Text
                    ДЛЯ ВУЗОВ
À.À . Äìèòðèåâñêèé,
Ë.Í. Ëûñåíêî
ÌÎÑÊÂÀ
«ÌÀØÈÍÎÑÒÐÎÅÍÈÅ»
2005
ÂÍÅØÍßß
ÁÀËËÈÑÒÈÊÀ
Äîïóùåíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ
ÐÔ â êà÷åñòâå ó÷åáíèêà äëÿ ñòóäåíòîâ
âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé, îáó÷àþùèõñÿ
ïî ñïåöèàëüíîñòè «Áàëëèñòèêà» íàïðàâ-
ëåíèÿ ïîäãîòîâêè «Ãèäðîàýðîäèíàìèêà è
äèíàìèêà ïîëåòà»
4-å èçäàíèå,
ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîå


ÓÄÊ [623.54; 623.451](075.8) ÁÁÊ 39.62-01ß-73 Ä53 Ðåöåíçåíòû: êàôåäðà "Èíôîðìàöèîííî-óïðàâëÿþùèå êîì- ïëåêñû" ÌÀÈ; ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð Í.Ì. ÌÎÍ×ÅÍÊÎ Äìèòðèåâñêèé À.À., Ëûñåíêî Ë.Í . Ä53 Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà: Ó÷åáíèê äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ. – 4-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. – Ì .: Ìàøèíîñòðîåíèå, 2005. 608 ñ.; èë. ISBN 5-217-03252-9 Èçëîæåíû òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû âíåøíåé áàëëèñòèêè ñíàðÿäîâ è ðà- êåò, ìåòîäèêè ðàñ÷åòà ïàðàìåòðîâ èõ äâèæåíèÿ, îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðè- ñòèê òî÷íîñòè ñòðåëüáû, à òàêæå ìåòîäû áàëëèñòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ èñ- ïûòàíèé. Çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå óäåëåíî áàëëèñòè÷åñêîìó ïðîåêòèðîâàíèþ ðàññìàòðèâàåìûõ òèïîâ áîåïðèïàñîâ, âûáîðó è ðàñ÷åòó îïòèìàëüíûõ òðà- åêòîðèé, âûïîëíåíèþ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèì èçäàíèåì (3-å èçä. 1991 ã.) ó÷åáíèê ñó- ùåñòâåííî ïåðåðàáîòàí è äîïîëíåí íîâûìè ìàòåðèàëàìè. Äëÿ ñòóäåíòîâ âóçîâ è ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè ðàêåòíî-àðòèëëåðèéñêîé òåõíèêè. ÁÁÊ 39.62-01ß-73 Ó×ÅÁÍÎÅ ÈÇÄÀÍÈÅ ÄÌÈÒÐÈÅÂÑÊÈÉ Àíäðåé Àëåêñàíäðîâè÷, ËÛÑÅÍÊÎ Ëåâ Íèêîëàåâè÷ ÂÍÅØÍßß ÁÀËËÈÑÒÈÊÀ Ðåäàêòîð Í.À . Ëåîíòüåâà Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð Ò.Í . Ãàëèöûíà Òåõíè÷åñêèå ðåäàêòîðû Ò.È . Àíäðååâà, Ñ.À. Æèðêèíà Êîððåêòîð Â.Î. Êàáàíîâà Ëèöåíçèÿ ÈÄ 1 05672 îò 28.08 .01 Ñäàíî â íàáîð 29.04 .04 . Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 04.02.05. Ôîðìàò 60x88 1/16. Ãàðíèòóðà Íüþòîí Ñ Áóìàãà îôñåòíàÿ. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë . 37,24. Ó÷. - èçä. ë. 33,05. Òèðàæ 1000 ýêç. Çàêàç . ÎÀÎ “Èçäàòåëüñòâî “Ìàøèíîñòðîåíèå”, 107076, Ìîñêâà, Ñòðîìûíñêèé ïåð., 4 Îòïå÷àòàíî â ÃÓÏ ÏÏÏ “Òèïîãðàôèÿ “Íàóêà” ÐÀÍ”, 128009, Ìîñêâà, Øóáèíñêèé ïåð., 6 ISBN 5-217-03252-9 © À.À . Äìèòðèåâñêèé, Ë.Í . Ëûñåíêî, 2005 © Èçäàòåëüñòâî "Ìàøèíîñòðîåíèå", 2005
Ó÷åíûì-àðòèëëåðèñòàì Ðîññèè, îñíîâàòåëÿì âñåìèðíî èçâåñòíîé îòå÷åñòâåííîé øêîëû âíåøíåé áàëëèñòèêè, ïðîñëàâèâøåé ñåáÿ âî âðå- ìÿ Âåëèêîé Îòå÷åñòâåííîé âîéíû è ïðîäåìîí- ñòðèðîâàâøåé íåèññÿêàåìûé ïîòåíöèàë íà âñåõ ýòàïàõ îñíàùåíèÿ Ñîâåòñêîé Àðìèè âûñîêîýô- ôåêòèâíûìè ñðåäñòâàìè ðàêåòíî-àðòèëëåðèé- ñêîãî âîîðóæåíèÿ, íàøèì âåëèêèì ïðåäøåñò- âåííèêàì è äîðîãèì ó÷èòåëÿì ïîñâÿùàåòñÿ ÈÇ ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈß Ê ÏÅÐÂÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ* Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà áûëà íàóêîé, èçó÷àþùåé äâèæåíèå ìèí è ñíàðÿäîâ ñòâîëüíûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñèñòåì. Ñ ðàçâèòèåì ðàêåòíîé òåõíèêè è ñîâåðøåíñòâîâàíèåì òåî- ðèè ïîëåòà ðàêåò è ñíàðÿäîâ êðóã âîïðîñîâ âíåøíåé áàëëèñòèêè ñó- ùåñòâåííî ðàñøèðèëñÿ. Çíà÷èòåëüíîå ðàçâèòèå ïîëó÷èëè ïðîåêò- íûå áàëëèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû. Ïðèìåíåíèå âûñîêîïðîèçâîäèòåëü- íîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè íåèçìåðèìî ïîâûñèëî âîçìîæíîñòè áàëëèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé. Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà, â îñíîâå êîòîðîé ëåæàò çàêîíû òåîðåòè÷å- ñêîé ìåõàíèêè, òåñíî ñâÿçàíà ñ àýðîäèíàìèêîé, ãðàâèìåòðèåé è ìå- òåîðîëîãèåé, òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé. Áàëëèñòè÷åñêèé ðàñ÷åò äàåò âñå íåîáõîäèìûå äàííûå î òðàåêòî- ðèÿõ è ïàðàìåòðàõ äâèæåíèÿ, èñõîäÿ èç êîòîðûõ ìîæíî ñóäèòü î òàêòèêî-òåõíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ðàêåòíîãî èëè àðòèëëåðèé- ñêîãî êîìïëåêñà â öåëîì. Ðàçóìååòñÿ, ñîäåðæàíèå ó÷åáíèêà äàëåêî íå èñ÷åðïûâàåò âñåãî ìíîãîîáðàçèÿ ïðîáëåì, ñòîÿùèõ ïåðåä âíåøíåé áàëëèñòèêîé. Ñî- âðåìåííîå ñîñòîÿíèå íàóêè î äâèæåíèè ðàêåò è àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ ðàçëè÷íûõ òèïîâ òàêîâî, ÷òî ìíîãèå èç ðàññìàòðèâàåìûõ â êíèãå âîïðîñîâ ìîãóò ñëóæèòü ïðåäìåòîì ñàìîñòîÿòåëüíûõ òåîðåòè- ÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé. 3 * Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1972.
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Ê ×ÅÒÂÅÐÒÎÌÓ ÈÇÄÀÍÈÞ Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà îòíîñèòñÿ ê ÷èñëó ñòàðåéøèõ ïðèêëàäíûõ íàóê âîåííî-òåõíè÷åñêîé íàïðàâëåííîñòè. Èñòîðèÿ åå ðàçâèòèÿ íå- ðàçðûâíî ñâÿçàíà ñ ñîçäàíèåì è áîåâûì ïðèìåíåíèåì îãíåñòðåëü- íîãî îðóæèÿ, äàòèðóåìûìè ñåðåäèíîé XIV âåêà.  íà÷àëüíûå ãîäû ïîÿâëåíèÿ îãíåñòðåëüíîãî îðóæèÿ âîïðîñû, êàñàþùèåñÿ áàëëèñòèêè, à òàêæå ïðàâèë ïðîâåäåíèÿ ñòðåëüá, ðåøà- ëèñü ãëàâíûì îáðàçîì èñõîäÿ èç ïðàêòèêè è íàêîïëåííîãî îïûòà. Äëÿ îðãàíèçàöèè "ïóøå÷íîãî äåëà" â XV è XVI âåêàõ â Ðîññèè áûëè ó÷ðåæäåíû "Ïóøå÷íûé äâîð" è "Ïóøå÷íûé ïðèêàç". Ïåðâûì àâòîðîì îïóáëèêîâàííîãî òðóäà ïî áàëëèñòèêå, îáîá- ùèâøèì îïûò êàê ðóññêèõ, òàê è èíîñòðàííûõ àðòèëëåðèñòîâ XVI âåêà, ïðèíÿòî ñ÷èòàòü "ïóøêàðñêèõ äåë ìàñòåðà" Îíèñèìà Ìèõàé- ëîâà, íàïèñàâøåãî â 1620 ã. "Óñòàâ ðàòíûõ, ïóøå÷íûõ è äðóãèõ äåë, êàñàþùèõñÿ äî âîåííîé íàóêè", ÿâèâøèéñÿ öåííûì âêëàäîì â ïðàêòèêó âåäåíèÿ ñòðåëüá. Ïåðâîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè ñíàðÿäà ñ ó÷åòîì ñèëû ñî- ïðîòèâëåíèÿ âîçäóøíîé ñðåäû áûëî ïîëó÷åíî â 1753 ã. ÷ëåíîì Ïå- òåðáóðãñêîé àêàäåìèè íàóê Ëåîíàðäîì Ýéëåðîì. Îïóáëèêîâàííàÿ â 1755 ã., ýòà ðàáîòà ñòàëà, ïî ñóùåñòâó, ïåðâûì òåîðåòè÷åñêè îáîñíî- âàííûì èññëåäîâàíèåì ïî ðàñ÷åòó òðàåêòîðèé ñâîáîäíî áðîøåííî- ãî òåëà â âîçäóõå, âûïîëíåííûì â Ðîññèè.  1836 ã. ïðîôåññîðîì Àðòèëëåðèéñêîé àêàäåìèè Â.À. Àíêó- äîâè÷åì (1792–1856) áûë èçäàí ó÷åáíèê "Òåîðèÿ áàëëèñòèêè, ñî- äåðæàùàÿ ïðèëîæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ê îïðåäåëåíèþ ðàçëè÷íûõ îáñòîÿòåëüñòâ, ñîïðîâîæäàþùèõ äâèæåíèå òÿæåëûõ òåë, áðîøåííûõ êàêîé-íèáóäü ñèëîé", ñûãðàâøèé ñóùåñòâåííóþ ðîëü â ìåòîäè÷åñêîì îáåñïå÷åíèè ïðåïîäàâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþ- ùåé äèñöèïëèíû. Îãðîìíîå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå áàëëèñòèêè è ïîäãîòîâêó ñïåöèà- ëèñòîâ íå òîëüêî â Ðîññèè, íî è ïðàêòè÷åñêè âî âñåõ ñòðàíàõ Åâðî- ïû îêàçàëè ó÷åáíèêè, âûïóùåííûå â ñâåò â 1870 ã. íà ðóññêîì è â 1872 ã. íà ôðàíöóçñêîì ÿçûêàõ âûäàþùèìñÿ ó÷åíûì-àðòèëëåðè- ñòîì, îñíîâàòåëåì ðóññêîé íàó÷íîé øêîëû áàëëèñòèêè, ãåíåðàëîì îò àðòèëëåðèè, ÷ëåíîì-êîððåñïîíäåíòîì Ïåòåðáóðãñêîé àêàäåìèè íàóê Í. . Ìàèåâñêèì (1823–1892). Àðòèëëåðèéñêèé êîìèòåò Ãëàâíîãî àðòèëëåðèéñêîãî óïðàâëåíèÿ (ÃÀÓ), ïðîðåöåíçèðîâàâ íàïèñàííûé ïðîôåññîðîì Í. . Ìàèåâ- ñêèì ó÷åáíèê, òàê îïðåäåëèë â 1873 ã. åãî çíà÷åíèå: "... ðàññìàòðè- âàåìîå ñî÷èíåíèå ïî ïîëíîòå è îáñòîÿòåëüíîñòè èññëåäîâàíèÿ âî- 4
ïðîñîâ ... ïðåâîñõîäèò âñå èìåþùèåñÿ ïî ýòîìó ïðåäìåòó èçûñêàíèÿ è, ìîæíî ñêàçàòü, ïðåäñòàâëÿåò â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîñëåäíåå ñëîâî íàóêè áàëëèñòè÷åñêîé". Í. . Ìàèåâñêèé ñ 1852 ã. è ïðàêòè÷åñêè äî êîíöà ñâîåé æèçíè çàíèìàëñÿ ïåäàãîãè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòüþ â Ìèõàéëîâñêîé àðòèëëå- ðèéñêîé àêàäåìèè. Îí ïîäãîòîâèë çíà÷èòåëüíûé îòðÿä ó÷åíèêîâ, ñòàâøèõ âïîñëåäñòâèè êðóïíûìè ó÷åíûìè-àðòèëëåðèñòàìè. Ñ èìåíåì îäíîãî èç íèõ, ãåíåðàë-ëåéòåíàíòà Í.À. Çàáóäñêîãî (1853–1917), ñâÿçàíî ïîÿâëåíèå ñëåäóþùåãî èçäàíèÿ ó÷åáíèêà ïî êóðñó "Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà", ñîñòîÿâøååñÿ â 1895 ã. Ýòîò êóðñ ïî÷òè 30 ëåò îñòàâàëñÿ îñíîâíûì ðóêîâîäñòâîì ïî áàë- ëèñòèêå. Ïîñëå ó÷åáíèêîâ Í. . Ìàèåâñêîãî ýòî áûëà íàèáîëåå ïîë- íàÿ ðàáîòà, îòðàçèâøàÿ âñå íîâûå äîñòèæåíèÿ áàëëèñòè÷åñêîé íàó- êè, êîòîðûìè îòìå÷åíà ïîñëåäíÿÿ ÷åòâåðòü XIX âåêà.  íà÷àëå XX âåêà â ÷èñëå âàæíåéøèõ çàäà÷, ïîñòàâëåííûõ ïåðåä âíåøíåé áàëëèñòèêîé, îêàçàëàñü çàäà÷à ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ñòðåëüáû íà áîëüøèå äàëüíîñòè, îñîáåííî ïðè ñòðåëüáå ïî íåâèäè- ìûì öåëÿì. Ýòî ïîòðåáîâàëî ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ìåòîäèê ïðîâåäå- íèÿ îïûòíûõ ñòðåëüá è ñîñòàâëåíèÿ òàáëèö ñòðåëüáû. Íàèáîëåå ñó- ùåñòâåííûé âêëàä â ðåøåíèå òàêîãî ðîäà çàäà÷ íà òîò ïåðèîä âíåñ êðóïíûé ðóññêèé àðòèëëåðèñò Â.Ì. Òðîôèìîâ, âîçãëàâëÿâøèé äåÿ- òåëüíîñòü Ãëàâíîãî àðòèëëåðèéñêîãî ïîëèãîíà ñ 1910 ïî 1918 ã. Áîëüøîå çíà÷åíèå èìåëè òàêæå òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïðî- ôåññîðà Àðòèëëåðèéñêîé àêàäåìèè Ñ.Ã. Ïåòðîâè÷à, îïóáëèêîâàí- íûå â 1904 ã. Íåîáõîäèìîñòü óòî÷íåíèÿ âëèÿíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåé ñðå- äû íà äâèæåíèå ñíàðÿäîâ äàëüíîáîéíîé àðòèëëåðèè è çåíèòíûõ ñèñòåì ïîòðåáîâàëà ðàçðàáîòêè óíèâåðñàëüíîãî ïîäõîäà ê ðàñ÷åòó òðàåêòîðèé íà îñíîâå ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ïðèîðèòåòíûå ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè âíåøíåé áàëëèñòèêè ïðèíàäëåæàò àêàäåìèêó À.Í. Êðûëîâó. Ýòè èññëåäîâàíèÿ áûëè ïðî- äîëæåíû Â.Â. Ìå÷íèêîâûì, Í.À. Óïîðíèêîâûì, Ã.Â. Îïîêîâûì, Á.Í. Îêóíåâûì, Ñ.À. Êàçàêîâûì è äð.  ñîâåòñêèé ïåðèîä ðàçâèòèå âíåøíåé áàëëèñòèêè ñâÿçûâàþò ïðåæäå âñåãî ñ äåÿòåëüíîñòüþ ñîçäàííîé â 1918 ã. Êîìèññèè îñîáûõ àðòèëëåðèéñêèõ îïûòîâ (ÊÎÑÀÐÒÎÏ) âî ãëàâå ñ Â.Ì. Òðîôèìî- âûì.  ñîñòàâ Êîìèññèè âõîäèëè òàêèå âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå, êàê Í.Å. Æóêîâñêèé, Ñ.À. ×àïëûãèí, À.Í. Êðûëîâ. Çíà÷èòåëüíûé âêëàä â åå äåÿòåëüíîñòü âíåñëè êðóïíûå ó÷åíûå-àðòèëëåðèñòû Í.Ô . Äðîç- äîâ, Ã.Ï. Êèñíåìñêèé è äð. ÊÎÑÀÐÒÎÏ â óñëîâèÿõ ïîñëåâîåííîé ðàçðóõè è îñòðîé íåõâàòêè êâàëèôèöèðîâàííûõ êàäðîâ óñïåøíî ñïðàâèëàñü ñ ïîñòàâëåííûìè çàäà÷àìè. Ðàáîòû, âûïîëíåííûå ýòîé êîìèññèåé â 1920-å ãîäû, à çà- 5
òåì åå ïðååìíèêàìè – Àðòèëëåðèéñêèì íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèì èíñòèòóòîì (ÀÍÈÈ ÐÊÊÀ) è Àðòèëëåðèéñêîé àêàäåìèåé, ñòàëè íà- ó÷íûì ôóíäàìåíòîì äëÿ ïåðåâîîðóæåíèÿ àðòèëëåðèè Êðàñíîé Àð- ìèè â 1930-å ãîäû. Ñôîðìèðîâàëàñü ñîâåòñêàÿ íàó÷íàÿ øêîëà àðòèëëåðèéñêèõ ó÷å- íûõ è êîíñòðóêòîðîâ, ñîçäàâøèõ ëó÷øóþ â ìèðå àðòèëëåðèþ, çàñëó- æåííî ïîëó÷èâøóþ íåîôèöèàëüíûé òèòóë "áîãà âîéíû". Ïîä ðóêîâîäñòâîì Í.È . Òèõîìèðîâà, Â.À. Àðòåìüåâà, Á.Ñ. Ïåò- ðîïàâëîâñêîãî, Ã.Ý . Ëàíãåìàêà áûëè ñêîíñòðóèðîâàíû ïåðâûå ñî- âåòñêèå áîåâûå ðåàêòèâíûå ñíàðÿäû íà òâåðäîì òîïëèâå, êîòîðûå ñ íåêîòîðîé äîðàáîòêîé ýôôåêòèâíî ïðèìåíÿëèñü íà ïîëå áðàíè Âåëèêîé Îòå÷åñòâåííîé âîéíû, íàâîäÿ ïàíèêó â ðÿäàõ ïðîòèâíèêà. Áîëüøèõ äîñòèæåíèé äîáèëèñü ïðîåêòíî-êîíñòðóêòîðñêèå êîë- ëåêòèâû, âîçãëàâëÿâøèåñÿ âûäàþùèìèñÿ ó÷åíûìè-àðòèëëåðèñòàìè Â.Ã. Ãðàáèíûì, Á.È . Øàâûðèíûì, È.È. Èâàíîâûì, Ô.Ô . Ïåòðîâûì è äðóãèìè ñîâåòñêèìè êîíñòðóêòîðàìè. Ñâîèìè óñïåõàìè ñîâåòñêàÿ øêîëà âíåøíåé áàëëèñòèêè îáÿçàíà è íàó÷íûì òðóäàì Â.Ï. Âåò÷èíêèíà, Ä.À . Âåíòöåëÿ, Á.Í. Îêóíåâà, ß.Ì. Øàïèðî, Ô.È. Ôðàíêëÿ, Â.Ñ. Ïóãà÷åâà è ìíîãèõ äðóãèõ. Âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà ðàçëè÷íûìè àâòîðàìè è àâòîðñêèìè êîëëåêòèâàìè, ïðåäñòàâëÿþùèìè âåäóùèå áàëëèñòè÷åñêèå íàó÷íûå øêîëû ÑÑÑÐ, áûëî íàïèñàíî è îïóáëèêîâàíî çíà÷èòåëüíîå êîëè÷åñò- âî ìîíîãðàôèé, ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ ïîñîáèé, êîòîðûå â òîé èëè èíîé ñòåïåíè îòðàæàëè ñîäåðæàíèå ýòîé èíòåðåñíåéøåé äèñöèïëèíû è íà êîòîðûõ âîñïèòûâàëîñü íåñêîëüêî ïîêîëåíèé ñîâåòñêèõ è ðîññèéñêèõ ñïåöèàëèñòîâ.  îäíîì ðÿäó ñ èìåíàìè Ä.À. Âåíòöåëÿ, Á.Í. Îêóíåâà, ß.Ì. Øà- ïèðî, Ë.Á. Êîìàðîâà, Ñ.È. Åðìîëàåâà, À.Ä . ×åðíîçóáîâà, Í.Ì. Ìîí÷åíêî, Â.Ä . Êèðè÷åíêî, Æ.Ï. Ïàðøèíà, áåçóñëîâíî, ñòî- èò èìÿ óøåäøåãî èç æèçíè àâòîðà ýòîãî ó÷åáíèêà – Àíäðåÿ Àëåê- ñàíäðîâè÷à Äìèòðèåâñêîãî (1913–1992). À.À. Äìèòðèåâñêèé âíåñ îãðîìíûé âêëàä â ðàçâèòèå áàëëèñòèêè ìèíîìåòíûõ ñèñòåì, îñòà- âàÿñü äî êîíöà ñâîèõ äíåé êðóïíåéøèì àâòîðèòåòîì â ýòîé îáëàñòè.  ãîäû âîéíû îí áûë ãëàâíûì êîíñòðóêòîðîì ìèíîìåòíîãî çàâîäà, â 1948 ã. ïåðåøåë íà ïðåïîäàâàòåëüñêóþ ðàáîòó â ÌÂÒÓ èì. Í.Ý. Áàóìàíà. Áîëåå òðèäöàòè ëåò âîçãëàâëÿÿ êàôåäðó áàëëèñòè- êè ÌÂÒÓ (ñ 1956 ïî 1987 ã.), À.À. Äìèòðèåâñêèé ñîçäàë îäíó èç êðóïíåéøèõ íàó÷íûõ øêîë, ïðåäñòàâèòåëè êîòîðîé õîðîøî èçâåñò- íû ñâîèìè òðóäàìè íå òîëüêî â ÑÑÑÐ, íî è çà ðóáåæîì. Âûäåðæàâøèé ïðè åãî æèçíè òðè èçäàíèÿ, ó÷åáíèê "Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà" ïîëó÷èë âûñîêóþ îöåíêó ñïåöèàëèñòîâ, áûë óäîñòîåí ðÿäà íàãðàä è ïðåìèé, ïåðåèçäàí íà èíîñòðàííûõ ÿçûêàõ. Íàñòîÿùåå, ÷åòâåðòîå, èçäàíèå çàäóìûâàëîñü ó÷åíèêàìè À.À . Äìèòðèåâñêîãî êàê äàíü ïàìÿòè êðóïíîìó ó÷åíîìó è ïðåêðàñíî- 6
ìó ïåäàãîãó.  ñèëó óêàçàííîãî îáñòîÿòåëüñòâà â ïðåäëàãàåìîì âíèìà- íèþ ÷èòàòåëÿ èçäàíèè ïî âîçìîæíîñòè ñîõðàíåíû áåç èçìåíåíèé ìà- òåðèàëû è ðàçäåëû, ëè÷íî íàïèñàííûå À.À. Äìèòðèåâñêèì äëÿ òðåòüå- ãî èçäàíèÿ (ãë. 1 ...3). Íå ïðåòåðïåëè òàêæå ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé íàïèñàííûå ïîä íàó÷íûì ðóêîâîäñòâîì À.À. Äìèòðèåâñêîãî åãî àñïè- ðàíòîì Ñ.Ñ . Áîãîäèñòîâûì ãë. 7 è çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ãë. 11 . Èìåííî ïî ýòèì ñîîáðàæåíèÿì ñîõðàíåíî è èìÿ À.À. Äìèòðèåâñêîãî êàê ñîàâ- òîðà ó÷åáíèêà, âûïóñêàåìîãî â ñâåò áîëåå ÷åì ÷åðåç äåñÿòü ëåò ïîñëå åãî ñìåðòè. Áûëî áû íåïðàâèëüíûì, îäíàêî, ñ÷èòàòü íàñòîÿùåå èçäàíèå èñ- êëþ÷èòåëüíî ìåìîðèàëüíûì. Äàííàÿ êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíèêîì, óäîâëåòâîðÿþùèì, êàê ïðåäñòàâëÿåòñÿ, âñåì òðåáîâàíèÿì, êîòîðûì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñîâðåìåííàÿ ó÷åáíàÿ ëèòåðàòóðà. Åå ñîäåðæà- íèå ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò ïðîãðàììå êóðñà "Âíåøíÿÿ áàëëèñòè- êà", ÿâëÿþùåãîñÿ îñíîâîïîëàãàþùåé äèñöèïëèíîé ñïåöèàëüíîñòåé "Áàëëèñòèêà" è "Äèíàìèêà ïîëåòà è óïðàâëåíèå äâèæåíèåì ëåòà- òåëüíûõ àïïàðàòîâ". Ðåøåíèåì ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîãî îáúåäèíåíèÿ (ÓÌÎ) âóçîâ ïî óíèâåðñèòåòñêîìó ïîëèòåõíè÷åñêîìó îáðàçîâàíèþ äàííîå èçäàíèå ðåêîìåíäîâàíî òàêæå â êà÷åñòâå îñíîâíîãî ó÷åáíèêà ïî êóðñó "Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà" äëÿ îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòÿì "Ñòðåëêîâî-ïóøå÷íîå, àðòèëëåðèéñêîå è ðàêåòíîå îðóæèå" è "Ñðåä- ñòâà ïîðàæåíèÿ è áîåïðèïàñû". Åñòåñòâåííî, ÷òî çà ãîäû, ïðîøåäøèå ïîñëå âûõîäà â ñâåò òðåòüå- ãî èçäàíèÿ ó÷åáíèêà (1991), âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà ïîïîëíèëàñü íî- âûìè ðåçóëüòàòàìè, áåç çíàíèÿ êîòîðûõ ïîäãîòîâêà ñïåöèàëèñòîâ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîôèëÿ íå ìîæåò áûòü ïðèçíàíà ïîëíîöåííîé. Îáúåêòèâíîñòè ðàäè íåîáõîäèìî, ïðàâäà, îòìåòèòü, ÷òî ïðîøåä- øèå ãîäû, õàðàêòåðèçóåìûå êðóïíûìè ñîöèàëüíûìè ïîòðÿñåíèÿìè, âûñîêèì óðîâíåì ýêîíîìè÷åñêîé íåñòàáèëüíîñòè â ñòðàíå, íåîïðåäå- ëåííîñòüþ â ñìåíå ïðèîðèòåòîâ â îáëàñòè âîåííîãî ñòðîèòåëüñòâà, íå ñïîñîáñòâîâàëè áóðíîìó ðàçâèòèþ áàëëèñòè÷åñêèõ íàó÷íûõ øêîë è ñåðüåçíîìó ïðîãðåññó â îáëàñòè äàííîé íàóêè. Âìåñòå ñ òåì íèêàêèå îáñòîÿòåëüñòâà è ñóáúåêòèâíûå ôàêòîðû íå ìîãëè ïîìåøàòü ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ â ðàçâèòèè íàóêè è òåõ- íèêè âîîáùå è, â ÷àñòíîñòè, â òåõ èõ ðàçäåëàõ, êîòîðûå ñîïðèêàñàëèñü è îêàçûâàëè íåïîñðåäñòâåííîå âîçäåéñòâèå íà ðàçâèòèå âíåøíåé áàë- ëèñòèêè. Ïðåæäå âñåãî ýòî êàñàåòñÿ äàëüíåéøåãî ïðîãðåññà â îáëàñòè ñîçäàíèÿ âûñîêîýôôåêòèâíîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ìåòîäîâ âû- ÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, çàñòàâèâøèõ ïåðåñìîòðåòü íåêîòîðûå ñëî- æèâøèåñÿ ïðåäñòàâëåíèÿ, ïî-èíîìó îöåíèòü ïðèîðèòåòû è âîçìîæ- íûå ïóòè ðåøåíèÿ çàäà÷ ïîäãîòîâêè èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ ïðîâåäåíèÿ ñòðåëüá. 7
 ïîñëåäíèå ãîäû ñòàë äîñòóïåí äëÿ øèðîêîãî ÷èòàòåëÿ ðÿä ðå- çóëüòàòîâ, ãëàâíûì îáðàçîì ìåòîäè÷åñêîãî õàðàêòåðà, â îáëàñòè òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèõ èíòåðåñ ñ òî÷êè çðåíèÿ èçëîæåíèÿ ìàòåðèàëà. Åùå áîëåå ïîâûñèëàñü òåõíè÷åñêàÿ îñíàùåííîñòü è ìåòîäè÷å- ñêàÿ îáåñïå÷åííîñòü áàëëèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ïîëó÷èëè îòäåëüíûå ðàçäåëû áàëëèñòèêè êîððåêòèðóåìûõ è óïðàâëÿåìûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ. Ïî âîçìîæíîñòè âñå ýòî ó÷òåíî â íîâîì èçäàíèè ó÷åáíèêà. Ïîìèìî ñâåäåíèé, ñîñòàâëÿþùèõ ñîäåðæàíèå îñíîâíûõ ðàçäåëîâ êóðñà, â íàñòîÿùåå èçäàíèå, êàê è â ïðåäûäóùèå, âêëþ÷åíû íåêîòîðûå ìàòåðèàëû äëÿ ôàêóëüòàòèâíîãî èçó÷åíèÿ, âûäåëåííûå â òåêñòå ìåëêèì øðèôòîì. Ïðèâåäåííûé ñïèñîê ëèòåðàòóðû, íåñêîëüêî ðàñøèðåííûé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðåäûäóùèìè èçäàíèÿìè çà ñ÷åò âêëþ÷åíèÿ â íåãî ðàíåå íåäîñòóïíûõ äëÿ øèðîêîãî ÷èòàòåëÿ ðàáîò, ñîäåðæèò ïåðå÷åíü èñ- ïîëüçîâàííûõ ïðè íàïèñàíèè ó÷åáíèêà èñòî÷íèêîâ. Ðàáîòû, ðåêî- ìåíäîâàííûå äëÿ áîëåå ãëóáîêîãî èçó÷åíèÿ äèñöèïëèíû, îòìå÷åíû çâåçäî÷êàìè. Ïðè ïîäãîòîâêå ðóêîïèñè ÷åòâåðòîãî èçäàíèÿ êíèãè ê ïå÷àòè áûëè ó÷òåíû çàìå÷àíèÿ ðåöåíçèðóþùåé êàôåäðû è ðåöåíçåíòà, äåéñòâè- òåëüíîãî ÷ëåíà Ðîññèéñêîé àêàäåìèè ðàêåòíûõ è àðòèëëåðèéñêèõ íàóê, çàñëóæåííîãî äåÿòåëÿ íàóêè è òåõíèêè ÐÑÔÑÐ, äîêòîðà òåõíè- ÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà Í.Ì. Ìîí÷åíêî, âêëàä êîòîðîãî â ñîâåðøåí- ñòâîâàíèå ìàòåðèàëîâ ó÷åáíèêà äàëåêî âûõîäèò çà ðàìêè ôîðìàëüíûõ ôóíêöèé îôèöèàëüíîãî ðåöåíçåíòà. Åãî äîáðîæåëàòåëüíàÿ êðèòèêà è ñîâåòû ÿâèëèñü îïðåäåëÿþùèìè ïðè îòáîðå è ïåðåîñìûñëèâàíèè èñ- òèííîé öåííîñòè ïðèâëåêàåìûõ ê ðàññìîòðåíèþ ìàòåðèàëîâ. Ñ÷èòàþ ñâîèì äîëãîì ïîáëàãîäàðèòü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà ëèòåðàòó- ðû ïî àâèàöèè, ðàêåòíîé òåõíèêå è êîñìîíàâòèêå èçäàòåëüñòâà "Ìà- øèíîñòðîåíèå" Ë.À. Ãèëüáåðãà, âûñòóïèâøåãî èíèöèàòîðîì ïåðåèçäà- íèÿ ó÷åáíèêà. Áåç åãî ïîääåðæêè îíî âðÿä ëè îêàçàëîñü áû âîçìîæ- íûì. Íàêîíåö, õîòåë áû âûðàçèòü ïðèçíàòåëüíîñòü êîëëåãàì, ïðèíÿâ- øèì ó÷àñòèå â îáñóæäåíèè ðóêîïèñè è ñïîñîáñòâîâàâøèì óëó÷øå- íèþ åå ñîäåðæàíèÿ, à òàêæå îêàçàâøèì ñîäåéñòâèå â ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå èçäàíèÿ. Äåéñòâèòåëüíûé ÷ëåí Ðîññèéñêîé àêàäåìèè ðàêåòíûõ è àðòèëëåðèéñêèõ íàóê, çàñëóæåííûé äåÿòåëü íàóêè ÐÔ, ëàóðåàò ïðåìèè Ïðåçèäåíòà ÐÔ, äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ë. Ëûñåíêî
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß Âåêòîðû âûäåëÿþòñÿ ïðÿìûì ïîëóæèðíûì øðèôòîì; ìàòðèöû ëèáî îáîçíà÷àþòñÿ áîëüøèìè ïîëóæèðíûìè áóêâàìè (À, Â, Ñ), ëèáî ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îò âåêòîðîâ ∂ ∂ f x ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟. Ñêàëÿðíûå èëè âåêòîðíûå ôóíêöèè ñêàëÿðíûõ èëè âåêòîð- íûõ ïåðåìåííûõ îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x(t); x(t); f(x); f(x, t). Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ÃÎÑÒó 20058–80 "Äèíà- ìèêà ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ â àòìîñôåðå" è ÃÎÑÒó 4401–81 "Àòìî- ñôåðà ñòàíäàðòíàÿ. Ïàðàìåòðû". À – àçèìóò à – ñêîðîñòü çâóêà àà – óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ËÀ â àáñîëþòíîì äâèæåíèè àå – óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ êîðïóñà ËÀ â ïåðåíîñíîì äâèæåíèè ar – óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû "êîðïóñ – òîïëèâî – ãàçû" îòíîñèòåëüíî êîðïóñà ðàêåòû ñ – áàëëèñòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò, èíòåãðàë ïëîùàäåé CR – àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ñóììàðíîé àýðîäèíàìè- ÷åñêîé ñèëû cx, cy, cz – êîýôôèöèåíòû àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë F – ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âíåøíÿÿ ñèëà Fêîð – êîðèîëèñîâà ñèëà Fp – ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðåàêòèâíàÿ ñèëà F(V), G(V),K V a ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ – ôóíêöèè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà g – óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ gò – óñêîðåíèå îò ñèëû òÿãîòåíèÿ à – ìîìåíò ïîâåðõíîñòíîãî òðåíèÿ Í – ãåîïîòåíöèàëüíàÿ âûñîòà H(y) – ôóíêöèÿ èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè âîçäóõà â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû III xyz iii ,, – ìîìåíòû èíåðöèè ËÀ îòíîñèòåëüíî îñåé ïðèíÿòîé ê ðàññìîòðåíèþ ñèñòåìû êîîðäèíàò III xy xz yz ii ii ii ,, – öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè K – âåêòîð êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà òåëà L – ëèíåéíàÿ äàëüíîñòü ïî ïîâåðõíîñòè Çåìëè Ì – ÷èñëî Ìàõà Ìä – äåìïôèðóþùèé ìîìåíò 9
Ìñò – ñòàáèëèçèðóþùèé ìîìåíò MF – ñóììàðíûé ìîìåíò âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ËÀ m – ìàññà äâèæóùåãîñÿ òåëà (ðàêåòû, ñíàðÿäà) mx, my, mz – êîýôôèöèåíòû àýðîäèíàìè÷åñêèõ ìîìåíòîâ Ï – ïîòåíöèàë ñèëû òÿæåñòè Ïò – ïîòåíöèàë ñèëû çåìíîãî òÿãîòåíèÿ Ïö – ïîòåíöèàë öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè Жòÿãà ð – äàâëåíèå âîçäóõà Q – âåêòîð êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òåëà Qi – îáîáùåííàÿ ñèëà q – ñêîðîñòíîé íàïîð S – õàðàêòåðíàÿ ïëîùàäü T = tc = tï – ïîëíîå âðåìÿ ïîëåòà ÒÏ – êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà ïåðåìåííîé ìàññû Va – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ ËÀ â àáñîëþòíîì äâèæåíèè Ve – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ ËÀ â ïåðåíîñíîì äâèæåíèè Vr – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ ñèñòåìû "êîðïóñ – òîïëèâî – ãàçû" îò- íîñèòåëüíî êîðïóñà ðàêåòû Vxc = u – ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ËÀ íà îñü OXc ñòàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Vyc = w – ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ËÀ íà îñü OYc Xa – ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ Xp, Yp, Zp – óïðàâëÿþùèå ñèëû, äåéñòâóþùèå â íàïðàâëåíèè ñâÿ- çàííûõ îñåé ËÀ xc – ãîðèçîíòàëüíàÿ äàëüíîñòü Ya – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ïîäúåìíàÿ ñèëà ó – ãåîìåòðè÷åñêàÿ âûñîòà ys – âûñîòà òðàåêòîðèè Za – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ áîêîâàÿ ñèëà α – óãîë àòàêè β – óãîë ñêîëüæåíèÿ γ – óãîë êðåíà ε – óãîë ìåñòà θ – óãîë íàêëîíà òðàåêòîðèè θ – óãîë òàíãàæà λ* – äîëãîòà λ – äîëãîòà ëèíèè óçëîâ π(y) – ôóíêöèÿ èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ ñ âûñîòîé ρ – ïëîòíîñòü âîçäóõà τ – âèðòóàëüíàÿ òåìïåðàòóðà φã – ãåîãðàôè÷åñêàÿ øèðîòà 10
φãö – ãåîöåíòðè÷åñêàÿ øèðîòà Ψ – óãîë ïóòè ψ – óãîë ðûñêàíèÿ Ω – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Çåìëè ω – âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè êîðïóñà ñíàðÿäà (ðàêåòû) îòíîñè- òåëüíîé áàçîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Íèæíèå èíäåêñû ê – êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà ö–öåëü Âåðõíèå èíäåêñû ο – åäèíè÷íûé âåêòîð (opò), îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ò – çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåêòîðà èëè ìàòðèöû * – íîìèíàëüíîå çíà÷åíèå, ëîêàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ Ïðî÷èå îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â ó÷åáíèêå, ïîÿñíåíû â òåêñòå.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Òåðìèí "áàëëèñòèêà", èçíà÷àëüíî îïðåäåëÿþùèé íàóêó î äâèæå- íèè ñâîáîäíî áðîøåííîãî òåëà, èìååò ãðå÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå â ñèëó ñîçâó÷íîñòè ñî ñëîâîì "ba'llo", îçíà÷àþùèì â ïåðåâîäå "áðî- ñàþ". Îò íåãî æå ïîøëî è íàçâàíèå äðåâíèõ ìåòàòåëüíûõ óñòàíîâîê "áàëëèñò", ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ìåòàíèÿ êàìíåé, òÿæåëûõ ñòðåë, áî÷åê ñ ãîðÿùåé ñìîëîé è ò.ä ., èñïîëüçóåìûõ âïëîòü äî êîíöà V âåêà ïðè îñàäå êðåïîñòåé è ïîðàæåíèè èõ çàùèòíèêîâ. Ñ âîçíèêíîâåíèåì àðòèëëåðèè, ñòðåëêîâîãî îðóæèÿ, à òàêæå íå- óïðàâëÿåìûõ ðàêåò ïîä "áàëëèñòèêîé" ñòàëè ïîíèìàòü íàóêó î äâè- æåíèè àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ, ìèí, ïóëü è íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò. Ïîÿâëåíèå óïðàâëÿåìûõ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàêåò, ïîëåò êîòîðûõ, çà èñêëþ÷åíèåì îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîãî àêòèâíîãî ó÷àñòêà, ñîâåð- øàåòñÿ ïî òðàåêòîðèè ñâîáîäíî áðîøåííîãî òåëà, ïðèâåëî ê èñ- ïîëüçîâàíèþ òåðìèíà "áàëëèñòèêà" è ïðè èçó÷åíèè çàêîíîìåðíî- ñòåé äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìûõ ðàêåò äàëüíåãî äåéñòâèÿ, à òàêæå êîð- ðåêòèðóåìûõ áîåïðèïàñîâ ðàçëè÷íîãî òèïà. Ðàñïðîñòðàíåíèå îäíîãî òåðìèíà (à òî÷íåå, ïîíÿòèÿ) íà ñòîëü øèðîêèé êðóã çàäà÷ äâèæåíèÿ "ñâîáîäíî áðîøåííûõ" îáúåêòîâ, åñ- òåñòâåííî, ïîòðåáîâàëî äàëüíåéøåé äåòàëèçàöèè â íàçâàíèè îñíîâ- íûõ íàïðàâëåíèé (ðàçäåëîâ) áàëëèñòèêè. Íà ñîâðåìåííîì ýòàïå ðàçâèòèÿ îáñóæäàåìîé íàóêè ïðåäñòàâëÿ- åòñÿ âîçìîæíûì äîñòàòî÷íî ñòðîãî ðàçäåëèòü èõ, ïî êðàéíåé ìåðå ñ òî÷êè çðåíèÿ íàçâàíèé è õàðàêòåðà ðåøàåìûõ çàäà÷. Ñ ó÷åòîì ñëîæèâøåéñÿ òåðìèíîëîãèè ïðèíÿòî ðàçëè÷àòü: âíóòðåííþþ áàëëèñòèêó, èçó÷àþùóþ äâèæåíèå ñíàðÿäîâ, ìèí, ïóëü è ò.ä . â êàíàëå ñòâîëà îðóæèÿ ïîä äåéñòâèåì ïîðîõîâûõ ãàçîâ, à òàêæå äðóãèå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ïðè âûñòðåëå â êàíàëå ñòâî- ëà èëè êàìåðå ñãîðàíèÿ ðàêåòû; ïðîìåæóòî÷íóþ áàëëèñòèêó, ÿâëÿþùóþñÿ ïîäðàçäåëîì âíóòðåí- íåé áàëëèñòèêè, èçó÷àþùóþ ïðîöåññû ïåðèîäà ïîñëåäåéñòâèÿ, îïðå- äåëÿþùåãî äåéñòâóþùóþ íà îòêàòíûå ÷àñòè îðóäèÿ ñèëó, ïóòü è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýòèõ ÷àñòåé, óñêîðåíèå è ïóòü ñíàðÿäà ïðè âûëå- òå èç êàíàëà ñòâîëà èëè ðàêåòû ïðè ñõîäå ñ íàïðàâëÿþùåé, âðåìÿ äåéñòâèÿ íà ñíàðÿä èñòåêàþùèõ èç êàíàëà ñòâîëà ãàçîâ, íà÷àëüíûå 12
óñëîâèÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà èëè ðàêåòû, äåéñòâèå íàäóëüíûõ ãàçîîò- âîäíûõ óñòðîéñòâ è äð.; âíåøíþþ áàëëèñòèêó, èçó÷àþùóþ äâèæåíèå íåóïðàâëÿåìûõ ëåòà- òåëüíûõ àïïàðàòîâ (ñíàðÿäîâ, ìèí, ïóëü, íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò, àâèàáîìá è ò.ä.) ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ èõ ñèëîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñî ñòâîëîì îðóæèÿ èëè íàïðàâëÿþùåé ïóñêîâîé óñòàíîâêè, à òàêæå ôàêòîðû è óñëîâèÿ, âëèÿþùèå íà ýòî äâèæåíèå; ýêñïåðèìåíòàëüíóþ áàëëèñòèêó (âíóòðåííþþ è âíåøíþþ), çàíè- ìàþùóþñÿ èññëåäîâàíèåì ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ ïðè ãîðåíèè ïîðîõà, äâèæåíèè ñíàðÿäîâ, ðàêåò (èëè êîíñòðóêòèâíî ïî- äîáíûõ èì ìîäåëåé) è ò.ä .; áàëëèñòèêó óïðàâëÿåìûõ è êîððåêòèðóåìûõ ðàêåò è ñíàðÿäîâ, èçó- ÷àþùóþ äâèæåíèå áàëëèñòè÷åñêèõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ ïî òðàåê- òîðèÿì, ðåàëèçàöèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïðè- íÿòûì çàêîíîì íàâåäåíèÿ èëè êîððåêöèè è óñëîâèÿìè ïîñëåäóþ- ùåãî ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ â áåçâîçäóøíîì ïðîñòðàíñòâå è/èëè â àòìîñôåðå. Íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíûå ðàçëè÷èÿ â ñîäåðæàòåëüíîé ñòîðîíå ïå- ðå÷èñëåííûõ ðàçäåëîâ áàëëèñòèêè, áîëüøèíñòâî èç íèõ (çà èñêëþ- ÷åíèåì, ìîæåò áûòü, âíóòðåííåé è ïðîìåæóòî÷íîé áàëëèñòèêè) îáúåäèíÿåò òî, ÷òî îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîå äâè- æåíèå òåëà, ò.å . äâèæåíèå, íå îãðàíè÷åííîå íèêàêèìè ìåõàíè÷åñêè- ìè ñâÿçÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, áàëëèñòèêà èìååò äåëî ñ íàèáîëåå îáùèì âèäîì ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ – äâèæåíèåì òâåðäîãî òåëà, îáëàäàþùåãî øåñòüþ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.  ðÿäå ñëó÷àåâ íà ýòî äâèæåíèå íàêëà- äûâàþòñÿ ñîïóòñòâóþùèå ýôôåêòû, îáóñëîâëåííûå âíåøíèìè óñ- ëîâèÿìè ïîëåòà, êîððåêòèðóþùèìè âîçäåéñòâèÿìè, èçìåíåíèåì ìàññû ðåàêòèâíîãî ñíàðÿäà (ðàêåòû), ïåðåìåùåíèåì åãî öåíòðà ìàññ âäîëü êîðïóñà è ò.ä . Ðàññìàòðèâàÿ äâèæåíèå ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà (ËÀ) ïîä äåéñòâè- åì ïðèëîæåííûõ ê íåìó ñèë (àýðîäèíàìè÷åñêîé, ãðàâèòàöèîííîé è ðåàêòèâíîé), âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà ñòàâèò öåëüþ ïîëó÷åíèå èñõîä- íûõ äàííûõ äëÿ ïðîåêòèðîâàíèÿ àðòèëëåðèéñêèõ è ðàêåòíûõ êîì- ïëåêñîâ, áîåïðèïàñîâ ê íèì; ìåòîäè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ èñïûòà- íèé íîâûõ ñèñòåì; ñîñòàâëåíèÿ òàáëèö ñòðåëüáû, ïî êîòîðûì ðåøà- þòñÿ çàäà÷è ïðèöåëèâàíèÿ, îáîáùåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ñòðåëüáû è áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ äëÿ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ÝÂÌ ïîäãîòîâ- êè äàííûõ; ïðîâåäåíèÿ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé, îöåíêè òî÷íîñòè ñòðåëüáû è ò.ä . Ñîçäàíèå íîâîé ñèñòåìû âñåãäà íà÷èíàåòñÿ ñ áàëëèñòè÷åñêîãî ïðîåê- òèðîâàíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷ âíåøíåé è âíóòðåííåé áàëëèñòèêè. Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà îïðåäåëÿåò ôîðìó òðàåêòîðèè, íàèáîëüøèå è íàèìåíüøèå 13
óãëû áðîñàíèÿ, òðåáîâàíèÿ ê çíà÷åíèþ ïåðåãðóçêè. Âûÿâëåíèå óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ñíàðÿäîâ ðàçëè÷íîé êîíñòðóêöèè îòíîñèòñÿ ê îäíîé èç ãëàâíûõ çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè. Òåîðèÿ ïîïðàâîê, îñíî- âàííàÿ íà ó÷åòå îòêëîíåíèé äåéñòâèòåëüíûõ óñëîâèé ñòðåëüáû îò íîìè- íàëüíûõ, ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè óòî÷íåíèå óñòàíîâîê, îïðåäåëÿþùèõ íà- ÷àëüíûå óñëîâèÿ ñòðåëüáû ïî íåïîäâèæíûì è ïîäâèæíûì öåëÿì. Ðàñ÷åò ðàññåèâàíèÿ ñíàðÿäîâ è îæèäàåìîé òî÷íîñòè ñòðåëüáû äàåò âîçìîæíîñòü îöåíèòü ïðåäïîëàãàåìûé ðàñõîä ñíàðÿäîâ ïðè ðåøåíèè òîé èëè èíîé òàêòè÷åñêîé çàäà÷è. Âàæíîé ïðîáëåìîé âíåøíåé áàëëèñòèêè ÿâëÿåòñÿ ó÷åò âëèÿíèÿ äâèæåíèÿ íîñèòåëÿ âîîðóæåíèÿ (êîðàáëÿ, ñàìîëåòà è äð.) íà îïðåäåëå- íèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñòðåëüáû. Ïðè ñòðåëüáå ïî ïîäâèæíûì öåëÿì ìåòîäàìè âíåøíåé áàëëèñòèêè ðàññ÷èòûâàþòñÿ óãëû óïðåæäåíèÿ è èõ èçìåíåíèå â ïðîöåññå äâèæåíèÿ öåëè. Áàëëèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ïðîâîäÿòñÿ â íåñêîëüêî ïðèáëèæåíèé. Íà ñòàäèè áàëëèñòè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ óïðîùåííûå ìîäåëè äâèæåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå ëèøü îñíîâíûå ôàê- òîðû.  ïðîöåññå êîíñòðóèðîâàíèÿ ñèñòåì (êîìïëåêñà) ýòè ðàñ÷åòû ïîâòîðÿþòñÿ ñ ââåäåíèåì â íèõ íîâûõ óòî÷íÿþùèõ äàííûõ. Íåñìîòðÿ íà îïðåäåëåííûå îñîáåííîñòè áàëëèñòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ ðàêåò è ñíàðÿäîâ, ïîñòàíîâêà ýòèõ çàäà÷ è ïîñëåäóþùèå èõ ðåøåíèÿ âî ìíîãîì îñòàþòñÿ îáùèìè. Äâèæåíèå ðàêåò è ñíàðÿäîâ ïîä÷èíÿåòñÿ îäíèì è òåì æå çàêîíàì ìåõàíèêè è îïèñûâàåòñÿ îäíîòèïíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. ×àùå âñåãî ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèå êîíêðåòíûé êîìïëåêñ äåéñòâóþùèõ ñèë è ìîìåíòîâ. Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà ðàêåò ïðåäïîëàãàåò íåîáõîäèìîñòü âûäåëå- íèÿ äëÿ èçó÷åíèÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè, íà êîòîðîì äâèæå- íèå ËÀ îñóùåñòâëÿåòñÿ çà ñ÷åò èñòå÷åíèÿ èç ñîïëîâîãî áëîêà ãàçî- âîé ñòðóè, îáðàçóþùåéñÿ îò ñãîðàíèÿ òîïëèâà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóò- ðè åãî êîðïóñà. Ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ ðåàêòèâíîé ñèëû (ïàññèâíûé ó÷àñòîê òðàåêòîðèè) ðàñ÷åò äâèæåíèÿ ðåàêòèâíîãî ñíà- ðÿäà (ðàêåòû) ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ðàñ÷åòîì òðàåê- òîðèé îáû÷íûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû. Ðàññìàòðèâàåìûå â ó÷åáíèêå àðòèëëåðèéñêèå è ðåàêòèâíûå ñíà- ðÿäû* , ÿâëÿþùèåñÿ îñíîâíûì îáúåêòîì èçó÷åíèÿ âíåøíåé áàëëè- ñòèêè, îáëàäàþò îïðåäåëåííûìè îñîáåííîñòÿìè, íå ïîçâîëÿþùèìè â ïîëíîé ìåðå ðàñïðîñòðàíÿòü ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè èõ èñ- 14 *  ñëó÷àå, åñëè ïîñòàíîâêà çàäà÷è íå òðåáóåò äåòàëèçàöèè òèïà ñíàðÿäà (ðàêåòû), äàëåå â òåêñòå èñïîëüçóåòñÿ îáîáùàþùåå ïîíÿòèå – ëåòàòåëüíûå àïïàðàòû.
ñëåäîâàíèè, íà óïðàâëÿåìûå áàëëèñòè÷åñêèå ðàêåòû. Òåì íå ìåíåå äàëüíåéøåå ðàçâèòèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ñîçäàåò îñíîâó äëÿ òåîðåòè- ÷åñêèõ èññëåäîâàíèé áàëëèñòèêè óïðàâëÿåìûõ ËÀ. Ýòî òåì áîëåå ñïðàâåäëèâî äëÿ êîððåêòèðóåìûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ, îòíî- ñÿùèõñÿ ê ïðîìåæóòî÷íîìó êëàññó áîåïðèïàñîâ.  íàñòîÿùåì ó÷åáíèêå â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ïîëíîòû èçëîæå- íèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå îñíîâíûå âîïðîñû âíåøíåé áàëëèñòèêè ËÀ. Çàäà÷è âíåøíåé áàëëèñòèêè ïðèíÿòî ïîäðàçäåëÿòü íà ïÿòü ãðóïï (ïÿòü îñíîâíûõ çàäà÷). Ñôîðìóëèðóåì èõ. Ïåðâàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé äâèæåíèÿ ËÀ ïî çàðà- íåå èçâåñòíûì äàííûì. Äëÿ åå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ïðåæäå âñåãî ïðà- âèëüíî îïðåäåëèòü ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ËÀ â ïîëåòå, è èõ âåëè÷èíó â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Äàëåå ñëåäóåò ñîñòàâèòü äèôôåðåíöèàëü- íûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ËÀ ñ ó÷åòîì âñåõ äåéñòâóþùèõ ñèë.  ðå- çóëüòàòå èõ ðåøåíèÿ ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ íàõîäÿòñÿ îñ- íîâíûå ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ è êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ â ôóíêöèè âðåìåíè, ïî êîòîðûì ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà òðàåêòîðèÿ. Ïåðâóþ çàäà- ÷ó èíîãäà íàçûâàþò îñíîâíîé èëè ïðÿìîé çàäà÷åé âíåøíåé áàëëèñòèêè. ×èñëî ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ËÀ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, õàðàêòåð èõ èç- ìåíåíèÿ â ïîëåòå, à òàêæå ÷èñëî óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå è èõ âèä, çàâèñÿò îò íàçíà÷åíèÿ ËÀ, åãî êîíñòðóêöèè, ñïîñîáà ñòàáè- ëèçàöèè â ïîëåòå è ïðåäïîëàãàåìîé òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ, à òàêæå îò ýòàïà æèçíåííîãî öèêëà èçäåëèÿ, äëÿ êîòîðîãî ïðîâîäÿòñÿ ñîîòâåòñò- âóþùèå áàëëèñòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ. Âòîðàÿ, èëè òàê íàçûâàåìàÿ îáðàòíàÿ, çàäà÷à, âàæíûì ýëåìåíòîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòûñêàíèå îïòèìàëüíûõ ðåæèìîâ è òðàåêòîðèé äâèæåíèÿ, ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïðîåêòíûõ áàëëèñòè÷åñêèõ ïàðà- ìåòðîâ äâèæåíèÿ ïî çàäàííûì òàêòèêî-òåõíè÷åñêèì õàðàêòåðèñòè- êàì è òðåáîâàíèÿì áîåâîãî ïðèìåíåíèÿ, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ðàêåò- íîé èëè àðòèëëåðèéñêîé ñèñòåìå. Ðàñ÷åò ñòàáèëèçàöèè è óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ËÀ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷åíèÿ îòíîñèòñÿ ê òðåòüåé çàäà÷å âíåøíåé áàëëèñòèêè. Åñëè ðàêåòà èëè ñíàðÿä íåóñòîé÷èâû â ïîëåòå, òî íåëüçÿ îæèäàòü, ÷òî îíè "ïðàâèëüíî" ïîëåòÿò â çàäàííîì íàïðàâëåíèè. Ïðîåêòíûå ðàñ÷åòû âåäóòñÿ, êàê ïðàâèëî, äëÿ èäåàëüíî âûïîëíåííî- ãî ñíàðÿäà ïðè ñðåäíèõ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, ïðèíÿòûõ çà íîìè- íàëüíûå. Îäíàêî â äåéñòâèòåëüíîñòè ïîÿâëÿåòñÿ ðÿä ôàêòîðîâ, âûçû- âàþùèõ îòêëîíåíèå ñíàðÿäà îò ðàñ÷åòíîé òðàåêòîðèè. Ðàññåèâàíèå òðà- åêòîðèé îòäåëüíûõ âûñòðåëîâ èëè ïóñêîâ ðàêåò ìîæåò áûòü îáóñëîâëåíî êàê êîíñòðóêòèâíûìè è òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðè÷èíàìè (íàïðèìåð, âû- 15
çûâàåìûì èìè ó ðàêåò ýêñöåíòðèñèòåòîì ñèëû òÿãè), òàê è îòêëîíåíèÿ- ìè óñëîâèé ïîëåòà îò ðàñ÷åòíûõ, íàïðèìåð èçìåíåíèåì ìåòåîôàêòîðîâ, íåðàâíîìåðíûì ðàçãàðîì êðèòè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà, "óíîñîì" ìàññû òåïëîçàùèòû ïîêðûòèÿ ñ ãîëîâíîé ÷àñòè áàëëèñòè÷åñêîé ðàêåòû è äð. Èçó÷åíèå ôàêòîðîâ, âëèÿþùèõ íà ðàññåèâàíèå òðàåêòîðèé ËÀ, îïðåäå- ëåíèå ñòåïåíè èõ âîçäåéñòâèÿ è ðàññìîòðåíèå ñïîñîáîâ óìåíüøåíèÿ ðàññåèâàíèÿ è ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ñòðåëüáû ÿâëÿåòñÿ ÷åòâåðòîé çàäà÷åé âíåøíåé áàëëèñòèêè. Ïÿòàÿ çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ êàê ðàçðàáîòêà ìåòîäè÷åñêîãî îáåñ- ïå÷åíèÿ ñîñòàâëåíèÿ òàáëèö ñòðåëüáû è îïåðàòèâíûõ àëãîðèòìîâ ïîäãîòîâêè èñõîäíûõ äàííûõ äëÿ ïðîâåäåíèÿ àðòèëëåðèéñêîé ñòðåëüáû èëè ïóñêîâ ðàêåò. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè ðàêåò è ñíàðÿäîâ áîëü- øåå ÷èñëî äåéñòâóþùèõ ôàêòîðîâ ñ ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì äîïóùå- íèé ìîæåò áûòü ó÷òåíî ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ËÀ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÝÖÂÌ. Òîëüêî íåáîëüøîé êëàññ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ çàäà÷ ìîæåò ðåøàòüñÿ òàá- ëè÷íûìè èëè àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Îòðàáîòêà ëþáîãî òèïà áîåïðèïàñà ïîñëå ñîçäàíèÿ îïûòíîãî îá- ðàçöà òðåáóåò ïðîâåäåíèÿ áîëüøîãî îáúåìà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èñ- ñëåäîâàíèé, â òîì ÷èñëå ëåòíûõ èñïûòàíèé. Âûïîëíåíèå îïåðàöèé, íàïðàâëåííûõ íà íåïîñðåäñòâåííîå ðå- øåíèå çàäà÷ ñòðåëüáû (ïîëèãîííîé èëè áîåâîé), ïðåäïîëàãàåò íåîá- õîäèìîñòü îñóùåñòâëåíèÿ òàê íàçûâàåìîé ïîëíîé ïîäãîòîâêè: òî- ïîãåîäåçè÷åñêîé, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîïîãðàôè÷åñêîé ïðèâÿçêå ïîëîæåíèÿ öåëè è îãíåâîé ïîçèöèè, ìåòåîðîëîãè÷åñêîé è ñîáñò- âåííî áàëëèñòè÷åñêîé, ó÷èòûâàþùåé ðåçóëüòàòû òîïîïðèâÿçêè è âëèÿíèå âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ, íàïðèìåð èçìåíåíèÿ òåìïåðàòó- ðû çàðÿäà è ñîîòâåòñòâåííî íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà. Òàêèì îáðàçîì, ïåðå÷åíü âîïðîñîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ñîäåðæàíèå âíåø- íåé áàëëèñòèêè, ïîçâîëÿåò âûäåëèòü â íåé òðè ãëàâíûõ íàïðàâëåíèÿ – ïðîåêòíóþ áàëëèñòèêó, ýêñïåðèìåíòàëüíóþ âíåøíþþ áàëëèñòèêó, áàëëè- ñòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå ñòðåëüá (èëè "èñïîëíèòåëüíóþ áàëëèñòèêó"). Ïðîåêòíàÿ áàëëèñòèêà ñîñòàâëÿåò òåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó íà÷àëüíî- ãî ýòàïà ïðîåêòèðîâàíèÿ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ ðàçëè÷íîãî íàçíà÷å- íèÿ, ïîýòîìó â ýòîé ÷àñòè îíà òåñíî ñòûêóåòñÿ ñ êóðñàìè ïðîåêòèðî- âàíèÿ è êîíñòðóèðîâàíèÿ, à èíîãäà è âêëþ÷àåòñÿ â íèõ â êà÷åñòâå ñî- ñòàâíîé ÷àñòè. Áàëëèñòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå ñòðåëüá ñëóæèò áàçîâûì ðàçäåëîì òåî- ðèè ñòðåëüáû è ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, îäíèì èç âàæíåéøèõ ýëåìåíòîâ ýòîé ñìåæíîé âîåííîé íàóêè. 16
ÐÀÇÄÅË I ÓÑËÎÂÈß ÏÎËÅÒÀ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄÎÂ, ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÈÕ ÄÂÈÆÅÍÈß Ãëàâà 1 ÑÈËÛ È ÌÎÌÅÍÒÛ, ÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÅ ÍÀ ËÀ  ÏÎËÅÒÅ Äåéñòâóþùèå íà ðàêåòó ñèëû è ìîìåíòû ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà âíåøíèå è âíóòðåííèå.Êâíåøíèì îòíîñÿò ñèëû è ìîìåíòû, âûçûâàåìûå âîçäåéñòâèåì âíåø- íåé ñðåäû. Ýòî àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû è ñèëû, îïðåäåëÿåìûå âëèÿíèåì Çåìëè. Ïîä âëèÿíèåì Çåìëè â äàëüíåéøåì áóäåì ïîíèìàòü ñîâìåñòíîå äåéñòâèå íà ËÀ (ïðè ðàññìîòðåíèè åãî îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ) ñèëû òÿãîòåíèÿ, öåíòðîáåæ- íîé ñèëû èíåðöèè è êîðèîëèñîâûõ ñèë, îïðåäåëÿåìûõ âðàùåíèåì Çåìëè. Ê âíóòðåí- íèì ìîæíî îòíåñòè ñèëû è ìîìåíòû, îïðåäåëÿåìûå îòäåëåíèåì ìàññû îò ðàêåòû (ò.å . ðåàêòèâíûå ñèëû è èõ ìîìåíòû) è âûçûâàåìûå ïåðåìåùåíèåì ðàáî÷åãî âåùå- ñòâà (òîïëèâà è ãàçîâ) âíóòðè êîðïóñà (êîðèîëèñîâû ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè êîëåáà- íèÿõ ðàêåòû, à òàêæå âàðèàöèîííûå ñèëû, ïðîÿâëÿþùèåñÿ ïðè íåñòàöèîíàðíîì äâèæåíèè ìàññ âíóòðè êîðïóñà, è èõ ìîìåíòû). Ïîñëåäíèå îáû÷íî îòíîñÿò ê âòîðî- ñòåïåííûì (äîïîëíèòåëüíûì) ôàêòîðàì. Óïðàâëÿþùèå ñèëû è ìîìåíòû â çàâèñèìîñòè îò ïðèíöèïà ðàáîòû è êîíñòðóê- öèè óïðàâëÿþùèõ îðãàíîâ ìîæíî ñ÷èòàòü êàê âíåøíèìè, òàê è âíóòðåííèìè. Íå- óïðàâëÿåìûå ðàêåòû è ñíàðÿäû íå èñïûòûâàþò âîçäåéñòâèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèë, ñâî- áîäíûé ïîëåò ïðåäïîëàãàåò òàêæå îòñóòñòâèå òÿãè. Ïðè ðàñ÷åòå ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ ËÀ ïðèõîäèòñÿ ïåðåõîäèòü îò âåêòîð- íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äåéñòâóþùèõ íà ðàêåòó èëè ñíàðÿä ñèë ê ñêàëÿðíîé ôîðìå èõ çàïèñè â ïðîåêöèÿõ íà îñè âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì â ñî- ñòàâëåíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ËÀ ó÷àñòâóþò ñèëû, çàäàííûå â ñèñòåìå êîîð- äèíàò, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé (ñèëà òÿãîòåíèÿ è âåñ), â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿ- çàííîé ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè ËÀ è îòñëåæèâàþùåé åãî äâèæåíèå ïî òðàåêòî- ðèè (àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû), è, íàêîíåö, â ñèñòåìå êîîðäèíàò, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííîé ñ êîðïóñîì ËÀ (òÿãà). 17
1.1 . ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ È ÓÃËÛ, ÎÏÐÅÄÅËßÞÙÈÅ ÏÎËÎÆÅÍÈÅ ËÀ  ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ 1.1.1. ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÑÈÑÒÅÌ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ Ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå ËÀ êàê òâåðäîãî òåëà îïðåäåëÿ- åòñÿ òðåìÿ ëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè è òðåìÿ óãëàìè. Êàê ïðà- âèëî, ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ çàïèñû- âàþòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðàâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïðè ïðîâåäå- íèè ðàñ÷åòîâ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþòñÿ ïðÿìîóãîëüíûå, öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå ñèñòåìû êîîðäèíàò.  ýêñïåðè- ìåíòàëüíîé áàëëèñòèêå ñèñòåìû êîîðäèíàò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðî- ñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ËÀ âûáèðàþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ìå- òîäà ïðèáîðíîé ðåàëèçàöèè èçìåðåíèé. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òåîðèè ïîëåòà ËÀ, äâèæóùèõñÿ â ïîëå çåìíî- ãî òÿãîòåíèÿ, èñïîëüçóþòñÿ äâå áîëüøèå ãðóïïû ñèñòåì êîîðäèíàò, ðàçëè÷àþùèåñÿ ðàñïîëîæåíèåì íà÷àëà ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííûå ñ Çåìëåé èëè äðó- ãèìè òî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà, êî âòîðîé – ñâÿçàííûå ñ ËÀ. Îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ íåñêîëüêî ðàçíîâèäíîñòåé çåìíûõ ñèñ- òåì êîîðäèíàò. Çà èõ íà÷àëî ìîæåò ïðèíèìàòüñÿ öåíòð ìàññ Çåìëè, òî÷êà ñòàðòà èëè äðóãàÿ íåïîäâèæíàÿ îòíîñèòåëüíî Çåì- ëè òî÷êà. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ÎèÕèYèZè.  îáùåì ñëó÷àå ïîä èíåð- öèàëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò ïîíèìàþò ñèñòåìó, îñè êîòîðîé íå èçìåíÿþò ñâîåãî íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå. Èíåðöèàëüíàÿ ñèñòå- ìà êîîðäèíàò ó÷àñòâóåò òîëüêî â ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà, è ïîëîæåíèå åå îñåé íå çàâèñèò îò ñóòî÷íîãî âðàùå- íèÿ Çåìëè (â îòëè÷èå îò ñèñòåì êîîðäèíàò, ñâÿçàííûõ ñ Çåìëåé è âðàùàþùèõñÿ âìåñòå ñ íåé, èñïîëüçóåìûõ ïðè èçó÷åíèè îòíîñè- òåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåò). Çåìíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O0X0Y0Z0 èìååò íà÷àëî â òî÷êå O0 è îñè, çàôèêñèðîâàííûå ïî îòíîøåíèþ ê Çåìëå. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ Çåìëåé è íà÷àëî êîòîðîé ñîâìåùåíî ñ öåíòðîì ìàññ Çåìëè, à îäíà èç îñåé íàïðàâëåíà íà ñåâåð ïî îñè âðàùåíèÿ Çåìëè, íàçûâàåòñÿ ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòå- ìîé êîîðäèíàò. Åñëè öåíòð ìàññ Çåìëè âûáðàí çà íà÷àëî ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî åå íàçûâàþò ãåîöåíòðè÷åñêîé ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò. Ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè íàçûâàþò- ñÿ òîïîöåíòðè÷åñêèìè. 18
Íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò O0XgYgZg íàçûâàþò ñèñ- òåìó, íà÷àëî êîòîðîé O0 ôèêñèðî- âàíî ïî îòíîøåíèþ ê Çåìëå, îñü O0Yg íàïðàâëåíà ââåðõ ïî ìåñòíîé âåðòèêàëè, à íàïðàâëåíèÿ îñåé O0Xg è O0Zg âûáèðàþòñÿ â ñîîòâåò- ñòâèè ñ ðåøàåìîé çàäà÷åé. Ñòàð- òîâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O0XcYcZc ÿâëÿåòñÿ ðàçíîâèäíîñòüþ òîïî- öåíòðè÷åñêîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñ- òåìû êîîðäèíàò äëÿ íàçåìíîé àð- òèëëåðèéñêîé èëè ðàêåòíîé ñèñ- òåìû (ðèñ. 1.1). Íà÷àëî ñòàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì ïóñêîâîé óñòàíîâêè è ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ðàêå- òû, ïîäãîòîâëåííîé ê ïóñêó. Ïðè ýòîì êîîðäèíàòíàÿ îñü O0Yc íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ, à îñè O0Xc è O0Zc ëåæàò â ïëîñêîñòè ñòàðòîâîãî ãîðèçîíòà, ïðè÷åì îñü O0Xc óêàçûâàåò íàïðàâëåíèå ñòðåëüáû. Âåðòèêàëüíàÿ ïëîñêîñòü O0YcXc, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåêòîð íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, íàçûâàåòñÿ ïëîñêîñòüþ ïóñêà èëè ñòðåëüáû, à èíîãäà – ïëîñêîñòüþ áðîñàíèÿ. Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè ïóñêà îòíîñèòåëüíî Çåìëè îïðåäåëÿåòñÿ àçè- ìóòîì ïóñêà èëè àçèìóòîì ñòðåëüáû À ñ . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ ðàêåòû èëè âîç- äóøíîé öåëè îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè Çåìëè ÷àñòî èñïîëüçóþò òîïîöåíòðè÷åñêóþ ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ. 1.2). Ïîëî- æåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû Ð çàäàåòñÿ ìîäóëåì ðàäèóñ-âåêòîðà r,íà- çûâàåìûì èíîãäà íàêëîííîé äàëüíîñòüþ, è äâóìÿ ïîëÿðíûìè óãëà- ìè: àçèìóòîì À, îòñ÷èòûâàåìûì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå â ìåñòíîé ãîðè- çîíòàëüíîé ïëîñêîñòè îò íàïðàâëåíèÿ íà ñåâåð, è óãëîì ìåñòà q,îò- ñ÷èòûâàåìûì â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíå- íèé äâèæåíèÿ â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â ðÿäå ñëó÷àåâ ñ öåëüþ ñîõðàíåíèÿ åäèíñòâà íàïðàâëåíèé îòñ÷åòà óãëîâ â ãîðèçîí- òàëüíîé ïëîñêîñòè âìåñòî àçèìóòà À óäîáíåå ââîäèòü óãîë À*, îòñ÷è- òûâàåìûé îò íàïðàâëåíèÿ íà ñåâåð ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Íà ðè- ñóíêå êîîðäèíàòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäè- íàò ÿâëÿþòñÿ: ñôåðà ðàäèóñîì r ; âåðòèêàëüíàÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿ- ùàÿ ÷åðåç ðàäèóñ r ; êîíóñ ñ âåðøèíîé â òî÷êå O0 è óãëîì ïðè âåð- øèíå, ðàâíûì 180° – 2q. Êîîðäèíàòíûå ëèíèè: (r) – ïðÿìàÿ ðàäè- óñ-âåêòîðà; (q) – îêðóæíîñòü áîëüøîãî êðóãà ñôåðû, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó Ð ;(À*) – îêðóæíîñòü, îáðàçîâàííàÿ ïðè ñå÷å- 19 Ðèñ. 1.1 . Ñòàðòîâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò
íèè ñôåðû ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè O0XgZg è ïðîõîäÿ- ùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó. Êîîðäèíàòíûå îñè [r], [q]è[A*] êðèâî- ëèíåéíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê êîîðäèíàò- íûì ëèíèÿì. Áîëüøàÿ ãðóïïà ïîäâèæíûõ êîîðäèíàò îáúåäèíåíà îáùèì ïðè- çíàêîì – ðàñïîëîæåíèåì íà÷àëà êîîðäèíàò â õàðàêòåðíîé òî÷êå äâèæóùåãîñÿ ËÀ, îáû÷íî â öåíòðå ìàññ. Íàïðàâëåíèÿ îñåé ïîäâèæ- íîé îðèåíòèðîâàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXèYèZè íåèçìåííû â ïðî- ñòðàíñòâå (îòíîñèòåëüíî çâåçä). Îñè ïîäâèæíîé çåìíîé ñèñòåìû êî- îðäèíàò OX0Y0Z0 íàïðàâëåíû òàê æå, êàê è ñîîòâåòñòâóþùèå èì îñè çåìíîé (íåïîäâèæíîé îòíîñèòåëüíî Çåìëè) ñèñòåìû êîîðäèíàò O0X0Y0Z0.  íîðìàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò OXgYgZg, ñâÿçàííîé ñ ËÀ, îñü Yg íàïðàâëåíà ââåðõ ïî ìåñòíîé âåðòèêàëè è â îòëè÷èå îò îñè O0Yg íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èçìåíÿåò ñâîå íàïðàâ- ëåíèå â ïðîñòðàíñòâå â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ËÀ îòíîñèòåëüíî Çåìëè. Îñè OXg è OZg íîðìàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïàðàëëåëüíû ïëîñ- êîñòè ìåñòíîãî ãîðèçîíòà è íàïðàâëåíû òàê, ÷òîáû óäîáíî áûëî ðå- øàòü ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó. Îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXYZ: ïðîäîëüíàÿ îñü OX íàõî- äèòñÿ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ËÀ èëè â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé åé, åñëè íà÷àëî êîîðäèíàò Î ïîìåùåíî âíå ïëîñêîñòè ñèììåòðèè (äëÿ îñåñèììåòðè÷íûõ àïïàðàòîâ îñü OX íàïðàâëåíà ïî îñè ñèììåò- ðèè ê íîñîâîé ÷àñòè ËÀ); íîðìàëüíàÿ îñü OY ðàñïîëàãàåòñÿ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè èëè ïàðàëëåëüíî åé è íàïðàâëåíà ê âåðõ- íåé ÷àñòè ËÀ; ïîïåðå÷íàÿ îñü OZ íàïðàâëåíà âïðàâî, ïåðïåíäèêó- ëÿðíî ïëîñêîñòè ñèììåòðèè.  ñêîðîñòíîé (àýðîäèíàìè÷åñêîé) ñèñ- òåìå êîîðäèíàò OXaYaZa ñêîðîñòíàÿ îñü OXa ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì 20 Ðèñ. 1 .2 . Òîïîöåíòðè÷åñêàÿ ñôåðè÷å- ñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò
âîçäóøíîé ñêîðîñòè ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà (âåêòîðîì ñêîðîñòè ËÀ îòíîñèòåëüíî àòìîñôåðû V), îñü ïîäúåìíîé ñèëû OYa ðàñïîëàãàåòñÿ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè ËÀ èëè â ïëîñêîñòè, åé ïàðàëëåëüíîé. Áî- êîâàÿ îñü OZa äîïîëíÿåò äâå íàçâàííûå îñè äî ïðàâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Íà÷àëî òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXêYêZê îáû÷íî ïîìåùå- íî â öåíòðå ìàññ ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà, îñü OXê íàïðàâëåíà ïî âåê- òîðó çåìíîé ñêîðîñòè ËÀ (ñêîðîñòè ËÀ îòíîñèòåëüíî Çåìëè Vê), îñü OYê – ââåðõ îò ïîâåðõíîñòè Çåìëè â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ïðî- õîäÿùåé ÷åðåç îñü OXê, îñü OZê – ãîðèçîíòàëüíî. Ïðè áåçâåòðèè íà- ïðàâëåíèÿ ñêîðîñòíîé îñè OXa è îñè OXê òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êî- îðäèíàò ñîâïàäàþò, òàê êàê ïðè ýòîì ñîâïàäàþò âåêòîðû âîçäóøíîé è çåìíîé ñêîðîñòåé. 1.1.2. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÂÇÀÈÌÍÎÉ ÎÐÈÅÍÒÀÖÈÈ ÑÈÑÒÅÌ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ Ñâÿçü ìåæäó ñêîðîñòíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåìàìè êîîðäèíàò îñó- ùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óãëà àòàêè α, óãëà ñêîëüæåíèÿ β, ïðîñòðàí- ñòâåííîãî óãëà àòàêè αï è àýðîäèíàìè÷åñêîãî óãëà êðåíà φï. Óãîë àòàêè – óãîë ìåæäó ïðîåêöèåé âåêòîðà âîçäóøíîé ñêîðîñòè íà ïëîñêîñòü ñèììåòðèè ËÀ OXY è ïðîäîëüíîé îñüþ OX. Óãîë ñêîëüæå- íèÿ – óãîë ìåæäó âåêòîðîì âîçäóøíîé ñêîðîñòè è ïëîñêîñòüþ ñèì- ìåòðèè ËÀ (ðèñ. 1 .3). Ïðîñòðàíñòâåííûé óãîë àòàêè – óãîë ìåæäó ïðîäîëüíîé îñüþ ËÀ è âåêòîðîì ñêîðîñòè. Ñ ïðîñòðàíñòâåííûì óã- ëîì àòàêè íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíà ñèñòåìà êîîðäèíàò OXïYïZï,ó êîòîðîé ïëîñêîñòü OXïYï ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ ïðîñòðàíñòâåííî- ãî óãëà àòàêè (ðèñ. 1 .4). Îñü OXï ñèñòåìû ñîâïàäàåò ñ ïðîäîëüíîé îñüþ ËÀ, îñü OYï ëåæèò â ïëîñêîñòè ïðîñòðàíñòâåííîãî óãëà àòàêè, îñü OZï äîïîëíÿåò ñèñòåìó äî ïðàâîé. Óãîë ìåæäó íîðìàëüíîé îñüþ OY è îñüþ OYï íàçûâàþò àýðî- äèíàìè÷åñêèì óãëîì êðåíà. Ñâÿçü ìåæäó íîðìàëüíîé OXgYgZg è ñâÿçàííîé OXYZ ñèñòåìàìè êîîðäèíàò îñó- ùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ óã- ëîâ ðûñêàíèÿ, òàíãàæà è êðåíà (ðèñ. 1.5). Óãîë ðûñêàíèÿ ψ – óãîë ìåæäó îñüþ OXg è ïðîåêöèåé ïðîäîëüíîé îñè OX íà ãîðè- çîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü OXgZg. Ó íåêîòîðûõ ËÀ óãîë 21 Ðèñ. 1.3 . Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñêî- ðîñòíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåì êîîðäèíàò
ðûñêàíèÿ ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïðèáîðíîé ðåàëèçà- öèè èçìåðåíèé â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè áðîñà- íèÿ XgO0Yg è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ïðîäîëüíóþ îñü ËÀ OX. Åñëè óãîë ðûñêàíèÿ, îïðåäåëÿåìûé â óêàçàííîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè, îáî- çíà÷èì ÷åðåç ψí, òî, ñîãëàñíî ðèñ. 1.6, sinψí = sinψ cosθ. Óãîë òàíãàæà θ – óãîë ìåæ- äó ïðîäîëüíîé îñüþ OX èãî- ðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Ñëåäóåò ðàçëè÷àòü óãîë òàíãà- æà ïî îòíîøåíèþ ê ñòàðòîâîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ò.å . ïî îòíîøåíèþ ê íîðìàëü- íîé çåìíîé ñèñòåìå êîîðäè- íàò, è ìåñòíûé óãîë òàíãàæà, èçìåðÿåìûé îò ïëîñêîñòè ìåñòíîãî ãîðèçîíòà. Ýòî ðàç- ëè÷èå öåëåñîîáðàçíî ó÷èòû- âàòü ïðè îïðåäåëåíèè õàðàê- òåðèñòèê äâèæåíèÿ ËÀ, ïðåä- íàçíà÷åííûõ äëÿ ïîëåòà íà áîëüøèå äàëüíîñòè (ñì. ðèñ. 1.5). 22 Ðèñ. 1 .4. Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ ïðîñòðàí- ñòâåííûì óãëîì àòàêè, è ñâÿçàííîé è íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåì êîîðäèíàò ïðè áåç- âåòðèè Ðèñ. 1.5 . Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñâÿçàííîé è íîðìàëüíîé ñèñòåì êîîðäèíàò ïðè ïåðâîì ïîâîðîòå îòíîñèòåëüíî îñè OYg
Î÷åâèäíî, ïðè θ = 0 ïîëó÷èì ψí=ψ. Óãîë êðåíà γ – óãîë ìåæäó ïî- ïåðå÷íîé îñüþ OZ è îñüþ OZg, ñìåùåííîé â ïîëîæåíèå, ñîîò- âåòñòâóþùåå íóëåâîìó óãëó ðûñ- êàíèÿ. Ñâÿçü ìåæäó íîðìàëüíîé ñèñ- òåìîé êîîðäèíàò OXgYgZg è ñêîðîñò- íîé OXaYaZa îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïî- ìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ñêîðîñò- íûõ óãëîâ ðûñêàíèÿ, òàíãàæà è êðåíà. Ñêîðîñòíîé óãîë ðûñêàíèÿ ψa – ýòî óãîë ìåæäó îñüþ OXg è ïðîåêöèåé ñêîðîñòíîé îñè íà ãî- ðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü OXg Zg . Ñêîðîñòíîé óãîë òàíãàæà θa – ýòî óãîë ìåæäó ñêîðîñòíîé îñüþ OXa è ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ OXg Zg . Ñêî- ðîñòíîé óãîë êðåíà γa – ýòî óãîë ìåæäó áîêîâîé îñüþ OZa è îñüþ OZg, ñìå- ùåííîé â ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå íóëåâîìó ñêîðîñòíîìó óãëó ðûñ- êàíèÿ. Ïîëîæåíèå òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî íîð- ìàëüíîé îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ óãëàìè θ è Ψ: θ – óãîë íàêëîíà (âîçâû- øåíèÿ) òðàåêòîðèè (óãîë ìåæäó çåìíîé ñêîðîñòüþ ËÀ è ãîðèçîí- òàëüíîé ïëîñêîñòüþ); Ψ – óãîë ïóòè (óãîë ìåæäó îñüþ OXg è ïðîåê- öèåé çåìíîé ñêîðîñòè ËÀ íà ïëîñêîñòü OXgZg – ïóòåâîé ñêîðîñòüþ Vï). Ïðè áåçâåòðèè âåêòîðû çåìíîé è âîçäóøíîé ñêîðîñòåé ñîâïàäóò. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë íàêëîíà òðàåêòîðèè θ áóäåò ðàâåí ñêîðîñòíîìó óãëó òàíãàæà θa, à óãîë ïóòè Ψ – ñêîðîñòíîìó óãëó ðûñêàíèÿ ψa. Ïðîåêöèè âåêòîðà çåìíîé ñêîðîñòè Vê íà îñè íîðìàëüíîé çåì- íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íàéäåì èç ðèñ. 1 .7: VV VV VV x y z g g g = = = ê ê ê cos cos ; sin ; cos sin . θ θ θ Ψ Ψ (1.1) Ïðè ðàññìîòðåíèè "ïëîñêèõ çàäà÷", êîãäà Ψ = 0, ãîðèçîíòàëüíàÿ è âåðòèêàëüíàÿ ïðîåêöèè ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä VuV VwV x y g g == == ê ê cos ; sin . θ θ (1.2) 23 Ðèñ. 1.6 . Óãëû ðûñêàíèÿ, èçìåðÿåìûå â ãîðèçîíòàëüíîé è íàêëîííîé ïëîñêîñòÿõ
Óãëîì âåòðà ΨW íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó îñüþ OXg è ïðîåêöèåé âåêòîðà ñêîðîñòè âåòðà W íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü. Íàêëîíîì âåòðà θW íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè âåòðà è ãîðèçîí- òàëüíîé ïëîñêîñòüþ. Óãëîâàÿ îðèåíòàöèÿ îäíèõ êîîðäèíàòíûõ îñåé îòíîñèòåëüíî äðóãèõ, ïðèíèìàåìûõ çà îïîðíûå èëè áàçîâûå, ìîæåò áûòü îñóùåñò- âëåíà ñ ïîìîùüþ ýéëåðîâûõ óãëîâ ïîâîðîòà.  ïðîöåññå ïîäãîòîâêè ê ïóñêó è âî âðåìÿ ïîëåòà ËÀ óãëû Ýéëå- ðà ìîãóò áûòü èçìåðåíû ïîñðåäñòâîì òðåõîñíîé ãèðîñòàáèëèçèðî- âàííîé ïëàòôîðìû. Îñü âðàùåíèÿ íàðóæíîé ðàìêè ïëàòôîðìû âñå- ãäà íàïðàâëÿåòñÿ ïî ïðîäîëüíîé îñè îáúåêòà. Îñü âðàùåíèÿ ïëàò- ôîðìû âîêðóã âíóòðåííåé ðàìêè äîëæíà ñîâïàäàòü ñ îñüþ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðâûé ïîâîðîò íà îäèí èç óãëîâ Ýéëåðà. Ïåðâîé îñüþ ïîâîðîòà âûáèðàåòñÿ îñü, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîöåññå ïîëåòà ìîæåò ïîâîðà÷èâàòü- ñÿ íà áîëüøèé óãîë. Äëÿ ËÀ ñàìîëåòíîé ñõåìû (íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò OXgYgZg) ïåðâîé îñüþ ïîâîðîòà ÿâëÿåòñÿ îñü OYg ïîâîðî- òà íà óãîë ðûñêàíèÿ ψ. Ñõåìó ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïîâîðîòà íà óãëû Ýéëåðà ìîæíî ïðîñëåäèòü íà ðèñ. 1 .5 . Äëÿ ËÀ ñ âåðòèêàëüíûì ñòàð- òîì è ïðîãðàììíûì èçìåíåíèåì óãëà òàíãàæà ïåðâîé îñüþ ïîâîðî- òà ÿâëÿåòñÿ îñü OZg ïîâîðîòà íà óãîë òàíãàæà (ðèñ. 1 .8). 24 Ðèñ. 1 .7. Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñêîðîñòíîé, òðàåêòîðíîé è íîðìàëüíîé ñèñòåì êîîðäèíàò ïðè áåçâåòðèè
Íàïîìíèì, ÷òî óãëû Ýéëåðà íå çàâèñÿò äðóã îò äðóãà, ò.å. ïðè èçìåíåíèè îäíîãî óãëà äâà äðó- ãèõ íå èçìåíÿþòñÿ. 1.1 .3. ÊÎÎÐÄÈÍÀÒÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÌÀÒÐÈÖ ÍÀÏÐÀÂËßÞÙÈÕ ÊÎÑÈÍÓÑΠÏðåîáðàçîâàíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïåðåõîäîì îò îäíîé ñèñòåìû êî- îðäèíàò ê äðóãîé, îñóùåñòâëÿ- þòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàòðèö íàïðàâ- ëÿþùèõ êîñèíóñîâ, êîòîðûå èíîãäà íàçûâàþò òàáëèöàìè ïå- ðåõîäíûõ êîñèíóñîâ. Ìàòðèöó óäîáíî îáîçíà÷àòü äâóìÿ èíäåêñàìè, íàïðèìåð A1 (2) , ãäå íèæíèé èí- äåêñ ñîîòâåòñòâóåò îñíîâíîé íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, à âåðõíèé – ñèñòåìå, îïðåäåëÿåìîé ïîñëåäîâàòåëüíûì ïîâîðîòîì íà ýéëåðîâû óãëû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû. Ýëåìåíòû ìàò- ðèöû, ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè ýéëåðîâûõ óãëîâ ïîâîðîòà, òàêæå óäîáíî îáîçíà÷àòü äâîéíûì èíäåêñîì, íàïðèìåð aij, ãäå i – íîìåð ñòðîêè, j – íîìåð ñòîëáöà: A xyz 1 (2) = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ 2 0 2 0 2 0 11 12 13 21 22 23 31 32 33 aaa aaa aaa ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ x y z 1 0 1 0 1 0 . (1.3) Êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû ðàâåí ïðîåêöèè åäèíè÷íîãî âåêòîðà, íàïðàâëåííîãî ïî îäíîé êîîðäèíàòíîé îñè íåïîäâèæíîé ñèñòåìû, íà ñîîòâåòñòâóþùóþ îñü äðóãîé (ïîäâèæíîé) ñèñòåìû, ò.å ., äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäûé ýëåìåíò ìàòðèöû åñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå åäèíè÷íûõ âåêòîðîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðîêîé è ñòîëáöîì, íàïðèìåð a11 = xx 1 0 2 0 . Åñëè íåîáõîäèìî îñóùåñòâèòü ïåðåõîä îò âòîðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ïåðâîé, òî ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ òðàíñïîíèðîâàííîé ìàòðèöåé. Ñëîæíûé ïîñëåäîâàòåëüíûé ïåðåõîä îò ïåðâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò êî âòîðîé è îò âòîðîé ê òðåòüåé âûïîëíÿåòñÿ ïî ïðàâèëó ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö: 25 Ðèñ. 1.8 . Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñâÿçàííîé è íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåì êîîðäèíàò ïðè ïåðâîì ïîâîðîòå îòíîñè- òåëüíî îñè OZg
AAA 1 3 2 3 1 2 () () (). =⋅ (1.4) Ïðè îñóùåñòâëåíèè ýòîé îïåðàöèè ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö â îáùåì ñëó÷àå íåêîììóòàòèâíî, ò.å . ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí íå ñîáëþäàåòñÿ: CABBA =⋅≠⋅ . Òåîðåìó óìíîæåíèÿ ìàòðèö ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ñèñòåì êîîðäèíàò (n): AAA AA 11 2 1 2 3 1 2 n n n n n =⋅⋅ ⋅ ⋅ −− − ... . () () (1.5) Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö àññîöèàòèâíî: ABC ABC ⋅⋅=⋅⋅ ()(). ×òîáû ïîëó÷èòü ìàòðèöó ïåðåõîäà îò èñõîäíîé ñèñòåìû êîîðäè- íàò ê êîíå÷íîé, íåîáõîäèìî ñîñòàâèòü ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû ïî- ñëåäîâàòåëüíîãî ïîâîðîòà íà îäèí óãîë è ïåðåìíîæèòü èõ. Ñîñòà- âèì òàê íàçûâàåìóþ ìàòðèöó òðåõ ïîâîðîòîâ ïåðâîãî ðîäà, âçÿâ â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìàòðèöó (òàáëèöó íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ) ïå- ðåõîäà îò íîðìàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXgYgZg ê ñâÿçàííîé OXYZ. Ïîâîðîòû áóäåì îñóùåñòâëÿòü ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ò.å. â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, â ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: θ →ψ→γ. Îáîçíà÷èâ AA 1 2 = θ , ïîëó÷èì äëÿ ïåðâîãî ïîâîðîòà íà óãîë θ Aθ θθ θθ =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ cos sin sin cos ; 0 0 001 (1.6) äëÿ âòîðîãî ïîâîðîòà íà óãîë ψ AA 2 3 0 01 0 0 () cos sin sin cos ; == − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ψ ψψ ψψ (1.7) äëÿ òðåòüåãî ïîâîðîòà íà óãîë γ AA 3 4 10 0 0 0 () cos sin sin cos . == − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ γ γγ γγ (1.8) 26
Ïîìíÿ, ÷òî ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí íå âûïîëíÿåòñÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ìàòðè÷íîãî ïåðåõîäà îò OXgYgZg ê OXYZ. Ñîõðàíèâ äëÿ îáùíîñòè íóëåâûå çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèö, íàõîäèì AA γψ γγ γγ ψψ ⋅= − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − 10 0 0 0 0 01 cos sin sin cos cos sin 0 0 0 sin cos cos sin sin sin cos sin co ψψ ψψ γψγ γ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = = − s cos sin sin cos cos . ψ γψγγψ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö èìååò âèä AAAA AA 1 4 0 0 001 () cos sin sin cos ⋅⋅⋅=⋅⋅ − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ γψθ γψ θθ θθ⎥ ⎥ ⎥ . (1.9)  ðåçóëüòàòå ïåðåìíîæåíèÿ ïîëó÷èì ìàòðèöó ïåðåõîäà îò íîðìàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ñâÿçàííîé: AA 1 4() cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin == = − − ψθ ψθ ψ γψθγθγψθγθγψ γψθ γ sin sin sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin + +θ γ ψ θ γ θ γ ψ cos sin sin sin cos cos cos . − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ (1.10) Ôîðìóëà ïåðåõîäà èìååò âèä X Y Z X Y Z g g g ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ =⋅ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ A . (1.11) Ñîõðàíÿÿ äâîéíóþ èíäåêñàöèþ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ïåðåõîäíûõ êîñèíóñîâ aij â ñîîòíîøåíèè (1.3), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñâÿçü ìåæäó åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè (ïî îñÿì êîîðäèíàò): xxyz yxyz z 0 11 0 12 0 13 0 0 21 0 22 0 23 0 0 =++ =++ aaa aaa ggg ggg ; ; =++ aaa ggg 31 0 32 0 33 0 xyz . (1.12) 27
