Геометрические идеи в физике. - Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г.

Author: Хокинг С. Прасад М. Гиббонс Г.

Tags: физика геометрия

Year: 1983

Similar

Общая теория относительности

Геометрические методы математической физики

Физика элементарных частиц

Черные дыры. Новости фундаментальной физики. Выпуск 9

Text

Геометрические
идеи
в
физике
Сборник статей
Перевод с английского
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю. И. МАНИНА
;■'*>
"' ' M

ББК 22.31
Г35
УДК 530.145
С. Хокинг, М. Прасад, Г. Гиббоне, С. Феррара, Й. Весе,
Р. Гримм, Б. Зумино, Н. Дрэгон, С. Гэйтс, К. Стелли,
П. Вест, Дж. Шерк
Г35 Геометрические идеи в физике: Сб. статей. Пер. с англ./
Под редЛО. И. Манина.—М.: Мир, 1983.—240 с, илл.
Сборник статей крупных зарубежных ученых посвящен новым геометриче-
геометрическим подходам в квантовой теории поля — квантовой гравитации, суперснмметрнн
и супергравитации, классическим решениям нелинейных уравнений Движения
типа ннстантонов н монополей.
Сборник рассчитан на физиков, специалистов в области теории поля и физи-
физики элементарных частиц, н математиков, занимающихся дифференциальной
геометрией, дифференциальными уравнениями и случайными процессами. Он
представляет интерес также для студентов старших курсов и аспирантов соот-
соответствующих специальностей.
1704020000-225 ББК 22Л1
1 041@1)—83 в ' 530.1
Редакция литературы по физике
«Мир», 1983

Вступительная статья редактора перевода
Геометрические идеи в теории поля
1. Континуальный интеграл и геометрия. Основные величины
в квантовой теории поля выражаются через континуальные ин-
интегралы (А) = \ А (Ф) eis {ФЮ (Ф). Такой интеграл есть не столь-
столько объект, вводимый математическим определением, сколько иеро-
иероглифическая запись целого круга физических и математических
идей; запись эта расшифровывается в зависимости от контек-
контекста. Ее компоненты несут следующие значения: Ф — совокуп-
совокупность полей теории, А — оператор, построенный из этих полей;
5(Ф)—функционал действия, чаще всего \^(Ф)^4д; (где L —
лагранжиан), или аналогичный интеграл по суперпространству;
giS(<D)£)(<j))—символ некоторой (возможно, в математическом
смысле не существующей) меры на функциональном простран-
пространстве полей Ф, подчиненных тем или иным начальным, граничным
или асимптотическим условиям.
В применении к реалистическим теориям наиболее последо-
последовательно проработана схема теории возмущений и диаграмм,
позволяющая придавать смысл континуальным интегралам и
вычислять их. В этой схеме Ф принято рассматривать как набор
функций на пространстве-времени, снабженных тензорными,
спинорными и внутренними индексами; последние преобразу-
преобразуются по некоторому представлению группы внутренних симме-
симметрии теории. Поскольку группы симметрии основных взаимо-
взаимодействий калибровочные, задание поля его «функциональными
координатами» А^, ^ и т. п. содержит избыточность, которую
надо как-то учитывать, например закреплением калибровки.
Кроме того, лагранжиан свободного неабелева калибровочного
поля содержит самодействие, учет которого в формализме тео-
теории возмущений также калибровочно неинвариантен. В диа-
диаграммной технике возникают «духи» Фаддеева — Попова, не-
неопределенности Грибова и пр. (см., например, [1]).
Постепенно распространяется трезвая точка зрения, состоя-
состоящая в том, что в теориях всех взаимодействий (за исключением,
возможно, чисто электромагнитного) классические поля Ф обра-
образуют сложное нелинейное функциональное пространство, и вы-
вычисление с помощью эвристических приемов квантовополевых

Ю. И. Манин
средних по нему должно идти по крайней мере рука об руку
с углубленным изучением его геометрической структуры и клас-
классических нелинейных динамических уравнений. Есть несколько
крупных проблем, где эта точка зрения уже стала влия-
влиятельной.
2. Сильные взаимодействия. Первая и, может быть, самая
актуальная задача — сильные взаимодействия и конфайнмент
(удержание). Общепризнано, что правильной теорией является
калибровочная теория Янга — Миллса с цветными полями глюо-
нов и кварков. Ее трактовка по теории возмущений приводит
к весьма правдоподобной картине асимптотической свободы на
малых расстояниях. Но идея полноты асимптотических состоя-
состояний рассеяния, заложенная в формализме теории возмущений
в его привычном виде, перестает быть адекватной на адронных
расстояниях из-за невылетания цвета. Именно для понимания
этого невылетания разрабатывается сложная статистико-геоме-
трическая картина сильных взаимодействий. В работах послед-
последних лет на первый план выдвигались различные аспекты ее
геометрии: а) туннельные процессы, меняющие топологию ва-
вакуума (по цветовым степеням свободы), которые квазикласси-
чески описываются евклидовыми полями с конечным действием,
как инстантоны, или бесконечным, как мероны; б) картина
глюонных струн, соединяющих кварки, где в качестве эффек-
эффективных полей теории рассматриваются двумерные поверхности
в пространстве-времени — мировые поверхности струны, с дейст-
действием Намбу или его вариантами; в) идеология динамики петель
и контурного интеграла Вильсона, призванная, в частности, вы-
вывести струнную картину из картины Янга — Миллса в фазе кон-
файнмента [54—57]. Во всех этих аспектах первостепенную
роль играет, во-первых, зачастую весьма нетривиальная уже на
уровне кинематики структура классических полей Ф, во-вторых,
их классическая же динамика, описываемая вариационным
уравнением 65(Ф)=О. Нетривиальность кинематики усугуб-
усугубляется топологическими (какова топология пространства кон-
контуров?) и размерностными (в Л/-разложении с числом цветов
А/->-оо) характеристиками новых теорий. Они также застав-
заставляют по-новому взглянуть на старые проблемы квантованных
полей. Например, какова роль перенормируемости, если мы
вообще выходим за рамки теории возмущений? Нет ли ка-
какого-то особого смысла в том, что метод, которым т'Офт дока-
доказал перенормируемость теории Янга —Миллса с полями Хиггса,
был методом размерной регуляризации? Все еще повторяе-
повторяемое студентам объяснение, что перенормируемость нужна для
возможности расчетов, практически потеряло смысл. Это
свойство превратилось в метатеоретический критерий отбора
и оценки лагранжианов, как до него — требования симмет-
_рии. ;

Вступительная статья редактура перевода
3. Квантовая теория поля и гравитация. Кроме всегда су-
существовавшей внутренней потребности ввести гравитационное
взаимодействие в «общий рынок» остальных трех взаимодейст-
взаимодействий появилось несколько стимулов попытаться сделать это уже
сейчас. В теориях великого объединения было сделано интри-
интригующее наблюдение о схождении бегущих констант связи силь-
сильного и электрослабого взаимодействия в масштабе энергий
Ю15 ГэВ. Лишь четыре порядка отделяют этот масштаб от план-
ковского, где становятся существенными эффекты гравитации в
элементарных актах взаимодействия [11]. Теория квантового
рождения частиц в сильных классических гравитационных по-
полях (эффект Хокинга^ см. [2]) и ее возможные космологические
следствия — другой повод возобновления интереса к этой фун-
фундаментальной задаче. Но уже классическая теория гравита-
гравитации— общая теория относительности — является нелинейной
геометрической теорией искривленных четырехмерных многооб-
многообразий. Квантовые расчеты с таким ансамблем полей Ф не могут
быть банальным квантованием малых колебаний.
4. Суперсимметрия. Третья и последняя крупная проблема,
связанная с геометрией, которой мы здесь коснемся, возникла
со взрывным развитием суперсимметрии — супергравитации.
Как известно, одной из исходных идей было обнаружение того,
что имеется новая математическая структура — преобразования
суперсимметрии, которые перемешивают бозонные и фермион-
ные поля [8, 13]. В частности, имеется каноническое расшире-
расширение группы Пуанкаре — супергруппа Пуанкаре, позволяющая
строить свободные суперсимметричные теории по образцу клас-
классических, преодолев старые результаты о невозможности объ-
объединить пространственно-временные и внутренние степени сво-
свободы в одной группе симметрии. Наиболее консервативной
линией развития здесь является конструкция суперсимметрич-
суперсимметричных лагранжианов с последующим компонентным анализом для
интерпретации суперполя как совокупности классических полей
разных спинов. С этой точки зрения суперсимметрия выглядит
формальным аппаратом для одновременного угадывания систе-
системы основных полей и их констант взаимодействий, связанных
настолько жестко, что произволу вообще почти не остается
места. В этой точке зрения отражена какая-то часть истины,
ибо (при определенных оговорках) суперсимметрия действи-
действительно с необходимостью приводит к учету сразу нескольких
взаимодействий (включая гравитационные), к постулированию
целой совокупности фундаментальных полей и к такому набору
констант связи, который влечет удивительное сокращение рас-
ходимостей — иногда вплоть до трех петель. Другая сторона
медали состоит в том, что при попытке прямолинейного отож-
отождествления компонент суперполей с привычными полями фено-
феноменологии частиц мы получаем одновременно и избыток полей,

Ю. И. Мант
и недостаток их; что феноменология требует понимания меха-
механизма нарушения суперсимметрии, который не так-то легко
ввести, и наконец, что смысл сокращения расходимостей при
явной неадекватности теории возмущений «около нуля» в столь
сложной геометрии совершенно неясен. Субъективное мнение
автора состоит в том, что идея суперсимметрии несет с собой
действительно фундаментальное новое проникновение в при-
природу спиновых и внутренних степеней свободы и их связь с про-
пространственно-временными степенями свободы, но старые при-
привычки интерпретации лагранжева формализма пока мешают
увидеть все последствия этого.
5. Об этом сборнике. Предлагаемый читателю сборник пере-
переводов призван дать — в первую очередь молодым физикам и
молодым математикам — некоторое представление о задачах и
аппарате, которые начали формироваться в квантов.ой теории
поля в последние годы. В названии сборника поставлено слово
«идеи», а не «методы»: мы хотели подчеркнуть этим, что эта
область еще недостаточно созрела, чтобы можно было разви-
развивать практические методы решения реалистических задач, ска-
скажем теории частиц. Система ценностей, с которой теоретическая
физика высоких энергий вошла в последнюю четверть века [11],
отличается крайним романтизмом: обсуждаемые сейчас кар-
картины «великой пустыни» между 103 и 1015 ГэВ, пространственно-
временной пены в планковских масштабах, или состояния мира
через 10-40 с после Большого взрыва, были бы просто непри-
неприличны двадцать лет назад.
Первые две статьи сборника, принадлежащие С. Хокингу,
излагают увлекательный проект теории квантовой гравитации,
приводящий к картине квантовых флуктуации топологии про-
пространства-времени, при которых единица эйлеровой характери-
характеристики приходится в среднем на планковский объем. Интересно
мнение Хокинга о роли евклидова режима в этой экстремальной
ситуации, когда переход к нему определенно нельзя оправдать
стандартной ссылкой на то, что какие-то вакуумные средние
будут аналитическим продолжением функций Швингера. В са-
самом деле, большинство искривленных пространств в ансамбле
евклидовых гравитационных полей g^ просто не имеют сечений
с метрикой лоренцевой сигнатуры. С математической точки
зрения эти две работы Хокинга содержат интересные статисти-
статистические гипотезы о топологии этого ансамбля и указывают ори-
оригинальный путь к изучению многомерной броуновской гео-
геометрии.
В статьях Прасада и Гиббонса сделан обзор известных клас-
классических решений нелинейных уравнений Янга — Миллса и
Эйнштейна, которые принадлежат к инстантонному типу. Заме-
Заметим, что гравитационные инстантоны — это римановы много-
многообразия, удовлетворяющие обычному уравнению Эйнштейна, а

Вступительная статья редактора перевода
не автодуальному. (Автодуальные комплексные пространства
Эйнштейна ввел Пенроуз под названием «нелинейных гравито-
гравитонов».) Инстантоны Янга — Миллса, напротив, автодуальны.
Остальные статьи сборника, составляющие несколько боль-
больше половины его объема, посвящены суперсимметрии и супер-
супергравитации. Из обширной, насчитывающей уже около тысячи
работ журнальной литературы выбрано несколько статей раз-
разных жанров. Обзоры Феррары и Зумино дают общую ориента-
ориентацию в истории, физическом смысле и перспективах. Статья
Весса считается наиболее удачным первоначальным введением
в формализм дифференциальной супергеометрии с выводом
простейших уравнений супер-янг-миллсовского типа и анализом
простой супергравитации. Наконец, еще три статьи имеют в
значительной мере математический характер и посвящены про-
прояснению роли кривизны, кручения, тождеств Бьянки и связей
в формализме супергеометрии.
Контуры квантовых суперсимметричных теорий (включая
супергравитацию) еще только намечаются. Высказываются на-
надежды, что расширенная ./V = 8-супергравитация будет первой
полной единой теорией. Но даже в этом случае список ее фун-
фундаментальных полей может иметь лишь непрямое отношение к
спектру элементарных частиц, наблюдаемых при доступных
энергиях. Поэтому существенно понимать способы увеличения
списка частиц, считываемых с лагранжиана. Кроме обычных
связанных состояний, голдстоуновских бозонов и фермионов,
сюда относятся также частицеподобные решения («монополи»)
и включающие их связанные состояния. Это подчеркивает мно-
многообразную роль классических уравнений движения и в супер-
суперсимметрии.
Существенный прогресс в решении нелинейных уравнений
теории поля в последние пятнадцать лет связан с методами
обратной задачи теории рассеяния (в основном A + 1)-мерные
модели) и. твисторного преобразования Пенроуза (автодуаль-
(автодуальные уравнения Янга — Миллса и Эйнштейна в размерности 4).
Общей отправной точкой обоих методов является представле-
представление подлежащей изучению нелинейной системы в виде условий
интегрируемости вспомогательной линейной системы. После
этого свойства нелинейной задачи оказываются закодирован-
закодированными в свойствах соответствующей линейной задачи — ее дан-
данных рассеяния, матрице монодромии, либо расслоения горизон-
горизонтальных сечений (последние в методе Уорда—Атьи). Поэтому
заметный интерес представляет выявление того обстоятельства,
что многие связи и динамические уравнения в суперсимметрии —
супергравитации вводятся как условия интегрируемости или
могут быть преобразованы к такому виду. Для ориентации
математически настроенного читателя мы вкратце изложим
одну геометрическую схему, которая может служить общим

10 Ю. И. Манин
исходным пунктом и для твисторной, и для суперсимметрийной
картин.
6. Обобщенные конформные структуры и связности. Сле-
Следующая геометрическая структура лежит в основе ряда геоме-
геометрических конструкций в теории поля. Она служит одновре-
одновременно для порождения динамических уравнений и связей в
суперсимметрии и для конструкции их решений, точнее, редук-
редукции этой задачи к построению голоморфных расслоений на
многообразиях и супермногообразиях или к задачам дефор-
деформации в стиле Пенроуза [5, 6]. Эта схема включает следующие
понятия.
а. Пусть М — некоторое многообразие или супермногообра-
супермногообразие размерности п; мы будем писать также п = no\rii, если щ —
число коммутирующих, а п\ — антикоммутирующих координат.
Например, в обычной теории Эйнштейна п = 4, а в расширен-
расширенной супергравитации n = 4\4N. Пусть d—некоторая размер-
размерность, меньшая чем п, т. е. d=do\du di^Zni. Назовем d-кон-
формной структурой на М задание в каждой точке М некото-
некоторого многообразия d-мерных касательных подпространств М в
этой точке. Пусть F — супермногообразие таких подпространств,
я: F—*М — его естественная проекция на М.
б. Если на М задана d-конформная структура, то d-связно-
стью на ней называется d-мерное распределение на F, т. е.
задание такого семейства d-мерных касательных пространств к
F, что проекция с помощью л такого пространства из точки у
на F в точку х на М совпадает с пространством, которое пред-
представлено точкой у.
в. Понятие d-связности на конформной структуре не совпа-
совпадает с известными определениями, скажем аффинной связно-
связности. Можно доказать, что тем не менее при естественных усло-
условиях d-связность можно описывать коэффициентами Тавс (А, В,
С — суперпространственные индексы), которые, однако, подчи-
подчинены разнообразным условиям симметрии, обращения в нуль
определенных компонент и т. п. Эти условия систематически
выводятся из геометрических свойств F. Связи в супергравита-
супергравитации (по крайней мере часть их) можно сформулировать как
условия интегрируемости одной или нескольких d-связностей,
заданных на суперпространстве М.
г. Важные классы d-связностей возникают при искривлении
«плоских» d-связностей. Чтобы ввести это последнее понятие,
рассмотрим супергруппу Ли G и три ее подгруппы Нм, HF, Hl,
причем HF содержится в Нм и Hl. Положим далее М = д/Нм,
F = G/HF, L = G/Hl и используем слои естественной проекции
F-+-L для задания одновременно d-структуры на М и интегри-
интегрируемой d-связности на ней, где d — размерность Hl/Hf. (Чтобы
это можно было сделать, нужно, чтобы эти слои имели нуль-мер-
нуль-мерное пересечение со слоями проекции я: F-+M, точнее, чтобы

Вступительная статья редактора перевода 11
отображение F -*■ ЬУ(М было замкнутым вложением супер-
супермногообразий.)
Искривлением плоской d-конформной структуры G/HF-*-
-*-G/Hm называется такое отображение F-+-M, которое в каж-
каждой точке устроено так же, как соответствующее плоское.
Пусть, например, G = SO(n, 2), п ^ 2; выберем в простран-
пространстве Т фундаментального представления G изотропный A, 2)-
флаг, т. е. нулевой луч, содержащийся в нулевой плоскости.
Обозначим через Нм, HL, HF малые группы луча, плоскости и
всего флага соответственно. Здесь d= 1, и наша 1-конформная
структура на квадрике М = G/HM есть обыкновенная конформ-
конформная метрика, заданная конусами нулевых направлений в каж-
каждой точке. Искривлением плоской 1-конформной структуры бу-
будет обычная конформная структура.
Заметим, что при d = 1 нетривиальных условий интегри-
интегрируемости нет. При п = 4, d = 2 в комплексном пространстве-
времени с конформной структурой можно, однако, определить
две разные 2-конформные структуры и связности, отвечающие
двум системам нулевых плоскостей в касательном пространстве
каждой точки. Интегрируемость 2-связности, отвечающей любой
из них, есть условие автодуальности (или антиавтодуальности)
конформной метрики, определяющее нелинейные гравитоны
Пенроуза.
Опишем более детально несколько основных примеров. Для
краткости будем работать лишь с комплексными группами. Что-
Чтобы получить вещественные пространства с метрикой лоренцевой
или евклидовой сигнатуры, следует перейти к их вещественным
формам.
7. Твисторное преобразование: автодуальный случай. Поло-
Положим G = SLD, С), Т = С4 — пространство фундаментального
представления G, М = G/HM = FB, 71) —грасманиан двумер-
двумерных подпространств в Т; F = F(l, 2; Т) — пространство A, 2)-
флагов в Т. Здесь Т — твисторное пространство Пенроуза, М —
компактная комплексная модель пространства Минковского; она
содержит одновременно вещественное пространство Минковско-
Минковского, пополненное бесконечно удаленным световым конусом, и
евклидово сечение S4, пополненное бесконечно удаленной точ-
точкой. Обычная конформная структура на М определяется тем, что
М допускает вложение в виде квадрики Плюккера в С6-про-
странстве бивекторов Т. Плоская 2-конформная структура опре-
определяется проекцией F = F(l, 2; T)-+L = F(\, T) = CP3; здесь
L — проективное твисторное пространство.
Искривленная 2-конформная структура с интегрируемой
2-конформной связностью на многообразии М— это геометриче-
геометрическое описание комплексного решения уравнений Эйнштейна с
космологической константой и антиавтодуальным тензором
Вейля. Соответствующие кривые твисторные пространства L

12 Ю. И. Манин
можно строить как деформации областей, заметаемых комплекс-
комплексными прямыми, б СР3 (см. [5, 6]).
Помимо проблематичной роли таких пространств в качестве
квантовых нелинейных гравитонов имеется весьма интересная
и нетривиальная их интерпретация в общей теории относитель-
относительности, где они возникают как ^-пространства [26, 27], связан-
связанные с гравитирующей нестационарной изолированной системой.
Известно, что при наличии выходящего гравитационного излу-
излучения соответствующее пространство хотя и является асимпто-
асимптотически плоским, но его кривизна вдоль нулевых направлений
будущего спадает слишком медленно, чтобы можно было опре-
определить асимптотическую группу Пуанкаре. Вместо этого можно
попытаться охарактеризовать асимптотическое поведение гра-
гравитационного поля системой «хороших сечений» комплексифи-
цированной будущей нуль-бесконечности С/+. В плоском слу-
случае это просто сечения бесконечно удаленного светового конуса
конусами конечных точек, так что пространство таких сечений
есть пространство Минковского. В асимптотически плоском слу-
случае эти сечения характеризуются обращением в нуль асимптоти-
асимптотического комплексного шира (shear), и их система представляет
собой комплексное автодуальное 5^-пространство.
Большей популярностью пользуются евклидовы автодуаль-
автодуальные поля Янга—Миллса на R*, в частности два их класса, раз-
различающиеся асимптотическими условиями, — инстантоны и мо-
нополи. Их описание и обсуждение физического смысла можно
найти в статье 3 этого сборника, принадлежащей Прасаду.
Уравнение автодуальности F^ = ^F^v равносильно интегрируе-
интегрируемости связности Лц вдоль одной из двух систем нулевых поверх-
поверхностей в комплексификации R*, и любое его решение кодируется
по Атье и Уорду голоморфным векторным расслоением над про-
пространством нулевых поверхностей в L, которое является некото-
некоторой областью в СР3, в частности всем СР3 для инстантонов и
СР3 — СР1 для монополей. Слоем этого расслоения является
пространство горизонтальных сечений векторного расслоения,
на котором Л ц является связностью.
К моменту, когда был написан обзор Прасада, конструкция
всех таких расслоений была проведена алгебро-геометрическими
средствами для инстантонов, но для монополей с произвольным
топологическим зарядом эта задача оставалась открытой. В са-
самое последнее время в ней произошел решительный сдвиг (см.
работы [15—18]). Особенно прояснила структуру S£/B)-moho-
полей работа Н. Хитчина [17]. Оказалось, что анзац Атьи —
Уорда (см. статью Прасада), не давший удачных результатов
в теории инстантонов, очень хорошо приспособлен для монопо-
монополей. Дело в том, что настоящим геометрическим параметром в
таком анзаце является некоторая алгебраическая кривая в СР3.
Для удовлетворения инстантонных граничных условий эти кри-

Вступительная статья редактора перевода 13
вые нужно выбирать очень специальным образом, и этот выбор
крайне неоднозначен. Напротив, любому монопольному реше-
решению уравнения автодуальности такая кривая отвечает вполне
однозначно. Именно, фиксируем пространственное сечение R3 с:
с: Я4 и рассмотрим многообразие ориентированных прямых в
нем. Параметризуя прямую ее направлением и вектором рас-
расстояния до начала, мы без труда обнаруживаем, что это много-
многообразие есть комплексная алгебраическая поверхность — каса-
касательное расслоение к СР1. Теперь рассмотрим вдоль каждой
прямой связность, отвечающую данному монополю, и построим
множество тех прямых, над которыми эта связность допускает
горизонтальное сечение, интегрируемое с квадратом. Оно яв-
является алгебраической кривой, и соответствующий анзац Атьи —
Уорда дает исходный монополь. В работе Нама [18] к задаче
конструкции монополей для любой простой компактной груп-
группы применяется техника, успешно использованная в теории
инстантонов.
8. Твисторное преобразование: неавтодуальный случай. Здесь
по-прежнему G = SL D, С), М = F B; Т), F = F A, 2, 3; Т),
L = F(\, 3; Т). На М эта структура является 1-конформной, что
не приводит ни к каким уравнениям типа гравитации. Преобра-
Преобразование Пенроуза можно провести над любым полем Янга —
Миллса и получить голоморфное расслоение над областью в
LqzCP3XCP3 — F(l; T)XFC; T): Способ закодировать ва-
вакуумные уравнения Янга—Миллса в терминах расслоения El
был предложен независимо в работах Айзенберга, Грина, Яс-
скина (см. [5]) и Виттена [22]: выполнимость этих уравнений
равносильна возможности продолжить El на третью инфините-
зимальную окрестность L. Развитие этой идеи привело к уста-
установлению того, что динамические уравнения полного лагран-
лагранжиана Янга — Миллса с массивными фермионами и полями Хиг-
гса допускают аналогичное перекодирование [20]. Недавно эту
технику удалось использовать для конструкции новых точных
решений классических уравнений.
В работе Виттена [22] содержится также предложение ис-
использовать аналогичное суперсимметричное преобразование.
В рамках нашей конструкции это выглядит так.
9. Суперсимметричные ^-конформные структуры. По-преж-
По-прежнему ограничиваясь комплексными супергруппами, рассмотрим
два способа вводить фермионные координаты на пространствах
предыдущего пункта: они отвечают группам GLD|iV) и ЯC)
(в обозначениях работы [46] последняя группа есть группа сим-
симметрии нечетной антисимметричной формы на С4'4).
Первому способу отвечает пространство суперфлагов М =
= У7Bj0, 2\N; C4|W). В силу этой реализации на М есть не-
несколько интересных d-конформных структур. Для первой из
них F = F(l\0,2\0, 2\N, 3\N; C4i"), LH = F(l\Q, 31AT; C4l")

14 Ю. И. Шанин
здесь d = l|2iV. Нулевые геодезические приобретают 2N допол-
дополнительных фермионных измерений, в силу чего условия инте-
интегрируемости вдоль них перестают быть тривиальными и при
N = 3, 4 в существенном совпадают с суперсимметричными
уравнениями Янга —Миллса на М. Обычные вакуумные урав-
уравнения Янга — Миллса являются редукциями этой большой си-
системы, отвечающей нулевым значениям всех лишних компонент
суперполя. На языке пространства нулевых супергеодезических
Lu это отвечает тому, что Ls допускает проекцию на третью
инфинитезимальную окрестность L.
Еще одна d-конформная структура на М получается с ис-
использованием двух проекций: M-*-FB\G; C^n) = Ml и Af->
-*-FB\N; C^N) = Mr. Размерность слоев этих проекций равна
Q|2iV; таким образом, в каждой точке М заданы два 0|2М-мер-
ных касательных пространства. При N = \ интегрируемое ис-
искривление этой структуры локально равносильно реализации М
в качестве кривого вложения в Ml X MR, т. е. заданию препотен-
циала Жт по Огиевецкому — Сокачеву [28—31] и Зигелю —
Гэйтсу. Дополнительное условие интегрируемости нулевых су-
супергеодезических, т. е. 1 |2-конформной структуры, производной
от исходной, ведет к условиям на Жт, связь которых с динами-
динамическими уравнениями N = 1-супергравитации еще подлежит ис-
исследованию.
Интегрируемость суперполя Янга — Миллса вдоль этой 0|2-
структуры равносильна положению связей Fa$ = F^ = Q.
Использование группы ЯC, С) в качестве основной группы
суперсимметрии приводит к Л1 ^ ^/B[ 2, С4'4) (пространство
изотропных 212-шюскостей в супервекторном пространстве с
нечетной антисимметричной формой) и к 1J 1-конформной струк-
структуре на М, отвечающей F=FI(l\l, 2B; С4!4) и 1=77A J1, С414).
Можно надеяться, что ее будет легче применить к изучению
обычного вакуумного уравнения Янга — Миллса, поскольку гео-
геометрия здесь обладает значительным сходством с геометрией
автодуальной (несуперсимметричной) ситуации. В применении
к самому пространству-времени М эта структура обладает не-
необычными свойствами, поскольку ее нечетные координаты с
точки зрения представлений группы Лоренца являются бозо-
бозонами: они образуют SL B)^-триплет и 5/-B)к-синглет. Для вве-
введения полуцелых спинов следует использовать суперспинорное
расслоение, которое здесь имеет размерность 2|2: нарушение
пространственной четности сказывается в том, что обычные ле-
левые и правые спиноры входят в это объединенное расслоение
с противоположной «внутренней» четностью. Конечно, можно
написать соответствующее суперсимметричное уравнение Ди-
Дирака и т. п. Искривление этой картины приводит к экзотической
модели супергравитации с нарушенной пространственной чет-
четностью.

Вступительная статья редактора перевода 15
10. О списке литературы. Предлагаемый список литературы
для дальнейшего чтения не претендует на полноту ни по какому
критерию. Преимущественно отбирались работы последних лет,
обзорные, учебные, содержащие свежие результаты или идеи,
которые могут оказаться важными. Список разбит на группы,
соотносимые с тематикой этой книги, которая в какой-то мере
продолжает линию, начатую в книгах [1, 2].
Раздел «Сборники и обзоры» не нуждается в комментариях.
В статьях, использующих твисторную технику, представлены
следующие темы. В работах [15—18], как уже упоминалось,
достигнут существенный прогресс в описании монополей с лю-
любым зарядом алгебро-геометрическими средствами. Статьи
[19—22] посвящены развитию твисторнои техники в разных на-
направлениях— выяснению ее применимости к более общим, чем
автодуальность, уравнениям, когомологическим аспектам. Рабо-
Работы [14, 26, 27] посвящены автодуальным пространствам Эйн-
Эйнштейна. В статьях [23—25] поставлена и значительно продви-
продвинута задача вычисления однопетлевых поправок на инстантон-
ном фоне.
Работы [28—31] содержат систематическое изложение
N = 1 -супергравитации в наиболее удачной, как сейчас пред-
представляется, геометрической форме. В работах [36—41] можно
найти описание других подходов. В статьях [32] и [33] пред-
предлагаются попытки интерпретации следствий из суперсимметрии
при доступных сейчас энергиях; статьи [34, 35] посвящены диа-
диаграммной технике. Эти работы лишь небольшое добавление к
сотням работ по суперсимметрии и супергравитации, цитиро-
цитированным в сборниках и обзорах [3, 4, 8], к которым должен
обратиться читатель, чтобы представить себе характер актив-
активности в этой области по 1980 г. Математических работ по су-
супердифференциальной геометрии пока немного; статьи [42—48]
образуют вполне представительную выборку и могут быть ис-
использованы в качестве начальных учебных руководств.
Последние ссылки в списке отсылают к работам по вкратце
упомянутым, но не представленным в сборнике темам. В рабо-
работах [49—53] изложено решение старой проблемы положитель-
положительности энергии изолированной системы в ОТО. По статьям
[54—57] можно познакомиться с динамикой петель.
Я глубоко признателен Л. Б. Окуню и В. И. Огиевецкому за
внимание, уделенное этой книге и мне. Первый решил, что такой
сборник должен быть издан, и преодолел слабое сопротивление
его будущего редактора, а второй фактически отобрал статьи
5—П. Конечно, ответственность за все недостатки издания ле-
лежит на мне. Труднее всего предотвратить быстрое старение
сборника журнальных статей. Геометрия служит некоторым
консервантом для скоропортящейся физики. Математику приятно

16 Ю. И. Манин
сознавать, что геометрические идеи Римана, Эйнштейна, Гер-
Германа Вейля и Эли Картана по-прежнему работают в фундамен-
фундаментальной физике.
Ю. И. Манин
ЛИТЕРАТУРА
Сборники и обзоры
1. Квантовая теория калибровочных полей: Сб. статей. — М.: Мир, 1977.
2. Черные дыры: Сб. статей. — М.: Мир, 1978.
3. Supergravity, Proc. of the Supergravity Workshop at Stony Brook, 27—29
Sept., 1979, North-Holland, Amsterdam —New York —Oxford, 1979.
4. Superspace and Supergravity, Proc. of the Nuffield Workshop, Cambridge.
June 16 —July 12, 1980, Cambridge University Press, 1981.
5. Complex Manifold Techniques in Theoretical Physics, Pitman, San Fran-
Francisco— London — Melbourne, 1979.
6. Advances in Twister Theory, Pitman, San Francisco — London — Melbourne,
1979.
7. Eguchi Т., Gilkey P. В., Hanson A. J., Gravitation, Gauge Theory and Dif-
Differential Geometry. — Phys. Rep., 1980, v. 66, p. 213.
8. van Nieawenheuzen P., Supergravity. — Phys. Rep., 1981, v. 68, p. 189.
9. Isham С J., Quantum Gravity — an overview, Preprint ICTP/79-80/36, 1980.
10. Gell-Mann M., Closing remarks at the Jerusalem Einstein Centennial Sym-
Symposium, Preprint TH 2855-CERN, 1980.
11. Окунь Л. Б, Современные состояние и перспективы физики высоких энер-
энергий.—УФН, 1981, т. 134, с. 3.
12. Переломов А. М. Решения типа иистаитонов в киральных моделях. —
УФН, 1981, т. 134, с. 577.
13. Огиевецкий В. И., Мазинческу Л. Симметрии между бозонами и фермио-
иами и суперполя. — УФН, 1975, т. 117, с. 637.
Твисторы, нонополи и инстантоны
14. Ward R. S., Self-Dual Space-Times with Cosmological Constant. — Comm.
Math. Phys., 1980, v. 78, p. 1.
15. Ward R. S., Ansatze for Self-Dual Yang-Mills Fields. — Comm. Math. Phys.,
1981, v. 80, p. 563.
16. Corrigan E., Goddard P., An Monopole solution with 4n—1 Degrees of
Freedom. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 80, p. 575.
17. Hitchin N. J., Monopoles and Geodesies, Preprint Oxford Univ., 1981.
18. Nahm W., All Self-Dual Multimonopoles for Arbitrary Gauge Group, Pre-
Preprint TH 3172-CERN, 1981.
19. Eastwood M. G., Penrose R., Wells R. O. — Comm. Math. Phys., 1981, v. 78,
p. 305.
20. Henkin G. M., Manin Yu. /., Twistor description of classical Yang-Mills-Di-
rac fields. — Phys. Lett., 1980, v. 95B, p. 405!
21. Ferber A., Supertwistors and conformal supersymmetry. — Nucl. Phys., 1978,
v. В132, p. 55.
22. Witten t., An interpretation of classical Yang-Mills theory. — Phys. Lett.,
1978, v. 77B, p. 394.
23. Belavin A. A., Fateev V. A., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S., Quantum fluc-
fluctuations of multi-instanton solutions. — Phys. Lett., 1979, v. 83B, p. 317.
24. Schwartz A. S., Instantons and Fermions in the Field of Instanton. —
Comm. Math. Phys., 1979, v. 67, p. 1,

Вступительная статья редактора перевода 17
25. Schwartz A. S., Instantons and Fermions in the Field of Instanton. —
Comm. Math. Phys., 1979, v. 64, p. 233.
26. Hansen R. 0., Newman E. Т., Penrose R., Tod K. P., The metric and cur-
curvature properties of ^-space. — Proc. Roy. Soc. Lond., 1978, v. A363, p. 445.
27. Le Brun C., <?#-space with a cosmological constant., Preprint Oxford, 1981.
Суперсимметрия и супергравитацая
28. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. Я., Письма ЖЭТФ, 1971, т. 13, с. 452.
29. Огиевецкий В. И., Сокачев Э. С. Простейшая группа супергравитации Эйн-
Эйнштейна.— Ядерная физика, 1980, т. 31, с. 264;
Огиевецкий В. И., Сокачев Э. С. Гравитационное аксиальное суперполе и
формализм дифференциальной геометрии. — Ядерная физика, 1980, т. 31,
с. 821.
30. Огиевецкий В. И., Сокачев Э. С. Нормальная калибровка в супергравита-
супергравитации.—Ядерная физика, 1980, т. 32, с. 862.
31. Огиевецкий В. И., Сокачев Э. С. Кручение и кривизна в терминах ак-
аксиального суперполя. — Ядерная физика, 1980, т. 32, с. 870.
32. Dimopoulos S., Georgi H., Softly broken supersymmetry, Preprint HOTP-
81/A022, 1981.
33. Weinberg S., Supersymmetry at ordinary energies. I: Masses and conserva-
conservation laws, Preprint HUTP-81/A047, 1981.
34. Grisaru M: Т., Siegel №.. Supergravity; Part I: Background Field Forma-
Formalism, Preprint Calt.-68-816, 1981.
35. Tarasov O. V., Vladitnirov A. A., Three-loop calculations in non-abelian gau-
gauge theories, Preprint J1NR E 2-80-483, 1980.
36. Theory-Mieg J., Morel В., Superalgebras in Exceptional Gravity, Preprint
HUMTP 80/B100, 1980.
37. D'Adda A., D'Auria R., Pre P., Regge Т., Geometrical Formulation of Super-
gravity Theories on Orthosympletic Supergroup Manifolds. — Rivista del
Nuovo Cimento, 1980, v. 3, No 6, p. 1.
38. DAuria R., Pre P., Regge Т., Graded-Lie-Algebra Cohomology and Super-
gravity. — Rivista del Nuovo Cimento, 1980, v. 3, No 12, p. 1.
39. Julia В., Infinite Lie Algebras in Physics, Preprint IPTENS 81/14, 1981.
40. Schwartz A. S., Are the Field and Space Variables on an Equal Footing?
Preprint ITEP-2, 1980.
41. Gayduk A. V., Romanov V. N., Schwartz A. S., Supergravity and Field Spa-
Space Democracy, Preprint ITEP-136, 1980.
Математические аспекты суперсимметрии
42. Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий. — Успехи мат. наук,
1980, т. 35, № 1, с. 3.
43. Бернштейн И. Н., Лейтес Д. А. Интегральные формы и формула Стокса
на супермногообразиях. — Функц. анализ и его приложения, 1977, т 11
№ 1, с. 55.
44. Бернштейн И. Н., Лейтес Д. А. Как интегрировать дифференциальные
формы на супермиогообразиях. — Функц. анализ и его приложения 1977,
т. 11, № 3, с. 70.
45. Березин Ф. А. Супермногообразия, 7-я школа физики ИТЭФ, вып. 1. —М.:
Атомиздат, 1980.
46. Кае V. G., Lie Superalgebras, Advances in Math., 1977, v. 26, No 1
p. 8.
47. Kac V. G., Representations of classical Lie superalgebras. — Springer Lec-
Lecture Notes in Math., 1978, No 676, p. 597.
48. Kostant В., Graded Manifolds, Graded Lie Theory and Prequantization. —
Springer Lecture Notes in Math., 1977, No 57Q.

18 Ю. И. Манин
Положительность массы, динамика петель
49. Schoen R., Yan Sfu-T., On the Proof of the Positive Mass Conjecture in Ge-
General Relativity. — Comm. Math. Phys., 1979, v. 65, p. 45.
50. Schoen R., Yau Sc.-T,, On the Proof of the Positive Mass Conjecture, II.
Preprint Univ. California, 1981.
51. Schoen R., Yau Sc.-T., The Proof of the Positivity of the Bondi Mass, Pre-
Preprint Univ. California, 1981.
52. Witten E., A sjmple Proof of the Positive Energy Theorem, Preprint Prin-
Princeton, 1981.
53. Фаддеев Л. Д. Проблема энергии в теории тяготения Эйнштейна, Пре-
Препринт ЛОМИ Р-8-81, 1981.
54. Polyakov A. М., Quantum Geometry of Bosonic Strings. Quantum Geome-
Geometry of Fermionic Strings. — Phys. Lett., 1981, v. 103B, p. 207; 211.
55. Макеенко Ю. М., Мигдал А. А. Квантовая хромодинамика как динамика
петель. —Ядерная физика, 1980, т. 32, с. 838.
56. Makeenko Yu. М., Loop Equations in Gauge Theory: Results and Perspecti-
Perspectives, Preprint ITEP-66, 1981.
57. Makeenko Yu. M., Mlgdal A. A., Dynamics of loops: Asymptotic freedom
and quark confinement, Preprint ITEP-170, 1980.
58. Fradkin E. S., Tseytlin A. A., Quantization of two-dimensional supergra-
vity and critical dimensions for string models. — Phys. Lett., 1981, v. 106B,
p. 63.

1. Евклидова квантовая
теория гравитации
С. У. Хокинг
Hawking S. W.>) — in: Recent developments in gravitation,
Carges, 1978
1. Введение
В этих лекциях я намереваюсь описать подход к квантовой
теории гравитации, использующий континуальные интегралы в
евклидовом режиме, т. е. по положительно определенным ме-
метрикам. (Строго говоря, термин «риманов режим» был бы более
подходящим, но эпитет «риманов» порождает нежелательные
ассоциации.) Обоснованием для выбора такого режима служит
убеждение в том, что в квантовой теории существенную роль
играют топологические свойства гравитационных полей. Попыт-
Попытки квантования гравитации без учета топологических возмож-
возможностей, простым построением диаграмм Фейнмана, соответ-
соответствующих возмущениям в окрестности плоского пространства,
не увенчались особым успехом: оказалось, что при таком под-
подходе возникает бесконечная последовательность неопределен-
неопределенных параметров перенормировки. Более благоприятная ситуация
складывается в теориях супергравитации: неопределенные па-
параметры перенормировки возникают как будто только в трех-
петлевом и старших членах разложения вблизи плоского про-
пространства, но, как я покажу ниже, возмущения топологически
нетривиальных метрик приводят к появлению неопределенных
параметров даже на уровне однопетлевых членов [1, 27].
Мне кажется, что причина неудач кроется не в самих тео-
теориях чистой гравитации или супергравитации, а в некритиче-
некритическом применении к ним теории возмущений. В классической
общей теории относительности мы обнаружили, что теория воз-
возмущений применима лишь в ограниченных пределах. Черную
дыру невозможно описать как возмущение в окрестности пло-
плоского пространства. Между тем построение цепочки диаграмм
Фейнмана эквивалентно именно такому описанию. На техниче-
техническом уровне первопричину неприменимости теории возмущений
можно усмотреть в том, что «свободная» квадратичная часть
действия в общей теории относительности в отличие от теории
Янга — Миллса или квантовой электродинамики не ограничи-
ограничивает старшие члены, описывающие «взаимодействие». Свободное
1) University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England.
© Plenum Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

20 С. У. Хокинг
действие налагало бы ограничения на такие члены, если бы в
действие были введены дополнительные члены, квадратичные
по кривизне. Но такого рода добавки изменяют сущность тео-
теории и приводят к уравнениям четвертого порядка, тахионам и
«духам», хотя, как я покажу, их можно использовать в качестве
членов, задающих конформную калибровку.
Должен признаться, что у меня нет готового ответа на во-
вопрос о причинах неприменимости разложения по теории возму-
возмущений. Однако, подобно человеку, пытающемуся найти ключ
под уличным фонарем только потому, что это — единственное
место, где имеется хоть какой-то шанс найти его, я полагаю, что
если ответ существует, то он должен быть связан с топологиче-
топологической структурой гравитационного поля. Я выбираю подход, осно-
основанный на использовании континуальных интегралов, так как
считаю его единственным подходом, пригодным для решения то-
топологических вопросов. Чтобы взять континуальные интегралы
для негравитационных полей в плоском пространстве-времени,
обычно ось времени подвергают повороту Вика, заменяя / на
—it. При этом пространство Минковского с лоренцевой метри-
метрикой (сигнатура —\--\—(-) переходит в евклидово пространство
(сигнатура -fH—I—И- Такое преобразование принято произво-
производить, в частности, потому, что оно улучшает сходимость конти-
континуального интеграла. Например, для скалярного поля ф конти-
континуальный интеграл в пространстве Минковского имеет вид
$/)[ф]ехр(//[Ф]), A.1)
где /)[ф]—мера на пространстве всех конфигураций поля ф, а
/[ф] — действие поля ф. Для вещественных полей на веществен-
вещественном пространстве Минковского этот интеграл осциллирует и не
сходится. Но если выполнить поворот Вика в евклидово про-
пространство, то континуальный интеграл переходит в интеграл
$/)[Ф]ехр(-/[ф]), A.2)
где /[ф] = —*/[ф] — «евклидово» действие поля ф, веществен-
вещественное для полей ф, вещественных на евклидовом сечении комп-
лексифицированного пространства-времени. Так как действие /
обычно положительно определено, сходимость континуального
интеграла от всех таких полей улучшится. Продолжив аналити-
аналитически выражение для него, можно вернуться в пространство
Минковского. Это аналитическое продолжение автоматически
включает понятия положительной частоты и хронологического
упорядочения. Например, пропагатор Фейнмана
<0|ГФ(*)ф(у)|0>, A.3)
обладает положительной частотой по / = дс° — у°, т. е. голомор-
голоморфен в нижней полуплоскости, при Re / > 0, и отрицательной

1. Евклидова квантовая теория гравитации 21
частотой, т. е. голоморфен в верхней полуплоскости, при Re/<0.
Следовательно, этот пропагатор голоморфен на евклидовом про-
пространстве, которое получается при повороте оси времени на 90°
по часовой стрелке в комплексной плоскости. Можно даже при-
принять точку зрения, согласно которой квантовая теория (а в дей-
действительности вся физика) реально определена в евклидовой
области и лишь особенности нашего восприятия приводят нас к
ее интерпретации в лоренцевом режиме.
Я считаю, что аналогичный евклидов подход следует при-
принять в квантовой теории гравитации и в супергравитации. Ра-
Разумеется, недостаточно просто заменить координаты времени
мнимыми величинами, так как в общей теории относительности
не существует выделенной системы координат времени. Я ду-
думаю, что вместо этого континуальные интегралы следует брать
по всем положительно определенным метрикам, большинство из
которых не допускает сечения с вещественной и лоренцевой
метрикой, а затем в случае необходимости переходить к анали-
аналитическим продолжениям получившихся континуальных интегра-
интегралов. Чтобы ограничить континуальный интеграл положительно
определенными метриками и исключить интегрирование по ме-
метрикам с лоренцевой или ультрагиперболической сигнатурой,
по-видимому, следует интегрировать не по компонентам ме-
метрики gab, а по компонентам тетрады еат. Последнюю можно
рассматривать как квадратный корень из метрики:
Sab — е aebm' \X-V
Пространственно-временные индексы а, Ь, ... поднимаются и
опускаются с помощью метрики gab и gab, а тетрадные индексы
т, п, ... поднимаются и опускаются с помощью евклидовой
метрики 8тп и 8тп, поэтому группой вращений тетрад служит
не обычно используемая группа Лоренца SOA, 3), а группа
SOD) = SUB)XSUB)/Z2.
Метрика gab, заданная соотношением A.4), при произволь-
произвольных вещестзенных еат положительно полуопределена и вырож-
вырождается, если det(eam) = 0. Я считаю, что такие вырожденные
метрики необходимо включать в континуальный интеграл.
Именно они позволяют совершить непрерывный переход от од-
одной топологии пространства-времени к другой. Ниже я еще вер-
вернусь к этому вопросу.
Тетрады существенны и при рассмотрении фермионных по-
полей. Я буду использовать двухкомпонентные спиноры, но в по-
положительно определенной, а не в обычной лоренцевой метрике.
В лоренцевом случае мы имеем спиноры Ха без штрихов, пре-
преобразующиеся по группе SLB, С), и спиноры цА, со штрихами,
преобразующиеся по комплексно-сопряженной группе SLB, С).
Операция комплексного сопряжения превращает нештрихованные

22 С. У. Хокинг
спиноры в штрихованные и наоборот, так что А,д/ — штри-
штрихованный спинор. При аналитическом продолжении на поло-
положительно определенную метрику спиноры со штрихами и без
штрихов преобразуются по независимым группам SUB) и
SUB). Операция комплексного сопряжения теперь переводит
спиноры без штрихов в спиноры без штрихов, спиноры со штри-
штрихами в спиноры со штрихами и либо повышает индекс, либо
опускает индекс и меняет знак. Величины, комплексно-сопря-
комплексно-сопряженные в лоренцевом случае, например спиноры Вейля ■фивсд
и ^iabcd'-, аналитически продолжаются в евклидову область
как независимые поля ^abcd и ■фдвсд/- Это позволяет иметь
метрику, в которой -§abcd Ф О, но ^a'bcd = 0. Такая метрика
конформно автодуальна, т. e.Cabcd = 'Cabcd=~sabefCefcd. Если
2
спинор Риччи Фавсб' и скаляр кривизны Л также равны нулю,
то метрика автодуальна: Яаьса. = *Rabcd-
В лоренцевой метрике 4-спинор Дирака ф можно предста-
представить в виде вектора-столбца из двух двухкомпонентных спи-
спиноров:
/ Хл \
A.5)
Сопряженному полю -ф в этом представлении соответствует век-
вектор-строка:
^ = (м-л, ХА'). A.6)
При переходе в евклидово пространство 4-спинор и сопряжен-
сопряженный ему 4-спинор становятся независимыми полями ij? и \р, ко-
которые описываются четырьмя независимыми двухкомпонентны-
ми спинорами ХА, X , Дд/ и ц . В лоренцевом пространстве
4-спинор ф Майораны можно представить вектором-столбцом:
При переходе в евклидову область спинору Майораны соответ-
соответствуют два независимых двухкомпонентных спинора рд и рА'.
Таким образом, вопреки довольно распространенному утверж-
утверждению со спинорами Майораны можно работать и в евклидовом
режиме.
Действие для гравитационного поля обычно выбирают в
виде
Я буду использовать единицы, в которых G = с = h= I. При
выполнении поворота Вика в евклидову область элемент объема

/. Евклидова квантовая теория гравитации 23
(— g)'!l переходит в —i(gYl2. Следовательно, евклидово действие
будет иметь вид
Но это действие содержит вторые производные метрики, от ко-
которых необходимо избавиться интегрированием по частям, чтобы
получить действие, квадратичное по первым производным ме-
метрики, как и требуется в подходе, основанном на использова-
использовании континуальных интегралов. В результате мы получаем по-
поверхностный член, которым часто пренебрегают, хотя он ока-
оказывается весьма важным [2, 3]:
Ъ\ d%x + C' <1 -9)
где h — метрика, индуцированная на границе, К — след второй
квадратичной формы границы той области, по которой вычис-
вычисляется действие, С — произвольная постоянная, которая может
зависеть от метрики h, индуцированной на границе, но не от
метрики g внутри области. Если метрика h на границе такова,
что граница допускает вложение в плоское пространство, то
постоянную С естественно выбрать так, чтобы действие обра-
обращалось в нуль, когда g — плоская метрика. Однако не все ме-
метрики h на границе допускают даже локальное вложение в пло-
плоское пространство. К. тому же существование такой жесткой
границы не очень физично. Учитывая это, я перечислю способы,
позволяющие исключить поверхностный член и рассматривать
только компактные многообразия.
Я буду говорить в основном о евклидовом подходе к чистой
гравитации, но эти идеи могут быть распространены и на супер-
супергравитацию. Например, суперпространство S, вероятно, можно
рассматривать как расслоение над пространственно-временным
многообразием М (база расслоения) с грасмановым слоем. Ко-
Координаты $а, ®А' слоя представляют собой евклидов вариант
спинора Майораны. Евклидовы методы впервые (и пока наи-
наиболее успешно) были применены к изучению тепловых свойств
черных дыр. Поскольку многое на эту тему уже было опубли-
опубликовано, я лишь кратко перечислю основные идеи и результаты.
Затем я изложу содержание еще не опубликованной работы по
гравитационному вакууму и закончу описанием объемного ка-
канонического ансамбля, служащего удобным инструментом при
рассмотрении пенообразной структуры пространства-времени.
2. Тепловые свойства
Статистическая сумма, или производящий функционал, Z[p]
для теплового канонического ансамбля в случае скалярного

24 С. У. Хокинг
поля ф в плоском пространстве-времени при температуре Т =
= Р~' определяется как
Z [р] = Z <Ф« I ехр (- Р#) | Ф„>, B.1)
где |фл> — полный ортонормированный базис состояний для
поля ф. Статистическую сумму Z можно представить и в виде
континуального интеграла
Z[p] = $D[q>]exp(-7[q>]), ' (?.Я)
который берется по всем конфигурациям поля <р, вещественным
в евклидовом пространстве. и периодическим с периодом р по
евклидовой координате времени (т. е. периодическим по мнимому
времени Минковского). Аналогичное представление статистиче-
статистическая сумма допускает и для бозонных полей с высшими спи-
спинами, но в случае полей с калибровочными степенями свободы,
чтобы исключить нефизические степени свободы, необходимо
включить духи Фаддеева — Попова. В аналогичном виде можно
представить и статистическую сумму для фермионных полей,
хотя в этом случае поля должны быть антипериодическими, т. е.
изменять знак на обратный всякий раз, когда евклидова коор-
координата времени получает приращение р.
Было бы естественно определить аналогичным образом и
статистическую сумму для теплового канонического ансамбля
в случае гравитации.
Бесконечный объем тепловых гравитонов с бесконечной мас-
массой приводит к возникновению инфракрасных расходимостей.
Чтобы избежать их, заключим систему, например, в сферический
ящик радиуса го с идеально отражающими стенками. Разу-
Разумеется, такая изоляция нефизична: невозможно изготовить
жесткий ящик с идеально отражающими стенками для электро-
электромагнитного излучения, не говоря уже о гравитационном излу-
излучении. «Создание» такого ящика приводит к трудностям вблизи
стенок, но я пока не буду обращать на них внимание.. Мировая
трубка сферического ящика, факторизованного с периодом р
по евклидовой координате времени, определяет трехмерное мно-
многообразие дМ с топологией S2XS' и положительно определен-
определенной метрикой h — произведением стандартной метрики 2-сферы
радиуса r0 и одномерной метрики на окружности длины р. Ста-
Статистическая сумма Z[p] для гравитационного поля при темпе-
температуре Т = Р~' в сферическом ящике задается континуальным
интегралом по всем метрикам g на всех многообразиях М,
имеющих дМ своей границей и индуцирующих на дМ метрику h.
Можно ожидать или по крайней мере надеяться, что глав-
главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики,
достаточно близкие к основной метрике go, экстремизирующей

/. Евклидова квантовая теория гравитации 25
действие, т. е. дающей решение классических полевых уравне-
уравнений с заданными граничными условиями.
Действие можно разложить в ряд Тейлора относительно
основной метрики go:
f[g] = I lgo\ + h \go, g] + члены более высокого порядка, B.?)
где g = go + g, а член /2 квадратичен по возмущениям g. Тогда
In Z = — I[g0] + In \ D [g] exp (— /2) + члены более высокого
порядка. B.4;
Первый член можно рассматривать как вклад в In Z основ-
основной метрики, а второй, «однопетлевой», член — как вклад теп-
тепловых гравитонов на фоне основной метрики. Меру D [g] для
однопетлевого члена можно представить в виде
D[g] = JIiidann-\ B.5)
где ц — нормировочная величина, или регуляризатор, а а„ —
коэффициенты в разложении возмущения g по собственным
функциям эллиптического оператора второго порядка А, опре-
определяющего /2, т. е.
г=Еа„Ф„, B.6)
где
ЛФ„ = Ь„Ф„, B.7)
B.8)
Формально однопетлевой член L определяется следующим
образом [4] :
(det (ц-2 {А + В)))Ч> '
где В — оператор, фиксирующий калибровку, а С — оператор
духов. Число собственных значений (^Я,) оператора такого
типа N(X) допускает асимптотическое разложение
00
N(X)=Z Рп^~п- BЛ0)
Коэффициент Ро пропорционален произведению 4-объема фоно-
фоновой метрики и числа компонент поля, на которое действует
оператор. Коэффициенты Р„ при старших членах представляют
собой полиномы по метрике, кривизне и ковариантным произ-
производным кривизны (эти полиномы Рп имеют степень 2п по про-
производным метрики). Следовательно, однопетлевой член сильно

26 С. У. Хокинг
расходится. Различные схемы регуляризации по существу сво-
сводятся к делению на распределение собственных значений, по-
порождаемое членами Ро и Р\. Однако в общем случае, за исклю-
исключением плоского пространства и нескольких других специаль-
специальных основных метрик, полный член Рг отличен от нуля. Это
означает, что существует конечное (не обязательно целое) число
дополнительных собственных значений, размерность которых не
сокращается. Так как каждое дополнительное собственное зна-
значение имеет размерность (длина)-2, то его следует разделить
на нормирующую величину ц2. Следовательно, однопетлевой
член зависит от \л. От этой зависимости нельзя избавиться пу-
путем переопределения константы связи в исходном действии, но
так как она пропорциональна эйлеровой характеристике %, то
ее можно включить в топологический членах, где k — тополо-
топологическая константа связи, зависящая от масштаба. Ниже я еще
вернусь к этому вопросу.
Одна из фоновых метрик, удовлетворяющая граничным усло-
условиям для канонического ансамбля, — это плоская метрика на
евклидовом пространстве, профакторизованном по некоторому
периоду, т. е. на многообразии М с топологией S1 X R3. При
подходящем выборе константы С действие для этой фоновой
метрики равно нулю и поэтому не дает вклада в lnZ. Одно-
Однопетлевой член, соответствующий квадратичным флуктуациям
относительно основной метрики плоского пространства, приво-
приводит к стандартному результату для теплового излучения с двумя
состояниями спиральности
lnZ== 135р3 • BЛ1)
Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепло-
тепловых гравитонов в плоском пространстве. Многопетлевые члены,
если бы они имели смысл, что сомнительно, описывали бы эф-
эффекты взаимодействия между этими гравитонами.
Метрика Шварцшильда представляет собой еще одно реше-
решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям. Эту
метрику обычно записывают в виде
Полагая / =? —/т, преобразуем ее в положительно определен-
определенную метрику при г > 2М. При г = 2М она имеет кажущуюся
особенность, аналогичную кажущейся особенности в нача-
начале полярных координат, в чем нетрудно убедиться, если
ввести новую радиальную координату х*=4МA—Mr~'I/г.
В Новых переменных метрика имеет Вид

1. Евклидова квантовая теория гравитации 27
Она регулярна в точке х = О, г = 2М, если т считать угловой
переменной, значения которой факторизованы с периодом 8лМ
(я использую единицы, в которых G = 1). Многообразие, зада-
задаваемое неравенствами х ^ О, 0 ^ т ^ 8пМ, называется евкли-
евклидовым сечением решения Шварцшильда. Метрика на нем по-
положительно определенная, асимптотически плоская и несингу-
несингулярная (особая точка кривизны при г — 0 не принадлежит
евклидову сечению).
Метрика Шварцшильда удовлетворяет граничным условиям,
если
Так как R = 0 для метрики Шварцшильда, то действие опре-
определяется только поверхностным членом, что дает [3]
-^. B.14)
Следовательно, фоновая метрика Шварцшильда вносит в InZ
вклад, равный —р2/16я. По определению
2=2>хр(-Р£я), B.15)
где Еп — энергия n-го состояния гравитационного поля. Таким
образом,
Sexp(-p£») 5p
Подставляя вклад —р2/1(т в InZ от действия фоновой метрики
Шварцшильда, получаем
(£) = ^ = М. B.17)
Именно такого результата и следовало ожидать. Можно вычис-
вычислить также энтропию, определяемую соотношением
I lnZ, B.18)
где рп = Z~' ехр(—$Еп) — вероятность того, что гравитационное
поле находится в п-и состоянии. Применительно к фоновой ме-
метрике Шварцшильда это дает
где А — площадь горизонта событий. Это соотношение между
внутренней гравитационной энтропией и площадью горизонта
еобытий носит весьма общий характер. Оио обусловлено ком-
комбинацией двуз причин; того, что гравитационное действие мае-

28 С. У. Хокинг
штабно неинвариантно (чем и обусловлена его неперенормируе-
мость), и того факта, что евклидово сечение решения Шварц-
Шварцшильда обладает топологией S2 X -S2, отличающейся от тополо-
топологии S1 X R3 плоского пространства, факторизованного с перио-
периодом р [5]. Соотношение (*) не имеет аналогов в квантовой
хромодинамике или других теориях с низшими спинами.
Однопетлевой член содержит слагаемое, зависящее от ц,
вида
106% ,
45 '
где х = 2 — эйлерова характеристика евклидова сечения реше-
решения Шварцшильда. Это слагаемое обусловлено
106/
45
дополнительными собственными значениями, размерности кото-
которых не сокращаются при регуляризации. Из этих дополнитель-
дополнительных собственных значений три равны нулю и соответствуют
трансляционным движениям черной дыры внутри ящика. Они
дают вклад lnZ, равный 1п(ц3р3К). С другой стороны, нереля-
нерелятивистская частица с массой М в ящике объемом V при темпе-
температуре р~' имела бы статистическую сумму, пропорциональную
^(цр-1)^. Чтобы воспроизвести этот результат, нормирующую
величину ц, видимо, следует выбрать пропорциональной р-1.
Собственные функции оператора A -f В можно подразделить
на два класса [4]. Во-первых, существуют собственные функ-
функции, соответствующие возмущениям метрики g, пропорциональ-
пропорциональным фоновой метрике go- Они описывают конформные возму-
возмущения. Для возмущений в окрестности плоского пространства
или любой метрики с R = 0 все собственные значения отрица-
отрицательны. Следовательно, контур интегрирования конформного
множителя необходимо повернуть так, чтобы он расположился
параллельно мнимой оси. Остальные собственные функции
имеют нулевой след и соответствуют некйнформным возмуще-
возмущениям метрики. На плоском пространстве они все положительны,
поэтому можно взять за правило интегрировать по веществен-
вещественным классам конформной эквивалентности метрик. Но для воз-
возмущений относительно фоновой метрики Шварцшильда одно
из неконформных собственных значений отрицательно [6].
В однопетлевой член это собственное значение входит под зна-
знаком квадратного корня, что приводит к появлению в статистиче-
статистической сумме Z множителя /, так что Z становится чисто мнимой.
Какой-то неприятности подобного рода от Z следовало ожидать,
так как канонический ансамбль для гравитации разрушается
из-за того, что гравитационное взаимодействие универсально
притягивающее, . - •

