Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем - Иващенко Н.Н.

Author: Иващенко Н.Н.
Tags: инженерное дело техника в целом автоматика автоматизация
Year: 1978
Similar
Теория автоматического управления и регулирования
Основы автоматического регулирования и управления
Основы теории автоматического регулирования
Теория автоматического управления. Часть І. Теория линейных систем автоматического управления
Text
                    ННИващенко
Автоматическое
регулирование
ННИващенко
Автоматическое
регулирование
Теория и элементы систем
ИЗДАНИЕ 4-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
Scanned by LinCAD
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для высших
технических учебных заведений
МОСКВА « МАШИНОСТРОЕНИЕ » 1978
6Ф6.5
И18
УДК 62—50 (075.8)
Рецензент засл. деят. науки и техники РСФСР
д-р техн, наук проф. Ю. И. Топчеев
Иващенко Н. Н.
И18 Автоматическое регулирование. Теория и эле-
менты систем. Учебник для вузов. Изд. 4-е, перераб.
и доп. М., «Машиностроение», 1978. 736 с.
В учебнике изложены основы современной теории автомати-
ческого регулирования, которая базируется на применении частотных
методов анализа и синтеза, принципа максимума и метода динамиче-
ского программирования. Значительное внимание уделено нелиней-
ным, экстремальным и импульсным системам регулирования.
В четвертом издании введены новые разделы, посвященные
методам проектирования дискретно-непрерывных систем автомати-
ческого регулирования с цифровыми управляющими вычислитель-
ными машинами, рассмотрены способы синтеза корректирующих
программ, реализованных иа цифровых вычислительных машинах.
3050Ь049_
038(01)-78
© Издательство «Машиностроение» 1978 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Автоматизация промышленного производства является одной из важ-
нейших задач технического прогресса социалистического общества. Дальней-
шее развитие промышленности и сельского хозяйства требует создания как
отдельных систем автоматического регулирования, так и систем управле-
ния производством, отраслью и всем народным хозяйством в целом.
Постановлением XXV съезда Коммунистической партии Советского
Союза намечены грандиозные задачи внедрения в народное хозяйство высоко-
эффективных систем управления на основе широкого применения цифровых
вычислительных машин. В десятой пятилетке должны быть созданы авто-
матизированные системы управления различного типа технологическими
процессами и решены научные проблемы в области автоматизации органи-
зационно-экономических процессов, в результате чего будут получены авто-
матизированные системы управления предприятиями и отраслями народного
хозяйства.
В «Основных направлениях развития народного хозяйства СССР на
1976—1980 годы» поставлена задача: «Обеспечить дальнейшее развитие и
повышение эффективности автоматизированных систем управления и вы-
числительных центров, последовательно объединяя их в единую общегосу-
дарственную систему сбора и обработки информации для учета, планирова-
ния и управления» 1.
Для решения этой задачи должны быть подготовлены десятки тысяч
высококвалифицированных специалистов в области автоматических систем
управления и вычислительной техники. Поэтому большое значение имеет
изучение в высших технических учебных заведениях курса теории автомати-
ческого регулирования, являющегося основной частью курса теории авто-
матического управления.
Курс «Автоматическое регулирование» изучается во всех высших тех-
нических учебных заведениях независимо от их специализации и является
общеинженерной дисциплиной при подготовке современных высококвалифи-
цированных инженеров.
За время, прошедшее с момента третьего издания учебника «Автомати-
ческое регулирование» (1973 г.), теория и элементы систем регулирования
значительно усовершенствовались, особенно в части применения аналого-
вых и цифровых вычислительных машин и устройств. В результате этого
многие из глав книги были полностью переработаны или написаны заново.
В учебнике компактно даны основы трех курсов: элементы автоматиче-
ского регулирования, теория автоматического регулирования и проектиро-
вание систем регулирования для различных специальностей технических
вузов.
1 См. «Основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976—1980 годы».
М., Издательство политической литературы., 1976, с. 20.
1
3
Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена описанию прин-
ципов действия, способам составления уравнений динамики, передаточных
функций и структурных схем элементов и систем автоматического регулиро-
вания.
Во второй части рассматриваются методы анализа устойчивости, точ-
ности и качества динамических процессов в непрерывных, релейных, нели-
нейных, дискретных, дискретно-непрерывных, экстремальных и самона-
страивающихся системах регулирования. Все эти методы иллюстрируются
примерами расчета конкретных систем.
Третья часть посвящена различным способам синтеза систем регулиро-
вания, которые находят все большее распространение в практике проектиро-
вания систем. К ним относятся методы синтеза корректирующих устройств
при регулярных и случайных воздействиях, а также методы синтеза опти-
мальных систем по быстродействию и расходу топлива, основанные на прин-
ципах максимума и динамического программирования. Определенное вни-
мание уделено синтезу корректирующих программ, реализуемых на управ-
ляющих цифровых вычислительных машинах.
В приложении к книге даны необходимые справочные материалы: по
структурным преобразованиям линейных систем, амплитудно-фазовым и
логарифмическим частотным характеристикам типовых динамических
звеньев, /ги-функциям, формулам для вычисления интегралов дробно-рацио-
нальных четных функций, коэффициентам гармонической линеаризации
нелинейностей и г-преобразованиям функций. В приложениях изложены
также основные сведения о векторно-матричном аппарате, необходимые чита-
телю при изучении IX, X, XIII—XV и XX глав книги.
Для лучшего уяснения излагаемого материала приведено более 150 при-
меров по расчету систем автоматического регулирования, используемых в раз-
личных областях техники. При углубленном изучении теории автоматиче-
ского регулирования следует пользоваться задачником, который был спе-
циально подготовлен кафедрой МИФИ Е
На основе данного учебника и упомянутого задачника можно проекти-
ровать системы автоматического регулирования.
Мне хотелось бы выразить благодарность А. А. Воронову, Б. Н. Пет-
рову, Е. П. Попову, В. А. Боднеру, В. В. Казакевичу, С. А. Майорову,
В. В. Петрову, Л. В. Рабиновичу, Ю. А. Рязанову, В. В. Солодовникову
и многим другим ученым и инженерам, приславшим свои замечания по
содержанию третьего издания книги. Считаю своим приятным долгом вы-
разить глубокую признательность моему постоянному рецензенту Ю. И. Тол-
чееву, чьи полезные замечания способствовали улучшению содержания
книги.
1 См. Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задачник по теории автоматического регули-
рования. М., «Машиностроение», 1977.
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория автоматического регулирования является основной
частью теории управления. Система автоматического регулирования со-
стоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздей-
ствуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых пере-
менных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения)
изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается
в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые пере-
менные мало отличались бы от требуемых значений. Решение данной задачи
во многих случаях осложняется наличием случайных возмущений (помех).
При этом необходимо выбирать такой закон регулирования, при котором
сигналы управления проходили бы через систему с малыми искажениями,
а сигналы шума практически не пропускались (см. гл. XVIII).
Теория автоматического регулирования прошла значительный путь
своего развития. На начальном этапе были созданы методы анализа устойчи-
вости, качества и точности регулирования непрерывных линейных систем
(гл. XI—ХШ). Затем получили развитие методы анализа дискретных и
дискретно-непрерывных систем (гл. XV). Можно отметить, что способы рас-
чета непрерывных систем базируются на частотных методах, а расчета ди-
скретных и дискретно-непрерывных — на методах z-преобразования.
В настоящее время развиваются методы анализа нелинейных систем
автоматического регулирования. Нарушение принципа суперпозиции в не-
линейных системах, наличие целого ряда чередующихся (в зависимости от
воздействия) режимов устойчивого, неустойчивого движений и автоколе-
баний затрудняют их анализ. Еще с большими трудностями встречается
проектировщик при расчете экстремальных и самонастраивающихся систем
регулирования.
Как теория автоматического регулирования, так и теория управления
входят в науку под общим названием «техническая кибернетика», которая
в настоящее время получила значительное развитие. Техническая киберне-
тика изучает общие закономерности сложных динамических систем управле-
ния технологическими и производственными процессами. Техническая ки-
бернетика, автоматическое управление и автоматическое регулирование
развиваются по двум основным направлениям: первое связано с постоян-
ным прогрессом и совершенствованием конструкции элементов и техноло-
гии их изготовления; второе — с наиболее рациональным использованием
этих элементов или их групп, что составляет задачу проектирования си-
стем *.
Проектирование систем автоматического регулирования можно вести
двумя путями: методом анализа, когда при заранее выбранной структуре
1 Солодовников В. В. Основные черты технической кибернетики. — В кн.: Автомати-
ческое управление и вычислительная техника. Вып. 1, М., Машгиз, 1958, с. 5—21.
5
системы (расчетным путем или моделированием) определяют ее параметры;
методом синтеза, когда по требованиям к системе сразу же выбирают наи-
лучшую ее структуру и параметры. Оба эти способа получили широкое прак-
тическое применение и поэтому достаточно полно освещены в настоящей
книге.
Определение параметров системы, когда известна ее структура и требо-
вания на всю систему в целом, относится к задаче синтеза. Решение этой
задачи при линейном объекте регулирования можно найти, используя,
например, частотные методы, способ корневого годографа или изучая тра-
ектории корней характеристического уравнения замкнутой системы. Вы-
бор корректирующего устройства методом синтеза в классе дробно-рацио-
нальных функций комплексного переменного можно выполнить с помощью
графоаналитических методов. Эти же методы позволяют синтезировать кор-
ректирующие устройства, подавляющие автоколебательные и неустойчи-
вые периодические режимы в нелинейных системах.
Дальнейшее развитие методы синтеза получили на основе принципов
максимума и динамического программирования, когда определяется опти-
мальный с точки зрения заданного критерия качества закон регулирования,
обеспечивающий верхний предел качества системы, к которому необходимо
стремиться при ее проектировании. Однако решение этой задачи практи-
чески не всегда возможно из-за сложности математического описания физи-
ческих процессов в системе, невозможности решения самой задачи оптими-
зации и трудностей технической реализации найденного нелинейного закона
регулирования. Необходимо отметить, что реализация сложных законов
регулирования возможна лишь при включении цифровой вычислительной
машины в контур системы. Создание экстремальных и самонастраивающихся
систем также связано с применением аналоговых или цифровых вычисли-
тельных машин.
В связи с этим в данной книге значительное внимание уделено аналого-
вым и цифровым вычислительным машинам: рассмотрены принципы по-
строения аналоговых и цифровых вычислительных машин на электронных
и пневматических элементах; приведены схемы аналого-кодовых и кодово-ана-
логовых преобразователей для дискретно-непрерывных систем с управляю-
щими 'цифровыми вычислительными машинами и даны оценки точности и
быстродействия машин и преобразователей.
При рассмотрении системы автоматического регулирования с цифровыми
вычислительными машинами главное внимание уделено способам реализа-
ции алгоритмов, принципам построения экстремальных систем с ЦВМ и
методам составления программ коррекции на управляющих цифровых вы-
числительных машинах. Такой объем теории дискретно-непрерывных си-
стем регулирования с ЦВМ привел к необходимости введения нового мате-
матического аппарата в виде уравнений состояния линейных стационарных
и нестационарных систем регулирования. В результате этого удалось до-
вести теорию регулирования до уровня, на котором обычно излагаются не-
которые разделы теории автоматического управления.
Формирование систем автоматического регулирования, как правило,
выполняют на основе аналитических методов анализа или синтеза. На этом
этапе проектирования систем регулирования на основе принятых допущений
составляют математическую модель системы и выбирают предварительную
ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная)
выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающих
заданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточ-
няют математическую модель и с использованием средств математического
моделирования определяют динамические процессы в системе. При действии
различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравни-
вают с расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчи-
вости системы по фазе и модулю и находят основные показатели качества.
6
Далее, задавая на модель типовые управляющие воздействия, снимают ха-
рактеристики точности. На основании математического моделирования со-
ставляют технические требования на аппаратуру системы. Из изготовленной
аппаратуры собирают регулятор и передают его на полунатурное моделиро-
вание, при котором объект регулирования набирают в виде математической
модели.
По полученным в результате полунатурного моделирования характе-
ристикам принимают решение о пригодности работы регулятора с реаль-
ным объектом регулирования. Окончательный выбор параметров регулятора
и его настройка выполняют в натурных условиях при опытной отработке
системы регулирования.
Развитие теории автоматического регулирования на основе уравнений
состояния и z-преобразований, принципа максимума и метода динамического
программирования совершенствует методику проектирования систем регули-
рования и позволяет создавать высокоэффективные автоматические системы
для самых различных отраслей народного хозяйства. Полученные таким
образом системы автоматического регулирования обеспечивают высокое
качество выпускаемой продукции, снижают ее себестоимость и увеличивают
производительность труда.
Часть I. ЭЛЕМЕНТЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава /. Основные понятия и определения
Глава II. Виды систем автоматического регулирования
Глава III. Объекты регулирования
Глава IV. Измерительные устройства
Глава V. Усилительные устройства
Глава VI. Преобразующие устройства
Глава VII. Исполнительные элементы
Г лава VIII. Корректирующие устройства
Глава IX. Уравнения динамики объектов, устройств и систем автомати-
ческого регулирования и их структурные схемы
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.	Принципы действия систем автоматического регулирования.
2.	Основные устройства систем автоматического регулирования.
3.	Виды управляющих и возмущающих воздействий. 4. Статические
и астатические системы автоматического регулирования.
Современная промышленность и сельское хозяйство характеризуются
непрерывным увеличением производительности машин и агрегатов, повыше-
нием качества выпускаемой продукции и снижением ее стоимости. Большие
скорости протекания производственных процессов и повышение требований
к точности их выдерживания привели к широкому применению систем
автоматического регулирования. Система автоматического регулирования
должна обеспечивать поддержание на определенном уровне или изменение
по заданному закону некоторых переменных характеристик (регулируемых
величин) в машинах и агрегатах без участия человека с помощью различного
рода технических средств.
Преобразование входного сигнала системы (управляющего воздействия'}
в выходной сигнал (регулируемую величину) определяет закон изменения
регулируемой величины. Реализация желаемого закона осуществляется в ре-
зультате формирования управляющих переменных, которые воздействуют
на регулируемую систему. Законы изменения регулируемой величины во
времени могут быть различными; математически они описываются опера-
тором системы. Этот оператор может реализовать пропорциональную за-
висимость выходного сигнала от входного, связь в виде производной или
интеграла и т. д. В более общем случае этот оператор может быть и нели-
нейным.
Необходимо отметить, что законы изменения регулируемых величин
в машинах и агрегатах нарушаются под влиянием внешних, а иногда и вну-
тренних воздействий, называемых возмущениями (или возмущающими воз-
действиями). Из определения этих воздействий видно, что система автомати-
ческого регулирования должна как можно точнее воспроизводить управляю-
щее воздействие и возможно меньше реагировать на возмущающее воздей-
ствие.
Существует три различных принципа построения систем регулирования,
обеспечивающих реализацию требуемого закона изменения регулируемой
величины: по разомкнутому циклу, по замкнутому циклу, по комбинирован-
ному циклу регулирования (замкнуто-разомкнутый). Принцип разомкнутого
цикла заключается в обеспечении требуемого закона изменения регулируе-
мой величины непосредственно путем преобразования управляющего воз-
действия. Принцип замкнутого цикла характеризуется сравнением управ-
ляющего воздействия с действительным изменением регулируемой величины
за счет применения обратной связи и элемента сравнения. Образующийся
в результате сравнения сигнал ошибки не должен превышать некоторой
заданной величины. За счет этого и обеспечивается в замкнутых системах
требуемый закон изменения регулируемой величины. Комбинированный
принцип заключается в сочетании замкнутого и разомкнутого циклов в од-
ной системе.
1.	ПРИНЦИПЫ ДЕЙСТВИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим три принципа действия систем регулирования на конкрет-
ных примерах (рис. 1.1). Все три системы предназначены для дистанционной
передачи заданного сигнала. В системе разомкнутого цикла (рис. 1.1, а)
при перемещении движка 1 потенциометра на величину 1ВК на входе элек-
тронного усилителя 2 образуется напряжение иу. Усиленное напряжение иу
9
б)
Рис. 1.1. Упрощенные принципиальные
схемы систем автоматического регулирова-
ния, работающие по принципу:
а — разомкнутого цикла; б — замкнутого
цикла; в — комбинированного цикла
вызывает в обмотке возбуждения 3 генератора ток i„. Генератор 4, приводи-
мый во вращение электродвигателем 5, увеличивает ток до значения tr.
Напряжение генератора и поступает на обмотку соленоида 6, якорь которого
перемещается вверх, до тех пор, пока электромагнитная сила не уравнове-
сится силой пружины. Щетка потенциометра 7 переместится на величину /вых,
которая может быть измерена по линейке 8 или определена по напряже-
нию ивых, снимаемому с выходного потенциометра, с помощью тарировочного
графика /вых = f (ивых).
Из приведенного описания следует, что точность системы разомкнутого
цикла определяется стабильностью ее элементов и требует тщательной гра-
дуировки /вых —,f (ZBx). Будем считать, что данная система обеспечивает
прямую пропорциональность между выходным /вых и входным /вх сигна-
лами:
^ВЫХ == ^П1^У^Г^С^ВХ,	(1-1)
где fen,, fey, fer, fe0 — коэффициенты усиления соответственно потенциометра,
усилителя, генератора и соленоида.
Примем, что fen, = 0,001 В/см; fey = 1000; fer = 1,0; fec = 1,0 см/В;
тогда
'вых=1.0/вх.	(1.2)
Допустим, что в процессе эксплуатации коэффициент усиления элек-
тронного усилителя уменьшится на 10% и составит 900; тогда выражение
(1.2) примет вид
/вых == O,9ZBX.	(1.3)
Из полученного выражения видно, что статическая точность задания
перемещения /вых системой также уменьшилась на 10%. Следовательно,
система регулирования, работающая по разомкнутому циклу, имеет невысо-
кую точность.
Рассмотрим систему замкнутого цикла (рис. 1.1, б), в которой сигнал
с выходного потенциометра 7 поступает на вход электронного усилителя 2,
где образуется разность напряжений
“У = “вх-“вых-	(1-4)
Пользуясь выражениями (1.1) и (1.4), найдем
ьПМ г»’	<L5)
ю
где fen, — коэффициент усиления по-
тенциометра обратной связи 7. При-
няв fen,= 0,01 В/см и fe„,= 0,011 В/см
при ky — 1000, получим
Ux=1.0^bx-	(1-6)
Если ky = 900, то при тех же
параметрах k„2 и k„t найдем
4ых == 0,99/вх.	(1.7)
Из сравнения выражений (1.6)
и (1.7) следует, что изменение коэф-
фициента усиления электронного
усилителя на 10% в системе, рабо-
тающей по замкнутому циклу, при-
водит к статической ошибке в пере-
мещении /вых, равной 1%.
Системы с замкнутым циклом
менее чувствительны к изменениям
параметров устройств управления и
Рис. 1.2. Определение динамической ошибки
систем автоматического регулирования:
а — замкнутого цикла; б — комбинированного
цикла
не требуют точной градуировки. Динамическая ошибка замкнутой системы
регулирования при подаче на ее вход синусоидального сигнала опреде-
ляется разностью
A/ = /Bx-Ux-	(1-8)
На рис. 1.2, а показано графическое определение динамической
ошибки системы Л/ при подаче синусоидального сигнала. Как видно из
рис. 1.2, а, динамическая ошибка в системе с замкнутым циклом может до-
стигать значительной величины. Для уменьшения динамической ошибки
применяют системы автоматического регулирования, работающие по комби-
нированному циклу (см. рис. 1.1, в). Редуктор 9 и тахогенератор 10 образуют
разомкнутый цикл системы, а остальные ее устройства представляют собой
замкнутый цикл. Тахогенератор 10 с корректирующей цепочкой компенси-
рует фазовое запаздывание <р3 выходного сигнала /вых. При этом сигналы /вх
и /ВЬ1Х имеют примерно равные значения амплитуд, а следовательно, ошибка
Л/ мала (рис. 1.2, б). В системе, представленной на рис. 1.1, в, компенсация
влияния управляющего воздействия осуществлена по принципу разомкну-
того цикла. Далее будет показано, что влияние возмущающего воздействия
можно компенсировать также путем использования участка системы, по-
строенного по принципу разомкнутого цикла (см. п. 3 гл. XIII).
В заключение дадим следующее определение. Под системой автомати-
ческого регулирования понимают динамическую систему, в которой управле-
ние источниками энергии осуществляется с помощью сигнала разности между
управляющим воздействием и действительным изменением регулируемой
переменной [72].
2.	ОСНОВНЫЕ УСТРОЙСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Система автоматического регулирования состоит из объекта регулиро-
вания, датчика и автоматического-регулятора. В автоматический регулятор
входят различные усилители, а также измерительные и исполнительные эле-
менты и регулирующие органы. На рис. 1.3 показана типовая блок-схема
системы автоматического регулирования, состоящая из задающего устрой-
ства 1, на вход которого поступает управляющее воздействие g (t); сравни-
вающих устройств I и II; усилительных элементов 2, 4, 5; исполнительного
элемента 6; корректирующих устройств последовательного действия 3 и па-
раллельного действия 8; объекта регулирования 7 и измерительного элемен-
та 9. Устройства 1, 2, 9 образуют датчик, устройства 3—6 и 8 — регулятор.
Рис. 1.3. Типовая блок-
схема системы автомати-
ческого регулирования
В целом ряде систем автоматического регулирования усилители осу-
ществляют не только усиление сигнала, но и его преобразование (например,
непрерывного сигнала в дискретный). Устройства, выполняющие такие дей-
ствия, называются преобразующими устройствами. К преобразующим уст-
ройствам, превращающим непрерывный сигнал в дискретный, относятся
цифровые датчики для замера углов поворота или перемещения, реле, циф-
ровые вычислительные устройства.
К преобразующим устройствам можно отнести и аналоговые вычисли-
тельные машины, в которых происходит передача сигналов в тактовые мо-
менты времени, задаваемые электрическими часами и т. п.
Все устройства системы, изображенной на рис. 1.3, соединяются друг
с другом с помощью линий связи. Элемент 8 с линией 10 образует внутрен-
нюю обратную связь, за счет действия которой на входе элемента 4 образуется
разность напряжений
Au = uBX±uoc,	(1.9)
где иос — напряжение внутренней обратной связи. Как правило, внутрен-
няя обратная связь осуществляет не только передачу самого сигнала иу,
но и учитывает его изменение во времени, поэтому ее называют гибкой об-
ратной связью. При знаке минус в выражении (1.9) гибкая обратная связь
является отрицательной, а при знаке плюс — положительной. Линия 11
представляет собой главную обратную связь системы. За счет действия глав-
ной обратной связи в системе образуется сигнал ошибки, характеризующей
точность работы всей системы регулирования, т. е.
\и = и3 — иа,	(1.10)
где и3 — напряжение задающего устройства; ид — напряжение на выходе
датчика.
Рис. 1.4. Блок-схема систем автоматического регулирования'.
а — замкнутого цикла по отклонению; б — замкнутого цикла по возмущению; в — комбинированного
цикла с компенсацией ошибки по управлению; г — комбинированного цикла с компенсацией ошибок
по управлению и возмущению; 1 — усилительное устройство (или группа усилительных устройств);
2 — исполнительное устройство; 3 — объект регулирования; 4 — измерительное устройство; 5 — эле-
мент, компенсирующий ошибку от действия управляющего сигнала; 6 — элемент, компенсирующий
ошибку от возмущающего-воздействия f (0; 1 сравнивающее устройство
12
При размыкании главной обратной связи система автоматического
регулирования, работающая по замкнутому циклу, превращается в систему
разомкнутого цикла.
На рис. 1.4 показаны блок-схемы систем автоматического регулирования
различных типов. На рис. 1.4, а дана система замкнутого цикла по откло-
нению х; на рис. 1.4, б — замкнутого цикла по возмущению. На рис. 1.4, в, г
представлены две блок-схемы комбинированных систем автоматического
регулирования (см. подробнее п. 3 гл. XIII).
3.	ВИДЫ УПРАВЛЯЮЩИХ И ВОЗМУЩАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
При анализе динамических процессов в системах автоматического регу-
лирования в качестве сигналов управления или возмущения выбирают не-
которые типовые сигналы. На рис. 1.5, а—д показана форма наиболее часто
применяемых сигналов управления g (/). Сигнал g (t), изображенный на
рис. 1.5, а, представляет собой ступенчатое или единичное воздействие:
g(t) = {
О при t < 0;
1 при /^0.
(МП
К воздействию такого рода наиболее часто прибегают при оценке ка-
чества процессов регулирования (см. гл. XII). При оценке точности систем
используют сигналы управления, показанные на рис. 1.5, б—г. Если для
сигналов управления справедливы соотношения
g(f) = 0,f<0; 1
=	I
(1-12)
1 Здесь под отклонением регулируемой величины 8 (0 понимаем текущую разность
между заданным и действительным значениями регулируемых переменных.
Рис. 1.5. Виды типовых управляющих и возмущающих воздействий
13
то управляющее воздействие изменяется по линейному закону (рис. 1.5, б).
Если
g(i) = 0J<0;
g (О — So + Sit + git2 + • • • —
= S gttl, t > o,
i=0
(1-13)
то имеем степенной закон изменения управляющего воздействия (рис. 1.5, в).
Для целого ряда систем автоматического регулирования типовым законом
может служить
g(i) = 0, (<0;
g(0 = gosilW, t 0,
(1-14)
где g0— максимальное значение амплитуды воздействия; <оо—круговая
частота задающего воздействия.
График g (/) для данного случая представлен на рис. 1.5, г. Иногда
при оценке качества и точности систем регулирования применяют экспо-
ненциальный сигнал управления (рис. 1.5, д):
g(0 = 0, i<0;
g(t) = g0(l - e~rt),t > 0,
(1.15)
где г — показатель экспоненты.
Управляющие сигналы, законы изменения которых показаны на
рис. 1.5, а—д, относятся к регулярным воздействиям и обычно задаются
в виде функции от времени.
На рис. 1.5, е—к показаны наиболее часто применяемые сигналы воз-
мущающих воздействий. Сигнал типа «сброса нагрузки» можно представить
в виде графика на рис. 1.5, е, для которого справедливы соотношения
f(0 = {
при 0 < t ti,
f2 при t > <!,
(Мб)
где > f2.
И, наоборот, для «наброса нагрузки»
при 0 < t < £х;
f(0 = {
f2 при i>ix,
(1-17)
где fr < f2.
На многие объекты систем регулирования действуют периодические сиг-
налы в виде треугольных импульсов (рис. 1.5, ж) или периодически по-
вторяющихся парабол (рис. 1.5, з). Для функции, изображенной на
рис. 1.5, ж, запишем
со
п=1
Н0 = А
(2л — 1) nt
т
(2.-1— I)2
(1-18)
где f1 — амплитуда импульсов; т — их длительность.
14
 Для периодически повторяющихся парабол (рис. 1.5, з) имеем

cos 2nnt/x
(1-19)
где п = 1, 2. . .
Если используется лишь одна парабола, то
Н0 = /1{
xt — t2 при 0 < ( с т;
О при t > т.
(1.20)
В ряде случаев в качестве типового возмущения используют периоди-
чески повторяющуюся ступенчатую функцию с максимальным (или минималь-
ным) значением (рис. 1.5, и), т. е.
f (0 = А -	- т) + 2А (( - 2т) - 2Л (( - Зт) -Ь • •	(1.21)
или синусоидальная функция (рис. 1.5, к)
f (t) = sin <о0(,	(1.22)
где <£>о = 2л/Т.
Существуют системы автоматического регулирования (управления ан-
тенной радиолокатора, управления летательным аппаратом и т. д.),
когда на их вход наряду с регулярным воздействием поступает сигнал в виде
флюктуаций, представляющих собой случайные функции от времени, т. е.
такие функции, значение которых при каждом данном аргументе является
случайной величиной. Сигнал этого типа относится к случайным воздейст-
виям и может быть представлен в виде, изображенном на рис. 1.5, л. Уро-
вень случайной функции может изменяться в широких пределах.
В заключение отметим, что существует множество и других типовых
возмущающих воздействий. Например, /
f (0 = /о arctg t; f (tL= |fosin<oi|;
fl— при (<Ti;
T1
при T1<'Z<T2’
fl ПРИ *2<*<T8;
T3 — T2
0 при т3 < t’,
f (0 = fl tl (0 - 1 - T) + ’ a - T) - 1 (f - T - T) 4- • • •],
где r — длительность импульса; T — период следования импульсов и т. д.
4.	СТАТИЧЕСКИЕ И АСТАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Системы автоматического регулирования при действии управляющих
и возмущающих воздействий принято подразделять на статические и аста-
тические в зависимости от наличия в них ошибки в установившемся состоя-
нии.
Используя рис. 1.4, а, нетрудно найти зависимость динамической ошибки
от времени для системы автоматического регулирования в установившемся
состоянии. Динамическая ошибка системы определяется с помощью следую-
щего выражения:
e(0 = g(0-x(0.'	(1-23)
15
Рис. 1.6. Изменение характеристик g (<) и х (0 в системах автоматического регулирования:
а •— статических; б » астатических
При установившихся значениях gyCT и хуст находим установившуюся
ошибку системы
®уст = Sy СТ %УСТ-	(1.24)
В зависимости от значения еуст и определяется тип системы автомати-
ческого регулирования.
Система автоматического регулирования называется статической по
отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремя-
щемся с течением времени к некоторому установившемуся значению, ошибка
также стремится к постоянному значению, зависящему от величины управ-
ляющего воздействия.
На рис. 1.6, а показано изменение характеристик g (t) и х (0 для стати-
ческих систем автоматического регулирования. Из этого рисунка видно,
что в установившемся состоянии у статической системы имеется ошибка еуст.
Система автоматического регулирования именуется астатической по
отношению к управляющему воздействию, если при воздействии, стремящемся
к установившемуся значению, ошибка стремится к нулю независимо от
величины воздействия. На рис. 1.6, б показано изменение характеристик
g (t) и х (0 для астатической системы автоматического регулирования.
Как видно из рис. 1.6, б, у астатической системы е = 0.
На основании этого можно сделать заключение о том, что по точности
астатические системы лучше статических и потому в последние годы на-
ходят более широкое применение.
Рассмотрим, каким образом реагируют статические, и астатические си-
стемы на возмущающие воздействия. На рис. 1.7, а показано изменение ха-
рактеристик f (0 и х (0 для статической системы автоматического регулиро-
вания (см. рис. 1.4, б). В установившемся состоянии у такой системы также
имеется статическая ошибка еуст. На рис. 1.7, б показаны характеристики
Рис. 1.7. Изменение характеристик f (/) и х (0 в системах автоматического регулирования:
а — статических; б астатических
16
f (f) и x (0 астатической системы автоматического регулирования. В этом
случае в установившемся состоянии имеем еуст = 0.
Таким образом, система автоматического регулирования является
статической по возмущающему воздействию, если при его приложении ошибка
стремится к некоторому установившемуся значению, также зависящему
от величины возмущающего воздействия. В системах автоматического регу-
лирования, астатических относительно возмущающего воздействия, ошибка
в установившемся состоянии стремится к нулю [721.
В последнее время стали создавать такие системы автоматического регу-
лирования, которые являются астатическими как по управляющему, так
и по возмущающему воздействиям.
Наряду со статическими и астатическими системами существуют стати-
ческие и астатические регуляторы. К статическим регуляторам принято
относить такие, у которых от действия единичного ступенчатого сигнала на
входе выходной сигнал асимптотически устанавливается на уровне некоторой
конечной величины. У астатических регуляторов от действия единичного
ступенчатого сигнала на входе происходит линейное или нелинейное нара-
стание сигнала на выходе без ограничений по уровню.
Глава II
ВИДЫ СИСТЕМ автоматического регулирования
........1.	Классификация систем автоматического регулирования. 2. Не-
прерывные системы автоматического регулирования. 3. Дискретные
системы автоматического регулирования. 4. Дискретно-непрерыв-
ные системы автоматического регулирования. 5. Экстремальные
и самонастраивающиеся системы автоматического регулирования,
б. Применение ЦВМ в системах автоматического регулирования.
7. Применение систем автоматического регулирования для управ-
ления сложными производственными процессами. Системы комплес-
ной автоматизации производства.
В настоящее время существует большое число различных по своему
назначению систем автоматического регулирования. Одни из них поддержи-
вают заданную температуру, давление, расход жидкости или газов в объек-
тах регулирования, другие изменяют эти параметры по различным законам.
Автоматические системы обеспечивают также регулирование концентрации
жидкостей или газов, натяжение проволоки или ткани при их намотке на
барабаны. С помощью систем регулирования режется металл на заданные
длины, фрезеруются детали сложной формы, очищаются газы и жидкости
от вредных примесей и т. д.
Автоматические системы применяют и для управления скоростью вра-
щения гидравлических и паровых турбин, дизелей, регулирования напряже-
ния на электростанциях. Их используют также для регулирования мощности
в ядерных энергетических реакторах, удержания электронного пучка в ли-
нейных ускорителях, регулирования тока в физических установках.
Системы автоматического регулирования управляют движением само-
летов и ракет, обеспечивают ориентацию и угловую стабилизацию косми-
ческих летательных аппаратов. С помощью систем автоматического регули-
рования был взят грунт с Луны и Марса.
Такое большое разнообразие систем автоматического регулирования z
требует научно обоснованной их классификации.
1.	КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Системы автоматического регулирования можно классифицировать по
различным признакам: принципу действия, характеру сигналов, математи-
ческому описанию, виду используемой энергии и т. д. Рассмотрим сначала
классификацию систем по принципу их действия.
Все многообразие систем автоматического регулирования (САР) можно
подразделить на четыре класса (рис. II. 1): системы, работающие по разомк-
нутому, замкнутому, комбинированному циклам, и самонастраивающиеся
системы. Для нормального функционирования самонастраивающихся си-
стем не требуется полных знаний о характере процесса регулирования,
так как в процессе работы эти системы приспосабливаются к изменяющимся
внешним условиям.
Каждый класс систем регулирования разделяется на группы
(рис. II.1). Системы автоматического регулирования, работающие по замкну-
тому циклу, делятся на системы автоматической стабилизации, системы
программного регулирования и следящие системы.
В системах автоматической стабилизации управляющие воздействия
являются постоянными, заранее заданными величинами. Системы програм-
много регулирования отличаются от систем стабилизации тем, что в них
управляющие воздействия являются известными функциями времени. В сле-
дящих системах управляющие воздействия представляют собой функции
времени, заранее неизвестные.
18
Рис. П.1. Классификация систем автоматического регулирования
Следящие системы с управлением по положению обычно являются аста-
тическими относительно управляющих воздействий и статическими по воз-
мущениям. Системы автоматической стабилизации со статическими регуля-
торами как по управляющим, так и по возмущающим воздействиям являются
статическими. Следящие системы с управлением по скорости также относятся
к статическим независимо от места приложения воздействия.
Системы автоматического регулирования, работающие по разомкнутому
циклу, делятся на системы компенсации. и разомкнутые системы програм-
много регулирования. Системы компенсации уменьшают влияние возмущаю-
щих воздействий на регулируемые переменные путем изменения самих воз-
действий или компенсации их действия на системы [11].
Поясним принцип работы систем компенсации с помощью рис. II.2.
На рисунке дана упрощенная принципиальная схема разомкнутой системы
регулирования, предназначенной для измерения угловой скорости вращения
электродвигателя 4. Потенциометр 1 служит для установки требуемой ско-
рости вращения. В качестве усилительных устройств в системе применены
электронный усилитель 2 и генератор 3. Тахогенератор 5 является измери-
тельным устройством, а вольтметр 6 проградуирован в единицах измерения
угловой скорости.
При действии на вал электродвигателя 4 момента нагрузки уменьшается
скорость его вращения <о и нарушается соответствие между положением
движка потенциометра и угловой скоростью вращения тахогенератора.
Рис. П.2. Упрощенная принципиальная схема разомкнутой системы
компенсации
19
При этом значительно снижается точность работы системы регулирования.
Для повышения ее точности необходимо компенсировать уменьшение числа
оборотов электродвигателя. С этой целью в схему введен резистор 7, с ко-
торого снимается напряжение и подается на вход электронного усилителя.
Образующаяся цепь создает положительную обратную связь в системе.
При этом с ростом момента нагрузки увеличивается напряжение Ди, воз-
растает напряжение генератора, а следовательно, повышается угловая
скорость вращения электродвигателя.
В последнее время весьма широкое применение получили разомкнутые
системы программного регулирования. К ним прежде всего относятся ме-
таллорежущие станки с числовым программным управлением. Программа
управления, записанная на магнитных запоминающих устройствах в цифро-
вом коде, поступает на исполнительные устройства станков, обеспечивая
заданную последовательность выполнения операций обработки.
Системы автоматического регулирования, работающие по комбиниро-
ванному циклу, делятся на две группы: системы автоматической стабили-
зации и следящие системы. Эти системы могут иметь один или два разомкну-
тых цикла, компенсирующих влияние сигналов управления и возмущения
(см. рис. 1.4, в, г).
Наконец, к последнему классу систем относятся три группы: само-
настраивающиеся системы экстремального регулирования, системы с пере-
страивающимися устройствами и аналитические самонастраивающиеся
системы 172].
В экстремальных системах автоматический регулятор поддерживает
экстремальное значение регулируемой величины путем подачи поискового
сигнала (см. гл. XVI).
В система^ с перестраивающимися устройствами параметры или струк-
тура автоматически изменяются в зависимости от управляющих и возму-
щающих воздействий или от изменения параметров объекта. Перестройка
свойств аналитических самонастраивающихся систем осуществляется на
основе аналитического определения их динамических характеристик. Из
этого следует, что в состав аналитических самонастраивающихся систем
должны входить вычислительные машины. Отметим, что в самонастраиваю-
щихся системах регулирования с цифровыми вычислительными машинами
последовательность действий, заданная программой, называется алгорит-
мом.
В ряде случаев в самонастраивающиеся системы, кроме обычных
устройств систем регулирования, входят элементы, выполняющие логиче-
ские операции, блоки памяти и устройства формирования поискового сиг-
нала. Помимо основных логических элементов, осуществляющих операции
НЕ, И, ИЛИ, здесь применяются более сложные элементы, выполняющие
операции совпадения, равнозначности, нахождения экстремума, выбора из
нескольких однородных величин наибольшей или наименьшей (см. гл. VI).
При классификации систем регулирования по характеру сигналов
все системы можно разделить на непрерывные, дискретные, дискретно-
непрерывные (цифровые) и релейные. В непрерывных системах все сигналы
в устройствах и объектах регулирования представляют собой непрерывные
функции времени. В дискретных системах все сигналы квантуются по вре-
мени, а в дискретно-непрерывных — как по времени, так и по уровню. В по-
следнем классе систем имеются две группы устройств регулирования: не-
прерывные и дискретные. При квантовании непрерывного сигнала по уровню
образуется ступенчатый сигнал. Элементы, осуществляющие квантование
сигнала по уровню, называются релейными, а системы с подобного рода
элементами — релейными системами автоматического регулирования.
По математическому описанию все системы делятся на два класса:
линейные и нелинейные (по виду дифференциальных уравнений, описываю-
щих поведение системы в динамике). При такой классификации каждый
20
класс систем можно разбить на четыре группы: 1) стационарные с сосредото-
ченными параметрами; 2) стационарные с сосредоточенными и распределен-
ными параметрами; 3) нестационарные системы с сосредоточенными пара-
метрами; 4) нестационарные системы с сосредоточенными и распределенными
параметрами.
Первая группа систем описывается обыкновенными дифференциальными
уравнениями с постоянными параметрами. В системах с распределенными
параметрами (вторая группа) отдельные устройства системы или ее объекты
описываются дифференциальными уравнениями в частных производных (см.
гл. IX). В системах третьей и четвертой групп параметры дифференциаль-
ных уравнений изменяются в зависимости от времени. Каждая группа си-
стем может быть разделена на две подгруппы: на детерминированные и стоха-
стические [72].
При классификации по виду используемой энергии все системы можно
подразделить на электрические, гидравлические, пневматические, электро-
гидравлические, электропневматические и т. п. Однако этой классификацией
в настоящее время пользуются крайне редко.
Как известно, всякая система автоматического регулирования состоит
из объекта регулирования и регулятора, в который входит чувствительный
элемент. Системы регулирования, где чувствительный элемент воздействует
непосредственно на регулирующий орган, называют системами прямого
регулирования, а регуляторы — регуляторами прямого действия.
В регуляторах прямого действия энергия, необходимая для изменения
положения регулирующего органа, поступает от чувствительного элемента.
Если последний не в состоянии развить мощность, требуемую для нормаль-
ной работы регулирующего органа, то система регулирования не может функ-
ционировать. Кроме того, системы прямого регулирования имеют низкую
точность и поэтому применяются редко.
В системах непрямого регулирования после чувствительного элемента
устанавливаются усилители мощности и серводвигатели, воздействующие
на регулирующие органы. В этом случае повышается точность и качество
процессов регулирования.
В заключение отметим, что в зависимости от числа регулируемых ве-
личин системы автоматического регулирования подразделяют на одномерные
(одна регулируемая величина), двухмерные (две регулируемые величины)
и многомерные (при п регулируемых величинах). Многомерные системы
регулирования могут быть системами несвязанного и связанного регулирова-
ния. В системе несвязанного регулирования регуляторы, управляющие раз-
личными переменными, не связаны один с другим и работают независимо.
В системе связанного регулирования регуляторы связаны между собой, и
для нормальной работы требуется их вполне определенное взаимодействие.
Систему связанного регулирования называют автономной, если существуют
такие связи между регуляторами, когда изменение одной из регулируемых
величин не вызывает изменения остальных.
Перейдем к рассмотрению систем регулирования, пользуясь классифи-
кацией по виду сигналов, проходящих через устройства и объекты систем.
2.	НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Непрерывные системы автоматического регулирования — самый рас-
пространенный класс систем, что в значительной мере объясняется, во-пер-
вых, простотой этих систем и, во-вторых, наличием хорошо разработанной
методики их расчета и проектирования К
Рассмотрим несколько конкретных примеров построения непрерывных
систем автоматического регулирования и устройств управления.
1 Методы расчета и проектирования релейных, дискретных и дискретно-непрерывных
систем в полной мере еще не разработаны.
2:1
Рис. 11.3. Система автоматического регу-
лирования угловой скорости вращения ко-
ленчатого вала дизеля
На рис. II.3 изображена принци-
пиальная схема системы автоматиче-
ского регулирования угловой скорости
вращения коленчатого вала дизеля.
В качестве чувствительного элемента
в системе применен тахометрический
измеритель угловой скорости 5, вал ко-
торого соединен с помощью механиче-
ского редуктора 8 с коленчатым валом
дизеля 1. Рычаг 6 связан с муфтой изме-
рителя скорости, поршнем гидравличе-
ского клапана 7 и штоком изодрома 3.
Изодром, в свою очередь, соединен
с поршнем гидравлического серводвига-
теля 2. Шток поршня серводвигателя
через систему рычагов перемещает тягу
управления насоса 9 подачи топлива
в дизель.
Система регулирования угловой
скорости вращения дизеля работает
следующим образом. При повышении
угловой скорости вращения коленча-
того вала дизеля, обусловленном умень-
шением нагрузки, увеличивается угло-
вая скорость вращения вала тахометрического измерителя 5, и его грузы
начинают расходиться, поднимая муфту, а вместе с ней конец А рычага 6
вверх. Шток поршня гидравлического клапана 7 также поднимается вверх,
и его поршень открывает отверстие а, через которое масло под давлением
будет поступать в верхнюю полость серводвигателя 2. Поршень серводвига-
теля переместится вниз. ОдЛэвременно с этим его шток через систему ры-
чагов передвинет тягу управления насосом влево, уменьшая подачу топлива
в дизель. Скорость вращения дизеля уменьшится, грузы центробежного
измерителя опустятся, и конец рычага А переместится вниз. При этом в ги-
дравлическом клапане закрывается отверстие а и открывается отверстие б.
Шток серводвигателя 2 будет подниматься вверх, воздействуя на поршень
изодрома. Так как полости Г и Д соединены калибровочным отверстием,
то перемещение точки В вверх, зависит не от положения поршня серводвига-
теля, а от его скорости. Пружина изодрома 4 обеспечивает возвращение
точки В в одно и то же положение. Точка Б находится в положении равно-
весия, когда оба отверстия а и б перекрыты. При уменьшении скорости вра-
щения дизеля перемещения всех рассмотренных устройств будут происхо-
дить в обратных направлениях.
Блок-схема системы регулирования угловой скорости вращения колен-
чатого вала дизеля показана на рис. II.4.
На рис. II.5 изображена упрощенная принципиальная схема системы
автоматического регулирования угловой скорости вращения гидротурбины.
Чувствительным устройством системы является тахометрический измеритель
скорости (тахометр) 2, приводимый во вращение от синхронного электродвига-
теля 1, питаемого напряжением от генератора 11. При этом скорость враще-
Рис. II.4. Блок-схема системы
регулирования угловой скорости
вращения коленчатого вала ди-
зеля
22
Рис. fl.5. Система автомати-
ческого регулирования угловой
скорости вращения гидротурби-
ны
ния тахометра пропорциональна частоте переменного тока генератора,
а следовательно, скорости вращения вала гидротурбины [69].
С падением электрической нагрузки в цепях потребления 13 возрастает
скорость вращения гидротурбины 12 и генератора 11, грузы тахометра 2
расходятся, и муфта перемещается вверх. Рычаг <3 перемещает золотник 4
гидроусилителя 6 вспомогательного гидравлического привода, и масло,
поступающее от насоса в силовой цилиндр, будет опускать поршень 5,
а вместе с ним корпус гидроусилителя 6. Его движение, передается через
рычаг 7 на управляющий золотник 8 основного гидравлического привода 9.
Поршень гидравлического привода, следя за движением золотника 8, пере-
местится вниз, и заслонка 10 уменьшит проходное отверстие в трубопро-
воде 14. Соответственно с этим мощность турбины снизится, что приведет
к уменьшению скорости вращения гидротурбины, генератора и синхрон-
ного электродвигателя 1.
Для повышения устойчивости системы регулирования (см. гл. XI),
а также уменьшения времени протекания переходного процесса (см. гл. XII)
применена гибкая обратная связь изодромного типа. В системе перемещение
рычага 15 передается через цилиндр изодрома 16\ масло в цилиндре изодрома
приведет в движение поршень 17, который, в свою очередь, воздействует
на рычаг 3. При движении поршн-я происходит сжатие пружины 18. Выпрям-
ляясь, пружина возвращает поршень в первоначальное положение, и масло
будет перетекать через калибровочное отверстие в поршне из одной поло-
вины цилиндра в другую. Тогда перемещение сервомотора будет пропорцио-
нально скорости относительного перемещения поршня.
На рис. II.6 показана блок-схема системы автоматического регулиро-
вания угловой скорости вращения гидротурбины. Системы регулирования
(см. рис. II.4 и II.6) относятся к системам автоматической стабилизации
с внутренними гибкими обратными связями.
Рис. 11,6. Блок-схема системы
регулирования угловой скорости
вращения гидротурбины
23
Выход
“газа
Рассмотрим систему автоматического регулирования концентрации
сернистого газа на заводах серной кислоты [691.
На рис. II.7 представлена упрощенная схема системы, состоящая из
объекта регулирования в виде сушильной башни 2; регулятора Р, состоя-
щего из электронного усилителя 3, электромашинного усилителя (ЭМУ) 4,
электродвигателя 5, механического редуктора 6 и силового серводвигателя 8\
датчика 1 (электрического газоанализатора). Регулятор воздействует на
управляющий орган 7, изменяющий проходное сечение воздуховода.
Работа системы регулирования заключается в следующем. При увеличе-
нии количества сернистого газа SOa, поступающего через трубопровод в су-
шильную башню, на ее выходе повышается концентрация сернистого газа.
Электрический газоанализатор 1, измеряющий концентрацию SO2, выдает
напряжение и„, поступающее на электронный усилитель 3 регулятора Р.
Усиленный в ЭМУ, электродвигателе и силовом гидравлическом серводвига-
теле сигнал воздействует на заслонку 7 воздуховода, увеличивая количество
и
Рис. 11.8. Упрощенная принципиальная схма
системы программного регулирования темпера-
туры теплообменника
воздуха, поступающего в башню.
Таким образом, концентрация сер-
нистого газа в башне падает до
требуемого значения.
Для повышения устойчивости
и качества системы регулирования
в ней предусмотрены две внутрен-
ние гибкие обратные связи: первая,
состоящая из конденсатора 13 и
резистора 14, и вторая, состоящая
из редуктора 9, тахогенератора 10,
потенциометра 11, конденсатора 12
и резистора 15.
Перейдем к рассмотрению про-
граммной системы автоматического
регулирования. На рис. II.8 изо-
бражена упрощенная принципи-
альная схема программного регу-
лятора температуры теплообмен-
ника [1]. Система состоит из за-
24
Рис. II.9. Блок-схема системы программного регулирования температуры теплообменника
датчика температуры (потенциометра) 3 и термометра сопротивления 4,
включенных в электрический измерительный мост. Напряжение разбаланса
2, а затем на магнит-
является двухфазный
13 перемещает струй-
трубопроводам 7 и 8
моста «м поступает на вход электронного усилителя
ный усилитель 1. Нагрузкой магнитного усилителя
асинхронный двигатель 14, который через редуктор
ную трубку 12.
Расход пара измеряется мерной шайбой 9. По
пар поступает на мембранный двигатель 11, который перемещает струйную
трубку. Регулирующим органом 6 управляет серводвигатель 10, в который
поступает сжатый воздух от компрессора через струйную трубку 12.
Система работает следующим образом. При движении в соответствии
с программой щетки потенциометра 3 образуется разбаланс моста, и электро-
двигатель 14 переместит струйную трубку. Сжатый воздух поступит к серво-
двигателю 10, который будет поворачивать регулирующий орган 6, изменяя
подачу пара в теплообменник 5 до тех пор, пока температура в теплообмен-
нике не станет равной заданной температуре по программе.
Блок-схема этой системы регулирования изображена на рис. II.9.
Из рисунка видно, что данная система является системой связанного регули-
рования, так как перепад давления на мерной шайбе также перемещает струй-
ную трубку.
Энергетическая установка атомной электростанции показана на
рис. 11.10. В нее входят следующие основные устройства: ядерный энергети-
ческий реактор 1 на тепловых нейтронах; трубопровод 2 с жидкостью, обра-
зующий первичный тепловой контур I станции; парогенератор 3; трубо-
провод 4 вторичного контура II; паровая турбина 5; турбогенератор 6;
конденсатор 7 [72].
Рассмотрим процессы, происходящие
в ядерном реакторе. В центральной его части
размещается урановое топливо, образующее
активную зону. При вводе в активную зону
источника первичных нейтронов в реакторе
происходит поглощение ядрами урана сво-
бодных нейтронов. Каждое ядро урана,
поглотившее нейтрон, испускает два-три ней-
трона, которые, в свою очередь, поглоща-
ются другими ядрами урана. При таком
процессе распада ядер урана образуется
И
Схема взаимодействия
энергетической уста-
Рис. 11.10.
устройств
новки атомной электростанции
25
Рис. II.II. Упрощенная принципиальная схема системы автоматического регулирования
мощности ядерного реактора атомной электростанции
цепная реакция с выделением большого количества тепловой энергии.
Для поддержания ядерной реакции число образующихся нейтронов
должно быть равно числу нейтронов, теряемых за счет поглощения и утечки.
Мощность ядерного реактора пропорциональна числу нейтронов, выделен-
ных в единицу времени в процессе деления. Поэтому мощность реактора
можно изменять путем увеличения или уменьшения количества поглощен-
ных нейтронов.
На рис. 11.11 показана упрощенная принципиальная схема регулиро-
вания мощности ядерного реактора. Введением в активную зону реактора
кадмиевых стержней 6 удается увеличить число поглощаемых нейтронов,
а следовательно, снизить уровень мощности реактора. Для повышения мощ-
ности необходимо выводить кадмиевые стержни из активной зоны.
Через активную зону реактора проходят трубопроводы 7, где циркули-
рует теплоноситель, отдающий свое тепло через парогенератор паровой тур-
бины.
Для изменения мощности реактора оператор на пульте управления пере-
мещает движок потенциометра Rn. При этом равновесие моста, образован-
ного резисторами R3, R3, ЯП и ионизационной камерой 8, нарушается. На
входе электронного усилителя 1 образуется напряжение ДпЕ. Электронный
усилитель усиливает этот сигнал, и якорь соленоида 2 будет перемещаться,
открывая (или закрывая) отверстия а и б золотником 3. Тогда масло от на-
соса поступает в верхнюю или нижнюю полости силового цилиндра 5. Шток
поршня силового цилиндра начнет перемещать вверх (или вниз) кадмиевые
стержни 6, увеличивая (или уменьшая) мощность реактора.
Для получения устойчивой работы системы регулирования мощности
реактора применено параллельное корректирующее устройство, состоящее
из тахогенератора 4 и цепочки R3C.
Задатчик мощности атомной станции может быть связан с устройством,
измеряющим напряжение на клеммах турбогенератора. В этом случае при
колебаниях нагрузки генератора система автоматического регулирования
26
Рис. 11.12. Блок-схема автоматического регулирования мощности ядерного реактора атомной
электростанции
будет изменять мощность реактора таким образом, чтобы на выходе турбо-
генератора 6 (см. рис. 11.10) поддерживалось постоянное напряжение.
На рис. 11.12 показана блок-схема системы автоматического регулиро-
вания мощности ядерного реактора атомной электростанции.
Проанализируем работу следящей системы (рис. 11.13) с магнитными
и электромашинными усилителями, имеющей два канала усиления (грубый
и точный). Следящая си-
стема обеспечивает синфаз-
ное и синхронное враще-
ние входного и выходного
валов. Входной вал свя-
зан с сельсинами-датчика-
ми СсД, а выходной вал—
с сельсинами-приемника-
ми СсП и нагрузкой (см.
гл. IV). Сельсины-прием-
ники и сельсины-датчики
грубого и точного каналов
соединены по трансформа-
торной схеме.
Угол рассогласования
в сельсинной схеме
0(О = а(/)-Р(О,
где a (t) — угол поворота
ротора сельсина-датчика;
Р (0 — угол поворота ро-
тора сельсина-приемника.
Сигналы с роторов
сельсинов-приемников гру-
бого и точного каналов
поступают на схему разде-
ления сигналов, выполнен-
ную на селеновых выпря-
мителях Вх, В' и В2> 5',
которые включены таким
образом, чтобы в схеме
разделения обеспечивалось
прохождение обеих полу-
волн переменного тока
[36, 54].
Будем считать, что
Рис. 11.13. Принципиальная схема двухканальной следя-
щей системы
переключение каналов
происходит при угле рас-
27
согласования 0О; тогда при рассогласованиях, больших 0О, сопротивление
селеновых выпрямителей Вг и сильно уменьшается, и на магнитный усили-
тель системы будет поступать напряжение только грубого канала, снимае-
мое с резитора В то же время напряжение ротора точного сельсина-
приемника достигает большой величины, что приводит к уменьшению со-
противления селеновых выпрямителей В2 или В2; ПРИ этом напряжение
точного канала почти полностью падает на резисторе Rs. При уменьшении
угла рассогласования меньше 0О происходит значительное увеличение со-
противлений выпрямителей Blt В[, и напряжение от грубого канала на ре-
зисторе R1 будет практически отсутствовать. С резистора Т?2 снимается
напряжение иу точного канала.
Магнитный усилитель состоит из двух каскадов, причем первый каскад
является и фазовым дискриминатором.
Следящая система по точному каналу работает следующим образом.
Напряжение иу, пропорциональное углу рассогласования точного канала,
поступает через трансформатор Тр и выпрямители В3, В4 на управляющие
обмотки первого каскада магнитного усилителя. Напряжение ик постоян-
ной амплитуды образуется на двух обмотках трансформатора Тр и также
поступает на управляющие обмотки w± и w2 магнитных усилителей /Ип
И М 12.
При вращении ротора сельсина-приемника по часовой стрелке резуль-
тирующее напряжение на управляющей обмотке первого каскада М11г
равное сумме двух напряжений ик и иу, увеличивается, что приводит к росту
тока управления 1у1. Результирующее напряжение м22 на управляющей
обмотке ЛГ12, равное разности ик и иу, уменьшается, и ток iy2 падает. В со-
ответствии с этим на управляющую обмотку второго каскада магнитного
усилителя Л421 поступает больший ток, нежели на управляющую обмотку М22.
Поэтому в управляющей обмотке ЭМУ ток ix будет больше i2, и за счет раз-
ности токов i —	— f2 образуется поток управления ЭМУ. Получаемое
на выходе ЭМУ напряжение имеет полярность, при которой электродвига-
тель М вращается, уменьшая первоначальное рассогласование точных сель-
синов. При отсутствии угла рассогласования (иу = 0, ix = i2 и i = 0)
электродвигатель неподвижен. При изменении направления вращения сель-
синов (i2 > i\) электродвигатель вращается в другую сторону, также умень-
шая угол рассогласования.
Корректирующее устройство следящей системы состоит из тахогенера-
тора постоянного тока ТГ, потенциометра П и конденсатора С. Напряже-
ние итг, пропорциональное скорости вращения тахогенератора, поступает
через конденсатор С на обмотки шос х и даос 2. Обмотки включены таким
образом, чтобы при разгоне электродвигателя ток заряда конденсатора
увеличивал ток управления i ЭМУ, а при снижении скорости враще-
ния ток разряда уменьшал ток i. В результате этого при отработке
наперед заданных углов рассогласований выходной вал, связанный
с двигателем М через редуктор 3, приходит в синхронное положение
с сельсином-датчиком за малое время tp при относительно небольшом пере-
регулировании.
Точность работы такой следящей системы при передаточном числе ре-
дукторов 1 и 2 к роторам точных сельсинов 31 : 1 составляет две-три угло-
вые минуты, если задающий вал вращается со скоростью и ускорением, не
превышающим соответственно 20° /с и 207с2.
На рис. 11.14 представлена блок-схема рассмотренной двухканальной
следящей системы.
Система автоматической стабилизации продольного канала самолета
(автопилот) показана на рис. II. 15. Гироскопический блок 11, ось которого
направлена вдоль вертикальной оси самолета, имеет выходной потенцио-
метр 10. Этот потенциометр неподвижно закреплен на фюзеляже, и при от-
клонении горизонтальной оси самолета на некоторый угол & (угол тангажа)
28
Рис. 11.14. Блок-схема двухканальной следящей системы
корпус потенциометра повертывается на тот же угол, так как гироскоп стре-
мится сохранить свое положение неизменным.
Потенциометр 10 соединен электрически с задающим потенциометром 9.
При перемещении ползунка задающего потенциометра 9 на угол й3 (задан-
ный угол тангажа) в потенциометрической системе образуется напряжение
рассогласования ип, которое поступает на усилитель 8.
Выходной каскад усилителя питает двухфазный электродвигатель
переменного тока 7, приводящий в движение через редуктор 6 золотник
гидроусилителя 4. Гидравлический усилитель и силовой поршень цилиндра 5
образуют гидравлическую рулевую машинку. При смещении золотника пор-
шень цилиндра 5 перемещается и поворачивает через рычаг 2 руль высоты 1.
С рулем высоты связан потенциометр обратной связи 3, с которого снимается
напряжение цр, соответствующее углу поворота руля бв. Самолет под дей-
ствием руля высоты будет перемещаться до тех пор, пока его ось не повер-
нется на угол й3. В этом случае напряжение рассогласования станет равным
нулю, и самолет будет набирать высоту под заданным углом тангажа. Датчик
угловой скорости 12 измеряет угловую скорость самолета й и с помощью
автоматической системы демпфирует колебания самолета в вертикальной
плоскости.
На рис.II. 16 показана блок-схема продольного канала автопилота
(система автоматической стабилизации).
Рис. 11.15. Упрощенная принципиальная схема автопилота самолета
29
Рис. 11.16. Блок-схема продольного канала автопилота самолета
3.	ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В дискретных системах автоматического регулирования преобразова-
ние сигналов происходит не непрерывно, а дискретно по времени, по уровню
или по времени и уровню одновременно. В зависимости от этого все дискрет-
ные системы можно разделить на импульсные, релейные и цифровые.
Импульсные системы автоматического регулирования характеризуются
тем, что действующие в них сигналы представляют собой последовательности
равноотстоящих импульсов (с периодом Т), высота или длительность ко-
торых пропорциональна значениям самих сигналов в дискретные моменты
времени (рис. 11.17, а и б). Устройством, преобразующим непрерывный
сигнал в таких системах, является импульсный элемент (см. гл. XV).
К релейным системам автоматического регулирования принято отно-
сить такие систему, в которых происходит преобразование сигнала по уровню
(рис. 11.17, в). Как уже говорилось выше, в таких системах устройством,
преобразующим непрерывный сигнал, является релейный элемент (см.
гл. XIV).
Рис. 11Л7. Типы дискретных сигналов:
а ~ амплитудно-импульсный; б — широтно;им'пульсный; « — релейный;- г — цифровой (кодоад-им-
пульсный); I •«••непрерывный входной сигнал; 2 — преобразованные выходные сигналы
30
Рис. 11.18. Упрощенная схема дискрет-
ной системы программного регулирования
подачи стола фрезерного станка
И, наконец, цифровые системы
автоматического регулирования харак-
теризуются тем, что в них сигнал пре-
образуется как во времени, так и по уро-
вню (рис. 11.17, г). В качестве устройств,
преобразующих сигналы в цифровых
системах, применяют преобразователи
«код—аналог», «аналог—код» и цифро-
вую вычислительную машину (см. гл-VI).
В виде первого примера дискрет-
ной системы автоматического регулиро-
вания рассмотрим систему программ-
ного регулирования подачи по одной
координате стола фрезерного станка
[39]. Упрощенная схема этой системы
изображена на рис. И. 18. Из рисунка
видно, что система состоит из следую-
щих основных устройств: I — вводного;
II — фотоэлектрического аналого-кодо-
вого преобразователя; III — двойного
реверсивного счетчика импульсов; IV—
преобразователя «код—аналог»; V —
усилителя мощности; VI — электриче-
ского шагового двигателя; VII — меха-
нического редуктора с цилиндрической
зубчатой передачей; VIII— рейки, скрепленной со столом фрезерного станка.
Вводное устройство представляет собой лентопротяжный механизм
с магнитной лентой, на которой для управления по одной координате запи-
саны импульсы: на одной дорожке импульсы для управления движением
стола станка в одном направлении, а на другой дорожке — в противополож-
ном направлении. С магнитных головок 1 сигналы поступают на блок 2,
где они усиливаются и формируются в правильные прямоугольные импульсы.
Одновременно с этим выполняется их синхронизация в блоке 3 с импуль-
сами, поступающими от фотодиодов фотоэлектрического аналого-кодового
преобразователя (см. гл. VI). Схема синхронизации служит для исключе-
ния возможности потери информации при совпадении во времени на двоич-
ном реверсивном счетчике (см. гл. VI) импульсов от входного устройства и
от фотоэлектрического преобразователя.
Двоичный реверсивный счетчик выполняет функцию сравнивающего
устройства, где происходит вычитание поступающих на него импульсов.
Счетчик запоминает любое число импульсов от 0 до 128. За нулевое состоя-
ние счетчика принимается такое состояние, когда в нем находится 64 им-
пульса.
К выходу счетчика подключен преобразователь «код—аналог»
(см. гл. VI), преобразующий импульсы в напряжение постоянного тока, кото-
рое поступает в усилитель мощности. Усилитель не только усиливает сигнал
постоянного тока, но и обеспечивает практически безынерционное подклю-
чение в определенной последовательности обмоток статора шагового электро-
двигателя (см. гл. VII). Шаговый двигатель через редуктор обеспечивает
перемещение рейки, а следовательно, и стола подачи.
Диск с кодовой маской фотоэлектрического преобразователя поворачи-
вается одновременно с валом шагового двигателя. Кодовая маска 7 пред-
ставляет собой чередование прозрачных и непрозрачных участков, располо-
женных в определенной последовательности. Когда световой поток от лам-
почки 4 проходит через щелевую диафрагму 5, то образующийся плоский
пучок 6 попадает через прозрачные участки диска на многоячеечный фото-
элемент 8, где вырабатываются импульсные сигналы.
31
В результате этого с фотоэлементов снимаются импульсные сигналы,
соответствующие углу поворота диска, так как различным углам поворота
соответствует свое вполне определенное сочетание прозрачных и непрозрач-
ных участков [78].
Дискретная система работает следующим образом. Управляющий сиг-
нал, считанный с магнитной ленты, через электронные схемы формирования
импульсов и синхронизации поступает на первый вход реверсивного счет-
чика. На его выходе образуется импульсный сигнал, который преобразова-
телем «код—аналог» превращается в постоянное напряжение.
Это напряжение усиливается и поступает на статорные обмотки шаго-
вого двигателя. Шаговый двигатель поворачивается и перемещает станину
станка на один шаг. Одновременно поворачивается и кодовый диск. В резуль-
тате этого на фотоэлементах образуется импульсный сигнал, который также
после формирования и синхронизации поступает на второй вход реверсив-
ного счетчика. Сигнал по второму входу компенсирует сигнал по первому
входу, и станина станка, переместившись на один шаг, останавливается.
Величина одного шага в системе соответствует минимальному значению
подачи стола фрезерного станка. У большинства современных автоматиче-
ских фрезерных станков с программным регулированием она составляет
0,01—0,02 мм.
На рис. 11.19 показана блок-схема дискретной системы программного
регулирования подачи стола фрезерного станка.
В виде второго примера дискретной системы автоматического регулиро-
вания рассмотрим следящую систему радиолокационной станции. В радио-
локационных станциях дальность до цели измеряется по сдвигу времени т
[401 между импульсами, посланными передатчиком, и импульсами, приня-
тыми приемником. Если измерять т в мкс, то дальность до цели в метрах
будет определяться по формуле
D = 150т.	(II. 1)
Рис. 11.20. Блок-схема следящей системы радиолокационного дальномера
32
Блок-схема следящей системы
радиолокационного дальномера
приведена на рис. 11.20. Отра-
женные от цели импульсы g (/)
(рис. 11.21) на выходе дискрими-
натора образуют двухполярные
импульсы разной амплитуды ех (/),
постоянная составляющая которых
и представляет сигнал ошибки.
После дискриминатора устанавли-
вают запоминающий элемент (см.
гл. XV), в котором каждое им-
пульсное значение сигнала запо-
минается до прихода следующего
сигнала. В результате этого обра-
зуется ступенчатый сигнал в виде
напряжения постоянного тока e2(f).
После этого сигнал усиливается
в усилителе и поступает на шаго-
вый электродвигатель, где выра-
батывается сигнал х (t). На оси
электродвигателя установлен фазо-
вращатель, питающийся синусо-
Рис. 11.21. Типы сигналов в следящей системе
радиолокационного дальномера
идальным напряжением gx (t), нулевая фаза которого совпадает по вре-
мени с моментом излучения импульса передатчиком (рис. II.21).
Синусоидальное напряжение на выходе фазовращателя хх (i) сдвинуто
по фазе на 90° относительно g± (t). После фазовращателя установлен форми-
рующий элемент, который и формирует полустробы сопровождения таким
образом, чтобы их середина совпадала с нулевой фазой сигнала хх (t). Эти
полустробы поступают на дискриминатор. Если середина отраженных им-
пульсов не совпадает с серединой полустробов, то на выходе дискримина-
тора возникает сигнал ошибки такого знака, что после поворота фазовраща-
теля полустробы х2 перемещаются, уменьшая ошибку рассогласования.
В результате этого шаговый двигатель поворачивается на угол, величина
которого пропорциональна дальности до цели.
4.	ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим дискретно-непрерывную систему автоматического регулиро-
вания напряжения типа СН-91 [82]. Упрощенная принципиальная схема
регулятора напряжения СН-91 изображена на рис. II.22. Напряжение ил
в цепи генератора 15 поступает через трансформатор 10 к моментному элек-
тродвигателю 5. При номинальном значении напряжения ил якорь электро-
двигателя и закрепленная на нем планка 4 неподвижны; при отклонении
этого напряжения электродвигатель и планка приходят в движение. Чем
больше отклонение напряжения ил от заданного значения, тем на больший
угол повернется планка, и один из ее контактов соприкоснется со звездоч-
кой 2, вращающейся с постоянной скоростью от двигателя переменного
тока 1. Если на обмотку возбуждения электродвигателя 6 поступает напря-
жение с токосъемника 3, якорь электродвигателя начнет вращаться, пере-
мещая ползунок 7 реостата 12 и увеличивая его сопротивление. Ток цепи
обмотки возбуждения 11 возбудителя 13 уменьшится. Соответственно с этим
уменьшится ток в обмотке возбуждения 14 генератора переменного тока 15.
Данный процесс будет продолжаться до тех пор, пока напряжение ил
не станет равным заданному. При уменьшении напряжения моментный
электродвигатель с планкой поворачиваются в обратную сторону, и напря-
жение начнет поступать на другую обмотку возбуждения электродвигателя 6.
2 Иващенко Н Н.	33
1
Рис. 11.22. Упрощенная принципиальная схема регулятора
напряжений СН-Э1
Электродвигатель изменит направление вращения, и ползунок 7 реостата 12
будет перемещаться, увеличивая ток возбуждения возбудителя. Напряже-
ние генератора ил будет возрастать до тех пор, пока не станет равным за-
данному.
При номинальном напряжении планка моментного двигателя удержи-
вается в вертикальном положении пружиной 8. Для демпфирования коле-
баний планки служит демпфер 9.
Из рассмотренной принципиальной схемы видно, что чем больше откло-
нение напряжения ип от номинального, тем больше время соприкосновения
контактов планки со звездочкой (т. е. больше длительность импульсов уп-
равления электродвигателем 6).
Ресивер
Рис. 11.23. Упрощенная принципиальная схема релейного регу-
лятора давления ресивера
34
Рассмотрим релейную систему программного регулирования давления
ресивера. На рис. 11.23 показана упрощенная принципиальная схема про-
граммного релейного регулятора давления ресивера. Задатчик давления П1
формирует сигнал Р, (t) в виде напряжения, поступающего на вход электрон-
ного усилителя У. Реле Р включает одну из обмоток сериесного электродви-
гателя М в зависимости от знака полярности напряжения ис. Двигатель М
через редуктор Ред будет перемещать заслонку 3 вверх или вниз, уменьшая
или увеличивая давление в ресивере. В качестве измерителя давления в схеме
применен сильфонный датчик СД, связанный тягой с потенциометром обрат-
ной связи П 2. В рассматриваемой! системе предусмотрена внутренняя гиб-
кая тахометрическая обратная связь, состоящая из резисторов Rlt R2,
R3, диодов Dlt D2 и конденсатора С.
5.	ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
При автоматизации производственных процессов необходимо обеспе-
чивать наивыгоднейшие (оптимальные) режимы работы. Для этой цели
применяют экстремальные регуляторы (оптимизаторы). Если объект регули-
рования имеет экстремальную характеристику, то для нахождения макси-
мума или минимума оптимизатор формирует поисковый сигнал таким обра-
зом, чтобы он перемещал регулируемый орган в направлении достижения
экстремума характеристики. На рис. 11.24 показана статическая характе-
ристика объекта регулирования. На вход объекта регулирования подается
поисковый сигнал х (f) в виде синусоиды, меандров или пилообразной формы,
что обеспечивает движение регулятора к точке уопт (см. подробнее гл. XVI).
Рассмотрим непрерывный экстремальный регулятор с запоминанием
максимума (минимума), выполненный на пневмоэлементах. Упрощенная
схема такого регулятора показана на рис. 11.25. Данный регулятор состоит
из блока запоминания / давления в башне, блока формирования реверси-
рующего сигнала II, одновибратора III, триггера IV, интегратора V, уси-
лителя мощности VI и блока ограничений VII.
Поясним работу данного регулятора с помощью рис. II.26 [27]. Объект
регулирования имеет экстремальную характеристику. Выходная коорди-
ната у пропорциональна давлению ру, а входная координата х пропорцио-
нальна давлению рх. Входной пилообразный сигнал рх (t), формируемый
экстремальным регулятором, поступает на вход объекта регулирования IX
(см. рис. II.25). Тогда на выходе объекта образуется периодический сиг-
нал ру (t), максимальное значение которого фиксируется блоком запомина-
ния I. Давление р3 в блоке запоминания следит за возрастанием ру. Если ру
уменьшается, то давление на выходе блока запоминания остается рав-
ным рутах. В узле II формирования реверсирующего сигнала текущее зна-
чение сравнивается с максимальным значением
6 = Ру шах - Ру,	(П.2)
и при достижении величины бшах на выходе
этого блока появляется импульс рь — р"& — рь,
поступающий в одновибратор III. Одновибра-
тор, в свою очередь, выдает с некоторой задерж-
кой импульс ри с длительностью т, который
перебрасывает триггер IV из одного состояния
в другое. Если выходной сигнал триггера рт =
= 0, то давление на выходе интегратора убы-
вает с постоянной скоростью, а при рт = 1
давление возрастает с той же скоростью. Вы-
ходной сигнал интегратора V через усилитель
мощности VI управляет пневматическим дви-
Уп
Рис. Н.24. Экстремальная ха-
рактеристика объекта регули-
рования
о*
35
гателем VIII, перемещающим заслонку. Следует также отметить, что
импульс ри осуществляет самоблокировку на время т и управляет сбросом
памяти блока запоминания.
Рассмотрим работу отдельных узлов экстремального регулятора по
упрощенной принципиальной схеме рис. 11.25. Давление объекта регулиро-
вания, проходя через датчик Д, уменьшается в несколько раз и поступает
в виде давления ру в блок запоминания I, состоящий из элемента памяти;
усилителя, включенного по схеме сравнения; повторителя со сдвигом и реле.
Далее сигнал в виде давления ру поступает на блок II формирования ревер-
сирующего сигнала, состоящего из усилителя с петлей гистерезиса, также
включенного по схеме сравнения; повторителя со сдвигом; логического
элемента ИЛИ и реле.
системе автоматитскьео регулыриваиия иавления с запоминанием
36
В блоке II происходит сравнение давлений ру с запомненным давле-
нием' р3. Как только сравнение давлений произойдет, в элементе сравнения I
появится сигнал ра, под действием которого память запоминает давле-
ние р3 — рутгх. С уменьшением сигнала ру величина р3 будет равна рутзх
(на рис. 11.26 показаны два значения р^тах, Рутах) ДО тех пор, пока разность
сигналов р3—ру не достигнет зоны нечувствительности экстремального регу-
лятора. Эту величину можно изменять с помощью повторителя со сдвигом,
входящего в блок II. При р3—ру = 8 выходной сигнал элемента сравне-
ния р3 = 1 сравнивается в схеме ИЛИ с выходным сигналом, поступающим
от блока ограничения.
Выходной сигнал с блока формирования поступает на одновибратор III,
состоящий из триггера с раздельными входами и импульсатора. Раньше уже
отмечалось, что одновибратор вырабатывает импульс р„, длительность ко-
торого можно изменять с помощью регулируемого сопротивления а. Им-
пульс ри также сбрасывает запомненное значение давления р3 в блоке I
и давление р6 до нуля. Следует также запомнить, что появление импульса ри
в момент, когда р3 — ру = 6, вызывает реверс давления. Сигнал ри посту-
пает на триггер IV, который выполнен на четырех реле, и осуществляет
переключение интегратора V.
Интегратор построен на основе генератора пилообразного линейного
давления. Соединение повторителя с питанием и усилителя линейного пило-
образного давления с атмосферой осуществляется с помощью сдвоенного
клапана и происходит по команде рт. При рт = 0 давление на выходе ин-
тегратора убывает с постоянной скоростью, а при pr = 1 — возрастает.
Скорость убывания и возрастания давления на интеграторе можно изменять
с помощью сопротивления у. Давление с выхода интегратора поступает на
усилитель мощности VI через перепускной клапан, который позволяет пере-
водить регулятор с автоматического управления на ручное путем подачи
команды рк. Узел ограничения VII выполняет реверс регулятора при вы-
ходе параметров за допустимые пределы. Блок VII состоит из двух усили-
телей, включенных по схеме сравнения, двух элементов ИЛИ и двух дрос-
сельных сумматоров, на которых заданы верхние ограничения допустимых
значений параметров. Если какой-либо параметр выйдет за установленные
пределы, то на выходе блока ограничения появится сигнал р6, реверсирую-
щий регулятор.
На рис. 11.27 показана упрощенная принципиальная схема экстремаль-
ной системы для выпаривания свекловичного сока [48].
Рис. 11.27. Принципиальная схема экстремальной системы для
аппаратов выпаривания свекловичного сока
37
Удаление от максимума
у
Рис. 11.28. Импульсы срабатывания поля-
ризованного реле и управляющий сигнал
экстремальной системы для аппаратов вы-
паривания свекловичного сока
В аппарат выпаривания 4 через ре-
гулируемый орган 6 поступает первич-
ный сок (сырье), а из аппарата отво-
дится сок (продукт). Кипящий сок на-
ходится в кипятильных трубках, вокруг
которых циркулирует водяной пар.
Часть несгущенного сокового пара по-
ступает в датчик расхода 3. Напряже-
ние, пропорциональное расходу соко-
вого пара, поступает на блоки деле-
ния 2. При малой подаче сырья верхняя
часть трубок аппарата окажется неза-
полненной, что приведет к уменьшению
коэффициента теплопередачи аппарата.
При большой подаче сырья уменьшится
скорость циркуляции сока в аппарате,
что также приведет к уменьшению коэф-
фициента теплопередачи. Существует
такое количество сырья, при котором
значение коэффициента теплопередачи
максимально. Иначе говоря, коэффи-
циент теплопередачи аппарата в зависи-
мости от подачи сырья может быть пред-
ставлен в виде экстремальной характе-
ристики.
На практике коэффициент теплопередачи принято определять по отно-
шению расхода сокового пара, измеряемого датчиком 3, к перепаду темпера-
туры на стенках трубок аппарата, измеряемому датчиком температуры 5:

(П.З)
где G — расход сокового пара; ДФ — перепад температуры на стенках тру-
бок; k — постоянный коэффициент.
Рассмотрим работу экстремальной системы для выпаривания свекло-
вичного сока (рис. 11.27). Блок деления 2 (аналоговое устройство) выполняет
операцию деления напряжений по формуле (П.З). Выходное напряжение
блока деления иБ управляет левой обмоткой поляризованного реле Рг.
С ростом иБ, пропорционального Q, включается реле Р2, и контакт 1Р2
замыкается. При этом происходит заряд конденсатора С в цепи катодного
повторителя 1 и переключение контакта 2Pt в нижнез положение. Тогда
триггер 9 переключает контакт lPt реле Р4 в верхнее положение. Исполни-
тельный двигатель 8 начнет вращаться и с помощью редуктора 7 откроет
вентиль 6, увеличивая подачу сырья в выпариваемый аппарат.
При заряде конденсатора образуется ток во встречно включенной пра-
вой обмотке поляризованного реле Р1У и реле отключается. За счет этого
получается периодически изменяющийся входной сигнал, обеспечивающий
приближение к максимальному значению Q. Следует сразу же заметить, что
промежуточные значения регулируемого параметра при его подходе к макси-
муму и сам максимум запоминаются в виде заряда на конденсаторе С. После
прохода экстремума значение Q начинает уменьшаться, и контакт lPt реле Рг
перебрасывается в нижнее положение. При этом происходит реверс двига-
теля 8, уменьшается подача сырья, и конденсатор С начинает разряжаться
на резистор R. Одновременно с этим контакт 1Рг перебрасывается в верхнее
положение и замыкает контакт 1PS реле Р3, и конденсатор С полностью
разряжается. Поступающий с блока деления сигнал иБ вызывает снова
срабатывание реле Р± и т. д. Таким образом получаются импульсы срабаты-
вания поляризованного реле (рис. 11.28, а).
38
Большая инерционность объекта регулирования приводит к тому, что
после реверса двигателя объект может значительно удаляться от макси-
мума Q. Для исключения этого реверс исполнительного двигателя преду-
смотрен не после каждого срабатывания поляризованного реле, а через одно
срабатывание. Последнее обеспечивается триггерной схемой. На рис. 11.28, а
приведены импульсы срабатывания поляризованного реле и управляющий
сигнал после триггера, поступающий на двигатель (рис. 11.28, б). Как видно
из рисунка, срабатывание триггера и изменение управляющего сигнала на-
ступает после второго срабатывания поляризованного реле со сменой на-
правления движения в сторону максимума. При такой организации движе-
ния к максимуму инерционность объекта регулирования сказывается в мень-
шей степени.
6.	ПРИМЕНЕНИЕ ЦВМ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В многорежимных и многомерных системах автоматического регулиро-
вания широкое применение получили ЦВМ. Цифровые вычислительные
машины могут обеспечить выработку и быструю перестройку управляющих
программ в автоматических системах. На рис. П.29, а изображена много-
режимная система автоматического регулирования, вычислительная ма-
шина в которой выполняет одновременно функции задатчика управляющих
сигналов и сравнивающего устройства.
В рассмотренной системе цифровые управляющие сигналы сравниваются
г цифровыми сигналами, снимаемыми с датчика. Точность работы такой
цифровой системы автоматического регулирования исключительно высока,
так как она определяется числом двоичных разрядов ЦВМ и датчика и мо-
жет составлять 18 двоичных разрядов. Тогда при минимальной ошибке си-
стемы, составляющей один двоичный разряд, относительная погрешность
процесса регулирования будет
е =-^-^0,0008%.
Цифровой сигнал ошибки формируется после сравнивающего устрой-
ства (рис. II.29, а), поэтому он имеет меньшее число двоичных разрядов,
чем управляющий сигнал. В результате этого в цифровой системе регулиро-
вания могут быть применены преобразователи код—аналог с пониженной
точностью, что имеет важное значение, так как создание преобразователей
код—аналог с высокой точностью представляет большие технические труд-
ности.
На рис. II.29, б изображена многомерная система автоматического
регулирования с ЦВМ. Вычислительная машина разделяет сигналы управ-
ления по времени и выдает их через соответствующие преобразователи
код—аналог N регуляторам. В случае связанной системы регулирования
на ЦВМ вырабатываются сигналы либо обеспечивающие полную автоном-
ность всех регуляторов, либо компенсирующие их взаимное влияние. Если
для нормального функционирования многосвязанной системы регулирова-
ния необходимо обеспечить выработку связанных сигналов, то ЦВМ коорди-
нирует работу N регуляторов.
В последнее время широкое применение в ракетно-космической тех-
нике нашли дискретно-непрерывные автоматические системы. На рис. 11.30
приведена блок-схема системы ориентации космического летательного ап-
парата. Задавая сигнал требуемого угла ориентации, система удерживает
космический летательный аппарат на заданном направлении. Здесь ЦВМ
выполняет не только обработку информации от' датчика и выработку функ-
ции требуемого закона регулирования для системы ориентации, но и раз-
личные логические операции, например периодическое отключение системы
ориентации, приводящее к вращению космического летательного аппарата,
39
б)
Рис. 11.29. Блок-схема многорежимных и многомерных систем автоматического регулирования с ЦВМ
Рис. 11.30. Блок-схема системы ориентации космического летательного
аппарата с ЦВМ
что устраняет его перегрев от действия солнечного излучения. С помощью
ЦВМ система ориентации может быть перестроена и на любое другое на-
правление. В этой системе преобразователь код—аналог, так же как и
в системе, показанной на рис. 11.29, б, является импульсным элементом,
который превращает непрерывный сигнал ошибки в последовательность
цифровых сигналов.
В рассматриваемой системе сигнал требуемой ориентации может быть
задан извне (как это показано на рис. II.30) или может формироваться внутри
самой системы на ЦВМ. Это различие в создании сигнала управления имеет
весьма важное значение в теории, так как служит одним из основных при-
знаков, позволяющих разделять все автоматические системы на системы
регулирования и системы управления. Если сигнал управления создается
вне системы, то ее следует отнести к системе автоматического регулирования,
а если он создается внутри ее, то — к системе автоматического управления.
В результате этого в системах автоматического управления в процессе ра-
боты можно изменять сигнал управления.
С целью более полного выявления различия систем регулирования и
управления следует добавить, что основной задачей системы автоматического
регулирования является наиболее точное воспроизведение заданного сиг-
нала управления при соблюдении определенных динамических показателей
качества процессов регулирования. В системе же автоматического управле-
ния, кроме того, требуется обеспечить определенные расходы энергии,
сырья и качество продукции, снимаемой с объекта управления, при задан-
ной стоимости производственного процесса. Поэтому при проектировании
систем автоматического управления инженеру приходится сталкиваться
с различными видами информации. Тогда под системой автоматического
управления понимают такую динамическую систему, в которой для дости-
жения заданной цели управления производится сбор, передача и переработка
различных потоков информации по заданным алгоритмам Е
Рассмотрим построение самонастраивающихся систем автоматического
регулирования с вычислительными машинами. Допустим, что нам задана
следящая система, схема которой пока-
зана на рис. 11.31. На входы системы
поступают управляющее воздействие g(t)
и сигнал помехи п (/) в виде белого шума
(см. п. 4 гл. XIII). Управляющее воздей-
ствие g (0 изменяется по линейному за-
кону gj t, где g± — медленно изменяю-
щийся во времени параметр. Сигнал белого
шума также медленно изменяется. Тре-
буется построить самонастраивающуюся
систему регулирования, обеспечивающую
1 Под алгоритмом понимают определенный на-
бор математических зависимостей с выбранными
вычислительными методами решения задач управ-
ления, обеспечивающими заданную точность реали-
зации алгоритма на ЦВМ.
Рис. 11.31. Самонастраивающаяся си-
стема с перестраивающимися устрой-
ствами и вычислителем
41
Рис. 11.32. Самонастраивающаяся система с ЦВМ
минимум суммы квадратов ошибок динамической — от действия сиг-
нала g (t) и случайной — от сигнала п (/). Подадим сигналы g (t) и п (t)
на аналоговый или цифровой вычислитель, где определяются текущие зна-
чения параметров gr и с’ (уровень шума). По этим сигналам формируется
закон перестройки параметров корректирующего устройства, обеспечиваю-
щий минимум суммы квадратов динамической и случайной ошибок при из-
менениях gr и с®. Перестройка осуществляется с помощью специального
устройства. Обычно для этого используются приборные следящие системы.
В системах регулирования с нестационарными объектами, параметры
которых изменяются в процессе регулирования, обычно применяют средства
самонастройки. При построении самонастраивающихся систем с такими объ-
ектами используют вычислительную машину, которая периодически за счет
подачи пробных импульсов определяет импульсную переходную функцию
объекта. Процесс определения импульсной переходной функции называется
идентификацией.
Р. Калманом была предложена самонастраивающаяся система, исполь-
зующая импульсную переходную функцию для определения на вычисли-
тельной машине регулируемых коэффициентов, в соответствии с которыми
перестраивается цифровое корректирующее устройство (рис. 11.32).
Применение пробных импульсов или синусоидальных сигналов вызы-
вает нарушение режима нормальной эксплуатации самонастраивающихся
систем управления. Поэтому были предложены самонастраивающиеся си-
стемы с вычислительными машинами [67], в которых пробным сигналом
является белый шум.
Если алгоритм перестройки параметров, реализуемый на вычислитель-
ной машине, по своей структуре является неизменным и в нем изменяются
только параметры, то самонастраивающиеся системы с АВМ или ЦВМ при-
надлежат к системам автоматического регулирования. При изменении струк-
туры алгоритма самонастраивающаяся система должна быть отнесена к си-
стемам автоматического управления. В заключение следует отметить, что
для ряда самонастраивающихся систем трудно провести такое четкое раз-
деление, поэтому часто самонастраивающиеся системы и с постоянными алго-
ритмами также относят к системам автоматического управления.
7.	ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ.
СИСТЕМЫ КОМПЛЕКСНОЙ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВА
Управление сложными производственными процессами в металлургии,
химии, машиностроении и т. д. осуществляется с помощью автоматических
систем, частью которых являются следящие системы или регуляторы. Для
сбора и обработки информации и выработки команды управления применяют
цифровые вычислительные машины.
1 См. подробнее в п. 7 гл. XIII.
42
Рис. 11.33. Блок-схема системы автоматического управления условным
производственным процессом
На рис. 11.33 изображена блок-схема системы автоматического управле-
ния некоторого условного производственного процесса, в котором исполь-
зуются датчики, регуляторы и ЦВМ. Данные о количестве и качестве по-
ступающего сырья выдаются датчиками и Д2 соответственно. В объекте
управления данные о температуре снимаются с датчика и о давлении —
с датчика Д1. Количество и качество готовой продукции определяются дат-
чиками Дъ и Да. Информация со всех этих датчиков поступает на ЦВМ. Кроме
того, датчики Д3 и Д4 связаны непосредственно с регуляторами темпера-
туры Р2 и давления Р3. В систему управления входит также цифровой регу-
лятор Pi расхода поступающего сырЬя.
Цифровая вычислительная машина реализует алгоритм, с помощью ко-
торого по собранной информации вырабатываются команды управления
расходом сырья, поступающего через регулятор Ръ и осуществляется пере-
стройка настроек регуляторов температуры Р2 и давления Р3. В результате
этого система автоматического управления обеспечивает установленный
планом выпуск готовой продукции q в пределах
<71<<7<<7г,	(п-4)
где qi — нижний предел количества выпускаемой продукции, гарантирую-
щий заданную рентабельность производства; q2 — верхний предел коли-
чества выпускаемой продукции, гарантирующий требуемое ее качество.
Если в процессе производства происходит изменение качества поступаю-
щего сырья (допустим, его ухудшение), то для сохранения требуемого ка-
чества выпускаемой продукции необходимо изменить расход сырья и на-
стройку регуляторов. Для этого по данным о качестве сырья заменяют алго-
ритм управления, и по нему вычислительная машина вырабатывает новые
команды управления по расходу сырья и перемене настроек регуляторов.
В результате этого сохраняется требуемое качество выпускаемой про-
дукции.
Системы комплексной автоматизации производства также создаются на
основе применения большого числа следящих систем, датчиков и нескольких
цифровых вычислительных машин. На рис. 11.34 изображена блок-схема
комплексной автоматизации машиностроительного завода. Как видно из
этого рисунка, автоматизированная система обеспечивает управление: груп-
пой фрезерных станков с программным управлением; разбраковщиками и
загрузчиками; транспортерами для перемещения заготовок и готовых де-
43
Рис. 11.34. Блок-схема системы комплексной автоматизации машиностроительного завода'.
Дп1» ...» Дпд? — датчики положения стола фрезерного стайка; .... Дод/ — датчики оборотов
шпинделя;	Дкдо — датчики контроля размеров детали; Ду1>	— датчики углового
положения пластины разбраковщика; Дг\, ...»	— датчики числа забракованных деталей; До
Д2 — датчики линейной скорости подачи ленты транспортера; Д8 — датчик контроля размещения гото-
вых деталей на складе; Сп[. ...»	цифровая следящая система подачи стола фрезерного станка;
Coj, .... CQiy — цифровая следящая система оборотов шпинделя; Скр ...» Ск<у — цифровая следящая
система измерительного инструмента; Cyi.. Суд^— цифровые следящие системы поворотных пластин
разбраковщиков; Сх — цифровая следящая система для регулирования линейной скорости подачи
ленты транспортера; С2 — цифровая следящая система для размещения готовых деталей на складе;
—— технологический канал управления; — —-----------------транспортный канал управления;
• — — экономический канал управления; — — •• — канал связи вычислительных машин
талей; подачей режущего инструмента, смазочных материалов, измеритель-
ного инструмента из складских помещений и готовых изделий на склад;
сбором и обработкой информации от работников отделов завода (кадров,
планово-производственного, бухгалтерии, снабжения, сбыта, технологиче-
ского). Информация о работе завода, расходе заработной платы, материалов
от центральной цифровой вычислительной машины (ЦЦВМ) поступает на
обобщенный индикатор директора завода, который принимает решение о кор-
ректировке производственных процессов завода. По заданию директора
математики-программисты из отдела математического обеспечения завода
перерабатывают соответствующие программы и реализуют их на ЦВМ1,
ЦВМ2 и ЦЦВМ.
Все производственные процессы на автоматизированном заводе подраз-
деляются на три типа и управляются каналами управления: технологиче-
ским, транспортным и экономическим. Технологический канал обеспечивает
управление процессами резания, контроля и разбраковкой деталей. С по-
мощью транспортного канала осуществляется управление подачей заготовок,
режущего и измерительного инструмента, смазочных материалов к станкам,
а также подачей готовых деталей на склад. По экономическому каналу
передается информация о расходах электроэнергии, материалов, о сбыте
готовых изделий и т. п. Одновременно с этим ведутся расчеты по себестои-
мости выпускаемой продукции, расходованию фонда заработной платы и
отчислениям платежей в бюджет.
44
В каждом из каналов управления используется своя цифровая вычисли-
тельная машина. Например, в технологическом канале — ЦВМ1, в транс-
портном — ЦВМ2 и экономическом — ЦЦВМ. Координация действий
ЦВМ1 и ЦВМ2 осуществляется ЦЦВМ, наряду с этим ЦЦВМ вносит из-
менения в рабочие программы ЦВМ1 и ЦВМ2 в соответствии с оперативным
планом завода.
За счет координации действий удается обеспечить нормальное функцио-
нирование завода, сущность которого заключается в непрерывном согласо-
вании процессов производства, снабжения, сбыта и финансирования. Для
решения всех этих задач и создаются системы комплексной автоматизации
производства.
Глава III
ОБЪЕКТЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Основные свойства объектов регулирования. 2. Особенности мате-
матического описания объектов регулирования. 3. Линеаризация
уравнений динамики. 4. Устойчивые статические объекты (дизель,
гидротурбина, самолет). 5. Неустойчивые статические объекты
(ресивер, ракета-носитель космических летательных аппаратов).
6. Астатические объекты (трехфазный электрический двигатель,
ядерный энергетический реактор на тепловых нейтронах, космиче-
ский летательный аппарат). 7. Математические модели объектов
регулирования.
Объекты регулирования являются теми основными динамическими
элементами систем, в которых с помощью регуляторов или следящих систем
должны поддерживаться заданные режимы работы. К ним относятся раз-
личные машины и установки, управляемые регулирующими органами.
Обычно регулирующие органы представляют собой часть объекта;
например, в паровых машинах — вентили, в самолетах — рули, в тур-
бинах — направляющие водяного потока, в химических реакторах —
поворотные заслонки, в электрических двигателях — обмотки якоря
или статора.
Объекты регулирования имеют самую различную физическую природу
и их поведение может быть описано несколькими методами: в виде прин-
ципиальных схем и блок-схем, дополненных поясняющими словами или
фразами; логическими зависимостями в булевой форме г; экспериментально
определенными кривыми или таблицами; математическими зависимостями
в виде дифференциальных или разностных уравнений. Каждый из этих
методов имеет определенные преимущества и недостатки.
Описание объектов с помощью принципиальных схем и блок-схем с сло-
весными пояснениями имеет большую наглядность и удобно для понима-
ния. Однако этот метод не является однозначным и малопригоден для опре-
деления обобщенных соотношений между переменными. Поэтому он находит
ограниченное применение при количественных расчетах систем автомати-
ческого регулирования.
Логические зависимости характеризуются хорошей описательной спо-
собностью объектов, являются однозначными и широко применяются при
составлении программ для ЦВМ. При аналитических способах проекти-
рования эти методы практически не используются.
Описание объектов с помощью экспериментально найденных кривых
и таблиц обеспечивает высокую достоверность полученных данных, однако
непосредственно при проектировании не применяется ввиду громоздкости
представления и трудности получения обобщенных математических зави-
симостей. Для их определения обычно используются способы регрессион-
ного анализа (см. п. 7 гл. III).
Методы описания объектов в виде дифференциальных и разностных
уравнений, хотя и имеют меньшую наглядность, но позволяют получать
обобщенные зависимости, характеризующие поведение объектов в статиче-
ских и динамических режимах. Этот метод нашел самое широкое применение
при проектировании систем автоматического регулирования аналитическими
способами или с помощью аналогового моделирования.
Поэтому при дальнейшем изложении материалов книги автор в основ-
ном будет прибегать к этому методу описания объектов регулирования и
распространит его на описание различных устройств и систем автоматиче-
ского регулирования.
1 Зависимостей, описываемых с помощью булевой алгебры.
46
1.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Объекты характеризуются определенными свойствами (линейностью,
постоянством или переменностью параметров, инерционностью и т. п.),
оказывающими большое влияние на выбор методов анализа или синтеза
систем автоматического регулирования. Так, для линейных объектов целе-
сообразно применять хорошо разработанные частотные методы анализа и
синтеза систем. Для нелинейных объектов приходится использовать более
громоздкие методы: фазовой плоскости или гармонической линеаризации.
Методы фазовой плоскости разработаны лишь для систем управления,
описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями низких по-
рядков (обычно второго и третьего). Методы гармонической линеаризации,
хотя и не имеют ограничений на порядок нелинейных дифференциальных
уравнений, однако являются приближенными. Для повышения их точности
иногда приходится учитывать поправки на первую гармонику входного
сигнала от высших гармоник (см. гл. XIV). Следует отметить, что существуют
такие объекты регулирования, к которым невозможно применять методы
гармонической линеаризации.
Наличие линейности у объекта проверяется по его реакции на входные
воздействия, одинаковые по величине и различные по знаку. Если при дей-
ствии таких сигналов переходные характеристики по своей форме идентичны
и различаются только знаками, то рассматриваемый объект является ли-
нейным. Это означает, что для него справедлив принцип суперпозиции,
и математическое описание объекта можно выполнить с помощью линей-
ных дифференциальных или разностных уравнений. Если объект реагирует
по-разному на данные типы входных сигналов, то для него несправедлив
принцип суперпозиции, и он может быть математически описан нелиней-
ными дифференциальными или разностными уравнениями.
Большое значение на описание объектов регулирования накладывает
принятая степень идеализации процессов, протекающих в объектах. Если
динамика линейного объекта определяется конечным числом переменных,
то его поведение описывается дифференциальными уравнениями с сосредо-
точенными постоянными (обыкновенными дифференциальными уравнениями).
Если число переменных бесконечно велико, то поведение объекта описы-
вается дифференциальными уравнениями с распределенными постоянными
(дифференциальными уравнениями в частных производных).
При проектировании систем автоматического регулирования с объек-
тами, имеющими распределенные параметры, уравнения динамики в част-
ных производных довольно часто приводят к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям (системам дифференциаль-
ных уравнений).
Запишем уравнения динамики процессов
нагрева печи (рис. III.1). Будем сначала
считать, что температура й по длине печи х
сохраняет свое значение и является только
переменной от времени. Тогда уравнение
динамики можно записать в виде
Т-%-+ $(!) = и (t),	(Ш.1)
где Т — постоянная времени печи; и — си-
гнал управления в виде угла поворота за-
движки подачи газа.
(II 1.1) является обыкновен-
ным дифференциальным уравнением.
Будем теперь считать, что температура
изменяется по сечениям Дх на всей длине х;
Рис. 111.1. Пгчь для нагрев:: ‘.!<-тал-
лических листве или полос
47
тогда для каждого из сечений следовало бы записать свое уравнение
типа (III. 1). В результате этого была бы получена система большого числа
линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Это же условие
можно записать и в следующем виде: й (х, /). Тогда уравнение динамики
нагрева печи представим в форме Фурье, т. е.
+	=	+	(П1.2)
где а — коэффициент температуропроводности.
Уравнение (III.2) является дифференциальным уравнением в частных
производных. Если с определенными допущениями предположить, что
температура изменяется по закону
й (х, t) = (f) W-	(II 1.3)
то уравнение (II 1.2) можно привести к виду
[т	+ ах(0] *2(X) =	(0 + и (t)	(Ш.4)
или
+ = (ш-5>
с*-»’	ал 1/2 \"/	Т/2
Как видно, левая часть уравнения (III.5) аналогична уравнению (III.1),
а правая часть существенно отличается. Решая на ЦВМ уравнение (III.5),
получим изменения температуры в печи по сечениям и времени й (х, t).
Во многих объектах регулирования параметры объекта регулирования
не являются постоянными, а зависят от времени. Например, параметры
летательного аппарата изменяются в зависимости от скорости его полета
по закону V — V (t). В этом случае динамика летательного аппарата (само-
лета, ракеты) описывается дифференциальным уравнением с переменными
параметрами. Если же у объекта регулирования изменение параметров от
времени носит случайный характер, то динамика процессов в таком объекте
описывается стохастическим дифференциальным уравнением. К таким объек-
там можно отнести усилители сигналов с автоматической регулировкой
в радиолокационных станциях, выходные блоки в радиорелейных линиях
и т. д.
В процессе проектирования автоматической системы определяют инер-
ционность объекта регулирования. Для этого на его' вход подают единичное
ступенчатое воздействие, а с выхода снимают переходную характеристику.
Чем медленнее происходит нарастание переходной характеристики, тем
большей инерционностью обладает объект регулирования. Можно отметить,
что регулирование объектов с повышенной инерционностью осуществляется
достаточно сложно, так как при этом трудно удовлетворить требуемым пока-
зателям качества. Регулирование малоинерционных объектов также пред-
ставляет значительные трудности из-за необходимости применения быстро-
действующих исполнительных устройств. Наиболее просто обеспечивается
регулирование объектов со средней инерционностью.
У некоторых объектов регулирования наряду со значительной инерцион-
ностью имеет место «чистое» запаздывание выходного сигнала, что также
ухудшает показатели качества процессов регулирования.
Объекты регулирования различают и по степени самовыравнивания.
Если при действии на вход объекта регулирования единичного ступенчатого
сигнала происходит асимптотический процесс нарастания выходного сиг-
нала до установления определенного уровня, то принято считать, что такой
объект регулирования обладает положительным самовыравниванием. Если
при действии на вход объекта единичного ступенчатого сигнала сигнал на
его выходе все время нарастает, то объект регулирования обладает отрица-
48
тельным самовыравниванием. И, наконец, если при действии единичного
ступенчатого сигнала на объект на его выходе происходит линейное нара-
стание сигнала, то объект регулирования имеет нулевое самовыравнивание.
Система автоматического регулирования, содержащие объекты с поло-
жительным или отрицательным самовыравниванием, а также статические
регуляторы, являются статическими.
Системы автоматического регулирования, содержащие объекты с нуле-
вым самовыравниванием и статические регуляторы, являются астатиче-
скими.
При положительном самовыравнивании объект регулирования устой-
чив 1 даже в том случае, когда имеются отказы в системе регулирования.
При отрицательном самовыравнивании объект регулирования неустой-
чив, и его функционирование без системы регулирования невозможно.
Поэтому отказы в системах регулирования с неустойчивыми объектами недо-
пустимы. Нулевое самовыравнивание снижает устойчивость в системах
регулирования и требует применения корректирующих устройств (см.
гл. VIII).
2.	ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ОБЪЕКТОВ
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Поведение объектов регулирования в динамике описывается нелиней-
ными дифференциальными уравнениями, сложность анализа и решения
которых приводит либо к введению ряда допущений, когда рассматриваемый
объект регулирования может быть представлен линейным дифференциаль-
ным уравнением, либо к замене исходного нелинейного уравнения линей-
ным, записанным через приращения переменных первого порядка от неко-
торых установившихся значений (метод линеаризации)2. Следует сразу же
заметить, что такая замена нелинейных уравнений линейными справедлива
лишь в ограниченном диапазоне величин приращений.
В теории автоматического регулирования применяют несколько спосо-
бов составления уравнений динамики объектов регулирования. Первый
способ — когда дифференциальные или разностные уравнения составляются
аналитически на основе анализа физических процессов, которые могут
происходить в объекте регулирования; второй — с помощью эксперимен-
тально определенных статических характеристик объекта, представленных
в виде графиков; третий — по данным таблиц, полученных также экспери-
ментальным путем, с последующей их обработкой методами регрессионного
анализа-, четвертый способ основан на использовании аналогового или циф-
рового моделирования. Применение всех этих способов будет рассмотрено
в последующих параграфах настоящей главы.
Порядок уравнений динамики объектов регулирования зависит от
сложности процессов, протекающих в нем, и от принятых допущений. На-
пример, уравнения динамики ядерного энергетического реактора (см. п. 6
гл. III) при учете семи групп запаздывающих нейтронов можно представить
в виде дифференциального уравнения седьмого порядка. При замене семи
групп запаздывающих нейтронов одной усредненной группой ядерный
реактор может быть описан в виде дифференциального уравнения второго
порядка.
Самолет как объект регулирования по продольному каналу можно
характеризовать дифференциальным уравнением шестого порядка, если
учитывать приращения по скорости и высоте полета, углам атаки и тан-
гажа. Изменения параметров траектории полета самолета при учете вариа-
ций по скорости и высоте являются низкочастотными, поэтому оказывается
1 См. гл. XI.
2 См. п. Ш.З.
49
Рис. Ill.2. Блок-схема объектов регу-
лирования:
а, в — стационарных соответственно с со-
средоточенными и распределенными пара-
метрами; 6, г — нестационарных с сосре-
доточенными и распределенными пара-
метрами соответственно
возможным представить движение в виде
суммы длинной и короткой периодических
составляющих [43]. Тогда уравнения ди-
намики самолета можно разделить на две
системы. Одна из этих систем, определя-
ющая движение около центра масс, учи-
тывает приращения по углам атаки и
тангажа и может быть описана уравне-
нием третьего порядка. Вторая система
уравнений, характеризующая движение
центра масс, учитывает приращения по ско-
рости и высоте и также может быть пред-
ставлена уравнением третьего порядка.
Таким образом, при описании само-
лета как объекта регулирования в си-
стемах автоматической стабилизации можно учитывать лишь короткую
периодическую составляющую движения. Если же рассматриваются системы
дальнего наведения, то для описания динамики самолета используется
длинная периодическая составляющая (см. п. 4 гл. III). Такой прием,
называемый методом разделения движения, существенно упрощает расчет
и проектирование систем управления летательного аппарата.
При использовании статических характеристик для составления урав-
нения объектов регулирования применяется метод линеаризации, сущность
которого заключается в замене нелинейной характеристики линейной в не-
котором диапазоне изменения переменных. Такая замена в случае достаточно
гладких нелинейных характеристик практически возможна во всем рабочем
диапазоне изменения переменных (см. п. 4 гл. III).
Следует отметить, что к ряду объектов регулирования применить метод
линеаризации невозможно, например, если нелинейные характеристики
не имеют первой производной или она равна бесконечности. В этом случае
уравнения динамики объекта можно представить в виде двух уравнений:
линейного дифференциального и нелинейного статического. К подобного
рода объектам регулирования можно отнести электромагнитные муфты,
гидравлические и пневматические двигатели со струйным управлением и т. п.
У целого ряда объектов регулирования не удается линеаризовать ста-
тические характеристики во всем диапазоне изменения переменных. Напри-
мер, линеаризация уравнений трехфазного двигателя переменного тока
невозможна вблизи зоны, где происходит совпадение участков устойчивого
и неустойчивого положений равновесия у механических характеристик
(см. п. 6 гл. III).
Дифференциальные уравнения будем записывать в векторной форме
(см. прил. VI) для стационарных объектов
x=f(x, у)	(Ш.6)
и для нестационарных
x=f(x, у, £).	(Ш.7)
Соответствующие обобщенные блок-схемы этих объектов изображены
на рис. III.2, а и б.
Дифференциальные уравнения в частных производных для стационар-
ных объектов
у)	(Ч1-8)
и для нестационарных
(П1-9)
Обобщенные блок-схемы для них приведены на рис. III.2, в и г.
50
3.	ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ
Рассмотрим линеаризацию дифференциальных уравнений для стацио-
нарных и нестационарных объектов регулирования, записанных в виде
(III.6) и (III.7).
Будем считать, что в уравнении (III.6) функция f (х, у) непрерывно
дифференцируема по каждой из переменных х и у. При нулевых или постоян-
ных векторах х0 и у0 уравнение равновесия будет
O=f(xo, у0).	(III. 10)
Воспользуемся приращениями переменных Ах и Ау; тогда получим
х (/) = х0 + Ах (/);
х (0 = х0 + Ах (/);
у(0 = Уо +Ду(0-
(III.ll)
Поставив выражения (III.11) в (III.6) и, вычитая соотношение (III.10),
найдем следующее уравнение:
Ах (/) == f (х0 4-Ах (0; у0 + Ay(0).	(III.12)
Так как функция f непрерывно дифференцируема, то уравнение (III.12)
можем записать в виде
Ax(0 = -g- (х0, У о) Ах 4- ~ (х0, у0) Ау 4- 0 (х0, у0, Ах, Ay), (III. 13)
где
Sft_ _	_df^_
дхг дх3 ' ’ ’ дхп
at ,	.
(х0, Уо) = 
Sfn dfn dfn
дхг дх3 ' ' ' дхп
дУг &Уг '' ' дуп
df ,	.
-^-(Хо, Уо)= •
dfn 3fn dfn
Sy, Sy3 ' ' ' dyn
матрицы Якоби. Здесь через 0 (х0, у0, Ах, Ау) обозначен остаточный член.
Будем считать, что
lim _0_(хл, Уо Ax, Ay) ljm .О^Уо, Ах^ А_У)_ = 0.	(Ш14)
|| Ах II *0 I! А* Я II Ax II ->0 II Ay II
||ДуЦ->0	II Ау 11*0
Тогда в малой окрестности х0 динамика объекта управления описывается
следующим линеаризованным уравнением:
Ах (0 = -g- (хо, у0) Ах + --;уУ-^- Ay.	(III.15)
Полученное уравнение является линейным относительно положения
равновесия.
Данный метод линеаризации можно распространить и на нестационар-
ные объекты, описываемые уравнениями (III.7). В этом случае линеаризацию
следует выполнять относительно частного решения уравнения.
51
	Пусть частное решение уравнения (II 1.7) будет хг (/) = Xi (ут (0, К Хо, Q.	(III.16) Тогда соотношения (III.11) следует переписать в виде х (0 = хт (/) + Дх (0; х (Z) == Xi (0 + Дх (f);	(III.17) У(0 = У1(0+Ау(0- После дифференцирования функции f (х, у, t) уравнение (II 1.7) с уче-
том	соотношений (III. 17) будет хх (0 + Дх (0 = f (хт + Дх, yi + Ду, t).	(III. 18) Опорное решение запишем в виде Xi(/)=f(Xi(f),yi(t), f).	(III.19)
Вычитая его из уравнения (III. 18), найдем
Ах (/) = 4" (хх, У1, /) Дх 4- (хт, ух, 0 Ду + О (хь у1г Дх, Ду, f), (III.20)
где	; —^ХУуУ’-~- также представляют матрицы Якоби.
Эти матрицы, вычисленные относительно второго решения, не зависят
непосредственно от х и у, а являются функциями времени t. Поэтому
их можно записать в виде
df (0 = М (xt, ух, 0 . df (О _ df (xit уй 0 *	21>
ах	ах ’ ау	ау	' ' '
Кроме того, допустим, что
lim	0. = lim 0(xi,yi Дх Ду, о. = 0 (Ш 22)
|| Дх (| ->0	II Л*О	||ДхЦ-*О	II Ду И
II Ду II ->о	II Ду II ->0
выполняется для всех t. В этом случае уравнение динамики нестационарного
объекта описывается в малой окрестности решения Xj (/) и малых Ду в виде
линеаризованного уравнения
д£ (0 = 4^- Дх + 4^- Ду.	(III.23)
Итак, полученное уравнение является линейным относительно опорного
решения (III. 16).
Рассмотрим несколько способов составления дифференциальных урав-
нений и методов их линеаризации для некоторых конкретных объектов
регулирования.
4.	УСТОЙЧИВЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (ДИЗЕЛЬ, ГИДРОТУРБИНА,
САМОЛЕТ)
В качестве устойчивых статических объектов регулирования будем
рассматривать дизель, гидротурбину и самолет. Уравнение динамики для
дизеля будем составлять с помощью экспериментально снятых характеристик,
для гидротурбины — аналитическим путем, а для самолета — аналити-
чески с применением некоторых экспериментальных характеристик.
Дизель. В дизеле в зависимости от перемещения рейки топливного
насоса (рис. II 1.3) происходит изменение движущего момента. На валу
дизеля имеется момент сопротивления от нагрузки. Разность движущего
момента и момента сопротивления расходуется только на ускорение (замед-
52
Рис. III.3. Схема дизеля
стики дизеля:
а — движущего момента при четырех различных
положениях рейки топливного насоса; б — мо-
мента сопротивления
ление) выходного вала дизеля. Приведенный к валу дизеля суммарный мо-
мент инерции всех масс можно считать постоянным. В этом случае уравнение
вращающихся масс дизеля можно записать в виде
4-$- = Л1д-Л4с,	(III.24)
где Jп — момент инерции всех вращающихся масс, приведенный к выход-
ному валу дизеля; со — угловая скорость вращения вала дизеля; Ма —
движущий момент на валу дизеля; А4С — момент сопротивления на валу
дизеля.
Экспериментальные характеристики движущего момента от угловой
скорости вращения выходного вала со при различных положениях рейки I
топливного насоса показаны на рис. II 1.4, а. Пользуясь этим рисунком,
можно написать, что
МД = Ма (®, /).	(III.25)
Момент сопротивления изменяется в зависимости от угловой скорости
вращения вала двигателя. Его характеристика показана на рис. III.4, б, т. е.
А?с=А1с(со).	(III.26)
Из приведенных характеристик А4Д и Л4С видно, что они не имеют раз-
рывов и плавно изменяются, поэтому допустима их линеаризация. Для
линеаризации этих зависимостей нанесем характеристику момента сопро-
тивления на двигательные характеристики, как это показано на рис. III.5.
В точке пересечения характеристик Л4Д и Мс при некотором значении I
получим новое начало координат От. Тогда новая ось абсцисс,
старую ось ординат, отсечет на ней
установившееся значение моментов:
движущего Л4д0 и сопротивления 2Ис0.
Новая ось ординат пересечет старую
ось абсцисс и отсечет на ней устано-
вившееся значение угловой скорости
вращения вала дизеля ®0.
Рассматривая малые отклонения
переменных от принятых установив-
шихся значений, запишем
Ма=Мт+\Ма-,
Л4С = А4с0 -}- АЛ4С;
со = ®0	А®;
I = 10 + А/.
пересекая
Рис. II 1.5. Характеристики МД с нало-
женной на них характеристикой Мс
(III.27)
53
"з
Рис. III.6. Характеристики дизеля:
а — мд -» Л-f д (со, I) при четырех значениях со; б — изменение угловой скорости
вращения вала от времени относительно установившегося значения
Имея это в виду, разложим в ряд Тейлора правые части уравнений (III.25)
и (Ш.26):
Л4д=Л4дО+^А® + -^(Асо)а+ •••
(III.28)
Ме = Мс0 + А® +	(А®)* + • • - .	(III.29)
Для линеаризации нелинейных уравнений (II 1.25) и (III.26) восполь-
зуемся лишь линейными членами в выражениях (III.28) и (III.29); тогда
= Ма0 + А® +	А/;	(Ш.ЗО)
М0 = Мсо + -^А®,	(III.31)
где dMJda — тангенс наклона касательной к кривой МЛ, построенной
в зависимости от ®, в точке Ог установив/пегося режима дизеля (рис. III.5);
dMjdl — тангенс наклона касательной к кривой Мя, построенной в за-
висимости от I, в точке установившегося режима работы дизеля (точка 0х
на рис. III.6, а); дМс/дсо — тангенс наклона касательной к кривой Мс
в точке установившегося режима дизеля (см. рис. II 1.5) *.
В процессе регулирования характеристики МД и Л4С используются при
изменении нагрузки не на всем протяжении изменения ® и I, а лишь в опре-
деленных пределах. Пределы изменения ® выделены на рис. III.5 штрих-пунк-
тирными линиями. Тогда можно считать, что в зависимости от времени угло-
вая скорость вала изменяется относительно установившегося значения ®0
на малую величину (рис. III.6, б), и реальные нелинейные характери- •
стики в определенных пределах изменения переменных можно заменить
линейными. Такая замена нелинейной характеристики называется линеари-
зацией характеристик. Подставим выражения (Ш.ЗО) и (III.31) в урав-
нение (II 1.24); тогда получим
= M +-^5-A® + -^_A/-Mc0--^-A® = 0. (Ш.32) '
п dt ди дсо 1 д1	си дсо	v '
Уравнение установившегося режима будет	’
Л4д0 — Afc0 = 0.	(III.33) 
* Здесь коэффициенты наклона представляются следующими зависимостями: fcj = tga= г
= <ЭЛ1с/дш; k2 = tg р = оЛ1д/<5/; k, — tg у = сШд/5ю, где углы а, Р, у отсчитываются от в
положительной оси абсцисс, как это показано на рис. Ш.5 и III.6, а.	|
54	I
Учитывая Соотношение (III.33), уравнение (III.32) можно записать
в виде
г d (Aw)
* зг"
дМД
да
01
(Ш.34)
Выражение (111.34) представляет собой линеаризованное уравнение дина-
мики дизеля в приращениях. Все коэффициенты данного уравнения имеют
размерность. В теории автоматического регулирования уравнения динамики
принято записывать с безразмерными коэффициентами (за исключением
йостоянных времени). Для этого уравнение (III.34) представим в форме
d —
г \ <О(
«т° di
ДМС____дМд \ Дю . дМд hl
да	да ) ай dl 0 10 ’
где 10— положение рейки топливного насоса, соответствующее ы0.
разуем уравнение (II 1.35) к виду
(Ш.35)
Преоб-
Jn
дмс дмД
да	да
дМД
ha _________dl_______ l0 hl
а0 ~ дМг  дМД а0 1„
да да
(II 1.36) следующие обозначения:
Дю
Wo
d ( —
\ ю(
di
(Ш.36)
Введем в уравнение
у;
hi

7 0	Ж
____ &Мд
да да
дМй 1$
dl ю0
дМс	дМД '
да	да
&0 =
Тогда получим окончательную
Ь V (0 =	(^),
форму уравнения динамики
дизеля
(Ш.37)
где То — постоянная времени дизеля в секундах; k0 — передаточный коэф-
фициент дизеля (безразмерная величина).
Проанализируем коэффициенты уравнения (III.37). Коэффициент
dMJdl всегда больше нуля (рис. III.6, а), Но --------может быть
больше или меньше нуля в зависимости от соотношения наклонов харак-
теристик.
П ЭЛ1С дМп п	/ТТТ
При ----------< 0 уравнение (II 1.32) приводится к виду
(Hi.38)
Если ---------> 0, то рассматриваемый режим работы дизеля
„	дМс дМд п
является устойчивым, при ------------<0 — неустойчивым, а при
“Тщ5-----~ 0 — нейтрально-устойчивым 1. В нормальных эксплуата-
ционных режимах работы дизель как объект регулирования является устой-
чивым, т. е. обеспечивается условие -------->0.
J	да да
1 См. подробнее об этом в гл. XI.
55
Рис. 111.7. Схема гидротурбины
Гидротурбина. В ряде случаев
для объекта регулирования не пред-
ставляется возможным пользоваться
экспериментальными характеристи-
ками Мд и Мс. Тогда можно полу-
чить линейные дифференциальные
уравнения объекта регулирования,
пользуясь аналитическими выраже-
ниями. Рассмотрим это на примере
гидравлической турбины, схема ко-
торой показана на рис. II 1.7.
Вода из водоема 1 через корот-
кий 1 канал 2 поступает к колесу
гидротурбины 4. Количество воды
регулируется направляющим аппа-
ратом 3, изображенным на рис. III.7 в виде заслонки. На валу гидротур-
бины установлен турбогенератор 5. Слив воды происходит через канал 6.
Уравнение движения ротора гидротурбины запишем в виде уравнения
типа (II 1.24). Движущий момент зависит от скорости v течения воды в ка-
нале, величины z открытия направляющего аппарата 3 и угловой скорости ®
вращения колеса гидротурбины, т. е.
(III.39)
где х — коэффициент, зависящий от конструкции гидротурбины.
Уравнение (II 1.39) является нелинейным. Линеаризуем его с помощью
разложения в ряд Тейлора по степеням со, г и v, отбрасывая члены разло-
жения второго и более высоких порядков малости. При этом будем считать,
что скорость течения воды в канале постоянна; тогда
ac.-m„+4-»-s-42—<iiu°)
где Ma0!=^-x-^-zo.
Уравнение (111.40) приведем к виду
+	(HMD
Л,»='и»(1 + 4г--^-)-	• <П1«)
Момент сопротивления представим в виде
Мо = Мс0±АМс,	(III.43)
где Мс0 — установившийся момент сопротивления на валу гидротурбины;
ДЛ4С — момент от изменения нагрузки на гидротурбине за счет мгновенного
подключения или отключения потребителей электроэнергии, т. е.
Л10==МСО± ДЛ4С [1].	(III.44)
Для определенности будем считать, что часть нагрузки отключилась;
тогда в уравнение (II 1.24) можно подставить зависимости (II 1.42) и (II 1.44):
4	= Л1до ( 1 +	- мео + АМС fl]. (III.45)
«4	\	Zq	Wq /
1 Вывод уравнений динамики гидротурбины при длинном канале приведен в гл. IX.
56
1
г
В установившемся состоянии Мд0 — Л4с0 = 0; тогда уравнение тур-
бины в приращениях примет вид
4~ = Мд0(--^-~^) + ЛЛ1с[1].	(Ш.46)
Ui	\ 4q	(Од /
Номинальными значениями для гидротурбины будем считать следую-
щие: Л1д0 = Л4с0 = Мо, z0 и о>0. Имея это в виду, перепишем уравнения
(Ш.46):
d / Ац> \
Jп<оо__\	/ __ ДМС [1]______А<о Az	(III 471
Мв dt ~~ Mo а., 1 za	\	 >
Введем в уравнение (III.47) следующие обозначения:
А<о  ... Аг . А/Ие [1 ]   г ,«,.	Jr№t>  7-
<ou V’ Zo	Мо	Мо 1 °’
после чего получим
+	+	(III.4S)
Данное уравнение гидротурбины является линейным дифференциаль-
ным уравнением первого порядка.
Самолет. Движение самолета в вертикальной плоскости описывается
двумя уравнениями сил и одним уравнением моментов. Все силы, действую-
щие на самолет, приведем к центру масс (точка О на рис. II 1.8), а моменты —
к моментам относительно поперечной оси самолета, проходящей через точку О.
При составлении уравнений будем пользоваться следующими допущениями:
влияние действия потока от крыла на оперение самолета незначительно
и им можно пренебречь;
колебания угловой скорости поперечной оси на величину аэродина-
мической силы влияния не оказывают;
влиянием ошибок стабилизации по крену можно пренебречь;
моменты, создаваемые силой тяги двигателя, можно не учитывать.
Тогда уравнение проекции сил на касательную к траектории полета
самолета (ось OV) будет иметь вид
m-^- = Pcosa------6^- SCX — mg sin 0,	(III.49)
at	&
где m — масса самолета; P — сила тяги двигателя, направленная по оси
Ox; S — площадь крыльев са’молета; Сх — коэффициент лобового сопро-
тивления самолета, отнесенный к площади крыльев; 0, a — соответственно
углы вектора скорости и атаки; р — плотность воздуха; g — ускорение
свободного падения.
Составим уравнение сил,
действующих на самолет по
нормали к траектории его
полета:
mV -^7- = Р sina 4"
at	‘
+ -ф- SCy — mg cos 0,
(III.50)
где Су— коэффициент подъ-
емной силы, отнесенный
к площади крыльев.
57
Рис. III.10. Типовые зависимости из-
менения тяги турбореактивного двига-
теля от высоты полета Н и числа М
Уравнение моментов относительно поперечной оси Qz запищем в виде
(Ш.51)
где J2 — момент инерции самолета относительно оси; ЬА — средняя аэро-
динамическая хорда крыла; -ft — угол тангажа; тг = f (V, а, &, 6В) — коэф-
фициент момента всех сил, действующих на самолет; 6В — угол отклонения
руля высоты.
К уравнениям аэродинамики добавим зависимость, связывающую угло-
вые параметры самолета:
6 = 0-а.	(111.52)
Параметры Сх, Су, тг зависят от скорости полета самолета.
Типовые графики зависимостей Сх, Си, тг от числа М * показаны на
рис. II 1.9. В зависимости от условий полета (числа М и высоты полета И)
изменяются тяговые характеристики турбореактивного двигателя. На
рис. III. 10 показаны кривые изменения тяги турбореактивного двигателя
от М и Н. Зависимости (III.49)—(III.51) при учете графиков, приведенных
на рис. II 1.9 и III. 10, представляют собой нелинейные уравнения с пере-
менными коэффициентами. Непосредственное их использование для анализа
систем управления самолетом вызывает большие трудности. Для их преодо-
ления применяют метод линеаризации, при котором уравнения динамики
полета самолета рассматривают в отклонениях от некоторой «опорной»
траектории полета (см. п. 3 гл. III).
Опорную траекторию можно найти методом численного интегрирова-
ния следующей системы уравнений:
=4- [р cos а - sc- - 51п9];
mV 4- mg cos 9
gt 
(III.53)
а =
Решая эту систему уравнений, получаем опорные параметры полета ;
самолета при $ = $(£) и Р = const. Последнее соотношение справедливо
лишь на некотором участке полета (см. рис. III.10). Опорные параметры i
траектории будут ф0, 60, Уо и “о- Имея это в виду, уравнения динамики 
* Под числом М понимаем отношение скорости полета к скорости звука.	Ё
58
полета самолета (III.49)—(III.51) можно записать в приращениях, т. е.
считая, что
V = y0+ Ау;
О = Фо 4- ДО;
а = а0 + Дос;
(III.54)
е = 0О 4- до.
Подставим полученные соотношения (II 1.54) в уравнения (II 1.49)—
(III.51); тогда, пренебрегая величинами второго и более высокого порядков
малости, получим следующее уравнение в приращениях:
^ = (-^-slnoco + -H^-SC?-gcos0o) А9-
\ 1/1	Л/fl	J
- (~ sinau +	Aft - (SCX +
\ т ‘2т х)	\ т * '
+ тг5С1')А1'--ф-5С>4в.;
dA0
dt
' Р
. mV.
( mV. с““" + 4г“С«) Д* ~
с°5«и + 4^.с;--Ц1®1.)д9.
. +4г-с;-Д8.;
I	—тг-\ —тг । ди
(III.55)
dt*	/г "ьг "и 2J.
+ -Й- ялд« -	49+
<РА«
& s»^. +
Р^А „й, db$
2JX miZ dt
pV0S*A т'п <^а
2JX	dt ’
где
*а  dCx , £>а dCg e
*	da ’ у	da '
рбв  dCx t
*	ddB ’
,eB —	•
V d6B ’
<V__ dCx . rv____ dCy .
'x~ ~d\T’
m
вв =
ddB *
Q	dtTlf
т,г = —;
г	du>z
a	dm2
tn, == —~ .
г	da
2
Полученные соотношения являются линейными дифференциальными
уравнениями с переменными коэффициентами, т. е.
- = Ou (О А0 — aw (О А-0 — «13 (О А V —	(/) А6В;
= — а21 (() А0 +	(() АФ Огз (/) АУ 4- ам (() А6,;
—дуг" = — a3i (О А0 4" а»2 (^) АФ 4- азз (^) AV 4-
4- «34 А6В 4- а36 (()	-	ase (Z)
59
где
«23(0 =
«n(0 = 4slna° + ^r
012 (0 = — sinao + P2m
ai3(0 = -^-5CH
O14(0 = 4tsc>;
021 cos а° +С“ - -ТГ-’
«22 (0 = —тг- cos ао 4- р^-- С“;
' ' mV0	1 2т “
rP	I pVoS rv . „ COS0O
mV* S П “° + 2m Cy + S VI
a <ix— Pv»s c6b.
“24^— 2m »’
031 (0 = -£r- SbAm?;
£r«/ g
a^(t) = -^-Sb^
„ “X	P^A , PVOSfeA	V.
#33 v) —	j	^2 "j 2y	9
a34	= 2J2° ^AmzB>
«з5(0 = ^-<г;
fl36(0 = -^^m“.
Sd-g cos е0;
5сГ;
2т
sin 80
Характеристики самолета C“, C^, и т^в показаны на рис. III.11, a
и б [72].
Из динамики полета самолета известно [43], что движение его центра
масс в направлении полета практически не зависит от движения относи?
тельно центра масс. В этом случае можно пренебречь первым уравнением
(III.56) и некоторыми членами уравнений, а также считать, что AV = 0.
Рис. III.11. Типовые харак- ij
„а „а а 6 [1
теристики Сх, Су, тг и т“ J
для самолета	я
60
Рис. III.12. Изменение коэффициентов
уравнения (//1.57) от высоты, полета И
при М = 1,0
Рис. 111.13. Изменение коэффициентов
уравнений (II 1.57) от числа М при И ~
= 6 км
Тогда, положив 6 = 0 — а и учитывая знаки у характеристик
тг, получим следующую систему уравнений:
dДа dДО А , А с
~di~ = ~t-----с4 Да + св Д6В;
d2 ДО	о d ДО
dt2	C1 ~ИГ
d&a А , А &
— сБ —--------с2 Да с3 Дбв,
(III.57a)*
где
PVO6A 3
2Л тг ’
С2
„а.
-----

pvos^ . рУ<М •
4 — 2m ’	5 — 2JZ тг ’
с — Py°s г6»
6 2m % •
В системе уравнений (III.57а) опустим символы приращений Д и -~
обозначим через <ог; тогда получим	“
da	। к
— = о)г — с4а 4- св6в;
da>z	da	,
— = — С1<ог — с^-^-— С2ас36в.
(III.5?б)
Соотношения (II 1.576) представляют собой линейную систему диффе-
ренциальных уравнений с переменными коэффициентами, описывающую
динамику статического устойчивого объекта. Характер изменения дина-
мических коэффициентов в зависимости от условий полета для самолета
F-101B [74] показан на рис. III.12 и III.13 [85]. Из этих рисунков видно,
* В гл. IX будет показано, что система уравнений в виде (III.57а) описывает динамику
астатического устойчивого объекта. Отсюда видно, что с помощью замены переменных можно
описывать динамику как статических, так и астатических объектов.
61
что на некоторых достаточно малых участках полета самолета эти коэффи-
циенты можно считать постоянными (не зависящими от времени) (см. гл. IX)..
Такой способ в теории регулирования принято называть методом «замора-
живания» коэффициентов [721. Существуют такие режимы полета самолета,
например набор высоты или снижение, при которых происходит быстрое
изменение коэффициентов. В этих случаях метод «замораживания» коэф-
фициентов неприменим, и анализ системы управления самолетом прихо-
дится выполнять на аналоговых или цифровых электронных вычислитель-
ных машинах.
5.	НЕУСТОЙЧИВЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (РЕСИВЕР,
РАКЕТА-НОСИТЕЛЬ КОСМИЧЕСКИХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ)
Неустойчивые статические объекты будем рассматривать на примерах
воздушного ресивера и ракеты-носителя для космических летательных ап-
паратов. При выводе уравнений динамики будем применять аналитические
методы составления дифференциальных уравнений.
Ресивер. Рассмотрим в качестве объекта системы регулирования реси-
вер, общий вид которого показан на рис. III.14. На входе ресивера уста-
новлена заслонка с сечением F а на выходе — заслонка с сечением F2.
Газ под давлением plt большим критического, поступает через сечение Ft
в ресивер объема V, где устанавливается давление р. Следовательно, исте-
чение через Fj будет сверхкритическим. Газ через сечение F2 поступает
к потребителю под давлением р2, меньшим критического. В этом случае
истечение газа является докрнтическим.
Уравнение динамики в ресивере можно записать в виде
y_£L = G1-G2,	(Ш.58)
где у — удельный вес газа в ресивере; Gj — массовый расход газа в сече-
нии Fi, G2 — весовой расход газа в сечении F2.
При малом изменении температуры газа уравнение (Ш.58) будет
где R — постоянная Клапейрона; Т — абсолютная температура газа.
При сверхкритическом истечении газа через сечение Fx массовый рас-
ход определяется по формуле
= pF г
2	__
(—2-V1
\ k + 1 J V Vj. ’
(Ш.60)
где р — коэффициент расхода через сечение FT; k — показатель адиабаты
газа; — удельный объем газа в сечении Ft.
&
Рис. II 1.14. Схема воздушного ресивера
62
Уравнение (III.60) с помощью подстановки ------ = можно при-
FT	г
вести к виду
Gj = -фй- Р1,
YRT
(Ш.61)
где
2
_*+1
Для докритического истечения газа через сечение F2 можно
массовый расход
найти его
с.-лИ -Л-Ивт -(f) ]
Формулу (III.62) можно упростить [46] и привести к виду
(Ш.62)
G2 = yF2k2
Р—Ра)
RT
(Ш.63)

2
2
А-1

где Т — температура газа внутри ресивера.
Подставив полученные выражения (III.61) и (III.63) в уравнение (III.59),
получим
<п,м>
Линеаризуем уравнение (III.64), считая при этом, что давления Р1
и р2 являются постоянными:
„ । P^iPi д г __и ь F 1/" Ро (Ро — Ра)
RT dt у^р	уП2Т20 у RT
~ У ДЛ2 - pV’ao [4-/у-- + V
Г	А Л	L * Ро	Г Pq J
(Ш.65)
Уравнение установившегося режима в ресивере будет
-у=-Р^ - ^20 У	= 0;	(Ш.66)
тогда уравнение (II 1.65) в приращениях примет вид
Ft Т " 7^ iF' - V	~
(111.67)
Разделив левую и правую части уравнения (II 1.67) на Go и выполнив
некоторые преобразования, получим
d /_ДР \	__________
) Рч \ Ро ) = pfeiPifio AF1 _ pfe2P,o 1 / Ро (Ро — р2) Др2 _
RTQ0 dt q0 Ло Go У FT F2t
__ Н^г^аоРо Г~l/~ P6-	j ~\ f Po — Pa 1 &P	fill 68)
2Go L У Po — Pi У Po J Po
63
Но из уравнения (II 1.66) имеем
c0 = -e5&ft = (14,F„]/-aLVat:	<1и.в9)
тогда уравнение (III.67) с учетом соотношений (III.69) будет
d(^P-\
Уро \ Ро / ,	2р —р2	Др _ Д/7! _ Дф»
RTG0 dt	2 (ро — р3) Ро Ек> Р»
Для уравнения (III.70) введем следующие обозначения:
Др Д71 ДТ'г 1.
Р 1 Fo	F20
УРо __ р . ^Ра — Рг _ Q
RTG0 °’ 2(ро-р2) Н’
после чего получим
^o-i?- + pnW = v(0-^(0.
(III.70)
(III.71)
Если принять, что выходное сечение не изменяется, т. е. ДЕ2 = О,
то уравнение (III.71) примет следующий вид:
^o-$L + pn(0 = v(().	(Ш.72)
Линейное уравнение (II 1.72) описывает динамические процессы в ре-
сивере. Параметр этого уравнения р называют степенью самовыравнивания -
объекта регулирования.
Степень самовыравнивания характеризует поведение объекта регули-
рования без регулятора. При р > 0 объект регулирования обладает поло-
жительным самовыравниванием. При перемещении заслонки на входе на
некоторую величину AFj в ресивере асимптотически устанавливается за-
данное давление. Если р < 0, то объект регулирования обладает отрица-
тельным самовыравниванием. Перемещение заслонки на входе ресивера
на некоторую величину ДЕХ приводит к возрастанию давления до тех пор.
пока оно не достигнет величины рг.
В этом случае обеспечить устойчивую работу объекта регулирования без
регулятора совершенно невозможно. Если р = 0, то объект регулирования 
обладает нулевым самовыравниванием. Обеспечить нормальную работу
при р = 0 без регулятора также невозможно.
На рис. III. 15 показаны решения дифферен-
циальных уравнений (III.72) при нулевых началь-
объекта регулирования
Рис. 111.15. Характеристи-
ки 11 (/) при v (/) = [1] для
ресивера при различных сте-
пенях самовыравнивания
ных условиях, различных степенях самовыравни-
вания и v (/) — [1]. Из рис. III.15 видно, что ,
при р > 0 функция т] (0 асимптотически стре- ।
мится к установившемуся значению; при р = 0 '
функция (III.72) линейно возрастает; при р <0 •
функция т] (/) стремится к бесконечности. :
При р < 0 ресивер представляет собой не- г,
устойчивый объект регулирования, и его уравне-
ние динамики имеет следующий вид:	h
(Ш.73)
64
Рис. III.16. Схема ракеты-носителя
космических летательных аппаратов:
— длина ракеты (до среза сопла); Хр —
расстояние от носка ракеты до оси пово-
рота управляющих двигателей; xQ — рас-
стояние от носка ракеты до ее центра мас-
сы; Хд — расстояние от носка ракеты до
центра давления
О работе систем автомати-
ческого регулирования с не-
устойчивыми объектами будет
рассказано в гл. XI. Там пока-
зано, что при использовании
в системе регулятора с парал-
лельным корректирующим уст-
ройством удается обеспечить
устойчивость системы автомати-
ческого регулирования в зам-
кнутом состоянии и с неустой-
чивым объектом.
Ракета-носитель космиче-
ских летательных аппаратов
(КЛА). Запишем линеаризованные уравнения динамики ракеты-носителя
при ее движении по нормали к траектории (рис. II 1.16) в следующем
виде [74]:
“5- + d (О У (0 + (i) О (0 + CS (0-f- + СУ (О 6В (0 =	. (1П 74)
+ di (t)	+ d2 (О О(0 + 4 (0 -f - + d4 (О6В (/) = -М- , (III.75)
С1(0==Р^М(С« + С;е);
c2(/)==gsiti-fton;
С8 (0 = оп>
рвв
с4(0 = —
^(0 = —
2
^гр^оп^м
----=---
(О
j !i\ Р^оп^М „а.
«2 (0 = —27;—
+ У1, тс J (х — хо) dx I;
здесь т — масса ракеты-носителя; SM — площадь ракеты; Von — скорость
полета ракеты на опорной траектории; — угол тангажа по опорной траек-
тории; Рр — тяга двигателей; т( — секундный расход массы жидкости
3 Иващенко Н. Н.
65
в i-м факе; Ff — возмущающая сила, действующая на ракету; Мг (I) —,.воз-
u	о	v	д^ D	TZ dy
мущдющии момент, действующий на ракету; Рр* —	; Vv —
Характер переходных процессов О = О’(/) зависит от знаков коэффи-
циентов d2 (t) и ds(f). Как известно [74], производная.коэффициента мо-
ментов по углу атаки определяется по формуле
< = Лд.-_<9..(С“ + СД	(Ш.76)
ЛС
откуда видно, что при хд<х0 /п“ < 0. Тогда в уравнениях динамики появ-
ляются коэффициенты с отрицательными знаками, которые соответствуют
неустойчивости ракеты относительно траектории полета. Действительно,
в этом случае при наборе высоты не создается момента от поворота сопла
вверх, который парировал бы момент от подъемной силы, и ракета опро-
кидывается на траектории. Данное явление указывает на неустойчивость
ракеты как объекта системы автоматического регулирования. Обычно у ра-
кет-носителей космических летательных аппаратов на начальном участке
полета т“ < 0, и их движение по траектории без автоматической системы
невозможно.
По мере выгорания топлива и изменения аэродинамических характе-
ристик во время полета происходит перемещение центра давления (точка D
на рис. III. 16) за центр масс (точка О), что приводит к перемене знака у т“.
Тогда при повороте сопла вверх момент от реактивной силы парирует момент
от подъемной силы, и ракета совершает нормальный полет по траектории.
В этом случае ракета как объект системы регулирования является устой-
чивой. Таким образом, ракета,носитель космических летательных аппа-
ратов в зависимости от времени полета изменяет, свои динамические харак-
теристики и из неустойчивой становится устойчивой. Очевидно, существует
и такое положение, когда /п“ = 0, что соответствует нейтральному состоя-
нию ракеты.
6.	АСТАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ (ТРЕХФАЗНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ
ДВИГАТЕЛЬ, ЯДЕРНЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ РЕАКТОР НА ТЕПЛОВЫХ
НЕЙТРОНАХ, КОСМИЧЕСКИЙ ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ)
Рассмотрим вывод уравнений динамики для астатических объектов:
трехфазного асинхронного двигателя (устойчивого и неустойчивого), ядер-
ного энергетического реактора на тепловых нейтронах и космического
летательного аппарата, совершающего полет в безвоздушном пространстве.
Трехфазный электрический двигатель. Составим уравнение динамики
трехфазного асинхронного двигателя, пользуясь регулировочными харак-
теристиками Мд = Мд (сод, и) (кривые 1 на рис. II 1.17). Здесь же показана
кривая 2 для момента сопротивления = Мс (сод). Выполним линеари-
зацию характеристик Мд и Мс в окрестности точки Ot. Тогда по аналогии
с уравнением (III.20) запишем, что
4	+ -It ДЫ -	~	= 0- (П1.77)
Исключив из уравнения (II 1.77) соотношение для установившегося
режима Als0 — Л1с0 = 0, получим
j +дш =_^д_ ды. (Ш.78)
" dt 1 \ &Од дшл ) а ди	'	'
Уравнение (III.78) приведем к виду
Ta-$- + Y(0 = V(0,	(Ш.79)
66
где
Рис. 111.17. Характеристика Мл =
= Мл (сод, и) для трехфазного асинхронного
двигателя с тремя положениями характери-
стики Мс = Л1с (Юд)
Рис. 111.18. Переходные характеристики
асинхронного трехфазного электродвигателя
(устойчивого и неустойчивого)
Т _______________Jr>  к
Л	«СИд ’	1
{Дод
Дсод
•у — —
' w„
амд
Т“*>
'д / дМс _ дМа
\ <3шд д<оа
Ди
v —---.
«о
Если принять, что производная от относительного угла поворота равна
относительной угловой скорости, то из (II 1.79) получим следующее урав-
нение:
Т -+•	== k v If)
1 a dt2 dt
(II 1.80)
Его решение при нулевых начальных условиях и единичном ступенча-
том воздействии будет
₽(О = Алк(е
(III.81)
На рис. III.18 кривой 1 показана зависимость 0 = 0 (/) при Та =
= 0,5 с и ka = 1 с"1. Из рисунка видно, что переходная функция при t >
> 1,5 с линейно возрастает. Это указывает на то, что трехфазный асин-
хронный электродвигатель является астатическим объектом. Решение (III.81)
было получено при -----------• >0.
Если кривая Мс = Мс (сод) займет положение 4 (см. рис. Ш.17), то
в окрестности точки О3 имеем ~	< 0 и линеаризованное урав-
нение трехфазного асинхронного электродвигателя примет вид
=	(III.82)
Решение этого уравнения при тех же условиях, что и для (III.80),
будет
Г I *	\	1
0(/)==*д|тДегд - l) + d-	(III.83)
Кривая 2 на рис. III.18 показывает данную зависимость при Тл =
= 0,5 с и kA = 1 с-1. В этом случае астатический объект регулирования
является неустойчивым. Кривая 3 на рис. II 1.17 является характеристикой
для Мс = Мс (<од); тогда линеаризация в окрестности точки О2 невозможна,
3*
67
Рис. II1.19. Схема ядерного энергети-
ческого реактора на тепловых нейтро-
нах
образуется цепная реакция с
ядерного реактора зависит от
так как при замене со на —Дсо линеари-
зованное уравнение принимает вид урав-
нения (III.80), а при замене со на Дсо
линеаризованное уравнение будет типа
(II 1.82). Решение этих уравнений совер-
шенно различно, поэтому линеаризация
в окрестности точки О2 не может быть
выполнена.
Ядерный энергетический реактор на
тепловых нейтронах, Ядерный реактор
на тепловых нейтронах применяют в каче-
стве энергетического блока атомных элек-
тростанций. В центральной части блока
реактора 1 (рис. III.19) размещается ура-
новое топливо 3 и замедляющее веще-
ство 4. Управляющие стержни 5 при вводе
их внутрь реактора поглощают нейтроны.
При выводе стержня увеличивается число
нейтронов, и при их поглощении ядрами
урана образуются новые нейтроны.
Ядро урана, поглотившее нейтрон,
испускает два-три нейтрона. При этом
выделением тепловой энергии. Мощность
числа поглощаемых нейтронов. Поэтому,
перемещая управляющие стержни вверх или вниз, добиваются установки
требуемой мощности реактора. Через активную зону реактора проходят
трубопроводы 6, в которых циркулирует теплоноситель. Теплоноситель
передает тепло через парогенератор турбине (см. рис. 11.10).
Плотность нейтронного потока п измеряется с помощью ионизационной
камеры 2 (рис. III. 19). Скорость изменения плотности нейтронного потока
определяется по уравнениям кинетики реактора [72], которые выводятся
без учета влияния температуры и отравления продуктами распада. Итак,
для шести групп запаздывающих нейтронов имеем
dn

(Ш.84)
где 8К — изменение реактивности при перемещении стержня; р, — доля
запаздывающих нейтронов i-й группы; 1/К1 — время жизни запаздывающих
нейтронов i-й группы; Cz — концентрация носителей запаздывающих ней-
тронов i-й группы; I* — среднее эффективное время жизни нейтронов.
Скорость изменения концентрации носителей запаздывающих нейтронов
запишем в виде
(ш.85)
Суммарную долю запаздывающих нейтронов представим как сумму
долей запаздывающих нейтронов i-й группы:
6
Р = s ₽z.	(Ш.86)
/=1
Имея в виду выражение (II 1.86), уравнения (II 1.84) н (II 1.85) приведем
к виду
6
, я	п ₽<	6
-----Wo	(Ш.87)
68
6
6
n 2 Pt
6
I*
(111,88)
откуда получим следующие уравнения кинетики:
6
А.» _ V dC' •
dt l* Zj dt ’
(III.89)
dCi — Р< „ с
dt ~ I* n '^i-
Линеаризуем полученные уравнения, пользуясь малыми прираще-
ниями, т. е.
n = «о 4- ne;
= Ci0 4- C(£;
8K = ° 4- 8ке,
где пг, Cie, 8K&— приращения переменных.
После линеаризации система уравнений (III.89) примет вид
6
dt ’
dns __ па
~dF ~ "7*
(III.90)
(111.91)
dCie _ Pt „ _______ If
dt ~ I* — AiUZ8-
Уравнения (III.91) являются линейными дифференциальными урав-
нениями с постоянными коэффициентами.
Если считать, что реактивность в реакторе изменяется пропорционально
перемещению стержня I, то можно записать
\e = k'l,	(Ш.92)
Исключив из системы уравнений (III.91) и (III.92) промежуточные
переменные, получим систему уравнений седьмого порядка:
rp rp rp m rp m d^ fl . ,rp m rp rp rp  rp rp rp rp rp < rp rp rp rp rp >
1 f1 в1 a1 ю1 и1 12	—г U i1 в1 a1 ioJ 11 ~Г 1 I1 в1 a1 ioJ 12T 1 i1 в1 a1 nJ 12 "Г
4- r,T8T10TuT12 + T7T9TwTuTlt 4- T8T9T1OTUT12) + (7V8?97\o +
4~ T^bT^T^ 4- T7TST ST12 -ip-T^TgT 10T ^-\-Т2Т 8T10T12 4- T 7T8TUT12 4-
4-	4. T,TeT10T12 + T.T9TlvTl2 + T8TeTi0Tu + T&T,T10Tl2 4-
+ T9T10TuT12 4-	4- T8TwTuTl2) 4- (T^T, 4-	4-
 '4- 7’7T8T114- Т.Т8Т12 + T7T9T10 4- T7T„TU 4- T,T9T12 4- т,т10тц 4-
4-	+ T.TUT12 + TST9TW 4- TsT9Tn 4- т8т9ть 4- t8t10tu 4-
+ TsTuT12 + T8TUT12 +	4- T9T10T12 4- t9tut12 4- t10tut12)^- 4-
.; ;+.(Г7Г8 + T7T9 +	4- T,T124- T8T9 + T8T1o 4- T8Tn 4-
+ ТзТ^ 4- T9TU 4- TeTu + T9T12 4- T1QTn + t19t12 4- тпт12) 4-
4- (Л + тв ч- т9 4- т10 4- тп 4- т12)	4-
69
т1т2г,г4г5гв	4- (ЛЛЛЛЛ ^тхт2т3т4т3 + тхт2т3т6т3 +
4- лт2т4т6тв4- ллллт, + т2ГзЛТ5тв) -g- 4- (Л^ЛЛ + ЛЛЛЛ 4-
+ тхт2т3тв + лт2т4т6 + ЛЛЛ73 + тхт2т3т3 + ЛЛЛЛ.+ тхт3т4та +
4- тхт3т6тв 4- т2т,1\1\ 4- T2T3TtTe 4- Т2Т3Т6Т3 + Т3Т\Т6Тв 4- ЛЛЛП 4-
4- т2т\1\т6)	4- <тхт2т3 4- тхт21\ 4- ТХТ21\ 4- тхт2т3 4- тхт3т\ 4-
4- ТХТ3Т3 4- ТхТ3Тв 4- тхт\тъ 4- тхт\тй 4- ТХТ3Т3 4- Т2Т3Т\ 4- Т2Т3Т3 4-
4- Т2т3тв + T2TtT3 4- Т2Т\Те 4- Т2Т3Те + Т3ТХ1\ + т3т3те 4- т3т,те 4-
+ TtT3Te) 4- (ЛТ2 4- тхт3 4-тхт\ 4- тхт3 4- тхт3 -4 т2т3 4- т2т\ +
4- т2т3 4- т2те 4- т3тх 4- т3т3 4- т3тй 4- т\т3 4- т\тй 4- т3тв) +
+ (Л + Л4-Л4-Л4-Л4-Л)	4- /].
(Ш.93)
где Tj — соответствующие постоянные времени ядерного реактора; kp —
коэффициент усиления по мощности реактора.
Космический летательный аппарат. Рассмотрим космический летатель-
ный аппарат с двумя реактивными двигателями, жестко скрепленными с его
корпусом. Схема изображена на рис. III.20. Из данной схемы следует, что
движение КЛА происходит вокруг оси Оух, связанной с базовой системой
координат Оу0. В этом случае уравнение динамики КЛА имеет вид
UW..
Jy F (А — А)ч>Л1сог1 = MU1,
(Ш.94)
где Jх, Jу, Jг — главные моменты инерции КЛА относительно осей Ох0,
О г/о, Oz0; со*,, cof/i, сог,— проекции угловой скорости вращения космиче-
ского аппарата на оси связанной системы координат; MUi — момент от тяги
реактивного двигателя.
При движении аппарата в одной плоскости угловые скорости со*, —
₽= сог, = 0; тогда с помощью рис. II 1.20 нетрудно установить, что
(Ш.95)
Подставляя выражение (II 1.95) в уравнение (II 1.94), получим

Рис. 111.20. Схема космического
летательного аппарата с двумя
двигателями, жестко закреплен-
ными на корпуса
(Ш.96)
Если считать, что сигнал управления дви-
жением иу (/) приводит к мгновенному появле-
нию тяги двигателя Р (0, то
MUl = Р (01 = k/jlUy (0,	(Ш.97)
где — передаточный коэффициент двига-
теля.
С учетом выражения (II 1.97) уравнение
(111.96) примет окончательный вид
=	(Ш.98)
70
Решение данного дифференциального уравнения при нулевых началь-
ных условиях и единичном ступенчатом воздействии будет
(Ш.99)
Отсюда следует, что рассматриваемый объект регулирования также
является астатическим. Наличие сомножителя в виде ta- [сравните с выра-
жениями (III.81) и (III.83), где время входит в первой степени] указывает
на второй порядок астатизма у объекта регулирования.
7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Математические модели объектов регулирования представляют собой
уравнения динамики, записанные в виде дифференциальных или разност-
ных уравнений различных порядков в линеаризованном виде или с разде-
ленными линейными и нелинейными частями (см. гл. XIV). Обычно нели-
нейная часть объекта представляет собой его статические характеристики,
а линейная — динамические. В табл. III. 1 приведены некоторые матема-
тические модели объектов регулирования, описанные дифференциальными
уравнениями.
В табл. III.2 математические модели дискретных объектов описаны
разностными уравнениями.
Таким же образом, как и в табл. III.1, могут быть составлены нели-
нейные разностные модели.
Параметры математических моделей часто неизвестны, и для их опре-
деления используют экспериментальные данные, приводимые в виде соот-
ветствующих таблиц. В таком случае параметры вычисляют с помощью
регрессионного анализа.
Рассмотрим применение этого метода для линейного дифференциаль-
ного уравнения первого порядка
=	(Ш.ЮО)
Решение данного уравнения при начальных условиях х (10) и у (?0)
будет
х(/) = £0(1 — е~ у(/0) + х (/0)е гГ. (III.101)
Положим, что t = te — At; тогда из выражения (III. 101) можно полу-
чить разностное уравнение
==	(III.102)
где переменные xn_t и уп_г соответствуют моменту времени t0 — A t, а хп —
моменту времени 10.
Коэффициенты А и В определяются выражениями
А — е г“;
( _ Лг \
В = ^Д1 — е ).
(III.103)
В полученном разностном уравнении (II 1.102) значения выходного
сигнала для объекта определяются величинами входного и выходного сиг-
налов в предыдущие моменты времени уп_г, хп_г. Их задают в виде таблиц.
Тогда предполагаемая величина хп может быть найдена с помощью следую-
щего выражения:
хп =	+ ВУп-1-
(Ш.104)
71
Таблица 111.1
Математические модели непрерывных объектов
Тип модели	Порядок модели	Математическое описание модели	Параметры модели
Линейный	1-й	dx	1 , , _ [Ло« — х]	о»	T'm — по- стоянные времени объекта;	klt km — передаточные коэффициенты объ- . екта
	2-й	tPx dZ2 ~ - t't.	+	Ф d2x __ 1 Г.	dx 1 "di" J	
	т-й	x Я ।	h 1	.	5 н JL	3s и Л -5 +	+	*: - +	+	£ з,	'	~ 1	va	= , *, । । । — „ *_ । 		
Нелиней- ный	1-й	dx = [йои — *F (x)]	То,	..., Тт —по- стоянные времени объекта; kB, felt .... km — передаточные коэффициенты объек- та; F (х) — нелиней- ная функция
	2-й	d2x _	1 dZ2 ~ TiT2 X X £	— (7\ -f- Tt)	—x F (x) j ; d2x	1	Г	dx 1 dl2 ~ To [?°W	F dt J	
	т-й	dmx _	1	[\ b at	i • • 1 m\. dm—1x -(Л---тт.^ • • - +Т,-• -Tv)- — (7i + • • • + Tm)— xF (x)]	
Коэффициенты А и В подберем таким образом, чтобы предполагаемая
величина хп как можно меньше отличалась от измеренного значения хя.
Воспользуемся для этого методом наименьших квадратов 1451. Функ-
цию ошибки А представим в виде
(Xn-xJ^tXn-Ax^-Bx^, (111.105)
П=1	П=1
где N — число измерений переменных на входе и выходе объекта, выпол-
ненные через равные интервалы времени At.
72
Для определения коэффициен-
тов А и В, соответствующих мини-
муму ошибки Д, запишем
-	-Й- = о. (Ш.106)
Тогда получим систему уравне-
ний
Таблица 1П.2
Математические модели
линейных дискретных объектов
N
2 2 (х„ — Ахп-1 — Вг/n-J х = 0;
П—1
У
2 2 (х„ - Ах„_г - Ву,^) х„_х == 0.
(III.107)
Перепишем ее в матричной
форме:
Поря- док мо- дели	Математическое описание модели	Параметры модели
1-й	хп 25	+ ВУп-х	А, В
2-й	хп = Л %п-\ + + &ХП-2 + СУп-2	А, В, С
/л-й	хп = Ахп-1 A- Bx„_s -|- + • • • + Mx„_m + Nyn_m	А, В,	 М, N
(III.108)
Из уравнения (III. 108) получим
А —
.v	,v	л?	w
2 xnxn-i 2 ^Li - 2 хп-1Уп-1 2 za-i
п=1	п=1	п=1	п—1
(III.109)
V	.V	W
2 хпУп~ 1 2 хп—1	2 хп—\Уп—12 хпхп~ 1
и=1	п—1	п—1	П=1
Из выражений (III.102) и (III.103) по найденным значениям А и В можно
определить исходные параметры объекта регулирования fe0 и Тп в виде
—
!В .
1 — А ’
Ы
In А
(III.ПО)
Пример III. 1. Определить параметры мате-
матической модели, описывающей процесс отно-
сительного изменения содержания СаО в системе
при производстве цемента. Содержание СаО во
входном потоке обозначим у (f), а в выходном —
через х (£). В результате проведенных датчиками
замеров получена табл. III.3.
Подставив соответствующие значения
в формулы (Ш.109), получим
'	A = -gL^0,699;
Таблица Ш.З
Экспериментальные данные
по количеству СаО во входном
и выходном потоках
t, с	У	X	t, с	У	X
0	49,1	44,6	300	46,0	47,8
60	50,1	45,2	360	45,2	46,9
120	49,9	46,2	470	44,9	46,2
180	50,1	47,1	480	44,9	45,3
240	49,6	47,5	540	45,1	45,5