Ïåðåõîäÿ îò ñâÿçàííîé ñèñòåìû ê íîðìàëüíîé, èìååì xxyz yxyz z g g g aaa aaa a 0 11 0 21 0 31 0 0 12 0 22 0 32 0 0 1 =++ =++ = ; ; 3 0 23 0 33 0 xyz ++ aa . (1.13) Ñâÿçü ìåæäó ãåîöåíòðè÷åñêèìè ïðÿìî- óãîëüíûìè è ãåîöåíòðè÷åñêèìè ñôå- ðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè (ðèñ. 1 .9) âû- ðàæàåòñÿ ïðîñòûìè ñîîòíîøåíèÿìè xr yr zr 0 0 0 = = = cos sin ; sin ; cos cos , φλ φ φλ ãö ãö ãö (1.14) ãäå φãö, λ – ãåîöåíòðè÷åñêèå øèðîòà è äîëãîòà ïîëîæåíèÿ ðàêåòû ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðåõîä îò îñåé êðèâîëèíåéíîé ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäè- íàò ê îñÿì çåìíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò O0XgYgZg îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïî- ìîùüþ òàáë. 1 .1 . Ìàòðèöû ïåðåõîäíûõ êîñèíóñîâ äàíû â òàáë. 1 .2 ...1.6. Äëÿ âðàùàþùèõñÿ ËÀ (íàïðèìåð, òóðáîðåàêòèâíûõ ñíàðÿäîâ) ïîëîæåíèå ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî îïîðíîé, íàïðèìåð ïîäâèæíîé îðèåíòèðîâàííîé, îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ óãëàìè Ýéëåðà: óãëîì ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè φ, óãëîì íóòàöèè δ è óãëîì ïðåöåññèè ν. Ïðè ñîâìåùåíèè âåê- òîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K ñ âåêòîðîì çåìíîé ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ Vê ïîëó÷èì ñõåìó äâèæåíèÿ Ýéëåðà – Ïóàíñî (ðèñ. 1 .10). Íà ñõåìå âìåñòî óãëîâ φ è ν ïîêàçàíû âåêòîðû óãëîâûõ ñêîðîñòåé •φ è •ν . Òàáëèöà 1.1 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè êðèâîëèíåéíîé è íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò O0Xg O0Yg O0Zg [r] cosq cosA sinq cosq sinA [q] −sinq cosA cosq −sinq sinA [A] −sinA 0 cosA 28 Ðèñ. 1 .9. Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïî- ëîæåíèÿ ãåîöåíòðè÷åñêèõ ïðÿìî- óãîëüíîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåì êîîðäèíàò
Òàáëèöà 1.2 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè òðàåêòîðíîé è ñêîðîñòíîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò OZa OYa OZa OXê 100 OYê 0 cosγa − sinγa OZê 0 sinγa cosγa Òàáëèöà 1.3 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè ñâÿçàííîé è òðàåêòîðíîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò OX OY OZ OXê cosα cosβ− sinα cosβ sinβ OYê cosγa sinα + sinγa cosα sinβ−cosγa cosα−sinγa sinα sinβ − sinγa cosβ OZê sinγa sinα−cosγa cosα sinβ sinγa cosα + cosγa sinα sinβ cosγa cosβ Òàáëèöà 1.4 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè íîðìàëüíîé çåìíîé è òðàåêòîðíîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò OXê OYê OZê OXg cosθ cosΨ− sinθ cosΨ sinΨ OYg sinθ cosθ 0 OZg − cosθ sinΨ sinθ sinΨ cosΨ Òàáëèöà 1.5 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè íîðìàëüíîé çåìíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò OX OY OZ OXg cosθ cosψ− cosψ sinθ cosγ+ sinψ sinγ cosψ sinθ sinγ + sinψ cosγ OYg sinθ cosθ cosγ− cosθ sinγ OZg − sinψ cosθ cosψ sinγ + sinψ sinθ cosγ cosψ cosγ−sinψ sinθ sinγ 29
Òàáëèöà 1.6 Êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó îñÿìè ñêîðîñòíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåì êîîðäèíàò Îñè êîîðäèíàò OX OY OZ OXa cosα cosβ− sinα cosβ sinβ OYa sinα cosα 0 OZa − cosα sinβ sinα sinβ cosβ  ñëó÷àå ñâîáîäíîãî íåîðãàíèçîâàííîãî äâèæåíèÿ, êîãäà òðèãî- íîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè íàçâàííûõ âûøå óãëîâ ìîãóò ìåíÿòü çíàêè, îðèåíòàöèþ ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà â ïðîñòðàíñòâå óäîáíî îïðåäå- ëÿòü ñîñòàâëÿþùèìè êâàòåðíèîíîâ. Êâàòåðíèîíû Ðîäðèãà – Ãàìèëü- òîíà ξ0, ξ1, ξ2, ξ3 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ ξξξξ 0 2 1 2 2 2 3 2 1 +++ = . Ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè ïàðàìåòðîâ ξ1, ξ2 è ξ3 ñâÿçàíû ñ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè óðàâíåíèåì • • • , • ( ξ ξ ξ ω ω ω ξω ξ 1 2 3 1 2 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ =− A x y z a tt )(), oξ (1.15) ãäåω=ωx+ωy+ωz;ξ=ξ1+ξ2+ξ3, Aξ 03 2 301 210 ξ− ξξ ξξ− ξ −ξ ξξ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , (1.16) "B" îçíà÷àåò îïåðàöèþ êâàòåð- íèîííîãî óìíîæåíèÿ. Âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ ñâÿ- çàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíî- ñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îáîçíà÷àåòñÿ Ω, à îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé, îáîçíà- ÷àåòñÿ ω. Ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè ω íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY íàçû- âàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ñêîðî- 30 Ðèñ. 1.10. Ñõåìà óãëîâîãî äâèæåíèÿ ËÀ: • φ – âåêòîð ñîáñòâåííîé óãëîâîé ñêîðî- ñòè ËÀ îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè; • ν – âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè ïðåöåñ- ñèè; δ – óãîë íóòàöèè; K – âåêòîð ìî- ìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ; Vê – âåê - òîð çåìíîé ñêîðîñòè ËÀ
ñòüþ êðåíà ωx , ñêîðîñòüþ ðûñêàíèÿ ωy , ñêîðîñòüþ òàíãàæà ωz . Ïîäîáíûì îáðàçîì îáîçíà÷àþòñÿ ñîñòàâëÿþùèå óãëîâîé ñêîðîñòè ËÀ è â äðóãèõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. 1.2 . ÂËÈßÍÈÅ ÏÎËß ÒßÃÎÒÅÍÈß ÇÅÌËÈ È ÅÅ ÂÐÀÙÅÍÈß ÍÀ ÏÎËÅÒ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠ1.2 .1. ÏÎÒÅÍÖÈÀË ÑÈËÛ ÇÅÌÍÎÃÎ ÒßÃÎÒÅÍÈß, ÔÎÐÌÀ È ÐÀÇÌÅÐÛ ÇÅÌËÈ Ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèåé èëè ïîòåíöèàëîì íàçûâàþò ôóíêöèþ Ï(x, y, z), ïîëíûé äèôôåðåíöèàë êîòîðîé ðàâåí ýëåìåíòàðíîé ðà- áîòå ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó: dd x dx y dy z dz ÏFr = ÏÏÏ =++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (1.17) Ïðîåêöèè íà îñè êîîðäèíàò ðàâíîäåéñòâóþùåé ïðèëîæåííûõ ê òî÷êå ñèë ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä Fx Fy Fz xyz === ∂∂∂∂∂∂ ÏÏÏ /; /; /. (1.18) Ïîòåíöèàë äëÿ òî÷å÷íîé åäèíè÷íîé ìàññû, íàõîäÿùåéñÿ âíå Çåìëè íà ðàññòîÿíèè l îò ýëåìåíòàðíîé ìàññû Çåìëè dM,ïîçàêîíó òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì df d M l Ïò = /, (1.19) ãäå f – ãðàâèòàöèîííàÿ ïî- ñòîÿííàÿ; l – ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé ñ åäèíè÷íîé ìàññîé (òî÷êà Ð) è òî÷êîé ñ ýëåìåíòàðíîé ìàññîé dM (ðèñ. 1.11). Ïîòåíöèàë ñèëû òÿãîòåíèÿ Çåìëè äëÿ òî÷å÷- íîé åäèíè÷íîé ìàññû ïîëó÷àþò èíòåãðèðîâàíèåì ïî âñåé ìàññå Çåìëè M: 31 Ðèñ. 1 .11 . Êîîðäèíàòû òî÷å÷íîé åäèíè÷- íîé ìàññû, íàõîäÿùåéñÿ âíå Çåìëè
Ïò = ∫fdMl M /. (1.20) Ïîëîæåíèÿ òî÷êè Ð âíå Çåìëè è òî÷êè ýëåìåíòàðíîé ìàññû Çåìëè dM îïðåäåëÿþòñÿ ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè: r, φãö, λ äëÿ òî÷êè Ð ; ρ, ′′ φλ ãö , äëÿ òî÷êè ýëåìåíòàðíîé ìàññû dM. Ïîòåíöèàë, ïðåäñòàâëåííûé ÷åðåç ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû, èìååò âèä Ïr f dM lr M (, ,) (,,,,,) . φλ φλρφλ ãö ãö ãö = ′′ ∫ (1.21) Íàïèñàííûé èíòåãðàë ìîæåò áûòü âû÷èñëåí òîëüêî ïðèáëèæåííî, òàê êàê íåèçâåñòíû òî÷íî ôîðìà Çåìëè è ïëîòíîñòü âåùåñòâà Çåìëè μÇ, êîòîðàÿ ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ ïî âñåìó åå îáúåìó. Îáîçíà÷àÿ óãîë ìåæäó ρ è r ÷åðåç ψ, ïîëó÷èì lrr =+ − 22 2 ρρψ cos . (1.22)  ïðîöåññå ïîëåòà ðàêåòû îòíîñèòåëüíî Çåìëè áóäóò èçìåíÿòüñÿ âåëè÷èíû r è ψ, à ñëåäîâàòåëüíî, è âåëè÷èíà l. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîòåíöèàë, èçìåíÿâøèéñÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ðàêåòû â íåêîòîðûõ ïðåäåëàõ, ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïðèáëèæåííî ïðè ââåäåíèè ðàçëè÷íîãî ðîäà äîïóùåíèé. Íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå äîïóùåíèÿ êàñàþòñÿ ôîðìû Çåìëè, åå ðàçìåðîâ è ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññ. Çà áîëåå áëèçêóþ ê ðåàëüíîé ôîðìå Çåìëè ïðèíèìàþò ôèãóðó, íàçûâàåìóþ ãåîèäîì. Ãåîèä – ýòî ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ óðîâåííîé ïîâåðõíîñòüþ ïîòåíöèàëà ñèëû òÿæåñòè, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé çíà÷åíèå ïîòåíöèàëà îäèíàêîâî è êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ ïîâåðõíî- ñòüþ îêåàíîâ, íàõîäÿùèõñÿ â íåâîçìóùåííîì ñîñòîÿíèè, ò.å . ïðè îòñóòñòâèè ïðèëèâîâ, îòëèâîâ, àòìîñôåðíûõ è êàêèõ-ëèáî äðóãèõ âîçìóùåíèé. Òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ãåîèäà íåâîçìîæíî. Ïðè ïðîâåäåíèè ðàçëè÷íîãî ðîäà âû÷èñëèòåëüíûõ ðàáîò (ãåîäåçè- ÷åñêèõ, àñòðîíîìè÷åñêèõ è áàëëèñòè÷åñêèõ) â êà÷åñòâå ïîñëåäîâà- òåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ê ãåîèäó ïðèíèìàþò: ñôåðè÷åñêóþ ìîäåëü Çåìëè – ñôåðó, ñôåðîèäàëüíóþ ìîäåëü – ñôåðîèä (ýëëèïñîèä âðà- ùåíèÿ), òðåõîñíûé ýëëèïñîèä.  Ðîññèè â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè ïðè ïðîâåäåíèè àñòðî- íîìî-ãåîäåçè÷åñêèõ ðàáîò áûë ïðèíÿò ñôåðîèä Áåññåëÿ.  1924 ã. ïî ìåæäóíàðîäíîìó ñîãëàøåíèþ ëó÷øèì ñôåðîèäîì áûë ïðèçíàí ñôåðîèä Õåéôîðäà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì èñ- ïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìûé íîðìàëüíûé ñôåðîèä, ïðåäëîæåííûé À. Êëåðî. 32
Ðàçìåðû, îïðåäåëÿþùèå ñôåðîèä (åãî îñè), âû÷èñëÿëèñü íà îñ- íîâàíèè ãðàäóñíûõ èçìåðåíèé äëèí äóã ìåðèäèàíîâ. Òàê êàê ôèãóðà Çåìëè îòëè÷íà îò ñôåðîèäà, òî â ðàçíûõ ìåñòàõ íà îäíîé è òîé æå øèðîòå äóãè ìåðèäèàíîâ èìåþò ðàçíóþ êðèâèçíó. Ïîýòîìó îïðåäå- ëåííûå â ãðàäóñàõ ðàçìåðû ýëëèïñîèäà çàâèñÿò îò ìåñòà èçìåðåíèÿ. Ýòèì îáúÿñíÿþòñÿ èìåþùèåñÿ ðàçëè÷èÿ â ÷èñëåííûõ çíà÷åíèÿõ ïà- ðàìåòðîâ çåìíîãî ñôåðîèäà, ïîëó÷åííûõ îòäåëüíûìè àâòîðàìè. Ñîâåòñêèå ãåîäåçèñòû ïîä ðóêîâîäñòâîì Ôåîäîñèÿ Íèêîëàåâè÷à Êðàñîâñêîãî (1878–1948) ñ ïîìîùüþ ãðàäóñíûõ èçìåðåíèé ÑÑÑÐ, Çàïàäíîé Åâðîïû è ÑØÀ îïðåäåëèëè ðàçìåðû äâóõîñíîãî ýëëèï- ñîèäà (ñôåðîèäà), êîòîðûé èñïîëüçîâàëñÿ â ãåîäåçè÷åñêèõ ðàáîòàõ â ÑÑÑÐ è áûë íàçâàí çåìíûì ýëëèïñîèäîì Êðàñîâñêîãî. Íà îñíîâà- íèè òåõ æå ðàáîò áûëè ïîëó÷åíû ðàçìåðû òðåõîñíîãî ýëëèïñîèäà. Äëÿ äâóõîñíîãî ýëëèïñîèäà Êðàñîâñêîãî áîëüøàÿ ïîëóîñü (ñðåä- íèé ðàäèóñ ýêâàòîðà) ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé à = 6 378245 ì, ìàëàÿ ïî- ëóîñü b = 6 356863 ì. Ðàçíîñòü ìåæäó îñÿìè ñôåðîèäà ñîñòàâëÿåò ≈ 42800 ìì. Ñæàòèå ñôåðîèäà a =(a – b)/a = 1/298,3 = 0,003352. Êâàäðàò ïåðâîãî ýêñöåíòðèñèòåòà laba 1 2222 =− () /= 0,006693. Êâàä- ðàò âòîðîãî ýêñöåíòðèñèòåòà labb 2 2222 =− () /= 0,006739. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè îñíîâíîé ãåîïîñòîÿííîé âåëè÷è- íîé ÿâëÿåòñÿ ðàäèóñ çåìíîé ñôåðû. Îí ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ïî-ðàç- íîìó. Åñëè âçÿòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå òðåõ ïîëóîñåé ýëëèïñîèäà Êðàñîâñêîãî, òî ïîëó÷èì 6 371118 ì. Ðàäèóñ ñôåðû, ïîâåðõíîñòü êîòî- ðîé ðàâíà ïîâåðõíîñòè çåìíîãî ýëëèïñîèäà, áóäåò ðàâåí 6 371110 ì. Âñå ìåòîäû äàþò áëèçêèå ê ïîñëåäíåìó ðåçóëüòàòû. Îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëà ñèëû çåìíîãî òÿãîòåíèÿ, ïðàêòè÷åñêè ïðèãîäíîå äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ãåîèäà, ïîëó÷àþò, ðàçëîæèâ âûðàæåíèå äëÿ Ïò â ðÿä ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðåäâàðè- òåëüíî ðàññìîòðèì áîëåå ïðîñòîé âûâîä, õîðîøî ïîÿñíÿþùèé ôè- çè÷åñêèé ñìûñë ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ. Èç ôîðìóëû (1.22) ïî- ëó÷èì 11 1 1 2 l r rr rr = + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟− = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ρρ ψ ρ ψ cos ,. F (1.23) Ðàçëîæåíèå íàïèñàííîé ôóíêöèè â áèíîìèàëüíûé ðÿä ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû ÷ëåíîâ, âêëþ÷àþùèõ â ñåáÿ ïîëè- íîìû Ëåæàíäðà Pn(cosψ): ρρ ψ rrr P n n n ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ∞ ∑ 1 0 (cos ). (1.24) 33
Îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ïîëèíîìà ñòåïåíè n èìååò âèä P n d d n n nn n (cos ) ! [(cos ) ] [(cos ) ] . ψ ψ ψ = − 1 2 1 2 (1.25) Äëÿ îòäåëüíûõ çíà÷åíèé n áóäåì èìåòü P0 1 (cos) ; ψ= P1(cos ) cos ; ψψ = P2 2 3 2 1 2 (cos ) cos ; ψψ =− P3 3 5 2 3 2 (cos ) cos cos ; ψψψ =− P4 42 35 8 15 4 3 8 (cos ) cos cos ; ψψψ =−+ ........................................... Èñïîëüçóÿ (1.24), èç (1.20) ïîëó÷èì Ïò = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ∞ ∑∫f rr Pd M n n n M ρ ψ (cos ) . 0 Îãðàíè÷èìñÿ òðåìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ è ïðåäñòàâèì ïîòåíöèàë ñóììîé òðåõ èíòåãðàëîâ: Ïò =+ + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ∫ ∫ ∫f r dM r dM r dM M M M 11 3 2 1 2 2 22 ρψ ρψ cos cos ⎤ ⎦⎥ . (1.26) Çíà÷åíèå ïåðâîãî èíòåãðàëà î÷åâèäíî: dM M M = ∫ . Îñòàëüíûå èí- òåãðàëû ìîãóò áûòü âçÿòû â êîíå÷íîì âèäå, åñëè íàëîæèòü íåêîòî- ðûå îãðàíè÷åíèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå ìàññû è ôîðìó Çåìëè. Ïðè ðàâ- íîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè ìàññû ïî îáúåìó Çåìëè, âûðàæàÿ cosψ ÷å- ðåç êîîðäèíàòû ÷àñòèöû ìàññû dM è âíåøíåãî òåëà åäèíè÷íîé ìàññû â ñèñòåìå êîîðäèíàò, öåíòð êîòîðîé ïîìåùåí â öåíòðå ìàññ Çåìëè, íàéäåì ρψ cos . dM M = ∫ 0 34
Âëèÿíèå íåñôåðè÷íîñòè Çåìëè íà ðàñïðåäåëåíèå ìàññû ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ìîìåíòàìè èíåðöèè Çåìëè, îïðåäåëåííûìè îòíî- ñèòåëüíî îñåé ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Åñëè îáîçíà- ÷èòü ÷åðåç  ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé îñè O0Y0, ñîâ- ïàäàþùåé ñ îñüþ âðàùåíèÿ Çåìëè, à ÷åðåç À è Ñ – ìîìåíòû èíåð- öèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé O0X0, O0Z0, ëåæàùèõ â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè, è ñâÿçàòü ïðÿìîóãîëüíûå è ñôåðè÷åñêèå ãåîöåíòðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè Ð è ÷àñòèöû dM îáû÷íûì îáðà- çîì, íàïðèìåð òàê: Xr Yr Zr 0 0 0 pã ö pã ö pã ö = = =− cos cos ; sin ; cos sin , φλ φ φλ (1.27) òî ïîëó÷èì ρψ φ 22 2 3 2 1 2 1 4 23 1 3 4 cos ( )( sin ) ( − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ − − + + ∫ dM ACB M ãö CA − )cos cos 2 2 φλ . ãö (1.28) Îáîçíà÷àÿ ñóììó íåó÷òåííûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ÷åðåç Ïòí, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ òàê íàçûâàåìîãî "íîðìàëüíîãî ïîòåíöèàëà Çåìëè" Ïòã ö ãö =+ + − − + +− fM r f r ACB f r CA 4 23 1 3 4 3 2 3 2 () ( s i n ) () c o s φ φ cos . 2λ+Ï òí (1.29)  ôîðìóëå (1.29) ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë ñèëû òÿãîòåíèÿ Çåìëè ñ ðàâíîìåðíûì èëè ñôåðè÷åñêèì ðàñïðåäå- ëåíèåì ìàññû – òàê íàçûâàåìûé ïîòåíöèàë íüþòîíîâñêîãî ïðèòÿ- æåíèÿ. Âòîðîå ñëàãàåìîå çàâèñèò îò øèðîòû φãö è ó÷èòûâàåò âëèÿ- íèå ïîëþñíîãî ñæàòèÿ Çåìëè, òðåòüå – ó÷èòûâàåò çàâèñèìîñòü ðàñ- ïðåäåëåíèÿ ìàññû Çåìëè îò äîëãîòû, ò.å . îòðàæàåò âëèÿíèå áîêîâîãî ñæàòèÿ. Ïîñëåäóþùèå ñëàãàåìûå (îáîçíà÷åííûå Ïòí) ó÷è- òûâàþò íåñèììåòðè÷íîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ìàññû â ñåâåðíîé è þæ- íîé ÷àñòÿõ Çåìëè, à òàêæå äðóãèå íåðàâíîìåðíîñòè â ãðàâèòàöèîí- íîì ïîëå Çåìëè. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî Çåìëÿ – ïðàâèëüíûé ýëëèïñîèä âðàùå- íèÿ ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññû âîêðóã îñè âðàùåíèÿ, 35
ò.å . À = Ñ, òî ñ äîáàâëåíèåì åùå îäíîãî ïîëèíîìà ïðåäñòàâèì ïî- òåíöèàë â òàêîì âèäå: Ïòã ö ãö =+⋅ − + +⋅ − ππ φ π φ 02 3 2 4 5 4 1 2 31 1 8 35 30 rr r (sin ) ( sin sin ) .... 2 3 φãö ++ (1.30) Êîýôôèöèåíòû π0, π2, π4, íàçûâàåìûå ãåîïîñòîÿííûìè, ïî äàííûì ðàáîòû È.Ä. Æàíãîëîâè÷à [47], ïðèíèìàþòñÿ ðàâíûìè ππ π 0 14 2 2 25 2 4 36 3 9859 10 177 10 23 10 =⋅ = − ⋅ =⋅ ,; , ; , ì/ñ ì/c 35 ì/ñ 72 .  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîé óïðîùåííàÿ ôîðìóëà Ïòã ö =+⋅ − ππ φ 02 3 2 1 2 31 rr (sin ). (1.31) Ïðè áîëåå ïîëíîì ðàññìîòðåíèè ïîòåíöèàëà ñèëû òÿãîòåíèÿ Çåìëè ïðåäïî÷èòàþò çàâèñèìîñòü äëÿ åãî îïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿòü ðÿäîì ñôåðè÷åñêèõ (øàðîâûõ) ôóíêöèé, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðèñîåäèíåííûå ôóíêöèè Ëåæàíäðà. Äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè ζ ïðèñîåäèíåííàÿ ôóíêöèÿ Ëåæàíäðà èìååò âèä P d d P nm m m m n ()() (), ζζ ζ ζ =− 12 (1.32) ãäå èíäåêñ n îïðåäåëÿåò ñòåïåíü ïîëèíîìà, èíäåêñ m – ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé. Ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë ñèëû òÿãîòåíèÿ Çåìëè, âûðàæåííûé ÷åðåç ñôåðè÷åñêèå ôóíêöèè, èìååò âèä Ïò ý =+ × ⎧⎨ ⎩ × ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ + = ∞ = ∑ ∑ fM r R r Cm C n m N n nm nm 1 1 0 12 (c o s s i λ n)( s i n), mP nm λφ ãö ⎫ ⎬ ⎭ (1.33) 36
ãäå C1nm è C2nm – áåçðàçìåðíûå ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû; Rý – ýêâàòîðèàëüíûé ðàäèóñ Çåìëè. Åñëè ïðèíÿòü ðàñïðåäåëåíèå ìàññû ïî îáúåìó Çåìëè ñèììåòðè÷- íûì îòíîñèòåëüíî åå îñè âðàùåíèÿ, òî âûðàæåíèå (1.33) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê áîëåå óäîáíîìó âèäó: Ïò ý ãö ý =+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ + ⎧ ⎨ ⎩⎪ + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ fM r C R r P Ñ R r 120 2 20 30 (sin ) φ 3 30 40 4 40 PC R r P (sin ) (sin).... φφ ãö ý ãö + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ + ⎫ ⎬ ⎭ (1.34) Áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû Cn0 îïðåäåëÿþòñÿ óðîâåííîé ïîâåðõíîñòüþ è óãëîâîé ñêîðîñòüþ Çåìëè. Âåëè÷èíû Pn0(sinφãö) íàçûâàþòñÿ çîíàëüíûìè ñôåðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. Äëÿ îðèåíòèðîâêè ïðèâåäåì äàííûå, õàðàêòåðèçóþùèå ïîëå ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ãåîäåçè÷åñêèõ ñïóòíè- êîâ [124]: Kf M a C == = ± =− ⋅ 398603 2 1 2982 02 1082 645 2 20 ,; : ( , , ) ; , êì /c 3 10 2546 10 164910 6378 165 6 30 6 40 6 −− − =⋅ =⋅ = ;,; ,; , C CR ý êì. Åñëè Çåìëþ ðàññìàòðèâàòü êàê ñôåðó ñî ñðåäíèì ðàäèóñîì RÇ,â êîòîðîé ìàññà ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî ïî îáúåìó, òî èç (1.29) èìååì Ïò = fM/r = K/r. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíîå (ãðàâèòàöèîííîå) ïîëå Çåìëè áóäåò öåíòðàëüíûì, à óñêîðåíèå îò ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùåå â íåì íà òåëî åäèíè÷íîé ìàññû, ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê gò = − dÏò/dr = K/r 2. Çíàê "ìèíóñ" çäåñü ïî- ñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî âåêòîð r, ïî íàïðàâëåíèþ êîòîðîãî áåðåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ dÏò/dr, è âåêòîð gò íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Ñðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ gò äëÿ ðàäèóñîâ r è RÇ, ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü g g R r ò ò ý 0 2 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ , êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå óñêîðåíèÿ ñèëû ïðè- òÿæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò åãî öåíòðà. 37
1.2.2. ÑÈËÀ ÒßÆÅÑÒÈ È ÅÅ ÏÎÒÅÍÖÈÀË Ñèëó òÿæåñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê FFF =+ òö , (1.35) ãäå Fò – âåêòîð ñèëû çåìíîãî ïðèòÿæåíèÿ; Fö – âåêòîð öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè.  ñôåðè÷åñêèõ ãåîöåíòðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî ìàññîé m â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäè- êóëÿðíîì îñè âðàùåíèÿ Çåìëè, èìååò âèä Fm r öã ö =Ω 2 cos , φ (1.36) ãäå Ω – óãëîâàÿ ñêîðîñòü Çåìëè. Íàïðàâëåíèå ñèëû òÿæåñòè ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îòâåñà, ò.å . ñ âåðòèêàëüþ â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå çåìíîé ïîâåðõíîñòè. Óãîë ìåæäó íîðìàëüþ n ê ïîâåðõíîñòè è ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòüþ Çåìëè íàçûâàåòñÿ ãåîãðàôè÷åñêîé øèðîòîé φã, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ãåîöåíòðè÷åñêîé øèðîòû φãö (ðèñ. 1 .12). Ãåîãðàôè÷åñêàÿ äîëãîòà îò- ñ÷èòûâàåòñÿ îò íà÷àëüíîãî ìåðèäèàíà, çà êîòîðûé ïðèíÿò ìåðèäèàí Ãðèíâè÷à. Ñâÿçü ìåæäó ãåîöåíòðè÷åñêîé è ãåîãðàôè÷åñêîé øèðîòà- ìè óñòàíàâëèâàåòñÿ ïî ïðèáëèæåííîé ôîðìóëå tg tg ãö ã φφ =− () , 11 2 l (1.37) ãäå l1 – ïåðâûé ýêñöåíòðèñèòåò. Ðàçíîñòü ìåæäó óãëàìè φã −φãö ìîæåò áûòü íàéäåíà òàêæå èç çà- âèñèìîñòè φφαφ ãã ö ã −= sin . 2 (1.38) Íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ðàçíîñòè φã −φãö ðàâíî 11,5′ ïðè φã = 45°. Ïîòåíöèàë ñèëû òÿæåñòè òàêæå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó ïîòåíöèàëîâ ñèëû çåìíîãî ïðèòÿæåíèÿ è öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåð- öèè, îïðåäåëÿåìîé ñóòî÷íûì âðàùåíèåì Çåìëè: ÏÏÏ òö =+. (1.39) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dÏö = Födrö, ãäå rö = rcosφãö, ïîëó÷èì ïîòåíöèàë öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè, îòíåñåííîé ê åäèíèöå ìàññû, â âèäå Ïöã ö = 1 2 222 Ωrcos . φ (1.40) 38
Åñëè èñïîëüçîâàòü äëÿ Ïò ôîðìóëó (1.31), òî Ï ãö ãö =+ − + ππ φφ 02 3 22 2 2 2 31 1 2 rr r (sin ) cos . Ω (1.41) Ïîëó÷èì òåïåðü ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ïî ñâîéñòâó ïîòåíöèàëà, íàéäåííîãî äëÿ åäèíè÷íîé ìàñ- ñû, èìååì gS S=∂ ∂ Ï/, (1.42) ãäå gS – ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà íàïðàâëåíèå S; ∂Ï/∂S – ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëà ñèëû òÿæåñòè, âçÿòàÿ ïî íàïðàâëåíèþ S.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g óäîáíî çàäàâàòü â êîñîóãîëüíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. 39 Ðèñ. 1.12. Ñõåìà îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ìåñòíîé âåðòèêàëè ïðè ãåîãðàôè÷åñêîé øèðîòå φã è ðàçëîæåíèå âåêòîðà óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïî îñÿì êîñîóãîëü- íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
Íàïðèìåð, â êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå, îáðàçîâàííîé ðàäèóñ-âåêòîðîì r è óãëîì φãö, èìååì grS =+ gg r * , oo φφãö (1.43) ãäågr * è gφ – ïðîåêöèè g íà íàïðàâëåíèÿ êîîðäèíàò Sr è S φ ãö ; r°èS ãö φ o – ñîîòâåòñòâóþùèå îðòû. Äëÿ êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû (ðàäèóñ-âåêòîð r – âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè Çåìëè Ω) àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ìîæíî íàïèñàòü gr =+ gg r * . oo ΩΩ (1.44) Ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g r * è gφ áóäåì íàõîäèòü ïî ôîðìóëàì g Sr r r * == ∂ ∂ ∂ ∂ ÏÏ èg Ï Sr φ φ ∂ ∂ ∂ ∂φ = ãö Ï ãö 1 . Äèôôåðåíöèðóÿ (1.41) ïîî÷åðåäíî, ïîëó÷èì g rr r g r r * (sin )cos; s =− − − + = ππ φφ π φ 0 2 2 3 22 2 2 4 2 3 2 31 3 ãö ãö Ω in cos sin cos . φφ φφ ãö ãö ãö ãö −Ω 2 r (1.45) Ïîëàãàÿ â ôîðìóëàõ (1.45) Ω = 0, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ âåêòîðà gò ïî óêàçàííûì íàïðàâëåíèÿì. Íàéäåì òåïåðü ñîñòàâëÿþùèå gr è gΩ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî gg gg r r r Ω Ω = ′== − φ φ φ φ π φφ /cos , sin sin . ãö ãö ãö ãö tg 32 4 22 2 (1.46) Òàê êàê gr * è′g r èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ, òî ggg rr r g r rrr =− ′=− − − + = * (sin ); si ππ φ π 0 2 2 4 22 2 4 3 2 51 3 ãö Ω Ω ns i n . φφ ãö ãö −Ω 2 r (1.47)  áîëüøèíñòâå ïðèáëèæåííûõ ðàñ÷åòîâ íå äåëàþò ðàçíèöû ìåæ- äó íàïðàâëåíèåì ðàäèóñ-âåêòîðà ê óñëîâíîìó öåíòðó Çåìëè è íà- ïðàâëåíèåì îòâåñà â òî÷êå ñòàðòà. 40
Âûáåðåì â êà÷åñòâå íàïðàâëåíèÿ S íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ñôå- ðîèäà, íà êîòîðóþ âåêòîð óñêîðåíèÿ g ïðîåöèðóåòñÿ ïîëíîé âåëè- ÷èíîé. Îáîçíà÷àÿ íàïðàâëåíèå íîðìàëè ê ñôåðîèäó ÷åðåç n, áóäåì èìåòü gg n n == ∂ ∂ Ï . (1.48) Ââèäó òîãî ÷òî ðàçíîñòü óãëîâ φãö è φã ìàëà, ïðîèçâîäíóþ ïî íà- ïðàâëåíèþ n çàìåíÿþò ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ r: ∂ ∂ ∂ ∂ ÏÏ rn = () . ^ nr (1.49) Ó÷èòûâàÿ ïðîòèâîïîëîæíîñòü íàïðàâëåíèé îòñ÷åòà äëÿ n è r è ìàëîñòü óãëà ìåæäó n è r, ìîæíî çàïèñàòü −≤ ≤− 1 0 999995 cos( ) ^ ,, nr ãäå ÷èñëî 0,999995 ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëüøåé ðàçíîñòè óãëîâ φã − −φãö = 11,5′. Ó÷èòûâàÿ ìàëîå îòëè÷èå cos( ) ^ nr îò åäèíèöû, ïîëó÷èì g = ∂Ï/∂n = −∂Ï/∂r. Äàëåå, çàìåíèâ â ïåðâîé ôîðìóëå (1.45) ôóíêöèè πi èõ çíà÷åíèÿìè π0 = fM è π2 = f(A − B), ïðèäåì ê âûðàæåíèþ g fM r f r AB r =+ − − − 24 22 2 3 2 31 () ( s i n)c o s . φφ ãö ãö Ω (1.50) Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè áåç ó÷åòà åå âðàùåíèÿ èç (1.50) ïîëó÷èì g = fM/r 2 = gò.  ôîðìóëó (1.50) ÷àñòî ââîäÿò âåëè÷èíû μ= − == AB R q R fMR R fM ý 2 ý ý 2 ý è ΩΩ 22 3 / . Âåëè÷èíà μ èìååò ðàçìåðíîñòü ìàññû, à q – áåçðàçìåðíûé ïàðà- ìåòð Çåìëè, ðàâíûé îòíîøåíèþ óñêîðåíèÿ öåíòðîáåæíîé ñèëû ê óñêîðåíèþ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ â ïëîñêîñòè ýêâàòîðà. Ðàñ÷åòû ïî- êàçûâàþò, ÷òî μ = 0,0011M; q = 0,003468. Ââîäÿ â (1.50) âåëè÷èíû μ è q, ïîëó÷èì g fM rM R r q r R =+ − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 2 2 2 3 2 1 3 2 13 μ φφ ' (s i n)c o s ý ãö ý 3 ãö . (1.51) 41
 ïðàêòèêå ïðåäâàðèòåëüíûõ ðàñ÷åòîâ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g0 íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè íàõîäèò ïðèìåíåíèå ôîðìóëà gg 00 2 1 =+ ýã ö (s i n) , βφ (1.52) ãäå g0ý – óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà ýêâàòîðå ïðè φãö =0. Âåëè÷èíà β íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì Êëåðî. ×èñëåííî g0ý = = 9,78034 ì/ñ2 è β = 0,005280 01 [124].  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ìîæíî ïðèíÿòü g = const, îáû÷íî áåðóò g = 9,81 ì/ñ2. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìî- äåëè Çåìëè g ≈ g0(RÇ/r)2. Ïðè òî÷íûõ ðàñ÷åòàõ èñïîëüçóþò g = 9,80665. 1.2.3. ÂËÈßÍÈÅ ÂÐÀÙÅÍÈß ÇÅÌËÈ ÍÀ ÏÎËÅÒ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠÇåìëÿ ñîâåðøàåò â ïðîñòðàíñòâå ñëîæíîå äâèæåíèå – ãîäîâîå îáðàùåíèå âîêðóã Ñîëíöà è ñóòî÷íîå âðàùåíèå îòíîñèòåëüíî ñâîåé îñè; çåìíàÿ îñü â ñâîþ î÷åðåäü ñîâåðøàåò íóòàöèîííîå è ïðåöåññè- îííîå äâèæåíèå. Îäíàêî ïðè èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíà- ðÿäîâ ââèäó êðàòêîâðåìåííîñòè èõ ïîëåòà ñ÷èòàþò, ÷òî äâèæåíèå Çåìëè ïî îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà ìîæíî ïðèíÿòü çà ïðÿìîëèíåéíîå ðàâíîìåðíîå ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå: íóòàöèîííûå êîëåáàíèÿ Çåìëè è åå ïðåöåññèþ íå ó÷èòûâàþò, òàê êàê ýòè äâèæåíèÿ õàðàêòå- ðèçóþòñÿ î÷åíü ìàëûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè (ïåðèîä ïðåöåññèîí- íîãî äâèæåíèÿ – 26000 ëåò, ïåðèîä íóòàöèîííûõ êîëåáàíèé – 18,6 ãîäà ïðè àìïëèòóäå, íå ïðåâûøàþùåé 9,2′′). Ó÷èòûâàþò òîëüêî ñóòî÷íîå âðàùåíèå Çåìëè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ðàâíîìåð- íûì; îäèí îáîðîò ñîâåðøàåòñÿ çà 23 ÷ 56 ìèí 4 ñ ñ óãëîâîé ñêîðî- ñòüþ Ω= ⋅+ ⋅+ =⋅ − 2 236056604 729210 1 5 π () ,/ ñ . Âëèÿíèå ñóòî÷íîãî âðàùåíèÿ Çåìëè íà ïîëåò ðàêåò è ñíàðÿäîâ ëåãêî ïðîñëåäèòü, åñëè ðàññìîòðåòü èõ äâèæåíèå â èíåðöèàëüíîé ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ìîìåíò âûñòðåëà (ïóñêà) íà- ÷àëüíóþ ñêîðîñòü ðàêåòû â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè îáîçíà÷èì V0, à â àáñîëþòíîì äâèæåíèè îáîçíà÷èì Va0 = V0 + Vïåð0, ãäå Vïåð0 –ïå - ðåíîñíàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû, îïðåäåëÿåìàÿ âðàùàòåëüíûì äâèæåíèåì Çåìëè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω è çàâèñÿùàÿ îò ãåîãðàôè÷åñêîé øèðî- òû ìåñòà ðàñïîëîæåíèÿ ñòàðòîâîé ïîçèöèè (çäåñü è äàëåå ýëåìåíòû òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ â àáñîëþòíîì äâèæåíèè áóäåì îòìå÷àòü èí- äåêñîì à). 42
Î÷åâèäíî, Vïåð0 = Ωr0cosφãö0, ãäå r0 – ðàññòîÿíèå ñòàðòîâîé ïîçè- öèè îò óñëîâíîãî öåíòðà Çåìëè; φãö0 – ãåîöåíòðè÷åñêàÿ øèðîòà ðàñ- ïîëîæåíèÿ ñòàðòîâîé ïîçèöèè. Íà ïîëþñàõ Vïåð0 = 0; íà ýêâàòîðå Vïåð0 ≈ 1674 êì/÷ (465 ì/ñ). Çåìëÿ âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé îñè ñ çàïàäà íà âîñòîê, ïîýòîìó ïðè çàïóñêå â âîñòî÷íîì íàïðàâëåíèè Va0 > V0, θa0 < θ0,à ïðè çàïóñêå â çàïàäíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ âðàùåíèÿ Çåìëè) Va0 < < V0, θa0 > θ0 (ðèñ. 1.13). Ïðè ñâîáîäíîì ïîëåòå òðàåêòîðèÿ àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ ðàêå- òû êëàññà "ïîâåðõíîñòü – ïîâåðõíîñòü" â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ò.å . äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè ñ ðàâíîêîíöåíòðè÷åñêèì ðàñïðåäå- ëåíèåì ìàññ, ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé êðèâîé è åå ïëîñêîñòü çàíèìàåò íå- èçìåííîå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå.  òî æå âðåìÿ â ðåçóëüòàòå âðàùåíèÿ Çåìëè ïîëîæåíèå öåëè â èíåðöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå èç- ìåíÿåòñÿ. Çà ïîëíîå âðåìÿ ïîëåòà ðàêåòû öåëü èçìåíèò ñâîå ïîëî- æåíèå íà âåëè÷èíó ∆Ω LR t öÇ ïã ö = cos , φ (1.53) ãäå ∆Lö – ïåðåìåùåíèå öåëè ïî äîëãîòå; tï – ïîëíîå âðåìÿ ïîëåòà; φãö – ãåîöåíòðè÷åñêàÿ øèðîòà öåëè, êîòîðàÿ îñòàåòñÿ íåèçìåííîé â ïðîöåññå âðàùåíèÿ Çåìëè. Ìåñòî ñòàðòà è ìåñòî ïàäåíèÿ ðàêåòû (ñíàðÿäà) êëàññà "ïîâåðõ- íîñòü – ïîâåðõíîñòü" íàõîäÿòñÿ íà Çåìëå; íàáëþäåíèå çà ïîëåòîì ðàêåòû îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïóíêòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà çåìíîé ïî- 43 Ðèñ. 1 .13. Çàâèñèìîñòü íà÷àëüíîé àáñîëþòíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ðàêåòû îò íà- ïðàâëåíèÿ åå çàïóñêà
âåðõíîñòè. Ïîýòîìó ÷àñòî ðàñ÷åò òðàåêòîðèé äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíà- ðÿäîâ ïðîâîäÿò â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé, ò.å . â îò - íîñèòåëüíîì äâèæåíèè. Óñòàíîâèì ñâÿçü íà÷àëüíûõ óñëîâèé áðîñà- íèÿ â àáñîëþòíîì è â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèÿõ, èñïîëüçóÿ ãåîöåíòðè÷åñêóþ èíåðöèàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O0XèYèZè è ãåî- öåíòðè÷åñêóþ çåìíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò O0X0Y0Z0; îñè O0Yè è O0Y0 ñîâìåñòèì ñ âåêòîðîì Ω. Äâèæåíèå ðàêåòû â ïåðâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò áóäåò àáñîëþò- íûì, âî âòîðîé – îòíîñèòåëüíûì . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðà- êåòû â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èñïîëüçóåì îáû÷íûå ñôå- ðè÷åñêèå êîîðäèíàòû ra, φãöa, λa, à â ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé – r, φãö, λ. Ñâÿçü ìåæäó äîëãîòîé â àáñîëþòíîì è îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèÿõ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì λλ a t =+ Ω. (1.54) Íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 áóäóò âåëè÷èíû r0, φãö0, λ0, íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü V0 è óãîë áðîñàíèÿ θ0 (ðèñ. 1.14). Çà óãîë áðîñàíèÿ ïðèíèìàþò óãîë ìåæäó âåêòîðîì íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è åãî ïðîåêöèåé íà ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíóþ ê ñôåðå â òî÷êå áðîñàíèÿ Ð0. Äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè ïëîñêîñòüþ áðîñàíèÿ íàçûâàþò ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âåêòîð íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è öåíòð Çåìëè. Ëèíèÿ O0K ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè áðîñàíèÿ Á ñ ïëîñêîñòüþ ýêâàòîðà íàçûâàåòñÿ ëèíèåé óçëîâ. Äîëãîòà ëèíèè óçëîâ îïðåäåëÿåòñÿ â ïëîñêîñòè ýêâàòîðà óãëîì λ 0 * ìåæäó îñüþ è ëèíèåé óçëîâ. Íàêëîíåíèå ïëîñêîñòè áðîñàíèÿ ê ïëîñêîñòè ýêâàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì χ. Çíà÷åíèÿ íàçâàííûõ óãëîâ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îáîçíà÷èì ÷åðåç λ 0 * è χ0. Èç ñåêòîðà P0O0P0ý è ïðÿìîóãîëüíîãî ñôåðè÷åñêîãî òðåóãîëüíèêà P0KP0ý áóäåì èìåòü cos cos sin ; arcsin( ), χφλ λ χ φ 0 ∗ 00 0 0 0 == − ãö 0 ãö Ac t g t g (1.55) ãäå óãîë À0 – àçèìóò ñòðåëüáû ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè, îòñ÷èòûâàåìûé îò ìåðèäèàíà Ì, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó Ð0. Íàéäåì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè àáñîëþòíîì äâèæåíèè. Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè èíåðöèàëüíûå ãåîöåíòðè÷åñêèå êîîð- äèíàòû ñîâïàäàþò ñ îñÿìè êîîðäèíàò, ñâÿçàííûìè ñ Çåìëåé, è òîãäà òî÷êà Ð0 îêàæåòñÿ ñîâìåùåííîé ñ ïëîñêîñòüþ O0XèY è. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü â àáñîëþòíîì äâèæåíèè VVV a00 0 =+ ïåð , (1.56) 44
ãäå ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè Ð0, ðàâíàÿ Vïåð0 = Ωr0cosφãö0, êîëëèíåàðíà êàñàòåëüíîé ê ïàðàëëåëè Ï â òî÷êå Ð0. Ïîìåñòèì â òî÷êó Ð0 íà÷àëî òîïîöåíòðè÷åñêîé çåìíîé ñèñ- òåìû êîîðäèíàò, îñü OYò0 íà- ïðàâèì ïî ðàäèóñó r0, îñü OXò0 – íà ñåâåð, îñü OZò0 – ïî êàñàòåëü- íîé ê ïàðàëëåëè â òî÷êå ïóñêà.  òîïîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ðèñ. 1.15) óêàæåì àçèìóò ñòðåëüáû À0 è óãîë áðî- ñàíèÿ θ0 â îòíîñèòåëüíîì äâè- 45 Ðèñ. 1 .14 . Ñõåìà îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñòðåëüáû â àáñîëþòíîì è îòíîñè- òåëüíîì äâèæåíèÿõ Ðèñ. 1 .15. Âçàèìîñâÿçü âåêòîðîâ íà- ÷àëüíûõ ñêîðîñòåé, àçèìóòîâ è óãëîâ áðîñàíèÿ â àáñîëþòíîì è îòíîñèòåëü- íîì äâèæåíèÿõ
æåíèè è ïîñòðîèì âåêòîðíóþ ñóììó ñêîðîñòåé (íà ðèñ. 1 .14 è 1.15 ìåðèäèàí è ïàðàëëåëü, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó Ð0, îòìå÷åíû áóêâà- ìè Ì0 èÏ0). Èç ðèñ. 1 .15 íàõîäèì VV VV V aa aa 000 0 00 000 0 sin sin ; cos cos cos cos ; c θθ θθ α = = AA 0 os sin cos cos sin . θφ θ 000 000 0 AA ãö += ΩrV aaa (1.57) Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà íàõîäèì óãîë áðîñàíèÿ â àáñîëþòíîì äâè- æåíèè θθ a a V V 0 0 0 0 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ arcsin sin , (1.58) èç âòîðîãî – àçèìóò ñòðåëüáû A arccos A a aa V V 0 0 0 00 0 = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ cos cos cos . θ θ (1.59) Èç òðåòüåãî ðàâåíñòâà, ïðîâîäÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì ôîð- ìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ìîäóëÿ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè VVV r r a00 2 00 00 0 2 0 2 0 2 =+ + ΩΩ cos cos sin cos . φθ φ ãö ãö A (1.60) Âîçâðàùàÿñü ê ðèñ. 1.14, èç ñôåðè÷åñêîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðå- óãîëüíèêà KaP0P0ý íàõîäèì íàêëîíåíèå ïëîñêîñòè áðîñàíèÿ â àáñî- ëþòíîì äâèæåíèè (Áà) ê ïëîñêîñòè ýêâàòîðà: cos cos sin χφ a00 0 = ãö A (1.61) è äîëãîòó ëèíèè óçëîâ λλ χφ aa 00 00 * arcsin( ). =− ctg tg ãö (1.62) Ó÷èòûâàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.53) ïîïðàâêó íà âðàùå- íèå Çåìëè ∆Lö, ïîëó÷èì ïîëîæåíèå ìåñòà öåëè â ìîìåíò ïóñêà ðà- êåòû – òî÷êó Ö íà ïàðàëëåëè Ïö (ðèñ. 1.16). Äîëãîòà äåéñòâèòåëüíî- ãî ïîëîæåíèÿ öåëè â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò â ìîìåíò ïà- äåíèÿ ãîëîâíîé ÷àñòè ðàêåòû ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå (1.54) è ðàâíà λöà = λö + Ωtï. Öåíòðàëüíûé óãîë 2ψ â ïëîñêîñòè òðàåêòîðèè àáñîëþòíîãî äâè- æåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëíîé äàëüíîñòè ïîëåòà (óãëîâàÿ äàëü- 46
íîñòü), ìîæåò áûòü îïðåäåëåí â ïðîöåññå ðàñ÷åòà òðàåêòîðèè. Íà ðèñ. 1.16 òðàåêòîðèþ ðàêåòû â àáñîëþòíîì äâèæåíèè èçîáðàæàåò ïëîñêàÿ êðèâàÿ P0Ö′, â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè – êðèâàÿ äâîÿêîé êðèâèçíû P0Ö. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàññìîòðåíèè òðàåêòîðèè â îò- íîñèòåëüíîì äâèæåíèè äàëüíîñòü äî öåëè ïî çåìíîé ïîâåðõíîñòè ðàâíà Ð0Ö. Îïðåäåëèì óñêîðåíèå ðàêåòû â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè. Ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå íàõîäèòñÿ (ðèñ. 1.17) ïî ôîðìóëå ar ïåð ãö =Ω 2 cos . φ (1.63) Âåêòîð ïåðåíîñíîãî (öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî) óñêîðåíèÿ íàïðàâëåí îò öåíòðà ìàññ ðàêåòû ê îñè âðàùåíèÿ Çåìëè ïî êðàò÷àéøåìó ðàññòîÿ- íèþ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî â äàëüíåéøåì áóäåò ñîñòàâëåíî óðàâíåíèå îòíî- ñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû â ãåîöåíòðè÷åñêèõ çåìíûõ êîîðäèíàòàõ, íàïèøåì ïðîåêöèè ïåðåíîñíîãî óñêîðåíèÿ íà ýòè îñè êîîðäèíàò: ax aaz xy z ïåð ïåð ïåð 00 2 00 0 2 0 =− = =− ΩΩ ;; . (1.64) Êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå aêîð = 2VV ΩΩ sin( ). ^ (1.65) 47 Ðèñ. 1 .16 . Òðàåêòîðèÿ äâèæå- íèÿ ðàêåòû îòíîñèòåëüíî âðà- ùàþùåéñÿ Çåìëè (Λ0 – äîëãîòà òî÷êè ïóñêà P0; λö – äîëãîòà ïîëîæåíèÿ öåëè â ìîìåíò ïóñêà â ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé ãåîöåí- òðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò): 1 – â îòíîñèòåëüíîì äâèæå- íèè; 2 – â àáñîëþòíîì äâèæå- íèè
Âåêòîð êîðèîëèñîâà óñêîðåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, îï- ðåäåëÿåìîé âåêòîðàìè Ω è V. Íàïðàâëåíèå aêîð â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðà- âèëîì âåêòîðíîé àëãåáðû áåðåòñÿ òàêèì, ÷òîáû âåêòîðû aêîð, Ω è V ñîñòàâèëè ïðàâóþ òðîéêó îðòîâ. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû íà- áëþäàòåëü, ñìîòðÿùèé ñ êîíöà âåêòîðà àêîð, âèäåë ïîâîðîò Ω ê V, ïðîèñõîäÿùèé ïî ìàëîé ÷àñòè îêðóæíîñòè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òàê êàê V â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ðàêåòû áóäåò èçìåíÿòü íàïðàâëåíèå, òî è âåêòîð aêîð ìîæåò áûòü íàïðàâëåí ðàçëè÷íûì îáðàçîì. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî íàïðàâëåíèÿ èçâåñòíûõ ñîñòàâëÿþùèõ V ñîîòâåòñòâó- þò ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ êîîðäèíàòíûõ îñåé, òî ìîæíî óñ- òàíîâèòü âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ñîñòàâëÿþùèõ aêîð â òîé æå ãåî- öåíòðè÷åñêîé çåìíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Èñïîëüçóÿ (1.65) è ïðàâè- ëî îïðåäåëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ aêîð, ïîëó÷èì aa êîð êîð xz zx 00 00 22 == − ΩΩ VV ;.(1.66) Òàê êàê Ω è Vy 0 êîëëèíåàðíû, òî aêîð y 0 =0. Ïðè îïðåäåëåíèè íàïðàâëåíèÿ aêîð â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî òàêæå âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì Æóêîâñêîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì íàïðàâëåíèå aêîð ìîæíî íàéòè, ïîâåðíóâ íà óãîë π/2 â ñòîðîíó ïåðå- íîñíîãî âðàùåíèÿ ïðîåêöèþ âåêòîðà V íà ýêâàòîðèàëüíóþ ïëîñ- êîñòü Vý. Íàïðèìåð, ïðè ñòðåëüáå âäîëü ìåðèäèàíà èç ñåâåðíîãî ïî- ëóøàðèÿ â þæíîå âåêòîð aêîð áóäåò íàïðàâëåí íà âîñòîê êîëëèíåàð- íî êàñàòåëüíîé ê ïàðàëëåëè äî òåõ ïîð, ïîêà ïðîåêöèÿ âåêòîðà V íà ýêâàòîðèàëüíóþ ïëîñêîñòü áóäåò íàïðàâëåíà îò öåíòðà Çåìëè; êàê 48 Ðèñ. 1 .17. Ðàçëîæåíèå âåêòîðà îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, ïåðåíîñíîãî è êîðèîëèñîâà óñêîðåíèé ïî îñÿì ïðÿìîóãîëüíîé ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
òîëüêî ïðîåêöèÿ V ïîëó÷èò íà- ïðàâëåíèå ê öåíòðó Çåìëè, âåê- òîð aêîð ïîâåðíåòñÿ íà çàïàä (ðèñ. 1 .18). Î÷åâèäíî, ÷òî òðàåê- òîðèÿ ðàêåòû â îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè èç-çà äåéñòâèÿ ïåðå- íîñíîé è êîðèîëèñîâîé ñèë èíåðöèè (à òàêæå ââèäó åùå íå- êîòîðûõ ôàêòîðîâ) áóäåò ÿâ- ëÿòüñÿ êðèâîé äâîÿêîé êðèâèç- íû, ò.å . ðàêåòà ïðè äâèæåíèè áóäåò ñìåùàòüñÿ âáîê îòíîñè- òåëüíî ïëîñêîñòè ñòðåëüáû. Ïåðåíîñíîå (öåíòðîáåæíîå) óñêîðåíèå ñêëàäûâàåòñÿ ñ óñêî- ðåíèåì ñèëû çåìíîãî òÿãîòå- íèÿ â îáùåå óñêîðåíèå ñâîáîä- íîãî ïàäåíèÿ (ñì. ïîäðàçä. 1 .2 .2). Êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå îñòà- åòñÿ åäèíñòâåííûì ôàêòîðîì, ó÷èòûâàþùèì âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè íà îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ðàêåòû. Äëÿ ñôåðîèäàëüíîé ìî- äåëè Çåìëè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå êîðèîëèñîâà óñêîðåíèÿ ñîñòàâëÿ- åò ïðèìåðíî 1,5 % óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà êàæäóþ òûñÿ÷ó ìåòðîâ ýêâàòîðèàëüíîé ïðîåêöèè Vý îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè ËÀ. Ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè íà ïîëåò ñíàðÿäîâ öåëåñîîáðàçíî ó÷èòûâàòü íà÷èíàÿ ñ äàëüíîñòè ñòðåëüáû ïðèìåðíî 10000 ì. 1.3 . ÇÅÌÍÀß ÀÒÌÎÑÔÅÐÀ È ÅÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 1.3.1. ÑÒÐÓÊÒÓÐÀ ÀÒÌÎÑÔÅÐÛ Îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû àòìîñôåðû – ïëîòíîñòü âîçäó- õà, òåìïåðàòóðà, áàðîìåòðè÷åñêîå äàâëåíèå, âëàæíîñòü, ñêîðîñòü çâóêà è âåòåð – ñóùåñòâåííûì îáðàçîì âëèÿþò íà õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíàðÿäîâ. Äëÿ èçó÷åíèÿ àòìîñôåðû ñîçäàíà øè- ðîêàÿ ñåòü ìåòåîñòàíöèé, ðàññåÿííûõ ïî âñåìó çåìíîìó øàðó. Èñ- ñëåäîâàíèÿ ïðîâîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ìåòåîðîëîãè÷åñêîé àïïàðàòóðû, óñòàíàâëèâàåìîé íà øàðàõ-çîíäàõ, ðàäèîçîíäàõ, ñïåöèàëüíî îáîðó- äîâàííûõ ñàìîëåòàõ, ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ ðàêåòàõ è ñïóòíèêàõ Çåì- ëè; ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ïîäâåðãàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêå è îáîáùàþòñÿ. Àòìîñôåðó Çåìëè ïî õèìè÷åñêîìó ñîñòàâó ïðèíÿòî íàçûâàòü àçîòíî-êèñëîðîäíîé, îíà ñîäåðæèò ≈76 % àçîòà, ≈21 % êèñëîðîäà, 49 Ðèñ. 1.18 . Íàïðàâëåíèå êîðèîëèñîâûõ óñêîðåíèé è ñèë ïðè äâèæåíèè ËÀ âäîëü ìåðèäèàíà
≈3 % âîäÿíîãî ïàðà, âîäîðîäà, óãëåêèñëîãî ãàçà è ðÿäà äðóãèõ ãàçîâ. Èçâåñòíî íåñêîëüêî ïðèíöèïîâ ïîñòðîåíèÿ ñõåì êëàññèôèêàöèè àòìîñôåðû ïî ñëîÿì. Ïî ñîñòàâó âîçäóõà àòìîñôåðó ïîäðàçäåëÿþò íà ãîìîñôåðó è ãåòåðîñôåðó.  ãîìîñôåðå, ïðîñòèðàþùåéñÿ äî âû- ñîò ≈95000 ì, ñîñòàâ âîçäóõà ñ âûñîòîé ïî÷òè íå èçìåíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó òåìïåðàòóðà âîçäóõà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïàðàìåòðîì, îïðåäåëÿþùèì õàðàêòåðèñòèêè ñîñòîÿíèÿ àòìîñôåðû, íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ áàëëèñòèêè ïðåäñòàâëÿåò ñõåìà ïîñòðîåíèÿ àòìîñôåðû ïî õàðàêòåðó ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñ âûñîòîé.  ýòîé ñõåìå àòìîñôåðó Çåìëè ïîäðàçäåëÿþò íà ïÿòü îñíîâíûõ ñëîåâ, íàçâàííûõ ñôåðàìè. Íèæíèé ñëîé – òðîïîñôåðà, ïðîñòèðàþùàÿñÿ â ñðåäíèõ øèðîòàõ äî âûñîò ≈11000 ì, à â ýêâàòîðèàëüíûõ îáëàñòÿõ – äî âûñîò ≈16000 ì. Âûñîòà òðîïîñôåðû çàâèñèò îò âðåìåíè ãîäà: óâåëè÷èâà- åòñÿ ëåòîì è óìåíüøàåòñÿ çèìîé.  òðîïîñôåðå ñîäåðæèòñÿ ≈75 % âñåé ìàññû àòìîñôåðû è îñíîâíàÿ ÷àñòü âîäÿíîãî ïàðà.  òðîïîñôå- ðå ôîðìèðóþòñÿ âñå ÿâëåíèÿ ïîãîäû. Îòëè÷èòåëüíàÿ ÷åðòà òðîïî- ñôåðû – ïîíèæåíèå òåìïåðàòóðû âîçäóõà ñ óâåëè÷åíèåì âûñîòû. Îäíàêî çèìîé è ëåòîì ïîñëå ÿñíûõ õîëîäíûõ íî÷åé ìîãóò íàáëþ- äàòüñÿ òåìïåðàòóðíûå èíâåðñèè, ïðè êîòîðûõ òåìïåðàòóðà ñ óâåëè- ÷åíèåì âûñîòû ñíà÷àëà âîçðàñòàåò, à çàòåì íà÷èíàåò óáûâàòü.  òðî- ïîñôåðå èìåþò ìåñòî çíà÷èòåëüíûå ãîðèçîíòàëüíûå è âåðòèêàëü- íûå òå÷åíèÿ âîçäóøíûõ ìàññ – âåòðû. Âàæíûì îáñòîÿòåëüñòâîì, îïðåäåëÿþùèì óñëîâèÿ áîåâîãî ïðèìåíåíèÿ àðòèëëåðèè è íåäàëü- íîáîéíûõ ðàêåò, ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â òðîïîñôåðå ïîñòîðîííèõ (íå ãàçîîáðàçíûõ) âêëþ÷åíèé: îñàäêîâ âñåõ òèïîâ, ïûëåâèäíûõ îáðàçî- âàíèé è ò.ä . Ñëåäóþùèé ñëîé – ñòðàòîñôåðà, ïðîñòèðàþùàÿñÿ â ñðåäíèõ øèðîòàõ îò ≈11000 äî ≈50000 ì. Ñòðàòîñôåðà äî âûñîò ≈30000 ì õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿíñòâîì òåìïåðàòóðû; íà áîëüøåé âûñîòå ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê âåðõíåé ãðàíèöå ñòðàòîñôåðû òåìïåðàòó- ðà âîçðàñòàåò, ïðè÷åì èìåþò ìåñòî çíà÷èòåëüíûå ñóòî÷íûå è ìåæñóòî÷íûå êîëåáàíèÿ. Èçìåíåíèå òåìïåðàòóðíîãî ãðàäèåíòà ìåæäó òðîïîñôåðîé è ñòðàòîñôåðîé ïðîèñõîäèò â îòíîñèòåëüíî óçêîì ñëîå, íàçûâàåìîì òðîïîïàóçîé. Òîëùèíà ñëîÿ òðîïîïàóçû êîëåáëåòñÿ îò íåñêîëüêèõ ñîòåí ìåòðîâ äî ≈2000 ì.  ýòîì ñëîå íàáëþäàþòñÿ ìîùíûå ïåðåìåùåíèÿ âîçäóøíûõ ìàññ (òàê íàçû- âàåìûå ñòðóéíûå òå÷åíèÿ) ñ çàïàäà íà âîñòîê ñî ñêîðîñòÿìè, äî- õîäÿùèìè äî ≈110 ì/ñ (400 êì/÷). Îáëàñòü ñòðóéíûõ òå÷åíèé â àòìîñôåðå õàðàêòåðèçóåòñÿ áîëüøè- ìè ñêîðîñòíûìè ãðàäèåíòàìè â âåðòèêàëüíîì è ãîðèçîíòàëüíîì íà- ïðàâëåíèÿõ. 50
Íàä ñòðàòîñôåðîé ðàñïîëîæåíà ìåçîñôåðà, êîòîðàÿ ïðîñòèðàåòñÿ îò âûñîòû ≈50000 äî ≈90000 ì. Îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû äî âåðõíåé ãðàíèöû ñëîÿ è ïîâûøåííîé òóðáóëåíòíî- ñòüþ. Òåðìîñôåðà – ýòî ñëîé àòìîñôåðû îò ≈90000 äî ≈500000 ì, õàðàê- òåðèçóþùèéñÿ íåïðåðûâíûì ïîâûøåíèåì êèíåòè÷åñêîé òåìïåðàòó- ðû.  âåðõíåé ÷àñòè òåðìîñôåðû íà âûñîòàõ 400000...500000 ì êèíå- òè÷åñêàÿ òåìïåðàòóðà âîçäóõà äîñòèãàåò ≈1500 Ê. Ñëîé, ðàñïîëîæåííûé îò âûñîò 500000 ì äî âíåøíåé ãðàíèöû àòìîñôåð, ò.å . ïðèìåðíî äî 2 000000...3 000000 ì, íàçûâàåòñÿ ýêçî- ñôåðîé.  ýêçîñôåðå âîçäóõ î÷åíü ðàçðåæåí. Ïåðåõîäíûå ñëîè ìåæ- äó íàçâàííûìè ñôåðàìè íîñÿò ñîîòâåòñòâåííî íàçâàíèÿ ñòðàòîïàó- çû, ìåçîïàóçû è òåðìîïàóçû. 1.3.2. ÑÒÀÍÄÀÐÒÍÛÅ ÀÒÌÎÑÔÅÐÛ Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû àòìîñôåðû çíà÷èòåëüíî èçìåíÿþòñÿ â çàâèñèìîñòè îò êëèìàòè÷åñêèõ óñëîâèé, âðåìåíè ãîäà è âûñîòû. Íàïðèìåð, â ñëîå àòìîñôåðû ñ âûñîòîé äî 5000 ì ñîäåðæèòñÿ îêîëî 50 % âñåé ìàññû âîçäóõà, à ñ âûñîòîé äî 20000 ì – ïðèìåðíî 95 %. Áàëëèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ïðîâîäÿòñÿ äëÿ íîðìàëüíûõ ìåòåîóñëîâèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñðåäíèì ñòàòèñòè÷å- ñêèì îïûòíûì äàííûì èëè ñòàíäàðòíûì àòìîñôåðàì. Îòêëîíåíèå ìåòåîóñëîâèé îò èõ íîðìàëüíûõ çíà÷åíèé ó÷èòûâàåòñÿ îòäåëüíî â òåîðèè ïîïðàâîê. Äî 1920 ã. â íàøåé ñòðàíå ïîëüçîâàëèñü óñëîâíîé àòìîñôåðîé, ïîëó÷åííîé ïóòåì îáðàáîòêè ïðèçåìíûõ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ óñëî- âèé â ðàéîíå Ìîñêâû.  1920 ã. áûëà ïðèíÿòà ìåæäóíàðîäíàÿ ñòàí- äàðòíàÿ àòìîñôåðà (ÌÑÀ). Äëÿ àðòèëëåðèéñêîé ïðàêòèêè â 1927 ã. ââåëè íîðìàëüíóþ àðòèëëåðèéñêóþ àòìîñôåðó (ÍÀÀ).  1949 ã. áûëè îïóáëèêîâàíû ïîäðîáíûå òàáëèöû ñòàíäàðòíîé àòìîñôåðû (ÃÎÑÒ 4401-48). Ñ ðàçâèòèåì àâèàöèè è ðàêåòíîé òåõíèêè âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü è ïîÿâèëèñü òåõíè÷åñêèå âîçìîæíîñòè èññëåäîâà- íèÿ âåðõíèõ ñëîåâ àòìîñôåðû. Ê êîíöó 1950-õ ãã . áûë íàêîïëåí áîëüøîé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë, êîòîðûé ïîçâîëèë êîîðäè- íàöèîííîìó êîìèòåòó ÀÍ ÑÑÑÐ âûñòóïèòü ñ ïðîåêòîì íîâîé ñòàí- äàðòíîé àòìîñôåðû. Ñíà÷àëà áûëà ïðèíÿòà âðåìåííàÿ ñòàíäàðòíàÿ àòìîñôåðà, à ïîçæå – ñòàíäàðòíàÿ àòìîñôåðà ÑÀ-81 (ÃÎÑÒ 4401-81). Ïîñëåäíÿÿ ïîëó÷èëà ðàñïðîñòðàíåíèå ïðè ðåøåíèè øè- ðîêîãî êðóãà çàäà÷ äèíàìèêè ïîëåòà. Òåì íå ìåíåå äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè, ñîãëàñíî ÃÎÑÒ 24288-80, ðàñ÷åòû òàáëèö ñòðåëüáû è ïîä- ãîòîâêè èñõîäíûõ äàííûõ íà ïóñê ðàêåò Ñóõîïóòíûõ âîéñê îñóùåñò- 51
âëÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïî ÍÀÀ ñ ââåäåíèåì â íåå íåçíà÷èòåëüíûõ êîððåêöèé äëÿ âûñîò ñâûøå 27000 ì.  îòëè÷èå îò ÍÀÀ â ÑÀ-81 âûñîòà íàä ïîâåðõíîñòüþ çàäàåòñÿ ÷å- ðåç òàê íàçûâàåìóþ ãåîïîòåíöèàëüíóþ âûñîòó.  ìåòåîðîëîãèè ãåîïîòåíöèàëüíóþ âûñîòó âûðàæàþò ÷åðåç "ãåî- ïîòåíöèàëüíûå" ìåòðû. Äëÿ óäîáñòâà èçó÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äàâ- ëåíèÿ â àòìîñôåðå â ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû ââîäÿò ãåîïîòåíöèàë, õà- ðàêòåðèçóþùèé ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöû, ðàñïîëîæåííîé â äàííîé òî÷êå Φ(x, y, z). Ïîâåðõíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óðàâíåíèþ Φ(x, y, z) = const, íàçûâàåòñÿ èçîïîòåíöèàëüíîé èëè ãåîïîòåíöèàëü- íîé. Äëÿ ïåðåíîñà åäèíèöû ìàññû ñ ïîâåðõíîñòè, èìåþùåé ïîòåí- öèàë Φ1, íà áëèçêóþ ïîâåðõíîñòü, èìåþùóþ ïîòåíöèàë Φ2, íåîáõî- äèìî ïðîäåëàòü åäèíè÷íóþ ðàáîòó dΦ = g(h)dh, èìåÿ â âèäó, ÷òî Φ2 = =Φ2 + dΦ. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì Φ = ghdh h (). 0 ∫ Ðàçäåëèâ Φ íà ñòàí- äàðòíîå (ò.å . ñîîòâåòñòâóþùåå íóëåâîé âûñîòå) óñêîðåíèå ñâîáîäíî- ãî ïàäåíèÿ gc, ïîëó÷èì ãåîïîòåíöèàëüíóþ âûñîòó, èìåþùóþ ðàç- ìåðíîñòü äëèíû: H gg ghdh h == ∫ Φ cc 1 0 (). (1.67) ×òîáû óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ìåæäó ãåîïîòåíöèàëüíîé è ãåî- ìåòðè÷åñêîé âûñîòàìè, íåîáõîäèìî íàéòè çàâèñèìîñòü g(h).  ÑÀ-81 çíà÷åíèå g(h) âû÷èñëÿëîñü áåç ó÷åòà öåíòðîáåæíîãî óñêîðå- íèÿ ïî ôîðìóëå äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè g = g R Rh c Ç.ñ Ç.ñ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 , ãäå gñ = 9,81 ì/ñ2, òîãäà êàê â ÍÀÀ íîðìàëüíîå óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g0 = 9,80665 ì/ñ2. Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (1.67) ïîëó÷åíû çàâèñèìîñòè H Rh Rh h RH RH = + = − Ç.ñ Ç.ñ Ç.ñ Ç.ñ è. (1.68) Ïðè âû÷èñëåíèè ïàðàìåòðîâ, ïîìåùåííûõ â òàáëèöàõ ÑÀ, ïðèíÿòà âåëè÷èíà RÇ.ñ = 6 356766 ì. Ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ñ èçìåíåíèåì âû- ñîòû, îñíîâàíû íà ãèïîòåçå î âåðòèêàëüíîì ñòàòèñòè÷åñêîì ðàâíî- 52
âåñèè àòìîñôåðû. Ïî ýòîé ãèïîòåçå âåñ ãîðèçîíòàëüíîãî ñëîÿ âîçäó- õà ýëåìåíòàðíîé òîëùèíû dh è åäèíè÷íîé ïëîùàäè óðàâíîâåøèâà- åòñÿ ýëåìåíòàðíîé ðàçíîñòüþ dp äàâëåíèé, äåéñòâóþùèõ íà âåðõíåå è íèæíåå îñíîâàíèÿ ñëîÿ: dp gdh =−ρ . (1.69) Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà: p RT M = ρ , (1.70) ãäå R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ; Ì – ìîëÿðíàÿ ìàññà âîçäóõà. Äëÿ âûñîò äî 94 êì çíà÷åíèå ìîëÿðíîé ìàññû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è R/M = R * ,ãäåR * – óäåëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òîãäà pR T =ρ * . (1.71)  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû àòìîñôåðà ÑÀ-81 ïî âûñîòå ðàçáèòà íà ðÿä ñëîåâ; òåìïåðàòóðà â êàæäîì ñëîå àïïðîêñèìèðóåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé ãåîïîòåíöèàëüíîé âûñîòû TT HH =+ − ** () , β (1.72) ãäå β = dT/dH – ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû ïî ãåîïîòåíöèàëüíîé âûñîòå; T* è H* – òåìïåðàòóðà è ãåîïîòåíöèàëüíàÿ âûñîòà íèæíåé ãðàíèöû ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëîÿ. Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (1.69)...(1.71) è èíòåãðèðóÿ (1.69), ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ èçîòåðìè÷åñêèõ ñëîåâ (β =0) ln ( ), * * p p g RT HH ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− − c (1.73) èëè pp g RT HH =−− ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ** exp ( ). c (1.74) Äëÿ ñëîåâ ñ ëèíåéíî èçìåíÿþùåéñÿ òåìïåðàòóðîé (β≠0) ln ln () , * ** * p p TH H T g R ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= −− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − β β c 53
èëè pp T HH g R =+− ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − * * * () . 1 β β c (1.75) Ïëîòíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ρ= pRT /( ). * (1.76) Óäåëüíûé âåñ γρ = g. (1.77) Ñêîðîñòü çâóêà a kRT M T == 0 20 046796 ,, (1.78) ãäå k 0 = cp/cv = 1,4 – ïîêàçàòåëü àäèàáàòû. Ïî ïðèâåäåííûì ôîðìóëàì âû÷èñëåíû òàáëèöû, ñîäåðæàùèå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè àòìîñôåðû: òåìïåðàòóðó (T, Kèt, °Ñ), äàâëåíèå ð (Ïà è ìì ðò.ñò .), ïëîòíîñòü âîçäóõà, óñêîðåíèå ñâîáîäíî- ãî ïàäåíèÿ, ñêîðîñòü çâóêà. Ïðèâåäåíû òàêæå îòíîñèòåëüíûå âåëè- ÷èíû p/pc, ρ/ρc è äð. Èíäåêñîì "ñ" îòìå÷åíû çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ äëÿ ñðåäíåãî óðîâíÿ ìîðÿ (íóëåâîé âûñîòû). Çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóð- íûõ ãðàäèåíòîâ äëÿ ñòàíäàðòèçîâàííîé ÷àñòè àòìîñôåðû ÑÀ-81 ïðèâåäåíû â òàáë. 1 .7. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò ãåîìåòðè÷åñêîé âûñîòû ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1 .19. Äëÿ ó÷åòà âëàæíîñòè âîçäóõà âìåñòî èñòèííîé Ò ââîäèòñÿ óñëîâ- íàÿ òåìïåðàòóðà τ. Ïîëó÷èì óïðîùåííûå çàâèñèìîñòè äëÿ ðàñ÷åòà óäåëüíîãî âåñà è äàâëåíèÿ âîçäóõà. Äëÿ óäåëüíîãî âåñà Ï = ρg ñóõîãî âîçäóõà èç (1.1) ïîëó÷àåì Ï=pRT /. (1.79) Âìåñòî áàðîìåòðè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ð, èçìåðÿåìîãî â Ïà, ââåäåì äàâëåíèå, èçìåðÿåìîå â ìì ðò.ñò . è îáîçíà÷àåìîå h. Òàê êàê p = = 10 333 760 h = 13,6h, òî ñîîòâåòñòâåííî 54
Òàáëèöà 1.7 Çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðíûõ êîýôôèöèåíòîâ H*,êì T*,Ê β, Ê/êì −2 301,15 −6,5 0 288,15 −6,5 11 216,65 0,0 20 216,65 1,0 32 288,65 2,8 47 270,65 0,0 51 270,65 – Ï=136,. * h RT (1.80) Äàâëåíèå âëàæíîãî âîçäóõà h ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê ñóììà ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé ñóõîãî âîçäóõà hñ.â è âîäÿíîãî ïàðà å: hhe =+ ñ.â . (1.81) Óäåëüíûé âåñ âëàæíîãî âîç- äóõà â åäèíèöå îáúåìà (ì3) íàõî- äèòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé çàâèñèìî- ñòè ÏÏÏ ñ.â =+ å. (1.82) Ñ÷èòàÿ ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòüþ, ÷òî ïðè îäèíàêîâûõ äàâëåíèè è òåìïåðàòóðå ïëîòíîñòü âîäÿíîãî ïàðà ðàâíà ïðèìåðíî 5/8 ïëîòíîñòè ñóõîãî âîçäóõà, ïîëó÷èì Ïå e RT =⋅ 5 8 13 6, (1.83) 55 Ðèñ. 1.19. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû îò ãåîìåòðè÷åñêîé âûñîòû äëÿ ñòàíäàðò- íîé àòìîñôåðû ÑÀ-81
è îêîí÷àòåëüíî Ï=− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 136 1 3 8 ,. h RT e h (1.84) Äëÿ ó÷åòà âëàæíîñòè âîçäóõà â áàëëèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû ââîäÿò "âèðòóàëüíóþ" òåìïåðàòóðó τ= − Ò å h () 1 3 8 (1.85) è â ïîñëåäóþùåì âìåñòî ðåàëüíîãî âëàæíîãî âîçäóõà, õàðàê- òåðèçóþùåãîñÿ ïàðàìåòðàìè h,Ï ,Ò è å, ðàññìàòðèâàþò óñëîâíûé ñóõîé âîçäóõ ñ õàðàêòåðèñòèêàìè h,Ïèτ. Ýòîò óñëîâíûé âîçäóõ îêàçûâàåò ïî÷òè òàêîå æå ñîïðîòèâëåíèå äâèæóùåìóñÿ â íåì ñíàðÿäó, êàê è ðåàëüíûé âîçäóõ. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïîäîáíàÿ çàìåíà ñ òåîðåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íå âïîëíå êîððåêòíà, ïîñêîëüêó íå îòðàæàåò àäåêâàòíî èñòèííîãî èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè çâóêà. Ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, îäíàêî, ÷òî âëèÿíèå âèðòóàëüíîé äîáàâêè íà ñêîðîñòü çâóêà ñòàíîâèòñÿ çàìåòíûì òîëüêî ïðè âûñîêîé âëàæíîñòè è òåìïåðàòóðå âîçäóõà íå íèæå 35...40° Ñ. Ñ ó÷åòîì τ ôîðìóëû äëÿ óäåëüíîãî âåñà è ïëîòíîñòè èìåþò âèä Ï=136,/() ; * hRτ (1.86) ρτ = 136,/( ) . * hgR (1.87) Çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàññ÷èòûâàþòñÿ ïî ôîðìóëå h = =he ON R dy y − ∫1 0 è ñëåäóþùåìó èç ôîðìóëû (1.79) âûðàæåíèþ Ï= ∫− 136 1 0 ,. h R e ON R dy y τ τ (1.88) Åñëè îòíåñòè ýòîò óäåëüíûé âåñ ê íîðìàëüíîìó óäåëüíîìó âåñó âîçäóõà ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, òî ìîæíî ïîëó÷èòü áåçðàçìåðíóþ ôóíêöèþ èçìåíåíèÿ óäåëüíîãî âåñà ñ âûñîòîé. Ïóñòü ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè ÏON ON ON h R = 136,, τ (1.89) 56
òîãäà Ï ÏON ON R dy e y = ∫− τ τ τ 1 0 . (1.90) Ñîîòâåòñòâåííî ìîæíî íàïèñàòü è äëÿ äàâëåíèÿ h h e ON R dy y = ∫− 1 0 τ . (1.91) Äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè τ = f(y) ïîëó÷èì h h y Hyy ON ON RG ON ON == ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ == π τ τ π τ τ () , ()(). 1 1 Ï Ï (1.92) Äëÿ ñëîæíûõ òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìîñòåé τ = f(y) èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1.88) áåðåòñÿ îäíèì èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ïðè ðåøåíèè ðÿäà ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, íàïðèìåð ïðè áàëëèñòè- ÷åñêîì ïðîåêòèðîâàíèè, äëÿ âû÷èñëåíèÿ áåçðàçìåðíîé ôóíêöèè èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ñ âûñîòîé óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ýìïèðè÷åñêè- ìè ôîðìóëàìè. Èçâåñòíû ôîðìóëû: Â.Ï. Âåò÷èíêèíà Hy y y () ; = − + 20000 20000 (1.93) ëèíåéíàÿ Hy ky () ; =− 1 (1.94) ãèïåðáîëè÷åñêàÿ Hy ky () ; = + 1 1 (1.95) ïîêàçàòåëüíàÿ Hye ky (). = − (1.96) 57
Âî âñåõ ôîðìóëàõ y èìååò ðàçìåðíîñòü "ìåòðû"; â ïîñëåäíèõ òðåõ ôîðìóëàõ êîýôôèöèåíò k = 0,0001. 1.4 . ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÈËÛ È ÈÕ ÌÎÌÅÍÒÛ 1.4.1. ÂÅÊÒÎÐ ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈß È ÎÁÓÑËÎÂËÅÍÍÛÉ ÈÌ ÌÎÌÅÍÒ Ïðè ïîëåòå ðàêåòû èëè ñíàðÿäà â àòìîñôåðå íà íèõ äåéñòâóåò ñî- ïðîòèâëåíèå âîçäóõà, íàçûâàåìîå àýðîäèíàìè÷åñêèì. Àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà RA ñêëàäûâàåòñÿ èç ñèë äàâëåíèÿ âîçäó- õà, íàïðàâëåííûõ ïî íîðìàëÿì ê ïîâåðõíîñòè ËÀ, è ñèë òðåíèÿ âîç- äóõà, êàñàòåëüíûõ ê íåé. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèëà RA ïðèëîæåíà ê ËÀ â òî÷êå, êîòîðóþ íàçûâàþò öåíòðîì äàâëåíèÿ (ðèñ. 1.20). Îáû÷- íî öåíòð äàâëåíèÿ íå ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ËÀ è ñèëà RA îòíî- ñèòåëüíî íåãî ñîçäàåò ìîìåíò M. Ñèëó RA, ïðèëîæåííóþ â öåíòðå ìàññ ðàêåòû, íàçûâàþò ïîëíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëîé, à ìîìåíò M – ïîëíûì àýðîäèíàìè÷åñêèì ìîìåíòîì.  îñíîâíîì äåéñòâèå àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ñêîðîñòè ïîëåòà ðàêåòû. Äåéñòâèå ìîìåíòà M âûçûâàåò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ðà- êåòû âîêðóã öåíòðà ìàññ. Íàóêà, èçó÷àþùàÿ ÿâëåíèÿ, ñîïðîâîæäàþ- ùèå âçàèìîäåéñòâèå ËÀ ñ íàáåãàþùèì ïîòîêîì âîçäóõà, íàçûâàåòñÿ àýðîäèíàìèêîé [9]. Ìû ïðèâåäåì òîëüêî ñâåäåíèÿ, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûå ñ ïðàêòè÷åñêèì ïðèìåíåíèåì âî âíåøíåé áàëëèñòèêå ôîðìóë äëÿ ðàñ÷åòà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ RA èñïîëüçóþò ôîðìóëó Rq S C AR = (, , ) , M,Reαβ (1.97) ãäåq=ρV 2 2 / – ñêîðîñòíîé íàïîð íàáåãàþùåãî íåâîçìó- ùåííîãî ïîòîêà; S – õàðàêòåðíàÿ ïëîùàäü ðàêåòû; CR – áåçðàçìåðíûé àýðîäèíàìè÷å- ñêèé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé â îñíîâíîì îò ôîðìû ðàêåòû, ÷èñëà Ìàõà Ì = V/a, ÷èñëà Ðåéíîëüäñà Re = Vdρ/μ, óãëîâ àòàêè α è ñêîëüæåíèÿ β. Åñëè ïðè âû÷èñëåíèè RA îêà- æåòñÿ íåîáõîäèìûì ó÷èòûâàòü 58 Ðèñ. 1.20. Ñõåìà ïðèâåäåíèÿ ïîëíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû ê öåíòðó ìàññ (ÖÌ) ðàêåòû äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîãî äâè- æåíèÿ
èçìåíåíèå óãëîâ α è β âî âðåìåíè èëè óãëîâûå ñêîðîñòè ðàêåòû ωi îòíîñèòåëüíî i-õ îñåé, ò.å . íåñòàöèîíàðíîñòü îáòåêàíèÿ êîðïóñà ðà- êåòû âîçäóõîì, òî ñëåäóåò ïîä çíàê ôóíêöèè CR â ôîðìóëå (1.97) âíåñòè âåëè÷èíû • , • , αβωi è âðåìÿ t. Ïîëíûé àýðîäèíàìè÷åñêèé ìî- ìåíò îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Mq S l m = , (1.98) ãäå l – õàðàêòåðíàÿ äëèíà ðàêåòû (íàïðèìåð, äëèíà ðàêåòû îò åå äíà äî âåðøèíû êîíóñà); m – áåçðàçìåðíûé àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò ôîðìû ðàêåòû, åå ïîëîæåíèÿ íà òðàåêòîðèè, ñêîðîñòè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, âðåìåíè è äð. 1.4.2. ÑÎÑÒÀÂËßÞÙÈÅ ÏÎËÍÎÉ ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈËÛ È ÏÎËÍÎÃÎ ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÎÌÅÍÒÀ Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ RA è Ì ïðèìåíÿþò çàâèñèìîñòè, àíàëîãè÷íûå (1.97) è (1.98). Ïðîåêöèè ñèëû RA îáî- çíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäè- íàò OXYZ : X – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ïðîäîëüíàÿ ñèëà (áåðåòñÿ ñ îáðàò- íûì çíàêîì), Y – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ íîðìàëüíàÿ ñèëà; Z – àýðîäè- íàìè÷åñêàÿ ïîïåðå÷íàÿ ñèëà. Íà îñè ñêîðîñòíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OX Y Z aaa : Xa – ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (áåðåòñÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì), Y a – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ïîäúåìíàÿ ñèëà, Za – àýðîäèíàìè÷åñêàÿ áîêîâàÿ ñèëà. Íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò OXïYïZï, ñâÿçàííîé ñ ïðîñòðàíñòâåííûì óãëîì àòàêè, – ñîîòâåòñò - âåííî Xï, Yï, Zï. Ïðîåêöèè ïîëíîãî ìîìåíòà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë íà îñè ñêîðî- ñòíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåì êîîðäèíàò èìåþò ñëåäóþùèå îáîçíà÷å- íèÿ. Íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: Mx – àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò êðåíà; My – àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò ðûñêàíèÿ; Mz – àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò òàíãàæà. Íà îñè ñêîðîñòíîé ñèñòåìû êî- îðäèíàò ñîîòâåòñòâåííî MMM xyz aaa ,, ñ òåìè æå íàçâàíèÿìè. Ïîñêîëüêó ó ïðîåêöèé Ì íàçâàíèÿ ñîâïàäàþò, òî îáÿçàòåëüíî íàäî îãîâàðèâàòü, ê êàêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îíè îòíîñÿòñÿ.  àýðîäèíàìè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ óäîáíåå èìåòü äåëî íå ñ ñîñòàâ- ëÿþùèìè ñèë è ìîìåíòîâ,àñèõêîýôôèöèåíòàìè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (1.97) è (1.98) äëÿ ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ìîæ- íî çàïèñàòü XqScMqSlm YqScMqSlm ZqScMqSlm xx x yy y zz z == == == ;; ;; ;, (1.99) 59
ãäå cx, cy, cz, mx, my, mz – ñîîòâåòñòâóþùèå áåçðàçìåðíûå êîýôôèöèåíòû ñèë è ìîìåíòîâ. Ñîñòàâëÿþùèå RA è Ì â ñêîðîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïðåäå- ëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì, àíàëîãè÷íûì ôîðìóëàì (1.99), íî èìåþùèì èíäåêñ "à" â îáîçíà÷åíèÿõ ñèë, ìîìåíòîâ è èõ êîýôôèöèåíòîâ.  íàçâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ âêëþ÷àþò íàèìåíîâàíèÿ òåõ ñèë è ìî- ìåíòîâ, êîòîðûå îíè îïðåäåëÿþò. Íàïðèìåð, c xa – êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ; cx – êîýôôèöèåíò ïðîäîëüíîé ñèëû; mz a – êîýôôèöèåíò ìîìåíòà òàíãàæà â ñêîðîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò; mz – êîýôôèöèåíò ìîìåíòà òàíãàæà â ñâÿçàííîé ñèñòåìå êîîðäè- íàò. Ïðè ïðîâåäåíèè òåîðåòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ è ýêñïåðèìåíòîâ â àýðî- äèíàìè÷åñêèõ òðóáàõ àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿ- þòñÿ â êàêîé-ëèáî îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïåðåõîä ê äðóãèì ñèñ- òåìàì êîîðäèíàò îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìàòðèö íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ. Çíà÷åíèÿ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë îòëè÷àþòñÿ îò àýðîäèíàìè÷å- ñêèõ êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ñèë íà qS, à çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ îò êîýô- ôèöèåíòîâ ìîìåíòîâ – íà qSl, ïîýòîìó ôîðìóëû, ïî êîòîðûì âåäåò- ñÿ ïåðåñ÷åò êîýôôèöèåíòîâ ñèë è ìîìåíòîâ èç îäíîé ñèñòåìû êî- îðäèíàò â äðóãóþ, áóäóò òàêèìè æå, êàê è äëÿ ïåðå÷åòà ñàìèõ ñèë è ìîìåíòîâ.  ñëó÷àå íåóñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýô- ôèöèåíòû ñèë è ìîìåíòîâ çàâèñÿò íå òîëüêî îò íàçâàííûõ âûøå îñ- íîâíûõ ïàðàìåòðîâ (1.97), íî è îò õàðàêòåðèñòèê íåñòàöèîíàðíîñòè îáòåêàíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîäúåìíîé è áîêîâîé ñèë íàïèøåì òàêèå ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè: cf t cf yx y z z = = (,, • , • , , , , , ...); (,, αβ αβωωω αβ M, Re, M, 000 Re, • , • , , , , , ...), αβωωω xyz t 000 (1.100) ãäå ωωω xyz 000 ,, – ïðèâåäåííûå óãëîâûå ñêîðîñòè ËÀ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíûõ çåìíûõ îñåé; • , • αβ– ïðèâåäåííûå óãëîâûå ñêîðîñòè ËÀ; Ì – ÷èñëî Ìàõà. Ïðèâåäåííûå óãëîâûå ñêîðîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ áåçðàçìåðíûìè âå- ëè÷èíàìè, ðàâíû •• , •• ; ;; αα ββ ωωωωωω == === l V l V l V l V l V xxyyzz 000000 èò.ï . (1.101) 60