1. Евклидова квантовая теория гравитации 29
Один из способов выразить это состоит в том, чтобы пред-
представить Z в виде преобразования Лапласа плотности состояний
N(E), где N(E)dE — число состояний гравитационного поля в
ящике с энергией между Е и Е + dE:
оо
Z[?>]=\n (Е) ехр (- Р£) dE. B.19)
о
Плотность состояний N(E) при этом задается обратным пре-
преобразованием Лапласа:
+ ( оо
+
==Ш \ 2[Р]е*Р(Рад- B-20)
— I оо
Но если вместо Z подставить значение
обусловленное действием фоновой метрики, то интеграл не бу-
будет сходиться. Чтобы интеграл сходился, контур интегрирования
по р в B.20) необходимо повернуть от мнимой оси. Поскольку
статистическая сумма Z — величина чисто мнимая, плотность
состояний N(E), как и следовало ожидать, вещественна, так
как микроканонический ансамбль для гравитации вполне опре-
определен: черная дыра в ящике может находиться в устойчивом
равновесии с тепловым излучением, если фиксирована полная
энергия в ящике, но она будет находиться в неустойчивом равно-
равновесии, если фиксирована температура ящика, потому что чер-
черные дыры обладают отрицательной теплоемкостью [7].
Можно также рассматривать ансамбли, в которых помимо
температуры имеются химические потенциалы для углового мо-
момента относительно той или иной оси и электрический заряд.
Статистическая сумма в таких ансамблях определяется конти-
континуальным интегралом, взятым по всем полям, принимающим
одни и те же значения в точках (t, r, ■&, ср) и (t-\-i$, r, ■&, tp +
-f /Qp) на некоторой граничной поверхности в калибровке Ао =
= Ф, где'Q — угловая скорость, а ф — электростатический по-
потенциал. Следуя евклидову подходу, Q и ф необходимо выбирать
мнимыми, а затем продолжать аналитически статистическую
сумму до вещественных значений Q и ф.
Метрика со стационарной фазой в континуальном интеграле
для статистической суммы будет евклидовым пространством с
точками, профакторизованными с некоторым периодом во вра-
вращающейся системе координат, либо евклидовым сечением ре-
решения Керра — Ньюмена с мнимым угловым моментом и мни-
мнимым электрическим зарядом (в евклидовом режиме мнимый
электрический заряд, порождает вещественное поле Fab). Такой

30 С. У. Хокинг
же подход, как к решению Шварщпильда, показывает, что ре-
решение Керра — Ньюмена также обладает специфической кван-
квантовой гравитационной энтропией, которая равна одной четвер-
четвертой площади горизонта событий.
3. Гравитационный вакуум
В теории Янга — Миллса вакуумное состояние с Fab = 0 на
пространственно-подобной поверхности можно описывать потен-
потенциалами Аа, которые являются чистой калибровкой, т. е. имеют
вид
4, = A-'deA, C.1)
где Л — элемент калибровочной группы G. Выбрав в качестве
Л единичный элемент на бесконечности или, что эквивалентно,
компактифицировав пространственно-подобную поверхность —
дополнив ее бесконечно удаленной точкой, чтобы превратить в
3-сферу, мы получим некоторое отображение 53 в G. В простом
случае, когда калибровочная группа G есть SUB), она тополо-
топологически представляет собой 3-сферу, поэтому такие отображе-
отображения можно разбить на классы гомотопической эквивалентности,
каждому из которых соответствует вполне определенное целое
число п — степень отображения. Таким образом, мы приходим
к вырожденному семейству вакуумных состояний, описываемых
целым числом п [8]. Амплитуда перехода для туннелирования
из начального вакуумного состояния nt в конечное вакуумное
состояние п2 задана континуальным интегралом, взятым по всем
полям Янга — Миллса на евклидовом пространстве, убывающим
до нуля на большом расстоянии и имеющим число Понтрягина
щ—п2. Действие таких полей ограничено снизу числом
в силу чего туннельный переход подавлен-
Аналогичный анализ можно провести и для гравитационного
вакуума. Нулевую конфигурацию поля — плоское простран-
пространство — на пространственно-подобной поверхности можно описать
различными тетрадными полями, которые можно рассматривать
как отображения 3-сферы (пространственно-подобной поверх-
поверхности, компактифицированной добавлением бесконечно удален-
удаленной точки) в группу вращений тетрад SOD). Так как в эту
схему желательно включить и фермионные поля, то необходимо
выбирать не обычные тетрады, а спинорные реперы. Они соот-
соответствуют отображениям 3-сферы в накрывающую группы
SOD) — группу SUB)XSUB). Поскольку каждая группа
SUB) топологически эквивалентна 3-сфере, такие отображения
подразделяются на гомотопические классы, каждый из которых

/. Евклидова квантовая теория гравитации 31
однозначно определяется двумя целыми числами (п, т) — сте-
степенями отображения 3-сферы на два прямых сомножителя. Та-
Таким образом, мы имеем двукратно бесконечный набор вырож-
вырожденных гравитационных вакуумов. Амплитуда туннельного пе-
перехода из начального вакуума (пь mi) в конечный вакуум
(«2. т2) определяется континуальным интегралом, взятым по
всем асимптотически евклидовым метрикам на параллелизуе-
мых многообразиях с эйлеровой характеристикой
% = (П2— Пу) + (ГЩ — ГПу) + 1
и сигнатурой Хирцебруха
т = д- [(л2 — п{) —(гщ — mi)].
Асимптотическая евклидовость означает, что метрика стре-
стремится к стандартной евклидовой метрике на R4 вне какой-то
компактной области, внутри которой топология отличается от
заданной на R*. Параллелизуемость означает, что на много-
многообразии можно задать непрерывные тетрадные поля и непре-
непрерывные спинорные реперы, а условия на % и т позволяют интер-
интерполировать эти поля между полями на начальной и конечной
поверхностях. Можно доказать, что если многообразие допу-
допускает спиновую структуру, т. е. на нем можно непротиворечивым
образом задать спиноры, то оно параллелизуемо [9, 10].
В асимптотически евклидовом случае отсюда следует' также, что
сигнатура Хирцебруха кратна 16. Таким образом, гравитацион-
гравитационные вакуумы подразделяются на классы, каждый из которых
не может туннелировать в любой другой класс и живет в своей
полностью изолированной вселенной.
Эйлерову характеристику % и сигнатуру т можно предста-
представить в виде следующих интегралов от кривизны:
X = fab- \ RabcaRefeheabefecdgh (gf d'x + поверхностные члены,
C.2)
т = JL. J RabcdRab efzcdef (g)'h d*x + поверхностные члены. C.3)
Поверхностные члены в общем случае имеют довольно слож-
сложный вид, но в асимптотически евклидовом случае каждая асим-
асимптотически евклидова область дает вклад, равный единице, в %
и вклад, равный нулю, в т.
Эйлерова характеристика % определяется соотношением
Х = В0-В, + В2-Вз + В4; C-4)
р-е число Беттй Вр равно числу независимых замкнутых р-по-
верхностей, не являющихся границами некоторой (р + 1)-поверх*
ности. Для компактного многообразия Вр равно числу квадра-
квадратично интегрируемых гармонических р-форм. Для компактного

32 С. У. Хокинг
многообразия Вр = В4_р и Во=В4=1. Если многообразие
односвязно, то В] == В3 = 0, поэтому % ^ 2.
Мне кажется правдоподобным, что следует рассматривать
только односвязные многообразия. В этом случае % и т позво-
позволяют классифицировать компактные многообразия, допускаю-
допускающие спинорную структуру, с точностью до гомотопии. Высказы-
Высказывалось (Пуанкаре) предположение о том, что % и т позволяют
классифицировать многообразия с точностью до гомеоморфиз-
гомеоморфизмов. Можно доказать, что для неодносвязных 4-многообразий
схемы классификации не существует.
Гармонические 2-формы (поля Максвелла), число которых
равно В2, можно подразделить на автодуальные и антиавтоду-
антиавтодуальные 2-формы (число которых равно соответственно Bt и
В^"). Тогда х — В} — Вг■ Сигнатура т также равна 8(п+—п~),
где п+ и пг — числа нулевых мод безмассовых уравнений Ди-
Дирака с положительной и отрицательной спиральностью.
В теории Янга — Миллса евклидово пространство /?4 удобно
компактифицировать, дополняя бесконечно удаленной точкой,
чтобы превратить многообразие в S4. Исходную плоскую ме-
метрику можно восстановить по метрике на 54 с помощью кон-
конформного преобразования, переводящего добавленную точку в
бесконечность. Аналогичная процедура применима и в грави-
гравитационном случае: асимптотически евклидово многообразие
можно конформно компактифицировать, дополнив точкой на
бесконечности, но получающееся при этом компактное многооб-
многообразие не обязательно будет 5\ а может быть любым многообра-
многообразием, допускающим спинорную структуру. Последнее утвержде-
утверждение можно было бы рассматривать как точное определение
того, что понимается под асимптотически евклидовым аналогом
предложенного Пенроузом определения асимптотически пло-
плоского лоренцева многообразия [11]. Начать следует с компакт-
компактного многообразия, наделенного гладкой положительно опре-
определенной метрикой, выбрать некоторую точку г и конформным
преобразованием перевести ее в бесконечно удаленную точку.
В результате мы получим асимптотически евклидову метрику
с эйлеровой характеристикой, на единицу меньшей эйлеровой
характеристики компактного многообразия, но с той же сигна-
сигнатурой.
Амплитуду перехода из начального вакуума в конечный
можно представить в виде континуального интеграла, взятого
по всем асимптотически евклидовым метрикам на (односвяз-
ном) многообразии М с заданными значениями % и т:
Z = @_ |0+>= \ D[e]exp(- J[g]). C.5)
Этот континуальный интеграл можно разложить в интеграл по
конформным множителям Q, в свою очередь интегрируемый по

1. Евклидова квантовая теорий, гравитации 33
конформно эквивалентным классам {е%} тетрад. При конформ-
конформном преобразовании
C.6)
действие принимает вид
7 [Qe] = ~ш\ (Q2jR + 6Q= °Q- bS \
C.7)
Поверхностный член вычисляется по большой сфере в асимпто-
асимптотически евклидовом пространстве, а постоянная С выбирается
так, чтобы исключить из поверхностного члена значение, со-
соответствующее плоскому пространству. Чтобы вычислить инте-
интеграл по конформным множителям, необходимо прежде всего
иайти конформный множитель со, равный единице на граничной
поверхности и такой, что для метрики g*ab = ®2gab всюду вы-
выполняется равенство R* = 0. Нахождение со можно рассматри-
рассматривать как своего рода выбор конформной калибровки. Действие
метрики g* полностью определяется поверхностным членом.
Затем следует проинтегрировать по конформным множителям Q
вида 1 + у, где у = 0 отвечает метрике #2 и у обращается в
нуль на границе. Так как кинетический член (Vr/J входит со
знаком минус, интегрировать следует по мнимым значениям у
[4]. Производя вычисления, получаем
(det (ц-'Д))'' ехр (- /V]) = Y [{С}], C.8)
гдед = — n+-g^— конформно инвариантный скалярный опе-
оператор. Амплитуда перехода Z определяется после этого инте^
гралом по всем классам конформной эквивалентности тетрад
]Y[{e}]. C.9)
Проделанная процедура может быть описана в терминах кон^
формно компактифицированного многообразия М и метрики g,
Выберем точку z на Й и переведем ее в бесконечность конформ-
ным преобразованием
со (х) = 4я2Д-' {х, z), C.10)
где А-1 — функция Грина на компактном многообразии в ме*
трике g. Тогда метрика g* = (o2g будет асимптотически евкли*
довой с R* = 0.
Пусть (Хп, ф„)—собственные значения и собственные функ-
функции оператора А на (М, g). Собственная функция ф0, соответ-
соответствующая наименьшему собственному значению Яо, всюду
знакопостоянна, поэтому ее можно использовать в качестве кон-
конформного множителя в регулярном конформном преобразова-

34 С. У. Хокинг
нни g-*-g', в результате которого R' всюду оказывается того же
знака, что и Хо. Таким образом, если наименьшее собственное
значение Хо положительно, то функция Грина А {х, г) нигде
не обращается в нуль. Следовательно, метрика g* не сингу-
сингулярна. С другой стороны, если наименьшее собственное значе-
значение Хо отрицательно, то А (х, z) обращается в нуль и метрика
g* сингулярна. Интерпретацию этого факта я приведу немного
ниже.
Действие метрики g* (если отбросить член С) имеет вид
f[^ = 6n3A-1(z, г). C.11)
Разумеется, оно бесконечно, так как при х = z функция Грина
расходится, но действие обращается в бесконечность также,
если поверхностный член
-к\
вычислить по 3-сфере бесконечного радиуса. Чтобы действие
стало конечным, из поверхностного члена необходимо вычесть
(бесконечное) значение, принимаемое им на плоском простран-
пространстве. В конформно компактифицированной процедуре это со-
соответствует регуляризации функции Грина Д-1 (z, z). Правиль-
Правильный результат мы получим с помощью процедуры конформно
инвариантной размерной регуляризации с введением дополни-
дополнительных плоских размерностей. Такая процедура эквивалентна
регуляризации с помощью дзета-функции [12, 13] плюс попра-
поправочный член £/288я2.
Гипотеза положительного действия [4—6] утверждает, что
Действие любой регулярной асимптотически евклидовой ме-
метрики с R=0 неотрицательно, причем оно равно нулю в том
и только в том случае, если метрика плоская. В терминах кон-
конформной компактификации эта гипотеза сводится к тому, что
функция Грина A (z, z) больше или равна нулю для всех
(м, g), на которых оператор А не имеет отрицательных или
нулевых собственных значений. Гипотеза положительного дейст-
действия представляет собой аналог (для размерности, большей на
единицу) гипотезы положительной энергии из обычной общей
теории относительности (последняя гипотеза теперь доказана
[И]).
Функция Грина допускает разложение
А"' (z, г)=^Хп V (г) q>n (г). C.12)
Регуляризация обращает A~l(z, z) в нуль для стандартной ме-
метрики на S4. При деформации метрики от исходной сферической
Наименьшее собственное значение к0 убывает, и функция Грина
A-1 (z, z) становится положительной. Если метрика деформи-

1. Евклидова квантовая теория гравитации 35
руется настолько, что Хо проходит через нуль, то A (z, z) про-
проходит через бесконечность и становится отрицательной, а кон-
конформный множитель А (х, z) проходит через нулевое значение.
Для получения физической интерпретации полезно сравнить
описанную ситуацию с задачей Коши в классической общей тео-
теории относительности, которую можно сформулировать следую-
следующим образом. Возьмем компактное 3-мерное многообразие S с
гладкой метрикой Я. Выберем на нем точку z и переведем ее в
бесконечность с помощью конформного множителя co(je) =
= 4яА-1(лс, z), где А теперь функция Грина для 3-мерного
конформно инвариантного оператора. Тогда метрика h* = со4Я
будет асимптотически плоской и R* = 0. Следовательно, ме-
метрика h* удовлетворяет условию симметричной по времени за-
задачи Коши (несимметричная по времени задача Коши допускает
аналогичное решение). Масса Арновитта — Дезера — Мизнера
определяется регуляризованным значением ёяА-1^, z).
Стандартная метрика на 3-сфере задает начальные данные
для плоского пространства. Деформируя метрику Я от исходной
сферической метрики, мы получаем начальные данные для сим-
симметричной по времени коллапсирующе-взрывающейся гравита-
гравитационной волны — волны с положительной энергией или мас-
массой. Нарастая, интенсивности волн достигают критического
уровня, при котором энергия волны становится столь большой,
что она сворачивает начальную поверхность и отсекает ее от
бесконечности. Достижение порога соответствует прохождению
через нуль собственного значения оператора А. Превысив поро-
пороговый уровень интенсивности волн, мы попадаем в новый класс
начальных данных, соответствующих черным дырам с видимым
горизонтом событий-[15]. Такие начальные данные можно по-
получить из пары (S, Я) с неотрицательными собственными зна-
значениями, если с помощью конформного множителя со (х) —
= 4яА-! (х, z\) + 4яА-! (х, z2) перевести в бесконечность две
ТОЧКИ Zi И 22.
Аналогичной процедурой разумно воспользоваться и в кван-
квантовой гравитации. Вместо того чтобы для получения асимпто-
асимптотически евклидовой метрики переводить в бесконечность одну
точку z компактного многообразия М, на этот раз для получе-
получения метрики с п асимптотически евклидовыми областями можно
перевести в бесконечность п точек Z\, z2> ..., zn. Это можно
сделать с помощью конформного множителя
СО (X) = 4я2 \ А"' (X, у) J (у) (£)'/, d*y, C.13)
где «ток бесконечности» J(y) определяется соотношением
zn). C.14)

36 С. У. Хокинг
Действие метрики g* — (o2g с R* = 0 имеет вид
T[g1 = 6я3 J / (х) A (*, у) / (у) (£)'/. (*)'* d< jw*V = 6я3/А-'/.
C.15)
Амплитуда перехода из вакуума в вакуум, или, точнее, из
одних вакуумных состояний в другие, соответствующая много-
многообразию Men точками, удаленными в бесконечность, предста-
вима в виде
$7), C.16)
где интеграл берется по всем классам конформной эквивалент-
эквивалентности {е} тетрадных полей. Эту амплитуду можно просуммиро-
просуммировать по числу и расположению точек, переводимых в бесконеч-
бесконечность, и интенсивностям волн, или, что эквивалентно, по всем
«токам бесконечности» /. В результате суммирования мы по-
получим множитель (det А"')'/г, который сокращается с множите-
множителем (detA)-1/j, возникающим при интегрировании по конформ-
конформным множителям.
Остается интеграл по классам конформной эквивалентности
тетрадных полей. Компоненты е% тетрады образуют в точке х
16-мерное векторное пространство. Отождествляя тетраду с ком-
компонентами ва и тетраду Qe% при любом ненулевом Q, т. е. рас-
рассматривая классы конформной эквивалентности, мы сводим это
векторное пространство к компактному 15-мерному проектив-
проективному пространству конформных тетрад, факторизованному до
9-мерного компактного пространства конформных метрик по
группе тетрадных вращений 50D). Так как пространство кон-
конформных тетрад компактно в каждой точке, на нем можно
задать меру, имеющую единичный объем. Тогда континуальный
интеграл, взятый по классам конформной эквивалентности те-
тетрадных полей, будет равен единице, в силу чего
£гл = 1. C.17)
Напрашивается мысль просуммировать также по всем возмож-
возможным топологиям компактного многообразия М. Но я считаю,
что в действительности эта операция эффективно выполняется
при интегрировании по всем конформным тетрадным полям.
Дело в том, что в общем случае существуют трехмерные по-
поверхности, на которых det (е%) = 0 и метрика вырождена. Ну-
Нулевой вектор матрицы е™, вообще говоря, не принадлежит по-
поверхности det(e)^=O. Это обстоятельство позволяет ввести но-
новые координаты или, что эквивалентно, перейти к другому
многообразию с иной топологией, на котором тетрадное поле

1. Евклидова квантовая теория гравитации 37
и метрика не вырождены. В общем случае существуют также
двумерные поверхности, на которых нулевой вектор матрицы
е% принадлежит поверхности det(e)=O. Скалярная кривизна
R может быть на этих поверхностях сингулярной, но она
остается интегрируемой, поэтому действие определено и на них.
Таким образом, интегрирование по всем конформным тетрадным
полям или, что эквивалентно, по всем конформным положитель-
положительно полуопределенным метрикам эффективно включает суммиро-
суммирование по всем топологиям многообразия.
Этот замечательный результат был получен без какой бы
то ни было регуляризации, так как расходимости при контину-
континуальном интегрировании по конформным множителям в точности
компенсируют те расходимости в действии асимптотически
евклидовых метрик, от которых обычно приходится избавляться
вычитанием значения поверхностного члена для плоского про-
пространства. Соотношение C.17) можно было бы рассматривать
как условие унитарности для гравитации с учетом всех тополо-
топологических возможностей. Однако такое утверждение носит не-
несколько формальный характер. Более желательно было бы вос-
воспользоваться намеченным подходом для вычисления физических
амплитуд и вероятностей. Должен признаться, что мне пока не
удалось осуществить эту программу, хотя кое-какие смутные
идеи на этот счет у меня имеются. По-видимому, большинство
конформных метрик (и все метрики со спинорной структурой и
ненулевой сигнатурой Хирцебруха т) обладают отрицатель-
отрицательными или нулевыми собственными значениями оператора А. Это
означает, что метрика g* со стационарным действием в своем
конформном классе содержит области, отгороженные от беско-
бесконечности. Однако в том же классе конформной эквивалентности
существуют и другие метрики, для которых эти области не от-
отгорожены от бесконечности. Им должны соответствовать какие-
то физические эффекты, хотя вероятности этих эффектов малы,
поскольку области замкнуты в метрике со стационарной фазой.
Относительно того, в чем состоят эти эффекты, можно выска-
высказать чисто умозрительные догадки. В частности, они могли бы
соответствовать виртуальным черным дырам, которые появля-
появляются, поглощают одну частицу, испускают частицу другого
сорта с тем же зарядом, импульсом и угловым моментом и за-
затем исчезают.
4. Асимптотически локально евклидовы метрики
При масштабном преобразовании g~+k2g (k—константа)
действие преобразуется, как /~>£2/. Отсюда следует, что дейст-
действие любой асимптотически евклидовой метрики, являющейся
решением уравнений Эйнштейна, должно быть равно нулю, так

88 С. У. Хокинг
как на такой метрике действие достигает экстремума по всем
возмущениям, включая растяжения или сжатия. Но гипотеза
положительности действия утверждает, что любая асимптоти-
асимптотически евклидова метрика с R = 0 обладает положительным или
нулевым действием, причем действие обращается в нуль в том
и только в том случае, если метрика плоская. Следовательно,
если эта гипотеза верна, не могут существовать нетривиальные
асимптотически евклидовы вакуумные гравитационные инстан-
тоны, т. е, полные несингулярные решения вакуумных полевых
уравнений. В то же время гипотеза положительности действия
отнюдь не исключает возможности существования вакуумных
инстантонов, которые являются асимптотически локально евкли-
евклидовыми (АЛЕ). Иначе говоря, вне некоторой компактной об-
области такие инстантоны стремятся к евклидовой метрике на
плоском пространстве, профакторизованном по какой-то ди-
дискретной подгруппе G группы 50D). Первый АЛЕ-инстантон
был получен Егучи и Хансоном [16]. Этот инстантон асимпто-
асимптотически стремится к евклидову пространству, в котором точка
ха отождествлена с точкой —ха, и соответствует переходу из
начального состояния в его образ при 7\Р-преобразовании. Не-
Несколько новых АЛЕ-инстантонов были получены в явном виде
Гиббонсом и мною [17] ив неявном виде Хитчином [18] с по-
помощью твисторной техники Пенроуза [19]. Эти инстантоны со-
соответствуют более широким дискретным подгруппам G, и их
физический смысл пока не ясен.
Все перечисленные метрики обладают автодуальной или
антиавтодуальной кривизной, что позволяет сформулировать
обобщенную гипотезу положительности действия: любая асимп-
асимптотически локально евклидова метрика с R = 0 обладает поло-
положительным или нулевым действием, причем действие обра-
обращается в нуль в том и только в том случае, если кривизна авто-
автодуальна или антиавтодуальна. В пользу такой гипотезы гово-
говорит следующий факт: как нетрудно показать, из всех метрик
с R — О локальными минимумами действия являются авто-
автодуальные или антиавтодуальные метрики. Если обобщенная
гипотеза верна, то они же являются глобальными миниму-
минимумами действия среди АЛЕ-метрик с R = О, подобно тому как
автодуальные или антиавтодуальные инстантоны Янга — Мил-
лса являются глобальными минимумами действия Янга — Мил-
лса. Поэтому можно ожидать, что метрики, достаточно близ-
близкие к автодуальным или антиавтодуальным, дают основной
вклад в амплитуды переходов, определяемые граничными ус-
условиями.
Особенно интересное приложение эти идеи находят в тео-
теориях супергравитации [20]. В автодуальной метрике кривизна,
воспринимаемая штрихованными спинорами, равна нулю, по-
поэтому существуют два независимых ковариантно постоянных

1. Евклидова квантовая теория гравитации 3§
спинора iA, и Од,, которые можно выбрать так, чтобы выполня-
выполнялись соотношения
l4,oA'=l, 1д, = оА\ D.1)
В АЛЕ-автодуальной метрике Bt = х и Вг" = 0, поэтому су-
существуют т автодуальных гармонических 2-форм (полей Мак-
Максвелла), которые являются нормируемыми, т. е. квадратично
интегрируемыми, и нет нормируемых антиавтодуальных гармо-
гармонических 2-форм. Автодуальные гармонические 2-формы можно
Представить посредством т симметричных спиноров, удовлетво-
удовлетворяющих уравнению для спина 1
VAA'cpAB*=O. D,2)
Умножая на тот или другой ковариантно постоянный спинор»
мы получаем 2т нулевых мод уравнения Майораны для спина
3/2 в калибровке yatya = 0:
VAA'q>A'BA' = 0( D,3)
где Фд'дд- = ФлваА" Ни одна из этих мод не принадлежит к
числу чисто калибровочных, т. е. не имеет вида VAA,cpB. Умно-
Умножая на другой ковариантно постоянный спинор и симметризуя
по индексам со штрихами, мы получаем Зт поперечных нулевых"
мод с нулевым следом уравнения для возмущений метрики в
гармонической калибровке
Где
—— cr\i rth
Не более трех таких Мод (в зависимости от дискретной труп-
пы G) могут быть чисто калибровочными и отвечать глобаль-
глобальным вращениям инстантонов в асимптотически локально евкли-
евклидовом пространстве. Соотношения между нулевыми модами с
различными спинами в действительности представляют собой
глобальные преобразования суперсимметрии с ковариантно по-
постоянными спинорными параметрами.
Действие фонового автодуального АЛЁ-инетантона равно
нулю и поэтому не дает вклада в lnZ. Однопетлевой член в
простой супергравитации можно представить в виде
у _ det В (det ф
(det£)'/4detFK^
где В — векторный оператор духов, соответствующий выбору ка-
калибровки относительно диффеоморфизмов, С — оператор спина
3/2 (он входит в степени 1/2, так как мы имеем дело с полем

40 С. У. Хокинг
Майораны), Е — оператор возмущения метрики в уравнении
D.4), a F — суперсимметрийный оператор духов со спином 1/2
(он входит в степени 3/2, так как мы имеем дело с полем
Майораны, и при усреднении по суперсимметрийным калибров-
калибровкам возникает множитель (detF)'2 [21]). Кроме того, су-
существуют 6 нераспространяющихся компонент тетрады и б не-
распространяющихся компонент вспомогательных полей [22,
23], но они взаимно уничтожаются с 12 нераспространяющи-
мися духами тетрадных вращений.
Глобальные преобразования суперсимметрии позволяют
установить соотношения между ненулевыми модами операто-
операторов В, С, Е, F [20]. Кратности таковы, что в однопетлевом члене
D.5) ненулевые собственные значения полностью уничтожаются.
Тем самым бесконечномерный однопетлевой континуальный ин-
интеграл вырождается в конечномерный интеграл по нулевым мо-
модам. Такого рода взаимное уничтожение бозонных и фермион-
ных операторов — одна из наиболее привлекательных особенно-
особенностей теорий супергравитации. Она позволяет питать надежду,
что этим теориям удастся придать некий разумный математиче-
математический смысл. Вместе с тем необходимо отметить, что на обыч-
обычном языке диаграмм Фейнмана однопетлевой член D.5) обла-
обладает логарифмической расходимостью, поскольку числитель и
знаменатель имеют различное число нулевых мод (доказатель-
(доказательство того, что все однопетлевые члены в супергравитации ко-
конечны, применимо лишь к топологически тривиальным метри-
метрикам). Однопетлевой член вводит параметр ц, отражающий
вклад меры на нулевых модах. Единого мнения относительно
выбора этой меры пока не существует.
Гравитационные нулевые моды оператора Е (их число равно
Зт) соответствуют глобальным вращениям, растяжениям и дру-
другим автодуальным возмущениям инстантонной метрики. Для их
рассмотрения удобно ввести коллективные координаты для
ориентации, масштаба и других характеристик инстантона, ко-
которые приводят к появлению множителя вида
ц Vе dp,
где р — некоторый характерный размер инстантона. Нулевые
моды со спином 3/2 оператора С (их число равно 2т) входят
в D.5) в числитель и в отсутствие источников; обращают в нуль
амплитуду Z перехода из вакуума в вакуум. Вклад источников
описывают, добавляя член
J (
'в') (gYh d% D.6)
где поле Майораны со спином 3/2 представлено евклидовыми
спинорами фдвд- и фдд'в', а ток источников — величинами т) и fj.

1. Евклидова квантовая теория гравитации 41
Если источники имеются, то амплитуда Z[j\, fj] перехода из ва-
вакуума в вакуум пропорциональна
где ФдВА-— 2т нулевых мод с положительной спиральностью и
спином 3/2. К амплитуде Z, даваемой выражением D.7), не-
необходимо прибавить значение Z порядка единицы, возникаю-
возникающее из-за однопетлевой поправки к плоскому евклидову про-
пространству. Затем вычисляют функциональные производные по
т) в 2т точках, что приводит к 2т-точечной функции, нарушающей
закон сохранения спиральности, т. е. превращающей т частиц
с положительной спиральностью в то же число частиц с отри-
отрицательной спиральностью.
Простейший автодуальный АЛЕ-инстантон — инстантон Егу-
чи — Хансона [16] — имеет т= 1. Следовательно, мы получаем
изменяющую спиральность двухточечную функцию, которую
можно было бы рассматривать как массовый член со спином
3/2 в заданной метрике. Но поскольку инстантон Егучи — Хан-
Хансона асимптотически стремится к евклидову пространству, в ко-
котором точки jc° отождествлены с точками —jc°, то эту же функ-
функцию допустимо интерпретировать как четырехточечную функцию
на евклидовом пространстве, которая превращает 2 частицы
со спинами 3/2 и положительными спиральностями в их 7Р-ана-
логи — две частицы с отрицательными спиральностями, но с
теми же импульсами.
Аналогичная ситуация возникает и в расширенных вариан-
вариантах теорий супергравитации. Единственное отличие состоит в
том.что число нулевых мод со спинами 3/2 в этом случае равно
2xN, где N — число полей со спином —3/2. Следовательно, мы
получаем 2xJV-TO4e4Hbie амплитуды, изменяющие спиральность.
Таким образом, расширенные теории супергравитации охваты-
охватывают поля со спином 1 и могут включать поля со спином 1/2
и 0. Нулевые моды полей со спинами 1/2 и 0 в автодуальной
АЛЕ-инстантонной фоновой метрике отсутствуют. Существуют
т нулевых мод со спином 1, но они не входят в однопетлевой
член, поскольку их происхождение не связано с потенциалом.
Если эти нулевые моды—калибровочные поля (абелевы или
иного типа), то их можно квантовать по аналогии с условием
Дирака для магнитных монополей.
5. Пространственно-временная пена
Теперь я вернусь к вопросу о том, как трактовать классы
конформной эквивалентности метрик на компактном многооб-
многообразии Й, обладающие отрицательными или нулевыми собствен-

42 С.У.Хакинг
ными значениями конформно инвариантного оператора Д.
В этих случаях асимптотически евклидов представитель g*
класса конформной эквивалентности, который имеет R* = О и
является точкой стационарной фазы относительно конформных
преобразований, сингулярен и содержит область, обрезанную
нулевым конформным множителем. С другой стороны, в этом
же классе конформной эквивалентности можно найти компакт-
компактную метрику g' с R' = —4Л, где h — положительная константа.
Метрику g' можно нормировать, потребовав, чтобы ее 4-объем
был равен единице.
Значимость метрик g' обусловлена тем, что они являются
точками стационарной фазы относительно конформных преобра-
преобразований в объемном каноническом ансамбле, определение кото-
которого будет дано ниже. Физическая идея состоит в том, что в
квантовой теории гравитации приходится суммировать по ме-
метрикам с весьма сложной топологией. Такая «пеноподобная
структура» [24] простирается всюду, поэтому пространство-
время на самом деле нельзя считать асимптотически евклидо-
евклидовым, хотя такая точка зрения удобна при интерпретации ампли-
амплитуд как элементов S-матрицы.
Чтобы все величины оставались конечными, удобно рассма-
рассматривать компактные метрики с некоторым заданным большим
значением 4-объема V. Это отнюдь не означает, что простран-
пространство-время непременно компактно, а представляет собой всего
лишь удобный способ введения нормировки, аналогичный пе-
периодическим граничным условиям в обычной квантовой меха-
механике. Мы хотели бы вычислить плотность тех или иных вели-
величин, приходящуюся на единичный объем, а затем перейти к
пределу при V, стремящемся к бесконечности.
Чтобы ограничить 4-объем, добавим к гравитационному дей-
действию член ЛУ/8я, где Л — множитель Лагранжа. Этот допол-
дополнительный член имеет такой же вид, как и космологический
член, хотя введен по иным мотивам и имеет совершенно иное
значение: как показывают наблюдательные данные, любой кос-
космологический член должен быть настолько малым, что вели-
величиной его практически можно пренебречь; в то же время мно-
множитель Лагранжа, как мы покажем, дает основной вклад, если
он имеет величину порядка единицы в единицах Планка. Соста-
Составим статистическую сумму Z[A] для того, что я называю объем-
объемным каноническим ансамблем [25], взяв континуальный инте-
интеграл по всем компактным положительным полуопределенным
метрикам:
Z [Л] = \ D [е] ехр (- / [е]) = £ (gn | ехр (- AV/вя) | gn), E.1)
п
где действие включено в Л-член. Статистическая сумма есть
преобразование Лапласа от N(V)dV — числа состояний грави-

/. Евклидова квантовая теория гравитации 43
тационного поля, заключенных в интервале от V до V + dV:
оо
Z[A] = [ N(V)ex.p{—AV/8a)dV. E.2)
Следовательно, N(V) —обратное преобразование Лапласа:
z
где контур выбран параллельно мнимой оси Л и справа от осог
бенности в Z[A] при Л = 0. При таком выборе контура N = 0
при V < 0.
Интеграл E.1) для Z допускает разложение на интеграл,
взятый по конформным множителям Q, принадлежащим одному
классу конформной эквивалентности {е} тетрадных полей:
Y [{e}], M = \D [Q] exp (- 7 [Qe]), E.4)
от которого в свою очередь берется континуальный интеграл,
распространенный на классы конформной эквивалентности:
Z[A]=\D[{e}]Y[{el A]. E.5)
При конформном преобразовании ё = Qe действие (включая
Л-член) переходит в
Таким образом, Z[A] можно рассматривать как среднее в Хер4'
теории по всем классам конформной эквивалентности метрик,
Точкой стационарной фазы в интеграле E.4) по конформным
множителям является метрика —hA^g1, в которой R = 4Л,
V = h2A~2 и / = —Л2/8яЛ. Величина h зависит от класса кон-
конформной эквивалентности и стационарна на тех классах экви-
эквивалентности, для которых g' — решение уравнений Эйнштейна с
Л-членом:
tRS + ^e = 0. E.7)
На компактных многообразиях, таких, как S4, С/32 и £2 X $2>
несколько решений известно в явном виде. Но действительны^
интерес представляют решения на очень сложных ддносвязщх
многообразиях с большой эйлеровой характеристикой и сйг|а-
турой. Хотя нельзя надеяться, что та|ие метрики удастся пору-
поручить в явном виде, действие метрик со сложной топологической

44 С. У. Хокинг
структурой все же удается оценить. Для решения уравнений
E.7) получаем
* = гЬ \ {СаЬссРаШ + 4 Л2) (е) d% E.8)
E.9)
Комбинируя соотношения E.8) и E.9), приходим к неравенству
2Х-З|т|>-^-; E.10)
равенство имеет место в том и только в том случае, если тензор
Вейля автодуален или антиавтодуален.
Нижняя граница величины h для решений уравнений E.7)
равна —B4)'%, т. е. равна значению h для стандартной ме-
метрики на S4. Если т^Ои если многообразие допускает спинор-
ную структуру, то h ^ 0. Соотношения E.8) и E.9) позволяют
ожидать, что при больших эйлеровых характеристиках h ~ ё%'1г,
где d s£^ 2CI/ая. Эта оценка подтверждается несколькими при-
примерами, построенными Хитчином, из которых следует, что боль-
большинство решений заключено в интервале
2y'n<d<22n. E.11)
Можно надеяться, что значение статистической суммы Z[A]
удастся получить, разлагая метрику или тетраду в ряд теории
возмущений в окрестности каждого решения классических по-
полевых уравнений. При малых Л действия таких решений четко
разделены, и мы получаем хорошее «приближение разреженного
газа». Но при больших Л флуктуации вокруг одного решения
могут изменить топологию и наложиться на флуктуации вокруг
другого решения; этот эффект не будет подавлен, поскольку
он не увеличивает сколько-нибудь значительно действие. Один
из способов, позволяющих избежать наложения флуктуации,
состоит в добавлении к действию члена \ R2 (e) d*x, фиксирую-
фиксирующего конформную калибровку, в которой вычислен контину-
континуальный интеграл E.4), взятый по конформным множителям.
При этом интеграл для Z принимает следующий вид:
Z [Л] = J D [Q] D [e] det аД ехр (- / [е, Q]), E.12)
где
7[е, Q] -■ - -щ- J CQAQ - AQ4 — 8naR2) (e) d*x - 16аА2 [е„].
E.13)
Член det аД в E.12) —дух Фаддеева — Попова, а последний
член в E.13) введен для того, чтобы член, фиксирующий кали-

1. Евклидова квантовая теория гравитации 45
бровку, обращался в нуль на решении е0. В отличие от действия
\R(e)d4x член \R2(e)d4x, определяющий калибровку, по-види-
по-видимому, не остается ограниченным, когда метрика меняет тополо-
топологию, проходя через вырожденную метрику. Это могло бы огра-
ограничить разложение в ряд по теории возмущений топологией
того решения, в окрестности которого производится разложе-
разложение, и воспрепятствовать наложению на разложения в ряд по
теории возмущений, производимые в окрестности других реше-
решений. Таким образом, обращение члена \ R2 (е) d*x в бесконеч-
бесконечность могло бы привести к разложению в ряд теории возмуще-
возмущений, которое по крайней мере формально перенормируемо. То
обстоятельство, что это был лишь член, задающий калибровку,
а не часть самого действия, возможно, позволит избежать не-
некоторых патологий, связанных с такими членами.
Намеченный нами подход не привел пока к каким-либо но-
новым результатам. Тем не менее ничто не мешает оценить обыч-
обычный однопетлевой член L в окрестности решения с эйлеровой ха-
характеристикой х
(£)-\ E,4)
где у — проинтегрированная аномалия следа для гравитации
[26]:
а величина Ло связана с нормировочной константой ц. Таким
образом, метрика с эйлеровой характеристикой % дает вклад
в Z вида
(^' E.16)
где Ь = d2/8n. Это дает точку стационарной фазы в обратном
преобразовании Лапласа E.3) для N(V) при Л = Л5, где
E.17)
Сравнивая вклады от метрик с различными %, мы видим, что
основной вклад соответствует соотношеш >
=0. E.18)
При Ло ~ 1 ему удовлетворяет % ~ V, т. е. на планковский
объем приходится одна единица эйлеровой характеристики или
один гравитационный инстантон.

46 С. У. ХокинА
ЛИТЕРАТУРА
1. Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be published).
2. York J., Phys. Rev. Lett., 28, 1082 A972).
3. Gibbons G. W., Hawking S. W., Phys. Rev., D15, 2752 A977). .
4. Gibbons G. W., Hawking S. W., Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be publis-
published).
5. Hawking S. W., Phys. Rev.,D (to be published).
6. Page D. N., Phys. Rev., D (to be published).
7. Hawking S. W., Phys. Rev., D13, 191 A976).
8. Jackiw R., Rebbi C, Phys. Lett., 67B, 189 A977).
9. Geroch R. P., J. Math. Phys., 9, 1739 A968); 11, 343 A970).
10. Isham C. J., Spinor Fields in Four Dimensional Spacetime, Imperial College
preprint, 1978.
11. Penrose R., Proc. Roy. Soc, A284, 159 A965).
12. Dowker J. S., Critchley R., Phys. Rev., D13, 3224 A976).
13. Hawking S. W., Comm. Math. Phys., 55, 133 A977).
14. Yau S. Т., Schoen R., Incompressible Minimal Surfaces, Three Dimensional
Manifolds with Non-Negative Scalar Curvature, and the Positive Mass Con-
Conjecture in General Relativity.
15. Hawking S. W., The Event Horizon in: Les Astres Occlus, ed. B. S. deWitt
and С. М. deWitt, Gordon and Breach, 1973.
16. Eguchi Т., Hanson A. L, Phys. Lett, 74B, 249 A978).
17. Gibbons G. W., Hawking S. W., Gravitational Multi-Instantons, D. A. M. T.
P. preprint.
18. Hitchin N., in preparation.
19. Penrose R., J. Gen. Rel. and Gravitation, 7, 31 A976).
20. Pope С N., Hawking S. W., Symmetry Breaking by Instantons in Super-
gravity, D. A. M. T. P. preprint.
21. Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be published).
22. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., The Auxiliary Fields of Supergravity,
CERN preprint.
23. Stelle K-, West P., Minimal Auxiliary Fields for Supergravity, Imperial Col-
College preprint.
24. Wheeler J. A., in: Relativity Groups and Topology, Proceedings of the Les
Houches Summer School, 1963, ed. by B. S. deWitt and С. М. deWitt, Gor-
Gordon and Breach, New York, 1964.
25. Hawking S. W., Spacetime Foam, D. A. M. T. P. preprint.
26. Gibbons G. W., Perry M. J., Quantizing Gravitational Instantons, D. A. M.
T. P. preprint.
27. Duff M. L, Abstracts of Contributed Papers for GR VII Conferences, Wa-
Waterloo, Ontario, 1977.

2. Пространственно-временная пена
С. У. Хокинг
Hawking S. W. О, Nuclear Phys., ВП4, 349 A978)
1. Введение
Уилер [1] заметил, что в квантовой теории гравитации на
мелкомасштабных расстояниях следует ожидать очень больших
флуктуации метрики и даже топологии пространственно-времен-
пространственно-временного многообразия. Объясняется это тем, что в отличие от дей-
действия для полей Янга — Миллса или электромагнитного дей-
действие для гравитационного поля не обладает масштабной инва-
инвариантностью. Это означает, что сильные флуктуации метрики
на мелкомасштабных расстояниях не обладают очень большим
действием, поэтому их вклад в континуальный интеграл не по-
подавлен. Более того, метрика может изменить топологию, даже
если действие не возрастает больше, чем на произвольно малую
величину. В этом можно убедиться с помощью исчисления Ред-
же [2]. По схеме Редже пространственно-временное многообра-
многообразие разлагают в симплициальный комплекс. Каждый 4-симплекс
считается плоским и определяется длинами ребер A-симплек-
A-симплексов). Однако углы между гранями B-симплексами) в общем
случае таковы, что 4-симплексы невозможно объединить в пло-
плоское 4-мерное пространство. Таким образом, существует некое
искажение, представимое в виде б-функции, сосредоточенной на
гранях. Полное действие имеет вид
где сумма берется по всем симплексам, At — площадь i-ro
2-симплекса, б; — дефект t'-ro 2-симплекса, т. е. б; = 2я минус
сумма углов между 3-симплексами, примыкающими к t'-му
2-симплексу.
Симплициальный комплекс, на котором действие стационар-
стационарно относительно малых вариаций длин ребер, можно рассма-
рассматривать как дискретную аппроксимацию гладкого решения
уравнений Эйнштейна. Вместе с тем можно считать, что исчис-
исчисление Редже определяет действие на некотором классе метрик
точно, без какой бы то ни было аппроксимации. Такое действие
l) University of Cambridge, D.A.M.T.P., Silver Street, Cambridge, England.
North-Holland Publishing Company
Перевод на русский язык, «Мир», 1983

43 С. У. Хокинг
остается хорошо определенным и конечным, даже если длины
ребер выбраны так, что некоторые симплексы вырождаются в
симплексы меньшей размерности. Например, если а, Ь, с —
длины сторон треугольника (ребра 2-симплекса), то они должны
удовлетворять неравенствам а < Ь + с и т. д. Если а > b + с,
то 2-симплекс вырождается в 1-симплекс. В общем случае симп-
лициальный комплекс перестает быть многообразием при вы-
вырождении некоторых симплексов в симплексы меньшей размер-
размерности, но действие остается вполне определенным. «Раздув»
некоторые из симплексов так, чтобы они превратились в симп-
симплексы большей размерности, можно получить новое многообра-
многообразие с другой топологией. Раздувая и схлопывая симплексы, мы
можем непрерывно переходить от одной метрической топологии
к другой, причем действие будет неизменно оставаться конеч-
конечным. С иной ситуацией мы столнулись бы, если бы гравитацион-
гравитационное действие содержало, как предлагали некоторые авторы,
члены, квадратичные по кривизне. Однако такого рода допол-
дополнительные члены, видимо, обладают весьма нежелательными
свойствами [3].
Так мы приходим к картине, которую Уилер назвал «пеной»
и в которой пространство-время на крупномасштабных расстоя-
расстояниях представляется гладким и почти плоским, но на мелко-
мелкомасштабных расстояниях порядка планковской длины сильно
искривлено и наделено всевозможными топологиями. В этой
статье я попытаюсь построить математическую схему для опи-
описания такой пеноподобной структуры пространства-времени.
Я буду использовать подход, основанный на континуальном ин-
интеграле, так как, насколько можно судить, только такой подход
позволяет справиться с нетривиальными топологиями [4—6].
Чтобы улучшить сходимость континуального интеграла, я буду
работать в «евклидовом режиме», т. е. вычислять интеграл по
всем положительно определенным метрикам, а полученные ре-
результаты в случае необходимости продолжать аналитически в
лоренцев режим. Поскольку пена, по-видимому, простирается
повсюду, асимптотически евклидовы метрики, т. е. -метрики,
стремящиеся к плоской метрике на R4 вне некоторой ограничен-
ограниченной области, непригодны. Чтобы избежать необходимости вво-
вводить граничные члены в действие [4] и все же обеспечивать
конечные метрики с конечным действием, я буду рассматривать
только компактные многообразия. Этим я отнюдь не утверж-
утверждаю, что реальное пространственно-временное многообразие
чепременно должно быть компактным. Рассмотрение компакт-
компактных многообразий — не более чем удобный прием введения нор-
нормировки, аналогичный введению «ящика» конечных размеров с
периодическими условиями на стенках в обычной квантовой ме-
механике. Компактные многообразия позволяют вычислять плот-
плотность некоторых величин в единичном 4-объеме пространства-

2. Пространственно-временная пена 49
времени, а затем переходить к пределу при 4-объеме V, стре-
стремящемся к бесконечности. Для этого к обычному гравитацион-
гравитационному действию—jg^- \ R (gfh d4x удобно добавить член типа
источника AV/8n, где Л — множитель Лагранжа. Коэффициент
1/16я выбран из соображений удобства. Этот член имеет такой
же вид, как и обычный космологический член, хотя он включен
в действие по совершенно иным мотивам и принимает другое
значение: как показывают наблюдательные данные, любой
космологический член настолько мал, что величиной его почти
всегда можно пренебречь, в то время как множитель Лагранжа
Л дает главный вклад, если он отрицателен и имеет величину
порядка 1 в единицах Планка. В некоторых теориях супергра-
супергравитации [7, 8] члены с Л имеют тот же знак, что и у нас, и
принимают значения, связанные со значениями констант связи
векторных частиц. Поэтому некоторые идеи данной статьи мо-
могут найти применение в этих теориях.
Можно надеяться, что главный вклад в континуальный инте-
интеграл будут давать метрики вблизи точек стационарной фазы
действия, содержащего Л-член. Это приводит к рассмотрению
положительно определенных метрик, удовлетворяющих уравне-
уравнениям Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях с
очень сложными топологиями. При больших значениях эйлеро-
эйлеровой характеристики % решения, по-видимому, существуют только
при отрицательных Л (со знаком, противоположным знаку для
S4), и действие для таких решений имеет величину порядка
—Х-Л. На интуитивном уровне эту оценку можно интерпрети-
интерпретировать как сумму действий х «гравитационных инстантонов»,
каждый из которых обладает действием порядка Л. Посколь-
Поскольку вид конформной аномалии известен [9], можно оценить
однопетлевые члены. В случае чистой гравитации эти оценки
позволяют предположить, что главный вклад в континуальный
интеграл дают метрики с эйлеровой характеристикой % порядка
V, т. е. дающие один инстантон на единицу планковского объ-
объема. В случае теорий супергравитации с Л-членом удается опре-
определить предпочтительное значение для константы связи е.
План настоящей статьи заключается в следующем. В разд. 2
рассматривается топология компактных 4-мерных многообра-
многообразий. Односвязные многообразия со спинорной структурой, по-
видимому, допускают классификацию по эйлеровой характери-
характеристике х и сигнатуре т. В разд. 3 вводится объемный канониче-
канонический ансамбль и определяются статистическая сумма Z[A] и
плотность состояний N(V). В разд. 4 рассматриваются класси-
классические решения уравнений Эйнштейна с Л-членом. Вычисляются
границы и оценки для действия решений с большими значе-
значениями эйлеровых характеристик. В разд. 5 приведено разложе-
разложение континуального интеграла, взятого по всем метрикам, на

50 С. У. Хокинг
интеграл по конформным множителям, который в свою очередь
интегрируется по классам конформной эквивалентности метрик.
Точками стационарной фазы при первом интегрировании яв-
ляются метрики с R = const, а при втором интегрировании —
классические решения. В разд. 6 вычислена оценка континуаль-
континуального интеграла для Z[A] в однопетлевом приближении. Из нее
следует, что главный вклад в число состояний с заданным объ-
объемом V дают эйлеровы характеристики х порядка V, т. е. эйле-
эйлеровы характеристики, соответствующие одному гравитацион*
ному инстантону на единицу планковского объема. В разд. 7
рассмотрены теории супергравитации с внутренней симметрией.
Континуальный интеграл достигает максимума при некоторых
«избранных» значениях е' константы связи.
2. Топология
Существуют 2 топологических инварианта, представимые в
виде интегралов от кривизны положительно определенной ме-
метрики на 4-мерном ориентируемом компактном многообразии:
эйлерова характеристика
X = W \ *«bc<iRefeb*abef*Cd8h (8)'h d*x B.0
и сигнатура
SVdf'/ B-2)
Эйлерова характеристика равна альтернированной сумме чисел
Бетти ; ,-■■. ■ ■ .
Х = 50-51 + 52-5з + Я4. B-3)
Число Бетти Вр (р-е число Бетти) равно числу независимых
гармонических р-форм. Независимые гармонические 2-формы
(их число равно В2) можно подразделить на В ' автодуальных и
Лг" антиавтодуальных 2-форм. Сигнатура т равна Bt — Вг.
Кроме того, сигнатура т равна 8(п+ — п~), где я+ и пг — числа
решений безмассового уравнения Дирака с правой и левой спи-
ральностью соответственно. Так как я+ и п~ — всегда целые чет-
четные числа, то многообразие допускает спинорную структуру
только в том случае, если сигнатура % кратна 16 (необходимое,
но не достаточное условие). Достаточное условие состоит в том,
что число самопересечений любого 2-цикла должно быть чет-
четным. Число самопересечений 2-цикла — это число пересечений
2-цикла со слегка смещенной копией самого себя. Точка пересе-
пересечения учитывается с положительной кратностью +1, если ори-
ориентация в касательном пространстве точки пересечения согла-

й. Пространственно-временн&я пена
суется с ориентацией, задаваемой индуцированными ориента-
циями касательных плоскостей к двум 2-поверхностям.
Для компактного многообразия Во = 54 = 1 и 5j = B3. Если
многообразие односвязно, то Вх = 53 = 0. Мне не ясно, нужно
ли рассматривать в квантовой теории гравитации неодносвяз-
ные многообразия. Имеются следующие аргументы в пользу
того, что этого не нужно делать.
Топологии компактных неодносвязных 4-мерных многообра-
многообразий невозможно классифицировать, т. е. не существует алго-
алгоритма, который позволял бы решать, гомеоморфны ли два таких
многообразия. Это утверждение следует из того, что любая ко-
конечно порожденная группа может быть фундаментальной груп-
группой п\{М) некоторого компактного 4-мерного многообразия М
[10]. Доказано [11], что такие группы не поддаются классифи-
классификации. Ситуация становится более благоприятной, если огра-
ограничиться рассмотрением односвязных компактных 4-мерных мно-
многообразий. Действительно, если |т|=#х — 2 и многообразие до-
допускает спинорную структуру, то х и т характеризуют многообра-
многообразие с точностью до гомотопии [12] (два многообразия М и N на-
называются гомотопными, если существуют отображения f: M-+N
и g: N-*~M, такие, что композиции fog и gof гомотопичны тож-
тождественным отображениям на N и М соответственно). Позво-
Позволяют ли % и х классифицировать многообразия с точностью до
гомеоморфизмов, пока не ясно, но ни контрпримеров, ни доказа-
доказательства неразрешимости найти не удалось. Не решен и вопрос
о том, позволяет ли эйлерова характеристика % классифициро-
классифицировать гомотопический тип многообразия при |т| = % — 2.
Утверждение о необходимости исключить из рассмотрения
неодносвязные многообразия только потому, что их невозможно
классифицировать, несколько напоминает анекдот о человеке,
который искал ключи под фонарным столбом только потому,
что там светло и он мог бы их разглядеть. В действительности
«классифицируемость» многообразий вряд ли столь существен-
существенна, поскольку слишком сложные топологии, вероятно, нужно
изучать не точно, а на той или иной статистической основе.
Имея неодносвязное многообразие, мы можем «развернуть» его
и перейти к односвязному универсальному накрывающему мно-
многообразию. При В\ Ф 0 оно будет некомпактным, но его всегда
можно замкнуть или компактифицировать при каком-то боль-
большом объеме, лишь незначительно изменив действие на единицу
объема. Именно поэтому в большинстве случаев я рассматри-
рассматриваю односвязные многообразия с % = 2 + В2 и В2, равным
рангу л2(М), т. е. числу гомотопически неэквивалентных отобра-
отображений 2-сфер в М. В каждом гомотопическом классе найдется
гладко погруженная 2-сфера с минимальной поверхностью, но
эта 2-сфера может самопересекаться. Такие минимальные сфе-
сферы во многом аналогичны 2-сферам горизонта черных дыр

52 С. У. Хокинг
с евклидовыми метриками. Вблизи минимальной 2-поверхностя
функция Грина периодична по мнимой координате времени, от-
относительно которой метрика почти стационарна. Вдали от ми-
минимальной 2-поверхности метрика утрачивает стационарность,
и координаты, задаваемые различными минимальными 2-поверх-
ностями, не согласуются между собой. Это приводит к картине
пространства-времени, напоминающей «газ» из % — 2 черных
дыр или гравитационных инстантонов.
3. Объемный канонический ансамбль
Статистическая сумма Z[f5] для теплового канонического
ансамбля поля ср при температуре Т = р~! определяется выра-
выражением
2[р] = Е<Ф„|ехр(-р#)|ф„>, C.1)
где сумма берется по полному ортонормированному базису со-
состояний ф„. Ту же статистическую сумму можно представить и
в виде континуального интеграла
7 C.2)
где 1>[ф] —мера на пространстве всех полей tp, /[ср] —евкли-
—евклидово действие поля ф; интеграл берется по всем полям, перио-
периодическим с периодом р по евклидовой координате времени.
В частности, этим определением можно воспользоваться для
вывода энтропии черных дыр [4—6].
Статистическую сумму Z[A] для того, что я называю «объ-
«объемным каноническим ансамблем», можно ввести следующим
образом:
где V — 4-объем, а сумма берется по полному ортонормирован-
ортонормированному базису состояний \g} гравитационного поля. При этом
неявно предполагается, что метрика компактна и 4-объем
имеет смысл. Таким образом, Z[A] можно представить в виде
континуального интеграла:
C.4)
где D[g] — мера на пространстве всех метрик g,
x C.5)
— евклидово действие гравитационного поля с учетом Л-члена,
а континуальный интеграл берется по всем метрикам на всех

2. Пространственно-временная пена 53
компактных многообразиях. Статистическую сумму Z [Л] можно
было бы поэтому считать аналогом функционала Z[J], обычно
интерпретируемого как амплитуда сопротивления вакуума при
наличии источников /. В рассматриваемом случае такая интер-
интерпретация не подходит, так как из-за компактности многообра-
многообразия нет ни начальных, ни конечных асимптотических областей.
Статистическую сумму Z [А] можно рассматривать как пре-
преобразование Лапласа от N(V), где N(V)dV—число состояний
гравитационного поля, заключенных в интервале 4-объемов от
V до V + dV:
^f)dV. C.6)
Тогда N(V)—обратное преобразование Лапласа от Z[A]:
В C.7) контур интегрирования проходит справа от любой син-
сингулярности функции Z[A]. Этим достигается равенство N(V) =
= 0 при V ^ 0.
4. Классические решения
Существует определенное число известных положительно
определенных метрик, являющихся решениями уравнений Эйн-
Эйнштейна с Л-членом на компактных многообразиях (перечень та-
таких метрик приведен в работах [6, 16]). Не следует ожидать,
однако, что нам удастся найти в явном виде решения на много-
многообразиях со сложной топологией. Тем не менее можно получить
оценки для действия решений на таких многообразиях.
Будем искать решения уравнения
Rab = A-8ab- D-1)
Из соображений размерности следует, что объем V любого та-
такого решения связан с Л соотношением
.-и
A = -fV h, D.2)
где f — константа (положительная или отрицательная), зави-
зависящая от топологии и от выбора частного решения, если сущест-
существует более чем одна топология (что маловероятно). Евклидово
действие / (содержащее Л-член) определяется выражением
Нижняя граница константы f равна —B4)Ч'п, что соответствует
значению, принимаемому f на 4-мерной сфере. Верхнюю границу

•54 С. У. Хокинг
можно вывести из соотношений B.1) и B.2). Для решений
уравнения D.1) эти соотношения имеют вид
* = W \ {CabcdCabcd + 2^A')(g)'l^x, D.4)
fd% D.5)
где Cabcd — тензор Вейля и *Cabcd = -^sabe{Cefcd. Комбинируя со-
соотношения D.4) и D.5), получаем неравенство
2х — 3|т|>-§£г; D.6)
знак равенства достигается в том и только том случае, когда
тензор Вейля автодуален или антиавтодуален, т. е. если Саьса —
Из соотношения D.4) видно, что при больших значениях эй-
эйлеровой характеристики справедливо по крайней мере одно из
следующих утверждений:
а) /2 велико,
б) интеграл J СаШСаШ (gI'2 d*x велик.
В первом случае константа / должна быть положительной
(а параметр Л — отрицательным), так как для нее существует
нижняя граница, равная —B4)'% Во втором случае тензор
Вейля должен быть большим. Как и в обычной общей теории
относительности, это оказывает фокусирующее действие на гео-
геодезические (они сходятся сильнее), аналогичное действию по-
положительного тензора Риччи. Однако между любыми двумя
точками в пространстве должна существовать геодезическая ми-
минимальной длины, не содержащая сопряженных точек. Следова-
Следовательно, чтобы кривизна Вейля не сводила геодезические слиш-
слишком быстро, необходимо ввести отрицательный тензор Риччи
или Л-член порядка —CabCdCabcdL2, где L — характерный мас-
масштаб длины порядка У'/%~1/4 (число единиц длины, приходящихся
на единицу эйлеровой характеристики). Таким образом, можно
ожидать, что оба члена в правой части соотношения D.4) будут
сравнимыми по величине, а константа / будет порядка d%4*, где
d3)%
(
Изложенные выше соображения подкрепляются рядом при-
примеров, за которые я весьма признателен Н. Хитчину. Нижняя
граница rf=2 C)% достигается на пространствах постоянной
кривизны, которые можно, профакторизовав, превратить в ком-
компактные с любой эйлеровой характеристикой и х = 0. Простран-
Пространства постоянной голоморфной секционной кривизны имеют d =
= 6%. Произведения двух 2-мерных пространств постоянной

2. Пространственно-временнйя пена 55
кривизны имеют d = 2я и т = 0. Для алгебраических гиперпо-
гиперповерхностей d = 2'%. Существует целое семейство пространств,
являющихся пересечением гиперповерхностей в комплексном
проективном пространстве. Им соответствуют значения d, плот-
плотные в интервале 21/sn < d < 2я. Произведения пространств и
пространства постоянной кривизны неодносвязны, остальные —
односвязны.
Если многообразие допускает кэлерову структуру, то
D.7)
где С\—первое число Черна, которое всегда целое. По теореме
Макса Нётера
2 Ь36, D.8)
Пространства
постоянной
кривизны
Многообразия ~-
произвеотия
Алгебраические
гиперповерхности
Рис. 1. Зависимость /2 = A2F от эйлеровой характеристики % для решений
уравнений Эйнштейна на компактных- многообразиях. В заштрихованных
областях решения не существуют. Решения, допускающие кэлерову струк-
структуру, заключены в области между кривыми, названными границами Кэлера.

