Б. И. КАТОРГИН, А. С. КИСЕЛЕВ,
Л. Е. СТЕРНИН, В. К. ИВАНОВ
ПРИКЛАДНАЯ
ГАЗОДИНАМИКА
Москва
«Вузовская книга»
2009

ББК 22.253.3
К29
Каторгин Б. И.
К29 Прикладная газодинамика / Б. И. Каторгин, А. С. Киселев
Л. Е. Стернин, В. К. Чванов. — М.: Вузовская книга, 2009. — 340 с.
ISBN 978-5-9502-0395-4
Представлены основные разделы прикладной газовой динамики,
необходимые для определения характеристик реактивных двигателей, их
агрегатов и стендовых систем, а также теория течений газа в соплах.
Значительное внимание в книге уделено жидкостным ракетным двигателям.
Это направление газодинамики определило успехи отечественной
космонавтики.
Для студентов и аспирантов технических вузов соответствующих
специальностей, а также для инженеров и научных работников,
интересующихся данной тематикой.
ББК 22.253.3
Каторгин Борис Иванович
Киселев Александр Сергеевич
Стернин Леонид Евгеньевич
Чванов Владимир Константинович
ПРИКЛАДНАЯ ГАЗОДИНАМИКА
Огпетстпсппый редактор П. Г. Карасева
Технический редактор П. С. Корсунская
Корректор О. А. Королева
Компьютерная верстка: А. А. Гуров
Подписано в печать 24 06 09. Формат 60 > 84/16
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Уел печ л. 19,76 Тираж 300 экз.
ЗАО «Издательское предприятие «Вузовская книга»
125993, Москва, Л-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д 4.
МАИ, Главным административный корпус, к 301а.
Т/ф(499) 158-02-35. E-mail: vbook@mail.rn, vbook@mai ru
www. viizkniga.ru
О Каторгин Б. И., Киселей Л. С,
Стерпим Л. Е., Чванов В. К., 2009
© ЗЛО «Издательское предприятие
ISBN 978-5-9502-0395-4 «Вузовская книга», 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга может быть использована студентами и аспирантами
при изучении газовой динамики, а также специалистами НИИ и КБ,
чья деятельность связана с оптимизацией и расчетом течений газа.
Излагаемый материал позволяет, при его последовательном
изучении, овладеть газовой динамикой в ее приложении к реактивным
двигателям и другим газодинамическим устройствам и агрегатам.
Изложение ведется достаточно подробно и строго.
Книга состоит из пяти глав.
Первая глава касается математически наиболее доступных —
одномерных течений. Подавляющее большинство прикладных задач газовой
динамики по определению параметров газового потока решается
одномерными методами и затем уточняется поправочными
коэффициентами, найденными либо на базе двух- или трехмерных методов расчета,
либо — экспериментов. В этой главе наряду с основами газовой
динамики (законы сохранения, изоэнтропические течения, скачки
уплотнения и т. д.) представлены и некоторые оригинальные разработки
авторов книги (течения в соплах с отводом тепла, определение
регенеративного эффекта в соплах, расчеты потерь в соплах из-за трения по
параметрам пограничного слоя в выходном сечении и т. д.).
Во второй главе представлены некоторые приложения одномерной
теории к расчетам сопел (в том числе и кольцевых) и диффузоров.
Третья глава описывает теорию невязкой и неодномерной
газодинамики. Выводятся уравнения Эйлера в двухмерной и трехмерной
постановках для декартовой, цилиндрической, сферической и
криволинейной систем координат при наличии и отсутствии вихрей. Для
двухмерных потоков изложен метод характеристик и даны его численные
реализации. В качестве примеров представлены расчеты однослойных
и двухслойных течений в соплах. Рассмотрены нестационарные течения.
В четвертой главе описывается решение вариационной задачи об
экстремальном контуре сопла.
В пятой главе представлены более сложные способы расчета сопел,
связанные с использованием нового весьма точного и эффективного
способа расчета до-, транс- и сверхзвуковых течений на основе метода

Предисловие
установления, а также двухмерные расчеты кольцевых сопел, в том
числе и экстремальных, с висячими внутри потока ударными волнами.
В целом авторы при написании книги старались совместить ее
доступность для широкого круга инженеров и научных работников со
строгостью изложения.
Книга написана на базе монографии [56], переработанной и
существенно дополненной новыми результатами.
Авторы глубоко благодарны выдающемуся российскому
газодинамику — доктору физико-математических наук, профессору А. Н. Край-
ко, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд полезных замечаний, а
также Д. Б. Станкевичу и Т. А. Мурашовой — за большой труд по
компьютерному набору книги и ее первичному техническому редактированию.

ВВЕДЕНИЕ
Газовая динамика — раздел механики жидкости и газа, в котором
параметры движущейся среды существенно зависят от ее сжимаемости.
Жидкости являются слабосжимаемыми средами; даже при
значительных давлениях их плотности почти не изменяются. Плотность же
движущегося газа существенно зависит от его скорости, но при
сравнительно малых скоростях течение газа не отличается от течения
несжимаемой жидкости. Так, например, в нормальных условиях при
повышении в потоке скорости воздуха от 0 до 150 м/с его плотность
уменьшается примерно на 10%. Если же скорость движения воздуха,
например, в струйке достигнет скорости звука, то эффект сжимаемости
становится более существенным: плотность воздуха понижается примерно
на 40 %; с ростом скорости плотность падает еще интенсивнее. Поэтому
для газодинамических задач характерен диапазон скоростей, который,
как правило, начинается с величины, равной 0,6—0,7 скорости звука.
Для меньших скоростей газа обычно пользуются моделями
несжимаемой жидкости, являющимися более простыми, чем модели газа.
Остановимся на кратком историческом обзоре развития газовой
динамики. Предшественница этой науки — механика жидкости, или
гидромеханика, является древней наукой. Ею более 2300 лет тому назад
занимался Аристотель. Существенный вклад в гидростатику внес
великий греческий ученый Архимед (287—212 гг. до н. э.).
Далеко вперед гидромеханика как наука продвинулась благодаря
работам Галилея, Паскаля и Гюйгенса (XVI и XVII вв.). Однако
настоящая революция в гидромеханике, как и во всей физике, была
совершена Ньютоном (1642—1727), установившим законы инерции,
полностью опровергающие представления Аристотеля о полете тел под
действием толкающего их воздуха. Законы Ньютона положили начало
новому и основному разделу гидромеханики — гидродинамике.
Основателями теоретической гидродинамики являются Леонард
Эйлер и Даниил Бернулли, работавшие в Петербургской академии наук
в XVIII в. В это же время ряд теоретических и прикладных задач по
гидродинамике был решен М. В. Ломоносовым. Интенсивное развитие
гидродинамики в XIX в. связано с именами Лагранжа, Рэнкина, Коши,
Кирхгофа, Стокса, Гельмгольца и др. Были исследованы потенциаль-

Введение
ные движения жидкостей, привлечена теория аналитических функций
комплексных переменных к решению плоских задач, возникли новые
разделы гидродинамики, касающиеся вихревых и волновых движений
и т. д. В XIX в. Навье и Стоке заложили основы гидродинамики вязких
жидкостей, а Рейнольде исследовал условия перехода из ламинарного в
турбулентное течение и составил первые дифференциальные уравнения
турбулентного движения жидкости.
Газовая динамика начала складываться, по сути, в первой половине
XIX в., когда в работах Пуассона и др. появились нелинейные эффекты
при распространении волн давления в сжимаемой среде. Во второй
половине XIX в. Риман, Адамар, Рэнкин, Гюгонио усовершенствовали
нелинейную теорию распространения волн и заложили основы теории
разрывов в сжимаемых средах. Начало анализа сверхзвуковых течений
было положено известным австрийским физиком и философом Махом.
В начале XX в. с возникновением авиации получила развитие
аэродинамика — наука об обтекании тел воздухом. Решение основной
проблемы — определение подъемной силы профиля крыла при его
обтекании несжимаемым потоком в общем виде было найдено и
опубликовано Н.Е.Жуковским (1906). Подъемная сила, создаваемая крыловым
профилем, выражается через циркуляцию скорости или через
«присоединенный» вихрь. Для определения циркуляции ученик и соратник
Н. Е. Жуковского С. А. Чаплыгин ввел допущение о конечности
скорости на задней острой кромке крыла (постулат
Чаплыгина—-Жуковского). В 1912г. Н.Е.Жуковский создал теорию винта, основанную на
схеме вихрей, сходящих с лопастей винта. Трудно переоценить роль
Н. Е. Жуковского в развитии отечественной газовой динамики. Им
создан ряд газодинамических лабораторий и уникальный
газодинамический институт — ЦАГИ, носящий его имя.
В 1910—1913гг. С.А.Чаплыгин разработал основы теории крыла
конечного размаха и получил формулы для индуктивного
сопротивления. Велика роль С. А. Чаплыгина также в создании теории дозвуковых
течений сжимаемого газа с большими скоростями. Благодаря замене
независимых переменных ему удалось преобразовать квазилинейную
систему уравнений в частных производных, описывающую плоские течения
газа, в линейную, где имеет место принцип суперпозиции решений.
Работы Н.Е.Жуковского и С.А.Чаплыгина получили развитие
в трудах их последователей — М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева,
Л. И. Седова и др.
Из зарубежных работ первой половины XX в. следует отметить
решение плоской дозвуковой линеаризованной задачи (Прандтль и Глау-

Введение
эрт, 1910) и сверхзвуковой (Аккерет, 1925). Соответствующая задача для
осесимметричного потока была рассмотрена Карманом и Муром (1932).
Одновременно за рубежом и у нас велись работы по созданию теории
сверхзвуковых плоских и осесимметричных течений. Из зарубежных
газодинамиков следует отметить Прандтля, Буземана, Зауэра, Стадолу,
Крокко, Кармана и др., среди отечественных — Н. Е. Кочина, И. Д. Ки-
беля, Ф. И. Франкля, С. В. Фальковича, С. А. Христиановича и др.
Большой вклад в развитие современной газовой динамики внесли
талантливые советские исследователи — А. А. Дородницын, Л. И. Седов,
Г. Г. Черный, С. К. Годунов, А. Н. Крайко, В. В. Лунев, В. Я. Нейланд,
А. А. Никольский, У. Г. Пирумов, Ю. Д. Шмыглевский и др.
В 1950—1980 гг. значительное развитие получили вариационные
методы в газовой динамике для решения ее внутренних и внешних задач.
Многие проблемы газовой динамики в этой ее части были решены
А. Н. Крайко, А.А.Никольским, Ю: Д. Шмыглевским и др. Из
зарубежных исследователей необходимо отметить Гудерлея, Рао, Армитей-
джа, Миеле и др.
Изложение предмета газовой динамики мы начнем с рассмотрения
течений идеального газа. Такие условия выполняются для широкого
класса различных по своему виду прикладных задач. Газ называется
невязким (или идеальным), если в нем имеются лишь нормальные
внутренние напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.
В природе такого невязкого газа не существует, однако при больших
скоростях в ядре потока силы вязкости оказываются значительно
меньше инерционных сил и их можно не учитывать. В безотрывных
высокоскоростных потоках вязкость значительна лишь у стенок
каналов и поверхностей обтекаемых тел, в тонком пограничном слое, расчет
которого производится специальными методами. Вне пограничного
слоя газ можно считать невязким, или идеальным.
Изучение газовой динамики обычно начинают с рассмотрения
законов модели идеального газа, достаточно хорошо описывающей
течение газа при больших скоростях. Теориям вязких течений,
пограничного слоя и турбулентности посвящены специальные книги, и нами эти
вопросы рассматриваться будут лишь в рамках одномерных течений и
то — ограниченно.
В различных задачах газовой динамики количество независимых
переменных может меняться от одного до четырех (три геометрические
координаты и время). Простейший случай — течение с одной
независимой переменной (строго одномерное течение) реализуется весьма
редко. Сюда можно отнести течение от источника, точечный взрыв,
обтекание бесконечного конуса и т. д.

Введение
В ряде случаев, главным образом для внутренних задач газовой
динамики (т. е. при течениях в трубах, каналах, соплах и т. д. — когда
поток не является одномерным), для упрощения задачи параметры потока
в поперечных сечениях усредняются и рассматриваются как параметры
некоторого условно одномерного течения. Такое течение называется
квазиодномерным и имеет большое прикладное значение в газовой
динамике. Поскольку разница между точным двух- или трехмерным и
квазиодномерным течениями по наиболее важному результирующему
параметру выражается некоторым поправочным коэффициентом, то,
обладая результатами квазиодномерных расчетов и данными по
поправочным коэффициентам, можно на базе квазиодномерных расчетов
сравнительно просто и быстро решать прикладные задачи с
достаточной для приложений точностью. Подобный подход — весьма разумный
и не исключает использования также более точных методов для
определения или уточнения поправочных коэффициентов.
Квазиодномерный подход благодаря своей простоте широко
распространен в газовой динамике и является первым «пробным камнем»
для начинающих изучать газовую динамику.
Две первые главы данной книги посвящены главным образом
квазиодномерным течениям, но упрощенно они называются
«одномерными течениями», что находится в соответствии с общепринятой
терминологией. Неодномерные течения рассматриваются в остальных главах.

ГЛАВА 1
ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
1.1. Основные сведения из термодинамики
1.1.1. Уравнение состояния и первый закон термодинамики
Сжимаемость газа характеризуется зависимостью плотности газа р
от давления р и абсолютной температуры Т:
р = р(р,Т).
Это уравнение иногда называется термическим уравнением состояния.
Как известно из курса физики, в широком диапазоне
определяющих параметров газы и их смеси хорошо подчиняются уравнению
состояния в форме Клапейрона—Менделеева:
p = pRT, (l.i)
где R= R0/\i, /?0 = 8,314Дж/мольК — абсолютная или универсальная
газовая постоянная; ц — молекулярная масса.
Газ, параметры которого подчиняются уравнению состояния (1.1),
называется совершенным. Однако в некоторых случаях, например при
состояниях газа, близких к критическим, а также при высоких
давлениях и умеренных температурах отклонение от уравнения (1.1)
существенно. В этих случаях приходится пользоваться другими зависимостями
р(/7,Г), наиболее распространенной из которых является уравнение
Ван-дер-Ваал ьса
RT а
Здесь удельный объем v = 1/р, а коэффициенты а и b весьма малы,
поэтому при небольших плотностях уравнение Ван-дер-Ваальса не
отличается от (1.1).
Для смеси газов, находящейся в объеме V с парциальными
давлениями pi и плотностями р, = Л/,/К, где Л/, -— масса /-го газа в объеме V,
выполняется закон Дальтона

10 Глава 1. Одномерные течения
Используя его, а также уравнение состояния (1.1), выполняющееся
для смеси газов и для каждого газа в отдельности, получим
где ц — молекулярная масса смеси газов.
Последняя формула служит для определения ц смеси.
Рассмотрим объем газа, заполненный молекулами, обладающими
поступательной, вращательной и колебательной энергиями.
Энергетическое состояние газа, определяемое энергиями входящих в него
молекул и атомов, характеризуется внутренней энергией, зависящей в
основном от температуры. Обычно рассматривается внутренняя энергия
единицы массы газа е. Зависимость е = е(р,Т) называют иногда
калорическим уравнением состояния. Под теплосодержанием, или энтальпией
газа, понимается термодинамическая функция
h = e+p/p.
Опыты показывают, что внутренняя энергия зависит главным
образом от температуры и очень слабо — от давления. При этом
зависимость от температуры приближенно можно принять линейной.
Обратимся теперь к законам термодинамики. Первое начало
термодинамики для медленно идущего (квазистатического) процесса
формулируется следующим образом: подведенное к газу тепло идет на
изменение его внутренней энергии и на работу сил давления газа
-dq = de + pdv (1.3)
Это выражение не является полным дифференциалом (поэтому
введено обозначение — перечеркнутый дифференциал), поскольку rtq
зависит не только от начального и конечного состояний, но и от
процесса, по которому меняются параметры газа при подводе тепла, т. к.
связь между р и и в (1.3) может быть различной. Однако если обе части
уравнения (1.3) помножить на интегрирующий множитель Т~\ то
правая часть (1.3) в соответствии с (1.1) окажется полным
дифференциалом и, следовательно, будет зависеть только от начального и конечного
состояний газа, т. е. будет функцией состояния газа.
Уравнение (1.3) после замены de на dh приобретет вид
-dtj = dh-^. (1.4)
Р
Поскольку подвод тепла может осуществляться тто различным
законам и это будет определять величину -dq следует рассмотреть два
случая — подвод тепла при постоянном объеме (и = const) и подвод тепла
при постоянном давлении (р = const).

dt
-dq
dT
v=const
p=const
= с
-tv
= с
-Lp
_ де
~ дТ
_ де
~ дТ
v=const
p=const
1.1. Основные сведения из термодинамики 11
Определим удельную теплоемкость с как отношение подведенного
тепла к повышению температуры газа. Индекс у теплоемкости пусть
будет указывать процесс подвода тепла. В первом случае имеем
во втором
При отсутствии химических реакций (для нереагирующего газа)
удельные теплоемкости близки к постоянным. Отсюда
е = cvT + const,
h = cpT + const.
В дальнейшем отсчет внутренней энергии и энтальпии будем вести
от абсолютного нуля, при этом константы интегрирования обращаются
в нули и из последних равенств следует
e = cvT, h = cpT. (1.5)
Газ, параметры которого подчиняются уравнениям (1.5),
называется калоринески совершенным газом. Выразив h через е и использовав (1.1)
и (1.5), получим соотношение Майера
cp-cv=R. (1.6)
Как видно из (1.6), ср > cv. Это объясняется тем, что при изохориче-
ском процессе нагрева газ не совершает работу, а при изобарическом —
совершает; для совершения работы требуется дополнительная тепловая
энергия.
Отношение удельных теплоемкостей y = cp/cvi как будет видно из
дальнейшего, является важнейшим параметром в газовой динамике.
Для смеси газов с плотностями р/=/?/(7?Г)~1 и удельными теплоем-
костями cVti и cpi из условий
(где е, Л, р — соответственно внутренняя энергия, энтальпия и
плотность смеси) и соотношений (1.5) получим
где cvKcp — удельные теплоемкости смеси газов. При этом
Lcvj Pi

12 Глава 1. Одномерные течения
1.1.2. Энтропия и второй закон термодинамики
Как известно из термодинамики, любое состояние
термодинамически равновесной системы определяется двумя независимыми
параметрами, остальные параметры вычисляются через эти два. Так, если
заданы, например, давление и температура либо энтальпия и энтропия,
внутренняя энергия и удельный объем, то остальные параметры
вычисляются по известным формулам.
Обозначим правую часть формулы (1.3) через TdS и
проанализируем это выражение для общего случая р = р(р, Т), е = е(р, Т):
,„ de dv I de Jrr 1 de , p dv Jrr, p dv ,
dS=—+p— = dT+ ф+——tf74——dp.
T T TdT Tdp TdT Tdp
Термодинамическая функция состояния S, называемая энтропией,
была введена Клаузиусом (середина XIXв.). Энтропия в классической
физике определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Как отмечалось выше, dS является полным дифференциалом. При
этом из условия равенства вторых смешанных производных из
последней формулы имеем
d ( 1 de p dv Л_ d f 1 de p dv
dp\T di T dT ) dT\T dp T dp
Произведя дифференцирование, получим
—— +——+ — = 0. (1.7)
dlnT dlnp dp
Отсюда, в частности, следует, что если выполняется уравнение
состояния (1.1), то первые два слагаемых взаимно уничтожаются, т. е.
=о.
дР
Следовательно, внутренняя энергия при выполнении (1.1) зависит
строго только от температуры е = е(Т).
Таким образом, уравнение (1.7) связывает термическое и
калорическое уравнения состояния, и если задана одна из функций р(р, Т) или
е(р,Т), то другая определяется уравнением в частных производных
первого порядка (1.7). Еще раз отметим: уравнение (1.7) получено из
условия, что dS— полный дифференциал.
Второе начало термодинамики было сформулировано Клаузиусом
(1850) и Томсоном (1851) и связано с понятиями обратимых и необра-

/. /. Основные сведения из термодинамики 13
тимых процессов и энтропии. Если в системе при переходе от одного
состояния к другому и обратно начальные и конечные параметры
совпадают, такой процесс перехода называется обратимым, а в противном
случае — необратимым. Процессы, связанные с диссипацией энергии
из-за работы сил вязкости, с теплопередачей вследствие наличия
разности температур и др., являются примерами необратимых процессов.
Одним из примеров обратимых процессов с передачей тепла извне
является обратимый цикл Карно. Здесь при квазистатическом контакте с
нагревателем (или холодильником) происходит обмен теплом при
температуре нагревателя (или холодильника), т. е. изотермически, без
разности температур. Другие два процесса цикла Карно — адиабатические,
т. е. они осуществляются без подвода или отвода тепла извне.
Для обратимого процесса согласно второму началу термодинамики
^.г. de + pdv
— = dS = - , (1.8)
для необратимого
f<dS. (1.9)
Отметим, что в необратимом адиабатическом процессе энтропия
возрастает; физически это объясняется наличием диссипативных
процессов внутри потока газа. В этом случае адиабатический процесс не
является изоэнтропическим.
Используя формулы (1.1), (1.5) и (1.8), получим
После интегрирования, отмечая индексом «О» параметры начального
состояния, имеем
S-Sn=Rln
Т )у-1
(1.10)
Возвращаясь ко второму началу термодинамики, сформулируем его
как невозможность создания машины, совершающей работу за счет
охлаждения теплового резервуара. Нарушение второго начала приводило
бы к уменьшению энтропии системы (более подробно эти вопросы
освещаются в курсах термодинамики).

14 Глава 1. Одномерные течения
1.1.3. Показатель адиабаты
Практически всегда, за исключением криогенных состояний,
внутренняя энергия молекул равновесного газа, приходящаяся на одну
поступательную или вращательную степень свободы, составляет RT/2.
Вклад /-й колебательной степени свободы зависит от температуры
[35, с. 164]: с™л = RfikT/hw;), где А:— постоянная Больцмана; /но, —
колебательный квант [35, с. 158|; f(x) = e]^x/\ х(е]^х -I) —
монотонно возрастающая функция, при Т«hwjk /«О, при T>ho)t/k /« 1.
Характерные значения Ы^к— N2: 3340 К; О2: 2230 К; Н2: 6100 К.
Таким образом, при нормальной температуре с*ол = ^]с™л «0, при
очень высоких температурах с*ол ~nK0JlR, где пК0Я — количество
колебательных степеней свободы. Отсюда, учитывая, что у любой молекулы
есть три поступательные степени свободы,
; c,
Для одноатомных газов количество вращательных и колебательных
степеней свободы пвр=пкол=0, у = 5/3; для двухатомных газов
(кислород, азот, СО, и др.) — лвр =2, пкоя =1. При нормальной температуре
для двухатомных газов у = 7/5. С ростом температуры у уменьшается и
при температуре в несколько тысяч градусов (но ниже температуры,
при которой существенное значение приобретает диссоциация)
приближается к значению у = 9/7 для двухатомных газов.
Для воздуха, состоящего в основном из азота и частично из
кислорода, при нормальных условиях у= 1,40. Для многих смесей газов (при
температуре около 1000 К), на которых работают газовые турбины, у =
= 1,3. Для продуктов сгорания ракетных топлив у = 1,14—1,2. При
расчете течений в соплах «среднее» у вводится формулой
у = 1п-^-/1п^, (1.12)
Ро Ро
где начальному и конечному сечениям тракта расширения приданы
соответственно индексы «0» и «а». Эта формула, как будет показано в
следующем разделе, отражает характер изменения газодинамических
параметров при адиабатическом расширении газа, то есть позволяет
для реагирующих газов, для которых у меняется вдоль по потоку, лучше
аппроксимировать изменение параметров, чем по значению,
определяемому через отношение удельных теплоемкостеи.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
15
1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
1.2.1. Законы сохранения
Рассмотрим установившиеся (или стационарные) квазиодномерные
течения в каналах, соплах, трубах, струйках и т. д. и запишем
управляющие этими течениями законы сохранения.
Введем координату х вдоль потока и площадь F поперечного
сечения, нормального х. Поскольку поток является стационарным, через
любое сечение /'проходит одно и то же массовое количество вещества в
единицу времени (массовый расход т), т. к. иначе в некоторых
областях течения происходило бы скапливание вещества. Итак, массовый
расход, постоянный вдоль канала,
. _dm _dmdV _ dx
m = ~di~ = ~dV~di~ = P ~di'
Последний сомножитель — скорость потока w, поэтому
т = pwF = const. (1-13)
Составим уравнение сохранения импульса элементарного объема
dV=Fdx, переместившегося из положения ABCD в AXBXCXDX (рис. 1.1).
Сила давления, действующая со
стороны стенки на газ, равна pdF/simp,
ее проекция на ось х равна (pdF/siiup)x
х sincp -pdF. Co стороны стенки на газ
действует также сила трения. В проек- /?—►
ции на ось х эта сила равна — pFbjdxx
х cos ф = -pF^dx, поскольку угол ф пола- _
гается небольшим (£ — размерный
фактор трения).
При перемещении из первого
положения ABCD во второе AlBlClDl
количество движения объема AXBXCD не
изменяется. Изменение суммарного количества движения происходит
вследствие различия количеств движения объемов CC\D\D и ВВ\А\А.
Количество движения объема ВВХАХА в единицу времени равно pw2F, a
объема CCXDXD — pw2F+d(pw2F). Аналогично этому и сила
нормального давления в сечении АВ равна pF, а в сечении CD — pF+d(pF).
В итоге соотношение, определяющее равенство изменения количества
движения в единицу времени объема ABCD сумме всех сил,
действующих на этот объем, имеет вид
2) = pdF-pF!,dx-d(pF).
Рис. 1.1. К выводу уравнения
сохранения импульса

16 Глава 1. Одномерные течения
Отсюда с учетом (1.13) имеем условие сохранения импульса потока газа:
pwdw + dp + p£,dx = 0. (1.14)
При отсутствии сил трения
pwdw + dp = 0. (1.15)
Для несжимаемой жидкости соотношение (1.15) интегрируется, и
тогда приходим к уравнению Д. Бернулли:
£у-+/> = />о, (1.16)
где р0 — давление торможения или полное давление в том сечении, где
скорость равна нулю (например, в емкости, из которой происходит
истечение жидкости). Давление р называется статическим давлением.
Уравнение Бернулли является уравнением сохранения импульса, но
иногда его называют уравнением энергии потока из-за наличия первого
слагаемого в (1.16), напоминающего кинетическую энергию. Это
слагаемое в гидродинамике называют скоростным напором.
С учетом трения для несжимаемой жидкости вместо (1.16) имеем
Отсюда видно, что при наличии трения полное давление падает,
причем тем интенсивнее, чем больше трение.
Уравнение сохранения энергии для теплоизолированного объема
ABCD (см. рис. 1.1) выводится аналогично. Заметим лишь, что работу
совершают только силы, перемещающиеся вместе с потоком. Силы
реакции стенки (нормальные и трения) из-за неподвижности стенок
работы не создают, поэтому закон сохранения энергии при отсутствии
теплообмена записывается в виде
( w2)
dpwF\ е + — \ = -d(pwF).
Здесь слагаемые в первой круглой скобке означают полную
(внутреннюю и кинетическую) энергию единицы массы газа, а во второй
скобке — работу сил давления в нормальных оси х сечениях. При
подводе тепла к потоку в правую часть последнего уравнения следует
вводить соответствующие дополнительные слагаемые.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 17
Сокращая в последнем уравнении на постоянный множитель
т = pwF, переходя от внутренней энергии к энтальпии газа и
интегрируя, получим интеграл энергии для течения газа
Л+^- = й0, (1-17)
где Ао — энтальпия заторможенного без потерь энергии газа, например
энтальпия в резервуаре, из которого происходит истечение.
Полученное выражение является уравнением сохранения энергии
газа: при отсутствии теплообмена энтальпия торможения остается
постоянной вдоль канала или струйки тока. Течение, в котором подвод
или отвод энергии от потока отсутствует, называется адиабатическим.
Примечательно, что в отличие от уравнения сохранения
импульса (1.15) уравнение сохранения энергии проинтегрировалось
полностью. Это значительно упрощает анализ и решение прикладных задач.
Из (1.17) видно, что энтальпия и температура в потоке газа Т- h/cp в
канале переменного сечения существенно меняются с изменением
скорости w, что не имеет места для жидкости (см. ниже).
Дифференцируя (1.17), получим
dh + wdw = 0.
Отсюда при пренебрежении трением после подстановки wdw в (1.15)
имеем
</Л_*=о. (118)
Р
Это соотношение совпадает с уравнением (1.4), следующим из
первого начала термодинамики для обратимого адиабатического процесса.
Полученные уравнения, отражающие законы сохранения, могут
применяться как для струек (трубок) тока газа, обтекающих тела, так и
для потоков в каналах и соплах в целом, если эти течения можно
считать квазиодномерными. Отметим, что уравнения (1.13)—(1.18)
моделируют течения газа в каналах и струях переменного сечения, но площадь F
входит лишь в (1.13).
Выведенные уравнения сохранения (1.13), (1.15) и (1.17) являются
уравнениями, характеризующими газ, в котором энтропия не меняется,
поэтому соответствующие течения можно назвать изоэнтропическими.
Если же в потоке имеются зоны, в которых (например, вследствие
трения или наличия рассматриваемых ниже ударных волн) энтропия
меняется, но подвода или отвода тепла не происходит, то такие течения
можно назвать адиабатическими.

18 Глава 1. Одномерные течения
Для несжимаемой жидкости также при отсутствии теплообмена из
полученного выше уравнения энергии в дифференциальной форме при
условиях сохранения расхода и р = const следует
de + wdw + — = 0.
Р
Используя (1.14), получим небольшой рост внутренней энергии
только из-за трения:
de = ^dx.
Если не учитывать трения, то внутренняя энергия (энтальпия), а
следовательно, и температура несжимаемой жидкости Т вдоль канала
переменной площади не меняется. Так, например, температура воды в
ручье не зависит от того, сузилось или расширилось русло этого ручья.
В то же время температура газов (продуктов сгорания) в камере
сгорания жидкостно-ракетного двигателя (ЖРД) и на срезе сопла меняется
примерно в два раза.
Следует отметить, что при значительных изменениях давления на
сотни атмосфер в связи с малым изменением теплоемкости и
плотности жидкостей происходит и небольшое изменение их энтальпий, что
отражается в соответствующих справочниках.
1.2.2. Изоэнтропические и адиабатические течения
При отсутствии трения и теплообмена для определения в каналах
четырех неизвестных: давления, плотности, температуры и скорости
получена система четырех уравнений — трех конечных и одного
дифференциального:
pT + w2/2=cpT0
pwdw + dp = O
(1.19)
Здесь Го — температура торможения (подобно Ло).
Для интегрирования второго уравнения прологарифмируем
четвертое уравнение, а затем продифференцируем его и третье уравнение.
Исключив wdw и dT, использовав (1.6) и вспомнив, что cp/cv = у,
получим
*=А (1.20)
р р
Отметив начальные параметры индексом «н» (в частности, это могут
быть параметры торможения), после интегрирования (1.20) имеем

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 19
Используя уравнение Клапейрона—Менделеева (1.1) в виде
_£- = _P_.il
Рп Рн ^н'
исключив р/р„из (1.21), получим
t
f'irt- <■■*>
Т )
Соотношения (1.21) и (1.22) называются уравнениями изоэншропи-
ческого расширения газа; они справедливы только при отсутствии
подвода энергии и потерь импульса между начальным и рассматриваемым
сечениями. Если в некотором сечении имеется подвод энергии (тепла)
или потери импульса, то (1.21) и (1.22) справедливы лишь с каждой из
сторон, разделенных этим сечением. Таким образом, в случае
адиабатических течений при наличии потерь р0 уравнения (1.21) и (1.22) в
некоторых областях, где р0 = const, могут быть использованы.
Скорость звука, или скорость распространения малых возмущений,
определяется формулой (будет выведена в разд. 1.3)
(1.23)
Отсюда согласно равенству (1.20), справедливому при £ = const, и (1.1)
имеем
(1.24)
Из третьего уравнения (1.19) теперь следует
4+2Т = сА (1-25)
у-1 2
Как видно из этого равенства, с ростом скорости уменьшается
скорость звука и, следовательно, температура. То сечение, где скорость w,
дозвуковая в начале канала, достигнет скорости звука, называется
критическим. Параметры в критическом сечении отмечены звездочкой
внизу. Как следует из (1.25), в этом сечении
2

20
Глава /. Одномерные течения
откуда критическая скорость
-RTn
(1.26)
Характерно различие выражений для а и а*. Скорость звука
пропорциональна корню квадратному из температуры потока и
уменьшается с ростом скорости, а критическая скорость постоянна и
определяется только температурой торможения.
Введем понятие приведенной скорости X = w/а*. Из третьего
соотношения (1.19) имеем
(1.27)
Если в (1.21) и (1.22) за начальное примем сечение, где скорость
равна нулю (например, в резервуаре, из которого происходит
истечение), и используем (1.27), то получим
1 Y
(1.28)
ро v y+i ; ро " " "
(Обозначения и индексы, используемые здесь и далее,
соответствуют ГОСТ 23199—78: «Газодинамика. Буквенные обозначения основных
величин».)
Давление, плотность и температура, полученные в результате
гипотетического адиабатического торможения до нулевой скорости потока,
называются параметрами торможения. Им придается индекс «О».
Необходимо подчеркнуть, что в
отличие от (1.27) использование
уравнений (1.28) допустимо лишь в том
случае, если между данным сечением и
сечением, обозначенным индексом «О»,
нет потерь импульса, т. е. течение
строго изоэнтропическое ро = const, a
следовательно, и р0 = const. В
адиабатических течениях уравнение энергии
(1.27) выполняется и при наличии
трения, когда есть потери р0, т. к. в этом
случае механическая энергия переходит
в тепловую, а общее количество
энергии не меняется. Формулы (1.27) и (1.28) показывают, что для изоэн-
тропического течения газа с ростом приведенной скорости X
происходит падение температуры, плотности и давления. На рис. 1.2 представ-
1,0
0,5
0
1

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
21
лены графики изменения газодинамических функций Т(Х), р(Х) ир(Х),
построенные для у = 1,4.
Согласно (1.27) и (1.28), при
= р=Т=0.
Таким образом, какой бы большой ни была скорость движущегося
газа (или — что то же самое — скорость движения тела в газе),
приведенная скорость не может превзойти своей наибольшей величины ^тах.
Это следует из уравнения энергии (1.19). Если при заданной
температуре Г (например, в земной атмосфере) скорость движущегося тела w
интенсивно растет, это приводит и к соответствующему росту Го, а X
остается ограниченной. Для у = 1,4 Xmax = 7б = 2,45, а для у = 1,2 Xmax -
= 3,32.
Как видно из рис. 1.2, плотность, а тем более давление газа
уменьшаются значительно интенсивнее, чем температура.
Введем теперь число Маха М = w/a. Из уравнения энергии в форме
(1.25) и из (1.24) получим зависимость температуры от М и, используя
(1.21) и (1.22), как было сделано при выводе (1.28), получим
(129)
Отсюда видно, что при М-»оо Т=р=р =0. Таким образом, если X меняет-
, то число Маха — от нуля до бесконечности.
ся в пределах от 0 до
Из (1.27) и первой формулы (1.29) можно найти связь между М и X:
М =
у + 1
у + 1
А.=
_ V
М
(1.30)

22 Глава 1. Одномерные течения
Из (1.30) следует, что при М = 1 и X = 1. Из (1.29) видно, что при этом
(1.31)
_L л
J У1
То у + Г Ро U + lJ ' />о
Для у=1,4 Т(\) = 0,833; р(1) = 0,634;р{\) = 0,528. Для у = 1,2 Г(1) = 0,909;
р(1) = 0,621;/>(1) = 0,564.
Таблицы газодинамических функций р(Х), р(Х), q(X), М(Х) и др.
даны в приложении. Как видно из приведенных цифр, температура в
критическом сечении лишь на 10—15% ниже температуры торможения,
при этом давление меньше давления торможения почти вдвое. Таким
образом, если в сосуде с воздухом давление вдвое выше, чем в
окружающей среде, то около отверстия, из которого происходит истечение,
скорость будет звуковой.
Второе уравнение (1.28) является аналогом уравнения Бернул-
У-1 2
ли (1.16). При небольших скоростях 5 = -—X — величина малая. Раз-
у + 1
ложим (1.28) в ряд по степеням 5 и ограничимся первым членом
разложения. Воспользовавшись (1.26), получим с точностью до 82
Ро У-1 />о 2 ' ро У-Г
Отсюда, учитывая, что при малых 5 - р = р0, приходим к уравнению
Бернулли (1.16).
Завершая анализ уравнений, следующих из законов сохранения
энергии и импульса изоэнтропических течений газа, отметим важную
роль параметров изоэнтропического торможения: Го, р0 и р0. Эти
параметры соответствуют значениям Г, р и р, достигаемым при идеальном
(без потерь) торможении потока. Выше отмечалось, что уравнения
(1.27)—(1.29) справедливы только при постоянных значениях
параметров торможения. Если же имеются скачки этих параметров, то эти
уравнения можно применять по обе стороны от разрывов. При этом
разрыв То характеризует «точечный» подвод или отвод тепла, а р0 —
«точечные» потери полного давления, например, в ударной волне (эти
потери будут рассмотрены ниже).
Изменение энтропии между двумя точками 1 и 2, находящимися
вблизи разрыва параметров торможения, но по разные стороны от него,
подобно (1.10) имеет вид

/. 2. Законы сохранения и адиабатические течения
23
-5, =R\n
Y
Tl) Pi
= Л1п
7()2
Y
Y-l
Ли Aw Pi
( T
Поскольку — = —l- I' , где / = 1, 2, то изменение энтропии
Po KTo.
-5, =R\n
'01
(1.32)
Отсюда видно, что при наличии потерь полного давления (Pq2<Pq\) и
при подводе тепла (Г02 > Г01) энтропия потока увеличивается.
Остановимся теперь на анализе уравнения сохранения расхода
(первое равенство (1.19)). Используя (1.26) и (1.28), получим
выражение для расхода
RT«
Y + U
где приведенный расход
2 ) У у+1
Функция ^(Х,) равна нулю при А, = 0 и X = ^тах и равна единице при X = 1
(рис. 1.3).
Расход т может быть выражен че- ,~.
рез параметры в критическом сечении: \ о
Y+»
Вдоль канала выполняется условие
постоянства расхода
0,5 -
g(X) = const,
(1.34)
справедливое и при />0* const и Го* Рис. 1.3. Расходная функция
* const.
Последнее утверждение на первый взгляд сомнительно, поскольку
для неизоэнтропических течений нельзя применять формулы (1.28).

24 Глава 1. Одномерные течения
В действительности же при выводе формулы (1.34) выражение для
плотности (1.28) использовалось не между текущим и начальным
сечением «О», а между текущим и соответствующим ему гипотетическим
сечением изоэнтропического торможения, т. е. только в одном текущем
сечении, а не на участке канала, где есть потери.
Для разгона потока до сверхзвукового при отсутствии потерь из
(1.34) имеем Fq(X) = const. Отсюда площадь поперечного сечения
канала обратно пропорциональна q(X), а форма канала, повторяя вид
функции l/q(X), соответствует сужающе-расширяющейся конфигурации
канала. Такую форму имеют сопла различных назначений (реактивных
двигателей, аэродинамических труб, турбин и т. д.), в которых
дозвуковой поток переходит в сверхзвуковой. Характер
сужающе-расширяющейся формы сопла объясняется влиянием на q(k) двух факторов: X и
р(Х). При Х< 1 преобладает первый фактор, и q(X) с ростом X
увеличивается; при Х> 1 плотность начинает уменьшаться быстрее, чем растет
А,, и в результате q(X) уменьшается.
Для несжимаемой жидкости с ростом скорости площадь
проходного сечения для любой скорости уменьшается обратно
пропорционально w.
В минимальном сечении («горле» сопла) в соответствии с (1.34) при
ро = const и То = const скорость равна звуковой, или критической, а
сечение является критическим. Здесь X = М = 1.
Если вдоль сопла имеется пусть даже небольшое падение р0
(например, вследствие трения о стенки), это сказывается на скорости в
минимальном сечении, которая становится дозвуковой.
Действительно, обратимся опять к уравнению (1.34). Произведение pQq(X) теперь
достигает максимума не при X = 1, где функция q(X) максимальна, а при
X < 1, т. е. вверх по потоку, т. к. ро(х) — убывающая функция.
Следовательно,
const
РоЯ(К)
достигает минимума в этой же точке при А,<1. Значит, критическое
сечение, т. е. сечение, где А, = 1, в таком сопле будет сдвинуто в его
расширяющуюся часть вниз по потоку.
Вследствие трения газа о стенки сопла сдвиг критического сечения
очень мал и на практике не учитывается. При наличии же более
интенсивно растущих потерь р0, например при движении газа со
значительным содержанием в нем твердых или жидких частиц, этот сдвиг весьма
существенный и может составлять значительную долю сверхзвуковой
части сопла.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 25
Как уже отмечалось, приведенные выше результаты касаются не
только течений в каналах и соплах, но и в элементарных струйках тока, в
поперечных сечениях которых параметры могут считаться неизменными.
1.2.3. Равновесные течения в соплах ЖРД
Изменения газодинамических параметров вдоль камеры сгорания и
сопла (скоростей, давления и др.) существенно зависят от химических
реакций, происходящих в газовом потоке. Обычно газ в камере
сгорания диссоциирован (т. е. состоит из атомов типа О, Н, С, простейших
радикалов, молекул и т.д.). Вместо С может быть, например, СО, а в
сопле по мере снижения температуры происходит обратный процесс —
рекомбинация молекул с образованием более сложных соединений,
чем в камере сгорания; при этом выделяется теплота рекомбинации и
меняется молекулярная масса смеси.
Изменение состава продуктов сгорания в сопле требует
тщательного рассмотрения для определения параметров потока даже в
одномерном приближении. Наиболее простым является равновесное
приближение, когда смесь газов в сопле полагается химически
равновесной. Это возможно, если скорости химических реакций значительно
выше скорости изменения параметров при расширении газа в сопле.
Это условие часто не выполняется в области выходных сечений сопел с
большими степенями расширения, где температура падает ниже 1500 К.
Здесь состав продуктов сгорания меняется слабо («замораживается») и
можно пользоваться соотношениями классической газодинамики.
Рассмотрим равновесное течение в сопле. Пусть N индивидуальных
веществ, из которых состоят продукты сгорания, разделены на т
атомов или их простейших комбинаций и / более сложных газов (N=! + m),
при этом происходит / химических реакций:
N N
2У„4 ^ YvlrAn
где /•= 1,2,...,/; v/r — стехиометрические коэффициенты; At —
индивидуальные вещества, входящие в r-ю реакцию. Стрелка сверху означает
прямую, а вторая стрелка — обратную реакцию.
N
Порядок реакции ^ = ^v,-. При £= 1 — реакция мономолекуляр-
/=1
ная; при £ = 2 — реакция бимолекулярная; при \ = 3 — тримолекулярная.
Реакция обмена атомами —

26 Глава 1. Одномерные течения
а реакция рекомбинации (диссоциации) —
Н + Н<=>Н2.
Закон действующих масс, справедливый для равновесной
химической реакции с номером г, записывается в форме
где Kpr — константа равновесия — известная функция Т, определяемая
по справочникам (см. например, [9]).
Массовый баланс m простых веществ определяется формулой
N
= const,
где akj — количество атомов k-ro типа в одной молекуле вещества /; к =
= 1,..., (т - 1). Константа, стоящая в правой части, вычисляется по
массовым долям простых веществ тк и тк.+ 1 в топливе. Всего уравнений —
(к- 1). Замыкающим для последней и предпоследней систем уравнений
для вычисления 7V парциальных давлений /?, является уравнение
Дальтона
N
Пример. Пусть смесь газов состоит из Н, О, СО, Н2, О2, Н2О, СО2.
Здесь первые три газа будем считать простейшими. Тогда N=7, т = 3,
i = N-3 = 4. Составим четыре реакции с соответствующими им
константами равновесия
2Н2 +О2 ?=± 2Н2О, Kp>i(T) = р2н2ро2 /р2Н2О;
Два относительных массовых соотношения имеют вид
Рн+2Рн, +2Рн2о
t Ро Ро2Рн2о Рсо Рсо7
= const, г г = const.
Рсо + Рсо-, Рсо + Рсо,

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 27
Уравнение Дальтона для смеси газов замыкает систему для семи
неизвестных^:
Ри + Ро + Рсо + Ри2 + Ро2 + Рн2о + Рсо2 = />>
где суммарное давление смеси р полагается заданным.
1.2.4. Сравнительная эффективность некоторых ракетных топлив
Выбор топлива для ракетного двигателя является основной задачей,
стоящей перед создателями и ракеты, и двигателя для нее.
Вопросам выбора ракетных топлив посвящена фундаментальная
монография [10] В. П. Глушко и, пожалуй, вся его трудовая жизнь.
В начальный период его научной деятельности в ГДЛ (1929-1933 гг.)
им был исследован ряд окислителей и горючих применительно к их
использованию в ракетной технике. В 1930 г. В. П. Глушко предложил в
качестве компонентов жидких ракетных топлив азотную кислоту,
растворы четырехокиси азота в азотной кислоте, тетранитрометан,
перекись водорода, хлорную кислоту, бериллий с водородом и кислородом
и др. Первые свои испытания он начал при использовании в качестве
окислителя кислорода, однако вскоре понял, что по ряду
эксплуатационных качеств (стабильность, взрывобезопасность, долгохранимость,
плотность и т. д.) высококипящие окислители (на базе азотной
кислоты) на этой стадии работ перспективнее, и стал отрабатывать свои
первые двигатели на азотной кислоте с керосином. Двигатели, созданные
В. П. Глушко, в 30-х годах работали на этой топливной паре и были по
тому времени — и по надежности, и по удельным характеристикам —
лучшими в мире.
В мае 1965 г. при Президиуме АН СССР под руководством
академика В. П. Глушко был создан Научный совет по проблеме «Жидкое
ракетное топливо». К работе этого совета были подключены многие
отраслевые НИИ, институты АН СССР, вузы и т. д. На Совете
рассматривался широкий крут горючих и окислителей, их термодинамических
и теплофизических свойств и способностей быть охладителями. Наряду
с углеводородными и фторсодержащими топливами рассматривались и
экзотические суспензионные и гибридные топлива, а также бериллий и
борсодержащие топлива. Однако анализ показал, что наиболее
приемлемыми являются низкокипящие — кислородно-керосиновое,
кислородно-водородное и высококипящее топливо — азотный тетраксид с
несимметричным диметилгидразином. Первые две пары сейчас широко
применяются для двигателей космических ракет, а последнее освоено
для боевых ракет, в частности создавших оборонный щит Родины.

28
Глава 1. Одномерные течения
С использованием результатов работы Совета с 1965-го по 1982 г.
были выпущены справочники «Термодинамические константы
веществ» (16 книг), «Термодинамические и теплофизические свойства
продуктов сгорания» в 10 томах (11 книг), а также третье издание
справочника «Термодинамические свойства индивидуальных веществ» в 4
томах (8 книг).
Ниже приводится таблица основных термодинамических
(идеальных) характеристик камер, работающих на ряде неэкзотических двух-
компонентных топлив при оптимальных соотношениях компонентов и
двух геометрических степенях расширения Fa/F. = 25 (первая ступень)
и Fa/F+ = 100 (вторая ступень).
Из рассмотрения табл. 1.1 следует, что топливом с самым высоким
удельным импульсом является фторо-водородная пара — около 496 с.
Это топливо имеет преимущество перед кислородно-водородным
примерно на 25 с. Кроме того, плотность топлива F2 + Н2 — 664 кг/л, в то
время как плотность топлива О2 + Н2 — 333 кг/л, т. е. вдвое меньше.
Наиболее важным фактором является отсутствие возможности взрыва фто-
ро-водородного топлива из-за его самовоспламеняемости, чего нельзя
сказать о кислородо-водородном топливе. (Энергия взрыва смеси
кислорода с водородом примерно в семь раз превосходит энергию взрыва
динамита.) Из-за того, что фторсодержащее топливо чрезвычайно
токсично, для его эксплуатации требуются особые, очень жесткие условия.
Весьма интересна возможность использования гелия в качестве
топливной добавки [64].
Таблица 1.1
Сравнительная эффективность различных жидких ракетных топлив в земных
и пустотных условиях при/?к = 15 М Па
Окислитель
Хим.
формула
Ти, К(1атм)
Рок. кг/м3
Горючее
Хим.
формула
т„,к
proD, кг/м3
Кислород
о2
90,2
1134

Керосин
С7Н13
293,0
830,0
ндмг
(СН3)2
N2H2
293,0
790,5
Метан
СН4
111,7
424,0

Водород
н2
20,35
70,76
Азотная
кислота
HNO3
293,0
1596

Керосин
С7Н13
293,0
830,0
AT
N2O4
293,0
1444
НДМГ
(CH3)2N2H2
293,0
790,5
Фтор
F2
85,0
1507

Аммиак
NH3
293,0
681,9

Водород
н2
20,35
70,76

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
29
Геометрическая степень расширения сопла по площади Fa/F+ = 25
**-т опт
рт, кг/м3
гк,к
/?к,Дж/(кгК)
Рп, МПа
'уз> С
'уп>с
У
2,70
1031,9
3826
341,3
0,069
319,1
350,1
1,14
1,78
980,7
3724
375,3
0,066
328,6
360,6
1,15
3,39
820,9
3655
380,0
0,068
328,8
360,8
1,15
4,56
306,3
3193
750,3
0,050
405,5
446,8
1,23
5,09
1386,0
3243
312,1
0,065
279,6
306,8
1,16
3,22
1285,6
3222
341,1
0,061
288,1
316,4
1,17
2,79
1185,4
3518
341,5
0,063
302,6
332,1
1,16
3,345
1178,7
4779
425,4
0,050
378,5
416,6
1,22
11,00
559,9
4592
590,7
0,047
429,5
473,3
1,24
Геометрическая степень расширения сопла по площади Fa/F+ = 100
■^т опт
а
рт, кг/м3
Гк, К
Лк,Дж/(кгК)
Д,, МПа
'у IP С
У
2,89
0,8564
1036,4
3840
333,1
0,013
375,5
1,14
1,93
0,9062
987,5
3736
364,8
0,012
385,6
1Д5
3,62
0,9074
832,3
3673
369,7
0,013
386,3
1,14
5,25
0,6615
333,1
3408
674,6
0,008
470,0
1,22
5,25
0,9919
1390,7
3232
310,0
0,011
327,1
1,16
3,32
0,9936
1291,4
3213
338,4
0,010
336,1
1,18
2,97
0,9700
1195,1
3510
335,3
0,011
353,7
1,17
3,346
0,9998
1178,8
4780
425,4
0,007
436,5
1,25
15,00
0,7958
664,3
4995
518,6
0,008
496,2
1,24
1.2.5. Формула Сен-Венана—Ванцеля
Остановимся теперь на некоторых примерах адиабатических течений
газа. Начнем с формулы Сен-Венана—Ванцеля для расхода газа, изоэн-
тропически вытекающего через плавно сужающийся насадок из
резервуара с дозвуковой скоростью w (рис. 1.4). Полагая, что в выходном
сечении насадка площадью F скорости распределены равномерно, и
отмечая параметры в резервуаре индексом «0» (они являются
параметрами торможения), с учетом (1.21), (1.26) и (1.28) получим
2у Ро
У-1ро:

30
Глава 1. Одномерные течения
где/? и р — давление и плотность в среде, в которую происходит
истечение. Подставляя w и р в первое соотношение (1.19), окончательно
имеем формулу Сен-Венана— Ванцеля:
(1.35)
Y-l
-
[P
I A),
2
J
KPOs
y+ll
1
Рис. 1.4. Истечение из
сужающегося насадка
Если перепад давления
Ро >Ро
Р~ Р*
2 )
то истечение будет звуковым или
сверхзвуковым, с разгоном потока за насадком, но в
обоих случаях скорость в выходном сечении
плавно сужающегося насадка звуковая, а
расход определяется по формуле
где
(1.36)
т+1
Режим, соответствующий звуковой скорости в выходном сечении
насадка, называется режимом запирания, т. к. при этом расход т не
увеличивается с падением/?.
Физически это объясняется следующим образом. Уменьшение р
можно осуществлять путем откачки, т. е. последовательности малых
возмущений, которые распространяются со скоростью звука.
Поскольку в выходном сечении насадка скорость звуковая, через это сечение
возмущения пройти не могут и, следовательно, не влияют на расход.
На практике при определении расхода через насадок или сопло на
режиме запирания в правой части (1.36) перед дробью вводится
поправочный коэффициент ф, характеризующий неравномерность скоростей в
сечении Л, а иногда и потери полного давления от резервуара, где
измеряется полное давление, до этого сечения. Обычно ф равен 0,98—0,998.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
31
1.2.6. Течение в цилиндрической трубе
Рассмотрим другой пример адиабатического потока — течение в
трубе постоянного сечения Fc трением. В этом случае вследствие адиа-
батичности потока температура торможения TQ = const и согласно (1.34)
вдоль трубы
poq(X) = const. (1.37)
Как было отмечено при анализе интегрирования (1.14), с ростом
интеграла трения полное давление р0 падает. Согласно (1.37), чтобы
при этом не изменился расход, функция q(X) должна увеличиться. При
дозвуковой скорости это приведет к росту X и w, а при сверхзвуковой —
к их падению (см. рис. 1.3). Увеличение скорости дозвукового потока с
ростом трения (например, за счет увеличения длины трубы) происходит
до тех пор, пока в выходном сечении трубы скорость не достигнет
скорости звука. Дальнейший рост w невозможен, т. к. сверхзвуковой поток
из-за трения замедляется. Поэтому если к трубе, в выходном сечении
которой скорость из-за трения выросла до скорости звука,
присоединить еще одну новую секцию трубы, то в конце этой секции скорость
останется равной скорости звука, а вдоль всей старой трубы произойдет
снижение скорости и расход через трубу уменьшится.
На первый взгляд факт роста скорости вследствие трения
парадоксален. Однако этот рост имеет место только вдоль трубы.
Если на входе в трубу полное
давление/?0, а во внешней среде/?, то при
отсутствии трения но формуле Сен-
можно
ис-
Венана —Ванцеля по Ро=Ро1Ш
определить идеальную скорость
течения и>пл. При наличии трения
Рис. 1.5. Изменение даплении и
скорости при пязком течении
газа в трубе
/;Отр<ро и, следовательно,
определенная по той же формуле через
PQ = p{) w скорость w<wm (рис. !-5)-
Таким образом, в дозвуковом
потоке из-за трения снижается
уровень скорости в трубе, но возникает
положительный градиент
дозвуковой скорости вдоль по потоку. Если же в начале трубы скорость
сверхзвуковая, а затем, уменьшаясь из-за трения, она должна достичь
скорости звука где-то в середине трубы, то дальнейшее падение скорости
невозможно. Значит, такое течение не реализуется. В этом случае в трубе
возникает ударная волна, за которой скорость дозвуковая, затем
происходит рост скорости до звуковой в конце трубы.

32
Глава L Одномерные течения
1.2.7. Насадок Борда
Рассмотрим теперь дозвуковое изоэнтропическое истечение газа
через насадок Борда. Если дозвуковое истечение из резервуара
происходит через отверстие в стенке (рис. 1.6), то под действием
периферийных, направленных под углом к оси симметрии струй поток
поджимается, и площадь проходного сечения струи F3a резервуаром
оказывается меньше площади отверстия F0TB.
В струе за резервуаром давление
близко к давлению окружающей
среды ра\ по мере выравнивания скорости
в струе ее сечение уменьшается. В
некотором сечении F процесс
выравнивания можно считать завершенным, и
здесь скорость w определяется по
второй формуле (1.28), (1.26) и (1.1). Для
нахождения расхода необходимо знать
коэффициент сужения струи. Он
равен отношению F/F01B.
Если истечение происходит через
насадок Борда (рис. 1.7), этот
коэффициент можно приближенно
вычислить аналитически. Отметим, что
граничная линия тока струи be является
продолжением линии тока течения у
стенки deb. Применим закон
сохранения импульса к объему газа,
ограниченному штриховыми линиями на
рис. 1.7. Рисунок схематичен, на
самом деле внутренние границы
контрольного контура в резервуаре
расположены на расстоянии, значитель-
Рис. 1.6. Истечение через
отверстие в стенке
г -ч
и
d
Ь с.
Ра
. i
i
^—
^~-— j
Рис. 1.7. Истечение через
насадок Борда
но превосходящем размер насадка.
2i
Количество движения в выходном сечении равно pw Fw возникает под
действием сил давления. Осевая проекция сил давления, действующего
на поверхность контрольного контура, равна

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 33
Давление на стенке cd стремится к давлению торможения р0 с
увеличением расстояния до точки Ъ. При достаточно длинном насадке
интегралом можно пренебречь, следовательно, уравнение сохранения
импульса струи приобретает Bvijxpw2F= Fu{pQ-pa), и, окончательно, для
коэффициента сжатия струи в насадке Борда получим
Отсюда следует, что для несжимаемой жидкости согласно (1.16) |ДБ =
= 0,5. Поделив предыдущее выражение на/?д, получим для газа
Ра)
При ро/ра-> 1 очевидно, что цБ->0,5. Для воздуха при pa/p0 = pJpQ =
= 0,528 цБ = 0,636. При повышении перепада давления Ро/ра>Ро/р+
струя становится сверхзвуковой и имеет бочкообразную форму; расход
не зависит от ра.
Отметим факторы, приводящие к увеличению площади струи, их
можно учесть только численными расчетами. Струя эжектирует
окружающий газ, что приводит к потере полного давления, поэтому, более
точно, pQ в знаменателе (1.38) — это среднее давление торможения в
выходном сечении струи, а не в резервуаре. Кроме того, при малых
перепадах давления на коэффициент сжатия может заметно влиять
конечная толщина передней кромки Ь.
1.2.8. Тяга реактивного двигателя
Определим тягу реактивного
двигателя (рис. 1.8). Составим
уравнение сохранения импульса
в проекции на ось симметрии,
полагая, что все параметры
постоянны в любом поперечном
сечении: Рис j 8 к определению тяги РД
mawa -mlwl=Flp] -Fapa +Pn,
где Рп — проекция на ось от интеграла всех сил, действующих на
внутреннюю поверхность: от сечения «1» до сечения «а». Отсюда

34 Глава 1. Одномерные течения
Тяга при внешнем давлении ри и w} = 0 двигателя, стоящего на
стенде, равна
Для ракетного двигателя обычно тх - F, =0, хотя в некоторых
случаях, когда подвод топлива к двигателю при стендовых
испытаниях осуществляется вдоль или не под прямым углом к оси, следует
учитывать импульс втекающего топлива. Из последней формулы, полагая
та = т, имеем
Pu=mwa + F.d(pa -pn). (1.39)
С ростом площади выходного сечения сопла Fa при заданных
давлении рп, расходе т и площади критического сечения F* увеличивается
первое слагаемое формулы (1.39) и уменьшается второе. Найдем
максимальное значение тяги:
dPn = pawaFadwa +(ра- Рп Wa + Fadpa = 0.
В результате подстановки (1.15) первое и третье слагаемые
сократятся и, следовательно,
При этом «расчетная» тяга (тяга с расчетным противодавлением)
Pn=mwa.
Сопло, для которого ра=ри, называется расчетным. Сопло,
имеющее давление на срезе сопла pa>pw называется недорасширенным, т. к.
при увеличении степени расширения сопла можно было бы получить
добавок к тяге. Если же на старте ра <ри, как это обычно бывает у
двигателей, работающих в высотных условиях или в пустоте, то часть сопла
от сечения, где ра=ри и далее создает отрицательную тягу. Такие сопла
называются перерасширенными. Однако некоторое перерасширение
полезно, так как при дальнейшем полете двигателя при низком
противодавлении повышение тяги из-за увеличенной степени расширения
сопла с избытком компенсирует потери тяги такого сопла при его работе с
высоким противодавлением. Перерасширенные сопла нашли
наибольшее применение в ракетной технике.
Имеется много различных предложений по созданию
регулируемого сопла, площадь выходного сечения которого менялась бы в
зависимости от противодавления. И хотя регулируемые сопла позволяют
существенно уменьшить потери из-за нерасчетности (а они весьма
ощутимы), до сих пор эти сопла не прижились на практике из-за
усложнения конструкции, увеличения массы, уменьшения пустотной
тяги и т. д. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
35
Тяга ракетного двигателя в пустоте, как видно из (1.39),
где индекс «а» опущен. Преобразуем это выражение с учетом
представленных выше формул для изоэнтропического потока:
х+
у+1
2у
Введя функцию z(X) = X + 1 /X, получим для тяги ракетного
двигателя в пустоте следующее соотношение:
аМХ). (1.40)
Подставляя сюда т по формуле (1.33) и а. по формуле (1.26),
придем к выражению
Pn=P0.F,P(l)z(\), (1.41)
где
Удельный импульс L определяется как отношение тяги к расходу:
у, п
(1.42)
Функция z(X) представлена на рис. 1.9.
Следует отметить, что формулы (1.40)—(1.42) получены для
упрощенного представления о постоянстве величины у в сопле, что на
самом деле для ракетного двигателя несправедливо, т. к. в сопле
происходят реакции рекомбинации, выделяется тепло и это заметно влияет на
удельный импульс и на тягу. Одна- z(k)=X+\/x
ко в рамках данной главы реакции
рекомбинации учитываются лишь
частично (через у) и данные
формулы следует рассматривать как
соотношения первого
приближения, позволяющие произвести
качественный анализ влияния
различных параметров.
5
0 1 2
Рис. 1.9. Функция zM

36 Глава 1. Одномерные течения
Как видно из (1.41), тяга в пустоте прямо пропорциональна
давлению торможения, площади критического сечения и не зависит ни от R,
ни от То. Другими словами, влияние характеристик топлива и
температуры в камере сгорания на тягу осуществляется только через у и
оказывается весьма слабым.
В то же время удельный импульс согласно (1.42)
пропорционален уЩ), но не зависит от р0 и F*. Прямые термодинамические
расчеты, однако, показывают, что при изменении давления в камере
сгорания ЖРД состав меняется столь существенно, что удельный импульс
камеры ЖРД меняется пропорционально не >/7jj", а Го [17].
Функция z(X) (см. рис. 1.9) при Х = 1 равна 2 и увеличивается с
ростом X до значения
J
Vi y+1'
Какую же долю тяги в пустоте создает сверхзвуковая часть сопла?
Рассмотрим предельный случай сопла с бесконечной степенью
расширения, т. е. X = Лтах. При этом тяга в пустоте двигателя с таким соплом,
отнесенная к тяге двигателя без расширяющейся части сопла, равна
При у= 1,2 £= 1,8, т. е. при использовании сопла с максимальной
степенью расширения для у = 1,2 тяга в пустоте увеличивается на 80 %.
Применяемые же на практике сопла ракетных двигателей с
конечными степенями расширения, определяемыми габаритно-массовыми
характеристиками сопел, обычно позволяют увеличить тягу или
удельный импульс на 20-40%. Но и этот прирост тяги играет громадную
роль в авиационно-ракетной технике.
1.2.9. Тяга ракетного двигателя с коническим соплом
Рассмотрим изоэнтропическое (ро = const) истечение из
конического сверхзвукового сопла и определим потери тяги в пустоте,
обусловленные непараллельностью отдельных струек тока оси симметрии
сопла. Будем считать, что поток газа в сопле представляет собой
течение «от источника», т. е. в любой точке сопла вектор скорости
направлен вдоль луча, соединяющего данную точку с некоторым центром А, в
котором помещен условный источник (рис. 1.10). Фактически газ,
проходя через сужающуюся часть (изображена штрихами), попадает в ко-

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения
37
ническое сопло, где вскоре его
параметры приближаются к параметрам
условного течения «от источника». На
рис. 1.10 линия 21 — дуга окружности
радиуса R, dl=Rdy, a r = Rsinq, где ф —
текущий угол: 0 < ф < 6. Угол 0
полагается небольшим —до 10—15°.
Боковая поверхность сферы,
ограниченной линией 21, равна
= 2я
= 2nR2
Рис. 1.10. К расчету тяги
конического сопла
I - COS 0) = 71Г22 COS"2 —,
ИЛИ
cos
6/2.
(1.43)
Тяга в пустоте
где индекс «сф» означает, что индексируемый параметр взят на сфере 12,
а и>СфСО5ф и 2nrdlpc$cos(p — соответственно проекции на ось симметрии
скорости и силы давления. Поскольку параметры в круглой скобке
постоянны по сфере 12,
2
2>2ф + /?сф
Отсюда
Коэффициент потерь в сопле из-за непараллельности и
неравномерности истечения (или коэффициент потерь из-за рассеивания) фр
определяется при одном и том же расходе т:
1 п,ид
ИЛИ
<Pn=-
(1-44)

38
Глава 1. Одномерные течения
поскольку расход
а отсюда
Из определения газодинамических функций z(X) и q(X) после их
дифференцирования следует
dz X2-\dX
Z X +1 X
dq \-X2 dX
q " T(X) X '
dz= T(X)dq
Z X2+l q '
(1.46)
Обозначим Аи = и(ХСф) -и(Х2т), где u = z,q, X. Из (1.45) и (1.43) имеем
Я ?(Чид) ^сф 2
Подобно этому
Заменив в последнем равенстве (1.46) */на А, получим
Возвращаясь к (1.44), окончательно имеем
" . 2е т(х)~
2в
cos -2,
(1.47)
где можно принять X = Х.2>ид.
Рассмотрим характерный пример. Пусть требуется определить
потери из-за рассеивания для сопла с Х2 m = 2, у = 1,15,9 = 10°. При этом
2+l)-1
у + 1
=0J2; T(X)(X2+l)-1 =0,145, cos2 5° = 0,9924;
sin2 5° = 0,007596.
Теперь из (1.47) имеем
Ф_ = 1,001 0,9924 = 0,9934.

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 39
Таким образом, в коническом сопле, в котором поток в выходном
сферическом сечении строго соответствует течению «от источника», при
угле полураствора 0= 10° потери тяги или удельного импульса
составляют 0,66%.
В первом приближении (с погрешностью ~ 13%) эти потери можно
определять по более простой формуле:
cpp«cos20/2. (1.48)
Формула (1.48) широко применяется на практике для грубых оценок
потерь из-за рассеивания и для профилированных сопел, в выходных
сечениях которых поток далек от течения «от источника», хотя угол 0
берется в этих сечениях.
1.2.10. Наполнение и опорожнение газовых емкостей
Рассмотрим часто встречающуюся в приложениях задачу об
одновременном втекании некоторого газа в емкость и истечении из этой
емкости смеси, состоящей из мгновенно перемешивающихся
первоначального газа (параметры его отметим индексом «1») и втекающего газа
(параметры с индексом «2»). Оба газа считаются нереагирующими, а
втекающий газ имеет постоянные по времени параметры т2 и Т2, хотя
это ограничение ниже не используется.
В любой момент времени в емкости масса газов
m = /Wj + m2,
или
dm _ dmx dm2
dt dt dt
Введем термодинамические параметры смеси по формулам
m p m
Удельная энтальпия смеси h = cpT. Если щ —• расход вытекающей
смеси, то изменение массы в емкости определится уравнением
dm
— = т2-тъ.
Энергия смеси газов в емкости фиксированного объема Е=те, где е =
= cvT— удельная внутренняя энергия смеси. Изменение энергии смеси
газов в емкости
dme . , . ,
dt 2 2 3 3

40 Глава 1. Одномерные течения
Изменение массы первоначально находившегося в емкости газа
Массовые расходы смеси и газа «1» пропорциональны плотностям:
/W3 р /Я
Щ Pi т\
Из последних двух уравнений следует:
тх _ 1 dmx
т щ dt
Будем считать, что при истечении из емкости перепад давления —
сверхзвуковой. Тогда расход вытекающего газа
щ =
JY+1
у ,
Теперь суммарное изменение массы смеси газов и газа,
заполнявшего емкость, соответственно определяется следующими формулами:
dt
dm\ _
dt
Поскольку
. dmx m d\nmx
-m-ih = h L— = m -cnT,
3 dt mx dt p
то из формулы для изменения энергии
dlnmT dcv _ЩСР2Т2 d\nmx
Продифференцировав соотношение
_ m{cVl +m2cV2 _ mxcV{ +cV2(m-mx)
m m

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 41
имеем
dcv _ тх (d\nm с1\пт
Используя полученные выше выражения для входящих в круглую
скобку производных, найдем
d\nm d\nm} _ т2
dt dt m'
Подставив последнее равенство в предпоследнее, а выражение для
dcv/dt — в формулу для изменения энергии, после преобразований
придем к следующему выражению:
Г
\тхсщ
-\d\nm]
+ [m
При этом зависимость m2(t) полагается заданной.
Численным интегрированием данного уравнения совместно с
уравнениями для dm}/dt и dm/dt находим требуемые зависимости m(t), m}(t)
и T(t), а затем p(t). Таким образом, рассматриваемая задача полностью
решена.
Обратимся теперь к более простому случаю, когда газы —
первоначально находившийся в емкости и втекающий в нее — одинаковы.
Тогда из последнего соотношения при использовании ряда полученных
выше равенств имеем модифицированную форму уравнения энергии:
V dp . _ . ,_
-- = т2Т2-т3Т.
Введем безразмерные параметры
Р = Р/Рн> Т = Т/ТН, m = m/mH,
где индексом «н» отмечены параметры газа в емкости в начальный
момент времени. Теперь дифференциальные уравнения для m и р
примут вид
dm _m2
dt " mu
dt У pHV

42 Глава /. Одномерные течения
Рассмотрим случай т = const. Введем постоянные с размерностью
времени в минус первой степени:
_т2 _m1R]]L. n jiAFtyfRTU n _yRT2m2
ти PuV V pHV
При этом выражения для dm/dt и d'p/dt примут вид
При интегрировании этой системы с заданными значениями С,, С2 и С3
определяются зависимости m(t) и /?(/).
Относительная температура вычисляется по формуле Т = "p/fn.
Остановимся теперь на частных случаях. Рассмотрим сначала истечение
газа из емкости. При этом /w2=0, C| =С3=0 и представленная выше
система легко интегрируется. После интегрирования приходим к
адиабатическому закону изменения параметров в емкости:
Кроме того, из этой же системы имеем
dm _ V dp
но при сверхкритическом истечении из емкости
dm _ ApF+
Приравняв правые части этих равенств и использовав полученную связь
между давлением и температурой, придем к элементарному
дифференциальному уравнению
Проинтегрировав его, получим закон изменения давления в
емкости по времени:

1.2. Законы сохранения и адиабатические течения 43
Изменение температуры и массы газа в емкости легко получить,
подставляя последнюю формулу в адиабатические зависимости Т(р) и т(р).
Другим частным случаем является втекание в резервуар газа с
постоянным расходом. Здесь можно положить F* = С2 = 0. Тогда из
исходной системы найдем
dm . dp RT2m2
Отсюда следует линейный закон нарастания давления и массы в емкости:
1+/ 1+,_
рн VpH mH тн
Если из уравнения состояния подставить т в последнее уравнение и из
двух последних уравнений исключить /, то получим соотношение,
связывающее/? и Т.
р ТТн-уТ2
Рн Тн Т-уТ2 '
Аналогично найдем, что
тн рн[ уТ2{рн
Отсюда видно, что при достаточно больших перепадах давления
р/рн вследствие сжатия газа в емкости происходит его нагрев до
температуры Tmax = yT2, т. е. в у раз превышающей температуру втекающего
газа. Это интересное явление наблюдается при втекании в вакуумиро-
ванные емкости газов с высокими давлениями. При этом если,
например, температура втекающего воздуха +20 °С, то в емкости она может
превышать 100 °С.
В заключение рассмотрим, по какому закону нужно подводить
тепло к газу, истекающему из емкости, чтобы его температура в емкости не
изменялась. Истечение в этом случае изотермическое и описывается
двумя уравнениями
dm . d , ч • .
— = -m и —(me) = Q-mh.
dt dv '
Продифференцировав левую часть последнего уравнения и подставив в
него предпоследнее, получим
-cvTm = Q-mcpT.
Отсюда следует, что для обеспечения изотермического характера
истечения из емкости количество подводимого тепла в единицу времени
Q = mRT,

44 Глава 1. Одномерные течения
а относительный теплоотвод, т. е. количество тепла, приходящееся на
единицу массы вытекающего газа, постоянен:
F
» щ
2
- dx ^
и
1
\ - —
Рис. 1.11. К движению
ударной волны
m
1.3. Скачки уплотнения
1.3.1. Ударная волна и скорость звука
Уравнения газовой динамики (1.19) допускают разрывные
решения, для которых газодинамические параметры при переходе через
некоторое сечение меняются скачком. Эти решения реализуются и
физически; в газовой динамике они называются ударными волнами. Слабые
разрывы, при переходе через которые при
непрерывных параметрах потока разрыв терпят
лишь их производные, будут рассмотрены в
третьей главе.
Одним из важных вопросов является
определение скорости ударной волны U.
Рассмотрим движение ударной волны в трубе с
площадью сечения F (рис. 1.11). Ударная волна
представляет собой движущуюся слева
направо границу, разделяющую область невозмущенных газодинамических
параметров, которые обозначены индексом «1», с областью
возмущенного течения за ударной волной. Здесь параметры обозначены
индексом «2». Изменение параметров газа в ударной волне происходит в
узкой зоне конечной длины порядка пути свободного пробега молекул.
В этой зоне возникает молекулярный процесс перехода кинетической
энергии упорядоченного движения молекул в кинетическую энергию
их хаотического теплового движения, что приводит к росту
температуры за ударной волной. Во всех дальнейших рассуждениях считается, что
ширина фронта ударной волны равна нулю, т. е. имеет место разрыв
параметров газа.
Пусть за время dt фронт ударной волны прошел путь dx = Udt от
штриховой линии I до сплошной II (см. рис. 1.11). При этом масса газа,
который втек в объем Fdx,
dm = (p2-p{)Fdx.
С другой стороны, через сечение I за время dt прошла та же масса
dm = p2u2Fdt.