73
_	27,3 n
5 =-997-=0-274.
После этого по соотношениям (III. ПО) найдем
.	0,274 А п, _	60	,
*• “ 1- 0.699 ~ 0,9 и Г» - 1п 0,699 “ 48 С’
откуда
<£*	1 /А ГМ
-Л- = -Т48-(°’9^-Х)-
(III.111)
Полученное уравнение и описывает динамику процесса изменения СаО в смесителе при
производстве цемента.
При проектировании систем автоматического регулирования со слож-
ными крупноразмерными объектами довольно часто прибегают к методам
моделирования [53 ]. В этом случае к лабораторному малоразмерному макету
объекта подключается реальный регулятор, с которым и проводится отра-
ботка системы регулирования.
. ,Для установления . окончательных настроек регулятора необходимо
располагать дифференциальным или разностным уравнением реального
объекта. Воспользуемся для этого теорией подобия, с помощью которой
находятся требуемые коэффициенты подобия.
1. Геометрическое подобие обеспечивается постоянством масштабных
коэффициентов. Если длина реального объекта /п, а его модели /м, то условие
геометрического подобия позволяет найти коэффициент подобия fez == 1ыПп.
2. Подобие моделей в вязких средах обеспечивается числами Рейнольдса
и Фр уда. Число Рейнольдса
Re = -^-,	(III. 112)
где v — коэффициент кинематической вязкости; и — скорость потока;
I — геометрический размер.
Число Фру да
Fr=-£,	(Ш.113)
где g — ускорение свободного падения.
Если принять, что коэффициенты кинематической вязкости реального
объекта и модели одинаковы, то условие подобия по Рейнольдсу будет
(III.114)
VM ve
откуда
-^- = —•	(III.115)
Вйедем следующее обозначение: vH/v0 — fe0;тогда из уравнения (III.114)
имеем
*,=4-.	(ПП16)
К1
Из соотношения (III.115) следует, что если модель по размерам умень-
шена в kt раз по сравнению с реальным объектом, то скорость набегаю-
щего потока на модель должна быть увеличена в l/fez раз.
Условие подобия по числу. Фруда запишем в виде
. °м
вл!л
(III. 117)
74
Так как g„ = g„, то при
= kv и -ф- = kt имеем
\ t<o 7	° /о ‘
k0 = Vk{.
(III.118)
При моделировании волнового сопротивления судов (когда пользуются
числом Фруда) и одинаковых скоростях движения модели и объекта геоме-
трические размеры модели следует уменьшать в ]/&г раз.
Аналогичные зависимости . можно найти. для числа Маха М = v!a
(а — скорость звука); числа Струхаля Sh = v/ln (число периодических
движений, совершенных объектом или моделью в единицу времени); числа
Пекле Ре = (Хр — коэффициент теплопроводности; ср — теплоем-
кость при постоянном давлении; р — плотность); числа Нуссельта Nu —
= -у- (а — Коэффициент теплоотдачи) и т. д.
В дифференциальных уравнениях масштабные коэффициенты опреде-
ляются следующим образом:
для функций						
			— k —	Ум . Уо ’		(III.119)
Для	первой производной					
		kx	dxo .	b — K,Xy 		kx .	(HI. 120)
		ky	<iy0 ’		ky	
для	n-й производной					
	лм	kx		kx!/l*x	kx	(III.121)
		kny			kn '	
Пример ИГ. 2. При экспериментальном исследовании модели было определено урав-
нение
0,001-^- + 0,02 ^-+.1,47-^- + ^,= 21,3Ум.	(Ш.122)
dtM	dtM	atM
Моделирование осуществлялось при следующих масштабных коэффициентах: kx = 0.5;
ku = 0,1; kt = 0,2.
Необходимо определить дифференциальное уравнение, описывающее динамику реаль-
ного объекта.
Для этого воспользуемся формулами (Ш.119)—(Ш.121); тогда получим
	W - да-- ад ..................
‘'•-тёк=ад
Пользуясь этими масштабными коэффициентами, уравнение (III. 122) запишем в виде
62,5-0,001	+ 12,5-0,02	+ 2,5-1,47	+ 0,5хо = 0,1 -21,3ye, (III.123)
а уравнение, описывающее динамику реального объекта, в виде
0,125	+0-54jf + 7,35 4^ +х° = 4’26^- (III.124)
75
Глава IV
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
1. Определение информативности измерительных устройств и
измерительных подсистем. 2. Классификация измерительных уст-
ройств. 3. Устройства для измерения перемещений, скоростей и
ускорений. 4. Устройства для измерения напряжения и тока'.
5. Устройства для измерения температур и излучений. 6. Устрой-
ства для измерения давлений и расходов жидкости и газа. 7. Устрой-
ства для измерения угловых величин, угловых скоростей и линейных
ускорений подвижных объектов. 8. Основные характеристики изме-
рительных устройств.
В системах автоматического регулирования для получения необходи-
мой информации о процессах регулирования используют различные изме-
рительные устройства. Если для обеспечения процесса регулирования тре-
буется высокая точность измерений или нужно измерить несколько раз-
личных параметров, то применяют измерительные системы, состоящие из
нескольких измерительных устройств.
Измерительные устройства содержат чувствительные элементы, реаги-
рующие на перемещение, угловую скорость, давление, температуру, ча'стоту,
расход жидкости или газа и т. п. Как правило, чувствительный элемент не
только реагирует на отклонение регулируемой величины от установленного
значения, но и преобразует ее к виду, удобному для дальнейшего исполь-
зования в системе регулирования.
Чувствительный элемент, в котором одновременно с измерением физи?
ческая величина преобразуется в другую форму, более удобную для ее
передачи, называют датчиком.
Рассмотрим несколько возможных схем включения датчиков в системы
автоматического регулирования. На рис. IV. 1, а показана блок-схема
включения бесконтактных датчиков измерения угла поворота (или сель-
синов). Схема состоит из двух сельсинов (сельсина-датчика СсД и сельсина-
приемника СсП), преобразующих угловое рассогласование 9Д — 9П в на-
пряжение ис, т, е.
«с = *с(0д-6п),	(IV. 1)
где kc — коэффициент усиления сельсинной схемы..
В этом случае в сельсинную схему входит и элемент сравнения 1.
Можно представить и другую блок-схему (рис. IV. 1, б), где измери-
тельным элементом (датчиком) является тахогенератор. Элемент сравнения 1
формируется независимо от датчика с помощью дополнительно введенных
элементов. В этой схеме
«С = “з — &тг®дв,	(IV. 2)
где и3 — задаваемое напряжение; /гтг — коэффициент усиления тахогене-
ратора.
На рис. IV. 1, в показана блок-схема системы автоматической стабили-
зации летательного аппарата, в которую входят два датчика: ДУС — ги-
роскопический датчик угловой скорости; ДЛУ — датчик линейных уско-
рений. Схема содержит корректирующее устройство КУ, рулевой привод РП
с усилителем мощности, летательный аппарат (или объект регулирова-
ния ОР). Как видно из рис. IV. 1, в, в системе имеются два сравнивающих
устройства 1 и 2, которые не входят в датчики ДЛУ и ДУС. Сравнивающие
элементы можно выполнять в виде различных устройств (механических,
электрических, электромеханических и т. п.).
На рис. IV.2 показаны схемы наиболее часто употребляемых элементов
сравнения. Элементы /и 2 являются механическими элементами сравнения;
3—7 электромеханическими; 8 и 9 — электрическими.
76
Рис. 1V.1. Блок-схема систем автоматического регулирования с измерительными устрой-
ствами различного типа:
а — следящая система с сельсииом-датчиком (СсД) и сельсином-приемником (СсП): б — система регу-
лирования скорости вращения выходного вала с тахогенератором; в — система автоматической стаби-
лизации летательного аппарата с двумя измерительными устройствами
Основным показателем, характеризующим качество датчика, является
его чувствительность. Под чувствительностью понимают отношение изме-
нения выходной величины у или его приращения Ду к изменению входной
величины х или Дх, т. е.
k = — или k =
х	Ах
Последнее соотношение можно записать в виде

dy
dx
Таким образом, чувствительность является первой производной от
функции, выражающей зависимость выходной величины от входной. В при-
веденном виде значение чувствительности будет иметь размерность, завися-
щую от физической природы входной и выходной величин элемента.
Нередко чувствительность определяют как отношение
Ау . Ах _ х6	Ау
Уб ’ хб ye	Ах ’
(IV.3)
где х6 и уб — выбранные базисные значения входного и выходного сигналов
датчика. В этом случае чувствительность всегда будет безразмерным числом.
Нетрудно видеть, что чувствительность элемента совпадает с его коэф-
фициентом усиления.
Величина чувствительности зависит от сил трения и люфтов в кине-
матических парах элемента, зазоров в электрических контактах и других
причин. При выборе чувствительного элемента задаются чувствительностью
и в ряде случаев допустимой инерционностью. С понятием инерционности
Рис. IV.2. Схема элементов сравнения:
1 — механический дифференциал; 2 — рычаг; 3 — потенциометрическая схема; 4 — тахогенератор
с вращающимся индуктором; 5 — мостовая схема; 6 — дифференциальная схема; 6 — сельсинная схема;
8 — трансформатор; 9 — электрическая цепь
77
чувствительного элемента обычно связывается представление о некоторой
постоянной времени Тк измерения выходного параметра. Кроме того, в дат-
чиках приходится учитывать и время запаздывания ти. Например, при
измерении температуры запаздывание вызывается тепловой инерцией пере-
городок между элементом и средой, температура которой измеряется.
Таким образом, требование допустимой инерционности чувствитель-
ного элемента по существу сводится к требованию допустимых времён за-
паздывания и постоянной времени измерения регулируемого параметра,
что в каждом случае определяется характером технологического процесса,
подлежащего регулированию. При исследовании динамических свойств
системы автоматического регулирования инерционность чувствительного
элемента играет такую же роль, как инерционные свойства всякого другого
звена системы (см. II и III части).
Если системы автоматического регулирования содержат несколько
измерительных устройств с цифровыми преобразователями для обработки
информации (см. гл. VI), то такие устройства принято относить к инфор-
мационно-измерительным подсистемам. Основными преимуществами ин-
формационно-измерительных подсистем являются избыточность информа-
ции, повышающая точность измерений; сжатие информации, уменьшающее
влияние различного рода помех и обеспечивающее высокую степень досто-
верности замеров; повышение надежности действия всей системы регули-
рования в целом.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНФОРМАТИВНОСТИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
И ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПОДСИСТЕМ
При неоднократном измерении какого-либо физического параметра
образуется целый ряд значений хг, х2, ..., хт, ... Используя эти значения,
можно найти хш1п. и хтах. Тогда нетрудно определить диапазон измерений
в виде разности
•^max •''nun ~	(IV.4)
Для каждого измерительного устройства или подсистемы существует
Вполне определенное значение этой разности Ах, именуемой разрешающей
способностью, при которой нельзя получать замеры. Таким образом, можно
получить лишь конечное число дискретных величин [731
ЛГ = ^+1.	(IV.5)
Если положить, что минимальная относительная ошибка Ах/хд не должна
превышать ±8, то
Ах = 2ехд.	(IV.6)
Минимальное время, за которое переменная изменится на величину хд,
обозначим через т. Очевидно, что
-----	<1УЛ
\ dt /max
В соответствии с выражением (IV.7) нетрудно найти и наименьший ин-
тервал времени Ат, при котором переменная изменяется на величину. Ах:
= ‘ (IV‘8)
X dt /max
Подставив выражение (IV.6) в (IV.8), найдем
Ат = 2ет.	(IV.9)
78
Рис. IV.3. Структурная схема
измерительного устройства (под-
системы)
Теперь определим количество информации, получаемой при измерении
физической величины х. При этом количество информации определим как
логарифм полного числа измерений величины х. В случае отсутствия данных
о законе распределения результатов измерений можно считать, что каждый
из V замеров равновероятен (и его вероятность будет Р); тогда
Р = -^-	(IV. 10)
Количество информации при измерениях
/ = —log8P.	(IV. И)
Подставляя в формулу (IV. 11) выражения (IV. 10) и (IV.5), получим
F = log2(-^ + 1),	(IV.12)
или
/ =	i).	(IV. 13)
Если требуется определять скорость изменения информации, т. е.
dfldt, то следует пользоваться формулой
.......................... =	— logJAiJ-').	(IV. 14)
dt ет \ 2e /	'	'
Перейдем к определению информативности измерительных устройств
(подсистем). Представим измерительное устройство (подсистему) в виде
структуры, изображенной на рйс. IV.3. В процессе работы измерительного
устройства (подсистемы) имеется вполне определенная статистическая связь
между значениями х источника информации и измеренными значениями у.
Будем считать, что эта статистическая связь определяется с помощью ус-
ловных вероятностей Р.(х!у) (см. гл. XIII). Обозначим через /(х) и / (у)
соответствующие им количества информации.
Измеренное же количество информации можно оценивать по формуле
7(r/,x) = /(x)-/(x/f/).	(IV.15)
Подставив в формулу (IV. 15) соответствующие количества информа-
ции (по К. Шеннону), получим
f{y, х)==—* 2 a»(xz)log8ay(xz)- S w (Уд logs w (*//) +
(О	(/)
+ S Е w (хк у,) logs ® (*#/).	(iv. 16)
(i) (/)
где w (x(), w (yP), w (xi, у,) — соответствующие плотности вероятностей.
Умножив первый ‘ и второй члены правой части выражения (IV.16)
на соотношения
2 w (У/М = 1 и £ (xtfyf) = 1,
(/)	(О
получим
U) (/)•		1
79
где принято, что
y1}^w(yj)w(xilyj).
Для непрерывных измерительных устройств (подсистем) формула (IV. 17)
примет вид
со со
Z(у, X, 0= J J а>(х, у, t) log2	dxi"-dx*-d^-
— OO —00
(IV. 18)
С помощью формул (IV. 17), (IV. 18) и определяется информативность
измерительных устройств (измерительных подсистем).
2.	КЛАССИФИКАЦИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
В настоящее время находят применение два способа классификации
измерительных устройств: по типу измеряемых и по типу измерительных
величин. На рис. IV.4 показана схема классификации по типу измеряемых
сигналов.
В устройствах для измерения электрических величин измеряются
напряжения, токи, активные сопротивления, индуктивности, емкости,
частоты, фазы и различные параметры диэлектрических и ферромагнитных
материалов. В ряде случаев вместо токов и напряжений определяются вели-
чины зарядов и магнитных потоков.
Устройства для измерения тепловых величин применяются при опре-
делении температур. При этом низкие температуры измеряют с помощью
термометров сопротивлений или парамагнитным методом; средние — тер-
мометрами сопротивления, термисторами, термопарами; высокие — спе-
циальными термометрами, оптическими радиолокационными и цветовыми
пирометрами.
Устройства для измерения параметров излучений определяют токи
пучков заряженных частиц, плотности нейтронного потока и у-излучений,
магнитные поля.
Устройства для измерения перемещений, скоростей и ускорений пред-
назначены для нахождения линейных или угловых размеров при изготов-
лении или разбраковке деталей, а также для определения различного рода
перемещений, скоростей и ускорений (линейных и угловых), уровней жид-
костей.
В качестве измерителей давлений применяют мембраны, сильфоны, тензо-
метры, магнитоупругие элементы, разрядные и радиоактивные устройства.
Измерительные устройства].
Рис. IV.4. Схема классификации измеритель-
ных устройств по типу измеряемых величин
Устройства для измерения рас-
ходов жидкостей, газов и сыпучих
веществ можно разделить на два
вида: объемные и массовые. К объем-
ным относятся тахометрические,
ультразвуковые, индукционные, теп-
ловые и оптические устройства.
Массовые расходомеры являются
такими приборами, в которых изме-
ряемому веществу сообщается допол-
нительное движение. В зависимости
от характера дополнительного дви-
жения, которое сообщается потоку
(вращательное или колебательное),
в этих приборах применяют чувстви-
80
тельные элементы, измеряющие усилие от действия Кориолисова ускоре-
ния, гироскопический эффект и т. п.
В устройствах ориентации применяют гироскопические приборы, изме-
ряющие углы и угловые скорости объектов в пространстве. Чувствитель-
ными элементами в таких приборах являются различного рода гироскопы
(с вращающимся ротором) с камертоном и электрическими вибраторами.
В качестве измерителей для определения угловых координат и даль-
ности движущихся объектов применяют радиолокационные, лазерные и
оптико-электронные устройства.
В измерительных устройствах для регистрации звуковых колебаний
используют механические, электродинамические, магнитострикционные и
пьезорезисторные чувствительные элементы.
3.	УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ
Устройства для измерения перемещений широко применяют в системах
автоматического регулирования в качестве технических средств определе-
ния размеров деталей и' уровней жидкостей. В этих устройствах чувстви-
тельный и выходной элементы часто объединяются в один элемент. Так,
например, в индуктивных устройствах в качестве чувствительного элемента
используют якорь, а в емкостных — подвижную пластину конденсатора.
Реостатные и потенциометрические устройства. Реостатные устройства,
предназначенные для съема сигналов, преобразуют выходное перемещение
чувствительного элемента в постоянный или переменный ток за счет изме-
нения величины своего электрического сопротивления. На рис. IV.5 пока-
заны схемы реостатных датчиков.
Потенциометрическое устройство, приведенное на рис. IV.5, а, преоб-
разует угловое перемещение а в величину г электрического сопротивления
между клеммами О и 1 на выходе.
Допустим, что реостат 3 имеет равномерную намотку по окружности,
и на единицу длины окружности приходится р Ом. Если радиус контактной
рукоятки R, то величина электрического сопротивления г на выходе между
клеммами 0 и 1 будет
г = /?ар.	(IV. 19)
Чувствительность такого устройства
А=^р.	(IV.20)
На рис. IV.5, б дана схема сопротивления с прямолинейным переме-
щением движка. В этом устройстве входной величиной служит х, выход-
ной — напряжение ин, снимаемое с резистора.
Рис. IV.5. Схемы потенциометриче-
ских устройств-.
и0 и i — напряжение н ток источника пи-
тания; Rо — полное сопротивление по-
тенциометра; 7?, и R г — сопротивление
частей потенциометра (до двнжка н после
него); I, н с2 — токи в сопротивлениях 7?t
н 7?; lQ — длина потенциометра
81
Рис. IV.б. Характеристика
проволочного реостата или
потен циометра
Потенциометр 1 выполнен в виде калибро-
ванного проводника с движком. Согласно схеме,
приведенной на рис. IV. 5, б, напишем следующие
уравнения: 	•
I == ц i2;	== Ро —;
Й ____	, ____ г р .
~Т2 ~Ri ’	— 1аАя’
un = i (Ro — Ri) -f-
(IV.21)
Решая эти уравнения относительно и*, найдем
-----U-.	(IV.22)
AO I _! ^2^1
RnR„
Наибольшее значение произведения R2R\ будет /?о/4. Если R„ намного
больше R9, т. е. R„ 7?0/4, то
ин «о = ип ,	(IV.23)
Ао	/о
т. е. выходная величина пропорциональна входной.
Чувствительность схемы
du„ _ и^
dx ~ 10‘
(IV.24)
Погрешность потенциометров зависит от целого ряда факторов, к ко-
торым в первую очередь можно отнести зону нечувствительности, неравно-
мерность характеристики, влияние люфта, влияние нагрузки.
. Погрешность, обусловленная зоной нечувствительности, вызывается
тем, что выходной сигнал не изменяется при перемещении щетки в преде-
лах одного витка. Поэтому сопротивление реостата изменяется скачкооб-
разно (рис. IV.6). Будем считать, что ширина ступени равна шагу намотки /,
а сопротивление одного витка rx; тогда при витках потенциометра до имеем
зону нечувствительности
....................Л/?зк=±4.................. (IV.25)
или в относительных единицах
Е __	___1_
51 —	— ± 2и> •
(IV.26)
Погрешность, вызванная неравномерностью характеристик, зависит от
непостоянства диаметра наматываемого провода, непостоянства шага на-
мотки и т. п. Степень неравномерности характеристик
Д/?н = /?яс-/?р,	(IV.27)
где R„c — истинное сопротивление потенциометра, замеренное в различ-
ных точках; Rp — расчетное сопротивление, определяемое по формуле
RP = RO-^.
*(1
В относительных единицах степень неравномерности обычно опреде-
ляется следующим образом:
Е __ &R*
Степень неравномерности у реостатов и потенциометров изменяется
в зависимости от точности.-Среднее значение с2 Для реостатов (потенциоме-
тров)- низкого класса - точности .составляет 1,0—2,0%, среднего класса точ-
82
ности — 0,25—0,5%, прецизионных — 0,05—
0,1%.
Погрешность реостата или потенцио-
метра с круглым сечением, вызванная влия-
нием люфтов, определяется по формуле
А/?Л = ^Х (IV.28)
где Ал — радиальный зазор между осью и
втулкой реостата; р — угол, под которым
намотана обмотка; га — радиус от оси до
контактной поверхности.
Относительная погрешность будет соста-
влять
=	=	(IV.29)
Ргд
Для уменьшения погрешности, вызван-
ной влиянием люфта, применяют специаль-
Рис,- IV.7. Характеристика выход-
ного сигнала нагруженного потен-
циометра
ные пружины.
Определим теперь, какое влияние оказывает нагрузка на потенциоме-
трический датчик. Для этого воспользуемся рис. IV.5, б. Внутреннее сопро-
тивление потенциометра определим по формуле
Roa Re (1—о) ’
где о — относительное перемещение щетки.
Из формулы (IV.30) имеем
Rw = Roa (1 — ц).
Ток в нагрузке определяется выражением
1 =
2 Яви +	9
(IV.30)
(IV.31)
(IV.32)
где ибн — напряжение, снимаемое с потенциометра при отключенной на-
грузке.	’	•	......
Ток в нагрузке можно бйределить Также по формуле
Ч =	(IV.33)
am
Используя формулы (IV.31)—(IV.33), получим
“н=- /,	->	(IV.34)
а(1 — о)-|-а ’
где
. Неравномерность выходного сигнала, обусловленная влиянием нагрузки,
можно определить по выражению (IV.34). Задаваясь различными значе-
ниями о и а, получим значения и„/и0. Соответствующий этому график при-
веден на рис. IV.7. Как видно, при малых значениях а влияние неравно-
мерности выходного сигнала за счет нагрузки достаточно велико, что должно
быть учтено при практических расчетах. .	'
Для определения суммарной пбгрешнбсти реостатных'и Потенциометри-
ческих устройств следует учитывать : случайный характер погрешностей
83
Рис. IV.8. Индуктивное измерительное устройство
ARaii, Д7?н и Д/?л. Считая, что эти погрешности изменяются по закону
Гаусса, найдем среднее квадратическое значение суммарной погрешности
в виде
oj. =	4~	(IV.35)
Максимальная суммарная ошибка будет
Д/?гаах-Зо£.	' (IV.36)
Индуктивные устройства. Действие индуктивных устройств основано
на изменении индуктивного сопротивления катушки датчика при переме-
щении стального якоря. Схема простейшего индуктивного устройства по-
казана на рис. IV.8, а. Входной величиной устройства является воздуш-
ный зазор 6, выходной — ток i при заданном напряжении:
где z — R* + (юА)г— кажущееся сопротивление катушки 1 датчика.
Индуктивность L катушки может быть вычислена по формуле
ю-e,	(IV.37)
где w — число витков катушки; S — сечение магнитопровода.
Активное сопротивление обмотки намного меньше индуктивного сопро-
тивления, т. е. R <£ (oL, поэтому без большой погрешности можно считать,
что	г « (»L = °’2yS(0 IO"8;	(IV.38) i = JL =	;	(IV.39)
тогда чувствительность элемента определяется по формуле
di и- 108
dd 0,2ли»а5ш ’
(IV.40)
Вид характеристики индуктивного элемента показан на рис. IV.8, б.
Линейность характеристики сохраняется только в пределах некоторой зоны
и нарушается, когда активное сопротивление становится сравнимым с ин-
дуктивным.
Недостатком индуктивных устройств является зависимость их от ча-
стоты напряжения и. Индуктивные устройства применяются для частот не
выше 5000 Гц, так как при высоких частотах резко растут потери на пере-
магничивание и индуктивное сопротивление обмотки.
84
Рис. IV.9. Дифференци-
альное индуктивное уст-
ройство
Если два одинаковых индуктивных устройства соединить по диффе-
ренциальной схеме, как это показано на рис. IV.9, то получим так называе-
мый дифференциальный индуктивный прибор. Схема такого прибора дана
на рис. IV.9, а. Для среднего положения якоря имеем б1=б2 = боиин = 0.
При отклонении якоря от среднего положения на выходе прибора по-
является напряжение ип, которое растет по мере увеличения этого откло-
нения. Для двух отклонений, одинаковых по величине, но различных по
знаку, значения ин отличаются только фазами, которые противоположны.
На рис. IV.9, б показана характеристика дифференциального прибора.
Чувствительность duH/d6 может быть вычислена по характеристике как
тангенс угла между касательной к кривой и„ (б) и осью б.
Преимущества дифференциального индуктивного устройства по сравне-
нию с простыми заключаются в большей чувствительности и значительно
меньшей погрешности от колебаний температуры и напряжения питания.
Емкостные устройства. У емкостных устройств входной величиной
является линейное или угловое перемещение, а выходной — электриче-
ская емкость. Примеры емкостных устройств приведены на рис. IV. 10.
Первое из них (рис. IV. 10, а) относится к плоским конденсаторам. Емкость
такого конденсатора определяется по формуле
С = -^~,
где 8 — диэлектрическая постоянная; S — активная площадь конденсатора;
х — расстояние между пластинами.
При изменении расстояния х между пластинами будет изменяться
емкость конденсатора. Чувствительность устройства
dC __ eS
dx 4лх2'
(IV.41)
На рис. IV. 10, б показан емкостный датчик с угловым перемещением а.
Емкость такого конденсатора
’ ..........с=тД-(1	~
4ла \ л )
где S — активная площадь конденсатора при а = 0; d — расстояние между
пластинами.
Рис. IV. 10. Емкостные
устройства
85
а)	б)
Рис. IV. 11. Конструкция сельсинос в зависи-
мости от расположения обмотки возбуждения
Чувствительность устройства
=	(IV.42)
da 4n2rf	v '
На рис. IV. 10, в показано ци-
линдрическое емкостное устройство.
Емкость такого конденсатора зави-
сит от осевого перемещения вну-
треннего цилиндра и выражается
формулой
С = —
1п^-
где х — величина перекрытия внутреннего цилиндра наружным; rt — ра-
диус внутреннего цилиндра; га — радиус внешнего цилиндра.
Чувствительность устройства будет
de
dx
8
rl
(IV.43)
Необходимо отметить, что использование емкостных устройств на
частоте до 50 Гц без большого усиления невозможно, так как они представ-
ляют собой большое сопротивление для прохождения тока.
К недостаткам емкостных устройств относятся необходимость усиления
выходного сигнала; потребность в напряжении питания высокой частоты;
большое влияние паразитных емкостей.
Сельсины. В системах автоматического регулирования довольно часто
приходится измерять угловые положения валов (задающего и исполнитель-
ного) или углы рассогласования между ними. Для этой цели наибольшее
распространение получили индукционные сельсины.
По конструкции сельсины аналогичны электрическим машинам пере-
менного тока. Рассмотрим две различные конструкции сельсинов. Обмотки
возбуждения могут находиться либо на статоре (рис. IV.И, а), либо на ро-
торе (рис. IV. 11, б). Если обмотку возбуждения выполняют однофазной
и располагают на статоре, статор выполняют с явно выраженными полюсами.
В этом случае на роторе помещаются три обмотки, соединенные в звезду,
причем магнитные оси обмоток сдвинуты между собой на 120°. Три конца
этих обмоток выводятся на три кольца коллектора.
Если обмотку возбуждения выполняют трехфазной и располагают на
статоре (рис. IV. 1.1, б), то ротор делают явно выраженным и на него укла-
дывают однофазную обмотку. Эту обмотку присоединяют к двум коллек-
торным кольцам. Сельсины конструкции первого типа имеют большие га-
баритные размеры, которые получаются за счет увеличения размера статора,
но обладают более высокой точностью балансировки ротора. Сельсины
с явно выраженным ротором имеют малые габаритные размеры и большой
дисбаланс.
Оба типа рассмотренных нами сельсинов можно применять в двух
различных режимах работы: силовом (индикаторном) и трансформаторном.
Схема включения сельсинов в двигательном режиме. В этом случае
имеются два сельсина: сельсин-датчик СсД и сельсин-приемник СсП, ро-
торы которых включены в общую однофазную цепь переменного тока
(рис. IV. 12). Статорные обмотки сельсина-датчика St, Sa и S3 соединены
со статорными обмотками сельсина-приемника SI, Sj, S3.
При повороте ротора сельсина-датчика на угол а в цепях его статора
создадутся токи , ц, ta. и i8# которые вызовут магнитный поток в обмотке ста-
тора сельсина-приемника. Взаимодействие этого потока с магнитным пото-
86
ком ротора сельсина-приемннка
вызовет вращающий момент
Мссп, и ротор сельсина-прием-
ника повернется на угол р.
Величина этого момента
может быть определена по фор-
муле
МСсп = (а — ₽), (IV.44)
где Мтз11 — максимальный, или
опрокидывающий момент сель-
сина, определяемый его пара-
метрами; а — р = 0 — угол
рассогласования.	рис Схема включения сельсинов в двигатель-
Зависимость /Иссп от угла ном (индикаторном) режиме
рассогласования для сельсинов,
работающих в силовом режиме, показана на рис. IV. 13. Кривая 1 соответ-
ствует сельсинам с неявно выраженными полюсами, а кривая 2 — сельсинам
с явно выраженными полюсами. Из рис. IV. 13 видно, что при малых углах
рассогласования
МСС.П = (а - Р).
(IV.45)
С точки зрения уменьшения ошибки, а следовательно, повышения
точности большое значение имеет крутизна характеристик
£сеп
при е->о.
(IV.46)
Из рис. IV. 13 видно, что большей крутизной обладают сельсины с явно
выраженными полюсами. При некоторой нагрузке на валу сельсина-прием-
ника Л4сспн в системе образуется некоторый угол рассогласования 0Н,
величина которого определяется по формуле
I МссПй.
“ 5ссп„ ‘
(IV.47)
Силовая схема включения сельсина отвечает принципу обратимости,
т. е., поворачивая сельсин-приемник на угол р, получим
AfEcn = Afffl„(P-a).	(IV.48)
Если оба сельсина — датчик и приемник одинаковы, то Мсеп =
— Мссп- Оба эти момента стремятся уравнять углы Р и а, и при их ра-
венстве моменты М'ссп и Мссп обращаются в нуль. Отсюда следует, что
момент вращения сельсинов имеет синхрони-
зирующий характер.
Рассмотрим случай, когда ротор сельсина-
датчика равномерно вращается с угловой ско-
ростью соР1, причем отношение (ор1/(о мало;
здесь со — основная угловая частота питающей
сети.
Для вычисления момента Л4Ссп можно
пользоваться предыдущей формулой, в кото-
рой аир будут теперь переменными величи-
нами. Для произвольного момента времени
имеем
Рис. IV. 13. Зависимость син-
хронизирующих моментов от
угла рассогласования сельсинов,
включенных в двигательном ре-
жиме
а » «о -j-
87
В этом случае для установившегося режима можем написать
МСспн = Мщах (а0 4* ШР1^ — Р)»
откуда
а. + Ши(_₽_^Ь.	(1V.49>
*Г1шах
Л^СсП
При малых значениях 0 можно принимать 0 = -п—
^тах
Дифференцируя уравнение а0 сор1/ — 0 = 0, получим
®pi —	— ®Р2> Р = (ао + ®Р10 — 0-	(IV.50)
Величина гора — угловая скорость сельсина-приемника. Полученная
формула позволяет сделать вывод, что ротор сельсина-приемника в уста-
новившемся режиме вращается с той же скоростью, что и ротор сельсииа-
датчика. Но отработанный угол приемника меньше соответствующего угла
датчика на величину ошибки 0.
Если сельсин-датчик и сельсин-приемник работают с одной углово’й
скоростью и их заданные и отработанные углы равны, то говорят, что сель-
сины работают синфазно. Обычно погрешность синфазности в установив-
шемся режиме не превышает угловой ошибки 0. Чтобы уменьшить погреш-
ность синфазности, необходимо уменьшить, по возможности, момент /Исепи,
т. е. момент трения и других сопротивлений вращению ротора сельсина.
При Л4сспи = 0 имеем 0 = 0, и сельсины работают синфазно.
Схема включения сельсинов в трансформаторном режиме. Назначение
трансформаторной сельсинной схемы — создавать выходное напряжение,
которое по величине и знаку однозначно определяется углом рассогласова-
ния между сельсинами. Схема включения сельсинов в трансформаторном
режиме изображена на рис. IV. 14.
Сельсин-датчик связан с задающим валом, а сельсин-приемник :—
с выходным валом. Напряжение на зажимах обмотки ротора сельсина-
приемника Е является выходным напряжением схемы.
Допустим, что роторы обоих сельсинов неподвижны и образуют с первой
фазой статоров Sal и Sbl соответственно углы а и р. Тогда можно показать,
что в обмотке ротора сельсина-приемника индуктируется напряжение
£'2 = £'2n,axcos(o/cos(₽ —a).	(IV.51)
При р = л/2 имеем
= ^2шах cos tot sin а.	(IV. 52)
Таким образом, при неподвижном роторе и р = л/2 выходное напря-
жение сельсина-приемника пропорционально синусу угла поворота ротора
сельсина-датчика.	• 
Рис. .IV. 14, Схема включения
сельсинов в трансформаторном
режиме
88
Закрепим • -= ротор, сельсина-приемника
на исполнительной оси таким образом, чтобы
обмотки фаз ротора при неподвижной оси
были смещены относительно соответствую-
щих обмоток статора на угол л/2 в сторону
вращения.
При повороте исполнительной оси на
угол р обмотка ротора будет смещена отно-
сительно обмотки статора на угол Р + л/2.
Тогда выходное напряжение будет
Рис. IV.15. Схема дифференциаль
него сельсина
Е2 = £amax cos oV cos (р + — а) = E2iaax cos со/ sin (а — р), (IV.53)
т. е. пропорционально синусу угла рассогласования между командной и
исполнительной осями.
Если оба сельсина вращаются соответственно со скоростями соа и а>ь,
то углы р и а становятся переменными величинами, т. е.
а = а0-(-<оа/; 0 = 0о-]-(оь/.
Формула (IV.53) примет вид
Еа = ^amax cos Sin [а0 — Ро + (®а — «(,/].	(IV.54)
При ро = а о получим
Еа = ^amax cos sin (®а — М)-	(IV.55)
В этом случае выходное напряжение Д2 будет иметь частоту модуляции,
зависящую от разности угловых скоростей сельсина-датчика и сельсина-
приемника. При соа = значение Е2 обращается в нуль. При малых углах
рассогласования формулу (IV.55) можно привести к виду
E2 = ^(a-P) = ^0,	(IV.56)
где kt — коэффициент трансформации сельсинной схемы.
Дифференциальный сельсин. -Дифференциальный сельсин состоит из
трехфазного ротора и трехфазного статора (рис. IV. 15). Обмотки ротора
и статора дифференциального сельсина соединены по схеме звезда. При
включении дифференциального сельсина в сельсинную схему, как это пока-
зано на рис. IV. 16, можно вводить дополнительный угол рассогласования Pj
на ротор сельсина-приемника.
Повернем ротор сельсина-датчика на угол а, а ротор дифференциаль-
ного сельсина ДСс на угол тогда результирующий магнитный поток
Рис. IV. 16. Схема вклю-
чения дифференциального
сельсина в сельсинную схе-
му
89
статора сельсина-приемника будет повернут на угол a -f- и выходное
напряжение
fa = £2fflai cos ы/sin (а 4-— Р)	(IV.57)
или
Е3 = Е?„„, cos at sin (0 -f- PJ.	(IV.58)
При малых углах поворота
£а = М0 + 1М-	(1V.59)
Итак, дифференциальный сельсин увеличивает угол рассогласования
системы на угол Pj. Изменяя направление вращения ротора дифференциаль-
ного сельсина, получим
Ег = k, (0 - pj.	(IV.60)
На основании математических зависимостей (IV.59) и (IV. 60) можно
установить, что дифференциальные сельсины служат для введения допол-
нительных поправок в сельсинную трансформаторную схему.
Погрешность сельсинов. Точность дистанционной передачи сельсинами
угловых перемещений зависит от моментов трения и нагрузки на валу сель-
сина-приемника, конструкции ротора, а также от качества выполнения
сельсинов (в частности, от точности балансировки роторов и идентичности
параметров сельсина-датчика и сельсина-приемника). Ошибка сельсинов
может иметь положительное Д9+ и отрицательное Д&- значения. Класс
точности силовых сельсинов зависит от среднего арифметического значения
этих двух ошибок:
де = АУ <А6.~.	(iv.61)
Для силовых сельсинов установлены следующие классы точности:
Класс точности сельсина....... I II III IV
Максимально допустимая ошибка,
град........................=t0,75 =Ы,5 —2,5 2=5
Точность сельсинов в трансформаторном режиме, также зависит от
максимально допустимой ошибки сельсинной пары. Для уменьшения вели-
чины этой ошибки применяют повышающие механические передачи между
сельсинами, обеспечивающие точный СсД2 (СсП2) и грубый СсДг (СсПг)
отсчеты. На рис. IV. 17, а показана схема включения сельсинов с точным
и грубым каналами (см. также схемы рис. 11.13). В этом случае максимально
допустимая погрешность будет определяться зависимостью
Д0дйухк = -^-,	(IV.62)
‘ред
где 1ред — передаточное отношение сельсинного редуктора.
Для устранения ложной синхронизации передаточное число сельсин-
ного редуктора устанавливается нечетным: 1 : 23; 1 : 31 и т. д. При нечетных
числах редуктора схема изменений напряжений грубого и точного каналов
сельсинов показана на рис. IV. 17, б. Как видно, при угле рассогласова-
ния 0 = 180° по грубому каналу имеем равенство нулю напряжения сель-
синной схемы грубого отсчета. При этом на точном канале сельсинов напря-
жение будет достигать исинхр, вызывающее срабатывание синхронизатора
(см. также рис. 11.13). Из формулы (IV.62) видно, что точность работы сель-
синной схемы следящей системы с редуктором, имеющим »ред = 1 : 31,
составляет несколько угловых минут для сельсинов I и II классов точности.
90
Рис.' IV.17, Схема включения гру-
бого и точного каналов сельсинов и
изменение напряжений грубого и
точного каналов
Рис. IV. 18. Схема центробежного
тахометрического датчика
Устройства для замера угловых скоростей. Одними из наиболее распро-
страненных устройств для измерения угловых скоростей вращения являются
центробежные тахометры. Схема одного из простейших центробежных тахо-
метров изображена на рис. IV. 18. На вращающейся оси 3 с помощью шар-
ниров и четырех рычагов 2 закреплены две массы 1. Поджатая пружина 4
надета на ось <3 между двумя ползушками (подвижной нижней и неподвиж-
ной верхней). Вращение оси передается через зубчатое колесо 5. При вра-
щении оси с угловой скоростью от массы 1 симметрично расходятся, пере-
мещая нижнюю ползушку до тех пор, пока сила пружины не уравновесит
инерционные силы двух масс.
Составим уравнение движения центробежного тахометра. Вращающиеся
массы будут расходиться под действием центробежной силы
/ц = Лтш2г,	(IV.63)
где ki — постоянная, зависящая от конструкции тахометра; г — расстоя-
ние от оси вращения до центра масс.
С изменением угловой скорости массы тахометра будут раздвигаться,
перемещая при этом на величину х нижнюю ползушку. Перемещение масс
(радиус г) связано зависимостью с величиной х:
г = г (х).	(IV.64)
Подставим зависимость (IV.64) в уравнение (IV.63) и разложим его
в ряд Тейлора, пренебрегая членами разложения выше первого; тогда по-
лучим
/и = AstcoqAq -j- 2Атсо(/о A® -f- ^т®о	(IV.65)
91
Уравнение перемещения нижней ползушки запишем в виде
^п$ = /ц-/с,	(IV.66)
где тп — приведенная к ползушке масса всех подвижных частей тахометра;
fc — сила сопротивления, препятствующая перемещению нижней пол-
зушки, которая зависит от жесткости пружины, силы трения ползушки, т. е.
/с = ЛсДх + Яо + Я *L+G0,	(IV.67)
где kc — коэффициент жесткости пружины; Ro— сила предварительного
натяжения пружины; D — коэффициент скоростного трения; Go — вес
грузов.
Подставим выражения (IV.65) и (IV.67) в уравнение (IV.66); тогда
получим
щп — ^т^>оГо 4- 2^т«>ого Дсо 4-
+ ^тсоо(4') Дх-^Дх —7?о —Go.	(IV.68)-
\ С1Л f	ul
Для установившегося состояния масс тахометра имеем
Go Ro =	(IV.69)
Используя последнее уравнение из выражения (IV.68), получим
тп 4- D 4- f kc — k^o №- ) 1 Дх = 2£Tco0re Дсо.	(IV.70)
С* 4	Ut |	\ UX J |
Как обычно, введем относительные переменные т] = Дх/хт и е =
— Дсо/соо, и тогда с помощью уравнения (IV.70) найдем
+ =	(iv.7i)
где
гр __	.	•
р ~ 2й1Ш§г0 ’
* k ' "™	О ,
2^ТШ(/о
2йтсо2г0
Введя обозначения
получим
4-n = te.	(iv.72)
Уравнение (IV.72) характеризует изменение перемещения нижней
ползушки при изменении угловой скорости вращения оси тахометра в ди-
намике.	'	'
92
/ 2 J
Рис. IV. 19. Конструктивная схема цен
тробежного импеллера
Рис. IV.20. Схема устройства для
измерения угловых ускорений
В качестве устройства для измерения угловых скоростей применяют
также гидравлические или пневматические центробежные импеллеры
(рис. IV. 19). Вал 3 сообщает угловую скорость вращения крыльчатке 1.
Крыльчатка расположена в корпусе 2. Рабочая жидкость (или газ), попадая
через отверстие 4 в датчик, создает на его выходе давление р, зависящее
от плотности жидкости (газа),-и угловой скорости:
р = Ро +®2 (ri — го2),	(IV.73)
где v — плотность жидкости (газа); rlt г0 — радиусы крыльчатки импеллера.
Уравнение (IV.73) в приращениях можно записать в виде
е = /гимт],	(IV.74)
где
До»	Др
е — —; т1 = —;
шт	Рт
Ь —	8Рт
и“	(4 — 4) '
Момент инерции крыльчатки импеллера мал и это позволяет считать
его безынерционным, что указывает на справедливость выражения (IV.74).
Устройства замера угловых ускорений. При неравномерном вращении
маховика 1 (рис. IV.20), от действия углового ускорения w образуется
смещение диска 3 с прорезями 4 относительно неподвижного диска 5. За счет
этого смещения изменяется освещенность фотоэлементов 6. В результате
этого напряжение на выходе фотоэлементов будет пропорционально угло-
вому ускорению, т. е.
uB = kw,	(IV.75)
где k — коэффициент пропорциональности.
Пружина 2 возвращает маховик 1 с диском 3 в первоначальное поло-
жение.
С помощью этого устройства с точностью до 1% можно измерять угло-
вые ускорения в различного рода машинах и механизмах.
4.	УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА
В устройствах для измерения напряжений применяют электромеханиче-
ские элементы, положение подвижной части которых пропорционально
приложенному напряжению. На рис. IV.21, а показана схема устройства
для измерения напряжения сети переменного тока. В устройство входят
трехфазный трансформатор Тр и моментный двигатель МДв. При номи-
нальном напряжении ив якорь моментного электродвигателя неподвижен,
так как момент от натяжения пружины уравновешивает момент двигателя.
93
a)
Рис. IV.21. Схемы устройств для измерения
напряжений:
а « переменного тока; б *- постоянного тока
Если напряжения ив отличаются от
номинального на &ugi то планка
повернется'на угол а, т; е.
а = АД«в, (IV. 76)
где k — коэффициент пропорцио-
нальности.
Можно представить . устройство
другого типа для измерения напря-
жения (рис. IV.21, 6). В зависимости
от угла поворота рамки (5 изменяется
напряжение ив, снимаемое с ее вы-
ходных клемм:
+ = kua ~ sin 0,	(IV.77)
где wr — число витков катушки для подмагничивания; w2 — число витков
рамки; k — коэффициент пропорциональности; «п — напряжение питания.
При малых углах 0 выражение (IV.77) можно представить в виде
«. = *’₽;	(IV.78)
здесь
— kunw4
I4»i
Устройства для измерения тока выполняют часто в виде мостовых
схем. На рис. IV.22 показана схема моста Уитсона. За счет изменения вели-
чин /?, в плечах моста изменяется ток j6. Величина этого тока может быть
найдена из уравнений контуров ABCDE, ABD, BCD и уравнений токов
в точках А, В и D, т. е.
^2*2 ~Ь “Ь ^4^4 — +	К»1в‘>
T?ai2 + Rih — Rih = 0;
Rih ^4^4 '	2== Q»
h — h + !2>
ig — is + i5;
h = h + h-
Из решения данной системы уравнения найдем
4 = Я» («1 + «4) V?a + Н3) + R„ («! + Яа) (Rs + Я4) + КЛ (Яа + Я8) + “г
+ А’аА’з (#i -f- /?4) + RBRe (Ri + R2 + + + Rp
(IV.79)
(IV.80)
5.	УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУР
И ИЗЛУЧЕНИЙ
Наибольшее применение в системах автома-
тического регулирования для измерения темпе-
ратуры получили термометры сопротивления, тер-
мисторы и термопары.
Термометры сопротивления служат для изме-
рения температур от —170 до +700’ С. В качестве
материалов термометров сопротивлений исполь-
зуют металлы, полупроводники и жидкости,
94
Рис. IV.22. Схема устрой-
ства для измерения тока
у которых электрическое удельное сопротивление изменяется при измене-
нии температуры.
В небольшом диапазоне температур, где температурный коэффициент
сопротивления можно считать постоянным, сопротивление проводника при
температуре можно определить по формуле ’•
7?о = /?о11+а («’ — «•о)].
(IV.81)
где — сопротивление проводника при температуре Фо.
Числовые значения коэффициентов а в 1/°С приведены ниже:
Алюминий ....................
Железо (сплавы)..............
Платина .....................
Уголь............  ........	.
Электролиты .................
0,0045
0,002—0,006
0,0039
—0,0007
—(0,02—0,09)
Термометры сопротивления включаются в мостовые схемы. С помощью
таких схем можно измерять температуры до 200° С с ошибкой, не превы-
шающей 0,001° С. При температурах порядка 700° С ошибка достигает
0,05° С.
Термисторы — твердые полупроводники с большими значениями тем-
пературных коэффициентов сопротивления. Зависимость удельного сопро-
тивления от температуры для термистора можно представить в виде экспо-
ненциального закона
Ре = pae^~s^,
(IV.82)
где р0 и ро — удельное сопротивление термистора соответственно при тем-
пературах О0 и О (в градусах Кельвина); В — постоянная, зависящая, от
материала термистора (~4000). Большинство термисторов обеспечивают
измерение температур в диапазоне от 60 до 120° С с точностью до 0,0005° С.
Термопара представляет собой цепь, состоящую из двух сваренных
проводников, выполненных из различных материалов. При нагревании
спая в цепи возникает термо-ЭДС, которая поступает на измерительную
схему.
В автоматических системах обычно применяют металлические термо-
пары: высокотемпературные (до 1600° С), имеющие один электрод из чистой
пластины, а другой из сплава, содержащего 90% платины и 10% родия;
полупроводниковые — с одним электродом из борида циркония и другим
из графита; среднетемпературные (до 1200° С), состоящие их хромеля (сплав:
90% никеля и 10% хрома) и алюмеля (сплав: 95% никеля и 5% алюминия,
кремния и марганца) из хромеля и копеля (сплав: 55% меди и 45%
никеля).
Концы термопары, присоединяемые к потенциометрической схеме,
называют холодным спаем, а собственно
лирования, — горячим спаем. Естест-
венно, что термо-ЭДС термопары зави-
сит от температуры как горячего, так
и холодного спаев. Изменения темпера-
туры холодного спая обычно компенси-
руются мостовой схемой, в которую
вводится термометр сопротивления RK,
измеряющий температуру холодного
спая (рис. IV.23). Для установки задан-
ной температуры при использовании
потенциометрической схемы служит
резистор /?р, изменяющий напряжение
моста иаб.
спай, находящийся в объекте регу-
95
i
Рис. IV.24. Схема ионизационной
камеры
Рис. IV.25. Характеристика иониза-
ционной камеры
Зависимость термо-ЭДС от температуры для термопар можно опре-
делять по формуле
ев = Дд + -А да + 4 б3,	(IV.83)
где б — температура одного из спаев; второй спай находится при темпе-
ратуре б = 0° С. Постоянные Л, В и С зависят от материалов, из которых
изготовлена термопара.
Ниже приведены значения термо-ЭДС (в мВ), которые можно снять
с термопары, один из электродов которой выполнен из платины:
Кремний.............. 44,8	Никель ............ —1,5
Хромель............ 2,4	Константан......... —3,4
Железо ............... 1,8	Молибденит.........—(69—104)
Приведенные значения определены при температуре горячего спая
100° С и холодного спая б = 0° С.
Измерение параметров нейтронных потоков и у-излучений выполняют
с помощью различного рода газонаполненных детекторов. Заряженная
частица, попадая в объем камеры, производит ионизацию газа. На рис. IV.24
показана схема ионизационной камеры с расположенным в ее середине
металлическим электродом 1. Одна из стенок камеры 2 служит вторым
электродом.
Характеристика камеры (рис. IV.25) разделена-на пять участков.
Участок 1 соответствует слабому полю, так как разность потен-
циалов малая. При этом ионы притягиваются недостаточно, и многие из
них рекомбинируют, прежде чем достигнут электродов.
Участок 2 имеет более высокую разность потенциалов, когда
рекомбинация ионов отсутствует и ток камеры выдерживается постоянным.
Участок 3 соответствует значительному уровню разности потен-
циалов, и первичные электроны, приобретая большую скорость, вызывают
вторичную ионизацию. При этом наблюдается существенное нарастание
тока камеры.
Участок 4. При дальнейшем увеличении разности потенциалов
образуются положительные заряды с высокой энергией, достаточной для
выбивания из катода вторичных электронов, которые приводят к нара-
станию тока.
Участок 5. На этом участке лавинный процесс устанавливается,
и ток имеет постоянное значение.
Ионизационные камеры обычно работают на втором участке. Зависи-
мость между измеряемым током насыщения в камере и мощностью дозы на
оси камеры определяется по формуле
i = 3,3- lO’WP,	(1V.84)
где V — объем камеры, см3; Р — мощность дозы на оси камеры, рентген/с.
96
Ионизационные камеры применяют в качестве детекторов нейтронов.
Так как нейтроны не имеют электрического заряда, то они не могут непо-
средственно ионизировать газ в камере, поэтому нейтроны действуют на
камеру следующим образом. Сначала нейтрон образует в камере заряженную
частицу, которая вызывает ионизацию. Затем от действия ионизации в ка-
мере возникает электрический ток.
Регистрация нейтронов основана на явлении упругого рассеяния их
на ядрах, т. е.
п = n0No (£„),	(IV.85)
где п — число зарегистрированных нейтронов; п0 — число нейтронов,
поступающих на детектор; N — число ядер в единице объема; а — сечение
упругого рассеяния нейтронов на ядрах детектора; Еи — энергия нейтрона.
6.	УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЙ И РАСХОДОВ
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Устройства, предназначенные для измерения давления, можно разде-
лить на две группы. К первой относятся устройства, воспринимающими
элементами которых служат различные механические упругие элементы.
Деформация последних преобразуется в измерительный сигнал с помощью
соответствующего преобразователя. Выходной сигнал в данной группе
измерительных устройств формируется с помощью емкостных, тензометри-
ческих, индуктивных элементов. В устройствах этой группы ограничителем
верхнего предела динамического диапазона в большинстве случаев является
упругий элемент, который при приближении частоты измеряемого давления
к частоте его собственных колебаний является источником резонансных
искажений.
Ко второй группе устройств измерения давления относятся такие
устройства, в которых воспринимающим элементом является магнитоупру-
гий элемент (стакан). При изменении давления изменяется магнитная про-
ницаемость стакана.
В соответствии с изложенным выше рассмотрим два типа наиболее упо-
требляемых устройств для измерения давления: сильфонные и магнито-
упругие.
Сильфонные устройства для измерения давления газов состоят из гоф-
рированной трубки 1 (рис. IV.26),' рейки 2 и зубчатого колеса 3, связанного
со щеткой потенциометра 4. Под действием давления р сильфон растяги-
вается и перемещает рейку. При этом зубчатое колесо будет перемещать
ползушку потенциометра, изменяя снимаемое с выхода потенциометра напря-
жение
“вых = kp.	(IV.86)
При измерении давления жидкостей применяют другую конструктив-
ную схему сильфонного устройства (рис. IV.27). Жидкость под давлением р
поступает в полость сильфона. Сильфон, растягиваясь, перемещает пол-
зушку потенциометра. Уравнение этого процесса
+	+V==^cP,	(IV.87)
где х — перемещение рейки сильфона; D — коэффициент вязкого трения;
kc — коэффициент упругости сильфона; Fc — площадь сильфона.
Из уравнения (IV.87) можно получить
+ x =	(iv.88)
Rq dt Rq dt	Rq
4 Иващенко H H
97
0
Рис. IV.26. Сильфонный
датчик для измерения дав-
ления газов
Рис. IV.27. Сильфонный
датчик для измерения дав-
ления жидкостей
Рис. IV.28. Магнито-
упругий чувствительный
элемент датчика давления
или после введения обозначений
+ x =	(IV.89)
где	Т = 1/ г	Rq	(IV.90)
	2 V kcmx	(IV.91)
Действие магнитоупругих устройств измерения давления основано на
свойстве изменения магнитной проницаемости некоторых материалов при
воздействии сил сжатия или растяжения. Конструктивно магнитный эле-
мент датчика давления выполняется в виде стальной трубки 1 (рис. IV.28),
на которую напрессовывается трубка 2 из инвара. Внутри помещается
катушка дросселя 3. Давление р, поступающее на вход трубки 1, вызывает
растяжение трубки 2, что приводит к изменению ее магнитной проницае-
мости. Изменение магнитной проницаемости определяется коэффициентом
самоиндукции дросселя
== 0,4л®210-8	,	(IV.92)
где w — число витков катушки; I — длина магнитопровода; р. — магнитная
проницаемость материала; F — площадь поперечного сечения магнито-
провода.
Дроссель включается в мостовую схему и при изменении индуктивности
дросселя меняется ток в диагонали моста, который пропорционален вели-
чине давления.
Устройства данного типа обладают высоким быстродействием и малыми
габаритами; применяют их.при измерении высоких давлений.
Устройства для измерения расхода также можно разделить на два
класса: объемные и массовые. К объемным устройствам относятся тахо-
метрические расходомеры, ультразвуковые и тепловые. В массовых расходо-
мерах измеряемой жидкости (газу) сообщается дополнительное перемещение,
регистрация которого и служит мерой расхода.
Тахометрические расходомеры относятся к скоростным расходомерам,
в которых момент на крыльчатке создается кинетической энергией измеряе-
мого потока (рис. IV.29).
98
Если крыльчатка обтекается несжимаемой жидкостью, то уравнение
движения крыльчатки имеет вид
(IV.93)
где J — момент инерции крыльчатки; со — угловая скорость крыльчатки;
Q— объемный расход; Аъ Л2, Л3 — постоянные коэффициенты, опреде-
ляемые выражениями
^ж.н
(IV.94)
л
Лз = Р т- е2;
здесь X — коэффициент сопротивления, являющийся функцией числа Рей-
нольдса Re; I — ширина крыльчатки; р — плотность жидкости; h — шаг
лопасти крыльчатки; J'x — полярный момент инерции жидкости в сечении
потока, перпендикулярном к оси крыльчатки; 5Ж — площадь сечения по-
тока жидкости, перпендикулярного к оси вращения крыльчатки; J„ —
полярный момент инерции жидкости в нормальном сечении; 5Ж-Н — пло-
щадь проходного сечения крыльчатки в нормальном сечении.
Действие ультразвуковых расходомеров основано на различии в ско-
рости распространения ультразвуковых колебаний в движущейся и не-
подвижной средах.
На рис. IV.30 показана схема расходомера такого типа с двумя пьезо-
элементами 1 и 2, установленными в трубе, по которой течет жидкость со
скоростью V. Коммутатор 3 попеременно соединяет с пьезоэлементами гене-
ратор 4 и фазометрический усилитель 5. В результате этого пьезоэлементы
действуют сначала как излучатели, а затем как приемники.
Мгновенное значение напряжения, приложенного к излучающему
пьезоэлементу,
Ui = «1шах sin at,	(IV.95)
где ulraax — максимальное значение напряжения на излучающем пьезо-
элементе.
Напряжение на принимаемом пьезоэлементе после прохождения ультра-
звуковых колебаний через движущуюся жидкость
«2 = «2шах Sln ® Ц — Т),
(IV.96)
4’
Рис. IV.29. Схема тахометриче-
ского расходомера
где м2шах— максимальное значение нап-
ряжения на принимающем пьезоэлемен-
те; т — время распространения ультру-
звуковых колебаний на расстоянии L.
Рис. IV.30. Схема ультразвуко-
вого расходомера
99
Разность фаз между исходным колебанием и колебанием, проходящим
по потоку,
=	(1V.97)
где с — скорость распространения ультразвука в жидкости; и — скорость
потока.
Разность фаз между исходным колебанием и колебанием, проходящим
против потока,
= (IV’98>
Результирующая разность фаз
(IV.99)
При с2 > о2 из выражения (IV.99) получим
(IV. 100)
Чтобы исключить влияние скорости распространения ультразвука
в различных жидкостях, величины напряжений в фазометрическом усили-
теле запишем в виде
=	(IV.101)
1	с4~г>	2 с — и ’	'	'
где k — коэффициент пропорциональности.
Определим значения токов в усилителе:
. __ fej (С + V}. .	(<: — v)
ч----------k ’ - k ’
(IV. 102)
откуда найдем, что
Д i = j; - i8 =	= k'v,	(IV. 103)
здесь
R - k
При постоянном сечении трубопровода скорость потока пропорцио-
нальна расходу.
Принцип действия тепловых расходомеров основан на определении ско-
рости потока по охлаждению нагретого тела, помещенного в поток, либо
по переносу тепловой энергии между двумя точками, расположенными вдоль
потока. В зависимости от этого тепловые расходомеры могут быть разделены
на две группы: с термоанемометрическими и с калориметрическими преоб-
разователями контактными (рис. 31, а) и бесконтактными (рис. IV.31, б).
Тепловые расходомеры — это сложные динамические звенья, поведе-
ние которых в переходных процессах после скачкообразного изменения
расхода с определенной степенью приближения описывается дифференциаль-
ным уравнением первого порядка:
+ ^ = £ДСМ,	(IV.104)
где д — обобщенная температура приемного преобразователя; ДСИ — изме-
нение расхода; k — коэффициент передачи; Т — постоянная времени, кото-
рая в общем случае имеет вид
(IV. 105)
100
здесь tn — масса всех частей приемного <?	. 0 г\ t \2
преобразователя; с — усредненный I________________1_. и  □_£3—□—
коэффициент теплоемкости; X — сум- —Ч	——
марный коэффициент теплоотдачи окру-	‘—4------4—-*	-----□
жающей среде и потоку; S — площадь 00
соприкосновения преобразователя с по-	®
током И окружающей средой.	рш, IV.31. Схема тепловых расходомеров:
МпССОвЫв раСХОдоМерЫ. В зависи- /— нагреватели; 2 — измерители температуры
мости от того, какое дополнительное
движение сообщается потоку — вращательное или колебательное, чувстви-
тельный элемент реагирует на усилие Кориолиса, гироскопический эффект
или вращающий моменты, которые будут пропорциональны массовому
расходу жидкости.
7.	УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВЫХ ВЕЛИЧИН,
УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ И ЛИНЕЙНЫХ УСКОРЕНИЙ
ПОДВИЖНЫХ ОБЪЕКТОВ
В качестве устройств для измерения углов и угловых скоростей подвиж-
ных объектов применяют гироскопические приборы. С помощью гироскопи-
ческих приборов определяют также курсовые углы и направление истинной
вертикали в летательных аппаратах. Для повышения точности этих измери-
тельных устройств пользуются различного рода корректирующими устрой-
ствами (магнитный компас, физический маятник, астроследящие системы
и т. п.). Такие гироскопические приборы называют гироскопическими ста-
билизаторами. Существуют одноосные, двухосные и трехосные гироскопи-
ческие стабилизаторы.
Одноосные гироскопические стабилизаторы. У стабилизаторов этого
типа ось Ог ротора 1 (рис. IV.32) с помощью разгрузочного устройства (элек-
трический двигатель 4 и редуктор 3) удерживается на направлении, перпен-
дикулярном к плоскости наружной рамки 2.
Принцип действия такого стабилизатора состоит в следующем. От
действия возмущающего момента Му относительно наружной рамки возни-
кает угловая скорость прецессии р и появляется гироскопический момент
МГ = Н$, направленный в сторону, противоположную моменту Му. При
увеличении угла поворота р возрастает напряжение Un, снимаемое с потен-
циометра 6. Это напряжение усиливается в электронном усилителе 5 и
поступает на моментный двигатель 4, который создает разгрузочный мо-
мент Мр, совпадающий по направлению с гироскопическим. В результате
момент внешних сил уравновешивается
суммой двух моментов (гироскопическим
и разгрузочным).
Будем считать, что разгрузочное уст-
ройство можно описать следующим выра-
жением:
Мр = —брр.	(IV. 106)
В этом случае при малых углах р
одноосный стабилизатор можно описать
уравнениями
4-£д₽-#а = 0;
Jo а 4- &Да 4- ДР = — &рР 4- Ме,
где Jp — момент инерции рамки; йд и
£д — коэффициенты скоростного трения;
Н — кинетический момент ротора; Jo —
момент инерции ротора.
Рис. IV.32. Схема одноосного гиро-
скопического стабилизатора
(IV. 107)
101
5
Рис. IV.34. Схема трехосного гироскопиче-
ского стабилизатора
Из соотношения (IV. 107) исключим 0, тогда уравнение одноосного
стабилизатора будет иметь вид
Jo7pa<! ' + (*^Р^Д "Ь Л>^д) а +
-j- (/У2 + £д^д) а + Н^₽а = Му.
Одноосные гиростабилизаторы обычно являются частью двухосных
или трехосных стабилизаторов.
Двухосные гироскопические стабилизаторы. Платформа двухосного ги-
ростабилизатора (рис. IV.33) имеет две степени свободы относительно ле-
тательного аппарата. Карданов подвес гиростабилизатора состоит из плат-
формы 1, представляющей собой внутреннюю рамку, и наружной рамки 2.
На платформе установлены два двухстепенных гироскопа 4 и 9. Углы пово-
рота кожухов гироскопов измеряются датчиками 13 и 14, сигналы с кото-
рых поступают через электронные усилители 7 и 10 на моментные электро-
двигатели 5 и И. Эти электродвигатели и редукторы 6 и 12 являются раз-
грузочными устройствами. Для управления положением платформы при-
менены моментные датчики 3 и 8.
Двухосные гиростабилизаторы обеспечивают стабилизацию платформы
в заданной плоскости. Угол поворота наружной рамки не имеет ограниче-
ния. Угол поворота внутренней рамки ограничен примерно 50°.
Для двухосного гиростабилизатора составляют две пары дифферен-
циальных уравнений вида (IV. 107).
Трехосные гироскопические стабилизаторы. Гиростабилизаторы этого
типа обеспечивают пространственную угловую стабилизацию платформы;
применяют их в качестве измерителей курса и вертикали автопилотов.
На рис. IV.34 изображена упрощенная схема трехосного гиростабилизатора,
состоящего из платформы 2, установленной в кардановом подвесе (с вну-
тренней 1 и внешней 3 рамками). На платформе 2 установлены гироскопы 4,
9 и 11, имеющие относительно платформы по две степени свободы. На осях
платформы установлены моментные двигатели 6, 7 и 8. Углы поворота ко-
жухов гироскопов измеряются датчиками 5, 10 и 12. С помощью трехос-
102
ного гироскопического стабилизатора можно измерить углы тангажа, курса
и крена с высокой степенью точности.
В системах стабилизации летательных аппаратов в качестве устройств
для измерения углов и угловых скоростей применяют дифференцирующие
и интегрирующие гироскопы (см. гл. VIII).
В последнее время для повышения точности измерения углов откло-
нения летательных аппаратов стали/применять гироскопы, в которых отсут-
ствуют быстровращающиеся роторы. К ним в первую очередь следует отнести
вибрационные (рис. IV.35) и лазерные гироскопы.
В вибрационных гироскопах гироскопический момент возникает от
действия колебаний камертона относительно его опоры. Когда в стержнях
камертона 3 возникают колебания в противофазе, возбуждаемые устрой-
ствами 4 и 5, за счет переносной угловой скорости иг основания камертона
(точка О) появляется периодический момент кориолисовых сил. От их дей-
ствия вилка камертона на ножке 1 будет совершать колебательное движение
относительно оси Ог. Амплитуда крутильных колебаний <р, регистрируемая
датчиком 2, пропорциональна измеряемой угловой скорости со2.
Для увеличения чувствительности вибрационного гироскопа его пара-
метры подбирают такими, чтобы частоты собственных колебаний камертона
и его крутильных колебаний совпадали. В этом случае данная механическая
система близка к резонансной.
Устройства для измерения линейных ускорений подвижных объектов
(акселерометры). Пружинный акселерометр (рис. IV.36) предназначен для
измерения линейных ускорений в инерционных навигационных системах.
Как видно из рис. IV.36, чувствительным элементом акселерометра является
инерционная масса 2, подвешенная на двух пружинах 1, связанных с кор-
пусом 4, прикрепленным к летательному аппарату. При действии постоян-
ного линейного ускорения х масса т перемещается на величину h, при ко-
торой инерционная сила F* = mh, возникающая от ускоренного движения
массы, уравновешивается силой пружины Fn = ch, где с — жесткость
пружины.
Для успокоения колебаний массы применен демпфер 3, создающий
силу Гд = kvh, пропорциональную скорости перемещения массы. Выходной
сигнал UB снимается с потенциометра 5.
Уравнение движения массы для измерения линейных ускорений можно
записать в виде
mh + kuh -\-ch = тх.	(IV. 108)
Рис. IV.35. Вибрационный гиро-
скоп
Рис. IV.36. Схема устройства для
измерения линейных ускорений
103
Разделим все члены уравнения (IV. 108) на с; тогда получим
T2h + 2%Th + h = Т2х,	(IV. 109)
zr. 1 /" Ш	*	kri
где Т — ]/ —— постоянная времени акселерометра; §=—7==—сте-
т с	2 У тс
пень успокоения.
Определим зависимость динамической ошибки акселерометра от его
параметров. Для этого введем следующие переменные: п = xraax/g — пере-
грузка летательного аппарата; <оо = 1/	----собственная частота колеба-
' “max
ний массы, где/imax— максимальная величина хода массы, при которой
сохраняется линейная зависимость между UB и h, т. е. UB = k^h. Введем
безразмерное время т — aot; тогда динамическая ошибка е — ~j— (где
h0 — установившееся значение перемещения) может быть получена из
решения уравнения (IV. 109) в виде
-г sin т1 —	.
/1 _	г ъ )
Определим £opt, при котором соблюдается условие е = едоп. В этом
случае
е = е~£т
(IV. 110)
2л
т = ——=
(IV.111)
Из выражения (IV. 110) при соблюдении условия (IV. 111) найдем
n^opt
-------- е
ЁДОП
'opt .
(IV. 112)
отсюда
feOpt ---
In —
6 ДОП_____
7 i \2
+ (1ПГ-)
\ ЬДОП/
(IV.113)
Минимальное значение т = тга1п определим, подставляя £opt и е — едоп
в выражение (IV.ПО), т. е.
о ____ ~Sopt’mln
®доп — “	I COS Tmln
sin Tnun V1 -&Л. (IV. 114)
С помощью выражений (IV.113) и (IV. 114) можно найти £opt и xmln,
соответствующие различным значениям едОп. Числовые данные приведены
ниже.
6ДОП • ♦ • •	. .	0	0,025	0,05	0,1	0,25
^opt • • • •	. .	1,00	0,76	0,69	0,59	0,40
tmln • •  .	. . со	2,83	2,60	2,32	1,95
Минимальное значение времени переходного процесса определяется
по формуле
(IV.115)
Для измерения путевой скорости полета летательных аппаратов при-
меняют интегрирующие акселерометры, в которых непрерывно выполняется
интегрирование ускорения.
104
8. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ
К основным характеристикам измерительных устройств относятся
статические, динамические и информационные характеристики (показатель
информативности).
Статическая характеристика измерительных устройств определяет
функциональную связь между измеряемой величиной х и выходным сигна-
лом у, т. е. у — f (х). Весьма важной характеристикой измерительного
устройства является чувствительность.
Под чувствительностью измерительного устройства понимают отно-
шение приращения выходной величины Аг/ к приращению измеряемой
величины Ах
S = ^|. .	(IV.116)
Для непрерывных измерительных устройств можно записать
S = -|-.	(IV.117)
Для обеспечения постоянной чувствительности необходимо, чтобы
зависимость у = f (х) была как можно ближе к линейной на заданном интер-
вале измерений (xm)n, хтах).
Динамическая характеристика измерительного устройства определяется
или временем протекания переходного процесса /т1п (см. гл. XII), или часто-
той собственных колебаний и0 и степенью демпфирования £, или полосой
пропускания по частоте соп (см. гл. XIII).
Погрешности измерительных устройств. Под погрешностями измери-
тельных устройств понимают разность между результатом измерений х
и ее действительным значением х0, т. е.
Ах — х — х0.	(IV. 118)
Погрешность измерительного устройства является сложной функцией,
определяемой степенью совершенства конструкции, принципом действия
устройства, влиянием внешней среды и т. п. В связи с этим все погрешности
измерительных устройств принято разделять на методические и инструмен-
тальные. Методическая погрешность зависит от выбранного метода измере-
ния и принципа действия измерительного устройства. Инструментальные
погрешности определяются конструктивными недостатками измерительного
устройства, отклонениями от требуемых его характеристик и параметров
вследствие неточности изготовления и т. п.
Как методические, так и инструментальные погрешности принято разде-
лять на систематические и случайные.
Систематические погрешности являются или постоянными по вели-
чине и знаку, или медленно изменяющимися во времени функциями. Систе-
матические погрешности определяют путем многократных измерений одной
и той же величины при постоянных условиях. Довольно часто методические
погрешности измерительных устройств удается устранить с помощью юсти-
ровки чувствительного элемента.
Случайные погрешности изменяются неопределенным образом как по
величине, так и по знаку (см. гл. XIII) в результате проявления большого
числа различных причин (зазоры в деталях, колебания температуры и дав-
ления окружающей среды, влияние помех и шумов и т. п.). Случайные пог-
решности относятся к неустранимым.
Вследствие влияния погрешностей за измеренное значение принимают
среднее арифметическое значение х из V измерений:
1 N
x = -L^xP	(IV. 119)
105
Случайную погрешность принято оценивать средним квадратическим
значением
(IV.120)
либо предельным значением Л.
Если случайная погрешность подчиняется нормальному закону распре-
деления, то предельная погрешность
А = ± За.	(IV. 121)
Между средним квадратическим отклонением а погрешности единичного
измерения и средним квадратическим значением а погрешности среднего
арифметического имеется следующая зависимость:
(IV. 122)
где п — число замеров, для которых подсчитывается среднее арифметическое
значение.	"
Глава V
УСИЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
1. Электронные усилители. 2. Магнитные усилители. 3. Электро
машинные усилители. 4. Гидравлические усилители. 5. Пневмати-
ческие усилители. 6. Сравнительные характеристики различных
усилителей.
Сигналы, получаемые от
в большинстве случаев имеют
ственно привести в движение
датчика в основном составляет
мощность, необходимая для движения исполнительного механизма, может
быть равна нескольким киловаттам. В связи с этим необходимо применение
усилителей. В ряде случаев усилители наряду с функцией усиления мощ-
ности выполняют функцию преобразования выходного сигнала чувствитель-
ного элемента в другой вид, более удобный для работы системы автоматиче-
ского регулирования.
Усилительные элементы по виду используемой энергии можно разделить
на электрические, гидравлические и пневматические. Электрические уси-
лители обычно выполняют в виде самостоятельных элементов, а гидравли-
ческие и пневматические либо как самостоятельные элементы, либо как
составную часть исполнительных механизмов (сервомоторов).
К усилителям, используемым в системах автоматического регулирова-
ния, предъявляют следующие основные требования:
усилитель должен иметь требуемый коэффициент усиления по мощности
и другим параметрам, если он является одновременно преобразователем;
характеристика усилителя должна быть в большинстве случаев воз-
можно ближе к линейной;
зона нечувствительности усилителя не должна превышать допустимой
величины;
постоянная времени усилителя должна быть минимальна и не превы-
шать заданных пределов.
Основным показателем усилителя является его коэффициент усиления
по мощности, представляющий отношение мощности на выходе усилителя
к мощности на его входе. Выходная мощность усилителей, используемых
в системах автоматического регулирования, может составлять от долей
ватта до десятка и более киловатт. Если выходная мощность усилителя не
должна превышать 100 Вт, то обычно применяют электронные усилители
с различными схемами включения. При требованиях большей мощности
на выходе находят применение все другие виды усилителей. Большое усиле-
ние мощности можно получить от золотниковых усилителей, а также от
усилителей дроссельного типа. Коэффициент усиления по мощности в за-
висимости от принципа действия и конструкции усилителя может составлять
от 10 до 10’. Помимо усиления мощности, усилители часто выполняют функ-
ции усиления других входных параметров (перемещения, скорости и т. п.).
Для систем автоматического регулирования и вычислительных устройств,
в которых используются различного вида электрические усилители, одним
из основных показателей является статический коэффициент усиления по на-
пряжению, представляющий собой отношение приращения выходного напря-
жения ДеВых к соответствующему приращению входного напряжения Девх.
или 6 = ^22-.
В общем виде 1 * обозначим входную величину через х, а выходную че-
рез у. Характеристики усилителей, выражающие зависимость между вы-
1 Здесь под х и у понимаем любые входные и выходные параметры (напряжение, пере-
мещение, скорость и т. п.).
чувствительных элементов или датчиков,
недостаточную мощность, чтобы непосред-
регулирующий орган. Выходная мощность
величину порядка 10-4—10“8 Вт, тогда как
107
ходной у и входной х величинами при установившемся режиме, могут быть
весьма разнообразными. Основные виды этих характеристик представлены
на рис. V.I. Характеристика линейного усилителя, у которого выходная
величина пропорциональна входной на всем интервале регулирования,
показана на рис. V.1, а. На рис. 1, б дана характеристика нелинейного
усилителя, у которого в пределах рабочей зоны регулирования не соблю-
дается пропорциональность между входной и выходной величинами. К ха-
рактеристикам этого типа можно отнести также характеристики усилителя
релейного типа (рис. V.1, в) и усилителя с различными значениями тока
срабатывания и возврата (рис. V.1, г). Последняя характеристика имеет
форму петли гистерезиса. Кроме того, в системах автоматического регули-
рования довольно часто встречаются усилители с зоной нечувствительности
и насыщением (рис. V.1, д) и с зоной нечувствительности, насыщением и
петлей гистерезиса (рис. V.1, е). Перейдем теперь к рассмотрению различных
типов усилителей.
1.	ЭЛЕКТРОННЫЕ УСИЛИТЕЛИ
Особенностью электронных усилителей является их высокая чувстви-
тельность: они способны усиливать сигналы весьма малой мощности. По-
этому применение электронных усилителей особенно целесообразно в тех
случаях, когда мощность на выходе чувствительных элементов или датчиков
чрезвычайно мала (порядка нескольких микроватт).
В системах автоматического регулирования находят применение элек-
тронные усилители постоянного и переменного тока, однокаскадные и много-
каскадные. Схема простого электронного усилителя постоянного тока при-
ведена в табл. V.1 (схема 1). Определим коэффициент его усиления, имея
в виду, что напряжение на аноде
иа = fa —— i/?a ;== Еа —— Ug-
Если ia — анодный ток, а напряжение их равно напряжению на сетке tzc,
то коэффициент усиления по напряжению в рассматриваемом случае будет
k = Ди, = Д^_ = SR	(V
Aui Ди0 а’	v '
где S — динамическая крутизна характеристики лампы.
Введем понятие статической крутизны So; тогда формулу (V. 1) можно
переписать в виде
£ " _ Ди2 _ S0RiRa
ДИ1~ Ri + R»’	1	}
где S =	; Ri — внутреннее сопротивление лампы.
-Г Ка
108
8
Ламповые, тиратронные и полупроводниковые усилители
Таблица Г. /
№ по ЛОР-	Тип усилителя	Упрощенная схема			Назначение	по пор.	Тип усилителя	Упрощенная схема				Назначение	по пор.	Тип усилителя	Упрощенная схема	Назначение
1	Однотактный усилитель постоянного тока	Вход ь’?®тс:}? Выход			Усилитель напряжения, мощности	В	Тиратронный усилитель	0 ^ход^				Усилитель мощности	10	Двухкаскадный усилитель	„Вход к •?" I s’3 St , ~	J.3  * Выход а	Усилитель постоянного тока
2	Катодный повторитель	Вход —У 1 Q Si Выход			Усилитель мощности для согласова- ния с низко- омными нагрузками			ОСвходПа					11	Фазочувстви- тельный кас- кад на транзисторе	Oid0 £с иоп	Усилитель напряжения переменного тока
						7	Усилительной . каскад с общим змиттером	0—	м |W	И- г> Выход		Усилитель напряжения				
3	Двухтактный усилитель постоянного тока	- Оахпд^ /Т\ Чн । () ?*-() । ьу			Усилитель напряжения								12	Усилительный каскад с делителем напряжения в цепи базы	1—J-	0 TzJr- II т 0 <в о бу т 0—I—*—1—£-0	
						в	Двухтактный транзистор- ный каскад					Усилитель напряжения, мощности				
								t	г |Ц	4	ff —0					
6	Двухтактный усилитель переменного тока	1}	-0 0- ЕС	shift кг\ г 1	Усилитель мощности								13	Усилительный каскад с отрицатель- ной обратной связью		
				zr'			У	Усилительный каскад с общим коллектором					Для согласо- вания схем ~ с низкоомной нагрузкой				
5	Фазочувстви- тельный усилитель	г4'о ! О’Нп xlz Ч!*/ Ms. —ъВыход st—			Усилитель напряжения переменного тока			<§ гкГ* 0	+				ед ед	ед Выход X,		W	Усилительный каскад с двумя источниками питания	W1	
															0—f	—±-0 I	0	
Из формулы (V.2) видно, что коэффициент усиления по напряжению
тем больше, чем больше крутизна характеристики So и чем больше сопро-
тивление 7?а. Итак, коэффициент усиления однокаскадного усилителя зави-
сит от типа лампы и может изменяться в пределах от 10 до 80.
Другие схемы однокаскадных усилителей постоянного тока приведены
в табл. V.1 под номерами 2, 3. Усилители этого типа отличаются высоким
быстродействием и практически считаются безынерционными.
Принципиальные схемы наиболее распространенных усилителей перемен-
ного тока также приведены в табл. V.1 (схемы 4, 5). В системах автоматиче-
ского регулирования используют в основном усилители переменного тока,
так как они не имеют дрейфа нуля и обеспечивают создание простых схем
во всех тех случаях, когда требуется иметь фазочувствительный усилитель.
Электронные усилители можно соединять последовательно. Коэффи-
циент усиления такого многокаскадного усилителя определяется произве-
дением коэффициентов усиления отдельных каскадов.
Электронные усилители обладают большой чувствительностью, которую
принято характеризовать коэффициентом чувствительности. Коэффициент
чувствительности представляет собой отношение мощности в милливаттах,
отдаваемой лампой в нагрузку, к квадрату напряжения на входе в вольтах.
Эта величина для обычных усилительных ламп колеблется от 2 до 5.
Недостатком электронных усилителей является их малая выходная
мощность, невысокая надежность, чувствительность к вибрациям и относи-
тельно большая мощность потребления.
Тиратронные усилители (схема 6 в табл. V. 1). В электронных усилителях
максимальная выходная мощность не превышает 100 Вт, поэтому для получе-
ния значительных выходных мощностей применяют тиратронные усилители.
Тиратронами принято называть трехэлектродные газонаполненные элек-
тронные лампы. Колбы этих ламп заполняются инертным газом (неоном,
аргоном), либо парами ртути. Вследствие этого процессы, происходящие
в тиратроне, существенно отличаются от процессов, происходящих в обыч-
ных электронных лампах. Здесь за счет ионизации молекул газа, происходя-
щей в результате их столкновения с быстро движущимися под действием
потенциала анода электронами, ток тиратрона может достигать нескольких
ампер. Это позволяет использовать тиратроны для управления мощными
процессами. Коэффициент усиления по мощности тиратрона составляет
величину порядка 2-10е, т. е. при входной мощности около 10-3 Вт выход-
ная мощность тиратрона может быть порядка 2—3 кВт и более.
Процесс ионизации газа требует определенного времени, поэтому тира-
троны являются инерционными приборами. Время зажигания тиратрона
составляет 10-в с, а время гашения 10"4 с. Практически инерционность
тиратронов проявляется при работе на высоких частотах. При питании
тиратронов токами обычной частоты их можно рассматривать как безынер-
ционные приборы.
Выходной ток тиратронов можно регулировать в больших пределах
путем изменения амплитуды, фазы или смещения сеточного напряжения.
Кроме того, тиратрон одновременно является и выпрямителем переменного
тока в постоянный, а его выходная мощность достигает 3 кВт и более, что
в несколько раз превышает выходную мощность электронных приборов
вакуумного типа. Все эти преимущества тиратронов обусловили их широкое
применение в устройствах автоматического управления электроприводами,
а также в системах автоматического регулирования.
Полупроводниковые усилители. Малые габаритные размеры полупро-
водниковых усилителей, незначительная мощность потребления и высокая
надежность привели к замене ламповых усилителей полупроводниковыми.
В системах автоматического регулирования используют полупроводниковые
усилители, работающие на постоянном и переменном токе. Усилитель на-
пряжения с общим эмиттером показан в табл. V.1 (схема 7). Эта схема ха-
110
рактеризуется высоким входным сопротивлением и большим коэффициентом
усиления по мощности.
Коэффициент усиления по напряжению для данной схемы определяется
по формуле
у ___ Р (Rw || /?вх)
““ Я, + ЯВХ
(V.3)
где — сопротивление нагрузки; RT — сопротивление генератора; /?вх =
= гб 4- (1 + ₽)гэ — входное сопротивление усилителя.
На схеме 8 табл. V.1 показан двухтактный транзисторный усилитель
мощности, обеспечивающий хорошее согласование и большой коэффициент
усиления.
Для согласования полупроводниковых усилителей с низкоомной на-
грузкой применяют схемы с общим коллектором (эмиттерные повторители).
Схема эмиттерного повторителя приведена в табл. V.1 (схема 9). Эта схема
характеризуется повышенным значением входного сопротивления, пони-
женным значением выходного сопротивления и совпадением фаз входного
и выходного сигналов.
Коэффициент усиления эмиттерного повторителя с нагрузкой может
быть найден по формуле
JL_______О + Р) (₽э II Rh)_	Л7
“ Яг + гв + Н+Р) (Яэ||Ян)‘	1 ‘ ’
Как видно из формулы (V.4), коэффициент ku близок к единице. Схема
эмиттерного повторителя применяется в корректирующих устройствах
и выполняет в них роль разделительного усилителя.
В тех случаях, когда в системе автоматического регулирования требуется
двухкаскадный усилитель, можно воспользоваться схемой 10 из табл. V.I.
Для этой схемы нетрудно определить значение входных сопротивлений пер-
вого и второго каскадов:
Rbx, ==(1	+	=(1+₽а)^2-	(V.5)
-ф- к3
При Rkl < 7?вх,., где i = 1, 2, имеем
<V'6)
Так как в рассматриваемой схеме р 1, то
(V.7)
На практике для схемы 10 можно получать значения ku, изменяющиеся
в пределах от 20 до 300 при дрейфе выходного напряжения, меньшем 0,2 В.
При большом числе каскадов предусматривают специальные меры для сни-
жения дрейфа усилителя и ликвидации температурной нестабильности
транзисторов.
В последнее время широкое применение нашли усилители переменного
тока на транзисторах. В качестве каскадов предварительного усиления
применяют схемы 12—14. Схема 12 имеет делитель напряжения в цепи базы
при одном источнике питания. Однако требования к стабильности источника
питания в этой схеме достаточно высокие. Схему 13 используют при пони-
женных требованиях к стабильности источника питания. Работа этой схемы
обеспечивается за счет введения в усилительный каскад отрицательной
обратной связи. Схему 14 применяют при наличии двух источников питания
и нежелательности включения конденсаторов в цепи эмиттеров. Оконечные
каскады усиления обычно выполняют по двухтактной схеме (схема 9
в табл. V.1). Транзисторы работают в режимах классов А и АВ. Схема фазо-
чувствитрльного каскада на транзисторе показана в табл. V. 1 (схема 11).
111
2.	МАГНИТНЫЕ УСИЛИТЕЛИ
В последнее время в области автоматики все большее применение на-
ходят магнитные усилители. Принцип их действия основан на зависимости
магнитной проницаемости ферромагнитных материалов дросселя при его
питании переменным током от подмагничивающего действия постоянного
поля. Схема простейшего магнитного усилителя показана на рис. V.2.
Магнитный усилитель состоит из двух дросселей / и II с подмагничи-
ванием постоянным током. Обмотки 1 и 2 переменного тока обоих дросселей
намотаны на сердечники, так что направления переменных магнитных
потоков во внутренних сердечниках противоположны. Вследствие этого
электродвижущие силы, индуктируемые переменными магнитными пото-
ками Ф в обмотку 3 постоянного тока, будут взаимно компенсироваться.
Входной величиной усилителя является напряжение Е обмотки 3 либо ток iy,
протекающий по этой обмотке. Эта обмотка называется управляющей или
подмагничивающей. Выходной величиной магнитного усилителя является
переменный ток в обмотках / и 2 и нагрузочном резисторе /?„. Величина
этого тока
где R — сумма активного сопротивления обмоток 1 и 2 и нагрузки /?н;
и — напряжение в цепи переменного тока; a>L — со (L j + L 2) — сумма
реактивных сопротивлений обмоток I и 2.
Индуктивности обмоток 1 и 2
L\ =	И. 1 о-»,	(V.9)
где w — число витков обмотки 1 или 2; I — длина средней линии сердеч-
ника; S — площадь сечения сердечника; р — коэффициент магнитной про-
ницаемости сердечника.
Протекающий по обмотке управления постоянный ток меняет насыще-
ние сердечника. При этом с увеличением силы тока уменьшается динамиче-
ская магнитная проницаемость; в результате реактивное сопротивление ка-
тушек 1 и 2 падает, а величина тока iH растет.
На рис. V.3 показана зависимость тока iH от величины постоянного
тока подмагничивания iy. Коэффициент усиления по току определяется как
отношение
д __AtH__din
‘ Aiy ~ diy *
Усиление по мощности
<	d t н и	dP н
Йр ==щ7~Ё' df\'
(V.10)
Рис. V.3. Зависимость
тока в нагрузке усилителя
от величины тока подма-
гничивания
Рис. V.2. Схема простей-
шего магнитного усилите-
ля
.112
Рис. V.4. Схема магнит-
ного усилителя со вспомо-
гательной обмоткой по-
стоянного подмагничива-
ния
Затрачивая небольшую мощность Ру на подмагничивание, можно
управлять значительной мощностью Рн.
На рис. V.4, а показана схема магнитного усилителя с большим коэф-
фициентом усиления. Для получения большого коэффициента усиления
следует обеспечить работу магнитного усилителя на наиболее крутом уча-
стке МГМ2 характеристики (рис. V.4, б). Для этого вводится вспомогатель-
ная обмотка постоянного подмагничивания, обеспечивающая работу магнит-
ного усилителя в точке М характеристики iH = / (ty). В обмотке управле-
ния при этом ток изменяется только в пределах гУо — Aiy < iy < iy„ -j- Aiy.
В рассматриваемой схеме вспомогательной обмоткой постоянного подмагни-
чивания является обмотка, получающая питание от селенового или купрокс-
ного выпрямителя.
В качестве материала для сердечников магнитных усилителей приме-
няют трансформаторную сталь или пермаллой. Необходимо отметить, что
коэффициент усиления по мощности зависит не только от качества материала
сердечника, но и от частоты тока. С увеличением частоты коэффициент уси-
ления увеличивается. Так, при частоте 50 Гц коэффициент усиления по
мощности магнитных усилителей из трансформаторной стали составляет
величину 50—200, а из пермаллоя — 100—1000. При частоте 500 Гц коэффи-
циенты усиления соответственно увеличиваются: для трансформаторной
стали можно получить усиление порядка 100—800, а для пермаллоя —
200—2000. Поэтому магнитные усилители обычно работают на повышенных
частотах — от 400 до 3000 Гц.
Перейдем теперь к рассмотрению различных схем магнитных усили-
телей.
Для получения большего усиления применяют магнитные усилители
с положительной обратной связью. Принципиальная схема однотактного
магнитного усилителя с положительной обратной связью приведена
в табл. V.2 (схема 4). Коэффициенты усиления по мощности у магнитных
усилителей с обратной связью, выполненных на сердечнике из трансформа-
торной стали, при частоте 50 Гц достигают 1000, а на сердечнике из пер-
маллоя — 3000—10 000. При более высоких частотах можно получить зна-
чительно больший коэффициент усиления.
Для увеличения крутизны характеристики iH = f (iy) и придания ей
симметричной формы относительно тока iy используют дифференциальные
магнитные усилители. Схема такого усилителя изображена на рис. V.5, а.
Усилитель состоит из двух идентичных магнитных усилителей, получающих
питание от трансформатора Тр. Управляющие и вспомогательные обмотки
усилителей включены последовательно, а дроссельные обмотки — парал-
лельно. Благодаря этому через нагрузочный резистор 7?н протекает разность
токов i‘h и г’н этих усилителей. Результирующая характеристика (рис. V.4, б)
получается как сумма характеристик:
гн = t'a 4" ia = fl (iy) “Ь h (l'y)-
113
Магнитные усилители
1?по пор.	Наименование	Принципиальная схема'							Назначение	№по пор.	Наименование	Принципиа льная схема					Назначение
t	Магнитный усилитель тока	Т.П*/ 	 —- L-о^З £# иГвыход							бесконтактное магнитное реле	6	Двухтактный усилитель с выходом на пе- ременное поле	4'Р		о -Z"£¥		выход Дг	Усилитель мощности
2	Однотактный магнитный усилитель без обратней сдязи				*гЙЁ у 1° ^Вхо	Выход д			Усилитель напряжения (тока)			М		вход			
3	быстродействую- щий магнитный усилитель	<Д^ Вход			II кл	Выход —			Усилитель напряжения	?	Двухтактный усилитель с уменьшенным числом сердечников		г-М- Д,	X	Дг •£+] ЕЙ1	дн —о	Усилитель напряжения, усилитель мощности
													±±^				
4	Однотактный усилитель с обратной поло- /нательной связью	«р woc ' 1			А Вход	1^1 дк			Усилитель напряжения с большим козффициентом усиления								
															Ч’		
f	Двухтактный магнитный усилитель с 8ы ходом на пос- тоянное поле			Тр,					Усилитель мощности	t	Магнитный модулятор с удвоением частоты							Магнитный модулятор с низким порогом чудстдительности
				\вых(йГвц 1									. /	1 .				
													T-V-]				
													—				
				I—	рМ, пг чуг |							Др					
					--J L.												
			”3				w)					0 —ъмы ‘					
		вход															
Так как кривая зависимости тока нагрузки от тока подмагничивания
дифференциальных усилителей проходит через начало координат и симме-
трична относительно тока подмагничивания, то при нулевом токе подмагни-
чивания ток нагрузки также равен нулю. При изменении направления под-
магничивающего тока ток нагрузки изменяет свою фазу на обратную.
Дифференциальные магнитные усилители, так же как и магнитные
усилители других типов, допускают соединение их в каскады, что приводит
к возрастанию коэффициентов усиления. Свойства дифференциальных ма-
гнитных усилителей позволяют широко их использовать в системах авто-
матического регулирования. Существенным недостатком дифференциальных
магнитных усилителей является их инерционность, обусловленная значи-
тельной постоянной времени управляющей обмотки. Постоянная времени
определяется по формуле
Г	(V.11)
*	t\yl • ИГ*
где wy — число витков обмотки управления; 7?у — омическое сопротивление
обмотки управления; N — число последовательно включаемых обмоток
управления; S — площадь поперечного сечения одного сердечника; —
магнитная проницаемость сердечника; I — длина средней линии сердечника.
Если сердечник усилителя изготовлен из магнитного материала с прямо-
угольной петлей гистерезиса (пермаллой или мопермаллой), то постоянная
времени
'Т _____ У
(V.12)
где R — омическое сопротивление всей цепи нагрузки; f — частота пере-
менного тока; а»- — число витков обмотки переменного тока.
Различные схемы магнитных усилителей приведены в табл. V.2. На
схеме 1 показан магнитный усилитель тока, получивший наибольшее распро-
странение в бесконтактных релейных устройствах. На схеме 2 изображен
однотактный магнитный усилитель, также нашедший широкое применение
благодаря своей простоте. На схеме 3 показан быстродействующий магнит-
ный усилитель. На схемах 5—7 изображены двухтактные магнитные уси-
лители мощности, где в качестве нагрузки применяют двигатели постоянного
или переменного тока. На схеме 8 показан магнитный модулятор с низким
порогом чувствительности.
Высокая надежность, вибростойкость и низкий порог чувствительности
для сигналов постоянного тока обеспечили широкое распространение магнит-
ных усилителей в системах автоматического регулирования.
115
Рис. V.6. Схема электромашинного
усилителя {генератора) с независи-
мым возбуждением
выпускает электромашинные
3.	ЭЛЕКТРОМАШИННЫЕ УСИЛИТЕЛИ
В автоматизированных приводах про-
катных станов, моточных машинах, копиро-
вально-фрезерных автоматах и следящих
приводах другого типа в качестве усилителей
мощности широкое применение нашли элек-
тромашинные усилители (ЭМУ). Современные
электромашинные усилители имеют коэффи-
циент усиления по мощности от 200 до
500 000 и сохраняют высокое быстродействие
при управлении автоматизированным элек-
троприводом. Отечественная промышленность
усилители мощностью от 30 Вт до 100 кВт.
Различают электромашинные усилители трех основных типов с неза-
висимым продольным возбуждением, с самовозбуждением и с поперечным
полем возбуждения.
Электромашинный усилитель с независимым возбуждением, или гене-
ратор. Электромашинный усилитель 2 (рис. V.6) приводится во вращение
от электродвигателя привода 1 с постоянной угловой скоростью йр Якорь
этого электромашинного усилителя подключен к электродвигателю 3 по-
стоянного тока с независимым возбуждением. Если угловая скорость электро-
двигателя со 2, а магнитный поток обмотки 5 возбуждения Ф2, то противо-
действующая электродвижущая сила якоря (без учета реакции якоря)
е = с2Фаю2>
(V.13)
где с2 — постоянная электродвигателя, зависящая от параметров обмотки
якоря и определяемая по формуле
‘ = -ЯГ10^	<v-l4>
здесь р2 — число пар полюсов; У2 — число проводников обмотки якоря;
а2 — число пар параллельных ветвей; со2 — угловая скорость электродви-
гателя 3.
Введем следующие дополнительные обозначения: г2 — сопротивление
обмотки якоря; — сила тока якоря.
Если напряжение на зажимах якоря электромашинного усилителя 2
равно ult то угловую скорость электродвигателя привода определяют из
следующего уравнения:
Uj = е 4" 1'якГ2 = С2Ф2(£>2 -j- 1ЯКГ2,
откуда
Так как обычно 1якг2 очень мало по сравнению с uY, то
Таким образом, при Ф2 — const угловая скорость со2 электродвигателя 3
будет пропорциональна напряжению иг на зажимах якоря.
Выходной величиной электромашинного усилителя (генератора) 2 яв-
ляется напряжение ы1( а входной — управляющее напряжение иу на зажи-
мах обмотки возбуждения 4.
Если пренебречь потерей напряжения в обмотке якоря, то
«1 —С1Ф1СО!,	(V.17)
где
|0”-	(v-18>
116
В формуле (V.17) Ф, —магнитный поток обмотки возбуждения 4,
который зависит от напряжения иу; рл — число пар полюсов электрома-
шинного усилителя; «4 — угловая скорость вращения электромашинного
усилителя.
Если магнитная цепь ненасыщена, то можно принять
®1 = <7«у,
(V.ro)
где q — коэффициент пропорциональности.
Коэффициент усиления по напряжению электромашинного усилителя
=	(V.20)
а по мощности
^ = <*7®!-у2,	(V.21)
1у
где гяк и гу — токи на выходе и входе электромашинного усилителя.
Обычно коэффициент усиления по напряжению таких электромашинных
усилителей изменяется в пределах от 2 до 20, а по мощности — от 20 до 100.
Электромашинный усилитель с самовозбуждением. Как было
показано выше, электромашинный усилитель с независимым возбуждением
представляет собой генератор, у которого обмотка независимого возбуждения
исполняет роль управляющей обмотки. Коэффициент усиления по мощности
таких усилителей обычно невелик. Электромашинные усилители с самовоз-
буждением (рис. V.7, а) обеспечивают коэффициент усиления по мощности
от 500 до 1000. Эти усилители имеют не менее двух обмоток возбуждения,
из которых одна является управляющей, а другая — обмоткой параллель-
ного самовозбуждения.
Как известно из теории электрических машин, генераторы постоян-
ного тока, работающие по принципу самовозбуждения, не могут возбудиться,
если активное сопротивление цепи возбуждения превышает так называемое
критическое сопротивление гк. Это сопротивление определяется положением
касательной II к кривой / холостого хода генератора (рис. V.7, б). Значение гк
равно тангенсу угла ак, который касательная // составляет с осью абсцисс.
Для самовозбуждения генератора необходимо, чтобы вольт-амперная
характеристика III цепи самовозбуждения, соответствующая уравнению
Е = iB (rB + гяк), пересекала характеристику / холостого хода, т. е. чтобы
имело место неравенство
'в + rm < гк,	(V.22)
где гв и гяк — активные сопротивления обмотки самовозбуждения и обмотки
якоря со щетками. Точка Qo пересечения кривых / и /// определяет напря-
жение Ео холостого хода генератора.
Рис. V.7. Электромашинный усилитель (генератор')
117
Допустим, что гв + гяк > гк, тогда самовозбуждение генератора отсут-
ствует. Только подача тока в управляющую обмотку вызывает возбуждение
генератора. Действительно, если ток управляющей обмотки будет iy, а число
витков обмоток самовозбуждения и управляющей соответственно wB и wy,
то при расположении обмоток на общих полюсах можно считать, что резуль-
тирующая намагничивающая сила обеих обмоток
И- “Мв = ^в (1в Н" 1у == ^в (*в	1в),	(V.23)
где 1В — ток обмотки самовозбуждения; iB — приведенный к обмотке само-
возбуждения ток управляющей обмотки.
В этом случае вольт-амперная характеристика цепи самовозбуждения
из положения III параллельно передвинется относительно характеристики
холостого хода I на величину i'B в положение III', (рис. V.7, в), что обеспе-
чит пересечение характеристик (точка Qo), соответствующее возбуждению
машины. Меняя направление тока iy в управляющей обмотке, можно изме-
нять знак напряжений электромашинного усилителя.
Ограничимся рассмотрением работы усилителя на ненасыщенном уча-
стке магнитной характеристики машины. При этом будут справедливы сле-
дующие уравнения:
уравнение электродвижущей силы усилителя
^ = (jB + iB)tgaK = rK(iB4-iy-g) =rK(tB4-<7iy),	(V.24)
где q — wylwB,
уравнение цепи самовозбуждения
£ = (Гв + гяк) + ^-(Ав + Ьяк) + d±M\	(V.25)
уравнение цепи управления
«=1/у + &^ + 4гМ’	(V-26)
где LB, LBK и Ly — индуктивности обмоток самовозбуждения, якоря и
управляющей соответственно; М — взаимная индуктивность управляющей
обмотки и обмотки самовозбуждения.
Для 'упрощения допустим, что между обмотками управления и само-
возбуждения отсутствует рассеяние, т. е. магнитный поток первой обмотки
полностью сцепляется со второй и наоборот.
Тогда будут справедливы следующие соотношения:
М2 = LBL-, М = LB — = Ly—— qLB — — Ц..	(V.27)
в У	ва)в У Wy v в Я у	'	'
Так как обычно активное сопротивление якоря весьма мало по сравне-
нию с сопротивлением параллельной обмотки самовозбуждения, положим
гяк = 0. Кроме того, примем LB + £як LB. Выполнив на основании этого
упрощения соответствующие преобразования, придем к следующим урав-
нениям:
.г-	• I 1-в dE	т -п.
“ — гугу + Е ~ 1вГв + ТГ "S’’	(V.28)
Умножив первое уравнение на qrB, а второе на гу, после сложения по-
лучим уравнение
-^('•, + Л)# + г,(^-	(V.29)
устанавливающее зависимость выходной величины Е от управляющего
напряжения и.
118
Для установившегося режима уравнение (V.29) примет вид
откуда коэффициент усиления по напряжению
=	- ?г°Гк .	(V.30)
“ 'у ('в —'к)	v '
Из последней формулы следует, что для получения высокого коэффи-
циента усиления по напряжению следует брать активное сопротивление гв
обмотки самовозбуждения усилителя возможно ближе к критическому зна-
чению гк. Однако сопротивление гв не должно быть равным гк или быть
меньше его, так как при этом усилитель приобретает способность Самовоз-
буждения и, таким образом, теряет управляемость со стороны управляющей
обмотки. Равным образом, очень малые значения разности гв — гк из-за
нестабильности могут привести к потере управляемости и неустойчивости
в работе системы.
Коэффициент усиления по мощности
(V.31)
н
где 1'як.н и ty H—номинальные значения тока в якоре и управляющей обмотке.
Вследствие наличия насыщения магнитной характеристики, а также
явления гистерезиса коэффициент усиления по напряжению обычно не пре-
вышает 100, а по мощности 1000. Для получения более высоких коэффициен-
тов усиления электромашинные усилители с самовозбуждением (как и с неза-
висимым возбуждением) можно соединять каскадно.
Для достижения той же цели электромашинные усилители описанных
типов имеют различные модификации. На практике часто применяют элек-
тромашинные усилители с обратной связью или ступенчатые усилители.
Так, например, двухступенчатые электромашинные усилители вместо одной
имеют две пары главных полюсов, причем обмотки первой ступени усиления
располагаются на одной паре, а второй ступени — на другой паре полюсов.
Более совершенным является ЭМУ с поперечным возбуждением.
Электромашинный усилитель с поперечным полем. Схема электромашин-
ного усилителя с поперечным полем показана на рис. V.8. Здесь так же,
как и в предыдущем случае, электромашинный усилитель представляет
собой генератор постоянного тока (рис. V.8, а), вращаемый вспомогатель-
ным электродвигателем. Обмотка возбуждения 1 питается от независимого
источника и является управляющей обмоткой усилителя. Напряжение на
зажимах этой обмотки иу или ток iy являются входными величинами усили-
Рис. V.8. Электромашинный усилитель с поперечным полем
119
теля. Якорь 2 имеет две пары щеток: продольную и поперечную. Попереч-
ные щетки I—I расположены под углом 90° к направлению потока Фу от
управляющей обмотки возбуждения.
Схема включения обмоток показана на рис. V.8, б. Поперечные щетки /—
/ замкнуты накоротко. Малый поток возбуждения Фу при вращении якоря
индуктирует в короткозамкнутой цепи щеток I—I электродвижущую
силу и соответствующий ей ток i2. Ток i2 создает мощный поток реак-
ции Ф2, направление которого с помощью специальных вырезов в полюсах
статора ориентировано вдоль оси щеток /—/. При вращении якоря на глав-
ных (продольных) щетках Н—Н индуктируется электродвижущая сила
усилителя Е2. Если внешняя цепь замкнута на сопротивление гн, то в этой
цепи возникает ток i„, который, в свою очередь, создает свой магнитный
поток реакции якоря Фн. Существование потока реакции якоря Фн нельзя
допустить по следующим соображениям: во-первых, магнитный поток может
полностью скомпенсировать управляющий поток Фу, что сведет действие
усилителя к нулю; во-вторых, магнитный поток Фн исказит зависимость
выходного напряжения и от управляющего потока. Поэтому на главных
полюсах усилителя помещается компенсационная обмотка 3, которая пол-
ностью компенсирует поток Фн, создавая близкий по величине, но проти-
воположный по направлению поток Фк.
Составим основные уравнения, выражающие зависимость между пере-
менными и постоянными параметрами электромашинного усилителя. Электро-
движущая сила £х в короткозамкнутой цепи поперечных щеток
£х = С1Фу®о «=> C(7yuy&>0,	(V.32)
где сх — постоянная якоря; <оо — угловая скорость якоря электромашин-
ного усилителя; qy — коэффициент пропорциональности между магнитным
потоком Фу и напряжением ну.
Ток в короткозамкнутой цепи поперечных щеток
(V.33)
ГЯК	ГЯК
где гяк — сопротивление обмотки якоря.
Магнитный поток
Ф2 = i2k2 =	= qu уСОо,	(V.34)
гяк
где fe2 — коэффициент пропорциональности между потоком и током;
q  с19у^2
ГЯК
Электродвижущая сила Е2 электромашинного усилителя на щетках
II—II
Е2 = с2Фг®о c2qtiy&l,	(V.35)
а напряжение на выходных зажимах усилителя
и — Е2 iKrяк.
Если пренебречь потерей напряжения в обмотке якоря, то
и ciquydiQ.	(V.36)
Отсюда нетрудно найти коэффициент усиления по напряжению
£0=-£г=С2<7®о	(V.37)
и коэффициент усиления по мощности
kp —	~г~ •	(V.38)
‘у
120
Составим уравнения динамических
процессов в электромашинном усили-
теле, схема которого показана на
рис. V.8, б.
Для обмотки управления
uy = ryiy + Ly^±Af^, (V.39)
где М — коэффициент взаимной индук-
ции между обмоткой управления и про-
дольной цепью ЭМУ \
Для короткозамкнутой цепи
Рис. V.9. Схема замещения электрома-
шинного усилителя с поперечным полем
двумя обычными генераторами
«2 = ГяЛз + Ьяк ;
u2 = kxiy + k2ia,
(V.40)
где iK3 — ток в короткозамкнутой цепи; kr — коэффициент пропорциональ-
ности; k2 — коэффициент, учитывающий влияние реакции якоря.
Для главной цепи
(V.41)
где fe3 — коэффициент пропорциональности; LK, гк — индуктивное и омиче-
ское сопротивления компенсационной обмотки; гш — сопротивление шунта.
С помощью этих уравнений можно определить передаточную функцию
ЭМУ (см. гл. IX).
Рассмотренная схема электромашинного усилителя имеет компенса-
ционную обмотку, включенную последовательно с нагрузочным сопротив-
лением гн. Используются' также электромашинные усилители с параллельным
включением этой обмотки и нагрузочного сопротивления (рис. V. 8, в). Уста-
новочный резистор гш позволяет выбрать требуемое число ампер-витков
компенсационной обмотки и обеспечить необходимую величину компенса-
ции.
Следует отметить, что для правильной работы электромашинного уси-
лителя выбирают малую величину недокомпенсации потока реакции якоря
Фн, которая должна быть тщательно выдержана. Значительная недокомпен-
сация приводит к уменьшению усиления, а перекомпенсация — к самовоз-
буждению и потере управления электромашинный усилителем.
Нетрудно установить, что электромашинный усилитель представляет
собой последовательное соединение двух генераторов (первый образован
обмоткой управления и короткозамкнутой цепью, второй — короткозамкну-
той цепью и выходной цепью электромашинного усилителя). Соответствую-
щая схема замещения показана на рис. V.9.
Формулы (V.37) и (V.38) указывают на большую зависимость коэффи-
циентов ku и kp от скорости врещения электромашинного усилителя. Поэтому
в этих усилителях применяют электродвигатели со смешанным возбужде-
нием, приводящие во вращение генераторную часть ЭМУ и обеспечивающие
постоянство вращения якоря генератора независимо от его нагрузки.
1 Знак плюс в уравнении (V.39) соответствует недокомпенсации ЭМУ, знак минус —
перекомпенсации. Знак минус во втором уравнении системы (V.40) соответствует недоко.мпен-
сации ЭМУ, а знак плюс — перекомпенсации.
121
3 л в к трона ш и н н we усилители
Таблица Ki
н*
по пор
Тил у(иЛЦ£ПОЛЯ

Возбудитель 8 Виде
обычного генератора и
генератор Г\у продляющий
скоростью вращения
электродвигателя М
Многокаскадное включение
генераторов !\ и Гг для
управления возбудителем в
ТМВ в качестве возбудителя
генератора Г
ЗМу 8 качестве возбудителя
генератора с сомовоздужде-
ние» Г7 'управляемым гене-
ратором
Скемо Включения
В табл. V.3 показаны различные схемы соединения электромашинных
усилителей в системах автоматического регулирования.
Схема 1 (генератор — двигатель с управляемым возбудителем), обес-
печивает коэффициент усилиения по мощности порядка 30 000. На схеме
введены следующие обозначения: 1—3 — обмотки управления возбудите-
лем; 4 — обмотка управления генератором; 5 — обмотка возбуждения дви-
гателя.
Схема 2 представляет собой многокаскадное включение генераторов Гг
и Г2, управляющих возбудителем В. Возбудителем управляет генератор Г3.
На схеме приняты следующие обозначения: 1—3 — обмотки управления;
4—6 — обмотки возбуждения генераторов; 7 — обмотка возбуждения элект-
родвигателя.
В схеме 3 ЭМУ используется в качестве возбудителя генератора Г.
Обмотки 1 и 2— управляющие обмотки ЭМУ; 3-— управляющая обмотка
генератора Г; 4 — обмотка возбуждения электродвигателя М.
В схеме 4 наряду с ЭМУ применен генератор Гх с самовозбуждением;
1—3 — управляющие обмотки ЭМУ; 4 — обмотка возбуждения генератора
Гх; 5 — вторая обмотка возбуждения генератора Гх; 6 — обмотка возбуж-
дения генератора Г3,7 — обмотка возбуждения электродвигателя М. В схе-
мах 1—3 предусмотрены токовые обратные связи, осуществляемые с помощью
резистора R, а в схеме 4 дополнительно включен и стабилизирующий транс-
форматор Тр.
Коэффициент усиления по мощности, который может обеспечить электро-
машинный усилитель с поперечным полем, составляет от 1000 до 500 000;
как уже говорилось выше, выходная мощность ЭМУ изменяется в пределах
от 30 Вт до 100 кВт.
122
4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ
Гидравлические усилители
служат для усиления сигналов по
мощности в гидравлических и
электрогидравлических системах
автоматического регулирования.
Все гидравлические усилители
можно разделить на два класса:
дроссельные и струйные.
Дроссельные усилители. Уси-
лители этого класса обладают
большой выходной мощностью и
высоким быстродействием. В си-
Рис. V.10. Дроссельные усилители-.
стемах автоматического регулиро- а — с золотником; б — с соплом-заслонкой; в — ха-
вання применяют Дроссельные Рактернстика усилителя типа сопло-заслонка
усилители одностороннего и дву-
стороннего действия; последние, как правило, характеризуются более
высоким быстродействием. Для повышения выходной мощности применяют
двухкаскадное включение дроссельных усилителей.
Рассмотрим две схемы дроссельных усилителей (рис. V.10, а, б), где
на выходе давления рабочей жидкости р2 изменяются в зависимости от пере-
мещения у дросселя 1 (рис. V.10, а) или заслонки 2 (рис. V.10, б). Расход
рабочей жидкости через дроссель или сопло, дросселируемое управляемой
заслонкой 2, определяется зависимостью
Qi — agF2 j/" ~~ (Pi	Рз) j
(V.42)
где а2 — коэффициент расхода жидкости; F2 —; проходное сечение дросселя
или сопла; g — ускорение свободного падения; у — плотность жидкости;
р2 — давление в полости между дросселями; р3 — давление за дросселем
или соплом.
Расход рабочей жидкости через входное сечение Fr трубопровода опре-
деляется по формуле
Qi == Oj/7] j/-у- (Pt р2),	(V.43)
где р! — давление жидкости на входе в трубопровод; аг — коэффициент
расхода.
В установившемся состоянии = Q2. При этом условии из уравне-
ний (VI.42), (VI.43) (при истечении рабочей жидкости в атмосферу) можно
определить
(V-44)
®а ' Ра
Будем считать, что
F2 = ky;	(V.45)
тогда из уравнений (V.44) и (V.45) найдем
= - ь <V-46)
У Pi
Таким образом, получим зависимость
S =	(V.47)
или
Pi = fa(y)-	(V.48)
На рис. V.10, в построена зависимость (V.48) при двух значениях
pi и р'1.
123
Рис. V.11. дроссельный усилитель с переменным
сечением:
а —• схема дросселя; б конструкция конического
сопла
Рассмотрим схему гидравли-
ческого двухкаскадного усилителя
типа сопло-заслонка, схема кото-
рого изображена на рис. V.11.
Усилитель состоит из двух
дросселей: дросселя 1 с постоян-
ным гидравлическим сопротивле-
нием и дросселя 2 с переменным
гидравлическим сопротивлением,
изменяющимся при смещении за-
слонки 3 относительно сопла дрос-
селя 2.
Рабочая жидкость под посто-
янным давлением рг подается на-
сосом в усилитель через дроссель 1
и дроссель 2 на слив. В зависи-
мости от положения заслонки <3 между дросселями устанавливается давле-
ние р2, которое распространяется под поршень 6 сервомотора. Поршень
будет перемещаться до тех пор, пока не установится равновесие между
силой упругости пружины 5, расположенной в цилиндре 4 сервомотора,
и силой давления рабочей среды на поршень. Здесь имеет место аналогия
с проточным золотником. Сохраняя принятые выше обозначения, можно
вывести следующую формулу для давления под поршнем:
„ _ Р1 + Рз^
Р*~~ 1+Х
(V.49)
где X, =	— отношение площадей проходных сечений у переменного
и постоянного дросселей.
Таким образом, давление р2 под поршнем в пределах зоны регулиро-
вания изменяется от pmln до pt. Нижний предел давления определяют по
формуле
+	(V.S0)
где So — сила упругости пружины при верхнем положении поршня, т. е.
h = 0; R — сила давления рабочей жидкости на поршень.
Из условия неразрывности струи рабочей жидкости, если пренебречь
ма’ссой поршня, найдем, что R = Fp2.
На рис. V. 11. б показано коническое сопло, которое при увеличении
зазора между соплом и заслонкой от 0 до 0,2 мм уменьшает избыточное дав-
ление перед дросселем от 0,204-10-4 Па до нуля.
Теоретическую максимальную выходную мощность дроссельного усили-
теля легко можно определить при условии pmln = р0:
PBHx = Sovmax = ^p^,	(V.51)
где ошах — тангенциальная составляющая скорости перемещения поршня;
с0 — коэффициент пропорциональности.
Коэффициент усиления по мощности дроссельного усилителя достигает
величины порядка 10е.
Конструктивное выполнение дроссельных усилителей весьма разнооб-
разное. Дроссели могут иметь форму задвижек или заслонок (поступатель-
ных, поворотных), сопл с заслонками, дроссельных игл и др., а также
могут иметь два каскада усиления.
Одна из схем двухкаскадного дроссельного усилителя типа сопло —
заслонка показана на рис. V.12.
124
Рис. V.12. Схема гидравлического двухкаскад- Рис. V.13. Цилиндрический золот-
ного усилителя типа сопло-заслонка;	ник:
I — сопло первого каскада усиления; 2 — за- а — схема золотника; б — характери-
слонка первого каскада усиления; 3 — сильфон; стика золотника Q = f (х)
4 — сопло второго каскада; 5 — заслонка вто-
рого каскада
Существуют дроссельные гидравлические усилители с золотниковыми
устройствами. Схема подобного рода гидравлического усилителя показана
на рис. V.13, а. Характеристика изменения массового расхода жидкости
в зависимости от осевого расстояния между рабочими кромками плунжера
и золотника показана на рис. V.13, б. Вследствие сложности учета реальных
физических процессов, происходящих в жидкости при ее протекании через
узкие окна золотника, при расчетах пользуются упрощенными аналитиче-
скими выражениями, коэффициенты которых выбирают по эксперименталь-
ным данным. На основе этих усилителей создают гидравлические серводви-
гатели (см. гл. VII).
Струйные гидравлические усилители. Основным элементом гидравличе-
ского усилителя данного типа (рис. V.14, а) является струйная трубка,
состоящая из поворотной трубки 3, приемника 4 с двумя соплами, элемента 2,
на который воздействует чувствительный элемент. Струйные трубки обычно
снабжаются противовесом /, который
предназначен для компенсации влияния
массы трубки на ее отклонение под дей-
ствием чувствительного элемента. Ма-
сло под давлением р поступает в труб-
ку 3 через маслопровод 5.
Сопло струйной трубки может быть
выполнено либо по эскизу 1, либо по
эскизу II, приведенным на рис. V. 14, б.
В первом случае кромки каналов при-
емного сопла сходятся вместе; во вто-
ром случае расстояние между этими
кромками составляет величину, равную
размеру е струйной трубки.
Для сопла, выполненного по эски-
зу 1, номере смещения струйной трубки
влево давление в правом канале сопла
будет падать, а в левом возрастать.
При смене направления смещения изме-
нение давления в каналах приемного
сопла будет происходить в обратном
порядке. Для сопла, выполненного по
эскизу II, при отклонении влево струй-
ной трубки давление в левом канале
возрастает с увеличением отклонения,
Рис. V.14. Струйная трубка с приемным
соплом'.
а — общий вид струйной трубки; б « схемы
приемных сопл
125
5
Рис. V.15. Схема корректорного
устройства струйной трубки
усилия на трубку подают
а в правом канале остается постоянным и рав-
ным давлению в камере струйной трубки. При
отклонении вправо роли каналов меняются.
В большинстве случаев предпочитают выпол-
нять переменное сопло по I эскизу, так как
эта схема не имеет зоны нечувствительности.
Изготовление приемного сопла по II схеме
значительно сложнее.
Рабочей жидкостью обычно служит чистое
масло, подаваемое насосом под давлением
(0,408—0,816) 10"4 Па. Расход масла через
струйную трубку при ее нормальных размерах
составляет 5—10 л/мин. Максимальное откло-
нение конца струйной трубки обычно состав-
ляет 1—2 мм.
На струйную трубку действуют усилия
от чувствительного элемента и от противодей-
ствующей пружины. Для изменения соотноше-
ния между этими усилиями, т. е. для обеспе-
чения возможности настройки, в ряде случаев
не непосредственно, а через так называемое
корректорное устройство. Последнее схематично показано на рис. VJ5.
Как видно из рисунка, корректорное устройство состоит из промежуточных
подвесок 2 и 7, вращающихся около опор 3 и 6, и корректорных роликов 1
и 8, положение которых по длине трубки может быть в некоторых преде-
лах изменено за счет смещения опор 4 и 5. Усилия pt и р2 от чувствительного
элемента и пружины, приложенные к подвескам 2 и 7, образуют усилия р'\
и р2, которые непосредственно передаются трубке.
Точный теоретический расчет струйных трубок сложен. Для упрощения
расчета сделаем следующие допущения:
1)	расход Q рабочей жидкости через струйную трубку имеет постоянное
значение, не зависящее от положения трубки;
2)	расход Q распределяется между правым и левым каналами сопла без
потерь, т. е.
Q = Q, ф- Qa,
(V.52)
где Qi и Q2 — количество жидкости, попадающее в правый и левый каналы
соответственно;
3)	весь скоростной напор жидкости в канале сопла превращается в дав-
ление без потерь;
4)	толщиной стенок трубки можно пренебречь;
5)	количество жидкости, попадающее из трубки в каждый из каналов,
определяется по закону пропорциональности:
=	и q2 = q	(V.53)
где h — отклонение конца трубки от среднего положения, причем h < 0,5е;
е — размер выходного отверстия трубки в плоскости отклонения.
В формуле (V.53) знак плюс соответствует отклонению в одну сторону,
а знак минус в другую.
Обозначим отношение = е, причем е < 1; тогда
<?1=4(1+е)и ^==4<1-е)-	(у-54>
126
. Пусть входное сечение сопла будет Fc. Рассмотрим отклонение струй-
ной трубки. Входная скорость рабочей жидкости в одном канале
^-^=2^(l+s).	(V.55>
в другом канале
^ = К = Й(1“е)-	(V-56)
Считая, что скоростной напор струи полностью превращается в давле-.
ние, найдем, согласно известному в гидравлике уравнению Бернулли, что
давление в первом канале
Pi = Po + ^P = Po+^(l +Ю2;
тогда во втором канале
Pt = Ро +	(1 - е)2,
где р0 — давление в камере струйной трубки; р — плотность рабочей жид-
кости.
Разность давлений в каналах сопла
Р1-Ра = 7ге.	(V.57)
Наибольшая разность получается при е = 1, т. е.
(Р1 — р2)шах == Ртах = & ИЛИ	= 6,	(V.58)
F‘g	Ртах
Таким образом, в идеальных условиях разность давлений в каналах
сопла линейно зависит от смещения струйной трубки. В реальных условиях
эта зависимость точно не соблюдается. На рис. V.16 приведена кривая за-
висимости P1 ~-Pi от относительного смещения е для некоторого типа струй-
Ртах
ной трубки, а на рис. V.17 — кривая отношения разности расходов —Q2
в каналах сопла к общему расходу Q жидкости через трубку в зависимости
от линейного смещения струйной трубки. Наибольшая разность давле-
ний рг—р2 в реальных условиях на 8—15% меньше теоретических значений
вследствие потерь давления.
каналах приемного сопла от относительного
смещения струйной трубки
жидкости в каналах сопла от линейного сме-
щения струйной трубки
127
Рис. V.18. Схема двухкаскадного
гидравлического усилителя с отсле-
живающим золотником
Теоретическая максимальная выходная
мощность струйных усилителей определяется
выражением
Рвых = QPmax =	•	(V.59)
С помощью струйных трубок можно по-
лучить коэффициент усиления в гидравли-
ческих усилителях по мощности до 103.
В гидравлических устройствах управления
применяют и двухкаскадные струйные уси-
лители с отслеживающим золотником. Схема
такого усилителя изображена на рис. V.18.
Из рисунка видно, что усилитель состоит
из двух устройств — струйной трубки 2 и
отсечного золотника 4. Сигнал от чувстви-
тельного элемента через рычаг 1 действует
на струйную трубку 2, приемное сопло 3 которой выполнено в форме
вспомогательного поршня. При отклонении струйной трубки происходит
также сдвиг поршня 3 и связанного с ним золотника 4.
Двухкаскадные усилители мощности со струйными трубками имеют
коэффициент усиления по мощности до 104.
5. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ УСИЛИТЕЛИ
Пневматические усилители, так же как и гидравлические усилители,
делятся на два класса: дроссельные и струйные. В последнее время струй-
ные пневматические усилители получили довольно широкое распростра-
нение в системах автоматического регулирования летательных аппаратов
ввиду их малой массы и высокой надежности действия.
Дроссельные пневматические усилители. Усилители этого класса выпол-
няют в виде однокаскадных или двухкаскадных устройств. На рис. V.19, а
показана схема однокаскадного дроссельного пневматического усилителя
типа сопло-заслонка. В этих усилителях применяются различного рода
дроссели. Некоторые из них изображены на рис. V.19, б—г.
Для определения статической характеристики пневматического дрос-
сельного усилителя воспользуемся рис. V.19, а.
При докритическом истечении ^т. е. при -у- > 0,528^ уравнение рас-
ходов записывается в виде
(V.60)

где czj, а 2 — соответствующие коэффициенты расхода газа; Ft, F 2 — про-
ходные сечения постоянного и переменного дросселей; R — газовая постоян-
ная; Т — температура газа; п — показатель политропы; g — ускорение
свободного падения.
Если считать, что изменение проходного сечения переменного дросселя
определяется зависимостью
F2 — ky,
(V.61)
128
Рис. V.19. Схемы дроссельных пневматических усилителей
то (V.60) можно переписать в виде
п—2 2—п	п—1
Q1P1 " Р2" 1 / 1-"1П = kv
г , „¥ f1'
1 — Яд
(V.62)
Здесь введены следующие обозначения:
Л1 = —; л2 = —
1 Р1	Рг
После несложных преобразований выражение (V.62) приведем к виду
п—2	/	п—1 \
*=Ца1Рхп Fi И---
р/ --------Л-------
'ЬРа'^Ь----f”2" )
(V.63)
По полученному уравнению на рис. V.20 построена зависимость р2 =
= f (р). Данная зависимость определена при коэффициенте политропы
п = 1,4 и ах/а2 = 1.
Струйные пневматические усилители. Схема простейшего струйного
пневмо усилителя показана на рис. V.21, а. Воздух из струйной трубки 1
через приемные сопла 2 или 2’ попадает к силовому цилиндру 5. Под дей-
ствием перепада давления Ар поршень 4 перемещает шток 3. Итак,
Ар==р2 —р3.	(V.64)
Рис. V.20. Статическая ха-
рактеристика однокаскад-
ного пневматического усили-
теля типа сопло-заслонка
Рис. V.21. Пневматический струйный усили-
тель:
а — схема усилителя; б — характеристика изме-
нения перепада давления струйного усилителя от
поворота струйной трубки
5 Иващенко Н. Н.
129
Определяя значения р2 и р3 по уравнению Бернулли, можно найти
(V-65)
где а — коэффициент потерь в струйной трубке; ра — давление, подавае-
мое в струйную трубку; (3 — угол поворота струйной трубки.
С помощью выражения (V.65) можно определить статическую характе-
ристику струйного пневматического усилителя. Соответствующая харак-
теристика построена на рис. V.21, б. Она является нелинейной, и при пол-
ном угле поворота (Зшах в усилителе обеспечивается наибольшее значение
перепада давления.
Существуют и двухкасадные струйные пневматические усилители, име-
ющие более высокие значения коэффициентов усиления по мощности. В по-
следнее время в системах автоматического регулирования стали применять
пневмогидравлические усилители. В них первым каскадом усиления явля-
ется пневматический элемент, а вторым каскадом — гидравлический.
6. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
Сравнение характеристик усилителей будем проводить по коэффициентам
усиления по мощности и наибольшим значениям постоянных времени. Срав-
нительные характеристики приведены в табл. V.4.
Таблица V.4
Основные параметры усилителей
Класс усилителя	Вид усилителя	Коэффициент усиления по мощности	Постоянная времени, с
Электронные ламповые усилители	Усилительные каскады на постоянном токе Усилительные каскады на переменном токе Оконечные усилители мощности Оконечные каскады усилителя	104—10° 10’—10» 10s—10* 104—10’	10-»—10-’ 10*8—10-° 10*2—10'4 10-8—10-°
Тиратронные усилители	Тиратронные реле Тиратронные усилители мощности	10°—10’ 104—10°	10-°—10-’ 10-’—10-4
Полупро- водниковые усилители	Усилительные каскады на постоянном токе Усилительные каскады иа переменном токе Оконечные усилители мощности		103—10° 104—10° 102—10s	S	S	S to	tfi	а 1 1 1 S	S	9 «ь	®	-а
Магнитные усилители	С выходом на постоянном токе С выходом на переменном токе Быстродействующие	10s—ю4 10’—10° 10s—1 о4	я М « о о о 777 1 н ст м ООО
Электро- машинные усилители	Обычный генератор Генератор с самовозбуждением ЭМУ с поперечным полем	ООО № К tw 1 1 1 сл °— •— О о*	1,0—10-2 5-Ю-1—10'2 IO-2—IO’8
Гидравли- ческие усилители	Дроссельные Струйные	104—10° 10s—1 о4	10'1— ю-2 10-1-10-2
Пневма- тические усилители	Дроссельные Струйные	ю°—ю7 10s—10°	10-8—10-8 10-S—10-4
130
Из данных табл.-У.4, видно, что наибольшие коэффициенты усиления
имеют электронные, тиратронные, полупроводниковые, гидравлические
и пневматические усилители. Наибольшее быстродействие в системах авто-
матического регулирования обеспечивают электронные, тиратронные и
полупроводниковые усилители. Существенно меньшим быстродействием
обладают ЭМУ, магнитные и гидравлические усилители. Промежуточное
место с точки зрения быстродействия занимают пневматические усилители.
При выборе типа усилителя следует иметь в виду не только значения
коэффициентов усиления по мощности и постоянных времени, но и надеж-
ность действия этих усилителей в различных эксплуатационных условиях,
т. е. следует’ учитывать влияние температуры окружающей среды, атмос-
ферного давления, степень влажности и многое другое (см. гл. XVII).
ГЛАВА VI
ПРЕОБРАЗУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
1. Усилители-преобразователи. 2. Реле. 3. Функциональные пре-
образователи. 4. Преобразователи аналог — код. 5. Преобразова-
тели код — аналог. 6. Электронные аналоговые вычислительные
устройства. 7. Электронные цифровые управляющие вычислитель-
ные машины. 8. Пневматические аналоговые и цифровые вычисли-
тельные устройства. 9. Точность работы и быстродействие управ-
ляющих цифровых вычислительных машин. 10. Сравнительная
оценка преобразующих устройств.
Преобразующие устройства (преобразователи) выполняют самые раз-
личные функции в системах автоматического регулирования. Рассмотрим
устройства четырех типов. В первых из них осуществляется эквивалентное
преобразование сигнала без изменения вида энергии и его физической при-
роды; например, низкочастотный сигнал превращается в высокочастотный
(в этом случае преобразователь именуют модулятором) или высокочастотный
сигнал превращается в низкочастотный (преобразователь называют демо-
дулятором). Во-вторых — при преобразовании непрерывного сигнала в кван-
тованный по амплитуде происходит и его усиление (усилители-преобразо-
ватели, реле). В третьих — преобразующее устройство служит для согла-
саванйя начальных измерительных устройств с непрерывными устройст-
вами управления (преобразователи код—аналог). В четвертых — преобра-
зующие устройства превращают непрерывный сигнал в дискретный (пре-
образователи аналог—код).
1.	УСИЛИТЕЛИ-ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
К числу простейших усилителей-преобразователей относят усилители-
модуляторы и усилители-демодуляторы. Усилители-модуляторы преобра-
зуют медленно изменяющиеся сигналы постоянного тока, снимаемые с дат-
чиков, в мощные сигналы переменного тока, изменяющиеся на 180° при
перемене полярности сигнала постоянного тока. На выходе такого усили-
теля-преобразователя могут быть включены электродвигатели переменного
тока.
Усилители-модуляторы не только преобразуют управляющий сигнал
постоянного тока в переменный, но и одновременно усиливают его по мощ-
ности. Усилители-модуляторы выполняют на электронных лампах и тран-
зисторах.
На рис. VI. 1, а изображена принципиальная схема однополупериодного
усилителя-модулятора на электронных лампах с реостатно-емкостным вы-
ходом. На аноды ламп и Л2 подается опорное напряжение
£оп = £m cos со/.	(VI. 1)
При входном сигнале «вх — 0 по резисторам Ra текут равные токи
lai — 1аъ зависящие от £см, если ивых — 0. Амплитуду токов первой гар-
моники для каждой лампы запишем в виде
= 2л (Ца 4- Нд <2*0 ~ Sin 2^°)’	(VI.2)
где фо — угол отсечки анодного тока; — внутренние сопротивления лампы.
Для определения угла отсечки входного тока воспользуемся соотноше-
нием
£m cos ф0 = и0 + ц£см,	(VI.3)
где иа + р£см — напряжение между анодом и катодом (здесь у — стати-
ческий коэффициент усиления).
132
Из соотношения (VI.3) найдем
ф0 = arccos —.	(VI. 4)
При ивх =£ 0 угол отсечки анодного тока одной лампы увеличивается,
а другой уменьшается, т. е.
фх = arccos	.
Ет
ф2 = arccos ^+^¥-0’5“вх .	( L5)
Изменение угла отсечки в соответствии с выражением (VI.4) приведет
к изменению и амплитуды .тока первой гармоники:
р	(VI.6)
ial ~ 2л (Ra + Rl) ~ SiD 2^'
Для определения приращения тока Дга1 под действием ивх =£ 0 про-
дифференцируем выражения (VI.6) и, учитывая выражения (VI.4) и (IV.5),
получим
И_____________sin2 ф0_____
л (Ra + Rt) -у ! _ ( Ир + ц£сму
ивх.
(VI.7)

Приращение напряжения на входе модулятора будет
Д^еых — 2Aiaj7?a,
или, с учетом формулы (VI.7),
Ди —_________2(t^°__
ВЫХ n(Ra + Ri)
Sin2 ф0
цо + цЕсм
Д«вх,
(VI.8)
где вместо «вх введено обозначение ДмВх.
133
Рис. VI.2. Характе-
ристики усилителей-
модуляторов и демоду-
ляторов
Максимальное значение
пишем в виде
коэффициента преобразования модулятора за-
h _____ ^ивых
(VI.9)
Подставив в формулу (VI.9) выражение (VI.8), получим
2pRa sin2 
(VI. 10)
Формула (VI. 10) справедлива лишь при малых значениях ивх по срав-
нению с £от/(х.
Пользуясь (VI. 10), можно получить зависимость относительного коэф-
фициента преобразования модулятора от входного напряжения (рис. VI.2, а)
при углах отсечки анодного тока ф0, близких к л/2. Из этого рисунка видно,
что зависимость является нелинейной и при р«вх/2£т = 0,5 имеем =
= 0,95.
На рис. VI. 1, б и в приведены принципиальные схемы двухполупери-
одных модуляторов-усилителей на транзисторах. Формула (VI. 10) справед-
лива и для оценки /е//гшах этих схем, с той лишь разницей, что k/km„ будет
в 2 раза больше, чем для схемы рис. VI. 1, а.
Усилители-демодуляторы осуществляют преобразование управляющего
сигнала переменного тока в постоянный с одновременным усилением его по
мощности. Как и у модуляторов, схемы демодуляторов выполняют в виде
однополупериодных и двухполупериодных. На рис. VI. 3, а изображена прин-
ципиальная схема однополупериодного усилителя-демодулятора на тран-
зисторах. Для нормальной работы схемы величина Есы должна быть больше
максимального значения входного сигнала ивх.
Определим среднее значение результирующего тока ip за период Т =
= 2л/со:
Д — Др 1 Др 2,
(VI. 11)
где icpi и icp2 — средние значения коллекторных токов, прошедших соот-
ветственно через транзисторы 7\ и Т
Уравнение идеализированной выходной характеристики транзистора
с общим эмиттером запишем как
Д^Д^-рД--^,	(VI. 12)
гвых
где р — коэффициент усиления по току транзистора;
До = До (Р + 1)’>
Гии = (при Д - 0).
134
Входной ток
1'б
^бэ---«бЭ О •
т
гвх
(VI. 13)
здесь гвх = (при
характеристики к оси
на идеализированной
Среднее значение
переменным током запишем в виде
иК9 — const) — наклон идеализированной входной
ибэ; ивэ о — отрезок на оси напряжений, отсекаемый
входной характеристике.
коллекторного тока транзистора при питании его
-	. /2 £к + Pn (fcM ± £с)
ср л	R,
(VI. 14)
где Ra — суммарное сопротивление коллекторной цепи; kz — коэффициент,
зависящий от вида нагрузки и режима работы транзистора; рп = Ргвах/Гвх +
+ Rz', Rc — выходное сопротивление датчика, подключенного к усилителю-
демодулятору.
В выражении (VI.14) + Ес соответствует плечу'схемы рис. VI.3, а,
где напряжения сигнала и коллектора совпадают по фазе, а —Ес — где
не совпадают.
Если для простоты выкладок принять, что zH = RH, то k2 1. В этом
случае формула (VI. 14) примет следующий упрощенный вид:
.	2 /2 рп£0
ср .я ’
где принято
Еа = ^вых “Ь 4“ #с 4“ Гвах>
так как Rc мало.
Среднее значение выходного напряжения
^вых “ Ср^н-
(VL15)
(VI. 16)
Тогда коэффициент преобразования демодулятора по напряжению
Рис. VI.3. Принципиальные схемы усилителей-демодуляторов
135
Так как выходное значение напряжения усилителя-модулятора при
активной нагрузке имеет пульсирующий вид, то для его сглаживания парал-
лельно нагрузке включают конденсатор С (рис. VI.3, б). При этом среднее
значение тока
£р = Ф^с,	(VI. 18)
где kc — коэффициент, зависящий от tg у — со/?нСн и а =
Среднее выходное напряжение
«cp = icp^H	(VI. 19)
и коэффициент преобразования усилителя-модулятора
k =	k	(VI.20)
дЕа я Ra
На рис. VI.2, б построены зависимости коэффициента kc. Приведенными
графиками можно пользоваться и при активно-индуктивной нагрузке с па-
раллельно включенной емкостью, при этом величину сопротивления Ra
берут равной активному сопротивлению обмотки индуктивности.
На рис. VI.3, б показана принципиальная схема однопол у пер иодного
усилителя-демодулятора на электронных лампах, а на рис. VI.3, в — двух-
полупериодного усилителя-демодулятора на транзисторах.
Среднее значение результирующего тока двухполупериодного усили-
теля-демодулятора при нагрузке, зашунтированной емкостью,
=	(VI.21)
*'а
Из сравнения формул (VI.21) и (VI. 18) следует, что значение среднего
тока в двухполупериодном модуляторе в 2 раза больше, чем в однополупе-
риодном.
2.	РЕЛЕ
В системах автоматического регулирования для преобразования сиг-
налов часто применяют реле различных типов. Реле превращает непрерыв-
ный маломощный сигнал датчиков в прерываемый довольно значительной
мощности, обеспечивающий управление двигателями. В этом случае реле
является преобразователем и усилителем сигнала.
Основными параметрами, характеризующими работу реле, являются:
мощность срабатывания Рср — электрическая мощность на входе реле,
при которой реле замыкает (размыкает) управляемую цепь; время срабаты-
вания /ср — интервал времени от момента подачи на вход реле регулирую-
щего импульса до начала воздействия на управляемую цепь (до начала ра-
боты управляемого сервомотора); мощность управления Ру — электриче-
ская мощность управляемой цепи.
Вследствие инерционности управляющей цепи и реле входной ток реле
будет возрастать и убывать не мгновенно, а по некоторой кривой. В связи
с этим различают следующие этапы работы реле.
1.	Срабатывание реле. Реле приходит в действие («трогается») только
тогда, когда величина регулирующего сигнала (тока) достигает некоторого
значения, называемого сигналом срабатывания. Время срабатывания реле
слагается из времени трогания и времени движения реле. Время трогания
представляет собой интервал времени от момента появления регулирующего
сигнала до момента трогания реле, а время движения — от момента трогания
до начала воздействия на управляемую цепь.
136
2.	Работа реле. После того как реле сработало, управляемая цепь и элек-
родвигатель находятся под воздействием реле до момента прекращения вход-
ного сигнала. Время работы реле зависит от скорости электродвигателя
и быстродействия регулирующего органа, а также от параметров объекта ре-
гулирования.
3.	Возврат реле. После окончания регулирующего сигнала проходит не-
которое время, пока реле прекратит свое воздействие на управляемую
цепь и возвратится в начальное положение. Этот интервал времени назы-
вают временем отпускания реле.
Отношение величины регулирующего сигнала на входе реле, при ко-
тором оно отпускает, к тому значению сигнала, при котором реле срабаты-
вает, называется коэффициентом возврата реле:
^озвр = ^;	(VI.22)
иср
этот коэффициент, как правило, меньше единицы.
Если реле рассматривать как усилитель, то отношение управляемой
мощности Ру к мощности срабатывания Рср есть коэффициент усиления по
мощности реле
(VI.23)
* ср
это отношение часто называют также коэффициентом управления.
Реле, применяемые в системах автоматического регулирования, по
принципу действия можно разделить на следующие типы: электромагнит-
ные нейтральные, электромагнитные поляризованные, магнитоэлектриче-
ские, электронные и тиратронные.
В табл. VI. 1 дается сравнение этих типов реле по основным показателям.
Электромагнитные нейтральные реле работают как на постоянном,
так и на переменном токе. Нейтральными они называются потому, что не
реагируют на перемену направления постоянного тока или изменение фазы
переменного тока. Существует множество разновидностей реле этого типа.
Электромагнитные поляризованные реле реагируют на полярность
управляющего сигнала. Эти реле отличаются высокой чувствительностью,
малым временем срабатывания и большим коэффициентом усиления.
Магнитоэлектрические реле являются наиболее чувствительными среди
электромеханических реле. Они также реагируют на полярность управ-
ляющего сигнала. Благодаря высокой чувствительности они получили рас-
пространение в схемах автоматического управления с электрическими дат-
чиками.
Принципиальные схемы некоторых релейных усилителей, применя-
емых в системах автоматического регулирования, даны в табл. VI.2. К ре-
лейным усилителям следует отнести также контактный нуль-гальвано-
метр с падающей дужкой, устройство которого показано на рис. VI.4.
Таблица V/.1
Основные характеристики реле
Реле	Мощность срабатывания Рсв, Вт	Мощность управления Ру, Вт	Время срабатывания <СР- с	коэффициент усиления ПФ мощности %
Электромагнитные: нейтральное поляризованное Магнитоэлектрическое Электронное Тиратронное	сл л to w м м 1 1 1 1 1 •— И— ►— СП — ООО* о 1	1	1 ь- • w се *>q и	10-1—10-4 10—20 10'1—2 Ю-s— 10s 102—103	СО Ж | г-С 1 О » оо мэ 1	1 * СО • о о 1 1 1 1 1 П П СЧ 0» « oobbfa	102—10е 40—2000 103—2-Ю4 108—1010 10е
137
co
00
Реле
ТавлицаЦ.?
no nop.	Наименование		Схема			Назначение	н* по пор.	Наименование	Схема			Назначение
1	Электро- магнитное реле типа „Контактор"	ВкоЗ * <	Выхов J=8>-fL, mriT Д			Управляющий элемент исполнительною механизма	У	Электронное реле с Звимя устойчивыми положениями	Выхов ВкоЗ	г	r—o+fl Выхо^ "'Ou 'г		Управляющий элемент в Зискретных системах
2	Поляризованное реле	ГН	Fh	Чыхо м:	1_	Усилитель мощности, преобразователь напряжения						
		LH р	EF1 П	i=w: РП								
		ВкоЗ		0			5	Фотореле			1——о +			Управляющий элемент
3	Магнито- электрическое реле	*	fBbixodV		Вход	Усилитель мощности					0 -	
Рис. VI.4. Контактный
нуль-гальванометр
Контактный нуль-гальванометр отличается
от реле тем, что замыкание управляющей цепи
сервомотора здесь выполняется не измерительным
элементом, а особым приспособлением — падаю-
щей дужкой, которая работает независимо от изме-
рительного устройства. Вращающаяся рамка 1
связана со стрелкой 2 прибора. Рамка и стрелка
устанавливаются в положение, отвечающее откло-
нению чувствительного элемента. Над стрелкой
расположена падающая дужка 3, которая с по-
мощью эксцентрика 7 и ролика 6 совершает перио-
дическое движение вверх и вниз, вращаясь около
осей 9. Эксцентрик 7 приводится во вращение
от вспомогательного моторчика, не показанного
на схеме. При подъеме дужки вверх стрелка галь
ванометра может свободно перемещаться. Она
устанавливается в положение, соответствующее
регулирующему импульсу чувствительного эле-
мента, но в пределах, ограниченных специальными
упорами (на рисунке не показано), расположен-
ными на столиках 8. Столики могут раздвигаться.
При опускании дужка захватывает стрелку
и выступом 4 прижимает ее к столику, вследствие
чего столик наклоняется и поворачивает ртутный
выключатель 5. При этом замыкается электрическая цепь, управляющая
сервомотором. В зависимости от того, над каким из столиков 8 будет нахо-
диться стрелка 2 в момент опускания дужки 3, в работу включается тот или
другой ртутный выключатель 5 и соответственно в ту или другую сторону
начнет вращаться якорь сервомотора: Если в момент опускания дужки
стрелка 2 гальванометра будет находиться в нулевом положении или будет
иметь незначительное отклонение в пределах зоны нечувствительности,
столики 8 работать не будут, вследствие чего якорь сервомотора останется
в покое.
Период колебаний дужки устанавливается в пределах от 10 с до 1 мин.
Включение ртутного переключателя продолжается в течение времени, пока
дужка опущена. Это составляет примерно 30—50% времени полного периода
колебаний дужки.
Ртутные выключатели разрывают электрическую цепь мощностью
порядка 0,5 кВт. Контактный ну ль-гальванометр осуществляет периоди-
ческое прерывистое регулирование. В интервалах времени, когда дужка
находится вверху, регулирование отсутствует.
Запишем уравнение динамики электромагнитного нейтрального реле,
работающего от высокоомного усилителя, в виде
г- • dx .
т ~~ г™ ~ ~ЗГ + сх
(VI.24)
где т — масса якоря реле; х — перемещение якоря (угловое или линейное);
k„ — коэффициент скоростного трения; с — коэффициент жесткости пру-
жины; F3tt — результирующая электромагнитная сила, действующая на
якорь реле.
Под действием силы F3„ происходит перемещение (поворот) якоря из
нейтрального положения, т. е.
Р9М = & — i2) + k^x;	(VI .25)
здесь fej и k2 — постоянные коэффициенты, зависящие от конструкции якоря
реле и полюсных наконечников; ix и i2 — токи в катушках управления реле.
139
Подставив выражение (VI.25) в уравнение (VI.24), получим
+	+	(VI.26)
Уравнение (VI.26) приведем к следующему виду:
Т^2 + 2£Т £ + х = k & - i2),	(VI.27)
где
Т= 1/—
V c — k2'
_______feg____.
2/m (с— k2) '
h____^1
c-k2'
В случае подключения обмоток реле к низкоомному усилителю необ-
ходимо учитывать индуктивность его катушек управления.
3.	ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Функциональные преобразователи предназначены для реализации оп-
ределенной математической зависимости между входными и выходными
величинами. Наибольшее распространение эти преобразователи находят
в аналоговых вычислителях и счетно-решающих устройствах.
Функциональные зависимости, осуществляемые с помощью вычисли-
тельных устройств, могут быть весьма разнообразны. Наряду с устройст-
вами для вычисления алгебраических и трансцендентных функций или для
приближенной реализации заданной функции одной или нескольких пере-
менных в системах автоматического регулирования приходится иметь дело
с операциями дифференцирования и интегрирования, а также с решением
алгебраических и дифференциальных уравнений.
В системах автоматического регулирования вычислительные устройства
чаще всего применяют, когда к системе предъявляют требование воспроиз-
ведения по заданному закону выходной величины но значениям входной
величины. В этом случае вычислительное устройство с В У выполняет функ-
цию задатчика, а схема регулирования имеет вид, изображенный на рис.
VI.5, а. В тех случаях, когда закон воспроизведения задан неявной функ-
цией F (g, х) = 0, вычислительное устройство выполняет роль сравниваю-
щего устройства и датчика рассогласования (рис. VI.5, б). Здесь вычисли-
тельное устройство или счетно-решающий прибор определяет числовое зна-
чение функции F (g, х) = &F в каждый момент времени, и это значение яв-
ляется сигналом рассогласования, на основании которого регулятор выра-
батывает регулирующее воздействие.
Вычислительные устройства, особенно цифрового действия, применяют
в системах программного управления, когда цифровой счетчик (вычисли-
тель) является сравнивающим элементом (рис. VI .5, в). В последнее время
вычислительные устройства стали широко применять в самонастраивающихся
системах, имеющих модель с перестраиваемыми параметрами (рис. VI .5, а).
В зависимости от сигнала ошибки Де устройство перестройки ПУ изменяет
параметры модели до тех пор, пока Де не станет равным нулю. По получен-
ным параметрам модели блок самонастройки С перестраивает параметры
регулятора Р.
Вычислительные элементы используют также в цепях обратных свя-
зей систем в виде корректирующих устройств (рис. VI.5, д'). Иногда в коррек-
140
Рис. VI.5. Основные структурные схемы применения вычислительных устройств в системах
автоматического регулирования'.
ВУ — вычислительное устройство (аналоговое или цифровое); Р «• регулятор; О —* объект регулиро-
вания; Пр — преобразователь аналогового сигнала в цифровой; С ** блок самонастройки; НУ —• уст-
ройство перестройки ВУ; Ине блок инвертирования
тирующих устройствах применяют логические элементы (на рис. VI.5, е
логический элемент ВУ выполняет функции ИЛИ). Приведенное на
рис. VI .5, е последовательное корректирующее устройство повышает фазу
в контуре управления и не меняет ее амплитуды.
Как видно из рис. VI.5, е, в схему корректирующего устройства входят
три вычислительных блока: инвертирующий Инв, логических операций ВУ
и произведения. Кроме того, входят три линейных функциональных блока
(блоки 1—3). Блоки ВУ и произведения являются нелинейными функцио-
нальными устройствами.
Логические элементы применяют также в экстремальных регуляторах
как в устройствах отыскивания экстремума, так и в цепях для переключе-
ния корректирующих и усилительных устройств. Эти логические элементы
также представляют собой нелинейные функциональные устройства.
На современном этапе развития систем автоматического регулирования
в качестве электронных логических элементов этих систем наибольшее рас-
пространение получили дискретные транзисторные элементы, а также гиб-
ридные и монолитные интегральные схемы ИС. Все эти виды элементов ха-
рактеризуются весьма высоким быстродействием (тактовые частоты до
сотен мегагерц), низким уровнем потребляемой мощности (порядка единиц
микроватт на элемент), малыми габаритными размерами и высокой надеж-
ностью (время наработки на отказ до 10® ч).
Все функциональные преобразователи как элементы систем автомати-
ческого регулирования по назначению можно разделить на четыре класса:
арифметические, дифференцирования и интегрирования, воспроизведения
сложных функций, логические. Эти преобразователи выполняют в виде ме-
ханических, электрических и электронных устройств.
141
Механические устройства характеризуются тем, что их входные и вы-
ходные параметры являются механическими величинами (угловое или ли-
нейное перемещение, скорость, усилие и т. п.) В электромеханических уст-
ройствах выходные параметры чаще всего реализуются в виде электрических
величин (тока, напряжения), а входные — как механические. В электрон-
ных устройствах как входные, так и выходные сигналы и воздействия реали-
зуются обычно в виде напряжений постоянного или переменного тока.
Как электромеханические, так и электронные устройства могут быть по-
стоянного или переменного тока. При работе на переменном токе обычно
применяют модуляцию колебаний входным сигналом, а выходная величина
реализуется как мгновенное значение огибающей модулированного выход-
ного напряжения. В устройствах постоянного тока используемые усилители
вносят некоторую погрешность, обусловленную нестабильностью харак-
теристики усилителя. Если расчетная характеристика усилителя выража-
ется уравнением у = —kx, то в действительности выходная величина будет
у = —kx А (х), т. е. на выходе появляется дополнительное напряжение,
создающее погрешность вычислительного устройства. Эту погрешность на-
зывают погрешностью дрейфа усилителя (или погрешностью дрейфа нуля).
В аналоговых вычислителях, чтобы снизить влияние дрейфа нуля до допу-
стимого малого значения, применяют операционные усилители (см. п. 6 дан-
ной главы), обеспечивающие требуемую стабилизацию нуля.
' В заключение укажем на основные требования, предъявляемые к функ-
циональным преобразователям. Они должны легко включаться в систему,
т. е. должны оперировать с величинами той же физической природы, какая
принята в системе регулирования. Точность этих устройств в системах регу-
лирования различна. Если вычислительный элемент входит в сравнивающее
устройство или в устройство, задающее программу, то его точность должна
быть весьма высокой. Если же вычислительный элемент включается после
сравнивающего устройства и формирует сигнал ошибки, то требования к его
точности значительно снижаются.
Аналоговые электронные функциональные преобразователи. Аналоговые
электронные функциональные преобразователи являются в настоящее время
самым распространенным классом устройств. К ним относятся элементы срав-
нения (компараторы), логарифмические усилители, блоки переключения,
дифференцирующие и интегрирующие устройства и т. п.
Компаратор (рис. VI.6, а). Дифференциальный усилитель ДУ усили-
вает разность сигналов. При этом ивых < 0 при ur > и0; ивых > 0 при
Uj < и0. Если на выходе поставить прибор, регистрирующий полярность
выходного сигнала, то он будет показывать, какой из входных сигналов
больше, т. е. будет осуществлять сравнение сигналов.
Логарифмический усилитель (рис. VI.6, б). Так как входное сопротив-
ление ДУ велико (7?вх	0), то iBx 0. Если считать, что ДУ имеет боль-
шой коэффициент усиления, то потенциалы обоих входов ДУ весьма близки
и равны нулю, так как один из выходов заземлен. Поэтому
(VI.28)
с использованием операционного
Рис. VI.6. Функциональные аналоговые блоки
усилителя:
а ~ компаратор; б логарифмический усилитель; в аитилогарифматор '
142
т. е.
Рис. VI.7. Логарифмический умножитель
I “вых I« т$т In • (VI. 29)
*•0^'
Таким образом, сигнал на
выходе пропорционален лога-
рифму входного сигнала. Точ-
ность вычисления логарифма
зависит от того, насколько ха-
рактеристика диода близка
к логарифмической. При специ-
альном выборе диода и его ре-
жима можно получить практи-
чески идеальную характеристику на пять-шесть декад изменения тока.
Усилитель, вычисляющий антилогарифмы (рис. VI.6, в). Принцип
его действия аналогичен принципу действия логарифмического усилителя.
Можно записать
°вх
£e = (oe ‘ ~lR— ~R~’
In lZBbIX = In Ri0,
вь“ терт
(VI.30)
т.е. логарифм выходного сигнала пропорционален величине входного.
Логарифмический умножитель. На рис. VI.7 показана схема логариф-
мического умножителя. Схема осуществляет логарифмирование входных
сигналов, затем сложение логарифмов и получение антилогарифма произ-
ведения. Точность такого умножения значительно выше, чем при обычном
аналоговом умножении двух -величин.
Импульсные умножители. Принцип действия этих устройств состоит
в том, что сомножители произведения воспроизводятся различными формами
импульсов, причем чаще всего используются импульсы прямоугольной
или пилообразной формы. После импульсного умножителя импульсы про-
пускаются через фильтр, сглаживаются, а затем определяется их среднее
значение. Для лучшего уяснения этого обратимся к рис. VI.8.
Генератор импульсов I с модулятором длительности преобразует вход-
ной сигнал Xj в последовательность импульсов с амплитудой Лл, длитель-
ностью т и периодом Т, пропорциональным входному сигналу xv т. е.
=	(VI.3I)
где — коэффициент пропорциональности.
Импульсная последовательность ИМг поступает в модулятор II, где
подвергается модуляции по амплитуде сигналом хг. Вследствие этого выхо-
дящая последовательность импульсов ИМг имеет амплитуду
X =	(VI.32)
и длительность т — Tkxxx.
Рис. VI.8. Блок-схема
пульсного умножителя
143
Рис. VI.9. Блок-схема множительного им-
пульсного устройства с пилообразными им-
пульсами напряжения
Рис. VI.10. Схема дифференци-
рующего устройства с транзи-
стором
После прохождения через сглаживающий фильтр III импульсная по-
следовательность с небольшой погрешностью превращается в постоянное
напряжение, величина которого
“вых = 4^ =	(VI .33)
Из полученной формулы следует, что имеется возможность построения
импульсных функциональных элементов для умножения переменных величин.
Точность умножения определяется линейностью операций, описыва-
емых выражениями (VI.32) и (VI.33). Это приводит к весьма жестким тре-
бованиям по линейности и стабильности блоков I и II, и, несмотря на это,
ошибка перемножения составляет ±10%.
Для повышения точности умножения до 1 % и выше применяют мно-
жительное импульсное устройство, преобразующее пилообразные импульсы
напряжения (рис. VI .9). Генератор задающих импульсов I посылает высоко-
частотный сигнал на генератор пилообразного напряжения II и модуля-
тор III. Тангенс угла наклона переднего фронта пилообразных импульсов иг
генератора II пропорционален входному напряжению ивх1. Компаратор IV
определяет напряжение и пилообразных импульсов в момент времени т.
Момент времени т пропорционален входному напряжению ивх2 и зависит
от параметров временного модулятора. Напряжение на выходе множи-
тельного устройства в этом случае определяется в -виде
“вых = * tg а = Мг“вх 1“вх 2-	(VI  34)
Точность перемножения в схеме, показанной на рис. VI.9, зависит
от линейности пилообразных импульсов; последняя с помощью специальных
усилителей может быть получена достаточно высокой.
В заключение рассмотрим одну из схем дифференцирования сигналов,
состоящую из 7?С-цепи и транзистора.
Схема дифференцирующего устройства на транзисторе (рис. VI. 10).
В этой схеме транзистор охвачен параллельной отрицательной обратной
связью по напряжению через резистор Rt. Операция дифференцирования
осуществляется конденсатором Сг и резистором 7?т. Резисторы R2 и R3
включены для обеспечения необходимого режима работы транзистора по
постоянному току, конденсатор С3 служит для развязки, а конденса-
тор С2 выполняет роль разделительного.
При больших значениях коэффициента усиления транзистора по току
₽»1 + ^	(VI.35)
имеем
“вых^-ад^.	(VI.36)
144
Полученное выражение (VI.36) указывает на то, что схема, показанная
на рис. VI. 10, выполняет операцию дифференцирования.
Действительно, не приводя строгих выкладок, можно записать
(VI.37)
^вых	1 ^вх
7?1 ~ ос вх ~ С, dt
где 10а — ток обратной связи через резистор Rx.
Выражение (VI.37) справедливо, так как токовый сигнал в цепи базы
стремится к нулю. Из этого выражения нетрудно получить формулу (VI.36).
Из-за наличия транзистора схема, показанная на рис. VI. 10, имеет более
низкое выходное сопротивление и может быть применена совместно с низко-
омными усилительными устройствами. Это и является основным преиму-
ществом рассматриваемой схемы.
Схема интегрирующего устройства с транзистором (рис. VI. 11). Тран-
зистор охвачен отрицательной обратной связью через конденсатор Сх. Ре-
зистор образует интегрирующую цепочку, а резисторы Л?2, 7?3, Rt служат
для установления необходимого режима питания транзистора. Конденса-
тор С3 предназначен для фильтрации высоких частот, а С2 и С4 являются
разделительными.
Выходное напряжение можно определить с помощью соотношения:
t
«вых = -	(«вх + Ек	(VI.38)
1	о	к
где /?Вх — входное сопротивление транзистора; [3 — коэффициент усиле-
ния транзистора по току; 7?к — сопротивление транзистора по цепи кол-
лектора.
Из анализа выражения (VI.38) видно, что второе слагаемое подынте-
грального выражения вносит искажение в интегрирование входного сигнала,
но при больших Р его влиянием можно пренебречь. Тогда приведенная
схема обеспечивает практически «чистое» интегрирование.
Перейдем теперь к рассмотрению электрических функциональных
устройств.
Аналоговые электрические функциональные устройства. Простейшие
аналоговые функциональные устройства электрического типа, выполняющие
операции суммирования, пока-
заны на рис. VI. 12.
Суммирование при последо-
вательном и параллельном вклю-
чении напряжений. Схема сум-
Рис. VI.11. Схема интегрирующего
устройства с транзистором
Рис. VI .12. Схема сложения при последователь-
ном и параллельном включении напряжений:
еа, е3— электродвижущие силы источников; rt. г2,
г8 — их внутренние сопротивления; R,. R9 —
внешние резисторы в цепях источников; R—выходной
резистор; ывых — выходное напряжение; i — общий
ток; it, 1ц. 19—токи в цепях источников; ult и2, Мд —
напряжения на зажимах источников
145
мирования, при последовательном включении напряжений изображена на
рис. VI. 12, а. В этом случае выходное напряжение можно определить
по формуле
=	(VI.39)
где
з
2	«S
1 =	.
1	з
R + 2 г>
S=I
Отсюда
Обозначив
с- 4--	.	(VI.41>
получим
3
июп ~ с S	(VI.42)
Пользуясь этой формулой, можно сложить входные величины хв и полу-
з
чить на выходе их сумму у = У xs.
8=1
Примем масштабный коэффициент моделирования напряжения входных
величин равным q, а выходной равным q0.
Тогда можно положить
= uBm = qoy,	(VI.43)
откуда
з	з
<70^ = с<7 S А и у =	2 xs.	(VI.44)
S—1	но s„l
Если q0 — cq, то
з
У = Ъх,.	(VI.45)
5=1
Таким образом, схема, приведенная на рис. VI. 12, а, обеспечивает сло-
жение произвольного числа входных величин, если масштабный коэффициент
3
моделирования для выхода q0 принять равным cq. Если Я 2 rs, то с 1
5=1
И q0 = q.
Если вместо ЭДС е, источников рассматривать напряжения us на их
з
зажимах (рис. VI. 12, б), то всегда мвых = 2 ««• Однако для правильной
5=1
работы схемы как суммирующего устройства необходимо, чтобы выполни-
3
лось условие > 2 гг
»ml
146
Для случая, изображенного на
рис. VI. 12, в, имеем следующие соотно-
шения:
з
i = 2 “вых = ЯК
S=sl
=	(VI.46)
Ks -r fs
Исключая l, придем к формуле
для выходного напряжения
з
R X Rs + rs
“ЗВх = -^-----------• (VI.47)
Рис. VI.13. Алгебраическое суммирование
входных величин с помощью усилителя с об-
ратной связью:
/. Il, III — потенциометры задатчика с нуле-
вой точкой; Е — источник питания; utI ut,
«8 — входные напряжения; авых — выходное
напряжение; У — усилитель; Я», Rit Rt — ре-
зисторы входных цепей; Ro — резистор обрат-
ной связи: ип — входное напряжение усилите-
ля:	ц — токи входных цепей; i — общий
ток; i — сеточный ток
Если подобрать сопротивления R, Rs, rs так, чтобы соблюдались соот-
ношения R = Rs 4- rs, то
з
5 «9
“вых = -rh ’	(VL48)
где п — число входных величин.
С помощью этой формулы также можно реализовать сложение входных
величин.	•
Сохраняя прежние обозначения коэффициентов моделирования, можем
написать
з
я 2 х>
3
При <70 = имеем у == 2 х>-
1 "г п	s=l
Операции суммирования могут быть выполнены с помощью сочетания
электрических и электронных устройств, например при использовании
потенциометров в усилителя с обратной связью.
Суммирование с помощью усилителя с обратной связью. Алгебраическое
суммирование входных величин в системах автоматического регулирования
может быть реализовано с помощью усилителя с обратной связью. Схема
такого устройства представлена на рис. VI. 13. Основным требованием
к усилителям, применяемым для указанной цели, является обеспечение
достаточно высокого коэффициента усиления.
Допустим, что в качестве входных величин на потенциометрах уста-
новлены напряжения ut\ тогда сила тока в каждой цепи будет
f в^“До,	(VI.50)
а общий Ток
з	з	а
S‘>- S£-“”Sib	<VI-5I>
S-=l	S=1	s=.l
147
Напряжению us приписывается знак плюс или минус, в зависимости
от того, где находится движок потенциометра—выше или ниже нулевой ли-
нии. Если обозначить коэффициент усиления усилителя через k, то
“вых = ~^“о-	(VI.52)
С другой стороны, «вах — и0 ~—R О О' — Q» гДе 1’с— ВХОДНОЙ ТОК
усилителя. Обычно ic при больших значениях k пренебрежимо мал по срав-
нению с i, поэтому можно принять, что
“вых~“о-^-	(VI.53)
Исключая из уравнений (VI.50), (VI.51) и0 и I, придем к зависимости
з
“вых = -Л	(VI.54)
где
к.---------Ц------.	(VI.S5)
*+' + ££
s==l
Если k достаточно велико, то k0 = 1, и формула (VI.54) принимает вид
з
----£«.£•	(VI.56)
S=1
При R$ = получим формулу суммирования
з
“вых = — у,	(VI.57)
Можно подобрать значения сопротивлений Rs так, чтобы отношения
R0/Rs=as были равны относительным весам соответствующих входных
величин. Тогда устройство, соответствующее схеме рис. VI. 13, позволит
суммировать входные величины не только с учетом их знаков, но и с учетом
их относительных весов as, и формула примет вид
з
“вых = — S as“s-	(VI.58)
S=1
Перейдем к рассмотрению электромеханических устройств.
Электромеханические функциональные устройства. Электромеханиче-
ские функциональные устройства относятся к наиболее часто встречающимся
устройствам в системах автоматического регулирования. Устройства этого
типа могут выполнять любые алгебраические операции, дифференцирова-
ние и интегрирование функций, а также воспроизводить различные нели-
нейные зависимости (sin х, cos х, tg х, arctg хит. п.).
Тахогенератор как дифференцирующий элемент. В системах автомати-
ческого регулирования в качестве дифференцирующего элемента наряду
с электронными дифференциаторами часто применяют тахогенераторы по-
стоянного тока (рис. VI. 14).	•
Если использовать прямолинейную часть характеристики холостого
хода, магнитопровод тахогенератора выполнить из ! материала с малыми
потерями на гистерезис, а якорь с обмоткой — с пренебрежимо малым оми-
148
ческим сопротивлением, то с достаточной для практи-
ческих целей точностью будет справедливо соотношение
и = А ива = Аив	,	(VI. 59)
хогенератора постоян-
ного тока
где А — постоянная, зависящая от размеров и кон-
струкции генератора, а также от качества магнитного
материала.
Эта формула позволяет использовать тахогенера-
тор как дифференцирующий элемент по времени.
В самом деле, если положить ив = const, входную величину представить
угловым перемещением а, определяющим коэффициент qlt а напряжение и
принять за выходную величину у с коэффициентом пропорциональности q0,
то получим
УЧо = Аи& ,
(V1.60)
или при q0 = Лив^!
dx.
(VI.61)
Если напряжение возбуждения «в сделать переменным и использовать
его для моделирования второй входной величины и, то получим следующую
функцию:
Wo = АхЩЪ
(VI.62)
или при q0 = Aq2qY
dx.
У = Х^-1Г-
(VI .63)
Таким образом, с помощью тахогенератора может быть построен эле-
мент, воспроизводящий функцию
У==Х2^-.	(VI.64)
Для уменьшения погрешности тахогенератора, связанной с влиянием
сопротивления переходного контакта между коллектором и щетками, при-
меняют коллекторы с большим числом пластинок, а щетки выполняют
с малым переходным сопротивлением. Повышая скорость вращения якоря
тахогенератора, удается снизить погрешность.
Тахогенератор в качестве интегрирующего элемента. В системах авто-
матического регулирования применяют схемы интегрирования заданной
функции с помощью тахогенератора (рис. VI. 15).
Заданная функция f (t) моделируется с помощью каркасного потен-
циометра 1 в виде напряжения = q-J (t) при перемещении движка а
Рис. VI.15. Схема интегрирования с по-
мощью тахогенератора:
1 — каркасный потенциометр, моделирующий
заданную функцию f (tY, 2 — усилитель; 3 —
потенциометр тахогенератора для установки
коэффициента моделирования; 4 — обмотка
возбуждения тахогенератора; 5 — передача
от вала тахогенератора к движку в; 6 — потен-
циометр отсчета выходного напряжения; а, б,
в — движки потенциометров. ТГ — тахогене-
ратор; М — электродвигатель механизма авто-
матической компенсации
149
с постоянной скоростью. Напряжение на зажи-
мах тахогенератора, пропорциональное первой
производной от углового перемещения ср вала,
dq>
снимается в виде напряжения и2 =
с потенциометра 3. Коэффициент q2 можно,
по желанию, изменять путем перемещения
движка вручную. В свою очередь, перемещение
вала ср тахогенератора снимается в виде выход-
ного напряжения «вых с потенциометра 6, дви-
жок которого в связан передачей 5 с валом.
Если q — коэффициент моделирования угло-
вого перемещения ф, то
Рис. VI.16. Моделирование	и л™	(VI.65)
функции с помощью профильного	®ых
потенциометра	Тахогенератор ТГ вращается электродви-
гателем М, получающим питание через усили-
тель 2. Поскольку электродвигатель М является электродвигателем отра-
ботки в схеме автоматической компенсации, то можем написать, что в уста-
новившемся состоянии а, = и2 и
„ f//\	„ ^Ф Яг dusva
(hl(t) = <hyr ~~g—аГ
(VI.66)
откуда
t
<7s §
(VI. 67)
    с 
Таким образом, напряжение иввх соответствует функции J f (t)dt
о
с коэффициентом q0 = qq-ilq^.
Воспроизведение сложных функций. В счетно-решающих устройствах
систем автоматического регулирования для воспроизводства различных
сложных функций применяют потенциометры с профилированными карка-
сами; потенциометры с изогнутыми прямоугольными каркасами; потенцио-
метры со ступенчатыми каркасами; электронно-лучевые трубки; диодные
линейки.
Потенциометры с профилированными каркасами. Сечение такого кар-
каса, на который наматывается провод сопротивления, представляет собой
четырехугольник с двумя прямыми углами, переменной высотой z и посто-
янным основанием Ь. Длина одного витка, если не учитывать изоляцию,
составит 2 (г Ь). Допустим, что намотка выполняется равномерно по
длине каркаса и на единицу длины укладывается w витков. Если при
этом сопротивление единицы длины наматываемого провода равно р, то на
элементарной длине каркаса dl будет уложено wdl витков с сопротив-
лением
dz = 2pto (z b) dl.
(VI. 68)
Допустим, что требуется напряжением и воспроизвести функцию у =
= f (х) на интервале от 0 до Xj. Рассмотрим случай, когда f (х) на интер-
вале 0—Xj представляет собой монотонную возрастающую функцию с на-
чальным значением у0 = f (0) при х=0. График такой функции изображен
на рис. VI. 16. Здесь, переменная х воспроизводится перемещением движка
потенциометра на величину I, отсчитываемую от точки 0.
Из. рис. VI. 16 следует, что
L = gXlt I — qx.	.	(VI.69)
150
Величина потенциала в каждой точке обмотки потенциометра опре-
деляется напряжением между. движком и точкой отсчета и соответствует
функции у = f (х). Для обеспечения начального значения функции уй=
= / (0) в цепь потенциометра включается добавочный резистор с сопротив-
лением г0. За точку отсчета напряжений принят отрицательный полюс
источника питания.
Общее сопротивление каркаса на длине L, отвечающей заданному
интервалу 0—xt, будет
ь
₽о = 2рда J (z + b) dl.	(VI.70)
о
Если присоединить потенциометр к источнику питания, как показано
на рис. VI. 16, то напряжение на движке в любой точке участка I будет
и{ = щ ri = (г0 + r) i.	(VI.71)
С другой стороны,
E^+RJi-,	(VI.72)
тогда
<vi-73>
Если функции f (х) моделируются с коэффициентом q0, то должны вы-
полняться равенства
I = xq-,
Дифференцируя по
Ul =	(х) = Е + Е -	(VI.74)
х, найдем
.................(VI.T5)
X
г = 2рк' | (z 4- b) q dx\
^ = 2pw(Z4-fe)<7.	(VI.76)
г = ^Г(х)-Ь,	(VI.77)
4=^-4-------?-2оги.	(VI. 78)
но
тогда
Таким образом,
где
Ко Го ?о
Эта формула позволяет вычислить для любого значения I = xq высоту z
профиля каркаса потенциометра. Значения Ro и г0 определяются по кра-
евым значениям функции у0 и yt и допускаемой плотности тока в проводе,
наматываемом на каркасе, т. е.
Я. + Г.-4-; тг"4?'	<VL79)
Если функция у = f (х) немонотонная и знакопеременная с ненулевыми
начальным и конечным значениями на заданном интервале, то интервал
разделяют на участки таким образом, чтобы каждый отвечал монотонному
отрезку кривой, изображающей функцию. В соответствии с этим каркас
потенциометра делят на несколько самостоятельных частей.
151-
a}
Рис. VI. 17. Потенциометр со ступенчатым каркасом
Потенциометры со ступенчатыми каркасами (рис. VI. 17, а). Если
на ступенчатом каркасе намотка равномерная, то сопротивление г участка
ОА изменяется в зависимости от перемещения ползунка по закону ломаной
линии (рис. VI.17, б).
Определим законы изменения сопротивлений по участкам. На первом
участке имеем
r = -p-L;	(VI.80)
на втором участке
г = £^-(Л-Л1)+г1;	(VI.81)
ь2 —
на третьем участке
+	(VI.82)
ь3 — ь2
На основании полученных зависимостей (VI.80) — (VI.82) можно найти
сопротивления для i-ro участка в виде
г =	+ ri-1-	(VI.83)
Закон изменения выходного напряжения и в пределах i-ro участка
будет
«=4г>	(vi-84)
где Е — напряжение питания потенциометра; R — полное сопротивление
потенциометра.
Диодные линейки. В последнее время для воспроизведения сложных
нелинейных функций стали применять диодные линейки. На рис. VI. 18, а
и в показаны принципиальные схемы таких линеек, обеспечивающих ку-
сочно-линейную аппроксимацию функций (для выпуклой и вогнутой кривых).
Как видно из рис. VI. 18, а, анодное напряжение на i-м диоде
«а/ = -Ддио/-	(VI.85)
При малых входных напряжениях цепи всех диодов закрыты и
^ВЫХ == ^ВХ’	(VI. 86)
тогда
иа; = ивых 2 Лио/1	(VI.87)
152
Зависимость (VI.87) справедлива до тех пор, пока анодное напряжение
иа не окажется равным нулю, а диод Дх не откроется. При этом через со-
противление и т пройдет ток
i1=	(VI.88)
Выходное напряжение
^вых== г (^вх “ Дивх	ивых р	(VI.89)
1+“
Выражение (VI.89) справедливо до момента открывания диода Д2, т. е.
«02 = «вых — (д«01 4~ Д«ог);	(VI.90)
и
«вых === «вых 2*	(VI.91)
Имея это в виду, найдем
«вх 2 = Д«01 4~ Д«02 ( I 4“ ~) •	(VI.92)
\ Г1 /
Итак, для t-го участка можно написать
в виде
«ВЫХ = («вх — «вх f-1)	4“
4“ «вых г-it	(VI.93)
где
«г=-------Ь------’ (VI-94)
/=1
К—1
«вых /-1 = Д д«о/'1 (VI.95)
S'-(VUS)
Из этого анализа видно,
что схема на рис. VI. 18, а
представляет собой делитель
входного напряжения с коэф-
фициентом деления сс(. Этот
коэффициент по мере вклю-
чения диодов Д- будет изме-
няться в виде кусочно-ли-
нейной выпуклой кривой
(рис. VI. 18, б).
Вторая схема кусочно-
линейной аппроксимации
(рис. VI. 18, в) позволяет по-
лучить вогнутую кривую.
В этой схеме с увеличением
входного напряжения выход-
ное напряжение возрастает,
и когда оно достигает значе-
ния Ди01, диод Дг закры-
вается, что соответствует уве-
личению коэффициента at.
закон изменения напряжения
а)	6)
Рис. VI. 18. Воспроизведение нелинейной функции с по-
мощью диодных линеек:
а — схема линейки для выпуклой кривой; б —• вид нели-
нейной выпуклой функции; в — схема линейки для вогну-
той кривой; & вид нелинейной вогнутой кривой
153
7
Рис. VI .19. Воспроизведение не-
линейной функции, ваданцой гра-
фически, с помощью следящей си-
стемы
При дальнейшем возрастании ы3х последовательно закрываются диоды Дг,
Д3, .... Д(, т. е.
«----------Чз—	lVI-97’
Отсюда видно, что схема, представленная на рис. VI. 18, в, воспроизво-
дит функцию, изображенную на рис. VI. 18, г. Существует еще много других
схем воспроизведения нелинейных функций с помощью диодных линеек [73].
Воспроизведение нелинейной функции, заданной графически, с помощью
следящей системы. Принцип воспроизведения данным способом может быть
уяснен из рис. VI. 19. Здесь функция у = f(x) задана в виде кривой, нанесен-
ной на бумагу с токопроводящим составом. Бумага с графиком кривой
навертывается на барабан 3, вращающийся с постоянной скоростью. Угол
поворота барабана воспроизводит в некотором масштабе изменение неза-
висимой переменной х. Считывающая головка 2 приводится в движение элект-
родвигателем 5, получающим питание через усилитель 4. Один полюс на
входе усилителя связан со средней точкой источника, а другой — со считы-
вающей головкой. Последняя имеет две щетки: щетку-потенциометр а и
гладкую щетку б. Гладкая щетка соединена с усилителем, а щетка-потен-
циометр — с источником напряжения 1. Обе щетки при движении головки
имеют контакт с кривой, благодаря чему потенциал гладкой щетки всегда
равен потенциалу точки потенциометра, которая находится в соприкос-
новении с кривой у = f (х). Если точка соприкосновения' совпадает с сере-
диной потенциометра, электродвигатель 5 неподвижен. При отклонении
ее в ту или другую сторону электродвигатель приходит в движение и пере-
мещает головку. Направление вращения электродвигателя и перемещение
считывающей головки связаны таким образом, что отклонение точки кривой
от середины потенциометра всегда стремится к нулю. На этом основан про-
цесс считывания заданной кривой.
Кроме считывающего механизма, устройство имеет потенциометр 7,
служащий для моделирования считанного значения функции у. Моделиро-
вание осуществляется с помощью привода движка 6 от электродвигателя 5.
Если установить движок 6 в начальное нулевое положение, когда се-
редина потенциометра считывающей головки 2 находится на оси х, то при
всяком другом положении головки напряжение и, снятое с потенциометра 7,
будет моделировать величину у.
4. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ АНАЛОГ-КОД
Измерительные устройства непрерывного действия, применяемые в си-
стемах автоматического регулирования с управляющими цифровыми вы-
числительными машинами, могут присоединяться к ЦВМ лишь через пре.
образователи аналог—код, преобразующие исходную аналоговую инфор.
154
мацию в код (двоичный, двоично-циклический). Аналоговые сигналы посту-
пают в виде постоянного или переменного напряжения, частоты, фазы, вре-
менных интервалов и углов поворота.
' Преобразование аналоговых величин в цифровой код можно представить
в виде квантования по времени и уровню с последующим кодированием.
Процесс квантования по времени состоит в последовательной выборке через
определенные интервалы времени Тк текущих значений непрерывного сиг-
нала х (/)• Период квантования Тк можно определить с помощью прибли-
женной формулы	.
Тк <	,	(VI.98)
где п — число' двоичных разрядов; (dx/dt)^ — Максимальная скорость
изменения непрерывного сигнала.
Рассмотрим процесс прохождения непрерывного сигнала через пре-
образователь аналог—код (рис. VI.20). Из рисунка видно, что преобразова-
ние сигнала в код происходит не мгновенно, а за вполне определенное время
Тщ. Сигнал с преобразователя снимается с временной задержкой Тц [33],
называемой длительностью цикла. При квантовании по уровню текущее
значение х (/) заменяется ближайшим дискретным значением х (кТ) стати-
ческой характеристики преобразователя (рис. VI.21).
Из рис. VI.21 можно найти, что число уровней
q = 2"-1.	(VI.99)
После процесса квантования по времени и уровню сигналы преобра-
зуются в цифровой код вычислительной машины.
При выборе преобразователя аналог—код необходимо вычислять ста-
тическую и динамическую погрешности. Как известно [33], статические
погрешности зависят от округления переменной и инструментальной по-
грешности преобразователя. Статическая погрешность определяется с по-
мощью формулы
к ____ *tnax хт!п
С 2Л — 1
(VI. 100)
Средняя квадратическая инструментальная погрешность
(VI 101)
Рис. VI.20. Прохождение сигнала х через преобразователь
аналог—код
Рис. VI.21. Статическая характеристика преобразова-
теля аналог—код
155
Дисперсия погрешности квантования по уровню при п > 6 будет
,2 _ (?/2)2
3 ’
откуда средняя квадратическая ошибка
'VI102'
Среднюю квадратическую ошибку преобразователя можно найти, поль-
зуясь формулами (VI.101) и VI.102), т. е.
=„ = 1<?+Л =/4+ §• = ! •	(VI.103)
Значение случайной погрешности
6сл = *ап	(VI. 104)
зависит от коэффициента k, величина которого определяется характером
закона распределения. Для большинства преобразователей k = 2.
Динамическую погрешность преобразователя в момент времени tt
можно записать в виде
5Ж±-6.^+.6с + ’ ] q _ х
q* J
100%
(VI. 105)
или
Д == ? ^сл ~Ь °’5?) 100 %
*(t{)
(VI. 106)
Максимальная величина динамической погрешности преобразователя
аналог—код с постоянной длительностью такта определяется максимальной
величиной переходного процесса на первом такте преобразования:
/ пп—1 \ р-=Л
A = C^je т,	(VI. 107)
где С < 1 — коэффициент, определяющий максимальную относительную
величину переходного процесса; р — показатель степени переходного про-
цесса; t0 — время, затрачиваемое преобразователем для выполнения всех
операций. Более точные значения динамических погрешностей преобразо-
вателей можно получить экспериментальным путем или методом модели-
рования на ЦВМ [32].
Рассмотрим преобразователи аналог—код различных типов. Наи-
большее применение получили преобразователи напряжения и угла пово-
рота в коды.
Преобразовапгели постоянного и переменного напряжения в код. Суще-
ствует три способа преобразования непрерывного постоянного напряжения
в код: последовательного счета, поразрядного кодирования, считывания.
Схема преобразователя аналог—код, работающего по способу последова-
тельного счета, приведена на рис. VI.22, а.
Входное напряжение их преобразуется сначала в пропорциональный
временной интервал Тх (рис. VI.22, б), а затем в код (рис. VI.22, в). Из
схемы видно, что импульсы запуска поступают на генератор пилообразного
напряжения ГПН, который вырабатывает напряжение ип. Триггер Тг
открывает схему совпадения, и импульсы ГИ поступают на счетчик СТ.
В момент равенства ип и их срабатывает схема сравнения (рис. VI.22, б),
которая ставит триггер Тг в нулевое состояние, а импульсы ГИ перестают
156
Рис. VI.22. Преобразователь постоянного на-
пряжения с использованием способа последова-
тельного счета
поступать на счетчик. Код на счетчике (рис. VI.22, в) будет пропорционален
временному интервалу Тх и напряжению их. При иа = их имеем
Т =
1 X -
(VI. 108)
где а — скорость изменения пилообразного напряжения. С помощью выра-
жения (VI. 108) найдем, что выходной код
д/ __ их — цпо
аГги
(VI. 109)
Схема преобразователя постоянного напряжения в код по способу по-
разрядного кодирования (рис. VI.23) работает следующим образом. На
первом такте происходит сравнение их и первого эталонного напряжения,
которое снимается с преобразователя напряжение—код ПНК. После этого
напряжение усиливается в усилителе постоянного тока УПТ.
В работе преобразователя возможны два случая: их > иэ и их < иэ.
В первом случае на выходе УПТ будет отрицательное напряжение. От дей-
ствия этого напряжения и импульсов ДУ± и ДУ % триггер Тгп сохраняет
состояние «1» и напряжение на выходе-ПНК не изменяется. Во втором слу-
чае на выходе УПТ будет положительное напряжение, которое через логи-
ческие схемы переведет триггер в состояние «0». В результате с выхода
Рис. VI.23. Схема преобразователя постоянного напряжения в код
с использованием способа поразрядного кодирования
157
£
Рис. VI.24. Схема преоб-
разователя постоянного
ч напряжения в код с исполь-
* вованием способа считыва-
'g ния
ПН К снимается напряжение и3. Такие же преобразования выполняются
и на последующих тактах (т. е. в каждом из тактов происходит сравнение
их с суммой эталонных напряжений ПН К). После окончания п рабочих
тактов поступает (п 1)-й тактовый импульс, приводящий к считыванию
параллельного кода Nx. Преобразователь приходит в нулевое состояние
после подсчета (п 4- 2)-го импульса.
Преобразователь напряжения, построенный по способу считывания
(рис. VI.24), имеет 2" — 1 опорных напряжений, снимаемых с делителей.
Каждое из этих напряжений поступает на схемы сравнения СС\, СС2, ...,
..., CC2n-i, куда подается напряжение их. В зависимости от результатов
сравнения получается параллельный код Nx. Для исключения неодно-
значности считывания применяются фиксирующие триггеры Тгх, Тг2, ...,
..., Тгп. Выходной сигнал снимается со счетчика СД. Преобразователи этого
типа нашли самое широкое распространение из-за высокого быстродействия.
В преобразователях переменного напряжения в код используется прин-
цип формирования опорных напряжений (рис. VI.25), когда входной сигнал
переменного тока их поступает через блок масштабного преобразования
БМП на схему сравнения ССг. Одновременно с этим сигнал их через блок ССХ
попадает на вспомогательный блок масштабного преобразования ВБМП,
представляющий собой делитель напряжений.
Напряжение их сравнивается с постоянным эталонным напряжением
и, на блоке ССг. В зависимости от сигнала разности этих напряжений цепи
уравновешивания ЦУ .я БМП устанавливают такой передаточный коэффи-
циент kn, при котором имеет место равенство
«X =	(VI. ПО)
На выходе БМП получается напряжение иоп, поступающее на ВБМП.
В результате этого с блока ВБМП снимается напряжение их, управляющее
схемой сравнения ССХ. С выхода ССХ снимается сигнал для изменения пере-
даточного коэффициента ВБМП. Когда
разность их — uk становится малой, коэф-
фициент &в находят с помощью соотно-
шения
Мв=1- (VI. 111)
С учетом соотношения (VI. 111) выра-
жение (VIЛ10) примет вид .
«х = ^- = *в«э, (VI. 112)
поэтому код выхода Nx будет однозначно
соответствовать положению ключей в де-
лителе опорного напряжения ВБМП.
Выходкой код N,
Рис. VI.25. Схема преобразователя пе-
ременного тока в код с использованием
метода опорных напряжений
158
Запуск Останов
Рис. V1.26. Схема преобразователя временного
интервала в код с линией задержки
Преобразователи временного
интервала в код создают на основе
схемы, работающей по методу
последовательного счета. Однако
для повышения точности в таких
преобразователях применяют ли-
нии задержки (рис. VI.26). Линия
задержки смещает на т/2 импуль-
сы ГИ, в результате чего созда-
ются две цепочки импульсов, посту-
пающих на счетчики С7\ и СТ2.
Если положение импульса оста-
нова, воздействующего на логиче-
ские элементы запрета и 32,
будет определяться относительно
этих двух цепочек импульсов, то
максимальная ошибка временного
интервала At уменьшится в 2 раза.
В преобразователях напряжения в частоту (рис. VI.27) после запуска
напряжение их поступает на ключ К, при замыкании которого включается
интегратор. Одновременно с этим схема совпадения начинает пропускать
импульсы ГИ на счетчик. Напряжение на выходе интегратора ик линейно
возрастает до опорного иоа. При иа > и0П схема сравнения СС сраба-
тывает, и импульс ГИ поступает на второй вход интегратора. Амплитуда
импульса иэ имеет обратную полярность к их, а длительность равна т.
В результате напряжение ии упадет. Итак, после действия импульса ГИ
напряжение ив снова начинает увеличиваться и цикл интегрирования
повторяется.
Если считать, что приращение напряжения на выходе интегратора
равно нулю, то можно записать следующую зависимость
Ги
~RyC | uxdt J u3dt = 0.
о	о
(VI. 113)
При их = const в интервале от 0 до Тв из зависимости (VI.ИЗ) найдем
=	(VI.114)
Ux «.а
Если частота следования импульсов Г И
=	(VI.115)
1 и
fa = <xux,	(VI. 116)
где
«—Аг-
Рис. VI .27. Схема преобразователя напряжения
в частоту
то число импульсов, прошедшее
через счетчик СТ за время Т, будет
Nx — Taux. (VI. 118)
Таким образом, показания
счетчика СТ пропорциональны
входному напряжению.
159
Рис. VI.28. Кодовые шкалы'.
а — двоичная; б •— циклическая
зоном изменения переменных хтах
Преобразователи углов поворота
в коды имеют кодовые шкалы, считан-
ный сигнал с которых образует двоич-
ный или циклический код. В каче-
стве устройств считывания применя-
ются щетки, магнитные головки и
фотодиодные датчики [78]. Если
используется двоичная кодовая шка-
ла 1 (рис. VI.28, а), то весь диапа-
зон углового перемещения разбивают
на равные интервалы й/, каждому
интервалу соответствует вполне опре-
деленное двоичное число. Соотноше-
ние между числом разрядов п. двоич-
ного числа, интервалом hx и диапа-
— *min можно представить в виде
2n-i
*tnax *mln
(VI. 119)
Младшему разряду двоичных чисел круговой кодовой шкалы соответ-
ствует внешнее кольцо, а старшему — внутреннее кольцо кодовых участков.
В этом случае
=	(VI. 120)
где k — 1, 2, 3, ... — порядковый номер кольца.
Преимущество двоичной кодовой шкалы заключается в том, что счи-
танный сигнал представляет собой код двоичного числа. Однако считывание
сигналов, например, щетками 2 (рис. VI.28, а) может происходить со значи-
тельными ошибками. Так, в пятиразрядной двоичной кодовой шкале на гра-
нице между 15-м и 16-м секторами вместо двоичных чисел 01111 и 1000 может
быть считано любое пятиразрядное число от 00000 до 11111.
Во избежание ошибок считывания применяют циклические кодовые
шкалы (рис. VI.28, б). Циклические коды приводятся к двоичному коду
путем сложения сдвинутого двоичного числа по модулю 2 (без переноса),
т. е.
«/ = «» ©«£+!•	(VI. 121)*
Пример VI. 1. Сложить двоичное число 10001 по модулю 2 (mod 2) и получить цикли-
ческий код данного числа. Сдвинем число 10001 вправо на один разряд и сложим его с заданным
числом (без переноса), т. е.
10001
® 1000 (1)
11001
В результате получим циклический код 11001.
Обратный переход от изображения числа в циклическом коде в двоичный
код осуществляется в виде
i
d( = 2 dA(mod2).	(VI. 122)
k=n
Из выражения (VI. 122) следует, что значение разрядов двоичного числа
получается из его циклического кода последовательно, начиная со старшего
разряда. Схема такого преобразования изображена на рис. VI.29, а. Триг-
* Знак ф означает сложение до mod 2.
160
гер Те co счетным входом1
выполняет функции сумматора
по mod 2 последовательного
действия, на вход которого по-
ступают импульсы циклического
кода, начиная со старшего раз-
ряда. Триггер изменяет состоя-
ние с приходом каждого им-
пульса, соответствующего «1»
в циклическом коде. Выход
триггера связан с одним из вхо-
дов схемы совпадения. На вто-
рой вход этой схемы поступают
импульсы ГИ.
Рис. V1.29. Устрой-
ство для преобразова-
ния последовательного
циклического кода, на-
чиная со старшего раз-
ряда, в последователь-
ный двоичный код
Чых
выход
Импульсы циклического кода сдвинуты на полпериода относительно
импульсов ГИ. Если триггер находится в положении «1», то сигнал с его
входа отпирает схему совпадения для пропускания синхронизирующих
импульсов, а если он находится в положении «О», то схема заперта. На вы-
ходе схемы совпадения образуется двоичный код. Временная диаграмма
работы такого устройства показана на рис. VI.29, б.
5. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ КОД —АНАЛОГ
Выходные регистры цифровых вычислительных машин присоединяются
к устройствам управления или индикаторам через преобразователи код-
аналог. При этом дискретные сигналы преобразуются в непрерывные в виде
напряжений постоянного или переменного тока, углов поворота, времен-
ного интервала.
Процесс преобразования кода в непрерывные величины можно пред-
ставить в виде двух этапов: сначала из числового кода получается импульс-
ный сигнал с амплитудной модуляцией, а затем из импульсного сигнала
получается непрерывный. На первом этапе происходит квантование сигнала
по уровню, а на втором сигнал экстраполируется по горизонтальным и на-
клонным прямым или квадратичной параболе. В результате этого преоб-
разователи код—аналог именуются соответственно как нулевого, первого
и второго порядков (см. гл. XV). .
Точность преобразователей код—аналог в основном определяется каче-
ством аналоговых элементов, входящих в преобразователь, и составляет
от 0,5 до 0,01%.
Преобразователи кода в постоянное напряжение выполняют на основе
схем параллельной и последовательной передачи кода. В преобразователях
первого типа сигналы суммируются на УПТ со своим коэффициентом веса,
определяемым номером данного разряда (рис. VI.30, а).
Если на вход такого преобразователя поступает код N х, то на его выходе
будет напряжение
(VI. 123)
max
где ытах — максимальное значение напряжения, снимаемое с преобразо-
вателя.
Входной код представим в виде
Nx = аг2° ф- а22‘ ф- а322 -]-ф-	(VI. 124)
См. подробнее в п. 7 данной главы.
6 Иващенко Н. Н.
1G1
Рис. VI.30. Схема построения преобразователя код-аналог с параллельной передачей кода
Максимальное значение кода из п разрядов ЛГтах = 2П — 1 или прибли-
женно Л/— 2". В этом случае выражение (VI.123) можно записать в виде
«вых = «шах (а„2~‘ -I-4- а32~ <л~2’ 4- а.Д~ <п-!> 4- ai2~n), (VI. 125)
или
«вых = «шах S 0/2-	(VI. 126)
<=1
Из рис. VI.30, а видно, что входной код (Vx поступает на триггеры,
управляющие двухпозиционными ключами. Если в i-м разряде кода будет
«1», то ключ К, подсоединит резистор R . 2"-'-1 к источнику питания; если же
в данном разряде будет «О», то ключ присоединит этот резистор к земле.
Недостатком преобразователей с весовыми резисторами является необ-
ходимость подбора резисторов с отличием в 2'1-2 раза друг от друга с высо-
кой точностью.
Если создать матрицу из одинаковых R и 2R резисторов, то удается
ликвидировать этот недостаток. Схема такого преобразователя приведена
на рис. VI.30, б.
Преобразователи второго типа имеют большое число элементов анало-
гового типа: блоки суммирования, деления и хранения постоянного напря-
жения (рис. VI.31). Цикл работы такого преобразователя состоит из п. оди-
наковых тактов по два такта каждый. В первой его половине напряжение
блока деления БД ип суммируется с напряжением ип. Для этого по сигналу
синхронизатора С замыкается ключ Klt и напряжение ип поступает на вход/
сумматора. Ключ К2 подает напряжение блока деления на вход 2 сумматора.
Рис. V1.31. Схема построения пре-
образователя код — аналог с после-
довательной передачей кода
162
Во второй половине также про-
исходит деление выходного на-
пряжения сумматора на 2. Это
напряжение поступает в БД
с помощью ключа /<2. Одно-
временно с этим размыкается
ключ В результате имеем
“бд* = ~2" (“бд^! + *«п).
(VI. 127)
При наличии хорошей син-
хронизации между поступле-
нием разрядов и переключением
ключей Ki и /С, получим иВЬ1Х,
пропорциональное Nх.
Преобразование кода во вре-
менной интервал можно выпол-
нять с помощью схемы, изобра-
женной на рис. VI.32. В нее
Рис. VI.32. Схема построения преобразователя кода
во временной интервал
входят триггер для запуска,
логические блоки, счетчик СТ, сдвигающий регистр RG и схема сравнения
кодов ССК. Из рис. VI.32 видно, что импульс конца временного интервала
формируется схемой сравнения кодов, поступающих из всех разрядов ре-
гистра и счетчика. Счетчик подсчитывает число поступающих импульсов ГИ.
При совпадении кодов в счетчике и регистре схема сравнения выдает сигнал,
стробирующий импульс конца временного интервала из импульсов ГИ.
Преобразователи кода в угол представляют собой цифровые следящие
системы, двигатель в которых формирует непрерывный сигнал.
е. ЭЛЕКТРОННЫЕ АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
Аналоговые вычислительные устройства широко применяют при реше-
нии целого ряда задач в системах автоматического регулирования. Принцип
работы аналоговых устройств основан на том, что самые разнообразные по
физической природе явления могут быть описаны аналогичными уравне-
ниями (в большинстве случаев дифференциальными), а решение этих уравне
ний на аналоговом устройстве представляется в форме «машинных пере-
менных», или «аналогов» физических параметров, характеризующих иссле-
дуемый процесс.
Структурно аналоговая вычислительная машина (АВМ) состоит из бло-
ков, каждый из которых может выполнять определенные операции, необхо-
димые для решения заданных уравнений. Основные решающие блоки АВМ
выполняют математические операции сложения, вычитания, умножения на
постоянную величину, получения функций произвольного аргумента, полу-
чения функций времени, умножения и деления двух величин, операции диф-
ференцирования и интегрирования. Все функциональные блоки, осуще-
ствляющие эти операции, можно разделить на три группы: блоки линейных
операций; блоки постоянных и переменных коэффициентов; блоки нелиней-
ных и функциональных преобразований.
Структурную схему типовой АВМ можно представить в виде, показан-
ном на рис. VI.33.
Основным элементом аналоговых вычислительных машин является
операционный или решающий усилитель, позволяющий непосредственно
реализовывать линейные операции при решении систем дифференциальных
уравнений и в составе функциональных блоков выполнять многие нелиней-
ные операции.
6'
163
часть	Решающая часть
Рис. V1.33. Структур-
ная схема типовой АВМ
Упрощенная схема операционного усилителя показана на рис. VI.34.
Его основными составными частями являются электронный усилитель
с большим коэффициентом усиления (k — 70 000—100 000), входная цепь
и цепь обратной связи, имеющие соответственно импедансы zBX (s) и zoc (s).
Эти импедансы определяют соотношения между входным и выходным напря-
жением операционного усилителя и, следовательно, характер выполняемой
им операции.
Основную формулу операционного усилителя для входной величины
можно записать в виде
^ых(5) = Я(5)С/вх(5),	(VI. 128)
где Н (s) = —Zoc (s)/ZBX (s) — передаточная функция усилителя *.
Если входных величин несколько, то основная формула имеет вид
п
UBba (S) = ~ 2	(s) VBX. (s),	(VI. 129)
i=i	1
где
^(s) = --f^-	(VI. 130)
передаточная функция операционного усилителя по i-му входу.
Формулы (VI.129) и (VI. 130) показывают, что операционный усилитель
имеет широкие возможности операторного преобразования входных величин,
причем передаточная функция операционного усилителя определяется только
отношением сопротивлений входных цепей и цепи обратной связи.
Суммирующий операционный усилитель. Если входная цепь и цепь
обратной связи образованы резисторами, то операционный усилитель выпол-
няет операцию суммирования входных сигналов.
В этом случае Zoc (s) = Roc и ZBX/= RBX . Тогда основная формула
(VI. 129) принимает вид
п
^вых (S) = - 2	(VI- !3D
Выражение (VI. 131) показывает, что операционный усилитель, входные
цепи и цепь обратной связи которого образованы резисторами, может выпол-
нять следующие операции:
масштабное преобразование (умножение
на постоянный коэффициент) входной вели-
чины (рис. VI.35, а);
суммирование нескольких сигналов
с одновременным умножением каждого из них
Рис. VI.34. Упрощенная схема опе-
рационного усилителя
1 См. подробнее в п. 1 гл. XI.
164
Рис. VI.35. Блок-схемы реализации арифме-
тических операций с помощью операционного
усилителя:
а — умножения на постоянный коэффициент;
б—сложения
Рис. VI.36. Блок-схема реализации операций
интегрирования и дифференцирования с по-
мощью операционного усилителя
на постоянный, различный для каждого сигнала, коэффициент (рис. VI.35,б).
Кроме того, электронная схема операционного усилителя построена
таким образом, что входная и выходная величины имеют разные знаки,
т. е. осуществляется инвертирование входного сигнала (или суммы входных
сигналов).
Операции интегрирования и дифференцирования. Если в цепь обратной
связи включена емкость С, а входная цепь состоит из резистора /?вх, то уси-
литель выполняет операцию интегрирования (рис. VI.36, а). В соответствии
с формулой (VI. 130)
Я(5) = -|^=----------^L==-^ic-	(VI.1.32)
*хвх	S/\BXC
Если входных цепей несколько, то интегрируется сумма входных величин
п
----(VL133)
(=1 1
Наоборот, если во входную цепь включена емкость С, а обратная связь
содержит резистор Roc, то усилитель выполняет операцию дифференцирова-
ния входного сигнала (рис. VI.36, б). В этом случае
<v,134)
И
U вы* = sRocCUBx.
Следует заметить, что на практике операционные усилители, работающие
в режиме дифференцирования, используют редко, так как они вносят боль-
шие погрешности в решения при наличии случайных составляющих в диф-
ференцируемом сигнале.
Операторное преобразование входных величин. Передаточная функция,
воспроизводимая на операционном усилителе, в общем случае в соответ-
ствии с формулой (VI. 130) может быть записана в виде
и / м _ ^(s) _ anSn + gn-is”-1 + • • • + а0	,v т , or,
()~ M(s) ~ 6mSm+,m_1Sm-i + ...+6’	(VI-135>
где m > 1, n > 1, n < tn.
Иначе говоря, H (s)= —Zoc(s)/ZBx (s) является передаточной функцией,
связывающей входную и выходную величины операционного усилителя.
Выбирая соответствующий вид Zoc (s) и ZBx (s), можно воспроизвести на
операционном усилителе типовые динамические звенья и их комбинации.
165
Схемы реализации некоторых типовых звеньев на операционном усили-
теле приведены в табл. VI.3. Такие схемы целесообразно применять в тех
случаях, когда требуется обеспечить решение с использованием минималь-
ного числа операционных усилителей или же когда реализуемая передаточ-
ная функция стационарна, как это часто имеет место в корректирующих
звеньях систем регулирования.
Однако такой метод имеет существенный недостаток при решении диф-
ференциальных уравнений, так как не позволяет задавать начальные условия
и изменять параметры передаточных функций независимо друг от друга.
Гадлица
Схемы реализации простейших передаточных функций
Передаточная функция W($)	Схема реализации				Значения параметров
к Tsi-t	Xfr	ft		_£_ii— ,гяГ		k- & я, ' Т-Мв
k(Tstl)	>			*$ых	“# T~R,C •
k Тгзг*2£Т1->1	fl fl	c /Х^ |			А- к, Тг-кгк3СС,, 2!Г-КгС
					