56 С. У. Хокинг
поэтому в пределе при больших х выполняется неравенство
d^f-g-J ' п%. Эти границы и примеры изображены на рис. 1,
предложенном Дж. В. Гиббонсом. При малых значениях х су-
существуют такие примеры, как S\ СР2 и S2X.S2, с отрицатель-
отрицательными значениями /. Переход от отрицательных значений к по-
положительным, по-видимому, происходит в точке КЗ, которая
соответствует единственному (с точностью до факторизации) ком-
компактному многообразию, допускающему положительно опреде-
определенную метрику с автодуальной кривизной [17, 18]. По-види-
По-видимому, для любого многообразия с х, большим чем 24 (значение,
соответствующее точке /СЗ), константа / имеет положительное
значение.
Интересно также рассмотреть число т модулей этих при-
примеров, или, иначе говоря, число свободных параметров, кото-
которые они содержат. Для пространств постоянной кривизны т=0,
но для гиперповерхностей т ~ 1/6%, а для произведений кри-
кривых т == 9%. Все это наводит на мысль, что «большинство» ре-
решений заключено в интервале 2'% ^ d ^ 2я.
5. Конформные свойства
При конформном преобразовании §аь = №gab скаляр Риччи
переходит в
R = 6Q~3AQ, E.1)
где А — конформно инвариантный оператор — а + -g- R- Дейст-
Действие (с Л-членом) преобразуется к виду
/ [§] = ~ gJr $ <ЗЙ/Ш ~ Лй<) (S)lk dix- С5-2)
Следовательно, чтобы вычислить континуальный интеграл
для Z[A], пространство положительно полуопределенных ме-
метрик g можно разбить на классы конформной эквивалентности
{g}. Введем величину Y[{g}, Л], определяемую соотношением
E.3)
Поскольку оператор А входит в E.2) со знаком минус, контур
интегрирования конформного множителя следует повернуть
так, чтобы он расположился параллельно мнимой оси [14].
Тогда мы получим Z, интегрируя по классам конформной экви-
эквивалентности метрики
Z[A]=\D[{g}]Y[{g}, Л]. E.4)

2. Пространственно-временная пена 57
Следовательно, Z — среднее от Алр4-теории по всем классам кон-
конформной эквивалентности метрики.
Одна точка стационарной фазы интеграла E.3) для Y воз-
возникает при Q = 0. Но действие в этой точке равно нулю неза-
независимо от g и Л. Более интересная точка стационарной фазы
встречается при 8 = 4Л. Природа такой точки определяется
спектром [кп, фи} оператора А, где
Лфл = Ялфл. E.5)
Собственные функции ф„ можно пронормировать так, чтобы вы-
выполнялось соотношение
6аЬ. E.6)
Как показано в работе [14], числа отрицательных и.нулевых
собственных значений (но не сами значения) оператора А ин-
инвариантны относительно регулярного конформного преобразо-
преобразования, т. е. такого, у которого конформный множитель не обра-
обращается в нуль. Можно показать, что собственная функция фо,
соответствующая наименьшему собственному значению ко, ни-
нигде не обращается в нуль. Следовательно, ее можно использо-
использовать в качестве конформного множителя в регулярном конформ-
конформном преобразовании, переводящем R в $, знак которого всюду
совпадает со знаком Ко- Несколько труднее найти регулярное
конформное преобразование в метрику g', такую, что величина
h = —'Д./?' постоянна и 4-объем V = 1. Я могу доказать, что
метрика g' единственна при "ко ^ 0. Вероятно, g' единственна
и при Ко 5* 0, но этого я доказать не могу.
Величина h — функционал на классе конформной эквива-
эквивалентности {g}. Она достигает локального минимума, равного
— B4I/гя, на стандартной метрике на S4 и принимает стацио-
стационарное значение на каждом решении уравнений Эйнштейна с
Л-членом. На каждом таком решении функционал h равен ве-
величине /, введенной в предыдущем разделе. Функционал h для
метрик в исчислении Редже сохраняет все хорошие свойства
даже в тех случаях, когда некоторые из симплексов вырожда-
вырождаются в симплексы меньшей размерности. Правдоподобно по-
поэтому, что такие функционалы h можно задать на пространстве
Н всех положительно полуопределенных метрик на компактных
ориентируемых односвязных многообразиях со всеми возмож-
возможными топологиями, допускающими спинорную структуру. Таким
образом, пространство Н — своего рода бесконечномерное мно-
многообразие с «рукавами» и дырами, в числе точек которого со-
содержатся вырожденные (т. е. не положительно определенные)
метрики, которые позволяют совершать непрерывный переход

58 С. У. Хокинг
от одной топологии пространственно-временного многообразия
к другой.
Следовательно, h можно представлять себе как функцию, за-
заданную на пространстве Н с локальным минимумом на 54 и
стационарными точками на решениях, о которых шла речь в
предыдущем разделе. Поскольку все эти стационарные точки
расположены выше локального минимума, следует ожидать, что
они седловые, т. е. что гессиан (матрица вторых производных
от h) имеет отрицательные собственные значения, причем число
их тем больше, чем больше эйлерова характеристика х- «Ска-
«Скатываясь» из седловой точки, можно попасть, проходя через вы-
вырожденные метрики, в другую седловую точку, соответствую-
соответствующую меньшему значению эйлеровой характеристики х- Если
предположить, что х и т позволяют классифицировать компакт*
ные ориентируемые односвязные многообразия со спинорной
структурой, и воспользоваться оценками, полученными в "пре-
"предыдущем разделе, то нетрудно прийти к заключению, что число
седловых точек при значениях h, меньших некоторого задан-
заданного значения h\ или равных h\, конечно. Однако, как показы-
показывает пример многообразия S2X.S2, h не имеет нижней границы,
за исключением, возможно, областей Н, соответствующих ме-
метрикам с эйлеровой характеристикой, большей некоторого зна-
значения xi порядка 24 — значения эйлеровой характеристики
для КЗ.
6. Континуальное интегрирование
Можно надеяться, что интеграл для Z[A], взятый по Н,
т. е. по всем положительно полуопределенным метрикам на ком-
компактных многообразиях со всеми возможными топологиями,
удастся аппроксимировать разложениями в окрестностях точек
стационарной фазы, т. е. классических решений. Если параметр
Л мал, то по мере удаления от стационарной точки действие
претерпевало бы значительные вариации и можно предпола-
предполагать, что основной вклад в интеграл по траекториям сосредо-
сосредоточен вблизи стационарных точек. Иначе обстояло бы дело при
больших Л; в этом случае разложения в ряд по теории возму-
возмущений в окрестности различных решений в различных тополо-
топологиях скорее всего значительно перекрывались бы. Один из
способов, возможно позволяющих преодолеть эту трудность,
состоит в оценке интеграла E.3), взятого по конформным
множителям, на конкретном представителе g класса конформ-
конформной эквивалентности {g}, выделенного условием конформной
калибровки R = I, где / — некоторая функция. Производя
усреднение по всем калибровкам / с весовым множителем
а = ехр Га \ I2(g)'1'dlx\ и вводя соответствующий определитель

2. Пространственно-временн&я пена 59
Фаддеева — Попова, мы получили бы
Z [Л] = J D [Q] D [g] det [a'l'A] exp (- 7 [Q, g]), F.1)
где
/ = — J_ f (ЗЙДЙ - AQ" — 8mxtf2) (gI'2 d4* — 16a/2. F.2)
Последний член в F.2) включен для того, чтобы на классиче-
классическом решении выполнялось равенство 7 = /. С возможным вве-
введением дополнительного члена §RabRab это приводит к перенор-
перенормируемому, по крайней мере формально, разложению в ряд по
теории возмущений в окрестности классического решения. Чле-
Члены R2 и RabRab, фиксирующие калибровку, по-видимому, расхо-
расходятся, если метрика становится вырожденной, и поэтому могут
ограничить каждое разложение в ряд по теории возмущений
единственной топологией. Этот подход (так же как и все дейст-
действия с высшими производными) сталкивается с множеством
проблем, поэтому в настоящей статье я буду оценивать Z[A]
просто в однопетлевом или в ВКБ приближении. Как уже упо-
упоминалось, получаемая оценка должна быть разумна при малых
Л, но я надеюсь, что она информативна и при Л порядка еди-
единицы. Вклад в Z[A] от точки стационарной фазы или класси-
классического решения равен
Z[A, X] = L[A, Xlexp(-^r), F.3)
где ЦЛ, %] — однопетлевой член для гравитационных возму-
возмущений в окрестности решения. Поведение L при изменении Л
определяется аномалией следа или поведением гравитационных
возмущений с Л-членом при масштабных преобразованиях [9];
где
л,— С Г_53_г СаШ Г 869
F.4)
Таким образом, у имеет вид а%, где а ^ 106/45. Такое поведе-
поведение обусловлено тем, что на каждый инстантон приходится а
дополнительных мод. Принятая нами картина пены заставляет
ожидать, что In L будет пропорционален числу инстантонов %.
Поэтому разумно, по-видимому, принять следующую зависи-
зависимость:
где величина Ло связана с однопетлевым нормирующим множи-
множителем, или регуляризатором ц,.

60 С. У. Хокинг
Если предположить, что % и т позволяют классифицировать
топологии и что при заданной эйлеровой характеристике х вели-
величина / достигает максимума при т = 0, то вклад в Z[A] от
метрик с эйлеровой характеристикой х оказывается порядка
£rfi)
Чтобы сумма величин Z[A, %] по всем эйлеровым характеристи-
характеристикам х сходилась, параметр Л необходимо выбирать малым и
отрицательным. Получающееся выражение для Z[A] можно
продолжить аналитически на положительные значения Л. Вы-
Выполнив точно обратное преобразование Лапласа от F.6), мы
получим вклад в N(V) от метрик с эйлеровой характеристи-
характеристикой %:
„_( АР (^-)^/„-, (ЭД при V > 0, F.7)
1 0 при V <0.
Но зависимость от параметров станет более ясной, если обрат-
обратное преобразование Лапласа вычислить по методу стационар-
стационарной фазы. В действительности к большей точности не следует
и стремиться, так как величина Z[A, %] вычислена лишь в одно-
петлевом приближении. Точка стационарной фазы в интеграле
C.7) соответствует значению Л
Поскольку контур интегрирования должен проходить справа
от сингулярности при Л = 0, то квадратный корень следует вы-
выбрать со знаком плюс. Поэтому величину Z необходимо продол-
продолжить аналитически от отрицательных значений Л, при которых
она определена первоначально. Это аналитическое продолже-
продолжение эквивалентно умножению метрики на мнимый конформный
множитель. Такой множитель необходим для сходимости ин-
интеграла E.3), взятого по конформным множителям.
Метод стационарной фазы дает оценку
N(V, %) = Z[AS, x]exp(^). F.9)
Эйлерова характеристика, дающая основной вклад в N(V),
определяется уравнением
Интегрируя, получаем
Л ЛЪ
= 0, F.11)

2. Пространственно-временная пена 61
При Ло ~> d?/8n из F.11) следует As ~ Ло, а при Ло < d2/8jt
имеем Л5 ~ —d2/8na In Ло. И в том и в другом случае из F.8)
мы получаем оценку % ~ cV, где с — некоторая функция от Ло.
Она подкрепляет картину пространственно-временной пены, по-
поскольку ее можно интерпретировать как утверждение, что
главный вклад в число состояний дают метрики, в которых на
объем с~1 приходится один гравитационный инстантон.
Величину Ло~'/г можно рассматривать как форм-фактор,
обрезающий логарифмически расходящийся однопетлевой член.
Однопетлевой или квадратичный по возмущениям член в окрест-
окрестности классического решения служит хорошим приближением
лишь при больших длинах волн, но утрачивает точность при
длинах волн, меньших планковской длины. Можно ожидать, что
эти короткие волны подвержены сильным флуктуациям тополо-
топологии, тогда как на расстояниях, превышающих масштаб планков-
планковской длины, флуктуации не сказываются сколько-нибудь замет-
заметным образом на топологии. Следовательно, форм-фактор Ло"'/г
разумно выбрать порядка планковской длины. Как показывают
приведенные выше вычисления, главный вклад дают метрики
порядка одного гравитационного инстантона на единицу план-
ковского объема. Однако к подобному выводу следует отно-
относиться с осторожностью, поскольку рассматриваемая нами си-
ситуация находится на границе применимости ВКБ-приближения.
Возможно, следовало бы принять иерархическую картину, в ко-
которой эффективная топология пространства-времени зависит от
того, при каком увеличении мы рассматриваем картину. При
малом увеличении топологии по существу нет, но при большом
увеличении, позволяющем различать отрезки, длина которых
меньше планковской, появляются все более и более сложные
топологии.
В физике элементарных частиц такая картина простран-
пространственно-временной пены могла бы привести к предсказаниям,
допускающим экспериментальную проверку. Инстантоны мож-
можно было бы рассматривать как виртуальные черные дыры, ко-
которые появляются и исчезают. Такие частицы, как барионы или
мюоны, могут попадать в эти черные дыры и вылетать из них
в виде элементарных частиц других разновидностей, созда-
создавая тем самым некий механизм барионного и мюонного рас-
распада. Амплитуды тех или иных реакций еще предстоит вы-
вычислить.
7. Супергравитация
В теории супергравитации объем пространства-времени не
принадлежит к числу суперсимметрийных инвариантов. Это
означает, что Л-член невозможно ввести как множитель

62 С. У. Хокинг
Лагранжа и получить не зависящие от калибровки величины
Z[A] и N(V). С другой стороны, в расширенных теориях супер-
супергравитации, в которых векторные частицы калиброваны внут-
внутренней группой симметрии G с константой связи е, эффективный
Л-член пропорционален —е2. Этот результат вызвал сильное
замешательство, поскольку он означает, что плоское про-
пространство не является классическим решением теории и, следо-
следовательно, использование обычного разложения по диаграммам
Фейнмана в окрестности плоского пространства незаконно.
Однако, как показано в разд. 4, существуют обширные классы
решений с эйлеровой характеристикой %, пропорциональной e4V,
которые выглядят почти плоскими, если их рассматривать на рас-
расстояниях, превышающих етх. По-видимому, существуют и дру-
другие классы классических решений, в которых негравитационные
поля отличны от нуля и не связаны преобразованиями супер-
суперсимметрии с нулевыми негравитационными полями. Можно ожи-
ожидать, что эти дополнительные решения связаны с какими-то но-
новыми топологическими инвариантами, характеризующими негра-
негравитационные поля и дающими положительные, не зависящие
от масштаба вклады в действие. Если бы это было так, то
решения, о которых шла речь в разд. 4, могли бы давать глав-
главный вклад в статистическую сумму Z, которая зависела бы от
е2 и была бы равна полному числу состояний в теории. Конти-
Континуальный интеграл, взятый по всем негравитационным полям
и всем метрикам с эйлеровой характеристикой х. давал бы
Z[e2, xl — число состояний с эйлеровой характеристикой %.
В однопетлевом приближении
при Л = Л', где
Л = — ..
величина Z[e2, %] достигает максимума. Заметим, что Л' не за-
зависит от нормирующей величины Ло и от %, так как показатель
у в грубом приближении можно считать пропорциональным х;
Z достигает максимальных значений при некоторых выделенных
значениях е' константы связи. Трудно устоять перед искуше-
искушением и не пуститься в спекуляции относительно того, что именно
эти дискретные значения е' позволяют понять, почему безраз-
безразмерные константы связи имеют те значения, которые мы наблю-
наблюдаем в эксперименте. Однако подобные заключения носят чисто
умозрительный характер. Чтобы они стали доказательными,
требуется построить расширенную теорию, в которой константы
связи были бы динамическими переменными,

2. Пространствённо-временнйя пека 63
ЛИТЕРАТУРА
1. Wheeler J. A., in: Relativity Groups and Topology, eds. B. S. and G. M. De^
Witt, Gordan and Breach, New York, 1964.
2. Regge Т., Nuovo Cimento, 19, 558 A961).
3. Stelle K., Phys. Rev., D16, 953 A977).
4. Gibbons G. W., Hawking S. W., Phys. Rev. О154 2752 A977).
5. Hawking S. W., Phys. Rev., D. (to be published).
6. Hawking S. W. in General Relativity. An Einstein Centennary Survey, Cam-
Cambridge University Press (to be published), March, 1979.
7. Freedman D. Z., Das A., Nucl. Phys., B120, 221 A977).
8. Васильев М., Фрадкин Е. С. Препринт ФИАН.
9. Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be published).
10. Massey W. F., Algebraic Topology an Introduction, Harbrace College, Mathe-
Mathematical Series (Solomon Bochner and W. G. Lister, Editors), Harcouft,
Brace and Worlds Inc. N. Y. (Chicago) San Francisco/Atlanta, A967).
11. Markov M., Proc. Inc. Congress of Mathematicians, 1958.
12. Whitehead J. H. C, Amer. J. Math., 72, 1 A952).
13. Hawking S. W., Phys. Rev., D13, 191 A976).
14. Gibbons G. W., Hawking S. W., Perry M. J., Nucl. Phys., В (to be pub-
published).
15. Page D. N., Phys. Rev., D (to be published).
16. Gibbons G. W., Hawking S. W., The Classification of Gravitational Instan-
- ton Symmetries, preprint, 1978.
17. Hitchin N., Journal of Diff. Geo., 9, No. 3, 435 A974).
18. Yau S. Т., Proc. Natl. Acad. Sci. U. S., 74, 1798 A971).

3. Инстантоны и монополи в теориях
калибровочных полей Янга—Миллса
М. К. Прасад
Prasad M. K.l\ Physica ID A980), 167—191.
Обзорная статья, посвященная инстантонам и
монополям и рассчитанная на тех, кто не знаком с
теориями калибровочных полей Янга — Миллса. Да-
Даются уравнения основных полей и их известные
решения с краткими физическими мотивировками и
минимумом математического аппарата. Особое вни-
внимание уделяется еще не решенным проблемам.
1. Введение
Постепенно формируется убеждение, что четыре фундамен-
фундаментальных физических взаимодействия (гравитационное, электро-
электромагнитное, слабое и сильное) обусловлены калибровочными
полями.
1. Электромагнитное взаимодействие. Это взаимодействие —
наиболее изученное из всех физических взаимодействий. Кали-
Калибровочная теория описывает взаимодействие между калибро-
калибровочными частицами, называемыми фотонами (свет!), и электри-
электрически заряженными частицами, такими, как электрон. В соче-
сочетании с принципами квантовой механики теория, называемая
КЭД (квантовая электродинамика), достигла эффектного успе-
успеха в объяснении эксперимента. Например, теоретическое и экспе-
экспериментальное значения магнитного момента электрона совпа-
совпадают с точностью до девятого знака!
2. Слабое взаимодействие. Нобелевская премия по физике
1979 г. была присуждена Глэшоу, Саламу и Вейнбергу за их
работу по объединению электромагнитного и слабого взаимо-
взаимодействий посредством калибровочной теории. Часть этой теории,
относящаяся к слабому взаимодействию, описывает взаимо-
взаимодействие между еще не наблюдавшимися калибровочными ча-
частицами, называемыми промежуточными бозонами, и извест-
известными частицами, в частности нейтрино. Хотя эта теория не так
надежно обоснована, как электромагнетизм, она достигла зна-
значительных успехов в упорядочении экспериментальных данных.
') Institute for Theoretical Physics, State University of New York, Stony
Brook, Long Island, N.Y. 11794, USA.
© North-Holland Publishing Company
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 65
В частности, она предсказала существование «очарованных»
частиц, которые впоследствии были открыты Рихтером и Тин-
гом (и их сотрудниками), за что они получили в 1976 г. Нобе-
Нобелевскую премию по физике.
3. Сильное взаимодействие. Калибровочная теория описывает
взаимодействие между калибровочными частицами, называе-
называемыми «глюонами», и сильно взаимодействующими частицами,
называемыми адронами (такими, как протоны и нейтроны),
которые, по-видимому, состоят из (еще не наблюдавшихся!)
«кварков». В сочетании с принципами квантовой механики
теория, называемая КХД (квантовая хромодинамика), объ-
объясняет, почему протоны иа очень малых расстояниях ведут
себя так, как будто они состоят из точечных объектов, назван-
названных партонами. Важнейшая проблема в КХД — объяснить яв-
явления, связанные с большими расстояниями, в частности почему
мы не наблюдаем кварки и глюоны как физические объекты.
Это — так называемая проблема удержания (конфайнмента)
кварков. Газета «Нью-Йорк тайме» C1 августа 1979 г.) сооб-
сообщила об экспериментах, которые подтверждают кварк-глюон-
ную картину КХД.
4. Гравитационное взаимодействие. Это взаимодействие из-
известно дольше всех остальных; по общепринятому мнению оно
описывается калибровочной теорией, хотя детали еще подлежат
выяснению. По иронии судьбы гравитация до сих пор не подда-
поддалась объединению с квантовой механикой. Квантование гравита-
гравитации — одна из самых острых проблем в современной теоретиче-
теоретической физике. Еще более грандиозный замысел — объединение
с помощью калибровочной теории всех четырех фундаменталь-
фундаментальных взаимодействий — создание так называемой теории супер-
супергравитации.
Таким образом, очевидно, что. принятие калибровочного
поля имеет глубокие корни в физических явлениях. По-
Поэтому физики с крайним изумлением восприняли весть, что
понятие калибровочного поля совпадает с геометрическим
понятием расслоенного пространства, которое было развито
математиками совершенно безотносительно к физической реаль-
реальности ').
При этом не только калибровочное поле есть геомет-
геометрическое понятие, но оказывается еще, что топологиче-
топологическая сложность является важной характеристикой калибро-
калибровочного поля. Это было понято недавно (в течение послед-
последних пяти лет), после открытия магнитного монополя т'Офтом
и Поляковым и инстантона Белавиным, Поляковым, Шварцем
и Тюпкиным.
') Точнее говоря, калибровочные поля суть связности и сечения расслоен-
расслоенных пространств. — Прим. ред.

66 М. К. Прасад
Физическая интерпретация магнитных монополей очень про-
проста: они могут существовать как физические объекты (как пред-
предположил Дирак много лет назад), должны быть устойчивы по
отношению к распадам, протяженны (не точечные) и очень тя-
тяжелы. Решения в виде магнитных монополей могут также иметь
косвенные физические приложения благодаря их специальной
роли в теоретических моделях, таких, как КХД, но эти прило-
приложения еще не выяснены.
Физический смысл инстантонных решений много тоньше, в
частности они очень важны в КХД (некоторые даже думают,
что инстантоны могут разрешить проблему удержания квар-
кварков!). В настоящее время в физике проявляется огромная ак-
активность в этом направлении.
Пионерская работа Янга и Миллса легла краеугольным кам-
камнем в основания теоретической физики, где концепция калибро-
калибровочных полей обусловлена чисто физическими соображениями.
Для понимания физики калибровочных полей мы рекомендуем
читателю изучить оригинальную статью Янга и Миллса, так
как никакой обзор не может сравниться с ясностью изложения
авторов. Цель настоящей обзорной статьи — описать для неспе-
неспециалистов основные аспекты инстантонных и монопольных ре-
решений в калибровочной теории Янга — Миллса. Порядок изло-
изложения в обзоре скорее логический, чем исторический, поскольку
история открытий, особенно в отношении монопольных реше-
решений, чрезвычайно запутана.
2. Предварительные математические сведения
Цель этого раздела — ввести условные обозначения и дать
математические формулы, которые мы будем использовать в
наших вычислениях.
Рассмотрим М-мерное пространство с координатами х^ =
= (хи х2 хм) (индекс ц принимает значения 1, 2, ..., М).
Метрика этого пространства задается символом Кронекера S^v,
где
"Мприц-у,
О при ц ф v,
так что между контравариантными и ковариантными индексами
нет различия: х^ э= х^-. В частности, скалярное произведение лю-
любых двух М-векторов а^ и Ь^ имеет вид
аА = а A^v = «i*i + «А + ■ ■ ■ + aMbM, B.2)
где мы, как и всюду ниже, пользуемся эйнштейновским прави-
правилом суммирования по повторяющимся дважды индексам.

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей
67
Полностью антисимметричный постоянный тензор е,^, ц2,..., m
в М-мерном пространстве определим как
+ 1, если Ць ц2. •••> И-л* — четная
перестановка 1, 2, 3, . .., М,
\i2,..., \>.м^^ — 1, если Hi, ц2, .., v-м — нечетная B-3)
перестановка 1, 2, 3, ..., М,
О в остальных случаях.
Для тензора е справедливо следующее тождество:
бц... v. 6|i2, v( • • . Ьцм, v
. B.4)
где |...| обозначает определитель. Таким образом, определи-
определитель матрицы Ару порядка М есть
В e,, v2, .... vyn^,, v,^. v2 • • • i4^M. vM.
След матрицы Дцу равен
Тг Ару = -
B.5)
B.6)
Матрицу с нулевым следом будем называть бесследовой. Для
любых двух матриц А и В имеем
B.7)
Эрмитово сопряженную и обратную матрицы для матрицы А
будем обозначать Л+ и А-1 соответственно. Матрица L является
эрмитовой, если L+ = L; она является антиэрмитовой, если
L+ = —L, и унитарной, если L+ = Lrl.
Дифференцирование по х^ будем обозначать символом д^,
так что
я _ д ( д^ д
det A. B.9)
Для матрицы, зависящей от %, имеем тождество
^А)
Тг
det А =
Для любых двух матриц А и В определим их коммутатор
[Л, _BJ —4В-04* B-10)

68 М. К. Прасад
Имеет место простое тождество
[1д„ А]швд^А, B.11)
где / — единичная матрица 8^. Для доказательства B.11) за-
заметим, что [Id^, А]В = д1х(АВ) — Ла11В = (д|1Л)В.
Центральную роль в понимании топологии калибровочных
полей для нас будет играть теорема Гаусса (о дивергенции)
для интегралов в М-мерном пространстве. Пусть Ям — область
М-мерного пространства и Rm-i—(М—1)-мерное подмноже-
подмножество, которое является границей Rm- Точкам М-мерного про-
пространства можно сопоставить М параметров |„, а = 1, 2, ..., М.
Координаты в этом пространстве задаются параметрически
уравнениями
*и=М11. h, .... Ы> ц = 1, 2, ..., М. B.12)
Зададим элемент «площади» следующим образом:
дхл дх дх
**■ «4 ^-Ч. v2 ^ 1^"^ • • • ~«)' <2-13)
где (rfMi) ^ d^id^i ... d§M- Теперь теорема Гаусса может быть
записана в следующем виде:
$У, J /.Л^-Ч). B.14)
где
(dMx) ss rfx, йлг2 ... dxM,
Полезно напомнить, что элементы объема в трех- и четырех-
четырехмерных пространствах равны соответственно
(d3x) a* dxi dx2 dx3 в г2
где r^(x\ + xl+xiyi'>Q, и
(d4x) ^ ix1 dx2 dx3 dXi = R3 dR (fi?3Q3), B.16)
где R=a(x\ + x\ + x\+ xfL* > 0, а телесные углы в случая
М = 3 и М = 4 равны
= J
= 4я и Q? = J (rf^3) = 2л2, B.17)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей ка
3. Теория калибровочного поля Янга — Миллса:
основные понятия и формулы
Алгебры Ли. Представление алгебры Ли — это множество
N антиэрмитовых бесследовых матриц Та, а = 1, 2, ..., N,
удовлетворяющих уравнениям
[Г, Tb\ = fabcTc, C.1)
где / — (действительные) структурные константы некоторой ком-
компактной группы Ли G. Представление Т всегда можно выбрать
так, чтобы след Тг(ГаР) был пропорционален 8аЬ, хотя коэффи-
коэффициент пропорциональности может зависеть от представления.
Картановское скалярное произведение определяется следующим
образом:
(Г, Ть) = ЬаЬ; C.2)
таким образом, оно пропорционально следу произведения ма-
матриц Та и Ть.
Калибровочные поля. Основные объекты калибровочной тео-
теории— это янг-миллсовские калибровочные потенциалы. Калибро-
Калибровочные потенциалы представляют собой множество векторных
полей А^(х) (где а = 1, 2, ..., N и ц=1, 2, 3, 4). Матрич-
нозначное векторное поле А^,(х) определяют следующим обра-
образом:
C.3)
где g — постоянная, называемая калибровочной константой
связи. Из матричнозначных калибровочных потенциалов стро-
строится матричнозначное калибровочное поле напряженностей
/Ц = [/а,, + Ли, 1ду + Av]. C.4)
Как Лц, так и F^v являются антиэрмитовыми бесследовыми
матрицами. В явной компонентной форме F^ = gTaF^, где
F£v = д»А% - dvAl + gfabcAlA%. C.5)
Для нас будут полезны как матричная, так и явная компонент-
компонентная формы калибровочного потенциала и поля напряженностей.
Мы будем применять выражение «статические калибровоч-
калибровочные поля» для калибровочных потенциалов, которые не зависят
ОТ Х4.
СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: дДгМ = 0 C.6)
(ц = 1, 2, 3, 4).
Слово «статические» используется потому, что х* можно рассма-
рассматривать как временную координату, а Ц, хг, х$— как простран-

70 М. К. Прасад
ственные координаты в полном четырехмерном пространстве
{х\, х% Хз, х4).
Функционалы действия и энергии. Для калибровочных по-
потенциалов, зависящих от всех четырех евклидовых координат
Хц = (хи Х2, Хз, х4), мы определим функционал действия
S ^-±- J (d*x) </>, /vv> = 1 J (Л) «v > 0. C.7)
Для статических калибровочных полей, которые не зависят от
Х4, мы определим функционал энергии
{d3x)Fl^>Q. C.8)
Калибровочное преобразование. Как функционал действия S,
так и функционал энергии Е инварианты относительно следую-
следующих преобразований, называемых калибровочными:
F —~+U~ F U
где U = е^*O", а 1Ка(х) — N произвольных действительных
функций. Если F^v обращаются в нуль, то А^ есть калибровоч-
калибровочное преобразование нуля, иными словами, «чистая калибровка».
ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА: /> = 0=5>All=U~1dilU (ЗЛО)
для некоторого U(x).
При действии калибровочного преобразования C.9) объект
dxFuv преобразуется не так просто, как объект dx^nv+ [Лх, F^v]-*-
->- £/""' {dxF^y + [Лх, Fuv]}^- Поэтому определяется «ковариант-
ная» производная
D^d^ + A^, C.11)
так что коммутатор [Z)u, Fxv] ведет себя просто при калибро-
калибровочных преобразованиях.
Уравнения движения Янга — Миллса. Физика калибровоч-
калибровочных полей определяется функционалами действия S и энергии Е.
Когда к калибровочной теории применяют принципы кванто-
квантовой механики, кажется, что задачу невозможно решить точно,
поэтому прибегают к различным приближенным схемам. В очень
важной приближенной схеме, называемой квазиклассической
аппроксимацией, обнаруживается, что важные физические кон-
конфигурации определяются локальными минимумами функцио-
функционалов действия S и энергии Е. Таким образом, в контексте
квазиклассической аппроксимации проводится изучение калибро-
калибровочных полевых конфигураций, которые локально минимизи-
минимизируют S а Е.

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 71
Экстремумы (не обязательно минимумы!) действия S и энер-
энергии Е находятся стандартными вариационными вычислениями,
которые приводят к следующим уравнениям Эйлера — Ла-
гранжа:
V*w + [А„, F^] = [ZV, F^\ = 0, C.12)
или в явной компонентной форме
^X-o. C.13)
В калибровочной теории уравнения C.12) и C.13) называют
уравнениями движения Янга —тМиллса. Они являются связан-
связанными нелинейными дифференциальными уравнениями в част-
частных производных для калибровочного потенциала Л£; кажется
невероятным, что они могут быть решены точно. Даже если
можно найти решения уравнения C.12), нужно проверить, что
они действительно соответствуют локальным минимумам S и Е,
а не локальным максимумам в функциональном пространстве —
проблема, которая сама по себе является достаточно трудной.
Инстантоны и монополи. За последние пять лет было сде-
сделано замечательное открытие, которое заключается в следую-
следующем:
Для данных граничных условий, определяемых топологиче-
топологическим зарядом, который принимает целые значения, инстан-
инстантоны и монополи доставляют абсолютные минимумы функ-
функционалам действия S и энергии Е соответственно.
Приведенное выше утверждение неявно предполагает, что S
и Е конечны. Топологический заряд q (=0, 1, 2, ...) разбивает
калибровочный потенциал на классы по его поведению на беско-
бесконечности (в евклидовом пространстве) таким образом, что ни-
никакая непрерывная деформация калибровочного потенциала не
может изменить q. В математике такие классы известны как
гомотопические. ■
Тождество Бьянки. Рассмотрим тождество Якоби для кова-
риантной производной D^ = д^ + А ^
WK, [ZV, А,]] + [ZV [Z)v> Z)J] + [Z)v> [Z)b Z)J]sO. C.14)
Теперь калибровочное поле F^ может быть записано в виде
F^ = д^А, - д^ + [Ац, А,] = [D^, Z)v]. C.15)
Умножение тождества Якоби C.14) на полностью антисимме-
антисимметричный тензор Sp,vxp дает
UV Vvv] = 0, где •/7|1V«4'VvXpV C-16)
Тензор *FVLv является дуальным к тензору калибровочного поля
F^v. В калибровочной теории тождество C.16) называют тож-
тождеством Бьянки.

72 М. К Прасад
Автодуальность. Сравнивая тождество C.16) с уравнением
движения Янга — Миллса C.12), мы видим, что любое калибро-
калибровочное поле, являющееся автодуальным
F^ = *F»v, C.17)
автоматически удовлетворяет уравнению C.12). Уравнение
C.17) является нелинейным уравнением в частных производ-
производных первого порядка для калибровочного потенциала Л£, по-
поэтому оно много проще, чем уравнение C.12), которое имеет
второй порядок. Мы увидим, что как инстантоны, так и моно-
поли являются решениями уравнения C.17).
Выбор калибровочной группы SUB). До сих пор мы не
уточняли (ради общности), какова компактная группа Ли G.
Чтобы избежать ненужных усложнений, ниже мы будем рас-
рассматривать простейшую группу Ли, а именно SUB). Существен-
Существенные особенности инстантонов и монополей лучше всего прояв-
проявляются в калибровочной теории SUB). Конечно, можно систе-
систематически обобщать результаты калибровочной теории SUB)
на калибровочную теорию любой компактной группы Ли G.
Для калибровочной теории SUB) структурные константы
fauc образуют трехвалентный полностью антисимметричный по-
постоянный тензор гаьс'
группа SUB): fabc = гаЬс(а, b, c==l, 2, 3). C.18)
Мы будем использовать представление матрицами второго по-
порядка антиэрмитовых бесследовых матриц Та:
Г==Т' а=1> 2, 3, / = У^Т, C.19)
где аа — матрицы Паули:
Матрицы Паули удовлетворяют следующему уравнению:
Картаново скалярное произведение для представления C.19)
равно:
(Та, Гй> = ЬаЬ = - 2 Тг ТаТ". C.22)
4. Точное определение инстантонов
Мы начнем с тривиального неравенства
~ {- Тг (/> - */>) (F^ - mF^)} > 0, D.

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 73
из которого следует неравенство
S = W \ {d4x) {~ Tr F^F^ > W S {d*x) {~ Tr V^v), D-2)
так как *F]IV*FIIV = FuvFttV. В неравенствах D.1) и D.2) знак
равенства достигается только для автодуальных калибровочных
полей FuV = *Flly.
Используя антисимметричность тензора е^хр и свойство сле-
следа Тг АВ = ТтВА, можно доказать следующее тождество:
-Tr/VF^ed^, D.3)
где
Тождество D.3) позволяет преобразовать интеграл в правой ча-
части неравенства D.2) в поверхностный интеграл с помощью
теоремы Гаусса:
V
4
Интеграл в правой части равенства D.4) берется по сфере
5|:ЗД1 = *? + *22 + *2з + *4 = #2. D.5)
При использовании теоремы Гаусса мы неявно предполагали,
что функционал действия S конечен. Это в свою очередь озна-
означает, что
при Я->оо: /^ = 0 «ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА»=»-Л|1 = £/-1д|1С/.
D-6)
Здесь мы использовали равенство C.10); U — произвольная
унитарная матрица второго порядка с определителем, равным
единице, так что
U = IV4 (Xf) - ioaV и»), Vl + VaVa — 1. D.7)
Из равенства D.6) и D.7) следует
при V ^ifi}
D.8)
) (daVp) (dzVJ. D.9)
Сфера {S% : x^x^ = х\ + х\ + х\ + х\ = R2} может быть параме-
параметризована тремя параметрами |e (a=-l, 2, 3); х^ = х^а)-
Используя равенства B.13) и B.15) при М = 4, получаем эле-
элемент объема в виде
J №) D.10)

74 М. К- Прасад
Подстановка выражений D.9) и D.10) в равенство D.4) дает
—
Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой ча-
части равенства D.11) удовлетворяет следующему тождеству:
= 36 det
Va dVa I
= 36 [определитель Ig'apl метрического тензора ga^ единичной
сферы VaVa=V24+VV + V2V2+V3V3=l]. D.12)
Следовательно,
d*x) {- Tr F^F^} =-^ Jirn J (rf3|) Vl"i^T= ^<7- D.13)
^ = топологический заряд=0, 1, 2 ...,
так как, в то время как точка (|ь |г, £з) пробегает по сфере
5| один раз, вектор Va может пробегать сферу VaVa = v\ +
,+ V'V" + ЙУ2+ V^V3 = 1 ^ раз, каждый раз давая вклад в виде
4-мерного телесного угла \ (д?3|) = 2я2.
Таким образом, используя равенства D.12) и D.13), мы
устанавливаем следующее неравенство для функционала дейст-
действия S:
S>~q, 9 = 0, 1, 2, ... D.14)
Знак равенства достигается только для автодуальных калибро-
калибровочных полей Ffiv = *Fixv- Топологический заряд q в случае ин-
стантонов называется инстантонным числом. Неравенство
D.14) показывает, что для любого данного q автодуальные ка^
либровочные поля доставляют абсолютный минимум функцио-
функционалу действия S.
Вопрос о достижимости равенства S = (8я2/§2) q является
динамической, а не топологической проблемой и требует по-
построения явных решений уравнений автодуальности F^ = *Fixv
Потребовались огромные усилия как физиков, так и математи-
математиков, чтобы получить явные решения уравнений автодуальности
Fpv = *F,xv. Попытки начались с пионерской работы Белавина,
Полякова, Шварца и Тюпкина (БПШТ) для q = 1 и достигли
высшей точки в работе Атьи, Дринфельда, Хитчина и Манина

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 75
(АДХМ) для любого q. АДХМ-конструкция была получена с
использованием современной математики — дифференциальной
и алгебраической геометрии, математики, слишком сложной для
большинства физиков. Парадоксально, что АДХМ-конструкцию
очень трудно получить, но очень просто описать, как мы увидим
в разд. 6.
5. Точное определение монополей
Для монополей калибровочные поля являются статическими,
в смысле равенства C.6). В случае монополей полезно рабо-
работать с компонентами калибровочного потенциала и напряжен-
ностей. Если ввести два векторных поля В% и £«, определяемых
следующим образом (a, k = 1, 2, 3):
E.1)
у 4iFi = \ гкШ \diA% - dAat + gsabcAbiAc]
то функционал энергии принимает вид
В% = у 4imFim = \ гкШ \diA% - dmAat + gsabcAbiAcm], E.2)
= \\ {d3x) FjvFSv = т \ (d3x) [BlBl + EiEi] = E.3)
E-4)
E.5)
Знак равенства в E.5) достигается только тогда, когда В% = Е%.
Последнее равенство является в точности уравнением авто-
автодуальности F^v = *F^v Для статических калибровочных полей.
Подынтегральное выражение в E.5) может быть приведено
к следующему виду:
s dk {BlAl) - A1 [<hBak + 8гаЬсА1в%] э д„ {BakAi). E.6)
Второе тождество в E.6) следует из статического случая тож-
тождества Бьянки (равенство C.16)).
Тождество E.6) позволяет преобразовать интеграл в E.5)
в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса
\{d3x)BakE%= lim \ (d2ok) BlA$, E.7)
где интеграл в правой части берется по сфере
E.8)

76 М. К. Прасад
Используя теорему Гаусса, мы неявно предполагаем функцио-
функционал энергии Е конечным. Это в свою очередь означает, что
при r-^oo: Fkl = Q «ЧИСТАЯ КАЛИБРОВКА» =>Ak = U~ldkU,
E.9)
при г -* оо: dkAt + gzabcAbkA\ = 0. E.10)
Здесь мы использовали равенства C.10); U — любая унитарная
матрица второго порядка с определителем, равным единице.
Умножая равенство E.10) на At и используя антисимметрич-
антисимметричность тензора гаьс, получаем dk{A'iAf} = Q, так что
при r->co: Ai = — -j-Oa, где ФаФа=1, c = const>0.
E.11)
Конкретная комбинация констант (—c/g) в равенстве E.11),
где g—калибровочная константа связи, выбирается из сообра-
соображений дальнейшего удобства. Используя E.11), можно разре-
разрешить равенство E.10) относительно А%\
при г -+ оо: Aak = -j- ъаЬсФь (д,Д>с) + Фа (л|6й). E.12)
Подстановка равенства E.12) в E.2) дает В% при г->-оо; ис-
используя E.11), мы находим
при г -> оо: В%А% = ^гаЬсгЫтФа (д,Фй) (дтФс) - ^
E.13)
Сфера {S2r: xkxk = х\ + х\ + лгз = г2} может быть параметризо-
параметризована двумя параметрами £а (а = 1, 2): xk = xk(%a)- Используя
равенства B.13) и B.15) при М = 3, получаем элемент пло-
площади d2Gk в виде
(<Рок) = 1 вк1т jfj^-tat (d%), E.14)
так что равенство E.7) принимает вид
"»«. Да дФЬ дФс
еФ
\\й
х) ВкЕк =
При выводе равенства E.15) мы использовали обращение тео-
теоремы Гаусса
lira \ (d2ak) гы^ (АьтФс) = \ (d3x) гЫтдф1 (АьтФс) а 0.
E.16)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 77
Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой ча-
части равенства E.15) удовлетворяет следующему тождеству:
L Cc
= 4 [определитель | ^яй | метрического тензора gab на единичной
сфере ФаФа = (ф'J + (Ф2J + (Ф3J = l]. E.17)
Следовательно, мы имеем
[{Лъх)в1Е1 = Аг lim \ (d%) л/\1пь~\ = ^т q, E.18)
J 8 г -> оо J S
q — топологический заряд = О, 1, 2, ...,
так как, в то время как точка (£i, £2) пробегает по сфере Sr
один раз, вектор Фа пробегает единичную сферу ФаФа = Ф'ф' +
-J- ф2ф2 -(- Ф3Ф3 = 1 q раз, давая каждый раз вклад в виде трех-
трехмерного телесного угла \ (d%) = 4л.
Таким образом, используя равенства E.5) и E.18), мы
устанавливаем следующее неравенство для функционала энер-
энергии Е:
E^-^-q, q = 0, I, 2, .... где lim ЛМ?— -т-. E.19)
S Г->оо о
Равенство достигается только для статических автодуальных
полей Bl = El. Топологический заряд q в случае монополей
называется магнитным зарядом. Неравенство E.19) показы-
показывает, что для любого данного q статические автодуальные ка-
калибровочные поля доставляют абсолютный минимум функцио-
функционалу энергии Е.
Вопрос о том, достижимо ли равенство Е = {bnc/g2)q, пред-
представляет собой динамическую, а не топологическую проблему и
требует построения явных решений уравнений автодуальности
В% = Е%, а для нетривиальных решений с Ф 0 ф q. Решение
для магнитного заряда q = 1 было дано Прасадом и Зоммер-
фельдом. До сих пор никому не удалось построить явные моно-
монопольные решения для магнитного заряда ^>1; в действительно-
действительности не известно, существуют ли вообще такие решения. Мощные
методы дифференциальной и алгебраической геометрии, такие
полезные для инстантонов, кажутся неприменимыми к мо-
нополям. В разд. 7 дается монопольное решение для q=l, а в
разд. 8 обсуждаются попытки построения многомонопольных
решений для q > 1 ').
') Как указано во вступительной статье, сейчас известны и теоремы суще-
существования, н методы построения всех многомонопольных решений алгебро-
геометрическими средствами. — Прим. ред

78 М. К- Прасад
6. Явные инстантонные решения
Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В пер-
первом подразделе мы вводим тензоры т'Офта г\ и fj вместе с раз-
различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры
ц и fj особенно полезны для построения явных инстантонных
решений. Далее мы представляем исходное инстантонное реше-
решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина (БПШТ) для
i/=l н обсуждаем различные его особенности. В третьем под-
подразделе мы объясняем анзац Корригана — Фэрли — т'Офта —
Вилчека (КФТВ), приводящий к инстантонным решениям для
произвольного целого q. Здесь же мы описываем различные
свойства решения т'Офта, в частности почему оно не является
полным решением. Последний подраздел посвящен конструкции
Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ), которая
дает полные инстантонные решения для произвольного q.
6.1. Тензоры т'Офта ц и ц
Определим следующие четыре вектора:
при ц = 4, +=/^ при 'i==4>
a при ц = а=1, 2, 3, а* ^i—iaa при ц = а=1, 2, 3,
F.1.1)
где / — единичная матрица второго порядка, а а" — матрицы
Паули C.20). Используя уравнение C.21), мы находим
otftfv + <У$в\х == огцОчГ + вт/в* = 21Ь^. F.1.2)
Тензоры т'Офта г\ и fj мы определим следующим образом:
TW = — -j (ofpTofv — очГоГц). F.1.3)
%iv = — -4 (w$ — <Ь<тJ). F.1.4)
Существенное свойство тензоров tj и fj, вытекающее из уравне-
уравнения C.21), заключается в том, что они авто- и антиавтодуальны
соответственно:
8% *%v, F.1.5)
8Л *J F.1.6)
Тензоры Tjnv и fjnv являются антиэрмитовыми бесследовыми
матрицами второго порядка и, таким образом, могут быть запи-
записаны как линейные комбинации матриц Паули ora:
TJnv ~2i > F.1.7)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 79
где тензоры tj^v и tj£v имеют только действительные компо-
компоненты. Используя уравнение C.21), т'Офт получил ряд очень
полезных тождеств, которым подчиняются л и л. Вот некоторые
из них
^ Л f$ еЛ F.1.8)
> F.1.9)
F.1.10)
= 36Va. F.1.11)
=12, F.1.12)
+ ^а&, F.1.13)
&\i$va ~ б^ар F.1.14)
+ бабсЛ^а, F.1.15)
— Q. —6 в в I — С (п 1 1 с\
Л^Лца = OaftOva "Г ^аЬсЦча> (O.L.IО)
^ЛаР = бцаЛ°р — бдрЛ°а — бшЛ^Р + бveЛ^a, F.1.17)
— Ь — С s —О. 8 — U s —в IS *^ //? 1 1 О\
ЛЛ OaЛve — OtipЛva ~ ^аЛиб + СЬрЛ^. (Ь. 1.1 б)
= 0, Л^Лца = ЛSa'П^^v• F.1.19)
Любой антисимметричный тензор Т^ = —7Vti может быть
записан как сумма автодуальной и антиавтодуальной частей:
Т^ = - 7V = 1 (Г^ + *7VV) +1 (Г^ - Т^), F.1.20)
где ^х^т^врГв». FЛ.21)
Комбинации (Г^ ± *Ту.„) могут быть также записаны следую-
следующим образом:
71tiv ± *Т^ = j Fna6vp — бцрбзд ± е^^р) Гар = F.1.22)
^Р^арГар. F.1.23)
Равенство F.1.23) определяет проектор Рш на автодуальную
(+) и антиавтодуальную (—) части. Из равенств F.1.13) и
F.1.14) следует
^ Л^Л- F.1.24)

80 М. К. Прасад
Если тензор Т является автодуальным, то
Т^ = *7Vv ««=► rCvrtTat = 0. F.1.25)
Умножая равенство F.1.25) на f}£v и используя равенство
F.1.10), получаем
= О. F.1.26)
6.2. Исходное инстантонное решение Белавина — Полякова —
Шварца — Тюпкина для q = 1
Инстантонное решение БПШТ для q = 1 представляется сле-
следующим образом:
^в7(?-х,у + я" (*-*оJ-(*-*«), (*-*«)„ F.2.1)
где (ato)v и X — пять свободных параметров, связанных с поло-
положением и масштабом инстантона соответственно. Используя
равенство F.1.17), калибровочное поле для F.2.1) можно запи-
записать в виде
ра — па 2. 1 . (Р. о о\
"HV TIHV g IIх _ х\2 _{. ^272 > У.УУ.4.4)
в силу F.1.5) оно, очевидно, является автодуальным. Функцио-
Функционал действия S для поля F.2.2) легко вычислить и представить
в виде
S = ^f-. F.2.3)
Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонного
решения для q = \, зависящую от пяти параметров. Действи-
Действительно, с помощью теории деформации можно показать, что
если существует SUB) -инстантонное решение с топологическим
зарядом q, то плотность действия (т. е. F^F^) должна зави-
зависеть по крайней мере от (8^ — 3) параметров: bq параметров
определяют положение и масштаб каждого одиночного ^-инстан-
тона, 3q набираются из трехпараметрической калибровочной
SUB)-ориентации для каждого из q инстантонов, а глобальные
калибровочные SUB) -преобразования являются несуществен-
несущественными, поэтому вычитается З1). Эти (8^ — 3) параметров яв-
являются по существу «степенями свободы» инстантонных ре-
решений.
') Это описание приближенно оправдывается для систем малых инстан-
инстантонов, далеко отстоящих друг от друга, но теряет смысл для общего ^-ин-
^-инстантонного решения. — Прим. ред.

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 81
6.3. Анзац Корригана — Фэрли — т'Офта — Вилчека (КФТВ)
и решение т'Офта
Анзац КФТВ дается в следующем виде:
ДЦ=-утйА,1пФ, F.3.1)
где Ф — произвольная функция х^. Используя равенство
F.1.17), калибровочное поле для F.3.1) можно записать в
виде
ра _ -а 1 Г(дудсФ) 9 (ДуФ) (<ЭдФ) 1
Г nv — Ц\хо— [ ф ^ ф2 J —
1 | _а 1 /ааФ
F.3.2)
На этом этапе далеко не очевидно, как поле F.3.2) может быть
автодуальным по индексам ц и v. Требование автодуальности
поля F.3.2) в силу F.1.26) равносильно требованию
т&Л« = О. F.3.3)
Если использовать равенство F.1.16), то требование F.3.3) сво-
сводится к простому уравнению для Ф
□ Ф = 0 (п«д,А). F.3.4)
Таким образом, если Ф удовлетворяет уравнению F.3.4), то
гарантируется автодуальность калибровочного поля F.3.2). т'Офт
выбрал следующее решение уравнения F.3.4):
Решение F.3.5) определено только при х ф X/ (j = 1, 2, ..., q).
При x-*-Xj функция Ф становится сингулярной:
тЛ^- F.3-6)
Но особенность F.3.6) является чисто калибровочным артефак-
артефактом! Чтобы убедиться в этом, вычислим калибровочный потен-
потенциал F.3.1) в матричной форме вблизи особенности F.3.6):
2 (х — xfH
(Х_Х{)> = F.3.7)
1д^.и,, F.3.8)

82 М. К. Прасад
где
Сравнивая F.3.8) с C.10), мы видим, что Fy.v обращается в
нуль в особой точке F.3.6), таким образом, эта особенность
является чисто калибровочным артефактом, не отражающим
никакой физической реальности. Используя уравнение F.3.4),
плотность действия можно привести к следующему виду:
+ } КЛ = - ^ о a in Ф. (б.з. Ю)
Подставляя F.3.5) в F.3.10), интегрируя по 4-мерному
евклидову пространству и исключая особые точки F.3.6) из
области интегрирования, чтобы можно было применить теорему
Гаусса, получим функционал действия
S = -%-q. F.3.11)
Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонов
для произвольного q. Из равенств F.3.10) и F.3.5) очевидно,
что плотность действия зависит только от bq параметров, кото-
которые можно интерпретировать как параметры положения и мас-
масштаба для каждого отдельного <?-инстантона. Так как число
параметров меньше чем (8q— 3), решение т'Офта не может
быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное
решение реализуется в конструкции Атьи — Дринфельда — Хит-
чина— Манина (АДХМ), которую мы опишем ниже.
6.4. Конструкция Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина
{АДХМ)
Конструкция АДХМ начинается с прямоугольной матрицы
М(х) порядка (<7+1)Х ?, составленной из кватернионов. Это
значит, что элемент Mjk матрицы М может быть записан в виде
матрицы второго порядка
М]к = М%в£. F.4.1)
Здесь Mfk — действительные числа. Матрица М выбирается
линейно зависящей от х
М = В — Сх, F.4.2)
где
В, С — не зависящие от % прямоугольные кватернионные
матрицы порядка (q+l)Xq F.4.3)
jCs=jttior+. F.4.4)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 83
Наконец, предполагается, что М(х) удовлетворяет нелинейному
требованию
M+(x)M(x)^R= F.4.5)
= действительная невырожденная матрица ^-го порядка. F.4.6)
Чтобы построить автодуальное калибровочное поле, необхо-
необходимо найти (^ + 1) -мерный вектор-столбец N(x), такой, что
N+(x)M(x) = 0, F.4.7)
)N(x) = I. F.4.8)
Линейное уравнение F.4.7) может рассматриваться как q ква-
тернионных условий на q + 1 элемент N. Таким образом, ре-
решение N(x) уравнения F.4.7) всегда может быть найдено, а
требование F.4.8) просто фиксирует его нормировку.
Калибровочный потенциал в конструкции АДХМ определя-
определяется следующим образом:
AVL{x) = N+{x)dViN{x). F.4.9)
Дифференцирование равенства F.4.8)
Ы+(х)д^Ы(х)=-(д^+(х))Ы(х) F.4.10)
показывает, что Л,, в равенстве F.4.9) является антиэрмитовой
бесследовой матрицей второго порядка.
Покажем теперь, что калибровочное поле F^, построенное
по калибровочному потенциалу F.4.9), является явно автоду-
автодуальным
= F.4.11)
(dtlN+) (d^N) + (N+d^N) (N+dvN) - (ц «-* v) = F.4.12)
- NN+} (dvN) -(n^+ v). F.4.13)
В равенстве F.4.13) / — единичная матрица (q + 1)-го по-
порядка. Выражение в фигурных скобках в F.4.13) является
просто проекционным оператором на ^-мерное кватернионное
подпространство, ортогональное N. Используя уравнения
F.4.7) и F.4.5), это выражение можно записать в виде ма-
матрицы (q + 1)-го порядка:
/ _ NN+ = М (х) R~l (х) М+(х), F.4.14)
где Я — матрица ?-го порядка, обратная действительной ма-
матрице R.
Дифференцирование уравнения F.4.7) дает
(d^N + (x)) M(x) = -N+ (д^М (х)), F.4.15)

84 М. К. Прасад
так что FuV можно записать в виде
/Г1 (dvM+) N-(n^+v)= F.4.16)
R- lav - cr|/T 'aJC+N = F.4.17)
F.4.18)
т. е. в силу F.1.5) калибровочное поле явно автодуально. Пере-
Переходя от равенства F.4.17) к равенству F.4.18), мы использо-
использовали тот факт, что R является действительной матрицей, ком-
коммутирующей с огд: [R, огц] = 0.
Конструкция АДХМ дает полное (8q— 3)-параметрическое
инстантонное решение с действием S = (8л2/g2)q. Доказать это
довольно сложно, и мы даем читателю ссылки на литературу
для более подробного ознакомления.
7. Явное монопольное решение для q—1
Для монополей калибровочные поля являются статическими,
и для q = 1 принимается анзац
Ai = ±-£-h{r), Aak = j-sakb^a(r), G.1)
где h и a — пока произвольные функции г. Анзац G.1) может
быть мотивирован асимптотической (при /-~>оо) формой ра-
равенств E.11) и E.12). Тензорные индексы строятся исходя из
координат только 3-мерного евклидова пространства ха (а =
= 1, 2, 3), так что нет специального направления, т. е. имеет
место своего рода «сферическая симметрия».
Исходя из анзаца G.1), мы вычисляем векторные поля fi£
и Е%, определенные в равенствах E.2) и E.1):
] G.2)
G-3)
где для любой функции /(г) мы полагаем f^df{r)/dr. Таким
образом, статические уравнения автодуальности Bl — Et при-
принимают вид
)' = h(ra-l), G.4)
a2 + a'-^-. G.5)
Решая уравнение G.4) относительно h и подставляя решение в
уравнение G.5), получаем
(In Q)" = Q\ Q^{ra-\). G.6)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 85
Уравнение G.6) легко проинтегрировать, что дает
G.7)
где С и г0— постоянные интегрирования, причем С мы берем
положительной.
Потребуем теперь, чтобы А° и А\ были конечны (не сингу-
сингулярны) во всем 3-мерном евклидовом пространстве. Это вынуж-
вынуждает нас взять г0 = 0 и знак минус в первом равенстве G.7).
Таким образом, калибровочные потенциалы
£г], G.8)
akb Хъ Г, Сг
являются конечными несингулярными решениями статических
уравнений автодуальности В1 — Е%.
Используя равенства E.5), E.6) и E.1), легко проверить,
что
Bl = El^BlEl = dbdk [{ AUf\. G.10)
Следовательно, функционал энергии, связанный с калибровоч-
калибровочными потенциалами G.8) и G.9), имеет вид
±[l -Cr cthCr]2}. G.11)
Так как подынтегральное выражение в G.11) не имеет особен-
особенностей, для нахождения энергии можно использовать теорему
Гаусса
E = -jjs-. G12)
Сравнивая это выражение с E.19), видим, что мы действительно
имеем явную реализацию монопольного решения для q=\.
В настоящее время почти ничего не известно о явных моно-
монопольных решениях для q > 1. Методы алгебраической геоме-
геометрии, которые привели к конструкции АДХМ в случае инстан-
тонов, по-видимому, здесь неприменимы. В следующем разделе
мы описываем попытки использовать преобразования Бэклун-
да, которые дают некоторые сведения, но к конкретному реше-
решению рассматриваемой проблемы не приводят.