1.3. Скачки уплотнения 45
Отсюда, приравняв правые части последних равенств, найдем
и=_Ш_ (149)
Р2-Р1
Входящая в равенство (1.49) скорость и2 неизвестна. Изменение
количества движения массы газа, ранее находившегося в покое,
ограниченного сечениями I и И, за время прохождения ударной волны между
этими двумя сечениями составляет
p]Fdx(u2-0) = (p2-P])Fdt,
или
P\Uu2=p2-p].
Подставив сюда значения и2 из (1.49), получим выражение для
скорости ударной волны:
U [ЩЁЩ, (1.50)
VPi(P2"Pi)
Из этой формулы, в частности, для случая бесконечно малых
возмущений, когдар2~Р\ +dp, p2 = Pi +Ф, следует записанная выше
формула для скорости распространения бесконечно малых возмущений в
изоэнтропическом потоке газа (1.23).
1.3.2. Прямые скачки уплотнения
Движущаяся ударная волна представляет собой пример
нестационарного течения газа. Однако если ранее неподвижная среда (газ), в
которой распространяется ударная волна со скоростью U, сама движется
в противоположном направлении с той же ско-
ростью w, = U, то ударная волна окажется
неподвижной, а течение — стационарным. Такая м\
ударная волна называется скачком уплотнения,
она играет важную роль в газовой динамике. Та-
кие ударные волны той или иной интенсивности рис j 12 Обоазование
почти всегда присутствуют при движении тел со скачка уплотнения
сверхзвуковой скоростью (в системе координат,
связанной с телом). При этом относительно неподвижного
наблюдателя происходит нестационарное движение тела и ударной волны.
Составим уравнения сохранения массы, импульса и энергии для
стационарного течения элементарной струйки с площадью сечения dF,
проходящей через сильный разрыв — скачок уплотнения (рис. 1.12).
Сплошной линией показан скачок уплотнения, называемый прямым

46 Глава 1. Одномерные течения
скачком, поскольку его фронт перпендикулярен скорости набегающего
потока и>]. Косые скачки уплотнения будут рассмотрены ниже.
Для определения четырех неизвестных параметров потока за
прямым скачком уплотнения р2, м>2, р2 и Т2 имеется следующая система
уравнений сохранения и состояния, впервые выписанная в 1870 г.
английским исследователем Рэнкиным:
p2w2=p,w,;
w\ w} ' (1.51)
P2=P2RT2.
Здесь индексом «1» отмечены параметры невозмущенного потока, а
индексом «0» — параметры торможения.
Уравнения сохранения импульса и энергии (1.51) составлены
только для перехода через разрыв, и в них, естественно, не учитываются
возможные потери в потоке на пути до или после разрыва. В противном
случае, например, при наличии потерь из-за трения необходимо было бы
воспользоваться уравнением сохранения импульса не в форме (1.51), а
в форме (1.14).
Из первых двух уравнений системы (1.51) имеем
ИЛИ
2 2 fPl^l P2W2\ ( \
Pl~P\ =PlW, -Р2И>2 =W,W2 Z1-1—Z+-+ =W,W2(p2-p,),
\ W2 w\ )
(
P2-P1
Исключим из (1.51) и (1.52) p2 и р2. Из уравнения энергии следует
w2
2 Р ' R Р1
Аналогично этому
w2 с
Из последних двух равенств имеем

1.3. Скачки уплотнения 47
Учтя второе уравнение (1.51), получим
-^f (A -Pi) =
Отсюда после подстановки (1.52) и преобразований придем к
следующему выражению:
Как видно из третьего уравнения (1.51), по обе стороны от скачка
температура торможения одна и та же. Это и понятно, т. к. в скачке
полная энергия потока не изменяется, а лишь совершается переход
кинетической энергии потока в тепловую.
Вспомнив формулу (1.26) для критической скорости, из последнего
равенства приходим к соотношению Прандтля:
Отсюда получим простую и очень важную формулу:
X2=l/Xv (1.53)
Так, например, вне зависимости от у если перед прямым скачком
Х{ = 2, то после скачка Х2 = 0,5 и поток дозвуковой.
Исключим теперь из (1.51) скорости. Из уравнений энергии и
состояния имеем
Из первых двух уравнений (1.51) следует
.2 _
Pi
Отсюда определяется скорость после скачка:
v2 =-
.Pi
Аналогично этому имеем

48
Глава 1. Одномерные течения
Подставив последние два выражения для скоростей в (1.54) и
произведя алгебраические преобразования, придем к формуле Гюгонио (ее
называют «ударной адиабатой»)
Pi
| Рг
(1.55)
y-1 px
или в разрешенном относительно/^/р, виде
V+lp2 2
pI=y-lpL_
Л I±i_£i
Y-1 Pi
Из (1.55) видно, что при PilP\-+*> отношение плотностей стре-
у + 1
мится к конечному пределу
— Адиабата
у-1"
В то же время при изоэнтропи-
ческом сжатии
Ударная адиабата
2 4 6 8 рг1рх
Рис. 1.13. Сравнение изоэнтропы с
ударной адиабатой
Pi
при р2/Pi -> °o, P2/P1 -> °°- Различие
в поведении плотности для изоэн-
тропического и ударного сжатия
обусловлено потерями полного
давления в ударной волне (рис. 1.13).
Разложим р2 в ряд по
Л
в
окрестности точки р2 = Р\ для ударного и изоэнтропического сжатия.
Получим
P2=ll 1/?2-/?i ч-Upi-pA +z(piz
Pi Y А 2уЧ A J I A
где £ и коэффициенты при последующих степенях давления различные
для изоэнтропы и ударной адиабаты.
Таким образом, зависимость плотности от давления для обеих
адиабат в окрестности тонки р{ =р2 имеет одинаковые касательную и кри-

1.3. Скачки уплотнения 49
визну, т. е. слабые ударные волны можно рассчитывать по формулам
изоэнтропического сжатия.
Продолжим анализ системы (1.51). Из (1.52) и первого равенства
(1.51) имеем
РР
Р2 Р2 ""Pi
Поделив обе части на ур2/р2, получим
P2
Подставим сюда р2/рх по формуле Гюгонио (1.55) и разрешим
относительно р2/Р\- После алгебраических преобразований окончательно
получим
fL = -*LM?_2zl. (1.57)
Р\ Y + l Y + 1
Отсюда, в частности, видно, что при Ых = \ р2=Р\- При достаточно
больших числах Маха вторым слагаемым можно пренебречь.
Если вместо М{ использовать Хх по формуле (1.30), получим более
сложную, чем (1.57), формулу
(1.58)
у + 1
Подставив теперь (1.58) в формулу Гюгонио (1.55), после элементарных
преобразований получим очень простое соотношение:
£1 = Л?. (1.59)
Pi
Эта формула также легко выводится из первого соотношения (1.51)
и (1.53). Из (1.59) видно, что наибольшее значение р2/Р\ равно наи-
/Y + 1
большему значению A.lmax = /-—.
Отметим, что поскольку скорость ударной волны |{7| = Wj, то (1.59)
дает связь этой скорости с повышением плотности газа в ударной волне.

50
Глава 1. Одномерные течения
При движении снаряда или самолета со сверхзвуковой скоростью wx
относительно земли перед ним с той же скоростью будет двигаться
ударная волна. В ее центральной части поток проходит через прямой
скачок, скорость воздуха за которым в относительном движении
w2<wv Следовательно, относительно земли воздух, переходящий через
прямой скачок, движется в направлении летящего тела согласно (1.59)
со скоростью
= Wj - w2 = a*
Этот движущийся поток воздуха создает значительное
сопротивление, приводящее либо к торможению снаряда, либо к расходованию
дополнительного топлива самолетом.
Определим теперь потери полного давления в прямом скачке.
Полное давление перед скачком
Полное давление за скачком
Р2
Отсюда имеем, учитывая (1.58), коэффициент восстановления давления
(1.60)
р01
Уравнение (1.60) легко получить и непосредственно из первого
уравнения (1.51). Естественно, что (1.60) справедливо только при Х{ > 1.
С ростом Х{ потери полного давления интенсивно растут, что
иллюстрируется в приводимой ниже таблице, рассчитанной для у = 1,4.
V
1
1
1,2
0,986
1,4
0,910
1,6
0,754
1,8
0,531
2,0
0,285
2,1
0,176
2,2
0,087
2,3
0,028
2,4
0,002
Падение полного давления в скачке сопряжено, как уже
отмечалось, с необратимым переходом кинетической энергии потока в
тепловую. Еще раз подчеркнем, что энтальпия торможения, а при
постоянной теплоемкости и температура торможения, т. е. удельная энергия
потока при переходе через скачок, не меняются. Кроме этого, как видно
из второго уравнения (1.51), остается постоянным при переходе через
скачок и импульс потока (р + pw2).

1.3. Скачки уплотнения
51
В этом состоит различие в природе потерь полного давления,
обусловленных трением, и потерь р0 в скачке. Потери из-за трения, как
следует из (1.14), прямым образом связаны с потерями импульса потока.
Рассмотрим теперь изменение энтропии потока. Представим (1.10)
в дифференциальной форме и заменим dT/Tuo уравнению состояния:
dT _ dp dp
Т р р
Получим после интегрирования изменение энтропии
Р\
Заменивр2/Р\ по формуле Гюгонио (1.56), получим
_ кр-1
S-, - 5, = с„ In—^ ,
где к =
у-1 р,
Стоящая под знаком
логарифма функция р монотонно
растет с ростом р. При р = 1
она равна единице, при p = fc —
стремится к бесконечности, при
р > 1 — всегда больше единицы,
при р < 1 — меньше единицы
(рис. 1.14).
Следовательно, изменение
энтропии положительно лишь
при р2 > pj. При р2 < Р! (скачки
разрежения) энтропия должна
уменьшаться, что для теплоизо-
"0 2 4 6 р
Рис. 1.14. К изменению энтропии в
скачке уплотнения при у= 1,4
лированных систем противоречит второму закону термодинамики.
Таким образом, доказана теорема Цемплена, согласно которой
сильные разрывы могут быть только скачками уплотнения.
1.3.3. Косые скачки уплотнения
В прикладных задачах газовой динамики появление изолированных
прямых скачков уплотнения — случай весьма редкий. Обычно при
движении тел со сверхзвуковыми скоростями или при движении сверх-

52
Глава h Одномерные течения
Скачок
W
Рис. 1.15. Переход через
косой скачок уплотнения
Скачок
звукового потока в каналах, трактах и соплах возникают сложные
системы скачков уплотнения, содержащие участки прямых и косых скачков.
Что же собой представляет косой скачок?
Если на сверхзвуковой поток, в котором
имеется прямой скачок уплотнения,
наложить течение с дозвуковой или
сверхзвуковой скоростью ненаправленной
перпендикулярно скорости исходного сверхзвукового
потока w]rn то возникшее суммарное течение
и будет потоком с косым скачком
уплотнения (рис. 1.15). В связи с отсутствием сил в
направлении wt эта скорость не меняется при
переходе через фронт скачка. Типичным примером возникновения
изолированного косого скачка является обтекание клина сверхзвуковым
потоком газа (рис. 1.16). При этом вектор скорости перед скачком w]
параллелен одной стороне клина, а вектор скорости после скачка w2 —
другой.
Угол между скоростью
набегающего потока и
фронтом косого скачка обозначим
а, а между скоростью после
скачка и его фронтом — р.
Поскольку нормальная
составляющая скорости при
переходе через скачок не
увеличивается, a wt не меняется,
вектор скорости w2
«прижимается» к фронту скачка, т. е.
всегда р < ос. Поворот вектора
скорости в косом скачке со = а - р совпадает с углом наклона
обтекаемого потоком клина. Отметим, что в случае сверхзвукового обтекания
конуса течение оказывается более сложным: сначала поток в косом
скачке поворачивается на угол со, а затем в изоэнтропическом течении
доворачивается на угол Дсо = со,-со, где угол полураствора конуса
со, > со. Подробно этот вопрос рассмотрен ниже.
Для нормальной к фронту косого скачка составляющей скорости
выполняются законы сохранения массы и импульса, а вследствие того,
что wt = const, для нормальной составляющей скорости выполняется и
закон сохранения энергии.
Рис. 1.16. К обтеканию клина
сверхзвуковым потоком

1.3. Скачки уплотнения
53
Итак, имеем
W>
CpTi+^cpT2+?f = cpT0-^ = <
(1.61)
где ТОп — температура частичного (нормального) торможения, не
меняющаяся при переходе через фронт скачка.
По аналогии с уравнениями прямого скачка (1.52), (1.53), (1.55),
(1.58)—(1.60) и др. имеем для косого скачка
Рг-Pi
2 2 v~l ^
2Y
Y + l
Л -w"-i - 1 •
a'n Mr,
(1.62)
Из этой системы по известным параметрам перед скачком
определяются неизвестные величины за скачком: \2n-> W2n> W2 = 4W2n + w/ > Р2»
/?2, А)2. Затем по уравнению состояния
T2=p2/p2R.
Выведем формулу для повышения давления в косом скачке через
приведенную скорость набегающего потока и угол а. Из второго
соотношения (1.61) и первого соотношения (1.62) имеем

54
Глава 1. Одномерные течения
Выразив Т{ через рх и р{ по уравнению состояния и используя также
(1.26) и (1.27), получим
Pi= I 2Y
px RTJ(\X)
Подставив полученное выражение для pjp\ в предыдущую формулу, в
которой а,п заменена по (1.62) и введен угол а, сначала имеем
X? sin2 а -1+-—A.? cos2 а
Рг _ 2у у +1
Р\ Y + 1 Д^-i)
После алгебраических преобразований получим окончательно
Р\
„2 1 ±L^coe2Ot I—T"1
(Y + 1)'
у + 1
1-^Х2
Y + 1 '
(1.63)
Заменяя здесь Х{ через М{ по (1.30), придем к более простой формуле
^ = -^M?sin2oe-^—!-. (1.64)
Р\ Y + 1 Y + 1
При а = 90° из (1.63) и (1.64) получим (1.58) и (1.57) соответственно.
При/?2=/?1 из (1.64) получим, что since = 1/Mi. При этом, естественно,
интенсивность скачка равна нулю. Таким образом, интенсивность скач-
Ро 2у 2 Y~"l
ка меняется от наибольшей при атях =90°, —- = ——Mi —■—, донуле-
Р\ Y + 1 Y + 1
вой при cemin = arcsin l/M^ Этот угол называется углом Маха и
определяет скачок нулевой интенсивности (по Ар =р2 ~Р\), при котором
отсутствует сильный разрыв параметров.
Покажем, что распространение
малых «звуковых» возмущений в
сверхзвуковом потоке происходит внутри
конуса с углом полураствора arcsin 1/Mj,
называемого конусом Маха. Пусть в
некоторой точке О (рис. 1.17) в
сверхзвуковом потоке газа, движущегося со
скоростью Wj, помещена небольшая игла,
дающая весьма малые возмущения. Эти
возмущения за время / распространяют-
Рис. 1.17. Конус Маха

1.3. Скачки уплотнения 55
ся по сфере на расстояние axt, где а] — скорость звука в набегающем
потоке. Однако за время / вся сфера переместится от точки О на
расстояние wxt. Меняя время t, получим, что огибающей сфер радиуса axt
является конус с углом полураствора arcsinl/M,. Выразим приведенную
скорость за скачком Х2 через А,, и а. Поскольку
а; а;
у + 1
= "
то, вводя угол а, окончательно получим
-1 V
-—X?cos2a +^fsin2acos2a
xl =
l
sin a
В ряде случаев необходимо по известным значениям X, и а
определять угол наклона скорости после скачка к его фронту — р. Из
уравнения неразрывности на фронте скачка P2w2n = P\w\n и
тригонометрических тождеств (см. рис. 1.16) w, = w]n ctga = w2n ctg P следует, что
(1.66)
P2
Отношение плотностей p2/Pi можно преобразовать согласно (1.62) и
(1.64) к компактному виду:
р2 (y + l)M2sin2cc
Pi (y-l)M?sin2a + 2
Подставив (1.67) в (1.66), получим
y-lMfsin a
По углам аир можно найти угол поворота скорости в скачке
уплотнения (угол клина)
Как уже отмечалось, при фиксированной скорости набегающего
потока w, интенсивность косого скачка определяется углом а.
Направим осьх по линии вектора vv,. Построим в плоскости годографа ско-

56
Глава 1. Одномерные течения
рости (w^, w2y) линию w2y=f(w2x). Обозначим для упрощения записи
w2x = u и w2y = v. Из рассмотрения рис. 1.18 следует тригонометрическое
равенство
у = (W| -w)ctga.
Согласно закону сохранения импульса
при переходе через элемент скачка dl в
проекции на ось х
p,w, sinadl(u-w]) = (p\ -p2)dlcos(90°-a),
или
Рис. 1.18. Эпюра скоростей Pi~ Р\ = Piwi(wi ~w)-
на клине Разделим последнее соотношение на р} и
подставим в (1.64). ВыразивР]/р] через скорость звука аь получим
-M?sin2a =
2 t w,(w,-w)
У + 1 у + 1 я.
Из выписанного выше тригонометрического равенства имеем
1 + ctg ос =
sin2 a
_(w}-u)2+v2
(w, -и)'
Перемножив почленно два последних равенства, получим
соотношение, в которое не входит а:
2
.У + 1 а]
Разрешим это равенство относительно v:
v
2М2
у + Г
ч-1
-Wi +W W, -W +
-^ • (1.69)
У + lwJ
При фиксированных wh a} и у уравнение (1.69) в плоскости (w, v)
описывает кривую второго порядка, симметричную относительно оси х
и называемую гипоциссоидой (рис. 1.19). В газовой динамике эту кривую
обычно называют ударной полярой.
Как видно из уравнения ударной поляры, v = Q либо в том случае,
если и = Wj, либо если выражение в квадратной скобке равно нулю; при
использовании (1.25), (1.26) и (1.53) имеем в последнем случае
у-1
1
2 а]
=— = W2
У + 1 y + lH^ VVj
Первый случай соответствует точке TV (см. рис. 1.19), или
бесконечно малому возмущению (волна Маха); второй случай соответствует

1.3. Скачки уплотнения
57
точке М — прямому скачку уплотнения. Бесконечные ветви ударной
поляры, начальные участки которых NK и NL имеют асимптоту,
соответствующую значению #«>, при котором вторая скобка уравнения
ударной поляры обращается в нуль; при этом v -> оо:
2 а\
w«=wl+ г—.
У + 1 Wj
Рис. 1.19. Ударная поляра (гипоциссоида)
Как видно из рис. 1.19, на этих ветвях w2>wl\ они соответствуют
скачкам разрежения и, следовательно, физически не реализуются.
Замкнутая же часть ударной поляры отвечает скачкам уплотнения:
здесь w2<w{.
Возьмем на ударной поляре некоторую произвольную точку В\ ей
соответствует вектор скорости w2- Восстанавливая к NB
перпендикуляр из точки О (см. рис. 1.19), найдем направление фронта скачка
уплотнения ОА. На рис. 1.19 штрихами нанесена также окружность
радиуса Ох (скорость звука набегающего потока).
Таким образом, при заданном показателе адиабаты у можно
построить серию ударных поляр, различающихся положением точки N,
т. е. величиной скорости w{. Для расчета точек ударной поляры уравне-

58
Глава 1. Одномерные течения
ние (1.69) целесообразно преобразовать к безразмерной форме, введя
Хх = w{/am, Хи = и/а. nXv = v/am. При этом формула (1.69) примет вид
(1.70)
Рис. 1.19 построен на базе расчетов, проведенных по формуле (1.70)
для у =1,4 и Х{ = 2. Количественную информацию из этого рисунка
можно получить, если положить Xu = unXv = v.
С помощью ударной поляры (см. рис. 1.19) удобно решать
различные простейшие задачи с косыми скачками уплотнения. Пусть,
например, задан угол наклона клина со = а-р, обтекаемого потоком со
скоростью Wj. Через точку О проводим под углом со луч ОВ, пересекающий
ударную поляру в точках В и С, каждая из которых отвечает одному из
двух возможных значений скоростей w2 и направлений скачка. Так, для
большей скорости w2: ОА — направление фронта скачка (OALAN).
Аналогично этому можно найти и направление фронта скачка для
второго дозвукового значения скорости w2.
Отметим, что, как правило, одно значение w2 — сверхзвуковое, а
другое — всегда дозвуковое. Каждое из этих значений w2 определяет
свое давление р2 за скачком. Как видно из рис. 1.19, существует
значение сотах, соответствующее касанию вектора w2 к ударной поляре. При
со > сотах косой скачок существовать не может, и перед конечным
клином образуется отошедший от острия клина прямой скачок (рис. 1.20),
переходящий по бокам в косые скачки уплотнения.
Если задано значение w{ — точка N и направление косого скачка
уплотнения ОА, то, восстанавливая к ОА из точки N перпендикуляр,
найдем точку В как пересечение NA с ударной полярой.
Следует отметить, что
использование ударной поляры хотя и наглядно,
но не всегда удобно из-за отсутствия
заранее сосчитанных сеток ударных
поляр и невысокой точности
графических построений.
На практике для расчета косых
скачков обычно пользуются
приведенными выше формулами и
соответствующими программами на ЭВМ или
графиками.
Kl
Рис. 1.20. Обтекание клина с
отошедшей ударной волной

/. 3. Скачки уплотнения 5 9
Проанализируем область, где со близко к сотах, но меньше его. Из
уравнения (1.70) имеем
с-Хи'
. 1Л 2 Х] 1 2 .
где b = l/Xu c = /ii+ !г- = —+ A.I.
Y + 1M? А., у + 1
Определим максимальный угол со из условия касания ударной поляры в
точке т\
.к
dku
Продифференцировав уравнение для Xv и используя последнее
равенство, получим квадратное уравнение для Хит, разрешая которое,
найдем
Если A.I =A,max = /-—, то из последнего выражения получим
\у1
При этом Xvm=y \ откуда ^2m=AL+^L =1-
Если А,|=1, то A.tf=l, А,у=0, и Х2т=\. Как показывают расчеты,
при 1 < \) < I-—, Х2т < 1. Это говорит о том, что существует узкая
область, в которой оба значения скорости — в точках В и С (см. рис 1.19)
дозвуковые.
Потери полного давления в прямом скачке при одной и той же
скорости набегающего потока w, всегда больше, чем в косом, поскольку в
косом скачке меньший разрыв скорости.
К средствам измерения потоков со скачками можно отнести трубку
Пито для измерения скорости сверхзвукового потока, перед которой
«сидит» прямой скачок, переходящий по бокам в косые (рис. 1.21).
В трубке Пито, работающей, например, в дозвуковом потоке с
малыми скоростями, согласно уравнению Бернулли скорость потока

60
Глава 1. Одномерные течения
Рис. 1.21. Обтекание затупленного
тела с трубкой Пито
сверхзвуковым потоком газа (х > 3D)
За скачком уплотнения
При этом статическое давление/?,
измеряется через дренаж боковой
поверхности, а полное — через
центральное отверстие в трубке. Разность
давлений р0] -р} в единицах скорости
может выводиться прямо на пульт
управления.
В сверхзвуковом потоке
вычисление w, или Х} производится
следующим образом.
У""1
Р02=Р2 1-7—Г7Т
Y
Y-1
Используя (1.58), после преобразований получим
Р02
Y + U
(1.71)
По измерениям /?, и/?02 из (1.71) можно найти Хь а зная температуру
торможения ro,,-HW|.
Следует отметить, что при использовании (1.71) обычно вводят
поправки, связанные с наличием химических реакций при прохождении
через скачок, наличием вязкости и т. д. При необходимости (1.71)
можно легко преобразовать, заменив X] на М].
1.4. Течения с трением и подводом тепла
1.4.1. Подобие газодинамических потоков, Пи-теорема
Реальные течения газа сопровождаются потерями количества
движения, обусловленными наличием трения; иногда приходится
учитывать и теплообмен с окружающей средой. Ниже рассматривается
простейший случай — одномерные течения газа в трубах при наличии
трения и теплообмена; здесь независимая переменная координата — х,
отсчитываемая от начального сечения трубы вдоль по потоку.
Добавление к ранее используемым факторам еще двух — вязкости и
теплопроводности — приводит к необходимости определиться с
количеством и размерностью параметров, влияющих на решение задачи.
Понятно, что перенесение результатов экспериментов, полученных при

1.4. Течения с трением и подводом тепла 61
одних условиях в другие возможно, если эти явления подобны, т. е.
если можно перейти от одного явления к другому путем изменения
масштабов. В основе газодинамического подобия явлений лежит метод
размерностей.
Из совокупности размерных величин, влияющих на решение
рассматриваемой задачи, можно выбрать несколько исходных (не
обязательно простых), через которые выражаются остальные. Так, например,
в механике в качестве исходных единиц измерения можно выбрать
единицы длины, массы и скорости, хотя практически всегда в качестве
исходных принимают основные единицы — длины, массы и времени
(метр, килограмм и секунду). При этом единицы силы и энергии
(ньютон и джоуль) по известным формулам выражаются через эти три
исходные основные единицы.
В газовой динамике (так же, как сила или энергия в механике)
вводятся сложные размерные величины — коэффициенты динамической
вязкости г| и теплопроводности газа ХТ, определяемые соответственно
уравнениями Ньютона и Фурье:
dw
dQ 1 <t dT
(1.72)
где т — напряжение трения на некоторой поверхности; dw/dn —
производная скорости по нормали к этой поверхности; Q — количество
тепла, подводимого к телу через его боковую поверхность Sb.
Размерность коэффициента динамической вязкости:
Единица коэффициента динамической вязкости rj, равная 1 г/(смс),
называется пуазом (по имени французского исследователя Пуазейля).
Легко определить, что пуаз равен 0,1 Н-с/м2. Иногда пользуются
коэффициентом кинематической вязкости v = r|/p, имеющим размерность
м2/с Величина 1 см2/с называется стоксом.
Коэффициент теплопроводности имеет размерность
[ Fp J L i J сз.к
В качестве основной исходной величины в газовой динамике
дополнительно к механическим величинам используется температура, за

62 Глава 1. Одномерные течения
единицу измерения которой принят один градус шкалы Кельвина (К);
при этом в соответствии с (1.1) газовая постоянная является размерной
величиной, хотя принципиально можно было бы при безразмерной
газовой постоянной выражать температуру в механических единицах.
Какие же параметры определяют подобные явления и каково их
количество? Из теории подобия [44] следует, что если имеется общее
количество п независимых размерных величин, причем к из них являются
исходными с независимыми единицами измерения (не обязательно
основными), то из них можно образовать только п-к независимых
безразмерных критериев. Это утверждение известно под названием
«Пи-теоремы», т. к. при ее выводе использовался ряд безразмерных
параметров П,.
Будем называть два явления подобными, если у них указанные
выше безразмерные критерии совпадают. Очевидно, под это определение
попадают и отмеченные выше явления, различия между которыми
связаны лишь с изменением масштабов. При движении газа в трубе
характеристики течения определяются следующими девятью размерными
независимыми (не связанными формулами) величинами (п = 9):
w — скоростью газа;
р — плотностью газа;
Т — температурой газа;
/ — длиной трубы;
D —диаметром трубы;
R — газовой постоянной;
ср — теплоемкостью при постоянном давлении;
г| — коэффициентом динамической вязкости;
Хт — коэффициентом теплопроводности.
Здесь количество исходных параметров к = 4: длина, плотность,
скорость и температура. Заметим, что плотность и скорость заменили
основные исходные величины — массу и время.
В соответствии с Пи-теоремой в данной задаче можно иметь лишь
9-4 = 5 независимых безразмерных критериев. Они образуются
следующим образом:
1) / =l/D — характеризует геометрическое подобие;
2) Re = - число Рейнольдса, характеризует влияние вязкости;
Л
с ростом вязкости Re уменьшается;
3) у = —Р показатель адиабаты (число Пуассона);
ср-Я

1.4. Течения с трением и подводом тепла 63
w
4) М = -т— —число Маха;
5) Рг = —- — число Прандтля, обычно меняется в пределах от
0,6 до 1.
Таким образом, при течениях газа в гладких трубах безразмерные
параметры потока определяются пятью указанными выше
безразмерными критериями. Естественно, что для течения в шероховатых трубах
появится шестой критерий подобия е = 2e/D, где е — средняя высота
бугорков шероховатости.
Если существенную роль в задаче играют гравитационные силы
(что может быть при рассмотрении движения жидкостей), используется
критерий Фруда
Fr=—,
где g— ускорение силы тяжести.
При учете нестационарности течения (запуск или останов
газодинамического агрегата или объекта, работа с пульсациями и т.д.)
пользуются числом Струхаля
где t — характерное время; / — характерная длина.
Связь давления со скоростным напором иногда выражается через
критерий Эйлера:
Р 1
pw yM
Существует множество специфичных для различных прикладных
задач критериев подобия, однако их перечисление выходит за рамки
данной книги.
Если все критерии подобия для каких-нибудь двух течений
совпадают, эти течения будут подобными, все их безразмерные параметры
совпадут, а размерные можно определять простым пересчетом. Это
положение легло в основу модельных испытаний отдельных агрегатов и
объектов в целом, в том числе и в аэродинамических трубах, где
движение тела в воздушной среде имитируется обтеканием воздухом
неподвижного тела.
Таким образом, решение газодинамических задач, как, впрочем, и
большинства других, желательно проводить в безразмерном виде, что
обеспечивает общность решения и позволяет при необходимости легко
получать любые размерные результаты.

64 Глава 1. Одномерные течения
1.4.2. Течение Пуазейля
На основании вышеизложенного можно считать, что при
стационарном течении газа в гладкой трубе относительный перепад давления
на длине трубы А/зависит от перечисленных пяти факторов [63]:
Если влияние изменений температуры и состава газа на у и Рг во
многих задачах газовой динамики можно не учитывать, то для малого
участка трубы А/ в силу линейности имеем
где ^ — безразмерный коэффициент сопротивления трубы.
Опыт показывает, что при невысоких градиентах А/?/А/
коэффициент ^ почти не зависит от М. В этом случае
где Р— сила сопротивления, отнесенная к единице объема.
Для цилиндрической трубы из равенства перепада давления на
участке А/ силе трения имеем
A
A/>
4
где т — напряжение трения. Подставив это выражение в предыдущее
равенство, получим
Ар = 4т = р^
A/ D 2D4lK }
Подобно (1.14), имеем выражение для сохранения импульса:
Сопоставив это уравнение с предыдущим, видим, что последнее
слагаемое последнего уравнения представляет собой объемную диссипа-
тивную силу Р, помноженную на элемент длины трубы dx.
Попытаемся теперь найти характер изменения скорости в
поперечном сечении цилиндрической трубы в предположении вязкого струй-

1.4. Течения с трением и подводом тепла
65
А/
Ар
ного (ламинарного) течения газа строго в осевом направлении. Кроме
того, будем считать, что давление в любом поперечном сечении
постоянно, а скорость вдоль оси трубы не меняется, хотя ее значения
различны на разных расстояниях от оси трубы.
Выделим в трубе диаметра
D = 2R коаксиальную трубку
радиусом г (рис. 1.22), напряжение
трения на стенках которой т
определяется по закону Ньютона:
dw
dr
Из условия равновесия сил на
поверхности трубки имеем
2ягА/т =
Подставив отсюда зависимость т(г) в предыдущую формулу, получим
дифференциальное уравнение
dw = rdr,
2r)Al
которое после интегрирования (при условии на поверхности трубы r=R,
w = 0) дает
.... АР
Рис. 1.22. К выводу уравнения
Пуазейля
4Л А/
(1.73)
Таким образом, скорость в поперечном сечении трубы меняется по
параболическому закону и зависит от градиента давления в осевом
направлении А/7/А/и коэффициента вязкости.
Эпюра скорости, соответствующая (1.73), называется параболой
Пуазейля (врача и физиолога, опубликовавшего в 1840 г. свои результаты по
движению крови по капиллярам).
Средняя по площади трубы скорость
\
wdF
_ п2. D*
71/v К
после интегрирования с использованием (1.73) равна
ApR2
V=-
Д/8г|
(1-74)

66 Глава 1. Одномерные течения
Отсюда
8A/pF2
R2 pV Re D 2
где
Л
Формулы (1.74) и (1.75), выведенные для движения в трубах при
малых скоростях, справедливы как для газа, так и для жидкостей.
Отметим, что при этом перепад давления, как видно из (1.74),
пропорционален первой степени скорости, а не второй, как может показаться при
рассмотрении (1.75).
Объемный расход через трубу
8л А/
и пропорционален четвертой степени диаметра трубы. Особое значение
это имеет в медицине: из-за вязкости крови кровоснабжение сильно
уменьшается даже при незначительном сокращении диаметров
кровяных капилляров.
Величина £ = 64/Re является теоретически определенным
коэффициентом сопротивления трения при ламинарном течении в гладкой
круглой цилиндрической трубе и до ReKp прекрасно согласуется с
экспериментом. При опытах в трубах ReKp«2300 и сильно зависит от
состояния завихренности потока на входе в трубу.
Если число Рейнольдса потока больше критического, то вместо
струйного упорядоченного, т. е. ламинарного, течения возникает
неупорядоченное течение с вихрями и флуктуациями, называемое
турбулентным течением.
Конечно, переход от ламинарного к турбулентному течению
происходит в некотором диапазоне чисел Рейнольдса, однако этот диапазон
сравнительно узок и может для многих задач заменяться одним
значением ReKp.
1.4.3. Турбулентное течение
Для течений в трубах при Re > ReKp коэффициент сопротивления
трубы зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости трубы.
Исследования, проведенные И. И. Никурадзе при течении воды в
шероховатых трубах разных диаметров с числами Re, доходившими почти
до 107, показали, что с некоторого значения Re коэффициент сопро-

1.4. Течения с трением и подводом тепла
67
тивления С, при заданной шероховатости перестает зависеть от числа
Re, т. е. наступает автомодельный режим, на котором сопротивление
для шероховатых труб оказывается пропорциональным квадрату
скорости. При этом независимость от Re в трубах с большей
шероховатостью наступает при меньших Re. И. И. Никурадзе экспериментально
установил связь между относительной шероховатостью трубы s = 2e/D и
ее сопротивлением на режимах, когда £ не зависит от Re [63]
где е — средняя высота бугорков шероховатости; D — диаметр трубы.
На режимах Re > ReKp, для гладких труб до Re « 105 хорошо работает
эмпирическая формула Блазиуса
а в диапазоне чисел Re 105—108 для гладких труб можно пользоваться
формулой Никурадзе
°'221
Re
0,237 -
lg(100Q
2,6
lgRe
3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0 5,4
Рис. 1.23. Стандартная кривая сопротивления
На рис. 1.23 представлена серия кривых сопротивления в трубах,
полученных по экспериментальным данным для труб с различной
шероховатостью. Здесь же для гладких труб показаны зависимости,
соответствующие течению Пуазейля и формуле Блазиуса (1.76). Из рис. 1.23

68 Глава 1. Одномерные течения
следует, что переход от ламинарного течения к турбулентному при
одних и тех же числах Рейнольдса ведет к многократному увеличению
потерь.
Остановимся подробнее на турбулентном течении в трубе вблизи ее
стенки. Будем считать течение около стенки двухслойным —
состоящим из прилегающего к стенке тонкого ламинарного подслоя и
основного турбулентного слоя. Для ламинарного (или вязкого) подслоя
справедлив закон Ньютона для напряжения трения, использовавшийся
выше при выводе формулы Пуазейля (1.73). Поскольку в пределах тонкого
подслоя г = const и т = const, то, вводя координату}', направленную от
стенки к оси симметрии канала (трубы), после интегрирования
уравнения Ньютона получим
w^xwyr\'\ (1.77)
где tw — напряжение на стенке. Таким образом, в ламинарном подслое
скорость линейно зависит от расстояния от стенки.
В области турбулентного течения напряжение турбулентного
трения тт связано с градиентом скорости соотношением, аналогичным
формуле Ньютона, поскольку коэффициентом молекулярной
вязкости г| можно пренебречь по сравнению с коэффициентом турбулентной
вязкости тт
тт=Лт^- (1.78)
dy
Воспользуемся теперь для коэффициента турбулентной вязкости
прандтлевской формой закона турбулентного трения:
ПТ=Р/2^, (1-79)
dy
где р — плотность жидкости; / — длина пути перемешивания
турбулентных объемов.
На стенке, т. е. при у = 0, пульсации скорости равны нулю и,
следовательно, /=0. Эти пульсации возрастают по мере удаления от стенки,
поэтому простейшей гипотезой является следующее условие
(предложенное также Прандтлем):
1 = ку.
Здесь к — коэффициент пропорциональности.
Подставив (1.79) в (1.78) и интегрируя, получим связь между w ну,
справедливую в турбулентной области:
piy + C (1.80)
Р
где С — постоянная интегрирования.

/. 4. Течения с трением и подводом тепла
69
Введем «динамическую» скорость и>д = <
коэффициент ки-
нематической вязкости v = T]p
При этом из (1.80) получим [36]
w
и «динамическую» длину /д = ^
Как следует из различных опытных данных, для больших Re и
широкого диапазона 10 < у//д < 105 для пластин и труб коэффициент к
является универсальной константой турбулентного потока, и можно
принять к~] = 2,5, В = 5,5. Таким образом, в турбулентной части
пограничного слоя профиль скорости хорошо аппроксимируется формулой
vv = 2,51ny+5,5, (1.81)
где w = w/wR; у-у/1я. Универсальность зависимости (1.81) и ее
хорошее согласование с экспериментом объясняется тем, что влияние числа
Рейнольдса полностью входит в масштабы /д и и>д; это обеспечивает
простоту и надежность данной зависимости.
Отметим, что и формула (1.77) для вязкого подслоя может быть
записана в безразмерном виде:
w=y. (1.82)
Соотношения (1.81) и (1.82) определяют профиль скорости для
турбулентного пограничного слоя (рис. 1.24).
Пересечение зависимостей (1.82) и (1.81) происходит при
у = уА =11,63. Это значение уА можно считать границей вязкого
подслоя (штриховая прямая на рис. 1.24).
Принятое разделение при- _
стеночной структуры потока на
области чисто ламинарного и
чисто турбулентного потоков,
конечно, весьма схематично и
условно. При удалении от
стенки влияние молекулярной
вязкости убывает непрерывно.
40
20
0 1 2 3 4 \
Рис. 1.24. Турбулентное течение
у границы
Аналогично этому и
турбулентность распространяется левее
штриховой линии. Однако, как
показывает сравнение расчетных и экспериментальных данных, такая
двухслойная схематизация может быть признана вполне
удовлетворительной. Для уточнения можно рассмотреть переходную область от

70 Глава 1. Одномерные течения
ламинарного к турбулентному пограничному слою (буферная зона) и
произвести скругление зависимостей (1.82) и (1.81) в области их
пересечения, однако это значительно усложнит методику расчетов.
Остановимся на формулах, определяющих коэффициент
сопротивления гладкой трубы при турбулентном течении. Как и при вязком
(ламинарном) потоке, перепад давления А/7 на длине / трубы диаметра D из
условия равновесия равен
i \-1
С другой стороны, поскольку по определению коэффициента потерь £
где V— средняя по площади скорость в трубе. Приравняв правые части
последних уравнений, получим
V 2л/2
(1.83)
где и>л — введенная выше динамическая скорость. Средняя скорость
Для определения средней скорости достаточно выполнить эту
квадратуру сначала по ламинарному подслою, т. е. с использованием (1.77),
а затем по области турбулентного течения. В дальнейшем влиянием
ламинарного подслоя вследствие его малости пренебрежем.
Из формулы для распределения скорости в турбулентном потоке
(1.81) следует, что на оси трубы, где у = D/2 = г,
Отсюда
Подставив последнюю формулу в интеграл (1.84), после
интегрирования получим
д д

1.4. Течения с трением и подводом тепла
71
где Сх и С2 — некоторые постоянные. Отсюда, использовав (1.83) и
тождественное преобразование
2V
получим
где А и Вх — некоторые безразмерные постоянные. По
многочисленным опытным данным Никурадзе [63] получены следующие значения
этих констант: А = 2,01, В: =-0,84. Для расчетов это уравнение удобнее
иметь в разрешенном относи- , (\000C)
тельно Re виде с округленными 2 i
значениями констант: 1,5 f
Re = -
1,0
0,5
7 lgRe
(1.85)
Сопоставление расчетов по
формуле (1.85) с
экспериментами и с расчетами по формулам
Никурадзе и Блазиуса (1.76)
представлено на рис. 1.25. Здесь
кривая 1 — зависимость
Блазиуса; кривая 2 — соответствует
формуле (1.85); кривая 3 —
формуле Никурадзе (эксперименты
отмечены черными точками).
Из рассмотрения рисунка
видна универсальность формулы (1.85) для различных чисел Re, однако
при Re > 105 лучше пользоваться формулой Никурадзе, а при Re < 105 —
формулой Блазиуса.
1.4.4. Введение в жидкости полимерных добавок
Как отмечалось выше, при одном и том же числе Рейнольдса
сопротивление трубы при турбулентном режиме течения в несколько раз
больше, чем при ламинарном (см. рис. 1.23). Поэтому понятен интерес,
проявляемый многими исследователями к поиску возможностей хотя
бы частичной ламинаризации потока.
Рис. 1.25. Характеристики
турбулентного потока по Блазиусу,
Никурадзе и эмпирической формуле

72 Глава 1. Одномерные течения
Одной из таких возможностей применительно к течению
жидкостей в трубах является использование некоторых растворимых в
жидкости полимеров. В 1948 г. Б. А. Томе сделал сообщение о том, что
введение в турбулентный поток жидкости очень малых количеств
высокомолекулярных полимеров сильно снижает сопротивление турбулентного
трения. Это явление получило название эффекта Томса, его
исследованию посвящено множество работ, например [6, 12,14, 45, 62] и др.
К числу наиболее эффективных для этой цели полимеров можно
отнести:
полиэтиленоксид [ — СН2 — СН2 — О ]„
полиакриламид [— СН2 — СН — ]п
I
CONH,
СН3
полиизобутилен [— СН2 — С — ]п и др.
СН3
Полимеры — химические соединения, в которых многократно
повторяются атомные группировки, называемые мономерными звеньями.
Молекула полимера, составленная из п звеньев, называется
макромолекулой, или полимерной цепью. Полимер может содержать боковые
ответвления на основной (главной) цепи. Если этих ответвлений нет,
полимер называется линейным. Среда, состоящая из жидкости и
полимера, ниже называется раствором.
Экспериментально установлено, что наибольшее снижение
сопротивления происходит при использовании полимеров с линейной
структурой молекул высокой молекулярной массы при малой массе
мономерного звена молекулы.
При ламинарном течении эффект Томса не наблюдается. От наличия
полимеров не зависит и критическое число Рейнольдса. Проявление
эффекта начинается при достижении касательным напряжением на
стенке некоторого порогового значения тЦ,. При t>100t^ происходит
ослабление эффекта Томса, что связано с увеличением вязкости раствора.

1.4. Течения с трением и подводом тепла 13
При фиксированном числе Re снижение турбулентного трения
зависит от концентрации полимера, его молекулярной массы,
температуры потока и шероховатости стенок канала.
Эффект снижения сопротивления начинает проявляться в очень
слабых растворах — при массовых долях полимеров с= 10~6...1(Г5.
С ростом концентрации эффект Томса усиливается, и снижение
сопротивления достигает своего максимального значения при некотором
оптимальном значении концентрации с0ТП. Соответствующие этой
концентрации величины снижения сопротивления для различных типов
обычно применяемых полимеров близки друг к другу.
Если при переходе от одного полимера к другому уменьшается
молекулярная масса, то концентрация полимера, соответствующая
максимальному эффекту, растет.
Экспериментально установлено, что на режиме максимальной
реализации эффекта Томса снижение сопротивления определяется
произведением концентрации с на молекулярную массу полимера. Для поли-
акриламида, полиэтиленоксида и некоторых других полимеров учет
упругости макромолекул дает несколько уточненное значение
параметра, определяющего максимальное снижение турбулентного сопротив-
О SS
ления — фп , где |!п — молекулярная масса полимера.
На эффект Томса существенно влияет диаметр трубы. С его
увеличением увеличивается Re0, при котором начинается падение
сопротивления вследствие наличия полимеров.
Одновременно со снижением сопротивления турбулентного трения
полимеры снижают и интенсивность турбулентного теплопереноса
через пограничный слой.
Механизм уменьшения сопротивления и теплообмена при наличии
полимеров связан с гашением длинными молекулами полимера
высокочастотных пульсаций и уменьшением коэффициента турбулентной
вязкости.
Способность длинных молекул гасить пульсации определяется их
молекулярной массой и концентрацией полимера в растворе. В
покоящемся растворе молекулы полимеров представляют собой свернутые
клубки, которые с ростом скорости и числа Рейнольдса
разворачиваются в нити, причем разворачивание и ориентация молекулярных нитей
происходит практически мгновенно по достижении критических
параметров их растяжения.
Разворачиваясь, молекулы «армируют» поток и блокируют
возмущения; при этом поперечный перенос энергии снижается, что в конеч-

74
Глава /. Одномерные течения
ном счете приводит к уменьшению турбулентного трения. При этом
растет толщина ламинарного подслоя, непосредственно прилегающего
к стенке, а также переходного (буферного) слоя от ламинарного к
турбулентному.
При длительном пребывании полимера в потоке эффект Томса
постепенно уменьшается из-за деструкции (разрушения молекулярных
цепей) и снижения цп. Скорости разрушения молекул для разных
полимеров неодинаковы и зависят от сдвиговых напряжений в потоке,
температуры, времени хранения растворов, действия света,
ультразвука, бактерий и т. д.
В настоящее время нет полной и строгой теории эффекта Томса,
имеются лишь полуэмпирические теории и зависимости, позволяющие
проводить количественные оценки.
w = 11,71n
w = y ^
у
У-17,0
/
>
51nJ+5,5
40
30
20
10
°0 1 2 3 4 lgj
Рис. 1.26. Изменение безразмерной скорости поперек пограничного слоя
при различных концентрациях полимера
Остановимся на отдельных результатах опытов со слабыми
растворами полимеров. На рис. 1.26 [62] представлены экспериментальные
зависимости w(y) для различных концентраций полимеров в воде (гуа-
ровой смолы) при движении растворов в трубе с диаметром -5 см. Из
рассмотрения этих зависимостей следует, что при повышении концен-

1.4. Течения с трением и подводом тепла
75
трации полимера зависимость w(y) остается похожей на (1.81); при
этом производная dw/dy не меняется, а свободный член В
увеличивается на АД и тем самым увеличивается и толщина вязкого подслоя.
Величина АВ зависит от концентрации и физико-химических
характеристик полимера. Существуют эмпирические формулы для В, а
также соотношения для Щу), в которых учитывается и изменение
производной. Так, например, Вирк [6] рассмотрел трехслойное
распределение w по у (вязкий слой, буферный слой и турбулентный слой) и
предложил соответствующие аппроксимации скорости. Им же
предложен предельный полулогарифмический профиль скорости для течения
с максимальным снижением сопротивления. Эта зависимость
представлена на рис. 1.26:
w = ll,71nj7-17,0.
Сопротивление при дви-
жении растворов полиэти-
леноксида в гладких трубах
с различными
концентрациями полимеров
представлено на рис. 1.27,
откуда следует, что при наличии
полимеров сопротивление
может упасть в 3-4 раза.
Там же показаны
удовле(1.86)
1,5
1,0
ся 9,2-lg(Re<)-19,6
°'53 4 5 lgRe
Рис. 1.27. Наинизшие зависимости
сопротивления в гладких трубах
творительно
согласующиеся с опытом теоретические
зависимости C>(Re, с),
полученные по
полуэмпирическим формулам [45].
В работе [12] дается
предельное наинизшее значение зависимости сопротивления от числа Рей-
нольдса для движения полимеров в гладких трубах
(1.87)
Зависимость, рассчитанная по этой формуле представлена на
рис. 1.27. Значительное снижение сопротивления из-за присутствия
полимеров происходит и в шероховатых трубах. Как и в отсутствие
полимеров, влияние шероховатости зависит от положения вершин
выступов относительно внешней границы пристеночного слоя. При этом
если бугорки шероховатости выходят за границы вязкого подслоя, то

76
Глава 1. Одномерные течения
С-102
4
5 lgRe
Рис. 1.28, а. Сопротивление в
шероховатых трубах
с ростом относительных размеров выступов и чисел Рейнольдса влияние
шероховатости увеличивается. Если же они находятся внутри подслоя —
течение, по сути, является течением в гладкой трубе. С ростом
шероховатости и числа Re уменьшается толщина пристеночного слоя, а
следовательно, сводится к нулю и роль
полимерных добавок, т. е.
исчезает эффект понижения
сопротивления, а на автомодельном
режиме (т. е. при С, = const)
пристеночный слой отсутствует,
поэтому нет и эффекта Томса.
На рис. 1.28, а представлены
опытные данные [45] по
сопротивлению в трубе диаметром 1 см
при движении раствора полиэти-
леноксида. Нижние линии
соответствуют шероховатости е~1 =
= 10, а верхние е"1 = 5. Линии 1
отвечают концентрации
полимера с = 0, линии 2 — с = 10~5.
Аналогичные явления
происходят и при внешнем обтекании
тел потоком, в котором имеются
полимеры. На рис. 1.28,5
представлены расчетные зависимости
коэффициента сопротивления
трения cF пластины длиной 8 м
при различных относительных
расходах полимера, подаваемого в пограничный слой [45]. Кривые 1—6
соответствуют относительным расходам полимера: 0; 1; 3,3; 10; 33; 100.
Видно, что при достаточно больших числах Рейнольдса линии 2-6
приближаются к линии 1, соответствующей течению без полимеров.
В работе [14] представлена полуэмпирическая теория
турбулентности разбавленных полимерных растворов в окрестности обтекаемых
поверхностей. По данной методике, в частности, можно рассчитывать и
течение в трубах с различной шероховатостью с проявлением эффекта
затягивания выхода на автомодельный режим, а также выполнять
расчеты для исследования влияния различных параметров.
Вопросы использования полимерных присадок для улучшения
характеристик ЖРД рассматриваются ниже.
<vio3
2,0
1,0
0,4
8 9 lg Re
Рис. 1.28, б. Сопротивление пластины
при различных расходах

1.4. Течения с трением и подводом тепла 11
Можно ожидать, что использование полимеров в качестве
микроскопической добавки (присадки) в компонент ракетного топлива
сможет улучшить гидравлические характеристики трактов ЖРД. Комплекс
исследований, проведенных в НПО «Энергомаш», подтверждает это1.
Действительно, необходимое условие проявления эффекта Томса —
турбулентность — развито в ЖРД, едва ли не в большей мере, чем в
любом другом техническом устройстве. Как известно, давление,
создаваемое насосами системы подачи ЖРД, необходимо для подачи
компонентов топлива в камеру сгорания двигателя и для преодоления
гидравлического сопротивления в топливных магистралях. Гидравлические
потери на трение составляют значительную его часть. В свою очередь, в
насосах также имеют место потери на трение, которые определяют
уровень КПД турбонасосного агрегата в целом.
Эксперименты на автономных установках и натурные испытания в
составе двигателя показали значительное снижение гидравлических
потерь из-за трения как в протяженных элементах гидравлического
тракта, так и в лопастных насосах различной быстроходности. В
качестве присадки использовался высокомолекулярный полиизобутилен,
который растворялся в ракетном горючем типа керосина. На рис. 1.29
приведено сравнение напорных характеристик шнекоцентробежного
основного насоса горючего, а также гидравлических характеристик
тракта регенеративного охлаждения камеры ЖРД при течении
жидкости с добавкой полимера. Характеристики получены в результате
огневых испытаний ЖРД тяжелого класса (тяга около 800 т). Для каждого
агрегата двигателя выявлена индивидуальная, имеющая свой
максимум, зависимость прироста параметров от концентрации полимера в
горючем. Величины прироста параметров агрегатов в процентах от их
номинальных значений следующие:
приведенный напор бустерного насоса 12,7 %;
напор первой ступени основного насоса 6,5 %;
суммарный КПД первой ступени основного насоса 13,5 %;
напор второй ступени основного насоса 12,5 %;
гидропотери в тракте охлаждения камеры уменьшились
на 19,5%.
На основании проведенных исследований можно сделать вывод о
целесообразности использования высокомолекулярных полимеров в
качестве присадок к компоненту ракетного топлива для уменьшения
гидравлических потерь в топливных магистралях [65].
1 Основным исполнителем данных исследований является кандидат
технических наук В. Д. Гапонов.

78
Глава 1. Одномерные течения
Использование горючего с полимерной присадкой, например, в РН
«Зенит» позволит увеличить массу полезного груза, выводимого на
переходную к геостационарной орбиту, на -1,8% без увеличения
скорости вращения ротора ТНА и на 17% без увеличения температуры
генераторного газа маршевых двигателей, если в последнем случае имеется
возможность их форсирования на 10% [65].
Напор, м с присадкой
6000
5800
5600 ' ' ' ' ' ^ ' '
600 700 800 900 Расход, дм 3/с
а
АР, атм
100
• ■■—
•—
—-^^^
— -
без присадки/
IP
—ш
о
без присад
ки
k с присадкой
350
450
550
650
750 Расход, дм 7с
20
15
10
У^ 2
1
5
^^>—
1 ■
-1 ■
0
0,02
0,04
0,06
0,08
С, %
Рис. 1.29. Влияние присадки в керосин на характеристики агрегатов
двигателя РД170:
а — характеристика первой ступени насоса горючего; б— гидропотери тракта
охлаждения камеры; в — прирост параметров агрегатов (1 — напор первой
ступени насоса горючего; 2 — КПД первой ступени насоса горючего; 3 —
напор второй ступени насоса горючего; 4 — гидропотери тракта охлаждения;
5 — напор бустерного насоса горючего)

1.4. Течения с трением и подводом тепла 79
1.4.5. Течение в трубе при наличии трения
Рассмотрим течение газа в цилиндрической трубе при наличии
трения, но без притока тепла; при этом вдоль трубы температура
торможения То = const.
Уравнения сохранения массы, импульса и энергии имеют
следующий вид:
m = pwF',
dw 1 dp r w2
dx pdx S2Z)
= T0\ 1-
(1.88)
Y + l
Для замыкания системы необходимо использовать уравнение состояния
р = рЯТ.
Перейдя к безразмерным величинам, получим сначала
соотношение для/?:
a.FX \ y + 1 ) F 2y X
Подставим теперь это/?, а также р и Г из уравнений состояния,
сохранения массы и энергии в уравнение сохранения импульса:
m 2y F \ X2
2у V ) X s ID
Проведя сокращения, получим уравнение в дифференциальной форме,
связывающее X и х [63]:
Отметим, что в это соотношение не входит критическая скорость,
определяемая температурой торможения То.
Согласно (1.89) при X < 1 dX/dx > 0 и при X > 1 dX/dx < 0. Отсюда
следует, что при наличии трения в трубе скорость звука может быть
достигнута только в конце трубы постоянного сечения.
В проинтегрированном виде последнее уравнение имеет вид
(1.90)

80
Глава 1. Одномерные течения
X
10
0,857
0 1 2
Рис. 1.30. Газодинамическая
функция х(^)
Здесь
а индекс «1» соответствует
начальному сечению трубы. Зависимость
%(Х) для у =1,4 представлена на
рис. 1.30.
Задавшись зависимостью С,(х),
при известном значении Х{ по
формуле (1.90) можно найти функцию
Х(х). Затем, уточнив £(3с),
повторить вычисления и т. д. В качестве
первого приближения можно
принять, например, С,(х) = const.
Процесс вычислений идет
достаточно просто, если Х{ < 1, а в конце
трубы вычисленное после всех итераций значение X < 1. Если же
окажется, что
Y + l
(1.91)
то следует принять X = 1, а новое значение
найти из условия
2У
При этом Х2 становится меньше Х{. На практике это реализуется
всегда для очень длинных газовых трубопроводов. В выходном сечении
скорость у них равна скорости звука, а в начальном сечении
приведенная скорость Х2 устанавливается в соответствии с последним равенством.
Несколько сложнее обстоит дело в случае, когда Х{ > 1. Если после
расчета по (1.90) Х{>1, проблем не возникает. Однако если будет
выполнено условие (1.91), то в некотором сечении трубы
возникает сильный разрыв параметров, т. е. сядет скачок уплотнения и
скорость станет дозвуковой; затем вдоль трубы скорость будет расти.
Положение скачка определится так, что в конце трубы скорость станет
звуковой [63].
На примере прямого скачка уплотнения покажем, что при его
наличии левая часть уравнения (1.90) возрастает, что позволяет
обеспечить сверхзвуковое течение в начале трубы при больших значениях ин-

1.4. Течения с трением и подводом тепла 81
теграла трения. Так, при чисто сверхзвуковом течении в трубе
наибольшее значение левой части (1.90) равно
2у^ { х\)
^ х\) 2у
Если же в предельном случае прямой скачок сядет в начальном
сечении трубы, то наибольшее значение левой части (1.90),
соответствующее скорости звука в конце трубы,
Отсюда
2у
Элементарный анализ показывает, что правая часть этого равенства,
равная нулю при Х{ = 1, при Х{ > 1 положительна, т. е. всегда из-за
наличия скачка левая часть (1.90) увеличивается. Если же труба настолько
длинная, что и при наличии прямого скачка в начальном сечении
выполняется неравенство (1.91) для значения Х{ за скачком, то в этом
случае сверхзвуковое течение на входе в трубу существовать не может.
Расход через трубу определяется по формулам (1.33) и (1.34):
Y+1
2
Коэффициент восстановления полного давления в трубе при То =
const
^ (192)
Если же в конце трубы X = 1, то
v = v. = q(Xl).
Давление в любом сечении трубы
где/?0 вычисляется по (1.92).

82
Глава 1. Одномерные течения
1.4.6. Течение в трубе при подводе или отводе тепла
Поскольку теплоотвода без трения не бывает, то этот и следующие
параграфы имеют целью упрощенно понять влияние теплообмена на
газодинамические параметры в трубе и сопле.
Рассмотрим теперь течение в цилиндрической трубе при отсутствии
трения, но при наличии подвода или отвода тепла. В этом случае второе
уравнение (1.88) с использованием первого интегрируется в следующем
виде:
или
>1 =
(1.93)
Переходя к безразмерным параметрам, имеем, подобно (1.40),
pw
где г(А.) = А.+— (см. рис. 1.9).
а
0,8
0,6
0,4
0,2
9 = 3,OJ2,O|
ZI
//
г.
1
1
/,
— —
1.4JJ
И
/
/
/
—
1 —
/
А
— —
>
/
/
/
/
/
1,0ч
/
т —
/
0,9<
0,5,
,0,2
/
-^-
2у
Обозначив
0 = -
из (1.93) получим [63]
(1.94)
о
0,2 0,4 0,6 0,8 X,
Рис. 1.31. Изменение приведенной
скорости в конце трубы при
наличии теплообмена
При 0 < 1 z(X) увеличивается,
Х{ > 1 происходит увеличение X.
Х(Х{) для различных 0 при Хх < 1.
Напомним, что минимальное
значение z = 2 соответствует X = 1.
При 0 > 1, т. е. при подводе тепла,
как видно из (1.94), z(h) <z(k{).
Следовательно, при Х{ < 1 поток
ускоряется, а при Х{ > 1 происходит
уменьшение X. Процесс подвода тепла по
воздействию на X подобен течению с
трением.
т. е. при Х{ < 1 поток замедляется, а при
На рис. 1.31 представлена зависимость

1.4. Течения с трением и подводом тепла 83
Из (1.94) можно выразить X через А, и 0:
20
1± /1-
482
Z2(h)
где знак «+» соответствует сверхзвуковому значению X; «-» —
дозвуковому.
Поскольку величины Л, и Л,] находятся по одну сторону от значения
А,] = 1, то знак «+» следует принимать, если к} > 1, «-», если Х} < 1. При
0 ->1 из последнего равенства следует очевидное условие X -> Х}.
Отношение скорости после зоны подвода (отвода) тепла и> к
начальной и>, можно получить из последнего равенства для Х}:
{Л
Отсюда видно, что для сверхзвукового потока, движущегося в
цилиндрической трубе, с ростом 0 относительная скорость w падает, а для
дозвукового — растет. Отметим, что данный результат не может быть
распространен на течения в соплах с подводом тепла, в которых,
например, при подводе тепла возможен рост w (см. п. 1.4.7).
При дозвуковом течении в трубе и заданном подводе тепла
приведенная скорость А, не может быть больше некоторой величины А, тах,
определяемой из уравнения (1.94) при условии X = 1:
z
Отсюда
и видно, что А, тах падает с ростом 0.
Из уравнения расхода, составленного для начального и выходного
сечений трубы, следует
Poi
Подставляя сюда (1.94), получим
g(X)z(X) s(X)'
где s(X) = р(Х)(Х2 + 1) Зависимость s(X) при у =1,4 представлена на
рис. 1.32.
Функция s(X) достигает максимума при X = 1. При подводе тепла при
Х{ < 1 поток ускоряется, т. е. Х>Х{, а при Х{ > 1 имеем Х<Х{. В обоих

84
Глава 1. Одномерные течения
s(X)
1,0
0,5
0 1 2 X
Рис. 1.32. Газодинамическая
функция s(k)
случаях при подводе тепла X ближе к
единице, чем Х}. Следовательно, при
подводе тепла всегда siX^KsiX) и
v< 1. При отводе тепла имеет место
обратный эффект.
Проведенный выше анализ
влияния подвода и отвода тепла на
скорость в цилиндрической трубе
позволяет сделать вывод о том, что при
специально организованном подводе
тепла в дозвуковой части сопла и
отводе — в сверхзвуковой возможно в
цилиндрической трубе перейти от дозвуковой скорости перед зоной
теплообмена к сверхзвуковой — в конце сопла. Это так называемое
«тепловое» сопло. При течении в трубе с подводом (отводом) тепла и
трением качественно происходит сложение эффектов, рассмотренных
выше. (В силу нелинейности уравнений строгой суперпозиции влияния
трения и теплоотвода нет.)
Анализ этих более общих уравнений не представляет особого труда,
однако сопряжен с исследованием более громоздких формул.
1.4.7. Влияние малого подвода и отвода тепла в сверхзвуковом сопле
на скорость истечения и давление
Рассмотрим течение в реактивном сопле при наличии теплообмена
с внешней средой. (Для упрощения задачи трение учитывать не будем.)
В этом случае, подобно (1.19), но в дифференциальной форме, система
уравнений сохранения и состояния имеет вид
dp dw dF
-^+—+— = 0,
р w F
pwdw + dp = 0,
cpdT + wdw = dQ,
dp dp dT
P P T
Здесь dQ — подведенное тепло. Исключив отсюда dp, dp и dT, получим
w2 Adw dF dQ

1.4. Течения с трением и подводом тепла 85
Поскольку, согласно (1.24) a2 = (dp/dp)s = yRT, последнее равенство
перепишем в виде
w F срТ
(1.95)
На первый взгляд может показаться, что из-за подвода тепла, как и
в цилиндрической трубе, в сверхзвуковой части сопла скорость
уменьшается, т. е. поток замедляется, а при отводе — ускоряется. Однако это,
как правило, не так.
Применим (1.95) к двум случаям dQ = 0ndQ*0 при фиксированной
геометрии. Получим, учитывая, что. A(dF/F) = О
2^ ^2dQ (L96)
w w cpT
Здесь знак вариации Л означает изменение параметра при переходе от
случая dQ ф О к случаю dQ = 0.
Вариацию уравнения сохранения энергии
cpAT+wAw =
представим в виде
где Q — общий (малый относительно энергии газа) подвод тепла до
рассматриваемого сечения сопла.
Дифференцируя формулу M2 = w2/yRT и используя последнее
равенство, получим
AM2
Подставив последнее выражение в уравнение (1.96) и используя
обозначения
2 w cpT0 w
где индекс «0» относится к температуре изоэнтропически
заторможенного потока
получим

86 Глава 1. Одномерные течения
Это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение для /,
полученное при следующем условии: при t = tb (? = / = 0; Q(t) —
заданная функция от геометрии сопла. Интегралом данного
дифференциального уравнения, удовлетворяющим этому условию, является выражение
\\Qdt-Q,{t)
2;
/ = — — ' (L98)
Примем, для определенности, что 0(/)<О, т. е. имеется отвод
тепла. Покажем, что в зависимости от вида Q(t) величина/может быть как
положительной, так и отрицательной.
Рассмотрим класс функций Q = /я+/п*(/), где т, п и к —
постоянные, связанные условием
Отсюда можно найти п и подставить в выражение для Q. Получим
гдеij = t(/j). Приm>0,k>0-Q<0.
Подставляя (1.99) в (1.97), имеем
При достаточно интенсивном отводе тепла, при котором к > (у - I)"1,
правая часть (1.100) положительна, т. е. (t- 1)/растет с ростом /, а
значит, и/не может стать отрицательной, т. е. Aw=fw> 0 и скорость
увеличивается.
Для отвода тепла с небольшой интенсивностью по т (этот важный
случай реализуется для охлаждаемых камер ЖРД): при к < (у - I)"1
производная (1.100) сначала положительна, а затем обращается в нуль и
становится отрицательной. При этом/уменьшается и может быть
отрицательной; значит, скорость при отводе тепла может уменьшаться.
На рис. 1.33 представлены результаты расчетов по зависимости
Aw/w от / при различных к, иллюстрирующие возможности роста и
падения скорости при отводе тепла (в зависимости от к).
Как видно из (1.97), при замене Q на -Q /меняется на -/, т. е. при
подводе тепла к сверхзвуковому потоку, аналогично предыдущему слу-

1.4. Течения с трением и подводом тепла
87
=Ш. k = _L_ k>_L
чаю, в зависимости от интенсивности поток может как тормозиться,
так и ускоряться1. Подобные выводы нельзя распространить на силовое
воздействие газа на стенки сопла
при подводе или отводе тепла.
При условии малого отвода
или подвода тепла вариации
уравнений состояния, сохранения
расхода и энергии имеют вид
Ар Ар AT
Р о Т
W
Исключая AT и Ар, получим
Рис. 1.33. Влияние
интенсивности отвода тепла на изменение
скорости истечения из сопла
Подставляя сюда вместо/= Aw/w его выражение (1.98), получим
«*-(т-0О*
Заменяя интеграл его средним значением — QcM-t{), имеем
По своему определению Q монотонно растет (падает) вдоль сопла
при подводе (отводе) тепла, значит, Qcp/Q<\. Поскольку t>t-tb
I
т>т—, то правая и, следовательно, левая части этого равенства
положительны. Значит, Ар/р всегда имеет знак Q.
Таким образом, при подводе тепла, вне зависимости от изменения
скорости, давление и, следовательно, тяга повышаются, а при отводе —
понижаются.
Для сверхзвукового потока при подводе и отводе тепла расход не
меняется и, следовательно, относительные изменения тяги и удельного
импульса одни и те же.
1 Этот неожиданный результат принципиально важен для понимания
процессов подвода тепла к газу.