ks	»Sx Я, C		я.		к-кос, Г*к,С
k(T,S't) (Тг^1)	c, xtP I"71'"] kl			*tux	* я, ' Т,-Я,С,. Т^-ЯиСп
k(T,S4i)			нфй Ч(г	-TSDiA	А-	%	Й 1	*1°=	£	°?	£ ;	i	Д-	Д.	йг 1
ks (T,S'i)(T2S'l)	। R' ,_|Cp			*8их	А ~ fig Cj ) Tj-kt с,, T^-RqCq
166
Рис. VI.37. Блок-схема решения линейного однородного дифференциаль-
ного уравнения четвертого порядка на АВМ
Решение дифференциальных уравнений. Аналоговые вычислительные
устройства удобно применять для решения систем дифференциальных урав-
нений произвольного порядка, особенно в тех случаях, когда требуется полу-
чить множество решений при различных значениях параметров и видах
входных воздействий. На АВМ легко решаются однородные и неоднородные
линейные и нелинейные дифференциальные уравнения, хотя машинное реше-
ние каждого класса уравнений имеет свои особенности.
Решение линейных однородных уравнений. Пусть требуется получить
переходные процессы в системе регулирования, описываемой однородным
обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка.
Полагая dxldt = р, уравнение запишем в виде
(рп 4- ап_хр ' 4“ <МР "Г До) я = 0.	(VI. 136)
Наиболее просто это уравнение решать методом понижения порядка.
Для этого оно разрешается относительно старшей производной
Л	dn~Д	dx	,Л7Т ,
-^7 = -ап-1 -^=Г---------ai~dF~	(VI-137)
это эквивалентно системе уравнений первого порядка, если х = хх:
dx,
~df = x>’
dx,
"dt ~ Хз’
(VI. 138)
— = —aox1 — агх2-----------------an-ixn.
Нетрудно видеть, что решение уравнения (VI. 137) или системы (VI. 138)
сводится к образованию правой части в виде суммы производных со своими
коэффициентами и последовательному n-кратному интегрированию на опе-
рационных усилителях. Схема решения уравнения (VI. 137) на АВМ в общем
виде (для случая п = 4) приведена на рис. VI.37.
Недостатком этого способа решения является то, что при большом п
число потребных входов суммирующего усилителя может превысить воз-
можности блока. В этом случае для решения уравнения (VI. 137) может быть
применен другой способ.
167
rfx
Рис. V1.38. Преобразованная блок-схема ре-
шения линейного однородного дифференциаль-
ного уравнения четвертого порядка на АВМ
Уравнение (VI.137)
зуется в систему
dx,	,
-----а11-1Х1 4“ Х2’
dx,	,
-----an-2xl 4~ Х3>
dx,,,	,
= — а1Х1 4- хп;
dxn
ЧГ = ~а^-
преобра-
(VI. 139)
>
Система уравнений (VI.139) эквивалентна исходному уравнению (VI.137).
Это можно проверить, если продифференцировать первое уравнение системы
(VI. 139) (п— 1) раз и подставить в него остальные уравнения. В такой
схеме каждая из промежуточных переменных образуется в результате сум-
мирования не более чем двух величин. Схема решения линейного однород-
ного дифференциального уравнения (для п = 4) приведена на рис. VI.38.
Решение линейных неоднородных уравнений. Пусть необходимо решить
на АВМ уравнения вида
(Р 4~ O-n—lP 4” ' ’ ' 4" Олр 4~ ао) У ~
= (bmpm + bm^pm-1 -]-----4-Ь1Р + Ь0)х.	(VI. 140)
Если использовать снова метод понижения порядка, то схема решения
составляется по уравнению
dny	dn~ly	dy
-----+
+6"'5^++б"х-	(V,141)
Сложность непосредственного моделирования такого уравнения заклю-
чается в необходимости формирования в общем случае пг производных вход-
ного воздействия х (0. При т > 1 способ практически неприменим, поэтому
для решения уравнений вида (VI. 152) применяют другие способы.
Метод вспомогательной переменной целесообразно применять для
решения на АВМ неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Тогда, учитывая структурные преобразования и возможность переноса
дифференциатора через интегратор в системе с постоянными коэффициентами,
уравнение (VI. 140) можно записать в виде
(pn -j- On—ip 4* • •  -j- aip 4" ао) 2 — Х-,
(Ьщр 4" bm—iP 4- • • • 4- hp 4- ^o)z — у,
(VI. 142)
где г — вспомогательная переменная.
Обозначив г = zx, приведем первое уравнение системы (VI. 142) к системе
уравнений первого порядка
pzi =
pz2 = г3;
(VI. 143)
ргп = — ад - агг2 —-----------an_tzn ф- х.
168
Тогда второе уравнение системы (VI.142) для выходной переменной у
запишется в виде
у = &02! +	4* '  • И- bm_1zm 4- bmzm+1.	(VI. 144)
Совместное решение системы (VI. 143) и уравнения (VI. 144) не требует
выполнения операции дифференцирования. Схема решения на АВМ (п = 3;
т = 2) в общем виде приведена на рис. VI.39.
Недостатком метода является необходимость дополнительных расчетов
для определения начальных условий по промежуточным координатам г,
в преобразованной системе.
Метод понижения порядка в сочетании с эквивалентным преобразова-
нием. Применение этого метода рассмотрим на примере уравнения
(Р3 + «аР2 + а1Р + «о) У = (&аР2 +	+ Ьо) х.	(VI. 145)
Преобразуя его для решения на АВМ по методу понижения порядка,
придем к схеме, показанной на рис. VI.40, а. Проведем некоторые эквива-
лентные преобразования в схеме. Сигнал иг в точке 1 (выход первого интегра-
тора) определяется выражением
«1 = -у- (Ьох 4- Ьгрх 4- Ь2р2х — аоу — аузу — a^Uj).	(VI. 146)
Для сигнала, пропорционального рх, операция дифференцирования
компенсируется интегрированием, иначе говоря, сигнал, проходящий через
блок с коэффициентом Ь1г можно перенести на выход первого интегратора,
опустив операцию дифференцирования. Аналогично рассуждая, установим,
что сигнал р2Ь2х можно перенести в точку 2 и освободиться от операции
двойного дифференцирования.
В результате выполненных эквивалентных преобразований схема реше-
ния примет вид, показанный на рис. VI.40, б.
Из схемы рис. VI.40, б имеем
А = -§- = / = “1 + Ъх;
РУ = ~%1=У' = «2 + b2x.
(VI. 147)
Начальные условия на вы-
ходах интеграторов будут
ию = Уо — &1Х0>
и20 = Уо — Ь^Хо-
Рис. VI.39. Блок-схема решения ли-
нейного неоднородного дифференциаль-
ного уравнения третьего порядка
на АВМ
Рис. VI.40. Упрощенные блок-схемы решения ли-
нейного неоднородного дифференциального уравнения
третьего порядка, полученного по методу эквива-
лентных преобразований
169
Моделирование нелинейных операций. Нелинейные операции, выпол-
няемые на решающих элементах АВМ, можно разделить на три группы:
1)	типичные нелинейные операции (характеристики типа «ограничение»,
«люфт», «зона нечувствительности» и т. д.);
2)	операции умножения и деления;
3)	функциональные преобразования, реализующие нелинейные зави-
симости произвольной формы.
Первые две группы нелинейных операций воспроизводятся на базе
операционных усилителей.
Типовые нелинейности реализуются с помощью схем операционных
усилителей с диодными ячейками. Схемы реализации некоторых зависи-
мостей приведены в табл. VI.4.
Таблица Vhb
170
Рис. VI.41. Блок-схема реализации операции умноже-
ния ху
Рис. VI.42. Блок-схема реали-
зации операции деления
Операция умножения, осуществляемая на
ных устройствах, основана на соотношении
квадраторных множитель-
и = х-у = 0,25 [(х + у)2 — (х — #)«].
(VI. 149)
Схема аналогового устройства, реализующего зависимость (VI. 149),
показана на рис. VI.41.
В схему, помимо суммирующих операционных усилителей, входят
диодные квадраторы и схемы выделения модуля. Абсолютная погрешность
множительного устройства такого типа составляет около 0,1 В.
Операция деления также может быть выполнена на базе операционного
усилителя, если включить в его обратную связь блок умножения. Схема
такого усилительного аналогового устройства показана на рис. VI.42.
Деление выполняется на основе равенства
(VI. 150)
операционным усилителем при ограниченном значении выходной величины
(«машинной переменной») и весьма больших значениях коэффициента усиле-
ния электронного тракта операционного усилителя.
Равенство (VI. 150) практически является тождеством, поэтому
у^-1-т.	(VI.151)
где т — R2/kr,R1 — масштабный множитель.
Такая схема деления обеспечивает точность 2%, если делитель пред-
ставляет собой напряжение, не меньшее 0,1 полной машинной единицы
для данного аналогового устройства.
Реализация корректирующих устройств систем регулирования. Доста-
точно большое число операций, воспроизводимых на аналоговых вычисли-
тельных устройствах, в сочетании с физической природой представления
переменных в АВМ позволяет широко применять аналоговые элементы для
реализации различных корректирующих устройств.
Линейные корректирующие устройства, обычно представляющие собой
передаточные функции не выше второго порядка, реализуются с помощью
схем, приведенных в табл. VI.3 и VI.4, либо подобных им схем в случае
более сложных передаточных функций. В зависимости от особенностей
конкретных систем применяют либо схемы с использованием /?С-цепей, либо
корректирующие устройства на базе структурных моделей.
С помощью аналоговых элементов можно также реализовать нелинейные
корректирующие устройства с раздельной коррекцией амплитуды и фазы
сигнала.
171
Рис. VI.43. Блок-схема
реализации корректирую-
щих устройств на АВМ'.
а — нелинейного; б — ли-
нейного
В качестве примера можно привести нелинейное корректирующее
устройство (НКУ) (см. гл. VIII и XIV), структурная схема которого приве-
дена на рис. VI.43, а. Передаточные функции в цепях НКУ имеют вид
W (s) =----!__• WA (s) = -Гф5 + 1-
Tas + 1 ’	*тф5+1-
Нелинейные зависимости реализуются с помощью схем, приведенных
в табл. VI.4, а передаточные функции Wa (s) и И7ф (s) — с помощью схем,
приведенных в табл. VI.3. Полная схема моделирования нелинейного коррек-
тирующего устройства приведена на рис. VI.43, б.
7. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЦИФРОВЫЕ УПРАВЛЯЮЩИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
МАШИНЫ
В настоящее время в системах автоматического регулирования широкое
применение получили цифровые вычислительные устройства (ЦВУ) и управ-
ляющие цифровые вычислительные машины (УЦВМ). Цифровые вычислитель-
ные устройства характеризуются значительными логическими возможно-
стями, позволяющими реализовать различные законы регулирования. Точ-
ность реализации законов определяется числом разрядов ЦВУ, которое
может достигать 16—20 двоичных разрядов. При этом общая ошибка пре-
образования сигналов в ЦВУ составляет +(Ы0ч—6-10"3)%.
Управляющие цифровые вычислительные машины имеют еще большее
преимущество, так как в них изменение законов регулирования сводится
к перемене рабочих программ. Одновременно с этим на УЦВМ осуществляется
контроль правильности реализации законов, прогнозируются отказы. В ре-
зультате обеспечивается высокая надежность действия всей системы авто-
матического регулирования.
По структуре и составу устройств УЦВМ сходны с универсальными
цифровыми вычислительными машинами. Как правило, управляющая ЦВМ
является одноадресной с достаточно развитой системой команд. Все команды
имеют длину, совпадающую с длиной операнда, а расположение полей
в команде (код операции, адрес и т. д.) заранее фиксировано. В УЦВМ при-
меняются три типа запоминающих устройств: оперативное запоминающее
устройство (ОЗУ) для хранения входных, выходных и промежуточных
данных; долговременное запоминающее устройство (ДЗУ), где размещаются
программы и константы, и внешнее запоминающее устройство (ВЗУ), пред-
назначенное для ввода и хранения первоначальных данных.
УЦВМ относится к синхронным вычислительным машинам, у которых
время выполнения операции остается постоянным независимо от кодов и опе-
рандов, участвующих в операции. Синхронный принцип действия, хотя и сни-
жает производительность вычислительной машины, но значительно сокра-
щает объем электронного оборудования.
В УЦВМ, кроме трех устройств памяти, входят: арифметическое устрой-
ство (АУ), в котором операции выполняются поразрядно; устройство управ-
172
ления (УУ), осуществляющее все действия над числами и кодами и управ-
ляющее всеми устройствами вычислительной машины; устройство ввода
и вывода (УВВ), обеспечивающее сопряжение цифрового вычислителя с из-
мерительными и исполнительными устройствами; блок питания (БП). В зави-
симости от требований к системе автоматического регулирования изменяется
число разрядов, время выполнения операций (сложения, умножения, деле-
ния и обращения к памяти), число команд и объем памяти.
На рис. VI.44 показана типовая блок-схема управляющей цифровой
вычислительной машины. Будем считать, что арифметическое устройство
УЦВМ оперирует с 16-разрядными двоичными числами с фиксированной
запятой, стоящей перед старшим разрядом мантиссы.
Числа представляются в дополнительном коде с одинаковым знаковым
разрядом в интервале
— 1 < х < 1 - 2~“.
Поля команд могут, например, распределяться так: адресная часть —
О—8-й разряды; код операции — 9—14-й разряды; признак модификации —
15-й разряд. Признак модификации определяет режим изменения адресной
части и используется при организации циклов вычислений.
В тех случаях, когда точности 15 разрядов недостаточно, предусматри-
вают дополнительные операции над числами двоичного формата. Обычно
они реализуются в виде специальных подпрограмм.
Устройства памяти УЦВМ имеют модульную конструкцию. Увеличение
памяти происходит путем добавления дополнительных модулей ОЗУ, ДЗУ
и ВЗУ. Объем единичного модуля памяти составляет 4—8 К (где К ==
= 1024 слова). В современных УЦВМ объем памяти может достигать 32—64 К.
и более.
Ввод и вывод чисел в вычислительной машине может быть осуществлен
с помощью канала прямого доступа в память. К этому каналу подключаются
внешние устройства, служащие для связи с измерительными и исполнитель-
ными средствами системы регулирования.
Для оперативного обмена информацией между УЦВМ и человеком-
оператором применяется станция индикации данных (СИД), центральным
узлом которой является дисплей с электронно-лучевой трубкой.
Процессы регулирования в автоматических системах ведутся в реаль-
ном времени, что приводит к- необходимости создания службы единого вре-
мени на УЦВМ. В качестве таких
устройств применяют счетчики
единого времени (таймеры), орга-
низуемые в ячейке памяти вычис-
лительной машины. С помощью
таймера определяются порядок и
временные интервалы опроса изме-
рительных устройств, выдачи си-
гналов на исполнительные устрой-
ства и прерывания в счете.
Простые логические функции
в УЦВМ осуществляются с по-
мощью набора основных элементар-
ных блоков И, ИЛИ, НЕ, ИЛИ —
НЕ и И — НЕ. Для получения
логических функций средней слож-
ности используют блоки И—ИЛИ—
НЕ, И—HE/ИЛИ—НЕ, а для
сложных логических функций —
блоки в виде счетчика, регистра,
полусумматора, сумматора и т. д.
Рис. VI.44. Блок-схема управляющейся цифровой
вычислительной машины
173
Рис. VI .45. Схема инвертора на
полупроводниковых элементах
(схема НЕ)
Рис. VI.46. Схема совпадения на
диодных элементах (схема И)
В настоящее время все блоки УЦВМ создаются на основе пяти типов
логических схем: транзисторная логика (ТЛ), резисторно-транзисторная
логика (РТЛ), диодно-транзисторная логика (ДТЛ), транзисторно-тран-
зисторная логика (ТТЛ), ферриттранзисторная логика (ФТЛ).
Схемы логических блоков. Как указывалось выше, для логических
функций НЕ, И, ИЛИ применяются блоки на диодах, транзисторах, ферри-
тах, ферриттранзисторах и интегральных схемах.
Логические схемы НЕ (или инверторы). Эти схемы реализуют операцию
логического отрицания. Наиболее простая схема транзисторного инвертора
представлена на рис. VI.45.
Как известно, сигналы физического представления двоичных чисел
(единиц и нулей) в вычислительных машинах могут быть реализованы в форме
двух уровней электрических напряжений (высокого и низкого) или электри-
ческих импульсов (положительного и отрицательного). Представим себе,
что сигнал высокого уровня подан на вход приведенной схемы. Транзистор
отпирается, и вследствие того, что он находится в режиме насыщения, потен-
циал на выходе будет близок к нулю.Наоборот, при подаче низкого напря-
жения на вход транзистор оказывается запертым, и потенциал на выходе
будет высоким (почти равным Ek). Таким образом, схема, приведенная на
рис. VI.45, осуществляет операцию инверсии.
Логическая схема И. Эту схему часто называют также схемой совпаде-
ния. В структурном отношении схема совпадения представляет собой мно-
гополюсник с несколькими входами и одним выходом, причем сигнал на
выходе появляется только в том случае, если одновременно на всех входах
имеются определенные сигналы. На рис. VI.46 представлена схема совпаде-
ния на полупроводниковых диодах с тремя входами и одним выходом. При по-
даче на все входы напряжения высокого уровня все диоды будут заперты,
ток через резистор R протекать не будет и на выходе появится сигнал высо-
кого уровня (потенциал 4-Е). Если на одном из входов будет отсутствовать
сигнал напряжения высокого уровня, то соответствующий диод станет
Рис. VI.47. Схемы совпадения на магнитных элемен-
тах (схема И)
проводящим, вследствие чего
через резистор R пройдет ток
и на резисторе возникнет
падение напряжения. На вы-
ходе будем иметь низкий по-
тенциал.
На рис. VI.47, а и б при-
ведены примеры логических
схем совпадения на феррито-
вых сердечниках [34]. Ма-
гнитный материал сердечни-
ков характеризуется петлей
гистерезиса, близкой к прямо-
угольной. Рассмотрим схему,
показанную на рис. VI.47, а,
174
Рис. VI.48. Схемы собирания (схема ИЛИ)
перемагнититься, а ЭДС, наведенная
предполагая для упрощения, что
петля идеально прямоугольная. По-
дадим на обмотку А импульс нама-
гничивающей силы Н А, причем вели-
чина НА удовлетворяет неравенству
-^СНА<Нс, (VI. 152)
где Нг— коэрцитивная сила магнит-
ного материала.
При этом сердечник не может
в выходной обмотке при подаче сигнала, вызовет только помеху. То же
самое будет, если на обмотку Б подать импульс Нъ, причем
А-<ЯБ<ЯС.	(VI. 153)
Но если на входы обмоток А и Б подать одновременно импульсы нама-
гничивающих сил НА и Нь, причем
4-<Яа= Нб<Нс,	(VI. 154)
и, кроме того, соблюдено условие совпадения фаз сигналов намагничива-
ния, то при согласном включении обмоток произойдет перемагничивание
сердечника, и на выходе схемы появится сигнал. Для правильной работы
схемы входные импульсы НА и Нъ должны быть переменной полярности.
Это необходимо для подготовки магнитного состояния сердечника к приему
следующих импульсов.
При однополярных входных сигналах используют схему, показанную
на рис. VI.47, б. Эта схема действует аналогично предыдущей, но здесь
сердечник имеет дополнительную обмотку С, к которой подключено посто-
янное напряжение смещения, создающее в сердечнике постоянную намагни-
чивающую силу Нсм. Однополярные сигналы, подаваемые на обмотки А
и Б, должны теперь удовлетворять неравенству
1/2 (Нс + Нам) СНА^Нъ<Нс + Нсы.	(VI. 155)
Логическая схема ИЛИ. Эти схемы часто называют схемами собирания.
На рис. VI.48, а представлена подобного рода схема на диодах для положи-
тельных сигналов. Схема имеет один выход и несколько входов а, б, в, на
которые поступают сигналы напряжения высокого уровня. Сигнал на выходе
возникает всякий раз, как только хотя бы на одном из входов появляется
сигнал высокого уровня.
На рис. VI.48, б приведена схема логического элемента ИЛИ, построен-
ная на полупроводниковых диодах и трансформаторах. Поступающие на
входы а и б импульсы переменной полярности трансформируются транс-
форматорами Трг и Тр2 и проходят через полупроводниковые диоды Дг
и Д8, которые пропускают полуволну только положительной полярности.
Преобразованные импульсы поступают на выход схемы через трансформа-
тор То3. При этом на выходе мы получим импульсы опять переменной
полярности.
Комбинированные логические схемы. Недостатком логических схем НЕ,
И, ИЛИ (см. рис. VI.45—VI.47) является отсутствие порога переключения,
т. е. ограниченная возможность каскадирования, и малая нагрузочная спо-
собность. В связи с этим в последнее время чаще используют комбиниро-
ванные блоки, содержащие схемы И, ИЛИ с транзисторным инвертором.
Такие блоки И—НЕ, ИЛИ—НЕ являются универсальными, т. е. могут
реализовать любую функцию алгебры логики [17].
175
Рис. VI.49. Схемы комбинированных логических блоков'.
а — транзисторно-резисторный логический; б — диодно-транзисторный логический ИЛИ —НЕ; в —
транзисторно-логический ИЛИ—НЕ с резистивными связями; г — транзисторный логический ИЛИ-
НЕ с резистивно-емкостными связями; а — транзисторный логический ИЛИ —НЕ с эмиттерной связью:
е — транзисторный И —НЕ со сложным инвертором
На рис. VI.49 приведены наиболее распространенные схемы транзи-
сторных комбинированных блоков. Эти схемы достаточно просто реализуются
средствами современной микроэлектроники. В СССР и за рубежом [61]
в настоящее время такие блоки выпускаются промышленностью в виде
интегральных гибридных и полупроводниковых схем. Кроме того, с раз-
витием интегральной микроэлектроники были разработаны новые схемы
логических блоков, которые ранее не использовались. Примером может
служить типовая схема интегрального транзисторного логического блока
И—НЕ (ТТЛ) (рис. VI.49, е). Здесь операция И реализуется с помощью
специфического компонента — многоэмиттерного транзистора, эквивалент-
ного нескольким транзисторам, а операция инверсии осуществляется с по-
мощью сложного инвертора, содержащего три транзистора. Несмотря на
относительную сложность схемы по сравнению с транзисторными насыщен-
ными логическими блоками другого типа (рис. VI.49, а—г), данный блок
в интегральном исполнении имеет массу, габаритные размеры не больше,
чем у других блоков, а потребляемую мощность, быстродействие и надеж-
ность — выше.
На рис. VI.50 показана схема блока И—НЕ/ИЛИ—НЕ с одним источ-
ником питания. Этот блок характеризуется высокой помехоустойчивостью
и отличается высокой надежностью.
Приведем сравнительную оценку блока НЕ—И/ИЛИ—НЕ, изготовлен-
ного для различных типов логических схем по одной технологии (табл. VI.5).
Одноразрядный преобразователь. Назначение преобразователя — пере-
давать входной сигнал на выход в прямом или инвертированном виде в зави-
симости от знака управляющего сигнала.
Схема такого преобразователя в логической форме приведена на
рис. VI.51. Схема преобразователя составлена из схем инверсии, совпадения
и собирания. Управляющие сигналы подаются на входы и На вход а
поступают сигналы, реализующие цифры одного ряда двоичного числа,
т. е. 0 или 1. Допустим, что 1 представлена сигналом высокого уровня,
а 0 — сигналом низкого уровня. Если на вход te»j подать управляющий
сигнал высокого уровня, а на вход — сигнал низкого уровня, то при высо-
176
выход
Таблица VI.5
Сравнительные показатели
блока НЕ-И/ИЛИ-НЕ с различными
логическими схемами
Типы логических схем	Быстро- действие, мГц	Зона помехо- устойчивости , В
тл	0,5—1	2—4
РТЛ	5—10	0,25—0,80
дтл	10—25	0,50—1,00
ТТЛ	10—20	0,50—1,00
ком уровне сигнала на входе,
на выходе, как нетрудно убедиться, Рис Vf 50 Схгма блока и—НЕ/ИЛИ—НЕ с
будет появляться сигнал, инвер- одним источником питания
тированный по отношению к си-
гналу, поступающему на вход т. е. когда на вход wx поступает 1,
на выходе будет 0, и, наоборот, при наличии 0 на входе wx на выходе
будет 1.
Если на вход w2 поступает управляющий сигнал высокого уровня,
а на вход — сигнал низкого уровня, то мы имеем прямую передачу сиг-
нала, поступающего на вход w2.
Одноразрядный сумматор. Назначение одноразрядного сумматора, как
показывает его название, — производить сложение цифр в разряде. В ка-
честве примера на рис. VI.52, а приведена логическая схема одноразрядного
двоичного сумматора на два входа.
Схема имеет также два выхода. Один выход р дает значение суммы в дан-
ном разряде, а выход q определяет перенос в следующий старший разряд
На выходе схемы ИЛИ появляется сигнал высокого уровня, если на ее вхо-
дах имеется хотя бы один такой сигнал. Схема НЕ инвертирует сигнал,
поступающий на ее вход. Схема И пропускает сигнал высокого уровня только
в том случае, если на обоих ее входах имеются такие сигналы.
Допустим, что входные сигналы, поступающие в сумматор, представ-
ляют единицу сигналом высокого уровня, а ноль — сигналом низкого уровня.
Тогда работа схемы может быть отображена таблицей, помещенной на
рис. VI. 52, б.
Нетрудно убедиться, что сумматор осуществляет сложение цифр одного
разряда двух любых двоичных чисел. Аналогично может быть построена
схема сумматора для сложения цифр трех и более двоичных чисел в одном
разряде.
На рис. VI.53, а представлена структура полного комбинированного
сумматора (один разряд), выполненная из элементов И—НЕ. Логическая
таблица функционирования сумматора дана на рис. VI.53, б, где введены
Рис. VI.51. Схема однораз-
рядного преобразователя
Рис. VI.52. Одноразрядный двоичный сумматор
177
рм д. 8„
Рис. VI.53. Полная схема одноразрядного комбинированного сумматора
следующие обозначения: Ак, Вк — слагаемые к-го разряда; Рк_г — перенос
из предыдущего разряда; SK — сумма, получающаяся в к-м разряде; Рк —
перенос в последующий (k 4- 1)-й разряд.
Одноразгрузочный преобразователь прямого хода в обратный. Преобра-
зователь выполняет следующие функции: в отсутствие сигнала на знаковом
входе z (г = 0) число А передается на выход преобразователя без изменения
(В = А); при наличии сигнала на знаковом входе (г = 1) число А пере-
дается на выход с инверсией (В есть отрицание А). На рис. VI.54, а представ-
лена структурная схема преобразователя, выполненная на элементах
ИЛИ—НЕ. Функционирование преобразователя иллюстрируется логиче-
ской таблицей, приведенной на рис. VI.54, б.
Регистр сдвига. При выполнении арифметических операций над двоич-
ными числами часто требуется произвести сдвиг всех разрядов числа на опре-
деленное число разрядов впразо или влево (например, при умножении).
Логическая схема такого регистра для трехразрядных двоичных чисел пред-
ставлена на рис. VI.55.
При сдвиге всех разрядов числа достаточно сдвинуть только единицы,
остальные места разрядов будут занимать нули. На вход схемы подаются
сигналы а, б и в двух разных уровней, представляющие в комплексе трех-
разрядное двоичное число. Места разрядов на выходе от 1 до 5 обозначены
символами Р1( Р2, .... Рь. Если на шинах w2, w3 отсутствуют управля-
ющие сигналы, то сигналы высокого уровня числа а, б, в не пропускаются
на выход. В этом случае во всех разрядах Рг, Р2, .... Рь будут стоять нули.
При подаче управляющего сигнала на шину входные сигналы высокого
уровня пройдут на места Р,, Р2 и Р,. Таким образом, двоичное число а, б, в
поступит на выход схемы без сдвига.
При подаче управляющего сигнала на шину w2 сигналы высокого
уровня а, б и в пройдут на выход и займут соответственно места Р2, Р3 и Р4,
т. е. двоичное число а, б, в будет сдвинуто вправо на один разряд. Совершенно
аналогично при подаче управляющего сигнала на шину w3 мы сдвинем наше
Рис. VI .54. Одноразгрузочный преобразователь прямого
хода в обратный
число на два разряда вправо.
Вся схема составлена из ло-
гических схем совпадения.
Из приведенных приме-
ров следует, что, комбинируя
основные логические схемы,
можно построить сложные
схемы, реализующие различ-
ные операции управления
в системах автоматического
регулирования.
178
Триггеры. Одним из важнейших элементов ЦВМ является триггер.
Особенностью триггера по сравнению с рассмотренными выше логическими
элементами является способность «запоминать», т. е. сохранять информацию
после того, как входные сигналы изменяют свои значения.
Основой триггера является бистабильная ячейка, которая представляет
собой перекрестное соединение двух инверторов. Простейшая транзистор-
ная бистабильная ячейка, показанная на рис. VI.56, имеет два устойчивых
состояния. В одном из устойчивых состояний транзистор Т2 насыщен и на
выходе Q поддерживается низкий уровень. Так как напряжение на базе
транзистора 7, при этом достаточно мало, то 7\ закрыт, и на выходе Q
поддерживается высокий уровень. Если с помощью внешнего сигнала ввести
транзистор 7\ в режим насыщения, то на выходе Q устанавливается низкий
уровень, который передается на базу транзистора Т2 и запирает его. В ре-
зультате на выходе Q устанавливается высокий уровень, т. е. ячейка перехо-
дит во второе устойчивое состояние
Состояния, когда оба транзистора одновременно оказываются насыщен-
ными или закрытыми, являются неустойчивыми. Если такое состояние воз-
никает при некотором сочетании внешних сигналов, то по окончании дей
ствия сигналов ячейка переходит в одно из устойчивых состояний.
В ЦВМ и устройствах управления триггеры выполняют самые разно-
образные логические функции и функции памяти. В качестве примера рас-
смотрим некоторые основные типы триггеров.
Триггер с раздельными входами х. Простейшая схема такого триггера,
построенная на транзисторных логических элементах с резистивной связью,
показана на рис. VI.57. При подаче высокого потенциала на вход R на
выходе Q устанавливается высокий потенциал, соответствующий логиче-
ской 1, который сохраняется и после окончания действия сигнала на входе R
до тех пор, пока не будет подан высокий потенциал на вход S. При подаче
высокого потенциала на вход S на выходе Q устанавливается низкий потен-
циал, соответствующий логическому 0, который сохраняется, пока на вход R
не будет снова подан высокий потенциал. Следует отметить, что при одно-
1 В литературе в последнее время этот триггер часто называют /?5-триггером.
Рис. VI.55. Схема транзистор-
ной бистабильной ячейки
Рис. V1.57. Схема RS-триггера
179

Рис. VI. 58. Временная диа-
грамма работы RS-триггера
Рис. VI.59. Схема триггера
со счетным входом
временной подаче высоких потенциалов на входы R и S триггер после окон-
чания действия входных сигналов оказывается в неопределенном состоянии,
т. е. потенциал на выходе Q может оказаться как высоким, так и низким
Поскольку такая неопределенность может привести к сбою в работе устрой-
ства, то при использовании /?5-триггеров аппаратуру проектируют таким
образом, чтобы избежать одновременного поступления высокого потенциала
на входы R и S.
Работа /?5-триггера иллюстрируется временной диаграммой, приведен-
ной на рис. VI.58.
Триггер со счетным входом. Типовая схема такого триггера приведена
на рис. VI.59. Пусть в исходном состоянии (в отсутствие сигнала на входе)
транзистор Tt заперт, транзистор Т2 насыщен и на выходе Q поддерживается
низкий потенциал. При подаче на счетный вход импульса положительной
полярности транзистор Т2 также запирается. По окончании действия вход-
ного импульса вследствие различия зарядов, накопленных на емкостях Су
и С2, базовый ток, отпирающий транзистор Tt, оказывается больше, чем
базовый ток транзистора Т2- В результате транзистор Тг входит в насыще-
ние, транзистор Т2 запирается и на выходе Q устанавливается высокий
потенциал. Таким образом, триггер изменяет свое состояние после поступле-
ния каждого очередного импульса на счетный вход. Работа триггера иллю-
стрируется временными диаграммами, приведенными на рис. VI.60.
Одна из распространенных модификаций триггера представлена на
рис. VI.61. Данная схема выполняет функции RS-триггера, а также имеет
счетный вход.
В рассмотренных схемах триггеров емкости, накапливая соответству-
ющий заряд, осуществляют «запоминание» предыдущего состояния триггера
и обеспечивают требуемое направление процесса переключения. В современ-
ной микроэлектронике реализация в схемах емкостей значительных номи-
налов затруднительна, поэтому в микроэлектронных триггерных схемах для
запоминания состояния часто используют не заряд на емкостях, а например,
запоминание на дополнительной бистабильной ячейке. На рис. VI.62 пока-
зана одна из схем триггеров со счетным входом, не имеющая реактивных
компонентов. Несмотря на относительную сложность, этот триггер легко
реализуется в виде интегральной схемы, имеет малые габаритные размеры
и массу, высокую надежность и хорошие электрические характеристики.
Рис. VI.60. Временная
диаграмма работы
триггера со счетным
входом
Рис. VI.61. Схема
триггера со счетным
ходом и емкостями
180
Рис. VI.62. Схема триггера со счетным
входом без реактивных компонентов
Рис. VI.63. Блок-схема счетчика
Свойство триггеров иметь два устойчивых состояния может быть исполь-
зовано для физического представления двоичных чисел, если одно из двух
состояний принять за цифру 0, а другое — за 1. Тогда для изображения
заданного числа в двоичной системе достаточно взять столько триггеров,
сколько имеется разрядов в числе, и ввести условную отметку нулевых
и единичных (рабочих) состояний триггеров. Цепочка из триггеров, которая
служит для условной записи одного числа, называется регистром.
Указанное свойство триггеров позволяет также использовать их для
построения счетчиков импульсов.
Счетчик (рис. VI.63). Это устройство легко реализуется при исполь-
зовании триггеров со счетными входами. Временная диаграмма, иллюстри-
рующая работу счетчика, показана на рис. VI.64. Как видно из диаграммы,
на выходе триггера Taj (см. рис. VI.63) один импульс формируется после
поступления двух входных импульсов (пересчет на два), на выходе Тг2
один импульс формируется после поступления четырех входных (пересчет
на четыре), на выходе Тг3 один импульс соответствует поступлению восьми
входных (пересчет на восемь).
Каждый триггер имеет устройство для стирания предыдущей записи
и неоновую лампочку для сигнала о том, что триггер находится в рабочем
состоянии (запись 1).
Если пределом счета является «-разрядное двоичное число, то счетчик
должен иметь п триггеров. Импульсы, подлежащие счету, подаются на вход
первого триггера, причем к моменту начала счета предыдущие записи триг-
гера должны быть стерты. Чтобы стереть информацию, зафиксированную
счетчиком, подают сигнал в форме отрицательного импульса на вход гашения.
При этом все триггеры переходят в начальное (нулевое) состояние, что ука-
зывается потухшими неоновыми лампочками.
При поступлении первого импульса триггер Тгг переходит в рабочее
состояние, зажигается его неоновая лампочка. Положительные импульсы,
возникающие в системе при переходе триггеров из одного состояния в другое,
не пропускаются соответствующими диодами.
Если начальное состояние триггеров отвечает цифре 0, а рабочее —
цифре 1, то после первого отрицательного импульса счетчик зафиксирует
двоичное число ООО ... 01 = 1. Второй
импульс перебросит триггер Тгг в на-
чальное состояние, его неоновая лам-
почка погаснет, а отрицательный им-
пульс с выхода триггера Тгх поступит
на запуск триггера Тг2 и переведет его
в рабочее состояние. Счетчик зафикси-
рует двоичное число 00 ... 010 = 2.
Следующий импульс, поданный на вход
счетчика, переведет триггер Тг± в ра-
Рис. V/.64. Временная диаграмма работы
счетчика
181
«)
Рис. VI.65. Регистр сдвига
Рис. VI.66. Блок-схема сумматора
бочее состояние, причем триггер Та2 сохранит свое предыдущее состояние.
Зафиксированное счетчиком двоичное число будет 00 ... ОН — 3.
Продолжая подавать импульсы, мы заставим счетчик фиксировать
их общее число, т. е. выполнять счет импульсов. Счет импульсов происходит
со скоростью до 100 000 импульсов в секунду. Для подсчета 10’ импульсов
требуется счетчик на 20 триггеров.
Схемы счетчиков импульсов разнообразны. Наряду с двоичными счет-
чиками нередко применяют десятичные счетчики, составленные из триггеров
в комбинации с логическими схемами управления.
Регистр сдеига (рис. VI.65, а). Это устройство удобно строить, исполь-
зуя PS-триггеры со счетным входом. Временные диаграммы, иллюстриру-
ющие работу регистра, представлены на рис. VI.65, б. Предварительно
в регистр записывается начальная информация установкой триггеров в соот-
ветствующие состояния. После поступления каждого тактового импульса
информация сдвигается по цепи триггеров вправо, т. е. последующий триг-
гер принимает состояние предыдущего.
Сумматор. На рис. VI.66 приведена простейшая схема сумматора,
в которой используются триггеры со счетным входом и логические элементы
ИЛИ. Одно из слагаемых, представленное в двоичном коде, поразрядно
записывается в регистр триггеров. Второе слагаемое подается на счетные
входы триггеров через элементы ИЛИ. Происходит логическое суммирова-
ние сигналов и формируются соответствующие выходные перепады напря-
жений. Емкости дифференцируют выходные перепады и формируют импульсы
переноса из младших разрядов в старшие. Импульсы переноса, задержанные
на время т, достаточное для окончания переходных процессов в триггере,
поступают через элемент ИЛИ на счетный вход старшего разряда. Проис-
ходит суммирование единиц переноса, и в сумматоре устанавливается окон-
чательный результат.
Запоминающие устройства (ЗУ). Запоминающие устройства, действие
которых основано на различных физических принципах, находят широкое
применение в вычислительной технике и автоматике. Они предназначены
для записи, хранения и выдачи числовой и командной информации, записан-
ной в дискретной форме, и имеют разнообразные наименования: накопители
информации, блок памяти, запоминающие устройства, устройства хра-
нения.
Основными показателями, характеризующими запоминающее устрой-
ство, являются емкость, или число элементов информации, которое можно
разместить в запоминающем устройстве; время, потребное для записи инфор-
мации и для ее считывания; плотность записи информации, приходящейся
на единицу измерения носителя. В тех случаях, когда требуется многократ-
182
ная запись информации в одни и ге же ячейки памяти запоминающего устрой-
ства, оно должно иметь приспособление для уничтожения сделанной ранее
записи. Существует много типов носителей информации, на которых могут
быть созданы ячейки ЗУ.
Выше мы уже отмечали свойство триггера, позволяющее записывать,
хранить и считывать числа. Таким образом, триггер является элементом
памяти, с помощью которого можно построить запоминающее устройстве для
записи чисел или другой информации с произвольной длительностью хра-
нения и возможностью стирания.
Остановимся кратко на некоторых часто встречающихся запомина
ющих устройствах с различными носителями информации.
ЗУ, в которых используются перфоленты и перфокарты. Перфоленты
и перфокарты применяются в ЗУ ввода и вывода ЦВМ, в ЗУ систем автома-
тического регулирования для задания программ регулирования, например,
программ для автоматической обработки изделий на станке. Это широко рас-
пространенный и дешевый носитель информации. Движение перфоленты
может быть непрерывным или пульсирующим с постоянным шагом. Запись
на перфолентах и перфокартах не стирается, допускает длительное хране-
ние и многократное использование. Перфоленты хранятся в виде рулонов,
а перфокарты — в виде массивов. Таким образом, можно иметь библиотеку
различных программ, команд, инструкций и прочей информации, оформлен-
ной на перфолентах и перфокартах.
Наиболее сложной задачей при использовании рассматриваемого вида
запоминающих устройств является задача считывания и записи с перфолент
или перфокарт. Приборы считывания называют считывающими головками
или трансмиттерами. Считывание может выполняться электромеханическим
способом или с помощью фотоэлемента. Наибольшая скорость считывания
при помощи электромеханического трансмиттера обычно не выше шести
цифр в секунду для одного ряда. Для фотоэлектрических трансмиттеров
эта скорость достигает 2500 цифр в секунду, а скорость перемещения ленты
до 6 м/с.
Накопители на магнитной ленте, ЗУ на магнитных барабанах. Принцип
магнитной записи в этих ЗУ основан на свойстве некоторых ферромагнитных
материалов сохранять намагниченное состояние после устранения намагни-
чивающей силы. Различают три основных состояния остаточной магнитной
индукции Вост: среда размагничена Вост = 0; среда намагничена ВОСТ > 0;
среда намагничена Вост < 0. Магнитные материалы с указанным свойством
используют для получения элементов памяти.
Магнитная запись электрических импульсов осуществляется местным
намагничиванием отдельных участков носителя (ленты или барабана).
Ферромагнитная лента представляет собой тонкую основу из дос/аточно
прочного немагнитного материала, на которую нанесен феррослой, характе-
ризующийся свойством остаточного магнетизма. Запись электрических
импульсов и их воспроизведение (считывание) реализуется с помощью
специальной магнитной головки, схематически изображенной на рис. VI.67.
Головка состоит из магнитного сердечника 1 и обмотки 2 (рис. VI.67, а).
Сердечник имеет два воздушных зазора: рабочий 6г и задний 62. Назначение
последнего — дать возможность регулирования в некоторых пределах сигна-
лов в записывающей и считывающей головках. Импульс тока, поданный
в обмотку головки, намагничивает участки ленты 3, проходящие в этот
момент над рабочим зазором головки, т. е. производит на ленте магнитный
отпечаток 4. При считывании записи (магнитных отпечатков) с магнитной
ленты в обмотке воспроизводящей головки возникает электродвижущая
сила, которая затем усиливается и передается по назначению (рис. VI.67, б).
Современные магнитные ленты имеют различную ширину (от 6,5 мм
до 125 мм), что позволяет осуществлять запись с различным числом парал-
лельных дорожек. Ширина дорожек от 1 до 3 мм. Наиболее широко приме-
183
Рис. VI.67. Схема магнитной головки!
а *» запись; б — считывание
няемая плотность записи на ленте составляет на 1 мм дорожки от 0 до 30 им-
пульсов (диполей). Емкость запоминающих устройств на магнитных лентах
зависит от их размеров и достигает нескольких десятков миллионов слов
(чисел).
Запоминающие устройства с использованием магнитных лент требуют
больших затрат времени на выборку нужного числа или сигнала, так как
это связано с перемоткой ленты. Этот недостаток проявляется в меньшей
мере у запоминающих устройств, в которых для записи информации исполь-
зованы магнитные барабаны, изготовляемые из сплавов алюминия. Ферро-
магнитный слой толщиной от 0,01 до 0,03 мм наносится на поверхность
барабана.
Запоминающие и считывающие головки располагаются по образующим
барабана. Максимальная длительность времени считывания определяется
временем одного оборота барабана и обычно не превышает 10 мс при частоте
вращения барабана 6000—7000 об/мин. Емкость одного магнитного барабана
составляет несколько десятков тысяч чисел. Так, например, магнитное
запоминающее устройство на барабанах, принятое в качестве внешней
магнитной памяти быстродействующей вычислительной машины БЭСМ-6,
имеет 32 барабана по 30 тыс. слов (чисел) каждый и четыре канала по 32 ма-
гнитных ленты емкостью П-108 символов каждая.
Следует упомянуть о модификации магнитного барабана, встречающейся
в некоторых счетных машинах. Вместо магнитного барабана применяют
ряд магнитных дисков, насаженных на вертикальную вращающуюся ось.
Головки записи и считывания подводятся к Любой из концентрических
дорожек, расположенных на обеих сторонах дисков. Главное преимущество
ЗУ на магнитных дисках — возможность смены отдельных дисков или
целых блоков и большие емкости, чем у ЗУ на магнитных барабанах. Емкости
таких запоминающих устройств составляют от нескольких сот тысяч до
нескольких миллионов чисел.
Запоминающие устройства на магнитных сердечниках. Магнитные
сердечники наиболее широко применяют в оперативных ЗУ, где требуется
быстрая смена информации. Сердечники, используемые в качестве ячейки
для хранения двоичной единицы информации, изготовляют из магнитных
материалов с петлей гистерезиса, близкой к прямоугольной. ЧРм ближе
петля гистерезиса к прямоугольной форме, тем более устойчивы два раз-
личных рабочих состояния сердечника. Представим себе идеальную прямо-
угольную петлю гистерезиса (рис. VI.68, а) со значением остаточной индук-
ции ±ВС и коэрцитивной силой Н — ±НС.
Если магнитное состояние сердечника характеризуется точкой I, то при
уменьшении Н значение остаточной индукции 4-Вс будет сохраняться до тех
пор, пока напряженность поля Н не станет равной —Нс, после чего произой-
дет перемагничивание, и новое магнитное состояние будет характеризо-
184
ваться точкой III (—Вс). Для реальных магнитных материалов, применяе-
мых для запоминающих устройств, петля гистерезиса отличается от прямо-
угольной, но она должна возможно ближе подходить к ней.
Принцип действия запоминающего устройства на магнитных сердечни-
ках можно уяснить из рис. VI.68, б. Устройство состоит из группы (матрицы)
одинаковых магнитных сердечников с тремя обмотками каждый. Обмотки
сердечников соединяются, как показано на рисунке. Каждый сердечник
предназначен для хранения одного разряда двоичного числа. Цифры 0 или 1
разрядов определяются магнитным состоянием (магнитной полярностью)
сердечника. Из трех обмоток две используются для записи, третья — для
считывания. Сердечники расположены правильными горизонтальными и вер-
тикальными рядами. В горизонтальном ряду записываются все разряды
одного числа, тогда как в вертикальном — один соответствующий разряд
для всех чисел устройства.
Запись осуществляется одновременной посылкой импульсов тока по
выбранным линиям х и у. Все импульсы тока одинаковы по величине, причем
их величина такова, что создаваемая ими напряженность поля Н удовлетво-
ряет неравенству
1/2Нс<Н<Нс.
Таким образом, одного импульса недостаточно для перемагничивания
сердечника. Только суммарное действие двух одинаковых по знаку импуль-
сов может его перемагнитить и перевести в другое магнитное состояние.
Предположим, что все сердечники имеют отрицательную магнитную поляр-
ность, т. е. везде записаны нули. Это достигается подачей во все горизонталь-
ные и вертикальные ряды отрицательных импульсов тока. Пусть, например,
требуется записать единицу в сердечнике х2у3. Для этого следует направить
положительные импульсы по линиям х2 и у3. Тогда сердечник х2«/3 пере-
магнитится и получит положительную остаточную индукцию. Все остальные
сердечники (как по линии х2, так и по линии у3~) сохранят свое прежнее
положение, так как один импульс не будет в состоянии их перемагнитить.
Для записи двоичного числа следует на вход избранного горизонтального
ряда, а также на входы соответствующих вертикальных рядов xlt х2, ...
подать положительные импульсы.
В таком виде записанное число может храниться неограниченное время
без затраты энергии. Для прочтения записанного числа на вход соответ-
ствующего горизонтального ряда подается отрицательный импульс тока,
создающий напряженность поля Н > Нс. При этом в тех сердечниках гори-
зонтального ряда, где имелась положительная остаточная индукция (запись
цифры 1), происходит перемагничивание, вследствие чего в считывающих
обмотках индуктируются электродвижущие силы, которые создают на выходе
Рис. VI.68. Схема запоминаю-
щего устройства на магнитных
сердечниках:
х^, х2, х3, ylt у2, Уъ — входы запоми-
нающего устройства; С — выход
воспроизведения
а)
185
считывающей цепи импульсы воспроизведения. В остальных сердечниках
горизонтального ряда перемагничивания не будет. На выходе считывающей
цепи могут появиться лишь электродвижущие силы — помехи, которые
не должны превышать 10% амплитуды выходных импульсов, отвечающих
цифре 1.<
Время записи и считывания в запоминающих устройствах на магнитных
сердечниках не превышает 4—5 мкс.
Следует отметить, что при считывании какого-либо горизонтального
ряда информация этого ряда стирается, так как все сердечники получают
отрицательную остаточную индукцию (цифры 0). Если запись числа после
считывания должна сохраниться, необходимо провести восстанавливающую
запись.
Этим заканчивается краткое описание запоминающих устройств. Здесь
мы не останавливаемся на запоминающих устройствах с применением элек-
тронно-лучевых трубок или различных линий задержки, поскольку эти
устройства более сложны и менее пригодны для использования в системах
автоматического регулирования.
8. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
УСТРОЙСТВА
Пневматические аналоговые и цифровые вычислительные устройства
получили применение в системах автоматического регулирования в химиче-
ской, нефтеперерабатывающей и газовой отраслях промышленности, что объ-
ясняется высокой надежностью действия этой аппаратуры в условиях выде-
ления химических продуктов агрессивного действия. В качестве блоков,
на основе которых создаются вычислительные устройства, применяются
устройства универсальной системы элементов промышленной автоматики
(УСЭППА).
Аналоговые вычислительные устройства. Аналоговые вычислительные
устройства на элементах УСЭППА выполняют операции алгебраические,
интегрирования и дифференцирования. Рассмотрим некоторые из этих опе-
раций, пользуясь условными обозначениями, приведенными в табл. VI.6.
Суммирование сигналов осуществляется на сопротивлениях или мем-
бранах [27]. Схемы сумматоров на резисторах на два сигнала и р.,
(рис. VI. 69,а), а также на мембранах на два сигнала ръ pt и три сигнала р\
и р8 (рис. VI.69, б) являются наиболее употребляемыми. Весовой расход
воздуха в схеме, приведенной на рис. VI.70, а,
6 ~	>	(VI.156)
где V — объем на выходе дросселя; R — газовая постоянная; О' — абсолютная
температура.
Расход воздуха на выходе будет
AG=4-<^-	(VI.157)
ТМлица V! S
Ьслйбние DCiPJtiQh'tnUH йгиЗЛОСйбыЛ ПнеёмОЭЛеМел/ПОв
			Ьгодной ппевмоканол	—М—	нерегулируемое !.опротивлепие	—1>-	Н^прермвною повторитель
——о	б&лодний пнеёмоканал	%—	Регулируемое сопротивление	ц		Линия сброса в атмосферу
>—*	Линия питаний	—(7)	Постоянная емкости	_-гг=-=-	Мембрана
186
Рис. VI.69. Схемы сумми-
рования на пневматиче-
ских устройствах:
а — с двумя регулируемыми
сопротивлениями; б — на
мембранных датчиках
Рис. VI.70. Схемы выполнения операций на двухвходовых усилите-
лях:
а — суммирования; 6 — умножения на постоянный коэффициент;
в —интегрирования; е — дифференцирования
При этом через каждый дроссель сумматора с двумя выходами прохо-
дят следущие количества воздуха:
Gi = а (рг — р); 1	(VI. 158)
С2 = Р(Р — Pi). J
где а и ₽ — коэффициенты потерь.
Отсюда
AG = Gj — Ga = apt +	— Р (а + Р)-	(VI. 159'
Подставляя выражение (VI.159) в (VI.158), получим
RQ (а + ₽) ~di + Р =‘ Д+Т Pl + “+Т Рг'	160)
В уравнение (VI. 160) введем следующие обозначения:
Т =-----------;
№(« + ₽) ’
k - a •
k --A--
2 ~ « + P ’
тогда получим
T ^- + p = KPi -r k2p2.	(VI. 161)
Для установившегося процесса из уравнения (VI. 161) получим
Р = k1p1k2p2,	(VI. 162)
т. е. выполняется операция суммирования. Соответствующим выбором
параметров kx и k2 можно обеспечить с точностью до ±(3—5)% операцию
P — Pl+Pi-	(VI. 163)
187
Если операция суммирования (VI. 163) выполняется на мембранах
(рис. VI.69, б), то точность выполнения операций составляет ±0,5%.
Схема суммирования на двухвходовом усилителе показана на
рис. VI.70,а. Постоянная времени Тшах для сопротивления 0,18 мм и V =
= 2,53 см3 составляет 0,03 с.
Умножение входной величины на постоянный коэффициент выполняется
с помощью двухвходового усилителя и дроссельного сумматора (рис. VI .70, б).
При коэффициенте усиления, большем единицы, имеем
р-(1+4-)л.	<У1Л64>
где 1 4- (Р/а) — k — постоянный коэффициент.
Точность выполнения операции умножения — не более ±2%.
Интегрирование осуществляется на двухвходовых усилителях, на входе
которых включено апериодическое звено (рис. VI.70, в).
Для этой схемы имеем
т
Р = -4- J (Pi — Рг) dt,	(VI. 165)
Уи о
где Тя — V/yR$ — постоянная времени интегрирования; у — коэффициент
потерь.
Операция интегрирования по схеме, приведенной на рис. VI.70, в,
выполняется с точностью 2—3%. В настоящее время существуют схемы
реализации операции интегрирования на пневмоэлементах с более высокой
степенью точности (до 0,1.%) [27].
Дифференцирование выполняется также с помощью двухвходового уси-
лителя, в отрицательную обратную связь которого включено апериодическое
звено (рис. VI.70, г). В этом случае реализуется зависимость
+	(VI. 166)
где Тд = У/а7?Ф; а — коэффициент потерь.
Устранение режима автоколебаний (см. гл. XIV) достигается регулиро-
ванием о или введением в цепь обратной связи дроссельного сумматора [27].
Используя пневматические функциональные аналоговые преобразова-
тели, можно создать промышленные регуляторы непрерывного действия раз-
личных типов: пропорциональные, пропорционально-интегральные, про-
порционально-интегрально-дифференциальные и т. п.
Цифровые вычислительные устройства. Логические операции выполняют
с помощью пневмореле с пружиной (рис. VI.71, а—в) или пневмореле с под-
пором рп (рис. VI.71, г—е). В схемах, показанных на рис. VI.71, а и г, реа-
лизуется операция НЕ. С помощью пневмореле (рис. VI.71, б и б) реализуется
операция ИЛИ. Операция И выполняется, если используется схема, пред-
ставленная на рис. VI.70, в и е.
Пользуясь условными обозначениями, приведенными в табл. VI.6,
и дополнительными условными обозначениями, приведенными в табл. VI.7,
составим несколько схем цифровых вычислительных устройств на пневмати-
ческих элементах.
Двоичный сумматор. Схема разряда двоичного сумматора построена
на пневмореле и элементе ИЛИ (рис. VI.72, а). Как видно из рис. VI.72, а,
в схеме имеются три входа — pAi, pBi, pDi и два выхода — ра и pD(i+1).
На входы pAi и pBi поступают значения i-ro разряда суммируемых чисел,
а на вход pDt — число, перенесенное из (i — 1)-го разряда. Выход pCi
характеризует значение i-ro разряда в сумматоре, а роа+ц — число, полу-
ченное при переносе в (i 4- 1)-й разряд. Для уяснения принципа работы
схемы приведена таблица (рис. VI.72, б).
188
Рис. V1.71. Схемы реализации логических операций на пневмореле
Триггер со счетным входом (рис. VI.73, а). В этой схеме, выполненной
на трех линиях задержки т0, Xj и т2, выходной сигнал р определяется вели-
чиной рр, если Х-2 > Tj > х0. Блок-схема триггеров со счетным входом
на трех линиях задержки показана на рис. VI.73, б. В ряде случаев схему
рис. VI.73, а можно упростить, если взять две линии задержки т0 и хх.
Ячейка памяти. Дискретный сигнал запоминается на разгруженном
пневмоканале и пневмореле, включаемым по схеме повторения (рис. VI.74).
Сигнал может запоминаться по единичной (рис. VI.74, а) или нулевой
(рис. VI.74, б) синхронизирующей команде. В первой схеме используется
замкнутый пневмоконтакт, а во второй — разомкнутый. Пневмокамера
состоит из пневмореле и линии, соединяющей ее с пневмоканалом клапана.
Сигналом синхронизации является рТ.
Цифровые устройства в отношении точности работы существенно отли-
чаются от устройств непрерывного действия. В цифровых устройствах тео-
ретически может быть достигнута любая точность вычислений. Для этого
необходимо лишь увеличить число разрядов. Сами же элементы, на которых
строятся цифровые устройства, не требуют высокой точности изготовления
Таким образом, в отношении точности цифровые вычислительные уст
ройства имеют большое преимущество перед устройствами непрерывного
действия, где точность элементов непосредственно связана с точностью
Таблица VI.7
Условные обозначения
дискретных пневматических элементов
189
А.
О)
Рис. VI.72. Схема двоичного сумматора
Рис. VI.73. Триггер со счетным
входом на линиях задержки
Рис. V1.74. Ячейка памяти
190
работы самого устройства. В системах автоматического регулирования
применяют различные по точности цифровые устройства. Например, в экстре-
мальных регуляторах цифровые устройства на пневмоэлементах имеют мень-
шее число разрядов, нежели цифровые сумматоры систем программного
управления, выполненные на транзисторных элементах.
9.	ТОЧНОСТЬ РАБОТЫ И БЫСТРОДЕЙСТВИЕ УПРАВЛЯЮЩИХ ЦИФРОВЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
Точность работы управляющих цифровых вычислительных машин
определяется погрешностью, с которой воспроизводится управляющий
сигнал
У — Р(хъ ...,хп),	(VI. 167)
на основе измерения входных переменных xJt х», ..., хп. Принято выделять
четыре основных вида ошибок, возникающих при формировании управля-
ющего сигнала у.
1)	методическая ошибка за счет применения приближенных вычислений
при реализации принятых математических методов;
2)	трансформированная ошибка, обусловленная конечной точностью
входных переменных хь х2, ..., хп, обусловленной погрешностями датчиков,
и ограниченной разрядностью аналого-цифровых преобразователей (АЦП);
3)	вычислительная ошибка из-за ограниченной разрядности машинных
чисел и накапливания погрешностей за счет округления в арифметических
операциях;
4)	инструментальная ошибка из-за погрешностей отдельных блоков.
Трансформированные и вычислительные 1 ошибки носят случайный
характер и могут быть описаны соответствующими законами распределения.
На практике ограничиваются первыми моментами ошибок — математическим
ожиданием и дисперсией. Предполагая, что трансформированная и инстру-
ментальная ошибки независимы, без учета методической ошибки можем
записать выражения для математического ожидания и дисперсии ошибки:
М (Ду) = М (Дут) + М (Дув); |
О2(Ду) = а2(Дут) + о2(Дув), I	(	}
где Ду = умаш — уид — ошибка в вычислении; Дут — трансформированная
ошибка; Дув — вычислительная ошибка.
В том случае, когда погрешности введенных в УЦВМ переменных неве-
лики, трансформированную ошибку можно представить в виде
дут =	—''дХ1' ’ Дх‘-	(VI-169)
где Дх, = х, маш — х( — погрешность входной машинной переменной х, маш.
Отсюда можно получить формулы для математического ожидания и
дисперсии трансформированной ошибки, полагая, что корреляция (см. п. 4
гл. XIII) между переменными хх, .... хп отсутствует:
п
М (Дут) = £ dF^..,Xn) т (ДХ().
о2 (Дут) = У,
SF (хг........хп)
дХ,
2
ст2 (Дх,-).
(VI. 170)
1 Методические ошибки в данной главе не рассматриваются, так как их значение опре-
деляется выбранным типом математического обеспечения.
191
Погрешность машинной переменной х( иаш складывается из случай-
ной погрешности аналогового сигнала х( на выходе i-ro датчика и ошибки
преобразования этого сигнала в цифровой код на «/-разрядном АЦП (ошибки
квантования):
м(дх£) = м(да + м(дг); 1
о2 (Дх£) = о2 (А()о2 (Д*в). I	(
Погрешности датчика и преобразователя независимы.
Без потери общности можно считать, что аналоговый сигнал х, посту-
пающий с датчика на вход АЦП, приведен к масштабу и заключен в сле-
дующих пределах:
— 1<х£’<1.
В этом случае его можно записать в виде бесконечного двоичного кода
х^= 2а/2~',
i=l
где а/ — значение /-го разряда (0 или I). Для записи знака кода исполь-
зуется дополнительный (т{ ф- 1)-й разряд АЦП. При преобразовании с недо-
статком цифровой код на выходе АЦП имеет вид
*гмаш = £	(VI. 172)
а ошибка квантования
ДГ = х£маш-х£’ = — 2 а,2~1.	(VI. 173)
г=т(+1
Полагая, что появление нуля или единицы в любом разряде кода [фор-
мула (VI. 173)1 равновероятно Р^ — р[а^ — получим формулу для
математического ожидания ошибки (VI. 173) как суммы геометрической
прогрессии
М(ДГ) = - £ 2—/Р1 = — £ 2-/=-£^2 = -2-^+1).
(VI. 174)
На практике для устранения систематической составляющей ошибки
квантования (VI. 173) в сигнал вводится постоянное смещение x°t = 2~ "п+1).
При этом математическое ожидание ошибки равно нулю, а ее дисперсия может
быть определена с помощью выражения
о2(Д£в) = Л1 f 2-(т/+— £ az2-'V- (VI.175)
у	/=т(4-1	/
Раскроем выражение (VI. 175), учитывая, что появления единиц в раз-
личных разрядах независимы, т. е. Р^ (a£aj = Рг (а£) Рг (ар = -i-, но
Pi Ы) = -±- :
О2(А£кв)=2"2('п'+1)-2.2-('П1+1) £ 2~'Р1(а,-) +
i=mi+1
+ £ rfp [ajQl) 2~2' +	2 aiakP iafli) 2~	=
/=т£+1	/, k—m^l
192
co j^k
= 2-2(^+1)_2.2-2(^+1)+2 £ £_L 2-</+*> =
i—tn^ 1 k—f
= _2-2(-/+')+_^	2.2-2/ = 2-2(^+>) +
/=m;+1
+ 4 2-4",+ '!l 2-4»,•>>.	(VL176)
о	О
Погрешность датчика А, представляет собой случайную величину,
распределенную по нормальному закону с параметрами иг (А,) и a2 (Az).
Предельная абсолютная погрешность датчика с вероятностью Р — 0,995
удовлетворяет неравенству
А,квтах «: ЗсЦА,).	(VI. 177)
Разрядность аналого-цифрового преобразователя устанавливается такой,
чтобы максимальная погрешность квантования была меньше погрешности
датчика, т. е.
А*втах = 2-(тг+1)<За(ДД
Отсюда
mt > — log2 3o(Az) — I.	(VI. 178)
Учитывая, что mz — целое число, на практике применяют усиленное
неравенство
т, > — log2 Зег (Az).	(VI.179)
Полагая разрядность АЦП минимальной, получим дисперсию ошибки
квантования, используя формулу (VI. 176):
2 log2 За (AJ - 2
о2 (АГ) = 4-2	=4*W (VI. 180)
Дисперсия суммарной ошибки машинной переменной согласно фор-
муле (VI. 179) при минимальном mz определяется выражением
о2 (Ах,) = о2 (А,) + 2- о2 (А,) = 4 °2 (Л()-	(VL 181)
Регулярная составляющая ошибки при наличии смещения х, отсут-
ствует, т. е. М (Ах,) = 0. Отсюда согласно формулам (VI. 170) следует, что
математическое ожидание трансформированной ошибки также равно нулю,
а ее дисперсия
п
о2(д«/т)=4- S [^(X1’dXi ~ ’Хп) Г а2<Лл- (VL182)
s 1
С целью упрощения анализа вычислительной ошибки в дальнейшем
не рассматриваются погрешности, возникающие при выравнивании масшта-
бов машинных переменных в операциях алгебраического сложения. При этом
практически вся вычислительная ошибка Ai/B в УЦВМ с фиксированной
запятой обусловлена округлением результатов в операциях умножения
(операции деления в задачах регулирования весьма малочисленны и их
вкладом в ошибку можно пренебречь).
Положим, что для вычисления управляющего сигнала при выполнении
программы выполняется Nytili операций умножения. Учитывая, что отдель-
7 Иващенко Н. Н
193
ные округления производятся независимо, для первых двух моментов вычи-
слительной ошибки справедливы следующие формулы:
М(Арв)= £ М (Аокр);
Г=1
^'умн
о2 (Арв) = £ о2 (Докр) = VyMHo2 (Аокр),
1==1
(VI. 183)
где Аокр — погрешность при однократном округлении.
При анализе этой погрешности разрядность процессора УЦВМ положим
равной R (без учета знаковых разрядов). Результат умножения двух чисел
имеет мантиссу x2r с числом разрядов 2R. При округлении результата в его
(R + 1)-й разряд добавляется единица, после чего младшие R разрядов
сбрасываются. Следовательно, погрешность округления
Л	2Д
Аокр “	х2Ноп ~ Zj ai%	+ aR+l^	Zj	~
i=l	i=l
2Я	2Я
= «я+12~* 2 a,2-f = оя+12-(Я+1) - I af2-f.
|=Л+2
(VI. 184)
Запишем выражение для математического ожидания Аокр, вновь пола-
гая равновероятными появления нулей и единиц в любом разряде машинного
числа:
2Я
М (Аокр) = Рх2~ (Я+1) -	pi2~‘ = 2~ (Я+2) -
2— (Я4-2)
2-(Д+3) 2-(2Я+1)2 1 _	(2Л+1)
1-2-1	“
(VI. 185)
Регулярная составляющая вычислительной ошибки чрезвычайно мала.
Полагая, что в формулах (VI. 183) все округления одного знака, получим
М (Az/B) = МумнМ (Докр) = VyMH2- (2Я+1>.
При разрядности процессора R = 16 (минимум для современных УЦВМ)
необходимо проделать более 130 тыс. операций умножения, чтобы возникла
регулярная ошибка в младшем разряде. Ввиду этого можно считать, что
М(Д^) = М(Докр) = 0.	(VI. 186)
Выведем формулу для дисперсии погрешности округления
(2Я	\2
ад+12~(*+1) -	а,2-‘	=.
(==Я+2	/
= Рг2~2 </?+1) — 2РХ2- (Я+1)
2R	2R
Л2-‘ + Рх2-2г +
(=Я4-2	i=«+2
+ У. Р1Р1^~{1+П = 2“2(Я+1) - 2~ 2~ (R+I> У, 4-2-< +
194
2R 2Я
4-2 S' S44 2~ ({+Г> — 2“ <2Л+3)__________2~ (2/?+3> | 2~ <зл+2) [
1=Я+2 i=i
‘2R	2R
। 5j? 9-2; _ 2~ (2Я+1)	2~1 = 2~ <зл+2) । 1 2-2 (Л+1)___
/=Л+2	<=Я+2
— 4- 2-4Л — 2“ <зл+2) + 4- 2“4Л = 4- 2—2 <Л+1’ + 4- 2~4ff. (VI. 187)
о	2.	и	о
Учитывая малость второго члена в (VI.LS7) по сравнению с первым,
можно считать
о2(АокР) = 4' 2~2(Л+1).	(VI. 188)
Используя формулы (VI. 187) и (VI. 188), определим дисперсию вычисли-
тельной ошибки:
о2 (Дг/В) = Л'умно2 (Докр) = 4- VyMH2~2 (Л+1).	(VI. 189)
С помощью выражений (VI. 182), (VI. 189) можно установить априор-
ную величину погрешности вычисления управляющего сигнала при извест-
ных погрешности датчиков входных сигналов а (Д(), разрядности процес-
сора 7? и ориентировочном числе умножений в программе УЦВМ для вычисле-
ния согласно (VI. 168):
М(Ду) = М(Д</т) + Л1(Д</в) = 0;	(VI.190)
п
о2(ДУ) < 4 £ [max X	]’ О3(Д J + 4 Мумн2-2(Л+1). (VI. 191)
Точность вычисления УЦВМ проверяется путем математического и полу-
натурного моделирования и окончательно уточняется в процессе испытаний.
Полученные расчетные соотношения применяют также на этапе проек-
тирования УЦВМ для определения разрядности аналого-цифровых преобра-
зователей и процессора. В том случае, когда число АЦП соответствует числу
датчиков, их разрядность определяется погрешностью датчиков по формуле
(VI. 179). Если для преобразования аналоговых сигналов в УЦВМ исполь-
зуется один многоканальный АЦП, его разрядность устанавливается из
условия
Л4 > max [mJ = max [—1о§2Зо(Дг)].	(VI. 192)
t	i
При определении разрядности процессора R (т. е. разрядности АУ
и ОЗУ) следует учитывать дополнительные разряды, необходимые для
компенсации вычислительной ошибки:
(VI. 193)
Число дополнительных разрядов S устанавливается таким, чтобы
вычислительная ошибка была меньше погрешности машинных переменных,
т. е.
а2 (Д г/в) < min [а2 (Дх;)].	(VI. 194)
t
Подставим формулы (VI.191) и (VI.189) в выражение (VI.194), полагая
разрядность процессора минимальной, т. е.
_L v о-2<«+‘>_______Ly о-2(-и+s-H)	7	.
7*
195
отсюда
92s > — М 2“2Af_____________1
21 "у"»2 о2 (Л<)пип '
Подставляя М из формулы (VI. 192), получим
225 > 1 дг 9о (д<) max
21 'V*“H а(Д/)т1п
или
(VI. 195)

Кроме разрядности процессора и преобразователей, на этапе проектиро-
вания УЦВМ и разработки ее математического обеспечения должны быть
определены также такие важнейшие параметры, как требуемое быстродей-
ствие УЦВМ, объем ДЗУ и ОЗУ.
Быстродействие УЦВМ до составления рабочих программ оценивают
с помощью таблиц частот выполнения отдельных групп машинных операций
для алгоритмов определенного класса. Частота выполнения группы команд
=	(VI. 196)
пр
где Nnp — общее число команд в рабочей программе; Nt — число команд
из группы i.
При этом выполняется условие
£а; = 1,	(VI. 197)
z=i
где п — число групп в системе команд УЦВМ (арифметические, управления,
пересылки и т. д.).
Как правило, на основе исходных математических соотношений, опи-
сывающих алгоритм управления, удается определить число арифметических
действий Nnp, необходимых для его реализации. Отсюда нетрудно найти
ориентировочное число команд в будущей программе:
VDP=-^.	’	(VI. 198)
аар
Длительность выполнения рабочей программы Т,,? устанавливается
исходя из продолжительности такта квантования САУ:
Тпр = fer.	(VI. 199)
Коэффициент k < 1 вводится ввиду наличия вспомогательных программ
(контрольных, тестовых и т. д.), выполняемых вместе с основной программой
в течение такта квантования.
Величина быстродействия оценивается (в операциях в секунду) числом
=	=	(VI-200)
1 пр	w,apK 1
Сделанная оценка позволяет выбрать состав и структуру процессора
УЦВМ и его элементную базу. После составления и отладки рабочих про-
грамм быстродействие УЦВМ уточняется. Для этого система команд УЦВМ
делится на группы команд по времени их выполнения, которое обычно при-
водится к длительности операции типа сложения ^сл:
=	(V1.201)
196
Общее время выполнения программы
Отсюда приведенное быстродействие вычисляется по формуле
п
N‘
N = —ДА--------.	(VI. 202)
^сл У, Af/Pf
1=1
После составления рабочих программ определяется также точный
объем ДЗУ и ОЗУ. Число ячеек (слов) ДЗУ равно сумме числа команд в про-
грамме и числа констант:
№д3у = ГПр + ГКОнс,	(VI.203)
Число ячеек ОЗУ определяется количеством исходных данных, проме-
жуточных и окончательных результатов:
^озу = WBX + Гвых + Гра6.	(VI.204)
Единый объем ЗУ определяет длину адресной части команды
А = log2 (Wдзу -ф- И7о3у).	(VI.205)
Отсюда устанавливается разрядность машинной команды (и, следова-
тельно, ДЗУ):
К = А + л + КОП,	(VI.206J
где л — индексная часть команды; КОП — код операции.
Длина индексной части определяется числом индексных регистров:
n = log2(VB-H).	(VI.207)
Число разрядов в коде операции определяется числом различных опе-
раций в системе команд УЦВМ:
KOn>log2Von.	(VI.208)
В заключение приведем сравнительную оценку различных типов пре-
образующих устройств.
10.	СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПРЕОБРАЗУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Будем сравнивать различные типы преобразователей по точности и
быстродействию. Сначала рассмотрим точность работы аналоговых вычисли-
тельных устройств (преобразователей). Под точностью работы вычислитель-
ного устройства понимают степень приближения выработанной устройством
математической величины к истинному ее значению. Погрешность в работе
устройства возникает из-за отклонений действительных значений параметров
вычислительного устройства от их расчетных значений, а также от погреш-
ности ввода входных величин. Помимо этого, погрешность может возникнуть
за счет ошибки воспроизведения, когда в целях упрощения механизма или
цепи вычислительного устройства допускают некоторые отступления от точ-
ной формулы воспроизведения. На точность работы вычислительных уст-
ройств могут влиять также динамические процессы внутри устройства (инер-
ционность, деформации от рабочей нагрузки, изменение температуры и влаж-
ности окружающей среды и т. п.).
197
Погрешности вычислительных устройств принято классифицировать сле-
дующим образом: инструментальная ошибка, методическая и входная
ошибки.
Инструментальная ошибка обусловливается неточностью изготовления
деталей, качеством сборки, силовыми и температурными деформациями, из-
носом трущихся поверхностей. Инструментальная ошибка ограничивается
пределами допусков размеров и формы деталей, а также пределами допусков
зазоров при сборке.
Ошибки, вызываемые деформацией деталей под влиянием рабочих на-
грузок или изменений температуры, могут быть ограничены надлежащим
расчетом и выбором материала деталей.
Методическая ошибка возникает как результат отступления от точной
формулы воспроизведения вычисляемой функции. В целях упрощения кон-
струкции механизма вычислительного устройства нередко прибегают к за-
мене точной формулы воспроизведения ее приближенным выражением.
Ошибка в этом случае определяется как наибольшая разность между точным
и приближенным значениями вычисляемой функции в заданных пределах ра-
боты устройства.
Входная ошибка вызывается погрешностями ввода заданных аргументов
в вычислительное устройство. Так, например, в электрических вычислитель-
ных механизмах входными величинами, исполняющими роль аргументов,
часто являются напряжения источников. Нестабильность этих напряжений
приводит к появлению входных ошибок вычислительных устройств.
Допустим, что вычислительное устройство аналогового действия пред-
назначено для вычисления функции у = f (х) по аргументу. Обозначим коор-
динату, определяющую положение ведущего или входного звена, через ф,
а ведомого или выходного — через ф.
Для идеального вычислительного устройства, не имеющего никаких по-
грешностей, получим
Фо   с ( Фо \
ky	1 \kX )’
где ky и kx — масштабы моделирования функции и аргумента.
Пусть положение ведомого звена идеального вычислительного устрой-
ства определяется уравнением
фо = F(Фо, <?2,	(VI.209)
в которое входят параметры qt, q2, ..., qn, определяющие размеры, форму
и расположение звеньев, и координата ф0 положения входного звена.
Если вычислительное устройство имеет инструментальную и входную
погрешности, то приведенное уравнение примет вид
фоф-Аф = Е(Фо +Аф, ^ф-А^,
<72 + Д<7»..Яп + д<7«)-
Разлагая в ряд Тейлора и отбрасывая все члены выше первого порядка,
получим приближенное значение погрешности
п
Мйл+Шл	(VL210)
Погрешность Ai/i вычисляемой функции будет
Acp+4-S [^] А?‘-	(VL211)
Ку Ry L ацд) Jo	Ку l a4i Jo
198
Индекс 0 означает, что дифференцирование относится к функции уравне-
ния (VI. 209).
Если вычислительное устройство имеет к тому же методическую погреш-
ность, то последняя суммируется с полученной выше. Допустим, что вместо
точной функции f (х) вычислительное устройство моделирует приближенную
функцию (х). Тогда методическая погрешность определяется формулой
= ("&)• (VL212)
Для линейных систем все частные погрешности можно суммировать алге-
браически, и <?бщая погрешность примет вид
Дг/=Дг/1 + Д^.	(VI.213)
Приведенные формулы позволяют оценить общую погрешность вычис-
лительного устройства. Цифровые значения общих погрешностей ряда ана-
логовых функциональных преобразователей (вычислителей) приведены
в табл. VI.8.
Предельные значения погрешностей в % для устройств воспроизведения
сложных нелинейных функций приведены ниже.
Потенциометры:
с перфорированными каркасами......................= 1
с изогнутыми прямоугольными каркасами.............=5
со ступенчатыми каркасами........................—2
Линейные потенциометры с шунтирующим резистором . . —2
Диодные линейки......................................= 1
Следящие элементы с барабаном .......................=2
Из приведенных данных видно, что общая точность аналоговых функцио-
нальных преобразователей относительно невелика и в среднем составляет
0,1—5%, что ограничивает их применение в высокоточных системах автома-
тического регулирования (станки с программным управлением, следящие
системы радиолокационных станций и т. п.). Значительно большие точности
функциональных преобразований можно получить, применяя цифровые вы-
числительные устройства.
Характеристики точности и быстродействия ЦВУ преобразователей ана-
лог — код, код — аналог и УЦВМ приведены в табл. VI.9 и VI. 10.
Таблица VI.8
Аналоговые функциональные преобразователи
Тип ‘ функцио- нального преобразо- вателя	Выполняемая операция	Общая предельная погреш- ность, %	Тип функцио- нального преобразо- вателя	Выполняемая операция	Общая предельная погреш- ность, %
Электрон- ные	Суммирование Умножение: непрерывное импульсное Интегрирование	= 0,1 = 10 От = 1 до =1=0,1 До =0,01	Электроме- ханические	Умножение Дифференцирова- ние Интегрироваяие	1+ 1+1+ —	>— Сл
			Пневма- тические	Суммирование Умножение Дифференцирова- ние Интегрирование	О СЧ ю сч 111111 11
Электри- ческие	Суммирование Дифференцирова- ние Интегрирование	О СЧ — СЧ +1 +1 11			
Примечание. Указанные значения погрешностей приведены для серийно выпу-
скаемых элементов.
199
Таблица VI.9
Характеристики точности и времени выполнения операций
преобразования преобразователями аналог—код и код—аналог
Класс преобразова- теля	Вид преобр а зов ател я	Принцип построения преобразователя	Наиболь- шее число регистров	Время преобразова- ния, с
Аналог— код	Постоянное напряже- ние (ток) — код	Последовательного сче- та Поразрядного кодиро- вания Считывания	12—14 12—14 4—6	(4—10) 10-3 (2—4) IO'6 (1—10) ю-’
	Переменное напряже- ние (ток) — код	Поразрядного кодиро- вания Формирования опор- ных напряжений	10—11 6—8	5-10-4 1-Ю'2
	Угол — код	Последовательного сче- та Считывания	16—18 6—8	
	Временной интервал — код	Последовательного сче- та	20—22	1-10-8
	Напряжение — частота	С использованием ум- ножителей часготы	6—12	1 • 10-4
Код— аналог	Код — постоянное на- пряжение (ток)	Параллельной передачи кода	8—10	(4—10) 10-«
		Последовательной пере- дачи кода	8—10	1-ю-3
	Код — временной ин- тервал	Со сравниванием кодов	6—8	—
	Код — угол	Цифровая следящая си- стема	4—6	0,05—0,1
Таблица VI.10
Характеристики точности и быстродействия цифровых вычислительных
машин и устройств
Вид устройства	-лементы	Число двоичных разрядов	Быстродействие, мГц
Сумматор	Пневматические Транзисторные Интегральные схемы	6—8 16—20 16—20	0,07—1,5-IO'6 0,25—1 0,5—2
Цифровой преобразова- тель	Пневматические Транзисторные Интегральные схемы	6—7 10—12 10—12	0,03—0,8-10-6 0,1—0,5 0,4—0,6
Блок памяти	Пневматические Ферритовые Пленочные	6—8 16—20 16—20	0,07—1,5-10-“ До 0,5 » 4
200
Современные цифровые вычислительные машины являются вычисли-
тельными машинами третьего поколения, особенность которых — использо-
вание интегральных схем. К таким вычислительным машинам предъявляется
требование высокой надежности при небольших размерах и малой потребляе-
мой мощности. Основной тенденцией на данном этапе развития цифровых
вычислительных машин является их постепенная «интеграция», т. е. стремле-
ние к одновременному изготовлению все большего числа элементов и узлов
ЦВМ, нераздельно связанных между собой. Интегральные схемы вычисли-
тельных устройств выполняют с помощью специальных технологических
процессов микроэлетроники [61 ].
Тонкопленочные схемы. Метод вакуумного напыления считался одним из
наиболее перспективных в микроэлектронике. Однако технологические ме-
тоды пленочной интегральной электроники к настоящему времени не поз-
волили получить в составе тонкопленочных интегральных схем триоды и
диоды с удовлетворительными характеристиками.
Гибридные схемы. Одним из наиболее распространенных направлений
микроэлектроники в настоящее время является создание пленочных гибрид-
ных схем. В этих схемах пассивные элементы и все соединения выполняются
посредством нанесения пленок. В качестве активных элементов применяют
навесные полупроводниковые приборы. Это направление позволяет исполь-
зовать преимущества пленочной технологии в сочетании с возможностями
технологии полупроводниковой. Схемы, изготовленные таким образом, ока-
зались значительно меньших размеров и более надежными по сравнению со
схемами с дискретными компонентами.
Полупроводниковые интегральные (твердые) схемы. Такие схемы состоят
из дискретных компонент, изготовленных в одном монокристалле полупро-
водника. Основным преимуществом этого направления является возможность
изготовления высококачественных активных компонент и относительно про-
стое осуществление их защиты. Однако твердые схемы имеют и свои недо-
статки. В твердом теле значительно труднее получать сопротивления задан-
ной величины; кроме того, полупроводниковые резисторы обладают заметной
температурной зависимостью, что осложняет конструирование схем.
Еще одним недостатком твердых схем является наличие большого числа
паразитных связей. Однако, несмотря на отмеченные недостатки, твердые
схемы в настоящее время наиболее перспективны в микроэлектронике. В бли-
жайшие годы они будут занимать центральное место в микроэлектронике.
Совмещенные схемы. Одним из важных этапов в развитии микроэлектро-
ники явилось создание так называемых совмещенных схем путем комбиниро-
вания технологии твердых и пленочных схем. Простейшим вариантом сов-
мещенных схем являются такие гибридные схемы, в которых на изолирующую
подложку напыляются все пассивные компоненты и часть соединений, а актив-
ные компоненты и основные соединения между ними выполняются по техно-
логии твердых схем на полупроводниковой пластинке, которая крепится на
этой же подложке. В настоящее время технология совмещенных схем яв-
ляется одной из наиболее перспективных.
Глава VII
ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1.	Электрические серводвигатели. 2. Механические исполнительные
элементы. 3. Гидравлические серводвигатели. 4. Пневматические
серводвигатели. 5. Механические передачи. 6. Сравнительная оценка
исполнительных элементов.
Исполнительные элементы являются одним из последних звеньев в си-
стемах автоматического регулирования и обычно используются для управле-
ния (через механические передачи) органами регулирования. В исполнитель-
ный элемент входят серводвигатель и источник питания. В зависимости от
вида серводвигателя исполнительные элементы делят на электрические, ме-
ханические, гидравлические и пневматические.
Неотъемлемой частью ряда исполнительных элементов являются уси-
лители; тогда эти устройства следует рассматривать как единый динамический
элемент.
По конструктивному признаку различают серводвигатели поршневые
с поступательным и вращательным движениями поршня, электромагнитные,
мембранные, электромоторные и комбинированные.
Основными показателями серводвигателей, характеризующими их регу-
лирующую способность, являются коэффициент усиления по мощности,
а также частота.лращенид,..развиваемое усилие, линейное или угловое пере-
мещёнйетгаТГхвыходе. По частоте вращения серводвигателя исполнительные
элементы делят на две основные группы: исполнительные элементы с постоян-
ной скоростью и исполнительные элементы с пропорциональной скоростью.
В последнем случае имеется в виду, что выходная скорость серводвигателя
приблизительно пропорциональна входной величине, т. е. сигналу датчика.
К первой группе принадлежат почти все электромоторные исполнительные
элементы переменного тока, если их электродвигатели не влючены по спе-
циальной схеме. Ко второй группе могут.быть отнесены гидравлические и
пневматические исполнительные элементы.
Требования к исполнительным элементам заключаются в следующем:
мощность серводвигателя при всех режимах должна обеспечивать пере-
становку регулирующего органа с заданной скоростью;
линейное или угловое перемещение на выходе должно быть согласовано
с соответствующим перемещением регулирующего органа;
характеристика серводвигателя должна быть пропорциональной вход-
ному сигналу;
отношение кинетической энергии движущихся частей к мощности серво-
двигателя должно быть минимальным.
Регулирующие органы должны обеспечивать линейный закон изменения
регулируемой переменной в зависимости от угла поворота серводвигателя.
Рассмотрим различные виды серводвигателей.
ь ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕРВОДВИГАТЕЛИ
Электрические серводвигатели имеют значительные преимущества: ши-
рокий диапазон регулирования угловых скоростей вращения, удобство вклю-
чения, высокое быстродействие и экономичность регулирования. Диапазон
мощностей электрических серводвигателей весьма широкие. В приборных си-
стемах автоматического регулирования мощность серводвигателей состав-
ляет 0,1—0,5 Вт, а в автоматизированных приводах прокатных станов дости-
гает десятков тысяч киловатт.
Электрические серводвигатели бывают двух видов: постоянного и пере-
менного тока.
Электрические серводвигатели постоянного тока, применяемые в си-
стемах автоматического регулирования, делят на три типа: с независимым
202
возбуждением и управлением по напряжению якоря; с независимым возбу-
ждением и управлением по току возбуждения; с сериесным возбуждением.
На рис. VI 1.1, а изображена электрическая схема электродвигателя неза--
висимого возбуждения с управлением по напряжению якоря. При подаче
напряжения ияк через обмотку якоря пойдет ток 1ЯК, который взаимодей-
ствует с магнитным потоком обмотки возбуждения якоря.
Напряжение якоря зависит от противо-ЭДС, наводимой в обмотке якоря,
и от его индуктивного и омического сопротивлений, т. е.
ияк = гяДяк 4" ^Я1,	4" ^есодв	(VII. 1)
где гяк и Ляк — омическое и индуктивное сопротивления обмотки якоря;
ke — постоянная противо-ЭДС.
Уравнения моментов электродвигателя имеют вид
мдв = J + мдв; мдв = U	(VH.2)
где kv — коэффициент скоростного трения нагрузки; kw—моментная постоян-
ная электродвигателя; J — момент инерции, приведенный к якорю двигателя:
j — Ак + “4г >
Р
гр — передаточное число редуктора; J „ — момент инерции нагрузки.
Из уравнений (VII. 1) и (VII.2) получим
ид	MrW d^_	/	\	= fVII 3)
ku dt2	kM dt \ kM ) дв ™
В зависимости от параметров электродвигателя переходные процессы
могут происходить с различной степенью колебательности. Решая уравне-
ние (VI 1.3) для установившегося режима, получаем механические характе-
ристики электродвигателя независимого возбуждения с управлением по на-
пряжению якоря (рис. VII. 1, б).
Рассмотрим другой способ регулирования электродвигателя по току
возбуждения. В схеме, приведенной на рис. VII.2, а, регулирование скорости
вращения электродвигателя осуществляется путем изменения магнитного
потока возбуждения при постоянстве напряжения цепи якоря ияк.
Уравнение цепи возбуждения запишем в виде
+	(VII.4)
Составим уравнения моментов для электродвигателя этого типи-
Л!дв = /^-4-Мдв; )
Л4дВ =	j
где k'M — постоянная электродвигателя.
Рис. VI 1.1. Электрический дви-
гатель с независимым возбужде-
нием и управлением по напряже-
нию якоря:
а — схема; ? б характеристик? 
203
a)
М}1
Рис. VII.2. Электрический дви-
гатель с независимым возбужде-
нием и управлением по току воз-
буждения:
а — схема; б — характеристика
Из уравнений (VI 1.4) и (VI 1.5) получим
М + Mv + rBJ + k = Ыв	(Vn 6)
Рассмотрим уравнения установившегося режима в электродвигателе
с независимым возбуждением при неизменном токе якоря.
На основании уравнения (VII. 1) ток якоря
Из этого уравнения следует, что ток якоря будет неизменным при вы-
полнении условия
f ЯК	/"як
(VII.8)
Это неравенство нетрудно получить за счет увеличения сопротивления
fяк — як ~Ь fдоз,	(VII.9)
где ГдОб Гяк-
При выполнении условия (VI 1.9) уравнение (VI 1.7) примет вид
гяк = ->.	.	(VII. 10)
Подставив это уравнение во второе уравнение системы (VII.5), получим
м	(Vn.li)
я гяк
С помощью выражения (VII.11) на рис. VII.2, б построены механические
характеристики электродвигателя постоянного тока при регулировании по-
тока возбуждения. Как видно из рисунка, механические характеристики
представляют собой прямые, параллельные оси ординат.
В заключение рассмотрим схему с сериесным возбуждением электродви-
гателя (рис. VII.3, а). Для этой схемы составим уравнения динамики элек-
тродвигателя:
цп — (Гяк + гс) + (^як +	4- Аеидз;
мдв = Мпфв>
(VII.12)
где Фв — магнитный поток возбуждения; rc, LQ — омическое и индуктивное
сопротивления сериесной обмотки.
204
На рис. VI 1.4 показана типичная зависимость потока возбуждения от
тока in. Аппроксимируя ее прямой, запишем
Фв = Мп,	(VII. 13)
где йв — коэффициент крутизны характеристики магнитного потока.
На основании уравнений (VII. 12) и (VII. 13) получим следующее уравне-
ние динамики сериесного двигателя:
J (1-як Ц ^2Мдп
dt2
kV (^як + Lc) 2J (гяк + rc) 1 4идв .
feB^M	feB^M J dt
2 (гЯк + гс) ky
kBk^
J da>a3
feBfen 4/
fey
“дв
= 2ип
J скйдъ
fey
fenfeu Шд®
л-в^М
(VI 1.14)
Уравнение (VI 1.14) является нелинейным дифференциальным уравне-
нием.
На основании системы уравнения (VI 1.12) можно получить кинематиче-
ское уравнение двигателя вида
Un — 2unke + ke —kV <Одв — 0.	(VII. 15)
«В^м
Решая уравнения (VII.15), можно найти нелинейную механическую
характеристику электродвигателя (см. рис. VI 1.3, б).
Из электрических двигателей переменного тока в системах автомати-
ческого регулирования нашли применение двухфазные асинхронные элек-
тродвигатели с короткозамкнутым или тонкостенным полым ротором. Схема
электродвигателя показана на рис. VI 1.5. Электродвигатель имеет две об-
мотки 1 и 2 статора и ротор 3. Обмотка 1 называется управляющей, а об-
мотка 2 — обмоткой возбуждения. Для создания вращающегося магнитного
поля обмотки 1 и 2 должны иметь напряжения, сдвинутые относительно
друг друга по фазе на л/2. В этом случае вращающееся магнитное поле инду-
цирует в стенках ротора токи, которые, взаимодействуя с магнитным пото-
ком, обусловливают появление вращающего момента, увлекающего ротор
в сторону вращения магнитного поля. Для изменения направления необ-
ходимо изменить фазу напряжения иу в обмотке управления на л, что при-
водит к изменению направленйя вращения поля.
Составим уравнения динамических процессов в электродвигателе пере-
менного тока. Для этого воспользуемся его механическими характеристи-
ками, полученными экспериментальным путем (рис. VII.6):
Мдв = F (®да, му).
Рис. VII.3. Электрический двигатель с сериесным воз-
буждением:
а — схема; б — характеристика
Рис. VII.4. Зависимость потока
возбуждения от тока
205
Линеаризуем это уравнение по Тейлору, пользуясь приращениями Дсодв
и Диу; тогда
дв двО-Г до,	(VII.17)
Ну :=== HyQ -|~ Auy, J
откуда
Д44 = _ Дш _[_ д»	(VII. 18)
дв	Зсодв	дв	1	ди?	у '	'
В выражении (VII. 18) введем следующие обозначения:
9F	_ь .	dF __
дшдв	v’	диу	д®’
после чего, опустив символ приращений, получим
Д1дв == ^И^дв Ч” &дв^у*	(VII.19)
Запишем уравнение динамики вращающихся частей электродвигателя
переменного тока в виде
J = 44	(VII.20)
Ufr	**
Подставив выражение (VI 1.19) в уравнение (VI 1.20), получим
J ^Г~ + ^Юдв = ^«у.	(VII.21)
Уравнение (VI 1.21) характеризует динамические процессы в регулируе-
мом электродвигателе переменного тока.
Электрические шаговые двигатели получили широкое применение в ис-
полнительных элементах станков с программным управлением. По принципу
действия шаговый двигатель принято относить к импульсным синхронным
машинам, преобразующим электрические управляющие сигналы в дискрет-
ные перемещения нагрузки. На рис. VI 1.7 показана конструктивная схема
шагового электрического двигателя. Как видно из этого рисунка, статор 3
двигателя имеет полюсные наконечники 4 прямоугольной формы. Каждый
полюс статора состоит из трех секций 2 с тремя обмотками /, II и ///. Об-
мотки этих секций могут быть включены в электрическую цепь независимо
друг от друга. Обмотки включают таким образом, чтобы каждая смежная
пара полюсов секции имела разную полярность. Ротор 1 также разделен
на три секции А, Б и В и каждая секция смещена относительно полюсов ста-
тора на У3 междуполюсного расстояния.
Допустим, что при положении статора, изображенном на рис. VI 1.7,
в электрическую цепь постоянного тока включены обмотки секций II ста-
тора. Возникающие при этом вращающиеся магнитные поля статора и ро-
206
2
Рис. VI 1.7. Конструктивная схема шагового элек-
трического двигателя
Рис. VII .8. Схема подключения шагового двигателя
к двенадцатикратному электронному коммутатору
тора стремятся повернуть последний в такое положение, когда зубцы ро-
тора окажутся против полюсов секции II статора. Таким образом, ротор по-
вернется на V3 шага. Если теперь включить в цепь секцию ///, то ротор
повернется снова на V3 шага. После подключения секции / ротор повернется
еще на V3 шага и завершит поворот на целый шаг. Для изменения направле-
ния вращения ротора порядок включения статорных обмоток изменяют на
обратный.
Управление шаговыми двигателями осуществляется от электронных
коммутаторов с шестикратной и двенадцатикратной коммутацией. Коммута-
тор распределяет по обмоткам двигателя импульсы, поступающие от про-
граммного блока.
На рис. VI 1.8 показана схема подключения шагового двигателя через
усилители —У6 к двенадцатикратному электронному коммутатору ЭК.
Фазы двигателя разделены на секции Iа, 1б, На, 11б, Н1а, 111б- Последова-
тельность переключений обмотки двигателей сведена в табл. VI 1.1 (где сим-
волом 1 обозначено включение секции, а символом 0 — отключение).
Таблица VI 1.1
Последовательность подключения обмоток шагового электродвигателя
при двенадцатикратной коммутации
Фаза	Секция	Такты коммутации												
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	to	п	12	13
1	/ а	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1
	1б	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1	1
I!	Па	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0
	Пб	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0
III	Ша	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	0	0
	Шб	0 .	0	0	0	0	•0	1	1	1	1	1	1	0
207
Рис. VII .9. Динамические процессы в дискретном приводе с шаго-
вым двигателем (кривая / 0ДВ (т); кривая 2— у (т); кривая 3 —
относительный вращающий момент шагового двигателя
Современные шаговые двигатели с двенадцатикратной коммутацией по-
зволяют подавать управляющие импульсы с частотой 10 000 Гц, что соот-
ветствует линейной скорости перемещения регулирующего органа 6 м/мин.
Поворот же шагового двигателя на один шаг соответствует линейному пере-
мещению 0,01 м.
Уравнения динамики дискретного привода с шаговым двигателем и демп-
фером сухого трения запишем в следующем виде:
+ + + <т>1; <vn-22>
<v,1'23>
(VII.24)
где 6дВ — угол поворота ротора шагового двигателя; 0Д — угол поворота
демпфера сухого трения; т = &01 — безразмерное время; соо =
_/грМтр\i/2. — числ0 зубцов ротора; Л4тр, Л4Н— момент сухого тре-
\	«/д	/
ния демпфера и момент нагрузки соответственно; JЛ,	— момент нагрузки
демпфера и ротора двигателя соответственно; k„ — коэффициент демпфиро-
вания; т — число тактов коммутации; f [0ДВ — J*y (т)1 — относительный
вращающий момент шагового двигателя; J" у (т) — ступенчатая функция
„	„	2л/
угловой координаты, зависящая от намагничивающей силы; а =---------------
нормализованная круговая частота управления; Е — символ, обозначаю-
щий целую часть функции.
Систему уравнений (VII.22)—(VII.24) решают на цифровых вычисли-
тельных машинах. Результаты вычислений приведены на рис. VI 1.9 в виде
соответствующих кривых.
2.	МЕХАНИЧЕСКИЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Механические исполнительные элементы представляют собой маховики
с большими моментами инерции, приводимые во вращение электрическими
двигателями. В качестве двигателей применяют электрические двигатели по-
стоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов или бесколлектор-
ные электродвигатели постоянного тока с электронной коммутацией.
208
Механические исполнительные элементы
наиболее часто применяют для управления дви-
жением космических летательных аппаратов
относительно заданной оси путем ускорения
или замедления вращения маховика, установ-
ленного по этой оси. Обычно управление угло-
вым движением космического летательного
аппарата осуществляется с помощью трех дви-
гателей-маховиков, по одному на каждую ось
управления, как это показано на рис. VII. 10.
Если обозначить моменты инерции косми-
ческого летательного аппарата относительно
главных осей через Jх, Jу и J г, а моменты инер-
ции вращения маховиков через J lt J 2, 7В, то
уравнения такой динамической системы можно
записать в следующем виде:
Рис. VII.10. Схема управления
угловым движением космического
летательного аппарата с по-
мощью трех двигателей-махови-
ков
I
Jx dt
Ь КЛ + А) + А)] ю2®з —
= мг - Л	+ J2co3Q2 - 73co2Q3;
J у	+ 1(Л + Л) — (Л + Л)1 ш1шз=
= М2 - J2 -d (£2а ±-Юг)- + (J3W1Q3 - ^соА);
г C?(f)g
z~dF
Ь i(Jy 4- J 2) — (А ~Ь Л)1 ®1ш2 —
= м3 - J3	+ 71СоА - J2W1Q2,	(VII.25)
где со 2, со3 — угловые скорости космического летательного аппарата
в инерциальном пространстве; Qx, Q2, Qj — угловые скорости маховиков
относительно корпуса космического летательного аппарата; Mlt М2, М3 —
возмущающие моменты относительно осей х, у, г соответственно.
Рассмотрим, каким образом за счет изменения угловых скоростей вра-
щения маховиков Qb Q2, обеспечивается угловая стабилизация косми-
ческого летательного аппарата. Для этого составим уравнения движения
электрического двигателя маховика с постоянными магнитами в виде
=	i==l. 2, з'
I ~ ~Ь Ли»
(VII.26)
где 7ЯК — момент инерций двигателя; JM — момент инерций маховика.
Следует отметить, что момент инерций маховика в сотни раз превышает
момент инерций якоря электродвигателя.
Напряжение на клеммах якоря определим в форме, аналогичной (VI 1.1),
т. е.
иЯК1 = rmim{ + —ST- +	/=1,2,3.
(VII.27)
209
Решая совместно уравнения (VII.26)
систему:
и (VII.27), получаем следующую
^м^як	^мгяк
и ~г'якку п
£-ЯК’^3	J^Tнк ~р ^ЯК^У d£i% ।
V як dt2	kMr ЯК	dt
Еяк^ я rf3Qp I *^3гяк + ^ЯК^У dQ,% |
^мг як dt2	kMr як	dt
Vm+4*V n _	.
V«K U2-*W
kekn +
-r—--------Q3 — ияк3 •
KMr як
t
(VII.28)
Из совместного решения систем уравнений (VII .25) и (VII .28) можно опре-
делить, каким образом за счет изменения и3 = и3 (t); и2 = и2 (/), и3 —
=* и3 (t) меняются угловые скорости вращения космического летательного
аппарата, вызванные действием внешних возмущающих моментов.
Бесколлекторные электродвигатели постоянного тока с электронной
коммутацией, применяемые в качестве привода для маховиков, имеют доста-
точно линейную регулировочную характеристику, низкий уровень пульса-
ций момента; кроме того, в них отсутствует щеточно-коллекторный узел,
который необходимо герметизировать. Поэтому двигатели этого типа нашли
широкое применение в космических летательных аппаратах.
На рис. VII. 11 показана принципиальная схема электродвигателя по-
стоянного тока с трехфазной обмоткой и однополупериодным электронным
преобразователем. Электродвигатель состоит из трехфазного статора Ст
с обмотками w3, w2 и w3 и ротора Р с постоянными магнитами. Фазы обмоток
электродвигателя питаются постоянным током ип от источника питания
через электронный коммутатор ЭК- Порядок переключения транзисторов
электронного коммутатора определяется управляющими сигналами, которые
формирует магнитный датчик положения.
Датчик положения вырабатывает сигнал в зависимости от угла пово-
рота 0ДВ бесколлекторного двигателя. В результате этого обеспечивается по-
следовательное переключение транзисторов ЭК синхронно с вращением ро-
тора Р, что создает вращающееся магнитное поле. Ротор двигателя будет
следовать за вращающимся полем.
Рис. VII.11. Принципиальная схема электродвига-
теля постоянного тока с трехфазной обмоткой и
однополупериодным электронным преобразователем,
используемого в качестве привода маховика
Рис. VI 1.12. Принципиальная схема асинхронного
двухфазного электродвигателя, используемого в ка-'
честве привода маховика	-	.
210
Характеристики бесколлекторного электродвигателя шдв = юдв (Мдв)
и уравнения динамики близки к соответствующим характеристикам и урав-
нениям коллекторного электрического двигателя постоянного поля с постоян-
ными магнитами.
В качестве двигателей привода для маховиков могут быть использованы
и асинхронные двухфазные электродвигатели, одну из обмоток которых под-
ключают к источнику питания переменного тока с напряжением ив через кон-
денсатор С (рис. VII.12). Вторую обмотку подсоединяют к управляющему
усилителю 1. К оси массивного ротора 2 (типа «беличьей клетки») присоеди-
няют маховик 3.
Динамика такого привода описывается уравнением, аналогичным (VII .21).
Механические исполнительные элементы имеют большой срок службы,
малое потребление электроэнергии и обеспечивают высокую точность ста-
билизации космических летательных аппаратов (до десятых долей угловой
секунды).
3.	ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СЕРВОДВИГАТЕЛИ
Гидравлические серводвигатели выполняют с поступательно-движу-
щимся поршнем (рис. VII. 13, а) или с поворотной лопастью (рис. VII. 14).
В качестве источников питания для гидравлических серводвигателей при-
меняют шестеренчатые насосы, гидроаккумуляторы. Рассмотрим принцип
действия серводвигателя с поступательно-движущимся поршнем и с золот-
никовым управлением.
К цилиндрическому золотнику 1 по трубе 3 (см. рис. VI 1.13, а) подводится
масло под давлением. Подвижная часть золотника представляет собой двой-
ной поршень 2, который выполнен таким образом, что в среднем нейтральном
положении он закрывает одновременно оба окна тип каналов 5 (или обра-
зуются одинакового размера щели), соединяющих полость золотника с ци-
линдром б серводвигателя. При смещении поршня 2 золотника вверх от
нейтрального положения верхняя полость цилиндра б сервомотора соеди-
няется через золотник с напорной трубой 3, а нижняя — со сливной трубой 4.
Благодаря разности давлений, образующейся по обе стороны поршня 7,
последний будет двигаться вниз. При смещении поршня 2 золотника вниз
из нейтрального положения поршень 7 получает Обратное движение.
Рис. VI 1.13. Схемы гидравлического 'серводвига-
теля с поступательно-движущимся поршнем
Рис. VI 1.14. Схема гидравлического серводвига-
теля с поворотной лопастью
211
Уравнения динамики серводвигателя составим, пользуясь упрощенной
эквивалентной схемой, изображенной на рис. VII. 13, б. Здесь золотник за-
менен двумя задвижками тип, жестко связанными между собой. Схема изо-
бражает работу серводвигателя при движении поршня вверх. При обратном
движении следует поменять местами верхнюю и нижнюю подводящие трубы.
Обозначим р0 — давление в напорной трубе 3; рг, р2 — давления масла
в нижней и верхней полостях серводвигателя; ра — давление на слнве.
Составим уравнение расхода масла, протекающего через дросселируе-
мое отверстие:
Qi = pbxK уТ-у (Ро - Pl).	(VI 1.29)
где р — коэффициент расхода масла при полностью открытых отверстиях;
хк — перемещение золотника; b — ширина отверстия; g — ускорение сво-
бодного падения.
Уравнение расхода масла, вытекающего через сливное отверстие,
<22 = рбхк]/-^-рг.	(VII.30)
Уравнение расхода масла в серводвигателе для нижней полости
Qi = Qr.u + Qci;	(VII.31)
для верхней полости
Q2 = Qr.u-Qc2,	(VII.32)
где Qr. ц — расход масла через гидравлический цилиндр, затрачиваемый
на перемещение поршня; Qcl; Qc2 — количество масла, расходуемого на
сжатие (расширение).
Расход масла через гидравлический цилиндр определяется по следую-
щей формуле:
(VII.33)
г-	dx
где F — площадь цилиндра; --------скорость перемещения штока.
Определим QC1 и Qc2. С этой целью введем понятие о коэффициенте объем-
ного сжатия
₽ =	(Vii.34)
здесь ДУ — уменьшение объема масла при увеличении давления на Др.
Количество сжатой жидкости
Подставив сюда значение ДУ из выражения (VII.34) и переходя от при-
ращений к дифференциалам, получим
Qc = V₽>-	(VII.35)
На основании этого уравнения запишем расходы жидкости на сжатие
или расширение в виде

(VII.36)
212
Подставив их в выражения (VI 1.31) и (VI 1.32), с учетом (VII.33) получим

(VI 1.37)
Уравнение движения штока серводвигателя запишем в обычном виде:
р2),
(VII.38)
где т — масса поршня, штока и остальных движущихся частей.
Линеаризуем уравнения (VI 1.29) и (VI 1.30), (VII.37) и (VI 1.38), положив
Pi = Рю 4- р2 = р2о +
хк = хк0 -|- Ахк, Qi == Qlo -j- AQp
0.2 — Q20 4- &0ъ-
В результате получим следующие уравнения в отклонениях:
AQi = fib Ахк (р0 — р10) _ ^Ьхк У
AQ2 = fib Ахк 1^-у- Р№ + М^ко	-у- —;
Ч, = г^+Ч^-;
d2 Ах ~ . А . .
m = F (Дрх - Ар2).
(VII.39)
Приравнивая соответственно выражения для AQi и AQ2 в отклонениях,
получаем
Ахк 1/^- (р0 — р10) — рЬхк01/Ц- -/-.р.4— =
r V	Г у 2 V ра — Рю
г d Ах । р d .
— Г ~~di гК1Р dt ’
АЛ 1/'%—^ A 1/V Ар,	<VIU0>
fib Ахк |/ р2о 4“ Р^хк0 J' у g ~
р d Ах т/ q ^Р2
— F ~dt —57— •
Для упрощения математических выкладок будем считать, что поршень
в серводвигателе находится в среднем положении, когда
V1==V2==V;	(VII.41)
кроме того, в установившемся состоянии р10 = р20; Qi0 = Q2o- Имея это
в виду, что можно написать следующие соотношения:
Рю 4" Рго — Ро’>
____________ _ Ро
Рю — Р20 — 2 ’
(VII.42)
213
Подставляя полученные зависимости (V1I.41) и (VI 1.42) в уравне-
ние (VII.40) и используя последнее уравнение системы (VII.39), получаем
- 1^,.
•	(VII.43)
Опустив знаки приращений в уравнении (VII.43), получим
mVP 1 /о—	।	~l[ 2g d?x ,
и ^Ро	Н	р у — str -г
+ 2F/2^0= 2рЬрп У^хк.	(VII.44)
В серводвигателях с поворотной лопастью (рис. VII. 14) масло под давле-
нием р0 также поступает к цилиндрическому золотнику 1 и через трубопро-
вод 2 (при смещении плунжера золотника вниз) — в полость 3 лопастного
двигателя. Лопасть 4 начинает вращаться вместе с выходным валом 5. Масло
из полости 6 через трубопровод 7 будет вытекать в бак.
Уравнение динамики серводвигателя этого типа мало чем отличается от
ранее выведенного выражения (VI 1.44).
При анализе динамики серводвигателя предполагалось, что высота
поршня золотника равна высоте канала хктах. На практике для получения
более плотной отсечки предусматривают некоторое перекрытие канала (см.
рис. VI 1.13, в). Высота поршня
С = хкгоах +.2 А,	(VII.45)
где А — размер перекрытия канала с одного края.
Для малых золотников берут А = 0,05 мм, для больших А = 0,3-н0,5мм.
Большие значения А не рекомендуются во избежание увеличения зоны не-
чувствительности, так как поршень золотника начинает открывать канал
только после того, как отклонение на входе превысит значение А. Для умень-
шения зоны нечувствительности используют золотниковые устройства, имею-
щие отрицательную зону нечувствительности, когда высота поршня золот-
ника С меньше размеров перекрываемых отверстий тип (см. рис. VI 1.13, а).
В обычно применяемых системах автоматического регулирования зо-
лотники можно подключать непосредственно к чувствительному элементу.
Для перемещения малых золотников требуется усилие порядка 0,05—0,1 Н,
а для больших 20—30 Н. Длина хода для малых золотников 2—5 мм, для
больших — 10 мм и выше.
Рассмотрим несколько модификаций золотников и серводвигателей. На
рис. VII.15, а дана схема серводвигателя одностороннего действия с отсеч-
ным золотником. Здесь золотник 1 в отличие от предыдущего случая имеет
одинарный поршень 2 и соответственно один канал 5, соединяющий золот-
ник с цилиндром серводвигателя. В полости, не имеющей сообщения с золот-
ником, находится пружина 6. При нейтральном положении поршня золот-
ника окно канала 5 перекрыто, и поршень серводвигателя неподвижен. При
смещении поршня 2 вниз полость цилиндра серводвигателя сообщается через
золотник с напорной трубой 3, при этом поршень серводвигателя поднимается.
При смещении поршня золотника вверх происходит обратный процесс, при
котором полость цилиндра серводвигателя сообщается со сливной трубкой 4.
Работа серводвигателя в данном случае может быть представлена упрощенной
эквивалентной схемой, показанной на рис. 15, б, где золотник заменен двумя
задвижками т и п, из которых одна закрыта. Задвижки работают попере-
менно.
214
В этом случае давление
р под поршнем определяют по формуле
— Р
Р = Ра +
(VII.46)
где х — полный путь поршня от нижнего положения; k0 — сила упругости
пружины при х = 0; k — коэффициент жесткости пружины; R — сила на-
грузки органа управления.
Рассмотрим схему с проточным золотником (рис. VII. 15, б и г). Цилиндр 4
серводвигателя соединен с полостью 2 проточного золотника 6, через кото-
рую протекает рабочая среда. Эта полость всегда сообщается с напорной 8
и сливной 1 трубами, за исключением крайних положений золотника, когда
проход одной из труб закрывается.
В зависимости от положения поршня 7 золотника в полости 2 изменяется
давление рабочей среды. Это давление передается под поршень 3 серводвига-
теля и заставляет последний занять положение, при котором наступает равно-
весие между силой упругости пружины 5 и силой давления на него рабочей
среды.
Упрощенная схема работы серводвигателя в данном случае представлена
на рис. VII. 15, г, где золотник заменен двумя задвижками тип. Последние
связаны между собой таким образом, что если подъем одной задвижки ра-
вен хк, то подъем другой хк — хк (хк шах — наибольший подъем каждой
задвижки).
В этом случае давление р под поршнем вычисляют по формуле
Р == Ра + (Ро “ Ра) •	(VII.47)
*к max
При увеличении давления масла в гидравлических системах шестерен-
чатые насосы заменяют насосами переменной производительности. В этом
случае в качестве гидравлического привода используют аксиальные серво-
двигатели.
215
Рис. V11.16. Схема гидравлического привода с серводвигателем и пом-
пой переменной производительности
Гидравлические приводы с насосами переменной производительности
имеют высокий КПД, широкий диапазон регулирования скоростей, плавный
ход при малой частоте вращения.
Рассмотрим работу привода с насосом переменной производительности
(рис. VII.16). Электрический двигатель 1 приводит во вращение нанос пере-
менной производительности 2, наклонная шайба 3 которого отклонена на
угол 0V Поршни 4 насоса подают масло под давлением через верхний из
трубопроводов 5 к гидравлическому серводвигателю 7. В гидравлическом
серводвигателе наклонная шайба 8 установлена под некоторым постоянным
углом р, поэтому масло через трубопровод 5 будет поступать под поршень 6,
и от движения штока этого поршня шайба 8, а следовательно, и выходной
вал 9 повернутся на угол 0а. При нечетном числе цилиндров гидронасоса и
гидродвигателя выходной вал 9 будет совершать непрерывное плавное вра-
щение.
Изменение производительности насоса осуществляется рычагами 10 и 11,
отклоняющими шайбу гидравлического насоса. На рычаг 10 действует до-
вольно малая сила управления Sy, а на выходном валу гидродвигателя
создается значительный крутящий момент Л4„.
Уравнения динамики гидравлического насоса переменной производи-
тельности и аксиального серводвигателя составим, пользуясь следующими
допущениями:
массу масла, находящуюся в рабочем цилиндре, не будем учитывать;
это допущение достаточно справедливо при малых длинах трубопроводов;
частота вращения электродвигателя привода насоса не зависит от мо-
мента нагрузки на валу серводвигателя;
изменением вязкости масла от температуры пренебрегаем.
Масло, посылаемое насосом, в рассматриваемой схеме расходуется на
вращение гидравлического двигателя (Q2), на утечки (Qy) и сжатие (Qc), т. е.
<21 = Q2 + Qy + Qc-	(VII.48)
Как известно [44], расход гидродвигателя зависит от его угловой ско-
рости вращения:
<22 = £2^-,	(VII.49)
где k2 — постоянная, зависящая от конструктивных параметров серводви-
гателя.
Утечка масла пропорциональна перепаду давления:
Qy = kyAp,	(VI 1.50)
где ky — коэффициент утечки масла, зависящий от качества поверхностей
насоса и гидравлического серводвигателя, типа применяемого масла и т. п.
216
Расход масла, затрачиваемый на сжатие, определяется в виде
<Эс = 4г’	(vn.si)
где ДР — объем сжатого масла;
ДУ = 1-Др;	(VII.52)
здесь Е — модуль объемной упругости масла, а V — объем сжатия в ци-
линдре.
Приравняв механическую работу, совершаемую гидравлическим дви-
гателем, к гидравлической работе насоса, получим
С2Др = Мп-^-,	(VII.53)
где Мп — приведенный момент на валу серводвигателя.
Будем считать, что момент на валу гидравлического двигателя затрачи-
вается на преодоление динамического момента и скоростное трение:
=	+	(VII.54)
Производительность насоса пропорциональна углу отклонения шайбы:
Q^k^,	(VI 1.55)
где — коэффициент пропорциональности; 03 — угол отклонения ры-
чага 10 (или шайбы 3) (см. рис. VI 1.16).
Подставив в уравнение (VII.48) выражения (VII.49)—(VII.55), получим
Ln L ^02 | 2гЛу	d202	|	kyky d02 |	d302 I Vky d202	/VTT
«1°1 — *2 dt -+~ ki	dt2	Г	dl T	Eki dt3 f Ek2 dt2
4.	ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ СЕРВОДВИГАТЕЛИ
В системах автоматического регулирования применяют пневматические
серводвигатели как с поступательным перемещением штока, так и с враща-
тельным. Значительная простота первых из них обеспечила им широкое рас-
пространение. На рис. VI 1.17 показана схема пневматического серводвига-
теля поршневого типа, состоящего из распределительного клапана 1 и сило-
вого цилиндра 2.
Составим уравнения динамики двигателя этого типа. Уравнение момен-
тов имеет вид
(Л-Р2)’ (VIL57)
где F — площадь поршня; т — масса поршня,
штока и управляющего органа системы.
Запишем уравнения расхода воздуха для
Рис. VII.17. Схема пневмати-
ческого серводвигателя поршне-
вого типа
полостей I и II, считая при этом,	что измене-
ние давления происходит при	постоянной
температуре:	
Qi _	.	
g	dt Q2 d (V2p2)	(VII.58)
g	dt ’	
где Qi и Q, — секундные расходы воздуха
в полостях / и П\ g — ускорение свободного
217
падения; Vj и V2 — объемы полостей; рх и р2 — плотности воздуха
в полостях 1 и II.
Зависимости, определяющие приток воздуха в полость / или его расход
из полости II для дозвукового истечения, запишем в виде
(VI 1.59)
где р — коэффициент расхода воздуха; b — эквивалентная ширина отвер-
стия; хк — перемещение штока золотника; р0 — давление воздуха на входе
в золотник; ра — давление воздуха в среде, окружающей пневматический
серводвигатель; р0 — плотность воздуха на входе золотника; ро — плотность
воздуха при давлении ра\ п — показатель политропы.
Составим зависимости, связывающие между собой давление воздуха и его
плотность:
Pi	=	7	Pi	У.
Ро	\	Ро	/ ’
Ро	=	/	Рз	\П,
Ра	\	Ра	/
(VI 1.60)
После дифференцирования правых частей выражений (VI 1.58) и подста-
новки в них формул (VI 1.59) и (VI 1.60) получим
(VII.61)
i
где L — длина цилиндра минус высота поршня;
2п Ро
п — 1 р0
Z2=^1/_2IL- *L.
F Г п — 1 ра
Линеаризуем выражение (VII.57) и с учетом соотношений (VII.61) за-
пишем его в приращениях:
т ds Ах . kv d2 . / пр10 . пр2о \ d Ах _________________________
F dt* F dt* \ хк0 L — хк0 ) ~di
(VII.62)
218
где
х = xQ + Ах; Pi = Pi0 + Ap!;
Р2 = P20 + &Рг> xK = xM AxK.
Находят применение также пневматические аксиальные серводвигатели
с высокой частотой вращения, достигающей 30 000 об/мин. Большая частота
вращения пневматических аксиальных двигателей обусловливает повыше-
ние передаточных чисел механических передач в системах автоматического
регулирования. При этом увеличивается стоимость исполнительных меха-
низмов, а габаритные размеры и их масса существенно уменьшаются.
5.	МЕХАНИЧЕСКИЕ ПЕРЕДАЧИ
Механические передачи в системах автоматического регулирования вы-
полняют несколько функций: обеспечивают согласование двигателя с на-
грузкой; суммируют и вычитают сигналы при перемещениях или поворотах;
выполняют различные функциональные преобразования (умножение, деле-
ние, дифференцирование, интегрирование и т. п.).
Можно выделить следующие основные типы механических передач:
зубчатые, винтовые, фрикционные, рычажные, троссовые и цепные. Наи-
большее распространение получили зубчатые передачи с цилиндрическими
или коническими колесами (рис. VII.18, а, б). При необходимости обеспечить
значительные передаточные отношения применяют червячные передачи
(рис. VII.18, в).
На рис. VII. 18, а изображена зубчатая передача с двумя парами ци-
линдрических колес 2 и 3. В этой механической передаче в качестве измери-
тельного устройства использован сельсин-приемник 1, а исполнительным
устройством является электродвигатель 5, приводящий во вращение на-
грузку 4.
При необходимости изменить расположение валов двигателя 1 и на-
грузки 3 применяют коническую пару 2 (рис. VII. 18, б). Измерительным
устройством здесь является потенциометр 4.
На рис. VII.18, в показана механическая передача, в которой приме-
нены червяк 2 с колесом и цилиндрическая пара 3. И в этом случае удается
изменить расположение валов двигателя 1 и нагрузки 4. Измерительным
устройством служит тахогенератор 5.
Колеса и валы в механических передачах являются упругими элемен-
тами. При недостаточной жесткости механической передачи в системе авто-
матического регулирования могут возникать незатухающие колебания.
Рис. VH.18. Кинематические схемы механических зубчатых передач
219
Составим уравнения движения нагрузки, пользуясь рис. VII. 18, в,
в виде
/н^- = Л1н(О + Ср(^--0н)-^-§-,	(VII.63)
где Ср — крутильная жесткость механической передачи; Кл — постоян-
ная скорость трения нагрузки; 0Н—угол поворота нагрузки; 0Д—углы
поворота электродвигателя; гр — передаточное число редуктора.
Уравнение движения электропривода запишем в виде
Л*	® “ V(9д " 0lJp) ~	;	(VI1 -64)
здесь Кы — моментная постоянная электродвигателя; Кд — постоянная ско-
ростного трения; ia — ток якоря электродвигателя; v — коэффициент, учи-
тывающий зависимость момента инерции якоря электродвигателя от мо-
мента инерции колес механической передачи.
Приведем уравнения (VII.63), (VII.64) к виду
7-2 с/2’’н । ое 'г 40н । о Л1Н (i) ( 6д (0 .
1«	н-д т»н(О = —+ -7^- ’
+ ядта + 0Д (о=+iP0H w,
(VI 1.65)
где
Л,= 1ЛА; Тя = 1/'0;
г Gp	|/ Gp
£ __ Кн .	£_______/(д£р_
н “2 /7^’
Из решения системы уравнений (VII.65) находим 0Н (0 при различ-
ных Ср.
Зазоры в зубчатых передачах оказывают большое влияние на точность
работы системы автоматического регулирования. При больших значениях
коэффициентов усиления в системах регулирования из-за зазоров в соедине-
ниях возникают незатухающие колебания (автоколебания, см. гл. XIV).
Люфт в передаче обусловлен боковыми зазорами в колесах и упругой
деформацией валов и колес. Боковой зазор зависит от степени точности
изготовления колес и точности выдерживания межцентрового расстояния.
Максимальные значения люфта пары зубчатых колес можно определить
с помощью следующего соотношения:
Д12 = 6,88^,	(VII.66)
где Сп — максимальный боковой зазор, выбираемый по ГОСТу; m — мо-
дули зацепления; z' — число зубьев ведомого колеса.
Для механической передачи, состоящей из нескольких пар колес, люфт
рассчитывают по формуле
^12 I ^23[23 I ^34*12^34 I ... I ^(П-2> (П-1) г'12г'23 •
1р	ip	1р	1р
!(П-3) (П-2) I A
-------------1- A(n-l)
(VII.67)
здесь Д12, A2з, ..., A(„_i)n — значения люфтов в отдельных парах механи-
ческой передачи; i12, i23, . ., i(Z1_3) (n—2> — передаточные числа пар зуб-
чатых колес.
220
Рис. VII. 19. Статическая характери-
стика люфта в механической передаче
Рис. VII.20. Характеристики протека-
ния переходных процессов в следящей си-
стеме с различной степенью износа в колесах
механической передачи
Дополнительный люфт в механическую передачу вносят шарикопод-
шипники. Для учета их влияния следует пользоваться формулой
Дц = ^-88 +fn) Сп ,	(VII.68)
где К„ — коэффициент, учитывающий класс точности подшипников; (/Сп —
изменяется в пределах от 0,5 до 2).
Значительное влияние на люфт в механической передаче оказывает упру-
гая деформация валов. При реверсе передачи возникает двойной угол спру-
жинивания валов, который рассчитывают по формуле
Д _ А1 _|_ А2('12 I ... J АзНз^23 _|_
кр ip	ip	Up
I . . . I A<n-j)г12*23 • • • On-2) <n-i) I Л	/VII
где Д1( Д2, ..., Д„ — упругий люфт отдельных валов.
Полное значение люфта в механической передаче определяют с помощью
следующего выражения:
Дп = Др+Дкр.	(VII.70)
На рис. VII.19 показана статическая характеристика люфта механиче-
ской передачи, приведенная к i? — 1.
Рост люфтов в механической передаче, вызванный износом зубьев, при-
водит к снижению запасов устойчивости в нелинейных системах автоматиче-
ского регулирования и значительному увеличению времени протекания пере-
ходного процесса по ошибке е. При значительном износе зубьев колес в си-
стеме регулирования могут возникнуть автоколебания. На рис. VI 1.20 по-
казаны характеристики переходных процессов отработки одного и того же
наперед заданного угла рассогласования е0 в следящей системе. При износе,
соответствующем Дп = 5' (рис. VII.20), время отработки е0 составляет 0,35 с.
Если износ зубьев колес возрос иД„ = 15', то /р=0,55 с; при значительном
износе зубьев колес, когда Дп = 25', tp = оо (автоколебания).
В системах программного регулирования часто применяют винтовые
передачи с кинематической парой качения. Зазоры в такой передаче находят
по формулам:
радиальный
Др = 4 (гж — гш) (1 — cos ак),	(VII.71)
где гж — радиус желоба винта; гш — радиус шарика; ак — угол контакта;
221
осевой
Безотказность работы, тыс ч
Рис. VI1.21. График надежности действия
серводвигателей в зависимости от их типа
Д 4 (гж_-гщ)	(VII 72)
Ou	cos р	'	'
здесь ₽ — угол подъема средней вин-
товой линии резьбы.
6.	СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА
ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Исполнительные элементы можно
сравнивать по основным показате-
лям: энергии питания серводвига-
теля, максимальной угловой скорости
выходного вала серводвигателя, диа-
пазону регулирования скорости (для
собственно серводвигателя без при-
менения различных средств автома-
тики), диапазону выходных мощно-
стей исполнительного механизма и
надежности действия.
Основные показатели исполнительных элементов приведены в табл. VII.2.
К числу дополнительных характеристик следует отнести и коэффициент уси-
ления по мощности. Наибольшие значения коэффициента усиления имеют
гидравлические и пневматические серводвигатели, так как в них входят и
гидравлические, и пневматические усилители. Однако универсальность элек-
трических сервоприводов делает их незаменимыми в ряде систем автоматиче-
ского управления. Расширение диапазона регулирования скорости этих при-
водов достигается применением вспомогательных усилителей (магнитных
или электромашинных).
Как уже указывалось, при выборе типа серводвигателя большое значе-
ние имеют показатели надежности. На рис. VII.21 показан сравнительный
график осредненных характеристик надежности электрических, гидравли-
ческих и пневматических серводвигателей. Как видно из рис. VI 1.21, наи-
более надежны гидравлические серводвигатели с насосами переменной произ-
водительности, безотказность работы которых достигает 25 000 ч и более.
Наименьший безотказный ресурс работы имеют электродвигатели постоян-
ного тока (порядка 1000—2000 ч).
Таблица V1I.2
Основные показатели исполнительных элементов
Тип серво- двигателя	Способ регулирования ск орости	Диапазон регулиро- вания скорости при постоянном - моменте нагрузки	Макси- мальная частота вращения вала, об/мин	Диапазон выходных мощностей, кВт	кпд, %
Электри- ческий: постоян- ного тока	Изменением: напряжения якоря;	1 : 5	10 000	0,01 — 1 000	20—85
	тока возбуждения	1 : 3	ю ооо	0,01—2	10—40
	Сериесным возбуждением	1 : 2,5	20 000	0,005—0,5	15—65
	Одновременным измене- нием напряжения якоря и тока возбуждения	1 : 8	15 000	0,005—2,5	18—70
222
Продолжение табл. VI1,2
Тип серво- двигателя	Способ регулирования скорости	Диапазон регулиро- вания скорости при постоянном моменте нагрузки	Макси- мальная частота вращения вада об/мин	Диапазон выходных мощностей, кВт	кпд, %
перемен-	Амплитудный	1 : 20	6 000	’ 0,0005—2,5	15—40
кого тока	Частотный	1 : 10	6 000	0,1 — 100	30—60
	Фазовый	1 : 20	6 000	0,1—10	15—40
Гидравли-					
веский:					
с силовым	С дроссельным управле-	1 : 200	—	—	—
цилиндром	нием Со струйным управле-	1 : 400	—	—	—
аксиаль-	нием С шестеренчатым насо-	1 : 100	5 000	0,2—40	10—40
ный	сом С насосом переменной	1 : 500	20 000	1—100	50—80
	производительности и наклонной шайбой				
Пневма- тический:					
с силовым	С дроссельным управле-	1 : 400	—	—	—
цилиндром	нием Со струйным управле-	1 : 500	—	1	—
аксиаль-	нием С наклонной шайбой	1 : 1000	50 000	0,1—10	40—70
ный					
Глава Vlll
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
1. Линейные пассивные и активные электрические корректирующие
устройства. 2. Нелинейные пассивные и активные электрические
корректирующие устройства. 3. Гидравлические и пневматические
корректирующие устройства. 4. Корректирующие устройства на
линиях задержек и дискретных элементах.
В теории автоматического регулирования все корректирующие устрой-
ства принято разделять на электрические, гидравлические и пневматические.
Самое широкое применение получили электрические корректирующие
устройства. Их принято подразделять на пассивные и активные. К пассив-
ным устройствам относят такие, которые не содержат внутри себя источни-
ков энергии. Соответственно к активным относят устройства с внутренними
источниками энергии.
Кроме принятого деления электрических корректирующих устройств
целесообразно привести способ их математического описания. Как пассив-
ные, так и активные корректирующие устройства постоянного и переменного
тока могут быть составлены из таких элементов, описание которых возможно
только с помощью линейных или нелинейных дифференциальных или интегро-
дифференциальных уравнений.
Однако применение корректирующих устройств этих типов не позволяет
в ряде случаев получать в системах автоматического регулирования требуе-
мые показатели устойчивости (см. гл. XI), а также показатели качества
(см. гл. XII) и точности (см. гл. XIII) процессов регулирования. Тогда при-
меняют более сложные в реализации нелинейные пассивные или активные
электрические корректирующие устройства, работающие на постоянном
токе.
Следует отметить, что для проектирования нелинейных корректирую-
щих устройств приходится пользоваться более громоздким математическим
аппаратом нелинейных систем (гл. XIV).
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ И АКТИВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Электрические корректирующие устройства получили наиболее широкое
распространение ввиду исключительной простоты их реализации. Как пра-
вило, линейные пассивные устройства выполняют на резисторах, конденса-
торах, катушках индуктивности и трансформаторах. Замену корректирую-
щих устройств этого типа в процессе отладки систем автоматического регу-
лирования выполняют путем перепайки элементов схемы.
Линейные пассивные корректирующие устройства выполняют операции
дифференцирования, интегрирования или их определенное сочетание, на-
пример, операции интегрирования на одних частотах и операции дифферен-
цирования на других частотах (см. подробнее в гл. XI, XVII).
Рассмотрим схемы некоторых простейших дифференцирующих, инте-
грирующих и интегродифференцирующих пассивных корректирующих уст-
ройств постоянного тока. Для схемы, показанной на рис. VII 1.1, а, можно
написать следующие два уравнения:
t
ех = Т?2г + J i dt ф- Rti
е2 = R^.
(VIII.1)
224
Исключив из системы уравнений ток i и продифференцировав получен-
ное выражение, найдем
R& = (С^2 + С&)	4- е2.
(VIII.2)
Введем в это уравнение следующую подстановку: Тг = RiCx; тогда
получим
'	__ ф ( 1 I	^2 \ ^е2 I „
1 dt 7 1 \1 + R1 ) dt -f- ег-
(VIII.3)
Из последнего уравнения видно, что данное устройство выполняет
дифференцирование на низких частотах и интегрирование на высоких. При
больших значениях Rx данное корректирующее устройство практически во
всем диапазоне частот совершает операцию дифференцирования.
Для схемы, показанной на рис. VIII. 1,6, запишем следующие уравнения:
t
^ = (^4-^)/+J_J idt-
1 и
t
е2 = R-ji + -£г- J / dt.
(VI11.4)
Из системы уравнений (VIII.4) найдем
+ -(!+§-) Я,С,-^,
(VIII.5)
Так как в этом уравнении (1 + R2/Ri) RiCi>RiClt то корректирующее
устройство обеспечивает интегрирующее действие на низких частотах и
дифференцирующее на высоких.
На рис. VIII.1, в показано корректирующее устройство интегродифферен-
цирующего действия. Для этой схемы можно записать
Т\Т2 + (Л + Л) Ь = ЛТ2
+ |л(1+» + 74тг+
Дг_____
Rs
Ri + R2
(VIII.6)
где	с*; T2 = RaC2.
Рассмотрим пассивное электрическое корректирующее устройство в виде
дифференцирующего трансформатора (рис. VIII.2, а). На первичную об-
мотку трансформатора подается постоянное напряжение, которое изменяется
во времени. Если напряжение со вторичной обмотки поступает на устройство
Рис. VII 1.1. Электрические пас-
сивные линейные корректирую-
щие устройства постоянного то-
ка
225
8 Иващенко Н- Н.
ер
е.
6)
Рис. VII 1.2. Схемы дифференцирующих трансформаторов
с большим входным сопротивлением, то ЭДС, наводимая в этой обмотке, бу-
дет пропорциональна скорости изменения тока в первичной обмотке:
е2=Л4^-,	(VIIL7)
где М — коэффициент взаимной индукции.
В первичную обмотку трансформатора включен добавочный резистор 7?д.
Уравнение этой цепи имеет вид
е1 = (Яа + Я1)д + £-^-.
(VIII.8)
Из уравнений (VIII.7) и (VIII.8) можно получить
М	de! _	1-1	de.2 .	.
Яд + Ях dt Рд+Pi dt
(VI11.9)
(VIII.10)
или
л-§. = л-^-н2(0.
гтт₽ T___________M • T = Li
Д • 2 ~~Rr + Ri ’	1	Rt + Rt'
Если во вторичной обмотке дифференцирующего трансформатора нельзя
пренебречь током из-за нагрузки RH (рис. VIII.2, б), то следует пользоваться
дифференциальными уравнениями вида
е1 = (Яд + Я1)г1 + Я1^- + М^-;
0=M-^ + (L2 + La)^ + (7?2 + /?H)i2
(Viii.ii)
Исключив из этой системы уравнений переменную ix, получим
М = [Л12 - Lx (L2 + LH)J -
- Ki № + Ян) + (Яд + Ях) (Ls + LH)1 - (Яд + Ях) (Я2 + Ян) i2. (VIII. 12)
Положим, что индуктивность нагрузки мала, т. е. LB — 0, и что рассея-
ние отсутствует, т. е. М2 = Lj_L2; тогда из выражения (VIII.12) найдем:
2^Г1- = (Л + Т2)-§- + е2,	(VIII. 13)
где
'р_______L-i . 'г _	.
Ri + R! ’	2 ' Я2 + Яи ’
гр  _____RnV~C2L2_______
3 “ (Ri+Ra) (Я2 + Ян) ’
226
Отсюда следует, что при работе дифференцирующего трансформатора
на омическую нагрузку при отсутствии рассеяния уравнение динамики диф-
ференцирующего трансформатора (VIII. 13) аналогично уравнению (VIII. 10)
Для уменьшения постоянных времени Тг и Т2 в магнитную цепь трансфор-
матора вводят воздушный зазор и добавочные резисторы.
Дифференцирующий трансформатор обычно применяют как средство
стабилизации во внутренних контурах систем автоматического регулирова-
ния. На рис. VII 1.3 показана схема включения дифференцирующего транс-
форматора Тр в систему регулирования частоты вращения электродвига-
теля М.
Перейдем к рассмотрению активных линейных электрических корректи-
рующих устройств. К. ним можно отнести такие PC-цепочки, в которых
для формирования уравнений требуемого вида применяют электронные усили-
тели различных типов, тахогенераторы, дифференцирующие или интегри-
рующие гироскопы. Корректирующие цепочки с операционными транзистор-
ными усилителями (см. гл. IV) приведены в табл. VIII.1. Постоянные времени
корректирующих устройств данного типа, определяемые емкостями и со-
противлениями, могут достигать достаточно больших значений.
К числу достоинств рассматриваемых корректирующих устройств
можно отнести их независимость от нагрузки, широкий диапазон измене-
ния постоянных времени, высокую стабильность реализуемых ими диф-
ференциальных уравнений. Последнее обеспечивается лишь при значи-
тельных коэффициентах усиления (порядка 50 000) транзисторных уси-
лителей.
В летательных аппаратах в качестве корректирующих устройств актив-
ного действия применяют дифференцирующие или интегрирующие гиро-
скопы.
Дифференцирующий гироскоп используют для определения угловой ско-
рости вращения летательного аппарата относительно его главных осей. До-
вольно часто его выполняют на основе двухстепенного гироскопа. Подобного
рода гироприборы называются датчиками угловых скоростей.
На рис. VIII.4, а показана кинематическая схема датчика угловой ско-
рости вращения летательного аппарата. Ось датчика Ох совпадает с осью
летательного аппарата Охг. Ротор 3 гироскопа с большой частотой вращается
вокруг оси Ог. Подшипники 2 закреплены на летательном аппарате. При вра-
щении летательного аппарата вокруг оси Оу± с угловой скоростью ыУ1 по-
является гироскопический момент Мг, стремящийся совместить вектор кине-
тического момента Н гироскопа с вектором угловой скорости ыУ1 (как это
показано штриховой линией на рис. VIII.4, а). Гироскопический датчик на-
чинает поворачиваться по штриховой линии, воздействуя на пружину 4.
Рис. VIII.3. Схема включения дифференцирующего трансформа-
тора в качестве средства стабилизации в систему регулирования
частоты вращения двигателя
S*
227
Корректирующие устройство
постоянного тока с операционными усилителями
Год/iuцо ЛИЛ
ПО пор.	Принципиальна я схема						Реализуемое дифференциа льное уравнение	Передаточная функция
1	К, Г		_I	Д. l-v3		—? ’i		дег	R, R,c‘ dt +ег~~'я,е'	^г/K, W^~T,s+l ’ zds Tj^RjGj
2	г^^гО—п 1	*7	1						R,	„ „ де, — ez—R,C,dt -e,	W(S]=~ (1,3+1} , где T,=R,C,
3	n^j f i с, I						de, / de, j	wa.-!fd.. %d& Tf= Rf Cj j $2
4	. л пЭг^—П? ? «, L^J * i	«* i						(/₽?	T,s W^-7^ ’ где Tt^RjC,; T~2 = R% Rf
5	«1	«, 1				J		de,	R, ( de, I ^-di^-^Ti^)	wl3)=-	. W R,(T2S+1] где 7,=РгС,1 7^ =R, C?
6	r e, 1	c, u	o- /?г сг X				.	de, RifyCiCi^z *(RfCi+fyCi)— + e,~ n „ tee = R'Cl dt	7}J где 7,~R,C, i =$2 ^2 > 7j=R,C2
1	/?, c, e, i			“О	? —i4- сг L-rfJ 1			dle, ,	. de, я,ягс,С2 +(к,с,+РгС1)-^+ег- -ее^1 - r2c, dt	hs 	-	 , (7,Зч1)(7гЗ+1) где 7,=R,C,i 7,~R, C,i 73~R,C2
8	e, 1	г		i1 нн		e2 1	d2e,	de, КгКзС^г~^^г Кг = —^e, R,	Kz/r, W(3)=—.——	 , 72s2+2 7,73+1 где	Rz^3^i^2 f £ _ к/ ^2^1 2 RjC2
228
Рис. VIII.4. Кинематические схемы гироскопических датчиков для корректирую-
щих устройств'.
а *- дифференцирующего действия; б — интегрирующего действия
Одновременно с этим рычаг 5 поворачивается вокруг оси и скользит по по-
тенциометру 6. Демпфер 1 служит для демпфирования колебаний гироскопи-
ческого датчика. В момент равновесия гироскопического датчика имеем
(VIII. 14)
где Мпр — момент противодействия пружины;
Мр = Яшг,со5₽.	(VIII. 15)
Для малых углов р имеем
Л1пр==^Р;	(VIII. 16)
здесь I — расстояние от оси вращения Ох по линии действия силы пружины;
k — коэффициент упругости пружины.
Подставим выражения (VIII.15) и (VIII.16) в формулу (VIII.14); тогда
^ = Н<0ЛСО8Р,	(VIII. 17)
откуда
P = -Sr-cosp.	(VIII. 18)
/vl
При малых углах отклонения cos р — 1; тогда
Р = ^<о„.	(VIII.19)
Из полученного выражения видно, что угол отклонения гироскопа про-
порционален измеряемой угловой скорости.
Сигнал с гиродатчика снимается в виде напряжения, которое опреде-
ляют по формуле
(VIII.20)
где 2рт — полный угол намотки потенциометра б; еП — напряжение пи-
тания.
Подставив выражение (VIII.19) в формулу (VIII.20), найдем
2kl2$m	(VIII.21)
229
He
Обозначив в полученной формуле (VIII.21) через h =	- коэффи-
pm
циент чувствительности гиродатчика, получим
^ = /1(0^.	(VIII.22)
Как следует из (VIII.22), выходной сигнал гиродатчика прямо пропор-
ционален его чувствительности.
Погрешность гиродатчика определяется моментом трения Л4тр. Если
момент трения относительно оси Ох будет больше гироскопического мо-
мента НыУ1 от измеряемой угловой скорости ыУг, то отклонения гироскопа
не произойдет. Величина момента трения определяет порог чувствительности
гиродатчика.
Интегрирующий гироскоп предназначен для измерения угла поворота
летательного аппарата. По принципу действий интегрирующий гироскоп
аналогичен датчику угловой скорости. Различие состоит лишь в том, что
интегрирующий гироскоп не имеет пружины (рис. VIII.4, б). Ротор 2 гиро-
скопа вследствие действия угловой скорости ыУ1 поворачивается вокруг
оси Ох. Этому повороту противодействует демпфер /. Сигнал, пропорцио-
нальный углу р, снимается с потенциометра 3 в виде напряжения е2. Момент
противодействия демпфера
Л4пр = Ь/2₽,	(VII 1.23)
где b — коэффициент скоростного трения демпфера.
Приравняв выражения (VIII.23) и (VIII.14), с учетом (VII. 15), получим
₽ = -^-^.cos₽.	(VII.24)
При малых Р имеем
=	(VIII.25)
Проинтегрируем полученное выражение в пределах от 0 до t\ тогда
й _ а____•	(VIII.26)
Р Ро— эда J UVldt.
Интеграл от угловой скорости объекта является углом поворота лета-
тельного аппарата ф — ф0, поэтому
₽ = ₽о + -^(ф-Фо)-	(VIII.27)
Интегрирующие двухстепенные гироскопы в настоящее время изготов-
ляют с применением «сухих» и поплавковых гироприборов. Поплавковые
гироприборы обеспечивают высокую точность измерения углов отклонения
ракет и самолетов и применяются в гиростабилизированных платформах си-
стем навигации [12].
В поплавковых гироприборах гиромотор вмонтирован в поплавковую
камеру, плавающую в тяжелой жидкости. Вязкое сопротивление жидкости
при движении поплавка заменяет действие демпфера 1 (рис. VIII.4, б). Точ-
ность работы интегрирующих гироскопов оценивается углом самопроиз-
вольного ухода оси стабилизации гиродатчика в единицу времени (так назы-
ваемый дрейф гиродатчика). Обычно дрейф указывают в град/ч.
В табл. VIII.2 приведены характеристики точности гироскопических
датчиков [12].
230
Таблица VIII
Характеристики точности гироскопических датчиков
Тип	Гироскоп	Кинема- тический момент, Х10* Н*М’С	Погреш- ность измере- нии, град/ч	Тип	Гирвскап	Кинема- тический момент, ХЮ* Н -м^с	Погреш- ность измере- ний, град/ч
Диффе-	Обычный	20	о,1	Интег-	Обычный 	100	0,1
ренци-	С гиро-	100	0,05	рирую-	С гиро-	2000	0,01
рующий	мотором Поплавковый	40	0,01	ший	мотором Поплавковый	100	0,005
В некоторых системах автоматического регулирования возможно при-
менение гироскопического датчика совместно с пассивной /?С-цепочкой. На
рис. VIII.5, а показана схема такого корректирующего устройства. Диф-
ференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в данном кор-
ректирующем устройстве, можно представить в виде
71 ^2<?2 । de2 _ Л*у /	, rfP \	/VIТТ
+ Ri
т
где 7\ = R-fii, Т2 =----j?—; kv — коэффициент усиления усилителя.
В электрогидравлических и электропневматических следящих системах
довольно часто применяют тахогенераторы постоянного тока, при помощи
которых с выходного вала двигателя снимается сигнал, пропорциональный
частоте его вращения. Напряжение на выходе тахогенератора при постоян-
ном напряжении возбуждения можно записать в виде
и = /гтг-^-,	(УШ.29)
где = штг.
Для схемы, показанной на рис. VIII.5, б, состоящей из тахогенератора
и пассивной /?С-цепочки, можно написать следующее дифференциальное
уравнение
T-f- + e2 = ATr^-§->	(VIII.30)
где Т = RC-, у — степень ослабления сигнала потенциометром; а — угол
поворота тахогенератора.
Пассивные корректирующие устройства переменного тока также реали-
зуются на резисторах и конденсаторах (рис. VIII.6). Параметры корректи-
рующих устройств этого типа выбирают таким образом, чтобы на несущей
частоте не было сдвига фазы, а обеспечивался максимальный отрицательный
сдвиг фазы по сигналу огибающей.
б)
Рис. VIII-.5. Схемы применения активных и пассивных корректирующих
устройств постоянного тока'.
а —- с дифференцирующим гироскопом; б —» с тахогенератором постоянного тока
231
6)
Рис. VIII.6. Электрические
пассивные линейные коррек-
тирующие устройства пере-
менного тока
Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс
в 2?С-цепочках переменного тока, изображенных на рис. VIII.6, а, б, имеет
следующий вид:
= ТгТ2 + (Л + Т12 + Т2) -^- + е2,	(VIII.31)
где 7\ — RiCi, Т12 = R]C2 (для схемы на рис. VIII.6, а) и Т12 — R2C1
(для схемы на рис. VIII.6, б); Т2 — R2C2.
Корректирующее устройство, выполненное в виде двойного Т-образного
контура (рис. VIII.6, в), описывается следующим дифференциальным урав-
нением:
Т\Т2Т3 + (Т23 + Т3)	+ (7\ + Т13) -f- + е, =
= ТгТ2Т3 + [Тг (Т23 -j- Т3) + Т2 (Тг + Т13 + Тз)1 +
+ (Л + Лз + ^ + Лз + ^з)-> + е2)	(VIII.32)
где Т3 = R3C3, Т13 = RiC3, Т23 — R2C3.
Сопротивления и емкости элементов корректирующих цепей перемен-
ного тока следует подбирать по возможности точнее и как можно ближе к рас-
четным. Их необходимо измерять мостовыми схемами с высокой степенью
точности, а не пользоваться номинальными значениями, указанными на ре-
зисторах и конденсаторах. Если допустить отклонение по несущей частоте
на 5%, то все параметры двойного Т-образного контура необходимо подбирать
с точностью примерно 0,5%. Сдвиг
по фазе при этом составит около 20°.
В активных корректирующих
устройствах переменного тока также
применяют усилители и 7?С-фильтры.
Однако, как правило, эти фильтры
включают в цепь отрицательной
обратной связи электронного усили-
теля (рис. VIII.7, а). Для схемы на
рис. VIII.7, а можно написать, что
е2 — ky (ех е). (VIII.33)
Заменим данную схему экви-
валентной, изображенной на
рис. VIII.7, б. Для нее составим сле-
дующее уравнение:
(1+/72П)ГА = /72пТ-^-, (VIII.34)
где Т = RC.
232
Рис. VII1.7. Схема электрического актив-
ного корректирующего устройства перемен-
ного тока'.
а — принципиальная; б — эквивалентная
На основании уравнений (VIII.33) и (VIII.34) получим
тпГ^-4-(«+1)Г-^4-е'==(йу-l)ei + ^.	(VIII.35)
Из уравнений (VIII.34) и (VIII.35) нетрудно получить следующее выра-
жение:
тпГ5-4-К14-/пп)7’4-(1-тАу)пЛ^-+ е =
= mn(ky-l)T = ^-.	(VIII.36)
С помощью уравнений (VIII.35) и (VIII.36) найдем
mnr-$- + (14-n)T-J- + ei =
= тпТ2 4- [ 1 4- п + mn (1 - fcy)] Т 4- е2.	(VI11.37)
Введем следующие обозначения:
,	1	2тпТ .
(Л* —-  — • Г ——	- - - •
о	тпТ2 '	1+ п ’
=________1 +"_____
1 +n + mn (1 —йу)
В результате этого уравнение (VIII.37) можно записать в виде
I d^i । 2 det ।	_ 1 d?e2 . 2 de2 	/VT T T
<о§ dt2 + nog di ~т~е1— dP + kal di ^'ез’	(V111.38)
где ю о — несущая частота переменного тока; г — постоянная времени по
огибающей сигнала.
Если считать, что R и ky [731 заданы, то нетрудно найти следующие пара-
метры корректирующего устройства:	‘
г . г(1-*у) .	4(1—fe)
2 (1-k) ’ П~ kr^(l-ky)
„ _	4(1-Л)»
—*у)а ’
Величины С, т и п всегда положительны, поэтому должны соблюдаться
соотношения
<VI11-39>
Из условий (VIII.39) следует, что при k < 1 коэффициент усилителя ky
тоже должен быть меньше единицы.
Рассмотренная схема активного корректирующего устройства тем чув-
ствительнее к отклонениям несущей частоты от ®0, чем пассивнее мостовые
схемы.
К другим активным электрическим корректирующим цепям перемен-
ного тока можно отнести устройства с асинхронными тахогенераторами.
Асинхронный тахогенератор вырабатывает переменное напряжение с ампли-
233
Рис. VTTJ.8. Схема асинхронно-
го тахогенератора
тудой, пропорциональной производной угла поворота его ротора. По сути
дела, он выполняет роль дифференцирующего элемента. Довольно часто
асинхронный тахогенератор выполняют в виде асинхронной электрической
машины с двумя обмотками на статоре, сдвинутыми одна относительно дру-
гой на 90°, и с двумя симметрично нагруженными роторными обмотками
(рис. VIII.8). Одну статорную обмотку подключают к сети переменного тока,
а со второй снимают выходное напряжение.
Рассмотрим принцип работы асинхронного тахогенератора. Обмотка
возбуждения и продольная обмотка ротора пронизываются общим магнит-
ным потоком Фх. Кроме того, на обмотку возбуждения действует поток рас-
сеяния Ф'ь а на продольную обмотку ротора поток рассеяния Ф?. При вра-
щении ротора тахогенератора в поперечной обмотке статора от действия по-
токов Ф1 + Ф1 наводится ЭДС
ев = ск>тг (Ф1 Ф1),	(VIII.40)
где с — коэффициент пропорциональности; сотР — частота вращения ро-
тора тахогенератора.
На рис. VIII.9, а приведена схема включения асинхронного тахогенера-
тора АТГ в систему автоматического регулирования. Система работает на
переменном токе с частотой 400 Гц. В цепь прямой связи схемы входят сель-
син-датчик СсД и сельсин-приемник СсП, тиратронный усилитель ТУ, питаю-
щий обмотки управления двухфазного асинхронного электродвигателя М
и редуктор. Цепь гибкой обратной связи состоит из асинхронного тахогенера-
тора и фильтра.
В схеме возможно^включение фильтров двух типов: на постоянном токе
ФПТ через демодулятор Дм, как это показано на рис. VIII.9, б, и на перемен-
ном токе ФПрТ (рис. VIII.9, в).
Рис. VII1.9. Схема включения
асинхронного тахогенератора в
следящую систему переменного
тока
234
2.	НЕЛИНЕЙНЫЕ ПАССИВНЫЕ И АКТИВНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Как известно, возможности линейных корректирующих устройств в си-
стемах автоматического регулирования, имеющих в Своем составе нелиней-
ности, ограничены. Эти устройства не могут обеспечить требуемого качества
переходного процесса и высокой динамической точности системы. Например,
в системе управления с усилителями, имеющей линейное корректирующее
устройство, а также нелинейность типа насыщения, происходит затягивание
переходного процесса во времени. Переходный процесс существенно сокра-
щается, если в системе используется нелинейное корректирующее устрой-
ство, в которое введен дополнительный усилитель с нелинейностью типа
насыщения, уровень которого согласован с уровнем насыщения основного
усилителя.
Нелинейные корректирующие устройства уменьшают влияние помех
(шумов), действующих на систему автоматического регулирования. Так,
включением последовательного нелинейного корректирующего устройства
в систему регулирования удается повысить ее фазовую характеристику в рай-
оне частоты среза, не изменяя при этом амплитудной характеристики. Вклю-
чение линейного корректирующего устройства одновременно с повышением
фазовой характеристики приводит к значительному расширению полосы про-
пускания входного сигнала замкнутой системы и повышению влияния шумов.
Необходимо также отметить, что методы синтеза систем, оптимальных
по быстродействию, всегда приводят к нелинейным законам регулирования,
которые реализуются с помощью нелинейных корректирующих устройств.
Все это явилось причиной того, что в современных системах автоматического
регулирования широко применяют нелинейные корректирующие устройства
на пассивных или активных элементах.
В системах автоматического регулирования используют следующие виды
нелинейных пассивных корректирующих устройств: нелинейные четырехпо-
люсники, образованные нелинейностями, заключенными между линейными
фильтрами, и псевдолинейные четырехполюсники.
Нелинейные четырехполюсники образуются при введении нелинейного
элемента между двумя пассивными 7?С-цепочками. Нелинейный пассивный
элемент образуется с помощью нелинейных резисторов. На рис. VIII. 10
показан наиболее просто реализуемый нелинейный четырехполюсник, в ко-
торый входят две линейные /?С-цепочки 1, 3 и нелинейный элемент 2.
Пусть на вход данного пассивного нелинейного корректирующего устрой-
ства поступает сигнал
^=4 sin cot	(VIII.41)
Напряжение на выходе первой 7?С-цепочки
^<«0.	(VIII.42)
В этом случае
w2 = ku,
где k = tg а.
Рис. VHI.10. Схема одно-
канального нелинейного
корректирующего устрой-
ства с пассивными элемен-
тами
235
Рис. VIII. 11. Блок-схема двухканального пассивного
псевдолинейного корректирующего устройства
канального активного нелиней-
ного корректирующего устрой-
ства
Напряжение на выходе нелинейного
корректирующего устройства
Й7, Л • i
б2==	— A (Pt.
(VI11.43)
Псевдолинейные четырехполюсники обеспечивают в системах управле-
ния либо изменение фазы при неизменной амплитуде, либо изменение
амплитуды при постоянной фазе. Четырехполюсники этого типа состоят
из двух ветвей, сигналы с которых поступают на блок суммирования.
В цепи сигналов могут быть включены линейные 7?С-цепочки обычного
типа.
На рис. VIII. 11 показана блок-схема двухканального псевдолинейного
корректирующего четырехполюсника. Сигнал на выходе этого устрой-
ства можно представить в следующем виде:
е2 — er sign [sin ф -ф- Лео2 sin (ф -f- р0)],	(VIII.44)
где А — амплитуда колебаний; |30 — фазовый угол; со — круговая частота
(см. гл. X, XIV).
Значительно большее применение получили активные нелинейные
корректирующие устройства, в которых для формирования нелинейных
зависимостей применяют операционные усилители с индуктивностями
(рис. VIII.12).
Как видно из рис. VIII. 12, в корректирующее устройство входят опера-
ционный усилитель, дифференцирующий сигнал, и катушка индуктивности L,
представляющая собой нелинейный элемент, характеристика которого по-
казана на рис. VIII. 13.
Аппроксимируем характеристику Ф = Ф (ш) индуктивности двумя
прямыми с наклонами ах
Рис. VIII.13. Характеристика
индуктивного элемента однокана-
льного корректирующего устрой-
ства
и а2-
Для данной нелинейности запишем сле-
дующие зависимости:
n^^-^e^osept,	(VIII.45)
или
ф (/) = -A- sin &t,	(VIII.46)
где п — число витков катушки; Ф — магнит-
ный поток.
236
Ток в катушке представим в виде
Ф -Е Фр
k2n
при ф<-ф<>;
при |Ф|<Ф0;
+ при Ф>Ф(
rCg/l	К-^П
(VIII.47)
Если © > ®0 и |Ф ] < Фо, то можно получить

(VHI.48)
Введем обозначение ® = Р®0; тогда
д—Ц—s- sin о/ -)----------------------при sin ®f << — ₽;
Р<1)о^2п2	®0^2га2 <О(ЛЩ2 F	r
Q e! r sin at при I sin at I <j B;
pCOofcjZl2	r I	1 r
я g! , sin at-----------r-»- -|-------при sin at r> B.
P®0«2n2	а>о«2п2	Шо^1«2 r
(VIII.49)
С помощью формул (VIII.49) и определяют соответствующие эквивалент-
ные амплитудную и фазовую частотные характеристики одноканального не-
линейного корректирующего устройства.
Рассмотрим некоторые способы реализации активных псевдолинейных
корректирующих устройств. На рис. VIII.14, а, б показаны схемы двух кор-
ректирующих устройств. Каждое из этих устройств состоит из двух каналов.
В каналах с блоками абсолютного значения формируются амплитудные соот-
Рис. VIII.14. Блок-схемы многоканальных активных нелинейных корректирующих устройств
псевдолинейного типа'.
а и 6 — двухканальиых; в — трехканальных
237
ношения, а в каналах с релейным блоком — фазовые. Если в корректирую-
щее устройство (рис. VIII.14, в) входит нелинейная функция, изображенная
на рис. VIII.15, то его реализация возможна или с помощью диодных линеек
(рис. VIII.16, а), или с помощью варистора и резисторов (рис. VIII.16, б).
В этом случае получается трехканальное корректирующее устройство.
Вольт-амперная характеристика варистора имеет следующий вид:
и = kji6	(VIII.50)
или
i = ^«p,	(VIII.51)
где 6 и р — постоянные коэффициенты показательной функции; kv и k2 —
передаточные коэффициенты.
Резисторы R 1( R2 и R3 (рис. VIII. 16, б) предназначены для изменения
характеристик варистора и выбора соответствующей рабочей точки. Рези-
стор R„ позволяет установить масштаб f (и) для согласования с сумматором
или операционным усилителем.
Структурные схемы нелинейных четырехполюсников с нелинейностями,
реализуемыми на основе операционных усилителей, представлены на
б)
Рис. VI 11.16. Способы реализации не-
линейных функций с помощью:
а — диодных линеек; б — варистора и ре-
зисторов
238
Рис. VIII. 17. Нелинейности и их реализация с помощью диодов и операционных усилителей:
а — нелинейность типа насыщения; б — схема ее реализации; в — нелинейность типа релейной харак-
теристики; г— схема ее реализации; —Е — опорные напряжения; ОУ — операционные усили-
тели; R.2........ —	резисторы; et — напряжение на входе; еЛ — напряжение на выходе
рис. VIII.17. Характеристики нелинейностей показаны на рис. VIII.17, а, в.
На рис. VIII. 17, виг показаны возможные схемы реализации этих характери-
стик на резисторах, диодах и операционных усилителях.
3.	ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОРРЕКТИРУЮЩИЕ
УСТРОЙСТВА
В системах автоматического регулирования в качестве элементов гиб°
ких обратных связей применяют гидравлические и пневматические устрой-
ства.
Простейшим гидравлическим корректирующим устройством может слу-
жить изодром (катаракт). Его схема показана на рис. VIII.18, а. Перемеще-
ние штока 1 и поршня 3 является входной величиной хл, а перемещение ци-
линдра 2 — выходной величиной хл. При перемещении поршня масло начи-
нает перетекать через трубку 6 и калибровочное отверстие 7. Перемещение
цилиндра с помощью рычага 5 передается выходному устройству исполни-
тельного механизма. Пружина 4 изодрома сжимается за счет разности пути
перемещения цилиндра и поршня. Сила сжатия пружины определяется по
формуле
Л,р = kupxa,	(VIII.52)
где knp — коэффициент жесткости пружины.
Рис. VIII.18. Гидравлические и пневматические корректирующие устройства:
а — изодромиогб типа; б — с золотником, изодромом и серводвигателем; / — золотник; 2 изодром;
3 — дроссель; 4 — серводвигатель; 5 — рычаг; в — пассивное гидравлическое корректирующее уст-
ройство; / — дроссель; 2 — емкость; 3 — сильфон с пружиной; 4 — сильфон с мембраной; 5 — планка
обратной связи; г — пассивное пневматическое корректирующее устройство; I — сильфон; 2— пру-
жина; 3 — емкость; 4 — пневмопривод с дросселем
239
Результирующее перемещение
х = хп-хд.	(VIII.53)
Сила трения поршня определяется следующей зависимостью:
/;»=1’(тг-^)'	(VII1..54)
где b — коэффициент жидкостного трения.
Сила трения уравновешивается силой сжатия пружины, т. е.
Fip = Fnp.	(VIII.55)
Подставив в полученное соотношение выражения (VIII.52) и (VIII.54),
найдем
Ь^- + *прхц=^.	(VIII.56)
Определим перемещение
хц = -^	(VIII.57)
^2
и подставим его в уравнение (VIII.56); тогда получим
'’Т7-^ + л"’Т79 = '’^’	(VI!I-58’
откуда после несложных преобразований найдем
В полученное выражение введем следующие обозначения:
с учетом которых (VIII.59) сможем записать так:
Ta^ + y=Taka^. 	(VIII.60)
Уравнение (VIII.60) показывает, что изодром является интегродиффе-
ренцирующим элементом (дифференцирующим входной сигнал на низких
частотах и интегрирующим — на высоких частотах).
Возможны и другие схемы гидравлических корректирующих устройств
(рис. VIII. 18, б). Расходы масла в цилиндре 2 изодрома запишем в виде
<22 = ^4’	(VIH.61)
а в поршне 3
Q3^^z,	(VI 11.62)
Ги
где k — коэффициент пропорциональности; kn — жесткость пружины изо-
дрома; Fv — площадь поршня изодрома.
Сумма расходов масла
Q2 + Q3 = Q1.	(VIII.63)
Расход масла
=	—^хп.	(VIII.64)
240
Уравнение серводвигателя запишем в виде
(уП1.65)
здесь Fn — площадь поршня серводвигателя.
Из полученных выражений (VIII.61) — (VIII.65) найдем дифференциаль-
ное уравнение рассматриваемого гидравлического корректирующего устрой-
ства
Л. + g = Ж dx .	(VIII.66)
/2 dt 1 l2knk dt	'	7
Это уравнение при Т„ = и Akt _ приведет к соотношению
(VIII.60).
Возможны схемы и пассивных гидравлических корректирующих уст-
ройств. Одна из схем с сильфоном и дросселем показана на рис. VIII. 18, в.
Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в этом
устройстве, совершенно аналогично выражению (VIII.60).
Существуют и интегродифференцирующие гидравлические корректирую-
щие устройства, имеющие дифференциальные уравнения вида
Tz^ + y-T^ + x».	(VIII.67)
Корректирующие пневматические элементы в значительной степени
схожи с гидравлическими. Наибольшее распространение получили пневма-
тические корректирующие устройства с использованием принципа дроссели-
рования сжатого газа. Одна из возможных схем дифференциатора изображена
на рис. VIII. 18, г. Дифференциальное уравнение, описывающее переходный
процесс в подобном устройстве, имеет вид
T^~ + P^k^-	(VIII.68)
В состав пневматических корректирующих устройств входят струйные
трубки (см. гл. V) или дроссельные устройства и пневмоцилиндры. Дифферен-
циальные уравнения для устройств подобного рода имеют высокий порядок и
здесь не рассматриваются [27]. .
4.	КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА НА ЛИНИЯХ ЗАДЕРЖЕК
И ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ
В дискретно-непрерывных системах автоматического регулирования
применяют корректирующие устройства на линиях задержек. Математиче-
ское описание этих устройств представляют в виде разностного уравнения
и (кТ) = Ьоа (кТ) -ф- Ьхо (кТ — Т) -ф- Ь2а (кТ — 2Т) -ф- • • • -ф- Ьпо (кТ — пТ) —
— ахи (кТ — Т) — а2и (кТ — 2Т) — • • • — апи (кТ — пТ). (VIII.69)
Непосредственное использование этой формулы обусловливает примене-
ние линий задержек. С целью получения минимального числа линий задержек
введем промежуточную переменную цх (IT). В этом случае формулу (VIII.69)
можно привести к двум уравнениям:
и (кТ) — (кТ) -ф- Ьгих (кТ — Т) -ф- Ь2их (кТ — 2Т) + • • • + Ьп«х (кТ — пТ);
ui (к?) — °	— aiui — Т)~
— (ци^кТ — 2Т) — • •• — апи1(кТ — пТ).	(VIII.70)
241
Рис. VIII.19. Блок-схема дискретного корректирующего устройства на линиях
задержек
С помощью уравнений (VIII-70) можно построить блок-схему дискретного
корректирующего устройства на линиях задержек (ЛЗ). Соответствующая
блок-схема приведена на рис. VIII .19. Как видно из рисунка, линий задержек
должно быть п. Коэффициенты а, и bi реализуются на операционных усили-
телях.
В первом приближении линию задержки можно представить в виде фазо-
вращательной цепи, изображенной на рис. VIII.20. Данная цепь осуществ-
ляет необходимый сдвиг по фазе выходного напряжения иВых по отношению
ко входному ивх. При этом должно выполняться соотношение Т = 27?С.
Однако использование таких простых цепей в качестве линий задержек при-
водит к большим искажениям сигнала, поэтому для построения высококаче-
ственных линий задержек используют однородные длинные линии. Предста-
вим такую линию в виде множества соединенных последовательно бесконечно
малых элементов длиной dx, каждый из которых имеет сопротивление r0 dx,
индуктивность Lo dx, проводимость g0 dx и емкость Со dx (рис. VIII.21).
Здесь r0, Lo, g0 и Со — параметры линии единичной длины, ах — коорди-
ната рассматриваемой точки, отсчитываемая от начала линии. Общая длина
линии равна I.
Процессы в длинной линии описываются дифференциальными уравне-
ниями в частных производных
ди п . r di
дх — г°*+
di	, ди
'Их —&>и + Со~дГ-
(VIII.71)
Пренебрежем потерями в линии и положим г0 = 0 и g0 = 0. Тогда урав-
нения (VIII.71) примут вид
(VTII.72)
242
гвЛх lofa 4 roix Ь0Лх
Рис. V111.21. Элемент задержки в виде длинной линии
В этом случае решение системы уравнений при подаче на вход линии
ступенчатого напряжения ивх для прямой волны имеет вид
и = ивх --------»
I= 2сивх —У ,
(VIII.73)
(VIII.74)
где ze = ]/rL0/C0 называется волновым сопротивлением, а волновая скорость
1
V— -г. -. .
LqCq
По истечении времени № = Uv с момента подачи напряжения на вход
линии фронт прямой волны достигает конца линии. При этом происходит его
частичное отражение от нагрузки, и решение системы уравнений (VIII.72)
будет определяться суммой прямой и обратных волн.
В согласованных линиях, когда сопротивление нагрузки активное и
равно волновому сопротивлению, отражение волн отсутствует, и время, затра-
чиваемое на распространение фронта прямой волны, определяет задержку
линии. С учетом формулы (VIII.74) время задержки согласованной линии
Т = 1\Л~Р0.
(VIII.75)
Из выражения (VIII.75) следует, что при,необходимости обеспечения зна-
чительных задержек Т потребуются линии большой протяженности с увели-
ченными значениями погонных индуктивностей Lo и емкостей Со.
Решение разностного уравнения (VIII.69) может быть непосредственно
выполнено на управляющей цифровой вычислительной машине. В этом случае
хранение и пересылка данных осуществляется на регистрах и в оперативной
памяти машины (см. гл. VI). Операции по обработке данных осуществляются
в арифметическом устройстве управляющей цифровой вычислительной ма-
шины. Для контроля текущего времени и формирования значения задержки
служит специальное устройство, называемое таймером.
Глава IX
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ СТРУКТУРНЫЕ
СХЕМЫ
1.	Представление объектов и устройств систем регулирования с сосредоточенными эле-
ментами в виде передаточных функций. 2. Представление устройств систем регулирования
с распределенными элементами в виде трансцендентных передаточных функций. 3. Составле-
ние структурных схем систем автоматического регулирования. 4. Преобразование структур-
ных схем. 5. Передаточные функции систем автоматического регулирования. 6. Описание
объектов, устройств и систем регулирования в векторно-матричной форме. 7. У равнения
состояния линейных стационарных систем регулирования. 8. Уравнения состояния линейных
нестационарных систем регулирования. 9. Решение линейных стационарных и нестационар-
ных уравнений состояния. 10. Определение переходных матриц линейных стационарных и
нестационарных систем. 11. Управляемость и наблюдаемость линейных систем. 12. Пред-
ставление динамических характеристик объектов, устройств и систем автоматического регу-
лирования импульсными переходными функциями.
В гл. II—VIII были приведены уравнения динамики, описывающие
поведение объектов и устройств систем автоматического регулирования.
Уравнения динамики для непрерывных систем регулирования обычно пред-
ставляются в виде линейных дифференциальных, интегродифференциальных
или алгебраических уравнений. Для импульсных устройств уравнения дина-
мики записываются в виде линейных или нелинейных уравнений в конечных
разностях. Если в уравнениях систем коэффициенты являются постоянными,
то такие системы называются стационарными-, если коэффициенты зависят от
времени, то системы именуются нестационарными.
Необходимо отметить, что линейные дифференциальные уравнения могут
быть записаны в полных производных, если их математическая модель состав-
лена для элементов с сосредоточенными параметрами, либо в частных про-
изводных, если модель составлена из элементов с распределенными параме-
трами. В тех случаях, когда уравнения динамики объекта или устройства
системы не могут быть линеаризованы, поведение системы регулирования
описывается нелинейным уравнением. Наличие нелинейных уравнений оказы-
вает существенное влияние как на поведение всей системы регулирования
в целом, так и на форму ее представления для проектирования и расчетов
(см. гл. XIV).
Для описания систем с переменными параметрами обычно применяют
импульсные переходные функции. В этом случае импульсная переходная
функция зависит не от одной переменной времени t, а от двух переменных:
текущего времени t и момента т приложения воздействия в виде дельта-функ-
ции. Импульсные переходные функции как стационарных, так и нестацио-
нарных систем связаны с их соответствующими частотными характеристиками.
Таким образом, оба способа описания систем автоматического регулирования
являются равноправными.
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЪЕКТОВ И УСТРОЙСТВ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В ВИДЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ
С целью упрощения методов расчета и проектирования систем автомати-
ческого регулирования уравнения динамики объектов или устройств записы-
вают не через оригиналы функций, а в виде изображений функций, получен-
ных с помощью прямого преобразования Лапласа.
Если оригинал х (t) представляет собой функцию времени t, то изобра-
244
жение этой функции X (s) есть функция комплексной переменной s,
задаваемой в виде следующего интеграла:
X (s) = J х(0 е—s< dt = SB [х (/)],	(IX.la)
о
где SB — символ прямого преобразования Лапласа.
Для определения оригинала функции по ее изображению используют
обратное преобразование Лапласа
^(0 = -2^г f X(s)e’'ds=2’-4X(s)],	(IX.1 б)*
С—yoo
где С — абсцисса абсолютной сходимости; 2?'1 — символ обратного преобра-
зования Лапласа.
Приведем в табл. IX.1 простейшие операции над оригиналами и изобра-
жениями. С помощью этой таблицы нетрудно определить преобразование
Лапласа для различных уравнений.
Пример IX. I. Выполнить прямое преобразование Лапласа для дифференциального
уравнения
Т1Т2 ^- + (T1 + T2)^+y(t)=kx (0
при нулевых начальных условиях. С помощью табл. IX. 1 найдем
(ТХТ^ Д (7\ + Г2) s + 1] Y (s) = kX (s).	(IX.2)
Таблица IX.1
Простейшие операции над оригиналами и изображениями
Гип операций	Оригинал	Изображение
Линейное преобразова- ние	ахх (0 + Ьх2 (0	aXj (s) + bX2 (s)
Дифференцирование при нулевых начальных условиях	dx ~ЗГ ' d"x dt"	sX(s) snX(s)
Интегрирование	i J x (t) dt 0	X(s) s
Операция сдвига	x(t — x)	e-tsX (s)
Свертка оригиналов	*1 W * *2 (0 = t = J Xi (r) Xq (t — T) dx = 0 t = j *1 (t — r)xa(T)dr = 0 = *2 (fl **1(0 '	Xt(s)X2 (s)
* См. подробнее в гл. XIII.		
245
Пример IX.2. Выполнить прямое преобразование Лапласа для иитегродифференциаль-
ного уравнения
о
при нулевых начальных условиях. С помощью табл. IX. 1 получим
(as’ + &s + c + -^-) Y (s) = feX(s).	' (IX.3)
При расчетах систем автоматического регулирования довольно часто
требуется знать изображение функций для управляющего или возмущаю-
щего воздействий. Управляющее и возмущающее воздействия обычно пред-
ставляют в виде функций (см. гл. I). Приведем примеры нахождения изобра-
жений для некоторых функций.
Пример IX.3. Найти изображение для единичной ступенчатой функции
Г 1 при #>0;
( 0 при t < 0.
В этом случае
Полученное выражение справедливо лишь при Re s > 0, так как в этой полуплоскости
оно является аналитической функцией.
Пример IX.4. Найти изображения для функции 1 (0 cos dt'.
со	ев
X (s) = J1 (0 cos dt e“s< dt = -1 J e“s' (eiai + €~iai) dt =
о	о
ев
«= _L f re-(s-/a) i I e-(s+/a) q dt _ J_ ( 1	,	1 \ _ g
2 J le	ф	2 ^s-/a + s + /a, ~ s2 q- a?'
о
Приведем в табл. IX.2 изображения ряда функций, наиболее часто встре-
чающихся в задачах теории автоматического регулирования.
Таблица IX.2 *
Таблица изображений наиболее часто встречающихся функций в задачах теории
автоматического регулирования
Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
[I] = 1 (0	1 S	—ЦЛе“'-е<”)1(0 a — р	1 (s — a) (s — P)
м (0	1	-1 sin a.t-1 (0	1 s2 + a2
zn-l (п — 1)1 ’ (0	1 sn	cos a/-1 (0	s s2 + a2
еа/1 (0	1 s — a	-1(1 — cosa0-l (0	1 s (s2 Ц- a2)
teail (0 * Более подробно с ников и инженеров. Пер.	1 (s - a)2 Корн Г. и Корн Т. с англ. Изд. 2-е. М	sin a.t-1 (0 Справочник по математике д , «Наука», 1970. 720 c.	s (s2 + a2)3 ля научных работ-
246
Пример IX.5. Выполнить прямое преобразование Лапласа для дифференциального
уравнения
а S’ + 6 -S' + с -1Г +dy w = е cos dt
при нулевых начальных условиях. Пользуясь табл. IX. 1 и IX.2, получим
(OS2 + &S2 + cs + d) у (s) =	.
В теории автоматического регулирования пользуются не уравнениями
объектов и устройств систем автоматического регулирования, записанными
через изображение функций, а их передаточными функциями. Под передаточ-
ной функцией понимают отношение изображения выходной величины для
объекта или устройства системы к изображению функции входной величины,
полученных при нулевых начальных условиях.
Используя это определение, нетрудно найти передаточные функции для
уравнений (IX.2) и (IX.3), т. е.
П7 м _ 7	_____________*__________
X(s) TiT’2S» + (T1 + r2)s+ 1
и
Определим передаточные функции для ряда устройств и объектов регу-
лирования. В гл. IV сильфонный датчик давления описывается дифференци-
альным уравнением (IV.85). Применив к нему прямое преобразование Лап-
ласа, получим
^сд(з) = р (s) = T2si _|_ 2g7s + ! •	(IX.4)
Уравнения динамики электромашинного усилителя с поперечным полем
возбуждения были приведены в гл. V в виде формул (V.41)—(V.43).
Применив к ним преобразование Лапласа, найдем
Uy (s) = гу (Tys + 1) /у (s) ± Msl. (s);
U,(s)^rm(Tks+l)IK3(s)-,
U2 (s) = .^1/ у (S) +• kJ н (S)’>
Ua(s) = ra(Tas+ 1)/и (s);
U a (s) == &3^кз (®).
(IX.5)
где
т __
У	Гу
Г^-ЯК
k = ---
гяк
Перепишем первое и третье уравнения (IX.5) в следующем виде:
t/;(s) = t/y(S)q=t/;(s); 1
t/2(s) = ^(s)^(s), J
где
f/y (s) = ry (T yS	1) ^y (S)’
Uy(s)=* Msla(s);	= kily(s); U'2(s) = k2I„(s).
247
Из уравнений (I Х.5) и (I Х.6) получим следующие передаточные функции;
1
Uy (s)	' у5 Т •
1
П7 zc\ _ ^KS (s) ____ ГЯК
U2{S) ~ Tas+1 ’
*KS I® J
г>»"та=тйг!	,K-7)
‘u\S)
В дальнейшем на основе этих передаточных функций (IX.7) и уравнений
(I Х.6) будет составлена структурная схема ЭМУ (см. п. 3 настоящей главы).
Применим преобразование Лапласа к уравнению (VI 1.3); тогда
[ffi S2 + 	s +	+ j Одв (s) Um (s).	(IX.8)
Из этого выражения можно найти передаточную функцию электродвига-
теля по скорости
^ДБ = “i/®(s) = r-s2 + 2^s+.l ’	(1Х.9а)
где
ь — ku
+ rsac^V 9
(IX.96)
£як^У ~4~ *^як 7/"__________!_________
2 V	+ г як^к)
Если считать, что