Àýðîäèíàìè÷åñêèå ìîìåíòû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê Mz = Y∆l; My = =Z∆l, ãäå ∆l – ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðîì ìàññ è öåíòðîì äàâëåíèÿ. Ïðèíèìàÿ äëÿ Y è Z çàâèñèìîñòè, àíàëîãè÷íûå (1.99) è (1.100), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ, âûðàæåííûå ÷å- ðåç êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë: Mq S l l l c zy = ∆ (, , ,Re, • , • , ...); αβ αβ M (1.102) Mq S l l l c yz = ∆ (, , ,Re, • , • , ...). αβ αβ M (1.103) Íàéòè äëÿ êîýôôèöèåíòîâ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ìîìåíòîâ çàâèñè- ìîñòè, êîòîðûå îòðàæàëè áû âñå îïðåäåëÿþùèå ôàêòîðû, î÷åíü ñëîæíî, ïîýòîìó îáû÷íî ó÷èòûâàþò òå ôàêòîðû, êîòîðûå îêàçûâà- þò íà ìîìåíòû ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå. Ïðîâåäåííûå àýðîäèíàìè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà òàíãàæà â ñâÿçàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ çàâèñèìîñòüþ mf zz = (,, • ). αωα (1.104) Ôîðìóëà (1.104) ñïðàâåäëèâà ïðè íåáîëüøèõ èçìåíåíèÿõ ÷èñëà Ì. Íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî ïðè çíà÷èòåëüíîì èçìåíåíèè Ì ôîðìà êðèâîé mz(α) ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ, è ýòî íóæíî ó÷èòûâàòü. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (1.104). Ïðèðàâíèâàÿ ïîëíûé äèôôå- ðåíöèàë ñóììå ÷àñòíûõ äèôôåðåíöèàëîâ è âûïîëíÿÿ çàìåíó dm ≈ ≈∆mz=mz−mz0 , ïîëó÷èì mm mmm zz zz z z z =+ ++ 0 ∂ ∂α α ∂ ∂ω ω ∂ ∂α α • • , (1.105) ãäå mz0 – àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò mz ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ α,ωzè • . α Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ êîýôôèöèåíòîâ ñèë è ìîìåíòîâ ââåäåì Aλ, ãäå A – ñèìâîë ðàññìàòðèâàåìîãî êîýôôèöè- åíòà ñèëû èëè ìîìåíòà; λ – ñèìâîë âåëè÷èíû, ïî êîòîðîé áåðåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ, íàïðèìåð cc yy aa α ∂∂ α = / – ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ êîýô- ôèöèåíòà àýðîäèíàìè÷åñêîé ïîäúåìíîé ñèëû ïî óãëó àòàêè. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî óãëàì òèïà mm zz α ∂∂ α = / íàçûâàþòñÿ ñòàòè÷åñêèìè ïðîèçâîäíûìè. Ïðîèçâîäíûå ïî óãëîâûì ñêîðîñòÿì 61
òèïà mm zz z z ω ∂∂ ω = /; mm zz • /• α ∂∂ α = íàçûâàþòñÿ âðàùàòåëüíûìè ïðî- èçâîäíûìè. Óïðîñòèâ çàïèñü (1.105), ïîëó÷èì mmmm m zzz z zz z =++ + 0 α ω α αωα • • . (1.106) Äëÿ êîýôôèöèåíòà ìîìåíòà ðûñêàíèÿ ïðèìåíÿþò ôîðìóëó, àíà- ëîãè÷íóþ íàïèñàííîé äëÿ êîýôôèöèåíòà ìîìåíòà òàíãàæà: mmmmm yy yxyyy x y =+ ++ β ω ω β βω ωβ • • , (1.107) ãäå mm yy β∂∂ β = / – ñòàòè÷åñêàÿ ïðîèçâîäíàÿ; mm yy x x ω ∂∂ ω = /; mm mm yy y yy y ω β ∂∂ ω ∂∂ β == /;/ • • – âðàùàòåëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Ïðè íóëåâûõ çíà÷åíèÿõ βω ω β ,,, • xy àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôè- öèåíò my 0 = 0, ïîýòîìó îí íå âêëþ÷åí â ôîðìóëó (1.107).  íàïèñàííûõ âûøå ôîðìóëàõ ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå óãëîâûå ñêîðîñòè • , • αβè ω i , õàðàêòåðèçóþò ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà êîëåáàíè- ÿì è âðàùåíèþ ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà. Ýòî ñîïðîòèâëåíèå âûçûâà- åò çàòóõàíèå (äåìïôèðîâàíèå) âðàùàòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé. Ïîýòî- ìó âðàùàòåëüíûå ïðîèçâîäíûå ìîãóò áûòü íàçâàíû òàêæå ïðîèçâîä- íûìè äåìïôèðîâàíèÿ. Àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò êðåíà Mx = gSlmx. Ïðè çàôèêñèðî- âàííîì ÷èñëå Ì áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò mx îïðåäåëÿåòñÿ ôóíê- öèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ mf xx y z = (,,,,) . αβωωω (1.108) Ðàñêðûòèå ýòîé ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ïðè ó÷åòå âçàèì- íîãî âëèÿíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ïðèâîäèò ê ñëîæíîìó îá- ùåìó âûðàæåíèþ äëÿ êîýôôèöèåíòà àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà êðåíà: mmm m m m m xxx x xx xy x y y x y =++ ++ ++ 0 2 2 β ω ω β∂ ∂α∂β αβ ω ω ∂ ∂α∂ω αω+ ∂ ∂β∂ω βω 2 mx z z. (1.109) 62
Çäåñü mx 0 – ñîñòàâëÿþùàÿ êîýôôèöèåíòà àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà êðåíà, îïðåäåëÿåìàÿ àýðîäèíàìè÷åñêîé àñèììåòðèåé ËÀ; mx β β – ñîñòàâëÿþùàÿ êîýôôèöèåíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ñêîëüæåíèåì; ∂ ∂α∂β αβ 2 mx – ñîñòàâëÿþùàÿ êîýôôèöèåíòà ìîìåíòà êðåíà, îïðåäåëÿåìàÿ âçàèìíûì âëèÿíèåì êðûëüåâ è îïåðåíèÿ; mxx x ω ω– êîýôôèöèåíòû äåìïôèðóþùåãî ìîìåíòà êðåíà, ñîçäàâàåìîãî êðûëüÿìè è îïåðåíèåì; mxy y ω ω, ∂ ∂α∂ω αω 2 mx y y, ∂ ∂β∂ω βω 2 mx z z – ñîñòàâëÿþùèå ñïèðàëüíîãî ìîìåíòà êðåíà, âîçíèêàþùåãî ïðè âðàùåíèè ËÀ âîêðóã îñåé OY è OZ.  ôîðìóëó (1.109) íå âêëþ÷åíû ñëàãàåìûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ îòíîñèòåëüíî óãëîâ α è β. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (1.109), êîýôôèöèåíò àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà êðåíà â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàå- ìûìè ïåðåêðåñòíûìè àýðîäèíàìè÷åñêèìè ïðîèçâîäíûìè. Âçàèì- íîå âîçäåéñòâèå ïðîäîëüíîãî è áîêîâîãî äâèæåíèé ïðîÿâëÿåòñÿ îñîáåííî ñèëüíî ïðè êðåíå è âðàùåíèè îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè ËÀ ñ ðàçâèòûìè íåñóùèìè ïîâåðõíîñòÿìè. Õàðàêòåðíûå àýðî- äèíàìè÷åñêèå òî÷êè: ôîêóñ ïî óãëó àòàêè – òî÷êà íà îñè OX ñâÿçàí- íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò òàíãàæà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ óãëà àòàêè, ò.å. ∂mz/∂α = 0. Íàïðàâëåíèå îñè OX âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè óãëà àòàêè ïîäúåìíàÿ ñèëà ËÀ áûëà áëèçêà ê íóëþ. Ïîëîæåíèå ôîêóñà ïî óãëó ñêîëüæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåí- ñòâàìè ∂my/∂β =0è∂mx/∂β = 0, ïî îòêëîíåíèþ îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ òàíãàæîì – ðàâåíñòâîì ∂mz/∂δâ = 0, ïî óãëó ðûñêàíèÿ – ðàâåíñòâàìè ∂my/∂δí =0è∂mx/∂δí =0 .  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âåêòîð ïîëíîãî ìîìåíòà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü â âèäå ñóììû MMM =+ ñò ä, (1.110) ãäå Mñò – ñòàáèëèçèðóþùèé èëè îïðîêèäûâàþùèé ìîìåíò; Mä – äåìïôèðóþùèé ìîìåíò. Íàçâàíèå ìîìåíòà Mñò îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì åãî äåéñòâèÿ íà óãîë àòàêè α èëè ñêîëüæåíèÿ β. Åñëè ìîìåíò óâåëè÷èâàåò ýòè óãëû, îí íàçûâàåòñÿ îïðîêèäûâàþùèì, åñëè óìåíüøàåò – ñòàáè- ëèçèðóþùèì. Ìîìåíò äåìïôèðîâàíèÿ Mä äåéñòâóåò ïðîòèâ íà- ïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ïðè êîëåáàíèÿõ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Îí ñòðåìèòñÿ çàòîðìîçèòü (ïîãàñèòü) êîëåáàíèÿ ðàêåòû è åå âðà- 63
ùåíèå. Îòäåëüíî âçÿòûé ìîìåíò äåìïôèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí âûðàæåíèåì Mq S l m l V qSl m ii i i ii ä== || ||, ωω ω ω i (1.111) ãäå || mi i ω – ñîîòâåòñòâóþùàÿ âðàùàòåëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîìåíòû äåìïôèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò çà- âèñÿùèìè îò ïåðâîé ñòåïåíè ñêîðîñòè ïîëåòà: Mq S l mS V lm ii i i i i ää == || ||. ω ωρω 2 (1.112) Çäåñü mäi íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì äåìïôèðîâàíèÿ; îí ðàâåí mäi = = 1 2 mi i ω . Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ êîýôôèöèåíò äåìïôèðîâàíèÿ äîëæåí áûòü îïðåäåëåí ïî âñåì òðåì ñâÿçàííûì îñÿì (mäx, mäy, mäz). Êîýôôèöèåíòû è ìîìåíòû äåìïôèðîâàíèÿ ËÀ ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ îñíîâíûõ êîíñòðóêòèâíûõ óçëîâ ËÀ. Íàïðèìåð, ÷òîáû íàéòè äåìïôèðóþùèé ìîìåíò ðàêåòû ñàìîëåòíîé ñõåìû îòíîñèòåëüíî îñè OZ, íóæíî îïðåäåëèòü îáùèé äåìïôèðóþùèé ìîìåíò êàê ñóììó äåìïôèðóþùèõ ìîìåíòîâ îïåðåíèÿ, êðûëüåâ è êîðïóñà. Ó ðàêåò è ñíàðÿäîâ, íå èìåþùèõ ðåçêî âûñòóïàþùèõ ïîâåðõíîñòåé, ò.å. áåñêðûëûõ è íåîïåðåííûõ, êîýôôèöèåíò äåìïôèðîâàíèÿ êîðïóñà áóäåò îäèíàêîâ ïî ýêâàòîðèàëüíûì îñÿì, à ðàçíèöà â äåìïôèðóþùèõ ìîìåíòàõ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàçíèöåé çíà÷åíèé ωz è ωy.  ïðîöåññå íåâîçìóùåííîãî ñáàëàíñèðîâàííîãî ïîëåòà ðàêåòû (îïåðåííîãî ñíàðÿäà) ïðîèñõîäÿò ïëàâíûå èçìåíåíèÿ óãëîâ àòàêè è ñêîëüæåíèÿ. Ïðè ýòîì, êàê ïîêàçàëè ìíîãèå èññëåäîâàíèÿ, óãëîâûå ñêîðîñòè ìàëî âëèÿþò íà ïîëíûé âåêòîð àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è åãî ñîñòàâëÿþùèå. Ïîýòîìó àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû äëÿ ïîäúåìíîé è áîêîâîé ñèë ÷àñòî îïðåäåëÿþò áåç ó÷åòà óãëîâûõ ñêî- ðîñòåé, êîòîðûå áûëè âêëþ÷åíû íàìè â áîëåå ïîëíûå ôóíêöèî- íàëüíûå çàâèñèìîñòè (1.100), íî îáÿçàòåëüíî ó÷èòûâàþò èõ ïðè îï- ðåäåëåíèè àýðîäèíàìè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ ìîìåíòîâ. Ïðèíÿòî òàêæå äëÿ óïðîùåíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè ìàëûõ α è β ïîäúåìíàÿ è áî- êîâàÿ ñèëû íå çàâèñÿò äðóã îò äðóãà. Ñ ó÷åòîì îòìå÷åííûõ óïðîùå- íèé ïîëó÷àþò ccc yyy =+ 0 α α; (1.113) 64
cc zz = ββ. (1.114) Äëÿ ËÀ ñàìîëåòíîé ñõåìû cc yy = 0 ïðè α = 0; äëÿ îñåñèììåòðè÷íûõ ËÀ cy0 0 = . Ïðè ðàñ÷åòå õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ îñåñèììåòðè÷íûõ ËÀ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðèíÿòü (â ñêîðîñòíûõ îñÿõ) Y V ScZ V Sc ay az aa == ρ α ρ β αβ 22 22 ;; (1.115) M V Slm V Slm zz yy aa aa == ρ α ρ β αβ 22 22 ;. Μ (1.116) Êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â îáùåì âèäå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê cx a = f(M, Re, α, β). Çàâèñèìîñòü cx a îò Re íà÷èíàåò çàìåòíî ïðîÿâëÿòüñÿ ïðè çíà÷èòåëüíîì èçìåíåíèè âûñîòû ïîëåòà, â ñâÿçè ñ ÷åì íåîáõîäèì ïåðåñ÷åò cx a íà ðàçëè÷íûå âûñîòû. Âëèÿíèå α è β ó÷èòûâàþò ÷åðåç êîýôôèöèåíò èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ccc xi xi xi aa a =+ () (). αβ (1.117) Ïîëíûé êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ccc xxx i aaa =+ 0 , (1.118) ãäå cxa0 – êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè ñîâïàäåíèè ïðîäîëüíîé îñè è âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ËÀ, ò.å . ïðè óñëîâèè α=β=0. Äëÿ ËÀ, èìåþùèõ îòíîñèòåëüíî ïëîñêèå òðàåêòîðèè, íàïðèìåð äëÿ ðàêåò êëàññà "çåìëÿ – çåìëÿ", êîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü β = 0, ÷àùå âñåãî îãðàíè÷èâàþòñÿ áîëåå ïðîñòîé çàâèñèìîñòüþ ccc xxx i aaa =+ 0 (). α (1.119) Ïðè ïîëåòå ñ îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèìè óãëàìè àòàêè Xq S c ax a = (M). (1.120) 65
1.4.3. ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ ÀÝÐÎÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈË È ÌÎÌÅÍÒÎÂ Ê ÝÒÀËÎÍÍÛÌ ÔÓÍÊÖÈßÌ ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈß Äëÿ ËÀ, áëèçêèõ ïî àýðîäèíàìè÷åñêîé ôîðìå, ãðàôèêè çàâèñè- ìîñòåé cx a (M) òàêæå îêàçûâàþòñÿ ïîõîæèìè, ÷òî ïîçâîëÿåò â ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëüçîâàòüñÿ íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ àýðîäè- íàìè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè, îïðåäåëåííûìè äëÿ ñóùåñòâóþ- ùèõ, õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàâøèõ îáúåêòîâ. Òàê êàê òîæäåñò- âåííîå ïîäîáèå ìîæíî èìåòü íå âñåãäà, òî â ðàñ÷åò ââîäÿò êîýôôè- öèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè i, íàçûâàåìûé êîýôôèöèåíòîì ôîðìû: i cVa cVa x x a a = (/) (/) , ýò (1.121) ãäåcVa xa (/)– íåèçâåñòíûé àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò äëÿ âíîâü ïðîåêòèðóåìîãî îáúåêòà; cVa xaýò (/)– àýðîäèíàìè÷åñêèé êîýôôèöèåíò èçâåñòíîãî, àýðîäèíàìè÷åñêè ïîõîæåãî íà ïðîåêòèðóåìûé è õîðîøî ñåáÿ çàðåêîìåíäîâàâøåãî îáúåêòà (ýòàëîííîãî). Åñëè èçâåñòíî çíà÷åíèå cVa xaýò (/)äëÿ êàêîé-ëèáî ðàêåòû (èëè ñíàðÿäà), òî äëÿ ðàêåòû, áëèçêîé ïî àýðîäèíàìè÷åñêîé ôîðìå, ìîæíî ïðèíÿòü X V SicVa ax a = ρ2 2 ýò (/). (1.122) Åñëè ôîðìû ðàêåò (ñíàðÿäîâ) è óñëîâèÿ ïîëåòà íåòîæäåñòâåííî ïîäîáíû, òî, î÷åâèäíî, i ≠ 1 è çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ V/a. Óñòàíî- âèòü òî÷íî ýòó çàâèñèìîñòü ìîæíî îïûòíûì ïóòåì èëè ïîëó÷èâ òåî- ðåòè÷åñêè çíà÷åíèå cVa xaýò (/)äëÿ âíîâü ïðîåêòèðóåìîãî îáúåêòà, íî ïðè ýòîì òåðÿåòñÿ ïðåèìóùåñòâî ââåäåíèÿ êîýôôèöèåíòà ôîðìû i. Ïîýòîìó ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü çíà÷åíèå i ïðèáëèæåííî, ïîëàãàÿ åãî ïîñòîÿííûì äëÿ äàííîé òðàåêòîðèè. ×èñëåííîå çíà÷åíèå i çàâèñèò îò ôîðìû âíîâü ïðîåêòèðóåìîãî îáúåêòà è çíà÷åíèé cVa xaýò (/)äëÿ èçâåñòíûõ òèïîâ îáúåêòîâ (ðàêåò, ñíàðÿäîâ), ñ êîòîðûìè íîâûé îáúåêò ñðàâíèâàåòñÿ. Ïîýòîìó âñåãäà íåîáõîäèìî óêàçûâàòü, ïî êàêîìó ýòàëîííîìó çàêîíó ñîïðîòèâëå- íèÿ âîçäóõà îïðåäåëÿåòñÿ êîýôôèöèåíò i. Óäîáíî èñïîëüçîâàòü i â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà ñîãëàñîâàíèÿ ðàñ÷åòà ïî îïðåäåëåíèþ äàëü- íîñòè ñòðåëüáû ñ îïûòîì.  ýòîì ñëó÷àå i áóäåò ó÷èòûâàòü íå òîëüêî ôîðìó ñíàðÿäà, íî è âñå ôàêòîðû, íå îòðàæåííûå â äàííîì ðàñ÷åòå, íàïðèìåð îòëè÷èå ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ ôîðìû, ïî- ëó÷åííûõ ïðè ñòðåëüáå, îò ýòàëîííîãî çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà, à 66
òàêæå ðàçëè÷íûå õàðàêòåðèñòèêè êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïðè ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ñòðåëüáû.  óðàâíåíèå (1.122) âõîäèò ïëîòíîñòü ρ (êã/ì3). Åñëè ïåðåéòè ê óäåëüíîìó âåñó Ï (Í/ì3), ïîëó÷èì X d VicVa ax a = π 2 2 8 Ï g ýò (/). (1.123) Óìíîæèì è ðàçäåëèì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1.123) íà ïðîèç- âåäåíèå QÏON ⋅103.  ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü X Q g id Q VcVa a ON ON xa =⋅ ⋅ 2 3 3 2 10 810 Ï Ï Ï ýò π (/). (1.124)  ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòè ìíîæèòåëü id Q c 2 3 10 ⋅=íàçûâàåòñÿ áàëëèñòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì, à ÷ëåí FV VcVa VcVa ON x x aa () (/) , (/) = ⋅ =⋅ − π 810 474 10 3 24 2 Ï ýò ýò (1.125) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Çäåñü íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî â àðòèëëåðèè áîëåå ðàïðîñòðàíåíî âûðàæåíèå áàëëèñòè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà ci dm =⋅ − 21 103 , ïîñêîëüêó ïðè ïåðåõîäå ê ñèñòåìå ÑÈ Q äîëæíî âûðàæàòüñÿ â íüþòîíàõ, ÷òî ÷àñòî ïðèâîäèò ê ïóòàíèöå, îáóñëîâëåííîé äèàïàçîíîì çàäàíèÿ c â Òàáëèöàõ âíåøíåé áàëëèñòèêè (ÒÂÁ), èìåþùåãî âåëè÷èíó, ìíîãî áî'ëüøóþ äåñÿòè. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì óäîáíóþ ôîðìóëó Xm c H y F V a = ()(), (1.126) â êîòîðîé ïðîèçâåäåíèå cH(y)F(V ) èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë óñêîðåíèÿ ñíàðÿäà îò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç J. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (1.126) äëÿ ðàêåò íà ó÷àñòêå ðàáîòû äâèãàòåëÿ (àêòèâíîì ó÷àñòêå ïîëåòà), ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî m è c ïåðåìåí- íû è ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 67
m QQd t g t = − ∫ ñåê 0 ; (1.127) c id QQd t t = ⋅ − ∫ 23 0 10 ñåê , (1.128) ãäå Qñåê – ñåêóíäíûé ðàñõîä òîïëèâà. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé âûðàæåíèÿ (1.126) ïîëó÷èì äëÿ ËÀ ñ ïåðåìåííîé ìàññîé X id g HyFV a =⋅ 2 3 10 ()(). (1.129) Èíîãäà âìåñòî ôóíêöèè F(V ) èñïîëüçóåòñÿ ôóíêöèÿ GVFVV VcVa xa ()()/, (/) == ⋅ − 474 104 ýò (1.130) èëè ôóíêöèÿ KVaFVV cVa xa (/) ()/ , (/). == ⋅ − 24 474 10 ýò (1.131) Äëÿ ðàêåò (ñíàðÿäîâ), ðàçëè÷íûõ ïî ôîðìå, ðàçëè÷íû è ôóíêöèè F(V )èG(V ). Ïðè ïðîâåäåíèè áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ÷èñëîâîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà ôîðìû i äîëæíî âûáèðàòüñÿ ïðèìåíèòåëü- íî ê èñïîëüçóåìîé ôóíêöèè F(V ) èëè G(V ). Äëÿ ñíàðÿäîâ ñòâîëü- íûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñèñòåì èçâåñòíû ýìïèðè÷åñêè óñòàíîâëåííûå òèïîâûå ôóíêöèè F(V ), èíîãäà íàçûâàåìûå íå ñîâñåì ïðàâèëüíî çàêîíàìè ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Èçâåñòíû, â ÷àñòíîñòè, "çàêîíû" Íüþòîíà, Ìàèåâñêîãî è Çàáóä- ñêîãî, Ãàðíüå è Äþïþè, Ñèà÷÷è, ðàçðàáîòàííûå ñîâåòñêèìè ó÷åíû- ìè "çàêîíû 1930 ã. è 1943 ã." Ýìïèðè÷åñêèå çàâèñèìîñòè äëÿ òèïî- âûõ ôóíêöèé F(V )èG(V ) çàäàþòñÿ â âèäå ñïåöèàëüíûõ òàáëèö. Ïðè èñïîëüçîâàíèè â ðàñ÷åòàõ óæå èìåþùèõñÿ òàáëèö äëÿ F(V ) è G(V ) è ïðè ñîñòàâëåíèè òàáëèö äëÿ íîâûõ òèïîâûõ ôóíêöèé ñëå- äóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà a çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû âîçäóõà è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíÿåòñÿ ñ âûñîòîé. Êàê èçâåñòíî, a = kgRτ, ãäå k – ïîêàçàòåëü àäèàáàòû. Åñëè äëÿ îòíîñèòåëüíî êîðîòêèõ òðàåêòîðèé (Xc £ 50 êì) ïðè- íÿòü g = const, à k – íå çàâèñÿùèì îò òåìïåðàòóðû, òî îêàæåòñÿ, ÷òî ñêîðîñòü çâóêà ïðîïîðöèîíàëüíà τ. Äëÿ òîãî ÷òîáû èìåòü òàáëèöû ôóíêöèè F(V ) èëè G(V ) ñ îäíèì âõîäîì, íåîáõîäèìî èõ ðàññ÷èòû- 68
âàòü äëÿ îäíîé ôèêñèðîâàííîé ñêîðîñòè çâóêà, ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì ðàâåíñòâî cVacVa xx O N aa (/) (/ ), = τ èëè VaV a ON // , = τ (1.132) ãäå aON – ñêîðîñòü çâóêà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ, ïðèíèìàåìàÿ ïîñòîÿííîé ïðè âû÷èñëåíèè òàáëèö; Vτ – óñëîâíàÿ òàáëè÷íàÿ ñêîðîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî VV a a V ON ON τ τ τ ==. (1.133) Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1.125), ïîëó÷èì FV V c V a ON x ON a (), . =⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − 474 1042 τ τ τ τ ýò (1.134) Îáîçíà÷àÿ FV Vc V a x ON a (), , ττ τ =⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − 474 1042 ýò (1.135) èìååì FV FV ON () (). = τ τ τ (1.136) Ñîîòâåòñòâåííî GV GV ON ()/(), =ττ τ (1.137) è, ñðàâíèâàÿ (1.135) è (1.137), ïîëó÷èì GV FV V () (). τ τ τ = (1.138) Ïðè ó÷åòå âëàæíîñòè âîçäóõà ïîñðåäñòâîì ââåäåíèÿ âèðòóàëüíîé òåìïåðàòóðû åãî óäåëüíûé âåñ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1.79). 69
Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè ñ âûñîòîé ðàâíà Hy h h ON ON ON () , == Ï Ï τ τ ò.å. çàâèñèò îò îòíîøåíèÿ äàâëåíèé è âèðòóàëüíûõ òåìïåðàòóð. Åñëè òåïåðü âåðíóòüñÿ ê ôîðìóëå (1.126) è ïîäñòàâèòü â íåå âûðàæåíèÿ äëÿ F(V )èH(y), òî ïîëó÷èì Xm c h h FV a ON = (), τ (1.139) èëè Xm c y F V a =π τ ()( ). (1.140) Åñëè â (1.126) ñ ïîìîùüþ (1.137) ââåñòè ôóíêöèþ G(Vτ), òî áóäåì èìåòü Xm c Hy V G V a = ττ ()(), (1.141) ãäå Hy Hy ON τ τ τ ()(). = Äëÿ ýòîé ôóíêöèè òàêæå ñîñòàâëåíû òàáëèöû ñ âõîäíîé âåëè÷èíîé y. Ïðè ðàñ÷åòå õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ âðàùàþùèõñÿ àðòèëëåðèé- ñêèõ ñíàðÿäîâ îáû÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî ñíàðÿäû óñòîé÷èâû íà òðàåêòî- ðèè è äâèæóòñÿ ñ ìàëûìè óãëîâûìè îòêëîíåíèÿìè ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà îò âåêòîðà ñêîðîñòè (óãîë íóòàöèè δ íà ðèñ. 1.10); ïëîñêîñòü óãëà δ âðàùàåòñÿ. Ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå (òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâ- ëÿþùóþ Rò ïîëíîãî âåêòîðà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë) ñ÷èòàþò íåçà- âèñèìûì îò δ è îïðåäåëÿþò ïðè δ = 0, à íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ RN è îïðîêèäûâàþùèé ìîìåíò Ì ïðèíèìàþò ïðîïîðöèîíàëüíûìè óãëó δ (ðèñ. 1.21). Êðîìå òîãî, óäîáíî ïðè ðàñ÷åòàõ â ôîðìóëû äëÿ íàçâàííûõ àýðîäèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ââåñòè êàëèáð ñíàðÿäà d, ôóíêöèþ H(y) è ñîîòâåòñòâóþùèå àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöè- åíòû Ki(V/a). Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷èì XRR id g HyVK V a YZR dl g H aA aaN ===⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ == =⋅ ò 2 32 3 10 10 () ; () ; () yVK V a MMM dh g HyVK V a N yz M 2 2 32 10 ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ === ⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ δ δ. (1.142) 70
Àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû K V a ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟,K V a N ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟èK V a M ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ìî- ãóò áûòü îïðåäåëåíû ïî äàííûì îïûòíûõ ñòðåëüá. Âåëè÷èíà h ≈∆l ñîîòâåòñòâóåò óñëîâíîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó öåíòðîì äàâëåíèÿ è öåíòðîì ìàññ ñíàðÿäà è îïðåäåëÿåòñÿ îáû÷íî ïî ýìïèðè÷åñêèì ôîðìóëàì.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïðèâåñòè èçâåñòíóþ ôîðìóëó Ãîáàðà hhhd =+ − 1 057 016 ,, , ã ãäå h1 è hã (ñì. ðèñ. 1.21) – ðàçìåðû, õàðàêòåðèçóþùèå ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà è äëèíó åãî ãîëîâíîé (îæèâàëüíîé èëè êîíè÷åñêîé) ÷àñòè ñîîòâåòñòâåííî. Òîëüêî áûñòðîâðàùàþùèìñÿ ñíàðÿäàì ïðèñóùè àýðîäèíàìè÷å- ñêèå õàðàêòåðèñòèêè – ñèëà Ìàãíóñà RÌà, ìîìåíò ñèëû Ìàãíóñà MÌà è ìîìåíò ïîâåðõíîñòíîãî òðåíèÿ Ã. Ñèëà Ìàãíóñà ÿâëÿåòñÿ ñî- ñòàâëÿþùåé ãëàâíîãî âåêòîðà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë. Îíà ïðîïîð- öèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ωxδ. Ìåõàíèçì âîçíèêíîâåíèÿ ýòîé ñèëû âèäåí èç ðèñ. 1.22. Ïðè âñòðå÷å ÷àñòèö íàáåãàþùåãî íà ñíàðÿä ñî ñêîðîñòüþ V ïîòîêà âîçäóõà ñ ÷àñòèöàìè âîçäóõà, óâëå÷åííûìè âî âðàùåíèå ïîâåðõíîñòüþ ñíàðÿäà, ñîçäàåòñÿ ðàçíîñòü ïðèñòåííîãî äàâëåíèÿ.  ðåçóëüòàòå ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ ïî ïîâåðõíîñòè ñíàðÿäà ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñ- 71 Ðèñ. 1.21. Ñõåìà ïðèâåäåíèÿ ãëàâíîãî âåêòîðà ïîëíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû ê öåíòðó ìàññ (ÖÌ) âðàùàþùåãîñÿ ñíàðÿäà
êîñòè óãëà íóòàöèè δ è íàïðàâëåííàÿ â ñòîðîíó, îáðàòíóþ îáëàñòè ñìåøåíèÿ âñòðå÷íûõ ïîòîêîâ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèëû è ìîìåíòà Ìàãíóñà ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ôîðìóëû R dl g HyVK V a M dl g HyVK x Ma Ma Ma =⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =⋅ 2 3 3 3 10 10 () ; () ωδ Ix V a ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ωδ, (1.143) ãäå KMa, K V a I ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ – îïûòíûå àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû. Òàê êàê â îáùåì ñëó÷àå âåêòîð ñèëû Ìàãíóñà íå ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ, ïîÿâëÿåòñÿ ìîìåíò ýòîé ñèëû. Âëèÿíèå RMa è åå ìîìåí- òà íà ïîëåò ñíàðÿäîâ èçó÷åíî ñðàâíèòåëüíî ìàëî. Ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî òðåíèÿ óìåíüøàþò óãëîâóþ ñêîðîñòü ñîá- ñòâåííîãî âðàùåíèÿ ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè. Ìî- ìåíò äåìïôèðîâàíèÿ ñòðåìèòñÿ ïîãàñèòü êîëåáàíèå ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà, ò.å . óìåíüøèòü ñîñòàâëÿþùóþ óãëîâîé ñêîðîñòè, ïåð- ïåíäèêóëÿðíóþ ê åãî ïðîäîëüíîé îñè. Ìîìåíò ïîâåðõíîñòíîãî òðå- íèÿ è äåìïôèðóþùèé ìîìåíò ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ïî ôîðìóëàì à à ä =⋅ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =⋅ ⎛ ⎝ dl g HyVK V a M dl g HyVK V a x D 2 3 3 3 10 10 () ; () ω ⎜⎞ ⎠⎟Ω, (1.144) 72 Ðèñ. 1 .22. Ñõåìà îáðàçîâàíèÿ ñèëû Ìàãíóñà
ãäå K V a K V a D à ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ , – àýðîäèíàìè÷åñêèå êîýôôèöèåíòû; Ω – ñîñòàâëÿþùàÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïðîäîëüíîé îñè. Êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû è îïûò, ìîìåíò à ñóùåñòâåííî óìåíüøàåò óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñíàðÿäà â ïðîöåññå ïîëåòà.  âûðàæåíèÿ (1.142)...(1.144) äëÿ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìî- ìåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà àðòèëëåðèéñêèé ñíàðÿä, âõîäÿò òèïîâûå ôóíêöèè ñîïðîòèâëåíèÿ K V a ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟,K V a N ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟,K V a Ma ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟,K V a M ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟,K V a I ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟, K V a à ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟, K V a D ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ , ïî êîòîðûì íàêîïëåí áîëüøîé ýêñïåðèìåíòàëü- íûé ìàòåðèàë íà îñíîâå îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ îïûòíûõ ñòðåëüá (ñì., íàïðèìåð, [21, 118]). Ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíê- öèé ïîëó÷åíû ïðè óñëîâèè ìàëûõ óãëîâ íóòàöèè è ëèíåéíîé çàâè- ñèìîñòè ñèë RN, RMa è ìîìåíòîâ M, MMa îò óãëà δ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êî- ãäà óãîë íóòàöèè íå ìîæåò áûòü ïðèíÿò ìàëûì, ìîæíî çàäàòü çàâè- ñèìîñòü àýðîäèíàìè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ â âèäå K V a i ;s i n . δδ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ Ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì îïðåäåëåíèè àýðîäèíàìè÷åñêèõ êîýôôè- öèåíòîâ â àýðîäèíàìè÷åñêèõ òðóáàõ îáû÷íî â êà÷åñòâå õàðàêòåðíî- ãî ðàçìåðà è ïëîùàäè èñïîëüçóþò äëèíó ñíàðÿäà l è ïëîùàäü ìèäå- ëåâîãî ñå÷åíèÿ S = πd 2/4.  ýòîì ñëó÷àå, îáîçíà÷èâ πÏON d g HyVl 8 2 22 () =47410 2 2 22 ,( ) ⋅ − d g HyVl = φ1(V, y); V/a = M, âûðà- æåíèÿ äëÿ ñèë è ìîìåíòîâ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå RV y l c RV y lc R NN òò Ma (M M, = = = − − φδ φδ δ 1 2 1 2 (,) ,); (,)sin(); φω δ δ φδ δ 1 1 1 1 (,)() sin (,); (,) sin (, Vy lV c MV y lm x M − − = MaM M); (,) sin ( ,); (,) ( ,); MV ym VyV m x x Ma Ma à M ÃM = = − φωδ δ φωδ 1 1 1 DV y Vm D = − φδ 1 1 (,) (,) . ΩM (1.145) Òîãäà ïåðåõîä ê òèïîâûì ôóíêöèÿì ñîïðîòèâëåíèÿ ñîîòâåòñò- âóþùèõ ñèë è ìîìåíòîâ ïðè ìàëûõ óãëàõ íóòàöèè (sinδ≈δ; ci(M, δ) ≈ 73
≈ c i(M); mi(M, δ) ≈ mi(M)) ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèÿ d lON 8103 ⋅ πÏ ≈ ≈ 2,11⋅103dl −1 = φ2(d, l) ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïî ôîðìóëàì cd l l d i K c dldlK c NN ò Ma MM MM () (,) (); () (,) (); = = − − φ φ 2 1 2 22 (), (); () (,) (); () MM MM M Ma Ma =⋅ = = − 211 103 2 1 K md l d h K m MM φ φ2 2 2 22 (,)(); () (,) (); () (,) dlK md l K m dldlK I D M MM M Ãà = = − φ φ D() . M (1.146) 1.5 . ÒßÃÀ ÐÀÊÅÒÍÎÃÎ ÄÂÈÃÀÒÅËß Òÿãîé ðàêåòíîãî äâèãàòåëÿ íàçûâàåòñÿ ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ðåàê- òèâíîé ñèëû è ñèë äàâëåíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû, äåéñòâóþùèõ íà åãî âíåøíèå ïîâåðõíîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì ñèë âíåøíåãî àýðîäèíà- ìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ãàçî- è ãèäðîäèíà- ìè÷åñêèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà âíóòðåííèå ïîâåðõíîñòè ðàêåòíîãî äâèãàòåëÿ ïðè èñòå÷åíèè èç íåãî âåùåñòâà, íàçûâàåòñÿ ðåàêòèâíîé ñèëîé. Îïðåäåëèòü òÿãó â ïîëåòå ìîæíî òîëüêî êîñâåííûì ðàñ÷åò- íî-ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì. Ïîýòîìó òÿãà îïðåäåëÿåòñÿ â ñòàòè- ÷åñêèõ óñëîâèÿõ íà ñïåöèàëüíûõ ñòåíäàõ. Ñîâìåñòíîå äåéñòâèå ñèë, âêëþ÷àÿ êîðèîëèñîâû, çàâèñÿùèå îò êîëåáàíèé ðàêåòû, äâèæåíèÿ ãàçîâ è ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ ïðè âûãîðàíèè òîïëèâà, ìîæåò áûòü ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëåíî â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå, ãäå ðàêåòó ñ ðàáîòàþùèì äâèãàòåëåì ñëåäóåò çàêðåïèòü øàðíèðíî òàê, ÷òîáû ïðîäîëüíàÿ îñü ðàêåòû ìîãëà ñîâåðøàòü êîëåáàíèÿ. Øàðíèð- íîå êðåïëåíèå âíîñèò çíà÷èòåëüíûå èñêàæåíèÿ â îáòåêàþùèé ðàêå- òó âíåøíèé ïîòîê, ÷òî ñíèæàåò òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ. Ðàñïîëàãàÿ ïðîäîëüíóþ îñü ðàêåòû ïî ïîòîêó òàê, ÷òîáû èç àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë äåéñòâîâàëî òîëüêî ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå, ìîæíî èçìåðèòü íà îïîðàõ ðàêåòû ñóììàðíóþ äåéñòâóþùóþ ñèëó, íàçûâàåìóþ ýôôåê- òèâíîé òÿãîé äâèãàòåëÿ: PPX q dt ýô âàð =−− δ , (1.147) ãäå Ð – ñòåíäîâàÿ òÿãà. 74
Åñëè ïðèíÿòü ñêîðîñòü âíåøíåãî ïîòîêà ðàâíîé íóëþ, òî íà îïî- ðàõ ðàêåòû áóäåò îïðåäåëåíà ñòåíäîâàÿ òÿãà äâèãàòåëÿ. Îòäåëüíî èçìåðèòü ðåàêòèâíóþ ñèëó íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæ- íûì, è åå îïðåäåëÿþò âìåñòå ñ ñèëàìè ñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ, äåé- ñòâóþùèìè â íàïðàâëåíèè ïðîäîëüíîé îñè ðàêåòû. Óêðåïëåííàÿ íà ñòåíäå ðàêåòà óäåðæèâàåòñÿ îò ïåðåìåùåíèÿ îñåâîé ñèëîé ′P , êîòîðàÿ ðàâíà òÿãå, íî íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî åé: ′ P= = −P. Íà íàðóæíóþ ïîâåðõíîñòü ðàêåòû äåéñòâóþò ñèëû, îïðåäåëÿåìûå àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì ð, ñîîòâåòñòâóþùèì âûñîòå, íà êîòîðîé ðàñïî- ëîæåíà ðàêåòà. Ïî âåëè÷èíå îíè ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ äàâëåíèÿ íà ïëî- ùàäü è íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî òîé ïëîùàäêå, íà êîòîðóþ äåéñò- âóþò. Âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ðàêåòû, óðàâíî- âåøèâàþò äðóã äðóãà. Íî ïðè ðàáîòàþùåì äâèãàòåëå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå íå äåéñòâóåò íà âûõîäíîå ñå÷åíèå ñîïëà, ÷åðåç êîòîðîå ïàðàë- ëåëüíî îñè ðàêåòû OX èñòåêàþò ãàçû ñî ñêîðîñòüþ Wîòí, è ïîÿâëÿåòñÿ ïðèëîæåííàÿ ê êîðïóñó íåóðàâíîâåøåííàÿ ñèëà pSa , íàïðàâëåííàÿ â ñòî- ðîíó èñòå÷åíèÿ ãàçîâ (Sa – ïëîùàäü âûõîäíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà).  âûõîä- íîì ñå÷åíèè ñîïëà äåéñòâóåò ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííàÿ ñèëà paSa, ãäå pa – äàâëåíèå èñòåêàþùèõ èç ñîïëà ãàçîâ â ýòîì ñå÷åíèè (ñèëà ñîïðî- òèâëåíèÿ èñòå÷åíèþ ãàçîâ). Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíèòåëüíî ê ñòåíäîâûì èñïûòàíèÿì ïîëó- ÷èì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà òÿãè P dm dt WS pp aa =+ − îòí () . (1.148) Ñäåëàâ â óðàâíåíèè (1.148) çàìåíó dm dt Q g = ñåê , íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ òÿãè â äðóãîé ôîðìå: P Q g WS pp aa =+ − ñåê îòí () . (1.149)  ñëó÷àå, êîãäà ìîæíî ïðèíÿòü p ≈ 0, èìååì P Q g WS p aa =+ ñåê îòí . (1.150) Åñëè ðàêåòà ðàñïîëîæåíà ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè íà íóëåâîì óðîâ- íå, òî äëÿ íîðìàëüíûõ ìåòåîóñëîâèé (y =0;p = pON) åå òÿãà ðàâíà P Q g WS pp aaO N =+ − ñåê îòí () . (1.151) 75
Åñëè óñëîâèÿ îòëè÷íû îò íîðìàëüíûõ, òî ïðè y = 0 èìååì P = P0. Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (1.149) è (1.151), ïîëó÷èì PPSp pp ON aON ON =+ − (/) . 1 (1.152) Òàê êàê π(y)=p/pON, îêîí÷àòåëüíî áóäåì èìåòü PP Sp y ON aON =+ − [( ) ] . 1π (1.153) Âûíîñÿ â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (1.149) çà ñêîáêè Qñåê/g, ïîëó- ÷èì óïðîùåííóþ ôîðìóëó äëÿ òÿãè P Q g WmW ee == ñåê ñåê , (1.154) ãäå WW Sg Q pp e a a =+ − îòí ñåê () (1.155) – âåëè÷èíà, íàçâàííàÿ ôðàíöóçñêèì ó÷åíûì Ï. Ëàíæåâåíîì ýôôåêòèâíîé ñêîðîñòüþ èñòå÷åíèÿ ãàçîâ. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî â ôîðìóëå (1.155) âòîðîå ñëàãàåìîå ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì ìàëî è ñîñòàâëÿåò îáû÷íî íå áîëåå 10...15 %, ïîýòîìó ýôôåêòèâíàÿ ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì ñêîðîñòüþ ãàçà â âûõîäíîì ñå÷åíèè ñîïëà Wîòí. Åñëè îòíåñåì òÿãó ê ñåêóíäíîìó ðàñõîäó òîïëèâà, òî ïîëó÷èì ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ óäåëüíûé èìïóëüñ òÿãè: PJ P Q y== y ñåê . (1.156) Èç (1.149) èìååì P W g S Q pp y a a =+ − îòí ñåê () . (1.157) Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì äàâëåíèÿ îêðóæàþùåãî ðàêå- òó âîçäóõà óäåëüíûé èìïóëüñ òÿãè óâåëè÷èâàåòñÿ. Óäåëüíûé èì- ïóëüñ òÿãè ïåðåìåíåí ïî âûñîòå è â êîñìîñå áîëüøå, ÷åì íà Çåìëå, íà 10...15 %. Âûðàæåíèå äëÿ óäåëüíîãî èìïóëüñà Jy ìîæåò áûòü òàêæå ïîëó÷å- íî èç îáùåãî âûðàæåíèÿ, îïðåäåëÿþùåãî èìïóëüñ òÿãè, åñëè âçÿòü 76
We = const è îòíåñòè ïîëíûé èìïóëüñ òÿãè ê âåñó òîïëèâà Qò, ñãî- ðåâøåãî çà âðåìÿ ðàáîòû äâèãàòåëÿ tê: J Q Pdt W Qg Qdt e tt y òò ñåê êê == ∫∫ 1 00 . (1.158) Ïðè Qñåê = const ïîëó÷èì Qdt t ñåê ê 0 ∫ =Qñåêtê = Qò, è òîãäà JWg e y= /. (1.159) Èç ñîïîñòàâëåíèÿ (1.155) è (1.157) òàêæå ñëåäóåò, ÷òî PJ W g y e == y . (1.160) 1.6 . ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ È ÓÏÐÀÂËßÞÙÈÅ ÑÈËÛ È ÌÎÌÅÍÒÛ 1.6.1 . ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÛÅ ÑÈËÛ È ÌÎÌÅÍÒÛ Äîïîëíèòåëüíûå ñèëû è ìîìåíòû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå áîëü- øèå ãðóïïû: âíåøíèå (àýðîäèíàìè÷åñêèå) è âíóòðåííèå. È òå è äðóãèå âîçíèêàþò ïðè ïðîñòðàíñòâåííîì êðèâîëèíåéíîì ïîëåòå è ðàçëè÷íîãî ðîäà êîëåáàíèÿõ ËÀ. Ê âíåøíèì äîïîëíèòåëüíûì ñèëàì è ìîìåíòàì îáû÷íî îòíîñÿò ðàçëè÷íîãî ðîäà äåìïôèðóþùèå àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåí- òû; àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû, âûçâàííûå ñêîñîì ïîòîêà è åãî çàïàçäûâàíèåì; ïåðåêðåñòíûå àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåí- òû, à ê âíóòðåííèì äîïîëíèòåëüíûì ôàêòîðàì – âíóòðåííèé ìî- ìåíò äåìïôèðîâàíèÿ, îïðåäåëÿåìûé êîðèîëèñîâûì óñêîðåíèåì, è äðóãèå ñèëû è ìîìåíòû, âûçâàííûå ïåðåìåùåíèåì òîïëèâà è ðàáî- ÷èõ ãàçîâ âíóòðè êîðïóñà ðàêåòû. Áîëüøèíñòâî äîïîëíèòåëüíûõ ñèë è ìîìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè ËÀ îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ. Äåìïôèðóþùèå è ïåðåêðåñòíûå àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìî- ìåíòû ðàññìîòðåíû âûøå. Ïåðå÷èñëèì çäåñü âíóòðåííèå äîïîëíè- òåëüíûå ñèëû è èõ ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ: Ðãàç, Ìãàç – ñèëà è ìîìåíò, îïðåäåëÿåìûå äâèæåíèåì ãàçîâ âíóòðè êîðïóñà ðà- êåòû; Ðãàç.êîð, Ìãàç.êîð – ñèëà Êîðèîëèñà è ìîìåíò ýòîé ñèëû, îïðåäå- ëÿåìûå äâèæåíèåì ãàçîâ âíóòðè êîëåáëþùåãîñÿ êîðïóñà ðàêåòû. 77
Ðàêåòû ñ äâèãàòåëåì íà æèäêîì òîïëèâå èñïûòûâàþò âëèÿíèå äîïîëíèòåëüíûõ ñèë è ìîìåíòîâ, îïðåäåëÿåìûõ äâèæåíèåì êîìïî- íåíòîâ òîïëèâà âíóòðè êîðïóñà ðàêåòû. Ïðè äâèæåíèè â ïëîòíûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû âëèÿíèå âíóòðåííèõ äîïîëíèòåëüíûõ ñèë è ìî- ìåíòîâ íåçíà÷èòåëüíî ïî ñðàâíåíèþ ñ äåéñòâèåì îñíîâíûõ è äî- ïîëíèòåëüíûõ âíåøíèõ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ, è èõ â ðàñ÷åòàõ íå ó÷èòûâàþò. Ïðè ïðîåêòíûõ ðàñ÷åòàõ õàðàêòåðèñòèê äâè- æåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ äîïîëíèòåëüíûå ñèëû è ìîìåíòû îáû÷íî íå ó÷èòûâàþòñÿ. 1.6.2 . ÓÏÐÀÂËßÞÙÈÅ ÑÈËÛ È ÌÎÌÅÍÒÛ Óïðàâëåíèå ðàêåòàìè è ñíàðÿäàìè â ïîëåòå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñèñ- òåìîé óïðàâëåíèÿ, íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ èñïîë- íèòåëüíûå îðãàíû, èëè îðãàíû óïðàâëåíèÿ. Èñïîëíèòåëüíûå îðãà- íû, èëè ðóëè, êàê èõ ÷àñòî íàçûâàþò, ñîçäàþò óïðàâëÿþùèå ñèëû è ìîìåíòû. Ïî ïðèíöèïó ñîçäàíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèë è ìîìåíòîâ îð- ãàíû óïðàâëåíèÿ ïðèíÿòî ðàçäåëÿòü íà òðè òèïà: àýðîäèíàìè÷åñêèå, ãàçîäèíàìè÷åñêèå è ñìåøàííûå. Àýðîäèíàìè÷åñêèå (âîçäóøíûå), èëè, êàê èõ èíîãäà íàçûâàþò, ñàìîëåòíûå, îðãàíû óïðàâëåíèÿ ðàáî- òàþò òîëüêî â ïëîòíûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ ïî- òîêîì âîçäóõà, îáòåêàþùèì ËÀ. Ãàçîäèíàìè÷åñêèå îðãàíû óïðàâëå- íèÿ ìîãóò ðàáîòàòü è â íèæíèõ, è â âåðõíèõ ñëîÿõ àòìîñôåðû (êîñ- ìè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå), òàê êàê îíè ôóíêöèîíèðóþò çà ñ÷åò ýíåðãèè, âûäåëÿþùåéñÿ ïðè ñãîðàíèè òîïëèâà. Ìíîãèå èç óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ, íàïðèìåð ðàêåòû, ñàìîëåòû, ñíàðÿäû, óïðàâëÿåìûå òîðïåäû è àâèàáîìáû, èìåþò òîëüêî àýðîäè- íàìè÷åñêèå îðãàíû óïðàâëåíèÿ. Íåêîòîðûå ðàêåòû èìåþò êîìáè- íèðîâàííûå îðãàíû óïðàâëåíèÿ, ñîñòîÿùèå èç ðàçëè÷íîãî ðîäà àýðîäèíàìè÷åñêèõ è ãàçîäèíàìè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Àýðîäèíàìè÷å- ñêèå îðãàíû óïðàâëåíèÿ îáû÷íî äåëÿòñÿ íà ðóëåâûå ïîâåðõíîñòè (ðóëè), ïîâîðîòíûå êðûëüÿ è ïðåðûâàòåëè âîçäóøíîãî ïîòîêà (èí- òåðöåïòîðû). Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ðóëåé è ïîâîðîòíûõ êðûëüåâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè, îòêëîíÿÿñü îò ñâîåãî íåéòðàëüíîãî ïîëîæåíèÿ è ïîâîðà÷è- âàÿñü îòíîñèòåëüíî ñâÿçàííûõ îñåé ËÀ, èçìåíÿþò â ïðîöåññå ïîëå- òà ñâîè óãëû àòàêè, ÷òî âûçûâàåò èçìåíåíèå óãëà àòàêè (èëè ñêîëü- æåíèÿ) ËÀ â öåëîì. Äëÿ ó÷åòà â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèë è ìîìåí- òîâ íåîáõîäèìî âûäåëÿòü ñîñòàâëÿþùèå àýðîäèíàìè÷åñêèõ êîýô- ôèöèåíòîâ, îïðåäåëÿåìûå ïîâîðîòîì óïðàâëÿþùèõ îðãàíîâ. Íà- ïðèìåð, äëÿ ðóëåé òàíãàæà (âûñîòû) è ðûñêàíèÿ (íàïðàâëåíèÿ) ïðîäîëüíàÿ, íîðìàëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ óïðàâëÿþùèå ñèëû ñîîò- âåòñòâåííî ðàâíû 78
XS q ccc Y Sqc Z Sqc xxc yz pp â í pp âpp pp â p í p â =+ + == () ; ; δδ δ δδ δ p í í δ δ, (1.161) ãäå Sp – õàðàêòåðíàÿ ïëîùàäü ðóëåé; q – ñêîðîñòíîé íàïîð; ñx p í δ ,c xp â δ , cyp â δ , czp í δ – ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå; δí è δâ – óãëû îòêëîíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ (ðóëåé). Ìîìåíòíûå õàðàêòåðèñòèêè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ó÷åòîì óãëîâûõ ñêî- ðîñòåé ïîâîðîòà óïðàâëÿþùèõ îðãàíîâ: mmm mmm yyy zzz pp í p í pp âp â íí ââ =+ =+ δδ δδ δδ δδ • • • ; • . (1.162) Ìîìåíòû óïðàâëÿþùèõ ñèë MS q l mMS q l m yy zz pp pp == ;. (1.163)  çàâèñèìîñòè îò íàçíà÷åíèÿ ðàêåòû èëè ñíàðÿäà è èõ àýðîäèíà- ìè÷åñêîé êîìïîíîâêè âîçäóøíûå ðóëè ìîãóò ðàçìåùàòüñÿ â ðàç- ëè÷íûõ ìåñòàõ êîðïóñà (ðèñ. 1.23). Äëÿ íàãëÿäíîñòè íà ðèñóíêå ðóëè çàøòðèõîâàíû. Ýôôåêòèâíîñòü îðãàíà óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî ìîìåíòà (èëè åãî êîýôôèöèåíòà) ïðè ïîëíîì îò- êëîíåíèè îðãàíà óïðàâëåíèÿ îò åãî íåéòðàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Òàê, ýôôåêòèâíîñòü îðãàíà óïðàâëåíèÿ òàíãàæîì îöåíèâàåòñÿ ∆mzâ – ïðèðàùåíèåì êîýôôèöèåíòà ìîìåíòà òàíãàæà ïðè èçìåíåíèè óãëà δâ íà ïîëíóþ âåëè÷èíó; ýôôåêòèâíîñòü îðãàíà óïðàâëåíèÿ êðå- 79 Ðèñ. 1.23. Ñõåìû ðàñïîëîæåíèÿ ðóëåé íà êîðïóñå ðàêåòû: à – íîðìàëüíàÿ; á – "áåñõâîñòêà"; â – "óòêà"
íîì – ïðèðàùåíèåì ∆mxý, îïðåäåëÿåìûì ïîëíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ δý; ýôôåêòèâíîñòü îðãàíà óïðàâëåíèÿ ðûñêàíèåì – ïðèðàùåíèåì ∆myí, îïðåäåëÿåìûì ïîëíûì óãëîì îòêëîíåíèÿ δí. Ñîîòâåòñòâóþ- ùèå êîýôôèöèåíòû ýôôåêòèâíîñòè îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿ- þòñÿ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè m m m m m m z z x x y y δδδ ∂ ∂δ ∂ ∂δ ∂ ∂δ âýí âýí === ;;, îòíîñÿùèìèñÿ ê ñòàòè÷åñêèì ïðîèçâîäíûì. Ãëàâà 2 ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÑÍÎÂÛ ÑÎÑÒÀÂËÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ Ïîä ìîäåëüþ ïîíèìàþò óïðîùåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ðàññìàòðèâàå- ìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû èëè ïðîöåññà, â ÷àñòíîñòè ïðîöåññà äâèæåíèÿ ËÀ, ïî- çâîëÿþùåå ïðîèçâîäèòü ðàçëè÷íûå òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ïîñòàâëåííîé çàäà÷è è ïðèíèìàåìûõ äîïóùåíèé. Ñîñòàâëåíèå ìîäåëåé, õàðàêòåðè- çóþùèõ ñîñòîÿíèå ËÀ, îñíîâûâàåòñÿ íà èçâåñòíûõ ìåòîäàõ êëàññè÷åñêîé òåîðåòè- ÷åñêîé ìåõàíèêè è ðàêåòîäèíàìèêè. Õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëåé ðàçëè÷àåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò óðîâíÿ ðàñïîëàãàåìîé èíôîðìàöèè î âíåøíèõ óñëîâèÿõ ïîëåòà è íåîáõîäèìîé ñòåïåíè äîñòîâåðíîñòè îòðàæåíèÿ ìîäåëüþ ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. 2.1. ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß È ÔÎÐÌÛ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ 2.1.1 . ËÀ ÊÀÊ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÀß ÑÈÑÒÅÌÀ Ïîëó÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ñîñòîÿíèå ËÀ, èìååò ñâîåé öåëüþ, êàê ïðàâèëî, îïðåäåëåíèå èñêîìûõ ïàðà- ìåòðîâ äâèæåíèÿ: êîìïîíåíòîâ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ, óã- ëîâîé ñêîðîñòè ËÀ îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ, óãëîâ, õàðàêòåðè- çóþùèõ îðèåíòàöèþ àïïàðàòà, è, íàêîíåö, êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ, ïî êîòîðûì ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà òðàåêòîðèÿ. Ïîä òðàåêòîðèåé ËÀ ïðèíÿòî ïîíèìàòü íåïðåðûâíóþ ëèíèþ, êîòîðóþ îïèñûâàåò öåíòð 80
ìàññ ËÀ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé áàçîâîé ñèñòåìû îòñ÷åòà (ñèñòå- ìû êîîðäèíàò).  êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (ãëàâíîãî àðãó- ìåíòà) â ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ äâèæåíèÿ ËÀ âûñòóïàåò òåêóùåå âðåìÿ. Îñíîâó ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, õàðàêòåðèçóþùèõ ñîñòîÿíèå ËÀ, ñîñòàâëÿþò äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü èõ ðåøåíèå â êîíå÷íîé ôîðìå, äîëæíû áûòü îäíîçíà÷íî çàäàíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ è îïðåäåëåíû ñèëû, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðè ýòîì íåñóùåñòâåííî, â êàêîé ôîðìå çàäàþòñÿ âîçäåéñòâèÿ (äå- òåðìèíèðîâàííûé èëè ñòîõàñòè÷åñêèé ïîäõîä); âàæíî, ÷òîáû ïðèíÿòàÿ ìîäåëü ñèë õàðàêòåðèçîâàëàñü ïîëíîé èíôîðìàöèåé îá èõ çíà÷åíèÿõ íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè. Èìåííî ýòà ïîëíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñèë, îïðåäåëÿþùàÿ âèä âõîäíûõ âîç- äåéñòâèé, áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü ñîñòîÿíèå ËÀ â äàííûé è ïîñëå- äóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè ÷åðåç åãî ôàçîâûå êîîðäèíàòû. Îáû÷íî ñèñòåìû, òåêóùåå ñîñòîÿíèå êîòîðûõ îäíîçíà÷íî îïðå- äåëåíî, åñëè èçâåñòíû èõ íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå è âõîäíûå âîçäåéñò- âèÿ íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè, ò.å . xx () [,,(),(,)], tt ttt t =φ η 000 (2.1) íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè.  ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè (2.1) ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âåê- òîðà ñîñòîÿíèÿ x(t) õàðàêòåðèçóåò îáëàñòü âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, à ñëåäîâàòåëüíî, è åå òðàåêòîðèé â ïðîñòðàíñòâå. Êîìïî- íåíòû âåêòîðà x(t) íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ. Ôóíêöèÿ φ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåõîäíóþ ôóíêöèþ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, η(t)îï- ðåäåëÿåò õàðàêòåð âõîäíûõ âîçäåéñòâèé. Îãðàíè÷åíèÿ, íàêëàäûâàå- ìûå â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå íà η(t0, t), äèêòóþòñÿ óñëîâèÿìè ðåøàåìîé çàäà÷è, õàðàêòåðèñòèêàìè âíåøíåé ñðåäû è äðóãèìè ôàê- òîðàìè. Ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ìîäåëü êîòîðîé ïðåä- ñòàâëÿåòñÿ â ôîðìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé äëÿ âñåõ t ∈ T, ãäå ìíîæå- ñòâî ìîìåíòîâ âðåìåíè Ò ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ÷è- ñåë. Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïåðåõîäíîé ôóíêöèè ñîñòîÿíèÿ òàêîãî òèïà, íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñ- òåìîé. Ïðåäñòàâëåíèå ËÀ â êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü íåóïðàâëÿåìûé ïîëåò ðàêåò è ñíàðÿäîâ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé óïðàâëÿåìîãî ïîëåòà ñ ïðèâëå÷åíèåì ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ, áàçèðóþùèõñÿ íà ïîíÿòèè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, ðàçðàáîòàííûõ ãëàâíûì îáðàçîì äëÿ óïðàâëÿåìûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Àíàëèç 81
äèíàìèêè íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò è ñíàðÿäîâ êàê îáûêíîâåííûõ äè- íàìè÷åñêèõ ñèñòåì îáåñïå÷èâàåò îïðåäåëåííóþ ïðååìñòâåííîñòü ïî îòíîøåíèþ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ìåòîäàì, è îñîáåííî â òîì ñëó- ÷àå, êîãäà çàäà÷à ïî ñâîåé ïîñòàíîâêå òðåáóåò "ñøèâàíèÿ" ðåçóëüòà- òîâ èññëåäîâàíèÿ íåóïðàâëÿåìîãî è óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ, â ÷àñò- íîñòè ïðèìåíèòåëüíî ê ðàçäåëÿþùèìñÿ è êîððåêòèðóåìûì áîåïðè- ïàñàì.  ïðîöåññå ïîëåòà îáû÷íî èìååò ìåñòî ñóùåñòâåííîå èçìåíåíèå äèíàìè÷åñêèõ, ìàññîâûõ è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ËÀ. Âàðèàöèè ýòèõ õàðàêòåðèñòèê îáóñëîâëèâàþòñÿ ñóùåñòâåííûìè ñåêóíäíûìè ìàñ- ñîâûìè ðàñõîäàìè òîïëèâà, ïåðåìåùåíèåì ËÀ ñ ïåðåìåííîé ñêîðî- ñòüþ â àòìîñôåðå, ïëîòíîñòü êîòîðîé ìåíÿåòñÿ ñ âûñîòîé, íåñòà- áèëüíîñòüþ ãåîôèçè÷åñêèõ ïîëåé Çåìëè è ò.ä. Âñå ýòî äàåò îñíîâà- íèå ðàññìàòðèâàòü ËÀ êàê íåñòàöèîíàðíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó. Áîëåå òîãî, äëÿ ïîäàâëÿþùåãî áîëüøèíñòâà ñëó÷àåâ ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ íåëèíåéíûìè íåñòàöèîíàðíûìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòå- ìàìè. Íåëèíåéíîñòü óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðÿäîì âõî- äÿùèõ â íèõ íåëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé. Íàïðèìåð, çàâèñèìîñòè àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ îò ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ, âðå- ìåííûå çàâèñèìîñòè ìàññîâûõ è èíåðöèîííûõ õàðàêòåðèñòèê, ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå ðàçäåëåíèÿ ñòóïåíåé, îòäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèè ðàêåòû è äð. Îòñþäà ìû äåëàåì âûâîä, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ËÀ êàê íå- ëèíåéíûå íåñòàöèîíàðíûå îáûêíîâåííûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû äîëæíû èìåòü äîñòàòî÷íî âûñîêèé ïîðÿäîê. Ââèäó òîãî ÷òî ïîðÿäîê ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ðàâåí óäâîåííîìó êîëè÷åñòâó ñòåïåíåé ñâîáîäû äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó- ÷àå ðàññìîòðåíèÿ ËÀ êàê òâåðäîãî òåëà, ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé åãî äâèæåíèÿ áóäåò èìåòü 12-é ïîðÿäîê. Ïîýòîìó ðåøå- íèå ëþáîé çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ËÀ íåîáõîäèìî íà÷èíàòü ñ îáîñíîâàíèÿ ðàöèîíàëüíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïîëåòà. Òîëü- êî ïîñëå ýòîãî îñóùåñòâëÿåòñÿ åå ñîñòàâëåíèå èëè óïðîùåíèå äî òðåáóåìîãî óðîâíÿ ñõåìàòèçàöèè èçâåñòíîé áîëåå ïîëíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. 2.1 .2. ÂÎÇÌÎÆÍÛÅ ÂÈÄÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ Ïî ñâîåìó ïîñòðîåíèþ ìîäåëè äåëÿòñÿ íà ìîäåëè ñ îïðåäåëåí- íîé, íåîïðåäåëåííîé è ñìåøàííîé ñòðóêòóðàìè. Ê ìîäåëÿì ñ îïðåäåëåííîé ñòðóêòóðîé (èëè îïðåäåëåííûì ìîäå- ëÿì) îòíîñÿòñÿ ìîäåëè, îòâå÷àþùèå ïîëíîìó (äåòåðìèíèðîâàííîìó èëè ñòîõàñòè÷åñêîìó) óðîâíþ èíôîðìàòèâíîñòè î ñîñòîÿíèè èñ- ñëåäóåìîãî ËÀ. Ïðèìåíåíèå äàííûõ ìîäåëåé ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå 82
ñâåäåíèé î õàðàêòåðå äâèæåíèÿ, îñóùåñòâëÿåìîãî â ðàìêàõ ðåàëè- çóåìîé ñõåìû ïðè îòñóòñòâèè èëè ïðè íàëè÷èè âîçìóùåíèé, âåëè- ÷èíà êîòîðûõ çàðàíåå èçâåñòíà.  ñëó÷àå, êîãäà âîçìóùåíèÿ íîñÿò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, èñïîëüçóþò ïîíÿòèå ñòîõàñòè÷åñêîé îïðåäåëåí- íîé ìîäåëè, äëÿ êîòîðîé ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëó- ÷àéíûõ âîçìóùåíèé äîëæíû áûòü çàäàíû. Ïðè ïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òî ñëó÷àéíûå âîçìóùåíèÿ íå äåéñòâóþò, îïðåäåëåííàÿ ìîäåëü íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé. Åñëè îòñóòñòâóåò äîñòîâåðíàÿ èí- ôîðìàöèÿ î âîçìîæíîì ñîñòîÿíèè ñèñòåìû, ðàçðàáîòêà æåñòêîé, ò.å . îäíîçíà÷íî çàäàííîé ðàñ÷åòíîé, ñõåìû îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæ- íîé. Äàííàÿ ñèòóàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò íåîïðåäåëåííîìó óðîâíþ èí- ôîðìàòèâíîñòè, êîòîðîìó îòâå÷àþò äåòåðìèíèðîâàííûå èëè ñòîõàñ- òè÷åñêèå íåîïðåäåëåííûå ìîäåëè. Íàêîíåö, ñìåøàííûå ìîäåëè çà- íèìàþò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëîæåíèå ìåæäó îïðåäåëåííûìè è íåîïðåäåëåííûìè ìîäåëÿìè. Äëÿ íèõ õàðàêòåðíî òî, ÷òî õîòÿ äâè- æåíèå ËÀ ïîä äåéñòâèåì âîçìóùåíèé è ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ðàñ÷åòíîãî, íî îñòàåòñÿ â ïðåäåëàõ îáëàñòè äåéñòâèÿ ïðèíÿòîé ðàñ- ÷åòíîé ñõåìû, îïðåäåëÿåìîé ââåäåííîé ìîäåëüþ è çàäàííûìè äî- ïóñòèìûìè ìíîæåñòâàìè, ê êîòîðûì ïðèíàäëåæàò óêàçàííûå âîç- ìóùåíèÿ. Ïðè ýòîì ëþáàÿ èíàÿ èíôîðìàöèÿ î õàðàêòåðå è âîçìîæ- íûõ çíà÷åíèÿõ äåéñòâóþùèõ âîçìóùåíèé îáû÷íî îòñóòñòâóåò. Íåîïðåäåëåííûå è ñìåøàííûå ìîäåëè èñïîëüçóþòñÿ â ðàìêàõ òåî- ðåòèêî-èãðîâîãî (ìèíèìàêñíîãî) ïîäõîäà ê ðåøåíèþ èññëåäóåìûõ çàäà÷ [35]. Îïðåäåëåííûå è ñìåøàííûå ìîäåëè çàäàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (äåòåðìèíèðîâàííûõ èëè ñòîõàñòè÷åñêèõ) èëè â âèäå êîíå÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ çàâèñèìî- ñòåé. Íåîïðåäåëåííûì ìîäåëÿì â áîëüøåé ñòåïåíè îòâå÷àåò ñõåìà ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïîíåíòîâ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â âèäå êà- êèõ-ëèáî ôîðìàëüíûõ ðàçëîæåíèé. Ïîìèìî ôîðìàëüíûõ ïðèìåíÿ- þò òàêæå ôàêòîðíûå ìîäåëè [17].  ñâîþ î÷åðåäü ìîäåëè, ïðåäñòàâ- ëåííûå â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå. Íàêîíåö, â çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà èçìå- íåíèÿ (íåïðåðûâíîãî èëè äèñêðåòíîãî) àðãóìåíòà, â ôóíêöèè êîòî- ðîãî ïðîèñõîäèò ðàçâèòèå ïðîöåññà (îáû÷íî âðåìåíè), ìîäåëè ïîä- ðàçäåëÿþò íà íåïðåðûâíûå è äèñêðåòíûå. Ïðèìåðîì ôóíêöèîíàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëåííîé ìîäå- ëè îáûêíîâåííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû êàê íåñòàöèîíàðíîãî íå- ëèíåéíîãî óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà, ïîäâåðæåííîãî äåéñòâèþ âîçìó- ùåíèé ηi(t), ìîæåò ñëóæèòü ìîäåëü âèäà d dt tttt tt tt xx u yx u () [, (), (), ()]; () [, (), ()], = = φη τ ψ (2.2) 83
ãäå u(t) – âåêòîð óïðàâëåíèÿ èëè (áîëåå øèðîêîå ïîíÿòèå) âåêòîð âõîäíûõ ïåðåìåííûõ; y(t) – âåêòîð âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåì. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ëèíåéíîé íåñòàöèîíàðíîé ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì áóäåò èìåòü âèä d dt tt tt tt t t t xA xB uF xx yC () ()() ()() ()(); (); () =++ = = η 00 ()() ()(), tt tt xD u + (2.3) ãäå A, B, F, C è D – ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé, ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìû (îáúåêòà ñ ïîñòîÿí- íûìè ïàðàìåòðàìè) óêàçàííûå ìàòðèöû èìåþò ïîñòîÿííûå, íå çà- âèñÿùèå îò âðåìåíè ýëåìåíòû. Äâèæåíèå ëèíåéíîãî îáúåêòà ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì îïèñûâà- åòñÿ ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì òèïà ∆xA xB uF xx () ()() ()() ()(); (). tt tt tt t =++ = η 00 (2.4) Âñå îáîçíà÷åíèÿ, íàèìåíîâàíèÿ è ñìûñë âåêòîðîâ, à òàêæå ìàòðèö ñîõðàíÿþòñÿ òàêèìè æå, êàê è äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì. Ïîñêîëüêó ïîä t â îáúåêòàõ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì ïîíèìàåòñÿ íîìåð òàêòà, ïðèíèìàþùåãî öåëî÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, t =0,1,2,...,n, òî ïðîèçâîäíàÿ çäåñü çàìåíÿåòñÿ ïåðâîé ðàçíîñòüþ ∆xx x =+ − ()( ) . tt 1 (2.5) Ïðè ýòîì ñ öåëüþ èñêëþ÷åíèÿ íåäîðàçóìåíèé, êàñàþùèõñÿ òðàêòîâêè ðàçìåðíîñòè âåëè÷èíû t, â ðàçíîñòíîì óðàâíåíèè ïîñëåäíþþ ÷àñòî çàìåíÿþò íà k. Ïåðåõîä îò íåëèíåéíûõ ìîäåëåé ê ëèíåéíûì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïó- òåì ëèíåàðèçàöèè èñõîäíîé íåëèíåéíîé ìîäåëè. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ëèíåàðèçàöèè âûäâèãàþòñÿ òðåáîâàíèÿ âûïîëíåíèÿ ðÿäà óñëîâèé. Îñíîâíûì ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå, êàñàþùååñÿ ìàëîñòè îòêëîíåíèé ïàðàìåòðîâ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îò èõ íîìèíàëüíûõ çíà÷åíèé. Îáû÷íî ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî åñëè îòêëîíåíèÿ âõîäíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåì è âûçûâàåìûå èìè îòêëîíåíèÿ δx(t) íå ïðåâîñõîäÿò 3...5 % íîìèíàëà, òî òàêîå òðåáîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ. Ýòî äàåò îñíîâàíèå ïðåäñòàâëÿòü âîçìóùåííîå äâèæåíèå â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè 84
uuu xxx x () () (), ; ()()()() * * ttt t t t ttt t =+≤ ≤ =+ = δ δ 01 0 ïðè xx * () (), tt 00 +δ (2.6) ãäå ïàðàìåòðû, îáîçíà÷åííûå çâåçäî÷êîé, îòâå÷àþò íîìèíàëüíîìó íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ. Ïîäñòàíîâêà ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.6) â èñõîäíóþ ñèñòåìó (2.2) ïðè η(t)=0èååïîñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþ • () •() • () [(),();] [(),( ** * * * xxxxu xu x ttt tt ttt =+= + δφ Φ ); ]•() [(), ;]() (), . ** tt t tt tttt δδ δ xx u u u ++ ≤ ≤ ΦΦ 01 (2.7) Çäåñü δΦ(t) – îñòàòî÷íûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ, ó÷èòûâàþùåãî òîëüêî ëèíåéíûå ÷ëåíû; Φx è Φu – ÿêîáèàíû (êâàäðàòíûå ìàòðèöû ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ – âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ) ôóíêöèè φ îòíîñèòåëüíî x è u ñîîòâåòñòâåííî. Èñõîäíûå ïðåäïîñûëêè äàþò îñíîâàíèå ñ÷èòàòü δΦ(t) íåñîèçìåðèìî ìàëûì ïî îòíîøåíèþ ê óäåðæèâàåìûì ÷ëåíàì ëèíåéíîãî ðàçëîæåíèÿ. Òîãäà ëèíåàðèçîâàííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðèîáðåòàåò âèä d dt tt tt t t t t [()] ()()()(), . δδδ xA xB u =+≤ ≤ 01 (2.8)  çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì äèíàìèêè ñèñòåì ïðè îò- ñëåæèâàíèè íîìèíàëüíîé òðàåêòîðèè, õàðàêòåð ñîáñòâåííî íîìè- íàëüíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòî íå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñà. Ïîýòîìó â (2.6) ìîæíî ïîëîæèòü x*(t) = 0, è òîãäà x(t)=δx(t), ÷òî ïðèâîäèò ê êàíî- íè÷åñêîé ôîðìå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíîé íå- ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìû òèïà (2.3): d dt tt tt tt xA xB uxx () ()() ()(), () . =+ = 00 (2.9) Äëÿ òîãî ÷òîáû çàïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ íå- óïðàâëÿåìîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (íåóïðàâëÿåìîãî ËÀ), äîñòà- òî÷íî ïîëîæèòü â ðàññìîòðåííûõ çàâèñèìîñòÿõ u(t) = 0. Òîãäà ôóíêöèîíàëüíîå ñîîòíîøåíèå (2.2) ïðèìåò âèä d dt tttt tttt xF x yx () [; (), ()]; () [; (); ()], = = η ψ (2.10) 85
à óðàâíåíèå (2.9) – âèä d dt tt tt xA xxx () ()(), () . == 00 (2.11) Èç ñòðóêòóðû óðàâíåíèÿ (2.11) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ íåóïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ ôàêòîðîì, "ïîðîæäàþùèì" ïðîöåññ îòêëîíåíèé îò íîìèíàëà, ÿâëÿåòñÿ çàäàííàÿ â âèäå íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñîâîêóïíîñòü îòêëîíåíèé ïàðàìåòðîâ x0 (íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé îòêëîíåíèé ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ ËÀ). ×òîáû ïîëó÷èòü ìîäåëü, îòâå÷àþùóþ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìå, íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ äîñòàòî÷íûì ïðîñòî äîáàâèòü ê ïðàâîé ÷àñòè äåòåðìèíèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóþùóþ ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùóþ. Îäíàêî ýòî íå òàê. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì äëÿ îáùíîñòè äåòåðìèíèðîâàííóþ ìî- äåëü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû d dt tttt xx () [; (), ()], =φ η (2.12) â êîòîðîé η(t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð äåòåðìèíèðîâàííûõ âõîäíûõ âîçäåéñòâèé, à òàêæå "ñòîõàñòè÷åñêóþ" ìîäåëü. d dt tttt t xx x () [;(),()] (,), * =+ φη η (2.13) ãäå η * (x, t) – ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ çàäàííûìè ñâîéñòâàìè. Ê ÷èñëó òàêèõ ñâîéñòâ äîëæíû áûòü îòíåñåíû: íåïðåðûâíîñòü, íåçàâèñèìîñòü η*(t)èη(τ) ïðè t ≠τè íàëè÷èå êîíå÷íîé (îãðàíè÷åííîé) äèñïåðñèè, îïðåäåëÿþùåé ðàçáðîñ (îòêëîíåíèÿ). Óñëîâèå êîíå÷íîé äèñïåðñèè âûòåêàåò èç ðåàëüíûõ ñâîéñòâ äåéñòâóþùèõ íà ËÀ âîçìóùåíèé; íåïðåðûâíîñòü åñòü ñëåäñòâèå âûáîðà êëàññà ìîäåëè â âèäå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè η * (t)èη * (τ) äèêòóåòñÿ òåì, ÷òî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå dx/dt áóäåò çàâèñåòü íå òîëüêî îò òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ (÷òî íåîáõîäèìî äëÿ äàííîé ìîäåëè), íî è îò åãî ïðåäûñòîðèè. Ïðè îãîâîðåííûõ óñëîâèÿõ èíòåãðàë îò η*(τ) ñóùåñòâóåò, à åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íóëþ, ò.å . M ητ τ * (). d= ∫ 0 Ñóùåñòâó- åò è ñðåäíèé êâàäðàò ïðîèçâîäíîé, êîòîðûé â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè äèñïåðñèè è íåçàâèñèìîñòè η*(t)èη*(τ) áóäåò òàêæå ðàâåí íóëþ íà 86
îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà Øâàðöà: M[η*2(t)] = 0. Ïðè ýòîì ìîäåëü ñèñ- òåìû â ôîðìå (2.13) íå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè ñîñòîÿíèÿ ñ æåëàåìûìè ñòàòèñòè÷åñêèì ñâîéñòâàìè. ×òîáû ïîëó- ÷èòü êîððåêòíóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ñ íå- ïðåðûâíûì âðåìåíåì, ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôå- ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå îñëàáëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ê êî- íå÷íîñòè äèñïåðñèè äåéñòâóþùåãî âîçìóùåíèÿ. Åñòåñòâåííî, ýòî ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ óðîâíÿ àäåêâàòíîñòè ïîëó÷àåìîé ìîäåëè ïî îòíîøåíèþ ê ðåàëüíîìó ïðîöåññó, íî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü ïðîöåññ èññëåäîâàíèÿ. Ïîñêîëüêó η*(t) â ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ íå èìååò êîíå÷íîé äèñïåðñèè: Dη*(t) →∞, òî íå áóäåò åå èìåòü è ïðîèçâîäíàÿ dx/dt. Ñëåäîâàòåëüíî, îæèäàòü ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîöåññà dx/dt ìû íå ìîæåì.  ñâÿçè ñ ýòèì ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíå- íèÿ çàïèñûâàþòñÿ â ôîðìå dt d tt d xx x =+ φσ η (,) (,) . * (2.14) Ñòîõàñòè÷åñêîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå áóäåò íàçûâàòüñÿ ëèíåéíûì, åñëè ôóíêöèÿ φ ëèíåéíàÿ ïî x è σ íå çàâèñèò îò x. 2.2. ÏÐÈÍÖÈÏÛ ÑÎÑÒÀÂËÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ 1.2 .1. ÓÐÀÂÍÅÍÈß È.Â. ÌÅÙÅÐÑÊÎÃÎ Â îáùåì ñëó÷àå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðè äâèæåíèè ïðîèñõîäèò îä- íîâðåìåííîå ïðèñîåäèíåíèå ÷àñòèö ê òåëó è èõ îòäåëåíèå îò íåãî. Õàðàêòåðíûì ïðèìåðîì òàêîé ìîäåëè ìîæåò ñëóæèòü ìîäåëü ËÀ ñ âîçäóøíî-ðàêåòíûì äâèãàòåëåì, ÷åðåç çàáîðíûé äèôôóçîð êîòîðî- ãî ïîñòóïàåò âñòðå÷íûé ïîòîê âîçäóõà, íåîáõîäèìûé äëÿ ðàáîòû äâèãàòåëÿ. Îäíîâðåìåííî ñ çàáîðîì âîçäóõà èç ñîïëà äâèãàòåëÿ íà- çàä âûòåêàþò ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ ïðîäóêòû ñãîðàíèÿ òîïëèâà, ñîçäàâàÿ òÿãó.  ïðîöåññå ïðèñîåäèíåíèÿ è îòäåëåíèÿ ÷àñòèö ìàññà òåëà íåïðå- ðûâíî èçìåíÿåòñÿ. Äîïóñòèì, ÷òî ñêîðîñòè ïðèñîåäèíåíèÿ è îòäå- ëåíèÿ ÷àñòèö íå çàâèñÿò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà. Ïóñòü â ðàñ- ñìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè t òåëî èìååò ìàññó m + dm2 è äâèæåò- ñÿ ñ àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ Va. Çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt ìàññà òåëà èçìåíèòñÿ çà ñ÷åò ïðèñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòàðíîé ìàññû dm1 è îòäå- ëåíèÿ ìàññû dm2. Ñîãëàñíî ãèïîòåçå, ïðèíÿòîé È.Â. Ìåùåðñêèì, ïðèñîåäèíåíèå è îòäåëåíèå ÷àñòèö ïðîèñõîäèò çà áåñêîíå÷íî ìà- ëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïîäîáíî óäàðó. Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ îñíîâíîé ìàññû òåëà, à îòäåëèâøàÿ- 87
ñÿ ÷àñòèöà, ïîëó÷èâ ñêîðîñòü, ñðàçó òåðÿåò âçàèìîäåéñòâèå ñ îñíîâ- íîé ìàññîé òåëà. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ ãèïîòåçà êîíòàêòíîãî âçàèìî- äåéñòâèÿ. Íà ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó òðåõ ìàññ äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ êîòîðûõ ðàâíà ΣFi.  ðåçóëüòàòå âçàèìî- äåéñòâèÿ ìåæäó ñîáîé ìàññ m, dm1 è dm2 è ïîä äåéñòâèåì ñèëû ΣFi ñêîðîñòü ñîåäèíåííîé ìàññû m + dm1 áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ êàê ñóììà Va + dVa. Àáñîëþòíóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàññû dm1 ïåðåä ïðèñîå- äèíåíèåì îáîçíà÷èì ÷åðåç Ua, à àáñîëþòíóþ ñêîðîñòü ìàññû dm2 ïîñëå îòäåëåíèÿ – ÷åðåç Wa. Íàéäåì èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàññ m1, dm1 è dm2 çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt è ïðèðàâíÿåì åãî ê èìïóëüñó âíåø- íèõ ñèë: mdmd md dm dt aaa aa aa a ()[ () ](). VVV VV UW V F +−+ + − −+ −= 1 2 Σ (2.15) Ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûì âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè dm1dVa, äåëÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà dt è ïðîâîäÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì óðàâ- íåíèå äâèæåíèÿ òåëà ïåðåìåííîé ìàññû â ôîðìå m d dt dm dt dm dt a aa aa V VU WVF +− +− = = 12 0 ()() , Σ (2.16) èëè m d dt dm dt dm dt a aa aa V FU VW V =+ −− − Σ 12 ()( ) . (2.17) Åñëè îáîçíà÷èòü, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî È. . Ìåùåðñêèì, ÷åðåç • , x• , y •z ïðîåêöèè ñêîðîñòè îñíîâíîé ìàññû m íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ÷åðåç X, Y, Z – ïðîåêöèè ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ñèë íà òå æå îñè êîîðäèíàò, ÷åðåç α1, β1, γ1 – ïðîåêöèè ñêîðîñòè ïðèñîåäèíÿþùåéñÿ ÷àñòèöû è ÷åðåç α2, β2, γ2 – ïðîåêöèè ñêîðîñòè îòäåëÿþùåéñÿ ÷àñòèöû, òî, ïðîåöèðóÿ óðàâíåíèå (2.16) íà îñè êî- îðäèíàò, ïîëó÷èì mx dm dt x dm dt xX my dm dt y d +− −− − = +− − 1 1 2 2 1 1 0 (• )( • ); (•) αα βm dt yY mz dm dt z dm dt zZ 2 2 1 1 2 2 0 0 (• ); (• )( • ). −− = +− −− − = β γγ (2.18) 88
Ýòè óðàâíåíèÿ áûëè îïóáëèêîâàíû È. . Ìåùåðñêèì â 1904 ã. è íàçâàíû åãî èìåíåì ïî ïðåäëîæåíèþ ïðîôåññîðà À.À. Êîñìîäåìü- ÿíñêîãî [58]. Âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ (2.18) ñëàãàåìûå dm dt x 1 1 (• ), −α dm dt x 2 2 (•) −α È. . Ìåùåðñêèé íàçâàë ïðîåêöèÿìè íà êîîðäèíàòíûå îñè "ïðèáàâî÷íîé ñèëû". Òàêèì îáðàçîì, È. . Ìåùåðñêèé ïîêàçàë, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæå- íèÿ òåëà ïåðåìåííîé ìàññû ìîæíî çàïèñàòü òàê æå, êàê è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà ïîñòîÿííîé ìàññû, âêëþ÷èâ â ÷èñëî äåéñòâóþùèõ ñèë ïðèáàâî÷íóþ ñèëó. Åñëè â (2.17) îáîçíà÷èòü îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè ïðèñîåäèíå- íèÿ ÷àñòèö ÷åðåç Uîòí = U a − Va è îòäåëåíèÿ ÷àñòèö – ÷åðåç Wîòí = = Wa − Va, òî ýòî óðàâíåíèå ïðèìåò âèä m d dt dm dt dm dt a VFUW =+ − Σ 12 îòí îòí . (2.19) Ïåðåìåííàÿ ìàññà äâèæóùåãîñÿ òåëà ðàâíà m = m0 + dm dt dt t 1 0 − ∫ − ∫dm dt dt t 2 0 . Åñëè ïðèñîåäèíåíèÿ ÷àñòèö íåò, ò.å . dm dt dt t 1 0 0 = ∫ ,òîèç (2.19) ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ËÀ ñ ðåàêòèâíûì äâèãàòåëåì îáû÷íîãî òèïà m d dt dm dt a V FW =− Σ îòí , (2.20) ãäå dm dt m dm dt == |•| 2 – ñåêóíäíûé ìàññîâûé ðàñõîä ðàáî÷åãî âåùåñòâà. Çàìåòèì, ÷òî ïðè îòäåëåíèè ÷àñòèö îò ìàññû m ñàìà ïðîèçâîäíàÿ dm/dt èìååò çíàê ìèíóñ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äâèæåíèÿ ðàêåòû âåðòèêàëüíî ââåðõ Ìåùåð- ñêèì áûëî ïðåäëîæåíî óðàâíåíèå mx mgp dm dt WR x =− +− − ãî ò í (•), (2.21) ãäå g – óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ; Rx (•) – ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà. Ïîëó÷èâ óðàâíåíèå (2.21), Ìåùåðñêèé íå ðàñêðûë ñîäåðæàíèÿ ñëàãàåìîãî pã, íàçâàâ åãî äàâëåíèåì ãàçîâ. 89