Глава 1. Одномерные течения
Полученные выше результаты могут быть интерпретированы и с
привязкой к известному «закону обращения воздействия».
Этот закон и соответствующее ему дифференциальное уравнение,
опубликованные Л. А. Вулисом [7, с. 93—95], а также представленные в
популярных учебниках Г. Н. Абрамовича по прикладной газовой
динамике (см., например, [1, с. 189, 190]) в настоящее время широко
известны и используются при решении многих научных и прикладных задач.
Без учета расходного, механического воздействий и влияния трения
упомянутое уравнение записывается в следующем виде:
w F а
где при отводе тепла dQ < 0.
При рассмотрении этого уравнения напрашивается вывод о том,
что поскольку при отводе тепла правая часть увеличивается, то это
должно приводить к дополнительному приросту скорости в сопле
относительно адиабатического течения.
Однако анализ изменения параметров, полученных в результате
интегрирования системы дифференциальных уравнений в некоторой
области, не может быть правильно сделан по исследованию локального
изменения параметров только одного из уравнений системы, без
привлечения других [66]. Так прямые расчеты, проведенные с
использованием полной системы уравнений применительно к квазиодномерным
охлаждаемым соплам ЖРД (здесь отвод тепла составляет около 1—2%
от энтальпии торможения), показывают, что на самом деле из-за отвода
тепла от движущегося в сопле газа происходит не прирост, а
уменьшение скорости относительно адиабатического течения. Вследствие
малости этого замедления скорость вдоль сопла все равно растет благодаря
более интенсивному геометрическому воздействию на поток. Чтобы
продемонстрировать падение темпа нарастания скорости в сопле
вследствие отвода тепла следует обратиться к следующему простому анализу.
Несложно показать, что при отводе тепла всегда число Маха М
растет, а статическая температура в потоке Т падает. Действительно, из
исходного уравнения и уравнения энергии
p Q,
где ср — теплоемкость при постоянном давлении, путем исключения dw
можно получить
dT YM2-1 dQ (y-l)M2dF
Т M2-l cpT M2-l

1.4. Течения с трением и подводом тепла 89
Так как dQ < О, то отсюда следует, что в сверхзвуковом потоке из-за
отвода тепла температура всегда падает.
Из тождества М2 = w2/a2 имеем
±сМ*__с1^_1 dT I (dF dQ) 1 dT
2 M2 " w 2 T "м2-1^ срт) 2 Т > '
так как при М > 1, dQ < О и dT< О, то всегда из-за теплоотвода число М
растет.
Исходное уравнение можно записать для сверхзвукового сопла в виде
dF {F cpTdF)U2-\
Влияние теплоотвода на темп роста скорости w можно установить путем
сравнения производных dw/dFjyvi течений с теплоотводом (индекс Q) и
без него (без индекса) в сечении сопла 2, находящемся на некотором
конечном расстоянии вниз по потоку от начального сечения 1.
Вначале будем считать, что теплоотвод начинается от некоторого
условного сечения 1 (Q{ = О, М{ > 1). Разность производных от скорости
по площади для течений с теплоотводом и без него в сечении 2 (равная
нулю в сечении 1) характеризует влияние теплоотвода на темп роста
скорости вдоль сопла
А =
dwQ2 dw2 _ 1 | wQ,2 w2
dF dF~F{M2Q2-\
w dQ
Поскольку всегда dQ/dF< О, то квадратная скобка со знаком перед ней
дает положительный вклад в правую часть.
Теперь можно определить знак первой скобки в этой формуле.
Выражение
/ \
А"' ■ ■ мм
поскольку из-за отвода тепла М растет, а скорость звука а падает.
В начальной точке 1 А - 0, и правая часть формулы для А
положительна, т. е. темп роста скорости из-за теплоотвода увеличивается.
Однако с ростом /* величина Л, оставаясь отрицательной, растет по
абсолютной величине, и весьма интенсивно, вследствие чего при некотором
/'его левая часть становится нулевой, а затем темп роста скорости
потока в сверхзвуковом сопле из-за отвода тепла от сопла начинает
уменьшаться. Еще раз следует отметить, что падение темпа роста ско-

90
Глава 1. Одномерные течения
рости из-за теплоотвода в сопле обусловлено взаимным влиянием
слагаемых, входящих в систему уравнений, определяющих течение в сопле.
Если же теплоотвод начинается раньше сечения 1, то, как
показывают расчеты, MQ2 становится существенно большим М2 и параметр А
может стать сразу же отрицательным (а не нулем, как это было в
предыдущем случае), при этом правая часть А либо уменьшается, либо тоже
становится отрицательной, т. е. имеет место замедление потока.
Wg-W
W
•1041
о
-1
-2
-3
Рис. 1.34. Изменение относительной разности скоростей в сопле
1
2 ^V
3
4
5
\
\
ч
8
\
\
\
\
10
ч
ч
ч
12
\
\
14
X
16
w
0,005
0
- 0,005
-0,001
-0,015
-0,02
Рис. 1.35. Эволюция относительной разности скоростей при разных
начальных сечениях теплоотвода в сопле: • — соответствует началу
теплоотвода в дозвуковой части сопла; кривая 1 — соответствует началу
отвода тепла в горле сопла
Падение темпа роста скорости вследствие отвода тепла по
относительному радиусу стенки сопла г (радиус контура сопла отнесен к
радиусу горла) представлено на рис. 1.34. (Здесь полагается, что теплоот-

1.4. Течения с трением и подводом тепла 91
вод начинается от критического сечения сопла.) Локальный рост темпа
увеличения скорости при начале отвода тепла от точки 1 обусловлен
моделью расчета, согласно которой вверх по потоку от точки 1 теплоот-
вод отсутствует. В реальном сопле ЖРД, в котором теплоотвод имеет
место от начала сужающейся части сопла, падение темпа увеличения
скорости из-за отвода тепла происходит по всему соплу. На рис. 1.35
представлено изменение скоростей из-за отвода тепла в до- и
сверхзвуковых частях сопла. Расчеты выполнялись обратным методом, т. е.
задавалась скорость потока, а затем вычислялась площадь проходного
сечения. Это обеспечивало простое прохождение седловой особой
точки. Как видно из рис. 1.35, для реальной картины отвода тепла в сопле
ЖРД — наличия теплоотвода от входного дозвукового сечения сопла —
падение темпа роста скорости из-за отвода тепла имеет место по всему
соплу и является монотонным.
1.4.8. Формула для расчета влияния на удельный импульс малого
отвода или подвода тепла в сверхзвуковом сопле
При догорании газов в сверхзвуковых соплах, отводе тепла из-за
охлаждения стенок и в некоторых других подобных случаях возникает
необходимость определения малых изменений тяговых характеристик
двигателя, обусловленных неадиабатичностью течения.
Решение данной задачи представлено в работе [58], при этом для
общности предполагается, что состав газа и, следовательно, его
молекулярная масса меняются по потоку. Расход через сопло т считается
постоянным.
Систему уравнений состояния и сохранения расхода, импульса и
энергии при фиксированной площади F(AF- 0) запишем в виде
т = pwF,
HL (1.101)
q ^
Р
где h0 — энтальпия адиабатически заторможенного потока; Aq — тепло,
подведенное от начального и до рассматриваемого сечения.
Из первого и четвертого соотношений этой системы имеем
*=А_^_. (1.102)
р RT RT

92 Глава 1. Одномерные течения
Отсюда
Здесь индекс «н» соответствует начальному сечению. Все
квадратуры выполняются до сечения, давление в котором равно р\ в частности,
это может быть и выходное сечение. Из второго и третьего уравнений
(1.101) имеем
: ■ rii RT р„
-h + Aq=-f= —-и-.
V2/»H F p
Подставив сюда последний сомножитель из (1.103) и преобразовав
левую часть, получим с точностью до малых второго порядка
/Т 7" h л .Г »
Для адиабатического течения выражение в квадратной скобке
обращается в единицу.
Полагая, что R зависит от Т, логарифмируя и дифференцируя левую
часть последнего соотношения, получим
ni TdR 1
T\ 1
/ dT[ 2R(ho-h) \ RdT
Поскольку при переходе от течения с теплообменом к
адиабатическому
/ад
ТО
I Л ^ II Л
1 + 5 —
mT L Щ> -h)
RT TdR ■
Л) RdT
Отсюда, если пренебречь малой величиной во второй квадратной
скобке, получим
л
т H(RT\TdR
RV w2 ) RdT

1.4. Течения с трением и подводом тепла 93
Для потока с постоянным составом dR/dT=0, h'=cp и из
формулы (1.104) следует
ДГ_(у-1)М2Г5_А||. (1Л05)
Т М2-1 Г н-2
Оценим величину, заключенную во второй круглой скобке:
W W
-1
4pu+
w2{y+l T y+l
где
I \ if 1 1
2[RT RT0
При X > 1 эта величина положительна. Следовательно, знак А Г
совпадает со знаком Ад, т. е. подвод тепла ведет к росту Т.
Найдем теперь относительное изменение давления Ар/р. Из
формулы (1.102) имеем
При адиабатическом течении
Вычтя из предпоследнего равенства последнее и проинтегрировав на
малом участке Ар -р -/?ад и АТ= Т- Гад, получим
Ар h'AT
р R Т
Анализ показывает, что для сверхзвукового потока знаки А#иА/?
совпадают.
Из первых двух уравнений (1.101) в фиксированном сопле
(m = const, F = const) следует
A^=AR ATAw
p R T w
где AR = R - R^ и Aw = w - и>ад.
Удельный импульс ракетного двигателя в пустоте
(1.107)

94 Глава 1. Одномерные течения
откуда его изменение, обусловленное теплообменом,
Д/ 2
Л/у,п_Л>уЛ RT^RT + R'T2 AT
w w V и>2 J w2 Г
w
Подставив сюда вместо Aw/w и AT/Tax выражения (1.104) и (1.106) и
выполнив элементарные преобразования и упрощения, получим
Используя (1.107), окончательно получим простую формулу для
определения изменения удельного импульса при R ф const:
/у>п \КТ ){ RT)
Для потоков с постоянным показателем адиабаты
«— —+—
2RT Т
Заменив 5 приближенным выражением 5«— —+— , получим
2R{T То)
RT 2RTT0
Поскольку То > Т, то знак Д# совпадает со знаком А7у п. Следовательно,
при подводе тепла по соплу удельный импульс возрастает, а при
отводе — уменьшается.
1.4.9. Расчет регенеративного эффекта увеличения
удельного импульса ЖРД
При охлаждении камер ЖРД компонентом топлива, поступающим
затем в камеру сгорания, отвод тепла уменьшает давление на огневой
стенке сопла и в целом несколько понижает удельный импульс. Однако
это понижение с избытком компенсируется повышением удельного
импульса из-за подвода в камеру сгорания тепла, отобранного от сопла,
что и определяет так называемый «регенеративный эффект». Однако в
конечном счете дополнительные потери из-за трения, возрастающие
в несколько раз из-за отвода тепла через стенки сопла, поглощают
сравнительно небольшой положительный регенеративный эффект.
Вопрос о величине регенеративного эффекта ЖРД рассматривался
и в ряде публикаций, начиная с 70-х гг. прошлого века [47, 51, 53, 56].
Отвод тепла от сопла представляет собой малую величину (А« 1%) от

1.4. Течения с трением и подводом тепла 95
энтальпии заторможенного потока. Поэтому анализ влияния Л на
удельный импульс может производиться упрощенно, в рамках
квазиодномерного течения в сопле. При этом поток можно считать равномерным
по всему поперечному сечению сопла либо (для уточненного анализа
потерь) можно рассматривать схему двухслойного течения с отводом
тепла от пристеночного одномерного кольцевого слоя. Отведенное
тепло затем равномерно подводится ко всему потоку в камере сгорания.
Использование двухслойной схемы несколько уточняет расчет, но
результаты заметно не меняет. Это уточнение ведет к небольшому
уменьшению регенеративного эффекта, так как при двухслойном течении с
отводом тепла от более холодного, чем ядро, слоя, с последующим
подводом этого же тепла к основному, более горячему ядру происходит
увеличение температурной неравномерности и связанных с этим потерь.
Отвод тепла от сверхзвуковой части сопла понижает энергетику
потока и, следовательно, уменьшает скорость истечения и пустотный
удельный импульс. Подобные результаты были получены и в |3], где
рассматривался спонтанный процесс кристаллизации в сверхзвуковом
сопле с подводом тепла к двухфазному потоку. Здесь отмечался рост
удельного импульса из-за теплоподвода при кристаллизации.
Регенерация тепла в ракетных соплах приводит к появлению
регенеративного эффекта повышения тяги и удельного импульса
вследствие того, что в сопле из-за отвода тепла падение удельного импульса
меньше, чем его повышение благодаря подводу этого же тепла к началу
камеры сгорания. Физически это можно объяснить следующим
образом. Если тепло Aq отбирается только от элемента газа, находящегося за
соплом, т. е. вне двигателя, и потом подводится к началу камеры
сгорания, то энтальпия торможения продуктов сгорания в начале камеры
сгорания повышается на Aq, и ее понижения в сопле нет. Если это же
тепло отводится в сопле, то от места отбора и до выходного сечения
сопла это «потерянное» соплом тепло не участвует в процессе создания
давления по данной части сопла, что и приводит к понижению
давления на стенке и к частичным потерям удельного импульса из-за отвода
тепла. Однако отобранное тепло в ЖРД обычно вновь поступает в
камеру и повторно создает работу, повышая давление на стенку сопла.
Это повышение превосходит потери из-за отвода тепла и определяет
регенеративный эффект. Если же тепло отводится от камеры сгорания
и потом подводится к ней же, то суммарный эффект — почти нулевой и
его можно не учитывать.
Энергетический баланс в камере можно изобразить следующим
графиком (рис. 1.36).

96
Глава 1. Одномерные течения
V V V
Рис. 1.36. Схема отвода-подвода тепла в камере
Подогретый в рубашках охлаждения камеры сгорания и сопла
охладитель поступает на вход в камеру сгорания с энтальпией
торможения Az, равной энтальпии топлива в баках И6 плюс все тепло подогрева в
камере A#z. В процессе движения продуктов сгорания на участке АВ из-
за охлаждения камеры сгорания часть энтальпии торможения теряется
и остается лишь Лб + Aqc. Таким образом, регенеративный эффект
суммарно определяется лишь подводом тепла, остающегося перед
начальным сечением сопла Aqc, ранее снятого с сужающейся и
расширяющейся частей сопла, и его отводом на всем протяжении сопла, а влияние
подогрева в камере сгорания, как уже отмечалось выше, учитывать не
следует.
При отводе тепла с дозвуковой части сопла вплоть до критического
сечения происходит падение температуры торможения потока То,
характеризующей его энергию. Отведенное от стенок тепло затем
поступает на вход в камеру сгорания и повышает в ней температуру и
энтальпию торможения. Согласно закону сохранения энергии такое
повышение теплосодержания (энтальпии) потока при стационарном течении
равно удельному теплу, отобранному от дозвуковой части сопла. В
конечном счете в рамках квазиодномерного подхода температура
торможения в критическом сечении сопла из-за отвода-подвода тепла в
сужающейся части сопла не изменится, а это означает, что она не зависит
от того, имеется ли отвод тепла от дозвуковой части сопла с его
подводом к камере сгорания, или нет.
Таким образом, теплоотвод с докритической части сопла в
регенеративно охлаждаемом ЖРД не меняет скорость и температуру в крити-

/. 4. Течения с трением и подводом тепла
97
ческом сечении сопла (как показывают расчеты, практически не меняет
и расход через сопло). При этом также не меняется и удельный импульс
ЖРД с сужающимся соплом. Поэтому весь регенеративный эффект
определяется сверхзвуковой частью сопла. Эти результаты получены и
прямыми расчетами [47].
Согласно (1.104), (1.106) и другим соотношениям п. 1.4.8,
вследствие теплообмена температура, давление и скорость реагирующего
потока отклоняются от своих адиабатических значений на малые
величины АГ, Ар и Aw, определяемые формулами
AT _ д-Aq/w2
Т "
RT\ TR'
w~ ) R
Ар h'AT
"1У"5'
-1
P
Aw _AR
w " R
AT
T
где штрих сверху означает дифференцирование по Г, 5= \dq/RT.
о
Подставив эти равенства в формулу п. 1.4.8 для отклонения удельного
импульса, получим
А/ ( Aqc АЯс ->- V -2 Ч"'
" / [ад Jj?rJ[ /?_у
Характерная зависимость Л(7) представлена на рис. 1.37.
(1.108)
1800 2300 2800 3300 3800 Т(К)
Рис. 1.37. Зависимость R(T) в сопле кислородно-керосинового ЖРД

98 Глава 1. Одномерные течения
Для потока с постоянным показателем адиабаты на участке ВС (все
сужающе-расширяющееся сопло) после замены в формуле (1.108)
интеграла его приближенным значением
dq_ ЦП
I RT*R'2{T0+T
и подстановки — = 1+-—М2 выражение для 5_ приобретает вид
у-12с,Г,
где Мн — число Маха перед соплом. Обычно полагается, что в
цилиндрической части камеры сгорания Ми = 0. Число Маха М соответствует
сечению, в котором завершается отвод тепла.
После приведения подобных членов формула для 5_ упрощается и
при Ма = М
5 =!М2-Мп .*&■. (1.109)
" 4 уМ^ + 1 срТ0
Подвод тепла к началу сопла для реагирующего потока дает прирост
относительного удельного импульса на величину [53]
где ji"1 =(у-1)/2Мд. Формулу для 5+ на базе элементарных
соображений можно записать в эквивалентном виде
Из (1.109) и (1.111) следует, что относительные потери удельного
импульса
5_ _yM2-Mf,
5+"2 уМ2+1 '
а относительный регенеративный эффект
L

1.4. Течения с трением и подводом тепла
99
При отсутствии отвода тепла от сопла (теплоизолированное сопло) М =
= Мн и 5_ = 5+ = А/рег = 0. Для полностью охлаждаемого сопла М = Mfl.
В этом случае при Mfl ->oo bjb+ = 1/2; (Л/рег//) 7 _+„ = 6+/2.
Выражение, стоящее в круглой скобке (1.112), при обычных
степенях расширения сопел близко к 0,5. Таким образом, примерно
половина тепла, отобранного от сопла, пропадает для тяги из-за понижения
давления на стенку при отводе тепла.
По приведенным выше формулам для кислородно-керосинового
топлива при среднем значении коэффициента соотношения компонентов
топлива (отношения расхода окислителя к расходу горючего) Кт = 2,6
приведены расчеты регенеративного эффекта для сопла с дозвуковой
частью. Для сравнения выполнены расчеты по термодинамическим
формулам и по упрощенным газодинамическим для определения 5_ и 5_/5+.
В табл. 1.2 и 1.3 представлены результаты расчетов для трех
условных вариантов охлаждения. Первый вариант — обычное полностью
охлаждаемое сопло. Второй — охлаждение только в расширяющейся
части, а третий — только в сужающейся части. При этом все энтальпии
топлива брались по параметрам в баках окислителя и горючего.
Таблица 1.2
Термодинамический расчет регенеративного эффекта в сопле со степенью
расширения 7 = 6,07 (топливо: кислород с керосином)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование
или
обозначение
Относительный
теплосъем
ъ_
к
5_
К
Охлаждение всего
сужающегося-
расширяющегося
сопла
0,09626
0,06429
0,00159
0,00269
0,59
0,0011
Охлаждение
только
расширяющейся
части сопла
0,06614
0,05103
0,00075
0,00185
0,41
0,0011
Охлаждение
только
сужающейся
части сопла
0,031175
0,013252
0,000836
0,000841
0,994
0

100
Глава 1. Одномерные течения
Таблица 1.3
Термодинамический расчет регенеративного эффекта в сопле со степенью
расширения 7 = 10,3 (топливо: кислород с керосином)
№
п/п
1
2
3
4
5
6
Наименование
или
обозначение
Относительный
теплосъем
(Яс/W
\rt
5_
К
ъ_
— = 8+-в_
Охлаждение всего
сужающегося-
расширяющегося
сопла
0,16567
0,09994
0,00234
0,00378 •
0,65
0,0015
Охлаждение
только
расширяющейся
части сопла
0,11691
0,08275
0,00124
0,00267
0,45
0,0015
Охлаждение
только
сужающейся
части сопла
0,04875
0,01720
0,0011
0,0011
1
0
Сравнение расчетов таких сопел позволяет проанализировать
влияние охлаждения отдельных частей сопел на регенеративный эффект.
Из рассмотрения табл. 1.2 и 1.3 следует, что потери 8_ из-за
охлаждения дозвуковой и сверхзвуковой частей сопел в сумме равны потерям
из-за охлаждения всего сопла, что подтверждает правильность
расчетов. Аналогично обстоит дело и со значениями S+. Наиболее
интересными являются значения регенеративного эффекта для
рассматриваемых вариантов: дозвуковая часть сопла из-за охлаждения не создает
регенеративного эффекта, а регенеративные эффекты всего сопла и его
расширяющейся части равны. Как отмечалось выше, в камере
сгорания, как и в дозвуковой части сопла, регенеративный эффект не
создается. Из табл. 1.2 и 1.3 также следует, что уровень регенеративного
эффекта весьма мал — для кислородно-керосинового топлива составляет
около 0,1-0,14%.
Сравнение результатов термодинамических расчетов и одномерных
расчетов по газодинамическим формулам свидетельствует об их расхо-

/. 4. Течения с трением и подводом тепла
101
ждении примерно на 15—20%, что вполне допустимо для столь малых
величин как 0,1—0,15%.
В табл. 1.4 представлены результаты расчетов регенеративного
эффекта сверхзвуковых частей сопел для различных топлив.
Таблица 1.4
Термодинамический расчет регенеративного эффекта для
различных топлив и сопел (сводная таблица)
№
и/и
1
2
3
4
5
6
7
8
Наименование
или обозначение
Относительный
тештосъем
(Яс/RaTa)
b-\dq
5_
К
8_
§+
А/рег „ -
—-— = о+ — о_
Y
м
1
г =6,07
(О2+РГ-1)
0,06614
0,05103
0,00075
0,00185
0,41
0,0011
1,166
4,05
2
F= 10,3
(О2+РГ-1)
0,1169
0,08275
0,00124
0,00267
0,46
0,0014
1,172
4,81
3
7 = 5,7
(О2 + СН4)
0,0666
0,0537
0,00072
0,00203
0,35
0,0013
1,145
3,86
4
г = 11,56
(О2+Н2)
0,2013
0,1267
0,00222
0,00450
0,49
0,0023
1,197
5,22
Как видно из строки № 6, максимальный регенеративный эффект
не превосходит 0,25 %.
Расчеты показывают, что отвод тепла по сверхзвуковой части сопла
приводит к потерям пустотного удельного импульса, составляющим
менее половины его прироста при подводе этого же тепла к началу
камеры сгорания: 5_/6*+ < 0,5.
Приведенный выше подход к определению регенеративного
эффекта соответствовал квазиодномерному приближению, при котором все
параметры в поперечных сечениях постоянны. В действительности же
отвод тепла по всей камере осуществляется в значительной степени от
пристеночного, более холодного, чем ядро, слоя. При движении газов

102 Глава L Одномерные течения
по камере происходит частичное перемешивание «пристенка» с
«ядром», которое при этом несколько охлаждается. В случае рассмотрения
течения двух невзаимодействующих струй с одинаковыми давлениями
в каждом сечении, т. е. расширяющихся независимо, регенеративный
эффект определяется формулой
у,п х у,п
где т — массовые доли, а индексы «пр» и «я» соответственно относятся
к параметрам в пристеночном слое и ядре. Оценки регенеративного
эффекта по представленной формуле для сопла сг= 6,07 приводят к
величине 5ДВСЛ = 0,00084.
Таким образом, для двухслойного потока регенеративный эффект —
чуть меньше одномерного -— 0,0008, вместо 0,0011, что физически
объяснимо: охлаждение сопла с отбором тепла от пристенка еще больше
увеличивает неравномерность «ядра» и «пристенка» и поэтому
несколько снижает регенеративный эффект. Этот же факт следует и из
анализа приводимых ниже уравнений.
При передаче тепла 5/znp от пристеночного слоя к ядру выполняются
следующие соотношения:
S/y,n = ™я5/у,п npy,n
Учитывая, что /у п =v/i£, где постоянный множитель
из полученных формул следует
5/
-—, атакже fi/y,
Поскольку при переходе от «пристенка» к ядру £ меняется весьма
слабо, a vA увеличивается существенно, то последняя скобка всегда
положительна. Поэтому отвод тепла от пристеночного слоя к ядру
< 0) ведет к падению удельного импульса: 5/у п < 0.

1.4. Течения с трением и подводом тепла 103
Естественно, что при однослойной модели течения этих потерь нет,
т. е. фактически двухслойность уменьшает регенеративный эффект.
Хорошо известно, что процессы трения и теплообмена тесно
связаны между собой и что расчет отвода тепла в соплах сопровождается
утолщением пограничного слоя, ростом 5*, 5** и в конечном счете
увеличением потерь из-за трения. Так, например, при увеличении
теплообмена в сопле со среднего по соплу параметра fw = 0,9 до Tw = 0,3 (Tw —
отношение температуры стенки со стороны газа Tw к температуре
торможения То на границе пограничного слоя) потери из-за трения
существенно увеличиваются. Однако анализ возникновения потерь
удельного импульса или тяги, происходящих из-за отвода тепла от газа в
сопле, показывает, что эти потери одним трением не ограничиваются.
Отвод тепла от газа, являясь по своим действиям
многофункциональным явлением, приводит, кроме существенного утолщения
пограничного слоя (и связанных с этим увеличением толщины вытеснения,
трения о стенку, и т. д.), еще и к уменьшению интеграла сил давления
на стенку, вследствие не зависящих от пограничного слоя снижения
на стенке температуры и давления, и понижению удельного
импульса и тяги.
Физический смысл этого снижения удельного импульса (тяги)
вполне понятен: давление прямым образом связано с температурой, и
если в некоторой части сопла происходит отвод тепла, то вне
зависимости от потерь из-за трения вследствие падения температуры там падает
давление и, следовательно, тяга. Без потерь тяги можно отобрать тепло,
как отмечалось выше, лишь за соплом.
Другими словами, при отводе тепла в охладитель с ростом
касательных напряжений на огневой поверхности стенки пограничный слой
утолщается и увеличиваются потери из-за трения. Независимо от этого,
отвод тепла приводит к уменьшению давления на стенку, тяги и
удельного импульса. Это почти вдвое уменьшает эффект от регенерации
тепла, поступающего в камеру сгорания вместе с охладителем.
Если охлаждение двигателя сделать на том же горючем, но
автономным, то регенеративный эффект пропадет, а потери из-за трения не
изменятся. С другой стороны, если мысленно уменьшить коэффициент
вязкости, то потери из-за трения уменьшатся, а регенеративный
эффект, вычисляемый по падению давления на стенке, не изменится.
Это свидетельствует о том, что потери из-за трения не имеют
отношения к регенеративному эффекту.

104 Глава 1. Одномерные течения
Отобранное от сверхзвуковой части сопла тепло вместе с
охладителем поступает в камеру сгорания и повышает энтальпию топлива, как
отмечалось выше, на величину, определяемую формулой (1.110), а
суммарный регенеративный эффект вычисляется по формулам (1.108) и
(1.110). При этом регенеративный эффект определяется балансом
тепла, т. е. по сути — законом сохранения энергии для тепла, уходящего и
приходящего в высокотемпературный поток газа, и никак не связан с
потерями из-за трения, которые в конечном счете вычисляются на базе
закона сохранения импульса для камеры и энергетического баланса
тепла в пограничном слое.
Таким образом, теплоотвод от сопла должен фигурировать в
расчетах дважды: один раз при использовании уравнения сохранения
импульса для определения потерь из-за вязкости, а второй — уравнения
баланса энергии всей камеры — для определения потерь из-за падения
давления на стенке сопла вследствие теплоотвода.

ГЛАВА 2
ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА
Остановимся на основных газодинамических устройствах (соплах и
диффузорах), работа которых может быть удовлетворительно описана
методами квазиодномерной газодинамики.
Особо следует отметить, что некоторые задачи, например расчеты
профилирования сопел и др., невозможно выполнить без привлечения
двумерных теорий. Эти вопросы будут рассмотрены в последующих
главах, однако многие важные для приложений характеристики сопел
и диффузоров могут успешно моделироваться квазиодномерными
расчетами.
2.1. Сопла
Как отмечалось в п. 1.2.2, сопло представляет собой сужающийся,
расширяющийся или сужающе-расширяющийся канал и
предназначается для увеличения скорости движущегося газа. В соответствии с
уравнением сохранения расхода (1.34), чтобы увеличить дозвуковую
скорость до значения, меньшего или равного скорости звука, требуется
сужающееся сопло; до значения же, большего скорости звука,
необходимо сужающе-расширяющееся (сопло Л аваля). Для ускорения
сверхзвукового потока сопло должно быть расширяющимся.
Естественно, что сказанное не распространяется на случаи, когда
вдоль по потоку имеется подвод или отвод массы (расхода) газа,
например, из-за испарения или конденсации. В этом случае ускорение потока
можно осуществить, вообще говоря, в канале любой формы, в том
числе достичь сверхзвуковой скорости, например, в сужающемся сопле.
Из предыдущей главы известно, что при специально
организованном теплообмене, т. е. заданной зависимости TQ(F), форма сопла,
обеспечивающего ускорение потока, может существенно измениться.
Другими словами, неадиабатичность течения в канале хотя и слабее,
чем подвод или отвод массы, но все же заметно влияет на ускорение
потока в сопле.
Наибольшее распространение в технических приложениях нашли
сопла Лаваля. Одно из первых их применений — использование в на-

106 Глава 2. Газодинамические устройства
правляющих аппаратах паровых турбин. И сейчас подвод
сверхзвукового потока газа к рабочим лопаткам газовых и паровых турбин
осуществляется через сверхзвуковые сопла. Для создания дополнительной
реактивной тяги они применяются на жидкостных, твердотопливных
ракетных и всевозможных самолетных двигателях и ускорителях. Сопло
является составной частью турбореактивных, прямоточных и других
типов реактивных двигателей; используются сопла и в
аэродинамических сверхзвуковых трубах для создания равномерного потока,
обтекающего испытываемую модель. Сопло Лаваля является также одной из
основных частей газодинамического или химического лазера. В сопле
газодинамического лазера образуется инверсная заселенность молекул,
т. к. оно является уникальнейшим и, пожалуй, единственным
устройством, в котором охлаждение газа происходит с колоссальной скоростью
(порядка миллиона градусов в секунду). В сопле химического лазера
происходит процесс подготовки атомарного окислительного газа,
вступающего за соплом в химическую реакцию с восстановительным газом
(например, водородом), с созданием инверсно заселенных молекул,
обеспечивающих излучение лазера.
С помощью сопел Лаваля осуществляется работа эжекторов и
диффузоров (см. пп. 2.2 и 2.3), применяемых во многих отраслях
промышленности. Используются сопла и во многих других устройствах и
машинах разнопланового назначения.
При выполнении соплом различных функций практически во всех
случаях (при прочих равных условиях) лучшие характеристики
достигаются при наиболее равномерном распределении скоростей в
выходном сечении сопла. Особо важное значение это имеет для сопел
аэродинамических труб. Здесь контур сопла строится специально таким
образом, чтобы в выходном сечении, исключая пограничный слой,
скорости в любой точке были бы одинаковыми и по величине, и по
направлению. В соплах реактивных двигателей неравномерность и
непараллельность скоростей в выходном сечении приводит к потери части
реактивной силы. Эти потери называются потерями из-за рассеяния.
Обычно они равны 0,5—1,5% и увеличиваются с укорочением сопла.
При проектных работах над соплами летательных аппаратов (ЛА)
ищется компромисс между потерями из-за трения, рассеяния и массой
(длиной) сопла.
Однако даже при фиксированных длине и степени расширения
сопла форма его контура играет важную роль. Первые работы в нашей
стране на эту тему проводились В. П. Глушко в Ленинградской
газодинамической лаборатории в 1930—1931гг. на заре создания ракетной

2.1. Сопла
107
техники. Для отыскания наивыгоднейшей формы сопла была
отработана дифференциальная установка маятникового типа — прототип
современных установок, используемых для тонких анализов работы
реактивных сопел.
В сохранившемся отчете 1930 г. и статьях В. П. Глушко,
напечатанных по результатам этого и следующего за ним этапа работ,
представлены данные исследований влияния давления в камере сгорания и
геометрической степени расширения сопел на тягу при работе на порохах с
непосредственным измерением тяги с помощью «пружинных
регистраторов» и на дифференциальной установке. Продемонстрировано
преимущество профилированных сопел и поставлена задача о нахождении
наилучших форм таких сопел. Оптимально спрофилированные сопла ЖРД
были созданы лишь в конце 1950-х гг. и впервые внедрены на ракетных
двигателях в 1958-1960 гг. в НПО Энергомаш им. академика В. П.
Глушко. Решение задач по профилированию сопел, являющихся
двумерными, выходит за рамки настоящей главы и будет рассмотрено ниже.
2.1.1. Вход скачка в сопло
При запуске, останове двигателя или при ином изменении давления
торможения в сопле безразмерная картина истечения меняется
подобно тому, как если бы давление торможения перед соплом было
постоянным, а давление окружающей среды (противодавление) изменялось.
Поэтому при анализе запуска сопла, обычно осуществляемого
увеличением давления торможения на входе
в него, можно рассматривать,
наоборот, в качестве аргумента
противодавление, а не давление торможения
перед соплом.
При истечении в вакуум за
соплом происходит дорасширение
потока, сопровождающееся его
поворотом на угол ЛОВ (рис. 2.1), причем
Рис. 2.1. Истечение в вакуум
этот угол при малой степени расширения сопла может быть больше 90°.
С увеличением противодавления рн угол ЛОВ уменьшается, и на
расчетном режиме работы сопла, т. е. при/?а =рн угол ЛОВ равен нулю.
Дальнейшее повышение противодавления приводит к сжатию
истекающей из сопла струи в ее начальной части и, следовательно, к
возникновению у среза сопла сначала косого скачка, отражающегося у
оси, а при большем противодавлении — У-образной системы скачков
(рис. 2.2), состоящей из двух косых и «диска Маха», близкого к прямо-

108
Глава 2. Газодинамические устройства
Скачки уплотнения
Граница струи
Рис. 2.2. Истечение в среду
из перерасширенного
сопла
му скачку. С ростом рн размер диска Маха
увеличивается, и при некотором
критическом значении/?нкр Г-образная система
входит внутрь сопла. Момент входа скачка в
сопло определяется отношением давлений
перед и за соплом, числом Маха на стенке у
его среза и рядом других факторов.
Сначала рассмотрим простейшую
модель: вход прямого скачка в сопло. Хотя эта
модель далека от действительности, однако
она соответствует квазиодномерному
подходу, уравнениям сохранения и позволяет аналитически просто решить
задачу до конца. Определим положение прямого скачка в сопле при
различных значениях рн. Пусть течение в сопле всюду изоэнтропиче-
ское и лишь при переходе через
фронт прямого скачка р0 падает в со-
ответствии с уравнением (1.60). За
скачком при изоэнтропическом
течении давление плавно повышается
вследствие расширения дозвукового
потока лора =рн. Во всем потоке
температура торможения не меняется,
поэтому из уравнения постоянства
расхода (рис. 2.3) получим
= FaPoi4(K) (2.1)
где индексы «1» и «2» придаются параметрам до и после скачка
соответственно.
Условие равенства давлений рп ирн имеет вид
Ро2Р(К)=Рн (2-2)
В (2.1) и (2.2) входят две неизвестные величины — р02 и Ха.
Исключив р02 и разрешив полученное уравнение относительно Ха,
окончательно найдем
Ра=Рн
Рис. 2.3. Сопло с прямым
скачком
к-
у-1
(2.3)
где

2.1. Сопла 109
После вычисления Ха величины /?02 или v=—— легко определяются
Ал
из условия (2.2).
Таким образом, при заданных расходе и противодавлении можно
вычислить потери в сопле, даже не зная положения скачка уплотнения.
Оно определяется однозначно по найденному значению v путем
отыскания А,, > 1 по формуле (1.60):
а затем нахождением F} из уравнения расхода
%(*,) = А.
Отсюда видно, что условие v= 1 может выполняться лишь в двух
случаях: когда Т7, = F+ и А,, = 1 либо когда F] = Fa и Х] = Ха, т. е. условно
прямой скачок сидит на срезе сопла или за ним.
Реактивная тяга при противодавлении ри ЖРД с соплом, в котором
находится прямой скачок, равна (здесь и ниже не учитывается
изменение показателя адиабаты вдоль сопла)
^ск =mwa=mkaam, (Xa<\).
На режиме, когда скачок находится вне сопла,
P = mwa + Fa(pa-pu), (Xa>\).
Удельный импульс при противодавлении ри и при наличии прямого
скачка уплотнения в сопле
/y,CK=U5 (*„<!), (2-4)
а на режимах, соответствующих отсутствию скачка в сопле,
п 2у
(^>1). (2.5)
Результаты расчетов зависимости удельного импульса от рО]/ри по
формулам (2.3)—(2.5) представлены на рис. 2.4 (кривая 1). Расчеты
выполнены для Fa =50, у = 1,2, яг,= 1300 м/с. Момент входа прямого
скачка в сопло соответствует излому характеристики /у н (рО\/ри).
Однако, как следует из анализа многочисленных
экспериментальных данных, кривая 1 резко расходится с экспериментами из-за входа
скачка в сопло при существенно большем значении рО]/ри, чем
соответствующее точке А. При этом квазиодномерное течение с прямым
скачком не реализуется. Причина расхождения квазиодномерного расчета

по
Глава 2. Газодинамические устройства
с экспериментом кроется в принципиально неодномерной структуре
потока и в отрыве пограничного слоя при существенно более низком
критическом отношении ~Рщ> = Ръ/Ръ чем на прямом скачке уплотнения.
Как будет показано,
пограничный слой (и ламинарный, и
турбулентный) может противостоять
лишь определенной величине
повышения давления. При его
превышении происходит отрыв
пограничного слоя. Впервые
взаимодействие пограничного слоя с
возникающим из-за его отрыва косым
скачком уплотнения было
экспериментально изучено Г. И.
Петровым и др. (1952)1. К настоящему
времени получено значительное
400
300
200
100
0
/
г
s
-у
1
i
*■—
-3
у
А
т-^
/
BBS
^*
as
В
—
—■
о
100
200 pJpH
Рис. 2.4. Дроссельные характеристики
ЖРД: 1 — внутри сопла прямой скачок
уплотнения; 2 — внутри сопла К-об-
разный скачок уплотнения; 3 —
истечение в пустоту; А, В — моменты входа
скачка в сопло
количество опытных данных по
влиянию числа Маха перед
отрывом, числа Рейнольдса, показателя
адиабаты и температурного
фактора TW=TW/TO (Tw— температура стенки; То — температура торможения
вне пограничного слоя) как для ламинарного, так и для турбулентного
течений. Для ламинарного пограничного слоя имеются и достаточно
хорошие теоретические методы определения ркр.
В работе Р. К.Тагирова |60| собраны многие экспериментальные
данные по критическому перепаду давлений при различных числах
Маха, Рейнольдса, показателях адиабаты и температурного фактора. В
частности, при сверхзвуковом потоке и ламинарном пограничном слое
критический перепад давлений может быть определен по формуле [60]
0,93уМ2
^кр.лам
= 1+-
(2.6)
На рис. 2.5 по данным работы [60] представлены графические
зависимости критического перепада давления от чисел Маха для
турбулентного пограничного слоя при различных числах Рейнольдса. Сплошные
линии соответствуют у = 1,4 и 7^=1. Штриховой линией показана за-
1 См. также сб. «Газовая динамика», т. 1. М.: Физматиздат, 2000 (2-е изд.,
испр. — 2005).

2.1. Сопла
111
висимость для Re = 107, у = 1,4,
Tw =0,3. При переходе с у =1,4 к
у= 1,2 критический перепад
давления в диапазоне чисел Маха 3—6
увеличивается по данным [60] на
6-8%.
Таким образом, для
определения критического перепада для
сопла ЖРД с турбулентным
пограничным слоем в первом
приближении можно воспользоваться
зависимостями, представленными на
рис. 2.5 с их корректировкой по
Сравнение этой зависимости с
соотношением на прямом скачке
Рис. 2.5. Зависимость критического
перепада давлений отМ,: 1 -
отношение давлений на прямом скачке при
У = 1,4; 2 — система скачков при Tw =
= 1, У= 1,4; 3 — система скачков при
Tw = 0,3 , у = 1,4; 4 — система скачков
при 7^ = 0,3,у=1,2
(см. рис. 2.5) i^ = -?I-M?-^ сви-
р{ у + 1 у + 1
детельствует о том, что при переходе
через прямой скачок при М > 1,1
перепад давления всегда
значительно больше критического, т. е. при
прямом скачке уплотнения
равновесие на пограничном турбулентном
слое с прямым скачком
невозможно. Следовательно, в сопло может
входить лишь описанная выше
система У-образного скачка, у которой
контакт с пограничным слоем
осуществляется через косой скачок;
перепад давления в нем значительно
меньше, чем в прямом скачке.
Это и объясняет несоответствие
расчетных данных по удельному
импульсу (рис. 2.4, кривая 1)
опытным данным. На рис. 2.6 представ-
2 3
Рис. 2.6. Истечение с отрывом
пограничного слоя: 1 — начало зоны
сжатия; 2 — начало зоны отрыва;
3 — начало зоны с постоянным или
слабо восстанавливающимся
давлением (зона рециркуляции)
лена картина течения в сопле при наличии в нем У-образного скачка.
Вверх по течению от сечения 1 поток невозмущен и течение такое же,

112 Глава 2. Газодинамические устройства
как при истечении в вакуум. Сечение 2 характеризует начало зоны
отрыва. По данным холодных испытаний, длина участка 1—2 составляет
примерно три толщины пограничного слоя. На участке 1—2 происходит
основной рост давления. Сечение 3 характеризует границу
изобарического течения или течения со слабым ростом в концевой части сопла.
Длины участков 1—2 и 2—3 примерно одинаковы. За сечением 3
обычно — слабый рост давления до выходного сечения.
Для получения зависимости удельного импульса от рО\/рн,
отвечающей реальной картине входа У-образного скачка в сопло,
воспользуемся рис. 2.5 для критического перепада давления, вызывающего
отрыв турбулентного пограничного слоя, и не будем учитывать
протяженность зоны 1-3. За сечением 3, если скачок находится достаточно
далеко от среза сопла, хотя и происходит некоторое повышение
давления (от р2 до рн), однако в первом приближении его можно не
учитывать. Положив давление за скачком постоянным и равным внешнему
давлению при расчете тяговых характеристик, можно часть сопла,
находящуюся ниже по потоку от У-образного скачка (точнее — от
сечения 1) не учитывать, т. к. давление внутри и снаружи сопла совпадают.
Вычисленная таким образом зависимость /у н (Ро\/Рн) Дана на
рис. 2.4 (кривая 2). Излом тяговой характеристики, соответствующий
моменту входа У-образного скачка уплотнения в сопло, начинается в
точке В при значительно больших значениях Pq{/ph, чем для прямого
скачка. Кроме того, тяга на режимах наличия в сопле У-образного
скачка (кривая 2) значительно выше тяги для рассчитанного ранее
варианта со входом в сопло прямого скачка (кривая 1).
Наличие внутри сопла прямого или У-образного скачка,
вызванного перерасширением, приводит к росту статического давления за
скачком и, следовательно, к увеличению воздействия газа на стенку,
т. е. к повышению тяги. Естественно, что часть сопла, находящаяся
ниже по потоку от сечения, в котором давление равно наружному,
создает отрицательную тягу. Вход скачка в сопло уменьшает эту
отрицательную добавку, что и приводит к росту тяги.
Следует отметить, что в отличие от вышерассмотренных скачки,
вызванные уступами или изломами на контуре, хотя и приводят к росту
давления за ними, положительного вклада в тягу не создают, т. к. при
фиксированной степени расширения сопла любое сжатие потока из-за
уступов или изломов сопровождается последующим расширением
потока; при этом суммарный эффект изменения тяги оказывается
отрицательным.

2.1. Сопла 113
Определение тяговых характеристик с использованием
зависимостей для критического перепада давления типа рис. 2.5 и условия
постоянства давления за скачком (рис. 2.4, кривая 2) также сопряжено с
некоторыми погрешностями. Как уже отмечалось, вместо ступенчатого
изменения давления в месте расположения скачка происходит
непрерывное повышение давления от точки 1 (рис. 2.6) до точки 3. Иногда
при расчете тяги в этой зоне зависимость давления от осевой
координаты полагают линейной; это позволяет уменьшить погрешность.
При достаточном удалении скачков от среза внутрь сопла за ними
вдоль сопла наблюдается некоторое повышение давления от р2 до /?н,
что изменяет тягу двигателя (см. рис. 2.6) по сравнению со случаем
Р2=РН- Кроме того, непосредственно перед косым скачком на стенке
сопла несколько повышается статическое давление, что связано с
передачей давления через дозвуковую часть пограничного слоя вверх по потоку.
Тяга при этом увеличивается. Экспериментальные исследования этого
явления проведены в 1970-1971 гг. А.И.Тимошиным, A.M. Дубин-
ским, Г. 3. Никулиным и др. Получены рекомендации для учета этой
поправки и установлено, что с падением температурного фактора Tw
поправка существенно уменьшается, а с ростом нерасчетности pjpa —
увеличивается.
Зависимость тяговой характеристики сопла от отношения давлений
Ро\/Рн становится более ясной при анализе потерь из-за нерасчетности
истечения. Известно, что сопло со степенью расширения F,
соответствующей давлению на срезерг=рн, является наилучшим, еслирн не
меняется по траектории полета. Однако в большинстве случаев рн
изменяется от атмосферного давления до рн = 0, поэтому и недорасширенное
(Ра >Рн)> и перерасширенное (ра <рн) сопла имеют потери по сравнению
с идеально регулируемым соплом, у которого на всех высотах/>а =рн.
На рис. 2.7 представлена зависимость коэффициента потерь из-за
нерасчетности Ц>н(Ро\/рн), где срн = /у/7у>ид, /у — удельный импульс
двигателя с нерегулируемым соплом при некотором значениирО\/рн', /уид —
удельный импульс двигателя с идеально-регулируемым (т. е. с
различной степенью расширения при разных pOi/pH) соплом. Точка В
соответствует входу в сопло У-образного скачка. При расчетах принято: у = 1,2,
а.= 1300 м/с, J=50, Re=107, Tw = 0,3.
Одной из важнейших проблем при работе сопла со скачками внутри
него является возникновение боковых сил из-за несимметричности
отрыва пограничного слоя. Боковые нагрузки на сопло при входе
скачков наблюдались на маршевых американских двигателях ракет «Атлас»,

114
Глава 2. Газодинамические устройства
«Титан III», двигателе J-2 и др. Эти нагрузки нестационарны по
величине и направлению, т. е. они могут изменяться при постоянных
условиях в камере сгорания, и в атмосфере и носят случайный характер,
иногда они приводят к самовозбуждающимся колебаниям всей
конструкции. Основным определяющим фактором для возникновения
боковых нагрузок является разность давлений снаружи и изнутри сопла и
площадь зоны с несимметричным отрывом.
Фн
1,0
>
ра<рн\ 1
~7
Т_
у
1
А
^*
——
——.
I
0,95
0 9
' 0 500 1000 1500 2000 рО1/рн
Рис. 2.7. Зависимость нерасчетности истечения от рО1/рн
Как показали результаты экспериментальных исследований [77],
максимальные боковые нагрузки наблюдаются при давлениях в камере
сгорания, на 10—20% меньших величин, соответствующих отрыву
потока в сопле, т. к. при этом скачки и зоны отрыва располагаются вблизи
среза внутри сопла на наибольшей площади. Наличие больших
градиентов параметров в сопле и большие углы конусности приводят к
уменьшению и стабилизации боковых сил. Динамические же эффекты
значительно усиливают боковые нагрузки. Увеличение диаметра
критического сечения и степени расширения сопла также повышает
боковые нагрузки.
2.1.2. Кольцевые сопла (сопла с центральным телом)
Двигатели первых ступеней ракет работают в широком диапазоне
давлений окружающей среды — от одной атмосферы при старте ракеты
и практически до нулевого внешнего давления в момент выключения
двигателя, причем значительная часть траектории полета проходит в
зоне сильно разреженного воздуха. Для такого двигателя наилучшим
было бы сопло с идеально регулируемой степенью расширения при ус-

2.1. Сопла 1 15
ловии, что давление в выходном сечении в любой точке траектории
равно давлению окружающей среды. Тяга ракетного двигателя с таким
идеально регулируемым соплом, работающим все время на расчетных
режимах при различных давлениях окружающей среды, определяется
формулой
Р = таХ (2.7)
где та+ — постоянная величина, а X растет с падением давления
окружающей среды ри в соответствии с равенством
Ро
где, как и ранее, р0 —- давление торможения в сопле (давление в камере
сгорания ракетного двигателя). Естественно, что при ри -> О,Х -> ^max, a
геометрическая степень расширения сопла F->oo (т.е. расчетное
сопло) становится бесконечно большим.
Создание идеально регулируемого от земных до пустотных условий
сопла со степенью расширения, подстраиваемой под давление
окружающей среды, — весьма сложная задача. Можно лишь представить
себе сопло с непрерывно выдвигаемым — по мере подъема ракеты —
насадком и с постоянно изменяющейся формой контура. Нет смысла
комментировать сложность данной конструкции, не говоря даже о ее
массе, размерах и возможностях охлаждения. Однако значительные
потери тяги (см. рис. 2.7), связанные с нерасчетностью работы сопла
как на режимах недорасширения (ра>ри), так и особенно на режимах
перерасширения (ра<ри), когда часть сопла — от сечения, где ра =/?„, и
до выходного сечения — создает отрицательную тягу, стимулируют
поиск способов хотя бы частичного возврата потерь тяги из-за нерасчет-
ности. Одним из путей создания саморегулируемых сопел является
применение кольцевых сопел.
Согласно терминологическому ГОСТу на ЖРД [11] кольцевым
соплом называется осесимметричное сопло, в котором часть или все
нормальные оси симметрии сечения потока продуктов сгорания
представляют собой кольца (рис. 2.8). Часто кольцевые сопла называют соплами
с центральным телом.
Ниже будут приведены некоторые результаты расчетно-конст-
рукторских и экспериментальных работ, выполненных Б. И. Каторги-
ным, У. Г. Пирумовым, Л. Е. Стерниным и др. в 1961 — 1964 гг.

116
Глава 2. Газодинамические устройства
Рис. 2.8. Различные схемы кольцевых сопел
На рис. 2.8 представлены в систематизированной форме различные
виды кольцевых сопел в сравнении с обычным соплом Лаваля. Все эти
сопла имеют одинаковые степени расширения по площади Fa и,
следовательно, пустотные тяги и удельные импульсы. Снизу от сопла
Лаваля изображена эволюция образования штыревого сопла, т. е.
кольцевого сопла, у контура расширяющейся части которого почти или
полностью отсутствует внешняя образующая. Слева от сопла
Лаваля изображена эволюция образования тарельчатого сопла —
кольцевого сопла, у контура расширяющейся части которого почти или
полностью отсутствует внутренняя образующая. В конце 50-х гг. на эти
сопла обратил внимание американский газодинамик Рао, назвал их
«E-D-Nozzles» (Expansion-Deflection), значительно переоценив их
возможности [43].
Третье в верхнем ряду и первое в нижнем — «чисто» кольцевые
сопла; для таких сопел длины внутренней и внешней образующих
совпадают и примерно вдвое меньше длины сопла Лаваля. Длины штыревого
сопла (крайнее справа в нижнем ряду) и тарельчатого (крайнее слева в
верхнем ряду) составляют примерно 3/4 от длины сопла Лаваля. Штыри
этих сопел можно значительно укоротить без больших потерь удельного
импульса.
Профилирование кольцевых сопел, как и сопел Лаваля,
базируется на методах расчета двумерных течений газа, а точнее — на теории
характеристик (линий Маха), которая будет изложена в
последующих главах.
При построении любого типа сопла стремятся к получению
наибольшего удельного импульса и в первую очередь — пустотного. Как

2.1. Сопла
117
видно из рис. 2.8, «чисто» кольцевое сопло в меридиональном сечении
представляет собой два вдвое уменьшенных сопла Л аваля.
С точки зрения газодинамики в таком сопле, как и в обычном,
течение идентично: газ ограничен со всех сторон, кроме выходного
сечения, стенками, а внешняя среда оказывает влияние на поток в сопле
только через выходное сечение. Поэтому на нерасчетных режимах и в
пустоте тяговые характеристики этих обоих типов сопел также
идентичны. Основным же недостатком кольцевого сопла является то, что
его критическая область представляет собой кольцевую щель с
периметром, равным примерно nDa, где Da — диаметр выходного сечения
сопла Лаваля. Охладить эту околокритическую область из-за ее
большой боковой поверхности существенно сложнее, чем небольшую
околокритическую область сопла Лаваля. Преимуществом же такого
кольцевого сопла перед соплом Лаваля является то, что его длина примерно
вдвое меньше длины обычного сопла. Однако вряд ли это окупает
усложнение конструкции по сравнению с обычным соплом и усложнение
системы охлаждения.
Теперь остановимся на штыревых соплах со звуковым потоком,
наклоненным к оси симметрии. Периметр щели критической области
здесь наибольший из всех типов кольцевых сопел и равен примерно
2nDa, т. к. критическое сечение находится на периферии. Охлаждение
поэтому обеспечивается со значительными трудностями, да и то лишь
для двигателей больших тяг.
Рис. 2.9. Картина течения газа в штыревом сопле:
а — на расчетном режиме; б — у земли; в — в пустоте

118 Глава 2. Газодинамические устройства
Основным преимуществом штыревых сопел является их
способность подстраиваться под любой режим. На рис. 2.9 показано
поведение сверхзвуковых струй, истекающих из штыревого сопла на
различных режимах истечения. (На рис. 2.9, 2.11, 2.13 и т. д. линии малых
возмущений (характеристики) условно изображены прямыми линиями.)
На расчетном режиме ра-рн границы струи параллельны оси
симметрии. На режиме недорасширения рн <ра происходит расширение струи.
Далее возможно ее перерасширение, а затем — сжатие с образованием
бочкообразных структур, как это имеет место в обычных недорасщи-
ренных соплах. На режиме перерасширения (рн>ра) под действием
внешнего давления струя прижимается к штырю, и площадь ее
поперечного сечения уменьшается.
Прямой контакт расширяющейся на штыревом сопле струи с
атмосферой не позволяет ей сильно перерасшириться. Таким образом,
полезной особенностью работы штыревого сопла на режимах
перерасширения по сравнению с соплом Лаваля является существенное снижение
потерь из-за перерасширения потока. Этот эффект объясняется двумя
причинами: во-первых, концевая часть штыря полностью «открыта»
внешней атмосфере и перерасширение на ней минимально, во-вторых,
если перерасширение и возникает, то лишь на небольшой площади,
т. к. концевая часть штыря находится у оси.
Расположение околокритической области в тарельчатом сопле —
наиболее близкое к оси изо всех типов кольцевых сопел (см. рис. 2.8), и
ее охлаждение выполнить хотя и сложнее, чем в сопле Лаваля, но
значительно проще, чем в других типах кольцевых сопел.
Работа тарельчатого сопла на режимах перерасширения при
проникновении внешнего давления внутрь сопла несколько напоминает
работу штыревого сопла, причем роль штыря играет внутренняя
поверхность внешней образующей тарельчатого сопла, к которой на
режимах перерасширения прижимается поток. Однако эффективность
саморегулирования тарельчатого сопла все же невелика из-за
недостаточного проникновения внешнего давления внутрь тарельчатого сопла.
На рис. 2.10 представлены результаты продувок моделей штыревых
сопел на холодном воздухе при различных степенях укорочения штыря:
£ = Уид» где /ад — теоретическая (полная) длина штыря; / —
укороченная длина штыря (данные А. А. Сергиенко, В. П. Грязнова, Г. 3.
Никулина и др.). _
Согласно рис. 2.10 штыревые сопла, укороченные до /, = 0,4-0,6
при ра/рн = 0,2, из 12%, которые теряются на нерасчетность в сопле
Лаваля, возвращают примерно 9%, что весьма существенно. Однако уко-

2.1. Сопла
119
Фн
1,0
0,9
/
/.=0,4
/
/
/
/
/
/
/,=0,6
/
z
4 сопло Лаваля
О Я
' 0 0,5 1,0 Ра/рн
Рис. 2.10. Зависимость коэффициента потерь из-за нерасчетности штыревого
сопла с двумя угловыми точками
Рис. 2.11. Схема штыревого
сопла с одной угловой точкой А
Рис. 2.12. Схема штыревого сопла
с предварительным разгоном
Рис. 2.13. Схема штыревого сопла с двумя угловыми точками

120
Глава 2. Газодинамические устройства
роченные сопла имеют также потери и в пустотном удельном
импульсе—в зависимости от укорочения штыря — в пределах 1—2%.
На рис. 2.11—2.13 представлены возможные расчетно-конструктив-
ные схемы штыревых сопел с одной и двумя угловыми точками. Как
уже отмечалось, расчеты контуров этих сопел выполняются методом
характеристик (с использованием течения Прандтля —Майера),
описание которого будет приведено в третьей главе.
Следует отметить, что для наиболее эффективной работы
штыревого сопла с одной угловой точкой (см. рис. 2.11) без предварительного
расширения сверхзвукового потока тяга докритической части камеры
может быть отрицательной при увеличенной положительной осевой
силе, действующей на штырь. В то же время обычное сопло Лаваля
воспринимает лишь 20—30% тяги. Такая конструкция штыревого сопла
является очень напряженной, а ее масса — достаточно большой.
Аналогичная ситуация возникает и для тарельчатых сопел.
Фн
0,9
0,8
0,7
1
1/
\IIV
и
и
щ
1
•
/
*»—
~ —
— -
-2
-3
^4
-5
——■
——
0 0,5 Ра/Рн
Рис. 2.14. Зависимость коэффициента потерь из-за нерасчетности фн
тарельчатого сопла с одной и двумя угловыми точками: 1 — сопло Fx = 0,1 с одной
угловой точкой; 2 — сопло Fx = 0,16 с двумя угловыми точками; 3 — сопло Fx = 0,25
с одной угловой точкой; 4 — сопло FT = 0,25 с двумя угловыми точками;
5 — сопло Лаваля

2.1. Сопла
121
На рис. 2.14 представлены экспериментальные результаты,
полученные А. А. Сергиенко, В. П. Грязновым, Г.З.Никулиным и др., по
работе тарельчатых сопел на режимах перерасширения с различными
значениями Fx — отношения
площади тарели к площади
выходного сечения сопла (продувки на
воздухе). Для сравнения
приведена характеристика сопла Лаваля
с той же геометрической
степенью расширения,
соответствующей М = 3,7.
Как следует из рис. 2.14,
эффект от применения тарельчатых
сопел на нерасчетных
режимах перерасширения
существенно меньше, чем от штыревых, но
все же может достигать
нескольких процентов. Различные рас-
четно-конструктивные схемы
тарельчатых сопел представлены на
рис. 2.15-2.18.
Рис. 2.15. Схема тарельчатого сопла
с одной угловой точкой
Рис. 2.16. Схема тарельчатого сопла с предварительным разгоном
Как показали результаты многочисленных многопараметрических
расчетов тарельчатых сопел, тарельчатые сопла, имеющие с соплами
Лаваля одинаковую степень расширения и потери из-за рассеяния,

122
Глава 2. Газодинамические устройства
выигрывают по длине. При одинаковых длине и степени расширения у
тарельчатых сопел меньше потери из-за рассеяния, чем у сопла Лаваля,
и это позволяет надеяться на возможность их использования в тех
случаях, когда длина является строго лимитированной величиной.
Рис. 2.17. Схема тарельчатого сопла с двумя угловыми точками
и перпендикулярной к оси сопла поверхностью критического сечения
Рис. 2.18. Схема тарельчатого сопла с двумя угловыми точками
и параллельной к оси сопла поверхностью критического сечения
2.2. Диффузоры
Диффузор — газодинамическое устройство, в котором вследствие
понижения скорости потока происходит увеличение статического
давления. При проектировании диффузоров стремятся получить
наименьшие потери полного давления, являющиеся их основной
характеристикой.

2.2. Диффузоры
123
В инженерной практике обычно не учитывается возможный
теплообмен диффузора с окружающей его средой; при этом энергия потока
проходящего через диффузор, не изменяется, а происходит
преобразование лишь динамического напора в статическое давление,
сопровождающееся потерями полного давления, которые с улучшением качества
диффузора уменьшаются.
Диффузоры используются в двигателях ЛА, в аэродинамических
трубах, газовых турбинах, эжекторах, гидро- и газодинамических
трактах и т. д. По характеру натекающего потока диффузоры разделяются на
дозвуковые и сверхзвуковые. Ниже будут изложены самые начальные
сведения о диффузорах. Для более подробного изучения этих устройств
необходимо ознакомиться со специальной литературой.
2.2.1. Дозвуковые диффузоры
Движущийся в расширяющемся
диффузоре дозвуковой поток замедляется, а его
статическое давление возрастает. Наличие
положительного градиента давления вдоль
дозвукового диффузора создает
благоприятные условия для отрыва потока от стенки,
т. к. вследствие вязкости на стенке скорость
равна нулю и благодаря положительному
градиенту давления у стенки может начаться
движение газа — от более высокого
давления, к низкому, т. е. в направлении, противоположном основному
потоку. Таким образом, около стенки образуется вихрь, отрывающий
поток от стенки. Основным фактором, влияющим на отрыв, является угол
наклона стенки к оси диффузора ос/2 (рис. 2.19), хотя форма его
контура, турбулентность перед
диффузором и ряд других факторов также
влияют на отрыв потока.
На рис. 2.20, заимствованном из
справочника И. Е. Идельчика [13],
представлены области отрывного и
безотрывного течения в диффузоре.
Как видно, при отсутствии входного
участка (/ = 0) создаются более
благоприятные условия работы
диффузора и область безотрывных течений
расширяется. Из данного рисунка
Рис. 2.19. Дозвуковой
диффузор
,град
26
22
18
14
10
6
2
\
\
ss
1
>\
ч
[Е
1
1
г/=о
ч
I
2,0
4,0
6,0 F/Fn
Рис. 2.20. Области отрыва потока в
дозвуковом диффузоре: I — область
безотрывного течения: IT — область
отрывного течения

124 Глава 2. Газодинамические устройства
следует, что при достаточно больших величинах п = F]/Fw особенно при
наличии входной части диффузора (/>0), отрыв наступает даже при
сравнительно малых углах. Опыт показывает, что при несимметричном
потоке или диффузоре отрыв при а < 40° начинается несимметрично на
одной стороне и сохраняется на этом месте, не распространяясь на
противоположную сторону. Однако в симметричном диффузоре при
симметричном профиле скоростей отрыв возникает попеременно то на
одной, то на другой сторонах диффузора, что приводит к колебаниям
параметров потока.
С ростом / — длины входной части диффузора происходит турбули-
зация пограничного слоя, уменьшающая сопротивление диффузора.
Однако уже при l/DH > 10 (где Du — начальный диаметр
расширяющейся части диффузора) в начале расширяющейся части толщина
пограничного слоя увеличивается настолько, что происходит заметная
неравномерность скоростей по поперечному сечению диффузора. Это
приводит к компенсации уменьшения сопротивления безотрывного
диффузора.
Коэффициент сопротивления диффузора
2
где потери полного давления в диффузоре
Для сравнительно небольших скоростей можно принять рн = Ро1Г
Тогда, вводя коэффициент восстановления полного давления в
диффузоре уд =ро/рн, получим
где ХИ — приведенная скорость в начале диффузора.
Отсюда видно влияние ^н на связь между £д и уд. Например, при
Хн = 0,3, у = 1,4 и уд = 0,95 имеем £д = 0,95. Если же при тех же значениях
у и уд приведенная скорость Хи = 0,5, то £д = 0,34. При изменении числа
Рейнольдса £д меняется немонотонно. При малых Re, когда имеет
место безотрывное ламинарное течение типа течения Пуазейля, £д
уменьшается обратно пропорционально числу Re. При больших числах Re
наблюдается отрыв ламинарного пограничного слоя. В процессе его
развития с ростом Re величина £д растет из-за увеличения зоны отрыва.
При полном ламинарном отрыве, начинающемся в начале диффузора,
коэффициент потерь С>п достигает максимума.

2.2. Диффузоры 125
Дальнейший рост Re сопровождается турбулизацией пограничного
слоя и его прилипанием к стенке, зона отрыва с ростом Re
перемещается вниз по потоку. Это опять приводит к уменьшению £д до некоторого
предела, за которым наблюдается обратное явление (точка отрыва
начинает перемещаться вверх по потоку) — коэффициент С,п начинает
расти. Опыт показывает, что при одних и тех же углах а и степенях
расширения сопротивление прямоугольного диффузора больше, а
плоского — меньше, чем конического. Плоский диффузор при этом
оказывается длиннее, а градиент изменения площади по длине — меньше.
Это и обусловливает уменьшение отрывов и потерь.
Обычно потери в диффузорах разделяют на потери из-за
расширения Срасш (отрыва) и потери из-за трения ^тр, при этом
^>д "~ ^эрасш *^"^этр*
При определении Срасш пользуются коэффициентом полноты удара,
характеризующим отношение потерь в диффузоре к потерям при
внезапном расширении потока
,. _ АА),расш
и определяющим степень совершенства диффузора.
При внезапном расширении (а = 180°) ф = 1 и
^K-W!)2. (2.8)
Для а < 40° ф < 1, т. е. в диффузоре происходит «смягчение» удара.
Потери в диффузоре, обусловленные расширением,
£ _ АР0,расш
Используя уравнение расхода в виде wxFx = wHFH, имеем
Ч2
где степень расширения диффузора п = F{/FH.
Параметр ф зависит главным образом от а. При равномерном
профиле скоростей (Re>3105) и при 0<а<40° можно пользоваться
эмпирической формулой [13]
!^| (2.10)

126 Глава 2. Газодинамические устройства
где для конических диффузоров £ = 1. Для плоских диффузоров при
4°<а<24° £ = 1,7-0,03а (где а в°), для пирамидальных диффузоров
при4°<а< 12° £ = 0,66 + 0,11а. Для 12°<а<40° £ = 2,32-0,0275а.
Таким образом, потери из-за расширения при а<40° для круглого
диффузора
Срасш= 3,2^1-£] tg1-25!- (2.11)
В инженерной практике, чтобы избежать больших потерь,
обусловленных отрывом потока, для дозвуковых диффузоров используют
обычно угол а = 6-10°. При таких значениях а не наблюдается
видимого отрыва от стенки диффузора.
Потери в дозвуковом круглом диффузоре из-за трения могут быть
определены согласно [13] формулой
■tHJ
где £(Re) определяется по соотношениям типа (1.75) или (1.76). Таким
образом, суммарный коэффициент потерь в круглом диффузоре с углом
а<40°
(b^^>^)(l)2 (2.13)
Форма контура диффузора влияет на гидравлические потери в нем,
особенно при больших углах а. При этом диффузоры с
прямолинейными стенками обладают наибольшими потерями. В [1] приведены
результаты экспериментального сравнения четырех плоских диффузоров
разной формы профилей при одинаковой длине и среднем угле
раскрытия а = 38°40\ Первый диффузор — с прямолинейным контуром; для
него получено £д = 0,32. Контур второго диффузора — дуга окружности,
для него £д = 0,27. В третьем диффузоре контур строился при
постоянном градиенте давления dp/dx = const, что, по-видимому, сближало
условия отрыва в различных сечениях; здесь С,Д = 0,24. Такое же значение £д
имел диффузор с постоянным градиентом скорости по длине. Отсюда
следует, что равномерность градиента скорости или давления является
важным фактором при формировании отрывного течения в диффузоре.
При числах Маха на входе в диффузор до М = 0,6—0,7 по опытам
К. С. Сцилларда [1] коэффициент сопротивления диффузора не
зависит от М. При больших М наблюдается сначала плавный затем, после

2.2. Диффузоры
127
М = 0,9 — резкий рост сопротивления. Последнее связано с появлением
в начальной части диффузора сверхзвуковых зон, замыкающихся
скачками уплотнения.
При сверхзвуковой скорости натекания перед дозвуковым
диффузором садится скачок уплотнения с криволинейным фронтом, причем
перед входной частью диффузора фронт скачка близок к плоскому, т. е.
скачок близок к прямому. В этом случае за скачком поток —
дозвуковой и к нему применимы все изложенные выше соображения о
течениях в дозвуковых диффузорах. Естественно, что суммарные потери
полного давления теперь состоят из потерь в прямом скачке и из потерь в
дозвуковом диффузоре.
2.2.2. Сверхзвуковые диффузоры
Перевод сверхзвукового потока в дозвуковой является одним из
актуальнейших моментов сверхзвуковой газовой динамики. С проблемой
торможения сверхзвукового потока сталкиваются при проектировании
аэродинамических труб, при имитации высотных условий для
испытаний ЖРД, создании входных частей воздухозаборников сверхзвуковых
самолетов и во многих других случаях.
Принципиально снижение
сверхзвуковой скорости до
дозвуковой можно было бы
осуществить при использовании
обращенного сопла Лаваля, т. е.
направляя поток в этом сопле в
обратную сторону. На практике
такое непрерывное течение
осуществить не удается из-за отрыва
пограничного слоя: в потоке
возникает скачок уплотнения,
близкий к прямому, за которым
течение становится дозвуковым. По-
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
ч
\
\
Л
\
\ч
<
\
\
S
\
ч
^ч
м
Рис. 2.21. Восстановление
давления в диффузоре при переходе
через прямой скачок (штриховые
линии) и оптимальную систему
косой + прямой (сплошные линии):
1 -у=1,15, 2-7=1,4
этому одним из путей
торможения сверхзвукового потока
является отсос пограничного слоя,
что, однако, является весьма
сложной задачей, и обычно
торможение сверхзвукового потока
осуществляется другим путем.