^Рдв
dt ’
где Рдв — угол поворота вала двигателя, то его передаточную функцию
(IX.9а) можно представить в виде
^дв (s) =	(S) = S(T2S2 +2grs+ i) •	(IX. 10)
Для гидравлического привода, состоящего из насоса переменной произ-
водительности и гидравлического двигателя с постоянной шайбой, в гл. VII
248
было приведено дифференциальное уравнение (VII.56). Применив к нему
прямое преобразование Лапласа, получим
[-ZS7 ? + (-НГ +	s'+ (*" + тг) SJ 9-<s> -
откуда
№г.пр (s) = 012 (SJ = S(T2S2 + 2?Ts+ 1) ’	(IX. 1 1 )
где
т= л / ------—----;
|/ Е (£j; + kyky)
g__ J„kyE + Vky
2/v£Jn (% + kvky)
В гл. Ill были приведены дифференциальные уравнения объектов регу-
лирования:
а)	дизеля
-^+^(0 = ^(0;	(IX. 12)
б)	самолета
cP®	dft	da	, s dZ2	C1 dt	C5 dt	C3°B’	
da	dd	, c	(IX. 13)
-^- = -зг-с4а+с66в.	
Применив к уравнению (IX. 12) преобразование Лапласа, найдем переда-
точную функцию дизеля
=	=	(IX.14)
А	ь \S)	1 qS -f- I
Воспользуемся методом замораживания коэффициентов. Тогда записав
уравнения (IX. 13) в операторной форме при нулевых начальных условиях и
исключив переменную a (s), получим передаточную функцию самолета
= .irwetJ+n 	|1хл5а)
ав (s7 ь U 0s г ^бо-* 0» Т Ч
где
1 + -^-
£, _ С3С4 — С2Св .	'Г_____}_____.	'Г _ ____£з_	•
*	с2 + С1С4 ’	°	К С2 +	clc4 ’ С с ___ CaCg
4 С3
g  С1 + С4 + С6 .
2 с2 -j- С1С4
Исключив переменную & (s), получим
п/1/„,_ а (s) __ ka (Tas + 1)
AB(s) T§Ss + 2go7’oS+1 ’
(IX. 156)
где
C3 ~b clco . y1 __ ce ,
“ c2 H- c±ce
249
Передаточную функцию (IX. 15а) можно записать и в следующем виде:
при/<л sS (s' _ я? fs' fcfflfT’cS+l)	/TV IК X
Г	- Д7ё7 - ^ + 2^+Г’	(1ХД5в)
где km :=
Рассмотрим уравнения динамики ракеты-носителя космических лета-
тельных аппаратов [см. формулы (III.74) и (111.75)1. Применим к ним метод
замораживания коэффициентов; тогда при нулевых начальных условиях мож-
но получить
s (s + ci) Y (s) + (c3s + с2) § (s) + с4 Ав (s) = Fy(s);
(s2 -]- dis -]- d2s) 'ft (s) -]- d3sY (s) -j- di AB (s) = Л1г (s),
где F;(s) = -^^; M’2 (s) = —y(~-.
Ift	v 2
Положив Fy = М'г — 0 и исключив Y (s) из уравнений (IX.16), получим
[s4 + (dy + q) ss + (d2 -f- qdx — c3d3) s2 4- (qda — c2d3) s] й (s) =
= — [d4s24-(qd4 — c4d3)s] AB(s),	(IX. 17)
откуда передаточная функция ракеты (IV. 17) с учетом знаков коэффициен-
тов будет
Н7	®	—________feft(T2s + В____	/JV то»
^Р^-ДвИ - (T1S- 1) (Tss+ 1Д7>- I)’	(1ЛЛб)
В табл. IX.3 приведены параметры передаточной функции (IX. 18) для
ракеты-носителя «Авангард» [741.
Из выражения (IX. 18) следует, что ракета-носитель является неустой-
чивым объектом регулирования, так как в ее передаточной функции содер-
жатся неустойчивые апериодические звенья с постоянными времени 7\ и Т4
(см. гл. X).
Параметры ракеты в зависимости от времени ее полета существенно изме-
няются (табл. IX.3), что необходимо учитывать в процессе проектирования ее
системы автоматической стабилизации.
Передаточную функцию КЛА можно определить по уравнению (III.98),
применив прямое преобразование Лапласа:
Jys24(s) = kAlUy(s).	(IX. 19)
Таблица IX.3
с		Tt, с .	Т,, с	Т„ с	7\, с
48	4,84	24,4	5,6	15,6	0,91
75	7,24	43,5	19,0	0,68	0,63
100,4	7,38	67,0	52,5	0,74	0,71
139	6,96	250,0	847	4,4	0,44
250
Откуда
^КЛА(5) = #^-4>	(^.20)
где
Из приведенных передаточных функций устройств и объектов систем
регулирования видно, что различные по своей природе устройства и объекты
состоят из нескольких типов одинаковых сомножителей (первого и второго
порядков) *. К таким сомножителям можно отнести
—!____• Ts 4-1 • ______5_____• — • —
Ts +1 ’	*	’ T2s2 + 2lTs + 1 ’ s’ s2 ’
Например, датчик давления, электрический двигатель постоянного тока,
гидравлический привод и самолет имеют в передаточной функции сомножи-
k
тель вида r2s2 2gTs j.
В передаточные функции электромашинного усилителя с поперечным
полем возбуждения и дизеля входят сомножители вида в передаточные
функции электрического двигателя постоянного тока, гидравлического-при-
вода и самолета — сомножитель — и т. д.
S
Таким образом видно, что использование передаточных функций позво-
лит существенным образом упростить математическое описание различных
объектов и устройств систем регулирования, сведя их к небольшому числу ти-
повых сомножителей.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТРОЙСТВ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В ВИДЕ ТРАНСЦЕДЕНТНЫХ
ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим гидравлический трубопровод в виде элемента с распределен-
ными параметрами. Уравнение трубопровода представим в виде
до । ди z-. ди  < dv л	.туг о
—0; -5—Ь^-щ-==0,	(IX.21)
dx 1 dt ’ дх 1 dt ’	v '
где v — относительное изменение гидродинамического давления; и — отно-
сительное изменение скорости движения масла.
Применим к обеим частям уравнений (IX.21) преобразование Лапласа;
тогда	dV	ri -3— = — asU; дх dU	л т/ -г- = — dsV, dx	(IX.22)
откуда	-^uds2 U\ dx2 ^L^ads2V dx2	u	(IX.23)
Введем обозначение
q2 = a ds2.
(IX.24)
В гл. X эти сомножители будем именовать типовыми звеньями систем регулирования.
251
Имея это в виду, уравнение (IX.23) запишем в форме
<PV 2ТТ
<PU
==q2V.
(IX.25)
Решение уравнений (IX.24) будет
V — Atfx + Be-4?*; 1
U = Ctfx + De-’*. J
(IX.26)
Исключим из формул (IX.26) постоянные С и D, для чего воспользуемся
уравнениями (IX.22). Итак,
qAtfx — qBe.-™ = — as (Ctfx + De-4?*);
qCtfx — qD&-4x = —-ds (Ле’* + Be"’*),
откуда найдем
C = —Л ]А1;
D = B jA_±.
Подставив полученные значения в формулу (IX.26), определим
V = Ле’*+ Be-’*;
D = — A~\f—е«* 4- В 1/"^- е~^х.
та 'та
(IX.27)
(IX.23)
Уравнение (IX.28) запишем с помощью гиперболических синуса и коси-
нуса:
е’*_ е—’*
sh^ =----------
и
Определив отсюда е’* и е~’*, найдем
V (х, s) = М ch qx + N sh qx',
U (x, s) = —M	~ sh qx — N j/ ch qx.
Произвольные постоянные M и N определим с помощью граничных
условий
U (х, 0) = V (х, 0) = 0.
Будем рассматривать соотношения между V (х, s) и U (х, s) в точках
х = 0 и х = L, где L — длина трубопровода. Имея это в виду, из формул
(IX.29) найдем
V (L, s) == V (0, s) ch qL + U (0, s) sh qL;
U (L,s) = — V (0, s) sh <?L — V~U(Q, s)chqL. (IX-30)
252
Из уравнений (IX.30) определим отношение
V (L, s) _ п/ТГ .
U (L, s) Га’
тогда получим передаточную функцию трубопровода в виде
r w -жЬШ -е~Л-	их'311
но
q == s У ad
и
W(s) = e~L^s.	(IX.32)
В полученную передаточную функцию введем переменную
x^VadL.	(IX.33)
Нетрудно показать, что т имеет размерность времени, поэтому ее можно
именовать временем «.чистого» запаздывания.
Имея в виду соотношение (IX.33), передаточную функцию трубопровода
можно записать в окончательном виде как
Г(5) = е-".	(IX.34)
Определим теперь передаточную функцию длинного водяного канала,
подводящего воду к гидротурбине (см. рис. II.5). При выводе передаточной
функции будем учитывать потери в канале. Тогда уравнения для канала
можно записать в виде
dv , ди . , п
^~дГ+ ~дГ + ^и = 0;
2 ди	dv
(IX.35)
где v — изменение скорости движения воды; и — изменение гидродинамиче-
ского давления воды; х — расстояние от плотины; с — скорость распростра-
нения гидравлического удара; g — ускорение свободного падения; ku —
коэффициент скоростного трения.
Применив к уравнению (IX.35) преобразование Лапласа, получим
_ _L su _ и-
dx g g
dU	g
-r- == — V slZ.
dx	ca
(IX.36)
Как и для гидравлического трубопровода, продифференцируем уравне-
ние (IX.36) по х:
dx2 \ с )	’
dx* \ С )
(IX.37)
где	________
q = /s(s + A„).
Решение уравнений (IX.37) представим в виде
К = Дес~* + Ве~^*;
U = Се^ Х + De- *.
(IX.38)
253
Воспользуемся следующими краевыми условиями:
У=0; х = Л;
тогда из уравнения (IX.38) определим
— l
Лес =— Btc .
(IX.39)
Принимая во внимание полученное соотношение и используя уравнения
(IX.36)—(IX.38), найдем
С==------S-s4;
с<?
D = -S- sB.
cq
(IX.40)
Подставляя значения С и D в уравнения (IX.38), учитывая формулу
(IX.39), получим
. Г — X	—~(х—2Д)
V= А I ес —ес
[Я v	Я1 v
е~ + е ‘ (
<-¥
При х = 0 и т = — найдем
V (s) __ cq е — е?т
'в (S) ~~ gs e~Q^ е?х
— — th (VT).
gs
Второе краевое условие запишем в виде
U — Z + V при х = 0;
(IX.41)
(IX.42)
здесь под переменной Z понимаем относительное перемещение регулируемой
заслонки (см. рис. II.5).
Выражение (IX.42) перепишем в виде
		th	(IX.43) 2 (S) + — V (s)	е
откуда получим	—ch (рт) V (*) = 	Z (*) <1Х-44> 1+T-g-,h<”>
Если в выражении (I X.44) принять q=s и перейти к относительным
величинам, то	2V(s) = _^PothjsT}M()	(1Х45) 14-Poth (st) ' ”	'	'
где
„	' С .	AZ	Ау
Ро=^-у;	= —: VW= —
Выражение (IX.45) входит в передаточную функцию гидротурбины, ко-
торую рассматривают как единый объект регулирования [68, 72].
254
3. СОСТАВЛЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Структурные схемы систем автоматического регулирования в наглядной
форме отражают состав систем и связи между их элементами. С помощью
структурных схем удается уточнить внутреннее строение системы и найти
место включения дополнительных связей, улучшающих качество динамиче-
ских процессов, происходящих в системе.
Пользуясь представлением устройств и объектов регулирования в виде
передаточных функций, можно получить структурные схемы, удобные для
расчетов систем автоматического регулирования методами анализа (часть II)
и синтеза (часть III). Структурные схемы систем состоят из отдельных струк-
турных элементов, обозначения которых приведены в табл. IX.4.
Рассмотрим способы составления структурных схем для устройств и
объектов регулирования. По уравнениям сравнения (IX.6) и передаточным
функциям (IX.7) составим структурную схему электромашинного усилителя
с поперечным полем возбуждения. Сигналы иу и и"у управления ЭМУ посту-
пают на первый элемент сравнения 1, на выходе которого получается сигнал
и'у (рис. IX.1). Сигнал иу подается на звено с передаточной функцией V/j (s)
[см. первое уравнение (IX.7) 1. Далее выходной сигнал iy поступает в звено
с передаточной функцией Ц72 (s). Образующийся на выходе сигнал щ подается
на второй элемент сравнения 2. Сюда же поступает сигнал щ. Сигнал и2
на выходе этого элемента сравнения поступает на звено с передаточной функ-
цией 1У3 (s). Выходной сигнал iK3 этого звена подается в звено с передаточной
функцией 1У4 (s). Образующийся на его выходе сигнал иа поступает в звено
с передаточной функцией 1УБ (s), где образуется выходной сигнал систем iH.
Сигнал iH, проходя через звенья с передаточными функциями We (s), 1У7 (s),
образует напряжение щ, поступающее на элемент сравнения 2, и напряжение
и'у, поступающее на элемент сравнения 1. В результате получается структур-
ная схема ЭМУ, образованная двумя контурами (/ и //).
На основании рис. IX.1 можно установить, что элементы с передаточ-
ными функциями W1 (s) — Ц7б (s) пропускают входной сигнал в одном направ-
лении и являются детектирующими динамическими, а элементы с передаточ-
ными функциями 1Ув (s) и 1Г7 (s) нарушают условие детектирования, так как
они пропускают сигнал в обратном направлении; поэтому эти элементы яв-
ляются недетектирующими.
Тавлица Н Л
Основные обозначения в структурных схемах
№ по пор	Наименование и обозначения структурного элемента			№ по пор	Наименование и обозначения структурного элемента
1	Элемент системы (статический или ।		 динамический)			6	блок дифференцирования .У
2	Сравнивающий элемент			7	Ёлок интегрирования —Н	?•	1—*
3	Сумматор |			в	Линии связей
ч	блок перемножения	1		9	Нелинейною злементы
					~*| —j-H 1" *	 * 1 лп [—
5	блок деления	• I		Ю	Эквивалентные нелинейные элементы
					
255
Рис. IX.l. Структурная схема электромашинного усилителя с поперечным полем возбуждения,
нагруженного омической нагрузкой
Составим структурную схему самолета как объекта регулирования, поль-
зуясь дифференциальными уравнениями (IX. 13). Структурная схема приве-
дена на рис. IX.2, а. Если воспользоваться передаточной функцией (IX.156),
то структурная схема самолета существенно упростится и примет вид, изоб-
раженный на рис. IX.2, б.
По передаточной функции (1Х.15в) можно получить структурную схему
самолета в виде, изображенном на рис. IX.2, в.
Определенный интерес представляет структурная схема ядерного энер-
гетического реактора на тепловых нейтронах. Уравнения динамики ядерного
реактора запишем в обычной форме (см. гл. III):
в
dnz   Hq с   X1 dCjQ #
dt — I* °*8 Д, dt »
<=1
= Ang-x,cie.
dt I* е li£
(IX.46)
Применим к этим линейным дифференциальным уравнениям преобразо-
вание Лапласа; тогда
s2Ve(s) = -^ Ate(s)-sS Cte(s);
*	1=1
sCZe(s) = A2Ve(s)_^C<e(s).
(IX.47)
Рис. IX.2. Структурные схемы самолета как объекта регули-
рования, составленные'.
а — по уравнениям динамики; б в — по передаточным функциям
256
Из этих уравнений, исключив пере-
менную Cis (s), можно найти передаточ-
ную функцию реактора в виде
(IX.48)
Рис. IX.3. Структурная схема ядерного
энергетического реактора на тепловых
нейтронах
Гр(5)
Nets) =
(S)
ИЛИ
П7 (s) = Nf' —
AAe(s)
где
По передаточной функции (IX.48) на рис. IX.3 построена структурная
схема ядерного энергетического реактора. Особенность структурной схемы
в том, что в цепи обратной связи имеется шесть параллельно соединенных
звеньев с передаточными функциями, каждая из которых соответствует одной
из шести групп запаздывающих нейтронов.
Рассмотрим систему автоматического регулирования скорости вращения
гидротурбины при малой длине водяного канала (см. п. 2 гл. II). На рис. II.6
приведена блок-схема системы управления скоростью вращения гидротур-
бины. Составим уравнения динамики для некоторых устройств гидротур-
бины и объекта ее регулирования.
Для тахометрического измерения угловой скорости (см. п. 5 гл. IV)
имеем
Л $ +	$ + п (0 = k1& (/),	(IX.49)
где е — относительные угловые скорости вращения центробежного регуля-
тора; т] — перемещение рычага центробежного регулятора; 7\ — постоян-
ная времени центробежного регулятора; — коэффициент демпфирования
центробежного регулятора; kr — коэффициент усиления центробежного
регулятора.
Из рис. II.5 видно, что перемещение р (/) золотника вспомогательного
сервомотора представляет собой разность между перемещением рычага цен-
тробежного регулятора и штока изодрома:
P(0 = n(0-m	(lx.so)
где С — перемещение штока изодрома.
Для вспомогательного гидравлического сервомотора уравнение дина-
мики имеет вид
Л^- + а(0 = й2р(0,	(IX.51)
где а — перемещение плунжера золотника главного сервомотора; Т2 — по-
стоянная времени вспомогательного сервомотора; k2 — коэффициент усиле-
ния вспомогательного сервомотора.
9 Иващенко Н. Н.
257
Для главного гидравлического серводвигателя уравнение^ динамики
имеет вид	...
Гз-§-Н--^ = А3о(0,	(IX.52)
где ц — перемещение штока главного серводвигателя, управляющего на-
правляющим аппаратом гидротурбины; Т3 — постоянная времени главного
сервомотора; k3 — коэффициент усиления главного сервомотора.
Для гидравлической турбины уравнение динамики было приведено
в гл. Ill [формула (111.48)1 в виде
+ Т(0 = /о (И + Ц(0,
где у — относительная величина открытия направляющего аппарата турбины;
То — постоянная времени гидротурбины; /0 [1] — изменение нагрузки на
гидротурбине.
Для изодромного устройства (см. гл. VIII) имеем
T^ + W) = kt%, '	(IX.53)
где Т\ — постоянная изодрома; /г4 — коэффициент усиления изодрома.
Если считать, что на входе тахометрического измерителя происходит
сравнение скоростей вращения гидротурбины и электродвигателя центро-
бежного регулятора (см. рис. II.5), то
е(0 = —7(0-
(IX.54)
Применив к уравнениям (IX.49)—(IX.54) прямое преобразование Лап-
ласа, определим по ним передаточные функции
k-
(s) = У __________________________
И 7	Е(«)	7’fs24-2g17’1s+ 1 ’
Ц7 (s') = AW _________ki .
2 17 P(s; T2s + 1 ’
П7 (с} = М	.
з()	2 (s) “ s (T3s+ 1) ’
= -w = при = 0;
(s') = z (s) —______
M(s) 7\s+l
)
и уравнения для элементов сравнения
P(s) = H(s)-Z(s);
E(s) = -r(s).
(IX. 55)
(IX. 56)
(1X.57)
Пользуясь блок-схемой системы (см. рис. II.6), передаточными функ-
циями (IX.55) и уравнениями (IX.56) и (IX.57), нетрудно составить струк-
турную схему системы автоматического регулирования скорости вращения
гидротурбины. Такая структурная схема изображена на рис. IX.4. Она со-
состоит из двух контуров: внутреннего и внешнего.
258
Составим структурную схему
системы автоматического регули-
рования гидротурбины при боль-
шой длине водяного канала. Для
этого воспользуемся дифференци-
альным уравнением (111.39), но бу-
дем считать, что в канале имеется
неустановившееся движение ско-
рости воды:
о = и0 + Ащ	(IX.58)
вращения
водяного
Рис. IX.4. Структурная схема системы авто-
матического регулирования скоростью
гидротурбины при короткой длине
канала
где
ий — установившееся значение скорости
В этом случае линеаризация уравнения
А .,	3 xzo^ 1 xuo .
ДМ = -5---------Ди -4- -о----Дг —
д 2 со0 1 2 со0
движения воды.
(II 1.39) даст
1	xzo"o .
о----— Д(й>
2	®0
(IX.59)
или
«3
ДМ
3	2 соо и0
1	хуо	Дг	1	хгоуо До
2	<о0	г0	2	<о0 соо
и
Так как
Мд = Мд0 + ДМд
(IX.60)
Q
т*° ~ 2 соо
(IX.61)
то уравнение (IX.60) будет
3 Ди
2 и0
(IX.62)
Подставим уравнение (IX.62) в исходное уравнение (III.24)
соотношения (II 1.43) получим
J d<0 — М Г 1 I — —
•'п dt — тло [ 1 + 2 va
учетом
.+	“ 7Г-] - ЛМеИ1.
z0 ш0 J
(IX.63)
и
с
Для установившегося состояния имеем
М до = М с0.
(IX.64)
Тогда уравнение (IX.63) примет вид
dco
7пСОд <о0   ДЛТС .,. । 3 Ди
Л1Д0 dt ~ Л1с0 1 1~Г’ 2
«о
Дг	Дсо
г0	соп
(IX. 65)
Введем в уравнение (IX.65) следующие обозначения:
Дсо
w?
Дг
т; V = |i;

J пСОр   гр .
Мд0 ~1й-
Ди
— == V,
после чего получим
(IX.66)
9*
259
Рис. IX.5. Структурная схема системы автоматического регулирования гидро-
турбины при большой длине водяного канала
Применив к полученному выражению преобразование Лапласа, при нуле-
вых начальных условиях найдем
(^+1)Г(5) = | + |К(5)ТМ(5).	(IX.67)
Подставив в уравнение (IX.67) значение N (s) из выражения (IX.45)
получим
(1Х-68>
При f0 — 0 из уравнения (IX.68) получим передаточную функцию гидро-
турбины с учетом длинного водяного канала в виде
TW' ic\ = Г Is) _	1 Г 1 — 2pt> th (st) ~1
M(s) Tos + 1 L l+poth(sT) J’	(!X.b9)
где выражение в квадратных скобках представляет собой передаточную функ-
цию длинного водяного канала, т. е.
z„\ ____ 1 2рр th (st)
6' '	1 -j- ро th (st)
(IX.70)
Подставим в выражение (IX.69)
th (ts) =
ets  е—TS
e«+e-xs’
тогда получим
1
ToS + 1
Wl (s) =
(IX.71)
С помощью выражений (IX.56), (IX.57) и заменяя Wt (s) на Wt (s)
[см. (IX.69)], можно составить структурную схему системы автоматического
регулирования скорости вращения гидротурбины. Структурная схема, при-
веденная на рис. IX.5, также является двухконтурной.
Рассмотрим систему автоматической стабилизации самолета по углу
тангажа. Блок-схема этой системы приведена на рис. 11.16.
Составим передаточные функции самолета и отдельных устройств системы
стабилизации.
Для потенциометрического устройства датчика угла тангажа
W. (.0 — Un (s) = k
~ E(s) •
(IX.72)
где — коэффициент передачи потенциометрического устройства;
для электронного усилителя
=	(IX.73)
260
где k2 — коэффициент усиления электронного усилителя;
для рулевоймашинки
(IX.74)
где Т3 — постоянная времени рулевой машинки; k3 — коэффициент усиле-
ния рулевой машинки.
Для самолета передаточная функция была выведена ранее [см. выраже-
ние (IX. 15а)].
Рулевая машинка и электронный усилитель охвачены жесткой обратной
связью с передаточным коэффициентом й4, т. е.
Г4(5)=^=£4.	(IX.75)
В систему стабилизации входят также два прибора: дифференцирующий
и свободный гироскопы. Передаточную функцию дифференцирующего гиро-
скопа по аналогии с формулой (VIII. 17) запишем в виде
UZ5(s) = -^=й5,	(IX.76)
st» (s)
где k3 — передаточный коэффициент дифференцирующего гироскопа.
Ко входу электронного усилителя (см. рис. 11.16) поступают сигналы
иа (0> ир (О и иг (0> и результирующий сигнал будет
«1(0 = «п(0 —«р(0 —«г(0	(IX.77)
или в операторной форме
^i(s) = t/n(s)-^P(s)-t/r(s).	(IX.78)
Сигнал ошибки образуется как разность двух сигналов: заданного угла
тангажа (t) и отработанного самолетом & (t):
E(s) = ft3(s)-<>(s).	.	(IX.79)
По передаточным функциям (IX. 15а), (IX.72)—(IX.76) и уравнениям
сравнения (IX.78), (IX.79) составим структурную схему системы автомати-
ческой стабилизации самолета по углу тангажа (рис. IX.6). Как видно, дан-
ная схема является трехконтурной.
Перейдем к рассмотрению системы автоматического регулирования мощ-
ности ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах (рис. 11.11).
Сначала составим дифференциальные уравнения устройств системы регулиро-
вания. Задатчик мощности реактора образует сигнал ошибки по нейтронному
потоку пе и компенсирует нелинейность, вызываемую зависимостью коэффи-
циента усиления реактора от нейтронного потока. Поэтому сигнал иониза-
ционной камеры ик пропорционален выходной мощности реактора.
Рис. IX.6. Структурная схема системы автоматической стабилизации самолета
по углу тангажа
261
Обозначим u0 напряжение, пропорциональное заданной мощности реак-
тора, а е6 напряжение питания; тогда
Ue~ Rt + k'Ra
где 0 < k' < 1.
При ик = ии напряжение ив = 0, откуда
еб =	+ k'Ra и°	(IX.80)
или
«е =-о-тгро-(«к - «0).	(IX.81)
Из рис. 11.11 можно найти, что
Ri _ еб
R1 + k’Ra ’
т. е.
ue = e6f	(1Х.82)
\ иа /
В полученном выражении будем считать
uK = ktr, и0 = kna,	(IX.83)
где п и п0 — соответствующие плотности нейтронного потока.
Имея это в виду, получим
uE = e6-^-,	(IX.84)
п0
где ие = п — и0.
Уравнение электронного усилителя примем следующим:
и± = kjUy,	(IX.85)
где kr — коэффициент усиления электронного усилителя.
Дифференциальные уравнения соленоида и гидравлического поршневого
привода представим в виде
T22^- + 2l2T2^- + xl^k2ul (0,	(IX.86)
где k2, Т2 — коэффициент усиления и постоянная времени соленоида; —
коэффициент демпфирования соленоида; хг — перемещение якоря;
Tl + 2£зТз	= k3u2 (t),	(IX.87)
где k3 — коэффициент усиления гидравлического привода; Т3 — постоян-
ная времени гидравлического привода; — степень демпфирования гидрав-
лического привода; х2 — перемещение штока поршня.
Поршень гидравлического привода связан с управляющим стержнем
реактора механической передачей с коэффициентом редукции -4-; тогда
‘р
перемещение стержня I (t) = Для простоты математических выкладок
‘р
будем считать, что между перемещением стержня I (t) = и реактивностью
*р
6К имеется линейная связь вида
6К (/) = kpl (0,
(IX.88)
262
или с учетом редукции механической передачи
6к(0 = £8х2,	(IX.89)
где
k'„
ъ — —
кь — 1 •
Ч>
Тахометрическая обратная связь с четырехполюсником RC описывается
следующими уравнениями:
=	(IX.90)
где kt — крутизна характеристики тахогенератора, и
Л-^ + М0 = Л-^-;	(ix.91)
здесь Т4 — постоянная времени фазоопережающего четырехполюсника RC.
Уравнения сравнивающих устройств при отрицательной обратной связи
запишем в виде
«у(0 = и8(0-«Д0; 1
ne(0 = n3(0-n(0. J	(	}
К уравнениям (IX.84)—(IX.87), (IX.89), (IX.92) применим преобразо-
вания Лапласа; тогда
^(5) = -^	;
1 ' Ne (s)	«0
C/y
Г3 (s) =
8 ' ' I J. (r\	^2*2 1 ot /Г

W. (s) =	=_______
*i(s)
A 2
w, (s) =	= _____г____•
U6(s)	7>+l
Uy(s) = UB(s) — Uc(s)', 1
tfe(s) = AMs)-tf(s). J
(IX.93)
= kts-,
(IX.94)
Передаточную функцию ядерного реактора (IX.48) можно представить
в виде
10
.... РпО П (7>+1)
Ц7 ($) = -N —	1~5
AK(s)
(IX.95)
16
l*s П (TiS+ 1)
1=11
По передаточным функциям * (IX.93), (IX.95) и уравнениям сравнения
(IX.94) на рис. IX.7 построена структурная схема системы автоматического
регулирования мощности ядерного энергетического реактора на тепловых
нейтронах.
* В передаточной функции (IX.95) у величин N (s) и Дк (s) опущен индекс при-
ращения е.
263
Рис. IX.7. Структурная схема системы автоматического регулирования мощности ядерного
энергетического реактора на тепловых нейтронах
Пример IX.6. Составить структурную схему системы автоматического регулирования
концентрации сернистого газа по упрощенной принципиальной схеме (см. рис. II.7).
Передаточные функции отдельных устройств системы будем выполнять, пользуясь дан-
ными гл. III—VIII.
Для анализатора газа
(s) =	=__________—_________•
E (s) T1Sa + 2^ + 1 ’
для электронного усилителя
(s) =
t/3(s)
Va (s)
-f- 1 ’
для электромашинного усилителя малой мощности
В73 (S) =
Uj (s)________k3______ ,
^s(s) ~ (т;а +1)(7£+1) ’
для электрического двигателя постоянного тока
IV («I = ^дв	;
4 Ut(s) s + 2^+1)
для гидравлического сервопривода большой мощности
Й76 (s) =	= h
Рдв (з) T3S + 1 ’
где рз — угол поворота заслонки; рдв — угол поворота электродвигателя постоянного тока;
для объекта регулирования с учетом длинного трубопровода
(s)________kc6_____ е—ts
8 Рз(з) (^+D(^+D
где т — время «чистого» запаздывания;
для корректирующего устройства типа RC
IV («I = ^ci = Tes
1 (S)	(s) T,s + 1
для тахометрической обратной связи
Усг (з)	k3TiS
Вз (s) TlS + 1
для первого элемента сравнения
L/(S)=G3 (s)-GB (s);
для второго элемента сравнена
£/a(s) = tfi(S)-tfoc(s);
для сумматора
С^ос (з) — UCi (s) + UCi (s).
264
По полученным передаточным функциям и уравнениям сравнения на рис. IX.8 построена
структурная-схема системы автоматического регулирования концентрации сернистого газа
[69J. Из структурной схемы видно, что рассмотренная система является трехконтурной.
Контуры / и 17 образованы внутренними гибкими обратными связями, а контур III — глав-
ной обратной связью системы.
В заключение составим структурную схему следящей системы с перекре-
щивающимися линиями связей. Принципиальная схема и блок-схема этой
системы показаны на рис. 11.13 и 11.14.
Составим уравнения отдельных устройств:
0(О = а(О-₽(О; I	,Tvnr
Щ (0 = kfi (0,	}	(1Х-96)
где kt — коэффициент трансформации сельсинной схемы; 0 — угол рассогла-
сования;
для магнитного усилителя (первый каскад)
=	(ix.97)
где kM, Тм1 — коэффициент усиления и постоянная времени первого каскада
магнитного усилителя; uw — напряжение на входе магнитного усилителя;
uY — напряжение на выходе первого каскада магнитного усилителя;
для магнитного усилителя (второй каскад)
_ duv
7’„2-^ + uy(0 = ^M2«i(0,	(IX.98)
где feM2, TMi — коэффициент усиления и постоянная времени второго каскада
магнитного усилителя; иу — напряжение на выходе второго каскада магнит-
ного усилителя.
Уравнения динамики электромашинного усилителя, работающего на
электрический двигатель, запишем в виде, аналогичном формулам (V.41)—
(V.43), т. е.

«2 (О =	(0 +	(0;
“2(0 = '’як[7\^г+ »кз(0];
иа (t) = га [ та -%- + 1В (о ] + ke
(IX.99)
где рдв — угол поворота электродвигателя; ke — постоянная противо-ЭДС
электродвигателя.
fit)
Рис. IX.8. Структурная схема системы автоматического регулирования концентра -
ции сернистого газа
265
Уравнения электродвигателя представим в виде
“а (0 = ^з^кз (О’
/п-^ + ^4г- = ^-(0:
десь feM — моментная постоянная электродвигателя;
₽(0=-М^»
(IX. 100)
где ip — передаточное число редуктора.
Наряду с этим имеем следующие уравнения сравнения [см. также фор-
мулы (IX.6)]:
Uy (0 --- “у (0 + “y (O’
“2(0 = “г(0 + “г(0;
Ua (0 = “□ (0 — “a (0-
Для тахометрической обратной связи имеем
Т.-^- + ис(1) = Т.^-.
(IX.1O1)
(IX. 102)
Напряжение ис с выхода тахометрической обратной связи (см. рис. 11.13)
поступает на вход первого каскада магнитного усилителя, т. е.
uw (i) = ut (f) — uc (i).	(IX. 103)
В соответствии с полученными уравнениями определим передаточные
функции в виде
TW z-д _ Uj (s) _ kwi .
Uw(s)	Tmjs+1’
U^s)	TMas+l’
у
_	/у (S)
^7 (0 = 7777 =
Uy (s)
r5(s) = -^
/у
= ^;

1 -
r ЯК	.
rKs+l ’
— fes-
1
77 .
Tos + 1 ’
Г8 (s) =	=
8 V иа (s)
^9 (s) =	= -п—гт— ’
/н (S) s Uп8 + кв)

(IX. 104)
266
Рдв (s) lP
(s) =	= fees;
Рдв (S)
U„ (s)
= Тй = к*
1 H W
U” (s)
^(s)=^- = MS;
Г14(5) =-^l±=,^Trs;
Рдв (s)
П7 /c\- ^CO
Fls( )	U,(s) ~ 77s+1 '
(IX. 104)
Уравнения для сравнивающих элементов:
0 (s) = a (s) — ₽ (s);
Uw (s) = Ut (s) — Uc(s);
C/y (s) = Uy (s) — Uy (s);
t/2(s) = t/Hs)- U2 (s);
U'a (s) = Ua (s) — Ua (s).
(IX. 105)
По передаточным функциям (IX. 104) и уравнениям сравнения (IX. 105)
на рис. IX.9, а построена структурная схема следящей системы.
Из схемы видно, что в ней имеется перекрещивающиеся связи по Ua и i„.
Перекрещивающиеся внутренние связи затрудняют получение передаточных
функций внутренних контуров и всей системы в целом. Для удобства расчетов
перекрещивающиеся связи следует устранять (рис. IX.9, б), используя для
этой цели структурные преобразования, описываемые ниже.
Рис. IX.9. Структурные схемы следящей системы с перекрещивающимися обратными селами:
а — исходная схема; б — преобразованная схема
267
4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
Для упрощения структурных схем, получения передаточных функций
всей разомкнутой системы, передаточных функций замкнутой системы по
ошибке и выходному сигналу применяют структурные преобразования.
Структурные преобразования основаны на принципе суперпозиции и поэтому
применимы только к линейным системам х.
Довольно часто структурные преобразования позволяют привести исход-
ную многоконтурную схему к простейшей объединенной одноконтурной си-
стеме, называемой расчетной схемой.
Рассмотрим несколько правил преобразования структурных схем.
На рис. IX. 10, а показана исходная структурная схема, а на рис. IX. 10, б —
преобразованная структурная схема, полученная путем перестановки пере-
даточных функций. Справедливость перестановки передаточных функций
следует из формулы
Рис. IX. 10. Некоторые схемы структурных
преобразований линейных систем
= ад ад = адад.
w k*/
(IX. 106)
Покажем, что сведение несколь-
ких последовательно соединенных
передаточных функций образует
одну объединенную передаточную
функцию. В этом случее исходная
схема, состоящая из трех последо-
вательно соединенных функций,
показана на рис. IX. 10, в, а пре-
образованная — на рис. IX. 10, г.
Из рис. IX. 10, в следует:
4^ "«М (1Х.107)
Перемножив правые и левые
части выражения (IX. 107), полу-
чим
^g- = lF0(s) =
л о)
(IX. 108)
где IFO (s) — объединенная переда-
точная функция последовательно
соединенных передаточных функ-
ций.
Перейдем к сведению несколь-
ких параллельно соединенных пере-
даточных функций в одну объеди-
0
1 В гл. XIV будут приведены неко-
торые способы структурных преобразова-
ний, пригодные и для нелинейных систем
автоматического регулирования.
268
ценную передаточную функцию. Исходная схема изображена на рис. IX. 10,3,
а преобразованная — на рис. IX. 10, е.
Из схемы, показанной на рис. IX. 10, д, следует
Y (s) = Хх (s) + Х2 (s) + Х3 (s).	(IX. 109)'
Подставим в уравнение (IX. 109) выражения
Xx(s)= W\(s)X(s);
X2(s)=U71(s)X(s);
X3(s)= W3(s)X(s)-,
тогда получим
у (S) =	(S) + w2 (s) + W3 (s)l X (s),
У (s) = U70(s) X (s),
r0(s) = ITjs) + ir2(s) + ir3(s).
(IX. 110)
(IX. Ill)
Рассмотрим объединение передаточных функций в контуры с жесткой
обратной связью и гибкой обратной связью. Исходная схема контура с жест-
кой обратной связью показана на рис. IX. 10, ж, а преобразованная — на
рис. IX. 10, з. Для доказательства справедливости подобной замены запишем
уравнение для элемента сравнения в виде
Х2 (s) = X (s) — У (s),	(IX. 112)
откуда
<1ХЛ13)
Подставив выражение (IX. 113) в формулу (IX. 112), найдем
У (S) [ 1 + (S)l =	(5) X (5).	(IX. 114)
Из уравнения (IX. 114) имеем-
При положительной обратной связи выражение (I X. 115) примет вид
^<s> = T^S>-	(1Х-116)
Контур с гибкой обратной связью показан на рис. IX. 10, и, преобразо-
ванная схема — на рис. IX. 10, к. По аналогии с предыдущим доказательст-
вом имеем
X1(s) = X(s)-X2(s),	(IX. 117)
X2(s) = r2(s)y(s) и Xx(s) = ^~.
Подставив эти выражения в формулу (IX.117), получим
K(S)[1 +^(5) r2(s)] = W\(s)X(s),
откуда
= TxTsT = 1 -f- r/is) W2 (s) ’	(IX. 118)
269
При наличии положительной обратной связи
Перейдем к преобразованиям структурных схем путем переноса линий
связи. Исходная схема показана на рис. IX. 10, л, а преобразованная, получен-
ная за счет переноса линии связи до звена, — на рис. IX. 10, м. Для обеих
схем справедливо соотношение
Xl± = F(s),	(IX. 120)
Л \S)
что указывает на правильность выполненного структурного преобразования.
На рис. IX. 10, н показана исходная схема, а на рис. IX. 10, о — преобра-
зованная схема, полученная переносом линии связи за звено.
Для схемы, представленной на рис. IX. 10, н, справедливо соотношение
V(s) = F(s)X(s);	(IX. 121)
для преобразованной схемы (рис. IX. 10, о) (s) — w (s) Y (s)>	(IX. 122)
откуда получим	
y(s) = U7(s)X(s),	(IX. 123)
что указывает на справедливость данного структурного преобразования.
Рассмотрим теперь перенос сравнивающего элемента до звена
(рис. IX. 10, п). Преобразованная таким образом схема показана на
рис. IX. 10, р.
Для сравнивающего звена исходной схемы имеем
U(s) = Y(s) — Z(s),	(IX. 124)'
но
y(s) = F(s)X(s).	(IX. 125)
Подставив соотношение (IX. 125) в уравнение (IX. 124), получим
U (s) = W (s) X (s) - Z (s).	(IX.126)
По преобразованной схеме (рис. IX. 10, р) найдем, что
X1(s) = X(s)-Xa(s),	(IX. 127)
причем
Ai(S' W (S) и Л2(8) UZ (S) •
Подставим эти соотношения в уравнение (IX. 127); тогда
I/(s)=IF(s)X(s)-Z(s),
т. е. получим выражение, тождественное уравнению (IX. 126), а это и указы-
вает на правильность данного структурного преобразования.
Рассмотрим перенос сравнивающего элемента за звено.
На рис. IX. 10, с показана исходная схема, а на рис. IX. 10, т — преобра-
зованная. Для исходной схемы имеем
Z (s) = H7(s) [X (s) — У (s)].	(IX. 128)
Уравнение для элемента сравнения преобразованной схемы запишем в виде
\	Z (s) = Хх (s) - Х2 (s),	(IX. 129)
X1(s) = U7(s)X(s)
Х2(8) = Г(8)У(8).
Рис. IX.11. Преобразования струк-
турной схемы
Подставляя последние соотношения в формулу (IX. 129), получим
Z(s) = r(S)bY(s)-y(s)],
т. е. найдем выражение, тождественное уравнению (IX. 128). Следовательно,
схемы, показанные на рис. IX. 10, с и IX. 10, т, полностью эквивалентны.
Другие структурные преобразования приведены в таблице прил. I.
Пример IX.7. Найти объединенную передаточную функцию системы (рис. IX.11, а)
с помощью структурных преобразований. Для того чтобы в схеме рис. IX. 11, а сделать вну-
тренние контуры 1 и /7 независимыми, воспользуемся таблицей структурных преобразований
(прил. II). Перенесем линию связи 1 за звено Ws (s). Для этого в линию связи 1 введем звено
1
с передаточной функцией - -у-.
, Полученная таким образом преобразованная схема показана на рис. IX.11, б. Как видно
из этого рисунка, контуры 7 и II являются независимыми. Из преобразованной схемы найдем
результирующую передаточную функцию разомкнутой системых. Передаточная функция
контура I (выделен штриховой линией на рис. IX. 11, б).
U7 г-д	Г, (s)	(s)
1 + Ц/2 (s) Ц73 (s)	(s) •
(IX.130)
Передаточная функция для контура II записывается в виде
пк 1 ’	, ,	(s) Ig’iK (S) w's (s) ’
Ws (s)
Подставим передаточную функцию (IX. 130) в выражение (IX. 131); тогда после преобра-
зований получим
Г"к (S) = 1 + r2 (s) Ws (s)	(s) + Fi (s) r2 (s) 1F8 (s) ‘
Если разомкнуть главную обратную связь, как это показано на рис. IX. И, б, то пере-
даточная функция всей разомкнутой системы
W («) = ^пк (s).
Г, (s) W, (s) W3 (s)
(IX.131)
(IX.1321
(IX.133)
 Рассмотрим другой способ структурного преобразования — перенос сравнивающего
элемента до звена (рис. IX. 11, в). В это:.1 случае передаточную функцию внутреннего контура II
запишем в виде
(s) Г2 (s)_______
Пк ' J l + l^i (s) »'2 (s)	(s) •
(IX.134)
Для контура / системы
Wik (s)
_____ ГПк (s) Д’, (5)
. , К'пк (S)	(s) Д'л (s)
+	(S)
(IX.135)
1 См. подробнее в п. 5 настоящей главы.
271
Подставив выражение (IX. 134) в формулу (IX. 135), получим
V, _______________Wj (s)	(s) F8 (s)_______
K U 1+^2 (s) W3 (s)	(s) + Wt (s) W2 (s) Г 5 (s) •
(IX.136)
Таким образом, эта формула совпадает с формулой (IX. 132). Разомкнув главную обрат-
ную связь системы, найдем
W (s) = Гы (s).	(IX.137)
Пример IX.8. Привести структурную схему следящей системы (см. рис. IX.9, а) к рас-
четному виду. Для этого с помощью таблицы структурных преобразований (прил. I) в исход-
ной схеме (см. рис. IX.9, а) перенесем линии связи iH через звено с передаточной функцией
_____4.1___
s (^ns 4“
На этой схеме контур I исходной схемы представлен в виде передаточной функции
. Преобразованная таким образом структурная схема показана на рис. IX.9, б.
или
___________________
(s) = Aas (TaS 4~ 1) (^nS 4~ fep)
, ।
ra(TaS + 1) (Jns + kv)
Wr^ 1ч) — _______________
,K'’ s(rw + 2%rs+ 1)’
(IX.138)
(IX. 139)
где #дв, T и g пояснены в выражении (IX.9, б).
Передаточную функцию контура // запишем в виде
^з^дв __________1__________
Гяк s(TM+2gTs+l)(TKs4-1)
। ^2^3^Дв ______/п8 ~Ь _______
r„Kku (T2S2 + 2gTS+l)(TKs+l)
(IX.140)
S)
Рис. IX.12. Приведение структурной схемы следящей системы к расчетному
виду
272
Введем в структурную схему, изображенную на рис. IX.9, б, элемент с передаточной
функцией 1Гцк (s) (рис. IX. 12, а); тогда для контура III системы имеем
Л гс'пк
Гшк (S) =------ГлД—ГХ-	(IX.141)
1 I Lп$ ~т~ %у) Пк (з)
ГУ&М	Т'уЗ “F 1
Пользуясь передаточной функцией Ц7цк (s)> преобразуем схему, показанную на
рис. IX. 12,а к виду, представленному на рис. IX. 12, б.
Передаточная функция контура IV будет
_____^M1^M2^IIIkS
rIVK (s) =-------(7.M1S +1}	l\S}— •	(ix. 142)
j ।_____^М!^М2^тгГ cS*lv 11 Ik (s)
«	(TmjS + 1) (TM2s + 1) (TcS + 1)
Введем в структурную схему (рис. IX. 12, б) элемент с передаточной функцией Ц7[ук (s);
тогда получим схему, представленную на рис. IX.12, в. После этого нетрудно определить
передаточную функцию всей разомкнутой системы
W(s)=-^-WiVK(s).	(IX.143)
‘р
Структурная схема на рис. IX. 12, в и является расчетной.
5.	ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Большинство структурных схем систем автоматического регулирования
с помощью структурных преобразований можно привести к четырем схемам,
показанным на рис. IX. 13. По этим схемам можно определить передаточные
функции замкнутых систем автоматического регулирования относительно
выходного сигнала х (() и ошибки е (().
Сначала определим передаточные функции замкнутой системы по струк-
турной схеме рис. IX. 13, а при управляющем g (() и возмущающем f (i) воз-
действиях. Запишем уравнения для сравнивающих устройств в виде
E(s) = G(s)-X(s); |
X2(s) = X1(s)-F(s), j
(IX. 144)
где
X1(s) = F1(s)E(s);
X(s) = F2(s)X2(s).
Второе уравнение системы (IX. 144) можно представить в виде
= W, (s) [G (s) - X (s)] - F (s),	(IX. 145)
откуда получим
* (*)=J^sT^s)G«) - iJ;gUF(s)- (IX-146)
Рис. IX.13. Структурные схемы систем автоматического регулирования
273
В это выражение введем передаточную функцию всей разомкнутой
системы
W(s) = W1(s)W2(sy,	(IX. 147)
тогда
*w= b^c<s>-TWV(s>'	<,Х148>
X (s}
В выражение (IX. 148) введем обозначения: Q = Ф (з) — передаточ-
.	„	X (s)
ная функция замкнутой системы по управляющему воздействию; 	=
= Y (з) — передаточная функция замкнутой системы по возмущающему
воздействию, т. е.
фМ = -ГТ^	.	<1ХЛ49>
и
ум=-гтЯ)--	<1х-150>
С помощью полученных передаточных функций в теории автоматического
регулирования оценивают показатели качества процессов регулирования
(см. гл. XII). Передаточные функции относительно ошибки получим, исклю-
чив из выражения (IX. 145) переменную X (з):
-G!f?(ST51 -ri(s)~F(s)>	(IX.151)
откуда
E = 1 + W', (s) W2 (s) G + 1 + ivt2(s) r2 (s) F	(IX'152)
(s)
В выражение (IX. 152) введем обозначения:	'  = ФР (з)— переда-
О (S)
точная функция замкнутой системы относительно ошибки по управляющему
„	E(s) .. , ,	,	"
воздействию; = Yе (s) — передаточная функция замкнутой системы
относительно ошибки по возмущающему воздействию, т. е.
« = НГЙ;	(IX.153)
=	(IX. 154)
Из выражений (IX. 146) и (IX. 152) видно, что для системы, изображенной
на рис. IX. 13, а,
У (s) = (s)-
По передаточным функциям (IX. 153) и (I X. 154) в теории автоматического
регулирования определяются характеристики точности систем (см. гл. XIII).
Передаточные функции Ф (s) и Y (s) для систем регулирования, имеющих
расчетную схему, представленную на рис. IX. 13, б, можно найти по следую-
щим выражениям:
Х(з) = Х1(з)-Г(з);
Е (з) = G (з) - X (з);
Л\ (з) = U71(s)U~2(s)E(s).
(IX. 155)
274
Исключив из выражения (IX. 155) переменные Хг (s) и Е (s), получим
Х (s)	1 +	(s) ras G 1 + W'i (s) Г2 (s) F	(IX-156)
или
ф = 1 -f- IT (S> И Y = 1 + Й7 (s) *
Если из выражений (IX. 155) исключить переменные (s) и X (з), то
Е = 1 + Wj (s) W2 (s)C + 1 +	(s) w2 (s)F	(IX. 157)
откуда
Ф’ = 1 4- И7 (S)
И
ye(s)= i +>(s) «
т. e. для системы, изображенной на рис. IX. 13, б,
Фе(5) = ^е(5).
Пример IX.9. Определить передаточную функцию замкнутой системы автоматического
регулирования ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах (рис. IX.7).
Для этого воспользуемся формулой (IX.149) и, подставив в нее соответствующие значения
функций (IX.93) и (IX.95), получим
ю
t ,	П(7> + 1)
^i^2^3^sP/^6	£=5
I*	16
s2 (Т2/+ 2g2r2s + 1) (rjs2 + 2g3r3s + 1) ГТ (T{S + 1)
1=11
x	t'(r22s2 + 2g2r2S+l)(r32s2 + 2g3T3S+l)(7’4S+l)
^>(S) = -------------------------------------------------------------------,
П(7>4-1)
fe1fe2fe3fel)p76 ____________1____________________z=5_________
I* s2(T2 + 2£2r2S + l)(T2S2 + 2£3r3S+l) n(r/s+1)
1 j___________________________________________________£zxl!-------
j ।	__________________^1^2^з^4Д45________________
(Г2^ + 2g2r2s + 1) (r|s2 + 2^r3s + 1) (7> + 1)
(IX. 158)
где разомкнутая передаточная функция всей системы имеет передаточную функцию
Ю
П(г<8 + 1)
^1^2^8^бР	1
S2 (Т2^ + 2l2 T2s + 1)(Г^ + 2g3 Г3з+ 1) jq(rzs+l)
H7(s)=----------------------------.	------------• <IX-159>
(T2s2 + 2g2T2s + 1) ( Г2? + 2g3r3s + 1) (Tts + 1)
275
6.	ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
В ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Применение векторно-матричного математического аппарата для описа-
ния объектов устройств и систем упрощает не только запись уравнений дина-
мики, но и их решение. Возможность представления динамических процессов
через состояние системы, которому соответствует точка в евклидовом про-
странстве, позволяет получать решения во временной области в виде траекто-
рий движения этой точки. В этом случае исследование систем автоматического
регулирования, особенно с переменными параметрами, можно вести с по-
мощью решения уравнений числовыми методами на цифровых вычислитель-
ных машинах.
При описании систем автоматического регулирования были использо-
ваны дифференциальные уравнения вида
п	т
> = Е afl (0 yt (0 + Е bit (0 ё1 (0.	(IX. 160)
Свяжем переменные (/) с выходными сигналами системы xz (/) уравне-
ниями следующего типа:
.....УпУУ, gi(t).....gm(f)). (IX. 161)
Будем считать, что переменные yt (t) являются минимальным числом'
величин, которые с помощью уравнений (IX. 160) позволяют выразить выход-
ные сигналы системы xt (f) через входные сигналы и время. В этом случае,
если состояние системы уг (£), ..., уп (/) известно в некоторый момент вре-
мени /0, а входные сигналы ё1 (t), ..., gm (t) заданы для t0 < t < tlt то
состояние системы в момент времени всегда можно найти. Перейдем к век-
торно-матричной форме записи уравнений (IX. 160) и (IX. 161). Для этого
состояние системы представим в виде n-мерного вектора:
~У1 (t)~
У At}
У(0 =
(IX. 162)
_уп (А_
Таким же образом будем записывать переменные gz ((), хг (/). Тогда
gi(0
g2(0.
*i(0
xAt)
g(0 =
x(0 =
(IX. 163)
_gm (0-
-Xr (t)_
Используя соотношения (IX. 162) и (IX. 163),
(IX. 161) перепишем в следующем виде:
y(O = f(y, g, 0;
х(0 = q (У, g, t}. .
уравнения (IX. 160) й
(IX. 164)
Тогда уравнения (IX. 164) можно представить в виде следующей блок-
схемы (рис. IX. 14), где в блоке между х и х выполняется следующая опера-
ция:
x=(±)li,	(IX.165)
где I — единичная матрица; ----символ интегрирования.
276
Рис. IX.14. Структурная схема
системы управления в векторно-
матричной форме
Для линейных систем автоматического регулирования, если выпол-
няются условия
Ш(0.........уЛЪ ёЛ)..........gm(0) =
= S ан ® ® + S b“ W Si (О	(IX. 166)
и
qr (У1 (0...у г (0; gi (0» • • •, gm (0) =
= tcriit) yj{t)+ S dtl	(IX. 167)
/=1	Z=1
уравнения (IX. 166), (IX. 167) или (IX. 170) можно записать в виде
у(0 — А(Оу(П + B(/)g(O; ]
f	(IX.lbo)
x(O = C(/)y(O + D(f)g(O; ]
	«11 (0 . .	• Ящ (0		bu (0 •••	
А(/) = С =	_«П1 (0 • • си (0 •	• япп (0_ •  с1п (О' • • сгп (<)	; в (0 - ;	D(n =	du (t) ... dlm (t) ... drm(t)	 (IX. 169) ; (IX. 170)
здесь A (/), В (/), С (/) и D (f) — переменные во времени матрицы соответ-
ственно типа
п х п, п х т, г х п и г х т.
Если система регулирования имеет один входной g (i) и один выходной
х (t) сигналы, то уравнения (IX. 168) могут быть записаны в виде
y(O = A(/)y(/) + b(Og«);	/TY,7n
(1Л, 1/11
x(0 = cTy(0,
где •.
b(/)==	~bdt)~ b2(t)	;	c(/) =	Ci(0 Ci(t)
			
ст (/) — транспонированный по отношению к вектору с (/) вектор Е
1 См. прил. VI.
277
Уравнения (IX.164), (IX.168) и (IX.171) следует рассматривать, как
уравнения состояния системы. Необходимо отметить, что может существовать
и другая группа переменных состояния, с помощью которых полностью опи-
сывается динамика системы автоматического регулирования. Однако любые
две системы переменных состояния однозначно связаны между собой. От вы-
бора переменных состояния зависит вид уравнений состояния. Поэтому при
удачном выборе переменных уравнение состояния системы имеет самую про-
стую форму представления.
7. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим стационарные объекты систем автоматического регулирова-
ния с различными видами передаточных функций.
Для объектов с параллельным соединением динамических элементов
передаточную функцию запишем в виде
“^>-473-= 4г	(1ХЛ72)
Если выражение -^---
разлагается на простые дроби:
1	у Ct
D(s)	Zj s — ’
z=i
(IX. 173)
где C{ — постоянные коэффициенты; — корни полинома D (s), то можно
получить следующее выражение:
X(S) =
Ct
(IX. 174)
Перепишем это выражение с использованием символа дифференцирова-
d
ния р = тогда
	х(0 =	~ п V Ci Zj р — >ч	2(0-	(IX. 175)
Предположив, что	У1 (0	= —Ц- g (0; ’ р—и& ’		(IX. 176)
получим	x(t)	п = Е с1У( (о.		(IX. 177)
Из уравнения (IX. 176) следует, что переменная г/,- удовлетворяет системе
дифференциальных уравнений:
=	i=l,2,	(IX.178)
Система уравнений (IX. 178) полностью аналогична векторно-матричному
уравнению состояний
	у (0 = Ау (/)	+ bg ((),	(IX. 179)
где	~	0 ... 0 ~	-1" 1	
	.	0 к, ... 0 А = _ 0 0 . . . ..	;	b= • _ 1 _	(IX. 180)
278
здесь
Одновременно с этим получим
*(О=сту(0;
(IX.181)
с =
сГ

.Сп —
Уравнения состояния (I X. 179) и (I X. 181) полностью характеризуют дина-
мику объекта регулирования, структурная схема которого изображена на
рис. IX. 15, а. Из структурной схемы видно, что каждая из составляющих
передаточной функции образует самостоятельную параллельную ветвь.
Для объектов с последовательно соединенными элементами передаточную
функцию запишем в виде
п
(IX. 182)
Если в качестве переменных состояния принять yt (t), r/2 (/), ..., уп (/),
то получим систему дифференциальных уравнений
У1 (О =	(0 + ^(0;	1
ih (0 = Куг (0 + yi (0;
(IX. 183)
Уп (0 = Куп (0 + уп-1 (О-
Выходной сигнал в этом случае х (Z) = уп (£).
Уравнения состояния объекта в общем виде аналогичны выражениям
(IX. 179) и (IX. 181). Матрица
и
столбцы для них будут следующими:
А =
1
о
о .
1 .
. о
. о
. о
0~
0
о
(IX. 184)
О
О . .
^п-1
1
Kt-
в)
279
Структурная схема данного объекта регулирования представлена на
рис. IX. 15, б.
Если применять объекты регулирования с передаточными функциями
вида
I	п
“’и-	6 ПП Лг- <1Х185>
•	(=1	f=H-l
где — нули передаточной функции, а порядок нуля меньше порядка по-
люса, то
s —Тг i  и—У1
s — X,	s — Xj
(IX. 186)
В этом случае нетрудно получить структурную схему объекта в виде,
изображенном на рис. IX. 15, в. С помощью этого рисунка составим следую-
щую систему дифференциальных уравнений:
Уг. (Л = ЪУ1 (Л + (*1 - Vi) g (0;
У2 (Л = КУ2 (Л + (К — Ъ) У1 (О + (^-2 - 7г) g (Л;
уп (Л = КУп (Л + Уп-i (Л;
х(Л= К«/П(Л-
(IX. 187)
Очевидно, и для этого объекта уравнения состояний также записываются
в виде (IX. 179) и (IX. 181), но со следующими матрицами и векторами:
Хг	0	0	...	0	0"
Х2—7г	Х2	0	. . .	0	0
• •	.........^п-1
0	О	0	...	1	х„_
Xi	—Vi
^2 7г
К
Перейдем к составлению уравнений состояния для линейных стационар-
ных систем автоматического регулирования. Для этого воспользуемся нор-
мальными переменными состояния. В результате получим нормальную форму
записи уравнений состояния. Рассмотрим два случая.
Случай1. Пусть для исследуемой системы автоматического
ния имеется передаточная функция в виде
ф ($) =	_________________!______________
° (Л aosn + a^"-1 + •   + an_1S + ап
или
1
X (s) ------------—------------------- G (s).
sn + A s'1-1 +----И s + —
а	' а0 ' а0
регулирова-
(IX. 188)
(IX. 189)
280
В качестве переменных состояния примем
л(0 = *(0; z/2(0 = i/i(0. •-•-г/пЮ =k-i(0;	(ix.190)
тогда для уравнений состояния (IX. 179) и (IX. 181) получим матрицу
		“ 0		1 ...		0 ~	
		С		0	• •	0	
				ж		•	
	А =			•		•	.	(IX.191)
				•		•	
			Пи	ап-х			
							
		—		ао		Hq 		
и столбцы							
			~ 0“		~ 1 -		
			0		0		
		ь =		; с =		•	(IX. 192)
			0		0		
			1 	По			0		
Соответствующая этому случаю структурная схема изображена на
рис. IX. 16, а.
у?
Угх
Рис. IX. 16. Структур-
ные схемы линейных ста-
ционарных систем авто-
матического регулирова-
ния в переменных состоя-
ния
281
Случай 2. Исследуемая система автоматического регулирования имеет
передаточную функцию вида
или
X (s) Ь0&т + frjsT-1 + • • • + bm.lS + bm
G (s) aoSn 4- Qis'1-1 + • • • + an_as + On
(IX. 193)
В качестве переменных состояния примем соотношения (IX. 190); тогда
где
1
&о ____
В уравнениях (IX. 194) и (IX. 195) матрицы А и с совершенно оди-
наковы с матрицами А в (IX. 191) и с в (IX. 192), а векторы b в них
различные.
Соответствующая этому случаю схема изображена на рис. IX. 16, б.
8. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Пусть нестационарная линейная система описывается уравнением п-го
порядка вида
[аа (0 s" 4- а, (0 s'1-1 4- • • • + an_v (t) s 4- an (/)] X (s) =
= [b0 (0 sm 4- bi (0	+ • • • + b^ (0 s + bm (01G (s),	(IX. 196)
где a0 (/) = 1.
282
Тогда-уравнение состояния для (IX.196) будет							
У1		0	1	0 ... о		У1		КГ	
У 2		0	0	1 ... о		Уг			
•	=	• • 				+	•	,(IX.197)
Уп-1		0	0	0	... 1		Уп-1		хп-1	
_уп_		_	^71-1	^71-2 •	•	•		_Уп _			
где К, (/) — коэффициенты определяемые через а жений K0(t) = b0(ty,	\ (/) и bt (/) с помощью выра- (IX. 198)
i— 1 i—m
W^b^t)- V £ СГ1-.а,-т_А(0ртК„,(0; (ix. 199)
m—Q k—0
здесь Crn = 7ц~~)1--число сочетаний из п по г.
Выходной сигнал в системе
*(0 = */1(0 +Хо£(0-
(IX.200)
На рис. IX. 17 показана структурная схема, соответствующая уравнению
состояния (IX. 197).
Пример IX. 10. Найти уравнения состояния системы стабилизации самолета, пользуясь
уравнениями движения (III.57).
Приводя уравнения движения (III.576) к форме Коши, получим
da
~dt
= — с4а + ш2 сА;
с/со»
-77- = — (c2 + с4сБ) а — (Ci + сБ) сог + (с3 — сБсБ) fiB.
Выбирая в качестве переменных состояния а и <вг, сформируем вектор
Тогда в стандартных обозначениях система уравнений (IX.201) принимает вид
(IX.201)
(IX.202)
Рис. IX. 17. Структурная схема линейной нестационарной системы автомати-
ческого регулирования в переменных состояния
283
Рис. IX.18. Структурная схема системы стабилизации самолета в переменных состояния
Структурная схема системы стабилизации в выбранных переменных состояния показана
на рис. IX. 18. С учетом динамики исполнительных органов и обратных связей по углу и угло-
вой скорости тангажа система уравнений, описывающих замкнутую систему стабилизации,
имеет вид
Динамика летательного аппарата
0 0 0	1 — Ci — (C2 4" Cici)	0 1 — (ct + cs)	0 ce c3 C^Cf	0 0 0	У +	- 0 0
0	0	0	0	1		0 0
	0			1 Л		
Коррекция	Динамика
привода	(IX.203)
9. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
Для линейных стационарных систем автоматического регулирования,
описываемых уравнением состояния (IX. 179), с помощью уравнения
(*’..4. = А (/)#-(?, Q '	(IX.204)
вводится переходная матрица (t, /0) размера пХп [71]. Тогда решение
уравнения (IX. 179) можно искать в виде
у(0 = 5га,
Продифференцировав это уравнение, получим
У = ^(^	+
С учетом уравнения (IX.204), полученное выражение примет вид
У = ST (t, to) 4- А (/) <Г (t, t0) k (t).	(IX.205)
Приравняв правые части уравнений (IX. 179) и (IX.205), получим
W, t0)^ + A(t)3T(t, to)k(0 =
= A(f)^(f, t0)k(t) + b(t)g(t),
откуда
<T(U0)^ = b(t)g(t).	(IX. 206)
284
(IX.210)
(IX.211)
(IX.212)
(IX.213)
Решая дифференциальное уравнение (IX.206), найдем
к (0 = с + J (4, /0) b (tj g (4) dtlt	(IX.207)
^0
где с = к (4) =	(t0, 4) у (4) = у (f0).
В результате этого решение уравнения состояния (IX. 179) можно запи-
сать в виде
t
У (0 = (t, t0) у (4) 4- & (t, t0) J ff--1 (4, t0) b (0 g (4) dtt.	(IX.208)
^0
Из выражения (IX.208) следует, что свободные колебания системы у (/),
соответствующие начальным условиям у (t0), определяются в виде
У(0 = 1Г(4 4)У(*о),	(IX.209)
т. е. переходная матрица переводит свободную систему из начальной точки
У (to) в точку у (/), соответствующую моменту t. Поэтому
у(4) = ^(4. 4)Уо(4); 1
у(4) = *П4,4)у(4)- i
На основании (IX.210) можно записать
to) = &-(t2, t^tk, t0).
Пользуясь этим выражением, найдем
F(to, to) = $-(to, t)9-(t, 4) = I,
откуда
^(to, f) = $-(t, to).
С помощью соотношения (IX.213) выражение (IX.208) примет вид
У(О = ^а, /о)У(« + ]>(*’ tJb^glMdh (IX.214)
^0
Из выражений (IX.211) и (IX.214) следует, что для решения уравнений
состояния необходимо найти соответствующие переходные матрицы.
10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ МАТРИЦ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ
И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Для большинства линейных стационарных систем переходная матрица
может быть найдена простыми способами. Однако определение переходных
матриц для линейных нестационарных систем представляет значительные
трудности и в ряде случаев переходные матрицы приводятся к бесконечному
ряду Неймана [711, что исключает его практическое применение.
Рассмотрим сперва определение переходных матриц для линейных ста-
ционарных систем. В этом случае будем искать переходную матрицу в виде
экспоненциальной функции от матрицы А.
Тогда по определению
(IX.215)
п=0
где А° = I.
Поэтому
&-(t, 4)==еА(/~Ч	(IX.216)
285
Пользуясь выражением (IX.216), решение уравнения в виде.(IX.214)
можно, переписать как
У (0 = еА '•> у (t0) + J еА «"" b (ijg &)	(IX.217)
^0
В настоящее время существует несколько способов описания переходных
матриц.
1-й способ (для матрицы А — диагональной). В этом случае А — Л,
где А — диагональная матрица, элементами которой являются собственные
значения. Тогда

0
п
(IX.218)
о
-
и, пользуясь выражением (IX.209),
получим
~еМ t.t-to')
U—/о)
(IX.219)
еЛ (t—ic) _
0
0

2-й способ (для матрицы А — любой, но не диагональный). В этом случае
необходимо найти такую постоянную матрицу Р, которая преобразует мат-
рицу А в диагональную Л, т. е.
Л = Р'1АР.	(IX.220)
Здесь элементами матрицы А являются собственные значения матрицы
А; отсюда
РАР-1==А,	(IX.221)
но А" = РА"?"1 и
еА <г-г.) = Рел «-г.) p-i.	(IX.222)
Матрица А отыскивается из уравнения (IX. 179) в виде
АР = РА.	(IX.223)
Матрица Р является неособой, если составленные значения матрицы А
являются различными.
3-й способ (преобразования Лапласа). Этот способ применим как при про-
стых, так и при кратных корнях. Рассмотрим его применение для уравнения
при у (0) = у0. Тогда имеем откуда находим Так как у (t)	у = Ау(О	(IX.224)
	sY(s)-y0 = AY(s), (si — A) Y (s) = у0; Y (s) = (I - А)Л = еА'у0)	(IX.225) (IX.226)
то	S w (t, 0)] = z I еА' ] = (si - А)'1	(IX.227)
или 286	3~(t, 0) = S’'1 [(si - A)’1],	(IX.228)
откуда следует, что для нахождения SF (t, 0) необходимо вычислить обрат-
ную матрицу (si — А)-1 и для каждого ее элемента осуществить обратное
преобразование Лапласа (см. гл. XII).
Для определения переходных матриц линейных нестационарных систем,
описываемых уравнениями (IX. 168), воспользуемся следующим соотноше-
нием 1:
G. W = ехР
(IX.229)
Будем также считать, что матрица А (/) коммутативна с матрицей
t
| A ((J dx, т. е.
‘t
jA(y dt,
_?0
A(() = A(f)
A (t,) dt,
(IX.230)
Соотношение (IX.230) выполняется, когда матрица А (() диагональная
пли когда для нее справедливо соотношение
А (У А ((2) = A (i2) A (t,).	(IX.231)
Матричная форма записи позволяет представлять динамику систем регу-
лирования в области изображений функций (по Лапласу). Уравнения состоя-
ния системы регулирования записываются в виде (IX.172). Соотношения
между векторами Y (s) и X (s) имеют следующий вид:
Y (s) = Н (s) G (s); 1
X (s) = Ф (s) G (s). J
(IX.232)
Тогда с помощью прямого преобразования Лапласа, примененного
к уравнениям (IX. 168) при нулевых начальных условиях, можно получить
	sY (s) = AY (s) + BG (s); | X (s) = CY (s) + DG (s), )	(IX.233)
откуда	[si - A] Y (s) = BG (s)	(IX.234)
и	X (s) = [C (si - A)’1 В + D] G (s).	(IX.235)
Из уравнений	(IX.232)—(IX.235) найдем H (s) = [si — АГ1 B; 1 Ф (s) = C [si — A]-1 ВD. J	(IX.236)
Уравнения (IX.236) позволяют определять передаточные функции систем
автоматического регулирования из уравнений, записанных через переменные
состояния.
Рассмотрим несколько примеров определения переходных матриц.
Пример IX. 11. Определить переходную матрицу и реакцию на единичное ступенчатое
воздействие для системы автоматического регулирования, описываемой системой уравнений
вида
л = — j
У2= — 21/2 +g- I
(IX.237)
1 Данное соотношение не является строгим, однако его применение на практике позво-
ляет получать правильные результаты.
287
Очевидно, система (IX.237) эквивалентна уравнениям в векторно-матричной форме
у = Ax-J-bg; х = сту,	(IX.238)
где
Ф (/) = еА< =
с«=
(IX.239)
. Г-1 0]	п-1
A = L О — 2j b = LlJ:
Матрица А является диагональной, поэтому переходная матрица будет
е~* 0
0 е~2/. ’
Разлагая выражение (IX.239), нетрудно определить реакцию системы (переходный
процесс) на единичное ступенчатое воздействие g (() — [1 ] при нулевых начальных условиях
с помощью выражения (IX.217)
Для рассмотренного нами примера имеем
t
У1 (0 = j 1 [1] dtt = е“
о
уг (0 = /е-2 ™ 1 [1] dt. = ± е-2 «-<*>
о
t
)
в"2')
и
х(0 = «/1(0 + Зу2(0 = 1— е-/ +-|-(1— е“29 = -|-е * — -|е 2'
Пример IX.12. Динамика системы автоматического регулирования описывается урав-
нениями вида
У1= — У1 + ё',
Уа = У1— tyz;
х = 4р2,
(IX.240)
а также матрицами и векторам!
Определить собственные значения матрицы А.
Для этого составим определитель
I А —XI | = | J Х
= л2 + ЗХ + 2 = 0,
откуда к. ~ —1; Х2 — —2, поэтому
’е~‘ О’
0	е~2<_ *
(IX.241)
Для нахождения матрицы Р определим собственные векторы матрицы А из уравнений
Avx = XjVi; Av2 = X2v2,
т. e.
Г-1	°] pnl . pul . Г-1 °1p2il = r_2|M
L 1 2J [i>2lJ	L02i J L 1 —2J [^22 J
откуда получим t>u = o2l и t>12 = 0.
С точностью До постоянного множителя собственные векторы
поэтому матрицу Р выберем в виде
Р = I Vi ;v2] =
О'
1
(IX.242)
288
Найдем обратную матрицу Р"*. Ее определитель det Р = 1. Присоединенная матрица
(см. прил. VI) adj Р получается при замене каждого элемента матрицы Р его алгебраическим
дополнением с последующим транспонированием:
adj Р =
(— 1)(1+2) -11т Г 1 о
(_ 1)(2+2) . j ~ I— 1 1
откуда
P-г adj Р	Г 1 01
detP	[—1 1] ‘
(IX.243)
Перемножив матрицы (IX.241), (IX.242) и (IX.243), получим
F (t) = еА/ = РеЛ/Р-1 =
е'
е-/ _е-2/
0
е~2/
(IX.244)
О
С помощью выражений (IX.217) и (IX.244), при нулевых начальных условиях и g (t) =
= [1] найдем
(О = j [е~ <'-<*> - е~2	е~ + -2- е~2г
о
и
х(0=2 — 4е“' +2е-2*.
Пример IX.13. Для линейной нестационарной системы, описываемой уравнением [71]
<а-§- +6* -^•+6у=0,	(IX.245)
определить переходную матрицу 9? (I, t0). В уравнение (IX.245) введем подстановку t = et;
тогда

5£L+6y = 0.
(IX.246)
Пользуясь уравнениями состояния для (IX.246), можно получить переходную матрицу
F (т, тв) =
Зе-2(Т—т.) _2е~3<*—*•)	е—2 (т—т„) _е—З(т-Го)
откуда после подстановки т = In t получим
ge—2 (т—То) | gg—3 Ct—10) _2е~2 t«—Т«>	3g—3(Т—То)
(IX.247)
Переходную матрицу найдем из уравнения (IX.247) в виде
& (t, to) =
(IX.248)
На правильность полученного выражения (IX.248) указывает то, что
(to» to) — I-
Пример IX.14. Определить передаточную функцию для системы автоматического регу-
лирования, уравнения динамики которой даны в примере IX.11:
А = Г 1 ° 1 ; В = Ь =
I 0 —2]
С =ст =
Т
.3.
10 Иващенко Н. И.
239
Тогда с помощью второго уравнения (IX.236) найдем
(IX.249)
После преобразований выражение (IX.249) примет вид
© - X<s) - 2,5 (0,85s+ D
w G(s) (s+1) (0,5s4-1) •
(IX.250)
• Выражение (IX.250) и представляет собой передаточную функцию замкнутой системы
относительно сигнала управления g (t).
11. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования отно-
сится к основным понятиям теории автоматического регулирования, с по-
мощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять нх
преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исклю-
чения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления
g ((), сформированный в задатчике, представляет собой некоторую совокуп-
ность его составляющих g1 (t), gm (t) и m превышает число р = ~ сте-
пеней свободы системы, описанной уравнением у = f (у, g, t), то система
является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования
нельзя перевести из начального состояния у (t0) в любое конечное состояние
у (Zj) под действием некоторого входного сигнала g (t). При р > т системы
автоматического регулирования именуют вполне управляемыми.
Линейную стационарную систему автоматического регулирования назы-
вают полностью управляемой, если из любого начального состояния ее можно
перевести в конечное состояние при помощи входного сигнала в течение конеч-
ного интервала времени. Необходимое и достаточное условие полной управ-
ляемости линейной стационарной системы, описываемой уравнением
y(t)=Ay(()4-Bg((),
таково: матрица
K = [B|AB|A2B|---JA'*~1B]	(IX.251)
размера пХпт, первые т столбцов которой состоят из элементов матрицы В,
а следующие т столбцов — из элементов матрицы АВ и т. д., должна иметь
ранг п.
С понятием управляемости связано понятие наблюдаемости системы.
Наблюдаемость позволяет установить начальное состояние системы автомати-
ческого регулирования по результатам измерений одного выходного сигнала.
Линейная стационарная система автоматического регулирования, опи-
сываемая уравнениями
у(/) = Ay(() + Bg(();
x(0 = Cy(0 + Dg(0,
полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние у (0)
системы по следующим данным;
а)	матрица А и С;
290
б)	выходному сигналу х (t) от начальных, условий у (0) при g (t) = 0,
заданному на конечном интервале времени [0, ZPL
Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной
стационарной системы заключается в том, что сопряженная матрица 1
S* = [С’ | А*С* | A’V | • • • | А’ "~1С* ]
(IX.252)
типа пХпг должна иметь ранг п.
Рассмотрим два типа систем автоматического регулирования.
Первый тип — система имеет лишь один выходной сигнал
х (о = 2	(0-
1=1
Для этой системы необходимым и достаточным условием полной наблю-
даемости является отличие от нуля всех коэффициентов.
Второй тип — система имеет несколько выходных сигналов;
п
/==1, 2.................г.
Тогда необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости
является то, что для каждого i-го (i = 1, 2, ..., г) один из коэффициентов
сп, Ci,, ..., cmi не должен равняться нулю.
Пример IX. 15. Определить, является ли линейная стационарная система автоматического
регулирования (рис. IX. 19, а) полностью неуправляемой и наблюдаемой. Составим уравнение
состояния для этой системы в виде
«/1(0
.1/8 (0.
-4 51 рно'
1 oJLl/aW.
g (01
(IXJ253)
— 5
1
X (0 = су (0 + g (о,
(1Х.254)
где с = [1, —1].
. Из уравнения (IX.253) следует, что матрица А имеет размерность 2X2 и п = 2.
В этом случае формула (IX.251), по которой определяется управляемость, примет вид
Г— 5 25 '
К = [В | АВ] ==
L ‘ — 5.
(IX.255)
здесь
Г—4 51 Г— 5'
АВ =
Li oil 1
’ 25 ‘
— 5
Определитель матрицы (IX.255) будет | К | = 25—25 = 0, что соответствует рангу
матрицы К, меныцему 2. Для полной управляемости системы регулирования ранг матрицы К
должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система является неуправляемой.
Определим наблюдаемость системы регулирования. Для этого воспользуемся формулой
(IX.252). В нашем случае
S* = [С* | А*С*].	(IX.256)
' 1 Здесь А* и С* означают сопряженные матрицы по отношению к А и С (см. прил. VI).
Рис. IX.19. Структур-
ные схемы системы авто-
матического регулирова-
нии для примера IX.15
. «У
10'
291
Подставив соответствующие сопряженные значения матриц С* и А* С* в • формулу
(IX.256), получим
Г 1 ~5’
S* =
I — 1 5
(IX.257)
где
A* AT I"4 1
А = А1 =	;
5 0
1
0
А*С* =
= 5 — 5 = 0.
Определитель матрицы (IX.252) | S* | = 5— 5=0, что соответствует рангу, меньшему 2.
Для получения полной наблюдаемости системы регулирования ранг матрицы S* должен
быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система регулирования является ненаблюдаемой.
Этот результат становится очевидным из анализа передаточной функции замкнутой
системы
s— 1
ф (S) =------------------= .....-(s~	.	(IX .258)
.  s— 1	(s—l)(s + 4)(s—1)
(s + 4) (s - 1)
Если сократить нуль в прямой цепи, когда полюс находится в цепи обратной связи, то
получим
ф'(5)=4т4--	<1Х-259)
s -j- о
Из выражения (IX.259) можно найти характеристическое уравнение замкнутой системы1
в виде
1>(Х) = (А,— 1) (Л 4-4)4-(Л— 1)=Х2 — 1 =0; Лх= — 1;	= 1,
что указывает на неустойчивость системы регулирования.
Из выражения (IX.259) получим
Д(Л)=Х4-5=0; Х = — 5.
В этом случае система регулирования является устойчивой. Противоречивость получен-
ных результатов по устойчивости системы показывает на то, что нельзя компенсировать долюс
в правой полуплоскости нулем. При такой компенсации в системе автоматического регулирова-
ния теряется свободное движение с Л = 1 и от Действия входного сигнала составляющая дви-
жения е* не возбуждается. Отсюда следует, что в системе происходит нарушение управляе-
мости и наблюдаемости.
Заменим структурную схему, изображенную на рис. IX. 19, а, схемой, представленной
на рис. IX. 19, б. Тогда получим следующие уравнения состояния:
— 4
5
</1 (0‘
— 5
yiW
.Уа(О.
0J
g(01 x = Cy(t) — g(0.
— 1
где С = [1 — 1 ].
В этом случае имеем
— 5
1
К =
25
5
так как АВ =
Г—4 5] Г— 5‘
1
'25'
5
и | К | = — 25 — 25 = — 50 + 0.
— 1 0
Следовательно, ранг матрицы К равен 2, и система
полностью управляема. Для нее также имеем
автоматического регулирования
1
— 1
— 3
5
S* =
так как А*С* =
и
| S'* | = 5 — 3 = 2^=0.
1 См. подробнее в гл. XI.
292
В этом случае ранг матрицы S* также равен 2, что указывает на полную наблюдаемость
системы автоматического регулирования.
В передаточной функции замкнутой системы
<D(s)
(s—l)(s-f~l)
(s + 4) (s+ l) + (s— 1)
не происходит компенсации полюса в правой полуплоскости нулем, что подтверждает условия
управляемости и наблюдаемости системы регулирования.
12. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ,
УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ИМПУЛЬСНЫМИ ПЕРЕХОДНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
В первых параграфах настоящей главы динамические свойства объектов,
устройств и систем регулирования в целом описывались с помощью передаточ-
ных функций. В ряде случаев такое описание является сложным, например,
для линейных нестационарных объектов или систем регулирования с перемен-
ными параметрами 1721. Тогда объекты регулирования или системы описы-
ваются их импульсными переходными функциями. Экспериментальные ме-
тоды определения динамических свойств объектов или устройств регулиро-
вания, когда подача на их входы поисковых регулярных сигналов недопу-
стима, основаны на нахождении импульсных функций при действии на их
входы случайных сигналов (см. гл. XIII). В некоторых методах синтеза систем
регулирования и анализа самонастраивающихся систем используются спо-
собы представления объекта регулирования, или неизменяемой части си-
стемы 1, с помощью импульсной переходной функции.
Если на вход объекта, устройства или системы регулирования подать
входное воздействие в виде 6-функции, приложенной в момент времени т
при нулевых начальных условиях, то на выходе получится импульсная пере-
ходная функция k (г), представляющая собой реакцию на это воздействие
(рис. IX.20).
Любое непрерывное воздействие g (i) можно представить в виде бесконеч-
ной последовательности функций с амплитудой g (i Дт) 6 (t — i Дт), соответ-
ствующей моменту времени т (рис. IX.21). Из рис. IX.21 видно, что
g (/) = lim У, g (i Дт) 6 (t — i Дт) Дт
Дт-»0 £=0
I Дт=т
ИЛИ
оо
£(*) = J g (т) 6 (f — т) du.	(IX.260)
о
Подавая на вход объекта, устройства управления или всей системы в це-
лом последовательность таких 6-функций, можно найти сумму переходных
процессов, вызванных каждым из этих импульсов в отдельности.
1 См. подробнее в гл. XVIII.
6Г/-ТЛ------ K(tj
----“ WIS) ------
Рис. 1Х.20. Представление реакции объекта
устройства или системы регулирования на
0-функцию в виде импульсной переходной функ-
ции
Рис. IX.21. Представление непрерывной функ-
ции в виде бесконечной последовательности
функции g [г Д т) 6 (i — i А т) Дт
293
Рис. IX.22. Две импульсные переход-
ные функции kx (t—т), (t—Т) и
функция g [т]
Если считать, что переходный про-
цесс от действия одного импульса 6 (t — т)
есть k (t — т), то переходный процесс от
каждого из импульсов есть g (t) k (t—т) dx.
Тогда переходный процесс х (t) от всей
последовательности импульсов опреде-
ляется интегралом вида
со
х (Г) «= j g (т) k (t — т) dx. (IX. 261)
о
Таким образом, импульсная переход-
ная функция характеризует динамические
свойства объектов, устройств или систем регулирования в целом, так как
с ее помощью можно найти переходный процесс, вызванный любым воз-
действием.
На рис. IX.22 показаны две импульсные переходные функции и вид воз-
действия g (t). Форма импульсной и переходной функции k (т) позволяет
судить о том, насколько сильно влияют на переходный процесс* (I) значения
воздействия g (т) в моменты, предшествующие т = t. Поэтому чем шире
импульсная переходная функция, тем более отдаленные значения g (т) от рас-
сматриваемого момента времени т = t следует учитывать при вычислении
интеграла (IX.261).
На рис. IX.22 импульсная переходная функция kt (t — х) шире, чем
(t — т), поэтому для определения
X (t) = I g (т) (t — т) dx
следует брать наиболее отдаленные значения g (т).
Наряду с прямым преобразованием Лапласа, определяющим изображе-
ние функции по ее оригиналу, существует и обратное преобразование Лап-
ласа, позволяющее найти оригинал функции по изображению. Формулу для
обратного преобразования Лапласа можно записать в виде
н-/«
*Ю = -2П7 J X(s)e"ds. 	(IX.262)
С—/О©
Если считать, что X (s) = Ф (s) G (s), где Ф (s) — передаточная функция
замкнутой системы, a G (s) — изображение воздействия х, то
е+1“
J ф №(*)** ds.	(IX.263)
При s = /со и устойчивой системе 1 2 формула (IX.263) примет вид
х (0 = j Ф (/со) G (/со) е/"/ da,.	(IX.264)
— g©
Найдем преобразование Лапласа для 6-функции:
G(/®)= J 6(1)^	1.	(1Х.265)
1 См. также гл. XII.
2 См. подробнее в га. XI.
294
В формуле (I Х.264) вместо произвольного воздействия G подставим выра-
жение (IX.265); тогда переходную функцию х (/) мождо заменить импульсной
переходной функцией
CD
— co
(IX.266)
где
Ф(/«0= J k(i)e~fat dt.
о
(IX. 267)
Импульсная переходная функция (IX.259) должна удовлетворять двум
условиям:
а)	j | k (t) | dt < oo,
о
что характеризует устойчивость систем;
б)	k (t) = 0 при t < 0.
(IX.268)
(IX.269)
Это показывает, что переходный процесс не может возникнуть раньше
причины, его вызвавшей, — условие физической осуществимости систем.
Подставим в формулу (IX.266) выражения
Ф (/со) = Р (со) + /Q (со)
и
е/ш/ = cos at + j sin со/;
тогда
eo
&(/) = -£— J [P (co) cos со/— Q (co) sin co/] dco+
+ j [P (co) sin co/ -J- Q (co) cos co/] dco .
(IX.270)
Интеграл
| [P (co) sin co/ 4- Q (®) cos co/] do)
ввиду нечетности подынтегральной функции равен нулю, поэтому
со
= J [Р (со) cos ср/— Q (со) sin co/j dco	(IX.271)
— со
и при / < 0 справедливо равенство 
-1— Г [P.(co)cosco/ — Q (со) sin co/]dw — 0.	(IX.272)
4. Л J	••	...
— СО
Заменив в выражении (IX.272) / на — /, получим
00
j [Р (со) cos со/ 4" Q (со) sin си/] с/со == 0.	(IX.273)
— 00
295
Pi
0	ty+Ai Ш
Рис. IX.23. Типовая трапецеидаль-
ная характеристика pt (co)
Сложив выражения (IX.271) и (IX.273),
получим
со
& (0 = j Р (со) cos at da при t > 0.
(IX.274)
Вычитая из уравнения (IX.271) выраже-
ние (IX.273), найдем
A(f) =-----jj- j Q (a) sin at da. (IX.275)
— 00
Выражения (IX.274) и (IX.275) в окончательном виде можно записать
так:
Л (О = ~ j Р (©) cosatda',	(IX.276)
о
k (t) =---j Q (co) sin at da.	(IX.277)
о
Для вычисления интегралов (I Х.276) и (I Х.277) разобьем характеристику
Р (со) на несколько трапеций pt (со), одна из которых приведена на рис. IX.23*.
Тогда получим
Р (со) = £ Pi (®).	(IX.278)
С=1
Подставив выражение (IX.278) в формулу (IХ.276), найдем
k (t) = — J р; (со) cos at da.	(IX.279)
<=ю
Функцию pi (co) можно записать в виде (рис. IX.23)
	Pot	при	0 << со <" coz — Д f;
Pz(co) =	со; +Д; —со P°l	2Д;	при	со,-— Д,-<, со << со,-j-Дг; (IX.280)
	0	при	со > со; 4- Дс-
Имея в виду полученное выражение, найдем
“г—“z+At
М0 = -|- f PoiCOSat dco-j- [ р0,. ®! +Ai~<°cosatda =
•• j	•• j	лСч
0	a)f_At
= ОТ ^cos + ^)t- cos (®z - ДО fl =	. (IX.281)
Умножив и разделив выражение (IX.281) на coz, найдем
м/)_^(^)(Л!НМ).	(IX.282)
* Способ разбиения характеристики Р (со) и Q (со) на трапеции подробно изложен
в гл. XII.
296
Пользуясь таблицами функций — и формулой (IX.282), нетрудно
вычислить импульсную переходную функцию k (t). Если пользоваться функ-
цией Q (<о), то вместо pt (<о) в выражении (IX.281) должна быть представлена
функция q( (©):
<az-A(	и{+Д(
fe, (/)=»_ 2. J qol sin at da — 2- ( qOi "—Л; — sin at da «
0	ti>z— Aj
= Лг ~	+ д<) * - SIn ~	=
_ Qot	( cos&jt \ { sin A(t \
“я я \	)\ Att )'	(1X.283)
По таблицам функций 2”*' и ——— и формуле (IX.283) также можно вы-
числить импульсную переходную функцию.
В заключение следует отметить, что если в формуле (IX.277) умножить
и разделить подынтегральное выражение на ®, т. е.
^ (/)==_ 2.1^212. sin	(IX.284)
о
то для определения k (() следует пользоваться трапецеидальными характери-
стиками и /^-функциями х.
Пример IX.16. На рис. IX.24 построена вещественная частотная характеристика объекта
регулирования Р (со). Разобьем ее на несколько трапеций, как это показано на рис. IX.24, а.
Затем с помощью таблиц йи-функций определим результирующее значение импульсной пере-
ходной функции (рис. IX.24, б). Для оценки точности полученной характеристики k (0 на
этом же рисунке штриховой линией построена импульсная переходная функция, точное зна-
чение которой вычислено по формуле
fe(f) = 2e~' Sin 0,5Г.
Как видно, точное и графоаналитическое определение функции k (0 достаточно близко
совпадают одно с другим, что позволяет рекомендовать этот способ нахождения импульсной
переходной функции для объектов или систем автоматического регулирования.
Определим взаимную связь между переходной матрицей и импульсной
переходной функцией. Воспользуемся для этого выражением (I X.214), кото-
рое запишем в развернутом виде:
n	fn п
yt (О « 2 ^<7 & Si <*о) + J 2 ^Ч & b1 ft) g(Wdt* (IX.285)
/==1	t„j=i
где tj —элемент матрицы 3“ в i-й строке и /-м столбце; bt — /-я компонента
вектора Ь.
Если принять, что все начальные условия нулевые, т. е. (t0) = 0 для
всех /ив момент т к системе регулирования приложен единичный импульс
go(i), то
t п
Hi (0 = J 2 ^ч bi go (t - T) dh-^
n
= 2 ^4^ tfbjW ПРИ t>t0.	(IX.286)
z=i
1 Cm. n. 8 гл. XII.
297
IX.25. Переходная ма-
Рис. IX.24. Вещественная частотная характеристика P (co)
и импульсная k (t) переходная функция
Рис.
трица ц (t, т) для линейной
нестационарной системы
регулирования
Из выражения (IX.286) можно установить, что между переходной матри-
цей и импульсной переходной функцией k (t, т) существует взаимная связь,
так как они обе характеризуют реакцию по г-й переменной состояния на им-
пульс, прикладываемый в момент т. Соответствующее графическое изображе-
ние переходной функции приведено на рис. IX.25. Как видно из этого
рисунка, переходная матрица аналогична импульсной переходной функции
нестационарной системы.
В заключение укажем, что существуют линейные стационарные системы,
которые не могут быть описаны переменными состояниями. К ним относятся
системы, динамика которых представляется в виде уравнений в частных про-
изводных. Такие системы обычно описываются с помощью импульсных пере-
ходных функций через интеграл свертки в виде
х (0 = x(t0) + J g (т) k (t — т) dx.
о
Рассмотрим дифференциальное уравнение для длинной /?С-линии в виде
-5- = 5-.	(IX.288)
(IX.287)
где v — v (х, 0 — напряжение на расстоянии х от конца /?С-линии. Реакцию
линии в точке х = хг определим в соответствии с выражением
t
v (хь t) = v0 (х1( t) -|- j v (0, т) k (х, t — т) dx.
о
Выражение (IX.289) для уравнения (IX.288) запишем в виде
-х2)	(14-х)2 I
« — е « Jo(g, 0)dl,
(IX.287):
(IX.289)
а°{х’ “ "О17=7
2 V nt J
о
откуда находим импульсную переходную функцию в виде
_ —
k (х, 0 = —е 4* при х > 0.
(IX.290)
При фиксированной длине х из выражения (IX.290) с помощью прямого
преобразования Лапласа можно получить передаточную функцию длинной
ЯС-линии
W (s) = Z [fc (x, f)l = e~ * *4
(IX.291)
которая также относится к трансцендентным (см. п. 2 настоящей главы).
298
Итак, объекты и системы автоматического регулирования, описываемые
стационарными линейными уравнениями различных видов, могут быть пред-
ставлены передаточными функциями, переходными функциями и импульс-
ными переходными функциями. При использовании частотных методов ана-
лиза и синтеза систем автоматического регулирования предпочтение следует
отдать передаточным функциям. При применении методов моделирования на
аналоговых или цифровых вычислительных машинах пользуются переход-
ными функциями.
Импульсные переходные функции применяют при проектировании неста-
ционарных линейных систем автоматического регулирования.
Учитывая взаимную связь передаточных функций с переходными и им-
пульсными функциями, проектировщики систем автоматического регулиро-
вания часто пользуются всеми тремя способами их представления (см. гл. XII,
XIII, XVII и XVIII).
Часть II. МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава X. Динамические звенья, их амплитудно-фазовые и логарифми-
ческие частотные характеристики
Глава XI. Исследование устойчивости систем автоматического регули-
рования
Глава XII. Исследование качества систем автоматического регулирования
Глава XIII. Динамическая точность систем автоматического регулирования
Глава XIV. Нелинейные системы автоматического регулирования
Глава XV. Импульсные системы автоматического регулирования
Глава XVI. Экстремальные и самонастраивающиеся системы автомати-
ческого регулирования
300
Глава X
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ, ИХ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
1. Апериодическое звено. 2. Апериодическое неустойчивое звено.
3. Усилительное звено. 4. Интегрирующее звено. 5. Колебательные
звенья (устойчивые и неустойчивые). 6. Дифференцирующее звено
первого рода. 7. Дифференцирующее звено второго рода. 8. Транс-
цендентные звенья. 9. Фазовая линейка. 10. Построение ампли-
тудно-фазовых и логарифмических частотных характеристик
последовательно соединенных групп типовых звеньев. 11. Экспери-
ментальный метод определения вида передаточных функций и пара-
метров групп динамических звеньев.
В гл. IX было показано, что передаточные функции разомкнутых систем
автоматического регулирования состоят из нескольких сомножителей пер-
вого или второго порядков, причем различные по своей природе или принципу
действия автоматические системы могут описываться передаточными функ-
циями, состоящими из одних и тех же сомножителей. Таким образом, для
большинства систем их передаточные функций можно представить в виде
и р	л
П kt П (TZS ± I) П (T?S2 ± 2hTlS ± 1)
W(s) = -^—pi----------------------------------(Х.1)
sv П (TfS ± 1) П (rjs2 ± 21-jTjS ± 1)
/=1 /=’
Выражение (Х.1) позволяет вводить в рассмотрение понятие типовых
динамических звеньев. Под типовым динамическим звеном будем понимать
звено с передаточной функцией первого или второго порядков вида
1____.
TjS ± 1 ’
Tts ± 1;
_________1__________.
ТУ ± 21/T/s ± 1 ’
ту ± 2&7> ± I;
1
ту ± 1 ’
ту ± 1;-4; «я; k.
8
Следует отметить, что в типовых звеньях второго порядка параметр §
может принимать значения как меньшие единицы, так и большие или равные
единице. В этом случае изменяются типовое динамическое звено и его основ-
ные характеристики.
Рассмотрим передаточную функцию
F(s)=r2s2 + 2gTs+l.	(Х.2)
Образуем из нее уравнение
Т2Х2 + 2£ П +1 = 0,
откуда найдем корни
%a=Jr(-| + /|2-l).
При | > 1 передаточная функция (Х.2) распадается на два типовых звена
первого порядка, т. е.
T2s2 + 2|Ts + 1 — (7\s + 1) (TjS + 1).	(Х.З)
где	___
Т = /ТХТ8;
t __ Т-,-\-Т2
s 2VtJ\'
301
Таблица X.l
Передаточные функции типовых динамических звеньев
№ по пор.	Наименование тилевого динамического звена	Передаточная функция типаваг® динамического звена
1	Усилительное	«7 (S) = k
2	Устойчивое апериодическое	Tis+\
3	Неустойчивое апериодиче- ское	“7|”	Т„'-.
4	Интегрирующее звено v-ro рода	W (S) = -J- , V « 1, 2, 3,.. . sv
5	Дифференцирующие звенья 1-го рода	Й7 (s) = Ts + I
б		U7(s) = 7’s—1
7	Устойчивое колебательное	Г (S) — T*s? + 2gTs + 1 ’	< 1
8	Неустойчивые колебатель- ные	r («) =	+ 2gTs —1 ’	1
9		Г( S) T2s2 — 2gTs + 1 ’ £	1
, '°	Вырожденное колебательное (5 = 0)	Г <s) T2s2 + i
11	Дифференцирующие звенья 2-го рода	V (s) = T2s2 2£Ts + 1, g < 1
12		Г (s) = T2s2 4- 2gTs — 1, g < 1
13		Г (s) == T2s2 — 2grs 4-1, g < 1
14	Вырожденное дифференци- рующее звено 2-го рода (5=0)	W (s) = ГМ 4- 1
15	Вырожденное дифференци- рующее звено л-го рода	W (s) = sn
16	Звено чистого запаздывания	W (s) = e" ’
. 17	Трансцендеитные звенья	W(s) = e^
18		~ 2Po'W ,i -s) -		 ()	14-p,. th(is)
302
Рассмотрим передаточные функции
W(s) = Ps2 + 2gTs— 1;
IF(s) = Tas2-2gTs+l.
Перепишем первую из них в виде
Гзг 4- 2lTs - 1 = (7\s - 1) (T2s + 1),	(X.4)
где
Tj-T2
*	2/ЛТ/
а вторую — в виде
T2s2 - 2%Ts + 1 =» (Tts - 1) (7\s - 1),	(X.5)
где
в____Tj + Tt
2/77% *
Итак, типовые звенья с передаточной функцией —----------------—
Тis" ± 2 c,tT± I
при | э* 1 можно представить в виде двух однозначных, т. е.
1 1
== T*s2+2grs+l = (7,5-4- 1) (T2s + 1) ’
= T»sa + 2£Ts—1 = (T1S—l)(T2s+l) ’	(Х'6)
(S) = 7М — 2£Ts + 1 = (7is— l)(TBs—1) ‘
Перейдем теперь к рассмотрению основных наиболее часто встречаю-
щихся типовых динамических звеньев. Их наименования и передаточные
функции приведены в табл. Х.1. Как видно из этой таблицы, основных типо-
вых динамических звеньев с различными передаточными функциями в систе-
мах автоматического регулирования насчитывается 16 видов. Наряду с ними
встречаются передаточные функции трансцендентных звеньев, получаемых
из дифференциальных уравнений элементов с распределенными параметрами.
Число таких передаточных функций-достаточно велико. В табл. Х.1 приве-
дены лишь два из них (под номером 17 для звена с распределенным запазды-
ванием, а под номером 18 — для трубопровода с потоком жидкости в неуста
повившемся режиме [28]).
Типовые динамические звенья имеют различные передаточные функции,
отличающиеся как по виду амплитудно-фазовых и частотных характеристик,
так и по виду переходных процессов. Сравнение переходных процессов для
типовых звеньев обычно проводится при ступенчатом единичном воздействии
и нулевых начальных условиях и именуется переходной функцией типового
звена.
Перейдем теперь к рассмотрению частотных характеристик и переходных
функций типовых звеньев.
1.	АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Апериодическое звено описывается передаточной функцией
(Х7)
или дифференциальным уравнением вида
T-g- + r/(0 = x(0.	(Х.8)
303
Рис. Х.1. Переходные функции аперио-
дических звеньев:
1 — устойчивого; 2 *-» неустойчивого
Рассмотрим решение этого уравнения
при нулевых начальных условиях и
х (t) = II]. Тогда получим переходную
функцию
t
т.
(Х.9)
На рис. Х.1 кривой 1 показана функ-
ция h (t) при Т — 4с. Как видно из этого
рисунка, h (t) апериодически стремится
к величине входного сигнала, равного [1 I.
По характеру поведения переходной функ-
ции и дано наименование данному типо-
вому звену.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика апериодического звена.
Если в передаточную функцию (Х.7) подставить s = /со и выделить действи-
тельную и мнимую части, то получим

(Х.10)
Так как — 7"2со2, то, подставив это выражение в формулу для
определения U (со), найдем
+ £/2(С0)
откуда
U2 (со) + V2 (со) — (7 (со) = 0.	(Х.11)
Данное уравнение можно представить в виде
+ <ХЛ2)
Выражение (X. 12) представляет собой уравнение окружности с центром
в точке U (со) — V (со) = 0 с радиусом, равным Чг (рис. Х.2). Подстав-
ляя в формулы (Х.10) числовые значения со, получим значения U (и) и V (со)
в декартовой системе координат. На рис. Х.2 показано построение точки для
со4 [отложены значения U (со4) и V (®4)1. Амплитудно-фазовую характери-
стику можно строить и в полярной системе координат. Для этого запишем
1Г(/со) = Д(со)е/0<“>.	(Х.13)
Для определения амплитудной характеристики воспользуемся формулой
Д (со) = / U2 (со) 4- V2 (со);	(X. 14)
тогда получим
Н (со) =	,	(X. 15)
а для фазовой характеристики имеем
0(co) = arctg^gj-,
т. е.
0 (со) = — arctg соГ.
(Х.16)
-1;j0	jVl Пл. W(jw) ——I	/	
0		^\]шг 41,01
		^_~УМ,=0,05
		=0,1
-0,5		шь=0,2
Рис. Х.2. Амплитудно-фазовая ча-
стотная характеристика устойчи-
вого апериодического звена при Т —
= 4,0 с
304
Откладывая на ряс. Х.2 значения
Н', Н", 0' и 0", соответствующие раз-
ным частотам, получим точки ампли-
тудно-фазовой характеристики W (/со)
также в виде полуокружности.
Логарифмические амплитудная и
фазовая частотные характеристики апе-
риодического звена. Прологарифмируем
выражение (Х.13); тогда получим
lg W (/со) = 1g Я (со) +	0 (со). (X. 17)
Рис. Х.З. Логарифмические амплитудная
и фазовая частотные характеристики
апериодического звена
Для построения логарифмической амплитудной частотной характери-
стики Н (со) принято брать более мелкую единицу измерения, которая в 20 раз
меньше одной десятичной логарифмической единицы, т. е. 20 lg Н (со). Дан-
ная единица измерения называется децибелл и записывается в виде дБ.
Логарифмическая фазовая частотная характеристика 0 (со) строится
в градусах. Построение логарифмических характеристик Н (со) и 0 (со) вы-
полняется на полулогарифмической бумаге, когда по оси абсцисс отклады-
вается со (в логарифмическом масштабе) и по оси ординат — амплитуды в де-
цибеллах и фазы в градусах (в линейном масштабе).
На полулогарифмической бумаге изменение частоты сог/со& в 2 раза назы-
вают октавой, а изменение в десять раз — декадой.
Для построения логарифмической амплитудной и фазовой характеристик
запишем формулу (Х.13) в виде
1’,« = РЖпн”'*7	(XJ8)
или в принятом масштабе для амплитуды получим
201g Я (со) = — 201g /Т2сог 4- 1.	(Х.19)
Пусть Тео 1; тогда из формулы (Х.19) найдем 20 1g Я (<в) = 0 дБ.
Отложим на полулогарифмической бумаге (рис. Х.З) этот участок характери-
стики. Положим теперь Тео 1, откуда из выражения (Х.19)
201g Я (со) =—20 lg Тео.	(Х.20)
Подставим в формулу (Х.20) значение со = 10сох; тогда
201g Я (lOcoJ = — 201g 10 — 20 lg Тсох.	(Х.21)
После этого подставим в формулу (Х.20) со = сох, т. е.
201g Я (сох) = — 20 lg Тсох.	(Х.22)
Вычитая из выражения (Х.21) выражение (Х.22), найдем
201g Я (10сох) — 201g Я (сох) = — 20 дБ/дек,	(Х.23)
т.	е. при изменении частоты в 10 раз наклон логарифмической амплитудной
характеристики составляет —20 дБ/дек. На рис. Х.З в области частот соТ 1
проведем прямую с наклоном — 20 дБ/дек. Если продолжить логарифмиче-
ские характеристики с наклоном 0 дБ/дек и —20 дБ/дек, то они пересекутся
в точке 1,0. Полученная таким образом логарифмическая амплитудная частот-
ная характеристика является приближенной. Для определения ее точных
значений перепишем формулу (Х.19) в виде
201g Я (со) = -201g	+ b	(Х'24)
где со о = ЦТ.
305
Подставляя различные значения со/со 0, найдем точную логарифмическую
амплитудную характеристику Нт. Вычисляя разности между приближенной
и точной амплитудной характеристиками, получим соответствующие поправки
6 к приближенной характеристике, которые приведены ниже:
ю
..............
б, дБ . . . .
0.1	0,25	0,4	0.5	1,0	2,0	2,5	4,0	10,0
0,04	0,32	0,65	1,00	3,01	1,00	0,65	0,32	0,04
Откладывая от приближенной характеристики Н (со) значение поправок,
получим точную логарифмическую амплитудную частотную характеристику
апериодического звена. Она приведена на рис. Х.З штриховой линией и обо-
значена как Нт (со).
Логарифмическая фазовая характеристика может быть вычислена- по
формулам
0 (со) = — arctg со Г
1
ИЛИ При СО0=»-уг
0 (со) = — arctg .	(Х.25)
Соответствующее построение также выполнено на рис. Х.З (кривая 0).
Из формулы (Х.25) видно, что в логарифмическом масштабе частот кри-
вая 0 (со) является кососимметричной относительно точки соо — -у-, где 0 =
= —45°, т. е.
0
(Х.26)
2.	АПЕРИОДИЧЕСКОЕ НЕУСТОЙЧИВОЕ ЗВЕНО
Апериодическое неустойчивое звено описывается передаточной функцией
тНгт	|Х27>
или дифференциальным уравнением
=	(Х.28)
Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях и х (() — [1 ]
имеет вид
I -е"К	(Х-29)
Характеристика переходной функции для этого звена построена на рис. Х.1
штриховой линией (кривая 2). Из рис. Х.1 видно, что при t —> оо h (t) —< ео.
Это и указывает на неустойчивость данного звена.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика неустойчивого аперио-
дического звена. Подставив s = /со в выражение (Х.27),. получим
U (а>)=	—j_—.; V (со) =	Г2(0, + j •	(Х.ЗО)
Так как
то
7/ЧйГ ’
С7(го) =
г
U* (со)
f/a(co) +Р(со)-|-£/(со) = О.
306
откуда
Рис. Х.4.' Амплитудно-фазовая частотная харак-
теристика неустойчивого апериодического ввена при
Т = 4,0 с
Рис. Х.5. Логарифмические амплитудная и фазо-
вая частотные характеристики неустойчивого апе-
риодического ввена
Из этого уравнения можно найти
+	(Х.31)
что представляет собой уравнение окружности с радиусом */2 и центром
в точке — Vg. На рис. X.4 построена полуокружность от со — 0 до со = оо.
На основании выражений (Х.ЗО) получим
Я (со)(Х.32)
/ Т«со2 +1
и' ’
0 (со) = — л 4- arctg <£>Т.	(Х.ЗЗ)
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики
неустойчивого апериодического звена. Логарифмическая амплитудная харак
теристика неустойчивого звена находится по выражению (Х.32):
20 lg Н (со) — — 201g /Лсоа4-1,	(Х.34)
что соответствует выражению (Х.19) для устойчивого апериодического звена.
Логарифмическая фазовая характеристика строится от —л до-Соответ-
ствующее построение выполнено на рис. Х.5.
3.	УСИЛИТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО
Усилительное звено (или безынерционное) имеет передаточную функцию
	=	=	(Х.35)
A (S)
где k — коэффициент усиления.	-
Переходная функция такого звена определяется из следующего выраже -
ния: .
7t(f) = jfe[l],	(Х.36)
Вид переходной функции этого звена показан на рис. Х.6, а. Амплитуд
ная частотная характеристика усилительного звена определяется по фор
муле
Н (со) = k,	(Х.37)
а фазовая частотная — соотношением
0 (со) = 0.	(Х.38)
307
h
О
_L
Пл w(ju)
W(ju)
Puc. X.6. Характеристики усилительного ввена-.
a —• переходная функция; б “ амплитудная частотная
характеристика Ы (<>); в « фазовая частотная характе-
ристика 6 (<о)
Рис. Х.7. Амплитудно-
фазовая частотная харак-
теристика усилительного
ввена
Частотные характеристики Н (со) и 0 (со) построены на рис. Х.6, б, в.
На основании этих характеристик нетрудно получить амплитудно-фазовую
частотную характеристику, которая представляет собой точку на оси абсцисс,
отложенную на расстоянии k от начала координат (рис. Х.7).
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики
усилительного звена. Эти характеристики получаются на основании фор-
мул (Х.37) и (Х.38) (см. прил. Ш).
4.	ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Передаточная функция интегрирующего звена записывается в виде
= = <х-39>
«А {$/	8
Уравнение для интегрирующего звена можно представить в виде
g(t) = J dt.	(Х.40)
Из уравнения (Х.40) нетрудно получить переходную функцию интегри-
рующего ввена
h(t)=tK.	(Х.41)
Соответствующая этому случаю зависимость показана на рис. Х.8, а.
Амплитудно-фазовая характеристика интегрирующего звена. Подста-
вив в (Х.39) s = /ш и отделив мнимую часть от действительной, получим
7/(®) = 0; V (®) = -J-.	(Х.42)
В соответствии с этим можно определить амплитудную и фазовую частот-
ные характеристики:
=	(Х.43)
0(£о)---(Х.44)
Изменяя со от 0 до оо, получим, что конец вектора W (/со) движется по
отрицательной части мнимой оси (см. рис. Х.8, б).
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики
интегрирующего звена. Исходя из формул (Х.43) и (Х.44), имеем
201g Я (со) = — 20 lg со; 0(со) = —	(Х.45)
эти характеристики построены на рис. Х.9.
308
Рис. Х.8. Характеристики интегрирующего ввена:
а •— переходная функция: б амплнтудно-фазовая ча-
стотная характеристика
Рис. Х.9. Логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики интегрирующего звена
Если имеются (усилительное и интегрирующее звенья, т. е.
^(8)^-7"’	(Х.46)
го логарифмическая амплитудная характеристика при о = 1 имеет наклон
20 1g А: (рис. Х.9).
В системах автоматического регулирования можно встретить и два
интегрирующих звена, т. е.
^(s)=4;	(х-47>
тогда
^(®) = -4г; V(®) = 0,	(Х.48)
и амплитудно-фазовая частотная характеристика такого звена представляет
собой прямую вдоль оси абсцисс, идущую от — оо до 0 (рис. Х.10, а).
Из выражения (Х.47) нетрудно получить
=	0(ю) = —Л.	(Х.49)
Прологарифмируем формулы (Х.49);'тогда получим	
20 lg Н (со) = — 40 1g со	(Х.50)
0 (со) = — л.	(Х.51)
Таким образом, логарифмическая амплитудная характеристика этого
звена имеет наклон — 40 дБ/дек, а фазовая При W (s) = -i- имеем t/(co) = 0; V(co) = -^,	(Х.52)		лдет по Пл. 0	уровни J'v	3 —л. Плы^'ш} э С0=ое
откуда видно, что амплитудно-фазовая характеристика представляет собой поло- жительную ось ординат (рис. Х.10, б). Логарифмическую амплитудную характе-	0—Q) (У=с*>	 ’ 17 а)	0	и S}
ристику строят с помощью выражения
20 lg Н (со) = —601g о, (Х.53)
а фазовую — по формуле
0 (со) =--1- л. (Х.54)
Рис. Х.10. Амплитудно-фазовые ча-
стотные характеристики интегриру-
ющих звеньев:
л «*• при U? (s) =	6 при W (s) —
1
309
5.	КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЗВЕНЬЯ (УСТОЙЧИВЫЕ И НЕУСТОЙЧИВЫЕ)
Устойчивое колебательное звено характеризуется передаточной функцией
W = ТМ + 2£7s + 1 •	(Х.55)
Для неустойчивых колебательных звеньев * имеем передаточную функцию
вида
rW-4£r-rM-2tn + i-	<Х-56>
или
=	(Х-57'
Составим дифференциальные уравнения для этих трех звеньев:
7-g-±2gT-f-±y(0 = x(0.	(Х.58)
Если в уравнении (Х.58) оба знака положительны, то переходная функ-
ция устойчивого колебательного звена имеет вид
_J_,	______ ____________
/г (/) = 1 - sin	1 + arctg ~ H.	(X.59)
Данное уравнение описывает затухающий колебательный процесс с коэф-
1/~ I_________________________________tS
фициентом затухания 5 и угловой частотой-—Переходные функции для
этого звена построены на рис. X. 11: кривая 2 при Т = 2 с и £ = 0,5; кривая 3
при Т = 2с и 5 = 0,1; кривая 4 при Т = 2 с и £ = 0,01. Как видно из
рис. Х.11, с уменьшением £ степень колебательности переходного процесса
сильно возрастает. На этом же рисунке для сравнения показан переходный
процесс при £ = 1 (кривая /). В этом случае передаточная функция колеба-
тельного звена может быть представлена в виде двух апериодических звеньев:
= (2s+ l)(2s+ 1)'
* В дальнейшем увидим, что данное звено является неустойчивым, так как его переход-
ная функция при / -» ео стремится к бесконечности.
Рис. Х.11. Реакции колебательных звеньев на единичное ступенчатое
воздействие х (t) = [1 j
310
Переходная функция для неустойчивого звена (Х.56) имеет следующий
вид:
h (f) =	' sin (	14- arctg	•	(X.60)
Из формулы (X.60) видно, что при положительном коэффициенте затуха-
ния § переходная функция с ростом времени t будет увеличивать свою ампли-
туду. При t —► оо функция h (оо) —► оо, что указывает на неустойчивость
колебательного звена.
Найдем теперь переходную функцию по передаточной функции (Х.57).
В этом случае
Л(0--^т=1(ё + /1ЧП)е _(£_/§qri)e т J-1
2 у 1 ‘Т* £
(Х.61)
В полученном выражении имеется член е т , который указывает на
рост функции h (/) с увеличением t (т. е. при t —»оо функция h (со) —»оо,
что также указывает на неустойчивость этого звена).
Амплитудно-фазовые частотные характеристики колебательных звеньев
Подставим в выражение (Х.55) s = /со; тогда получим
j j ,	. _ 1 — i ш-
U ~ (1 — 7'2ш2)24^27'2со2 ’
V( Т	2’Гш
V я" (1 — Тасоа)а + 4£2Г2ш3 ‘
(Х.62)
С помощью этих выражений на рис. Х.12 для параметров Т — 2,0 с,
= 0,5 и £3 = 0,1 построены амплнтудно-фазовые характеристики коле-
бательного звена. Здесь же для сравнения построена характеристика при =
= 1,0,
На основании выражений (Х.62) можно определить
Я (со) = ——1	==;	(Х.63)
/(1 — Г2Ш2)2+4*2Т2Ш2	'
8 (a)--arctg
(Х.64)
Для неустойчивого колебательного звена из выражения (Х.56) имеем
U (1 — Ъсо2)2 + 4|аТасоа ’
VI 1	2£Тш
И (®/ - (1 _ га£02)2 + 4ёаГ2ш2 •
(Х.65)
По этим формулам на рис. Х.13 построена амплитудно-фазовая частотная
характеристика для неустойчивого колебательного звена при Т = 2,0 с и
g = 0,5.
Имея в виду выражения (Х.65), нетрудно получить следующие формулы:
Н (со) =	;	(Х.66)
/(1 —raco2)a + 4gafacoa
8(со) — -2л 4- arctg г	(Х.67)
311
Рис. Х.12. Амплитудно-фазовые частотные
характеристики колебательных звеньев при
Т = 2с; h = 1,0; g2 = 0,5 и |9 = 0,1
Рис. Х.13. Амплитудно-фазовая ча-
стотная характеристика неустойчиво-
го колебательного звена
Рис. Х.14. Амплитудно-фазовая ча-
стотная характеристика ввена, име-
ющего передаточную функцию W (s) =
= T«s« + 2Tgs—1
Для звена с передаточной функцией (Х.57) при s = /со найдем
... 1	14-т2©2
U (Ю) - — (1 + r2fflJ)2 + 4|27,2<в2 ,
... > (
V (СО)»	0 + T2©2j2+'4g2r2©2'‘
Для Т =» 2,0 о и £ = 0,5 на рис. Х.14 построена амплитудно-фазовая
частотная характеристика. Амплитудная и фазовая характеристики опреде-
ляются по формулам
Н (®) -   -— -1--	;	(Х.69)
'	/(1 + Т2©2)2 + 4g2TW
0(Ю)-----n+arGtg_J&_.	(Х.70)
Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики колебатель-
ных звеньев. Прологарифмируем формулу (Х.63); тогда получим
201g /7 (м) = — 20 lg/(1 — Т2®а)а+4£аГа®г;	(Х.71)
0(®)-----arctg-p^r.	(Х.72)
По формулам (Х.71) и (Х.72) на рис. Х.15 построены логарифмические
амплитудные и фазовые частотные характеристики колебательного звена при
различных значениях £. Для интервала 0,3 < £	1,0 можно пользоваться
упрощенной логарифмической амплитудной характеристикой, которая опре-
деляется следующим образом.
Пусть ®Т 1; тогда из формулы (Х.71) имеем
20 lg Н (и) — 0 дБ.
312
Рис. Х.15. Логарифмиче-
ские амплитудная и фа-
зовая частотная характе-
ристики колебательного
ввена
При ©Т 1 получим
20 lg Н (®) = — 40 1g Та.	(Х.73)
Подставим в полученную формулу ® = 10® х; тогда
201g Я (10®х) = — 401g 10-401g 74.	(Х.74)
Далее примем и = шх и снова подставим в формулу (Х.73), откуда най-
дем
20 lg Н (®х) = — 40 lg Т®х.	(Х.75)
Взяв разность выражений (Х.74) и (Х.75), получим
20 lg Н (10 ®х) —— 20 lg Н (®х) = — 40 дБ/дек.
Таким образом, приближенная логарифмическая амплитудная характе-
ристика может быть представлена двумя прямыми: с наклоном 0 дБ/дек до
значения ® = 1 и далее с наклоном —40 дБ/дек. Необходимо заметить, что
при малых значениях £ < 0,3 нельзя пользоваться приближенной логариф-
мической амплитудной характеристикой, а следует пользоваться точной
характеристикой (рис. Х.15).
313

Рис. Х.18. Логарифмические
'амплитудная и фазоеая ча-
стотн'ле характеристики не-
устойчивого колебательного
звена с передаточной функ-
цией
W (S) = T-s- + 2JTs — 1
Для практических построений логарифмических амплитудных характе-
ристик необходимо пользоваться номограммой поправок 6 (рис. Х.16), кото-
рая получается при вычитании из точной характеристики; приближенной.
Логарифмические частотные характеристики для неустойчивого звена
можно получить из формул (Х,66) и (Х.67):
20 lg И (<о)= — 201g К(1
0 (Ш) = — 2л + arctg	.
Эти характеристики приведены на рис. Х.17. На рис. Х.18 построены
логарифмические амплитудная и фазовые частотные характеристики по фор-
мулам (Х.69) и (Х.70).
Из передаточной функции (Х.55) можно получить вырожденную функцию,
если в ней положить £ = 0,. т. е.
№(s) =
1
W-i-l *
(Х.76)
Выражение (Х.76) представляет собой передаточную функцию консерва-
тивного звена. Аналогичным образом из передаточной функции (Х.57) при
5 = 0 получим выражение
(S)	72S2 _ J
(Х.70)
315
Для этих вырожденных передаточных функций в прил. II построены
амплитудно-фазовые частотные характеристики, а в прил. III—логарифми-
ческие амплитудные и фазовые характеристики.
6.	ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ПЕРВОГО РОДА
Передаточная функция дифференцирующего звена первого рода имеет
вид
ir(s)==4Sr=7,s+1:	(х-78>
А 15)
тогда дифференциальное уравнение этого звена можно записать в виде
Г-^ + х(0 = г/(0-	(Х.79)
Из уравнения (Х.79) при нулевых начальных условиях и х (t) — [11
найдем переходную функцию дифференцирующего звена первого рода
/г(0 = Т6(0 + [11,	(Х.80)
где 6 (0 — дельта-функция.
Переходная функция по выражению (Х.80) построена на рис. Х.19, а.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена
первого рода получается из выражения (Х.78), если в него подставить s =
= /со:
t/(co)= 1; V (со) = Тео.	(Х.81)
На основании этих выражений на рис. Х.20, а построена амплитудно-
фазовая характеристика дифференцирующего звена первого рода. Для диффе-
ренцирующих звеньев с нулями в правой полуплоскости вида
№(s) = Ts — 1 и W (s) = 1 - Ts
амплитудно-фазовые характеристики построены на рис. Х.21, а, 6. Из фор-
мулы (Х.81) можно найти
Н (со) = /Т2со2+ 1;1
п	.	(Х.82)
9 (со) = arctg соТ.
Рис. Х.19. Переходная функция дифференцирую*
щих звеньев:
а первого рода; б второго рода
Рис. Х.20. Амплитудно-фазовые частотные харак-
теристики дифференцирующих звеньев-.
а первого рода; б второго рода
316
Рис. Х.21. Амплитудно-фазо-
вые частотные характеристики
дифференцирующих звеньев с ну-
лями в правой полуплоскости:
а — U7 (s) = Ts » 1; б — U7 (s) =
= 1 — Ts
Из формул (Х.82) можно получить
логарифмических амплитудных и фазовых
зависимости для построения
частотных характеристик, т. е.
20 lg Н (со) = 20 lg /W 4-1.	(Х.83)
$(со) = arctg со7\
(Х.84)
Сравнив формулы (Х.19) и (Х.83), а также формулы (Х.25) и (Х.84),
можно установить, что логарифмические амплитудная и фазовая характери-
стики дифференцирующего звена первого рода представляют собой зеркаль-
ное отображение относительно оси со Г соответствующих логарифмических
характеристик апериодического звена.
7.	ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО ВТОРОГО РОДА
Передаточная функция дифференцирующего звена второго рода записы-
вается в виде
W (s) =	= T2s2 4- 2lTs 4- 1.	(Х.85)
Соответствующее этой передаточной функции дифференциальное уравне-
ние будет
^-$-4-2^-^-4-х(0 = р(0.	(Х.86)
Из уравнения (Х.86) можно получить переходную функцию дифферен-
цирующего звена второго рода в виде
h (0 = Тг 4- 2£Т6 (0 4- [ 1 ].	(Х.87)
Переходная функция для этого звена построена на рис. Х.19, б. Ампли-
тудно-фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена вто-
рого рода получается по передаточной функции (Х.85) после подстановки
s = /со:
t/(co)= 1-Т2со2; V(co) = 2gTco.	(Х.88)
Имея в виду выражение (Х.88), можно построить амплитудно-фазовую
частотную характеристику для дифференцирующего звена второго рода
(см. рис. Х.20, б).
На основании выражения (Х.88) определим
Н (со) = /(1 -Т2со2)24-4£2Т2со2;	(Х.89)
9(®) = arctg	(Х.90)
Прологарифмировав выражение (Х.89), найдем
20 lg Н (со) = 20 lg/(1 -T2co2)24-4g2T2co2.	(Х.91)
317
Сравнивая формулу. (X.91) с выражением (Х.71)* можно установить, что
логарифмическая, амплитудная частотная характеристика дифференцирую-
щего звена второго рода представляет зеркальное отображение относительно
оси частот логарифмических амплитудных характеристик колебательного
звена. Из формул (Х.90) и (Х.72) видно, что логарифмическая фазовая харак-
теристика дифференцирующего звена второго рода является зеркальным ото-
бражением относительно оси со логарифмической фазовой характеристики
колебательного звена. Эти характеристики для одного значения приведены
в прил. III. По аналогии с колебательными звеньями можно найти частотные
характеристики и для звеньев с передаточными функциями
W (s) == T*s2 - 2^Ts +1;	(Х.92)
U7(s) = rs2 + 2gn-1.	(Х.93)
Из выражений (Х.85) и (Х.93) можно определить вырожденные переда-
точные функции для дифференцирующего звена второго рода, т. е.
W (s) = TV + 1;
W (s) = TV - 1;
W (s) = ЛА
(Х.94)
Амплитудно-фазовые и логарифмические частотные характеристики для
типовых звеньев с передаточными функциями (Х.94) построены в прил. II
и III.
При практических расчетах и в особенности при проверке правильности
построения амплитудно-фазовых частотных характеристик следует пользо-
ваться таблицей значений амплитуд и фаз при двух значениях частот со = О,
со = оо (табл. Х.2).
Таблица Х.2
Значения амплитуд и фаз типовых звеньев при о*» 0 и ш = °®
Тип эвен»	Пара- метры звена	О>==0	от	Тип «Вень	Пара- метры звена	со = 0	U) = оо
1	н	1	0	72s2 + 25Ts + 1	н	1	ОО
Ts+ 1	(1°	0	—90		0е	0	+ 180
1	н	1		7!s2 — 2|7s + 1	н	1	ОО
7s — 1	ес ‘	— 180	—90		9°	+360	+3'60
1	н	1	0	7asa + 2g7s — 1	Н	1	оо
72s“ + 2i,Ts 4- 1		’	— 180		0°	+ 180	+ 180
1	н	1	0		/У	0	ОО
72s- — 2iTs + 1	0‘	—360	— 180		... 0°	+90	+ 90
I			0	s4	н	0	ОО
72s- + 227s — 1	*	-180	— 180		0°	+ 180	+ 180
Ts + 1	Н		ОО	1 s	н		оо	0
		°	+90		0°	—90	—90
Ts — 1	н	—1	ОО	1 <3	И	 	оо	0
		-180	—90		0“	—180	— 180
318
- Из; данных-этой таблицы видно, что существуют два типа звеньев, кото-
рые можно назвать минимально-фазовыми и неминимально-фазовыми. К пер-
вым относятся те звенья, у которых нули и полюсы (включая и нулевой полюс)
расположены в левой полуплоскости. В этом случае фазовая характеристика
может иметь вполне однозначное соответствие амплитуде, т. е. при снижении
амплитудной характеристики типового звена на ±20 дБ/дек фазовая характе-
ристика стремится к ±90°, а при изменении амплитудной характеристики
на ±40 дБ/дек фазовая характеристика стремится к ± 180°. Таким образом,
к минимально-фазовым звеньям относятся звенья с передаточными функциями
1
_________________ JL •	• 74 Д. !•
T»s» + 2$Ts + 1 ’ s’ s2 ’
7V + 2£Ts+ 1; s И s2.
‘ В тех случаях, когда нули или полюса передаточных функций типовых
звеньев расположены в правой полуплоскости, такие звенья называются неми-
нимально-фазовыми. К ним относятся звенья с передаточными функциями
1	.1.1.
Ts — 1 ’ ГМ — 2^Ts + 1 ’ T»s2 ± 2gTs — 1 ’
Ts - 1; T*s* - 2lTs 4- 1 и т. д.
Необходимо отметить, что все трансцендентные звенья являются также
неминимально-фазовыми. Перейдем теперь к примерам построения некоторых
простейших передаточных функций.
Пример Х.1. Построить амплитудно-фазовую частотную характеристику по передаточ-
ной функции
U7(S) = W'1(s)lF2(s) = (Ts+l)2-^r2-^-.	(Х.95)
Подставив в формулу (Х.95) s = /со, найдем

{Tjw + 1)а
(T/ш — 1)2
(Х.96)
По выражению (Х.96) можно построить результирующие логарифмические частотные
характеристики Нр (со) и 0р (со) (рис. Х.22, а). По ним нетрудно получить амплитудно-фазовую
характеристику (рис. Х.22, б), представляющую собой окружность с радиусом 1, при со = 0
имеющую 0 = —360°, а при со = со 0 = 0°. Значение фазовых углов можно определить и
по табл. Х.2, в этом случае получим 0 (0) = —2-180° и 0 (оо) = ±2-90° — 2-90° = 0°.
319
JV
Пл. W(j&)
Ш-0
О-----т

Рис. Х.23. Частотные характеристики для функции W (jai) —
= (/со)2-—1
Пример Х.2. Построить амплитудно-фазовую частотную характеристику по передаточ-
ной функции
IF(s) = irt(s)^Hs)^3(s) = s2^rry^ZT-	(Х-97)
Подставив в выражение (Х.97) s = /со, получим
W W = p-Jiffi--------г-.	(Х.98)
(/со + 1) (/со — 1)
На рис. Х.23, а построены логарифмические частотные характеристики, определяемые
формулой (Х.98). Пользуясь результирующими характеристиками Яр (со) и 0В (со), найдем
амплитудно-фазовую характеристику (рис. Х.23, б).
Пример Х.З. Построим амплитудно-фазовую характеристику для передаточной функции
Г (а)
Ts+ 1
(Ts — I)2 •
При s = /со это выражение примет вид
<х-">
На рис. Х.24, а построены результирующие логарифмические амплитудная Яр (со) и
фазовая 0Р (со) характеристики. Используя их, построим амплитудно-фазовую характери-
стику (F (/со) (рис. Х.24, б).
Рис. Х.24. Частотные характеристики для функции
W (/со) =
Г/со + 1
(Т/со — I)2
320
8.	ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЗВЕНЬЯ
Передаточная функция трубопровода как звена «чистого» запаздывания
записывается в виде 1
w)=4S-=e-xs-	<х-10°)
Уравнение для этого звена можно представить в следующем виде:
	У (t) = х (t - т).	(Х.101)
Переходную функцию при единичном воздействии из уравнения (Х.101)
найдем как
	h (t, т) = 1 (t - т).	(Х.102)
На рис. Х.25 ломаной 1 показаны переходная функция при т = 2с,
а ломаной 2 — при т = 5 с.
Для определения частотных характеристик этого звена в выражение
(Х.100) вместо s подставим /со; тогда получим
	Г(/со) = е-Л“,	(Х.103)
или	W (/со) = cos тсо — / sin тсо,
откуда	U (со) = cos тсо; ] Tzz\	.	(Х.104) V (со) = — sin тсо. J
На рис. Х.26 построена амплитудно-фазовая частотная характеристика
звена «чистого» запаздывания. Из выражений (Х.104) нетрудно найти ампли-
тудную частотную характеристику
	Я(со)=1	(Х.105)
и фазовую частотную характеристику
0 (со) — — тсо.	(X. 106)
С помощью выражений (Х.105) и (Х.106) построены логарифмические
амплитудная и фазовая частотные характеристики (рис. Х.27).
Передаточная функция длинного водяного канала записывается в виде
[см. (IX.63)]
(ХЛ07)
1 "Г Ро 1П (TS;
Имея в виду, что,
Рис. Х.25. Переходные функции звена
«чистого» запаздывания при т = 2 с и
т = 5 с
Рис. Х.26. Амплитудно-фазовая ча-
стотная характеристика звена «чи-
стого» запаздывания
11 Иващенко Н- Н-
321
Рис. Х.27. Логарифмические
амплитудная и фазовая частот-
ные характеристики звена «чи-
стого* запаздывания с т = 0,2 с
выражение (Х.107) запишем в виде
W(s) = (1~ 2ро) eTS + (l + 2po)e~TS
U (1 +р0) exs + (1 - ро) е~«
(Х.108)
Положив в полученном выражении s = /со, найдем,
Г(/со) =
cos сот — /2р0 sin сот
cos сот + /ро sin сот
(Х.109)
Отделим в выражении (Х.109) вещественную от мнимой части; тогда
получим
4 ' COS2 СОТ 4- Pfi sin2 сот
q ™	(Х.110)
Т7. ч —Зр0 sm сот cos сот	v '
у (со) =----.
v ' cos2 сот + р2 sin2 сот I
С помощью формул (Х.110) найдем амплитудную и фазовую частотные
характеристики трансцендентного звена в виде
Я(со) =	1 + —а3р^^п22шГ  _г;	(Х.111)
' ' Г 1 cos2 соТ + Ро sin	'
л / \	£ Зро sin соТ cos соТ	/V ,,
0(co)=-arctg-osP^---2p2s.H,Mr.	(Х.112)
По формулам (Х.111) и (Х.112) на рис. Х.28 построены логарифмические
амплитудная и фазовая частотные характеристики прир0 = 2с и т = 0,02 с.
Рис. Х.28. Логарифми-
ческие амплитудная
и фазовая частотные
характеристики тран-
сцендентного звена,
имеющего передаточ-
ную функцию W (s) =
_ 1 — 2р0 th (ts)
1 + Ро th (ts)
Ро = 2 с; т = 0,02 с
322
Пример Х.4. Построить амплитудио-фазовую частотную характеристику и переходную
функцию при единичном воздействии для объекта регулирования, имеющего передаточную
функцию вида
--TS
^S> = w+T’
(Х.113)
если его параметры имеют следующие значения: Т = 2 с и т = 0,5 с.
При s= /со выражение (Х.113) примет вид
W (/со) =
е—/0,5<в
2/® + 1
(Х.114)
На рис. Х.29 по выражении) (Х.114) построена амнлитудио-фазовая частотная характе-
ристика объекта регулирования.
Формулу для переходной функции запишем в виде
&(/) =
0 при
—С-0,6
1 — е 2 при t > 0.
Соответствующая этому выражению переходная функция построена на рис. Х.ЗО.
9. ФАЗОВАЯ ЛИНЕЙКА
Построение приближенных логарифмических амплитудных характери-
стик для сложных передаточных функций выполняется с помощью типовых
наклонов ±20 дБ/дек; ±40 дБ/дек; ±60 дБ/дек; ±20 п дБ/дек (п — число
однозначных звеньев) и поэтому не представляет никаких практических
трудностей. Если требуется уточнить логарифмические амплитудные харак-
теристики, то необходимые поправки для однозначных звеньев можно взять
из табл, на стр. 306, а для двузначных звеньев —из рис. Х.16, и в этом слу-
чае построение также выполняется достаточно просто.
Вычисление фазовых характеристик представляет определенные труд-
ности. С целью преодоления этих трудностей была предложена фазовая
линейка. Общий вид фазовой линейки показан на рис. Х.31, а. Фазовая ли-
нейка позволяет определять фазовые углы для однозначных звеньев с точ-
ностью до 0,2°, а для двузначных звеньев до 0,4°. На самой нижней шкале
фазовой линейки даны значения соотношения круговых частот со/соо для
однозначных звеньев, на следующей шкале снизу приведены значения углов
для однозначных звеньев, а сверху для двузначных. И, наконец, на самой
последней (верхней) шкале даны значения соотношения частот со/со 0 для дву-
значных звеньев при различных Для повышения точности расчетов дву-
значных звеньев принят интервал между £, равный 0,05. Поэтому фазовая
линейка состоит из двух частей (верхней и нижней). Верхней линейке соот-
ветствует интервал 0,05 < £ < 0,5, а нижней линейке 0,5 < £ < 1,0.
11*
323
Q Для звеньев второго порядка
Д'™ з11тье$ дтор020 порядка ^ЛЯ порядка пе^ого
L
а)
Рис. Х.31. Фазовая линейка:
а — общий вид; б — пример определения фазового угла для однозначного звена; в — пример определения фазового угла для двузначного
звена
На рис. Х.31, б показано определение значения фазового угла для
звена с передаточной функцией --!---. При со/соо = 0,25 имеем фазовый
СОо
угол 0 = —13,6°.
Определение фазового угла для звена второго порядка показано на
рис. Х.31, в.
Допустим, что нам задана частотная функция звена второго порядка
W (/со) =
1
Примем, что со/со0 = 0,3, а £ = 0,8. Для этих параметров находим точку
пересечения линии со/соо = 0,3 с прямой, соответствующей £ = 0,8, и из
точки пересечения опускаем перпендикуляр к шкале фаз. Как видно из
рис. Х.31, в, в рассматриваемом случае 0 = —27,6°.
Следует напомнить, что значения фазовых углов апериодического и коле-
бательного звеньев имеют знак минус, а у дифференцирующих звеньев пер-
вого и второго рода — знак плюс. Фазовая линейка пригодна и для
определения фазовых углов у неминимально-фазовых звеньев. В этом случае
необходимо из первоначального фазового угла или =£2л вычитать (при-
бавлять) значения фаз, определяемые по линейке.
10. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО СОЕДИНЕННЫХ
ГРУПП ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Общая форма передаточной функции последовательно соединенных
групп типовых звеньев может быть представлена в виде
то _____ bosm -f- fefS'n~1 + b2sm~2 4~ • •• + bm-jS 4- bm   Mp (s)	11
a0s«4-a1s't-l + a2s«-2+----i-an-is + an Dp (s) ’	'
Подставим в полученное выражение s = /со и найдем, что
Мр (/со) = Л (со) 4-/В (со);
Dp (/со) = С (со) + /К (со),
откуда получим
Т,, х _ А (со) С (со) 4- В (со) К (со) .
С2(со)4-№(<»)	’
v,..x В (со) С (со) — А («о)К (со)	1	'
v { 1 ~ С2 (со) 4- № (со)
Задаваясь различными значениями со и пользуясь формулами (Х.116),
можно построить амплитудно-фазовую частотную характеристику.
Пример Х.5. Построить амплитудно-фазовую частотную характеристику, если
. _ _________250s	Ю00__________ /v i,y\
( ~ 0,05s8 4- 10,055s2 4- 11.005s 4-1 ‘	к '
Подставим в выражение (Х.117) s= /со; тогда
А (со) = 1000;
В (со) = 250со;
С (со) = 1 — 10,055со2;
К (со) = 11,005со — 0,05со8
у 325
откуда
1000 (1 — 10,055©2) + 250w (11,005ш — 0,05со») .
(1 — 10,055со2)2 + (11,005(0 — 0,05(о3)2
250со(1 — 10,055(о2) — 1000 (11,005(о — 0,05ш3)
(1 — 10,055ша)2 + (11,005<о — 0,05(о»)а
Задаваясь различными значениями (о, получим амплитудно-фазовую характеристику
W (/со), построенную на рис. Х.32.
Пример Х.6. Система автоматического регулирования имеет передаточную функцию
, ,_________________________________1000 (0,25s + 1)	,у 11
Г()	(10s + 1) (s + 1) (0,005s + 1) ‘	( ‘ 8)
Построить для нее логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики.
Для этого сначала в выражение (Х.118) подставим s = /(о; тогда получим
1000 (0,25/ш + 1)
W (10/W + 1) (/(о + 1) (0,005/(о + 1) ’
(Х.119)
Построим логарифмическую амплитудную характеристику по выражению (Х.119),
пользуясь логарифмическими характеристиками отдельных типовых звеньев.
Сначала отложим на полулогарифмической бумаге (рис. Х.ЗЗ) значение 20 1g К, равное
20 1g 1000 = 60 дБ, и проведем через точку’/! прямую с наклоном 0 дБ/дек до частоты (ох =
= 1/10 = 0,1 с-1. В точке излома В проведем прямую с наклоном —20 дБ/дек до частоты
ш2 = 1 с-1 (точка С). Из точки С проведем прямую с наклоном —40 дБ/дек до точки D, где
наклон характеристик снова станет равным —20 дБ/дек. Это получается потому, что в точке D
вступает в действие дифференцирующее звено первого порядка. Тогда характеристика с накло-
ном—40 дБ/дек совместно с характеристикой +20 дБ/дек дает результирующий наклон
—20 дБ/дек. Прямая с наклоном —20 дБ/дек продолжается до точки Е, где вступает в дей-
ствие последнее апериодическое звено, и наклон амплитудной характеристики снова стано-
вится равным —40 дБ/дек.
Рис. Х.32. Амплитудно-фазовая частотная
характеристика для примера Х.5
Рис. Х.ЗЗ. Построение логарифмических
амплитудной и фазовой частотных характе-
ристик для примера Х.6
326
Таблица Х.З
Значения фазовых углов 9 («а)
Зависимости для определения фазовых углов типовых звеньев	Значения ®				
	0,01	0,05	0,1	0,5	1,0
СО -arctg оТ.	—5,5	—26,5	—4,5	—78,5	—84,5
х	© —arctg —	—0,5	—3,5	—5,5	—26,5	-45
+arctg	0	0,6	1,5	7,5	14
х —arct£ 200	0	0	0	0	—0,2
е	—6	—29,4	—49	—97,5	—109,5
Зависимости для определения	Значения ш				
фазовых углов типовых звеньев	6	10	50	100	1000
СО —arctg"oT	—89	—89,5	—90	. —90	—90
X	® —arctg —	—78,5	—84,5	—89	—89,5	—90
, х со +arctg -j-	51,5	67,5	85,5	87,5	90
О) -a^g goo	—1,5	-3,5	—14	—26,5	—78,5
e	—117,5	—109	—107,5	—118,5	—168,5
Фазовую характеристику будем определять по формуле
0 (®) = — arctg --arctg ~ + arctg --arctg .	(X. 120)
Значения фазовых углов сведены в табл. Х.З. Фазовая характеристика 0 (со) также
построена на рис. Х.ЗЗ.
11. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВИДА ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ ГРУПП ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Для экспериментального определения вида передаточных функций и
параметров группы последовательно соединенных типовых звеньев можно
рекомендовать следующий способ. На вход группы типовых звеньев от ин-
франизкочастотного генератора будем подавать синусоидальный сигнал
у (() = Ло sin со^,	(Х.121)
где Л 0 — постоянная амплитуда входного сигнала; о>£ — круговая частота,
изменяющаяся в процессе эксперимента.
Входной сигнал осциллографируется с помощью шлейфового осцилло-
графа шлейфом 1 (рис. Х.34, а), а выходной сигнал —
х(0 = 4, sin (со,* 4-0,)	(Х.122)
шлейфом 2.
Изменяя частоту со,, снимем несколько осциллограмм, показанных для
примера на рис. Х.34, б.
327
Рис. Х.34. Экспериментальный способ определения передаточной функ-
ции группы последовательно соединенных звеньев'.
а — схема установки для определения передаточной функции; б — значения
соотношения 20 lg AJA9 и сдвигов фаз 0^
Из осциллограмм будем находить значения 201g Л(/Ло и 0г (рис. Х.34, б).
Нанесем значения полученных соотношений амплитуд и фаз на полулогариф-
мическую бумагу точками a, b, с, d, е, f, i, k (рис. Х.35). Через эти точки про-
ведем прямые с типовыми наклонами. В рассматриваемом нами случае они
будут 0 дБ/дек; —20 дБ/дек; —40 дБ/дек. В точках пересечения этих прямых
найдем соответствующие значения постоянных времени 7\ = 5,0 с и Т2 =
= 1,25 с. Таким образом, получим экспериментальные амплитудную и фазо-
вую частотные характеристики элементов системы автоматического регулиро-
вания.
Перейдем теперь к определению типа звеньев и параметров передаточ-
ных функций для четырех различных случаев. Экспериментально определен-
ные соотношения амплитуд и фазовые сдвиги показаны на рис. Х.36. Про-
ведем через эти точки прямые с наиболее близкими типовыми наклонами.
Рис. Х.35. Логарифмические ам-
плитудная и фазовая частотные
характеристики, полученные по
экспериментальным данным
(рис. Х.34, б)
Рис. Х.36. Логарифмические амплитудные и фазовые ха-
рактеристики для двух последовательно соединенных звень-
ев, полученные экспериментальным путем
328
В рассматриваемом нами случае эти наклоны будут —20 дБ/дек; —60 дБ/дек
и —80 дБ/дек. Отсюда найдем параметры 7\ = 1,0 с и Т2 — 0,1 с. Измеряя
величину выброса в децибеллах, по номограмме рис. Х.16 определим |х =
— 0,1. При со = 1,0 найдем k — 100. По логарифмической амплитудной ха-
рактеристике найдем передаточную функцию для группы типовых звеньев
в виде
= s(sa + 2-0,ls+ 1) (0,1s + 1) 	(X. 123)
Для проверки правильности полученного выражения (Х.123) необхо-
димо знать фазовую частотную характеристику 01э (со). Точки логарифми-
ческой фазовой характеристики 01э (со) также соединяем линией
(см. рис. Х.35).
Йз выражения (Х.123) при s — ja найдем формулу для определе-
ния 01р (со) в виде
0iP(o)) = -^--arctg|^-artcgO,lco.	(Х.124)
По этой формуле вычисляем расчетные значения фазовой характеристики
[построена на рис. Х.36 штриховой линией в виде кривой 01р (со) ]. Как видно,
расчетные и экспериментальные фазовые характеристики практически сов-
падают одна с другой, что указывает на правильность определения переда-
точной функции (Х.123).
Рассмотрим второй случай, когда экспериментально найденная ампли-
тудная характеристика Н2з («) совпадает с Н1з (со), а фазовая характери-
стика 02э (со) в области низких частот имеет угол, равный —270°. В этом
случае при наклоне логарифмической амплитудной характеристики
—20 дБ/дек и первоначальной фазе —270° из частотных характеристик видно,
что в передаточной функции имеется один полюс. Так как экспериментально
найденная фазовая характеристика 02з (со) в области низких частот практи-
чески следует за фазовой характеристикой 01э (со), а существенное различие
фазовых характеристик возникает лишь после частоты сох = -у—, то это озна-
чает, что имеется полюс во втором звене.
Тогда передаточную функцию можно записать в виде
^(й^п^+2-0,-т^)(0,1^	<х-125)
Приняв s = /со, из выражений (Х.110) найдем
02Р (®) = — -у — arctg	— л + arctg 0,1 со.	(Х.126)
Вычислив по этой формуле фазу 02р (со), нанесем ее на рис. Х.36. Как
видно, расчетная и экспериментальная фазовые характеристики располо-
жены достаточно близко одна от другой, а это и указывает на справедливость
передаточной функции (Х.125).
Рассмотрим теперь третий случай, когда в области высоких частот не
соблюдается соответствия между наклонами логарифмической амплитудной
характеристики и фазовой (т. е. —20 п дБ/дек не эквивалентно — 90 п°;
п = 0, 1, 2, ...).
В этом случае следует ожидать, что в передаточной функции имеется
трансцендентное звено. Допустим, что это звено «чистого» запаздывания
V (s) = -г'____100е~СТ_____•	(X. 127)
w «Isa-1-2.0,Is + 1) (0, ls-Hl) ’
тогда фазовая характеристика определяется по формуле
0зр (“) =-у — arctg 1'^-^ — arctg 0,1 со — 57,Зит.	(X. 128)
329
Из формулы (X. 128) видно, что первые три ее члена образуют фазовую
характеристику 01р (ш) (рис. Х.36). Взяв разность фаз 0зр (со) (рис. Х.37)
и 01р (ш) (рис. Х.36) при трех значениях частот со, = 30 с-1, ш,+1 = 60 с-1
и coi+2 = 70 с'1, получим
А0 =— 57,3(0^' = —18?;
А0 = — 57,3©/+1т’ = — 36°;
А0 = — 57,3<oz+2t” = — 65й,
откуда находим
“-SOT»— 0-0104 « ’'-тагао-°’0104с;
'"=57^70— °'0114 с-
Истинное значение т найдем как среднее арифметическое по трем заме-
рам А0, т. е.
т' + Т* + т”_______
3
0,0107 с.
Тогда передаточную функцию (Х.127) можно записать в виде
U7(s) =
100е—°-0I07s
s(s24-2-0,ls+l)(0,ls— 1) *
В последнем, четвертом случае соответствия между наклонами ампли-
тудной характеристики и фазовым сдвигом не соблюдается как в области
высоких, так и в области низких частот. Поэтому можно предположить, что
передаточная функция ряда последовательных звеньев имеет вид
=___________100е п__________
w s (sa + 2-0,ls+1) (0,1s—1) '
(X.129)
Далее следует проверить расчетную 04р (со) и экспериментальную 04э (со)
фазовые характеристики:
04р (со) = — А л _ arctg + arctg 0,1 — 57,3сот,	(Х.130)
откуда можно определить по ранее изложенной методике постоянную вре-
мени «чистого» запаздывания т.
330
ГЛАВА XI
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Общая постановка задачи устойчивости по Ляпунову. 2. Опреде-
ление функций Ляпунова методами Г. Сеге и Л. Шульца. 3. Устой-
чивость линейных систем автоматического регулирования. 4. Алге-
браические критерии устойчивости. 5. Частотные критерии устой-
чивости. 6. Анализ устойчивости одноконтурных систем автомати-
ческого регулирования. 7. Анализ устойчивости многоконтурных систем
автоматического регулирования. 8. Анализ устойчивости систем
автоматического регулирования с трансцендентными звеньями.
9. Выделение областей устойчивости с помощью D-разбиения.
Одной из основных задач теории автоматического регулирования яв-
ляется изучение динамических процессов, происходящих в автоматических
системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны
поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при дей-
ствии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть
достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих
устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы
означает, что малые изменения входного сигнала или какого-нибудь возму-
щения, начальных условий или параметров не приведут к значительным от-
клонениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический
смысл понятия устойчивости. Математическая постановка задачи об устой-
чивости рассмотрена ниже.
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ
Поскольку процессы в системах автоматического регулирования опи-
сываются дифференциальными уравнениями, то математический анализ
устойчивости сводится к исследованию свойств решения таких уравнений.
Решение уравнения можно рассматривать как некоторую траекторию х (t)
в пространстве переменных (х1; х2, ..., х„). Эта траектория удовлетворяет
в общем случае системе нелинейных уравнений
^-=Х1(х1, х2,...,хп, t\,
= Ха(хг, х3,...,хп, ty
(XI. 1)
^L = X„(x1, х2,...,хп, /),
или в векторной форме записи
-J-==X(x, /),	(XI.2)
где
хт = (xlt х2,..., х„)*;
хт = (хъ х2,..., хпу,
ХТ = (Х1, Х8, ...,Х„).
Система уравнений имеет решение, и притом единственное, если функ-
ции Хь ..., Х„ или, короче, вектор-функция X удовлетворяет теореме Коши
* хт — вектор-строка, транспонированная исходному вектор-столбцу х.
331
Рис. Х1.1. Траектория движения
системы
6)
а)
Рис. XI.2. Структурные схемы нелинейных систем
автоматического регулирования:
а — при g (/) =# 0; б — при g (/) = 0
о существовании и единственности решения системы дифференциальных
уравнений с заданными начальными условиями. Всюду в дальнейшем пред-
полагается, что решение системы (XI.1) существует и единственно.
Из множества траекторий, удовлетворяющих системе (XI. 1), выберем
одну, которую обозначим через g (f), и будем исследовать ее устойчивость.
Точнее говоря, будем изучать свойства траекторий х (/), начинающихся в на-
чальный момент времени t0 из состояния х° вблизи g (/) (рис. XI. 1). Если
они остаются все время вблизи g (/), то говорят об устойчивости системы;
если они отклоняются от g (t), то это соответствует неустойчивости.
Покажем, что задачу об устойчивости траектории g (/) можно свести
к задаче об устойчивости начала координат в пространстве новых перемен-
ных.
Введем новую переменную
е = g — х.
(XI.3)
Тогда уравнение (XI.2) примет вид
de
It
-X(g-E,
или в общей форме записи

(XI.4)
причем в новой системе координат согласно условию (XI.3) траектории g (t)
соответствует точка е=0. Точка е = 0 для уравнения (XI.4) является по-
ложением равновесия, так как F (0, /) = 0.
Системой уравнений (XI. 1) в общем случае можно описать нелинейную
систему автоматического регулирования, структурная схема которой по-
казана на рис. XI.2, а. Если g (t) = 0 и нелинейный оператор N является ста-
ционарным, т. е. не зависит явно от времени, то такая система называется
6-SQ>)
Рис. XI.3. Траектории движе-
ния. соответствующие устойчи-
вой, асимптотически устойчивой
и неустойчивой системам
автономной (рис. XI.2, б). В этом случае урав-
нения (XI.2) и (XI.4) принимают вид
-f- = X(x);	(XI.5)
4=F(e).	(XI.6)
Класс автономных систем объединяет мно-
гие системы автоматического регулирования,
как линейные, так и нелинейные.
Сформулируем математическое определение
устойчивости, используя следующее геометри-
ческое представление (рис. XI.3). Из изложен-
ного выше следует, что, не ограничивая общно-
сти, можно рассматривать только устойчивость
положения равновесия в начале координат.
Допустим, что в некоторой области G = S (р),
332
которая является сферой, объединяющей все точки, отстоящие от начала
координат на расстоянии г < р, выполняются условия теоремы Коши для
системы (XI.5). Тогда через каждую точку этой области проходит некото-
рая траектория х (/). Положение равновесия системы (XI.5) совпадает
с началом координат.
Будем говорить, что положение равновесия устойчиво, если для любого
R < р существует такое г < R, что траектория х (/), начинающаяся в точке х°
сферической области 5 (г), все время остается в сферической области S (R).
Иначе говоря, траектория х (/), начинающаяся внутри области S (г), никогда
не достигает сферы Н (R).
Положение равновесия асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и,
кроме того, существует такое R < р, что каждая траектория х (/), начинаю-
щаяся в сферической области S (R), стремится к началу координат, когда
время неограниченно растет.
Положение равновесия неустойчиво, если для некоторого (хотя бы од-
ного) R < р и любого г, каким бы малым г ни было выбрано, всегда найдется
внутри сферической области S (г) такая точка х°, что траектория х (/), на-
чинающаяся в этой точке, достигает за конечное время сферы Н (R).
Рассмотрим простейшие примеры.
Пример XI.1. Пусть некоторая система описывается дифференциальными уравнениями
вида
Эта система является автономной и совершенно аналогична системе уравнений (XI.5).
Структурная схема системы показана на рис. XI.4, а. Положением равновесия в системе коор-
.	dx,	_
динат (xt, х2) являются точки, где	= 0. Очевидно, что при этом хТ = х2 = 0,
и начало координат является положением равновесия. Траектории системы легко найти из
соотношения
dx, _	х2
dx2 ~	хх ’
Интегрируя, получаем х{ + х\ = г2. Если построить по этому уравнению кривые, то
получим хорошо известные фигуры Лиссажу для генератора, представляющие собой концен-
трические окружности с центром в начале координат. Начало координат, являющееся положе-
нием равновесия системы, устойчиво, что следует непосредственно из определения.
Если взять 7? р, то существует г << 7? такое, что траектория х (I), которая начинается
в точке х°, описывает окружность радиуса г и, следовательно, остается внутри области S (R),
Рис. XI .4. Три типа систем автоматического регулирования и их
траектории движения'.
dXt	dx2	„ dx*	dX\
a — для системы — x2\ —тг = — х^ б—для —— ® —Х£ в — для —~ « х<
at	at	dt	at
333
т. е. имеет место устойчивость.
Однако траектории не приближа-
ются к началу координат, и поло-
жение равновесия не будет асимпто-
тически устойчиво.
Пример XI.2. Рассмотрим си-
стему
==	(XI.8)
at
Траектория этой системы по-
казана на рис. XI.4, б. Положением
равновесия является точка начала
координат (х± = 0; х2 = 0). Если
взять начальную точку х°, то при
движении по траектории х (f) изо-
бражающая точка х не только
не выходит за пределы окружности Н (/?), но и стремится к началу координат; следо-
вательно, начало координат системы асимптотически устойчиво.
Пример XI.3. Рассмотрим систему
dxt
~dt
= Xj.
(XI .9)
Траектории показаны на рис. XI.4, в. Положением равновесия, как и прежде, является
начало координат (хг = 0; х2 = 0). Выбрав радиус R и сколь угодно малое г, легко убедиться,
что траектория х (/), начинающаяся в любой точке области S (г), обязательно достигает окруж-
ности Н (/?) за конечное время; следовательно, положение равновесия неустойчиво.
В приведенных примерах удавалось легко определить траектории си-
стемы и установить факт устойчивости исходя непосредственно из определе-
ния. Важная заслуга русского ученого А. М. Ляпунова заключается в том,
что он указал подход к определению свойства устойчивости, не связанный
с анализом траекторий и, следовательно, не требующий выполнения трудо-
емкой работы по нахождению решения дифференциальных уравнений. Этот
подход основан на простой идее, известной из механики: в положении равно-
весия система имеет минимум потенциальной энергии. Известно, что минимум
потенциальной энергии всегда можно считать равным нулю. Тогда в любой
окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положи-
тельной. Применение функций, которые положительны всюду, за исключе-
нием положения равновесия, к анализу устойчивости и лежит в основе
метода, разработанного А. М. Ляпуновым.
Рассмотрим автономную систему второго порядка
ха);
dxt	(Х1.Ю)
^- = Х8(хх, ха).
Предположим, что положением равновесия, которое необходимо иссле-
довать, является начало координат, т. е. выполняются условия Хг (0, 0) =
= Х2 (0, 0) = 0. Допустим, что известна некоторая функция переменных
состояния V (хг, х2), которая положительна всюду, за исключением начала
координат, где она равна нулю. Такая функция показана на рис. XI.5, а;
проекции сечений этой функции плоскостями V = const — k показаны на
рис. XI.5, б. Если для любой начальной точки х°(х°, ха) функция V (х°)
dV I . _
такова, что ее производная _ о < 0, то траектория направлена в сто-
рону уменьшения V. Если всюду, как это показано на рис. XI.5, б, < 0,
то траектория стремится к началу координат, которое устойчиво, в данном
„	,	dV
случае асимптотически. Если окажется, что вблизи начала координат
334
= 0, то V = const, и, следовательно, начало координат просто устойчиво.
Таким образом, устойчивость зависит от свойств производной функции V
как функции времени.
Найдем полную производную функции V по времени, т. е.
dV _ dV dxt . dV dx2
dt ~ dxt dt dx2 dt
 Учитывая соотношение (XI.10), имеем
2
<XU1)
i=l
Поскольку функции V (х) и X (х) считаются известными, то для опре-
„ dV (х)	,
деления производной —нет необходимости отыскивать траектории дви-
жения, достаточно иметь лишь уравнения системы (XI. 10).
Распространяя соотношение (XI. 11) на системы л-го порядка, получим
.....да-'2)
1=1	1=1
Введем некоторые определения. Для этого рассмотрим функцию
V (хп ..., хп), определенную в пространстве переменных (х1г ..., х„), непре-
рывную в некоторой области G, включающей начало координат, и имеющую
в. этой области непрерывные частные производные.
Функцию V (Xj, ..., х„) назовем определенно положительной в области G,
если всюду в этой области, кроме точки 0 (0, ..., 0), имеет место неравенство
V > 0. Если же выполняется неравенство V < 0, то функция V называется
определенно отрицательной. В том и другом случае функцию можно назы-
вать знакоопределенной.
Если в области G всюду выполняется неравенство V > 0 или неравенство
V < 0, то функция называется знакопостоянной, причем в первом случае
ее называют знакоположительной, а во втором — знакоотрицательной.
Если функция V принимает в области G значения как положительного,
так и отрицательного знаков, то в этом случае функцию V называют знакопере-
менной.
Рассмотрим примеры: функция Vi (х) = х2.+ х2 + Зхз —-_хз — опре-
деленно положительная функция лишь в области G : |х3| <]/"3; функция
V2 (х) = (xi + хг)2 + х2 + хз — определенно положительная во всем про-
странстве переменных; функция Уз (х) = (xi + х2)2 + хз лишь знакополо-
жительна, поскольку, кроме точки начала координат, она обращается в нуль
и на линии (xi + х2 = 0; Хз = 0); функция К (х) = Xi + х2 Хз знако-
переменна.
Функции V (х), удовлетворяющие одному из данных выше определений
и предназначенные для анализа устойчивости, называются функциями
Ляпунова.
К сожалению, не существует единого способа формирования функции
Ляпунова для анализа конкретных систем автоматического регулирования.
Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем (и, в част-
ности, широкого класса линейных систем) находят функции Ляпунова в виде
квадратичных форм.
Квадратичная форма может быть представлена в виде
V= Е	P4 = Pll,	(XI. 13)
335
или в матричной форме
где
V = хтРх,
(XI. 14)
Рн-
Pin
_Рп1 • • • Рпп _
—симметрическая матрица.
Квадратичная форма, представленная в виде (XI. 13) или в виде соот-
ветствующей ей матрицы Р (XI. 14), называется положительно определенной,
отрицательно определенной, знакоположительной или знакоотрицательной,
если соответственно хтРх > 0, хтРх < 0, хтРх > 0 или хтРх с 0. Все
остальные квадратичные формы являются знакопеременными. Укажем при-
знаки, по которым можно проверить, какое из указанных выше свойств
имеет изучаемая квадратичная форма или соответствующая ей матрица.
Квадратичная форма (XI. 13), или матрица Р из (XI. 14), является поло-
жительно определенной, отрицательно определенной, знакоположительной,
знакоотрицательной, неопределенной или тождественно равной нулю в том
и только в том случае, если собственные значения матрицы Р, которые для
симметрической матрицы действительны, соответственно все положительны,
все отрицательны, все неотрицательны, все неположительны, имеют различ-
ные знаки или все равны нулю.
Собственные значения Ху (/ = 1, 2, ..., п) матрицы Р — это корни ха-
рактеристического уравнения
д	д
det (ХЕ — Р) = | ХЕ — Р| = 0,
или
Р11	Р12	•	• •	Pin
Р11	Рм		• •	Pin
Pnl	Рп2	•	• •	Рпп
(XI. 15)
Пример XI.4. Рассмотрим квадратичную форму
V (х) = х| + 2хЛ + 2х?г + х%,
или в матричной форме записи
Г1 1
01
V (х) = (xlf х2, xs)
’I 1 О’
1 2 0
.0 0 1.
'х1~
хг
Х3-
Матрица Р = 12
; составим ее характеристическое уравнение
X—1	—1	0
—1 X —2	0
0	0	X— 1
= 0.
Раскрывая определитель, получаем
(X—1) (Хг —ЗХ+ 1) =0,
откуда находим корни характеристического уравнения в виде
1	,	3 + Г5 . ,	3 — Кб
Л1 — 1, Ъ-------2----’ Аз-------2----’
Все корни — положительные действительные числа, поэтому матрица Р и соответству-
ющая ей квадратичная форма положительно определены.
336
Пример XI.5. Пусть квадратичная форма имеет вид
V (х) =xl + 2хгх2 + х| + xf,
зли в матричной форме
V (х) = хт
Составим характеристическое уравнение
1 0‘
1 0 х.
X—1	—1	О
—1 X—1 О
О О X—1
= 0.
Раскрывая определитель, получим (X— 1) X (X— 2) = 0, отсюда Xt = 1; Х2 = 0; Х3 = 2.
Среди корней имеется один нулевой; следовательно, все корни неотрицательны и рассма-
триваемая квадратичная форма знакоположительна.
Сформулируем еще один признак определенной положительности квад-
ратичной формы, известный как критерий Сильвестра.
Для того чтобы квадратичная форма (XI. 13) была положительно опре-
деленной, необходимо и достаточно, чтобы каждый из угловых миноров
Ри • • • Pik
k = 1, 2,..., n
(XI. 16)