2.2.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÄÈÍÀÌÈÊÈ ÒÅË ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ È ÏÎÑÒÎßÍÍÎÉ ÌÀÑÑ, ÏÐÈÍÖÈÏ ÇÀÒÂÅÐÄÅÂÀÍÈß Ê ÷èñëó îñíîâíûõ òåîðåì, èñïîëüçóåìûõ ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíå- íèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäîâ, îòíîñÿòñÿ òåîðåìû îá èçìåíåíèè êîëè÷å- ñòâà äâèæåíèÿ, èçìåíåíèè êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà, èçìåíåíèè êè- íåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ðàñïðîñòðàíåíèå íà äèíàìèêó ðàêåò, ïðèíàäëåæàùèõ êëàññó òåë ïåðåìåííîãî ñîñòàâà (ìàññû), óêàçàííûõ âûøå êëàññè÷åñêèõ òåîðåì ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâå òàê íàçûâàåìîãî ïðèíöèïà çàòâåðäåâàíèÿ, ôîðìóëèðóåìîãî ñëåäóþùèì îáðàçîì [26, 37, 70]: óðàâíåíèÿ äâèæå- íèÿ òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â ôîðìå óðàâíå- íèé äâèæåíèÿ òåëà ïîñòîÿííîãî ñîñòàâà, èìåþùåãî ìãíîâåííî çà- ôèêñèðîâàííóþ (çàòâåðäåâøóþ) ìàññó.  ÷èñëî ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò, âêëþ÷àþòñÿ âíåøíèå, ðåàêòèâ- íûå ñèëû Êîðèîëèñà è âàðèàöèîííûå ñèëû. Èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ òåëà ïåðåìåííîé ìàññû âåêòîðû êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî îñåé îïîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëÿþòñÿ êàê QV KV = =× = = ∑ ∑ m m n n νν ν νν ν ν ρ 1 1 ; () , ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü òåîðåì îá èçìåíåíèè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà áóäåò èìåòü âèä d dt t d dt r r r QFFq Q F KMM K =++ − +− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ =++ −+ − * () ; () δ ∂ δ ê ê Kr t∂ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟. (2.22)  ïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèÿõ F è Ì – ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíûé âåêòîð è ãëàâíûé ìîìåíò âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî â ìîìåíò âðåìåíè t; Fê = − = ∑m n νν ν aê 1 – âåêòîð êîðèîëèñîâûõ ñèë èíåðöèè: Mê – ãëàâíûé ìîìåíò ýòèõ æå êîðèîëèñîâûõ ñèë, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì ÷àñòèö (ãàçà èëè æèäêîñòè) âíóòðè òåëà; F* = = Sa(pa − p0) – ãëàâíûé âåêòîð ñèë, îáóñëîâëåííûõ âîçäåéñòâèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ãàçà íà ñðåçå ñîïëà; 90
δ ∂ δ ∂ QqQ r r r tt += * – èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ëîêàëüíóþ (îòíîñèòåëüíóþ) ïðîèçâîäíóþ δ νν ν dt mr n V, = ∑1 ãäå Vνr – âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû ñ ìàññîé mν îòíîñèòåëüíî êîðïóñà òåëà, qr – ãëàâíûé âåêòîð ðåàêòèâíûõ ñèë, δQr dt – ãëàâíûé âåêòîð âàðèàöèîííûõ ñèë, îáóñëîâëåííûé íåñòàöèîíàðíîñòüþ ïðîöåññîâ äâèæåíèÿ ÷àñòèö (ìàññ) âíóòðè êîðïóñà òåëà; Kr è δKr dt – ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíûé ìîìåíò ðåàêòèâíûõ ñèë è ãëàâíûé ìîìåíò âàðèàöèîííûõ ñèë; ρν – ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû ñ ìàññîé mν îòíîñèòåëüíî íà÷àëà îïîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñóììó F* − qr − δQr dt â ïåðâîì óðàâíåíèè (2.22).  ýòîé ñóììå qr îïðåäåëÿåòñÿ êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà ýëå- ìåíòàðíûõ ðàñõîäîâ: qV V d S rn r S = ∫∫ρ . Ñïðîåöèðîâàâ äàííîå âåêòîðíîå âûðàæåíèå íà ïðîäîëüíóþ îñü ËÀ, ñîâïàäàþùóþ ñ ïðîäîëüíîé îñüþ ðàêåòíîãî äâèãàòåëÿ, ïîëó÷èì qV V d SW S rn xa a a S == − ∫∫ ρρ 2 , ãäå ρa – ïëîòíîñòü èñòåêàþùèõ ãàçîâ; Wa – ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ ÷åðåç ïëîùàäü Sa âûõîäíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà. Èìåÿ â âèäó, ÷òî gρaWaSa = Qñåê, ïîëó÷èì −= q Q g W ra ñåê , è, ñëåäîâàòåëüíî, Fq Q Wp p Q * (). −− = +−− r r aa a r dt Q g S dt δδ ñåê 91
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà ðàêåò âåëè÷èíîé δQr dt ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîëó÷èì d dt Q FPF =++ ê . (2.23) Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïåðåéòè ê ñëåäóþùåé çàïèñè òåîðåìû î ãëàâíîì ìîìåíòå êîëè÷åñòâ äâèæåíèÿ ðàêåòíîãî ËÀ: d dt K MMM =++ äâ ê , (2.24) ãäå Ì – ãëàâíûé ìîìåíò âñåõ âíåøíèõ ñèë, çà èñêëþ÷åíèåì àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ è äàâëåíèÿ ãàçîâ â âûõîäíîì ñå÷åíèè ñîïëà äâèãàòåëÿ, îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ËÀ; Mäâ – ãëàâíûé ìîìåíò òÿãè äâèãàòåëåé, âêëþ÷àþùèé ïîìèìî ìîìåíòîâ ÷èñòî ðåàêòèâíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûå ìîìåíòû, âûçâàííûå àòìîñôåðíûì äàâëåíèåì, äàâëåíèåì ãàçà â âûõîäíîì ñå÷åíèè ñîïëà è (ïðè íåîáõîäèìîñòè ó÷åòà) íåñòàöèîíàðíîñòüþ äâèæåíèÿ ãàçà è æèäêîãî íàïîëíèòåëÿ âíóòðè êîðïóñà ðàêåòû. Óðàâíåíèÿ (2.23) è (2.24) îòðàæàþò ôîðìóëèðîâêó ïðèíöèïà çà- òâåðäåâàíèÿ äëÿ ðåàêòèâíûõ àïïàðàòîâ êàê òåë ïåðåìåííîãî ñîñòà- âà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàêåòû êàê òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà îï- ðåäåëÿåòñÿ ñóììîé êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé òî÷åê ïåðåìåííîãî ñîñòà- âàTï= mVa n νν ν 2 12 . = ∑ Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî Vaν = Va + Vrν, ïîñëå ñîîòâåò- ñòâóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïîëó÷èòü TT mV mVV a ar ï =+ − 2 2 , (2.25) ãäå m – ìàññà ìãíîâåííî çàòâåðäåâøåé ðàêåòû â ìîìåíò âðåìåíè t ; T= mVa n νν ν 2 12 = ∑ – êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ðàêåòå, â åå äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Ïîñêîëüêó öåíòð ìàññ ïåðåìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîðïóñà, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì îïðåäåëÿòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ðàêåòû ÷åðåç ñêîðîñòè â ïåðåíîñíîì è îòíîñèòåëüíîì äâè- æåíèÿõ. Òàê êàê Va = Ve + Vr,òî 92
TT mV mV er ï =+ − 22 2 . (2.26) Òàêèì îáðàçîì, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðàêåòû â åå àáñîëþòíîì äâèæåíèè êðîìå Ò ñîäåðæèò ðàçíîñòü êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé öåíòðà ìàññ, îáëàäàþùåãî ìàññîé ìãíîâåííî çàòâåðäåâøåé ðàêåòû, â åãî ïåðåíîñíîì è îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèÿõ. Äèôôåðåíöèàë êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà ìîæåò áûòü ïîëó÷åí íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ðà- âåíñòâà dTd mV dmV mV dV a n a aa n ï= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ == = ∑∑ νν ν νν ννν ν ν 2 1 2 1 22 . 1 n ∑ (2.27) Ðàçäåëèâ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ðàâåíñòâà íà dt, ïîëó÷èì âòîðîå ñëàãàåìîå åãî ïðàâîé ÷àñòè â âèäå mV dV dt a n d νν ν ν = ∑1 . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè ïåðåìåííîé ìàññû ïðåäñòàâèì êàê m d dt a ν ν ννν V FRF =++ p, (2.28) ãäå Fν – ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âíåøíèõ àêòèâíûõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òî÷êå ν; R ν – ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ âíóòðåííèõ àêòèâíûõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òî÷êå ν; Fpν – ðåàêòèâíàÿ ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê òî÷êå ν. Ïðåíåáðåãàÿ äåéñòâèåì âíóòðåííèõ ñèë è ïðîâîäÿ çàìåíó â (2.27), ïîëó÷èì dT dt FV FV dm dt V aa a n n n ï p =++ = = = ∑ ∑ ∑νν νν νν ν ν ν 2 1 1 1 2 . (2.29) Îáîçíà÷àÿ Vaν = dS dt ν , ãäå dSν – ýëåìåíòàðíûé ïóòü ÷àñòèöû ìàññîé mν, è âîçâðàùàÿñü ê äèôôåðåíöèàëàì, áóäåì èìåòü dTAA dmV F a n ïp =++ = ∑ δδ νν ν 2 1 2 , (2.30) 93
ãäå δAF è δAp – ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíòàðíûå ðàáîòû âíåøíèõ è ðåàêòèâíûõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ðàêåòå. Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè – êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, îï- ðåäåëÿåìàÿ èíòåíñèâíîñòüþ èçìåíåíèÿ òî÷åê ìàññû mν, ïðèíàäëå- æàùèõ òåëó, è èõ àáñîëþòíûìè ñêîðîñòÿìè. Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ðàêåòû ðàññìàòðèâàþò òàêæå è â òîì ñëó- ÷àå, êîãäà ñîñòàâëÿþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàêåòû â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ. Åñëè ïîëîæåíèå òåëà ïåðåìåííîé ìàññû îïðåäåëÿåòñÿ íåçàâèñèìûìè îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè q1, q2,... ,qs è rr νν = (,,..., ,), qq qt s 12 òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà [58] d dt T q T q QP d dt T q T ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ï ïï • ; • 11 11 2 ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ −= + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟− ï ∂ ∂ ∂ q QP d dt T 2 22 =+; ................................ • ï q T q QP ss ss ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ −= + ∂ ∂ ï , (2.31) ãäåQσ=ΣF r q ν ν σ ∂ ∂ – îáîáùåííàÿ ñèëà, îïðåäåëÿåìàÿ âíåøíèìè ôàêòîðàìè; Pσ = dm dt W V q a n ν ν ν σ ν ∂ ∂• = ∑1 – îáîáùåííàÿ ñèëà, îïðåäåëÿåìàÿ ïðèòîêîì ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ê çàòâåðäåâøåìó òåëó ïåðåìåííîé ìàññû ïðè îòáðàñûâàíèè ÷àñòèö; σ =1,2,...,s. Ïîñëåäíåå ëåãêî ïîêàçàòü, åñëè çàìåíèòü Wν = λ(t)Vaν. Òîãäà ôóíêöèÿ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïðèòîê ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè, èìååò âèä Ï= = ∑λ νν ν ()t dm dt Va n 2 1 2 èPσ= ∂ ∂σ Ï q . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñíàðÿäà â åãî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè îò- íîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ìîìåíòû èíåð- öèè ñíàðÿäà è ïðîåêöèè ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè: TA p B q C r =+ + 1 2 222 [] , (2.32) 94
ãäå A = Iz; B = Iy; C = Ix – ìîìåíòû èíåðöèè ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî åãî ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè z, y, x; p, q, r – ïðîåêöèè ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà íà íàçâàííûå îñè. Òàê êàê ìîìåíòû èíåðöèè ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî ýêâàòîðèàëü- íûõ îñåé îäèíàêîâû (A = B), òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ñëåäóþùåì âèäå: TA p qC r =+ + 1 2 222 [()]. (2.33) Ïðè ñîñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà ÷àñòî èñïîëüçóþò óðàâíåíèå Ëàãðàíæà â îáîáùåííûõ êîîðäèíàòàõ (óðàâíåíèå Ëàãðàíæà 2-ãî ðîäà), êîòîðîå â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä d dt T q T q Q ii i ∂ ∂ ∂ ∂ • . ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ −= (2.34) Ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ òàêæå è çàâèñèìîñòü (2.30) äëÿ âû÷èñëåíèÿ èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñíàðÿäà. 2.2.3. ÂÅÊÒÎÐÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÎÑÒÓÏÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ ÊÀÊ ÒÅËÀ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÀÑÑÛ Îáîçíà÷èì ñêîðîñòü è óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû (êîðïóñ ðàêåòû – òîïëèâî – ãàçû) â àáñîëþòíîì äâèæåíèè ÷åðåç Va è aa. Äâèæåíèå êîðïóñà è æåñòêî ñâÿçàííûõ ñ íèì ÷àñòåé (ò.å . è òîé òî÷- êè òåëà, ñ êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñîâïàäàåò öåíòð ìàññ) îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò áóäåò ïåðåíîñíûì. Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ êîðïóñà â ïåðåíîñíîì äâèæåíèè îáîçíà÷èì ÷åðåç Ve è ae = dVe/dt. Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû "êîðïóñ – òîïëèâî – ãàçû" îòíîñèòåëüíî êîðïóñà ðàêåòû îáîçíà÷èì ÷åðåç Vr è ar. Èç ìåõàíèêè òåë ïåðåìåííîãî ñîñòàâà ñëå- äóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìàññû òåëà íà ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå åãî öåíòðà ìàññ ðàâíî ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ âíåøíèõ è ðåàêòèâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî, ò.å. me a=+ ΣΣ FF p. (2.35) Ñêîðîñòü è óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû â àáñîëþòíîì äâèæå- íèè ñîîòâåòñòâåííî èìåþò âèä VVV V aer aer r =+ =++ × ;( ) . aaa2 ω (2.36) Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îïðåäåëèì ae è ïîäñòàâèì åãî â (2.35). Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû "êîðïóñ – òîïëè- 95
âî – ãàçû", íàïèñàííîå â âåêòîðíîé ôîðìå, ïîëó÷èì â ñëåäóþùåì âèäå: mm d dt mm a a rr aa == + + +× V FF V ΣΣ p 2( ). ω (2.37) Ïðè âûâîäå óðàâíåíèé (2.17) è (2.18) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âçàè- ìîäåéñòâèå îñíîâíîãî òåëà ñ ïðèñîåäèíÿþùèìèñÿ èëè îòäåëÿþùè- ìèñÿ ÷àñòèöàìè ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî.  äåéñòâèòåëüíîñòè ïðî- öåññ âçàèìîäåéñòâèÿ ËÀ ñ ïîäâèæíûìè ïðèñîåäèíÿþùèìèñÿ èëè îòäåëÿþùèìèñÿ ãàçîâûìè ïîòîêàìè ñëîæíåå. Ó ðàêåò ñ äâèãàòåëÿ- ìè íà æèäêîì è òâåðäîì òîïëèâå îòäåëÿþùèåñÿ ÷àñòèöû ïîëó÷àþò îòíîñèòåëüíóþ ñêîðîñòü åùå â êàìåðå ñãîðàíèÿ äâèãàòåëÿ äî ìî- ìåíòà âûõîäà ÷àñòèöû çà ïëîñêîñòü íàðóæíîãî ñå÷åíèÿ ñîïëà, ò.å . äî ïîòåðè ñâÿçè ñ îñíîâíîé ìàññîé ðàêåòû. Êðîìå òîãî, ó ðàêåò íà æèäêîì òîïëèâå ãîðþ÷åå è îêèñëèòåëü ïåðåìåùàþòñÿ â ïðîöåññå ðàáîòû äâèãàòåëÿ âíóòðè êîðïóñà ðàêåòû. Ïðè âçàèìîäåéñòâèè äâè- æóùèõñÿ ïîòîêîâ ñ êîðïóñîì, êîëåáëþùèìñÿ â ïîïåðå÷íîì íàïðàâ- ëåíèè, âîçíèêàåò êîðèîëèñîâà ñèëà Fêîð. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæå- íèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû ñ ó÷åòîì ýòîé ñèëû: m d dt mm a rr V FFF V =++++× ΣΣ pê î ða2(). ω (2.38) Äîáàâèì â ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñëàãàåìîå, ó÷èòûâàþùåå íåñòà- öèîíàðíîñòü äâèæåíèÿ ìàññ âíóòðè ðàêåòû. Ïóñòü êîëè÷åñòâî äâè- æåíèÿ òîïëèâà è ãàçîâ, ïåðåìåùàþùèõñÿ âíóòðè êîðïóñà, â ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíî qâàð, à â ìîìåíò âðåìåíè t + dt ðàâíî qâàð + δqâàð. Î÷å- âèäíî, çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïîäâèæíûõ ìàññ ñîñòàâèò δqâàð, è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðàêåòû çàïè- øåòñÿ â áîëåå ïîëíîé ôîðìå: m d dt mm dt a rr V FFF V q =++ ++ ×+ ΣΣΣ pê î ð âàð a2() . ω δ (2.39) Ñîñòàâëÿþùóþ (δqâàð)/dt ïðèíÿòî íàçûâàòü âàðèàöèîííîé ñèëîé. Óðàâíåíèå (2.39) ñîîòâåòñòâóåò ðàññìîòðåííîìó âûøå ïðèíöèïó çàòâåðäåâàíèÿ. Âàðèàöèîííûå ñèëû è ìîìåíòû îòðàæàþò íåñòàöèîíàðíîñòü äâèæåíèÿ ìàññ âíóòðè êîðïóñà ðàêåòû. Îäíàêî â áîëüøèíñòâå ñëó- ÷àåâ ïðîöåññ ïåðåìåùåíèÿ ðàáî÷åãî òåëà âíóòðè ðàêåòû ìîæíî ïðè- íèìàòü çà êâàçèñòàöèîíàðíûé è âàðèàöèîííûå ñèëû íå ó÷èòûâàòü ââèäó ìàëîñòè. Ñèëû Êîðèîëèñà, îáóñëîâëåííûå äâèæåíèåì ìàññ âíóòðè êîðïó- ñà ðàêåòû è åå êîëåáàíèÿìè, íà äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ïî÷òè íå îêà- çûâàþò âëèÿíèÿ. Ñèëû Êîðèîëèñà, ïîÿâëÿþùèåñÿ ïðè ðàññìîòðå- 96
íèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû â ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îêàçûâàþò çàìåòíîå âëèÿíèå íà åå ïîëåò òîëüêî ïðè äâèæåíèè ñî ñêîðîñòÿìè, ïðåâûøàþùèìè 600...700 ì/ñ.  èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå m d dt a V FF =+ ΣΣ p, (2.40) ãäå ΣF è ΣFp – âåêòîðû ñóììû âíåøíèõ è ðåàêòèâíûõ ñèë. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîé, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé ñèñòåìû êîîðäèíàò áóäåò èìåòü âèä mm m aa a = ++− +− ΣΣ FF pï å ðê î ð () () , ãäå maïåð è maêîð – ïåðåíîñíàÿ è êîðèîëèñîâà ñèëû èíåðöèè, îïðåäåëÿåìûå âðàùåíèåì Çåìëè. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â óñëîâíîì öåíòðå Çåìëè ïðè íàïðàâëåíèè âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè Çåìëè Ω ïî îñè OY0 ïîëó÷èì aïåð =× +×× d dt Ω ΩΩ rr () . (2.41) Åñëè ïðèíÿòü Ω = const, òî ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå ðàâíî aïåð =×× ΩΩ () , r (2.42) à êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå, îïðåäåëÿåìîå âðàùåíèåì Çåìëè, ðàâíî aêîð =× 2( ), ΩV (2.43) ãäå V – îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ËÀ. Î÷åíü ÷àñòî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ çàïèñûâàþòñÿ îò- íîñèòåëüíî ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OX Y Z iii * , ñâÿçàííîé ñ ðà- êåòîé. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì ïåðåõîäà îò íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ïîäâèæíîé: m d dt m d dt m a ai ai V V VFF =+ × = + [], ωΣ Σ p (2.44) 97 *  äàëüíåéøåì èíäåêñ i çàìåíÿåòñÿ íà èíäåêñ ñîîòâåòñòâóþùåé âûáðàí- íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
ãäå d dt ai V – ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ðàêåòû â ïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Äëÿ çåìíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò m d dt mm V FF =+− − ΣΣ pï å ðê î ð aa . (2.45) Åñëè ω – óãëîâàÿ ñêîðîñòü îñåé ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî îñåé, ñâÿçàííûõ ñ Çåìëåé, òî d dt d dt VV V =+ × * , ω (2.46) ãäå d dt * – V ëîêàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Òîãäà âåêòîðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ âðàùåíèÿ Çåìëè áóäåò èìåòü âèä m d dt mm * . V VFF +× ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟=+ − − ωΣ Σ pï å ðê î ð aa (2.47) Äëÿ ëþáîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXiYiZi, íà÷àëî êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ìàññ ËÀ, íà îñíîâàíèè (2.44) ìîæíî íàïèñàòü òðè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû • ; VVV F m F m xi yi zi zi yi xi xi +−= + ωω Σ Σp • ; VVV F m F m yi zi xi xi zi yi yi +−= + ωω ΣΣ p (2.48) • , VVV F m F m zi xi yi yi xi zi zi +−= + ωω ΣΣ p ãäå Vxi, Vyi, Vzi – ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ðàêåòû íà îñè ñâÿçàííîé ñ íèì ñèñòåìû êîîðäèíàò; ωxi, ωyi, ωzi – ïðîåêöèè âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà âûáðàííûå i-å îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, íàïðàâëåíèå êîòîðûõ íåèçìåííî â ïðîñòðàíñòâå è ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñåé íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; ΣFxi, ΣFyi, ΣFzi, ΣFpxi, ΣFpyi, ΣFpzi – 98
ïðîåêöèè âíåøíèõ è ðåàêòèâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ËÀ, íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò OXiYiZi. 2.2.4 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÂÐÀÙÀÒÅËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ ×òîáû ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû îò- íîñèòåëüíî îñåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç öåíòð ìàññ è âðàùàþùèõñÿ ïî îòíîøåíèþ ê ðàêåòå ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω* , ïðè âðàùåíèè ñàìîé ðàêåòû ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω, íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûì óðàâíåíèåì d dt d dt KK K =+ +× * * [( )], ωω (2.49) ãäå dK/dt – ïðîèçâîäíàÿ îò êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà, âû÷èñëåííàÿ îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; d dt dt * – KK = δ ïðîèçâîäíàÿ îò êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà, âû÷èñëåííàÿ îòíîñèòåëüíî i-é ñèñòåìû êîîðäèíàò OXiYiZi (ëîêàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ). Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò OXiYiZi íå ïåðåìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ðàêåòû, òî ω* =0è d dt d dt R KK KM =+ × = * , ω (2.50) ãäå ÌR – ðåçóëüòèðóþùèé ìîìåíò ñèñòåìû ñèë. Ïðîåêöèè âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà (2.50) íà îñè êîîðäèíàò, ñâÿçàí- íûå ñ ËÀ, ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ÷åðåç ïðîåêöèè íà ýòè îñè âåê- òîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ K: K K K x y z I x y z ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ A ω ω ω , (2.51) ãäå ÀI – òåíçîð èíåðöèè ËÀ, âûðàæåííûé ìàòðèöåé èíåðöèè: AI xx yx z yx y yz zx zy z III III III = −− −− −− ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ . (2.52) 99
Ïðîåêöèè êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà K íà îñè êîîðäèíàò XiYiZi èìå- þò âèä KIII KIII xx xx y yx z z yy yy z z ii ii i ii i i ii ii i i =−− =−− ωωω ωω ; yxx zz zz x xz y y iii ii ii i ii i i KIII ω ωωω ; , =−− (2.53) ãäå III xyz iii ,,– ìîìåíòû èíåðöèè ðàêåòû îòíîñèòåëüíî îñåé Xi, Yi, Zi; Ixy ii ,I xz ii , Iyz ii – öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè, îïðåäåëÿåìûå îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé. Ïðè îïðåäåëåíèè îñåâûõ è öåíòðîáåæíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ìîæåò áûòü ó÷òåíî ïåðåìåùåíèå öåíòðà ìàññ (íà÷àëà êîîðäèíàò) è âðàùåíèå îñåé êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî êîðïóñà [55]: Im y z Iz x Im xi i y i i n n z ii i =+ = + = = = ∑ ∑ννν νν ν ν ν () ;() ; 22 22 1 1 () ; ; xyII m yz II iix yy x i i n n xz ii ii ii νν ν ν ν ν ν 22 1 1 += = = = = ∑ ∑ zx ii yz zy ii n n ii ii ii mxz I I myz == = = = ∑ ∑ ννν ννν ν ν ;. 1 1 (2.54) Î÷åâèäíî, îñåâûå è öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè â ïðîöåññå ðàáîòû äâèãàòåëÿ è äâèæåíèÿ ðàêåòû áóäóò ïåðåìåííûìè âåëè÷èíà- ìè, çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè. Óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ çàïèøåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (2.50) è (2.53): II II I xx zyyzx yy xz xz ii i iii i ii ii ii • ()( • ) ( ωω ω ω ω ω +− − − − − • )() ; ωω ω ωω zx yy z zyxx ii ii i iiii IM M ++− = + 22 p II II I yy x zxz x yx yz xz ii i iii i ii ii ii • ()( • ) ( ωω ω ω ω ω +− − ++ + •• )( • ); ωω ωω ω xzy z zx yyy iii i ii iii IM M 22 −− − =+ p (2.55) II II I zz y xxy xx yz yz ii i iii ii ii ii • ()( • ) (• ωω ω ω ω ω ω +− − − − − yx zx y yxzz ii ii i iiii IM M ++− = + ωω ωω )() . 22 p Ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ñîäåðæàò ïðîåêöèè ñóììû ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ðàêåòó, íà ñî- îòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò. Ìîìåíòû êîðèîëèñîâûõ ñèë è äî- 100
ïîëíèòåëüíûé ìîìåíò, îïðåäåëÿåìûé ïåðåìåùåíèåì öåíòðà ìàññ ðàêåòû îòíîñèòåëüíî êîðïóñà, ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ áàëëèñòè÷åñêèõ çàäà÷ ââèäó ìàëîñòè íå ó÷èòûâàþòñÿ. Åñëè ïîäâèæíûå îñè êîîðäèíàò ñîâìåñòèòü ñ ãëàâíûìè öåíò- ðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè OXYZ, òî ìàòðèöà (2.52) ïðåâðàòèòñÿ â äèàãîíàëüíóþ: AI x y z I I I = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 00 00 00 , (2.56) à åå ýëåìåíòû Ix, Iy, Iz áóäóò ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè. Ïðîåêöèè óðàâíåíèÿ (2.50) íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè ýòîì çàïèøóòñÿ â âèäå AA A I x y z I x y z x y M M • • • ω ω ω ω ω ω ω ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = Σ Σ ΣMz ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , (2.57) ãäå Aω ωω ωω ωω =− − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 0 0 0 zy zx yx ; (2.58) ΣMx, ΣMy, ΣMz – ñóììû ïðîåêöèé ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ è ðåàêòèâíûõ ñèë íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò; • , • , • – ωωω xyz ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà óãëîâîãî óñêîðåíèÿ. Îïðåäåëÿÿ èç (2.55) óãëîâûå óñêîðåíèÿ, çàïèøåì äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ËÀ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: • • • ω ω ω ω x y z I - x y z I M M M ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ − − AA A 11 Σ Σ Σ AI x y z ω ω ω ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ , (2.59) ãäåAI −1 – ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê AI. Ïåðåõîäÿ ê ñêàëÿðíûì óðàâíåíèÿì, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â âèäå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ýéëåðà 101
• ; • ; ωω ω ωω ω x xx x zy x yz y yy y xz y xy MM I II I MM I II I = + − − = + − − p p • . ωω ω z zz z yx z yx MM I II I = + − − p (2.60) 2.2.5. ÏÐÎÅÊÖÈÈ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÍÀ ÍÎÐÌÀËÜ È ÊÀÑÀÒÅËÜÍÓÞ Ê ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ Óñêîðåíèå ðàêåòû ïðè ïëîñêîì êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè ìîæ- íî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó òàíãåíöèàëüíîãî àτ è íîðìàëüíîãî àn óñ- êîðåíèé. Ýòè óñêîðåíèÿ íàïðàâëåíû ïî íàòóðàëüíûì (åñòåñòâåí- íûì) îñÿì ñèñòåìû êîîðäèíàò Oτn. Òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå • V íà- ïðàâëåíî ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè. Íîðìàëüíîå óñêîðåíèå V2/ρ íàïðàâëåíî ïî íîðìàëè ê òðàåêòîðèè â ñòîðîíó ìãíîâåííîãî öåíòðà êðèâèçíû. Êðèâèçíà òðàåêòîðèè 1/ρ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê 1/ρ =|dθ/dS|, ãäå dθ – ýëåìåíòàðíîå èçìåíåíèå óãëà íàêëîíà êàñà- òåëüíîé ê òðàåêòîðèè; dS – ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê êðèâîé. Ïðîâîäÿ çàìåíó è ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ìîäóëÿ íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ an V V d dt dt dS V d dt == = 2 2 ρ θθ . (2.61) Çíàê ïðîèçâîäíîé dθ/dt çàâèñèò îò ôîðìû òðàåêòîðèè: åñëè θ óáûâàåò ñ âîçðàñòàíèåì äóãè, òî dθ/dt < 0, åñëè íàîáîðîò, òî dθ/dt >0. Ïîñêîëüêó äëÿ òðàåêòîðèé ðàêåò è ñíàðÿäîâ êëàññà "ïîâåðõíîñòü – ïîâåðõíîñòü" âñåãäà • , θ<0 òî â ïîñëåäóþùåì ôîðìóëó äëÿ íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå anV d dt V d dt == − θθ . (2.62) Èíà÷å, çíàê ìèíóñ åñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ â ïðàâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò OXcYc ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè n ñîîòâåòñòâóåò îòðèöàòåëüíîå íàïðàâëåíèå ëèíèè îòñ÷åòà óãëîâ θ. Ñõåìà äåéñòâóþùèõ íà ðàññìàòðèâàåìóþ â êà÷åñòâå ïðèìåðà êðûëàòóþ ðàêåòó îñíîâíûõ ñèë, ïðèâåäåííûõ ê öåíòðó ìàññ, ïðåä- 102
ñòàâëåíà íà ðèñ. 2 .1. Ïðîåêöèè ñèë íà êàñàòåëüíóþ è íîðìàëü âíå- ñåì â òàáë. 2.1 . Îáîçíà÷åíèÿ ñèë è óãëîâ âçÿòû èç ðèñ. 2.1 . Çíàê ïå- ðåä ïðîåêöèåé ïîêàçûâàåò íàïðàâëåíèå ñîñòàâëÿþùåé äàííîé ñèëû. Åñëè íàïðàâëåíèå ñîñòàâëÿþùåé ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè êîîðäèíàò, òî ñòîèò ïëþñ, åñëè íå ñîâïàäàåò – ìèíóñ. Óïðàâ- ëÿþùèå ñèëû ïðèâåäåíû ê öåíòðó ìàññ, ïàðû ñèë íà ðèñóíêå íå ïî- êàçàíû.  òàáë. 2.1 èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿ: Õð è Yð – ñóììû ñèë, ñîç- äàâàåìûõ îäíîòèïíûìè ðóëÿìè; Ð – ñóììàðíàÿ òÿãà âñåõ äâèãàòå- ëåé; mg = Q – âåñ èëè ñèëà òÿæåñòè. Òàáëèöà 2.1 Ñîñòàâëÿþùèå îñíîâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íàËÀïîîñÿìτèn Ñèëà Êàñàòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþ- ùàÿ (ïðîåêöèÿ íà îñü τ) Íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþ- ùàÿ (ïðîåêöèÿ íà îñü n) Òÿãà P cos (α−ξ) −P sin (α−ξ) Ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå Xa 0 Ïîäúåìíàÿ ñèëà 0 Ya Âåñ − mg sinθ mg cosθ Ïîòåðÿ òÿãè íà ðóëÿõ −Xp cos(θ−θ) Xp sin(θ−θ) Óïðàâëÿþùàÿ ñèëà −Yp cos(θ−θ) −Yp sin(θ−θ) 103 Ðèñ. 2 .1 . Ñõåìà äåéñòâèÿ ñèë íà äâèæóùèéñÿ ËÀ ïðè ðàáîòå ñòàðòîâîãî äâèãàòåëÿ: τ° – íà ïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè; n° – í à ïðàâëåíèå íîðìàëè ê òðàåê- òîðèè
Íàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà êàñàòåëüíóþ è íîðìàëü: mV P Xmg X Y mV a • cos( ) sin cos( ) sin( ); • =− − −− − −− − αξ θ θθ θθ pp θα ξθθ θθ θ =− − − + + − − − PY m g XY a sin( ) cos sin( ) cos( ). pp (2.63)  óðàâíåíèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ áóäåì ó÷èòûâàòü ñëåäóþ- ùèå ìîìåíòû: ìîìåíò àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë Mz, êîòîðûé ïðèáëèæåííî ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ Ya lö.ä, ãäå lö.ä – ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðîì ìàññ (ÖÌ) è öåíòðîì äàâëåíèÿ (ÖÄ); ìîìåíò óïðàâëÿþùèõ ñèë Mpz, êîòîðûé ïðèáëèæåííî ðàâåí Yp lp, ãäå lp – ðàññòîÿíèå îò öåíòðà äàâëåíèÿ óïðàâëÿþùèõ îðãàíîâ äî öåíòðà ìàññ êðûëàòîé ðàêåòû. Óðàâíåíèå âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä IMM zz z • • , θ= +p (2.64) ãäå Iz – ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè ðàêåòû îòíîñèòåëüíî îñè OZ, êîòîðàÿ â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ îñüþ OZc. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïîëåòà, óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ è ñòàáèëèçàöèè ËÀ ê ïðèâåäåííûì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî äîáà- âèòü óðàâíåíèÿ óïðàâëåíèÿ, îïèñûâàþùèå ðàáîòó ñèñòåìû óïðàâëå- íèÿ. Ïðè ýòîì óïðàâëåíèè ïîëåòîì ïî ðàçëè÷íûì ïàðàìåòðàì ðàêå- òà äîëæíà èìåòü îðãàíû óïðàâëåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæåò èç- ìåíÿòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðàìåòð äâèæåíèÿ ðàêåòû. Íàïðèìåð, ïðè óïðàâëåíèè ïî óãëîâûì ïàðàìåòðàì θ, ψ è γ ðàêåòà èìååò ñîîò- âåòñòâóþùèå óïðàâëÿþùèå îðãàíû – ðóëè òàíãàæà (âûñîòû), ðûñêà- íèÿ (íàïðàâëåíèÿ) è êðåíà. Ïðè óïðàâëåíèè ïî ìîäóëþ ñêîðîñòè ðàêåòà äîëæíà èìåòü èñïîëíèòåëüíûå îðãàíû, îáåñïå÷èâàþùèå âîçìîæíîñòü âëèÿòü íà V ïóòåì èçìåíåíèÿ òÿãè èëè ëîáîâîãî ñî- ïðîòèâëåíèÿ (íàïðèìåð, ñîïëî ñ öåíòðàëüíûì òåëîì èëè ðàçëè÷íî- ãî ðîäà àýðîäèíàìè÷åñêèå òîðìîçíûå ùèòêè è çàêðûëêè).  îáùåì ñëó÷àå ïîëîæåíèå èñïîëíèòåëüíîãî óïðàâëÿþùåãî îðãàíà â ïðîöåñ- ñå ïîëåòà ðàêåòû çàâèñèò îò ìíîãèõ ïàðàìåòðîâ. Ê íèì îòíîñÿòñÿ èçìåíåíèÿ íàçâàííûõ âûøå óãëîâ, óãëîâûõ ñêîðîñòåé, êîîðäèíàò öåíòðà ìàññ è ò.ä . Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ çàïðîãðàììèðîâàííîãî èçìåíå- íèÿ îïðåäåëÿþùåãî ïàðàìåòðà èñïîëíèòåëüíûé îðãàí äîëæåí óñòà- íàâëèâàòüñÿ â ïîëîæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçíîñòè ìåæäó èçìå- ðåííûì è ïðîãðàììíûì çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, ïðè óïðàâëåíèè â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè íåîáõîäèìî çíàòü çàâèñè- ìîñòü ìåæäó óãëîì ïîâîðîòà óïðàâëÿþùåãî îðãàíà δâ è óãëîì ïîâî- 104
ðîòà ïðîäîëüíîé îñè ËÀ.  íàøåì ïðèìåðå íåîáõîäèìî èìåòü çàâè- ñèìîñòü δ = f(∆θ), ãäå ∆θ – èçìåíåíèå óãëà òàíãàæà. Äîïîëíèòåëüíûå ñëîæíîñòè, íå îòðàæåííûå â íàïèñàííûõ óðàâ- íåíèÿõ, çàêëþ÷àþòñÿ â òîì, ÷òî ñèëû è ìîìåíòû âçàèìîñâÿçàíû ñ õàðàêòåðèñòèêàìè äâèæåíèÿ ñëîæíûìè çàâèñèìîñòÿìè, ïðèâåäåí- íûìè â ãë. 1. 2.2.6 . ËÈÍÅÀÐÈÇÀÖÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠÌàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë ëèíåàðèçàöèè ñîñòîèò â òîì, ÷òî èñêî- ìîå îòêëîíåíèå ýëåìåíòîâ îò ðàñ÷åòíûõ çíà÷åíèé, îïðåäåëÿþùèõ íîìèíàëüíîå (îïîðíîå) äâèæåíèå, íàõîäèòñÿ ïîñðåäñòâîì ðàçëîæå- íèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé â ðÿä Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì îòêëîíå- íèÿ ýëåìåíòà. Íàïîìíèì ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè ìíîãèõ àðãóìåíòîâ, ê êîòîðîé îòíîñÿòñÿ ýëåìåíòû òðàåê- òîðèé ðàêåò. Ïðè íàïèñàíèè ðåçóëüòàòîâ ðàçëîæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâíûìè îáîçíà÷åíèÿìè ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëîâ ôóíêöèè ìíî- ãèõ ïåðåìåííûõ dA d d df m n n n =+ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∂ ∂ξ ξ∂ ∂ξ ξ ∂ ∂ξ ξξ ξξ 12 1 2 KK (,,,) . (2.65) Ôîðìóëà ðàçëîæåíèÿ èìååò âèä ff f nn n (,,,) ( ; ;; ) (, ** * * ξξξ ξδξξδξξδξ ξ 12 1 12 2 1 KK =+ + += = ξξ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ 2 1 1 2 2 1 1 ** ** * ,,) ! KK n n n ++ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟× ×f n n n (,,,) ! ** * ** * ξξξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ 12 1 1 2 2 1 2 KK ++ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟× ×+ + + + 2 12 1 1 2 2 1 3 f n (,,,) ! ** * ** ξξξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ KK n n n fR * ** * (,,,) , δξ ξξξ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟× ×+ 3 12 K (2.66) ãäå ξi* – ðàñ÷åòíûå (íîìèíàëüíûå) çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ. Îòêëîíåíèå ôóíêöèè f(ξ1, ξ2, ..., ξn), âûçâàííîå îòêëîíåíèÿìè ïàðàìåòðîâ îò ðàñ÷åòíûõ çíà÷åíèé δξ1, δξ2, ..., δξn, áóäåò ðàâíî δξξξ ξδξξδξξδξ ξ 1 ff f nn n (,,,) ( , ,, ) ( ** * * 12 1 2 2 1 KK =+ + +− − ,,, ) . ** ξξ 2K n (2.67) 105
Ïåðâûé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (2.66) è âòîðîé ÷ëåí ðàçëîæåíèÿ (2.67) ðàâíû è èìåþò ðàçíûå çíàêè, ïîýòîìó îáùàÿ ôîðìóëà äëÿ îòêëîíå- íèÿ ôóíêöèè f(ξ1, ξ2, ..., ξn) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà â ñëåäóþùåì âèäå: δξξ ξ ∂ ∂ξ δξ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ f n n n (,,,) !*** 12 1 1 2 2 1 1 KK =+ + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ++ + + f n n (,,,) ! ** * ** * ξξξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ 12 1 1 2 2 1 2 K K nn f ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ++ + + 2 12 1 1 2 2 1 3 (,,,) ! ** * ** ξξξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ K K ∂ξ δξ ξξξ n nn fR * ** * (,,,) . ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + 3 12 K (2.68) ×èñëî ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ñîõðàíÿåìîå â ðàñ÷åòàõ, çàâèñèò îò òðåáóåìîé òî÷íîñòè îïðåäåëåíèÿ îòêëîíåíèÿ. Ïåðåõîä ê ëèíåéíîé ôîðìå ìîäåëè ïðåäïîëàãàåò ñîõðàíåíèå òîëüêî ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëà (2.68) ïðèìåò âèä δξξ ξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ f ff n (,,,) ** 12 1 1 2 2 KK = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ++f n n ∂ξ δξ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ * . (2.69) Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ îòêëîíåíèÿ ïðîèçâîäíîé âèäà δ ξd dt . Òàê êàê δ ξξξ d dt d dt d dt =− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ * ,àξ=ξ*+δξ,òîïîëó÷èì δ ξ ξδξ ξ δξ d dt d dt d dt d dt ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =+ − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= () . * * (2.70) Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû èìååì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ñîñòàâëåííóþ èç n óðàâíåíèé âèäà d dt f d dt f n n ξξξξ ξ ξξξ 1 112 2 212 = = (,,,) , (,,,) , K K (2.71) òî íà îñíîâàíèè (2.69) è (2.70) îíà ëåãêî ïðèâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â îòêëîíåíèÿõ 106
d dt fff δξ ∂ ∂ξ δξ∂ ∂ξ δξ∂ ∂ξ 1 1 1 1 1 2 2 1 3 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜ ** ⎞ ⎠⎟+ = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ * ** , δξ δξ ∂ ∂ξ δξ ∂ ∂ξ δξ 3 2 2 1 1 2 2 2 K d dt ff + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ ∂ ∂ξ δξ f2 3 3 * , .............................. K ............... (2.72) Åñëè îïîðíîå äâèæåíèå èçâåñòíî, ò.å . ýëåìåíòû ξ1*(t), ξ2*(t), ξ3*(t) è äðóãèå çàäàíû, òî áóäóò èçâåñòíû â ôóíêöèè âðåìåíè è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âèäà ∂ ∂ξ fi i ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ * , ñòîÿùèå â ñèñòåìå (2.72) ïðè îòêëîíåíèÿõ δξi ýëåìåíòîâ. Èñïîëüçóÿ èçëîæåííûé ìåòîä, ïðîâåäåì ëèíåàðèçàöèþ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðîñòîé ñëó÷àé ïðî- äîëüíîãî äâèæåíèÿ íåóïðàâëÿåìîãî îïåðåííîãî ðåàêòèâíîãî ñíàðÿ- äà. Âîçüìåì èçâåñòíóþ íàì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2.63). Ñ÷èòàÿ, ÷òî òÿãà íàïðàâëåíà ïî îñè ðàêåòû (ò.å . ïîëîæèâ óãîë ξ = 0), è ïðèíèìàÿ Xp = Yp = 0, ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé èç (2.63) è (2.64) ïîëó÷èì m dV dt PX Q mV d dt PY QI d dt a az =− − =+ − cos sin ; sin cos ; αθ θ αθ θ2 2=M. (2.73) Ïðè ëèíåàðèçàöèè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìàññà è ìîìåíò èíåðöèè äëÿ îïîðíîãî è âîçìóùåííîãî äâèæåíèé èçìåíÿþòñÿ ïî âðåìåíè îäèíàêîâî:mt mt It It zz ()()()(). * * == è Êðîìå òîãî, áóäåì ïðåíåáðåãàòü âëèÿíèåì èçìåíåíèÿ âûñîòû íà àýðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè è òÿãó. Äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé δy ýòî âëèÿíèå íåñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó ôóíêöèè H(y), ρ(y), π(y)èa(y), êî- òîðûìè îíî ó÷èòûâàåòñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ, èçìåíÿþòñÿ ìåäëåííî. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü m dV dt dV dt PX Q mV d dt V d a − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =− − − * * (cos) (si n); δα δδθ θ θ δα δδθ θθ * * (si n) (cos) ; dt PY Q I d dt d dt a z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ − − ⎛2 2 2 2 ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =δMz. 107
Ïðè ïðèíÿòûõ óïðîùåíèÿõ îòêëîíåíèÿ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ áóäóò çàâèñåòü òîëüêî îò äâóõ âåëè÷èí – îòêëîíåíèÿ ñêî - ðîñòè ïîëåòà δV è îòêëîíåíèÿ óãëà àòàêè δα. Åñëè îáîçíà÷èòü Xf VXf V Yf VYf V aa aa * * (;); (;); (;); (;); ** ** == == 11 22 αα αα Mf VMf V zz * (; ); (;), ** == 33 αα òî, ðàçëàãàÿ ïðèâåäåííûå çàâèñèìîñòè â ðÿä ïî ôîðìóëå (2.66), ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì òîëüêî ëèíåéíûõ ÷ëåíîâ δ ∂ ∂ δ ∂ ∂α δα δ XXX X V V X YYY aaa aaa =−= ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =−= * ** * ; ∂ ∂ δ ∂ ∂α δα δ ∂ ∂ Y V V Y MMM M V aa zzz z ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =−= ⎛ ⎝⎜⎞ ** * ; ⎠⎟ +⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ** . δ ∂ ∂α δα V Mz (2.74) Çíà÷îê * ïîêàçûâàåò, ÷òî äàííàÿ âåëè÷èíà îòíîñèòñÿ ê îïîðíîìó äâèæåíèþ, îïèñûâàåìîìó íåëèíåéíîé ìîäåëüþ. Ââåäåì ñîêðàùåí- íóþ çàïèñü ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ∂ ∂ξ ξ A A i i ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= * è ïåðåïèøåì ôîðìóëó (2.74) â ñëåäóþùåì âèäå: δδδ α δ δ α δδδ α ααα XXVX YY VY mmVm aa V aa a V az z V z =+ = + =+ ;;. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì íàéäåì îòêëîíåíèÿ äëÿ ÷ëåíîâ, ñîäåðæà- ùèõ òÿãó Ð: δ α αδαδ α αδα (si n)c o s ;(co s) s in. ** PP PP == − Ñ÷èòàÿ âåñ ðàêåòû Q ïîñòîÿííûì, ïîëó÷èì δ(Q sinθ)=Q cosθ* δθ; δ(Q cosθ)=− Q sinθ* δθ. Èìåÿ â âèäó, ÷òî dV dt dV dt d dt V V d dt V d dt V d dt V d dt dV d −= −=++ * * * * * ; δ θθ δθδ θ dt V d dt δθ δθ ≈ * 108
(áåç ó÷åòà ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè); d dt d dt d dt 2 2 2 2 2 2 θθ δθδθδθδα −= = − * , è à òàêæå ïðèíèìàÿ â ñèëó ìàëîñòè óãëà α*, ÷òî sinα* ≈α*, cosα* ≈ 1, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé: m dV dt XVPXQ Q mV d dt a V a δ δα θ δ αθ δ θ δθ α =− − + − − ( cos ) cos ; ** * * − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ + − + d dt YdVPYQ Q I d a V a z δα θδα αδθ δ α (s i n ) s i n ; ** 2 θ δδ α α dt mVm z V z 2=+ . (2.75) Ýòà ñèñòåìà ñîñòîèò èç ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé ñ êîýôôèöèåíòàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, â îñíîâå êîòîðîãî ëåæèò óñëîâèå äîñòàòî÷íîé ìàëîñòè âîçìóùåíèé, íåîáõîäèìî çíàòü, êàêîâà òî÷íîñòü ïîëó÷àåìûõ ðàñ÷åòîì ðåçóëüòà- òîâ èëè, èíà÷å, êàêèìè ïðåäåëàìè äîëæíû áûòü îãðàíè÷åíû èññëå- äóåìûå âîçìóùåíèÿ, ÷òîáû ïîãðåøíîñòè ðàñ÷åòà ïî óðàâíåíèÿì â îòêëîíåíèÿõ íå ïðåâîñõîäèëè äîïóñòèìûõ. Èñ÷åðïûâàþùèé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïóòåì ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðèáëèæåííîãî è òî÷íîãî ðåøåíèé, îäíàêî èç-çà òðóäîåìêîñòè ïî- ñëåäíåãî òàêîé ìåòîä îöåíêè òî÷íîñòè íå èìååò øèðîêîãî ïðèìåíå- íèÿ. Ïîýòîìó ÷àñòî èñïîëüçóþò ìåíåå ñòðîãèå, íî áîëåå ïðîñòûå êîñâåííûå èëè ïðèáëèæåííûå ìåòîäû îöåíêè ïîãðåøíîñòåé. Îä- íèì èç íèõ ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ñóììû R ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, îòáðàñû- âàåìûõ ïðè ëèíåàðèçàöèè èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ñ ïîìîùüþ êîòî- ðîé ìîæíî îðèåíòèðîâî÷íî óñòàíîâèòü äîïóñòèìóþ îáëàñòü âîçìó- ùåíèé åùå äî âûïîëíåíèÿ ðàñ÷åòîâ. Ïðîâåäÿ ïîäîáíîãî ðîäà àíàëèç äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ìîæíî óñòàíîâèòü îáîáùåííûå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ âîçìóùåíèé, âíóòðè êîòîðûõ òî÷íîñòü ðàñ÷åòà ïî ëèíåàðèçîâàííûì óðàâíåíèÿì áóäåò óäîâëåòâî- ðèòåëüíîé.
Ãëàâà 3 ÑÎÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠÊîíêðåòíûé âèä ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà äâèæåíèÿ ËÀ çàâèñèò îò äîïóùåíèé, ïîëîæåííûõ â îñíîâó ñîñòàâëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò è ñèñòåìû äåéñòâóþùèõ ñèë. Ïðè äâèæåíèè òåë â âîçäóõå ñâÿçü ìåæäó îñíîâíûìè âèäàìè äâèæåíèé (ïîñòó- ïàòåëüíûì è âðàùàòåëüíûì, ïðîäîëüíûì è ïîïåðå÷íûì) ïðîÿâëÿåòñÿ ÷åðåç ðåàêòèâ- íûå è àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû.  çàâèñèìîñòè îò ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ ËÀ ó÷èòûâàþòñÿ èíåðöèîí- íûå, àýðîäèíàìè÷åñêèå è ðåàêòèâíûå ïåðåêðåñòíûå ñâÿçè, à ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâ- íåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ â ðàñøèðåííîé ïîñòàíîâêå äîëæíû ó÷èòûâàòü- ñÿ òàêæå ïåðåêðåñòíûå ñâÿçè ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ ïî êàíàëàì òàíãàæà, ðûñêàíèÿ, êðåíà è ñâÿçè, îáóñëîâëåííûå ïîÿâëåíèåì óïðàâëÿþùèõ ñèë. Äëÿ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàêåò, êàê ïîêàçûâàþò òåîðåòè÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëü- íûå èññëåäîâàíèÿ, ðàçäåëåíèå äâèæåíèé íà ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå öåíòðà ìàññ è âðàùàòåëüíîå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ è ðàçäåëåíèå ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ íà ïðîäîëüíîå è áîêîâîå ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ïðàêòè÷åñêè ïðèåìëåìóþ òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè îïûòíûõ ñòðåëüá. Åñòåñòâåííî, ÷òî ðàçäåëüíîå ðàññìîòðåíèå äâèæåíèé âîçìîæíî òîëüêî ïðè ñóùåñòâåííûõ óïðîùåíèÿõ. 3.1 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒ ÍÀ ÀÊÒÈÂÍÎÌ Ó×ÀÑÒÊÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ 3.1.1. ÈÑÕÎÄÍÀß ÑÈÑÒÅÌÀ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒÛ Äâèæåíèå ðàêåòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò O0XgYgZg. Ïðè ýòîì äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è âëèÿ- íèå âðàùåíèÿ Çåìëè ó÷òåì ââåäåíèåì ïîñòîÿííîãî ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, ïðåíåáðåãàÿ êîðèîëè- ñîâûì óñêîðåíèåì; êðèâèçíó Çåìëè òàêæå ó÷èòûâàòü íå áóäåì. Ïðè ýòèõ äîïóùåíèÿõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîæåò áûòü íàïèñàíà íà îñíî- âàíèè óðàâíåíèé (2.48) è (2.60).  îòñóòñòâèå âåòðà âîçäóøíàÿ ñêî- ðîñòü ðàâíà çåìíîé: V = Vê. Ïðîùå âñåãî çàïèñàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêî- ðîñòè V ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû îòíîñèòåëü- íî Çåìëè â ïðîåêöèÿõ íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òàê 110
êàê â ýòîé ñèñòåìå VV xê = , Vyê = == Vzê 0. Òîãäà óðàâíåíèÿ (2.48) óïðîñòÿòñÿ è áóäóò èìåòü âèä • /; /; /. VFm VF m VF m x zy yz = = =− Σ Σ Σ ω ω êê êê (3.1) Ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ ïðîåê- öèé óãëîâîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXêYêZê îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæ- íîé ñèñòåìû O0XgYgZg íà îñè òðà- åêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò âîñ- ïîëüçóåìñÿ ðèñ. 3.1, èç êîòîðîãî ñëåäóåò ωθ ωθ ω θ xyz êêê === • sin ; • cos ; • . ΨΨ (3.2) Ïîäñòàâëÿÿ ω y ê è ωzê â (3.1), ïîëó÷èì ñèñòåìó • ;• ; • cos . V F m V F m V F m xy z == =− Σ∆ Ψ Σ êê ê θ θ (3.3) Ïðè íàïèñàíèè ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (3.3) áóäåì ó÷èòûâàòü ñîñòàâëÿþùèå òÿãè, ñèëû òÿæåñòè, àýðîäèíàìè÷åñêèõ è óïðàâëÿþ- ùèõ ñèë. Àýðîäèíàìè÷åñêóþ ñèëó RA çàäàäèì ñîñòàâëÿþùèìè Xa, Ya, Za â ñêîðîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òîãäà, âîñïîëüçîâàâøèñü òàáëèöåé íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ (ñì. òàáë. 1 .2) è ôîðìóëàìè ïåðåõîäà, ïî- ëó÷èì ïðîåêöèè àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: RXX RYY Z RZY Ax a Ay a a a a Az a ê ê ê ê ê ê =− =− == − == ; cos sin ; sin γγ γγ aaa Z + cos . (3.4) 111 Ðèñ. 3 .1 . Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëîæå- íèÿ òðàåêòîðíîé è íîðìàëüíîé ñèñòåì êîîðäèíàò
Ïóñòü òÿãà çàäàíà ïðîåêöèÿìè íà ñâÿçàííûå îñè êîîðäèíàò Px, Py, Pz. Ïîäîáíîå ïðåäñòàâëåíèå òÿãè óäîáíî ïðè ðàñ÷åòàõ õàðàêòåðè- ñòèê äâèæåíèÿ ðàêåò äëÿ ïîñëåäóþùåãî ó÷åòà ãàçîäèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿþùèõ ñèë, êîòîðûå ïðîÿâëÿþòñÿ ïðè îòêëîíåíèè âåêòîðà òÿãè îò ïðîäîëüíîé îñè ðàêåòû. Óïðàâëÿþùèå ñèëû, ñîçäàâàåìûå îòäåëüíûìè ãàçîäèíàìè÷åñêèìè îðãàíàìè óïðàâëåíèÿ, ìîãóò áûòü âêëþ÷åíû â ñîñòàâëÿþùèå òÿãè ïî ñâÿçàííûì îñÿì. Êðîìå òîãî, ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ó÷åñòü âëèÿíèå ýêñöåíòðèñèòåòà òÿãè íà õàðàêòå- ðèñòèêè äâèæåíèÿ ðàêåòû. Çàïèøåì óïðàâëÿþùèå àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû, ñîçäàâàåìûå îäíîòèïíûìè àýðîäèíàìè÷åñêèìè îðãàíàìè óïðàâëåíèÿ, â ïðîåê- öèÿõ íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ΣXp, ΣYp, ΣZp. Ïîëüçóÿñü òàáëèöåé íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ (ñì. òàáë. 1.3) è ôîðìóëàìè ïåðåõîäà, ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîåêöèé òÿãè è óïðàâëÿþùèõ ñèë íà òðàåêòîðíûå îñè: PX PX PY PZ xx yz êê pp p −= − − −+ +− ΣΣ ΣΣ () c o s c o s () s i n c o s ( αβ αβ p)sin ; β PY PX PY yx a a y êê pp −= − + + ++ ΣΣ Σ ( )(sin cos sin cos sin ) ( αγ γαβ p p )(cos cos sin sin sin ) ( )sin cos ; γα γαβ γβ aa za PZ −− + Σ (3.5) PZ PX PY zxaa y += − − + ++ ΣΣ Σ pp p ê () ( s i n s i n c o s c o s s i n ) ( γα γαβ )(sin cos cos sin sin)( )cos cos . γα γαβ γβ aa za PZ ++ + Σ p Òàê êàê ìû íå ó÷èòûâàåì ïåðåìåí÷èâîñòü ñèëû òÿæåñòè è êðè- âèçíó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, òî ïðîåêöèè ñèëû òÿæåñòè íà òðàåêòîð- íûå îñè êîîðäèíàò î÷åâèäíû: QQQQQ xyz êêê =− =− = sin ; cos ; . θθ 0 (3.6) Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ âñåõ ó÷èòûâàå- ìûõ íàìè ñèë èç (3.5), (3.6) è óãëîâûõ ñêîðîñòåé (3.2) â îñíîâíûå óðàâíåíèÿ (3.1), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùåé äâè- æåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû â òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò: • () ; V m PXXQ xx =− − + 1 êê ê pê Σ (3.7) V m PYYQ yy • () ; θ= + ++ 1 êê ê pê Σ (3.8) V m PZZ z • cos ( ). ΨΣ θ=− + + 1 êê pê (3.9) 112
Óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåò îáû÷íî çàïèñûâàþò â ïðîåêöèÿõ íà ñâÿçàííûå îñè. Ëþáàÿ äðóãàÿ íå ñâÿçàííàÿ ñ ðàêåòîé ñèñòåìà êîîðäèíàò ïåðåìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ðàêåòû, à ýòî ïðè- âîäèò ê íåîáõîäèìîñòè ó÷èòûâàòü ïðè èññëåäîâàíèè åå äâèæåíèÿ ïåðåìåííîñòü ìîìåíòîâ èíåðöèè äàæå ïðè m = const, ÷òî âíîñèò èç- ëèøíèå óñëîæíåíèÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà ñâÿçàííûå îñè êîîðäèíàò, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî îíè ñîâ- ïàäàþò ñ ãëàâíûìè öåíòðàëüíûìè îñÿìè èíåðöèè: II IMM xx zyyz x x • () ; ωω ω +− = + ΣΣ p (3.10) II IMM yy x zxz y y • () ; ωω ω +− = + ΣΣ p (3.11) II IMM zz yzxy z z • () , ωω ω +− = + ΣΣ p (3.12) ãäå ΣMx, ΣMy, ΣMz – ñóììû ïðîåêöèé ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë è òÿãè íà ñâÿçàííûå îñè êîîðäèíàò (áåç ó÷åòà óïðàâëÿþùèõ ñèë); ΣM x p, ΣM yp , ΣMzp – ñóììû ïðîåêöèé ìîìåíòîâ óïðàâëÿþùèõ ñèë íà ñâÿçàííûå îñè êîîðäèíàò. Äëÿ îñåñèììåòðè÷íûõ ðàêåò äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ âðàùà- òåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîæíî ïðèíÿòü â óïðîùåííîì âèäå: IM M II IMM II xx x yy x zxz y zz x y • ; • () ; • ( ω ωω ω ω =+ +− = + + ΣΣ ΣΣ p p yxx y z IM M z −= + ). ωωΣ Σp (3.13) Ïðè ðàáîòàþùåì äâèãàòåëå âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ ìàññû ðàêåòû èç-çà ðàñõîäà òîïëèâà ìîìåíòû èíåðöèè áóäóò ïåðåìåííûìè âåëè- ÷èíàìè. Çíà÷åíèÿ Ix, Iy, Iz äëÿ ðàêåòû îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ âñÿêîãî ñëîæíîãî òåëà, ò.å . âû÷èñëÿþòñÿ íà îñíîâàíèè ïîäðîá- íûõ ÷åðòåæåé ðàêåòû è ïðè èçâåñòíîì çàêîíå èçìåíåíèÿ åå ìàññû â ïîëåòå. Ðàáîòà ïî ðàñ÷åòíîìó îïðåäåëåíèþ ìîìåíòîâ èíåðöèè è èõ èçìåíåíèþ êðîïîòëèâà è òðóäîåìêà, ïîýòîìó èõ ïðèíèìàþò ïîñòî- ÿííûìè ïðè ïðèáëèæåííûõ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ. Ïðè áîëåå òî÷íûõ ðàñ÷åòàõ, ñâÿçàííûõ ñ èññëåäîâàíèåì óñòîé÷èâîñòè è óïðàâ- ëÿåìîñòè, ïåðåìåí÷èâîñòü ìîìåíòîâ èíåðöèè íåîáõîäèìî ó÷èòû- âàòü. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå ìåòîäû îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ñëîæíûõ òåë, äàþùèå áîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû â ñðàâíåíèè ñ ðàñ- ÷åòíûìè, äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî ðàçðàáîòàíû â ìåõàíèêå, è ìû èõ êàñàòüñÿ íå áóäåì. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó ïðîèçâîäíûìè • , θ• , ψ •γ è óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè ωx, ωy è ωz âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè ïåðåõîäà (ðèñ. 1 .5) 113
ωψθγωψθγ θγ ω ψθγ xy z =+ = + += − + • sin • ; • cos cos • sin ; • cos sin • cos . θγ (3.14) Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíî, ïîëó÷èì • sin cos ; θωγωγ =+ yz (3.15) • cos (cos s i n) ; ψ θ ωγ ωγ =− 1 yz (3.16) • (cos s i n) . γωθ ωγωγ =− − xyz tg (3.17) Ïðè îïðåäåëåíèè àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé çàäà÷è äâèæåíèÿ ðàêåòû íàäî çíàòü çíà÷åíèÿ óã- ëîâα,βèγa. Îïðåäåëÿÿ ìàòðèöó íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ ïîñëåäîâàòåëüíî- ãî ïåðåõîäà îò ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê ñêîðîñòíîé, îò ñêî- ðîñòíîé – ê òðàåêòîðíîé, îò òðàåêòîðíîé – ê çåìíîé è ïðèðàâíèâàÿ åå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ê äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòàì ìàòðèöû íà- ïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ íåïîñðåäñòâåííîãî ïåðåõîäà îò ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê çåìíîé, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óãëàìè: sin sin cos cos cos (sin cos cos sin sin ); θθ α βθαγ αβγ =++ aa (3.18) sin cos sin cos cos cos (sin cos sin sin cos ψγ βγ βθ γθ =+ + + ΨΨ a a βψ θ γ )cos • sin sin ; − (3.19) cos sin sin cos cos sin sin . θγ γβθβθ =− a (3.20) Åñëè òåïåðü èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîåêöèé âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ðàêåòû íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò O0XgYgZg (ñì. ðèñ. 1.7), òî ïîëó÷èì dxdtV g/c o s c o s ; =θ Ψ (3.21) dydtV g/s i n ; =θ (3.22) dzdtV g/c o s s i n . =− θΨ (3.23) Ñîîòâåòñòâåííî ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî öåíòðà ìàññ ðàêåòû (íàêëîííàÿ äàëüíîñòü) ðàâíî 114
rxyz ggg =+ + 222 . (3.24) Óðàâíåíèÿ (3.7)...(3.12) è (3.15)...(3.24) âìåñòå ñ óðàâíåíèåì mm md t t =− ∫00 | •|, (3.25) îïðåäåëÿþùèì èçìåíåíèå ìàññû, áóäóò ñîñòàâëÿòü ñèñòåìó èç 17 óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïðîñòðàíñòâåííîå äâèæåíèå ðàêåòû. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ öåëåé. Ïðîùå åå èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ïðÿìîé çàäà÷è âíåøíåé áàëëèñòèêè.  ýòîì ñëó÷àå, åñëè áóäóò èçâåñòíû âñå ãåîìåòðè÷åñêèå, âåñîâûå, èíåðöèîííûå, àýðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàêåòû, õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿþùèå ðàáîòó åå äâèãàòåëÿ, çàêîíû èçìåíåíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèë ΣXt pê (),ΣYt pê (),ΣZt pê ()è ìîìåíòîâ ΣM x p, ΣM yp , ΣM zp è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïîëåòà, óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ìîãóò áûòü òåì èëè èíûì ñïîñîáîì ïðîèíòåãðèðîâàíû.  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ áóäóò íàéäåíû âñå ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ ðàêåòû: Vtt txtyt z tr ttt gg g (); (); (); (); (); (); (); (); (); ( θ θψγ Ψ tt ttttt m t axyz ); (); (); (); (); (); (); (). α βγωωω Ðåøåíèå ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùåé ïðîñòðàíñò- âåííûé ïîëåò óïðàâëÿåìîé ðàêåòû, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûì è òðóäîåì- êèì; ÷àùå âñåãî ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ðàññìîòðåííóþ èñõîäíóþ ñèñòåìó óïðîùàþò. 3.1.2 . ÓÏÐÎÙÅÍÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÎÏÈÑÛÂÀÞÙÈÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÐÀÊÅÒ Â ÏËÎÒÍÛÕ ÑËÎßÕ ÀÒÌÎÑÔÅÐÛ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÉ ÇÅÌÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ Ïðè èäåàëüíîé ðàáîòå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâåííî â îòñóòñòâèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ, ïðåíåáðåãàÿ óãëîâûìè ñêîðîñòÿ- ìè ωx, ωy, ωz è ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè • , • , • , αβγ • , • , • , δδδ âíý èç ïðåäû- äóùèõ ðàâåíñòâ ìîæíî ïîëó÷èòü ôóíêöèîíàëüíûå çàâèñèìîñòè Mx(V, y, γ, δý)=0;My(V, y, β, δí)=0;Mz(V, y, α, δâ) = 0. Ýòè çàâèñèìî- ñòè, íàçûâàåìûå áàëàíñèðîâî÷íûìè, îòðàæàþò ðàâåíñòâî ìîìåíòîâ óïðàâëÿþùèõ ñèë ìîìåíòàì âñåõ îñòàëüíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ðàêåòó. Óãëû àòàêè, ñêîëüæåíèÿ, êðåíà, îïðåäåëÿåìûå áàëàíñèðî- 115
âî÷íûìè çàâèñèìîñòÿìè, íàçûâàþòñÿ áàëàíñèðîâî÷íûìè óãëàìè αá, βá è γá, äâèæåíèå ðàêåòû ïî òðàåêòîðèè ñ òàêèìè óãëàìè – äâèæåíè- åì â áàëàíñèðîâî÷íîì ðåæèìå. Ïðè áàëàíñèðîâî÷íîì ðåæèìå ïîëåòà ïðåäïîëàãàåòñÿ ìãíîâåííàÿ ðåàêöèÿ ËÀ íà îòêëîíåíèÿ îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ (δí , δâ) ïî íàïðàâëåíèþ è âûñîòå ñîîòâåòñòâåííî, ïðè- ÷åì óãëû àòàêè, ñêîëüæåíèÿ è êðåíà ïðèíèìàþò ñâîè áàëàíñèðî- âî÷íûå çíà÷åíèÿ. Çàâèñèìîñòè ìåæäó áàëàíñèðîâî÷íûìè óãëàìè ËÀ è îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ ìîæíî óñòàíîâèòü äâóìÿ ïóòÿìè. Åñëè èçâåñòíû íåçàâèñèìûå àýðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ËÀ è åãî îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ, òî äëÿ äâèæåíèÿ â ïðîäîëüíîì íà- ïðàâëåíèè èìååì qSlm qSlm z z += pppp 0. (3.26) Îñòàâëÿÿ òîëüêî ñòàòè÷åñêèå ÷ëåíû ïðè ðàçäåëüíîì ó÷åòå àýðîäèíàìè÷åñêèõ ìîìåíòîâ, çàïèøåì δ α α δ â.á á ppp p â =− + qSlm m qSlm zz z () . 0 (3.27) Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà çàâèñèìîñòü δí.á = f(βá). Åñëè ñóììàðíûé ìîìåíò, äåéñòâóþùèé íà ËÀ, îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ñîâìåñòíîì èçìåíåíèè óãëà àòàêè è óãëà îòêëîíåíèÿ óïðàâëÿþùèõ îðãàíîâ, òî ïðè ó÷åòå ñòàòè÷åñêèõ ÷ëåíîâ ïîëó÷èì δα δ α â.á p á â =− + 1 0 m mm z zz () . (3.28) Êîýôôèöèåíò àýðîäèíàìè÷åñêîé ïîäúåìíîé ñèëû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ccc c yyy y áâ â =++ 0 α δ αδ . (3.29) Íà íà÷àëüíûõ ýòàïàõ ïðîåêòèðîâàíèÿ áîëåå óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé ccc yy y á â.á á á â =+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ α δδ α α. (3.30) Óãëû αá, βá è γá ìåäëåííî èçìåíÿþòñÿ ïî òðàåêòîðèè; èõ òåêóùèå çíà÷åíèÿ çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ðóëåé, ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ðàêåòû è 116
âûñîòû åå ïîëåòà. Êàê ïðàâèëî, çíà÷åíèÿ óêàçàííûõ óãëîâ, à òàêæå óãëà γa íåâåëèêè, ÷òî ïîçâîëÿåò îïóñòèòü â óðàâíåíèÿõ ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ óãëîâ. Ïðè ýòîì ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò èìåòü âèä • [( )cos cos ( ) sin cos () V m PX PY PZ xy z =− − + + ++ 1 páá páá p αβ αβ sin sin ]; βθ áê −− XQ • [( )sin cos ( ) cos cos ( θα γ γ α =− + + + ++ 1 mV PX PY PZ xa y z pá páá p )sin cos cos ]; γβ θ a YQ áê +− • cos [( )cos cos sin () s i n c Ψ=− − − + ++ 1 mV PX PY xa ya θ γαβ γ pá á p os ( ) cos cos ]; αγ β ápá ê ++ + PZ Z za MMMMMM xyz xyz +≈+≈+≈ ppp 000 ;;; (3.31) sin sin cos cos cos sin cos ; θθ αβθ αγ =+ áá áa sin cos sin cos cos cos (sin cos sin sin ψγ βγ ββ γ áá á á =++ + ΨΨ a a θβ ψθγ cos)cossinsin; áá − cos sin sin cos cos sin sin ; θγ γβθβθ áá á á =− • coscos ;• sin;• cos sin ; xV yV zV gg g == = − θθ θ ΨΨ rxyz m mm d t ggg t =+ += − ∫ 222 0 0 ;| • |. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç 14 óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ 14 íå- èçâåñòíûõ. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â ïðîöåññå ïîëåòà óãëû αá, βá, γá, à òàêæå γa íå ïðåâîñõîäÿò âåëè÷èí, ïðè êîòîðûõ ìîæíî ïðèíÿòü sinαá ≈αá; sinγá ≈γá; cosαá ≈ 1; cosγá ≈ 1; sinβá ≈βá; sinγa ≈γa; cosβá ≈ 1; cosγa ≈ 1, òî â ñèñòåìå (3.31) âèä óðàâíåíèé ñóùåñòâåííî óïðîñòèòñÿ è îíà çàïèøåòñÿ â ôîðìå • [() ()s i n ] ; V m PXPY PZ XQ xy z =− − ++ +− − 1 pp áp á ê αβθ 117
• [( )( )( ) cos ]; θα γ θ = − ++−+ + − 1 mV PX PYPZYQ xy z a pá á p ê • cos [ ()()()] ; Ψ=− − − ++ ++ + 1 mV PX PY PZZ xy a z θ βγ pá p p ê MMMMMM xyz xyz +=+=+= ppp 000 ;;; sin sin cos ; θθ αθ =+ á (3.32) sin sin cos ( cos sin ) cos sin ; ψβ θ γ θ γ ψ θ =+ +− ΨΨ áá a γθγθ βθ áá cos cos sin ; =− a • coscos ;• sin;• cos sin ; xV yV zV gg g == = − θθ θ ΨΨ rxyz m mm d t ggg t =+ += − ∫ 222 0 0 ;| • |. Åñëè ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå ïðîâîðà÷èâàþùåéñÿ ðàêåòû, òî ωx ≠ 0, à ïðàâîìåðíîñòü äîïóùåíèÿ ωy ≈ωz ≈ 0 íåîáõîäèìî ïðîâåðÿòü äîïîëíèòåëüíûìè èññëåäîâàíèÿìè. Ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïðî- ñòðàíñòâåííîå äâèæåíèå, ìîæíî äëÿ îñåñèììåòðè÷íûõ ðàêåò è ñíà- ðÿäîâ, ó êîòîðûõ òÿãà íå ñîçäàåò ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ è íàïðàâëåíà ïî ïðîäîëüíîé îñè ðàêåòû, ò.å . êîãäà Ð = Px; Py = Pz = =0 . Óïðàâëÿþùèå ñèëû ΣXp, ΣYp, ΣZp ó÷òåì â íåÿâíîì âèäå, âêëþ÷èâ èõ ñîîòâåòñòâåííî â ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå, ïîäúåìíóþ è áîêîâóþ ñèëû. Òîãäà áóäåì èìåòü • (coscos s in); • [(si nco sco ss V m PX Q mV P a a =− − =+ 1 1 αβ θ θα γ α insin) cos sin cos ]; • cos [(si n βγ γγθ θ a aaaa YZQ mV P + +−− = Ψ 1 αγ αβγ γγ sin cos sin cos ) sin cos ]. aa aaaa YZ −+ ++ (3.33) 118
Èç (3.10)...(3.12) ïîëó÷èì IM MI I IM MI I xx x z yyz yy y x z x y • (); • () ωω ω ωω =+− − =+− − ΣΣ ΣΣ p p zx zz z y xxy IM MI I z ω ωω ω ; • (). =+− − ΣΣ p (3.34) Åñëè óãëîâûå ñêîðîñòè ωy, ωz ðàêåòû (ñíàðÿäà) âî âðàùàòåëüíîì äâèæåíèè ìàëû è ωx = 0, òî óðàâíåíèÿ (3.34) ìîæíî çàìåíèòü áàëàí- ñèðîâî÷íûìè çàâèñèìîñòÿìè. Èç ïîñëåäíèõ íàéäåì áàëàíñèðîâî÷- íûå óãëû αá, βá, êîòîðûå ââåäåì â (3.33). Äîïîëíèòåëüíî, êàê è ðàíüøå, áóäåì ïðèíèìàòü sinαá ≈αá, sinβá ≈βá, sinγa ≈γa, à êîñèíóñû ýòèõ óãëîâ ïðèðàâíÿåì ê åäèíèöå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîäúåìíîé è áî- êîâîé ñèë ïðèìåì ëèíåéíûå çàâèñèìîñòè YYZZ aa a a == − αβ αβ áá ;, (3.35) ãäå Yq S cZq S c ay az aa αα ββ == ;| | . (3.36) Ââîäÿ ïðèíÿòûå óïðîùåíèÿ, èç (3.33) ïîëó÷èì • sin ; V PX m g a ≈ − −θ (3.37) • ()() c o s ; θ αβ γ θ αβ ≈ ++ + − PY PZ mV g V aa a áá (3.38) • ()( ) cos . Ψ≈ +− + PY PZ mV aa a αβ αγ β θ áá (3.39) Èç óðàâíåíèé (3.18), (3.19) è (3.20) ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî sin sin cos ( ); (cos s i θθθ α β γ ψβ θ γ ≈+ + ≈+ áá á sin sin + cos a a ΨΨ n); . θ γβθ a ≈ átg (3.40) Óðàâíåíèÿ (3.21)...(3.25) îñòàíóòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ óïðîùåíèé ïîëó÷èì ñèñòåìó èç 11 óðàâíåíèé, íåèçâåñòíûõ æå â íåé îñòàíåòñÿ 13: Vtt txtyt z tr ttt gg g (); (); (); (); (); (); (); (); (); θ θψα Ψ á (); (); (); (). ttt m t a βγ á 119
Ñèñòåìà ìîæåò áûòü ðåøåíà, åñëè ê íàïèñàííûì óðàâíåíèÿì äî- áàâèòü êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, çàäàþùèå ìåòîä óïðàâëåíèÿ. Íàïðèìåð, ïðèíÿòü äëÿ äâóõ èç ýòèõ íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí îïðåäå- ëåííûé çàêîí èõ èçìåíåíèÿ ïî âðåìåíè (ïðîãðàììó), â ÷àñòíîñòè çàäàòü θ(t)èψ(t).  óðàâíåíèÿõ (3.38) è (3.39) ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ïðîèçâåäåíèÿ ìàëûõ óãëîâ βáγà è αáγa, çíà÷èòåëüíî ìåíüøå îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ, è ïðè ïðîâåäåíèè ïðèáëèæåííûõ ðàñ÷åòîâ èõ ìîæíî îïóñòèòü. Òîãäà âìåñòî óðàâíåíèé (3.38) è (3.39) áóäåì èìåòü • ()c o s ; θ αθ α ≈ + − PY mV g V a á (3.41) • () cos . Ψ≈ + PZ mV a ββ θ á (3.42) Ïîëó÷åííûå ðàíåå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû ïðèìåíèòåëüíî ê äâèæåíèþ íåóïðàâëÿåìîé ðàêå- òû, åñëè îïóñòèòü â íèõ ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå óïðàâëÿþùèå ñèëû è ìîìåíòû. Íàïðèìåð, äëÿ ìàëûõ α, β, γ è γa, à òàêæå íåçíà÷èòåëüíûõ óãëîâûõ ñêîðîñòåé ωx, ωy è ωz, ïîçâîëÿþùèõ ïðåíåáðå÷ü ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, èìååì • ( cos cos sin cos sin sin ); • V m PPP X Q m xyz =− + − − = 1 1 αβ αβ β θ θ ê V PPP YQ xa y a z a ( sin cos cos cos sin cos cos ); −+ −+ +− αγ γα γβ θ ê • cos ( cos sin sin cos cos cos Ψ=− + + + 1 mV PPPZ xa ya za θ γβ γα γβê); • ;• ;• . IM IM IM xx xyy yzz z ωωω === (3.43) Îñòàëüíûå 11 óðàâíåíèé ñèñòåìû ïðèìóò âèä • sin cos ; θωγωγ =+ yz • cos (cos s i n) ; ψ θ ωγ ωγ =− 1 yz • (cos s i n) ; γωθ ωγωγ =− − xyz tg 120
sin sin cos cos cos sin cos ; θθ α βθ α γ =+ a sin cos sin cos cos cos (sin cos sin sin cos ψγ βγ βθ γθ =+ + + ΨΨ a a βψ θ γ )cossi ns in; − cos sin sin cos cos sin sin ; θγ γβθβθ =− a (3.44) • cos cos ; • sin ; • cos sin ; xV yV zV rxyz g g g gg = =− = =+ + θ θ θ Ψ Ψ 22 g t mm md t 2 0 0 ; | •|. =− ∫ 3.1.3 . ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ ÐÀÊÅÒÛ Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÂÐÀÙÅÍÈß ÇÅÌËÈ Ðàññìîòðèì äëÿ íåïîäâèæíîé àòìîñôåðû äâèæåíèå ðàêåòû êàê ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ïîìíÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå âåêòîðû V, RA è P íà- ïðàâëåíû ïî îäíîé ëèíèè. Ñèñòåìó óðàâíåíèé ñîñòàâèì â ãåî- öåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò O0X0Y0Z0, óäîáíîé äëÿ ó÷åòà âëèÿ- íèÿ ôîðìû Çåìëè è åå âðàùåíèÿ. Ïîëîæåíèå ðàêåòû áóäåì îïðåäå- ëÿòü êîîðäèíàòàìè x, y, z*, ãåîöåíòðè÷åñêîé øèðîòîé φãö è äîëãîòîé λ (ñì. ðèñ. 1 .9). Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìååò âèä m(a + aïåð + + aêîð)=ΣF.  îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ma = ΣF − maïåð − maêîð. ×òî- áû ñîñòàâèòü ñêàëÿðíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëèì ïðîåêöèè âõîäÿùèõ â ýòè çàâèñèìîñòè âåëè÷èí íà êîîðäèíàòíûå îñè. Ïðîåêöèÿ òÿãè íà êîîðäèíàòíûå îñè áóäåò ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ òÿãè íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íàïðàâëåíèåì âåêòîðà ñèëû è ñîîòâåòñò- âóþùåé îñüþ. Êîñèíóñû óãëîâ áóäóò ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî Vx/V; Vy/V; Vz/V, ãäå Vx, Vy è Vz – ïðîåêöèè îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè äâè- æåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû íà îñè êîîðäèíàò: V VVV xyz =− + 222 . Ïðîåêöèè òÿãè îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì 121 *Çäåñü è íèæå èíäåêñ 0 ó îñåé êîîðäèíàò îïóùåí.