128
Глава 2. Газодинамические устройства
Для уменьшения потерь полного давления в сверхзвуковых
диффузорах создают системы скачков уплотнения, состоящие из нескольких
косых скачков, за каждым из которых скорость — сверхзвуковая, и
одного замыкающего прямого скачка.
На рис. 2.21 представлены зависимости коэффициентов
восстановления давления в системе «косой + прямой скачок» (сплошные линии)
и для прямого скачка (штриховые линии). Угол наклона косого скачка
к набегающему потоку выбран для каждого значения М, таким, чтобы
суммарный коэффициент восстановления полного давления в системе
«косой + прямой скачок» был наибольшим. Как видно из рисунка, при
переходе от прямого скачка к системе «косой + прямой скачок»
коэффициент восстановления при М, < 1,5 меняется несущественно, а при
М « 4 увеличивается вдвое и более. Еще больший эффект наблюдается
при системах: «два косых + прямой скачок», «три косых + прямой
скачок» и т. д. Схемы течений в сверхзвуковых диффузорах с одним и
двумя косыми скачками при наличии замыкающего — прямого скачка
представлены на рис. 2.22 и 2.23.
Скачки
Рис. 2.22. Схема сверхзвукового Рис. 2.23. Схема сверхзвукового
диффузора с косым и прямым диффузора с двумя косыми и одним
скачками уплотнения прямым скачками уплотнения
Согласно рис. 2.21 в потоке с низким показателем адиабаты потери
полного давления в диффузоре больше, чем в потоке с высоким
показателем.
Сверхзвуковые диффузоры могут быть как плоскими, так и осе-
симметричными. При этом потери полного давления меняются при
переходе от плоского потока к осесимметричному довольно слабо [1].
При создании сверхзвуковых диффузоров с несколькими косыми
скачками, как показали К. Осватич, Г. И. Петров и Е. П. Ухов, потери
полного давления минимальны в том случае, когда косые скачки имеют
одинаковую интенсивность. При увеличении же количества косых
скачков в системе потери полного давления уменьшаются из-за
значительного снижения их интенсивности. Таким образом, при переводе
заданного сверхзвукового потока в дозвуковой с ростом количества

2.2. Диффузоры 129
скачков в системе суммарные потери полного давления уменьшаются.
Все возможные схемы сверхзвуковых диффузоров с тремя, четырьмя и
более скачками и их работой на различных режимах (помпаж, «зуд» и
т. д.) рассмотрены в специальной литературе, в том числе в [1], [8].
Рассмотрим пример работы сверхзвукового диффузора, перед
которым находится сверхзвуковое сопло. Такая ситуация, например, имеет
место в аэродинамических трубах, в стендовых устройствах,
позволяющих испытывать в земных условиях ракетные двигатели с
перерасширенными высотными соплами.
Здесь одним из главных
вопросов является запуск системы
«сопло — диффузор» (рис. 2.24).
При сравнительно небольшом
перепаде давления течение в
сопле и диффузоре — дозвуковое.
При повышении перепада в гор- Рис. 2.24. Схема течения в системе
ле сопла (сечение В) возникает «сопло — диффузор»
звуковая скорость. До этого
момента в первом приближении (если не учитывать потери в пограничном
слое) течение изоэнтропическое, т. е. полное давление в сопле и
диффузоре не меняется. При дальнейшем повышении перепада давления,
например, за счет понижения противодавления, в сопле, на участке ВС,
возникает скачок (точнее, система скачков). При некотором
противодавлении он может достичь наибольшей интенсивности, располагаясь в
сечении С.
При некотором противодавлении за диффузором скорость в его
горле становится звуковой, и дальнейшее понижение противодавления
не влияет на картину течения в сопле. Однако в диффузоре возникает
сверхзвуковая зона, заканчивающаяся скачком. Дальнейшее снижение
противодавления приводит к расширению сверхзвуковой зоны и
движению скачка к выходному сечению диффузора. При данной ситуации
скачок в сопле может при любом сколь угодно низком
противодавлении остаться («замерзнуть») в некотором сечении F(си. рис. 2.24). При
этом положение скачка определяется лишь отношением минимальных
сечений сопла и диффузора:
причем отношение полных давлений
у=Род
Рос

130 Глава 2. Газодинамические устройства
выражается только через интенсивность находящегося в сечении F
скачка, а отношение ТОя/ТОс = 1 — при отсутствии теплообмена.
С увеличением /\>д потери растут, а значение v падает, т. к. скачок
занимает положение, все более близкое к сечению С. Наконец, при
некоторой величине (/чд)с скачок располагается в сечении С. Если еще
немного увеличить площадь горла диффузора, то при скачке,
находящемся в сечении С, расход через горло диффузора при звуковой
скорости в нем должен быть больше расхода через сопло, а это нарушит
стационарную картину течения. Следовательно, данная схема течения при
площади горла диффузора, большей (i7*^, неустойчива.
Здесь реализуется другая стационарная схема, связанная с выходом
скачка из сопла и образованием сверхзвукового течения в сужающейся
части диффузора CD. Будем условно считать, что здесь реализуется
«обращенное сопло Лаваля», т. е. нет скачков уплотнения и течение близко
к изоэнтропическому, хотя, как известно, осуществить такое бесскач-
ковое торможение потока в сужающемся канале не удается. В рамках
данных допущений (и даже при наличии системы косых скачков) в
сечении D скорость можно полагать сверхзвуковой, а прямой скачок
садится на участке DE (например, в сечении G), определяемом
противодавлением. Естественно, что при достаточно низком противодавлении
во всем тракте BCDE течение может быть сверхзвуковым. Однако для
реализации этого режима необходим весьма высокий перепад давления.
Для снижения располагаемого перепада давления можно после
выхода скачка из сопла с помощью специально спрофилированного
центрального тела (иглы) уменьшить горло диффузора почти до размера
горла сопла. При этом возможно повышение противодавления до
значения, соответствующего перемещению скачка в диффузоре от
сечения Е до сечения D. В данном случае перепад давления уменьшается во
много раз.
Регулирование горла диффузора можно и не производить, а
осуществлять технически более простое регулирование путем перепуска части
расхода на режиме запуска за соплом в другой, параллельный,
диффузор. При работе на основном режиме этот диффузор отключается.
Оценим эффект такого регулирования. Для обеспечения запуска сопла
требуемый наименьший перепад
Рос = Рос Род = g(lАс)
Р Род Р Я(Ю

2.2. Диффузоры
131
т.к. наименьшее значение /?Од//? = 1. Для воздуха (у =1,4) при А.с=2;
МС=ЗД6; -^ = 3,5, а при А.с=2,2; Мс=4,57; ^- = 11,54.
Р Р
При указанном выше регулировании скачки отсутствуют и/?Ос//>Од = 1,
т. е. перепады уменьшаются соответственно в 3,5 и 11,5 раза. Такая
оценка является весьма грубой, но все же показывает целесообразность
регулирования.
При испытаниях ракетных
двигателей с высотными соплами
широко используются стендовые
диффузоры, позволяющие перевести
скачок из сопла двигателя в стендовый
диффузор и тем самым существенно
упростить определение тяги в
пустоте по результатам стендовых
испытаний. В данном случае (рис. 2.25) за соплом двигателя струя может
расширяться, и для определения площади горла диффузора,
обеспечивающего запуск системы «сопло —диффузор», необходимо Хс
определять не по площади среза сопла, а по сечению, в котором струя
встречается с контуром диффузора. В этом случае перепуск части расхода в
период запуска или уменьшение площади горла диффузора после
запуска позволяют значительно снизить давление торможения в сопле,
при котором скачок уплотнения появляется внутри сопла на режиме
дросселирования.
Рис. 2.25. Схема течения в
стендовом диффузоре

ГЛАВА 3
НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
3.1. Трехмерные нестационарные течения
3.1.1. Исходные определения
Приступая к выводу уравнений сохранения для пространственного
нестационарного потока газа, напомним математические выражения
для некоторых терминов, часто используемых в газовой динамике.
Поток скорости V (или любого вектора V) через поверхность S
равен
jjM = l\VndS = \\Vxdydz + Vydxdz + Vzdxdy,
s s s
где индексы п, x, у и z отвечают соответственно составляющим
скорости по нормали к поверхности 5 и по декартовым осямх, у и г.
Под дивергенцией скорости V в данной точке понимается
отнесенный к объему поток скорости через замкнутую поверхность S,
ограничивающую бесконечно малый объем т:
[ дУх | дУу | dVz
Ay Az [ дх ду dz
д -гд гд w w
где V = / — + j — + к—, а двойной интеграл берется по замкнутой по-
дх ду dz
верхности S.
Под циркуляцией скорости Г по некоторой замкнутой кривой L с
обходом против (или по) часовой стрелки понимается криволинейный
интеграл
jVdr= jVxdx + Vydy + Vzdz,
L L
где интеграл берется по замкнутому контуру L.
т-»0 Т Ax->A>>->Az-»0

3. /. Трехмерные нестационарные течения
133
Под ротором скорости понимается векторное произведение
т->0
Очевидно, что
rotF=
J
д
дх ду dz
V V V
ду
dz
dz дх
дх ду
а стоящие в скобках разности — проекции ротора на координатные оси
X, у И Z.
При отсутствии в потоке сильных разрывов — разрывов параметров
газа (например, скачков уплотнения) справедливы следующие
форму(й°
лы: Гаусса (й° — орт внешней нормали к поверхности S)
и Стокса
(3.1)
(3.2)
доказываемые в курсе математического анализа.
Следует отметить, что направление циркуляции в последней
формуле связано с ориентацией вектора dS известным правилом
«буравчика»: при обходе контура L против часовой стрелки вектор dS
направлен из площади чертежа «на нас»; если обход совершается по
часовой стрелке — вектор dS ориентируется в противоположную сторону.
Еще раз напомним, что входящий в формулы Гаусса и Стокса
вектор V не обязательно является скоростью потока, а может представлять
собой иной вектор или произведение вектора на скаляр.
Поле вектора V называется соленоидальным, или трубчатым, если
= 0 в любой точке поля.
3.1.2. Уравнения неразрывности
Уравнение, определяющее баланс массы в произвольном
замкнутом, в том числе в элементарном объеме, т называется уравнением
неразрывности.

134 Глава 3. Неодномерные течения
Масса, вытекающая в единицу времени из некоторой неподвижной
замкнутой поверхности S, при отсутствии внутри нее сильных разрывов
равна в соответствии с (3.1)
S х
Очевидно, что если в объеме т нет источников, генерирующих
массу, то уменьшение массы в объеме т за единицу времени составит
- fff —flfi, причем данное равенство справедливо только при отсутст-
JJJ dt
вии в т разрывов р. При этом условие сохранения массы примет вид
Вследствие произвольности объема т, отсюда следует уравнение
неразрывности
^ 0, (3.3)
dt
которое можно преобразовать к виду
dt г г dt
или
dlnp
Для несжимаемой жидкости (р = const) dpjdt- О
divK = 0. (3.5)
Вообще говоря, для нестационарного потока неоднородной
жидкости dp/dt^O, хотя dp/dt = 0. Такая ситуация реализуется, например, при
движении жидкости, плотность которой изменяется во времени из-за
изменения ее состава.
В декартовых координатах для стационарного потока газа
d(pV ) d(pV ) d(pV )
div(pK)= — н —н — = 0. (3.6)
dx dy dz
В стационарном потоке исходное интегральное уравнение
неразрывности имеет вид

3.1. Трехмерные нестационарные течения
135
Следовательно, в стационарном случае при отсутствии внутри
некоторой замкнутой неподвижной поверхности 5" источников,
генерирующих массу, поток вектора pV через поверхность S равен нулю. Если в
качестве S взять трубку тока, то расход втекающего в эту поверхность
газа равен расходу вытекающего газа
PiOlVl=p2a2V29 (3.7)
где а — нормальные вектору скорости сечения, а индексы «1» и «2»
соответствуют входному и выходному сечениям. Согласно (3.6) поле
вектора pV является соленоидальным или трубчатым. Для несжимаемой
жидкости последнее равенство принимает вид
Назовем линиями тока линии, касательные к которым в любой
точке в данный момент времени совпадают с направлением вектора
скорости. Для стационарного движения линии тока совпадают с траекториями
движения частиц, т. е. с линиями, вдоль которых эти частицы движутся.
Для нестационарного движения линии тока, вообще говоря, изменяют
свое расположение во времени.
Уравнения линий тока имеют вид
dx _ dy _ dz
Vx (x, у, z, t) Vy (x, y, z, t) Vz (x, y, z, t)'
Линии тока, начинающиеся на элементарной замкнутой кривой
(например, окружности), образуют трубку тока. Таким образом, внутри
поверхности S линии тока не
начинаются и не кончаются; они либо входят в
поверхность и уходят из нее, либо
представляют собой замкнутые кривые.
Для несжимаемой жидкости поле
вектора скорости является трубчатым.
Многие задачи газовой динамики
удобно решать в цилиндрических
координатах (течения в трубках, соплах,
диффузорах и т. д.).
Обратимся к выводу уравнения
неразрывности в цилиндрических
координатах /*, 0, z (рис. 3.1). Поток массы в
dz
к
e
Г
|
N 1
V
\
J
dr
У
Рис. 3.1. К выводу уравнения
неразрывности в
цилиндрических координатах
направлении радиуса г равен pVrrdQdz, в направлении оси z — pVzrdQdz,
а в направлении боковой грани — pVBdrdz.

136
Глава 3. Неодномерные течения
Суммарный поток массы из рассматриваемого элемента вовне
drdQdz.
—(р Vrr)drdBdz +—(р Vz )rdMrdz +
dr dz
Вследствие вытекания при отсутствии источников внутри поверхности
S масса в единицу времени уменьшается на величину —-rdQdrdz. (Ес-
dt
тественно, что в зависимости от знаков слагаемых предыдущей суммы
данная масса может не уменьшиться, а увеличиться.)
Приравнивая поток, ушедший из элементарного объема массы,
изменению в единицу времени оставшейся массы и произведя
сокращения, получим уравнение неразрывности в цилиндрических координатах:
эР| 1 d(Pvrr) t d(Pvz) 1
dt г dr dz г 56
(3.8)
При наличии цилиндрической
симметрии, т. е. при отсутствии
зависимости параметров потока от 8, в
том числе и для закрученного течения
(Кэ#0), из (3.8) получим уравнение
неразрывности для нестационарного
осесимметричного течения
%Vz) = 0. (3.9)
d
Рис. 3.2. К выводу уравнения
неразрывности в сферических
координатах
dt rdr
Подобным образом выводят
уравнение неразрывности в сферических
координатах. В этом случае (рис. 3.2)
равенство потока массы, которая
вытекает из элементарного объема,
изменению в единицу времени
оставшейся в нем массы приводит к
уравнению
—(pVrrdQrsinQd(p)dr+—
dr dQ
(pViadrrdQ)dip = -^
v dt

3.1. Трехмерные нестационарные течения
137
Выполняя сокращения, получим уравнение неразрывности в
сферических координатах:
до 1 д ild Id
^+4г—{pVrr2)+———(pKosin0)+— _(рКф) = 0. (3.10)
dt r dr rsin6d0 /*sin0d(p
Теперь рассмотрим общий случай ортогональных криволинейных
координат (рис. 3.3) qx, q2 и q3. Как и раньше, уравнение неразрывности
в этих координатах записывается в виде
Ф jo jp jo 5 , т/,п JPW d , лг ,а ,а ч ,
5/ dq} dq2
dq3
где V{ и dS{ (i = 1, 2, 3) — соответственно
проекция скорости на ось qi и длина
криволинейного ребра выделенного
элемента.
Длина элемента пространственной
кривой в системе координат (x,y,z)
\ q3
-MWWh
где q — некоторая координата, через
которую можно однозначно найти x,ywz.
Если же имеется ортогональная
система?,, q2, q3i то
dSt
dS,
Рис. 3.3. К выводу уравнения
неразрывности в
криволинейных координатах
где Н:=
дх)2 (ду)2 (dz)
+ —— + — — параметр Л амэ для координаты q..
[dqj {dqj
Подставляя dSt в уравнение неразрывности, получим после
сокращения на dqx dq2 dq3
и rr rr dp d(pVxH2H3) d(pV2HxH3) d(pV3HxH2) . ,_11X
tixti2ii3 1 1 1- = U. (3.11)
dt dqx dq2 dq3

138 Глава 3. Пеодномерные течения
Формула (3.11) справедлива и когда qt являются угловыми
координатами.
Применим эту формулу к случаю сферических координат, для
которых qx = г, q2 = 0, #3= Ф- Связь декартовых и сферических координат
определяется формулами (см. рис. 3.2):
x = rsin9cos(p;
Следовательно, здесь параметры Ламэ:
#3 = yjr2 sin2 0sin2 ф + r2 sin2 0cos2 ф = rsin0.
Подставив их в (3. Л), получим уравнение неразрывности в форме (3.10).
3.1.3. Переменные Эйлера и Лагранжа
Движение жидкости или газа можно изучать, концентрируя
внимание на определенных точках пространства и изучая поведение
параметров в этих точках (метод Эйлера), а можно — в процессе наблюдения за
параметрами отдельных элементов (частиц) потока, за изменениями
этих параметров при перемещении данных частиц в пространстве
(метод Л агранжа).
Существенно различаются координаты, в которых производится то
или иное рассмотрение процесса движения среды. Так, при
использовании метода Эйлера в качестве независимых переменных могут быть
приняты декартовы координаты х, у, z или любые другие координаты,
тесно связанные с неподвижным пространством. При использовании
метода Лагранжа координатами по сути являются «метки»,
позволяющие отличить одну частицу от другой. В качестве таких меток можно
использовать и декартову систему координат, если положение любой
частицы в момент t характеризовать декартовыми координатами этой
частицы в момент /0 — х0, yQ, Zq и временем /. Вместо декартовых
координат х0, j>o и ^о положение частицы можно определять и координатами
a, b и с, взаимно однозначно связанными с х0, yOi Zq. Переменные (а, Ь,
с, /), полностью определяющие положение данной частицы,
называются переменными Лагранжа. Как и переменные Эйлера, они являются

3.1. Трехмерные нестационарные течения 139
аргументами при определении полей газодинамических функций в
области течения.
В связи с тем, что некоторый объем, занимаемый жидкостью или
газом, в момент / перейдет в другой объем, между точками имеется
взаимно однозначное соответствие. Следовательно, связь
a = a(x,y,z,t)',
b = b(x,y,z,t);
с = с(х, у, z, О
.. D(x,y,z) D(a,b,c)
такова, что ни один из якобианов -—- и не обращается
D(a,b,c) D(x,y,z)
тождественно в ноль или в бесконечность.
Если в переменных Эйлера известны зависимости
dt
dt
% = VzMx,y,z,t);
Ot
то, интегрируя эту систему и вводя три произвольных постоянных а,Ьи
с, получим
x = Fl(a,b,c,t);
y = F2(a,b,c,t);
z = F3(a,b,c,t).
Последняя система определяет переход от переменных Эйлера к
переменным Лагранжа.
3.1.4. Безвихревые течения
Рассмотрим движения среды, в которой rot К = 0. В этом случае
дЛ^ ^^ ^^ (3.12)
0; 0; 0.
дх ду ду dz dz дх
- т/ д(р
условии Vx = —L,
дх
Если ввести понятие потенциала скорости ф из условии Vx =
—, V7 =—,
ду dz
Vv =—, V7 =—, (т. е. K = grad<p), то в силу (3.12) равны вторые сме-
у ду d

140 Глава 3. Неодномерные течения
шанные производные от ф: —— = —— и т.д. Откуда следует сущест-
дхду дудх
вование полного дифференциала
дх ду dz
Поэтому
А Л
т. е. входящие сюда интегралы не зависят от пути интегрирования.
Отсюда и из формулы Стокса следует, что
O, (3.13)
если интеграл взят по замкнутому контуру.
В рассматриваемых течениях линии тока не могут быть замкнуты,
т. к. равенство (3.13) не выполнялось бы вдоль замкнутой линии тока,
поскольку в таком случае под интегралом (3.13) нет слагаемых с
противоположными знаками. Итак, скорость V = Уф — потенциальный
вектор, т. е. безвихревое поле является потенциальным. Можно показать,
что при этом и вектор ускорения также будет потенциальным.
Для потенциальных течений уравнение неразрывности (3.4)
принимает вид
^ 0, (3.14)
dt
где оператор
А д2 д2 д2
As—-+—-+—-.
дх2 ду2 dz2
Для несжимаемой жидкости (3.14) сводится к уравнению Лапласа
Аф = 0. (3.15)
Это означает, что потенциал является гармонической функцией.
3.1.5. Вихревые течения
Если в рассматриваемой области имеются зоны, в которых вихрь
скорости Q = votV отличен от нуля, то течение называется вихревым.
Можно показать, что
div(rotJO = 0. (3.16)

3.1. Трехмерные нестационарные течения 141
Отсюда следует, что поле вихрей соленоидально, т. е.
{
d
дх ду dz
и согласно формуле Гаусса—Остроградского поток вихря через
замкнутую поверхность S
j\nndS = 0. (3.17)
s
Назовем вихревыми линиями линии, касательные к которым
совпадают с направлением вектора Q. Выделим в вихревом поле малый
замкнутый контур и через ряд его точек проведем вихревые линии
согласно уравнениям
пх
(3.18)
Полученную трубчатую поверхность назовем вихревой трубкой.
Поскольку на боковой поверхности Qn = 0, то из условия (3.17) получим
П1с1=П2а2. (3.19)
Здесь индексом «1» обозначено начальное сечение трубки; «2» —
выходное; а — площадь нормального сечения трубки (если вектор
поверхности ориентирован по внутренней нормали, то Q] = Г2Л, a Q2 = -О.п).
Таким образом, параметр С1а, называемый интенсивностью вихревой
трубки или интенсивностью вихря, постоянен вдоль трубки.
Как следует из (3.19), вихревые трубки не могут начинаться или
кончаться внутри области; они могут либо закольцовываться, либо
начинаться и кончаться у границ.
Циркуляция скорости по контуру, охватывающему вихревую
трубку, согласно формуле Стокса
s
3.1.6. Кинематика элементарного объема
Рассмотрим перемещение в пространстве малого элемента среды за
время dt. Для краткости будем называть данный элементарный объем
газа частицей (рис. 3.4). Примем одну точку частицы за полюс О, а
некоторую другую обозначим буквой А. Соответствующие радиусы-
векторы, соединяющие начало координат с этими точками, обозначим
го и г, а их разность — через I = r-r0. Через время dt частица
перейдет из положения 1 в положение 2, при этом dr=F-r, dro=r'o-ro,

142 Глава 3. Неодномерные течения
dl = /*'-/*, а сама частица может совершать поступательное,
вращательное движение и деформироваться.
Изменение вектора I равно
,ш _
7°лаХ
/ >y
x/
Рис. З.4. Кинематика
элементарного объема
где К и Ко — скорости точек А и О
соответственно.
Разложим в ряд (V-Vo) и отбросим
нелинейные члены
у у __dV
дх
+—(у-УоУ+—(z-zo)=(iv)V>
ду dz
т. к. 1х = х-х0 = ^ 1У=У-Уо = ^ lz = Z-Zo = ^-
Отсюда следуют очевидные соотношения в
векторной и скалярной форме:
dVx dVx
дх ду d
V^. (3.20)
дх ду dz
dV, 3VZ „дУ
дх ду dz
Введя обозначения
dVx_ 8Vy _ dVz_ dVz dVy
дУх дУ, п дУу дУх
dz дх дх ду
после предложенных Коши алгебраических преобразований получим

3.1. Трехмерные нестационарные течения 143
После введения квадратичной формы
последняя система примет вид
as
d - —
dC- —
или в векторной форме
dt
где со = rot V12. Отсюда следует, что вектор dl состоит из двух
слагаемых: вектора VFdt, называемого чистой деформацией, и вектора
—(TotVxI)dt, определяющего мгновенное вращение точки А
относительно точки О с угловой скоростью со.
Следовательно, скорость точки А
где Vo — скорость поступательного движения; Кш=сох/ — скорость
вращательного движения; VF - VF — скорость чистой деформации.
Можно показать [26], что благодаря чистой деформации сфера
переходит в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Главные
его оси называются главными осями деформации, причем точки,
находящиеся на главных осях, в процессе деформации перемещаются вдоль
этих осей, не сходя с них.
3.1.7. Уравнения сохранения импульса
Закон сохранения импульса идеального газа для произвольного
объема т, ограниченного поверхностью S согласно второму закону
Ньютона, имеет вид

144 Глава 3. Неодномерные течения
где F — вектор массовой силы, отнесенный к единице массы; Я0 —
орт внешней нормали к поверхности S.
Преобразуя поверхностный интеграл по формуле Гаусса (3.1),
получим
При наличии разрывов это уравнение, как и формула Гаусса, не
могут быть использованы. С учетом произвольности выбора объема т
получим уравнение Эйлера в векторной форме:
0 (3.21)
или в проекциях на декартовы координаты
dt dt dx x dy y dz z pdx'
dlL.^^y^Izyt+Tlyt,yJJ±, (3.22)
dt dt dx x dy y dz pdy
+^3K, + 4 z.
dt dt dx x dy y dz z p dz
Здесь X, Yu Z — проекции вектора / на оси х, у и г, а полная
производная
Уравнение Эйлера можно представить в форме
dt
Использовав тождество
2
из последнего уравнения получим
dV dV V2
+VKxrotK /'-^. (3.23)
dt dt 2 p

3.1. Трехмерные нестационарные течения 145
Это уравнение, тождественное исходным уравнениям Эйлера (3.22),
называется уравнением движения в форме Ламба. По сути, здесь
выделен вихревой член V хrot V, и для безвихревого потока уравнение (3.23)
сразу же упрощается.
В проекции на декартовы координатные оси имеем
В частности, при отсутствии массовых сил для безвихревого
стационарного одномерного потока приходим к уравнению Бернулли
pVdV=dp.
Рассмотрим теперь общий случай криволинейных координат q{, q2,
q3, взаимно однозначно связанных с декартовыми равенствами
Для любой непрерывной функцииДх,;у,г,/) имеем при / = 1, 2, 3
$__$_дх_ ^ду_
dqt dxdq{ ду dqt dzdq^ .
dt dt dqx dt dq2 dt dq3 dt
В частности,
dp dp dx dp dy dp dz
dqt dx dqf dy dqf dz dqt'
v ^dx ^dx | dx dqx [ dx dq2 [ dx dq3 _
x dt dt dqx dt dq2 dt dq3 dt
_dx . dx . dx . dx
dt dqx dq2
Отсюда
dVY dx
(3.26)
dqf dq{

146
Глава 3. Неодномерные течения
Продифференцируем по qt выражение для Vx:
dVx д2х д2х .
— +——01 +-
д2х
д2х
dq, dtdq, dqxdqt dq2dqt dq3dqf
Если во второе равенство (3.25) вместо/подставить —, получим
dfdx) д2х д2х . д2х . д2х .
— = + 01+ 02+ 03*
ш ^ dq,- J dtdq, dq^dq^ dq,-dq2 dqfiq3
Из двух последних равенств следует
dtydq,) dq,
(3.27)
Аналогично (3.26) и (3.27) можно получить и соотношения для
производных от Vy и Vz.
Помножим каждое из уравнений Эйлера (3.22) соответственно на
дх ду dz п
—, — и — и сложим их. Получим
dq, dq,- dq,-
dq, dt
Заметим, что
dx^dV^^dy^dV^ ,dz_!JXz. = X—+Y—+Z—---::2:- (3 28)
q, dt dq, dt
дх у ду „ dz I dp
dq, dq, dq,
dqt dt dt{dq,
Подставив сюда (3.26) и (3.27), получим
qt dt dt\ dqt
dq, dt
-{
dt[dq,
d\-+-
dq,
dq,
Аналогичные равенства имеют место и для других слагаемых левой
части (3.28).
Введем обозначения:
у2 +у2 +у2
х У < .
dq,-

3.1. Трехмерные нестационарные течения 147
Используя последние равенства из (3.28), получим
Уравнения (3.29) при /=1,2,3 представляют собой систему уравнений
движения в криволинейных координатах, причем не обязательно
ортогональных.
При наличии потенциала массовых сил (-17) имеем
DU дх dU ду dU dz _ dU
дх dq( ду dq{ dz dq{ dqf
Введенные выше (см. п. 3.1.2) параметры Ламэ связывают
перемещения с криволинейными координатами зависимостью
Составляющие скорости V в проекции на криволинейные оси при
этом равны
Vi=ffiQi (3.31)
Используем формулы (3.30) для получения уравнений движения в
сферических и цилиндрических координатах. В первом случае связь
сферических координат q} = r, q] = 0 и qx = ф с декартовыми дается
соотношениями
x = rsin0cos(p; >> = rsin0sin(p; £ = /*cos0.
Параметры Ламэ при этом равны Я, = 1; H2=r\ H3 =rsin0 (см. п. 3.1.2),
а скорости — Vr=r; VQ=rQ; Vi?=rsinQ(p. Следовательно, L-— (r2 +
+ r202+r2sin20(p2).
Продифференцировав L и подставив в (3.30), получим
-;
дг р дг
Э0
r-rQ -rsin 0ф = -;
д д
2e + 2rr0-r2sin0cos0cj>2 =-^-i*;
Э0 ^0
r2sin20 (p + 2rsin20^ + 2r2sin0cos0 ф0 = ^-.
dip pckp