Ч
1
О
О 1
Pki • • • Pkk
матрицы P был положителен.
Пример XI.6. Рассмотрим вновь квадратичную форму
Г1 1 03
V (х) = хт
1 2 0 х.
0 0 1
Составим угловые миноры матрицы Р (см. пример XI.4) в виде
Д1=1 >0; Д2 = |[ ’1 = 1 >0;
1 1 0
Д3 = 12 0
= I >0.
Все миноры положительны; следовательно, квадратичная форма определенно положи-
тельна.
Рассмотрим также квадратичную форму
V (х) = х1
'1
1
0
1 О’
1 0
0 1
х.
0 0 1
Составим угловые миноры матрицы Р:
Д1 = 1 > 0; Да
1 ’I
1 1 I
= 0;
1 1 о
1 1 о
0 0 1
д
3 —
= 0.
В данном случае не все угловые миноры положительны: среди них есть равные нулю;
следовательно, исследуемая квадратичная форма не является положительно определенной.
Ранее было установлено, что она лишь знакоположительна.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА МЕТОДАМИ Г. СЕГЕ И Д. ШУЛЬЦА
В более общем виде функцию Ляпунова можно представить как квадра-
тичную форму с переменными коэффициентами
V(x)= £ £	х^х^;	(XI. 17)
z=i j=i
где Pi, (Xt, xj = pri (Xt, Xj).
337
Рис. Х1.6. Решение уравнения
(XI.18)
Если принять, что коэффициенты р,7 (хг,
х.) не зависят от переменной хп, то можно
dV(x)
считать —jp- полиномом второй степени
относительно хп.
В этом случае уравнение
4г = °	(XI. 18)
всегда можно разрешить по хп.
Решение уравнения (XI. 18) на фазовой
плоскости представляет собой две пересека-
ющиеся кривые (рис. XI.6). При этом фазо-
вая плоскость делится на две области I и II.
В области I функция < 0, а в области II
dV _ TZ	dV
-^->0. Когда кривые совпадают, то -^-<.0
во всей плоскости. Для простоты изложения рассмотрим определение
коэффициентов функции Ляпунова методом Г. Сеге, используя уравнения
системы автоматического регулирования второго порядка:
Х^ --- Х2,
хг — f (хх, х2).
(XI.19)
В соответствии с выражением (XI. 17) запишем функцию Ляпунова в виде
V(X1, х2) = рп (Х1)Х1 + 2/712 (Х1) xix2 + Р22х1,	(XI.20)
откуда получаем
=2 [ри (*i)+4+
+ 2f (хх, х2) [р12 (хх)хх р22х2] + 2 [рХ2 (хх) + хх ] 4-	(XI.21)
Заметим, что выражения р1Х(хх) и 4X1~^4^~ являются полиномами
одинаковой степени относительно хх; то же можно сказать и о выражениях
рХ2(хх) и хх -dPi^X^ • Учитывая это замечание, введем новые коэффициенты
тогда выражение (XI.21) примет следующий вид:
"4 = 2р'ц (xi) Х1Х2 + 2р\2 (xi) х2 + 2/ (xi, х2) [/>12 (х0 xt -f- р22х2]. (XI.22)
Полученное выражение содержит коэффициенты двух типов: pif (xt, х^
и р'ц (х(-, х,-). Для того чтобы исключить часть этих коэффициентов, введем
,	, . .	d.V
вспомогательную функцию ф (х) такого же вида, как и т. е.
ф (х) = 2ph (xi) Х1Х2 + 2р\2 (xi) х! 4- 2/ (xj, х2) lp\2 (х0 xi ф- р22х2]. (XI.23)
-г	dV
Теперь вместо решения уравнения — 0 рассмотрим решение урав-
нения ф (х) = 0, откуда и получим значения коэффициентов функции Ля-
пунова.
338
Рис. XI.7. Структурные
схемы систем автоматиче-
ского регулирования (к приме-
рам XI.7—X1.9)
Пример XI.7. Для системы автоматического регулирования, имеющей структурную схему,
изображенную на рис. XI.7, а, определим функцию Ляпунова. По структурной схеме найдем
уравнения
Xi==X*'	|	(XI.24)
х^‘ = — х2 — х?. J
В соответствии с изложенным выше представим функцию Ляпунова в виде
V (х) = Рн (хО х? + 2рц (xj) хд + х’.	(XI.25)
По методу Сеге при п = 2 коэффициент р22 не зависит от х2 и является постоянной вели-
чиной. Положим его равным единице. Продифференцируем выражение (XI.25); тогда получим
= 2 [рц (Xi) + -у Xi	+ 2 [Pia (xj Xi + хг] +
+ 2 [р12 (х1} + Xi	4	(XI.26)
Введем обозначения
Ри (*i) = Рн (*i) + 4~ дР1д^Х1'>' xt’
Pia (*1) = Pia (*i) + 4- аР1Д(Х1)' 4-
ii
Тогда из выражения (XI.26) найдем
4т- = х» [2р[, (хх) — 2] + х2 [2р'п (Xi) Xi — 2р12 (xt) xt — 2x?J — 2pls (xt) xf.	(XI.27)
При построении функции ф (х) число переменных уменьшаем, заменяя р12 (хх) на р'1г (xi)l
тогда будем иметь
Ф (х) = х^ [2pi'2(x1) —2] + х2 [2p't 1 (x'j) X] — 2p'l2 (X])xi — 2x|] — 2p[2 (xj) xf. (XI.28)
Перепишем это выражение в виде полинома второй степени по х2, т. е.
ф (х) = Axf + Вх2 -|- С.	(XI.29)
Выберем коэффициенты А, В и С таким образом, чтобы уравнение ф (х) = 0 имело оди-
наковые корни (при этом кривые на рис. XI.6 совпадают). Это условие выполняется тогда,
когда дискриминант равен нулю, т. е.
Ва _ 4АС = 0.	(XI.30)
Коэффициенты равенства (XI.30) согласно выражениям (XI.28), (XI.29) соответственно
равны
А = 2р[2 (Xi) — 2;
В = 2рц (Xj) X! — 2р’12 (xj) xj — 2х^;
с — 2Рщ (Х1)
(XI.31)
Очевидно, что равенство (XI.30) в соответствии с (XI.31) выполняется лишь при А =
= В = 0. Отсюда получаем
М*1) =
Р1'1 (*1) = 1 + *1-
(XI.32)
339
Поскольку коэффициенты р{} (хх) и plx (xj, а также р'12 (хг) и р1г (xj) являются полино-
мами одних и тех же порядков, то подставляя (XI.32) в выражение (XI.25), получаем
V (х) = ах] + Рх] + yxtx2 + х|;	(X1.33)
здесь а, Р, у — произвольные постоянные.
Если принять а = 1/2, р = 1, у = 2, то выражение (XI.33) примет вид
V (х) = -g- х^ -f- х] -f- 2xtx2 -f- x],	(XI.34)
a
-^> = -2х|.	(XI.35)
at
Из выражений (XI.34), (XI.35) следует, что функция V (х) положительно определенная,
Для определения коэффициентов функции Ляпунова можно применять
метод Д. Шульца, который доказал следующую теорему [86].
Если для системы уравнений = X (х) с начальными условиями
X (0) — 0 существует область Q и действительный вектор с элемен-
тами MVt такой, что:
n dWt _
' dxj	dxt
vnz	.
тде Wz=-^-;
2)	не обращается в нуль ни в какой точке области Q, кроме начала
координат;
3)	= yVTX < 0 при х=£ 0 и — 0 при х = 0;
4)	не является тождественным нулем в области Q и скалярная
функция
V (х) = J VVT (х) dx	(XI.36)
о
обладает следующими свойствами: а) V (х) >0 при х 0 и |/(0) = 0, т. е.
положительно определенна; б) одна из поверхностей V = kr ограничивает Q,
то данная система уравнений асимптотически устойчива в области Q.
Предположим, что вектор W описывается следующим образом:
-Wr
VV2
_VV„_
а11Х1 4' а12Х2 4* ’ ’ ' 4" а1ПХП<
a21Xl 4“ a22X2 4- ’ ' ' 4- a2nXn'<
_anixi 4- an2x2 4- • • • 4- annXtl-
(XI.37)
rr	dV
Производная определяется как
dV _ dV dx1 , W dx2 ,	, dV dX"	ZYT
dt ~ dX1 ~dT 4- -^7 ST 4- • • • + ST’	(XI.38)
или
=	(XI.39)
где vVT — транспонированный столбец yV.
340
Отсюда видно, что функция V может быть определена как линейный
интеграл от величины •yV, т. е.
У(х) =
(XI. 40)
Интегрирование можно проводить, так как выполняется условие 1
теоремы Д. Шульца. Линейный интеграл будет независим от траектории дви-
жения и его можно представить в виде
V(x) = J 0.............0)d^ +
о
*9	ХП
+ J W2 (Xj, |2, 0...0) d?2 + ... + J (Xj, x2........x„_lt U dln. (XI.41)
о	0
Следует отметить, что условие 1 теоремы является необходимым и доста-
точным для того, чтобы скалярную функцию V можно было бы единствен-
ным образом получить из векторной функции у К
Пример XI.8. Определим функцию Ляпунова по методу Д. Шульца для примера XI.7.
Согласно уравнению (XI.37) для системы (XI.24) имеем
_ ЯцХ1 + <*12Х2
|_<*21*<1 “Ь <*22*<2j
(XI.42)
Тогда по выражению (XI.39) найдем
dV .	,	, dx, , ,	.	. dx, ,	,
= (<z11x1 -j- а12х2)	+ (а21Х! + атхг} = (а1Л + a12x2) x2 +
+ (<*2Л + <*22^2) (— x2 — x?).	(XI.43)
Подставляя значения производных и считая, что <z12 = <*2i = const, получаем следующее
выражение:
4т- = — <*21*1 + (<*11 — <*21 — О-22ХЪ Х1Х2 — (<*22 —<*12) х2-	(XI.44)
Будем считать, что <z12 = <*2i = 2; тогда для выполнения условия <j 0 необходимо
иметь а22 = 2. В этом случае alt = 2 + 2xj. Компоненты вектора уУ имеют вид
уУ = Г2*1 + 2^ + 2Х21	(XI.45)
L 2xj + 2х2	] ’
По формуле (XI.41) получаем
х,	хг
(2L + 2g?)^i+j (2xI+2g2)dg2 = -2-xi + x? + 2x1x2 + x?,	(XI.46)
и	о
при этом
-^ = -2х}.	(XI.47)
Полученные выражения (XI.46) и (XI.47) совпадают соответственно с выражениями
(XI.34) и (XI.35).
341
3. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим частный случай автономной системы (XI.5), а именно линей-
ную систему, которая описывается уравнениями
Х1 — а11х1 4" • • • 4" ainxn'i
Х2 = а21Х1 4~ • • • 4" a2nXtlf
(XI.48)
ХП -- ^nlxl 4- • • • 4- ^ппхп<
или в матричной форме записи
х = Ах,
(XI.49)
где
аиа12’ ’ 'ат
^•21^22 ’ ‘ ' &2п
. anian2 ’' ’^пп_
Для того чтобы проанализировать устойчивость, введем функцию Ля-
пунова в виде положительно определенной квадратичной формы V (х) =
= хтРх [см. формулу (XI.14)]. Найдем производную этой функции с учетом
уравнений (XI.49):
dV (xf _ rfxTPx
dt dt
(fi-v \ T
— ) Px 4- xTPAx = (Ax)T Px + xTPAx =
= xTATPx 4-xTPAx = xT (ATP + PA) x.	(XI.50)
Введем обозначение
ATP4-PA = —Q.	(XI.51)
Если матрица Q положительно определенная, то =— xTQx<0,
когда V > 0, т. е. происходит убывание функции V, а следовательно, траек-
тории системы стремятся к началу координат. Итак, если одновременно вы-
полняются неравенства V >0 и V <0 в некоторой области пространства
переменных (хх, х2, ..., хп), включающей начало координат, то положение
равновесия в начале координат асимптотически устойчиво.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Для того чтобы
нулевое решение автономной линейной системы (XI.49) было асимптотически
устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной положительно
определенной матрицы Q существовала положительно определенная мат-
рица Р, удовлетворяющая уравнению (XI.51). Отметим, что обе матрицы Р
и Q являются симметрическими. Действительно, если матрица Р симметриче-
ская, т. е. Рт = Р, то
QT = — (АТР 4- РА)Т = — РТА - АТР = — (АТР 4- Р А) = Q,
и, следовательно, матрица Q симметрическая. Справедливо и обратное.
Пример XI.9. Используя теорему
структурная схема которой показана на
Ляпунова, проанализируем устойчивость системы,
рис. XI.7, б. Ей соответствует система уравнений
dx,
dt
dx.
(XI.52)
342
В теореме фигурирует произвольная положительно определенная матрица Q; выберем
в качестве последней единичную матрицу. Тогда уравнение (XI.60) принимает вид
—1 —ПГРИ Pial , ГР11 Pis! Г— 1	П	Г”1	°]
1 iJ Lpsi P22J LP21 P22J L—1	iJ L о —ij
(XI.53)
Поскольку матрица Q симметрическая, то матрица Р также симметрическая, т. е. р12 =
= Pai- Составим из матричного уравнения (XI.51) три уравнения с тремя неизвестными для
определения элементов pn, р12, р22:
Pli Pia Р12 PJS1 Г — Р12	— Pial Г—1	О
Pil P12	P12 P22 J L—P12 P22 P12 — P22J L 0 — 1.
или
2рц + 2рц= 1;
Pit — 2p12 — p22 — 0;
2Pia “b 2p22 = 1,
Решая последнюю систему, находим р1Х = 0,6; pl2 = pai = 0; р22 = 0,5.
Полученная матрица Р = £ j является положительно определенной. Следова-
тельно, рассматриваемая линейная автономная система асимптотически устойчива.
Наряду с изложенным подходом к анализу устойчивости линейных авто-
номных систем используется и другой способ, связанный с анализом корней
характеристического уравнения матрицы А (XI.49). Характеристическое
уравнение для матрицы записывается так:	'	“
det (ХЕ- А) == [ХЕ — А| =
где Е — единичная матрица.
Раскрывая этот определитель,
X,	а12 • • • —
— с2х X — а22 • • • — а2п
°?12 • • • X апп
= 0,
получим уравнение n-го порядка
+ AiX"-1 + • • • + О-п = 0.
(XI.54)
Если все корни уравнения (XI.54) имеют отрицательные вещественные
части (рис. XI.8), то нулевое решение системы (XI.49) асимптотически
устойчиво.
Если среди корней уравнения (XI.54) есть хотя бы один с положитель-
ной вещественной частью, то нулевое решение системы (XI.49) неустойчиво.
Если уравнение (XI.54) не имеет корней с положительной вещественной
частью, но имеется часть корней с нулевой вещественной частью, то поло-
жение равновесия системы (XI.49) будет устойчивым (неасимптотическим).
Таким образом, вопрос об устойчивости нулевого
решения системы (XI.49) сводится к исследованию
корней характеристического уравнения (XI.54). Однако
определение корней характеристических уравнений
высоких порядков представляет значительные трудно-
сти, так как корни уравнений выше четвертого порядка
не выражаются аналитически через коэффициенты
уравнений.
Теоремы об устойчивости линейных систем прак-
тически были бы бесполезны, если бы в природе
не существовало нелинейных систем, близких в неко-
тором смысле к линейным. Функции (х1У х2, ..., хп)
в уравнениях (XI.1) могут быть разложены в степен-
ные ряды, которые сходятся в некоторой окрестности
Л;
1т
Плз
Л
^6	^5
-X-----К—
а.
«л
0_______
Re
Рис. XI.8. Расположе-
ние корней характери-
стического уравнения
для асимтотически
устойчивой системы
343
начала координат. Тогда в этой окрестности наряду с исходной системой
можно рассматривать и систему первого приближения, которая в этой
области линейна, т. е. исходная система (XI. 1) представляется в виде
— anxi Ч-  ' Ч* ainxn + (xi> х2> • • •»хп)>
Ч~ ‘ ' Ч~ а2пхп Ч- R% (,xi> х2, • • • > хп),
—— — Лп1Хг 4“ • • • Ч~ аппхп Ч* Rn (х1> х2, • • •» хп),
где Ri(x1, х2....хп) — остаточные члены.
Система уравнений
dxj	.	.
---а11х1 Ч~ ’ ’ " Ч- а1пхт
^-=a21Xj.H------l-a2nxn-,
(XI.55)
(XI.56)
dxn	,	,
~g[ — anlxl 4“ ’ * ’ 4“ annxn
называется системой первого приближения. Эта система совершенно анало-
гична системе уравнений (XI.48), (XI.49).
Во многих случаях по устойчивости системы (XI.56) оказывается воз-
можным судить и об устойчивости нелинейной системы (XI.55).
А. М. Ляпунов доказал следующие теоремы.
Если вещественные части всех корней характеристического уравнения
системы первого приближения (XI.56) отрицательны, то нулевое решение
системы (XI.55) асимптотически устойчиво независимо от членов разложе-
ния выше первого порядка.
Если среди корней характеристического уравнения системы первого
приближения имеется хотя бы один с положительной вещественной частью,
то нулевое решение системы (XI.55) неустойчиво независимо от членов раз-
ложения выше первого порядка.
Если среди корней характеристического уравнения первого приближе-
ния есть нулевые, то в этом случае для суждения об устойчивости нулевого
решения системы (XI.55) необходимо учитывать члены выше первого по-
рядка.
Рассмотрим применение этих теорем на конкретном примере.
Пример XI.10. Систему, соответствующую структурной схеме на рис. XI.9, можно
описать в виде
dt
Положение равновесия соответствует началу координат. Система первого приближения
Рис. XI.9. Структурная схема динамиче-
ской системы
будет
dxi
~ЗГ
dx2
dt
= х2;
= 0.
Характеристическое уравнение
Iх ~Ч = V = 0
| 0 X I
имеет корни = Х2 = 0.
(XI.58)
344
В данном случае об устойчивости системы (XI.57), исследуя первое приближение, ничего
сказать нельзя; необходимо учитывать члены разложения выше первого порядка.
Отметим, что в данном случае нулевое решение системы первого приближения неустой-
чиво, так как
Xg = Х20 И Xj = %20^ “F х10,
но в то же время нелинейная система (XI.57) устойчива асимптотически.
Действительно, введем функцию Ляпунова
V (х) = ±	+ y х2.
Производная этой функции, взятая с учетом системы (XI.57),
dV (х)	„ dx, dx, ,	, „
- dt = *1 -37- + *2	= Фа — Фа — *a*i = — Ф?
является знакоотрицательной. Однако, если = 0, то в силу уравнений (XI.57) х2 = 0
и наоборот; следовательно, всюду, где проходят траектории системы (XI.57), производная
V (х) отрицательно определенна, а V (х) положительно определенна. Отсюда следует, что
начало координат системы (XI.57) асимптотически устойчиво.
4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Критерий Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (XI.54) имели
отрицательные действительные части, т. е. нулевое решение линейной авто-
номной системы (XI.49) было асимптотически устойчиво, необходимо и до-
статочно, чтобы следующая матрица, составленная из коэффициентов урав-
нения (XI.54) и равная
Я3 G5 Cl? CLq * • ’
#2	#4	Uq • • •
tZj #3	^"5	^7 * * *
(XI.59)
являлась положительно определенной, т. е. ее угловые миноры (определи-
тели Гурвица) Д* >0, k = 1, 2, ..., п, причем при составлении определи-
теля элемент а, с номером, большим k, равен нулю.
Пример ХЕН. Рассмотрим вновь линейную автономную систему, описываемую урав-
нениями (XI.52). Матрица этой системы-
— 1
— 1
А =
11
— 1 Г
Характеристическое уравнение имеет вид
Х4-1	—1 I
1	А-+1 I °’
или X2 + 27. + 2 = 0.
Г2 01
Матрица Гурвица Г =	, откуда следует, что As = 2 > 0; Д2 = 4	0, т. е. все
определители Гурвица положительны, и система уравнений (XI.52) асимптотически устойчива
в соответствии с критерием Гурвица. Из приведенного выше характеристического уравнения
второго порядка следует, что вещественные части двух комплексно-сопряженных корней
отрицательны, н, следовательно, система (XI.52) устойчива.
Преднамеренно выбран такой простой пример, чтобы показать преимущества критерия
Гурвица для линейных систем по сравнению с прямым методом Ляпунова.
Пример XI.12. Рассмотрим систему автоматического регулирования, изображенную
на рис. ХЕЮ [1]. Передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии найдем в виде
в? =________?_ее?_______
W s(7\s+ 1)(Гаа+1) ’
345
а характеристическое уравнение будет
Рис. XI.10. Структурная схема одноконтур-
ной системы автоматического регулирования
W (%) + 1 = TtT2K3 + (7\ + Т2) К» + Ь +	= 0.	(XI .60)
Приведем это уравнение к виду выражения (Х1.Б4); тогда получим
2 12 2	1 I1 2	1 I1 2
Определители Гурвица представим в виде
7\ ~Ь
Л Ъ + т2 .	Т2Т2 Т2Т2 .
1= Л?—’ А*~	.	1	’
т\т2
	Г1+Га 1\т2	^1^2^3 1\т2	0	
Лз —	1	1	0	
		т1т2		
		Т\+Т2		
		Т\Т2	Т\Т2	
Пользуясь этими определителями, запишем условия устойчивости Гурвица:
Т>+Т* >о;
1 U’
= ~Гт~ РЙ11 “	> 0;
1 I1 2 X 1 X1 8	/
, k^k2k2 _
Д8- Г2Г2">°-
(XI.62)
В выражениях (XI.62) значения Т\ £> 0;	k2 £> 0; k2 Г> 0; й3 j> 0, поэтому
остается одно условие устойчивости
1 ~г J 2
т\т2
(XI.63)
Таким образом, условие устойчивости сводится к неравенству вида
^2^8 < "jT + "jT •
(XI.64)
Вычисление определителей Гурвица для характеристических уравнений
высокого порядка представляет немалые трудности, поскольку необходимо
найти п определителей для уравнения п-го порядка. Анализ матрицы Гур-
вица (XI.59) позволяет сделать некоторые упрощения, поскольку
Д1 = ай Д„ = апДп_1(	(XI.65)
однако непосредственное вычисление каждого из оставшихся определите-
лей достаточно трудоемко.
Существует последовательность преобразований, которая позволяет вы-
числить все определители Гурвица до п — 1-го включительно, она состоит
в следующем.
346
Определитель Гурвица Дп_1 для характеристического уравнения (XI.54)
имеет вид
	Я1	4Zg	«5	«7	а9 •••	
	1	4Z2	а4	«в	о3 • • •	
А-п-1 —	0	01	п3	О6	а? • • •	,	(XI.66)
	0	1	#2	а4	• • •	
Определители Гурвица низших порядков равны соответственно
_	„	ai аз аь
Умножим элементы первой строки определителя (XI.66) на р4 = \1ах
и вычтем полученные значения из элементов второй строки; тогда вместо
второй строки будет строка
О Да а4 ав ag...;
умножим элементы второй строки на р2 = a-Ja2 и вычтем их из элементов
третьей строки; тогда вместо третьей строки будет строка
00 Д3а6а7...;
умножим элементы той же второй строки на р3 = 1/а2 и вычтем их из эле-
ментов четвертой строки; тогда вместо четвертой строки получим
00а2а4ав....
Таким образом, после указанных преобразований определитель (XI.66)
принимает вид
й7 ...
#в Hg . . .
аь а7... '
0 0 а2 at ag...
Д4 с3
0 Д2 д4
о о д3
причем на диагонали трех верхних строк находятся вычисленные определи-
тели. Продолжая аналогичный процесс над строками, начиная с четвертой,
окончательно получим
Afl-1 —	<0	» <3 1 <з < ” Д’ а <
А П-2
ап-1
Таким образом, определитель Д„_1 равен произведению всех его диа-
гональных элементов:
Д«-1 — Л1.Д2А3... Дп_2йп_4,	(XI.67)
Соотношение (XI.67) является в определенном смысле рекуррентным
соотношением, процедура получения которого изложена выше. Свойство не-
устойчивости системы может быть выявлено на промежуточной стадии вы-
числений, если оказалось, что ДА < 0.
347
Пример XI. 13. Пусть характеристическое уравнение имеет вид
V + 6)? + 2IV + 44V + 62V + 521. + 24 = 0.
Запишем определитель
	6	44	52	0	0
	1	21	62	24	0
—	0	6	44	52	0
	0	1	21	62	24
	0	0	6	44	52
Возьмем pj = 1/6 н выполним требуемые преобразования с определителем, после чего
найдем ц2 и также сделаем необходимые преобразования и т. д. В результате получим
	6	44	52	0	0	
		41	160			
	0			24	0	
		3	3			
			844	1700		
	о	о			о	
Ал-J -			41	41		>0,
				5445		
	0	0	0		24	
				211		
					5 002 484	
	0	0	0	0	5445	
все диагональные элементы положительны, что указывает на устойчивость системы
Критерий Рауса. Наряду с последовательностью преобразований, харак-
терной для вычислений определителя Гурвица, используют мнемоническое
правило, связанное с составлением таблицы Рауса (табл. XI.1). В первую
строку этой таблицы выписывают все элементы характеристического уравне-
ния (XI.54) с четными индексами (коэффициент а0 = 1), во вторую строку —
все элементы с нечетными индексами. Третью строку составляют по формуле
вычисления определителей второго порядка и делением полученного резуль-
тата на ах. При формировании четвертой строки те же действия выполняют
над элементами второй и третьей строк и т. д.
Таблица XI.1
Таблица Рауса
Номер стро- ки	Номер столбца				
	1	2	3	4	5
1	1	6^2	“4	ав	
2	а,	“з		а-;	
3		„	а1а4 а5	Л-	„	а1а8 И9	
	а,	а.	а,	634	
4	с31°3— с32а5	„	сэ1а5 ~	„	сз1а1 — c3iai		
	41	Г С31	С42	г С31	- С31		
5	_	С41С32 	 С31^42 С41		 с41сзз сз1ст 6 62 С41	. . .	• • *	
6			 • •		
348
Элемент ckl таблицы Рауса можно
вычислить с помощью следующей фор-
мулы:
= С1' <-1С*+Ь г-2 С1. <-2С*+1. 1-1	(XI 58)
с1, i-1
Сформулируем критерий Рауса: для
того чтобы система автоматического регу-
лирования была устойчива, необходимо
и достаточно, чтобы все элементы первого
столбца были положительны (т. е. at >
0, с31 > 0, cil > 0, ..., с„+1, 1 > 0).
Пример XI. 14. Проверить устойчивость си-
стемы автоматического регулирования, имеющей
характеристическое уравнение
X4 + 8/.3 + 18Х2 + 16Х + 5 = 0.
Таблица XI.2
Коэффициенты Рауса
(для примера XI. 14)
Составим таблицу Рауса (табл. XI.2). Так как элементы первого столбца равны 1; 8; 16;
13,5; 5, то система автоматического регулирования устойчива.
Критерий Льенара—Шипара. Для устойчивости системы, описываемой
уравнением (XI.54), необходимо и достаточно, чтобы были положительны
все его коэффициенты и главные миноры нечетного порядка определителя
Гурвица. Доказательство этого критерия можно получить с помощью таб-
лиц Рауса для характеристических уравнений различных порядков. Запи-
шем условие устойчивости Льенара—Шипара для характеристических урав-
нений 1—5-го порядков:
1)	at > 0;
2)	аг > 0; аа > 0;
3)	at >0; а2 > 0; а3 > 0; ata2 — а > 0;
4)	ai >0; а2 > 0; аз >0; а4 > 0; aia2a3 — аз — а?а4 > 0;
5)	а3 >0; а2 > 0; а3 >0; а4 > 0; а8 > 0;
а^амз — al — а^Щ а(а5 > 0;
(ata2a3 — а\ — а?а4 -J- а1й5) а4 — (а^ — aia4 — а2а3 + а5) а5 > 0.
Полученные неравенства удобны для анализа устойчивости систем авто-
матического регулирования и при более высоких порядках уравнений. В этом
случае целесообразно использовать цифровые вычислительные машины.
5. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое прак-
тическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устой-
чивости замкнутой системы по более простой передаточной функции разом-
кнутой системы W (s); во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по
экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих,
с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных
процессов в системах.
Критерий устойчивости Михайлова. А. В. Михайлов первым предло-
жил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы
для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулирован-
ным им в 1938 г. критерий устойчивости назван его именем. Рассмотрим су-
щество этого критерия.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид
D (20 = X" + а^"-1 ф- а2^-2 -J--F а„ = 0.	(XI.69)
349
Рис. XI.11. Векторное изо-
бражение сомножителей ха-
рактеристического уравнения
замкнутой системы на пло-
скости:
а — для двух корней X и Xf.; б —
для четырех корней Хр X', Х2, X'
Зная его корни Х2, характеристический многочлен для урав-
нения (XI,72) запишем в виде
П(Х) = (Х-Х1)(Х-Х2)...(Х-Х„).	(XI.70)
Графически каждый комплексный корень X можно представить точкой
на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравне-
ния (XI.70) можно представить в виде разности двух векторов (X — XJ, как
это показано на рис. XI.11, а. Положим теперь, что X = /и; тогда определяю-
щей является точка со на мнимой оси (рис. XI.11, б). При изменении со от
—оо до +©о векторы /со — и /со — XJ комплексных корней X и И повер-
нутся против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно -j-л, а век-
торы /со — Х2 и /со — Хг повернутся по часовой стрелке, и приращение их
аргументов равно —л. Таким образом, приращение аргумента arg (/со— Х()
для корня характеристического уравнения Х(, находящегося в левой полу-
плоскости, составит +л, а для корня, находящегося в правой полупло-
скости, —л. Приращение результирующего аргумента AargD(/co) равно
сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если среди
п корней характеристического уравнения т лежит в правой полуплоскости,
то приращение аргумента составит
Д arg D (j®) = (тг — т)п, — тл = (п — 2т) л.	(XI.71)
—со<(0<оо	ч ч /
для левой для пра-
полупло- вой полу-
скости плоскости
Отметим теперь, что действительная часть многочлена
D (/“) = (/®)" + «10)'*-1 + а2 (ja)n~2	+	(XI.72)
содержит лишь четные степени а», а мнимая его часть — только нечетные,
поэтому
arg D (ja) = — arg D (— /со),	(XI.73)
и можно рассматривать изменение частоты только на интервале со от 0 до оо
В этом случае приращение аргумента годографа характеристического много-
члена
Д arg D (ju) = (п — 2т)	.	(XI.74)
0<Ш<оо	i
Если система устойчива, то параметр т = 0, и из условия (XI.74) сле-
дует, что приращение аргумента
Д arg £>(/©) = п 4--	(XI.75)
0<ш<~	*
На основании полученного выражения сформулируем частотный кри-
терий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автома-
тического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
годограф характеристического многочлена замкнутой системы (годограф Ми-
350
Рис. XI.12. Примеры годографов Михайлова для различных характеристи-
ческих уравнений замкнутых систем:
а — устойчивые системы при п=1—6; б _• неустойчивые системы при п = 4 и раз-
личных параметрах
хайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил
последовательно в положительном направлении, не попадая в начало коор-
динат, п квадрантов комплексной плоскости (здесь п — порядок характери-
стического уравнения системы).
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для урав-
нений различных порядков построены на рис. XI.12, а. На рис. XI.12, б
построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при п = 4.
Пример XI. 15. Пусть
ского регулирования будет
характеристическое уравнение замкнутой системы автоматиче-
№ + 55^2 + 700Х + 11 250 = 0.
(XI.76)
Необходимо проверить устойчивость системы путем построения годографа Михайлова.
Для этого положим Л = /со, тогда уравнение (XI.76) разделяется на действительную и мнимую
части:
U' (со) = 11 250 — 55со2;
И'(со) = со (700 — со2).	(XI.77)
Зададимся различными значениями со и вы-
числим U '(со) и V (со). Соответствующие вычисле-
ния приведены в табл. XI.3.
На рис. XI.13 по данным табл. XI.3 построен
годограф Михайлова. Годограф при л = 3 обходим
в положительном направлении три квадранта.
Следовательно, система автоматического регулиро- Рис. XI.13. Годограф Михайлова
вания устойчива.	к примеру XI.16
Таблица XI.3
Значения вещественной и мнимой частей годографа Михайлова
(D	0	5	10	14.3	20	26,46	30	40
U' (со) V (со)	4-11 250 0	+9 875 +3 375	+5 750 + 6 000	0 17 085	—10 750 —6 000	—27 250 0	—38 250 —6 000	—76 750 —36 000
351
Критерий устойчивости Михайлова—Найквиста (амплитудно-фазовый).
Критерий устойчивости Михайлова—Найквиста в отличие от алгебраических
критериев и критерия Михайлова позволяет судить об устойчивости замкну-
той системы автоматического регулирования по поведению годографа разом-
кнутой системы вида
(Х1-78)
где Dp (Ja) — характеристический многочлен разомкнутой системы.
Частотная характеристика замкнутой системы
ф (ja) = Z.W  ____________л1р ,	(XI.79)
1+W№) Рр(/со) + Л1Р(/со) ’	’
где D (/со) — Dp (/со) + Мр (/со) — характеристический многочлен замкну-
той системы.
Положим, что степень т многочлена Мр (/со) меньше степени много-
члена Dp (/со), равной п. Для доказательства критерия устойчивости Ми-
хайлова-Найквиста введем вспомогательную функцию
с (»=1+w	(Х1-80)
или
£(/и) =	444	(XI.81)
£>р (/со)	v
Сформулируем следующую теорему, пользуясь обозначениями, при-
веденными выше.
Теорема Михайлова—Найквиста. Замкнутая система автоматического
регулирования будет устойчива, если годограф W (jw) разомкнутой системы,
имеющей т полюсов в правой полуплоскости, при увеличении со от 0 до <х>
охватит точку (—1, /0) т/2 раз в положительном направлении.
Доказательство. Будем считать, что у характеристического уравнения
разомкнутой системы Dp (/со) т полюсов в правой полуплоскости, а его по-
рядок п. Тогда приращение аргумента
Л arg Dp (/со) = (n — 2m) 4 •	(XI.82)
Для устойчивости замкнутой системы в силу критерия Михайлова не-
обходимо, чтобы
Д arg D (/со) = ге 4 •	(XI.83)
Следовательно, приращение аргумента функции С (/со) должно быть
Л arg £ (/со) = п  (п — 2т)~ = тп.	(XI.84)
0 < to < ОО	*
Так как из выражения (XI.80) следует, что
W«) = C(/®)-1,	(XI.85)
О«0<о=
то приращение аргумента вектора, соединяющего точку (—1, /0) на действи-
тельной оси с точкой на кривой W (/со), также равно тп. Иначе говоря, годо-
граф W (/со) совершает т/2 оборотов в положительном направлении относи-
тельно точки (—1, /0). Теорема доказана.
Для построения годографа в прямоугольной системе координат запишем
Г (/со) = D (со)+ /V (со),	(XI.86)
где U — вещественная частотная характеристика разомкнутой системы;
V — фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
352
Рис. XI. 14. Годографы Михайлова—Найквиста для устойчивых
систем автоматического регулирования:
а >— при т = 1; б — при т = О
Можно строить годограф в полярной системе координат. Тогда выра-
жение (XI.86) примет вид
Г (/со) = Н (со) е'е <“»,	(XI.87)
где Н (со) — амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы;
О (со) — фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.
Функции U (со), Н (со) являются четными, а функции V (со) и 6 (со) —
нечетными по аргументу со. Следовательно,
W(— /со) = U(со) - /V(со).	(XI.88)
Из сравнения выражений (XI.86) и (XI.88) видно, что годограф W (ja>)
при увеличении со от —оо до 0 представляет собой кривую, симметричную
относительно вещественной оси U в плоскости W (jw).
На рис. XI. 14, а сплошной линией показан годограф Михайлова—Най-
квиста при т — 1 и со, увеличивающейся от 0 до оо. Как видно из рисунка,
годограф W (Jay), охватывая точку (—1, /0), совершает пол-оборота в поло-
жительном направлении, что указывает на устойчивость замкнутой системы
автоматического регулирования. Здесь же штриховой линией построено зер-
кальное отображение годографа относительно оси абсцисс, соответствующее
увеличению частот от —оо до 0.
Следствие из теоремы Михайлова—Найквиста. Если разомкнутая си-
стема устойчива, то для устойчивости замкнутой системы автоматического
регулирования необходимо и достаточно, чтобы годограф W (jw) при уве-
личении <о от 0 до Ч-оо не охватывал точку (—1, /0).
Из выражения (XI.84) при т — 0 имеем
A arg С (/со) = 0 и W (/со) = £ (/со) — 1.
0<Ш<оо	0<Ш<оо
Тогда приращение аргумента вектора, соединяющего точку (—1, /0)
на действительной оси с точкой на кривой W (ja), также равно нулю.
На рис. XI. 14, б показан годограф Михайлова—Найквиста при т = 0. Как
видно из рисунка, годограф W (ja) не охватывает точку (—1, /0). Следова-
тельно, система автоматического регулирования устойчива в замкнутом со-
стоянии.
При анализе устойчивости следует различать два случая: в первом —
потеря устойчивости происходит только при увеличении коэффициента пере-
дачи, во втором — как увеличение, так и уменьшение коэффициента пере-
дачи может привести к потере устойчивости.
12 Ивещенк® Н. Н.	353
На рис. XI. 15, а показаны годографы (/со) и 1Г2 (/со) Михайлова-
Найквиста при двух значениях коэффициента передачи Kj и К2. Как видно
из рис. XI.15, а, при Ki система устойчива, а при	неустойчива.
На рис. XI.15, бив как при увеличении коэффициента передачи К2 >
> Кг, так и при уменьшении коэффициента до величины Лз< годограф
охватывает точку (—1, /0). Следовательно, как при увеличении, так и умень-
шении коэффициента передачи система оказывается неустойчивой.
Введем понятие запаса устойчивости в системах автоматического регу-
лирования. Будем считать, что система обладает требуемым запасом устой-
чивости, если она удовлетворяет условию устойчивости при значениях мо-
дуля вектора | W (/со) |, отличающихся от единицы не менее чем на заданную
величину —/7М, называемую запасом устойчивости по модулю, и имеет фа-
Рис. XI. 16. К определению понятия о запасах устойчивости по фазе
и модулю'.
а — при линейном масштабе построения годографа Михайлова*-Найквиста;
б >— при логарифмическом масштабе построения амплитудной и фазовой
характеристик
354
зовый угол, отличающийся от л
не менее чем на величину назы-
ваемую запасом устойчивости по фа-
зе. Соответствующие запасы устойчи-
вости по фазе и модулю показаны
на рис. XI.16, а. Полученная таким
образом область запрета, куда не дол-
жны заходить годографы Михайлова—
Найквиста (или амплитудно-фазовые
характеристики), на рнс. XI. 16, а
заштрихована.
Логарифмические частотные ха-
Рис. XI. 17. К доказательству критерия
устойчивости Михайлова—Найквиста для
астатических систем автоматического регу-
рактеристики, соответствующие кри- дарования-.
вым рис. XI.16, а, построены на в-обход начала координат полуокружностью
рис. XI. 16, б. Здесь же показаны Ж^у^р «плоски6 " °тображеиие
зоны запрета в виде зон А, В, С.
Обобщим критерий устойчивости Михайлова—Найквиста на астатиче-
ские системы автоматического регулирования. В этом случае передаточную
функцию разомкнутой системы можно представить в виде
!F(S) = Zd5),
(XI.89)
где v — порядок астатизма.
На плоскости s возьмем полуокружность а+ около начала координат
с радиусом р —> 0 (рис. XI.17, а). Тогда можно написать
s = pe/*.	(XI.90)
Подставив полученное выражение в формулу (XI.89) при v = 1, найдем
lim W (s) == lim -- е-/’*’.	(XI.91)
р-»0	р-»0 Р
Из полученного выражения видно, что при движении точки по полу-
окружности а+ против часовой стрелки конец вектора IT (s) описывает полу-
окружность бесконечного радиуса R —»оо, двигаясь по часовой стрелке
(рис. XI.17, б). Годограф IFj (/©) строят обычным способом.
На рис. XI. 18 построены годографы устойчивых систем автоматического
регулирования с астатизмом соответственно 1, 2 и 3-го порядков (v = 1;
v = 2; v = 3).
Сформулируем критерий устойчивости систем автоматического регули-
рования, более удобный для практического применения. Для этого введем
Рис. XI.18. Годографы Михайлова—Найквиста для устойчивых в замкнутом
состоянии астатических систем автоматического регулирования:
а — при V “ Ц б => при V =• 2; < при V “ 3
12*
355
Рис. XI.19. Годографы
Михайлова—Найквиста'.
а т 0; б * т з
правило знаков: переход годографа W (jat) через отрезок (—оо, —1) из верх-
ней полуплоскости в нижнюю будем считать положительным, а из нижней
полуплоскости в верхнюю полуплоскость — отрицательным. Пользуясь
этим правилом знаков, можно сформулировать следующий критерий устой-
чивости.
Система автоматического регулирования, имеющая в разомкнутом со-
стоянии т полюсов в правой полуплоскости, будет устойчивой в замкнутом
состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных
переходов годографа разомкнутой системы через отрезок действительной оси
(—оо, —1) равна т/2.
При т = 0 система устойчива, когда разность между числом положи-
тельных и отрицательных переходов годографом через отрезок (—оо, —1)
равна нулю.
На рис. XI. 19 показано применение этого критерия к анализу устой-
чивости двух систем автоматического регулирования. Отрезок (—оо, —1)
на рис. XI. 19 выделен жирной сплошной линией. В точках перехода этого
отрезка годографом поставлены стрелки, направленные в сторону возра-
стания со. В кружочках поставлены знаки переходов.
На рис. XI.19, а показан годограф Михайлова—Найквиста для системы
автоматического регулирования, имеющей т = 0. Число переходов отрезка
(—оо, —1) со знаком плюс равно 2 и со знаком минус также равно 27Следо-
вательно, по приведенному выше критерию
+2-2в|,
т. е. рассматриваемая система устойчива в замкнутом состоянии. В системе,
годограф которой построен на рис. XI. 19, б, имеем т — 3; тогда
и система автоматического регулирования также является устойчивой в зам-
кнутом состоянии.
6. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ОДНОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для построения логарифмических частотных характеристик разомкну-
тых систем требуется меньше времени, нежели на построение годографа
Михайлова—Найквиста. Поэтому способ анализа устойчивости систем авто-
матического регулирования, основанный на логарифмических частотных
характеристиках, в настоящее время является одним из наиболее распростра-
ненных в инженерной практике.
Используя критерии устойчивости Михайлова—Найквиста, сформули-
руем требования, которым должны удовлетворять логарифмические частот-
ные характеристики разомкнутых систем, обеспечивающие их устойчивость
356
в замкнутом состоянии. Как видно из рис. XI. 15, а, кривая (/со) соответ-
ствует устойчивой системе, так как в характеристическом уравнении разом-
кнутой системы нет полюсов в правой полуплоскости, а годограф Wг (/со)
при не охватывает точку (—1, /0). Назовем частоту в точке пересечения
годографа с окружностью единичного радиуса частотой среза сос]. Тогда
можно найти запас устойчивости системы по фазе ус1:
ус1 — л — 6 (“ci) > 0.	(XI.92)
Запас устойчивости по модулю равен —Дм, т. е. отрезку между точ-
кой (—1, /0) и точкой, соответствующей частоте юм при 6 (сом) — —л. Действи-
тельно, по мере роста коэффициента усиления в разомкнутой системе точка юс1
будет перемещаться по окружности единичного радиуса до тех пор, пока
годограф не пересечет точку с координатами (—1, /0). Запасы устойчивости
такой системы по фазе и модулю станут равными нулю, и система регулиро-
вания будет находиться на грани устойчивости. Дальнейшее увеличение
коэффициента усиления до К2 приведет к потере устойчивости. Соответствую-
щий этому случаю годограф W2 (/со) также изображен на рис. XI.15, а. Харак-
теристика W2 (/со) охватывает точку (—1, /0), и система характеризуется
отрицательным значением у, т. е.
Уса — л — 6 (<осаХ 0.	(XI.93)
Таким образом, данная система является неустойчивой в замкнутом
состоянии.
Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные харак-
теристики для рассмотренных систем.
Пусть частотная характеристика
W (/Ю) = (Л/со+ПСТс/со+В (73/(0+1) ’	(XI’94)
где К — коэффициент усиления; 7\ = 25 с; Т2 = 0,1 с; Т3 = 0,01 с.
Логарифмическая амплитудная характеристика 20 lg Н (со) построена
на рис. XI.20 и обозначена Нг (при = 50). Для построения фазовой ха-
рактеристики воспользуемся формулой, полученной из выражения (XI.94):
0 (со) = — arctg w7\ — arctg соТ2 — arctg со? 3.	(XI.95)
Фазовые углы будем определять, пользуясь фазовой линейкой (см.
рис. Х.31). Соответствующие числовые значения фазовых углов занесены
в табл. XI.4. По этим данным на рис. XI.20 построена логарифмическая фа-
Рис. XI.20. Логарифмиче-
ские амплитудная и фазовая
частотные характеристики
системы автоматического ре-
гулирования с передаточной
функции (XI.97) при двухзна-
чениях коэффициентов усиле-
ния Ki = 50, К2 = 2S00
357
Значения фазовых углов, град
Таблица XI. 4
Типовое звено	Фазовые углы при со, с“’									
	0.01	0,04		0,1		0,4		1.0		4
~arctS ’ЩЙ" ~arctg То* .	<0 -arctg Too-	—14 0 0	—45 0 0		—68 —0,5 0		—84 —2 0		—88 —5,5 —0,5		—89,5 —21,5 —2
е	—14	—45		—68,5		—86		—94		—113
Типовое звене	Фазовые углы при со, с~1									
	10		40		100		400		1000	
A	W ~arctg "оЖ *	<0 -arctgTo' СО - arctg-ioo-	—90 —45 —5,5		—90 —75,5 —21,5		—90 —45		—90 —88,5 •Z —75,5		—90 —89,5 —84	
6	—140,5		—197		—219		—254		—263,5	
зовая характеристика 6li2. Система является устойчивой, так как на частоте
среза оос1 запас устойчивости по фазе ус1 > 0, а запас устойчивости по мо-
дулю при частоте им = —л равен — /7М.
Для систем автоматического регулирования можно пользоваться сле-
дующими нормами запасов устойчивости, гарантирующими надежную ра-
боту систем: по фазе ус > 24°; по модулю +ЯМ > 12 дБ; —/7М < 8 дБ. В дан-
ном случае имеем ус1 — 72° и —= 32 дБ, что обеспечивает надежную
работу системы.
Необходимо отметить, что нормы запасов устойчивости определяют по-
казатели качества систем автоматического регулирования (см. гл. XII).
Так, например, для исключения перерегулирования в системе необходимо
иметь запас устойчивости по фазе > 90°. Малые запасы устойчивости по
модулю (меньше +12 дБ и больше —8 дБ) приводят к увеличению максимума
перерегулирования и числа колебаний в переходном процессе.
Увеличим коэффициент усиления анализируемой системы до К2 = 2800;
тогда логарифмическая амплитудная характеристика /72 пересечет ось 0 дБ
на частоте среза оос2 — 100 с"1. Запас устойчивости ус2 < 0. Последнее и
указывает на неустойчивость системы автоматического регулирования в зам-
кнутом состоянии.
Рассмотрим первую формулировку критерия устойчивости, основанного
на логарифмических частотных характеристиках. Система автоматического
регулирования, имеющая передаточную функцию с устойчивыми звеньями,
будет устойчива в замкнутом состоянии, если на частоте среза логарифми-
ческая фазовая характеристика имеет положительный запас устойчивости,
358
а ее амплитудная характеристика при 0	» —а обеспечивает запасы
устойчивости по модулю —Нм.
На рис. XI.21 построены логарифмические амплитудная и фазовая ча-
стотные характеристики для системы, имеющей частотную характеристику
вида
К(7ую+ 1)*

(XI.96)
где К — коэффициент усиления; 7\ = 2,88 с; Т2 = 0,2 с; Т9 = 0,025 с;
Т4 = 0,01 с. Логарифмическая амплитудная характеристика, соответствую-
щая К = 4000, на рис. XI.21 обозначена Нх. Фазовая характеристика опре-
деляется с помощью следующего выражения:
0м(со) = •—5— 2 arctg ш7\ -4- 2 arctg ш72 — arctg «З'з — arctg ®Tt. (XI.97)
&
На рис. XI.21 эта характеристика построена сплошной линией, а уча-
сток, соответствующий дуге бесконечного радиуса, — штриховой линией.
На частоте среза а»с1 система имеет запас устойчивости yci > 0. При 0 (со) =>
— —л запасы устойчивости по модулю соответственно равны +Нп и —/7М.
Все это указывает на устойчивость системы автоматического регулирования
в замкнутом состоянии.
Рассмотрим вторую формулировку критерия устойчивости по виду ло-
гарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Для
этого введем правило знаков. На частотах, где 20 lg Н (®) ►> 0, переход по-
ложителен, если фазовая характеристика пересекает прямую — л снизу
вверх, и отрицателен, если она пересекает прямую —л сверху вниз. Поль-
зуясь этим правилом, сформулируем критерий устойчивости.
Для того чтобы система автоматического регулирования, разомкнутая
передаточная функция которой состоит из передаточных функций устойчи-
вых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и доста-
точно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных пере-
ходов фазовой характеристики линии —л равнялась нулю при значениях
частот, для которых логарифмическая амплитудная характеристика неотри-
цательна.
Рис. XI.21. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характе-
ристики для системы автоматического регулирования, имеющей передаточ-
ную функцию (XI.99} при трех значениях коэффициента усиления b
359
На рис. XI.21 для наглядности сплошной линией построен годограф
Михайлова—Найквиста	(fco) по логарифмическим характеристикам
20 1g (со) и 0 (ш). Годограф также указывает на устойчивость системы
в замкнутом состоянии.
В рассматриваемом примере уменьшим коэффициент усиления до 36 дБ.
Соответственно с этим амплитудная характеристика на рис. XI.21 займет по-
ложение Я2, и на частоте среза ®с2 имеем ус2 < 0. Следовательно, система
неустойчива в замкнутом состоянии.
В этом случае при 20 1g Н2 (со) > 0 имеем только один отрицательный
переход фазовой характеристикой оси —л, т. е. —1 + что соответствует
неустойчивой системе в замкнутом состоянии.
Теперь увеличим усиление до 86 дБ; тогда логарифмическая ампли-
тудная характеристика займет положение Н3 (см. рис. XI.21). На частоте
среза (ос3 имеем у3 < 0, что указывает на неустойчивость системы. Действи-
тельно, при 20 1g Н3 (®) > 0 имеем два отрицательных перехода характери-
стикой 6 (со) оси —л и один положительный переход, т. е. —2 -|- 1 + ~.
Отсюда следует, что система автоматического регулирования с увеличением
коэффициента усиления является неустойчивой.
Здесь же, на рис. XI.21 построены кривые Михайлова—Найквиста в обыч-
ном масштабе, из которых видно, что годографы W2 и UP3 (/©) соответ-
ствуют неустойчивым системам.
Сформулируем логарифмический критерий устойчивости для случая
систем автоматического регулирования, имеющих в разомкнутых передаточ-
ных функциях неустойчивые звенья. Для того чтобы система автоматического
регулирования, разомкнутая передаточная функция которой имеет т не-
устойчивых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо
и достаточно иметь разность между числом положительных и отрицательных
переходов фазовой характеристики линии —л, равную т/2, при значениях
частот, для которых логарифмическая амплитудная характеристика поло-
жительна. Необходимо отметить, что и в этом случае для получения удовле-
творительных показателей качества следует иметь вполне определенные
запасы устойчивости по фазе ус и модулю —Ям и Ям.
Рассмотрим несколько примеров анализа устойчивости систем автома-
тического регулирования по виду логарифмических амплитудных и фазовых
частотных характеристик.
Пример XI.16. Разомкнутые системы автоматического регулирования имеют частотные
характеристики вида
W (icol —	100 (0,33/® -f-1)_____________.	.
1U '	/®(3,33/®—1) (0,04/®+ 1) (0,01/®+1) ’	(ла.уо/
№»	______________100 (/'® + 1)а_______ (XI 991
аУ 1	/®(3,33/ш—- 1)2(0,04/® +1) (0,01/®+1) ‘	1	’
Проанализируем системы на устойчивость, пользуясь логарифмическими амплитудной
и фазовой частотными характеристиками. В первом случае имеется одно неустойчивое аперио-
дическое звено; следовательно, т = 1. Для построения логарифмической фазовой характе-
ристики воспользуемся формулой
0J, (®) = —л--J~ + arctg 3,33® + arctg 0,33®— arctg 0,04m—arctg 0,01®. (XI.100)
Во втором случае имеем два неустойчивых апериодических звена, т. е. т = 2. Формула
для фазовой характеристики будет
0а (и) = —2л--4-2 arctg 3,33<о -f-2 arctg со — arctg 0,04®— arctg 0,01®.1 (XI. 101)
По формулам (XI.99) и (XI.100) на рис. XI.22 построены логарифмические амплитудная
и фазовая 0Х характеристики, откуда видно, что при 20 1g £> 0 логарифмическая фазо-
вая характеристика 0Х имеет—1/2 перехода и +1 переход, т. е. +1-д- = -i~, что указы-
Z *
360
вает на устойчивость системы регулирования в замкнутом состоянии. Кроме того, система
обладает достаточным положительным запасом устойчивости по фазе yj £> 0 и положительным
4-Нм1 и отрицательным—Ям1 запасами устойчивости по модулю. На рис. XI.22 построен
годограф Михайлова—Найквиста (/®), из которого также видно, что система регулирова-
ния устойчива в замкнутом состоянии.
По формулам (XI.99) и (XI.101) на рис. XI.22 построены логарифмическая амплитуд-
ная Я2 и фазовая 02 характеристики. При 20 1g Н2 0 фазовая характеристика 02 пересекает
ось —л один раз в положительном направлении, т. е. +1 = -у, что указывает на устойчи-
вость рассматриваемой системы в замкнутом состоянии. Здесь же, на рис. XI.22 построен
годограф Михайлова—Найквиста 1Г2 (/со), из которого также видно, что система устойчива.
Как и в первом случае, система регулирования обладает достаточными запасами устойчивости
У2 i> 0, +Ямг И —Яма-
Пример XI. 17. Система автоматического регулирования имеет разомкнутую передаточ-
ную функцию с тремя неустойчивыми апериодическими звеньями (т — 3). Тогда
w .________________2,5-10° (О.5/Ш-4- 1)« (0,1/®+ 1)______	,Х1 102)
{!~ /со (20/<о — 1)а (2,5/® — 1) (0,01 /со + 1)а (0,0025/<о + 1) *	'	’
Требуется проанализировать устойчивость этой системы, пользуясь логарифмическими
амплитудной и фазовой частотными характеристиками.
Логарифмическую амплитудную характеристику будем строить по формуле (XI. 102).
Логарифмическую фазовую характеристику можно построить, пользуясь формулой
0 (со) = — Зл-у + 2 arctg 20® + arctg 2,5® +
+ 2 arctg 0,5® + arctg 0,1® — 2 arctg 0,01® — arctg 0,0025®. (XI. 103)
Характеристики Н (и) и 0 (®) построены на рис. XI.23. По ним можно определить, что
фазовая характеристика пересекает 2 раза ось —л в положительном направлении и 1/2 —
в отрицательном, т. е. 4-2-у = —.
Следовательно, рассматриваемая система устойчива в замкнутом состоянии. С целью
проверки правильности анализа устойчивости на рисунке построен годограф Михайлова—
Найквиста.
Пример XI.18. Требуется сравнить устойчивость двух статических систем автоматиче-
ского регулирования, имеющих частотные характеристики
w (!а>}_______________40 000(0,5/®+1)а____________.
14	(25/щ + 1) (5/ш + 1)а (0,02/ш + 1) (0,0025/м + 1) ’ v 1
07 СгМ	40 000(0,5/®+1)8	-05.
(25/® — 1)(5/®+1)а (0,02/®+ 1) (0,0025/® + 1) '	1	'
Первая система состоит только из устойчивых звеньев (т = 0) и для нее имеем
0j (со) = _ arctg-2 arctg-^-+2 arctg-у —arctgarctg(XI.106)
Вторая система имеет одно неустойчивое апериодическое звено (т = 1), а остальные
звенья устойчивые. Для нее
02 (ш) = - л + arctg - 2 arctg уу + 3 arctg -у — arctg - arctg .
(XI.107)
Из построенных на рис. XI.24 характеристик и 02 видно, что линию —л фазовая
характеристика пересекает 2 раза, т. е. +1 — 1 = -у.
Кроме того, в системе обеспечиваются следующие запасы устойчивости: по фазе у0 =
= 75°; по модулю +Ям = 16 дБ и —Ям = 27 дБ.
Из анализа характеристик Я2 и 02 устанавливаем, что выполняется тождество +1 +
+ 1/2 — 1 = -у. Поэтому вторая система также устойчива в замкнутом состоянии. Ее запасы
устойчивости: по фазе ус = 75°, по модулю +Ям = 16 дБ и —Ям = 27 дБ.
Полученные данные указывают на одинаковые показатели устойчивости обеих систем.
Частотные годографы для соответствующих передаточных функций также приведены на рис.
361
§
Рис. XI.22. Логарифмические амплитудная и фазовая ча-
стотные характеристики для систем автоматического ре-
гулирования, имеющих неустойчивые звенья
Рис. XI.23. Логарифмические амплитудная и фазовая ча-
стотные характеристики для системы автоматического
регулирования, имеющей т = 3
Cm, 95
Рис. X! .24. Логарифмические
теристики для двух систем
Wi (/со) и т = 1, W2 (/ш)
амплитудная и фазовая частотные харак-
автоматического регулирования с т = О,
Пример XI. 19. Требуется проанализировать устойчивость системы автоматического
регулирования, обладающей астатизмом второго порядка. Частотная характеристика системы
имеет вид
10 (1,1/со Ч- !)
П7 S —- «т '	...... ' -   ..............   _
U .	(/со)’(3,33/©+ 1) (0,04/©+ 1) (0,01/© + 1)
(XI. 108)
Логарифмическая амплитудная характеристика Н (со) построена на рис. XI.25. Перво-
начальный наклон амплитудной характеристики составляет —40 дБ/дек, что указывает на
Рис. XI.25. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики системы
автоматического регулирования, обладающей астатизмом второго порядка
363
астатизм второго порядка. Формулу для построения логарифмической фазовой характери-
стики представим в виде
0 (со) = — л — arctg 3,33® + 2 arctg 1,1ш — arctg 0,04® — arctg 0,01 со. (XI.109)
Логарифмическая фазовая характеристика также построена на рис. XI.25. Пользуясь
этой характеристикой, находим, что — 1+1 = -j-. Последнее указывает на устойчивость
системы в замкнутом состоянии.
Система обладает запасами устойчивости ус £> 0 и соответствующими значениями —Ядо.
На этом же рисунке изображен годограф, построенный по функции (XI.108).
Пример XI.20. Требуется оценить влияние колебательных звеньев на устойчивость
систем автоматического регулирования. Допустим, что первая система имеет частотную харак-
теристику в виде
W f '	305 (0,25/ш + I)2	/XI 1101
1(/О; ~ /со [(/®)а+2-0,01/® + Ц (0,025/® + 1) (0,004/®+!) *	’ ’
По приведенной частотной характеристике на рис. XI.26 построены логарифмические
амплитудная Н1 и фазовая 04 частотные характеристики. Система устойчива в замкнутом
состоянии, так как +1 — 1 = и запасы устойчивости по фазе ус1 == 32,5°, модулю + Ям =
= 12 дБ, —Ям = 18 дБ. Если колебательное звено переместить из области низких частот
в область высоких частот, то частотную характеристику измененной таким образом системы
запишем в виде
305 (0,125/®+ 1)
(/®1 =-----------------------------------------,
2U z /®(/®+ 1)1(0,004/®)2 +2-0,01-0,004/®+ 1]
(XI.111)
По выражению (XI.111) на рис. XI.26 построены характеристики Н2 и 02. Система имеет
три частоты среза: ®с2, шсз, шс4. На частоте среза шс4 запас устойчивости по фазе ус1 <3 0,
что указывает на неустойчивость системы в замкнутом состоянии.
Здесь же, на рис. XI.26 построен в обычном масштабе годограф Михайлова—Найквиста,
из которого видно, что характеристика W2 (/со) охватывает точку (—1; /0) в отрицательном
направлении. Следовательно, система неустойчива в замкнутом состоянии.
Из приведенного примера видно, что параметры колебательного звена оказывают суще-
ственное влияние на устойчивость систем автоматического регулирования.
Рис. XI.26. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные, харак-
теристики для систем автоматического регулирования с колебательными
звеньями
364
Рис. XI.27. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики для системы, имеющей частотную характеристику
(XI. 112)
Пример XI.21. Определить запасы устойчивости по фазе и модулю для системы, имеющей
частотную характеристику
П7 __ _____________________________630 (/со)2________________________ „
4 '	(25/©+1) (1,2/©+1) (0,143/©+ 1) (0,005/©+ 1) (0,00167/©+1) ‘	’
На рис. XI.27 построена логарифмическая амплитудная характеристика Н (и).
Для вычисления логарифмической фазовой характеристики воспользуемся формулой
0 (ш) = л — arctg 25© —arctg 1,2©— arctg 0,143м —
— arctg 0,005© — arctg 0,00167©.	(XI. 113)
Соответствующая логарифмическая фазовая характеристика 0 приведена на рис. XI.27.
Для большей наглядности анализа здесь же, на рис. XI.27 построен годограф Михайлова—
Найквиста. Из годографа видно, что рассматриваемая система имеет две частоты среза: шсн
(нижняя частота среза) и шсв (верхняя частота среза). На частотах среза находим два запаса
устойчивости по фазе ун f> 0, ув Е> 0 и один по модулю—Ям- Как видно из рис. XI.27, система
является устойчивой в замкнутом состоянии.
Из этого примера следует, что система автоматического регулирования может стать
неустойчивой при у„ <7 0 или ув < 0. На рис. XI.28 построены годографы Михайлова—Найк-
виста, соответствующие этим двум случаям.
Рис. XI.28 Годографы Михайлова—Найквиста для двух систем регу-
лирования-.
а — устойчивой из-за < 0; б — неустойчивой из-за VB < 0
365
7. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Логарифмический критерий устойчивости многоконтурных систем авто-
матического регулирования можно сформулировать в следующем виде. Для
того чтобы многоконтурная система автоматического регулирования, имею-
щая т неустойчивых звеньев, была устойчивой в замкнутом состоянии,
необходимо и достаточно для положительных значений логарифмической
амплитудной характеристики иметь разность между числом положительных
и отрицательных переходов прямой —л всеми фазовыми частотными харак-
теристиками, получаемыми путем последовательного включения каждого из
контуров обратной связи, равную т/2.
Рассмотрим двухконтурную систему автоматического регулирования,
структурная схема которой изображена на рис. XI.29, а. Будем считать, что
в частотной характеристике 1F2 (/со) имеется одно неустойчивое звено (т=1).
Для определения устойчивости системы разомкнем обратные связи. Затем
построим логарифмические частотные характеристики И72 (/со) U?3 (/со) и
определим разность между числом положительных и отрицательных перехо-
дов фазовой характеристики arg [IF2 (/со) U?3 (/со) ] прямой —л при
20 1g | IF2 (/со) W3 (j<&) | > 0. Допустим, что имеем только один отрицательный
переход; тогда получим —1 + 0 = —1.
Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные харак-
теристики после замыкания 1-го контура, имея в виду, что
on 1 „ Г wi (fo) <fo») wi (М) ] n
gL 1 + 1Г8 (/co) IF, (/co) _RU
и фазовая характеристика
8L 1 + F, (j<o) Wt (/<o) J
будет пересекать ось —л 1 V2 раза в положительном направлении. Тогда
согласно сформулированному выше критерию имеем + 1 ------1 = -i-, что
указывает на устойчивость замкнутой системы автоматического регулиро-
вания.
Следствие. Если в системе автоматического регулирования отсутствуют
неустойчивые звенья, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необ-
ходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отри-
цательных переходов оси —л всеми логарифмическими фазовыми частотными
характеристиками при последовательном включении всех обратных связей
для положительных значений частотных характеристик 20 lg Н (со) была
равна нулю.
б)
Рис. XI.29. Структурные
схемы для двухконтурной си-
стемы автоматического регу-
лирования'.
а — исходная; б «-* преобразо-
ванная
366
Как первая, так и вторая формулировка логарифмических критериев
устойчивости многоконтурных систем требует определения логарифмиче-
ских частотных характеристик замкнутых контуров. Например, для системы,
изображенной на рис. XI.29, а, частотную характеристику внутреннего кон-
тура можно записать в виде
Преобразуем выражение (XL 114); тогда получим
TW (	_ ^2 (/ю) ^3 (fol_____1	/VT 1 1 с\
(/Ю) J +	(,м)	(,m),	(XI.115)
что соответствует преобразованной структурной схеме, изображенной на
рис. XI.29, б. Введем следующее обозначение:
IFo(/co) = IF2(/co)1F3(/co).
Найдем, что
j-x,, r,u- дане»
Прологарифмируем выражение (XI. 116):
201 g Гк (/со) = 201g [	] - 201g Г8 (/со).	(XI. 117)
Введем новую переменную
связывающую частотную характеристику преобразованного замкнутого кон-
тура Фо (/со) с характеристикой разомкнутого контура Wo (jco). Для опре-
деления логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик
разомкнутого контура служит номограмма замыкания (номограмма Ни-
кольса). Для ее получения воспользуемся следующими выражениями:
Го (/со) = Но (со) е/0“(и);	(XI. 119)
здесь Н п (со) — амплитудная характеристика разомкнутого контура; 90 (®) —
фазовая характеристика разомкнутого контура;
Ф0(ло) = Ло(со)е/Ч’’(<в),	(XI. 120)
где Л о (®) — амплитудная характеристика преобразованного замкнутого
контура; <р0 (®) — фазовая характеристика преобразованного замкнутого
контура.
Подставив выражения (XI.119) и (XI.120) в формулу (XI.118), получим
Ло (®) е/ф’(<в) =	”о(°>)е/е,<<а)	(XI. 121)
01 7	14-й0(со)е/а» <“»	v 7
Воспользуемся формулой Эйлера; тогда соотношение (XI. 121) пере-
пишем в виде
Ао (со) cos ср0 (со) -j- jA0 (со) sin ф0 (со) =
Но (со) cos е0 (со) + jHa (со) sin 90 (со)	(YT 199)
i +Я0 (со)'cos е0 («) + /Йо (со) "sin ё0 (ш) *	1 ’	>
367
Выделяя в правой части формулы (XI. 122) действительную и мнимую
части и приравнивая их соответствующим выражениям левой части, находим
А (со) = г	. .£?((й)_^ (X1.123)
(со) + 2На (со) cos е0 «о) + 1
и
<roW- arctg	<ХИ24)
С помощью формул (XI. 123) и (XI. 124) получают номограмму Никольса.
Откладывая по оси ординат Но (со) в децибелах, а по оси абсцисс 0О (со) в гра-
дусах, строят кривые равных значений Ап (со) в децибелах (сплошные линии
номограммы на рис. XI.30). Штриховые линии номограммы получаются как
линии равных значений ср0 (со) в градусах. Числовые значения Ао (со) в де-
цибеллах приведены в кружочках для соответствующих сплошных линий
номограммы. Числовые значения ср0 (со) в градусах приведены в кружочках
внизу.
Номограммой можно пользоваться следующим образом: 1) построенные
логарифмические амплитудную Но (со) и фазовую 0О (со) частотные харак-
теристики перенесем на номограмму в виде кривой; 2) нанесем на эту кривую
значения круговых частот со как параметр; 3) в точках пересечения сплош-
ных кривых номограммы с логарифмической кривой L{W(ja)\ при некото-
рых значениях со находим числовые значения амплитуд приведенного зам-
кнутого контура А0 (со), в точках же пересечения со штриховыми кривыми
номограммы определяем фазовые значения приведенного замкнутого кон-
тура Фо (®); 4) сложим полученные характеристики с логарифмическими
амплитудой | j и фазовой arg {} характеристиками; тогда по-
лучим исходные частотные характеристики замкнутого контура.
Можно пользоваться и другим способом построения логарифмических
частотных характеристик замкнутого контура. Для этого выражение (XI. 114)
перепишем в виде
1
№к (/со) =---(/ю-)-^3 (/<о)— Г3 (/со).	(XI. 125)
1 + W2 (/ш) W's (/“>)
В полученное выражение введем следующее обозначение:
(X,J26’
тогда получим
=	(I®).	(XI.127)
1 -f- W о и*0?
По формуле (XI. 127) нетрудно проследить следующий способ построе-
ния логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик зам-
кнутого контура: 1) построим зеркальное отображение относительно оси
частот для характеристик Но (со) и 0О (со) и перенесем их на номограмму
замыкания; 2) нанесем на полученную кривую значения круговых частот со;
3) в точках пересечения кривой с линиями номограммы найдем значения
амплитуд Ап и фаз ф0 (со); 4) сложим полученные характеристики с логариф-
мической амплитудной | IF2 (/со)| и фазовой arg {1F2 (/со)} характеристи-
ками; тогда получим исходные логарифмические частотные характеристики
контура WK (/со).
Следует отметить, что при решении ряда практических задач второй
способ часто оказывается более удобным, нежели первый.
368
369
Lm,dfj	Lm,06
0° -340-320-2Я0-280-2603240-220-200-180-150-140 -120-100 SO -60 -40 -20 0 20 40 50 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 9°
Puc. XJ.30. Номограмма замыкания
Указанная методика пригодна и для построения логарифмических ампли-
тудных и фазовых частотных характеристик замкнутых систем автомати-
ческого регулирования. Передаточная функция замкнутой системы при
s = /со
<Х1Л28)
по своей структуре аналогична формуле (XI.118). Поэтому, зная логариф-
мические амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой
системы Нп (со) и 0П (со), с помощью номограммы замыкания можно получить
амплитудную и фазовую частотные характеристики замкнутой системы.
Номограмму замыкания можно использовать и при построении логариф-
мических частотных характеристик замкнутой системы (или замкнутого кон-
тура) с положительной обратной связью. Покажем это следующим образом.
Пусть передаточная функция замкнутой системы с положительной обратной
связью при s = /со определяется по формуле вида
Д’ (W ° , Z У» 	(XI.129)
Из формулы (XI. 128), которой соответствует номограмма на рис. XI.30,
найдем частотную характеристику разомкнутой системы
'XL130>
Сравнивая формулы (XI.129) и (XI.130), можно установить, что по своему
написанию они тождественны. Только в формуле (XI. 129) в левой части
стоит функция замкнутой системы, а в правой части — функции разомкну-
той системы. В формуле (XI. 130), наоборот, в левой части функция разомкну-
той системы, а в правой части — функции замкнутой системы. Отсюда не-
трудно сформулировать правило построения частотных характеристик си-
стем с положительной обратной связью: значения амплитуд и фаз разомкну-
той системы следует отмечать на кривых номограммы, а значения амплитуд
и фаз замкнутой системы считывать по осям ординат и абсцисс номограммы *.
Пример XI.22. Передаточную функцию разомкнутой следящей системы (см. рис. IX.12)
запишем в виде
_________МтМя____________
W (s) = s(71S+ D(rgs+l)(T3s+ В ,	(X1.131)
, I_________*1*2' 4s______
(TjS + 1) (TjS + 1) (Tts Ц- 1)
где Tj = 0,01 c; T3 = 0,02 c; Ts = 0,12 c; T4 = 0,4 c; Mi Ms = 200 c1; ktk„Ts = 3,16c.
Для построения частотной характеристики по передаточной функции (XI.131) введем
следующие обозначения:
3,16/со
Wa (/Ш) ’ (0,01/со + 1) (0,02/со + 1) (0,4/со + 1) ’
200
Wb /ш (0,01 /со + 1) (0,02/со + 1) (0,12/со -J- 1) '
Тогда получим
W (/со) =
(/<»)
1 + Wa <]Ы) ‘
(XI.132)
(XI.133)
Пользуясь выражениями (XI. 132) и (XI. 133), построим логарифмические частотные
характеристики. На рис. XI.31 построены логарифмическая амплитудная (кривая /) и фазовая
(кривая 3) частотйые характеристики по функции 1Га (/со). Из рис. XI.31 видно, что внутрен-
.. 1 .Для систем с отрицательной обратной связью значения амплитуд и фаз разомкнутой
системы следует брать с осей ординат и абсцисс номограммы, а значения амплитуд и фаз зам-
кнутой. системы считывать с кривых номограммы.
370
Рис. XI.31. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики двухкон-
турной следящей системы
ний контур имеет две частоты среза: <осн и со;в. При <всн запас устойчивости по фазе ™
= 96°, а при <всв : усв = 52°, что указывает на высокую устойчивость внутреннего контура
системы в замкнутом состоянии.
Для построения частотных характеристик по функции
следующим преобразованием:
i + wh/co) воспользУемся
1
1	_	Wа (/СО)
1 + Й7 а (/«)	< ,________1
wa (/со)
Здесь же на рис. XI.31 построим зеркальное отображение относительно оси частот ампли-
тудной (кривая 2) и фазовой (кривая 4) частотных характеристик для функции	.
(/“)
Перенесем несколько значений амплитуд и фаз функции	на номограмму и про-
ведем через эти точки сплошную кривую (см. рис. XI.30); нанесем на ней значения частот <а.
Таким образом, нами получена логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характе-
ристика	Точки пересечения этой кривой со сплошными линиями номограммы позво-
ляют найти значения
штриховыми линиями
фазовую arg £
1
амплитуд для характеристики	, а точки пересечения со
номограммы — значения фаз. Перенесем амплитудную | -у-	' |
и фазовую arg I , , _1	1 частотные характеристики с номограммы рис. XI.30 на
L 1 + W а (/CO) J
рис. XI.31. Соответствующие кривые обозначены цифрами 5 и 6. Построим логарифмические
амплитудную | Wt> (/<*>) I (кривая 9) и фазовую arg Wb (/со) (кривая 10) характеристики. Сло-
жив графически значения амплитуд | t	| с I Wb (/со) | и фаз arg [ t +	]
и arg [Wb (/со)], получим результирующие кривые 7 — | Н (со) | и 8 — 0 (со). Из полученных
характеристик видно, что на частоте среза сос системы запас устойчивости по фазе ус =s
— 32°, а запас устойчивости по модулю //м = 24 дБ.
Следовательно, следящая система имеет хорошие показатели устойчивости (так как полу-
ченные запасы устойчивости превышают указанные ранее нормы). Можно также отметить, что
фазовая характеристика в районе частоты среза имеет пологий участок. Это обстоятельство
обеспечивает постоянство запаса устойчивости по фазе при небольших изменениях коэффи-
371
циентов усиления элементов системы. Иначе говоря, данная система является высокостабиль-
ной по отношению к колебанйям напряжения источников питания, износу электрических машин
и агрегатов.
Пример XI.23. Исследовать устойчивость многоконтурной системы стабилизации (авто-
пилот—самолет), структурная схема которой изображена на рис. IX.6. Преобразуем первый
внутренний контур, заменив его передаточной функцией:
^2^3
® = s<TnrP •	(XI-134)
t J_____
5(Тз5+1)
ИЛИ
W1K (s) =--------—-------,	(Xl.135)
1kW	7’2S® + 2§1T1s+1 ’	v
где
i /—т7~	1 .	1
Ti= г k2k3kt ’	к~^’ л ~ 2/тлм;’
Заменив первый внутренний контур передаточной функцией (XI.135), получим преобра-
зованную структурную схему, изображенную на рис. XI.32.
Запишем частотную характеристику двухконтурной системы в виде
W W 1 + Wa (/со) ’
где
Wt, (/co) =_________________------------------------------•
b /со [(To/co)2 + 2go7o/co + 1] [(Л/со)2 + г^Л/со + 1] ’
W „ (/со) ___________________________feaj(Tc/ffl+J2__________________________•
° u > /со (Т2/со + 1) I(Т0/ю)2 + 2&,То/<о + 1 ] [(Tt/co) 4- W 4- 1 ] ’
здесь k/j —~	kfi
Примем, что параметры системы стабилизации имеют следующие числовые значения:
Т2 = 10 с; 7\ = 0,28 с; = 1,07; = 0,57; Тс = 0,33 с; То = 0,143 с; g0 = 0,01; kr =
= 0,01 В/рад; kK = 0,175 В/рад.
При степени колебательности с, = 1,07 колебательное звено . ооп„ 9	п поо , ,
•	1	0,2832s24-2-1,07-0,283s4-l
1
распадается на два апериодических ———,	„——— .
(0,4s -|- 1) (0,2s 4-1)
Проанализируем устойчивость внутреннего контура системы автоматической стабилиза-
ции по передаточной функции Wa (ja>). Логарифмические амплитудная |	| и фазовая 0а
частотные характеристики построены на рис. XI.33. Как видно из рисунка, запасы устойчиво-
сти внутреннего контура по фазе ук = 43°, а по модулю —Ям = 39 дБ. На этом же рисунке
показаны обратные логарифмические характеристики по функции	 Полученные
значения обратных логарифмических частотных характеристик нанесены на номограмму
замыкания (см. рис. XI.30, где логарифмическая обратная амплитудно-фазовая характери-
стика построена штрихпунктирной линией). Точки пересечения этой кривой со сплошными
1
1 + W'a (/«) И
и штриховыми линиями номограммы определяют характеристики
arg ।	(/со) J ‘ Перенесем эти характеристики на рис. XI.33.
Рис. XI.32. Преобразованная структурная схема системы автома-
тической стабилизации (автопилот—самолет)
372
Рис. XT.33. Логарифмиче-
ские частотные характе-
ристики внутреннего кон-
тура системы стабилиза-
ции (автопилот—само-
лет)
Построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики по
частотной характеристике (/со) (рис. XI.34). Складывая значения амплитуд	,-„у—
I 1 "Г а (/СО)
(см. рис. XI.33) и I Wf, (/со) I (рис. XI.34), а также значения фаз arg
L I ~r w а (/СО) .
(рис. XI.33) и arg [Wb (/со)] (рис. XI.34), получим результирующие частотные характеристики
всей разомкнутой системы стабилизации самолета. Соответствующие характеристики | W | и О
построены на рис. IX.34. Из рис. XI.34 видно, что на частоте среза сос1 = 1,0 с-1 запас
устойчивости по фазе ус'— 75°, а запас устойчивости по модулю Ям = 16 дБ. Полученные
показатели запасов устойчивости гарантируют надежную работу системы стабилизации самолета.
Пример XI.24. Исследовать устойчивость системы автоматического регулирования,
структурная схема которой изображена на рис. XI.35, а. Как видно из этого рисунка, система
автоматического регулирования имеет внутренний контур с положительной обратной связью,
поэтому его передаточную функцию следует записать в виде
W2 (s) W3 (s) Ws (s)	1
kW 1-F2(s)F3 (s)F5(s) IF6 (s)
(XI. 136)
или
(XI.137
где IV'd (s) = U72 (s) IF3 (s)
Рис. XI.34. Логарифми-
ческие частотные харак-
теристики | Wb (/co)
6* (co); | W (/co) | и 6 (co)
системы стабилизации
(автопилот—самолет)
n7‘t(s)~ 1 -№d(s) W'b («)’
373
Рис. XI.35. Структурные схемы систем автоматического регулирования:
а — о положительной обратной свявыо; б «• с неустойчивым апериодическим звеном во внутреннем
контуре
Для построения логарифмических частотных характеристик примем, что передаточные
функции имеют следующий вид:
г‘«—гАт= •'•‘’--г&т! fTTi-:
г-и-тДт-
а их параметры соответственно равны: kx = 0,1;	= 100 с-1; Ия = !;£,= 0,5; ft, = 5-10"3;
7, = 0,025 с; 7, = 1 с; 73 = 0,01 с; 74 = 10‘3 с; 75 = 0,1 с. ’
Логарифмические амплитудная | Wj | (кривая /) и фазовая (кривая 2} частотные
характеристики построены на рис. XI.36. Как видно из рисунка, внутренний контур является
устойчивым, так как его логарифмическая амплитудная частотная характеристика лежит
ниже прямой 0 дБ.
,,	(/СО)
Искомую характеристику j _	построим с помощью номограммы замыкания
(рис. XI.37). При положительной обратной связи значения амплитуд разомкнутого контура
берут с кривых номограммы (обозначены в кружках), а значения амплитуд и фаз замкнутого
контура считают с осей ординат и абсцисс. На рис. XI.37 выполнено соответствующее
построение (кривая I). При со = 0,5	|	(j; 0,5) | == —11,5 дБ и 0^ (0,5) = 76°.
Рис. XI.36. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики внутрен-
него контура системы автоматического регулирования
374
9* -340 -320-300 -280 -260 -240-220-200 -180 -160-1^0 -129 -100 -80 -SO -40 -20 0	20 40 SO 80 100 120 140 160 180 200 220 240 2S0 280 300 320 340 9*
Рис. XI.37. Номограмма замыкания с логарифмическими амплитудно-фазовыми частотными характеристиками разомкнутых контуров
Рис. XI.38. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики для IFK (/со)
U W(jG>)
(XI.138)
Значения амплитуд и фаз с кривой I рис. XI.37 переносят иа рис. XI.36. Соответствующие
характеристики |	| и аг§ [~1 —tP^/m) ] постРоеиы иа рис. XI.36 (кривые 3 и 4).
На этом же рисунке построена амплитудная частотная характеристика [	-	. 1 (кривая 5)
L uz5 (/со) J
и фазовая характеристика arg	J (кривая 6). Сложив ординаты кривых 3 и 5,
получим амплитудную логарифмическую характеристику | 1ГК (/со) | внутреннего замкнутого
контура с положительной обратной связью (рис. XI.38). Сумма ординат кривых 4 и 6 (см.
рис. XI.36) даст фазовую частотную характеристику arg [ W7,, (/со) ] (кривая 0к на рис. XI.38).
Результирующие частотные характеристики разомкнутой системы | W | и 0 строят
с помощью следующего выражения:
W (/со) =	(j<o) Ц7К (/со)	(/со).
Они построены на рис. XI.38, откуда видно, что на частоте среза системы сосв имеется запас
устойчивости по фазе ус = 48° и при 0 = —180° запас устойчивости по модулю —Нм = 19 дБ.
Таким образом, можно сделать вывод, что система автоматического регулирования
с внутренней положительной обратной связью является устойчивой в замкнутом состоянии,
а полученные запасы устойчивости по фазе и модулю обеспечивают высокую ее стабильность
и при значительном изменении параметров.
При исследовании устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирования
методами логарифмических частотных характеристик с неустойчивыми звеньями во внутренних
контурах фазовая характеристика разомкнутого контура на частоте среза опускается ниже
прямой —л. Тогда при использовании номограммы замыкания и непосредственном считывании
значений фаз замкнутого контура arg Г] получается скачок фазы на 360°. Однако,
L 1 т (/ш) J
если вспомнить формулу (Х1.124),гпо которой были построены фазовые характеристики номо-
граммы, то станет очевидным, что фазовые кривые номограммы соответствуют не одному, a N
значениям фазы, т. е. 0°, 0° + 360°, 0° + 2-360°, ..., 0° + Л?-360°. Иначе говоря, номограмма
представляет собой многолистную фазовую поверхность с началами координат в точке (0 дБ,
0 ). Поэтому при считывании значений фаз с номограммы следует брать значения фаз, исклю-
чая 360°. В этом случае обеспечивается непрерывность построении фазовой характеристики
замкнутого контура (системы). Проиллюстрируем это конкретным примером.
Пример XI.25. Исследовать устойчивость двухконтурной системы автоматического регу-
лирования, имеющей неустойчивое звено во внутреннем контуре. Структурная схема системы
показана на рис. XI.35, б.
Пусть передаточные функции
(s) = kf,
^4 (s) =
системы имеют следующий вид:
---W (S) - T3S + 1
T2s+1 ’ “'sW- 74s+i »
где kr = 1,4; k2 = 63; k3 = 0,316 c'1; k4 = 3,56; 7\ = 0,5 c; T2 = 0,02 c; T3 = 0,25 c; T.=
= 0,05 c.
376
Рис. XI.39. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкну-
того и замкнутого внутреннего контура с неустойчивым апериодическим звеном
	Запишем частотную характеристику для разомкнутой системы в виде <Х1139>
где	
Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики | IFa | и 0в построены
на рис. XI.39. Из выражения (XI.140) видно, что в передаточной функции Wa имеется один
полюс в правой полуплоскости; следовательно, для устойчивости внутреннего контура раз-
ность между числом положительных и отрицательных переходов кривой Qa прямой —л должна
быть равна +1/2. Из рис. XI.39 видно, что это условие соблюдается. Следовательно, внутрен-
ний контур будет устойчивым в замкнутом состоянии.
Для построения логарифмических частотных характеристик замкнутого контура вос-
пользуемся следующим выражением:
Гк (s) = 1 + Wa(s) VToi) ’	(X1.141)
Рис. XI.40. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики разомкну-
той многоконтурной системы автоматического регулирования
377
Подставим в выражение (XI.141) з= /<в и построим характеристики [ 1Га| и 0а. Затем
нанесем на номограмму рис. XI.37 логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характе-
ристику 201g	(кРивая ")» Перенеся соответствующие ординаты и учитывая
характеристики звена	, получим логарифмические амплитудную и фазовую частотные
\/Ф)
характеристики IFK (fa).
Результирующие амплитудную и фазовую частотные характеристики всей системы нахо-
дят с помощью выражения

Соответствующее построение выполнено иа рис. XI.40 — кривые | W | и 0. Из рис. XI.40
видно, что данная система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии
и ее у0 = 11е, —Ям = 3,5 дБ.
8. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ
_ Как известно, в системы автоматического регулирования могут входить
трансцендентные звенья, передаточные функции которых получаются из
уравнений, описываемых в частных производных. Одним из наиболее рас-
г прОстраненных трансцендентных звеньев является звено чистого зайаЗды^
вания с передаточной функцией W (s) = e~Ts.	I X
11 \ Передаточная функция системы автоматического регулирования со зве-
/7 Йо^ч^стого запаздывания
V,(s) —Vt(s)e“«,	(XI. 142)
передаточнаяАункция элементов разомкнутой системы без звена
здывания. у \
s =? /со, долучим
IFj^/coX»	(/со) e“'I/°,
(» ^ (co) e/10> <•>-«»].
/ /
r„x___144) вй|Дно, что для построения годографа Михай-
квис1Х/^истемы с Запаздывающим звеном сначала следует по-
нлитуДно-фазовую/характеристику без запаздывания (кривая 1 на
’	ж щести все точки так, чтобы радиус-вектор, т. е.
Нх (со), не изменился, а аргумент уменьшился на тсо. Данное построение вы-
полнено на рив. XI.41, а (кривая 2). Из рис. XI.41, а видно, что система с за-
паздыванием менее устойчива, так как у годографа (/«) уменьшились
запасы устойчивости по фазе на у = сос1т и но модулю в несколько раз.
/
чистого
П<
 \/
(XI. 143)
(XI. 144)
ЛОВЭ^-
строит!
рис. XI.41), а затем пере.
Рис. XI.41. Годографы Михайлова—Найквиста для систем с ввеньями
чистого ваааздываииа
378
Рис. XI.42. Два типа годографов Михайлова—Найквиста для систем^.-
с звеньями чистого запаздывания
Покажем, что в системе автоматического регулирования со звене»
чистого запаздывания существует критическое ткр, при котором система
находится на грани устойчивости и ее годограф проходит через\точку рчк <
/0). Для этого определим сос в точке пересечения годографа с единичной-екруя^^Ц/
ностью (рис. XI.41, б). Найдем фазовый угол 0С. Очевидно, что/кпитическбе	.
время запаздывания определяется следующей зависимость^ \	/
*кр = -£. xV/'V (XI. 145)
где сос — критическая частота.	т '
Возможны и другие случаи расположения годографа Михайлова—Найк-
виста относительно окружности единичного радиуса.
Первый случай. Модуль годографа при всех частотах 0 < ш < оо меньше
единицы (т. е. | UZj (/со) [ < 1); тогда в системе отсутствуют частоты среза
и система устойчива при любых ч? (рис. XI.42, а). Иначе говоря, рассматривае-
мая система не будет иметь критического времени запаздывания <скр.
Второй случай. В некотором диапазоне частот | 1Р1 (/со) | > 1; тогда
в системе имеется несколько частот среза сос/ (или критических частот)
(рис. XI.42, б). Точки, соответствующие критическим частотам, определяются
следующими уравнениями:
#i((o)= 1;
0г (со) — тсо = — л (2i 4~ 1 )>
(XI. 146)
где i = 0, 1, 2, ...
Решая первое уравнение (XI. 146) относительно со, определим значения
критических частот шС(. Из второго уравнения получим
_ _ 0! (С0с) , л (21’4-1}
V/ -	’	*“Г“	’
‘ Wc,	<ое,
(XI. 147)
Вычисляемые по формуле значения т( разбивают область возможных
значений времени запаздывания на участки с устойчивой работой.
Рассмотрим в порядке убывания критические частоты <ос<. Из
рис. XI.42, б видно, что при 0 « г < т!кр = -^1- система будет устойчи-
вой в замкнутом состоянии, так как годограф не охватывает точки (—1, /0).
Начиная с т!кр, система будет неустойчивой, но до тех пор, пока у/со не будет
превышать т2кр = И снова при значении т > т^р система с запазды-
379
ванием будет устойчивой в замкнутом состоянии, так как в диапазоне частот
от гас2 до ®сз модуль амплитудной фазовой характеристики меньше 1,0.
В дальнейшем при т > г3кр система снова становится неустойчивой в зам-
кнутом состоянии.
На рис. XI.42, в выделены участки устойчивой и неустойчивой работы
систем автоматического регулирования в зависимости от величины времени
чистого запаздывания т. Чередование участков устойчивых и неустойчивых
состояний при непрерывном изменении т присуще системам автоматического
регулирования с чистым запаздыванием [1, 2]. Перейдем к рассмотрению
конкретных примеров анализа устойчивости систем автоматического регули-
рования с трансцендентными звеньями с применением логарифмических ча-
стотных характеристик.
Пример XI.26. Проанализировать устойчивость системы автоматического регулирования
концентрации сернистого газа на заводах производства серной кислоты с длинными трубо-
проводами. Запишем частотную характеристику разомкнутой системы в виде
fee“TS
(Tas+ \)(Tbs+ l)(7cs-H)Ci>+ 1) (Тев + 1)
(XI.148)
где Та = 100 с; Ть = 24,4 с; Тс = 14 с; Td = 8,1 с; Те = 0,05 с; т = 2,0 с; k = 2,5.
На рис. XI.43 построены логарифмическая Нг и фазовая 0j частотные характеристики
без звена чистого запаздывания. Звено чистого запаздывания увеличивает фазовые сдвиги
на
ро
401, которые определяют по формуле
Д0 = — 57,3шт.
(XI.149)
Откладывая от фазовой характеристики 0j соответствующие Д0, получим результиру-
ую фазовую характеристику 02. Как видно из рис. XI.43, система автоматического регули-
ния с звеном чистого запаздывания является устойчивой в замкнутом состоянии и имеет
запасы устойчивости по фазе ус2 = 37,5“ и по модулю —/7до — 6 ДБ- Малый запас устойчиво-
сти
модулю в системе приводит к некоторому ухудшению показателей ее качества.
п
8'
90
т
270
560
950
590
680
720
810
-180
-200
900
990
-22Й
200
1080
-260
0,01 '
0,001
0,1
10
1
-190
-160
1170
Ш,С'1
( т,0В
0
-20
Рис. XI.43. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные ха-
рактеристики системы автоматического регулирования концентрации
сернистого газа
380
Из рис. XI.43 можно определить
_	37,5	. _
Ткр 57,3-0,023	2,9 С‘
Соответствующая этому значению ткр фазовая характеристика построена на рис. XI.43
штриховой линией. Здесь же, на рис. XI.43 построены амплитудно-фазовые характеристики.
9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ С ПОМОЩЬЮ Р-РАЗБИЕНИЯ
Вернемся к рассмотрению характеристического уравнения замкнутой
системы
№ я^"-1 а^п~2 4----------р ап_^ 4- ап = 0.
Будем считать, что при некотором фиксированном значении я, данное
уравнение имеет k корней в левой полуплоскости (от мнимой оси) и п — k кор-
ней в правой полуплоскости. Изменение в определенных границах коэф-
фициента я, не будет менять числа корней в полуплоскостях. Поэтому
на плоскости (U, V) можно построить кривую, отображающую мнимую ось
плоскости корней, и найти область -устойчивости на числовой прямой по
параметру at. Эту кривую обычно называют кривой О-разбиения по пара-
метру а( [1]. Если О-разбиение требуется выполнить по двум парамет-
рам яг и ajt то строят О-разбиение плоскости по двум параметрам. В этом
случае по оси ординат откладывают значения параметра at, а по оси абсцисс —
значения параметра а.;. Здесь также определяются области устойчивости
в плоскости двух коэффициентов.
Если в характеристическом уравнении не определены три коэффи-
циента (яг, я, и ak), то необходимо рассматривать трехмерное пространство,
откладывая по осям яг, я, и ak. Область О-разбиения в пространстве в этом
случае будет представлять собой некоторую поверхность.
Можно увеличить число изменяемых параметров характеристического
уравнения до т, но тогда придется рассматривать многомерное пространство
коэффициентов, и область D-разбиения будет определяться гиперповерх-
ностью. Как и в первом случае, граница О-разбиения по двум, трем и т. д.
параметрам представляет собой отображения мнимой оси плоскости корней
на пространство коэффициентов характеристического уравнения. В создании
и развитии этого метода анализа устойчивости систем автоматического
регулирования важную роль сыграли работы М. А. Айзермана [1, 2] и
Ю. И. Неймарка.
£)-разбиение плоскости по одному комплексному параметру. Рассмотрим
влияние параметра w характеристического уравнения (XI.69). Разрешив это
уравнение относительно w, получим 1
Q (X) 4- wR (Z) = 0,	(XI. 150)
или
Положим, что w — комплексное число. Отобразим мнимую ось пло-
скости корней Z. на плоскость w. Затем подставим в выражение (XI.151)
= /со:	<Х1Л62)
или	+	(хг.153)
1 Последнее невыполнимо, если, например w не входит линейно в характеристическое
уравнение замкнутой системы.
381
Рис. Х1.44. Правила штрихов-
ки мнимой оси плоскости Л и
кривой D-разбиения плоскости
ш (jw)
Изменяя значения со от —оо до +©о, построим в плоскости w (или U, V)
кривую, отображающую мнимую ось /со плоскости s на плоскость w (ja).
Полученная кривая является кривой D-разбиения. Кривая D-разбиения сим-
метрична относительно действительной оси, поэтому можно строить лишь
ее участок, соответствующий изменению частот 0 со < оо, и дополнить
кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. На
рис. XI.44 построены плоскость корней X (рис. 44, а) и кривая D-разбиения
(рис. 44, б).
Построение кривой D-разбиения еще не решает вопроса о выделении
области устойчивости. Последняя должна представлять собой совокупность
точек плоскости, в которых все корни характеристического уравнения зам-
кнутой системы имеют отрицательные вещественные части. В то же время
кривая D-разбиения представляет собой только совокупность точек, в кото-
рых характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, хотя бы один
чисто мнимый корень 1, = /со,. Для того чтобы решить вопрос о выделении
области устойчивости, необходимо по определенным правилам заштриховать
D-кривую.
Правила штриховки D-кривой и выделение областей устойчивости.
При перемещении в плоскости корней X вдоль мнимой оси от —оо до +°°
(рис. XI.44, а), область, в которой корни имеют отрицательные веществен-
ные части, будет находиться все время слева. Заштрихуем мнимую ось пло-
скости Л слева. Имея это в виду, будем теперь перемещаться вдоль линии
D-разбиения от точки со = —оо к точке, соответствующей со = Ч-оо, Выпол-
ним штриховку этой кривой также слева (рис. XI.44, б). Таким образом
получим четыре зоны 7, II, III и IV.
Допустим, что каким-либо способом удалось установить, что в зоне III
имеется k отрицательных корней слева от мнимой оси. Если при переходе
в другую зону кривые D-разбиения пересекаются с незаштрихованной сто-
роны на заштрихованную, то этой зоне соответствует полином с k + 1 кор-
нем в левой полуплоскости К (рис. XI.44, б). При переходе через кривую
с заштрихованной стороны на незаштрихованную число отрицательных кор-
ней уменьшается на единицу. Если штриховка двойная (что соответствует
точке пересечения D-кривых), то число корней увеличивается на 2, т. е. в этой
зоне имеем k + 2 корня.
Практически представляет интерес рассмотрение только действитель-
ных значений параметра w. Поэтому, построив кривые D-разбиения и опре-
делив число корней в каждой зоне, необходимо найти тот отрезок действи-
тельной оси на плоскости w (j&), который принадлежит области устойчи-
вости. Далее устанавливают соответствие между числом отрицательных кор-
ней и степенью характеристического уравнения. При таком соответствии
зона с наибольшим числом отрицательных корней будет областью устойчи-
вости. Если этого соответствия нет, то области устойчивости не существует.
Пример XI.27. Для системы автоматического регулирования, имеющей характеристиче-
ское уравнение замкнутой системы в виде
Л(ТКЛ-ННТ(Л + 6)А+1 =0,	(XI.154)
382
найти области устойчивости при изменении параметра б
(степени самовыравнивания объекта регулирования).
Из уравнения (XI. 154) определим
‘“-мтг+тй-7*	<Х1-155’
Пусть параметры системы имеют следующие значе-
ния: Л = 0,06; 7\ = 0,5 с; То = 10 с.
Тогда
S = -|TllfiTn4'_riT;~10X- (XI.156)
и,0о (О}ол 1М
Подставив в уравнение (XI. 156) К — /со» получим
‘""WWor* <XI1S7>
откуда найдем
и _	0,03
'ш)	0,0009<оа + 0,0036) ’
>	°>06	m
V (Ш)	со (0 ,OOO9coa + 0,0036)	1 °“ ‘
(XI.158)
Результаты вычислений для различных значений со
сведены в табл. Х1.5.
На рис. XI.45 построена одна ветвь кривой D-раз-
биения для со от 0 до -j-оо по формуле (XI.158). Другая
ветвь для со от 0 до —оо определена как зеркальное
отображение кривой, построенной относительно оси U (со).
Как видно из рис. XI.45, вся плоскость по параметру б
разбивается на четыре зоны (/—IV). Число отрицательных
для зоны /. Для этого положим б = 0; тогда из уравнения
0,3V 4- 0,6V 4-1=0,
Рис. XI.45. Кривая D-разбие-
ния плоскости по одному пара-
метру для примера XI.27
корней удобнее всего определить
(XI. 154) найдем
(XI. 159;
Из уравнения (XI. 159) определим корни
Л1 = — 2,52; Х2 = 0,26 4- /0,26а — 1,32;
= 0,26 — /0,26а — 1,32.
Таким образом, число отрицательных корней в зоне / k = 1. Пользуясь изложенным
выше правилом перехода, можно определить число отрицательных корней в остальных зонах.
Наибольшее число корней (k = 3) имеет зона 111. Порядок характеристического уравне-
ния замкнутой системы п = 3. Следовательно, зона III является областью устойчивости.
Из рис. XI.45 можно определить наименьшее значение б, при котором система устойчива
в замкнутом состоянии. Из рис. XI.45 видно, что это имеет место, когда б 6,33.
О-разбиение плоскости двух параметров. Пусть характеристическое
уравнение замкнутой системы (XI.69) зависит от двух параметров р и v;
если эти параметры входят в уравнение линейно, то его можно записать в виде pS(X)4-vQ(7v)4-7?(X)==O, (XI. 160)	Таблица XI.5 Значения действительной и мнимой частей функции		
Приняв А = /со, получим pS (/со) 4- vQ (/со) -f- R (/со) = и (со) 4- jV (со) = 0. (XI. 161) Чтобы построить границы О-разбие- ния, необходимо определить р и v для каждого со, решая совместно два уравнения: О(со) = 0; И(со) = 0.	(XI. 162)		U (<в)	И (<0)
	0 1 1,125 2 3 5 10	8,35 6,67 6,35 4,16 2,56 1,15 0,32	оо 4-3,30 0 —15,84 —28,29 ' —49,64 —99,94
383
Рис. XI.46. Правила штриховки кривых D-раз-
биения в плоскости двух параметров
-Я,
-Rz
Если в каждом из этих уравне-
ний выделить члены, содержащие р
и v, то получим систему двух
уравнений:
(7 (со) — pSx (со) -|-
+ vQi (®) + Ri (®)=
V (со) == uS2 (со) +
+ v(?2 (®) 4* ^2 (®) = 0.
[ (XI. 163)
Решив эту систему уравне-
ний, получим
Si-Rx
*^2 - ^2
(XI. 164)
Qt •
Уравнения (XI. 164) представляют собой параметрические зависимости,
определяющие границы области О-разбиения в плоскости параметров р и v.
При перемещении точки по мнимой оси в плоскости А снизу вверх точка
в плоскости параметров р, v при изменении со от —оо до +оо будет пере-
мещаться по границе области D-разбиения.
Сформулируем правило штриховки. При перемещении по границе D-
разбиения ее штрихуют слева в тех точках, для которых А > 0, и справа —
при А < 0. Точка по кривой перемещается 2 раза: первый раз от со = 0
до со = ф- оо и второй раз от со = —оо до со = 0(рис. XI.46). При переходе
точкой границы с двойной штриховкой из заштрихованной зоны в неза-
штрихованную два корня характеристического уравнения переходят из
левой полуплоскости в правую. И, наоборот, при переходе точки в заштри-
хованную область имеем переход двух комплексно-сопряженных корней
в левую полуплоскость.
Для определения области устойчивости необходимо в какой-то зоне
с помощью любого из рассмотренных ранее критериев оценить устойчивость,
а далее, пользуясь правилами штриховки, установить число корней в осталь-
ных зонах. При построении границ D-разбиения необходимо учитывать,
Рис. XI.47. Правила
штриховки особых прямых
кривых D-разбиения в пло-
скости двух параметров
384
Рис. Х1.48. Кривая
D-разбиения плоскости
по двум параметрам для
примера XI.28
что при некоторой частоте © = ©0 уравнения (XI. 164) становятся линейно
зависимыми, а определители равными нулю, т. е. Д = 0, Д1 = 0иД2 =
= 0. В этом случае образуется уравнение особой прямой. Если знак Д при
© =/= 0 или со оо не изменяется, то эти прямые не штрихуют (рис. XI.47, а);
если же при этом изменяется знак Д, то прямые штрихуют двойной штрихов-
кой, как это показано на рис. XI.47, б [1 ].
Часто определители Д, Д2 и Д2 равны нулю. В этом случае р зависит от
параметра v. При этом также получается уравнение особой прямой. Соот-
ветствующее расположение этих прямых показано на рис. XI.47, виг. Как
видно из рис. Х1.47,,е и г, такие особые прямые штрихуют с одной стороны.
Пример XI.28. По заданному характеристическому уравнению замкнутой системы
(ЛХ, + 1) (Тр + Т3Х,-Ь 1) + kfa = 0	(XI.165)
построить ZJ-разбиение по двум параметрам (р = Tf и v =	[1]. Остальные параметры
системы примем равными Т2 = 0,45 с; Г3 == 5 с; kt = 25.
Подставив эти значения в уравнение (XI. 165) и заменив Х = /®, получим
— 0,2р/®3 — 5р®* р/® — 0,г®2 4- 5J® -f-1 4- 25v = 0.	(XI. 166)
Отделяя действительную и мнимую части, найдем
.	— 5pm?4-25v4-(l—0,2®*)=0; j
р®(1—0,2®*) 4- 4'0 + 5®== 0, I
откуда
- Д1 5
** А ~ 1 — 0,2®* ’
_ Да 25®* 4-(1 —0,2®*)*
v Д “	25(1—0,2®*) ’
(XI. 167)
(XI.168)
Задаваясь различными значениями ® от 0 до оо, получим кривые D-разбиений, показан-
ные на рис. XI.48, а. Двигаясь вдоль кривой от точки ® — 0 к точке ® < Кб, наносим двой-
ную штриховку справа, так как Д < 0. При ® £> Кб определитель Д j> 0; тогда наносим
двойную штриховку слева. Приравнивая нулю свободный член и коэффициент при старшем
члене характеристического уравнения, получим уравнения двух прямых: 0,25v 4-1 = 0
для ® = 0; р = 0 для <в = оо. На рис. XI.48, а эти прямые показаны одинарной штриховкой.
Здесь же в зонах указано число корней. Для определения области устойчивости можно поло-
жить р — 0 и v = 0,2; тогда характеристическое уравнение (XI. 166) примет вид 0,2Л* 4-5X4-
4-6=0, где X, = —1,3; Ха = —23,0.
При смещении от точки (р = 0; v = 0,2) вправо (рис.-Х 1.48, б) число корней с отрица-
тельной действительной частью увеличивается на единицу.
Следовательно, для системы (X 1.165) третьего порядка эта область является областью
устойчивости.
13 Иващенко IJ. Н-	385
Глава ХП
ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Основные показатели качества процессов регулирования. 2. По-
строение переходных процессов по заданным передаточным функция ч
замкнутых систем. 3. Определение показателей качества по распо-
ложению нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы.
<	4. Метод корневого годографа. 5. Интегральные оценки качества.
6. Обобщенные частотные характеристики замкнутых систем
регулирования и их связь с характеристиками переходных процессов.
7. Определение вещественных и мнимых частотных характеристик
замкнутых систем по амплитудно-фазовым и логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутых систем. 8. Частотные
оценки качества систем автоматического регулирования. 9. Частот-
ные методы построения переходных процессов с помощью трапеце-
идальных характеристик. 10. Установление норм запасов устойчи-
вости по фазе и модулю, обеспечивающих требуемые показатели
качества систем регулирования
Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием рабо-
тоспособности систем автоматического регулирования. Устойчивость системы
регулирования означает лишь то, что в системе происходит затухание пере-
ходного процесса под влиянием управляющего или возмущающего внешнего
воздействия. Время затухания процесса, максимальное отклонение, регули-
руемой величины и число колебаний в системе при этом не определяются,
однако эти величины являются очень важными показателями качества про-
цессов регулирования.
Показатели качества процессов регулирования можно определить с по-
мощью различных методов. К числу их в первую очередь следует отнести
построение переходных процессов по заданным передаточным функциям
замкнутых систем, определение показателей качества по расположению
нулей и полюсов, интегральные оценки качества, частотные оценки качества
и частотные методы построения переходных процессов.
1. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим основные показатели качества систем автоматического регу-
лирования, пользуясь характеристикой переходного процесса отработки еди-
ничного воздействия g (/) = [1 ], показанной на рис. XII.1. В точке А пере-
ходного процесса, соответствующей времени tm, имеет место максимальное
отклонение регулируемой величины хт.
Под первым показателем качества понимают величину
Рис. XI 1.1. Характеристики переходного
процесса при типовом единичном возмущении
0^ — —' 100%, (XII.1)
где хм соответствует установивши-
муся значению регулируемой вели-
чины, т. е.	'
xoo = limx(Z). (ХЦ.2)
Обычно в теории регулирова-
ния ашах именуют максимумом пере-
регулирования.
Второй -показатель качества по-
зволяет оценить быстродействие си-
стемы автоматического регулирова-
386
ния и называется временем регулирования (протекания переходного про-
цесса) /р. Учитывая, что полное затухание в системе происходит лишь пр’и
t —* оо, условно принимают за момент окончания переходного процесса
точку пересечения графика этого процесса с линиями, соответствующими
^5%-ному отклонению от установившегося значения.
Третий показатель качества характеризует число колебаний Np регули-
руемой величины х (/) в течение времени переходного процесса tp.
Наряду с этими основными показателями качества при проектировании
систем автоматического регулирования часто используют следующие харак-
теристики.
Собственная частота колебаний системы
®0 =	(XII.3)
‘о
где t0 — период собственных колебаний системы.
Логарифмический декремент затухания системы dc, характеризующий
быстроту затухания колебательного процесса:
dc=ln ,	(ХИЛ)
Я1+1 шах
где 9/шах-и <7i+imax — Две амплитуды для рядом расположенных экстрему-
мов кривой переходного процесса. Чем больше логарифмический декремент
затухания, тем быстрее происходит затухание переходного процесса.
Максимальная скорость отработки регулируемой величины [
Для каждой системы регулирования, имеющей колебательный переход-
ный процесс, на основе указанных критериев качества можно установить
область допустимых . отклонений регулируемой величины.
В системах автоматического регулирования возможны переходные про-
цессы, характер протекания которых отличен от указанного на рис. XII. 1.
Все многообразие переходных процессов в этих системах можно разделить
на четыре группы:
колебательный процесс, характеризуемый несколькими значениями пере-
регулирований, превышающими 5% зоны установившегося значения (кри-
вая 1 на рис. XII.2);
переходный процесс с одним перерегулированием (кривая 2);
монотонный процесс (кривая 3), когда скорость изменения регулируемой
величины не меняет знака в течение всего времени tp, т. е. > 0 при
О < t < /р ;
процесс без перерегулирования, когда х (t) < х (оо) с точностью до Д
при всех t (кривая 4 на рис. XII.2).
Рис. XII.2. Основные виды ха-
рактеристик переходных процес-
сов систем автоматического ре-
гулирования при типовом еди-
ничном воздействии
13*
2, ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ЗАДАННЫМ
ПЕРЕДАТОЧНЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
Для переходного процесса по регулируемой координате в замкнутой
системе можно записать следующее уравнение:
L{x(0} = 0(S)L{g(0},	(XII.5)
где х (0 — регулируемая переменная; Ф (s) — передаточная функция зам-
кнутой системы; g (0 — управляющее воздействие.
Уравнение (XII.5) можно записать и в другом виде:
Ь{х(О} = Ф1(0£|/(т,
где f (0 — возмущающее воздействие; Фх (s) — передаточная функция
замкнутой системы, записанная относительно возмущающего воздействия.
Ранее было показано, что	,
ф (s) =а_И ф (S) =________Y. .
(S>	1 + W (s)	l+vris)’
,He теряя общности изложения, в дальнейшем будем пользоваться
лишь уравнением (XII.5). Рассмотрим систему автоматического регулирова-
ния, описываемую дифференциальным уравнением
(хп.б)
Пусть начальные условия для уравнения (XII.6) имеют вид
|Л(OL=o = Xq, £= хх;
__
<Ц2 Ji=0 “ *2’
Г dn~lx
хп-1>
.	1. t=o
тогда преобразование Лапласа для функции- х (0 при ненулевых начальных
условиях можно записать в следующем виде:
х<“)—wG(s) + TW’	<xii-7)
где
М (s) = sm 61sm~1 + btsm~2 +	+ bm^s 4- dm;
(s) = xos71-14- (*i 4- ал) sn~2 4- —Ь (xn-2 4- ад... 4- —h
4~ ал-Л 4* an-2*o) S 4" (Xn-l 4~ alxn-2 4"  •  4~ an-2xl 4- an-lxo)>
D (s) = sn 4- a^-1 4- aasn"2 +--------(- a^s 4- a„.
Первый член уравнения (XII.7) характеризует влияние воздействия
g (0 на систему, а второй — воздействие начальных условий. Исследуем
влияние начальных условий, положив g (0 = 0. Тогда из уравнения (XII.7)
получим
= ' (ХП-8>
а/
388
Определим корни характеристического уравнения D (s) в трех случаях.
Случай 1. Характеристическое уравнение D (s) имеет действительные
(не кратные) корни; тогда уравнение (XII.8) можно переписать в виде
X(S)=	’	(ХП.9)
где Xj, Л2, Л3, ..., 1я — корни характеристического уравнения.
Разложим уравнение (XI 1.9) на простые множители и приравняем
(XII.8):
м» — -л.1_ -г. _A_ j-ds_ _|_ .. . j_(XII 10)
£>(s) s —s-X2^ s —	s —V	(лили;
Для определения коэффициентов Alr Да> As, ..., An умножим правую
и левую части уравнения (XII. 10) на множитель s — где X,— любой
корень характеристического уравнения. Тогда получим
^а+^а+^л,+ ...+4^.л„+
+А'+т^ёг-4<«+ -+^?-=
Подставим в полеченное выражение s = Xz и, раскрывая неопределен-
ность" множителя s при s — по правилу Лопиталя, найдем
.. S — Aj   1
где
D'(M =
d£>(s) I
ds	|s—ь£ *
Таким образом,
l/ VW
Подставляя значение At в уравнение (XII. 10), получим
у	(s) _ (Aj) 1	, Л4Н (X2) •	1 I 1
( D(s) ~ s-V £>'(M s — M r
, (Xn) 1_______V4 Mn (Xz)	/YTT 19^
+ D(kn) s-^~ b D'tMis-h) •
i=i
Используем обратное преобразование Лапласа для выражения
Следовательно,
_______________________Мя (Ki)	.	Мя (A.;)
D'(Kt)(s-Xi) 	D'(XZ) е •
-	f
Имея в виду это соотношение, из выражения (VII.6) найдем оригинал
функции в виде
п
(XII.13)
<—1
389
Случай 2. Среди корней %, есть комплексно-сопряженные корни %* =
= а + /₽, ХА+1 — а — /0; тогда
= и ^±±11 = Ле-/ф,	(XII. 14)
(Л*)	D (Лл+1)	.	'
п
(fa) К И	z*
е * будут содержаться члены вида
j=ti
Ле/Фе(«+/₽> г + Ле-.фе(а-/₽) которые
с помощью формулы Эйлера можно
привести к виду
де/Фе(а+/₽) t + Ле-/Фе(«-/₽) Г = 2Деяг cos (р/ + <₽).
Итак, из выражения (XII.13) при наличии $ пар корней комплексно-
сопряженных и г действительных корней получим
х (t) = J} С(ек‘‘ + 2 2Afia‘‘ cos (₽,/-}- <рг).
i«sl
где С — М”
где С,- D, (Х;) .
Случай 3. Характеристическое уравнение содержит кратные корни, т. е.
(XII. 15)
D(s)=(s-X1)₽i(s-K4)pa.,.(s- Vn; . (XII.16)
тогда оригинал функции
п	Г	о	S/1Р/—1
,.t- 	(ХП.17)
J Л/
Исследуем реакцию системы на управляющее воздействие при нулевых
начальных условиях. Тогда из соотношения (XI 1.7) получим
x(s>=4S-g(s)-	(XII-18>
и \»)
Пусть G (s) представляет собой дробно-рациональную функцию ;
“1 (S)
тогда	.:
_ М (s) Мх (s) _ М (S)
D(S)Wl(s) £(s) '
В этом случае нетрудно получить оригинал функции в виде формул
(XII.13), (XII.16) и (XII.17).
Допустим, что D (s) имеет только действительные (не кратные) корни;
тогда
3 М(Ы
-J D (М
(XII. 19)
Если D содержит s пар корней комплексно-сопряженных и г действитель-
ных корней, то
х (0 = 2	4- 2 2Д;е“^ cos (jV 4- ФД
i=i	<=i
При наличии одного нулевого корня, т. е. D (s) = sDx (s), формулу
(XII. 19) следует переписать в виде
х а) = ^(°) = у
5х(0) Zj кД(^г)
(XII.20)
(XII.21)
390
По аналогии с выражением (XII.21) можно переписать и
формулу (XII.20).
Пример XII.1. А. Рассмотрим систему автоматической стабилизации самолета [69],
описываемую дифференциальным уравнением;
d9x	dbx	d*x	d?x
+ >6.4-^ + 107,4	+ 364,2 -g- +
+ 1146,5-^ + 771,2-^- + 292,1* ==0,	(XII.22;
Зададимся следующими начальными условиями:
kWJ«> = 0; [4г](=0 =
Г _п ГЛ1 
L Л2 J/=o~ ' L dts ]м= |
Г d*x 1	Г d*x ]
L dt* J^o“O; L dt* ]f=o-0-
Применив преобразование Лапласа к уравнению (XII.22), получим
.	20 (s* + 16,4s3 + 107,4s2 -J- 364,2s + 1146,5)
S== s6+ 16,4s6 + 107,4s4 + 364,2sa + 1146,5s2 4-771,2s 4-292,1 '
Для определения оригинала по функции X необходимо выполнить следующие шагн.
1. Найти корни характеристического уравнения
D (X) =Х’+ 16,4Х6+ 107,4Х4 +364,2Х3+ 1146,5X2 + 771,2X4-292,1 =0.
Корни этого уравнения найдем с помощью цифровой вычислительной машины:
Xj = — 7,15 4-/-3,35 = 7,90еЛ2,7; Xg = —7,15 —/-3,35 = 7,90е-/-2,7:
Хз = — 0,648 4- /-3,74 *= З.вОе7’1’74; Х4 = — 0,648— / - 3,74 = 3,80e“r1’74;
. .. X» = — 0,377 + /’0,428 = 0,57е/'2,29; Хв = — 0,377 — /-0,428 = 0,57е~/'2,29.
2. Определить коэффициенты
Ми (X*)____________20 (Х^ + 16,4Х| + 107,4Х2 4- 364,2Xft + 11463)
D' &k)	6Х5 4- 5  16,4Х^ 4- 4 • 107,4Х^ + 3 • 364,2Х^ 4- 2 ’ 1146,5XA 4-771,2 ‘
Для этого подставим в полученное выражение соответствующие значения X*; тогда
................—= 0,056 4-/-0,060= о.овге/’0-82; 
I
=0,056 —/-0,060 = О.Овге-'-0’82;
(Л2/
4^4 = -0,153 4-/-0,060 » о,б^е/-1-82;
и (Л3;
= — 0,153 — /-0,060 = О.б^е-/’1-82;
и (Л4)
= 7,07 — j-29 = 29,85е_/’1,567 ;
= 7,07 4-/-29 = 29,85е/'1,567 .
'	(^6/
391
Рис. XI 1.3. Переходные процессы в системах автоматического регулирования-,
а в свстеме стабилизации самолета; б •-> в электрогидравлической следящей системе
3. Найти решение х (t) по формуле (XII. 15). Так*как все корни характеристического
уравнения комплексные, то в формуле (XII. 15) следует брать только вторую сумму, т. е.
з
* (0 = 2 cos + Ф/>.
1=1
х(/) = 0,164e~7'IS0< cos (3,35/ +0,82) + 1,238е-°1648/ cos (3)74/ + 1,82) +
+ 59,7е~0,377/ cos (0,428/ — 1,567).	(X11.23)
Подставляя в выражение (X 11.23) различные значения времени /, получим переходный
процесс в системе автоматической стабилизации самолета в виде графика, показанного на
рис. XII.3, а. Из этого рисунка видно, что время протекания переходного процесса /р = 7,5 с.
Б. Электрогидравлнческая следящая система с бустерным силовым приводом описы-
вается дифференциальным уравнением вида
d^x	d?x	dx
-%Г + 103	+ 3065	+ 149 250 -^- + 1 000 ОООх =
= 0,0035-g-+ 0,37-^- +10g.	(XII.24)
Дяя простоты вычислений будем считать, что управляющее воздействие g (/) — [1 ],
при этом 6 (s) — l/s. Применив преобразование Лапласа к уравнению (XII.24), получим
0,0035s3 + 0,37s + 10	1
A(S) s4+103s3 + 3065s3 + 149 250s + 1000000 s '
По изображению функции X (s) необходимо найти ее оригиналах (/).
1. Из характеристического уравнения
Ьг (А) == А4 + ЮЗА3 + 3065А3 + 149 250А + 1 000 000 = .0
определим корни в виде
At = — 4,42+ /-38,7; А, =— 4,42 —/-38,7; Аз = — 8,3; А4= —85,9,
т. е. имеем два корня действительных и два комплексно-сопряженных. .
2. Поскольку в выражении для X (s) есть один нулевой корень, то формула для опреде-
ления оригинала функции имеет вид
х(/)
М(0) у
01(0)
1—1
К ($)
(М
24(e“zrcos (Р,/ + фг).
3. Решение уравнения (XII.24) можно записать в виде
х (/) = 10-10~6 — 6,85-10-®е~8'3' + 0,065- 10~6e-8S>9' —
— 2,2-10-6е—*’42/ sin (38,7/+ 0,913).
(XII.25)
Задаваясь различными значениями /, по формуле (X 11.25) можно построить график пере-
ходного процесса в системе (рис. XII.3, б). Время протекания переходного процесса /р =
= 0,76 с.
392
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ
НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Показатели качества замкнутой системы можно определить, имея кар-
тину расположения нулей и полюсов передаточной функции этой системы на
плоскости А,. Из примера XII.1 видно, что основное влияние на поведение
системы оказывают корни, наиболее близко расположенные к мнимой оси.
Допустим, что для некоторой системы корни характеристического уравнения
и нули имеют расположение, показанное на рис. XII.4. Наиболее близкими к
мнимой оси являются комплексно-сопряженные корни %, и А,г. По мере уда-
ления корней от мнимой оси амплитуды составляющих переходного процесса
2А/ (или С,) убывают тем быстрее, чем больше модуль полюса по сравнению
с доминирующими полюсами А,г и А,г. В случае, когда вблизи полюса А,(
расположены нули yz, значения 2At (или Ct) становятся нулевыми. Если
уравнение (XI 1.9) представлено в виде
Y = (s ~ Vi) ~ Уг) — У;)... (S — Ут)
(s-XjHs-As). . .(s-Xz)...(s-Xrt) ’
то при Az = yz соответствующие нуль и полюс можно сократить. Поэтому
для выбранной схемы расположения нулей и полюсов определяющей является
колебательная составляющая
' x(0 = 241e-^«<cos(P1/ + <p1).	(XII.26)
Другие составляющие xz (f), i — 3, 4,п затухают значительно раньше,
так как 2Лг (или Ct) меньше, чем A v Следовательно, время протекания пере-
ходного процесса можно определить по формуле
. <хп-27>
Будем считать, что колебательная составляющая х (/) с наибольшей
амплитудой 2Л! и наименьшим затуханием ах за время tp становится меньше
Д1 = 0,05 (т. е. на 5% от установившегося значения xt (t) (581). Учитывая
это обстоятельство, окончательно формулу для вычисления tp запишем
в виде 1
гр==±1п(40Л1) = ^±^Ь.	(ХП.28)
При этом остальные полюсы и нули будем считать скомпенсированными,
так как расстояния между ними
,|1Z-YZ|<O,1|M^O.1|?Z|.
Для определения максимума перерегулирования воспользуемся выра-
жением (XII.26). Продифференцировав его и приравняв нулю, получим
tg(₽A+<Pi) =
откуда
tm =	[arctg (—jjj-) ~ Ф1 + w]»
(XII.29)
где i = 0,1. ‘
1 Если доминирующим является действи-
тельный корень, формула (ХП.28) будет иметь
вид
, f 3 In Ci
Zp =
Рис. ХИ.4. Расположение
нулей и полюсов передаточной
функции замкнутой системы
автоматического регулирова-
ния
393
Для определения'времени наступления первого максимума следует поло-
жить i = 0.
Угол Ф1, представляющий собой аргумент комплексной амплитуды Alt
т	п
Фх - 2 Y, - 2 Ф/ - arg ,	(XII.30)
/=1	'	г=2
где Ту — углы векторов, проведенных из нулей у, в полюс Ф, — углы век-
торов, проведенных из всех полюсов в полюс
Соответствующее построение показано на рис. XII.4, откуда следует,
НТО
arg X]. = — arctg (— А ) == 0V
Запишем выражение (XII.29) в следующем виде:
Ф< -
т
£ 4,,+aretg (-А)
/=*
(XII.3I)
Так как
arctg(~S)+ arctg(”4) = и аге^-^) = т-’
то
Р1 \	Z=2	/=2 '/
(XII.32)
Упрощенная картина переходного процесса в системе описывается вы-
ражением
х “ 4S+2A^~aii cos	<хазз>
(V)
откуда видно, что максимум перерегулирования
аия=-2Л17А=е Л ‘=2	'=1
(XII.34)
где
M(kj)
kj)' (kj)
m
П (ki — xj)
/-»____________
n
kx П (If-----к[)
i=2
Формулу (XII.34) можно уточнить, если учесть влияние на доминирую-
щий корень действительных корней, близких к началу координат. При этом
формула (XII.34) примет вид (7,58)
<’“”~2Л1РаГ+И'	'	'+£С-*ХЛ”- <XIL3S>
Из формул (XII.28) и (XII.34) следует, что приближение любого полюса
Xj к доминирующему %! и приближение нуля уг к началу координат приводят
к увеличению времени протёкания переходного процесса и максимума пере-
регулирования сттах.	.
Пример XI 1.2. Определить показатели качества /р и пшах для злектрогндравлической
системы (см. пример XII.1, Б). Расположение полюсов и нулей передаточной функции замкиу-
394
той системы показано на рис. XII.4. Доминирующими корнями будем считать Xlt3 — —4,42 —
~ /•38,7; тогда по формуле (ХП.28)
3 4- 1П 2,53
4,42
0,86 с.

При точном построении переходного процесса (см. рис. ХП.З, б) tp — 0,76 с.
Из рис. XII.4 определим значение углов ф; и фг, после чего по формуле (XII.32) найдем
1 (	78° + 25° — 28° —- 45° \	1,165л
~ 38,7 \л + я Г§б® ) ~ 38,7
= 0,096 с.
Из рис. ХП.З, б видим, что tm ss 0,1 с. Максимум перерегулирования вычислим по фор-
муле (XII.34):
4 42
а - 2 2.10-	1,165,1 = 1’3- 1О’в*
"max — 1и	е
4. МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
Из предыдущего изложения следует, что знание нулей и полюсов пере-
даточной функции замкнутой системы позволяет оценить качество переходных
процессов и вынести суждение о ее работоспособности. Однако непосредствен-
ное вычисление нулей и полюсов связано с решением алгебраических урав-
нений, что для систем высокого порядка без применения вычислительных
машин невыполнимо. В то же время для предварительной оценки качества
системы крайне желательно знать направление перемещения полюсов зам-
кнутой системы в зависимости от изменения того или иного ее параметра.
Ответ на. этот вопрос можно получить, если построить траектории корней
характеристического уравнения замкнутой системы при изменении одного
из параметров. Чаще всего в качестве такого параметра рассматривают коэф-
фициент передачи системы. В этом случае соответствующие траектории кор-
ней при изменении К от 0 до оо называют корневым годографом.
Метод корневого годографа был предложен Эвансом в 1948 г. и нашел
широкое применение в практике расчета систем автоматического регулирова-
ния [76, 771. Основным преимуществом этого метода является возможность
аналитического исследования систем невысокого порядка и численного иссле-
дования систем более высокого порядка на основе одного и того же подхода.
Кроме того, этот метод позволяет приближенно оценить траектории корней
замкнутой системы по расположению нулей и полюсов разомкнутой системы.
Это подчеркивает общность подхода, присущую теории регулирования и свя-
занную с анализом влияния обратной связи на свойства замкнутой системы,
по характеристикам разомкнутой системы. В гл. XI этот подход был реали-
зован при анализе устойчивости, в данной главе аналогичный подход ис-
пользован при анализе качества.
Рассмотрим одноконтурную систему автоматического регулирования
с передаточной функцией
WT /м = к	(s —Vi) М->-уг). ..(*—Уж) .
v ' Л Л/р (s) ~ л (s-M (s-1,).. .(s-l„) ’
ги
Гя»
Пу,
i=i
К = k
_ k I I
I YiVs •  • ?т I’
(XII.36)
где X; (г = 1, ..., п) — полюсы передаточной функции разомкнутой системы;
уг-(т = 1,- ..., т) — нули передаточной функции разомкнутой системы;
k — коэффициент передачи разомкнутой системы.
395
Как нетрудно видеть, коэффициент К пропорционален коэффициенту
передачи k и зависит от произведения нулей и полюсов разомкнутой системы.
Форма представления (XI 1.36) наиболее удобна при изложении метода кор-
невого годографа.
Замыкание одноконтурной системы жесткой отрицательной обратной
связью приводит к получению замкнутой .системы с передаточной функцией
Ф = Np (s) + КМр (s) •	(XI1.37)
Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы имеет
вид
D(s) = JVp(s)4-KMp(s) = 0,
(XII.38)
где D (s) — характеристический многочлен.
Совокупность точек s;-, удовлетворяющих уравнению(ХП.38)приразлич-
ных значениях К, образует траектории корней, или годограф системы.
Все свойства корневого годографа следуют из соотношения (XII.38).
Оии представляют собой описание очевидных соотношений между передаточ-
ными функциями разомкнутой и замкнутой систем. Можно перечислить
большое число свойств; ниже приведены наиболее важные из них.
Свойство 1. Годограф при К —* 0. Как следует из (XII.38), в этом оче-
видном случае полюсы замкнутой системы совпадают с полюсами разомкну-
той. Это означает, что корневой годограф начинается в полюсах разомкнутой
системы.
Свойство 2. Годограф при К —► оо. Как следует из (X 11.38), в этом слу-
чае полюсы замкнутой системы совпадают с нулями разомкнутой системы.
Однако число нулей разомкнутой системы равно т < п и оставшиеся п — т
полюсов стремятся к бесконечности. В этом случае возникает необходимость
выяснить положения асимптот.
Свойство 3. Асимптоты корневого годографа. Число асимптот равно
п — т, где п — число полюсов, а т — число нулей передаточной функции
(XI 1.36).
Углы наклона асимптот определяют из условия
+	/(/= 1,2,..., п-т- 1).	(XII.39)
Точку пересечения асимптот находят из условия
(п	т \	I
X К	-	Е Тг)	/	(п—т).
t=i	<=1 /	/
Условие (X 11.39) следует из соотношения
„ Мр (S) _ ______	(180’4-4360°)
л Np(s)~ 1 е'
(XII.40)
(XII.41)
и вытекающего из (XII.41) уравнения для аргументов
т	п
2 argfs-yj— 2 arg(s-180° ф-£-360°.	(XII.42)
z=i	f=i	.
Этим соотношениям удовлетворяют все точки корневого годографа и,
следовательно, точки, уходящие в бесконечность при k —♦ оо. Из условия
(XII.41) следует, что
М, (S;)
= 180° + К-360 ’
что и приводит к условию (XII.39).
396
Условие (XII.40) также выводим из соотношения (XII.41). Деля много-
член #р (s) на многочлен Л4Р (s), получаем
sn-m _ ( 2 К — 2 Yz |	m—1 —	—К.
\Z=1 z=l /
Таким образом, при К —* оо сумма корней, стремящихся к бесконечно-
сти, остается постоянной. Следовательно, все эти корни принадлежат прямым,
которые пересекаются в точке sa, определяемой соотношением (XII.40).
Свойство 4. Годографы на вещественной оси. Эти участки годографа
определяются только действительными нулями и полюсами, поскольку для
любой точки вещественной оси вклад комплексно-сопряженных полюсов и
нулей равен нулю. При этом угол, обусловленный действительным полюсом
или нулем справа от исследуемой точки, равен 180°, а угол, обусловленный
полюсом или нулем слева от нее, равен 0°. Это означает, что участки годо-
графа на действительной оси чередуются.
Свойство 5. Пересечение годографа с мнимой осью. Отыскание решения
вида /<о для характеристического уравнения (XII.38) не представляет труда,
поскольку при отделении действительной и мнимой частей многочлена D (ja)
порядок уравнений понижается.
Свойство 6. Углы выхода годографа из комплексных полюсов. Эти углы
определяются из уравнения аргументов (XII.42).
Для систем, у которых порядок числителя т < п — 2, сумма, полюсов
замкнутой системы постоянна. Это позволяет в ряде случаев определять не-
достающие полюсы и делать ряд других важных выводов.
Применение перечисленных свойств существенно упрощает- процесс
построения годографа. Хотя точное построение годографа в конечном счете
связано с отысканием корней уравнения, его эскизный набросок иногда зна-
чительно облегчает предварительное проектирование системы, например вы-
бор структуры корректирующего устройства.
Рассмотрим последовательность построения корневого годографа на
конкретном примере.
Пример ХП.З. Построить корневой годограф системы, замкнутой единичной обратной
связью, если передаточная функция разомкнутой системы
+ <X,L43)
Передаточная функция имеет четыре полюса в точках 0, —3, —1 — /1 и один нуль
в точке —2. Последовательность этапов построения корневого годографа приведена ниже.
Этап 1. Отметить на плоскости комплексной переменной s полюсы разомкнутой системы,
являющиеся начальными точками корневого годографа. На рис. XII.5, а они показаны кре-
стиками (здесь и далее из любых двух комплексно-сопряженных полюсов указывается Только
один, с положительной мнимой частью).
Этап 2. Отметить нули разомкнутой системы, являющиеся конечными точками годо-
графа. На рис. XII.5, б нуль изображен кружком. Поскольку в рассматриваемой системе п —
= 4, т = 1, существуют три асимптоты.
Этап 3. Построить асимптоты. Асимптоты расположены под углами, равными 60, 180,
300°, вычисляемыми по формуле (XII.39). Точка пересечения асимптот имеет координату
(0-3-2)-(-2)
$а —.	•	— —— I.	(л 11.44)
Фрагменты корневого годографа после трех этапов построения показаны на рис. ХП.5, в.
Этап 4. Отметить годограф на вещественной оси. Согласно свойству 4, участки веществен-
ной оси от 0 до —2 и от —3 до —оо принадлежат корневому годографу (рис. ХП.5, г).
Этап 5. Определить точки пересечения годографа с мнимой осью. Характеристический
многочлен замкнутой системы в данном случае
D (s) = s4 + 5s3 + 8s2 + (6 + К) s + 2К.	(XII.45)
Выделяя действительную и мнимую части при s = уш и приравнивая их нулю, получаем
ш4 — 8а>2 + 2К = 0;
— 5<о3 + (6 + К) <о = 0.
(XII.46)
397
Рис. XI 1.5. Построение корневого годографа
Исключая из первого уравнения К, легко найти уравнение для определения значения
частоты, при которой годограф пересекает мнимую ось:
ш4+2ш2—12 = 0.
Решая это уравнение, находим со = ]/ /Тз — 1 = 1,614 с"*. Из второго уравнения
соотношения (XII.46) находим
К = 5/13—11 =7,03.
Корневой годограф посЛе выполнения этапа 5 пдказаи на рис. XII.5, д.
Этап 6. Определить углы выхода годографа из комплексного полюса. На рис. XII.5, в
показаны векторы, проведенные от всех нулей и полюсов в окрестность исследуемого полюса.
Уравнение аргументов (XII.42) в этом случае принимает вид
arg(s — T1)—arg(s — A.1) — arg(s — A,) — arg(s — Xs) —
— arg (s —14) = 180° + 360°/.	(Х.П.47)
Поскольку исследуемая точка s близка к Кг, при вычислении аргументов будем считать
»= Аа. Тогда уравнение (XII.47) примет вид
arg (X, — Vi)- — arg (Х2 — ^) — arg (s — Х2) — arg (А, — Аа) —
— arg (Ха — Х4) = 180° + 360°/,
или после подстановки значений аргументов, найденных’из рис. ХП.5, е, получим
45° — (180° — 45°) — arg (s — А,) — 90° — 26,57° = 180° + 36О°/5‘
откуда
arg(s — А2) = — 26,57° = — 0,464 рад.
Этап 7. Параметризация годографа. Годограф считают построенным полностью, если
иа ием отмечены значения параметра, по которому он строился. В общем случае для этого
необходимо решать характеристическое уравнение (XII.45) на вычислительной машине. Однако
в рассматриваемом случае для вычисления двух действительных полюсов при нахождении
системы на границе устойчивости можно воспользоваться дополнительными условиями.
Сумма двух действительных полюсов равна —5, а произведение всех четырех полюсов
2К = 14,06. Таким образом, действительные полюсы определяют из следующих уравнений:
(— Sj) -f- (— за) = — 5;
14,06	’
SA ~ тда ~ 5’4’
откуда Sf = —1,58; зг = —3,42. Эти полюсы и траектории всех четырех корней замкнутой
системы показаны на рис. XII.6.
398
Рис. XI 1.6. Корневой годограф замкнутой
системы
Приобретя необходимый навык,
можно очень быстро определять
в общих чертах вид корневого годо-
графа при различном расположении
нулей и полюсов разомкнутой си-
стемы.
5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
КАЧЕСТВА
Интегральные оценки качества
являются интегралами в пределах
от 0 до оо от функции х (/). Они
характеризуют протекание переход-
ных процессов. При проектировании систем автоматического регулирования
наиболее часто пользуются следующими интегральными оценками качества:
©о
Л>= J [Х(О —X(o©)]sdft
О
(XII.48)
ее
=	(XII.49)
О
Jn = j ([X(0 - X (oo)f + Т? (-g-)2 +
О I
+ ?2(S-)2+• • +т"п	(XIL5O)
где ть t2, ..., rrt — постоянные величины, имеющие размерность времени.
Перейдем к конкретному определению интегральных оценок. Для этого
воспользуемся формулами, связывающими оценку J с коэффициентами пере-
даточной функции X (s). А. А. Красовским [11 ] были вычислены интеграль-
ные оценки для	.
х (s) '	-1	‘ 4" ~ь fy* 1
aos" + a1sn-1H------l-an-is + an s
(XII.51)
когда корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют
отрицательные действительные части и п > т:
Jo = ( lx (0 - X (ОФ)]’ dt = -L- (ВтЬт +	4- • • • +
......... О	п
+ BeA0-2&m&m_1A),	(ХП.52)
где	,
	О-п 0	®n-S ап-1	«п-4 — Sn-8		ап-в • • • • • •	0 0	
Д =^Е	0 0	— ап 0	Оп-2 — «п-1	—	• "• • Оп-9	. - •	0 0	;	(XII.53)
	• . .•		.... • »	... . . • • . .	•	
	0	0	0	0	0	<21	
399
(XII.54)
В» == b2„:
tn
Вт—I = b2m—t — 2ЬтЬщ_2’,
Bk — bl — 2bk—\bk+l 4- •••-}- 2 (— l)kbmb2k >
Bq= bo,
здесь \k (k — О, 1, m) — определитель, который получается из Л заме-
ной (т + 1 — k)-ro столбца столбцом вида (а„_ь а„, 0, 0,	0).
Определитель Л обращается в нуль на соответствующем участке границы
области устойчивости. В случае Ьт — 0 выражение (X 11.51) принимает вид
х (S) = -Л?.'""1 + \т~2 +:••+	(XII.55)
Оо8" + О18”	+   • + an-is + ап
тогда хж — б, и формулу (XI 1.52) можно записать так:
ео
А = р (0 dt = -4- (Вт^Ьт-! + • •  + ВоАо). (ХП.56)
Выражение (ХП.56) можно переписать в более простой форме, приняв
А == On&r Ата_'] = C»611,
Am—2 = —Яп612, •• •» Ао = (—I)”1 *ao6im,	(XII.57)
где
'	ап-1	~ &П-3	^71-5
&П ^П-2	ап-4
S= 0	— аа_1	ап_з
. 0	
. 0 . 0	;	(XII.58)
0 б 0	. . . ах
6i*(jfe = 1, 2, т) — минор &-го элемента верхней строки определителя.
Итак,
“ 2д„6 t^m-1611 — Вт_2Ь19 4- • • • 4- ( L)m—1 воб1т],
а это выражений можно представить в виде
..  <*“•«•>
где.определитель дв получается из 6 заменой верхней строки строкой (В^,
Вт-2, > Во, 0..0). Формула (ХП.56) выведена также для случая т с
< п — 1 [10].
Оценка </0 служит относительной мерой быстродействия системы автома-
тического регулирования. Если при двух значениях J'o и Jo будет найдено
меньшее значение, то оно означает, что в-системе будет протекать более бы-
стродействующий процесс. Поэтому оценкой J 0 принято пользоваться следую-
щим образом. По формуле (XI 1.52) находят J0 в зависимости от параметров.
Далее определяют
-g- = 0,	(ХП.60)
где — коэффициент уравнения (или параметр системы регулирования).
В тех случаях, когда е (0 = х (оо) — х (t), минимальное значение интеграль-
ной оценки Jo соответствует наилучшему приближению функции х (/) к еди-
ничной ступенчатой функции [1].
400
Пример XII.4. Для системы автоматического регулирования, имеющей передаточную
функцию
Ф ~~ s3 + ats2 4- a2s + 1 ’
иайти значения коэффициентов и а2, при которых имеет минимальное значение:
v _ Г I____________!_____"IJ________s + ets +
w ~ [	ss + a1S2 + a2s + 1 J s	s3 + OjS2 + a2s + Г
Используя формулу (X 11.52), получим
J . аг [ ' ai
0	2	2(^-1) •
В соответствии с условием (XII.60) найдем уравнения для определения Oj, аа:
dJp _ 2at (а1а2 — 1) — Фа 0.
dai'	2 (atoa — 1 )2	’
J4. _ 1 Г 1 _ —21—1-0
да2 2 [ (OjOg — I)2 J
Полученные выражения приведем к более простому виду:
OjOj — 2 = 0;
а(а% — 2ata2 — af + I = 0,
откуда легко определить Of = I; aa = 2.
В ряде случаев система, удовлетворяющая условию минимума Jo,
имеет значительную колебательность переходного процесса. Для уменьшения
колебательности при исследовании качества систем следует пользоваться
интегральными оценками (XII.49)—(XII.50). Сначала рассмотрим оценку
(XI 1.49). В этом случае
во	во
Л = J [хг (0 + хг 1 di = J [х (i) + т — 12 di —
о	о
— ]2-cx~-dt = ][х(/) + т-^-12^ + тх2(0).	(ХП.61)
о	о
Из формулы (X 11.61) видно, что интегральная оценка будет минималь-
ной, если подынтегральное выражение равно нулю, т. е.
х(() + т-^- = 0.	(XII.62)
Полученное уравнение имеет решение
t
 x(i) = xoe~ т,
откуда следует, что минимальное значение J г зависит от коэффициентов урав-
нения и является своего рода критерием наилучшего приближения исследуе-
мого процесса к экспоненте с постоянной времени т. Аналогичным образом
оценка (XII.50) является критерием приближения кривой к решению урав-
нения n-го порядка. Оценку (XIL50) можно записать в виде
, г /	, dx ,	, dnx \ , z,
А — JI х + ai ~л~ + ’ • • + ап ] + с.
О'	'	.
401
Интегрируем по частям последнее выражение и, учитывая, что
[х (О1б=о == *о;
dx "I ____ Г d*x "I
ИГ J/=o ~ L dt j/=o
. d/n-1 J/=o
(XII.63)
получим
C = «ixib
a? — 2ao«2 = t?;
a| — 2агаз + 2а0щ = xf,
аз — 2«2^4 + 2aias — 2aoae = xt,
(XII.64)
при a0 = 1.
По аналогии с предыдущим найдем, что минимум Jn достигается, когда
х (0 будет решением уравнения
+	<хи.ва
при начальных условиях (XII.63).
Величины т2, т2, ..., хп определяют из условий (XII.64). Таким образом,
интегральная оценка Jn приводится к виду
(XII.66)
i=i
где
ов
j0/=/ (-—у	' {XIL67)
П '	•
Для определения Jo/
формулой (XI 1.52).
находят изображения
dcx
dt1
а затем пользуются
Пример XII.5. Требуется определить коэффициент затухания в колебательном звене,
когда т = 1 и
Ф(5) = з«+ 2Bs+ 1’
при условии, что J1 принимает минимальное значение.
Выходная величина	'
. . У(5)-Г]	1	I-.1-. - s+2v'
1 1 1 sa 4-	+ 1 J s s2 + 2gs + 1
В соответствии с этим
•Л>=-41-
Преобразование Лапласа для функции будет

402
Имея это в виду, по формулам (XII.66),- (XII.67) найдем
т — 1 i _ г т —э г _	+ 2
"'в! = ~£|~ >	=”= J0 + Т •'01 = -Jj|-•
Минимизируя Ji по параметру g, получим
Э/1	2^~1 о
~df	’
иля 2g« — 1 = 0, т. е. g = 0,707.
6.	ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
РЕГУЛИРОВАНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Наибольшее распространение в инженерной практике для оценки пока-
зателей качества и построения переходных процессов в системах автомати-
ческого регулирования получили частотные методы, разработанные
В. В. Солодовниковым [69]. Математической основой частотных методов
• анализа качества систем автоматического регулирования является обратное
преобразование Лапласа, позволяющее получать вещественную и мнимую
обобщенные частотные характеристики систем по изображению выходного
сигнала системы X (s). В свою очередь, по вещественной или мнимой обоб-
щенным частотным характеристикам можно построить переходный процесс
в системе по временной области.
Как известно [72 ], переходный процесс в системе определяется по фор-
муле обратного преобразования Лапласа:
х(/) =	• J X (s)~est ds,	(XII.68)
где с — абсцисса абсолютной сходимости функции X (s).
Разобьем исходную функцию X (s) на два слагаемых: Xr (s) — регу-
лярную часть (когда все корни характеристического уравнения функции
X (s) расположены в левой полуплоскости); Хп (s) — нерегулярную часть
(когда корни характеристического уравнения функции X (s) имеют положи-
тельные или равные нулю вещественные части):
X(s) = Xr(s) + Xft(s).	(XII.69)
Подставляя выражение (XII.69) в формулу (XII.68), получим
«+/•»
*(0 = ^ J	+ f Xn(s)esi ds. (XII.70)
С—/а»	С—/во
Учитывая, что первый интеграл выражения (XII.70) характеризует
составляющую переходного процесса от регулярной части (т. е. с = 0),
а второй интеграл— от нерегулярной части, можно записать, что
х(/) = ^(0 + ^,Й,	(XII.71)
где
/е©
xr(() = ^L- J X,(s)e«<fc; хя(0=₽-^ J X„(s)e"ds. (XII.72)
«_/ео	С—/оо .
Регулярная часть функции х (() является затухающей, т. е.
lim хг (0 == О,
403
а нерегулярная часть может быть расходящейся или'стремиться к постоянной
величине. Возьмем первый интеграл в выражении (XII.70) и положим s =
= /со; тогда
хД/) = ^ J Хг(/®)е/“'dco.	(XII.73)
Представим, что
ХД/со) = Я>) + /$г(а>),	(ХН.74)
где Rr (со) — обобщенная вещественная частотная характеристика; Sr (со) —
обобщенная мнимая частотная характеристика.
Подставив'выражение (XII.74) в интеграл (XII.73) и заменив el*' по
формуле Эйлера, получим

[7?г (со) cos со/ —Sr (со) sin со/] dco+
со
J [7?г (со) sin со/ -j- Sr (со) cos со/] da.	(XII.75)
*«-00
Так как функция Rr (со) — четная, a Sr (со) — нечетная, то второй инте-
грал выражения (XII.75) равен нулю, т. е.
хг (/) == j ]7?r (со) cos со/ — Sr (со) sin at] da.	(XII.76)
— <50	।
Будем считать, что воздействие приложено в момент времени / = 0;
тогда хг (/) = 0 при / < 0 и, следовательно,
со
f (<о) cos со/ — Sr (со) sin со/] da = 0.	(XII.77)
— СО
Заменяя в выражении (XII.77) / на (—/), получим
со
j [7?r (со) cos со/ Sr (со) sin со/] da — 0.	(XII. 78)
— со
Сложим уравнения (XII.76) и (XII.78); тогда
со
хг (/) — — J Rr (со) cos со/ da.
— со
(XII.79)
Вычитая из уравнения (XII.76) уравнение (XII.78), получим
оо
хг(/) =----J sr (со) sinco/ da. .	(XII.80)
—со
Изменим пределы интегрирования; тогда выражения (XII.79) и (XII.80)
примут следующий вид:
со
2 Г
хг (0 ~ J (<°)cos йы
о
co
xr (0 =---------j" J (co) sin at da.
о
(ХП.81)
464
Подставив полученные выражения в формулу (XI 1.71), найдем
х (/) == хп (£) + 4 f Rr («) cos at da-,
°.	|	(XII.82)
2 f	I
x(0==x„(f)-----— I Sr (a) sin at da.
0	)
С помощью формул (XI1.82) можно вычислить переходные процессы,
если известно х„ (/).
Рассмотрим несколько конкретных случаев расположения полюсов
функции X (s).	.
Случай 1. Все полюсы функции X (s) расположены в левой полуплоскости,
за исключением полюса в начале координат, т. е.
X (s) =	.	(XII.83)
В этом случае	/
Xn(s) = -^rk.	(XII.84)
так как при отсутствии нулевого полюса Хп (s) = 0. Из выражения (XII.69)
найдем Xr (s) = X (s) — Хп (s). Подставим в полученное выражение зави-
симости (XII.83) и (XII.84); тогда
Xr(s) ==	.	(ХП.85)
Подставим в формулу (ХП.85) s = ja и обозначим
X0(ja) = R(a) + jS(a)-,
тогда выражение (ХП.85) можно переписать в виде
Rr (а) 4- jSr (а) = !L№. + №)	,
откуда
• Яг(<о) = ^-;
(XII.86)
м '	w
Подставим эти значения в формулы (XJI.82) и, учитывая, что хп (t) =
— Ro, получим
или
х (/) = R (0) + 4 j 5 (<о) da-,
о
X (0 = я (0) - Я (0) + 4 J Я (®) da,
о
x(t)^R(Q) + ^-]s(a)-^-da, f>0;
о
(XII.87)
(ХП.88)
x(0-4f7?<®)	*>0.
о
(XII.89)
405
Случай 2. Все полюсы функцйи X (s) расположены в левой Полуплоско-
сти, за исключением двух полюсов в начале координат, т. е.
(XII.90)
тогда
х (0 = [1 0 + R(0)i + 4 J R cos at (XII.91)
о
ее
X (0 - R (0) t - Л- J sin at da.
о
(XII.92) •
Случай 3. Функция X (s) имеет два сопряженных полюса на мнимой оси;
тогда
(ХП.93)
где Хо (s) — функция без особенностей во всей правой .полуплоскости,
включая и мнимую ось.
Нерегулярная часть
^<0==^Лг- + -ттк” (XIL94)
5 — JlDg	S -ф- JWg
Следовательно,
X (s) =	- ( А  - +  А  Y. (ХП.95)
г V >	s2 -{- 0)2	\ s — /Ша ' S 4- /®а / .	'	'
• * , • 
Положив s — j®, найдем
г> /ЛЧ\ ^о (®а) — #0 ЙО) ,
Q / \ ©So ((Од) —“ (OgSp (со)
Or (СО) ----------7—5------9?----
откуда
хг (0 = — ] Ra (0>al cos со/ da;
Г	Я J	— ^2
о- -	»
х (/) = __ Д 7 MS0(M3) -.MaSa to) slhat d
nJ	Шо I CO2 — C0‘ )
о	a '	>
(XII.97)
так как
xn (0 == Де7®*' + Л2е~^ == -ДДД е1'^ + Х° Д./(аа)	. (XII.98)
2/(0д	--
Имея в виду выражения (XII.97) и (XII.98), на основании уравнения
(XII.71) получим
Х(0 =	+
4/Шд	—
+ 4 J -°	(<0) cos at da-,	(ХП.99)
х /А __ X»	| ^Р ftOa) е~/®а;
' ' 2/сйа	'	— 2/иа

(XII. 100)
406
Случай 4. Функция X (s) не имеет особенностей во всей правой полу-
плоскости и на мнимой оси. В этом случае функция X (s) имеет только регу-
лярную часть; тогда по уравнению (ХП.71) и выражением (XI 1.81) найдем
х (/) «== ~ J Rr (со) cos at dco;	(ХП.101)
0
х (/) ==-~ J S, (со) sin со/dco.	(XII. 102)
о
Из рассмотрения четырех случаев следует, что переходный процесс
в системе определяется по обобщенной вещественной или обобщенной мни-
мой частоты, характеристик.
Для определения обобщенных вещественной и мнимой частотных харак-
теристик воспользуемся выражением (XII.7), которое перепишем в виде
X(s) = 0(s)G(S) + yH(s). ’	(XII. 103)
Функции, входящие в это выражение, представим в следующем виде:
Ф (/со) = Р (©) + /Q (со),	(XII. 104)
где Р (со) — вещественная частотная характеристика замкнутой системы;
Q (со) — мнимая частотная характеристика замкнутой системы;
G(/co) = Pg(co)-(-/Qg(co),	(XII. 105)
где Pg (со) — вещественная частотная характеристика управляющего воз-
действия; Qg (со) — мнимая частотная характеристика управляющего воз-
действия;
Y, (/со) = РЙ (со) + jQs (со),	(XII. 106)
где Рн (со) — вещественная частотная характеристика функции по началь-
ным условиям; QH (со) — мнимая частотная характеристика функции по
начальным условиям.
В случае действия возмущения / (/), изображение которого есть F (s),
F (/со) =*Pf (со) 4- jQf (со).
Подставляя в уравнение (XII. 103) s — /со и пользуясь выражениями
(XII. 104) —(XII. 106), получим
P(co) = P(co)P,(co)-Q(co)Qg(co) + PH(co); 1
S (со) = Р (со) Q Дсо) - Q (со) Pg (со) + QH (со). J ( к107)
Если на систему автоматического регулирования действует единичное
управляющее воздействие, т. е. g (/) = [1 1, а начальные условия являются
нулевыми, то формулы (XI 1.88) и (XI 1.89) примут вид
,	-во
x(/) = P(0)+^-J(?(co)-^-{dco;	(XII.108)
х(0=»-1 jp(®)^Ldco,	(XII. 109)
о
а формулы (ХП.101) и (XII.102) будут
х (/) = ~ | Р (со) cos со/dco;	(XII. 110)
о
х(/)==---j- j Q (со) sin со/ dco.	(XII. Ill)
о
407
Эти формулы устанавливают связь между вещественной или мнимой
частотными характеристиками и переходными процессами в системе авто-
матического регулирования, когда на ее входе действует g (t) = (1 ],. а на-
чальные условия являются нулевыми. Перейдем к рассмотрению способов
определения вещественных и мнимых частотных характеристик по частотным
характеристикам разомкнутых систем [69].
7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ И МНИМЫХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ ПО АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫМ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ
Для определения вещественных и мнимых частотных характеристик
замкнутых систем по амплитудно-фазовым характеристикам воспользуемся
частотной характеристикой
(хп.112)
Частотную характеристику разомкнутой системы W (ja) представим
в виде
V (/со) = U (со) 4- /V (со);	(XII. 113)
тогда получим
Ф Иа} = -	+	. ..,	(ХП 114)
1-+- tz (со)-4- /V (CD)*
откуда после несложных преобразований найдем	1
' Р мй - t/(<o)[l + ^(«>)l + Va«o) '
Cl H+C/W+I^co) Ч
-	(XII. 115)
4	= и + с/(со)]2 + Vs (со) •
После этого на плоскости W (/со) по формуле (XII. 115) определим гео-
метрическое место точек, соответствующих заданному! значению Р (со) = Ре.
Итак,
п (/(СО) П + (/(С0)] + У2(С0)	CYTTIIRA
с [1 + U (со)]2 + V2 (со) '	(лл.ио/
После ряда преобразований выражение (XII.116) можно привести к виду
+	+ 4ц _j~'pe)2 • (XII. 117)
Из выражения (XII. 117) видно, что это уравнение окружности с центром,
расположенным на вещественной оси и удаленным от начала координат на
расстояние
d‘---	(ХЧ-Чв)
радиусом
408
JY
Рис. X11.7. Вещественная круговая номограмма В. В. Солодовникова
По этим соотношениям на рис. XII.7 было построено семейство окружно-
стей Рс (вещественная круговая номограмма В. В. Солодовникова).
Для построения мнимой круговой номограммы положим
[1 + 1/(©)]*+ V2(co) '	(X11.120)
После ряда преобразований выражения (XII. 120) получим
[1 + t/,(<o)P+ [у (со) - -±-]2 = ^L-.	(XII. 121)
Выражение (XII. 121) представляет собой уравнение окружности, центр
которой расположен на расстоянии
d =	(XII. 122)
от прямой jV на плоскости W (jco) и имеет радиус
r-JlV	(ХП.123)
По формулам (XII. 122) и (ХП.123) на рис. XII.8 построено семейство
окружностей Qc (или мнимая круговая номограмма В. В. Солодовникова).
Пример XII.6. По частотной характеристике разомкнутой системы
\	I00 (0.3/© 1 )	/ V I Т i Ол,
W /ю) = /© (/© + 1) (0,05/© + 1) (0.02/© + 1)	(	 4)
с помощью номограмм на рис. XI 1.7 и ХП.8 определим вещественную Р (©) И мнимую Q (©)
частотные характеристики замкнутой системы.
По выражению (XII. 124) найдем
100 (0,001м4 — 1,07©2) + 30 (© — 0.071©3) .
U	(0.001©4—1,07м2)2+ (© — 0,071©2)2	’
30 (0.001©4 — 1,07<Ь2) — 100 (ш — 0.071©3)
V (<В) “	(0.001©4—l,07©2)2-f-(© —0.071©3)2
409
Рис. Х11.9. Амплитудно-фазо-
вая частотная характеристика
разомкнутой системы
Рис. XII. 10. Частотная характеристика
замкнутой системы:
а вещественная; б — мнимая
410
Рис. XII.11. Номограмма для определения вещественных частотных характеристик
Р(ш)
Задаваясь различными значениями со, построим амплитудно-фазовую частотную харак-
теристику W (/со) (рис. XII.9). Нанеся эту характеристику на круговую номограмму Р (со)
(см. рис. XII.7), получим в точках пересечения с кругами соответствующее значение Рс.
По полученным значениям Рс на рис. XII.1J0, а построена вещественная частотная характе-
ристика Р (со). Нанесем характеристику W (/со) на номограмму Q (со); тогда в точках пере-
сечения с кругами получим значения Qc. По этим значениям на рис. XII.10, б построена мни-
ма# частотная характеристика Q (со).
В. тех случаях, когда при расчетах пользуются логарифмическими амплитудной и фазо-
вой частотными характеристиками, номограммы Р (со) и Q (со) можно получить следующим
образом. В выражение (XII.112) подставим
тогда получим	W (/со) = Н (со) е7° <ш> I	'		(XII.125)
	Ф(/со) =	Н (со) cos (со) + jH sin 0 (со)	
		1 -f- Н (со) cos 0 (со) -]- jH sin 0 (со) ’	
откуда	Р «а)	Н* (со) + Н (со) cos 0 (со)	(XII.126)
		Н* (со) -f- 2Н (со) cos 0 (со) Г ’	
	Q (со)	Н (со) sin 0 (со)	(XII. 127)
		№ (со) -f- 2Н (со) cos 0 (со) 1	
Построим снова	геометрическое место точек: Р (со) = Рс = const; . Q (со) *= Qc = const.		(XII. 128) (XI 1,129)
Соответствующие построения выполнены на рнс. XII. 11 [номограмма Р (со)] и на
рис. XII. 12 [номограмма Q (со)].
411
Пример X1I.7. Для следящей системы, имеющей результирующую логарифмическую
амплитудную Н (со) и логарифмическую фазовую Q (со) характеристики, показанные на
рис. XI.30, определить Р (со) и Q (со). Перенесем значения амплитуд и фаз характеристики
W (/<*•)> снятой с рис. XI.30, на номограмму рис. XII.11. В точках пересечения с кривыми
номограммы определим значение Рс. По найденным значениям Рс на рис. XII.13, «построена
вещественная частотная характеристика Р (со) замкнутой следящей системы. Перенесем зна-
чения амплитуд н фаз W (/со) на номограмму рис: XII.12; тогда в точках пересечения кривой
W (/со) получим значения Qc, по которым на рис. XII.14 построена мнимая частотная характе-
ристика замкнутой системы Q (си).
Рис. XII.13. Вещественная частотная характеристика следящей системы-,
а — исходная характеристика Р (»); б ее разбиение на трапецеидальные
частотные характеристики	.
412
В заключение определим по формуле (XI 1.126)
значение Р (о), соответствующее частоте среза си-
стем^ юс. Как известно, на частоте среза системы
20 lg И (а>с) = 0 дБ, или И (а>с) — Г. Подставив
это значение в формулу (XI 1.126), получим
- <ХП'130>
откуда
Р(о>с)==4-.	(ХП.131)
Из выражения (ХП.131) видно, что для опреде-
ления частоты среза по вещественной частотной
характеристике замкнутой системы необходимо про-
вести прямую, параллельную оси абсцисс, по уро-
вню 1/2 до пересечения с кривой Р (со). Опустив из
частотная характери-
стика следящей системы
этой точки перпенди-
куляр на ось абсцисс, получим искомую частоту среза системы <ос.
8.	ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
С помощью полученных вещественных или мнимых частотных характе-
ристик можно определять показатели качества систем автоматического ре-
гулирования, не прибегая к интегрированию выражений (XII.108), (XIIЛ09).
Для этого существуют два способа оценки качества: 1) по виду вещественной
частотной характеристики Р (о) и 2) по номцграммам В. В. Солодовникова.
Оценка переходных процессов по виду вещественных частотных харак-
теристик. Выше было установлено, что переходный процесс в системе выра-
жается через действительную частотную характеристику замкнутой системы
Р (о) по формуле
00
* (0 = ~ f Р И d®.	(XII. 132)
о
На основании формулы (XII. 132) можно сделать вывод, что различным
вещественным частотным характеристикам соответствуют различные пере-
ходные процессы. Выделим несколько свойств вещественных частотных ха-
рактеристик, позволяющих оценивать показатели качества систем автомати-
ческого регулирования. Часть из этих свойств доказывается строго, а осталь-
ные базируются на расчетно-экспериментальных данных, поэтому их приме-
нение для оценки показателей качества в ряде случаев требует непосредствен-
ной проверки (т. е. построения переходного процесса с помощью /1к-функций).
Свойство 1. Изменение масштаба по оси ординат. Если изменить мас-
штаб по оси ординат вещественной частотной характеристики в п раз, то
масштаб кривой переходного процесса изменится в то же число раз. Для
доказательства этого свойства достаточно умножить правую и левую части
уравнения (XII. 132) на п:
х (/) п =	[ пР (<о) don.	(ХП.133)
о
Это, свойство иллюстрируют графики на рис. XII.15, а, б.
Свойство 2. Изменение масштаба по оси абсцисс. Если увеличить (или
.уменьшить) в п раз масштаб аргумента вещественной частотной характери-
стики, то масштаб кривой переходного процессу уменьшится (увеличится)
в то же число раз.
413
Рис. XI 1.15. Вещественные частотные харак-
теристики и соответствующие им переход-
ные процессы
Обозначим переходный процесс,
обусловленный изменением масштаба
аргумента со в п раз, через х' (7). Этот
процесс удовлетворяет соотношению
9»
,	2 г п , ч sin at ,
х Jdt0-
о
(XII. 134)
Введем новую переменную со' ==;
— шп; тогда
«о
р , 1
„I sin ®' —
=	Р(со')—^-dco'.
о
(XII. 135)
Из последнего соотношения с уче-
том равенства (XII.132)
х'(/) = х (-£-);
тогда
f t \	2 f ,	. sin at ,
= da-
о
Это свойство иллюстрируют графики на рис. XII.15, а, в.
Свойство 3. Установившееся значение переходного процесса. Согласно
теореме о конечном значении имеем
хж — lim соХ (jco).	(XII. 136)
ш-»0
Для принятого нами единичного воздействия получим
Х(/со) = ^-.	(XII.137)
Подставив выражение (XII. 137) в соотношение (XII. 136), найдем
х„ — lim Ф (/со).	(XII.138)
ш-»0
При этом действительная часть частотной характеристики равна Р (0),
а ее мнимая часть Q (0) = (^поэтому из соотношения (XII. 138) следует
х, = Р (0).	(ХП.139)
Свойство 4. Начальное значение переходного процесса. Как известно, по-
рядок числителя передаточной функции Ф (/со) замкнутой системы всегда
меньше порядка знаменателя. Поэтому
х0 = Р (оо) = 0.	(XII. 140)
Если в передаточной функции системы относительно ошибки Фе (ja>)
порядок числителя равен порядку знаменателя, то
80 = Ре(оо)=1.	(XII.141)
Свойство 5. Максимум перерегулирования при невозрастающей вещест-
венной частотной характеристике. Частотная характеристика на интервале
414
Рис. XIЛJ6. Виды положительных
невозрастающих вещественных ча-
стотных характеристик
положительности [0, соп] имеет вид кривой, показанной на рис. XII. 16, а.
Представим ее в виде суммы	-
л	2л
t	t
.,,	2	f	„ ,	.	sin	at ,	,	2	f „	.	.	sin	at	,	.	.VTT	, . o,
*(0 = —	J	P(©)——	+ — J p	(co)	——	da -j----. (XII.142)
'	0	•	ч	л_
T-
Известно, что сумма знакопеременного сходящегося ряда (XII. 142) не
может превышать значения его первого, члена. Поэтому
Л
I
x(t) <JLjP(<o)-^dco.	(XII.143)
о
Последнее неравенство можно усилить, если вместо Р (со) подставить
Р (0), т. е.
Л*
7 -
х(0=с4	(XII.144)
о
Введем новую переменную со/ = у и da = dylt. Тогда неравенство
(XII. 144) можно переписать в виде
х(/)<4Р(0)/^-^,	(XII. 145)
о
откуда
\(/) < ^^ 1,85=	1,85х„.	(XII.146)
Определим
(х(/)-х„]<	1,85-1) х„;	(XII.147)
тогда
Omax -—J*” 100% < (4 1.85 - г) 100% = 18%. (XII.148)
Х^.	\ «II	/
оо	'	•
Для вещественной частотной характеристики, имеющей вид прямо-
угольника (рис' XII. 16, б), неравенство (XI 1.148) станет равенством, т. е.
Omax=±4F^= 18%‘	(XII.149)
**оо
Свойство 6. Зависимость максимума перерегулирования от пика ве-
щественной частотной характеристики. Рассмотрим вещественную частот-
ную характеристику на интервале положительности [0, соп) (рис. ХП.17, а).
Разобьем ее на две характеристики (рис. ХП.17, б), т. е.
Р (щ) = рх (о) - р2 (ш),	(XII. 150)
где Рх (0) = Ршах.
415
Тогда формулу для определения переходного процесса можно предста-
вить в следующем виде:
х (0= 4 f Л*»•	(ХП.151)
о	0
Второй интеграл всегда положителен, т. е.
(XIU52)
о
На основании свойства 5 запишем
ЧT<1>18TW’	(XII.153)
откуда
tfmax <	100%.	- (ХП.154)
Свойство 7. Условия монотонности переходного процесса. Сформули-
(XII. 155)
(XII. 156)
(XII.157)
руем необходимые условия в следующем виде: ‘
1)	Р(0)> |Р(со)|;
2)	<о0 Р (0)	2 J | Р (со) | dco;
о
3)	Р (0) cos-----^Р('со),
1+ —
L о j
[£0п *1	ton
при данном со означает целую часть числа
График ступенчатой функции
G (со) = Р (0) cos----
1 L <о„ I
(XII. 158)
изображен на рис. XII. 18.
Рассмотрим достаточные условия. Для того чтобы переходный процесс,
определяемый формулой (XII. 132), был монотонным, достаточно иметь ве-
щественную частотную характеристику в виде непрерывной положительной
функции от со с отрицательной монотонно возрастающей (убывающей по
dp
абсолютной величине) функцией (рис. XII. 19).
416
Для доказательства этого свойства разобьем характеристику Р (со) на
большое число наклонных треугольных характеристик Pt (со), показанных
на рис. XII. 19. Для каждой треугольной характеристики можно записать
Л(®) = Л(0)(1	(XII. 159)
где 0 < со < соог.
Из построения на рис. XII. 19 видно, что интервал частот каждой пре-
дыдущей вещественной характеристики меньше, чем последующей, т. е.
О <Z соО1 < со02 <С ... coOrt.
Формулу для каждой составляющей переходного процесса можно запи-
сать в виде
оо
...	2 Г п . , sin <ot ,
х‘	j/’i(‘o)-v-dco.
о
(XII. 160)
Подставим соотношение (XII. 159) в формулу (XII. 160) и после некоторых
преобразований получим
хЛЪ^Р^М - C°S^~1-]>	(XII.161)
где
“ос
Si (coOi7) = J dco.	(XII. 162)
о
Продифференцировав уравнение (XII. 161), найдем
Т = ^<1-от“.А	СХП.163)
откуда
> 0.	(XII. 164)
Условие (XII. 164) получено для всех t. Из этого условия при xia> —
— Pt (0) в соответствии с теоремой о конечном значении следует, что функ-
ция Xi (/) монотонно возрастает и асимптотически стремится к своему уста-
новившемуся значению.
Свойство 8. Время переходного процесса tp и максимум перерегулирова-
ния отах, когда вещественная частотная характеристика мало отличается
от трапецеидальной. Если невозрастающую непрерывную вещественную
Рис. XI 1.18. График характе-
ристики G (со), удовлетворяющей
условиям монотонности
Рис. XII. 19. Разложение моно-
тонно убывающей вещественной ча-
стотной характеристики на ряд
треугольных характеристик
14 Иващенко Н. Н-
417
Рис. XII.20, Графики для опреде-
ления отах и tp при невозрастаю-
ющих вещественных частотных ха-
рактеристиках:
а — аппроксимация характеристики
Р (со) трапецеидальной характеристи-
кой; б — график для определения /р;
6 — график для определения 0тах
находиться
(XII. 165)
кривой на
с помощью
частотную характеристику Р (со) (см. рис. XII. 16, а) можно заменить экви-
валентной трапецеидальной частотной характеристикой* 1 с частотами со0
и cod (рис. XII.20, а), то время переходного процесса tp будет
в пределах
— <" t <2
Более точно время регулирования можно оценить по
рис. XII.20, б. Величина перерегулирования отах определяется
кривой на рис. XI 1.20, в. Абсциссой для данных графиков служит коэффи-
циент наклона трапецеидальной частотной характеристики
х=^-.	(XII. 166)
Свойство 9. Зависимость времени переходного процесса от длины интер-
вала положительности. Если вещественная частотная характеристика
Р (со) > 0 на интервале [0, ®0], то время переходного процесса tp заведомо
больше, чем л/ша, т. е.
*₽>£•	(XII.167)
Свойство 10. Время протекания монотонного переходного процесса.
Если для Р (со) удовлетворяется свойство 7, то время протекания переходного
процесса будет заведомо больше 4л/соп, т. е.
<,>£•	(хп.168)
Свойство И. Изменение переходного процесса при изменении веществен-
ной частотной характеристики в области высоких частот. Рассмотрим ха-
рактеристики Рг (со) и Р2 (со), существенно различающиеся в области высо-
ких частот (рис. XII.21, а). Найдем разность двух вещественных функций:
р(со) = Р1(со)-Р2(со)	(XII.169)
и будем считать, что
р (со) = 0 при 0 со ==g соп;
	| р (со) [ р при соп «S со сок.
1 Аппроксимацию характеристики Р (ш) трапециями необходимо проводить таким обра-
зом, чтобы недостающая часть площади вещественной характеристики была равна избыточ-
ной части характеристики S2 (см. рис. XII.20, а). Только при этом условии замена исход-
ной вещественной характеристики трапецеидальной будет правильной.
418
Кроме того, функция р;(со) -является невозрастающей при <в > сок;
тогда разность е (/) =	(/) — х2 (/) ограничена сверху значением
(K-f-JV) л
j	(XII.170)
"п'
Интеграл (XII. 170) представляет собой функцию интегрального синуса,
и его легко вычислить с помощью соответствующих таблиц Si (со).
При N = 1 найдем
(I-t-K)n
|е(П1<н- J	(XII.171)
Из формулы (XII. 171) имеем следующие следствия.
Следствие 1. Формула (XII.171), определяющая верхний предел |е (01,
указывает на то, что переходная функция е (/) является монотонно убыва-
ющей.
Следствие 2. Оценку tv и отах следует производить в интервале времени
t < поэтому при оценке показателей качества значение соп, входящее
(Оп
в нижний предел интегрирования, следует брать меньше л/соп.
Следствие 3. Величина верхнего предела для е (/) тем меньше, чем
больше частоты, на которых расходятся характеристики Рг (со) и Р2 (со),
и чем меньше верхний предел их разности.
Свойство 12. Изменение переходного процесса при изменении веществен-
ной частотной характеристики в области . низких частот. Возьмем Р t (со)
и Р2 (со), существенно различающиеся в области низких частот и в малой
степени различающиеся в области высоких частот (рис. XII.21, б). Тогда
=	(XII.172)
о
и при со/ < 1 sin со/ «₽ со/. Учитывая это, формулу (XII. 171) можно перепи-
сать в виде
2	1
I 8 (0 I ~ V при
(XII. 173)
где
(Л (со) — Р2 (со)] dco .
(XII. 174)
Из выражения (XII. 173) следует, что погрешность при определении
переходного процесса увеличивается пропорционально времени /, причем
коэффициент пропорциональности находят по формуле (XII. 174).
Рис. XII.21. Веществен-
ные частотные характе-
ристики:
а — существенно различа-
ющиеся в области высоких
частот; б — существенно
различающиеся, в области
низких частот
14*
419
Рис. XII.22. Вещественные частотные характеристики
Пример XII.8. Определить по виду вещественной частотной характеристики, представ-
ленной на рис. XII.22, а, показатели качества, пользуясь свойствами Р (со). Отбросим высоко-
частотную часть характеристики Р (со) при со > соп и определим коэффициент наклона
со.	4
х = —= -Д-=0,4.
со0	Ю
5 5
Тогда с помощью свойства 8 по рис. XII.20, б определим /р =	с’ а п0
рис. XII.20, в найдем ошах = 12%. Для сравнения по формуле (XII.165) найдем
0,314 с </р< 1,25 с.
Пример XI 1.9. Определить по виду частотной характеристики, представленной на
рис. XII.22, б, показатели качества. Отбрасывая снова высокочастотную характеристику для
соп, с помощью свойства 6 находим
Птах < -^8-233~-1. 100% = 57%.
Так как в частном случае соп Ю, то по свойству 9 найдем
1р>^ = 0,314с.
Пример XII.10. Определить характер протекания переходного процесса по следующей
передаточной функции:
W (s) = —
S
____________0,16______
(тЬ-+1)[(т5)2+2-»'67т5+'Г
(XII.175)
где К — переменная величина, принимающая два значения: К' = 5 и X" ~ 3.
Подставив в выражение (XII.175) s = /со, определим две вещественные частотные харак-
теристики Pt (со) при X = 5 и Рг (со) при К" = 3. Соответствующее построение выполнено
~ получим, что кривая Рг (со) удовлетворяет только
первому условию монотонности [формула (XI 1.155)],
остальным условиям [формулы (XII.156), (XII.157)]
она не удовлетворяет. Поэтому переходный процесс
не является монотонным. Кривая Р2 (со) удовлетво-
ряет всем условиям монотонности. На рис. XII.24
построен монотонный переходный процесс х (/).
на рис. XII.23. Пользуясь свойством
7,
Рис. XI 1.23. Вещественные ча-
стотные характеристики для
системы автоматического регу-
лирования при К' —5 и К" — 3
Рис. XII.24. Характеристика мо-
нотонного переходного процесса, со-
ответствующая вещественной ха-
рактеристике Р2 (со)
420
Рис. XI 1.25. Разбиение вещественной частот-
ной характеристики на две трапеции
Рис. X1I.26. Номограммы В. В. Солодовникова
для оценки показателей качества по виду веще-
ственных частотных характеристик'.
а — номограмма А: п < 0,8: па > 0,4; X 0,5; б —
номограмма Б: х 0,8; xfl 0,4: 0,1 X, 0,5
Оценки показателей качества по номограммам В. В. Солодовникова.
На основании расчетов переходных процессов по вещественным частотным
характеристикам В. В. Солодовников предложил оценивать показатели ка-
чества Ощах и tp в зависимости от величины максимума вещественной частот-
ной характеристики, заданной на интервале положительности ®п.
Вещественную частотную характеристику на интервале положитель-
ности разобьем на две трапеции, как это показано на рис. XI 1.25. Определим
частоты в точках излома аппроксимирующих прямых, по которым найдем
следующие параметры:
°>d .
(XII. 176)
= и 7 = “L
а>ь <в0 ’
(XII. 177)
В зависимости от этих параметров были составлены две номограммы:
номограмма А — для х < 0,8; ха > 0,4; Л 0,5 и номограмма Б — для
х < 0,8; ха < 0,4; 0,1 < X < 0,5 (рис. X 11.26). Пользуясь этими номограм-
мами и зная Ршах и частоту среза сос, можно найти
Ко,
и *Р = ^=7(Гшах).
Г Шс
(XII.178)
Пример ХП.11. По вещественной частотной характеристике (см, рис. XII.17, а) опреде-
лить показатели качества ашах и /р системы автоматического регулирования. Из рис. XII. 17, а
видно, что
12	2	8 9
*=-20 =°-6: *« = 8J = °’23: *=^=0,435.
Следовательно, для нахождения показателей качества следует пользоваться номограм-
мой Б (рис. XII.26, б); определив из рис. XII.17, а = 1,45, по номограмме Б получим
Ошах = 23% и tp =	= 0,71 с.
г 15
421
9. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
С ПОМОЩЬЮ ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Частотный метод построения переходных процессов заключается в гра-
фическом способе вычисления интеграла (XII.89). Представим кривую /? (<о)
в виде суммы ряда типовых трапецеидальных кривых г£ (со) (рис. XII.27, а):
/?(©)>=» У Ч(“);	(XII. 179)
4—1
тогда
X,- (0 = ~ J г. И 4®.	(XII. 180)
о
т. е.
х(0=£х, (О-	(XII. 181)
4=1
Будем считать, что функция г, (со) определяется с помощью следующего
выражения:
rs (®) =
hoi при 0 < со < adi-,
Фог — (о
h0i и -Ъ ПРИ	ш < “и. ;
ш04 di
0 при <в0£ < а>.
(XII. 182)
Функция г£ (со) и представляет собой трапецеидальную частотную харак-
теристику. Подставив выражение (XII.182) в формулу (XII.180), получим
2
(0== ^-Л04
sin at .
-----da
ш
СОо£ —СО
ш ш.
Qi di
da
(XII. 183)
откуда после ряда несложных преобразований найдем
X, (0 = (Si (adit) + [Si М - Si (<W)] +
с	ш04 di