PP VVPP VVPP VV xxyyzz === /; /; /. Ïðîåêöèè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íà êîîðäèíàòíûå îñè áó- äóò ðàâíû ñèëå RA, óìíîæåííîé íà êîñèíóñû óãëîâ, ò.å . R V ScV R V ScV R V ScV AR x AR y AR z xyz === ρρρ 222 ;;. (3.45) Ñîñòàâëÿþùèå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äëÿ óñêîðåíèÿ ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, ïîëó÷åííîé äëÿ ñôåðè- ÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè: gg R r òò Ç = 0 2 2 . Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîñòàâëÿþùèå: Fm g R r x r Fm g R r y r Fm g R r z r xy z òò 0 Ç 2 òò 0 Ç 2 2 òò 0 Ç 2 == = ;; , 2 (3.46) ãäå x/r, y/r, z/r – êîñèíóñû óãëîâ ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñèëû Fò è áàçèñíûìè îñÿìè êîîðäèíàò. Èñïîëüçóÿ ýòè ôîðìóëû, ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû îòíîñè- òåëüíî âðàùàþùåéñÿ Çåìëè: • ; • VP V Vm V ScV m g R r xV VP V V x x Rx x z y y =− − + − = 1 2 1 2 1 3 2 ρ ò0 Ç 2 ΩΩ m V ScV m g R r y VP V Vm V ScV m g R Ry z z Rz −− =− − ρ ρ 2 1 1 2 1 3 ò0 Ç 2 ò0 Ç ; • 2 r zV zx 3 2 2 +− ΩΩ. (3.47) Óñòàíîâèì ñâÿçü ìåæäó ïîëîæåíèåì ðàêåòû â âûáðàííîé ïðÿìî- óãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è åå ãåîöåíòðè÷åñêèìè øèðîòîé è äîë- ãîòîé. Èç ðèñ. 1.9 ïîëó÷èì xr yr zr == = cos sin ; sin ; cos cos . φλ φ φλ ãö ãö ãö (3.48) Äèôôåðåíöèðóÿ (3.48) äâàæäû ïî âðåìåíè, ïðåîáðàçîâûâàÿ ïî- ëó÷åííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàâèñè- ìîñòÿìè (3.47) è ïîìíÿ, ÷òî • • • ;• ••; • ••• ; • ; • , Vx VyVzVx Vy Vz xyz xyz === === è 122
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò òðàåêòîðèþ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû â ñâÿçàííîé ãåîöåíòðè÷åñêîé ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ó÷èòûâàÿ ãðîìîçäêîñòü ñèñòåìû, çàïèøåì åå â âèäå ôóíêöèîíàëüíûõ çàâèñèìîñòåé rf r r t frr = = 1 2 (, ,, • , • , • ,); (, ,, • , • , φλ φλ φφ λ φ ãö ãö ãö ãö ãö • ,); (, ,, • , • , • ,). λ λφ λ φ λ t frr t ãö ãö ãö = 3 (3.49) Ñëîæíîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèé î÷åâèäíà, íî òðóäíîñòè ïðåîäî- ëåâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ âîçìîæíîñòè ñîñòàâëåíèÿ äè- íàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ îòíîñèòåëüíî òðà- åêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïðè òåõ æå èñõîäíûõ ïðåäïîñûëêàõ, êàñàþùèõñÿ ó÷åòà âðàùåíèÿ Çåìëè. Áóäåì èìåòü â âèäó, ÷òî òðàåêòîðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ïðè ñî- âìåùåíèè îñè OYê ñ ìåñòíîé âåðòèêàëüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ äâèæóùåãîñÿ ËÀ, âðàùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíî êî- îðäèíàò, ñâÿçàííûõ ñ Çåìëåé.  êà÷åñòâå ïîñëåäíèõ âîçüìåì íîð- ìàëüíóþ çåìíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò OgXgYgZg.  ñîîòâåòñòâèè ñ (2.46) èìååì d dt d dt VV V êê ê =+ × * , ω ãäå â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ω – âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ òðàåêòîðíûõ êîîðäèíàò îòíîñè- òåëüíî çåìíûõ; d dt * – Vê ëîêàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðà Vê â òðàåê- òîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â (2.45), ïîëó÷èì m d dt mm x * . V VFF ê êð ï å ð ê î ð +× ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟=+ − − ωΣ Σ aa (3.50) Âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îòíî- ñèòåëüíî çåìíîé îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé âåêòîðîâ óãëîâûõ ñêîðîñòåé: ωθ λ φ =+ ++ ••• • , Ψ ãö (3.51) ãäå • λè• – φãö âåêòîðû óãëîâûõ ñêîðîñòåé èçìåíåíèÿ äîëãîòû è øèðîòû, îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ äâèæóùåãîñÿ ËÀ â 123
ñôåðè÷åñêèõ ãåîöåíòðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ; • Ψè • – θ âåêòîðû ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè óãëà ïóòè è óãëà íàêëîíà òðàåêòîðèè. Ñâÿçü óãëîâîé êîîðäèíàòû φãö ñ îñüþ OYg äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïëîñ- êîñòü OXgYg íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðàùåíèÿ Çåìëè, ïîêàçàíà íà ðèñ. 3.2. Ñõåìà âçàèìíî- ãî ðàñïîëîæåíèÿ òðàåêòîðíûõ è íîð- ìàëüíûõ çåìíûõ êîîðäèíàò ïðèâåäå- íà íà ðèñ. 1 .7, 1.12. Ïðîåêöèè óãëîâûõ ñêîðîñòåé íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îïðåäåëèì, ïîëüçóÿñü ìåòîäèêîé, èçëîæåííîé â ðàáîòå [71]. Âåêòîð óã- ëîâîé ñêîðîñòè îïðåäåëèòñÿ ÷åðåç åãî ñîñòàâëÿþùèå, íàïðàâëåííûå ïî íîðìàëüíûì îñÿì, ñëåäóþùèì îáðà- çîì (ñì. ðèñ. 3 .2): •• (cos s i n) . λλφ φ =+ xy gg oo ãö ãö (3.52) Èìåÿ â âèäó, ÷òî âåêòîð •φ ãö ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè óãëà φãö, ïîëó÷èì • . φφ gg =−z o ãö (3.53) Ïîëüçóÿñü ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ê òðàåêòîðíîé (ñì. òàáë. 1.4), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ •φ ãöè • λ ÷åðåç èõ ñîñòàâëÿþùèå, íàïðàâëåííûå ïî îñÿì òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò [71]: •• [ (cos cos cos sin sin ) (cos c λλφ θφθ φ =+ + +− x y êã ö ã ö êã ö o o Ψ os sin sin cos ) (cos sin )]; •• [ ΨΨ θφθ φ φφ ++ =− ãö ê ãö ãö ãö ê z x o oo o (sin cos) (sin sin) cos ]. −+ + ΨΨΨ θθ yz êê (3.54) Âåêòîðû • Ψè • θ âûðàçèì ÷åðåç èõ ïðîåêöèè íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: 124 Ðèñ. 3.2. Ñõåìà âçàèìíîãî ðàñïîëî- æåíèÿ îñåé OXg, OYg è âåêòîðîâ Ω è • λ
•• (s i n c o s) ; •• . ΨΨ =+ = xy z êê ê oo o θθ θθ (3.55) Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.51) è ïîñëåäóþùèìè, ïîëó÷èì ïðîåêöèè âåêòîðà ω íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: ωλφ θφθφ θ xê ãö ãö ãö =+ + + • (cos cos cos sin sin) •sin cos • s ΨΨ Ψ in; • ( cos cos sin sin cos ) • sin si θ ωλφ θφθ φ yê ãö ãö ãö =− + − − Ψ Ψn • cos ; • (cossin)•cos • . θθ ωλφ φ θ + =− + Ψ ΨΨ zê ãö ãö (3.56) Ìíîæèòåëü ëåâîé ÷àñòè âåêòîðíîãî ðàâåíñòâà (2.45), îïðåäåëÿþùèé îòíîñèòåëüíîå óñêîðåíèå, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿì òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: aê ê ê ê êêê êêê êêê êê =+ × =+ d dt d dt VVV xyz xy ** V V V xyz ω ωωω ooo zê ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ . (3.57) Äëÿ îñåé òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò d dt Vx xy z * • ;; ; V VV V ê êêê êê ê êê ê V == = = o 0 ïðîåêöèè îòíîñèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû: aV aVaV xy z zy êê êêê ê êê ê êê == = − • ;;. ωω Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà ôîðìóëû äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ óãëîâûõ ñêîðîñòåé èç (3.56), ïîëó÷èì aV aV aV x y z êê ê ê ãö ãö ê ê ê ê = =− + =− • ; (• cos sin • cos • ); λφ φ θ ΨΨ êã ö ãö ãö [ •(cos cos sin sin cos)•sin sin • c −+ +−+ λφ θ φθ φ θ Ψ ΨΨ os ]. θ (3.58) 125
Âûðàçèì òåïåðü óãëîâûå ñêîðîñòè • , • φλ ãö ÷åðåç ïðîåêöèè îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè Vê íà îñè íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: • cos cos ; • cos sin cos . φθ λθ φ ãö êê ãö == − V r V r Ψ Ψ (3.59) Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â (3.58), ïîëó÷èì óñêîðåíèå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.45) â ïðîåêöèÿõ íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòå- ìû êîîðäèíàò: dV dt V dV dt V V r dV dt V õy z ê ê ê ê ê 2 ê ê êê ê == − =− • ; • cos ; • cos θθ Ψθφθ . + V r ê 2 ãö tg sin cos Ψ2 (3.60) Íàéäåì ïðîåêöèè ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.45) íà òå æå îñè. Ïðîåêöèè òÿãè è óïðàâëÿþùèõ ñèë îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé ðàâåíñòâ (3.5). Ñîñòàâëÿþùèå àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë çàäàþòñÿ ñèñ- òåìîé ðàâåíñòâ (3.4). Ó÷èòûâàÿ ñôåðîèäàëüíóþ ôîðìó Çåìëè, ïëîòíîñòü âîçäóõà, âõî- äÿùóþ â âûðàæåíèÿ äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ ñèë RA, ñëåäóåò îïðåäåëÿòü ïî ìåñòíîé âûñîòå Í: Hra e e =− − − 1 1 2 2 cos , φãö (3.61) ãäå à è å – áîëüøàÿ ïîëóîñü è ýêñöåíòðèñèòåò çåìíîãî ñôåðîèäà ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîåêöèè ïåðåíîñíîãî è êîðèîëèñîâà óñêîðåíèé íà îñè çåìíîé ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ó êîòîðîé îñü O0Y0 ñîâïàäàåò ñ îñüþ âðàùåíèÿ Çåìëè, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (1.64) è (1.66). Íàõîæäåíèå ïðîåêöèé íàçâàííûõ óñêîðåíèé íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå. Óñêîðåíèå ñèëû çåìíîãî òÿãîòåíèÿ è ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå â ôîðìóëàõ (1.44) è (1.47) îáúåäèíåíû â îáùåå óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî â êîñîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, îáðàçîâàííîé ðàäèóñ-âåêòîðîì r è âåêòîðîì Ω. Îáîçíà÷èâ â ôîðìó- ëàõ (1.47) ñëàãàåìûå, îïðåäåëÿåìûå óñêîðåíèåì ñèëû çåìíîãî òÿãî- òåíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç gòr è gòΩ, íàïèøåì ggrggr rr =+ =− òò ã ö ΩΩ ΩΩ 22 ;s i n . φ (3.62) 126
Äëÿ ïåðåõîäà ê òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò âîñïîëüçóåìñÿ íàïðàâëÿþùèìè êîñèíóñàìè äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîåêöèé âåêòîðîâ • Ψ è λ íà òå æå îñè (ñì. ôîðìóëû (3.54) è (3.56)). Ó÷èòûâàÿ çíàêîì "ìè- íóñ" ïðîòèâîïîëîæíîñòü íàïðàâëåíèé âåêòîðîâ gr, gΩ è r, Ω, ïîëó- ÷èì ggg gg xr yr ê ê ãö ãö =− − + =− sin (cos cos cos sin sin ); c θφθ φ θ Ω Ψ os ( cos cos cos sin sin ); cos si θφθ φ θ φ −− + =− g gg z Ω Ω Ψ ãö ãö ãö ê nΨ. (3.63) Ïðîåêöèè êîðèîëèñîâîé ñèëû íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû îï- ðåäåëèì èç ñîîòíîøåíèÿ âèäà mm m V xyz aêîð ê êêê ê êê 00 =× = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 22 () . Ω ΩΩΩ V xyz ê ooo (3.64) Òàê êàê íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ Ω è • λ ñîâïàäàþò (ñì. ðèñ. 3.2), òî ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ ïðîåêöèé âåêòîðà Ω âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå ïîëó÷åííîé ôîðìóëîé (3.54): ΩΩ Ψ =+ + +− [ (cos cos cos sin sin ) (cos cos x y êã ö ã ö êã ö o o φθ φ θ φΨ Ψ sin sin cos ) (cos sin )]. θφθ φ ++ ãö ê ãö z o (3.65) Èìååì VV yz êê êê == 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîåêöèè êîðèîëèñîâîé ñèëû íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ðàâíû ma ma V V ma x yz z êîð êîð ê ê ãö êîð ê êê ê = == =− 0 22 2 ; cos sin ; ΩΩΨ φ VV y ê ê ãö ãö ê ΩΩΨ =+ 2 (cos cos sin sin cos ). φθ φ θ (3.66) ×òîáû óïðîñòèòü âèä ôîðìóë, îáúåäèíèì ñîñòàâëÿþùèå îñíîâ- íûõ äåéñòâóþùèõ ñèë ïî òðàåêòîðíûì îñÿì, èñïîëüçóÿ (3.4) è (3.63): FPXRm g xx A xx êêêêê ð =+++ Σ ; FPYRm g yy A yy êêêêê ð =+++ Σ ; 127
FPZRm g zz A zz êêêêê ð =+ ++ Σ . Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (2.46) è ôîðìóëû äëÿ îòäåëüíûõ ñëàãàåìûõ, íàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ â ïðîåêöèÿõ íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, âûäåëèâ ÷ëåíû, îïðåäåëÿåìûå âðàùåíèåì Çåìëè è åå êðèâèçíîé: • sin (cos cos cos sin sin ); • V F m gg F x r y =+ − + = ê ãö ãö θφθ φ θ θ Ω Ψ ê ãö ãö m g V g V V r r −− − + ++ cos ( cos cos sin sin cos ) cos θφθ φθθ Ω Ψ − =− + + + 2ΩΨ Ψ Ω cos sin ; • cos cos sin cos φ θ φψ θ ãö ãö ê t F mV g V V r z gt g ãö ãö ãö φθφθ φ sin cos (cos cos sin ). ΨΩΨ +− 2 (3.67) Ê íàïèñàííûì òðåì óðàâíåíèÿì ñëåäóåò äîáàâèòü óðàâíåíèÿ (3.59) è î÷åâèäíûå óðàâíåíèÿ rxyz ggg =+ + 222 ;m=mm t 0−| • |. 3.2 . ÓÏÐÎÙÅÍÍÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÏÐÎÄÎËÜÍÎÃÎ È ÁÎÊÎÂÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈÉ ËÀ ÍÀ ÀÊÒÈÂÍÎÌ Ó×ÀÑÒÊÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ 3.2.1 . ÐÀÇÄÅËÅÍÈÅ ÄÂÈÆÅÍÈß ÍÀ ÏÐÎÄÎËÜÍÎÅ È ÁÎÊÎÂÎÅ Ïðè ðàçäåëåíèè ñëîæíîãî äâèæåíèÿ ðàêåò íà ïðîäîëüíîå è áî- êîâîå ïðèíèìàþò, ÷òî â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðîäîëüíîå äâèæåíèå íå çàâèñèò îò áîêîâîãî.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì â óðàâíåíèÿõ äëÿ îï- ðåäåëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ïðîäîëüíîãî äâèæåíèÿ ó÷èòûâàþò òîëüêî òå ñèëû è ìîìåíòû, êîòîðûå äåéñòâóþò â ïëîñêîñòè ñòðåëüáû. Ïðè îïðåäåëåíèè æå õàðàêòåðèñòèê áîêîâîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû ñ÷èòàòü åãî íåçàâèñèìûì îò ïðîäîëüíîãî íåëüçÿ, ïîýòîìó â óðàâíåíèÿ âêëþ÷àþòñÿ âñå ñèëû è ìîìåíòû, êîòîðûå â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ìîãóò âûçûâàòü îòêëîíåíèå ðàêåòû îò ïëîñêîñòè ñòðåëüáû. Íà îñíî- âàíèè ââåäåííûõ ðàíåå ïðåäïîëîæåíèé, êàñàþùèõñÿ âîçìîæíîñòè ïðåíåáðåæåíèÿ ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì, èñ- 128
ïîëüçóÿ èñõîäíóþ ìîäåëü, ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïðî- äîëüíîå (ïëîñêîå) äâèæåíèå óïðàâëÿåìîé ðàêåòû: • [( )cos ( ) sin sin ]; • [( V m PX PY XQ mV P xy x =− − +− − = 1 1 pp ê ααθ θ−+ + + − =+ = XP YY Q IM M y zz z z z pp ê ð )sin ( )cos sin ]; • ;• ; αα θ ωθ ω sin sin cos cos sin sin( ); cos ; sin ; θθ αθ αθ α θθ =+= + == xV yV gg rxy m mm d t gg t =+ = − ∫ 22 0 0 ;| • |. (3.68) Òðèãîíîìåòðè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå â ñèñòåìå (3.68), ñâÿçûâàþ- ùåå óãëû θ, θ è α, â ðÿäå ñëó÷àåâ óäîáíåå çàìåíèòü ðàâåíñòâîì θθα =+. (3.69) Åñëè â ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèÿõ óïðàâëÿþùèå ñèëû íåèçâåñòíû, òî ê ñèñòåìå ñëåäóåò äîáàâèòü óðàâíåíèÿ óïðàâëåíèÿ. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò çàìêíóòîé è ìîæåò áûòü ðåøåíà. Íàïèøåì òåïåðü ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ õàðàêòåðè- ñòèê áîêîâîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîëåò áåç êðåíà (γ=0): • cos [( )cos sin ( )sin ( Ψ=− − − ++ + ++ 1 mV PX PY PZ xa ya z θ γβ γ pp p )cos ]; • ;• cos ; sin sin cos cos β ω θ ω ψβ + =+ = = Z IM M yy y y y ê p Ψ Ψ 1 γβ θ γ θ β γβ θ aa ag z ++ == − cos (sin cos sin sin cos ); sin ;• Ψ tg tg Vcossin . θΨ (3.70) Óðàâíåíèÿ (3.70), îïèñûâàþùèå òîëüêî áîêîâîå äâèæåíèå, íå ìîãóò ðåøàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, áåç ó÷åòà îñíîâíûõ âåëè÷èí, îïðå- äåëÿåìûõ ïðîäîëüíûì äâèæåíèåì. Íàïðèìåð, ïåðâîå óðàâíåíèå ÿâ- ëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðè îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ áîêîâîãî äâèæåíèÿ, íî îíî ðåøàåòñÿ, åñëè òîëüêî èçâåñòíû m(t), V(t)èθ(t). Àýðîäèíà- ìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû, äåéñòâóþùèå â áîêîâîì íàïðàâëåíèè, 129
òàêæå íå ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû, åñëè íåèçâåñòíû ñêîðîñòü è âûñî- òà ïîëåòà. Ñèñòåìà (3.70) ïîëó÷èëàñü ñëîæíîé; êðîìå òîãî, ïðè áîëüøèõ θ íåîáõîäèìî ïðîâåðÿòü ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè ôîðìóëû, îïðåäå- ëÿþùåé γa. Ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ñèñòåìó ìîæíî, åñëè âîñïîëüçî- âàòüñÿ èñêóññòâåííûì ïðèåìîì è ïðèíÿòü θ = θ = 0 â óðàâíåíèÿõ, îïðåäåëÿþùèõ óãëîâûå ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ ðàêåòû. Òàêîå äîïó- ùåíèå ðàâíîñèëüíî ïðåäïîëîæåíèþ, ÷òî ðàêåòà ëåòèò â ãîðèçîí- òàëüíîì ïîëîæåíèè, åå ïðîäîëüíàÿ îñü ñîñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì ñêî- ðîñòè öåíòðà ìàññ óãîë β, à óãîë γa =0 . ×òîáû ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, áëèçêèå ê äåéñòâèòåëüíûì, â óðàâ- íåíèÿõ óñëîâíîé ãîðèçîíòàëüíîé òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû ñêîðîñòü ðàêåòû äîëæíà áûòü ïðèíÿòà ðàâíîé V cosθ. Ýòà âå- ëè÷èíà íàõîäèòñÿ ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðîäîëüíîå äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû (ñíàðÿäà). Ïðè ïðèíÿòûõ äîïóùåíèÿõ èç (3.70) ñëåäóåò Ψ=− − − ++ + =+ 1 mV PX PZ Z IM M xz yy y cos [( )si n( )cos ]; • θ ββ ω pp ê py y g zV ;• ; sin sin cos cos sin sin( ); • cos ψω ψβββ = =+= + =− ΨΨΨ θsin . Ψ (3.71) Ïðåäïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàìåíèòü ñóììîé óãëîâ ψΨβ =+ . (3.72) Åñëè â ïåðâîì óðàâíåíèè íåèçâåñòíû óïðàâëÿþùèå ñèëû, òî ê ñèñòåìå (3.71) ñëåäóåò äîáàâèòü óðàâíåíèÿ óïðàâëåíèÿ. Óïðàâëåíèå ïîëåòîì ðàêåò, êàê ïðàâèëî, îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî òðåì ðàçäåëüíûì êàíàëàì: ïî òàíãàæó, ðûñêàíèþ è êðåíó. Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî êàæäûé êàíàë óïðàâëåíèÿ ðåøàåò ñàìîñòîÿòåëüíûå çàäà÷è, èõ ðàáîòà îêàçûâàåòñÿ âçàèìîçàâèñèìîé, ÷òî ïðîÿâëÿåòñÿ ÷åðåç äè- íàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàêåòû, äèíàìè÷åñêèå è êèíåìàòè÷å- ñêèå õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ è ïåðåêðåñòíûå ñâÿçè. Ïîýòîìó ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïî îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ óïðàâëÿå- ìûõ ðàêåò ðàçäåëåíèå äâèæåíèÿ âîçìîæíî òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê óñòàíîâëåíà åãî ïðàâîìåðíîñòü íà îñíîâàíèè ïðåäâàðèòåëüíîãî àíàëèçà êîíêðåòíûõ õàðàêòåðèñòèê ðàêåòû, åå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ è óñëîâèé äâèæåíèÿ. 130
3.2.2. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÐÎÄÎËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÎÉ ÐÀÊÅÒÛ Â ÖÅÍÒÐÀËÜÍÎÌ ÃÐÀÂÈÒÀÖÈÎÍÍÎÌ ÏÎËÅ Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíå- íèé, îïèñûâàþùóþ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ óïðàâëÿåìîé áàë- ëèñòè÷åñêîé ðàêåòû íà àêòèâ- íîì ó÷àñòêå ïëîñêîé òðàåêòî- ðèè ïðèìåíèòåëüíî ê ñôåðè÷å- ñêîé ìîäåëè Çåìëè. Âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè ó÷òåì ÷àñòè÷- íî, òîëüêî ÷åðåç óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, ïîëàãàÿ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, ÷òî îíî íàïðàâëåíî â öåíòð Çåìëè è èçìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ çàâèñèìîñòüþ g = g0(RÇ/r)2, àíàëîãè÷íîé çàâèñèìîñòè äëÿ gò, ïîëó÷åííîé ðàíåå äëÿ öåí- òðàëüíîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Óïðàâëÿþùèå ñèëû Õð è Yð îòäåëüíî ó÷èòûâàòü íå áó- äåì, à âêëþ÷èì èõ â ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå ëîáîâîå ñîïðî- òèâëåíèå è ïîäúåìíóþ ñèëó. Âåêòîð òÿãè íàïðàâèì ïî ïðî- äîëüíîé îñè ðàêåòû. Ñèñòåìó óðàâíåíèé ñîñòàâèì â ïðîåê- öèÿõ íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé ñòàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OXY (OXcY c) (ñì. ðèñ. 3 .3). Ïðîåê- öèþ âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñü OX îáîçíà÷èì ÷åðåç u, à ïðîåêöèþ íà îñü OY – ÷åðåç w. Ïðîåêöèè ñèëû òÿæåñòè íà òå æå îñè îáî- çíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç gx è gy : gx = g sinγ; gy = g cosγ.Çà- ïèñàâ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà âûáðàííûå îñè êîîð- äèíàò è äîáàâèâ îáû÷íûå êèíåìàòè÷åñêèå è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, î÷åâèäíûå èç ðèñ. 3 .3, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíå- íèé du dt PX Y m g dw dt P aa = +− − − = + cos( ) cos sin sin ; sin( ) θα θ θ γ θα−+ − XY m g aa sin cos cos ; θθ γ 131 Ðèñ. 3.3 . Ñõåìà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà áàëëèñòè÷åñêóþ ðàêåòó äàëüíåãî äåéñò- âèÿ ïðè ðàññìîòðåíèè åå îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
dx dt u dy dt w w u x Ry Vuw r Ryx === = + =+ =++ ;;; ; ;() tg tg Ç Ç θγ 22 22 0 2 ; (/). ggR r = Ç (3.73) Åñëè ê íàïèñàííûì óðàâíåíèÿì äîáàâèòü óðàâíåíèå, çàäàþ- ùåå ïðîãðàììíûé óãîë òàíãàæà (α + θ)=θ = θ ïð, çàâèñèìîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîäúåìíîé ñèëû è óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå èç- ìåíåíèå ìàññû ðàêåòû m(t), òî ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðè- ðîâàíà ÷èñëåííî. 3.2.3 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÐÎÄÎËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒÛ Â ÏËÎÑÊÎÏÀÐÀËËÅËÜÍÎÌ ÃÐÀÂÈÒÀÖÈÎÍÍÎÌ ÏÎËÅ Ïðè ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé äëÿ ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ äàëüíîñòåé âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî íå ó÷èòûâàòü êðèâèçíó Çåìëè, à åå âðàùå- íèå ó÷èòûâàòü ïðèáëèæåííî ÷åðåç óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, ïðåäïîëàãàÿ åãî ïîñòîÿííûì ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ, ò.å. ñ÷è- òàÿ ãðàâèòàöèîííîå ïîëå Çåìëè ïëîñêîïàðàëëåëüíûì.  ýòîì ñëó÷àå â ñèñòåìå (3.73) ñëåäóåò ïîëîæèòü γ = 0, òîãäà äëÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé du dt PX Y m dw dt PX Y m g aa aa = −− = −+ − () c o ss i n ; () s i ns i n ; θθ θθ du dt w dx dt uV uw w u == = + = ;; ; . 22 θ arctg (3.74)  êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåé ìîæåò áûòü âûáðàíà ôóíêöèÿ, ñâÿçàí- íàÿ ñ ïîäúåìíîé ñèëîé Ya è ââîäÿùàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå îãðàíè÷å- íèÿ íà óãîë àòàêè α. Ïðè îòñóòñòâèè óïðàâëåíèÿ èëè âûêëþ÷åíèè åãî ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì ïîëåò ðàêåòû ñòàíîâèòñÿ íåóïðàâëÿåìûì.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ, ìîæíî ïîëó÷èòü èç ñèñòåìû (2.63), îïóñòèâ ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå âëèÿíèå óïðàâëåíèÿ. Ó áîëüøèíñòâà íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò âåêòîð òÿãè ñîâ- ïàäàåò ñ îñüþ ðàêåòû, ò.å . ξ = 0. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ïðè ìàëûõ óãëàõ àòàêè cosα≈1, sinα≈0, Ya ≈ 0, è äîáàâèòü îáû÷íûå êèíåìàòè÷åñêèå 132
ñîîòíîøåíèÿ, òî ïîëó÷èì ñèñ- òåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ íåóïðàâ- ëÿåìîé ðàêåòû: dV dt PX m g d dt g V dy dt V dx dt V a = − − =− = = sin ; cos ; sin ; cos θ θθ θ θ. (3.75) Ïðè ïðèíÿòûõ äîïóùåíèÿõ âåêòîðû òÿãè è ëîáîâîãî ñîïðî- òèâëåíèÿ, äåéñòâóþùèå íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ìàññîé m, ñîâïà- äàþùóþ ñ öåíòðîì ìàññ íåóïðàâëÿåìîé ðàêåòû, è âåêòîð ñêîðî- ñòè åå öåíòðà ìàññ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (ðèñ. 3 .4). Èñõîäÿ èç ðèñ. 3.4, íàïèøåì du dt PX m a = − cos .θ Óìíîæèâ è ðàçäåëèâ ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà m0V, ïîëó÷èì du dt = 1 μ (D − E )u. Îáû÷íî îáîçíà÷àþò tg θ = ð, è òîãäà dp dt d dt = 1 2 cos . θ θ Èñïîëüçóÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.75), ïîëó÷èì dp/dt = −g/u,à èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.75) ïîëó÷èì dy dt Vu p == sin cos cos . θ θ θ ×åòâåðòîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.75) îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ.  ðåçóëüòàòå áóäåì èìåòü ñèñòåìó óðàâíåíèé â ôîðìå, óäîáíîé äëÿ ïðîâåäåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ àêòèâíûõ ó÷àñòêîâ òðàåêòîðèé íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò: du dt DEu dp dt g u dy dt up dx dt u =− = − = = 1 μ () ; ; ;.(3.76) Èñõîäÿ èç ðèñ. 3.4 èëè ïîëàãàÿ â ñèñòåìå (3.74) Ya = 0, ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü 133 Ðèñ. 3.4 . Ñõåìà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, ñîâïàäàþùóþ ñ öåíòðîì ìàññ íåóïðàâëÿåìîé ðàêåòû
du dt PX m dw dt PX m g a a = − = − − () c o s , () s i n . θ θ Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïðèäåì ê ñèñòåìå du dt DEu dw dt PX m g dy dt w dx dt uV u a =− = − − == = 1 μ θ () ; () s i n ; ;; 22 +w. (3.77) 3.2.4. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÁÎÊÎÂÎÃÎ È ÏÐÎÄÎËÜÍÎÃÎ ÑÒÀÁÈËÈÇÈÐÓÅÌÛÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ Â ÍÎÐÌÀËÜÍÎÉ ÔÎÐÌÅ Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïðîäîëüíîãî óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ â íîðìàëüíîé çåìíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìåþò âèä (ðèñ. 3 .5) myP Y X Y mg mx P ga a j j m g •• sin cos sin cos ; •• c =+− + − = = ∑ θθθ θ p 1 os sin cos sin ; • • . θθθ θ θ −− + =+ = ∑ YXY IMM aa j j m zzz p p 1 (3.78) 134 Ðèñ. 3 .5. Ñõåìà äåéñòâèÿ ñèë è óãëû, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ËÀ â ïðîäîëüíîì ïëîñêîì äâèæåíèè
Ïîìèìî ââåäåííûõ îáîçíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÃÎÑÒó 20058–80, èñïîëüçóåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ óïðàâëÿþùèõ ñèë: YY j m = = ∑ δδ. 1 Ðàññìîòðèì ñòàáèëèçèðîâàííûé ãîðèçîíòàëüíûé ïîëåò ñ ìàëû- ìè çíà÷åíèÿìè óãëîâ θ, θ è α, ïîëîæèâ sin ; sin ; sin ; cos cos cos . θθθθαα θθα =≈≈ ≈≈= 1 Ñóììó ìîìåíòîâ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ âðàùàòåëüíîãî äâè- æåíèÿ ïðåäñòàâèì â çàâèñèìîñòè îò α, δ è óãëîâûõ ñêîðîñòåé • θè• . α Ñòàâÿ â äàëüíåéøåì öåëüþ ðåøåíèÿ òîëüêî çàäà÷è ñòàáèëèçàöèè âûñîòû ïðè ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè ïîëåòà, îïóñòèì âòîðîå óðàâíåíèå (3.78), îñóùåñòâèâ ïðåîáðàçîâàíèå ïåðâîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé ýòîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì d dt dy dt y d dt m I m I m I m z z z z z z z z θ θ θ αθα α ω αδ == =+ ++ • ; • ; • • • • δ θαδθ αδ I dy dt P m Y m Y m X m g z a ; • . =+ +−− (3.79) Ïðè ïðîâåäåíèè ïîñëåäóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèÿ ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ αθθαθθ θ =− =− ≈ ;• •• ;• . yV Ñ èõ ó÷åòîì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.78) ïðåîáðàçóåì ê âèäó dy dt P m P m Y m Y m X m g PY m PX mV y Y a a • • =+++−− = = + + − + αθαδθ α αδ αδ m g δ− . (3.80) Äàëåå ïðåäñòàâèì d dt PY mV PX mV y Y mV g V z a α θθω α δ αδ =−= − + − − −+ •• • . 2 (3.81) 135
Ìàëûì ñëàãàåìûì (P − Xà)/(mV 2 ) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîýòîìó îêîí÷àòåëüíî d dt PY mV g V Y mV z α ωα +δ αδ =− + − . (3.82) Âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.79) ïðåîáðàçóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: d dt d dt mm I m I mPY ImV zzz z z z z z z z • () •• θω ω ω αα α α == + +− + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥+ +− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟+ α δ αα δ α m I mY ImV m IV g z z z z z z •• . (3.83) Çàïèøåì ñèñòåìó dydty dy dt PY m PX mV y Y m g d dt mm a zz z /•; • • ; = = + + − +− = + αδ ω α δ ω z z z z z z z z z z I m I mPY ImV m I m • () αα α α δ ωα ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ +− + ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥+ +− • ;. αδ α αδ δ α ωαδ Y ImV m IV g d dt PY mV g V Y mV z z z z ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ += − + +− (3.84) Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: yxyx x x xxu z === = = === 123 4 5 6 ;• ;; • ; ;• ;. θθ ω ααδ Òîãäà, îñóùåñòâèâ çàìåíó, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé â íîðìàëüíîé ôîðìå, ñîîòâåòñòâóþùåé âåêòîðíîìó óðàâíåíèþ òèïà ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2.71): dxdtx dxdtmPY VPXxYumgdx a 12 2 11 2 /; /[ ()() ; = =+ +−+ + −− αδ α 34 4 1 4 1 /; /[] [ ( ) ( •• dtx dxdtImmxm mV mP zzz z z z = =+ + − −− α ω αα { } ++ +− + ==− −− Yx mm Vm Y u Vm g dxdtxx zzz α δαα )] [() ] ; / •• 5 11 5 6 4() ( )() . mV PYxmVYuVg −− − −− + 1 5 11 αδ (3.85) 136
Ïåðåõîäÿ ê ðàññìîòðåíèþ áîêîâîãî äâèæåíèÿ â ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè óãëîâ ψ, β è Ψ (ðèñ. 3.6), çàïèøåì sinψ≈ψ; sinβ≈ ≈β; sinΨ≈Ψ. Êîñèíóñû ýòèõ óãëîâ ïðèìåì ðàâíûìè åäèíèöå, òîãäà • sin , zV V =− =− ΨΨ (3.86) îòêóäà Ψ=− • /. zV (3.87) Óðàâíåíèÿ ñòàáèëèçèðóåìîãî áîêîâîãî äâèæåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå dz dt P m Z m X m Z m a • ; =− + + + ψβ δ βδ Ψ (3.88) I d dt mm mm yy y y y y 2 2 ψ ψβδ β ω βδ =+ ++ • • . • (3.89) Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå óãëîâ ψ = β + Ψ, íàéäåì dz dt PZ m XZ mV z Z m a • • ; =− − − − + ψδ βδ (3.90) d dt mm I m I mPZ ImV yy y y y y y y • • () • ψ ψ ω ββ ββ = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥++ ψ ββ βδβ m IV mXZ ImV z m I mZ y y ya y y y y () • • 2 δ δ ImV y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ . (3.91) Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (3.91) çíà÷åíèå •z èç (3.86): 137 Ðèñ. 3.6 . Ñõåìà äåéñòâèÿ ñèë è óãëû, îïðåäåëÿþùèå ïîëî- æåíèå ËÀ â áîêîâîì ïëîñêîì äâèæåíèè
d dt d dt mm I m I mPZ yyy y y y y y • • ( •• ψω ψ ω ββ ββ == + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ++ −+) () ( • ImV m IV mXZ ImV y y y ya y ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ − ψ ββ β 2 V m I mZ ImV mm I y y y y yy y y Ψ) • • ++ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ββ δ ω β δ= = • () •• ψβ ββ β δβ δ ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ++ m I mPZ ImV m I mZ ImV y y y y y y y y ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟δ, (3.92) à â âûðàæåíèè (3.90) çàìåíèì ψ ñóììîé óãëîâ β + Ψ: dz dt PZ m PZ m XZ mV z Z m PZ m PX m a a • • =− − − − − − += = −+ + − βββ δ β βδ β Ψ V z Z m • . + δ δ (3.93) Ó÷èòûâàÿ äàëåå, ÷òî • • • , βψ =− Ψ (3.94) ïîëó÷èì d dt V dz dt V PZ m PX mV z Z m yy a βωωβ δ βδ =+ =+ −+ + − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= = 11 • • ωβ δ βδ z a PZ mV PX mV z Z mV + −+ + − + 2 • . (3.95) Ïðåíåáðåãàÿ ñëàãàåìûì •z (P − Xa)/(mV 2 ), çàïèøåì îêîí÷àòåëüíî d dt PZ mV Z mV y βωβ δ ββ =+ −+ + . (3.96) Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò èìåòü âèä dz dt z dz dt PX mV z PZ m Z m d dt mm a yyy y == − − − + = + • ; • • ; • βδ ω β βδ ω I m I mPZ ImV m I y y y y y y y y ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ + + ωβ ββ β δ • () + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ −+ + mZ ImV d dt PZ mV Z mV y y y βδ βδ δ βωβ δ ;. (3.97) 138
Îáîçíà÷èâ z = x1; • ; zx = 2ψ=x3;• ; ψ=x4 β=x5; • ; β=x6 δ = u, çàïè- øåì dxdtx dx dt PX mV x PZ m x Z m u dxdtx dx a 12 2 25 34 /; ; /; = = − − − + = βδ 4 4 dt mm I x m I mPZ ImV yy y y y y y y = + ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ++ −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ω ββ ββ • () ⎦ ⎥++ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ==+ −+ + x m I mZ ImV u dx dt xx PZ mV Z y y y y 5 5 6 4 δβ δ β β ; δ mV u. (3.98) 3.2.5. ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÏÐÈ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÛÕ ÁÅÇÐÀÇÌÅÐÍÛÕ ÀÐÃÓÌÅÍÒÀÕ Ñòðåìëåíèå óïðîñòèòü ðåøåíèå çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè è ñäåëàòü âîçìîæíûì ïðèìåíåíèå ðàçëè÷íîãî ðîäà ðàñ÷åòíûõ òàáëèö, ñîêðàùàþùèõ âðåìÿ ðåøåíèÿ, ïðèâåëî ê ðàçðàáîòêå ñèñòåì óðàâíå- íèé, ó êîòîðûõ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïðèíèìàþòñÿ îòíîñèòåëüíûå áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû. Ïðèâåäåì ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò äâèæåíèå öåí- òðà ìàññ íåóïðàâëÿåìûõ ðàêåò è â êîòîðîé èñïîëüçóåòñÿ íåçàâèñè- ìàÿ ïåðåìåííàÿ λ= ∫Qdt Q t ñåê 0 0 . (3.99) Âîçüìåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.75) è çàìåíèì â íåì Ð è Õà èõ âûðàæåíèÿìè. Ó÷èòûâàÿ òàêæå (3.99), ïîëó÷èì dt Q Q d = 0 ñåê λ. (3.100) Ïîñëå ïîäñòàíîâêè áóäåì èìåòü Q Q dV d QW Q cHyFV g e ñåê ñåê 0 λ θ =− − ()() sin. (3.101) 139
Òåêóùåå çíà÷åíèå Q = Q0 − Qdt t ñåê . 0 ∫ Îòíîñèòåëüíàÿ ìàññà Q Q Qdt Q m m t 0 0 00 11 =− =−= = ∫ ñåê λμ . (3.102) Áàëëèñòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò ðàêåòû ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îò- íîñèòåëüíóþ ìàññó: c id Q id Q cc =⋅= ⋅ − = − = 2 3 23 0 00 10 10 11 () , λλ μ (3.103) ãäå c id Q 0 2 0 3 10 =⋅ . Ðàçäåëèâ â (3.101) ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè íà Qñåê/Q0 è ïîäñòàâèâ â ïîñëåäíèå òðè óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.75) âûðàæåíèå äëÿ ∆t ïî ôîð- ìóëå (3.100), ïîëó÷èì dV d Wc H y F V g Q Q d d Q e λλλ θ θ λ = − − − + ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =− 11 00 ()() sin ; ñåê 0 00 Q g V dx d Q Q V dy d Q Q V ñåê ñåê ñåê cos ; cos ; sin . θ λ θ λ θ == (3.104) Ñèñòåìà ïðèìåíÿåòñÿ ïðè áàëëèñòè÷åñêîì ïðîåêòèðîâàíèè. Ïðîèíòåãðèðîâàâ åå, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ôîðìóëå Ê.Ý. Öèîëêîâñêîãî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ðàêåòû áåç ó÷åòà ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà è ñèëû òÿæåñòè. Âòîðîé ÷ëåí áóäåò ó÷èòûâàòü âëèÿíèå ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, òðåòèé – âëèÿíèå ñèëû òÿæåñòè. Äëÿ óïðàâëÿåìûõ ðàêåò ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ áåðóò â íå- ñêîëüêî èíîì âèäå. Ïðè ïîñòîÿííîì ñåêóíäíîì ðàñõîäå | •| m = const èç (3.24) ïîëó÷èì mm mt =− 0 | •|.Ïðè ýòîì îòíîñèòåëüíàÿ ìàññà ðàêå- 140
òûμ==− m m m m t 0 1 |•| ÷àñòî âûáèðàåòñÿ â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé ïåðå- ìåííîé. Îáîçíà÷èì τô = mm 0 /| •|, è òîãäà t = τô(1 −μ). Âåëè÷èíà τô èìååò ðàçìåðíîñòü âðåìåíè (ñ) è íàçûâàåòñÿ ôèêòèâíûì âðåìåíåì. Îïðå- äåëÿÿ èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà dt = −τôdμ è ïðîâîäÿ çàìåíó â ñèñòåìå òèïà (3.75), ïîëó÷èì dV d PX m g dy d V dx d V a μμ ττθ μ τθ μ τ =− − + =− =− 0 ôô ôô sin ; sin ; cos θ. (3.105) Î÷åâèäíî, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âòîðîå óðàâíåíèå ñèñ- òåìû (3.75) äîëæíî áûòü îïóùåíî è çàìåíåíî ïðîãðàììíûì óãëîì òàíãàæà, ïðåäñòàâëÿåìûì â ôîðìå θ = θ ïð(μ). 3.2.6 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß Â ÏÅÐÅÃÐÓÇÊÀÕ Ïðè âûïîëíåíèè çàäàííîé ïðîãðàììû ïîëåòà èëè ïðè íàâåäå- íèè ðàêåòû (ò.å . âî âðåìÿ ìàíåâðà) èçìåíÿþòñÿ âåëè÷èíà è íàïðàâ- ëåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ðàêåòû.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïîä ìàíåâðåííîñòüþ ðàêåò ïîíèìàþò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ ñêî- ðîñòè ïîëåòà ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ. Îöåíèâàþò ìàíåâðåí- íîñòü âñåõ òèïîâ ËÀ, ðàêåò è ñíàðÿäîâ ñ ïîìîùüþ ïåðåãðóçîê. Ïå- ðåãðóçêà, òàê æå êàê è ñêîðîñòü, âåëè÷èíà âåêòîðíàÿ. Ïîä ïåðåãðóç- êîé ïîíèìàþò îòíîøåíèå ðåçóëüòèðóþùèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ËÀ (çà èñêëþ÷åíèåì ãðàâèòàöèîííûõ è èíåðöèîííûõ), ê ïðîèçâåäåíèþ ìàññû ËÀ íà óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ: n RRP == + mg mg A . (3.106) Ìîäóëü âåêòîðà ïåðåãðóçêè n ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé áåçðàçìåðíîé, ÷òî äåëàåò åå óäîáíîé äëÿ ñðàâíèòåëüíûõ îöåíîê. Ïåðåãðóçêè îïðå- äåëÿþòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèìè ðåñóðñàìè ðàêåòû, âîçìîæíîñòÿìè åå àýðîäèíàìè÷åñêîé ñõåìû, ýôôåêòèâíîñòüþ îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ è ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ â öåëîì. Ñóììàðíûé âåêòîð ïåðåãðóçêè ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ åãî ñîñòàâëÿþùèìè ïî îñÿì ïðèíÿòîé ñèñòåìû êîîð- äèíàò.  ñâÿçíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò 141
n R mg n R mg n R mg x x y y z z === ;; (3.107) – ñîîòâåòñòâåííî ïðîäîëüíàÿ, íîðìàëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ ïåðåãðóçêè.  ñêîðîñòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò n R mg n R mg n R mg x x y y z z a a a a a a === ;; (3.108) – ñîîòâåòñòâåííî òàíãåíöèàëüíàÿ, íîðìàëüíàÿ ñêîðîñòíàÿ è áîêîâàÿ ïåðåãðóçêè. Òàíãåíöèàëüíàÿ ïåðåãðóçêà õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè ïî âåëè÷èíå, à ïåðåãðóçêè, âçÿòûå ïî íîðìàëè ê âåêòîðó ñêîðî- ñòè, – èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ËÀ, ò.å . ìàíåâð ïî- ñëåäíåãî. Ïðè àíàëèçå óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùèõ ìàíåâðåííîñòü ËÀ, ðàññìàòðèâàþòñÿ îáû÷íî òîëüêî ïåðåãðóçêè nz a è nya . Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó âèäîì ñî- âåðøàåìîãî ðàêåòîé ìàíåâðà è ïåðåãðóçêàìè, íåîáõîäèìûìè äëÿ åãî îñóùåñòâëåíèÿ. Ïðè ïðîåêòè- ðîâàíèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ èñ- õîäíûì ÿâëÿåòñÿ ïðîâåäåíèå ïîä- ðîáíîãî àíàëèçà ñ öåëüþ óñòàíî- âèòü ïîòðåáíûå âèäû òðàåêòîðèé (ò.å . ìàíåâðîâ), êîòîðûå ïîçâîëÿ- þò ïðîåêòèðóåìîé ðàêåòå âûïîë- íèòü ïîñòàâëåííûå òàêòèêî-òåõ- íè÷åñêèå òðåáîâàíèÿ. Íà ðèñ. 3.7 ïîêàçàíà òðàåê- òîðèÿ ñáëèæåíèÿ ðàêåòû ñ ìà- íåâðèðóþùåé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè öåëüþ, ïîñòðîåííàÿ äëÿ ïðèíÿòîãî ìåòîäà íàâåäåíèÿ ïî çàäàííûì òðàåêòîðèè öåëè è ñêîðîñòè ðàêåòû. Ïîäîáíàÿ òðà- åêòîðèÿ, ïîñòðîåííàÿ áåç ðàñ- êðûòèÿ ñèñòåìû ñèë, îáóñëîâèâ- øèõ åå ôîðìó, ïîçâîëÿåò óñòà- íîâèòü õàðàêòåðèñòèêó, êîòîðàÿ äàåò âîçìîæíîñòü ïåðåéòè ê îï- ðåäåëåíèþ äåéñòâóþùèõ íà ðà- êåòó ñèë. Òàêîé êèíåìàòè÷åñêîé 142 Ðèñ. 3 .7 . Èçìåíåíèå ðàäèóñà êðèâèçíû òðàåêòîðèè ïðè ñáëèæåíèè ïî êðèâîé ïîãîíè óïðàâëÿåìîé ðàêåòû ñ öåëüþ
õàðàêòåðèñòèêîé ìàíåâðà ðàêåòû ÿâëÿåòñÿ ðàäèóñ êðèâèçíû òðà- åêòîðèè r. Èç ðèñ. 3 .7 âèäíî, ÷òî ïðåäñòàâëåííàÿ íà íåì òðàåêòîðèÿ ñáëè- æåíèÿ ðàêåòû ñ öåëüþ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòåïåííûì óâåëè÷åíèåì êðèâèçíû èëè, ÷òî àíàëîãè÷íî, óìåíüøåíèåì ðàäèóñà êðèâèçíû îò âåëè÷èíû r0 â íà÷àëüíîé òî÷êå òðàåêòîðèè äî âåëè÷èíû râ â òî÷êå âñòðå÷è ðàêåòû ñ öåëüþ. Ïðèìåíèòåëüíî ê òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êî- îðäèíàò ìîæíî íàïèñàòü ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ êðè- âèçíû: r dS d V d dt yê ê == ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − θ θ 1 ; (3.109) r dS d V d dt zê ê =− = − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − Ψ Ψ 1 . (3.110) Ïðè ýòîì áûëî ïðèíÿòî, ÷òî r > 0 â ñëó÷àå, êîãäà èçîáðàæàþùèé åãî îòðåçîê, íàïðàâëåííûé îò òî÷êè òðàåêòîðèè ê öåíòðó êðèâèçíû, ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò. Âõîäÿùèå â âûðàæåíèÿ (3.109) è (3.110) óãëîâûå ñêîðîñòè dθ/dt è d Ψ/dt ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðåãðóçêè íà îñíî- âàíèè ñèñòåìû äèôôåðåíöè- àëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñû- âàþùèõ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ðàêåòû. Ïóñòü ïëîñêîñòü óãëà àòà- êè α âåðòèêàëüíà, à ïëîñ- êîñòü óãëà ñêîëüæåíèÿ β åé ïåðïåíäèêóëÿðíà, òîãäà ñ ó÷åòîì ðèñ. 3 .8 ìîæíî íàïè- ñàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ïðî- äîëüíîãî è áîêîâîãî äâèæå- íèé öåíòðà ìàññ óïðàâëÿå- ìîé ðàêåòû â òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðè ýòîì óïðàâëÿþùèå ñèëû îáúåäèíèì ñ àýðîäèíàìè÷å- ñêèìè ñèëàìè Xa, Y ê, Zê;ëå- âûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíå- íèé ïîäåëèì íà âåñ ðàêåòû Q = mg.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì 143 Ðèñ. 3.8. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñèñòåì êî- îðäèíàò, ïðèìåíÿåìûõ ïðè âûâîäå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ïåðåãðóçêàõ
1 g dV dt PX mg a = − − cos cos sin ; αβ θ (3.111) V g d dt PY mg V g d dt PZ mg θα θ θ αβ = + −− −= −+ sin cos cos cos sin ê ê Ψ . (3.112) Èç íàïèñàííûõ óðàâíåíèé, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, âûäåëèì è óïðîñòèì âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðåãðóçîê, ñäåëàâ âñëåäñòâèå ìàëîñòè óã- ëîâ çàìåíó sin ; sin ; cos cos . ααββαβ ≈≈≈ ≈ 1 Òîãäà ïðîåêöèè âåêòîðà ïåðåãðóçêè â òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò áóäóò èìåòü âèä n PX mg PX mg x aa ê = − ≈ − cos cos ; αβ n PY mg PY mg yê êê = + ≈ + sin ; αα n PZ mg PZ mg zê êê = −+ ≈ −+ cos sin . αβ β (3.13) Ââîäÿ ïðîåêöèè âåêòîðà ïåðåãðóçêè â ôîðìóëû (3.111), (3.112), çàïèøåì n g dV dt n V g d dt n V g d dt xy z êê ê =+ =+ =− 1 sin ; cos ; cos . θ θ θ θ Ψ (3.114) Îòñþäà d dt g V n d dt g V n yz θ θ θ =− = − (c o s ) ; cos . êê Ψ (3.115) Ïîäñòàâèâ ñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿ (3.115) â óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèóñîâ êðèâèçíû (3.109) è (3.110), ïîëó÷èì 144
n r V g y y ê ê =+ 12 cos ;θ (3.116) n r V g z z ê ê = 12 cos . θ (3.117) Ïàðàìåòðû òðàåêòîðèè V, θ è Ψ îïðåäåëÿþò çíà÷åíèå è íàïðàâ- ëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè, à èõ ïðîèçâîäíûå, âûðàæåííûå ÷åðåç ïåðå- ãðóçêè, õàðàêòåðèçóþò ñïîñîáíîñòü ËÀ èçìåíÿòü âåëè÷èíó è íà- ïðàâëåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ. Çàâèñèìîñòè (3.116) è (3.117) ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàêåòà ìîæåò âûïîëíèòü ìàíåâð, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû r, òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè áóäóò ñîçäàíû íåîáõîäèìûå ïåðåãðóç- êè nyê è nzê , ïðè÷åì ìàíåâð ñ ìåíüøèì ðàäèóñîì êðèâèçíû, ò.å. áîëåå ðåçêèé, ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñ- ëîâèÿõ çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ íîðìàëüíûõ ïåðåãðóçîê. Ïðè èññëå- äîâàíèè ïåðåãðóçîê îïðåäåëÿþò òàê íàçûâàåìûå òðåáóåìûå ïåðå- ãðóçêè, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðàåêòîðèé çàäàííîãî âèäà. Ñ ýòîé öåëüþ ïî ôîðìóëàì (3.109) è (3.110) îïðåäåëÿþò òðàåê- òîðèþ, èìåþùóþ íàèìåíüøèé ðàäèóñ êðèâèçíû. Åñëè äëÿ ýòîé òðàåêòîðèè íàéòè ôóíêöèè V(t), θ(t)èΨ(t), òî òðåáóåìûå ïåðå- ãðóçêè ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëàì (3.114). Ïåðåãðóçêè, êîòîðûå ìîæåò èìåòü ñáàëàíñèðîâàííûé ËÀ ïðè ìàêñèìàëüíîì îòêëîíåíèè îðãàíîâ óïðàâëåíèÿ, íàçûâàþò ðàñïîëà- ãàåìûìè. Ðàñïîëàãàåìûå ïåðåãðóçêè – ýòî íàèáîëüøèå ïåðåãðóçêè, êîòîðûå ðåàëüíî ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ðàêåòîé. Íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî óñòàíîâëåíèå ðàñïîëàãàåìûõ ïåðåãðóçîê äîëæíî ïðîâîäèòüñÿ ñ ó÷åòîì òùàòåëüíîãî àíàëèçà èõ âëèÿíèÿ íà ðàáîòó áîðòîâîé óïðàâ- ëÿþùåé àïïàðàòóðû, ïðî÷íîñòè êîðïóñà è àãðåãàòîâ ðàêåòû. Íàè- áîëüøèå çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ ðàñïîëàãàåìûõ ïåðåãðóçîê äîñòèãà- þòñÿ ñáàëàíñèðîâàííûìè ËÀ ïðè ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ óãëîâ àòàêè è ñêîëüæåíèÿ [ñì. (3.113)]. Ðàêåòà ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ïðîãðàììíîé òðàåêòîðèè èëè ïî òðà- åêòîðèè íàâåäåíèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè íåîáõîäèìûå äëÿ åå ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìûå ïåðåãðóçêè áóäóò ìåíüøå èëè (â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå) ðàâíû ðàñïîëàãàåìûì ïåðåãðóçêàì, êîòîðûå ìîãóò áûòü ñîç- äàíû ðàêåòîé: () ();() (). nnnn yyzz êê êê òð òð ≤≤ (3.118) Èíäåêñ "ò" ñîîòâåòñòâóåò òðåáóåìûì ïåðåãðóçêàì, èíäåêñ "ð" – ðàñïîëàãàåìûì. 145
Íî óñëîâèÿ (3.118) íåëüçÿ ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íûìè. Äâèæåíèå ðà- êåò â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ âñåãäà ñîïðîâîæäàåòñÿ ðàçíîãî ðîäà êðàò- êîâðåìåííûìè èëè äëèòåëüíûìè âîçìóùåíèÿìè, êîòîðûå îòêëîíÿ- þò ðàêåòó îò ðàñ÷åòíîé òðàåêòîðèè. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ðàêåòû åå ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ äîëæíà îáëàäàòü âîçìîæ- íîñòüþ ïàðèðîâàòü ýòè âîçìóùåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óñòàíîâëåíèè ñâÿçè ìåæäó òðåáóåìûìè è ðàñïîëàãàåìûìè ïåðåãðóçêàìè íóæíî îáÿçàòåëüíî ïðåäóñìàòðèâàòü çàïàñ ïåðåãðóçîê () nyê ç è() , nzê ç êîòîðûé íåîáõîäèì äëÿ îñóùåñòâëå- íèÿ çàäàííîãî ïîëåòà ðàêåòû ïðè äåéñòâèè íà íåå ñëó÷àéíûõ âîçìó- ùåíèé. Ñ ó÷åòîì ýòîãî óñëîâèÿ (3.118) ïðèìóò âèä () () ();() () (). nnnnnn yyyzzz êêê êêê òçð òçp +≤ +≤ (3.119) 3.3. ÌÎÄÅËÈ ÄÂÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ È ÍÅÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÐÀÊÅÒ ÍÀ ÏÀÑÑÈÂÍÎÌ Ó×ÀÑÒÊÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ 3.3.1 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÑÂÎÁÎÄÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ ÏÎÑÒÎßÍÍÎÉ ÌÀÑÑÛ Â ÏËÎÒÍÛÕ ÑËÎßÕ ÀÒÌÎÑÔÅÐÛ Ïðè ñâîáîäíîì ïîëåòå â ïëîòíûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû íà ËÀ ïî- ñòîÿííîé ìàññû äåéñòâóþò äâå ãðóïïû ñèë – àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ñèëû, îïðåäåëÿåìûå âëèÿíèåì Çåìëè. Ñèñòåìà óðàâíå- íèé, îïèñûâàþùàÿ ïðîñòðàíñòâåííûé ïîëåò íåóïðàâëÿåìîãî ËÀ, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç îáùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé (3.7)...(3.12), (3.15)...(3.24), åñëè â íèõ îïóñòèòü óïðàâëÿþùèå ñèëû è ìîìåí- òû è ïîëîæèòü m = const è P = 0. Ó õîðîøî ñòàáèëèçèðîâàííûõ ËÀ èçìåíåíèå óãëîâ α è β, âûçâàííîå êîëåáàíèÿìè ËÀ îòíîñè- òåëüíî öåíòðà ìàññ, ïðèâîäèò ê íåçíà÷èòåëüíûì îòêëîíåíèÿì öåíòðà ìàññ îò ðàñ÷åòíîé òðàåêòîðèè, ïîëó÷åííîé áåç ó÷åòà êî- ëåáàíèé. Çàìåòíîå âëèÿíèå íà ôîðìó òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ËÀ ïðè ñâî- áîäíîì ïîëåòå ìîãóò îêàçûâàòü âîçìóùàþùèå ôàêòîðû, íå ó÷òåí- íûå â óðàâíåíèÿõ (3.7)...(3.12) è (3.15)...(3.24). Ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ óïðàâëÿåìûé ïîëåò öåíòðà ìàññ áàëëèñòè÷åñêîé ðàêåòû (èëè åå ãîëîâíîé ÷àñòè) íà ïàññèâ- íîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, ëåãêî ïîëó÷èòü èç ñèñòåìû (3.73), åñëè ïðèíÿòü Ð =0è m = const: 146
du dt XY m g dw dt XY m g aa aa =− + − =− − − cos sin sin ; sin cos c θθ γ θθ os; ;; ; ;; ( γ θγ dy dt w dx dt uV uw w u x Ry rRy == = + = + =+ 22 tg tg= Ç Ç ); ;( ) . 22 0 2 + = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ +== x gg R r t Ç ïð αθθθ (3.120) Ðàñ÷åò ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ ðàêåòû íà ïàññèâíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè, â êîòîðîì ïðèíÿòî ðàçëè÷àòü âîñõîäÿùóþ è íèñõîäÿùóþ âåòâè, ïðîâîäèòñÿ ëèáî äî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè, ëèáî äî òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà çàäàííîé âûñîòå hâ íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Ïðè ðåøåíèè ïëîñêîé çàäà÷è â ñòàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè xc è yc äîëæíû ïðèíàäëåæàòü îêðóæíîñòè, îòâå÷àþùåé óðàâíåíèþ x 2 + ++= (). yRR ÇÇ 22 Ïîëó÷àåìûå â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3.120) êîîðäèíàòû õ è y ïîäñòàâëÿþòñÿ â íàïèñàííîå óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Äëÿ îêîí÷àíèÿ ñ÷åòà íà âûñîòå hâ êîîðäèíàòû xc è yc äîëæíû îòâå÷àòü óðàâíåíèþ îêðóæíîñòè xyR Rh 222 ++=+ ()( ) . ÇÇ â Îïðåäåëåíèå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñ ïîâåðõíîñòüþ îáú- åìíîé ìîäåëè Çåìëè â âèäå ýëëèïñîèäà òðåáóåò ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðàññìîòðåíèÿ ñ ó÷åòîì øèðîòû è äîëãîòû ìåñòà ïóñêà è ìåñòà ïðè- çåìëåíèÿ. ×òîáû íàïèñàòü óïðîùåííóþ ìîäåëü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ íåóïðàâëÿåìîãî ËÀ, äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíå- íèÿìè (3.7) è (3.8), à òàêæå óðàâíåíèåì (3.12).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì â ðàçâåðíóòîé ôîðìå ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùóþ ïðîäîëü- íîå äâèæåíèå íåóïðàâëÿåìîãî ËÀ ñ ó÷åòîì êîëåáàíèé åãî ïðîäîëü- íîé îñè îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ: dV dt c S m Vg d dt c S m V g V x y a a =− − =− ρ θ θρ α θ α 2 2 2 sin ; cos ; 147
d dt I m Sl VmS l V d dt d dt d z z zz z z ω ρ αρ θ θ ω α ω =− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 2 22 ; ; x dt V dy dt V yg == = − cos ; sin ; . θθ α θ θ (3.121) Äëÿ îïåðåííûõ íåâðàùàþùèõñÿ ñíàðÿäîâ è ìèí â óðàâíåíèÿõ (3.10)...(3.12) ìîæíî îïóñòèòü ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå ïðîèçâåäåíèå óã- ëîâûõ ñêîðîñòåé. Åñëè ìîìåíòû àýðîäèíàìè÷åñêèõ è âîçìóùàþùèõ ñèë èçâåñòíû, òî êàæäîå èç ýòèõ óðàâíåíèé ìîæåò ðåøàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî. 3.3.2. ÓÏÐÎÙÅÍÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÐÎÄÎËÜÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ ËÀ  ÀÒÌÎÑÔÅÐÅ Ïðè ðåøåíèè ðÿäà çàäà÷ ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî íåóïðàâëÿåìûé ËÀ ñîâåðøàåò òîëüêî ïðîäîëüíîå äâèæåíèå â îäíîðîäíîì ïëîñ- êîïàðàëëåëüíîì ïîëå ïðèòÿæåíèÿ, â íåïîäâèæíîé àòìîñôåðå è ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëûìè óãëàìè àòàêè.  ýòîì ñëó÷àå òðàåêòîðèÿ ñíàðÿäà – ïëîñêàÿ êðèâàÿ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ òàêîå äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ËÀ, ïðè äîïóùåíèè, ÷òî cosα≈ 1, sinα =0èYa = 0, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ñëåäóþùåì âèäå: dV dt X m g d dt g V dy dt V dx dt V a =− − =− == sin ; cos ; sin ; cos θ θθ θθ . (3.122) Ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ (3.122) íàïèñàíû â ñêîðîñòíîé (ñîâïà- äàþùåé â äàííîì ñëó÷àå ñ òðàåêòîðíîé) ñèñòåìå êîîðäèíàò, ò.å . â ïðîåêöèÿõ íà êàñàòåëüíóþ è íîðìàëü ê òðàåêòîðèè. Âî ìíîãèõ ñëó- ÷àÿõ îêàçûâàþòñÿ óäîáíûìè äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé, âû- ðàæåííûå â ïðÿìîóãîëüíîé ñòàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ñîîò- âåòñòâèè ñ ðèñ. 3 .9 èìååì du dt = −Xa cosθ. Óìíîæàÿ ÷èñëèòåëü è çíàìå- íàòåëü ïðàâîé ÷àñòè íà V, ïîëó÷èì du/dt = Xau/(mV). Çíà÷åíèå ïîëíîé ñêîðîñòè ïî èçâåñòíîé âåëè÷èíå u ìîæåò áûòü íàéäåíî êàê V=up 12 + , ãäå p =tgθ. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå âòîðîãî óðàâíåíèÿ ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ñèñòåìû âîçüìåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå dp dt d dt g u == − (). tgθ (3.123) 148
Îáîçíà÷àÿ äëÿ ïðîñòîòû íàïèñà- íèÿ E = Xa/(mV) è äîáàâëÿÿ êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷èì èçâåñòíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé du dt Eu dp dt g u dy dt up dx dt u =− =− == ; ; ;. (3.124) Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ Xa ðàâåíñòâîì (1.126) è ââåñòè ôóíêöèþ G(V), òî ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû áóäåò èìåòü âèä du dt cHyGVu Eu =− =− ()() , (3.125) ãäå E = cH(y)G(V). Äëÿ ó÷åòà èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè çâóêà ñ âûñîòîé ñëåäóåò âîñïîëü- çîâàòüñÿ (1.141), è òîãäà du/dt = −cHτ(y)G(Vτ)u. Ñîîòâåòñòâåííî Ec HyGV = ττ ()( ). (3.126) Âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.124) ìîæåò áûòü çàìåíåíî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè dw/dt = −Xa sinθ/m − g . Ââîäÿ ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè w = V sinθ, áóäåì èìåòü ñèñòåìó óðàâíåíèé du dt Eu dw dt Ewg dy dt w dx dt u =− =− − = = ;; ; . (3.127) Ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t öåëåñîîáðàç- íî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ çåíèòíûõ ñíà- ðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû. Äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ ðà- êåò êëàññà "çåìëÿ – çåìëÿ" çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ áåðóò t (âðå- 149 Ðèñ. 3.9. Óïðîùåííàÿ ñõåìà ñèë, äåéñò- âóþùèõ íà ñíàðÿä ïîñòîÿííîé ìàññû, äâèæóùèéñÿ â âîçäóõå ïðè g = const
ìÿ) èëè êîîðäèíàòó õ. Ñèñòåìó óðàâíåíèé ïðè àðãóìåíòå õ ïîëó÷èì, ïðîâåäÿ î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðâîãî è âòîðîãî óðàâíåíèé ñèñòåìû (3.124): du dt du dt dt dx Eu u E dp dx dp dt dt dx g uu == − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− == − (); 1 1 =− g u 2. (3.128) Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé õ áóäåò èìåòü âèä du dx E dp dx g u dy dx p dt dxu =− =− = = ;; ; . 2 1 (3.129) Ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ íåêîòîðûõ ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðå- øåíèé îñíîâíîé çàäà÷è âíåøíåé áàëëèñòèêè ËÀ ïîñòîÿííîé ìàññû èñïîëüçóåòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé θ. Ïðåäñòàâèì du d du dt dt d Eu V g EV g θθ θ == − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= cos . 2 Âûðàçèâ Å èç ñîîòíîøåíèÿ (3.125), áóäåì èìåòü du d c g HyVFV θ = () (). (3.130) Ââåäÿ ïðîìåæóòî÷íûå ïðîèçâîäíûå, ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî dx d dx dt dt d V V g V g dy d dy dx dx d θθ θ θ θ ==− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =− = cos cos ; 2 θ θ =− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ tg V g 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðè àðãóìåíòå θ áóäåò èìåòü âèä du d c g HyVFV dy d V g dx d V g dt d V g θθ θ θθ == − =− =− () (); ; ; co 2 2 tg s . θ (3.131) 150
Ïðè ó÷åòå èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè çâóêà â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.131) ñëåäóåò çàìåíèòü ñëåäóþùèì: du d c g HyVFV θ τ = () (). (3.132)  ñèñòåìàõ (3.122), (3.124), (3.127) è (3.129) ñîâîêóïíûìè (ò.å . ïîäëåæàùèìè ñîâìåñòíîìó ðåøåíèþ) ÿâëÿþòñÿ ïåðâûå òðè óðàâíå- íèÿ.  ñèñòåìå (3.131) ñîâîêóïíûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî äâà ïåðâûõ óðàâíåíèÿ. Ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óïðîùåíèÿõ, íàïðèìåð ïðè H(y) ≈ ≈ H(yñð), â ïåðâîì óðàâíåíèè ìîæíî ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå. Ýòî ñâîéñòâî ñèñòåìû (3.131) ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü åå äëÿ ïðèáëè- æåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.130) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñè- ìîñòü V = f(θ), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ãîäîãðàô ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ËÀ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî (3.130) íàçûâàòü óðàâíåíèåì ãîäîãðàôà ñêîðî- ñòè.  íàñòîÿùåé ãëàâå ïðè ñîñòàâëåíèè âñåõ ïðåäûäóùèõ óðàâíåíèé ïðåäïîëàãàëîñü g = const. Îäíàêî òàêîå äîïóùåíèå ñïðàâåäëèâî ïðè ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé äâèæåíèÿ ðàêåò, ïðåäíàçíà÷åííûõ äëÿ ñòðåëüáû íà îòíîñèòåëüíî ìàëûå äàëüíîñòè. Ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþ- ùóþ ñâîáîäíûé ïîëåò öåíòðà ìàññ ËÀ ïîñòîÿííîé ìàññû, ïðåäíà- çíà÷åííîãî äëÿ ñòðåëüáû íà áîëüøèå äàëüíîñòè, ìîæíî ïîëó÷èòü èç (3.120), åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïðîãðàììà èçìåíåíèÿ óãëà òàíãàæà îòñóò- ñòâóåò è Ð =0: du dt XY m g dw dt XY m g aa aa =− + − =− − − cos sin sin ; sin cos c θθ γ θθ os; ;;; ;; γ θ γ dx dt u w u gg R r dy dt w x Ry === ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = + tg tg= Ç Ç 0 2 IM Vuw rRy zz • • ; ;; ( ) . θ αθθ = =− = + = + Σ 22 2 Ç (3.133) Åñëè ïîëîæèòü α =0,Ya =0,òî du dt X m g dw dt X m g aa =− − =− − cos sin ; sin sin . θ γ θ γ (3.134) 151
Îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ (3.133) îñòàíóòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Äëÿ îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõ äàëüíîñòåé ìîæíî ïîëîæèòü γ =0èg = g0 = = const, òîãäà èç (3.133) ïîëó÷èì du dt XY m dw dt XY m g dx dt u aa aa =− + =− − − = cos sin ; sin cos ; θθ θθ ;;; . dy dt w w u Vuw == =+ θ arctg 22 (3.135) 3.3.3. ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÎÏÈÑÛÂÀÞÙÈÅ ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ ËÀ ÁÅÇ Ó×ÅÒÀ ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈß ÂÍÅØÍÅÉ ÑÐÅÄÛ Äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðàñ÷åòà íåáîëüøèõ òðàåêòîðèé ñâîáîäíîãî ïîëåòà, ïðîõîäÿùèõ â áåçâîçäóøíîì ïðîñòðàíñòâå èëè â ñðåäå, îêà- çûâàþùåé ïðåíåáðåæèìî ìàëîå ñîïðîòèâëåíèå, â òîì ñëó÷àå, êîãäà ìîæíî íå ó÷èòûâàòü ïåðåìåííîñòü g, êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå è êðè- âèçíó Çåìëè, èñïîëüçóþòñÿ óðàâíåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå òîëüêî ñèëó òÿæåñòè. Ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ òåë â âîçäóõå (ïðèìåðíî äî 50 ì/ñ) ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà îòñóòñòâóåò è òåëî ëåòèò êàê áû â áåçâîçäóøíîì ïðîñòðàíñòâå.  ýòîì ñëó÷àå åäèíñòâåííîé äåéñòâóþùåé íà òåëî ñèëîé áóäåò ñèëà òÿæåñòè. Äèô- ôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ñîñòàâëåííûå â ïðîåêöèÿõ íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé ñòàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïðè ýòîì èìåþò âèä dx dt dy dt g 22 22 0 /;/ . == − (3.136) Óðàâíåíèÿ (3.136) ÿâëÿþòñÿ èñõîäíûìè óðàâíåíèÿìè â òàê íàçûâàåìîé ïàðàáîëè÷åñêîé òåîðèè äâèæåíèÿ ñíàðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû. Îáùèå óðàâíåíèÿ (3.47) ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïîëåò áàëëèñòè÷åñêîé ðàêåòû èëè åå ãîëîâíîé ÷àñòè áåç ó÷åòà âðàùåíèÿ Çåìëè íà ïàññèâíîì, íåóïðàâëÿåìîì ó÷àñòêå ïîëåòà çà ïðåäåëàìè ïëîòíûõ ñëîåâ àòìîñôåðû. Åñëè â ñèñòåìå óðàâíåíèé (3.47) Vz, • θzèΩ ïðèðàâíÿòü ê íóëþ è îïóñòèòü ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå òÿãó è àýðîäèíàìè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå, òî ïîëó÷èì ðàññìàòðèâàåìûé ñëó÷àé, îòâå÷àþùèé ïëîñêîé òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò OèXèYè: 152
• ; • . Vg R r x Vg R r y x y è è ò Ç è ò Ç è =− =− 0 2 3 0 2 3 Èç ðèñ. 3.10 ñëåäóåò xr yr èè == sin ; cos , γγ (3.137) è òîãäà • sin ; • cos . Vg R r Vg R r x y è è ò Ç ò Ç =− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 0 2 0 2 γ γ (3.138) Ïîìíÿ, ÷òî •• • xV x è è = è•• • , yV y è è = è äâàæäû äèôôåðåíöèðóÿ (3.137), ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì r è γ: •• sin •• cos • sin •• cos s rrrrg R r γγγγγγγ +−+= ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 2 2 0 2 ò Ç in ;γ (3.139) • • cos •• sin • cos • • sin c rrrrg R r γγγγγγγ −− − = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 2 2 0 2 ò Ç os .γ (3.140) Óìíîæàÿ ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (3.139) íà sinγ, à ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (3.140) – íà cosγ è ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì •• • . rr g R r −= − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ γ2 0 2 ò Ç (3.141) Åñëè, äàëåå, óìíîæèòü ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (3.139) íà cosγ, à ÷ëåíû óðàâíåíèÿ (3.140) – íà sinγ è âû÷åñòü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîå, òî ïîëó÷èì 20 •• . rr γγ += Óìíîæàÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà r è ïðåîáðàçîâûâàÿ, çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé 153 Ðèñ. 3 .10. Ñõåìà äåéñòâèÿ ñèëû òÿãîòå- íèÿ â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå
•• • ;(•). rrg R r d dt r −= − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = γγ 2 0 2 2 0 ò Ç (3.142) Ýòî èçâåñòíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà ïîñòîÿííîé ìàññû â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå Çåìëè áåç ó÷åòà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà è âðàùåíèÿ Çåìëè, çàïèñàííûå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r è γ. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3.142) ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ýëëèïòè÷åñêîé òåîðèè, ïîçâîëÿþùåé ïðèáëèæåííî îïðåäåëÿòü õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàêåò íà âíåàòìîñôåðíîì ó÷àñòêå ïîëåòà. Óäîáíî çàïèñàòü ýòó ñèñòåìó â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòî- ðîãî ðîäà (2.27), âçÿâ â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàòû r è γ èó÷- òÿ, ÷òî íà ñíàðÿä äåéñòâóåò îäíà âíåøíÿÿ ñèëà òÿãîòåíèÿ Çåìëè.  ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 3.10 Vrr =+ • • 22 2 γ (3.143) è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñíàðÿäà T m rr =+ 2 22 2 (• •). γ (3.144) Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû r íàïèøåì, ïîëó- ÷èâ ïðåäâàðèòåëüíî çíà÷åíèÿ ñëàãàåìûõ èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2.31): ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ T r mr T r mr d dt T r mr Fg m r == ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= =− − • ;• • ; • • • ; 2 òò mg R r ò Ç 0 2 ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (3.142) •• • . rr g R r −= − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ γ2 0 2 ò Ç Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîîðäèíàòû γ ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ â (2.27) çíà÷åíèÿ ∂ ∂γ ∂ ∂γ γ γ TT mr F == = 00 2 ;• • . èò Ýòî áóäåò âòîðûì óðàâíåíèåì ñèñòåìû (3.142). 154
3.4. ÑÂÎÁÎÄÍÛÉ ÏÎËÅÒ ÀÐÒÈËËÅÐÈÉÑÊÈÕ ÑÍÀÐßÄΠ3.4.1 .ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß ÑÍÀÐßÄÀ  ÂÅÊÒÎÐÍÎÉ ÔÎÐÌÅ Ïðè âûâîäå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îñåñèììåòðè÷íûõ ËÀ, â òîì ÷èñëå àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ, ñòàáèëèçèðóåìûõ âðàùåíèåì èëè ñ ïîìîùüþ îïåðåíèÿ, ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ïîâîðîò ñíàðÿäà íà ïðî- èçâîëüíûé óãîë êðåíà íå èçìåíÿåò îðèåíòàöèþ âåêòîðîâ àýðîäèíà- ìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà ñíàðÿä â ïîëåòå. Íà- ïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ çàâèñÿò îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïðîäîëüíîé îñè è âåêòîðà ñêîðîñòè öåí- òðà ìàññ ñíàðÿäà, ïîýòîìó íàèáîëåå ïðîñòî àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû è ìîìåíòû îïèñûâàþòñÿ â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ ïðî- ñòðàíñòâåííûì óãëîì àòàêè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèåíòàöèè âåêòîðîâ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ ââåäåì åäèíè÷íûå âåêòîðû: x o – îðò îñè OX ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò è x ê o – îðò îñè OXê òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîð- äèíàò, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâåííî îðèåíòàöèþ ïðîäîëü- íîé îñè ñíàðÿäà è âåêòîðà ñêîðîñòè. Óãîë íóòàöèè δ ìåæäó íèìè ëå- æèò â ïëîñêîñòè, íàçûâàåìîé â áàëëèñòèêå ïëîñêîñòüþ ñîïðîòèâëå- íèÿ. Âåêòîð RA ïîëíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà àð- òèëëåðèéñêèé ñíàðÿä, ïðåäñòàâëÿþò îáû÷íî â âèäå ñóììû òðåõ êîì- ïîíåíò: RRRR AN =++ òÌ à , ãäå Rò (Xa) – ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ (òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëíîãî âåêòîðà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë); RN – íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëíîãî âåêòîðà àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë; RÌà – ñèëà Ìàãíóñà. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ýòèõ ñèë (ñì. ãë. 1), ìîæíî ïðåäñòà- âèòü èõ â âèäå XR x x R a ON N d g HyVc V a mf == − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− = òò ê ê Ï Ï π δ π 8 2 2 1 () ; ; oo ON N d g HyVc V a mVf 8 2 2 2 () ; () ( δ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ××= ×× xxx xxx êêê oo o oo ê Ìà Ìà ê Ï o oo o ); () ; Rx x x = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ×= × π δ ON dl g HyVrc V a mVf 8 2 3 xê o . 155
Ñèëà Ìàãíóñà RÌà íàïðàâëåíà ïî âåêòîðó xx oo × ê ïðè ïðàâîì âðàùåíèè ñíàðÿäà. Ìîäóëè âåêòîðîâ äåéñòâóþùèõ ñèë ïðèâåäåíû â (1.145). Êîýôôèöèåíòû f1, f2, f3 áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèÿìè f d mg HyVc V a f d mg HyVc ON ON N 1 2 2 2 2 8 8 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = π δ π Ï Ï ò () ;; ()V a f dl mg Hyrc V a ON ;; () ;. δ π δ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 3 2 8 Ï Ìà Âåêòîð ÌÀ ïîëíîãî àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà, äåéñòâóþùåãî íà àðòèëëåðèéñêèé ñíàðÿä, ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû ÷åòûðåõ êîìïîíåíò: MMDÃM A=+ + + ñò Ìà . Çäåñü Ìñò – âåêòîð îïðîêèäûâàþùåãî (èëè ñòàáèëèçèðóþùåãî) ìîìåíòà; D – âåêòîð ýêâàòîðèàëüíîãî äåìïôèðóþùåãî ìîìåíòà; à – âåêòîð ìîìåíòà ïîâåðõíîñòíîãî òðåíèÿ (÷àñòî íàçûâàåìîãî â áàëëèñòèêå âåêòîðîì àêñèàëüíîãî òóøàùåãî ìîìåíòà); ÌÌà – âåêòîð ìîìåíòà Ìàãíóñà: Mx x x x D ñò ê ê Ï = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ×= × = π δ ON M dl g HyVm V a Af 8 2 2 4 () ; . oo oo −∇ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= = π δ π Ï Ï Ma ON D ON dl g Hy Vm V a Af dl g 8 8 22 7 22 () ; ; ΩΩ M HyVrm V a Crf x () ; () () ; Ma ê ê δ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ××= =× × xxx xxx à oo o ooo 5 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− π δ Ï Ã ON dl g HyVm V a rC r f 8 22 6 (); , xx oo ãäå À = Iy = Iz – ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè ñíàðÿäà; Ñ = Ix – îñåâîé (àêñèàëüíûé) ìîìåíò èíåðöèè ñíàðÿäà; r = r x o – ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà ïî ïðîäîëüíîé îñè; 156
Ω – ñîñòàâëÿþùàÿ âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ê ïðîäîëüíîé îñè. Âçàèìíàÿ îðèåíòàöèÿ âåêòîðîâ äåéñòâóþùèõ ñèë è ìîìåíòîâ ïî- êàçàíà íà ðèñ. 3 .11. Âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäóëåé âåêòîðîâ ìîìåíòîâ ñî- îòâåòñòâóþò (1.145). Êîýôôèöèåíòû f4, f5, f6, f7 áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ âûðàæåíèÿìè f dl Ag HyVm V a f dl Cg Hy ON M ON 4 2 2 5 22 8 8 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = π δ π Ï Ï () ;; ()Vm V a f dl Cg HyVm V a f ON Ma Ã Ï ;; () ;; δ π δ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = 6 22 7 8 π δ ÏON D dl Ag HyVm V a 8 22 () ;. ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî, ñïðàâåäëèâîå äëÿ 3 ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ: abc acbab c ××=⋅ −⋅ ( )()(), (3.145) 157 Ðèñ. 3.11. Îïðåäåëåíèå âçàèìíîé îðèåíòàöèè âåêòîðîâ äåéñòâóþùèõ íà ñíàðÿä ñèë è ìîìåíòîâ
ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðîâ RN è MMa: Rx x xx x x x Mx N mVf mVf Crf =× × =− ⋅ = 22 5 êê ê ê Ma oo o oo o o () [() ] ; oo o o o o o ××= ⋅ ()[ ()] . xx xxx - x êê ê Crf 5 Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèé äëÿ ñèë è ìîìåíòîâ, äåéñòâóþùèõ íà àðòèëëåðèéñêèé ñíàðÿä, íà îñíîâàíèè òåîðåì îá èçìåíåíèè âåêòîðîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (Q è K) ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âåêòîðíîé ôîðìå [98]: d dt mf Vf Vf Q Qxx x x xx x g +×= − + − ⋅ +×+ ω {[ ( ) ]} 12 3 êê ê ê oo o o oo o ; [() ] d dt Af Crf Crf Af K Kx xx x x xx +×= ×+ ⋅ − − − ω 45 6 êê ê oo o o oo o 7Ω. (3.146) Çäåñü ω – óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçóåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.146), èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå Q = mVx ê o . Áóäåì èìåòü dV dt V d dt Vf Vf x x xx xxx x ê ê êê êê o o oo oo o o ++ × = − + +− ⋅ ω 1 2[( )] +× + Vf3xx g oo ê . (3.147) Óìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà x ê o , ïîëó÷èì dVdtf /. =− +⋅ 1 gxê o (3.148) Ïîäñòàâèì (3.148) â (3.147), òîãäà d dt V f x xg x g x xxx x ê êê ê êê o oo o oo o o +×= − ⋅ + +− ⋅ − ω 1 2 [() ] [( )] +× f 3xx oo ê . (3.149) ×òîáû îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà â ñòàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà rc, äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâà êèíåìàòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü d dt V r x c ê = o , (3.150) 158
ãäå d dt rc – ïðîèçâîäíàÿ â íåïîäâèæíîé (ñòàðòîâîé) ñèñòåìå êîîðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè (3.148)...(3.150). Âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñíàðÿäà èìååò âèä Kx =+ CrA o Ω. Ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü êîíöà âåêòîðà x o ðàâíà d dt x x o o −× ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ω , ïîýòîìó ñîñòàâëÿþùàÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà Ω, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ åãî îñè, ñ ó÷åòîì (3.144) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ω=× − × ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =×− ⋅+ x x x xxxx o o o ooo o d dt ωω ω • (). Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå 2à = Cr/A, âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.146) ìîæåì ïðèâåñòè ê âèäó 22 2 2 • •• •• ()(•) • aa a x xxxxx xx x o o o o oo oo o + +×− ⋅− ⋅+ +× ωω ω ω − −⋅ ×= ×+ ⋅ − − − () () [ ()] xx x xx x x x oo o oo o o o ωω fa f af 45 6 2 2 êê ê x xxxx o ooo o −× −⋅ + f7[ • ()] . ωω (3.151) Óìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà x o , ïîëó÷èì • . af a =− 6 (3.152) Ñ ó÷åòîì ýòîãî óðàâíåíèå (3.151) ïðåîáðàçóåòñÿ ê ñëåäóþùåìó: xxxx xxx x x oo o o o o o o o ×+−+×+ ⋅− ⋅+ + ••• (• )()(•) • 22 7 af ωω ω ω+ ×= ×+ ⋅ − − −× + 22 45 7 afa f f ω ω xx xx x x x xx oo o o o o o oo êê ê [() ] (•). (3.153) Óðàâíåíèÿ (3.152) è (3.153) îïðåäåëÿþò âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñíàðÿäà. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âåêòîðíîé ôîðìå áóäåò èìåòü âèä 159
• ; • [() ][( Vf Vf =⋅ − +×= − ⋅ +− − gx xxg x g xx x ê êê ê ê o oo o oo o 1 1 2 ω⋅ + × = ×+−+× xx xx rx xxxx x c êê ê ê oo o o o oo o o o )] ; • ; • (• f a 3 22 V ω+⋅ − ⋅ + ++×=×+ f afa f 7 45 22 xx xx xx xx oo o o oo o )()(•) • [( ωω ωω ê o o oo oo ⋅− −× + =− xxx xx êê ê )]( ) ; • . f af a 7 6 ω (3.154) 3.4.2 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß ÀÐÒÈËËÅÐÈÉÑÊÎÃÎ ÑÍÀÐßÄÀ  ÔÎÐÌÅ Â.Ñ. ÏÓÃÀ×ÅÂÀ Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî äâè- æåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà, áóäåì èñïîëüçîâàòü ñòàðòîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò OXcYcZc äëÿ îïðåäåëå- íèÿ ïîëîæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà è òðàåêòîðíóþ ñèñòåìó êî- îðäèíàò OXêYêZê äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ñêîðîñòè (ñì. ðèñ. 3.12). Ïîëîæå- íèå âåêòîðà ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà V (èëè x ê o ) â ñòàðòî- âîé ñèñòåìå êîîðäèíàò áóäåì íàõîäèòü ñ ïîìîùüþ óãëà θ íàêëî- 160 Ðèñ. 3.12. Ñõåìà âçàèìíîé îðèåíòàöèè ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà è âåêòîðà ñêîðîñòè
íà âåêòîðà ñêîðîñòè ê ãîðèçîíòó è óãëà Ψí ïîâîðîòà âåêòîðà ñêîðîñòè, îïðåäåëÿåìîãî â íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîñëåäíåãî ïîêàçàíî íà ðèñ. 3 .12. Òîãäà âåêòîðû è ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ, âõîäÿùèå âî âòîðîå è ÷åòâåðòîå óðàâíå- íèÿ ñèñòåìû (3.154), áóäóò èìåòü ñëåäóþùèå ïðîåêöèè íà îñè òðàåêòîðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò: xx êí oo = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ =− ⎡ ⎣ ⎢ 1 0 0 0 1 2 3 ;;• • z z z ω θ Ψ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; sin cos ; g g g θ θ 0 ωθ ×= ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ×= − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ × xx xx ê í ê oo oo 00 3 2 • • ;; Ψ z z x o = − − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ = z2 ••• • ••• • ••• • zz z zz zz zz zz 32 3 31 31 12 12 ⎥ ⎥ ⎥ ×= −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ; (•• ) • • ; ω θ θ x o zz z z 23 1 Ψ Ψ í 1 í xx x oo o ×= + − − ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ×= − • • •• • •• •• ; ω θ θ zz z z 23 1 1 0 Ψ Ψí ê z z zz zz zz zz zz 3 2 23 23 31 31 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ×= − − − ; • •• •• • xx oo • . zz 12 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ Ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ, âõîäÿùèå âî âòîðîå è ÷åòâåðòîå óðàâíåíèÿ (3.154), èìåþò âèä gx xx x x ⋅= − ⋅= ⋅ =− ⋅= êê í oo o o o gz z z z sin ; ; •• ; • •• θω θ ωθ 13 2 3 Ψ − z2 • • . Ψí Ïðîåöèðóÿ âòîðîå è ÷åòâåðòîå óðàâíåíèÿ (3.154) íà îñè OYê è OZê, ïîëó÷èì 161
• cos ; • ; ••• • θθ =− + + =− + − − gV fz fz fz fz zz zz 1 22 33 32 23 313 Ψí 122 1 7 2 3 22 3 2 22 +−++ − −− − az zz fzz zz zz • (••)( • • )(•• • θθ θ Ψí • ) ••• (••• ψθ íí −+ = =− + − − − Ψ Ψ 2 2 1 43 521 731 31 az fz afzz fzz zz í í ); ••• •• (•• )(• • zz zz az zz fzz z 12 12 3 31 733 2 22 −+ −+ + − − Ψθ ΨΨ Ψ íí í )(••• • ) ••• −− + += =+ − zzz a z fz afzz f 33 2 1 42 531 7 2 2 θθ (•••). zz zz 12 12 −+ θ (3.155) Ïðîåöèðóÿ òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.154) íà îñè ñòàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîëó÷èì • cos sin ;• sin;• sin . xV yV zV ñí ñ c í =− = = 22 θθ ΨΨ (3.156) Îáúåäèíÿÿ (3.155) è (3.156) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ ïðîåêöèé âåêòîðà x o íà îñè OXêYêZê ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå zzz 1 2 2 2 3 2 1 ++= , çàïèøåì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ . Ïóãà÷åâà [98]: 1 2 3 1 1 22 33 3 )• sin ; )• cos ; )• Vgf gV fz fz fz =− − =− + + =− − θ θθ Ψí2 2 3 + fz; 42 2 31 31 2 21 723 2 ) ••••• (••)( • • zzzzaz zzfzz z −+ −+ + − − θθ Ψí)( • •• • ) ••• ( −− − += =− + − zzz a z fz afzz f 23 2 1 43 521 7 2 2 θθ ΨΨ íí zz zz zz zz az zz 31 31 12 12 3 31 52 2 •• • ); ) ••••• (•• +− −+ −+ Ψ Ψ í í +− −− − + += = fzz zz zz a z f 733 23 3 2 1 2 )(• • )(••• • ) ••• θ θθ ΨΨ Ψ íí 42 531 712 12 2 z afzzfzz zz +−− + (•••); θ (3.157) 6 71 8 9 6 12 2 3 2 22 )• ; ); )• cos sin ; )• af a zz z xV y =− =−− =− cí c θΨ = = V zV sin ; )• sin . θ 10 cí Ψ 162