148 Глава 3. Неодномерные течения
Введя скорости, понизим порядок этой системы:
г dr рдг'
9 Лёф=-§-1|; (3.32)
сю р сю
/•sine кф+кгкф sine+кекф cose = -^Li|£
Входящие в (3.32) ускорения определяются следующими формулами:
т> dVr dVr . dVr • dVr . dVr
dt dr dQ dip dt
dt dr ae d^v at
dV dV dV dV dV
=—-=—-r+—^-e+—^фн-—-
(3.33)
rm ==r+e+фн—
ф dt dr ее dip dt
Подставив сюда r = Vr, O = F0/r, и (p = K(p/rsin6, а затем исключив из
последней системы и (3.32) ускорения, придем к системе трех
уравнений Эйлера в частных производных относительно трех неизвестных
скоростей Vn VQi Кф, давления р и плотности р с независимыми
переменными г, в, ф и /.
Для цилиндрических координат q± = r, q2 = в, q3 = С,. Связь с
декартовыми координатами дается формулами x = rcos6, >^ = rsin9, г = С-
Параметры Ламэ Я, =vcos26+sin26 =1, Н2 =rvcos26+sin26 =r, Я3=1, а
скорости— Vr=r, VQ=rQ, V^=Ci. Запишем выражение для функции L:
~~2 +Г +
Продифференцировав и подставив в (3.30), получим
dr pdr'
~~~аё~~"рае'
dU I dp

3.1. Трехмерные нестационарные течения 149
Переход к скоростям понижает порядок системы:
г дг р дг'
r> I/I/ dU I dp ,- ...
rVn-hVrVa= —; (3.34)
9 r e ae Pae
с ас Рас*
Входящие в эту систему ускорения выражаются слеедующими
формулами:
-Vr +—^-2-+—-Vr\
dt dt dr r ae r
v,^^v. (3.35,
° dt dt dr r ae r
. </к, ак, акг dvr va dvr
^ dt dt dr ae r a<; Q
Как и в предыдущем случае, из последних шести уравнений
исключаются три ускорения (Kr, VQ и V^) и в полученной системе трех
уравнений в частных производных с пятью неизвестными функциями Уп
^е» ^» Р' ^ присутствуют частные производные от всех неизвестных
функций, кроме р. Аргументами являются г, 0, С и /.
В заключение этого раздела рассмотрим модификации уравнений
движения в форме Ламба для подвижной системы координат, что
может быть использовано для изучения движения газа в рабочих колесах
турбин, компрессоров и т. д.
Пусть Vr — вектор относительной скорости газа, т. е. его скорости
относительно движущейся системы координат, a Ve=V0+(bxr — вектор
переносной скорости движущейся системы координат с
поступательной скоростью Vo и вращающейся с угловой скоростью со. При этом
~ dVe dV0 Ло _ _ ,_ _ч
We =—- = ——+—хг + сох (сох г),
е dt dt dt
где, как известно, сох г =dr/dt. Ускорение в абсолютной системе
координат
- 1

150 Глава 3. Неодномерные течения
Здесь векторное произведение — ускорение Кориолиса.
Воспользовавшись первым равенством (3.23) для Vn получим
d'V VV2 - - 1
^^ + -^-(KrxrotKr) + 2uxKr = /i-»^~grad^ (3.36)
dt 2 р
где верхний штрих означает, что производная берется в подвижной
системе координат.
Уравнение (3.36) является уравнением относительного движения в
подвижной системе координат в форме Ламба и отличается от (3.23)
наличием ускорения Кориолиса и переносного ускорения We.
3.1.8. Уравнение сохранения энергии
В предыдущих разделах данной главы получены различные виды
уравнений неразрывности и сохранения импульса. Для жидкости
плотность является известной величиной, и полученные четыре скалярных
уравнения в частных производных полностью определяют четыре
неизвестных — давление и три составляющих скорости. Для газа система
оказывается незамкнутой, т. к. появляется новая неизвестная — плотность.
Простейшим является случай баротропного газа (в котором
плотность зависит только от давления). Сюда относятся изотермическое
течение (р ~/?), политропическое (рп ~р, где п — показатель политропы)
и т. д. Для баротропного газа система уравнений также оказывается
замкнутой. Однако в большинстве реальных физических процессов газ
является бароклинным, т. е. его плотность зависит не только от
давления. В этом случае, чтобы определить плотность квазиодномерного
потока или при движении газа вдоль струйки тока, приходится привлекать
пятое условие — уравнение, учитывающее подвод энергии извне (1.3):
-d-g = cvdT-p% (3.37)
р
где q = q(p, T) полагается известной функцией, а температура с
плотностью и давлением связана уравнением состояния (1.1)
р = РЯТ.
Отметим, что при q = 0 и отсутствии сильных разрывов параметров
приходим тут же к изоэнтропическому течению — частному случаю
политропического (в этом случае газ является баротропным).
Полагая в общем случае -d-q-TdS (где S — энтропия), получим из
(3.37) и уравнения состояния:

3. /. Трехмерные нестационарные течения
151
Исключая с помощью уравнения состояния Т, имеем
где у —- показатель адиабаты (у = cp/cv).
Отсюда после интегрирования получаем
(3.38)
Таким образом, при известном изменении энтропии (S2-Sx)
плотность определяется уравнением (3.38).
Как видно из (1.10),
S2-Sx =
или
А
Рг
-5, =Rln
^02 V"1 Р01
(3.39)
Поэтому изменение энтропии при известных физических
процессах, происходящих вдоль струйки тока или в квазиодномерном канале
и связанных с потерями полного давления или изменением
температуры торможения, определяется приведенной выше формулой (3.39).
Если вдоль линий тока S= const, то вдоль них
(3.40)
Остановимся теперь на уравнении энергии в трехмерном
нестационарном потоке. Умножив уравнение Эйлера (3.21) скалярно на вектор
Vdt/p, получим
или
дх
ду
dz

152 Глава 3. Неодномерные течения
Если массовые силы имеют не зависящий от / потенциал U}, то
, z = -
ди}
дх ду dz
(3.41)
Уравнение (3.41) представляет собой закон «живой силы» для
единицы массы газа; правая часть этого уравнения характеризует как бы
диссипативность в потоке идеального газа. Умножая (3.41) на рЛ и
интегрируя по объему т, ограниченному поверхностью 5, получим
. ,3.42,
Здесь дифференциалы вынесены за знак интеграла, т. к. объем т
состоит из одних и тех же частиц, то рЛ не зависит от времени.
Очевидно, что кинетическая энергия объема т
потенциальная энергия
т
диссипативность данного объема т
дх уду idzj
Заменив выражение, стоящее в круглых скобках (3.42), по тождеству
, = V(pF)-/?VF,
имеем
Применив формулу Гаусса (3.1) к первому объемному интегралу,
окончательно получим уравнение энергии в форме

3.2. Плоские стационарные течения 153
Таким образом, изменение кинетической и потенциальной энергии
объема газа определяется работой сил давления по поверхности этого
объема и работой внутренних сил, связанной с расширением
(расходимостью) данного объема.
Для жидкости VV = 0 и второе слагаемое уравнения (3.43) равно
нулю.
3.2. Плоские стационарные течения
3.2.1. Определения и общие уравнения
Рассмотрим один из наиболее развитых разделов газовой
динамики — стационарные плоские течения. Вследствие стационарности все
слагаемые, входящие в уравнения неразрывности, движения и энергии,
содержащие частные производные по времени, исчезают.
Плоское течение можно представить как такое течение в
пространстве (х,у, z), при котором в различных плоскостях, нормальных одной
из осей (например, оси z), течения ничем не отличаются друг от друга.
Поэтому в уравнениях плоских течений отсутствуют слагаемые,
содержащие частные производные по z. Предполагается также, что ^-компо-
нента скорости равна нулю.
Строго говоря, течений с не изменяющимися в направлении одной
оси параметрами не бывает, однако на практике возникает много задач,
моделирование которых позволяет отказаться от учета некоторых
краевых эффектов (или учесть их в первом приближении), если
характерный размер по этой оси существенно превосходит характерные размеры
по другим осям. В таких случаях вместо решения сложной
пространственной задачи имеет смысл воспользоваться решением существенно
более простой плоской газодинамической задачи. Так, например, для
достаточно длинного крыла его газодинамические характеристики
могут быть с успехом найдены при использовании модели плоского
течения. Аналогичные решения плоских задач широко используются в
теории турбокомпрессорных машин, газодинамических, химических
лазеров и т. д. Кроме того, теория плоских течений применяется во многих
разделах газовой динамики как некоторая исходная (базовая), а иногда
и тестовая модель.
Для плоских потоков при отсутствии объемных сил (F = 0)
уравнения (3.3), (3.24) и (3.40) принимают в области течения следующий вид:
дх ду

154 Глава 3. Неодномерные течения
дУу д
(3.44)
Четыре уравнения (3.44) образуют квазилинейную систему
уравнений в частных производных первого порядка и определяют Vx, Уу,ри р,
т. е. эта система является замкнутой.
Из первого равенства системы (3.44) следует, что можно ввести
функцию \\*(х,у), такую, что
ду *' дх у'
и при этом
d\\j = — dx+—dy = -р Vvdx + pVxdy = Vndn
дх ду у
является полным дифференциалом.
Линии \|/ = const соответствуют условию d\\f = 0 или — = -2-, т. е. яв-
'х 'у
ляются линиями тока. Отсюда, сопоставляя условие вдоль линий тока
д\у д\и
—i-dx н——dy = О
дх ду
с четвертым уравнением системы (3.44), имеем, что якобиан
Г>(х,у)
или между \|/ ир/ру должна существовать прямая зависимость:
Следовательно, вдоль линий тока \\i = const и р/ру = const. Умножая
второе уравнение (3.44) на Vx, третье — на Vy и складывая, получим
i.[V4V-di-». (3.45)
dt[ 2 I pdt

3.2. Плоские стационарные течения
155
Полагая вдоль линий тока энтропийную функцию /?/pY = 3Y = const,
получим из (3.45)
dt\ 2 Г ldt~dt
V у
2 y-1
l ^
Y-1 ~
— nY
+
*[ 2 y-lp
Отсюда следует, что вдоль линий тока, как и энтропия /?/pY,
энтальпия торможения
_V2
Н°=Т y-lp
У Р
i— = const,
l
(3.46)
Это — интеграл Бернулли для сжимаемого газа, являющийся
следствием уравнений сохранения импульса и энергии.
Подставив теперь V2/2 из равенства (3.46) во второе уравнение
(3.44), получим
р dx дх у — 1 cbc дх у-1
Отсюда, опуская индекс z У Ог, имеем
дх
ду
дх ду V
дх у-Г
дх
(3.47)
Выше было отмечено, что Ло и 8> могут меняться только при
переходе от одной линии тока к другой, т. е. Ао = ho(\\t) и 3 = 3(i|/). Таким
образом, для этих функций
д _ d d\\f _ v d
дх rfvj/ dx y d\\f
и согласно (3.47) имеем
p
d\\j у -1 d\\j
(3.48)
Отсюда следует, что если ho = const и 9 = const во всем потоке, то
Q = 0 и течение безвихревое.
Если же течение безвихревое (Q = 0), то кроме случая
d\\f

156 Глава 3. Пеодномерные течения
который не представляет практического интереса,
d\\f d\y
Для безвихревого движения из (3.44) имеем
£^ (3.49)
дх ду
3.2.2. Сверхзвуковые вихревые течения; характеристики
После проведенных преобразований исходная система уравнений
(3.44) примет более простой вид:
,Э(рУу)_Лт
д
дх ду
дх дх ' (3.50)
V2+V2 —
у-1
Y =
Здесь Q определяется согласно (3.48), а последние два равенства не
содержат производных.
Преобразуем уравнение неразрывности:
х дх у ду дх ду
Поскольку — = 0, а квадрат скорости звука a2 =ySYpY~I, то
dt
dt • V1 'r dt 41 ' dt
Отсюда, подставляя в уравнение неразрывности, имеем
1 da1 , JdVx , dVy
2(dVx dV ,
+ al\ —^+—y- =0.
у-1 dt \ дх ду
Продифференцировав (3.46), получим
л1ТГу-1 Л

3.2. Плоские стационарные течения 157
После вычитания предпоследнего равенства из последнего, получим
2 х дх 2 у ду у дх ду
или
дх у ду у\ дх ду
Важно отметить, что в последнее соотношение не входят функции
h0 и $, и оно имеет одинаковый вид для вихревых и безвихревых
течений. Последнее уравнение заменяет первое равенство системы (3.50),
которая содержит как два конечных, так и два дифференциальных
соотношения:
Можно считать, что система (3.51) служит для определения Vx и Vy,
поскольку в нее, хотя и входят через а2 плотность и давление, однако
они выражаются через Vx и Vy двумя последними конечными
равенствами (3.50).
Таким образом, скорости Vx и Vy определяются из двух
уравнений (3.51), однако определение этих скоростей не всегда оказывается
однозначным.
Линии, на которых невозможно однозначно определить частные
производные от неизвестных функций по координатам, а
следовательно, и сами неизвестные функции, называются характеристиками.
На первый взгляд наличие характеристик усложняет решение
задачи о нахождении частных производных и самих скоростей Vx и Vy,
однако анализ показывает, что через каждую точку течения проходят,
вообще говоря, два семейства характеристик, для каждого из которых
выполняется обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее
между собой параметры потока. При этом задача об интегрировании
квазилинейной системы двух уравнений в частных производных (3.51)
сводится при использовании характеристик к интегрированию
значительно более простой системы из двух обыкновенных
дифференциальных уравнений, связывающих параметры потока на двух
характеристиках разных семейств, проходящих через данную точку.

158
Глава 3. Неодномерные течения
Переходим к определению уравнений характеристик. На любой
линии в плоскости ху для Ух и Уу выполняются два очевидных условия:
dVx_dVx
dx дх ду
У,
(3.52)
dx дх ду
Подставляя теперь дУх/дх и дУу/дх из (3.52) в (3.51), получаем
дУх dVy дУу ,_
ду d
-у') + (а2 -VH
—2--V У
ду х у
—ILy' + ZUL
ду ду
= 0.
dx ду ' ) v y/ ду л \ dx
В последнюю систему входят только две неизвестные производные
—— и —-. Условие неоднозначности определения этих производных
ду ду
из последней системы — равенство нулю определителя, составленного
из коэффициентов при неизвестных:
1 у'
-(a2-Vx2)y'-VxVy
= 0.
Для непротиворечивости системы необходимо выполнить еще и
условие совместности данных двух уравнений — равенство нулю
определителя, получающегося заменой у определителя системы одного из
столбцов свободными членами системы:
1
dV,
dx
-а
-(а1-)
dV,
VV
= 0.
Раскрыв первый определитель, получим
а2 -V2 + 2VxVyy' + y'2(a2 -V2) = 0
Отсюда, разрешая квадратное уравнение, имеем
V2-a2
(3.53)
(3.54)
Таким образом, в плоскости течения при У> а существует два
семейства характеристик, каждое из которых отвечает одному из корней
квадратного уравнения. При У= а имеется только одно семейство ха-

3.2. Плоские стационарные течения 159
рактеристик; при V<a действительных характеристик нет. Для
сверхзвуковых течений система (3.51) относится к классу гиперболических
дифференциальных уравнений, для дозвуковых — к эллиптическому
типу, в случае V- а — к параболическому типу.
Раскрывая второй определитель, получаем
dx y dx { dx
или
Заменим первую квадратную скобку согласно (3.53), а вторую —
согласно (3.54). Получим
VJLHai-V2)^ = ±QnJv2-a2.
dx у' v x/ dx
Отсюда
,
Согласно теореме Виетта, произведение корней квадратного
уравнения (3.53) равно его свободному члену, т. е.
Из (3.55) для характеристик первого семейства получим
——+ — = ^ 1—~> (3.56)
dx y'2 dx Vy-a1
а для характеристик второго семейства
*■ - ■ (з-5?>
Уравнения (3.56) и (3.57) называются «условиями совместности».
Таким образом, согласно (3.56) и (3.57), вдоль каждого из двух
семейств характеристик выполняется по одному обыкновенному
дифференциальному уравнению для двух неизвестных функций Vx и Vy, что и
позволяет однозначно решить задачу в любой неособой точке — в месте
пересечения характеристик обоих семейств. Поскольку все поле
сверхзвукового течения сплошь покрыто двумя семействами характеристик,

160
Глава 3. Неодномерные течения
сколь угодно близко расположенных друг к другу, задача может
решаться численно в любой точке.
Введем угол наклона скорости к оси х — 0. Тогда Vx= Kcos0, Vy =
= FsinG. Кроме того, введем угол а, называемый углом Маха, из
равенства sin a = a/V. При этом из (3.54) имеем
,_ sin 0 cos 0± sin a cos а
cos20-sin2cc
Используя тригонометрическое тождество
tg(e±ct) =
sin 0 cos 0 ± sin а cos а
cos2 0-sin2 а
Рис. 3.5. К определению
нормальной к характеристике
составляющей скорости
tgq> = —~\
У
coscp =
окончательно получим
/ = tg(0±a). (3.58)
Определим нормальную
составляющую скорости АВ к характеристике
первого семейства ОЛ (рис. 3.5):
Vn = Vx coscp + Vy sin ф,
где ф — угол между нормалью к
характеристике и осью х (ф < 0), причем
Подставим
получим
/cos0
и со8ф в формулу для Vn. Учитывая, что у'= tg(a + 0),
sine
jl + У2
Тот же результат имеем и для характеристики второго семейства.
Таким образом, нормальная составляющая скорости к
характеристике всегда равна скорости звука. Следовательно, угол между скоростью и
характеристикой равен а; это вытекает также из (3.58). Поскольку это
справедливо для характеристик обоих семейств, то вектор скорости делит
угол, образуемый двумя характеристиками разных семейств, выходящих
из одной точки, пополам, причем каждая половина равна а.
Преобразуем теперь условия совместности. Сначала отметим, что
для любой функции, зависящей только от vj/, например для ho(\\j) вдоль
характеристик
d d (ду d\\f Л d JZ , , Т7 d
dx d\y{dx ду ) d\\t

3.2. Плоские стационарные течения 161
Двучлен
y'pVY-pVv =ftg(e±a)cose-sinelpK = ±pK .
УУ х у L J cos(e±a)
Подставим полученные равенства в (3.48):
Id
_ _dh() cos(6±a) cos(6±a) Y у й
i2 = +—— ± p r =
dx К sin a Ksina y-\ dx
f i \
Ksina (^ dx y-1 dx J
Отметим, что
dV cose dQ . adV
—=^ = + sine—;
a sina a
dVx sine dQ .dV
—- = +cos в—;
a sina a
sinecose + sinacosa
ctg(e±a) = -
sin26-sin2a
v cos2 e-sin2 a
Vy-a2 sin2e-sin2a
Используя эти равенства, из (3.55) имеем вдоль характеристик
cose ,Л sine dV /Л Ycose dV sine
rf6+t(e )
sina sina V ^sina V sina
cosasin2a _tg(0±a)_cos(e±a)f
sin 6-sin a j sina ^ y-1
или, после преобразований,
,ftcosesin(6Tcc)-cos(6Tot)sine dV
i(e )i V
sin(+a) dV cos(+cc)
sin(e + a)sina V sinasin(e + a)
sinacosa
sin(e±a)
Jd\n& dfa)}
; f
V Y"1 a J

162 Глава 3. f/еодномерные течения
Учитывая тригонометрическое тождество
sin(6±a)sin(6 + a) = sin20-sin2a,
окончательно получим условие совместности, выполняющееся вдоль
характеристических направлений:
f^^^\ (3.59)
= ±sinacosaf^\
V у у-1 а1 )
В (3.59) неизвестными являются дифференциалы модуля скорости dV
и угла наклона вектора скорости dQ вдоль характеристик обоих семейств.
В дальнейшем будем называть плоскость, в которой происходят эти
изменения, плоскостью годографа скорости (в отличие от физической
плоскости (x,j>), в которой происходит течение и выполняются
уравнения характеристик (3.58)). При этом характеристиками первого
семейства будем называть линии, соответствующие знаку «+» в (3.58) и «-» —
в левой части (3.59); характеристиками второго семейства — линии,
соответствующие знаку «-» в (3.58) и «+» — в левой части (3.59).
Наличие вдоль характеристик двух обыкновенных
дифференциальных уравнений (3.59) позволяет развить эффективные вычислительные
методы, т. к. в каждой точке плоскости течения и плоскости годографа
выполняются по два обыкновенных дифференциальных уравнения.
3.2.3. Плоские сверхзвуковые безвихревые течения
Если hQ = const и& = const, то Q = 0, и выражение, стоящее в круглой
скобке уравнения (3.59), обращается в нуль. Из (3.56) и (3.57) имеем для
характеристик первого семейства
dVy/dVx=-\/y'2i (3.60)
для характеристик второго семейства
dVy/dVx=-\/y\. (3.61)
Из этих двух уравнений видно, что характеристики различных семейств
в плоскости течения и в плоскости годографа скорости взаимно
перпендикулярны.
Из (3.59) следует
</e + ctga^ = 0. (3.62)
Отсюда видно, что эти уравнения могут быть проинтегрированы.
Следовательно, раз и навсегда можно для всех безвихревых плоских
сверхзвуковых задач газодинамики получить сетку интегральных кри-

3.2. Плоские стационарные течения
163
вых — характеристик в плоскости годографа, причем через каждую
точку плоскости годографа должны проходить две характеристики. Таким
образом, в плоскости годографа одни и те же интегральные кривые
будут отвечать решениям всевозможных задач, а в плоскости течения
расположение характеристик будет каждый раз новым.
Произведем интегрирование уравнений совместности (3.62).
Поскольку
ctgot =
\2-\
Y + 1
из (3.62) имеем
e=±J
X2-l dX
• + const.
После интегрирования получим
0 = ±
I — ТГРТСТ
Vy-1
V
X2-1
y-1 2
y + 1 J
-arctg 1-
i
X2-l
y-1 2
y + 1
+ const.
Перейдя от Х к а, получим
e=±
ГГЯ" 1
arctg I-—ctga +a
+ const.
(3.63)
Обозначим интеграл, выражающийся через элементарные функции1
fy+T
~ \\ i агс1&
VY-1
1
ГуТ
. \
\ X2-\
Ji Y~42
\ y + 1
N
X2-l
i y"42
y+i" J
я.
-arctg
A
\
X2-\
y-1 2
y + 1
1 Таблицы функции о(Х) даны в приложении.

164
Глава 3. Неодномерные течения
Теперь вместо (3.62) или (3.63) имеем соответственно вдоль
характеристик первого и второго семейств
?' (3.64)
где £, и rj — некоторые постоянные вдоль характеристик параметры
(«инварианты» или «инварианты Римана»).
В плоскости годографа характеристики определены в кольце
и представляют собой эпициклоиды , расположенные в
этом кольце (между радиусами Rmin =1 и Rmax = /-—). Через каждую
точку плоскости годографа
проходит одна эпициклоида первого
семейства и одна — второго
семейства. Отметим, что разность
постоянных г| - £ = 6, а их сумма г| + Ъ, = а.
Значит, разность этих констант
сохраняется на радиусе 9 = const, a
сумма — на окружности а = const.
Каждой неособой точке
плоскости течения ставится в соответствие
одна точка плоскости годографа, но
не наоборот. Так, например, для
равномерного потока одной точке
плоскости годографа соответствуют
все точки плоскости течения.
На рис. 3.6 представлен сектор,
на котором изображена сетка двух
Рис. 3.6. Характеристики в семейств эпициклоид. С помощью
плоскости годографа эпициклоид можно эффективно, в
конечно-разностной форме,
производить решения всевозможных краевых задач газовой динамики.
Записав уравнение Бернулли (3.46) в виде
2 у-1 2(у-1)
Эпициклоида — траектория точки окружности, катящейся по другой
неподвижной окружности.

3.2. Плоские стационарные течения
165
и разложив скорость V на нормальную и касательную к
характеристике составляющие:
V2=V2+V2 n2=V2
из уравнения Бернулли получим
а*
а.
Y + 1
у-1
1
= 1.
(3.65)
У1
Полученное выражение — уравнение эллипса с полуосями 1 и
/у + 1
/-— в координатах Кх =Vx/a+, Xn =Vn/ax, называемого эллипсом Бу-
земана. Таким образом, если эллипс проходит в плоскости годографа
через некоторую точку Хп, то его большая
ось совпадает с направлением
характеристики в плоскости течения, а малая дает
направление, нормальное к этой
характеристике. Поскольку через любую точку Хп
возможно провести два эллипса Бузема- >
на, то и в любой точке N плоскости тече- /
ния с помощью этих эллипсов можно
найти направления двух характеристик
разных семейств, параллельных большим
осям эллипсов (рис. 3.7).
С учетом соотношений (3.60) и (3.61)
получим простой и эффективный способ
построения характеристик в плоскости
годографа (эпициклоид). Для этого
достаточно провести через точку N малый
отрезок прямой, параллельной малой оси эллипса. Поворачивая эллипс
на небольшой угол А0 и продолжая построение, можно вычертить из
элементов прямых всю эпициклоиду. Таким образом, вращая эллипс
Буземана в разные стороны, легко покрыть рассматриваемую область
двумя семействами эпициклоид. Однако заранее этого делать не
следует; целесообразно строить только те эпициклоиды, которые
необходимы для решения конкретной задачи. Указанная выше процедура
выполняется особенно просто, если эллипс сделан из тонкого твердого
и прозрачного материала и на нем часто нанесены линии — риски,
Рис. 3.7. Два положения
эллипса Буземана

166 Глава 3. f/еодномерные течения
параллельные малой оси. Эллипс накалывается на лист бумаги так,
чтобы его центр вращения совпадал с точкой Хх = Ху = 0.
Как отмечалось выше, эллипс Буземана можно использовать и для
определения направления характеристик в плоскости течения,
параллельных большой оси эллипса. Это свойство эллипса сохраняется и для
вихревых потоков, т. к. исходное уравнение Бернулли (3.46) и
равенство (3.65) справедливы и для вихревых течений.
Используем теперь метод характеристик для решения четырех
основных краевых задач сверхзвуковой плоской газодинамики при
отсутствии ударных волн. Следует отметить, что графический метод
построения решения краевых задач с использованием эллипса Буземана,
конечно, уступает вычислительным методам, использующим ЭВМ, в
точности и скорости построения решения, однако весьма
иллюстративен и позволяет быстрее понять физическую сущность решаемой
задачи, что полезно знать при составлении программ.
Задача Коши. Газодинамические параметры заданы в плоскости
течения на некотором отрезке KL линии, не являющейся
характеристикой (рис. 3.8). Требуется построить поле
течения внутри криволинейного треугольника,
ограниченного этой линией и двумя
характеристиками разных семейств, выходящими из
концов этой линии и пересекающимися в
некоторой точке N.
Зададим на KL ряд точек Кь Къ..., Кп, и
проведем через каждую из них элементы ха-
_^_ рактеристик первого и второго семейств до
х пересечения либо между собой, либо с край-
Рис. 3.8. К решению ними характеристиками KN и LN. Если реше-
задачи оши ние ПрОИЗВОдится графически, то в плоскости
годографа линии KL будет соответствовать линия, на которой все
параметры известны. Исходящие из точек К, Кь К2и т. д. эпициклоиды
пересекаются, причем в точках пересечения эпициклоид все параметры
становятся известными. Для определения направления характеристик в
точках К]9 К2 и т. д. плоскости течения следует брать среднее положение
эллипса Буземана, соответствующее точкам отрезков KL и КЪ'.
При решении задачи Коши численным методом для определения
параметров, например, в точке т, являющейся пересечением
характеристик, исходящих из точек К} и К2, из (3.64) получим

3.2. Плоские стационарные течения
167
Положение точки т определяется при использовании двух
уравнений (3.58) для определения хт и уп
(3.67)
Если характеристики Кхт или К2т наклонены близко к вертикали,
то вместо (3.67) удобнее использовать запись типа
Гб^ + 01 аж+аЛ ГЭ^+01 aw+i
ут-ухсо$\ -J2 L+—2! L ^(jc^-jcjjsin — -—-—
V 2 2 ) \ 2 2
Подобно точке т находятся и остальные точки линии КЪ\ затем
рассчитывается следующая полоса и т. д.
Задача Гурса. Параметры заданы на
и т. д.
характеристиках NK и NL двух различных
семейств, пересекающихся в точке N
(рис. 3.9). Требуется определить параметры
внутри криволинейного
четырехугольника NKML.
Задача решается аналогично
предыдущей. Отрезки KN и NL разбиваются на
элементарные ячейки. Скорости и другие
параметры находят сразу же
определением точек пересечения эпициклоид либо
использованием (3.66). Координаты
точек пересечения характеристик
вычисляются по (3.67) подобно предыдущему
случаю.
Задача со свободной поверхностью.
Параметры заданы на отрезке
характеристики MN (рис. 3.10), кроме того,
известно, что вниз по течению от точки М —
свободная поверхность струи, требуется
найти параметры внутри треугольника
MNL (NL — отрезок характеристики).
Условие постоянства внешнего давления
на границе струи ML согласно третьему
Рис. 3.9. К решению
задачи Гурса
Рис. 3.10. К решению
задачи со свободной
поверхностью
равенству (3.50) эквивалентно условию V- const. Эта линия в
плоскости годографа скорости изображается окружностью, проходящей через

168
Глава 3. Неодномерные течения
точку Л/. Для определения угла 9 на свободной поверхности
используется одно из уравнений (3.64), например, первое (при условии от = ом):
_ [\ _ (\ (1 /ГО\
Oi —\J\ =(Ji/ —о„, Ij.OO)
1 1 JM ffl \ /
При этом
Положение точки т в плоскости течения определяется первым
уравнением (3.67) и условием, что свободная поверхность является
линией тока:
(3.69)
Далее задача решается аналогично предыдущим.
Задача со стенкой. Параметры заданы
на характеристике ML (рис. 3.11).
Требуется найти параметры в области между
заданной стенкой MN и
характеристиками ML и LN, причем предполагается, что
в точке М стенки и характеристики ML
угол 9 один и тот же. Зададим на
характеристике ML точку К весьма близко к
точке М, и из этой точки выпустим
характеристику km до ее пересечения со стенкой.
Как и в предыдущей задаче, стенка (и
ее начальный элемент Mm) является линией тока. В плоскости
годографа точку т найдем сначала как пересечение эпициклоиды,
проведенной через точку К, с линией ОМ, где О — начало координат в
плоскости годографа.
В плоскости течения точка т определяется из системы
Рис. 3.11. К решению задачи
со стенкой
(3.70)
причем расчет точки т производится методом итераций. Для первой
итерации полагается в первой формуле дм = 9т. После каждой итерации
уточняется величина 9т, т.к. на заданной стенке Qm = Qm(ym). Обычно
бывает достаточно двух-трех итераций. После определения оконча-

3.2. Плоские стационарные течения
169
тельного положения точки т в плоскостях течения и годографа для
характеристик km и IcL решается задача Гурса и т. д.
Естественно, что использование в двух последних задачах
характеристик именно первого семейства для определения точек т не является
обязательным, а обусловливается расположением свободной
поверхности или стенки относительно исходной характеристики.
3.2.4. Течение Прандтля —Майера
Одним из наиболее важных примеров плоских безвихревых
сверхзвуковых течений является течение Прандтля —Майера (или
центрированная простая волна), возникающее при обтекании тупого угла
равномерным потоком (рис. 3.12).
При движении равномерного
потока со скоростью Vo вдоль стенки
до линии ОА поток «не знает» о
существовании угла.
Возмущение, вносимое в поток
в точке О изломом стенки,
распространяясь со скоростью звука во
все стороны, сдувается
сверхзвуковой скоростью Ко. В результате чего
линия возмущения представляет
собой прямую ОА или
характеристику первого семейства. Эта
линия является прямой, поскольку на
ней y'=tg(ct + 6), причем и а и 0
постоянны в равномерном потоке:
Ф
Рис. 3.12. Течение
Прандтля — Майера
6 = 0, а = а0 = arcsin—- (я0 — скорость звука в набегающем потоке).
Точка О — особая: в ней в соответствии с граничным условием
происходит поворот потока на конечный угол. Если этот поворот
представить состоящим из достаточно большого количества малых поворотов, то
для каждого такого поворота будет возникать линия возмущения,
подобная линии ОА. Таким образом, мы приходим к пучку волн разрежения,
или волн Маха, исходящих из точки О. Вдоль каждой волны все
параметры постоянны в силу равномерности набегающего потока. Поэтому в
плоскости годографа весь пучок волн Маха изобразится отрезком
эпициклоиды второго семейства АВ, причем угол наклона скорости в точке В
равен углу поворота потока 6<0. При этом на волнах Маха y = xtg(ot + 0).

170
Глава 3. Неодномерные течения
Отметим одну из линий тока MN. Очевидно, что если эту линию
принять за стенку, т. е. рассматривать поток вне этой линии, то ничего
из предыдущих рассуждений не изменится. Следовательно, решение
задачи об обтекании тупого угла есть одновременно и решение задачи
об обтекании выпуклой стенки некоторой специальной формы.
Если поток неравномерный и неплоский, то все равно в достаточно
малой окрестности точки О (например, для одной расчетной ячейки)
можно считать поток и плоским, и равномерным; здесь имеет место
течение Прандтля — Майера.
Согласно (3.63) и (3.64) вдоль характеристик второго семейства
а + 0 = const и вдоль АВ имеем
( П77Т \
Y + ictgaoJ+ao =
[у-1~"e\Vy+i~~e~l "' (3'?1)
причем 0О = 0.
Введем в рассмотрение угол ф, отсчитываемый от оси х против
часовой стрелки (см. рис. 3.12). Очевидно, ф = а + 0. На
характеристике ОА ф = сс0; на характеристике второго семейства, а также вдоль линии
тока АВ 0 = ао — с<0иф = Oq + cc — су.
Угол \\f (см. рис. 3.12) определяется формулой
VU+1
Поскольку ф и v|/ имеют разные знаки, vj/ отсчитывается по часовой
стрелке и значение vj/ = 0, соответствующее a =—, возможно только при
Vo =я0. При Vo >a0 наименьшее значение v|/
Выражая а через v|/, получим
ctga =
Y-1 VY+1
Запишем уравнение линий тока в полярных координатах (г, vj/):
dr _ rd\\t
(3.72)

3.2. Плоские стационарные течения
171
где VruVy — соответственно составляющие скорости в направлении
радиуса вектора г и в направлении, нормальном к нему, при этом Vr =
= Kcosot, Ку= Ksinot.
Отсюда в соответствии с (3.72) имеем
r~Vx
Интегрируя, получим
COS
COS
V
Y-l |
(|y+iy J
Y+l
Y-l
(3.73)
где r0 = OA, vj/0 — начальное значение vj/ — для линии OA, определяемое
по (3.72) при а = а0. Уравнение (3.73) позволяет построить семейство
линий тока прандтль-майеровского истечения для любых г0.
Следует отметить, что линия тока АВ численно может быть
построена и при использовании уравнения расхода г = гороао/р(а)а(а), где
а — угол Маха, без введения ф и vj/. Однако (3.73) — явное выражение
радиуса г через угол vj/.
Из (3.71) найдем последнюю характеристику
прандтль-майеровского расширения:
/у + 1.
Отсюда a^Xj) определяется по известным значениям а0 и угла поворота
потока 6j, при этом
Аф = ф1-ф0 =ос1-|01|-ссо <0,
А\|/ = - Аф = ao-a1+|01|>O.
При истечении в пространство с пониженным противодавлением р2
в окрестности границы с внешним пространством также происходит
прандтль-майеровское течение; угол поворота потока 0j при этом
определяется перепадом давлений в струе и внешнем пространстве. В этом
случае давление в струе на ее внешней границе после поворота должно
совпадать с р2.

172
Глава 3. Неодномерные течения
Приведенную скорость после поворота Х2 можно вычислить по
уравнению
у-1
Y
где, как и ранее, р0 — давление торможения. По Х2 можно найти а2,
а затем 92 = а0-а2<0. При этом поворот характеристики первого
семейства
(3.74)
arctg P— ctga2 -arctg Д—ctgcc0 .
Если a0 =— (поворот от X = 1), a2 = 0 (истечение в вакуум), угол
поворота характеристик будет наибольшим:
При у = 1,4 Av|/max = 220° а при у = 1,2 ДУтах = ^00°. Естественно, что
такое расширение даже чисто геометрически осуществить невозможно.
Нужно иметь в виду, что если скорость перед началом расширения не
звуковая, а сверхзвуковая, особенно с большой приведенной
скоростью Д.о, то угол поворота характеристик Avj/ существенно уменьшится.
Определим теперь поворот вектора скорости. Из (3.71) имеем
е,=
ctgct2 +cto-a2.
При ao=— и сс2=О имеем наибольший угол поворота вектора
скорости 02тах:
(375)
Отсюда видно, что поворот скорости на 90° меньше поворота
характеристики первого семейства:

3.2. Плоские стационарные течения 173
Поворот скорости происходит на меньший угол, чем
характеристики, поскольку при Хо = 1 характеристика «отстает» от скорости на угол
90°, а при X = Хтах они совпадают по направлению.
Максимальный поворот на 130° для у =1,4 складывается из
следующих составляющих:
от X = 1 до X = 1,5 поток поворачивается на 19°;
= 1,7 -на!2°;
= 1,9 -на14°;
= 2,0 —на 8°;
от X = 2 до X = Лтах — на 77°.
Следует отметить, что околозвуковой поворот (на 19° от Х= 1,0 до
X = 1,5) весьма существенен. Если поворот начинается от X > 1, угол
поворота скорости 0 заметно уменьшается.
Развитая выше теория характеристик плоских безвихревых
сверхзвуковых течений является средством решения всевозможных краевых
задач с использованием ЭВМ, программы для которых применительно
к задачам данного типа являются весьма элементарными.
В качестве иллюстрации рассмотрим истечение из плоского сопла в
пространство с пониженным давлением р. Вдоль линии 11 (рис. 3.13) в
плоскости течения параметры постоянны и скорость равна скорости
истечения Vv Пусть давление внешней среды соответствует, по
уравнениям Бернулли, скорости V2. При этом будет происходить прандтль-
майеровское расширение от Vx до К2. Характеристика первого
семейства, идущая в плоскости течения от точки Г линии симметрии до
пересечения с последней характеристикой течения Прандтль — Майе-
ра в точке 2 ограничивает область расширения Прандтль — Майе-
ра 11 '2' и треугольник 22 '2", в котором все параметры потока
постоянны. Пересечение «последней» характеристики расширения Прандтль —
Майера 22'3 с линией симметрии определяет точку 3.
Характеристика первого семейства, выходящая из точки 3 и приходящая на
границу в точке 4, как видно из картины течения в плоскости годографа,
определяет наличие первой зоны сжатия; при этом скорость на участке
границы 2 "4 наклонена к оси х сначала под положительным, а затем
под отрицательным углом. Отметим, что участок границы
22"прямолинеен, а 2 "4 — криволинеен. Характеристика второго семейства 2"3'3"
определяет треугольник 33 '3" постоянной скорости, а характеристика
первого семейства 3"4'4", идущая от линии симметрии к границе на
участке 44", ограничивает область постоянных параметров 44'4"с
отрицательным наклоном скорости. Участок границы 44" прямолинеен. За

174
Глава 3. Неодномерные течения
характеристикой 3"44" идет характеристика первого семейства \\\\2\
до встречи с границей в точке 2,, затем картина течения повторяется. Из
рис. 3.13 видна бочкообразная структура струи; ее расширение
сменяется сжатием и т. д. Интересно отметить, что вдоль струи идет волна с
треугольниками постоянных параметров 22 '2 ", 33 '3 ", 44 '4", 1 {1 \ 1 '\ и т. д.
Рис. 3.13. Схема расположения характеристик при истечении из сопла в
среду с пониженным противодавлением:
а — плоскость течения; б— плоскость годографа
Подобным образом можно строить течение в канале, а также
решать и другие задачи, причем в некоторых случаях и при наличии
ударных волн. Из-за вязкости, которая здесь не учитывается, бочкообразная
структура струи постепенно размывается.
3.2.5. Обтекание вогнутого угла
Рассмотрим теперь обтекание сверхзвуковым плоским безвихревым
потоком вогнутого угла (рис. 3.14). Возмущение, вносимое в
равномерный поток вогнутым углом (или стенкой), распространяется по
прямолинейной характеристике первого семейства ОМ. В плоскости
годографа эта характеристика изображается точкой, соответствующей
скорости невозмущенного потока. Последующие характеристики первого
семейства также являются прямолинейными, по крайней мере в
начальной их части. Однако наклон характеристик а+ 6 увеличивается
как из-за угла 6, определяемого обтекаемым контуром, так и из-за
увеличения а, вызванного уменьшением скорости вследствие поджатая

3.2. Плоские стационарные течения
175
потока. Поэтому характеристики
выше некоторой точки М
пересекаются, т. е. появляется «висячая»
ударная волна. Чтобы найти начало этой
волны, нужно найти предел, к
которому стремится точка пересечения
характеристик ОМ и AM при
приближении точки А к точке О.
Характеристика ОМ определяется
уравнением
у = у'(0,0)х, (3.76)
а характеристика AM — уравнением
у-6у = /(8х,8у)(х-8х), (3.77)
где Ьх и 8у — координаты точки А.
Будем считать, что вдоль обте-
У i
Рис. 3.14. Обтекание вогнутой
стенки
каемого контура меняется параметр 6 — угол наклона контура к оси х, а
х и у являются на контуре функциями от 6. Кроме того, начальное
значение 0 примем нулевым, т. е. 0(0,0) = 0. При 0(0,0) > 0 возникает косой
скачок уплотнения, подробно рассмотренный в гл. 1. Для определения
положения точки М приравняем у в уравнениях (3.76) и (3.77). Получим
ду-у'(дх,ду)&х
Х
Перейдем теперь к пределу при 0 -> 0:
dy
dd
е=о
9=0
(3.78)
9=0
В точке О вдоль границы
dx °
отсюда при dQ/dx>0 (если dQ/dx = 0, то висячий скачок начинается
правее характеристики ОМ)
0 dxdQ
Далее вдоль характеристики
поскольку ОМ и AM— характеристики первого семейства.
(3.79)
(3.80)

176 Глава 3. Неодномерные течения
Определим теперь dy'/dQ\ Q Из уравнения, связывающего число
Маха и приведенную скорость, следует
. 2
sin сс +
Отсюда
, у+1 1 dX
sin a cos а аа = -- =■—.
2 2 X
2 X2 X
При переходе вдоль характеристики второго семейства от
характеристики первого семейства ОМ к характеристике AM выполняется второе
равенство (3.62), т. е.
rf9 + ctg —= 0.
А.
Исключая из последних трех равенств — и А,2, получим
Л.
■ 2 Y-1
da sm2a+X-
dd cos2а
Отсюда сразу же имеем
cos2(9 + a) dQ ~ cos2(9 + a)
y + 1
da}
+ dQ)
2cos2(a + 9)cos2a д_^0 2cos4a
Подставляя последнее равенство, а также (3.79) и (3.80) в (3.78), получаем
2sina0cos3a0 dx
х м —
м y+i de
_ 2sin2 a0 cos2 a0 dx
UJJ e=o
Формулы (3.81) выражают координаты точки начала «висячей»
волны через угол Маха набегающего потока сс0 и градиент нарастания
угла 9 в начальной точке dd/dx\ _Q.
3.2.6. Перевод расходящегося потока в равномерный
Остановимся еще на одном примере сверхзвуковых плоских
безвихревых течений: на профилировании участка сверхзвукового
контура сопла, переводящего равномерно расходящийся поток (течение «от

3.2. Плоские стационарные течения
177
источника») в равномерный: в треугольнике CBD (рис. 3.15) всюду V- Va,
0 = 0. Хотя такое расходящееся течение нельзя продолжить в
дозвуковую область, тем не менее близкое к такому течение может быть
реализовано при наличии весьма длинной прямолинейной стенки
сверхзвуковой части сопла.
Рис. 3.15. К профилированию сопла
Примем в качестве исходных данных угол полураствора сопла р,
ординату минимального сечения А* и ординату последней точки
прямолинейной части контура^ (рис. 3.15). Очевидно, что yA = RAsin$, где
ЯА — радиус, проведенный из точки О, являющейся местоположением
«источника».
Скорость в точке А определяется равенством
где |л — коэффициент расхода. Проведем криволинейную
характеристику второго семейства АС, разделяющую область течения от
источника и область спрямляющего течения. Вдоль нее имеем условие
(3.82)
определяющее скорость в точке С — ас, а по ней и Хс.
Поскольку скорость во всем характеристическом треугольнике CBD
постоянна, весь этот треугольник изображается в плоскости годографа
точкой, в которой 6 = 0. Следовательно, характеристики СВ и BD —
прямые. Прямыми будут и все характеристики первого семейства в
треугольнике ABC, поскольку все характеристики второго семейства,
идущие влево из характеристики СВ в плоскости годографа, изображаются
одной эпициклоидой, соответствующей характеристике СА.
Попутно отметим полезное правило плоских течений: если одна
характеристика — прямая, то в данной области и остальные
характеристики того же семейства — прямые. Это следует из того, что
прямолинейная характеристика изображается в плоскости годографа точкой, через
которую можно провести лишь одну эпициклоиду, соответствующую

178 Глава 3. Неодномерные течения
характеристикам другого семейства. Точки этой эпициклоиды отвечают
прямолинейным характеристикам исходного семейства.
Если бы не было поджатия контура на участке АВ, то расход через
цилиндрическое сечение, проходящее через точку С, был бы равен
q(Xc)Rc$. Этот расход сохраняется и при наличии поджатия и равен
расходу через контур GFE. На участке GF расход равен q(XF)RF(p; на
прямой линии /!£ расход определяется произведением q(XF)sinaEF, где
EF- (уЕ- i?/rsin(p)/sin(a + ф), причем а и ф соответствуют линии FE, где
все параметры постоянны. Таким образом, условие равенства расходов
имеет вид
Отсюда можно найти
1^£±^1 (3.83)
since/. J
Подставляя (3.83) в выражение для координаты
хЕ = RF coscp+ctg(a/r +y)(yE -RF sincp),
получим
Хг =Луг соБф+ф-ф) ^-^^—-^ . (3.84)
[ sinayr J
Входящее сюда значение RF исключается при использовании
уравнения расхода
Окончательно после замены RFв (3.83) и (3.84) имеем
il
{qCXF)
Хг = Кл——
*"' I
sina^r J
Входящие в (3.85) значения XF и ар определяются формулой,
подобной (3.82):
в которой ф является аргументом.
Поскольку скорость в треугольнике CBD постоянна, из уравнения
расхода определяется ув\

3.3. Осесимметричные стационарные течения 179
ИЛИ
Ув=*с$- (3-86)
Это условие является чисто геометрическим, т. к. сюда не входят
газодинамические параметры.
Из (3.85) приф = р имеемУе~Уа-
Отметим, что в (3.83)—(3.86) все линейные величины можно считать
отнесенными к \ih+ и безразмерными, если принять |ий«, = 1.
3.3. Осесимметричные стационарные течения
3.3.1. Общая теория
Осесимметричными течениями называются двумерные течения, в
которых существует симметрия относительно некоторой оси. Примеры
осесимметричных течений: обтекание пули или снаряда, движущихся
параллельно своей оси; течения в круглых соплах, диффузорах и т. д.
Приложение теории осесимметричных потоков к всевозможным
техническим задачам и проблемам значительно шире, чем плоских.
Движение осесимметричных потоков удобно рассматривать в
цилиндрической системе координат г, 6, z, где z — ось симметрии. В силу
симметрии — и VQ полагаются равными нулю, хотя в некоторых случа-
50
ях рассматриваются и течения с закруткой, когда VQ*Q. Из (3.8),
положив в силу стационарности dp/dt = O, получим уравнение неразрывности
az ar (3.87)
Или
dz dr r
Из (3.34) и (3.35) при условиях: (7=0, —- =—5.=
dt dt
следует
dz dr pdz
+к,^+!*=о.
dz dr p dr

180 Глава 3. 11еодномерные течения
Эту систему, как и для плоских течений, можно преобразовать к виду
)+v(
pdz dz(2) r(dz dr /
\j±_ ^{YlYv(dv^_dvA
pdr dr[ 2 ) z{dz dr )
Условием постоянства энтропии S вдоль линий тока является
подобно последнему равенству (3.44)
М^) (3.89)
Система (3.87)—(3.88) отличается от соответствующей системы для
плоских течений только наличием свободного члена в уравнении
неразрывности. Это, казалось бы, небольшое отличие приводит к
существенному усложнению решения, причем для безвихревого потока с
осевой симметрией в плоскости годографа уравнения характеристик
проинтегрировать нельзя.
Введем, как и для плоских течений, функцию тока \\t(z, r) из
уравнений
а, -•■ аг "■ от
При этом из (3.88) имеем
dz dr V,
\др_ d_\V
pdz dz
а также
*. (3.91)
d
pdz dz( 2 ) 8z\2 y-1 I y-r dz
Отсюда, как и для плоских течений, следует, что вдоль линий тока
dz dr
а уравнение линий тока имеет вид
vz v г

3.3. Осесимметричные стационарные течения
181
Умножая первое равенство (3.90) на Vr, а второе — на Vz и
складывая, получим
Подобно случаю плоских течений, отсюда и из (3.89) имеем 0 =
т. е. энтропийная функция вдоль линий тока сохраняет свое значение и
зависит лишь от vj/.
Умножая первое уравнение (3.88) на Vv а второе — на Vr и
складывая, получим с учетом (3.89) и (3.91)
V±
У
—
2 у-1
+ V.—
гдг
т-П
2 у-1
= 0.
Из последнего уравнения и (3.92) следует
V2 у У~
2 у-1
т. е. полная энтальпия не меняется вдоль линий тока.
Отсюда
dhQ _ dh0 dy д& _ d& ду
dz d\\t dz' dz d\y dz
Теперь выражение для вихря Q примет вид
К\
d\\i
-1 d\\f d \\f
(3.93)
Как и для плоских течений при Q = 0, вообще говоря, —- = — = 0.
d\\j d\\f
Из уравнения неразрывности (3.87) имеем
Л (3.94)
,гЛ,ДДЛ
dz z дг r dr dz r
Из уравнения Бернулли, как и для плоских течений, имеем
dt[ 2 )а Л '
Подставляя это выражение в умноженное на а2 уравнение (3.94),
получаем
^f^^W-^.-^. (3.95)
д

182
Глава 3. Неодномерные течения
Переходя к отысканию уравнений характеристик, подставим в
уравнение (3.95) и равенство — - = Q производные —-и—-
dz dr dz dz
по формулам
Получим
dz dr
dVL_dV±_dV^dr_ dVr _ dVr dVr dr
dz dz dr dz dz dz dr dz
и
dz dz
dr dz dr
(3.96)
Уравнение совместности этой системы имеет вид
-r'(a2-V})-VrVz -V'(a2-
= 0.
Раскрывая определитель, после преобразований получим
(3.97)
Условие обращения в ноль определителя системы (3.96), т. е.
уравнение для характеристик, подобно плоскому течению, имеет вид
r'2(V2 -a2)-2VrVzr'+(V2 -a2) = 0 (3.98)
при
ri „2
(3.99)
Выражение в первой квадратной скобке (3.97) может быть заменено
согласно (3.98), а во второй — согласно (3.99). Выполнив подстановки,
получим
dz
dz

3.3. Осесимметричные стационарные течения 183
и окончательно
dV dV V2-a2 a\lv2-a2 a2V r' 1
—L +—Lr'-*z =■ = +Q-A: т-г' + л т. (3.100)
rfz £fe Fr2-a2 К,2-*2 г v}-a2
Уравнение (3.100) отличается от соответствующего уравнения для
плоских течений (3.55) наличием второго слагаемого в правой части.
3.3.2. Безвихревые течения
Рассмотрим теперь случай Q = 0. Из (3.100) имеем
z Vr2-a2 r{V2-a2)
Преобразуем уравнение (3.101) к тригонометрической форме
подобно тому, как было получено уравнение (3.59). Для приведения (3.55)
к (3.59) формулу (3.55) умножим на дробь и выполним со-
а
ответствующие преобразования. Проделаем ту же операцию с (3.101).
Тогда слева получим левую часть (3.59), а справа —
_dr sin(0 + a)sin0sina __sin9sina dr
r (sin2 0-sin2 a) sin(0±a) r '
Окончательно условия совместности для безвихревых осесиммет-
ричных течений примут вид
dV sin0sina dr Л 7_ 1Л_ч
rf0Tctga-— ±——-— — = 0; (3.102)
V sin(0±a) r
вдоль характеристик
г' = —= tg(6±a). (3.103)
dz
В отличие от плоских безвихревых потоков здесь уравнения
совместности не интегрируются в квадратурах. Более того, даже переменные 0
и X разделить в дифференциальном уравнении (3.102) невозможно.
Поэтому для решения конкретных краевых задач необходимо выполнение
численного интегрирования систем (3.102) и (3.103) на ЭВМ.
При проведении расчетов на машинах использование уравнений
совместности и характеристик в виде (3.102) и (3.103) невыгодно из-за
большой потери машинного времени на тригонометрических
подпрограммах. Поэтому целесообразно записать эти уравнения и в форме, не

184 Глава 3. Пеодномерные течения
содержащей тригонометрических функций. Введем для этого
следующую замену переменных: tg8 = £, ctgcx = p.
После элементарных тригонометрических преобразований вместо
(3.103) получим
J^l (3.104)
Для преобразования уравнения совместности используем
очевидные тождества
, dC, sinGsina _ С,
~1 + С2'
при этом из (3.102) получим
или
- = 0. (3.105)
Уравнения (3.104) и (3.105) обычно используются при
интегрировании условий совместности вдоль характеристик. Нормальная
составляющая скорости к характеристике для осесимметричных течений, как
и для плоских, всегда равна скорости звука.
В заключение отметим, что для вихревых осесимметричных
течений структура уравнений совместности практически не изменится,
добавится лишь слагаемое к уравнениям (3.105), что несколько усложнит
программу и заметно увеличит время счета.
3.3.3. Численная реализация метода характеристик
3.3.3.1. Классическая расчетная схема
Примем в качестве искомых функций в уравнениях
совместности (3.102) 0 и а; тогда эти уравнения вместе с уравнениями
характеристик примут следующий вид:
для характеристик первого семейства
ctg(0 + a)dr = dz
и
l + cos2a . sin6sina ,
da = dr,
у-cos2a rsin(0 + a)

3.3. Осесимметричные стационарные течения 185
для характеристик второго семейства
1л l + cos2a . sinGsina .
dQ da = dz.
y-cos2a rcos(G-a)
Если элемент характеристики первого семейства соединяет две
близкие точки 1 и 2, а элемент характеристики второго семейства — 0 и
2 и в треугольнике 0, 1, 2 по известным параметрам в точках 0 и 1
определяются 0, a, r и z в точке 2, то уравнения совместности и
характеристик в конечно-разностной форме имеют следующий вид:
z2=Zi+m(r2-rl);
r2=r0+n(z2-z0);
Q2-e0-M(a2-a0)-N(z2-z0) = 0i
где 2/w = ctg(01+a1) + ctg(02+a2); 2/i = tg(0o-ao) + tg(02-a2);
l + cos2a1 l + cos2a2 sina1sin01 sina2sin02
2 y-cos2a2' r{ 5111(0! + a{) A2sin(02+a2)>
9 _l + cos2a2 l + cos2a0 ^\r_ sin0osinao sin02sina2
y-cos2a2 y-cos2a0' rocos(0o-ao) r2cos(02~a2)
Разрешив полученную систему относительно неизвестных
параметров, получим
= ZigQ (01). r ^
\тп '
сс2=-
\-тп \-тп
[ -0q +Koii +Molq + L(r\ —
к+м
2
Поскольку в последние четыре формулы во все коэффициенты
входят неизвестные параметры в точке 2, то для проведения расчетов
обычно используется метод итераций. При этом для первой итерации
коэффициенты т,п,К, L, MnN вычисляются по параметрам в точках 1
и 0, затем в эти коэффициенты подставляются вычисленные параметры
в точке 2, и счет повторяется. Как показывает опыт вычислений, в
соплах трех итераций оказывается достаточным для достижения
требуемой точности вычислений при 50—100 точках в сечении сопла.

186 Глава 3. Неодномерные течения
Такой путь расчета рабочей ячейки может быть использован во всем
поле течения, кроме прилегающей к оси симметрии зоны. Здесь 0 -» 0 и
г-> О и входящее в L и N отношение sin9/r оказывается
неопределенным. Следуя [19], раскроем эту неопределенность по правилу Л опиталя:
limsin0/r = ^e/rfr.
г->0,
е->о
Если на ось попадает точка 1, то, заменяя в уравнении
характеристики первого семейства отношение sin0/r на dd/dr, получим вдоль
характеристики первого семейства
a sin0 dQ
dr у -cos2a dr r dr'
Отсюда, разрешая последнее равенство относительно dd/dr, в
точке 1 имеем
sin0 f ^
г 2^y-cos2a dr )
Итак, для расчета параметров в точке 2 в том случае, когда точка 1
попадает на ось симметрии, параметр L необходимо вычислять по
формуле
1 |~1 l + cos2a1 sin a 2 sin 02 I
2r2[_2 Y-COS20C! sin(a2+02)J
В том случае, если на ось попадает точка 2, в которой параметры
неизвестны, сразу же имеем г2 = 02 = О, а вдоль характеристики второго
семейства между точками 0 и 2 аналогично предыдущему можно получить
sin0
l + cos2oc da
r=0 2 у-cos2a dr
r=0
Последнее равенство при использовании условия совместности и
уравнения характеристики второго семейства позволяет вычислить а2
на оси симметрии:
2e
п =п , sin(0o-ao)
2 ° l + cos2a0 I l + cos2a2 ?
y-cos2a0 2y-cos2a2
при этом
tgct2-tg(0o-ao)

3.3. Осесимметринные стационарные течения 187
Расчеты по предложенным формулам с выполнением трех итераций
позволяют со вторым порядком точности успешно вести расчеты
сверхзвуковых осесимметричных внешних и внутренних краевых задач.
3.3.3.2. Схема, не использующая тригонометрических формул
Подобным образом могут быть записаны и конечно-разностные
схемы для уравнений, не содержащих тригонометрических функций и
записанных в виде (3.104) и (3.105). В этом случае
а координаты точки 2, как в предыдущем случае, равны
Z2=z]+m(r2-rl)i r2=rQ+n(z2-Z0).
Уравнение совместности на участке 12 характеристики первого
семейства
4 ИК Ч X г
в конечно-разностной форме имеет вид
Здесь
Уравнение совместности на участке 02 характеристики второго
семейства
в конечно-разностной форме имеет вид
где
Разрешив записанные выше уравнения относительно £2» ^-2» Г2' и
получим
\-тп ' \-тп

188 Глава 3. Пеодномерные течения
_. Со ~Ci + Pbt+RXp +Q(r2 -rt)+S(z2 -Zq).
= J7r '
-X,)-RQ{r2 -rt)PS(z2 -Zq)
77~
Если на ось попадает точка 1, то в формуле для Q в этой точке
появляется неопределенность. Заменяя в уравнении характеристики
первого семейства на С>\/гь получим в точке 1 (при £ = г- 0)
Л- "' TKdr'
При этом выражение для 2Q на участке 12 примет вид
Если на ось попадает точка 2, то г2 = 92 = 0 и аналогично
предыдущему вдоль характеристики второго семейства имеем на оси симметрии
dr~ Tkdr'
При этом формула для 7S на участке 02 принимает вид
Поскольку на оси С,2 - 0, то из условия совместности на
характеристике второго семейства легко определяется Х2:
л,2 - ^0 -г ^ •
Как и в предыдущих случаях, для получения второго порядка
точности требуется две-три итерации.
3.3.3.3. Универсальная численная схема
Система уравнений (3.102), (3.103) при использовании следующих
соотношений, справедливых вдоль характеристик первого и второго
семейств соответственно
dr
sin(0 + cc)
dz
cos(G-a)
= sin(0 + a)dr + cos(9 + a)dz,
= sin(9 - a)dr + cos(8 - a)dz,

3.3. Осесимметринные стационарные течения 189
преобразуется к виду
y-cos2a
rdQ
у-cos 2a
Эти два соотношения можно расписать в конечно-разностной
форме для определения параметров в неизвестной точке «2» по известным
параметрам в точке «1» характеристики первого семейства и в точке «О»
характеристики второго семейства:
(r2-r{)m = z2-Zi, r2-r0=(z2-z0)n,
где
2/w = ctg(01+a1) + ctg(02+a2), 2л = tg(0o-cto) + tg(02-a2).
Отсюда
= Zire()(o1) ^ ^o
\-mn ' l-mn
Уравнения совместности в конечно-разностном виде записываются
в следующей форме:
l + cos2oci 1 + COS2CC-) ткЖ, l + cos2a9 l + cos2aft
2K = rx L+r2 L; 2M = r2 L + r0 -;
Y-COS20C! y-cos2a2 y-cos2a2 y-cos2a0
2i = sina1sin01sin(01 + a1) + sina2sin02sin(02 + a2);
27V = sina1sin01cos(01+a1) + sina2sin02cos(02+a2);
2P = sinaosin0osin(0o-ao) + sina2sin02sin(02-a2);
2S = sina0 sin0o cos(0o -ao) + sina2 sin02 cos(02 - a2);
__rx+rlu p _ro+r2
l~ 2 ' 2 '
Поскольку координаты точки «2» r2 и z2 выражены явно через a2 и 02,
то для определения а2 и 02 имеются два уравнения при известных Ги U:
Отсюда
062 ~
_
2~ MRX+KRO

190 Глава 3. Неодномерные течения
Эти формулы позволяют определять ос2 и 92 в любых точках
плоскости течения без использования формулы Лопиталя, понижающей
точность счета. В последних формулах знаменатель МКХ + КЯ0 не
обращается в ноль и счет всей характеристики можно производить по единой
методике.
3.3.4. Примеры расчетов течений в укороченных соплах
методом характеристик
3.3.4.1. Сопло с равномерным потоком в критическом сечении
Вначале примем следующие основные допущения:
1) контур сопла является укороченным из однопараметрического
семейства сопел с равномернопараллельным истечением;
2) показатель адиабаты постоянный (у = 1,18);
3) вязкость не учитывается;
4) во всех точках начального сечения 6 = 0, М = 1,001.
Как будет показано ниже (п. 5.3.1), при используемых на практике
гладких дозвуковых входных частях сопел в осесимметричном течении
некоторое искривление поверхности перехода через скорость звука не
влияет на удельный импульс сопел. Это подтверждает допустимость
использования предположения 4.
Тем не менее может иметь место использование и более трудоемких
методов, свободных от упомянутых выше допущений.
Исходя из перечисленных выше допущений, можно начать счет от
начальной характеристики 2-го семейства АВ (рис. 3.16) с углом
наклона а к оси х, в данном случае по модулю совпадающим с углом Маха,
так как 0ВХ = 0 (угол вектора скорости входного потока относительно
оси х). Следовательно, а = l/arcsin(l/l,001) « 87°. Так как исходный
поток в начальном сечении АО равномерный, то начальная
характеристика АВ прямолинейна. Контур сопла является заданным, поэтому,
разбивая характеристику АВ на п = 200 точек, из ближайшей к А точки С
можно провести характеристику 1-го семейства CD до ее пересечения
со стенкой. Используя два условия на стенке: 0 = 0(х), г = г(х) и два
уравнения на характеристике CD (см. п. 3.3.3) методом итераций можно
найти точку D и неизвестные параметры в ней: а^, 0^, rD, xD.
Приводимые ниже расчеты имели повышенную точность и для ее реализации в
процессе расчета любой точки в сопле итерации прекращались, когда
А>я и (А:- 1)-я итерации отличались друг от друга не более чем на 10~7.
Для достижения этой точности в ядре потока требовалось реализовать

3.3. Осесимметричные стационарные течения
191
3—4 итерации, на контуре сопла — 5—7 итераций, а у оси симметрии —
7-10 итераций.
N
Л D
характеристика 1-го семейства
характеристика 2-го семейства
О BW Е
Рис. 3.16. К расчету начальной части сопла
Расчетным путем установлено, что для обеспечения лучшей
сходимости во всем поле течения необходимо задать неравномерное
начальное распределение точек вдоль характеристики АВ, что, в свою очередь,
позволяет приблизить к ней характеристику DE и последующие
характеристики. Координаты точек вычисляются по степенной функции от
радиуса с показателем 1,6 и с уплотнением точек к периферии сопла.
При сильном отклонении от такого распределения точек происходил
рост ошибки вычислений.
20 30
Рис. 3.17. Поле характеристик
40
Определение характерной точки G по известным параметрам в
точках D и F производится на пересечении характеристик разных семейств;

192
Глава 3. Неодномерные течения
т. е. для определения а, 6, г, х имеется система из четырех уравнений
характеристик, и при приближении к оси для обеспечения сходимости
счета используются изложенные в п. 3.3.3 методы.
J0
20
30
40
Рис. 3.18. Изолинии Маха
Результаты расчетов течения для у = 1,18 в виде полей характеристик
и чисел Маха представлены на рис. 3.17 и 3.18. Контроль показал, что
отличие между расходами в критическом и в выходном сечениях сопла
находится в пределах 0,01 %, а точность по импульсу — около 0,001 %.
Как видно из рис. 3.17 и 3.18, в сопле ударные волны отсутствуют.
Зона уплотнения характеристик 2-го семейства (рис. 3.17) необходима
для сохранения высокой точности счета в области повышенных
градиентов (см. рис. 3.18).
3.3.4.2. Сопло с двухслойным потоком
Важной особенностью течений в соплах ЖРД является наличие
пристеночного, более холодного, чем ядро, слоя, образованного в
результате смешения потока, идущего от головки камеры сгорания, с
испарившейся завесой охлаждения. Обычно пристеночная завеса
создается горючим. Схематизируя течение в сопле, можно упрощенно считать,
что весь сверхзвуковой двухмерный (осесимметричный) поток состоит
из двух слоев: ядра и пристенка, на границе которых выполняется
условие равенства статических давлений и углов наклона вектора скорости.
При этом показатель адиабаты в пристеночном слое существенно
отличается от показателя адиабаты в ядре потока. Если в пристеночной
области показатель адиабаты выше, чем в ядре, то у стенки газ в среднем
будет расширяться быстрее, чем в ядре, а если ниже, то — медленнее.

3.3. Осесимметринные стационарные течения
193
Различие в законах расширения в пристеночном слое и в ядре
может приводить к нарушениям в характере течения газа в таком
двухслойном потоке, и, в частности, нельзя заранее исключить появления,
например, небольших ударных волн, порожденных подобной
неравномерностью расширения.
Целью приводимых ниже результатов расчетов является
исследование в рамках невязкого двухмерного осесимметричного течения
возможности возникновения хотя бы слабых скачков уплотнения,
обусловленных только двухслойностью течения. Прямыми расчетами [48]
исследуется возможность появления неизоэнтропических зон при
различных значениях показателя адиабаты, степени расширения сопла (и
связанного с этим угла б0 — максимального угла наклона контура к оси
сопла, который может достигать 45°; см. рис. 3.19), толщины
пристеночного слоя.
Рис. 3.19. К постановке задачи
Дополнительно принимаются следующие условия.
1. Пристеночный слой полагается однофазным (газ) и постоянным
по расходу вдоль сопла; его догорание отсутствует.
2. На границе двух потоков при М > 1 ставятся условия равенства
статических давлений рп = ря и углов наклона скоростей к оси сопла
0П = 0Я. Для соблюдения условия совпадения статических давлений при
М„ = 1 (в минимальном сечении сопла для внутреннего и внешнего
слоев) приходится принимать условие небольшого различия полных
давлений в камере сгорания для ядра и пристенка, строго выполняющееся
лишь при наличии непроницаемой стенки между ядром и пристенком в
дозвуковой части сопла:
е = /»оя f 2 tf/f 2 ~
Pon Un + lJ / U* +
где уя, уп и /?Оя, рОп — соответственно показатели адиабаты и полные
давления газов в ядре и на периферии сопла. При уя= 1,18 и уп= 1,3

194
Глава 3. Леодномерные течения
£ = 0,961, а при уя = 1,18 и уп= 1,05 £= 1,048. (Оба принятых в расчетах
допущения являются весьма грубыми, что следует учитывать при
анализе результатов этих расчетов.)
Особенностью данной задачи является невязкое безударное
сосуществование двух потоков с тангенциальным разрывом скорости на
границе между ними при М > 1 и определение этой границы. При этом,
несмотря на усложнение алгоритма счета из-за двухслойности,
обеспечена высокая точность счета.
Как отмечалось выше, у стенки сверхзвуковой части сопла имеется
обогащенный горючим газообразный пристеночный слой, показатель
адиабаты в котором отличается от показателя адиабаты в ядре.
Зависимость показателя адиабаты у от массового соотношения компонентов
топлива Кт представлена на рис. 3.20. Показатель адиабаты
определялся по результатам термодинамических расчетов по формуле
где/? — давление, р — плотность; индекс «к» относится к камере
сгорания (М = 0), а индекс «а» — к выходному сечению сопла.
Ядро потока при Кт = 2,6...2,75 имеет показатель адиабаты уя =
= 1,16...1,18. Пределы изменения уп в пристеночном слое 1,1 <уп< 1,35.
у
1,3
1,2
1 1 I 2*^. I I I I
'0 5 10 15 20 Кт
Рис. 3.20. Зависимость показателя адиабаты у от Кт для топлива:
кислород с керосином (г = 19,22, рк = 120 атм)
Поэтому для полноты картины влияния двухслойности на течение
в сопле необходимо провести расчеты для различных значений уп.
В случае невозможности изоэнтропического сосуществования двух
слоев с различными показателями адиабаты возникает пересечение
характеристик одного семейства и, как следствие из этого, появляются
ударные волны.
А
\
\
\
V/
/

3.3. Осесимметричныв стационарные течения
195
Пусть заданы начальная характеристика А# (рис. 3.21),
распределение точек на этой характеристике и точка С, которая делит входной
поток газа на две области — ядро (я) и пристенок (п) — с различными
показателями адиабаты. Очевидно, что точка С является точкой разрыва
полного давления и числа Маха между двумя потоками. Ее положение на
характеристике соответствует заданному расходу газа пристеночного
слоя. Соотношение, следующее из условия непрерывности статического
давления в точке С и связывающее углы Маха аСя и ас п, имеет вид
Y Y
2
sin ac п
*
2 sin ac я
Это является основным условием на тангенциальном разрыве.
А
Рис. 3.21. Расчетная схема
Если на входе задано значение освх п, то освх я выражается из этого
уравнения и оно не равно авх п. Поэтому угол наклона к оси х
характеристики СВ будет отличаться от угла характеристики АС, т. е. АВ —
ломаная линия, состоящая из двух характеристик АС и СВ. Угол вектора
скорости 0 при переходе через точку С сохраняется.
Как и при однослойном течении, расчет начинается с определения
параметров в точке D, затем вычисляются параметры в точке G. При
этом ведется вычисление интеграла расхода по характеристике DF
Л.
г-\
cos(a-G)
-dx,
где х — текущая расчетная точка.

196 Глава 3. Неодномерные течения
Точка /'определяется по следующему алгоритму.
1. Вводится линейная интерполяция всех параметров на
характеристике СВ в зависимости от координаты х.
2. Варьируется положение точки Fx на характеристике СВ, и из нее
выпускается характеристика 1-го семейства F{Fло ее пересечения с
характеристикой GF — для выполнения в точке F условия на
тангенциальном разрыве. Положение точки F на характеристике DE
соответствует заданной величине расхода пристеночного слоя.
Таким образом находятся все пять параметров в точке F: xf, rF, df,
afH, aFn. Следует отметить, что точка F, как и С, является
промежуточной точкой в сетке характеристик. Чтобы не «портить» эту сетку, ее
параметры в точке F не записывались в основной массив, участвующий в
расчетах, а точка Н сохранялась. При этом точка Н находилась по
параметрам в точках F и В\ из четырех уравнений характеристик в ядре
потока. При замене точки //точкой /'происходила интенсивная дерегуля-
ризация расчетной сетки, приводившая к нарастанию ошибки и
прекращению счета.
Характеристика 1-го семейства, выходящая из точки В{) пересекает
линию тока CFKL в точке К, которая также является промежуточной
точкой в сетке и не принадлежит основному расчетному массиву. Для
определения ее параметров необходимо сначала определить параметры в
точке L, затем, линейно интерполировав параметры между точками F и L,
решить задачу о пересечении характеристики НК и линии FL при
использовании одного из двух уравнений характеристики НК и х-коор-
динаты точки К в качестве неизвестной величины. После того как
параметры в точке К найдены, решается система из четырех уравнений с
показателем адиабаты уп и находится точка М по параметрам в точках К и Р.
В поле характеристик может встретиться такая ситуация, что
отрезок линии тока FL пересекает несколько характеристик 1-го семейства.
Тогда алгоритм находит точки пересечения последовательно одну за
другой, пока не перейдет точку L. Далее счет продолжается в области
ядра с показателем уя.
3.3.4.3. Результаты расчетов
Результаты расчетов двухслойных течений с различными
параметрами потоков представлены на рис. 3.22-3.28. В подрисуночных
подписях используются следующие обозначения: тп — доля расхода газа,
идущего на пристеночный слой; 60— максимальный угол расширения
контура сопла.

3.3. Осесимметричные стационарные течения
197
На рис. 3.22—3.25 представлены поля характеристик и линий Маха
при уп = 1,05; 1,1 и 1,3, но при одном и том же уя = 1,18, т. е. в широких
пределах исследуется влияние показателя адиабаты пристеночного слоя
на поля течений в сопле. Известно, что при одной и той же степени
расширения струйки тока (или сопла в целом) с ростом показателя
адиабаты происходит рост числа Маха. Поэтому при уп= 1,3 в
пристенке поток имеет большие, а при уп= 1,05 (рис. 8) — меньшие скорости,
чем в ядре. Во всех случаях поля течений в соплах не содержат каких-
либо особенностей: характеристики не пересекаются, и течение
«спокойное». На рис. 3.26—3.27 представлены поля характеристик при
большом угле 0О = 45° и при различных уп. Из рассмотрения всех этих
результатов счета следует, что двухслойность течения в рамках
указанных выше допущений не приводит к возникновению разрывов,
способных понизить тяговые характеристики сопел: все картины течений в
области влияния на контуры сопел вполне спокойные и разрывов не
наблюдается.
Номинальные значения: 0о = 38,6°,уя= 1,18, ти = 0,1.
На рис. 3.28 представлено распределение давления по стенке
сопла при уп=1,3; уя=1,18; /йп = 0,1; 0,2; 0,3; 00 = 45°. Из рассмотрения
рис. 3.28 следует, что скачки уплотнения отсутствуют.
0 10 20 30 40 50 X
Рис. 3.22. Поле характеристик при уп = 1,05; уя = 1,18; тп = 0,1; 60 = 38,6°

198
Глава 3. Пеодномерные течения
О 10 20 30 40 50 X
Рис. 3.23. Изолинии Маха приуп= 1,05; уя= 1,18; тп = 0,1; 90 = 38,6°
О 10 20 30 40 50 х
Рис. 3.24. Поле характеристик при уп = 1,1; уя= 1,18; ти = 0,1; 0О = 38,6°

3.3. Осесимметричные стационарные течения
199
О 10 20 30 40 50
Рис. 3.25. Поле характеристик при уп = 1,3; уя= 1,18; /йп = 0,1; 90 = 38,6°
О 10 20 30 х
Рис. 3.26. Поле характеристик при уп = 1,05; уя= 1,18; /яп = 0,1; 60 = 45°

200
Глава 3. Неодномерные течения
0 10 20 30 X
Рис. 3.27. Поле характеристик при уп = 1,3; уя = 1,18; айп = 0,1; 0о = 45°
О 5 10 15 20 25 30 X
Рис. 3.28. Распределение относительных давлений вдоль контура сопла
при уп = 1,3; уя = 1,18; тп = 0,1-0,3; 60 = 45°
Таким образом, в результате многопараметрических расчетов
получено, что в исследованном диапазоне параметров не обнаруживается
даже слабых скачков уплотнения, которые смогли бы повлиять на тягу
и удельный импульс.
Естественно, что влияние вязкости здесь не исследовалось. Однако
специальные расчеты, выполненные в 2006 г. в ЦИАМ (Крайко, Мы-
шенков), показали, что и при учете вязкости ударных волн также нет.

3.3. Осесимметринные стационарные течения
201
3.3.5. Сверхзвуковое обтекание круглого конуса
При возникновении в осесимметричных
потоках ударных волн вдали от оси
симметрии элементы ударных волн и их
направления должны рассматриваться как плоские, и
для них справедлива теория, развитая в гл. 1;
при этом направление ударных волн должно
определяться по гипоциссоиде, построенной
по скорости перед ударной волной
(набегающего потока).
Если же ударная волна начинается на оси
симметрии, при обтекании острия, то здесь
возникает иная ситуация. Рассмотрим этот
случай. Очевидно, что здесь течение —
одномерное, т. к. предполагается, что конус —
Рис. 3.29. К
сверхзвуковому обтеканию осесиммет-
ричного конуса: 1 —
ударная волна; 2 — линия
тока; 3 — обтекаемый конус
бесконечный и все параметры зависят только от угла ф в окрестности
обтекаемого конуса (рис. 3.29): Vr=Vr(ip), Vz=Vz(ip) и, следовательно,
K=/(VZ).
В координатах z, r уравнения неразрывности и отсутствия вихрей
(движения) имеют вид
V, -+Vr
z dz
dz
8Vr dVz
+—-+—-
dr dr dz
dV,
(3.106)
Z _
dz dr
= 0.
Перейдем к полярным координатам (5, ф). Поскольку d/dS=0, то
д _ d дф д _ d dip
dz dip dz' dr dip dr
Угол ф и его производные равны:
dip
dr
dz
2'
(3.107)
л) \z.
Из условия отсутствия вихрей (второе равенство (3.106)) имеем

202 Глава 3. Неодномерные течения
ИЛИ
^ (3.108)
dVz
Из (3.108) следует ортогональность линии годографа Vr(Vz) с
направлением радиуса-вектора в плоскости течения для точки,
соответствующей скорости (Fr, Vz).
Обратимся теперь к первому соотношению (3.106). В области
течения за ударной волной, в силу зависимости всех параметров только от ф,
энтропия не меняется. При этом 9 = const и a2 =y~ = ySYpY~\ 'dhi a2 =
dV2 da2
В силу уравнения Бернулли
da2 2„
= а dlnp.
2 у-1
Теперь уравнение неразрывности, входящее в (3.106) и умноженное
ига2, принимает вид
откуда
Перейдем к полярным координатам с помощью полученных выше
формул перехода:
d<? dz dip дг
dtp дг dip dz) r
Далее
— I
d(p z2 1 tg2p 8Ш2ф dtp 7 1 .
—- = =- = E-^— = -; — = г- =-81ПфСО8ф.
2 M t2 д (}2 г
dz ГЛ2 M + tg29 г дг (г}2 г
Подставляя значения этих производных в (3.109), получаем
(a2 -V2)sm2 (p-\-VrV sir\(pcos(p —-- (a2 -V?)s'
L -J dip L

3.3. Осесимметричные стационарные течения 203
dV
Поскольку согласно (3.108) —^ = -ctg(p = /', из последнего уравне-
dVz
ния имеем
dVz a Vr
4- VrVz sincpcos(p] = —— (a2 sin2 cp + a2 cos2 ф - V2 sin2 ф -
или окончательно
а2 -(
dVz а\ ' (
Уравнение (3.108) связывает ф и dVr/dVz - f - -^ф. По сути, если
подставить в (3.110) ф = ф(/') и а2 как функцию V2+V? (по
уравнению Бернулли), получим обыкновенное дифференциальное
нелинейное уравнение второго порядка относительно /, после
интегрирования которого можно найти функцию /. Наряду с прямым численным
интегрированием на ЭВМ обыкновенного дифференциального
уравнения (3.110) рассмотрим графоаналитический способ построения
решения, т. е. нахождения функции Vz(Vr).
Радиус кривизны функции/(ф)
отсюда и из (3.110)
1 V 1
(3.111)
dVz l
Последнее соотношение можно представить и в виде
Дг1 . (3-112)

204
Глава 3. Неодномерные течения
U
Рис. 3.30. Обтекание острия;
плоскость годографа
где Ru = Vr/simp, U= J^sincp- Krcos(p. Смысл величин Ru и [/поясняет
рис. 3.30, где Яи равно длине ЛВ.
Для построения линии Vr=f(Vz)
представим сначала, что имеется
исходная точка А (см. рис. 3.30), в
которой известны угол ф0 и скорости Vr
и Vv Тогда, проводя линию АО и
откладывая на ней радиус кривизны Я,
можно найти близкую точку А{9
находящуюся на дуге круга, радиусом
R - О А и с центром в точке О. Затем,
определив угол (р{ < ср0 между А{0 и
осью Vz и уточнив Vr и Vz по их
значениям в точке Аь найдем R{; радиус Я{
откладывается нормально к дуге в
точке А{ и находится новый центр Ох.
Затем аналогично определим точку А2
и т.д. Таким образом,
графоаналитически определяется вся линия
Vr=f(Vz) вплоть до точки, при которой ф = у, а вектор скорости
становится параллельным образующей обтекаемого конуса.
Для определения исходной точки А необходимо построить гипо-
циссоиду по скорости набегающего потока Ко и задаться некоторым
углом наклона ударной волны ф0 т. е. начальным углом ф. Для этих