(XII. 184)
где
“4
Si (w,/) = J da.
. 0	...
Для составления таблиц функции х/(/) В. В. Солодовников предложил
использовать единичные трапецеидальные частотные характеристики, имею-
Рис, XIL27. Трапецеидаль-
ные частотные характери-
стики:
а — произвольная; б единич-
ная
422
Таблица XI 1.1
Параметры вещественной
частотной характеристики
Рис. 11.28. Составляющие переходного
процесса и результирующая характери-
стика х (t) для следящей системы
Наимено- вание пара- метра	-Значения параметров для трапеций			
	/	2	3	4
hoi Hi Д^табл ’ До: Д^ист	1,90 0,60 1,2; 1,6 20 0,06; 0,08	—0,30 0,75 2; 4,0 30 0,067; 0,134	—0,15 0,35 2,0; 4,0  80 0,025; 0,05	—0,45 0,25 0,8 8,7 0,092
щие Л0( = 1, ©01 = 1 и коэффициент х, изменяющийся в пределах от 0 до
1,0 (рис. XII.27, б). Пользуясь этими характеристиками, переходную функ-
цию в соответствии с формулой (XII. 184) можно представить в виде
Лх (0 = 4 (Si ™ + Т=П7 [Si ® - Si (xZ) + C0S/V°S-X/]} ’ <XIL 185)
откуда видно, что функции hx зависят только от одного параметра х, и их
можно представить в виде таблиц (см. прил. IV). С помощью этих таблиц
можно вычислять переходные процессы в системах регулирования с точно-
стью 2—5%.
Пример XII.12. Построить переходный процесс в следящей системе при g (f) — [1]
по вещественной частотной характеристике, приведенной на рис. XII.13, а. Разобьем веще-
ственную частотную характеристику на четыре трапеции, как это показано на рис. XII.13, б.
Определим для каждой из трапеций значения х(-, ш0/, /i0I- н истинный масштаб времени
ДГ = ^табл,	(XII.186)
где Д/табл — интервал времени для расчетов по таблицам /^-функций.
Числовые значения этих параметров трапеций сведены в табл. XII.1. Выбрав интервал
времени Д^табл, с помощью таблиц Ах-функций (прил. IV) определим интересующие нас зна-
чения Полученные значения Ах умножаем на высоту трапеции h^.
Для рассматриваемого примера все вычисления сведены в табл. XII.2.
Откладывая по оси абсцисс значения /ист, а по оси ординат hothKi, получим четыре
составляющие переходного процесса для каждой из трапеций (рис. XII.28). Складывая орди-
наты этих кривых, построим искомый переходный процесс х (I). По найденному переходному
процессу можно определить следующие показатели качества: ошах = 3%; 1Р — 0,68 с.
На основании этого примера сформулируем порядок построения переход-
ного процесса по частотной характеристике замкнутой системы.
1.	Разбиваем вещественную частотную характеристику на п трапеций.
Определяем для каждой из трапеций ®л, <о01 и hOi.
2.	Вычисляем для каждой из трапеций наклон
а>..
1 ©ОХ
3.	В зависимости от х, определяем интервал1 времени Д/табл для рас-
чета по таблицам /гк-функций (чем больше коэффициент х, тем меньше дол-
жен быть выбран интервал времени Д/Та6л).
4.	По вычисленному х, и выбранному ДГта6л находим по таблице
(прил. V) соответствующие значения Лх-функций.
1 Для увеличения точности построения переходного процесса необходимо уменьшать
интервал времени ДГтабл, однако чрезмерное уменьшение Д?Табл при больших uoi приводит
к увеличению объема расчетов без повышения точности построения переходного процесса
423
Результаты вычислений переходного процесса
Таблица XI1.2
Наименование параметра	Значения параметров для трапеций									
				Трапеция 1						
^табл 1	1,6	2,8	4,0		5,2	6,4	8,0	9,6	11,2	12,8
^Х1	0,7405	1,0694	1,1581		1,0899 ‘	0,9900	0,9407	0,9803	1,0156	1,0133
^мст 1	0,08	0,14	0,2		0,26	0,32	0,40	0,48	0,56	0,64
^oi^xt	1,4070	2,0319	2,2004		2,0708	1,8810	1,7873	1,8626	1,9296	1,9253
				Трапеция 2						
*эабл 2	2,0	4,0	6,0		8,0	10,0	14,0	18,0	22,0	26,0
	0,9383	1,1606	0,9657		0,9357	1,0356	0,9746	1,0136	0,9953	0,9999
^Ист 2	0,067	0,130	0,200		0,266	0,334	0,466	0,600	0,724	0,866
^02^X2	—0,2815	—0,3482	—0,2897		—0,2807	—0,3107	—0,2924	—0,3041	—0,2986	—0,3000
				Трапеция 3						
^табл з	2,0	4,0	6,0		8,0	10,0	14,0	18,0	22,0	26,0
^хз	0,7605	1,0897	1,0693		1,0113	1,0053	0,9825	1,0003	1,0048	1,0009
^Ист з	0,025	0,050	.	0,075		0,100	0,125	0,175	0,225	0,275	0,325
^оз^хз	—0,1141	—0,1634	—0,1604		—0,1517	—0,1508	—0,1474	—0,1500	-0,1507	—0,1561
				Трапеция 4						
А-абл«	1,2	2,0	2,8		3;6	4,4	5,2	6,0	6,8	7,6
^Х4	0,4578	0,7090	0,8931		1,0058	1,0573	1,0664	1,0540	1,0375	1,0266
^ИСТ 4	0,138	0,230	0,322		0,414	0,506	0,598	0,690	0,784	0,874
^04^X4	—0,2060	. —0,2190	—0,4019		—0,4526	—0,4758	—0,4799	—0,4743	—0,4669	—0,4620
5.	Полученные значения hx умножаем
на высоты трапеций hOi.
6.	Откладывая по оси t значения 7истг,
а по оси ординат значения holhKl, получим
составляющие переходных процессов xt (t) для
каждой из трапеций.
7.	Складывая ординаты этих кривых с уче-
том их знака, получим искомый переходный
процесс x(t).
Переходный процесс в системах автома-
тического регулирования при отсутствии
в функции X (s) нулевого полюса можно
К1\
О ti	t
Рис. XI1.29. Трапецеидальная
характеристика
построить по формуле
х (/) = _ JL j [ф5 ((0)]	d®,	(XII.187)
о
которая получена по выражению (XII. 102).
Из формулы (XII. 187) следует, что для построения переходного процесса
вначале необходимо найти мнимую обобщенную частотную характеристику
S (и), построить характеристику (св) ] и разбить ее на элементарные
трапеции. Дальнейшие вычисления и построения ведут обычным путем.
Если входное воздействие, поступающее на систему автоматического ре-
гулирования, имеет сложную форму, то следует прибегать к формулам,
связывающим значение импульсной переходной функции k (t) с характери-
стиками (<о) и Qg (<о), т. е.
<50
Pg (®) + iQg И = J k (/)	(XII. 188)
О
или
во
Р£ (м) = j k (t) cos at dt;	(XII. 189)
60
Qg((o) = — J k (/) stnco/df.	(XII.190)
Для вычисления этих интегралов график функций k (f) представим
в виде ряда трапеций, одна из Которых kt (/) показана на рис. XII.29.
Тогда
П во
Pg (®) = S J ki (О cos	(XII. 191)
П во
Qg(®) = —f^(Osln<o^t	(XII.192)
“о
Обозначим
j ki (/) cos at dt = pi (a); 0 00 J (t) sin cof dt == (co). 0	(XII. 193)
Из рис. XI1.29 можно установить, что	
kol при 0 < t < ti — Лг;	
'+2i ПРИ ^l<t<tiA-^	(XII. 194)
0	при Д( ti < t.	
425
Подставляя выражение (XII.194) в формулы (ХИ. 193), получим
rz-Az	li+&i
pt (со) —ku j cos cot dco + km J	cos art da> =» sin cot |*'~ ‘ +
0	tp—A^
+ *»z.(fr + bi—J) sin cot |'i+*z + 4^ [ sin cot dt =
‘	2A{<d	Н~д* 2<o J
‘z^z
= Sin (ft - Az)-a> -	sin (tt - Az) co +
+ 2^5* {~C0S Vi + Д‘> ffi + cos Vi ~ Az) =
=-g^-j-sinco^slncoA,.	(XII.195)
Из выражения (XII.195) можно получить
(XII.196)
Подставив выражение (XII.196) в формулу (XII.191), найдём
С.(”> - S м, (-^г-) (тпг') •	(XII.197)
£яв!
Соответствующую формулу для qt (со) можно определить следующим
образом:
lr-^i	'z+\
qt (со) == kol J sin cot dco -f- kot j V ~*sin cot dco —
= % (-«^) Г' +	(-cos cot) +
+(~cos “0 f Й -	(sln “0 РЙ =
= k^i [ 1 - cos CO (tt — Af)] -+	[cos (O (t[ — Az) - cos Ф (Zz + AZ)J 4-
+ —cos" + Az) -	cos co (ti - Az) -
- -2^b (sin ® Vi 4- Az) - sinco(t{ - Az)].	(XII. 198)
Из выражения (XII. 198) можно определить
<7z (<») = ~ - -Щ5 [«то (t[ + Az) - sin.ffl & - AZ)J«
(XII.199)
426
Подставим полученное выражение в формулу (XII.192); тогда получим
п
Q.W— S [£'-(«	(XII.200)
I 1яяв1
Итак, формулы (XII.197) и (XII.200) позволяют вычислять Pg (со) и
Qg (со) по заданной кривой k (t).
В системах автоматического регулирования возмущающее воздействие
f (0 может быть приложено к любой точке системы. В этом случае изображе-
ние функции выходного сигнала записывается в виде
=	(XII.201)
где V (s) — передаточная функция прямой цепи от точки приложения воз-
мущающего воздействия до выхода.
Обозначим
(XII.202)
 Для определения действительной Ру (со) и мнимой Qy (со) частотных ха-
рактеристик можно пользоваться следующим соотношением:
Y (/со) = Ру (со) + jQy (со),	:. (XII.203)
где
Ру (оз) == Ay (со) cos фу (со);	(XII.204)
Qy (со) = — Ау (со) sin фу (со).	(XII.205)
Для построения кривых Ру (со) и Qy (со) по логарифмическим ампли-
тудной LmAy (со) и фазовой фу (со) характеристикам служат специальные
номограммы, изображенные на рис. XII.30 и XII.31. Номограмма на
рис. XII.30 вычислена по формуле (XII.204) и представляет собой семейство
кривых Ру (со) = const, а номограмма на рис. XII.31 вычислена по формуле
(XII.205) для Qy (со) = const. Значения Ру (со) и Qy (со) определяют в точ-
ках пересечения кривых номограмм с логарифмической амплитудно-фазо-
вой частотной характеристикой..
Пример XII.13. Для системы автоматического регулирования концентрации сернистого
газа определить относительную концентрацию сернистой кислоты при ненулевых начальных
условиях по выражению
*»х(0)
X (а) -----------------(7^+ 1) (Tes + 1)--------------. (XI 1.206)
< ,___________________Ki* _____________________
(Tas+ 1) (Ува+ 1) (7^4- 1) (Tds+ 1) (Tes+ 1)
Полученное выражение перепишем в форме
= (ХП-207)
v (s) = (7^ + 1°) IT'S + 1) ’	(XI 1.208)
W (S) = (Tas + l)(7fts+ 1) (7cs + 1) (7^+1) (Tes + 1) • (XI 1.209)
’ Примем, что параметры системы имеют следующие значения: Та — 100 с; Ть = 24,4 с;
Тс = 14 с; Td = 8,1 с; Те = 0,05 с; Кг = 4,0; К, = 0,7; т = 0,4 с; х (0) = 0,1.
427
оо
LAy,d6
Рис. XI1.30. Номограмма для определения вещественной частотной ха-
рактеристики Ру (со) систем регулирования, имеющих передаточную
.	v i \ V (s)
функцию Y (s) = -г^ (s 
ристики 0у (s) систем регулирования, имеющих передаточную функцию
Рис. XII.32. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характе-
ристики внутреннего контура системы автоматического регулирования кон-
центрации сернистого газа
Построим логарифмические частотные характеристики IT (/и)
I
I
1 + w (/®)
и
(рнс. X 11.32). Для построения характеристики
, ,	была использована номограмма
1 + W Цы)
замыкания (рис. XI.30), на которой построена штрихпунктириой линией логарифмическая
1
V (Ю‘
амплитудно-фазовая характеристика по передаточной функции
На рис. XI 1.33
построены логарифмические характеристики | V (/со) | и arg [V (/со)]. Здесь же на рисунке
построены логарифмические характеристики Ау (со) и фу (со) для передаточной функции У (/со),
полученные сложением соответствующих частотных характеристик
1
1 + Г (/со)
V (/со).
н
Откладывая соответствующие значения Ау (со) и фу (со) на номограмме рис. X 11.36, найдем
мнимую характеристику Qy (со). Для построения переходного процесса в системе регулирова-
ния воспользуемся формулой (XII.187), т. е. определим характеристику (coQy(co)]. Данная
характеристика построена на рис. XI 1.34. Разбивая ее на трапеции и пользуясь //^-функциями,
получим результирующий переходный процесс в системе автоматического регулирования
концентрации сернистого газа (рис. X 11.35).
Рис. XII.33. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характе-
ристики для V (/со) и Y (ja>) системы автоматического регулирования кон-
центрации сернистого газа
429
Рис. XII.34. Мнимая Qy (®) и
<oQy (со) характеристики системы ав-
томатического регулирования концен-
трации сернистого газа
Рис. XII.35. Переходный процесс в си-
стеме автоматического регулирования
концентрации сернистого газа при не-
нулевых начальных условиях
>0. УСТАНОВЛЕНИЕ НОРМ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ФАЗЕ
И МОДУЛЮ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ТРЕБУЕМЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Как известно, каждой точке логарифмической амплитудно-фазовой ха-
рактеристики разомкнутой системы соответствуют вполне определенные зна-
чения вещественной частотной характеристики замкнутой системы. По
вещественной частотной характеристике можно определить показатели ка-
чества систем автоматического регулирования. Следовательно, каждой
амплитудно-фазовой характеристике соответствуют вполне определенные
показатели качества переходного процесса.
Для пояснения этих положений рассмотрим логарифмическую частот-
ную характеристику разомкнутой системы (рис. XI 1.36, а). Перенесем эту
характеристику на вещественную номограмму (рис. XI 1.37) и с ее помощью
построим вещественную частотную характеристику Р (со) (рис. XII.36, б).
При построении характеристики Р (со) будем пользоваться участком лога-
рифмической амплитудно-фазовой характеристики W (ja), ограниченным
Рис. XII.36. Частотные характеристики системы автоматического регулирования
с разметкой существенного интервала частот и основных показателей устойчивости
и качества процессов регулирования	
430
Рис. XI1.37. Номограмма вещественной частотной характеристики замкнутой
системы с областями запрета по требованиям устойчивости ус, Ям. —Ям
прямыми EF и KL, проведенными по уровню +27 дБ и —27 дБ (рис. XII.37).
Таким образом, по участку амплитудно-фазовой характеристики MN можно
получить любые характеристики Р (со) с точностью = =t0,05. Действи-
тельно, линия EF пересекает кривую номограммы Рс при значении 1,05,
а линия KL — кривую Рс при значении —0,05. Это означает, что любая
вещественная частотная характеристика полностью определена в диапазоне
—0,05 < Рс < 1,05, т. е. в области частот от <а; до ®к (рис. XII.37). Для
рассматриваемого случая характеристики W (/со) (см. рис. XII.36, а) и
Р (со) (см. рис. ХП.37) полностью определены в диапазоне —0,02 < Рс <
< 1,03 или в области частот, от ам до ®у. Соответствующая этому случаю
вещественная характеристика построена на рис. XI 1.36, б.
Из рис. XII.36 видно, что вещественная частотная характеристика пост-
роена практически полностью и ее недостроенные участки почти не сказы-
ваются на оценке показателей качества процессов регулирования.
Интервал частот, определяющий показатели качества систем (сом, (oN),
будем называть существенным интервалом частот1. Нанесем теперь харак-
терные точки на кривую W (.}&>) (рис. X 11.37): частоту среза сос; частоту со д',
соответствующую положительному запасу устойчивости по модулю +//м,
и частоту а>в’ для отрицательного запаса — Нк. Из этого построения видно,
1 Существенный интервал частот разделяет логарифмическую амплитудную характе-
ристику на три. зоны: в интервале 0 со шм имеем низкочастотную часть характеристики,
в интервале	— среднечастотную часть характеристики и, наконец, в интервале
coy ij: ш ag ее — высокочастотную часть характеристики. •
431
что на номограмму вещественной частотной характеристики можно нанести
точки, определяющие допустимые показатели устойчивости по фазе ус и мо-
дулю —
На рис. ХИ.37 нанесена область A BCD по показателям устойчивости
(точка В по запасу устойчивости ус = 45°, точка А по положительному за-
пасу устойчивости по модулю +ЯМ = 16 дБ, а точка С по отрицательному
запасу устойчивости по модулю —= 14 дБ). Зона A BCD является зоной
запрета для амплитудно-фазовых характеристик ИД (/со) и гарантирует
установленные выше показатели устойчивости. Если же характеристика
W. (/со) пойдет по границе АВС области, то максимум вещественной частот-
ной характеристики не будет превышать Ршах = 1,2, а ее минимум соста-
вит РШ1П = —0,25.
Показатели качества можно определить по номограммам А и Б
(рис. XII.26) для широкого класса характеристик Р (со). Соответствующие
значения ошах и tp приведены в табл. ХП.З. Область A1B1C1D1 на рис. XII.37
построена по следующим запасам устойчивости: ус = 30°; Нк = 12 дБ;
—Нм = 10 дБ. Для нее имеем Ршах = 1,5; Pmln = —0,5. Вычисленные зна-
чения показателей качества для кривой 1Гг- (/со), проходящей по границе
А15^!, также приведены в табл. ХП.З.
Подобным образом можно установить показатели качества систем авто-
матического регулирования и для других запасов устойчивости по фазе и
модулю.
Для длительно работающих систем автоматического регулирования при
высоких требованиях к качеству переходных процессов, например 20% <
< ^тах < 24%; —— < tp < —, можно рекомендовать следующие показа-
(0с
тели устойчивости: ус = 45°; Ям = 16 дБ; —Ям — 14 дБ.
Если для длительно работающих систем автоматического регулирования
техническими условиями допускаются пониженные требования к качеству
переходных процессов, например 25% < отах <45%; ~~	то
показатели устойчивости можно брать следующими: ус = 30°; Нк —
= 12 дБ; = 10 дБ.
При проектировании систем автоматического регулирования необходимо
учитывать, что чем выше в системе частота среза, тем больше вероятность
того, что при расчетах не будут учтены малые постоянные времени Т{ агре-
гатов или объектов регулирования. Поэтому, чтобы для систем с различными
Нормы запасов устойчивости
Таблица ХП.З
Показатели устойчивости	Для номограммы		Средние значения для двух номограмм А и Б
	А	Б	
Ус = 45°; Нм = 16 дБ; — Нм = 14 дБ	°max^ 24% Зл* tp «=# ———	Стах — 20% 2л	СЦпах 22% /р 2,5 — ®с
Ус = 30°; Нм = 12 дБ; — Нм — Ю дБ * Зная значенн	°гпах ^45% 6л Я ©с из	(/со), с помо	Стах ^25% 4л щью номограмм нетрудн	Стах^ 35% 5л Гр		 СОс о найти /р.
432
Таблица XII.4
Нормы запасов устойчивости в зависимости от частоты среза
Тип системы J	Показатели устойчивости для диапазонов частот со , С“‘ с			
	От 0,01 до 100	От 100 до 1000	От 1000 до 10 000	От 10 000 и более
Для систем с высокими показателями				
качества: Тс	45	50	55	60
Дм- дБ —Дм, дБ	16 14	18 16	20 18	22 20
Для систем с невысокими показа-				
телами качества: Тс	30	35	40	45
Дм, дБ —Дм, дБ	12 10	14 12	16 14	18 16
1 Для систем автоматического регулирования, у которых происходит быстрое изменение параметров системы в процессе их эксплуатации, допускается снижение требований к запасам устойчивости для начальных моментов времени на 20 — 25%. Следует также отметить, что при- веденные в табл. XII.4 нормы необходимо увеличивать, если применяемые агрегаты имеют резко выраженную нестабильность своих динамических или статических характеристик.				
значениями <ос не была допущена ошибка в установлении запасов устойчи-
вости по ус и Яч, обеспечивающих требуемые показатели качества
(табл. XII.3), с ростом частоты среза необходимо увеличивать запасы устой-
чивости по фазе и модулю. Запасы устойчивости для двух типов систем регу-
лирования при различных требованиях к показателям качества в зависимости
от частоты среза сведены в табл. XI 1.4.
Приведенные в табл. XII.4 нормы запасов устойчивости справедливы
как для внутренних контуров, так и для собственно систем автоматического
регулирования.
ГЛАВА XIII
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Коэффициенты ошибок. 2. Определение коэффициентов ошибок
в системах автоматического регулирования с помощью логарифмиче-
ских амплитудных характеристик. 3. Повышение точности систем
автоматического регулирования путем применения комбинирован-
ного управления. 4. Основные характеристики случайных процессов.
5. Свойства корреляционных функций стационарных процессов.
6. Свойства спектральной плотности мощности. 7. Операции над
случайными процессами. 8. Преобразование случайных сигналов
линейными системами. 9. Расчет ошибок в системе автоматиче-
ского регулирования при действии шумов. 10. Оптимизация систем
автоматического регулирования при воздействии случайных сигналов
и шумов.
Одной из наиболее важных характеристик системы автоматического ре-
гулирования является ее динамическая точность, или ошибка в системе при
подаче на нее управляющих и возмущающих воздействий. Как уже отмеча-
лось в гл. I, все управляющие и возмущающие воздействия делятся на два
типа: регулярные и случайные.
Обычно регулярные воздействия являются медленно меняющимися
функциями времени по сравнению с длительностью переходного процесса
системы.
При этом точность системы регулирования определяется значением
ошибки в установившемся режиме:
e(©o) = e(f)k—.	(ХШ.1)
Это условие налагает вполне определенные требования на воздействия.
В этом случае точность системы рассчитывается по коэффициентам ошибки,
получаем с помощью передаточной функции замкнутой системы по ошибке
Фё (s) и производным от воздействий.
Если управляющее и возмущающее воздействия представляют собой
случайные функции и задаются вероятностными характеристиками, то точ-
ность системы определяется не мгновенными значениями ошибки, а ее средней
величиной. В качестве такой меры используется среднее значение квадрата
ошибки
т
e2=lim J_ f	(XIII.2)
Г-> ее 2Г J
При этом считается что полезный сигнал g (/) и помеха f (/) являются
случайными воздействиями х.
1. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК
Определим коэффициенты ошибок в статических системах автомати-
ческого регулирования с помощью выражения для ошибки
£<S’-1T#V	<хш-3>
Представим W (s) в обычной форме:
W (s) =	+ 6is'n~1	+ bm-is + Ьт .	(X111.4)
Оо5” + а1$П 1 + ‘ ‘ + On-ls + an
1 См. подробнее в пп. 4—6 настоящей главы.
434
Выражение (XIII.4) приведем к виду
U7 (s) =
bm
14
bm-г
bm
s+... + h.s«-l+
bm	bm
a" 1 + *1=1 s+ ... +	s'’-14-^2. s'* ’
On	On	on
(XIII.5)
Введем в выражение (XIII.5) следующие обозначения:
=	^ = ₽1;...; ^- = ₽т_г; -^ = Рт;
«п	°т	°т	°т
= аг;
On	1
Cll	й,Л
— я »n-i	— = а«.
ап п 1	ап п
Тогда выражение (XIII.5) будем иметь вид
Ц7($) = К (1 Ч~ Pis Ч- Pa$8 4~ • • • 4 Pm-jSm 14~ PmsT.)
1 4" als + a2s + ’   4* ®П-1«" 1 Ч* anSn
(XIII.6)
Подставив выражение (XIII.6) в формулу (XIII.3), получим
р <?\ С,(с\ 1 4- «is 4- «2з8 Ч- • • • Ч- «n-is”-1 Ч- «п;П	zv т т т
z:(s)-U(sj 1+K + (ai + M)s + (a2 + p2/()s2+.„. (лш./j
•.. Ч* («г Ч* РгЮ s8 4-    Ч* ans”
Разложим выражение (XIII.7) в ряд Маклорена при малых s:
Е (s) = C0G (s) 4-	+ -г.5^..(Д, + Сз-ЧМЧ. +
+	+ ••••	(ХП1.8)
Постоянные Со, Сг, С2, ..., Сг_г ряда Маклорена называются коэффи-
циентами ошибок статической системы автоматического регулирования.
Для определения этих коэффициентов' разделим числитель выражения
(XIII.7) на его знаменатель, т. е. А : Б = В, где
А = 1 + агз 4- ajS2 4- (Z3S3 4- • • • an_1sn~'1 4- a,nsn\
1 4-К 4-(ai 4-^/0 s 4-(аа 4-₽2/<) s2 4- ...4-(а2 4-₽rK)sr 4-..-+anSn;
1 .1 °4 РдА , I «2 Ч~ PgK 2 .
1 + 1 +/Г	) + х~ s + •
(«1 — ₽1) К , (а2 4- ₽2> К 2	.
Г+Л 5+	1 + к +
(а1 - Pi) „ ! (а1 Ч" Р1Ю (а1 — Pi) .5
—i-i-r"’ +’ (ГТК)5
г (<х8 — р8) АГ , Я1(Р1 — «t)K , Pt (Pl — «1> к2 ]г2
[	1+К т (14- К)3	+	(14-К)3 J
Г (а, - рг) К , «! (Pi - «4 К	Pl (Pi - «4 № 1 2
[	1 +К (1 4-К)3	 (l-ч К)3  J
43S
Продолжая процесс деления, получим искомый результат в виде сле-
дующего ряда коэффициентов:
о 1	।	— Pi) К r 1 Г (аз Ра' К । ®i (Р1 а1) К ।
i + tf-*' а + ю2 *"L а + ю2 'г (1 + ю3 ’г
I Pl (Pl К2 I _2 I f (а3	Р») К I
"*	U+K)3 J ’П U + Ю2 -г
+-----------------------------------+
4 <«,-р,)(=.,+кы-л_}:5.+ ... (Х1М
Данный ряд является сходящимся, так как в установившемся состоянии
значение | s [ мало. Применив к ряду (XIII.8) обратное преобразование Ла-
пласа, получим
««-cog(f) + c1^+S.^ + >§+--- +
+ <++	+    •	(XI1I.10)
где несколько первых коэффициентов ряда имеют значения
С ___ 1
G°- l+X’
г> =_ («I —₽i)K .
4	" (Г+Х)* ’
с2 __ («8 — Ра) К  «i (Pi — «1) К  Pi (Pt — at) К2 .
2	(1 + K)2	(1+K)S	U+Ю3 ’	(XIII.11)
ся _ («з — Рз) К . [га,^ — 2P,pgK 4- (X _ 1) («2pt -I- «1Р2)] К
6	(1+Х)3 "*	(1+Х)3
, (<xf - Pi) (<xt + Xpt)2 X
(1+Ю4
.......................................................)
При условии |s[—»0 выражение (XIII. 10) можно представить в виде
следующего приближенного ряда:
e(0--~7x?(0 + ^-> + i-g + ^-S,	(XIII.12)
1 —/у	ь**’	^’•'8	U
8
где утрх — коэффициент статизма статической системы; Dm — коэффициент
добротности статической системы по скорости; De — коэффициент добротно-
сти статической системы по ускорению; D • — коэффициент добротности
статической системы по первой производной ускорения.
Эти коэффициенты связаны следующими соотношениями с коэффициен-
тами ошибок:
Со=-пЬ<; С1==А;	=	^=_L.	(ХШ.13)
8
Перейдем к определению коэффициентов ошибок в системах автомати-
ческого регулирования с астатизмом первого порядка.
436
(XIII. 14)
(XIII.15)
(XIII.16)
разделим
Передаточная функция (XIII.6) разомкнутой системы с астатизмом пер-
вого порядка имеет вид
IT (s) =	4~ Pis 4- РаД2 4~ • • • PmSm) .
s (1 + axs -|- a2s2 +  • • + anSn)
тогда
E (s) = G (s)______(1	№1S	а2$2 4- • • • <Znsn) s_
Л + (1 + К₽1)« + (а1 + /<Р2) ?+••• +a„s"‘
Из выражения (XIII. 15) можно получить ряд
р z_\__р SG (s) . C2s2G (s) . Cg s3G (s) .	. Сг_гзг~(s)
Ь (s) - Gx -j-j- +	21	+	31 I------+- (,_!)!	•
Для определения коэффициентов ошибок С1( С2, С3, ..., Сг_г
А : Б = В, где
А = s 4- аг52 4- a2s® 4- a3s4 4- • • • 4- a„sn;
5 = К 4- (1 + ^₽i) s 4" («1 4- К₽а) s2 4-h a„sn,
t. e.
A
] । l+/f₽l„2 j al + ^₽2,3 I a2 + Kp3
____________1+ к s + к +...............к +•••-------------------
[ («1 — Pi) — -y ] s2 + [ (a2 — ₽3) — j s3 + pa3 — ₽3) — j S4 4-
[(at-Pi) --L]s24-(14-K₽1) (21J*)ss+...
I" a2 — p2 —— 4- (1 4- K₽i) (
L	A	\ A
Запишем результат деления в виде
R _ _L s _L ( _₽1___L\ s2 _L
а К S \ К К2) s +
(Р1 и1) I аг Рг I РДР1 ai) 1 „з
к2 к к J
(XIII. 17)
Ряд (XIII.17) является сходящимся при J s | > 0. Применив к ряду
(XIII.18) обратное преобразование Лапласа и учитывая выражение (XIII.17),
найдем
/л	। С2 d2g Cs d3g .
e(0 = C1-^4-2?j4-gf-J+ •••
Cr-t d('-n
(r-l)l dtr~l
где
p ___n. p _____ 1 . б’г ____ cc-f Pi ) .
Go— U, — K ,	2 K K2,
C3 _ । i 2 (Pl — ”1) I a2~ P2 I Pl (Pl ~ «1) .
6 ~	К2 "Г К	К
(XIII.18)
(XIII.19)
437
Выражение (XIII. 18) приближенно представим в следующем виде:
8
где Ога — коэффициент добротности по скорости для системы с астатизмом
первого порядка; Ds — коэффициент добротности по ускорению для системы
с астатизмом первого порядка; D — коэффициент добротности по первой про-
изводной ускорения для системы с астатизмом первого порядка.
Коэффициенты ошибок связаны с добротностями следующими соотноше-
ниями:
с 2з. — _L •
Со = и, 2 - De,
6 “О. •
(XIII.21)
Перёйдем к определению коэффициентов ошибок системы автоматичес-
кого регулирования с астатизмом второго порядка. В этом случае выражение
(XIII.6) принимает вид
W (s) ==	+ 32S Ц- • • • + ~Ь	(XIII 22)
s2 (1 -j- ats + a2s2 + • • • + an-isn~' + ansn)
откуда получим, что
E (S) = G (S)----(1 +	+	t-.:: •	?. (XIII.23)
' ' К +	+ (a2 + tfp2) ? 4Ja3 + Я₽3) s8 + • • • + anS"
Используя выражение (ХШ.23) и деление по степеням, найдем
Е (s) = b!^M + ^2. s3G(s)-|--------И C7Sr~n,(S'+	(XIII.24)
I	о I	(г “~ 1) I
Воспользуемся снова методом деления числителя на знаменатель выра-
жения (ХШ.23); тогда получим ряд
E(s) = {4 s2 + ^b s84-
+	..'.j.G (s).	(XIII.25)-
Пользуясь обратным преобразованием Лапласа, найдем
6	~ 2 dt2 + 6 dts т*
+>$+••• +/_;), ^2'+-	<ХП1-26>
где	.	.................
С   п. с   п- ^2   1 •	_ ai — Pi.
Go-U, Ci-U,	Ji-------»
^4 —	— Ps | Pl (Pl и1)_J_
41 К ' К К2'
Ограничиваясь двумя первыми слагаемыми, ряд (XIII.26) можно пере-
писать в виде
'«'“г.да + ггй’	<ХШ-2И
8
438
Рис. XIII.I. Сравнительная оценка точно-
стей статической и астатических систем
автоматического регулирования при подаче
At2
на вход типового сигнала	:
1 статическая система; 2 — астатическая си-
стема первого порядка; 3 -•*- астатическая система
второго порядка
где De — коэффициент добротности по ускдрению системы с астатизмом
второго порядка; D-B— коэффициент добротности по производной ускорения
системы с астатизмом второго порядка.
Из выражений (XIII.26) и (XIII.27) получим
4- = 4-:	(XIII.28)
1^8 л и •	Д
8
Сравним точность статической и астатических систем автоматического
регулирования при действии некоторых типовых сигналов. Пусть на вход
At2
систем поступает сигнал g (t) — тогда по формулам (XIII.10), (XIII.18)
и (XIII.26) найдем следующие значения ошибок:
для статической системы
е(0 = -^!^- + С1ДГ4--^-;	(XIII.29)
для астатической системы первого порядка
e(f) = C1A<4-^-;	(XIII.30)
для астатической системы второго порядка
8(0 = -^..	(XIII.31)
Примем, что коэффициенты, входящие в формулы (XIII.29)—(XIII.31),
будут С0А = С ,А = С2А =0,1.
Кривые ошибок для трех рассматриваемых автоматических систем по-
строены на рис. XIII.1. Как видно из рисунка, наибольшую точность имеет
система автоматического регулирования с астатизмом второго порядка.
Будем считать, что на вход системы поступает синусоидальный сигнал
вида
g (/) = A sin co0t,
(XIII.32)
где со0 — достаточно малая частота.
Выражения ошибок имеют следующий вид: для статической системы
е (t) — А £ Со-------------<оо 4" ®о — • • 4 sin 4~
+ (С1®0 -	4---)cosco0*]	(XIII.33)
или при малых со0
18!I = А]/(Со	•••)24-(С1®о--^®о4- •••)2: (XI11.34)
439
для астатической системы первого порядка
е2 (0 =	®о. + ®о — ‘) cos ~Ь
-f- ^Ofcoo — ~q~ ®о И- ''" ) со® ®o^J
(XIII.35)
или при малых со0
| е2 | = А "|/ -®о + ®о — ’ ” ) +	®° ~Ь ‘ ‘ ‘ ’ (XIII.36)
для астатической системы второго порядка
ёз (£) = А £ --®0 + ~2^ ®о — '' *) s^n “Ь
(XIII.37)
или при малых ®0
| е3| = А У (-^4 + -^ю4)2+(-^®о--)2. (XIII.38)
Подставим в формулы (XIII.34), (XIII.36) и (XIII.38) следующие зна-
чения параметров: ®0 = 0,2с-1; А = 0,1 рад; C0 = C1 = C2 = C3 = Ci~
= 0,01; тогда | ex| = 0,01 рад; |е2| = 0,0002 рад и |е3| = 0,00002 рад.
Из полученных значений | е | видно, что при действии синусоидального си-
гнала система с астатизмом первого порядка в 5 раз, а система с астатизмом
второго порядка в 50 раз точнее статической системы.
В заключение можно отметить, что формулы (XIII.12), (XIII.20) и
(XIII.27) пригодны для вычисления ошибок в системах автоматического
регулирования при любых сигналах, поступающих на их вход, когда спектр
входного сигнала заключен в полосе низких частот (до ®х) (см. гл. XVII).
Перейдем к примерам определения точности конкретных систем автомати-
ческого регулирования.
Пример XIII.1. Определить коэффициенты ошибок и построить характеристику точности
в астатической системе автоматического регулирования, имеющей передаточную функцию
100 (0,3s + 1)
П7 /s) =_________________________________________
1 ’ s (s + 1) (0,05s + 1) (0,02s + 1)
(Х1П.39)
если управляющий сигнал, поступающий на вход, записывается в виде
g (/) = 0,2/2 рад.	(XIII.40)
Представим передаточную функцию (XIII.39) в виде
TV7 / \ Ю0	I 4“ 0,3s	,vTtT
(s) ~ V 1 + 1,07s + 0,071s2 + 0,001s3 •	(ХП1.41)
Тогда по выражениям (XIII. 19) получим
По формуле (XIII. 18) найдем
Л ЛПСЛ
е (/)я»0,01-0,4/-|—Цр? 0,4 = 0,00132+ 0,004/ рад при /> /р,	(XIII.42)
где /р — длительность переходного процесса (время регулирования). •
По этому выражению на рис. XIII.2 построена характеристика точности системы авто-
матического регулирования с астатизмом первого порядка.
440
Рис. XI11.2. Характеристика
точности системы автоматиче-
ского регулирования с астатиз-
мом первого порядка при g (t) =
— 0,2t2 рад.
Рис. XIII.3. Характеристика точно-
сти следящей системы с астатизмом
второго порядка
Пример XIII.2. Определить коэффициенты добротности в следующей системе с астатиз-
мом второго порядка и построить характеристики точности по угловому ускорению входного
сигнала, если ее передаточная функция имеет вид
Г Is) =	200 (0.125s Ч- 1)
! s2 (0,01s-Н) (0,005s-НГ
(XIII.43)
Будем считать, что g (!) = 0,2/2 рад; тогда De = А = 200 с~2 и точность следящей
d2g
системы при — 0,4 раде2 определяется по формуле
0.4
е(/)=2б0 = 0,002 рЭД-
Если изменять в пределах от 0 до 1,2 рад/с2, то получим характеристику точности
следящей системы (рис. ХШ.З).
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБОК В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ АМПЛИТУДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Коэффициенты ошибок или добротностей можно определять и по лога-
рифмическим амплитудным характеристикам. Для этого рассмотрим не-
сколько типовых логарифмических амплитудных характеристик разомкну-
тых систем автоматического регулирования. На рис. XI1I.4 показаны харак-
теристики четырех типов систем автоматического регулирования с астатиз-
мом первого порядка. Передаточные функции этих систем и коэффициенты
добротности и Ое приведены в табл. XIII. 1.
Для определения коэффициентов добротности найдем частоту сок, соот-
ветствующую точке пересечения продолжения низкочастотной логарифми-
ческой амплитудной характеристики с осью частот:
сок = (ох- 1020.	(XIII.44)
При о)! = 1 имеем = L и
L
o)k= 1020 = 7<,	(XIII.45)
откуда сок = К.
Сравнивая выражения (XIII.19) и (XIII.21), найдем, что К = Пи;
следовательно,
=	(XIII.46)
441
Рис. XIII.4. Логарифмические амплитудные частотные характеристики
для четырех типов систем автоматического регулирования с астатизмом
первого порядка
Таблица XII 1.1
Передаточные функции и коэффициенты добротности'
типовых систем регулирования
Тип системы	Передаточная функция	°е> с"' *
/	(S) =	(T2s + 1)	 S(T1S+	Ь	. Дщ	 _L (i _	, J	!_ <0| \	/	(Од
II	’ s(Tjs+ l;2(T3s+ 1)			 2_(i_1/aLJ	_L “i \	V Da / w3	Da
III	Ц7 (s) — 	Л77\£+_2)___ S(7’1s+1)(7’Ss+1)2			 _L ( 1	^£_\ J--?	L \	/	COg
IV «	w	s(T1S+ 1? (T8s+ I)2 Коэффициент добротности по скорости дл	^<0 	!- “1 \ Г Da )	<o3 иш Л1 20 я систем всех типов D = to, «10 to	1
442
Определим теперь значения De для системы типа /. Из формул (XIII. 19)
найдем
с2 = 2	Ь - А	(XI 11.47)
или
. = + <XIIU8>
Для исключения из полученного выражения <о8 запишем
$ ~ Ю“	(ХШ.49)
или
J = 10 20;	(ХШ.50)
-^-= 10 40 .	(XIII.51)
Перемножим выражения (ХШ.49) и (XIII.51); тогда получим
§= 10 40 ,	(ХШ.52)
откуда
(^)2 = Ю .	(ХШ.53)
Подставим в полученное выражение формулу (ХШ.50), т. е.
= Ю 20 “а
\ ®с /	шс ’
откуда
* =	о™-54»
или
М
W2=5io2O=tD- <хш-55)
Подставим полученное выражение в формулу (XIII.48) и после ряда
преобразований запишем
С8=т|-[— fl — -4-1-	(ХШ.56)
' Да L a>i \ Да/ ' <о3 Да)	4	'
Подставив это выражение в формулы (XI 11.21), получим
De	(ХШ.57)
©1 \ Да / и>з Да
Если в полученном выражении Da и ©3 имеют большие значения, то
(ХШ.58)
Продолжим низкочастотную логарифмическую амплитудную характе-
ристику с наклоном — 40 дБ/дек по пересечения с осью частот (рис. XIII.4,1).
443
Частоту в точке пересечения обозначим со/. Пользуясь этой частотой,
можно написать
= 1015.	(ХШ.59)
Возведем полученное выражение в квадрат; тогда
(^-)2 = 1ОТо.	(XIII.60)
Имея в виду соотношение (XIII.44), из выражения (ХШ.60)
получим
= «!£)„.	(XIII.6I)
Сравнивая выражение (XIII.61) и (XIII.58), найдем
&l ^DB.	(XIII.62)
С помощью соотношений (XIII.45) и (XIII.62) из логарифмической ам-
плитудной характеристики нетрудно найти значение добротностей
Ош = сок; De^al	(XIII.63)
Определим коэффициенты добротности по скорости и ускорению для
системы типа II. Как и прежде,
Dtt, = WrlOTo.
Из формул табл. XIII.1 найдем
г____________________2_ /_2. j____2_\____L
°2	К \ «1 + ш3	w2 )	№ •
(ХШ.64)
Исключим из выражения (XIII.64) со2. Для этого воспользуемся сле-
дующими соотношениями:
L,
Фс __ 10 20 *
а>2	’
ь,—М
М2 — 1Q 60
<0,
Перемножив их, получим
Z.,+2Lg
-^=ЮГ60 ,	(ХШ.65)
откуда
_ Z-,	2L,
(^)3 = ю 20Ю 20 ,
или
(хш.бб)
Из выражения (XIII.66) найдем
Й)’ = ('У’10'®	(XI11.67)
И
®22 = -^Ош,	(XIII.68)
и>С
т. е.
<02 = ^1/^.	(XIII.69)
F WQ
444
Подставив соотношение (XIII.69) в выражение (XIII.64), получим
г-----L Г JL (1  1/^— 'j -j L 1 1
2 Ш1 V	V DJ + <os	oj’
откуда
De =------------.
a>i \ г DaI а>3 DB
При больших значениях Dw будем иметь
D Vl. D
На основании рис. XIII.4, II найдем
<0.	Li
— — Юбо
“1
И
(XIII.70)
(ХШ.71)
(ХШ.72)
(XIII.73)
(XIII.74)
Подставим в выражение (XI 11.74) формулу (XI 11.44). В этом случае
найдем
(со, \3 Г)
<ХШ-75)
или
(XIII.76)
Сравнивая выражения (ХШ.72) и (XIII.76), получим
(XIII.77)
С помощью соотношений (XIII.45) и (XIII.75) найдем значения доброт-
ностей по скорости и ускорению для системы типа II с астатизмом первого
порядка:
De=!-^-L.	(XIII.78)
Для систем автоматического регулирования типа III (рис. XIII.4,III)
и IV (рис. XIII.4,IV) значения добротностей определяют теми же способами.
Полученные значения Ош и De занесены в табл. XI1I.1. В ряде практичес-
ких задач передаточные функции разомкнутых систем автоматического ре-
гулирования имеют вид, отличный от приведенного в табл. XIII. 1; например,
^(s) =	♦	(XIIL79)
s W Is Т *) 2s Т О U 5$ + 1)
В передаточной функции (XIII.79) вместо постоянных времени Т3
и Tit 7\ и Т 2 можно ввести
Ты = l/^TeTt, Т'12 =
тогда выражение (XIII.79) примет вид
(ХШ-80)
Рис. XII1.5. Логарифмическая амплитудная частотная харак-
теристика к примеру XIII.3
В этом случае можно пользоваться формулами для и £>е, выведенными
для системы типа II. Ошибка в такой замене при построении логарифмической
амплитудной характеристики не превышает 2 дБ.
Рассмотрим еще один вид передаточной функции:
U7 СсЧ	/C(Tgs +1) (T4s+1)	(Х1П811
Введем обозначения:
Тз4 = /ЛТ4;	=	7^ =/ад;
получим
117 <S>- ' <ХШ'82>
Как видно, передаточная функция (XIII.82) относится к системе типа IV
(см. табл. XIII. 1). Перейдем теперь к конкретным примерам определения
ошибки в системах автоматического регулирования по логарифмическим ам-
плитудным характеристикам.
Пример XIII.3. Определить характеристики точности астатической системы автомати-
ческого регулирования, если ее логарифмическая амплитудная характеристика представлена
на рис. XI11.5. Будем считать, что
= 20 град/с и
= 10 град/са.
шах
Рис. XIII.6. Характеристики точности
системы автоматического регулирования
к примеру XII 1.3:
1 — ошибка при постоянной скорости (кине-
матическая точность системы); 2 — ошибка при
постоянном ускорении; 3 — суммарная ошиб-
ка (динамическая точность системы)
446
Lm,d6
Рис. XI11.7. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика к примеру XII 1.4
Найдем шк и по рис. XIII.5. Как видно, шк = 100 с** и ш/ = 4,6 с'1; тогда Da =
- 100 с'1 и £>е = 4,62 = 21,2 Vc2.
Зная эти коэффициенты, ошибку системы определим по формуле
•« - s; % + -в; # - га+-й - w
Характеристики точности построены на рис. ХШ.'б. Для сравнения определим значе-
ния Da и 1>е по формулам, приведенным в табл. XIII.Г.
41	54
Da = Wl. 10 20 = 0,2- IO20 = lOOc-ь
D‘~ ЛТТГЖГГГЛ =21’6 1/Л
0,2 \	100/ + 40	100
Как видно, значения добротностей и £>е, найденные приближенным способом по
и <в/, достаточно близко совпадают со значениями и £>е, вычисленными по формулам
табл. XIII.1.
Пример XIII.4. Определить коэффициент статизма системы автоматического регулиро-
вания температуры печи по логарифмической амплитудной характеристике, изображенной
на рис. XIII.7. Построить характеристику точности, если g (t) = 10I2 °C (t — в часах). Основ-
ное влияние на точность статической системы оказывает первый член ряда [см. формулу
(XIII.12)]:

(ХШ.83)
Из логарифмической амплитудной характеристики
найдем значение 20 1g К = 40 дБ, откуда К — 100.
Подставив это значение в формулу (ХШ.83),
получим
‘“-ттга 10,’°й
Если считать, что печь работает 4 ч, то ошибка
системы за это время будет в (I) =	10-16 = 1,6° С.
На рис. XIII.8 построена характеристика точно-
сти системы автоматического регулирования темпера-
туры печи по времени.
Рис. XIII.8. Характеристика
точности системы автоматиче-
ского регулирования температуры
печи
447
3. ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПУТЕМ ПРИМЕНЕНИЯ КОМБИНИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ
Точность систем повышается путем компенсации влияния сигналов
управления и возмущения за счет применения комбинированного управления.
В результате этого увеличивается порядок астатизма. Структурные схемы
систем автоматического регулирования с комбинированным управлением были
показаны на рис. 1.4, в и г. Первая из них компенсирует действие управляю-
щего сигнала, вторая — действие возмущения. Составим передаточные
функции обеих систем регулирования относительно ошибки, считая, что ус-
тройство 1 имеет передаточную функцию (s), устройства 2 и 3— переда-
точную функцию W2 (s), а устройство 5 — WK (s). Для системы, изображен-
ной на рис. 1.4, в, имеем
Е (s) = G (s) - X (s); Х2 (s) = Хх (s) + Хк (s); Хк (s) = Гк (s) G (s);
или
Хт (S) = W, (s) Е (s); X (s) = Г2 (s) Х2 (s).	(XIII.84)
На основании этих уравнений запишем	
^=ri(s)E(s) + rK(s)G(S) И' 2	(XIII.85)
(s) Е (s) + WK (s) G (s).	(XIII.86)
Из выражения (XIII.86) найдем	
Е (S) _ l-W2 (s) WK (s)	(XIII.87)
G(s) ' 1 + 1FX (s) Fa(s) •	
Нетрудно показать, что выбрав	
(s) -	(s),	(XIII.88)
получим Е (s) = 0.
Таким образом, выбирая WK (s) = ^1^, удается создать систему,
полностью инвариантную к управляющему воздействиюх, т. е. получить
ошибку, не зависящую от управляющего воздействия на систему. Однако
практически довольно трудно обеспечить полное удовлетворение условию
(XIII.88). Поэтому выбирают другую компенсирующую передаточную функ-
цию W* (s),’ которая повышает порядок статизма системы [см. примеры
XIII.5 и XIII.6, где системы с астатизмом первого порядка за счет выбора
IV'k (s) становятся системами второго и даже третьего порядков].
Перейдем к рассмотрению системы автоматического регулирования
(рис. 1.4, г) при исключении элемента 5. Для этого преобразуем структурную
схему рис. 1.4, г к виду, показанному на рис. XIII.9. Будем считать, что
g (I) = 0; тогда
X (s) = — E(s).	(XIII.89)
Составим уравнения отдельных элементов системы, считая при этом,
что устройство 6 (рис. 1.4, г) имеет передаточную функцию 1УК (s), а устрой-
ства 1, 2 и 3 — передаточные функции Wr (s) и 1У2 (s), в виде
E1(s) = E(S) + y(s); E1(s) = ^;
X2(s)^XAs)-F(sy, X2(s) = -^; Y (s) = WK(s) F (s).
w 2 w/
1 Впервые принцип инвариантности систем был сформулирован Г. В. Щипановым [41,
42, 56].
448
(XIII.90)
Рис. XI11.9. Преобразованная струк-
турная схема системы автоматического
регулирования (рис. 1.4, г) с компенса-
цией возмущения f (t)
Исключив из уравнений (XIII.89) и (XIII.90) переменные Ех (s), X1(s),
Х.г (s) и X (s), получим
E(s) =
(s) [1 -	(s) rK (s)J
1 +	(s) W2 (s) Г
(XIII.91)
откуда нетрудно найти условие инвариантности в виде
=	(XII 1.92)
Итак, при соблюдении условия (XIII.92) получается система, полностью
инвариантная к возмущающему воздействию. Следует заметить, что обеспе-
чить полное удовлетворение условию (XIII.92) так же трудно, как и усло-
вию (XIII.88). Однако при частичном удовлетворении условию (XI 11.92)
удается повысить порядок астатизма системы и по управляющему воздей-
ствию.
Пример XIII.5. Требуется повысить точность приборной следящей системы по управ-
ляющему воздействию путем увеличения порядка астатизма. На рис. ХШ.10, а показана
структурная схема исходной приборной следящей системы с астатизмом первого порядка.
Для этой системы
Е (S) = s (Т s +\нт sК sG (s)>	(XI11.93)
s V Is Т 1) U 2s "Т ') "ТАгАг
откуда видно, что коэффициент статической ошибки Св = 0 и система имеет астатизм первого
порядка. Воспользуемся условием неполной инвариантности, т. е. частичного удовлетворения
условию (XIII.88); тогда
rK(s)=-^^-.	(XI 11.94)
Соответствующая этому случаю структурная схема комбинированной системы имеет вид,
показанный на рис. XIII.10, б. Пользуясь выражением (ХШ.87), напишем
EW-	G<*>-	<хш-95>
Подставив соответствующие значения (s), W2 (s) и №к (s) и приняв k2 = kTrkKf полу-
чим
Е (s) = ' is (т s +'iVcrt + кТнг * +"i) s2°(s)l	(XI 1 L96)
Is U т П U 2s т *1 т AjAaJ U 2s "г И
Из этого выражения видно, что при s2 G (s) коэффициенты ошибки Со =0, С^— 0.
Следовательно, в системе с комбинированным управлением (рис. ХШ.10, б) астатизм повы-
сился до второго порядка.
Рис. ХШ.10. Структурные схемы
приборных следящих систем'.
а — обычного типа; б — с комбинирован-
ным управлением
15 Иващенко Н. Н.
449
Рис. XII LU. Структурные
схемы системы автоматиче-
ского регулирования с изодром-
ным регулятором’.
а — обычного типа; б — с ком-
бинированным управлением
Пример XIII.6. Требуется повысить точность системы автоматического регулирования
по возмущающему воздействию за счет увеличения порядка астатизма.
На рис. XIII.11, а показана исходная структурная схема системы. Пользуясь выраже-
нием (XIII.92), найдем неполное условие инвариантности в виде
(s) =
kKs
TKs+\ ’
(XI11.97)
Подставив соответствующие значения передаточных функций в уравнение (XIII.91),
получим
Г ]_____Мк (7\s -|- 1) 1 k0
Е (s) = LTos-H. F (s).	(XI11.98)
i i_____Mi 4~ 1)
l" а(Т05+1)(Т2з+1)
Приняв, что Лк= —, из выражения (XIII.98) найдем
(Т2 +	- Тг) k0 (	s+1)
Е _____' 2 -Г ' к ~ J 1________________________/ 2D ( ,
[s (Tos -f-1) (T2s + 1) + (TjS	1 j J (TKs -j- 1)
(XIII.99)
Отсюда видно, что порядок астатизма повысился на единицу. Если в выражении (XIII.98)
положить	•
=	+ гк = тг,	(хш.юо)
*1
то получим
Е<‘>°	I™''10'’
и порядок астатизма исходной системы повысился на две единицы (рис. ХШ.11, б).
В рассматриваемых примерах исходные передаточные функции U7г ($)
и и^2 ($) состояли из трех или двух сомножителей. Относительно низкий
порядок этих передаточных функций позволил обеспечить простую реализа-
цию корректирующих устройств lt^K (s). При более высоких порядках пере-
даточных функций повысить порядок астатизма на несколько единиц не пред-
ставляется возможным из-за трудностей физической реализуемости фазо-
опережающих корректирующих устройств [57 1. Например, представим себе
систему автоматического регулирования с астатизмом второго порядка
(рис. XIII. 12), для которой можно написать
U7 __________________-____________Ч_________________________________{XI11 1021
2 s2 (T2s -f- 1) (T3s 1; ('Г4з -f- 1) (Гр2 -f- 2£57\s -f- 1) (Tp -f- 1) -f-
450
Рис. XI11.12. Структурная схема системы автоматического регулирова-
ния с высоким порядком передаточной, функции (s)
По формуле (XIII.88) условие абсолютной инвариантности
,	(ХП1.ЮЗ)
OqS -f-
где
aQ = Т2Т3Т4ПТ6-,
= Тъ (2Т2Т3ТЛТе16 4- Т2Т3ТйТе 4- Т2Т.ТйТ6 4- Т31\ТЪТ3 4- т2т3т,тъу,
а2 = Т2Т3Т\1\ 4- 2Еб {Т2Т3Т3Т3 4- Т2Т\ТъТй 4- Т31\ТЪТ3) 4-
4- 2Т2Т3Т4Т&3 4- T2T3Tl 4- Т2Т4Т\ 4- Т3Т4Т34- т2т1т* 4-
+ т3т1т6 + т4т1тв;
а3 = 2Е6 (Т2Т.Д\ 4- Тзтътй 4- 7\ТьТй 4- Т2Т3Т3 4- Т2Т\1\ 4- T37\TJ 4-
4- TlTs 4- 2|s (Т2Т3Т3 4- Т2Т4Т3 4- Т3Т4Т5) 4- т2т3т4 4- т2т14- T3Tl 4- т4т26;
а4 — т%тв 4~ т3т в 4~ т цТ в 4* 2I5T ът 3 4- 2сБ (Т2Т3 4- т3т Б 4*	+
4- т2т3 4- т2т4 4- т3т4 4- т1;
А5 = 7’в + ^.4-^4-Л4-216Т6;
йв= 1;
U2 == k2k3.
Реализовать WK (s) невозможно, так как числитель имеет восьмой по-
рядок, а знаменатель—второй.
Возможные схемы реализации WR (s), обеспечивающие неполную ин-
вариантность и повышающие порядок астатизма системы (рис. XIII.12),
могут быть получены, если порядок числителя выше порядка знаменателя
лишь на две единицы, но в определенном интервале частот.
Схемы технической реализации таких корректирующих устройств изо-
бражены на рис. XIII. 13, а и б. На основании рис. XIII.13, а можно полу-
чить
(S) = ...	(XIII. 104)
1 Ч----1--
TKs4-i
или
(s) = T+fe, ^4.7^ + ° -	(XIII. 105)
14-\s + 1
15*	451
Рис. XIII.13. Возможные структурные схемы реализации передаточной функции (s),
обеспечивающие неполную инвариантность системы (см. рис. XIII.12)
При kx 1 выражение (ХШ.105) можно привести к виду
rK(S)^vrKs+i)-	(XIII. 106)
При надлежащем выборе йтг и Тк в рассматриваемой системе можно по-
лучить третий порядок астатизма. Если принять схему корректирующего
устройства, показанную на рис. ХШ.13, б, то
Ъ Ь Т с2	с
=	------~k----’	(XIII. 107)
1 Р “Г 1 11_^2
TKs + 1
откуда
°7., (S) ° /-У-1*' ЦА;	(Х1П.108)
при k2 1 найдем
Гк2 (s)	(TKs + 1).	(XIII. 109)
При соответствующем выборе kTr, kit 7\и Тк в системе, приведенной на
рис. ХШ.12, получается астатизм четвертого порядка.
Существенно теория инвариантных систем управления была развита
В. С. Кулебакиным [41, 42] и Б. Н. Петровым [56].
4. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Во всех предыдущих параграфах этой главы предполагалось, что управ-
ляющие и возмущающие воздействия являются определенными функциями
времени. Однако для систем автоматического управления, работающих
в реальных условиях, характерно, что эти воздействия носят случайный
характер и принципиально непредсказуемы.
Рассмотрим, например, работу следящей системы, управляющей антен-
ной радиолокатора. Для этой системы управляющим воздействием является
положение цели, а возмущающими воздействиями можно считать ветровые
нагрузки на антенну, отклонения луча от направления на цель из-за рефра-
кции в атмосфере, собственные шумы в усилительном тракте системы, по-
мехи от источников питания и т. п. Все эти процессы обусловлены множест-
вом взаимодействующих причин и носят настолько сложный характер, что
их нельзя представить какой-либо заданной функцией времени. То же самое
можно сказать и относительно управляющего воздействия. На практике его
нельзя считать типовым, например ступенчатым, линейно-растущим, сину-
соидальным или каким-либо регулярным сигналом. Реально цель маневри-
рует, поэтому ее положение в любой последующий момент не может быть точно
предсказано. На этом маневрирование накладывается постоянное блуж-
дание отражающей точки по корпусу цели.
Таким образом, сигналы управления и возмущения в реальных условиях
являются случайными процессами. Случайным, или стохастическим процес-
452
сом называют такую функцию времени t, которая-при каждом значении
аргумента является случайной величиной. Если'вместо времени употребляют
другую независимую переменную, то используют термин случайная функ-
ция. При многократном воспроизведении условий протекания случайного
процесса последний принимает каждый раз различные конкретные значе-
ния. Эти значения как функции времени t называют реализациями случай-
ного процесса. Типичный вид нескольких реализаций стохастического про-
цесса ошибки угловой координаты цели, отслеживаемой радиолокационной
станцией, представлен на рис. XIII. 14.
Математическое описание случайного процесса. При фиксированном
значении аргумента случайный процесс является случайной величиной,
полное описание которой дает функция распределения
Л (Х1,0 = р [X (4) < xj,	(XIII. 110)
т. е. вероятность того, что в данный момент случайная величина X (Zx)
примет значение, меньшее хх*. Как известно из теории вероятностей, вместо
функции распределения часто удобнее пользоваться плотностью вероят-
ности, являющейся ее производной (в обобщенном смысле):
=	(XIII. ill)
Если зафиксировать два момента времени tt, t2, то значения случайного
процесса образуют систему двух случайных величин (X (/J, X (/2)}, или
двумерный случайный вектор. Для его полного описания требуется знать
двумерную функцию распределения
E2(xi,/1; х2,4) = Р|Ха1)<х1; X(f2)<x2] (XIII. 112)
* Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, Гит. д., а значения,
принимаемые ими, — строчными х, у и т. д.

Рис. XIII.14. Стохастический процесс ошибки измерения угловой
координаты цели, отслеживаемой радиолокационной станцией
453
или двумерную плотность
х2, /2) = qx ~ (xi> -i‘> х2> ^2),	(ХШ.113)
которые зависят от tu t2 как от параметров.
Для более подробного описания случайного процесса в произвольные
моменты времени /х, • ••, tn аналогично вводятся функции распределения
и плотности более высоких порядков. Таким образом, полное статистическое
описание случайной функции (процесса) дает^есконечная последовательность
ее функций распределения:
Л (*1. О. ^2 (*1 ,ti, x2,t2).Fn (Xi, ti, xn,
или последовательность их производных
wjxj., /J, w2(xb х2, t2),..., wn(x1,ti,...-, xn,tn)...
Каждый из членов этих последовательностей имеет обычные свойства
функций распределения или соответственно плотностей. Кроме того, каждый
следующий член последовательности определяет все предыдущие. Например,
если положить хп = оо, то
(xi, ti,...; xn_lt tn_i, 09, tn) = Fn_t (x1( ti,..xn_lt
7	.	,	...	, ,	,4	(ХШ.114)
J wn (Xi, ti,...; xntn) dxn = wn_i (Xi, ti,xn_u tn_i),
— OQ
аналогичные формулы имеем и для любых других моментов времени.
Это условие называют условием согласованности семейства функций
распределения. Справедливо также условие симметрии:
Fn{Xi,t\ x2,t2,...) = Fn(x2,t2, Xi,ti,...)\
w(xv,ti, x2,t2,.. .) — wn(x2,t2, xltti,...).	(ХШ.115)
В общем случае плотности или функции распределения более высокого
порядка не определяются плотностями или функциями более низких поряд-
ков.
Однако часто полезно рассматривать так называемый абсолютно случай-
ный процесс, значения которого независимы в совокупности для любых
t2, • • •, tn. Для такого процесса плотность распределения любого порядка
определяется через одномерную:
дап(*1Л’> x2t2,...\ xntn) = П wx (Xi, ti). (XIII.116)
l=xl
Такой процесс является математическим упрощением, поскольку при
достаточно близких значениях tit t, значения любого реального процесса
близки, и, следовательно, зависимы. Другим крайним случаем является вы-
рожденный, или сингулярный процесс, определяемый одной или несколь-
кими случайными величинами; например,
X (0 = A sin (со^ -ф- ф),
где ф — случайная величина; со0 и А — известные константы. Такой про-
цесс становится полностью известным, если можно измерить его в какой-
либо момент времени. В более общем случае сингулярный случайный про-
цесс характеризуется совокупностью п случайных величин (Vx, •••, Vn);
например,
где г|\ (0 — обычные (детерминированные функции времени).
454
Рис. XIII. 15. Возможные реализации двух случайных функций'.
а »— с высокочастотными составляющими; б -» с низкочастотными составляющими
Моментные функции. В практических задачах обычно пользуются более
простыми характеристиками случайных процессов — моментными функци-
ями. Моментом первого порядка тх (0, или математическим ожиданием
М [X (0 ] процесса X (0 называют выражение
Л1[Х(0] = j x1w1{x1, t)dx.	(XIII. 117)
—СО
Если эту функцию рассматривать в зависимости от t, то около среднего
значения функции будут группироваться все реализации случайного процесса
(рис. XIII.15).
Математические ожидания более высоких степеней X (/) носят' назва-
ния начальных моментов порядка k:
во
ak (0 = М [Т (0] = J (хь 0 dx.
“СО
Случайная функция к (/) = X (/) — тх (0 имеет нулевое среднее зна-
чение и называется центрированной. Центральным моментом ^-порядка
Мк (/) процесса X (0 называется математическое ожидание k-Й степени
центрированного процесса X (0:
Mk (0 = М [Х\(01 = М [х (0 - тх (01* = J (xr - тх (t))k (хъ 0) dxx.
— СО
Меру рассеяния значений случайного процесса относительно математи-
ческого ожидания его определяет момент второго порядка, называемый
чаще дисперсией'.
M2(t) = ox(t) = Л1[Л2(0]= J (х — mx(i))2w(x, t)dx. (XIII.118)
— со
Однако характеристики случайного процесса, основанные на первой плот-
ности wx (х, 0, не отражают изменения реализаций во времени. Например,
два процесса с одной и той же первой плотностью w (х, f) (рис. XIII. 15, а и б)
различаются по скорости изменения реализаций, т. е. по степени взаимо-
связи между двумя значениями, принимаемыми в одной реализации в раз-
личные моменты времени. Для описания временной внутренней структуры
случайных процессов используют корреляционную функцию
СО 00
R** (0, ii) = М[к (tjk (0)] = j j I(XX — mx (0)) (x2 — mx (0)] x
x w (xb 0; x2, 0) dXi dx2.
(XIII.119)
455
Эту функцию часто называют также автокорреляционной, или ковариа-
цией, она играет основную роль в теории случайных процессов.
Легко показать, что корреляционная функция симметрична относи-
тельно своих аргументов tz, а при — t2 = t ее значение равно диспер-
сии случайного процесса а* (/). В самом деле,
Rxx (4, /2) = М [X (4) к (4)] = м [Х(/2) X (/1)] = Rxx (t2, t.)
и
Rxx(t, /) = /И[Х(/)Г = <Ш-
Для характеристики точности систем автоматического регулирования
удобно использовать нецентрированную корреляционную функцию:
Bxx(tlf У = Л1[Х(ОХ(Ш	(ХШ.120)
называемую также вторым начальным моментом процесса.
Связь между Rxx (tx, t2) и Вхх (/1; /2) устанавливается следующими
преобразованиями:
Rxx t2) = М [X (О - тх (У (X (Q - тх (f2)] = 44 [X &) X (/2)] -
— тх (/х) тх (t2) = Вхх (4, /2) — тх (/х) тх (/2).
При Н = t2 = t средний квадрат процесса X (/) будет
Bxx(t, I) = М [X (OF = о= (0 + ^(0-	(XIII. 121)
В системах автоматического регулирования часто действует несколько
случайных возмущающих или управляющих сигналов, независимых или
взаимосвязанных. Мерой взаимосвязи двух случайных процессов X (О
и У (/) служит взаимная корреляционная функция
со
RXy(ti, t2)^M [Xtfjro = J	If, y2, i2)dX1dy2, (XIII.122)
и— 00
где w2 (xlt H, у2, /2) — совместная плотность вероятности X (Н) и Y (t2);
для независимых процессов w2 (/n х; t2, у) =	(Z1; х) w2 (t.,, у) и
RXy (/х, t2) = 0.
Для взаимной корреляционной функции справедливо равенство
RXy (^i, ^2) — RyX (^2, ^i)-
Теория случайных процессов, в которой используются лишь моменты
первого и второго порядков [тх (Z) и Rxx (/п t2) ], называется корреляцион-
ной теорией. Она была создана основополагающими работами А. Н. Колмо-
горова [38, 72], Д. Я. Хинчина [81], Н. Винера. Большой вклад
в ее развитие внесли советские ученые В. С. Пугачев [62], В. В. Солодов-
ников [68 ]и др.
Стационарные случайные процессы. При рассмотрении различных
случайных процессов выделяют группу процессов, статистические свойства
которых не изменяются при сдвиге во времени. Такие процессы называются
стационарными. Рассматривая множество реализаций случайного процесса,
приведенного на рис. XIII. 14, можно предположить, что в данном случае
начало отсчета времени может быть выбрано произвольно, т. е. налицо ста-
ционарный процесс. Напротив, на рис. XIII. 15, очевидно, имеем примеры
нестационарных процессов.
Исследование систем, случайные процессы в которых стационарны,
значительно проще, чем исследование систем с нестационарными процессами.
Однако процессы во многих системах регулирования можно приближенно
рассматривать как стационарные. Это имеет большое прикладное значение
в теории стационарных случайных процессов.
456
. По определению стационарного случайного .процесса его математичес-
кое ожидание должно быть постоянно при сдвиге аргумента на любой ин-
тервал Т;
М [X (t + 71)] == М [X (/)], mx = const,
а корреляционная функция удовлетворяет соотношению
Полагая Т = —t2, находим, что корреляционная функция стационар-
ного процесса зависит только от разности отсчетов /2 —
Rxx (^1> У = Rxx (G — ^2, 0) ~ Rxx (0>
где t =	— /2.
Эргодические свойства случайных процессов. Если мы имеем совокуп-
ность, или, как говорят, ансамбль реализаций, то математическое ожидание
и корреляционная функция получаются усреднением по ансамблю реали-
заций случайного процесса, т. е. «поперек» процесса в одном или соответст-
венно двух его сечениях. Интересно рассмотреть также результаты усредне-
ния реализаций стационарного процесса по времени вдоль оси t на интер-
вале (—Т, Т), определив эту операцию естественным образом:
т
Хт = "2^]’ X(t)dt.	(XIII. 123)
—г
Эта величина различна для разных реализаций случайного процесса
и сама является случайной. Можно показать, что ее математическое ожида-
ние для стационарного процесса равно тх. В то же время дисперсия этой
величины, как показывают непосредственные расчеты,
т
О2 [Xr] = A j (1 - T/Т) R (т) du	(XIII. 124)
о
и при Т —♦ оо стремится к нулю при условии, что
7?(т) —>0 при т—»оо.
(XIII. 125)
Иными словами, при выполнении (XIII. 125) почти для всех реализа-
ций среднее значение по времени Т —» оо становится практически неслучай-
ным и, как говорят, сходится в среднем квадратическом к математическому
ожиданию процесса тх.
lim М
Т-»о>
т
4J X^dt-
mx = 0,
что принято записывать в виде
1. i. m. Хт — x — mx*.	(XIII.126)
Это свойство называется эргодическим свойством процесса по среднему
значению, а условие (XIII. 125) — условием эргодичности процесса по пгх.
Для многих стационарных процессов справедливо и более общее свой-
ство эргодичности по отношению к корреляционной функции:
____________ Т
X(0X((4-T) = l.i.m. 4г [ X(f)%(t + 't)dt = Rxx(i;). (XIII.127)
т-><»
Здесь 1. i. m. сокращение от англ, limit in the mean — предел в среднем.
457
Рис. XI 11.16. Структурная схема корре-
лятора
Условия эргодичности процесса по
R(X (т), сформулированные В. С. Пуга-
чевым 162], содержат более высокие
моменты случайного процесса и здесь
не приводятся.
Свойства эргодичности случайных
процессов позволяют заменить усред-
нение по множеству реализаций, прак-
тически редко осуществимое, усредне-
нием по времени, взятым по одной реализации, когда Т велико..
Не все'стационарные процессы имеют эргодические свойства. Например,
процесс, все реализации которого есть случайные величины, не изменяю-
щиеся во времени, как легко убедиться, неэргодичен. Отсюда следует, что
физический смысл эргодичности заключается в «хорошей перемешиваемости»
реализаций случайного процесса. Поскольку это имеет место практически
во всех приложениях, в дальнейшем будем предполагать рассматриваемые
процессы эргодическими.
Для таких процессов можно экспериментально определить среднее зна-
чение и корреляционную функцию процесса с помощью специальных при-
боров— корреляторов. Принцип действия корреляторов ясен из рис. XIII. 16.
Подавая на вход коррелятора единичный сигнал, на его выходе при
достаточно большом времени интегрирования Т будем иметь среднее значе-
ние процесса х, приблизительно совпадающее с его математическим ожида-
нием пгх. Если же у (t) = х ((), то в результате будем иметь второй началь-
ный момент Вхх (т), по которому легко определить и корреляционную функ-
цию.
5. СВОЙСТВА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Свойство 1. Четность корреляционной функции. Корреляционная функ-
ция является четной функцией: Rxx (т) = Rxx (—т). Данное свойство выте-
кает из отмеченного ранее свойства симметрии
4)= Rxx{tz> ti).
Взаимно-корреляционные функции двух стационарно-связанных про-
цессов не являются четными; для них справедливы соотношения
Rxg (т) = М [Я (О F (t + т)] = М (О X (t - т)] = Ryx (- т),
т. е. Ryx(x) — Rxg{ ’О*
Свойство 2. Дисперсия стационарного процесса. Значение дисперсии
равно Rx (т) при т = 0:
Dx (I) = = const = Rx (0).	(XI11.128)
Свойство 3. Связь между автокорреляционной Rxx (т) и нецентрирован-
ной корреляционной Вхх (т) функциями. Эта связь выражается соотношением
&xxW~RM + ml	(XIII. 129)
а при т == 0
(XIII. 130)
Свойство 4. Начальные значения корреляционной функции. При всех т
имеем | Rxx (т) | < Rxx (0). В самом деле, поскольку [% (t 4- т) — X (/) ]2 >
> 0, то и М [X (t 4- т) — Л (1) ]2 > 0. Отсюда находим:
(/ + т)]2 - 2М [Я (t 4- т) Л (/)] 4- М [X (()] = 0;
тогда
2Rxx(0)-2R„(z)>0.
458
На основании этого свойства можно ввести коэффициент корреляции:
Кхх
Аналогично определяется коэффициент взаимной корреляции:
pxv (т) =	_TL , I ред | < 1.
у Укххтят(0) ' у
Свойство 5. Конечное значение корреляционной функции. Действительно,
при больших т значения эргодического процесса в моменты t и t + т прак-
тически независимы, поэтому
м [X (t + т) к (/)] м [к {t-y т)] м [Л (01 = о,
т.е. 7?жж(оо) = 0.
Соответственно Rxx (оо) — ml или Rxx (т) —> 0 при т —>• оо.
Для большинства встречающихся в системах регулирования случай-
ных процессов это свойство выполняется, однако оно не справедливо для
вырожденных случайных процессов, все реализации которых являются ре-
гулярными функциями времени (например, синусоидальными).
Свойство 6. Связь корреляционной функции со спектральной плотно-
стью. Для всякой корреляционной функции стационарного случайного про-
цесса существует преобразование Фурье этой функции: прямое
5*т(®)= [ Rxx(x)e~iaT dx	(XIII. 131)
“-00
и обратное
00
Яхх(т) = 4г J	(XIII.132)
*—00
причем для любых Rxx (т) имеем Sxx (со) > 0.
Доказательство этого свойства составляет содержание теоремы Винера—
Хинчина [8, 62].
Функция Sxx (со), однозначно связанная с корреляционной функцией
Rxx (т), является важнейшей характеристикой стационарного случайного
процесса и носит название спектральной плотности мощности случайного
процесса.
Физический смысл этого названия можно пояснить следующим образом.
Если, например, X (t) — случайно меняющийся во времени ток, протека-
ющий через активное сопротивление, то величина X2 (t) пропорциональна
(с точностью до константы) мощности этого тока в момент времени t. Поло-
жим, что постоянная составляющая тока равна нулю: X = const = 0.
Тогда на интервале (—Т, Т) среднее значение мощности процесса совпадает
со средним значением его переменной составляющей и для эргодического
процесса стремится к Rxx (0):
т	т
f Xs(f)df = l.i.m.	( x2(t)dt = Rxx(0)^<$.
Д	т->о»	Ат
С другой стороны, из (XIII. 132) имеем
оо
'	4(0) = -^ j	(XIII.133)
459
Таким образом,
т	_ <»
J Х2(0^ = (Х2) = а2 = -^- J Sxx(a)d®. (XIII.134)
Отсюда видно, что Sxx (со) представляет собой плотность средней мощ-
ности переменной составляющей процесса по частоте со.
Для стационарных процессов, имеющих отличную от нуля постоянную
составляющую (это либо детерминированная константа, либо математичес-
кое ожидание эргодического процесса mx (t) — const), целесообразно ввести
спектральную плотность полной мощности, определив ее как преобразова-
ние Фурье второго начального момента:
Gxx(®) = J Вхх(т) е~/“х dx.	(XIII. 135)
— 00
Из этого соотношения находим связь между Gxx (со), Sxx (со) и тх.
оо
Gxx(®) = J (7?xx(T) + x2)e-/OTdT = Sxx(co) + ^2n6(co), (XIII. 136)
—- оо
где использовано известное интегральное представление 6-функции
-±— ( е—/“т dx — -1— ( е/“т dx = 6 (со).	(XIII. 137)
^Л J	^Л J
— оо	—оо
Из определения Gxx (со) вытекает
00
Вхх(х) — -^- j Gxx(®)e/“Td®,	(XIII. 138)
е—СО
откуда при х = 0 имеем разложение среднего квадрата, т. е. разложение
полной мощности процесса по частотам в следующем виде:
00
Вхх^ = Х^=-^ j Gxx(®)d®. '	(XIII.139)
— 00
Для двух стационарных и стационарно-связанных случайных процес-
сов с взаимно-корреляционной функцией Rxy (т) на основании теоремы Хин-
чина может быть введена также взаимная спектральная плотность
Sxy(a) = j Rxy{x)e.-ia>x dx.	(XIII. 140)
6. СВОЙСТВА СПЕКТРАЛЬНОЙ плотности мощности
Спектральная плотность Sxx (и) является действительной и четной функ-
цией частоты:
00	00	00
8^ (®) = | Rxx(x) e-iaxdx = J Rxx(x)cosaxdx — j J Rxx (t) sinrordr =
.— 00	- 00	-- 00
00
= 2 | RxX(T)cos®TdT = 8xx(-®) = S:x(0).	(ХШ.141)
0
460
Заметим, что SXIJ (со) не является действительной, поскольку (т)
не есть четная функция т. Однако выполняются следующие соотношения:
Sxy (®)= Syx (®)’> SyX (со) = SXy (со).	(XIII. 142)
Свойство 1. Положительность спектральной плотности. Спектраль-
ная плотность неотрицательна на любой частоте Sxx (со) > 0, что доказы-
вается теоремой Винтера—Хинчина и объясняется тем, что мощность вся-
кого процесса в любом диапазоне частот (со ± Лео) (в том числе и сколь
угодно малом) не может быть отрицательна.
Свойство 2. Связь дисперсии со спектральной плотностью. Как уже
было указано, дисперсия случайного процесса выражается через его спект-
ральную плотность мощности следующим образом:
е»
о?=-^- J SxH«)dco.	(XIII. 143)
*—ОО
Последнее соотношение широко используют на практике.
Свойство 3. Изменение масштаба по оси времени. Если корреляционные
функции двух процессов отличаются одна от другой только масштабом по
оси т: ЦуУ (т) = Rxx (ах), то соответствующие спектральные плотности свя-
заны обратным соотношением
(®) =-i-(»/“)•
Это свойство для любой пары преобразований Фурье вытекает из про-
стых преобразований
00	во
syy(&)= J #хх(а*)е/(а™'а> d.x = 4" J ^xx We/#o/“d0 = 4-Sxx(®/a)-
00	Ьяво
(XIII. 144)
Таким образом, для процессов с медленно спадающей корреляционной
функцией большая часть мощности концентрируется в низкочастотном диа-
пазоне. Если ввести понятие эквивалентного времени корреляции процесса
со
f Rxx (x)dt
и его эквивалентной полосы частот
00
J Sxx(p>y<te>
Й =	(6Г"~<ПРИ *°>’	(XIII. 146)
&ХХ \у)
то, полагая в (XIII. 132) со = 0, используя (ХШ.133), получим так называ-
емое соотношение неопределенности
TKOpQ = 4f= const.	(XIII.147)
Пример XIII.7. Рассмотрим процесс, спектральная плотность мощности которого по-
стоянна на всех частотах:
Sxx (и) — Sxx (0) = N; —оо < ш < оо.
461
	Рх,(т) N6(r) N	Sxx (и)
		
От	Ош а)	б)		
Рис. XI11.17. Корреляционная функция и
спектральная плотность белого шума
Из выражения (XIII.132) находим
СО
2Л J
(XIII.148)
Значения такого процесса в любые два
(в том числе и сколь угодно близкие) мо-
мента времени некоррелированы один с дру-
гим, и данный процесс является разрывным
в каждой точке. Физически такой процесс
нереализуем, потому что дисперсия, т. е.
мощность белого шума, бесконечна: при т = О Rxx (0) = оо (рис. XIII.17, а).
Несмотря на это, белый шум является полезной идеализацией многих широкополосных
случайных процессов (например, тепловые шумы активных сопротивлений, шумы электронных
схем и измерительного тракта следящих систем и т. д.). Его можно представлять себе в виде
бесконечно плотной последовательности узких независимых импульсов. Амплитуда этих
импульсов может быть распределена по произвольному закону. В частности, если ее распреде-
ление является нормальным или гауссовым:
Wi (х) =-’	e-(x-m)’/2a«
о /2л	’
(XIII.149)
то значения процесса не только некоррелированы, но и независимы в любые два момента вре-
мени, и рассматриваемый случайный процесс является стационарным абсолютно случайным
гауссовым процессом, для которого плотности любого порядка выражаются через Wj (х).(Такой
процесс называют гауссовым белым шумом. Спектральная плотность его N = const (рис.
XIII.17, б).
Пример XII 1.8. На входе следящей системы действует случайный сигнал, имеющий вид
последовательности ступенек, величина каждой из которых независима от других и распре-
делена в соответствии с плотностью вероятности ш (х), не зависящей от времени. Известны
математическое ожидание тх — 0 и дисперсия сигнала о£ = 4.
Переход от одного значения х к другому осуществляется в случайные моменты времени,
причем длительность пребывания х в состоянии х — const случайна. Вероятность того, что
за время Дт произойдет изменение значения х, не зависит от предшествующих значений и
пропорциональна Дт при Дт < Т, где Т = 10 с есть среднее время постоянства значения х =
= const.
Найдем корреляционную-функцию и спектральную плотность мощности процесса.
Из описания процесса очевидно, что он является стационарным. Поскольку М. [X] =
= 0, М [№] = о2, то
Rxx (т) == М [X (t) X (t + т)] = М [№] Ро (т) +
4-Л1[Х(0] W + t)](1-P0(t)) = о*Р0(т),	(XIII.150)
где Ро (т) — вероятность отсутствия переходов иа отрезке 0, т, а 1 — Рп (т) — вероятность
их наличия.
На отрезке [0, T-f-Дт] не будет ни одного Перехода, если его не будет ни на отрезке [0, т],
вероятность чего Ро (т), ни на отрезке т, т + Дт, вероятность чего (1 —Дт (Т). Эти собы-
тия независимы, поэтому при т£> 0 и Дт> 0 вероятность Ро (т) удовлетворяет уравнению
Р„ (т+Дт)=Р0 (т) (1 - Дт/Т),
или при Дт -> О
dP
—± = -Р0(х)/Т.	(XIII.151)
Отсюда имеем Р9 (т) = е при т> 0. Для т^О имеем Ро (т) = е— 1 т ,,Г; тогда
Ржж(т) = о*е-|х|/г.	(XIII.152)
Выполнив преобразование Фурье для этого выражения, получим
5жж(ш) = f Rxx (т) е“Р°т dx = 2 ( о* ет/г cos ®т dx = —, (XIII.153)
J	J	W 1 | 1
•—оо	О
Подставив числовые значения, будем иметь Rxx (т)= 4е—0,1'т| (рис. XIII.18, a),Sxx(a) =
ел
=-1 + юо^- (рис- ХШЛ8’ б)-
Значению Tf = 10 с соответствуют кривые 1, значению Т2 = 2 с — кривые 2.
462
Рис. XI11.18. Корреляционная функция и Рис. XI 11.19 Корреляционная функция и
спектральная плотность процесса примера спектральная плотность гармонического про-
XIII.8	цесса со случайной фазой
Заметим, что Rxx (т) и Sxx (со) в данном примере не зависят от конкретного вида одно-
мерной плотности вероятности сигнала (х), а знания двумерной плотности («1, х2, т)
не потребовалось, так как свойства всех реализаций данного процесса просты.
Если задана форма всех реализаций процесса, то для отыскания Rxx (т) удобно исполь-
зовать усреднение по времени.
Пример XIII.9. Рассмотрим случайный процесс, все реализации которого синусоидальны:
X (0 = Ат sin (ш0/+ ф),	(XIII.154)
где амплитуда Ат и несущая частота ш0 — детерминированные константы, а фаза ф — слу-
чайная величина.
В этом случае корреляционная функция
Т	Т А2
RXX <т)	-97" J Am sln (“oz + ф) sin (“о* + “от+ Ф) ^ = Пт 2Т~ f х
—т	—т
Ат /
X [cos соот — cos (2ю0/ + шот) + 2ф] dt = lim —х— ( cos шот —
Г->00	\
1 sin (2w0T + шот 4* 2ф) + sin (ЗсооТ — мот — 2ф) \
2Т	2<оо	) ~
Л2	/ Л»	\
= —-cosffl0T=/-^- e/^ + e-zM (рис. XIII, 19, а). (XIII.155)
Осуществляя преобразование Фурье, находим
Sxx (СО) = f -р- (е'ю«т + е-/ш»т) е“/“т dr = —(6 (® + ®0) + 6 (ш - ®0)]
(рис. XIII.19, 6).	(XIII.156)
Полученные формулы справедливы только в том случае, если процесс X (/) стационарен.
Легко видеть, что это верно, если случайная фаза ф имеет [равномерное распределение в интер-
вале (0, 2л).
Для данного процесса Rxx (т) =f= 0 при т -> оо, это отражает тот факт, что значения х (0
и х (t + т) для любой реализации не становятся независимыми при сколь угодно больших т.
7. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Прежде всего рассмотрим суммирование случайных процессов. Пусть
Z (() = X (t) + Y ((). Отыщем характеристики Z (/). Используя теорему
о сложении математических ожиданий, находим
тг (/) = М [X (() + Y (()] = тх (() + ту (().
Корреляционная функция суммы двух процессов
Rez U = М [X + Y (/J (X (Z2) + Y = Rxx (/ъ О +
+ Rxy (/1, Q + Ryx (it, Q + Ryy (tlt t2).
(XIII. 157)
463
Если суммируемые процессы стационарны и стационарно связаны, то
и сумма их будет стационарным процессом, т. е. математическое ожидание
его тг = тх + ту = const, а корреляционная функция зависит только
от разности t2 —	= т, поскольку каждое из слагаемых зависит лишь от т.
Для некоррелированных (и тем более для независимых) процессов
Rxy (т) = Ryx (т) — 0, и формула принимает вид
2?гг(т) = 7?жж(т) + ^(т).
Если процесс X (0 подвергается нестационарному безынерционному
линейному преобразованию: г (/) = а (/) X (/) + & (/), то его математичес-
кое ожидание преобразуется также:
тг (0 = М [а (0 X (0 + b (0J = а (0 тх (0 + b (0, (ХШ. 158)
а корреляционная функция преобразуется с коэффициентом a (t) дважды:
Rzz (0, t2) = м [z (0) z (4)] = а (0) a (t2) MIX (tjk (f2)] = a(0) a (t2) Rxx (0, t2),
независимо от b (0.
Если осуществляется стационарное линейное преобразование стацио-
нарного процесса, то эти формулы имеют вид
тг — amx-\-b', Rzz (т) = a2Rxx(т).	(XIII. 159)
Обобщим понятие непрерывности на случайные процессы с помощью вве-
денного ранее понятия предела в среднем квадратическом [см. выражение
(ХШ.126)], а именно: процесс X(f)называется непрерывным в среднем квад-
ратическом, если 1. i. m. X (t+x)=X (0, т. е. lim М [Х(/+т) — X (0]2= 0.
т->0	т->0
Легко убедиться, что условием непрерывности стационарного процесса
X (0 в среднем квадратическом является непрерывность (в обычном смысле)
его корреляционной функции Rx (т) при т — 0. Действительно,
М[Х(( + т))-Х(0]2=Л1[Х2(/ + т)-2Х(( + т)Х(0 + Х2(0] =
= 2 (Rxx (0) — Rxx (т))	0 при т->0
тогда и только тогда, когда Rxx (т) —► Rxx (0) при т —> 0. Если случайный
процесс X (0 непрерывен и существует предел
Г X (* + ?) — Х(0 12	п
М I———---------— при т—>0,
то этот предел называют производной в среднем квадратическом:
X'(0==1.i.m.(-Х(<~^?)~х--) |
W т->0 I * J
(	к	л	dX(t)\
(для нее сохраняется также обычное обозначение •
Случайный процесс является дифференцируемым в среднем квадратиче-
ском только при условии существования производной
"	d2 Rxx (т) I
dx2 |т=о *
Запишем следующее соотношение:
м Г Х(< + т)-Х(0 12 М [X (/ + т) - X (т)12 = 2(RXX(O)-RXX(X))
Vl L т J	т2	т2
464
Разлагая в правой части Rxx (т) в ряд Маклорена и учитывая четность,
этой функции, получим
. . г Х((+т)~ X(t) 1
1.1. m. —-	 ----- =
t-»o L т J
2 (Дхх (0) - Rxx (0) -4^ (т) т2 + 0 (т2))
= lim------------------------------------------------= -R'xx (0). (ХШ. 160)*
т->о
— та
Таким образом, процесс, рассмотренный в примере XIII.8 является
недифференцируемым и непрерывным в среднем квадратическом, поскольку
при т = 0 непрерывна корреляционная функция (XIII. 152). Отметим при
этом, что все реализации процесса в примере имеют точки разрыва, т. е.
из непрерывности процесса в среднем квадратическом не следует непрерыв-
ность его реализаций.
Пусть У (0 — случайный процесс, а V (0 — его производная. Тогда
М [V (01 = М [1. i. m. y(< + T)-y-W1 = lim М	=
L т->0	т J т->0 •	т J at
(XIII.161)
т. е. знаки предела и математического ожидания можно переставлять ме-
стами, меняя предел в среднем квадратическом на предел в обычном смысле
слова.
Найдем корреляцию между процессами У (0 и его производной V (0:
R„y (0, 0) = М [1. i. m. + у (/2)1 =
L т->°	т	J
- lim (0 + *)Y (0)1 -	(0)Y (0)11 = lim 4-	(0 + r’ ~
т->0 т	t->0 T
- Ryy{h, 0)1 = -^-^(0. 0)-	(XIII.162)
Аналогично,
Здесь считали, что (0 = 0. Результат остается верным и в общем случае.
Теперь легко найти автокорреляционную функцию производной V (0:
Rm = -д^Г2 Ryy^' ^)’	(XIIIЛ 63)
V ,,,	dY (О
В случае стационарного процесса У (0 процесс dt - тоже стациона-
рен, причем
^(t) = 4-^);	(xiii.164)
^(т) =------(XIII. 165)
£,,(*) =----(ХШ.166)
* Символ Li.m. означает сходимость случайной величины в среднем квадратическом, т. е.
сходимость в обычном смысле квадрата этой величины, усредненной по ансамблю. Для данного
случая это означает, что
lim 2W
2l = o.
4 [ х (0 dt — tn.
т
465
Таким образом, производная стационарного процесса всегда является
центрированным случайным процессом. Последние соотношения позволяют
найти связь между соответствующими спектральными плотностями:
J е/ШХ dtt) = W Ryy = ЪГ J 8уу е/ЮТ
(XIII. 167)
откуда
Sjro(®) = (/w)S^(®).
Аналогично,
Svy (®) = (— /со) Syy (ш);
Sra(M) = co‘S^(M).	(XIII. 168)
Дисперсия процесса V (/) будет конечна, если конечен интеграл от спек-
тральной плотности Sm (со), т. е. если cosSxx (со) —<• 0 при ® ♦ оо быстрее,
чем при 1/т —» 0. Это условие дифференцируемости процесса часто проще
проверить, чем эквивалентное условие (XIII. 160).
Полученный результат легко обобщить на случай, когда
Л (/) ^ ьо 4- К + •••+&,»	- (Ьо + &1Р + • • • + №1 У (0
или
Х(0 = Ви(р)У(0,
где р — -----оператор дифференцирования; Вт (р) — полином от р сте-
пени т.
, В этом случае процесс X (/) является стационарным, если У (/) стацио-
нарен и первые две моментные функции процесса X (/) выражаются через
математическое ожидание и корреляционную функцию процесса У (/):
Wx(0 = [bo-F'b1p+----1- Ьтрт] ту (/) = В (р) tny (/) = botny\ (XIII. 169)
7?,x(T) = Bm(p)^(T); Rxy(x) —Вт(~ p)Ryy(x)\ (XIII.170)
Дхх(т) = Вт(р)Ви(-р)^(т).	.	(XIII. 171)
8.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ
В гл. III было показано, что динамические свойства линейных объектов
регулирования с постоянными параметрами могут быть заданы в одной из
трех эквивалентных форм:
а)	дифференциальным уравнением
(dn	dn~t	\	f dm	\
ап~^У on-i + ’" + flo х(0 =	• • • +
lit	CU	j	Qi	J
(XIII.172)
б)	передаточной функцией
X (s) _ (T) м _ ^0 4~ ^1s 4~ • • ~ 4- bmSm _ Bm (s) . ZYTTT 1 7Q1
Y(s) -^(S'~\ + ais+...+anSn~~	(ХШ.173)
в)	импульсной переходной (весовой) функцией, являющейся обратным
преобразованием Лапласа от передаточной функции,
1 ф(5)е5^5-
466
ч)
б)
Рис. XIII.20. Преобразование среднего значения корреля-
ционной функции и спектральной плотности случайного
процесса линейной системой
Если рассматриваемая система устойчива, то все полюсы передаточной
функции Ф (s) расположены слева от мнимой оси на плоскости s, и вместо
преобразования Лапласа можно использовать преобразование Фурье
k (0 = ~ j Ф (/®)	(XIII. 174)
— ва
Выходной сигнал системы х (/) при нулевых начальных условиях выра-
жается через сигнал на ее входе у (t):
t	t
х(0 = j ^-fl)£(fl)dfl==J £(/-X)6(X)dX.	(XIII.175)
о	0
Для устойчивых систем весовая функция k (X) быстро убывает при боль-
ших X, поэтому верхний предел интервала в последнем выражении можно
положить бесконечным, так что
x(O = ]^(X)y(/-X)dX.	(XIII. 176)
о
Легко видеть, что, если Входной сигнал ограничен по величине | у (О | <с,
то выходной также будет ограниченным при условии
j |.Ai (X) | dX < оо,	(ХШ.177)
о
что является эквивалентной формой условия устойчивости рассматривае-
мой системы. При этом, как известно, собственное решение х0 (t) однород-
ного дифференциального уравнения (XIII.172), соответствующее у (t) = О
при любых начальных условиях для х (/), будет сколь угодно малым при до-
статочно больших t, и в решении будет преобладать вынужденная состав-
ляющая (XIII.176). Устойчивость и необходимое качество переходных про-
цессов обеспечиваются методами анализа и синтеза корректирующих уст-
ройств (см. гл. XI и XII).
Теперь будем считать, что входной сигнал системы у (t) является ста-
ционарным случайным процессом Y (/) с известными моментами — мате-
матическим ожиданием ту (рис. XII 1.20, а) и корреляционной функцией
Ryy (т) или спектральной плотностью мощности Syy (ш) (рис. XIII.20, б).
Оказывается, что этих характеристик достаточно Для определения аналогич-
ных характеристик выхода X (t). Прежде всего отметим, что при условии
устойчивости рассматриваемой системы любое решение уравнения (XIII. 172)
будет стремиться к вынужденному решению (XIII. 176), которое является
асимптотически стационарным, поскольку в подынтегральном выражении
вероятностные характеристики процесса Y (t — X) такие же, как и у процесса
Y (/), независимо от X, а пределы интегрирования постоянны.
4$7
Производя усреднение по множеству реализаций У (/) и X (/) в уравне-
нии (XIII. 172) и переставляя операции усреднения и дифференцирования
по времени, находим
+ ' ‘ ‘ + a°mAt} = Ьт	" * + Ь°тУ	(ХПЕ 178)
Л (Р)тх (t)=*Bm(p)rnB (О,
т. е. математические ожидания удовлетворяют тем же уравнениям, что и
сами процессы, поэтому последние при необходимости всегда можно считать
центрированными. Для стационарного процесса ту (t) = const — ту и
любое решение уравнения (XIII. 178) стремится к стационарному:
тх =	const = Ф(0)^.	(XIII.179)
Если система описана с помощью весовой функции, то, усредняя по
реализациям обе части соотношения (XIII. 176), получим
тх~ М Гj k (X) Y (t - X) dX = j k(X) M [У (t — X)]dX = J k (X) dkmy. (XIII. 180)
loo	0
Для отыскания корреляционных функций используем выражение
(XIII.176), причем будем полагать, ввиду сделанного выше замечания,
случайные процессы Y (/) и X (t) центрированными. Умножая обе части
(XIII.176) на Y (t 4- <г) и производя усреднение по множеству, видим, что
М[Я (i)^(f4-T)] = M j fe(X)^(t-X)V (44-т) dk =
о
= p(X)M[^-X)^((4-T)dX
о
или
/?хг,(т)= p(X)7?w(T-X)dX.	(XIII. 181)
о
Аналогично получим и два других соотношения:
^(т)== ] k (X)7?w(x + X)dX;	(XIII.182)
о
/?«(т)= J |^(Х)Л(д)7?да(т4-Х—4)dXda.	(XIII.183)
° о
В другой форме этот результат может быть выведен из уравнения
(XIII. 172) следующим образом. Поскольку мы отыскиваем стационарную
составляющую решения, то в (XIII. 172) можно заменить X (t) и У (/) на
X (t + т) и У (t 4- <г). Очевидно, уравнение останется справедливым, если
оператор дифференцирования по времени р ~ заменить оператором
d гтч
рт = Тогда получим
An(px)^(t + r) = B(Px)Y(t + r).	(XIII. 184)
468
Умножим обе части полученного равенства на V (/), вынесем Y (/)
за знак оператора дифференцирования (по т), возьмем математическое ожи-
дание от обеих частей; тогда
М [Ап (рт) к (t + т) t (/)] = Ап (рт) Ryx (т) = Вт (рт) Ryy (т),
что можно записать в операторном виде:
^(т)=^^-^(т) = Ф(рт)7?да(т).	(XIII.185)
Подобными же преобразованиями доказывается, что
^(т) = g Ryy (т) = Ф (-рх) Ryy (т); (XIII. 186)
(т>=-Ф<рт) Ф (-pt) Ryy (т).	(XIII. 187)
Эти соотношения позволяют найти связь между спектральными плот-
ностями процессов на входе и выходе линейной системы. Поскольку
00
Ryy W = ЪГ J Syy е/ЮТ
—-ОО
то
Ryx (т) = Ф (рт) I syy е'ах d&
оо
= f lSyy (“) Ф (/“)] e/mT da-
-—00
Согласно определению, выражение в квадратных скобках есть не что
иное, как взаимная спектральная плотность мощности
5^(®) = Ф(/®)5да(®).	(XIII.188)
Из соотношений (XIII. 186) и (XIII. 187) следует также, что
5ед(И)-Ф(-/®)5^(®);	(XIII. 189)
Rxx (®) = Ф (/®) Ф (- /со) Syy (со) = | Ф (/со) |2 Syy (со).	(XI11.190)
Полученные формулы можно наглядно трактовать с помощью структур-
ной схемы, изображенной на рис. XIII.21, где Ф (—/со) и k(—т) — частот-
ная и весовая функции, получающиеся соответственно из Ф (/со) и k (т)
заменой направления оси частот и оси времени. Эти функции описывают
так называемую сопряженную систему, функционирующую в обратном вре-
мени.
Рассмотрим теперь случай, когда на систему регулирования действуют
два сигнала Y (f) и Z (/) так, что
X (0 = ФДр) Y (/) + Фг (р) Z (/).	(XIII. 191)
Усредняя обе части, находим закон преобразования математических
ожиданий:
mx(t) = ФДр) my(t) + Фг (р) тг (/).	(XIII. 192)
Для стационарных и стационарно-связанных процессов
тх = Ф (0) ту + Ф (0) тг.	(XIII. 193)
Легко показать, что корреляционная функция выходного процесса
связана с корреляционными функциями процессов Y (f) и Z (/) следующим
образом:
Rxx (т) = Фу (Р) Фу (- Р) Ryy (т) + Фу (Р) Ф2 (- Р) Ryx (т) +
+ ФД-р)Фг(р)Т?ед(т) + Фг(р)Фг(-р)/?г2(т). (XIII. 194)
469
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей этого уравнения,
получим- ..................
Sxx (со) = Фу (/со) ф; (/со) Svv + Фу (/со) ф; (/со) Svz (со) 4-
4- ф‘ (/со) Ф (/со) SZy (со)4- Фг (/со) Фг (/со) Sa (со). (XIII. 195)
При отсутствии корреляции между процессами можно записать
(со) = | Ф& (/со) |2 (со) 4-| Фг (/со) |2	(со).	(XIII.196)
Полученные формулы полностью решают вопрос о преобразовании ста-
ционарного случайного процесса линейной системой в рамках корреляцион-
ной теории случайных процессов. Напомним, что они справедливы в стацио-
нарном режиме, который при анализе точности представляет наибольший
интерес. Этот режим достигается при условии устойчивости системы после
окончания переходных процессов в ней.
Очень часто для характеристики точности системы достаточно найти ма-
тематическое ожидание и дисперсию (или среднее квадратическое отклоне-
ние от тх) процесса на выходе. Для этого пользуются формулой, непосред-
ственно вытекающей из (XIII.133) и (XIII.190):
ев	ев
ol = ^(0) = -±-J |Ф(/Ш)РЛ&(Ш)^ = 4-JSxx(co)^. (XIII.197)
— ев	►—во
Такая ситуация характерна для широко распространенного на практике
случая, когда случайный процесс на входе является гауссовым с плотностью
вероятности первого порядка [см. выражение (XIII.40)1. Можно доказать
[62], что при линейном преобразовании процесс остается гауссовым (это
является следствием центральной предельной теоремы, известной из тео-
рии вероятностей), и, следовательно, для определения всех вероятностных
характеристик его достаточно знать тх и Rxx (т) или Sxx (со). Таким обра-
зом, для случая нормальных (гауссовых) процессов формулы (XIII. 192)
й (ХПГ.194) или (XIII. 197) дают полную характеристику процесса на вы-
ходе. Для определения плотности первого порядка в стационарном режиме
к/i (х) достаточно знать лишь тх и ах = Rxx (0).
Пример XIII. 10. Найдем дисперсию процесса на выходе линейного инерционного объекта
регулирования с передаточной функцией
Ф(/Ш) = -ПП^Т‘	(XIII. 198)
при действии на его входе белого шума со спектральной интенсивностью N.
Спектральная плотность мощности процесса на выходе системы
Sxx (со) = | Ф (/со) РN = ц_^^Г|8
a2.V
1 + <№ ’
что совпадает с выражением (XIII.153). Соответствующая такой спектральной плотности
корреляционная функция экспоненциальна (XIII.152).
Дисперсия выходного сигнала
2 -	1 7 с . If a2N . a?N ] х „ \ a2N
^ = -2fJ (<д) dt0 = ЪГ J 1 + aflT2 =	arctg аТ I =-2ТГ-
eo	— ее
(XIII.199)
Рассмотренный пример показывает, что можно сформировать стацио-
нарный случайный процесс со спектральной плотностью (XIII. 153), пода-
вая на вход фильтра с передаточной функцией (XIII.198) белый шум. Если
этот шум имеет нормальное распределение, то и полученный процесс будет
нормальным.
470
В общем случае очевидно, что произвольный случайный процесс со-спек-
тральной плотностью, которая может быть аппроксимирована дробно-ра-
циональной функцией частоты
е . Р (ма)
Q (ш3) ’
можно сформировать из белого шума единичной интенсивности. Для-этого
представим числитель и знаменатель этого выражения в виде произведения
сопряженных полиномов:
с z \ Р (со3) ___ Вщ (/со) Вт (— !<&)
Q(<O3J ~ А„(/<0)	Л„(-/Ш) ’
причем левый сомножитель этого произведения выберем так, чтобы полюсы
и нули его были расположены слева от мнимой оси в плоскости s — /со,
т. е. в верхней полуплоскости по со. Поэтому отношение ф (/со) —
можно рассматривать как передаточную функцию устойчивого минималь-
но-фазового фильтра, который называют формирующим фильтром.
С помощью формирующих фильтров рассмотрение реакции системы на
шум с заданной спектральной плотностью может быть заменено рассмотрением
реакции фильтра и системы на стандартный белый шум. Этот способ анализа
часто используют как в теоретических расчетах, так и в практических иссле-
дованиях.
Наибольшее применение полученные формулы имеют при расчете Точ-
ности систем регулирования в стационарном режиме.
9.	РАСЧЕТ ОШИБОК В СИСТЕМЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПРИ ДЕЙСТВИИ ШУМОВ
Рассмотрим структурную схему системы с обратной связью, типичную
для систем автоматического регулирования (рис XIII.21). Кроме полез-
ного сигнала g (/), на систему действует также шум п2 (/), возникающий
в аппаратуре при измерении полезного сигнала.
При учете полезного сигнала и шума для ошибки справедливо следую-
щее операторное выражение: '
e(0==g(f)-x(0 = g(()--r^^rg(0-
-Т&«-»-тркгМ-ТОТ-» (ХП1-200)
Будем считать шум стационарным случайным процессом с извест-
ной спектральной плотностью мощности
п2 (0 = 0.
Полезный сигнал обычно содержит
регулярную составляющую mg (/), а также
случайную стационарную составляющую,
для которой будем считать известной
спектральную плотность Sgg (со).
Среднее значение ошибки
(XIII.201)
Предполагая сигнал и шум взаимно
независимыми, а следовательно, и некор-
Snn (со) и средним значением
Рис. XIII.21. Структурная схема си-
стемы с обратной связью при наличии
внешних и внутренних шумов-.
1 — источник сигнала и внешнего шума
(tY, 2 — система с обратной связью и
внутренними шумами пя (/)
471
релированными, для спектральной плотности ошибки на основании
(XIII. 194) можем записать
~ | 1 + W (jw) | SSS (Ю) + | 1 + ф (jty | ^пп (®) =
- I Фег (/®) I2 Sgt (®) + | Фе„ (/со) |2 Snn (со).	(XI11.202)
В качестве меры точности системы регулирования при учете случай-
ных шумов и помех удобно выбрать среднее значение квадрата ошибки
е2 {t) = ВЕ8 (0) = al + ml,	(XIII.203)
где дисперсия ошибки
во	во
°® ~ ~2я J Sse (“)	~ ~2л J | 1 4- W (/со) ] Sgs d(S>
— ОО	— ОО
J |-гтЖгГ5"-м,1“-	<XIIL204)
— ВО
Вычисляя эти интегралы аналитически или численно, находим диспер-
сию, а затем и средний квадрат ошибки.
При аналитическом расчете спектральные плотности Syy (со) и Snn (со)
необходимо представить в виде дробно-рациональных функций частоты,
а затем использовать таблицы интегралов
= J- ? 	 х dco,	(XI 11.205)
" 2л J Яп(/ш)Я„(—/со)	v	'
—00
приведенные в прил. V. Здесь знаменатель является произведением сопря-
женных полиномов степени п:
(/со) = a* 4- а (/со)”-1 4-----h ап,
а числитель — полином степени не выше 2 (п—1):
Gn (/со) = Ьо {]Ъ)^ 4- bx +---+bn.
Пример XIII.11. Определить среднее квадратическое значение ошибки в следящей си-
стеме, если ее передаточная функция
S V 2S “г 1)
сигнал управления отсутствует (g (/) = 0), собственный шум сравнивающего и усилительного
устройств, приведенный ко входу, имеет равномерную спектральную плотность в полосе суще-
ственных частот системы:
Sn (<в) = с’.
Прежде всего найдем передаточную функцию замкнутой системы
ф =	М7\/<о+1)__________KUnTj+l) 
/co^jco+O + KtTJco+l) Т2(/®)2 + (1 + /<Л)/® + /< ’
Средний квадрат ошибки определяется интегралом
S==-ST	= 4 i
—ее	—со
По данным прил. V найдем
г __ — Ч~ aobi/az
2 2аоа1
472
Рис. XIII.22. Структур-
ная схема следящей систе-
мы радиолокационной
станции
n(t)r^e(t)

(TfSdXT^l^sd)
А?

s(TjS-1)(Tt^IXT5s^)
AjS2(^S*IX^X)

Подставляя сюда значения коэффициентов а0, aj и &0, bf из предыдущего выражения:
bQ ~ -cWT-i, Ьг = с2К2; а0 — Т2; ах = 1 + КТ^, а2 = К, получим
-2 _ Kc2 (KT2 + T2)
6	2Т2(КЛ+1) ’
Аналитический путь определения среднего квадрата ошибки пригоден только для отно-
сительно простых задач, когда передаточная функция системы вместе с корректирующим уст-
ройством не выше пятого — шестого порядка.
В более сложных случаях удобнее применить графоаналитический способ расчета.
Его преимуществом является использование результатов графоаналитических построе-
ний, проводимых при анализе устойчивости и качества системы методом логарифмических
характеристик. Напомним, что обе последних задачи должны быть решены, прежде чем будет
проведен анализ влияния помех и шумов. Рассмотрим применение метода на конкретном
примере.
Пример XII 1.12. Структурная схема следящей системы радиолокационной станции при-
ведена на рис. XIII.22.
Определить ошибку следящей системы в режиме контроля g (I) ~ 0, возникающую
из-за помех (внешнего и внутреннего характера), с постоянной спектральной плотностью
Sn (со) = 0,6 10“6 рад2-с.
В данном случае ошибка е (Z) = g (/) — х (/) = —х (/).
На основании структурной схемы следящей системы находим разомкнутую передаточную
функцию
(XIII.206)
где
B7(s) =...
kjk2
Wb (S) s (T1S + 1) (7’2S« + 2g2r2s + 1) (T3s + 1) (T4s + 1) (Tss + 1) ’
Msl(7\s+l)(7\s + l)
W“ (S)  (T3s + 1) (T4s + 1) (T3s + 1) (T8s + 1) (T3s + 1)2 (T10s + 1) •
Примем следующие значения для параметров следящей системы радиолокационной
станции:
Тг = 0,013 с; Т6 = 0,27 с; = 40 С1;
Уз =0,01 с; = 0,022 с; k2 = 25;
Т3 = 0,002 с; Т3 = 0,56 с; &а = 0,16;
Т4 = 0,02 с; Т3 = 0,268 с; g2 = 0,35;
На рис.: XI
wb и j । J
Тв = 0,11с; Т10 = 0,0017 с;
.23 построены логарифмические частотные характеристики по функциям
Сложив их, получим результирующие характеристики: амплитудную
| W | и фазовую 0. Из рис. XIII.23 видно, что замкнутая система будет устойчива при выбран-
ных значениях параметров. Для определения амплитудной характеристики замкнутой системы
воспользуемся номограммой (рис. XIII.24). Нанесем на нее логарифмическую амплитудно-
фазовую характеристику IT (/со); в точках пересечения этой характеристики со сплошными
линиями номограммы получим значения амплитудной характеристики замкнутой системы
[ Ф (/со) | =
W (ja,)
1 + (/<о)
473
Рис. Х1П.23. Логариф-
мические амплитудные и
фазовые частотные харак-
теристика радиолокаци-
онной станции
Фазовую характеристику строить нет необходимости. Перенесем значения |Ф(/со)|
на рис. XIII.25 (кривая 1), возведем их в квадрат и умножим числовые значения по оси орди-
нат на Sn (со) == 0,6-10'6 рад с2; получим, что кривой 2 соответствует выражение
| W (/to)
|1Н-Г(;со)
|2 5Л (со).
(XIII.207)
(кривая 2). Для применения формулы (XIII.204) построим зеркальное отображение относи-
тельно оси ординат кривой 2.
Рис. XI11.24. Номограмма замыкания
474
Рис. XIII.25. Характе-
ристика | Ф (/со) I2 к при-
меру XIII.12
Вычислим площадь под кривой 2 (см. рис. XIII. 25). Разделив полученное'значение
на 2л, определим
< - i- _j | rwcsy Гs"" -zr20’25'
Извлекая квадратный корень, находим среднее квадратическое значение ошибки:
а8 = ах = 1,79-10*? рад = 6,2'.
При числовых расчетах целесообразно вычислять интеграл (XIII.205) с помощью формул
прил. V.
10.	ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ И ШУМОВ
В качестве критерия оптимальности наиболее целесообразно выбрать
среднее значение квадрата ошибки системы В установившемся режиме.
Как и ранее, считаем, что на систему воздействует полезный сигнал g (/)
и некоррелированный с ним шум п (/). Предполагают известными спектраль-
ные плотности шума Snn (w) и случайной составляющей полезного сигнала
Sss (ш). Полезный сигнал может содержать также и нестационарное слагае-
мое, являющееся определенной функцией времени, например полиномом
первого, второго и более-высоких порядков. При этом математическое ожи-
дание ошибки не будет равно нулю, и средний квадрат ошибки в соответствии
с выражением (XIII.203) будет представлен суммой
Ё2 = и2втв.	(XIII.208)
Математическое ожидание ошибки определяют с помощью коэффициен-
тов ошибок. Для расчетов тЁ справедливы все формулы, полученные в п. 1
настоящей главы, в которых под е (/), g (t), g (/) и другими величинами сле-
дует понимать математические ожидания соответствующих сигналов.
Большой практический интерес имеет задача отыскания минимума
среднего квадрата ошибки (XIII.208) по одному или нескольким варьи-
руемым параметрам.
Такими параметрами могут быть общий коэффициент усиления системы,
постоянные времени корректирующих устройств и т. п. Как правило, эти
параметры входят в выражения для всех слагаемых е2, и для определения
их оптимальных значений необходимо приравнять нулю частные производ-
ные этой величины по варьируемым параметрам а,:
-g- = 0, i=l,2........k,	(XIII.209)
а затем убедиться, что в полученной точке действительно достигается мини-
мум. Впрочем, как правило, это очевидно из физических соображений.
В простых случаях уравнения могут быть решены аналитически.
475
Рис.'XI11.26. Логарифмические характеристики оптимальной системы
Пример XIII.13. Найти значение постоянной времени корректирующего звена, миними-
зирующее средний квадрат ошибки системы, рассмотренной в примере ХШ. 11.
На основании выражения (XIII.206) найдем, что
-2 _ , Кс*(КТ1+Т^
° гГгСКЛН-!) ’
Уравнение (XIII.207) в данном случае имеет вид
d&	Кс2 Г 2KTt (КТ\ + 1) - (КТ1 + Т2) К 1 Л
dTt	2Т2 L	(KTx+l)3	J
или
т2 ! 2 т Тг _ л
+ Х Л—^- = о,
откуда находим 
Отбрасывая отрицательное значение для 7\ и учитывая, что обычно- КТ2 > 1, получим
Л = -у (/1 +Хт2-1) «	.	(ХШ.210)
Логарифмические характеристики разомкнутой системы представлены на рис. ХШ.26.
Кривая 2 соответствует оптимальному значению постоянной времени Тг [см. выражение
(ХШ.210)].
Легко-убедиться, что при данном значении 7\ достигается действительно минимум
ошибки. Очевидно, что при уменьшении со1 = -=— полоса пропускания системы будет увели-
11
чиваться и среднее квадратическое значение шума на выходе будет расти (кривая /).
Увеличение соf = приведет к уменьшению запаса по фазе на частоте среза (кривая 3)
11
и, следовательно, к росту колебательности замкнутой системы, а в передаточной функции
увеличится максимум характеристики |Ф | вблизи частоты среза. Составляющие шума на входе
системы с частотами, близкими к резонансной частоте системы, будут передаваться на выход
с большим усилением, и средний квадрат ошибки снова возрастет. Минимальное значение
его находим, подставляя найденное значение 7\ в выражение (XIII.206):
~2
т1П /кт2+1

Аналогично можно поставить задачу отыскания коэффициента К, обеспечивающего
минимальное значение е2. Получающееся квадратное уравнение относительно К не имеет
действительных положительных корней, и с ростом К среднее-значение квадрата ошибки моно-
тонно убывает.
476
ГЛАВА XIV
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Типовые нелинейные элементы в системах автоматического
регулирования. 2. Исследование устойчивости нелинейных систем
по второму методу Ляпунова. 3. Анализ устойчивости нелинейных
систем методом фазовой плоскости. 4. Применение метода гармо-
нической линеаризации для анализа устойчивости нелинейных си-
стем автоматического регулирования. 5. Структурные преобразо-
вания нелинейных систем автоматического регулирования. 6. Анализ
автоколебаний в системах автоматического регулирования с двумя
нелинейностями. 7. Двухконтурные нелинейные системы автомати-
ческого регулирования. 8. Медленно меняющиеся процессы в автоколе-
бательных системах. 9. Способы подавления автоколебаний в нели-
нейных системах. 10. Вынужденные колебания в нелинейных систе-
мах. 11. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем.
12. Случайные процессы в нелинейных системах.
Как известно, поведение всех объектов и устройств управления авто-
матическими системами описывается нелинейными дифференциальными или
разностными уравнениями, и при проектировании систем автоматического
регулирования приходится анализировать или решать нелинейные уравне-
ния. Однако до настоящего времени общих методов анализа или решения
этих уравнений не существует. Поэтому при проектировании пользуются
методами линеаризации уравнений (что не всегда допустимо) или применяют
некоторые частные способы анализа нелинейных уравнений: второй метод
Ляпунова, фазовой плоскости, гармонической линеаризации и абсолютной
устойчивости В. М. Попова [2, 44, 49, 76].
Линеаризация нелинейных уравнений относится к такому виду идеа-
лизации математической модели системы регулирования, при которой не
удается выявить режимы автоколебаний, субгармонических колебаний,
скачкообразный резонанс, явление синхронизации, вибрационной линеа-
ризации, влияние амплитуды управляющего сигнала на устойчивость и т. п.
Метод фазовой плоскости является точным, но имеет ограниченное при-
менение, так как практически неприменим для систем регулирования, опи-
сание которых нельзя свести к управлениям второго порядка.
Метод гармонической линеаризации относится к приближенным методам,
он не имеет ограничений по порядку дифференциальных уравнений. Однако,
если линейная часть системы регулирования обладает значительным резо-
нансом, то применение метода гармонической линеаризации к нелинейным
уравнениям приводит к ошибочным результатам [711. В случае слабой филь-
трации сигналов линейной частью системы при использовании метода гармо-
нической линеаризации необходимо учитывать высшие гармоники [66].
При этом усложняется анализ устойчивости и качества процессов регули-
рования нелинейных систем.
Второй метод Ляпунова (см. гл. XI) позволяет получить лишь достаточ-
ные условия устойчивости. И если на его основе определена неустойчивость
системы регулирования, то в ряде случаев для проверки правильности
полученного результата следует заменить функцию Ляпунова на другую
и еще раз выполнить анализ устойчивости. Кроме того, сейчас не существует
общих методов определения функции Ляпунова [76], что затрудняет практи-
ческое применение этого метода.
Критерий абсолютной устойчивости позволяет анализировать устой-
чивость нелинейных систем с помощью частотных характеристик (см. гл. X,
XI), что является большим преимуществом данного метода, так как объе-
диняет математический аппарат линейных и нелинейных систем в единое
целое. К недостаткам этого метода следует отнести усложнение расчетов при
анализе устойчивости систем с неустойчивой линейной частью. Поэтому для
получения правильного результата по устойчивости нелинейных систем
477
приходится пользоваться различными методами. И только совпадение раз-
личных результатов позволит избежать ошибочных суждений об устойчи-
вости или неустойчивости проектируемой системы автоматического регули-
рования.
1. ТИПОВЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Раньше было показано, что в нелинейных системах автоматического ре-
гулирования можно выделить нелинейный элемент, при этом система регу-
лирования распадается на две части: линейную и нелинейную. На рис. XIV.1
показаны принципиальные схемы систем регулирования с нелинейными
элементами (нелинейностями). Релейная система автоматического регули-
рования температуры печи (рис. XIV. 1, а) состоит из печи / и релейного ре-
гулятора температуры. Электрическая печь нагревается подогревателем 9.
Температура печи изменяется с помощью заслонки 8 и путем подачи охлаж-
дающего потока воздуха. Для измерения температуры печи применен тер-
морезистор 2, включенный в мостовую схему 3.
В зависимости от полярности тока в диагонали моста происходит замы-
кание левого или правого контакта реле 4, и ток через контакты реле посту-
пает в одну из обмоток 5 возбуждения электродвигателя 6. Электродвигатель,
вращаясь, поворачивает через редуктор 7 заслонку 8. При увеличении тем-
пературы & в печи заслонка открывается, а с уменьшением температуры —
закрывается.
Соответствующая структурная схема релейной системы регулирования
приведена на рис. XIV.2, а. Из схемы видно, что устройства 1, 3 и 4 обра-
зуют линейную часть системы (/ — мост, одним из плеч которого является
терморезистор; 3 — электродвигатель с редуктором; 4 — печь). Переда-
точную функцию линейной части запишем в виде
TJ7 ____ ______kjkzkp_____
4(т0з+1)(Гдв5+1) *
Реле 2 — нелинейный элемент (НЭ), представляющий собой нелиней-
ную часть системы.
На рис. XIV. 1, б изображена принципиальная схема регулятора на-
пряжения генератора 1 [83 ]. В этой системе в качестве измерительного уст-
ройства применен соленоид 5 с якорем 4. При отклонении напряжения гене-
ратора от заданного значения и3, устанавливаемого предварительным натя-
гом пружины 6, якорь 4, смещаясь, замыкает либо контакт К1( либо /С2
Рис. X1V.1. Принципиальные, схемы нелинейных систем автоматического регули-
рования	"
478
в)
реле, управляя направлением вращения электродвигателя 3. Электродвига-
тель перемещает движок реостата 2, включенного в цепь возбуждения гене-
ротора. В результате этого изменяется напряжение генератора иг до тех
пор, пока оно не станет равным заданному. Тогда якорь 4 окажется в ней-
тральном положении.
Структурная схема регулятора напряжения показана на рис. XIV.2, .6.
Линейная часть системы состоит из следующих устройств: / — соленоид
с якорем и пружиной; 3 — сериесный электродвигатель прстоянного тока;
4 — генератор.
Передаточная функция линейной части
пр	.
л S (Т^4-2gHTas4-1) (Тдв5 + 1)(*rs4-1) ’
нелинейная часть 2 — это реле.
На рис. XIV.2, в показана структурная схема следящей системы. В нее
входят линейная часть, состоящая из устройств: 1 — сельсин-приемник
и сельсин-датчик; 2 — магнитный усилитель; 3 — электромашинный. уси-
литель; 4 — электродвигатель; 5 — редуктор (передаточный коэффициент);
7 — тахогенератор; 8 — /?С-цегючка и нелинейная часть 6 — люфт в ре-
дукторе (НЭ).
В системах автоматического регулирования широко используются раз-
личные нелинейные элементы: релейные (двухпозиционные и трехпозицион-
ные), насыщения, нечувствительности, «сухого» трения, гистерезиса, люфта,
логического типа и т. д. Для математического описания нелинейных эле-
ментов воспользуемся зависимостью вида
у (/) = F (х),
где х (/) = A sin at — сигнал на входе нелинейного элемента; у (/) — си-
гнал на выходе нелинейного элемента.
Изменение выходного сигнала зависит от вида нелинейного элемента.
На основании формы выходного сигнала составляют математическое опи-
сание нелинейного элемента.
В табл. XIV.1 приведены виды характеристик нелинейных элементов,
формы выходных сигналов и математическое описание нелинейностей.
Пользуясь приведенными математическими зависимостями, можно состав-
лять уравнения, описывающие динамические процессы в релейных системах
автоматического регулирования.
479
Таблица XHL- 7
Типовая нелинейность	Вив нелинейной характеристики				Форма сигнала на выходе нелинейности							Математическое описание нелинейности
Зона насыщения	в -С		У	 Ай	х				x(t)=Asincot \ \Л*ф 2л-ф Mt				y(t) -kA sin cot;	04 cot 4 tp, y(t}-kA slncp;	<p4tot4^-cp; y(t)=KAsinu)t:	7t-<p4COt47t' s ,	. c гае <p-arcsin
	1	> 1 / 1/		С С -В tgfl-k			(р 7Г-ф\					f27r /	
Зона нечувст- вительности	-с		У k		у 0	,	x(t}*Aslnut ЯП'ф 2 л <yt ф Л-ф *'-~Х2л-ф						y/t)-O;	Olatiip; ylt)^h(Asinut-c);	фрц>1^гг-ф: y(t)=B:	л-Ф^ыпл. r где tp^arcsin —
	/ 5		С X tgfi^k									
„Сухое трение"	а		£	 X		У 0	—			x(t)aA$incot 2л tot			y(t)=B;	0<сзИл; y(t)=-B,	л<ыИ2л
	0		-В			It			—			
Переключение сигнала по уровню +В или “В при наличии Зоны нечувст- вительности	5 -С		У		у 0			x(t)-Asincot Л+<р 2ТТ cot				y(tj*O:	0(иИф: ylt)-8;	ф<иил-ф. y(t}=0,	л-ф<1лИЯ+ф, y(t)=-B;	я+ф^ш142Л-ф; g(t)*O:	2л-фх^^2л. r eSe ф=are sin
	IZ		с -в			Ф / л\ я-ф					2л-ф	
Двухпозицион- ный релейный Элемент	-с	в	.У	X	У 0		It			x(t)=Asinut 2Л cot		ylt)=0:	/НиМф. y(t}-B;	ф<<лИл*ф. y(t)=-B.	Л+фхыИгл^ eSe ф=агсз1п &
		0	-в	с1		ф				Л>0[ 1		
												
Трехпозицион- ный релейный Элемент	в1 -С -тС		У		У 0.		—	x(t)-Asincot 7T^tpf Л+фг cot				y(t)=0;	-	04 cot4 tfy , y(t)s8:	(pi<Lot4<p?: y(t)s0;	ip2<cot4m*<pv y(t)--B;	7T+yj}<cot47f+<fy, y(t)-O;	7T+tp2<cot42K, где (p^arcsin (p2=arcsin
			тС С -8			Ф,							2л	
Людзт	в' -с/		У/	,		У О'		 x(t)*Asiniot /l\rf 2?						y(t}=k(Asinut-C);	O&utiyi ytt)=B; y(t'!-k(Asinut-fC);	ф4 wti ytt)”-B:	~^и1(*7!+ф; y(t)^hlAslnut^C);	л^ф2,шИ2Л, eSe ф^я-arcsm p-
	/0		/0	* -В tgfi*k									
Петля гистерезиса	В -с/		У /\Д		У. О'	x(t)-Asincot /ГД & I / 1 IA Z М * г \1_/						y(t)=k(Asincot~C);	04tot4 IT; y(t)=8.	^4cot4cp: y(t}=k(Asincot+C);	(p4cot4~ , y(t)=-B;	^~^u)t47r+ip; yit^kfAsinut+C)’,	7T+ip4cot427r, где ф = тт-агс sin p-
	/о		/с \ -8 tgfi^k									
480
Пример XIV.1. Составить дифференциальные уравнения системы автоматического регу-
лирования температуры с нелинейным элементом (см. рис. XIV.1, а).
Уравнение печи запишем в виде
Т’о5+'»(0=-*о<Р,	(XIV. 1)
где То — постоянная времени печи; k0 — коэффициент эффективности воздействия заслонки
на температуру печи; <р — угол открытия заслонки.
Ток в обмотке реле
t = M.	(XIV.2)
где ki — постоянный коэффициент, зависящий от параметров моста и обмотки реле.
Запишем уравнение реле в виде
e = F(i).	(XIV.3)
Данную нелинейную характеристику в зависимости от типа реле задают выражениями,
приведенными в табл. XIV.1.
Уравнение электродвигателя запишем в упрощенной форме:
1 дв Л» + dt ~ 2 ’
(XIV.4)
где Тдв — постоянная времени электродвигателя; k2 — коэффициент передачи электродвига-
теля и редуктора.
На основании уравнений (XIV.1) (XIV.2) и (XIV.4) составим общее уравнение динамики
всей системы регулирования:
d3i	d2i di . , .
ТоТдв + (^о + Тдв) ^5 +
(XIV.5)
Рассмотрим поведение данной системы при использовании релейных элементов различ-
ных типов — идеального реле с зоной нечувствительности и реального двухпозиционного
реле !. Тогда можно составить две системы линейных уравнений, описывающих систему на
отдельных участках.
Случай 1. Уравнение релейного элемента определяем по данным табл. XIV.1. Тогда
уравнение (XIV.5) можно переписать в виде
7УГдв^+(То+ ^b)^ + 4
’ 0 при |i | < С;
— ktskik2B при i > С;
0 при | i | < С;
kfjk^B при i < — С;
. 0 при | i | < С и т. д.
Случай 2. Для реального двухпозиционного
(XIV.5) имеем
релейного элемента вместо выражения
d$i	d2i di
ТОТЛв^+(То+Тм)^ + г
k0k1k2B при | i | < C;
kfjk^B при i > C;
— kakjk2B при | i|<C;
—при i < — C;
при | i | < С и т. Д.
(XIV.6)
(XIV.7)
2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ПО ВТОРОМУ МЕТОДУ ЛЯПУНОВА
Второй (или прямой) метод Ляпунова позволяет анализировать устой-
чивость систем автоматического регулирования не только в L-окрестности
(в малом), но и (в большом) в ограниченной области. Для доказательства этого
положения рассмотрим систему автоматического регулирования, изображен- 1
1 Во втором случае трехпозиционное реле заменяется двухпозиционным.
16 Ив ащенко Н • Н-
481
Рис. XIV.3. Структурная схема не-
линейной. системы, автоматического ре-
гулирования с внутренней обратной
связью
ную.на рис. XIV.3. Уравнения.динамики
системы представим в- следующем виде:
у = Ay4-bF(e);
е — сту — hF (е);
х = сту.
(XIV.8)
Введем в рассмотрение функцию Ля-
пунова
е
V (У> е) = yTPy + j F U) dz, (XIV.9)
о
где Р — произвольная симметричная, положительно определенная матрица.
Отсюда
V (у, е) = утРу + утРу + F (е) е = ут (АТР + РА) у ф- F (е) [ЬтРу + .
4- утрь сту] - hP (е).	' (XIV. 10)
Ранее было доказано (см. гл. XI), что для устойчивой линейной части
системы регулирования
АФ4-РА = —Q,
где Q — произвольная симметричная, положительно определенная ма-
трица.
Тогда из (XIV. 10) найдем
У (У, в) = — yTQy + F (е) (ЧТУ — УТЧ) — hP (е) = — yTQy 4- 2F (е) qTy —.hF2 (е),
где
q = Pb4--|-.	(XIV. 11)
Перепишем уравнение (XIV. 11) в матричной форме:
У
F(e)
Для того чтобы матрица V была отрицательно определенной, необходимо
иметь матрицу
положительно определенной.
Для положительной определенности матрицы R достаточно, чтобы оп-
ределитель | 7? | был положительным, так как матрица Q, по условию, поло-
жительно определенна.
Введем в рассмотрение матрицу
Г Q"1 о 
QT 1 ’
S =
определитель которой также положителен.
Здесь принято, что 0 — нулевой вектор n-го порядка. Отсюда следует,
что
|RS| =
I —Q-1q
—q ь
о,
или
b>qTQ"‘q.
. (XIV. 12)
482
Неравенство (XIV. 12) является,условием положительной.определенности
матрицы Q. и гарантирует, что функция V, задаваемая выражением (XIV.9),
представляет собой функцию Ляпунова. При условии обеспечения
со
lim F (z) dz = оо	—	—
е-»о$
имеем V —> оо, когда Цу Ц + | е | —> оо. В этом случае система уравнений
(XIV. 8) абсолютно устойчива.
Пример XIV.2. В системе автоматического регулирования (рис. XIV.3) примем, что
(0,17s+D
w (0,5s + 1) (0,33s +!)•
Требуется определить наименьшее значение h, при котором гарантируется абсолютная
устойчивость системы регулирования, если матрица Q диагональная.
По передаточной функции W (s) и структурной схеме (рис. XIV.3) запишем векторно-
матричное уравнение
ё = 4ух — Зр, — hF (е).
Примем, что
Р = [₽//]; г,/ = 1,2.
Тогда из уравнения
А1*» + РА = —Q
найдем
— 4рц — 5pvl Г— а СИ
— 5р21 — 6р22 J	L 0 — р J ’
ИЛИ
Так как в нашем примере
то q = Pb +	,
откуда
Для выбора величин а и Р воспользуемся необходимыми условиями минимума, т. е.
д
ар
откуда получим а = 8, Р = 9. Подставив эти значения а и Р в неравенство, найдем, что h > 2.
16*
483
Рассмотренный метод анализа абсолютной устойчивости можно рас-
пространить на нестационарные нелинейные системы, описываемые урав-
нением вида х = f (х, f). Для этого следует воспользоваться производ-
ной функции Ляпунова вида
dV (х, t) v dV f . dV .	, IAt s . dV
(x>°	= (gradV) f +^r-
Весьма удобным для анализа стационарных и нестационарных систем
является метод Д. Шульца, изложенный в гл. XI. Воспользуемся этим ме-
тодом и проанализируем устойчивость нелинейной системы, описываемой
уравнением
х 4~ 2g (1 —а|х|)х4-х = 0.
Перепишем это уравнение в виде
х 4- р (х) х + г (х) = 0.
Введем следующую переменную:
i
г — х + J р (х') dx'.
и
В результате этого получим
i
. f	ха
х == г — f(x')dx' — z — х
о
z = г (х) = — х,
где принято
2g = a=l.
Сформируем функцию Ляпунова в виде
V = х2 + z2.
Пользуясь схемой на рис. XIV.4, при 2g = а = I запишем
Xi = х2;
Х2 = —- х2 +1 хх I х2 — хг
Подставим полученные значения в выражение для производной функ-
ции Ляпунова:
= ххх2 (ап - аи 4- а211 хх | - 2) + х$ (а12 — 2 4- 21 хх |) - а21х|.
Положим, что а12 = 2 — 2|хг|; тогда а21 — 2—| хг |. При такой под-
dV	.
становке член XjX2 в выражении пропадает, если принять а1± — 4 —
31 Xi | 4- xl. В результате этого получим
 ^==_х?(2_ |Х1|).
Воспользуемся методом Д. Шульца (см. п. 2 гл. XI); тогда
W =
'4x1 4~ 3xi | xi | 4- xl 4" 2x2 —- 2 | Xi | хг;
2Xi — | xt | хг 4- 2х2.
Согласно (XI.41) получим
V — 2X1 — I Х1 | X2 4-	4- 2X1X2 — | Х1 | Х1Х2 4- xl.
484
Рис. XI V.4. Структурная схема не-
линейной системы автоматического ре-
гулирования
Рис. XIV.5. Области устойчивых и не-
устойчивых состояний нелинейной си-
стемы регулирования по Ляпунову
По данной функции можно построить замкнутую кривую на плоскости
(хь х2) (рис. XIV.5). Из рисунка видно, что при V = 4 получается замкну-
тая кривая, которую в дальнейшем будем именовать предельным циклом.
На этом же рисунке штриховыми линиями внутри предельного цикла по-
казана фазовая траектория для устойчивого процесса, а вне замкнутого
цикла — для неустойчивого.
Область устойчивости, найденная по этому методу, будет и при | хг | > 1,
в то время как метод фазовой плоскости дает область устойчивости в диапа-
зоне— 1 <хх < 1. Последнее указывает на то, что метод Ляпунова при
анализе устойчивости нелинейных систем является более общим.
3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ
ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
Метод фазовой плоскости теории автоматического регулирования был
введен А. А. Андроновым [26]. Сущность метода заключается в построении
фазовых траекторий по дифференциальным уравнениям в системе коорди-
„	dx
нат: отклонение регулируемой величины х и скорость ее изменения У = ~^р-
Процесс изменения траектории представляет собой движение изображаю-
щей точки на плоскости. Начальные условия системы определяют первона-
чальное положение изображающей точки на фазовой плоскости. Совокуп-
ность фазовых траекторий в плоскости (х, у) представляет собой фазовый
портрет.
Построим на фазовой плоскости некоторые наиболее характерные фа-
зовые портреты. Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением
второго порядка:
+ 2£Г-^ + х(0 = 0.	(XIV.13)
Рассмотрим следующие случаи.
Случай Г. g = О, т. е.
Г2-$- + х(0 = °.	(XIV. 14)
Решение этого уравнения запишем в виде
х (/) = A sin ©/;
y(t)~	= Дсоcos®/,
я' at
(XIV. 15)
где ® = 2л/Т.
.485
На основании выражений (XIV. 15) нетрудно найти следующее соотно-
шение:
х2 у2
(XIV. 16)
которое представляет собой уравнение эллипса с полуосями А и соЛ. При
различных начальных значениях Д(- на фазовой плоскости получаем семей-
ство подобных эллипсов, которые не пересекаются и имеют общий центр
(рис. XIV.6, а).
Уравнение фазовой траектории можно записать и в другом виде. Из
уравнения (XIV. 14) имеем
Т^4-х(/) = °,	(XIV. 17)
dx
по = у, откуда
d/ = -y.	(XIV.18)
- Подставив соотношение
преобразований, получим
(XIV. 18) в уравнение (XIV. 17) и сделав ряд
dy __	1 х
~dx~ Т*~у~‘
(XIV. 19)
Возьмем на одном из эллипсов (рис. XIV.6, а) точку Л40 с координатами
(х0; У о)- Соответствующее положение этой точки в координатах х, t показано
на рис. XIV.6, б. Точка (хг;0) на рис. XIV.6, а соответствует точке
на рис. XIV.6, б и т. д. Таким образом, движение изображающей точки на
фазовой плоскости (х, у) по эллипсу представляет собой периодический
процесс с постоянными амплитудой А и частотой со = 2л/Т (автоколебания).
Случай 2 : 0 < g < 1. В этом случае уравнение (XIV. 13) имеет комплек-
сно-сопряженные корни = —а + /со и = —а — /со, и его решение
имеет вид
х (t) = e~ai -j- C^-i^),	(XIV.20)
или
х(/) = е-“* [(Сх 4-С2) cos со/4~ j (Ci — C2).sinco/]. (XIV.21)
При любых начальных условиях имеем действительное решение, т. е.
Cj = С2,
х (/) = Ле-01* cos со/,	(XIV.22)
где А = Сг + С2.
Отсюда
У — —Ae.~at (a cos со/-j-<о sin со/).	(XVI.23)
Пользуясь выражениями (XIV.22) и (XIV.23), нетрудно получить со-
отношение для радиус-вектора
R2 = х2 4- у2 = A2e~2ai [cos2 со/ 4- (a cos со/ со sin со/)2].	(XIV.24)
Данное уравнение соответствует свертывающейся логарифмической
спирали, так как при / —► оо радиус-вектор R стремится к нулю
(рис. XIV. 7, а).
Уравнение (XIV. 13) можно переписать в виде
T2-^-4-2^Tz/4-x = 0.	(XIV.25)
486
Рис. XIV.6. Фазовый портрет системы вто-
рого порядка и переходный процесс в ней при
1 = 0
Рис. XIV.7. Фазовый портрет системы вто-
рого порядка и переходный процесс в ней при
Подставляя соотношение (XIV. 18) в уравнение (XIV.25), получим
следующее выражение для фазовых траекторий:
dy _	1 х + ^Ту
dx Т* у
(XIV.26)
Возьмем на одной из фазовых траекторий (рис. XIV.7, а) точку
Л10 (*о, Уо)- Перенесем эту точку на плоскость (х, t) (рис. XIV.7, б). Дви-
гаясь по фазовой траектории, получим затухающий колебательный процесс
(рис. XIV. 7, б).
Точка равновесия является особой точкой фазовой плоскости и назы-
вается устойчивым фокусом.
Случай 3: —1 < § < 0. Корни характеристического уравнения =
а-}-/©; Х2=4=а — /а>; и решение уравнения (XIV. 13) имеет следующий вид:
х (/) — AepJ cos со/,	(XIV.27)
откуда
у (/) = -^ =	(« cos cpt — со sin со/).	(XIV.28)
Из выражений (XIV.27) и (XIV.28) найдём
R2 = х~ -J- у2 = K&at [cos2со/ 4- (a cos со/ — со sin со/)2].	(XIV.29)
Это уравнение соответствует развертывающейся логарифмической
(рис. XIV.8, а).
спирали, так как при / —> оо имеем R -
Из уравнения (XIV.13) при g<jQ получим
’ L.J&Ty (XIV.30)
dx Т2 у ’	'	'
т. е. снова имеем уравнение разверты-
вающейся' спирали.
На рис. XIV.8, б в плоскости (х, 7)
построен переходный процесс в системе,
соответствующий движению Изобража-
ющей точки по фазовой траектории
из точки Л10 (х0, у0).
Как видно из рис. XIV.8; б; пере-
ходный процесс представляет собой
незатухающий колебательный процесс
Рис. XIV.8. Фазовый портрет системы
второго порядка и переходный процесс в ней

487
Рис. XIV.9. Фазовый портрет системы второго порядка и переход-
ный процесс в ней при g 7> 1
(XIV.31)
(XIV.32)
(XIV.33)
с неограниченно возрастающей амплитудой. Точка равновесия на фазовой
плоскости называется неустойчивым фокусом.
Случай 4: £ > 1. В этом случае имеем соотношение для радиус-вектора
в виде выражения (XIV.24), а фазовые траектории описываются уравнением.
(XIV.26). Фазовые траектории построены на рис. XIV.9, а. Точка равно-
весия называется устойчивым узлом. Фазовые траектории, имеющие точку
равновесия в виде устойчивого узла, соответствуют апериодическому зату-
хающему переходному процессу. Кривые 1—6 на фазовой плоскости соответ-
ствуют апериодическим кривым 1—6 на плоскости (х, f) (рис. XIV.9, б).
Случай 5: § < — 1. Движение изображающих точек направлено от
точки равновесия системы к бесконечно удаленной точке фазовой плоскости
(рис. XIV. 10, а). В этом случае положение равновесия системы неустойчи-
вое. Точка равновесия данного типа называется неустойчивым узлом. Пере-
ходные процессы построены на рис. XIV. 10, б.
Случай 6: £ = 0; неустойчивое звено, т. е.
T^-x(t) = Q.
Из уравнения (XIV.31) найдем
dy	1 х
dx	Т2 у
Интегрируя уравнение (XIV.32), получим
2 х2 _ са
Р у-a уа >
где С — постоянная интегрирования.
Выражение (XIV.33) представляет собой уравнение семейства равно-
сторонних гипербол, симметричных относительно главных осей. На
рис. XIV. 11 показан вид семейства фазовых траекторий, построенных по
уравнению (XIV.33).
Определим асимптоты семейства гипербол, для чего положим С = 0.
Уравнения асимптот будут
р =	|	(xiv.34)
488
Рис. XI V.10. Фазовый портрет системы второго порядка
и переходный процесс в ней при J — 1
Рис. XIV.11. Фазовый портрет в системе для неустой-
чивого звена при отсутствии демпфирования (g = 0)
Направления движения изображающих точек на фазовой плоскости по
асимптотам показаны на рис. XIV. 11. Из этого рисунка видно, что движение
всех изображающих точек по гиперболам происходит от точки равновесия
в бесконечность. Движение точек по асимптотам 1 и 3 также направлено
в бесконечность. Изображающие точки по асимптотам 2 и 4 стремятся к по-
ложению равновесия. Точка равновесия представляет собой особую точку
фазовой плоскости, называемую седлом.
По фазовым траекториям можно судить об устойчивости линейных си-
стем автоматического регулирования, если их поведение описывается диф-
ференциальными уравнениями второго порядка. Рассмотренные выше осо-
бые точки фазовой плоскости соответствуют положениям устойчивого или
неустойчивого равновесия систем.
Фазовые траектории можно строить и для релейных (нелинейных)
систем регулирования второго порядка и с их помощью анализировать устой-
чивость таких систем. Следует заметить, что для нелинейных систем’необ-
ходимо знать не только вид особых точек, но и характер особых траекторий.
Имея фазовый портрет системы, находят по нему особые точки и траектории
и определяют характер устойчивости системы в большом и в малом [21, 63].
Методы построения фазовых портретов. Как было показано раньше,
для построения фазового портрета используют различные способы графи-
ческого интегрирования дифференциальных уравнений. Наибольшее приме-
нение получили следующие методы: решения уравнений по участкам, изо-
клин, Льенара.
Метод решения уравнений по участкам. Зная дифференциальные урав-
нения систем на отдельных участках, построим их фазовые траектории на
плоскости (х, у).
Пример XIV.3. Построить фазовые траектории для релейной системы автоматического
регулирования температуры печи (см. рис. XIV. 1). Уравнение этой системы с идеальным реле
с зоной нечувствительности имеет третий порядок. С целью понижения порядка уравнения
примем, что ТцТЛЗ мало, тогда после подстановки выражения (XIV.2) в (XIV.6) получим
уравнения для трех участков:
Л2Л ла	С	С
	(7’0+7'дв)-^-+^ = 0 при-----(XIV.35)
ill	ill	A-J
dft	C
+	при	(Xiv.36)
cii	cii	«j
rfZft rift	C
(To+r»)^ + g = W при <><--£-.	(XIV.37)
489
Рис. XIV. 12. Построение фазового пдртрета
нелинейной системы с идеальным реле с зо-
ной нечувствительности
Уравнение фазовых траекторий по фор-
муле (XIV.35) найдем после подстановки
с»
0 = х и — = у,
т. е.
(То + Тдв)-^- = -у.
Так как dt —	, то последнее урав-
нение можно переписать в следующем виде:
Решение этого уравнения
и — — -=—Дт=— х 4- (S,
Т0 + Тдв т 11
где Cj — произвольная постоянная интегри-
рования.
С	С
Для построения фазовых траекторий на участке-------г- < О < -г- проведем прямые
«1	«1
с наклоном —д- — при различных значениях Cj. Эти прямые заполняют полосу между
'от^дв
линиями переключений реле /—I и II—II (рис. XIV.12). На прямых проставим стрелки
В соответствии со следующим правилом: в верхней половине плоскости, где 0, изобража-
ющая точка всегда движется слева направо, а в ннжней пбловнне плоскости, где у < 0, справа
С
налево, т. е. по часовой стрелке.’Правее линии II—//, где	-т—, из уравнения (XIV.^6)
«1
имеем следующее выражение:
 (Т0 + Тдв) ^. = -у-МаВ,	-	(XIV.38)
или -
.............................9(Т0	+ Тдв)^ = -у-МаВ,	(XIV.39)
откуда
........................ ~	- dx = -(To + TaB) 	(XIV.40)
У -г й0«2й
Для интегрирования-выражение (XIV.40) перепишем в виде
Откуда
х = (Г° + Гдй) V+WJ ~ {Т° + Гдв) J dy + Са’
х — — (То -|- Тдв) [fe3fe2B ln I У + k^k^B | —у] -|- C2.
(XIV.41)
По уравнений.(XIV.41) Правее линии ZZ—ZZ построены фазовые траектории при различ-’
ных значениях Сг.
Q
Перейдем к решению уравнения (XIV.37) при &<-------т-!
й1
	У(П-Т'лв)^- = -у+М2В,	'(XIV.42)
ИЛИ	
откуда	X ~ — (То 4" Тдв) [кекгВ 1п [ у — kok2B | + у]—С3.	(XIV.43)
По уравнению (XIV.43) левее линии Z—Z на рис. XIV. 12 построены фазовые траектории
при различных значениях С3. Таким образом был построен фазовый портрет для релейной
системы автоматического регулирования температуры печи.
490
Рассмотрим переходный процесс в этой системе. Для этого на рис. XIV. 13 обозначим
характерные точки Мо (х0, ув); Mf, М2; Ms- Mt; Ms и Мй. Перенесем эти точки на плоскость
(х= 0; /); тогда получим переходный процесс в системе (рис. XIV. 13). Как видно из рисунка,
переходный Процесс затухает, а остановка процесса регулирования происходит в любой точке
зоны нечувствительности реле.
Пример XIV.4. Уравнения системы регулирования температуры печи с двухпозиционным
реле с петлей гистерезиса имеют третий порядок. Понизим порядок уравнений до второго,
приняв ТВТДВ = 0; тогда, подставив i = krf в уравнение (XIV.7), получим
С	С
при О > -т— ; О <----—
«1 . «1
(Го+^в)-5-—=
(XIV.44)
С ' С
при
(То + Тдв)	= квкяВ.
(XIV. 45)
Уравнение фазбвых траекторий получим после подстановки в выражения (XIV.44) и
(XIV.45) О = х; -п- — у и исключения времени t, т. е.
У(7’о + Гдв)^- = -у + МаВ
И
У (Де + Ддв) — — У -—: квквВ,
откуда найдем решения в виде уравнений (XIV.41) и (XIV.43).
Для построения фазовых траекторий на рис. XIV. 14 проведем две линии переключений:
dO	С	dO
при -я- = 0 — вправо от оси ординат иа расстоянии -т— и при —— = 0 — Влево от оси
dt	rSj	dt
с
ординат на расстоянии----. Семейство фазовых траекторий построено на фазовой плоскости
(рис. XIV. 14).	1
Из рис. XIV. 14 видно, что при больших начальных отклонениях в системе ее фазовые
траектории соответствуют затухающему колебательному переходному процессу до установ-
ления некоторой амплитуды А и частоты-и. При малых начальных отклонениях фазовые
траектории соответствуют нарастающему колебательному переходному процессу с установле-
нием тех же значений амплитуды и частоты (рис. XIV.15). Границей между расходящимися
и сходящимися фазовыми траекториями служит замкнутая кривая М0Л4	0 (см.
рис. XIV.14). Эта замкнутая кривая соответ-
ствует периодическому колебательному про-
цессу с частотой и и амплитудой А (или авто-
колебаниям). Амплитуда автоколебаний А
определяется длиной отрезка ОМ3 оси абсцисс,
а частоту автоколебаний находят по длине
ОГрезка ОВ Оси ординат, равной Ли.
Рис. XIV.13. Переходный процесс в Рис. XIV.14. Построение фазового -пор-
нёлинёйнОй ' системе 'с ' идеальным. трета нелинейной системы с реальным
релейным Элементом	........деухпозициднным релейным элементом
491
Рис. XIV.15. Переходные процессы в нелинейной системе с Рис. XIV. 16. К определению
реальным двухпозиционным релейным элементом
амплитуды и частоты автоколе-
баний в релейной системе
Периодический процесс в данной релейной системе является устойчивым, так как при
изменении начальных условий в системе всегда устанавливается процесс с амплитудой А и
частотой со. Как видно нз рис. XIV. 14, амплитуда н частота автоколебаний не зависят от
начальных условий, а определяются только параметрами системы автоматического регули-
рования k0, k2, В, Tg и ТЛВ.
Пример XIV.5. Определить приближенно частоту и амплитуду автоколебаний по фазо-
вому портрету, построенному на рис. XIV. 14/Для упрощения рассуждений будем считать, что
кривая Л40Л1 хЛ<аЛ13Л10 является эллипсом (рнс. XIV. 16); тогда колебания будут синусоидаль-
ными, т. е.
О' = Л# sin	(XIV.46)
где — амплитуда автоколебаний; <вй — частота автоколебаний.
Отрезок ОМ3 соответствует амплитуде автоколебаний Л^; частоту автоколебаний опре-
деляют по формуле
(XIV.47)
где ОВ — ось эллипса.
В тех случаях, когда аналитическое решение нелинейного дифферен-
циального уравнения невозможно, применяют приближенные графические
способы их интегрирования (методы изоклин и Льенара).
Метод изоклин. Допустим, что нелинейное дифференциальное уравне-
dx
ние второго порядка путем замены у — -гг- можно привести к виду
и
откуда
|- = f2(x,l/)	(XIV.48)
^ = Л(х,г/),	(XIV.49)
dy =	=	у (х, y)t	(XIV.50)
dx Fx (х, у) 4 ’'	'
где IV— наклон фазовой траектории на плоскости (х, у).
Итак, в каждой точке фазового пространства можно найти вполне опре-
деленное значение наклона фазовой траектории, т. е.
дг __Fа У1) , , . дт __ F% (хь Уд
1 FtiX', У1)>	FAXi.yi)'
(XIV.51)
Способ построения заключается в следующем. Из уравнения (XIV.50)
находим функцию
y==F(N,x),	(XIV.52)
представляющую собой уравнение изоклин.
Построим ряд изоклин 1—4 по уравнению (XIV.52) (рис., XIV. 17).
В точке А40 изоклин / проведем две прямые М0А1 и Л40В! с наклонами
и N 2 соответственно до пересечения с изоклиной 2. Отрезок А1В1 разделим
пополам и через точку проведем две прямые С±Аг и CjBa с наклонами
492
Рис. XIV.17. Построение фазо-
вой траектории по изоклинам
Рис. XIV.18. Фазовый портрет систе-
мы, описываемой нелинейным диффе-
ренциальным уравнением (XIV.53}
(V2 и (У3. Затем отрезок А 2В2 на изоклине 3 разделим на две части и найдем
точку С3, через которую проведем две прямые с наклонами N3 и Nt и т. д.
Через точки Clt С2 С3, • • •, С, проведена фазовая траектория с соответствую-
щими им наклонами. Из данного рассмотрения видно, что точность построе-
ния фазовой траектории будет тем больше, чем чаще на графике нанесены
изоклины.
Пример XIV.6 (761. Построить фазовый портрет системы, описываемой нелинейным
дифференциальным уравнением
fix
£± + х"+х = 0,	(XIV.53)
Си* 0,1
пользуясь методом изоклин.
Пусть у = — и dt = — ; тогда уравнение (XIV.S3) примет вид
v-^- + ^ + * = o,	(XIV.64)
откуда найдем
= — £1^+11 = ы.	(XIV.55)
dx	у
Из выражения (XIV.55) определим уравнение изоклин в виде
, =	(XIV.56)
На рис. XIV. 18 построены изоклины и нанесены соответствующие им наклоны Wo,
N2, .... По методике, изложенной выше, на рис. XIV. 18 был построен фазовый портрет системы,
описываемой нелинейным дифференциальным уравнением (XIV.53).
Метод Льенара [76]. Этот метод позволяет определить наклон фазо-
вой траектории в любой точке фазовой плоскости. Представив нелинейное
дифференциальное уравнение в виде
S + F(^) + x==0'	(XIV.57)
откуда найдем
& = -f = jv.	(XIV.58)
В выражении (XIV. 58) положим
-E(//)-x = 0	(XIV.59)
и построим на фазовой плоскости (рис. XIV. 19) по уравнению (XIV.59)
кривую 1. Если принять, что начало фазовой траектории находится в точке
Р1г то, проведя из нее прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения
493
с кривой 1, получим точку A j. Из точки A х проведем прямую, параллельную
оси ординат, до пересечения с осью х (точка Ci). Наклон линии С±Р± к оси
абсцисс можно определить по формуле
'XIV'60>
г \Уи г
Через точку проводим прямую Pfl, перпендикулярную к CjPj.
Направление этой прямой на плоскости определяется ti соответствии с при-
нятым правилом движения изображающей точки по часовой стрелке. Далее
на отрезке этого перпендикуляра берут точку Р2 и находят точки А а и С3.
Затем строят отрезок, перпендикулярный С2Р2, на котором находят точку Р3
и т. д. Пользуясь полученными наклонами, можно найти искомую фазовую
траекторию. От длины отрезков РХР2, Р 2Л3 и т. д. зависит точНбсть такого
построения.
Пример XIV.7. Построить фазовый портрет для нелинейного дифференциального урав-
нения
d^x, I dx I
5^+20хы+20х=0 
при следующих начальных условиях: t = 0; х = 1,0;	= 0 по методу Льёнара. Соответ-
ствующее построение выполнено на рис. XIV.20.
Рассмотрим несколько фазовых портретов, соответствующих нелиней-
ным системам автоматического регулирования. На рис. XIV.21, а показан
фазовый портрет для системы с зоной нечувствительности. Установившемуся
состоянию равновесия при данной нагрузке соответствует не одна точка на
фазовой плоскости, а отрезок с различными возможными состояниями рав-
новесия (жирная линия). Длина этого отрезка зависит от ширины зоны не-
чувствител ьности.
На рис. XIV.21, б изображен фазовый портрет для нелинейной системы,
неустойчивой в малом, но имеющей устойчивый предельный цикл в боль-
шом. На рис. XIV.21, в показан фазовый портрет системы, когда она устой-
чива в малом, а в большом — неустойчива. В этом случае предельный цикл
называется неустойчивым. Неустойчивый предельный цикл характеризуется
тем, что изображающая точка практически не может по нему двигаться.
При небольшом увеличении отклонения под влиянием воздействий изобра-
жающая точка начнет удаляться от предельного цикла в бесконечность.
Возможны случаи, когда нелинейная система имеет несколько предель-
ных циклов. На рис. XIV.21, г изображен фазовый портрет с двумя предель-
494
ними циклами. Первый из них, расположенный ближе к началу координат,
является неустойчивым, а второй, более удаленный, — устойчивым [26].
Существуют и такие нелинейные системы, у которых, на фазовом порт-
рете (рис. XIV.21, д), кроме центра, появляются еЩе две особые точки типа
седла, через которые проходят особые траектории, называемые сепарат-
рисами. Они разделяют всю фазовую плоскость на пять областей, из которых
одна, замкнутая сепаратрисами, является областью устойчивого колеба-
тельного процесса. Все остальные области являются областями неустой-
чивых расходящихся процессов [26].
4.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Сущность метода гармонической линеаризации заключается в отыска-
нии периодического решения на входе нелинейного элемента, разложении
сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и его замене первой
гармоникой. Такая замена справедлива, если система автоматического регу-
лирования является фильтром низких частот, хорошо гасящим колебания
высших гармоник [5,15,60].
Рассмотрим блок-схему релейной системы автоматического регулиро-
вания (рис. XIV.22), принципиальная схема которой изображена на
рис. XIV. 1, а.,На входе релейного элемента имеется синусоидальный сигнал
вида
х(/) = Asin®?.	(XIV.61)
Рис. XIV.22. Блок-схема релейной системы регулирования температуры
печи
495
Сигнал на выходе трехпозиционного релейного элемента РЭ с гистере-
зисом (или двузначной нелинейности) обозначим через у (t), а его прибли-
женное значение через у' (/). В этом случае имеем
i/(/) = F(4sin(oO;	(XIV.62)
у' (t) — А [а (Л) sin cot + b (Л) cos coz'],	(XIV.63)
где а (А) и b (Л) — коэффициенты гармонической линеаризации.
Ошибку в выходном сигнале относительно его приближенного значения
запишем в виде
S (*) = !/(О-/(/)•	(XIV.64)
Функция 6 (/) является периодической с периодом Т = 2л/со, а ее сред-
нее квадратическое значение бт удовлетворяет соотношению
г
= p2(0dt	(XIV.65)
О
Подставив в формулу (XIV.65) выражения (XIV.62) — (XIV.64), получим
2л
6^ = -^ J {F(X sinco^) — Л (а(Д) sinatf-[-& (Д) coscof]}2dZ. (XIV.66)
о
Запишем условия минимума средней квадратической ошибки при за-
мене точного значения выходного сигнала у (t) приближенным:
362
----2— = о-
дАа (Л)	’
362
____2!__= О
дАЬ (Л)_’
С учетом выражения (XIV.66) найдем
2л
(о
j (A sin со£) — А [а (Л) sin cat -f- b (A) cos cof]} sin (xrtdt = 0;
о
2л
<o
j {F (Л sin cot) — А [а(Л) slncof -|- b (A) cos cot]} coscotdt = 0,
0
(XIV.67)
(XIV. 68)
откуда	2л	2Л J F (Л sin cot) sin cot dt— j Аа (Л) sin2 cot dt = 0; *	0 2л	2л (0	(0 j F (A sincof) cos at dt— j Ab (A) cos2cof dt = 0, 0	0	(X1V.69)
или	2л	2л A (a) A J  ~ c^s 2(1)1 dt = j F (A sin cot) sin cot dt', 0	0	
	2л	2л A(b)A j .1 + c°s 2(dZ & __ J	sin cot) cos cot dt. в	0	(XIV.70)
496
Из выражений (XIV.70) имеем
2л
ф
Аа^ л = j F (A sincof) sinffi/dZ;
о
2л
ш
л = j F (A sin at) cos at dt,
о
откуда
2л
(О
а (А) = j F (A sin со/) sin со/ dt\
о
2л
•	ш
b (А) =	[ F (A sin ffii) cos at dt.
71/1 J
0
(XIV.71)
(XIV.72)
(XIV.73)
Полученные выражения (XIV.72) и (XIV.73) для коэффициентов гар-
монической линеаризации обеспечивают минимум средней квадратической
ошибки при замене точной функции у (t) ее приближенным значением у' (t)
и являются формулами для определения первых коэффициентов ряда Фурье
[49].
Для нелинейностей без гистерезиса (однозначных) Ь (А) = 0; тогда
имеем
у’ (t) — Аа (A) sin at — Ах sin at.	(XI V.74)
Линеаризуем однозначную нелинейность у = F (х). Заменив ее выра-
жением (XIV.74), получим
у' (t) = F(x) = Аа (A) sin at.	(XIV.75)
Подставив в полученную формулу соотношение (XIV.61), найдем
у' — F (х) = а (А) х,	(XIV.76)
или
а(А) = 4-	(XIV.77)
Следовательно, коэффициент гармонической линеаризации представляет
собой коэффициент усиления в виде отношения амплитуды первой гармо-
ники выходного сигнала у' к входному сигналу х, т. е.
л = Ax-Sta at .	(XIV.78)
' ' A sm at А	'	'
На рис. XIV.23 показано графическое определение коэффициента гар-
монической линеаризации для однозначной нелинейности.
Как видно из рис. XIV.23, синусоидальный вход сигнал х (t) с ампли-
тудой А образует на выходе нелинейности сигнал у (/). Заменяя этот сигнал
первой гармонической составляющей, получим
у' (/) = Ах sin at,
где Aj — амплитуда первой гармоники выходного сигнала.
В этом случае коэффициент гармонической линеаризации, определяе-
мый по формуле (XIV.78), есть наклон прямой 1, равный а (А). При изме-
нении амплитуды входного сигнала до А' коэффициент гармонической ли-
неаризации — наклон прямой 2 — уменьшается до а (А'). Отсюда следует,
497
Рис. XIV.23. Определение коэф-
циента гармонической линеари-
зации идеальной релейной харак-
теристики с воной нечувстви-
тельности
что при таком подходе свойства нелинейного элемента эквивалентно отоб-
ражаются в изменении коэффициента гармонической линеаризации в за-
висимости от амплитуды входного сигнала.
В соответствии с формулой (XIV.78) нелинейность в дифференциаль-
ных уравнениях можно представить в виде следующего линеаризованного
соотношения
F(x) = -^-x.	(XIV.79)
Из соотношения (XIV.79) видно, что с изменением амплитуды входного
сигнала изменяется коэффициент гармонической линеаризации, а следова-
тельно, изменяется и значение F (х).
Составим нелинейные дифференциальные уравнения для релейной си-
стемы автоматического регулирования температуры печи в виде
Т0Тпв -§- + (То + Тпв) ~ +	+ k^F (М 8 == 0.	(XI V.80)
Пользуясь методом гармонической линеаризации, приведем данное не-
линейное дифференциальное уравнение к гармонически линеаризованному.
Вместо функции F (х) подставим коэффициент а (Л);, тогда получим
Т’оТ’дв-^- + (Т’о + тдв)	И) В = о. (XIV.81)
Последнее уравнение, хотя и является линеаризованным, однако оно
сохраняет основные свойства нелинейного уравнения, так как коэффициент
а (Л) изменяется в зависимости от амплитуды А. В этом и заключается основ-
ное отличие гармонической линеаризации нелинейных уравнений от обычной,
линеаризации, рассмотреннной в гл. III.
Перейдем к замене двузначной нелинейной функции F (х) линеаризо-
ванным выражением. Для этого представим зависимость д' (/) в виде
(XIV.82)
у' (() = Sin (at 4- cos (at,
где	.
А1 — а(А)А; В1==Ь(А)А.
Из уравнения (XIV.61) найдем
= А(а cos (at,
at
откуда
dx
, ~dt
COS(at—-T—.
(XIV.83)
(XIV.84)
498
Кроме того, из .выражения (XIV.61) следует, что
s!na>f=-i-.	(XIV. 85)
Подставим выражения (XIV.84) и (XIV.&5) в уравнение (XIV.82); в ре-
зультате получим следующее линеаризованное соотношение:
=	.	(XIV.86)
Первый член соотношения (XIV.86) имеет тот же смысл, что и в уравне-
нии (XIV.79), а второй член определяет запаздывание, зависящее от произ-
водной входного сигнала.
Соотношение (XIV.86) можно переписать и в следующем виде:
F(M = 6(4)e + ±Hl-|.	(XIV.87)
Пользуясь Соотношением (XIV.87), гармонически линеаризуем нелиней-
ное уравнение (XIV.80):
Т.ТДВ ~ + (То + Тдв) $- + [ 1 + М1УМ) ] - J + k^a (Л) в = 0. (XIV.88)
Дифференциальное уравнение (XIV.88) является гармонически лине-
аризованным.
По аналогии с передаточными функциями линейных звеньев введем по-
нятие эквивалентной передаточной функции нелинейного двузначного звена
J (4) = а (4) + jb (4),	(XIV.89)
Однозначного нелинейного звена
J(A) = a(A).	(XIV.90)
Соотношение (XIV.89) можно переписать и в виде
J (4) = 9 (4) е/11 <Л>,	(XIV.91)
где q (Д) — эквивалентная амплитудная характеристика нелинейного звена;
р, (Д) — эквивалентная фазовая характеристика нелинейного звена.
Функции q (4) и р (4) связаны с коэффициентами гармонической ли-
неаризации следующими зависимостями:
9(Д) = ]/а2(Д) + 52(Д);	(XIV.92)
ц (4) = arctg 4^-.	(XIV.93)
Полученные зависимости (XIV.92) и (XIV.93) справедливы для дву-
значных нелинейностей. Для однозначных нелинейностей при b (4) = 0
имеем
9(4) = а (4)	(XIV.94)
и
ц(4) = 0.	(XIV.95)
Графический способ определения частот и амплитуд автоколебаний
в нелинейных системах (метод шаблонов) [49]. В основу метода шаблонов
графического определения амплитуд и частот колебаний положено условие
гармонического баланса. Для его нахождения воспользуемся характеристи-
ческим уравнением нелинейной системы, структурная схема которой изоб-
ражена на рис. XIV.24, а:
1-фГ(/со)7(Д) = 0,	(XIV.96)
где W (/со) — передаточная функция линейной части системы; J (4) — эк-
вивалентная передаточная функция нелинейной части системы.
499
Jn (A, co)
Рис. XIV.24. Структурные схемы релейных (не-
линейных) систем автоматического регулирования:
а — с линейной и нелинейной частями в прямой цепи; б —
с нелинейной частью в прямой цепи и линейной частью в
цепи главной обратной связи; в — с линейной частью в
прямой цепи и нелинейной частью в цепи главной обрат-
ной связи
Передаточс	сую функцию W (/со) представим в виде lV(/co) = Я(со)е/0 <ш),	(XIV.97)
где Н (со) — ам 0 (со) — фазова системы. Подставим получим	плитудная частотная характеристика линейной части системы; я частотная характеристика линейной части разомкнутой выражения (XIV.91) и (XIV.97) в уравнение (XIV.96); тогда 1 + Н (со) е/е (ш) q (Л) е'ц <л> = 0,	(XIV.98)
откуда нетрудн	о найти, что - 1 =Я(со)<?(4)е'се(ш, + ц(Л,],	(XIV.99)
или	е-/я = Н (ш) q (А) е! (6 <ш) + ц (Л)).	(XIV. 100)
Из уравне! баланса:	сия (XIV. 100) получим следующие условия гармонического 1 = H(a)q(A);	) А/ Г, с Л,	(XIV. 101) — л = 0 (со) Ц- р, (4), J
или	201g Я (со) = 201g —’ 9(Л)	(XIV. 102) 0 (со) = — л — р (4).
Из соотношений (XIV. 102) видно, что при одновременном выполнении
условий баланса для амплитуд и фаз в системе автоматического регулиро-
вания возникают автоколебания.
Одновременность выполнения условий (XIV. 102) графически выражается
в том, что точки пересечения амплитудных характеристик 20 1g Я (со),
20 1g  и фазовых характеристик 6 (со), —л—р (Л) лежат на одной вер-
тикали. Таким образом с. помощью графического решения уравнений (XIV. 102)
можно определить частоту со и амплитуду А автоколебаний в системе с дву-
значной нелинейностью.
В системе с однозначной нелинейностью имеем
201g Я (со) == 20 lg—jr-; 0(со) = — п.	(XIV. 103)
Я 1^4
Условие (XIV. 103) возникновения периодического режима для такой
системы заключается в одновременном пересечении амплитудных харак-
теристик 20 lgН(со), 201g и фазовой характеристики 0 (со) с линией —п.
500
a — идеального реле; б — реле с зоной нечувствительности; в — реле с гистерезисом; г — реле с гисте-
резисом и зоной нечувствительности
В табл. XIV.2 и XIV.3 даны формулы для определения характеристик
q (А) и (А (А) и приведены шаблоны 20 1g—7-77-г и — 180° — и, Поль-
Л'а)
зуясь этими шаблонами и логарифмическими амплитудной и фазовой частот-
ными характеристиками линейной части системы регулирования, опреде-
ляют периодические решения. Для этого шаблон с характеристиками
201g—. г . и —180°—р ( -г-), построенными на полулогарифмической бумаге
Л ~а)
(рис. XIV.25), накладывают на. частотные характеристики 20 1g/7 (со) и
0 (со), совмещая ось частот с осью относительных амплитуд С/А. Перемещая
шаблон вдоль оси частот, определяют точки пересечения кривых 201g . 1
«(4
(С \
—} с 0 (со). Если точки пересечения амплитудных
и фазовых характеристик находятся на одной вертикали, то в системе на-
блюдаются периодические режимы.
На рис. XIV.26 показаны различные положения шаблонов относительно
частотных характеристик линейной части системы. При положении шаб-
лона, показанном на рис. XIV.26, а, отсутствуют точки пересечения ампли-
тудных и фазовых характеристик, следовательно, в такой системе регули-
рования не могут существовать периодические колебания. Перемещаем
шаблон влево до тех пор, пока точки пересечения В2 и D2 не окажутся на
одной вертикали (рис. XIV.26, б). При этом в релейной системе возникают
периодические колебания с частотой ю'. При дальнейшем перемещении ша-
блона влево снова находятся две точки пересечения В3 и D3 (рис. XIV.26, в),
соответствующие периодическому колебанию с частотой со". И, наконец, при
положении шаблона, показанном на рис. XIV.26, г, точки пересечения
амплитудных и фазовых характеристик не лежат на одной вертикали, что
означает отсутствие автоколебаний в системе.
501
СД
О
to
Таблица UVZ
Наименование типовой нелинейности	ВиВ нелинейной характеристики		Форма сигнала на выходе нелинейности					Зависимости, характеризующие нелинейность	Коэффициент^ гармонической линеаризации a (A)	i№							
Переключатели сигнала по уровню +В или-В	У, в		У					y(t)=+B; O^utiat; y(t)=-B; at <-uti Zat	a(A)=y(A)=^ JiA	ZOty^dB							
		X				од Zat				ZO							
	0	-R	0				G)t										
			x(t) = Asinut							‘0,01	O.t	-7 A B=1f0; C=t9O							
Переключатель сигнала по уровню +Вили~В при наличии зоны н ечувствительносги	У в -с		У,					y(t)=O; Oiut-t yr; y(t)=+B;yr<.wt,40t-yr; y(t)-0; at- yr <-<jtiat+ ip; y(t)- -B;at+yr<.a)t-i23t-ip y(t)=0; Zat-yrivtiZat, где yr=arcsLnr A	^A)=y(A)= при A	ZOLq^tdB							
		X				3t Zat-ip				ZO 0 o,i							
	0	С -В	0	ip at-yr 3t+ip			(jt										
			x(t)= A sin cot								It	0,1	T r	A C=1,0						
Таблица ХЛТз
о
Наименование типовой нелинейности	Вид нелинейной хара ктеристи к и					Фарма сигнала на Зыкове нелинейности				Зависимости, характери- зующие . нелинейность	Коэффициенты гармонической линеаризации		Формулы Зля вычислений		201^г -180°-ул (А)					
											a (4)	b(A)	Ч(А)	uW						
										y(t)=0;0A<jt£<l>t yl t)=e;ipt<utsjr-if>t					zaiyl(A)					
																				
Двухпозицион- ный релейный элемент		а|	У			У. 0				у^О.фкы^я-нр. -ytth-8 ?Г»(&г: Л&гя-ф[ y(t)=0; гя-ф<-ыИ2я n где ф=arc sin -f-; 1	A <b=jt-arcsin ~г	A	при A»C	при A&C	п/лу-АВ С Ч^-ЯСА при А 2-С	ус(А\= С . А surety ' Vl'-t ’ Аг при А >С	100 120 МО tea ш					
		Q						Я г к	г zrtut											
			с	X				'	'гг+ф											
																	-101	Г-ул	b‘!	
	-в																	Е		
						X[li=ASinU3l												г	Ill	HIM
															0,01	0.1	1					
Трехпозицион- ный релейный элемент										y(t)=-B;OiaitC ф; e3e di^arcsin - A		при АЪС	?(А) =	р(А)= =arctg-=Sr--f..' . А Ае при Аъс		WtgUA} /	'т=0.1				$
	и					У 0	га щ р | л-/ гя								го 0 110 130 ISO по а			/л	=0.5	
			1	тС																
																				
	0																	f 11		
							<Pt \ М\ ui				при AZC							—rtrl m=Q,2t 	1 » |U		
	и		_ с,		X								при А^С							
																			‘0.5	
			-в			x(t)=A cinut										’^°7J		u, m=ajt HU'H-fcU		
																01	0.1			1
Рис. XIV.26. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной
части системы с четырьмя различными положениями шаблонов для релейного элемента с гисте-
резисом и зоной нечувствительности
Наличие двух частот колебаний го' и го" обусловливает необходимость
определения, какая из этих частот соответствует автоколебаниям, а какая —
неустойчивым колебаниям. Для решения этой задачи на одном графике
строят амплитудно-фазовую характери-
стику IF (/го) и обратную эквивалент-
ную характеристику нелинейного звена
----(рис. XIV.27). Эти характери-
'(4)
Рис. XIV.27. Определение периодических
решений в релейной системе автоматиче-
ского регулирования
стики получают путем перестроения
логарифмических характеристик, пока-
занных на рис. XIV.26.
Из рис. XIV.27 видно, что характе-
1
ристика----г пересекает амплитуд-
'(т)
но-фазовую характеристику в двух точ-
ках Е t и Е2 (точка ЕА соответствует точ-
кам В 2 и О2> ? точка Е2 — точкам Вя
и £)3). Для определения характера
504
колебаний воспользуемся критерием предложенным Е. П. Поповым [60].
В релейной (нелинейной) системе автоматического регулирования возникают
автоколебания (устойчивые периодические решения), когда годограф W (ja>)
не охватывает точку-, расположенную на обратной эквивалентной характе-
ристике нелинейного звена, если эта точка получена путем малого увеличения
амплитуды на АЛ (на рис. XIV.27 эти точки обозначены как Е\ и Е'?). Иначе
говоря, если с ростом амплитуды характеристика — —-—L---в точке пере-
/(л+ дд)
сечения кривых выходит за годограф W (/®), то в системе наблюдаются
автоколебания. На рис. XIV.27 эта частота обозначена и". Если с ростом
амплитуды точка охватывается годографом W (jm), то в системе возникают
неустойчивые колебания. На рис. XIV.27 эта частота обозначена и'.
Для установления характера колебаний можно пользоваться следую-
щим критерием, предложенным для систем с двузначными нелинейностями
[40]. В нелинейной системе автоматического регулирования с двузначными
нелинейностями возникают автоколебания, если с ростом амплитуды А +
+ АЛ точка пересечения характеристик 201g .1 и 20 lg Н (со), лежащая
’(4)
(С \
~А/
и 0 (и), находится вне области, образованной линиями 20 lg Н (и) и осью
частот ®; и, наоборот, в нелинейной системе колебания будут неустойчи-
выми, если с ростом амплитуды указанная точка пересечения будет входить
внутрь указанной области.
На рис. XIV.26, б точка, соответствующая увеличенному значению
амплитуды, будет находиться в области между амплитудной частотной ха-
рактеристикой системы и осью частот; следовательно, колебания с частотой
<о' будут неустойчивыми.
Рассмотрим колебания с частотой со" (см. рис. XIV.26, в). При увели-
чении амплитуды А точка В3 выйдет из области, ограниченной амплитудной
частотной характеристикой и осью частот, и, следовательно, колебания с ча-
стотой со" соответствуют автоколебаниям в релейной системе.
При анализе устойчивости нелинейных систем регулирования с нелиней-
ностью типа насыщения можно пользоваться следующим критерием для оп-
ределения типа колебаний. В системе регулирования наблюдаются автоко-
лебания, если в точке пересечения логарифмической фазовой характеристики
с линией —л производная <0; и, наоборот, если в точке пересечения
> 0, то в системе наблюдаются неустойчивые колебания.
Построение областей устойчивых и неустойчивых состояний в релей-
ных системах. Для построения областей устойчивых и неустойчивых состоя-
ний релейной системы будем изменять параметры ее линейной и нелинейной
частей. Накладывая соответствующие шаблоны на логарифмические харак-
теристики системы, находим значения частот <в', ®" и амплитуд А' и А
Откладывая по оси абсцисс требуемые значения параметров К системы, а по
оси ординат частоту (рис. XIV.28, а) или амплитуду (рис. XIV.28, б) колеба-
ний, строим зависимости частот и амплитуд колебаний от параметров си-
стемы. Частоты и амплитуды устойчивых колебаний (автоколебаний) обо-
значим стрелками, направленными к линии, а неустойчивых колебаний —
стрелками, направленными от линии.
Проведем вертикальную прямую I—I через точку А и прямую //—
II через точку В; тогда получим две области: первая — между осью орди-
нат и прямой I—I (II—II) образует область устойчивых состояний; вторая —
от прямой /—I (II—II) вправо до бесконечности образует область неустой-
чивых состояний и автоколебаний (рис. XIV.28).
505
Рис. XIV.28. Области устойчивых и неустойчивых состояний по
параметрам для' релейной системы автоматического регулирован-
ная	.....
Рис. XIV.29. Структурные схемы релейных систем автомати-
ческого регулирования:
а без корректирующего устройства; б — с последовательным кор-
ректирующим устройством