×òîáû èññëåäîâàòü ñèñòåìó (3.157) àíàëèòè÷åñêèìè èëè ÷èñëåí- íûìè ìåòîäàìè, åå ïðèâîäÿò ê íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè. Îáîçíà- ÷èì uzuz 2233 == • ; • . Ïðèíèìàÿ, ÷òî êîýôôèöèåíòû cN è cÌà çàâèñÿò òîëüêî îò V/a è δ, ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ •• θè •• : Ψí •• (si n c o s)( • sin ) (• θθ θθ =− + ++ + ++ −− gVg f fgV fz f 2 12 1 22 3 2 gV fzfzfz fzfzfz − ++ = − +−+ 1 332233 322332 sin ) •• ; •• •• • θ ψí • , fz 23 ãäå •• ••• ; • ff V V f y y f z z f z z ff 2 22 22 3 3 =+ ++ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ñ c 2 2 3 3 V V f y y f z z f z z • ••• . +++ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 333 ñ c 2 2 3 3 Äèôôåðåíöèðóÿ ñåäüìîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.157), ïîëó÷èì • •• . z zz zz zz 1 22 33 2 2 3 2 1 =− + −− Îòêóäà íàéäåì •• ••• ••• (•• z zzzzzz zz zz zz 1 22332 2 3 2 2 2 3 2 223 1 =− +++ −− − + 3 2 2 2 3 232 1 ) () . / −− zz Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèé äëÿ •z 1 è •• z1 ÷åòâåðòîå è ïÿòîå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.157) ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó zzu zu zz V yzzuu 232 2 2 3 2 2 3 2 1 2323 1 1 • () • (,,,,,,, +− −− =Φ θc a zu zzu zz V yzzu ); () •• (,,,,,, 1 1 3 2 2 233 2 2 3 2 2 232 −+ −− =Φ θc ua 3,) , (3.158) 163
ãäå Φ1 33 7 2 422 7 33 227 2 2 1 =+ +−− +−+ − − (• )( • )( fffz ffff zf uff zz 3 2 3 2 2 12 3 1 2 222 1 ) ( sin cos ) cos u augVg f zz agV z + ++ + − − −− θθ θ2 3 2 2 1 22 33 2 2 3 2 72 21 −+ +− −− − − + + − z ug V fzf zzz fzg [(c o s ) ][ θ Vz f z zg Vf z f z z z f −− −+ − + − − 1 33 2 2 3 21 22 3323 cos ( )] sin ( ) • θθ 322 2 3 2 223 322 322 332 2 zzzfzuzuzfzuzuz af ( ) () () ( + +−−++ + 223352 2 2 3 2 73 22 33 2 2 3 2 3 1 1 zf zf z zzf z zu zu zz z +− −−− + −− − − ) uu zz z zu zu zz 2 2 3 2 2 2 3 2 3 22 33 2 2 2 3 232 1 1 + −− − + −− () () ; / Φ2 2 1 1 742 1 2 =+ ++ − − −− − gVg f gV fffgV ( sin cos ) cos (• sin θθθ θ f ffzfgV fffzff zz 2 272 3 1 33 7 327 2 2 3 1 − −− + +− +− − − )( • sin )( θ 2 23 3 3 3 23 32 2 2 3 2 73 22 1 ) [() ] [ uf u au u fz fz zz fz gV +− −−+ − − − + − −− −+ − −+ + 1 33 2 2 3 2 2 13 21 2 cos ( )] (si n c o s) θ θθ zf zz gVg f z gVsin( ) • ()( ) θfzfzz fzzz fzu zuz 22 333 2 332 2 3 2 223 323 ++ ++ −−+++ − + +− − − fzu zuz afz fz fzzzfz 322 333 32 23 53 2 2 3 2 72 2 1 ()( ) zu zu zz z uu zz z zu zu 22 33 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 22 33 11 + −− − + −− − + ( ) () . / 2 2 2 3 232 1−− zz Ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (3.158) îòíîñèòåëüíî •u2 è • , u3 ìîæíî ïðèâåñòè ñèñòåìó (3.157) ê íîðìàëüíîìó âèäó [98]: 1 2 3 1 1 22 33 3 )• sin ; )• cos ; )• Vgf gV fz fz fz =− − =− + + =− − θ θθ Ψí2 2 3 22 222 1 32 22 2 3 2 4 51 + = =− + − − fz zu uz z z z z ; )• ; )•[() ] ( ΦΦΦ ); / −12 6 71 8 33 313 1 32 22 2 3 212 )• ; )•[() ] () ; / zu uz z z z z = =− + − − − ΦΦΦ )• ; af a =− 6 164 (3.159)
9 10 11 22 )• cos sin ; )• sin ; )• sin . xV yV zV ñí c ñí =− = = θ θ Ψ Ψ Ñèñòåìà (3.159), ïîëó÷åííàÿ Â.Ñ. Ïóãà÷åâûì, ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå îáùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ïðîñòðàíñòâåííîå äâè- æåíèå àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà ïðè ïåðå÷èñëåííûõ âûøå ñèëàõ è ìîìåíòàõ. Ñèñòåìà ïîëó÷åíà áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ôàçî- âûå êîîðäèíàòû, îïðåäåëÿþùèå äâèæåíèå àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿ- äà, ïîýòîìó ïðè èçâåñòíûõ çàâèñèìîñòÿõ àýðîäèíàìè÷åñêèõ êîýô- ôèöèåíòîâ îò V/à è δ îíà ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ïðè ïðîèçâîëü- íûõ çíà÷åíèÿõ óãëîâ íóòàöèè.  ñèñòåìå (3.159) óðàâíåíèÿ 3,9è11ìîãóò èíòåãðèðîâàòüñÿ íå- çàâèñèìî îò îñòàëüíûõ. Ïîñëå òîãî êàê â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (3.159) áóäóò íàéäåíû âåëè÷èíû z2 è z3, ìîæíî îïðåäåëèòü óãëû, çàäàþùèå îðèåíòàöèþ ïðîäîëüíîé îñè îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ñêîðîñòè. Åñëè ïîëîæåíèå ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ óã- ëîâ Ýéëåðà – óãëîâ íóòàöèè δ è ïðåöåññèè ν (ñì. ðèñ. 3.12), òî îðò x o îñè OX ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò áóäåò èìåòü ñëåäóþùèå ïðî- åêöèè íà îñè OXêYêZê: x o = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ z z z 1 2 3 cos sin cos sin sin δ δν δν . (3.160) Åñëè ïîëîæåíèå ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà çàäàåòñÿ óãëàìè δ1 è δ2 (ñì. ðèñ. 3.12), òî x o = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ z z z 1 2 3 21 21 1 cos cos sin cos sin δδ δδ δ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ . (3.161) Çíàÿ z2 è z3, èç (3.160) ìîæåì íàéòè óãëû íóòàöèè è ïðåöåññèè: δν =− − = arccos ; , 12 2 3 2 3 2 zz z z arctg (3.162) à èç ñîîòíîøåíèé (3.161) íàéäåì δδ 13 2 2 2 2 3 2 1 == −− arcsin ; . z z zz arctg (3.163) 165
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (3.162) èëè (3.163) ïîçâîëÿþò îïè- ñàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ êàðòèíó óãëîâîãî äâèæåíèÿ ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ñêîðîñòè ïî çíà÷åíèÿì z2 è z3, ïîëó- ÷åííûì â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (3.159). 3.4.3 . ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅÍÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÀÐÒÈËËÅÐÈÉÑÊÎÃÎ ÑÍÀÐßÄÀ ÏÐÈ ÌÀËÛÕ ÓÃËÀÕ ÍÓÒÀÖÈÈ Â ðàáîòå [98] íà îñíîâå òùàòåëüíîãî àíàëèçà ÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ (3.157), è èõ ïîðÿäêîâ ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ìàëûõ óãëàõ íó- òàöèè δ ñèñòåìà (3.157) ìîæåò áûòü çàìåíåíà ïðèáëèæåííîé, ïîëó- ÷åííîé èç (3.157) îòáðàñûâàíèåì ÷ëåíîâ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ÷åì óäåðæèâàåìûå: • sin ; • cos ; • Vgf gV fz fz fz fz =− − =− + + =− + − θ θθ 1 1 22 33 32 23 Ψí ; •••• • () − +−+++= =− + za zf zf za fzf z fz af 3 22332 22 33 43 5 22 2zf za Vg za zf zf za fz 27 3 1 2 32233 23 2 22 ++ + +++ − • cos ; •••• • ( θ −= =+ − + fz fz afz fz 32 42 53 72 2 ) (• ); θ • ; ; • cos sin ; • sin ; • af a zz z xV yV =− =−− =− = 6 12 2 3 2 22 1 cí c θ θ Ψ zV cí = sin . Ψ Ïðè ìàëûõ óãëàõ íóòàöèè δ, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïðè ìàëûõ óãëàõ δ1 è δ2 ìîæåì â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ (3.164) ïåðåéòè îò íàïðàâëÿþ- ùèõ êîñèíóñîâ z2 è z3 íåïîñðåäñòâåííî ê óãëàì. Òàê êàê ïðè ìàëûõ δ1 è δ2 sin ; cos ( ,), δδδ iiii ≈≈ = 11 2 â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.161) ïîëó÷èì zz zz 22 1 22 31 1 3 1 =≈ ≈ =≈≈ sin cos ;•• ; sin ;•• . δδδ δ δδδ 166 (3.164)
Ïðè ìàëûõ δ èìååì z 1 2 1 2 =≈ − cos , δ δ îòêóäà z1 222 1 =≈ − cos . δδ Ñ ó÷åòîì ýòîãî ñåäüìîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.164) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó δδδ 2 1 2 2 2 =+ .  ðåçóëüòàòå ñèñòåìà (3.164) ïðåîáðàçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: • sin ; • cos ; • Vgf gV ff ff =− − =− + + =− + − θ θθ δ δ δδ 1 1 22 31 32 21 Ψí ; •• () • () • () () δδδ δ 1++ −+ − ++ +− ff af a ff aff 27 1 3 234 1 52 22 2 δθ δδδ 2 1 227 2 3 134 2 22 =− ++++−+ − agV ff af a ff cos ; •• ()( ) • () δδ θ 25 2 1 7 2 −− = − aff f () •; • ; ; • cos sin ; • sin ; • af a xV yV z =− =+ =− = 6 2 1 2 22 δδδ θ θ 2 2 cí c c Ψ =Vsin . Ψí Òàê êàê êîýôôèöèåíòû f1, ..., f7 ÿâíî çàâèñÿò îò ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ, ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: fVcf V cfa c fVmfV mfV m f N M 1 2 23 4 2 5 6 7 2 === === = òÌ à Ìà à ;;; ;;; VmD , ãäå ñ d mg Hyc V a ñ d mg Hyc V a ON N ON N òò Ï Ï = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ⎛ π δ π 8 8 2 2 () ,; ()⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ; (); ñ dl mg A C Hyc V a ON Ìà Ma Ï π 8 2 167 (3.165)
m dl Ag Hym V a m dl Cg Hym M ON M ON = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = π π Ï Ï Ma Ma 8 8 2 22 (); ()V a m dl Cg Hym V a m dl ON D ON ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ; (); ÃÃ Ï Ï π π 8 8 22 22 Ag Hym V a D (). ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ïÿòîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.165) çíà÷åíèå • θ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëå- íàìè ïîðÿäêà f7 f2δ2 è f7 f3δ1 â ïÿòîì óðàâíåíèè, îêîí÷àòåëüíî ïîëó- ÷èì ñèñòåìó â ñëåäóþùåì âèäå: • sin ; • cos ; • VgV c gV Vc ac ac N =− − =− + + =− − θ θθ δ δ 2 1 21 2 2 ò Ma í Ψ Ma Ma Ma δδ δδδ 21 112 2 21 4 + ++ −+ − −+ Vc Vcm ac ac N ND ; •• () • () • ( Vm aVm c aVg MN 2 12 1 22 )() c o s ; δδθ +− = − − Ma • • () • () • () δδδ δ 221 22 2 21 42 ++++− −+ − Vcm ac ac Vm aV ND M Ma Ma ()c o s ; • ; • cos sin ; • mcm g aV m a xV y ND Ma à cí c −= =− =− = δθ θ 1 22 Ψ V zV sin ; • sin ; . θ δδδ 2 2 cí 2 = =+ Ψ 1 2 Ñèñòåìà (3.166) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî (ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ äîïóùåíèÿõ) èëè ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà ïðè ìàëûõ óãëàõ íóòàöèè. 168 (3.166)
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû 1.  ÷åì ñîñòîèò ðàçëè÷èå ìåæäó ñâÿçàííûìè è èíåðöèàëüíûìè ñèñòå- ìàìè êîîðäèíàò? Êàêèå óãëû îïðåäåëÿþò âçàèìíóþ îðèåíòàöèþ îñåé ñêî- ðîñòíîé è ñâÿçàííîé ñèñòåì êîîðäèíàò?  êàêîì ñëó÷àå îñè òðàåêòîðíîé è ñêîðîñòíîé ñèñòåì ñîâïàäàþò? Íàðèñóéòå ñõåìó ñèñòåì êîîðäèíàò è óãëîâ, îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå ËÀ îòíîñèòåëüíî ìåñòíîãî ãîðèçîíòà. ×åì îáó- ñëîâëåíà íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ êâàòåðíèîíîâ? 2. ×åì îòëè÷àåòñÿ òÿãà îò ðåàêòèâíîé ñèëû? Êàê èçìåíÿåòñÿ çíà÷åíèå óäåëüíîãî èìïóëüñà òÿãè ñ èçìåíåíèåì âûñîòû? Êàêàÿ ðàçíèöà ìåæäó òåëîì ïåðåìåííîé ìàññû è òåëîì ïåðåìåííîãî ñîñòàâà? Íàçîâèòå ñîñòàâëÿþùèå àáñîëþòíîé ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû "êîðïóñ – òîïëè- âî – ãàçû". Êàê íàïðàâëåí âåêòîð óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ïðèìåíè- òåëüíî ê ýëëèïñîèäàëüíîé ìîäåëè Çåìëè íà ýêâàòîðå è íà ïîëþñå? Êàê èç- ìåíÿåòñÿ óñêîðåíèå ñèëû òÿãîòåíèÿ Çåìëè â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò åãî öåíòðà? Íàïèøèòå âåêòîðíóþ ñóììó ñîñòàâ- ëÿþùèõ ñèëû òÿæåñòè.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè íà ïîëåò ðàêåò è ñíàðÿäîâ? Ïåðå÷èñëèòå íàçâàíèÿ ñëîåâ àòìîñôåðû ïðè èõ êëàññèôèêàöèè ïî õàðàêòå- ðó ðàñïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ñ âûñîòîé. Êàêèå "ñòàíäàðòíûå àòìîñôåðû" âàì èçâåñòíû? Äàéòå îïðåäåëåíèå "âèðòóàëüíîé" òåìïåðàòóðû è ïîÿñíèòå ñìûñë åå ââåäåíèÿ. ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä "ïîëíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëîé"?  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ñìûñë ïðèâåäåíèÿ àýðîäèíàìè÷åñêèõ ñèë è ìîìåíòîâ ê ýòàëîííûì ôóíêöèÿì ñîïðîòèâëåíèÿ? 3. Ñôîðìóëèðóéòå îñíîâíûå òåîðåìû äèíàìèêè òåë ïåðåìåííîé è ïî- ñòîÿííîé ìàññ. Äàéòå îïðåäåëåíèå ïðèíöèïà çàòâåðäåâàíèÿ. Íàçîâèòå îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâèæåíèÿ ËÀ. Êàêèå ñèëû è ìîìåíòû íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ïðè ñîñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ- íåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíàðÿäîâ? Êàê âëèÿåò âðàùå- íèå Çåìëè íà ïîëåò ãîëîâíîé ÷àñòè ðàêåòû äàëüíåãî äåéñòâèÿ ïðè ïóñêå ðà- êåòû âäîëü ýêâàòîðà íà çàïàä è íà âîñòîê? Ñîñòàâüòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ íà àêòèâíîì (ïàññèâíîì) ó÷àñòêå ïîëåòà â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, èñïîëüçóÿ òðàåêòîðíóþ è ñòàðòîâóþ ñèñòåìû êîîðäèíàò.
ÐÀÇÄÅË II ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÅÒÀÒÅËÜÍÛÕ ÀÏÏÀÐÀÒÎÂ È ÌÅÒÎÄÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÂÍÅØÍÅÉ ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ Ãëàâà 4 ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÄÂÈÆÅÍÈß ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠÇàäà÷à îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ñíàðÿäîâ ïðèîáðåëà îñîáóþ àê- òóàëüíîñòü â íà÷àëå âòîðîé ïîëîâèíû XIX âåêà â ñâÿçè ñ íàñòóïëåíèåì íîâîãî ýòàïà â ðàçâèòèè âíåøíåé áàëëèñòèêè, ñâÿçàííîãî ñ ïîÿâëåíèåì íàðåçíîé àð- òèëëåðèè, âåäóùåé îãîíü ïðîäîëãîâàòûìè âðàùàþùèìèñÿ ñíàðÿäàìè. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ âðàùàþùèõñÿ ñíàðÿ- äîâ áûëè ïîëó÷åíû Í.Â. Ìàèåâñêèì. Äàëüíåéøåå ðàçâèòèå òåîðèÿ äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà îòíîñè- òåëüíî åãî öåíòðà ìàññ ïîëó÷èëà â òðóäàõ àêàäåìèêà À.Í. Êðûëîâà, ïðîôåñ- ñîðîâ Ä.À. Âåíòöåëÿ, Á.Í . Îêóíåâà, ß.Ì . Øàïèðî è äð.  1940 ã. ä. ò. í., ïðîôåññîðîì (ïîçäíåå àêàäåìèêîì) Â.Ñ . Ïóãà÷åâûì áûëà îïóáëèêîâàíà ðàáîòà [98], îêàçàâøàÿ ñóùåñòâåííîå (åñëè íå îïðåäåëÿþùåå) âëèÿíèå íà ïîñëåäóþùåå ðàçâèòèå ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè âðà- ùàþùèõñÿ ñíàðÿäîâ. Ïîÿâëåíèå è øèðîêîå ïðèìåíåíèå (âî âðåìÿ âòîðîé ìèðîâîé âîéíû) ðåàê- òèâíûõ ñíàðÿäîâ ïîâëåêëî çà ñîáîé íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè òåîðåòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ ñïîñîáîâ îáåñïå÷åíèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè. Íà÷àëüíûé ýòàï ýòèõ èññëåäîâàíèé îñóùåñòâëÿëñÿ ïîä ðóêîâîäñòâîì àêàäåìèêà Ñ.À . Õðè- ñòèàíîâè÷à. Îäíàêî íàèáîëåå îáùèå ïðèíöèïû âûáîðà ðåøåíèé, îòâå÷àþùèõ óñòîé÷è- âûì ñîñòîÿíèÿì ËÀ êàê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, áûëè ñôîðìóëèðîâàíû âûäàþ- ùèìñÿ ðóññêèì ìàòåìàòèêîì è ìåõàíèêîì Àëåêñàíäðîì Ìèõàéëîâè÷åì Ëÿïó- íîâûì (1857–1918).  òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè àíàëèçå âîçìîæíûõ äâèæåíèé èñïîëüçó- þòñÿ è äðóãèå îïðåäåëåíèÿ è ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè, îòëè÷íûå îò ïðåäëîæåííûõ À.Ì . Ëÿïóíîâûì. Íàïðèìåð, èçâåñòíû ïîäõîäû ê îöåíêå óñòîé- ÷èâîñòè ïî Ëàãðàíæó, Ëàïëàñó, Ïóàññîíó, Áèðêãîôó. Îäíàêî ïîíÿòèå óñòîé- ÷èâîñòè, ââåäåííîå À.Ì . Ëÿïóíîâûì, íàèëó÷øèì îáðàçîì îòâå÷àåò õàðàêòåðó îáñóæäàåìûõ çàäà÷. Èìåííî ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ ñîâðåìåííîå ãëóáîêîå ïðîíèêíî- 170
âåíèå èäåé è ìåòîäîâ À.Ì. Ëÿïóíîâà â ðàçäåë âíåøíåé áàëëèñòèêè, èçó÷àþùèé óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíàðÿäîâ. Ñëåäóåò, ïðàâäà, îòìåòèòü, ÷òî â îïðåäåëåíèè À.Ì . Ëÿïóíîâà óñòîé÷è- âîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ íà áåñêîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè. Âî ìíîãèõ æå ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ áàëëèñòèêè òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü óñòîé÷èâîñòü ëèøü íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ââîäÿò â ðàññìîòðåíèå ïîíÿòèå "òåõíè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè". 4.1 . ÎÁÙÈÅ ÏÎÍßÒÈß ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÄÂÈÆÅÍÈß È ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠ4.1 .1. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠÏðè èñïîëüçîâàíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ïîëåò ðàêåò è ñíàðÿäîâ, âîçíèêàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ðàñ- ïðîñòðàíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ äëÿ íåêî- òîðîé ñõåìàòèçèðîâàííîé ìîäåëè, íà ðåàëüíûé ôèçè÷åñêèé ïðî- öåññ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåçóëüòàò âåñüìà ÷óâñòâèòåëåí ê ìàëåé- øåìó èçìåíåíèþ ñòðóêòóðû ìîäåëè.  òàêîì ñëó÷àå ñêîëü óãîäíî ìàëîå èçìåíåíèå ýòîé ñòðóêòóðû (íàïðèìåð, ïðàâûõ ÷àñ- òåé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ) ïðèâîäèò ê ìîäåëè ñ ñîâåðøåííî äðóãèìè ñâîéñòâàìè. Òàêèå ðåçóëüòàòû îïàñíî ðàñ- ïðîñòðàíÿòü íà èññëåäóåìûé ïðîöåññ. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò âîïðîñ îá îïðåäåëåíèè òåõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ËÀ, êîòîðûå ìàëî ÷óâñòâèòåëüíû ê íåáîëüøîìó èçìåíåíèþ ñòðóêòó- ðû ìîäåëè è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò âîñïðèíèìàòüñÿ êàê ñâîéñòâà ðåàëüíîãî ïðîöåññà. Âûáîð òàêèõ ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ËÀ êàê äèíàìè÷å- ñêèõ ñèñòåì ñâÿçàí ñ ïîíÿòèåì ãðóáîñòè, èëè ñòðóêòóðíîé óñòîé÷è- âîñòè, ââåäåííûì À.À. Àíäðîíîâûì è Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíûì. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýòî ïîíÿòèå õàðàêòåðèçóåò ìîäåëü äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâîé, åñëè ïðè ëþáîì äîñòàòî÷íî ìàëîì èçìåíåíèè ìîäåëè ïîëó÷àåòñÿ ñèñòåìà, ýêâèâà- ëåíòíàÿ èñõîäíîé, ò.å. åñëè îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè êà÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè âîçìîæíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû.  îòëè÷èå îò ëèíåéíûõ ñèñòåì íåëèíåéíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòå- ìà, îïèñûâàþùàÿ äâèæåíèå ËÀ, ìîæåò áûòü óñòîé÷èâîé ïðè îäíèõ ðåæèìàõ ïîëåòà è íåóñòîé÷èâîé ïðè äðóãèõ. Äðóãèìè ñëîâàìè, îäíè äâèæåíèÿ èëè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìîãóò áûòü óñòîé÷èâûìè, à äðóãèå äâèæåíèÿ èëè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ òîé æå ñàìîé ñèñòå- ìû – íåò . Ïîýòîìó íåëüçÿ ãîâîðèòü îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷è- âîñòè ËÀ êàê íåëèíåéíîé ñèñòåìû âîîáùå, à ìîæíî ãîâîðèòü òîëü- 171
êî îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ðàçëè÷íûõ ðåæèìîâ äâèæå- íèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè îòíîñÿò íå ê ñèñòåìå, à ê íåêîòîðîìó äâèæåíèþ ñèñòåìû, íàçûâàÿ åãî ïî òåðìèíîëîãèè À.Ì. Ëÿïóíîâà íåâîçìóùåííûì.  áàëëèñòèêå íåâîçìóùåííûì äâèæåíèåì íàçûâàþò äâèæåíèå, êî- òîðîå ñîâåðøàëè áû ðàêåòà èëè ñíàðÿä â ñòàíäàðòíîé àòìîñôåðå èëè â áåçâîçäóøíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè äåéñòâèè íà íèõ çàðàíåå ïðå- äóñìîòðåííûõ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ îïðåäåëåííûì çàêîíîìåðíîñòÿì ñèë. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ òðàåêòîðèÿ íà- çûâàåòñÿ íåâîçìóùåííîé èëè íîìèíàëüíîé. Îäíàêî â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ äâèæåíèå ðàêåò è ñíàðÿäîâ ïðîèñ- õîäèò ïðè äåéñòâèè äîïîëíèòåëüíûõ, ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, êîòîðûå îáû÷íî ïðè ðàñ÷åòå íîìèíàëüíûõ òðàåêòîðèé íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå (ðàçáðîñ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, îòêëîíåíèå òåìïåðàòóðû âîçäóõà îò íîðìàëüíûõ óñëîâèé, âåòåð è åãî ïîðûâû, ïóëüñàöèÿ òÿãè äâèãàòåëÿ, íåïðîãðàììíûå óïðàâëÿþùèå ñèëû è ò.ï.) . Äåéñòâèÿ ýòèõ âîçìóùàþùèõ ôàêòîðîâ ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî ðàêåòà è ñíàðÿä áóäóò äâèãàòüñÿ íå ïî íîìèíàëüíîé òðàåêòîðèè, à îòêëîíÿÿñü îò íåå áîëåå èëè ìåíåå çíà÷èòåëüíî â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû è íàïðàâ- ëåíèÿ äåéñòâèÿ âîçìóùåíèÿ. Äâèæåíèå, îòðàæàþùåå äåéñòâèå âîç- ìóùàþùèõ ôàêòîðîâ, íàçûâàþò âîçìóùåííûì äâèæåíèåì, à ñîîòâåò- ñòâóþùóþ åìó òðàåêòîðèþ – âîçìóùåííîé òðàåêòîðèåé.  ñîîòâåòñòâèè ñ èíòóèòèâíûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè îá óñòîé÷èâî- ñòè äâèæåíèå ËÀ ìîæåò áûòü íàçâàíî óñòîé÷èâûì, åñëè îíî îáëàäà- åò ñâîéñòâîì âîçâðàùàòüñÿ ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ âîçìóùàþ- ùèõ ôàêòîðîâ ê íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ. Îïðåäåëåíèå àñèìï- òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïî Ëÿïóíîâó ôîðìàëèçóåò òàêîå ïðåäñòàâëåíèå. Åñëè ðå÷ü èäåò, íàïðèìåð, î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ íåóïðàâëÿåìîé ðàêåòû èëè ñíàðÿäà, òî îáåñïå÷èòü òàêîãî ðîäà óñ- òîé÷èâîñòü, î÷åâèäíî, íå óäàåòñÿ. Êàêèìè áû íè áûëè âîçìóùåíèÿ, óâîäÿùèå öåíòð ìàññ ðàêåòû îò íîìèíàëüíîé òðàåêòîðèè, îíè íå ïîëó÷àþò ïðÿìîãî ïðîòèâîäåéñòâèÿ. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå ðàêåòû óñòîé÷èâî, åñëè ìàëûå âîçìóùåíèÿ ïðèâîäÿò ê ìàëûì îòêëîíåíèÿì îò íîìèíàëüíîé òðà- åêòîðèè. Åñëè îòêëîíåíèÿ îñòàþòñÿ ìàëûìè ïðè t →∞, òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îá óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü ôîðìàëèçîâàíî ñ ïîìî- ùüþ îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó. Íà ïðàêòèêå ñ÷èòàþò, ÷òî äâèæåíèå ËÀ áóäåò óñòîé÷èâûì, êîãäà îòêëîíåíèå ðåàëüíîé òðàåêòîðèè îò íîìèíàëüíîé íå ïðåâûøàåò äî- ïóñòèìîãî ïðåäåëà çà âðåìÿ ïîëåòà. Òàêîé ïîäõîä ñâÿçàí ñ èñïîëü- çîâàíèåì ïîíÿòèÿ òåõíè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê âðåìÿ ïîëåòà ðàêåòû èëè ñíàðÿäà îãðàíè÷åíî, òî íåò íåîáõîäè- ìîñòè òðåáîâàòü îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè åãî äâèæåíèÿ ïî Ëÿïó- 172
íîâó, ò.å. îãðàíè÷åííûõ îòêëîíåíèé íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðå- ìåíè. Äîñòàòî÷íî, ÷òîáû çà âðåìÿ ïîëåòà îòêëîíåíèÿ áûëè ìåíüøå ïðåäåëüíî äîïóñòèìûõ, ò.å. òðåáîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ ìîæåò îêàçàòüñÿ ÷ðåçìåðíî æåñòêèì.  òî æå âðåìÿ äâèæåíèå, íåóñòîé÷èâîå ïî Ëÿïóíîâó, íà îãðàíè÷åííîì èí- òåðâàëå âðåìåíè ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü êðèòåðèþ òåõíè÷åñêîé óñòîé- ÷èâîñòè. Ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ðàêåò è ñíàðÿäîâ îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò îòäåëüíî óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ è óñòîé÷èâîñòü âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Îáåñïå÷åíèå ïîñëåäíåé ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñ- òîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ è íåðàçðûâíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì óãëîâîé ñòàáèëèçàöèè ðàêåò è ñíàðÿäîâ. 4.1.2. ÑÏÎÑÎÁÛ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÍÅÓÏÐÀÂËßÅÌÛÕ ÐÀÊÅÒ È ÑÍÀÐßÄΠ ïðîöåññå ïîëåòà âåêòîð ñêîðîñòè ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà V(t) ïîâîðà÷èâàåòñÿ, îòñëåæèâàÿ äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèè.  ðåçóëüòàòå óñòîé÷èâûå ðàêåòà è ñíàðÿä äîëæíû íåïðåðûâíî èçìåíÿòü ñâîå óã- ëîâîå ïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.1 . Åñëè ïðîäîëüíàÿ îñü êîðïóñà ñíàðÿäà èëè íåîïåðåííîé ðà- êåòû îòêëîíèòñÿ îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ õîòÿ áû íà íåçíà÷èòåëü- íûé óãîë, òî âîçíèêíåò ðàâíîäåéñòâóþùàÿ àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà RA, äåéñòâóþùàÿ íà ðàêåòó èëè ñíàðÿä è ïðèëîæåííàÿ â öåíòðå äàâ- ëåíèÿ (ÖÄ), êîòîðûé íàõîäèòñÿ ìåæäó ãîëîâíîé ÷àñòüþ ËÀ è åãî öåíòðîì ìàññ (ðèñ. 4.2, à). Ýòî ïðèâåäåò ê ïîÿâëåíèþ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ îïðîêèäûâàþùåãî ìîìåíòà Ì, êîòîðûé ïðè äâèæåíèè íåñòàáèëèçèðîâàííîé ðàêåòû ïî òðàåêòîðèè âûçîâåò åå áåñïîðÿäî÷- íîå äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ è êàê ñëåäñòâèå çíà÷èòåëü- 173 Ðèñ. 4 .1. Ñõåìà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïîëîæåíèé îïåðåííîãî ñíàðÿäà íà òðàåêòîðèè ïðè ïðàâèëüíîì ïîëåòå
íîå èñêàæåíèå òðàåêòîðèè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèå êîðïóñà ñíà- ðÿäà, ïðè êîòîðîì åãî îñü ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ, ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü êàê ïîëîæåíèå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ, ïîñêîëüêó ìàëåéøåå îòêëîíåíèå îñè ñíàðÿäà îò íàïðàâëåíèÿ âåêòî- ðà V âûçîâåò óâåëè÷åíèå ýòîãî îòêëîíåíèÿ. ×òîáû ïðåäîòâðàòèòü ýòî ÿâëåíèå è îáåñïå÷èòü ïðàâèëüíîå ïîëîæåíèå ïðè ïîëåòå (ãîëîâ- íîé ÷àñòüþ âïåðåä), ðàêåòó è ñíàðÿä íåîáõîäèìî ñòàáèëèçèðîâàòü. Ïðèìåíèòåëüíî ê íåóïðàâëÿåìûì ðàêåòàì è ñíàðÿäàì ñóùåñòâó- þò äâà îñíîâíûõ "ïàññèâíûõ" ìåòîäà ñòàáèëèçàöèè – ñòàáèëèçàöèÿ âðàùåíèåì è ñòàáèëèçàöèÿ îïåðåíèåì. Ñòàáèëèçàöèÿ ðàêåò è ñíàðÿäîâ îïåðåíèåì çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íà õâîñòîâîé ÷àñòè ïðîäîëãîâàòîãî êîðïóñà óêðåïëÿþòñÿ ðàçíîîá- ðàçíûå ïî ñâîèì êîíñòðóêòèâíûì ôîðìàì è ðàçìåðàì ñòàáèëèçàòî- ðû. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ðàçìåðîâ ñòàáèëèçàòîðîâ â ñëó÷àå α≠0 ðàâíîäåéñòâóþùàÿ àýðîäèíàìè÷åñêàÿ ñèëà RA áóäåò äåéñòâî- âàòü òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.2, á (äëÿ äâèæåíèÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè). Î÷åâèäíî, ÷òî îáóñëîâëåííûé ñèëîé RÀ ìîìåíò Ì áóäåò ñòðå- ìèòüñÿ óìåíüøèòü óãîë α è ïðèâåñòè êîðïóñ â òàêîå ïîëîæåíèå, ïðè êîòîðîì îñü OX ñîâïàäåò ñ âåêòîðîì ñêîðîñòè V, à ñàì ìîìåíò Ì ñòàíåò ðàâíûì íóëþ, ò.å . áóäåò îêàçûâàòü ñòàáèëèçèðóþùåå (èëè âîññòàíàâëèâàþùåå) âîçäåéñòâèå. Ïîëîæåíèå êîðïóñà, êîòîðîå õà- ðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷åíèåì α = 0 è îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ìîìåíò Ì ñòàáèëèçèðóåò êîðïóñ, áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïîëîæåíèåì óñòîé÷èâîãî ðàâ- íîâåñèÿ. Åñëè óêàçàííîå ÿâëåíèå ðàññìàòðèâàòü òîëüêî â ñòàòèêå, òî äëÿ ìîìåíòà Mz ìîæíî (ïðè ìàëûõ α) ïðèíÿòü çàâèñèìîñòü Mq S l m zz = α α (ñì. ãë . 1). Èñõîäÿ èç ýòîãî âûðàæåíèÿ íàõîäèì ïðèçíàê, îïðåäå- ëÿþùèé õàðàêòåð äåéñòâèÿ Mz íà ðàêåòó èëè ñíàðÿä. 174 Ðèñ. 4 .2. Ñõåìà äåéñòâèÿ àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà: à – íà íåîïåðåííûé ñíàðÿä (ðàêåòó); á – íà îïåðåííûé ñíàðÿä
Äëÿ îïðîêèäûâàþùåãî ìîìåíòà, çíàê êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî çíà- êîì óãëà α, èìååì mz α > 0; äëÿ ñòàáèëèçèðóþùåãî ìîìåíòà mz α <0. Ïðîèçâîäíàÿ mz α ñâÿçàíà ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäúåìíîé ñèëû ñîîò- íîøåíèåì mc ll l zy a αα ≈ − ö.ì ö.ä , (4.1) ãäå l – ïîëíàÿ äëèíà ðàêåòû; lö.ì è lö.ä – ñîîòâåòñòâåííî ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèíû ðàêåòû äî öåíòðà ìàññ è öåíòðà äàâëåíèÿ (ñì. ðèñ. 4.2, á). Òàê êàê cya α > 0 òî, î÷åâèäíî, çíàê ïðîèçâîäíîé ñîâïàäàåò ñî çíà- êîì ðàçíîñòè (lö.ì – lö.ä). Èñõîäÿ èç ýòîãî óñëîâèÿ ñòàòè÷åñêîé óñ- òîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè ðàêåòû (ñíàðÿäà) ìîæíî ñôîðìóëè- ðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: lö.ì – lö.ä < 0 – ðàêåòà èëè ñíàðÿä ñòàòè÷åñêè óñòîé÷èâû; lö.ì – lö.ä > 0 – ðàêåòà èëè ñíàðÿä íåóñòîé÷èâû; lö.ì – lö.ä = 0 – ðàêåòà èëè ñíàðÿä íàõîäÿòñÿ â ñîñòîÿíèè áåçðàç- ëè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïðè äâèæåíèè ñíàðÿäà ïî òðàåêòîðèè ñêîðîñòü åãî ïîëåòà è îðè- åíòàöèÿ îòíîñèòåëüíî âåêòîðà ñêîðîñòè íåïðåðûâíî èçìåíÿþòñÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ïîëîæåíèÿ ÖÄ îòíîñèòåëüíî êîðïóñà. Êðîìå òîãî, íà àêòèâíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè âñëåäñòâèå ðàñõîäà òîï- ëèâà ïðè ðàáîòå äâèãàòåëÿ öåíòð ìàññ ðàêåòû òàêæå ñìåùàåòñÿ îò- íîñèòåëüíî ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ýòè ïðè÷èíû ìîãóò âû- çâàòü ñóùåñòâåííîå èçìåíåíèå çíà÷åíèÿ lö.ì – lö.ä è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíîé mz α , îïðåäåëÿþùåé ñòåïåíü óñòîé÷èâîñòè ðàêåòû. Îò- ñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óãëîâîé ñòàáèëèçàöèè ðàêåòû â ïîëåòå íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïî âñåé òðàåêòîðèè âûïîëíÿëîñü óñëîâèå mz α < 0 è íåðàâåíñòâî ||| | . mm zz αα ≥ äîï Èíûìè ñëîâàìè, ñòàáèëèçèðîâàííàÿ îïåðåíèåì ðàêåòà (èëè ñíà- ðÿä) äîëæíà îáëàäàòü çàïàñîì "ñòàòè÷åñêîé" óñòîé÷èâîñòè. Çàïàñ ñòàòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îáû÷íî õàðàêòåðèçóþò âûðàæåííîé â ïðîöåíòàõ âåëè÷èíîé mz cy , êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ m m c ll l cñ z c z y y a == − =− ||( )%( )%, α α ö.ì ö.ä ö.ì ö.ä 100 100 (4.2) ãäå ñö.ä – êîýôôèöèåíò öåíòðà äàâëåíèÿ; ñö.ì – êîýôôèöèåíò öåíòðà ìàññ. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî íåóïðàâëÿåìûå îïåðåííûå ðàêåòû è ñíàðÿ- äû ÿâëÿþòñÿ õîðîøî ñòàáèëèçèðîâàííûìè, åñëè îíè îáëàäàþò çàïà- ñîì ñòàòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè mz cy =10 15 K %. 175
Èññëåäóåì õàðàêòåð äâèæåíèÿ (ïîëàãàÿ, ÷òî îíî ñîâåðøàåòñÿ òîëüêî â ïëîñêîñòè ñòðåëüáû) íåóïðàâëÿåìîãî ñòàòè÷åñêè óñòîé÷è- âîãî ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà ìàññ. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîò- ðèì ó÷àñòîê òðàåêòîðèè, ïðè äâèæåíèè ïî êîòîðîìó ìîæíî ñ÷èòàòü mz α = const, θ = const.  ýòîì ñëó÷àå áåç ó÷åòà äåìïôèðîâàíèÿ óðàâ- íåíèå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ çàïèøåòñÿ â âèäå d dt 2 2 2 0 α ωα += c , (4.3) ãäå ω α α c 2 == M I Sql I m z zz z ||–êîýôôèöèåíò, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí çàðàíåå ïî èçâåñòíîé òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ îïåðåííîãî ñíàðÿäà. Ïîëàãàÿα=α0è•• αα = 0 â ïðåäåëàõ íåáîëüøîãî ó÷àñòêà òðàåêòî- ðèè äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïðè t0 = 0, ïîëó÷èì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.3) â âèäå ααω α ω ω =+ 0 0 cos( ) • sin( ). c c c tt (4.4) Ïóòåì íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê áîëåå óäîáíîìó âèäó ααωε =+ m t sin( ), c (4.5) ãäå ñäâèã ïî ôàçå îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ε ωα α = arctg c0 0 • . (4.6) Ðåøåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè ïðèíÿòûõ äîïóùåíèÿõ äâèæåíèå ñòàòè÷åñêè óñòîé÷èâîãî îïåðåííîãî ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêèå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, õàðàê- òåðèçóþùèåñÿ àìïëèòóäîé α α ω α m = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ • 0 2 0 2 ñ (4.7) è ïåðèîäîì Ò =2π/ωñ. 176
Ãðàôèêè èçìåíåíèÿ óãëà α ïî âðåìåíè ïðèìåíèòåëüíî ê ïîëó- ÷åííîìó ðåøåíèþ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4.3.  ðàññìîòðåííîì âûøå ñëó- ÷àå ïðè àíàëèçå êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îïåðåííûõ ñòàòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ ðàêåò è ñíàðÿäîâ ìû íå ó÷èòûâàëè äåìïôèðóþùèé ìîìåíò Mäz. Ïðèðîäà ýòîãî ìî- ìåíòà áûëà ðàññìîòðåíà â ãë. 1, è çäåñü îòìåòèì òîëüêî, ÷òî äåé- ñòâèå Mäz ïðèâîäèò ê çàòóõàíèþ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, îáó- ñëîâëåííîãî íà÷àëüíûìè âîçìó- ùåíèÿìè è ìîìåíòîì Mz. Õàðàê- òåð èçìåíåíèÿ óãëà α ïðè ó÷åòå äåìïôèðîâàíèÿ ïîêàçàí íà ðèñ. 4.3 (êðèâàÿ 2). Òàêèì îáðàçîì, â ïëîòíûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû îïåðåííûå ðàêåòû è ñíàðÿäû äâèæóòñÿ ïî òðàåêòîðèè òàê, ÷òî èõ ïðîäîëüíàÿ îñü ïëàâíî "ñëåäèò" çà âåêòîðîì V, ïîêà êàêèå-ëèáî âîçìóùåíèÿ âíîâü íå âîç- áóäÿò êîëåáàíèé. Ñòàáèëèçàöèÿ ñíàðÿäîâ âðàùåíèåì. Ïðè äâèæåíèè ïî òðàåêòîðèè ñíàðÿäà, áûñòðî âðàùàþùåãîñÿ îòíîñèòåëüíî ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè, àýðîäèíàìè÷åñêèå ñèëû, ñîçäàâàÿ ìîìåíò, ñòðåìÿòñÿ îïðîêè- íóòü ñíàðÿä, íî îí, êàê âîë÷îê, íå îïðîêèäûâàåòñÿ, à äâèæåòñÿ óñ- òîé÷èâî. Ïðîäîëüíàÿ îñü ñíàðÿäà, "ñëåäÿ" çà êàñàòåëüíîé ê òðàåêòî- ðèè, êîëåáëåòñÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî äèíàìè÷åñêîé îñè ðàâíîâåñèÿ. Àðòèëëåðèéñêèé ñíàðÿä ïîëó÷àåò âðàùåíèå â êàíà- ëå ñòâîëà âñëåäñòâèå äâèæåíèÿ âûñòóïîâ âåäóùåãî ïîÿñêà ñíàðÿäà ïî âèíòîîáðàçíûì íàðåçàì ñòâîëà. Ðàêåòû, ñòàáèëèçèðóþùèåñÿ âðàùåíèåì, íàçûâàþòñÿ òóðáîðåàêòèâíûìè ñíàðÿäàìè (ÒÐÑ); îíè âðàùàþòñÿ çà ñ÷åò èñòå÷åíèÿ ãàçîâ èç êîñî ðàñïîëîæåííûõ ñîïåë. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà èëè ÒÐÑ äîëæíà ðàñ- ñ÷èòûâàòüñÿ òàê, ÷òîáû ïðè äâèæåíèè ïî òðàåêòîðèè åãî ïðîäîëü- íàÿ îñü íåïðåðûâíî "ñëåäèëà" çà íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà, îòêëîíÿÿñü îò ïîñëåäíåãî â ïðåäåëàõ äîïóñòèìûõ óã- ëîâ. Êàê ïîêàçàëè ìíîãèå èññëåäîâàíèÿ, äâèæåíèå ñíàðÿäîâ è ðà- êåò îòíîñèòåëüíî èõ öåíòðîâ ìàññ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòäåëü- íî îò ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ïî òðàåêòîðèè, ñ÷èòàÿ, ÷òî âñå õàðàêòåðèñòèêè ïîñëåäíåãî ÿâëÿþòñÿ èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè V(t), θ(t), yg(t) è ò.ä. Ïðè ýòîì äëÿ èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ 177 Ðèñ. 4 .3 . Èçìåíåíèå ñî âðåìåíåì óãëà α: 1 – áåç ó÷åòà äåìïôèðîâàíèÿ; 2 – ñ ó÷å- òîì äåìïôèðîâàíèÿ
óñòîé÷èâîñòè âðàùàþùåãîñÿ ñíàðÿäà äîñòàòî÷íî â ïåðâîì ïðè- áëèæåíèè ó÷åñòü òîëüêî îïðîêèäûâàþùèé ìîìåíò Mz, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ôàêòîðîì, îïðåäåëÿþùèì õàðàêòåð âðàùà- òåëüíîãî äâèæåíèÿ [37]. Ïåðâûå òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïî îöåíêå óñëîâèé óñòîé÷èâî- ñòè óãëîâîãî äâèæåíèÿ áûñòðîâðàùàþùèõñÿ ñíàðÿäîâ áûëè ïîëó÷å- íû Í. . Ìàèåâñêèì [82], êîòîðûé ïðèâåë ýòó çàäà÷ó ê èçâåñòíîìó â òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå ñëó÷àþ Ëàãðàíæà–Ïóàññîíà äâèæåíèÿ ñèììåòðè÷íîãî òÿæåëîãî òåëà ñ îäíîé çàêðåïëåííîé òî÷êîé, â ïðåä- ïîëîæåíèè, ÷òî äëÿ ìàëûõ îòêëîíåíèé îñè ñíàðÿäà îò êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà èãðàþò êàê áû ðîëü âåñà. Ìàèåâñêèé, èñïîëüçóÿ ïðèáëèæåííûé àíàëèç, ïîëó÷èë óñëîâèå óñ- òîé÷èâîñòè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà äëÿ íàñòèëüíûõ òðà- åêòîðèé, êîòîðîå Í.Ã. ×åòàåâ íàçâàë íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé- ÷èâîñòè è ñòðîãèé âûâîä êîòîðîãî áûë äàí À.Í. Êðûëîâûì [64]. Í.Ã. ×åòàåâ, ðàññìàòðèâàÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà íà íà÷àëüíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè ïðè äåéñòâèè îïðîêèäûâàþùåãî ìîìåíòà, ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà ïîêàçàë, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Ìàèåâñêîãî óãëîâîå äâèæåíèå ñíàðÿäà ñ íóëåâûì óãëîì íóòàöèè óñ- òîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó [127]. Â.Ñ. Ïóãà÷åâ, èñïîëüçóÿ ïåðâûé ìåòîä Ëÿïóíîâà, óñòàíîâèë, ÷òî ïðè ïîëíîé ñèñòåìå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà àðòèëëåðèéñêèé ñíàðÿä, äâèæåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå èäåàëüíî ïðà- âèëüíîìó ïîëåòó, íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó [98]. Ýòè êëàññè÷åñêèå â áàëëèñòèêå ðåçóëüòàòû ïðèâîäÿòñÿ íèæå (ñì. ïîäðàçä. 4 .3).  êà÷åñòâå èñõîäíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà ïðèíÿòû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, çàïèñàííûå â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà (ïî òåðìèíîëîãèè Í.Ã. ×åòàåâà), à òàêæå âëèÿíèå íà óñòîé- ÷èâîñòü ðàçëè÷íûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñíàðÿä, ðàññìàòðèâàþòñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî â ãë. 8 . 4.2 . ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÄÂÈÆÅÍÈß ÏÎ ËßÏÓÍÎÂÓ 4.2.1. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÏÎ ËßÏÓÍÎÂÓ Ïóñòü äâèæåíèå ËÀ îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà • (,,,); .................... • (,, yYty y yYt y n nn 111 1 = = K K,) , yn (4.8) 178
ãäå y1,..., yn – ïåðåìåííûå, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû, â íàøåì ñëó÷àå – õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ ËÀ. Íåêîòîðîå âïîëíå îïðåäåëåííîå äâèæåíèå, ïîäëåæàùåå èññëå- äîâàíèþ íà óñòîé÷èâîñòü, íàçûâàåòñÿ íåâîçìóùåííûì äâèæåíèåì. Ïóñòü åìó ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.8) y1 = = ξ1(t); ...; yn = ξn(t), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (t = t0) yyt yyt nnn 11 01 0 00 == == ξ ξ (); ............... (). (4.9) Äðóãèå âîçìîæíûå ïðè òåõ æå ñèëàõ äâèæåíèÿ ñèñòåìû (4.8) yi = yi(t) (i =1 , ... , n), ñ êîòîðûìè áóäåò ñðàâíèâàòüñÿ íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå, íàçûâàþò âîçìóùåííûìè. Èì îòâå÷àþò äâèæåíèÿ ñ èçìåíåííûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè: yt yt t t nn n 11 01 0 0 =+ =+ = ξε ξε ();; () . K ïðè (4.10) Âåëè÷èíû ε1,...,εn áóäåì íàçûâàòü âîçìóùåíèÿìè. Ðàçíîñòè ïåðåìåííûõ, îòâå÷àþùèõ âîçìóùåííîìó è íåâîçìóùåííîìó äâèæåíèþ, ðàâíû xyt ti n iii =− = ()(),,,. ξ 1K (4.11) Ïåðåìåííûå xi íàçûâàþò îòêëîíåíèÿìè èëè âàðèàöèÿìè âåëè÷èíû yi. Åñëè âñå îòêëîíåíèÿ ðàâíû íóëþ (xi =0,i =1,..., n), òî âîçìóùåííîå äâèæåíèå yi(t) áóäåò ñîâïàäàòü ñ íåâîçìóùåííûì ξi(t). Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ îòêëîíåíèé xi0 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âîçìóùåíèÿ ñèñòåìû xx intt iii === = 00 1 ε(, , ) . K ïðè (4.12) Äâèæåíèå, îïèñûâàåìîå ðåøåíèåì ξi(t), íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó, åñëè ïðè âñÿêîì ïðîèçâîëüíî çàäàâàåìîì ÷èñëå À >0,êàê áû ìàëî îíî íè áûëî, ìîæåò áûòü âûáðàíî òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî Λ, ÷òî ïðè âñÿêèõ âîçìóùåíèÿõ xi0, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ xxx x ni i n 10 2 20 2 0 2 0 2 1 +++= ≤ = ∑ K Λ, (4.13) è ïðè ëþáîì t ≥ t0 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî xxxxA ni i n 1 2 2 222 1 +++ = < = ∑ K . (4.14)  ïðîòèâíîì ñëó÷àå äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî. 179
Ñõåìà îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó ïîêàçàíà íà ðèñ. 4.4 . Âîçìóùåííîå ðåøåíèå yi(t), íà÷èíàþùååñÿ ïðè t = t0 âîê- ðåñòíîñòè íåâîçìóùåííîãî ðåøåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî âåëè÷èíîé δ, ïðè t →∞íå ïîêèäàåò îêðåñòíîñòü íåâîçìóùåííîãî ðåøåíèÿ ξi(t), îïðåäåëÿåìîãî âåëè÷èíîé À. Ïðàêòè÷åñêè óñòîé÷èâîñòü äàííîãî íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ íà- ÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ âîçìóùåííîå äâèæåíèå áóäåò ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò íåâîçìóùåííîãî. Åñëè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (4.13) è (4.14) âûïîëíÿåòñÿ òàêæå óñëîâèå lim (), t i i n xt →∞ = = ∑2 1 0 (4.15) òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå ξi(t) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì.  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì äâèæåíèÿ, óñòîé÷èâîãî ïî Ëÿïó- íîâó, äëÿ îöåíêè óñòîé÷èâîñòè íåîáõîäèìî âûÿñíèòü ïîâåäåíèå îò- êëîíåíèé xi(t) ïðè t →∞. Ïîýòîìó ðåøåíèå âîïðîñà îá óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó ïðèâîäèò ê èññëåäîâàíèþ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé (ìîäåëåé) âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Èç (4.11) èìååì yi(t)=xi(t)+ξi(t); i =1,..., n. Ïîäñòàâèâ ýòè çíà- ÷åíèÿ â èñõîäíóþ ñèñòåìó (4.8), ïîëó÷èì • • (,,,) , ,,. xY t x xin iii nn += + += ξξξ 11 1 KK (4.16) 180 Ðèñ. 4 .4 . Îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ïî Ëÿïóíîâó
Ðàñêëàäûâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ óðàâíåíèé â ðÿäû Òåéëîðà ïî ñòåïåíÿì xi, íàéäåì • • (,,,) xY t Y x x Y x iii n ii n += + ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ++⎛ ⎝⎜⎞ ξξξ∂ ∂ ∂ ∂ 1 10 1 KK ⎠⎟+ 0 xX ni * , (4.17) ãäåXi * – ñîâîêóïíîñòü ÷ëåíîâ, çàâèñÿùèõ îò îòêëîíåíèé â ñòåïåíè âûøå ïåðâîé; íèæíèé èíäåêñ 0 ïðè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îçíà÷àåò, ÷òî îíè âû÷èñëÿþòñÿ ïðè xi = 0, ò.å . ïðè íåâîçìóùåííûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ. Òàê êàê â íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè ôóíêöèè ξi(t) äîëæíû óäîâ- ëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì (4.8), ò.å . • (,,,) , ,,, ξξξ ii n Yt i n == 1 1 KK (4.18) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì • (,,,), xXtx x ii n = 1K (4.19) ãäå Xi (t, x1,..., xn)= ∂ ∂ ∂ ∂ Y x x Y x xX in n ni 10 1 0 ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ++⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ K * . Óðàâíåíèÿ (4.19) íàçûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Åñëè â ýòèõ óðàâíåíèÿõ îòáðîñèòü ÷ëåíû Xi * , òî ïîëó÷àòñÿ óðàâíåíèÿ • ; ............ x Y x x Y x x n n 1 1 10 1 1 0 = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ++⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ K ................ • x Y x x Y x n nn n = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ++⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ 10 1K 0 xn, (4.20) íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, àíàëèç óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ξi(t), ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷àñòíîìó ðåøåíèþ ñèñòåìû (4.8), ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ (ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ) óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.19), òàê êàê ïðè õ1 = õ2 = ...= =xn = 0 âñå ôóíêöèè xi îáðàùàþòñÿ â íóëü: Xt i(,) . 00 ≡ (4.21) 181
Åñëè óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ àâòîíîìíû, ò.å. ôóíêöèè Xi ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò, òî áóäåì èìåòü • (,,) . xXx x ii n = 1K (4.22) 4.2 .2. ÏÅÐÂÛÉ ÌÅÒÎÄ ËßÏÓÍÎÂÀ. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÏÎ ÏÅÐÂÎÌÓ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÞ Ïåðâûì Ëÿïóíîâ íàçâàë òàêîé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ðåøåíèå çàäàííîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, ïîêàçûâàþùåå, óñòîé÷èâî íó- ëåâîå ðåøåíèå èëè íåò. Ïðè îïðåäåëåíèè óñòîé÷èâîñòè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âîçìóùàþ- ùèõ ñèë íåò â òîì ñìûñëå, ÷òî âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ ïðîèñõîäÿò ïîä äåéñòâèåì òåõ æå âíåøíèõ ñèë, êîòîðûå ó÷èòûâàëèñü ïðè îïðå- äåëåíèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè ïðè âîçìóùàþùèõ ñèëàõ íå èìååò ñìûñ- ëà, åñëè ýòè ñèëû íè÷åì íå îãðàíè÷åíû. Åñëè æå âîçìóùåíèÿ, äåé- ñòâóþùèå íà ËÀ, ìåíÿþòñÿ îò ñëó÷àÿ ê ñëó÷àþ òàê ìàëî, ÷òî èõ èç- ìåíåíèå íå âëèÿåò íà ëèíåéíûå ÷ëåíû â ôóíêöèÿõ Xi, òî âîçíèêàåò ïðàêòè÷åñêè âàæíàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæå- íèþ (ò.å. ïî óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ) íåçàâèñèìî îò ÷ëå- íîâ âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà () . * X i Òî åñòü ñòàâèòñÿ âîïðîñ îá îïðåäå- ëåíèè óñëîâèé, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðè- áëèæåíèÿ äàþò ïðàâèëüíóþ îöåíêó óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Îáîçíà÷èâ â óðàâíåíèÿõ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (4.20) ∂ ∂ ∂ ∂ Y x a Y x ai n i i i n in 10 1 0 1 ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟= ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ == ;; , ,,, KK ìîæíî çàïèñàòü èõ â âèäå • ; ................... • xa xa x xa xa nn nn 11 1 11 11 =+ + =+ + K K nnn x. (4.23) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé àâòîíîìíîé ñèñòåìû, êîãäà âñå êîýôôèöè- åíòû óðàâíåíèé (4.23) – ïîñòîÿííûå ÷èñëà . ×àñòíîå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ìîæåò áûòü íàéäåíî â ôîðìå xA exA e t nn t 11 == λλ ;; , K (4.24) 182
ãäå À1,..., An, λ – ïîñòîÿííûå ÷èñëà . Äèôôåðåíöèðóÿ (4.24), íàéäåì ïðîèçâîäíûå • ;;• . xAe xA e t nn t 11 == λλ λλ K (4.25) Ïîäñòàâèâ (4.24) è (4.25) â óðàâíåíèÿ (4.23) è ñîêðàòèâ èõ íà îáùèé ìíîæèòåëü e λt , ïîëó÷èì () ; () aA a Aa A aAaA aA nn nn 11 1 122 1 211 22 2 2 0 −++ += +−+ += λ λ K K 0 11 22 ; ............................... ( aA aA a nn n ++ + K nn A −= λ). 0 (4.26) Ýòà ñèñòåìà ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ïîñòîÿííûõ À1,..., An äîëæíà èìåòü ðåøåíèå, îòëè÷- íîå îò íóëÿ (èíà÷å âñå xi ≡ 0). Ïîýòîìó îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû äîëæåí áûòü ðàâåí íóëþ: aaa aa a aaa n n nn n n 11 12 1 21 22 2 12 0 − − − = λ λ λ K K KK K K K . (4.27) Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî λ íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè- ÷åñêèì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò íåèçâåñòíîå ÷èñ- ëî λ â ñòåïåíè n. Ñëåäîâàòåëüíî, îíî èìååò n êîðíåé: λ1, λ2,..., λn. Åñëè ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íåò ðàâíûõ ìåæ- äó ñîáîé, òî âñåãäà ñóùåñòâóåò íåîñîáîå ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå za xza x ii n i n nii i n 11 11 == == ∑∑ ;; , K (4.28) ãäå aji – ïîñòîÿííûå ÷èñëà, êîòîðîå ïðèâîäèò óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (4.23) ê âèäó • ; .......... • . zz zz nn n 11 1 = = λ λ (4.29) 183
Ïåðåìåííûå z1,..., zn íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè ïåðåìåííûìè. Òàê êàê êîýôôèöèåíòû aji – ïîñòîÿííûå ÷èñëà, òî èç óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ xi ñëåäóåò óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ zi, è íàîáîðîò. Ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ î êîðíÿõ λ óðàâíåíèÿ (4.29) èíòåãðèðóþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà è èõ ðåøåíèå èìååò âèä zz ezz e t nn tn 11 0 0 1 == λλ ;; , K (4.30) ãäå zi0 – çíà÷åíèå ïåðåìåííûõ ïðè t = 0.  îáùåì ñëó÷àå λk = νk + iμk. Åñëè νk ≠ 0èμk ≠ 0, òî êîðåíü êîìïëåêñíûé; åñëè νk =0èμk ≠ 0– ÷èñòî ìíèìûé; åñëè μk = 0 – âåùåñòâåííûé; åñëè μk = νk =0– íóëåâîé. Òîãäà ||| ||| . () ee e e kk kk k ti t t i t λν μν μ == + Òàê êàê || | c o ss i n|, et i t it kk k μ μμ =+= 1òî ||. ee kk tt λν = (4.31) Èç ðàâåíñòâà (4.24) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t →∞ ||, ; ||, ; ||, e e e k k k t k t k t λ λ λ ν ν ν →< == →∞ 00 10 åñëè åñëè åñëè k>0. (4.32) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå êîòîðîé íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ðåøàåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíàêà âåùåñòâåííîé ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. À.Ì. Ëÿïóíîâ ñôîðìóëèðîâàë óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çàêëþ÷åíèå îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ìîæíî ñîñòàâèòü ïî óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, äîêàçàâ òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ: åñëè âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ- íåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ îòðèöàòåëüíû, òî íåâîçìóùåííîå äâè- æåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî íåçàâèñèìî îò ÷ëåíîâ âûøå ïåð- âîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè; åñëè ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäèí ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ, òî íåâîçìóùåííîå 184
äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî íåçàâèñèìî îò ÷ëåíîâ âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè. Ýòè äâå òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ ðå- øàþò çàäà÷ó â äâóõ ñëó÷àÿõ – êîãäà âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ îòðèöàòåëüíû è êîãäà âåùåñòâåí- íàÿ ÷àñòü õîòÿ áû îäíîãî êîðíÿ ïîëîæèòåëüíà.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ (îíè íàçûâàþòñÿ îñîáûìè èëè êðèòè÷åñêèìè), íàïðèìåð êîãäà âå- ùåñòâåííûå ÷àñòè íåêîòîðûõ êîðíåé ðàâíû íóëþ, äëÿ îöåíêè óñ- òîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ îäíèõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ íå- äîñòàòî÷íî. Âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ó÷åòå âëèÿíèÿ íåëèíåéíûõ ÷ëåíîâ. 4.2.3. ÂÒÎÐÎÉ ÌÅÒÎÄ ËßÏÓÍÎÂÀ Âòîðîé ìåòîä Ëÿïóíîâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç íàèáîëåå ýôôåêòèâ- íûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè. Îí îñíîâàí íà ïðèìåíå- íèè ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, îïðåäåëÿåìûõ äëÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, è íå ïðåäïîëàãàåò íåîáõîäè- ìîñòè íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé. Äàííîå îáñòîÿ- òåëüñòâî äàëî Í.Ã. ×åòàåâó îñíîâàíèå íàçâàòü åãî ïðÿìûì ìåòîäîì. Åãî òàêæå íàçûâàþò ìåòîäîì ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, ïî ñâîéñòâàì êî- òîðûõ ñóäÿò îá óñòîé÷èâîñòè èëè íåóñòîé÷èâîñòè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ. Ñâîéñòâà ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Ôóíêöèÿ V(t, x1,..., xn)=V(t, x), ãäå x – âåêòîð-ñòðîêà ñ ñîñòàâëÿþùèìè x1, ..., xn, áóäåò íàçûâàòüñÿ ôóíêöèåé Ëÿïóíîâà, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò äâóì îáùèì òðåáîâà- íèÿì: îíà äîëæíà ÿâëÿòüñÿ âåùåñòâåííîé, îäíîçíà÷íîé è íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé â îáëàñòè tt xA i i n ≥≤ = ∑ 0 2 1 ,, (4.33) ãäå À – íå ðàâíàÿ íóëþ âåëè÷èíà, è èìåòü â ýòîé îáëàñòè íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî âñåì ïåðåìåííûì; ïðè âñÿêîì t ≥ t0 çíà÷åíèå ôóíêöèè â íà÷àëå êîîðäèíàò äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü: Vt (,, ,) . 000 K = (4.34) Ïðè ýòîì îáëàñòü ïåðåìåííûõ t è õi íàçûâàþò îáëàñòüþ At,à ìíîæåñòâî òî÷åê (x1,..., xn), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 185
xA i i n 2 1 ≤ = ∑, íàçûâàþò îáëàñòüþ À èëè ìíîæåñòâîì, îãðàíè÷åííûì ñôåðîé À, óðàâíåíèå êîòîðîé èìååò âèä xA i i n 2 1 = = ∑. Åñëè â îáëàñòè At ôóíêöèÿ V êðîìå íóëåâîãî ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ òîëüêî îäíîãî çíàêà, òî îíà íàçûâàåòñÿ çíàêîïîñòîÿííîé (ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé). Åñëè æå çíàêîïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå õ1, õ2, ..., xn ðàâíû íóëþ (ò.å . â åäèíñòâåííîé òî÷êå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âîçìóùåííîé ñèñòåìû – â íà÷àëå êîîðäèíàò), òî ôóíêöèÿ V íàçûâà- åòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé (ñîîòâåòñòâåííî îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëü- íîé èëè îïðåäåëåííî-îòðèöàòåëüíîé). Ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå è ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íàçûâàþòñÿ çíàêîïåðåìåííûìè ôóíêöèÿìè. Ââåäåííûå òàêèì îáðàçîì ôóíêöèè V íàçûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè Ëÿïóíîâà. Èç óêàçàííûõ îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî çíàêîîïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïðè õ1 = ... = xn = 0 ýêñòðåìóì: â ñëó÷àå îïðåäåëåí- íî-ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè – ìèíèìóì, â ñëó÷àå îïðåäåëåííî-îò - ðèöàòåëüíîé – ìàêñèìóì. Ïóñòü ôóíêöèÿ V = V(x) íåïðåðûâíà âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîä- íûìè è ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé. Òîãäà ïðè õ1 = õ2 = ... = xn =0 îíà áóäåò èìåòü èçîëèðîâàííûé ýêñòðåìóì, à çíà÷èò, âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà, âû÷èñëåííûå â ýòîé òî÷êå, áóäóò ðàâíû íóëþ (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà): ∂ ∂ V x in i ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ == 01 ,, , . K (4.35) Ðàçëîæèì ôóíêöèþ V â ðÿä Ìàêëîðåíà ïî ñòåïåíÿì x1,..., xn: VV V x x V xx xx i i ji ji i =+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟+ = () . 0 1 2 0 2 0 1 ∂ ∂ ∂ ∂∂ K n j n i n ∑ ∑ ∑ = = 1 1 (4.36) Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (4.34) è (4.35) ïîëó÷èì Vc x x jiji i n j n =+ = = ∑ ∑1 21 1 K. (4.37) 186
Ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû cji = cij îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè c V xx ij n ji ji = ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ = ∂ ∂∂ 2 0 12 ,, ,, ,. K (4.38) Èç (4.37) âèäíî, ÷òî ðàçëîæåíèå çíàêîîïðåäåëåííîé ôóíêöèè V â ðÿä ïî ñòåïåíÿì x1,..., xn íå ñîäåðæèò ÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè. Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 1 21 1 cxx jiji i n j n = = ∑ ∑ (4.39) ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ è â íóëü îáðàùàåòñÿ òîëüêî ïðè õ1 = õ2 = ... = xn = 0, òî íåçàâèñèìî îò ÷ëåíîâ âûñøåãî ïîðÿäêà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî ìîäóëþ xi ôóíêöèÿ V òàêæå áóäåò ïðèíèìàòü ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ è â íóëü áóäåò îáðàùàòüñÿ òîëüêî ïðè x1 = ... = xn = 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (4.39) îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíà, òî ôóíêöèÿ V áóäåò îïðåäåëåí- íî-ïîëîæèòåëüíîé. Êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ êâàä- ðàòè÷íîé ôîðìû (4.39) Ñ= ññ ñ ññ ñ cc c n n nn 11 12 1 21 22 2 12 K K K .................... nn (4.40) è ñîñòàâèì èç íåå n ãëàâíûõ äèàãîíàëüíûõ ìèíîðîâ ∆∆ ∆ 11 12 11 12 21 22 11 1 == = c cc cc cc c n n ; ;; .............. K K nn n c 1K . (4.41)  ëèíåéíîé àëãåáðå äîêàçûâàåòñÿ êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà [27]: äëÿ òîãî ÷òîáû êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà áûëà îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ãëàâíûå äèàãîíàëüíûå ìèíîðû ∆1, ∆2,..., ∆n ìàòðèöû åå êîýôôèöèåíòîâ áûëè ïîëîæèòåëüíû, ò.å . ∆∆ ∆ 12 00 0 >> > ;; ;. K n (4.42) 187
Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà (4.42) äëÿ êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè (4.39) ôóíêöèè V ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì îïðåäåëåííî- ïîëîæèòåëüíîñòè ñàìîé ôóíêöèè V (4.37). Åñëè ôóíêöèÿ V îïðåäåëåííî-îòðèöàòåëüíà, òî (−V ) áóäåò îïðå- äåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé. Ïîýòîìó óñëîâèåì îïðåäåëåííî-îòðèöà- òåëüíîé ôóíêöèè V ñëóæèò êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà äëÿ ìàòðèöû (−Ñ): ∆∆∆ 123 000 <>< ,,, , K (4.43) ò.å. çíàêè îïðåäåëèòåëåé ∆i äîëæíû ÷åðåäîâàòüñÿ. Îñíîâíûå òåîðåìû ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà. Îäíîâðåìåííî ñ ôóíêöèåé V ðàññìîòðèì åå ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t, âçÿ- òóþ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðåìåííûå xi (i =1,..., n) óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.22). Èìååì • •• • . V dV dt V x x V x x V x x n n = =++ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 2 2K (4.44) Ïîäñòàâëÿÿ â (4.44) âìåñòî •x i ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé âîçìóùåí- íîãî äâèæåíèÿ (4.22), ïîëó÷èì • . V V x X V x X V x X n n =++ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 1 1 2 2K (4.45) Çíàíèå ïðîèçâîäíîé • V ïîçâîëÿåò íàãëÿäíî ïðîñëåäèòü çà äâèæåíèåì èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçìóùåííîé ñèñòåìû (4.22). Äëÿ ëþáîé îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèè V óðàâíåíèå Vxxc n (,,) 1K = èçîáðàæàåò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ ïîâåðõíî- ñòåé â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âîçìóùåííîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì âáëèçè íà÷àëà êîîðäèíàò çíà÷åíèþ ñ1, ìåíüøåìó ñ, ñîîòâåòñòâóåò ïîâåðõíîñòü, öåëèêîì ëåæàùàÿ âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ, ñîîòâåòñòâóþùåé áîëüøåìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà. Ïðè ñ → 0 ïîâåðõíîñòü ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó – íà÷àëî êîîðäèíàò. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ÿñíî, ÷òî åñëè ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå â îêðåñòíî- ñòè íà÷àëà êîîðäèíàò ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî âîâíóòðü ëþáîé ïî- âåðõíîñòè V(x1,..., xn)=c èëè ïî íåé è íå ìîæåò âûõîäèòü èç îãðàíè- 188
÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ îáëàñòè íàðóæó, òî ñèñòåìà óñòîé÷èâà (ðèñ. 4.5, à). Åñëè æå èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî âîâíóòðü ëþáîé ïîâåðõíîñòè V(x1, x2,..., xn)=c (ñì. ðèñ. 4.5, á), òî ñèñòåìà àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà. Åñëè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ âîâíóòðü ïîâåðõíîñòè V(x1,..., xn)=c, òî îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ V(x1,..., xn) óáûâàåò ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû è, ñëåäîâàòåëüíî, åå ïîëíàÿ ïðîèç- âîäíàÿ ïî âðåìåíè îòðèöàòåëüíà. Åñëè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâè- æåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè V(x1,..., xn)=c, òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíê- öèè V ïî âðåìåíè ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè V(x1,..., xn) ïîñòî- ÿííî-îòðèöàòåëüíà, åñëè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî âîâíóòðü ëþáîé ïîâåðõíîñòè V = c èëè ïî íåé, è îïðåäåëåí- íî-îòðèöàòåëüíà, åñëè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî âíóòðü ïîâåðõíîñòè V = c . Ïðèâåäåííûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè èëëþñòðèðó- þòñÿ îñíîâíûå òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâî- ñòè äâèæåíèÿ. Òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè. Åñëè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ìîæíî íàéòè çíàêîîïðåäåëåí- íóþ ôóíêöèþ V, ïðîèçâîäíàÿ • V êîòîðîé â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé áûëà áû çíàêîïîñòîÿííîé ôóíêöèåé ïðîòèâîïîëîæíîãî ñ V çíàêà èëè òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå óñòîé- ÷èâî. Òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Åñëè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ìîæíî íàéòè çíàêîîïðåäåëåííóþ ôóíêöèþ V, ïðîèçâîäíàÿ • V êîòîðîé â 189 Ðèñ. 4 .5. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå: à – óñòîé÷èâîé ñèñòåìû; á – àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ñèñòåìû
ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé áûëà áû çíàêîîïðåäåëåííîé ôóíêöèåé ïðîòè- âîïîëîæíîãî ñ V çíàêà, òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå àñèìïòîòè÷å- ñêè óñòîé÷èâî. À.Ì. Ëÿïóíîâûì áûëè äîêàçàíû äâå òåîðåìû î íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Í.Ã. ×åòàåâ îáîáùèë ýòè òåîðåìû è äîêàçàë òåîðåìó, èç êîòîðîé êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé âûòåêàþò òåîðåìû Ëÿïóíîâà. Òåîðåìà ×åòàåâà î íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Åñëè äèôôåðåíöè- àëüíûå óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ôóíê- öèþ V, äëÿ êîòîðîé â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ñóùåñò- âóåò îáëàñòü V > 0, è åñëè ïðîèçâîäíàÿ • V ôóíêöèè V, âû÷èñëåííàÿ â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé, ïîëîæèòåëüíà âî âñåõ òî÷êàõ îáëàñòè V >0,òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî. Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìîé ìåòîä äàåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâî- ñòè, ò.å . íåâûïîëíåíèå ýòèõ óñëîâèé åùå íå îçíà÷àåò, ÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû íåóñòîé÷èâî. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà ÷àñòî îñëîæíÿåòñÿ òðóäíîñòüþ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïó- íîâà V(x1, ..., xn). Îáùèõ ðåêîìåíäàöèé ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïó- íîâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñèñòåì íå ñóùåñòâóåò. Âìåñòå ñ òåì äëÿ ìíîãèõ êëàññîâ çàäà÷ ðàçðàáîòàíû ðåãóëÿðíûå ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Îáçîð îñíîâíûõ ñïîñîáîâ ïðèâåäåí â ðàáîòå [107]. Ðàññìîòðèì çäåñü ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôóíê- öèé Ëÿïóíîâà, èñïîëüçîâàâøèéñÿ ïðè ðåøåíèè áàëëèñòè÷åñêèõ çà- äà÷, ïðåäëîæåííûé Í.Ã. ×åòàåâûì. Äëÿ ñëó÷àåâ, êîãäà èçâåñòíû ïåðâûå èíòåãðàëû óðàâíåíèé âîçìó- ùåííîãî äâèæåíèÿ, Í.Ã. ×åòàåâ ïðåäëîæèë ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â ôîðìå ñâÿçêè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.22) äî- ïóñêàþò ïåðâûé èíòåãðàë: Fxx h n (,,) , 1K == const (4.46) äëÿ êîòîðîãî ðàçíîñòü F(x)–F(0) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî-ïî- ëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé ïåðåìåííûõ x1,...,xn. Òîãäà â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà ìîæíî âçÿòü ôóíêöèþ VFxxF n =− (,,) () . 1 0 K (4.47) Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè V ïî âðåìåíè â ñèëó óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñîãëàñíî (4.46) òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ôóíêöèÿ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. 190
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîïóñêàþò íåñêîëüêî ïåðâûõ èíòåãðàëîâ: FxxhFxxh nk n k 11 1 1 (,,) ;; (,,) , KK K == (4.48) ïðè÷åì íè îäèí èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé.  îáùåì ñëó÷àå VF F F F FF kkk k =−+ +−+ +−+ + λλ μμ 111 11 2 1 2 00 0 [( ) ][( ) ] [( ) ] K K [( ) ] , FF kk 22 0 − (4.49) ãäå λ1, ..., λk, μ1, ..., μk – íåîïðåäåëåííûå ïîñòîÿííûå. Åñëè ýòè ïîñòîÿííûå óäàñòñÿ ïîäîáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿ V áóäåò îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé, òî îíà áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî îäèí èç 2k êîýôôèöèåíòîâ λi, μi ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî. ×àñòî ôóíêöèþ óäàåòñÿ ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé ñâÿçêè èíòåãðàëîâ, ïîëàãàÿ μi =0. 4.3. ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÄÂÈÆÅÍÈß ÁÛÑÒÐÎÂÐÀÙÀÞÙÅÃÎÑß ÑÍÀÐßÄÀ 4.3.1. ÏÅÐÂÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ÑÍÀÐßÄÀ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎ ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ ÍÀ ÍÀ×ÀËÜÍÎÌ Ó×ÀÑÒÊÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÈ Ðàññìîòðèì äâèæåíèå àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà íà íà÷àëüíîì ó÷àñòêå òðàåêòîðèè, ïðåíåáðåãàÿ åå êðèâèçíîé, ïðè äåéñòâèè òîëü- êî îïðîêèäûâàþùåãî ìîìåíòà. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî öåí- òðà ìàññ ïðè ýòèõ äîïóùåíèÿõ, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îáùèõ óðàâ- íåíèé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ. Ïóãà÷åâà (3.157), åñëè â íèõ ïîëîæèòü fffff 2356 7 00 ===== == ;•• • . θθ (4.50)  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ 4...7 ñèñòåìû (3.157), îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ñíàðÿäà âîêðóã öåíòðà ìàññ, ìîãóò èíòåãðèðîâàòüñÿ è 191
èññëåäîâàòüñÿ íåçàâèñèìî îò óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå öåíòðà ìàññ. Òàêèì îáðàçîì, èç ñèñòåìû (3.157) áóäåì èìåòü [38] zzzzaz fz zz zz az fz 31 31 2 43 12 12 342 2 2 • •• •• ; • •• •• −+= − −+ =; ; • . zzz a 1 2 2 2 3 2 1 0 ++= = (4.51) Ñëîæèì ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.51), ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæèâ èõ ñîîòâåòñòâåííî íà z2 è z3. Ïîëó÷èì z z zz z za z zz z 132 123 22 33 20 ••• • (•• ), −+ += îòêóäà ñëåäóåò zzzza zz zz z 32 23 22 33 1 20 ••• • •• . −+ + = (4.52) Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî âðåìåíè îáå ÷àñòè òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.51), ìîæåì ïîêàçàòü, ÷òî zz zz z z 22 33 1 1 •• • . + =− (4.53) Ñ ó÷åòîì (4.53) óðàâíåíèå (4.52) èìååò âèä −+ += zzzzaz 32 23 1 20 • •• •• . (4.54) Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (4.54) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ôîðìå d dt zzzzaz (••). −+ += 32 23 1 20 (4.55) Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå −+ +== zzzzaz h 32 23 1 1 2 •• const (4.56) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû (4.51). Óìíîæàÿ òåïåðü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.51) íà • , z3 à âòî- ðîå–íà • z 2 è ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå −+ ++=+ • • (•• )( ••• • • • )(•• zzz zz zzz zz fzz z 22 33 133 22 4 33 2z2), (4.57) 192
êîòîðîå ñ ó÷åòîì (4.53) ïðèìåò âèä •••• • •• • •• . zzzzzzfz 112233410 +++ = (4.58) Çàìåòèì, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (4.58) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè: d dt zzz f z 1 2 0 1 2 2 2 3 2 41 (•••). +++ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= (4.59) Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå 1 21 2 2 2 3 2 41 2 (•••) zzz f z h +++== const åñòü âòîðîé ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû (4.51). Òðåòüå óðàâíåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðèâèàëüíûé ïåðâûé èíòå- ãðàë, íàçûâàåìûé â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà èíòåãðàëîì êîñèíóñîâ èëè ãåîìåòðè÷åñêèì ïåðâûì èíòåãðàëîì, òàê êàê îí âûðàæàåò ðà- âåíñòâî åäèíèöå ñóììû êâàäðàòîâ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ (z1, z2, z3), îïðåäåëÿþùèõ îðèåíòàöèþ ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà â òðàåêòîð- íîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.  ðåçóëüòàòå îò ñèñòåìû (4.51) ìîæíî ïåðåéòè ê ñèñòåìå ÷åòûðåõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ −+ += −+ ++= zzzzazh zzz f zh z 32 23 11 1 2 2 2 3 2 412 2 1 2 •• ; (•••); 1 2 2 2 3 2 03 1 ++= == zz aah ;. (4.60) 4.3 .2. ÍÅÎÁÕÎÄÈÌÎÅ ÓÑËÎÂÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÓÃËÎÂÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß ÀÐÒÈËËÅÐÈÉÑÊÎÃÎ ÑÍÀÐßÄÀ  êà÷åñòâå íåâîçìóùåííîãî óãëîâîãî äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà, óñòîé÷èâîñòü êîòîðîãî õîòèì óñòàíîâèòü, ïðèìåì òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âåêòîð ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ è åãî ïðîäîëü- íàÿ îñü ñîâïàäàþò, ò.å . δδ δδ 12120 () () •() • (). tttt ==== (4.61) Îò óðàâíåíèé âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ â ïåðåìåííûõ zi (i =1,2,3) ïåðåéäåì íåïîñðåäñòâåííî ê óðàâíåíèÿì â óãëàõ δ1 è δ2, îïðåäå- 193
ëÿþùèì îðèåíòàöèþ ïðîäîëüíîé îñè ñíàðÿäà â òðàåêòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò [38]. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.51) íà () , 13 2 − z à âòîðîå – íà z2z3 è, ñêëàäûâàÿ èõ, ïîëó÷èì z zzzz zz zzzz a 32 2 3 2 113 2 3 1232 11 21 () •• () • •• • [( −− − − + + +− zz zzz fzz z 3 2 2 233 432 2 3 2 1 )•• ]() . +=+ − (4.62)  ñîîòâåòñòâèè ñ (3.161) èìååì zzz 12 1 22 2 31 === cos cos ; sin cos ; sin . δδ δδ δ Äâàæäû äèôôåðåíöèðóÿ ýòè âûðàæåíèÿ ïî âðåìåíè, íàéäåì •z i è •• zi (i = 1, 2, 3). Ïîäñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ zi, • zi è•• ziâ (4.62), ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì •• cos cos • sin cos cos • cos c δδδδδ δδ δδ 1 2 122 2 1 3 12 2 3 1 2 −+ +a os sin cos cos . δ δδδ 241 2 1 2 2 =−f Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ íà (−cos 2 δ1 cosδ2), ìîæåì ïðèâåñòè åãî ê âèäó ••• sin cos • cos sin cos . δδδδ δδ δδ 12 2 11 21412 2 +− = af (4.63) Àíàëîãè÷íî ïîäñòàâëÿÿ zi, • , zi • • z i âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.51), ïîëó÷èì • • cos •• sin sin . δδδ δδδ δ 212 11142 22 −+ = af (4.64) Äëÿ íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.61) óðàâíåíèÿìè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ (4.63) è (4.64), äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ïåðâûå èíòåãðàëû h1 è h2. Íàéäåì èõ âûðàæåíèÿ â ïåðåìåííûõ δ1 è δ2, ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.60) çàâèñèìîñòè zi è •z i îò óãëîâ δ1 è δ2: • sin • sin cos cos cos cos ; (• δδδδδδ δδ δ 122112 121 1 2 1 2 −+ = ah 2 2 22 14122 ++ = • cos ) cos cos . δδ δδ fh (4.65) Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.61) Í.à . ×åòàåâ èñïîëüçîâàë ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà è 194
ïîñòðîèë ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà â âèäå ñâÿçêè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (4.65) óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.63) è (4.64) (ñì. [127]). Óìíîæèì ïåðâûé èíòåãðàë h1 íà (−2f4), à h2 –íà2à è ñëîæèì: Wa a f f =⋅ + + − − 1 2 22 2 1 2 2 2 1412 41 (•• cos ) cos cos • sin δδδ δδ δδ 24 211 2 412 24 2 22 22 +− −⋅ = − f af a hf • sin cos cos cos cos δ δδδ δδ h1. (4.66) Ðàçëîæèì â ðÿä Òåéëîðà òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, âõîäÿùèå â (4.66): sin ! ;cos ! (,) . δδδ δ δ ii i i i i =−+ = − += 32 3 1 2 12 KK Óäåðæèâàÿ ÷ëåíû ðÿäà, èìåþùèå ïîðÿäîê δi è δ i 2 , ïîëó÷èì cos ; sin cos cos ( 2 1 1 2 2 1 2 11 21 1 2 1 δ δ δ δδδδ =−+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟=−+ = KK +−+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ = KKK K ); cos cos 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 12 δδ δ δδ1 1 2 1 1 2 1 22 1 2 2 2 1 2 2 2 −+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −+ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= −−+ δδ δδ KK K . (4.67) Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè W çíà÷åíèÿ ïðîèçâåäåíèé (4.67), íàéäåì åå ïåðâîå ïðèáëèæåíèå: Wa faf a f afa f += − ++ ++ + 42 2 41 2 412 42 2 2 2 421 41 •• •• δδ δδ δδ δδ 2 2 +=+ KK W . (4.68) Çäåñü W2 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ δ1, δ2, • , δ1 • , δ2 ñîñòîÿùóþ èç äâóõ îäíîòèïíûõ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü îäíó èç íèõ: wafa f 21 2 412 42 2 2 =− + •• . δδ δδ (4.69) Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà (4.42), ôîðìà w2 áóäåò îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé òîãäà, êîãäà ïîëîæèòåëüíûìè áóäóò 195
ãëàâíûå äèàãîíàëüíûå ìèíîðû åå îïðåäåëèòåëÿ.  íàøåì ñëó÷àå äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèÿ a af fa f aff > − − =− > 00 4 44 2 44 2 ;. (4.70) Åñëè íåðàâåíñòâà (4.70) óäîâëåòâîðåíû, òî äëÿ íåâîçìóùåííî- ãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà (δ =δ =δ δ 2 11 2 0 •• ) ==ôóíêöèÿ W +4af4 = W2 + ... áóäåò îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé ïî êðàéíåé ìåðå â äîñòàòî÷íî ìàëîé îáëàñòè ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ δ1, δ2, • , δ1 • . δ2 Òàê êàê ôóíêöèÿ W ñòðîèëàñü â âèäå ëèíåéíîé ñâÿçêè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, òî ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè ôóíêöèè (W +4af4) ñîãëàñíî òî÷íûì óðàâíåíèÿì âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ (4.63), (4.64) áóäåò ðàâíà íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè íå- ðàâåíñòâ (4.70) èìåþò ìåñòî óñëîâèÿ òåîðåìû ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïó- íîâà îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìîå íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå (4.61) ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì. Ïåðâîå èç íåðàâåíñòâ (4.70), î÷åâèäíî, âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê à=à0= C A r 2 0 0 > . Âòîðîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷åííîå âïåðâûå Í. . Ìàèåâñêèì, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî f4 > 0, ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå af 2 4 0 −> . (4.71) Òàê êàê âûðàæåíèå (4.68) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì òî÷íûõ óðàâíåíèé âîçìóùåííûõ äâèæåíèé ñíàðÿäà, òî ïîñòðîåííàÿ ôóíêöèÿ ðàçðåøàåò âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè â òîé êîíå÷íîé îáëàñòè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ïåðåìåííûõ δ1, δ2, • , δ1 • , δ2 ãäå óðàâíåíèÿ W = const îáðàçóþò ñèñòåìó çàìêíóòûõ, ñòÿãèâàþùèõ â íà÷àëî êîîðäèíàò îãðàíè÷åííûõ ïîâåðõíîñòåé. Ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ ïðîâåðêà ñïðàâåäëèâîñòè êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè Í.Â. Ìàèåâñêîãî â ôîðìå (4.71) äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ îïèñàíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ îñè âðàùàþùåãîñÿ ñíà- ðÿäà â âèäå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé óãëîâîãî äâèæåíèÿ â íîðìàëüíîé ôîðìå, ýêâèâàëåíòíûõ óðàâíåíèþ d dt tA t tBC xx ωω ()()() , += + (4.72) ãäå Amq S lI xx x = − ||– ω 21 ïîëÿðíûé àýðîäèíàìè÷åñêèé òóøàùèé ìîìåíò; Bmq S I xx = − ||– 0 1 àýðîäèíàìè÷åñêèé ìîìåíò îò êîñî ïîñòàâëåííîãî îïåðåíèÿ; CMI x = − γ 1 – ðåàêòèâíûé êðóòÿùèé ìîìåíò. 196
Èñõîäíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îñè ñíàðÿäà ìîãóò áûòü çàïèñàíû [14] ñëåäóþùèì îáðàçîì: ••• • ; ••• • δδ δδδ δδδ γ 121 12 11 21 22 22 0 ++−− =+ −+ a bceQQ ab g P 2212 2 0 −+= + ceQQ g P δδ γ, (4.73) ãäå êîýôôèöèåíòû èìåþò âèä ab c e =+ =++ =+ − +−− =− αξ λμχ βαξχλμλμ ξ 11 111 1 44 2 4 ;; ()( • • ); αλμχξξ 11 42 ()• , +−− (4.74) à âîçìóùàþùèå ÷ëåíû – âèä Q g V d dt g V Q g V g g 11 00 21 0 0 0 2 2 =+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ =− χθ θ α θ cos cos ; cos ; Q Q P P P 11 1 1 2111 442 442 γ γ εχ εα ηε γ ηχ ηα εη =− + − + =+ ++ ( • ); ( • )γP, (4.75) âåëè÷èíû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç êîýôôèöèåíòû, ïðèâåäåííûå â òàáë. 4.1, çàèìñòâîâàííîé èç [14]. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü âîçìóùåííîå äâèæåíèå âðàùàþùåãîñÿ ñíàðÿäà òîëüêî ïîä äåéñòâèåì îïðîêèäû- âàþùåãî ìîìåíòà. Ïåðåõîä îò îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4.73) ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì â ôîðìå Êîøè ïðèâîäèò ê ïîëó÷åíèþ ïðè ââåäåíèè îáîçíà÷åíèé õ1=δ1,x21 = • , δx3=δ2èx42 = • δ ñëåäóþùåé ñèñòåìû: • ; • ; • ; • , xx xc xa x xx xa xc x 12 214 34 42 3 2 2 = =− = =+ (4.76) 197
198 Òàáëèöà 4.1 Òàáëèöà êîýôôèöèåíòîâ 1 Ñèëîâûå êîýôôèöèåíòû Âûðàæåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Êîýôôèöèåíòû ñèë è ìîìåíòîâ 1 λ= P mV 2 ñèëû òÿãè 2 μ ρ α = c V S mV ya 2 2 2 íîðìàëüíîé àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû 3 ξ ρ ω αω = || c V Sl mV z x a x 2 2 àýðîäèíàìè÷åñêîé ñèëû Ìàãíóñà 4 ε=λsin(δ3+φP) ñèë, âîçíèêàþùèõ ïðè íàëè÷èè àñèììåòðèè ðåàêòèâíîé ñèëû 5 η=λcos(δ3+φP) 6 Ìîìåíòíûå êîýôôèöèåíòû αω 1 2 = I I x y x ãèðîñêîïè÷åñêîãî ìîìåíòà 7 β ρ α 1 2 2 = m V Sl I z y îïðîêèäûâàþùåãî èëè ñòàáèëèçèðóþùåãî àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà 8 χ ρ ω 1 2 2 2 2 = − || m V SLI I y y y ì ýêâàòîðèàëüíîãî òóøàùåãî ìîìåíòà (ïåðâûé ÷ëåí) è ìîìåíòà îò ðåàêòèâíîé ñèëû Êîðèîëèñà 9 ξ ρ ω ξξ α αω 1 1 2 1 1 2 = ′= m V Sl I y y x x , àýðîäèíàìè÷åñêîãî ìîìåíòà Ìàãíóñà 10 λ1= − Pxx I a y () ö.ì ìîìåíòîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè íàëè÷èè àñèììåòðèè ðåàêòèâíîé ñèëû 11 ε1=λ1sin(δ3+φP) 12 η1=λ1cos(δ3+φP) 13 A m V Sl I x x x 1 2 2 = || ωρ ïîëÿðíîãî òóøàùåãî ìîìåíòà Ïðèìå÷àíèå: φP åñòü óãîë, õàðàêòåðèçóþùèé àñèììåòðèþ (ýêñöåíòðèñèòåò) ðåàêòèâíîé ñèëû.