83 М. К. Прасад
8. Преобразования Бэклунда для автодуальных
калибровочных полей
Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для авто-
автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше,
хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям
рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием
Бэклунда (ПБ), которое используется в наших целях, назы-
называется любое преобразование, которое порождает локально «но-
«новые» решения уравнений автодуальности из «старых». Посколь-
Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными
связанными уравнениями в частных производных, ПБ может
быть весьма полезным, если только известны тривиальные ре-
решения.
Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе
описывается представление Янга автодуальных калибровочных
полей, которое является отправной точкой для всех рассужде-
рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи — Уорда
(АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы
Атьи — Уорда были предложены как способ образования пол-
полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной син-
сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов
алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели
к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно
открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представле-
представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно
конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении
также имеет серьезные проблемы сингулярности — черта, кото-
которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований.
Пока мы не достигли лучшего понимания глобальных осо-
особенностей, порождаемых ПБ (или способов управлять ими),
совсем не ясно, каково их значение в описании инстантонов и
монополей.
8.1. Представление Янга
автодуальных калибровочных полей
Основная идея Янга — рассмотреть аналитическое продолже-
продолжение калибровочного потенциала Ап (в матричной форме) в
комплексное пространство, где х\, х2, х^ и дг4 комплексные. Тогда
уравнения автодуальности F^ = *F^V выполняются в области
комплексного пространства, содержащей действительное про-
пространство, где Xi, x2, х3 и jc4 действительные. Рассмотрим теперь
четыре новые комплексные переменные у, у, г и z, определен-
определенные следующим образом:
_ = *, + ix2, *j2jj s xx — ix2,
V2 z = jc3 — ix4, -\/¥z = x3 + ix4. (8.1.1)

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 87
Нетрудно проверить, что уравнения автодуальности F^ = *F^V
сводятся к следующим уравнениям:
Fyi = 0, (8.1.2)
FBi = 0, (8.1.3)
Уравнения (8.1.2) и (8.1.3) могут быть сразу проинтегрирова-
проинтегрированы, так как они являются чистой калибровкой. В результате
имеем
Ay = D~lDy, Az=D~lDz, (8.1.5)
Ад=Ъ~1Ъд, А-г = Ъ~1Ъ-г, (8.1.6)
где D и D — произвольные комплексные матрицы второго по-
порядка, зависящие от у, у, г и г, с определителем, равным еди-
единице (для калибровочной группы SUB)); Dy == dyD и т. д.
Для действительных калибровочных полей Лц = — A J
(знак == используется для уравнений, верных только для дей-
действительных переменных Х\, Хг, х^ и jc4) потребуем выполнения
условия
D = (D+)~\ (8.1.7)
Калибровочные преобразования C.9) принимают вид
D^DU, D->DU, U+U = I, (8.1.8)
где U — комплексная матрица второго порядка с определите-
определителем, равным единице, зависящая от у, у, г и z. При преобразо-
преобразовании (8.1.8) уравнение (8.1.7) остается неизменным.
Определим теперь эрмитову матрицу / следующим образом:
- (8.1.9)
Матрица / обладает очень важным свойством: она инвариантна
относительно калибровочного преобразования (8.1.8). Все не
обращающиеся в нуль компоненты напряженности выражаются
через / в виде
Fuv = -D~l (ГЧи) gD (u,v = tj,z), (8.1.10)
а остающееся уравнение автодуальности (8.1.4) принимает вид
(/-%+ (/-'/*);-0. (8.1.11)
Плотность действия в терминах матрицы / имеет вид
9 (J) я - \ Tr FJ^ = - 2 Tr (Fy-yF2-z + Fy-F-yz) e
= - 2 Тг {(У-'У^ (У-Уг)-г - (]-Ч„Уг (J-lJz)-y (8.1.12)

88 М, К. Прасад
Для статических калибровочных полей уравнение C,6) прини-
принимает вид
СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: dzA^{x)=dzA»{x)
(ц=1, 2, 3, 4), (8.1.13)
так что для статических полей Jz = /г- Так как для статиче-
статических полей £>г = Dz, калибровочный потенциал Л? в матричной
форме имеет_вид A4=g (aa/2i) А°= ((/л/2~) (Az — Az)= (г'/У2~) X
y({D~xDz — D~lD^). Таким образом,уравнение плотности энергии
G.10) для статических автодуальных полей принимает следую-
следующую форму:
${1) = -дкдк1х(А4А>) = -(дуд-у + дгдгIгу;Чг). (8.1.14)
Функционалы действия и энергии задаются в виде
E==±r\ (d3x) & (I). (8.1.15)
В заключение этого подраздела заметим, что в выборе / имеется
произвол с точностью до преобразований вида
J^V(P, z)JV{y, z), V=V+, (8.1.16)
где V — произвольная функция у и z. Относительно преобразо-
преобразования (8.1.16) калибровочные потенциалы Ап, а следовательно,
и напряженности F^v инвариантны.
8.2. Анзац Атьи — Уорда
Конструкция Атьи — Уорда (АУ) начинается с явной пара-
параметризации матрицы /:
'-A ЛЛ <8-2-"
V Ф ф /
Для действительных калибровочных полей А^ = — А$ мы тре-
требуем, чтобы
Ф ^действительная, р = р* (р* s комплексное сопряжение р).
(8.2.2)
Уравнения автодуальности (8.1.11) принимают вид
(8.2.3)
(8.2.4)

3, Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 89
Используя уравнения (8.2.3) — (8.2.5), плотность действия
(8.1.12) можно привести к следующему виду:
9>(Ф, р, р) = -~
аа\пФ +
^ ) + ddj ^ р
) + d^
(8.2.6)
В терминах Ф, р и р анзац КФТВ и решение т'Офта из разд. 6
имеют простой вид
анзац КФТВ: ру = Фг-, рг = -Ф5, рр = Фг) рг=-Фу,
" X2
решение т'Офта: пФ = 0, Ф=1 +V -. ~ . (8.2.7)
/=1
^(Ф, р, р) = —jDDlnO.
Атья и Уорд называют анзац КФТВ (8.2.7) анзацем $Ф\ и
включают его в иерархию анзацев s4-i (/=2, 3, ...), которая
позволяет получить явно Ф, р и р, которые в свою очередь авто-
автоматически удовлетворяют уравнениям автодуальности (8.2.3) —
(8.2.5). Для того чтобы построить sf-i, нам понадобятся некото-
некоторые предварительные результаты.
Положительно определенная эрмитова матрица / = DD+ мо-
может быть разложена в произведение верхней и нижней (или на-
наоборот) треугольных матриц следующим образом:
Ф = действительная, р = р*, Ф7 ^действительная, р7 = р7*.
(8.2.9)
Из (8.2.8) очевидно, что можно выбрать калибровку так, что
D = R или D = R'; легко проверить, что в обеих калибровках
уравнения автодуальности имеют вид (8.2.3) — (8.2.5) (в случае
D = R1 Ф, р, р переходят в Ф', р', р')- Из (8.2.8) мы видим, что
R~lRr является унитарной матрицей, так что всегда можно ка-
калибровочным преобразованием перейти от ^-калибровки к R'-
калибровке. Таким образом, мы приходим к следующей тео-
теореме:

90 М. К. Прасад
Теорема 1. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям
(8.2.3) — (8.2.5), то (Ф;, р;, р7) также им удовлетворяют и опре-
определяются следующим образом:
ф'=жЬ' р/=ф4^' ^ = WTW (8-2Л0)
Более того, калибровочные потенциалы, построенные из (Ф7,
Р7> Р7)> суть калибровочные преобразования потенциалов, по-
построенных из (Ф, р, р), так что
9>{Ф', р', рО = ^(Ф, р, р), (8.2.11)
поскольку плотность действия инвариантна относительно кали-
калибровочного преобразования. Заметим, что / является дискрет-
дискретным преобразованием, так как двукратное его применение при-
приводит к тождеству (т. е. Ф77 = Ф, р'7 = р, р" = р).
Теперь мы сформулируем вторую теорему, которую очень
легко доказать.
Теорема 2. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям
(8.2.3) — (8.2.5), то (Фв, рв, рв) также им удовлетворяют и опре-
определяются следующим образом:
фВ |_ В h_ B_h_ fiB_z_ -В_
W — ф • 9у — ф2 > Рг — ф2 . 99 — ф2 . Рг — ф
(8.2.12)
В отличие от (8.2.10), для того чтобы найти рв и ps, нужно ре-
решать дифференциальные (а не алгебраические) уравнения.
Очень важно заметить, что
РВ=-РВ*, (8.2.13)
т. е. нарушается условие действительности уравнения (8.2.2).
Более того, примененный дважды оператор В есть тождествен-
Т. е. Ф — Ф, Рг =Рг, Рг = Рг И Т.Д.), И ОН
не изменяет калибровочный потенциал. Следовательно, чтобы
использовать оператор В более одного раза, нужно вводить опе-
оператор / теоремы 1 между двумя операторами В.
Используя уравнения (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.12), можно запи-
записать плотность действия от Фв, рв, р~в в виде
9>{ФВ, рв, рв) = ^(Ф, р, р)-4по1пФв. (8.2.14)
В общем случае Пй1пФв#0, так. что (Фв, ps, ps) не может
быть калибровочным преобразованием (Ф, р, р).
Анзац АУ M-i A = 2, 3, ...) может быть теперь определен
следующей цепочкой операторов:
(В/) (В/) (В/)
Жх >■ «5^2 *■ -&з >■ • • •, (8-2.15)
где M-i — анзац КФТВ (8.2.7) и (BI) означает применение сна-
сначала оператора /. а затем оператора В, введенных в теоремах

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 91
1 и 2 соответственно. Используя уравнения (8.2.11) и (8.2.14),
находим плотность действия для анзаца s4-i:
(8.2.16)
где Ф —анзац КФТВ Ф, определенный (8.2.7), a {BI)k обозна-
обозначает оператор {BI), примененный k раз.
Теперь в силу уравнения (8.2.13) все четные анзацы s^<n,
вообще говоря, не будут удовлетворять условию действительно-
действительности (8.2.2), в то время как нечетные анзацы j^t-i будут ему
удовлетворять.
Гораздо более серьезное следствие уравнения (8.2.13) за-
заключается в следующем. Если явно вычислить плотность дейст-
действия ff'i^-i) для />1, то обнаруживается, что имеется очень
много сильных особенностей — особенностей, которые не явля-
являются калибровочными артефактами (как было в случае с ре-
решением т'Офта в разд. 6.3). В настоящий момент совсем не
ясно, как справиться с такими особенностями и, следовательно,
как связан анзац АУ с конструкцией АДХМ, которая, как из-
известно, дает полное инстантонное решение.
8.3. Явно калибровочно инвариантное
преобразование Бэклунда
Конструкция АУ требует явной параметризации матрицы /
и потому нарушает явную калибровочную инвариантность. Не-
Недавно было найдено новое преобразование Бэклунда непосред-
непосредственно в терминах калибровочно инвариантной матрицы У, ко-
которое мы здесь опишем.
Пусть / и /'— две эрмитовы матрицы второго порядка, ко-
которые удовлетворяют следующим уравнениям:
Г{]у-1'-х1'у^е1а{Г1Г)г, (8.3.1)
/Г1 =-//-'+ РЛ (8.3.2)
где а и р — действительные постоянные. Если мы применим эр-
эрмитово сопряжение к уравнению (8.3.1) и используем (8.3.2),
то получим
rlJz-j'-% = -ela(rll')B. (8.3.3)
Отсюда следует
) (%) (/%) О'Уг)*, (8.3.4)

92 М. К. Прасад
так что J и Г являются решениями уравнения автодуальности
(8.1.11).
Если J =£ J' и det/ = +l, то det/' = —1. Чтобы убедиться
в этом, положим Р н= /'/-', так что из уравнения (8.3.2) полу-
получим Р2 = $Р + !• Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что
Я[—P+7rP] = /[l + detP]. Если detP=^—1, то матрица Р
пропорциональна единичной, и подходящим выбором масштаба
можно получить /' ■= /, т. е. тривиальное решение уравнений
(8.3.1) и (8.3.2). Поэтому для J'Ф J нужно потребовать, чтобы
detP = — 1 и ТгР = р.
Однако для SU B) -калибровочной теории матрицы /= DD+
является не только эрмитовой, но и положительно определенной,
так что det/>0. Поскольку det/' = —1, то невозможно полу-
получить 5GB)-калибровочные поля. Эта проблема аналогична
уравнению (8.2.13) для конструкции АУ. Как в последней, что-
чтобы получить det ]' = 1, нужно четное число раз применить к
уравнениям (8.3.1) и (8.3.2) преобразование Бэклунда. К сожа-
сожалению, проблема особенностей, связанная с конструкцией АУ, в
новой конструкции, по-видимому, также оказывается неразре-
неразрешимой.
Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что преобразова-
преобразования Беклунда, обсуждавшиеся до сих пор, не являются сильны-
сильными в том смысле, что из них не следует, что «новые» и «старые»
решения уравнений автодуальности удовлетворяются незави-
независимо. Так, например, из уравнения (8.3.4) не следует, что
{rlJy)g+{rx]z)z = Q и (j'~lJy)g+(j'~lJz)z = O. Классическое
ПБ в теории солитонов является сильным и весьма полезным
для построения солитонных нетривиальных решений из триви-
тривиальных (например, для уравнения Кортевега — де Фриза и т. д.).
Не известно, существует ли сильное ПБ для уравнений автоду-
автодуальности Янга — Миллса.
9. Нелокальные законы сохранения
для автодуальных калибровочных полей
Янга — Миллса
В этом последнем разделе мы строим бесконечное множество
нелокальных законов сохранения для автодуальных калибро-
калибровочных полей, используя явную калибровочную инвариантность
формализма разд. 8. Известно, что такие законы сохранения
могут быть использованы в контексте солитонов (см. список
литературы), и есть надежда, что они прольют свет на скры-
скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.
Под законом сохранения мы просто понимаем уравнение
вида ду,Уи = 0. Строго говоря, так как мы работаем в евклидо-
евклидовом пространстве, такое уравнение следовало бы называть урав-

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 93
нением непрерывности. В комплексных координатах разд. 8
имеем
(9.1)
так что уравнение автодуальности (8.1.11)
-'/,)- = 0 (9.2)
в действительности является законом сохранения (для статиче-
статических полей Jz = Is).
Недавно было обнаружено, что из уравнения (9.2) в самом
деле можно построить бесконечное множество нелокальных за-
законов сохранения. Построение производится следующим обра-
образом. Предположим, что мы уже построили га-й закон сохранения
(V(yn))y + (V^)Z = O, л>1. (9.3)
Из уравнения (9.3) следует, что существует такая матрица вто-
второго порядка х(п) (у, у, z, z), что
КП) = ddn\ V? = - ddn\ n>\. (9.4)
Тогда («+1)-й закон сохранения определяется следующим
образом:
(?+V(?+1)) = 0, (9.5)
lJy) x(n), (9.6)
х(я\ п>0. (9.7)
Доказательство проводится индукцией: х@) = I. затем V^ =
= /"'/;, и т. д. Для доказательства (9.5) заметим следующее:
= (ду + /-'/„) (д&.1">) + (дг + ГЧг) (д^П)) = (9.8)
= ~ (ду + /"'/„) Vf + {дг + Г1/,) Vf = (9.9)
= -[1ду + /-Чв, 1дг + ГЧгЫп~ъ^ (9.10)
= 0. (9.11)
Равенства (9.8) и (9.9) следуют из уравнений (9.2) и (9.4) со-
соответственно, в то время как в равенстве (9.10) мы использо-
использовали предположения индукции (9.6) и (9.7). Таким образом,
мы построили бесконечное множество нелокальных (так как
Х(п) — нелокальная функция V'(n)) законов сохранения для авто-
автодуальных калибровочных полей в терминах эрмитовой и кали-
бровочно инвариантной матрицы /. Значение этих законов со-
сохранения еще должно быть исследовано.

94 М. К. Прасад
10. Заключение
Короче говоря, явно известны все инстантонные решения, в
то время как явное монопольное решение известно лишь в про-
простейшем случае (q = 1). Почти ничего не известно о явных
многомонопольных решениях, и, следовательно, любые конкрет-
конкретные результаты в этом направлении были бы исключительно
важными.
Мы описали два различных преобразования Бэклунда для
автодуальных калибровочных полей, которые, как мы надея-
надеялись, смогли бы породить явные многомонопольные решения из
известных решений. Но из-за глобальных особенностей, которые
мы не умеем учитывать, эти надежды не оправдались.
Мы построили также бесконечное множество нелокальных
законов сохранения, которые, мы полагаем, смогут пролить свет
на скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.
Я благодарю профессора Крэйга Трэйси, вдохновившего
меня на написание обзорной статьи по инстантонам и монопо-
лям. Эта работа была частично финансирована Национальным
научным фондом, грант PHY 79-06376.
ЛИТЕРАТУРА
Для каждого раздела дается соответствующий список литературы н де-
делаются некоторые замечания. Затем подводится итог последним достижениям
в области монополей.
Мы будем использовать следующие сокращенные обозначения некоторых
часто цитируемых журналов:
SA — Scientific American,
PL — Physics Letters,
NP — Nuclear Physics,
CMP — Communications in Mathematical Physics,
ЖЭТФ — Журнал экспериментальной и теоретической физики,
PR — Physical Review,
PRL — Physical Review Letters,
JMP — Journal of Mathematical Physics.
Раздел 1. Общее введение в калибровочные теории, кварки и глюоиы и супер-
супергравитацию содержится в следующих работах:
1. Weinberg S., SA, July 1974, p. 50—54.
2. Glashow S. L, SA, October 1975, p. 38—50.
3. Freedman D. Z., P. van Nieuwenhyizen, SA, February 1978, p. 126—143.
Общее введение в солитоны, инстантоны и монополи содержится в ра-
работе
4. Rebbi С, SA, February 1979, р. 92—116.
Раздел 2. Математика этого раздела подробно излагается в нескольких учеб-
учебниках, нз которых следующие два отличаются ясностью изложения:
5. Satake I. Linear Algebra, Pure and Applied Mathematics, New York,
1975.
6. Anderson J. L. Principles of Relativity Physics, Academic Press, New
York, 1967.
Раздел 3. Калибровочная теория Янга — Миллса
7. Yang, С. М., Mills R. L. PR, 96, 191 A954)!,

3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей 95
Раздел 4. Инстантоны
8. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schmartz A. S., Tyupkin Yu. S., PL, B59,
85 A975).
Раздел 5. Монополи
9. '* Hooft G., NP, B79, 276 A974).
10. Поляков А. М. Письма ЖЭТФ, 20, 194 A974); ЖЭТФ, 41, 988 A975).
Моиополи, которые изучались в этом обзоре, являются частным случаем
монополей т' Офта — Полякова, введенных в работе
11. Prasad М. К., Sommerfield С. М., PRL, 35, 760 A975).
В этом частном случае четвертая компонента калибровочных потенциалов
Яига — Миллса Л4 становится «полем Хиггса» теории монополей т'Офта —
Полякова. Точное определение монополей для этого случая дано в рабо-
работах
12. Богомольный Е. Б. Ядерная физика, 24, 449 A976).
13. Coleman S., Parke S., Neveu A., Sommerfield С. М., PR, D15, 544
A977).
Раздел 6. Тензоры т'Офта т) и fi вместе с тождествами, которым они удовле-
удовлетворяют, введены в работе
14. fHooft G., PR, D14, 3432 A976).
Исходное инстантонное решение прн q = 1 дается в работе
15. Belavin A. A., Polyakov A. M., Schwartz A. S., Tyupkin Yu. S., PL,
B59, 85 A975).
Теория деформации, используемая при получении числа параметров, мо-
может быть найдена в работах:
16. Schwartz A., PI, 67B, 172 A977).
17. Jackiw R., Rebbi С, PL, 67B, 189 A977).
18. Brown L, Carlitz R., Lee C, PR, D16, 417 A977).
Многоиистантонные решения прн q > 1 были впервые построены в рабо-
работах
19. Witten £., PRL, 38, 121 A977).
20. Peng С. К., Scientia Sinica XX, 3, 345 A977).
Анзац КФТВ дается в работах
21. Corrigan £., Fairlie D., PL, 67B, 69 A977).
22. t'Hooft G. (неопубликованная работа).
23. Wilczek F., in: Quark Confinement and Field Theory, eds. D. Stump
and D. Weingarten, Wiley. New York, 1977.
Именно т'Офт отчетливо понял, что аизац КФТВ может дать приемлемые
многоинстантонные решения: так, он показал, что особенности, встречаю-
встречающиеся в решении, являются чисто калибровочным артефактом.
Решение т'Офта было обобщено в работах
24. Jackiw R., Nohl С, Rebbi С, PR, D15, 1642 A977).
Конструкция АДХМ дается в работе
25. Afiyah M. F., Hitchin N. J., Drinfield V. G., Manin Yu. /., PL, A65, 185
A978).
Конструкция АДХМ детально разработана в работах
26. Christ N., Weinberg E. /., Stanton N. К., PR, D18, 2013 A978).
27. Corrigan E., Fairlie D., Tempelton S., Goddard P., NP, B140, 31 A978)
Раздел 7. Явное монопольное решение прн q = 1 дается в статье
28. Prasad М. К., Sommerfield С. М., PRL, 35, 760 A975).
Раздел 8. Преобразования Бэклунда в контексте солитонов можно найти в
обзоре
29. Scott А. С, Chu F. У. F., McLaughlin D. W., Proceedings of IEEE
(USA), 61, 1443, A973).
Формулировка Янга автодуальных калибровочных полей приведена в ра-
работе
30. Yang С. N., PRL, 38, 1377 A977).
Анзаи Атьн — Уорда (АУ) введен в работе
31. Atiyah M. F., Ward R. S., CMP, 55, 117 A977).

96 М. К- Прасад
Анзац АУ детально разработан в работах: •
32. Corrigan Е., Fairlie D., Yates R., Goddard P., CMP, 58, 223 A978).
33. Prasad M. K-, PR, D17 3243 A978) (также обсуждается проблема
сингулярности анзаца АУ).
34. Brihaye У., Fairlie D., Nuyts J., Yates R., JMP, 19, 2528 A978).
Калибровочная инвариантность преобразования Бэклунда следует из ра-
работы
35. Prasad M. К., Sinha A., Chau Wang Ling-Lie, PRL, 43, 75Q A979),
которая была мотивирована работой
36. Pohlmeyer K-, Universitat Freiburg Preprint 1978.
Попытки построения многомонопольных решений могут быть найдены в
работах:
37. Manton N. S., NP, B135, 319 A978), где используется анзац КФТВ.
38. Lohe M. A., NP, B142, 236 A978), где используется анзац АУ.
39. Bruce D. J., NP, B142, 253 A978) (на проблему сингулярности автор
указал в предыдущих работах).
Раздел 9. Бесконечное множество нелокальных законов сохранения следует
из работы
40. Prasad M. К., Sinha A., Chau Wang Ling-Lie, PL, 87B, 237 A979)
Последние достижения в области монополей. Недавно было показано, что
явное монопольное решение при q = 1 имеет только 3 степени свободы,
соответствующие его положению в 3-мерном евклидовом пространстве.
Строгое доказательство этого может быть найдено в статье
41. Akhoury R., Jun L, Goldhaber A. S., PR, D21, 454 A980), которая
дополняет работу
42. Adler S. L., PR, D19, 2997 A979).
Если существует явное многомонопольное решение при q > 1, то оно
должно иметь Dq — 1) степеней свободы. Доказательство этого резуль-
результата и его интерпретации могут быть найдены в работе
43. Weinberg E. J., PR, D20, 936 A979).

4. Гравитационные инетантоны: обзор1)
Г. В. Гиббоне
Gibbons G. Ж2), Lecture Notes in Physics, 116 A979)
Определение 1. Гравитационным инстантоном называется
полное четырехмерное риманово многообразие (сигнатуры
Н—|—|—(-) без особенностей, которое удовлетворяет уравнениям
Эйнштейна:
Считается, что гравитационные инетантоны дают основной
вклад в континуальный интеграл евклидовой квантовой грави-
гравитации [1—6]. Он определяется выражением вида
\D[g]O[g]exp(~IettC), A)
ь
М дМ
L
± \ Л VF dx +-L $
М дМ ■ .
Здесь 1еис обозначает евклидово действие некоторого многооб-
многообразия М с границей дМ, на которой метрика да$ индуцирует
метрику ft?p, g=detga&, ft = detftaB, К — след второй фунда-
фундаментальной формы дМс^М, Ь обозначает граничные условия,
которым должны удовлетворять метрики в соответствии с вы-
выбором квантовомеханического состояния или матрицы плотно-
плотности, а O[g] — функционал от метрики, среднее значение, или
матричный элемент которого дается выражением A).
Ниже я буду рассматривать некомпактные многообразия как
предел компактных многообразий с границей, когда граница
удаляется на бесконечность. (При /?ag = AgaB и Д > 0 гра-
границы нет [31]. При /?ар = О многообразие может иметь, самое
большее, один «конец» или «бесконечность» (Н. Хитчин, частное
') Обзорный доклад, прочитанный на Международной конференции по
математической физике в Лозанне в августе 1979 г.
2) University of Cambridge, D. A. M. T. P., Silver Street, Cambridge,
England.
§Springer-Verlag
Перевод на русский язык, «Мир», 1983

98 Г. В. Гиббоне
сообщение).) «Интеграл» в A) взят по всем возможным мно-
многообразиям й топологиям, удовлетворяющим условиям Ъ. Бук-
Буквой Ко обозначен поправочный член, который призван обратить
В нуль действие любой плоской метрики, удовлетворяющей
условиям Ь. Для физических Приложений важны следующие три
типа граничных условий Ь:
I) Асимптотически евклидовы (АЕ), а также асимптотиче-
асимптотически локально евклидовы (АЛЕ) (более слабый, локальный ва-
вариант). Такие условия отвечают физике вакуума или нулевой
температуры [5, 7, 8].
II) Асимптотически плоские (АП), а также асимптотически
локально плоские (АЛП) (тоже более слабый, локальный ва-
вариант). Эти условия отвечают физике конечной температуры
[1,9].
III) Компактные без границы. Используются в обсуждении
«пространственно-временной пены» [3, 4, 10].
Определение 2. Метрика gaa называется АЛЕ, если вне ком-
компактного подмножества она стремится к плоской метрике на
многообразии вида Е4/Г. Здесь £4 — плоское евклидово про-
пространство, Г — дискретная подгруппа в 50D), свободно дейст-
действующая на S2. Метрика ga$ называется АЕ, если в этом опреде-
определении Г тождественна.
Определение 3. Метрика ga$ называется АП, если вне ком*
пактного множества она стремится к стандартной плоской ме-
метрике на SlX#3-
Определение 4. Метрика g^ называется АЛП, если вне ком-
компактного множества она стремится к метрике вида
ГДё {а,}—ЛёвоиНвариантнЫе 1-формы на S3/T, а Г — группа
йзомётрий такой 5f)B)X £/A)-инвариантной метрики.
АЁ-инстантоны
Теорема 1 (Шоун — Яу [11], ср. [8]). Не существует АЕ-ин*
йантонов, кроме Ё\
Теорема о положительности действия [11] показывает, что
Конформно инвариантная часть действия (в смысле [5]) достиг
fatf абсолютного минимума на £4.
АЛП-инстант оны
Теорема 2 (Хитчин, частное сообщение). Если (М, gap) АЛП
и имеет нулевую кривизну Риччи, то Я1 (М) конечна.
Теорема 3 (Хитчин, частное сообщение). Если (М, ga$) АЛП
и полуплоское (/?apYe = ± ~ еа|3ц^\д =*► #ар = о) , то щ(М) =

4. Гравитационные инстантоны: обзор 99
= Z2 или Z2X.Z2, и фундаментальная группа на бесконечности
действует на универсальном накрытии асимптотически правыми
сдвигами SUB) на себе (при /?apvd = + \ еар^/?^) .
Список дискретных подгрупп SU B) содержит:
Zk '. циклическая порядка k,
Dk: бинарно диэдральная порядка 4k,
Т*: бинарно тетраэдральная,
О*: бинарно октаэдральная,
/* : бинарно икосаэдральная.
Почти нет сомнения в том, что для всех этих групп существуют
полуплоские метрики. Они были явно построены Гиббонсом и
Хокингом [7] для Zk- Затем Хитчин [13] снова разобрал Zfc-слу-
чай твисторными методами; он построил также Dk- метрики
(частное сообщение).
В координатах (т, х) метрики Гиббонса — Хокинга можно
представить в виде
C)
rot e> = grad О, D)
В случае k = 1 получается плоское пространство £4; k = 2
отвечает метрике Эгучи — Хэнсона [5, 8, 14], которая была от-
открыта ранее. Эти АЛЕ-инстантоны с группой Zk зависят от
3k — 6 существенных параметров, которые отвечают в точности
возможным инфинитезимальным вариациям. Возможно, что они
исчерпывают все полуплоские АЛЕ-метрики с Г = Zk. Пэйдж
(частное сообщение) нашел, какие отождествления приводят
к АЛЕ с п\(М) = Z2 и Z2XZ2. Кроме того, он построил в явном
виде скалярную функцию Грина для этих пространств [16].
Атья (частное сообщение) затем дал твисторную конструкцию
этих функций Грина методами когомологий пучков.
Любая полуплоская метрика доставляет локальный минимум
действия в классе метрик с R = 0. Это дает повод сформулиро-
сформулировать следующий аналог теоремы 1:
Гипотеза 1. Все АЛЕ-инстантоны полуплоские, а группа Г
для их универсальных накрытий содержится в SUB).
АП-инстантоны
К известным АП-инстантонам относятся: S'X#3 с плоской
метрикой, евклидово пространство Шварцшильда и евклидово
пространство Керра с мнимым угловым моментом [23].

100 Г. В. Гиббоне
Теорема 4 (вариант теоремы Израэля [18J). Пусть (М, ga$)
АП с нулевой кривизной Риччи на R2X.S2, обладающее полем
векторов Киллинга, ортогональных к гиперповерхности. Тогда
ga$ является евклидовым пространством Шварцшильда.
А. Лапедес (частное сообщение) указал, что несправедливо
аналогичное обобщение теоремы Робинсона [19], относящейся
к осесимметричным метрикам на R2X.S2, допускающим еще
одно поле векторов Киллинга, не ортогональное к гиперповерх-
гиперповерхности. Однако, принимая во внимание теоремы типа «черная
дыра не имеет волос» (см. обзор [17]), можно высказать сле-
следующее предположение:
Гипотеза 2. Не существует АП-инстантонов, кроме плоского
пространства, евклидова пространства Шварцшильда и евкли-
евклидова пространства Керра.
Пространства Шварцшильда и Керра не являются локаль-
локальными минимумами действия в классе АП-метрик с нулевой ска-
скалярной кривизной [32].
АЛП-инстантоны
Если в уравнениях C) и D) положить
1=1
то получатся АЛП-метрики типа «мульти-Тауб — НУТ» (см.
Хокинг [2]). Границей на бесконечности являются циклические
линзовые пространства. Вероятно, эти метрики (а также ме-
метрики, отвечающие Dk) можно построить твисторными методами.
Конструкция функций Грина, данная Пэйджем, применима так-
также в этом случае.
Метрики C) и D) исчерпывают класс метрик с автодуаль-
автодуальным полем Киллинга (поле Ка автодуально, если Ка; р авто-
автодуально). Можно также охарактеризовать их как метрики с
полем Киллинга, для которых формы связности в «очевидном»
базисе автодуальны.
Остальные известные явно АЛП-решения не являются полу-
полуплоскими. Это решения Пэйджа [21] и их обобщения с угловым
моментом [22]. Можно поставить вопрос: существуют ли более
сложные АЛП-метрики? Ответ, по-видимому, будет отрицатель-
отрицательным. На языке работы [23] они должны были бы быть метри-
метриками типа «multi-bolt», например «мульти-Шварцшильд». Ока-
Оказывается, эту возможность можно исключить с помощью аргу-
аргументов, используемых в физике черных дыр. Таким образом,
класс АЛП-метрик кажется несколько более богатым, чем АЛЕ,
но не слишком.

4. Гравитационные инстантоны: обзор 101'
Компактные инстантоны
Если компактный инстантон допускает поле Киллинга, то
Л > 0. Известные примеры исчерпываются следующим списком:
1) 54;
2) СР2 [24, 25];
3) 52X52J25];
4) СР2^СР2 [26]. :
Многообразие 4 неоднородно. Оно является топологической сум-
суммой двух экземпляров СР2 с противоположными ориентациями."
Все известные примеры сЛ = 0 полуплоские:
1) SlXSlXSlXSl (плоское);
2) КЗ с метрикой Яу.
Метрика Эйнштейна^ Кэлера на многообразии КЗ известна*
лишь в силу неявной теоремы Яу, а также приближенно: она
реализуется как результат склейки 16 решений Эгучи — Хэнсона
[25, 28]. Многообразия КЗ исчерпывают компактные полупло-
полуплоские метрики. Возникает соблазн сформулировать следующую^
гипотезу: ..-■..
Гипотеза 3. Метрики Яу на КЗ исчерпывают компактные не-
неплоские метрики с нулевой кривизной Риччи.
При Л < 0 теорема Яу [27] доставляет обширный класс:
примеров, но ни один из них не известен в явном виде, кроме
следующих сравнительно явно описываемых пространств:
1. Пространства постоянной кривизны («анти-де Ситтер»
по модулю дискретной группы). . .
2. Пространства постоянной секционной кривизны (поло-:
жить Л < 0 в метрике СР2 и отфакторизовать по дискретной
группе). . :
3. Произведения двух двумерных пространств постоянной
отрицательной кривизны.
Интересный класс пространств Яу составляют комплексные
гиперповерхности степени к ^4 в СР3 [30]. При k — 4 это
КЗ-многообразия.
Огромное разнообразие примеров доставляют более слож-
сложные алгебраические подмногообразия в СРп. Однако их число-
числовые характеристики ограничены важными неравенствами; Для"
каждого компактного пространства Эйнштейна определим число
f формулой
Классическое действие Ieuc тогда равно .........'. !. . .,.,,.

102 Г. В. Гиббоне
Тензор Вейля удовлетворяет неравенству
из которого следует [29]
2х-3|т|>/2/6я2. (9)
Здесь % — эйлерова характеристика, а т — сигнатура. Равенство
достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля авто-
автодуален. Из него следует
A0)
причем равенство достигается при постоянной кривизне. Если
метрика gap кэлерова, то
Зт с22с С2х
A1)
д р ре числа Чженя. Поэтому для ме
Эйнштейна — Кэлера имеем
где с? и С2 — первое и второе числа Чженя. Поэтому для метрик
Эйй К
/ = 2я2с? A2)
и
%>/2/6я2, A3)
причем равенство достигается для автодуального тензора Вейля
(т. е. в случае постоянной голоморфной секционной кривизны,
как у СР2).
Для алгебраических подмногообразий СРп имеем (Н. Хит-
чин, частное сообщение)
Равенство слева достигается для гиперповерхностей (% =
= £ (Я2-8/?+ 22), т = у/?.(# + 2)(Я-3)),' а справа-для
произведений поверхностей постоянной отрицательной кривизны
рода £i и£2 (х = 4A— gi){\ — g2), т = 0).
Эти результаты и некоторые качественные соображения по-
побудили Хокинга [4, 10] высказать следующее предположение:
Гипотеза. При растущем х Для большинства компактных ин-
стантонов Л<0 и f ~ Vx~-
Фридан (частное сообщение), показал, что в классе метрик
с постоянной скалярной кривизной все известные компактные
инстантоны, за исключением 52 X -S2, являются локальными ми-
минимумами действия. Для 52Х52 есть в точности одно направ-
направление, вдоль которого действие уменьшается.

4. Гравитационные инбтантоны: обзор 103
ЛИТЕРАТУРА
1. Hawking S. W., Gibbons G. %, Phys. Rev., 13, 2752 A977).
2. Hawking $. W., Phys. Lett., 60A, 81 A977). . .
3. Hawking S. W., in: General Relativity, edited by S. W. Hawking arid W. Is-
Israel, C. U. P., 1979.
4. Hawking S, W., Euclidean Quantum Gravity, lecture, held at the NATO
Summer School at Cargese 1978, Plenum Press, ed. S. Deser. (Статья 1
данного сборника.)
5. Gibbons G- W., Perry M. J,, Pawk'ing S. W., NucL Phys., B138, 141 A978).
6. Gibbons G- W-, Perry M. J., Nucl. Phys., B14^, 90 A978),
7. Gibbons G. W., Hawking S. W., Phys. Lett., 78B, 430 A978).
8. Gibbons G. W., Pope С N., Comm. Math. Phys., 66, 267 A979):
9. Gibbons G. W., Romer H., Pope С N.. Nucl. Phys. (iri press).
10. Hawking S. W., Nucl. Phys., B144, 349 A978).
11. Shoen R., Yau t. S-, Phys. Rev. Lett., 42, 547 A979).
12. Gibbons G. W., Hawking S. W. (unpublished).
13. Hitchin N., Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 85, 465 A979).
14. Eguchi Т., Hanson A., Phys. Lett., 47B, 249 A978).
15. Belinsky V., Gibbons G. W., Page D. N., Pope С N., Phys. Letts., 76 B, 433
A978).
16. Page D. N., Phys. Lett, (in press).
17. Carter В., in: General Relativity, edited by S. W. Hawking and W. Israel
C. U. P., 1979.
18. Israel W., Phys. Rev., 164, 1776 A967);
Robinson D. C,, Gen. Rel. Grav., 8, 695 A977).
19. Robinson D. C, Phys. Rev. Lett, (to be published).
20. Tod P., Ward R. (to be published).
21. Page D. N., Phys. Lett., 78E, 249 A978).
22. Gibbons G. W. (to be published).
23. Gibbons G, W., Hawking S. №., Commun. Math. Phys. (to be published).
24. Freund P. G. O., Eguchi Г., Phys. Rev. Lett., 37, 1251 A976).
25. Gibbons G. W., Pope C. N., Commun. Math. Phys., 61, 239 A978).
26. Page D. N., Phys. Lett., 80B, 55 A978).
27. Yau S. Т., Proc. Nat. Acad. Sci., 74, 1798 A971); Asterique, 58 A978).
28. Page D. N.. Phys. Lett., 79 B, 235 A978).
29. Hitchin N., J. Diff. Geom., 9, 435, A974).
30. Back A., Forger M., Freund P., Phys. Lett., 77B, 181 A978).
31. Milnor J., Morse Theory, Princeton University Press.
32. Page D. N.. Phys. Rev., D18, 2733 A978).

5. Перспективы теорий супергравитации1)
С. Феррара
Ferrara S.2), Proc. of GR9, 1982
Представлены некоторые характерные черты су-
супергравитации как единой калибровочной теории всех
фундаментальных взаимодействий частиц. Особое
внимание уделено структуре мультиплетов массив-
массивных и безмассовых представлений расширенной су-
суперсимметрии и их свойствам симметрии.
1. Калибровочные теории — основа
единой теории поля
Современные теоретические представления о низкоэнергети-
низкоэнергетических явлениях указывают, по-видимому, на жизнеспособность
теории калибровочных полей как схемы для описания всех
фундаментальных сил природы. Это справедливо как для даль-
нодействующих электромагнитных и гравитационных, так и для
короткодействующих слабых и сильных взаимодействий. Если
стать на ту точку зрения, что все известные взаимодействия
фундаментальных составляющих материи являются калибровоч-
калибровочными, то ряд соображений побуждает принять следующий прин-
принцип экономии: различные низкоэнергетические симметрии объ-
объединяются при энергиях много.больших, чем те, которые нужны
сегодня для понимания физики низких энергий. В рамках кван-
квантовой теории калибровочных полей возможный сценарий объ-
объединения негравитационных взаимодействий дают теории вели-
великого объединения (ТВО) [1]. Они включают в одну калибро-
калибровочную теорию как теорию электрослабых взаимодействий
Глэшоу — Вейнберга — Салама SUB)lKV'(Оэл, так и калибро-
калибровочную теорию сильных взаимодействий 5f/C)с (квантовую хро-
модинамику). Простейшей ТВО является модель SU{5) Джор-
Джорджи— Глэшоу [2] с минимальным включением 5L;B)LX
X ^A)элХ5С/C)с в простую группу. Эта модель, как и любая
*) Пленарный доклад на 9-й Международной конференции по общей
теории относительности и гравитации, Иена, ГДР, июль 1980 г.
2) CERN, Geneva, Switzerland.
SDeutscher Verlag der Wissenschaft
Перевод иа русский язык, «Мир», 1983

5. Перспективы теорий супергравитации 105
другая ТВО (см., например, [3]), должна воспроизводить объ-
объединение электромагнитных и слабых взаимодействий при энер-
энергиях около 100 ГэВ. Отсюда, согласно ренорм-групповым аргу-
аргументам, следует, что масштаб великого объединения порядка
1015 ГэВ. В настоящее время ТВО достигли немалых успехов
(например, объяснение квантования заряда, предсказание низ-
низкоэнергетического угла Вейнберга 9w и установление некоторых
связей между кварками и лептонами). Кроме того, ТВО пред-
предсказывают новые физические явления, которые могут быть про-
проверены экспериментально, такие, как распад протона и массы
нейтрино (см., например, [4]). Однако ТВО имеют и серьезные
недостатки, так как им внутренне присуща проблема иерархий,
они не объясняют повторения поколений и тот, последний, но не
наименее важный факт, что, хотя объединение симметрии про-
происходит при масштабах, не очень далеких от планковской массы
1019 ГэВ, ТВО полностью пренебрегают гравитацией. Любая
попытка сверхобъединения должна включать метрический тен-
тензор — гравитационное калибровочное поле. В квантовой теории
это поле описывает новый калибровочный квант — гравитон, су-
существующий в двух состояниях со спиральностями X = ±2; Это
калибровочное поле связано с локальной симметрией эйнштей-
эйнштейновского лагранжиана, т. е. с калибровочной группой Пуанкаре.
Основным мотивом супергравитации [5, 6] является желание
найти возможный сценарий для сверхъединой калибровочной
теории с планковской массой в качестве масштаба объедине-
объединения. Ясно, что в любой попытке построить такую теорию объеди-
объединяющий калибровочный принцип должен содержать в единой
алгебраической структуре как пространственно-временные, так
и внутренние симметрии. Более того, в действительно единой
калибровочной теории все взаимодействия должны иметь чисто
геометрическое происхождение, а различия между материаль-
материальными и калибровочными полями должны быть почти неуловимы-
неуловимыми. Вследствие различных спинов и статистик фундаментальных
составляющих материи (фермионов и бозонов) это, по-ви-
по-видимому, приводит к требованию, чтобы объединяющая алгебраи-
алгебраическая структура преобразовывала бозоны в фермионы и наобо-
наоборот. Это достигается с помощью супералгебр Ли или суперсим-
метрий [7, 8], правило умножения в которых содержит как
коммутаторы, так и антикоммутаторы.
Супергравитация — это синоним динамической теории локаль-
локальной (калибровочной) суперсимметрии. В суперсимметрии нечет-
нечетная часть супералгебры Ли (ферми-генераторы) содержит N
майорановых спинорных генераторов Qla (а= 1, ..., 4; i —
= 1, ..., N). Эти генераторы образуют так называемое градуи-
градуирующее представление четной части супералгебры Ли, содержа*
щей алгебру Пуанкаре и, возможно, алгебру внутренней симмет-
симметрии, действующей на индекс i. Трансформационные свойства

106 С. Феррара
спинорных генераторов имеют вид •)
Wa, AflwJ = /(allv)ePQ9. [Qa, P»] = 0, <*>
а их антикоммутационные соотношения
" + 2'7б,э + 2/7Y^. B)
Генераторы Z'1, Z11, антисимметричные по индексам /, ;', принад-
принадлежат центру супералгебры Ли и по этой причине называются
центральными зарядами [9]. Хотя эти генераторы и важны в
некоторых моделях, можно согласованно положить их равными
нулю в A) и B), не нарушая тождеств Якоби. С этого мо-
момента мы будем_в основном рассматривать алгебру A) и B),
э которой Z11 ~ Zu == 0.
Обращая уравнение B), получаем соотношение
^--•wQ'ymQ'. C)
которое показывает, что спинорные генераторы являются в не-
некотором смысле квадратными корнями из трансляций. Из этого
соотношения ясно, что если мы построим теорию, инвариантную
относительно преобразований суперсимметрии с (антикоммути-
рующими) параметрами е'а{х), зависящими от координат х», то
эта теория должна быть также инвариантна относительно обще-
общекоординатных преобразований. Обратно, любая общековариант-
ная теория с глобальной суперсимметрией является локально
суперсимметричной. При введении локальных преобразований
симметрии с параметрами е„ (л:) можно ожидать появления ка-
калибровочного поля, необходимого для локальной суперсиммет-
суперсимметричности данной теории (по аналогии с введением фотона для
расширения глобальной (первого рода) фазовой инвариантности
теории Дирака до локальной (второго рода) инвариантности).
Ожидаемое калибровочное поле должно преобразовываться от-
относительно суперсимметрии как дце1а (+ Другие члены) и, сле-
следовательно, представляться полем Рариты—Швингера $1а{х).
Предполагается, что это фермионное калибровочное поле в от-
рутствие нарушения суперсимметрии описывает новую безмас-
безмассовую частицу со ощральностями X = ±3/2 (гравитино). Нали-
Наличие нового калибровочного кванта с полуцелым спином и яв-
является ключом к супергравитации. Эта гипотетическая частица
со спином 3/2 перебрасывает мост между симметрией простран-
пространства-времени, калибровочный квант которой имеет спин 2 (гра-
(гравитон), и внутренними симметриями, калибровочные кванты ко-
которых имеют спин 1 (янг-миллсовские векторные бозоны). Бо-
■) В настоящем обзоре часто используются различные метрические со-
соглашения в соответствии с цитируемыми оригинальными статьями,

5. Перспективы теорий супергравитации 107
лее того, из структуры мультиплетов безмассовых представле-
представлений расширенной (N ~> \) суперсимметрии (см., например, об-
обзор [10]) следует, что калибровочные частицы со спином 2, 3/2
и 1 могут быть объединены с частицами со спином 1/2 и 0. Та-
Таким образом, в теориях супергравитации одновременно дости-
достигаются две фундаментальные цели: объединение пространствен-
пространственно-временных и внутренних локальных симметрии в единой
калибровочной теории и объединение калибровочных и матери-
материальных полей в единое неприводимое представление лежащей в
основе группы симметрии.
2. Супергравитация из первых принципов
Совершенно независимо от программы унификации были
приведены и другие доводы в пользу введения супергравитации
в физику частиц.
Во-первых, чтобы сделать суперсимметрию локально инва-
инвариантной. Это требует одновременно инвариантности относи-
относительно общекоординатных преобразований. Локализация супер-
суперсимметрии приводит к одному и тому же действию независимо
от частного вида использованной математической структуры
L5.6J.
Если обобщать калибровочную инвариантность свободного
безмассового поля Рариты — Швингера на случай взаимодейст-
взаимодействия, то супергравитация возникает как единственная возмож-
возможность непротиворечивого взаимодействия этого поля с осталь-
остальными полями, преодолевая тем самым старые трудности взаимо-
взаимодействующих полей с высшими спинами [11].
В супергравитации впервые реализуется идея о том, что фер-
мионные поля, обычно ассоциируемые с материей, могут быть
истинно калибровочными полями. Это приводит к тонкой взаи-
взаимосвязи между геометрией пространства-времени и квантовоме-
ханическим понятием спина.
Одной из причин создания супергравитации можно считать
попытки построения осмысленной квантовой теории гравитации.
Вклады суперсимметричных партнеров гравитона приводят к
весьма эффектному улучшению ультрафиолетового поведения
по сравнению с эйнштейновской теорией [12]. Предел наших
желаний состоит в том, что некоторые варианты супергравита-
супергравитации (в настоящий момент предпочтение отдается максимально
расширенной теории с N = 8 [13]) приведут к конечной кван-
квантовой теории гравитации.
Супергравитация естественным образом оправдывает необ-
необходимость квантования гравитации [14]. Действительно, если
есть преобразования симметрии, смешивающие метрический тен-
тензор с полями других частиц, было бы крайне неразумно кванто-
квантовать все поля, за исключением метрического тензора. Например,

108 С. Феррара
в простейшей теории супергравитации уже сам факт квантова-
квантования поля Рариты — Швингера предполагает, что метрический
тензор также должен быть квантован.
Имеется несколько изящных формулировок основной теории
супергравитации (N = 1) [5, 6]. В формализме первого порядка
N = 1 супергравитацию можно рассматривать как теорию Эйн-
Эйнштейна — Картана для безмассовой частицы спина 3/2 с неми-
неминимальной заменой дц ->дц -\--к ацаЬ(^аь в лагранжиане Ра-
Рариты— Швингера [6]. Эта замена неминимальна в том смысле,
что дц + -J ®у.аЬ <Уаь не является ковариантной производной, дей-
действующей на поле со спином 3/2, а отличается от нее на члены,
связанные с кручением, которые необходимы для сохранения
калибровочной инвариантности поля Рариты — Швингера. Су-
Супергравитация была также построена как калибровочная теория
супергрупп Пуанкаре [15] или де Ситтера [16] в пространстве-
времени без кручения. Более простой вывод супергравитации
требует соответственно более изощренных методов [17, 18].
Один из них основан на понятии суперпространства [17, 19—
21],; которое является фактор-пространством супергруппы Пуан-
Пуанкаре по группе Лоренца. В суперпространстве мультиплеты по-
полей описываются одним объектом — суперполем. Несмотря на
эти значительные технические усовершенствования, мы хотели
бы привести здесь такой вывод супер гравитации, который не
требует знания дифференциальной геометрии и теории групп и
основан на некоторых очень простых физических рассуждениях.
Из теории представлений глобальной суперсимметрии известно,
что бёзмассовая (майоранова) частица со спиральностью К =
=== ±3/2 может образовывать супермультиплет с бозоном спи-
ральности ±2 или ±1. В теории свободных полей оба выбора
совершенно равноценны. Первый выбор приводит к мультиплету
супергравитации (±2, ±3/2) со свободным лагранжианом
: . ^^^эйнштСМ-т^^^уЛ^. D)
Здесь 5>оэйншт(/1цу) — линеаризованный эйнштейновский лагран-
лагранжиан с £nv = T)nv + xftnv- Лагранжиан S*0 раздельно инвариан-
инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований
6A(iV=C(iiv + Cvin, бл|)ц = д^а E)
и глобального преобразования суперсимметрии

5. Перспективы теорий суперграбШации 109
Альтернативный выбор приводит к мультиплету (±3/2, ±1) со
свободным лагранжианом
Лагранжиан 3?х раздельно инвариантен относительно двух абе-
левых калибровочных преобразований
%l li (8)
и глобального преобразования суперсимметрии
6А11 = г%, 6% = apxyllFpxe. (9)
Разница между 9?й и 2", соответствующими двум возможным
способам включения гравитино в супермультиплет, возникает
при попытке обобщить теории, описываемые D) и G), на слу-
случай полной нелинейной теории. Если е = е(*), т. е. преобразо-
преобразование суперсимметрии локально, то в лагранжиан необходимо
ввести новый член wpua/'10'. имеющий вид произведения поля на
ток (и — гравитационная константа связи), причем dt4iLa(x) = 0.
Это не что иное, как нетерова связь. Но известно, что при су-
суперпреобразовании спин-векторный ток суперсимметрии перехо-
переходит в тензор энергии-импульса системы /•**. Следовательно,
связь xi^/i* с необходимостью сопровождается выражением
KhyxTw, поэтому анзац D) является единственно возможным.
Окончательная теория, построенная процедурой последователь-
последовательных приближений по степеням и, приводит к следующему лаг-
гранжиану супергравитации:
-^ R {ё^ ~ \ Ч
^) - 4 (%nfl A0)
где g^ = <?£<?va и <?ца— тетрада. Лагранжиан Я?sQ инвариантен
относительно следующих (неабелевых) калибровочных преобра-
преобразований се = е(х):
где Dp — обычная ковариантная производная со связностью
Кристоффеля. Таким образом, на свободном уровне (и == 0) есть
два независимых абелевых преобразования E) и глобальное
(неабелево) преобразование суперсимметрии F). На взаимо-
взаимодействующем уровне A0) они становятся единым неабелевым

ПО С. Феррара
калибровочным преобразованием A1). Заметим, что закон
бл^ = — DpE (Dp = Dp 4- члены кручения) имеет такую же форму,
что и закон калибровочного преобразования янг-миллсовского
потенциала 6Л£ = D^A" = дцЛа + /а*сЛ*Л£. Единственное от-
отличие состоит в том, что в супергравитации спиновая связность
©if является нелинейной функцией полей. Наконец, существует
весьма изящный вывод [22] лагранжиана супергравитации A0),
который не требует даже знания преобразований полей A1) и
опирается только на тот факт, что поле гравитино описывает два
физических безмассовых состояния со спиральностями ±3/2.
Этот вывод прямолинеен и требует лишь знания борновской ам-
амплитуды гравитационного рассеяния двух частиц со спином 3/2.
Кроме того, он подчеркивает интерпретацию четырехфермионной
связи, присутствующей в A0), как контактного члена той же
природы, что и аналогичные члены в обычных теориях Янга —
Миллса и в скалярной электродинамике. Рассмотрим одногра-
витонную амплитуду рассеяния двух частиц со спином 3/2. Вол-
Волновая функция ^ti(p) любой внешней линии с импульсом ру
удовлетворяет на массовой оболочке (р2/фц(р) = 0) следующим
уравнениям:
P4V (Р) = 0, fi% (р) = р„у+ (р). A2)
Уравнения A2) сводят число компонент фц(р) к четырем. Чтобы
они сводились далее к двум физическим компонентам, матрич-
матричный элемент 5 должен обращаться в нуль при подстановке
фи = ерц, где еа — константный майоранов спинор. Легко про-
проверить, что борновская амплитуда одногравитонного обмена не
удовлетворяет этому требованию и что 5-матрица обращается
в нуль только при добавлении к борновской амплитуде контакт-
контактного члена из A0). Существует простой довод, показывающий,
что этот добавочный член может быть только четырехфермион-
четырехфермионной связью и что контактные члены с большим числом полей
спина 3/2 не достигают цели. Рассмотрим рассеяние п грави-
гравитино в древесном приближении. Рассеяние может происходить,
в частности, путем обмена гравитино гравитонами (трилинейная
связь). В таких диаграммах гравитационная константа связи и
всегда появляется в степени 2(л— 1). Предположим теперь, что
мы подставили /Фц(Р)=е^>ц. просуммировали все вклады в 5-
матрицу и убедились, что она не равна нулю. Это означало бы,
что в лагранжиан следует добавить выражение типа g2ndm(tyty)n,
где дт обозначает /тг-кратную производную и опущены лорен-
цевы индексы. Простые размерные соображения сильно ограни-
ограничивают возможный вид таких членов: из кинетической части
действия следует, что размерность ф^ равна (D—1)/2 в едини-
единицах массы, где D — размерность пространства-времени, которую

5. Перспективы теорий супергравитации 111
мы не фиксируем. Тогда размерность константы связи g2n равна
Такие контактные члены должны соответствовать возможным
калибровочно неинвариантным членам, у которых gin ~ к2<-п~1\
Так как [и] = B — D)/2, то для совместности необходимо
т. е. п = 2 — т.
Для любого D возможно единственное решение т = О, п = 2.
Следовательно, лагранжиан супергравитации в пространстве-
времени произвольного числа измерений может содержать кон-
контактный член только в виде четырехфермионной связи без про-
производных.
3. Симметрии расширенных супермультиплетов
В любой суперсимметричной теории частицы и соответствую-
соответствующие им поля объединяются в супермультиплеты. Супермульти-
плет полей состоит из набора обычных полей с разными спи-
спинами, статистиками и свойствами внутренней симметрии. В этом
разделе мы опишем достаточно подробно структуру массивных и
безмассовых мультиплетов расширенной yV-суперсимметрии и их
свойства относительно внутренней симметрии. Предполагается,
что состояния из этих мультиплетов должны описываться асимп-
асимптотическими полями суперсимметричных квантовых теорий поля.
Согласно Саламу и Стратди [23,24], для построения супермуль-
супермультиплетов частиц используется вигнеровский метод индуцирован-
индуцированных представлений. Положим временно в алгебре суперсиммет-
суперсимметрии B) Z1' = Z1' = О (сектор нулевых центральных зарядов).
Рассмотрим сначала подалгебру стабильности времениподоб-
ного вектора Р» = (М, 0), где М — масса, общая для всех со-
состояний данного массивного супермультиплета. В представлении
Майораны подалгебра стабильности приобретает вид (М = I)
{Qa. Qp} = 6aP6"\ а, р=1, ..., 4, i, ] = \, ..., N. A3)
Антикоммутаторы A3) определяют клиффордову алгебру груп-
группы SODN). Ее единственное неприводимое представление имеет
размерность 22N. Оно распадается на два неэквивалентных не-
неприводимых спинорных представления SODN) размерности
22N~l. Используя двухкомпонентные вейлевские спиноры, пере-
перепишем A3) в следующем виде:
{Ql Q$ = 6a$6", {Q'a, Qi) = 0, a, p = l, 2. A4)
Qa, Qa удовлетворяют алгебре 2N ферми-операторов рождения и
уничтожения. Рассмотрим клиффордов вакуум Q, определяемый

J12 С. Феррара
условием
<Э&-0, Va, L A5)
Над ним можно построить 22N состояний
Q, Q& Qlu\QbQ Qi'...^»Q 06)
«1 '2 М 'п
Эти состояния классифицируются с помощью оператора спина
Wk = ~aT[Qla, Qi], A7)
принадлежащего обертывающей алгебре супералгебры Пуан-
Пуанкаре. Если определить 2Л'-компонентные спиноры:
Q'a^Ql для * = 1, ..., N; Qaa = Qui=za% A8)
для a = N+ I, ...,2N,
то A3) и A4) переходят в
{Qa, Qp} = eapQa*, a, p=l, 2, a, 6= 1 2N,
ab — cfia — ( ° />\ <V>aV —
Алгебра A9) явно инвариантна относительно SUB)>(USpBN)
[25,26]. 4\/V-MepHoe векторное представление SODN) остается
неприводимым при редукции
SODN)->SU{2)XVSpBN), 4^-^B, 2N). B0)
Симплектические генераторы, классифицирующие состояния
в A6), имеют вид
Kl = Т\ + Т"а + i {Т\ - Тьа), ТаЬ = eaP [Qi, Q§]; B1)
они коммутируют с S£/B) -генераторами A7). Два неприводи-
неприводимых спинорных представления SODN), соответствующих двум
собственным значениям ±1 оператора y4N+l, разлагаются в сум-
сумму следующих неприводимых представлений 5f/B)X USpBN):
...X 2N]k) + ...
...+A,[2NX-..X2N]N). B2)
Здесь [2WX ••• X.2N]k — ^-индексное антисимметричное бес-
бесследовое представление USpBN). Одно из неприводимых спи-
спинорных представлений SODN) содержит целые спины (бозоны)
разложения B2), а другое — соответственно полуцелые спины
(фермионы). 5U B) -спин / пробегает в спинорных представле-
представлениях SODN) значения от / = 0 до / = N/2. Рассмотрим для
ясности конкретный случай N = 2. В этом примере клиффордо-
вой алгебре соответствует группа SO (8) и генераторы Qla, яв-
являющиеся векторами относительно SO (8), принадлежат непри-

5. Перспективы теорий супергравитации 113
водимому представлению B,4) группы 5£/B)Х USp{4) ~
~ 50 C)Х 50 E) с 50 (8). Из диаграммы Дынкина для группы
£>4 [27] следует, что группа 50(8) имеет три неэквивалентных
восьмимерных представления 8О, 8, 8', разлагающиеся относи-
относительно 5ОC)Х5ОE) на B,4), B,4), C,1) + A,5). Таким
образом, в фундаментальном массивном супермультиплете рас-
расширенной N = 2-суперсимметрии фермионы и бозоны преобра-
преобразуются относительно 5£/B)Х USp{4) как B,4) и C, 1) + A,5)
соответственно.
Можно построить и более общие представления суперсиммет-
суперсимметрии. Например, можно ослабить условие на клиффордов вакуум
Q, предположив, что он принадлежит нетривиальному представ-
представлению группы вращений, генерируемой оператором Паули — Лю-
банского — Баргмана, и группы внутренней симметрии. В этом
случае общее неприводимое массивное представление расши-
расширенной yV-суперсимметрии будет определяться несколькими опе-
операторами Казимира: суперспином и операторами Казимира внут-
внутренней симметрии [23,28]. Используя суперполевой язык, опе-
операторы Казимира легко записать в терминах ковариантных
производных. Действительно, если во всех предыдущих выраже-
выражениях заменить операторы Qa на ковариантные производные Da,
то мы получим операторы, коммутирующие с генераторами супер-
суперсимметрии, так как {Da, Qp} = 0. Поэтому операторы Казимира,
построенные из £>2, можно использовать для классификации не-
неприводимых представлений расширенной УУ-суперсимметрии.
В табл. 1 приведены некоторые массивные представления
Таблица 1
Некоторые массивные представления (без центральных зарядов)
1
2
3
4
5
5
2
1
2
1
1
1
1
10
3
2
1
2
1
4
1
6
8
44
1
1
2
1
1
4
5ф1
6
Нф1
27
ПО
1

1
2
1
4
501
4
14
Нфб
48
165
0
2
1
5
4
1
14
14
42
132

114 С. Феррара
расширенной W-суперсимметрии (до N = 5 включительно). Мас-
Массивные представления расширенной Л'-суперсимметрии имеют
размерности
rf = 2^X^Q, B3)
где da — размерность клиффордова вакуума. При наличии цен-
центральных зарядов массивные представления могут иметь мень-
меньшие размерности [29,30]. Рассмотрим несколько примеров.
В расширенной супереимметрии N = 2л массивные мультиплеты
с центральными зарядами имеют размерность 22п+1 вместо 24п
и область изменения спинов 0 ^ / ^ л/2 вместо 0 ^ / ^ л. Эти
22л+1 состояний являются дублетом массивных представлений
расширенной л-суперсимметрии без центральных зарядов. Они
классифицируются по представлениям внутренней группы
t/A)X USpBn) (вместо USp(An)). В табл. 2 приведены неко-
некоторые массивные представления с центральными зарядами.
Таблица 2
Некоторые массивные представления
(с центральными зарядами). Комплексные
представления
2
4
6
3
2
1
1
1
1
1
2
1
4
6
1
2
1
2
1
4
5ф1
14
0
2
1
5
4
14
Обратимся теперь к безмассовым представлениям. В этом
случае можно выбрать Р» = A, 0, 0, 1). Подалгебра стабиль-
стабильности Р* принимает вид
= 0.
B4)
Из B4) следует, что Qi = О, и клиффордова алгебра состоит
из N операторов рождения и_ уничтожения. Положив Qi = Ql
и изменив нормировку Q1 в -\/2 раз, получим
B5)
Если определить теперь вещественный вектор
l + Ql
L V2 ' V2 J' ! 2iVf

5. Перспективы теорий супергравитации 115
то B5) становится клиффордовой алгеброй группы S0BN).
Фундаментальный безмассовый мультиплет расширенной N-cy-
персимметри^и совпадает со спинорным представлением S0BN)
и имеет размерность 2N. Нас будет интересовать разложение
S0BN) относительно U(N), соответствующее включению N +
+ N = 2N фундаментального представления SU(N) в вектор-
векторное представление SOBN). В случае М = О внутренняя группа
USpBN), определенная в B1), сводится фактически к группе
U(N) с генераторами
Tn=^[Qii q/]. B6)
U(l)-генератор T = ~[Ql, Q'] связан с внутренней спираль»
ностью Л = -j Q*Ql (Ли = 0) следующим соотношением:
T = A--j. B7)
В пространстве, натягиваемом векторами Q, Q*Q Q'1 ...
Q'*Q, ....спектр Т пробегает значения от —N/4 до N/4.
Если определить_спиральность группы Пуанкаре как оператор,
преобразующий Q' обратно преобразованию Т, то суперспираль-
ность дается суммой Г + Т; она является оператором Казимира
для безмассовых представлений. Для СРТ-самосопряженности
данного мультиплета необходимо, чтобы Г + Т = 0, т. е. Ш =
= N/4Q. В этом случае мультиплет содержит полный набор
спиральностей (вместе с противоположными) l/2{N/2 — k), k =
= 0 W, принадлежащих неприводимым представлениям
SU(N) вида [NXNX ■■■ ХЩк. Если TQ = XQ и %фЫ/А, то
к мультиплету с суперспиральностью Я — yV/4 следует добавить
СРТ-сопряженный мультиплет с противоположной суперспи-
суперспиральностью N/A — %. Это означает, что Ш' = {N/2 — X)Q'. За-
Заметим, что мультиплет не может быть СРТ- самосопряженным
при нечетных ЛЛ Размерность клиффордова вакуума можно уве-
увеличить, предположив, что он преобразуется по некоторому не-
неприводимому представлению R киральной группы SU(N). В этом
случае СРТ-самосопряженное представление алгебры суперсим-
суперсимметрии получается сложением двух представлений с противопо-
противоположными суперспиральностями и клиффордовыми вакуумами,
преобразующимися соответственно по представлениям R и $
группы SU(N). Дублирование представлений необязательно,
если суперспиральность равна нулю и если R является самосо-
самосопряженным представлением группы SU(N). Размерность произ-
произвольного представления равна 2N X dim R в случае нулевой су-
перспиральности и 2^+' X dim R в остальных случаях. Из преды-
предыдущих рассуждений следует, что для СРТ-самосопряженного
безмассового мультиплета минимальный интервал изменения

116 С. Феррара
спиральностей лежит в пределах от Я = 0 до К = N/4 (или
(V + 1) /4 для нечетных N).
В табл. 3 и 4 приведены безмассовые мультиплеты с синг-
летными относительно SU(N) максимальными спиральностями
Таблица 3
Безмассовые представления с максимальной
спиральностью X, = 1
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Зф1
4
0
2—101
зфз
з<8>1ф1®з
Таблица 4
Безмассовые представления с максимальной спиральностью
X. = 2, SO (8)-классификация
1
2
3
4
5
6
7
8
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
2
3
4
5
6
7ф1
8
1
1
3
з® 101 <8>з
10
15 01
21 ф7
28
1
2
1
4
Ю01
20©6
35ф21
56
0
2-101
5ф5
15015
35ф35
35ф35
= 1, 2. Отметим, что подгруппа SO(N) группы SU(N) яв-
является максимальной внутренней симметрией безмассовых муль-
типлетов, реализующейся вектороподобно. При расширении
SO(N) до SU(N) безмассовые мультиплеты теряют определен-

5. Перспективы теорий супергравитации 117
ную четность, так как данная спиральность и противоположная
ей спиральность принадлежат соответственно сопряженным
представлениям SU(N). Тем не менее может случиться, что не-
некоторые состояния данного мультиплета принадлежат само-
самосопряженному представлению SU(N); для них может быть оп-
определено понятие четности. Ясно, что любой неприводимый СРТ-
самосопряженный мультиплет не может быть самосопряженным
относительно киральной группы SU(N), вращающей состояния
вида Q'1 ... Q'feQ. Однако, добавив несколько безмассовых
мультиплетов, можно получить мультиплет, состояния которого
принадлежат самосопряженным представлениям SU(N). Такая
ситуация возникает, например, при разложении состояний мас-
массивного представления по состояниям с определенной спираль-
ностью [26]. Массивное представление разлагается в сумму не-
неприводимых безмассовых представлений. Состояния с данной
спиральностью классифицируются по подгруппе SU_(N) группы
USpBN) в соответствии с разложением 2N —* N Ц- N векторного
представления USpBN) относительно SU(N). В табл. 5 при-
приведено такое разложение для массивного мультиплета расши-
расширенной N = 4-суперсимметрии с максимальным спином /маКс =
= 2 (фундаментальное представление).
Из предыдущего анализа видно, что область изменения епи-
ральностей в безмассовом представлении меньше, чем в массив-
массивном. Причина этого лежит в сокращении размерности клиффор-
довой алгебры в «системе покоя», соответствующей в первом
случае группе SOBN), а во втором SO(iN). Безмассовое фун-
фундаментальное представление расширенной W-суперсимметрии
есть спинорное представление SOBN), соответствующее разло-
разложению 2N->- N + Я SOBN) относительно SU(N). Очевидно, что
предыдущее обсуждение может быть обобщено на случай супер-
суперсимметрии в пространстве-времени произвольного числа изме-
измерений. Например, рассматривая безмассовые представления
N— 1-суперсимметрии в десяти измерениях [31], мы находим,
что клиффордова алгебра соответствует группе SO (8), как и
для массивного случая N = 2 в четырех измерениях. Фундамен-
Фундаментальное безмассовое представление соответствует паре непри-
неприводимых представлений SO (8), а именно векторному и спинор-
ному представлениям, описывающим векторное поле и спинор
Вейля — Майораны в десяти измерениях. Клиффордова алгебра
для безмассовых представлений суперсимметрии N=\ в 11-
мерном пространстве-времени [32] эквивалентна клиффордовой
алгебре для безмассовых представлений N = 8-суперсимметрии
или для массивных представлений N = 4-суперсимметрии в че-
четырех измерениях.
В заключение рассмотрим еще раз некоторые представления
расширенной N-суперсимметрии с центральным зарядом [29,

118 С. Феррара
Таблица 5
Разложение массивного N = 4, /макс
на безмассовые представления
представления
Спираль-
ность
+2
+ 1
0
1
2
— 1
3
2
—2
Число состояний
1A)
8(8)
28 B7 + 1)
56 D8 + 8)
70 D2 + 27+1)
56 D8 + 8)
28 B7 + 1)
8(8)
1A)
Неприводимое безмассовые представлеиня
1
4
6
4
1
4X1
4X4
4X6
4X4
4X1
6X1
6X4
6X6
6X4
6X1
4X1
4X4
4X6
4X4
4X1
1
4
6
4
1
В скобках указаны представления USp (8).
30]. Мы видели, что эти представления классифицируются по
группе USp(N) и имеют область изменения спина в пределах
от 0 до N/4: (N четное). Их размерность равна 2^+', и, пока
речь идет о содержании спиральностей, они совпадают с СРТ-
самосопряженными безмассовыми представлениями расширен-
расширенной yV-суперсимметрии. Эти представления можно рассматри-
рассматривать как некоторое специальное вложение USp(N) в SU(N).
ЛЛ-мерное векторное представление SU(N) остается неприводи-
неприводимым при ограничении до USp(N). Применяя вышеизложенный
анализ к N = 4-суперсимметричным теориям Янга — Миллса,
мы приходим к выводу, что любой не нарушающий суперсим-
суперсимметрию механизм Хиггса с необходимостью приводит к массив-
массивным мультиплетам с центральными зарядами, спиновые состоя-
состояния которых классифицируются по USp D). Это явление дей-
действительно происходит в спонтанно нарушенных расширенных
суперсимметричных теориях Янга — Миллса.