параметров угла ф0 и величины Ко по гипоциссоиде можно найти
скорость после ударной волны с проекциями Vz и Vn т. е. определить
точку А. Затем вышеизложенным способом определяется угол наклона
конуса i|/. Если этот угол i|/ не совпадает с заданным, то изменяется ф0 и
расчет повторяется.
Отметим, что при построении решения движение в плоскости
годографа происходит от точки А к точкам А{, А2 и т. д. с увеличением
угла Э наклона скорости к оси z\ при этом вектор скорости, повернувшись
в косом скачке уплотнения на некоторый угол 90, продолжает
поворачиваться, пока 0 не станет равным \j/. В то же время в плоскости
течения вдоль линии тока (см. рис. 3.29) происходит уменьшение угла ф от
Ф0 за скачком до ф = \|/. Задавая при Ко = const разные углы ф0, можно
построить серию линий Vr=f(Vz), причем все они заканчиваются в
точках, где нормаль к Vr-f(Vz) совпадает с направлением угла \\f. На
рис. 3.31 представлены линии Vr=f(Vz), причем их начала выходят из

3.3. Осесимметринные стационарные течения 205
гипоциссоиды. Концы этих линий
образуют некоторую кривую, называемую Vri m
яблоковидной кривой.
С помощью яблоковидной кривой и
линий Vr=f(Vz) можно графически
решать прямую задачу — находить
направление ударной волны при обтекании " ' " " *" mVz
острия с заданным углом конусности ш. „ ,,, пг
¥Ж к J \_ Рис. 3.31. Яблоковидная
Итак, если теперь задано обтекаемое ,.nuM(I
КрИ Bel Я
тело, т. е. угол конуса vj/, то при
заданном значении Ко с помощью яблоковидной кривой определяется
скорость на конусе (точка В) как пересечение луча с углом \|/ с яблоко-
видной кривой (см. рис. 3.31). Затем в области между обтекаемым
телом и ударной волной строится годограф скорости, т. е. линия Vr=f(Vz).
В точке А достигается скорость за ударной волной. Направление
ударной волны определяется как нормаль к линии АС.
Отметим, что яблоковидная кривая, как и гипоциссоида, допускает
двузначное решение задачи.
Если осесимметричное заостренное не коническое тело обтекается
сверхзвуковым потоком, то на линейной части заострения (при
условии, что угол полураствора не больше предельного) реализуется
описанное выше коническое течение. Следует учитывать, что за ударной
волной поток будет вихревым и это усложнит расчет поля скоростей,
однако вся задача распадается на отдельные элементы, решение
которых рассмотрено выше.
Важно отметить, что переход через ударную волну для осесиммет-
ричного потока для элементарных расчетных ячеек, не находящихся у
оси, следует рассчитывать по теории плоских ударных волн, о чем уже
говорилось выше.
Следует отметить, что при использовании ЭВМ можно данную
задачу весьма быстро решить численно без рассмотренных выше
графических построений.
3.3.6. Компактные формулы для потерь из-за вязкости газа
в соплах Л аваля
Потери удельного импульса из-за вязкости газа в соплах являются
наибольшей составляющей суммарных потерь импульса, всегда
присущей движению газа в пограничном слое. В сверхзвуковом ракетном
сопле поток в пограничном слое на подавляющей части поверхности
сопла является турбулентным, поэтому для расчета параметров погра-

206 Глава 3. Пеодномерные течения
ничного слоя используются эмпирические коэффициенты, а методика
расчета потерь является полуэмпирической.
Первые серьезные научные рекомендации по расчету потерь
удельного импульса в ракетных соплах из-за вязкости газа были даны в 50-х гг.
в ряде технических отчетов Д. А. Мельниковым, У. Г. Пирумовым и
А. А. Сергиенко, хотя их обобщенная публикация [38] вышла
значительно позже. В этих работах исходный, идеальный поток в сопле, по
которому вычислялись потери из-за вязкости газа, часто неточно
называемые потерями из-за трения1, полагался одномерным. Учет двухмер-
ности исходного потока был исследован значительно позже и изложен
в работе А. А. Сергиенко [46], где потери из-за трения вычислялись в
процессе расчета пограничного слоя вдоль контура сопла.
В работе [50] предложен метод определения потерь из-за вязкости
по известным параметрам пограничного слоя и по газодинамическим
параметрам в выходном сечении сопла. Результаты расчетов [50] и [46],
проведенных для серии сопел Лаваля с разными степенями
расширения, как и следовало ожидать, оказались весьма близкими. Ниже
приводится более строгий метод определения потерь из-за вязкости,
однако по результатам расчетов он близок к предыдущим [50]. Из работ [50]
и [46] следует, что двухмерность исходного идеального потока
существенно увеличивает расчетные потери из-за вязкости.
При рассмотрении течения вязкого газа в сопле возможны два
подхода. Согласно первому на исходный контур сопла 1 наращивается слой
с толщиной, равной толщине вытеснения пограничного слоя 5*: х2 = х]9
У2=У\ +5*/cos0, где индекс 1 соответствует исходному, а 2 —
поправленному контуру. Ось х совпадает с осью симметрии сопла, а ось у —
нормальна ей. Угол 0 = arctg(dy/dx) — на контуре сопла.
В поправленном контуре 2 вязкий поток имеет то же распределение
параметров, что и невязкий — в контуре 1. При этом геометрическая
степень расширения у сопла 2 несколько больше, чем у сопла 1.
При втором подходе исходный контур 1 не меняется, а влияние
пограничного слоя на поток учитывается введением у стенки внутри
сопла слоя, внутренняя граница которого 3 определяется из условия:
при л:3 = х, уг=У\ -5*/cos0. Внутри контура 3 течет невязкий поток,
причем геометрическая степень расширения сопла 3 несколько меньше,
чем сопла 1. Это определяет дополнительные «потери из-за вытеснения».
1 Неточность заключается в том, что потери из-за вязкости состоят не
только из основной составляющей — потерь из-за трения, но и из небольшой
добавки — потерь из-за вытеснения, которая несущественна для сопел с
высокими степенями расширения.

3.3. Осесимметринные стационарные течения
207
Из-за разных степеней расширения сопел 1 и 2 потери из-за
влияния вязкости также будут различными. Так, в работе [2] в
квазиодномерном приближении дается формула (с. 8, формула 8.1) для потерь
тяги из-за вязкости применительно к первому подходу.
Для ракетных сопел обычно используется второй подход [38, 46, 49,
50, 56]: в исходное сопло 1 запускается реальный вязкий поток и
рассматривается фактическое течение с пониженной степенью
расширения невязкого потока. Здесь использование формулы (8.1) работы [2]
недопустимо, а потери тяги из-за
вязкости определяются потерями из-за трения
и потерями из-за вытеснения. Этот
подход используется и в настоящей работе.
Ниже полагается, что газ в ядре
потока расширяется с постоянным
показателем адиабаты у, без потерь полного
давления и химических реакций.
На рис. 3.32 показано распределение
скорости в выходном сечении обычного
сопла Лаваля. На участке ае дано
распределение скорости в пограничном слое толщиной 5, а на участке ое —
в ядре потока (линия eb перпендикулярна стенке). Толщина (точнее,
площадь) потери импульса F** определяется формулой
ь
wepeueF**= \(ue-u)pwdF, (3.113)
е
где w, и, р, F — соответственно модуль скорости, ее осевая
составляющая, плотность и площадь поперечного сечения, а е — индекс,
определяющий условную границу ядра и пограничного слоя.
Очевидно, что
ъ
о х
Рис. 3.32. Характер
распределения скорости в выходном
сечении сопла Лаваля
\udrn — J udm
где тЪе — расход через пограничный слой; dm — элемент этого расхода;
т — суммарный расход через ядро и пограничный слой, т. е. полный
расход через сопло. Безразмерные параметры удобно ввести
следующим образом:
w =w/we; п = и/ие\ р=р/рг; 7 = г/га;
= m/peueFa', F = F/Fa,

208 Глава 3. Неодномерные течения
Среднее значение проекции скорости на осьх
а
и^, =т~1 \udrn.
о
После преобразований получим из (3.113)
cos9
(3.114)
fl
здесь v = 1 для плоского течения и v = 2 для течения с осевой
симметрией, а безразмерный постоянный расход через сопло in может быть
вычислен и через параметры в выходном сечении идеального потока (его
параметрам придается индекс «/»)
^^ (3.115)
где X — приведенная скорость, а ц — коэффициент расхода.
Безразмерный коэффициент, характеризующий неравномерность
импульса в поперечном сечении ядра потока
JG7-1)
^dr. (3.116)
В связи с весьма слабым влиянием \у на потери удельного импульса
вычисление безразмерного параметра vj/ по ядру реального потока
допустимо заменить вычислением у по всему сечению идеального потока.
Оба эти значения у весьма близки между собой, так как для невязкого
потока при re<r<ra,u& ue.
Потери полного давления в сужающейся части сопла, форма
поверхности перехода через звуковую линию и толщина вытеснения
пограничного слоя в критическом сечении определяют расход через
сопло. При этом расход /и, для идеального одномерного течения без
потерь полного давления, без пограничного слоя и с плоской
поверхностью перехода, как правило, больше расхода в реальном вязком потоке
т, т. е. ц = m/nij <1. Для ракетных сопел толщина вытеснения в
критическом сечении из-за низкой температуры газа у стенки сопла может быть
и отрицательной, при этом может случиться, что ц> 1. В приводимых
ниже расчетах принято ц = 1.
В выходном сечении действительного потока (с пограничным
слоем) расход равен
m = i\peueFa.

3.3. Осесимметричные стационарные течения 209
В этом случае параметры в поперечных сечениях меняются как
вследствие двухмерности идеального течения, так и из-за наличия у
стенок высоко градиентного пограничного слоя.
Относительное уменьшение скорости в любой точке ядра потока в
сечении F, в том числе и на условной границе ядра и пограничного слоя
Wj Wt W,
we - we i
может быть разбито на два слагаемых, из которых первое — с

неточностью до малых высших порядков характеризует воздействие
вязкости (wei — идеальная двухмерная скорость в точке е), а второе —
чистое влияние двухмерности.
Из-за «вытеснения» потока пограничным слоем во всех точках
потока происходит малое изменение скорости, которое в первом
приближении может быть оценено по одномерной теории:
dw Т{Хг) d(F/F.) = n\i)(dF dF.
w Xj-l' F/F. XJ-l{F F.
^Х.
y + 1
Из последних соотношений следует, что в выходном сечении «а»
5*
где 5*/cos9fl = 5*/cos0fl -5*, 5* — толщина вытеснения в критическом
сечении, отнесенная к радиусу этого же сечения. Параметр 5* « 5*,
и им обычно пренебрегают. Вводя коэффициент ср, равный отношению
скорости в двумерном идеальном течении на границе ядра wei к
скорости в одномерном идеальном течении wi:y = weJ/wi = XeJ/Xi, можно
получить
Г ,.Т/Л \ "Х*
(3.117)
w. , vT(Xi) 5*
-^=Ф 1—
Поскольку входящая в (3.114) величина
- uav / ие we ue a
"" w,

210
Глава 3. Неодномерные течения
то из (3.114)—(3.117) следует
W;
(3.118)
Интеграл по сечению F от отношения действительного и
идеального одномерного давлений имеет вид
А
А
А
где р\ — давление в идеальном двухмерном потоке; первый интеграл
определяется толщиной вытеснения, а второй — двухмерностью течения.
Поскольку
р-р\ 2у XJ АХ_ 2у Xf AF _ 2у XJ v8*
j-l F
то из последних двух равенств следует:
уМ,2 уМ2 (Xj-l) cos9o
где М, — число Маха в идеальном потоке, а
Потери удельного импульса /у ракетного двигателя в пустоте,
обусловленные рассеянием и вязкостью, равны
Щ (p.yM2
Подставив сюда (3.118) и (3.119), получим
Щ,)
цуМ,2
cosefl
где, как отмечалось выше, ц = ти//я(.
При отсутствии потерь из-за вязкости 8* = 8"= 0 и
потери в невязком (идеальном) потоке.
(3.120)
= С„; где ^, —

3.3. Осесимметринные стационарные течения
211
При этом из (3.120) следует:
(3.121)
Л - цуМ/J
Величина ^, определяет потери только из-за рассеяния, так как
других потерь в рамках принятых допущений в идеальном потоке нет. В
частном случае, если поток на выходе из сопла равномерно-параллельный и
фф= 1, то тогда £ = q>= I, av|/ = 6a = 0 и из (3.121) следует, что^ = 0.
Вычтя из суммарных потерь потери из-за рассеяния (3.121), можно
получить потери из-за вязкости
уМ,2
W.
(3.122)
Для равномерно-параллельного потока при ц=1, ц/ = г| = 1, 6о =
эта формула примет вид
В таком виде эта формула широко применялась в 50—70-х гг.
Следует отметить, что множитель, стоящий в формуле (3.122) при 6*
вне скобок, очевидно, при высоких степенях расширения сопел весьма
мал; невелик и второй сомножитель, стоящий при 5* в круглых
скобках, т. е. в целом влияние толщины вытеснения 6* на £v — очень
небольшое. При этом без существенной ошибки при больших степенях
расширения сопел можно пользоваться упрощенной формулой,
получаемой из (3.122) для потерь только из-за трения:
Это равенство можно записать в эквивалентной форме, полученной
в [46, 49] при ц= 1:
г _.,Pgwg2coseflf1, 1 1 '
4v,l2^ТТ я
Wgwf { ум;)
Отсюда видна существенность поправки на двухмерность течения,
отмеченная в работе [46] для потерь из-за трения. Для обычных ракетных
сопел эта поправка, как правило, находится в пределах
pgwg2cosefl
«1,3-1,5.

212 Глава 3. Неодномврные течения
Иногда при расчетах потерь из-за вязкости в осесимметричных
соплах используется критикуемая в [46] формула
полученная при сравнении сопел с идеальными и действительными
параметрами, имеющих, как указано в [46], разные диаметры выходных
сечений, что представляется некорректным.
Естественно, что при выводе формулы (3.122) диаметры выходных
сечений сопел с действительными и идеальными параметрами одни и
те же.
Ниже представлен пример расчета для характерного ракетного
сопла из семейства укороченных сопел с равномерным потоком на
выходе [38] г =13,25, Зс =37,00, 0^=8,4° и ц=1. При этом у =1,15, А,,. = 3,02,
а потери из-за рассеяния <^ = 0,6%. Суммарные потери из-за вязкости,
равные потерям из-за трения CV = CV,i = 1,85%, Cv,o= 1»3%.
Неравномерность потока в выходном сечении характеризуется
коэффициентами ф = 0,9829, г| = 0,700, \\/ = 0,01503, §= 1,015, атолщины пограничного
слоя в выходном сечении 5* =5* =0,00510 и 5** =0,0683.
Относительная величина п, равная отношению потерь из-за вытеснения к потерям
из-за трения
L л J JU
Для ц=1 л = 0,00025, для ц = 0,9 я = 0,0024 и для ц=1,05 п = 0,0014,
т. е. во всех случаях величина п весьма мала.
Подобным образом можно получить формулы для потерь в соплах с
центральным телом.
(Представленная в п. 3.3.6 работа опубликована Л. Е. Стерниным в
Трудах ГДЛ-ОКБ № 18 за 2000 г., с. 60-76.)
3.4. Нестационарные одномерные течения
3.4.1. Уравнения сохранения и характеристики
Для одномерных нестационарных течений неизвестными являются
параметры Vx= К, р и р, которые зависят от х и /, a Vy= Vz = 0. Из (3.3)
получим уравнение неразрывности в виде
f°- (ЗЛ23)
дх

3.4. Нестационарные одномерные течения 213
Из (3.22) при отсутствии массовых сил имеем уравнение
сохранения импульса
—+К—+--^ = 0. (3.124)
dt dx pdx
Условие изоэнтропичности
M=±&y)s*l£.) = 2l£.)+V±(l.) = 0 (3.125)
dt dt dtypy J dtypy J dx[^py J
означает, что в сохраняется для каждой частицы газа. Если для всех
частиц в = const, то при отсутствии ударных волн вместо (3.125) нужно взять
условие постоянства энтропии во всем потоке. Для совершенного газа
S = ^y = — = const. (3.126)
РУ
Система (3.123)—(3.125) или (3.123), (3.124) и (3.126) определяет три
неизвестные функции К, р и р.
Выразим логарифм плотности через скорость звука и S:
2_ /?_ уЧ 2 1
р ' y-1 Y-1'
При этом из уравнения неразрывности (3.123) следует
у-1\ dt dx J (у —1)OYI dt dx J dx
Используя (3.125), из последнего равенства получим
— + К—+^-д— = 0. (3.127)
dt dx 2 dx
Отметим, что это уравнение не зависит от S. Учитывая, что а2 =
Y-1
-In р,
У
получим из (3.124)
dV udV pdlnp a2 f 2y dlna у
dt dx p dx у l^y-1 dx y-1 dx J
или
K. + V— + — a— = .E—^L (3.128)
dt dx y-1 dx y-1 dx

214
Глава 3. Неодномерные течения
В дальнейшем будем считать, что $ = const во всем потоке, т. е.
— = 0. Тогда из (3.128) получим
дх
dV „dV 2 да Л
— + F—+ а— = 0.
dt дх у-1 дх
(3.129)
Итак, два уравнения (3.127) и (3.129) содержат два неизвестных Ки
я; будем искать характеристики этих уравнений для неизвестных про-
да да dV dV
изводных —, —, —, —.
dt дх dt дх
Вдоль любых линий в плоскости (дс, /) имеем
dV dV dV , da да да ,
dt dt дх ' dt dt дх
dV да
Исключим — и —. Подставив последние условия в (3.127) и
dt dt
(3.129), получим
da .da Trda y-1 dV л
x—+ K—+-—a— = 0,
dt dx dx 2 dx
dV ,dV T,dV 2 da л
x + K + a— = 0.
dt dx dx y-1 dx
Определитель системы (3.130) имеет вид
V-xf
2а
(3.130)
у-1
Уравнение совместности —
V-x'
= 0.
V-x' *
dt
2а dV
= 0.
или
у-1 dt
Раскрытие первого определителя дает
(V-x')2=a\
x' = V±a
(3.131)

3.4. Нестационарные одномерные течения
215
Отсюда следует, что характеристики здесь существуют и для
дозвуковых потоков и для сверхзвуковых.
Раскрывая второй детерминант, получим
dt
Используя (3.131), имеем
dV
y-\dt
dt y-1 Л
Интегрируя, получим уравнение совместности
V ± а = const.
у-1
Таким образом, как и для плоских безвихревых потоков, здесь
уравнения совместности проинтегрировались до конца; в результате
получено два семейства прямых линий в плоскости (V, д), которые
можно построить до того, как решена задача. Условно назовем
плоскость (К, л) плоскостью годографа. Эти уравнения были решены
немецким математиком Риманом (1892 г.); константы в правой части
уравнений совместности носят названия инвариантов Римана.
Примем для характеристик первого семейства
2 л , .
v +- %* — *.i|, v^
Y-1
для характеристик второго семейства —
где rj и £, — некоторые
постоянные вдоль соответствующих
характеристик параметры.
Таким образом, в плоскости
(V, а) имеется два семейства
параллельных прямых, наклонен-
Y-1
ных к оси Кпод углом Tarctg -—
(рис. 3.33). Эти условия
совместности (3.132) и (3.133)
выполняются вдоль характеристик (3.131).
' = V-a),
(3.132)
(3.133)
Рис. 3.33. Сетка характеристик
Т семейства и II семейства
в плоскости (V, а)

216
Глава 3. Неодномерные течения
При этом необходимо подчеркнуть, что характеристикам первого
семейства в плоскости течения x'=V+a соответствуют в
плоскости (К, а) прямые (3.132)
с отрицательным углом наклона
da _ у-1
~dV = 2~'
а характеристикам второго семейства в плоскости течения х'= V-a
соответствуют в плоскости (V,a) прямые (3.133) с положительным углом
наклона
da у-1
~dV~~'
Остановимся теперь на решении двух основных краевых задач.
Задана 1. (Элемент задачи Коши.) В двух точках М и N плоскости
течения, не лежащих на одной характеристике, даны значения V w а.
Требуется найти К и а в точке L, расположенной на пересечении
характеристик разных семейств, выходящих из точек
М и N, а также построить элементы
характеристик в плоскости (х, t) (рис. 3.34). Первая часть
задачи решается сразу же, поскольку в
плоскости (V, а) искомые параметры в точке L
определяются на пересечении двух прямолинейных
характеристик, проходящих через известные
точки М и N и наклоненных под углами
+(у-1)/2 коси V.
В плоскости (х, 0 точка пересечения характеристик определяется по
(3.131), причем для характеристики первого семейства принимается,
например, x'ML = (VM+aM+ VL + aL)/2, для характеристики второго
семейства индекс М заменяется на ТУ, а перед
aNw aL появляется знак «минус».
Естественно, что точность интегрирования в
плоскости (х, /) возрастает с уменьшением
расстояния MN.
Задача 2. Вдоль некоторой кривой Г
плоскости (х, /) не являющейся
характеристикой, даны значения скорости V, а
скорость звука не известна. Вблизи этой кривой
известна точка L, в которой даны Vи а. Тре-
Рис. 3.34. К решению
краевой задачи 1
Рис. 3.35. К решению
краевой задачи 2

3.4. Нестационарные одномерные течения 217
буется найти обе скорости в точке пересечения М характеристики,
проходящей через точку L, с кривой Г (рис. 3.35).
В плоскости (х, t) через заданную точку L проведем сначала прямую,
соответствующую характеристике, например, первого семейства ML:
x-xL=(VL+aL)(t-tL) (3.134)
Если ML — характеристика второго семейства, то знак в первой
круглой скобке последнего равенства изменится на обратный. Затем
найдем пересечение этой прямой с линией Г, которая задана в
плоскости (/, х), и определим К в точке пересечения М. Теперь проведем в
плоскости (К, а) прямую через точки LvlM:
У
Ум + Qm = У] +
М yl M L
Из последнего равенства и определим ам. Затем следует провести
уточнение построения решения: в (3.134) первую круглую скобку
заменить на полусумму — (Vi + aL+ Ум + ам)/2, а затем повторить весь
расчет. В зависимости от расстояния точки L от линии Г определяется
количество требуемых итераций. Обычно их 2—3.
3.4.2. Точное решение
Рассмотрим случай, когда одна из характеристик в плоскости
течения такова, что на ней V- Vo = const иа = а() = const, т. е. в плоскости (К, а)
она отображается в точку. Эта характеристика вследствие (3.132)
является прямой, и все характеристики данного семейства также будут
прямыми. При этом все характеристики другого семейства будут иметь
инвариант Римана, одинаковый во всем потоке, т. е. в плоскости
годографа они ничем не будут отличаться друг от друга. Если для
определенности считать, что вдоль характеристики первого семейства все
параметры одни и те же, то все характеристики второго семейства будут
иметь общую в данной области константу (инвариант Римана):
V-^-a = V0—l-a0= const, (3.135)
Y-l y-1
т. е. в рассматриваемой области К=/(а), где функция / определяется
по (3.135).
Подставив теперь (3.135) в (3.129), получим
^+(К + я)^ = 0. (3.136)
dt дх
Поскольку согласно (3.135)

218 Глава 3. Неодномерные течения
то, подставляя это в (3.136), окончательно имеем
DV Гу + 1„ у-1¥, ЛдУ
Таким образом, задача определения скорости V свелась к одному
квазилинейному однородному уравнению в частных производных
первого порядка, что эквивалентно системе обыкновенных
дифференциальных уравнений:
dt dx
dV = 0.
Отсюда сразу же следует система их интегралов
Общее решение (3.137) имеет вид
1|1]Д (3-138)
где F(y) — произвольная функция своего аргумента^.
Данное решение имеет место, например, при распространении
движения из области покоящегося газа, где Ко = 0, а = а0.
3.4.3. Расширение, обусловленное движением поршня в трубе
Рассмотрим расширение газа в трубе при движении в ней поршня в
направлении увеличения объема газа в трубе (рис. 3.36). Пусть в
начальный момент газ находился в состоянии покоя, затем поршень
начал двигаться по закону x=f(t), причем начальная скорость поршня
была \df/dt\t=Q, потом скорость медленно убывала, т. е. df/dt<0 при t> 0.
Возмущение, связанное с началом
движения поршня, распространяется по
характеристике MN (рис. 3.37), ниже которой газ
находится в состоянии покоя. Рассмотрим
Рис. 3.36. Движение некоторую точку М{, находящуюся на порш-
поршня в трубе не. Проведем характеристику второго
семейства MXRG. Характеристика MN
прямолинейна, поскольку она ограничивает область покоя и изображается точкой в
плоскости (V,a). Участок RG характеристики второго семейства
изображается той же точкой.

3.4. Нестационарные одномерные течения
219
Линия же MXR в плоскости (К, а) определяется равенством
V —
a = —t-aQ, (3.139)
Y-l y-1
Поскольку скорость газа в точке
Мх равна скорости поршня, то
(3.139) определяет аМг Теперь
можно найти наклон характеристики
первого семейства MXNX:
Рис. 3.37. Расширение газа в трубе
т. к. согласно (3.139) изменение тангенса угла наклона характеристик
MXNX и MN
х' -х' =а -а -V =-^-V -V =-V Y + 1
MN M\N\ 0 Mi M\ /\ Mi M\ Mi
■>0.
Таким образом, dt/dx\MxNx>dt/dx\MN и характеристика MXNX идет
круче MN, вне поршня они не пересекаются. Все характеристики
первого семейства прямолинейные, поскольку MN изображается точкой
в плоскости (К, а), все характеристики второго семейства в
плоскости (К, а) изображаются одной и той же прямой. Траектории движения
частиц газа пойдут подобно линии движения поршня, но с
растяжением вдоль характеристик первого семейства.
Перейдем теперь к аналитическому решению задачи. В качестве
исходного примем уравнение (3.138), т. к. все характеристики второго
семейства в плоскости (К, а) тождественны.
Функция F определяется из следующего условия — на поршне
х =/(0 и, следовательно, V =f. Из (3.138) следует при Ко = 0
д
I 2
Если, например, / = (при положительном п), то
(3.140)
Обозначим через X выражение, стоящее в последней круглой
скобке. Тогда
(3.141)

220 Глава 3. f/еодномерные течения
Знак «-» перед корнем взят по той причине, что согласно определению X
оно и / одновременно обращаются в нуль, т. к. второй корень дает
отрицательное время. Отсюда, поскольку V=f= F=-nt, имеем
F(X) = -nt = --Н -ylao2+2ynX). (3.142)
Параметр X можно представить при Vo = 0 в виде
nt2
Подставляя X в (3.142), азатем (3.142) в (3.140), получим
Видно, что Vудовлетворявj как (3.138), так и (3.142). Перенося а0 в
левую часть, возводя в квадрат и определяя К, получаем (V< 0):
(3.143)
Знак «~» перед корнем обеспечивает V=0 при x = atf, т. е. на
характеристике Л/ЛГ. Слева от нее x-aQt<0. Поэтому корень меньше
положительного первого слагаемого и V< 0.
С ростом модуля скорости | V\ уменьшается а. Решение справедливо
до времени /, при котором а = 0.
Из (3.139) следует, что при а = 0
Подставляя это значение в (3.143) и учитывая, что на поршне х = -т2/2,
получим время, до которого на траектории поршня справедливо
решение (3.143):
'тах /Ку-О'
При этом значении /достигается вакуум.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что полученное
решение (3.143) удовлетворяет исходному уравнению (3.137) при Vo = 0.
Рассмотрим теперь случай движения поршня в трубе ограниченной
длины, закрытой с противоположного поршню конца стенкой.

3.4. Нестационарные одномерные течения
221
В зоне АЛВ (рис. 3.38) — состояние покоя V=0, a = a0. В
треугольнике ABC характеристики первого семейства прямые. Характеристика
второго семейства ВС в плоскости (К, а) является прямой, наклоненной
к оси К в соответствии с (3.133) под положительным углом (рис. 3.39).
В точке С скорость газа совпадает со скоростью поршня. Очевидно, что
любая характеристика второго семейства типа В0С0 (см. рис. 3.38) в
плоскости (К, а) (см. рис. 3.39) также изобразится линией ВС.
Возьмем теперь на характеристике ВС вблизи В точку D (см. рис. 3.38)
и проведем через нее отрезок характеристики первого семейства до
пересечения со стенкой в точке Е. Здесь скорость V равна нулю, а
скорость звука (см. рис. 3.39) определяется пересечением характеристики
первого семейства с осью а.
I
А Ах
Рис. 3.38. Расширение в закрытой
трубе (плоскость течения)
Рис. 3.39. Расширение в закрытой
трубе (плоскость годографа)
Угол наклона элемента характеристики
После того как найдена точка Е, следующая за ней точка Ех
определяется путем решения задачи 1 (п. 3.4.1) и т.д. Точка Сх определяется в
результате решения задачи 2 (п. 3.4.1). Затем процесс повторяется для
следующей характеристики FC2 и т. д. Очевидно, что все характеристики,
находящиеся вне треугольника ABC, криволинейны. Если взять
достаточно мелкую сетку, решение задачи может быть получено весьма точно.
3.4.4. Частный случай интегрирования
В 1903 г. Адамар показал, что при
Y + 1
= к (где к — целое число)
для нестационарных одномерных изоэнтропических течений можно
получить общее решение задачи аналитически, т. е. в виде одной формулы.

222 Глава 3. Неодномерные течения
Для этого перейдем к новым независимым переменным —
инвариантам Римана г| и £, определяемым формулами (3.132) и (3.133). При
этом
Вдоль характеристик первого семейства r| = const
dx = (V + a)dt,
а вдоль характеристик второго семейства С = const
dx = (V-a)dt.
Отсюда имеем в первом случае
£*=(К + я)—, (3.145)
ас ас v
а во втором случае
EL = (V-a)—. (3.146)
дт] дц
Подставив (3.144) в (3.145) и (3.146), получим
— -(ill Izlrl—
а£ Ч~Т~Л+~Т~ Jac'
2 ' 2
Исключим х путем дифференцирования, придем к уравнению
второго порядка
!
2 ' 2 Janac 2 ас I 2 ' 2 Janac 2 an'
Отсюда
а2/
Y + 1
При — = к (где к — целое число) приходим к интегрируемому
2(Y-D
уравнению Дарбу
Я2/ h ( 7Ь Pit >\
, - (3.147)
n-clac ^ '

3.4. Нестационарные одномерные течения
223
Для у= 1,4Д= 3 из (3.147) следует
d2t 3
(3.148)
5 9
Отметим, что/: =2 при у= —= 1,67, а& = 4при у= —= 1,3.
Общее решение уравнения Дарбу (3.148) имеет вид [26]
э4
2 а2
Здесь F(\))u O(Q — произвольные функции, определяемые из
краевых условий конкретных задач.
3.4.5. Переход через ударную волну
В первой главе при рассмотрении
скачков уплотнения отмечалось, что скачок
можно рассматривать как ударную волну,
остановленную набегающим встречным
потоком, движущимся со скоростью ударной
волны U. При этом течение из
нестационарного становилось стационарным в системе
координат, связанной с ударной волной.
Вернемся теперь к системе координат
(условно — неподвижной), в которой среда
перед ударной волной движется со
скоростью F,, ударная волна распространяется со
скоростью U, а за ней среда движется со
скоростью V2 (рис. 3.40).
Подставив в уравнения Рэнкина (1.51)
вместо Wx и \
U- К2, получим
соответственно U- К, и
Рис. 3.40.
Нестационарное (а) и
стационарное (б) движение газа с
ударной волной
(U-VQ2 a? JU-V2)2 a]
2 у-1 2 у-Г
(3.149)

224 Глава 3. Неодномерные течения
Система (3.149) позволяет определить три параметра из четырех: U,
V2i р2, р2 {а2 = ур2р2~] и не является неизвестной). Следовательно,
задавая одно условие за волной (например, давление), можно найти
остальные три неизвестные величины.
Определяя критическую скорость а как скорость, при которой а* =
= а2= U- V2i из последнего равенства (3.149) имеем
1 = - . (3.150)
Y-1 2 2(у-1)
От скоростей звука а} и а. можно перейти к температурам —
соответственно Т} и Го. Из (3.150) следует
или
i^4
Тх 2
При U=0 получаем известное из первой главы выражение числа
Маха через То/Т}.
Очевидно, что вместо (1.53) и (1.57) можно получить подобные
выражения для нестационарного движения газа
{V-V{i{U-V2).al; (3.151)
u..*SSlrfjL± ,3.152,
Р\ Y + Ч а\ ) Y + 1
Отметим, что последнее равенство дает связь между скоростью
ударной волны С/и перепадом давлений^//?].
Формула Гюгонио (1889 г.), связывающая перепад давлений на
ударной волне с отношением плотностей газа (1.56), не меняет своего
вида, поэтому и рассмотренное в первой главе сопоставление
разложений плотности в ряд по изменению давления на ударной адиабате и на
изоэнтропе не изменяется и здесь.
Из уравнения (3.150) получаем
()2 2
г?
) Я) у-1
а из (3.152) и (3.153):
(3.154)

3.4. Нестационарные одномерные течения
225
Отметим, что последние две формулы позволяют связать
критическую скорость со скоростью ударной волны и перепадом давления на
ней. В частности, перепад давления пропорционален квадрату
критической скорости.
Теперь найдем связь между а2/а] и (U- V^)/av Выражая из формул
Гюгонио (1.56) плотность через давление и подставляя затем в нее
(3.152), получим
Приведем третье уравнение (3.149) с помощью первого к виду
1 T1 ' fl, 1 .21 я,
а}
97)
р|
Подставим теперь сюда вместо — правую часть предыдущего равенст-
Р2
ва и после элементарных преобразований найдем
y-lf^-F,
fl±lY
I 2 J
(3.156)
С помощью (3.156) можно найти отношение температур после и до
ударной волны. Получим подобное выражение через а2 и V2.
Как следует из (3.149), во всех трех уравнениях индексы «1» и «2»
можно поменять местами, при этом уравнения (3.149) не изменятся.
Следовательно, и в полученных из (3.149) соотношениях можно
осуществить эту же процедуру. При этом, в частности, вместо (3.152) получим
(3.157)
Рг
Подставив теперь (3.157) в уравнение Гюгонио и разрешая его
относительно p2/pi, получим

226
Глава 3. Неодномерные течения
Вследствие первого равенства (3.149) соотношение (3.158) может
быть записано в виде
U-V2 y+1 Y + l{U-V2
Разрешая относительно U = U-VU окончательно имеем
(3.159)
где V2=V2-VV
Используя первое соотношение (3.149), равенство (3.155) можно
записать в виде
"2 y-l_U-V2
Возводя первый член в квадрат и разрешая относительно С/, найдем
U2 -Ц±ЦУ2-а2=0. (3.160)
Вычитая (3.160) из (3.159), определим U:
п=^-+ п~2~Щ . (3.161)
2 К2(у-1)
Подставляя (3.161) в (3.160), получим уравнение, связывающее
только V2 и а2 (при известных а, и К,):
0. (3.162)
Y (Y-1)
Рис. 3.41. Зависимость a2(V2) для
ударных волн разной
интенсивности при К, = const и а] = const
Это уравнение (рис. 3.41)
определяет кривую четвертого порядка в
плоскости (V2ia2). При а2 = а} (т.е.
для бесконечно слабой ударной
волны) V2=V}. Кривая, как показывает
анализ, имеет две асимптоты,
проходящие через точку V2=V] и
наклоненные под углами

3.4. Нестационарные одномерные течения
227
Продолжение кривой ниже точки а2 = ах физического смысла не
имеет. Данная кривая может быть использована для определения а2 по
известному значению К2, или наоборот.
Определим изменение энтропийной функции с учетом (3.152) и
(3.155). Получим
ЗГ AVP2
2у (U-V\)2 У-
Y + Ч а\
(3.163)
у + 1 у + 1
При относительной скорости ударной волны £/= {- = \, $Y=1.
Можно показать, что с ростом скорости U энтропийная функция
монотонно растет. При достаточно больших U »1 вторыми слагаемыми в
обеих квадратных скобках (3.163) можно пренебречь. При этом имеем
изменение энтропии
Подобный результат был получен в первой главе (теорема Цемплена).
3.4.6. Сжатие, обусловленное движеним поршня
Пусть в покоящейся среде, заключенной в полубесконечный
цилиндр, начинается движение торцевой части границы (поршня) в
сторону, соответствующую сжатию газа.
Будем считать, что закон движения поршня
df
f
=0 и /;:о>о.
/=0
Как и в случае расширения,
характеристика первого семейства,
отделяющая область покоя от области
движения, является прямолинейной
и, следовательно, все характеристики
первого семейства прямолинейны.
Определим их наклоны (рис. 3.42) по
отношению к оси /.
v=o
М х
Рис. 3.42. Сжатие газа в
полубесконечной трубе

228 Глава 3. Неодномерные течения
Здесь
— = V +а
На характеристике второго семейства МХК вследствие (3.133) имеем
v 2_а = 2_а
поэтому
VMx +(aM{ -ao) = VMl +^-VMi =^-VM. (3.164)
Теперь вычислим разницу в наклонах характеристик первого
семейства, проходящих через две близкие точки Ми М{.
Л
dt
м
Это означает, что наклон последующих характеристик к оси t
увеличивается. Значит, характеристики должны пересечься, т. е. возникает
ударная волна. Найдем ее начало, т. е. предел, к которому стремится
место пересечения характеристик первого семейства (точка N на рис. 3.42)
при М{ -> М.
Уравнение характеристики MN
x = xM+aot.
Уравнение характеристики MXN
Отсюда в точке пересечения этих характеристик
Хм-Хм^'мМ+УмМ. _х
tn , xN -xM +aotN.
амгаъ + Умх
Далее имеем
=°
в силу исходного условия f'M = 0.
Разложим VM] в ряд, сохраняя два первых члена,
„ ., dV .
dt
t=0

3.4. Нестационарные одномерные течения 229
Отсюда при Л/, -> М получим с учетом (3.164)
у + 1
2 '
2 а]
(3.165)
Разрыв усложняет решение задачи, т. к. за ним происходит
искривление характеристик и появляется область переменной энтропии.
Решение задачи в подобных случаях производится методами,
аналогичными тем, которые излагались при рассмотрении осесимметричных
течений.
3.4.7. Понятие об ударных трубых
Ударная труба — это установка, состоящая из достаточно длинной
трубы, которая закрыта с одной стороны и закрыта либо открыта с
другой. Труба разделена на две герметично изолированные секции; в
одной секции — газ более высокого давления. Первая секция
называется камерой, вторая — каналом. В камере и канале могут быть разные
газы. Обычно вторая секция длиннее первой примерно на порядок.
Перегородка, разделяющая камеру и канал, называется диафрагмой. При
мгновенном разрушении диафрагмы в камере возникает волна
разрежения, а в канале движется ударная волна с повышенными давлением и
температурой за ней. Типичное распределение параметров вдоль
ударной трубы представлено на рис. 3.43. На некотором расстоянии за
ударной волной движется поверхность контактного разрыва (все время
разделяющая газы, до взрыва имевшие разные давления) со скоростью,
равной скорости газа за ударной волной. Через линию контактного
разрыва частицы не переходят. На контактном разрыве не меняются
давление и скорость, но скачком изменяются температура, плотность,
скорость звука, приведенная скорость X и число Маха. В начальный
момент t = О (разрыв диафрагмы) ударная волна, волна разрежения и
поверхность контактного разрыва находятся в одном сечении, где
расположена диафрагма. Затем они начинают двигаться, причем каждая со
своей скоростью. Поэтому в любой момент времени можно установить
положение каждой волны. При этом головная часть волны разрежения
движется влево (см. рис. 3.43) со скоростью а0 хвостовая — вправо со
скоростью ау В большинстве случаев Т0=Т}. Тогда Т2> Г3, поскольку
T3<TQi Г2>Г, = Г0.

230
Глава 3. Пеодномерные течения
В любом сечении канала справа от сечения диафрагмы х = 0 (см.
рис. 3.43) после разрушения диафрагмы развивается следующая
картина. Сначала проходит ударная волна, затем контактная поверхность,
а потом — волна разрежения. В первом и втором периодах очень
короткое время поток равномерный, и в эти периоды можно использовать
трубу для проведения необходимых исследований, а результаты успеть
измерить.
1 2
\ у
4
ко = о
1
3
\
\
6
к1
Рис. 3.43. Схема ударной трубы и распределения параметров после разрыва
диафрагмы: 1 — камера, 2 — диафрагма, 3 — канал, 4 — волна разрежения, 5 — линия
контактного разрыва, 6 — ударная волна,-7 — задний фронт волны разрежения,
8 — передний фронт волны разрежения

3.4. Нестационарные одномерные течения 231
В заключение краткого описания работы ударной трубы
остановимся схематично на определении параметров между ударной волной и
контактным разрывом (индекс «2») и между контактным разрывом и
волной разрежения (индекс «3»), полагая, что параметры в камере
(индекс «О») и канале (индекс «1») до разрушения диафрагмы известны.
Плотность и скорость звука можно вычислить, если найдены
давление и температура. Поэтому неизвестными являются пять параметров —
К3, р3, Т3, Т2 и скорость ударной волны К, поскольку на контактном
разрыве р2=р3, a V2 = V3. При переходе через ударную волну выполняются
три уравнения сохранения (3.149), вместо которых удобнее взять
полученные из них уравнения (3.152), (3.156) и (3.157).
Для параметров расширяющегося в волне разрежения газа
выполняются два соотношения — условие совместности для характеристики
первого семейства (3.132) в виде
2 2
—ао=— *з+К3,
а также условие изоэнтропичности расширения
Ро
Все характеристики второго семейства, образующие волну
разряжения, также прямолинейны.
Исключая из последних двух уравнений температуру Т3, получим,
полагаяр3=р2, V3= V2,
о) 2 а0
Таким образом, четыре неизвестных р2, V2, Un T2 определяются из
четырех алгебраических уравнений (3.152), (3.156), (3.157) и (3.166).
Скорость V2 легко исключается из (3.157) и (3.166), а
температура Т2 — из полученного соотношения и (3.156). После этого можно
исключить/^» использовав (3.152), и получить после исключения V2, T2 и
р2 (исключения неизвестных можно выполнить и в другом порядке)
одно уравнение, содержащее в качестве неизвестного U\ это уравнение,
хотя и является весьма громоздким [26], но его решение легко
реализуется на простейших ПЭВМ.
После нахождения всех пяти неизвестных можно определить
скорости звука, плотности, приведенные скорости и числа Маха с
индексами «2» и «3» по формулам п. 3.4.5.

232 Глава 3. Неодномерные течения
Положения ударной волны, линии контактного разрыва и заднего
фронта волны разрежения, определяющие границы областей
постоянных параметров, вычисляются при умножении времени от момента
разрушения диафрагмы на соответствующие скорости.
Для нахождения скорости внутри волны разрежения
воспользуемся уравнением неразрывности в форме (3.129) и условием
совместности (3.133) для характеристики первого семейства:
V+—-в = —-а0.
Y-l Y-1
Как и в плоских стационарных течениях, здесь вдоль
прямолинейных характеристик второго семейства V и а постоянны. Из последней
формулы имеем
дх 2 ах' /
Из двух последних равенств получим
На любой характеристике второго семейства x/t = const и V= const,
следовательно, и а = const. Скорость вменяется лишь при переходе от
одной характеристики второго семейства к другой. На головном фронте
волны разрежения (см. рис. 3.43) К=0 и x/t = -a0, а на заднем фронте
V= K3; отсюда для наклона характеристики заднего фронта волны
разрежения имеем
х
t
Ряд задач по нестационарным течениям рассмотрен в монографии
Г. Г. Черного [66].

ГЛАВА 4
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНТУРОВ СОПЕЛ
4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля.
Вариационная задача на замыкающей характеристике
Профилирование реактивных сопел самолетных и ракетных
двигателей в 40—50-х гг. прошлого века производилось простейшими
методами, основанными на идее обеспечения плавного перевода потока от
критического к выходному сечению с углом полураствора контура в
выходном сечении около 10°. Это достигалось при использовании в
качестве контура параболы или двух гладко сопряженных дуг
окружностей с прямой линией между ними.
В 1955 г. Гудерлей и Хантш [72]
и независимо от них Ю. Д. Шмыг-
левский [69] впервые поставили и
решили на замыкающей
характеристике СВ (рис. 4.1) вариационную
задачу о сопле наибольшей тяги.
В отличие от предыдущих
постановок в этих работах была
реализована идея о наиболее быстром
разгоне потока в области горла сопла у
точки А в расширении Прандтля —
Майера. При этом последняя
характеристика второго семейства расширения Прандтля — Майера АС
отделяет находящуюся слева от нее не варьируемую область течения
от расположенной справа варьируемой области. Сама
характеристика AD не является фиксированной. В зависимости от угла CAB она
может соответствовать большему или меньшему развороту Прандтля —
Майера.
Тяга закритической части сопла определяется интегралом сил
давления по контуру АВ и равна разности импульсов по характеристикам
СВ и АС. Таким образом, наилучшему контуру АВ будет соответствовать
характеристика СВ с наибольшим импульсом (экстремаль).
Постановка вариационной задачи на контуре АВ требует
привлечения уравнений в частных производных, описывающих течение газа
D
Рис. 4.1. К решению вариационной
задачи

234 Глава 4. Оптимизация контуров сопел
в треугольнике ABC и условия непротекания на искомом контуре АВ.
Такая постановка очень сложна. Гораздо проще постановка той же задачи
с переходом к характеристикам АС и ВС: первая из них принадлежит
известному пучку волн разряжения, а на ВС выполняются
обыкновенные дифференциальные уравнениия для характеристик 1-го семейства.
Идея постановки вариационной задачи на характеристике, называемой
экстремалью, принадлежит А. А. Никольскому (1950 г.) [40].
После определения экстремальной характеристики СВ,
обеспечивающей максимальную тягу, контур АВ находится численным
решением задачи Гурса между характеристиками АС и СВ.
Гудерлей и Хантш рассматриваемую задачу свели к численному
решению двух обыкновенных дифференциальных уравнений на
экстремали СВ. Ю. Д. Шмыглевским (1957 г.) было показано [69], что эта
система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется, и на
экстремали выполняются два конечных соотношения. В работе [55]
данные уравнения на экстремали в 1957 г. были обобщены и
приведены к простому виду. Точно в такой же форме они были получены и Рао
в 1958 г. [74]. Современное состояние вариационных методов расчета
оптимальных форм обтекаемых поверхностей представлено в
монографии А. Н. Крайко [27] и его последующих публикациях.
4.1.1. Вариационная задача
Для плоского или осесимметричного безвихревого стационарного
потока газа, ускоряющегося в сопле, составим выражение для силы,
действующей на контур/1# (см. рис. 4.1) [52, 55]:
тл В ВГ
(2пУ
pV sincccosB
sin(oc + 0)
fdy-
А
P-Pn
(4.0)
pV sinctcosG
sin (a-6)
где/?,, — внешнее противодавление; v = 0 для плоского течения и v = 1 —
для осесимметричного; осевая составляющая силы, действующей на
элементарной части характеристики CB—dl,
(Р- Pn)yvsin(a + 9)<// = (/?- pu)yvdy.
Третьи слагаемые, стоящие в квадратных скобках, представляют
Vvdy
собой произведение элементарного расхода pKsina—-—-— на осе-
sin(a±0)
вую составляющую скорости FcosG.

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля... 235
Условие сохранения расхода для контура АС В имеет вид
r ^sin(aer
(2я)' ^si
Фиксированную длину контура АВ также выразим через интегралы
по ВС к АС:
В А
L= Jctg(a + 9)fl(y+ Jctg(a-9)flfy = const. (4.2)
с с
Как будет показано ниже, условие L = const может быть заменено
другим.
На СВ выполняется условие совместности (3.102)
f t\ \ nr V + sinasin6 v
',w,Q,y) = B'-—ctga+-— —- = 0, (4.3)
V sin( + 0)y
»., rJ±.
ay ay
Рассмотрим функционал
Ф =
(2ti)v \2ti)v 2
л (4.4)
Первые два условия (4.1) и (4.2), вводимые в функционал,
называются изопериметрическими. Они являются интегральными, т. е. каждое
из них определяет одно число, и поэтому стоящие перед ними
коэффициенты Х{ и %2 (множители Лагранжа) являются также постоянными
величинами. Необходимость выполнения данных условий
определяется физической постановкой задачи.
Третье условие (4.3) — дифференциальное; оно выполняется в
каждой точке характеристики СВ, и поэтому множитель Лагранжа ^3 =
= Х30>) переменный. Будучи условием совместности, оно связывает
функции Q(y) и V(y), выражая одну через другую на характеристике
первого семейства. В процессе решения будет показано, что Х3 = 0 для
экстремальной характеристики СВ, т. е. для характеристики, отвечающей
решению вариационной задачи. Однако заранее этого сказать нельзя,
поэтому условие N= 0 с переменным множителем Лагранжа Х3(у)
учтено в функционале.

236
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
На фиксированной характеристике АС все параметры известны и
зависят только от у, а на характеристике СВ V(y) и 0(у) — искомые
функции. Для их определения имеются условие совместности и условие
экстремальности характеристики СВ. Согласно (4.0)—(4.3) функции F{
и F2, входящие в (4.4), равны
где
sin a
pK2sinctcos0] v г
он+- \y ; /i=pK у ;
sin(oc + 0) J sin (a + 0)
vsinasin©
Jl — y-, J4
pK2sinacos0| V T. v sina
p +- |yv; ф,=р^у ;
sin(a-0) J sin(a-0)
При этом
9/1 _ . 9^_
90'" 3> dV
а для параметра m
r 9f c. . . r 9.F ._ Э/' o r d dF c
omdy- dbm- om- omdy. (4.6)
J 9m' J dm' dm' J rfy 9m'
Вариация функционала
в
5Ф = \bFxdy + F{(B)AyB -F{(C)Ayc + F2(C)Ayc = 0,
с
если Ф для искомого решения задачи имеет экстремальное значение;
3F{ — вариация Fl9 т. е. — изменение F{ при фиксированном у; а Аус и
Аув — изменение значений у в концевых точках.
Рассмотрим первое слагаемое этой вариации. С учетом (4.6) имеем
—L
Д90 rfy
90
e'J
3 ( f)F H F)F Л
dv
Определим характеристику СВ такой, чтобы на ней выполнялось
условие

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля... 237
^--^ = 0. (4.7)
59 dy№
Выберем переменный множитель Лагранжа Х.3(у) так, чтобы
*Z.-±%L-O. (4.8)
Подставив последние три соотношения в формулу для вариации
функционала, получим
+ F2(C)Ayc=0. (4.9)
Из (4.5), (4.7) и (4.8) имеем на характеристике СВ
Х„ § (Х3/з). (4.10)
от о У
Вариации ду, 50 и 5Кв точке В независимы. Поэтому 5Ф = 0, если
все коэффициенты при этих независимых вариациях равны нулю. Так,
в точке В имеем условия трансверсальности
'■=<>■ §=°-§=°- <41»
а в точке С —
причем поскольку любое изменение положения точки С можно
разложить на перемещение по характеристикам первого и второго семейств,
то вариации ду, 50 и 5Кв точке С являются связанными между собой.
Второе условие (4.11) дает
Х3(В) = 0. (4.12)
Третье условие (4.11) удовлетворяется автоматически при
удовлетворении (4.12).
Исследование первого уравнения системы (4.11) будет проведено
позднее. Обратимся теперь к первому уравнению системы (4.10):
, dF{ yvpK2sina[sin0sin(oc + 0) + cos(a + 0)cos0]
d0 sin (a
yvp^sumcos((x + 0)
— Ai -
sin2(0 + a) sin2(a + 0)
vsina[cos0sin(a + 0)-cos(a + 0)sin0]
ysin2(a + 0)

238 Глава 4. Оптимизация контуров сопел
Заменив первую квадратную скобку на cos a, a вторую — на sin а, имеем
pK2sinaco
sin2(a + 0)
vsin2a yvpK2sinacosa
= 1 z 1-
2 2
+A.i ^ K " v 7+—f1 = 0. (4.13)
sin2(ct + 0) sin2(ce + 0)
Из уравнения Бернулли VdV+ dp/p = 0 следует: dp/dV= -pV, а также
dp (др\ dp _ р
^~l~ty)s~dV~~Vsm2a
Вследствие изоэнтропичности и изоэнергетичности течения р р и a —
функции V. Обозначив av= da/dV и использовав два последних
равенства, а также раскрывая второе соотношение (4.10), получим
, COS0 Г
sin2(a + 0)L since
[. , лч sin(ce + 0) Tr . Л Х->а
sinasm(a + 0) i + Fa^sin0 г^—
sin a J sin (a
sin2(a + 0)L
л V ( Vav \ %
+^d ctga+~2 Гз
V \ sin a;
Прямым расчетом Ю. Д. Шмыглевским (1956 г.) было
установлено, что Х3 = 0 на всей характеристике ВС, в том числе и в точке В [69].
С целью упрощения выкладок примем Х3 = 0, г. затем, получив решение
вариационной задачи, проверим выполнение для него условия N= 0.
Из последнего уравнения при Х3 = 0 и использовании
тригонометрического тождества
2sin2acos0-cos0-sincesin(a + 0) = -cosacos(a--0)
получим
sin a sin 0 cos 0]
sin(a + 0) J
Fai/sinasin0 2 1 л a^sina
cos a -A-2— = 0.
sin(a + 0) J sin(a + 0)
Из (4.13) при Х3 = 0 имеем
= 0.

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля... 239
Исключив Х2 из последних двух уравнений, получим после
упрощений
O. (4.14)
Подставив теперь Х{ из последнего уравнения в предпоследнее,
после упрощений получим
Х2 = -yvpK2tgasin20. (4.15)
Отметим, что простейшие уравнения (4.14) и (4.15) на
экстремали СВ являются точным решением вариационной задачи и не связаны
какими-либо ограничениями на зависимости р, р и а с V, т. е. решение
верно для любого баротропного газа.
Данные уравнения были получены Л. Е. Стерниным (1957 г.) [55] на
базе решений Ю. Д. Шмыглевского [69].
Остается лишь доказать, что уравнения (4.14) и (4.15)
удовлетворяют условию совместности на экстремали СВ.
Прологарифмировав и продифференцировав эти уравнения,
получим
dV
j
V
vdy
У
sin(a-0)^
cos(a-0)
dp 2VdV
' P ' V2
л j \ SinOt J Г)
cos a
da osin0cos0 ,
tgoccos2a sin20
Выполняя тригонометрические преобразования,
ношения (4.16) имеем
+tg(a-
V
sin0rfa
cosacos(a-0V
(4.16)
из первого соот-
(4.17)
Подставляя полученное выше из уравнения Бернулли выражение
sin2 a dp/p = -dV/V во второе равенство (4.16), получим, исключив из
него и из (4.17) da:
dV\ cosacos(a-0) ^ . 1 vsinacosarfv
1 -+2sinacosa-ctga +
V L sin0
f2sinactg0i O.
sin0 J
Это равенство после элементарных преобразований принимает вид
условия совместности (4.3), что и требовалось доказать.
Возвратимся теперь к первому условию трансверсальности в
точке В (4.11) и к условию трансверсальности в точке С.

240 Глава 4. Оптимизация контуров сопел
Из (4.11) имеем в точке В с использованием (4.14) и (4.15)
„ . ч v pK2sinavv
F\=(p — pH)y-\— -— х
sin(a + 0)cosa
0. (4.18)
После тригонометрических преобразований и упрощений имеем в
точке В
р-рн = pK2tgasin0cos0.1 (4.19)
Полученное уравнение, названное в [72]
условием Буземана2, для сопла макси-
• В мальной тяги при заданной длине можно
получить другим элементарным способом
без использования решения вариационной
задачи. Действительно, в окрестности точ-
л ки В выделим дифференциально малый
Рис. 4.2. К выводу условия n n , Л ~ч
Б зе Jy элемент контура сопла ВХВ (рис. 4.2) и
проварьируем угол его наклона к оси х 0.
Если контур экстремальный, то и последний элемент контура также
должен быть оптимальным. В данном случае в окрестности точки В{
при обтекании АВ{В2 осуществляется течение Прандтля —Майера.
При этом
dQ = ctga— = --^r-ctga. (4.20)
У pV
Уравнение (4.20) сохраняется и при обтекании угла АЯ^з-
Сила, действующая на участок В{В,
Максимальная реактивная сила, действующая на участок В{В,
определяется из условия оптимального значения 0 при Ах = const:
dd cos20
Заменяя здесь dp/dQ по (4.20), придем к формуле (4.19).
1 В отличие от одномерной постановки задачи, где максимальная тяга
соответствует условию ра=рн (см. п. 1.2.6), здесь для оптимального сопла Рв>Рн
при 0 > 0.
2 Следует отметить, что в решении данной задачи Буземан участия не
принимал.

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля... 241
Наконец, последнее условие обращения вариации функционала в
нуль — условие трансверсальности в точке С. Учитывая, что Х3 = О, а
вариация Ъус произвольна (что эквивалентно произвольности вариации
угла CAB), имеем в точке С F2 = FX. Раскроем значение F2:
pF2sinoccos0 лг2 sinacos(a-0)
р-рнл рК +
sin (a - 0) sin (a - 0) cos a
]. (4.21)
Как следует из (4.18), (4.19) и (4.21),
FX(C) = F2(C), (4.22)
т. е. условие трансверсальности в точке С удовлетворяется
автоматически. Значит, никаких специальных условий в точке С выполнять не
приходится.
Итак, в результате решения вариационной задачи получены
условия на экстремальной характеристике СВ (4.14) и (4.15), а для сопла
заданной длины — и условие Буземана (4.19). Ниже это условие будет
обобщено.
4.1.2. Замечания к решению вариационной задачи
1. Как известно, решение большинства вариационных задач в
соответствии с уравнением Эйлера для экстремальной кривой сводится к
интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка, и в результате решение зависит от двух произвольных
постоянных. С помощью этих постоянных можно построить
экстремальную кривую так, чтобы она проходила через две наперед заданные
точки [39].
В рассмотренном же выше случае на экстремали СВ для
неизвестных функций 000 и а(у) выполняются два конечных уравнения. Через
две заранее выбранные точки С и В экстремаль провести нельзя. Как же
тогда построить экстремальный контур сопла, проходящий через две
заданные точки Аи В? Для этого используем две степени свободы:
перемещение точки С вдоль AD и замену характеристики AD на ADX, AD2
и т. д. — по обе стороны от AD (см. рис. 4.1). В каждом из
рассмотренных вариантов проводится расчет экстремали СВ, причем положение
точки В определяется из условия равенства расходов по АС и СВ.
Подбор точки заканчивается, когда точка В совпадает с требуемой
точностью с заранее заданным положением этой точки. Множители Лагран-

242
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
жа Х{ и Х2, входящие в (4.14) и (4.15), определяются по параметрам в
точке С и затем полагаются постоянными вдоль всей экстремали СВ.
2. Равенство нулю первой вариации исходного функционала
является лишь необходимым условием его экстремума. Как известно из
вариационного исчисления, достаточным условием максимума является
отрицательность второй вариации на экстремали, т. е. на кривой, на
которой первая вариация равна нулю (условие Лежандра).
Определение второй вариации функционала весьма громоздкое, и,
как будет показано, результаты прямых вычислений отклонений от
экстремального контура сопла приводят только к потерям тяги.
Накопленный опыт вычислительных работ в данном направлении, а также
физическая сущность задач позволяют заключить, что определение
второй вариации функционала является вообще нецелесообразным.
3. При решении вариационной задачи концевые точки
экстремали С и В считались подвижными, что определило наличие условий
трансверсальности в этих точках (4.19) и (4.22); последнее, впрочем,
оказалось несущественным. При решении вариационных задач с
фиксированными концами условия трансверсальности отсутствуют, а условия
на экстремали типа (4.14) и (4.15) сохраняются. Поэтому при решении
серии вариационных задач с различными положениями точки С
фактически рассчитываются вариационные задачи с фиксированными
концами, когда условие (4.19) не выполняется во всех точках В, кроме
одной, специально подбираемой.
4. Как отмечалось при постановке вариационной задачи, соплу с
наименьшими потерями из-за рассеяния при фиксированных
габаритах соответствует угловая точка А\ при этом реализуется краевой
экстремум функционала. В процессе построения экстремали СВ
происходит также и решение
вариационных задач для контуров сопел
А{В{, А2В2 и т. д. (рис. 4.3),
имеющих вместо угловой точки
«разгонные» участки A{MY, A2M2 и
т.д. и укороченные экстремали
СВи СВ2 и т.д. Естественно, что
чем дальше отстоит такой контур
от АВ, тем больше потери из-за
рассеяния у такого сопла.
Назовем данные контура семейством
сопел, выполненных по
промежуточной линии тока.
Рис. 4.3. Экстремальные контуры,
построенные с использованием
промежуточных линий тока

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля...
243
В приводимой ниже таблице представлены коэффициенты потерь
из-за рассеяния срр вычисленные для серии осесимметричных сопел,
выполненных по промежуточным линиям тока с параметром 7h равным
отношению ординаты в критическом сечении исходной точки АЬА2
и т. д. к ординате в точке А. В расчетах принято: 7 = ув/уА - 6; / =
= (хв-хА)/уА=16, У= М5-
После выполнения расчетов точка А{ путем изменения масштаба
совмещалась с точкой А. Результаты расчетов1 представлены в таблице.
п
фр
1
0,9962
0,98
0,9960
0,95
0,9957
0,9
0,9952
0,8
0,9941
0,7
0,9923
Из таблицы следует, что при г, = 0,9 (рр уменьшается на 0,05%. В
связи с незначительностью этой величины, а также благодаря
преимуществам наличия небольшого скругления контура у точки А (облегчение
охлаждения, технологии изготовления, уменьшение потерь из-за
химической неравновесности в точке А и т.д.) практически на всех соплах
современных двигателей угловой вход в сверхзвуковую часть сопла у
точки А стали заменять на вход, имеющий скругление небольшого
радиуса. При этом контур сопла
становится близким к контуру,
выполненному по промежуточной
линии тока с 7{ =0,95.
5. Анализ уравнений (4.14) и
(4.15) показывает, что для сопел
достаточно большой степени
расширения и при сравнительно
небольших длинах в области ас < 8С у
основания экстремали СВ в точке С Рис 4-4- Граница области существо-
появляется петля, что свидетельст- вания безударных экстремальных
сопел в точке С: 1 — экстремальная
вует о невозможности существова- хара1Сгеристика; 2 _ харак?еристика
ния безударного течения. С ростом пучка
степени расширения граница
области существования безударных экстремальных сопел перемещается в
направлении больших длин сопел (рис. 4.4). Как показал Ю. Д. Шмыг-
левский (1962 г.), левее указанной выше границы экстремальный
контур сопла таков, что при обтекании его начального участка образуется
Анализ выполнен совместно с Л. П. Верещакой.

244
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
центрированная волна сжатия ЩВС) скачок уплотнения. Построение
таких сопел с помощью формул (4.14) и (4.15) становится невозможным.
Для газа с постоянным показателем адиабаты граница области
существования безударных экстремальных сопел, впервые обнаруженная
[54] в 1960 г., как линия с бесконечно большим градиентом
газодинамических параметров da/dy -> оо, имеет в точке С простой вид [5]:
tg8 =
2 cos a sin 2а
Ув
12
/А
У =
/
22
38
Рис. 4.5. Граница области
существования безударных
экстремальных сопел в точке В
у + cos22а
При проектировании сопел до
проведения расчетов необходимо знать:
возможно ли при заданных значениях хв и
ув построить экстремальное безударное
сопло? Для ответа на этот вопрос на
рис. 4.5 в плоскости (хв,ув) для у = 1,15
и 1,4 нанесена граница области
существования безударных экстремальных
сопел NP. Правее этой линии — сопла
безударные и определяются расчетом с
использованием (4.14) и (4.15). Линия NQ
соответствует условию Буземана (4.19)
для рн=0. Поскольку условие
трансверсальности (4.19) отвечает экстремальным
соплам наименьшей длины, то левее
линии NQ точка (хв,ув) быть не должна.
Если же при данном л^ задано ув, большее, чем соответствующее
условию Буземана, то на сопле целесообразно сделать торец и спуститься
на линию Буземана. Левее линии NP возможно существование
экстремальных сопел с висячими скачками уплотнения, представляющих
практический интерес [27], [68]1.
6. Условие трансверсальности (4.19) в точке В может быть обобщено
[52]. Рассмотрим сопло, масса которого т зависит только от концевых
размеров: т = m(L,yB), где L — длина сопла. Такой случай реализуется,
когда, например, сопло штампуется из конической заготовки.
СтернинЛ. Е., Шмыглевский Ю.Д. Явление возрастания воздействия сверх-'
звуковой высокоскоростной газовой струи при образовании висячих ударных
волн. М.: МААНО, 1997. (Диплом № 51 на открытие по заявке ХА-65 от
11.02.1997 г.)

4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля... 245
Здесь
т = щ+Ц n(yA+yB)jLz+{yB-yAy , (4.23)
где т0 — масса сужающейся неварьируемой части сопла; £ — масса
единицы поверхности заготовки.
Исходный функционал (4.4) теперь определяет максимальную тягу
при заданной массе сопла и имеет вид
Р О В А
(2пУ l '^v 2 J l J 2
Вариация массы сопла
Ът = m'L8L + т'Ув Ъув.
Если обозначить
то, сохраняя старые обозначения, можно записать:
в
6Ф = \bFxdy + Fx(B)byB -F{(QAyc +F2(C)Ayc +\2т'УвАув,
с
где т'Ув — частная производная от т по ув.
Сопоставляя последнее соотношение с вариацией функционала (4.4),
приходим к выводу, что при замене Х2 на mfLX все полученные выше
результаты безо всякого изменения можно перенести на этот случай,
кроме условия Буземана (4.19). Вместо него имеем
Учитывая, что X2m'L =-^vpK2tgasin20, в точке В получим вместо
условия Буземана
4 ^sin2e. (4.24)
рК2 m'L
В частности, если т = L, то из (4.24) легко получим (4.19). Если
сопло штампуется из конической заготовки, то из (4.23) получим
т'Ув 2
m'L Цув + уА)
Подставив это выражение в (4.24), придем к условию
трансверсальности в точке В для этого случая. Отметим, что в данное условие не
входит величина £.

246 Глава 4. Оптимизация контуров сопел
7. Рассмотрим теперь течение в плоском сопле. В этом случае v = О,
и из (4.15) выпадает^. При этом из двух уравнений (4.14) и (4.15) сразу
же определяются две неизвестные величины — а и 0, которые
оказываются постоянными вдоль экстремали (Ки р однозначно
определяются через а). Очевидно, что на экстремали а = ас и 0 = 0С.
Следовательно, экстремаль является прямой, а значит, и все характеристики
первого семейства в треугольнике ABC — также прямые линии. Отметим,
что сопло с параллельным и равномерным истечением,
соответствующее случаю, когда ус = О, также является решением вариационной
задачи. Поскольку для него все характеристики первого семейства —
прямые, то любая начальная часть контура такого сопла, называемая
иногда укороченным соплом, также является экстремальной, т. е. отвечает
решению вариационной задачи. Осесимметричному течению подобные
свойства не присущи.
8. Простейшие по внешнему виду формулы (4.14) и (4.15),
являющиеся решением вариационной задачи о построении экстремальной
характеристики первого семейства, могут быть получены и более
простым путем, найденным А. Н. Крайко. Составим функционал
с v + 1 с
где В и С — фиксированные точки, а х'= dx/dy.
Определим вариации функционала, выражая вариации давления и
плотности через вариации составляющих скорости VxnVy:
Ьр = а~28р и Sp = -p(VxbVx+VybVy);
в
а2 -V 2 + К V х'
где Ах = х 2xy(Vx + 31) - Vyx'\
Полагая эти вариации независимыми, получим Ах = 0 и Ау = 0.
Отсюда следует, что
(Vx+\)(V/-a*)
преобразовывая которые, на характеристике первого семейства
= tg(a + 0) получим соотношения (4.14) и (4.15).

4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя 247
4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя
Выбор наилучшей формы сопла — одна из наиболее важных задач
проектирования ракетных двигателей, т. к. при подъеме ракеты
подавляющая часть тяги расходуется на придание ускорения топливно-
баковой системы ракеты и лишь небольшая — для ускорения полезного
груза, составляющего малую долю от общей массы.
При совершенствовании сопла происходит практически «дармовое»
увеличение тяги при том же расходе топлива, что может быть прямо
использовано для увеличения либо дальности полета, либо массы
полезного груза. Так, например, по данным [42], увеличение удельного
импульса ЖРД на 1 % приводит к росту дальности полета
баллистической ракеты или массы полезного груза космической ракеты примерно
на 5%. Имеются примеры еще большего влияния степени
совершенства сопла на эффективность ракеты.
Выбор оптимального сопла состоит из трех этапов — выбора
координат точки В (или концевых размеров сопла), выбора сверхзвукового
контура и выбора контура дозвуковой части сопла. Эти задачи между
собой связаны мало. Остановимся сначала на выборе концевых
размеров, т. е. длины и степени расширения сопла. Здесь к определяющим
факторам относятся требования к габаритным и массовым
характеристикам двигателя, связанные с назначением и условиями запуска и
полета ракеты. Так, иногда лимитирующим фактором является длина
двигателя (сопла), и тогда выбор хв производится в соответствии с
условием Буземана (4.19).
Когда же, например, двигатель должен поместиться в хвостовом
отсеке ранее спроектированной ракеты с ограниченным диаметром,
определяющим является размер ув. В большинстве случаев при выборе хв
и ув необходимо учитывать и массу сопла т, определяемую главным
образом боковой поверхностью сопла S.
Изложенные выше требования к выбору габаритов сопла
математически можно выразить формулой
ДС =^А/У,п +#-**,,> +^Am+^5yB +ff 5Z, (4.25)
о1уп о/уз от дув oL
где частные производные по удельному импульсу в пустоте, на земле,
массе конструкции и т.д. определяются по данным баллистических
расчетов для конкретной траектории полета конкретной ракеты. Под
параметром G можно понимать дальность полета баллистической
ракеты, массу полезной нагрузки и т. д. Некоторые из входящих сюда част-

248
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
8G
ных производных могут быть равны нулю; некоторые (например, —
dL
дG^
или ) могут быть отличными от нуля лишь при определенном соче-
тании исходных параметров. В ряде случаев присутствуют лишь первое
и третье слагаемые, и тогда между ними можно установить эквивалент,
при котором AG = 0:
Am dG
S/v
-if.
от
*-** у,п "л у,п
Величина |£|, называемая весовым эквивалентом, численно равна
изменению массы конструкции (сопла) в килограммах, которое
эквивалентно (по влиянию на AG) изменению удельного импульса1 в пустоте на
одну секунду. В зависимости от тяги двигателя весовой эквивалент
может меняться от 5—10 кг/с для небольших двигателей и до 100—200 кг/с
для крупных камер ЖРД. Грубые оценки (по порядку величины) для
ЖРД, работающих в пустоте, можно производить, принимая \С\*
«-Рпкг/с (где Рп — тяга одной камеры в пустоте, в тоннах). Так,
например, для однокамерного двигателя с тягой в пустоте />п=10т,
<!; = -10кг/с. Хотя есть примеры, когда для Рп=10т, С = -25 кг/с; то же
значение £ сохранится и для четырехкамерного двигателя с тягой
Рп = 40 т при одинаковом изменении массы каждой камеры [57].
В зависимости от назначения одного и того же двигателя эти
оценки могут существенно измениться. Данный эквивалент иногда
используется при выборе степени расширения сопла; при этом, кроме
указанных выше факторов, должны
учитываться и возрастающие с
повышением степени расширения потери из-
за трения, возможное изменение
удельного импульса на земле и т. д.
Точные значения эквивалентов
могут быть получены лишь по данным
баллистических расчетов.
Для более четкого
представления о выборе концевых размеров
1-
•
" ~ УР = const
Рис. 4.6. Линии равных тяг
сопла рассмотрим рис. 4.6, на котором в координатах (хв,ув) представ-
лены^линии равных тяг (земных или пустотных) или удельных
импульсов двигателей с соплами, имеющими разные сочетания хв и ув. При
Здесь единицей измерения удельного импульса принята 1 с.

4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя 249
этом каждой точке плоскости (хв,ув) соответствует экстремальное
сопло. Очевидно, что соплу минимальной длины при Р = const
соответствует вертикальная касательная к линии Р = const (точка 1), а
минимальной выходной площади — горизонтальная касательная (точка 3). На
плоскости (хв,ув) изо всей совокупности экстремальных сопел
выделены сопла, имеющие равные значения боковой поверхности S. Будем
считать, что это — сопла одной и той же массы. Линии 5= const и
Р= const касаются в точках 2, которые определяют сопла минимальной
массы. В силу обратимости постановки вариационных задач сопло
минимальной длины при заданной тяге тождественно соплу
максимальной тяги при заданной длине. Это относится и к другим типам сопел.
Очевидно, что оптимальные сопла соответствуют участку 1, 2, 3
линии Р = const, т. к. вне его при той же тяге габаритные размеры и масса
сопла увеличиваются, что явно невыгодно. В зависимости от
назначения ракеты и требований кЖРД с использованием условия (4.25)
определяется положение рабочей точки на линии 1, 2, 3. Если условия на
габаритные размеры сопла не задаются, то для пустотного двигателя
целесообразно выбирать точку 2.
Штриховые линии 11, 22 и 33, соединяющие на рис. 4.6
соответствующие точки для сопел разных тяг, называются линиями сопел:
минимальной длины (для которых удовлетворяется условие Буземана),
минимальной массы и минимальной выходной площади.
Как уже отмечалось, после определения хв и ув экстремальный
контур с небольшим скруглением в окрестности точки Л определяется на
базе уравнений (4.14) и (4.15).
При постановке вариационной задачи об оптимальном сопле не
рассматривалось влияние сил вязкости на тяговые характеристики. Это
объясняется двумя причинами: во-первых, трение газа о стенку сопла
зависит главным образом от длины и частично — от боковой
поверхности сопла, следовательно, на выбор контура при фиксированных его
габаритах трение влияет минимально; во-вторых, при учете трения
задача принципиально усложняется. Для учета трения необходимо
рассчитать течение в треугольнике ABC, а знания параметров на
замыкающей характеристике здесь недостаточно. Следовательно, задача
становится зависимой от двух переменных: хиу. Такая вариационная задача
решается общим методом множителей Лагранжа [27].
В качестве альтернативы экстремальным соплам РД обычно
рассматривается однопараметрическое семейство укороченных осесим-

250
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
метричных сопел с равномерным потоком на выходе1 [41]. Простоту
построения можно считать их главным преимуществом по сравнению с
экстремальными соплами. Уже известно, что плоские сопла такого
типа являются строго экстремальными. С другой стороны, неукороченное
осесимметричное сопло с равномерным потоком в выходном сечении
отвечает решению вариационной задачи при ус = 0, т. е. также является
экстремальным.
Учитывая два последних замечания, можно ожидать, что
укороченные осесимметричные сопла будут по тяговым характеристикам не
сильно отличаться от экстремальных. Опыт вычислительных работ
подтверждает это предположение. Рассмотрим результаты расчетов серии
сопел с учетом трения.
Для оптимизации сопел используются главным образом два
наилучших типа сопел — экстремальные и укороченные.
Контур исследуемого сопла удобно задать формулой
где уо(х) — экстремальный контур сопла, рассчитываемый с
использованием условий (4.14) и (4.15); y_i(x) — контур укороченного осесим-
метричного сопла; к = -2 ... +1,5 — параметр деформации контура.
При к- 0 приходим к экстремальному соплу, а при к = -\ — к
укороченному. Длины и степени расширения всех сопел полностью
совпадали. В расчетах было принято у = 1,15, хв = 29, д^ =11.
Л=1,5Ч
5 10 15 20 25
Рис. 4.7. Рассчитываемые контуры сопел
1 Этот тип сопел с угловой точкой А предложен Д. А. Мельниковым, У. Г. Пи-
румовым и А. А. Сергиенко (1956 г.) в качестве базового семейства для
ракетных сопел.

4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя 2 51
Контуры сопел изображены на рис. 4.7; при к = 1,5 контур более
выпуклый, чем экстремальный, а при к = -2 — более пологий, чем
укороченный.
При исследовании влияния потерь из-за трения и рассеяния на
тяговые характеристики следует иметь в виду, что при одной и той же
степени расширения у более длинных сопел большие потери из-за трения и
меньшие — из-за рассеяния. Поэтому для исследования влияния трения
следует рассматривать сопла с большой относительной длиной, где
эффекты трения проявляются наиболее ярко. В приводимых ниже расчетах
принята весьма большая относительная длина сопла / =хв/ув - 29/11 =
= 2,64. При уменьшении / влияние потерь из-за рассеяния
значительно возрастает, а из-за трения — падает.
Для семейства контуров, представленного на рис. 4.7, были
проведены расчеты потерь из-за трения, рассеяния и кроме того определены
суммарные потери с учетом наличия пристеночного слоя (завесы)
из легкого газа с пониженной температурой. При определении потерь
из-за трения рассматривались три модификации расчета этих потерь.
Первая модификация соответствует интегральному методу расчета
турбулентного пограничного слоя упрощенного вида, который широко
применялся начиная со второй половины 1950-х и до начала 1980-х гг.
Вторая модификация — также интегральная, включающая ряд
уточнений, за счет этого она более сложная и приводит к некоторому
снижению потерь из-за трения. Ее разработка и внедрение относится к
1980-м гг. И, наконец, третья модификация соответствует трехпарамет-
рической дифференциальной модели турбулентности [37].
Результаты всех расчетов представлены на рис. 4.8. Здесь по
горизонтальной оси отложен параметр к, по вертикальной — превышение
потерь в рассматриваемом сопле по сравнению с экстремальным.
Кривая 1 соответствует расчету потерь из-за трения для различных
контуров по трехпараметрической модели турбулентности; кривая 2 — по
второй (усовершенствованной) модификации интегральной модели;
кривая 3 — по первой модификации; кривая 4 иллюстрирует изменение
по к только потерь из-за рассеяния. Кривые 5 и 6 определяют
суммарные потери с учетом наличия завесы из легкого газа с расходами
соответственно 0,5 и 1 % от общего расхода, которые определяются только
по трехпараметрической модели турбулентности [37]. Минимальными
потерями при отсутствии трения обладает, как и следовало ожидать,
экстремальное сопло (кривая 4, к = 0).

252
Глава 4. Оптимизация контуров сопел
5, %
0,15
0,10
0,05
NX
\
\
\
\
\
\
А
-2