Пример XIV.8. Определить области устойчивых и неустойчивых состояний в релейной
следящей системе с реальным трехпозиционным релейным элементом (рис. XIV.29, а) по пара-
метру К. На рис. XIV.30, а построены логарифмические амплитудная и фазовая частотные
характеристики при К = и показано одно из положений шаблона. Точки пересечения
и частотных характеристик и шаблона соответствуют автоколебаниям с частотой coj и А{.
Изменим параметр линейной части К до К2 (рис. XIV.30, б) и, перемещая шаблон, найдем
точки В2 и соответствующие автоколебательному режиму (со.( и Л2). Меняя несколько раз
значения К, получим целый ряд значений <о'. и Л'.. По этим данным строим области устойчивых
и неустойчивых состояний в зависимости от параметра К (рис. XIV.31, а, б). На этом рисунке
показано также предельное значение коэффициента усиления 7<Пред> при котором в релейной
системе регулирования еще могут возникать устойчивые колебания.
Рис. XIV.30. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики линейной
части с двумя значениями коэффициента, усиления и двумя положениями шаблона
Рис. XIV.31. Области устойчи-
вых и неустойчивых состояний
релейной . системы автоматиче-
ского регулирования по несколь-
ким значениям параметра К:
а — по частоте автоколебаний; б «•
по амплитуде автоколебаний
506
Расширение областей устойчи-
вых состояний в.релейных системах
имеет большое практическое значе-
ние, так как позволяет повысить точ-
ность их работы. С этой целью при-
меняют последовательные или парал-
лельные корректирующие устрой-
ства, включаемые в релейную систе-
му. Для того чтобы более наглядно
показать влияние корректирующих
устройств на релейные системы,
необходимо построить характери-
стики 20 lg Н (ш), 20 1g ——п;
’(4)
0 (со) и —180° — ц ( —j- ) в системе
\ zl у
координат амплитуда—фаза [76].
На рис. XIV.32 построены соответ-
ствующие характеристики при К —
= 13,75 (кривая 1 — логарифмиче-
ская амплитудно-фазовая характе-
ристика линейной части, а кривая
2 — характеристика 20 1g
Пересечение этих характеристик
указывает на наличие периодиче-
ских режимов в системе регулиро-
вания. Включим в систему последо-
Рис. XIV.32. Логарифмические амплитудно-фазовые
частотные характеристики линейной части системы и
характеристика 20 1g---в системе координат
амплитуда—фаза	'
вательиое корректирующее устройство (см. рис.
XIV.29, б) с передаточной функцией
«'к (s) =
(0,0083s + 1)а
(0,00083s + I)2 '
В результате получим логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику 3
рис. XIV.32, которая не пересекается с кривой 2, что указывает на отсутствие периодических
режимов в рассматриваемой релейной системе.
5. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Анализ устойчивости многоконтурных нелинейных систем автомати-
ческого регулирования можно упростить, используя структурные преоб-
разования, которые позволяют привести исходную систему к одноконтурной.
Структурные преобразования нелинейных систем отличаются от преоб-
разований линейных систем. Это объясняется, во-первых, тем, что для
нелинейных систем неприемлем принцип суперпозиции, и, во-вторых, тем,
что амплитуда на входе нелинейного элемента должна оставаться неизмен-
ной, независимо от выполняемых преобразований, поэтому в нелинейных
системах нельзя перемещать звенья за нелинейный элемент. Преобразо-
вание линейных звеньев, расположенных до нелинейного элемента или
за ним, можно выполнять по обычным правилам (см. гл. IX, а также прил. I).
Таким образом, при этом способе структурных преобразований нелиней-
ный элемент сохраняет свое первоначальное расположение независимо от
преобразований, выполняемых над линейными звеньями.
На рис. XIV.33, а показана исходная структурная релейная система
автоматического регулирования (на схеме релейный элемент обозначен J).
Перенесем образную связь за линейные звенья и Wb и объединим пере-
даточные функции гибкой обратной связи с главной обратной связью в одно
сложное звено (рис. XIV.33, б); тогда получим (рис. XIV.33, в)
 r«.W"-T4-~%g%g- ' (XIV. 104)
507
Рис. XIV.33. Схемы структурных преобразований нелинейных систем автома-
тического регулирования
Далее путем структурных преобразований линейных схем (прил. I)
получим схему, показанную на рис. XIV.33, г. Эта схема по своему виду
тождественна схеме, показанной на рис. XIV.24, б.
Рассмотрим еще одну структурную схему нелинейной следящей системы
с нелинейностью в цепи обратной связи (рис. XIV.33, д). Перенесем линии
связей за W± и W5. Тогда получим схему, изображенную на рис. XIV.33, е.
Объединим линейные звенья в цепи гибкой обратной связи и прямой цепи.
После этого структурная схема примет вид, показанный на рис. XVI.33, ж.
Окончательно структурную схему получим такой, как она показана на
рис. XIV.33, з. Из рис. XVI.33, з видно, что эта схема тождественна схеме,
изображенной на рис. XIV.24, в.
Существует и другой способ преобразования структурных схем нели-
нейных систем, основанный на отключении одной из линий связи от нели-
нейности и вынесении ее из внутренних контуров. Рассмотрим применение
этого способа на примере структурной схемы, приведенной на рис. XIV.34. а.
Разомкнем внутренний контур в точках Л и Б и вынесем нелинейность J
из контура, как это показано на рис. XIV.34, б. Соединив точку А с точ-
кой Б и выполнив структурные преобразования линейной части, получим
Рис. XIV.34. Структурные схемы системы автоматического регулирования
с_ нелинейностями и их преобразования, основанные на способе отключения
нелинейности
508
преобразованную схему системы (рис. XIV.34, в). С помощью этой схемы
найдем характеристическое уравнение системы в виде
1 + J И) («) ^2 (S) ^3 (S) ^4 (S) ^5 (S) +
+ У(Л) №2(s) r3(s) Г4(з) Г6(з) Г7(з) = 0.	(XIV.105)
Для проверки правильности полученного уравнения (XIV. 105) составим
по исходной схеме передаточную функцию замкнутой системы
Ф (А	r*<s)	(s)	(YTv 1ПФ
’ ’	\+J(A)W1(S)W2(S)W3(S)Wi(s)Wi(s)+ •	(A1V.1UO)
+ J (A) W2 (s) F3 (s)	(s) We (s) W, (s)
Знаменатель выражения (XIV.106) тождествен уравнению (XIV.105).
Нетрудно показать, что знаменатель передаточной функции замкнутой
системы (см. рис. XIV.33, г) также совпадает с характеристическим урав-
нением (XIV. 105).
В структурной схеме на рис. XIV.34, г разомкнем линию связи между
точками Л и Б и вынесем нелинейный элемент, J как это показано на
рис. XIV.34, д. Далее соединим точки А и Б и выполним преобразования
линейных звеньев системы. В результате получим окончательный вид струк-
турной схемы. Из этой схемы найдем характеристическое уравнение си-
стемы
1 Ч-ЗДГДз) №3(з)№4(<(з) +
+ J (Л) Г2 (s) W3 (s) Г4 (s) W, (s) We (s) Г 7 (з) = 0. (XIV. 107)
Аналогичное выражение можно получить и для структурной схемы,
показанной на рис. XIV.33, з.
в. АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ С ДВУМЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
В релейных системах автоматического регулирования, кроме релей-
ного элемента, могут быть и другие нелинейности, например нелинейность
типа насыщения в усилительном устройстве или люфт в механической пе-
редаче.
На рис. XIV.35 показана структурная схема релейной следящей си-
стемы с двумя нелинейностями, разделенными линейным звеном. Объеди-
ним две нелинейности и линейное звено между ними в одно приведенное
эквивалентное звено с передаточной функцией J„ (Л4, /со). Если линейное
звено с передаточной функцией IV3 (/со) обеспечивает хорошую фильтрацию,
то на входе второго нелинейного элемента получается сигнал, близкий
к синусоидальному, и влиянием высших гармоник можно пренебречь. В этом
случае приведенную эквивалентную амплитудную характеристику двух
нелинейных элементов находят в виде произведения двух коэффициентов
<71 и <7*05-)’
т. е.	qa = (-£0 q2 (-Jj-).	(XIV. Ю8)
Рис. XIV.35. Структур-
ная схема системы авто-
матического регулирова-
ния с двумя нелинейно-
стями
509
Рис. XIV.36. Зависимости амплитуды А 2 от
соотношения С1/А1 и частоты со,-
значения: kt
7\ = 0,04 с;
Из табл.
формула для
вид:
Амплитуда на входе второго не-
линейного элемента связана с ампли-
тудой на входе первого линейного
элемента следующей формулой:
(XIV. 109)
Примем, что параметры рассма-
триваемой системы имеют следующие
k2 = 20-r-70; k3 = 2; kt = 0,8 В-с/град;
С\ = 1,0 рад; С2 = 0,5 рад. В = 25 В.
найдем, чтр для нелинейности типа насыщения
амплитудной характеристики имеет следующий
= 0,05 В/град;
Т2 = 0,4 с;
1 прил. VII
вычисления
I • С, . С, 1 / ,
^юш_ + _у
(XIV. ПО)
Подставляя соответствующие числовые значения параметров и CJAy
от 0 до 1, а также со,- (2; 4; 6; 8; 9,5 1/с) в формулы (XIV. 109), (XIV. ПО),
(с \
"д' - ш|)> графики которых приведены
на рис. XIV.36. Пользуясь этими графиками, нетрудно найти коэффи-
циент гармонической линеаризации для второй нелинейности по формуле1
Зная qt(CJA^ и q^CJA^, по формуле (XIV.108) можно опреде-
лить <?п. На рис. XVI.37 построен шаблон для обратных значений при-
Рис. XIV.37. Приведенные эквивалентные ампли-
тудная и фазовая характеристики для объединен-
ного звена (шаблон)
Рис. XIV.38. Логарифмические амплитудные и фа-
зовые частотные характеристики- линейной части
системы для трех значений коэффициента К — 4Q,
90, 140 с~г с различными положениями шаблонов
510
веденной эквивалентной амплитудной ха-
рактеристики 20 1g — — 1--------для тех
же значений со,-. Здесь же построены фазо-
вые характеристики —л — рп	.
Фазовую характеристику рп находят
по формуле
рп = arctg со,7'1. (XIV. 112)
Таблица XIV.4
	Параметры автоколебаний			
•X, 1/с	расчетные		эксперимен- тальные	
	й	А		А
40 90 140	8	1,15 2,40 3,60	6,70 6,80 7,00	1,25 2,60 3,70
Для определения амплитуд и частот автоколебаний на рис. XIV.38
построены логарифмические амплитудные частотные характеристики ли-
нейной части системы 20 lg Н (со,) при трех значениях коэффициента уси-
ления К = 140, 90 и 40 1/с (кривые 1, 2 и 3 соответственно) и фазовая ха-
рактеристика 6 (со,) (кривая 9), а также показаны положения шаблонов
20 1g	объединенного звена 1 Jn (А, ю) (кривые 4, 5 и 6) и его харак-
теристика —л — рп (А, со) (кривая 10) при со = 8 1/с. На этом же рисунке
кривой 7 обозначена амплитудная и кривой 8 фазовая характеристики ли-
нейного звена, расположенного между нелинейными элементами.
Условия гармонического баланса записывают в виде
20lgHM-20lg^l^
0 (со) = — л — рц(Д, со).
(XIV. 113)
Как видно из рис. XIV.38, амплитудные характеристики шаблонов
пересекают характеристики 20 lg Н (со) в точках Bi, BJ, В'{, а фазовая —
характеристику 9 (со) в точке £)х. Все эти точки лежат на одной вертикали
и пересекают ось частот в точке со = 8 1/с. Шаблоны для амплитуд и фаз
также соответствуют частоте, равной 8 Vc. Полученная таким образом
частота со = 8 Vc является частотой автоколебаний в релейной системе
автоматического регулирования. Амплитуды автоколебаний определяют
по шаблонам (кривые 4, 5 и 6). Значения частот и амплитуд автоколебаний
при различных коэффициентах усиления, релейной следящей системы при-
ведены в табл. XIV.4, где для сравнения приведены экспериментальные
данные. Как видно из таблицы, экспериментальные и расчетные значения
различаются по амплитуде не более чем на 10% и по частоте не более чем
на 16%.
7. ДВУХКОНТУРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
При исследовании устойчивости двухконтурных нелинейных систем
в дополнение к проверке условий гармонического баланса бывает необ-
ходимо использовать структурные преобразования и определять эквивалент-
ные частотные характеристики внутренних нелинейных контуров.
Рассмотрим структурную схему двухконтурной следящей системы
с нелинейностью J (А), включенной в прямую цепь внутреннего контура
(рис. XIV.39). Для данной схемы определим передаточную функцию вну-
треннего контура:
тег ___________1 (A)	(s) 1Уз (s)	(s)__ rxlV 1141
1K1 “ 1 + J (A) W2 (s) W9 (s) Wt (s) 1У. (s) W, (s) •	'
l Здесь Ja (A, q) — qa (A, co) е/Мп (Л' Ш).
511
Рис. XIV. 39. Структурная схема двухконтурной следящей системы с нелиней-
ностью во внутреннем контуре
Передаточная функция всей разомкнутой системы
tvz i ч_ J (A)	(s)	(s) W3 (s) W4 (s) Ws (s)	(XIV 1151
W (S>~ 1+J(A)W2 (s)IF3(s)IF4(s)IFe (s)r7(s) ’	'	'	’
откуда получим характеристическое уравнение
1 + W (s) = 1 + J (Л) W, (s) IV2 (s) IV3 (s) IV4 (s)	(s) +
+ J (Л) IV2 (s) IV3 (s) W4 (s) Wt (s) W, (s) = О, (XIV. 116)
или
1 + J (Л) W, (s) W2 (s) IV3 (s) IV4 (s) W6 (s) Г1 +	1 = 0. (XIV. 117)
L " 1 w 5 V5/ J
В полученное уравнение введем следующие обозначения:
К', (!) - Г, (!) W, (!) V, (!) (Г. (!) V, (I):	(XIV. 118)
Для однозначной нелинейности имеем
ЛЛ) = <7(4);	(XIV. 120)
тогда характеристическое уравнение (XIV. 117) примет вид
1+7(4)^(^п(*)==0.	(XIV.121)
Из выражения (XIV. 121) найдем условия гармонического баланса
в виде
20 1g | IV, (/со) IV,, (»| = 201g ;
q(-r)
(XIV. 122)
0, (со) + 0„ (со) = — л.	(XIV. 123)
По характеристикам 20 lg | IV, (/со) IV,, (/со)|; 201g .- ~г ;	0, (со)-j-0, (со)
9( т)
на основании уравнений (XIV. 122) и (XIV. 123) определяют ча-
стоту и амплитуду автоколебаний. Изменяя параметры системы регули-
рования, находят области устойчивых и неустойчивых состояний. На осно-
вании этих характеристик и выбирают требуемые по техническим условиям
параметры нелинейной системы автоматического регулирования.
512
Пример XIV. 9. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний для нелиней-
ной следящей системы, имеющей структурную схему, изображенную на рис. XIV.39. Пере-
даточные функции отдельных звеньев системы имеют следующий вид:
Tss4-1 ’
W2 (s)=fey;
IF3 (S) =
^дв .
s (TaBs 4* 1)
(s) = -^-;
tp
U76 (s) = kTrs-,
W7 (s) = 6,
(XIV.124)
UZ4 (s) =
)
где kf — крутизна характеристики сельсинной схемы; k<
ного усилителя переменного тока; ky — коэффициент
— коэффициент усиления электрон-
усиления электронного усилителя
постоянного тока; kT — коэффициент усиления оконечного каскада электронного усилителя
постоянного тока; /гдв — передаточный коэффициент электрического двигателя; Ts — постоян-
ная времени электрического усилителя переменного тока; 7'дв — постоянная времени элек-
тродвигателя; ip — передаточное число редуктора механической передачи; feTr — передаточ-
ный коэффициент тахогенератора; 6 — степень ослабления сигнала обратной связи потенцио-
метром.
Примем, что параметры рассматриваемой системы имеют следующие числовые значения:
ktks = 28 000 В/рад; ky = 40; kT — 0,5; £дв = 7 рад/В-с; tp = 200; йтг = 1,0 В^с/рад;
6 = 0,5; Тдв = 0,4 с; Т (s) = 0,005 с; С = 1,0.
Подставим соответствующие передаточные функции из (XIV. 124) в выражения (XIV. 118)
и (XIV.119); тогда получим
1 (s) = s(TABs4-l)(Tss4-l) ’
bk-rpT siv
6&TI-ip
s2+ , ,
kfks
19 600
(XIV.125)
(XIV.126)
(XIV.127)
(/Ю) /со (0,4/со + 1) (0,005/со + 1) ’
«7ц (/со) = (0,0042/со)2 Д- 2-0,234-0,0042/со + 1.
(XIV.128)
Характеристики 20 1g /Д (со) и Si (со) построены на рис. XIV.40 штриховыми линиями.
Результирующие характеристики 20 1g (со) Нц (со) и 0[ (со) 4- 0ц (со) при К —	=
ср
= 140 В/рад построены на рис. XIV.40 сплошными линиями (кривые 3 и 5). Из точек £>4 и
£)3, где фазовый угол равен —л, восстановим перпендикуляры к оси частот до пересечения
со сплошными линиями результирующих амплитудных характеристик (точки В,и В:|). Такое
построение соответствует наложению шаблона на логарифмические частотные характеристики,
при этом точки Е± и Е3, расположенные на осях ш и С!А, определяют параметры авто-
колебаний.
Для установления типа колебаний в точках Pj и £>3 найдем наклоны фазовой характе-
ристики ^т. е. Как видно из рис. XIV.40, в точке £4 имеем 0, и, следовательно,
наблюдаются автоколебания.
dB
В точке D3 имеем > 0, что соответствует неустойчивым колебаниям.
Изменим значение К до 125 В/рад (кривая 2 на рис. XIV.40). В этом случае фазовая
кривая 4 пересечет линию —л в точке £>2, и шаблон с характеристикой 201g— у пере-
сечет линию 2 в точке В2. При К~ 250 В/рад фазовая характеристика 6 пересечет линию —л
в точке Р4, а шаблон (кривую 7) — в точке В4.
В соответствии с установленными нами правилами точки Е2 и Д4 определяют параметры
устойчивых автоколебаний.
На рис. XIV.41, а построены области устойчивых и неустойчивых состояний в зависимо-
сти от частоты колебаний со и коэффициента усиления системы К при С — 1,0 и Ts = 0,005 с.
Нижняя ветвь кривой со = f (К) соответствует автоколебаниям, а верхняя ветвь — неустой-
чивым колебаниям.
17 Иващенко H.H-
513
Рис. XIV. 40. Логарифмические амплитудные	и фазовые 91 + 0ц характери-
стики к примеру XIV, 9
Рис. XIV.41, Области устойчивых и неустойчивых состояний нелинейной следящей
системы:
а — © =- f (К); б — А ™ НЮ при трех аначениях С; « •= а “ f (Ю при четырех значениях
Т,; ( - Л - f (7J
514
На' рис. XIV.41, S показаны области устойчивых и неустойчивых состояний в зависимо-
сти от амплитуды автоколебаний А и коэффициента усиления системы К при трех значениях
С = 0,1; 0,5 и 1,0. Верхние ветви кривых А — f (К) соответствуют автоколебаниям, а нижние
ветви — неустойчивым колебаниям. Из рис. XIV. 41, а и б можно найти предельные значения
коэффициентов усиления систем Лпред- При коэффициентах усиления выше /(пред в системе
возникают периодические колебания, поэтому области, ограниченные осью ординат и пря-
мой /—I, являются областями устойчивых состояний. Области, правее прямых I—1, являются
областями неустойчивых состояний.
На рис. XIV.41, в построены области устойчивых и неустойчивых состояний в системе
регулирования в зависимости от параметра К при различных постоянных Т$. Как видно из
рисунка, увеличение постоянной времени приводит к уменьшению значения /СпреД, а следо-
вательно, сокращению области устойчивых состояний системы. Так, при увеличении Ts от
0,005 до 0,05 с /(пред уменьшается от 125 до 12,5 В/рад, что приводит к весьма существенному
сокращению области устойчивых состояний системы. На рис. XIV.41, г построена кривая
А = / (Ts); величина Ts изменяется в интервале 0,005—0,01 с. В этом случае область устой-
чивых состояний существует лишь при Ts < 0,005 с.
8. МЕДЛЕННО ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМАХ
В предыдущих параграфах данной главы анализ нелинейных систем
проводился в предположении, что установившиеся периодические процессы
в этих системах возникают при выполнении условия гармонического баланса
лишь для основной частоты автоколебаний, а остальные явления, вызван-
ные нелинейностью, не учитывались. Такой подход к исследованию авто-
колебаний во многих нелинейных системах является одним из наиболее
распространенных, и обеспечивает при расчетах хорошее совпадение с экспе-
риментальными данными.
Однако в нелинейных системах возможны и более сложные процессы,
когда наряду с автоколебаниями наблюдаются и колебания другой частоты,
например, при наличии изменения формы у несимметричных нелинейно-
стей (рис. XVI.42, а); при симметричных нелинейностях и подаче низко-
частотных или высокочастотных периодических воздействий (рис. XIV.42, б)
[59]. К этим процессам также относятся установление субгармонических
колебаний в релейных системах [831 и процесс синхронизации, когда авто-
колебания срываются и на выходе нелинейной системы устанавливается
периодический процесс с частотой входного воздействия более высокой,
нежели частота автоколебаний.
Предположим, что внешние воздействия g (/) или / (/) представляют
собой медленно изменяющиеся процессы по сравнению с автоколебаниями,
и их можно считать постоянными внутри каждого периода колебаний V
Тогда при соблюдении условия фильтра на входе нелинейности имеем
х (/) = х° + A sin at,	(XIV.129)
где х°.— постоянная составляющая автоколебаний, определяющая смеще-
ние центра колебаний на входе нелинейности.
1 В п. 10 данной главы, все эти ограничения на характер изменения внешних воздей-
ствий будут сняты.
-x(t)=x°+x*ASinat
X,(t)
g(t)=c0Sinugt f(t)=e,SlnLJit^t
x(t)=A$in(wt*<p)+AnSlnruot
x(t)
Puc. XIV.42. Структурные схемы релейных систем автоматического
регулирования'.
а — при несимметричной релейной характеристике; б — при подаче низкочастот-
ных или высокочастотных периодических воздействий
17'
515
За счет постоянной составляющей при разложении нелинейной-, функ-
ции в ряд Фурье получим следующие формулы для вычисления коэффи-
циентов гармонической линеаризации:
2л
а (х°, Я) =	[ F (х° 4- A sin at) sin at di;	(XIV. 130)
я о
2л
Ь(х°,Л) = -^- j F(x0 + -4sinco0cos<of d/;	(XIV.131)
о
2л
F° (x°, A) = ~ j F (x° 4- A sin at) dt.	(XIV. 132)
В соответствии с этим двузначную нелинейность можно представить
в виде
F (х° + A sin ©0 = F° (х°, Д) + а (х°, Л) х* (t) 4- -	~ (XIV. 133)
и однозначную
F(x°4- Д sin cof) = F° (х°, Д)4-а(х°, A)x*(t). (XIV. 134)
В выражениях (XIV.133) и (XIV.134) принято, что х* (t) = A sin at —
периодическая составляющая. Для получения условий гармонического
баланса в случае двух составляющих х° и х* (t) при несимметричной нели-
нейности выражение (XIV.96) перепишем в виде
1 4- W (0) Jo (х°, Д) = 0; |
1 4-IT(»J1(x°, Д) = од
где Jo (х°, А) и (х°, Д) — эквивалентные передаточные функции нели-
нейной части системы для двухчастотного входного сигнала. Из решения
системы уравнений (XIV. 135) определяем смещение центра колебаний х°,
частоту соа и амплитуду автоколебаний Да.
Разделение общего уравнения на два [в форме (XIV.135) для постоян-
ной и периодической составляющих] не означает применения принципа супер-
позиции к нелинейной системе, так как функция Jo зависит от решения
второго уравнения (XIV. 135).
Е. П. Попов предложил при небольших интервалах изменения функ-
ции х° (t) производить обычную линеаризацию функции смещения [591
в виде
F° = V°.	(XIV. 136)
=	=	(XIV.137)
(XIV. 135)
Коэффициент k„ принято называть нелинейным коэффициентом уси-
ления медленной составляющей.
В табл. 3 и 4 (прил. VII) приведены формулы для определения коэф-
фициентов гармонической линеаризации типовых нелинейностей при по-
стоянной составляющей х°, а в табл. 5 (прил. VII) — формулы для опре-
деления нелинейных коэффициентов усиления медленно изменяющихся
составляющих, полученные дифференцированием функции F° (из табл. 3
и 4 прил. VII) по х°. Эти формулы используют при практических расчетах.
516
Пример XIV.10. Определить частоту соа, амплитуду Аа автоколебаний и функцию сме-
щения ха в системе автоматического регулирования с несимметричной релейной характеристи-
кой (рис. XIV.42, а), если
U7 (s’) =___________—___________
’	(T1s+l)(T2s+\)(Tss+l)>
где Tf = 1,0 с; Т2 = 0,5 с; Т3 = 0,33 с; К = 100; Вг = 2 В; В2 = 1 В.
Решим этот пример двумя способами.
1-й способ. По табл. 3 и 4 прил. VII находим
F° (х°, Л) = -	arcsin -ф В2 arcsin ; (XIV.138)
Л	Л \	zl	zl у
а(х°, Л) =	+ ^1. 1/1 -	(XIV.139)
Из выражений (XIV.135) запишем
IV (°) = -	(jf0> А),	(XIV.140)
•'«"’’“трет)-	<XIVJ4,)
Эквивалентные передаточные функции Jo и представим как отношение соответству-
ющих сигналов на выходе нелинейности к входным сигналам, т. е.
Jo (V, А) =
В1 ^2
2х“
1	/	х0 \
—тг ( В, arcsin -г- 4- В, arcsin —т- )
\ 1 А 2 А )
(XIV.142)
и
h Л) =
2(Bj + B2} 1/,
лА V \ А ) '
(XIV. 143)
Для линейной части системы на рис. XIV.43, а построен годограф W (/со), с помощью
которого определяем частоту автоколебаний соа = 3,33 с'1 и | W (/соа) | = —9,96. В фор-
мулы (XIV.140) и (XIV.141) подставляем полученные числовые значения; тогда получим
1	1,3	. х®
100 ~ 2х° + лх° arCSltl А
(XIV. 144)
— 9,96 = —
лА
(XIV. 145)
По формулам (XIV. 144) и (XIV. 145) на рис. XIV.43, б строим зависимости величины сме-
щения х° от амплитуды автоколебаний А (соответственно кривые 1 и 2). Точка пересечения этих
кривых определит значения амплитуды автоколебаний Аа = 14 В и смещения х° = 9,3 В.
Рис. X1V.43. Графическое определение смещения и амплитуды автоколебаний в релейной
системе
517
Рис. XIV.44. Логарифмические амплитуд-
ные и . фазовые частотные характеристики
линейной части системы с нанесенными лога-
рифмическими обратными характеристиками
20 *g qa (х“, А) И 20 lg 91 (х“, А)
2-й способ. На рис. XIV.44 построим
логарифмические амплитудную Н и фазовую 0
частотные характеристики линейной части
системы. Пересечение вертикали BD с осью
частот дает соа — 3,33 с'1. После этого по-
строим шаблоны для нелинейности. Сплош-
ными линиями на рис. XIV.45 представлен
шаблон
для 20 1g
1
91 (*°. А)
и штриховыми—
для 20 1g---—г-. Наложим этот шаблон
9о (х°> А)
на рис. XIV.44 так, чтобы ось абцисс шаблона
совпала с осью 0 дБ, и будем перемещать его
до тех пор, пока точка С, полученная пере-
сечением штриховой кривой с некоторым зна-
чением х° с линией 20 1g 100= 40 дБ, точка В,
расположенная на пересечении сплошной ли-
нии с тем же значением и кривой Н, и
точка D, образованная пересечением линии — 180° с кривой 0, не окажутся на одной верти-
кали. Как видно из рис. XIV.46, в этом случае условиям (XIV.140) и (XIV.141) удается
удовлетворить при х° = 9,3 В, соа = 3,33 с’1 и Аа = 14 В.
С помощью метода гармонической линеаризации можно исследовать
точность автоколебательных систем автоматического регулирования. Как
известно, величина постоянной составляющей в статической системе авто-
матического регулирования определяет статическую ошибку, а в астати-
ческой системе — установившуюся ошибку при постоянной скорости. Таким
образом, определяя значение х° при регулярных воздействиях, можно ис-
следовать точность автоколебательных систем.
Рис. XIV.45. Шаблон с логарифмическими обратными характеристиками
2018 —ПГ-Н- и 20 lg -/J—л~
9в (*“. А) & 9i А)
518
' Pue. XIV.46. Структурная схема-ре-
-мйной-следящей системы- е внутрен-
ней-  обратной связью
(XIV. 147)
Запишем гармонически линеаризованное уравнение для одноконтур-
ной системы с одной нелинейностью в виде
х° + х* (() + W (р) {F° (х°„ Л) + [а (х», Л) +	р ] х* (О) = Wf (р) f (/).
(XIV. 146)
Это уравнение представим двумя зависимостями (по постоянной и коле-
бательной составляющим)
для статических систем
х° + W (0) F° (х°, Л) = Wf (0) f0;
х* (0 + W(р) [а(хо, Л) + р] х* (0 = 0,
где f (/) = А, = const,
и для астатических систем
х° + W (0) F® (х°, Л) = Wfl (0) /у,
х* (t) + Г (р) [ а (х°, Л) + р ] х* (0 = 0,
здесь / (0 = h (t).
Пример X1V.11. Определить зависимости для постоянной составляющей х°, частоты ша
и амплитуды Аа автоколебаний в релейной следящей системе (рис. XIV.46) от ее параметров
kt, k2, k3, Тг, Т2, управляющего и возмущающего воздействий. Примем, что управляющее
воздействие g (Z) = g0 t, а возмущающее f (t) = fQ. Будем считать: g0 = 0,05-5-1 рад/с, a f0
принимает значения 0,05; 0,075 и 0,1 рад.
Составим характеристическое уравнение реальной следящей системы в виде
ТгТ2з3 + (7\ + Т2) s» + [1 + T^k^a (Л)] s + (*х + *») k2a (Л) = 0. (XIV. 149)
Подставив в уравнение (XIV. 149) а= /со, найдем
(^1 + ^з) k2a (Л) — (Л + Т2) <в2 = 0; 1	(XIV 150)
[1 + T^kyi (Л)] со — Т^а3 = 0. J	1	1
Отсюда нетрудно определить частоту и амплитуду симметричных автоколебаний:
(XIV. 148)
fei + fe8 .
7'1fe3)
45fe2Ta (T2kr — Txk3)
’ЧЛ+Т'з)
Для однозначных нечетных нелинейностей имеем
откуда получим
а (х°, А) = ас (Лс),
4В -1 / _	= 4В
лЛ V \ Л ) лЛс
(XIV.151)
(XIV. 152)
(XIV.153)
(XIV.154)
(XVI.155)
519
Перед корнем выражения (XIV. 155) взят знак плюс, обеспечивающий равенство А ~ Ас
при х° = О [59]. Введем в выражение (XIV. 155) следующее обозначение:
-^- = sinP;	(XIV. 156)
тогда получим
(-Ay = C0S2_|-.	(XIV. 157)
Из выражений (XIV.156) и (XIV.157) найдем
.	. Г 1	• 2х0 1
Л^соз^агсщп-^].	(XIV.I58)
А.,
Полученная формула справедлива при |х°|^—.
Для того чтобы найти зависимость смещения х° от воздействий, необходимо записать урав-
нение для следующей системы в виде
(Т1Р + 1) (Т2р + 1) рх + (Т^зР + fe, + k3) k3F (х) =
= kx (Тгр + 1) pg (0 - (Т^зр + kt + k3) f (t).	(XIV.159)
Из структурной схемы (рис. XIV.46) можно определить, что релейная система является
астатической по управляющему и статической по возмущающему воздействиям. В этом случае,
для установившегося режима имеем
Ъ (*1 + *з) Ф (х°) = [felg0 -	+ k3) /о].	(XIV. 160)
Функцию Ф (х°) находят после подстановки в выражение
2В	х°
(х°, А) = — arcsin ~	(XIV. 161)
Л	А
значения х°/А, полученного из формулы (XIV. 155), т. е.
ф (х°) = —arcsinПрИ---------ф- ^х°	.	(XIV. 162)
71	/iQ	2.	2
Подставляем выражение (XIV. 162) в уравнение (XIV. 160); тогда
(X1VJ63)
Определив из выражения (XIV. 163) 2х°Л4с н подставив его в формулу (XIV. 158), найдем
<XIVJ64)
Рис. XJV.47. Зависимости х° = х° (g01 f0) и А — A (ge, f3}
520
Подставив в выражения (XIV.163) и (XIV.164) соотношение (XIV.152), получим
4^3Т2 (Т — 7\к3)
МЛ + Л)
Sin [ Bk2 (	+ *3	f°) ]
(XIV.165)
и
_ 45АаТа (Т2^х— T’ikg) Г л / kfgt, _
МЛ + П) 125*3^ + ^

(XIV.166)
Примем, что параметры релейной следящей системы имеют следующие значения: k, =
= 20; k2 = 5 с*1; ks = 2; Tt = 0,1 с; Тг = 0,5 с; В = 0,2 В. .
После их подстановки в выражения (XIV. 165) и (XIV. 166) найдем
х° = 10,4 sin л (0,9lg0 —/о);	(XIV. 167)
4 = 10,4 sin-y (O,91go —(„).	(XIV. 168)
На рис. XIV.47 построены зависимости х°, 4 от g0 и f0.
9.	СПОСОБЫ ПОДАВЛЕНИЯ АВТОКОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Как было показано ранее, нелинейности различного рода в однокон-
турных и двухконтурных системах автоматического регулирования яв-
ляются причиной возникновения автоколебаний. Автоколебания для систем
регулирования некоторых видов совершенно недопустимы, так как приводят
к снижению точности системы или нарушению режима нормальной эксплуа-
тации. Так, например, в следящих системах режим автоколебаний вызы-
вает колебания объекта регулирования, что нарушает плавность режима
слежения и недопустимо по требованиям эксплуатации. В высококаче-
ственных системах автоматического регулирования автоколебания недо-
пустимы по требованиям точности и т. д. Для устранения режимов автоко-
лебаний в системах регулирования применяют линейные или нелинейные
корректирующие устройства.
Линейные корректирующие устройства. С целью подавления автоколе-
баний в системе параметры линейных корректирующих устройств выбирают
таким образом, чтобы условие баланса амплитуд и фаз не выполнялось.
Рассмотрим логарифмические амплитудную 1 и фазовую 2 частотные харак-
теристики линейной части системы. Они изображены на рис. XIV.48 штри-
ховыми линиями. Как видно из этого рисунка, кривая 2 пересекает линию —л
в двух точках—Dr и О2, где Lmfl>0 дБ. Соответствующие этим точкам
положения шаблонов нелинейного звена показаны кривыми 3 и 4. Точки Вг
н В 2 пересечения шаблонов с кривой 1 лежат на одной вертикали с точ-
ками DjHDj. Следовательно, в этих точках могут наблюдаться колебания.
В точке D 2 производная < 0, что указывает на автоколебательный
d0c . п
режим в системе, а в точке D г производная > 0, и система находится
в неустойчивом режиме колебаний. Для устранения периодических режимов
необходимо поднять фазовую характеристику выше оси-—л. На рис. XIV.48
такая фазовая характеристика (желаемая) * показана сплошной линией
(кривая 5). Требуемое корректирующее устройство можно выбрать по наи-
большей разности фазовых углов, т. е.
0к(ю) = еж((о)-ес(ш).	(XIV. 169)
По 6К (со) с помощью специальных номограмм (рис. XIV.49) можно
выбрать тип корректирующего устройства, а также его параметр Хк.
• См. гл. XVII. '
521
Рис. XIV.48. Выбор последовательного линейного корректирующего
устройства по логарифмическим фазовым частотным характеристикам
В результате получают передаточную функцию корректирующего
устройства дифференцирующего типа
(XIV.170)
Лк / "Г 1
или
IX'/JiX •	(XIV.171)
где Тк определяют по оси ординат аТк номограмм.
Логарифмическая амплитудная характеристика всей скорректирован-
ной системы построена на рис. XIV.48 (кривая 6).
Нелинейные корректирующие устройства. Эти устройства могут быть
двух типов: последовательные или параллельные. В качестве последова-
тельного нелинейного корректирующего устройства рассмотрим два линей-
ных звена, разделенных нелинейным элементом (рис. XIV.50). Переда-
точные функции линейных фильтров запишем в виде
где 7\ = R&, Т2 = Ср X = Т^/Л;

Л5 + 1
где 7\ — (/?•£ Сг; Тj — R&.
Будем считать, что постоянные времени фильтра (s) равны соот-
ветствующим постоянным времени фильтра ($).
Определим напряжение на выходе фильтра при подаче на его
вход сигнала er = A sin at\ тогда
т2 1 + ®2П
Л V
A sin (cot-j-arctgco7'1 — arctg aTt). (XIV. 172)
«1 =
522
Возьмем некоторую частоту &0, при которой можно пренебречь фазо-
выми запаздываниями arctg ©Д и —arctg юТ2. Тогда при ю < из выра-
жения (XIV. 172) получим	______
АТ -1 / 1 + ш2Т"?
“» T V ,х Sin at-	(XIV. 173)
1 1 f 1 + CO
Если ux < ип (т. e. если при подаче сигнала ех выходной сигнал и2
не достигает зоны насыщения), то соблюдается условие
u2 = kult	(XIV. 174)
где k — линейный коэффициент усиления нелинейного элемента.
В этом случае напряжение на выходе нелинейного корректирующего
устройства
е2 = A sin at,	(XIV. 175)
или
е(ш) = о.
Рассмотрим диапазон частот © > ю0. На этих частотах возникают
амплитудные искажения, которые можно учитывать с помощью параметра {3,
т. е.
1 + со2Т|
1 + со2Г|
1 я/
0 V 1-МгГ
(XIV. 177)
При этом следует иметь в виду, что
| иг | < и0, если | sin ф | < (5;
| их | > «0, если | sin ф | > 0,
(XIV. 178)
где ф = at + arctg аТ1 — arctg aT2.
Рис. XIV.49. Номограмма для определения типа и
параметров последовательного линейного корректи-
рующего устройства
Рис. XIV.50. Упрощенная принципиальная схема
псевдолинейного корректирующего устройства
523
Коэффициенты гармонической линеаризации для данного нелинейного
корректирующего устройства при симметричности сигнала на входе нели-
нейности определяют с помощью следующего выражения:
Л
2
а(А) = j -гsin2ф	J зШфйф, (XIV.179)
о	Ч>1
где фх = arcsin |3, откуда
. 4kB ( 1 Г arcsinB sin (2 arcsin 8) 1 ,	. -oxi	mm
a = “ U L---------------------~~2------ J + C0S (arcsin P)J • (XIV-18°)
Пользуясь этой формулой, найдем выражение для сигнала на выходе
нелинейного корректирующего устройства:
е2 = kT^— arcsinр — ~sin(2arcsinР) -J-	cos(arcsinР) j sin®/. (XIV. 181)
Из выражения (XIV. 181) определим
qn (Л, и) —	Г — arcsin Р--- sin (2 arcsin Р) + !
/ j {_ JT	JT	|
4-	cos (arcsin Р) J ;	}	(XIV.182)
Мп И, ®) = О,	I
ГДе B=jg2kl/_L + W2-
Д Р АТ2 V 1+(ш7\)2
По формуле (XIV. 182) на рис. XIV.51 построены логарифмические
эквивалентные амплитудные характеристики рассматриваемого нелиней-
ного корректирующего устройства при Т2П\ = 0,1 и k = 10. Как видно
из рисунка, корректирующее устройство изменяет только эквивалентную
амплитудную характеристику системы и является псевдолинейным, что упро-
щает анализ устойчивости систем автоматического регулирования.
Еще большие возможности по диапазону изменения амплитуд на входе
нелинейности имеют параллельные нелинейные корректирующие устрой-
ства. Выбор корректирующего устройства такого рода рассмотрим на при-
мере системы автоматического регулирования (рис. XIV.52, а). Введем
в исходную систему, как это предложил Д. Шулкинд [761, параллельное
корректирующее устройство, состоящее из линейной 1УК (s) и нелиней-
ной JK (Л) частей (рис. XIV-52, б). Условие устойчивости для этой системы
запишем в виде
- 1 = J (4)	(/®) W, (/®) + 14 (/®) WK (/«) 4 (А). (XIV. 183)
Для выбора передаточных функций корректирующих устройств 14
и 4 введем ряд дополнительных условий.
Условие 1. Будем считать, что нелинейное корректирующее устрой-
ство 4 (Л) и основная нелинейность J (А) одинаковы, т. е.
4 (А) = 7 (А).	(XIV. 184)
При выполнении равенства (XIV. 184) условие устойчивости системы
- 1 = 7 (A)	(/«)	(j®) + 14 (/«) U4 (/«) JK (А) (XIV. 185)
можно представить в виде
-1 = 4 (А) 14 (/®) W2 [ 1 +	; (XIV. 186)
-1 = 4 И) ^4 (/«) ^2 (/») W'	(XIV. 187)
W' (j®) = Г1 4	1.	 (XIV. 188)
524
Рис. XIV.51. Логарифмические приве-
денные эквивалентные амплитудные
характеристики псевдо линейного кор-
ректирующего устройства
Рис. XIV.52. Структурная схема системы
автоматического регулирования с нелиней-
ностью:
а — исходная; б — включением нелинейного па-
раллельного корректирующего устройства
Из выражений (XIV. 187) и (XIV. 188) следует, что И7К (/со) нужно выби-
рать таким образом, чтобы при (со) Н2 (со) > 1 результирующая фазо-
вая характеристика 0Р (со) не пересекала линию —л.
Условие 2. Пусть 1ГК (/со) = IV 2 (/со), тогда уравнение (XIV. 183) при-
мет следующий вид:
— 1 = [J (А) ф- 4 (A)]	(/со) W2 №),	(XIV. 189)
или, после объединения обеих нелинейностей в одну,
-1 = 4 (A)	(/со) W2 (ja),	(XIV. 190)
где 4(A) = fJ(A) + 4(A)].
Из уравнения (XIV. 190) получим соотношения, обеспечивающие усло-
вия гармонического баланса:
201g/4 (со) (со) = 2016--^;
q°(A>	(XIV.191)
61(со) + 02(со) = -18О°-Ио(А).
Путем соответствующего выбора характеристики JK в передаточной
функции 4 (А) можно получить значительное расширение областей устой-
чивых состояний системы по ее параметрам.
Условие 3. Примем, что
4И) = р[1 - J(A)],	(XIV. 192)
где р — постоянный коэффициент, изменяющийся в пределах от 0 до 1, и
IFk(/co) = IF2(/<o).	(XIV. 193)
Имея в виду соотношения (XIV. 192) и (XIV. 193), перепишем урав-
нение (XIV. 183):
- 1 = \J (А) + р [1 - J (А)]} И4 (/со) W2	(XIV. 194)
Соответствующим выбором р уравнение (XIV. 194) можно привести
к виду
- 1 = 4 И) (/®)	(/“)	(XIV. 195)
или
201gZf1(co)Zf2(co) = 201g-L-; '
<7оИ)	(XIV. 196)
Qj (со) + 02 (со) = 180°,
т. е. при 20 1g/4 (со) #2 (со) > 1 кривая 0j (со) + 02 (со) должна быть
выше линии —л.
525
Рис. XIV.53. Структурные схемы электрогидравлической следящей
системы:
а — исходная; б — с нелинейной коррекцией
Условие 4. Будем считать, что выполняется лишь одно соотношение
(XIV. 192); тогда уравнение (XIV. 183) можно записать в виде
- 1 = J (A) W, (/и) Wt (/и) + 0 [1 - J (A)] Wt (/«) FK (/«), (XIV. 197)
откуда
— [1 4- 0W\ (/со)	(/to)] = J (А)	(/со)	(/со) — 0W\ (/со) №к (/со)], (XIV.198)
или
— 1 = / (А)
Wj (i<s>) IV, (/со) —, PIT, (/co)	(/co)
1 + PW'i (/<*>)
(XIV. 199)
Путем выбора коэффициента 0 и 1FK (/со) можно добиться устранения
автоколебаний. Аналогичным образом можно рассмотреть трех- и четырех-
контурные системы автоматического регулирования.
Пример XIV.12. Включением параллельного нелинейного корректирующего устройства
подавить автоколебания в электрогидравлической следящей системе с люфтом в механической
передаче. Исходная структурная схема следящей системы показана на рис. XIV.53, а. Введем
в рассматриваемую систему параллельное корректирующее устройство с передаточными функ-
циями U7K (s) и JK	(рис. XIV.53, б).
X ^2 /
Рис. XIV.54. Логарифмические амплитуд-
ная и фазовая характеристики электроги- 
дравлической следящей системы
Примем, что передаточные функции от-
дельных звеньев имеют следующий вид;
(s) ~
F2 (S) = ks,
(X,vaw
tp
где kn — передаточный коэффициент потенцио-
метрической схемы; ks — коэффициент усиле-
ния электронного усилителя; kas — переда-
точный коэффициент электродвигателя; !р —
передаточное число механической передачи.
Параметры следящей системы: kn =
= 5 В/рад; 7\B=0,l с; ks — 250; ср = 250:
йдв = 8 рад/(В-с).
Ширина полузоны люфта в механической
передаче, приведенная к валу потенциометра,
Сх = 13,75', или 0,004 рад. Для принятых
параметров системы на рис. XIV. 54 построены
526
логарифмические амплитудная (кривая /) и фазовая (кривая 2) частные характеристики линей-
ной части системы. На этом же рисунке показаны положения шаблонов (кривые 5, 6 и 7, 8),
соответствующие периодическим режимам в системе. С ростом амплитуды Л j течка Bj шаблона 5
20 1g —;' выходит из области, ограниченной линиями Н (со) и со, т. е. при частоте,
’(x)J
соответствующей точке Е^, имеются автоколебания с частотой со = 15,6 1/с и амплитудой
A j = 0,0086 рад. Точка Вг кривой 7 с ростом амплитуды входит внутрь указанной области,
т. е. при частоте, соответствующей точке Е2, возникают неустойчивые колебания с частотой
со = 4 1/с и амплитудой А, = 0,0044 рад.
Для устранения автоколебаний и неустойчивых колебаний в следящей системе выберем
в качестве параллельного нелинейного корректирующего устройства тахогенератор с цепоч-
кой ЕС и нелинейность типа насыщения (с зоной Сг), т. е.
FK (s) =
k’s2
TKs+\
(XIV.201)
mv“’
где k' = 0,25 рад/с; Тк — 0,05 с; С2 = 0,25 В. Примем, что ширина участка насыщения нели-
нейности В = 200 В. Запишем характеристическое уравнение системы
= 0,
(XIV.203)
1 + U7 (s) FK (s) JK
где V (s) =	(s) Ws (s) Г3 (s)	(s).
Из уравнения (XIV.203) найдем
(s) •/к
— 1 = W (s) J
(XIV.204)
Введем в уравнение (XlV-204) следующие обозначения:
где
(Л1, /ш) — 1 + 01,./®),
(XIV.205)
(XIV.206)
Для использования логарифмических частотных характеристик выражение (XIV.205)
перепишем в виде

7п0ь /®) =
1
Jn (А- /®) -J
(XIV.207)
Амплитудная характеристика
<?П0Ь ®) =
(XIV.208)
где
и фазовая
А^'со2
/т>2+ 1 ’
р" 02, со) = 180° — arctg соТк — р
(XIV.209)
527
Рис. XIV.55. Логарифмические
амплитудная и фазовые характе-
ристики внутреннего контура
электрогидравлической следящей
системы
Пользуясь полученными формулами, нетрудно вычи-
слить функции q"n и ц". Для принятых параметров системы
построим логарифмические характеристики q'^ (Др со)
и р" (A j, со) при A j = 0,0086 рад, со = 15,6 1/с и A ± =
= 0,0044 рад, со = 4 1/с, соответствующие периодическим
решениям (см. рис. XIV.54).
Характеристика д" (А, со) обозначена цифрой 5,
характеристика р" (Лр со) — цифрой 1 (рис. XIV.55).
На этом же рисунке построены обратные функции--!------
’п 01, ®)
(кривая 2) и —р"(Л1? со) (кривая 6). Перенесем полу-
ченные значения обратных функций на номограмму
рис. XIV.56. Найдем по номограмме значения амплитуд
и фаз функции J’n (Л j, /со) = Н’п (Л ь со) e/0n “) и на-
несем их на рис. XIV.55 (кривые 4 и 3).
Условия гармонического баланса можно получить
из формул (XIV. 196) в виде
201g Я (со) ^(Ль /со) ==201g— (XIV.210)
и
0(со) + е;(Ль /Ш) = _ 180°-р (-£-).	(XIV.211)
В соответствии с этими соотношениями геометрически
сложим кривые 4 и 3 (рис. XIV.55) с кривыми 1 и 2
(рис. XIV.54); в результате получим характеристики
20 lg Н (со) J{ (Лп /со) (кривые 3 и 4, также показанные
на рис. X1V.54). Наложим на рис. XIV.54 шаблон с ха-
рактеристиками
и будем его перемещать вдоль оси частот. Как видно из рис. XIV.54, нет точек пересечения
линии 1 с кривой 3 шаблона, лежащих на одной вертикали с точками пересечения линии 2
с кривой 4 шаблона, что указывает на отсутствие периодических режимов в системе.
Наглядной иллюстрацией этого положения служит рис. XIV.57, где построены функции
W (i«) J'n 01, /®) (кривая /) и }	>
(кривая 2) в координатах амплитуда—фаза. Кривая 1
исходной системы пересекает в двух точках кривую 2, что указывает на пояление периодиче-
ских режимов в системе. Кривой 3 показана амплитудно-фазовая характеристика скорректи-
рованной системы. Как видно из рис. X IV.57, кривая 3 не пересекает кривую 2, т. е. в скоррек-
тированной системе периодические режимы отсутствуют.
Возможны и другие схемы включения нелинейных корректирующих устройств парал-
лельного действия, подавляющих автоколебания в системах автоматического регулирования
с люфтом. Например, хорошие результаты могут быть получены при включении двух нелиней-
ных параллельных корректирующих устройств (50].
10. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Принцип суперпозиции решений уравнений для нелинейных систем
автоматического регулирования несправедлив, т. е. нельзя складывать
свободные и вынужденные колебания. Поэтому исследование вынужденных
колебаний в нелинейных системах следует выполнять на основе метода гар-
монической линеаризации.
Уравнение динамики нелинейной системы запишем в виде
х (/) + W (р) F (х, px) = Wf (р) f (/).	(XIV.212)
Положим, что внешнее воздействие
f (/) = BBsincoB/,
(XIV.213) ’
528
to
CD
Lm, дб
Рис. XIV.56. Номограмма замы
копия
Рис. XIV.57. Логарифмические
амплитудно-фазовые характери-
стики электрогидравлической сле-
дящей системы
и будем искать решение уравнения (XIV.212) при выполнении условия син-
хронизации, когда в динамической системе возникают колебания на частоте
внешнего возбуждающего воздействия т. е.
х (/) == Ав sin (сов/ + <р).	(XIV.214)
Иначе говоря, требуется определить Ав и ф.
Внешнее воздействие запишем в виде [591
f (t) = Вв sin [(юв<	ф) — ф] = Вв cos ф sin (<вв£ 4- ф) —
— Вв sin ф cos (coBi 4- ф).	(XIV.215)
Найдем производную от функции (XIV.214):
рх (t) = Двсов cos (coBt 4- ф)-	(XIV.216)
С учетом выражений (XIV.214) и (XIV.216) запишем соотношение
(XIV.215) в следующем виде:
Z(/)=44COSCP--------(XIV.217)
Подставив выражение (XIV.217) в уравнение (XIV.212), получим
[1-^г(р)-^-(со5ф -22Л. p}]x(()4-IF(p)F(x,px)==0. (XIV.218)
' Будем считать, что нелинейность F (х, рх) допускает только симметрич-
ные колебания, т. е.
2л
J Р(Д,51пф, Двюв cos ф) йф == О,	(XIV.219)
о
где ф == a>Bi 4- ф.
Выполним гармоническую линеаризацию нелинейности
F (х, рх) = а (Д„ <>,) х 4- -•(Лв' Юв) рх,	(XIV.220)
(0g
где
а(Лв, ®в) j F0Bsintp, Лвсов cos tp) sin tprfxp; (XIV.221)
в о
2л
6 (Д в. ®в) =*	J F (Д> Sin ф, Д4сов cos Ф) COS Ф йф,
0
и, подставив выражение (XIV.220) в уравнение (XIV.218), получим
1 -(р) -£•(cos* ~р)+Г(р)[й(Л- +~~ р]=о-
Лв \	шв /	L	(Ов J
(XIV.222)
Уравнение (XIV.222) перепишем ,в операторной форме, имея в виду,
что
cos ф — / sin ф = е~'ф и s = /фв,
т. е.
1 -	(>B)	е-/” 4- W (/фв)[й (Д„ <вв) 4- /& (Д„ о,)] = 0. (XIV.223)
Из этого уравнения найдем
Ав 2..+ ^	+ !'Ь Юб)1 Вве-/т. (XIV.224)
1 Это явление часто называют процессом захватывания.
530
Рис. XIV.58. Графики для определения характеристик Лв = Лв (®в)
и Л в — Л в (Вв) первым способом
Для определения из этого уравнения Лв и ф воспользуемся двумя
способами, предложенными Е. П. Поповым [59].
1-й способ. Обозначим левую часть уравнения (XIV.224) через
Z (.4в, <»в). Построим график этой функции для трех значений сов1, сов2,
с£>вз в зависимости отЛврис. XIV.58, а. Правую часть уравнения (XIV.224)
построим на том же рисунке в виде семейства концентрических окруж-
ностей с радиусами Ввг. В точке пересечения окружности радиуса Вв4 с кри-
вой Z (Лв, сов) найдем амплитуду вынужденных колебаний ЛВ1 и фазовый
сдвиг <р.
На рис. XIV.58, б построена кривая изменения амплитуды вынужден-
ных колебаний Лв от частоты вынужденных колебаний <ив, полученная по
данным рис. XIV.58, а. Зависимость амплитуды вынужденных ко.лебанийЛв
от амплитуд внешних периодических воздействий Вв показана на
рис. XIV.58, а.
2-й способ. Уравнение (XIV.224) перепишем в виде
-4 в _______________Wf _______________ СХIV 2251
Вв	1 + UZ (/шв) [а (Л„, С0в) + Ф (Лв, а>в)] ’	(		>
Обозначим
/(Л, W = a(4 ®в)т/Ь(4 ®в)	(Xiv.226)
и подставим (XIV.226) в уравнение (XIV.225); тогда получим
, +7,Я.. к. W. <XIV-227'
ИЛИ
1
-А. е/Ф = —J <.k’ A r А— Wf (/юв),
i _l________________________!___:_____
••••••	' J (-^в» ytOglV’ (/^в)
откуда найдем
20,1g А- -20 lg \Wf О.) I = 201g
DB
J (Лв, ,/шв) ц/ (/сов)
1 _1__________!— ---------
J (Ли, /®в) и/ (/<ОВ(
(XIV.229)
1
Ф — arg [Ff (/cdb)] = arg |_____________J |Лв-	| ,(0Д—
(XIV.228)
(XIV.230)
J Ив, /шв; и/ (j<obj _
531
Рис. X1V.59. Графики для определения характери-
стик Ав == Ав (<ов) и А в = Ав (Вв) вторым спосо-
бом
Введем следующие обозначения:
тогда получим
1 J (^В> /®В I	Я (^В, ®в)»
arg [J (Дв, /сов)] = р (Дв, <ив);
J Ив, /®в) = IЯ (Л, ®в |еу
(XIV.231)
(XIV.232)
(XIV.233)
С помощью выражений (XIV.229)—(XIV.232) на рис. XIV.59, а—в
построены соответствующие частотные характеристики. Для получения
амплитудных
201g
и фазовых
arg
_____________1_____________
J (Лв, /<ов) Г (/®в)
J (Лв, /сов) Г </<ов)
= 201g | Фе (Дв, /<ов) |
_____________1____________ -
J (Лв, /<ов) W (j<oB)
1 _|--------------J_____________
J (Лв, /®в) W (jaB) _
= arg[OE(XB, /шв)]
частотных характеристик кальку с характеристиками	—- и —г—,—.—г
(рис. XIV.59, а) наложим на номограмму замыкания, совмещая ее начало
координат с точкой на кривой 	имеющей заданные амплитуду ABi
и частоту совг (рис. XIV.59, б). Значения амплитуд 20 1g | Фе (Дв,/<ов)|
и фаз arg [Фе(Дв, /сов) ] нелинейной системы определим по точке пересе-
чения логарифмической амплитудно-фазовой характеристики с кривыми
номограммы для частот соВ!-, где соблюдается условие 201g -----------
— 20 1g | Wf (/сов) | = D. Соответственно с этим получим фазовую харак-
теристику arg [ФЕ (Дв, /сов) К Перемещая кальку с кривыми . . —-
и	• по номограмме, получим характеристику Ав — Ав (<ов)
(рис. XIV.59, в), полностью совпадающую с соответствующей характери-
стикой на рис. XIV.58, б.
532
Если внешнее воздействие приложить ко входу системы, то передаточ-
ную функцию замкнутой нелинейной системы можно записать в виде
ф (Вв, /®в) = Фе (Дв> ю W (Дя, /Ч),	(XIV.234)
где W (Л в, /сов) = J (Лв, /сов) W
Зная эквивалентные характеристики q (Лв, сов), р (Лв, <ив) и Н (®в),
0 (юв), нетрудно найти | Ф (Дв, /юв | и arg [Ф (Вв, /ив) ] (рис. XIV.58, а, б).
В результате получим семейство логарифмических амплитудных и фазовых
характеристик замкнутых нелинейных систем, откуда можно найти зави-
симость Лв = f (Вв), которая также совпадает с кривой на рис. XIV.58, в.
Для целого ряда нелинейных систем автоматического регулирования
характеристика Z (Лв, сов) пересекается с окружностями радиуса Вв1 лишь
до некоторого порогового значения Ввпор (рис. XIV.60, а). Таким обра-
зом, при различных значениях Лв получим зависимость Вв = f (Лв)
(рис. XIV.60, б). Изменяя сов, получим также зависимость Ввпор = /(®в)
(рис. XIV.60, в), из которой видно, что в нелинейной системе возникают
одночастотные колебания <вв только при Вв > Ввпор в области синхрони-
зации. При ВВпор =0 имеем сов = ®а- Существуют и такие нелинейные
системы автоматического регулирования, у которых наблюдаются режимы
устойчивых состояний, автоколебаний и захватывания (рис. XIV.60, г).
Пример XIV. 13. Определить формулы для вычисления вынужденных колебаний в релей-
ной следящей системе (см. рис. XIV.46) и найти условие захватывания.
Перепишем уравнение следящей системы (XIV. 159) для / (/) = 0; тогда получим.
(Т^р 1) (Т%р + 1) рх + “г “г *з) ^2^ (*) “ (Т2Р + 1) Pg (0-	(XIV.235)
Пусть периодическое внешнее воздействие g (f) — Вв sin сов/. При этом
х (Z) = Ав sin (<oBt + ф),	(XIV.236)
и эквивалентный коэффициент усиления релейного элемента
9(Лв) = ^Г-	(XIV.237)
Подставив выражения (XIV.236) и (XIV.237) в уравнение (XIV.235), найдем
лЛв (T’i/cOb + 1) (T2j<oB + 1) /<ов + 4В (7’1fe3/coB + fei + fe3) k2 =
= Вв	(T2juB + 1) /шв.	(XIV.238)
Рис. XIV.60. Определение
областей захватывания и
автоколебаний нелинейной
системы автоматического ре-
гулирования
533
где
Из уравнения (XFV.238) получим
Из
4B (A] 4- A3) k2 — яЛв (Tj 4- T2)<ol = — rtfejBgtOg (У2<ов cos ф — sin ф);
(лЛв 4 \BT\k2k^ a>g — лЛв7"17'!,<о!> = л&цВвСО» (У2ф8 sin tp 4 cos tp).
этих двух уравнений найдем [59]
— nkJSt, cos ф = G — яЛв; sin ф = И — DkA^,
q _ 4Bk2 (Т4 У— У•
тН + 1
(XTV.239)
(XIV.240)
4В£г(&1 4 £34-Т^Гз^со2)
п-------	-----
МФв + О
D = T^&t.
Возведем
уравнение
выражения (XFV.240) в квадрат, и после их сложения получим
квадратное
(1 4- О2) я2Л2 — 2 (G 4- HD) пАй 4 G2 4 Я2 — л2^В2 = 0,
(XIV.241)
откуда найдем
G 4 HD ± V(G 4- ЯП)2 — (1 4- О2) (G2 4- Я2 — л2^в|)
*4» =
 л (1-4-Д’)
(XIV.242)
Поделив первое уравнение системы (XIV.240)- на второе, получим
, Я —ПяЛв
Ф = — arctg —у,-
G —лЛв
Из этого выражения следует, что вынужденные колебания существуют (иначе говоря,
имеет, место явление захватывания), когда при G + ЯП >• 0 выполняется условие
(G4- ЯО)2^ (1 4-02)(024-Я2 — л2^В2),
(XIV.243)
или
WS>2R2^ (H-GD)*
(XIV.244)
С помощью неравенства (XIV.244) можно определить область захватывания, если B^>BBmv.
В свою очередь, ЯВпор зависит от параметров системы 1ц. На рис. XIV.61 построены области
Рис. XiV:61. Зависимость' Вя, пйр = f (At)-
для релейной системы автоматического регули-
рования
захватывания в зависимости от при
<ов = 10а с-i; kt = 1 с-i; =2; Tt =
= 0,1 с; Т2 = 0,5 с; В = 1 В.
Пример XIV. 14. Определить семей-
ство логарифмических амплитудных и фа-
зовых частотных характеристик замкнутой
нелинейной системы, состоящей из после-
довательно соединенных линейной части
с передаточной функцией
U7 М -	50° (0.4s 4 I)8_____
. - ’	s(2,828s4 1? (0,025s 41)?.
и нелинейной части, содержащей одно-
значную нелинейность (типа зоны насыще-
 иия с k„ = 1). На рис. XIV.62, а пока-
зана номограмма замыкания с двумя лога-
рифмическими амплитудно-фазовыми ча-
стотными характеристиками при С/Л= 0,1
н 0,5, а на рис. XIV.62, бив изображены
семейства логарифмических амплитудных
и фазовых частотных характеристик нели-
нейных замкнутых систем регулирования.
534
Рис. XIV.62. Семейства логарифмических амплитудной.и фазовой частотных характе-
ристик в замкнутой нелинейной системе
11. КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
При расчетах систем автоматического регулирования встречаются та-
кие задачи, когда требуется, исследовать динамику процессов, регулирования
в условиях отсутствия сведений о характеристиках отдельных устройств.
Особенно часто бывают неизвестны нелинейные характеристики исполни-
тельных устройств систем. При исследовании устойчивости таких систем
независимо от вида нелинейной характеристики пользуются понятием абсо-
лютной устойчйво'сти.'	......
Анализ абсолютной устойчивости систем регулирования выполняется
с помощью структурной схемы (рис. XIV.63) с разделенными линейной и
нелинейной частями. В общем случае нестационарный нелинейный элемент
описывается функциональной зависимостью «(Z) = F [е (t), <]• Некоторые
типы нелинейных соотношений приведены ниже:
и (f) — f [р. (t) I — нелинейный однозначный стационарный;
и (0 = f [р, (Z), N — нелинейный однозначный нестационарный;
и (/) = F [е (t) ] — нелинейный двузначный стационарный-; 
и (t) = k (t) е (/) — линейный нестационарный;
и (/) = ke, (t) — линейный стационарный.
Характеристики, описываемые этими соотношениями, могут иметь
самую разнообразную форму, однако все они должны быть расположены
внутри сектора, ограниченного двумя прямыми, проходящими через начало
координат (рис. XIV.64). Иначе говоря, должно соблюдаться условие
(XIV.245)
для всех t, где 0 < г < k < оо.
Рис. XIV.63. Структурная схема замкну-
той нелинейной системы •	 ; 
Область
Рис. XIV.64. Границы
области расположения не-
линейных характеристик
535
Как было показано выше, свойство абсолютной устойчивости связано
с асимптотической устойчивостью свободного движения динамической си-
стемы при произвольных начальных условиях относительно положения
равновесия вне зависимости от конкретной формы нелинейности.
Для анализа абсолютной устойчивости основной системы
(см. рис. XIV.63) румынским ученым В. М. Поповым предложен частотный
критерий, определяющий достаточные условия устойчивости. Работы
В. М. Попова явились основополагающими для нового направления в иссле-
довании абсолютной устойчивости нелинейных систем, связанного с исполь-
зованием частотных представлений, широко распространенных при анализе
и синтезе линейных систем. Основное достоинство этого метода заключается
в том, что он пригоден для анализа динамических систем высокого порядка.
Определение асимптотической устойчивости, данное в гл. XI, отно-
сится к поведению всех переменных состояния, однако на практике очень
часто необходимо обеспечить требуемое поведение лишь выходной коорди-
наты.
Рассмотрим две формулировки определения асимптотической устойчи-
вости.
1. Если для системы n-го порядка вида
х = Ах ф- bu (t)',
е(0==—y== —qx(i); u (t) = F[e (t), t]
(XIV.246)
все собственные значения Л, (Z = I, ..., п) матрицы А имеют отрицатель-
ные действительные части (условие 1); нелинейная характеристика удов-
летворяет условиям
0 <Jfe<oo (условие 2);	(XIV.247)
существует такое действительное число 0 < q < оо, что для всех действи-
тельных со > О
Re ((1 4-	№ (/«)] + -|* > 0 (условие 3),	(XIV.248)
то начало координат х = 0 асимптотически устойчиво при произвольных
начальных условиях для каждого класса нелинейностей, удовлетворяющих
(XVI.247), а рассматриваемая нелинейная система абсолютно устойчива.
2. Если изучается поведение выходной координаты, то в условии 1
можно потребовать лишь устойчивости передаточной функции по выходной
координате, а в условии 3 число q может быть любым действительным чис-
лом (—оо < q < оо).
Выбор произвольного числа q определяется следующими ограниче-
ниями:
1)	если/7 [е (/), t] — / (е)—однозначная стационарная нелинейность, то
- оо < q < оо;	(XIV.249)
2)	если F [е (Z), t] — F [е (/)] — нелинейность с пассивным гистере-
зисом, то
- оо < q < 0;	(XIV.250)
3)	если F [е (/), /1 ~ F [е (£)] — нелинейность с активным гистере-
зисом, то
0«</<оо;	(XIV.251)
4)	если F [е (£),	= F [е (Z), t] — обобщенная нестационарная нели-
нейность, то
<7 = 0.	(XIV.252)
536
Рис. XIV.65. Расположение годографа W (jco) и прямой-
Попова для систем автоматического регулирования с
однозначными нелинейностями-.
а — с активным гистерезисом; б — с пассивным гистерезисом
Рис. XIV.66. Годограф W (/со) для линейной части
системы (пример XIV. 15) и сектор Попова при q = О
и q = 0,15
Соотношение (XIV.248) называется условием устойчивости Попова.
Это условие можно интерпретировать графически. Особенно просто это
сделать, если ввести в рассмотрение модифицированную частотную харак-
теристику линейной части с передаточной функцией W ($) следующим об-
разом:
W (/со) = Re W (/со) 4- /со Im W (ja).	(XIV.253)
Годограф W (/со) нетрудно построить, умножив мнимую часть Im W (ja>)
на со. С учетом выражения (XIV.253) условие (XIV.248) можно записать
в виде
-±- + q Im W
Re W (/со)
(XIV.254)
что позволяет определить на плоскости W (/со) прямую Попова, удовлетво-
ряющую уравнению
Re Г (/со) = —	+ q Im Г (/со).	(XIV.255)
Эта прямая проходит через точку -------£-, 0J, а ее наклон определяется
числом q. При </ = 0 прямая Попова вертикальна. Различное расположе-
ние прямой Попова и годографов W (/со) показано на рис. XIV.65.
Расположение кривых на рис. XIV.65, а отвечает условию q > 0,
что характерно для системы с однозначными нелинейностями и активным
гистерезисом. Расположение кривых на рис. XIV.65, б отвечает значениям
q < 0, что характерно для систем с однозначными нелинейностями и пас-
сивным гистерезисом.
Рассмотрим пример анализа абсолютной устойчивости нелинейной
системы с запаздыванием.
Пример XIV.15. Для системы второго порядка с запаздыванием (см. рис. XIV.63) опре-
делить максимально возможный коэффициент k, при котором обеспечивается абсолютная устой-
чивость по выходному сигналу для F (е) £ [0, k], если
W (s) =
(0,33s 4- 1)е“s
(0,5s+ 1) (0,66s 4-1) •
Заметим, что линейная часть устойчивая. Годограф W (/со) показан на рис. XIV.66.
Из его анализа можно сделать следующие выводы:
для нелинейностей общего вида F [е (t), /] (q = 0) условия абсолютной устойчивости
по выходной координате выполняются, если 0 < k 1,85;
537
Рис. XIV.67. Структурная схема не-
линейной системы при случайных воз-
действиях
для однозначной нелинейной характеристики
f (е) условия абсолютной устойчивости’ выполня-
ются при q =.0,15, если 0<	1,98.
Таким образом; сектор расположения одно-
значных нелинейностей больше сектора для нели-
нейностей произвольного типа. Рассматриваемая
система является абсолютно асимптотически устой-
чивой не только по выходной координате, но и- по
всем переменным состояниям, согласно первой фор-
мулировке асимптотической устойчивости.
12.	СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Рассмотрим типовую структурную схему системы регулирования
(рис. XIV. 67), содержащую нелинейный безынерционный элемент с харак-
теристикой Y = F (X), и линейную инерционную часть с передаточной
функцией W (s).
Помехи и шумы переведены ко входу системы и образуют случайную
составляющую U (t) входного сигнала U (t):
U(t) = mu(t) + &(t),	(XIV.256)
а математическое ожидание ти (f) = М [U (()] является полезным сиг-
налом. Задачей статистического анализа данной системы является опре-
деление основных статистических характеристик ошибки системы X ((),
например, математического ожидания тх (t) и дисперсии о; (t). В подав-
ляющем большинстве случаев решение задач возможно лишь приближенными
способами.
В настоящей главе рассмотрен один из приближенных способов —
метод статистической линеаризации.
Для отыскания основных характеристик процесса на выходе нелиней-
ного элемента с характеристикой Y = F (X) необходимо знать плотности
вероятности различных порядков процесса на входе X (/), (см. гл. XIII).
Остановимся на задаче определения математического ожидания. Исполь-
зуем формулу для математического ожидания функции случайного аргу-
мента F (X)
«в
ту = j F(x)w1(x, t)dx,	(XIV.257)
где (х, t) — первая плотность распределения процесса на входе нели-
нейного элемента. Считая ее нормальной, можем вычислить значения ту,
подставив в (XIV.257) выражение (XIII.111) для (х, t).
Пример XIV.16. Рассмотрим нелинейность типа насыщения
У = F (X) ==
— С, х^ — С;
х, — С^х^С,
для которой
с, х^ С,
_ I
ах V2л
—С	с
С J	dx+ J xe~(X~mx),!/2chx + C
После несложных преобразований получим
[е- <i+-HV2a?_e- (>—	+ (1 + mi) ф(1±^
У 2л	\ <Ji
.,	,	/ 1 — т,
— (1 — т.) Ф —---------------Е
(XIV.258)
538
гд» об<»кдч<кО:
Z
. ф (?) = —Д=- ( е^/а^2 dt — известный интеграл
/2л J
вероятностей.
На рис. XIV.68 приведен график зависимости ту!С
от т1 для различных значений <Jj. Из этого графика можно
сделать вывод о том, что наличие случайной составляющей
сглаживает нелинейность исходной характеристики, рас-
ширяя зону линейности и уменьшая эффективный коэффи-
циент усиления. Последнее характерно для всех элемен-
ту
тов, для которых падает с ростом, х.
него значения сигнала на выходе
звена с насыщением от параме-
тров входного сигнала
Эффект сглаживания еще более значителен для разрывных релейных нелинейностей.
Так, для идеального реле У = В sign X значение средней составляющей на выходе
определяется формулой
В
ГПу ~ ---7=
/2л
-90	О
j е-	_ j -	dx _ 2Вф _
bQ	-я-QO
(XIV.259;
Во многих случаях процесс X (0 на входе нелинейности мало отли-
чается от нормального. Это обусловлено как нормальностью шумов U (0,
так и «эффектом нормализации» (см. гл. XIII), свойственным инерционной
линейной части системы (см. рис. XIV.67), в результате чего процесс Z (0
обычно близок к нормальному.
В этих условиях расчет системы удобно вести с помощью метода стати-
стической линеаризации.
Основная идея метода заключается в том, что исходная нелинейная
характеристика заменяется линейной:
Ул (0 = kQmx 4- kJ. (0,	(XIV.260)
где коэффициенты передачи по математическому ожиданию и случайной
составляющей k0 и k± выбирают такими, чтобы процесс Ул (0 был стати-
стически эквивалентен процессу У.(0 на выходе исходного нелинейного
элемента.
Возможны два определения статистической эквивалентности, и поэтому
различают два способа статистической линеаризации.
При первом способе коэффициенты k0 и k± выбирают такими, чтобы
выполнялось равенство математических ожиданий и дисперсий процессов
У (I) и Ул (0:
а)	М[Ул(0] = М[У(0];
б)	м [(Ул (0 - тул т = М [(У (0 - ту (0)»].
Подставляя в эти равенства выражение (XIV.260) и используя свойства
математических ожиданий, находим уравнения для k0 и ky:
М [Ул] = М [kotnx -j- kyX (0j = komx = my,
M [(Ул — my)2] = M(komx — kJ (0 — tnu\ = kiax ~ <jy,
539
откуда получаем следующие выражения для коэффициентов статистической
линеаризации по первому способу:
оо
j F(x)wt(x, t)dx
а «П.,- -g- =	;	(XIV.261)
j (F (х) — nty)* w1 (х, t) dx
k\ (тх, oj = ——---------------------------,	(XIV.262)
Ox
где (x, t) — нормальная плотность вероятности;
wr (x, t) =---e“ (.x~m^/2a\
При статистической линеаризации по второму способу в качестве кри-
терия эквивалентности применяют условие минимума среднего квадрата
ошибки от замены Y (() на Ул (t):
min М [(У (0 - Ул (0а1,
(*0. *1)
где минимум находят по коэффициентам k0 и kr в соответствии с уравне-
ниями
[У (0 _ komx - k.X (ОН == 0;

{М [Y (0 - komx - k Л (ОН = 0.
Решая эти уравнения, находят выражения для коэффициентов стати-
стической линеаризации по второму способу:
(Xiv.263)
Шх
j F (х) (х — тх) w-i (х, о dx
k\ = А£ [КХ1 =	. (XI V.264)
ах
Из сравнения результатов, полученных при использовании первого
и второго способа, видно, что коэффициенты передачи по математическому
ожиданию одинаковы в обоих случаях, а по случайной составляющей не-
сколько различны.
Обычно рекомендуется в качестве kr выбирать среднее арифметическое
k\ = ~2~ {k\ -j- k\).
Таким образом, нелинейный элемент заменяется совокупностью двух
линейных элементов, коэффициенты передачи которых зависят от тх и ох
(рис. XIV.69).
Пример XIV.17. Найдем коэффициенты статистической линеаризации для идеального
реле:
Г = В sign X.
Коэффициент передачи по математическому ожиданию (полезной составляющей) находим,
используя XIV.261)-
° тх тх \ ох J
540
Рис. XIV.69. Эквивалентная замена нелиней-
ности линейным преобразованием среднего
значения и случайной составляющей
Рис. XIV.70. Коэффициенты статистиче-
ской линеаризации для идеального реле
Коэффициент передачи по случайной составляющей, вычисляемой по первому способу,
Ox L \ о* / J
Используя (XIV.264), находим kx по второму способу:
О	оо	1 / тх \2~
f (х — т ) w (х) dx + [ (х — т ) w (х) dx = —7-^— е 2 V °х /
J	Г	/2л щ
Графики зависимостей k0 (тх, щ), k{ (тх, <зх) и k'{ (тх, ох), рассчитанные по приведенным
формулам, даны на рис. XIV.70, а, б [72].
Исследуем точность и устойчивость нелинейных систем с обратной
связью, находящихся под действием сигнала U (t), содержащего полезную
и случайную компоненты: U (t) = ти (t) 4- U (t).
Здесь полезная составляющая сигнала является его математическим
ожиданием, а случайная составляющая центрирована. Пусть входной сиг-
нал является стационарным процессом, т. е.
ти (0 = const; ох (0 — const.
Рассчитаем среднее значение тх и дисперсию ох сигнала ошибки X,
пользуясь методом статистической линеаризации и формулами, получен-
ными в гл. XIII для линейных систем.
Запишем уравнения системы, структурная схема которой дана на
рис. XIV.67, в виде
X(0 = r(i)-Z(0;l
Y (t) — F (X (t))',
Z(t) = W(p)Y(f),]
(XIV.265)
где W (р) — функция линейной части системы [р = -ц-) •
Заменим характеристику нелинейного элемента эквивалентным линей-
ным преобразованием вида
Y (t) «=> k0{mx, ox)mx + ki(tnx, <ух)Х.	(XIV.266)
Усредняя соотношения (XIV.265) и (XIV.266), находим уравнения для
средней составляющей:
пгх = ти —- mz — ти — W (0) kumx',
1 + W (0) k0 (тх, оЛ)
(XIV.267)
541
Вычитая затем из исходных уравнений усредненные, для случайней
составляющей получим
*«>- <XIV-26«)
откуда согласно результатам гл. XIII находим дисперсию ошибки
(XIV.269)
где		
Ф1Х (/ш)	1 {тх, ах) W (Ju)
передаточная функция по случайной составляющей ошибки, а
Фол (/“) — 1 Ло (_тх>
по ее среднему значению.
Для определения тх и <зх уравнения (XIV.267) и (XIV.269) следует
решать совместно, определяя тх и ах графически или численно в резуль-
тате итераций. Если система астатическая и mu — const, то из (XIV.267)
следует, что тх = 0, так как W (0) = оо, и остается найти только диспер-
сию ах из уравнения (XIV.269). В этом случае в выражение для ф1х (/со)
входит коэффициент /г15 зависящий только от ох. Это уравнение решают
также графически или численно.
Глава-XV
ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Математические основы теории импульсных устройств. 2. Пере-
даточные функций импульсных систем автоматического регулиро-
вания. 3. Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульс-
 ных систем. 4. Применение векторно-матричного аппарата к им-.
пульсным системам автоматического регулирования. 5. Основные
свойства г-преобразования. 6. Методы анализа устойчивости им-
пульсных систем автоматического регулирования. 7. Методы ана-
лиза качества импульсных систем автоматического регулирования.
8. Методы анализа точности импульсных систем автоматического
регулирования при регулярных и случайных воздействиях. 9. Системы
автоматического регулирования с управляющими ЦВМ. 10. Способы
реализации алгоритмов в управляющих ЦВМ и определение их основ-
ных параметров.
Под импульсными системами автоматического регулирования (ем.
гл. I) понимают такие системы, в которые включаются импульсные устрой-
ства, преобразующие непрерывный сигнал в дискретный. Образование дис-
кретных сигналов импульсными устройствами осуществляется на основе
трех видов модуляции: амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-импульс-
ной (ШИМ) и частотно-импульсной (ЧИМ). На рис. XV. 1 показаны формы
дискретных сигналов при модуляции трех видов. При амплитудно-импульс-
ной модуляции образуются узкие импульсные сигналы постоянной ширины
и следуют один за другим в тактовые моменты времени (с периодом Т). Оги-
бающая этих импульсов (рис. XV. 1, а) представляет собой входной сиг-
нал. При широтно-импульсной модуляции на выходе импульсного устрой-
ства в тактовые моменты времени образуются импульсы, ширина которых
изменяется в зависимости от амплитуды входного сигнала также в моменты
времени IT, 2Т, ..., пТ (рис. XV. 1, б). Для частотно-импульсной модуля-
ции характерным является постоянная ширина импульса и переменная
величина периодов квантования по времени Tt. Чем больше амплитуда вход-
ного сигнала, тем меньше (рис. XV.1, в).
Импульсная модуляция непрерывного сигнала представляет собой его
квантование во времени (рис. XV. 1, а и XV.2, а). Наряду с этим возможно
квантование сигнала и по уровню. Тогда на выходе импульсного устрой-
ства образуется ступенчатый сигнал (рис. XV.2, б).
В системах автоматического регулирования с ЦВМ происходит кван-
тование как по времени, так и по уровню- Схемы включения импульсных
41
543
Рис. XV.2. Различные формы квантования непрерывного сигнала:
а — по времени; б— по уровню
устройств ИУ могут быть самыми различными; наиболее часто встречаемые
схемы включения изображены на рис. XV.3. В первой блок-схеме
(рис. XV.3, а) импульсное устройство ИУ включено перед непрерывной
частью системы, во второй (рис. XV.3, б) — между двумя непрерывными
устройствами, в третьей схеме (рис. XV.3, в) импульсное устройство состоит
из двух блоков: ЦВМ включена до непрерывной части системы, а преобразо-
ватель «аналог-код» (А—К) включен после непрерывной части системы.
Импульсные устройства в системах регулирования различают и по
способу их технической реализации: блок выработки командных сигналов;
периодически включаемое контактное устройство (см. рис. 1.22); цифровая
вычислительная машина или преобразователь «аналог—код» (рис. XV.3, в).
На основании принципиальных и блок-схем импульсных систем видно,
что эти системы состоят из двух частей: непрерывной и импульсной. Поэтому
для анализа таких систем большое значение имеет представление дискрет-
ных и непрерывных сигналов во временной и частотной областях.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИМПУЛЬСНЫХ УСТРОЙСТВ
Рассмотрим часть структурной схемы наиболее общей импульсной
системы регулирования (рис. XV.4), состоящей из преобразователя «ана-
лог—код» (Л—Л, импульсное устройство); ЦВМ (импульсное устройство);
преобразователя «код—аналог» (Л—А), в который входят импульсные и
непрерывные элементы.
Блок-схема участка схемы с импульсными устройствами изображена
на рис. XV.5, а. Преобразователь А—К выполняет квантование во времени
входного сигнала е (/) с постоянной частотой (или периодом Т). Такое им-
пульсное устройство (рис. XV.6, а) пропускает сигнал лишь в очень корот-
кий промежуток времени и не пропускает сигнал в течение остального
периода времени Т. На рис. XV. 6, б показаны сигналы во временной об-
544
Рис. XV.4. Блок-схема импульсной системы автоматического регули-
рования с ЦВМ
Рис. XV .5. Участок схемы импульсной системы автомати-
ческого регулирования
u*(t)
а)
е (t)	,	t*{t)
—• Модулятор —"
Рис. XV.6. Виды сигна-
лов на входе и выходе им-
пульсного устройства
ласти в различных участках импульсного устройства. Как видно, на выходе
импульсного устройства образуется последовательность узких импульсов,
огибающая которых соответствует входному сигналу. Таким образом, им-
пульсное устройство можно рассматривать как модулятор, преобразующий
непрерывный сигнал в последовательность импульсов, когда длительность
импульсов т —» 0.
Преобразователь А—К состоит из собственно модулятора, куда посту-
пает сигнал е (t), и блока последовательности единичных импульсов и* (0
(см. рис. XV.5, б). На выходе модулятора образуется дискретный сигнал1
e*(0 = e(0u*(0.	(XV. 1)
•
Если считать, что широта импульсов т —» 0, то на выходе модулятора
имеем последовательность импульсов, амплитуды которых равны значе-
ниям непрерывной функции в тактовые моменты времени:
е (ОТ), 8(1Т), 8(2Т).....е(кТ).
	1 В гл. XV сигналы в форме дискретного преобразования Лапласа и передаточные функ-
ции импульсных устройств обозначаются звездочкой.
18 Иващенко Н. Н-	545
Это положение упрощает математический аппарат импульсных систем
регулирования. В этом случае единичную немодулированную последова-
тельность импульсов с т —> 0 представим в виде
u*(t) = и (0 + и (t - Т) 4- и (t - 2Т) 4-j- и (t - кТ) -Ь • • • (XV.2)
Подставляя выражение (XV.2) в формулу (XV. 1), получим
е* (0 = е (/) 2 и (t - кТ),	(XV.3)
«=0
или
е* (0 = X Е (КЛ и (t —	(XV.4)
к=0
Выражение (XV.4) записано через оригиналы функций. Применяя к нему
дискретное преобразование Лапласа вида
оо
Е* ($) = J а* (0 e~st dt,	(XV.5)
о
найдем
оо	оо
E*(s) = 2 и(кТ)\ u(t~KT)e~SKTdt.	(XV.6)
к=0	О
В выражении (XV.6)
оо
J и (t — кТ) dt = 1,	(XV.7)
о
поэтому
E*(s) = £ е(кТ)е-‘кТ.	(XV.8)
к=0
Перейдем к рассмотрению соответствующих математических зависи-
мостей в частотной области. Для этого воспользуемся рядом Фурье. Тогда
немодулированную последовательность импульсов можно записать в виде
со	со 2 ЛК
к=0	к=—со
(XV.9)
В соответствии с этим выражение (XV.3) представим как
со 2лк
е*(/) = е(04- 2 е ~ ’	(XV’10)
№—оо
Умножим обе части равенства (XV. 10) нае-$/> после чего проинтегрируем
их в пределах от 0 до оо:
j е* (0 е s/ dt = j е (t) у- «
о	о
di.
откуда получим
E
(XV. 11)
(XV. 12)
или, введя обозначение ш0 = ~у~>
Е* (s) = -у- £ £ (s + /№>0).	(XV. 13)
546
Из выражения (XV-13) видно, что дискретный сигнал Е* (s) представ-
ляет собой бесконечное число входных сигналов.
Для более наглядного уяснения полученных математических зависи-
мостей рассмотрим прохождение сигналов через схему импульсных устройств,
показанную на рис. XV.5, б. Цифровую вычислительную машину предста-
вим в виде фильтра низких частот, а преобразователь Л—А в виде сглажи-
вающего фильтра. Будем также считать, что на ЦВМ реализуется программа
дифференцирования:
о* (/) ==	.	(ху 14)
Пользуясь этими положениями, проанализируем прохождение сигна-
лов через схему, изображенную на рис. XV.5, б, во временной (рис. XV.7, а—
д) и частотной (рис. XV.7, е — к) областях. Непрерывный сигнал е (t)
(рис. XV.7, а), пройдя через модулятор, на который поступает также по-
следовательность единичных импульсов (рис. XV.7, б), преобразуется в дис-
кретный сигнал е* (f) (рис. XV.7, в). Сигнал е* (/) поступает на ЦВМ, где
реализована программа дифференцирования (XV. 14). Сигнал о* (t) изоб-
ражен на рис. XV.7, г. Далее дискретный сигнал о* (/) поступает на пре-
образователь А—К, где он интерполируется по постоянному уровню. При
этом образуется непрерывный сигнал о (t), вид которого после сглаживания
показан на рис. XV.7, д штриховой линией. Сигнал о (/) представляет собой
производную от входного непрерывного сигнала, т. е. о (г) =
Рис. XV.7. Виды сиеналое в различных точках блок-схемы, изображенной на рис. XV.5, б;
а'^-д — во временной; е—к — в частотной областях
18*
547
Перейдем к анализу прохождения сигналов в частотной области. Ампли-
тудная характеристика непрерывного сигнала | е (со) | показана на рис. XV.7, е.
Единичная последовательность импульсов в частотной области изображена
на рис. XV.7, ж. В соответствии с формулой (XV. 13) после подстановки
s = /со получим
|Е* (со) | =
со
-у- S Е(/со + /ксоо)
1 К=—со
(XV. 15)
откуда видно, что амплитудная характеристика дискретного сигнала со-
стоит из бесконечного числа непрерывных сигналов в моменты 1со0, 2соо.
ксоо, ... (рис. XV.7, з). Сигнал на выходе ЦВМ (рис. XV.7, и).
, * . . , d I Е* (со) |
|a*(w)|=
После прохождения этого сигнала через преобразователь А—К проис-
ходит его сглаживание, и преобразователь пропускает лишь основную гар-
монику сигнала |о(со)|. Остальные гармоники при 1соо, 2соо, Зсоо, ... сгла-
живаются и практически не пропускаются преобразователем. Таким обра-
зом, бесконечный спектр | е* (со) | превращается в конечный спектр
, , d I s* (со) I
Для определения передаточной функции импульсного устройства вос-
пользуемся выражением (XV.13), откуда получим
1	। I “	к=~1	1
E*(s) = Е (s) + 4- £ Е (s + /ксоо) + 2 Е (s + /ксо0) . (XV.16)
1	1	1	К=—СО	J
Если после импульсного устройства установлен фильтр низких частот,
не пропускающий гармоники от к = ±1 и выше, то на основании выраже-
ния (XV. 16) при к — 0 можно получить передаточную функцию импульс-
ного устройства в виде
п/ _________Е * (s)_____J_
>^А-К (s) Е (s) т ,
(XV. 17)
откуда видно, что импульсное устройство (преобразователь А—К) пред-
ставляет собой ключ мгновенного срабатывания, замыкаемый в тактовые
моменты времени IT, 2Т, ..., кТ, ... Схема подобного устройства в виде
структурного элемента показана на рис. XV.8, а.
Передаточная функция ЦВМ при реализации на ней операции диффе-
ренцирования получается после применения к выражению (XV. 14) дискрет-
ного преобразования Лапласа:
S‘(S) = -^=^E*(s),
откуда
^ubm(s) =	(XV. 18)
На рис. XV.8, б показан структурный элемент, соответствующий полу-
ченной передаточной функции (XV. 18).
а)	6)	в)
Рис. XV.8. Структурные элементы
импульсных систем регулирования:
а — преобразователь «аналог—код»; б—*
ЦВМ, реализующая операцию дифферен-
цирования; в — преобразователь «код-*
аналог»
548
Рис. XV.9. Упрощенная принципиальная
схема преобразователя «код—аналог»
Рис. XV. 10. Формы сигналов преобразователя
«код—аналог», изображенного на рис. XV.9:
с * на входе; б — на выходе
Для определения передаточной функции преобразователя «код—ана-
лог» воспользуемся упрощенной принципиальной схемой, изображенной
на рис. XV.9. В преобразователь входят импульсное устройство, два ре-
зистора 7?1, /?2, конденсатор С и операционный усилитель [59]. В момент
замыкания ключа конденсатор С быстро заряжается и «запоминает» посту-
пающее на него напряжение \ которое с течением времени уменьшается
по некоторой экспоненциальной кривой. Формы входного е* (0 и выходного
е (0 сигналов преобразователя показаны на рис. XV. 10, а и б. Пользуясь
этими рисунками, запишем входные напряжения в тактовые моменты
ео (0 = е (ОТ) = Коб (0;
el (0 = e(lT) = Ki6(f-T);
е’ (0 = е (кТ) == ккб (i — кТ),
(XV. 19)
где к0, кп ..., кк — постоянные коэффициенты.
Применим к уравнениям (XV. 19) преобразование Лапласа; тогда
Ео (s) = ко,
E1.(s)==K1e	;	(XV.20)
Ек (s) = кке_7к\
откуда входной сигнал
Е‘ (S) = Eq (s) + е; (s) + ... 4- Е: (s) = 2 Kie-Tis. (XV.21)
1—0
Выходные напряжения в межтактовые моменты времени запишем в виде
t
gj (0 = кое г° [w (0 —• и (t — Т)];
t—T
е2 (0 — Kie Т° [u(t — Т) — u(t — 2Т)];
(XV.22)
__ f-кТ
ек(0 = кке т° \u(t — кТ) — u[t — (к-\-
где То = R2C.
1 Поэтому преобразователи К.—А часто называют запоминающими устройствами.
549
Применим и к уравнениям (XV.22) преобразования Лапласа; тогда
Е*«--ТТ^Ь-е”’-е-г='.
(XV.23)
/	__Т_
EK(s) = -rrvHl-e Г“е
Тк$ •
Выходное напряжение также можно представить в виде следующей
суммы сигналов:
Е (s) = Ej (s) -j- Е2 (s) 4- • • • 4- Ек (s) =
= -ттгт (1 ~ e~7s) £	•	(xv-24)
Из выражений (XV.24) и (XV.21) найдем передаточную функцию преоб-
разователя «код—аналог» в виде
т /	х к
Д1-е	е~Т‘) £ Kie~Ti‘
Гк-А (S) =	------к	,	(XV.25)
i=0
откуда
т
71 <г 1 __- То Ts
^к-а (s) = —L_e .	(XV.26)
1 “Г i (р	Ь
т
Если принять, что постоянная времени То велика, то е г» —♦ 1 и
1 P-Ts
.	(XV.27)
Преобразователь «аналог—код», имеющий передаточную функцию
(XV.27), называется преобразователем нулевого порядка. Такой преобразо-
ватель сглаживает выходной сигнал, запоминая величину входного импульса
на период квантования. На рис. XV.8, в показана схема преобразователя
К—А, реализующая передаточную функцию нулевого порядка.
Выведем еще раз передаточную функцию (XV.27) для преобразователя
нулевого порядка. Представим прямоугольный импульс в виде суммы двух
ступенчатых функций (рис. XV. 11, а и б):
о (0 = lu (0 - 1м (/ - Т),	(XV.28)
где и (() — 6-функция.
Рис. XV.11. Виды сигналов
на выходе преобразователя
нулевого и первого порядков
при подаче на их вход единич-
ного импульса и (t)
550
Входной сигнал запишем в виде
о* (/) = «(/).
(XV.29)
Применив к уравнениям (XV.28) и (XV.29) преобразование Лапласа,
найдем передаточную функцию преобразователя «код—аналог» в виде
/сл S («)	1 — е-’7'
Полученное выражение полностью тождественно формуле (XV.27).
Если сглаживание выходного сигнала выполнять с помощью трапе-
ций, то преобразователь «код—аналог» принято именовать преобразовате-
лем первого порядка (рис. XV. 11, а и в). В этом случае выходной сигнал
о(0 = (1 +4г)«(0-2(1 +	л +
+ (1 +-Ц^-)«(/-2Т),
(XV.30)
а входной
о* (0 = «(/).
Применим к уравнению (XV.30) преобразование Лапласа; тогда
S‘(s)=4-+^-4-e-rs-^
--27-S	27Т
+ — + -^- =
(1 - en)2 (1 + Ts)
Ts»
(XV.31)
откуда
И7к_а (S) =	= <!.-e_Zl2 [L+..T.s>.t	(XV.32)
2j (s)
и при Т 1 получим
(1	₽-7's)a
^к-д (4 = —~е- -2-.	(XV.33)
Пользуясь передаточными функциями (XV. 17), (XV.18) и (XV.27),
можно составить структурную схему системы автоматического регулирова-
ния с ЦВМ, блок-схема которой показана на рис. XV.4. Структурная схема
для данной системы приведена на рис. XV. 12. В этом случае в передаточ-
ную функцию ЦВМ введем множитель e~s7', приводящий №цВм (s) к реаль-
ному масштабу времени.
ЦВМ в системах автоматического регулирования работает всегда в реаль-
ном времени, т. е. в том времени, в котором находятся измерительные сред-
ства и объект регулирования. Для выполнения математических операций
ЦВМ затрачивает время, равное Т, и после этого сигнал с выхода ЦВМ по-
ступает через преобразователь «код—аналог» на объект регулирования.
Например, для получения операции дифференцирования [см. формулу
(XV.14)) необходимо брать разность будущего и текущего значений в*.
Рис. XV. 12. Струк-
турная схема системы
автоматического регу-
лирования с ЦВМ,
блок-схема которой
изображена на рис.
XV.4
551
Получение будущего значения вызывает сдвиг во времени Т на выходном
регистре. Таким образом, реализация программы дифференцирования в реаль-
ном масштабе времени должна выполняться по формуле
е* (/р-Т)-е*(/р-2Г)
° --------------' >
откуда
Я^вм (s) =	(XV.34)
2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Вид передаточных функций замкнутых и разомкнутых импульсных
систем регулирования зависит от числа импульсных устройств и места их
включения. Рассмотрим сначала участок разомкнутой импульсной системы,
состоящей из двух импульсных устройств, между которыми включено одно
непрерывное устройство с передаточной функцией W ($) (рис. XV. 13).
Из рис. XV. 13 найдем, что
S(s) = r(s)E*(s).
(XV.35)
Запишем это уравнение в форме (XV. 13); тогда получим
	2 1 №—<	W (s 4- //«Do) E (s -j- /к®0), »	(XV.36)
откуда	S’(s)=E-(s)	—	VT (s /к wo) , _	1 K=—co	(XV.37)
или	S>)	= E* (s) W* (s).	(XV.38)
Из соотношения (XV.38) определим передаточную функцию
=4- JL w (s+/к“о)-	(XV,39)
Полученную передаточную функцию разомкнутой системы можно
применять для анализа устойчивости, качества и точности импульсных
систем регулирования (см. пп. 5 и 6 данной главы). Образуем из структур-
ной схемы, показанной на рис. XV. 13, замкнутую импульсную систему
регулирования (рис. XV. 14, а). Тогда
E*(s) = G*(s) -X*(s); 1
X* (s) = IF* (s) Е* (s), J
(XV.40)
откуда, если исключить Е* (s), замкнутая передаточная функция импульс-
ной системы будет иметь вид
| ,	W*(S)	 !
т
Рис. XV.13. Участок структур-
ной схемы системы с двумя им-
пульсными устройствами
ф* (S) =	= —— (XV 41)
w G*(s)	1 + F*(s) ’ v
или, если исключить X* (s), замкнутая относи-
тельно ошибки передаточная функция импульс-
ной системы
Фе = О* (s) ~ 1 + F*(s) ’ (XV.42)
где W* (s) — разомкнутая передаточная функ-
ция импульсной системы.
552
Рис. XV. 14. Структурные
схемы замкнутых импульсных
систем регулирования с двумя
ключами
а)	б)
Используя выражение (XV.39), соотношения (XV.41) и (XV.42), можно
получить следующие формулы:
	1	°° JT 2 W (® + /«“о) Ф* (S) =		 1+4 2 W(s + jK<D0) 1	К=—ОО	(XV.43)
и	ф; (s) =	, 1 + -jT	(s + /Kto0) 1 к——co	(XV.44)
где	^*(s)=4- i ^(s+m®0) 1 K=—CO	(XV.45)
есть передаточная функция разомкнутой импульсной системы автомати-
ческого регулирования.
Рассмотрим еще одну структурную схему импульсной системы с двумя
ключами (рис. XV. 14, б). По этой структурной схеме составим два урав-
нения:
откуда		E‘(S) = x; (s) = E*(s) = E* (s) _	= G* (s) - Xj (s); = r1^(s)E’(s), , G* (s)		(XV.46)
или	Фе(5) =		1 + WtWr2 (s) 1		(XV. 47)
		G* (s)	i + 4 2 wiw2 1 K=—CO	(s + /w0)	
и					
	X* (s) =	1 T 1+4-	2 ® (s + iKb)<d =	G*(s), 2 W1W2 (s + /кй>0) K==—oo		(XV.48)
где передаточная функция всей разомкнутой системы
W*(s) = 4- £ W.W^s + iK^)	(XV.49)
1 К—— оо
Пример XV. 1. Определить передаточную функцию разомкнутой импульсной системы
автоматического регулирования по ее структурной схеме (рис. XV. 15, а), если 117
117	400	•	117	0,05 (0,2s+1)
553
сл
СИ
Передаточные функции дискретных систем
ТаЗлица И.З
#5 по лор	Структурная схема	Вфорне Зискретного преаЗразоЗания Лапласа		В форме г-преоЗразоЗания	
		W*(s)	Л(с)^я(з)		4>(z) i X(z)
/	y(t) eft), e*(t)  -•- .	*(t) L^J i - tftfl T		 i	|ад p«-j	W,W^(s)	x(sl = . w'(sjs'(s). H l+W,wf(s)	iv,ед	W,(z> I < Wefel
2	“*9/—1^1— 'rM Г 1	1 \	Wf(s) Wt*(s)	rM- W,(s)C*!s) H-wf(s)Hffts)	Wi(z)W2(a}	W) /мед ад
3	.*'(y tifti] T 			 T 1	1	h—	w;u	K.	W,^	W,m(z)	IVife) f^ffel^efe}
4	*,fi/f T 	 Тг’(‘>	1 1	1 W,(S) 1—	1	W^s)WtwJ(3f	t^(S)WlIV}'(3}	IVi(z)IVtW3(zj	WdeMM I^WIWefei
5	*,(*) ,	, 	1*-	1	W,W2W}*(s}	SWfaHW 2(s) = 	J—г	W,WtW}(z)	..... SWWel ,Ч IW/WtlVjfz)
6	W,(s)	Wt(a) pff- »,(t) T у	r x’(t)	1 1	->—1 T	W?(sl W2*(s) Wfa	ХМ = ^.^Ц	WIIVMWM	t+WffzjWiMWjfz)
СП
сп
Продолжение табл. XV .1
№. ПЭ пэр.	Структурная схема				В форме Зискретноео прео9раао9ания Лапласа		в Форме' г npeeipa lOfmufi	
					W*(s)	W);x*(s)		Л(1 ; X'zl
7	iJf—12^				W, W2*(s)*W,wfa	'J' l*w,»f(3'*w,^}*(s)	W-W.^^WMe)	W, W,(zj ,у,'А3(г)
3	1	4WJ	1				W2Wj*(s)	Xf:) = Wj % f (>) r Wz W, (e)[c Wfts)-Q IVj Wfa)] t f Wi wf(a)		X(z} = W3W^(z)e И(, W3(z) * l+W2W3(z} ’ x [SWM-wW'tz)]
9	9(tl (	X	1—ЧВД1-- (t) г^ттп -		t) x(ij	W3(s)Wt(s)l fWl(s)Wi(s)Wt(^l* It.Wjislw^s) J	. cmwjIj) t w,mis) t '' I'WMls) IWWtf K (W)fi*Wj(s)Wt(s)]}* te{lVr(s} Hi®	f ВД^/И^П fllfW3(3)W<,(s) J	x(zhJ-^w^ L / вдад ) 'I leHWIWlJ’ l{C(s)/[^W3(S)W^
		L-liLU						
W		-^ч^]	р- 1^К>-<Э*Н|^1—। г [			fW?(sl+WlIVtIVf(t)	X(s)=C(sl W,(s) -	f W,(srM3{s}-W,VitQ*(s7 ~ tew^sj + WfW^v;^	W3(z/e W,W3(z)	s X(zl=CW,(z)- W,W3(z) W^Gfz) I^W3(z)>W,WtW3(z)
Рис. XV. 15. Импульс-
ные системы регулирова-
ния с одним ключом:
а — структурная схема; б,
в — преобразованные схемы
в)
С помощью таблицы структурных преобразований (см. прил. 11) исходную схему
(рис. XV. 15, а) приведем к виду, показанному на рис. XV. 15, б, или, выделив связь по х (/), —
к схеме, изображенной на рис. XV. 15, в, откуда разомкнутая передаточная функция
=	(XV.50)
По формуле (XV.39) с учетом выражения (XV.50) при s = /со найдем
Г*(/со) = — V ________________20 [1 + 0.2/(со + ксор)]------- (XV.51)
V 1  Т Z-1 № + ксоо)[1+ 0,5/ (<о + к<о0)] (1 + 0,01/(ю + ксоо)] V
№—во
Существует значительное число и других структурных схем импульсных
систем автоматического регулирования, отличающихся местом включения
импульсных устройств и передаточными функциями. В табл. XV. 1 приве-
дены структурные схемы таких систем и их передаточные функции в разомк-
нутом и замкнутом состояниях.
3. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Амплитудно-фазовые частотные характеристики импульсных систем ре-
гулирования можно построить, если в передаточные функции (XV.39) или
(XV.49) вместо s подставить /со:
(/®) = 4" 2 (/® + /к®о)	(XV.52)
1	№—оо
И
1Г»(/а>) = 4- £ ^(/щ + Уксоо).	(XV.53)
Если передаточные функции W (s) и WiW2 (s) имеют свойства низко-
частотного фильтра, то при построении импульсной амплитудно-фазовой
частотной характеристики можно учитывать лишь несколько членов выра-
жений (XV.52) или (XV.53).
Для построения амплитудно-фазовой характеристики выражение (XV.52)
перепишем в виде
IV* (/©) = -1- [W (/со) -ф- W (ja — /соо) ф-
4* IV (/со — /2соо)	IV (/со — /ксоо) 4- • • • 4- IV (/со 4- /соо) 4~
4- IV (/'со 4- /2соо) 4~ • • • 4- IV (/® 4" !КСйо) + • •' ]• (XV.54)
Каждый из членов в правой части выражения (XV.54) представляет
собой годограф, построенный на плоскости W* (/со) и состоящий из векто-
ров -у IV (/со), -1- IV (/со — /соо), 4- IV (/со 4- /соо), • • •, 4- IV (/ю - к/®0),
4" IV (/со 4- /ф)0).
556
Складывая векторы при определенных значениях частот, получим
результирующий годограф W* (/со) (или амплитудно-фазовую частотную
характеристику импульсной системы). Рассмотрим процесс построения
амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. XV.16). Строим сна-
чала годограф -jr W (jo) (кривая 1 на рис. XV.16); концы векторов обозна-
чим Аг при <ох; А 2 при со2; ...; А, при coz. После этого строим годограф
-1- W (jus — /®0) (штриховая линия на рис. XV. 16); концы векторов обо-
значим буквами А\ при А2 при ®2; ...; А\ при со;. Затем к концам век-
торов W (jo), т. е. точками Alt А2, .... At, прикладываем векторы ОА{,
ОА2, ..., OA’i и через их концы (точки А'[, А2.AJ) проводим амплитудно-
фазовую характеристику (кривая 2)
ТГ* (/©) = у- [ТГ (/со) + W (jo — /соо)].
Данная характеристика может быть уточнена, если к точкам А!, А2,...,А’{
приложить векторы, соответствующие частотам (сох—2соо), (со2—2соо),
(coz—2соо), а к полученным точкам приложить векторы (со1 + соо), (co2-J-<do),
(coz соо) и т. д. Амплитудно-фазовую частотную характеристику строим
в диапазоне частот от 0 до оо, поэтому ее построение при слабофильтру-
ющей непрерывной части системы вызывает значительные трудности.
Пример XV.2. Найти амплитудно-фазовую частотную характеристику импульсной системы
по передаточной функции (XV.51) при ю0 — Ю рад/с ( ~	>к ~ О и к~ —1< Для
этого построим два годографа: первый по функции
10 Г 20 (0,2/со +1) I
2л L/a>(0,5/co + 1) (0,01/со -J- 1)J
(сплошная линия на рис. XV. 17) и второй — по функции
10 Г____________20 [1 -4- 0,2/ (со — 10)]_____ |
2л (со — 10) [1 + 0,5/ (со — 10)] [1 +0,01/ (® — 10)Н
(штриховая линия на рис. XV. 17). Сложив соответствующие векторы, получим результиру-
ющий годограф IV* (/со) (штрихпунктириая линия на рис. XV. 17). Из данного построения
Рис. XV. 16. Амплитудно-фазовая ча-
стотная характеристика импульсной
системы
Рис. XV.17. Амплитудно-фазо-
вая частотная характеристика
импульсной системы для примера
XV.2
557
видно, что при k = 0 годограф ТГ (/со) при наличии устойчивых звеньев не охватывает точку
с координатами (—1; /0). Поэтому по нулевому приближению импульсная система регулиро-
вания является устойч ивой. При учете двух членов ряда (XV.54) при к =0; —1 (второе при;
ближение) годограф охватывает точку (—1; /0), что указывает на неустойчивость импульсной
системы регулирования. Следовательно, необходимо учитывать несколько членов ряда (XV.54)
прн построении амплитудно-фазовых частотных характеристик импульсных систем регулиро-
вания. Построение таких амплитудно-фазовых частотных характеристик требует значительных
затрат времени. Однако в ряде практических задач при построении амплитудно-фазовых
частотных характеристик можно пренебречь всеми значениями к, кроме к = 0. Построенные
таким образом частотные характеристики принято называть эквивалентными амплитудно-
фазовыми частотными характеристиками импульсных систем.
4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОГО АППАРАТА К ИМПУЛЬСНЫМ
СИСТЕМАМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для исследования импульсных систем автоматического регулирования
во временной области целесообразно воспользоваться методом пространства
состояний, рассмотренным для непрерывных систем в гл. IX. Применение
векторно-матричного математического аппарата и в этом случае позволяет
записывать в более компактном виде как уравнения системы регулирова-
ния, так и их решения; этот метод, кроме того, имеет хорошую наглядность.
Рассмотрим поведение динамической системы, изображенной на
рис. XV. 18, в режиме импульсного управления. Непрерывная часть данной
системы стационарна и описывается векторно-матричными уравнениями
состояния вида
yffl-Ayffl + BsWl	_
x(i)-Cy(i) + Dj(0./	(XV55)
Как известно [см. выражение (IX.217)], решение дифференциального
уравнения состояния в этом случае будет
t
у (/) = еА (/~wy (i0) + J еА Bg (т) dr,	(XV.56)
t.
где у ((о) — заданное начальное состояние.
Пусть для простоты t0 — 0.
Найдем значения функции х (/) в фиксированные моменты времени
t = 0, Т, 2Т, ..., kT. Из выражения (XV.55) имеем
х (кТ) = Су (кТ) 4- Dg (кТ), к = 0,-1,2....	(XV.57)
Поэтому необходимо определить состояние у (/) в дискретные моменты
времени. Рассматривая решение дифференциального уравнения состоя-
ния (XV.56) в дискретные моменты времени, получим
У(П = еАГ
у(27’) = еА2Г
т
у(0) + Je-^BgfrJdT
о
2T
(O) + fe-A4Jg(T)dT
о
г
у (0) + f e-AtBg (г) dx
о
Bg (г) dx
(XV.58)
IT
у(Г) + еАГ Je-ATBg(T)dr
r
у(к7’) = еАГ у((к_1)Т) + еА(к-”Г
е ATBg(T)dx
т
558
Рис. XV. 18. Импульсная
динамическая система
Объединяя соотношения (XV.57) и (XV.58), найдем выборку выходного
сигнала импульсной системы х (кТ). Конкретные значения компонентов
вектора управляющего воздействия g (т) в подынтегральных выражениях
определяются типом преобразования «аналог—код», используемого в си-
стеме регулирования. Преобразователь сглаживает импульсы g* (/), пода-
ваемые на систему регулирования. При использовании преобразователя
нулевого порядка компоненты вектора управляющего воздействия будут
кусочно-постоянными. Поэтому
g (т) = g (кТ) при кТ < т < (к + 1) Т,
у («Т) = еА7у (кТ — Т) + е
и решение уравнения состояния примет вид
кТ
ЬкТ f „—АТ
J в
(к-1) Т
В dr §(кТ — Т);
1,2, ...
(XV.59)
Рассмотрим во втором слагаемом выражение в скобках и перепишем
его в виде
кТ	кТ
еАкТ f е~АтВск = j еА (кГ~т)В dr.	(XV.60)
(к-1) 7	(к-1) Г
Произведем замену переменных р — кТ — т; тогда получим соотно-
шение
кТ	т
елкт f е~АтВ dr = [ еА₽ В dp.	(XV.61)
(к—1) 7	О
Так как для стационарных систем подынтегральное выражение яв-
ляется постоянной матрицей, соотношение (XV.61) приводится к виду
7	7	7
J еАт В dr = j еАх drB = еАт А-1 В | = (еАГ - I) А~' В, (XV.62)
о	о	о
где I — единичная матрица.
Таким образом, при наличии преобразователя нулевого порядка можно
записать следующее решение уравнения состояния:
у (кТ) = еАГу (кТ - Т) 4- (еАГ - О A-1 Bg (кТ - ТУ,
х (кТ) = Су (кТ) Ц-Dg (кТ).
Сравнение данных соотношений с выражениями (XV.55) показывает,
что импульсная система автоматического регулирования с периодом Т опи-
сывается следующими дискретными уравнениями состояния:
у(кТ) = ау(кТ-7’) + Рб(кТ-7’);	1
х (ясТ) = Су («7")-|-Dg (кТ), А=1,2, ..., j	(XV.63)
где фундаментальная матрица
ос = еАГ	(XV. 64)
и матрица
Р = (еАГ - I) А~1 В.	(XV.65)
559
Найдем решение полученного дискретного уравнения состояния (XV.63).
Для вектора заданного начального состояния у (0) получим
y(T) = ay(0) + ₽g(0);
У (2Г) = ay (Г) + Pg (Т) = а2у (0) + a₽g (0) + ₽g (Т);
к—1
У (кТ) = аку (0) + S aK-f-‘₽g (iT).
i=0
(XV.66)
После сравнения полученного выражения с формулой (IX.216) заклю-
чаем, что в данном случае можно рассматривать дискретную переходную
матрицу состояния
д~(кТ, 0) = ST (кТ) = ак, при к>0,	(XV.67)
причем д' (0) = 1.
Используя понятие переходной матрицы из соотношений (XV.63) и
(XV.66) найдем
К—1
У (кТ) = (кТ) у (0) 4- £ д (к - i - 1) Pg (iT);	(XV.68)
г=о
к=1
x (кТ) = eg- (кТ) у (0) + C £ (k - t - 1) pg (iT) + Dg («Т). (XV.69)
i=0
При D = 0 и нулевых начальных условиях [у (0) = 01 последнее
уравнение примет вид
к=0
х(«Т) = 2 Cg-(K-i- l)Pg(iT).	(XV.70)
f=i
Если положить
W (кТ) = ед- (к,Т - Т) р,	(XV.71)
то
к—1
X («Г) = 2 w (кТ - IT) g (iT),	(XV.72)
i=0
или при j = к — i
к
X (кТ) = 2 w (/Г) g (кТ - jT).	(XV.73)
г—1
Полученные выражения называются сверткой системы и являются
аналогом интеграла свертки, определенного для непрерывных систем. Коэф-
фициент w (кТ — IT) определяет вес входной функции g (iT) при i = 0,
1, ..., к—1 в образовании выходного сигнала х (кТ). Поэтому матрица
w (кТ) является весовой.
Пример XV.3. Найти дискретные уравнения состояния для динамической системы, рас-
смотренной в примере IX.11. Имеем
С=ст=[0 4]; D=Oj
в этом случае
₽ = [еАГ _ IJA-1 в.
и
560
то
Так как
•—2-1
О
тогда получим
е~г — 1
е-г_е-2Т
Таким образом, дискретные уравнения состояния примут вид
g(KT-T)
А-Х — °**/А _ 1
det А ~ 2
1 ,
2
х(кТ)=[0 4] у (кТ).
Непосредственное использование уравнений (XV.65)—(XV.73) для на-
хождения реакции импульсной системы в дискретные моменты времени без
применения ЦВМ затруднительно. Анализ систем с дискретным временем
значительно упрощается, если ввести z-преобразование. С его помощью раз-
ностное уравнение, описывающее поведение системы, преобразуется в ли-
нейное алгебраическое уравнение, которое решить намного легче, чем исход-
ное. Поскольку дискретный сигнал получается из непрерывного посредством
выборки, то z-преобразование определяется с помощью преобразования
Лапласа.
Сущность z-преобразования заключается в использовании подстановки
откуда
s = -i- In z.
(XV.74)
(XV.75)
Подставив соотношения (XV.74) и (XV.75) в формулу (XV.8), получим
Е (z) = Е* (4- Inz) = S е («Г) z~K-	(XV.76)
По аналогии с этим выражением можно записать
S (z) = S о(кТ) z~K.	(XV.77)
№=0
Как известно, любую выходную импульсную функцию [см. фор-
мулу (XV.3) 1 можно представить в виде
о* (0 = S ~ кТ)8 (я^),	(XV.78)
к=0
где w (0 — импульсная переходная функция, передаточная функция кото-
рой будет W (s).
Для момента времени пТ выражение (XV.78) представим в виде
сг(пТ) — Ti w(nT — kT)s(kT).	(XV.79)
к=0
561
Подставив в выражение (XV. 77) соотношение (XV. 78), получим
S (г) =. s X - «Л е («Л *"“•	(XV.80)
п=0 к=0
Подставим вместо п — к т; тогда выражение (XV. 80) будет иметь вид
2(*)=» 2 X ^(пгТ)2~тг(кТ)2~к.	(XV.81)
m=»0 к==0
Перепишем выражение (XV.81) в следующей форме:
2 (г) = 2 w (тТ) z~m 2 г (кТ) г"*,	(XV.82)
<я=0	к=0
где
2 w (тТ) 2~т = Г (z);	(XV.83)
т=0
2 s(kT)z~*=E(2),	(XV.84)
к=0
откуда
S(z) = №(z)E(z),	(XV.85)
и передаточная функция разомкнутой системы в форме z-преобразования
имеет вид
(XV.86)
Часто вместо записи W (z) в виде выражения (XV. 88) пользуются сле-
дующей формой записи:
Г(г) = B[TT(s)].	(XV.87)
Сравнив виды записи выражений (XV.38) и (XV.85), заметим, что в форме
z-преобразования все функции со звездочкой заменены функциями от новой
переменной z. Поэтому передаточные функции (XV.41) и (XV.43) можно
представить в виде
ф<г>-т“те,	(XV-8SI
и
®-W“T+W	<XV.89)
Пользуясь формой z-преобразования, передаточные функции перепи-
шем в виде W (z) и ф (z) (см. табл. XV. 1).
Вычисление z-преобразований для простейших импульсных функций
основано на использовании выражений (XV.83) или (XV.84). Рассмотрим
несколько примеров вычисления z-преобразования импульсных функций.
Пример XV.4. Найти г-преобразоваиие для импульсной функции е* (f) — tu* (t).
При t=KT имеем
Я (г) = 2 г~К = 7	+ 2г~* + • • • + «Г’’1 +
к»=0
+ (к+ 1) г-(к+’> + •••] = Тг-1 U+2+---4- (к+1) г~к + •••]= - . Т/Д1 _
при|г"1|<1.	(XV.90)
562
Прямое преобразование Лапласа для оригинала функции е (?) t можно представить
в виде
E(s) = -1-.
Имея это в виду, выражение (XV.90) можно записать в следующем виде:
з Г 1 1 - Тг
й[ s2 J - (Z — 1)3 •
(XV.91)
t
Пример XV.5. Найтн z-преобразование для импульсной функции е* (/) = е г° и* (f).
При i — кТ получим'
" кТ Г /__________________т \‘
Е (г) = ё Г° г—к = [ 1 + \е Г° г-1) +
к=0
/ _ Т \2	/ __Г \к 1
+ \е-7’г-1/ Н---------Де г«г~1/ + •••] =-----------L.------(XV.92)
1 —е Г» г-1
__ t
Прямое преобразование Лапласа для оригинала функции е (!) = е будет
E(s)= Г0з+1'
или в форме г-преобразовання
s[ roS + i J = Зл?
Z —--в Г°
Т?	Г
Пример XV.6. Задано Е (s) — —=----—т-; найти }	----р—,-
U os “Г •	L U os + ')
ную производную. Для этого представим заданную функцию в виде (s +
найдем частную производную
(XV.93)
. Вычислим част-
I \2
—— , после чего
То J
(XV.94)
Пользуясь выражением (XV.73), определим
Tze т"
_ 7 т2
z — е т* ]
(XV.95)
k
 Пример XV.7. Задано Е (s) «=	; >; найти
s(Tos+l)
функцию Е (s) на элементарные слагаемые:
Ъ —ж—гтг -Дляэтого разложим
L s (ros + I) J
Е (s) _ То [	Tos+1 ]
С т. , Г k	k 1 kz	kZ
E(z) = Toa|_yzr_^rrrj =—j----------------	=
z — e T°
= —K \\	.	(XV.96)
(z —1) (z —e T" )
Пример XV.8. Найти z-преббразование для импульсной функции e(0 = |sinl|l (/).
Данную функцию можно представить в виде
| sin t[ 1 (Z) = sin tl (t) + 2 sin (t — л) 1 (t — л) +   •
5&3
JT
Если период дискретности Т = —, то запаздывание составляет целое число тактов.
Поэтому можно найти
л
z sin-
Е (г)  --------------[ 1 + 2г~к 4- 2г“2к 4-] =
г2 — 2z cos -4-1
к
, л
г sin —
к
г2 — 2г cos — 4-1
к
1 4-гдк
1 — г“к '
(XV.97)
Выражение (XV.97) при к = 2 примет вид
Е (г) =
г	1 4- г-2
г2 4-1 1 — г-2 -
г
г2—1 •
(XV.98)
Трудность построения амплитудно-фазовых характеристик импульс-
ных систем при слабом фильтрующем действии непрерывной части систем
может быть также легко преодолена применением к передаточным функциям
разомкнутых систем z-преобразования. Получающиеся таким образом пере-
даточные функции имеют один годограф, полностью учитывающий все
частотные составляющие.
Пример XV.9. Найти
г-преобразоваиие по передаточной функции (XV.50):
^(г) = 8 Г_______20<°>25+1) .. .1
к > ъ [s (0,5s 4- 1) (0,01s 4- 1) J ‘
получим
Приняв Т = 0,628 с,
W (г) — 2^2_________________________________________________________
' ' г — 1	_ 0.628	_ 0,628 г — 1 г — 0,257
г-е 0,6 г_е 0,01
7,76г
г — 0,133-10-« ’
откуда
W М =	г (16,87г — 1,99)
'' (г — 1) (г — 0,257) (г — 0,133-10~в) ’
илн в окончательном виде
W (г) =	16,87г (г-0,118)
(г— 1) (г — 0,257) (г— 0,133-Ю'»)?
(XV.99)
(XV.100)
(XV.10I)
Для ряда передаточных функций W (s) и возмущений g (f) в прил. VIII
приведены таблицы функций W (г) и G (г).
Для нахождения решений дискретных уравнений состояния линейных
импульсных систем можно использовать z-преобразование. Согласно выра-
жениям (XV.63) разностные уравнения состояния имеют вид
у (кТ + Т) = ау (кТ) + pg (кТ)-,
х (кТ) — Су (кТ) + Dg (кТ), к = 0, 1,2 ...
Применив к данным уравнениям z-преобразование, получим
z[Y(z)-y(O)] = aY(z) + PG(z);
X (z) = CF(z) + DG (z),
откуда
Y (z) = (zl - a)-1 zy (0) + (zl - a)’1 pG (z);	(XV. 102)
X (z) = C (zl - a)-1 zy (0) + [C (zl - a)"1 P + D] G (z). (XV. 103)
* Эти уравнения позволяют находить изображение X (г) реакции импульс-
ной системы при заданных начальных условиях состояния и управляющем
воздействии.
564
Теперь применим z-преобразование к соотношению (XV.68); тогда с уче-
выражения (XV.84) запишем
Y (z) = SF (г) у (0) + SF (z) 0G (z) z’1.	(XV. 104)
Сравнивая данное выражение с соотношением (XV. 102), заключаем,
изображение переходной матрицы состояний импульсной системы
(z) = (zl — a)-1 z.	(XV. 105)
С помощью выражений (XV. 102) и (XV. 103) можно в компактной форме
получить соотношения для нахождения передаточных функций импульс-
ной системы. Перепишем изображения уравнений состояния при нулевых
начальных условиях:
Y (г) = (zl - a)’1 0G (z);	(XV. 106)
X (z) = [С (zl - а)’10 + D] G (z).	(XV. 107)
Уравнения (XV. 106), (XV. 107) позволяют получить передаточные функции
импульсной системы из уравнений, записанных в виде переменных состояния.
Если D = 0, то из уравнений (XV.71), (XV.72) и (XV. 107) следует,
что передаточная функция импульсной системы
W (г) = С (zl - а)’10.	(XV. 108)
Пример XV. 10. Найти передаточную функцию импульсной системы из примера XV.3.
В этом случае
1-е-7	1
том
что
а =
е~т О
е-т _ е-2Т е-2Г
3 =
Тогда
(zl — а) =
С = сГ = (0 4);
г — е~г
е~2Т - е_7
__________1________
(г — е~7) (г — е~27)
— - е-Г + — е-27'
L 2	4 2 е
D = 0.
откуда
т
(zl — а)'1
(zl —а)'1
е-7 _е-2Т-
_ Т
z — e
О
г —е~27
г — е-27
О
1-е~7
г — е~7
.-Т\2	!
_ 2 (г — е г)(г — е
565
поэтому
V (г) -е* (г! - а)-’ ₽ « 2 (1 ~	(* *Sr •	(XV; 109)
(г — е ) (г — е )
Данная импульсная система имеет передаточную фунхпию непрерывной части
1 - е~’т <
№(8)==	-	(S^_ 1) (s + 2)
Найдем импульсную передаточную функцию W7 (z) обычным способом, пользуясь разло-
жением на элементарные слагаемые:
8{^(S)} Jv - ттт + ттт) “
z о I s s -f- 1 s -f- 2 j
„	4(г — 1) , 2(г-1)	2 (1 - е~Г)3 (г + е~Г)
г - е-Г г - е~*г~	(г - е-г ) (г - е*2Г) ’
что совпадает с полученным выше результатом.
Из рассмотрения приведенных выше простых задач может создаться
впечатление, что анализ импульсных систем методом переходных состояний
является более сложным, чем анализ классическим методом. Эти примеры
были выбраны только для иллюстрации метода анализа, изложенного в дан-
ном параграфе. В действительности, рассматриваемый общий подход зна-
чительно превосходит классический по удобству и эффективности при ана-
лизе сложных импульсных систем автоматического регулирования.
5. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим ряд свойств z-преобразования.
Свойство 1. Линейность функции. Если функции х (/) и у (t) имеют
z-преобразования, а а и b являются постоянными и независящими от t и г,
то справедливо следующее соотношение:
3 [ах + by] = аХ (z) + bY (г).	(XV. 110)
Свойство 2. Сдвиг во временной области. Если функция х (/) имеет г-пре-
образование, а Т — период прерывания импульсного устройства, преобра-
зующего х (0 в х* (t), то справедливы следующие соотношения:
и
а [х (t - кТ)] = г~^Х (z)	(XV. 111)
На основании свойств 1 и 2 можно найти два следствия.
Следствие 1. Разность двух импульсных последовательностей, сдви-
нутых на такт, имеет следующее z-преобразование:
j[x(0-x(/~r)J = (l-r’1)X(z).	(XV.113)
Следствие 2. Сумма двух импульсных последовательностей, сдвину-
тых на такт, имеет следующее z-преобразование:
3[x((-n + x(()l = (l + z-1)X(z).	(XV.114)
Свойство 3. Изменение масштаба в области г. Если функция х (()
имеет z-преобразование X (г), то справедливы следующие выражения:
5 [еа<х(/)] = X [е“аГг];
5[е^х(()] = Х[еаГг], ,
(XV. 115)
т. е. умножение на экспоненту е±а/ во временной области соответствует
изменению масштаба в области z на постоянную е±аГ.
566
Свойство 4. Определение конечного значения. Если функции х (t) соот-
ветствует функция X (г), которая не имеет полюса на окружности радиусом
единица или вне ее\ то справедливо соотношение
lim Г — X (z)l = lim рс (£)].
L *	J
(XV. 116)
Свойство 5. Определение начального значения. Если функция х (t) имеет
2:преобразование X (г), то
lim [X (z)J = lim [х (<)].
(XV. 117)
Свойство 6. Дифференцирование изображения. Если функция х (t) имеет
z-преобразование X (г), то справедливо соотношение
j[/a(xT)] = -z^
(XV. 118)
Свойство 7. Свертка функций. Если функции х (f) и у (t) имеют z-npe-
ббразования, равные соответственно X (г) и Y (г), то изображение свертки
оригиналов равно произведению изображений функций
3 x(iT)y(KT— iT)\ = X(z)Y(z).
.1=0
(XV. И 9)
Свойство 8. Суммирование функции. Если функция х (f) имеет z-пре-
образование X (г), то изображение суммы дискретных значений оригинала
a S М‘7)
. t=o J
^(2),
(XV. 120)
и с учетом свойства 2 получим
^Т*(2).
3 ^x(iT)
.1=0
(XV. 121)
Свойство 9. Дифференцирование z-преобразования по параметру. Если
функция х (t, а), где а — некоторый параметр, имеет изображение X (г, а),
то справедливо соотношение
з[-£-х(/,а)}==^-Х(г,а).
(XV. 122)
6. МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим различные методы анализа устойчивости линейных импульс-
ных систем автоматического регулирования. Как известно из гл. XII,
устойчивость линейной системы определяется с помощью расположения
корней характеристического уравнения на плоскости s. Характеристиче-
ское уравнение импульсной системы запишем в виде
1 4—у Xi IF (s 4- /ксоо) — 0,
*	*•—__на
№—oo
ИЛИ
1	— Ti IFj1F8 (s M®o) = 0.
(XV. 123)
(XV. 124)
Условие устойчивости заключается в том, что все корни уравнений
(XV. 123) и (XV. 124) должны находиться в левой полуплоскости. Данное
1 См. подробнее в п. 5 настоящей главы.
567
условие для непрерывных систем отли-
чается от импульсных тем, что на пло-
скости s вместо одного корня характе-
ристическое уравнение первого порядка
имеет к корней (здесь к—► оо). На
рис. XV. 19 показано, что вместо корня sx,
расположенного на действительной оси,
в импульсной системе будет бесконеч-
ное число корней, отстоящих один от
другого на расстояниях, кратных /со0
(т. е. si, st.si, sL ...). При увеличении
порядка характеристического уравнения
число каждого из п корней увеличи-
вается бесконечно.
Всю плоскость s комплексного пе-
ременного можно разделить горизон-
тальными полосами, как это показано
на рис. XV. 19. Ширина полосы равна
частоте соо = -у- • Полоса, в которой
заключена действительная ось, назы-
Рис. XV. 19. Расположение корней им-
пульсной системы на плоскости s
вается основной. На рис. XV. 19 основная полоса в левой полуплоскости
выделена штриховкой; остальные полосы именуются дополнительными.
Частотные критерии устойчивости Михайлова—Найквиста для импульс-
ных систем на плоскости W*. Если для устойчивости импульсной системы
необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения на плоско-
сти s были расположены в ее левой полуплоскости (в основной и дополни-
тельных полосах), то на плоскости W* годограф W* (/со) (или амплитудно-
фазовая характеристика) не должен охватывать точки с координатами (—1;
/0). В отличие от непрерывных систем, при слабой фильтрующей непрерыв-
ной части получается несколько годографов, образующих результирующий
годограф по формуле (XV.54).
На рис. XV.16 построены годографы у- W (/со), у- W (/со — /со0)
и W* (ja). Как видно из рисунка, устойчивость импульсной системы (по
сравнению с непрерывной) ухудшается, так как дополнительный годограф
у- W (j® — смещает результирующий годограф W* (/со) влево, т. е.
к точке (—1; /0).
При хорошей фильтрующей непрерывной части можно пользоваться
корнями, расположенными лишь в основной полосе, что при отображении
на плоскость W* даст один эквивалентный годограф у- W (/со) (так назы-
ваемая эквивалентная амплитудно-фазовая частотная характеристика).
Сформулируем определения частотных критериев устойчивости Михай-
лова—Найквиста:
1. Импульсная система, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет
устойчива и в замкнутом, если ее амплитудно-фазовая характеристика
W* (/со) при изменении со от 0 до -у- не будет охватывать точки с коор-
динатами (—1; /0).
2. Импульсная система, неустойчивая в разомкнутом состоянии, будет
устойчива в замкнутом состоянии, если ее амплитудно-фазовая характе-
ристика при изменении со от---у- до -у- будет охватывать точку с коор-
динатами (—1; /0) столько раз в положительном направлении, сколько
полюсов функции U7* (/со) расположено в правой полуплоскости.
568
Как видно, первая и вторая формулировки частотного критерия
устойчивости импульсных систем ничем не отличаются от соответствующих
формулировок для непрерывных систем (см. гл. XI). Для того чтобы изба-
виться от бесконечного числа корней на плоскости s при использовании
характеристического уравнения импульсной системы или ряда годографов
при применении передаточной функции W* (/со), следует перейти от пло-
скостей s и W* (/со) к плоскостям z и W (г).
Критерий устойчивости для импульсных систем на плоскостях г и IV (г).
Изменение независимой переменной путем замены ее новой преобразует
одну область комплексного переменного в другую. Поэтому с помощью
подстановки z = е/“г можно преобразовать мнимую ось плоскости s в еди-
ничную окружность плоскости z. Для доказательства этого подставим s =
= /со; тогда
z=e'“T,
2л
но при Т =------ имеем
г	со0
2 л<о
z = e' “°.	(XV. 125)
Амплитуда этой функции
1И= 1.
а фаза
2лсо
arg z =----------
ь соо
(XV. 126)
(XV. 127)
На плоскости s (рис. XV.20, а) показана граница устойчивости в виде
мнимой оси, на которую нанесены соответствующие значения частот от
—соо до соо. Определим границу устойчивости на плоскости z, представляю-
щую собой отображение мнимой оси на плоскость комплексного перемен-
ного z. Для этого по формуле (XV. 127) определим значения arg z при изме-
нении со от 0 до соо при | z| = 1:
Осо,	cOq	3
V	~2~	~а°	“°
argz 0	л	-|- л	2л
В соответствии с этим на рис. XV.20, б построена окружность единич-
ного радиуса. Иначе говоря, с помощью подстановки z = esT отрезок мни-
мой оси плоскости s от со = 0 до со = соо отобразится окружностью радиу-
сом с = 1 на плоскости г. Левая полуплоскость (рис. XV.20, а) будет пред-
ставлять собой плоскость круга (заштрихована на рис. XV.20, б). Для дока-
,1m
569
Таблица XV.2
Условия устойчивости в зависимости
от расположения корней
на плоскостях s и г
На пло- скости 8	На плоскости г	Характеристика устойчивости системы
П о о V - НА О о о	N N М V Та	Устойчивая На границе ус- тойчивости Неустойчивая
зательства этого, заметим, что в любой
точке плоскости имеет место следующее
соотношение:
s = c+/<a;	(XV. 12?)
тогда получим
2 = е*ге/шг.	(XV. 129)
С помощью выражения (XV. 129) мо-
жно найти условия устойчивости на пло-
скостях s и г в зависимости от располо-
жения корней (табл. XV.2).
На основании данных табл. XV.2 мо-
жно установить, что импульсная система
регулирования будет устойчива, когда все корни характеристического
уравнения замкнутой системы находятся внутри окружности радиусом
единица (например, корень гх на рис. XV.20, б). Импульсная система
будет неустойчивой, когда хотя бы один корень характеристического урав-
нения замкнутой системы будет находиться вне окружности радиусом еди-
ница (например, корень z2).
Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова—Найквиста для им-
пульсных систем регулирования, пользуясь передаточной функцией разомк-
нутой системы W (z). Пусть
IV (z) =
Ъвгт + Ъ^-1 +
ао2” + aizn~1 +
• + Ьт- 1г + Ьт
 + «n-iZ + ап
(XV. 130)
где п > т.
Образуем вспомогательную функцию
£(z)=l + 1V(2)= С<.+'С1^‘(XV.131)
аог + ар" ' + •••+ а^г + ап uv (г>
где D (г) — характеристическое уравнение замкнутой системы; Dp (z) —
характеристическое уравнение разомкнутой системы.
Если сравнить выражения (XI.81) с (XV.130) и учесть при этом условия
табл. XV.2, то по аналогии с непрерывной системой можно сформулировать
условия устойчивости Михайлова—Найквиста для импульсных систем
на плоскости IV (z).
1. Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива,
если годограф IV (z) разомкнутой системы при отсутствии полюсов вне
окружности единичного радиуса и изменении г от 1 до —1 (вдоль полуокруж-
ности на плоскости z) не охватывает точки с координатами (—1; /0) *
(рис. XV.21, а и б). Заметим, что на рис. XV.21 крестиками обозначены
полюсы, а кружочками — нули передаточных функций.
2. Замкнутая импульсная система регулирования будет устойчива,
если годограф IV (z) разомкнутой системы с т полюсами вне окружности
единичного радиуса при изменении z от 1 до —1 (вдоль полуокружности
на плоскости z) охватывает точку с координатами (—1; /0) -у раз в положи-
тельном направлении.
На рис. XV.21, в показано расположение полюсов и нулей передаточной
функции IV (z), когда один полюс гг находится вне окружности радиусом
единица. Соответствующий этому случаю годограф построен на рис. XV.21, г.
Как видно, годограф охватывает точку (—1; )0) полраза, что указывает на
устойчивость системы в замкнутом состоянии.
* Справедливость данного утверждений вытекает из того, что Д arg £ (г) = 0 и IF (г) =
= С (г) — 1 при —1 < г < 1 (см. гл. XI).
670
• Рассмотрим передаточные
функции для разомкнутых им-
пульсных систем вида
H7(z) =(XV. 132)
й7'(г)=-^г. (XV.133)
В полученные выражения
введем следующее обозначение:
z — 1 = ре/х, (XV. 134)
где р —» 0.
Из выражения (XV. 134) сле-
дует, что точка z = 1 на пло-
скости z охватывается дугой о
бесконечно малого радиуса р—>0
(рис. XV.22, а). Подставив соот-
ношение (XV. 134) в выражение
(XV. 132), получим
W (z) = е-Д; (XV. 135)
и годографов W (г) не плоскости W для импульсных
систем регулирования
тогда при отображении кривой о на плоскости W имеем дугу Г бесконеч-
ного радиуса R, изменяющуюся от 0 до —у (см. гл. XI). Данное построе-
ние выполнено на рис. XV.22, б. Кривая ох при изменении z от 1 до —1
трансформируется в кривую Гх (рис. XV.22, а и б). Годограф W (г) не охва-
тывает точку (—1; /0), а передаточная функция ITj (z) не имеет полюсов
вне окружности единичного радиуса, что указывает на устойчивость импульс-
ной системы в замкнутом состоянии.
W, (г)
На рис. XV.22, г показано построение годографа W (z) = (г _ ца ПРИ
наличии двух полюсов в точке z = 1 (рис. XV.22, в). Годограф не охваты-
вает точки (—1; /0), и при отсутствии полюсов вне единичной окружности
у передаточной функции W г (г) [выражение (XV.133)1 имеем устойчивую
импульсную систему в замкнутом состоянии.
Пример XV. 11. Построить годограф 1Г (г) на плоскости W, вели импульсная система
имеет передаточную функцию
2 (1 — e~sT)
ь2 (0,1s 4- 1J (0,05s ± 1)
(XV.136)
где Т = 0,2 с.
скости W для импульсных систем регулирования
571
Im
Рис. XV.23. Расположение нулей и полюсов передаточной функции
разомкнутой системы на плоскости г и годографа на плоскость W
(для примера XV. 11)
/-преобразование для функции IF (s) запишем в виде
уу — г 1 « Г______________?__________"I =
г °L s2 (0,1s + 1) (0,05s + 1) J
(г —1) . Г 2	0,3	0,4	0,1 1
_ г	3 [ s2 s + s-J-lO	s-Ь20 J
0,4	, 0,4(г—1)	0,1(г — 1) .0,15z (г + 0,05) (г+ 1,065)
г—1 + г —0,135	г—0,0185	(г—1) (г — 0,135) (г —0,0185)’
(XV. 137)
Из выражения (XV. 137) для передаточной функции видно, что полюсов вне единичной
окружности нет (рис. XV.23, а). Годограф W (г) не охватывает точку (—1, /0) (рис. XV.23, б).
Поэтому рассматриваемая импульсная система является устойчивой в замкнутом состоянии.
Критерий устойчивости Шур—Кона. Алгебраический критерий устой-
чивости Шур—Кона позволяет анализировать устойчивость импульсных
систем регулирования по характеристическому уравнению замкнутой си-
стемы, записанному в форме г-преобразования. Для. характеристического
уравнения n-го порядка
D (z) = z" -Ь 012”-’ + a2z"~2 + • • • + an-iz + ап = 0	(XV.138)
запишем коэффициенты в виде следующего определителя:
	ап	0	0	... 0	1	«1	<*2	• • • Як-1	
		ап	0	... 0	0	1	at	. . . Як-2	
	аП-2	ап-1	ап	... 0	0	0	I	• • •	ЯК-3	
	ап-к+1	аП-К+2	ап-к+з	• - - ап	0	0	0	1	
	1	0	0	... 0		“п—1	ап—2	• • • ап—к+1	, (XV. 139)
	а1	1	0	... 0	0	ап	ап-1	• • • ап—к+2	
	а2	«г	1	... 0	0	0	ап	• • • ап—к+3	
	ак—1	ак-2	“к-З	... 1	0	0	0	... а,п	
где к — 1, 2, 3, ...; a*, а%, ...,	— сопряженные значения коэффициентов.
Определитель имеет 2к рядов и 2к столбцов. Корни характеристиче-
ского уравнения будут лежать внутри единичной окружности, если коэффи-
572
циенты уравнения (XV. 138) удовлетворяют всем определителям Шур—Кона,
имеющим	Дк<0	для нечетных к; ] * п	(XV. 140) Дк>0	для четных к. )	'	'
Пример XV. 12. Исследовать устойчивость импульсной системы, передаточная функция
которой IV (г) задана выражением (XV. 137), по критерию Шур—Кона. Найдем
г , ,	0,15г (г-)-0,05) (г 4- 1,065)
'	1 ' (г — 1) (г — 0,135) (г — 0,0185)
1,15 (г3 — 1,014456г2 4- 0,302017г — 0,00506)
(z — 1) (г — 0,135) (г — 0,0185)
(XV. 141)
Из выражения (XV.141) определим, что характеристическое уравнение замкнутой
системы
D (г) = г3 — 1,014456г2 4- 0,302017г — 0,0506 = 0,
а его коэффициенты имеют следующие значения
а1 = — 1,014456; яа= 0,302017; а3 = 0,00506.
Пользуясь выражением (XV. 139), найдем нечетные и четны* определители Шур—Кона
в виде
Цд
о
Д1 =
1 I = (— 0.00506)2 — (I)2 « — 1 < 0;
аз I
а3	0	1	ctj
а2	а3	0	1
I	0	а3	а2
Qj	1	0	а3
= 0,9 > 0;
	а3 Я2	0 а3	0 0	1 0	Я! 1	Яд “1	
Ад —	“1	До	Яд	0	0	1	= —0,6<0
	1	0	0	Яд	«2	Q1	
		1	0	0	Яд	яа	
	яа	«1	1	0	0	Яд	
На основании полученных оценок определителей Др Да и Д3 можно установить, что
рассматриваемая импульсная система устойчива (сравните с примером XV.11).
Для характеристических уравнений второго порядка можно упростить
критерий Шур—Кона. Воспользуемся для этого характеристическим урав-
нением вида
D (г) = г2 + аг + b = 0.	(XV. 142)
Пусть корни уравнения (XV. 142) будут и г2; тогда первым условием
упрощенного критерия является
а)	| D (0) | = Ь = 21г2 < 1.	(XVJ43)
Если два корня лежат внутри единичной окружности, т. е.
1*11 < 1; 1 Zz | < 1,
(XV. 144)
то импульсная система, описываемая уравнением (XV. 142), является устой-
чивой. Однако при двух действительных корнях условие (XV. 143) не
является достаточным, так как 1г1г2[ <1, а один из корней zt или г2
может находиться вне единичного круга. Для исключения этой неопределен-
ности воспользуемся дополнительным условием:
б)	D(l)>0.	(XV. 145)
573
Рис. XV.24. Структур-
ная схема импульсной си-
стемы автоматического
регулирования
Данное условие делает невозможным существование положительного
действительного корня больше единицы. Введем еще одно дополнительное
условие:
в)	D(— 1)>0,	(XV. 146)
исключающее возможность существования отрицательного действительного
корня, большего единицы. Таким образом, удовлетворение необходимым
и достаточным условиям (XV. 143), (XV. 145) и (XV. 146) обеспечивает устой-
чивость импульсной системы второго порядка.
Пример XV. 13. Исследовать устойчивость импульсной системы регулирования
(рис. XV.24) с помощью упрощенного критерия Шур—Кона. Пусть передатрчная функция
разомкнутой системы имеет вид
V (s) = l--e.~.s7'.. к f-L + 2	,	(XV.147)
' s \ s s2 + 4л2 )
где К>> 0.
Для Т = 0,5 с найдем г-преобразование выражения (XV.147):
1В, , . ь- 2 — 1 . ( 1	, °-25	0,25s 1 К г — 1 Г 0’5г _L
Ц7(г)=К___Г— +—--------------| =
0,25г _ 0,25г (г — cos л) 1	Г 2	, _ г — 1 1
г—1 г2 — 2г cos л 4-1 J ’	|_ г — 1 г + 1 J
Определим характеристическое уравнение замкнутой системы
О (г) = г24~Кг — 1 = 0.
Кг
(г—1) (г 4-1) •
(XV. 148)
(XV. 149)
Необходимые и достаточные условия устойчивости импульсной системы:
а) | D (0) | < 1; б) D (1) > 0; в) £>(—!)> 0.
Для рассматриваемого случая имеем
|'О(0)1=1; О(1)=К>0; О(-1)=—К<0,
(XV. 150)
откуда видно, что условия устойчивости а) и в)-не удовлетворяются.-Следовательно,-импульс-
ная система (рис. XV.24) является неустойчивой при всех К> 0. Для проверки данного
утверждения воспользуемся характеристическим уравнением (XV.149). Корни этого урав-
нения
— К+/К2 + 4	— К — /к2 + 4
Zi -	2	,	г2-	2
Второй корень при любых К^> 0 по модулю всегда больше единицы, поэтому импульсная
система оказывается неустойчивой.
Пример XV. 14. Построить области устойчивых и неустойчивых состояний на плоскости
/ ~ К \	.
переменных (а/, — I для импульсной системы регулирования, если ее передаточная функ-
ция в разомкнутом состоянии имеет вид
г (Z) -J ’-e~sr Ка 1 = Л Г «Т’ г—1
( ) L s s + a J a[г—1 ' г —е““7’
откуда найдем
w - У (е~* + * — 0 + 1 —	— хе-*]
К
где у = —- ; х = «Г...
— 1
(XV.151)
674
Характеристическое уравнение системы Получим по выражению (XV. 151) и виде
fi(z) з= (г — Г) (г — е~*) + уг (е~х ф- х — 1 j + рД — е~х —- хе~х) = г2 + [р (е*~*+х — 1) —
..	— 1— е-*] г + е~* + г/(1 — е"* — хе"*) = 0.	(XV.152)
Так как порядок характеристического уравнения п =“ 2, то по упрощенному методу
Шур—Кона имеем следующие условия:
а)	| е~ * -f- у (1 — е~х — хе“*) | < К
б)	ух (1 — е~*) > О!
в)	2 (1 + е~*) — у (е—х + х — 1) + у (1 — е~х — хе~х) > 0.
Так как условие б) выполняется при всех х> 0, то перейдем к дополнительному рас-
смотрению условий а) и в), т. е.
( “• 1 — е—*) < у (1 — е~х — хе~х) < (1 — е-*);
у (2-х- 2е“* - хе~*) > - 2 (е“* + 1),
или
1 — е— *	е* — 1
0 < У < -~	:----	(XV. 153)
1 — е — хе е — 1 —х
и
у >-------L-----r .	(XV.	154)
х е — 1
”2'— е* + 1
Для определения границы областей устойчивости импульсной системы запишем нера-
венства (XV. 153) и (XV. 154) в виде
(XV. 155)
Пользуясь неравенствами (XV. 155), построим границы области устойчивости
(рис. XV.25).
Для анализа устойчивости систем на плоскости z можно пользоваться
и методом корневого годографа, позволяющим по расположению нулей
и полюсов разомкнутой системы быстро устанавливать геометрическое место
точек корней характеристического уравнения замкнутой системы (см. гл. XII).
Пример XV. 15. По передаточной функции
Кг
разомкнутой системы W (г) =	примера
XV. 13 построить корневой годограф замкнутой
импульсной системы на плоскости 2. На
рис. XV.26 показано расположение полюсов
Рис. XV.25. Границы области
устойчивости импульсной систе-
мы автоматического рееулирова-
К
ния по параметрам — и аТ
Рис. XV. 26. Корневой го-
дограф замкнутой им-
пульсной системы, рассмо-
тренной в примере XV. 13
575
и нулей разомкнутой системы. Пользуясь правилом построения корневого годографа (а ему
принадлежат в данном случае лишь точки действительной оси), получим прямые, показан-
ные на рис. XV.26 жирными линиями. Стрелками на этом рисунке показано направление
движения корня. Из рисунка следует, что при всех К > 0 рассматриваемая импульсная
система неустойчива.
Критерии устойчивости, основанные на применении билинейного преоб-
разования. Трудность построения годографов W (г) при анализе сложных
импульсных передаточных функций устраняется при использовании били-
нейного преобразования
2=4^-	(XV.156)
и логарифмических амплитудных и фазовых характеристик. Из теории
функций комплексного переменного известно, что билинейное преобразова-
ние отображает единичый круг плоскости г в левую полуплоскость w. По-
этому все методы анализа устойчивости непрерывных систем на плоскости w
или W (w) можно применять для анализа импульсных систем.
Перейдем к рассмотрению этих методов. Первый из них представляет
наибольший практический интерес и заключается в построении логарифми-
ческих амплитудной и фазовой характеристик разомкнутых систем. При их
построении пользуются псевдочастотой jv — w. Связь между действитель-
ной круговой частотой <о и псевдочастотой v можно получить, определяя
из выражения (XV. 156) переменную w:
z-i
№==ТТ7^’	<XV-157'
1 Т" •
но г = е~/шГ, поэтому
1__е~<йТ
i +	(XV.158'
откуда видно, что
v=tg-!f-.	(XV.159)
Из уравнения (XV. 159) найдем
со — — ar ct g у.	(XV. 160)
Построение	и	анализ	устойчивости импульсных	систем	по	логарифми-
ческим	характеристикам	осуществляются теми	же	способами,	которые
были рассмотрены для непрерывных систем регулирования в гл. XI *.
Пример XV. 16. Проанализировать устойчивость импульсной системы регулирования,
имеющей передаточную функцию
м - 0.0013 (г-0,983) (Z +0,861)
r(z)- (г—1) (г _о,997) (г —0,51) ‘	(XV. 161)
Из выражения (XV. 161) следует, что полюсы функции IV (г) расположены внутри еди-
ничной окружности. Подставим в полученное выражение билинейное преобразование (XV. 156);
тогда найдем
Г to) = 0.0183 (П6ц>+1)(0,075ц>+1)(1-^)
w (870ш + 1) (3,08а> + 1)	'	14
В данную передаточную функцию введем следующие обозначения:
T’i = 870; Т1и = 3,08; Tv = 0,075;
7П=Н6; 7'iv=l,0; К = 0,0183.
* При построении характеристик импульсных систем следует иметь в виду немииималь-
иость их фазовых характеристик, что приводит к нарушению соответствия наклонов ампли-
тудных характеристик значениям фазовых углов при v -> оо.
576
Приняв w — jv, выражение (XV.162) получим в виде
Wav'! К + V (Tyjv + (I ~ T\Vjv)
W {!V) ~ jv (f1jv+l){Tlniv+l)----------------------------•	(XV-,63)
По выражению (XV. 163) на рис. XV.27 построена логарифмическая амплитудная харак-
теристика п (у) (ломаная линия) в зависимости от псевдочастоты о. Для построения фазовой
характеристики запишем формулу
0 (о) = — -5---arctg T\v + arctg T^v — arctg Тщ0 + arctg Tyv — arctg v. (XV. 164)
Задаваясь различными значениями v, построим 0 (») (сплошная линия на рис. XV.27).
Как видно из рис. XV.27, на частоте среза системы ис = 0,0042 запас устойчивости по
фазе ус — 30°, запас устойчивости по модулю —/7м = 56 дБ. Полученные запасы устойчи-
вости по фазе и модулю обеспечивают устойчивость импульсной системы в замкнутом состоянии.
Пример XV. 17. По передаточной функции
W (г) = . 0;0013(г- 0,934)(г + 0,922)
W (г—1) (г—1,00167) (г —0,51)	(	'
проанализировать устойчивость импульсной системы. Из передаточной функции (XV. 165)
нетрудно установить наличие одного полюса вне единичной окружности. Подсга-
вив в выражение (XV. 165) билинейное преобразование, получим
К (т’п w + 1) (TyW + 1) (1 — Т'ш)
г' и = -А-.’1 Т п \ ~- .м. jv. Z >	(X v .os)
w (Tiw — 1) (Лда + 1)
где
Т\ = 1195; Т'ш = 3,08; 7^ = 0,04;
Тп=29,3; Tiv = 1,0; К = 2,1.
Подставим в формулу (XV.166) w— jv и определим логарифмическую амплитудную
характеристику системы Н’ (о) (штрихпунктирная линия на рис. XV.27). Фазовую характе-
ристику найдем по формуле
О	,
0' (о) =---Л + arctg 7\v + arctg — arctg Т’щО + arctg Tvo— arctg T'lvo.
(XV. 167)
Изменяя значения v, определим фазовую характеристику, которая построена также на
рис. XV.27 (штрихпунктирная линия). Из характеристики Н’ (о) и 0' (о) видно, что на частоте
среза = 0,022 запас устойчивости по фазе у' — 75°. Запасы устойчивости по модулю /7^=
— 28 дБ и —77^ = 34 дБ.
19 Иващенко Н. Н.
577
Рис. XV. 28. Годограф IV (jv) импульсной
системы для примера XV. 18
Рис. XV.29. Логарифмические амплитудная
и фазовые характеристики импульсной си-
стемы для примера XV. 18
Так как в рассматриваемой системе имеется сомножитель -г—, то в фазовой характе-.
ристике необходимо добавить дугу бесконечного радиуса (построена на рис. XV.27 штриховой
линией). Тогда число переходов фазовой характеристики оси —л при Н' (у) > 0 и одном полюсе
А	,	1	1
будет 1 — — = —.
Поэтому рассматриваемая импульсная система устойчива в замкнутом состоянии.
Пример XV. 18. Проанализировать устойчивость импульсной системы регулирования
примера XV, 13. Ее передаточная функция имеет вид
117 (г) =----—-------.
U (z—l)(z-H)
После подстановки билинейного преобразования получим
и=4	•	(xv-i68)
Анализ устойчивости по выражению (XV. 168) выполним тремя способами.
1-й способ. Построим годограф на плоскости W (w). Для этого в выражении (XV. 168)
сделаем подстановку w= jv. На рис. XV.28 построен годограф W (jv). Из этого рисунка
видно, что система неустойчива в замкнутом состоянии.
2-й способ. На рис. XV.29 построены логарифмические амплитудная и фазовая харак-
теристики. Как видно из этого рисунка, при 20 lg | IV (jv) | > 0 фазовая характеристика имеет
значение —л, что указывает на неустойчивость замкнутой импульсной системы.
3-й способ. Билинейное преобразование отображает единичный круг в левую полупло-
скость. Поэтому можно из выражения (XV.1C8) найти характеристическое уравнение замкну-
той системы в виде
— Kw2 + 4w + К = 0.	(XV. 169)
Для анализа устойчивости уравнения (XV.169) применим критерий Гурвица. Так как
коэффициенты уравнения (XV.169) отрицательны при любых К)> 0, то импульсная
система неустойчива.
7. МЕТОДЫ АНАЛИЗА КАЧЕСТВА ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Показатели качества импульсных систем регулирования определяются
с помощью передаточных функций замкнутых систем:
= (xv-17°)
Для определения характеристики переходного процесса по выраже-
нию (XV. 170) воспользуемся формулой обратного ^-преобразования
х(«Т)^=-—(f)	(XV. 171)
а
где о — контур интегрирования в плоскости z, охватывающий особые
точки подынтегрального преобразования.
573
Вычисление обратного z-преобразования можно выполнять различ-
ными способами: на основе теоремы вычетов, разложением на простые дроби
и др. [40, 75]. Рассмотрим первые два способа.
С помощью теоремы Коши значение интеграла (XV. 171) определяется
в виде суммы всех вычетов внутри контура:
х (кТ) = S Выч X (z) z*-1.	(XV. 172)
по всем
полюсам г£-
Функцию z-1X (z) можно разложить на простые множители (см, гл. XII)
и, применив обратное дискретное преобразование Лапласа, по таблице
прил. VIII получить х (кТ).
Значение х (кТ) также можно получить в виде коэффициента при z~K
разложении в степенной ряд величины X (г) по степеням z-1. Из уравнений
X* (s) = 2 х (кТ) е-кГ8	(XV. 173)
к=0
И
X(z)= f х(кТ)г-*	(XV. 174)
к—О
следует, что
X (z) = х (0) + х (Т) z-1 4- х (2Т) г-2 -j-h х (пТ) г~п 4-- (XV.175)
Поэтому, выполняя почленно обратное преобразование, получим
х* (0 = х (0) 6 (0 4- х (Т) 6 (/ - Т) 4- х (2Т) б (t - 2Т) 4-
4------Н х (кТ) б (t - кТ) 4--	(XV. 176)
Возможность получения обратного z-преобразования реакции импульс-
ной системы путем разложения в степенной ряд в большинстве случаев
упрощает нахождение показателей качества, так как позволяет избежать
вычисления полюсов передаточной функции замкнутой системы.
При использовании векторно-матричного математического аппарата
для описания импульсных систем переходные процессы определяют по фор-
муле (XV. 103) с последующим применением обратного z-преобразования
одним из рассмотренных выше способов.
Пример XV.19. Построить переходный процесс в импульсной системе регулирования,
если ее структурная схема имеет вид, показанный на рис. XV.30. Определим функцию
ц/ (г\ _, Г____!____1 _-------0,632г_____ (XV 17 -')
s(0,ls-}-l) J г2— 1,368г+ 0,368 '	1
Замкнутая Передаточная функция системы находится по следующему выражению:
откуда
Ф ® = г2— 0,736г + 0,368 ’	(XV. 178)
Будем считать, что управляющее воздействие g (/) = 1 (/); тогда дискретное г-преобра-
зование
г[4-]="тЬт-	(XV179)
С помощью выражений (XV.178) и (XV.179) выходной сигнал запишем в виде
Л	9
Х & = V ,8°’
19*
579
X(t)
Рис. XV.30. Структурная схема системы для
примера XV. 19
Рис. XV.31. Переходный процесс в импульсной
системе
Переходный процесс в импульсной системе определим тремя способами.
1-й способ. По формуле (XV. 172) найдем х (кТ), для чего найдем вычеты гг, z2, г3:
ВычХ (г) гк~‘= 1;
2! = 1
,	К_1 _ 0,632 е(-015+/-0’92’к+1	.
г,=0,368+/.0,482 {г) г 0,964/ (- 0,632 + 0,482/) ’
, , к-l _ 0,632 е-(0'5+/ °’92) “+1
г,=0,368—/ 0,482	0,964/ (0,632 + 0,482/) ’
откуда
х (кТ) = 1 — е~0,5к cos 0,92k:.
Подставляя значение к ~ 0, 1, 2, .... получим переходный процесс х (кТ) в тактовые
моменты времени (рис. XV.31).
2-й способ. Разложим функцию — на простые множители:
X (г)	0,632
г ~ (г—1) (г2 — 0,736г+ 0,368) ~
А	В	,	С
г —1 + г —0,368— 0,482/ ' г — 0,368 + 0,482/ ’
4=1; В = -0,5; С = -0,5.
Отсюда
X (г) =	ЗД • (XV. 181)
Применив к выражению (XV. 181) обратное г-преобразованиё, получим
х(кТ) = 1 — e""°’5Kcos 0,92/с.	(XV. 182)
Подставляя значение к = 0, 1, 2, ..., определим переходный процесс по формуле (XV.182)
в тактовые моменты времени (рис. XV.31).
3-й способ. Из выражения (XV. 180) следует, что
Х (Z) = г3 — 1,736г2 + 1,104г— 0,368 *	(XV. 183)
Деление полинома числителя на полином знаменателя выражения (XV. 183) дает
Х(г) = 0,632г-1+ 1,095г-2+ 1,201г"3 + 1,102г"’ + 1,01г"5 + 0,972г"« + 0,992г"7 Н--
(XV. 184)
Коэффициенты ряда (XV. 184) при г~к равны значению переходного процесса х (кТ)
в тактовые моменты времени (рис. XV.31).
8. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ТОЧНОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕГУЛЯРНЫХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Характеристики точности импульсных систем автоматического регу-
лирования при действии регулярных управляющих сигналов определяются
ио коэффициентам ошибок (см. гл. XIII).
580
В п. 7 гл. XIII были приведены математические зависимости, которые
позволяют определять коэффициенты ошибки и добротности непрерывных
систем автоматического регулирования. Пользуясь изложенной выше мето-
дикой, определим точность импульсных систем регулирования. Динамиче-
скую ошибку в таких системах можно рассчитывать двумя методами.
По аналогии с непрерывными системами, сигнал ошибки как функцию
времени следует представить в виде ряда по производным входного сигнала,
взятым в дискретные моменты времени t — пТ:
е («Л = Cog (пТ) + Clg' (пТ) -j- -^-g" (пТ) + • • •	(XV. 185)
Применяя к полученному соотношению преобразование Лапласа, имеем
Е* (s) = (са + C1S + -f|- s2 +  • •) G* (s),	(XV.186)
где ряд, стоящий в скобках, есть разложение передаточной функции Фе (s)
относительно ошибки по степеням переменной s. Следовательно,
Сг =	= Ф*ш(0), i = 0, 1, 2...	(XV.187)
ds‘ I s=o
При анализе импульсных систем, как правило, используют импульс-
ную передаточную функцию ФЕ (z). В этом случае коэффициенты ошибки Ct
вычисляют по формулам
С0 = Фе(1);
С1 = ТФ8 (1);
с2 = т2[Ф'е (1) + ф; (1)];
(XV. 188)
Сз = Т'Л [Ф'е (1) + ЗФе (1) + Фе (1)1;
где
ф<» (1) =
dz1
При таком способе определения ошибки в установившемся состоянии
предполагают, что при анализе импульсной системы известен входной сигнал
и его производные. Однако на вход системы могут поступать лишь дискрет-
ные значения сигнала, огибающая которого неизвестна. В этом случае не
удается определить производные входного сигнала и воспользоваться фор-
мулами (XV. 185) — (XV. 188).
При втором методе предполагают разложение ошибки е (пТ) в ряд
по разностям входного сигнала. В этом случае вместо первой производной
входного сигнала записывают разность первого порядка и т. д. В результате
дискретный аналог выражения (XV. 185) принимает вид
е (пТ) = Cog (пТ) + С, bg (пТ) + b2g (пТ) -}- . • •	(XV. 189)
Применяя z-преобразование к последнему выражению, получим
Е(г) = [с„ + С1(г- l)+-g- (z- 1)2+ •• •] G(z), (XV.190)
где ряд, стоящий в квадратных скобках, можно рассматривать как разло-
жение передаточной функции Фе (г) в ряд по степеням (г—1). Коэффициенты
разложения при этом вычисляют по формуле
С< =	|	= Ф<П (1), i = 0, 1, 2,...	(XV.191)
dz1 1г=1
rot
ио J
Заметим, что при малых Т
И
£ (2) = [со +-^-(2 - 1) + -fr-4r (2- i)2+ • • • ] 0(2).
откуда
С{ = CtTl = Ф<° (1) Тс, i = 0, 1, 2,...	(XV. 192)
Кроме того, для малых значений Т
и возможно определение коэффициентов ошибки при разложении импульс-
ной передаточной функции фе (го) в ряд по степеням го. Таким образом,
при малых Т справедливо равенство
Е (го) = [Со CjW —- w2	• • • j G (го),	(XV. 193)
где
= ф<‘> (0).
dwl да=о
При этом
^ = ^(4/	(XV. 194)
или с учетом выражения (XV. 190)
Ci^Cfii.	(УЯЛЪЪ)
Разложение в ряд в виде равенства (XV. 193) позволяет для нахождения
коэффициентов ошибки воспользоваться логарифмическими амплитудными
характеристиками, построенными в зависимости от псевдочастоты v (см.
п. 2 гл. XIII).
Пример XV.20. Для заданной структурной схемы (рис. XV.32, а) определить ряд ошибок
при воздействии возмущения f (t) = 1 (t).
Преобразуем исходную структурную схему к виду, удобному для расчета (рис. XV.32, б).
Тогда
1 — e~sr 10
Й7О (s) = -----1------if-; Н ($) = 0,5s; Т = 0,2 с.
Рис. XV.32. Структур-
ные схемы импульсной си-
стемы для примера XV.20
582
При замыкании внутреннего контура получим одноконтурную систему (рис. XV.32, в),
для которой импульсная передаточная функция
(XV. 196)
W {Z) ~ 1 + W0H (г)	0,2 г г — 1 ’
или, переходя к переменной оу,
W (ш) = 0,2— -1^-.
' w 1 +
Изображение сигнала ошибки для такой системы вычисляют
£(г) = Фе(г)01(г)-Ф(г)02(г),
где
ф (г) =	..... = о 2_______________•
k '	1 + W (г)	’ г2 — 0,8г + 0,2 ’
~	W (w)	1 + w
Ф iw\ —____ Vz2__=02_________ „ -______:
1 '	1 + W (w)	’ w2 + 0,8ш + 0,2 ’
_	1	г (г — 1)
Фе (Z) - 1 + IV (г) ~ г2—0,8г+ 0,2 ’
(XV. 197)
по формуле
(XV. 198)
1 + В7 (а/)	а/2 + 0,8w + 0,2
Зная передаточные функции, по формулам (XV.188), (XV.191) и (XV.193) нетрудно
вычислить коэффициенты ошибки Сг, С/ и С,-. Результаты вычислений приведены в табл. XV.3.
Проверим справедливость приближенных формул (XV.192), (XV.194), (XV.195). Для
коэффициента С± формула (XV. 192) выполняется:
0,5 =2,5-0,2.
Для коэффициентов С2 формула (XV. 192) не выполняется: 0,3 =f= 10-0,04; формула
/ 0 2 \2
(XV.194) справедлива: 0,3 = 30 1 ’  I , но соотношение (XV.195) не выполняется: 30 +
+ 10-22.
Это объясняется тем, что период прерывания Т = 0,2 с не является малым.
Найденные значения коэффициентов ошибки позволяют записать выражение для ошибки
в виде ряда как для непрерывного, так и дискретного входного сигналов. Если входной сигнал
непрерывный, то ошибка определяется выражением в виде ряда (XV.185); в нашем случае
е (кТ) = 0,5g] (кТ) - 0,15g] (кТ) + g2 (кТ) - 0,5g] (кТ) = 0,5кТ -
— 0,15 + 0,5кТ— 0,25 = кТ — 0,40.	(XV. 199)
Для дискретного входного сигнала ошибка записывается в виде ряда через разности
входного сигнала в соответствии с выражением (XV.189):
е (кТ) = - 2,5 [g, {кТ + Т) - g, (кТ) j + 125 [A'gl (кТ + Т) - (кТ)] +
+ (кТ) - 50 [g2 (кТ + Г) - g2 (кТ)] = 125gj (кТ + 2Т) - 252,5g! (кТ + 7) +
+ 127,5gi (к7) — 50g„ (кТ + 7) + 51g2 (к7).	(XV.200)
Таблица XV.3
Коэффициенты ошибок	
При воспроизведении сигнала gj (t)	При воспроизведении сигнала g2 (О
Cq == Cq ~ Cq ~ 0	II «J II II
Cr = 0,5; Ci = 2,5; Cj = 5	Ci = 0,5; Cl = —2,5; Oj = —5
P II . 1 О co . pi II  P' II co о	C2 = 0,3; C2 = 10; C2 = 30
583
По аналогии с непрерывными системами для импульсных систем можно
ввести понятия добротности по скорости, ускорению и т. п. Коэффициенты
добротности зависят от коэффициентов ошибки следующим образом:
(XV.201)
Для определения добротности можно использовать логарифмические
характеристики разомкнутой системы в функции псевдочастоты V.
Обратимся вновь к ранее рассмотренному примеру и воспользуемся передаточными
функциями
_ , „	to (1 4- to)
8	~ to2 + 0,8to + 0,2 ’
I — Xi)
Ф (to) = 0,2	•
Первой передаточной функции соответствует передаточная функция разомкнутой си-
стемы вида
U7 (to) = 0,2 —	;
Ш 1 — W
второй
r2 (to) = 5to Ш .
Частотные характеристики для IF] (jv) показаны на рис. XV.33, а, а для W-i (jv) —на
рис. XV.33, б.
Добротность по скорости при передаче сигнала (пТ)
£>£ =	= -4- = 2оЛ = 2-0,2 = 0,4;
Ci Сх
при передаче сигнала g2 (пТ)
О* = — 2ок = — 0,4.
Обратимся к анализу точности импульсных систем автоматического
регулирования при случайных воздействиях. Для этого определим спек-
Рис. XV.88. Определение добротности по скорости с помощью
логарифмических частотных характеристик
584
тральную плотность случайного процесса как обобщенное преобразование
Фурье , от корреляционной функции процесса в виде
ST(<n) — T 2 R (пТ) e~ie>nT = Т 2 R(nT)z-\ (XV.202)
n=s— оа	П=з— оо
где R (пТ) — корреляционная функция сигнала и г = е/“г.
В дальнейшем для удобства под спектральной плотностью дискретного
процесса будем понимать выражение
5(z) = 2 R(nT)z-n; z = efmT.	(XV. 203)
оо
На оснований формулы (XV.203) найдем следующее выражение спек-
тральной плоскости:
S(z) = /?(z)4-/?(z-1)-/?(0),	(XV.204)
где R (г) есть z-преобразование от корреляционной функции соответству-
ющего непрерывного процесса.
Допустим, что на стационарную линейную импульсную систему воз-
действует случайный сигнал m (пТ) с корреляционной функцией Rm (ntT,
п2Т). Для стационарного сигнала выполняется соотношение
Rm (П1Т, п2Т) = Rm (п2Т - П1Т),	(XV.205)
и корреляционная функция выходного сигнала х (пТ)
Rx(kT) = 2 (ij) 2 w2 (i2T) Rm (кТ - i2T + I.T),	(XV.206)
fjsaO	i't=0
где w (IT) — импульсная переходная функция системы.
Отсюда следует, что выходной сигнал х (пТ) также стационарен.
Установим связь спектральных плотностей входного и выходного сигна-
лов импульсной системы с переходной функцией w (IT). Для этого умножим
обе части равенства (XV.206) на z~l и просуммируем от —оо до оо; в резуль-
тате получим
2 Rx (кТ) = 2 “'(ЧП	S Rm(KT — i-fTz~K =
Ksas—<50	11=0	ta=O	Kseoo
= 2 w (ЧП 2-11 S w О’гЛ zit S (кТ — ilT 4- iaT) z-K+O-i, =
ii»*0	£.=0	K=oo
= Г(г)Г(^1) 2 Rm(nT)z~n,	(XV.207)
П——oo
00
где W (z) — 2	— передаточная функция импульсной системы.
t=0
Учитывая выражение (XV.203), найдем
Sx(z) = W (z) Г (z-1) Sm (z).	(XV.208)
Так как W (г) является дробно-рациональной функцией z с действитель-
ными коэффициентами и величина г-1 комплексно-сопряженная величине z,
получим
Sx(z) = |№(г) |2Sm(z).	(XV.209)
Корреляционная функция выходного сигнала согласно выражению
(XV.203) определяется по формуле обратного г-преобразования
/?xm = 4-(£|^(z)l2Sm(z)z'’-Mz.	(XV.210)
....	J
G
585
Для устойчивых импульсных систем в качестве контура интегрирова-
ния о можно взять окружность единичного радиуса |z| = 1.
Рассмотрим способ вычисления средней квадратической ошибки при
воспроизведении случайного сигнала импульсной системой. Дисперсия
дискретного сигнала ошибки
ё* = ЯЕ(0) = ^- $ |Фв(г)Р$иг)г-^г +
I г |=1
+ w § \®W?Sn(z)z^dz,
|z]=l
(XV. 211)
где Sm (z) — спектральная плотность полезной составляющей входного сиг-
нала; Sn (г) — спектральная плотность помехи; фе (г), ф (z) — импульсные
передаточные функции, определяющие влияние входного сигнала и помехи
на ошибку системы.
Для того чтобы определить интеграл в формуле (XV.211), целесообразно
перейти к ^-преобразованию и использовать известные формулы из теории
непрерывных систем (см. прил. VI). Производя замену переменных z =
1 4- w
=।_ и учитывая уравнение контура интегрирования, получим
во
S2 = i J 1 Фе |2 Sm № dv +
— 00
во
+ 2Г J |Ф(МР5,(/«)74тл.
— 00
(XV. 212)
Последний интеграл нетрудно привести к виду выражения (XIII.207)
и воспользоваться таблицей интегралов (см. прил. VI).
Пример XV.21. Определить ошибку воспроизведения входного сигнала в виде дискрет-
ного белого шума со спектральной плотностью Sm (z) = -у для системы, показанной иа
рис. XV.32, а.
Для вычисления дисперсии ошибки подынтегральное выражение в формуле (XV.212)
необходимо представить в виде
Gn (jv)
Нп (jv) Нп (— jv)
Для рассматриваемого случая
I ф (!v} |2	__*	= 2 ±_______________(iv^-jjv^_____________.
I	т 14-O2 Т ((/o)3+-l,8(/o)2 + p + 0,2]^n(-/V) ’
здесь п — 3. Тогда с помощью таблицы прил. VI для случая п — 3 определим дисперсию
ошибки в виде
,	_ __ 1 .	1
₽2 _ 9 __________1	1	_ 1 9К 2—
Т 2-1 (0,2 —1,8) ~ ’ Т •
9. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С УПРАВЛЯЮЩИМИ ЦВМ
Включение управляющих ЦВМ в системы автоматического регулирова-
ния переводит их в импульсный режим. При этом динамические характе-
ристики управляющих ЦВМ, под которыми обычно понимают частотные,
оказывают большое влияние на устойчивость и показатели качества процес-
сов регулирования. Частотные характеристики определяются не только
видом программы, реализуемой на ЦВМ в реальном времени, но и величиной
такта обмена информацией между машиной и преобразователями. Выпол-
586
нение программ на управляющей ЦВМ в реальном времени приводит к вве-
дению временной задержки и эквивалентно появлению сомножителя e~sT
в передаточных функциях программ вида W (s).
Для компенсации временной задержки в системах автоматического
регулирования применяют программы дифференцирования (коррекции),
которые также реализуются на управляющих ЦВМ. В результате этого на
вычислительных машинах выполняют программы двух типов: регулирова-
ния и коррекции.
Рассмотрим различные числовые методы реализации программ фильтра-
ции и упреждения на управляющих цифровых вычислительных машинах.
Сначала будем пользоваться числовыми методами интегрирования.
Для получения сравнительных данных по различным методам числового
интегрирования используем дифференциальные уравнения первого порядка:
= е (0	(XV.213)
при нулевых начальных условиях о (0) = 0.
Метод Эйлера. Рекуррентное соотношение для интегрирования
ст (кТ + Т) = ст (кТ) + Те (кТ),	(XV.214)
где Т — период обмена информацией между ЦВМ и преобразователями.
Применив к данному выражению г-преобразование, получим
2(г)(г-1) = ТЕ(г),	(XV.215)
откуда найдем передаточную функцию программы
(XV.216)
С помощью подстановки z — е!аТ получим частотные характеристики
программы в первом приближении
tvr* /; ч Те,аТ	Т	 Т sin <оТ
^пр(/«>)	х_й-1ч>т	2	1 2 1— coscdT
= -4-/4ctg-^-	(XV.217)
Из выражения (XV.217) найдем вещественную и мнимую частотные
характеристики программы интегрирования
(j«>) = -~; Гпр (И = - -Lctg4-•
Тогда логарифмические частотные характеристики программы интегри-
рования по методу Эйлера в реальном масштабе времени
Lmnp (со) = 20 Ig-X - 201g |
(XV. 218)
На рис. XV.34, а построены по этим выражениям частотные характе-
ристики при Т = 1 с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при Т =
= 0,1 с (кривая 3 — амплитуда, кривая 4 — фаза) и при 7 = 0 (для идеаль-
ного интегратора) (кривая 5 — амплитуда, кривая 6 — фаза); отсюда видно,
что с уменьшением периода Т амплитудные и фазовые искажения снижаются.
Метод трапеций. Интегрирование выполняют с помощью выражения
.О(кТ4-Т) = ст(кТ) + Т8(кГ) + -у- е(кТ), (XV.219)
587
где
Lm, д5
Рис. XV.34. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные харак-
теристики реализации программ интегрирования на управляющих ЦВМ
в реальном масштабе времени по методам:
а — Эйлера; б — трапеций;
ё(кТ)
е (кТ) — е (кТ — Т)
Т
(XV. 220)
Подставив соотношение (XV.220) в выражение (XV.219), получим
о (кТ + Т) = о (кТ) + Те (кТ) + [е (кТ) - е (кТ - T)J. (XV.221)
Отсюда следует, что передаточная функция программы
W М- 2(г) - т (З-г'Ог-1
^пр^- Е(г) --2	! _г.х
(XV.222)
Воспользовавшись подстановкой z — &аТ, путем несложных преобра-
зований получим
f [ (1 - cos «Т) + /	,
(XV.223)
588
откуда найдем
t/np (со) =--------7 (1 ~ cos аТУ'
. ч Т sin аТ (2 — cos иТ)
Vnp (со) = - —------------------------------
Пользуясь формулами (XV.224), определим
Lninp(®) = 20 1g - 20lg г ...._..J ~C0St0^............
2	К4 (1 — cos соТ)4 4- (4 sin ыТ — sin 2шТ)2
о, , , я	, sin соТ (2 — costoT)
Опр (со) = - - - arcctg	.
(XV. 224)
(XV.225)
Соответствующие логарифмические частотные характеристики построены
на рис. XV.34, б при Т — 1 с (кривая / — амплитуда, кривая 2 — фаза),
при Т = 0,1 с (кривая 3— амплитуда, кривая 4 — фаза) и при Т — 0
(для идеального интегратора) (кривая 5 — амплитуда; кривая 6 — фаза).
Из рис. XV.34, б следует, что интегрирование по методу трапеций вносит
меньшие фазовые искажения, чем интегрирование по методу Эйлера.
Метод Адамса—Башфорта. Для интегрирования применим соотношение
о (кТ + Т) = а (кТ - Т) 4- 27е (кГ),	(XV.226)
откуда найдем передаточную функцию программы в виде
=	(XV.227)
Частотные характеристики определим с помощью выражения
(XV-22S)
в виде
[/;р (Ю) = 0;
На основании выражений (XV.229) определим формулы для вычислений
логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик:
Lmjp (со) = 20 lg Т — 201g | sin ыТ |;
о;р (СО) = --2-.
(XV.230)
Частотные характеристики строятся по формулам (XV.230) при Т — 1 с
и Т — 0,1 с. Из этих характеристик можно установить, что фазовая
частотная характеристика программы интегрирования по методу Адамса—
Башфорта совпадает с фазой идеального интегрирования и не вносит
дополнительных фазовых запаздываний в систему. Амплитудные иска-
жения из-за программы интегрирования по этому методу меньше, чем при
применении методов Эйлера и трапеций.
Перейдем к числовым методам дифференцирования, для чего восполь-
зуемся выражением
A = a(Z).	(XV.231)
Рассмотрим методы простой и центральной разностей.
589
(XV. 232)
программы
(XV. 233)
(XV. 234)
(XV.235)
(XV. 236)
программы
Метод простой разности. Для реализации метода используем соотно-
шения
Та (кТ + Т) = е (кТ) -&(кТ- Т).
Применив к данному выражению г-преобразование, получим
гТ 2 (г) = Е (г) (1 - г’1).
Из выражения (XV.232) найдем передаточную функцию
^Пр(г)=
или после подстановки z = е/юГ
1^р (/®) = -y-fcos аТ — cos 2а>Т + / (sin соТ — sin 2а>Т)],
откуда после несложных преобразований получим
^пР (®) = -1- (cos а>Т — cos 2соТ);
Ппр (со) = ~ (sin а>Т — sin 2соТ).
С помощью выражений (XV.235) нетрудно определить
Lm;p (со) = 20 1g — — 201g}/2 (1 — cos cn7);
enp(®) =	+
Построенные по этим формулам частотные характеристики
дифференцирования по методу простой разности приведены на рис. XV.35, а
при 7 = 1 с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при 7=0,1 с
(кривая 3 — амплитуда, кривая 4 — фаза).
Методы центральной разности. При этих методах выражение de,/dt =
= a (t) представим в виде
кТ+Т
е (кТ ф- Т) - е (кТ) = j a(t)dt	(XV. 237)
кГ
при нулевых начальных условиях. В выражении (XV.237) функцию а (/)
заменим интерполяционной формулой Стирлинга; тогда
КТ+Т
е(кТ + Т)-е(кТ)= J [Pm + tPm + -^Pm +
кТ
+ -(У*- fl + —Pm + • • • ] dt, (XV.238)
1	з
где f°m, Pm, fm, fm Pm — ЗНЭЧенИЯ функций В ТОЧКЭХ
а (пТ ф- кГ) и а (пТ), п = О, 1, -|-, 2, ...
Выражение (XV.238) можно переписать в виде
е (кТ + Г) - е (кТ) = 1 (а0Рт + а^т +
+ “гРт + ak + aFm+-..),	(XV.239)
590
где
Рис. XV.35. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные ха-
рактеристики реализации программ дифференцирования на управляю-
щих ЦВМ в реальном масштабе времени по методам:
а — простой разности; б — первой центральной разности; в —» второй цен-
тральной разности
а0 =
jd^=2; av= j/dZ = O;
i
r — i) ,,	.
a3 = I —dt = 0;

