановками чисел: (—3; 1 - 2\/2; 1 Н-2х/2), (1 + 2^2; 1 —2\/2; -3), (1 + 2^; -3; 1 — 2%/2), (1 — 2\/2; 1 + 2\/2; -3), (1-2^2; —3; 1 + 2\/2).	▲
§4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Рациональные и целые корни алгебраических уравнений. Если целое число xq является корнем многочлена Р(х) с целыми коэффициентами, то Xq —делитель свободного члена многочлена. При нахождении целых корней многочлена после того, как подобран один корень Х[, далее удобно находить уже корень частного Qi(x), полученного при делении Р(х) на двучлен х - Х\, и т. д. При этом на каждом шаге происходит понижение степени многочлена, корни которого мы находим. Поэтому проверку того, что некоторое число является корнем многочлена, удобно проводить не с помощью подстановки числа в многочлен, а применяя схему Горнера, так как при этом одновременно получаются и коэффициенты частного.
Пример 1. Найти все целые корни многочлена
Р(х) = х6 — 2х4 + х3 — Зх2 — Их — 6
и определить их кратность.
Д Делителями свободного члена многочлена Р(х) являются числа ±1, ±2, ±3, ±6.
Проверяя последовательно эти числа с использованием схемы Горнера, получим: Р(1) О, Р(-1) = 0 и Р(х) = (х + l)Qi(x), где Q1 - х5 — х4 — х3 + 2х2 — 5х — 6.
Подберем корень многочлена Qp При этом число 1 уже проверять не нужно, так как оно не является корнем Р(х).
Применяя еще раз схему Горнера, получим что число Х[ = —1 является также корнем и многочлена Qi(x), Qi(x) = (х +1)@2(х)> гДе Q<2 = х4 — 2х3 + х2 + х — 6. Разделив многочлен на двучлен х + 1, получим, что число (—1) уже не является его корнем.
Итак, исходный многочлен имеет корень Х[ — —1 кратности 2, Р(х) = (х + 1)2(х4 — 2х3 + х2 + х - 6). Проверив следующий делитель 2, получаем Q^x) = (х - 2)Q3(x), где Фз(х) = х3 + х - 3 и 2 уже не является делителем свободного члена поэтому не является
302
Глава VII. Многочлены
его корнем. Для многочлена Q%	из	его	делителей	нужно проверить
только 3 и (—3). Они корнями	Оз	не	являются.	Итак, многочлен
Р(х) имеет целые корни х\ = — 1	кратности 2 и х% = 2 кратности 1,
Р(х) = (х + 1)2(х - 2)(х3 + х - 3).	▲
Если несократимая дробь ? является корнем многочлена Ч
Р(х) = CIqX Ч- С1[Х	• Ч- П^Х -р . . . -|- tin
с целыми коэффициентами, то р — делитель ^ — делитель а$. Отсюда, в частности следует, что если а0 = 1, то ^=1, т. е. xq — целое. Таким образом, рациональными корнями многочлена
Р(х) — х Т U\X Т ... Т d/{x Т ... Т Пп
могут быть только целые числа, являющиеся делителями свободного члена.
Пример 2. Найти рациональные корни многочлена
Р(х) = Зх7 + 2х6 — 5х5 + Зх3 — %2 — 7х + 5.
Д Рациональными корнями многочлена Р(х) могут быть числа вида где р — делитель 5, т. е. может быт