5. Перспективы теорий супергравитации 1J9
4. Расширенная супергравитация и физика частиц
Расширенные супергравитации [33] представляют собой ка-
калибровочные теории супералгебр Пуанкаре, в которых имеется
N спинорных майорановых зарядов Qa(i—l, ..., N), удовлет-
удовлетворяющих фундаментальным антикоммутационным соотноше-
соотношениям B). Для локализации N преобразований суперсимметрии
необходимо ввести N полей Рариты — Швингера со спином 3/2,
несущих индекс внутренней симметрии i. Мультиплеты расши-
расширенной W-супергравитации (на массовой оболочке) приведены
в табл. 4. Поскольку мультиплеты со спиральностями X ^ 2
существуют только при условии N ^ 8, то имеется весьма огра-
ограниченное число теорий чистой супергравитации. Фактически, если
единственной константой связи является гравитационная кон-
константа, имеется только семь возможных теорий с различным со-
содержанием частиц. Впрочем, недавно было показано [34], что раз-
разные полевые представления могут привести к неэквивалентным
квантовым теориям поля, совпадающим на классическом уровне.
Простейшей расширенной супергравитацией является N =
= 2-теория [35]. Она весьма изящно объединяет теории Мак-
Максвелла и Эйнштейна. Эйнштейновская мечта об объединении
фотонов и гравитонов почти достигается в N = 2-супергравита-
ции путем добавления к обычной теории Максвелла — Эйнштейна
двух гравитино. Гравитино не имеют электрического заряда; тем
не менее они взаимодействуют с максвелловским полем за счет
неминимальной связи, диктуемой локальной суперсимметрией:
B8)
На свободном уровне лагранжиан теории сводится к сумме ла-
лагранжианов D) и G). Дублет гравитино N = 2-теории можно
снабдить электрическим зарядом g [36] при условии, что гра-
гравитино приобретают «массу» величины g/v. и возникает космоло-
космологический член величины (g/xJ. Расширенные супергравитации
имеют очень большой набор симметрии. Локальные симмет-
симметрии кроме общекоординатных, лоренцевых и суперпреобразо-
суперпреобразований включают также калибровочные симметрии, связанные
с векторными палями мультиплета супергравитации. При на-
наличии только гравитационной константы эти последние симмет-
симметрии связаны [37] с локализацией центральных зарядов, появ-
появляющихся в правой части фундаментального антикоммута-
антикоммутатора B). Глобальные симметрии расширенных супергравитаций
включают глобальную SO (N) -инвариантность, которая может
быть расширена до U(N) [38] с помощью комбинированных
киральных и дуальных преобразований, обобщающих преобра-
преобразования дуальности теории Максвелла — Эйнштейна. N левосто-
левосторонних гравитино ifjizобразуют вектор SU{N), в то время вдк

120 С. Феррара
N(N—1)/2 напряженностей максвелловских полей Fji, = —
и дуальные им тензоры F^ = у е^ра^ра преобразуются как
антисимметричные тензоры SU(N) второго ранга. Эта комбини-
комбинированная кирально-дуальная инвариантность оказалась наряду
с остальными локальными симметриями существенной для ко-
конечности одно- и двухпетлевых квантовых поправок теорий рас-
расширенной супергравитации [12]. Важно отметить, что комби-
комбинированная кирально-дуальная инвариантность индуцирует но-
новые контактные члены в напряженностях полей гравитино, уже
не сводящихся просто к кручению, как это было в случае W = 1.
Этот факт показывает, что локальная суперсимметрия имеет го-
гораздо более богатую геометрическую структуру, чем теория
гравитации Эйнштейна — Картана.
Структура глобальных симметрии расширенной суперграви-
супергравитации наиболее интересна для N ^ 4. В этих случаях муль-
типлеты супергравитации включают все возможные спираль-
ности от 0 до 2 и содержат скалярные поля (см. табл. 4). При
построении N = 4-супергравитации было показано [39], что
за добавочную глобальную SU( 1,1)-инвариантность уравнений
движения ответственны два вещественных скалярных поля. Эта
симметрия нетривиальным образом комбинирует киральные
преобразования на спинорах, дуальные преобразования на на-
напряженностях .векторных полей и проективные преобразования
на скалярах. Эти некомпактные глобальные преобразования
расширяют глобальную симметрию N = 4-супергравитации до
Sf/D)X5[/A, 1). Некоторое время назад Креммер и Жулиа
[13,40] обобщили эти добавочные симметрии N ^ 4-супергра-
витаций, показав, что все эти теории фактически обладают ло-
локальной симметрией #= U(N) (SU(8) для N = 8) и глобаль-
глобальной некомпактной симметрией G. Более того, скалярные поля
мультиплета супергравитации, образующие антисимметричный
тензор SU(N) четвертого ранга, параметризуют пространство
смежных классов G/H. Группа Я связана с G в том смысле, что
Я изоморфна ее максимальной компактной подгруппе Я fa H.
Именно это является причиной отсутствия духовых состояний,
несмотря на некомпактность полной группы инвариантности
уравнений движения. В N = 4-супергравитации G/R =
= S£/(l,l)/£/(l) является двумерным многообразием, что со-
соответствует двум скалярным модам теории.
Обратимся теперь сразу к максимально расширенной N =
= 8-теории. В этом случае G = Е7 и H = SU(8) [13,40].
70 скалярных полей параметризуют однородное пространство
G/H размерности 133 — 63 = 70. Группа SU(8), по которой
классифицируются состояния, не совпадает ни с Я, ни с Я, а
является, скорее, их прямой суммой ЯФЯ. Локальная SU(8)-
группа расширенной N = 8-супергравитации имеет 8 качестве

5. Перспективы теорий супергравитации 121
связности Q^b — вспомогательные нераспространяющиеся по-
поля, линеаризованная часть которых билинейна по 70-плету ска-
скалярных полей фундаментального мультиплета N = 8-теории.
Креммер и Жулиа [40] предположили, что эти SU (8)-калибро-
(8)-калибровочные векторные потенциалы могли бы стать динамическими,
т. е. в их пропагаторах мог бы возникнуть полюс при нулевой
массе по аналогии с явлением, которое действительно имеет ме-
место в двумерной СРп~1 нелинейной модели в \/п разложении
[41]. Такое предположение означает по существу, что элемен-
элементарные поля лагранжиана N = 8-супергравитации образуют
связанные состояния, мультиплет которых содержит присоеди-
присоединенное представление SU(8). Это наблюдение может оказаться
полезным для установления связи между супергравитацией и
современной феноменологией частиц. Действительно, предыду-
предыдущие попытки идентифицировать элементарные частицы физики
«низких энергий» с партнерами гравитона по безмассовому
мультиплету супергравитации были безуспешны, по существу,
по той причине, что расширенная W-супергравитация может
включать, самое большее, SO (8)-теорию Янга—Миллса [42].
Векторные частицы фундаментального мультиплета принадле-
принадлежат в точности присоединенному представлению SO (8). Хотя
ранг этой группы равен четырем, она не содержит минималь-
минимальную калибровочную группу низкоэнергетической физики Sf/C)X
X5t/B)X ^A)- Даже если мы попытаемся идентифицировать
только точную (вектороподобную) симметрию S£/C)X^0)>
все равно отсутствуют слишком многие наблюдаемые состояния
кварков и лептонов. Но если отбросить эту картину и интерпре-
интерпретировать элементарные поля N = 8-супергравитации как «прео-
ны» составных состояний, выглядящих элементарными при со-
современных энергиях (кварки, лептоны, векторные бозоны), то
локальная киральная SU(8) -симметрия может обеспечить вклю-
включение всех наблюдаемых состояний. Недавно в очень интерес-
интересной работе Эллис, Гайяр, Майани и Зумино [43] провели
теоретико-групповой анализ содержания частиц в составном без-
безмассовом 5£/(8)-мультиплете, в котором состояния со спираль-
ностями Я = ±1 принадлежат присоединенному представлению
SU(8), и пришли к выводу, что этот мультиплет содержит до-
достаточное число спинов 1/2 и 0, чтобы включать все наблюдае-
наблюдаемые кварки и лептоны, а также хиггсовские частицы, необходи-
необходимые для последующих нарушений симметрии от планковской
массы до области гигаэлектрон-вольт:
SU (8) -»- SU E) -> SU C) X SU B)L X U A) -+SU C) X V A).
Замечательно, что SU(8) оказалась достаточно большой не
только для того, чтобы однозначно привести к калибровочной
группе SUE) TBO, но также предсказать расщепление SU(8)
на группу семейств SU E)X5f/C). Чтобы построить СРТ-само-

122 С. Феррара
сопряженный безмассовый мультиплет с векторными частицами
в присоединенном представлении SU(8), Эллис и др. [43] ис-
использовали тот факт, что в любой суперсимметричной N ^ 4-
теории существует мультиплет токов, имеющий такое же число
степеней свободы на массовой оболочке, что и расширенный
массивный W-мультиплет [44]. Этот мультиплет содержит сле-
следующие спины:
2,C/2)°,..., B9)
где индекс а пробегает значения От 1 до 2Л/ и состояния с мень-
меньшими спинами являются антисимметричными тензорами
USpBN) в соответствии с классификацией, приведенной в
разд. 3. В пределе нулевой массы мультиплет B9) разлагается
на несколько безмассовых мультиплетов, классифицируемых по
представлениям SU(N) в соответствии с разложением 2N-*-N -\~
+ N векторного представления USpBN) относительно SU(N).
Например, для случая N = 4 имеет место разложение, приве-
приведенное в табл. 5. Безмассовый мультиплет, содержащий вектор-
векторные частицы в присоединенном представлении St/D), начи-
начинается спиральностью +3/2 в векторном представлении SUD).
Сказанное справедливо для всех N ^Z4- Эллис и др. [43] пред-
предположили, что при N "> 4 подходящий' мультиплет также имеет
вид
(ЦУ)А. C0)
К мультиплету C0) следует добавить СРТ-сопряженные со-
состояния
Полный набор левосторонних спиральных состояний для N = 8
имеет вид
Я = т5/2:8,
А = н=2: 28 + 36,
A = =f3/2:8 + 56+168,
А = =f 1 : 63 + 1 + 70 + 378,
_ , C2)
% ±= zp 1/2 : 8 + 216 + 56 + 504,
А = 0: 28 + 420 + 28 + 420.
Вышеупомянутые аЁторы сделали радикальное предположение
о возможности пренебречь теми представлениями SU(8) в C2),
которые получаются суммированием в C0), C1) верхних и
нижних индексов (т. е. следами). Для спина 1/2 это представ-
представления 8 и 56, а для скалярных полей 28 B8). При таких усло-
условиях Эллис и др. пришли к выводу, что максимальной ненару-

5. Перспективы теорий супергравитации 123
шенной подгруппой SU(8) при энергиях ниже массы Планка
1019 ГэВ является SUE). Максимальное свободное от аномалий
подмножество левосторонних состояний со спином_1/2, которое
может быть построено из представлений 216 и 504 и которое
вектороподобно относительно Sf/C)CX ^A)эл, содержит в точ-
точности три семейства представлений A0 + 5) SUE) плюс набор
самосопряженных представлений, которые могут получить боль-
большую SUE) -инвариантную массу порядка 1015 ГэВ. В подходе
Эллиса и др. можно наметить альтернативные пути. Следует
рассмотреть свободные от аномалий представления для лево-
левосторонних состояний со спином 1/2, не пренебрегая представ-
представлениями-следами SU(8). Другая возможность, кажущаяся труд-
трудновыполнимой, состоит в восстановлении нарушенной симметрии
путем использования большего числа мультиплетов, отлич-
отличных от C0) и C1). Очевидно, что если к C2) добавить до-
достаточное количество безмассовых мультиплетов, то, увеличи-
увеличивая SU(8) до USp( 16), можно задать суперсимметричную массу
любому состоянию. Легко видеть, что это достигается с по-
помощью массивного N = 8-мультиплета с максимальным спи-
спином /макс = 6. Он слишком велик, но можно было бы рассмот-
рассмотреть промежуточные ситуации, удовлетворяющие ограничениям
низкоэнергетической феноменологии. Имеет ли эта программа
какое-нибудь решение, покажет будущее,
ЛИТЕРАТУРА
1. Pati J. С, Salam A., Phys. Rev. Lett., 31, 661 A973); Phys. Rev., D8, 1240
leorgi H., Glashow S. L, Phys. Rev. Lett., 32, 438 A974).
2. Ellis J., Proceedings of the EPS International Conference on High Energy
Physics, Geneva, 2, 940 A979).
3. Nanopoulos D. V., preprint CERN TH., 2896 A980), lectures given at
the XV Rencontre de Moriond, Les Arcs, March 1980; preprint CERN TH.
2866 A980); in: Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds.
S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen, Plenum Press, New York,
1980.
4. Barbieri K., preprint CERN TN 2850 A980), in: Unification of the Funda-
Fundamental Particle Interactions eds. S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwen-
huizen, Plenum Press, New York, 1980.
5. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
A976).
6. Deser S., Zumino В., Phys. Lett., 62B, 335 A976).
7. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. Р., Письма ЖЭТФ, 13, 452 A971);
Волков Д. В., Акулов В. П., Phys. Lett, 46B, 109 A973);
Wess J., Zumino В, Nucl. Phys., B70, 39 A974).
8. Fayet P., Ferrara S., Phys. Rep., 32, 251 A977).
9. Haag R., Lopuszanski J. Т., Sohnius M., Nucl. Phys., B88, 257 A975).
10. Freedman D. Z., in: Recent Developments in Gravitation, edited by M. Levy
and S. Deser, Plenum, New York 1979, p. 549.
11. Veto G., Zwanziger D., Phys. Rev., 186, 1337 A969); 188, 2218 A969).
12. van Nieuwenhuizen P., Grisaru M. Т., in: Deeper Pathways in High Energy
Physics, Coral Gables (ed. A, Pedmutter and L. F. Scott, 1977), p. 233.

124 С. Феррара
13. de Wit В., Freedman D. Z., Nucl Phys., B130, 105 A977);
Gremmer £., Julia В., Phys. Lett., 80B, 48 A978); Nucl. Phys., B159, 141
П979).
14. Duff M. J., ICTP 79/80/38 talk presented at the Second Oxford Quantum
Gravity Conference, April 1980.
15 Chamseddine A., West P. C, Nucl. Phys., B129, 34 A977).
16. MacDowell S. W.y Mansouri F., Phys. Rev. Lett., 38, 139 A977).
17. Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 361 A977).
18. Ne'eman У., Regge Т., Riv. Nuovo Cimento, 1, 1 A978);
D'Adda A. et al., Riv. Nuovo Cimento, 3, 1 A980).
19. Brink L. et al., Phys. Lett, 76B, 417 A978).
20. Огиевецкий В., Сокачев Э., Phys. Lett., 79B, 222 A978).
21. Siegel W., Gates J., Nucl. Phys., B147, 77 A979).
22. Ferrara S. et al., Nucl. Phys., ВП7, 333 A976).
23. Salam A., Strathdee J., Nucl. Phys., B76, 477 A974); Nucl. Phys. B84, 127
24. Nahm W., Nucl. Phys., B135, 149 A978).
25. Ferrara S., Zumino В., Phys. Lett., 86B, 279 A979).
26. Ferrara S., LNF-80/31 (P), invited talk given at the Second Oxford Quan-
Quantum Gravity Conference, April 1980.
27. Дынкин Е. Б. Матем. сб., 30 G2), 349 A952); Труды Моск. матем. об-ва,
1, 39 A952).
28. Taylor J. G., Nucl. Phys., B169, 484 A980).
29. Sohnius M., Nucl. Phys., B138, 109 A978).
30. Fayet P., Nucl. Phys., B149, 137 A979); preprint LPTENS 80/7 A980), Lec-
Lectures given at the XVII Winter School of Theor. Physics, Karpacz (Poland),
February 1980.
31. Gliozzi F., Scherk J., Olive D., Nucl. Phys., B122, 253 A977);
Brink L., Schwarz J. H., Scherk J., Nucl. Phys., B121, 77 A977).
32. Cremmer E., Julia В., Scherk J., Phys. Lett., 84B, 93 A979).
33. van Nieuwenhuizen P., Phys. Rep., 68, 189 A981).
34. Duff M. J., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 94B, 179 A980);
Aurilia A., Nicolai H,, Townsend P. K-, in: Superspace and Supergravity, eds
S. W. Hawking and M. Rocek, Cambridge Univ. Press, A981), p. 403;
Огиевецкий В. И., Сокачев Э. С — ЯФ, 32, 1142 A980).
35. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett, 37, 1669 A976).
36. Freedman D. Z., Das A., Nucl. Phys.,,B120, 221 A977);
Фрадкин Е. С, Васильев М. А. Препринт ФИАН № 197, Москва, 1976.
37. Ferrara S., Scherk J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 35 A977).
38. Ferrara S., Scherk J., Zumino В., Nucl. Phys., B121, 393 A977).
3a Cremmer E., Scherk J.y Ferrara S.y Phys. Lett., 74B, 61 A978).
40. Cremmer E. in: Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds.
S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen, Plenum Press, New York,
1980.
41. D'Adda A., DiVecchia P., Luscher M., Nucl. Phys., B146, 63 A978); Nucl.
Phys., В152, 125 A979);
Witten E., Nucl. Phys., B149, 285 A979).
42. Gell-Mann M., talk given at the 1977 Washington Meeting of the American
Physical Society,
43. Ellis J. et al., in: Unification of the Fundamental Particle Interactions, eds.
S. Ferrara, J. Ellis and P. van Nieuwenhuizen, Plenum Press, New York,
1980, p. 69;
Ellis J., Gaillard M. K., Zumino В., Phys. Lett., 94B, 343 A980);
Zumino В., in: Proceedings of the XX International Conference on High-
Energy Physics, New York, AIP 1981;
Zumino В., in: Superspace and Supergravity, eds S. W. Hawking and M. Ro-
Rocek, Cambridge Univ. Press. 1981, p. 423.
44. Ferrara S., Zumino В., Nucl. Phys., B87, 207 A975).

6. Суперсимметрия—супергравитация')
Я. Весе
Wess Л2), Springer Lecture Notes in Phys., 77, 81 A978)
Суперсимметрия оказалась удачным понятием в перенорми-
перенормируемых лагранжевых теориях поля (см. обзоры по суперсим-
суперсимметрии [1]). В теориях, обладающих суперсимметричной струк-
структурой, многие расходимости сокращаются.
Локализация суперсимметрии приводит к теории, инвариант-
инвариантной относительно общекоординатных преобразований — в ней
гравитон ковариантно связан с материальными полями. Изве-
Известно, что такие связи в высокой степени неперенормируемы. Су-
Суперсимметрия улучшает положение—в специальных случаях в
двухпетдевом приближении перенормируемость может быть до-
доказана [2]. Эти примеры показывают, что последнее слово как
в квантовой теории поля, так и в теории тяготения еще не ска-
сказано. Судя по тому, что известно в настоящее время, не ис-
исключено, что рамки перенормируемой квантовой теории поля
могут быть достаточно широкими, чтобы включать теорию тя-
тяготения.
Построение моделей супергравитации продолжает оставаться
искусством и в то же время тяжелой работой. В этих лекциях
я буду придерживаться геометрического подхода, поскольку
сейчас он мне кажется самым последовательным, хотя, по тех-
техническим приемам, не самым простым и быстрым ([3]; форму-
формулировка, совпадающая по существу с приведенной в статьях
[3], развита независимо в статье [5]).
План лекций следующий. В первой лекции вводится понятие
суперсимметрии. Мы обсуждаем алгебру и ее представления.
Будет обсуждена также суперсимметричная модель теории поля,
инвариантная относительно дополнительной калибровочной
группы SU(N).
Во второй лекции мы разовьем методы дифференциальной
геометрии, которые позволят нам строить выражения, кова-
риантные относительно суперсимметрии, калибровочной группы
SU(N) или супер калибровочных преобразований. Эти кова-
') Лекции, прочитанные на Восьмом международном семинаре по тео-
теоретической физике, Саламанка, Испания, 13—19 июня 1977 г.
2) Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, West Germany.
© Springer-Verlag
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

126 Й. Весе
рианты могут быть использованы для записи ковариантных по-
полевых уравнений и лагранжианов.
В третьей лекции мы изучим, используя эти методы, одну
SU(N)-калибровочную суперсимметричную теорию. На этом
примере можно ознакомиться с упомянутыми выше техниче-
техническими приемами.
В последней лекции мы применим развитые методы для по-
построения некоторой теории супергравитации.
Лекция 1. Суперсимметрия
Алгебра
Алгебра определяется следующими соотношениями:
[Рт, Рп] = 0, [Ля, Qa]=[Pm, Qd] = 0,
где Рт — оператор 4-импульса, Qa —вейлевский спинор, Qa —■
комплексно-сопряженный к нему спинор.
Суперпространство
Мы хотим найти представление этой алгебры дифференци-
дифференциальными операторами. Для этой цели мы определяем суперпро-
суперпространство. Оно состоит из обычного 4-мерного пространства и
набора антикоммутирующих переменных &а, 8й. Элемент этого
пространства будет обозначаться через
zM~{xm, e*, ё*}.
Индексные обозначения следующие: латинские строчные буквы
(т) служат для обозначения компонент лоренцева 4-вектора,
греческие буквы (ц, \i) — для компонент лоренцева спинора, ла-
латинские прописные буквы (М) означают общий суперпростран-
суперпространственный индекс.
Генераторы
Определим «конечный» элемент группы:
G (х, Э, ё) = exp i {QaQa + euQu - хтРт}.
Пользуясь формулой Хаусдорфа, находим
G(y, I, l)G{x, Э, Q) = G(x + y i |

i>. Суперсимметрия — супергравитация 127
Элемент «группы» G(y, 1,1) индуцирует движение в супер-
суперпространстве:
о (у, г, !):{*, е, в}-+{Х + у^-%
Инфинитезимальные генераторы этого движения суть
Р -i-d—
m ~ dxm
что дает представление нашей алгебры.
Ковариантные производные
Представляет интерес изучить касательные «векторные поля»
к кривым, порожденным элементами группы на суперпростран-
суперпространстве. Они порождают так называемые ковариантные векторные
поля, которые инвариантны по отношению к действию группы.
Это означает, что групповые генераторы коммутируют (антиком-
мутируют) с векторными полями. Поэтому их нетрудно строить
следующим способом. Благодаря закону ассоциативности
(G(y, I, l)G(x, Э, 6))G(z, A, A) = G(y, I, l)(G(x, 6, 6)G(z, A, A))
эти векторные поля могут быть получены как инфинитезималь-
инфинитезимальные преобразования, соответствующие правому умножению на
элементы группы
D
Эти «ковариантные» производные удовлетворяют соотношениям
{Z)o, Qp} = {Z)u, Qp} = {Da, ~Qfr) = {Du
{Da, Ъ$) — — 2ш'"а0 -g^m ■
Введем обозначение

128 Я. Весе
Тетрада
Напишем явное выражение
6а 0 0
LO дб О О
, — ю а р«е' 0
Введем также обратную матрицу
Ьат О О
-/«-У в; о
/eW* о -ей
Мы будем называть емА обобщенной тетрадой плоского про-
пространства.
Суперполя
Функции от ZM называются суперполями. В каче^ве при-
примера рассмотрим вещественное векторное суперполе, для кото-
которого
V(x, e, e) = F+(*, e, в).'
Каждое суперполе нужно понимать как степенной ряд по
переменным 9, Э, который автоматически будет полиномом по
V(x, е, в) = с (*) + %(*)-/в* (*) +
+ {ее (м (х) + in (х)) - {ев
- Qamevm (x) + /ввёл <*) -1 ееатХ (*) атё -
- i-ёёея (х) +1 ёёеататх (*) + еевё (Id w +1 □
Закон преобразования поля легко получается из определения
6D + f □

6. Суперсимметрия — супергравитация 129
где Q, Q — определенные выше дифференциальные операторы.
Почленное сравнение дает
am\ (dmC + /О.
6* = 1 (М - Ш) + lam (dmC - ivm),
bN = I (il - атдту) +1 (- /Л + ffm
6M = | (Л + /am 1
Заметим, что компонента высшей степени по Э, Э изменяется на
полную пространственно-временную производную. Следова-
Следовательно, проинтегрированное выражение инвариантно относи-
относительно преобразований суперсимметрии. Из определения Q и Q
легко видеть, что это всегда справедливо. Произведение супер-
полей дает снова суперполе. Это позволит нам конструировать
суперсимметричные лагранжианы.
Ковариантные производные могут быть использованы для
наложения связей на суперполе; это можно делать так, чтобы
избежать уравнений в пространстве хт. Например, скалярное
суперполе определяется как комплексное суперполе 5, удовлет-
удовлетворяющее условию DaS = 0.
- Компоненты S + S+ могут быть отождествлены с компонен-
компонентами V; тогда
Мы не накладываем ограничений на компоненты скалярного
суперполя — поля А, %, F. Скалярное суперполе мы используем
для определения калибровочных преобразований.
Калибровочные теории
Абелев случай. Определим калибровочное преобразование
Компоненты полей vm, к, D преобразуются по закону
vm->vm+dm(A + A*), %->%, D->D.
Закон преобразования векторного поля vm показывает, что это

130 Й. Весе
преобразование может быть использовано как суперсимметрич-
суперсимметричное обобщение калибровочного преобразования.
Суперполе Wa = DDDaV инвариантно относительно калибро-
калибровочных преобразований:
7)DDa (Л — Л+) = DDDaA = D{D, Da} Л ~ DdA = 0.
По определению Wa удовлетворяет соотношениям
D^Wa = 0, DaWa —75^ = 0.
Это уменьшает число независимых полей в Wa до
Vmn = dmvn — dnvm, % и D.
Из того, что Dfl?a = 0, следует, что выражение WaWa-\- W^W
доставляет следующую лагранжеву плотность:
L = - yi»L-уАадА + уД2.
Эта лагранжева плотность инвариантна относительно калибро-
калибровочных преобразований
а также относительно преобразований суперсимметрии
п — дпот) К + i% (дтап — дпат) X,
Неабелев случай. Пусть 7\, /= 1, ..., L, — генераторы ком-
компактной алгебры Ли; Vi, Ai — суперполя.
Определим матричное поле
V = Tlt,Vi, Vt = Vi,
и введем калибровочное преобразование
ev
Калибровочно ковариантная величина может быть определена,
как и выше. Положим
Калибровочно инвариантная величина

6. Суперсимметрия — супергравитация 131
дает лагранжеву плотность
L = Тг {- 1 v2mn -1 Лат0тА + ]- D2},
где
"тп = дт»п — 5„1>т + i [Vm, Vn],
2>mk = dml + i[vm, A].
Эта лагранжева плотность калибровочно инвариантна и супер-
суперсимметрична. Изложенный способ ее построения не очень си-
систематичен— я сделал это намеренно, чтобы было ясно, как
был угадан лагранжиан. Надеюсь, что теперь станет легче вос-
воспринять формализм следующей лекции, который позволит дать
более последовательное изложение.
Лекция 2. Дифференциальные формы,
внешние производные и структурные уравнения
Дифференциальная геометрия — единый формализм, приме-
применимый как для общей теории относительности, так и для теории
Янга — Миллса [4]. Поэтому следует ожидать, что он окажется
полезным и для суперсимметричных калибровочных теорий.
Предварительно нужно обобщить аппарат дифференциальной
геометрии на пространства Грассмана (суперпространства).
Начнем с нескольких определений.
Дифференциальные формы
Элементы пространства обозначаются символами
zM = {xm, P, б*).
Координаты удовлетворяют коммутационным соотношениям
[хт, ха]=.[хм,&\=*[хт, б*]-О,
или короче zMZM=(-l)m{M)nmZNZM, где т(М) = 0 для
векторного индекса М = m и m (М) = 1 для спинорных индек-
индексов М = ц, (i. Для дифференциалов dzM мы вводим правила
коммутирования
dzM dzN = - (- i)mw<"> dzN dzM,
или подробнее
dxmdxn = - dxn dxm,
dxmdt dtdxm,

132 Я. Весе
Для любого целого р введем линейное пространство, порожден-
порожденное базисными элементами
dz^ ... dzMp,
причем произведения обладают описанными коммутационными
свойствами. Определим теперь р-форму, как линейную комби-
комбинацию этих элементов с коэффициентами, зависящими от z, ко-
которые имеют достаточное количество производных. Например,
функция f(z) называется 0-формой, dzMfm(z)—1-формой,
dzMdzNfNM — 2-формой и т. д. Формы можно умножать: произ-
произведение р-формы и <7-формы есть (р -\- q) -форма. При этом
нужно учитывать, что zMdzN = (—l)«wnow) dzN-zM.
Внешние производные
Другой путь получения (р+ 1) -формы из р-формы — внеш-
внешнее дифференцирование. Пусть а — некоторая р-форма:
... dzMpfMp...Mi(z).
Тогда ее дифференциал
есть (р-|-1)-форма. Внешнее дифференцирование обладает
свойством dd = 0 (лемма Пуанкаре). Верна также и обратная
лемма Пуанкаре с некоторыми топологическими ограничениями:
из da = 0 следует, что со = da.
Тетрада !
Произвольный базис в пространстве 1-форм на суперпро-
суперпространстве описывается матрицей тетрады
dzMEMA(x, Э, §)=£Л.
Обратная матрица вводится соотношениями
Структурная группа
Пусть а{, О=*1, .... JV, — набор р-форм, преобразующихся
под действием группы Ли:
или в матричных обозначениях а' = аХ, где Хх f = X? 1{х, Э, 0)—
элемент группы Ли.

6. Суперсимметрия — супергравитация 138
Первое структурное уравнение
Дифференцируя р-форму а, мы получаем (р + 1) -форму
dar = о* ф/ + Qr, da = стф + Q,
где ф<г—1-форма ф*r = EAq>Atr, принимающая значения в ал-
алгебре Ли. Потребуем следующего закона преобразования для ф!
Вследствие этого закона (р+1)-форма Q преобразуется сле-
следующим образом:
Доказательство:
Q' = do' -o/q,/ = d (aX) - аХ (jr'qtf + X dX) =
= odX + daX — стфХ — a dX = (<тф + Q) X — oqX = QX.
В общей теории относительности ф называется формой связ-
связности, Q — кручением; в теории Янга — Миллса ф — янг-милл-
совский потенциал, а Q — некоторая ковариантная производная.
Второе структурное уравнение
Продифференцировав 1-форму ф, получим
Мы ввели 2-форму F со значениями в алгебре Ли; оказывается,
что F преобразуется как тензор:
Доказательство:.
F' = dq>' - ф>' =
= d (Х-*<рХ + Х-1 dX) - (Х~\Х + Х-1 dX) (Jf-'фДГ + Х~*dX) =
== jf-'ф dX.+ Х-1 dq>X — dX-^X + dX~l dX — X~^X -
- X-1 dXX~l(fX — Jf-'ф dX - X-1 dXX-1 dX.
Из Х-Ш = —dX-'X находим
F' = X-ld<$X — Х-'ффХ = X~lFX.
В общей теории относительности F — тензор кривизны, в теории
Янга — Миллса F — поле Янга — Миллса. ■ .- - ?

134 И. Весе
Тождества Бьянки
Может показаться, что, продолжая дифференцировать Q и
F, мы получим новые тензорные величины. Но вследствие лем-
леммы Пуанкаре dd = О мы не найдем новых величин, а только
получим соотношения между уже известными. Из dda = 0 сле-
следует
dQ + a dq> — day = 0,
или, используя второе структурное уравнение.
dQ = йф — oF;
аналогично из ddq> = 0 следует
dF = Fq> — q>F.
Случай Янга — Миллса
Применим сначала наш формализм к хорошо известному
случаю Янга — Миллса
Пространство — плоское пространство Минковского. Структур-
Структурная группа — группа Ли, действующая на множестве р-форм,
(допускается р = 0), которые преобразуются по некоторому
представлению группы Ли в каждой точке х
а1 = аХ.
Матрицы Ti — генераторы группы. То, что форма связности при-
принимает значения в алгебре Ли, означает, что она может быть
записана в виде
Поля Vn (х) — это хорошо известные потенциалы Янга —
Миллса. Закон преобразования
сводится в инфинитезимальном варианте к хорошо известному
закону преобразования для янг-миллсовских потенциалов
Первое структурное уравнение Q = da — aq> определяет некото-
некоторое тензорное выражение через производные и потенциалы

6. Суперсимметрия — супергравитация 138
Янга — Миллса. Это хорошо известная ковариантная производ-
производная
Q' = dxa
Второе структурное уравнение
dqp = фф + F
определяет тензорное поле F через янг-миллсовский потенциал
Ф и его производные. Это хорошо известное поле Янга — Миллса
F=\dxa dxbFab = dxadxb
\ ab
Fab = -fa? Фб — -^ъ Фа + [фа. Фб1-
Первое тождество aF = —dQ -\- Qq> означает, что между произ-
производной от ковариантной производной и полем Янга — Миллса
есть связь. Оставляя проверку деталей читателю, напишем окон-
окончательный результат
(®т®п - ®п2>т) а = - oFmn.
Второе тождество dF — Fcp — ф.Р означает, что справедливо цик-
циклическое тождество для ковариантных производных поля Янга —
Миллса
2>nFml + 2>mFln = 0.
Общая теория относительности
В этом случае предполагается, что тетрада ЕМА является не-
независимой полевой переменной ета(х). Под действием общих
преобразований координат (эйнштейновских преобразований)
она преобразуется по закону
дхп
е т == Яг'т ^п •
Поэтому форма
t
есть скаляр по отношению к преобразованиям Эйнштейна;
dxme"
em
Заметим, что форма, получаемая внешним дифференцированием
из скаляра, есть снова скаляр.

136 Й. Весе
Структурная группа — это локальные преобразования Ло-
Лоренца, и тетрада преобразуется по закону
e'mb(x) = ema(x)Lab(x).
Индексы (т), на которые действуют преобразования Эйнштей-
Эйнштейна, называются мировыми индексами, индексы (а), меняю-
меняющиеся под действием группы Лоренца в касательном простран-
пространстве, называются лоренцевыми индексами. Лоренцевы индексы
можно поднимать и опускать с помощью х\аЬ. Посредством тет-
тетрады и обратной к ней мировые индексы можно преобразовы-
преобразовывать в лоренцевы и наоборот. Этим способом любая тензорная
плотность Эйнштейна может быть преобразована в эйнштей-
эйнштейновскую скалярную плотность, являющуюся лоренцевым тензо-
тензором. Его компоненты берутся в системе координат, которая опи-
описывается тетрадой.
В качестве формы а возьмем саму тетраду и используем
первое структурное уравнение для определения кручения Qa:
dxm dxn -~pre& = dxm dxn (en\nba
Кручение Qa = -^ dxmdxnQnm" — это 2-форма, которая преобра-
преобразуется как лоренцев вектор, будучи скаляром относительно пре-
преобразований Эйнштейна. В теории без кручения (Qnma = 0)
первое структурное уравнение можно использовать, чтобы вы-
выразить связность ф„ба через тетраду. Действительно, поскольку
форма связности принимает значения в алгебре Ли, выражение
qiimn = emaenbq)iba антисимметрично по и и т: ц>шп = — ф/nm. По-
Поэтому мы можем разрешить уравнение
£| ^ Qxti ema fain епа) == ф/nnl Фпт/
и получить
iadnema - епадте1а + emadtena -
— ет"дпе1а + enadtema - et"dmena}.
Второе структурное уравнение определяет тензор кривизны в
терминах связности:
dxm dx11 (-Ьг <Рта" - qw'qw*) = т dxm dxnR, b
откуда
d ь g_m 6_
dx
ь _ ? .„ 6 _ .JL. m^6 _ фтасфпе6 + ф„ с- 6

6. Суперсимметрия —супергравитация 137
ПОСКОЛЬКУ Rmn — Коэффициенты 2-форМЫ, МЫ ПОЛучаеМ Rmnab =
= —Rnmab. Как и выше, Rmnab принимают значения в алгебре
Ли по индексам а, Ь. Это означает, что
Rmnkl = — Rmnltf
В случае отсутствия кручения тензор кривизны может быть вы-
выражен через тетраду. Связь с римановой теорией устанавливает-
устанавливается введением метрического тензора
Первое тождество
dzl dzm dzn -^ Qmla = dz* dzm dzn {Uml\nba - etbRnmba)
означает свойство симметрии
l" + Rmln" + Rlnm1 =
В теории без кручения это в точности циклическое соотношение
для Rimn"- Второе тождество dF = /чр — qpF принимает вид
dXl dXm dXn (Jpr Rmij + Vna'Rnie* ~ Rnma^lf) = 0.
В случае отсутствия кручения это просто хорошо известное тож-
тождество Бьянки.
Лекция 3.
Суперсимметричная калибровочная теория
Теперь мы применим методы дифференциальной геометрии
к суперпространству. Для того чтобы сделать суперсимметрию
более явной, используем для определения плоского простран-
пространства обобщенные величины емА, введенные в первой лекции.
Структурной группой опять является группа Ли, действующая
на р-формах:
(*, Э, б)},
Л(*, е, в) = £л'(*, е, в) г,.
Матрицы Ti — генераторы группы

138 Я. Весе
Форма связности
, в, ё) =
принимает значения в алгебре Ли, т. е.
ц>А(х, в, ё)=2>л(*, Э, 6O*,.
Эти суперполя суть обобщения янг-миллсовских потенциалов.
В соответствии с общими правилами можно написать их закон
преобразования
tf = X-iyX + Х-1 dX,
Первое структурное уравнение определяет ковариантную произ-
производную, скажем, 0-формы а:
Q — do — стер,
Это означает, что выражение
снова преобразуется по линейному представлению. Более того,
вследствие нашего выбора тетрады Dao есть суперполе, если
а — суперполе.
Второе структурное уравнение F = dq> — фф показывает, как
строить тензорные величины из янг-миллсовских потенциалов.
Вычислив это выражение:
получаем для F = -^ eAeBFBA, FBA = — (— l)"*/^ формулу
- ёвм (DAeMc) Фс (- \)Ьт - фвфд + ФлФв (- \)аЬ.
В этом выражении содержатся следующие тензорные величины,
используемые для конструирования ковариантных (лоренц-ко-
вариантных, суперсимметричных, калибровочно ковариантных)

6. Суперсимметрия — супергравитация 139
уравнений:
Fab = -jjj 4>b - -Jj фа + [фв, Фь
а — Ахфа + [фа, Фа].
д —
: = -fad Фй — £>4фа + [фа, фа],
>а+{фа. Ф6}.
шаа4фа + {фа,
Мы хотим теперь наложить такую совокупность ковариантных
связей, которая бы значительно уменьшила число независимых
полей, содержащихся в суперполе фд, не налагая ограничений
на их зависимость от координат хп.
Абелев случай
В качестве первого примера я рассматриваю абелев случай.
Если мы наложим связь
та получим, что существуют такие суперполя V, U, что
Ф„ = — lDaV, ф4 = ЮаР.
Потенциалы 11, V определены с точностью только до скалярного
суперполя: замена V-*- УЦ-5+, где DS = 0, не меняет <р; то же
самое верно для замены
U-*U + T. DT = 0.
Следовательно, под действием калибровочных преобразований
потенциалы U, V преобразуются следующим образом:
U-+U-A+T,
Это дает нужные преобразования
Фа"* Фа — tDaA,
Ф* -* ф* — iD^A.
Если- мы дополнительно потребуем выполнения уравнения
= О,

140 Й. Весе
то фа можно выразить через U, V:
при калибровочных преобразованиях эти поля преобразуются
следующим образом:
Фа-* Фа — idaA.
Таким образом, нам удалось выразить суперполе ц>А через
поля U, V. Величины Fab, Faa, Fad тоже суть функции от U, V;
мы не можем наложить дальнейшие связи, не ограничив зави-
зависимость компонент полей U, V от х (т. е. не написав уравнения
поля). Все инварианты могут быть выражены через
Wa = DDDa (U + V), Wb = DDDfi (U + V),
Faa - J ^\а^^ Fail = - J '«d*Wa,
Fab = "ЯГ W
Из определения Wa, W& следует
Величина Wa очень похожа на калибровочно инвариантное су-
суперполе Wa нашей первой лекции, за исключением того, что
U + V не удовлетворяют никакому условию вещественности.
В калибровочно инвариантные выражения входит только U + V.
Причина этого состоит в том, что U — V зависит от калибровки
и может быть полностью убрана выбором последней:
U - V -> U - V - 2Л + Т - S+.
Может показаться, что условие вещественности естественно
выбрать в виде Фа" = Фа (одно вещественное векторное поле).
Но это ведет к соотношению U = V+ и сводит калибровочные
преобразования к «подгруппе» Л -*■ —Л+, S = Т. Поэтому если
мы хотим иметь калибровочную инвариантность с такой груп-
группой, что DA = 0, то условие фа = ф+ слишком сильное. Мы мо-
можем ослабить это условие, потребовав, чтобы фа = фа" с точ-
точностью до калибровочных преобразований. Это дает U -\- V =
= (£/-|-Ю+> и калибровочная группа ограничена только усло-
условием 5 = Т. Если мы выберем калибровку с U = 0, то оста-
останется подгруппа Л = S, которая будет калибровочной группой.
Потенциал V =^= V+, оставшийся в качестве независимого
поля, преобразуется по формуле V-*-V + S + S+. Кроме того,
Таким образом, калибровочная теория свелась вточ-

6. Суперсимметрия — супергравитация 141
ности к той теории, которая была введена в первой лекции. Со-
Соответствующий лагранжиан имеет вид
L ~ WaWa + WtW+<l.
Прежде чем переходить к неабелеву случаю, я хочу продемон-
продемонстрировать, как можно прийти к тому же результату, исполь-
используя тождества Бьянки. В нашем случае тождество Бьянки
dF + yF — /чр = О
означает, что
еW {DCFBA + q>cFBA - FBAq>c (- 1)с {а+Ь)] = 0.
или в компонентах
0, A)
О, B)
0, C)
O, D)
2ia V-
0,
0,
G)
(8)
(9)
Если ввести требование Fag = F^ = /*'а^ = 0, то из (8) и (9) на-
находим
1
где Wy и 1FY калибровочно инвариантны. Из F) следует, что
а также
Как мы уже знаем, все калибровочно инвариантные величины
могут быть выражены через Wa и Wn. Из D), E) получаем

142 Й. Весе
Отсюда следует, что ограничения на Wa в точности такие же,
какие были получены выше из прямого решения.
Неабелев случай
Потребуем выполнения тех же условий, что и в абелевом
случае:
Из равенства Fap = 0, т. е.
£офр + D^ — {ф„, фр} = О,
получаем
ф« = —e-vDaev,
а из равенства Fu»=0 находим
Нужный закон преобразования уА при калибровочных преоб-
преобразованиях получится, если положить
Отсюда можно получить правила преобразования для U, V
К->К + Л + 5++...,
£/->£/ —А + Г+ ••••
Из Fa£ = 0 следует, что поле фа также может быть выражено
через U, V-
Тензорные величины Fab, Faa, Fan суть функции от £Д_ V. Они
могут быть выражены через два инварианта Wa, Wt,. Это
сразу следует из тождеств. Кроме того, из тождеств следует
также, что
Производные 3) — это полные ковариантные производные, опре-
определенные из первого структурного уравнения.
Поскольку Tr(WaWa) калибровочно инвариантен, то
D$Tr (WaWa) = D6Tr (WaWa) = О,
поэтому 7rWaWa и TrWuW* могут быть использованы для по-
построения суперсимметричных калибровочно инвариантных лаг-
лагранжианов. Остается ввести условие вещественности, связываю-
связывающее W& с Wt, которое сужает калибровочную группу до под-

6. Суперсимметрия — супергравитация 143
группы скалярных суперполей Л = 5. Этого снова можно до-
добиться, потребовав, чтобы дра было эрмитовым с точностью до
калибровочных преобразований, а также таким закреплением
калибровки, при котором U = О, V+ = V. В такой калибровке
инвариант Wa принимает значение
Wa = DDe-vDaev.
ae
Таким образом, мы вывели неабелеву суперсимметричную тео-
теорию из общего формализма. Этот метод может быть применен
к расширенной суперсимметрии; одно его приложение описано
в готовящейся статье Р. Гримма, М. Сониуса и автора.
Лекция 4. Супергравитация
Можно ожидать, что в суперсимметричной калибровочной
теории токи суперсимметрии являются источниками полей: тен-
тензор энергии-импульса — источник гравитонов, спин-векторный
ток — источник частиц спина 3/2. Следовательно, формулировка
супергравитации потребует по меньшей мере одного поля спи-
спина 2 и одного поля спина 3/2; такую теорию, действительно,
можно построить. Мы разовьем ее с помощью общих методов
дифференциальной геометрии.
Обобщенная тетрада £V вводится как независимая пере-
переменная, так же как и форма связности Фм,ав. Нашей основной
задачей будет нахождение ковариантных уравнений, сводящих
число независимых компонент полей ЕмА и Фм,ав только к од-
одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Относительно обще-
общекоординатных преобразований
dzN
Е и Ф преобразуются следующим образом;
дг"
дг'м
dzN
F' А дг р А
м ~~ дгм N '
Теперь необходимо выбрать структурную группу, под действием
которой форма тетрады dzMEMA = ЕА и форма связности ФАВ =
= dzM<t>MAB преобразуются следующим образом:
р'А — pfiy Л
Ф/ В у—1 Cm DY В _, v-1 D ,Y В
А л Л ^С ЛО "Т"л Л "ЛО •
Мы знаем, что Флв принимает значения в алгебре Ли. Чтобы
уменьшить, насколько возможно, число независимых полей, мы

144 Я. Веса
выберем наименьшую возможную структурную группу — саму
группу Лоренца. Параметры преобразований суть произвольные
функции от zM ~ (дст, 8и, 0*). При таком выборе 8Х8-матрица
ФАВ содержит только 6 независимых суперполей. Первое и вто-
второе структурные уравнения определяют кручение и кривизну:
QA = dEA — ЕВФВА,
Форма кривизны также принимает значения в алгебре Ли. Под-
Подробнее эти уравнения записываются в виде
QBCA = (_1)ь «+m%MEBNdNEMA - (- 1Г EBMEcNdNEMA - ФВСА+
—(—1) Ье cD а^Фмл —(—1) ФЕА Фос —
{ 1\ет К1 МР ^Я rTl B _1_ I 1
— (—1) tD ЬЕ dN(DMA +(—
ОА ФЕС
Чтобы как-то представить себе характер разыскиваемых нами
уравнений, вычислим кручение Q0 для плоского пространства:
ЕА = еА, ФАВ = 0. Получим
Все остальные компоненты кручения нулевые. Можно попы-
попытаться постулировать эти уравнения и для общего случая:
остальные компоненты нулевые. Для нашего выбора структур-
структурной группы эти уравнения ковариантны. Можно, однако, пока-
показать, что они имеют единственное решение — плоское простран-
пространство ЕА = еА. Следовательно, нужно ослабить наши уравнения.
Линеаризовав уравнения поля подстановкой
и явно их решив, можно показать, что из уравнений
следуют только алгебраические соотношения. Это сводит число
динамических независимых полей в точности к одному полю
спина 2 и одному — спина 3/2. Но можно решить и полные, не-
линеаризованные уравнения. Можно рассуждать так. Выберем

6. Суперсимметрия — супергравитация 145
специальную калибровку, в которой при 0 = 0 = 0 тетрада и
связность принимают вид
0=0=0,
Em" = ema(x), Ema = ^ma(x),
Е^ = 0, Е^ = 6ц , Ер& = 0,
£/ = 0, £«*=0, £/ = бД
Поля ema, ij)ma, фтае должны быть отождествлены с обычной
тетрадой 4-пространства, полем Рариты — Швингера и связ-
связностью соответственно. Уравнения поля определяют высшие
члены по степеням 0, 0 в Е и Ф через только что введенные
физические поля и через произвольные калибровочные поля, не
имеющие физического смысла. Эти методы позволяют вычис-
вычислить Е и Ф за конечное число шагов, поскольку имеется лишь
конечное число мономов по 0, 0, отличных от нуля. Но мы не
будем здесь этим заниматься, а попытаемся продемонстриро-
продемонстрировать физическое содержание теории, вытекающее из наших урав-
уравнений и тождеств. Уравнение
определяет динамику в ^-пространстве.
Заметим, что из компонент кручения только Qa6Y, Qa6* еще
не определены. Равенство их нулю означало бы, что мы имеем
дело с плоским пространством. Пусть
— кручение с мировыми индексами М, N. Из наших уравнений
можно получить
Мы видим, что в нашей специальной калибровке
Это связывает кручение в 4-пространстве со спиновой плот-
плотностью поля Рариты — Швингера. Далее

146 И. Весе
где QbJ" нужно выразить через тетраду и связность в силу пер-
первого структурного уравнения:
= (-1Г dNEMе - dMEN* - Фш* + (- \)п
Интересующая нас компонента Qmne равна
Q Р Л/7Р_;)/7Р_ф Р-4-Ф Р
ъ&тп —unClm umc4i ^mn i^nm-
Кроме того,
так как ФтАв принимает значения в алгебре Ли. При 0 = 0 = 0
в выбранной нами калибровке получаем
здесь появилась обычная ковариантная производная Dn 4-про-
странства. В дальнейших выкладках потребуются тождества
Бьянки
dQA + пвФвА — EBRBA = 0,
dRAB + RAcRcB ~ ФасФсв = 0.
Более подробно их можно записать в следующем виде:
Ес . евеа {Eam®mQbco + Tmc'TC'cD ~ Rab, Л = 0,
ЕСЕВЕА {Eam®mRbcdf + Tabc'Rc'cdf} = 0,
где 20м — ковариантная производная, например
В мои намерения не входит выписывать все компоненты этих
тождеств — это могло бы не понравиться издателям. Я приведу
только те, которые мне пригодятся в этой лекции. Положим со-
соответствующие компоненты кручения равными нулю, получаем
= 2iVEVQ6A A)
V = 0, B)
b, ой + 2io°'tbRcb/ = 0, C)

6. Суперсимметрия — супергравитация 14?
Redya + Rydea = O, D)
/?*^4 + Я*л4 = О, E)
D а D " о/гта О * C'fi^
^Ede *ecd —UO eb^dc ■ W
Из A) следует
о*и°м* = 0, G)
поскольку Ял8 принимает значения в алгебре Ли, а наша груп-
группа Ли — группа Лоренца. Для 0 = 9 = 0 это уравнение в вы-
выбранной нами калибровке есть уравнение Рариты — Швингера.
В самом деле, при 0 = 0 = 0 из Qm/tP = ЕтаЕпьпьа^ получаем
QbJ 1е=б=о = hV&mr? 1в=б=о = hn~eamrmn*;
= 0 превращается в
о\уёьтё/ {Dm& - Dn^J} = 0.
Это и есть уравнение Рариты — Швингера. Чтобы вывести урав-
уравнения Эйнштейна, нам понадобятся следующие соотношения:
Я«м* = 0, (а)
*«>.«* = 2mdtt$Qc/ (b)
Rab.cb = ^ (С)
^оь.с6 = 0. (d)
Соотношение (а) следует из тождества B); (d) следует из (Ь)
и A); (с) следует из (d) и C). Осталось доказать (Ь). Из F)
мы видим, что Redya антисимметричен по г и у, отсюда
Redya = 4yXda-
Из RRdya = 0 следует Хаа = 0; таким образом,
tfedY° = 0. (е)
Из F) и свойства R&dca = —Redac (алгебра Ли) следует
Мы должны вывести отсюда (Ь). Используем снова тот факт,
что RAB принимает значения в алгебре Ли:
Ra{0a*b)aR
и из (е) получаем
Отсюда, а также из (f) и G) получаем

148 И. Весе
Из этого соотношения, свойства Qa6*= — QbJ и из G) следует
где Х№ полностью симметричен. Это в свою очередь означает,
что
<* Ас + OdQca + Oc&ad = 0.
откуда вытекает (Ь).
Покажем теперь, как из соотношений (а), (Ь), (с) и (d)
получается уравнение Эйнштейна. Имеем
Ямы, ав = EMDENCRCD, Ав (-1)"".
Из структурного уравнения находим
Rmna = дпФтаЬ - дтФпа" - Фт>„/6 + Фпа1ФшЬ-
Поэтому при 0 = 0 = 0 мы получаем
р Ь | ля Ь
Ътпа 1о—3—0 — 9Ьтпа
— обычный тензор кривизны 4-пространства. С другой стороны,
Ь р dp Ср Ь , р Ьр Сп Ь , р dp lp Ь I
— 1-т -"я ^cda ~г t-чп '-'п Ъсйа ~г t-чп '-п Ъу da i
* nmbCn *c a ^ Пт ПпЬ* da '
так как из (а) следует ЯУйаь = 0. При 0 = 0 = 0, используя
также (Ь), получаем
Ч СО ° Л
Используем теперь матрицу, обратную к тетраде emd, и соот-
соотношения Rcdad=Q (d) и obei/Qbd^ = 0 G). В очевидных обозна-
обозначениях для 4-пространства
да d я mg tin d
ЖаЬс —еа еЬ Кптс
мы получим уравнение Эйнштейна
*Л.Ь + b^S'-FJ + iebm^JoaaiTb; = 0.
Напомним, что кы уже вывели равенство
or о hp.ms п I п ,|, ° Л ill a\
Таким образом, мы получили динамические уравнения супер-
супергравитации, т. е. уравнение Эйнштейна, уравнение Рариты —
Швингера и связь между кручением и плотностью спина в фор-
форме, впервые полученной Дезером и Зумино в их статье по су-

6. Суперсимметрия ~ супергравитация 149
пергравитации. Мы достигли этого результата, используя толь-
только геометрию суперпространства.
Я хочу поблагодарить Ричарда Гримма за полезные обсуж-
обсуждения и за чтение рукописи.
Обозначения
^ = (-1, 1, 1, 1),
80 1 2 3 == 1 >
omn = j(dmon-dnom)>
8°{S, 8*$; 812 = _ 821 _ 1) 8П _ 822 = Q>
8 8fiY = V
8fiY
у® =
uAwA = uawa + uawa + uuwu.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Zumino В., Proc. 17th Intern. Conf. on High-Energy Physics., 1974 (Ed.
J. R. Smith) (Rutherford Lab.. Chilton, Didcot. U. K., 1974). p. 1—254;
Salam A., Strathdee J., Phys. Rev., Dll, 521 A975);
Ferrara S., Rivista Nuovo Cimento, 6, 105 A976);
Fayet P., Ferrara S.y Supersymmetry, Phys. Reports (to be published).
2. Freedman D. Z., van Nleuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
A976);
Deser S., Zumino В., Phys. Lett., 62B, 335 A976);
Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D14, 912 A976);
Grisaru M. Т., van Nieuwenhuizen P., Vermaseren J. A. M., Phys. Rev.
Lett., 37, 1662 A976);
Breitenloher P., Phys. Lett., 67B, 49 A977).
3. Zumino В., Proc. Conf. on Gauge Theories and Modern Field Theory Nort-
Northeastern Univ., Boston, 1975 (Eds. R. Arnowitt and P. Nath) (MIT Press,
Cambridge, Mass., 1976), p. 255;
Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 361 A977).
4. Flanders H., Differential Forms, Academic Press, 1963.
5. Акулов В. П., Волков Д. В., Сорока В. А., Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22,
с. 396.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
6. Nath P., Arnowitt R., Phys. Lett., 56B, 177 A975).
7. Arnowitt R., Nath P., Zumino В., Phys. Lett., 56B, 81 A975).

150 Й. Весе
8. Amowitt R., Nath P., Phys. Rev. Lett., 36, 1526 A976); Nucl. Phys., B122,
301 A977); Phys. Lett., 65B, 73 A976).
9. Ferrara S., Gliozzi F., Scherk I., van Nieuwenhuizen P., Nucl. Phys., ВП7,
333 A976).
10. Ferrara S., Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Breitenlohner P., Glioz-
Gliozzi F,, Scherk /., Phys. Rev., D15, 1013 A977).
11. Das A., Fishier M,, Rocek M., Preprints ITP-SP-77-15 and ITP-SB-77-38,
1977.
12. Cremmer E., Scherk J., preprint DAMTP 77/7, 1977.
13. Ferrara S., Scherk J., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1037
14. Freedman D. Z., Schwarz J. H., Phys. Rev., D15, 1007 A977).
15. Freedman D. Z., Phys. Rev., D. (to be published).
16. Gliozzi R, Scherk J., Olive D., Phys. Lett., 65B, 282 A976); Nucl. Phys.,
B122, 253 A977).
17. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett,, 66B, 1669 A976).
18. Ferrara S., Scherk J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 35 A977).
19. Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 A976).
20. Das Л., Preprint ITP-SB-77-4, A977).
21. Gremmer E., Scherk J., Algebraic simplifications in supergravity theories,
DAMTP preprint, Cambridge, England.