Рис. 4.8. Разница в потерях из-за трения и рассеяния между
рассматриваемым и экстремальным соплом
Минимальными суммарными потерями из-за рассеяния и трения,
рассчитанными по трехпараметрической модели турбулентности и по
второй модификации расчета потерь из-за трения, обладают сопла с
0 >&>-!, т. е. сопла, промежуточные между экстремальными и
укороченными. При этом преимущество такого промежуточного сопла по
сравнению с экстремальным составляет малую величину — 0,01 %. При
учете трения по первой модификации происходит сдвиг минимума
потерь в сторону более выпуклых сопел (выигрыш здесь также лишь
около 0,01%).
Весьма примечательным фактом является совпадение со значением
1с = 0 минимума суммарных потерь для сопел с учетом влияния
охлаждающей завесы, т. е. здесь оптимальным соплом опять является
экстремальное. Это объясняется тем, что в сопле легкий пристеночный слой
быстро ускоряется, в результате чего происходит утоньшение
пограничного слоя.
Влияние на тяговые характеристики завес из тяжелого газа,
возможно, будет иным, однако без расчетных результатов прогнозы здесь
делать преждевременно.
Таким образом, из рис. 4.8 видно, что-по мере совершенствования
методик расчета потерь из-за трения контуры, отвечающие расчетному
минимуму суммарных потерь, ничтожно отличающемуся от уровня
потерь в экстремальном контуре, сначала были более выпуклыми, чем

4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя 253
экстремальный, затем — менее выпуклыми, а при завесе из легкого
газа — полностью совпали с экстремальным контуром.
Из рис. 4.8 видно также, что потери из-за рассеяния в укороченном
сопле превышают потери в экстремальном примерно на А = 0,05%
(кривая 4, к = -1). Этот результат соответствует лишь значению / = 2,64,
принятому для данной серии расчетов. Опыт вычислительных работ
свидетельствует, что во многих практически важных случаях для более
коротких сопел А = 0,3 %; такая величина уже вполне ощутима.
Таким образом, с учетом трения за оптимальное сопло (по крайней
мере в исследованном диапазоне степеней расширения 7 < 10—11)
следует принимать экстремальное, причем, поскольку при постановке
вариационной задачи фактор трения в функционал не вводился, заранее
предсказать этот вывод было нельзя. Укороченные сопла близки по
характеристикам к экстремальным, их целесообразно использовать при
различных многопараметрических исследованиях с целью уменьшения
объема вычислительных работ.
Весьма важным преимуществом экстремальных сопел перед
другими формами является то, что экстремальные сопла дают предельно
низкое значение потерь из-за рассеяния. Во многих прикладных
задачах, например при исследовании сопел с центральным телом, только
найдя экстремальный контур, можно гарантировать определение
наилучшего сопла.

ГЛАВА 5
КОМПАКТНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
МЕТОДА УСТАНОВЛЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТОВ ДО-, ТРАНС-
И СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
5.1. Метод характеристик
При проводимых ниже расчетах сопел использовался метод
характеристик, адаптированный к течению реагирующих сред с
произвольной зависимостью давления от плотности. При этом полагалось, что
смесь газов находится в термодинамическом равновесии, причем на
входе в сопло компоненты полностью перемешаны. Скачки
уплотнения в расчетной области отсутствуют, влияние вязкой диссипации не
учитывается. Уравнения сохранения массы, импульса и энергии
течения невязкого газа (уравнения Эйлера) в осесимметричных
координатах имеют вид
дх ду
где векторы F = (pw, рии + р, puv, puH)T, G = (ри, pvu, pvv + р, pvH)T, R =
= pV(l,u,v, H)T/у; т — индекс транспонирования; х — осевая
координата; у — радиус; и и и — соответствующие им компоненты скорости.
Полная энтальпия Н = h + V2/2, модуль скорости газа V = yju2 +v2,
зависимость энтальпии от отношения давления к плотности h = h(p/p)
определяется из термодинамических расчетов. Задание энтальпии в
подобном виде позволяет исключить температуру газа из расчетов. При
необходимости она может быть получена из уравнения состояния р =
= рЯунТ/w, где Лул — универсальная газовая постоянная; w(p/p) —
мольная масса газа. Дифференциал энтальпии
p
где показатель адиабаты у(р/р) = h '/(h' - 1), h' = dh/d(p/p). На изоэнтропе
4
р (ч-\)р\р
следовательно, (dp/dp)s = ур/р, и скорость звука а = ^{dp/dp)s =

5.1. Метод характеристик 255
Из уравнений сохранения энергии и массы получаем
характеристическое уравнение: идН/дх + идН/ду = О, которое означает сохранение
полной энтальпии dH=0 вдоль линий тока udy-vdx = Q. Из
определения полной энтальпии следует зависимость скорости от энтальпии:
V = yj2(H-h), причем #= const в силу ее однородности на входе в
сопло и сохранения на каждой линии тока.
Преобразуем уравнения в консервативной форме к уравнениям
относительно переменных (p,u,v,p):
др др (ди dv v\ Л
w—+и—+ р —+—+— =0;
дх ду \дх ду у)
ди ди 1 др Л dv dv I dp Л
и— + и—+—- = 0; и— + v—+—- = 0;
дх ду рдх дх ду рду
др др (ди dv 1Л
f + vf + yp\ —+—+- =0.
д д )
uf + vf + yp\ ++
дх ду \дх ду у
Из первого и последнего уравнений получаем характеристическое
уравнение для энтропии: udS/dx+vdS/dy = 0. Из условия сохранения
энтропии вдоль линии тока (при отсутствии скачков) и ее
однородности на входе в сопло следует, что S= const. Из условия постоянства
энтропии следуют формулы для давления и плотности:
Inp= jA'rfln(p/p), lnp= J(*'-l)rfln(/>/p)
от параметра р/р.
Введя угол скорости 0 = arctg(i>/w) и естественные координаты вдоль
линий тока dz = cosQdx + smQdy и по нормали к ним dn = -sinQdx +
+ cosQdy, можно получить из трех последних уравнений:
дх
dV
дх
рдп
dQ 1
дп
У
)
= 0.
Исключив давление из соотношения dp = -pVdV, получаемого из
условий постоянства энтропии и полной энтальпии, имеем
5в__1_ЭК=0
дх V дп ~ '
dv v (дв sine"! Л
дх М2-Адп у )

256 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
где число Маха М = V/a. В сверхзвуковой области уравнения имеют
характеристический тип. Вводя угол Маха a = arcsin(1/M), можно
представить характеристический вид этих уравнений:
ае дъ\ ctgafaF^ экУ sine Л
— ±tga— I-jH — ±tga— ±tga = 0.
дт дп) V \дх дп) у
Из него получаем уравнения характеристик и уравнения
совместности в координатах (т,л):
cos adn + sinarfx = 0,
dV
rfe + ctga
V
+dn 0,
V у
или относительно координат (х,у):
sin(Q±a)dx-cos(Q±a)dy = 0,
—+
V у
Благодаря записи относительно приращений по нормали к
линиям тока -sinQdx + cosQdy = dn последнее слагаемое в уравнениях
совместности не содержит прямой зависимости от угла Маха и имеет
наиболее простой вид. Возможны эквивалентные формы записи этих
уравнений. На характеристиках -sin0dx + cos0dj> = (-sin0ctg(9±a)
= ±sin a/sin(8±a)dy. С учетом этого, получаем:
dV sin0sina ,
—± dy
V
Используя аналогичные равенства
rfy/sin(0 ± a) = sin(0 ± a)dy + cos(0 ± a)dx,
получим еще одну форму записи:
±
V у
Уравнение совместности имеет особенность при М->1, когда
ctga = vM2-l ->0, в этой области небольшая ошибка в определении
угла 50 может приводить к неоправданно большим изменениям
скорости, поэтому желательно использовать в расчетах другую переменную

5.1. Метод характеристик 257
вместо скорости. Для газа с постоянным показателем адиабаты лучший
выбор — функция Прандтля — Майера
1VT-1 -arctgVM'-l,
поскольку в этом случае ctgadV/V=do. В общем случае использовалась
переменная \у = (ctgot/(l + ctga))3, тогда уравнения газовой динамики в
сверхзвуковой части осесимметричного сопла сводятся к уравнениям
характеристик и совместности для первого (С+) и второго (С") семейств:
(sin 0 ctga ± cos Q)dx - (cos 0 ctg a + sin 0)dy = 0,
У
(1 + ctga)4
A=— i
A'(Af-l)
Интегрирование полученных уравнений между двумя
расположенными на С^-характеристике точками к и т проводилось с
использованием разностной схемы второго порядка точности:
b± =sin0ctga±cos0, с1 =cos0ctga + sin0;
кт
Укт
где индекс km означает полусумму функций в этих точках: Акт =
= (Ак + Ат)/2, за исключением индекса у В.
Рассмотрим типичную задачу метода характеристик — есть точки 1
на С+-характеристике и 2 на С"-характеристике, необходимо
определить параметры в точке пересечения характеристик 3. Используя
данную схему, получим решаемые методом простой итерации формулы для
искомой точки:
х =
3

258 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
3
3
2(А32+А3{)
Выбор в качестве независимой переменной позволяет проводить
расчеты в широком диапазоне чисел Маха, от значений близких к
единице до больших величин, без заметного падения точности, поскольку
в этом случае выражение А32 + Л31 никогда не близко нулю.
5.2. Компактная разностная схема
В расчетах течений газа в соплах методом установления
использовалась разностная схема повышенной точности — компактная
разностная схема. Основное достоинство схемы состоит в том, что требуемая
точность достигается при умеренном количестве разностных узлов. Это
позволяет, в частности, выявлять крайне малые различия в удельном
импульсе при небольших изменениях геометрии сопел.
Неявная компактная разностная схема для уравнений Навье—Сток-
са была предложена А. И. Толстых [61]. Ее свойства:
1) компактная, т. е. разностные операторы определены на
трехточечном шаблоне для каждого из направления координат;
2) использует разности консервативных газодинамических величин
в зависимости от направления распространения возмущений;
3) при соответствующих граничных условиях и отсутствии
переходов от до- к сверхзвуковому течению, и наоборот, схема для невязких
уравнений имеет третий порядок точности;
4) схема разрешается векторными трехточечными прогонками.
В работе [23] было предложено обобщение компактной
аппроксимации выражений, типа потоков qdf/dx, на случай переменной
функции q. В результате была построена компактная схема для уравнений
Навье —Стокса [20, 23], имеющая тот же порядок точности, но
решаемая скалярными трехточечными прогонками. Это позволило
существенно упростить постановку граничных условий и сократить время
счета по крайней мере в два раза. Причем было показано, что для обычно
существующих на практике шагов сетки схема имеет третий порядок
точности, несмотря на использование граничных условий второго
порядка и наличие перехода от до- к сверхзвуковому течению.

5.2. Компактная разностная схема 259
5.2.1. Разностная схема для уравнения переноса
Для уравнения переноса
дх
изменение переменной df= ^происходит вдоль характеристики dx/dt =
= q, т. е. существует выделенное, определяемое знаком q, направление
распространения возмущений 5/ по оси х. Для решения этого
уравнения можно использовать симметричную компактную разностную схему
четвертого порядка точности, в которой все направления равноценны.
Подобная схема наиболее проста в реализации, однако ее использование
может приводить к чрезмерно немонотонным решениям, поскольку
наилучшие устойчивость и дисперсионные свойства разностной схемы
достигаются при учете направлений распространения возмущений.
Введем равномерную разностную сетку xz = /Ax, tn = лД/ и
разностные операторы Bv и (qd/dx)v, действующие на сеточные функции:
(4-Зум/2) fM-ft; (4+3v,_1/2)
——Я—^г+——
1 77 fi+l-fi-l СТ'>1/2/„ . sfi+l-fi , °/-1/2/д _ s.fj-fj-\
Приняты следующие обозначения для #: qj=q(fj), Qi+\/2= Q((fi +
+yj+1)/2), qi=q((fi+\+fi-\)/2). Параметр схемы, учитывающий
направление движения возмущений:
+1
gi+l-q,\1\2дм/2-qM +9,\'
Почти везде (кроме областей вблизи точек изменения направления
характеристики ^ = 0) \qi+l/21> \qi+l -qj\/2, в этом случае v/+1/2 =
= ^i+i/2/l ^/+1/2 l = s^Sn(^,-+i/2). При определенном изменении
направления характеристик (qf < 0 и qi+l > 0) схема находится на границе
устойчивости, что может приводить к появлению малых незатухающих
колебаний.

260 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Для подавления этих колебаний введен не влияющий на точность
схемы демпфер с параметром:
Для гладких, имеющих производные вплоть до четвертого порядка,
решений можно найти локальную аппроксимацию на трехточечном
шаблоне:
Следовательно, если величина q не меняет знака в расчетной области
и граничные условия заданы с той же точностью, то выражение
(Bv)~l(qd/dx)vf аппроксимирует qdf/dx с третьим порядком точности и
имеет аппроксимацию не ниже второго порядка в общем случае при
граничных условиях второго порядка.
Построим компактную разностную схему для уравнения переноса:
fn+i f
At
где параметр х определяет аппроксимацию по времени. При х = 0,5
получаем схему Кранка—Николсона со вторым порядком точности по
времени, при х= 1 имеем полностью неявную схему с первым
порядком точности по времени, но обладающую наибольшим запасом
устойчивости. Введя обозначение 5/]=/"+1-/"> после простых
преобразований, получим окончательный вариант схемы:
Если расписать разностные операторы, то схема приобретет вид
трехдиагональной системы уравнений: -ajdfj_l+cidfi-bi8fi+l=gj.
Решение подобных уравнений ищется в виде 5/j =a/5/j+1 +P7. Подставив это
выражение в исходные уравнения, найдем, что а7 =6//(с/-а/_1д/),
p. =(gi+fii_laj)/(cj -амя7). Метод монотонной трехточечной прогонки
сводится к тому, что на этапе прямой прогонки определяются
коэффициенты а и р, а на этапе обратной прогонки находятся искомые
переменные 5/, он устойчив при условии | с,-1 > | я,-1 +1 А,-1, которое для данной
схемы выполняется.
Симметричная схема четвертого порядка точности по координате х
получается, если положить в разностных операторах v/+1/2 = 0 и
a/+i/2 = 0 для всех /.

5.2. Компактная разностная схема
261
Поскольку для рассматриваемых приложений интерес
представляют только стационарные решения, а не сам процесс установления, то
далее будут рассмотрены только полностью неявные схемы по времени.
5.2.2. Разностная схема для одномерных нестационарных
уравнений Эйлера
Уравнения сохранения массы, импульса и энергии течения
невязкого газа можно записать в векторной форме:
^АО, (5.1)
dt дх
где U = (p,pu,pH-p)T, F = (pw,pw2 + />, puH)T, прочие обозначения
определены в разделе 5.1.
Для анализа типа уравнений газовой динамики удобнее
преобразовать исходные уравнения относительно более простых независимых
переменных g = (Л, и, р)Т:
или в векторной форме:
dh
dt+i
ди
dt +
др + и
dt+U
д
д
A =
dh
Лдх
ди
"дх
ах
t
и
0
0 t
2
1
ди _
дх'
дР_
рдх
- C\fl
~дх~
а2
и
гди
дх
= 0,
0
1/р
= 0,
(5.2)
Собственные значения матрицы А определяются из условия
det(A-XkE) = 0: Х{ =и + а, Х2 =и-а, Х3 =и> ЗДесь Е ( единичная
матрица, Еу = 1 при / =j и Еуг = 0 при / Ф]. Левые собственные вектора
находятся из условия lk(A-XkE) = 0: /j =(0,1,I/pa), 12=(0,\,-\/ра), /3 =
Умножив уравнения (5.2) на lk, с учетом равенства lkA = Xklk
получим характеристическую запись уравнений:

262 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
где dsk = lk-dg, k= 1,2, 3, здесь и далее, если нет знака I,
суммирование по повторяющимся индексам отсутствует. Развернутый вид
уравнений (5.3)
du 1 dp) , Jdu 1 dp) Л
—+ +(и + д) —+ - =0;
dt pa dt J {dx padx J
dt pa dt J { dx pa dx
dt pdtj {dx pdx)
Последнее уравнение эквивалентно условию сохранения энтропии
dS=0 вдоль траекторий dx/dt=u, естественно, за исключением точек
перехода через скачки уплотнения.
Дифференциалы du± dp/pa являются полными только при
постоянстве энтропии во всей области интегрирования, наиболее простой
вид они имеют для совершенного газа с постоянным показателем
адиабаты: du±dp/pa = d(u ± 2а/(у - 1)), в этом случае выражения и ± 2а/(у - 1)
называются инвариантами Римана.
Неявная компактная разностная схема для уравнений (5.3)
относительно рабочих независимых переменных f с использованием ранее
введенных разностных операторов:
Здесь опушены, для краткости, индексы узлов сетки /. После простых
преобразований получаем
^] ^L||1 /тЛ, (5.4)
Л -Л +LTTbsm-
Приняты следующие обозначения для значений в узлах сетки:
4/sMf/). 4/+i/2=^((f/+i+f/)/2)» ^,/=^((f/+i+f/-i)/2)-
Параметры схемы, учитывающие направления характеристик:

5.2. Компактная разностная схема 263
Остановимся на выборе рабочих независимых переменных. Для
гладких решений можно выбрать любой полный набор, в частности, f =
= (р, и,р)Т и любой газодинамический параметр можно вычислить, зная
значения этих переменных, например: H=h(p/p) + и2/2.
Для течений с ударными волнами на переходе через скачки
дифференциальное приближение не работает. В частности, если между узлами
х{ и xi+l разностной сетки есть скачок уплотнения, то A/?/+i/2 -Pi+i~Pi
остается конечной величиной даже при Ах/+1/2 =*/+!-*,•->О (т.е.
АРы/г/А^ы/г ~>00)» поэтому в этом случае желательно выбрать
рабочие переменные таким образом, чтобы точнее аппроксимировать связи
газодинамических параметров до и после скачка (соотношения
Гюгонио—Ренкина).
В расчетах был использован следующий набор: f = (p-1, w, p)T, что
определялось следующими соображениями. Пусть между узлами хх и
хм разностной сетки есть скачок уплотнения, на котором
выполняются соотношения Гюгонио—Ренкина с постоянным показателем
адиабаты, и для определенности рассмотрим случай им/2 > 0.
Во-первых, можно убедиться из уравнений Гюгонио —Ренкина, что
при таком выборе
— это скорость ударной волны, что и должно быть по физическому
смыслу уравнений.
Во-вторых, можно вывести из соотношений Гюгонио —Ренкина,
что при установлении (dsk/dt = O) уравнения (5.3) в разностной форме
точно выполняются при переходе через скачок, если разности
переменных вычисляются через разности рабочих переменных, например:
k)i+i/2 (Y-l)^ A+i/2 )
ДЛ,/+1/2 = fkj+l -fkj-
Т. е. в этом случае в уравнениях (5.3) можно перейти от
дифференциалов к разностям, и схема (5.4) достаточно точно отражает сохранение
массы, импульса и энергии при переходе через скачок. Однако,
несмотря на это, расчет течения с ударными волнами по схеме (5.4) без
дополнительных действий невозможен из-за неопределенности
положения скачка. В частности, если известно, что в момент времени tn ска-

264 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
чок расположен где-то в интервале (xi9xi+{), то принципиально
невозможно определить, в каком интервале будет скачок в следующий
момент времени, несмотря на то, что скорость ударной волны известна.
Чтобы обойти отмеченное ограничение, существуют два возможных
способа: 1) выделение и 2) «размазывание» скачка. В первом способе
дополнительно вводится положение скачка xCK(t), его движение
находится по определяемой из решения газовой динамики скорости
ударной волны. Данный способ является более точным, но и более
сложным в реализации, поскольку: а) разностная схема становится
неоднородной; б) скачков может быть несколько, и они могут
взаимодействовать друг с другом и с границами; в) в процессе расчета могут возникать
новые и исчезать старые скачки.
Поэтому был использован другой подход — «размазывание»
скачков. В разностных схемах первого порядка точности по
пространственным координатам схемная вязкость достаточна большая, чтобы
обеспечить автоматическое «размазывание» скачков. В компактную схему с
повышенной точностью (практически не имеющей схемной вязкости)
для этой цели в правую часть уравнений Эйлера (5.1) добавляется
выражение, моделирующее искусственную вязкость:
т (п д ди д дНУ
Т= 0, —ц—, —ц .
V дх дх дх дх )
Коэффициент искусственной вязкости ц выбирается на основании
следующих условий. Во-первых, необходимо, чтобы ширина скачка
составляла несколько интервалов разностной сетки. Во-вторых,
компоненты вектора Т не должны вносить заметных искажений в поле
течения вне области ударных волн, то есть порядок величины Т должен
быть не ниже порядка точности разностной схемы. Кроме того, при
использовании компактной разностной схемы область перехода от до-
к сверхзвуковому течению находится на границе устойчивости. Для
подавления возможных паразитных осцилляции в этой области в
предыдущие разностные схемы добавлялся демпфер, в данной схеме
демпфирование обеспечивается искусственной вязкостью. Коэффициент
искусственной вязкости, удовлетворяющий этим требованиям, имеет вид
ц = арЛх31 д211 и | -1 а \\ /дх21, где а « 1 — параметр схемы; Ах — шаг
сетки. Следует отметить, что получаемая в результате решения ширина
скачка уплотнения будет отличаться от реальной ширины, которая
сопоставима с длиной свободного пробега молекул газа.
Большая точность достигается, если используется консервативная
схема, когда разности применяются к консервативным переменным F

5.2. Компактная разностная схема
265
из (5.1). Введем вектор ds = (dsuds2,ds3)T9 умножив уравнения (5.1) на
ds/dlJ и сравнив с уравнениями (5.3), получим связь
х dsk = у dsk dFm
к дх „dUm дх '
(5.5)
Матрицу ds/dlJ можно найти следующим образом: дифференцируя
покомпонентно
найдем матрицу dU/df, далее аналогично найдем матрицу ds/df и
окончательно, определяем ds/d\i = 5s/5f • (5U/Sf) :
as _ 1
au~p
-и-а —
-(м -
u2-H
а
а
-и
u —■
a
1
Уравнения (5.3) с искусственной вязкостью и с учетом связи (5.5)
приобретают вид, который используется для построения разностной
схемы:
dsk y1 dsk dFm y1 dsk
Здесь используются производные по х переменных F, характеризующих
потоки массы, импульса и энергии. Кроме того, в уравнениях явно
выделены направления движения возмущений, и с учетом их
распространения аппроксимация строится для выражений
V dsk dFm _ i &,
дх к'дх
Разностные операторы на равномерной разностной сетке х, = /Ах:
■ Si
qTx i -gi
v
,+1/2
gM+gj
(5.6)
gM-g, O + Vf-l/2) gj-gj
9/+I/2—т + z 1i-]/2—:
'Ax 2 'Ax
8м ~Si
8i-8i-\ -
~^ 4

266 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
параметр схемы v связан с направлением распространения
возмущений. Отметим, что тот же порядок точности на гладких решениях будет
иметь схема, если определить qM/2 =(qi+] +#,)/2 и qt=(qi+] +qi_])/2.
Но несмотря на то, что подобная схема имеет существенно меньшее
количество вычислений, она не использовалась из-за уменьшения
точности в течениях с резким изменением параметров.
Порядок аппроксимации на трехточечном шаблоне:
Выражение ^(dsk/dUm)-(dFm/dx) в уравнениях газовой динамики
т
аппроксимируем
с параметрами схемы, которые учитывают направление
характеристических скоростей:
v
Компоненты с вязкостью аппроксимируем центральными разностями,
например
д ди ( дЛ ( д
—ц—: — ц—
дх дх \dxJ+\ дх
где операторы
Окончательно можно построить неявную разностную схему,
решаемую скалярными монотонными трехточечными прогонками:
v* I kdx)Vk р{дх)+{Идх

5.2. Компактная разностная схема 267
VI J^JL \ F -В '
fk ~ fk + 2^ ^Sm-
При необходимости данную схему можно обобщить на случай вязкого
газа уточнением вектора Т при сохранении структуры схемы.
5.2.3. Разностная схема для двухмерных нестационарных
уравнений Эйлера
Расчеты проводились в ортогональной системе координат (xl,x2),
связанной с координатами (х,у) соотношениями:
где /— коэффициент Ламе; р — угол между системами координат.
Область течения в сопле в этих координатах отображается в
прямоугольник (0 <х{ < L, О <х2 < 1), причем границы х2 = 0 и х2 = 1 соответствуют
стенке или оси симметрии сопла, гх^Оих^Ь — входной и выходной
границам сопла. Обратное преобразование: dx = Jcos^dxl-Jsin^dx2,
dy = /ship*! + /cospdx2» следовательно, дх/дхх = J cos p, дх/дх2 = -/ sin p,
dy/dxl =/sinP и ду/дх2 =/cosp. Из условий
д2х д2х д2у д2у
дх2дхх дх1дх2 дх2дх{ дххдх2
получаем связь между коэффициентом Ламе и углом
ар 1 8J ар 1 а/
(5.7)
дхх J дх2 дх2 J dxi
Уравнения сохранения массы, импульса и энергии течения
невязкого газа в координатах (xl9x2) имеют следующий вид:
» Ж * R=o, (5.8)
ot дхх дх2
U = /2(р, pw, pv, pH-p)T, F = J(pv{, p^w + ^cosp, p^u + ^sinp, pv{H)T,
G = J(pv2, pv2u-psin$, pv2v + pcos$, pv2H)T,
где R = 0 в плоском случае и R = J2pv(l,u,v,H)T/y — в осесимметрич-
ном, т — индекс транспонирования. Скорости в координатах (хьх2)

268 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
определяются через компоненты в исходной системе (u,v): Uj = wcosp +
+v sinp, v2 = -ttsinp + v cosp.
При использовании уравнений в полностью консервативной форме
точность и устойчивость разностной схемы могут снижаться при
наличии областей с резким изменением угла р. Поэтому оптимально
использовать частично консервативную форму уравнений, преобразуя с
учетом (5.7) в уравнениях (5.8) только члены с давлением в уравнениях
сохранения импульса. Изменения затрагивают исключительно
представление векторов F и G, которые приобретают вид
d¥ = (dpv{J, dpvxJu + /собРФ, dpvxJv + Jsinfidp, dpvxJH)T,
dG = (dpu2J, dpv2Ju - Jsinfidp, dpv2Jv + Jcosfidp, dpv2JH)T.
Наилучшие устойчивость и дисперсионные свойства разностной
схемы достигаются при учете направлений распространения
возмущений, задаваемых собственными значениями матриц 9F/9U и 9G/9U.
Определив собственные значения и вектора этих матриц, можно
преобразовать уравнения газовой динамики (5.8) к квазихарактеристической
(характеристической по отдельным координатам (t,x{) и (t,x2)) форме:
* mds\m 9X\
dsx=(dvx+{pa)~xdp, dvl-(pa)~ldpy dv2, dh-p~ldp)T;
Xl=J-l(vl+a, v{-a, v{, v{)T;
ds2=(dv2+(pa)~xdp, dv2-(pa)~ldp, dvu dh-p~xdp)T\
\2=J-l(v2+a, v2-a, v2, v2)T;
dv{ = cosprfw + sinfidv, dv2 = -sinprfw + cosfidv,
где f — рабочий набор из четырех независимых газодинамических
переменных, использовался f=(p~l,u,v9p)T. Здесь и далее индексы
газодинамических переменных к, /, т меняются в диапазоне 1...4.
В уравнениях (5.9) явно выделены скорости распространения
возмущений по отдельным координатам. В частности, если рассматривать
только производные по / и х{, то уравнения (5.9) преобразуются к виду
ds\k , 1 dslk , n
dt lk dx{
который определяет скорость dxl/dt=Xlk распространения возмущений
bslk вдоль координатых{.

5.2. Компактная разностная схема
269
Как и для одномерных уравнений введем искусственную вязкость
для прохождения скачков уплотнения методом сквозного счета — в
правую часть уравнений Эйлера (5.8) добавим выражение Т:
д ди д ди д dv д dv
7j=0, Т2 = \i + ц , Т3= \х + ji ,
дх} ЙХ| дх2 дх2 дх] дх} дх2 дх2
д
—
дх]
дН д
—+т—
ОХ] дх2
дН
дх2
дх
э2|Ы-М
дх2
где ц — коэффициент искусственной вязкости; а « 1 — параметр схемы;
АХ] и Ах2 — шаги сетки.
Аналогично связи (5.5) существует связь между представлением
уравнений Эйлера в форме (5.8) и (5.9):
ах,
(5.10)

co-Vx-a-b{V2-H) cosP + Aw sinp + to -A
-u2 -sinp cosp 0
V2-H
-u
-v
1
эи
-H) -sinp-Ьм
-v2-a-b(V2-H) -sinp + бм cosp + iu -A
V2-H
cosp
-u
sinp
-v
где ш = р/2, Ь = (у-\)/а. Окончательно с учетом связи (5.10) получаем
уравнения газовой динамики в виде, который используется для
построения разностной схемы:
dt ds\mi dUi дх\ ds-)mt dUi дх-y
Здесь используются производные по х} и л:2 переменных F и G,
характеризующих потоки массы, импульса и энергии. Кроме того, в уравне-

270
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
ниях явно выделены направления движения возмущений, и с учетом их
распространения аппроксимация строится для выражений
cbc,
со-
dUi
I и и i ел, i и и i o*2
Используем разностные операторы (5.6) по отдельным
координатам, в частности выражение
у dut ax,
в уравнениях газовой динамики аппроксимируем
V|m
с параметрами схемы, которые учитывают направление
характеристических скоростей:
vlm,/+l/2 -"I
Компоненты с вязкостью аппроксимируем центральными
разностями. Окончательно, используя расщепление по координатам, можно
построить неявную разностную схему:
4" =-А/

coЛ2к
B
1
Л/f—l Гц
i dS]
mds2m
т ил\т

5.2. Компактная разностная схема
271
Была проведена серия расчетов течения невязкого газа в типичном
сопле Лаваля по определению влияния шагов разностной сетки на
точность расчетов компактной схемы [23]. В расчетах количество узлов
разностной сетки вдоль сопла N{ и в поперечном направлении N2
менялись согласованно: N2/Nx =0,3, так что шаги сетки зависели от
одного параметра: Ax1~Ax2~l/7V1. Точность разностной схемы не ниже
второго, поэтому любую гладкую функцию можно представить в виде
тейлоровского разложения по степеням шагов сетки £ = £о+£2/^12 +
+#з/^13 +•••> коэффициенты которого определялись в результате
расчетов для различных значений Nx =150, ISO, ...,390. Относительная
точность определялась как z(g) = (g-go)/go =Е2 + £з+---> где относительная
точность к-го порядка гк = gk/(g0 N*).
На рис. 5.1 и 5.2 представлены зависимости относительной
точности от количества узлов для числа Маха в выходном сечении на
стенке Mw и удельного импульса сопла /у. Кружочками представлены
рассчитанные значения, сплошными линиями — тейлоровское
разложение, штрихпунктирными — кубические зависимости от шага сетки.
Формально разностная схема имеет второй порядок точности,
поскольку есть переход через скорость звука и граничные условия второго
порядка. Но, как правило, для обычно существующих на практике тре-
104е(М„)
о
-0,5
-1,0
300
350
400
Рис. 5.1. Зависимость точности расчета числа Маха на выходе сопла
от количества узлов

272
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
106е(/у)
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
А
^г "
S»w=v-
150
200
250
300
350
400
Рис. 5.2. Зависимость точности расчета удельного импульса
от количества узлов
бований к точности расчетов вклад в точность второго порядка не столь
значителен, и точность схемы определяется более высоким третьим
порядком. Иллюстрацией этому служит то, что для газодинамических
параметров на выходе сопла в данном расчете отношение относительной
точности второго порядка к третьему б2/б3 < 5 • \0~4N{.
5.3. Результаты численного моделирования
Все результаты расчетов приведены для топлива — жидкий
кислород с керосином.
5.3.1. О влиянии геометрии сопла Лаваля в области критического
сечения на картину течения
Формирование течения газа в оптимальном сопле Лаваля
происходит, главным образом в окрестности критического сечения, и,
следовательно газодинамические параметры во многом определяются
геометрией сопла именно в этой области. Точная постановка задачи требует
совместного расчета до- и сверхзвукового течений, что исключает
использование более простых, типа метода характеристик, подходов к
решению уравнений газовой динамики. Кроме того, максимальное
изменение газодинамических параметров происходит в окрестности
критического сечения, причем величины градиентов резко возрастают
с уменьшением радиусов скругления. Для расчета подобных течений с

5.3. Результаты численного моделирования 273
большими градиентами использование компактной разностной схемы
повышенной точности наиболее оптимально. Основное внимание
уделено двум эффектам. Во-первых, при определенной геометрии сопла
могут образоваться локальные зоны торможения с положительным
градиентом давления на стенке сопла. При превышении положительного
градиента некоторой величины, которая определяется решением
уравнений пограничного слоя, происходит крайне нежелательный в
большинстве случаев отрыв потока. Во-вторых, течение в районе
критического сечения имеет ярко выраженный двухмерный характер, и
кривизна поверхности, на которой скорость газа равна звуковой, приводит
к уменьшению расхода газа. Определение геометрических параметров,
решающим образом влияющих на возникновение зон торможения или
приводящих к заметному снижению расхода газа, было основной
задачей данного раздела.
Обширное исследование по влиянию геометрии сопла на
возникновение зон торможения представлено в работе [42]. Расчеты
проводились обратным методом — в качестве исходных данных была задана
скорость газа на его оси, контур сопла получался в результате расчета.
При подобном подходе практически невозможно получить точный
расчет реального сопла, которое имеет разрывы вторых производных
контура в местах сопряжения радиусов скругления. Причем, следует
отметить, эти разрывы могут заметно влиять на картину течения. Более
строгая постановка задачи о течении в сопле с решением уравнений
газовой динамики методом установления по времени представлена в
работах [32, 34]. В них рассмотрено течение совершенного газа с
постоянным показателем адиабаты, точность расчетов составляла 10~3.
Особенности профилирования сопел Лаваля с внезапным сужением и
влияние вязкости на характеристики сопел исследовано в работе [28].
В представленных ниже расчетах [24] используется компактная
разностная схема повышенного порядка точности, позволяющая проводить
расчеты течения в сопле с точностью по удельному импульсу до 10~7.
Кроме того, применяемая методика позволяет учитывать влияние
термодинамически равновесных химических реакций на течение газа.
Представлены расчеты пяти вариантов сопел, во всех — диаметр
камеры сгорания DK = 3,227. Здесь и далее для сопел Лаваля все размеры
отнесены к радиусу сопла в критическом сечении. Рассматривалась
картина течения газа в окрестности критического сечения, поэтому
расчетная область охватывала не все сопло, а включала в себя
дозвуковую и только часть сверхзвуковой области. Расширяющаяся часть сопла

274 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
была конической с углом раствора 33°, характерной для сопел ЖРД
первой ступени, и углом 45° — для демонстрации течения в сопле с
высокой степенью расширения. Переход стенки сопла от камеры
сгорания к расширяющейся части сопла происходил последовательным
сопряжением трех радиусов скругления. Плоскость х = 0 соответствовала
критическому сечению. Геометрические параметры сопел представлены
в табл. 5.1, в последней строке которой приведены расчетные значения
коэффициента расхода (без учета неполноты сгорания). Идеальный
расход тт определялся по одномерным термодинамическим расчетам.
Таблица 5.1
№ варианта
Радиус скругления на выходе из
камеры сгорания, Rx
Радиус скругления перед
критическим сечением, Лвх
Радиус скругления после
критического сечения, Двых
Угол наклона стенки в
расширяющейся части сопла, 9
Коэффициент расхода, т^/т
1
4,076
1,529
0,5945
33°
1,005
2
4,076
1,529
0,1
33°
1,005
3
4,076
1,529
од
45°
1,005
4
4,076
0,1
0,1
33°
1,048
5
0,5636
0,1
од
33°
1,076
о
-3-2-10 1 2 х
Рис. 5.3. Контур сопла с изолиниями числа Маха для варианта 1

5.3. Результаты численного моделирования
275
В варианте 1 представлено сопло с плавными входом и выходом из
критического сечения и с типичными для сопел ЖРД радиусами скругле-
ния. Геометрия сопла и изомахи течения газа показаны на рис. 5.3.
Распределение давления вдоль оси и стенки сопла варианта 1
показано на рис. 5.4. Давление на границах pw отнесено к давлению
торможения в камере сгорания рк. Давление в этом варианте монотонно
падает по потоку, а двухмерность течения приводит к уменьшению
расхода на 0,5%.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
ч
стенка
А >^
ось
ч
-3-2-1 0 1 2 х
Рис. 5.4. Распределение давления для варианта 1
-3-2-10 1 2 х
Рис. 5.5. Контур сопла с изолиниями числа Маха для варианта 2

276
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
—с=
К J
1 V
стенка -
\
сь
-
■
-3
-2
-1
0
Рис. 5.6. Распределение давления для варианта 2
Варианты 2 и 3 демонстрируют влияние резкого выхода из
критического сечения в результате уменьшения радиуса скругления на выходе
критического сечения до величины Лвых = 0,1 для двух углов наклона
стенки расширяющейся части сопла. В варианте 2 наклон составлял
33°. Геометрия сопла с изомахами для этого варианта представлена на
рис. 5.5, давление на границах — на рис. 5.6.
2,4
2,1
1,8
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3
0
-3-2-10 1 2 х
Рис. 5.7. Контур сопла с изолиниями числа Маха для варианта 3
В варианте 3 угол наклона стенки расширяющейся части сопла
увеличен с 33° до 45°. Геометрия сопла и изомахи для этого варианта
представлены на рис. 5.7, давление на границах — на рис. 5.8. Радикального
/ft
5
lit

5.3. Результаты численного моделирования
277
изменения картины течения не произошло, и в этих двух вариантах
давление монотонно уменьшалось по потоку, а расход газа остался
прежним. В то же время благодаря малой величине радиуса скругления
изменение давления на стенке сопла в районе критического сечения
локализовано в более узкой области, что приводит к уменьшению
толщины пограничного слоя и, следовательно, увеличению теплового
потока. Таким образом, основной критерий выбора радиуса скругления
на выходе из критического сечения — требования по охлаждению.
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
-3
-2
-1
0
Рис. 5.8. Распределение давления для варианта 3
Варианты 4 и 5 демонстрируют влияние организации резкого входа
в критическое сечение. В варианте 4 резкий вход в критическое сечение
сопла получен за счет малого радиуса скругления RBX = 0,\. Геометрия
сопла и изомахи для этого варианта представлены на рис. 5.9, давление
на границах — на рис. 5.10. Картина течения существенно изменилась.
За счет большого искривления звуковой линии расход газа упал более
чем на 4% по сравнению с типичным соплом варианта 1. В районе
стенки в расширяющейся части сопла появилась зона торможения.
В варианте 5 расчет проводился для укороченной камеры сгорания
за счет изменения радиуса скругления на выходе из нее, при этом
угол наклона стенки на входе в критическое сечение достигал
значения -90°. Геометрия сопла и изомахи для этого варианта представлены
на рис. 5.11, давление на границах — на рис. 5.12.
Зона торможения в этом варианте присутствует не только в
расширяющейся части — дополнительно образовалась зона торможения на
выходе из камеры сгорания. Расход газа упал на 7,1% по сравнению с
идеальным.

278
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
-3-2-1 О 1 2 х
Рис. 5.9. Контур сопла с изолиниями числа Маха для варианта 4
стенка-
\
\
i
)Cb |
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
°-3 -2-1 0 1 2 x
Рис. 5.10. Распределение давления для варианта 4
На основании этих расчетов можно сделать следующие выводы.
1. Организация входа в критическое сечение определяющим
образом сказывается на образовании зон торможения и падении расхода
газа. Резкий вход приводит к возникновению зон торможения и
заметному падению расхода газа.
2. Радиус скругления на выходе из критического сечения
практически не влияет на картину течения, основной критерий выбора радиуса
скругления на выходе из критического сечения — требования по
охлаждению и влиянию на удельный импульс.

5.3. Результаты численного моделирования
279
1,5
1,2
0,9
0,6
0,3-
0
-1,5 -1,2 -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 1,2 1,6 х
Рис. 5.11. Контур сопла с изолиниями Маха варианта 5
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
стенка-\
1
\
\
о
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 х
Рис. 5.12. Распределение давления ддя варианта 5
3. В типичном сопле ЖРД (вариант 1) давление монотонно падает
вдоль потока, двухмерность течения приводит к уменьшению расхода
на 0,5%.
5.3.2. Влияние равновесных химических реакций и искривления звуковой
поверхности на оптимизацию типичного сопла ЖРД
При нахождении экстремальных профилей сопел ЖРД часто
используют предположение о замороженности состава газа, что позволяет
ввести постоянный эффективный показатель адиабаты, и предположе-

280 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
ние о плоской звуковой поверхности. В разделе представлены расчеты,
выявляющие степень обоснованности этих предположений. Рис. 5.13
отражает последовательность построения экстремального сопла Лаваля.
С F
Рис. 5.13. Схема определения экстремального сопла
На нем изображены: кривая ABE — стенка сверхзвуковой части сопла;
CF — ось симметрии сопла; АС — некоторая «начальная» и BDF —
«замыкающая» характеристики пучка С "-характеристик; DE —
экстремальная С ^характеристика. В качестве исходных данных заданы
контур дозвуковой части сопла, радиус скругления на выходе из
критического сечения (для дуги АВ) и координаты (ха,уа) стенки сопла в
выходном сечении (точка Е).
Нахождение экстремального контура BE, обеспечивающего
максимальный импульс газа на выходе, производится следующим образом.
Методом установления проводится расчет дозвуковой части и
небольшой области за критическим сечением сопла. В результате
определяется характеристика второго семейства АС. Если используется
предположение о плоской звуковой поверхности, то расчета дозвуковой
области не требуется, АС задается плоской поверхностью в критическом
сечении, на которой величина числа Маха незначительно превосходит
единицу. Далее происходит разворот газа в пучке характеристик
относительно кривой скругления АВ, и методом характеристик (п. 5.1)
находятся параметры на замыкающей характеристике второго
семейства BDF. Наилучший (экстремальный) контур BE получается, если
замыкающая характеристика первого семейства DE — экстремальная,
поэтому с характеристики BDF выпускаются экстремальные
характеристики первого семейства и, если они не попадают в заданную точку Е
(Уе^Уо ПРИ хЕ = ха)> изменяется угол разворота АВ. После выполнения
условия уЕ = уа при хЕ = ха проводится расчет области BDE методом ха-

5.3. Результаты численного моделирования 281
рактеристик и определяется экстремальный контур сверхзвуковой
части сопла BE.
Уравнения экстремали для термодинамически равновесного газа
получены в работе [52]:
Cl5 (5.11)
где Q и С2 — константы.
Дополнительно есть следующие связи параметров: зависимость
энтальпии получается из термодинамических расчетов h = h(p/p);
скорость газа — из условия сохранения полной энтальпии V = у]2(Н-А);
плотность — из условия постоянства энтропии lnp= j(h'-l)dln(p/p),
h' = dh/d(p/p). Показатель адиабаты у(/?/р) = А'/(й'-1); скорость звука
а - у1ур/р> число Маха М = V/a\ угол Маха a = arcsin(l/M).
Характерная особенность экстремали: в случае QD<aD скорость
монотонно растет при движении вдоль экстремальной характеристики от
точки D, при Эр > a^ скорость первоначально падает до точки на
характеристике, где 0 = а, а затем начинает расти. Это определяется тем, что
первое уравнение экстремали формально имеет два решения
относительно sin0, поэтому в расчетах желательно иметь для него явное
выражение. Первое уравнение экстремали можно записать в виде sin 0 =
= C1sinacosa(l + ctga-tg(0-a))/K Введем E = l-(C2-K2)/(C2sin2a) =
= ctg2atg2(0-a). Тогда ctgatg(0-a) = vVe, где v = sign(0-a). С
учетом этого, получаем явное выражение для угла наклона скорости:
sin0 = since cos a—(1 + vVe). (5.12)
Использовалась следующая последовательность расчета
экстремальной характеристики: по известным параметрам в точке D
вычисляются константы С1э С2 и параметр v, затем движемся вдоль
характеристики, меняя величину р/р с учетом знака v. Угол скорости определяем
из (5.12), радиус у — из второго уравнения экстремали (5.11), осевую
координату — из уравнения характеристики dx = ctg(Q + a)dy. Если в
определенный момент выполняется условие с<0, изменяем знак
параметра v, и точка ветвления легко проходится. Расчет экстремальной
характеристики продолжается до тех пор, пока расход газа т =
= 2я \pVy(cosQdy-sinQdx) через экстремаль DE не будет равен расходу
через характеристику BD.

282 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Представлены три варианта расчетов определения экстремального
контура характерного сопла первой ступени, для которых приняты
следующие обозначения:
1 — вариант термодинамически равновесного газа с нахождением
реальной звуковой поверхности;
2 — вариант термодинамически равновесного газа в предположении
о плоской звуковой поверхности;
3 — вариант совершенного газа с постоянным эффективным
показателем адиабаты в предположении о плоской звуковой поверхности.
Эффективный показатель адиабаты определялся на основании
одномерных термодинамических расчетов по параметрам в критическом
сечении и на выходе:
УэфУ
Ф Ра Ра
Заданы контур дозвуковой части сопла, радиус скругления на
выходе из критического сечения и координаты стенки на выходе. Все
приводимые ниже размеры отнесены к радиусу критического сечения
сопла. Радиус камеры сгорания 1,6136, переход к критическому сечению
определялся двумя дугами сопряжения с радиусами 4,076 и 1,529.
В критическом сечении есть плато длиной 0,0085. Радиус скругления на
выходе из критического сечения 0,5945. Радиус стенки на выходе
уа =6,0722 при ха = 14,955. Равновесные химические реакции приводят
к отклонению свойств газа от совершенного, в частности показатель
адиабаты менялся от 1,14 в камере сгорания до 1,20 на выходе сопла.
Далее было рассчитано течение газа в полученных соплах на основе
компактной схемы для термодинамически равновесного газа при
количестве узлов разностной сетки Nx = 390, N2 = 117.
Экстремальный контур по основному, наиболее общему, первому
варианту у{(х) представлен на рис. 5.14, 5.15 с нанесенными на них изо-
махами. Искривление звуковой линии приводит к уменьшению расхода
по сравнению с рассчитанным по одномерной методике пг/т^ =
= 0,99492. Потери удельного импульса сопла из-за рассеяния 1 - /у//у ад =
= 0,006620.
Разность радиусов стенки сопла первого варианта у{(х) от второго
У2(х) и третьего у3(х) представлена на рис. 5.16.
В отличие от интегральных величин расхождение в локальных
параметрах для контуров первого и третьего вариантов может достигать
существенных значений, порядка десяти процентов для давления.
Отличие удельных импульсов сопел для контуров третьего и первого вари-

5.3. Результаты численного моделирования
283
антов: 1 - /у 3/1уЛ = 0,88 • 10 s. Отличие удельного импульса для контуров
второго и первого вариантов находилось в пределах ошибки расчетов:
1 - /у2//уЛ < 10~7.
шшп гш
-5 0 5 10 15 х
Рис. 5.14. Экстремальный контур и изолинии числа Маха
0 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 и,
Рис. 5.15. Экстремальный контур и изолинии числа Маха в области критики
2) 102(у|-уз)
л i
тц
v
V
!
10
ю
Рис. 5.16. Различие контуров сопел

284
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Для определения влияния степени расширения сопла были
проведены аналогичные предыдущим расчеты экстремальных сопел. Отличие
только в том, что координаты стенки на выходе уа = 12,0 при ха = 28,2.
Экстремальный контур сопла с большим расширением для основного
варианта у{(х) представлен на рис. 5.17. Расход газа остался прежним,
потери удельного импульса на рассеяние 1 -/у//уид = 0,012434.
-3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 *
Рис. 5.17. Экстремальный контур и изолинии числа Маха
Разности радиусов стенки соплау{(х) -у2(х) и у{(х) -у3(х)
представлены на рис. 5.18.
10 15 20 25 jc 0. 5 10 15 20
Рис. 5.18. Различие контуров сопел
-/
/
L
\
\
\
N
25
Отличие удельных импульсов потока на выходе из сопла для
третьего и первого вариантов контуров 1 -/у3//у Л = 0,81-10~5.
Аналогично, 1 - Iyi/Iy 1 < Ю~7, что лежит в пределах ошибки расчетов.

5.3. Результаты численного моделирования 285
Таким образом, расчеты показали, что при профилировании
типичного сопла ЖРД можно учитывать влияние химических реакций
достаточно грубо с использованием эффективного показателя
адиабаты. Кроме того, полученные результаты подтвердили вывод работы [32]
о том, что предположение о плоской звуковой поверхности позволяет
построить контур сопла, обеспечивающий практически максимальный
импульс газа на выходе, используя при этом исключительно метод
характеристик. Расчеты по применявшимся здесь более общим
методикам необходимы только для дальнейшего определения величин
расхода, импульса и локальных параметров газа в найденном сопле.
5.3.3. Ударные сопла Лаваля
В работе [54] в 1961 г. была определена граница существования
безударных экстремальных сопел, контур которых мог быть получен в
рамках подхода, реализованного в предыдущем разделе. Условие
безударного течения: tg0 < 2cos2asin2a/(y + cos22a) для точки в начале
экстремали. Ю. Д. Шмыглевский [68] предложил расширение решения
задачи оптимизации на сопла с большой степенью расширения,
используя фокусировку С"-характеристик, исходящих от начального
сверхзвукового участка сопла, с образованием скачка уплотнения в
начале экстремали. Приоритет открытия явления возрастания
реактивного воздействия высокоскоростной газовой струи при образовании
висячих волн принадлежит Л. Е. Стернину и Ю. Д. Шмыглевскому [59].
Проведенное в работе [29] исследование при постоянном показателе
адиабаты у = 1,4 показало, что существовавшие на тот момент (1964 г.)
сопла Лаваля были заведомо безударными. Методика построения
экстремальных сопел Лаваля с ударными волнами и расчеты сопел с
максимальной тягой при заданной длине в широком диапазоне степеней
расширения при постоянном показателе адиабаты у = 1,15
представлены в работе [50].
Расчетная схема [21], реализующая подход [50, 67, 68], представлена
на рис. 5.19.
Из окрестности точки О в критическом сечении выходит пучок
волн разрежения, С~-характеристики которого изображены на рисунке.
Начальный участок сверхзвуковой части сопла ОА профилируется
таким образом, что исходящие из него С~-характеристики фокусируются
в одной точке В, с образованием разрыва параметров газа в этой точке,
детали разрыва представлены на рис. 5.20.
Давление в точке В в пучке С"-характеристик растет с рх до р2, где
индексом 1 обозначены параметры в точке В на характеристике ОВ.

286
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Изменение параметров в этом пучке получается из интеграла условия
совместности для проходящей через него (^-характеристики:
1УГ-1 -arctgVNT-1.
В результате фокусировки С -характеристик образуется скачок
уплотнения BFc повышением давления в точке В ср{ до/?4, контактный
разрыв BN и пучок волн разрежения GBE с падением давления с р2 до ру
Экстремальная (^-характеристика BD (с давлением р5 в точке В)
расположена внутри этого пучка. Изменение параметров в пучке волн
разрежения связано аналогичным интегралом: 0 + а(М) = 05 + а(М5). Из
интегралов следуют следующие связи:
е2=(01+05+а(М5)-а(М1))/2, а(М2) = (01-05+а(М5)
Рис. 5.19. Расчетная схема
пучок волн С
G. D Е
экстремальная характеристика
/ контактный разрыв
— *" ^4 скачок уплотнения
пучок волн
О
Рис. 5.20. Детали разрыва в малой окрестности точки В

5.3. Результаты численного моделирования 287
Уравнения для параметров 85, Х5 в точке В экстремальной
характеристики имеют вид [50, 67]
q s cose5 -AlCOS8, + Sin85tga5 {1 -
5 x ' 5Ё \
1
2 2
Из второго уравнения получим зависимость 05 =
Vrf I>_sinascosasfl
^ *= у t1"
rf = tgG1(tg91 -46(6tg6i +1)), v = ±l.
Первоначально корень уравнения Q(^5) = 0 ищется при v = 1 в
диапазоне Х{ < Xs < X5 min, где ^5,min определяется условием </(^5,min) = 0- Если
такого корня нет, то проверяется диапазон ^5 > ^5,min ПРИ v = -1.
Последовательность расчета следующая. Первоначально
проводится расчет пучка разрежения из окрестности точки О, и на его конечной
С~-характеристике выбирается точка В. По приведенным выше
соотношениям определяются газодинамические параметры в этой точке
вдоль характеристик АВ, GB и DB. Далее по уравнениям
экстремали (5.11) определяется экстремальная характеристика BD и
последовательно проводятся расчеты методом характеристик областей GBD, ОБА и
ABG с определением экстремального контура сопла OAGD. В задаче есть
два свободных параметра — угол наклона стенки на конечной С"-ха-
рактеристике ОВ и координата точки В, которые определяются
заданием длины и степени расширения сопла.
Максимальная пустотная тяга сопла с фиксированной длиной
реализуется при степени расширения, которая определяется условием Бу-
земана в точке D: /? = pF2tgasin0cos0. На рис. 5.21 представлена
зависимость пустотного удельного импульса /у сопла Лаваля с
максимальной тягой («буземанова» сопла) в зависимости от длины сверхзвуковой
части сопла ха. Пустотный удельный импульс приведен к
максимальному удельному импульсу для данного топлива /утах =\J2{H -h(0)).

288
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
/
! S
г. --**?.
Вторая (правая) кривая рисунка отражает уменьшение удельного
импульса при переходе к безударному соплу с максимальной тягой при
заданной длине, с меньшей степенью расширения, соответствующей
наибольшему диаметру безударного сопла.
/у 104-А/у
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
10 20 30 40 50 Ха
Рис. 5.21. Зависимость удельного импульса от длины ха
Уменьшение удельного импульса не превосходит 0,03%. Поэтому, с
учетом несколько большей массы «буземанова» сопла практически
всегда можно остановить свой выбор на безударном сопле, т. е.
применительно к соплу Лаваля сопло с ударной волной особого интереса не
представляет.
Распределение давления в ударном «буземановом» сопле с длиной
ха = 40 представлено на рис. 5.22.
У
15
12
9
6-
з-
13 22 31
Рис. 5.22. Изолинии 1g(/?K/p)
40
Видно, что интенсивность скачка невелика даже для сопла со столь
большой степенью расширения; давление в скачке повышается не
более чем в три раза.

5.3. Результаты численного моделирования
289
5.3.4. Экстремальные безударные тарельчатые сопла
Кольцевые сопла с пучком волн разрежения, идущих от внешней
образующей О к оси (рис. 5.23), формируют класс штыревых сопел.
Значительная часть приращения тяги в них приходится на центральное
тело. Основная особенность штыревого сопла — авторегулируемость
тяги в широком диапазоне изменения внешнего давления.
Рис. 5.23. Схема кольцевого сопла с пучком волн разрежения,
идущих к оси (штыревое сопло)
В данном разделе рассмотрен другой класс кольцевых сопел (сопел
тарельчатого типа (с пучком разрежения, идущих к периферии: схемы
рис. 5.24,д и 24, б), в которых расширение происходит от граничной
образующей О на кромке центрального тела (тарели или камеры сгорания).
а б
Рис. 5.24. Схемы тарельчатых сопел
На большей части внешней поверхности ОС давление очень низкое
из-за большого угла поворота газа в пучке волн разрежения на
образующей О. Участок у точки С находится в зоне низкоскоростного
вихревого отрывного течения, донное давление в котором ниже давления

290
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
окружающего его сверхзвукового потока. Следовательно, приращение
тяги на внешней поверхности центрального тела в этих соплах
практически отсутствует.
Краткий обзор исследований по кольцевым соплам приведен в
[56, с. 108—116]. Впервые на тарельчатые сопла (рис. 5.24, а) обратил
внимание G. V. R. Rao в конце 1950-х гг. [43, 75], значительно переоценив
возможности авторегулирования этих сопел. В начале 1960-х гг. в КБ
«Энергомаш» по инициативе его руководителя — академика В. П. Глуш-
ко были проведены расчетные и конструкторские работы по
исследованию эффективности указанных выше типов сопел [18].
Как было отмечено в работах [18, 56, 75], при примерно
одинаковых тяговых характеристиках кольцевые сопла, у которых кольцевое
критическое сечение находится примерно на диаметре, вдвое меньшем,
чем диаметр выходного сечения сопла (назовем их симметричными
кольцевыми соплами), примерно вдвое короче обычных сопел Лаваля
(рис. 5.25). Это следует из простого геометрического подобия картин
течений в кольцевых и обычных соплах Лаваля и носит качественный
характер. Естественно, что вышесказанное полностью эквивалентно
утверждению, что при одной и той же длине удельный импульс
симметричных кольцевых сопел выше, чем обычных сопел Лаваля.
Рис. 5.25. Сопло Лаваля и симметричное кольцевое сопло
В тарельчатых соплах (рис. 5.24), как и в симметричных кольцевых,
расположение критического сечения на некотором радиусе приводит к
уменьшению его линейного размера. Поэтому заранее можно сказать,
что по тяговым характеристикам они будут превосходить обычные сопла
Лаваля, если длины тех и других сопел будут одинаковыми. Конкретные
значения тяговых характеристик могут быть получены лишь на базе
оптимизационных расчетов. Ряд расчетов для тарельчатых (рис. 5.24, а)
сопел был выполнен в 1988 г. Н. В. Дубинской [56, с. 115], подтвердившей

5.3. Результаты численного моделирования 291
улучшение тяговых характеристик коротких тарельчатых сопел по
сравнению с обычными. Наиболее полно, с использованием
вариационных методов, необходимое численное исследование было проведено
А. Н. Крайко, Н. И. Тилляевой и др. [30, 31, 33]. Однако в этих работах
был принят высокий показатель адиабаты, у =1,4, соответствующий
воздуху или холодному водороду. Для такого значения у не происходит
интенсивного поворота потока в окрестности угловой точки на угол
больше 90°. В этих работах, как и у Рао [43], было принято, что
направление потока в критическом сечении сопла перпендикулярно к его оси
симметрии. Ниже приводятся расчетные исследования [25] подобной
задачи для рекомбинирующего равновесного течения и с любым
«косым» наклоном звуковой линии.
Как было отмечено, основное достоинство тарельчатого сопла
(рис. 5.24) — больший, чем у обычного сопла Лаваля, удельный
импульс при заданной фиксированной длине, что определяется и более
высокой (оптимальной для данной постановки задачи) степенью
расширения. Этот эффект обусловлен меньшим, чем у обычного сопла,
линейным размером критического сечения (вследствие того, что оно
расположено на некотором радиусе) и интенсивным поворотом потока
на большой (свыше 90°) угол от критического сечения. Таким образом,
на его основе можно создать короткий, хотя и «пузатый», двигатель с
высокими, при данной длине, характеристиками по пустотному
удельному импульсу. Зависимость тяги такого сопла от внешнего давления
практически аналогична подобной зависимости для обычного сопла
Лаваля. Частичное авторегулирование достигается при высоком
наружном давлении, когда скачок уплотнения входит внутрь по стенке сопла,
уменьшая тем самым потери из-за перерасширения. Причем без
принятия специальных мер вход скачка несимметричен, что приводит к
появлению неконтролируемой боковой силы. Поэтому такой двигатель
рационально использовать лишь на второй-третьей ступенях ракет,
работающих в вакууме.
Возрождение интереса к подобным соплам произошло в связи с
созданием в КБХА (г. Воронеж) стендового варианта
кислородно-водородного безгазогенераторного двигателя РД-0126 «Ястреб» (рис. 5.26) с
расположенной в центральном теле камерой сгорания [4].
При расчете реактивной силы для тарельчатых сопел, работающих
по схемам рис. 5.24, давление на стенке центрального тела ОС из-за его
незначительности принимается равным нулю. Звуковая поверхность
полагается прямолинейной, влияние ее искривления рассмотрено для
ударных тарельчатых сопел (п. 5.3.5).

292 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода..
Рис. 5.26. Стендовый образец камеры «Ястреб»
На расчетной схеме рис. 5.27 представлены «замыкающие»
характеристики и контур тарельчатого сопла, в целом и в окрестности
критического сечения ВО, для конкретного варианта с радиусом
центрального тела (точки О) го = 2, степенью расширения F- 100 и углом излома
контура в точке В Ыдв = 0. Здесь и далее выходная площадь включает
поперечное сечение центрального тела и отнесена к площади
критического сечения F,, длины приведены к масштабу длины em=jFJn (для
сопла Л аваля £♦=/;)
0,4
0,8 х
(/
)О
s—
8
12
Рис. 5.27. Расчетная схема, левый рисунок — область критики
Расширение продуктов сгорания происходит в пучке волн разрежения,
исходящим из граничной образующей О, в малой окрестности которой
реализуется плоское течение Прантдля — Майера. Начальная
(^-характеристика пучка — OD, конечная — ОЕА. С~-характеристика, начинаю-

5.3. Результаты численного моделирования 293
щаяся от границы звуковой поверхности В, — кривая BDE.
Особенность осесимметричного тарельчатого сопла — значительное
расстояние между точками О и Е, которые совпадают у сопла Лаваля или
плоского кольцевого сопла. На рисунке OL — стенка центрального тела.
Наилучший контур BGA получается, если замыкающая
(^-характеристика ЕА — экстремальная, определяемая уравнениями (5.11).
Конечная точка А находится из условия, что расход через
характеристику ОЕА равен расходу через критическое сечение.
Последовательность расчета при заданном угле излома контура в
точке В Авв и радиусе центрального тела го следующая. Угол наклона
«замыкающей» характеристики ОЕА в точке О Q0 + a0 определяется
заданием длины сопла ха. При этом вычисляется методом характеристик
течение в области BDEO, определяются параметры в точке Е и
находится экстремаль ЕА. Угол скорости в критическом сечении 8*
определяется заданием степени расширения. И, наконец, по параметрам на
«замыкающих» характеристиках BDEw ЕА методом характеристик
рассчитывался контур сопла и газодинамические параметры течения.
Максимальная пустотная тяга сопла с фиксированной длиной
реализуется при степени расширения, которая определяется условием Бу-
земанавточкеЛ:
р = pF2tgasin0cos6. (5.13)
При большой длине сопла построить безударный (без скачков
уплотнения в расчетной области BGAO) контур с выполнением условия
Буземана невозможно. В этом случае выбирается сопло с
максимальным расширением на границе существования безударного течения и
взамен (5.13) используется условие в точке Е [5, 54]:
tge = (514)
у + cos 2a
В общем случае, для этой длины можно построить сопло с
фокусированной ударной волной, которое будет иметь большую тягу; этот
подход будет рассмотрен в следующем разделе.
Для разных длин сопла ха были проведены расчеты с изменением
угла излома контура в точке В (рис. 5.27) А0Д. Максимум тяги
достигался при небольших углах, составляющих примерно 3°. Отличие в
удельном импульсе от варианта с отсутствием излома незначительно и
составляло 0,01% при ха= 15 и 0,03% при Jcfl = 28. Поэтому без потери
общности все представленные далее расчеты проведены в отсутствии
излома в точке В.

294
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Было проведено сравнение четырех вариантов, которые отмечены
на рис. 5.28—5.33 следующим образом:
1 — основной вариант тарельчатого сопла с радиусом центрального
тела в точке О г0 - 2;
2 — тарельчатое сопло с г0 = 3, приводится для определения влияния
радиуса центрального тела в точке О го;
3 — сопло Лаваля с максимальным импульсом при заданной длине
сверхзвуковой части сопла ха\
4 — вспомогательное сопло Лаваля с углом стенки на выходе 8° с
низким уровнем потерь из-за рассеяния.
Удельный импульс на рисунках отнесен к его максимальному
значению для данного топлива /ymax = yJ2(H-й(0)). Длина сверхзвуковой
части тарельчатого сопла отсчитывалась от точки О на рис. 5.27.
Суммарная длина сопла Лаваля состоит из его сверхзвуковой и дозвуковой
длин, последняя из которых, например у сопла двигателя РД180,
составляет Ах = 4,25. В схеме, представленной на рис. 5.24, #, дозвуковая
часть не входит в общую длину.
Зависимость относительного удельного импульса в пустоте /у от
степени расширения Fщ\я тарельчатых сопел и сопел Лаваля при
фиксированной длине ха= 10 представлена на рис. 5.28. На нем введены
следующие обозначения: о — сопло с максимальным импульсом,
условие (5.13); х — граница области существования безударных сопел,
условие (5.14); + — сопло Лаваля с углом 8° на выходе.
0,84
0,82
0,80
0,78
...4
3 со
л* ■»
пла Лав;
—
ля
20
30
40
50
60
70
80 F
Рис. 5.28. Зависимость относительного удельного импульса в пустоте /у
от степени расширения Гири длине ха = 10
Прирост удельного импульса тарельчатого сопла с г0 = 2 по
сравнению с соплом Лаваля при этой длине составляет 4,3 % (или 14,9 с).

5.3. Результаты численного моделирования
295
Зависимость коэффициента потерь из-за рассеяния £ от степени
расширения /*при длине сопел ха = 10 представлена на рис. 5.29.
о
20
30
40
50
60
70
80 F
Рис. 5.29. Зависимость коэффициента потерь из-за рассеяния С, от степени
расширения ^при длине ха = 10
Далее все результаты относятся к соплам с максимальным импульсом
при заданной длине сверхзвуковой части ха (выбор степени расширения
проясняет рис. 5.28) и соплу Лаваля с углом 8° на выходе (вариант 4).
На рис. 5.30 построена зависимость угла наклона скорости к оси
симметрии в критическом сечении 0* от степени расширения для
тарельчатых сопел. Угол наклона критического сечения ВО срф = 0, - 90°.
С углом 0* наклона связан линейный размер критического сечения
(расстояние ОВ на рис. 5.27) hm = l/(ro +>/ro2 + cos0*).
50
Рис. 5.30. Зависимость угла наклона скорости к оси сопла в критическом
сечении 0Ф от степени расширения F

296
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
На рисунке отчетливо виден излом кривых, который определяется
тем, что профилирование в левой части графика проводилось с
использованием условия (5.13), в правой — (5.14). Другие зависимости столь
явного излома не имеют.
На рис. 5.31 представлена зависимость степени расширения F от
длины сверхзвуковой части сопел ха.
F
зоо
200
100
о
о
10
20
30
40
50
Рис. 5.31. Зависимость оптимальной степени расширения Foi длины
сверхзвуковой части сопел ха
Этот график наглядно демонстрирует основное достоинство
тарельчатых сопел — при фиксированной длине тарельчатое сопло с
максимальной тягой имеет более высокую степень расширения, чем сопла
Лаваля. Увеличение степени расширения значительно при небольших
длинах сопел (достигая при ха = 10 величины в 92 %) и умерено для
длинных сопел (при лсд = 40 — 8%). Здесь и далее величины приводятся при
сравнении основных вариантов — тарельчатого сопла (г0 = 2, вариант 1) и
сопла Лаваля с максимальной тягой при заданной длине (вариант 3).
Выигрыш в импульсе тарельчатых сопел определяется не только
увеличением степени расширения, но и величиной потерь.
Зависимость потерь из-за рассеяния £ от длины сверхзвуковой части сопел ха
представлена на рис. 5.32. Потери из-за рассеяния в тарельчатых соплах
значительно меньше (при ха = 10 на 1%, при ха = 40 — на 0,8%) чем у
сопел Лаваля (вариант 3).
В соответствии с этим тарельчатые сопла имеют более высокий
удельный импульс по сравнению с обычными соплами Лаваля, что
отражено на рис. 5.33. Увеличение импульса тарельчатых сопел при
небольших длинах определяется как увеличением степени расширения,
так и уменьшением потерь; для длинных сопел прирост обусловлен

5.3. Результаты численного моделирования
297
в основном вторым фактором. Выигрыш тарельчатого сопла с го = 2
(вариант 1) у сопла Лаваля (вариант 3) при длине ха = 10 составляет 4,3%
(14,9 с). У сопел с большой длиной (со степенью расширения
тарельчатых сопел F= 200—300) прирост заметно меньше: при ха = 30 составляет
1,4% (5,4с), приха = 40- 1,1% (4,1 с).
0
4
^^-. _...,
—-—
L 1
•т
о
10
20
30
40
50 ха
Рис. 5.32. Зависимость потерь из-за рассеяния С, от длины
сверхзвуковой части сопел ха
ЛУ
0,90
0,88
0,86
0,84
0,82
0,80
0,78
о
10
20
30
40
50 ха
Рис. 5.33. Зависимость удельного импульса в пустоте /у
от длины сверхзвуковой части сопел ха
Прирост импульса тарельчатого сопла с камерой сгорания в
центральном теле (рис. 5.27, б) по сравнению с тарельчатым соплом
(рис. 5.27, а) также определяется зависимостями рис. 5.33. При
фиксированной общей длине сопел сверхзвуковая часть тарельчатого сопла
по схеме 5.27, б по сравнению с тарельчатым соплом по схеме 5.27, а

298
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
короче на длину камеры сгорания и дозвуковой части Ах. Для
типичного сопла с Ах = 5 и /*0 = 2 при длине ха«30 (степень расширения
F« 200) прирост составляет 0,8 %, при ха « 40 (F« 300) — 0,5 %.
Кроме того, рис. 5.33 демонстрирует возможность при
использовании тарельчатых сопел минимизировать длину двигателя с заданным
уровнем удельного импульса — сверхзвуковые части тарельчатых сопел
с г0 = 2 короче, чем у сопел Лаваля, на величину Аха = 5—9.
5.3.5. Ударные тарельчатые сопла
Последовательность построения экстремального контура ударного
тарельчатого сопла для общего случая с искривленной «звуковой»
поверхностью [21] отражена на рис. 5.34.
Рис. 5.34. Расчетная схема, левый рисунок — область критики
Первоначально проводится расчет течения газа в до- и
трансзвуковой областях сопла с определением параметров на начальных С"-ха-
рактеристике B+D и (^-характеристике O*D, которые расположены
непосредственно за критическим сечением. Если используется
предположение о плоской звуковой поверхности, на ней задаются исходные
данные и первоначальный расчет течения не требуется. Далее
рассчитывается расширение потока в волнах разрежения от участков сопла
В*В и OJO, реализованных радиусами скругления. В результате
определяются параметры на замыкающей С"-характеристике BE, остальные
действия аналогичны построению ударного контура сопла Лаваля. На
рис. 5.34 замыкающая (^-характеристика — ОЕ, область фокусировки

5.3. Результаты численного моделирования
299
С -характеристик — ВЕС, пучок волн разрежения — GEH, ударная
волна — ЕЕ, экстремальная (^-характеристика — ЕЛ.
В предположении плоской звуковой поверхности были проведены
расчеты контуров ударных экстремальных сопел методом
характеристик, при этом получены распределения давления вдоль стенки сопел.
Данные распределения отличаются от реальных из-за отклонения
звуковой поверхности от плоской, поэтому получаемый на их основе
удельный импульс определен с погрешностью. Тем не менее подобная
постановка задачи на порядок уменьшает время счета, что позволяет
проводить исследование в широком диапазоне параметров, величина
погрешности далее будет определена.
Во всех расчетах длина сопла ха отсчитывается от правой точки
критического сечения, радиус этой точки го = 2, радиусы скругления
участков В+В и OJO (рис. 5.34) R = 0,1.
На рис. 5.35 представлена зависимость пустотного удельного
импульса от степени расширения и угла наклона критического сечения ф*
(угол скорости в критическом сечении 0+ = ф* + 90°) при
фиксированной длине ха = 20. Степень расширения F варьировалась изменением
угла стенки сопла от точки В* до В (рис. 5.34) А0+. Максимальная
пустотная тяга сопла с фиксированной длиной реализуется при степени
расширения, которая определяется условием Буземана в точке Л (рис. 5.34).
Зависимость Iyb(F), удовлетворяющая этому условию, также нанесена
на рис. 5.35.
/v v = ?П
'у
0,874
0,872
0,870
0,868
0,866
0,864
0,862
(р. =60°
100 200 300 400 500 F
Рис. 5.35. Зависимость удельного импульса от степени расширения
Для безударных тарельчатых сопел (п. 5.3.4) существует
оптимальный угол ф„ (с малым углом Д0*), при котором достигается максималь-

300
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
ный удельный импульс. Для ударных сопел максимум отсутствует,
удельный импульс монотонно растет с увеличением ф+, причем угол Л0*
всегда остается конечным.
Для сопел с максимальной тягой при заданной длине были
получены зависимости удельного импульса от длины сопла ха и угла наклона
критического сечения ф+, которые представлены на рис. 5.36.
'у
0,90
JE безудар
НЫЙ КОН1
УР
Ф-=60°
Ф-=30°
Ф-=0°
0,89
0,88
0,87
0,86
0,85
0,84
0,83
10 15 20 25 30 35 40 ха
Рис. 5.36. Зависимость удельного импульса от длины сопла
Кроме того, на рис. 5.36 нанесена зависимость для безударных
сопел с максимальным удельным импульсом (п. 5.3.4), которая
практически совпала с зависимостью для ударных сопел с ф+ = 0о. Прирост
удельного импульса может достигать существенной величины 0,8% при
переходе от безударного контура к соплу со скачком уплотнения. Этим
тарельчатые сопла кардинально отличаются от сопел Лаваля.
Для демонстрации характерных особенностей ударных тарельчатых
сопел представлены результаты расчетов течения методом
установления с использованием компактной разностной схемы в соплах с
наклоном критического сечения ф* = 0° и ф+ = 60° и расположением камеры
сгорания вне сопел и в центральном теле с радиусом нижней стенки
камеры сгорания (рис. 5.24, б) 1,414. Длина сопел ха = 20, контуры
экстремальных сопел с максимальной тягой были построены от реальной и
плоской звуковых поверхностей.
В результате расчетов определены потери удельного импульса
сопел, при профилировании не от реальной, а от плоской звуковой
поверхности. Изменение контура затрагивало только сверхзвуковые части

5.3. Результаты численного моделирования 301
сопел, поэтому реальные звуковые поверхности этих вариантов
идентичны, так же как расходы. Для типичных экстремальных сопел Лаваля
использование предположения о плоской звуковой поверхности
приводит к пренебрежимо малому (~10~5%) уменьшению удельного
импульса. В соплах тарельчатого типа искривление звуковой поверхности
намного больше, но все же потери удельного импульса не превышали
0,04%. Столь малые потери присущи именно экстремальным соплам.
Для них деформация контура сопла yw(x) на 8yw(x)9 с малой средней
величиной отклонения <8yw>, приводит к уменьшению удельного
импульса пропорционально квадрату этой величины 8/~<8j>w>2, т. е. на
очень малую величину.
Кроме того, определена погрешность величин удельного импульса,
рассчитанных методом характеристик при расчетах экстремального
контура в предположении плоской звуковой поверхности. В
подобных расчетах не учитывается неравномерность параметров в
критическом сечении, что приводит в том числе к уменьшению расхода газа.
Представляемые ниже расчеты показали, что коэффициент расхода
тарельчатых сопел (без учета неполноты сгорания) изменяется в
диапазоне тш/т= 1,030...1,056, а удельный импульс выше приведенного на
рис. 5.35—5.36 — на0,10...0,18%. С такой точностью графики на данных
рисунках отражают зависимости параметров и могут использоваться
при выборе конкретного экземпляра тарельчатого сопла. После этого
желательно провести расчеты на основе более общей методики для
уточнения параметров сопла.
Наконец, в вариантах с большим поворотом газа в районе критики
существует зона со значительным торможением на стенке сопла. Это
может привести к отрыву пограничного слоя с ростом тепловых
потоков и падением тяги. Поэтому при представлении результатов было
уделено дополнительное внимание распределению параметров на
стенке сопла в районе критики.
5.3.5.1. Сопла с внешней камерой сгорания
Первоначально рассмотрим сопла с углом наклона критического
сечения ф* = 0°. На рис. 5.37 представлены изолинии числа Маха в