ãäå, ñîãëàñíî çàâèñèìîñòÿì (4.74) è äàííûì òàáëèöû 4.1, a I I bc mqSl I e x y x z y == >=== >= αω β α 11 2 00 00 ,, ,. (4.77) Óìíîæèâ, ñëåäóÿ [14], âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.76) íà õ2,à ÷åòâåðòîå – íà õ4 è ïî÷ëåííî ñëîæèâ, íàéäåì xx xx cxx cxx 22 44 12 34 •• . +=+ (4.78) Èñêëþ÷àÿ èç ïðàâîé ÷àñòè âåëè÷èíû õ2 è õ4, èñïîëüçóÿ ïåðâîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì xxxxcxxxx 22 44 11 33 •• (•• ), +=+ (4.79) èëè xxc xxh 2 2 4 2 1 2 3 2 1 +−+== (). const (4.80) Âûðàæåíèå (4.80) åñòü èíòåãðàë ñèñòåìû (4.76). ×òîáû íàéòè âòîðîé èíòåãðàë, óìíîæèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà −õ3, à ÷åòâåðòîå – íà õ1. Ïîñëå ïî÷ëåííîãî ñëîæåíèÿ ðåçóëüòàòîâ óìíîæåíèÿ èìååì −+= + xx xx axx xx 32 14 34 12 2 •• () , ÷òî ýêâèâàëåíòíî d dx xx xx a d dt xx () ( ) , −+= + 23 14 3 2 1 2 îòêóäà xxxxaxx h 14 23 1 2 3 2 2 −−+ = = (). const (4.81) Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èì âûðàæåíèå âòîðîãî èíòåãðàëà ñèñòåìû (4.76). Ïðèíèìàÿ â âûðàæåíèÿõ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû (4.76) çíà÷åíèÿ õ1=õ2=õ3=õ4=0,íàéäåìh1=h2=0 . 199
Ñëåäîâàòåëüíî, F1(0, 0, 0, 0) = F2(0, 0, 0, 0) = 0 è ðàçíîñòè FxFFxxxcxx FxF F 111 2 2 4 2 1 2 3 2 22 0 0 ()()() (); () () −= = + − + −= 21 4 2 31 2 3 2 () () xx xx xa xx =−−+ (4.82) ïðåäñòàâëÿþò êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ïåðåìåííûõ. Äàëåå ñëåäóåò îñóùåñòâèòü èõ ïðîâåðêó íà çíàêîîïðåäåëåííîñòü. Äëÿ ýòîãî â ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì Ñèëüâåñòðà íåîáõîäèìî ðàñ- ñìîòðåòü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è âû÷èñ- ëèòü çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìèíîðîâ äëÿ ýòèõ ìàòðèö. Ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïåðâîé (âåðõíèé èíäåêñ "1") êâàäðà- òè÷íîé ôîðìû èìååò ýëåìåíòû ccc cc ccccc 11 1 33 1 22 1 44 1 12 1 13 1 14 1 21 1 23 1 1 == − == ===== ;; c ccc ccc 24 1 31 1 32 1 34 1 41 1 42 1 43 1 0 = === ==== , à çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìèíîðîâ ìàòðèöû ïðèîáðåòàþò âèä ∆∆∆∆ 3 1 1 1 2 12 4 12 0000 = − <= − <=> => cccc ;;;. Ïîëó÷àåì, ÷òî íè îäíî èç óñëîâèé êðèòåðèÿ Ñèëüâåñòðà íå âûïîëíÿåòñÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íå ÿâëÿåòñÿ çíàêîîïðåäåëåííîé. Âòîðàÿ êâàäðàòè÷íàÿ (âåðõíèé èíäåêñ "2") ôîðìà (4.82) èìååò ìàòðèöó ñ ýëåìåíòàìè cca cc cc cc 11 2 33 2 14 2 41 2 23 2 32 2 12 2 13 05 05 == − == == − = ;, ;, ; 2 21 2 22 2 31 2 34 2 42 2 43 2 44 2 0 === ====== cc ccccc . Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ãëàâíûõ ìèíîðîâ òàêîâû: ∆∆∆∆ 1 2 2 2 3 2 4 2 0 4 1 16 =− = = = a a ;;;. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàòè÷íûå ôîðìû (4.82) íå ÿâëÿþòñÿ çíàêîîïðåäåëåííûìè, è, ñëåäóÿ Í.à . ×åòàåâó, ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà áóäåì èñêàòü â ôîðìå ñâÿçêè èíòåãðàëîâ (4.49), îãðàíè÷èâàÿñü ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè è ïîëàãàÿ λ1 =1,λ2 = −λ: VxFxFx () () (). =− 12 λ (4.83) 200
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèé F1(x)èF2(x) èç (4.82) â (4.83), ïîëó÷àåì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó Vx ac xx xxx xac xx ( ) () (), =−− ++ +−+ λλλ λ 1 2 142 2 23 3 2 4 2 (4.84) èìåþùóþ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ñ ýëåìåíòàìè ñña c cc cc cc 11 33 14 41 23 32 22 44 05 05 1 ==− == − == == λλ λ ;, ;, ;; cccccccc 12 13 21 24 31 34 42 43 0 ======== . Ãëàâíûå ìèíîðû ýòîé ìàòðèöû ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ ∆∆ ∆∆ ∆∆ ∆ 12 31 2 41 3 22 44 4 ==− = − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ − − λλ λλ λ λ ac ac ac ;; ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟. Àíàëèç ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ãëàâíûõ ìèíîðîâ äàåò îñíîâàíèå ñ÷èòàòü, ÷òî óñëîâèÿ êðèòåðèÿ Ñèëüâåñòðà ∆1 >0,∆2 >0,∆3 >0,∆4 >0 âûïîëíÿþòñÿ â ñëó÷àå, åñëè âåëè÷èíà λ > 0 è èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî λ λ ac −− > 2 4 0, (4.85) òàê êàê èç íåãî ñëåäóåò è ñïðàâåäëèâîñòü óñëîâèÿ λac − >0. (4.86) Ïðåäñòàâèì íåðàâåíñòâî (4.85) â ýêâèâàëåíòíîì âèäå: λλ 2 440 −+< ac. Çíàê êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà áóäåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå òîëüêî â òîì ñëó÷àå [14], êîãäà âåëè÷èíà λ ëåæèò ìåæäó äåéñòâèòåëüíûìè ïîëîæèòåëüíûìè êîðíÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ λλ 2 440 −+ = ac. (4.87) Àíàëèç ðåøåíèÿ λ12 2 22 , =± − aa c (4.88) ñâèäåòåëüñòâóåò, ÷òî îáà êîðíÿ áóäóò ïîëîæèòåëüíûìè, åñëè ac 2 0 −> . (4.89) 201
Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåëè÷èíà λ, âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèå (4.83), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 22 22 ()() , aac aac −− < <+− λ (4.90) òî ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà áóäåò îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé, à åå ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó âèäà óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåò ðàâíà íóëþ.  ðåçóëüòàòå èìååì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (4.76) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè. Íåðàâåíñòâî (4.89), îáåñïå÷èâ- øåå òðåáóåìîå ñâîéñòâî ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, è ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì óñòîé÷èâîñòè óãëîâîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà Í. . Ìàèåâñêîãî â ðàìêàõ ðåøåíèÿ çàäà÷è â ðàññìîòðåííîé ïîñòàíîâêå. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (4.77), ïåðåïèøåì åãî â âèäå αβ 1 2 1 0 −> è ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé äëÿ α1 è β1 èìååì I I qSl I m x y x y z 2 2 2 4 0 ω α −> . (4.91) Âåðíåìñÿ òåïåðü ê àíàëèçó óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè Í. . Ìàèåâñêîãî, ïîëó÷åííîãî íà îñíîâå îáùèõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ áûñòðîâðà- ùàþùåãîñÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ . Ïóãà÷åâà.  ñîîòâåòñòâèè ñ (4.71) îíî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå a2 − f4 >0.Íà- ïîìíèì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè a C A r = 2 ,ãäåA=Iz=Iy;C=Ix–ìî - ìåíòû èíåðöèè ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî åãî ãëàâíûõ îñåé; |r |=rx° = =|ωx| – îñåâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ åãî óãëîâîé ñêîðîñòè, à f dl Ig HyVm V a Vm ON y MM 4 2 22 8 =⋅ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= π δ Ï () ; , ïðè÷åì êîýôôèöèåíò m V a dld hK V a MM ;( , ); . δφ δ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ − 2 1 202
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷àåì f qSl I dl h d K V a y M 42 =⋅ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ φδ (,) ;. (4.92)  âûðàæåíèè (4.92), íàéäåííîì äëÿ ãèðîñêîïè÷åñêè óñòîé÷èâîãî àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà, ìíîæèòåëü φδ 2(,) ; dl h d K V a M ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ïî ñâîåìó ñìûñëó ýêâèâàëåíòåí çíà÷åíèþ ñòàòè÷åñêîé ïðîèçâîäíîé mz α äëÿ ñòàòè÷åñêè óñòîé÷èâîãî âðàùàþùåãîñÿ ñíàðÿäà. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî âûðàæåíèå (4.92), âîîáùå ãîâîðÿ, íåóäîáíî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ. Õîòÿ ýòî âûðàæåíèå è ñîäåðæèò íåêóþ ïîñòîÿííóþ φ2(d, l )= =⋅ 211 103 , d l è òèïîâóþ ôóíêöèþ ñîïðîòèâëåíèÿ ìîìåíòà K V a M ;, δ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ îáîëüùàòüñÿ âèäèìîé ïðîñòîòîé åãî îïðåäåëåíèÿ íå ñòîèò. Äåëî â òîì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, ïî êîòîðûì íàêàïëèâàëñÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë äëÿ çàäàíèÿ óêàçàííîé ôóíêöèè, ïðîèçâîäèëèñü íà óðîâíå 40-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà (ò.å . ÿâíî íå äëÿ ñîâðåìåííûõ òèïîâ ñíàðÿäîâ), âî-âòîðûõ, ñîîòâåòñò- âóþùèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè ïîëó÷åíû ïðè óñëîâèè ìàëûõ óãëîâ íóòàöèè è ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè M(δ), ò.å. íà ñàìîì äåëå ïðèõîäèòñÿ çàìåíÿòü K V a M ;δ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥íàK V a M ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥.Íîèýòîíå ñàìîå ãëàâíîå, ïîñêîëüêó â âûðàæåíèå (4.92) âõîäèò âåëè÷èíà h ≈∆l, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óñëîâíîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó öåíòðîì äàâëåíèÿ è öåíòðîì ìàññ ñíàðÿäà, îïðåäåëÿåìàÿ èñêëþ÷èòåëüíî ïî ýìïèðè÷å- ñêèì ôîðìóëàì (òèïà ôîðìóëû Ãîáàðà, ñì. ï. 1.4.3), êîòîðûå äëÿ âíîâü ïðîåêòèðóåìûõ áîåïðèïàñîâ, åñòåñòâåííî, îòñóòñòâóþò. Òåì íå ìåíåå ïîëó÷åíèå âûðàæåíèÿ f4 â ôîðìå (4.92) ïðåäñòàâëÿ- åò îïðåäåëåííûé ìåòîäè÷åñêèé èíòåðåñ, òàê êàê îíî äàåò îñíîâàíèå ñ÷èòàòü óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè Í. . Ìàèåâñêîãî óíèâåðñàëüíûì è èíâàðèàíòíûì ïî îòíîøåíèþ ê ôîðìàì ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëåé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. ×òî æå êàñàåòñÿ ïðàêòè÷åñêèõ àñïåêòîâ åãî èñïîëüçîâàíèÿ, òî áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíîé, èìåÿ â âèäó ðàâåíñòâà (4.77), ÿâëÿåòñÿ ôîðìà îáùåèçâåñòíîãî êðèòåðèàëüíîãî êîýôôèöèåíòà ãèðîñêîïè- ÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè σ β α 2 1 1 2 10 =− >. 203
4.3.3. ÒÐÀÊÒÎÂÊÀ ÏÎÍßÒÈß ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÄÂÈÆÅÍÈß ÀÐÒÈËËÅÐÈÉÑÊÎÃÎ ÑÍÀÐßÄÀ ÏÎ ËßÏÓÍÎÂÓ Ðåøàÿ îáùóþ çàäà÷ó îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿ- äà, Â.Ñ . Ïóãà÷åâ äîêàçàë [98] åãî íåóñòîé÷èâîñòü (ïî Ëÿïóíîâó) ïðè "ïðà- âèëüíîì" ïîëåòå ñíàðÿäà íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè, ò.å . ïðè t →∞. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííûé èíòåðåñ íå òîëüêî ñ òåîðåòè- ÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, íî è ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèé, ïðåæäå âñåãî ñ ïîçè- öèé åãî ïðàêòè÷åñêîé òðàêòîâêè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà â ôîðìå Â.Ñ . Ïóãà÷åâà (3.157). Ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ íåçàâèñèìîé ïåðå- ìåííîé (t →∞) çíà÷åíèå çàâèñèìîé ïåðåìåííîé yc →−∞ . Äëÿ òîãî ÷òîáû èç- áàâèòüñÿ îò áåñêîíå÷íîãî (ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå) çíà÷åíèÿ yc ïðè t = ∞, öåëåñîîáðàçíî [98] îñóùåñòâèòü ñëåäóþùóþ çàìåíó: we yc = . (4.93) Òîãäà ïðè yc →− ∞èìååì w → 0. Ñ ó÷åòîì (4.93) ñîâìåñòíî ðåøàåìûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.157) ïðèìóò âèä Vgf gV fz fz ww V z . . . . =− − =− + + = = − sin ; cos ; sin ; θ θθ θ 1 1 22 33 2 u zu uz z z z z u 2 33 22 2 1 32 22 2 3 2 1 2 3 1 ; ; [() ] () ; . . . = =− + − − − ΦΦΦ =− + − − =− − [() ] () ; . ΦΦΦ 131 32 2 2 2 3 2 1 2 6 1 zzzzz af a . (4.94) Ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (4.94), èëè îñîáûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ V, θ, w, z2, z3, u2, u3, à, îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà íóëþ ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (4.94): qf qV fz fz wV uu sin ; cos ; sin ; ; θ θ θ += −−= = == − 1 1 22 33 23 0 0 0 0 Φ221 32 2 131 32 2 0 0 0 −+ = −+ = = zzz zzz a () ; () ; . ΦΦ ΦΦΦ (4.95) 204
Ôóíêöèè Φ1 è Φ2 çàâèñÿò îò âûðàæåíèÿ 1 2 2 3 2 −− zz , ïîëîæèòåëüíûå çíà- ÷åíèÿ êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ïîëåòó ñíàðÿäà ãîëîâíîé ÷àñòüþ âïåðåä, à îò- ðèöàòåëüíûå – ïîëåòó ñíàðÿäà, ïåðåâåðíóâøåãîñÿ ãîëîâíîé ÷àñòüþ íàçàä (c o s . 12 2 3 2 1 −− == zz z δ Ïðè cosδ >0δ∈[0; π 2 ]; ïðè cosδ <0δ∈ [ π 2 ; π]). Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé z1, ò.å . ïîëåò ñíàðÿäà ãî- ëîâíîé ÷àñòüþ âïåðåä. Ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (4.95), î÷åâèäíî, ÿâëÿþòñÿ çíà- ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ wzzuua VV ====== == = − 2323 0 2 ; ;/ , ** θθπ (4.96) ãäå V* – ïðåäåë ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà ïðè t →∞, êîòîðûé ìîæåò áûòü íàéäåí èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà âåñà è ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà (ðèñ. 4 .6), ò.å. èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.95) ïðè θ = π/2. Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (4.96) îïèñûâàåò èäåàëüíî ïðàâèëüíûé ïîëåò ñíàðÿäà, òàê êàê èç óñëîâèÿ z2 = z3 = 0 ñëåäóåò, ÷òî z1 = cosδ =1è,ñëå- äîâàòåëüíî, óãîë íóòàöèè δ = 0. Ïîýòîìó ðåøåíèå (4.96) ìîæåò áûòü ïðèíÿ- òî çà íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå, ïîäëåæàùåå èññëåäîâàíèþ íà óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó. ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, âûïîëíèì çàìåíó ïåðåìåííûõ [38] VV =+ =+= − + ** ;/ vθθθπθ 2 è ðàçëîæèì ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (4.94) ïî ñòåïåíÿì v, θ, w, z2, z3, u2, u3, a. Íîâûå ïåðåìåííûå v è θ õàðàêòåðèçóþò îòêëîíåíèÿ ñêîðîñòè è óãëà íàêëîíà âåêòîðà ñêîðîñòè îò íåâîçìóùåííûõ çíà÷åíèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåëè÷èíû f3, • f3è • f2 (âûðàæåíèÿ äëÿ f2 è f3 ñì. â ïîä- ðàçä. 3 .4.1) îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâ (4.96), ìîæåì ïðèâåñòè ñèñòåìó (4.94) ê âèäó vv . . =− − − − + =− + + − f fwf zf zX qV fzX 11 12 132 143 1 1 202 2 * * ; ; θθ wV wX zu zu . . . =− + = = 3 2 2 3 3 * ; ; ; (4.97) 205 Ðèñ. 4.6. Ê îïðåäåëåíèþ óñòîé÷èâîñòè äâè- æåíèÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà ïî Ëÿïóíîâó
ug V g Vf ff f gVfzf . 2 11 70 40 20 70 1 202 20 =− − + − + +− + −− − () ( )( v fuX uff fzff uX af 702 4 34 02 0 7 0 32 07 0 35 ); () (); * * + =− −+ + =− . 60 6 aX + * . Ñèñòåìà (4.97) – ýòî ñèñòåìà óðàâíåíèé âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ, â êîòîðîé Xi * (i =1,...,6) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ v, θ, w, z2, z3, u2, u3, a. Êðîìå òîãî, êîýôôèöèåíòû f11, f12, f13, f14 îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ∂ ∂ f V 1, ∂ ∂ f w 1, ∂ ∂ f z 1 2 , ∂ ∂ f z 1 3 , à fi0 (i =2,..., 7) – çíà÷åíèÿ ôóíêöèé fi ïðè w=z2=z3=0èV=V * . Îòáðàñûâàÿ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (4.97) íåëèíåéíûå ÷ëåíû X i * , ïî- ëó÷èì óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (4.27) â äàííîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä [] [] −− − − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ −− − ff f g V f V 11 12 13 20 0 00 00 0 000 000 0 λ λ λ λ 00 000 0 0 70 40 20 70 20 −− ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ −+ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ g V g V ff f f g V f 000 − − −− − − f ff fff 14 20 70 40 20 70 000 00 00 00 00 01 00 010 00 0 λ λ [] [ ][ ] [] . 00 000 0 20 70 60 −− − −− = ff f λ λ (4.98) Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëü, óðàâíåíèå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 206
() () () [() ] fVf ffff f 11 60 2 20 70 40 20 70 3 ++ +++− +× ×+ λλλ λ λ λg V ff fffg V f g V f ++ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −−− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− ⎡ ⎣ 20 70 2 40 20 70 70 40 λλ ⎢ ⎤ ⎦⎥=0. (4.99) Îíî èìååò ïÿòü êîðíåé λλλ 11 12 360 == − = − fVf ;;; (4.100) λ λ 42 0 7 0 2 0 7 0 2 40 52 0 7 0 1 2 4 1 2 =− + + − + =− + − () (); () ( fffff fff 20 70 2 40 4 −+ ff ). (4.101) Ïåðâûå ÷åòûðå êîðíÿ îòðèöàòåëüíû, à ïÿòûé – ïîëîæèòåëåí (λ5 > 0), òàê êàê ()()(), ff f ff fffff 20 70 2 40 20 70 2 40 20 70 20 70 44 −+=++− >+ ïîñêîëüêó äëÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿäà îáû÷íî f40 > f20 f70. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèé (4.99) íåîáõîäèìî íàéòè êîðíè ïîëèíîìà F g V ff fffg V f () λλ λ λ 2 =+ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −−− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− 3 20 70 40 20 70 70 g V f40 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî f40 > 0, ìîæåì óñòàíîâèòü çíàêè çíà÷åíèé ïîëèíîìà F(λ) ïðè λ→±∞. Ïóñòü Ì – äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òîãäà FMFMF g V f () ;() ;() . −< > = − < 00 00 40 Âîçìîæíîå èçìåíåíèå F(λ) ïîêàçàíî íà ðèñ. 4.7. Òàêèì îáðàçîì, îäèí èç êîðíåé ïîëèíîìà F(λ) ïîëîæèòåëåí (λ6 > 0). Îñòàëüíûå äâà ëèáî îòðèöàòåëüíûå (λ8 < λ7 < 0), ëèáî êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå ñ îòðèöàòåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò øåñòü êîðíåé ñ îòðèöàòåëüíûìè è äâà ñ ïîëîæèòåëüíûìè äåéñòâèòåëü- íûìè ÷àñòÿìè. Òàêèì îáðàçîì, â ñèëó òåîðåìû Ëÿïóíîâà î íåóñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ (ñì. ïîäðàçä. 4 .2.2) íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå, îïèñûâàþùåå èäåàëüíî ïðàâèëüíûé ïîëåò áûñòðîâðàùàþùåãîñÿ àðòèëëåðèéñêîãî ñíàðÿ- äà (4.96), ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Âûâîä î íåóñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ âðàùàþùåãîñÿ ñíàðÿäà íà áåñêîíå÷- íîì èíòåðâàëå âðåìåíè, ïîëó÷åííûé Â.Ñ . Ïóãà÷åâûì, îáúÿñíèì ñ ôèçè÷å- ñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Òàê êàê ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñíàðÿäà âîêðóã ïðîäîëüíîé 207
îñè óìåíüøàåòñÿ ïðè t →∞, òî ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè îïðîêèäû- âàþùåìó ìîìåíòó áóäåò ïðîòèâîñòîÿòü íåäîñòàòî÷íûé ãèðîñêîïè÷åñêèé ìîìåíò è óãîë íóòàöèè íà÷íåò óâåëè÷èâàòüñÿ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðàêòèêè íåîáõîäèìî, ÷òîáû îòêëîíåíèå îñè ñíàðÿäà îò êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè áûëî êàê ìîæíî ìåíüøå â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè ïîëåòà îò íà÷àëüíîãî ìîìåíòà t0 äî êîíå÷íîãî ìîìåíòà âðåìåíè Ò. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ íà êîíå÷íîì èí- òåðâàëå âðåìåíè.  îïðåäåëåíèè óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó ïðåäïîëàãàåòñÿ íåîãðàíè÷åí- íûé ïîëóèíòåðâàë èçìåíåíèÿ âðåìåíè t ∈ [t0;+∞[, à òàêæå çàâèñèìîñòü ÷èñ- ëà Λ, îïðåäåëÿþùåãî îáëàñòü âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèé (4.13), îò ÷èñëà À (ôîðìóëà (4.14)). Ïðàêòè÷åñêè òðåáóåòñÿ îáåñïå÷èòü âûïîëíåíèå óñëîâèé, çàäàâàåìûõ íåðàâåíñòâàìè (4.13) è (4.14) ïðè t ∈ [t0; T]. Í.à . ×åòàåâ äàë ïîñòàíîâêó çàäà÷è î (Λ, A, t0, T)-óñòîé÷èâîñòè, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç çàäà÷è Ëÿïóíîâà ïðè ôèêñèðîâàííûõ çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ âå- ëè÷èí Λ, A, t0, T.  ðàìêàõ ðàçðàáîòàííîãî èì ïîäõîäà çàäà÷à îá óñòîé÷èâî- ñòè äâèæåíèÿ çà îãðàíè÷åííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïðè äåéñòâèè ñîîòâåò- ñòâóþùèì îáðàçîì îãðàíè÷åííûõ âîçìóùàþùèõ ñèë ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê çàäà÷å óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó. Ïðèìåðîì ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è, ãäå ïî çàäàííîìó îãðàíè÷åíèþ À íà òåêóùèå çíà÷åíèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò âûáèðàþòñÿ äîïóñòèìûå íà÷àëüíûå âîçìóùåíèÿ (Λ), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèå Í.Ã. ×åòàåâûì çàäà÷è î äîñòàòî÷íûõ óñ- ëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè ñíàðÿäà, ïîñòàíîâêà êîòîðîé äàíà â ãë. 7. Ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ îïðåäåëåíèé òåõíè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è íåóñ- òîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàáîòàõ [2, 107] è äð. 208 Ðèñ. 4 .7 . Âîçìîæíûå ãðàôèêè F(λ): à – ïîëèíîì èìååò òðè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ; á – ïîëèíîì èìååò îäèí äåéñòâè- òåëüíûé è äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ
Ãëàâà 5 ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ È ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÅØÅÍÈß ÇÀÄÀ× ÂÍÅØÍÅÉ ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ Ñëîæíîñòü óïðàâëÿåìîãî è íåóïðàâëÿåìîãî ïîëåòà ðàêåò è ñíàðÿäîâ, òðåáîâà- íèå áûñòðîòû è âûñîêîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ, à òàêæå áîëüøîé îáúåì âû÷èñëåíèé ñîçäàþò íåîáõîäèìîñòü øèðîêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ðå- øåíèè çàäà÷ áàëëèñòèêè ñîâðåìåííîé öèôðîâîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Îñîáåííîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé âíåøíåé áàëëèñòèêè, àäåêâàòíî îòðà- æàþùèõ óñëîâèÿ ðåàëüíîãî ïîëåòà (ñîñòàâëåííûõ áåç ââåäåíèÿ ñóùåñòâåííûõ äîïó- ùåíèé), çàêëþ÷àåòñÿ â ñëîæíîñòè ñàìèõ óðàâíåíèé, à òàêæå â òîì, ÷òî ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèå ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âíåøíåé ñðåäû, ñèëó òÿãè è íåêîòîðûå äðóãèå âå- ëè÷èíû, íå èìåþò ïðîñòîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì óðàâíåíèÿ ïîëåòà ðåøàþòñÿ îáû÷íî ìåòîäàìè ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. ×àùå äðóãèõ â áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ èñïîëüçóþò ìåòîäû Ýéëåðà, Ðóí- ãå–Êóòòà, Àäàìñà–Øòåðìåðà.  Ðîññèè ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé âíåøíåé áàëëèñòèêè âïåðâûå îñó- ùåñòâèë À.Í . Êðûëîâ. Èì æå ïðåäëîæåíû âû÷èñëèòåëüíûå ñõåìû, àäàïòèðîâàííûå ê ðåøåíèþ îáñóæäàåìûõ çàäà÷.  ñîâðåìåííîé ïðàêòèêå áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä êîíå÷- íûõ ðàçíîñòåé, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ìîäèôèêàöèþ óæå óïîìèíàâøåãîñÿ ìåòîäà Àäàìñà–Øòåðìåðà, ïîëó÷èâøóþ íàçâàíèå ìåòîäà Àäàìñà–Êðûëîâà. ×èñëåííûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïðîèíòåãðèðîâàòü ëþáóþ èç ïðèâåäåííûõ âûøå ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ. Âìåñòå ñ òåì ýòè ìåòîäû òðóäîåìêè, è èõ öåëåñîîáðàçíåå âñåãî èñïîëüçîâàòü äëÿ âûïîëíåíèÿ òî÷íûõ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ. Íà íà÷àëüíûõ ýòàïàõ ïðîåêòèðîâàíèÿ òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ íèæå. Äëÿ ïîäîáíûõ ðàñ÷åòîâ ìîãóò ïðèìå- íÿòüñÿ ðàçëè÷íûå àíàëèòè÷åñêèå è òàáëè÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ âíåøíåé áàë- ëèñòèêè.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ïðèíèìàåìûõ äîïóùåíèé àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè ìîæíî ðàçäåëèòü íà ÷åòûðå îñíîâíûå ãðóïïû. Ê ïåðâîé ãðóïïå ñëåäóåò îòíåñòè ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, â êîòîðûõ ÷ëåíû, ó÷èòûâàþùèå ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû, îïóùåíû. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíåñåì ìåòîäû, â êîòîðûõ ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ó÷è- òûâàåòñÿ â óðàâíåíèÿõ â âèäå êàêîé-ëèáî àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè, îòðàæàþùåé çàâèñèìîñòü ìåæäó ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà è ñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ.  ïîäîáíûõ ðåøåíèÿõ, êàê ïðàâèëî, ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî îäíà-äâå àýðîäè- íàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè, íàïðèìåð òîëüêî ëîáîâîå ñîïðîòèâëåíèå è ïîäúåìíàÿ ñèëà, ñâÿçü ìåæäó êîòîðûìè äàåòñÿ â âèäå ñïåöèàëüíîé ôóíêöèè – ïîëÿðû ËÀ, îïè- ñûâàåìîé àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì. 209
 òðåòüþ ãðóïïó âõîäÿò ìåòîäû, îñíîâàííûå íà èñêóññòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíè- ÿõ îñíîâíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ïðèâîäÿùèõ ê ðàçäåëåíèþ ïå- ðåìåííûõ. Îäíàêî ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ íå âñåãäà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåøåíèå â êîíå÷íîì âèäå, äàþùåì ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ íåîá- õîäèìûì ïðåäñòàâëÿòü èíòåãðàëû â âèäå òàáëèö èëè ãðàôèêîâ. Ïîäîáíûå ïðåîáðà- çîâàíèÿ íå îáëàäàþò íåîáõîäèìîé ñòðîãîñòüþ ðåøåíèÿ è òðåáóþò ââåäåíèÿ ñîãëà- ñóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ è èñïîëüçîâàíèÿ âñïîìîãàòåëüíûõ òàáëèö. Ê ÷åòâåðòîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ, â êîòîðûõ çàðàíåå çàäàåòñÿ âèä ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùèé èçìåíåíèå òîé èëè èíîé õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ. Íàïðèìåð, ìîæåò áûòü ôèêñèðîâàí âèä çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ËÀ îò âðåìåíè V(t). Ýòè ìåòîäû òðåáóþò äîïîëíèòåëüíîãî çàäàíèÿ çàêîíà ñî- ïðîòèâëåíèÿ ñðåäû èëè ïðîâåäåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ ôóíêöèè îò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Êàæäûé èç ìåòîäîâ ïðèìåíèì äëÿ êîíêðåòíûõ óñëîâèé ïîëåòà ñíàðÿäà, îòâå÷àþ- ùèõ äîïóùåíèÿì, ïðèíÿòûì ïðè ñîñòàâëåíèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæå- íèÿ. 5.1 . ÏÎØÀÃÎÂÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈß È ÏÐÀÊÒÈÊÀ ÈÕ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈß 5.1.1. ×ÈÑËÅÍÍÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÐÀÇÍÎÑÒÍÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ Ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü çíà- ÷åíèå èíòåãðàëà îò ôóíêöèè, çàäàííîé òàáëè÷íî. Äëÿ ýòîé öåëè èñ- ïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà çàìåíÿåò äåéñòâèòåëüíóþ ôóíêöèþ, àíàëèòè÷å- ñêèé âèä êîòîðîé íåèçâåñòåí. Ïðè óñëîâèè, ÷òî òàêàÿ çàìåíà ïðîèñ- õîäèò íà ìàëîì ó÷àñòêå êðèâîé, òî÷íîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî âûñîêîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìååòñÿ ôóíêöèÿ y = f(x). Òîãäà ïðèðàùåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà â ïðåäåëàõ îò xn äî xn+1 åñòü ∆Jy d x n x x n n = + ∫. 1 (5.1) Ñàìîé ïðîñòîé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ () ( )() () , yyyyxxxx nn n nn n −− = −− + − + − 1 1 1 1 (5.2) ãäå xn+1 − xn = hx – øàã èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà; yn+1 − yn = ∆yn – ðàçíîñòü ìåæäó n-ì è n + 1-ì çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè. 210
Èç ôîðìóëû (5.2) èñêîìóþ âåëè÷èíó ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþ- ùóþ àðãóìåíòó õ, çàäàäèì â âèäå yy hxxy nx nn =+ − −1 (). ∆ (5.3) Ïðè ëèíåéíîì èíòåðïîëèðîâàíèè ïëîùàäü ïîä êðèâîé, èçîáðà- æàþùåé ôóíêöèþ f(x), áóäåò ðàçáèòà íà ðÿä òðàïåöèé. Èíòåãðèðî- âàíèå ïî ìåòîäó òðàïåöèé äàåò ñóùåñòâåííóþ îøèáêó è, êàê ïðàâè- ëî, íàõîäèò îãðàíè÷åííîå ïðèìåíåíèå ïðè áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷å- òàõ. Ïðîñòåéøèì ìåòîäîì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìå- òîä Ë. Ýéëåðà. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ′ = yf x y x (, )ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x=x0,y=y0. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè øàã èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà hx âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû â ïðåäåëàõ ýòîãî øàãà ôóíêöèÿ f(x, y) ñîõðàíÿëà ïîñòîÿí- íîå çíà÷åíèå. Çàìåíÿÿ ïðîèçâîäíóþ îòíîøåíèåì ìàëûõ êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé, ìîæíî çàïèñàòü ′=≈ y dy dx y x x ∆ ∆ . Äëÿ ïåðâîãî ó÷àñòêà èíòåãðèðîâàíèÿ ∆x0 = x1 − x0 = hx, ∆y0 = =y1−y0,èòîãäà fxy yy hx (,) . 00 10 = −  ðåçóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ áóäåì èìåòü yyh fxy x 10 0 0 =+ (,) . Ïîâòîðÿÿ îïåðàöèþ äëÿ ïîñëåäóþùèõ ó÷àñòêîâ èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷àþò ïîñëåäîâàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé yyh fxy yyh fxy x x 21 1 1 32 2 2 =+ =+ (, ); (,) .  îáùåì âèäå ôîðìóëà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåí- öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî ìåòîäó Ë. Ýéëåðà çàïè- øåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: yyh f x y nn x n n +=+ 1 (,) . (5.4) Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè ìåòîä Ë. Ýéëåðà ìîæåò ïðèâåñòè ê çíà÷èòåëüíûì îøèáêàì. Òî÷íîñòü ìåòîäà ïîâûøàåòñÿ ñ 211
óìåíüøåíèåì øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ, îäíàêî ïðè ýòîì óâåëè÷èâàåò- ñÿ îáùèé îáúåì âû÷èñëåíèé è ïðîèñõîäèò íàêîïëåíèå îøèáîê â ïðîöåññå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó â íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ìåòîäàõ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé âíåøíåé áàëëèñòè- êè èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå èíòåðïîëèðóþùèå ôóíêöèè, ïîçâî- ëÿþùèå óâåëè÷èâàòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èíòåãðè- ðîâàíèåì ïî ìåòîäó òðàïåöèé è ìåòîäó Ë. Ýéëåðà ïðè ñîõðàíåíèè íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè. Èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ ñîñòàâëÿåòñÿ â âèäå öåëîãî ìíîãî- ÷ëåíà, ñòåïåíü êîòîðîãî íà åäèíèöó ìåíüøå ÷èñëà çàäàííûõ çíà÷å- íèé ôóíêöèè íà ðàññìàòðèâàåìîì ó÷àñòêå èíòåðïîëèðîâàíèÿ. Êðè- âàÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìíîãî÷ëåíó, äîëæíà ïðîõîäèòü ÷åðåç âñå èñ- ïîëüçóåìûå òî÷êè, íîñÿùèå íàçâàíèå óçëîâ èíòåðïîëÿöèè. Âûïîëíåíèå ýòèõ óñëîâèé îáóñëîâëèâàåò åäèíñòâåííîñòü èíòåðïî- ëèðóþùåé ôóíêöèè. Èíòåðïîëÿöèîííûå ôîðìóëû îáåñïå÷èâàþò âîçìîæíîñòü ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè äëÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòà, îòëè÷íûõ îò óçëîâ èíòåðïîëèðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì ðàçëè÷àþò èíòåðïîëèðîâàíèå, êîãäà àðãóìåíò õ ëåæèò âíóòðè çàäàííîãî èíòåðâàëà xn − xn+1, è ýêñòðàïîëèðîâàíèå, êîãäà çíà÷åíèå àðãóìåíòà íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè ýòîãî èíòåðâàëà. Íàèáîëåå óíèâåðñàëüíîé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïîëèðóþùàÿ ôóíêöèÿ Ëà- ãðàíæà. Ïðè åå èñïîëüçîâàíèè íà âûáîð óçëîâ èíòåðïîëÿöèè íå íà- êëàäûâàåòñÿ êàêèõ-ëèáî ñïåöèàëüíûõ îãðàíè÷åíèé. Èíòåðïîëÿöè- îííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà èìååò âèä yfx xxxx xx xxxx xx y m m =≈ −− − −− − () () () () () () () 12 0102 0 0 K K + + −− − −− − + + () () () () () () ( xxxx xx xxxx xx y m m 02 1012 1 1 K K K K xxxx xx xxxx xx y m mmm m m −− − −− − − − 01 1 01 1 )( )( ) () () () . K K (5.5) Èçâåñòíû è äðóãèå èíòåðïîëÿöèîííûå ôîðìóëû: ïåðâàÿ è âòîðàÿ ôîðìóëû Íüþòîíà, ôîðìóëû Ãàóññà, Áåññåëÿ, Ñòèðëèíãà. Èíòåðïî- ëÿöèîííûå ôîðìóëû Íüþòîíà, ñîñòàâëÿåìûå ñ èñïîëüçîâàíèåì òàáëèö êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ïîëó÷àþòñÿ ïðè óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà øàãà àðãóìåíòà: hx = const. Åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ y − f(x) çàäàíà òàáëè÷íî ñ èçìåíåíèåì àðãóìåíòà ÷åðåç ïîñòîÿííûé øàã hx, òî êîíå÷íîé ðàçíîñòüþ ôóíê- öèè ïåðâîãî ïîðÿäêà, èëè ïåðâîé ðàçíîñòüþ, íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ∆y = ∆f(x)=f(x + hx) − f(x). Âòîðàÿ ðàçíîñòü ôóíêöèè ∆2y = ∆2f(x)= =∆[∆f(x)] è ò.ä . ×òîáû ñîñòàâèòü òàáëèöó êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ñëå- 212
Òàáëèöà 5.1 Ãîðèçîíòàëüíàÿ òàáëèöà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ôóíêöèè âèäà y = f(x) xy∆y ∆2y ∆3y xn−3 yn−3 ∆yn−3 ∆2yn−3 ∆3yn−3 xn−2 yn−2 ∆yn−2 ∆2yn−2 ∆3yn−2 xn−1 yn−1 ∆yn−1 ∆2 1 yn− * ∆3 1 yn− * x yn * ∆yn * ∆2yn ∆3yn xn+1 yn+1 ∆yn+1 ∆2yn+1 xn+2 yn+2 ∆yn+2 xn+3 yn+3 äóåò èç êàæäîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè âû÷åñòü åìó ïðåäøåñòâóþùåå è ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò çàïèñàòü â ñòîëáöå ñïðàâà â îäíîé ñòðîêå ñ âû÷èòàåìûì, ïðèäàâ åìó íîìåð ïîñëåäíåãî (òàáë. 5.1). Ñîñòàâëåííóþ ïîäîáíûì îáðàçîì òàáëèöó íàçûâàþò ãîðèçîíòàëüíîé òàáëèöåé êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ôóíêöèè. Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ ξ= − xx hx 0, ãäå õ0 – íà÷àëüíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà, íàïèøåì ôîðìóëó äëÿ ïåðâîãî èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà Íüþòîíà ñòåïåíè íå âûøå n: Pxy y y y n () () ! () () ! ( =+ + − + + −− ++ 00 2 0 3 0 1 2 12 3 ξξξ ξξξ ξ ∆∆ ∆K ξξ −− + 11 0 )() ! . K n n yn∆ (5.6) Âòîðàÿ èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ èíòåðïîëèðîâàíèÿ â êîíöå èçâåñòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè (ò.å . äëÿ ýêñòðàïîëèðîâàíèÿ): Pxy y y y nnn n n () () ! () () ! =+ + + + + ++ −− − ξ ξξ ξξξ ∆∆ ∆ 1 2 2 3 1 2 12 3 30 11 ++ ++ − K K ξξ ξ ()( ) ! , n n yn∆ (5.7) ãäå yn – ïîñëåäíåå èçâåñòíîå çíà÷åíèå ôóíêöèè. 213
Ïðè íàëè÷èè òàáëèöû êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ôóíêöèè èíòåðïîëè- ðóþùàÿ ôóíêöèÿ ñîñòàâëÿåòñÿ â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå. 1. Âûïèñûâàåòñÿ ñòðîêà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ, ò.å . ÷èñåë èç òàáëèöû ðàçíîñòåé, íåïîñðåäñòâåííî çàâèñÿùèõ îò ïðåäûäóùèõ ÷èñåë (ñòðîêîé íàçûâàþò òàêóþ ñîâîêóïíîñòü ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ, â êîòîðóþ èç êàæäîãî ñòîëáöà áåðåòñÿ òîëüêî ïî îäíîìó ýëåìåíòó). 2. Ïåðåä êàæäûì ýëåìåíòîì ñòðîêè, êðîìå ïåðâîãî, ñòàâèòñÿ êî- ýôôèöèåíò â âèäå äðîáè. Åå çíàìåíàòåëü åñòü ôàêòîðèàë, ïîðÿäîê êîòîðîãî ðàâåí ïîðÿäêó ýëåìåíòà, à â ÷èñëèòåëå ñîäåðæèòñÿ ñòîëüêî ñîìíîæèòåëåé âèäà ξ –, i êàêîâ ïîðÿäîê ðàçíîñòè. 3. Ïåðâûé ìíîæèòåëü ÷èñëèòåëÿ äîëæåí èìåòü âèä ξ – i0, ãäå i0 – èíäåêñ ïðåäûäóùåãî ýëåìåíòà êîíå÷íîé ðàçíîñòè (íàïðèìåð, åñëè ïðåäûäóùèé ýëåìåíò èìååò íîìåð – 3, òî èíäåêñ i0 = –3). Âñå ïîñëåäóþùèå ñîìíîæèòåëè óáûâàþò íà åäèíèöó. Èñïîëüçóÿ ýòî ïðàâèëî, ïîëó÷èì â êà÷åñòâå ïðèìåðà èíòåðïîëÿ- öèîííóþ ôîðìóëó äëÿ ëîìàíîé ñòðîêè, îòâå÷àþùåé çíà÷åíèþ àðãó- ìåíòà xn: yyy y y nn n n =+ + − + +− −− ξξ ξξξ ξ 1 1 2 11 3 2 1 3 1 ! () ! ()() ! . ∆∆ ∆ (5.8) Ôîðìóëà (5.8) îòâå÷àåò ëîìàíîé ñòðîêå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëå- ìåíòîâ, è êîíå÷íûå ðàçíîñòè, èñïîëüçîâàííûå äëÿ åå íàïèñàíèÿ, îòìå÷åíû â òàáë. 5 .1 çâåçäî÷êîé.  ñëó÷àå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ξ èç (5.1) ïîëó÷èì ïðèðàùåíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà äëÿ îäíîãî øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ â âèäå ∆Jhy d nx = ∫ξ, 0 1 (5.9) òàêêàêdξ=dx/hx. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ∆Jn ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíîé èç èíòåðïî- ëÿöèîííûõ ôîðìóë, ñîñòàâëåííûõ íà îñíîâàíèè ñòðîê ïîñëåäîâà- òåëüíûõ ýëåìåíòîâ. Òàê, íàïðèìåð, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå y èç ôîðìó- ëû (5.8) â (5.9), ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ âû÷èñ- ëåíèÿ ïðèðàùåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà: ∆∆ ∆ ∆ Jhyyy h nx n n n n =+− − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −− 1 2 1 12 1 24 2 1 3 1. (5.10) 214
Àíàëîãè÷íî äëÿ ãîðèçîíòàëüíîé ñòðîêè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëå- ìåíòîâ ∆∆ ∆ ∆ Jhyyy y nx n n n n =+− + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − 1 2 1 12 1 24 2 1 3 . (5.11) Ïðè èñïîëüçîâàíèè íàêëîííîé ýêñòðàïîëÿöèîííîé ñòðîêè ôîð- ìóëà ïðèîáðåòàåò âèä ∆∆ ∆ ∆ Jhy y y y nx n n n n =++ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ −− − 1 2 5 12 3 8 1 2 2 3 3. (5.12) Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò èíòåðïîëèðîâàòü âïåðåä (ýêñòðà- ïîëèðîâàòü), îñíîâûâàÿñü íà õàðàêòåðå ïðåäûäóùåãî èçìåíåíèÿ ôóíêöèè. Ïðèáàâëÿÿ ðàçíîñòü ôóíêöèè ∆yn, îïðåäåëåííóþ ïî ñîîòâåòñò- âóþùåé ôîðìóëå, ê èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ yn, ïîëó÷àåì ïîñëåäóþ- ùåå èñêîìîå çíà÷åíèå ôóíêöèè yyy nnn +=+ 1 ∆. (5.13) Ôîðìóëû, ñîäåðæàùèå ðàçíîñòè òðåòüåãî ïîðÿäêà, ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû äëÿ íàðàùèâàíèÿ ñòðîê, åñëè èçâåñòíî íå ìåíåå ÷åòûðåõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé ïðîèçâîäíîé. Ïåðâîå çíà÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x = x0 è y = y0 ïî èíòåãðèðóåìîìó äèôôå- ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ. Íåäîñòàþùèå íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïðî- èçâîäíûõ îáû÷íî íàõîäÿò ñïîñîáîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæå- íèé, ñóòü êîòîðîãî èçëîæåíà íèæå. Ïóñòü çàäàíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà ′= y x f(x, y), êîòîðîå äàëåå áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå y ′ = f(x, y). Íà- ÷àëüíûå çíà÷åíèÿ x0 è y0 èçâåñòíû, ñëåäîâàòåëüíî, èçâåñòíî çíà÷å- íèå ′ y 0. Îïðåäåëåíèå íåäîñòàþùèõ ýëåìåíòîâ òàáëèöû ðàçíîñòåé íà- ÷èíàåòñÿ ñ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ∆∆ yh yyy y 00 100 = ′ =+ ;. Ïî èçâåñòíîìó çíà÷åíèþ y1 íàõîäèì ′ = yf x y 11 1 (, )è âû÷èñëÿåì ∆′= ′− ′ yyy 010 . Ïðè âûïîëíåíèè âòîðîãî ïðèáëèæåíèÿ ïî èçâåñòíûì èç ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ′ y0, ′ y1 è ∆ ′y 0 îïðåäåëÿåì ∆∆∆ yhy yyy y x 000 1 0 0 1 2 = ′+ ′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ , 215
è ∆∆∆ yhy yyy y x 110 2 1 1 1 2 = ′+ ′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ =+ ,. Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå èçâåñòíûå x1, y1 è x2, y2, íàõî- äèì ′ y1è ′ y2,àòàêæå∆ ′ = ′− ′ yyy 010 ;∆′= ′− ′ yyy 121 ; ∆∆∆ 2 ′= ′− ′ yyy 010 . Òðåòüå ïðèáëèæåíèå ÿâëÿåòñÿ êîíòðîëüíûì. Ïî çíà÷åíèÿì ∆∆ ∆ ∆∆ yhyyy yhy y x x 000 2 0 111 1 2 1 12 1 2 1 = ′+ ′− ′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ′+ ′− , 12 2 0 ∆′ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟y îïðåäåëÿåì y1 è y2 è âû÷èñëÿåì ′ y1, ′ y2,∆ ′y0,∆ ′y1,∆ 2 ′ y0.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ íåóïðàâëÿåìîé ðàêåòû ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ ËÀ, èìåþùåãî ñëåäóþùèå êîíñòðóêòèâíûå ïàðàìåòðû: d=0,5ì;m0=1174êã;|•| m =86,59êã/ñ;ñ1=Ð0/m0=148ì/ñ2;ñ2= = SaPON/m0 = 16,15 ì/ñ2; tk = 2,8 ñ ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ V0 = =50ì/ñ;θ0=40,6°;õ0=y0=0 . Êîýôôèöèåíò ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ cx a () M íà ó÷àñòêå äåéñò- âèÿ àêòèâíûõ ñèë ïðèâåäåí â òàáë. 5 .2. Ñèëà ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ íà ïàññèâíîì ó÷àñòêå çàäàíà òèïîâîé ôóíêöèåé G(Vτ), çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðèâåäåíû â òàáë. 5 .3. Òàáëèöà 5.2 Êîýôôèöèåíòû ñèëû ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ â ôóíêöèè ÷èñåë Ìàõà M 0,01 0,55 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,02 cxa 0,30 0,30 0,33 0,42 0,54 0,68 0,82 0,85 M 1,06 1,08 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 cxa 0,87 0,86 0,86 0,83 0,80 0,77 0,74 0,71 M 1,70 1,80 1,90 2,30 2,90 cxa 0,68 0,65 0,62 0,50 0,31 216
Òàáëèöà 5.3 Çíà÷åíèÿ òèïîâîé ôóíêöèè ñîïðîòèâëåíèÿ Vτ, ì/ñ 200 220 240 260 280 G(Vτ) 0,1466 0,1611 0,1753 0,1900 0,2098 Vτ, ì/ñ 300 320 340 360 380 G(Vτ) 0,2430 0,3474 0,5099 0,6111 0,6718 Vτ, ì/ñ 400 420 440 460 480 G(Vτ) 0,7141 0,7480 0,7770 0,8028 0,8257 Vτ, ì/ñ 500 520 540 560 580 600 G(Vτ) 0,8472 0,8671 0,8856 0,9033 0,9203 0,9363 ×òîáû âûïîëíèòü ðàñ÷åòû, íåîáõîäèìû òàêæå çíà÷åíèÿ ôóíê- öèé π(y), H(y), a(y) äëÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà è Hτ(y), ττ ON /–äëÿ ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè. Îíè çàäàþòñÿ â âèäå ñïåöèàëü- íûõ òàáëèö. Äëÿ óäîáñòâà âûïîëíåíèÿ ðàñ÷åòîâ â òàáë. 5.4, 5.5 ïðèâîäÿòñÿ ôðàãìåíòû òàáëèö, ñîäåðæàùèå íåîáõîäèìûé ÷èñëî- âîé ìàòåðèàë. Òàáëèöà 5.4 Èçìåíåíèå ïî âûñîòå ôóíêöèé π(y), H(y)èa(y) y,ì 0 100 200 300 400 π(y) 1,000 0,9882 0,9765 0,9649 0,9535 H(y) 1,000 0,9904 0,9849 0,9715 0,9622 a(y), ì/ñ 340,7 339,9 339,5 339,1 338,8 y,ì 500 600 700 800 900 1000 π(y) 0,9421 0,9309 0,9198 0,9087 0,8978 0,8879 H(y) 0,9529 0,9437 0,9345 0,9254 0,9164 0,9075 a(y), ì/ñ 338,4 338,0 337,6 337,2 336,8 336,4 217
Òàáëèöà 5.5 Èçìåíåíèå ïî âûñîòå ôóíêöèé Hτ(y)è ττ ON/ y,ì 0 200 400 600 800 1000 Hτ(y) 1,000 0,97 0,9583 0,9371 0,9171 0,8976 ττ ON/ 1,000 1,002 1,004 1,007 1,009 1,011 y,ì 1200 1400 1600 1800 2000 2200 Hτ(y) 0,8775 0,8587 0,8400 0,8210 0,8032 0,7839 ττ ON/ 1,014 1,016 1,018 1,021 1,023 1,026 y,ì 2400 2600 2800 3000 Hτ(y) 0,7677 0,7500 0,7334 0,7164 ττ ON/ 1,028 1,031 1,033 1,733 Äëÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà óðàâ- íåíèé èìååò âèä • () ; • ;• ;• , uD E u p g u yp uxu =− = −= = 1 μ (5.14) ãäåμ=m/m0;D=P/(m0V);E=Xa/(m0V);p=tgθ;u=Vcosθ. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû âû÷èñëÿþò ñ ïî- ìîùüþ ñîîòíîøåíèé u0 = V0 cosθ0; p0 =tgθ0. Ðàñ÷åò ïàññèâíîãî ó÷àñòêà óäîáíî âûïîëíÿòü, èíòåãðèðóÿ ñèñòå- ìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, çàïèñàííóþ ïî àðãóìåíòó õ: ′=− =− ′= ′= uc H y G Vp ' y u yp t u xx x x x ττ ()( ); ; ; , 2 1 (5.15) ãäå Vu p ON τ ττ =+ /. 12 Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5.15). Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóþò êîíå÷íûì çíà÷åíèÿì ýëåìåíòîâ òðàåêòîðèè, ïîëó÷åííûì ïðè ðàñ÷åòå àêòèâ- íîãî ó÷àñòêà.  òîì ñëó÷àå, åñëè çàäàííîå âðåìÿ tk íå ïîïàäàåò íà óç- ëîâîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà, ýëåìåíòû òðàåêòîðèè íàõîäÿò ñ ïîìî- ùüþ ôîðìóë èíòåðïîëÿöèè. 218
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ "ðàçãîííûõ" òî÷åê èñïîëüçóþò ñáëèæåíèÿ, êî- òîðûå âûïîëíÿþò ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è äëÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà. Õà- ðàêòåð èçìåíåíèÿ îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ òðàåêòîðèè â ïðîöåññå äâè- æåíèÿ ËÀ èëëþñòðèðóþò ïîêàçàííûå íà ðèñ. 5 .1 ãðàôèêè çàâèñèìî- ñòåéy=f1(x),V =f2(x),p =f3(x), ′ = ux f4(x), êîòîðûå ïîñòðîåíû ïî ðåçóëüòàòàì ðàñ÷åòîâ äëÿ ðàññìîòðåííîãî ïðèìåðà. 5.1.2. ÒÎ×ÍÎÑÒÜ ÐÀÑ×ÅÒÎÂ È ÂÛÁÎÐ ØÀÃÀ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈß Ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ ËÀ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè òèïîâûìè ãðóïïàìè îøèáîê. 1. Ïîãðåøíîñòè ïîñòàíîâêè çàäà÷è, îïðåäåëÿåìûå ñòåïåíüþ ïðèáëèæåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ê äåéñòâèòåëüíîìó ïðîöåññó äâèæåíèÿ. Ýòà ãðóïïà îøèáîê, íàçûâàåìàÿ ïîãðåøíîñòÿìè çàäà÷è, îáóñëîâëèâàåòñÿ óñòàíîâëåííûìè äîïóùåíèÿìè è âûáîðîì ñèñòå- ìû óðàâíåíèé. 2. Ïîãðåøíîñòè ìåòîäà ðåøåíèÿ, íàïðèìåð ââåäåíèå àïïðîêñè- ìèðóþùèõ ôóíêöèé äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, çàìåíà ÷èñ- ëåííîãî ðåøåíèÿ ïðèáëèæåííûì àíàëèòè÷åñêèì è ò.ä . 3. Ïîãðåøíîñòè ââåäåíèÿ â ðåøåíèå ðÿäîâ èëè äðóãèõ ìàòåìàòè- ÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî èõ íà÷àëüíûõ 219 Ðèñ. 5.1 . Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ è ýëåìåíòîâ òðàåêòî- ðèè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ËÀ
÷ëåíîâ. Òàêèå ïîãðåøíîñòè íàçûâàþòñÿ îñòàòî÷íûìè è îáóñëîâëè- âàþòñÿ âåëè÷èíîé ñóììû îïóùåííûõ ÷ëåíîâ ðÿäà. 4. Îøèáêè çàäàíèÿ èñõîäíûõ äàííûõ, íàïðèìåð îïðåäåëåíèÿ àýðîäèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Òàêèå ïîãðåøíîñòè íàçûâàþò- ñÿ íà÷àëüíûìè. 5. Òåõíè÷åñêèå ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé, ê êîòîðûì îáû÷íî îò- íîñÿò ïîãðåøíîñòè îêðóãëåíèÿ è áîëüøóþ ãðóïïó ïîãðåøíîñòåé äåéñòâèé íàä ïðèáëèæåííûìè ÷èñëàìè. Ðàçëè÷íûå îáëàñòè áàëëèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è ðàçëè÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ áàëëèñòè÷åñêèõ çàäà÷ èìåþò ñâîè ñïåöèôè÷åñêèå îøèáêè. Ïðè ïðèìåíåíèè ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèé îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì îøèáêàìè àïïðîêñèìàöèè, îøèáêàìè ìàòåìàòè÷åñêèõ äåéñòâèé è îøèáêàìè îêðóãëåíèÿ. Ïî- ãðåøíîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ äåéñòâèé çàâèñÿò îò îáùåé ñõåìû ðåøå- íèÿ è ïðàêòè÷åñêè íåóñòðàíèìû. Îøèáêè ìàòåìàòè÷åñêèõ äåéñòâèé è îøèáêè îêðóãëåíèÿ îáû÷íî ìàëî ñêàçûâàþòñÿ íà òî÷íîñòè îêîí- ÷àòåëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé. Îøèáêè àïïðîêñèìàöèè âûçûâàþòñÿ çàìåíîé äåéñòâèòåëüíîé ôóíêöèè èëè åå ïðîèçâîäíîé èíòåðïîëèðóþùåé ôóíêöèåé. Âåëè- ÷èíà îøèáêè àïïðîêñèìàöèè îïðåäåëÿåòñÿ ïîðÿäêîì óäåðæèâàå- ìîé ðàçíîñòè â èíòåðïîëèðóþùåé ôóíêöèè è øàãîì àðãóìåíòà.  ïðîöåññå íàðàùèâàíèÿ ñòðîê îøèáêè àïïðîêñèìàöèè, ìàòåìàòè- ÷åñêèõ äåéñòâèé è îêðóãëåíèÿ íàêàïëèâàþòñÿ. Âûáîð øàãà èíòåãðè- ðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ýòàïîì âñåãî ðàñ÷åòà, òàê êàê åãî çíà÷å- íèåì îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî òî÷íîñòü, íî è òðóäîåìêîñòü ðàñ÷åòîâ. Ïðè ìàëîì øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçî- âàíèÿ ðàçíîñòåé ïðîèçâîäíûõ âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (âòîðîãî è âûøå), îäíàêî ïðè ýòîì âîçðàñòàåò ÷èñëî ðàñ÷åòíûõ òî÷åê è â ïðîöåññå ðàñ- ÷åòîâ óâåëè÷èâàåòñÿ íàêîïëåíèå îøèáîê. Ïðè áîëüøîì øàãå ñîêðà- ùàåòñÿ îáúåì âû÷èñëåíèé, íî óìåíüøàåòñÿ òî÷íîñòü. Âûáîð ðàçìåðà øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ çàâèñèò îò ìíîãèõ âåëè÷èí è îïðåäåëÿåòñÿ àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé îøèáêàìè êîíå÷íîãî ðåçóëüòàòà. Íåîáõîäèìîñòü óìåíüøåíèÿ øàãà â ïðîöåññå ðàñ÷åòîâ îáû÷íî ñâÿçàíà ñ ðåçêèì èçìåíåíèåì îäíîé èç âåëè÷èí, íàïðèìåð èçìåíåíèåì âåëè÷èíû ñõ(Ì) â îáëàñòè ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ ËÀ, áëèçêèõ ê ñêîðîñòè çâóêà. Ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ îáëàñòè çâóêîâûõ ñêîðîñòåé ïðè äàëüíåéøåì ïëàâíîì èçìåíåíèè ñõ(Ì) øàã èíòåãðè- ðîâàíèÿ öåëåñîîáðàçíî âíîâü óâåëè÷èâàòü. Êàê ïðàâèëî, ñòàíäàðò- íûå ïðîãðàììû èíòåãðèðîâàíèÿ íà ÝÂÌ èìåþò ïðîöåäóðû àâòîìà- òè÷åñêîãî âûáîðà øàãà ïî çàäàííîìó çíà÷åíèþ îøèáêè. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ñèñòåì (5.14) è (5.15), îïèñûâàþùèõ äâè- æåíèå öåíòðà ìàññ íåóïðàâëÿåìîé ðàêåòû ïðè îòíîñèòåëüíî íå- áîëüøèõ äàëüíîñòÿõ, øàã ïî âðåìåíè ìîæíî âçÿòü ðàâíûì ht = = 0,1...0,5 ñ. Äëÿ çåíèòíûõ ðàêåò è ñíàðÿäîâ â çîíå âñòðå÷è ñ ìàíåâ- 220
ðèðóþùåé öåëüþ èíîãäà îêàçûâàåòñÿ íåîáõîäèìûì ïðèíÿòü ht = = 0,01...0,001 ñ. Ïðè èíòåãðèðîâàíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé, îïèñûâàþùåé äâèæå- íèå öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà è êîðîòêîïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàòåëüíûå äâèæåíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, øàã èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ìà- ëûõ ñíàðÿäîâ ñîñòàâëÿåò ht = 0,001...0,0005 ñ. Òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà âåðíûõ çíà÷àùèõ öèôð, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ èç íåðàâåíñòâà ∆≤10k , (5.16) ãäå k = m − n +1;∆ – àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ÷èñëà; m – ñòàðøèé äåñÿòè÷íûé ðàçðÿä ÷èñëà; n – ÷èñëî âåðíûõ çíà÷àùèõ öèôð. Ïðèìåð. Ïóñòü ïðèáëèæåííîå ÷èñëî L = 12480 êì äîëæíî áûòü âû÷èñëå- íî ñ îòíîñèòåëüíûìè òî÷íîñòÿìè δL = 1 %; 0,1 %; 0,01 % è 0,001 %. Îïðåäåëèì, ñêîëüêî â êàæäîì ñëó÷àå ñëåäóåò áðàòü âåðíûõ çíàêîâ ïðè ðàñ÷åòàõ. Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü â êàæäîì ñëó÷àå îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìó- ëå ∆L = LδL/100 è áóäåò ðàâíà ∆∆ ∆∆ LL LL 12 34 125 10 125 10 12 51 0 01 2 51 0 32 1 =< =< =< =< ;,; ,;, 0 . Ðàñ÷åòíîå ÷èñëî â ïîçèöèîííîé çàïèñè èìååò âèä 12480110 210 410 810 010 43210 =⋅ +⋅+⋅+⋅+⋅ . Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàðøèé äåñÿòè÷íûé ðàçðÿä m = 4. ×èñëî âåðíûõ çíà- êîâ, ñîãëàñíî ôîðìóëå n = m − k + 1, äëÿ êàæäîãî ðàñ÷åòíîãî ñëó÷àÿ ðàâíî n1 =2;n2 =3;n3 =4èn5 = 5. Ñ ó÷åòîì îäíîãî çàïàñíîãî çíàêà ïðîìåæóòî÷- íûå ðàñ÷åòû íóæíî âåñòè ñîîòâåòñòâåííî ñ òðåìÿ, ÷åòûðüìÿ, ïÿòüþ è øå- ñòüþ âåðíûìè çíàêàìè. Ïðàâèëüíàÿ çàïèñü ÷èñëà L â êàæäîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü âèä LL LL =⋅ =⋅ =⋅ = 125 10 1248 10 1 2480 10 1 2480 44 4 ,; , ,; , êì êì; êì 0 104 ⋅ êì. 5.1.3. ÐÅØÅÍÈÅ ÎÑÍÎÂÍÎÉ (ÏÅÐÂÎÉ) ÇÀÄÀ×È ÂÍÅØÍÅÉ ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ ÍÀ ÝÂÌ Ðàñ÷åòû íà ÝÂÌ ïî îòëàæåííûì ïðîãðàììàì äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü áîëüøîé ïî îáúåìó ìàòåðèàë, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïðîâåäåíèè èññëåäîâàíèé è ïðîåêòèðîâàíèè ËÀ. Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ÷èñëåííîãî èíòåãðè- ðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ËÀ ìîãóò áûòü ïîäðàçäåëåíû íà îäíî- 221
øàãîâûå, ìíîãîøàãîâûå è ìåòîäû ïðîãíîçà è êîððåêöèè (ïðåäèê- òîð-êîððåêòîð-ìåòîäû). Òèïè÷íûìè äëÿ îäíîøàãîâûõ ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû Ðóíãå–Êóòòà ðàçëè÷íûõ ïîðÿäêîâ. Ìåòîä Ýéëåðà îòíîñèòñÿ ê ìåòîäàì ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñòàíäàðòíûé ìåòîä Ðóíãå–Êóòòà – ê ìåòîäàì ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Ìåòîäû Ðóíãå–Êóòòà îáëàäàþò ñëå- äóþùèìè äîñòîèíñòâàìè è íåäîñòàòêàìè [40]: èìåþò îäíîòèïíóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñõåìó; íå òðåáóþò ðàñ÷åòà "ðàçãîííûõ" òî÷åê; ïîçâîëÿþò ëåãêî èçìåíÿòü øàã èíòåãðèðîâàíèÿ â ïðîöåññå ñ÷åòà; õîðîøî ïðèñïîñîáëåíû äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðàçðûâíûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè; òðåáóþò ìíîãîêðàòíîãî âû÷èñëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè íà îäíîì øàãå; íå îáåñïå÷èâàþò íàäåæíîãî êîíòðîëÿ ïðàâèëüíîñòè âû÷èñëå- íèé.  áèáëèîòåêå ìàòåìàòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ ÏÝÂÌ ïðåäñòàâëå- íû ñòàíäàðòíûå ïîäïðîãðàììû èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé, îñíîâàííûå íà ìåòîäå Ðóíãå–Êóòòà, â òîì ÷èñëå âêëþ÷àþùèå ìîäèôèêàöèþ Ãèëëà äëÿ êîìïåíñàöèè íàêàïëèâàå- ìûõ îøèáîê îêðóãëåíèÿ. Ìíîãîøàãîâûì ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåííûé âûøå ìåòîä Àäàì- ñà–Êðûëîâà. Ìåòîäû ïðîãíîçà è êîððåêöèè, ê êîòîðûì îòíîñÿò ìîäèôèöèðî- âàííûå ìåòîäû Ýéëåðà, Ìèëíà, Õåììèíãà è äð., èìåþò ñëåäóþùèå îñîáåííîñòè: îáåñïå÷èâàþò íàäåæíûé êîíòðîëü ïðàâèëüíîñòè âû÷èñëåíèé íà êàæäîì øàãå; ðåæå, ÷åì îäíîøàãîâûå ìåòîäû, îáðàùàþòñÿ ê ñ÷åòó ïðàâûõ ÷àñ- òåé íà îäíîì øàãå (ìåòîä Õåììèíãà – äâà ðàçà âìåñòî ÷åòûðåõ ðàç â ñòàíäàðòíîì ìåòîäå Ðóíãå–Êóòòà); â ïðîöåññå ñ÷åòà íà ÝÂÌ íåñêîëüêî áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå ñòàí- äàðòíîãî ìåòîäà Ðóíãå–Êóòòà, çàãðóæàþò ïàìÿòü ìàøèíû; òðåáóþò âû÷èñëåíèÿ "ðàçãîííûõ" òî÷åê ïðè èçìåíåíèè øàãà èí- òåãðèðîâàíèÿ. Âûáîð øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà ýëåìåíòîâ äâèæåíèÿ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïóòåì ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà, à òàêæå íà îñíîâàíèè ñëåäóþùèõ ðåêîìåíäàöèé: ïðè èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ËÀ ñ ó÷åòîì äåéñòâèÿ àêòèâíûõ ñèë øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè âûáèðàþò ðàâíûì ht = 0,1...0,5 c ïðè V0 <50ì/ñ è ht = 0,5...1,0 ñ ïðè V0 > > 50 ì/ñ; 222
ïðè èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ïëîñêîãî äâèæåíèÿ ËÀ ìàëîé äàëüíîñòè íà ïàññèâíîì ó÷àñòêå øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êîîðäèíàòå õ âûáèðàþò â ïðåäåëàõ hx =50 ...500 ì; ïðè èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé ïðîñòðàíñòâåííîãî äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì êîëåáàíèé ËÀ øàã èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âðåìåíè ïðèõîäèòñÿ âûáèðàòü äîñòàòî÷íî ìàëûì.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà ïðîöåññà îí ìîæåò èçìåíÿòüñÿ îò 0,01...0,05 ñ äî 0,001...0,005 ñ. Íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìàëîãî øàãà äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿäà ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îñîáåííî îñòðî ñòàâèò âîïðîñ î ïðàâèëüíîñòè âûáîðà ìåòîäà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñ öåëüþ îáåñïå÷åíèÿ íàèìåíüøèõ çàòðàò ìàøèííîãî âðåìåíè ïðè çàäàííîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé. 5.1.4. ÑÎÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÏÐÎÃÐÀÌÌÛ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄÂÈÆÅÍÈß ËÀ ÍÀ ÝÂÌ Ïðîöåññó ñîñòàâëåíèÿ ïðîãðàììû äëÿ ñ÷åòà íà ÝÂÌ ïðåäøåñò- âóåò ýòàï ïîäãîòîâêè çàäà÷è, íà êîòîðîì ðåøàþò âîïðîñû, ñâÿçàí- íûå ñ îñîáåííîñòÿìè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà è âîçìîæíîñòÿ- ìè ðàáîòû â ïðîãðàììèðóåìîì ðåæèìå. Îòìåòèì íåêîòîðûå ïîäãî- òîâèòåëüíûå äåéñòâèÿ. 1. Èíòåãðèðóåìàÿ ñèñòåìà äîëæíà áûòü ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ, ò.å. íàïèñàíà â íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè. 2. Íåîáõîäèìî âûáðàòü ñïîñîá çàäàíèÿ è âîñïðîèçâåäåíèÿ íà ÝÂÌ çíà÷åíèé àýðîäèíàìè÷åñêèõ ôóíêöèé è ïàðàìåòðîâ àòìîñôå- ðû: òàáëè÷íûé, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïëàéí-èíòåðïîëÿöèè, ñïîñîá àïïðîêñèìèðóþùèõ ïîëèíîìîâ è äð. Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî èç-çà èñïîëüçîâàíèÿ èíòåðïîëèðóþùèõ ôóíêöèé ïðèõî- äèòñÿ ïðîâîäèòü äîïîëíèòåëüíûå ðàñ÷åòû ïî ïðîâåðêå ïðàâèëüíî- ñòè ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé. 3. Íåîáõîäèìî âûáðàòü ìåòîä ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, îáåñ- ïå÷èâàþùèé ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ ñ÷åòà ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ è âûñîêèì áûñòðîäåéñòâèåì. Ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ïðèìåíÿåìûé äëÿ ðó÷íîãî ñ÷åòà, ïëîõî àäàïòèðóåòñÿ ê îñóùåñòâëåíèþ âû÷èñëèòåëüíîãî ïðîöåññà íà ÝÂÌ. Îí èñïîëüçóåò äâå ðàçëè÷íûå ñõåìû ðàñ÷åòà (îäíó – äëÿ íàðà- ùèâàíèÿ ñòðîêè), ïîýòîìó íåäîñòàòî÷íî ïðèñïîñîáëåí äëÿ èçìåíå- íèÿ øàãà â ïðîöåññå âû÷èñëåíèé. Ìåòîä Ýéëåðà è åãî ìîäèôèêàöèè ïðè ðåàëèçàöèè íà ÝÂÌ òðåáóþò íåáîëüøèõ çàòðàò ìàøèííîãî âðå- ìåíè, íî, êàê ïðàâèëî, îáëàäàþò íåâûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ïðåäïî÷òå- íèå ïðè ðàñ÷åòå ýëåìåíòîâ äâèæåíèÿ ËÀ îòäàåòñÿ ìåòîäó Ðóí- ãå–Êóòòà, åãî ìîäèôèêàöèÿì è ìåòîäàì ïðîãíîçà è êîððåêöèè. Îíè îáåñïå÷èâàþò âûñîêóþ òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, îôîðìëå- 223
íû â âèäå ñòàíäàðòíûõ ïîäïðîãðàìì è âõîäÿò â ñîñòàâ ìàòåìàòè÷å- ñêîãî îáåñïå÷åíèÿ áîëüøèíñòâà ÝÂÌ. 4. Èñïîëüçîâàíèå ÝÂÌ äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû ïîçâîëÿåò àâòîìàòèçèðîâàòü ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ òðàåêòîðèè â õà- ðàêòåðíûõ òî÷êàõ (k, s, c). Ïðè ñîñòàâëåíèè ïðîãðàììû äëÿ ýòîé öåëè ìîãóò áûòü âûáðàíû îáðàòíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ, óìåíüøåíèå øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé â îêðåñòíîñòè õàðàêòåðíûõ òî÷åê ñ ïîñëåäóþùåé îáðàòíîé èíòåðïîëÿöèåé, óìåíü- øåíèå øàãà è èçìåíåíèå åãî çíàêà ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé â ðàéîíå õàðàêòåðíûõ òî÷åê. Âûáîð ïðîöåäóðû äîëæåí îáåñïå÷èòü ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ. 5. Äëÿ çàâåðøåíèÿ ïðîöåññà ñ÷åòà ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ óñëîâèå âûõîäà èç ïðîãðàììû èíòåãðèðîâàíèÿ, ñîñòàâëåííîå ñ ó÷åòîì îñî- áåííîñòåé äâèæåíèÿ ËÀ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ- íåíèé äâèæåíèÿ äëÿ àêòèâíîãî ó÷àñòêà du dt cc ym um Vcc V Hyu mm dp xa =+− − {[( ) ] }/ ()( )( )/ ; 12 0 3 0 1π M // ; /; /. dt gu dxdtudydtup =− == (5.17) Çäåñü ñ1 = Ð0/m0; c2 = Sa pON/m0; c3 = SρON/(2m0). Ïðèâåäåì òàêæå ïðèìåð ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè cx a () M ñ ïîìî- ùüþ àïïðîêñèìèðóþùèõ ïîëèíîìîâ (òàáë. 5.6). Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè ñòðîÿò åå ãðàôèê è ïî âèäó ãðàôè- êà âûáèðàþò íà íåì õàðàêòåðíûå ó÷àñòêè (ðèñ. 5 .2).  íàøåì ñëó÷àå òàêèõ ó÷àñòêîâ îêàçàëîñü ïÿòü: ó÷àñòêè I, III, V ìîãóò áûòü îïèñàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ cx a = aM2 + b, à ó÷àñòêè II, IV – êâàäðàòè÷- íîé çàâèñèìîñòüþ âèäà cx a = aM2 + bÌ+ñ. Êîýôôèöèåíòû ýìïèðè- ÷åñêèõ ôîðìóë ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ îäíîãî èç ìåòîäîâ ìà- Òàáëèöà 5.6 Òàáëèöà êîýôôèöèåíòîâ c xa () M Ì 0,1 0,8 0,1 1,2 1,3 1,4 cxa 0,158 0,158 0,325 0,385 0,381 0,371 M 1,6 1,8 2,0 cxa 0,351 0,332 0,316 224