7. Полное решение тождеств Бьянки
при учете супергравитационных связей
в суперпространстве
Р. Гримм, И. Весе, Б. Зумино
Grimm R. and Wess Л1), Zumino В.2), Nuclear Phys., B152, 255
A979)
Короткое обсуждение суперпространственной
формулировки супергравитации; исследуются тожде-
тождества Бьянки. Накладываются супергравитационные
связи и дается решение тождеств через суперполя и
их ковариантные производные.
1. Введение
Супергравитация может быть определена как геометрическая
теория в суперпространстве [1—4]. Преимущество такого под-
подхода состоит в том, что имеется математический аппарат диф-
дифференциальной геометрии в суперпространстве, с помощью ко-
которого могут быть получены мультиплеты, образующие тензоры
и тензорные плотности.
В работе [5] было показано, что все мультиплеты, исполь-
использовавшиеся в компонентном формализме [6, 7], могут быть по-
получены из суперполей, имеющих определенный геометрический
смысл. Более того, тензорное исчисление в компонентном фор-
формализме есть непосредственное следствие суперполевой природы
соответствующих величин. Динамика чистой супер гравитации
может быть построена, исходя из лагранжевой плотности в су-
суперпространстве, которая оказывается инвариантным элементом
объема. Могут быть сконструированы суперковариантные контр-
контрчлены и записаны суперковариантные взаимодействия с полями
материи [8].
Геометрическими тензорными величинами являются кривизна
и кручение. С помощью этих величин могут быть сформулиро-
сформулированы ковариантные уравнения. Есть два различных вида таких
уравнений [4]. Уравнения одного вида органичивают число не-
независимых компонентных полей, и из них не следуют какие-
либо дифференциальные уравнения в четырехмерном х-про-
странстве. Эти уравнения называются суперпространственными
') Karlsruhe University, West Germany.
2) Columbia University, New York, USA.
North-Holland Publishing Company
Перевод на русский язык, «Мир», 1983

152 Р. Гримм, Я. Весе, Б. Зумино
связями. Уравнения второго вида дают полевые уравнения для
остающихся независимых компонентных полей. Это обычные
полевые уравнения супергравитации [3].
Разумно было бы начать с решения суперпространственных
связей. Такой подход применил Зигель; он дал явное выраже-
выражение связей через суперполя [9]. Это уменьшает число незави-
независимых компонентных полей и, следовательно, ведет к линейной
зависимости известных тензорных величин — кручения и кри-
кривизны. Эти величины могут быть выражены через несколько
тензорных суперполей R, да$, Wa$y и их комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные. Более простой способ состоит в решении тождеств Бьянки
при учете связей. Таким способом можно найти явные выраже-
выражения для кручения ТАВС и кривизны Rabcd через упомянутые
выше тензорные поля.
В этой статье мы будем следовать второму подходу и дадим
полный анализ тождеств Бьянки с наложенными связями.
Раздел 2 содержит краткое введение в дифференциальную
геометрию в суперпространстве и вывод тождеств Бьянки. Тож-
Тождества Бьянки решаются в разд. 3. Чтобы ближе познакомить
читателя с используемой техникой, весьма подробно разбирается
несколько примеров. В разд. 4 собраны результаты. Отдельные
части этих результатов существенно использовались в рабо-
работах [4, 5, 8—10], но до сих пор они не были систематизиро-
систематизированы.
2. Дифференциальная геометрия
в суперпространстве и тождества Бьянки
Дифференциальная геометрия в суперпространстве базирует-
базируется на понятии суперпространства [11] и, как принято в диффе-
дифференциальной геометрии, на понятии репера (фильбайна) и связ-
связности. Одной из задач дифференциальной геометрии является
конструирование из реперов, связностей и их производных та-
таких объектов, которые преобразуются как тензоры при действии
общекоординатных преобразований. Важным инструментом та-
таких конструкций являются дифференциальные формы и внеш-
внешние производные [12].
Элементы пространства обозначим ZM ~ (xm, (Г, 0^), где
В*, Эр, — набор антикоммутирующих переменных. Индексные
обозначения обычные: латинские буквы (т) обозначают лорен-
цев тензорный индекс, греческие буквы (ц, ji)— лоренцев спи-
норный индекс, прописные буквы (М) обозначают суперпро-
суперпространственный индекс.
Репер EMA(z) связывает мировые индексы (М, из середины
алфавита) с индексами касательного пространства (А, из на-
начала алфавита). Предполагается, что репер обратим: EmaEan =s

7. Полное решение тождеств Бьянки 153
= 8mn. Мы будем использовать следующее правило суммиро-
суммирования:
Ем Еа = Ем Еа Ч~ Ем Еа + ЕЕ
Кроме репера мы вводим связность Фмлв(г). Связность при-
принимает значения в алгебре Ли. Это означает, что Ф как матрица
с двумя индексами А и В касательного пространства есть эле-
элемент алгебры Ли структурной группы.. В качестве структурной
группы мы выберем группу Лоренца, следовательно1),
Ф
МЬа> Ма» М№ М&& М&
fi> = 2бФ + 28Ф ( }
Остальные компоненты связности, такие, как Фмаа, Фма&,
нулевые. Трансформационные свойства при действии общеко-
общекоординатных преобразований таковы:
В качестве структурной группы выбрана группа Лоренца:
й£/ = £Д/(г).
C)
в =
LcB (г) - LAC (z) Фмсв - dMLAB (г).
Матрица Lab подчинена условиям A), поэтому Lab принимает
значения в алгебре Ли.
Связность позволяет определить ковариантные производ-
производные2)
1) Мы используем здесь полиостью антисимметричный тензор 8, е22 =«
«=—е21 = 1, 8i2 = —821 = —1. С помощью этого тензора поднимаются и
опускаются спинорные индексы. Векторные индексы поднимаются и опу-
опускаются с помощью метрического тензора ч\аь ~ (—1, 1, 1, 1); а-матрицы суть
четыре-векторы ааай ~ A, а), (д)аай ~ A, - a) <jV + аьд" = - 2ria6. Мы
будем часто пользоваться спинорными обозначениями и представлять вектор-
векторный индекс через два спинорных — с точкой и без точки:
2) Знаковый множитель определяется условием: т = 0, когда М — век*
торный индекс, т = 1, когда М — спинорный индекс (то же для Ь).

154 Р. Гримм, Й. Весе, Б. Зу.чино
Легко проверить, что если VA, UA — тензоры, то 2)bVa, £DbUa
тоже являются тензорами.
Определим теперь тензоры кривизны и кручения. Для этой
цели удобно ввести форму, соответствующую реперу, ЕА =
= dzMEMA, и форму связности Флв = йгмФмлв- Кручение опре-
определяется через внешнюю производную формы репера:
TA = j ЕСЕВТВСА = dEA + ЕВФВА,. E)
а кривизна — через внешнюю производную формы связности:
RAB = \ EEEDRDEAB = ёФА* + ФЛСФСВ. F)
Из определения следует, что RAB, как матрица с индексами А,
В, принимает значения в алгебре Ли. Нетрудно явно проверить,
что кручение ТАВС и кривизна Rabcd являются тензорами по от-
отношению к группе Лоренца касательного пространства. Эти тен-
тензоры приводимы, и любая неприводимая часть может незави-
независимо использоваться при формулировке ковариантных урав-
уравнений.
Упомянутые выше суперпространственные связиимеют вид1)
Из условия dd = 0 следует, что dTA и dRAB удовлетворяют
некоторым тождествам (тождествам Бьянки)
dTA + T^BA-EBRBA = 0, (8)
dRAB + RA^cA-®ACRcA = 0< (9)
или в более подробной записи
ecedeb {2>etdca - RedCa + TBD*TPcA} = 0, (8')
EcEDE*{2>BRDCA* + TBD*RFCA*} = 0. О')
Мы собираемся показать, что эти тождества с учетом связей
G) допускают явное решение. Это решение зависит от супер-
полей R(z), Gafr(z), №л^{г) и их ковариантных производных.
Знание явной формы ковариантной производной не необходимо
для решения; вся нужная информация описывается коммута-
коммутационным соотношением
[ФА, ®в]± = - rab; - тАВс®с.
•) Подчеркнутый спинорный индекс (а) означает, что он может быть как
с точкой, так н без точки.

7. Полное решение тождеств Бьянки 155
Это соотношение может быть выведено из определения кова-
риантной производной D) и из определения кручения E) и
кривизны F). В этом соотношении обе части рассматриваются
как операторы, применяемые к тензорам; точки в A0) озна-
означают, что Rabcd находится в соответствующем представлении
алгебры Ли. Прежде чем находить решения тождеств (8), нам
нужно разложить их в неприводимые (по отношению к группе
Лоренца касательного пространства) уравнения. Это дает трид-
тридцать уравнений, но некоторые из них являются комплексно-со-
комплексно-сопряженными друг другу, некоторые тождественно равны нулю
вследствие связей G). Остаются следующие тождества:
#е буа + #вуеа + Rye. ба = 0. (И)
Ruye.a + Rye. ба = — 2ianyfTefa — 2iaeyfT6fa, A2)
Re. e-fu = — 2io&tfTm — 2iaeyfTm, A3)
A4)
A5)
A6)
A7)
Kbca Jj аеф4с A8)
Re dn = 2>Jdiu + ®dTyeb + 3>jTeM, + ТарГрй + Ту£Ту du, A9)
в da + Tdy^T^a + Ty^T^a = 0, B0)
B1)
= 0,
B2)
Redca "Ь Rdcea 4~ Rceda ^ 0* B3)
Разрешая эти тождества, мы часто будем пользоваться тем,
что Rabcd и ТДвс определены через 2-формы и, следовательно,
имеют определенные свойства симметрии по индексам А, В.
Кроме того, Rabcd принимает значения в алгебре Ли по С, D.
3. Решение тождеств Бьянки
Будем решать уравнения A1) — B3). Сначала попробуем
разрешить линейные уравнения, а именно те из них, которые
не содержат производных. Это уравнения A1), A2), A3), A7),
A8), B1) и B3). Начнем с уравнения A7) и перепишем его
в спинорных обозначениях
R&byyait = a у*° ай^бЬса'
Т —с,сТ B4)
1 *Vi№ ~° УУ] *сф*

156 Р. Гримм, Я. Весе, Б. Зумино
В спинорных обозначениях тот факт, что кривизна прини-
принимает значения в алгебре Ли, выражается следующим образом:
гДе Кьбуа и #j4?u симметричны по (у, а) и (у, а) соответствен-
соответственно. Кроме того, они симметричны по (е, &) вследствие определе-
определения Rabcd как 2-формы. Уравнение A7) принимает вид
Разложим У^л,, на части с определенной симметрией по от-
отношению к перестановке индексов — с точкой и без точки по
отдельности (подчеркивание указывает на симметрию):
Умножив уравнение A7') на eu'*6a'v, получим 7^ = 0. Выпишем
часть уравнения A7'), симметричную по (у, а)
= 2/ (гцё?^ + euSe4V) Т^ + 2г (ей
Умножая на ей*. получаем ^ = 0, R^ = — 6iT^i умножая
на ей*. получаем Rtbya = — 2/7^^; следовательно, ^Ya44 = 0.
Уравнение B6) приводится к виду (Т == — 2г7?)
^a=-2iV^. B7)
и из A7') следует
Уравнения B7) и B8) суть общие решения тождества A7);
они дают также решение тождества A3).
Аналогичный анализ тождеств A2), A8) и их комплексно-
сопряженных дает
T' " H^YfGey ~ Збеубф? — ЗбефС/у*)»
6veGaS + 6«eGv6. B9)
G*au = Gad-
Уравнение B9) дает также решение тождества A1).
Тождество B1) позволяет выразить Redca через компоненты
кручения Г<*сф:
Rsdcu = i (Оаеф^соф — <УаефТас® ~ ОсефТа^)- (80)

7. Полное решение тождеств Бьянки 157
Тождество B3) — такое же, как в обычной гравитации, его
следствия хорошо известны [13]; в спинорных обозначениях
C1)
Тождество B3) эквивалентно следующим:
ф44у« > C2 а)
Л вещественно). C26)
Таким образом, тождества без производных разрешены. Те-
Теперь будем разрешать линейные тождества, которые содержат
производные; это тождества A4) — A6).
Подставляя B7) в A6), найдем
@yR = 0. C3)
Решение тождества A4)—более утомительное дело. Компо-
Компонента кривизны R&eya с помощью C0) и соотношений алгебры
Ли выражается через T'od*- Поэтому тождество A4) сводится
к уравнению, связывающему TaJ* и производные Туеа, которые
в свою очередь выражаются через Ga^ с помощью уравнения
B9). В спинорных обозначениях тензор
может быть разложен на неприводимые части
= - 26<W
В этих уравнениях W^ произвольно, ts и тбуф выражаются
через производные G. Окончательно получаем
+ Ч6ае8ву + 6уе6ваHЧ4> C4)
Тождество A5) связывает те же компоненты кривизны и кру-
кручения. Оно совместно с C4) только в том случае, если
C5)
Мы разрешили все линейные соотношения. Нелинейные тож-
тождества A9), B0), B2) либо дают выражение некоторых

158 Р. Гримм, Я. Весе, Б. Зумино
компонент кручения и кривизны в виде нелинейных комбинаций
ковариантных суперполей G я R, либо могут быть сведены к
линейным с использованием коммутаторов ковариантных про-
производных A0). Тождество A9) позволяет выразить х^б8й и fv6s4
в C1) через компоненты кривизны и их производные, которые
уже выражены через W, G и R. Например,
C6)
Это выражение уже симметрично по (е, 6). Оно должно быть
симметрично также по (у, а), что дает условие
1 i B>Й<Г4 + ®^G\) = 0. C7)
Здесь мы использовали тот факт, что
вследствие C5), A0) и связей G). После некоторых алгебраи-
алгебраических преобразований мы приходим к результату
+т g
C8)
Соответствующий результат для ф7в4й приведен в разд. 4.
Нужно заметить, что % и ф удовлетворяют условиям C2а) и
C26), выведенным из тождества B3). Наконец, рассмотрим
тождество B0). Выразим кручение через W, G и R с помощью
C4), B9) и B7). Все члены, кроме одного, пропорционального
&W, содержат тензор е и обращаются в нуль после симметри-
симметризации по всем индексам. Это дает условие
Vm = 0- C9)
При выполнении этого условия B0) и B2) удовлетворяются
тождественно. Проверка этого требует длинных вычислений,
в которых существенно используются связи G) и коммутацион-
коммутационные соотношения A0).
4. Результаты
Результаты этой статьи использовались и будут использо-
использоваться в работах по супергравитации. Поэтому полезно иметь
исчерпывающий список формул, которые могут быть выведены

7. Полное решение тождеств Бьянки 159
из связей на суперпространство G) и тождеств Бьянки (8).
Надо заметить, что выражения для компонент тензоров кру-
кручения и кривизны, которые мы даем ниже, разрешают также
и тождества (9). Компоненты тензора кручения, отличные от
нуля, имеют вид
Т с — Т с =
г* а гр а 1 -
be — — L еЪ ~~~2ае
Т it rj, & 1 _ Je™ it
«в — — 'ей —~lae l Ш •
р а j, а 1_ - JeiTi a
йе 1 ей 2 « W
= т' КОй* - звЛ - зе^
йе = — Тей = — J°e l Ы
cd — 4 ad ac l йбуу
Компоненты Тензора кривизны могут быть выражены через те
же суперполя. Кривизна принимает значения в алгебре Ли, от-
откуда следует

160 P. tpiiMM, Й. Весе, Б. Зумино
Все остальные компоненты тензора кривизны равны нулю. Ком-
Компоненты тензора кривизны, фигурирующие в D0), имеют сле-
следующий вид:
= 4 (ебе87а + 8Ye8ea) R*,
= 4
O
Rec йа = — Ret ба = 2 ^o^Riyi ба.
ба « 4гбГ + «
~ ^с4Ай == ~ ^
***** в г* («rf*» + 8*Л*) ^Ф°уФ +
+ г* FЛ + 6Л) ° +1f (
6
^гй ббуа = 2бЛ вуа ~ 2686^4 6Ya>
веа = ~ 7 (^веа + ^e^eav + ^8^aVe + ®aWу в.) +
зв + Vev) { ~ W + J 0^ + -jff
Ф^ Aea = T

7. Полное решение тождеств Бьянки 161
Суперполя W, G и R подчинены следующим условиям:
1 ) = 0, (III)
i BW + <ZW) = 0,
полностью симметрично по (a, p, у).
ЛИТЕРАТУРА
1. Amowitt R., Nath P., Phys. Lett., 56B, 117 A975);
Arnowitt R., Nath P., Zumtno В., Phys. Lett., 56B, 81 A975).
2. Акулов В. П., Волков Д. В., Сорока В. А. — Письма ЖЭТФ, 22, 396
A975).
3. Wess ]., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 361 A977).
4. Grimm R., Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 73B, 415 A978).
5. Wess J., Zumino В., CERN preprint, TH 2553, Phys. Lett., (to be publis-
published).
6. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333, 404 A978); Ecole
Normale preprint LPTENS 78/14.
7. Stelle K. S., West P. C, Phys. Lett., 74B, 330 A978); Imperial College pre-
preprint ITCP/77-78/15; Nucl. Phys, B145, 175 A978).
8. Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 74B, 51 A978).
9. Siegel W., Nucl. Phys., B142, 301 A978).
10. Howe P. S, Tucker R. W., CERN preprint TH 2524, Phys. Lett., (to be pub-
published).
11. Salam A., Strathdee J., Nucl. Phys., 76B, 477 A974);
Ferrara S., Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 51B, 239 A974).
12. Wess J., Lecture Notes in Physics 77, p. 87, Springer-Verlag, Berlin.
13. Penrose R., Ann. of Phys., 10, 171 (I960).
14. Dragon N., Karlsruhe University preprint, 1978; Zs. Phys, С (to be pub-
published).

8. Кручение и кривизна в теории
расширенной супергравитации
Н. Дрэгон
Dragon N.'), Zs. f. Phys., Particles and Fields, C2, 29 A979)
С помощью первых тождеств Бьянкн показано, что
в расширенной супергравитации кривизну можно вы-
выразить через крученне и его коварнантные производ-
производные. Показано, что вторые тождества Бьянки выте-
вытекают нз первых. Таким образом, все выражения, со-
содержащие кривизну, могут быть записаны через
кручение, которое является фундаментальным гео-
геометрическим объектом в супергравитацин.
1. Введение
Супергравитация может быть сформулирована либо в ком-
компонентном формализме [1], либо как геометрическая теория
в суперпространстве [2]. Второй подход дает более глубокое
понимание, поскольку он может рассматриваться как обобще-
обобщение идей дифференциальной геометрии в ситуации, когда неко-
некоторые из координат антикоммутируют. При изучении свойств
супергравитации обнаружился необычный факт: все компо-
компоненты кривизны могут быть выражены через кручение и его
ковариантные производные.
В этой статье мы покажем, что в расширенной супергравита-
супергравитации кривизна также может быть выражена через кручение и
что это общее свойство, не зависящее от ограничений, накла-
накладываемых на кручение. Источник этой особенности заложен
в свойствах генераторов структурной группы, которые позво-
позволяют выразить некоторые циклические суммы через отдельные
члены. Используя еще раз это свойство, мы покажем также, что
вторые тождества Бьянки не дают новых условий, но выпол-
выполняются как следствия первых. Этот результат должен значи-
значительно упростить проверки уравнений на кручение [5]. Прежде
чем доказывать указанный результат, мы разберем технику ко-
вариантного дифференцирования, которая позволяет применять
тензорные формулы в тензорном исчислении с наличием грас-
смановых величин.
') Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, D-7500, Karlsru-
Karlsruhe, Federal Republic of Germany.
SSpringer-Verlag
Перевод на русский язык, «Мир», 1983

8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 163
2. Тензорное исчисление в суперпространствах
Важное обобщение тензорного исчисления — тензорное ис-
исчисление в суперпространствах — возникает при введении анти-
коммутирующих (грассмановых) объектов; при этом приходит-
приходится следить за знаками, появляющимися при перестановке таких
переменных. Соотношения (анти)коммутации обычно запи-
записываются в виде ZAZB = {—\)щлщгвгА, где |Л| = 0 для ком-
коммутирующих объектов и |Л|= 1 для спинорных. Можно запи-
записывать это в виде ZAZB = ZBZA, понимая под этим равенством
следующее: перестановка всех супериндексов левой части в том
порядке, в каком они фигурируют в правой части, дает соответ-
соответствующий знак, зависящий от четности индексов. Это соглаше-
соглашение позволяет все формулы дифференциальной геометрии рас-
рассматривать как формулы геометрии в суперпространстве; пере-
перестановка индексов в нужном порядке дает правильный знак.
Все это будет подразумеваться во всех дальнейших формулах
геометрии суперпространства. Формулы, записанные в явном
виде в векторно-спинорном формализме, будут, конечно, содер-
содержать эти знаки. Необходимо позаботиться об индексах, по ко-
которым производится суммирование: в уравнениях они всегда
будут расположены так:
В качестве примера рассмотрим формулу, выражающую ан-
антисимметричность кручения:
Тавс = -Твас; B)
в векторно-спинорных обозначениях она заменяется на
Таьс ТЬас, Та^ = -Т^, Tai^ = + Tmic. Ba)
Заметим, что наше соглашение изменяет определение цик-
циклической суммы. Легко показать, что знак, который дает это
соглашение, таков, что тензорное преобразование
dz'c dz'D r QH... ,ov
т. (З)
обладает необходимыми свойствами ассоциативности (оператор
левого дифференцирования находится слева от дифференцируе-
дифференцируемого объекта). Поэтому наше соглашение превращает формулы
обычного тензорного исчисления в суперпространственные фор-
формулы.

164 Я. Дрэгон
3. Тензор кривизны
Кривизна определяется через репер и форму связности и су-
существенно зависит от выбора структурной группы, т. е. отноше-
отношения эквивалентности для гладких реперов. В супергравитации
этой группой служит группа Лоренца, действующая одновре-
одновременно в векторных и спинорных реперах, и некоторая группа
внутренней симметрии, преобразующая спинорные реперы. Ре-
Репер может рассматриваться как локальная система отсчета;
в системе координат он задается своими компонентами влм'-
еА = еАм(г)^г. D)
При замене координат он преобразуется как тензор по своим
мировым индексам:
o'M l?i\ =
dz
/м
dz"
(-D
I N i-( | M |+1 A l+| N | )+| A |.| M I
E)
N=n, vl, -W
Под действием структурной группы репер преобразуется как
&А GABeB, F)
где Gab — генератор группы.
В супергравйтации эти генераторы имеют следующий вид.
Лоренцевы генераторы суть
(Gab)cD =
О
О
О
О
О
\bi
G)
ГДе ( Gab) cd = — (■r\acbbd — Щс
ней симметрии Gi имеют вид
О
О
О
Генераторы группы внутрен-
0
0
О
А* П к
(8)
Мы принимаем (Gik1)* = —Gnk в соответствии с тем, что при
сопряжении верхние и нижние индексы внутренней симметрии
меняются местами.
Кривизна является 2-формой со значениями в алгебре Ли,
поэтому ее компоненты антисимметричны:
О)

8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 165
Индекс G пробегает индексы генераторов группы Лоренца и
генераторов внутренней симметрии G/. Кручение и кривизна
подчинены тождествам Бьянки, первые из которых имеют вид
DiATBC)D + T{ABeTeod + Rwcf =0. A0)
Здесь фигурные скобки означают циклическую сумму по трем
заключенным в них индексам, RAbcd заменяет RabqGoCd. По-
Поскольку многие матричные элементы генераторов равны нулю,
оказывается возможным выразить с помощью первого тож-
тождества Бьянки кривизну через кручение и его ковариантные
производные. Например, выбрав С и D векторными индексами,
получим сразу такие выражения для всех спинорных компо-
компонент лоренцевой кривизны. Имеем
R = (# V + &Та + ®T#d + TETd +
Введем для краткости
A1)
Результирующие выражения для кривизны приведены в конце
данного раздела (выражения A2)).
Структура индексов ST должна дать возможность читателю
проследить, из какого именно тождества Бьянки был выведен
результат. Некоторые из результатов для кривизны все еще со-
содержат уравнения для кручения. Например, тот факт, что
накладывает на кручение условие, заключающееся в том, что
правая часть должна быть пропорциональна генератору.
Если результаты для кривизны подставить опять в первые
тождества Бьянки, то останутся одни только ограничения на
кручение:
Ralpjc = ^~ai§jc > Ral^j Gjk = "^ ^~Щ1 ?*»
п bid__q- bid d lcl __\_or
Aoi с — •' at с > Я-ab uIk — 2
d ntrt — cr у
с » *\ "/ft ~2 J yk
Rabcd = ■£ 3~ {a) + ^"^A i^) )
~ A2)

166 И. Дрэгон
A bed — \Pcdh У byh — п+ i \<*cd) У & b Ыг—
Ai xft | лт-Aft xi\
ЛТ bxk )
d bit a l — 2 or tu у1 j_ l or й/
Aoi W/ft — — "g- i/ oi у* + " ™ a*
3 V' +
J- (К \ У or b№y I ! /„ \ v or b
4. Вторые тождества Бьянки
Мы выразили кривизну через кручение; осталось выяснить,
какие условия накладываются на кручение вторыми тождест-
тождествами Бьянки
®{aRbc}de + T{abeRfode = 0. A3)
Это дифференциальные уравнения второго порядка. Нужно за-
заметить (это проверяется явными выкладками [4]), что в обыч-
обычной супергравитации вторые тождества Бьянки следуют из пер-
первых тождеств Бьянки и уравнения первого порядка
[3>А, Ж>в\ TCDE = RABCFTFDB + RabdfTCfe -
- RabfeTCdf ~ Tabf®fTcdf A4)
(коммутатор двух ковариантных производных является пре-
преобразованием структурной группы и ковариантной производ-
производной) .
Мы покажем, что без каких-либо ограничений на кручение
и на границу внутренней симметрии второе тождество Бьянки
следует из уравнений A0) и A4).
Для этого докажем общую лемму и затем используем свой-
свойства генераторов структурной группы. Введем сокращение
MAbcde := ®{aRbc) db + T{abfRfo db. A5)
Лемма. Уравнение
MABCDE ~ MBCdae + MCDABE ~ MDABCE = 0 A6)
следует из уравнений A0) и A4).
Лемма доказывается непосредственно: нужно собрать члены,
содержащие производные циклической суммы R\abc) d, заменить
R{abc) D его выражением через кручение, далее использовать
A0); вторые производные кручения, возникающие при такой
замене, включают только коммутаторы, которые выражаются
с помощью A4). После этого все члены сокращаются вслед-
вследствие A0),

8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 167
Учтя теперь свойства генераторов структурной группы, мы
видим, что из равенства нулю A6) следует равенство нулю
Mabcde, что и составляло наше утверждение.
Заметим сначала, что Mabcde имеют структуру генераторов
по отношению к последней паре индексов, поэтому Mabcde по
определению равно нулю, если последняя пара индексов не
имеет той же структуры индексов, что у генератора. При данной
структуре индексов А, В, С легко найти такие индексы D, Е,
что циклическая сумма A6) содержит не более двух членов.
Например, если А, В, С — спинорные индексы, то, выбирая D,
Е векторными, немедленно получаем
-о. м yhc =0, A?)
Если А, В, С содержат не более одного типа спинорных индек-
индексов (с точкой или без точки), то выбор D, Е спинорами другого
типа и взятие следа дает
h —и>
—и> та —и» /jg\
Возьмем все индексы спинорными. Заметив, что лоренцева
часть обращается в нуль из-за A7), получаем из A6) следую-
следующее уравнение для компонент Mai*fkl:
Mai^kIGImlb\ + MaifU6lIGImk6\ - 0. A6а)
Взяв след по вейлевским индексам с точкой, мы видим, что сим-
симметричная и антисимметричная части По паре k, l обращаются
в куль. Поэтому отсюда следует
Mat,?hl = 0, Mjmi = 0 A9)
(второе уравнение получается из таких же рассуждений).
Разберем теперь случай, когда среди А, В, С имеются один
векторный индекс и оба типа спинорных индексов. В качестве
D и Е выберем векторные индексы. Тогда из уравнения A6)
получаем
Mj'yhde~M/'yhae = 0. A66)
Таким образом, М^уие симметричен по индексам a, d и анти-
антисимметричен по индексам d, e; следовательно, он равен нулю.
Это дает
М , * = М Ы* = М *>*V = 0. B0)

168 Н. Дрэгон
Используя этот результат, возьмем в качестве D и Е спинорные
индексы. Из уравнения A6) получаем
Af«VG«"V + МЛ/О/АЧР = 0. A6в)
Те же аргументы, которые привели к A9), показывают, что
выполняется равенство
А*Д/ = 0. B1)
Пусть теперь А, В — векторные индексы, а остальные — спи-
спинорные индексы без точки. Используем тот факт, что компо-
компоненты М, соответствующие генераторам внутренней симметрии,
равны нулю. Уравнение A6) дает
ЛWcd (ас ДD 6,т +■ Mab 6lcd Ыур 6кт = 0. A6г)
После некоторых алгебраических выкладок получаем
где п—количество внутренних индексов. Используя также дру-
другое следствие A6)
(<*cd)\Mabyllcd = 0, A6д)
получаем
Mabyhcd = 0, Mat?hcd = 0. B2)
(Те же аргументы приводят ко второму уравнению.) Это завер-
завершает доказательство: тождества Бьянки выполняются вследст-
вследствие леммы A6), стало быть, они следуют из A0) и A4).
5. Выводы
Полученные результаты показывают, что кривизна является
избыточным объектом в супергравитации. Вместо нее можно ис-
использовать кручение и его ковариантные производные. Вторые
тождества Бьянки не налагают дополнительных условий на кру-
кручение и следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения A4).
Это нетривиальное утверждение, поскольку, хотя A4) и являет-
является частным случаем соотношения
[Я>А, 3>в\ = - RAB%G - TmLmL, B3)
из которого следуют тождества Бьянки как тождества Якоби,
из самого частного тождества A4) вторые тождества Бьянки,
вообще говоря, не следуют (например, в римановой геометрии).
Полученный здесь результат должен облегчить проверку на
совместность, которая проводится при введении уравнений,

8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 169
включающих кручение. Этот результат показывает также, что
уравнения движения и связи должны выражаться как условия
на кручение в суперпространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Deser S., Zumino В., Phys. Lett., 62B, 335 A976);
Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
A976);
Breitenlohner P., Phys. Lett., 67B, 49 A977).
2. Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 361 A977); 74B, 51 A978). Preprint
CERN Ret. TH 2553.
3. Wess J., Supersymmetry-Supergravity, Lecture Notes in Physics, 77, 81
A977).
4. Grimm R., Wess J., Zumino В., Karlsruhe preprint, Okt. 1978.
5. Grimm R., Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 73B, 415 A977).

9. Алгебраические мотивировки
суперпространственных связей
в супергравитации
С. Джеймс Гэйтс '), К. С. Стелл 2), П. К- Вест 3)
5. James Gates, Jr., К. S. Stelle, P. С. West, Nuclear Phys.,
B169, 347 A980)
В статье сформулированы алгебранческие моти-
мотивировки появления связей в суперпространственной
формулировке супергравитации. Максимальная груп-
группа симметрии, возникающая при изучении связей, ото-
отождествлена с естественным обобщением группы Вей-
ля в общей теории относительности. Введены в рас-
рассмотрение трансформационные свойства геометриче-
геометрических объектов теории относительно действия этой
группы. Связи выводятся нз требования сохранения
общих свойств представлений плоской суперсиммет-
суперсимметрии. Кроме того, вводятся алгебраические условия,
позволяющие получить в явном виде максимальное
число компонент связности и репера.
1. Введение
Недавно был достигнут существенный прогресс в системати-
систематизации весьма сложной алгебраической структуры теорий супер-
супергравитации. Это началось с открытия минимального набора
вспомогательных полей [1] и последующего развития тензор-
тензорного исчисления [2].
Вскоре после этого была развита суперполевая теория супер-
супергравитации [3—5]. В то время как суперполевой подход вклю-
включает большое количество информации компонентного подхода
и в принципе является наиболее эффективным путем описания
теорий супергравитации, исторически так сложилось, что основ-
основные результаты вначале были получены в компонентном форма-
формализме, а затем воспроизведены в суперпространстве.
Геометрический формализм общей теории относительности
легко обобщается на суперпространство. Вводятся понятие
общей ковариантности в суперпространстве и группа Лоренца
касательного пространства с соответствующими репером Еам
и связностями Фдбс. Однако с условием, чтобы не было компо-
компонентных полей со спином выше двух, этот формализм сам по
') Dept. of Physics, Harvard University, Cambridge, Mass., USA.
2) Theoretical Physics Dept., Imperial College, London, SW7, England.
3) Dept. of Mathematics, King's College, London, WC2, England.
© North-Holand Publishing Company
@ Перевод на русский язык, «Мир», 1983

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 171
себе оказывается несовместимым. Такая трудность преодоле-
преодолевается введением кинематических связей, при разрешении кото-
которых [4] реперы и связности выражаются через меньшее число
препотенциалов. С другой стороны, можно начать с теории, со-
содержащей только препотенциалы [6], но тогда затемняется гео-
геометрическая структура теории. Развитию суперпространствен-
суперпространственного подхода в. значительной мере мешала трудность нахожде-
нахождения подходящего набора кинематических связей (ограничений),
поскольку не было систематических приемов нахождения
связей из теоретико-групповых и алгебраических прин-
принципов.
Главная трудность, мешающая завершению систематизации
теорий супергравитации, заключается в выявлении основных
алгебраических принципов, определяющих выбор кинематиче-
кинематических связей. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать по-
последовательный вывод связей в N = 1 -супергравитации в на-
надежде, что этот вывод удастся легко обобщить на расширенные
теории.
При рассмотрении алгебраической структуры различных свя-
связей, предлагавшихся для простой супергравитации, было выяс-
выяснено, что они обладают более широкой симметрией, чем симмет-
симметрия локальной группы Лоренца и общей ковариантности супер-
суперпространства, требуемых суперсимметрией Пуанкаре. Такая
более широкая симметрия является суперпространственной фор-
формулировкой суперконформной симметрии, которая достигается
двумя способами [7, 8]. Эта симметрия полностью согласуется
с кинематической природой связей, в результате чего они долж-
должны быть в равной мере применимы как к супергравитации
Пуанкаре, так и к конформной супергравитации.
В отличие от естественного обобщения общей ковариант-
ковариантности, состоящего в общих преобразованиях координат супер-
суперпространства, суперконформные преобразования [7,8] имеют
сложную структуру. Они не являются естественным обобщением
ковариантности Вейля в общей теории относительности. Это
обстоятельство подсказывает подход к алгебраическому разъяс-
разъяснению смысла связей и является отправной точкой настоящей
статьи. Мы используем непосредственное обобщение группы
Вейля, которое называем супергруппой Вейля. Преобразования
супергруппы Вейля включают масштабные преобразования с
комплексным скалярным суперполем.
Другой существенный пункт нашего подхода состоит в ис-
использовании сохранения вида представлений плоской супер-
суперсимметрии. Это обеспечивает возможность ввести взаимодей-
взаимодействие этих представлений с супергравитацией или конформной
супергравитацией. Мы подробно обсуждаем условия интегри-
интегрируемости, требуемые для этого сохранения, учитывая также ус-
условия обычного типа, которые определяют связности и векторные

172 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
компоненты обратного репера и дают возможность придать
теории вид формализма второго порядка.
В разд. 2 мы резюмируем имеющиеся в настоящее время
сведения о связях. В разд. 3 мы обсуждаем супергруппу Вейля,
а в разд. 4 находим условия интегрируемости, требуемые для
сохранения вида представлений. В разд. 5 мы классифицируем
связи по их трансформационным свойствам относительно супер-
супергруппы Вейля, в частности по отношению к приводимости ком-
комплексного суперполя, служащего калибровочным параметром
этой группы. Мы показываем, что различные наборы ограниче-
ограничений, предлагавшиеся для N = 1-супергравитации соответствуют
двум возможным видам калибровки по супергруппе Вейля, ко-
которая может быть проведена ковариантно относительно ло-
локальной суперсимметрии Пуанкаре. Вместе с результатами ра-
работы [5] это объясняет происхождение двух различных набо-
наборов вспомогательных полей: минимального набора [1] и неми-
неминимального набора [9]. В последнем разделе обсуждаются
дальнейшие применения результатов этой статьи.
Предварительные результаты настоящей работы сообщались
на рабочем совещании в Стони Брук, проходившем 27—28 сен-
сентября 1979 г., и будут опубликованы в Трудах этого совеща-
совещания [10].
2. Кинематические связи в суперпространстве
Необходимость наложения кинематических связей на геомет-
геометрические объекты, характеризующие искривленное суперпро-
суперпространство, возникла из желания избежать в компонентных су-
перполях, описывающих супергравитацию, спина выше двух.
Эти связи обсуждались несколькими авторами [3,4] и были
разделены на три типа [11].
1. Связи, которые делают теорию «формализмом второго по-
порядка». Алгебраически это определяет связность Фмаь и обрат-
обратный репер с векторным индексом Еам через фундаментальные
обратные реперы со спинорными индексами Еам (заметим, что
Ей"* = (£«*)*).
2. Связи, отражающие возможность существования кираль-
ных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии.
3. Дополнительные связи, оставшиеся без определенной ал-
алгебраической интерпретации.
Связи первого типа могут быть выбраны многими способами;
мы будем называть их стандартными. Это аналогично специ-
специальному выбору вида аффинной связности Г^ = {^} в общей
теории относительности. Иной выбор стандартных связей может
быть осуществлен переопределением полей. Например, можно
изменить связность добавлением элементов кручения, являю-

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 173
щихся алгебраическими комбинациями других полей. Для опре-
определенности выберем следующий набор связей:
Связь Суперполе, для выражения
которого служит эта связь
7V = 0, ФаЬс, B.1а)
r«(ft) = 0. <V. B-16)
raeY = 0, ФаД B.1в)
1 ОЙ
= о}
и аналогично для комплексно-сопряженных. Примером иного
выбора может служить замена связи Таьс = 0 на Rabbc = 0, ко-
которая может быть достигнута переопределением Фаьс-
Необходимо заметить, что при задании калибровки на всем
касательном пространстве с суперлоренцевой структурой ста-
становится невозможным выражение Еам через. Еам, Ецм. Таким
образом, геометрия Арновитта — Ната касательного простран-
пространства [12] с необходимостью требует большего числа независи-
независимых фундаментальных полей, чем найдено в супергравитации.
Связи второго типа дают возможность существования ки-
ральных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии
[И]1), поскольку они являются условиями интегрируемости
дифференциальных уравнений, определяющих киральные су-
перполя. Определяющее условие кирального скалярного супер-
поля в искривленном суперпространстве имеет вид
0аФ = О. B.2)
Применение другой фермиевской ковариантной производной
и симметризация дают условие интегрируемости
0 = {Ф,, ®($} Ф = — 7V2tyD — Гарс0сФ, B.3)
откуда
и то же для комплексно-сопряженных.
Связи третьего типа тоже могут быть выбраны по-разному,
но в отличие от связей первого типа различные варианты вы-
выбора не связаны переопределением полей. Было показано
[4, 11], что эти различные варианты обусловлены двумя неэк-
') Такое наблюдение имеется в работе [13]. Это было также независимо
отмечено С. Феррарой и П. ваи Нивенхюйзеном (частное сообщение).

174 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
Бивалентными наборами вспомогательных полей, которые были
введены в супергравитацию.
Один вариант связей третьего типа задается формулами
Ta^Tabb = 0 B.5а)
(аналогично для комплексно-сопряженных). Этим завершается
набор связей, который, как можно показать с помощью тож-
тождеств Бьянки, эквивалентен набору, выбранному Вессом и Зу^
мино [3]; он приводит к формулировке супергравитации, ис-
использующей минимальное число вспомогательных полей [1].
Другие возможные варианты выбора связей [11] образуют
множество, параметризованное числом £ = — ( " ~\_ ):
1/? + £{0% + £Г%} = О, B.56)
где R = /?<%раР. Для конечных значений £ все эти варианты ве-
ведут к неминимальной структуре вспомогательных полей [9].
Мы подчеркнули, что кинематические связи в супергравита-
супергравитации не зависят от выбора динамической системы. В частности,
это означает, что они применяются и к супергравитации Пуан-
Пуанкаре и к конформной супергравитации. Поэтому группа инва-
инвариантности связей должна содержать преобразования супер-
суперконформной теории. Но тщательное изучение суперконформных
преобразований показывает, что требуется специализация вспо-
вспомогательных полей, используемых в теории. Действительно,
имеются две различные версии суперконформной группы в су-
суперпространстве, отличающиеся по их действию на соответ-
соответствующие вспомогательные поля, ассоциированные с двумя раз-
различными вариантами выбора связей третьего типа.
Выбор связей, даваемый уравнениями B.1а — д), B.4а, б)
и B.5а), инвариантен относительно киральной конформной
группы [7], имеющей в качестве параметра киральное скаляр-
скалярное суперполе. В противоположность этому выбор связей, да-
даваемый уравнениями B.1а — д), B.4а, б) и B.56), инвариантен
относительно линейной конформной группы [8], параметром
которой служит линейное скалярное суперполе.
3. Супергруппа Вейля
Существование двух различных версий суперконформной
группы в суперпространстве, связанное с двумя возможными
ограничениями третьего типа, наводит на мысль о существо-
существовании общего формализма локальной суперконформной инва-
инвариантности, дающего алгебраическое истолкование этих связей.
Необходимость такого общего формализма подсказывается так-
также и контрастом между обычным простым обобщением общей

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 175
ковариантности в пространстве до общей ковариантности в су-
суперпространстве и довольно сложным выражением локальной
суперконформной инвариантности [7,8].
Не стремясь уменьшить число компонентных полей в супер-
суперполе, параметризующем суперконформную группу, путем нало-
наложения с самого начала ограничений на их вид (линейный или
киральный), мы будем действовать по прямой аналогии с фор-
формулировкой инвариантности Вейля в общей теории относитель-
относительности. Действие супергруппы Вейля на супергравитационные
поля сводится к умножению фундаментальных суперполей
(Еам, F-^) на общее комплексное скалярное суперполе. Чтобы
включить локальные киральные преобразования в группу,
надо рассмотреть комплексное суперполе. Преобразования
(Еам, Ейм) имеют вид
C.1а)
C.16)
где L — общее комплексное скалярное суперполе.
Так как связность Фмьс и векторные компоненты репера Еам
будут выражены в терминах {Еам, Е&м) в результате разреше-
разрешения стандартных связей первого типа, их преобразования могут
быть просто фиксированы преобразованиями фундаменталь-
фундаментальных полей. Не вдаваясь в детали зависимости между (Фм&с,
Еам) и фундаментальными полями (Еам, Ецм), напишем самые
общие преобразования, сохраняющие форму ковариантных про-
производных:
0а = eL { ®а + ~ fabcMbc }, C.2a)
C.26)
C.2в)
где fab = f*ab и fabc = f*abc- Эти преобразования имеют наиболее
общий вид, необходимый для учета произвольных преобразова-
преобразований связности (члены с 1аьс) и векторных компонент репера
(члены с faB)- Кроме того, мы имеем, конечно, локальные ло-
ренцевы преобразования
6Еам = Na^M C.3)
tf«p = V C.4)
Члены (fAbc, faB) в преобразованиях C.2) записываются через
общий суперполевой параметр L при наложении некоторого
частного набора связей первого типа. Для выбора связей пер-
первого типа, описанного в первом разделе, имеются преобразо-

176 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К- Вест
вания супергруппы Вейля вида
>а - 1
= eL [ 2>а - 1 (eajJ0eL + e^L) M*6 }, C.5а)
TU^}. C.56)
где fabc — сложная функция от L, DaL и ТаЬс (она не понадо-
понадобится в дальнейших вычислениях).
Используя тождество
\ФА, Фв] = - ТАВС®С - \ RABcdMcd, C.6)
легко найти следующие преобразования компонент кручения:
Т с 2LT df-l с
1 op — е l ap / d '
V=eL
7 op — e ■* op / d
— Ta$afacd +
/a//ped + /p/faBd -
t-f^d) ~ e-L®a (e%Cd)l C.7)
V/A« + ^gf//ycd ~ ®*hcd ~ ®*facd ~
lac I fred He ' aed}t
Законы преобразования оставшихся геометрических тензоров
нам не потребуются.
Инвариантность связей второго типа в отличие от инвариант-
инвариантности связей первого типа при преобразованиях супергруппы
Вейля (они определяют поля (Фмьс Еам)) не столь очевидна.
Однако из равенств C.7) видно, что набор уравнений Гар? = О
и Гарс = 0 инвариантен в совокупности, хотя в отдельности
уравнение Гар* = 0, например, не инвариантно. Инвариантность
связей второго типа влечет за собой существование киральных
суперполей с нулевым супервейлевским весом в конформной

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 177
супергравитации. Инвариантность связей первого и второго ти-
типов относительно супергруппы Вейля важна для целей нашей
статьи, так как эта супергруппа является максимальной супер-
суперконформной супергруппой симметрии этих связей и послужит
ключом к пониманию алгебраического смысла всех связей.
4. Сохранение вида представлений
Основная идея в алгебраическом осмыслении суперпростран-
суперпространственных связей — сохранение вида представлений плоской су-
суперсимметрии при обобщении группы инвариантности до ло-
локальной. Сохранение вида представлений в локальном случае
является причиной успеха введения членов взаимодействия с
использованием нетеровской процедуры, начиная с линеаризо-
линеаризованного действия, инвариантного относительно плоской супер-
суперсимметрии. Более того, условие сохранения вида представлений
автоматически удовлетворяет основному требованию, наклады-
накладываемому на связи, — чтобы они не содержали уравнений движе-
движения. Это требование удовлетворяется, так как если связь со-
содержит уравнение движения, то она должна содержать его и
в линеаризованном виде, а в нем существование представлений
обеспечивается тем, что линеаризованная теория инвариантна
относительно плоской суперсимметрии.
При рассмотрении представлений глобальной суперсиммет-
суперсимметрии следует помнить, что имеется целое однопараметрическое
семейство глобальных суперсимметрий, параметризованное ра-
радиусами ассоциированных суперпространств постоянной кривиз-
кривизны, в которых они действуют. Важно сохранить общие черты
этого семейства, которое содержит все глобальные разновид-
разновидности локальной суперсимметрии; это даже важнее сохранения
специфичных предельных характеристик бесконечного радиуса
или плоской суперсимметрии. Эта предосторожность необхо-
необходима, так как имеются киральные представления плоской су-
суперсимметрии, отсутствующие в общем ортосимплектическом
случае [14].
В частности, для суперполя с внешним лоренцевым индексом
типа (р, q) уравнение
может быть решено в общем ортосимплектическом случае толь-
только тогда, когда Ф(р> ?) не содержит индексов без точки, т. е.
когда оно имеет лоренцев индекс типа @, q).
При обобщении глобальной суперсимметрии до локальной
необходимо наложить ограничения на геометрические объекты,
характеризующие локальное суп ер пространство, чтобы сохра-
сохранить вид представлений. В том случае, когда линейное диффе-
дифференциальное условие накладывается на суперполе с индексом,

178 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
а также когда имеется дифференциальное условие второго по-
порядка, приходится принимать во внимание обычные условия
на выбор связностей, которые появляются в ковариантных про-
производных. В этих случаях не сразу ясно, как обобщить опреде-
определяющие условия до локального случая.
Для того чтобы отделить требование сохранения вида пред-
представлений от детального выбора связностей, рассмотрим сна-
сначала простейшую форму общего скалярного суперполя, а имен-
именно киральное скалярное суперполе. Как мы уже объясняли в
первом разделе, уравнение
0аФ = О D.1)
имеет условия интегрируемости
V = rep* = 0. D.2)
Поскольку это соображение не использует формулы для связ-
связности Фмьс и для обратного репера с векторным индексом Еам,
оно должно выполняться при любых заменах этих величин. Это
подтверждается уравнениями C.7), дающими законы преобра-
преобразования Гарс и Гар* при действии супергруппы Вейля и пока-
показывающими, что преобразования компонент кручения этого
вида являются просто масштабными преобразованиями и не
имеют вкладов от \аы и faB-
Так как связи второго типа D.2) независимы от суперполей
(Фмьс, Еам), которые определяются связями первого типа, то
порядок, в котором накладываются связи первого и второго
типов, несуществен. Именно эта независимость от порядка, в ко-
котором накладываются связи двух типов, позволяет сделать чет-
четкое различие между связями, сохраняющими вид представле-
представления, и стандартными связями.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением киральной
части общего скалярного суперполя. Важно также обеспечить
сохранение вида других представлений ортосимплектической
группы OSP A,4). В работе [14] показано, что проекторы для
разложения суперполя с лоренцевым индексом (р, q) записы-
записываются в виде
где m — обратный радиус антидеситтеровского пространства,
являющегося пространственным сечением суперпространства по-
постоянной кривизны, на котором определены суперполя. С по-
помощью двух проекторов D.3) можно написать определяющие
дифференциальные условия для разложения суперполя с ло-
лоренцевым индексом (p,q). Эти условия имеют следующий вид:
линейное
{SDaSf - 2 A + q) m) Ф(р' ч) = 0, D.4а)

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 179
киральное
{0а0а + 2mq} Ф(р> ч) = 0. D.46)
Если суперполе не имеет индексов без точки, то условия D.46)
эквивалентны следующим:
Киральное скалярное представление — частный случай этого.
Для суперполей, содержащих индексы с точкой, два условия
D.4а, 6) эквивалентны соответственно условиям
.)-0- D-66)
Напомним, что свободные индексы данного типа (с точкой или
без точки) должны быть полностью симметричны в неприво-
неприводимом представлении.
Рассмотрим теперь локальные аналоги глобальных ортосимп-
лектических представлений. Нетрудно проверить, что опера-
операторы
A + 2?) Я/3
удовлетворяют условиям идемпотентности и ортогональности,
необходимым для проекторов; здесь
вообще говоря, не равен нулю. Для проверки того, что опера-
операторы D.7) являются проекторами, необходимо использовать
уравнения
DaR = 0, D.9)
являющиеся следствиями принятых нами связей первого и вто-
второго типов, получающимися при применении тождеств Бьянки
в суперпрбстранстве. Доказательства уравнений D.9) и D.10)
приведены в приложении. Таким образом, для данных внешних
лоренцевых индексов типа (р, q) две компоненты суперполя
ф(р, </) определены следующими условиями:
линейным
{| }(р.,)==0, D.11а)
тральным
{а }«/>==О. D.Ц6)

180 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
Как и в глобальном случае, в применении к суперполю, не
имеющему индексов без точки, условие D.116) эквивалентно
следующему:
2>А»...>=°- D-12)
В применении к суперполю, имеющему индексы с точкой, усло-
условия D.11а), D.116) эквивалентны условиям
...,= 0- D-13а)
> = °- D.136)
Можно проверить, что требование сохранения вида этих выс-
высших представлений не накладывает новых связей. Уже приня-
принятые связи первого и второго типов достаточны для того, чтобы
вывести все условия интегрируемости для уравнений D.11),
D.12), D.13) путем соответствующего использования тождеств
Бьянки.
Здесь следует сделать замечание относительно причины, по
которой при обсуждении сохранения вида представлений можно
не ссылаться на связи первого типа. Причина эта состоит в
том, что дифференциальные условия второго порядка и линей-
линейные дифференциальные условия на суперполя с индексами со-
содержат связность Фавс- Эта связность фиксируется выбором
связей первого типа. Конечно, может быть сделан другой вы-
выбор стандартных связей с соответствующим изменением опре-
определяющих условий для высших представлений. Тогда эти опре-
определяющие условия будут содержать дополнительные члены, та-
такие, как Та$у, исчезающие в пределе глобальной симметрии.
Этого нужно ожидать, поскольку переопределение полей для
связности, соответствующей другому набору связей первого
типа, требует именно таких членов. Связи первого типа, приня-
принятые в разд. 1, отличаются тем, что определяющие условия для
высших представлений имеют в точности такую же форму, как
и в пределе глобальной симметрии OSP( 1,4).
5. Выбор калибровки по супергруппе Вейля
В предыдущих разделах мы видели, каким образом сохра-
сохранение вида представлений глобальной суперсимметрии под дей-
действием локальной группы приводит к связям второго типа; в то
же время связи первого типа суть алгебраические условия, ко-
которые могут быть разрешены относительно связности и репера
и делают теорию теорией второго порядка. Мы заметили также,
что связи первого и второго типов имеют очень большую группу
симметрии — супергруппу Вейля.
Полный набор связей, рассмотренный в разд. 1, кроме свя-
связей первого и второго типов содержит дополнительные связи.

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей *°*
Эти дополнительные связи могут быть выбраны двумя различ-
различными способами и приводят соответственно к двум различным
наборам вспомогательных полей. В данном разделе мы вклю-
включим эти последние связи в общую картину, развитую в преды-
предыдущих двух разделах.
Отправной точкой может служить тот факт, что связи треть-
третьего типа не инвариантны относительно супергруппы Вейля. Из
работы [8] и уравнений C.7) получаем
ЬТа = bTj = LTa - 2Фа B1 + Г). E-1)
. E.2)
Мы знаем (уравнение D.9)), что суперполе R кирально, по-
поэтому вариация R должна иметь форму кирального проектора
D.7), действующего на некоторое суперполе. Вариация R, зада-
задаваемая уравнением E.2), имеет как раз требуемую форму. Та-
Таким образом, преобразование R зависит только от киральной
части параметра супергруппы Вейля.
В противоположность этому неоднородная часть преобразо-
преобразования Та (см, E.1)) в явном виде содержит ковариантную про-
производную £Da, поэтому она вообще не зависит от киральной
части супервейлевского калибровочного параметра. Другими
словами, неоднородная часть преобразования Та зависит только
от линейной части супервейлевского параметра.
Эти замечания наводят на мысль, что связи третьего типа
B.5а), B.56) соответствуют двум частным выборам калибровки
по супергруппе Вейля, основанным на разбиении комплексного
общего скалярного параметра на неприводимые части. Оба этих
пути ковариантны относительно суперсимметрии Пуанкаре. На
первый взгляд, однако, при такой интерпретации имеется сле-
следующая очевидная трудность. Связь Та = 0 имеет две компо-
компоненты, тогда как связи B.56) — только одну (например, при
п = —1 R = 0). Это затруднение устранимо, поскольку можно
доказать, пользуясь связями только первого и второго типов,
что из тождеств Бьянки следует
0аГр + 0рГа = О. E.3)
Отсюда
Гр = 0р7\ E.4)
где Т—некоторое комплексное скалярное суперполе, киральная
часть которого несущественна. При внимательном изучении E.2)
мы видим, что вариация Т имеет следующий вид:
6Г = — 2 BL + L*) + произвольная киральная часть. E.5)
Используя линейную часть —2BL + L*), можно выбрать ка-
калибровку, в которой Та = 0. Таким образом, связь B.5а) может

182 С. До/сейме Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
быть рассмотрена как частичная фиксация супервейлевской ка-
калибровки, несмотря на то что она имеет две компоненты.
Следствием фиксации только частичной супервейлевской ка-
калибровки, заданной связью B.5а), является то, что связи пер-
первого и второго типов вместе со связями B.5а) остаются инва-
инвариантными относительно подгруппы супергруппы Вейля, пара-
параметром которой служит киральная часть —2BL + L*), которую
мы обозначим 2* (iZ)a2* = 0). Точное выражение для 2* может
быть записано с помощью кирального проектора Р+<°-°> (урав-
(уравнение D.7)). Преобразование обратного репера относительно
остающейся группы инвариантности имеет вид
6Еам = LEaM = - B2* - 2) Еам, E.6)
где для остающейся группы требуется, чтобы 2* = —2BL +
-J- L*) было киральным. Читатель узнает в E.6) преобразова-
преобразование, принадлежащее суперконформной группе Хоу и Так-
кера [7].
Из вида преобразования суперполя R E.2) ясно, что связь
R = 0 дополнительна по отношению к связи Та = 0 в том смыс-
смысле, что она фиксирует киральную часть супергруппы Вейля.
В дальнейшем мы сначала обсудим этот представитель (п =
= —1) класса связей B.56), после чего вернемся к общему
классу. Киральная часть суперполевого параметра L может
быть использована для того, чтобы найти калибровку, в кото-
которой R равно нулю. Тогда остающаяся группа инвариантности
связей первых двух типов совместно с R = 0 есть версия супер-
суперконформной инвариантности в суперпространстве, параметром
которой является S, линейная часть L, т. е.
0a0aS = O. E.7)
Уравнение E.7) — подходящее условие для того, чтобы сде-
сделать 5 линейным, так как теперь R = 0. Обратный репер пре-
преобразуется следующим образом:
6EaM = SEaM. E.8)
Преобразование E.8) принадлежит суперконформной группе
Зигеля [8].
До сих пор мы рассматривали связь A.56) только для част-
частного значения п = —1. Для понимания происхождения членов
<ЮаТа и ТаТа для других значений п полезно ввести понятие су-
супервейлевской ковариантности. Если мы имеем некоторое поле
материи с супервейлевским законом преобразования
6Ф = Ч21 + Г)Ф, E.9)
где X — некоторое число, то можно поставить вопрос: возможно
ли построение супервейлевской ковариантной производной для
Ф? Возвращаясь к закону преобразования для Та E.1), мы ви-

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 183
дим, что он преобразуется в точности таким способом, что мож-
можно построить связность для поля Ф, преобразующегося по E.9),
так что выражение
E.10)
супервейлевски ковариантно.
Закон преобразования E.9) не является наиболее общим
среди допускаемых супергруппой Вейля. В общем случае отно-
отношение L к L* может быть произвольным в соответствии с от-
отсутствием связи между дилатационным и киральным весами.
К сожалению, не имеется простой алгебраической функции кру-
кручения и кривизны, которая могла бы быть использована как
связность для комбинаций киральных и дилатационных преоб-
преобразований, независимо от данной в уравнении E.9). Несмотря
на это, в теории существуют объекты, которые, хотя и не яв-
являются связностями, но преобразуются через независимые ком-
комбинации L и L*. Например, вариация R E.2) содержит только
параметр L. Один из способов рассмотрения таких вопросов
включает решение кинематических связей и построение неза-
независимой связности с использованием комплексного скалярного
поля if [4,8], которое фигурирует в решении. С другой сто-
стороны, можно с самого начала ввести независимые суперполе-
вые связности для дилатаций и киральных суперпреобразова-
суперпреобразований Вейля, а затем приступить к нахождению связей первого
и второго типов для этого более широкого набора. Это будет
сделано в отдельной публикации [15]. Возвращаясь к полям,
преобразующимся по E.9), мы находим, что определение ки-
рального поля, ковариантное относительно супергруппы Вейля,
записывается теперь в виде
0аФ = О. E.11)
Здесь не появляются новые условия интегрируемости, хотя
кроме обычной ковариантнои производной имеется еще член Та.
Это обусловлено тем, что ®аТ$-\- £>$Та = 0 как следствие свя-
связей первых двух типов и тождеств Бьянки, что уже было отме-
отмечено E.3). Это обстоятельство следует сравнить с сохранением
вида неприводимых представлений с внешними лоренцевыми
индексами, обсуждавшимся в разд. 4; там требуемые условия
интегрируемости также вытекали из связей первого и второго
типов и тождеств Бьянки.
Очень важный результат для настоящей работы состоит в
том, что только из связей первого и второго типов следует урав-
уравнение
ЗД = 0, E.12)
которое уже выписывалось выше в D.9) (доказательство при-
приведено в приложении). Однако с точки зрения этого раздела

184 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К- Весу
не очевидно, что уравнение E.12) супервейлевски ковариантно;
на самом деле оно ковариантно, поскольку может быть выве-
выведено из супервейлевски ковариантных связей первого и второго
типов. С точки зрения явной супервейлевской ковариантности
на равных правах с E.12) можно использовать уравнения вида
@a + ^a)Q = O, E.13)
где Q есть сумма R и поправочных членов:
Q = jR+ £(<£)%+&%). E.14)
Ясно, что вместо R = 0 может быть наложена более общая
связь
Q = 0 E.15)
с соответствующим различием в форме остающейся суперкон-
суперконформной инвариантности. Используя отождествление, употреб-
употреблявшееся в разд. 1:
(Я + 1) ,- , .
£ = - C„+1) - EЛ6)
мы восстанавливаем общую форму связи B.56) и суперкон-
суперконформные преобразования, рассмотренные в работе [8].
В статьях [11, 23] обсуждаются суперконформные преобра-
преобразования в шестимерном пространстве-времени и их отношение
к супергравитационным связям.
6. Заключение
Хотелось бы надеяться, что данный нами вывод связей для
М = 1-супергравитации вскрывает общие алгебраические черты,
характерные для всех теорий супергравитации. Основываясь на
результатах настоящей работы, мы считаем, что для получения
связей в теории расширенной супергравитации может быть пред-
предложена следующая программа:
1. Выбор стандартных связей, с помощью которых можно
выразить возможно большее число компонент связностей и ре-
реперов.
2. Нахождение условий интегрируемости, необходимых для
сохранения общей структуры представлений плоской суперсим-
суперсимметрии.
3. Частичное закрепление калибровки на супергруппе Вейля,
которое должно быть ковариантно относительно лежащей в ос-
основе суперсимметрии Пуанкаре. При этом нужно принимать во
внимание приводимость параметров супергруппы Вейля.
Уже сейчас можно наметить некоторые черты, характерные
для теорий расширенной супергравитации. Мы вновь подчерки-

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 185
ваем важность рассмотрения представлений плоской симметрии.
В случае расширенных суперсимметрий необходимо включить
центральные заряды. Это легко видеть при применении нашего
метода вывода связей к случаю расширенной N = 2-суперсим-
метричной теории Янга — Миллса, для которой связи впервые
были получены в работе [16]. Наименьший мультиплет N = 2-
суперсимметрии — скалярный гипермультиплет [17], который
обладает центральным зарядом [18] и, более того, вообще не
существует, если отсутствует центральный заряд [19]. Он опи-
описывается суперполем Ф, (х^, 9а/, 9uft), которое является изоспи-
нором относительно SU B), лоренцевым скаляром и удовлетво-
удовлетворяет дифференциальным условиям [19]
^Фу + ^в/Ф/^О F.1а)
Д>«Ф,+ £>*/!>,= О, F.16)
где
с учетом того, что
Для описания N — 2-суперсимметричной теории Янга —
Миллса мы распространяем обычные суперсимметричные кова-
риантные производные и делаем их ковариантными в смысле
теорий Янга — Миллса1):
F-2)
где А теперь пробегает 4 бозевских и 8 фермиевских значений,
а Ав принимает значения в алгебре Ли. Однако при наличии
калибровочного поля Ав следует соответственно видоизменить
определяющие условия F.1). В калибровочной теории условия
интегрируемости могут быть получены следующим образом.
Применим еще одну ковариантную производную £Ь$к к янг-
миллсовской ковариантной версии F.1а), симметризуем по
(а, р) и затем возьмем циклическую сумму по (£, /, k). Поскольку
Ф; — произвольные функции, нетрудно видеть, что возникающее
уравнение может быть удовлетворено только в том случае, когда
напряженности поля подчиняются соотношению
Аналогично, применяя $)%,*. к янг-миллсовской версии F.16)
и затем производя в точности такую же симметризацию, полу-
получаем
^0. F.36)
') На необходимость сделать ковариантными определяющие условия не-
неприводимых представлений было указано в работе [20].

186 С До/сейме Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
Применяя далее iZty* к янг-миллсовской версии F.1а) и gbak
к янг-миллсовской версии F.16) (переставляя аир), склады-
складывая и, наконец, циклически суммируя по (i,j,k), находим
^/ + ^=0> F-Зв)
где
Найденные три условия F.3) являются связями, сохраняющими
вид представления для N = 2-суперсимметричной теории Янга —
Миллса. Интересно отметить, что в этом случае одна из связей,
сохраняющих вид представления (б.Зв), содержит одновременно
лоренцевы индексы с точкой и без точки. В JV= 1-теории соот-
соответствующие связи со смешанными индексами стандартны. Но
в данном случае векторная компонента калибровочного поля Аа
содержится только в следе по (/, /) от FK,. Таким образом,
стандартные связи для N = 2-суперсимметричной теории Янга —
Миллса записываются в виде
Связи F.3) и F.4) вместе образуют набор связей для N =
= 2-суперсимметричной теории Янга — Миллса, полученный
впервые в работе [16]. Следует отметить, что в нашем вы-
выводе существенным было рассмотрение в качестве основного
представления N = 2-представление с ' центральным за-
зарядом.
В настоящее время мы обобщаем выводы, приведенные здесь
для связей в N = 1-супергравитации ив^= 2-суперсимметрич-
2-суперсимметричной теории Янга — Миллса, на недавно полученные [21] связи
в N = 2-супергравитации. Результаты будут представлены в от-
отдельной публикации.
Мы весьма признательны Ренате Каллош и Мартину Рочеку за
содействие, оказанное в ходе многих обсуждений во время вы-
выполнения этой работы. Последние два автора хотят выразить
благодарность фонду Наффилда и профессору Стивену Хокингу
из Кембриджского университета за поддержку и гостеприимство
во время Наффилдовского рабочего совещания по квантовой
гравитации в июле и августе 1979 г. Мы все рады выразить бла-
благодарность организаторам рабочего совещания по суперграви-
супергравитации в Стони Брук, где докладывалась данная работа, и про-
профессорам Ч. Н. Янгу и Питеру ван Нивенхийзену за гостеприим-
гостеприимство в Стони Брук.