окрестности критических сечений. Здесь и далее варианты а) и б)
соответствуют соплам, спрофилированным от плоской и реальной звуковых
поверхностей соответственно.
«Звуковая» поверхность явно отличается от плоской, что приводит
к значительной немонотонности давления на стенке с образованием
волны сжатия для варианта а). Профилирование от реальной звуковой

302
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
поверхности уменьшает положительный градиент давления, хотя
немонотонность остается. Коэффициент расхода сопел тт/т = 1,047.
Удельный импульс сопла варианта а) на 0,10% превосходит удельный
импульс рис. 5.36. Картина течения в сопле, построенном от реальной
звуковой поверхности, приведена на рис. 5.38.
У
3,0
2,7
2,4
2,1
1,8
а
№■
ш
1 / К
ш
-0,3 0 0,3 х "~ -0,3 0
Рис. 5.37. Изолинии числа Маха в сопле с ср, = 0°
0,3 х
1 6 11 16
Рис. 5.38. Изолинии \g(pjp) в сопле с ф# = 0°
21 х
На рис. 5.39, 5.40 представлены аналогичные картины течения для
сопел с наклоном критического сечения ф* = 60°. Угол поворота газа на

5.3. Результаты численного моделирования
303
стенке сопла в районе критики очень большой — 163°, что приводит к
наиболее заметному из всех вариантов искривлению звуковой
поверхности. Соответственно в данном варианте реализуется максимальная
немонотонность распределения давления. Коэффициент расхода сопел
тт/т = 1,056. Удельный импульс сопла варианта а) превосходит на
0,12% удельный импульс рис. 5.36.
У
2,7
2,1
1,5
\
а
ХЧ;ЛК
If
Ч
\
м
1/
2,1
1,5
-1,3 -0,7 -0,1 х -1,3 -0,7 -0,1 х
Рис. 5.39. Изолинии числа Маха в сопле с ср, = 60°
0 7 14 21
Рис. 5.40. Изолинии \g(pjp) в сопле с срф = 60°
Из рис. 5.40 видно, что висячий скачок уплотнения очень
интенсивный — с ростом давления в 100 раз.
Для этих тарельчатых сопел на рис. 5.41 представлены
распределения давления на стенке в районе критического сечения. Видно,

304
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
насколько большим может быть локальное торможение.
Профилирование сопел от реальной звуковой поверхности заметно уменьшает
величину градиента, но, несмотря на это, она остается очень большой.
pip*
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3
Рис. 5.41. Распределение давления вдоль стенки
2,4 у
Тарельчатые сопла с внешним расположением камеры сгорания
немного (менее 0,1 %) уступают соплам с камерой сгорания в
центральном теле при одинаковой длине сверхзвуковых частей сопел. Основное
преимущество сопла с камерой сгорания в центральном теле: меньшее,
на длину камеры сгорания, общая длина и монотонное падение
давления вдоль стенок.
5.3.5.2. Сопла с камерой сгорания в центральном теле
В этих соплах давление монотонно падало вдоль всей стенки,
поэтому его распределение не приводится.
На рис. 5.42 представлены изолинии числа Маха в области
критического сечения сопел с углом наклона критического сечения ф* = 0°.
Коэффициент расхода сопел тт/т = 1,053. Удельный импульс сопла
варианта а) превосходит на 0,18% удельный импульс сопла,
представленного на рис. 5.36.
На рис. 5.43, 5.44 для варианта с углом наклона критического
сечения фф = 0° представлены давление и линии тока, с 5 % расходом между
соседними кривыми.
Качественно картина течения подобна течению в сопле Лаваля
(рис. 5.22), за исключением небольшой волны сжатия от области
разрыва второй производной профиля центрального тела вблизи точки О

5.3. Результаты численного моделирования
305
(рис. 5.34). Так же, как в сопле Л аваля, интенсивность скачка
уплотнения невелика.
-0,3 0 0,3 х ~'~ -0,3 0 0,3 х
Рис. 5.42. Изолинии числа Маха в сопле с срф = 0°
-0,5 4 8,5 13 17,5 22 х
Рис. 5.43. Изолинии lg(pK/p) в сопле с ф«, = 0°
Более интересен вариант с углом наклона критического сечения
фф = 60°. На рис. 5.45 представлены изолинии числа Маха в области
критического сечения этих сопел.

306
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода..
4 8,5 13 17,5
Рис. 5.44. Линии тока в сопле с ср, = 0°
22 х
-1,2 -0,6 0 х -1,2 -0,6 0 х
Рис. 5.45. Изолинии числа Маха в сопле с ф„ = 60°
Искривление звуковой поверхности данных сопел минимально,
поэтому параметры течения в области критического сечения вариантов а) и
б) практически идентичны. Коэффициент расхода сопел тт/т = 1,030.
Удельный импульс сопла варианта а) превосходит на 0,14% удельный
импульс рис. 5.36.
На рис. 5.46, 5.47 представлены давление и линии тока.
Из-за очень большого угла скорости в критическом сечении газ
благодаря инерции прижимается к стенке сопла (рис. 5.47).
Прохождение основной части расхода по периферии способствует повышению
давления на стенке. Поскольку тяга есть не что иное, как интеграл
давления по стенке сопла, это объясняет механизм прироста удельного
импульса с увеличением угла наклона критического сечения.
Отметим, что степень расширения данного сопла с ха = 20
значительно превосходит степень расширения сопла Лаваля с jcfl = 40 (рис. 5.22).

5.3. Результаты численного моделирования
307
Висячий скачок уплотнения чрезвычайно интенсивный — с перепадом
давления на скачке до 100. Расчет скачка проводился методом
сквозного счета, при котором он размазывается на ширину нескольких
интервалов разностной сетки. Реальная ширина значительно меньше и
сопоставима с длиной свободного пробега молекул газа. Пример
данного сопла (давление в выходном сечении меняется в 140 раз)
показывает, что не всегда среднее давление ра может характеризовать течение в
выходном сечении сопла.
у
22 т
10
10
4 9 14 19 24 х
Рис. 5.46. Изолинии \g(pK/p) в сопле с фф = 60°
-1 4 9 14 19 24 х
Рис. 5.47. Линии тока в сопле с фф = 60°

308
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Тарельчатые сопла с камерой сгорания в центральном теле вполне
возможно профилировать в предположении плоской звуковой
поверхности, поскольку это приводит к минимальным (не более 0,03%)
потерям удельного импульса и можно не опасаться отрывов пограничного
слоя. Расчеты течения на основе метода установления требуются только
для уточнения расхода и удельного импульса.
Подведем итоги по результатам исследования тарельчатых сопел.
Использование предположения о плоской звуковой поверхности
при профилировании тарельчатых сопел приводит к потерям удельного
импульса не более чем на 0,04%.
При выборе тарельчатого сопла с внешней камерой сгорания
необходимо обратить пристальное внимание на зону торможения потока в
окрестности критического сечения, которая может привести к отрыву
пограничного слоя.
Повышение удельного импульса при переходе к ударным
тарельчатым соплам существенно выше, чем в соплах Лаваля — возможно его
увеличение на 0,8% по сравнению с безударными. Это достигается
большим наклоном критического сечения и приводит к соплам с очень
большими степенями расширения и чрезвычайно интенсивными
скачками уплотнения (рис. 5.46). Выигрыш тарельчатого сопла по
сравнению с обычным соплом Лаваля обеспечивается большей степенью
расширения и меньшими потерями из-за рассеяния.
А/у, с
20
15
10
5
о
Тарельчатое бЗзударнЬе соплЬ
Лаваля
8
10
12
14
16
18 20 уа
Рис. 5.48. Зависимость приращений удельного импульса
в пустоте от степени расширения
В заключение необходимо отметить следующее. Тарельчатые сопла
могут конкурировать с обычными соплами только при достижении вы-

5.3. Результаты численного моделирования 309
сокой надежности, прежде всего надежности охлаждения, что является
для тарельчатого сопла чрезвычайно сложной задачей. Именно поэтому
в настоящее время предпочтение отдается соплам Л аваля, хотя они при
одинаковой тяге имеют существенно большую длину. Это тем более
оправдано, поскольку чаще всего не существует жестких ограничений
на длину сопел. Если они есть, то возможной альтернативой
тарельчатому соплу является связка из сопел Лаваля с той же суммарной
площадью критических сечений, что видно из приведенного на рис. 5.48
графика приращений удельного импульса для разных типов
экстремальных сопел с одинаковой длиной сверхзвуковых частей ха = 15 (как у
сопла двигателя РД180).
5.3.6. Штыревые сопла
Исследование возможностей применения сопел с центральным
телом для ЖРД проводилось в НПО «Энергомаш» Б. И. Каторгиным,
Л. Е. Стерниным и др. по инициативе и под руководством академика
В. П. Глушко еще с начала 1960-х гг. [15, 18]. Многочисленные расчет-
но-экспериментальные исследования в последующие годы велись в
Исследовательском центре им. М. В. Келдыша, ЦИАМе, в ряде других
отечественных организаций и за рубежом. Краткий обзор по этой теме
имеется, например, в монографии [56, с. 108-116]. Результаты расчет-
но-теоретических работ с оптимизацией штыревых сопел представлены
в одной из последних работ на эту тему [70].
В американской периодической литературе широко освещалась
разработка фирмой «Локхид-Мартин» экспериментального модельного
летательного аппарата (ЛА) X-33/RLV — для проверки
работоспособности натурного двигателя со штыревым соплом RS-2200,
предназначенного для ЛА «Венче Стар». На «Венче Стар» предполагалось
установить семь двигателей RS-2200 общей тягой около 1,6 тыс. т в пустоте
(1,4 тыс. т на земле) на топливе: кислород с водородом. Плоское, авто-
регулируемое по высоте штыревое сопло позволяет при увеличении его
геометрической степени расширения существенно повысить удельный
пустотный импульс при небольших потерях из-за перерасширения на
начальной части траектории [71, 73].
Двигатель RS-2200 имеет плоское штыревое сопло с
геометрической степенью расширения по площади 173. Внутри сопла
расположены турбонасосный агрегат с выбросом турбогаза в торцевой части
штыря и системы трубопроводов, обеспечивающие питание и охлаждение
камер сгорания (рис. 5.49). С каждой стороны от плоской
поверхности штыря расположено по семь осесимметричных в дозвуковой части

310
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
камер с предварительным расширением в соплах до М « 3,5. При
объединении семи двигателей RS-2200 «в линию» они образуют плоское
сопло с 49 камерами с каждой из двух сторон (7 двигателей RS-2200
содержат 98 камер). Такая плоская компоновка позволяет избежать для
большинства камер потерь, связанных с боковыми эффектами. При
этом особого внимания заслуживает проблема надежности запуска и
автономной работы этих 98 камер. Преимущества же данной
компоновки очевидны: возможность расположения плоского блока
двигателей в крыльях воздушно-космического самолета; удобство управления
по всем трем каналам путем дросселирования или форсирования
крайних четырех (верхних, нижних, правых и левых) камер; возможность
отключения симметрично расположенных камер для дросселирования
тяги; использование камер предварительного расширения
сравнительно малой тяги (около 15 т) позволяет упростить производственный
процесс изготовления камер, а также их доводку. Главным недостатком
рассматриваемой схемы является, как уже указывалось выше, наличие
большого количества (98) камер с индивидуальными процессами
воспламенения и горения в каждой из них. Для надежного
функционирования всех камер требуется тщательная доводка отдельных камер и
двигателя в целом. Другой проблемой является уменьшение
инерционности системы управления, содержащей элементы гидравлики.
Рис. 5.49. Двигатель RS-2200

5.3. Результаты численного моделирования
311
Ниже производится расчет тяговых параметров ЖРД с
экстремальными плоским и осесимметричным штыревыми соплами. Для
большинства используемых топлив в настоящее время наиболее
эффективной является схема с дожиганием генераторного газа, которая
использована и при данном рассмотрении. Давление в камере сгорания
принято равным рк - 200 кгс/см2 при тяге Р= 200 тс.
Штыревые сопла относятся к классу сопел с центральным телом, у
контура расширяющейся части которых почти или полностью
отсутствует внешняя образующая. Схемы плоского и осесимметричного
вариантов представлены на рис. 5.50.
Рис. 5.50. Схемы штыревых сопел: а — плоское, б — осесимметричное сопло,
1 — сопла предварительного расширения, 2 — штырь (центральное тело)
Впервые оптимизация штыревого сопла в пустоте была проведена
G. V. R. Rao в 1961 г. [76]. Им рассматривалось штыревое сопло без
излома контура в точке стыка сопел предварительного расширения и
штыря. При оптимизации, практически без изменений, применялись
формулы, выполняющиеся на экстремальной характеристике обычного
сопла. С тех пор у нас и за рубежом выполнено значительное
количество в основном экспериментальных исследований по этим соплам.
Ниже производится численное исследование тяговых
характеристик штыревых сопел и обычных сопел Л аваля [16]. При этом
исследуются высокие степени расширения сопел F = 170...200, под степенью
расширения штыревого сопла понимается отношение выходной
площади, определяемой ординатой точки О (рис. 5.52), к критической,
равной сумме критических сечений сопел предварительного
расширения. Целесообразность рассмотрения таких значений F с точки зрения
весовых характеристик двигателей здесь не рассматривается.

312
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Основная особенность рассматриваемых здесь штыревых сопел —
отсутствие скачков уплотнения, т. е. изоэнтропическая
авторегулируемость в широком диапазоне изменений наружного давления. Продукты
сгорания первоначально расширяются в расположенных на периферии
центрального тела соплах предварительного расширения с
последующим обтеканием штыря. При высоком внешнем давлении струя
прижимается к центральному телу, в результате чего значительного
перерасширения газа с сопутствующими ему высокими потерями импульса
не происходит. Благодаря этому штыревое сопло авторегулируется при
изменении внешнего давления от земного до давления,
соответствующего его расчетной степени расширения. Таким образом, в отличие от
сопла Лаваля штыревое сопло с большой степенью расширения не
только имеет высокий удельный импульс на конечном участке
траектории полета, но и умеренные потери тяги из-за перерасширения на
начальном. Картины течений в плоском варианте для разных наружных
давлений рн, полученные в результате двухмерных расчетов,
представлены на рис. 5.51; более темные участки струи соответствуют
повышенному давлению газа в волнах сжатия, но не в скачках уплотнения! На
этом и последующих рисунках единицы измерения давления — кгс/см2,
координат — см.
рн=0,6
Рис. 5.51. Расширение газа в плоском штыревом сопле
при различных противодавлениях рн
Форма струи при повышенном наружном давлении имеет явно
выраженную «бочкообразную» форму, которая определяется
последовательным чередованием зон сжатия и разрежения. Давление газа на
стенке штыря растет в волнах сжатия и падает в волнах разрежения.
Поэтому авторегулирование штыревого сопла отклоняется от
идеального. Положение «бочек» меняется в зависимости от внешнего
давления и, следовательно, времени полета. Это приводит к тому, что зави-

5.3. Результаты численного моделирования 313
симость потерь импульса из-за рассеяния и нерасчетности от внешнего
давления не является монотонной. Максимум или минимум потерь
определяется в зависимости от того, перерасширена или недорасширена
струя в конце штыря. При низком внешнем давлении существует
только волна разрежения, давление на стенке при этом равномерно падает.
Необходимо отметить еще одну характерную особенность
штыревых сопел, которая связана с уменьшением радиусов критических
сечений сопел предварительного расширения. По сравнению с
эквивалентным соплом Лаваля с той же общей площадью критического сечения
для штыревых сопел как тепловые потоки в районе критических
сечений, так и общий энергосъем значительно выше.
Следует подчеркнуть важную конструктивную особенность плоских
штыревых сопел: возможность масштабирования по оси z (рис. 5.50),
благодаря чему их иногда называют «линейными».
Эффективность работы двигателя связана с кажущейся
(характеристической) скоростью w, определяемой по формуле К. Э. Циолковского:
wJ]l *rf/as</ >in-^a_,
I У rn mo-m1
где /к — время работы двигателя; т0 — начальная масса ракеты; тТ —
масса сгоревшего топлива; /у — удельный импульс в данной точке
траектории, а среднетраекторный удельный импульс
= \Iy-dt/ \-dt.
m / n m
и / 0
Величина \/т в подынтегральном выражении определяет
решающий вклад конечного участка траектории, удельный импульс на
котором должен быть максимально возможным. Потери удельного
импульса на начальном участке не являются настолько критичными. Их
влияние на кажущуюся скорость определяется главным образом через тяго-
вооруженность (отношение тяги к весу ракеты на старте). Исходя из
этого, контур центрального тела выбирался таким, чтобы обеспечить
максимальный импульс при работе двигателя в пустоте. В качестве
основных исходных данных использовались давление в камере сгорания
рк, общая площадь критических сечений Fm сопел предварительного
расширения и длина штыря ха. Для конкретной конструкции ракеты
может быть задана величина торца или высота штыревого сопла по оси у
(рис. 5.50). В результате расчетов в первом случае определяется высота,
во втором — размер торца.

314
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Выбор сопел предварительного расширения был произведен,
исходя из следующих условий. Жесткое ограничение на диаметр
критического сечения накладывает требование по организации охлаждения.
Поэтому из сопел, которые заведомо проходили по охлаждению,
выбиралось сопло с минимально возможным диаметром. Количество сопел N
определялось по заданной общей площади и выбранному диаметру
критического сечения. Для лучшего регулирования на нерасчетных
режимах давление на срезе сопел предварительного расширения должно
быть около одной атмосферы.
Расчеты течения газа при профилировании сопел и исследовании
влияния внешнего давления проводились методом характеристик.
Последовательность построения экстремального контура отражена
на рис. 5.52.
Рис. 5.52. Расчетная схема
На нем изображены сопло предварительного расширения с
выходным сечением АО, центральное тело АС и торец CD. В точке О
происходит разворот газа с падением давления в пучке волн разрежения. В
точке А стыка сопел предварительного расширения и штыря в общем
случае [70] есть излом контура, который также приводит к образованию
волн разрежения. На рисунке показаны пучки С+-характеристик,
исходящие из точки А, и С"-характеристик — из точки О, с «замыкающими»
характеристиками АВ и ОС.
По известным параметрам в сечении АО (здесь, чтобы не
рассчитывать трехмерный поток, течение полагалось коническим)
первоначально методом характеристик рассчитывалось течение в области АОВ.
Максимальная тяга в пустоте реализуется, если «замыкающая» С"-ха-

5.3. Результаты численного моделирования 315
рактеристика ВС — экстремальная, и в точке С выполняется условие
Буземана
р = рн -pK2tgasin0cos0
(для пустоты рп = 0), где 0 < 0 и F — соответственно угол и модуль
скорости, a — угол Маха. Для штыревых сопел, как и для обычных сопел
Лаваля, на экстремали выполняются уравнения
Kcos(0 + a)/cosa = const, yvp V2 sin2 0 tga = const,
где v = 1 в осесимметричном и v = 0 в плоском вариантах. Оптимизация
и расчеты течения проводились с учетом термодинамически
равновесных химических реакций в потоке с использованием метода
характеристик. Расчеты проводились итерациями, при фиксированной длине
штыря ха, которая отсчитывалась от точки О. Для определенного угла
наклона сопел предварительного расширения изменялся угол излома
контура в точке А, пока не выполнится условие Буземана в точке С.
Далее по известным параметрам на характеристиках АВ и ВС определялся
контур стенки АС. Таким образом, можно получить семейство
экстремальных контуров для разных углов наклона сопел предварительного
расширения.
Проведенными расчетами плоского и осесимметричного вариантов
штыревого сопла было установлено, что максимальная тяга реализуется
при наклоне сопел предварительного расширения, соответствующем
течению без излома в точке А, как у контура [76]. В этом случае есть
только один свободный параметр — угол наклона сопел
предварительного расширения, который определяется из условия достижения
максимальной тяги в пустоте.
Построенное подобным образом штыревое сопло не только имеет
максимальную тягу в пустоте, но и благодаря выбору степени
расширения сопел первичного расширения такой, при которой давление на
срезе сопла предварительного расширения равно внешнему атмосферному
(земному) давлению, и отсутствию излома в точке А на всех режимах
обеспечивает безударное течение на всем штыре (в том числе и при
высоком наружном давлении).
Профилирование плоского и осесимметричного вариантов
штыревого сопла проводилось для топлива — жидкий кислород с керосином
при давлении в камере сгорания рк = 200 кгс/см2 и длине штыря ха =
= 400 см. Общая площадь критического сечения /*„ = 492,6 см2 была
выбрана так, чтобы обеспечить тягу штыревого сопла 200 тс, близкую к
тяге двигателя RS-2200.

316 Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
Использование значительного торца не сказывается на импульсе
при работе сопла в пустоте. В то же время при работе на земле наличие
подобного торца приводит к значительным потерям, которые вызваны
высокой степенью разрежения в донной области. Для уменьшения
донных потерь необходимо принимать специальные меры:
организовать подвод внешнего газа в донную область через боковые
поверхности (по оси z на рис. 5.50, а) и, если возможно, продувку торца. В
данной работе таких ограничений не было, величина торца выбиралась
минимально возможной, степень расширения определялась в
результате расчетов.
Из сопел предварительного расширения, которые заведомо
проходили по охлаждению, было выбрано сопло с минимально возможным
диаметром критического сечения d* = 56 мм. При данном диаметре для
обеспечения общей площади критических сечений необходимо
использовать 20 сопел.
5.3.6.1. Плоское штыревое сопло
Минимальные потери импульса реализуются, когда выходное
сечение сопел предварительного расширения близко к квадрату (как
изображено на рис. 5.50 для плоского варианта). Изменение соотношения
сторон приводит к удлинению этих сопел и, следовательно, к
увеличению потерь из-за трения. Поскольку значительная часть потерь
сосредоточена в соплах предварительного расширения, нарушение этого
условия приводит к заметному увеличению потерь удельного импульса.
В результате оптимизационных расчетов были получены
следующие параметры сопел первичного расширения:
длина сверхзвуковой части сопел / = 43,9 см;
угол наклона сопел к плоскости симметрии 6 = -28,6°;
площадь выходного сечения^ = 23,9 см х 23,9 см;
число Маха на выходе Ма = 3,59.
Ширина штыря (по оси z на рис. 5.50) Z= 239 см, степень
расширения Fa = 170.
Картина течения при разных величинах внешнего давления
представлена на рис. 5.51, распределение давления вдоль стенки штыря pw —
на рис. 5.53. В расчетах моделировались стендовые условия с
неподвижным внешним воздухом.
При наружном давлении pu<pF=0,] кгс/см2 давление на стенке не
меняется, авторегулирование отсутствует, и штыревое сопло работает
аналогично соплу Лаваля с той же степенью расширения. Следует
отметить, что для компенсации потерь из-за рассеяния, определяемых на-

5.3. Результаты численного моделирования
317
клоном камер к плоскости симметрии, среднее давление по стенке
штыря должно заметно превышатьрн.
Рис. 5.53. Распределение давления вдоль плоского штыря
при разных противодавленияхрн
На рис. 5.54 представлены потери удельного импульса из-за нерас-
четности и рассеяния в зависимости от наружного давления для
штыревого сопла и обычного сопла Лаваля с 7 = 6 и давлением в
камере сгорания рк = 200 кгс/см2 (среднее давление в выходном сечении ра =
= 0,6 кгс/см2) в сравнении с идеальным соплом (авторегулируемым на
участке от рн = 1 кгс/см2 до рн =pF, которое соответствует степени
расширения штыревого сопла). В качестве идеального при наружном
давлении 1 кгс/см2>pH>pF использовалось одномерное сопло Лаваля с
расчетной степенью расширения, при которой давление на срезе
равнялось наружному. При рн <pF степень расширения идеального
одномерного сопла была фиксирована и равнялась степени расширения
штыревого сопла.
Течение струи рабочего газа в полете зависит от давления
натекающего на штыревое сопло воздуха/?н, для точного определения которого
требуется расчет обтекания всей ракеты. На начальном участке
траектории, когда скорость ракеты еще невелика, давление натекающего
воздуха близко к атмосферному давлению на данной высоте ph. На
конечном участке траектории с момента времени t=70c, при котором
атмосферное давление становится меньше 0,1 кгс/см2, тяга слабо
зависит от внешнего потока. На этих двух участках потери импульса
адекватно отражаются графиком рис. 5.54 сpH=ph. Поэтому в первом при-

318
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
ближении можно считать, что pH=ph(t) на всей траектории полета, и
при расчете интегралов вдоль траектории использовать полученную
зависимость тяги от наружного давления рн. Поскольку определяющий
вклад в интегральный импульс вносит конечный участок траектории,
ошибка из-за неучета внешнего обтекания штыревого сопла не может
быть значительной. При сделанных предположениях зависимость
потерь импульса из-за рассеяния и нерасчетности истечения от времени
полета имеет вид, представленный на рис. 5.55.
О pF 0,2
Рн
Рис. 5.54. Потери из-за нерасчетности и рассеяния в плоском
штыревом сопле и сопле Лаваля с 7 = 6
"О 40 80 120 160 200 t, с
Рис. 5.55. Зависимость потерь от времени работы двигателя

5.3. Результаты численного моделирования 319
Расчеты интегрального импульса штыревого сопла были проведены
при изменении в широком диапазоне относительной массы топлива
mT/mo = 0J...0,9 и тяговооруженности при старте Т = P3/(gmo)= 1,4...1,6,
где g — ускорение свободного падения (характерные значения для
двигателя первой ступени (тТ/то = 0,7 и Т= 1,55). Время работы двигателя
tK = Iy3mT/(gTm0) изменялось при этом в интервале 137...202 с, где /у 3 —
удельный импульс на земле. Среднеинтегральные потери в этом
диапазоне параметров для штыревого сопла в данных расчетах находились в
интервале <СШ>= 1 ~<^у>/<^у.ид> = 1,0...1,3%. Следовательно, вклад
начального участка траектории полета с повышенным коэффициентом
потерь (достигающим относительно идеально регулируемого сопла на
некоторых участках траектории 4%) не является значительным, а
определяющим является достижение высокого значения удельного
импульса двигателя в вакууме.
Поэтому, несмотря на более высокие потери на начальном участке,
штыревое сопло существенно выигрывает в сравнении с типовым
обычным соплом Лаваля при 7 = 6 по интегральному импульсу.
Выигрыш составил 3,5, 4,2 и 4,8% при относительной массе топлива
соответственно тТ/то = 0,7, 0,8, 0,9 и тяговооруженности Т = 1,55.
Представляют интерес минимальные потери интегрального
удельного импульса сопла Лаваля с высокой степенью расширения по
сравнению со штыревым соплом. С этой целью были проведены
вычисления интегрального импульса экстремальных сопел Лаваля в
зависимости от степени расширения и относительной массы топлива. При
больших степенях расширения и повышенном наружном давлении в
сопло входил скачок уплотнения, его положение определялось по
методике, приведенной в работе [56, с. 105]. Здесь не рассматриваются
возможное возникновение боковых сил из-за несимметричного входа
скачка уплотнения в сопло, а также вопросы охлаждения при входе
скачка в сопло. Осреднение проводилось при Т = 1,55, давление в
камере сгорания р0 = 200 кгс/см2. На рис. 5.56 представлены графики
зависимости интегрального удельного импульса, отнесенного к его
величине при ¥а =100 и тТ/то = 0,9, от степени расширения сопел Лаваля.
Как видно из рис. 5.56, для обычных сопел Лаваля их оптимальные
степени расширения не превосходят F= 100. В то же время для
штыревых сопел из-за хорошего авторегулирования тяги на начальном
отрезке траектории оказывается возможным иметь значительно большие
степени расширения.
Минимальные потери сопел Лаваля по сравнению со штыревым
соплом реализуются при степенях расширения с максимальным инте-

320
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
тральным импульсом на кривых рис. 5.56. Эти потери практически не
зависят от относительной массы топлива и составляют для тТ/то = 0,9,
0,8 и 0,7 примерно одну и ту же величину 2,6%, что почти вдвое
больше, чем на штыревом сопле. Кроме того, для обычного сопла
реализация такого подхода невозможна из-за входа скачка внутрь сопла Лаваля
(прогар сопла, боковые силы).
0,95
0,94
140
180 Fa
Рис. 5.56. Относительные тяговые среднетраекторные
характеристики экстремальных сопел Лаваля
5.3.6.2. Осесимметричное штыревое сопло Лаваля и потери из-за трения
Были определены следующие параметры сопел первичного
расширения:
длина сверхзвуковой части сопел / = 80,4 см;
угол наклона к оси штыря 0 = -30,9°;
площадь выходного сечения fa = 10,6 см х 54,1 см;
число Маха на выходе Ма = 3,59.
Радиус штыревого сопла (радиальная координата точки О на рис. 5.52)
R - 176,6 см, степень расширения Fa = 199.
Характерный размер задачи (высота эффективной щели
критического сечения) осесимметричного штыревого сопла Л+ = FJ2nR+ =
= 0,434 см значительно меньше, чем для плоского — й, = FJ2Z- 1,029 см.
Это приводит к увеличению эффективной длины штыря и, как
следствие, к увеличению количества «бочек» в осесимметричном варианте
при работе на земле. Картина течения при разных уровнях внешнего
давления представлена на рис. 5.57, распределение давления вдоль
стенки штыряpw — на рис. 5.58.

5.3. Результаты численного моделирования
321
рн=0,6
Рис. 5.57. Расширение газа в осесимметричном штыревом сопле
при различных противодавлениях
О
О
100
Рис. 5.58. Распределение давления вдоль осесимметричного штыря
при разных противодавлениях
Осесимметричное штыревое сопло имеет примерно вдвое меньшие
потери из-за нерасчетности и рассеяния, что связано с особенностью
цилиндрической геометрии, в которой площадь уменьшается при
приближении к оси. Потери удельного импульса из-за рассеяния и
перерасширения для осесимметричного штыревого сопла и сопла Лаваля
при 7 = 6 с давлением в камере сгорания р0 = 200 кгс/см2 в сравнении с
идеальным соплом представлены на рис. 5.59.
При изменении относительной массы топлива wT/mo = 0,7...0,9 и
тяговооруженности Т= 1,4...1,6, среднеинтегральные потери из-за
нерасчетности и рассеяния для штыревого сопла находились в интервале

322
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода...
4 ...
2 -■■
О Pf
0,2
0,4
0,6
0,8
1 Ри
Рис. 5.59. Потери из-за нерасчетности и рассеяния в осесимметричном
штыревом сопле и сопле Лаваля с 7 = 6
В осесимметричном варианте отношение сторон выходного
сечения сопел первичного расширения зависит от их количества /ф//г«
&4nFa/N2fa&5, где /г сторона вдоль радиального направления (АО на
рис. 5.52), /ф — азимутального. Следовательно, расширение происходит
в основном в одном (азимутальном) направлении. Большая степень
расширения в одном из направлений для осесимметричного варианта
приводит к большой длине сопел предварительного расширения и
развитой поверхности трения, что определяет возрастание на 2% потерь
из-за трения в осесимметричном штыревом сопле. Это уменьшает
преимущества штыревого сопла, однако большая часть полученного
прироста удельного импульса при использовании штыревого сопла
сохраняется. Потери из-за трения при работе двигателя в пустоте равны 4,2,
2,2 и 1,7% соответственно в осесимметричном, плоском штыревом
соплах и эквивалентном сопле Лаваля [22]. Следовательно, создание
осесимметричного варианта штыревого сопла является оправданным для
двигателя с тягой в несколько раз большей 200 тс. В этом случае
выходные сечения сопел предварительного расширения будут близки к
квадрату. При таких габаритах осесимметричный вариант будет иметь
заметное преимущество по сравнению с плоским из-за примерно вдвое
лучшего авторегулирования по траектории.
Подведем итоги по результатам исследования штыревых сопел.
Оптимальные безударные штыревые сопла реализуются с соплами
предварительного расширения с давлением на выходе 1 кгс/см2 и при
отсутствии излома в точке их стыка со штырем.

5.3. Результаты численного моделирования 323
В широком диапазоне траекторий полета среднеинтегральные по
траектории полета потери из-за нерасчетности и рассеяния находились
в узких интервалах 1,0...1,3% и 0,5...0,7% соответственно для плоского
и осесимметричного штыревых сопел.
В зависимости от траекторий полета преимущество плоского
штыревого сопла по среднетраекторному импульсу в сравнении с обычным
соплом Лаваля при 7 = 6 с давлением в камере сгорания 200 кгс/см2
составляет от 3,5 до 4,8%. Минимальный теоретический выигрыш
плоского штыревого относительно оптимизированного по траектории сопла
Лаваля равен 2,6 %.
Осесимметричное штыревое сопло имеет вдвое меньшие (на
0,5...0,6%) среднетраекторные потери из-за нерасчетности и рассеяния,
чем плоское, но увеличенные на 2% потери из-за трения вследствие
удлиненных сопел предварительного расширения. Оно перспективно
для двигателей значительно больших тяг, для которых сопла
предварительного расширения не являются удлиненными и не имеют больших
потерь из-за трения.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Таблицы газодинамических функций для у = 1.15
X
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
0.10000+01
0.99466+00
0.97880+00
0.95286+00
0.91754+00
0.87380+00
0.82282+00
0.76592+00
0.70454+00
0.64020+00
0.57438+00
0.56778+00
0.56117+00
0.55457+00
0.54798+00
0.54139+00
0.53480+00
0.52823+00
0.52166+00
0.51510+00
0.50856+00
0.50203+00
0.49552+00
0.48902+00
0.48254+00
0.47608+00
0.46964+00
0.46321+00
0.45682+00
0.45044+00
0.44409+00
0.43777+00
0.43147+00
0.42520+00
0.41896+00
0.41275+00
0.40657+00
7
I Y + 1 )
0.10000+01
0.99536+00
0.98154+00
0.95888+00
0.92789+00
0.88931+00
0.84402+00
0.79303+00
0.73747+00
0.67854+00
0.61746+00
0.61128+00
0.60510+00
0.59890+00
0.59270+00
0.58650+00
0.58029+00
0.57408+00
0.56787+00
0.56166+00
0.55545+00
0.54925+00
0.54304+00
0.53685+00
0.53065+00
0.52447+00
0.51829+00
0.51212+00
0.50597+00
0.49982+00
0.49369+00
0.48757+00
0.48146+00
0.47538+00
0.46930+00
0.46325+00
0.45721+00
0.00000+00
0.16120+00
0.31793+00
0.46588+00
0.60110+00
0.72014+00
0.82015+00
0.89904+00
0.95549+00
0.98903+00
0.10000+01
0.99989+00
0.99957+00
0.99904+00
0.99830+00
0.99735+00
0.99619+00
0.99483+00
0.99326+00
0.99149+00
0.98953+00
0.98737+00
0.98501+00
0.98247+00
0.97973+00
0.97680+00
0.97369+00
0.97040+00
0.96693+00
0.96328+00
0.95945+00
0.95546+00
0.95129+00
0.94696+00
0.94246+00
0.93781+00
0.93299+00
(см. с 22)
0.00000+00
0.96482-01
0.19317+00
0.29026+00
0.38797+00
0.48650+00
0.58610+00
0.68698+00
0.78941+00
0.89366+00
0.10000+01
0.10108+01
0.10215+01
0.10324+01
0.10432+01
0.10541+01
0.10649+01
0.10759+01
0.10868+01
0.10978+01
0.11088+01
0.11198+01
0.11308+01
0.11419+01
0.11530+01
0.11642+01
0.11753+01
0.11865+01
0.11978+01
0.12090+01
0.12203+01
0.12316+01
0.12430+01
0.12544+01
0.12658+01
0.12772+01
0.12887+01
(см. с. 170)
0.00000+00
0.97360-03
0.27428-02
0.50190-02
0.76972-02
0.10716-01
0.14033-01
0.17616-01
0.21443-01
0.25492-01
0.29747-01
0.34195-01
0.38823-01
0.43621-01
0.48579-01
0.53688-01
0.58942-01
0.64334-01
0.69857-01
0.75506-01
0.81276-01
0.87161-01
0.93158-01
0.99262-01
0.10547+00
0.11178+00
0.11818+00

Приложение
325
Продолжение табл.
X
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.71
1.72
1.73
1.74
1.75
Р(Х)
0.40042+00
0.39431+00
0.38823+00
0.38219+00
0.37618+00
0.37021+00
0.36428+00
0.35839+00
0.35253+00
0.34672+00
0.34095+00
0.33522+00
0.32954+00
0.32389+00
0.31830+00
0.31275+00
0.30724+00
0.30178+00
0.29637+00
0.29101+00
0.28569+00
0.28043+00
0.27521+00
0.27005+00
0.26493+00
0.25987+00
0.25486+00
0.24990+00
0.24499+00
0.24014+00
0.23534+00
0.23059+00
0.22590+00
0.22126+00
0.21688+00
0.21215+00
0.20767+00
0.20326+00
0.19890+00
0.19459+00
0.19034+00
0.18615+00
0.18201+00
0.17793+00
0.17390+00
0.16993+00
0.16602+00
0.16217+00
0.15837+00
Р(Х)
0.45120+00
0.44520+00
0.43923+00
0.43327+00
0.42735+00
0.42144+00
0.41556+00
0.40971+00
0.40389+00
0.39809+00
0.39232+00
0.38658+00
0.38088+00
0.37520+00
0.36956+00
0.36395+00
0.35837+00
0.35282+00
0.34732+00
0.34184+00
0.33641+00
0.33101+00
0.32565+00
0.32033+00
0.31505+00
0.30980+00
0.30460+00 •
0.29944+00
0.29432+00
0.28925+00
0.28421+00
0.27922+00
0.27427+00
0.26937+00
0.26451+00
0.25970+00
0.25493+00
0.25021+00
0.24553+00
0.24090+00
0.23632+00
0.23179+00
0.22730+00
0.22286+00
0.21847+00
0.21413+00
0.20984+00
0.20559+00
0.20140+00
q(X)
0.92802+00
0.92290+00
0.91763+00
0.91221+00
0.90665+00
0.90095+00
0.89512+00
0.88915+00
0.88305+00
0.87682+00
0.87047+00
0.86400+00
0.85741+00
0.85071+00
0.84319+00
0.83698+00
0.82996+00
0.82283+00
0.81561+00
0.80830+00
0.80089+00
0.79340+00
0.78583+00
0.77818+00
0.77045+00
0.76264+00
0.75477+00
0.74683+00
0.73883+00
0.73077+00
0.72265+00
0.71449+00
0.70627+00
0.69800+00
0.68970+00
0.68135+00
0.67297+00
0.66456+00
0.65612+00
0.64765+00
0.63916+00
0.63065+00
0.62212+00
0.61358+00
0.60504+00
0.59648+00
0.58792+00
0.57936+00
0.57080+00
ЩХ)
0.13002+01
0.13118+01
0.13234+01
0.13350+01
0.13467+01
0.13584+01
0.13701+01
0.13819+01
0.13937+01
0.14055+01
0.14174+01
0.14293+01
0.14413+01
0.14533+01
0.14653+01
0.14774+01
0.14896+01
0.15017+01
0.15139+01
0.15262+01
0.15385+01
0.15508+01
0.15632+01
0.15757+01
0.15882+01
0.16007+01
0.16133+01
0.16259+01
0.16386+01
0.16513+01
0.16641+01
0.16769+01
0.16898+01
0.17027+01
0.17157+01
0.17287+01
0.17418+01
0.17550+01
0.17682+01
0.17814+01
0.17947+01
0.18081+01
0.18215+01
0.18350+01
0.18486+01
0.18622+01
0.18759+01
0.18896+01
0.19034+01
о(Х)
0.12468+00
0.13127+00
0.13794+00
0.14471+00
0.15155+00
0.15847+00
0.16548+00
0.17256+00
0.17971+00
0.18694+00
0.19424+00
0.20160+00
0.20904+00
0.21654+00
0.22410+00
0.23173+00
0.23942+00
0.24717+00
0.25498+00
0.26285+00
0.27077+00
0.27875+00
0.28679+00
0.29488+00
0.30303+00
0.31122+00
0.31947+00
0.32777+00
0.33612+00
0.34452+00
0.35297+00
0.36146+00
0.37001+00
0.37860+00
0.38723+00
0.39591+00
0.40464+00
0.41341+00
0.42223+00
0.43109+00
0.43999+00
0.44894+00
0.45795+00
0.46695+00
0.47602+00
0.48514+00
0.49429+00
0.50349+00
0.51272+00

326
Приложение
Продолжение табл. 1
1.76
.77
.78
.79
.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
.90
.91
.92
.93
.94
.95
.96
.97
.98
.99
2.00
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
2.08
2.09
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
0.15463+00
0.15094+00
0.14731+00
0.14374+00
0.14022+00
0.13676+00
0.13336+00
0.13001+00
0.12671+00
0.12348+00
0.12029+00
0.11717+00
0.11409+00
0.11107+00
0.10811+00
0.10520+00
0.10234+00
0.99540-01
0.96790-01
0.94092-01
0.91446-01
0.88853-01
0.86311-01
0.83820-01
0.81379-01
0.78989-01
0.76649-01
0.74358-01
0.72116-01
0.69923-01
0.67777-01
0.65679-01
0.63628-01
0.61623-01
0.59664-01
0.57751-01
0.55882-01
0.54058-01
0.52278-01
0.50540-01
0.48846-01
0.47193-01
0.45583-01
0.44013-01
0.42483-01
0.40993-01
0.39543-01
0.38131-01
0.36757-01
0.35420-01
Р(Ь)
0.19726+00
0.19316+00
0.18912+00
0.18512+00
0.18118+00
0.17728+00
0.17344+00
0.16964+00
0.16590+00
0.16221+00
0.15857+00
0.15497+00
0.15143+00
0.14794+00
0.14451+00
0.14112+00
0.13778+00
0.13449+00
0.13125+00
0.12807+00
0.12493+00
0.12184+00
0.11881+00
0.11582+00
0.11288+00
0.10999+00
0.10715+00
0.10436+00
0.10162+00
0.98928-01
0.96283-01
0.93686-01
0.91136-01
0.88634-01
0.86179-01
0.83771-01
0.81409-01
0.79093-01
0.76823-01
0.74598-01
0.72419-01
0.70283-01
0.68193-01
0.66146-01
0.64142-01
0.62182-01
0.60264-01
0.58388-01
0.56554-01
0.54762-01
ЯМ
0.56225+00
0.55371+00
0.54518+00
0.53666+00
0.52815+00
0.51967+00
0.51121+00
0.50278+00
0.49437+00
0.48600+00
0.47765+00
0.46935+00
0.46108+00
0.45285+00
0.44466+00
0.43652+00
0.42842+00
0.42038+00
0.41239+00
0.40445+00
0.39656+00
0.38874+00
0.38097+00
0.37327+00
0.36563+00
0.35806+00
0.35055+00
0.34311+00
0.33574+00
0.32845+00
0.32122+00
0.31408+00
0.30700+00
0.30001+00
0.29310+00
0.28626+00
0.27951+00
0.27284+00
0.26625+00
0.25975+00
0.25333+00
0.24700+00
0.24076+00
0.23460+00
0.22854+00
0.22256+00
0.21667+00
0.21087+00
0.20517+00
0.19955+00
М(Х.)
0.19173+01
0.19312+01
0.19452+01
0.19592+01
0.19734+01
0.19876+01
0.20019+01
0.20162+01
0.20306+01
0.20451+01
0.20596+01
0.20743+01
0.20890+01
0.21038+01
0.21186+01
0.21336+01
0.21486+01
0.21637+01
0.21789+01
0.21942+01
0.22095+01
0.22250+01
0.22405+01
0.22561+01
0.22718+01
0.22876+01
0.23035+01
0.23195+01
0.23356+01
0.23518+01
0.23681+01
0.23845+01
0.24009+01
0.24175+01
0.24342+01
0.24510+01
0.24679+01
0.24849+01
0.25021+01
0.25193+01
0.25367+01
0.25541+01
0.25717+01
0.25894+01
0.26072+01
0.26252+01
0.26433+01
0.26615+01
0.26798+01
0.26983+01
ст(Я.)
0.52199+00
0.53131+00
0.54066+00
0.55006+00
0.55949+00
0.56896+00
0.57847+00
0.58801+00
0.59760+00
0.60722+00
0.61689+00
0.62659+00
0.63632+00
0.64610+00
0.65591+00
0.66576+00
0.67564+00
0.68557+00
0.69553+00
0.70553+00
0.71556+00
0.72563+00
0.73574+00
0.74588+00
0.75606+00
0.76628+00
0.77654+00
0.78683+00
0.79716+00
0.80752+00
0.81792+00
0.82836+00
0.83884+00
0.84935+00
0.85990+00
0.87049+00
0.88111+00
0.89177+00
0.90247+00
0.91321+00
0.92398+00
0.93479+00
0.94564+00
0.95653+00
0.96746+00
0.97842+00
0.98942+00
0.10005+01
0.10115+01
0.10227+01

Приложение
ъп
Продолжение табл. 1
X
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.40
2.41
2.42
2.43
2.44
2.45
2.46
2.47
2.48
2.49
2.50
2.51
2.52
2.53
2.54
2.55
2.56
257
2.58
2.59
2.60
2.61
2.62
2.63
2.64
2.65
2.66
2.67
2.68
2.69
2.70
2.71
2.72
2.73
2.74
2.75
0.34120-01
0.32857-01
0.31629-01
0.30436-01
0.29277-01
0.28152-01
0.27060-01
0.26001-01
0.24973-01
0.23977-01
0.23012-01
0.22077-01
0.21171-01
0.20294-01
0.19446-01
0.18625-01
0.17831-01
0.17063-01
0.16322-01
0.15606-01
0.14914-01
0.14247-01
0.13603-01
0.12982-01
0.12384-01
0.11808-01
0.11253-01
0.10718-01
0.10204-01
0.97096-02
0.92342-02
0.87775-02
0.83389-02
0.79179-02
0.75140-02
0.71267-02
0.67554-02
0.63998-02
0.60593-02
0.57335-02
0.54218-02
0.51239-02
0.48393-02
0.45676-02
0.43083-02
0.40610-02
0.38253-02
0.36007-02
0.33870-02
0.31837-02
р(Ь)
0.53010-01
0.51299-01
0.49627-01
0.47995-01
0.46403-01
0.44848-01
0.43332-01
0.41853-01
0.40411-01
0.39006-01
0.37637-01
0.36303-01
0.35004-01
0.33740-01
0.32510-01
0.31313-01
0.30149-01
0.29018-01
0.27918-01
0.26850-01
0.25812-01
0.24805-01
0.23828-01
0.22879-01
0.21959-01
0.21068-01
0.20204-01
0.19367-01
0.18557-01
0.17772-01
0.17013-01
0.16279-01
0.15569-01
0.14884-01
0.14221-01
0.13581-01
0.12964-01
0.12369-01
0.11794-01
0.11241-01
0.10708-01
0.10194-01
0.97000-02
0.92246-02
0.87675-02
0.83282-02
0.79062-02
0.75011-02
0.71124-02
0.67396-02
0.19402+00
0.18859+00
0.18325+00
0.17800+00
0.17285+00
0.16778+00
0.16281+00
0.15793+00
0.15315+00
0.14845+00
0.14385+00
0.13934+00
0.13492+00
0.13060+00
0.12636+00
0.12222+00
0.11816+00
0.11420+00
0.11032+00
0.10654+00
0.10284+00
0.99226-01
0.95702-01
0.92263-01
0.88910-01
0.85642-01
0.82457-01
0.79355-01
0.76334-01
0.73395-01
0.70536-01
0.67757-01
0.65055-01
0.62430-01
0.59882-01
0.57408-01
0.55009-01
0.52682-01
0.50427-01
0.48243-01
0.46128-01
0.44081-01
0.42101-01
0.40187-01
0.38338-01
0.36552-01
0.34828-01
0.33165-01
0.31561-01
0.30016-01
М(Х)
0.27169+01
0.27357+01
0.27546+01
0.27736+01
0.27928+01
0.28121+01
0.28315+01
0.28512+01
0.28709+01
0.28909+01
0.29110+01
0.29312+01
0.29516+01
0.29722+01
0.29930+01
0.30139+01
0.30350+01
0.30563+01
0.30778+01
0.30995+01
0.31214+01
0.31434+01
0.31657+01
0.31881+01
0.32108+01
0.32337+01
0.32568+01
0.32801+01
0.33036+01
0.33274+01
0.33514+01
0.33756+01
0.34001+01
0.34249+01
0.34498+01
0.34751+01
0.35006+01
0.35264+01
0.35524+01
0.35788+01
0.36054+01
0.36323+01
0.36595+01
0.36870+01
0.37149+01
0.37430+01
0.37715+01
0.38004+01
0.38295+01
0.38591+01
aft)
0.10338+01
0.10450+01
0.10563+01
0.10675+01
0.10788+01
0.10902+01
0.11016+01
0.11130+01
0.11245+01
0.11360+01
0.11476+01
0.11592+01
0.11709+01
0.11825+01
0.11943+01
0.12061+01
0.12179+01
0.12297+01
0.12416+01
0.12536+01
0.12656+01
0.12776+01
0.12897+01
0.13019+01
0.13140+01
0.13263+01
0.13385+01
0.13509+01
0.13632+01
0.13757+01
0.13881+01
0.14007+01
0.14132+01
0.14258+01
0.14385+01
0.14512+01
0.14640+01
0.14769+01
0.14897+01
0.15027+01
0.15157+01
0.15287+01
0.15418+01
0.15550+01
0.15682+01
0.15815+01
0.15948+01
0.16082+01
0.16217+01
0.16352+01

328
Приложение
Продолжение табл. 1
X
2.76
2.77
2.78
2.79
2.80
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
3.47
3.48
3.49
3.50
3.51
3.52
3.53
3.54
3.55
3.56
3.57
3.58
3.59
3.60
3.61
3.62
3.63
3.64
3.65
3.66
3.67
3.68
3.69
3.70
3.71
3.72
3.73
3.74
3.75
0.29903-02
0.28067-02
0.26323-02
0.24668-02
0.23099-02
0.15381-04
0.13212-04
0.11308-04
0.96436-05
0.81921-05
0.69309-05
0.58391-05
0.48974-05
0.40885-05
0.33964-05
. 0.28070-05
0.23073-05
0.18857-05
0.15318-05
0.12363-05
0.99108-06
0.78877-06
0.62294-06
0.48795-06
0.37887-06
0.29143-06
0.22191-06
0.16716-06
0.12444-06
0.91474-07
0.66319-07
0.47363-07
0.33272-07
0.22954-07
0.15522-07
0.10266-07
0.66231-08
0.41553-08
0.25259-08
0.14810-08
0.83295-09
0.44629-09
0.22581-09
0.10668-09
0.46347-10
0.18137-10
0.62069-11
0.17771-11
0.39662-12
0.61012-13
Р(Ь)
0.63823-02
0.60400-02
0.57123-02
0.53987-02
0.50988-02
0.65277-04
0.57195-04
0.49959-04
0.43498-04
0.37745-04
0.32639-04
0.28119-04
0.24131-04
0.20625-04
0.17554-04
0.14873-04
0.12541-04
0.10523-04
0.87830-05
0.72899-05
0.60149-05
0.49317-05
0.40166-05
0.32481-05
0.26066-05
0.20748-05
0.16371-05
0.12796-05
0.98998-06
0.75751-06
0.57272-06
0.42738-06
0.31439-06
0.22765-06
0.16201-06
0.11308-06
0.77246-07
0.51502-07
0.33407-07
0.21000-07
0.12732-07
0.74001-08
0.40922-08
0.21319-08
0.10326-08
0.45670-09
0.17975-09
0.60583-10
0.16443-10
0.32289-11
0.28528-01
0.27096-01
0.25718-01
0.24394-01
0.23122-01
0.34993-03
0.30753-03
0.26943-03
0.23529-03
0.20479-03
0.17761-03
0.15347-03
0.13209-03 '
0.11324-03
0.96658-04
0.82135-04
0.69465-04
0.58456-04
0.48932-04
0.40731-04
0.33705-04
0.27715-04
0.22638-04
0.18359-04
0.14775-04
0.11794-04
0.93327-05
0.73152-05
0.56757-05
0.43552-05
0.33020-05
0.24710-05
0.18228-05
0.13236-05
0.94454-06
0.66113-06
0.45287-06
0.30278-06
0.19694-06
0.12414-06
0.75467-07
0.43984-07
0.24389-07
0.12740-07
0.61877-08
0.27441-08
0.10830-08
0.36597-09
0.99596-10
0.19610-10
М(Я.)
0.38889+01
0.39192+01
0.39498+01
0.39809+01
0.40123+01
0.65768+01
0.66624+01
0.67506+01
0.68416+01
0.69355+01
0.70324+01
0.71327+01
0.72363+01
0.73437+01
0.74550+01
0.75704+01
0.76903+01
0.78150+01
0.79448+01
0.80800+01
0.82211+01
0.83686+01
0.85229+01
0.86846+01
0.88544+01
0.90329+01
0.92211+01
0.94198+01
0.96300+01
0.98530+01
0.10090+02
0.10343+02
0.10614+02
0.10904+02
0.11217+02
0.11556+02
0.11924+02
0.12326+02
0.12768+02
0.13256+02
0.13801+02
0.14413+02
0.15109+02
0.15910+02
0.16844+02
0.17955+02
0.19308+02
0.21005+02
0.23226+02
0.26312+02
ст(Х)
0.16488+01
0.16624+01
0.16762+01
0.16899+01
0.17038+01
0.25321+01
0.25518+01
0.25718+01
0.25919+01
0.26123+01
0.26329+01
0.26538+01
0.26748+01
0.26962+01
0.27178+01
0.27396+01
0.27618+01
0.27842+01
0.28070+01
0.28301+01
0.28535+01
0.28772+01
0.29014+01
0.29259+01
0.29508+01
0.29762+01
0.30020+01
0.30282+01
0.30550+01
0.30824+01
0.31103+01
0.31388+01
0.31680+01
0.31978+01
0.32285+01
0.32599+01
0.32923+01
0.33256+01
0.33600+01
0.33956+01
0.34325+01
0.34709+01
0.35109+01
0.35529+01
0.35971+01
0.36439+01
0.36939+01
0.37479+01
0.38069+0-1
0.38727+01

Приложение
329
Окончание табл.
Я.
3.76
3.77
3.78
0.50599-14
0.12222-15
0.63759-19
Р(Я.)
0.37053-12
0.14545-13
0.20338-16
0.22563-11
0.88808-13
0.12450-15
М(Я.)
0.31033+02
0.39667+02
0.65113+02
а(Х)
0.39485+01
0.40410+01
0.41716+01
Таблица 2
Таблицы газодинамических функций для у = 1.40
X
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
.20
.21
.22
.23
.24
.25
.26
0.10000+01
0.99418+00
0.97686+00
0.94848+00
0.90974+00
0.86160+00
0.80528+00
0.74217+00
0.67383+00
0.60194+00
0.52828+00
0.52089+00
0.51349+00
0.50610+00
0.49872+00
0.49134+00
0.48397+00
0.47661+00
0.46926+00
0.46193+00
0.45462+00
0.44732+00
0.44004+00
0.43278+00
0.42554+00
0.41833+00
0.41114+00
0.40398+00
0.39686+00
0.38976+00
0.38269+00
0.37566+00
0.36866+00
0.36170+00
0.35478+00
0.34790+00
0.34106+00
Y
0.10000+01
0.99584+00
0.98342+00
0.96292+00
0.93466+00
0.89907+00
0.85668+00
0.80817+00
0.75428+00
0.69589+00
0.63394+00
0.62759+00
0.62121+00
0.61481+00
0.60839+00
0.60195+00
0.59548+00
0.58900+00
0.58250+00
0.57599+00
0.56946+00
0.56291+00
0.55635+00
0.54978+00
0.54320+00
0.53661+00
0.53001+00
0.52340+00
0.51678+00
0.51016+00
0.50354+00
0.49691+00
0.49028+00
0.48366+00
0.47703+00
0.47040+00
0.46378+00
0.00000+00
0.15709+00
0.31026+00
0.45569+00
0.58975+00
0.70911+00
0.81082+00
0.89238+00
0.95187+00
0.98795+00
0.10000+01
0.99988+00
0.99952+00
0.99892+00
0.99809+00
0.99701+00
0.99570+00
0.99416+00
0.99237+00
0.99036+00
0.98811+00
0.98563+00
0.98293+00
0.97999+00
0.97683+00
0.97344+00
0.96982+00
0.96599+00
0.96193+00
0.95766+00
0.95317+00
0.94846+00
0.94354+00
0.93841+00
0.93308+00
0.92754+00
0.92179+00
M(X)
(см. с 22)
0.00000+00
0.91363-01
0.18319+00
0.27594+00
0.37012+00
0.46625+00
0.56493+00
0.66682+00
0.77267+00
0.88337+00
0.10000+01
0.10120+01
0.10241+01
0.10363+01
0.10486+01
0.10609+01
0.10733+01
0.10858+01
0.10984+01
0.11111+01
0.11239+01
0.11367+01
0.11496+01
0.11627+01
0.11758+01
0.11890+01
0.12023+01
0.12157+01
0.12292+01
0.12428+01
0.12566+01
0.12704+01
0.12843+01
0.12984+01
0.13126+01
0.13269+01
0.13413+01
(см. с. 170)
0.00000+00
0.10294-02
0.29023-02
0.53149-02
0.81573-02
0.11365-01
0.14895-01
0.18714-01
0.22797-01
0.27124-01
0.31678-01
0.36445-01
0.41412-01
0.46569-01
0.51906-01
0.57416-01
0.63090-01
0.68922-01
0.74905-01
0.81036-01
0.87307-01
0.93716-01
0.10026+00
0.10693+00
0.11372+00
0.12064+00
0.12767+00

330
Приложение
Продолжение табл. 2
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51 •
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
.70
.71
.72
.73
.74
.75
.76
0.33427+00
0.32751 +00
0.32081+00
0.31415+00
0.30754+00
0.30099+00
0.29448+00
0.28803+00
0.28163+00
0.27529+00
0.26900+00
0.26277+00
0.25661+00
0.25050+00
0.24445+00
0.23847+00
0.23255+00
0.22670+00
0.22091+00
0.21519+00
0.20954+00
0.20396+00
0.19845+00
0.19301+00
0.18764+00
0.18235+00
0.17713+00
0.17198+00
0.16691+00
0.16191+00
0.15699+00
0.15215+00
0.14739+00
0.14270+00
0.13809+00
0.13357+00
0.12912+00
0.12475+00
0.12047+00
0.11626+00
0.11214+00
0.10810+00
0.10414+00
0.10026+00
0.96466-01
0.92753-01
0.89123-01
0.85575-01
0.82109-01
0.78727-01
Р(Ь)
0.45716+00
0.45054+00
0.44394+00
0.43734+00
0.43074+00
0.42416+00
0.41759+00
0.41104+00
0.40449+00
0.39797+00
0.39145+00
0.38496+00
0.37848+00
0.37203+00
0.36559+00
0.35918+00
0.35279+00
0.34642+00
0.34008+00
0.33377+00
0.32749+00
0.32123+00
0.31501+00
0.30882+00
0.30266+00
0.29653+00
0.29044+00
0.28439+00
0.27837+00
0.27239+00
0.26646+00
0.26056+00
0.25471+00
0.24890+00
0.24313+00
0.23741+00
0.23174+00
0.22611+00
0.22054+00
0.21501+00
0.20953+00
0.20411+00
0.19874+00
0.19343+00
0.18817+00
0.18297+00
0.17782+00
0.17274+00
0.16771+00
0.16275+00
0.91585+00
0.90970+00
0.90336+00
0.89683+00
0.89011+00
0.88320+00
0.87611+00
0.86884+00
0.86139+00
0.85377+00
0.84597+00
0.83801+00
0.82988+00
0.82159+00
0.81315+00
0.80455+00
0.79580+00
0.78691+00
0.77787+00
0.76870+00
0.75939+00
0.74935+00
0.74039+00
0.73071+00
0.72091+00
0.71100+00
0.70097+00
0.69085+00
0.68063+00
0.67031+00
0.65990+00
0.64941+00
0.63884+00
0.62819+00
0.61747+00
0.60669+00
0.59585+00
0.58495+00
0.57401+00
0.56301+00
0.55198+00
0.54092+00
0.52983+00
0.51871+00
0.50758+00
0.49643+00
0.48528+00
0.47412+00
0.46298+00
0.45184+00
0.13558+01
0.13705+01
0.13853+01
0.14002+01
0.14153+01
0.14305+01
0.14458+01
0.14613+01
0.14769+01
0.14927+01
0.15087+01
0.15248+01
0.15410+01
0.15575+01
0.15741+01
0.15909+01
0.16078+01
0.16250+01
0.16423+01
0.16599+01
0.16776+01
0.16955+01
0.17137+01
0.17321+01
0.17506+01
0.17695+01
0.17885+01
0.18078+01
0.18273+01
0.18471+01
0.18672+01
0.18875+01
0.19081+01
0.19290+01
0.19501+01
0.19716+01
0.19934+01
0.20155+01
0.20380+01
0.20608+01
0.20839+01
0.21074+01
0.21313+01
0.21555+01
0.21802+01
0.22053+01
0.22308+01
0.22567+01
0.22831+01
0.23100+01
а(Я.)
0.13483+00
0.14209+00
0.14947+00
0.15695+00
0.16455+00
0.17224+00
0.18004+00
0.18794+00
0.19595+00
0.20405+00
0.21224+00
0.22054+00
0.22892+00
0.23741+00
0.24598+00
0.25465+00
0.26441+00
0.27226+00
0.28120+00
0.29023+00
0.29935+00
0.30855+00
0.31785+00
0.32723+00
0.33671+00
0.34627+00
0.35591+00
0.36565+00
0.37547+00
0.38538+00
0.39538+00
0.40547+00
0.41565+00
0.42591+00
0.43626+00
0.44671+00
0.45724+00
0.46787+00
0.47858+00
0.48939+00
0.50029+00
0.51129+00
0.52238+00
0.53356+00
0.54484+00
0.55622+00
0.56770+00
0.57927+00
0.59095+00
0.60273+00

Приложение
331
Продолжение табл. 2
1.77
L.78
L.79
1.80
1.81
1.82
1.83
1.84
1.85
1.86
1.87
1.88
1.89
1.90
1.91
1.92
1.93
1.94
.95
.96
.97
.98
.99
2.00
2.01
2.02
2.03
2.04
2.05
2.06
2.07
2.08
2.09
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
0.75426-01
0.72208-01
0.69071-01
0.66016-01
0.63043-01
0.60152-01
0.57341-01
0.54610-01
0.51960-01
0.49389-01
0.46897-01
0.44484-01
0.42148-01
0.39890-01
0.37708-01
0.35602-01
0.33572-01
0.31615-01
0.29732-01
0.27921-01
0.26182-01
0.24513-01
0.22914-01
0.21383-01
0.19920-01
0.18523-01
0.17191-01
0.15922-01
0.14717-01
0.13572-01
0.12488-01
0.11462-01
0.10493-01
0.95799-02
0.87211-02
0.79151-02
0.71603-02
0.64552-02
0.57982-02
0.51877-02
0.46220-02
0.40995-02
0.36186-02
0.31774-02
0.27743-02
0.24076-02
0.20755-02
0.17762-02
0.15079-02
0.12689-02
0.15784+00
0.15300+00
0.14823+00
0.14351+00
0.13887+00
0.13429+00
0.12977+00
0.12533+00
0.12095+00
0.11665+00
0.11241+00
0.10825+00
0.10416+00
0.10014+00
0.96199-01
0.92330-01
0.88537-01
0.84819-01
0.81179-01
0.77616-01
0.74131-01
0.70725-01
0.67398-01
0.64150-01
0.60983-01
0.57896-01
0.54890-01
0.51966-01
0.49124-01
0.46364-01
0.43686-01
0.41091-01
0.38579-01
0.36151-01
0.33805-01
0.31542-01
0.29363-01
0.27268-01
0.25255-01
0.23326-01
0.21479-01
0.19716-01
0.18034-01
0.16435-01
0.14917-01
0.13480-01
0.12124-01
0.10848-01
0.96505-02
0.85314-02
0.44071+00
0.42961+00
0.41854+00
0.40749+00
0.39649+00
0.38553+00
0.37462+00
0.36377+00
0.35297+00
0.34225+00
0.33160+00
0.32103+00
0.31054+00
0.30014+00
0.28984+00
0.27964+00
0.26955+00
0.25957+00
0.24971+00
0.23997+00
0.23037+00
0.22090+00
0.21157+00
0.20239+00
0.19336+00
0.18448+00
0.17577+00
0.16723+00
0.15886+00
0.15066+00
0.14265+00
0.13482+00
0.12719+00
0.11975+00
0.11252+00
0.10548+00
0.98660-01
0.92048-01
0.85653-01
0.79477-01
0.73525-01
0.67798-01
0.62301-01
0.57035-01
0.52003-01
0.47207-01
0.42649-01
0.38330-01
0.34252-01
0.30415-01
М(Х)
0.23374+01
0.23653+01
0.23937+01
0.24227+01
0.24523+01
0.24824+01
0.25132+01
0.25446+01
0.25767+01
0.26094+01
0.26429+01
0.26772+01
0.27123+01
0.27481+01
0.27849+01
0.28226+01
0.28612+01
0.29008+01
0.29414+01
0.29831+01
0.30260+01
0.30702+01
0.31155+01
0.31623+01
0.32104+01
0.32601+01
0.33114+01
0.33643+01
0.34190+01
0.34757+01
0.35344+01
0.35952+01
0.36583+01
0.37240+01
0.37922+01
0.38634+01
0.39376+01
0.40151+01
0.40962+01
0.41811+01
0.42704+01
0.43642+01
0.44631+01
0.45675+01
0.46780+01
0.47954+01
0.49202+01
0.50535+01
0.51962+01
0.53495+01
<т(А.)
0.61462+00
0.62661+00
0.63870+00
0.65091+00
0.66322+00
0.67565+00
0.68819+00
0.70085+00
0.71362+00
0.72652+00
0.73954+00
0.75269+00
0.76596+00
0.77937+00
0.79291+00
0.80658+00
0.82040+00
0.83436+00
0.84848+00
0.86274+00
0.87716+00
0.89173+00
0.90648+00
0.92139+00
0.93648+00
0.95175+00
0.96720+00
0.98285+00
0.99870+00
0.10148+01
0.10310+01
0.10475+01
0.10642+01
0.10812+01
0.10984+01
0.11159+01
0.11336+01
0.11516+01
0.11699+01
0.11886+01
0.12075+01
0.12269+01
0.12465+01
0.12666+01
0.12870+01
0.13079+01
0.13293+01
0.13512+01
0.13736+01
0.13965+01

332
Приложение
Окончание табл. 2
к
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
2.37
2.38
2.39
2.40
2.41
2.42
2.43
2.44
0.10574-02
0.87161-03
0.70974-03
0.57000-03
0.45064-03
0.34990-03
0.26605-03
0.19737-03
0.14219-03
0.98861-04
0.65776-04
0.41386-04
0.24200-04
0.12800-04
0.58511-05
0.21209-05
0.50131-06
0.40672-07
Р(Я-)
0.74896-02
0.65240-02
0.56336-02
0.48169-02
0.40727-02
0.33993-02
0.27951-02
0.22583-02
0.17867-02
0.13782-02
0.10302-02
0.73991-03
0.50434-03
0.32000-03
0.18294-03
0.88616-04
0.31628-04
0.52593-05
0.26819-01
0.23464-01
0.20350-01
0.17476-01
0.14840-01
0.12440-01
0.10273-01
0.83358-02
0.66233-02
0.51306-02
0.38513-02
0.27778-02
0.19014-02
0.12115-02
0.69547-03
0.33828-03
0.12124-03
0.20243-04
М(А.)
0.55150+01
0.56943+01
0.58896+01
0.61036+01
0.63394+01
0.66011+01
0.68942+01
0.72255+01
0.76044+01
0.80438+01
0.85620+01
0.91865+01
0.99601+01
0.10954+02
0.12302+02
0.14280+02
0.17620+02
0.25329+02
сг(Я.)
0.14201+01
0.14443+01
0.14693+01
0.14950+01
0.15217+01
0.15493+01
0.15779+01
0.16079+01
0.16392+01
0.16721+01
0.17069+01
0.17440+01
0.17839+01
0.18272+01
0.18752+01
0.19298+01
0.19947+01
0.20800+01

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969.
2. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного
пограничного слоя в сжимаемом газе // Изв. АН СССР. ОТН. 1962. № 4. С. 4-12.
3. Алемасов В. Е. и др. Термодинамические и теплофизические свойства
продуктов сгорания / Под науч. рук. акад. В. П. Глушко. М.: Изд-во ВИНИТИ
АН СССР, 1971. Т. 1.
4. Афанасьев И. Воронеж удивляет// Новости космонавтики. М.: Изд-во РАКА,
1999. № 8. С. 34-35.
5. ВерещакаЛ.П., СобачкинА.А., СтернинЛ. Е. Граница области
существования безударных экстремальных осесимметричных сопел // Изв. АН СССР.
МЖГ 1991. №2. С. 17-177.
б.ВиркИ. Предельная асимптота и структура среднего течения в явлении
Томса // Прикладная механика. М.: Мир, 1970. № 2.
7. ВулисЛ. А. Термодинамика газовых потоков. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1950.
8. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры. М.: Физматгиз, 1960.
9. Глушко В. П. и др. Термодинамические свойства индивидуальных веществ:
Справочное издание. М.: Наука, 1978.
10. Глушко В. П. Источники энергии и их использование в реактивных
двигателях. М.: Изд-во МО, 1955.
11. Двигатели ракетные жидкостные. Термины и определения. ГОСТ 17655—80.
М.: Изд-во Госстандарта, 1980.
12. Иванюта Ю. Ф., ЧекаловаЛ.А. Сопоставление эффективности растворов
полимеров однородной концентрации при течении в трубе и при обтекании
пластины // Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980.
13. ИделъчикИ. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. М.:
Машиностроение, 1975.
14. Иоселевич В. А. Макро- и микрогидродинамика полимерных потоков //
Механика и научно-технический прогресс. Т. 2. Механика жидкости и газа.
М.: Наука, 1987.
15. КаторгинБ. И. и др. Расчетно-конструкторский анализ ЖРД большой тяги.
Технический отчет № 527-13. ОКБ-456, 1962.
16. Каторгин Б. И., Киселев А. С, Клепиков И. А., СтернинЛ. Е., Чванов В. К
Тяговые характеристики ЖРД со штыревыми соплами // Тр. НПО Энергомаш
им. В. П. Глушко. М., 2001. № 19. С. 18-37.
17. КаторгинБ. И., Станкевич Д. Б., СтернинЛ. Е. О влиянии регенерации
тепла в ЖРД на удельный импульс // Тр. НПО Энергомаш им. В. П. Глушко.
М., 2005. №23. С. 57-75.

334 Список литературы
18. Каторгин Б. И. и др. Исследование характеристик различных типов камер
сгорания для ЖРД большой тяги. Технический отчет №527-11. ОКБ-456,
1961.
19. КацковаО. Я, ШмыглвескийЮ. Д. Осесимметричное сверхзвуковое течение
свободно расширяющегося газа с плоской переходной поверхностью //
Вычислительная математика. М.: Изд-во АН СССР, 1957. С. 45-89.
20. Киселев А. С. Исследование влияния неравномерностей в околокритической
зоне тарельчатых сопел на их эффективность с помощью компактной
разностной схемы // Тр. НПО Энергомаш им. В. П. Глушко. М, 2002. № 20.
С. 37-53.
21. Киселев А. С. Ударные осесимметричные высотные сопла ЖРД // Тр. НПО
Энергомаш им. В. П. Глушко. М., 2002. № 20. С. 23-35.
22. Киселев А. С, ЛущикВ. Г., СтернинЛ. Е., ЯкубенкоА.Е. Потери удельного
импульса из-за трения в штыревых соплах // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 5.
С. 83-91.
23. Киселев А. С, СтернинЛ. Е. Компактная разностная схема со скалярными
прогонками для интегрирования уравнений газовой динамики // Журн. вы-
числ. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 1. С. 154-162.
24. Киселев А. С, СтернинЛ. Е. О влиянии геометрии осесимметричного сопла в
области критического сечения на картину течения // Тр. НПО Энергомаш
им. В. П. Глушко. М., 2000. №18. С. 77-85.
25. Киселев А. С, СтернинЛ. Е. Экстремальные осесимметричные кольцевые
сопла тарельчатого типа // Тр. НПО Энергомаш им. В. П. Глушко. М., 2001.
№ 19. С. 38-52.
26. Кочин Н. Е., Кибелъ И. А., Розе Я В. Теоретическая гидромеханика: В 2 ч. М;
Л.: ОГИЗ, 1948.
27. КрайкоА. Я Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979.
28. КрайкоА. Я, МышенковЕ. В., ПьянковК. С, ТилляеваН. И. Влияние
неидеальности газа на характеристики сопел Лаваля с внезапным сужением //
Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 5. С. 191-204.
29. КрайкоА. Я, Наумова И. Я, ШмыглевскийЮ.Д. К построению тел
оптимальной формы в сверхзвуковом потоке // Прикл. матем. и механ. 1964.
Т. 28. Вып. 1.С. 178-182.
30. КрайкоА. Я, Пьянков КС, Тилляева Я И. Профилирование сверхзвуковой
части тарельчатого сопла при неравномерном трансзвуковом потоке // Изв.
РАН. МЖГ. 2002. № 4. С. 145-157.
31. КрайкоА. Я, ТеляковскийА.С, Тилляева Я. И. Профилирование
оптимального контура сверхзвукового сопла при значительном повороте потока //
Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. № 10. С. 1444-1460.
32. КрайкоА. Я, Тилляева Я И. Об учете неравномерности потока в
минимальном сечении при оптимальном профилировании расширяющейся части
сопла // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 1. С. 184-186.
33. КрайкоА. Я, Тилляева Н. И. Оптимальное профилирование контура
сверхзвуковой части тарельчатого сопла // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 6. С. 172-184.

Список литературы 335
34. КрайкоА. //., Тилляева П. #., Щербакове. А. Метод расчета течений
идеального газа в плоских и осесимметричных соплах с изломами контура //
Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. № 11. С. 1679—1694.
35. Ландау Л. Д., Лифщиц Е. М. Статистическая физика. Ч. 1. М.: Наука, 1976.
36. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970.
37. Лущик В. Г., Сизов В. И., СтернинЛ. Е., Якубенко А. Е. Потери удельного
импульса из-за трения и рассеяния в сопле с завесным охлаждением ЖРД //
Изв. РАН. МЖГ. 1993. №4.
38. Мельников Д. А., ПирумовУ. Г., Сергиенко А. А. Сопла реактивных
двигателей //Аэромеханика и газовая динамика. М.: Наука, 1976. С. 57—75.
39. МиелеА. Теория оптимальных аэродинамических форм. М.: Мир, 1969.
(A. Miele. Theory of optimum aerodynamic shapes. N. Y.: Acad. press., 1965).
40. Никольский А. А. О телах вращения с потоком, обладающим наименьшим
волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке // Тр. ЦАГИ. 1950. (2-е
изд.: Сборник теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз, 1957.
С. 56-63.)
41. ПирумовУ. Г., Росляков Г. С. Газовая динамика сопел. М.: Наука, 1990.
42. ПирумовУ. Г., Росляков Г. С. Течение газа в соплах. М.: Изд-во Моск. ун-та,
1978.
43. Рао Г. Исследование новых типов ракетных сопел // Исследование
ракетных двигателей на жидком топливе. М.: Мир, 1964. С. 440—449.
44. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977.
45. Седов Л. И., Васецкая Н. Г., ИоселевичВ.А., Пилипенко В. Н. О снижении
гидродинамического сопротивления добавками полимеров // Механика
турбулентных потоков. М.: Наука, 1980.
46. Сергиенко А. А. Газодинамический импульс потока в осесимметричных
каналах // Проблемы механики и теплообмена в космической технике. М.:
Машиностроение, 1982. С. 136—151.
47. Станкевич Д. Б., СтернинЛ. Е. Влияние отвода тепла от реактивного
сопла ЖРД на скорость истечения //Тр. НПО Энергомаш им. В. П. Глушко. М.,
2004. №22. С. 23-31.
48. Станкевич Д. Б., СтернинЛ. Е. Двухслойные осесимметричные течения в
сверхзвуковых укороченных соплах // Тр. НПО Энергомаш им. В. П.
Глушко. М., 2005. № 23. С. 76-90.
49. СтернинЛ. Е. Вычисление тяговых характеристик реактивных сопел по
параметрам в их выходных сечениях// Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 1. С. 178-189.
50. СтернинЛ. Е. Исследование тяговых характеристик реактивных сопел,
спрофилированных разными методами // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 152—162.
51. Стернин Л. Е. К выводам из «Уравнения обращения воздействия» при
отводе тепла в сопле ЖРД // Докл. АН. Механика. М.: Наука, 2004. Т. 398. № 6.
С. 771-773.
52. СтернинЛ. Е. К расчету осесимметричного реактивного сопла наименьшего
веса//Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 41-45.

336 Список литературы
53. СтернинЛ. Е. К расчету регенеративного эффекта увеличения удельного
импульса ЖРД // Тр. НПО Энергомаш им. В. П. Глушко. М., 2003. № 21.
С. 30-44.
54. Стернин Л. Е. О границе области существования безударных оптимальных
сопел // ДАН СССР. 1961. Т. 139. № 2. С. 335-336.
55. Стернин Л. Е. Определение оптимальных параметров весомого круглого
реактивного сопла с учетом траектории полета // Науч.-техн. бюл. 1957.
№ 6. С. 42-49.
56. Стернин Л. Е. Основы газовой динамики. М.: Изд-во МАИ, 1995.
57. Стернин Л. Е. Приближенный метод определения эквивалентов между
приращениями удельных тяг и веса двигателя // Тр. ГДЛ-ОКБ. 1969. № 1.
С. 282-284.
58. Стернин Л. Е. Формула для оценки влияния малого подвода (отвода) тепла в
реагирующем потоке газа на его импульсные характеристики // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1978. № 5. С. 170-171.
59. Стернин Л. Е., Шмыглевский Ю. Д. Явление возрастания реактивного
воздействия сверхзвуковой высокоскоростной газовой струи при образовании
висячих ударных волн. Диплом № 51 на Открытие от 24 июня 1997 г.
60. Тагиров Р. К. Расчет критического перепада давлений на скачке уплотнения,
возникающего при отрыве турбулентного пограничного слоя // Изв. АН
СССР. МЖГ. 1968. № 4. С. 38-45.
61. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах
аэродинамики. М.: Наука, 1990.
62. ХойтЛ. Влияние добавок на сопротивление трения в жидкости // Журнал
американского общества инженеров-механиков. Теоретические основы
инженерных расчетов. 1972. № 2. С. 1-31.
63. Христиановин С. А. Прикладная газовая динамика. М.: Изд-во ЦАГИ, 1948.
64. Иванов В. К., Архангельский В. Ff., Клепиков И. А., Стернин Л. £"., Хазов В. И.
Возможности совершенствования характеристик ЖРД при использовании
гелия в качестве топливной добавки // Тр. НПО Энергомаш им. В. П.
Глушко. М., 2003. № 21. С. 15-29. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. К
175-летию института. М.: Изд-во МГТУ. С. 84—89.
65. Иванов В. К., Фатуев И. Ю., Гапонов В.Д., Стернин Л. Е. Улучшение
характеристик ракет-носителей при добавлении к топливу высокомолекулярных
присадок // Науч.-техн. журнал «Двигатель» № 6. М.: Изд-во ЦИАМ, 2005.
С. 44-46.
66. Черный Г Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физ-
матгиз, 1959.
67. Шмыглевский Ю. Д. Аналитические исследования динамики газа и
жидкости. ВЦ РАН. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
68. Шмыглевский Ю.Д. Вариационные задачи для сверхзвуковых тел вращения
и сопел// Прикл. матем. и механ. 1962. Т. 26. Вып. 1. С. 110-125.

Список литературы 337
69. Шмыглевский Ю. Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики
осесимметричных сверхзвуковых течений // Прикл. матем. и механ. 1957.
Т. 21.Вып2.
70. Baftalovskii S. V., KraikoA. N., Tillyayeva N. I. Optimal design of plug nozzles and
their thrust determination at start // J. of propulsion and power. 2001. V. 17. № 6.
P. 1347-1352.
71. Flinn E. D. Aerospike engine powers RLV savings//Aerospace America. 1996. V. 34.
№ 11. P. 18-19.
72. GuderleyG., Hantsch E. Beste Formen fur achsensymmetrische Uberschallschub-
dusen // Zeitschrift fur Flugwissenschaften. 1955. B. 3. H. 9. S. 305-313. (Рус.
пер. в кн.: Механика. М.: ИЛ, 1956. № 4 (38). С. 53-69.)
73. Kaplan М. A. The reusable launch vehicle: Is stage set? // Launchspace. 1997.
March 15. P. 26-30.
74. RaoG.V.R. Exhaust nozzle contour for optimum thrust. Jet Propulsion. 1958. V. 28.
№ 6. P. 337-382.
75. RaoG.V.R. The E-D nozzle//Astronautics. September 1960. P. 28-29, 50-51.
76. RaoG.V.R. Spike Nozzle Contour for Optimum Thrust // Planet, and Space Sci.
1961. №4. P. 560-561.
77. Schmucker R. H. Side Loades and Their Reduction in Liquid Rocket Engines // 24th
Int. Astronautical Congress. Baku, USSR. October 7-13, 1973.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 5
Глава 1. Одномерные течения 9
1.1. Основные сведения из термодинамики 9
1.1.1. Уравнение состояния и первый закон термодинамики 9
1.1.2. Энтропия и второй закон термодинамики 12
1.1.3. Показатель адиабаты 14
1.2.
Законы сохранения и адиабатические течения 15
1.2.1. Законы сохранения 15
1.2.2. Изоэнтропические и адиабатические течения 18
1.2.3. Равновесные течения в соплах ЖРД 25
1.2.4. Сравнительная эффективность некоторых ракетных топлив 27
1.2.5. Формула Сен-Венана —Ванцеля 29
1.2.6. Течение в цилиндрической трубе 31
1.2.7. Насадок Борда 32
1.2.8. Тяга реактивного двигателя 33
1.2.9. Тяга ракетного двигателя с коническим соплом 36
1.2.10. Наполнение и опорожнение газовых емкостей 39
1.3. Скачки уплотнения 44
1.3.1. Ударная волна и скорость звука 44
1.3.2. Прямые скачки уплотнения 45
1.3.3. Косые скачки уплотнения 51
1.4. Течения с трением и подводом тепла 60
1.4.1. Подобие газодинамических потоков, Пи-теорема 60
1.4.2. Течение Пуазейля 64
1.4.3. Турбулентное течение 66
1.4.4. Введение в жидкости полимерных добавок 71
1.4.5. Течение в трубе при наличии трения 79
1.4.6. Течение в трубе при подводе или отводе тепла 82
1.4.7. Влияние малого отвода или подвода тепла в сверхзвуковом
сопле на скорость истечения и давление 84
1.4.8. Формула для расчета влияния на удельный импульс малого
отвода или подвода тепла в сверхзвуковом сопле 91
1.4.9. Расчет регенеративного эффекта увеличения удельного
импульса ЖРД 94
Глава 2. Газодинамические устройства 105
2.1. Сопла 105
2.1.1. Вход скачка в сопло 107
2.1.2. Кольцевые сопла (сопла с центральным телом) 114

Оглавление 339
2.2. Диффузоры 122
2.2.1. Дозвуковые диффузоры 123
2.2.2. Сверхзвуковые диффузоры 127
Глава 3. Неодномерные течения 132
3.1. Трехмерные нестационарные течения 132
3.1.1. Исходные определения 132
3.1.2. Уравнения неразрывности 133
3.1.3. Переменные Эйлера и Лагранжа 138
3.1.4. Безвихревые течения 139
3.1.5. Вихревые течения 140
3.1.6. Кинематика элементарного объема 141
3.1.7. Уравнения сохранения импульса 143
3.1.8. Уравнение сохранения энергии 150
3.2. Плоские стационарные течения 153
3.2.1. Определения и общие уравнения 153
3.2.2. Сверхзвуковые вихревые течения; характеристики 156
3.2.3. Плоские сверхзвуковые безвихревые течения 162
3.2.4. Течение Прандтля — Майера 169
3.2.5. Обтекание вогнутого угла 174
3.2.6. Перевод расходящегося потока в равномерный 176
3.3. Осесимметричные стационарные течения 179
3.3.1. Общая теория 179
3.3.2. Безвихревые течения 183
3.3.3. Численная реализация метода характеристик 184
3.3.3.1. Классическая расчетная схема 184
3.3.3.2. Схема, не использующая тригонометрических формул 187
3.3.3.3. Универсальная численная схема 188
3.3.4. Примеры расчетов течений в укороченных соплах методом
характеристик 190
3.3.4.1. Сопло с равномерным потоком в критическом сечении 190
3.3.4.2. Сопло с двухслойным потоком 192
3.3.4.3. Результаты расчетов 196
3.3.5. Сверхзвуковое обтекание круглого конуса 201
3.3.6. Компактные формулы для потерь из-за вязкости газа в
соплах Лаваля 205
3.4. Нестационарные одномерные течения 212
3.4.1. Уравнения сохранения и характеристики 212
3.4.2. Точное решение 217
3.4.3. Расширение, обусловленное движением поршня в трубе 218
3.4.4. Частный случай интегрирования 221
3.4.5. Переход через ударную волну 223
3.4.6. Сжатие, обусловленное движением поршня 227
3.4.7. Понятие об ударных трубах 229

340 Оглавление
Глава 4. Оптимизация контуров сопел 233
4.1. Профилирование реактивных сопел Лаваля. Вариационная
задача на замыкающей характеристике 233
4.1.1. Вариационная задача 234
4.1.2. Замечания к решению вариационной задачи 241
4.2. К выбору оптимального сопла ракетного двигателя 247
Глава 5. Компактная разностная схема с использованием метода установления
для расчетов до-, транс- и сверхзвуковых течений 254
5.1. Метод характеристик 254
5.2. Компактная разностная схема 258
5.2.1. Разностная схема для уравнения переноса 259
5.2.2. Разностная схема для одномерных нестационарных
уравнений Эйлера 261
5.2.3. Разностная схема для двухмерных нестационарных
уравнений Эйлера 267
5.3. Результаты численного моделирования 272
5.3.1. О влиянии геометрии сопла Лаваля в области критического
сечения на картину течения 272
5.3.2. Влияние равновесных химических реакций и искривления
звуковой поверхности на оптимизацию типичного сопла ЖРД .... 279
5.3.3. Ударные сопла Лаваля 285
5.3.4. Экстремальные безударные тарельчатые сопла 289
5.3.5. Ударные тарельчатые сопла 298
5.3.5.1. Сопла с внешней камерой сгорания 301
5.3.5.2. Сопла с камерой сгорания в центральном теле 304
5.3.6. Штыревые сопла 309
5.3.6.1. Плоское штыревое сопло 316
5.3.6.2. Осесимметричное штыревое сопло и потери из-за трения 320
Приложение 324
Список литературы 333