òåìàòè÷åñêîé òåîðèè îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà: ìåòîäîì âûáðàííûõ òî÷åê, ìåòîäîì ñðåä- íèõ êâàäðàòîâ, ìåòîäîì íàèìåíü- øèõ êâàäðàòîâ. Âîñïîëüçóåìñÿ ìå- òîäîì âûáðàííûõ òî÷åê è ïîñòðî- èì àïïðîêñèìèðóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ó÷àñòêà IV, êîòîðûé çàäàåòñÿ íà èíòåðâàëå Ì = 1,0...1,4. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèå ïàðàáîëû ïîä- ñòàâëÿþò ïîñëåäîâàòåëüíî êîîð- äèíàòû òðåõ òî÷åê (ïî ÷èñëó íåèç- âåñòíûõ êîýôôèöèåíòîâ, âõîäÿ- ùèõ â ôîðìóëó). Âîçüìåì äâå ãðà- íè÷íûåòî÷êèäëÿÌ=1,0è1,4è îäíó âíóòðåííþþ äëÿ Ì = 1,2. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó àë- ãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: abc abc ab c ++= ++= ++ = 0325 144 12 0 385 196 14 0371 ,; , , ,; ,, , . Èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû íàõîäÿò íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû. Îêîí÷àòåëüíûé âèä àïïðîêñèìèðóþùåãî ïîëèíîìà äëÿ IV ó÷àñòêà ñëåäóþùèé: cxa =+ − 0 925 2335 1085 2 ,, , . MM Ïîäîáíûì ñïîñîáîì íàõîäÿò óðàâíåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ ó÷àñòêîâ. Îáùèé âèä çàâèñèìîñòè cx a (): M cxa = ++ − − 0158 0 137 0 865 0 000898 135 1025 09 2 ,, ,,, , ,, , , MM M 25 2335 1085 0 0917 0 4993 01 0 2 MM M M +− −+ ⎧ ⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ≤≤ ,, , ,, , ,, ; 8 0,8 M 0,9; 0,9<M 1,0; 1,0<M 1,4; 1,4<M 2,0. ≤≤ ≤ ≤ ≤ ×òîáû ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü ïîëó÷åííûõ ñîîòíîøåíèé, ñî- ñòàâèì ïðîãðàììó âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè cx a () MäëÿÌ= 225 Ðèñ. 5 .2. Ïðèìåð çàâèñèìîñòè c xa (Ì)
= 0,1...2,0 ñ øàãîì 0,05. Ñõåìà àë- ãîðèòìà ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çà- äà÷è ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5 .3. Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè àò- ìîñôåðû â ñîîòâåòñòâèè ñ ÃÎÑÒ 4401-81 âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé aH y T T =− = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 20 0468 288 15 0 0065 5 2559 ,, , ; ()exp, ln ; * π Hy T T ()exp, ln , * = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 4 2559 ãäå H = ry/(r + y) – ãåîïîòåí- öèàëüíàÿ âûñîòà; r – ðàäèóñ Çåìëè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå ïîâåðõíîñòè; T/T * =1– – 0,0000226H; T * = 228,15 Ê – òåìïåðàòóðà íèæíåãî ñëîÿ âîçäóõà íà óðîâíå îêåàíà. Ïðèìåíåíèå ñïîñîáà àïïðîêñè- ìèðóþùèõ ïîëèíîìîâ è çàâèñèìî- ñòåé ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òè- òåëüíûì, ÷åì ââîä â ïàìÿòü ìàøè- íû áîëüøèõ ïî îáúåìó òàáëèö è ïðîãðàìì ëèíåéíîé èëè êâàäðà- òè÷íîé èíòåðïîëÿöèè. Âû÷èñëå- íèå çíà÷åíèé ôóíêöèé òðåáóåò ââîäà ëèøü íåáîëüøèõ ïî îáúåìó òàáëèö êîýôôèöèåíòîâ ñîîòâåòñò- âóþùèõ ìíîãî÷ëåíîâ. Îïåðàöèÿ óñëîâíîãî ïåðåõîäà, ïî êîòîðîé âåäåòñÿ âûáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ñ öå- ëüþ âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû ôóíê- öèè â ïðåäåëàõ êîíêðåòíîãî èíòåð- âàëà íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî, âêëþ÷àåòñÿ â îñíîâíóþ ïðîãðàììó ðåøåíèÿ çàäà÷è. 226 Ðèñ. 5.3 . Ñõåìà ïðîãðàììû âû÷èñëå- íèÿ ôóíêöèè c xa (Ì)
5.2 . ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ È ÒÀÁËÈ×ÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ 5.2.1. ÏÀÐÀÁÎËÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÎÐÈß Ïðè äâèæåíèè ñíàðÿäà ïîñòîÿííîé ìàññû â óñëîâíîì ïëîñêîïà- ðàëëåëüíîì ïîëå òÿãîòåíèÿ ïðè g = g0 = const â îòñóòñòâèå ñèëû ñî- ïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà òðàåêòîðèÿ ñíàðÿäà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ••() ; xt=0 •• (), ytg =− ðåøåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ïîëåòà õ0 = y0 =0,V0 è θ0. Ïîñëåäîâàòåëüíî äâàæäû èíòåãðèðóÿ óêàçàííûå óðàâíåíèÿ, ïî- ëó÷èì • ;; • ;, . xCxCC tyC g tyCCt g t == += − = + − 13 12 4 2 2 05 Èç âûðàæåíèÿ • cos xV C == θ 1 ñëåäóåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå äâè- æåíèå ñíàðÿäà õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîñòîÿíñòâîì çíà÷åíèÿ âäîëü òðàåê- òîðèè ãîðèçîíòàëüíîé ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè. Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàõîäèì Ñ3 = Ñ4 =0;Ñ1 = • x0 =V0cosθ0;C2= • y0 = V0 sinθ0. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ êîíñòàíò â âûðàæåíèÿ äëÿ õ è y, ïîëó÷èì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå: x = V0t cosθ0; y = = V0t sinθ0 − 0,5gt 2, èëè, èñêëþ÷èâ ïàðàìåòð t ïîäñòàíîâêîé t = = x/(V0 cosθ0) â óðàâíåíèå äëÿ y, îïðåäåëèì yx g x V =− −− tgθθ 0 2 0 22 0 1 2 cos . (5.18) Ñîïîñòàâëåíèå óðàâíåíèÿ (5.18) ñ îáùèì âèäîì óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà Ax2 +2Bxy + Cy2 +2Dx +2Ey + F = 0 ïîêàçûâàåò, ÷òî ó óðàâíåíèÿ (5.18) äèñêðèìèíàíò B 2 − AC = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, êðèâàÿ, îïèñûâàåìàÿ óðàâíåíèåì (5.18), ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé. Èñõîäÿ èç ýòîãî ðàññìàòðèâàåìûé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòî íàçûâàþò ïàðàáîëè÷åñêîé òåîðèåé äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. Íàéäåì ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòàòü õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ ñíàðÿäà â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïàðàáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè. Äèôôåðåíöèðóÿ (5.18) ïî õ, ïîëó÷àåì çàâèñèìîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà íàêëîíà âåêòîðà ñêîðîñòè ê ãîðèçîíòó tg tg θθθ = ′=− −− yg x V x 00 22 0 cos . (5.19) Ñêîðîñòü ñíàðÿäà â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå òðàåêòîðèè íà âûñîòå y îïðåäåëèì èç óðàâíåíèÿ "æèâûõ ñèë" (mV 2)/2 − () mV0 2 /2 = −mgy, îòêóäà ñëåäóåò 227
VVg y =− 0 2 2. (5.20) Èç ïîñëåäíåé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ñêîðîñòè ñíàðÿäà â äâóõ òî÷êàõ, ëåæàùèõ íà îäèíàêîâîé âûñîòå íà âîñõîäÿùåé è íà èñõîäÿùåé âåòâÿõ òðàåêòîðèè, îäèíàêîâû. Âðåìÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòüþ txV = /( cos ). 00 θ (5.21) Íàéäåì çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ ñíàðÿäà â òî÷êå ïàäåíèÿ ñ, èñïîëüçóÿ óñëîâèå yc = 0. Ïðè ýòîì èç óðàâíåíèé (5.18)...(5.21) ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷àåì: ïîëíóþ äàëüíîñòü ïîëåòà xV g c = 0 2 0 2 sin /; θ (5.22) òàíãåíñ óãëà ïàäåíèÿ tgθc = −tgθ0; ñêîðîñòü ïàäåíèÿ Vc = V0; ïîëíîå ïîëåòíîå âðåìÿ tVg c =200 sin/. θ (5.23) Ïîëó÷åííûå çàâèñèìîñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ïàðàáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè â òî÷êå ïàäåíèÿ |θc|=θ0; Vc = V0. Õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ äëÿ âåðøèíû òðàåêòîðèè íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ tgθs = 0 (èëè θs = 0). Ïðè ýòîì èç (5.19) ñëåäóåò xV g s = 0 2 0 22 sin /( ), θ (5.24) ò.å.xs=xc/2. Àíàëîãè÷íî èç (5.21) ïîëó÷àåì ts = V0 sinθ0/g, ò.å . tt sc = 1 2 . Òàê êàê â âåðøèíå òðàåêòîðèè ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè • cos xV s = 00 θè • sin , yV g t ss =− = 00 0 θ òî ïîëíàÿ ñêîðîñòü Vxy ss s =+ = •• 22 V0cosθ0.Âû- ñîòó òðàåêòîðèè ys íàéäåì, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ xs â îñíîâíîå óðàâíåíèå (5.18): yV g s = 0 22 0 2 sin /( ). θ (5.25) Ïîëåçíî ïðèâåñòè âûðàæåíèå äëÿ ys ê âèäó y x s c = 40 tgθ . (5.26) 228
Àíàëèç çàâèñèìîñòåé, îïðåäåëÿþùèõ ýëåìåíòû òðàåêòîðèè â âåðøèíå è â òî÷êå ïàäåíèÿ, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïàðàáîëè÷åñêàÿ òðàåê- òîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé êðèâîé. Ïðè ïðèáëèæåííûõ ðàñ÷åòàõ òðàåêòîðèé ñ ó÷åòîì ñîïðîòèâëå- íèÿ àòìîñôåðû ÷àñòî ôóíêöèþ èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè âîçäóõà ñ âû- ñîòîé áåðóò ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì H(y)=H(yñð).  êà÷åñòâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñðåäíþþ âûñîòó òðàåêòîðèè ìîæíî îïðåäåëÿòü, ïîëü- çóÿñü âûâîäàìè ïàðàáîëè÷åñêîé òåîðèè: y x ydx x x gx V dx cc x x c c ñð tg == − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∫ ∫11 2 0 2 0 22 0 0 0 θ θ cos . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì yy s cp = 2 3 . (5.27) Çàâèñèìîñòè ïàðàáîëè÷åñêîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëüíûìè ïî îòíîøåíèþ ê çàâèñèìîñòÿì, îïðåäåëÿþùèì äâèæåíèå ñíàðÿäà â àò- ìîñôåðå, ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Ïàðàáîëè÷åñêàÿ òåîðèÿ ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ðàñ÷åòîâ õàðàê- òåðèñòèê äâèæåíèÿ ñíàðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû çà ïðåäåëàìè ïëîò- íûõ ñëîåâ àòìîñôåðû (íà âûñîòàõ áîëåå 20 êì). Îäíàêî ïðè ðàñ÷åòå îòíîñèòåëüíî áîëüøèõ ó÷àñòêîâ òðàåêòîðèé ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî çàâèñèìîñòè ïàðàáîëè÷åñêîé òåîðèè ïîëó÷åíû áåç ó÷åòà èñêðèâëå- íèÿ çåìíîé ïîâåðõíîñòè è ïåðåìåííîñòè g è ðàñ÷åò ïî íèì ìîæåò ïðèâåñòè ê çàìåòíûì îøèáêàì. 5.2.2. ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÎÐÈß Âíåøíÿÿ áàëëèñòèêà ðàññìàòðèâàåò äâèæåíèå òåëà ïîñòîÿííîé ìàññû íà ó÷àñòêàõ áîëüøîé ïðîòÿæåííîñòè â öåíòðàëüíîì ãðàâèòà- öèîííîì ïîëå Çåìëè îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû êîîðäè- íàò. Ïðè ýòîì òðàåêòîðèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëëèïòè÷åñêèå òðàåê- òîðèè Êåïëåðà, êîòîðûå ìàòåìàòè÷åñêè îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé (3.142), ïîääàþùåéñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòîìó àíàëèòè÷å- ñêîìó ðåøåíèþ.  ýòîé ñèñòåìå âòîðîå óðàâíåíèå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ãðàâèòà- öèîííîì ïîëå. Èíòåãðèðóÿ åãî, íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó ïàðàìåòðàìè íà÷àëà ïàññèâíîãî ó÷àñòêà è òåêóùèìè ïàðàìåòðàìè òðàåêòîðèè Crr V r V 1 2 == = • cos cos . γθθ íí í (5.28) 229
Çäåñürí=rk,àVíèθí–íà- ÷àëüíûå ïàðàìåòðû äâèæå- íèÿ òåëà â àáñîëþòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò; θí è θ – óãëû íàêëîíà âåêòîðîâ Ví è V ê ìåñòíûì ãîðèçîíòàì (íîðìàëÿì ê ðàäèóñàì rí è r ñîîòâåòñòâåííî). Çàâèñèìîñòü (5.28), âû- ðàæàþùàÿ îäèí èç çàêîíîâ Êåïëåðà, íîñèò íàçâàíèå èíòåãðàëà ïëî- ùàäåé. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ââåäåííîãî ïîíÿòèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïëîùàäè, "îòìåòàåìûå" ðàäèóñ-âåêòîðîì çà îäèíàêîâûå ïðîìå- æóòêè âðåìåíè, ðàâíû (ðèñ. 5.4). Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (3.142) ñ ó÷åòîì âòîðîãî óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû, ïîëó÷èì • • , rr K r C 22 2 2 2 +=+ γ (5.29) îòêóäà CV K r V K r 2 22 22 =− =− í í , (5.30) ãäå K = fM – ãðàâèòàöèîííûé ïàðàìåòð Çåìëè (ñì. ï. 1.2.1). Âûðàæåíèå (5.30) íàçûâàþò èíòåãðàëîì ýíåðãèè èëè èíòåãðàëîì "æèâûõ ñèë". Äëÿ äâóõ òî÷åê òðàåêòîðèè V K r V K r 1 2 1 2 2 2 22 −= − , è ïîñëå óìíîæå- íèÿ âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ íà m/2 áóäåì èìåòü mV mV Km r Km r 2 2 1 2 21 22 =+ − , ò.å. êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà âî âòîðîé òî÷êå ðàâíà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â ïåðâîé òî÷êå ïëþñ èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîëîæåíèÿ. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òåëà â öåíòðàëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (3.142). Ïîäñòàâëÿÿ â (5.29) •γ èç (5.28) è èìåÿ â âèäó, ÷òî • , r dr d d dt C r dr d == γ γ γ 1 2 230 Ðèñ. 5 .4. Ê ïîíÿòèþ èíòåãðàëà ïëîùàäåé
ïîëó÷èì d Cr CCr Kr γ= −+ 1 2 21 22 2 / // . Îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä r p e s = −− 1c o s () . φφ (5.31) Ïîëó÷åííàÿ çàâèñèìîñòü ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.  óðàâíåíèè (5.31) φ è φs – ïîëÿðíûå óãëû, îòñ÷èòûâàåìûå îò ðà- äèóñ-âåêòîðà rí, îïðåäåëÿþùèå ñîîòâåòñòâåííî ïîëîæåíèÿ òåêóùåé òî÷êè òðàåêòîðèè è åå âåðøèíû; pC K = 1 2 /–ôîêàëüíûé ïàðàìåòð êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ; eC C K =+ 12 1 2 2 – ýêñöåíòðèñèòåò. (5.32) Äëÿ ïàðàìåòðà ð ÷àñòî èñïîëüçóþò è äðóãîå, ïðîèçâîäíîå, âûðà- æåíèå pr =κ θ íí í cos , 2 ãäåκí íí 2 = rV K – áåçðàçìåðíîå îòíîøåíèå óäâî- åííîé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â òî÷êå òðà- åêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùåé íà÷àëó ïàññèâíîãî ó÷àñòêà. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè çíà÷åíèé Ñ1 è Ñ2 â âûðàæåíèå (5.32) ïîëó÷à- åì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåêóùåé ñêîðîñòè â ôóíêöèè îñíîâ- íûõ ïàðàìåòðîâ òðàåêòîðèè V K r e 2 2 2 11 1 =± − − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ cos . θ Äëÿ òî÷åê òðàåêòîðèè, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû íà ôîêàëüíîé îñè êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ è â êîòîðûõ θ = 0 (cosθ = 1), ïîëó÷åííîå óðàâ- íåíèå èìååò âèä V K r e 2 1 =± () . (5.33) Çàâèñèìîñòè (5.31) è (5.33) ïîçâîëÿþò èññëåäîâàòü âëèÿíèå íà- ÷àëüíûõ óñëîâèé íà âèä òðàåêòîðèé è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ËÀ. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè. 1. Ñëó÷àé å = 0. Ïðè ýòîì èç (5.31) ñëåäóåò, ÷òî òåëî áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè, óðàâíåíèå êîòîðîé â ïîëÿðíûõ êîîð- 231
äèíàòàõ èìååò âèä r = p = rí. Ñêîðîñòü VK r I= / íîñèò íàçâà- íèå êðóãîâîé è ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîîá- ùèòü òåëó, ÷òîáû îíî ñòàëî ñïóòíèêîì Çåìëè.  ÷àñòíîì, óñëîâ- íîì, ñëó÷àå V0I = 7,906 êì/ñ ïðè r = RÇ = 6371 êì. Ýòà ñêîðîñòü íàçûâàåòñÿ ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòüþ. Ââåäåííûé âûøå ïà- ðàìåòð κí ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç âåëè÷èíó êðóãîâîé ñêîðî- ñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ðàäèóñó rí: κí í 2 í í íI == ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ V Kr V V / . 2 Îòñþäà âèäíî, ÷òî äâèæåíèþ òåëà ïî îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå κí =1. 2. Ñëó÷àé 0 < e < 1. Ñîãëàñíî (5.31) áóäóò èìåòü ìåñòî ýëëèïòè÷å- ñêèå òðàåêòîðèè. Îäíàêî âîçìîæíû äâà ðàçëè÷íûõ âàðèàíòà, òàê êàê â ôîðìóëå (5.33) ïåðåä çíà÷åíèåì ýêñöåíòðèñèòåòà ñòîÿò äâà çíàêà: à) åñëè ïðèíÿòü, ÷òî V K r eV 2 1 =+ = (), Ï 2 òî áóäåì èìåòü ýëëèïñ, ó êîòîðîãî ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð ñîâïàäàåò ñ ôîêóñîì, áëèæàéøèì ê òî÷êå ñî ñêîðîñòüþ VÏ. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî âàðèàíòà ýòà òî÷êà òðàåêòîðèè – ïåðèãåé. Òåëî, äâèæóùååñÿ â ïåðèãåå ñ òàêîé ñêîðî- ñòüþ, áóäåò ñïóòíèêîì, òàê êàê ýëëèïñ íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðèòÿãè- âàþùèì òåëîì; á) åñëè V K r eV 2 1 =− = (), A 2 òî áóäåì èìåòü ýëëèïñ, ó êîòîðîãî ïðèòÿãèâàþùèé öåíòð ñîâïàäàåò ñ äàëüíèì ôîêóñîì. Ñêîðîñòü VA õàðàêòåðèçóåò òî÷êó, íàçûâàåìóþ àïîãååì òðàåêòîðèè.  ýòîì ñëó- ÷àå òðàåêòîðèÿ ìîæåò ïåðåñåêàòüñÿ ñ ïðèòÿãèâàþùèì òåëîì, íî ìî- æåò è íå ïåðåñåêàòüñÿ. Ãðàíè÷íîå çíà÷åíèå VÀãð ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ñêîðîñòü VÀãð äîëæíà áûòü ðàâíà ñêîðîñòè â àïîãåå òàêî- ãî ýëëèïñà, êîòîðûé â ïåðèãåå êîñíåòñÿ ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Èñ- ïîëüçóÿ óñëîâèå VÏ RÇ = VÀãð rÀãð = Ñ1, ïîäñòàâèì â íåãî VÏ è VÀ è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì VV R rR Àãð I Ç Àãð Ç = + 2 . Åñëè VA > VÀãð – ýëëèïñ íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðèòÿãèâàþùèì òåëîì; VA = VÀãð – ýëëèïñ êîñíåòñÿ ïðèòÿãèâàþùåãî òåëà; VA < VÀãð – ýëëèïñ ïåðåñåêàåòñÿ ñ òåëîì (ýòîò âàðèàíò ñîîòâåòñòâóåò òðàåêòîðèÿì 232
áàëëèñòè÷åñêèõ ðàêåò äàëüíåãî äåéñòâèÿ (ÁÐÄÄ)). Äëÿ ýëëèïñîâ ïàðàìåòð κí <2. 3. Ñëó÷àé å = 1. Òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé. Åñëè ïðèäàòü ðàêåòå ïàðàáîëè÷åñêóþ ñêîðîñòü, îíà ïðåîäîëååò ñèëó çåìíîãî òÿãî- òåíèÿ. Èç óðàâíåíèÿ ñêîðîñòè (5.33) ñëåäóåò V K r V II I == 2 2; ïðèr=RÇ=6371êìV0II=V02 I = 11,80 êì/ñ, ýòî – âòîðàÿ êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü. Ïàðàáîëè÷åñêîé òðàåêòîðèè ñîîòâåòñòâóåò ïàðàìåòð κí =2 . 4. Ñëó÷àé e > 1. Ñîãëàñíî (5.31) òðàåêòîðèÿ áóäåò ãèïåðáîëîé, ïðè ýòîì κí >2. Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âàðèàíòîâ ïðèâåäåíû ðèñ. 5 .5 ...5.7. Íà ðèñ. 5 .5 ïîêàçàíû âèäû òðàåêòîðèé òåëà â çàâèñèìîñòè îò âåëè- ÷èíû ïàðàìåòðà κí . Ãðàôèêè ôóíêöèè V/V0I =(1± å)1/2 èç (5.33), èçî- áðàæåííûå íà ðèñ. 5 .6, ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü âèä òðàåêòîðèè òåëà â çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ýêñöåíòðèñèòåòà å è ñêîðîñòè V â òî÷- êå òðàåêòîðèè íà ôîêàëüíîé îñè êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ. Èçìåíå- íèå õàðàêòåðà òðàåêòîðèè òåëà, óäàëåííîãî îò ïðèòÿãèâàþùåãî öåíòðà íà ðàññòîÿíèå r, â çàâè- ñèìîñòè îò ñêîðîñòè ýòîãî òåëà (ïðèV⊥r) ïîêàçàíî íàðèñ. 5.7. Ââåäåíèå ïîíÿòèÿ "ïàðàáî- ëè÷åñêîé ñêîðîñòè" ïîçâîëÿåò äàòü åùå îäíî òîëêîâàíèå ñëà- ãàåìîìó (mK)/r â âûðàæåíèè äëÿ èíòåãðàëà ýíåðãèè. ßñíî, ÷òî mK r K r mm V == 2 22 2 II – êèíå- òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà â òî÷êå ñ ðàäèóñîì r, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ïîëÿ òÿãîòåíèÿ Çåìëè. Äëÿ êîíñòàíòû Ñ2 àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå Ñ2 = =VV íí I I 22 –, èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî åñëè Ñ2 >0,òîr →∞è òðàåê- òîðèÿ òåëà åñòü ðàçîìêíóòàÿ 233 Ðèñ. 5.5 . Ñåìåéñòâî õàðàêòåðíûõ òðàåê- òîðèé ïîëåòà íà áîëüøèõ âûñîòàõ: 1 – ãèïåðáîëà; 2 – ïàðàáîëà; 3 – ýëëèïñ
êðèâàÿ (ãèïåðáîëà èëè ïàðàáî- ëà); åñëè æå C2 < 0, òî òðàåêòî- ðèÿ – çàìêíóòàÿ êðèâàÿ ñ íàè- áîëüøèì ðàäèóñîì rmax = rA = 2 2 K C (ýëëèïñ èëè îêðóæíîñòü).  äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðè- âàòü ýëëèïòè÷åñêèå òðàåêòîðèè, äëÿ êîòîðûõ C2 <0èκí <2. Ïðàêòè÷åñêîå èñïîëüçîâà- íèå çàâèñèìîñòåé ýëëèïòè÷å- ñêîé òåîðèè ñâÿçàíî ñ ïðèáëè- æåííûì ðåøåíèåì ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ çàäà÷. 1. Îïðåäåëèòü ïàðàìåòðû äâè- æåíèÿ â òåêóùåé òî÷êå òðàåêòî- ðèè ïî èçâåñòíûì õàðàêòåðèñòè- êàì â íà÷àëå ïàññèâíîãî ó÷àñòêà. 2. Ïî çàäàííûì ïàðàìåòðàì â íà÷àëå ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðà- åêòîðèè íàéòè âåëè÷èíó ïîëíîé äàëüíîñòè. 3. Îïðåäåëèòü íà÷àëüíóþ ñêî- ðîñòü Ví, íåîáõîäèìóþ äëÿ äîñ- 234 Ðèñ. 5 .6 . Îòíîøåíèå V/V0I â ôóíêöèè ýêñöåíòðèñèòåòà: I – îáëàñòü V/V0I =(1+e)1/2; II – îáëàñòü V/V0I =(1− e)1/2 Ðèñ. 5 .7. Îáëàñòè âîçìîæíûõ òðàåêòî- ðèé: À – îáëàñòü ãèïåðáîë; Á – îáëàñòü ýë- ëèïñîâ, íå ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ ïðèòÿãè- âàþùèì òåëîì;  – îáëàñòü ýëëèïñîâ, ïåðåñåêàþùèõñÿ ñ ïðèòÿãèâàþùèì òå- ëîì
òèæåíèÿ òðåáóåìîé äàëüíîñòè ïîëåòà ïðè èçâåñòíûõ çíà÷åíèÿõ rí è θí â íà÷àëå ïàññèâíîãî ó÷à- ñòêà òðàåêòîðèè. 4. Ïî çàäàííîé äàëüíîñòè ïî- ëåòà è rí ðàññ÷èòàòü îïòèìàëü- íûé óãîë θí.îïò, ïðè êîòîðîì äàëüíîñòü áóäåò äîñòèãàòüñÿ ïðè ìèíèìàëüíîé íà÷àëüíîé ñêîðî- ñòè Ví min. 5. Ïðè èçâåñòíûõ çíà÷åíèÿõ rí è Ví íàéòè çíà÷åíèå óãëà íàè- áîëüøåé äàëüíîñòè θí max. Äëÿ ðåàëüíûõ ÁÐÄÄ äëèíà ïîñëåäíåãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè – ó÷àñòêà âõîäà â ïëîòíûå ñëîè àò- ìîñôåðû ñîñòàâëÿåò ìåíåå 5 % îáùåé äàëüíîñòè ïîëåòà. Ïîýòî- ìó äîïóùåíèå î òîì, ÷òî ðàêåòà äâèæåòñÿ çäåñü òàê æå, êàê è ïî ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè, äàåò õîðîøåå ïåðâîå ïðèáëèæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ äàëüíîñòè è îöåíîê ïðîìàõà. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ïðè äàëüíåéøèõ âûâîäàõ áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñõåìó äâèæåíèÿ, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 5 .8, ãäå Í′Ö – ýëëèïòè÷åñêèé ó÷àñòîê òðà- åêòîðèè.  äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ïåðåéäåì îò íåçàâè- ñèìîé ïåðåìåííîé t ê íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé φ. Ïðåîáðàçîâàíèå èìååò âèä d dt d d d dt rV r d d == • ; cos . φ φ θ φ íí í 2 Ñäåëàâ åùå îäíó çàìåíó ρ =1/r, çàïèøåì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñ- òåìû (3.142) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ òàê: d dr 2 22 1 ρ φ ρ κθ += íí í cos . Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ íàõîäÿòñÿ èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé 235 Ðèñ. 5 .8. Óïðîùåííàÿ ñõåìà òðàåêòîðèè ïîëåòà áàëëèñòè÷åñêîé ðàêåòû äàëüíåãî äåéñòâèÿ
ρ ρ φ θ í í í í í d tg == − 11 r d r ;. Ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì: rí íí í í ρ φ κθ θφ θ = − + + 1 2 cos cos cos( ) cos . Ïðîâåäÿ îáðàòíóþ çàìåíó ρ íà 1/r, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïòè- ÷åñêîé òðàåêòîðèè r r = −+ + κθ φκθθφ íí í ííí cos cos cos cos( ) . 2 1 (5.34) Õîòÿ òàêàÿ ôîðìà çàïèñè ñëîæíåå îáùåïðèíÿòîé (5.31), îíà îáëàäàåò òåì ïðåèìóùåñòâîì, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî è êîñâåííî âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïàðàìåòðû Ví, θí è rí, õàðàêòåðèçóþùèå ïîëîæåíèå è âåëè÷èíó ýíåðãèè ðàêåòû â ãðàíè÷íîé òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé íà÷àëó ïàññèâíîãî ó÷àñòêà ïîëåòà. Çàâèñèìîñòü (5.34) ñîâìåñòíî ñ ïðèâåäåííûìè â ïðåäûäóùåì ïîäðàçäåëå ñîîòíîøåíèÿìè ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî ïðîñòî îïðåäåëÿòü ýëåìåíòû òðàåêòîðèè ïî èçâåñòíûì íà÷àëüíûì äàííûì. Ïîñëåäóþùèå çàäà÷è òàêæå ñâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ ïîëó÷åííûõ ðàíåå ñîîòíîøåíèé. Ïðè îïðåäåëåíèè ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷- êàì ïàäåíèÿ ãîëîâíîé ÷àñòè ðàêåòû, ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïîëî- æåíèå öåëè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè ðà- êåòû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ óãëîâîé äàëüíîñòüþ äî öåëè 2ψ. Ñâÿçü ìåæäó óãëîâîé è ëèíåéíîé äàëüíîñòüþ L (äëÿ ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè) âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì LR =2Çψ, (5.35) ãäå 2ψ – óãîë îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ öåëè â ðàäèàíàõ. Ïðèâåäåì ðÿä ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé óãëîâ ψ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âåëè÷èí ëèíåéíîé äàëüíîñòè ïîëåòà L ïðè RÇ = 6371 êì: ψ,ãðàäóñ... 5 8 15 30 607590 L,êì ..... 556 890 1668 3336 6672 8340 10008 Óñëîâèåì ïîïàäàíèÿ â öåëü ÿâëÿåòñÿ ñîáëþäåíèå ðàâåíñòâà r = =RÇ ïðè φ =2ψ. Ïîäñòàâèâ ýòî óñëîâèå â (5.34), ïîëó÷èì óðàâíåíèå 236
ñâÿçè ðàñ÷åòíîé óãëîâîé äàëüíîñòè ñ ïàðàìåòðàìè íà÷àëà ïàññèâíî- ãî ó÷àñòêà r R í Çí í í íí = −+ + [ cos cos cos( )] cos . 12 2 2 ψκθθψ κθ (5.36) Çàâèñèìîñòü (5.36) ïîçâîëÿåò òàêæå ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìîé ñêîðîñòè äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé äàëüíîñòè ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ θí è rí: VV r R íí I í Ç íí í = − −+ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ 12 2 2 cos cos cos cos( ) ψ θθθψ ⎥ 12 / . (5.37) Ïðè î÷åíü áîëüøèõ äàëüíîñòÿõ ïîëåòà ìîæíî ïðèíÿòü (â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè) äîïóùåíèå î ìãíîâåííîì ñãîðàíèè òîïëèâà ðàêåòû (r = R).  ýòîì ñëó÷àå VV íI íí í = − −+ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 0 2 12 12 2 cos cos cos cos( ). / ψ θθθψ 237 Ðèñ. 5.9. Çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè â íà÷àëå ïàññèâíîãî ó÷àñòêà Ví îò óãëà θí äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷å- íèé óãëîâîé äàëüíîñòè 2ψ (ïðè rí=RÇ)
Àíàëèç ïîëó÷åííîãî óïðî- ùåííîãî óðàâíåíèÿ (ðèñ. 5 .9) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî îäíà è òà æå óãëîâàÿ äàëüíîñòü 2ψ ìîæåò áûòü äîñòèãíóòà ïðè ìíîæåñòâå êîìáèíàöèé çíà÷å- íèé Ví è θí â ìîìåíò âûêëþ- ÷åíèÿ äâèãàòåëÿ. Ïðè ðàñ÷å- òàõ òðàåêòîðèé ñ áîëüøèìè äàëüíîñòÿìè ïîëåòà èñïîëüçî- âàíèå ñôåðè÷åñêîé ìîäåëè Çåìëè ïðèâîäèò ê çàìåòíûì îøèáêàì. Îäíàêî ïðèìåíåíèå áîëåå ñîâåðøåííûõ ìîäåëåé çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåò ìåòîäè- êè ðàñ÷åòîâ, ÷òî çàòðóäíÿåò èõ èñïîëüçîâàíèå â ó÷åáíîé ïðàê- òèêå. Ïðàêòè÷åñêè âàæíûì ÿâëÿåò- ñÿ îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ ðàêå- òû íà ýëëèïòè÷åñêîé òðàåêòîðèè ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî ïðîìå- æóòêà âðåìåíè ïîñëå ïóñêà. Ïåðâûé ýòàï ïîëó÷åíèÿ èñõîä- íîé çàâèñèìîñòè ñâÿçàí ñ èíòåãðèðîâàíèåì óðàâíåíèÿ ìîìåíòà êî- ëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïî âðåìåíè ïðè ó÷åòå çàâèñèìîñòè, óñòàíàâëè- âàåìîé óðàâíåíèåì òðàåêòîðèè (5.34). Îêîí÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà íà- õîäèòñÿ â ðåçóëüòàòå äîâîëüíî ñëîæíîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ [33] è èìååò âèä t r V = −+ − − − í íí íí í í tg cos (c o s)( ) s i n ()cos co θ θφκ φ κ φ κ 11 2 1 s cos( ) cos cos 2 2 2 1 θ θφ θ θ κ κ í í í í í í + + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ + − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ 32 12 2 1 2 / / cos sin . arctg ctg í íí κ θ φ θ (5.38) 238 Ðèñ. 5 .10 . Çàâèñèìîñòü ïîëíîãî âðåìå- íè ïîëåòà îò óãëà θí äëÿ ðàçëè÷íûõ óã- ëîâûõ äàëüíîñòåé (ïðè rí = RÇ)
Ïîëíîå âðåìÿ ïîëåòà tc âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ïîäñòàíîâêå çíà÷åíèÿ φ =2ψ â óðàâíåíèå (5.38): t r V r R ñ = −+ − − + ⎧ ⎨ í íí íí í í Ç tg cos (c o s)( ) s i n () θ θψ κ ψ κ 121 2 2 ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ + − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 2 2 1 2 1 32 12 cos cos / / θ κ κ κ í í í í arctg θψθ íí ctg − ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ sin . (5.39) Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå çàâèñèìîñòè âðåìåíè ïîëåòà ïî áàëëèñ- òè÷åñêîé òðàåêòîðèè (ïðè rí = RÇ) îò óãëà θí äëÿ ðàçëè÷íûõ óãëîâûõ äàëüíîñòåé ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 5.10. 5.2.3 . ÔÎÐÌÓËÀ Ê.Ý . ÖÈÎËÊÎÂÑÊÎÃÎ ÄËß ÐÀÑ×ÅÒÀ ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÎÉ ÑÊÎÐÎÑÒÈ ÏÎËÅÒÀ ÐÀÊÅÒÛ Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ËÀ ïåðåìåííîé ìàññû íàèáîëåå ïðîñòî èí- òåãðèðóþòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà â äîïîëíåíèå ê ïðåäïîëîæåíèþ îá îò- ñóòñòâèè ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà íå ó÷èòûâàåòñÿ è äåéñòâèå ñèëû òÿ- æåñòè.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ðàêåòû äëÿ ïðÿìîëèíåéíîãî ïîëåòà áóäåò èìåòü âèä mV P • . = (5.40) Ïîäñòàâëÿÿ â (5.40) çíà÷åíèÿ Ð è m, îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëàì (1.154) è (3.25), ïîëó÷èì dVW Qdt QQd t e tk = − ∫ ñåê ñåê 0 0 . Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå, íàéäåì ñêîðîñòü ðàêåòû â ìîìåíò âðåìåíè t: VW Q QQd t e tk = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ∫ ln , 0 0 0 cåê (5.41) 239
èëè VW m m V e == ln , 0 Ö (5.42) ãäå m0 è m – íà÷àëüíàÿ è òåêóùàÿ ìàññû ðàêåòû. Ôîðìóëà (5.42) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â äðóãîì âèäå: m m e VWe 0 = − / . (5.43) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî Qdt Q tk ñåê ò = ∫ , 0 ïîëó÷èì ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ íàèáîëüøóþ ñêîðîñòü, êîòîðóþ ìîæåò èìåòü ðàêåòà áåç ó÷åòà äåéñò- âèÿ íà íåå ñèëû òÿæåñòè è ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà: VW Q QQ e max ln . = − 0 0ò (5.44) Åñëè ïðåäñòàâèòü íà÷àëüíûé âåñ ðàêåòû êàê Q0 = Qï + Qò, ãäå Qï – ïàññèâíûé âåñ ðàêåòû, òî VW Q Q e max ln ; =+ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 1ò ï (5.45) VW Q Q e max ln . =− − ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ 1 0 ò (5.46) Äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáóëèðîâàí- íîé ôóíêöèåé k(λ)=−ln(1 −λ), ãäå λ=∫QdtQ t ñåê /. 0 0 Òîãäà V = = We k(λ). Ôîðìóëà (5.42) âïåðâûå áûëà âûâåäåíà Ê.Ý. Öèîëêîâñêèì è íà- çâàíà åãî èìåíåì. 5.2.4. ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ ÑÍÀÐßÄΠÏÎÑÒÎßÍÍÎÉ ÌÀÑÑÛ Àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðàñ÷åòà òðàåêòîðèé ñíàðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû â âîçäóõå îáû÷íî îñíîâûâàþòñÿ íà ñèñòåìå óðàâíåíèé (3.131), çàïèñàííîé ïðè íåçàâèñèìîì θ. Íàèáîëüøèå òðóäíîñòè âû- çûâàåò îïðåäåëåíèå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñíàðÿäà. Ñêî- ðîñòü íàõîäÿò ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ãîäîãðàôà (3.130). Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå 240
dV d EV g (cos) , θ θ = 2 (5.47) ãäå E X mV a = 0 . Åñëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ Õà âîñïîëüçîâàòüñÿ (1.126), òî ïîëó÷èì E VS m cxa = ρ 20 (Ì). (5.48) Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ (1.131), òî áóäåì èìåòü E c V HyFV = ()(). (5.49)  ïåðâîì ñëó÷àå èç (5.47) ñëåäóåò dV d y V mg Sc ON ON xa (cos) () ( θ θ ρ ρ ρ = 3 0 2 M). (5.50) Îäíîâðåìåííàÿ çàìåíà ôóíêöèé ρ/ρON(y)ècx a (M) àíàëèòè÷åñêèìè çàâèñèìîñòÿìè íå ïðèâîäèò ê ðàçäåëåíèþ ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè (5.50) è íå äàåò ðåøåíèÿ â êîíå÷íîì âèäå. Åñëè äàæå ïðèíÿòü cc xx aa (, M) const ≈= ÷òî ïðèâîäèò ê êâàäðà- òè÷íîé çàâèñèìîñòè ñèëû ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà X SV c ax a = ρ2 2 , (5.51) òî ïåðåìåííûå â óðàâíåíèè (5.50) âñå ðàâíî íå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû, ïîñêîëüêó â (5.51) îñòàåòñÿ ôóíêöèÿ ρ(y). Åñëè èñïîëüçîâàòü (5.49), òî ïîëó÷èì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3.132) â âèäå dV d c VFV g (cos) () , θ θ = 1 (5.52) ãäå c1 = cH(y). Èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðî- âàíèÿ óðàâíåíèÿ (5.52) ïðè îáåñïå÷åíèè ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè ðàñ- ÷åòà ñëåäóåò áðàòü H(y) ≈ H(yñð), à ôóíêöèþ ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäó- õà – îïèñûâàòü îäíîé èç àíàëèòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé FV abV n ()=+ (5.53) 241
èëè FV BVn (), = (5.54) ãäå a, b, B, n – ïîñòîÿííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå êîýôôèöèåíòû. Ïîñëåäíÿÿ çàâèñèìîñòü áûëà ïðåäëîæåíà Í. . Ìàèåâñêèì è Í.À. Çàáóäñêèì. Çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè n äëÿ ðàçëè÷íûõ äèà- ïàçîíîâ ñêîðîñòè V èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: V, ì/ñ ... 0 ...240 240 ...295 295...375 375...419 419...550 550...800 800 ...1000 n .. ..2 3 5 3 2 1,70 1,55 Êîýôôèöèåíòû Bi äëÿ êàæäîãî ó÷àñòêà ïîäáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû ôóíêöèÿ F(V ) áûëà íåïðåðûâíîé. Ïîäñòàâèì (5.53) â (5.52) è ðàñêðîåì ïðîèçâîäíóþ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ dV d cV g ab V dV d V g cag cb g n (cos) () : cos (s i n ) θ θ θθ θ =+ =+ + 1 1 1 cos . θ Vn+1 Ââåäåì ïîäñòàíîâêó V*V n = 1, èç êîòîðîé äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïîëó÷èì dV dV nV n =− −− * . 1 (5.55) Ïîñëå çàìåíû è ïðåîáðàçîâàíèé áóäåì èìåòü ëèíåéíîå äèôôå- ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà dV d nNV ncM * * () (), θ θθ += 1 (5.56) ãäå N ag g M c g () sin cos ;() cos . θ θ θ θ θ = + =− 1  ñîîòâåòñòâèè ñ îáùèì ïðàâèëîì ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íàçâàííîãî òèïà íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.56) â âèäå 242
Vn c e e Mdk nNd nNd * () () () = ∫∫ + ⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ − ∫ 1 00 0 θθ θθ θ θ θ θ θ θ θθ ⎟ ⎟⎟ . (5.57) Èç (5.57) è (5.55) äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé θ = θ0 è V = V0 ïîëó÷èì kV n =1 0 /; îïðåäåëèâ V* èç (5.55), íàéäåì òàêæå çíà÷åíèå èñêîìîé ñêîðîñòè V nV = 1 * . (5.58) Ðàññìîòðèì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, âîñïîëüçîâàâøèñü äëÿ îï- ðåäåëåíèÿ ôóíêöèè F(V) ôîðìóëîé (5.54). Òîãäà èç (5.52) áóäåì èìåòü dV d cBV g n (cos) . θ θ = + 1 1 (5.59) Ðàçäåëèì ïåðåìåííûå, óìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà íà cos n+1 θ: dV V cB g d nn (cos) (cos) cos . θ θ θ θ ++ = 1 1 1 Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåì èìåòü 11 1 00 1 1 0 nV V cB g d nn n (cos) (cos) cos . θθ θ θ θ θ − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= + ∫ (5.60) Èíòåãðàë ïðàâîé ÷àñòè ìîæåò áûòü âçÿò â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Èçâåñòíû ðåøåíèÿ äî n = 5, ïðèâåäåííûå, íàïðèìåð, â [34, 57]. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè äâèæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ òðåìÿ ïîñëåäíèìè óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû (3.131). Èç óðàâíåíèÿ dy/dθ = =-V 2 tgθ/g ïîëó÷èì yy V g tgd =+ ∫0 2 0 θθ θ θ . (5.61) Èç óðàâíåíèÿ dx/dθ = −V 2/g íàéäåì 243
xx V g d =+ ∫0 2 0 θ θ θ . (5.62) Èç óðàâíåíèÿ dt/dθ = −Vg cosθ ïîëó÷èì tt V g d =+ ∫0 0 θ θ θ θ cos . (5.63) Ñëîæíîñòü ôîðìóë äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè (5.57) è (5.58) èëè (5.60) íå ïîçâîëÿåò âçÿòü èíòåãðàëû ïðàâûõ ÷àñòåé (5.61)...(5.63) â êîíå÷íîì âèäå. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå îñíîâíîé çàäà÷è âíåøíåé áàëëèñòèêè ïðè àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè F(V ) îäíî÷ëåííîé êâàäðàòè÷íîé çàâèñè- ìîñòüþ F(V )=BV 2. Ýòî ðåøåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå ìåòîäà Ýéëåðà [45].  ïåðâîì óðàâíåíèè ñèñòåìû (3.131) îáîçíà÷èì b = BcH(yñð). Òî- ãäà óðàâíåíèå ãîäîãðàôà áóäåò èìåòü âèä du d b g u θθ = 3 3 cos . Ïðîèíòåãðè- ðîâàâ, ïîëó÷èì 1 2 1 2 0 22 3 0 uu b g d −= ∫θ θ θ θ cos , (5.64) ãäå u0 = V0 cos(θ). ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøåå ðåøåíèå, îáû÷íî ââîäÿò âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ ε(θ)= dθθ θ /cos , 3 0 ∫ è òîãäà 112 2 0 2 0 uu b g =− − [() ( )]. εθ εθ (5.65) Åñëè ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, çàâèñÿùèå îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ñãðóïïèðîâàòü âìåñòå è îáîçíà÷èòü ε(V0, θ0)=εθ (), 0 0 2 2 + g bu òî ïîëó- ÷èì u g bV 2 00 0 2 1 = − εθε θ (,) () . (5.66) Äëÿ ôóíêöèè ε(θ), âõîäÿùåé â (5.66), ìîæåò áûòü çàïèñàíà àíàëèòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü 244
εθ θ θ θ θ πθ θ () cos sin cos ln . == ++ ⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ∫d 32 0 1 24 2 tg Îïðåäåëèâ u, ñêîðîñòü ñíàðÿäà íàéäåì ïî ôîðìóëå V = u/cosθ. Ïîäñòàâëÿÿ (5.66) â îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3.131), ïîëó- ÷èì ñîîòâåòñòâåííî ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ y b d V x b d V = − = ∫1 2 1 2 00 2 00 0 tgθθ εθε θθ θ εθ θ θ [( , ) ()]cos ; [(,)() ]c o s ; [( , ) ()]cos . − = − ∫ ∫ εθ θ θ εθε θθ θ θ θ θ 2 00 2 0 0 1 2 t bg d V (5.67) Èíòåãðàëû, ñîäåðæàùèåñÿ â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (5.67), â êîíå÷íîì âèäå íå áåðóòñÿ, íî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îäíèõ è òåõ æå âåëè÷èí, ÷òî ìîæåò ñëó- æèòü îñíîâàíèåì äëÿ îïðåäåëå- íèÿ èõ ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíûõ òàáëèö [22]. Ìåòîä ïñåâäîñêîðîñòè îòíî- ñèòñÿ ê òðåòüåé ãðóïïå àíàëèòè- ÷åñêèõ ìåòîäîâ, òàê êàê â åãî îñ- íîâå ëåæèò äîïîëíèòåëüíîå ïðå- îáðàçîâàíèå óðàâíåíèÿ ãîäî- ãðàôà ñêîðîñòè (3.130).  óðàâ- íåíèå ãîäîãðàôà äëÿ ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ F(U ), ãäå U – âåëè÷èíà, èìåþ- ùàÿ ðàçìåðíîñòü ñêîðîñòè è íà- çûâàåìàÿ ïñåâäîñêîðîñòüþ. Çíà- ÷åíèå U îïðåäåëÿåòñÿ ïî ðèñ. 5.11: U V = cos cos . θ θ0 (5.68) Âåêòîð ïñåâäîñêîðîñòè ïà- ðàëëåëåí íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è èìååò òó æå ãîðèçîíòàëüíóþ 245 Ðèñ. 5.11. Ïîñòðîåíèå âåêòîðà ïñåâäî- ñêîðîñòè
ïðîåêöèþ u, ÷òî è äåéñòâèòåëüíàÿ ñêîðîñòü V. Òàê êàê ïðîñòàÿ çàìå- íà F(V )íàF(U ) äàåò çíà÷èòåëüíûå îøèáêè, òî â óðàâíåíèå ãîäîãðà- ôà ââîäÿòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ïîïðàâî÷íûå êîýôôèöèåíòû. Ïîäñòàíîâêà èìååò îáùèé âèä HyFV kFU ()() (), = (5.69) ãäå k – ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü, êîìïåíñèðóþùèé îøèáêó. Äëÿ íàñòèëüíûõ òðàåêòîðèé, õàðàêòåðèçóþùèõñÿ ìàëûìè óãëàìè áðîñàíèÿ è áîëüøèìè íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè, óãîë θ ìàëî èçìå- íÿåòñÿ ïî òðàåêòîðèè, à H(y) ≈ 1.  ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ïðèíÿòü k=1/cos. θ (5.70) Äëÿ çåíèòíûõ òðàåêòîðèé òàêæå õàðàêòåðíû áîëüøèå íà÷àëüíûå ñêîðîñòè è ñëàáîå èçìåíåíèå cosθ ïî òðàåêòîðèè, íî H(y) ≠ 1, è ïî- ýòîìó íåîáõîäèìà ïîäñòàíîâêà äðóãîãî âèäà: HyFV Hy FU ()() ( )()cos cos , ≈ ñð θ θ 0 (5.71) ò.å. kHy = ()cos cos . ñð θ θ 0 (5.72) Äëÿ ñðåäíèõ óãëîâ áðîñàíèÿ è ñêîðîñòåé, õàðàêòåðíûõ äëÿ òðàåêòîðèé ñíàðÿäîâ ïîëåâûõ àðòèëëåðèéñêèõ ñèñòåì, ïîäñòàíîâêà íåñêîëüêî ñëîæíåå ïðåäûäóùèõ: HyFV FU ()() ()cos cos , ≈β θ θ 2 0 (5.73) ò.å. k=β θ θ cos cos , 2 0 (5.74) ãäå β – äîïîëíèòåëüíûé ÷èñëåííûé ïîïðàâî÷íûé ìíîæèòåëü. Ïîñëåäíÿÿ çàìåíà íîñèò íàçâàíèå ïîäñòàíîâêè Ñèà÷÷è. 246
Ïðè èçâåñòíîé ïñåâäîñêîðîñòè äåéñòâèòåëüíàÿ ñêîðîñòü îïðåäå- ëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà (5.68): V U = cos cos , θ θ 0 (5.75) à åå ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðîåêöèÿ ðàâíà uU = cos . θ0 (5.76) Ââåäåì ïîäñòàíîâêó (5.73) â óðàâíåíèå ãîäîãðàôà ñêîðîñòè, çà- ìåíèì ñ′ = ñβ è ðàçäåëèì ïåðåìåííûå: dg c dU UFU θ θθ cos cos () . 22 0 = ′ (5.77) Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåì èìåòü tg tg θθ θ −= ′ ∫ 0 2 00 g c dU UFU U U cos (). (5.78) Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ìîæåò áûòü âçÿò òîëüêî ÷èñëåííî. Ïðàêòè÷åñêè ðàñ÷åò òðàåêòîðèè ìåòîäîì ïñåâäîñêîðîñòè âåäåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïåöèàëüíûõ òàáëèö, ïðè÷åì ñ öåëüþ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ïðèìåíÿþòñÿ ñïåöèàëüíûå ïîïðàâî÷íûå òàáëèöû íà âå- ëè÷èíó c′. Äëÿ óäîáñòâà ñîñòàâëåíèÿ òàáëèö è ðàáîòû ïî íèì ââåäå- íû ôóíêöèè IUk gdU UFU IVk gdU UFU U V U U () () () (), =− =− ∫ ∫10 1 22 0 è í í ãäåV0=U0. Ïðåîáðàçóÿ (5.78), ïîëó÷èì tg tg () () cos [() ()]. θθ θ =− ′ − 0 2 0 0 1 2c IU IV (5.79) Ïðîèíòåãðèðóåì îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ (3.131). Óðàâíåíèå dt d u g θθ =− 1 2 cos ïðåîáðàçóåì ñ ó÷åòîì (5.77). Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ áóäåì èìåòü 247
t c dU FU V U = ′ ∫ 1 00 cos (). θ Ââîäÿ ôóíêöèþ TUk dU FU U U () (), =− ∫2 í ïîëó÷èì t c TU TV = ′ − 1 0 0 cos [() ( )]. θ (5.80) Âîçüìåì óðàâíåíèå dx d u g θθ =− 2 2 0 cos . Ðàçäåëèâ â íåì ïåðåìåííûå è ó÷èòûâàÿ (5.77), ïîëó÷èì dx UdU cFU =− ′() . (5.81) Ïðîèíòåãðèðîâàâ, áóäåì èìåòü x c UdU FU V U =− ′ ∫1 0 (). Ââîäÿ ôóíêöèþ DUk UdU FU U U () () , =− ∫3 í ïîëó÷èì x c DU DV = ′ − 1 0 [() ()]. (5.82) Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðäèíàòû òðàåêòîðèè áóäåì èñõîäèòü èç îáû÷íîãî ðàâåíñòâà dy =tgθdx. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî (5.79) è (5.81) è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì 248
yx x c AU AV DU DV IV =− ′ − − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ tgθ θ 0 2 0 0 0 0 2cos () () () () (), (5.83) ãäå AUk IU UdU FU U U () () () . =− ∫4 í ×òîáû îïðåäåëèòü tgθ, t, x è y ïî ôîðìóëàì (5.79), (5.80), (5.82) è (5.83), íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè ñïåöèàëüíûõ ôóíê- öèé I(U ), T(U ), D(U )èA(U ), íàçûâàåìûõ îñíîâíûìè ôóíêöèÿìè. Âõîäíîé âåëè÷èíîé â òàêèõ òàáëèöàõ ïðèíèìàåòñÿ ïñåâäîñêîðîñòü U. ×èñëåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé îïðåäåëÿþòñÿ ïðèíÿòîé äëÿ ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà çàâèñèìîñòüþ F(U ) è ïîñòîÿííûìè ÷èñëàìè Uí è Ki, êîòîðûå âûáèðàþòñÿ ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû òàáëè÷íûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé áûëè óäîáíû ïðè ïðîâåäåíèè âû÷èñëåíèé. Äëÿ êðàòêîñòè îñíîâíûå ôóíêöèè ÷àñòî îáîçíà÷àþò òîëüêî ïåðâûìè áóêâàìè; èíäåêñ ó áóêâû îáîçíà÷àåò ïîëîæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè íà òðàåêòîðèè [130]. Ìåòîä ïñåâäîñêîðîñòè ïîçâîëÿåò âû÷èñ- ëÿòü õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ â ëþáîé òî÷êå òðàåêòîðèè, â òîì ÷èñëå â âåðøèíå è â òî÷êå ïàäåíèÿ. Äëÿ òî÷êè ïàäåíèÿ îðäèíàòà òðàåêòîðèè ðàâíà íóëþ. Ïîäñòàâëÿÿ â (5.83) yñ = 0 è ïðåîáðàçîâûâàÿ, ïîëó÷èì sin . 2 1 0 0 0 0 θ= ′ − − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ c AA DD I c c (5.84) Âûäåëèòü â ÿâíîì âèäå èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ïñåâäîñêîðîñòü â òî÷- êå ïàäåíèÿ Uc íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ðåøèòü åãî îòíîñè- òåëüíî Uñ ìîæíî ïîäáîðîì, çàäàâàÿñü ïðèìåðíûìè âåëè÷èíàìè Uc. Îïðåäåëèâ Uc, íàéäåì è îñòàëüíûå ýëåìåíòû òðàåêòîðèè â òî÷êå ïà- äåíèÿ: x c DDt c TT c ccc c c = ′ −= ′ − =− ′ 11 1 2 0 0 0 0 () ; cos () ; cos θ θθ tg tg 2 0 0 θ () . II c − (5.85)  âåðøèíå òðàåêòîðèè θs =0ètgθs = 0; òîãäà èç (5.79) ïîñëå ïðå- îáðàçîâàíèÿ ïîëó÷èì 249
Ic I s = ′ + sin . 200 θ (5.86) Ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè îñíîâíûõ ôóíêöèé, ïî Is íàéäåì Ds, Ts, As; ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðè U0 = V0 íàéäåì D0, T0 è À0, ïîñëå ÷åãî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû (5.80), (5.82) è (5.83), ïîëó÷èì t c TTx c DD yx x c ss s s ss s = ′ −= ′ − =− ′ 11 2 0 00 0 cos () ;() ; co θ θ tg s . 2 0 0 0 0 θ AA DD I s s − − − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (5.87) Ýëåìåíòû òî÷êè ïàäåíèÿ ìîæíî íàéòè, èçáåæàâ ðåøåíèÿ óðàâ- íåíèÿ (5.84), ìåòîäîì ïîäáîðà. Èç ðàâåíñòâà (5.82) äëÿ òî÷êè ïàäå- íèÿ D(Uc)=c′xc − D(V0) ñëåäóåò, ÷òî Uc = f(c′xc; V0). Ñ ó÷åòîì ýòîãî âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ èç óðàâíåíèÿ (5.84) ìîæíî ðàñ- ñìàòðèâàòü êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ f0 ýòèõ æå àðãóìåíòîâ: AU AV DU DV IV fcxV c c c () () ()()()(;) − − −= ′ 0 0 000 è çàïèñàòü (5.84) â ôîðìå ′ = ′ cf c x V c sin (;). 200 0 θ (5.88) Äëÿ f0(c′xc; V0) ñîñòàâëåíû òàáëèöû. Ïî íà÷àëüíûì äàííûì ìîæíî íàéòè âåëè÷èíó ñ′sinθ0;ïîíåéè ïî âåëè÷èíå V0, ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè, íàõîäÿò ïðîèçâåäåíèå c′xc è äàëåå xc. Ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî ïîëó÷èòü è íåêîòîðûå äðóãèå ôóíê- öèè îò ñ′õñ è V0 [130]: f V x ff V t fV c c c 1 00 2 2 0 3 0 4 0 2 == = = sin ; ||; sin ; cos θθ θ θ θ tg tg 0 5 6 0 V fx x fy x cc s c s c cos ;;. θθ == tg (5.89) Ôóíêöèè f0,...,f6 íàçûâàþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûìè ôóíêöèÿìè. Ýòè ôóíêöèè, êðîìå f5 è f6, ïðèãîäíû äëÿ âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê äâèæåíèÿ â ëþáîé òî÷êå òðàåêòîðèè.  ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèå ñ′õ íå èìååò èíäåêñà. Íàïðèìåð, äëÿ òåêóùåãî çíà÷åíèÿ õ êîîðäèíàòà y îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå: 250
yx fcxV fcxV c =− ′ ′ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ tgθ0 00 00 1 (;) (;) . (5.90) Èñêóññòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå óðàâíåíèÿ ãîäîãðàôà ñêîðîñòè ñ çàìåíîé ôóíêöèè F(V )íàF(U ) äàåò õîðîøèå ïî òî÷íîñòè ðåçóëüòà- òû ïðè ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé, ó êîòîðûõ cosθ ìàëî èçìåíÿåòñÿ âäîëü òðàåêòîðèè, è ìîæíî ïðèíÿòü H(y) ≈ 1. Äëÿ êîðîòêèõ íàñòèëüíûõ òðàåêòîðèé (ïðè áîëüøèõ íà÷àëüíûõ ñêîðîñòÿõ è ìàëûõ óãëàõ áðî- ñàíèÿ), êîãäà ìîæíî ïðèíÿòü cosθ≈cosθ0 ≈ 1, î÷åâèäíî, ÷òî β =1, c′=cèU=V.Òîãäà x c DV DV yx t g x c AV AV DV DV I =− =− − − − 1 2 0 0 0 0 [() ()]; () () () () θ (); [() ( )]. V t c TV TV 0 0 1 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ =− (5.91) Ïðè ðåøåíèè îáðàòíûõ çàäà÷ óãîë áðîñàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç óñ- ëîâèÿ yc = 0 ïî ôîðìóëå sin () () () () (). 2 1 0 0 0 0 θ= − − − ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ c AV AV DV DV IV Ñ óâåëè÷åíèåì óãëà áðîñàíèÿ è óìåíüøåíèåì íà÷àëüíîé ñêîðî- ñòè îøèáêà îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ òðàåêòîðèè â òî÷êå ïàäåíèÿ óâå- ëè÷èâàåòñÿ. Êîìïåíñàöèÿ îøèáîê îñóùåñòâëÿåòñÿ ââåäåíèåì ïî- ïðàâî÷íîãî êîýôôèöèåíòà β. Ñòðîãî ãîâîðÿ, äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà òðàåêòîðèè ñëåäóåò ââîäèòü ñâîé ïîïðàâî÷íûé êîýôôèöèåíò βx, βy, βθ, βz. Ïðè âûïîëíåíèè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïîëüçóþòñÿ îäíèì êîìïåíñèðóþùèì ìíîæèòåëåì βx, ïðèâîäÿùèì â ñîîòâåòñòâèå ïîë- íûå äàëüíîñòè, ðàññ÷èòàííûå ìåòîäîì ïñåâäîñêîðîñòè, è îäíèì èç áîëåå òî÷íûõ ìåòîäîâ. Ýòîò êîýôôèöèåíò β íàçâàí ãëàâíûì êîýô- ôèöèåíòîì. Òàáëèöà çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòà β [22, 130] äëÿ ñòðåëêîâîãî îðóæèÿ è àðòèëëåðèè ìàëûõ êàëèáðîâ (ïðè ñ > 1) ñîñòàâëåíà ïî âõîäíûì ÷èñëàì θ0 =6...30 ° è Xc = 1000...7000 ì. Êîýôôèöèåíò β â òàáëèöå èçìåíÿåòñÿ â óçêèõ ïðåäåëàõ îò 0,97 äî 1,06. Äëÿ ñðåäíèõ è áîëüøèõ êàëèáðîâ (ïðè ñ < 1) ß.Ì. Øàïèðî ñîñòà- âèë òàáëèöû ñ âõîäàìè ñ = 0,2...1,0; V0 = 300...1000 ì/ñ è θ0 =5...60°. Òàáëèöû ñîñòàâëåíû ïóòåì îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ òðàåêòî- 251
ðèé, ïðîâåäåííûõ ìåòîäîì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ [22, 130].  çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè è óãëà áðîñàíèÿ ãëàâíûé êîýôôèöèåíò ñîãëàñîâàíèÿ β ñóùåñòâåííî èçìåíÿåòñÿ (îò 0,609 äî 1,329 äëÿ θ0 = = 60° è îò 0,984 äî 1,039 äëÿ θ0 = 5°) . Ïðè ñîãëàñîâàíèè ïîëíûõ äàëü- íîñòåé îøèáêà â îïðåäåëåíèè îñòàëüíûõ ýëåìåíòîâ äîõîäèò äî 5 % (ïðè θ0 =30 ...40°). 5.2 .5. ÏÎÄÎÁÈÅ ÒÐÀÅÊÒÎÐÈÉ È ÒÀÁËÈ×ÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÅØÅÍÈß Â ïðàêòèêå áàëëèñòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ïðèìåíÿþòñÿ òàáëè÷íûå ìåòîäû ðå- øåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî íàéòè ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ â õàðàêòåð- íûõ òî÷êàõ òðàåêòîðèé, íàïðèìåð â âåðøèíå èëè òî÷êå ïàäåíèÿ. Îñîáåííî øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ áàëëèñòè÷åñêèå òàáëèöû äëÿ ðàñ÷åòà ýëåìåíòîâ òðàåê- òîðèé ñíàðÿäîâ ñòâîëüíîé àðòèëëåðèè, íàçûâàåìûå Òàáëèöàìè âíåøíåé áàëëèñòèêè. Ýòè æå òàáëèöû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è äëÿ ðàñ÷åòà ïàñ- ñèâíûõ ó÷àñòêîâ òðàåêòîðèé ðàêåò. Èññëåäîâàíèå ñèñòåì óðàâíåíèé (3.129) è (3.131) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåìåíòû òðàåêòîðèè îïðåäåëÿþòñÿ òðåìÿ ïàðà- ìåòðàìè: íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ V0, áàëëèñòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì ñ,óã- ëîì áðîñàíèÿ θ0. Ðàññ÷èòàâ áîëüøîå êîëè÷åñòâî òðàåêòîðèé, ìîæíî ñîñòà- âèòü òàáëèöû ýëåìåíòîâ òðàåêòîðèé, âçÿâ â êà÷åñòâå âõîäîâ çíà÷åíèÿ V0, c è θ0.  òàáëèöàõ îáû÷íî äàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïîëíîé äàëüíîñòè õñ, âûñîòû òðàåê- òîðèè ys, ïîëíîãî âðåìåíè ïîëåòà tc, ñêîðîñòè â òî÷êå ïàäåíèÿ Vc è óãëà íà- êëîíà êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â òî÷êå ïàäåíèÿ θc. Äëÿ ðàñ÷åòà òðàåêòîðèé çåíèòíîé ñòðåëüáû ê òðåì âõîäíûì ïàðàìåòðàì äîáàâëÿåòñÿ ÷åòâåðòûé – âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ñ ïîìîùüþ òàáëèö çåíèòíîé ñòðåëüáû ìîæíî äëÿ òðàåêòîðèè, îïðåäå- ëÿåìîé V0, ñ è θ0, íàéòè çíà÷åíèÿ xt, yt è Vt, îòâå÷àþùèå âðåìåíè ïîëåòà ñíà- ðÿäà t1, t2, t3 è ò.ä. Áàëëèñòè÷åñêèå òàáëèöû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðàñ÷åòà òðàåêòîðèé ñíàðÿäîâ ïðè íîðìàëüíûõ ìåòåîðîëîãè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. Ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè òàá- ëèö ìîãóò áûòü ðàñøèðåíû, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé ïîäîáèÿ òðàåêòî- ðèé. Ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Ï. Ëàíæåâåí óñòàíîâèë çàâèñèìîñòü ìåæäó õà- ðàêòåðèñòèêàìè äâóõ òðàåêòîðèé ñíàðÿäîâ ïîñòîÿííîé ìàññû, äëÿ êîòîðûõ çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû è äàâëåíèÿ îêðóæàþùåãî âîçäóõà, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëó òðàåêòîðèé, ðàçëè÷íû. Ïðåäïîëîæèâ, ÷òî òåìïåðàòóðà âîçäóõà îòëè- ÷àåòñÿ íà ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó îò òåìïåðàòóðû, îïðåäåëÿåìîé ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ, è ÷òî èçìåíåíèå äàâëåíèÿ âîçäóõà ïîä÷èíÿåòñÿ ãèïîòåçå î âåðòèêàëüíîì ðàâíîâåñèè àòìîñôåðû, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òðàåêòîðèè áó- äóò ïîäîáíû, åñëè ó íèõ îäèíàêîâû òðè îïðåäåëÿþùèõ ïàðàìåòðà cc h h VV ON ON * , == 0 00 0 τ τ τ è θ0, ãäå h0 è τ0 – äàâëåíèå è òåìïåðàòóðà â íà÷àëü- íîé òî÷êå òðàåêòîðèè. Ó äâóõ ïîäîáíûõ òðàåêòîðèé êîîðäèíàòû x è y áóäóò 252
ñîîòíîñèòüñÿ, êàê òåìïåðàòóðû â íà÷àëüíîé òî÷êå òðàåêòîðèè τ01 è τ02, ñêî- ðîñòè è âðåìÿ ïîëåòà áóäóò ñîîòíîñèòüñÿ, êàê êîðíè êâàäðàòíûå èç îòíîøå- íèÿ òåìïåðàòóð â íà÷àëüíîé òî÷êå; óãëû íàêëîíà êàñàòåëüíîé áóäóò ðàâíû, ò.å. x x y y t t V V i i i i i i i i 1 2 01 02 1 2 01 02 1 2 01 02 1 2 === = τ τ τ τ τ τ τ ;;; 01 02 1 2 1 τ θ θ ;. i i = (5.92) Ôîðìóëû Ëàíæåâåíà ïðèìåíÿþòñÿ, íàïðèìåð, ïðè ðàñ÷åòå òðàåêòîðèé ñíàðÿäîâ ñòâîëüíûõ ñèñòåì äëÿ óñëîâèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèÿì ñòðåëüáû â ãîðàõ, äëÿ ðàñ÷åòà ïàññèâíûõ ó÷àñòêîâ òðàåêòîðèé ðàêåò è ò.ï. Íà÷àëî ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè ðàêåòû êëàññà "ïîâåðõíîñòü – ïî- âåðõíîñòü" èíîãäà íàõîäèòñÿ íà çíà÷èòåëüíîé âûñîòå, ïîýòîìó íåïîñðåäñò- âåííîå èñïîëüçîâàíèå áàëëèñòè÷åñêèõ òàáëèö ìîæåò ïðèâåñòè ê ñóùåñòâåí- íûì îøèáêàì. Îáîçíà÷èì ãîðèçîíòàëüíóþ äàëüíîñòü ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè, ðàññ÷èòûâàåìîãî ïî áàëëèñòè÷åñêèì òàáëèöàì, ÷åðåç õ2, ýëå- ìåíòû íà÷àëà ýòîãî ó÷àñòêà ñíàáäèì èíäåêñîì k, à êîíöà – èíäåêñîì k ′ (ðèñ. 5.12). Èç óñëîâèÿ ïîäîáèÿ òðàåêòîðèé ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ôîðìóëû: xc V yc V k ON xk k s k ON yk k k 2 2 = = = ′ τ τ θ τ τ θ θ τ τ Φ Φ Φ (,,); (,,); * * θτ τ θ τ τ θ τ τ (,,); (,,); ( * * * cV Vc V tc kk k k ON Vk k k k ON t ′ ′ = = Φ Φ ,,) ; ;, * V cc h h VV kk k ON kk ON k τ τ θ τ τ == ï (5.93) ãäå cc h h VV k ON kk ON k * ;. == ï τ τ τ  ýòèõ ôîðìóëàõ ñèìâîëàìè Vk, θk, hk è τk îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ñêîðîñòü, óãîë áðîñàíèÿ, áàðîìåòðè÷åñêîå äàâëåíèå è âèðòóàëüíàÿ òåìïåðà- òóðà â òî÷êå íà÷àëà ïàññèâíîãî ó÷àñòêà òðàåêòîðèè, ò.å . â êîíöå àêòèâíîãî ó÷àñòêà. 253
Áàëëèñòè÷åñêèé êîýôôèöèåíò äëÿ ïàññèâíîãî ó÷àñòêà ðàâåí ñï = = − ⋅ id QQ 2 0 3 10 ò . Çíà÷åíèÿ ôóíêöèé Φx, Φy, Φθ, ΦV è Φt áåðóòñÿ èç îáû÷íûõ áàë- ëèñòè÷åñêèõ òàáëèö ïî âõîäíûì äàííûì ñ*, Vτk è θk. Òàê, íàïðèìåð, Φx(c*, Vτk, θk) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé äàëüíîñòè, îïðåäåëåííîé ïî áàëëèñòè÷åñêèì òàáëèöàì äëÿ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé âåëè÷èí, óêàçàííûõ â ñêîáêàõ. Óñëîâèÿ ïîäîáèÿ òðàåêòîðèé ñïðàâåäëèâû â ïðåäåëàõ ëèíåéíîãî èçìåíåíèÿ òåìïå- ðàòóðû ñ âûñîòîé. Ãëàâà 6 ÐÅØÅÍÈÅ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÎÍÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ Â îáùåì ñëó÷àå çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ËÀ ïîäðàçäåëÿ- åòñÿ íà äâå, îò÷àñòè íåçàâèñèìûå ïîäçàäà÷è. Ïåðâàÿ, ôîðìóëèðóåìàÿ êàê îïòèìàëüíîå ïðîãðàììèðîâàíèå îïîðíîãî äâè- æåíèÿ, ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ íîìèíàëüíîé òðàåêòîðèè ËÀ, óäîâëåòâîðÿþ- ùåé íåêîòîðûì íàïåðåä çàäàííûì òðåáîâàíèÿì ïðè íàëîæåííûõ îãðàíè÷åíèÿõ. Âòîðàÿ ïîäçàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ñîáñòâåííî ñèíòåçó îïòèìàëüíîãî óïðàâëå- íèÿ. Åå ñóùíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè â ðåçóëüòàòå ìàòåìàòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ íàèëó÷øåãî çàêîíà óïðàâëåíèÿ, ñâÿçûâàþùåãî äîïóñòèìûå â ñìûñëå òåõíè÷åñêîé ðåàëèçóåìîñòè óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ ñ òåìè êîîðäè- íàòàìè âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ËÀ, êîòîðûå ëèáî äîñòóïíû ïðÿìûì èçìåðå- íèÿì, ëèáî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè èçìåðÿåìûõ ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷àåìûìè â ëþ- áîé òåêóùèé ìîìåíò âðåìåíè. 254 Ðèñ. 5 .12 . Ñõåìà äåëåíèÿ òðàåêòîðèè íà îòäåëüíûå ðàñ÷åòíûå ó÷àñòêè
Öåíòðàëüíîå ìåñòî â áàëëèñòèêå çàíèìàåò çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ïðîãðàì- ìèðîâàíèÿ îïîðíîãî äâèæåíèÿ êàê ïîäçàäà÷à êîëè÷åñòâåííîãî è êà÷åñòâåííîãî àíàëèçà îïòèìàëüíûõ ðåæèìîâ äâèæåíèÿ, ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé, à òàêæå òåõíèêè (â øèðîêîì ïîíèìàíèè ýòîãî òåðìèíà) èõ îñóùåñò- âëåíèÿ. Çàìåòíàÿ ðîëü ïðè ýòîì îòâîäèòñÿ èññëåäîâàíèþ êðàåâûõ çàäà÷ áàëëè- ñòèêè, âûòåêàþùèõ èç îáùåé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ñòðåëüáû ñíàðÿäàìè è ðàêå- òàìè ïî çàäàííîé öåëè. Äîñòàòî÷íî îáùèìè ìåòîäàìè îïòèìèçàöèè ïðè ýòîì ÿâëÿþòñÿ ìåòîäû êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Àïïàðàò êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ îñíîâûâàåòñÿ íà ïðåä- ñòàâëåíèè ýêñòðåìàëè â âèäå òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé. Âàðèàöèîííûå ñâîéñòâà ýòîé òî÷êè õàðàêòåðèçóþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà. Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè â êàêîì-ëèáî ñìûñëå îïòèìàëüíóþ òðàåêòîðèþ, ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü êðàåâóþ çàäà÷ó, ïîäáèðàÿ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà.  áîëü- øèíñòâå ñëó÷àåâ ýòî îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ñëîæíûì ïðîöåññîì, íå ñîîòâåòñò- âóþùèì ïî òðóäîåìêîñòè òðåáóåìîé òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè ïîëó÷åííîãî ðå- øåíèÿ. Áîëåå ïðîñòî ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíî÷íûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü íàéäåíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîñëåäíèé ìå- òîä, îñíîâîïîëàãàþùèé âêëàä â ðàçâèòèå êîòîðîãî âíåñ Ð. Áåëëìàí, òàê æå êàê è "ïðèíöèï ìàêñèìóìà", ðàçðàáîòàííûé ïðåäñòàâèòåëÿìè îòå÷åñòâåííîé øêîëû ñîâåòñêèõ ìàòåìàòèêîâ ïîä ðóêîâîäñòâîì Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíà, ïðèíÿòî ïðè âñåé óñëîâíîñòè ïîäîáíîé êëàññèôèêàöèè îòíîñèòü ê íåêëàññè÷åñêèì ìå- òîäàì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ðåøàåìûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèíöèïà ìàêñèìóìà, ñîñòàâëÿþò îñíîâó ïðîáëåìû ñèíòåçà, ò.å . îòíîñÿòñÿ ê ðàçðÿäó âòîðîé ãðóïïû ïðîáëåì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì ËÀ. Îòäåëüíûé êëàññ îïòèìàëüíûõ çàäà÷ âíåøíåé áàëëèñòèêè ñîñòàâëÿþò ïðîñòåéøèå ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è ïðîãðàììèðîâàíèÿ îïîðíîãî äâèæåíèÿ íà îñíîâå îòûñêàíèÿ ãëàäêîé ôóíêöèè îäíîãî ïåðåìåííîãî áåç îãðàíè÷åíèé. 6.1 . ÊÐÀÅÂÛÅ ÇÀÄÀ×È ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ 6.1.1. ÎÁÙÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÀ ÊÐÀÅÂÛÕ ÇÀÄÀ× ÁÀËËÈÑÒÈÊÈ È ÌÅÒÎÄΠÈÕ ÐÅØÅÍÈß Óïðàâëåíèå îãíåì àðòèëëåðèè è ïóñêàìè ðàêåò, îñóùåñòâëÿåìîå ñ öåëüþ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè áîåâîãî ïðèìåíåíèÿ êîìïëåê- ñîâ àðòèëëåðèéñêîãî è ðàêåòíîãî âîîðóæåíèÿ, ïðåäïîëàãàåò îïðåäå- ëåíèå òàê íàçûâàåìûõ óñòàíîâîê äëÿ ñòðåëüáû. Ïîä óñòàíîâêàìè äëÿ ïðîâåäåíèÿ ñòðåëüá èëè ïóñêîâ áàëëèñòè- ÷åñêèõ ðàêåò ïðèíÿòî ïîíèìàòü ñîâîêóïíîñòü äàííûõ èç ÷èñëà èìåþùèõñÿ íà øêàëàõ ïðèöåëîâ è äðóãèõ óñòðîéñòâ, ïðåäíàçíà÷åí- íûõ äëÿ íàâåäåíèÿ ñòâîëüíîé ñèñòåìû èëè íàñòðîéêè êîíòóðà 255
óïðàâëåíèÿ áàëëèñòè÷åñêîé ðàêåòû òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáåñ- ïå÷èòü ïðîõîæäåíèå ñðåäíåé òðàåêòîðèè êàê ìîæíî áëèæå ê êîíå÷- íîé òî÷êå äâèæåíèÿ (â ÷àñòíîñòè, ê öåëè) â êîíêðåòíûõ óñëîâèÿõ ïîëåòà. Îïðåäåëåíèå óñòàíîâîê, òàêèì îáðàçîì, âñåãäà â òîé èëè èíîé ñòåïåíè ñâÿçàíî ñ ðàñ÷åòîì òàê íàçûâàåìîé ïîïàäàþùåé òðàåêòî- ðèè.  îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ êëàññè÷åñêèõ ïîïàäàþùèõ òðàåêòîðèé, îò- íîñÿùåãîñÿ ê êëàññó çàäà÷ Êîøè, â ðàìêàõ êîòîðûõ ÷àñòíîå ðåøåíèå èùåòñÿ äëÿ èçâåñòíûõ íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ äâèæåíèÿ, èçâåñòíûõ èñõîäíûõ äàííûõ è ïðè èçâåñòíîì âðåìåíè îêîí÷àíèÿ ðàñ÷åòà, îï- ðåäåëåíèå èñõîäíûõ äàííûõ íà ïóñêè óïðàâëÿåìûõ áàëëèñòè÷åñêèõ ðàêåò (ðåàêòèâíûõ ñíàðÿäîâ) îòíîñèòñÿ ê êëàññó îáðàòíûõ çàäà÷. Ïîñëåäíèå îòëè÷àþòñÿ îò çàäà÷ Êîøè (ïðÿìûõ çàäà÷) òåì, ÷òî ðàñ÷åò äâèæåíèÿ ðàêåòû îñóùåñòâëÿåòñÿ èñõîäÿ èç òðåáîâàíèÿ îï- ðåäåëåíèÿ âñåõ èëè ÷àñòè óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ (àçèìóòà ïðèöå- ëèâàíèÿ, âðåìåíè îáíóëåíèÿ òÿãè äâèãàòåëüíîé óñòàíîâêè, ïðî- ãðàìì óïðàâëåíèÿ èëè íåêîòîðûõ èõ ïàðàìåòðîâ) ïî îãîâîðåííûì êðàåâûì óñëîâèÿì.  êà÷åñòâå êðàåâûõ óñëîâèé ìîãóò áûòü çàäàíû êîîðäèíàòû òî÷åê ñòàðòà è öåëè. Äîïîëíèòåëüíî â êà÷åñòâå ãðàíè÷- íûõ óñëîâèé ìîãóò çàäàâàòüñÿ êîîðäèíàòû òî÷åê ïðèöåëèâàíèÿ äëÿ ñáðàñûâàåìûõ íà Çåìëþ îòäåëÿþùèõñÿ óñêîðèòåëåé, ñòóïåíåé ðàêå- òû, ãîëîâíîãî îáòåêàòåëÿ. Òðàåêòîðèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ çàäàííûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ñ ó÷åòîì êîíñòðóêòèâíûõ îãðàíè÷åíèé, íàêëàäûâàåìûõ ðàçðàáîò÷èêà- ìè êîìïëåêñà âîîðóæåíèÿ íà âûáîð ôîðìû òðàåêòîðèè, è íàçûâàþò ïîïàäàþùåé òðàåêòîðèåé. Èìåííî íà ïîëåò â îêðåñòíîñòè ýòîé òðàåê- òîðèè "íàñòðàèâà