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей ^
Приложение
Мы хотим показать с помощью тождеств Бьянки, что из связей
первого и второго типов, приведенных в разд. 2, следуют соот-
соотношения
RQ ^ (e8 l 88) ^
Доказательство проводится аналогично данному в работе [22].
Список связей имеет следующий вид:
т y — Т v Т У — Т с Т с —
1 о? 1 о$ ' о? 1 op -1 аЬ
= TJ - 2/ (a')aj> = ГаЬс (а»«) ,4 = 0. (П.2)
Перепишем последнюю связь в виде
гарЛ + тт\ = о. (п.з)
где
М(°С\г 01.4)
Для полноты напомним тождество Бьянки
Z Wbcd + Rabcd + TABpTFCD} = 0. (П.5)
В С
Z
А, В, С
циклическая сумма
с учетом четности
индексов
Рассмотрим теперь отдельные компоненты тождеств Бьянки
при условии, что выполнена связь (П.2). Взяв
можно доказать, что
0- (П-6)
Из уравнений (П.З) и (П.6) следует
где
Ч = Т Vv6.
Свертывая уравнение (П.7), получаем связь между 5а и Таьь:
Ta^Tj = Sa. (US)
Поскольку мы хотим найти соотношения, включающие p
мы рассматриваем два тождества Бьянки, содержащие части
этого тензора. Тождество Бьянки с

188 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
дает уравнение
*«»* = 2/7^ + 2/7^, (П.9)
где
С другой стороны, рассматривая тождество Бьянки с
А=*а, В = а, С = р, D = b,
получаем
где
Используя тот факт, что Ra$ca принимает значения в алгебре
Ли, мы можем вывести соотношение
Запишем теперь Г^б^ в виде
Тогда из уравнения (П.8) следует
^ = 0- *«*» — 4fftfir (П-12)
Взяв часть уравнения (П. 10), симметричную по б и х, и ис-
используя уравнение (П.11), получаем
гбх=о. ^-«г^. щ. 13)
Уравнения (П. 12) и (П.13) дают
Далее, остающаяся часть уравнения (П.10) дает уравнения
й5а5р + ^5а = 0, (П. 16)
^артб == "б" (е<*уерв + eaeepY) /?, (П. 17)
2Я = 24Л1 + Зй5р5р +15р5р. (П. 18)
Из уравнений (П.15) и (П.8) следует
а = 0. (П. 19)

9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 189
Тождество Бьянки с
дает
Применяя iZ)p к уравнению (П.20) и используя уравнение
(П.18), получаем
Применение ЯЬа дает
что и завершает вывод всех требовавшихся результатов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stelle К. S., West P. С, Phys. Lett., 74B, 330 A978);
Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333, A978).
2. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 76B, 404 A978);
Stelle K. S., West P. C, Phys. Lett, 77B, 376 A978);
Stelle K. S., West P. C, Nucl. Phys., B145, 175 A978).
3. Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 361 A977); Phys. Lett., 74B, 51
A978);
Brink L, Gell-Mann M., Ramond P., Schwarz H. H., Phys. Lett., 74 B, 336
A978);
Bedding S. P., Downes-Martin S., Taylor J. G., Ann. Phys. (N. Y.), 175
A979).
4. Siegel W., Gates S. J., Nucl. Phys., В149, 77 A979).
5. Ogivetskii V., Sokatchev E., Phys. Lett., 79 B, 222 A978);
The Simplest Group of Einstein Supergravity, Dubna preprint, 1979;
The Gravitational Axial Superfield and the Formalism of Differential Geo-
Geometry, Dubna preprints, 1979.
6. Ogievetsky V., Sokatchev E., Nucl. Phys., B124, 309 A977);
Siegel W., Harvard preprints HUTR-77/A668, November 1977 and HUTP-
77/A080, December 1977.
7. Howe P. S., Tucker R. W., Phys. Lett., 80B, 138 A978).
8. Siegel W., Phys. Lett., B80, 224 A979).
9. Breitenlohner P., Phys. Lett., 67B, 49 A977); Nucl. Phys., B124, 500
A977);
de Wit В., Grisaru M. Т., Phys. Lett., 74B, 57 A978).
10. Gates S. J., Stelle K. S., West P. С in: Proceedings of the Stony Brook
Supergravity Workshop Set. 27—28, 1979; North Holland (to be published).
11. Gates S. J., Siegel W., Understanding Constraints in Superspace Formula-
Formulations of Supergravity, Harvard preprint HUTP-79/A034, June 1979.
12. ArnowittR., Nath P., Phys. Lett., 56B, 117 A975).
13. Brink L, Gell-Mann M., Ramond P., Schwarz J., Nucl. Phys., B145, 93
A978).
14. Ivanov E. A., Sorin A. S., Superfield Approach to anti de Sitter Suppersym-
metry; OSP A, 4)-Superfields in Chiral Representation, Dubna preprints.
1979.
15. Stelle K. S., West P. С (in preparation).
16. Grimm R., Sohnius M., Wess J., Nucl. Phys., B133, 275 A978).

190 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
17. Fayet P., Nucl. Phys., ВИЗ, 135 A976).
18. Ferrara S., Scherk Л, Zumino В., Nucl. Phys., B121, 393 A977).
19. Sohnius M., Nucl. Phys., B13, 109 A978).
20. Gates S. J., Shapiro J. A., Phys. Rev., D18, 2768 A978).
21. Wess J. in: Proceedings of the Stony Brook Supergravity Workshop, Sept.
.27—28, 1979, North-Holland (to be published);
Breitenhohner P., Sohnius M., Superfields, Auxiliary Fields and Tensor Cal-
Calculus for N = 2 Extended Supergravity, Max Planck Institute preprint MPI-
PAE/PTh, 43/79.
22. Grimm R., Wess J., Zumino В., A Complete Solution of the Bianchi identi-
identities in Superspace, CERN preprint, October 1978;
Brown M., Gates S. J., Superspace Geometry and N = 1 Nonminimal Super-
gravity, M. of I. preprint CTP-811, September 1979.
23. Gates S. J., Superconformal Transformations and Six-Dimensional Space-
time, Harvard preprint HUTP/79/A030 (to appear in Nucl. Phys. B).

10. Супергравитация
и великое объединение1)
Б. Зумино
В. Zumino2). — in: Superspace and Supergravity, eds
S. W. Hawking and M. Rocek, Cambridge Univ. Press, 1981.
Кратко описаны калибровочные теории великого
объединения. Обсуждаются возможные пути обобще-
обобщения этих теорий с включением гравитации, основан-
основанные иа идее суперсимметрии.
Теории великого объединения
Низкоэнергетические взаимодействия элементарных частиц
успешно описываются в настоящее время так называемой рас-
расширенной моделью Глэшоу — Вейнберга — Салама (или стан-
стандартной моделью). Она представляет собой перенормируемую
калибровочную теорию, основанную на группе
SUC)eXSUB)LXU(l). A)
Поскольку группа A) является произведением трех простых
групп, в теории имеются три калибровочные константы связи.
Эти константы меняются с энергией в соответствии с уравне-
уравнениями ренормгруппы и становятся приблизительно равными при
энергиях порядка 1014—1015 ГэВ. Поэтому можно предполо-
предположить, что в этой области имеет место теория великого объеди-
объединения (ТВО), основанная на калибровочной группе с единствен-
единственной константой связи и содержащая низкоэнергетическую
группу A).
Как показали Джорджи и Глэшоу [1], минимальной ТВО
соответствует группа SUE). К этому заключению они пришли
следующим образом. Группа A) имеет ранг 4, поэтому группа
ТВО должна иметь по крайней мере ранг 4. В группе A) 15 ле-
левосторонних состояний, образующие семейство (или поколение),
находятся в комплексном представлении; естественно предпо-
предположить, что они будут также в комплексном представлении
группы ТВО, что исключает группы без комплексных пред-
представлений. Наконец, Джорджи и Глэшоу наложили условие
') Лекция, прочитанная в Наффилдской школе па супергравитации, Кем-
Кембридж, Англия, июнь — июль 1980 г.
2) CERN, Geneva, Switzerland.
© Cambridge University Press
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983

192 Б. Зумино
сокращения аномалий, которое необходимо для перенормируе-
перенормируемости калибровочной теории. Эти требования привели их к группе
ТВО SUE), в которой 15 левосторонних состояний семейства
находятся в приводимом представлении 5 + Ю A0 соответствует
антисимметричному тензору с двумя индексами). Большинство
предложенных в настоящее время ТВО основано на группах,
содержащих SUE) (по-видимому, разумны лишь такиегруппы).
В больших группах (типа 50A0) или Е6) все фермионы семей-
семейства можно поместить в одно неприводимое представление, од-
однако симметрия этих, групп относительно замены левого на пра-
правое затрудняет понимание безмассовости нейтрино (если послед-
последние таковы). Еще большие группы позволяют объединить в од-
одном неприводимом представлении различные семейства.
В ТВО имеется ряд феноменологических достижений, кото-
которые в значительной степени не зависят от частного вида вы-
выбранной группы ТВО. Предположения о едином масштабе уни-
унификации для трех низкоэнергетических калибровочных групп
и об отсутствии существенно новой физики ниже этого мас-
масштаба фиксируют следующее значение угла Вейнберга, пара-
параметризующего константы нейтральных токов [2—4]:
sin2 9^ = 0,206 ±0,006. B)
Это значение согласуется со значениями, полученными из ана-
анализа современных экспериментальных данных. Кроме того, ми-
минимальная ТВО связывает массы кварков и лептонов при энер-
энергии 1015 ГэВ. Расчет эффектов нарушения симметрии приводит,
например, к согласующемуся с экспериментами значению отно-
отношения [3—5J
тъ/тх « 3. C)
По-видимому, можно понять и другие менее успешные массовые
формулы. В скором будущем предстоит решающая проверка по
крайней мере минимальной ТВО, предсказывающей распад про-
протона со временем жизни
тр « 1030±2 лет. D)
Но существующие модели великого объединения имеют и
ряд недостатков, указывающих на явную неполноту этих моде-
моделей. В них содержится слишком много свободных параметров
(^.20); не фиксируются большинство масс фермионов и углов
смешивания, а также константы связи и даже состав полей
в хиггсовском секторе. Таким образом, несмотря на наличие
единственной калибровочной константы связи, ТВО не являются
действительно едиными. Кроме того, в них существует известная
проблема «иерархий» [6], которая состоит в огромной разнице
(на 12 порядков) между масштабами начального нарушения
ТВО -* SU C)с X SU B)i X U A) (б)

O. Супергравитация и великое объединение 193
и окончательного нарушения
SUB)LXUA)-+U(l)9a,v F)
Это требует подгонки параметров хиггсовского потенциала в
каждом порядке теории возмущений. Наконец, самый очевид-
очевидный дефект великого объединения состоит в пренебрежении гра-
гравитацией, которая, как мы знаем, должна становиться важной
при энергиях пгр « 1019 ГэВ, что не намного больше масштаба
великого объединения 10й— 1015 ГэВ.
Естественный путь объединения гравитации с полями мень-
меньших спинов предлагается супергравитацией [7—16]. Она яв-
является суперсимметричным расширением эйнштейновской грави-
гравитации. При разработке этой привлекательной идеи возникает
следующая трудность. Максимальная теория супергравитации
(т. е. максимальная теория, в супермультиплет которой входят
спины не выше 2)— это N = 8-теория (здесь N — число супер-
симметрий), которая имеет группу внутренней симметрии 50(8).
Группа 50(8) слишком мала, она не содержит низкоэнергети-
низкоэнергетическую группу A), а фундаментальный супермультиплет N =
= 8-теории (содержащий один спин 2, восемь спинов 3/2, 28 век-
векторов, 56 спиноров и 70 скаляров) недостаточно велик, чтобы
включать все известные кварки, лептоны и калибровочные поля
спина 1 [17].
В принципе есть несколько возможных путей обойти эту
трудность. Первый из них основан на том, что группа 50(8)
может содержать SUC)C>(UA)ЭЛ.Ы, которые, по современным
представлениям, являются точными калибровочными симмет-
рнями природы. Добавочная группа SUB)L могла бы возникать
чисто динамическим образом, а промежуточные бозоны слабых
взаимодействий могли бы быть связанными состояниями фунда-
фундаментальных полей (в отличие от элементарных полей фотона
и глюонов). Для этого необходимо, чтобы 28 векторов фунда-
фундаментального супермультиплета были калибровочными векто«
рами 50(8). Примечательно, что во всех теориях супергравита-
супергравитации имеется в точности нужное число векторов и притом в нуж-
нужном представлении, чтобы они стали калибровочными полями
S0(N). Для N^4 оказалось возможным ввести для вектор-
векторных полей калибровочную константу связи g [18—20]. Вслед-
Вследствие суперсимметрии она сопровождается возникновением
массы ~gl-& у полей спина 3/2 и космологического члена
~ {g/w?J. Локализацию SO(N) можно, по-видимому, осущест-
осуществить и для N = 8-теории, однако результирующая космологи-
космологическая постоянная непомерно велика, если g порядка единицы.
Тем не менее не исключено, что этот нежелательный космологи-
космологический член сокращается с космологическим членом, генерируе-
генерируемым спонтанным нарушением суперсимметрии [21]. Или же, как
полагает Хокинг, очень большая космологическая постоянная

194 Б. Зумино
может приводить к пенистой структуре пространства-вре-
пространства-времени. На расстояниях больше планковской длины пенистая
структура была бы ненаблюдаемой и пространство-время вы-
выглядело бы приблизительно плоским. В то же время внутренняя
симметрия 50(8) была бы замаскированной и могла бы возник-
возникнуть более широкая приближенная эффективная симметрия.
Как ни интересна эта точка зрения, трудно увидеть путь ее
осуществления. В дальнейшем мы будем полагать, что различ-
различные вклады в космологическую постоянную сокращаются и она
равна нулю.
Более обещающий в настоящее время подход основан на
следующем наблюдении. N = 8-супергравитация (без калибро-
калибровочной константы связи g) инвариантна не только относительно
S0(8), но также относительно глобальной SU(8) (являющейся
группой автоморфизмов алгебры суперсимметрии) и даже отно-
относительно глобальной £V(+7)> причем Е7{+7) =э SU(8)zd 50(8).
Аналогичная ситуация была замечена ранее в N = 2, 3-теориях
[10,11] и в Аг = 4-теории [22]. Комплексные преобразования
SU(8) реализуются как киральные преобразования на спино-
спинорах и как преобразования дуальности на полях спина 1 (кото-
(которые преобразуют электрические напряженности в магнитные
и наоборот). Преобразования (некомпактной) группы Е7, не
содержащиеся в ее (максимальной компактной) подгруппе
SU(8), реализуются нелинейно, причем 70 скалярных полей
теории играют роль, аналогичную роли пиона в нелинейной
динамике пионов.
Креммер и Жулиа [23,24] сформулировали эту ситуацию
аналогично известным рассуждениям в СР"-1 -модели [25—27].
К 70 физическим скалярным полям они добавили 63 новых ска-
скаляра. Теория становится инвариантной относительно локальной
группы SU(8) (которая может быть использована для закреп-
закрепления введенных скалярных степеней свободы) и глобальной
некомпактной группы Е7. Обозначим через X1 63 генератора
SU(8) и через Ya 70 дополнительных некомпактных генерато-
генераторов Е7. Тогда 63 скаляра щ и 70 скаляров Ьа можно объединить
в групповой элемент Е7:
Д'' + 6аП G)
(подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).
Глобальная Е7 реализуется на скалярах с помощью группового
умножения справа, а локальная SU(8) — групповым умноже-
умножением слева. Ясно, что локальным SU(8) -преобразованием мож-
можно привести G) к виду с 70 скалярами:
П (8)
(симметричная калибровка). Если теперь подействовать на (8)
^-преобразованием справа, то форма (8), вообще говоря, не

10. Супергравитация и великое объединение 195
сохранится, но ее можно восстановить, действуя слева локаль-
локальным SU(8) -преобразованием с параметрами — функциями ска-
скаляров Ъа- Поэтому результирующее преобразование на Ьа нели-
нелинейно, а на остальных полях фундаментального супермульти-
плета оно реализуется линейно по этим полям, но с парамет-
параметрами, зависящими от Ьа. Преобразования глобальной SU(8),
содержащейся в Е7, реализуются на полях линейно. Симметрич-
Симметричная калибровка, в которой имеются только физические поля,
удобна для описания физического спектра теории, однако об-
общая формулировка обладает большей гибкостью и более по-
полезна в лагранжевом подходе. По аналогии с ^"-•-моделью
Креммер и Жулиа ввели нераспространяющиеся калибровочные
векторы SU(8), чтобы сделать лагранжиан явно инвариантным
относительно локальной группы SU(8). Эти векторы не имеют
кинетических членов, уравнения движения для них чисто алгеб-
алгебраические, что позволяет выразить их через остальные поля.
Подставляя эти выражения в лагранжиан, мы получим теорию
без калибровочных векторов с (неявной) SU(8) -калибровочной
инвариантностью. Однако, как ясно из приведенного обсужде-
обсуждения, эта калибровочная инвариантность искусственна: она обу-
обусловлена введением 63 чисто калибровочных скалярных степе-
степеней свободы щ. С другой стороны, глобальные инвариантности
SU(8) и Е7 являются истинными симметриями уравнений дви-
движения.
Аналогия с СР"-1 -моделью была развита Креммером и Жу-
Жулиа еще дальше. В этой модели в двумерном пространстве-вре-
пространстве-времени показывается с помощью 1/п-разложения, что нераспро-
страняющееся U(l)-калибровочное поле становится динамиче-
динамическим, а его пропагатор получает полюс в k2 = 0. Креммер и
Жулиа предположили, что такое же явление может происхо-
происходить и с SU(8)-калибровочными полями. Иными словами, фун-
фундаментальные поля теории, функциями которых являются ка-
калибровочные векторы, связываются в частицы нулевой массы.
Естественно предположить [28—30], что поля фундаменталь-
фундаментального супермультиплета N = 8-супергравитации, связываясь, об-
образуют другой безмассовый супер мультиплет, содержащий поля
со спином 1 в присоединенном представлении SU(8). Точно так
же как группа SU(8) достаточно велика, чтобы включить в себя
группу великого объединения, супер мультиплет связанных со-
состояний достаточно велик, чтобы содержать все известные
кварки, лептоны, векторы и скаляры.. Таким образом, все поля,
рассматриваемые в настоящее время как элементарные, сле-
следует считать составными (ранняя попытка в этом направлении
сделана в работе [31]).
В двумерной СР"-'-модели в l/n-разложении происходит и
другое интересное явление. Векторное поле U(l), приобретя по-
полюс в к2 = 0, действует как связующая и запирающая сила

196 Б. Зумино
между фундаментальными скалярами модели. В результате
спектр состоит из связанных состояний этих скаляров и обла-
обладает SU(n)^симметрией [32], хотя фундаментальные скаляры
принимают значения только в пространстве смежных классов
CPn~l =SU (n)/S [U(l)XU(n- 1)]. (9)
В N = 8-супергравитации фундаментальные скаляры прини-
принимают значения в 70-мерном пространстве смежных классов
E7/SU(8). A0)
По аналогии можно ожидать, что связанные состояния обра-
образуют одно (или несколько) представлений Еу. Так как эта груп-
группа некомпактна, ее унитарные представления бесконечномерны,
и следует ожидать, что связанные состояния образуют беско-
бесконечный супермультиплет с произвольно высокими спинами. За-
Заметим, что Е7 нелинейно реализуется на конечном супермуль-
типлете фундаментальных полей. Мы предполагаем здесь, что
на связанных состояниях она реализуется линейным образом
(эта возможность возникла в обсуждениях с У. Бардиным и
Э. Рабиновичем).
Можно вообразить себе следующую картину. При энергиях,
сравнимых с планковскои массой тр (или больших), точны
суперсимметрия и локальная внутренняя группа SU(8) (а так-
также, возможно, Е7). Динамика определяется гравитационной по-
постоянной х ~ 1/т.р. При уменьшении энергий до массы вели-
великого объединения нарушаются все суперсимметрии, a SU(8) на-
нарушается до группы великого объединения, скажем SUE). Это
спонтанное нарушение симметрии характеризуется вакуумным
средним <^> некоторого скалярного поля. При энергиях по-
порядка массы великого объединения взаимодействия определяют-
определяются безразмерной константой связи g ~ и<^>, играющей роль
калибровочной константы связи ТВО. Сама ТВО возникает как
«низкоэнергетическая» эффективная теория, полученная из тео-
теории, явно инвариантной при энергиях порядка планковскои мас-
массы. Тот факт, что эта калибровочная ТВО перенормируема,
можно, по-видимому, понять с помощью «теоремы об отщепле-
отщеплении нулевых масс».
Эта теорема утверждает, что если в данной теории поля
имеется большая масса (для определенности, скажем, тР) и
если часть полей или состояний остается безмассовой в пределе
тр ->оо, то эти состояния отщепляются в пределе от остальных
состоянии, а их эффективные взаимодействия перенормируемы
(с точностью до неперенормируемых взаимодействий, обратно
пропорциональных некоторой степени тР). Теорема об отщеп-
отщеплении нулевых масс отвечает физической интуиции, она может
быть доказана в предположении, что исходная теория является
хорошо определенной перенормируемой теорией (например, ка-

10. С упер гравитация и великое объединение 197
либровочной теорией) и состояния с нулевой массой соответ-
соответствуют некоторым полям исходной теории. По-видимому, эту
теорему можно доказать также для связанных состояний с ну-
нулевой массой. Действительно, если бы их взаимодействия были
перенормируемыми, то при вычислении вершинных функций
возникали бы расходимости, единственным обрезанием которых
может быть обратный размер связанных состояний, который,
как мы ожидаем, равен тр. Это привело бы либо к массам по-
порядка тр, либо к нарушению теории возмущений для связан-
связанных состояний (этот аргумент мы заимствовали у М. Велтмана).
Мы хотим применить теорему к случаю, когда исходной теорией
является N = 8-супергравитация, а состояния с нулевой массой
составлены из фундаментальных полей (надо признаться, это
смелая экстраполяция). Следствие теоремы об отщеплении ну-
нулевых масс состоит в том, что состояния с нулевой массой не
могут иметь спин выше 1, так как иначе их взаимодействия
были бы неперенормируемыми. По той же причине поля со спи-
спином 1 должны быть калибровочными, а поля со спином 1/2
должны образовывать набор, свободный от аномалий; скаляр-
скалярные поля могут оставаться в любом количестве. Все поля или
состояния, не принадлежащие этому подмножеству с перенор-
перенормируемыми взаимодействиями, должны исчезать в пределе
тР-*- оо, получая очень большие массы (или, возможно, пере-
переставая взаимодействовать).
Составной супермультиплет
В каком супермультиплете содержатся SU(8) -калибровоч-
-калибровочные поля? Согласно Креммеру и Жулиа, эти составные поля
выражаются через билинейные и высшие комбинации фунда-
фундаментальных скаляров. В симметричной калибровке, где все фун-
фундаментальные поля являются физическими, выражения для со-
составных полей совпадают (с точностью до высших нелинейно-
стей) с сохраняющимися токами глобальной SU(8) -симметрии
уравнений движения, или, точнее, с той частью этих токов, ко-
которая содержит скалярные поля. Несмотря на различия в высших
нелинейных членах, можно вообразить себе, что эти составные
операторы будут описывать векторные связанные состояния.
В таком случае мы хотели бы найти супермультиплет, со-
содержащий токи глобальной SU(8). Отметим, что SU (8) -токи,
входящие в состав какого-либо супермультиплета, должны со-
содержать вклады от всех фундаментальных полей со спинами до
3/2 включительно (спин 2 является 5£/(8)-синглетом). По-
Поскольку фундаментальные поля со спином 1 преобразуются от-
относительно SU(8), в частности, с помощью дуальных враще-
вращений, то генераторы SU(8) не могут быть получены как интег-
интегралы от временных компонент каких-либо локальных токов;

198 Б. Зумино
то же самое верно для генераторов 50(8) подгруппы: эта не-
нелокальность является следствием нулевой массы фундаменталь-
фундаментальных векторных полей.
Чтобы найти супермультиплет, включающий SU (8) -токи,
рассмотрим сначала суперсимметричные теории с меньшими N.
Для безмассовой суперсимметричной системы с N ^ 4 и макси-
максимальным спином 1 все токи локальны и входят в состав супер-
супертокового мультиплета [33,34], содержащего также тензор энер-
энергии-импульса и N спин-векторных токов. Если поля этой
системы удовлетворяют уравнениям движения, то суперток обра-
образует массивный супермультиплет суперсимметрии с N ^ 4 спи-
норными зарядами, максимальный спин которого равен 2 и яв-
является синглетом, а состояния с меньшими спинами классифи-
классифицируются по представлениям группы SpBn). При устремлении
массы к нулю супермультиплет распадается на несколько без-
безмассовых супермультиплетов, в которых различные спираль-
ности классифицируются по представлениям SU(N). He пред-
представляет труда определить, какой из этих безмассовых супер-
супермультиплетов содержит SU(8) -токи в присоединенном пред-
представлении. Он имеет вид, приведенный ниже в A1), A2). Про-
Проведенное рассуждение обоснованно для N ^ 4; можно предпо-
предположить, что искомый мультиплет имеет тот же самый вид и для
N = 8.
Следуя этой длинной (и не слишком убедительной) цепочке
аргументов, Эллис, Гайяр, Майани и автор [28] пришли к вы-
выводу, что подходящий супермультиплет состояний задается сле-
следующим образом (А, В, ...= 1,2 8):
C/2)*, A)V A/2)V,, (O)A(bcd) (- 5/2)*; A1)
к этим состояниям следует добавить СРГ-сопряженные состоя-
состояния
E/2)л, B)АВ, C/2)л 1ВС], ■ ■ -., (- 3/2)л A2)
(набор k антисимметризованных нижних индексов эквивалентен
8 — k антисимметризованным верхним индексам). Этот супер-
супермультиплет включает состояния со спином 1 как в присоединен-
присоединенном, так и в других представлениях. Содержащиеся в A2) пред-
представления SU(8) приведены в табл. 1.
В идеальном случае все нежелательные состояния (т. е. не
принадлежащие к подмножеству состояний с нулевой массой
и перенормируемыми эффективными взаимодействиями) должны
были бы получить массы с помощью суперсимметричного обоб-
обобщения эффекта Хиггса. Легко видеть, однако, что это нельзя
сделать ни SUE)-инвариантным способом, ни даже 5f/C)X
X SUB)X ^A) -инвариантным способом. Например, массивный
спин 5/2 содержит спиральности 5/2, 3/2, 1/2, —1/2, —3/2,
—5/2, которые должны принадлежать одному представлению

10. Супергравитация и великое объединение 199
Таблица 1
Спиральные состояния составного мультиплета SU(8)
калибровочных векторов
Спиральиость
SI/(8)
Содержание
-3/2
100
-1
1
63
-1/2
8
216
0
28
420
+ 1/2
56
504
+i
70
378
+3/2
56
Тб8
+2
28
36
+5/2
8
группы симметрии. Ясно, что супермультиплет A1), A2) не со-
содержит всех необходимых спиральностей. Легко убедиться, что
для этой цели не подходит ни один из неприводимых супермуль-
типлетов и, вероятно, никакое конечное множество супермуль-
типлетов. Это еще одно указание на возможную необходимость
бесконечного набора состояний. Причина состоит, конечно, в на-
нашем желании остаться с комплексными (киральными) безмас-
безмассовыми представлениями. Вообще же очень легко построить ко-
конечные наборы безмассовых мультиплетов, которые объединяют-
объединяются в. массивные мультиплеты вектороподобным образом; надо
просто начать с супермультиплета с конечной массой и перейти
к пределу нулевой массы, в котором он распадается на искомые
безмассовые супер мультиплеты.
Как уже отмечалось выше, может потребоваться бесконеч-
бесконечный набор неприводимых супермультиплетов. Это означало бы,
что в динамику при энергиях порядка планковской массы во-
вовлечены состояния с произвольно большими спинами, большая
часть которых после спонтанного нарушения симметрии приоб-
приобретает бесконечную массу в пределе m?~ <?>-> оо. Те же со-
состояния с высокими (>1) спинами, которые, подобно грави-
гравитону, останутся безмассовыми, будут иметь неперенормируемые
взаимодействия, пропорциональные обратным степеням т?. Схо-
Схожая ситуация имеет место в дуальных моделях, интерпретируе-
интерпретируемых как теории гравитации [35], в которых наклон траекторий
связан с планковской массой. В пределе тр-> оо наклон траек-
траекторий стремится к нулю, состояния с нулевой массой отщеп-
отщепляются от массивных и их результирующие взаимодействия
имеют вид перенормируемого янг-миллсовского и неперенорми-
руемого гравитационного взаимодействий.
Пытаясь извлечь как можно больше свойств ТВО из дина-
динамики при энергиях порядка планковской массы и не зная на
самом деле ни этой динамики, ни, по-видимому, бесконечного
мультиплета, Эллис, Гайяр и автор [30] предположили, что все
выживающие низкоэнергетические состояния уже содержатся
в единственном супермультиплете A1), A2). Далее мы искали

200 Б. Зумино
максимальный набор состояний со спинами 0, 1/2 и 1, содер-
содержащийся в этом супермультиплете, который может иметь пере-
нормируемые взаимодействия, отбрасывая, однако, те представ-
представления SU(8), которые получаются суммированием верхних и
нижних индексов в A1), A2) (следы). С помощью этих (при-
(признаться, весьма решительных) упрощений, мы нашли, что пред-
предпочтительно нарушение SU(8) до SUE) (чем до SUF) или
SUG)). Для максимального набора левосторонних состояний
мы нашли два решения, из которых лишь одно вектороподобно
для 5f/C)eX ^A)эл. м- Это решение имеет три поколения в
представлении 5+10 группы SUE), что находится в соответ-
соответствии с современными экспериментальными данными (если су-
существует ^-кварк).
Чтобы прийти к этим утверждениям, мы заметим сначала,
что 63 состояния со спином 1 из табл. 1 можно идентифициро-
идентифицировать с SU(8) -калибровочными бозонами. Бесследовые левосто-
левосторонние мультиплеты со спином 1/2 разлагаются по отношению
к SU E) XS£/C) следующим образом:
216 = A0, 3) + E, 3) + D5, 1) + A, 3) + E, 1) +
+ A,6)+ B4,3)+ E, 8),
504 = D5, 3) + D0, 3) + B4, 1) + A5, 1) + A0, 1) +
+ A0, 8) + (ГО, 6) + A0, 3) + E, 3) + E, 3).
Два первых члена являются очевидными кандидатами на роль
трех поколений легких фермионов. Скалярный 420-плет разла-
разлагается соответственно на
420 = B4, 3) + E, 3) + E, 6) + D5, 3) + D0, 1) + A6, 3) +
+ E, 1) -h A0, 1) +A0, 8)+ A,3).
Мы наблюдаем здесь появление трех скалярных 5£/E)-сингле-
тов. Если один из них получит ненулевое вакуумное среднее, то
это нарушит SU(8) до SUE). (В аналогичной редукции SU(8)
до SUG) или SU F) синглеты отсутствуют.)
Из анализа SU(N) -аномалий мы знаем следующее. Эффек-
Эффективная SU(8)-калибровочная теория не может быть сделана
свободной от аномалий. Подтеории, основанные на SUG) или
SUF) и свободные от аномалий, не могут быть сделаны век-
тороподобными относительно 5f/C)cX £/A)Эл,м, если они не
являются полностью вектороподобными. С другой стороны,
имеется набор фермионов, содержащийся в B16)i + E04)L, ко-
который не имеет SU E) -аномалий, кирален и вектороподобен от-
относительно SUC)c X ^A)эл. м:
D5 + 45)t + 4B4^ + 9 A0 + 10)£.+ 3E+ 5)L _
+ 3E+10)z.. A5)

10. Супергравитация и великое объединение 201
Этот выбор максимален в том смысле, что он содержит наи-
наибольшее число спиральностей без аномалий, которое можно
найти в B16)L + E04)L. (Имеется и другое подмножество с
тем же числом состояний, исключаемое по феноменологическим
соображениям, так как оно не вектороподобно относительно
SUC)C.) Заметим, что A5) содержит в точности три семейства
в представлении E -f-10) i, что является минимальным числом,
согласующимся с наблюдениями, и предпочтительным числом
для удовлетворительного вычисления массы й-кварка. Оста-
Остаток A5) вектороподобен относительно SUE) и может полу-
получить SU E) -инвариантную (дираковскую или майороновскую)
массу порядка пгР. (Содержание A5) слишком велико, чтобы
соответствовать какой-либо из вектороподобных свободных от
аномалий SUF)- или 5£/G)-подтеорий SU(8) -теории.)
Независимо от наличия этого частного набора состояний
можно поставить вопрос о том, какими методами можно полу-
получить больше информации о ТВО. В нашей картине динамика
при энергиях порядка планковской массы вовлекает высшие
спины. По-видимому, не существует непротиворечивого класси-
классического локального лагранжиана, описывающего взаимодей-
взаимодействия полей с высшими спинами. Единственный существующий
метод описания таких взаимодействий состоит в использовании
амплитуд рассеяния на массовой оболочке E-матрицы). Не-
Нетрудно найти ограничения, накладываемые суперсимметрией на
эти амплитуды [36,27], и кажется возможным сформулировать
процесс спонтанного нарушения. На этом пути в принципе мож-
можно получить не только групповую структуру ТВО, но также де-
детали взаимодействия, хиггсовский потенциал и связь Юкавы.
Возможно, этот подход прольет свет на упомянутую выше про-
проблему иерархий.
Если принять точку зрения, согласно которой высшие спины
участвуют в динамике при планковских энергиях, то может по-
показаться естественным ослабление известного условия на число
суперсимметрий N ^ 8 и допущение в фундаментальном супер-
мультиплете спинов больше 2. Наша точка зрения, состоящая
в том, что локальные лагранжианы являются низкоэнергети-
низкоэнергетическими приближениями теории, формулируемой в терминах
амплитуд на массовой оболочке, по-видимому, дает нам эту
свободу. Тем не менее имеются определенные преимущества
в сохранении N = 8-супергравитации—теории, замечатель-
замечательной своими симметриями и ренормализационными свой-
свойствами.
Резюмируя, мы выдвинули предположения, с помощью кото-
которых можно было бы перебросить мостик между супергравита-
супергравитацией и теориями великого объединения. Впереди еще много ра-
работы, но ситуация не выглядит безнадежной.

202 5. Зумино
Данная статья основана на работе, выполненной совместно
с Дж. Эллисом, М. Гайяром и Л. Майани.
ЛИТЕРАТУРА
1. Georgi H., Glashow S. L, Phys. Rev. Lett., 32, 438 A974).
2. Georgi H., Quinn H. R., Welnberg S., Phys. Rev. Lett., 33, 451 A974).
3. Chanowitz M. S., Ellis J., Gaillard M, K., Nucl. Phys., В128, 506 A977).
4. Buras A, J. et al., Nucl. Phys., B135, 66 A978).
5. Nanopoulos D. V., Ross D. A., Nucl. Phys., B157, 273 A979).
6. Gildener £., Phys. Rev., D14, 1667 A976).
7. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
A976).
8. Deser S., Zumino В., Phys. Lett., 62B, 335 A976).
9. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1669 A976).
10. Ferrara S., Scherk J., Zumino В., Phys. Lett., 66B, 35 A977).
11. Ferrara S., Scherk J., Zumino В., Nucl. Phys., B121, 393 A977).
12. Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 A977).
13. Das A., Phys. Rev., D15, 2805 A977).
14. Gremmer E., Scherk J., Ferrara S., Phys. Lett., 68B, 234 A977).
15. Cremmer E., Scherk J., Nucl. Phys., B127, 259 A977).
16. de Wit В., Freedman D. Z., Nucl. Phys., B130, 105 A977).
17. Gell-Mann M., Talk at the Washington Meeting of the American Physical
Society, 1977.
18. Freedman D. Z., Das A., Nucl. Phys., B120, 221 A977).
19. Freedman D. Z., Schwarz J. H., Nucl. Phys., В137, 333 A978).
20. Cremmer E., Scherk J. (unpublished).
21. Deser S., Zumino В., Phys. Rev. Lett., 38, 1433 A977).
22. Cremmer E., Scherk J., Ferrara S., Phys. Lett., 74 B, 61 A978).
23. Cremmer E., Julia В., Phys. Lett., 80B, 48 A978).
24. Cremmer E., Julia В., Nucl. Phys., В159, 41 A979).
25. d'Adda A., Di Vecchia P., Luscher M., Nucl. Phys., B146, 63 A978).
26. d'Adda A., Di Vecchia P., Luscher M., Nucl. Phys., В152, 125 A979).
27. Witten £., Nucl. Phys., B149, 285 A979).
28. Ellis J. et al. — in: Proceedings of the Europhysics Study Conf. on Unifica-
Unification of Fundamental Interactions, Erice, 1980.
29. Ellis J., in: Proceedings of the First Workshop on Grand Unification, Dur-
Durham, New Hampshire, 1980.
30. Ellis J., Gaillard M. K., Zumino В., Phys. Lett, 94 B, 343 A980).
31. Curtright T. L., Freund P. G. O., in: Supergravity, ed. P. van Nieuwenhuizen
and D. Z. Freedman, North-Holland, Amsterdam, p. 197, 1980.
32. Haber H. E., Hinchliffe /., Rabinovici E., Berkeley preprint LBL-10519, 1980.
33. Ferrara S., Zumino В., Nucl. Phys., B87, 207 A975).
34. Sohnius M. F., Phys. Lett., 81B, 8 A979).
35. Scherk J., Schwarz J. H., Nucl. Phys., B81, 118 A974).
36. Grisaru M. Т., van Nieuwenhuizen P., Pendleton H. N., Phys. Rev., D15,
996 A977).
37. Grisaru M. Т., Pendleton H. N,, Nucl. Phys., B124, 81 A977),

П. Расширенная суперсимметрия
и теории расширенной супергравитации
Дж. Шерк
J. Scherk !) — in: Recent Developments in Gravitation, eds.
M. Levy and S. Deser, Plenum Publ. Corp., 1979
А. Введение
Известно, что квантовая теория гравитации, взаимодействую-
взаимодействующей с полями материи (будь то скалярные, спинорные или век-
векторные поля), неперенормируема уже на однопетлевом уровне
[1]. Подобная ситуация существовала в V — Л-теории слабых
взаимодействий до появления калибровочных теорий. V — Л-тео-
рия прекрасно работала в древесном приближении, но ввиду
размерности константы связи (GF = 1,01 • 10~5 ГэВ~2) приво-
приводила к расходящимся и неперенормируемым результатам уже
в одной петле. Точно так же гравитация хорошо описывается
классической общей теорией относительности, в то время как
квантовая теория ведет к расходимостям (за исключением од-
одной петли для чистой гравитации) [1]. Аналогия с V — Л-тео-
рией слабых взаимодействий усиливается еще больше, если за-
заметить, что константа связи гравитации тоже размерна
(х ~ Gn'1' = 0,8-10~19 ГэВ-1). Возможно, что трудности кванто-
квантовой гравитации связаны с подходом к ней по теории возмуще-
возмущений. Другой возможный выход состоит в поиске альтернативных
теорий гравитации, свободных от расходимостей.
Наиболее умеренными модификациями гравитации, подаю-
подающими надежды, являются теории расширенной супергравитации
[2—10], в которых гравитон входит в состав конечного супер-
мультиплета полей. Этот подход позволяет воплотить в жизнь
эйнштейновскую мечту об объединении гравитационного поля
с калибровочными, а также со спинорными и скалярными по-
полями. Кроме того, в нем необходимы новые, пока еще не наблю-
наблюдавшиеся частицы со спином 3/2 (гравитино), которые суще-
существенны для сокращения расходимостей и возможной перенор-
перенормируемости. Свойства расширенных супергравитаций значительно
улучшены по сравнению с обычной квантовой гравитацией,
взаимодействующей с материальными полями. Так, вклады
одно- и двухпетлевых диаграмм конечны [11]; впрочем, нали-
наличие возможных контрчленов [12] для трех и большего числа
') Laboratoire de Physique Theorique de l'Ecole Normale Superieure, Pa-
Paris, France.
© Plenum Press
Перевод на русский язык, «Мир», 1983

204 ДЖ. Шерк
петель заставляет сомневаться в конечности этих моделей во
всех порядках.
Если же теории расширенной супергравитации не приведут
нас к перенормируемому варианту квантовой гравитации, то
более радикальным изменением могла бы стать модификация
эйнштейновской теории на малых расстояниях путем введения
фундаментальной длины. Единственным примером такой тео-
теории, не нарушающим фундаментальных принципов типа отсут-
отсутствия духов (частиц с отрицательной нормой вероятности) или
тахионов (частиц с мнимыми массами), является модель спино-
спиновой струны [13, 14]. В ней гравитон входит в бесконечный муль-
типлет частиц с растущими массами и спинами. Эта модель не
противоречит расширенным супергравитациям, так как она
плавно переходит в последние в пределе нулевой фундаменталь-
фундаментальной длины [15,16].
Полезный метод конструирования теорий с расширенной су-
суперсимметрией (т. е. теорий с несколькими спинорными заря-
зарядами) состоит в размерной редукции теорий с простой супер-
суперсимметрией (один спинорный заряд) в пространстве-времени
большего числа измерений (с дополнительными координатами
бозонного типа) [16,17]. Этот метод и его применение к супер-
суперсимметрии и супергравитации рассматриваются в первом раз-
разделе. Следующий раздел посвящен теориям расширенной супер-
супергравитации в 4 измерениях, а именно их классификации, про-
проблеме выбора полевого представления состояний на массовой
оболочке, их построению, алгебраическим свойствам и, в част-
частности, забавному антигравитационному эффекту, наблюдаемому
в О B)-теории с массивным скалярным ОB)-мультиплетом
[18, 19], общей форме уравнений движения для фермионов, су-
существованию глобальной U(N) -инвариантности в теории O(N)-
супергравитации [18, 6], локализации О (N) -симметрии. Нако-
Наконец, в последнем разделе мы кратко рассмотрим струнную мо-
модель гравитации.
Б. Расширенная суперсимметрия
и размерная редукция
а. Общие сведения
Рассмотрим D + N) -мерное пространство-время Минков-
ского с одним временным и 3-{-N пространственными измере-
измерениями и метрикой /nnv = diag(rj ... —). Рассмотрим далее
пуанкаре-инвариантную теорию в этом пространстве-времени,
например скалярную Я<£4-теорию
4} (б.п

11. Расширенная суперсимметрия 205
Чтобы сделать такую теорию осмысленной по крайней мере
на классическом уровне, мы можем выбрать в качестве N до-
дополнительных пространственных измерений окружности с дли-
длинами L\ LN [20]. Это предположение эквивалентно перио-
периодическим граничным условиям для поля <j>:
£Л = *[*з+*]. (Б.2)
Теперь мы можем разложить ф в ряд Фурье:
Ф (v W = 77—W £ *"!> МехР (
где коэффициенты ф^п^х^) суть поля, зависящие только от
первых четырех координат и удовлетворяющие условию веще-
вещественности Ф\-пд=Ф{п1}- Интегрируя в (Б.1) по дополнитель-
дополнительным координатам *з+» от 0 до Li, мы приходим к следующему
результату:
где
И
" п2
2 2 2Y (Б.5)
Таким образом, эта теория в частично компактифицирован-
компактифицированном пространстве-времени содержит бесконечную последова-
последовательность частиц с возрастающими массами. В теории имеется
N сохраняющихся абелевых зарядов, принимающих целочислен-
целочисленные значения; масса частиц как функция этих значений дается
формулой (Б.5). В случае N = 2, j,i0 = 0 такая формула была
получена для частиц и солитонов суперсимметричной калибро-
калибровочной теории [21—24]. Это наводит на мысль, что электриче-
электрический и магнитный заряды можно рассматривать как квантован-
квантованные пятую и шестую компоненты импульса в полной аналогии с
исходной идеей Калузы и Клейна [25] для электрического за-
заряда.
Размерная редукция состоит в устремлении Li к нулю при
фиксированном %. При этом только одно поле ^-{о}=-^

206 Дж. Шерк
сохраняет конечную массу, так что мы получаем обычную
Я<£4-теорию в четырех измерениях:
l^} (Б.6)
В данном случае редуцированная теория не сохраняет ника-
никаких следов своего происхождения. Фактически ее можно было
бы получить, прямо полагая, что поле <£ [Яц, Яз+г] не зависит от
дополнительных координат, т. е.
Менее тривиальный пример получится, если начать с дей-
действия для максвелловского поля в 4 + N измерениях:
T$V (Б.7)
где
/7ов = Мр-ЗэЛв- (Б-8)
Перешагивая через промежуточный этап компактификации,
мы сразу положим, что поле Аа не зависит от л:3+', и опустим
интегрирование по х3+!. Но теперь поле Аа расщепляется на
вектор Аи и N скаляров: Аа = (Ац, фи • • ■. фы)- Действие реду-
редуцированной теории имеет вид
\ VxFFw + $ *4* Е W^ (Б.9)
В этом примере результирующая теория «помнит» сигнатуру
D + N) -мерной метрики: если бы какие-то из дополнительных
измерений были времениподобными, то кинетические члены со-
соответствующих <j>i имели бы неправильный знак. Пуанкаре-инва-
Пуанкаре-инвариантность исходной теории в 4-f JV измерениях нарушилась до
инвариантности относительно произведения группы Пуанкаре
в 4 измерениях и O(N), причем А^ является синглетом O(N),
а ф1 образуют векторное представление O(N). Группа O(N) яв-
является инвариантностью редуцированной теории; компактифи-
компактифицированная теория инвариантна лишь относительно U(l)N.
Группа O(N) возникает в пределе Z^->-0, в котором остаются
только поля, не зависящие от xz+t, обеспечивая тем самым ин-
инвариантность относительно вращений в N дополнительных изме-
измерениях.
Отметим, что, хотя как вектор, так и скаляры безмассовы,
в теории отсутствуют преобразования, перепутывающие эти
поля, поэтому (Б.9) нельзя рассматривать как единую теорию
векторного и скалярных полей. Кроме того, это противоречило
бы теореме Коулмена — Мандулы [26].

/. Расширенная суперсимметрия 207
Действительно, нетривиальные примеры размерной редукции
возникают в тех случаях, когда исходное действие инвариантно
относительно простой суперсимметрии1) в D + N) -мерном
пространстве-времени:
(Qft, Q$} = 2(r\$P,. (Б.10)
Здесь лоренцев индекс v пробегает значения от 0 до 3 + N;
а, р — индексы дираковских матриц, удовлетворяющих D -f N) -
мерной алгебре Клиффорда:
{Гл, Г*}=2л^. (Б. 11)
Неприводимое представление этой алгебры состоит из мат-
матриц размерности 2[°/21, существенно зависящей от размерности
D = 4 -f N исходного пространства-времени (скобками обозна-
обозначена целая часть D/2).
В большинстве теорий размерная редукция приводит к ис-
исчезновению Рг+i в пределе L»->0; было бы интересно найти
примеры, в которых некоторые из Р3+< не исчезают и стано-
становятся центральными зарядами2). Для простоты мы будем пола-
полагать далее, что Р3+г равны нулю.
Представление клиффордовой алгебры всегда можно по-
построить в виде тензорного произведения дираковских матриц
4X4 (yv, у5 или 1) и 2I/v/2l X 2[/v/2]-MaTpmi «внутренней симмет-
симметрии» так, что для ц = 0, 1, 2, 3
Tti = Y|i® 1- (Б.12)
Дираковский индекс а становится парой из обычного дира-
ковского индекса а и индекса внутренней симметрии i. После
размерной редукции мы получаем из (Б.10) алгебру расширен-
расширенной суперсимметрии:
Результирующая редуцированная теория инвариантна отно-
относительно группы O(N) и М суперсимметрий, где М равно 2I/V/21
с точностью до множителя 1/2 (в зависимости от того, какие
условия были наложены на Qft в исходном пространстве-вре-
пространстве-времени). Число М обычно определяют как число майорановских
спиноров Qal (t= 1, .... Af) в 4 измерениях, поэтому для на-
нахождения ранга расширенной суперсимметрии М следует под-
подробно обсудить задачу определения майорановских и вейлев-
вейлевских спиноров B4 + JV измерениях.
') См. обзоры алгебр суперсимметрии [27].
2) Подобные примеры, в которых использовалась размерная редукция
С помощью преобразования Ле^сандра, ев*, в работах [50*]. — Прим. перед,

208 Дж. Шерк
6. Майорановские и вейлевские спиноры в пространстве-
времени произвольного числа измерений
В пространстве-времени четного числа измерений D можно
ввести матрицу Го+1, которая антикоммутирует со всеми ос-
остальными матрицами Дирака Г°, Г1, ..., Г0 и выражается
через них следующим образом: Го+1 = г\Т°Т1 ... Г0-1, где т} вы-
выберем так, чтобы (Го+1J= 1. Тогда г\2 = (—1)<о-2)/2. (В более
общем случае s пространственных и / временных измерений
т]2 = (—l)(s-'>/2.) Левые и правые вейлевские спиноры опреде-
определяются условиями rD+1^L, «•= ±*Pl, r. Эти условия совместны
с уравнением Дирака только при нулевой массе.
Дираковский спинор содержит 2О/2 степеней свободы, а вей-
вейлевский — A/2) -2D'2.
В нечетномерном пространстве-времени вейлевских спиноров
не существует. Положим D = d-\-l, где d четно. Представле-
Представление алгебры Клиффорда в {d-\-\) измерениях получается до-
добавлением к матрицам Дирака в d измерениях Г0,' Г1, . •., Г**-1
матрицы iVd+l.
Майорановские спиноры существуют только в выделенных
пространственно-временных измерениях. Имеет место следую-
следующая теорема [15,28]:
Теорема. Майорановское представление Г-матриц, т. е. пред-
представление с чисто мнимыми Г-матрицами, существует в том и
только том случае, когда число измерений D = 2, 3, 4 по мо-
модулю 8. Для такого числа измерений можно определить как
массивные, так и безмассовые майорановские спиноры, кото-
которые вещественны в майорановском представлении.
Ход доказательства следующий. Так как Г»* и (—]>)* (звез-
(звездочка означает комплексное сопряжение) удовлетворяют одной
и той же алгебре Клиффорда и представление на Г-матрицах
неприводимо, то существует матрица В, которую можно на-
назвать матрицей комплексного сопряжения, такая, что
Матрица В обладает свойствами инволюции, вследствие чего
В и В*-1 пропорциональны друг другу: ВВ* = el. Масштабным
преобразованием В^-ХВ легко получить |е|= 1. Далее можно
показать, что е вещественно и поэтому может принимать толь-
только два значения: +1 или —1. Значение е не зависит от частного
вида выбранного представления Г-матриц.
Если спинор г|) удовлетворяет уравнению Дирака
((idli-eAii)r-m)^ = 0, (Б. 14)
то В~'г|)* подчиняется уравнению Дирака, в котором е заменено
на —е. Таким образом, В-'ф* соответствует античастице час-

11. Расширенная суперсимметрия 209
тицы, описываемой спинором ф. Майорановские спиноры по оп-
определению описывают частицы, совпадающие со своими анти-
античастицами, что подразумевает е = О и ф = В-'ф*. Это условие,
связывающее вещественную и мнимую части ф, может быть на-
наложено лишь в определенных случаях. Действительно, из него
следует
(Б. 15)
С другой стороны, ф* = (В-')*г|) (в результате комплексного
сопряжения г|) = В-'ф*), так что
г|) = В'ВЦ = еф, (Б. 16)
а это возможно лишь для е + 1.
Для е = —1, как это имеет место, например, в случае евкли-
дового 4-мерного пространства-времени, необходимо другое оп-
определение майорановских спиноров [29].
Для вычисления e(D) нам потребуется сигнатура метрики,
имеющая вид -| ... —.
Рассмотрим представление, в котором Г-матрицы (анти)эр-
(анти)эрмитовы:
1у = Г0, Г'Ч- = -Г', (Б. 17)
а следовательно, матрицей эрмитового сопряжения является Г°:
Г^ = Г°ГГ°. (Б. 18)
Теперь мы можем определить матрицу зарядового сопряже-
сопряжения С, которая связывает матрицы ]> и —]>г, подчиняющиеся
одной и той же алгебре:
В = СТ°. (Б. 19)
Тогда — 1>г =*= СГ»С~1, где индекс Т обозначает, транспониро-
транспонирование.
Вычислим A>)г двумя различными способами — как (Г№*)+
и как (Г1*)*:
Отсюда следует, Что В и (В*)-1 пропорциональны друг
другу и ввиду выбранной нормировки матрица В унитарна:
ВВ+ = В+В=1. Поскольку мы знаем, Что ВВ* = el, находим
(Б.20)
так Что матрицы В и С либо симметричны, Либо антисиммет*
ричны. Чтобы найти е, подсчитаем двумя различными спосо*

510 Дж. Шерк
бами число 2О/2 X 2о/2-независимых антисимметричных матриц
(здесь предполагается, что D четно). Очевидно, что оно равно
A/2)-2°/2B°/2—1).
С другой стороны, это число можно найти, введя полный ба-
базис пространства таких матриц, построенный из всех антисим-
метризованных произведений Г-матриц:
Всего имеется CDn независимых матриц Г<п)-типа. Легко пока-
показать, что
СГ(П)С~'=(-1)П(- 1)~^~~Г(П)Г, (Б.22)
т. е. матрица СГ<"> либо симметрична, либо антисимметрична:
')г = е (- 1) ~2 СГ(П). (Б.23)
Число антисимметричных матриц можно сосчитать, введя
функцию, равную единице для антисимметричной и равную
нулю для симметричной матриц:
^-X^Ll-e(-l) * JcD" = |.2D/2BD/2-l). (Б.24)
Суммирование проводится элементарно, если заметить, что
(П-1)(П-2)
(-1) 2 =_![(!+/) /» + A _ /) (_ if]. (Б.25)
Окончательно находим е=— д/2~ cos"r(^"bl)- Таким об-
образом, е = +1 для D = 2, 4(mod8), e = — 1 для D =
= 0, 6 (mod 8). В случаях D = 2, 4 (mod 8) можно, кроме того,
показать, что существует чисто мнимое представление Г-мат-
Г-матриц, для которого 5 = 1, С=Г° и майорановский спинор ве-
веществен.
В случаях D = 0, 6 (mod 8) такого чисто мнимого представ-
представления Г-матриц не существует и майорановские спиноры опре-
определить нельзя (по крайней мере при данном определении майо-
рановских спиноров; возможны более общие случаи, когда
спиноры несут индекс внутренней симметрии и определение
майорановских спиноров учитывает эту внутреннюю симмет-
симметрию) [30].
Перейдем теперь к нечетному числу пространственно-времен-
пространственно-временных измерений D = d-\-\, где d четно. Существуют ли здесь
чисто мнимые представления Г-матриц? В (d-\- 1)-мерии Г-мат-

11. Расширенная суперсимметрия 211
рицы имеют ту же размерность, что и в d-мерии, и задаются
следующим образом:
Г°, Г1, ..., Г", Г0 = /лГ° ... Г".
Здесь в определение Го-1 введена мнимая единица с целью сде-
сделать Г°-' пространственноподобной. Для d = 2, 4(mod8) пер-
первые d матриц могут быть выбраны чисто мнимыми. Матрица
Г° ... Г^-1 вещественна, и если вещественна т^, то существует
майорановское представление Г-матриц в (й + 1)-мерии и
вместе с ним майорановские спиноры. Для этого необходимо
ц2 = (—l)d/2-1=+l; следовательно, d/2 нечетно и D =
= 3(mod8) подходит, в то время как D = 5(mod8) нет.
Наконец, зададимся вопросом: могут ли существовать без-
безмассовые майорана-вейлевские спиноры? Число измерений D
должно быть четным, а условие ф = ф* — совместным с Г^'ф =
= г|), т. е. Го+1 = лГ0 ... Г°~'. должна быть вещественной мат-
матрицей. Отсюда tj2=- + 1, следовательно, D/2 нечетно и D = 2,
6(mod 8). Таким образом майорана-вейлевские спиноры могут
быть определены только в D = 2 (mod 8) измерениях.
Эту теорему можно обобщить на случай t временных и 5
пространственных измерений. Если s -\- t четно, то чисто мни-
мнимое представление Г-матриц и майорановские спиноры сущест-
существуют при 5 —/ = 0, 2 (mod 8).
В безмассовом случае может быть дано более общее опре-
определение майорановских спиноров. Поскольку уравнение Дирака
сводится к гаидцф = 0, где а0 = 1, а1 = Г°Г', {аг, а'}= 28*', то,
найдя вещественное представление а-матриц, мы можем опре-
определить майорановские спиноры как чисто вещественные [31]
(такая ситуация реализуется для D = 6, 8 (mod 8)). В общем
случае безмассовые майорановские спиноры, как можно пока-
показать, эквивалентны вейлевским; единственный интересный слу-
случай (когда спинор может быть и вейлевским, и майорановским)
имеет место для D = 2 (mod 8).
Теперь мы можем определить число М генераторов супер-
суперсимметрии, возникающих при размерной редукции алгебры
простой суперсимметрии в D измерениях до 4 измерений. Гене-
Генератор Qft разлагается на М майорановских спинорных генера-
генераторов Qa', каждый из которых представляет две вещественные
степени свободы. Сам Qft представляет 2D/2r степеней свободы,
где г — коэффициент редукции, учитывающий природу спинор-
ного генератора: г = 1 для дираковских спиноров, г = 1/2 для
майорановских или вейлевских спиноров, г =1/4 для майо-
рана-вейлевских спиноров.
Следовательно, число майорановских спинорных генераторов
алг~ебры расширенной суперсимметрии в 4 измерениях равно
М A/2J1°/Ч

212 Дж. Шерк
Ниже приведены значения М, соответствующие 4 ^ D ^ 12.
Тип ^^^^_^
Дирак
Майорана
Вейль
Майорана —
Вейль
О
4
2
1
1
—
—
5
2
—
—
—
—
б
4
—
2
—
0B)
7
4
—
—
—
0C)
8
8
—
4
—
0D)
9
8
—
—
—
0E)
10
16
8
8
4
0F)
U
16
8
—
—
0G)
12
32
16
16
—
0(8)
В последней строке указана очевидная группа симметрии,
возникающая при размерной редукции. Однако действительная
группа инвариантности редуцированной теории может быть
большей. Так, например, в безмассовых теориях после редукции
может возникать суперконформная группа.
Таким образом, М быстро растет с увеличением D. Как мы
увидим в разд. «в», имеются представления расширенной супер-
суперсимметрии с
'макс =1/2 ДЛЯ М<2,
А«акс = 1 ДЛЯ М < 4,
/макс = 2 ДЛЯ М<8.
Таким образом, мультиплеты с /макс = 1/2 и явным массо-
массовым членом могут быть получены только из D = 4, 5. Мульти-
Мультиплеты с /макс.= 1 (расширенные суперсимметричные теории
Янга — Миллса) могут существовать до D = 10 для майорана-
вейлевских спиноров [32]. Теории супергравитации, в которых
/макс = 2, могут существовать до D = 11 для майорановских
спиноров [32]. При D > 11, по-видимому, нельзя построить су-
суперсимметричные теории со взаимодействием, поскольку уже
при D = 12 мы вынуждены вводить частицы со спином 4.
Это алгебраическое рассмотрение является лишь доводом в
пользу существования упомянутых теорий. Чтобы убедиться в
их существовании, следует их явно построить. Ниже мы приво-
приводим два интересных примера: суперсимметричную теорию
Янга — Миллса в D = 10 измерениях, которая при размерной
редукции соответствует представлению М — 4 суперсимметрии
с ОF)-инвариантностью, и теорию супергравитации в D= 11
измерениях, приводящую к теории супергравитации с М = 8
спинорными генераторами.

//. Расширенная суперсимметрия 213
в. Суперсимметричная теория Янга-Миллса в D = 10
измерениях [16]
Для произвольной компактной калибровочной группы G рас-
рассмотрим в D = 10 измерениях теорию полей Янга—Миллса,
взаимодействующих с майорана-вейлевскими спинорами в при-
присоединенном представлении группы G.
Генераторы Xi калибровочной группы G удовлетворяют
алгебре [Xk, Xi] = ifkimXm, где структурные константы /Wm ве-
вещественны и полностью антисимметричны. Определим матрицы
1-Л-. <Б-26)
Тогда
Действие имеет вид
S = J Л Тг ( -1 G^G^ + ^ ЯГ^^Я) . (Б.27)
Чтобы узнать, может ли такая теория быть инвариантной от-
относительно суперсимметрии, сосчитаем число степеней свободы
для бозонов и фермионов. Поскольку и те и другие находятся
в присоединенном представлении, групповой индекс можно не
принимать во внимание. Каждый векторный бозон на массовой
оболочке является чисто поперечным вследствие калибровочной
инвариантности и безмассовости и, таким образом, описывается
D — 2 = 8 степенями свободы. Каждый майорана-вейлевский
спинор также имеет 2°12-1/4 = 8 степеней свободы, как и долж-
должно быть.
Можно проверить, что действие на самом деле инвариантно
относительно преобразований суперсимметрии
(Б.28)
(Б.29)
где
Доказательство инвариантности действия не очень сложно.
При вариации полей возникают два вида выражений. Во-пер-
Во-первых, это выражения вида Tr(eKDG), возникающие при вариа-
вариации G^G»4 и кинетического члена спинорных полей. Они
взаимно уничтожаются с помощью интегрирования по частям
и использования тождества
^^^Vr*" ,,,Th (Б.ЗО)

214 Дж. Шерк
и тождества Бьянки
с учетом свойства майорановских спиноров еГ^Я = —ЯГре. Вто-
Второй вид выражений кубичен по фермионам; он возникает при
вариации А^ в минимальной связи А^ со спинорами и оказы-
оказывается пропорциональным X = ///йёГцАД/Г^А*. Равенство нулю
последнего выражения можно доказать с помощью преобразо-
преобразования Фирца
х = -$5р /*/*8ГлХД/ГТ^Л», (Б.32)
в котором использована антисимметричность структурных кон-
констант /<;а.. Под Iм понимаются все антисимметризованные про-
произведения Г-матриц, нормированные так, что IV = ±1, а
ТаТа = +1. Поскольку %i являются вейлевскими спинорами од-
одного типа (правыми или левыми), то в (Б.32) дают вклад
лишь Та = Та, Г>р, rVvpaa., ГцурГ11, ГцГ11, причем вклад двух
первых сортов Г-матриц, удваивается за счет двух последних.
Для четных £) Г(*Га1...а0/2Гц —0> так чт0 вклад от ГE> равен
нулю. Наконец, равен нулю также и вклад от ГC), так как
Видно, что выражение Я/ГцуРC)Яг симметрично по /, / и его
свертка с /</ft равна нулю. Окончательный результат преобра-
преобразования Фирца имеет вид X = —1/2Х = 0.
То. же самое действие инвариантно относительно преобразо-
преобразований суперсимметрии для D = 6 и вейлевских спиноров, а так-
также для D = 4 и майорановских или вейлевских спиноров [17].
Теперь легко редуцировать теорию от 10 к 4 измерениям и
получить максимально расширенную суперсимметричную тео-
теорию с /макс < 1 и4 спинорными генераторами. .
Введем 6 вещественных, антисимметричных матриц 4X4,
удовлетворяющих алгебре 5t/B)XSf/B):
(Б<33)
Майорановское представление алгебры Клиффорда в D = 10
измерениях записывается в виде ....
-?.)•
(Б.34)

П. Расширенная суперсимметрия 215
?' о л
О Pi/'
(Р* = Р< за исключением случая j == 3, когда р3 = —рз),
ГМ-Г-...!._!«(• -£').
В этом представлении майорана-вейлевский спинор в 10 изме-
рениях имеет вид ф = I I, где k = 1, 2, 3, 4, а -ф А суть четыре
\P3?ft/
обычных (£> = 4) майорановских спинора.
Опуская всю зависимость от Х3+* и переобозначая Лц = (Лц,
At, В{), i = 1, 2, 3, мы находим среди дополнительных ком-
компонент Лц три скаляра и три псевдоскаляра. Редуцированное
действие bD = 4 имеет вид
ол=\ d л: Гг< —-T-G^G1^ +-K-(I/^i) +
+ 4 (D^!)8 + \ hrD^kk + -f Я* [(о'мЛ; + iY&kiBt), h] +
+ -f ([Л„ Л/]2 + [Bt, В^ + 2 [Л„ В/]2)}. (Б.35)
Эта теория имеет неминимальные связи типа Юкавы и ^4,
пропорциональные gag2 соответственно. Потенциал имеет не-
нетривиальные минимумы, так что симметрия 0F) может быть
спонтанно нарушена, если скалярные поля получают ненуле-
ненулевые вакуумные ожидания. Замечательным свойством этой тео-
теории является равенство нулю функции Гелл-Манна—Лоу в
одно- и двухпетлевом приближениях [ЗЗ]1). Возникает захва-
захватывающее предположение о точной масштабной инвариантности
&той модели.
Помимо суперсимметрии лагранжиан (Б.35) инвариантен
относительно глобальных преобразований группы 0F)i~ SUD):
6Л„ = О,
(Б.Зб)
Где матрицы Ац; А'ц антисимметричны. Подгруппой SVD), ком-
коммутирующей с оператором четности, является просто 0D).
') Как было недавно показано, функция Гелл-Манна — Лоу равна нулю
и в трехпетлевом приближении [51*]. — Прим. перед.

216 Дж. Шерк
Усечением этой теории легко получаются теории для М = 2
и М = 1, обладающие асимптотической свободой.
Модель М = 2, которая может быть также получена из слу-
случая D = 6 [17], представляет особый интерес как суперсиммет-
суперсимметричное расширение модели Джорджи — Глэшоу. Она допускает
классические решения, являющиеся суперсимметричными обоб-
обобщениями магнитного монополя и диона. Квантовые поправки
к массе монополя обращаются в нуль, по-видимому, во всех по-
порядках [23,24].
г. Теория простой супергравитации в D = И измерениях
Как мы видели из алгебраических рассуждений, D = 11 яв-
является предельным числом измерений пространства-времени, для
которого можно построить супергравитации (/макс = 2). Для
явной конструкции [34] нам следует сначала найти поля тео-
теории. Среди них, очевидно, должны быть гравитон, описываемый
репером V,ia(x), и майорановский спин-вектор $ц(х)~. Кроме
того, нужно ввести еще одно поле, что можно увидеть из под-
подсчета степеней свободы, описываемых полями.
Поле Уца вследствие общекоординатной и локальной лорен-
цевой инвариантностей описывает на массовой оболочке попе-
поперечный симметричный бесследовой тензор в D — 2 измерениях.
Поэтому оно представляет 'ДФ— 2) (D — 1)—1=2 степени
свободы в случае D = 4, но 44 степени свободы в случае D = 11.
Поле г|)д в плоском пространстве удовлетворяет обобщенному
уравнению Рариты — Швингера Г^р<Э^р = 0 с калибровочной
инвариантностью фр->-фр + дре. Можно показать, что на массо-
массовой оболочке (р2 = 0) и после выбора калибровки yty = 0 это
уравнение сводится к Рцф1* = 0, /Hln = 0 [16].
Отсюда видно, что по отношению к индексу ц фц ведет себя
как безмассовый вектор А^ и описывает D — 2 степени свободы.
Дираковскому индексу соответствует 2t°/2ir степеней свободы.
Наконец, следует учесть калибровочное условие уф = 0, исклю-
исключающее степени свободы спинора. Поэтому число степеней сво-
свободы, описываемых на массовой оболочке безмассовым полем
Рариты — Швингера, равно
(£>-3J^%. (Б<37)
Для D = 4 и для майорановских или вейлевских спиноров
это число равно 2, так что может существовать (и существует)
представление суперсимметрии на полях ф^, Уц"; это хорошо
известная «обычная» простая теория супергравитации.
Для D = 11 это число равно 128, и, следовательно, необхо*
димы еще 84 бозонные степени свободы. Поскольку мы имеем
дело с безмассовыми частицами, поперечные компоненты полей,
представляющие физические степени свободы, классифицируют*

11. Расширенная суперсимметрия 217
ся по группе O(D — 2)= 0(9) [32]. Эта группа имеет неприво-
неприводимое 84-мерное представление, которому соответствует пол-
полностью антисимметричный тензор Л«/й (г, /, k = 1, ..., 9). Дей-
Действительно, он имеет Сд = 84 степени свободы. Необходимость
этого тензора подсказывается также дуальной спинорной мо-
моделью [34].
Для ковариантного описания мы введем полностью антисим-
антисимметричный безмассовый калибровочный потенциал Ац,чр, анало-
аналогичный вектор-потенциалу А^в электромагнетизме, и потребуем,
чтобы действие было инвариантно относительно аналогичных
абелевых преобразований:
— CjiSvp ~г "vSpn i
(Б.38)
где i,iv(*)=F=—ivn(*) — калибровочный параметр. В кинетиче-
кинетическом члене Ацур появится только в виде 4-формы тензора на-
пряженностей Г^ра = Щ^Аvpa], где квадратные скобки [ ] оз-
означают антисимметризованную сумму по всем перестановкам
индексов, деленную на 4.
Чтобы убедиться в корректности набора полей Vy, фц, Л^р
для простой супергравитации с D = 11 ив том, что, например,
84 скалярных поля вместо А^р непригодны, мы можем редуци-
редуцировать эти поля до D = 4. Известно, что мы должны получить
теорию супергравитации с 8 спинорными генераторами. Набор
состояний М = 8-теории будет построен в следующем разделе.
Ниже приведена множественность спинов 2, 3/2, ..., 0, полу-
полученных при редукции полей У^а, ф^, А^ до D — 4, в сравнении
с составом полей М = 8, D = 4 расширенной супергравитации.
/
2
3/2
1
Vi
0
V а
1
0
7
0
28
■*Vvp
0
0
21
0
35 + 7
%■
0
8
0
56
0
Всего
1
8
28
56
70
М=8
Г
8
28
56
35 + 35
Мы видим, что наборы состояний согласованы. Но при срав
нении двух теорий возникает очевидная проблема: М = 8-тео-
рия, которая была построена по теории возмущений до порядка
х2 включительно, имеет явную О (8) -инвариантность, в то время
как теория, полученная редукцией из £> = 11 до D = 4, имеет

218 Дж. Шерк
лишь явную О G)-инвариантность. Обе теории имеют 8 спинор-*
ных генераторов, так что их существенное различие неправдою
подобно. Чтобы связать эти формулировки, нужно провести до^
вольно сложные переопределения полей1).
Теория строится с помощью обычной нётеровской процедуры,
которая оканчивается в порядке х2 в действии и порядке х в за^
конах преобразований. В формализме второго порядка, в кото-
котором связность (Hfiab явно выражена через V^ и г|)ц, мы получаем
# = - Т5Г « И ~ j
Lp гиур6 ■ 2х си.-.ацЦУРг. F ' А 4-
48 Wp* ' A44J а' •" а« а» ••• а«л^р "Г
(%г1"аР7Ч + maTyV) (F + F) (Б.39)
Преобразования полей имеют вид
ц, (как и в случае £) = 4),
о
vp^l^tevV (Б.40)
где
П Л J_ ' Л rva6,h
^ц = "ц + 7 vai ^H
Величина ©vo& является суперковариантным (т. е. преобра-^
зующимся без членов д&) обобщением связности ю°уа& и имеет
тот же вид, что и в случае D == 4:
Она отличается от значения со, которое получается в форма-
формализме первого порядка независимым варьированием со (и при
замене (ю + со)/2 на со в кинетическом члене поля ■§). Послед-
Последнее равно
«W = *>**> ~ -т-^аГцЛр (Б.42)
и не является суперковариантным объектом. Поэтому форма-
формализм первого порядка малопригоден в этой модели, за исклю-
исключением группировки слагаемых таким образом, чтобы все
х2-члены (четвертого порядка по полям) были спрятаны в со, со
') О(8)-теория была недавно получена размерной редукцией р=П-тео*
-рии супергравитации [49].

П. Расширенная суперсимметрия 219
или Р^а- Последний объект является суперковариантным обоб-
обобщением Fnvpa и задается формулой
^ 3V\pV (Б.43)
Уравнение движения для поля ф в этой теории имеет весьма
простой вид
Г^!>р = 0. (Б.44)
Геометрическая интерпретация А^р как калибровочного поля
этой теории еще не выяснена. В то время как V^" соответствует
локализации сдвигов, а г|)ца— суперпреобразований Qa, чему
соответствует А^р, не известно.
На массовой оболочке алгебра, как обычно, замыкается, да-
давая обще координатные преобразования, калибровочные преоб-
преобразования на ЛцГр и преобразования суперсимметрии, завися-
зависящие от полей. Было бы интересно найти набор вспомогательных
полей, с помощью которых алгебра замыкалась бы без исполь-
использования уравнений движения.
Размерная редукция довольно сложна, и для сравнения ее
результатов с О (8)-теорией нужны переопределения полей [49].
Сравнительно простая ее часть состоит в редукции эйнштейнов-
эйнштейновского действия от 4 + N измерений до 4. При этом полагают,
что метрика gAB не зависит от дополнительных координат л?+/
и параметризуется в виде
(Б.45)
При координатных преобразованиях в (З+t) направлениях с
параметрами, не зависящими от х3+\ А^ преобразуются как N
абелевых векторных полей:
Результат редукции имеет вид
7 Т pSik da8ll> (Б.47)
где матрица glt обратна к git, а 4-мерные индексы поднимаются
и опускаются с помощью метрики g^. Эта часть действия опи-
описывает обычную гравитацию, взаимодействующую с N абеле-
выми векторными полями и N(N-\-l)/2 скалярами. Она имеет
очевидную О(N)-симметрию и в случае gu = 8ij и JV=1 сво-
сводится к обычной формулировке Калузы — Клейна [25] эйнштей-
эйнштейновской гравитации, взаимодействующей с электромагнетизмом.
Обратимся теперь к рассмотрению теорий расширенной су-
суперсимметрии и супергравитации, прямо сформулированных в

220 Дж. Шерк ■
D = 4 измерениях, а не полученных из простых суперсиммет-
суперсимметричных теорий в D + N) измерениях.
В. Расширенная суперсимметрия
и супергравитация в четырех измерениях
а. Представления расширенной суперсимметрии
Построим сначала безмассовые представления алгебры про-
простой суперсимметрии в D = 4 измерениях:
{Qa, Qp} = 2 (YV)ap ^v> (B- О
[Qa. Мцу] = i (ff|iV)ap Qp» (B.2)
где Qa — майорановские генераторы. Мы будем использовать
следующее представление у матриц:
О а'Л . /О
— а1 О
построенное так, что
Y5 =
o -
В этом случае разложение произвольного спинора на лево-
и правосторонние части (точечные и бесточечные индексы) имеет
форму
и алгебра приобретает вид
()
В этом представлении С = /v
удовлетворяет условию
= 0, (В.З)
(В.4)
и майорановский спинор
или
0
0
0 —1
1 0
Это уравнение связывает точечные и бесточечные индексы
0 1 )
-1 0
(В.5)

11. Расширенная суперсимметрия 221
Алгебра может быть записана в окончательном виде
{Qa, Qp} = 0, (В.7)
{Qa, Qp*}=2(<xv)apPv. (B.8)
Отметим, что в (B.8) Qa играют роль операторов уничтожения,
а Qa* — операторов рождения.
В случае нулевой массы можно выбрать систему отсчета, в
которой Рц = A, 0, 0, 1) |Р|, и, поскольку
мы получаем
{Q,,Q/} = 0, (В. 10)
{Q2, ОЛ = {Qi, Q2I = {Q2. ЯП = о, (B.il)
Оператор Q2 рождает состояния с нулевой нормой, и его
не следует учитывать при подсчете физических состояний,
имеющих положительную норму. Поэтому нам нужен один опе-
оператор рождения Q\. В выбранной системе отсчета оператор спи-
ральности равен М\2. Используя соотношение (В.2) и явное
представление ^-матриц, легко получить
[Qi, Mi2] =4 Qi- (в. 13)
Следовательно, Q\ переводит состояние со спиральностью Я,
определяемое уравнением AI12jЯ,> = Я|Я>, в состояние со спи-
спиральностью Я — '/2. Итак, безмассовое неприводимое представ-
представление суперсимметрии содержит два состояния |Ямакс>,
Ql|^MaKc> СО СПИраЛЬНОСТЯМИ Ямакс, Ямакс— 1/2. Чтобы ЭТО Пред-
ставление имело реализацию на полях, необходимо еще доба-
добавить к нему СРГ-сопряженные состояния со спиральностями
—Лмако (Лмакс 1 /^)•
Таким образом мы получаем хорошо известные мультиплеты
N= 1-суперсимметрии
Я, А, В — скалярный мультиплет,
Ар, Я — векторный мультиплет,
Фц. ^ц — мультиплет с высшим спином 3/2,
^и°> 'Фц ~ мультиплет супергравитации.
В случае расширенной суперсимметрии имеется следующая
алгебра, Обозначим через fk генераторы группы внутренней
симметрии Q и введем вместо одного УУ майорановских спиноров,

222 Дж. Шерк
образующих спинорное представление группы G. Алгебра рас-
расширенной суперсимметрии имеет вид
[Qa'.rj^US'W, (В. 14)
Z'' являются центральными зарядами, т. е. они коммутируют со
всеми генераторами алгебры. Для массивных представлений
группа G не фиксирована, однако в безмассовом случае Хааг,
Лопушанский и Сониус [35] показали, что с необходимостью
G = U(N), за исключением случая N = 4, в котором возможно
как И (А), так и SU(A). В безмассовом случае центральные за-
заряды Z'i, имеющие размерность массы, равны нулю, и не со-
составляет труда найти содержание представления расширенной
суперсимметрии ранга N. Каждый из N операторов Qa' (i =
= 1, ..., N) рождает состояния с положительной нормой и
уменьшает спиральность на 1/2, поэтому безмассовый непри-
неприводимый мультиплет содержит спиральности |Я|, |Я|—1/2, ...
..., \X\-N/2.
Итак, мы видим, что мультиплеты полей материи, содержа-
содержащие только спины 0 и 1/2, существуют лишь до N = 2 включи-
включительно. Калибровочные мультиплеты с |Я|Макс=1 существуют
до N =4 включительно, наконец, теории супергравитации
(| X | макс = 2) существуют до N = 8 включительно.
Действуя операторами Qj' на состояние с максимальной спи-
ральностью |ЯМакс>, мы получаем все состояния неприводимого
мультиплета. Так, имеется Сцк состояний вида Q^1 ... Qra* | ЯмаКс)
со спиральностями Ямакс — k/2. Представление является само-
самосопряженным, еСЛИ Ямин = Ямакс—N/2 = —Ямакс, Т. е. Ямакс =
= N/4. Если же оно не самосопряжено, то к нему следует до-
добавить СРТ-сопряженные состояния вида Qi "' ... Qi a*l Ямин).
Рассмотрим для примера суперсимметричные теории Янга —
Миллса:
к
1
1/2
0
-1/2
— 1
1
1
1
1
1
2
1 + 1
2
1
N=*3
1
3+1
3 + 3
1+3
1
ЛГ=4
1
4
6
4
1

11. Расширенная суперсимметрия 223
Отсюда видно, что имеются всего три существенно разных
типа калибровочных теорий, поскольку случаи /V = 3 и N = 4
имеют одно и то же число полей. Все эти теории построены
в явном виде и могут быть получены размерной редукцией из
10- и 6-мерных теорий [16, 17].
Аналогичная таблица для теорий супергравитации (ХюаКй =
= 2) имеет следующий вид:
2
3/2
1
1/2
0
-1/2
-1
-3/2
—2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
3
1
3
3
1
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1 + 1
4
6
4
1
5
1
5
10
10+ 1
5 + 5
1+ 10
10
5
1
6
1
6
15+ 1
20 + 6
15+ 15
6 + 20
1 + 15
6
1
7
1
7+1
21+7
35 + 21
35 + 35
21 +35
7 + 21
1+7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
Итак, имеется 7 существенно разных теорий супергравита-
супергравитации, поскольку состав N = 7- и N = 8-теорий идентичен. Все
эти теории могут быть построены в явно О (N) -инвариантном
виде.
Поля, соответствующие этим состояниям, однозначно фикси-
фиксируются до N = 3 включительно:
УУ = 1 Vnu,. ■фм,
N = 2 V, V. К '=1> 2'
ЛГ = 3 V, V- Л/, ОС, /=1, 2, 3.
При N = 4 возникает некий произвол, связанный с тем, что
0D) = Sf/B)X5t/B). Существуют по крайней мере две
теории.
О D)-теория [5—7] содержит поля VV, ф^, А^> =
= —AyJ1 (i, j = I, ...,4), А (скаляр), В (псевдоскаляр).
Sf/D)-TeopHH [8] содержит поля V^, г|зц,' (t=l, ..., 4),
А^п (п = 1, 2, 3) (векторы), В^п (п = 1, 2, 3) (псевдовекторы),
^ (скаляр), В (псевдоскаляр),

224 Дж. Шерк
В существовании второй теории можно убедиться с помощью
следующей цепочки редукции.
Начнем с простой D = 11-мерной супергравитации (VV, фц,
-<4цл>р)- Редуцируя ее до D = 10, мы получаем расширенную N =
= 2-супергравитацию с полями iy, А^, Ф, Л^р, А^, Фц', ЗС'
(г = 1, 2; грц, х— майорана-вейлевские спиноры). Эту теорию
можно редуцировать до простой (iV=l) супергравитации в
D = 10 измерениях с полями VV", А^, Ф, -ф^., х- Редукция по-
последней теории до D = 4 (аналогичная редукции D = 10-мер-
10-мерной теории Янга — Миллса) привела бы к расширенной SUD)-
супергравитации в 4 измерениях, взаимодействующей с 6 JV^
= 4-векторными мультиплетами указанного выше вида. Эта
теория должна обладать явной S£/D)~ ОF)-инвариантностью.
Обе обсуждаемые теории известны во всех деталях и фак-
фактически эквивалентны [8] до тех пор, пока группа 0D) не ста-
становится локальной. В этом случае они неэквивалентны [36].
Для случая N = 8 простейший набор полей, совместный с
О(8)-инвариантностью, имеет вид [9]
V> V. V1' *[im> A[im]' B[im>
где ;= 1, ..., 8 и скобки означают антисимметризацию по
всем индексам. А я В являются соответственно автодуальными
и антиавтодуальными по индексам внутренней симметрии по-
полями и представляют по 35 степеней свободы каждое. Эта тео-
теория пока известна лишь до порядка х2 включительно, но можно
надеяться на построение точной теории размерной редукцией
D = 11-мерной супер гравитации [49].
При построении этих теорий без применения тензорного ис-
исчисления [37] для JV>2 и суперполевых методов [38] (с по-
помощью которых, однако, удалось воспроизвести случаи УУ = 1,
2, 3), а также теоретико-групповых методов [39] (с их помощью
воспроизведены случаи УУ=1, 2) действие и законы преобра-
преобразования в расширенных супергравитациях были найдены шаг
за шагом по степеням и (к — корень квадратный из ньютонов-
ньютоновской константы):
где 3?о — кинетический член полей теории, ковариантизованный
подходящим образом относительно локальных лоренцевых и об-
общекоординатных преобразований.
Например, для О B)-супергравитации
К) V ~
in, (В. 17)

11. Расширенная суперсимметрия 225
и задача состоит в нахождении SB\, S?2, ... и выражения для
законов преобразования, которые в низшем порядке по х имеют
вид
Waii=-Melya%1, «V=7V+ •••• <ВЛ8>
К счастью, возможный вид неизвестных членов в действии
сильно ограничен соображениями размерности и инвариантности
[40]. Например, векторные поля появляются только в виде F и
Fz, поскольку лагранжиан содержит не более двух производных.
Ферми-поля появляются только в четных степенях, и фактически
необходимы члены не выше четвертой степени. Интересно, что
этот результат справедлив в пространстве-времени любого чис-
числа измерений. В D измерениях % имеет размерность —1/2
(D — 2) (в единицах массы). Поля гравитино имеют размер-
размерность 1/2 (D—1). Рассмотрим рассеяние п гравитино, обме-
обменивающихся в древесном приближении (п— 1) гравитоном, так
что амплитуда рассеяния пропорциональна х2("~1). Вследствие
калибровочной инвариантности S-матрица в древесном прибли-
приближении должна быть инвариантна относительно замены e,i->
-э-ец + арц (здесь г^ — тензор поляризации гравитино; р^ —
импульс гравитино; а — произвольный спинор). Если это не так,
то в действие следует добавить контактный член вида Я2ядр(г|л|з)".
Размерность Х2п равна [Я2П] = D — n(D—1) — р; но, с другой
стороны, %2п должна быть пропорциональна х2'"'. Таким обра-
образом,
или
п = 2 — p. (B.20)
Из этого уравнения выпала размерность пространства-времени,
оно имеет единственное нетривиальное решение р = 0, п = 2.
Итак, члены четвертого порядка допустимы (и возникают) в
действии, в то время как члены вида (фN запрещены. Анало-
Аналогичный анализ' применим к спинорным полям у}, имеющим ту же
размерность, что и -ф, и, следовательно, входящим в лагран-
лагранжиан в степени не выше четвертой. Отсюда следует, что расши-
расширенные супергравитации при N ^3 могут быть построены за
конечное число шагов. С другой стороны, скалярные поля, по-
появляющиеся при N ^ 4, приводят к серьезной трудности, по-
поскольку выражение кА, где А — скалярное поле, безразмерно и,
следовательно, в действии и законах преобразований допустимы
неполиномиальные функции скалярных полей, разлагаемые в
бесконечные ряды по х. Эту трудность можно обойти, вводя
в действие и законы преобразований произвольные функции ска-
скалярных полей. Требование инвариантности действия относительно

226 Дж. Шерк
суперсимметрии приводит к системе дифференциальных урав-
уравнений для этих функций. Такая процедура на практике довольно
трудна, поскольку она включает большое число неизвестных
функций, а выписывание и решение системы уравнений яв-
является довольно громоздкой и сложной задачей. К счастью,
можно найти упрощающие приемы, которые уменьшают число
неизвестных функций.
Таким приемом является, например, сведение к уже извест-
известным теориям. Очевидно, что О (N + 1) -супергравитация содер-
содержит как частный случай О (N) -теорию. Например, 0C) -теория
содержит после самосогласованной редукции (при которой
поля, приравненные нулю, имеют нулевую вариацию) муль-
типлет B, 3/2) простой супергравитации, взаимодействующий
с мультиплетом Максвелла A, 1/2) [41]. Этот факт был ис-
пользован при конструировании 0C)-супергравитации [4]. Ана-
Аналогично 0D)- и 5/7D)-теории содержат как частный случай
простую супергравитацию, взаимодействующую со скалярным
мультиплетом (%, А, В). В простой супергравитации такое взаи-
взаимодействие определяется произвольной функцией [42] G(kA,
y.B), которая фиксируется требованием инвариантности относи-
относительно 0D)- или SU D) -суперсимметрии. Например, в 0D)-
теории [7] мы обнаруживаем, что кинетический член полей А
и В действительно неполиномиален:
1 (д,,АJ + (д,,ВJ
-£ скал 2 у (dzi;
2 у [1 — х2(А2 + В2)]2 ' (.d.zi;
Здесь несколько обескураживает ограничение области опреде-
определения полей А и В: к2(А2 + В2)< 1.
Другие полезные приемы конструирования расширенных су-
супергравитаций рассматриваются в последующих разделах. Это
алгебра расширенной суперсимметрии, простота уравнений дви-
движения для фермионов и глобальная U(N)-инвариантность об-
обсуждаемых теорий.
6. Алгебра расширенной суперсимметрии
Рассмотрим в качестве примера расширенную УУ = 2-супер-
гравитацию [3] с лагранжианом
s=~ i^ VR (<й) ~ т

11. Расширенная суперсимметрия 227
где
А, (А) V = (av + j &vabaab) фр», (В.23)
^ (B.24)
Некоторые члены четвертого порядка в (В.22) исключены пу-
путем использования суперковариантной связности <в, которую
можно также получить в формализме первого порядка:
А afi (у ДУ) _|_ lil C^h 'vtib l
" i i 1 ~ i i\ /D лг\
— Ун VaWb T W YiiVo )■ (d.aO)
Суперпреобразования полей имеют вид
oVм = — осе Y4V (d.2dj
(это соотношение справедливо для всех расширенных супергра-
супергравитаций),
6V = i Л> (А) ег - ^ в'V^Ype', (B.27)
6^A=-8'/eV- (B-28)
Закон преобразования поля ф имеет простую форму благо-
благодаря использованию связности ю и суперковариантного обоб-
обобщения тензора Максвелла
Алгебру суперсимметрии можно изучать, вычисляя комму-
коммутатор двух суперпреобразований [бьбг] с параметрами еь ег.
При этом обнаруживается, что алгебра замыкается точно на
бозонах, в то время как на фермионах—только с помощью
уравнений движения [18, 43]. Это общая черта расширенных
супергравитаций; набор вспомогательных полей, благодаря ко-
которым алгебра точно замыкается, еще предстоит найти1).
В результате коммутации возникают преобразования двух
типов:
1) преобразования, не зависящие от полей; они не исче-
исчезают, даже если поля равны нулю;
2) преобразования, зависящие от полей; они обращаются
в нуль вместе с полями. Этот тип содержит локальные преоб-
преобразования Лоренца, суперсимметрии и калибровочные преобра-
преобразования.
') В настоящее время известны вспомогательные поли для двух вариан-
вариантов N = 2-супергравитацнн [52*].—Прим. перев.

228 Дж. Шерк
Преобразования, не зависящие от полей, весьма просты и
соответствуют структуре алгебры. Они состоят из:
а) общекоординатного преобразования с параметром 1*(х) =
= iez'y^i'; оно имеет универсальный вид для всех N и означает,
что антикоммутатор {Qa'", Q$i} содержит член вида (у^)а0'Рц,
где -Pft — генератор трансляций;
б) калибровочного преобразования Аи(х) с параметром,про-
параметром,пропорциональным A/х)дц(82ге1'")е'Л В случае О(УУ)-теорий (N^
^2) соответствующее преобразование имеет вид 8Au'i ~
— (l/x)<?n.ei[le2/!. Это означает, что N(N—1)/2 калибровочных
полей A^i связаны с N(N—1)/2 операторами центральных за-
зарядов Z'i.
В случае чистой О (N) -супергравитации заряды Z1' равны
нулю, точно так же как равны нулю заряды в чисто калибро-
калибровочной теории. Интересная ситуация возникает при взаимодей-
взаимодействии О (N) -супергравитации с материальным мультиплетом,
имеющим ненулевые центральные заряды. Известны два при-
примера таких мультиплетов, оба из N = 2-суперсимметрии:
векторный калибровочный мультиплет (Л,Д V,- (/ = 1, 2),
Sa, Pa), который имеет ненулевые топологические центральные
заряды для решений типа монополей [24];
скалярный мультиплет (yj,Ai,Bl)(i = \,2) [44], который
имеет ненулевой центральный заряд в массивном случае [18]
(центральные заряды имеют размерность массы). Преобразова-
Преобразования глобальной суперсимметрии на этом мультиплете дают
[б„ 62]4>' = ibabe2ay»elbdlli>i + mea%aelbei/4>1, - (В.ЗО)
где ф{ = х'> -<4' или В'- Первый член соответствует обычному
сдвигу, а второй — О B)-вращению мультиплетов ф1 и f2. Следо-
Следовательно, здесь Z'1 = e'AZ, где Z — оператор электрического за-
заряда, собственными векторами которого являются поля ф1 ±
+ 1ф2 = ф±. Как это ни странно, но этот похожий на электри-
электрический заряд пропорционален массе.
При переходе к искривленному случаю е становится зави-
зависящим от х и скобка [бь бг], вычисленная для действия мате-
материальной системы, приводит к ненулевой вариации, пропорцио-
пропорциональной дивергенции электрического нетеровского тока, Т. е.
пропорциональной me2aeibdlijilN(x) -гаЬ, где
- 'X W1. (В.31)
i (B.32)
Чтобы скомпенсировать этот член, к действию нужно до-
добавить выражение, пропорциональное ктА^н [18] (так как
скобка [61,62] на Аи(х) приводит к калибровочному преобразо-
преобразованию с параметром ~A/х)дйв';"(в2е!)), причем коэффициент
пропорциональности определяется только алгеброй. Полное не-

11. Расширенная суперсимметрия 229
линейное взаимодействие О B)-супергравитации с этим муль-
типлетом было найдено Захосом [19].
Рассмотрим диаграммы одночастичного обмена между час-
частицами материального мультиплета. Вследствие обсуждаемого
взаимодействия частицы обмениваются не только гравитоном,
приводящим в статическом пределе к притягивательной ньюто-
ньютоновской силе к2т2/г2, но также и.безмассовой векторной части-
частицей, приводящей, подобно фотону, к кулоновской силе е^/г2.
В данном случае et ~ ±xm, так что вклады векторного и тен-
тензорного обменов между одинаковыми зарядами взаимно унич-
уничтожаются, а между противоположными складываются. Это пер-
первая модель, в которой антигравитационные эффекты возникают
из чисто алгебраических соображений. Чтобы судить о том,
может ли антигравитация быть обнаружена экспериментально
или она лежит пока в области научной фантастики, необ-
необходимо рассмотреть более реалистические модели с учетом эф-
эффекта Хиггса.
Взаимное уничтожение вкладов от обменов частицами раз-
разных спинов — явление, не новое в теории поля. Так, например,
в некоторых моделях сила, с которой взаимодействуют магнит-
магнитные монополи с одинаковыми зарядами, равна нулю на боль-
больших расстояниях [45], в то же время между монополями с про-
противоположными зарядами действует притягивательная ньюто-
ньютоновская сила. В этой же модели электрическое отталкивание
между заряженными векторными частицами одного знака со-
сокращается со вкладом от обмена безмассовым скаляром, а при-
притяжение противоположных зарядов удваивается [22]. Таким
образом, не вызывает большого удивления возникновение та-
такого эффекта в О B)-супергравитации, в которой безмассовая
векторная частица и гравитон входят в один мультиплет;
в. Уравнения движения фермионов
Уравнения движения фермионов в простой и расширенных
супергравитациях имеют простой вид, если их записывать с по-
помощью суперковариантных объектов. Поскольку эти уравнения
содержат лишь одну производную, их вариация не может вклю-
включать член вида <Эе, поскольку коэффициент при последнем, не
имеющий производных, не может быть пропорционален уравне-
уравнениям движения. По этой причине фермионные уравнения всегда
можно записать с помощью чисто суперковариантных объектов.
Например, в суперсимметричной теории Максвелла — Эйнштей-
Эйнштейна, описывающей взаимодействие мультиплетов B, 3/2) и
A, 1/2), или в 0C)-супергравитации уравнение движения для
спина 1/2 имеет вид у* бA% = 0, где Ь^ — суперковариантная
производная, действующая на %. Ее можно найти, зная вариа-
вариацию 8%.

230 Дж. Шерк
Аналогично для полей со спином 3/2 ф^' по вариации dty^1
можно- определить суперковариантный тензор напряженностей
[7], преобразующийся без <Эе.
В простой супергравитации (N = \) бфц = A/х)£>ц(с&)е и
объект грч.р = £>v(fi>Hp— £>р(«в)^ суперковариантен. В случае
М V l/D4! где
|,v (в.зз)
Суперковариантный тензор напряженностей i|)vp' имеет вид
V-ZV'V-flp'W. (В.4)
С помощью этого тензора уравнения движения для спина 3/2
можно привести к весьма простому виду
' ).' (B.35)
Суперковариантные тензоры напряженностей можно построить
также для N = 3, 4. Тот факт, что фермионные уравнения дви-
движения можно записать в суперковариантном виде, полезен для
нахождения инвариантных действий этих теорий. Зная в низ-
низших приближениях нетеровскую связь, возникающую в уравне-
уравнениях движения фермионов и в законах преобразований полей,
ее суперковариантизуют, а затем находят действие, из которого
она следует. Эта процедура была очень полезна для построе-
построения 0D)- и SUD) -моделей.
г. (/(^)-инвариантность в расширенных супергравитациях
Согласно теореме Хаага — Лопушанского — Сониуса [35],
глобальной группой инвариантности суперсимметричной теории
с N спинорными зарядами и безмассовыми частицами должна
быть U(N), исключая случай N = 4, в котором ей может быть
либо U(А), либо S£/D). Примером последнего варианта являет-
является N = 4-суперсимметричная теория Янга— Мйллса, инвариант-
инвариантная относительно 5f/D) @F)), но не относительно £/D).
С другой стороны, расширенные супергравитации строятся
явно О (N) -инвариантным способом, так что должен существо-
существовать способ расширения глобальной О (N) -инвариантности до
U{N) [6,18].
Простая супергравитация действительно оказывается инва-
инвариантной относительно глобальных U(\) киральных преобразо-
преобразований:
(В.36)
где Л — инфинитезимальная постоянная; N = 2-супергравита-
ция обладает явной О B)-инвариантностью, которая легко мо-

11. Расширенная суперсимметрия 231
жет быть расширена киральными преобразованиями до SUB):
где С11 = —С'\ М = А'', ТгЛ = 0. Чтобы расширить SU B)
до GB), необходимо добавочное U(^-преобразование
бу, V = 0, 6Ut%{ = - i-/YsAV- (B.38)
Оно оставляет инвариантным кинетический член поля -ф, но,
как видно из (В.22), для инвариантности нетеровской связи од-
одновременно необходимо преобразование дуальности для F^:
Su.Fnv = AFnV + .... (В.39)
Однако преобразования дуальности требуют осторожного обра-
обращения. Рассмотрим, например, свободное максвелловское поле.
Полагая bFyy ^= AF^v и предполагая, что существует соответ-
соответствующее преобразование для вектор-потенциала, получаем, что
AF^v =^= <3(i6^4v — ^бЛ,! является ротором и, следовательно,
dv,(AF>xv) = —AdyFw = 0, т. е. поле Аи должно удовлетворять
уравнениям движения.
Таким образом, преобразования дуальности оставляют ИН'
вариантным не действие, но только уравнения движения.
В расширенной О B) -супергравитации потенциал А^ в явном
виде це появляется, и векторное уравнение движения имеет вид
£>11G11V = Q, • (В.40)
где Ov = f^jf члены, квадратичные по if, и
£^ = 0. (В.41)
Это условие означает, что F^v представим в виде ротора. Пре-
Преобразование
6uf^ = AG^, (B.42)
очевидно, совместно с (В.41), а небольшие вычисления показы-
показывают, что вариация уравнения движения (В.40) пропорцио-
пропорциональна (В.41).
Все остальные уравнения движения действительно UB) -ин-
-инвариантны. Этот факт обобщается на все известные расширен-
расширенные О(N)-супергравитации, в которых глобальная (/(Л/)-инва-
(/(Л/)-инвариантность реализуется с помощью киральных и дуальных пре-
преобразований. Эта инвариантность интенсивно использовалась
при построении О D)-теории, а также в пертурбативном под-
подходе к О (8\ -супергравитации.

232 Дж. Шерк
Преобразование дуальности суперковарианта Р^ имеет
весьма простой вид
buf^ = AF*\ (B.43)
Действие О B)-супергравитации приобретает более сжатый вид,
если оно записано через G^v (тензор, определяющий векторное
уравнение движения) и F^, причем так, что все члены четвер-
четвертого порядка включены либо в «в, либо в Р:
S = ~ тЬ- VR (й) ~ Т е** VVeYnA, (<&) V -
- J VF^Qv. - |хУе'V (F» - tyfi")*,1. (B.44)
В общем случае преобразования, расширяющие O(N) до
U(N), включают преобразования дуальности и могут рассмат-
рассматриваться только при условии, что выполнены векторные уравнения
движения. Одним исключением является О B)-теория, в ко-
которой 0B) расширяется до SUB) без использования преобра-
преобразований дуальности. Другим исключением является так назы-
называемая St/D)-теория [8], содержащая поля IV, фц1' (i = 1, ...
.... 4), V>, В^п) {п= 1, 2, 3), ф, В, в которой SU(A)-инва-
SU(A)-инвариантность реализуется без преобразований дуальности. Выпи-
Выпишем несколько первых членов действия этой теории [8]:
т V (А^п)А^{п) + В^(п)В^(п)) ехр (- 2нф) -
-1
j д^фдчф + ехр Dмф) д^В • д^В] +..., (В.45)
где
iV> = д^АчЮ - д^п), В^п) = д^п) - дчВ^">. (В.46)
На первый взгляд 0D)- и 5t/D)-теории существенно раз-
различны. О D)-теория обладает явной О D)-инвариантностью, не-
неполиномиальна по полям А я В, область значений которых огра-
ограничена неравенством х2(Л2 + В2) ^ 1. 5^/D)-теория обладает
явной SUD)-инвариантностью, неполиномиальна по ф и поли-
полиномиальна по В; область значений ф и В не ограничена. В дей-
действительности можно показать, что эти теории эквивалентны на
классическом уровне в том смысле, что с помощью комбинаций
дуальных и киральных преобразований, переопределений ска-

//. Расширенная суперсимметрия 233
лярных полей уравнения движения обеих теорий могут быть
сведены друг к другу. Однако вследствие возможных аномалий
не совсем ясно, эквивалентны ли они на квантовом уровне;
кроме того, преобразования дуальности для вектор-потенциалов
нелокальны.
Аналогичные (и более сложные) преобразования встречают-
встречаются при нахождении соответствия между О (8) -теорией и размер-
размерной редукцией D = 11-супергравитации, также имеющей 8 спи-
норных зарядов с явной О G) -инвариантностью [49]..
Удивительный факт, плохо понимаемый до сих пор, состоит
в том, что в случае N = 4 11D) -инвариантность может быть
расширена до SUD)X,SUA, 1). В 5GD)-теории имеется скры-
скрытая U(\)-инвариантность, перепутывающая сложным образом
поля ф и В: кроме того, имеются два простых преобразования,
которые вместе с U(l) генерируют группу SU(l, 1). Это
а) сдвиг В (х) -> В (х) + Р (Р — константа), (В.47)
б) масштабное преобразование В(х)-+а2В(х) (а — кон-
константа),
А С), 2J С)->а~'Л (Л), a~lBJn), ф-*Ф—-1па. (В.48)
В О D)-теории эти преобразования легко видны на примере
кинетического члена скалярных полей
A-ZZJ
(В.49)
где Z = и(Л + /В); 3? инвариантен относительно преобразо-
преобразований
Остается неясным, как обобщить эту инвариантность на случай
высших расширенных супергравитаций, особенно О (8) -теории х).
д. Расширенные супергравитации с локальной группой
До сих пор мы рассматривали расширенные супергравита-
супергравитации, которые имели лишь одну константу связи % и Af(N—1)/2
абелевых векторных полей А^'!. Поскольку их число совпадает
с числом калибровочных полей группы O(N), можно попробо«
вать заменить F^i на янг-миллсовский тензор напряженностей,
вводя при этом новую константу связи g нулевой размерности
[10,36].
') См. работу Креммера и Жулна [49]. —Прим. перев.

234 Дж. Шерк
Например, в О B)-теории группу 0B) можно локализовать,
заменяя Д,'(©)'фрг на Dv(eo)i|3p' — ge'^A^pL Здесь вектор-потен-
вектор-потенциал Av входит в действие явно, так что глобальная [/(^-ин-
[/(^-инвариантность нарушается до 0(N), которая, однако, становится
локальной. При этом необходимо добавить к лагранжиану сле-
следующие члены:
& = ~ f *4W + j£v, (B.51)
f
состоящие из массового члена для спина 3/2 и космологической
постоянной. Знак космологической постоянной фиксирован, он
соответствует 0C, 2)-вселенной де Ситтера. Аналогичная про-
процедура для 0C)-супергравитации приводит к красивому объ-
объединению теории Эйнштейна и Янга—Миллса. Однако при
этом возникает проблема радиуса вселенной, который очень
мал, если только g2 не меньше 1СН20! Можно надеяться на со-
сокращение этой космологической постоянной при добавлении ма-
материальных полей (это действительно происходит при эффекте
Хиггса в случае N= 1 [42]), но трудность состоит, в том, что
расширенные супергравитации, взаимодействующие с материаль-
материальными расширенными мультиплетами, по-видимому, неперенор-
мируемы даже на.однопетлевом уровне.
В N = 4-теориях возникают другие проблемы. 0D)- и
SUD) -теории становятся неэквивалентными при локализации
группы S[/B)XSf/B), приводящей к космологическим по-
постоянным, зависящим от полей [36]:
^J (B.52)
\-zz)
(В.53)
Оба потенциала (—%) не ограничены снизу и не допускают
спонтанного нарушения симметрии, а второй даже не имеет ло-
локального экстремума. Аналогичные трудности ожидаются при
локализации в О (8)-теории. Сама О (8)-супергравитация, по-
видимому, не может быть реалистичной теорией, поскольку она
слишком узка, чтобы содержать SUC)C><.SUB)'XUA) в ка-
качестве подгруппы калибровочной группы. Она содержит лишь
SUC)сХ. U(l)X. UA) [46]. Отсюда делается предсказание, что
8 глюонов, фотон и Z0 элементарны, a W+ и W~ должны возни-
возникать как солитонные возбуждения. Кроме того, теория содер-
содержит кварки пяти ароматов, октет нейтральных тяжелых лепто-
нов, электрон и его нейтрино, а мюон, т-лептон и их нейтрино
отсутствуют.

И. Расширенная суперсимметрия 235
Г. Возможные модификации гравитации
на малых расстояниях
В расширенных супергравитациях замечательным образом
объединяются эйнштейновская теория гравитации и полевые
теории, используемые в физике частиц, т. е. калибровочные тео-
теории, дираковская теория электрона и теория Клейна — Гордона
для скалярных полей (последние необходимы в калибровочных
теориях для механизма Хиггса). Все эти поля содержатся в
представлении алгебры расширенной суперсимметрии при
N ^ А. Однако при локализации 0{N) появляются некоторые
нефизические особенности; кроме того, нет гарантии перенор-
перенормируемости на уровне трех и большего числа петель. Если рас-
расширенные супергравитации окажутся действительно неперенор-
мируемыми, останется ли надежда на существование конечной
теории квантовой гравитации, взаимодействующей с материаль-
материальными полями?
Быть может, гравитацию (и ее суперсимметричные обобще-
обобщения) следует изменить на малых расстояниях аналогично тому,
как модифицируется на малых расстояниях V — Л-теория, рас-
рассматриваемая как приближение модели Вейнберга — Салама.
Тогда можно было бы ожидать, что GN ~ х2 была бы не фун-
фундаментальной, а феноменологической постоянной, выражаемой
в виде Gn ~ £2/Л2, где g — фундаментальная безразмерная
константа взаимодействия, Л — новый масштаб энергии. На рас-
расстояниях с^Л.-1 эйнштейновская теория гравитации перестает
быть справедливой. В модели Вейнберга — Салама естествен-
естественным обрезанием Л служит масса W-бозона.
Продолжая в том же направлении, можно ожидать, что об-
обмен гравитоном должен сопровождаться обменом тяжелыми
частицами, которые пока не удалось зарегистрировать (пока
еще не зарегистрирован и сам гравитон!). Примерами таких тео-
теорий гравитации являются модели типа R + R2, где пропагатор
гравитона ведет себя как 1/р4. Они действительно перенорми-
перенормируемы [47], однако массивные частицы, сопровождающие гра-
гравитон, являются либо тахионами (т2 < 0), либо духами (отри-
(отрицательная норма).
Пока известна лишь одна модель, в которой гравитон при-
принадлежит набору полей с нужными свойствами (т. е. не яв-
являющимися ни духами, ни тахионами). Это дуальная спинорная
модель (или модель спиновой струны) [13, 14]. В ней вместо
движения точечных частиц со спином в пространстве-вре-
пространстве-времени Минковского рассматривается движение одномерных объ-
объектов (струн), каждая точка которых имеет, кроме того, спино-
спиновую степень свободы. Длина струны не фиксирована, она яв-
является динамической переменной. Порядок ее величины за-
задается параметром (a').'/s с размерностью длины; а! имеет

236 Дж. Шерк
размерность (масса)-2. Классическое действие струны суперсим-
суперсимметрично в двумерном пространстве, заметаемом струной при
движении в пространстве-времени. В классической теории мож-
можно показать, что / ^ а' М2, где М — масса струны, а / — ее уг-
угловой момент, т. е. чем быстрее вращается струна, тем больше
ее масса.
При каноническом квантовании струны ее колебательные
моды приводят к бесконечной последовательности частиц, лежа-
лежащих на прямолинейных траекториях Редже. / и а'М2 могут те-
теперь иметь только целые или полуцелые значения. Поскольку
имеются два типа струн — открытые и замкнутые, — им соот-
соответствуют два сектора квантовой теории. Открытые струны мо-
могут иметь квантовые числа произвольной группы внутренней
симметрии U(N), замкнутые же струны должны быть
синглетами U(N). Все состояния квантованных открытых
струн принадлежат присоединенному представлению группы
U(N).
Условия совместности лоренц-инвариантности и канониче-
канонического квантования настолько ограничительны, что модель мо-
может существовать только в D — 10-мерном пространстве-вре-
пространстве-времени. Однако б дополнительных измерений могут быть компак-
компактифицированы [20], как в полевых теориях, описанных в
разд. Б (а), так что, если 6 длин L\ L6 достаточно малы,
мы не приходим к противоречию с ежедневным опытом.
Свободные квантованные струны можно заставить взаимо-
взаимодействовать, если ввести константу связи g, описывающую раз-
разрыв и объединение струн.
Квантовый спектр открытых и замкнутых струн начинается
с М = 0. Если а' достаточна мала, то возбужденные состояния,
имеющие квадрат массы порядка 1/а', могут быть ненаблю-
даемы. Можно показать, что для любого уровня с данной мас-
массой числа бозонных и фермионных состояний равны, что яв-
является необходимым условием суперсимметричности. Далее, ни
одно из этих состояний не является духом или тахионом. Это
следует из наличия в модели бесконечномерной градуированной
алгебры Ли калибровочных операторов, с помощью которой
исключаются духи.
Интересно изучить классическое взаимодействие безмассо-
безмассовых частиц модели в пределе, когда все энергии малы по срав-
сравнению с обрезанием 1/(а'I/г. Классическое взаимодействие опи-
описывается древесными диаграммами, известными в явном виде.
В пределе, когда 1/(а')'/г очень велико, с помощью древесных
диаграмм можно восстановить феноменологическое действие, из
которого они следуют в этом пределе.
Состояниями открытой квантованной струны с нулевой мас-
массой является векторная частица и майорана-вейлевский фермион
в присоединенном представлении U(N), В пределе <х'->0 они

//. Расширенная суперсимметрия 237
взаимодействуют в точности согласно D = 10-мерной суперсим-
суперсимметричной теории Янга—Миллса [15, 16] (см. разд. Б (в)).
Состояния замкнутой струны с нулевой массой имеют спин
2, 3/2 и меньше и взаимодействуют согласно D = 10-мерной тео-
теории супергравитации [15, 16]. В частности, взаимодействие ме-
между частицами со спином 2 описывается эйнштейновским дей-
действием [48]. Интересно, что, будучи определенной в плоском
пространстве-времени, эта модель естественно приводит к кри-
кривизне, так как она содержит гравитоны, взаимодействующие
при низких энергиях согласно теории Эйнштейна.
В этой теории гравитационная и калибровочная константы
взаимодействия связаны друг с другом, поскольку единствен-
единственными параметрами теории являются g, а' и 6 параметров L\, ...
..., Ls. В простом случае, когда все L,- порядка (cs'I/j, мы на-
находим [48], что GN ~ v? ~ g4ar, так что 1/а'= Л2 является
обрезанием, аналогичным массе W-бозона в модели Вейнбер-
га — Салама. Более того, g4 (вместо g2) отражает тот замеча-
замечательный факт, что в этой теории весь гравитационный сектор
(замкнутые струны) ■ получается как связанное состояние янг-
миллсовского сектора (открытые струны) уже на однопетлевом
уровне.
Типичное значение (а'I'2 порядка планковской длины, что
действительно привело бы к ненаблюдаемости возбужденных
состояний.
Наконец, благодаря параметру обрезания Л2 = \/а' сгла-
сглаживается взаимодействие частиц при высоких энергиях (малых
расстояниях). Например, в эйнштейновской теории гравитации
амплитуда рассеяния гравитона на гравитоне при фиксирован-
фиксированном угле в системе центра масс растет как £2, где Е — энергия
в с. ц. м., что нарушает унитарность при достаточно больших
энергиях. В дуальной спинорной модели эта амплитуда экспо-
экспоненциально убывает как ехр(—a'E2f(Q)); мы видим, что а'
подавляет взаимодействие при высоких энергиях. В диаграммах
с петлями ультрафиолетовые расходимости отсутствуют, но
имеются инфракрасные. Диаграммы с петлями, содержащие
только замкнутые струны, конечны по топологическим сообра-
соображениям, а диаграммы, содержащие открытые струны, приводят
к перенормировке а'.
Преимущество струнной модели по сравнению с теориями
расширенной супергравитации состоит в том, что она допускает
взаимодействие гравитации с калибровочными полями произ-
произвольной группы U(N) и не противоречит этим теориям, по-
поскольку при низких энергиях она воспроизводит последние во
взаимодействии с суперсимметричной N = 4-теорией Янга —
Миллса. Если теории расширенной супергравитации окажутся
не полностью перенормируемыми, то струнная модель может
стать исходным пунктом конечной теории квантовой гравитации,

238 Дж. Шерк
ЛИТЕРАТУРА
1. t'Hooft G., Veltman M., Ann. lnst. H. Poincare, 20, 69 A974);
Deser S., Tsao H. S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D10, 3337 A974);
van Nieuwenhuizen P., Proceedings of the Marcel Grossman Meeting, 1976,
North Holland Co.
2. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
A976);
Deser S., Zumino В., Phys. Lett, 62 B, 335 A976).
3. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1669 A976).
4. Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 A977);
Ferrara S., Scherk I., Zumino В., Phys. Lett, 66B, 35 A977).
5. Das A., Phys. Rev., D15, 2805 A977).
6. Cremmer E., Scherk /., Ferrara S., Phys. Lett., 68B, 234 A977).
7. Cremmer E., Scherk I., Nucl. Phys., B127, 259 A977).
8. Cremmer E., Scherk I., Ferrara S., Phys. Lett., 74B, 61 A978).
9. de Wit В., Freedman D. Z., Nucl. Phys., B130, 105 A977).
10. Freedman D. Z., Das A., Nucl. Phys., B120, 221 A977).
11. Crisaru M. Т., van Nieuwenhuizen P., Vermaseren I. A. M., Phys. Rev. Lett.,
37, 1662 A976);
Deser S., Kay /., Stelle K., Phys. Rev. Lett., 38, 527 A977);
van Nieuwenhuizen P., Vermaseren I. A. M., Phys. Rev., D16, 298 A977);
van Nieuwenhuizen P., CERN preprint TH 2473, 1978; invited talk at the
Orbis Scientiae Coral Gables, 1978.
12. Deser S., Kay I. H., Phys. Lett., 76B, 400 A978).
13. Ramond P., Phys. Rev., D3, 2415 A971);
Neveu A., Schwarz J. #., Nucl. Phys., B31, 86 A971); Phys. Rev., D4, 1109
A971);
Neveu A, Schwarz J. H., Thorn С. В., Phys. Lett., 35B, 521 A971).
14. Dual Theory, edited by M. Jacob, North. Holland Co, 1974;
Scherk I., Rev. Mod., Phys., 47, 123 A975).
15. Gliozzi F., Scherk I., Olive D., Phys. Lett., 65 B, 282 A976).
16. Gliozzi F., Scherk J, Olive D., Nucl. Phys., B122, 253 A977).
17. Brink L, Schwarz J. H., Scherk /., Nucl. Phys., B121, 77 A977).
18. Ferrara S., Scherk I., Zumino В., Nucl. Phys., В121, 293 A977).
19. Zachos С. К., Phys. Lett, 76B, 329 A978).
20. Cremmer E., Scherk J, Nucl. Phys., В103, 399 A976).
21. Богомольный Е. Б., ЯФ, 24, 861 A976);
Coleman S., Parke S., Neveu A., Sommerfield С. М., Phys. Rev., D15, 544
A977).
22. Montonen C, Olive D., Phys. Lett., 72B, 117 A977).
23. D'Adda A., Horsley R., DiVecchia P., Phys. Lett., 76B, 298 A978J.
24. Witten E, Olive D., Phys. Lett, 78B, 97 A978).
25. Kaluza Т., Sitzungber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Phys. KA, 1966
A921);
Klein O., Zs. Phys., 37, 895 A926);
Thirring W., Acta Phys. Austriaca, Supp. IX, 266 A972).
26. Coleman S., Mandula J., Phys. Rev., 159, 1251 A967).
27. Zumino В., Proc. 17th Intern. Sonf. on High Energy Physics, London 1974
(Science Research Council, Didcot, 1974), p. 1—254;
Wess J., Lecture Notes in Physics (Springer, Berlin 1974), vol. 37, p. 352;
Corwin L, Ne'eman Y., Sternberg S., Rev. Mod. Phys., 47, 573 A975);
Raifertaigh L. O., Comm. Dublin lnst. for Advanced Studies, Series A., The-
Salam A., Strathdee J., Phys. Rev., DU, 521 A975);
or. Phys. Nr. 22, 1975;
Zumino В., Proc. Conf. on Gauge Theories and Modern Field Theory. Boston
1975 (MIT Press, Cambridge, Mass, 1976), p. 225;
Salam A., Strathdee I., ICTP preprint, IC176122 A976);

/. Расширенная суперсимметрия 239
Ferrara S., Rivista Nuovo Cim., 6, 105 A976);
Fayet P., Ferrara S., Phys. Rep., 32, 251 A977);
Ferrara S., CERN preprint TH 2514, 1978.
28. Tils J., Tabelletl zu den Einfachen Lie Groups und ihre Darstellungen, Lec-
Lecture Notes in Math., 40 (Springer, 1967).
29. Hawking S. W., Cargese Lecture Notes, 1978.
30. Sohnius M. F., Nucl. Phys., B138, 109 A978).
31. Olive D., unpublished.
32. Nahrn W., Nucl. Phys., В135, 149 A978).
33. Jones D. R. Г., Phys. Lett., 72B, 199 A977);
Poggio E. C, Pendleton H. N., Phys. Lett., 72 B, 200 A977).
34. Cremmer £., Julia В., Scherk /., Lett, 76B, 409 A978).
35. Haag R., Lopuszanski J. Г., Sohnius M., Nucl. Phys., B88, 257 A975).
36. Freedman D. Z., Schwarz J. H., Nucl. Phys., B137, 333 A978).
37. Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 74B, 333 A978);
Stelle K. S., West P. C, Phys. Lett., 74B, 330 A978);
Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., 76B, 404 A978); Ecole Nor-
male Sup Report LPTENS 78/14, 1978.
38. Salam A., Strathdee /., Nucl. Phys., B76, 477 A974):
Ferrara S., Wess /., Zumino В., Phys. Lett, B51, 239 A974);
Wess J., Zumino В., Phys Lett., 66B, 361 A977);
Grimm R., Wess J., Zumino В., Phys. Lett., 74B, 51 A978);
Brink L, Gell-Mann M., Ramond P., Schwarz J. H., Phys. Lett., 74B, 336
A978); Caltech. report. 68-649, 178.
39. MacDowell S. W., Mansouri F., Phys. Rev., 38, 739 A977);
Townsend P. K., van Nieuwenhuizen P., Phys. Lett., B67, 439 A977);
Ne'eman Y., Regge Г., Phys. Lett., B76, 54 A978).
40. Ferrara S., Gliozzi F., Scherk J., van Nieuwenhuizen P., Nucl. Phys., B117,
333 A976).
41. Ferrara S., Scherk J., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1035
A976).
42. Cremmer E., Julia В., Scherk J., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Girar-
dello L, Nucl. Phys., В147, 105 A979).
43. Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Phys. Rev., D14, 912 A976).
44. Fayet P., Nucl. Phys., ВИЗ, 135 A976).
45. Manton N. S., Nucl. Phys., B126, 525 A977).
46. Gell-Mann M., invited paper at the Washington Meeting of Amer. Phys.
Soc, April 1977.
47. Stelle K. S., Phys. Rev., D16, 4, 953 A977).
48. Scherk J., Schwarz J. H., Nucl. Phys., B81, 118 A974); Phys. Lett., 57B,
463 A975);
Yoneya Г., Nuovo Cim. Lett., 8, 951 A973); Progr. of Theor. Physics, 51,
fchwarz J. H., GALT preprint 68-637, 1978; talk presented at Orbis Scien-
fiae 1978.
49. Vremmer E., JuHd В., Nucl. PTiys., "B159, 14T 0979)!
50*. Sohnius M. F., Stell K. S., West P. C, Nucl. Phys., B173, 127 A980); Phys.
Lett., 92 B, 123 A980).
51*. Авдеев Л. В., Тарасов О. В., Владимиров A. A., Phys. Lett., 96B, 94
A980);
Crisaru M., Rocek M., Siegel W., Phys. Rev. Lett., 45, 1063 A980);
Caswell W. £., Zanon D., Phys. Lett., 100B, 152 A981).
52*. Фрадкин Е. С, Васильев М. A., Lett. Nuovo Cim., 25, 79 A979); Phys
Lett., 85B, 47 A979);
de Wit В., Holten J. W., Nucl. Phys., B158, 530 A979); B169, 186
A980).

СОДЕРЖАНИЕ
Вступительная статья редактора перевода. Ю. И. Мания. Геометрические
идеи в теории поля 5
1. С. У. Хокинг. Евклидова квантовая теория гравитации (перевод
Ю. А. Данилова) . 19
2. С. У. Хокинг. Пространственно-временная пена (перевод Ю. А. Да-
Данилова) 47
3. М. К. Прасад. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных по-
полей Янга — Миллса (перевод В. К- Рогова) 64
4. Г. В. Гиббоне. Гравитационные инстантоны: обзор (перевод Ю. И. Ма-
нина) 97
5. С. Феррара. Перспективы теорий супергравитации (перевод А.С.Галь-
А.С.Гальперина) 104
6. И. Весе. Суперсимметрия — супергравитация (перевод О. В. Огневец-
кого) 125
7. Р. Гримм, И. Весе, Б. Зумино. Полное решение тождеств Бьянки при
учете супергравитационных связей н суперпространстве (перевод
О. В. Огиевецкого) 151
8. Н. Дрэгон. Кручение и кривизна в теории расширенной суперграви-
супергравитации (перевод О. В. Огиевецкого) 162
9. С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелл, П. К. Вест. Алгебраические мотиви-
мотивировки суперпространственных связей в супергравитации (перевод
О. , В. Огиевецкого) 170
10. Б. Зумино. Супергравитация и великое объединение (перевод
А. С. Гальперина) 191
11. Дж. Шерк. Расширенная суперсимметрия и теории расширенной су-
супергравитации (перевод А. С. Гальперина) 203
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИДЕИ В ФИЗИКИ
Сборник статей
Научи, редактор Н. Л. Телеснин! Мл. научв. редакторы Р. X. Зацепина, Б. Н. Цлаф.
Художник И. Б. Кравцов. Художественный .'"редактор Л. Е. Безрученков. Технический
редактор Н. И. Борисова, Корректор Н. Н. Яковлева
ИБ № 3521
Сдано в набор 31.08.82. Подписано к печати 27.04.83.Формат бОХЭО'/щ. Бумага типограф-
типографская Na 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 7,50 бум. л. Усл. печ. л. 15,0.
Уч.-изд. л. 13,94. Усл. кр.-отт. 15,12. Изд. № 2/2590. Тираж 5000 экз. Зак. 378.
Цена 1 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-ПО, ГСП
1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография Л!» 2 головное предприятие ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническаа книга» им. Евгении Соколовой
Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, поли-
полиграфии и книжной торговли. 198032, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.