J 24	90 •
—1
591
Подставив полученные выражения для коэффициентов а, в формулу
(XV. 239), найдем
e(KT+T)-e(Kn=4-(2^+4-^-i^+ •••)• (xv-240>
С помощью ряда (XV.240) получим центральные разностные уравнения
программ дифференцирования.
Для первой	центральной разности		
или	е (кТ 4- Т) — е (кТ) — Та (кТ) иу м £(*)	1 l-г"2		(XV.241) (XV.242)
	" пр ~ Е (z) ~ 2Т г-1	>	
откуда нетрудно	найти частотные характеристики в виде		
	О) = у- | sinсоТ|		(XV. 243)
или	и'пр (со) = 0; tz* / ч	1 sin wT I Vnp (со) = -I—L .		(XV.244)
Вычислим логарифмические частотные характеристики
Lm;p (со) — 20 1g 201g | sin аТ
Q^p(co) = y-	(XV.245)
На рис. XV.35, б построены логарифмические частотные характеристики
при Т = 0,1 с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при Т — 1 с
(кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза). Как видно из сравнения
рис. XV.35, а и б, первый метод центральной разности вносит меньшие
амплитудные искажения в систему, чем метод простой разности. Фазовые
искажения для данного метода отсутствуют.
Для второй центральной разности
е (кТ Т) — е (кТ) — Та(кТ) 4-
4-2-[е(кТ4-Т)4-4е(кП4-е(кТ-7’)]	(XV.246)
или
И? (г) = — = —------------5——_______
«'пр^ Е(г) т 1+4г-1 + г-2>
откуда
тот* (• \	6 . sin соТ"
пр 0®) — -у-1 2 + cos
Lm’ (со) = 20 lg ± - 20 lg I -I;
4	| & 111 MJ J	|
0;p(co) = -i.
(XV.247)
(XV.248)
(XV.249)
И
На рис. XV.35, в построены логарифмические частотные характеристики
программы дифференцирования по методу второй центральной разности
при Т = 1 с (кривая 1 — амплитуда, кривая 2 — фаза), при Т = 0,1 с
592
(кривая 3 — амплитуда, кривая 4—фаза). Из этого рисунка видно, что
метод второй центральной разности имеет самые малые амплитудные иска-
жения из всех рассмотренных в книге методов.
Пример XV.22. Определить передаточную функцию программы для управляющей ЦВМ,
реализующей корректирующее устройство:
W'k (s) = -уУ-М0 •	(XV.250)
Для перехода от аналоговой формы представления корректирующего устройства к дис-
кретной воспользуемся рассмотренными выше числовыми методами.
Так как степень числителя в выражении (XV.250) не ниже степени знаменателя, то можно
использовать методы как числового интегрирования, так и дифференцирования. Фазоопере-
жающая часть передаточной функции (XV.250) описывается дифференциальным уравнением
z/p
71-^- + е(0=у(О,	(XV.251)
где в (0 — сигнал ошибки системы, поступающий на вход корректирующего устройства.
Применив к данному уравнению метод простой разности, получим
[е (кТ) — г(кТ — 7)] = у (кТ) - в (кТ).
Отсюда следует
у (кТ) =-- в (кТ) (1 + ^-Ъ-Ё(КТ-Т).
(XV.252)
Полученное соотношение является дискретным аналогом уравнения (XV.251).
Фазозапаздывающая часть передаточной функции (XV.250) описывается дифференциаль-
ным уравнением
та +о (0 = W (0
или
4°	,	(XV.253)
U4	1 2
где а (0 — выходной сигнал корректирующего устройства.
Для интегрирования уравнения (XV.253) воспользуемся методом Эйлера. Согласно
выражениям (XV.213), (XV.214) и с учетом соотношения (XV.253) запишем
о(кТ + Т)=о(кТ)+~[Ку(кТ)-с(кГ)\,	(XV.254)
‘ 3
Объединяя выражения (XV.252) и (XV.254), найдем рекуррентное соотношение для
вычисления дискретных значений величины о* (f) по текущим значениям ошибки е* (/) в виде
а (кТ + 7) = о (кТ) (l-J^+eOcT)-^- (1+4?
-£р-8(к7-7). (XV.255)
* 2
Применим к данному выражению z-преобразование; в результате получим
£ (г) (z-1+44) =£(z) [х-(1+4^)~^г'1]Л'	(XV.256)
Отсюда найдем передаточную функцию программы, реализующей дискретное корректи-
рующее устройство
U7 М	S (г) _ Л (Л О- г'1) + 7] г-1
пр- к W	Е (г) т2 (1 — г-1) + 7г-1
(XV.257)
С помощью подстановки г-1 — получим частотные характеристики программы
в первом приближении
W*	= Х[7г(1-е-^) + 7]е-Л^	(XV.258)
пр- к	7-2 (! _	+ Ге-/ИГ
593
Рис. XV.36. Логарифмические
амплитудные и фазовые частот-
ные характеристики программ
управляющих ЦВМ
Из выражения (XV-258) найдем логарифмические частотные характеристики программы
Lmnp. к И = 20 1g | к (/со) | =
- 90 1» 1 /	+ П2 - 27\ (7\ + Т) cos <оТ + Л.
ё V (Та—Т)2 + 2(Т —Т2) T2coscoT+Tf
л» i	™ ,	, Tj sin соТ
епр.к(®)-	+ arctg Tt (1 — cos <оТ) + Т
,	(Т2 — Т) sin соТ
arctg T2+(T-T2)cos<oT ’
(XV.259)
Логарифмические частотные характеристики аналогового корректирующего устройства
определяются с помощью соотношения (XV.250) при s = /со:
LmK(m)=20tgK
0К = arctg coTj — arctg coT2.
(XV .260)
Построенные по выражениям (XV.259) и (XV.260) логарифмические амплитудные и фазо-
вые частотные характеристики при К = 4,	= 0,3 с, Т2 = 0,1 с для двух значений Т изобра-
жены на рис. XV-36. Кривыми 1 V. 2 показаны соответственно исходные амплитудная и фазовая
частотные характеристики. Кривая 3 изображает амплитудную, а кривая 4 — фазовую частот-
ные характеристики дискретного корректирующего устройства при Т = 0,05 с; кривые 5 и 6
соответственно те же характеристики при Т = 0,01 с. Из рис. XV.36 видно, что с уменьшением
периода дискретности снижаются амплитудные и фазовые искажения, вносимые управля-
ющей ЦВМ в систему автоматического регулирования [33].
10. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ В УПРАВЛЯЮЩИХ ЦВМ
И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Использование управляющих цифровых вычислительных машин в ка-
честве элементов импульсных систем автоматического регулирования позво-
ляет реализовать необходимые законы регулирования непосредственно в виде
рабочих программ. Выбор метода программирования зависит от объема
запоминающего устройства машины, времени проведения вычислений и от
значений ошибок, накапливаемых при вычислениях вследствие конечности
разрядной сетки управляющей ЦВМ. В связи с этим существует прямое,
последовательное, параллельное, последовательно-параллельное программи-
рование.
Прямое программирование. Передаточная функция, которую необхо-
димо реализовать этим методом, должна быть приведена к виду
пт/-л_ S (z) _^о4-51^-1 4~52z~24~ • • • ~\-Ьтг~т
E(z) i+aiZ-i+aaZ-2 + ...+anz-n>	(XV.261)
где m < n — 1.
594
Запишем разностное уравнение, соответствующее данной передаточной
функции:.
с* (0 = 2 btz* (t -iT)~^ а,о* (t - iT).	(XV.262)
1=0	1=4
Программу, требуемую для решения уравнения (XV.262), разделяют
на две части. Во-первых, необходимо выполнить арифмические операции
типа перемножений и сложений, указанных в выражении (XV.262) (при этом
необходимо выполнить тф n -f-1 умножений и т 4- п сложений). Во-
вторых, в программе следует организовать ежетактное обновление исходных
данных. Квантованное значение е* (t) текущего цикла вычислений стано-
вится значением е* (/ — Т) на последующем цикле вычислений. Поэтому
перед следующим циклом вычислений текущее значение е* (t) должно
быть . переадресовано, в ячейку памяти, отведенную для значения
z* (t — Т). Подобные переадресации обновляют входные и выходные данные
и выполняются посредством операций пересылок в элементах памяти. Всего
потребуется m 4- п таких пересылок. Под размещение коэффициентов необ-
ходимо отвести m 4- га 4- 1 ячейку памяти и для текущих данных m 4- п
ячеек. Таким образом, если все коэффициенты уравнения (XV.262) постоянны,
различны и не равны нулю, то при прямом программировании требуемый
объем памяти равен 5m 4- Ъп 4- 2 ячейки, а число операций составляет
3m 4- Зга 4- 1. На рис. XV.37, а изображена блок-схема прямого програм-
мирования.
Последовательное программирование. Для этого метода программиро-
вания передаточную функцию (XV.261) необходимо преобразовать к виду
w (г) = гЛ,—	,	(XV.263)
1 ~UjZ * 1 -f- UgZ *	1 “j“ Я/^Z
где величины—1/ег и —l/d;, t=l, 2
передаточной функции W (z),
нулю. Если обозначить
Г1(2)
., га пред'ставляют собой нули и полюсы
причем некоторые из ег- могут быть равными
(г)
_ £1 (г) _ ао
Е (г)	14- djz'1 ’
—	(г)	1 4- egZ-1 .
£i(z)	l+^z-1’
(XV.264)
П7 (7\ — S (г) _ 1 4- епг-1
£Я-1(г)	i+4z-^’;
то соотношение (XV.263) можно переписать в виде
W (Z) = ^(2)^ (2)... W n(z)
и
£ (Z) _ £1 (г) £2 (г) £n (z)
Е (г) Е (г)	(г) ' ' ' £п_г (г)
(XV.265)
(XV.266)
EMw,(z)
_—J	.J L
6)
Puc. XV.37. Блок-схемы программирования-.
a — прямого; б — последовательного; в — параллельного
595
Блок-схема последовательного программирования изображена на
рис. XV.37, б, откуда следует, что выходная функция £(- (г) каждого
элемента схемы представляет собой входную функцию следующего эле-
мента. Из уравнений (XV.263) и (XV.266) с помощью обратного преобразо-
вания получим систему разностных уравнений
< (0 = аое* (0 — dto* (t — Т);
о; (0 = nJ (0 - е2а\ (t — T) — d2a2 (t - Ту,
(XV. 267)
с* (0 = <_i (0 + e„<_i (i— Т) - dna* (t — ТУ,
Подсчитав число членов в системе (XV.267), нетрудно установить, что
для размещения коэффициентов потребуется пг + п. + 1 ячейка памяти,
для расположения данных п ячеек, под операции перемножения m-yn-yl
ячейка, операции сложения т -|- п ячеек и операции пересылок- п ячеек.
Поэтому общий объем памяти при последовательном программировании
составит 3/и -ф 5п + 2 ячейки. Следовательно, рабочие программы, состав-
ленные по методу последовательного программирования, требуют для своего
размещения меньший объем памяти управляющей ЦВМ. Кроме того, при
этом методе синтез дискретных корректирующих устройств может быть
выполнен экспериментально, путем подбора полюсов и нулей передаточной
функции. При необходимости контроля легко получить промежуточные
результаты вычислений о* (/).
Параллельное программирование. Метод основан на разложении пере-
даточной функции U7 (г) на простые дроби, записываемые в виде
^й“-П^г+тДтт+---+тЛ^’	(XV'268)
где pt, t = 1, 2, ..., п — вычеты передаточной функции W (г) в соответ-
ствующих полюсах.
Как показано на рис. XV.37, в, соотношение между изображениями
входной и выходной величины в этом случае может быть записано в виде
S (г) _ Si (?) । Sa (г) , I S” (г)	/YV OKO'i
W ~“W+ W +--------------------(AV.269)
F(2) = ri(z)4-F2(2)+ ...+U7„(z),
где
Из уравнения (XV.269) получим 1 соответствующую систему разностных
уравнений
oj (0 = р.е’ (0 — djoj (t — Ту,
O;(0 = p2e- (t)-d2vt(t-Ty,
<(0-pS(0-dn^(t-Ty,
о* (0 = nJ (/) + о’2 (0 + ••• + <(/);
(XV.270)
в этом случае для размещения рабочей программы потребуется под коэф-
фициенты 2га ячеек памяти, для размещения данных п ячеек, под операции
1 Заметим, что функции Si (г),	(г).... Sn	(г) в уравнении (XV.269) отличны от
аналогичных функций в уравнении (XV.266).
596
умножения 2и ячеек, операции сложения 2п — 1 ячеек и операции пере-
сылок п ячеек. Тогда общий объем памяти при параллельном программиро-
вании составит 8п — 1 ячейка.
Таким образом, параллельное программирование занимает промежуточ-
ное положение между двумя изложенными выше методами. Этот метод имеет
существенные преимущества при отладке или улучшении рабочих программ.
Каждый параметр при параллельном программировании связан либо
с полюсом, либо с вычетом реализуемой передаточной функции W (а). По-
этому для получения желаемого изменения закона регулирования необхо-
димо изменить либо параметр pt, либо параметр dt.
Прямое программирование целесообразно использовать, когда некоторые
коэффициенты передаточной функции W (а) в выражении (XV.261) равны
нулю, так как разложение на множители, выполняемое при использовании
методов последовательного и параллельного программирования, приведет
к восстановлению всех 2п коэффициентов. В этом случае время вычислений,
выполняемых по рабочей программе, можно свести к минимуму.
Последовательно-параллельное программирование. Метод сочетает преи-
мущества последовательного и параллельного методов. В этом случае про-
грамму для управляющей цифровой вычислительной машины составляют
при использовании соотношений вида (XV.269) и (XV.270). В некоторых
случаях можно применить сочетание всех рассмотренных методов реализации
программ.
Основные характеристики программ, такие как число команд, время
выполнения, объем занимаемой памяти, в значительной мере зависят от
системы команд применяемой управляющей ЦВМ. Рассмотрим характери-
стики программ, составленных для одноадресной управляющей ЦВМ,
имеющей команды умножения, сложения (вычитания), пересылки из сумма-
тора в ячейку памяти, пересылки из ячейки памяти в сумматор и передачи
управления (см. гл. VI). Обозначим время выполнения каждой из команд
соответственно тумн, тсл, тп и ту. Тогда по выражениям (XV.268)—(XV.270)
можно составить рабочие программы для вычисления текущего управля-
ющего воздействия и (кТ) с применением различных методов программи-
рования. Получаемые в этом случае оценки для времени выполнения про-
грамм сведены в табл. XV.4.
Производительность управляющей цифровой вычислительной машины
определяется временем счета
тс, < Т.
(XV.271)
Таблица XV-4
Сравнительная характеристика методов программирования
. Программирование	Время выполннния счета тсч, мс	Быстродействие Л\ операций в секунду	Объем памяти Q, число ячеек
Прямое	(т -|- п 1) тумя + + (т + п.) тсЛ + -j- (5от 4-	4“ 4) тп 4“ Ту	24 (от 4- /г 4~ В Т	9от 4~ 9/г 4~ 12
Последовательное	2лтумн -j- (2л -|- 1) тсл 4“ + 01л 4-4) Тп + Тд	52га	20га 4- 10
Параллельное	2лтумн 4~ (2л — 1) Тед + + (1 Ол 4" 4) тп 4" ту	50га ~Т~	19п 4- 8
597
Предположив, что для принятой системы команд выполняются соот-
ношения
тп = 0,83; тсл = 0,2; тумн = 1,2ту,	(XV.272)
выберем среднее время выполнения одной команды
тср=2тп.	(XV.273)
Из условия (XV.271) с учетом соотношений (XV.272) и (XV.273) получим
оценку быстродействия управляющей цифровой вычислительной машины
(XV. 274)
Объем памяти определяется ячейками, в которых размещаются текущие дан-
ные, константы, и рабочими ячейками.
Быстродействие и объем памяти вычислительной машины также ука-
заны в табл. XV.4.
При выполнении арифметических операций в ЦВМ возникают ошибки
округления, которые накапливаются и могут существенно повлиять на точ-
ность результатов. Поэтому разрядную сетку управляющей ЦВМ необходимо
выбирать так, чтобы сделать ошибку вычисления и (кТ) меньше заданной.
Характер накопления ошибок округления может в большой степени зави-
сеть от вида реализуемых алгоритмов регулирования.
Расчет разрядной сетки управляющей ЦВМ обычно заключается в опре-
делении разрядности арифметического устройства (сумматора), при которой
средняя квадратическая ошибка результата не превышает заданную.
Пусть некоторая функция у (кТ) имеет максимальное значение модуля
| у |п,ах и должна быть представлена со средней квадратической ошибкой ох.
Тогда разрядность запоминающих устройств, предназначенных для хранения
чисел данной последовательности,
fli=log2|«/|max —^гОуЧ-1.	(XV.275)
При выполнении арифметических операций будут возникать ошибки
округления. В первом приближении можно считать, что при выполнении Nп
элементарных операций с округлением при реализации функции и (кТ)
среднее квадратическое значение ошибки в единицах младшего разряда
арифметического устройства определяется соотношением
п2 = /О2.
Поэтому накопившаяся в результате последовательных округлений
ошибка потребует для компенсации R2 разрядов:
/?2 = log2/AW+ 1-	(XV.276)
Тогда разрядность арифметического устройства
/?АУ = Я1 + Яг,	(XV.277)
и в этом случае средняя квадратическая ошибка результата не увеличится.
Следует отметить, что указанный способ определения разрядности
является весьма приближенным. Он основан на допущении независимости
ошибок в цепи последовательных округлений всего вычислительного про-
цесса и не учитывает структуру реализуемого алгоритма.
Пример XV.23. Рассчитаем разрядную сетку управляющей ЦВМ, если входная величина
не превышает по модулю единицы, а ее средняя квадратическая ошибка ot = 10~6. Число
последовательных операций с округлениями при вычислении выходной величины и (кТ)
составляет No 300.
Используя соотношения (XV.275)—(XV.277), получим
Ri = log2 |1 | - log2 IO-’ + 1 = 17;
R2 = log2 К300/12 4- 1 =3;
Rav = Ri + Ra = 20.
Таким образом, арифметическое устройство машины должно иметь 21 разряд (с учетом
знакового разряда).
598
Глава XVI
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ И САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1.	Методы поиска экстремума. 2. Способы организации движения
к экстремуму. 3. Методы расчета динамических характеристик
экстремальных регуляторов. 4. Выбор корректирующих устройств
в экстремальных регуляторах. 5. Экстремальные системы с вычислитель-
ными машинами.
Экстремальные системы обеспечивают оптимальный (наилучший) ре-
жим работы объекта регулирования. В качестве критерия оптимальности
в таких системах принимается значение максимума или минимума функции
качества работы объекта, когда неизвестны ни число экстремумов, ни их
положение. Иначе говоря, на фазовой плоскости существует некоторая
изменяющаяся во времени кривая у = f (х, t), имеющая один или несколько
экстремумов.
Система экстремального регулирования должна вывести рабочую точку
на глобальный экстремум (т. е. в точку наибольшего значения максимума или
наименьшего значения минимума) и удерживать ее в этом положении. От
действия возмущений все экстремумы характеристики объекта регулирова-
ния могут смещаться как по горизонтали, так и по вертикали. Система же
экстремального регулирования обеспечивает организацию движения пере-
менных х( при любых возмущениях таким образом, чтобы, несмотря на пере-
мещения глобального экстремума, регулятор системы удерживал ее в экстре-
мальной рабочей точке хэ или х’э (рис. XVI. 1).
Экстремальные характеристики присущи многим объектам систем
регулирования. К ним можно отнести различные типы топок, реактивные
двигатели самолетов, аппараты для выпаривания соков, флотационные ма-
шины обогатительных заводов и т. д.
Рассмотрим в качестве примера топку, в которую подаются топливо
и воздух. Температура в печи определяется количеством сгораемого топлива.
При недостаточной подаче воздуха топливо сгорает не полностью, и количе-
ство выделяемого тепла уменьшается. При избытке воздуха часть тепла уно-
сится из топки вместе с воздухом. И только при вполне определенных соот-
ношениях между количеством воздуха и количеством топлива наблюдается
наивысшая температура в печи [51 ].
В турбореактивном двигателе изменением расхода топлива можно до-
биться получения максимального давления воздуха за компрессором,
а следовательно, и максимальной тяги двигателя [24]. При малом
и большом расходах топлива давление воздуха за компрессором падает.
Из этих двух примеров
видно, что получение экстре-
мальной характеристики у объе-
кта, когда в нем протекают два
или несколько противополож-
ных по своему действию процес-
сов, возможно лишь при опре-
деленном соотношении этих про-
цессов.
На рис. XVI.2, а и б по-
строены характеристики объек-
тов управления этого типа с од-
ним экстремумом. Изменение
Рис. XVI.1. Характеристики объектов регулиро-
вания с глобальным экстремумом при различных
возмущениях
температуры ср печи в зависи-
мости. от расхода воздуха GB
при трех значениях расхода
599
Рис. XVI.2. Характеристи-
ка. объектов регулирования с
одним экстремумом'.
а — для печи: б — для турбо-
реактивного двигателя
топлива 6Т показано на рис. XVI.2, а. Штриховая линия указывает
смещение экстремумов. На рис. XVI.2, б построены характеристики давле-
ния рк воздуха за компрессором турбореактивного двигателя в зависимости
от расхода топлива GT при трех значениях скорости полета самолета V.
Из рис. XVI.2, а и б видно, что характеристики объектов с определенной
степенью точности можно представить в виде
У== 2	+	х*],	(XVI. 1)
где у — функция, откладываемая по оси ординат; х — аргумент, отклады-
ваемый по оси абсцисс.
Следует отметить, что для простоты математических выкладок выра-
жение (XVI. 1) часто приводят к уравнению параболы
у — а (/) ха 4- b (/) х + с (/),	(XVI.2)
или, при постоянных коэффициентах,
у = ах2 Ьх + с.	(XVI.3)
Функция у — f (х) имеет экстремум, если для значений f (х9) выдержи-
ваются следующие неравенства:
f (хэ ± Ах)<< f (хэ) при f(x3), имеющем максимум;	(XVI.4)
/ (хэ ± Дх) > f (хэ) при f(x3), имеющем минимум.	(XVI.5)
1. МЕТОДЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА
Р. Дрейпер и Н. Ли разделяют методы поиска экстремума в оптималь-
ных регуляторах на два типа: с поиском по чувствительности; с запомина-
нием экстремума [241.
Сущность первого метода заключается в создании управляющего сигнала
по результатам измерения крутизны характеристики объекта. В тех слу-
чаях, когда первая производная функции качества по входному сигналу
положительна, для достижения максимума необходимо увеличивать вели-
чину входного сигнала. Для достижения минимума функции величину вход-
ного сигнала необходимо уменьшить.
Рассмотрим упрощенную структурную схему системы с экстремальным
регулятором первого типа (рис. XVI.3, а). Управляющий сигнал через
задатчик 3 поступает на элемент сравнения, где образуется сигнал разности
управляющего сигнала и сигнала с выхода датчика 2. Сигнал разности по-
ступает на устройство 4 формирования поискового сигнала. После усиления
устройством 5 этот сигнал подается через исполнительное устройство 6
на вход объекта регулирования 1. Устройства 2—6, заключенные штриховыми
линиями в прямоугольник, образуют экстремальный регулятор.
Процессы, происходящие в регуляторе с поиском по чувствительности,
можно уяснить с помощью рис. XVI.4. Входной сигнал, изменяющийся
с постоянной скоростью, в виде ломаной ABCDE (рис. XVI.4, в) поступает
на объект регулирования, характеристика которого представлена на
600
рис. XVI.4, а. При этом на выходе объекта образуется выходной сигнал
(рис. XVI.4, г). На рис. XVI.4, б показана зависимость чувстви-
тельности для объекта регулирования, а на рис. XVI.4, д — скорость изме-
нения сигнала на его выходе. В точке О'{ скорость сигнала равна нулю.
Из рис. XVI.4, г можно определить основные показатели, характери-
зующие экстремальную систему. Как видно, экстремальный регулятор со-
вершает колебания относительно экстремума. Амплитуда установившихся
колебаний в теории автоматического регулирования именуется зоной поиска
на выходе Дг/.
Очевидно, что
Дг/ = — а (Дл)2.	(XVI.6)
Разность между экстремальным значением уэ и средним за период Т*
колебаний называется потерей на поиск р, т. е.
Р = Уэ ~ У-	(XVI.7)
Потери на поиск на интервале между точкой экстремума и моментом
реверса (точка Вг на рис. XVI ,4, г) определяются заштрихованной областью:
1 Гр<-е®
р =	Aydt,	(XVI.8)
1 рев J
о
где Треа — время до момента реверса на входе регулятора (Т — 2ТРев).
* Под периодом Т колебаний регулятора понимается время, необходимое для изменения у
между двумя максимумами уэ (см. рис. XVI.4, г).
$
601
Подставив соотношение (XVI.6) в выражение (XVI.8), получим
Трев
р = --£— f (Ax)2d/.	(XVI.9)
* рев J
о
Из рис. XVI.4, а имеем
Дх = х/,	(XVI. 10)
т. е.
Трев
р = -^Л- f (x)42dt,	(XVI. 11)
* рев J
О
откуда получим
р =----------------------------------'-а1Грев.	(XVI. 12)
О
Но так как
Ау — — ахТ^,	(XVI. 13)
выражение (XVI. 12) запишем в виде
р =	(XVI. 14)
О
Параметр р определяет качество системы экстремального регулирова*
ния, так как чем меньше потери на поиск, тем выше качество экстремалы
ного регулятора.
Существенное влияние на качество экстремальной системы оказывает
и время выхода регулятора на оптимальный режим Треж (рис. XVI.4, г).
При значительных величинах Треж регулятор большую часть времени рабо-
тает в режиме, не соответствующем экстремальной точке, что приводит к сни-
жению качества системы.
В настоящее время в качестве поискового сигнала довольно часто при-
меняют непрерывный синусоидальный сигнал вида х' — А„ sin соТ. Рас-
смотрим экстремальную систему автоматического регулирования с таким
поисковым сигналом (см. рис. XVI.3, б). Как видно из рис. XVI.3, б, по-
исковый сигнал х' поступает на блок умножения 6 и сумматор 9. На выходе
сумматора 9 установлено исполнительное устройство регулятора 10. При
действии поискового сигнала исполнительное устройство начинает совер-
шать синусоидальные колебания, которые, проходя объект регулирования 1
и устройства 2, 4, 5, поступают на блок перемножения 6 в виде сигнала
х = An sin (со/ 0),	(XVI. 15)
где 9 — фазовый сдвиг.
На выходе блока перемножения получается сигнал
хв = хх = Л„Лп sin со sin (со/ -j- 0),	(XVI.16)
или
хв= х'х" = [cos 0) _ cos (2со/ + 0)].	(XVI.17)
Из выражения (XVI. 17) видно, что в выходном сигнале хв содержатся
а"
две составляющие: первая —y-2-cos0 — постоянная составляющая (ха-
рактеризует величину смещения); вторая	_n/l?„ Cos (2со/ -ф- 0)^j— пере-
менная составляющая (или вторая гармоника поискового сигнала). После
блока умножения установлен фильтр низких частот 7, не пропускающий
сигнал второй гармоники.
602
Рис. X.VI.5. Процессы в экстремальном ре-
гуляторе с поиском по синусоидальному сиг-
Рис. XVI.6. Процессы в экстремальном
регуляторе с запоминанием
налу
Таким образом, на корректирующее устройство 8 и исполнительное
устройство поступает постоянная составляющая сигнала. Знак сигнала
постоянной составляющей зависит от угла 0. Для уяснения этого рассмотрим
три положения поискового сигнала (рис. XVI.5, а). Положению 1 соответ-
ствует рабочая точка А экстремальной характеристики. Выходная характе-
ристика Дг/ для этого положения поискового сигнала показана на
рис. XVI.5, б. Так как 0' < 90°, то знак постоянной составляющей поло-
жителен. Тогда исполнительное устройство регулятора будет перемещаться
в направлении движения к экстремуму (к точке С).
При положении поискового сигнала 2 (рабочая точка В) 0" > 90°,
и знак постоянной составляющей отрицателен (рис. XVI.5, г). В этом случае
исполнительное устройство регулятора будет перемещаться снова в направ-
лении движения к экстремуму.
При положении поискового сигнала <3 (рабочая точка С) на входе объекта
образуется сигнал Дг/ в виде переменной составляющей второй гармоники
(рис. XVI.5, в), которая не пропускается низкочастотным фильтром, а испол-
нительное устройство регулятора все время будет удерживаться в поло-
жении экстремума. Таким образом, используя регулятор с синусоидальным
поисковым сигналом, удается обеспечить его работу в районе экстремума.
Для уменьшения влияния помех перед блоком умножения установлен поло-
совой фильтр 5 (см. рис. XVI.3), настроенный на частоту поискового сигнала.
К системам второго типа относятся системы с запоминанием экстремума;
в них сигнал управления образуется в виде разности между текущим и
экстремальным значениями.
Запоминающее устройство запоминает только экстремальные значения
сигнала. Структурная схема такой системы изображена на рис. XVI.3, в.
На выходе сравнивающего устройства 8 образуется разность сигналов Дц
между текущим значением Дг/, снимаемым с блока управления 6, и экстре-
мальным значением Дг/Зу, снимаемым с запоминающего устройства 7. Сигнал
разности поступает на исполнительное устройство 9.
На рис. XVI.6 показаны процессы, происходящие в экстремальном регу-
ляторе с запоминанием. Характеристика объекта изображена на рис. XVI.6, а,
а входной и выходной сигналы соответственно на рис. XVI.6, бив.
Разность сигналов Дг/ — Дг/Зу = Дгг показана на рис. XVI.6, г. Если
Дг/зу = Дг/Э < Дг/, то регулятор движется к точке экстремума. После дости-
жения ее Ау = 0. Но по инерции регулятор движется в первоначальном
направлении, и Дг/зу = Д//э > Дг/. В этом случае регулятор реверсирует
исполнительный механизм, и в системе организуется движение к экстремуму.
В момент реверса сигнал «обнуляется» в запоминающем устройстве, и снова
603
сигнал Az/ = 0. Но это происходит лишь до очередного перехода регулятора
через экстремум. Таким образом, экстремальный регулятор с запоминанием
совершает колебания около экстремума. В ряде экстремальных регуляторов
с запоминанием на выходе сравнивающего устройства 8 (см. рис. XVI.3, в)
устанавливается интегрирующий элемент. Сигнал на выходе этого элемента
Av показан на рис. XVI.6, д.
2. СПОСОБЫ ОРГАНИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ К ЭКСТРЕМУМУ
Организация движения к точке экстремума основана на использовании
сигналов, зависящих от градиента функции, или сигналов отклонений от
экстремума. Наиболее употребимыми являются методы Гаусса—Зейделя
(или поочередного изменения параметров), градиента и наискорейшего
спуска.
Метод Гаусса—Зейделя. Сущность этого метода заключается в поочеред-
ном изменении координат х, и определении экстремумов вида
4- = 0	(XVI. 18)
при Xj — const, ..., хп — const. Сперва изменяется координата Xj в направ-
лении уменьшения градиента df/dx^ до нулевого значения при постоянных
значениях остальных координат. Затем изменяется координата х2 в сторону
уменьшения df/dx2 и т. д. [10].
После осуществления поиска по всем п координатам (рабочий цикл)
снова изменяются координаты х1 до обращения в нуль dfldxr, затем по х2
и т. д. до полного завершения рабочего цикла. Итак, процесс рабочих цик-
лов повторяется до тех пор, пока все dfldxt не станут равными нулю. Процесс
поиска по этому методу для функции f от двух переменных х, и х2 показан
на рис. XVI.7, а. Движение от точки А, параллельное оси Ох,, происходит
прямолинейно, пока dfldx-y не обратится в нуль (точка В на рис. XVI.7, а).
Затем движение совершается по прямой, параллельной оси Ох2, до точки С,
где dfldx2 — 0. Далее попадаем в точку D, где снова dfldX} = 0, и т. д. до
точки О, соответствующей экстремальному значению функции f. На
рис. XVI.7, а видно, что при организации-движения к экстремуму по ме-
тоду Гаусса—Зейделя путь не является кратчайшим.
Метод градиентов (рис. XVI.7, б). Данный метод состоит в том, что дви-
жение к минимуму функции f осуществляется в направлении, обратном
мгновенному направлению вектора градиента функции у/.
Пусть Xj — первое приближение yf (х,) — значение градиента функции
в этой точке. Проведем прямую
х = х, - /V f (Xj),
Рис. XVI.7. Процессы при поиске экстремума тремя методами:
а — Гаусса —Зейделя; б — градиента; в — наискорейшего спуска
604
где t — вещественный параметр. Поскольку вдоль у/ (хх) функция f
в окрестности хх возрастает, а в направлении — у/ (хх) убывает, то для
малых t > 0 имеем
/(x1-ZV/(x1))</(x1).
Определяем следующий шаг в направлении уменьшения f:
х2 = хх -/V/(хх);
для любого шага получим
х,+1==х(	(XVI. 19)
Каждая координата на (i -f- 1)-м шаге вычисляется по формуле
41 = 4-4—') ; /=1, 2..............п.
{	\ dxi 1х=х1
Вычисления прекращаются, если для всех j выполняется условие
1-^-1 с 6, где б мало.
I dxi I
В методе градиентов выбор шага t связан условием
Hxz-^V/(xi))<f(xi)	(XVI.20)
для всех i.
При этом условии шаг t оказывается обычно очень малым. При большом
числе итераций затрачивается много машинного времени, поэтому в таком
виде метод градиентного спуска применяется редко. Значительно более
экономичным оказывается метод спуска с переменным шагом (или метод
наискорейшего спуска).
Метод наискорейшего спуска (рис. XVI.7, в). Этот метод является раз-
витием метода градиентов.
Пусть теперь t — произвольный параметр. Рассмотрим функцию г =
= f (хг - iV/ (xz)).
На каждой итерации величину шага t = t* будем определять из усло-
вия min z(t).
t
Процесс вычислений, выполняемый по схеме
xz+i = х, - i* V f (xz)
с шагом t*, называют методом наискорейшего спуска, где для определения t*
на каждой итерации нужно дополнительно решать задачу отыскания ми-
нимума функции одной переменной. Эту вспомогательную задачу можно
решать по-разному. Обычно поступают следующим образом. Пусть tz —
шаг на г-м этапе; на i -f- 1-м шаге принимаем т(+1,0 = Д и проверяем усло-
вие (XVI.20). Если оно выполняется, то шаг x1+lift = 2xz+lift_j увеличи-
ваем до тех пор, пока при некотором k = п не нарушится условие
/(Х( — Ti+1> п V f (X;)) < f (Xj — т(, V f (х,)).	(XVI.21)
После этого значение xz+1> n_z выбираем в качестве начального прибли-
жения шага в следующей итерации xi+20. Если же при xz+li0 = xz не
выполняется условие (XVI.20), то принимаем т(+111 = xz и снова прове-
ряем условие (XVI.20), и т. д. до тех пор, пока оно не выполнится. Дальней-
шее дробление шага выполняется по той же схеме, что и увеличение шага,
т. е. с проверкой условия (XVI.21).
Такая процедура обеспечивает движение с максимально выгодным
шагом. Преимуществом этого метода является быстрота прихода в точку
экстремума, большие шаги движения на начальном этапе поиска (на отрезке
АВ). Возможно сочетание рассмотренных трех методов поиска, например
на начальном участке — метод наискорейшего спуска, а на участке подхода
к точке экстремума — метод градиента.
605
Пример XVI. 1. Определить процесс выхода к экстремуму для экстремального регуля-
тора по методу градиента, если объект регулирования описывается уравнениями вида
Т + У = Й1<Р;
Ф = (х? 4-
а исполнительные устройства уравнениями
dxj
dt
dx2
dt
= ktU.
Допустим, что параметры системы имеют следующие значения:
Т = 20 с; = 1; k2 = 0,8;
й3 = кц = 0,01 рад/с.
(XVI.22)
(XVI.23)
Примем, что зона нечувствительности нелинейного элемента С = 0,25 рад; начальные
условия х10 = 2 рад и х20= 1 рад.
При поиске по методу градиента сигнал управления пропорционален проекциям гра-
диента
= — 2fe2Xx;
dxt	2 11
дф________оь х
дх2 ~	22'
(XVI.24)
Так как движение совершается в сторону убывания градиента, то, подставив эти значе-
ния в дифференциальные уравнения исполнительного устройства с обратным знаком, получим
= — 2fe2fe3xi;
откуда
х1 = x10e-2ft^sZ; 1
x2=x20e~2/i2ft< J
Подставим эти соотношения в уравнения (XVI.22), получим
yry!/-fi2YlV "t*20e J-
(XVI.25)
(XVI.26)
(XVI.27)
~k2U;
Решая уравнения (XVI.27), найдем
1
У (0 — е Г j[x^0e“4*2feaZ + x|0e-4*2fe‘z] х
j_ -j	___i_
X е т dt + С/ =	Х-2-0--	е”4к‘к>‘ 4- Се т .	(XVI.28)
'	1 -47 ^2^3
Для определения постоянной с воспользуемся следующими начальными условиями:
1=0, у = у0, т- е.
__ ^1^2 Ио 4“ *1о^ ( р	/XVI 24/
Уа-----\-4Tk2k3	+ с	(XVI 129)
или
С = у0 -	.	(XVI.3Q)
1 — *tl	...
Очевидно, что в выражении (XVI.30)
</о = ^Л(*1о4-*2о)-	(XVI.31)
606
Рис. XV1.8. Процессы выхода
регулятора в экстремум при
различных методах поиска:
а — по методу градиента; б —
по методу наискорейшего спуска
Имея в виду выражение (XVI.31), решение (XVI.28) можно записать в виде
У (О =	+ f	1 е- ~. (XVI .32)
J	«<>«3	L	1 - ?! «2«з J
Подставив в выражение (XVI.32) значения параметров системы и начальные условия,
получим
4- 0 8 14 4- П__0,8(4 4-1)	1	20	,, , -0,032/ _7„-0,05/
+ U,8(4+1) Т-4“2b-o;6Lo,8 J е ~ 11,1е 7е
(XVI .33)
Подставляя в выражение (XVI.33) значения t от 0 до 120 с, получим переходной процесс
выхода регулятора в зону экстремума (рис. XVI.8, а). Для определения времени выхода Треж
регулятора на оптимальный режим необходимо найти зону
Др =	[(2С)2 4- (2С)2] = 2-1.0,8-0,25 = 0,4 рад.
Откладывая на рис. XVI.8, а Ду = 0,4 рад, получим
Греж — 109,5 с.
Пример XVI.2. Для примера XVI.1 определить процесс выхода регулятора к экстре-
муму, если поиск осуществляется по методу наискорейшего спуска.
Как известно, при поиске по методу наискорейшего спуска перемещение по координатам
Xj н х2 осуществляется с постоянной скоростью, равной значению градиента в начальной
точке, т, е.
= 2fe2x10;
иХ}
дф _ 2k х
дх2
(XVI.34)
Скорости отработки исполнительных устройств определяем по уравнениям (XVI.34)
в виде
— 2fe2fe3X10;
dx, t.
& — ^k2ktX2o,
(XVI. 35)
откуда
хг = 2&2&3х101;
X2 — ^k2k^X22t.
(XVI.36)
Имея в виду формулы (XVI.35) и (XVI.36), уравнения (XVI.22) запишем в виде
+ у- У = К [(х10 - 2МЛоО2 + (х2о - 2МйЛ!].	(XVI.37)
607
Полученное уравнение можно переписать как
-]—— у = С) — C2t 4- С3^а,	(XVI .38)
где
Cj —	'Ху о + х|0);
4fe
t-2 ~ у.2 (^зх1о + £4*20);
C3 = -^-'klxl,+klxl0).
Решая уравнение (XVI.38), получим
у (() = Т [Сх — Т (— С2 — 2С37)( + Т (— С2 — 2С3Т) t + TC3t- + С. (XVI.39)
Прн t — 0 имеем у = у3, тогда
С = г/0-7’[С1-Г(-С2-2С3П].	(XVI.40)
Подставив соотношение (XVI.40) в выражение (XVI.39), найдем
y(t) = T(—C2 — 2C3T)t + TC3fl + y0, '	(XVI.41)
где у0 определено выражением (XVI.31). Подставив в выражение (XVI.41) значение параметров
системы и начальные условия, получим
у (I) == [(0,01 - 4 + 0,01  1) 4-0,8 — 2-4-0.82 (0,012-4+ 0,012-1) 20] t +
+ 4 (0,8)2 [(0,01 )2 4 + (0,01)2 1] Z2 + 4 = — 0,2112* + 0,00128Z2 + 4.	(XVI.42)
Подставляя в выражение (XVI.42) значение t от 0 до 20 с, определим переходный процесс
выхода регулятора в зону экстремума (рис. XVI.8, б). Время выхода регулятора на оптималь-
ный режим Треж = 19,2 с. Сравнивая полученное значение Греж с соответствующим значе-
нием из примера XVI. 1, видим, что метод наискорейшего спуска приводит к более быстрому
выходу регулятора на оптимальный режим.
3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Расчет динамических характеристик экстремальных регуляторов заклю-
чается в определении частоты и амплитуды автоколебаний, а также величины
зоны поиска. При расчете экстремальных систем, описываемых нелиней-
ными дифференциальными уравнениями второго порядка, можно исполь-
зовать метод фазовой плоскости (см. п. 2 гл. XIV). При повышении порядка
дифференциального уравнения, описывающего линейную часть системы,
применяют метод гармонической линеаризации, основанной на использова-
нии способа шаблона (см. пп. 3 и 5 гл. XIV). Рассмотрим применение этих
методов на конкретных примерах экстремальных систем автоматического
регулирования.
Пример XVI.3. [52]. Определить частоту, амплитуду автоколебаний и величину зоны
поиска экстремальной системы (рис. XVI.9) регулирования с запоминающим устройством,
когда объект регулирования описывается уравнениями
7\ 4г + X = feA;
Л	(XVI.43)
У = — koxl,
а уравнение исполнительного устройства имеет вид
^- = k2U,	(XVI.44)
где U — сигнал на выходе реле.
608
Рис. XVI.9. Структурная схема экстре-
мальной системы регулирования с запоми-
нающим устройством
Примем, что параметры системы имеют следующие величины:
7\ = 2 с; С = 0,05 рад; fej = 1; ka=* 1; fe2 = 0,1 рад-с; Т = 4 с
при Начальных значениях х(| = 2 рад; у о = 0.
Будем также считать, что закон формирования управляющего сигнала на n-м шаге пред-
ставляется в виде
«п = sign (№—4»п-1+2С) «п-i,	(XVI.45)
где С — половина зоны нечувствительности реле.
Для определения параметров предельного цикла воспользуемся методом фазовой пло-
скости, учитывая при этом, что включение исполнительного устройства происходит через неко-
торый интервал времени. В этом случае рассматриваемая система является импульсной, и дви-
жение изображающей точки необходимо строить на разностной фазовой плоскости 154]-.
Пользуясь г-преобразованием (см. гл. XV), передаточную функцию
представим в виде
/	Т \
(	—	1 2
» ,1Р «1 -i L/An ] - 61 • '-7--	 'XVI®
(z—l)\z —е Г')
Так как на управляющее устройство действует единичный сигнал, то
X (г) =	1	Г1-2.51 .	(XV1.47)
(г — I)2 \г — е	)
С помощью обратного г-преобразов ан ня из выражения (XVI.47) найдем
т	т
.	- — ь (к-Н)
х (кТ) = ktk2kT---------	----Ц,---.	(XVI .48)
1 —1—е~^7
По выражению (XVI.48) определим первую разность выходного сигнала:
Г	—£-(к+1)1
&хк = ktkt L1—е т‘ j.	(XVI.49)
Для нахождения уравнений фазовых траекторий необходимо из выражения (XVI.48)
исключить параметр кТ. Составим следующее соотношение:
г
7, к	— Дхк
~	г ,
Мае” Т'
(XVI.50)
откуда
кТ = ln Й Аг - т-	(XVI -61)
20 Иаащенко Н. Н.
609
Подставим выражение (XVI.51) в формулу (XVI.4$), приняв при этом, что
Г —-Г-(к-f-i) 1
Дхк=^Д1—е г* J=/;	(XVI. 52)
тогда
ж = _^а.1п|1__±1_|--------,+ с. . .  ' (xvi^3)
1-е^Т
При начальных условиях х = х0 и у' = у'о имеем
С = х0+ 1п | 1 - -g- | +-----.	(XVI.54)
1-е~^
Подставив соотношение (XVI.54) в выражение (XVI.53), получим
х = х<,-	.ffiJj-J!- l + J&b-inhjO (XVI.55)
l_e Л
При принятых нами начальных условиях и числовых значениях параметров выражение
(XV 1.55) запишется
х = 2 — 1,2у'+—- In | 1 — Юр'|.	(XVI .56)
Для следующие	*ахождеиия уравнения линии переключения подставим в соотношение (XVI.45) выражения: уп = — Мл; (XVI.57) 1/п_1= - Мл-1-
Тогда	 «п — — sign(*0x2r- ktfc2^ — 2C)un_v	(XVI.58).
НО	= xn-i 4" &xn — xn-i 4" y't
поэтому	ko (ХП — Xn-1) = *o (ХП-1 4- y']2 — Mn-1 = 2koxny' 4- *0 to')2- (XVI -59)
Имея	в виду выражение (XVI.59) и положив ип = 0, найдем 2Vn-il/' 4- k0 (/)» — 2С = 0,	(XVI.60)
откуда		 2С k() (if )а	ZYVT R1\ 2*0/	’	(XVL61)
или	=	(XVI.6 2)
Задаваясь различными значениями х по уравнению (XVI.62), найдем линии переключе-
ния (кривые 1 и 6 на рис. XVI.10). Фазовые траекторий будем строить по участкам для ип < 0
с помощью уравнения
а для ип > 0
х = 2-1,2/ + -^-1п|1+ 10/|,
х = 2-f-1,2/— —-у In | 1 —-10/|.
(XVI .63)
(XVI .64)
На рис. XVI.10 построены фазовые траектории: кривая 2 по выражению (XVI.63) и кри-
вая 3 по выражению (XVI.64). Построив участки фазового портрета 4 и 5, устанавливаем, что
получается замкнутая кривая, характеризующая предельный цикл. Как видно из рис. XVI.10,
предельный цикл устанавливается сразу же после выхода регулятора в зону экстремума.
Для нанесения отметок времени на фазовую траекторию определим величину разности
выходного сигнала по выражению (XVI.49). Итак, при k = 1 имеем
Г -—1
Дх= 1-0,1 [1—е 2 J = 0,0985 рад.
610
Pile. XV1.10. Фазовый портрет
экстремальной системы регули-
рования с запоминающим уст-
ройством
Разобьем ось абсцисс на отрезки Дх. Приняв х = 2, проведем перпендикулярную пря-
мую до пересечения с фазовой траекторией (точка А на рис. XVI. 10). Эта точка соответствует
первому шагу. На втором шаге имеем точку В и т. д. Пересечение фазовой траектории с линией
переключения происходит в точке С на 26-м шаге:(шаг указывается-цифрой вне замкнутого
контура). Поэтому время выхода регулятора в экстремальную точку будет
Треж = 267 = 26-4 = 104 с.
Амплитуда автоколебаний А на входе определяется по рис. XVI.10 как половинное
четное число шагов на фазовой траектории. Принимаем число шагов равным 12; тогда ампли-
туда автоколебаний
А =	= 0,6 рад.
Число шагов, затрачиваемых на предельный цикл, указано на рис. XVI. 10 цифрами
внутри замкнутого контура. Как видно из этого рисунка, оно равно 26. Тогда период колеба-
ний предельного цикла
Т = 26-4=104 с
или
со =
2л
Т
6,28
104
= 0,06 с"!.
При малой величине шага, примерно равной 0,1 рад, потери на поиск можно определять
по формуле (XVI. 14), справедливой для безынерционной системы.
Итак,
р = -4- А =	= 0,2 рад.
□	о
Пример XVI.4. Определить амплитуду, частоту и значение потери на поиск в экстре-
мальной системе автоматического регулирования, имеющей структурную схему, изображен-
ную на рис. XVI.11. Из рисунка видно, что характеристическое уравнение, описывающее
динамические процессы в экспериментальной системе, имеет третий порядок. Поэтому для
определения амплитуды и частоты автоколебаний следует пользоваться методом гармониче-
ской линеаризации (логарифмическими эквивалентными частотными характеристиками,
см. п. 5 гл. XIV).
Передаточную функцию
линейной части системы запи-
шем в виде
Гл (s) = Гх (s) Г2 (s) =
—тШтр <xvl-65)
где kx = 0,001 с-1; Т2 = 100 с;
k2 = 1. Линейное звено IV 3 (s) и
два нелинейных элемента /х и J 2
системы, заключенные в прямо-
угольник, очерченный штрихо-
вой линией на рис. XVI.11, бу-
дем считать приведенным звеном
с передаточной функцией 7П.
Рис. XVI.11. Структурная схема экстремальной системы
регулирования
20'
611
Линейное звено 1F3 (/со) обеспечивает достаточно хорошую фильтрацию, поэтому экви-
валентная амплитудно-частотная характеристика приведенного звена
?п (Ai<o) = <7i (-^i) <7г ("/Г-) ’	(XVI.66)
где Д — зона нечувствительности реле, равная 0,5 рад.
Амплитуда на входе второго нелинейного элемента связана с амплитудой на входе первого
нелинейного элемента следующей зависимостью:
Аа = А1Я1 (Ах) —,	(XVI.67)
V 4Т|<оа + 1
где k3 =1; Т3 = 10 с.
В выражении (XVI.67) принято, что частота колебаний на входе объекта в 2 раза меньше
частоты колебаний на выходе. Это соответствует нормальному режиму работы экстремального
регулятора (см., например, рис. XVI.5), поэтому при определении коэффициентов гармониче-
ской линеаризации первой нелинейности следует пользоваться следующими формулами:
2л
а! (л1) — J Г (х) sin 2ф </ф;	(XVI.68)
1 0
2л
bi (Лх) = —[ F (х) cos 2ф йф.	(XVI .69)
31/1। J
0
Для первой нелинейности можно записать
F (х) = —	(XVI.70)
где
x = At sin ф.	(XVI.71)
Подставляя выражения (XVI.70), (XVI.71) в формулы (XVI.68) и (XVI.69), получим
л
al Ml) —----J sin 2ф<(ф = 0;
о
л
Ofc л •
&1 (Ах) =--------2—^ sin2 ф cos 2ф сСф =
Л J
и
Рис. XVI.12. Виды вход-
ного и выходного сигналов
для нелинейностей (к при-
меру XVI. 4)
612
Приняв k0 “ 1, найдем
ft (Лх) = Га?(А) + *?(А) = 4" ’
Pi (Лх) = arctg 4~j = -у •
а1 И1)	2
(XVI .72)
Второй нелинейный элемент состоит из последовательного соединения идеального релей-
ного элемента с зоной нечувствительности и нелинейного логического элемента (см. п. 3 гл. II).
На вход первого нелинейного элемента поступает синусоидальный сигнал х с частотой со
и амплитудой Лх (рис. XVI. 12, а), а на выходе образуется сигнал с удвоенной частотой, сме-
щенный относительно принятой точки отсчета 0 на л/2 (рис. XVI. 12, б). Этот сигнал поступает
на линейное звено с передаточной функцией 1F3 (s). Линейное звено вызывает фазовый сдвиг
—arctg 2и>Т3 и изменяет амплитуду в — -------раз. При этом получается сигнал г (?)
V 4Т|сог + 1
(рис XVI. 12, в).
Сигнал г (0 поступает на вход приведенного реле (см. п. 3 гл. 11), характеристика которого
изображена на рис. XVI.12, г. Сигнал на выходе реле (рис. XVI.12, д) смещается на угол а.
Поэтому формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации приведенного
реле относительно точки Ох имеют следующий внд:
п+а	а
а2(Л2)=-^-	| F (г) sin =	| sin —
—л—а	— л+а
л+а	л+а
« f . , ., 2u f , ... 4ucosa	lV... „.
J = J	( VI’73)
a	a
л-f-cc	а
= j А(2)со5фйф = -^- J созфйф —
—л+а	— л+а
n-f-а	—л+а
и (	, 2и Г ... 4и sin а
“ТЯГ J	J	 <XVL74>
а	а
Из выражений (XVI.73) и (XVI.74) нетрудно получить
4м
92(4)=^-;	(XVI .75)
р2 (Л2) = - arctg ]==-<*•	(XVI .76)
Таким образом, общий сдвиг фазы, вносимый нелинейным элементом 7П (Ль /со) и при-
веденный к частоте со, определится по формуле
----arctg 2со7’э
PnHj, <о) =--------------------а,	(XVI.77)
где
2а = -2---arcsin — •	(XVI.78)
Подставив соотношение (XVI.78) в формулу (XVI.77), получим
..	. arctg 2со7'3 ,1 А3 — Д	.v,,. „.
ца (Л I, со)  ----------2- + — arcsin —.	(XVI .79)
Условия гармонического баланса запишем в виде
201g Я] (со) Н2 (со) = 201g—2-—;	(X VI.80)
<7п Их. со)
ех (со) 4- 6а (со) = — а — Рп Их, и)
(XV1.81)
613
Рис. XV 1.13. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характе-
ристики линейной части экстремальной системы с наложенным шаблоном
По этим формулам на рис. XVI.13 построены логарифмические амплитудная (кривая 1)
и фазовая (кривая 2) характеристики линейной части системы. Шаблон с характеристиками
20 1g и —л—рп построен на рис. XVI. 14. Совмещаем ось шаблона 1/у1 хс осью частота»
<?п
(рис. XVI.13). Перемещаем шаблон вдоль совмещенных осей до тех пор, пока точки В и D
при ai=0,018 с*1 не окажутся на одной вертикали, имеющей также <*>'=0,018 с’1. Последнее
и указывает на то, что частота <*>'=0,018 с-1 является частотой автоколебаний. Из рис. XVI.13
найдем амплитуду автоколебаний А{ = 3,6 рад.
Потери на поиск определяются по формуле
р = A'2q (ЯУ |	(ja') W (/«') |<?i (Я[) = 6,9-18,4-0,054-1,8 = 11,4 рад.
При такой величине потери на поиск рассматриваемая экстремальная система имеет
невысокое качество. Для улучшения качества системы необходимо применять корректирующие
устройства.
Рис. XVI.14. Шаблон для приведен-
ной нелинейности 20 1g-----,
?п(ЯхЩ)
и _ 180е -	(Я^)
614
4. ВЫБОР КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ
РЕГУЛЯТОРАХ
Основным показателем качества экстремальных систем регулирования
является величина потери на поиск. Чем меньше величина потери на поиск,
тем более точной является экстремальная система. Из формул (XVI.6) и
(XVI. 14) видно, что для снижения величины потери на поиск необходимо
уменьшить амплитуду автоколебаний. С этой целью можно применять раз-
личного рода корректирующие устройства, охватывающие звенья и эле-
менты системы гибкими обратными связями. На рис. XVI. 15, а показана
структурная схема экстремальной системы, в которой исполнительное
устройство охвачено гибкой обратной связью с передаточной функцией
= (XVL82)
При этом передаточная функция линейной части системы примет сле-
дующий вид:
(s) = —=------.	(XVI.83)
(nHrs2 + nnrs+4(T's+l)
X	*1*к	/
Т	1
При больших /г^ влияние члена—+ ТГ /® 4" 1 на частотные
*1*2
характеристики сказывается лишь при больших частотах, а член Tjco -}- 1
поднимает фазовую характеристику 6Л в области средних частот (т. е. частот
автоколебаний экстремальной системы). Все это приводит к значительному
увеличению частоты и уменьшению амплитуды,автоколебаний. На рис. XVI. 16
приведены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характе-
ристики линейной части системы, построенные по передаточной функции
(XVl.83). Наложив на ось частот шаблон рис. XVI. 14 и перемещая его
вдоль оси и, определим частоту и амплитуду автоколебаний. Как видно,
и' = 0,05 с; А'1 = 2,2 рад. Амплитуда автоколебаний в экстремальной
системе с коррекцией уменьшилась на 40% по сравнению с полученной
в примере XVI.4. Соответственно с этим увеличилась в 2,8-раза и частота
автоколебаний. Величина потерь на поиск с принятым корректирующим
устройством р = 4,1 рад. Полученные данные указывают на некоторое
повышение качества экстремальной системы с принятым корректирующим
устройством.
На рис. XVI. 17 построена логарифмическая амплитудно-фазовая частот-
ная характеристика линейной нескорректированной системы (кривая /).
Рис. XVI.15. Структурные
схемы экстремальных систем
регулирования с корректиру-
ющими устройствами
615
Рис. XVI. 16. Логарифмические амплитудная и
фазовая характеристики линейной части системы
с коррекцией и наложенным шаблоном
20i3+, 20 LgH.flF
nV ,...... -180-^ 6°
-180 -170 -160 -150 -140 -130
Рис. XV 1.17. Логарифмические ампли-
тудно-фазовые характеристики линей-
ной части экстремальных систем (без
коррекции и с коррекцией) и обратная
приведенная логарифмическая эквива-
лентная характеристика нелинейного
элемента
ческую эквивалентную характеристику 20 lg -j
На этом же рисунке кривая 2 определяет обратную приведенную логарифми-
——г—. Как видно из
п (Al, J&)
рис. XVI.17, точка Ег соответствует со =0,018 с-1;	— 3,6 рад. Кривая 3
представляет собой линейную логарифмическую амплитудно-фазовую ча-
стотную характеристику скорректированной системы (по схеме рис.XVI. 15,а).
Здесь в точке £2 имеем со' = 0,05 с-1 и А{ = 2,2 рад. Если изменить коррек-
тирующее устройство и охватить им большее число динамических звеньев
(см. рис. XVI. 15, б), то можно получить еще более высокие показатели каче-
ства экстремальной системы. Соответствующая этому случаю линейная ло-
гарифмическая амплитудно-фазовая характеристика на рис. XVI. 17 пред-
ставлена в виде кривой 4. В точке Е3 будем иметь со' = 0,2 с-1; A'i — 0,5 рад
и р = 0,9 рад.
Возможны и другие схемы коррекции экстремальных систем регулиро-
вания, разработанные В. В. Казакевичем и А. А. Красовским. Существенный
интерес представляют схемы импульсной коррекции, предложенные
Г. С. Дрейпером, Н. Т. Ли [24]. Сущность импульсной коррекции заклю-
чается в том, что импульсный корректор при движении системы от экстре-
мума создает сигнал, который стремится возвратить регулятор к экстремуму,
а при подходе к экстремуму уменьшает скорость движения регулятора, что
позволяет уменьшить ошибку системы. Еще большие возможности повыше-
ния качества заложены в экстремальных системах автоматического регули-
рования с самонастройкой.
5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ МАШИНАМИ
Во всех ранее рассмотренных параграфах дайной главы для организа-
ции экстремальных систем регулирования использовались поисковые сиг-
налы. Поисковый сигнал вносит дополнительное возмущающее воздействие,
ухудшающее процесс регулирования. Кроме того, из-за наличия поискового
сигнала снижается быстродействие в экстремальных системах, так как
616
происходят дополнительные затраты времени, связанные с необходимостью
делать поисковые шаги и измерять показатели качества.
Для устранения этих недостатков в последнее время стали применять
беспоисковые экстремальные системы, в которых за счет использования
априорных сведений об объекте регулирования удается перевести его
в экстремальное состояние. На рис. XVI. 18 показана блок-схема беспоиско-
вой экстремальной системы регулирования, обеспечивающая оптимальный
режим работы регулятора (см. гл. XX). В процессе работы системы пара-
метры объекта регулирования и управляющее воздействие g (<) изменяются.
Поэтому управляющее устройство УУ должно так изменять параметры u (t)
регулятора, чтобы показатель качества J (t) системы регулирования был
минимальным. В этом и заключается экстремальность регулирования.
Среди экстремальных систем такого типа широкое применение получили
системы, в которых качество переходных процессов закладывается в динамику
эталонной модели, представляющую собой аналоговую или цифровую вы-
числительную машину (см. гл. VI). В системах с эталонной моделью путем
сравнения измеренного и заданного показателей качества формируют допол-
нительный сигнал, обеспечивающий сохранение требуемого показателя ка-
чества. Такой способ формирования называют сигнальной настройкой.
Системы с эталонной моделью и сигнальной настройкой имеют довольно
простое конструктивное решение, но обеспечивают постоянство показателя
качества в органиченном диапазоне изменения параметров объекта. Приме-
нение в системах самонастройки с помощью изменения параметров настраи-
ваемой части более универсально, но требует более сложного конструктивного
решения.
Рассмотрим блок-схему самонастраивающейся системы с эталонной
моделью и дополнительным сигналом управления (рис. XVI. 19). В этой
схеме устройство управления УУ2 на основе информации о рассогласовании
векторов хм (0 состояния модели х (0 настраиваемой системы вырабатывает
вектор дополнительного управления m (t).
Проектирование системы начинается с синтеза эталонной модели, кото-
рая соответствует структуре основного контура на одном из режимов ра-
боты. В дальнейшем с учетом рассогласования состояний модели и системы
определяется дополнительное управление из условия асимптотической устой-
чивости самонастраивающейся системы. Для анализа устойчивости исполь-
зуется второй, метод Ляпунова (см. гл. XI).
Синтезируемые законы управления являются нелинейными и в совокуп-
ности с эталонной моделью могут быть реализованы на аналоговых элемен-
тах либо на цифровом вычислительном устройстве.
Предположим, что динамика основного контура описывается системой
линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами вида
х (0 = А (/) х (0 + В (/) g (/) + m (t).	(XVI.84)
Рис. XVI.18. Блок-схема беспоисковой си-
стемы экстремального регулирования для
оптимизации работы регулятора
Рис. XVI. 19. Блок-схема самонастраиваю-
щейся системы экстремального регулирования
с моделью и дополнительным сигналом управ
ления
617
Тогда уравнения эталонной модели принимают вид
хи (/) = Ах„ (0 + Bg (0,	(XVI.85)
где матрицы А и В имеют постоянные коэффициенты, соответствующие
одному из моментов времени t для уравнения (XVI.84).
Введем вектор рассогласования переменных состояния модели и системы
е(0=.хм(0-х(0-	(XVI.86)
В этом случае уравнения динамики системы с эталонной моделью можно
получить, вычитая выражения (XVI.84) из выражения (XVI.85). Если это
выполнить и учесть соотношения (XIV.86), то получим
ё (0 = А (0 е (0 - ДАх (0 - ABg (0 - m (t),	(XVI.87)
где ДА = А (0 — А; ДВ = В (t) — В.
Теперь необходимо выбрать такой вектор управления m (f), чтобы
можно было обеспечить ассимптотическую устойчивость в целом системы
управления с эталонной моделью.
Структуру устройства для формирования вектора ш найдем с помощью
прямого метода Ляпунова. Для этого выберем функцию Ляпунова в виде
положительно определенной квадратичной формы:
V = erPe,	(XVI.88)
где Р = (ННН)-1; Н — матрица собственных векторов' матрицы А системы
уравнений (XVI.85), расположенных по строкам; Нн — матрица эрмитово-
сопряженная с матрицей Н (см. прил. VI).
Для линейных систем это возможно всегда. :Производная функция
Ляпунова, взятая в соответствии с уравнением (XVI.87), примет следующий
вид:
1?= —eTQe-2у,	(XVI.89)
где	Q = АГР 4- РА;	(XVI.90)
у = егР (ДАх + ABg-J-m).	(XVI.91)
Поскольку в случае положительно определенной матрицы Р и устой-
чивой системы матрица Q также положительно определена, то для отрица-
тельной производной функции Ляпунова достаточно, чтобы выполнялось
условие у > 0, т. е.
егР [ДАх + Д Bg + m] > 0.	(XVI. 92)
Обеспечить выполнение этого условия необходимо за счет выбора век-
тора управления т.
Расписывая неравенство (XVI.92) в координатной форме, получим
п п	/ п
2 2 etPn (2
1=1 /««1	\/=i
я	\
+ 2 ^ijSi + mi J > 0-
(XVI.93)
В последнем соотношении потребуем, чтобы каждое слагаемое было
больше или равно нулю, т. е.
п	/ п	п	\
Д «jPji 2	+ Д + mJ > 0.
(XVI.94)
618
signa(,	(XVI.95)
Для выполнения последнего условия дополнительное управление опре-
деляется выражением
(п
S <7xzl*/l + <7,,.|g/l
/=1 J	I
где
п
— S Pfier
qX/ = max | ha{j |;
<7,. = max | &&z/|.
Таким образом, одна из возможных структур устройства для форми-
рования дополнительного управления характеризуется формированием
«-мерного вектора с переключением на п гиперплоскостях а,.
В реальных системах сформировать n-мерный вектор не представляется
возможным, поскольку подать дополнительный сигнал в устройства объекта
регулирования (рис. XVI. 19), как правило, нельзя.
Покажем, что можно сформировать единственный дополнительный
сигнал управления т, воздействующий на систему в общем случае как век-
тор bm, где вектор b определяется точкой приложения дополнительного
управления.
Раскрывая скобки в соотношении (XVI.93), получим условие
п	\	п п / п	\
S	S ^S М>чРы ] ekgj +
+ S ( S Pjtb] e,™. > 0.	(XVI.96)
/=1 \i=l /
Введем обозначения:
n
Р-k/ — S ^aijPki"'
1=1
n
nt/ = S
n / n	\	n
« = S IS Pabi }ei = er Pb = S />/«/•
,=i \,=i	/•	,-=i
Тогда сигнал управления m можно записать в виде .
п п
S S ъ,Ы1х/1+б*,Ы1£/1
т = - ' Z-1—--г-,--:------sign о,
(XVI.97)
где ykf = max | ц.к/1;	= max | nt/1-
Число коэффициентов в законе управления (XVI.97) можно уменьшить:
если его сформировать в виде
п
rtt I et I n
m =	— S (7t/ \Xj I + qri I St I) sign a. (XVI.98)
где
nK= max {vkj, 6fc/);
i
qkj = max yk -/nk\
k
qrj=- manf>ik/nk.
619
Это другой возможный вариант синтеза дополнительного сигнала управ-
ления. Практическая трудность реализации этого закона связана с тем, что
на гиперплоскости переключения управляющее воздействие бесконечно
велико. Но именно это условие вытекает из требования асимптотической
устойчивости. Выдвигая гипотезу, что в этом случае возникает скользящее
движение по гиперплоскости переключения, закон (XVI.98) можно*упро-
стить.
Поскольку гиперплоскость
п
ст = 2 Pt^i = о.
I—1
(XVI. 99)
стационарна, потребуем, чтобы на этой гиперплоскости в соответствии
с уравнением (XVI.87) существовал скользящий режим движения. Для этого
в качестве функции Ляпунова выберем
У=|ст|.	(XVI. 100)
Такой выбор нельзя провести ранее, поскольку было неизвестно выра-
жение для ст. Производная функции Ляпунова (XVI. 100)
<j= S Pfj = 2 Pj ( 2	- 2	“ 2 Mjkgk - m \ =
j=l	/ = 1 \&=1	k=\	& —1	/
Zl Г / Zl	\	/ n	\	( n	\	I n	\
= 2	2 p^jk) — (2 pt &aik bfc — (2 pj №jk I — 2 Pi) m .
6=1 \/=l	/	\;=1	/	\/=l	/	\;=1	/	J
(XVI.101)
Управление m будем искать в виде
п
"* = 2	4- ФхЛ 4- Ш	(XVI. 102)
Подставляя последнее выражение в (XVI. 101), которое должно быть
меньше нуля, получим следующее соотношение для дополнительного упра-
вления:
п
™ = 2 (<7ебЫ 4-	4- <7йб1 ^Isigno),
k—i
(XVI. 103)
где
п
2 р/а/*
qxll = max
2 Pi
/=1________
<7g6 = max
n
2 Pi
M_______
n
2 Pi
/=>
Для системы co скалярным входным сигналом g (t) закон управления
принимает вид
п
(<7rtkJ4-<7xJxJ)signCT.
6=i
(XVI. 104)
620
Эталонная модель
Рис.. XVI. 20. Блок-схема
реализации закона управления
(XVI. 104)
Для обеспечения непрерывности решения (XVI.87) функцию знака
в законе управления следует заменить функцией насыщения
sat (ka) —
1 при
ka при |< 1;
—1 при ka <j О,
где постоянный коэффициент k желательно выбирать большим с целью
приближения к релейному управлению.
Блок-схема реализации полученного закона управления (XVI. 104)
показана на рис. XVI.20.
Пример XVI.5. Рассмотрим канал продольного движения самолета F-101B [74]. Струк-
турная схема системы автоматического управления перегрузками показана на рис. XVI.21.
Уравнения динамики самолета в продольной плоскости приведены в п. 5 гл. III. Значения
коэффициентов Cj—св в уравнении (III.57) для трех режимов полета 'указаны в табл. XVI.1.
Запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику контура
демпфирования. В векторно-матричной форме эта система примет вид
х(П = А(0хЮ+Ь§(<),
(XVI. 105)
где
-— ct	1	Cg	0
— + с4с, — q — е5	с3 — свс6	0
0	0	0	0
20	20(Ci + c6)— 160 — 400 — 20 (е3 — е,ев) —16
0
Рис. XVI.21. Структурная
схема контура управления пере-
грузкой самолета Пу (/)
400
621
Таблица XVI. I
Динамические коэффициенты самолета F-101B
1 Режимы полета	Н, км	V, м/с		Of	С»	е*	С8	С» .
1-й	0	170,2	1,378	. 9,78	16,87	0,936	0,25	0,131
2-й	5	328,6	2,106	50,84	43,504	1,519	0,238	0,1712
3-й	14	442	0,530	26,06	17,07	0,469	0,006	0,0492
Эталон- ный	6	31-6,4	1,538	.36,48	31,1	1,119	•0,192	0,128
Вектор х включает координаты угла атаки а, угловой скорости тангажа Д, перемещение
штока сервопривода хсп и его скорости хсп. Вектор выходных сигналов у, измеряемых посред-
ством имеющихся на борту датчиков, имеет следующий вид:
	Пу Л		V	0	V C’g-57,3	0
			Ci g-57,3			
y(t) =		=	0	1	0	0
	ХСП		0	0	1	0
	Ясп		0	0	0	1
(XVI. 106)
где пу — перегрузка самолета.
Согласно изложенной выше методике необходимо знать систему уравнений относительно
выходных координат. Ее можно получить, подставив уравнение (XVI. 106) в уравнение состоя-
ния (XVI. 105). При этом получим систему уравнений, адекватную (XVI.87).
Систему уравнений эталонной модели, используя параметры с, номинального режима,
относительно которого рассчитывались коэффициенты корректирующих устройств, запишем
в виде
	— 1,12	0,63	—0,07	0		0	
-	— 57,48 —1,73	26,9	0		0	
Ум (0 =	0	0	0	1	Ум (0 +	0	g(().	(XVI.107)
	3220	16,8	—1907 —16		400	
Тогда, вычисляя собственные значения н векторы матрицы модели, сформируем в Соответ-
ствии с (XVI.88) матрицу Р:
10,2826	0,0428	—5,5035 —0,0198’
0,0428	0,0518	—0,0084	—0,0111
-	—5,5035	—0,0084	3,2835	0,0138	’ 1	108)
—0,0198	—0,0011	0,0138	0,019
Рис. XVI.22. Переходные процессы в контуре управления перегрузкой самолета;
а — экстремальная система; б — обычная система
622
Выражение для гиперплоскости переключения будет иметь вид
о = ej — 0,056е2 + О,697ео + 0,096е4.	(XVI. 109)
Обеспечивая существование скользящего режима на гиперплоскости о = О, закон фор-
мирования дополнительного управления можно представить следующим образом:
т = (3,6 | t/x I + 0,2 I у21 + 3,9 | 9з | + 0,21 | + 9 | et | +
+ 0,05 | е2 | + 5 | е31 + 0,04 | е4 |) sign о.	(XVI.ПО)
Для демонстрации эффективности введения дополнительного управляющего сигнала
на рис. XVI.22, а приведены переходные пропессы по перегрузке при подаче иа вход самона-
страивающейся системы единичного ступенчатого воздействия для трех приведенных
в табл. XVI. 1 режимов. Переходные процессы для этих же режимов без подачи дополнитель-
ного управления показаны на рис. XVI.22, б.
Часть III. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Глава	XVII.	Синтез непрерывных систем автоматического регулирования при регулярных воздействиях
Глава	XVIII.	Синтез непрерывных систем автоматического регулирования при случайных воздействиях
Г лава	XIX.	Синтез дискретно-непрерывных систем автоматического регу- лирования
Глава	XX.	Синтез оптимальных систем автоматического регулирования
624
Глава XVII
СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. Постановка задачи синтеза систем автоматического регулиро-
вания. 2. Выбор параметров устройств неизменяемой части системы
автоматического регулирования. 3. Построение желаемой амплитуд-
ной характеристики системы регулирования. 4. Синтез последо-
вательных корректирующих устройств. 5. Синтез параллельных
корректирующих устройств. 6. Синтез последовательных и парал-
лельных корректирующих устройств. 7. Способы реализации после-
довательных и параллельных корректирующих устройств.
Синтез систем автоматического регулирования является основной ста-
дией проектирования, получившей в последние годы весьма широкое прак-
тическое применение. Сущность задачи синтеза заключается в таком выборе
структурной схемы системы и ее параметров и таком конструктивном ре-
шении, при которых обеспечиваются требуемые показатели качества и точ-
ности процессов регулирования, а сама система состоит из наиболее простых
устройств управления.
В систему автоматического регулирования обычно входят объект регу-
лирования и два типа устройств управления. К первому типу устройств
управления обычно относят усилительное устройство, усилитель мощности
и измерительное устройство, которые практически невозможно изменять
в процессе синтеза систем регулирования. Ко второму типу относят кор-
ректирующее устройство и электронный усилитель, т. е. те устройства,
которые легко можно изменять в процессе синтеза. В результате этого всю
систему автоматического регулирования можно разделить на две части:
объект регулирования, исполнительное устройство, усилитель мощности
и измерительное устройство — так называемая неизменяемая часть системы,
и корректирующее устройство с согласующим усилителем — изменяемая
часть системы.
Устройства управления неизменяемой части выбирают не только по
требованиям точности и качества процессов регулирования. В значительной
степени определяющим при их выборе являются стоимость, надежность
действия, масса и габаритные размеры устройств управления, дополнитель-
ные технические условия (режимы рибрации, температура окружающей
среды, влияние агрессивных сред, требования противопожарной безопасно-
сти, взрывобезопасности и т. д.). Традиции конструкторского бюро, ведущего
проектирование системы регулирования, также влияют на выбор этих ус-
тройств. Поэтому задачу синтеза систем регулирования довольно часто
сводят к выбору лишь легко изменяемых устройств управления, а именно:
усилительных и корректирующих устройств. Такого рода задача впервые
была поставлена и решена В. В. Солодовниковым на основе применения
логарифмических частотных характеристик [5, 28, 721.
1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Проектирование систем автоматического регулирования на основе
метода синтеза при регулярных воздействиях осуществляется в следующем
порядке.
1.	На основании технических условий и динамических характеристик
объекта регулирования выбирают устройства управления, входящие в не-
изменяемую часть системы, находят необходимые измерительные устройства.
Затем все эти устройства объединяют совместно с объектом регулирования
и получают неизменяемую часть системы.
625
2.	Устанавливают упрощенную структурную схему системы и выби-
рают схему и место включений корректирующих и усилительных устройств.
3.	По критерию качества или требованиям на показатели, качества' и
точности регулирования находят желаемую логарифмическую частотную
характеристику разомкнутой системы.
4.	Определяют тип и параметры корректирующих и усилительных
устройств системы методом синтеза.
5.	Находят конструктивное решение корректирующих устройств и
устанавливают окончательную структурную схему системы автоматического
регулирования.
6.	Определяют расчетным путем динамические характеристики системы
и сравнивают их с соответствующими данными технических условий.
Принятый порядок синтеза может привести к неоднозначному решению
задачи. Однако без него время, затрачиваемое на проектирование систем,
существенно увеличивается из-за необходимости проведения многочисленных
расчетов систем с различными параметрами неизменяемой и изменяемой
частей системы. Получение однозначного решения задачи синтеза возможно
лишь при дополнительных требованиях, предъявляемых к типу и месту
включения корректирующих устройств.
Например, проектировщик заранее устанавливает, что проектируемая
система будет иметь корректирующее устройство параллельного действия
с тахогенератором. Это требование определяет место включения тахогене-
ратора — выходной вал двигателя; Выходной сигнал с тахогенератора дол-
жен поступить на интегродифференцирующее корректирующее устройство,
состоящее из пассивных /?С-элементов (см. гл. VIII).
Два возможных варианта технической реализации корректирующих
устройств этого типа показаны на рис. XVI 1.1, а, и б. Если применять в ка-
честве объекта регулирования электродвигатель постоянного тока, то проек-
тировщик может воспользоваться тахометрической обратной связью, сни-
маемой с моста (рис. (XVII.1, в). Если мост сбалансирован, то сигнал с его
выхода пропорционален угловой скорости вращения вала электродвигателя.
При несбалансированном мосте сигнал пропорционален угловому ускорению
и угловой скорости вала электродвигателя.
В системах автоматического регулирования возможно применение
корректирующих устройств последовательного или параллельного действия.
Иногда могут быть применены одновременно последовательное и параллель-
ное корректирующие .устройства. .
Возможные типы структурных схем систем с последовательными и па-
раллельными корректирующими устройствами изображены на рис. XVI 1.2,а
и б. На рис. XVII.2, в показана схема системы с одновременным включением
последовательного и параллельного корректирующих устройств.
Рис. XVII.1. Виды корректирующих, устройств : параллельного действия
626
Рис. XVII .2. Структурные схемы системы регулирования с корректирующими устройствами',
а — последовательного действия; 6 — параллельного действия; 9 — последовательного и параллель*
кого действия; / —измерительные устройства; 2, 3 — усилительные устройства; КУ — корректиру.
ющие устройства; ЯУ — исполнительные устройства; ОР — объект регулирования
Корректирующие устройства последовательного действия являются
наиболее простыми и применяются в таких системах регулирования, в кото-
рых практически отсутствуют сигналы шумов или помех. Системы с после-
довательной коррекцией имеют большую частоту среза, что предъявляет
высокие требования к динамическим характеристикам двигателей исполни-
тельных устройств. Последовательные корректирующие устройства доста-
точно чувствительны к изменениям их параметров, что требует применения
высокостабильных конденсаторов и резисторов. Следует также отметить, что
при выходе из строя конденсаторов или резисторов последовательного кор-
ректирующего устройства, как правило, вся система регулирования ста-
новится неработоспособной.
Параллельные корректирующие устройства снижают частоту среза
системы и делают ее малочувствительной к помехам и шумам. Существенным
преимуществом параллельной коррекции является то, что она уменьшает
влияние нестабильности и нелинейности характеристик устройств управле-
ния, стоящих в прямой цепи, на характеристики переходных процессов
всей системы.
Совместным включением последовательного и параллельного корректи-
рующих устройств можно избежать недостатков, присущих каждому из
них в отдельности, и получить высококачественную систему автоматического
регулирования.
2.	ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ УСТРОЙСТВ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ ЧАСТИ
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Параметры устройств неизменяемой части систем автоматического регу-
лирования выбирают на основании технических условий, задаваемых си-
стеме. Обычно в технических условиях указываются точность работы си-
стемы при отработке некоторых типовых регулярных воздействий; время
протекания переходного процесса; максимум перерегулирования при отра-
ботке типовых регулярных воздействий; моменты инерции нагрузки, приве-
денные к выходному валу исполнительного устройства; максимальные зна-
чения скорости и ускорения на выходном валу исполнительного устройства.
В следящих системах вместо этого иногда задается полоса пропускания
синусоидального сигнала при максимально допустимой амплитуде. Кроме
того, указываются стоимость, надежность действия, масса, габаритные раз-
меры и т. п.
Выбор двигателя исполнительного устройства. Надежная работа дви-
гателя возможна лишь при правильном выборе его мощности (момента на
валу). Завышение мощности приводит к излишнему усложнению схемы
системы, а занижение — к снижению ее надежности.
Потребная мощность двигателя может быть найдена различными спо-
собами, в частности по значению эквивалентного момента для типичного
627
Рис. XVII.3. Нагрузки, действующие на
привод исполнительного устройства
Рис. XV11.4. Кривые зависимости стои-
мости двигателя от его типа при мощно-
сти 1 и 0,1 кВт
режима работы [47]. В системах автоматического регулирования в качестве
такого режима довольно часто выбирают синусоидальный сигнал. Подавае-
мый на вход исполнительного устройства сигнал должен иметь такую ампли-
туду и частоту, чтобы были выдержаны величины скорости и ускорения,
задаваемые техническими условиями.
На рис. XVII.3 показаны: синусоидальный сигнал 0В = Ат sin со/,
dQn	</20в
его скорость = сов, ускорение — ев, моменты нагрузки Ма и сил
сухого трения Л4тр. При заданных законах изменения 0В, сов, ев, Мн и Л1тр
эквивалентный момент можно вычислить по следующей формуле:
М, -	+ Мтр)! +	, (XVII. 1)
где Сред — передаточное число механической передачи; т) — коэффициент
полезного действия механической передачи; J„ — момент инерции нагрузки;
7ДВ — момент инерции двигателя; v — коэффициент, учитывающий момент
инерции зубчатой механической передачи; еВП1ах— максимальное значение
углового ускорения на выходном валу двигателя исполнительного устрой-
ства.
Подставляя значения параметров в формулу (XVII.1), определим Мэ.
Мощность двигателя следует выбирать из условия
=	(XVII.2)
Л-э
где Хэ — коэффициент, учитывающий возможное (длительное) повышение
нагрузки. Для электродвигателей постоянного тока следует выбирать
от 0,8 до 0,7, а для электродвигателей переменного тока — от 0,8 до 0,9.
Пневматические двигатели характеризуются меньшими перегрузочными
возможностями и у них = 0,9-ь1,0. По формулам (XVII.1) и (XVII.2)
определяем М. Далее, зная требования к надежности и стоимости системы,
выбираем тип двигателя (электрический, пневматический или гидравличе-
ский). Графики, характеризующие стоимость привода и надежность его
действия, приведены на рис. XVII.4 и VII.21.
628
Пример XVII. 1. Определить тип и параметры двигателя привода исполнительного устрой-
ства системы автоматического регулирования, если заданы:
а)	момент нагрузки выходного вала Л4Н = 12,5 Н-м; момент трения на выходном валу
Л4тр = 2 Н-м и момент инерции нагрузки JK= 8-Ю'4 Н-м-с2;
б)	угловая скорость на выходном валу ®в тах = 1,5 рад/с; угловое ускорение ев тах =
= 2 рад/с;
в)	надежность действия двигателя (характеризуемая временем его безотказной работы)
порядка 1000 ч; стоимость двигателя должна быть невысокой.
Исходя из п. в) технических требований и графиков, приведенных на рис. XVII.4 и VII.21,
устанавливаем, что в качестве двигателя привода следует выбирать электродвигатель постоян-
ного тока. Для определения его параметров найдем приблизительное значение мощности по
валу:
Рв=^пр“втах-	(XVII.3)
м
Принимаем МПр —— 16,7 Н«м. В рассматриваемом случае
U, / о
Рв= 16,7-1,5 = 24,5 Вт.
Определим мощность двигателя по формуле
Р =	=	40Вт,
И 0,6
где т) — КПД электродвигателя (принимаем равным 0,6).
По найденной мощности в каталогах находим серию электродвигателей, имеющих макси-
мальную скорость вращения птах = 3000 об/мин. Для Р = 40 Вт по каталогу находим
электродвигатель с моментом инерции якоря двигателя 7ДВ = 4,65-10-5 Н-м-с2. Далее
определяем
3000	,,	.	<Вдв 2л3000
%ах = -во- = 50 об/с; <ред =	= 210.
Примем, что КПД механической передачи с гред = 210 будет равен 0,8; тогда по фор-
муле (XVII. 1) найдем
~Т2Д 2
210-0,8 ' 210
8-Ю3	, , К л « 1О-Л2 2а-210а
2105^8 + 1.5-4,65-10 ь) -т—
= 85-IO'3 Н-м;
fXVII.4)
М = 85д-^~3 = 113,3-10'5 Н-м.
и,7и
Зная М, по каталогу снова определим Р’ и J'№. Если разница в значениях Jдв и 7ДВ
невелика, то можно не уточнять значение Л4Э; при значительной разнице следует в формулу
(XVII-1) вновь подставить все величины, включая уточненное значение /дв.
Передаточную функцию электродвигателя постоянного тока запишем в обычном виде:
^дв
(XVII.5)
^«bIs) - s(T2BS2 + 2^BTaBs+l)
(XVII.6)
где

а__________т _ (рдв(ред~Ь	.
ДВ ~ Rakv + kMks ’ дв
Ra^v +
g _ (Рдвгред 4~ рн) ^а^о^д _
ДВ “ 2 /(JaBia + /н)ЛвТд (ЛА + fe А) ’
Тй~ ~Ra'
С помощью данных каталога и приведенных выше параметров найдем
2,5
(XVII.7)
^(s) - s(o,O8asa-j-2-O,8-O,O85s-f-1)‘
Зависимости коэффициента усиления кдв и постоянных времени
для различных типов двигателей от мощности приведены на рис. XVII.5, а, б.
* Увеличение момента инерции якоря двигателя за счет механической передачи примем
v = 1,5.
629
Рис. XVH.5. Зависимости постоянных времени и коэффициентов
усиления-для-наиболее часто применяемых двигателей'.
1 — электрические двигатели постоянного тока; 2 — пневматические дви«
гателн; 3 — гидравлические двигатели
Из рисунка видно, что наименьшими постоянными времени и наибольшими
коэффициентами усиления характеризуются гидравлические двигатели,
поэтому их применение наиболее предпочтительно в регуляторах и следящих
системах, обладающих высоким быстродействием.
Выбор механической передачи. Если в качестве механической передачи
применен редуктор с цилиндрическими зубчатыми колесами, то целесооб-
разно выбирать такие пары колес, при которых получается минимальное зна-
чение момента инерции колес и валов редуктора. Приведенный момент инер-
ции всех вращающихся масс механической передачи определяется по фор-
муле
Рис. XVI 1.6. Номограммы для определения' оптимальных' значений передаточных
отношений пар зубчатых колес.
а — при D,/Da — 1,0; б —.’Ьрп О3/Г>1 = 1,5; » — при Ds/Dt = 2.0;' г — при Зз/Й, = 3,0; '
1, 2, 3, 4 I— соответственно для двух, трех.'четырех и пяти пар колес (к = 1, 3, 5, 7)
630
Наибольшее влияние на /ред оказывают четыре первых зубчатых ко-
леса, т. е.
JpeA = T[D' + ^	+	+	(XVII.8)
где р — плотность металла, из которого сделаны зубчатые колеса; b — ши-
рина колеса.
В выражение (XVII.8) введем следующие обозначения:
где
Л>едО =“
npftDf
32
(XVII.9)
Из выражения (XVI 1.9) найдем передаточное отношение i13, соответ-
ствующее минимуму /ред. Для этого возьмем частную производную
и приравняем ее нулю, положив-^- = 1. В результате получим
д./ред
^12
(XVII. 10)* .
Задаваясь различными величинами i12, по формуле (XVII. 10) построим
линии оптимальных значений передаточных отношений пар зубчатых колес
(рис. XVII.6). По ним нетрудно найти номограммы минимальных значений
моментов инерции зубчатых колес редукторов (рис. XVII.7).
* При выводе формулы (XVII.10) в выражение (XVII.9) было подставлено соотноше-
ние
Put. XVII.7. Номограммы для определения минимальных значений моментов инерции
зубчатых колес:
а нрн = 1,0; б — при » 1,5; « -г при	8,0; г — при = 3,0;
кривые /, 2, 3, 4, 5 — соответственна дли одной, двук. трех, четырех и пяти пар шестерен
631
W„(s)
Рис. XV//.8. Структурная схема неизменяемой части системы для при-
мера XVII.4
Пример XVTI.2. Для выбранного нами передаточного отношения редуктора механиче-
ской передачи примера XVII.1 <ред = 210 найти наивыгоднейшие значения передаточных от-
ношений пяти пар зубчатых колес. Примем, что = 1,0; тогда с помощью рис. XVII.6, а
при 1ред = 210 по кривой 4 определим оптимальное значение первой пары «12 = 1,655. Для
210
оставшихся пар 1ред— -j-ggg- = 127. По кривой 3 того же рисунка при 1ред = 127 найдем
оптимальное значение второй пары i3i — 1,85, затем третьей пары i5e = 2,14, аналогично для
четвертой пары i78 = 3,56 и, наконец, пятой пары igl0 = 90.
По номограмме рис. XVII.7, а найдем - ред — 7,0. Если считать, что момент инерции
"ред о
первой пары колес /редо = Ю"® Н-м-с2, то момент инерции всех пар колес редуктора JP5=
7-Ю-5
= 7-Ю'6 Н-м-с2. При 7ДВ = 4,65-10"^ Н-м-с2 имеем v =	_5 — 1,5. Измерительные
средства систем регулирования выбирают по данным гл. IV.
Пример XVIJ.3. Необходимо выбрать измерительные устройства углов рассогласования
с ошибкой, не превышающей Г. По данным табл. IV.2 выберем сельсин II класса точности,
у которого ошибка 6 = 1,5°. Для получения ошибки Г следует взять следящую систему с двумя
1,5-60	„
каналами управления: точным с передаточным числом 1тс = —j— = 90 и грубым с переда-
точным числом irpc = I.
В результате этого выбираем передаточные отношения редуктора сельсинов следующими:
для точного канала 1 : 91 и грубого канала 1:1.
Пример XVII.4. Выбрать параметры неизменяемой части следящей системы на основании
данных, приведенных в примерах XVII. 1—XVII.3. В неизменяемую часть входят точная
сельсинная схема; электродвигатель постоянного тока, управляемый магнитным усилителем,
редуктор. Передаточную функцию магнитного усилителя представим в виде
2
^му(в) = (0,2s+1)'
(XVII.11)
Пользуясь передаточными функциями (XVII.7) и (XVII. 11), можно получить структурную
схему неизменяемой части системы в виде, приведенном на рис. XVII.8.
3.	ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМОЙ АМПЛИТУДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика
определяется показателями качества и точности процессов регулирования.
Низкочастотная часть этой характеристики обусловливает точность
воспроизведения медленно изменяющихся воздействий. По ее виду можно
найти добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы.
Диапазон частот низкочастотной части характеристики заключен в пределах
0 < со < сон. Его можно определить по точности воспроизведения воздей-
ствий с помощью номограмм качества Р (со) и Q (со) (см. рис. XII.11 и XII.12).
Обозначив ошибку нахождения вещественной и мнимой характеристик А,
запишем
11 — Р (со) | < А; 1
|Q(co)|<A. j
(XVII. 12)
Таким образом, частотная характеристика разомкнутой системы с ошиб-
кой А определяется по формуле
Z-(со) = 201g | Г (/со) |> 20 lg-L-
(XVII. 13)
632
Если принять, что Д = 0,05,
то в диапазоне частот 0 < со < сон
имеем Lm = 26 дБ.
Отложим на полулогарифми-
ческой бумаге 26 дБ (рис. XVII.9)
и проведем прямую по этому уро-
вню до пересечения с логарифми-
ческой амплитудной характеристи-
кой разомкнутой системы (точкаЛ).
Опустив из точки А перпендикуляр
на оси частот, получим значение
частоты сон. От сон начинается
область средних частот характери-
стики 201g | W (ja) |. Правая гра-
ница области средних частот опре-
деляется уровнем L/ncocp< — 16 дБ
(точка В на рис. XVI 1.9), т. е. ошиб-
кой вещественной характеристики:
|Р (соср) | < 0,2.
Un, дБ
Рис. XVI 1.9. Области низких, средних и высоких
частот амплитудной характеристики 20 1g | W |
Диапазон области среднечастотной части характеристики заключен
в пределах сон < со < соср. В этом интервале находятся частота среза си-
стемы сос и запасы устойчивости по модулю 4-Дм и —и Фазе Тс- Поэтому
амплитудная и фазовая характеристики системы в данном диапазоне частот
практически полностью определяют показатели качества замкнутой системы
при подаче на ее вход единичной ступенчатой функции.
Высокочастотная часть амплитудной характеристики находится в пре-
делах соср < со < оо. Все три названные области частот показаны на
рис. XVI 1.9. Из этого рисунка видно, что по низкочастотной части амплитуд-
ной характеристики можно определить коэффициенты добротности системы
по скорости и ускорению (см. гл. XIII). Если первоначальный наклон ло-
гарифмической амплитудной характеристики равен —20 дБ/дек, то, продол-
жая его до оси частот, получим сок = £>ш. Продолжая отрезок с наклоном —
40 дБ/дек до оси частот, получим coz, откуда нетрудно получить
De=(coz)2.	(XVII. 14)
При других наклонах логарифмических амплитудных характеристик De
можно определять с помощью формул, приведенных в п. 2 гл. XIII.
Частота среза системы определяется с помощью номограммы В. В. Со-
лодовникова типа А (см. рис. XII.26). По <тшах определяем Ршах, а по
находим значение
=	(XVII. 15)
Из формулы (XVII.15) при заданном tp нетрудно найти сос. Для наиболее
простой реализации последовательного корректирующего устройства изломы
наклонов высокочастотной части желаемой амплитудной характеристики
и амплитудной характеристики неизменяемой части должны совпадать.
Пример XVII.5. Построить желаемую логарифмическую амплитудно-частотную харак-
теристику следящей системы с астатизмом первого порядка по следующим данным:
а)	ошибка системы при со3 = 207с и е3 — 207с2 не должна превышать 18';
б)	при ступенчатом единичном воздействии максимум перерегулирования атах 35%
н /р 0,6 с;
в)	неизменяемая часть системы имеет передаточную функцию вида
ь
(S) = sirs+Bir s+lMfsTn >	(XVII16)
s U is т l)(J 2s L)\J 3s т 4
где йн = 400 с'1; ?! = 0,0143 с; Т2 = 0,005 с; Т3 = 0,00125 с.
633
Будем считать, что ошибка следящей системы определяется зависимостью
со*
е (Г) e -S2- -р
к
Тогда, считая, что кинематическая ошибка равна 3', а динамическая 15', найдем значе-
ния и De:
п 20-gO
=—з—
= 400 с'1;
Di =
20-60
15
= 80 с"».
Из точки ©z — Da~ 400 с"1 проведем прямую с наклоном —20 дБ/дек (рис, XVII. 10).
По формуле (XVII. 14) определим
ш/ = У"р~е = /80 9 с-1.
Из точки со/ проведем прямую с наклоном —40 дБ/дек до пересечения с прямой
—20 дБ/дек. Таким образом прлучим низкочастотную часть желаемой логарифмической ампли-
тудно-частотной характеристики.
Для построения ее средиечастотной части по номограмме рис. XII.26 и ошах 35%
найдем значение коэффициента k= 4,2. По формуле (XVII. 15) нетрудно получить
4,2л о .
с •
Отложим значение сос= 22 с-1 на оси 0 дБ. Проведем через эту точку прямую с наклоном
—20 дБ/дек до пересечения с прямой —40 дБ/дек (точка С рис. XVII.10). Продолжаем эту
прямую в сторону высоких частот до точки D, где отрезок DE немного больше — 12 дБ. При
меньших значениях этого отрезка отрицательный запас устойчивости по модулю Ни может
быть недостаточным 1.
Для построения высокочастотной части амплитудной характеристики необходимо на
рис. XVII. 10 нанести логарифмическую амплитудную характеристику неизменяемой части
прн Хн = 1- Соответствующее построение для выражения (XVII.16) при s= /со выполнено
на рнс. XVII.10, ломаная |	|. Изломы этой характеристики обозначим точками £>', F' и М'.
Для наиболее простой реализации последовательного корректирующего устройства
(см. п. 4 гл. XVII наклоны высокочастотной части желаемой характеристики примем равными
наклонам характеристики неизменяемой части с теми же точками излома по частотам (т. е.
точками D, F, М). Отрезок MN имеет наибольший наклон, равный —80 дБ/дек. На этом по-
строение желаемой логарифмической амплитудной характеристики | .1ГЖ,| следует закончить.
1 В рассматриваемом примере Нм = —18 дБ, что удовлетворяет нормам устойчивости
(см. п. 9 гл. XII).
Рис. XVII.10. Построение желаемой логарифмической амплитудной харак-
теристики
634
Рис. XVII.11. Желаемые
логарифмические ампли-
тудные частотные харак-
теристики:
а — для систем с уменьшен-
ной частотой среза; 6 — для
систем с астатизмом второго
порядка
Проверку правильности построения | 1УЖ | можно выполнить по фазовой характери-
стике 6^ вычисленной  в среднечастотной части амплитудной характеристики. Логарифми-
ческая частотная характеристика определяется по формуле	•• •
„	, , Л	а СО ,	. СО	, СО	, СО	. СО
еж «о) = — — arctg — + arctg - - arctg — - arctg — - arctg — .
Она построена также на рис. XVII. 10. Как видно, синтезйрованная по требованиям
качества и точности процессов регулирования система имеет запас устойчивости по фазе ус —
— 65° и запас устойчивости по модулю Ны = —18 дБ. Полученные запасы устойчивости
полностью обеспечивают заданное качество системы. В тех случаях, когда есть сомнение'в пра-
вильности построения |	|, можно построить участок вещественной характеристики замкну-
той системы Р (io) и по номограммам А и Б (см. рис. XI 1.26) найти показатели качества системы
и сравнить их с заданными в п. б) условиями задачи.
В ряде случаев в синтезируемых системах автоматического регулирования приходится
уменьшать частоту среза (см. гл. XVIII). Тогда целесообразно строить желаемую логарифми-
ческую амплитудную характеристику с Низкочастотной частью, имеющей наклоны —20,
—60 и —20 дБ/дек (рис. XVII. 11, а).
В тех случаях, когда требуется повысить точность работы системы регулирования,
целесообразно строить желаемую логарифмическую амплитудную характеристику с накло-
нами —40, —60 и —20 дБ/дек, а далее соответственно с наклонами неизменяемой части
(рис. XVII.11, б).
4. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Из рис. XVII.2 видно, что система автоматического регулирования
с последовательным корректирующим устройством имеет следующую пере-
даточную функцию разомкнутой системы:
Wx(s)=-WK(s)W^S),	(XVII. 17)
или
^(s) = ^(s)^#b(s),	(XVII.18)
где И7К (s) — передаточная функция последовательного корректирующего
устройства; ky — коэффициент усиления согласующего усилителя.
Подставив в выражения (XVII. 17) и (XVII. 18) s = /со, найдем
20 lg | U?K (/со) | — 20 1g |	(/со) |  20 lg| IVH (/со) |,	(XVII.19)
или
201g 11VK (/со) | = 201g | Wx (jo) [ - 20 lg ku - 20 lg |	(/co) |. (XVII.20)
Из выражений (XVII.19) и (XVII.20) видно, что для получения логариф-
мической амплитудной частотной характеристики корректирующего устрой-
ства необходимо графически вычесть из желаемой логарифмической ампли-
тудной характеристики логарифмическую амплитудную характеристику
неизменяемой части, и далее, по точкам излома определить постоянные
времени. Если добротность системы автоматического регулирования Da
превышает коэффициент усиления неизменяемой части /ги, то для определе-
ния корректирующего устройства необходимо поднять амплитудную харак-
теристику неизменяемой части до уровня желаемой характеристики, а затем
графически найти 201g | Ц7К (/со) |. Коэффициент усиления согласующего
усилителя определяется по формуле
k ...............  ’	(XVII.21)
*
635
«3
Рис. XVII. 12. Схе-
ма последователь-
ного корректирую-
ющего устройства
для примера XVI 1.6
Пример XVII.6. Определить последовательное корректирующее
устройство для следящей системы, желаемая логарифмическая харак-
теристика которой построена на рис. XVII.10 (пример XVII.5).
В рассматриваемом случае имеем К = Кн — 400 с*1; следова-
тельно, передаточную функцию последовательного корректирующего
устройства нужно находить по выражению (XVII.19). На рис. XVII.10
построена разность соответствующих характеристик (т. е. 20 1g [ IV к |).
По этой характеристике определим
(S) - t ],	(XVI 1.22)
1 2S Т 1
где Ti = 8,33 с; 72 = 0,33 с.
Пользуясь таблицами корректирующих устройств [73], найдем структурную схему,
которая приведена на рис. XVII.12. Из рис. XVII.12 имеем
W (s) = Lo
Z11+2
T2s + 1 ’
где
^о =------Ц-
7j — Cj/?2; 72 — [ 1 "f-
RjRs “I Т
Коэффициент Lo < 1. Следовательно, для сохранения полученного коэффициента си-
стемы К необходимо ввести промежуточный усилитель, у которого k„ = 1 Ч—.
Pi
Пример XVII.7. Определить тип и параметры последовательного корректирующего
устройства следящей системы, неизменяемая часть которой определена передаточной функцией
125
Гн <S) s (0,2s + 1) (0,082s2 + 2-0,8-0,08s + 1)
(см. пример XVII.4).
Следящая система должна иметь следующие показатели качества и точности:
а)	добротность по скорости Da = 125 с-1, добротность по ускорению De = 50 с~2;
б)	максимум перерегулирования ашах = 30%, tp — 0,6 с.
На рис. XVII. 13 построена желаемая логарифмическая амплитудная характеристика.
Значения частот в характерных точках таковы: шк = 125 с"1; со/ = 7,1 с"1; юс = -^?- =
0,6
= 20 с х. В точке А характеристики принято, что Lm = —16 дБ.
Высокочастотную часть строим следующим образом: характеристику | 1ГЖ | от точки А
до точки В проводим с наклоном —40 дБ/дек (точку В выбирают произвольно, но желательно,
чтобы диапазон частот между точками А к В характеристики был не меньше */4 декады).
Далее наклон характеристики устанавливаем —60 дБ/дек (от точкй В до точки С). Точку С
также выбирают произвольно, но по-прежиему длина отрезка ВС должна быть порядка
Рис. XVII.13. Определение амплитудной частотной характеристики
последовательного корректирующего устройства для примера XV1I.7
636
Рис. XVII.14. Схема последовательного корректирующего устройства
для примера XV1I.7
V4 длины декады. От точки С до оо наклон амплитудной характеристики равен наклону ампли-
тудной характеристики неизменяемой части, т. е. —80 дБ/дек, что соответствует максималь-
ному наклону амплитудной характеристики 20 1g | U7H|. Через точку со = 1,0 с-1 строим лога-
рифмическую амплитудную характеристику неизменяемой части | 1ГН | при йн — 1,0.
Поднимаем эту характеристику до уровня | 1ГЖ |.
Характеристику | IV к | найдем с помощью выражения (XVII.19). Точки ее излома обозна-
чим соответствующими постоянными времени; тогда получим
w /м _	(7^ + 1) (Tss + 1) (T4s + 1)*	CXVII
(S) “ (7\S+1) (T6s+1) (Tes + 1) (T,s+’l) •	(XVIL23)
Разобьем U^K (s) на три корректирующих устройства:
йг / \ г	Т2$ "1“ 1
(T6s + 1) (7as + 2) ’
Учитывая значения LOi> Е02, Е03 и используя два согласующих усилителя A-yJ И #у2,
получим схему корректирующего устройства, изображенную на рис. XVII. 14. По таблицам
[73] нетрудно найти соответствующие выражения для определения Lol, Los, L03 и Tv—Тт 
5. СИНТЕЗ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
Синтез параллельных корректирующих устройств выполняется также
на основе построения желаемой логарифмической амплитудной характери-
стики. Будем считать, что характеристика 20 1g | Ц7Ж| нами определена.
Тогда по структурной схеме (рис. XVII. 15) найдем
(s) = ТОПОЛОГ'	(XVII .24)
При условии, что
|	(/со) IVK (/со) | » 1,	(XVII.25)
из выражения (XVI 1.24) имеем
или
201g | Гк (/со) | = 20 1g т—т-гт •	(XVII.26)
I W Ж U'"/ I
Из соотношения (XVI 1.26) нетрудно найти передаточную функцию
параллельного корректирующего устройства. Однако это можно сделать
лишь тогда, когда соблюдается условие (XVII.25). Определим интервал
частот, в котором соблюдается условие (XVII.25). Как видно из выражения
637
Рис. XVII. 15. Структурная схема системы
с параллельным корректирующим устрой-
ством
Рис. XVI1.16. Желаемая логарифмическая
амплитудная характеристика с указанием
существенного интервала частот
(XVI 1.27)
(XVI 1.2$)
(XVI 1.28')
(XVII.13), этот интервал частот (или существенный интервал частот) опре-
деляется по уровню, большему чем =t=26 дБ (рис. XVII. 16). Следовательно,
передаточная функция параллельного корректирующего устройства | W'K|
в интервале частот от со1 и до о)н обратна | Ц7Ж|. Проверим справедливость
выполнения соотношения (XVI 1.25) во всем диапазоне частот ш. Предпо-
ложим, что | IVK| отличается от |^г—| в этом интервале на =tALm [72].
Тогда удовлетворяется неравенство
1__- _ZL_
* 11 +	| * | VFKГ
A£
где tn = 10 20.
Неравенство (XVI 1.27) приведем к виду
1 I W'h^'k I
— < , , , У । <
m j 1 + WawK j
где замкнутая передаточная функция
1 + 1MV
По номограмме замыкания (см. рис. XI.29) для формулы (XVI 1.28')
можно установить, что с ошибкой, не превышающей 2=3 дБ, соотношение
(XVII.25) удовлетворяется, когда обеспечивается следующие неравенства:
а)	при 20 1g | 1ГН1ГК| <8 дБ имеем
- 135е < 0НК < - 90е;
90’ < 0мк с 135°;
б)	при 11 дБ > 20 1g | IFH1VK | > 8 дБ имеем
- 135’ < 6ИК < 135°;
в)	при 20 1g | 1ГН1ГК | >11 дБ фаза может быть любой.
Таким образом, эти условия позволяют распространить существенный
интервал частот и на весь диапазон частота). Зная, что ALm = 3 дБ, найдем
т = /2 = 1,41 и	= 0,715, а годограф 1VH (jo>) I/ (/со) не
должен попадать в интервале coj—сои внутрь окружностей Л1 = 1,41 и
М = 0,715, где выдерживаются неравенства а) — в) для фазовых углов 0НК.
Соответствующее построение областей запрета показано на рис. XVII. 17.
638
При синтезе параллельных коррек-
тирующих устройств необходимо учиты-
вать условие, препятствующее пониже-
нию порядка астатизма проектируемой
системы автоматического . регулирова-
ния. Для этого порядок нуля передаточ-
ной функции WK (s) не должен быть
ниже порядка полюса IVH (s) при s = 0.
Для доказательства этого предста-
вим Wn (s) и IV к (s) в виде
^H(s) = -^1;
S 1
Гк (s) = sv‘WK0 (s).
Рис. XVIL 17. Области, в которых не
обеспечивается соотношение (XVI1.25)
(XVII.29)
Подставив эти соотношения в выражение (XVIL24), получим
При s -	r (S) = ЛЛИ 	—1—.	(XVI 1.30) 1 + Д.^'^ЧРни (s) rK0 (s)	’ -» 0 из выражения (XVI 1.30) имеем lim |IF|	(XVII.31) |s|*0	sV1		
где К = Гн0- (0).
Из формулы (XVII.31) .видно, что при v2 исходная система обла-
дает астатизмом vx-ro порядка, т. е, порядок астатизма исходной системы
при выбранном параллельном корректирующем устройстве не понизился.
Рассмотрим два возможных вида структурных схем систем с парал-
лельными корректирующими устройствами (рис. .XVII.18), Для системы,
имеющей структурную схему, изображенную на рис. XVII.18, а, соотноше-
ние (XVII.26) записывается в виде
20 1g | WK (/со) | = 20 1g | W, (/co) | + 201g , (XVII.32)
I W Ж VW)
откуда находится | IVK| и по нему реализуется параллельное корректирую-
щее устройство.
Структурную схему на рис. XVI 1.18, б необходимо привести к виду
рис. XVII. 18, а; тогда
20 lg JIV* (/со) | == 20 lg IVX (/со) + 201g|-^-1,. .-I;	• (XVII.33)
201g | WK (/co) | == 201g | W, (/co) |	201g | Гз (/co) |.	(XVI1.34)
639
Рис. XV11.19. Структурные схемы следящей системы с параллельным корректирующим
устройством:
а **• исходная; б — преобразованная
Из выражения (XVII.33) находят передаточную функцию параллельного
корректирующего устройства (рис. XVII.18, в).
В заключение приведем порядок действий при выборе передаточных
функций параллельных корректирующих устройств:
определяем характерные точки желаемой логарифмической амплитудной
характеристики 20 1g] 1ГЖ[;
строим желаемую характеристику 20 1g | 1^ж|;
определяем существенный интервал частот coj и а>и, где выполняются
условие 20 lg|	= 20 lg |-jl-1 или условия (XVII.32) — (XVII.34);
строим характеристику |U7K|;
строим характеристики |IVHIVK| и 0НК;
выбираем значение kK для характеристики WB (jai) WK (ja), чтобы обес-
печивались условия устойчивости внутреннего контура в нижней и верхней
частотах среза и выполнялись неравенства а) — в) в интервале частот
и,—Иц',
реализуем параллельное корректирующее устройство с помощью таб-
лиц [73];
проверяем правильность выбора параллельного корректирующего
устройства с помощью номограмм замыкания и Р (<в);
определяем показатели качества и точности процесса регулирования и
сверяем их с заданными.
Пример XVH.8. Определить тип и параметры параллельного корректирующего устрой-
ства для системы регулирования, желаемые логарифмические характеристики которой по-
строены на рис. XVII.10 (пример XVII.5), а структурная схема изображена на рис. XVII.19.
Желаемая логарифмическая амплитудная характеристика, перенесенная с рис. XVI 1.10.
показана на рис. XVH.20. Здесь же показан интервал частот —соц.
Рис. XVII.20. Определение амплитудной частотной характеристики парал-
лельного корректирующего устройства для примера XVII.8
640
Логарифмическая амплитудная характеристика
корректирующего устройства | WK |, обратная желае-
мой, должна проходить через ш= 1 (рис. XVII.20).
Сложив характеристику | 1VK | с |1VH|, получим
результирующую амплитудную характеристику
|1FHIVK| при К ~ knkK= 1,0. Построим логариф-
мическую фазовую характеристику 0НК.
Для получения требуемых запасов устойчи-
вости по фазе во внутреннем контуре и удовлетво-
рения условиям а)—в) поднимем характеристику
| IVH1VK | на 18 дБ вверх. В результате этого имеем
усн= 96° и усв= 45°. На рис. XVII.20 также видно,
что условия а) — в) удовлетворяются и 20 lg | 1FK |=
°"20 lgl'rr|-
Поэтому передаточная функция параллельного
Рис. XVII.21. Схема параллельного
корректирующего устройства для при-
мера XVII.8
корректирующего устройства имеет вид
(з) —
S2 (T8s+1)
71S-bl *
(XVII.35)
Реализовать данное корректирующее устройство можно с помощью тахогенератора,
двух 7?С-цепочек и согласующего усилителя (рис. XVII.21). Передаточная функция этого
устройства имеет вид
I \	(^2S + 1)
(71S + 1 j (T3s + 1) •
(XVI 1.36)
Постоянные времени T3 определяют из рис. XVII.21. Постоянную времени Т3 выби-
раем в области высоких частот так, чтобы ее влиянием на | 1VK | можно было пренебречь.
В этом случае передаточные функции IVK и W* являются практически одинаковыми. Коэф-
фициенты kK определят следующим образом. Коэффициент усиления передаточной функции
в прямой цепи внутреннего контура К' = 20. При синтезе нами получен коэффициент усиле-
0 4
ния K'HkK = 18 дБ или 8, откуда feK = 8/20. Но feK = k^T^, откуда k'K = Q 5.0;зз.0)02 =
= 120.
6. СИНТЕЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ
УСТРОЙСТВ
Синтез последовательных и параллельных корректирующих устройств
рассмотрим на примере структурной схемы, приведенной на рис. XVII.2, в.
Объединив все усилительные устройства, получим их передаточную функ-
цию в виде (s). Передаточную функцию объекта регулирования обозна.
чим W® (s), а передаточную функцию измерительных устройств We (s).
Обозначим также передаточные функции последовательного и параллель-
ного корректирующих устройств соответственно Wds и WK (s). Тогда струк-
турную схему рис. XVII.2, в приведем к виду, изображенному на
1 Передаточную функцию IV к (s) можно реализовать путем использования двух усили-
тельных устройств (см. гл. V и VIII).
Рис. XVII.22. Структур-
ная схема системы регулиро-
вания с последовательным и
параллельным корректирую-
щими устройствами:
а — исходная; б — преобрази
ванная схема
Ms)
21 Иващенко Н. Н.
641
рис. XVII.22, а. Преобразуем эту схему и получим сх^му, показанную на
рис. XVII.22, б. На основании рис. XVII.22, б запишем
^e(s)^(S)^t(S)^Q(S)
1+^с(5)Га(5)Гк (S) ’
(XVII. 37)
где
Ч\(з)
^Q(s)'
^k(s) =
(XVII.38)
Прологарифмируем выражение (XVII.37) при s = /а>; тогда
201g|rj^201g|FeIFJ + 201g| t +	•	(XVII.39)
Как и в прежних задачах синтеза, по передаточной функции неизме-
няемой части Wa (s) = We (s) WQ (s)	(s), а также с учетом требований
точности и качества, строим желаемую логарифмическую характеристику
системы | Ч7Ж|. Затем определяем параллельное корректирующее устройство
для существенного интервала частот, используя второй член выраже-
ния (XVII.39), характеризующий среднюю часть амплитудной характе-
ристики \ т. е.
201g|r'| = 201g|^-|,	(XVII.40)
что справедливо для существенного интервала частот.
Отсюда найдем
201g | IV' | = 201g | WK | - 201g | WQ |.	(XVII.41)
Амплитудную характеристику последовательного корректирующего
устройства найдем из выражения (XVII.39), записав его в виде
I	1
201g|rd|==201g|IVa[|-201g|-mi^r|-201g|IV<|.	(XVII.42)
Для лучшего уяснения этой методики рассмотрим следующий пример.
Пример XVII.9. Требуется синтезировать последовательное и параллельное корректи-
рующие устройства следящей системы летучих ножниц [54 ]. Структурную схему представим
в виде, изображенном на рис. XVII.22, б. Ее передаточные функции будут
(s) = К-
(S) = (TrS + 1) (7> + Г) (7>s + 1) (TMs + 1);
где Лм = 31,4н/А; йдв = 0,65 рад/(с-В); Tf = 0,002 с;
Мп = 3,9; TRS = 0,085 с; 7М = 0,02 с;
ki = 0,0394;
k„ = 2,8 В/A; Tr = 0,69 с; Тд = 0,0068 с;
RB — 1,8 Ом; Тч = 0,0525 с.
Допустим, что показатели качества при отработке системой единичного управляющего
воздействия имеют следующие величины: ошах 30%; /р 3,0 с. Точность системы опреде-
ляется значениями добротности Е>ш — 300 с-1; De = 5,85 с-2.
1 При выборе характеристики | W'K | было принято, что характеристика | нахо-
дится вне существенного интервала частот.
642
Рис. XVII.23. Желаемая логарифмическая амплитудная характеристика следящей системы
летучих ножниц
На рис. XVII.23 построена желаемая логарифмическая амплитудная характеристика
и определены запасы устойчивости системы по фазе ус = 60° и модулю Нм — —25 дБ.
По формуле (XVI 1.40) определяем передаточную функцию | W'K | параллельного коррек-
тирующего устройства. Как видно из рис. XVII.24, устройство представляет собой фильтр
низких частот до со'. Складывая характеристику |	| с амплитудной характеристикой | IVQ
получим | IV к |, по которой найдем передаточную функцию параллельного корректирующего
устройства
’Й=1ЖТ	<xvlL,3>
Реализовать данное корректирующее устройство можно в виде стабилизирующего транс-
форматора (рис. XVII.25, а); тогда
^k(s) =-1Т	, •
И1+7\1)з + 1
Для выбора последовательного корректирующего устройства воспользуемся формулой
(XVII.42)'. На рис. XVII.26 построена характеристика | WrIV п |. Сложив ее с характеристикой
| W* |, получим амплитудную характеристику | IV^, IVjIVfi|. Построим для иее фазовую харак-
теристику Зададимся запасами, устойчивости внутреннего контура системы по фазе
в высокой частоте среза укв = 40°. Тогда характеристику | IV^lVjIVa | можно поднять на
21
643
tm,B5
Ф*. Рис. XVI 1.24. Определение амплитуд-
ной частотной характеристики па-
раллельного корректирующего устрой-
ства следящей системы летучих ножниц
Рис. XVII.25. Схемы корректирую-
щих устройств следящей системы ле-
тучих ножниц
Wa(jw);	(/co) Wq (/co) следящей системы летучих ножниц
644
Lm,dB
Рис. XVII.27. Номограмма замыкания с нанесенной логарифмической амплитудно-фазовой
характеристикой внутреннего разомкнутого контура следящей системы летучих ножниц
уровень 37 дБ. Соответствующее построение также выполнено на рис. XVII.26. Как видно,
внутренний контур обладает достаточно большим запасом устойчивости по фазе и при низ-
кой частоте среза укн = 96°.
С помощью номограммы замыкания, приведенной на рис. XVII.27, получим амплитудную
1
1 +
характеристику системы
. Эта характеристика построена на рнс. XVII.28.
Рис. XVII.2S. Логарифмические частотные характеристики внутреннего
замкнутого контура следящей системы летучих ножниц
645
Un, дБ
50
25
Рис. X.V1I.29. Определение амплитуд-
ной частотной характеристики после-
довательного корректирующего устрой-
ства следящей системы летучих нож-
ниц
-50
1,0
-25
10
100
1000
(МГ1
Сложив характеристику | IFjIFq | с ха-
раКтериСтик0й|—полу-
чим характеристику замкнутого вну-
I WtWQ I
треинего контура | тт^__ | .
В соответствии с формулой (XVI 1.42)
из логарифмической амплитудной ха-
рактеристики ] В7Ж| (см. рис. XVI 1.23)
; тогда получим кривую 1 (рис. XVII.29), соответ-
О
вычтем характеристику
I 1 "г "к"^"'й
ствующую последовательному корректирующему устройству и усилителю. Аппроксимируя
криволинейную часть характеристики / типовыми наклонами, получим результирующую
амплитудную характеристику последовательного корректирующего устройства | Wd |:
ЦЛЖР 61,5 (0,012s + 1)*
Tcs -f- 1	0,0072s 4-1
(XVI 1.44)
Реализацию данного корректирующего устройства можно выполнить в виде двух тахо-
генераторов и четырехполюсника типа RC (см. рис. XVII.25, б).
Пользуясь этим рисунком, составим следующую передаточную функцию:
ь
*4 ($) =	[Т^ (S) + 1],
*₽еД1
(XVI 1.45)
где
*тг .
^1 ’
Td =
(S) =
(TKs + 1) .
Tcs-Н ’
ka =
1
А
«к
Те =
Т'к — РхРк>
1
1+^-^к ’
Если принять, что Td = VТк; TQ*= 2Та — 1; kcTd = 1 и
преобразований из выражения (XVI 1.45) падучим
Ь к
е—1 == я, то после ряда
*₽ед1
BMs) =	(XVI 1.46)
Передаточная функция (XVII.46) по своему виду аналогична выражению (XVII.44).
Для проверки правильности решения задачи синтеза последовательных и параллельных
корректирующих устройств построим логарифмические частотные характеристики разомкну-
той системы
У№|- 1+гХ’
где
Wb _______________________300(0,012/ш + 1)»______________.
/0 (0,66/04- 1) (0,085/0 4- 1) (0,0525/ш 4- 1) (0,02/0 4* 1) X ’	1
X (0,0072/0 4- 1) (0,0068/0 4- 1) (0,002/0 4- 1)
Й7а (/0) =
60,58/0
(1,04/0 4- 1) (0,69/0 4- 1) (0,0525/0 4-1) (0,02/0 4-1)^0,002/0 4- 1) ’
(XVII.49)
646
Рис. XV11.30. Логарифмические частотные характеристики внутреннего
контура следящей системы летучих ножниц
На рис. XVII.30 построены логарифмические характеристики по передаточным функ-
циям Wa (ju), Wb (jv) и t + ВУа (
Для проверки правильности синтеза на рис. XVII.31
построены результирующие характеристики всей разомкнутой следящей системы летучих
ножниц (кривые 1 и 2). Для сравнения на этом же рисунке нанесена желаемая логарифмическая
амплитудная характеристика (кривая 3). Как видно, желаемая характеристика | 1ГЖ | прак-
тически совпадает с характеристикой | IV полученной в результате проверки метода синтеза
последовательного и параллельного -корректирующих устройств летучих ножниц. Из сравне-
ния характеристик 1 и 3 видно, что некоторое различие наблюдается в области высоких частот,
где была проведена аппроксимация точной логарифмической амплитудной характеристики по-
следовательного корректирующего устройства (кривая 1 на рис. XVI 1.29) приближенной
(кривая 2 на рис. XVII.29).
Рис. XVII.31: Результирующие логарифмические частотные Характеристики
.разомкнутой следящей системы летучих ножниц
647
Рис. XVI1.32. Вещественная частотная и
временная характеристики следящей системы
летучих ножниц:
а— Р (ш); б - 62 (/)
На рис. XVII.32, а показана веще-
ственная частотная характеристика Р (со),
а на рис. XVI 1.32, б переходный про-
цесс.
На рис. XVII.32, б найдем Ощах = 26%
и Zp=2,7 с. С помощью рис. XVII.31
устанавливаем = 300 с-1,	£>» —
= 5,85 с’2 * *.
Полученные показатели качества и точ-
ности процессов в следящей системе летучих
ножниц практически совпадают с заданными
в условии задачи синтеза, что указывает
на высокую точность методики синтеза после-
довательных и параллельных корректирую-
щих устройств.
7. СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
В результате синтеза могут быть получены сложные виды логарифми-
ческих амплитудно-частотных характеристик корректирующих устройств.
Определяемые по ним передаточные функции имеют следующий вид:
W - УЧ^+»)(^+1)...(7У+1)	(XVII.50)
(rxs-ь 1) (T3S 4-1). . . (Tes-ь 1)	’
где v = 0, 1, 2, 3, . . .
Иногда некоторые сомножители в выражении (XVI 1.50) могут содержать
звенья второго порядка с £ <1. Тогда выражение (XVII.50) примет вид
• -№+2^У+1)- .-(Tms+ 1)
(Tis + 1) (T2S + 1) . . . (Г* + 2gprps + 1) . . . (Tns + 1)
(XVII.51)
В примерах этой главы было показано, что реализацию громоздких
передаточных функций можно выполнять с помощью ' простейших кор-
ректирующих устройств (см. таблицы в [73]) с использованием согласую-
щих и разделяющих усилителей. Схема составленного таким образом кор-
ректирующего устройства имеет вид, показанный на рис. XVII. 14.
Реализацию корректирующих устройств можно осуществлять и на
основе применения операционных усилителей. На рис. XVI 1.33, а пока-
зана схема включения операционного усилителя параллельно передаточной
функции усилительного звена. На основании этого можно написать
IFK = kr + y = k g + )- = * (---* + ° .	(XVI1.52)
Из полученного выражения видно, что при s = /со и больших значе-
ниях kr или малых k функция (XVII.52) обеспечивает подъем фазы на низ-
ких частотах.
Рис. XVII.33. Схемы
корректирующих уст-
ройств, реализуемые с по-
мощью операционного уси-
лителя
648
На рис. XVI 1.33, б приведена схема включения операционного усили-
теля в цепи отрицательной обратной связи. В прямой цепи включен усили-
тель с передаточной функцией Передаточная функция полученного та-
ким образом корректирующего устройства имеет вид
Гк(5) = 7Тм=^гт’	(XVIL53>
где
7 = ^;	(XVII.54)
(XVII.55)
«1
В заключение приведем схему включения фазозапаздывающей цепочки
в цепи отрицательной обратной связи (рис. XVII.33, в). Из рис. XVII.33, в
получим
+	+	7S+1 » (XVH.56)
/ S 4- 1 -f-	1 “Г #1 f 11
r+V+
=
14------——
Ts +1
откуда при 1 имеем
U7K (s) ~ Ts + 1.
(XVI 1.57)
Существенное значение при выборе параметров корректирующих уст-
ройств имеет тип согласующих или разделяющих усилительных устройств.
Например, выходное сопротивление корректирующего устройства следует
выбирать меньше некоторого предельного значения, определяемого величи-
ной сопротивления утечки электронной лампы или транзистора. При исполь-
зовании ламповых усилителей величина этого сопротивления изменяется
от 0,1 до 1 МОм, а с транзисторными усилителями — от 2 до 50 кОм. Осталь-
ные параметры корректирующего устройства выбирают в зависимости от
величины входного сопротивления. Следует также отметить, что большие
размеры конденсаторов для ряда систем автоматического регулирования
(особенно летательных аппаратов) требуют выбора параметров корректи-
рующего устройства по максимуму входного сопротивления и минимуму
величины емкости. Для этого составляются специальные номограммы, по
которым определяют соответствующие параметры корректирующих устройств.
Рассмотрим способ построения такой номограммы для корректирующей
цепочки RC (рис. XVII.34).
Итак,
Т,Т «2
IFK(s) =-------r z717a' ,-------=----,	(XVII.58)
+ [ тЦ 1 +-gj 4-т, J s +1
или
IFK (s)  -----------,	(XVII.59)
W + (1 + -g- + -g-j T1S + 1
где
Л = т2 = т?2с2.
Заменим передаточную функцию (XVI 1.59) эквивалентной:
r-(s)-<wX+.>- <ХУП'ад
или
Т2с2
(S) = гм + 2к+1,	(XVII.61)
где g > L
649
Из выражений (XVII.60), (XVIL64) и (XVII.59) найдем
гв4-П = (1 +-g- + 4j-)Ti;
тать = TiT2; т =
(XVII.62)
Тд+Ть
2 / тать ’
откуда нетрудно получить
[ Тя
Ri +
Т\

(XVII.63)
В выражение (XVI1.63) введем обозначения Т2 =	; R2 —	;
w	' 1	ьа
тогда найдем
g = -------1. М--------SJ_.	(XVII.64)
£ 1
~Т1
Для удобства составления номограммы введем новую переменную fJ:
₽ = 4£'-	(XVII.65)
*
Подставив соотношение (XVI 1.65) в выражение (XVI 1.62), можно полу-
чить следующее квадратное уравнение:
П-2£7Ть-|-Та = 0,	(XVII.66)
откуда
(XVII.67)
При решении квадратного уравнения (XVII.67) выбирают знак минус,
который обеспечивает наименьшее значение Ть. Из соотношений (XVII.62)
найдем
2^ = 2k±2A.	(XVII.68)
После подстановки выражений (XVII.67 и (XVII.68) в соотношение
(XVII.65) определим
₽«—Д=-1,	₽ = 2^ + 2£1/Т^Г-1. (XVII.69)
5 — и ёа — 1
Подставив в выражение (XVII.69) соотношение (XVII.64), найдем
(XVII.70)
С помощью формулы (XVI 1.70) строим номограмму (рис. XVI 1.35).
По номограмме следующим образом определяем параметры корректирую-
щего устройства;
в соответствии с принятой схемой включения последовательного или
параллельного корректирующего устройства находим
650
Рис. XV11.34. Фазоопережающее,
корректирующее устройство с мак-
симальным наклоном логарифмиче-
ской амплитудной характеристики
40 дБ/дек
Рис. XVH.35. Номограмма для опре-
деления параметров Т/Т 1 иС^С,
корректирующего устройства
задаемся некоторым значением соотношения С^С2 и по номограмме
находим в районе экстремума значение T'/T'j, Подставляя это значение в соот-
ношение	определим Тг, так как числовые значения величин Та и
Ть определены нами в результате синтеза корректирующего устройства
(по данным прил.. IX). Зная 7\ и /?,, нетрудно найти Cf,
из соотношения — Та определяем Та. Затем по Сх находим С2.
11
Возможны и другие способы определения параметров корректирующего
устройства, например по минимуму суммарной емкости + Сг — С.
Для этого снова воспользуемся выражением (XVI 1.64) и введем в него новую
переменную С = Ci +С2 [8]; тогда получим
1	4~
2	Т
откуда определим минимальное значение С и найдем
___________________________ 9 ci _ 1
Е____}_ 1/”
SkP~ 2 V ₽аСа .Cl.,
са
или
m J4L
ХЛАр МхУ, ’
X С2 )
после чего из формулы (XVI 1.64) нетрудно найти
(XVII.71)
(XVII.72)
(XVI 1.73)
Подставив выражение (XVII.73) в формулу (XVII.69), получим

- /т1+’ (-и++тг) жг- *-з->-
С помощью этого выражения на номограмме (рис. XVII.34) строим
кривую ₽кРЖ(у~-)-
651
Порядок определения параметров корректирующего устройства, удов-
летворяющих минимуму суммарной емкости, следующий:
задаемся желаемым значением 0 и проведем прямую, параллельную
оси абсцисс, до пересечения с кривой 0^, = f (у-);
через определенную таким образом точку номограммы должна проходить
кривая с оптимальным соотношением С2/С2; если на номограмме отсутствует
кривая с соответствующим значением CJC^, то ее можно получить надлежа-
щим интерполированием;
после определения С2/С2 параметры /?2, С2 и выбираем таким же
образом, как это делалось раньше.
Существуют и другие способы определения параметров корректирую-
щих устройств, но все они основаны на построении различных видов номо-
грамм. Таким образом, если в результате синтеза было получено соответст-
вующее корректирующее устройство, то по таблице в [73] следует опре-
делить WK (s), после чего по изложенной выше методике найти два уравне-
ния вида

с2 /’
и по ним построить номограмму. Пользуясь номограммой, можно найти опти-
мальное значение параметров корректирующего устройства.
Глава XVIII
СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. Постановка задачи синтеза на основе критерия минимума инте-
гральной ошибки. 2. Синтез систем регулирования при наличии
полезного сигнала и помехи. 3. Формулы для определения передаточ-
ной функции желаемой системы W-K (s). 4. Пример синтеза кор-
ректирующих устройств системы регулирования при действии
полезного сигнала и помехи.
В гл. XVII рассматривались задачи синтеза систем автоматического
регулирования при действии полезных входных сигналов. Однако существует
большое число систем регулирования, на которые наряду с полезным сиг-
налом, заданным по времени, действует сигнал помехи. Этот сигнал является
случайным, и его характеристики задают статистически (см. гл. XIII).
Задача синтеза таких систем заключается в выборе желаемой амплитудной
характеристики системы и корректирующих устройств, при которых по-
лезный сигнал воспроизводится с заданной точностью, а сигнал помехи по-
давляется наилучшим (оптимальным) способом.
1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА НА ОСНОВЕ КРИТЕРИЯ
МИНИМУМА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОШИБКИ
Постановка задачи синтеза систем автоматического регулирования мо-
жет быть сформулирована в следующем виде. Необходимо определить им-
пульсную переходную функцию системы, обеспечивающую минимальную
среднюю квадратическую ошибку от действия сигнала помех, при заданных
коэффициентах ошибки Со, С1( С2, . . . (т. е. точности воспроизведения по-
лезного сигнала) и заданном времени протекания переходного процесса tp*.
Впервые эта задача была решена В. В. Солодовниковым и П. С. Матвеевым
[68, 721.
Рассмотрим систему, показанную на рис. XVII 1.1. Для нее нетрудно
найти сигнал на выходе
х
[g (t — т) п (t — т)1 k (т) dx.
(XVIII.1)
Ошибка системы состоит из регулярной (динамической)
(р
ея (0 = g (0 — J g (i — т) k (т) dx
о
и случайной
еп (/) = J п (t — т) k (т) dx
о
(XVIII.2)
Рис. XVII1.1. Струк-
турная схема системы
автоматического регули-
рования, на вход которой
поступают полезный сиг-
нал g (t) и сигнал помехи
п (0
(XVIII.3)
составляющих.
* Время tp определяется при отработке единичного упра-
вляющего сигнала g(.f) — g0 [1].
653
Разложим функцию g (t—т) в ряд, тогда получим
g а - т) = g (t) - т 4 +	— + (- 1г £ g>' । (п. (XVIп.4)
Подставив выражение (XVIII.4) в формулу (XVIII.2), найдем
ед
J g (0 k (т) dx -{- J т ~ k (т) dx —
о	о
-	f IT 5-k W dx + • • • + (- 1)r+I У £ k <T) dx- (XVHI.5)
о	0
В соответствии с разложением в ряд (XIII. 10) запишем
-	c.g(t) +с,л +	+ • • • +-^ + . • (XVIH.6)
Сравнив правые части выражений (XVIII.5) и (XVIII.6), получим
Со = 1 — I k (т) dx;
= J xk (т) dx;
о
С2 = — J x2k (т) d
о
(XVIII.7)
= (— 1Х+1 J xrk (т) dx.
о
(XVII 1.8)
Значение квадрата ошибки рт действия помехи представим в виде
1 fP
Й = lim J dx J {n (t — т) k (т)]2 dx.
'₽*“ р ~(р	°
Введем дополнительную переменную X; тогда можно выражение (XVIII.8)
переписать в виде
'р	*р
ёп= J&(T)dT J & (X) dX lim j п (t - х)п (t - т) dt.  (XVIII.9)
0 о	₽ -<Р
В работе [551 показано, что корреляционная функция помехи
'р
7?п (т) = lim- [ п (/) n{t 4- т) dt
'р-*“ 2tp 2tp
и
zp
RB (т — X) = lim -хт— [ п (t) п (t 4- т — %) di.
р Лр
654
После замены переменных t 4 т на 0 имеем
/?п (т — X) ₽= limf п (0 — т) п (0 — X) d (0, — т). (XVIII. 10)
t ->® Лр J
В последнем выражении перейдем от 0 к t; тогда
(р
R„ (т ~ X) = lim -^т- f n(t — x)n(t — tydt. (XVIII. 11)
2'» \
Имея это в виду, Выражение (XVIII.9) перепишем в виде
fji(T)dT R„(t~k)k(K)dK,	(XVIII.12)
о о
или
в| = Jk (О dt Rn (t — т) k (т) dx.	(XVIII. 13)
о о
Зная и динамическую ошибку ед, зависящую от Со, Cv С2, . . .,
можно сформулировать следующую задачу. Необходимо найти импульсную
переходную функцию k (0, обращающую в минимум в„, но одновременно
удовлетворяющую заданным условиям (XVIII.7).
Минимум выражения (XVIII. 13) определяется с помощью вариацион-
ного исчисления 168). Для этого следует найти минимум выражения 1
J {k (01 = Й - 2?оИо - 2Wi--------2у„|*я,	(XVIII. 14)
где щ,	— моменты импульсной переходной функции, связанные
с коэффициентами ошибок2 С,; у0, yv . . ., уя — неопределенные множители
Лагранжа.
Подставим в выражение (XVIII.14) формулу (XVIII.13) и, учитывая,
что моменты р, определяются в виде
цг= trk(f)dt,	(XVIII. 15)
О
получим
J [fe(0 4 Afe (0] = f [k (0 + Afe (01 dt f Rn (t - T) [A (t) 4- Sk (T)l x
о	0
x dx — 2у0 j*[k (t) -f- Ай (0J dt — 2ух J t [k (0 4 Ай (01 dt —
о	о
— • • • — 2yn j tn[k (t) 4- Ай (01 dt = J (fe) 4-
o
4- 2A j* k (0 dt Rn(t~ x)k (t) dx 4
о о
i См. гл. XIII и XX.
~ 1 Ho» ^*1 = Ш» ~ Ня И T. Д«
655
4- А2 Гk (t)dt \ Rn(t — x) k (r) dr — 2Yo A | k (t) dt —
0	0	0
- 2Ti A / tk (t) dt -I-----2у„ A {tnk (t)df,	(XVI 11.16)
о	0
здесь k (t) придана вариация Afe (t). Параметр А, естественно, не зависит
от t и является произвольным числом. Необходимым условием экстремума
функционала (XVIII. 14) является
-^-[J(fe + Afe)lA=o = O.
С учетом этого условия из уравнения (XVIII. 16) получим
tp *?
J k (t) dt J Rn (t — t) k (r) dx — Yo j k (Q dt —
о
о
о
— Yi J tk (t) dt — • • • — yn J tnk (t) dt = 0.
о	о
Уравнение (XVIII. 17) перепишем в виде
‘р
(XVIII.17)
-/р
J Ra (t—x)k(x) dx—Yo — y4------------yntn dt = 0
.0
(XVIII. 18)
о
или
Rn (t — t) k (t) dx = Yo + fit 4------------F yntn-
(XVIII. IS)
Последнее уравнение справедливо лишь при 0 t < tp. Решение k (t)
интегрального уравнения (XVIII. 19) обеспечивает минимальное значение
ошибки eg *.
2, СИНТЕЗ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ
ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ПОМЕХИ
Будем считать, что сигнал помехи представляет собой белый шум с кор-
реляционной функцией
Rn (т) = с26 (т).
В этом случае интегральное уравнение (XVIII. 19) можно решить до-
статочно просто, так как
с2 J 6 (t — т) k(x) dx = Yo 4-	4“ • •' + Wn- (XVIII.20)
о
С помощью свертки дельта-функции получим
00
J f (т) S (t — т) dt = f (f).
— 00
* В работе [72] показано, что выражение (XVIII.19) является необходимым и достаточ-
ным условием для минимума в®.
656
Тогда в нашем случае можно записать
^(0 = yo4-t1< + ---4-yZ.	(XVIII.21)
Зная закон изменения управляющего воздействия g — g (t), из уравне-
ния (XVIII.21) можно получить импульсную переходную функцию, а по
ней найти передаточную функцию Ф (s) замкнутой системы. Рассмотрим два
различных закона изменения g — g (О-
Случай 1. Пусть g = g0 -|- grt и система имеет астатизм первого
порядка. Тогда Со = 0; ц0 = 1> 14 — Сг. В этом случае импульсная пере-
ходная функция с соответствии с уравнением (XVIII.21) имеет вид
6(0 = 4, + ^,	(XVIII.22)
где А о, Л1 — неизвестные коэффициенты.
Имея в виду выражения (XVIII.7) и (XVIII.22), напишем
/(Л+Л^Л-1;
о
//(Ло + Л^сИ = сх.
о
Из формул (XVIII.23) следует, что
АА> + ^-=1;
Л(/2 АЛ*
"'Pl 1 Р _ г>
— + ~2 G1
(XVIII.23)
(XVII&24)
Решая систему алгебраических уравнений (XVIII.24), найдем
Л-А--^-
°“ tp /2 ’
Л -	6 । 12Ci
 Р	р
Подставив полученные значения в выражение
(XVIII.25)
(XVIII.22), получим
k (0 =	- ТГ +	•	(XVIII.26)
С помощью формулы (XVIII.26) определяем импульсную переходную
функцию синтезируемой системы автоматического регулирования.
Значение квадрата ошибки, обусловленной шумом в такой системе,
можно найти, если подставить в формулу (XVIII.13) выражение (XVIII.19),
т. е.
/р
Й = J k (т) (То 4- 71^ -I--(XVIII.27)
о
или
еп = ТоЦо 4* Tipi 4-    4" TnPn-	(XVI 11.28)
Подставив в полученное выражение значения у0, р0, уг и p.j, найдем
й = то-И1Сь	(XVIII.29)
откуда
Й = Лос2 4- ЛiC2Ci	(XVI11.30)
657
р
= Ло + А^.
(XVIII.31)
или
Если в выражение (XVIII.31) подставить значения А 0 и At из соотноше-
ния (XVIII.25), то получим
ёп __ 4	12Ct . 12С1
са tP tp + /3
(XVIII.32)
Случай 2. Пусть g — go + git + git1 и система имеет астатизм
первого порядка. Тогда ц(, = 1;	= Сг', р2 = —С2. В этом случае
k (/) — Ло Ati Ла/2
(XVIII.33)
и
(XVIII.34)
Подставляя в соотношение (XVIII.34) выражение (XVIII.33), получим
	/ (Ло + AJ + Л2?) df = Г, 0		
	fp И (Ло + Л^ + Л,/2) dt = Cf,		(XVIII.35)
	/t1 (Ло 4- Aj + Л2(2) dt = — Сг, n		
откуда	< w=u	1 ь	ib. я И M I	Рм 9- t + Нм	-Ьм о wl |i3 w	*?3 <s3 1 м +	 ел Н.	Ъ. (’Э 04	to	со II	'°*	,'ow II 1	(XVIII.36)	
Решая	эту систему уравнений, найдем		
	л _ 9	36 г	30 г . н° ~ tp	ТГ Ь1 — jT Ь2’ р	р . _	36	192 -, . 180 л 	ТГ +	G1 + ~А С2; Р	р	р .	_	30	180	г	190	г —	з	4	Ч —	5	Ь2. '	СР	Ср	‘р	(XVIII.37)	
658
Импульсная переходная функция синтезируемой системы имеет сле-
дующий вид:
< (i\ 9	36 «	30	36
С1 С2
р	р	р	р
। 30 j2  180С1
'р
t 192 г
Г ~л~ Ь
Р
180С; ,д
4
180С.
Л
(XVIII.38)
По формуле (XVIII,38) определим
8п = Yo + Y1C1 — Y2C2	(XVIII.39)
или
^- = Л0 + 4С1-Д2С2.	(XVIII.40)
Подставив в полученное выражение коэффициенты из формул
(XVII 1.37), получим
9	72	г 60 г	, 192	^2 . 360CjCa	. 180Ci	,VVTTTai\
72- = 1---^С1-тгс2 + -л-с1+	/ " + -7~" (XVIII-41>
р р р р	р	р
3. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
ЖЕЛАЕМОЙ СИСТЕМЫ \¥ж (s)
Передаточная функция замкнутой системы может быть определена
по формуле
tp
Ф(з) = р (0 е-»' dt.	(XVIII.42)
о
Для вычисления этого интеграла представим его в виде
ф (s) = J k (t) е~?* dt — J k (£) e~s/ dt.
0	'p
После замены во втором интеграле переменной t на т + tv получим
ф ($) = J k (t) e~si dt — e~s<p J k (t + Zp) e~” dr.	(XVIII.43)
о	о
С помощью выражений (XVIII.22), (XVIII.33) и (XVIII.43) можно
найти 1
Ф,й - 4 (1 -	+ v (-Г -	 <XVI1I.44)
Ф2(з) = (1 - e-sM + 4 (v -	- ^~sip} +
A f 2 _ 2 e-s*P - А е-*'р — ^e-s'p').	(XVI11.45)
1 S \ S2 S2	S	р /
1 В выражениях (XVIII.44) и (XVIII.45) индексом
случая, а индексом 2 — для второго случая (см. п. 2 гл.
1 обозначены функции для первого
XVIII).
65Q
Подставим в полученные выражения s = /со и отделим вещественную и
мнимую части:
(со) =	4- sin <в/р + A cos wiL — 4г;
1 ' 7	\ (В (В /	Р ‘ СВ2	р (В2
Q, (и) = A sin coL -4- (— 4-—C.OS coL — —
(В	р * \ <В (В )	р (В
и
р2 (Ю) = (А 4- Ак _ _2ф
3 4 ’	\ со (В (О3
А р \
—~1 sincofP4-
<в / р 1
, (А-,	2Д2/р \	Д,
4 (—г 4" —5— / cos со/р-----------«-;
\ <Ва <В2 /	₽ <ва
/ л 2Д,/П \
<?3 (®) = “ (^ + т) Sin +
(XVIII.46)
(XVIII.47)
Передаточную функцию для случая 1 и Sn (со) = запишем в виде
ф3 (S) = J Mo + Alt + Е0Ь (/) 4- До5 (t - tp)l е-^ dt =
о
= A(l^-^ + 4L(v-^“/Pe~’/₽) +£o + £>oe~s4 (XVIII.48)
а для случая g(t) = cos <o0t, Rn = c26 (t) в виде
Ф4 (s) = J (A? cos aot 4- Az sin ыоО e~rt df =
0
1	/ 1	—“”®^n	\
1 лО / 1 e p j. . ®oe p 2 1 1
= -;7шТ	—cosw₽4-~V-sm<o0(pj 4.
4- A? (	- --?es2SZp cos ®o/p -	sin Wo/p) ] • (XVIII.49)
При решении задач синтеза корректирующих устройств необходимо
располагать логарифмическими желаемыми амплитудной и фазовой частот-
ными характеристиками разомкнутой системы. Для этого определим пере-
даточную функцию всей замкнутой системы в виде
(XVIII.S0)
т. е.
<XVIII-51>
где
Ф (/®) = Р (со) 4- /Q (со);
W (Jco) — Н (со) е/0<®>.
660
Из формулы (XVIII.51) имеем
Г (/©) =	,	XVI1L52)
v '	1 — Р (ю) — )Q (ю) ’	'
откуда
И 1(.\ - П- ^ (<>)! Р (to)-Qa (о») .
U(W>-	(l-P^/p + Qa^)
у (ю) =________9.^_________.
I' (1—P(<o)p + Q2(<o) •
ИЛИ
ы((fA  ~l/~ (Il Р (to)] Р (to) Q2 (to)}2 4-Q2 (to) . (YVTTT 531
{[1 -P(to)]2+Q2(to)}2	’ (XVIH.W)
0 (ф) = arctg —=—b-	.	(XVIII.54)
v '	[1 — P(co)]P (cd) — Q2(<o)	v	7
По формуле (XVIII.53) найдем
201g H (ш) = 101g "1~f|1(r”p(g)7XffXp‘y'i->' (XVIII.55)
Итак, зная соответствующие значения Р (со) и Q (со), по формулам
(XVIII.54) и (XVIII.55) можно построить на полулогарифмической бумаге
частотные характеристики 20 1g Н (со) и 0 (со). Аппроксимируя полученную
характеристику 20 1g Н (со) прямыми с типовыми наклонами, получим желае-
мую логарифмическую характеристику разомкнутой системы 20 1g | И7Ж (/со) |.
Заменяя логарифмическую фазовую характеристику ее средними значе-
ниями, получим 0Ж (<в).
Эти характеристики обеспечивают заданную точность воспроизведения
управляющего воздействия, заданное время протекания переходного про-
цесса ф при отработке единичного сигнала и уменьшают до минимума ошибку
от действия помех (флюктуаций) в синтезируемой системе автоматического
регулирования. По желаемой характеристике |1ГЖ| определяется характе-
ристика параллельного корректирующего устройства, как это было показано
в п. 5 гл. XVII.
В работе [68] приведены формулы для нахождения оптимальных им-
пульсных переходных функций /?опт (t) и фопт (s) систем автоматического
регулирования, на вход которых поступают управляющие сигналы g —
= go + git; g = go + git + g3t2; g = g0 +git + git2 + g3t3, а сигналы
помехе имеют спектральные плотности
е к-л _ z.2. с 1с л _	2°Ф	. с	(to2 + «2 + tog)
Зп(«) — С , 5п(ш)	Ш2_|_а2 > -М®) —	+ 2(о2 (а2 — tog) + (a2 — tog) ‘
4. ПРИМЕР СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ СИСТЕМЫ
РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ПОМЕХИ
Определить методом синтеза желаемую амплитудную частотную характеристику разом-
кнутой следящей системы радиолокационной станции, тип и параметры параллельного коррек-
тирующего устройства, при которых обеспечиваются требуемые динамические показатели
(ф, DM и £%) и минимум средней квадратической ошибки, обусловленной действием Гпомех.
Для решения данной задачи составим упрощенную структурную схему следящей системы 1
(рис. XVIII.2).
Будем считать, что следящая система имеет Da = 200 с"1; De = 100 с-2; ф 1 с;
° max	40%.
1 См. п. 9 гл. XIII, пример XIII.13.
661
Рис. XVI11.2. Упрощенная структурная схема
следящей системы радиолокационной станции
Рис. XVIII.3. Вещественная и мнимая частотные
характеристики следящей системы
Кроме того, на вход системы поступают полезный сигнал вида g — g0 4- g1t 4- gat2;
g0 — 2 рад; gj = 0,2 рад/с; g2 = 0,1 рад/с2
и помехи со спектральной плотностью белого шума
с2 = 0,6-10'* рад2-с.
В рассматриваемом случае
Й(П = ЛО + Л1<+Л2<2,
что соответствует второму случаю синтеза систем регулирования при наличии полезного сиг-
нала и помехи (см. п. 2 дайной главы). Для заданных значений Da и De определим коэффи-
циенты ошибок Cf — 0,005 с н С, = 0,02 с2. Подставив в формулы (XVIII.37) числовые зна-
чения Cj, Cs и tp, получим Ло= 8,22; Aj = —31,44; Л2= 25,5. По формулам (XVIII.47)
вычислим при разных со значения Р и Q и построим их на рис. XVIII.3. С помощью формул
(XVIII.54) и (XVIII.55) найдем значения 20 1g Нж и 0Ж разомкнутой следящей системы. Нане-
сем их иа рис. XVIII.4 и получим логарифмическую амплитудную н фазовую частотные харак-
теристики синтезируемой системы | 1ГСИН | и 0СИИ. Заменим синтезированную амплитудную
характеристику аппроксимированными прямыми линиями с типовыми наклонами (штриховая
лииия иа рис. XVIII.4). По изломам этой характеристики определим
W Is) =	200 (Tts 4-1) (T3s 4~1)	7YVTTT 581
Гж( )	s(7\s4-1)2 (7\s + 1) (T6s + 1) ’	(XVIII.56)
откуда можно найти
0ж (<в) =---— — 2 arctg 4- arctg a>Ta 4- arctg <oT3 — arctg (oTi —
— arctg m7'6.
(XVIII.57)
Вычисленную по этой формуле фазовую характеристику также построим на рис. XVIII.4
штриховой линией. Таким образом, нами были получены | 1ГЖ | и 0Ж. Из рис. XVIII.4 видно,
что логарифмические желаемые характеристики | Н7Ж | и 0Ж достаточно близко совпадают
с динамическими синтезированными характеристиками | 1ГСННI, 0сИВ.
Рис. XVIII.4. Определе-
ние желаемой логарифми-
ческой амплитудной ха-
рактеристики и характе-
ристики параллельного
корректирующего устрой-
ства следящей системы
662
Частотную характеристику параллельного
корректирующего устройства в существенном интер-
вале частот определим с помощью выражения
1
1^к(/И)|- |Гж(/а))|
где принято
Wetfa)=k.
Эта характеристика построена на рис. XVIII.4.
ее излома найдем передаточную функ-
По точкам
шло
W (s} - sa(7\s-+- 1)
Wk (s) -
Рис. XVIII.5. Схема реализации па-
раллельного корректирующего устрой-
ства следящей системы
Для
практической реализации представим
данную функцию в виде
W (S} =
к(5)	(T3s+ 1) (7\s+ 1)’
(XVIII.58)
где Tx — малая постоянная времени.
По передаточной функции (XVIII.58) можно обеспечить техническую реализацию парал-
лельного корректирующего устройства в виде последовательного соединения двух элементов:
тахометрического моста с передаточной функцией
(s) = ^(TiS+ 1)
Tas+l
и ЯС-цепи с передаточной функцией
(XVIII.59)
(XVIII.60)
W (s) = --7*?.-,
Рис. XVIII.6. Частотные и временные характери-
стики синтезированной следящей системы радио-
локационной станции:
а — Р (о); б *-* х *= х (/)
Рис. XVIII.7. Полосы пропускания следящих си-
стем с различными типами корректирующих
устройств
663
Для устранения взаимного влияния этих двух элементов и получения требуемого пере-
даточного коэффициента между тахометрическим мостом и корректирующей цепочкой вклю-
чен транзисторный усилитель с коэффициентом усиления
*y = -rV-	(XVIII.61)
Схема реализованного таким образом корректирующего устройства показана на
рис. XVIII.5.
Для определения ошибок в синтезированной следящей системе воспользуемся следу-
ющими формулами:
е = gi + W +	;	(XVIII .62)
De, ' DB
= (9/р — 72С^р - 60С2^ + 192C|i* + ЗбО^СУр + 180Cf)	• (XVIII.63)
Подставив в формулы (XVIII.62) и (XVIII.63) соответствующие числовые значения
и считая, что время слежения за целью t = 10 с, получим ед = 44,6' и е- = 64' (еп = 8').
Суммарную точность следищей системы радиолокационной станции определим по формуле
е„ = е ±3ея,	(XVIII.64)
м Д И
или
в^, = 44,6' ± 24'.
Для проверки правильности решения задачи синтеза определим по характеристикам
I |, 9Ж вещественную частотную характеристику замкнутой системы Р (со) (рис. XVIII.6, а)
Разобьем ее на трапеции и с помощью таблиц йх-функций построим составляющие переходного
процесса (см. гл. XII). Геометрически сложив их, получим результирующую характеристику
протекания переходного процесса, которая показана на рис. XVIII.6, б. Как видно из
рис. XVIII.6, б, tp ~ 1,0 с и ошах » 38%, что полностью соответствует техническим условиям,
заданным в примере на следящую систему.
В заключение следует отметить, что если строить | №ж | по значениям DM, De, omax и fp,
как это делалось в гл. XVII, то будет получена низкочастотная часть характеристики | 1ГЖ|
с наклонами —20 и —40 дБ/дек. Синтезируемая система будет иметь более высокую частоту
среза. Все это приведет к значительному расширению полосы пропускания амплитудной
характеристики следящей системы по уровню 0,7.
На рис. XVIII.7 построена амплитудная характеристика замкнутой следящей системы
радиолокационной станции (кривая 7). Как видно, ее полоса пропускания составит соП1 =
— 48 с~х. Если же пользоваться синтезированной амплитудной характеристикой |	|, име-
ющей наклоны в низкочастотной части -—20, —60 дБ/дек, то амплитудная характеристика
следящей системы станции примет вид кривой 2. Для этой системы имеем полосу пропуска-
ния й>п2 = 14,5 с-1, т. е. в 3,3 раза меньше. Сокращение полосы пропускания существенным
образом повышает точность работы следящей системы по отношению к сигналу помехи и умень-
шает фазовое отставание.
На рис. XVIII.7 кривая 3 изображает фазовую характеристику синтезируемой замкну-
той следящей системы. Фазовый сдвиг на частоте <оП2 = 14,5 с-1 составляет 95°. В следящей
системе с <оП1 = 48 с-1 величина сдвига превышает 180°. Из этого примера видно, что если
на систему автоматического регулирования наряду с полезным сигналом g (/) поступает сигнал
шума п (t), то следует выбирать желаемую логарифмическую амплитудную характеристику
оптимальной (по минимуму ошибки от шума и с заданными динамической точностью н каче-
ством процессов регулирования). Неоптимальные характеристики приводят к некоторому
снижению точности работы следящей системы радиолокационной станции и увеличению ее
фазовых искажений.
ГЛАВА XIX
СИНТЕЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Синтез дискретных корректирующих устройств, основанный
на применении билинейного преобразования. 2. Синтез дискретно-
непрерывных систем при наличии полезного сигнала и помехи. 3. Реа-
лизация дискретных корректирующих устройств при помощи
RC-цепей. 4. Реализация программ коррекции на управляющей
цифровой вычислительной машине.
Задача синтеза дискретно-непрерывных систем автоматического регули-
рования мало отличается от синтеза непрерывных систем, рассмотренных
в гл. XVII и XVIII. При синтезе дискретно-непрерывных систем также выби-
рают желаемую логарифмическую амплитудную характеристику и находят
передаточные функции дискретных последовательных и параллельных кор-
ректирующих устройств. Однако дискретная форма сигналов требует
учета такта обмена информацией Т между управляющей ЦВМ и непрерыв-
ным объектом регулирования (см. гл. XV).
Синтезированные дискретные корректирующие устройства технически
могут быть выполнены в виде линий задержек (см. гл. VIII), дискретных
элементов с /?С-цепями (гл. XIX), программ на управляющих цифровых
вычислительных машинах (см. гл. VI и XV).
1, СИНТЕЗ ДИСКРЕТНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ, ОСНОВАННЫЙ
НА ПРИМЕНЕНИИ БИЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Рассмотрим два способа выбора дискретных корректирующих устройств
с использованием частотных методов и билинейного преобразования. Оба
способа основаны на определении разности логарифмических амплитудных
характеристик: желаемой и неизменяемой части системы. При применении
первого способа задача синтеза решается таким же образом, как и для не-
прерывных систем. Сначала находят амплитудную характеристику коррек-
тирующего устройства (рис. XIX. 1, а) с помощью выражения
201g | IFB (»| = 201g | Wx (/<o) | - 201g |FH (/<o) |
и представляют в виде
т	+ b{s + • •  + b' sm
WUs) = 0	-1, ----,
1 + als + •  • + an^
(XIX.I)
(XIX.2)
где men.
Затем передаточную функцию IFK (s) необходимо привести с помощью
соотношения
S = -у- Inz.
(XIX.3)
к виду
^к(г) =
z ~4~ • •  ~4~ Ьк? к
1 ахг 1 -р  • • + акг~к
(XIX.4)
Это может быть выполнено разложением In z в ряд по степеням г. Тогда для
получения высокой точности разложения следует брать k достаточно боль-
шим, что усложняет техническую реализацию корректирующего устройства,
выраженного соотношением (XIX.4). В связи с этим на практике применяют
билинейное преобразование
z — 1
ау = —г-г
(XIX.5)
665
Рис. X.IX.1. Структурные схемы систем регулирования:
а — непрерывной; б — дискретно-непрерывной; I^H (s) — передаточная функция
непрерывной части; й?ка (s) — передаточная функция преобразователя код—ана-
лог; IFK — передаточная функция корректирующего устройства
и вводят псевдочастоту v (см. п. 6 гл. XV), т. е.
w=tg—
(XIX.6)
При малых со соотношение (XIX.6) можно записать в виде v = &Т/2, откуда
2
со = — и.
(XIX.7)
2
Подставим в формулу (XIX.2) s — /со, после чего заменим со на v.
Как известно (см. п. 6 гл. XV), jv = ay, поэтому формула (XIX.2) примет
вид
4- b.w 4- ... 4- Ь'лУ1
1 + axw + • • • + anar
(XIX.8)
Используя формулу (XIX.5), получим
^к(*) =
Ьо + М-1 + ---+Ьтг~СТ .
1 + а^-1 Н-------Н апг~п '
(XIX.9)
Выражение (XIX.9) является достаточно точным лишь при выполнении со-
отношения
©ГрТ7
~2~
<0,3,
(XIX. 10)
где согр — верхняя граница осуществленного диапазона частот.
Из соотношения (XIX. 10) выбирают такт обмена информацией
(XIX. 11)
(Орр
При таком выборе Т погрешность реализации не превышает 5—10%. В ре-
зультате этого преобразования исходная структурная схема (рис. XIX.1, а)
приводится к виду, показанному на рис. XIX.1, б.
Из рис. XIX. 1, б видно, что преобразование дискретного сигнала и (kT)
в непрерывный выполняется преобразователем код—аналог.
На практике обычно применяют преобразователи код—аналог нулевого
порядка (см. рис. XV. 11) с передаточной функцией
и первого порядка с
ти4 ______ II + ^(l — е sr)2
w к а (А/---------jTj	•
666
Нетрудно определить их ампли-
тудные характеристики
. соТ
sm —5—
^a{(0) = T-^-;
2
( sin V
як (®) = т у 1 + («л2
\ ~2~ J
(XIX. 12)
и фазовые частотные характеристики
Рис. XIХ.2. Частотные характеристики
преобразователей код—аналог:
1.3 — нулевого порядка; 2, 4 в» первого порядка
eia(co) = —0k (со) = arctg (соГ) -	(XIX.13)
На рис. XIX.2 приведены логарифмические амплитудные частотные
характеристики — у/— (кривые 1 и 2) и фазовые характеристики 0ка (со)
(кривые 3 и 4) преобразователей соответственно нулевого и первого поряд-
ков для основной полосы частот.
Если выбранная величина такта Т не соответствует соотношению
(XIX. 11), то вносится существенная погрешность при замене непрерывного
корректирующего устройства дискретным. Это требует учета большего числа
гармонических составляющих в сигнале 8* (t) на выходе преобразователя
аналог—код. Тогда вместо частоты со следует пользоваться частотой со
± faoo (см. п. 2 гл. XV), что значительно усложняет решение задачи син-
теза и практически не применяется.
Рассмотрим данный метод синтеза дискретных корректирующих уст-
ройств на примере системы стабилизации самолета.
Пример XIX. 1. Пусть структурная схема системы стабилизации самолета по углу тан-
гажа имеет вид, показанный на рис. XIX.3, а, где штриховыми линиями выделена неизменяе-
мая часть системы. Необходимо выбрать дискретное корректирующее устройство 1ГК (г),
обеспечивающее следующие показатели качества и точности системы стабилизации: tp 4,0;
°шах 'С 25%; е (0	3,5° при -&т = 15 7с и = 1,5 7с2.
Примем, что параметры передаточных функций неизменяемой части системы следующие:
= 0,8; 77 = 2,25 с; То = 0,35 с; g = 0,17; йос = 0,39.
По изложенной методике определим вначале параметры непрерывного корректирующего
устройства, удовлетворяющего требуемым показателям качества и точности. Для этого по-
строим логарифмическую амплитудную частотную характеристику неизменяемой части
fei (Tis+O
w	Hs2 + 2T0gs+l I 0,608 (2,25s+1)
14. *оЛ (Л* + 0	« s (0,318s + 1) (0,284s + 1)"
+ Tgs» + 2Togs + 1
Далее по заданным требованиям качества и точности согласно методике, изложенной
в гл. XVII, строим желаемую логарифмическую амплитудную частотную характеристику
Рис. XIX.3. Структурные схемы для примера XIX. 1:
а и» с непрерывным корректирующим устройством; б - с дискретной коррекцией
667
го
Рис. XIX.4. Построение частотных ха-
рактеристик непрерывного корректиру-
ющего устройства системы стабилизации
самолета
Im, db
W
0
0
-SO
0,01
o.f
o'
so
-180
10,0 ш,с
|1ГЖ| (рис. XIX.4) для рассматриваемой
системы стабилизации. Точки желаемой
амплитудной характеристики сок = Da =
= 15с-1 и со; = ]/£>е = 0,8с-1 определяем
из требований точности, а значение шс =
= 1,5 с"1 — из требований качества си-
стемы.
После этого, вычитая из желаемой
характеристики | Wx | характеристику
неизменяемой части | 1ГН |, получим лога-
рифмическую амплитудную частотную характеристику корректирующего устройства | FK|
(рис. XIX.4), по виду которой определяем передаточную функцию корректирующего устрой-
-го
ства

(s) =
< <В1 + 9	2,29 (0,284s + 1)
s ~	22,4s + 1
<о3 ф
(XIX. 14)
Величину такта Т системы с дискретным корректирующим устройством (рис. XIX.3, б)
выберем из условия (XIX.11). В рассматриваемом нами примере и>гр = 6,5 с-1 (рис. XIX.4),
поэтому
Осуществим переход от круговой частоты ш к псевдочастоте о; тогда передаточная функ-
ция корректирующего устройства (XIX.4) примет вид
22,9 (0,284 ~ w + 1)
WK (w)  ------,	(XIX.15)
22,4 -Qj-o'+l
откуда с помощью билинейного преобразования получим
т . ч	0,342 — 0,239г"1
~T-0,998z-x •
(XIX.16)
По рис. XIX.5 проверяют полученную систему стабилизации с выбранным дискретным
корректирующим устройством. Здесь же для иллюстрации приведены характеристики этой
системы, но при Т = 0,5 с — значении, не удовлетворяющем условию (XIX.11).
Прежде всего строим амплитудно-фазовую характеристику неизменяемой части системы
IFH (/<о), обозначенную кривой 7. Для ее построения переносим на плоскость W (/w) соответ-
ствующие значения амплитудной ]	| и фазовой 0н частотных характеристик [неизменяемой
части системы. Складывая амплитуды и фазы WH (/®) с соответствующими частотными харак-
теристиками выбранного преобразователя нулевого порядка код — аналог (см. рис. XIX.2),
получим для Т — 0,1 с амплитудно-фазовую характеристику -у- №„(/«>), обозначенную на
рис. XIX.5 кривой 6, а для Т = 0,5 с — кривой 5.
Годограф W* (/со), построенный в соответствии с формулой (XI.52), для случая Т = 0,1 с
практически совпадает с годографом -i- 1ГН (/со), т. е. также обозначен кривой 6. При Т =
= 0,5 с амплитудно-фазовая характеристика непрерывной части системы с учетом прерыва-
ния W'* (/со) обозначена кривой 4 (для частот со<2,0 с-1 совпадает с годографом W (/“)^ •
\ 1 н /
Амплитудно-фазовая характеристика корректирующего устройства обозначена кри-
вой 8, на которой частоты <о( отмечены для случая Т — 0,1 с, а частоты со[. для Т = 0,5 с.
Для случая непрерывной коррекции отмеченные на кривой 8 частоты практически совпадают
с частотами при Т = 0,1 с.
Суммируя кривые 5, б и 7 с кривой 8, получим амплитудно-фазовые частотные характе-
ристики для рассматриваемой системы стабилизации (кривые 1 и 2 для системы с дискретной
коррекцией соответственно при Т = 0,5 с и Т — 0,1 с; кривая 3 — для расчетной системы с не-
прерывным корректирующим устройством).
668
Рис. XIX.5. Амплитудно-фазовые характеристики системы стабилизации
самолета
Из сравнения полученных кривых видно, что система с дискретной коррекцией при Т =
= 0,1 с отличается от непрерывной системы незначительно. Запас устойчивости по фазе ycj
уменьшается всего на 5° по сравнению с запасом по фазе для непрерывной системы. При Т =
= 0,5 с свойства системы с дискретной коррекцией значительно ухудшаются по сравнению
с непрерывной системой: запас устойчивости по фазе составляет всего ус2 = 25°, что недоста-
точно для удовлетворительной работы системы стабилизации самолета. Следовательно, вели-
чина такта Т = 0,5 с является неприемлемой.
Следует отметить, что изложенный метод расчета дискретной коррекции
особенно удобен, когда необходимо рассчитанную или имеющуюся непрерыв-
ную коррекцию реализовать на цифровой вычислительной машине.
При использовании второго способа решения задачи синтеза дискрет-
ная коррекция получается непосредственно в результате построений и рас-
четов. Этот метод синтеза требует прежде всего построения логарифмиче-
ских амплитудных и фазовых характеристик непрерывной части системы
в функции псевдочастоты v. Для их определения необходимо вычислить
г-преобразование непрерывной части расчетной системы (см. рис. XIX.1, б)
(г) = 3 {Wka (s) V„ (s)}.	(XIX. 17)
В большинстве случаев в дискретно-непрерывных системах используют
преобразователи код—аналог нулевого порядка; тогда z-преобразование
(XIX. 17) можно вычислять в виде
^вч(г) = з{^^Х(а)} = (1 _ 2-1)4-^}. (XIX.18)
Переводя функцию 1ГНЧ (z) согласно соотношению
в щ-плоскость, получим передаточную функцию непрерывной части системы
Ц7НЧ (щ) в виде дробно-рациональной функции от переменной ш. Далее
разбиваем выражение IFH (ш) на передаточные функции типовых звеньев
669
(аналогично тому, как это делается для передаточных функций W (s)) и,
учитывая соотношение w = jv, строим логарифмические и фазовые характе-
ристики непрерывной части системы в функции псевдочастоты v.
Заметим, что критерием правильности построения характеристик
| WH4 (jv)\ является наличие высокочастотного участка прямой с наклоном
О дБ/дек ввиду равенства порядков многочленов по w числителя и знамена-
теля передаточной функции IVH4 (и>).
После построения | IVH4 (/ц) | по требованиям точности и качества, предъ-
являемым к синтезированной системе, строим амплитудную желаемую ха-
рактеристику | Wx (jv) |. Амплитудную характеристику корректирующего
устройства WK (w) получим при помощи соотношения
201g | W& (jv) | = 20 lg | Wx (jv) | - 20 lg | Гнч (jv) |.	(XIX.20)
По частотам изломов полученной характеристики и по величинам на-
клонов ее участков к оси абсцисс можно найти аналитическое выражение
передаточной функции дискретного корректирующего устройства 1FK (до).
Далее, переходя при помощи соотношения (XIX. 19) к переменной г, полу-
чим окончательное выражение для передаточной функции дискретного кор-
ректирующего устройства WK (z).
Необходимо отметить, что полученное таким способом корректирующее
устройство обеспечивает требуемые показатели точности и качества лишь
в тактовые моменту времени t = kT (k — 0, 1,2, . . .), поэтому в синтези-
рованной системе в принципе возможно возникновение скрытых автоколе-
баний [75 j.
Для исключения возможности их появления величину такта необхо-
димо выбирать таким образом, чтобы полюсы непрерывной части системы
были расположены в основной полосе частот на плоскости s (см. гл. XV).
Пример XIX.2. Рассчитать параметры дискретного корректирующего устройства для
системы автоматического регулирования, приведенной на рис. XIX.6. Добротность системы,
по cKojpocTH должна быть равной 40 с'1, а частота среза, определяющая время регулирования
не должна быть меньше значения <вс = 4,0 с-1. Величина такта обмена информацией между
непрерывной и дискретной частями Т = 0,1 с.
Согласно изложенной методике вычислим г-преобразование непрерывной части системы
в виде
FHeW = (l-z-‘) И_______-_____4.0 (0,368г+ 0,264)
WH,(Z) U г )3js2(0ils + 1) j	(г—1) (г —0,368) •	(Л1Х.21)
Применив билинейное преобразование (XIX.19) к передаточной функции (XIX.21),
получим
= 2,0 (1,65^+!) (1-с)
н,( ’ w (2,16о> + 1)	•	(XIX.22)
По передаточной функции (XIX.22) строим логарифмическую амплитудную характери-
стику | 1ГНЧ (jv) | (кривая 1 на рис. XIX.7).
Далее, используя заданные требования, строим желаемую частотную характеристику
(кривая 2). При этом частоту ик = Dv определим из взаимосвязи коэффициентов ошибок Сг
и С\ (см. гл. XV):
д0=4^=-Ц^=2-о.
а псевдочастота среза
сосТ	4,0-0,1
t’c = tg —= tg-------------g~ °’2’
Рис. XIX.6. Структурная схе-
ма системы для примера XIX.2
670
Рис. Х1Х.7. Логарифмиче-
ские амплитудные характе-
ристики для примера Х1Х.2
По разности амплитудных характеристик | (jv) | и | Wn4.(jv) | согласно соотношению
(XIX.20) определяем передаточную функцию дискретного корректирующего устройства
2,1 (10» + 1)
100»+ 1
IFK (w) =
или, переходя к z-плоскости, получим требуемую передаточную функцию
0,229 (г — 0,819)
к ( ) г —0,980
2. СИНТЕЗ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ
ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА И ПОМЕХИ
Рассмотрим две постановки задачи синтеза дискретно-непрерывных
систем автоматического регулирования. Первая — определить оптимальную
импульсную переходную функцию системы, на раздельные входы которой
поступают управляющий сигнал g (пТ) в виде двух составляющих, одна
Г
из них является полиномом r-й степени g (пТ) = gt (пТ)1, а другая —
1=0
стационарной случайной функцией I (пТ) и стационарной случайной поме-
хой m (пТ). Вторая задача — по заданным корреляционным функциям по-
лезного сигнала Rt (пТ) и помехи Rm (пТ) найти передаточную функцию
корректирующего устройства IVK (z),‘ если неизменяемая часть представляет
собой известную непрерывную передаточную функцию WH (s).
Первую задачу синтеза будем решать, пользуясь корреляционными
функциями случайной составляющей полезного сигнала R[ (пТ) и помехи
Rm (пТ), а также идеальной (желаемой) импульсной переходной функцией
s (пТ), обеспечивающей заданную точность воспроизведения полезного сиг-
нала g (пТ) с коэффициентами ошибок Cq, С*, Cj>, . . . (см. гл. XV) за уста-
новленное время протекания переходного процесса tp (пТ).
Допустим, что идеальная система на выходе имеет сигнал
хид (пТ) = Ht (Д) g (пТ) + ЩЩ (пТ),	(XIX.23)
где
/«О
Нв(Д)==Я(Д)-£	Д'";
т=р
(XIX.24)
здесь Д‘ означает операцию получения разности i-ro порядка.
671
Сигнал на выходе реальной системы
х (пТ) = [g (пТ — хТ) -j- I (пТ — иТ) 4- m (пТ — иТ}] k (пТ),
х=0
а ошибка воспроизведения сигнала
е (пТ) = хид (пТ) — х (пТ) — Hg(&)g (пТ)	(пТ) —
ч
— S [g{nT— кТ) + 1(пТ — иТ) + т(пТ — иТ)]к(пТ). (XIX.25)
х=0
Будем считать, что среднее значение ошибки должно быть равно нулю;
тогда получим
М [Hg (A) g (пТ) - Н (А) 1(пТ)} -
ч
— У М [§ (пТ — иТ) 4* I {пТ — хТ) 4- т(пТ — xT)]k (пТ) = О,
х—0
откуда найдем
ч
Hg(\)g(nT)= % g(nT -xT)k(nT).	(XIX.26)
и=0
Пользуясь выражением (XVIII.4), запишем
Г
g (пТ - кТ) = J (- 1)* g (пТ).	(XIX.27)
Выражение (XIX.26) с учетом соотношений (XIX.23), (XIX.24) и
(XIX.27) примет вид
2	g (пТ) - 2	g (пТ) = £ (- 1)V	g (пТ),	(XIX.28)
<=0	m-р	м=0
где
ч
pv=2 (xTr^txT); V = 0,1,2,...	(XIX.29)
и=0
Из выражения (XIX.28) можно найти (г 4- 1) ограничение на импульс-
ную переходную функцию.
Запишем эти ограничения в виде
ч
Hv = (— 1)V 2 (иТГЦиТ), V = О, 1, 3,..., р - 1;
х=0
Q
(—1)'S (иТук(иТ), i = p, Р4-1......г;
х=0
(XIX.30)
здесь v =£ ?.
Выражение для ошибки (XIX.25) с учетом ограничений (XIX.30) при-
мет вид
ч
е (пТ) = Н(Д)1 (пТ) - S U {пТ -nT) + m (пТ - хТ1)] k (пТ) =
х—0
= s Z (пТ - хТ) S (пТ) -
х=—ОО
Q
— 2 [ЦпТ-кТ)-ут(пТ-aT)]k(nT).	(XIX.31)
х=0
672
Возведем выражение (XIX.31) в квадрат; тогда получим
е2 (пТ) == 2 s(nT) 2 I (пТ — иТ) I (пТ — gT) s (оТ) —
х=—СО	о——ОС
— 22*(хГ) 2 1(пТ-нТ)[1(пТ-xT) + m(nT-gT)]s(gT) +
х=0	<7=— со
Я	Я
+ 2 k (хТ) S [Z (пТ - иТ) +
Х=0	<7=0
+ m (пТ — хТ)] [I (пТ — оТ) m (пТ — оТ)] k (аТ). (XIX.32)
При отсутствии корреляционных связей между сигналами выражение
(XIX.32) можно осреднить и записать в виде
е2 = У, s (пТ) У Rt (пТ — оТ) s (gT) —
К——СО	—00
— 2 S k (пТ) 2 Ri (пТ - оТ) s (аТ) +
х=0	а=—о»
+ ilk (хГ) S [7?z {пТ - аТ) + Rm (пТ - аТ)] k (gT).	(XIX.33)
и=0	а=0
Для того чтобы из выражения (XIX.33) определить k (хТ), которому
соответствует min е2, необходимо составить функционал
J [k (хТ)] = ё2—2 i	(XIX.34)
f=0
Придадим импульсной переходной функции k (иТ) вариацию \k (хТ);
тогда получим
Jv = 2 s (rtЛ 2 Ri (х^ — s (°^) ~
И——co	(J—-оо
— 2 2 Ik (хТ) 4- \k (хТ)] . £ Ri (иТ - оТ) s (аТ) +
и=0	а=—«о
+ 2 \k (хГ) + \k (х7)] 2	- ОТ) + Rm (НТ - <уТ)] [п (оТ) + VA (оТ)] -
х=0	о=0
2_ Я
— 2 2 Ъ 2 (хТ)£ [А- (хТ) 4- Vfe (хТ)].	(XIX.35)
1=0	х=0
Необходимым условием, при котором импульсная переходная функция
обеспечит минимум среднего квадратического значения ошибки, будет
(см. гл. XVIII)
IJ (k (хТ) 4- V& (хТ))] = 0.	(Х1Х<36)
Применив это выражение к (XIX.35), получим
я
2 [Ri (хТ - аТ) 4- Rm (нТ - аТ)] k (аТ) =
<7=0
= s R1 - аТ) s (аТ) 4- 2 К	(XIX.37)
(7=. .оо	£явО
22 Иващенко Н- Н.
673
(XIX.38)
Если сумме корреляционных функций
R№) + Rm(*T)~R&T)
соответствует дробно-рациональная спектральная плотность
М. (г) Л!, (г)
S (хТ) = - |-—4 ,
#1 (г) £>! (г)
где звездочкой обозначены выражения, аргументы которых сдвинуты на Т,
то
R [иТ - аТ) = Mi (A) Mi (А) Г (хГ - vT).	(XIX.39)
Здесь функция Грина Г (хТ — vT) является решением уравнения
Di (A) Di (А) Г (хТ - vT) = 5 (хТ - vT).	(XIX.40)
Имея в виду (XIX.39), выражение (XIX.37) перепишем следующим об-
разом;
я _	_
2 Mi (A) Mi (А) Г (хТ - оТ) k (аТ) =
O=Q
= 2 Ri — сЛs (оТ) 4- 2 т.
а=—«	,=0
откуда найдем
q	г	2k
2 г (хТ - аТ) k (аТ) = 24 №)< + X № +
fcO	1=0	(=1
4-Л/-1 (А) Л4*-1 (А) 2 R^kT -GT)s(<jT), (XIX.4I)
— co
где X; — корни уравнения М (Х() М* (XJ = 0.
Применив к левой и правой частям выражения (XIX.41) оператор
(A) D* (А) и имея в виду соотношение (XIX.40), получим
kq (к?) = 2 А‘ 4- 2 в^' + 2 (кт) + 2 Ft+
1=1	1=1	/=0	/=0
+ Dx (A) Di (А) М~' (А) Л1’~' (А) 2 Ri&T-oT)s(cT), (XIX.42)
Q——сс
где а — I — k — Г, I — порядок многочлена Dx (А).
Коэффициенты Л(-, Ej и Fj определяются следующим образом. Им-
пульсную переходную функцию (XIX.42) и выражение (XIX.29) подставим
в интегральное уравнение (XIX.37). В результате решения системы г
+ 2/ 4- 1 уравнений получим искомые коэффициенты. После подстановки
найденных коэффициентов В,, и Fj в выражение (XIX.42) получим
функцию k (хТ).
3. РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
ПРИ ПОМОЩИ .КС-ЦЕПЕЙ
Разложим передаточную функцию корректирующего устройства
^(z) = -^g-	(XIX.43)
в ряд по степеням z;
(?) =	4-	----)- o^z 4- а0 4-
(XIX.44)
674
затем в
Рис. XIX.8. Последова-
тельная схема реализации
дискретной передаточной
функции
Дискретная коррекция
соотношении (XIХ.43) перейдем к временной области
и(А;Т) = аре[(й + р)Т]4-ар_1е[(й4-р-1)Т] +
+ ...+а1е[(6+1)Т + аое(6Т) +
+ а_хе[(6- 1)7+ ••• + а_,е [(6 - 9) Т].	(XIX.45)
Полученная формула является практически реализуемой лишь в том
случае, если выходной сигнал корректирующего устройства и (kT) не зависит
от будущей информации о входном сигнале е (1Т), т. е. в выражении (XIX.45)
для его реализации должно выполняться условие р < 0.
Таким образом, разложение в ряд Лорана функции WK (z) относительно
начала координат не должно содержать положительных степеней г. Это тре-
бование выполняется, если в дробно-рациональной функции WK (г), запи-
санной в виде положительных степеней г, степень числителя не будет пре-
вышать степени знаменателя. Последнее и есть условие физической реали-
зуемости, дискретного корректирующего фильтра WK (z).
Дискретная передаточная функция WK (г) может быть реализована
с использованием /?С-цепей при помощи следующих схем: последователь-
ной, параллельной (схемы с обратной связью) и комбинированной, каждая
из которых состоит из обычных пассивных /?С-цепей и преобразователя код-
аналог (обычно нулевого порядка). Более простые последовательная и парал-
лельная схемы имеют ограничения в возможностях реализации дискрет-
ных корректирующих устройств, а их комбинация (комбинированная схема)
позволяет синтезировать любую рациональную физически реализуемую
передаточную функцию WK (z) в виде /?С-цепей.
Последовательная схема реализации W-K (z) приведена на рис. XIX.8.
Как видно из рисунка, дискретный сигнал ошибки е* (t) сглаживается пре-
образователем код—аналог 1ГКА (s) и далее поступает на фильтр 1ГФ1 (s),
реализуемый на /?С-цепи. Задача реализации здесь состоит в выборе пере-
даточной функции НТф, (s) такой, чтобы выполнялось условие
H^ak(s) ^Ф1(8)} = №к(г1),	(XIX.46)
где WK (z) — передаточная функция реализуемого дискретного корректи-
рующего устройства. Полагая, что используется преобразователь код—
аналог нулевого порядка, соотношение (XIX.46) запишем в виде
(l-zW—}=W7K(z),
откуда
(s) e 1
WK (г)
1—г"1
(XIX.47)
где j'1 — символ обратного г-преобразователя.
Обратное z-преобразование удается легко вычислить, если числитель
WK (z) разлагается на простые сомножители. Тогда функция в скобках вы-
ражения (XIX.47) может быть представлена в виде
= <Х1ХЛ5>
22'
675
при условии, что №к (г) не имеет полюсов при z ~ 1, или в виде
=	А7?'* 4. У —*1—:	(XIX.49)
1 — г *	1-г '	(1-г Ч2 1 _₽‘г~‘	v
если №к (г) имеет простой полюс z = 1.
Вычисляя обратное z-преобразование (XIX.47) и учитывая выражения
(XIX.48) и (XIX.49), получим
^ф, (s) = kQ + J ’	(XIX.50)
i=i '
или
п
V*, (S) = kQ + А + 2 rrfe ’	(XIX. 51)
1=2
где
a, = --Jrln₽(.	(XIX.52)
Так как полученные передаточные функции (XIX.50), (XIX.51) должны
соответствовать устойчивой системе и при этом предполагается, что ее по-
люсы — только действительные и простые, то значения ₽£ полюсов выраже-
ния 1ГК (г) находятся в интервале между 0 и 1. В таком случае из соотно-
шения (XIX.52) следует, что значения а,- в выражениях (XIX.50) и (XIX.51)
являются действительными, простыми, конечными и отрицательными, по-
этому такая передаточная функция В7Ф1 (s) может быть реализована с по-
мощью /?С-цепей.
Таким образом, для реализации дискретной передаточной функции
WK (z) на /?С-цепи с помощью последовательной схемы (рис. XIX.8) не-
обходимо, чтобы полюсы 1Гк были простыми, действительными, положитель-
ными и лежали внутри единичного круга на плоскости z (такие полюсы назы-
вают реализуемыми). Эти условия вместе с рассмотренными ранее условиями
физической реализуемости являются необходимыми ограничениями при
реализации последовательной структуры.
Пример XIX.3. Реализовать дискретную передаточную функцию
в которой 0 < b < 1, 0 < а1, при помощи последовательной РС-цепи.
Заданная передаточная функция удовлетворяет условиям реализуемости при помощи
последовательной схемы. В соответствии с выражением (XIX.47), вычисляя обратное г-пре-
образование, получим, что
. 1 — а
1	«.	S + Т----г а
' ’	<Х1Х -53>
где а = — -i-In&. Передаточную функцию Й7ф1 (s) несложно реализовать на 7?С-цепи (см.
гл. VIII), если 1, тогда 1ГФ (s) —минимально фазовая передаточная функция.
Реализация дискретной передаточной функции WK (z) на /?С-цепи
с помощью параллельной схемы, или схемы с обратной связью (рис. XIX.9),
заключается в выборе такой передаточной функции Ц7Фа и соответствующей
ей /?С-цепи, чтобы z-преобразование для данной схемы определялось выра-
жением
Гк (z) = TW" = 1Н-3 {W^ka (s) И/Фа (s)} ’	(XIX.54)
676
Для случая, когда преобразователь
код—аналог имеет нулевой порядок,
выражение (XIX.54) принимает вид
Дискретная коррекция
Рис. XIX.9. Параллельная схема реализа-
ции дискретной передаточной функции
'ГЛ*)	{ к (s)
1 + Ф*
откуда
(Х1Х.55)
В соответствии с условиями физической реализуемости знаменатель
в фигурных скобках правой части соотношения (XIX.55) не должен содер-
жать г-1 в качестве сомножителя, а для этого необходимо, чтобы функция
WK (а) имела одинаковое число нулей и полюсов. В этом случае WK (г)
можно записать как
п
1	+ S
^(2) = -^—.
2	Ьц~1
(=0
и тогда выражение (XIX.55) примет вид
(s) =
п
(b„-l)+S (bl-at) г-1
•_____1=1_______
(п	\
i + 2 atz~l I
1=1	/
(XIX.56)
(XIX. 57)
Из сравнения соотношений (XIX.56) и (XIX.57) видно, что знаменатель
(XIX.57) с точностью до сомножителя (1 — а-1) является числителем пере-
даточной функции WK (z). Пусть функция WK (г) не содержит кратных и
комплексных нулей. Тогда выражение в фигурных скобках формулы (XIX.57),
которое обозначим через Wi (z), разлагается на простые дроби. Если WK (а)
не содержит нуля (z = 1), то
п
+ (Х1Х’58)
и если WK (а) имеет простой нуль в точке а = 0, то
п
= + (Х1Х-59)
1=2 1 Р‘
Заметим, что в полученных выражениях — нули функции WK (а).
Вычислив обратное а-преобразование в выражении (XIX.57) и учиты-
вая соотношение (XIX.58), получим
п
^(s) = ^o+ У 7^-.	(XIX.60)
1=1
где ai определяется зависимостью (XIX.52). Аналогично, для случая, когда
WK (а) имеет нуль при а = 0, с помощью (XIX.59) получим
п
^ф2(5) = *о+4+УгМ;-	(Xix.6i)
1=2
677
Поскольку для реализации функций (XIX.60)* (XIX.61) на /?С-цепях
необходимо, чтобы значения а, были простыми, действительными и неполо-
жительными, коэффициенты в выражениях (XIX.58) и (XIX.59) должны
быть простыми, действительными и лежать в интервале 0 < ₽, < 1. Следова-
тельно, для реализации дискретной передаточной функции WK (z) на RC-
цепи в виде параллельной структуры необходимо, чтобы W\(z) содержала
равное число нулей и полюсов, при этом нули должны быть простыми,
действительными, положительными и находиться внутри единичного круга
плоскости z (такие нули называют реализуемыми). Отметим, что парал-
лельная структура не накладывает ограничений на значения полюсов
функции U7K(z), т. е. по такой схеме возможна реализация передаточной
функции с полюсами вне единичного круга.
Пример XIX.4. Реализовать с помощью ЛС-цепи дискретную передаточную функцию
где 0 < а < 1; b > 1.
Так как заданная функция 1ГК (г) соответствует неустойчивой системе, ее нельзя реали-
зовать при помощи последовательной цепи. Но поскольку нуль IV к (г), равный а, — действи-
тельный, положительный и расположен внутри единичного круга плоскости г, то функция
IV к (z) может быть реализована на RC-цепн в виде параллельной структуры. При помощи
выражения (XIX.55) найдем, что для заданной функции IVK (z)
Тф,W»-{(,-тг?)	<Х1Х-62>
1 .
где а --In а.
Фильтр (XIX.62) легко реализуется с помощью простой запаздывающей iRC-цепи (см.
гл. VIII). Заметим, что в данном случае при а < Ь функция IV ф (з) становится отрицатель,
ной; тогда в схеме реализации (рис. XIX.9) необходимо использовать положительную обрат-
ную связь.
Из условий реализации последовательной и параллельной схем можно
прийти к выводу, что их комбинация позволит реализовать любую передаточ-
ную функцию WK (z), являющуюся дробно-рациональной и физически реали-
зуемой. Общий вид комбинированной структурной схемы приведен на
рис. XIX. 10. Вначале полагаем, что WA (s) = 1.
Для реализации функции (z) при помощи комбинированной струк-
туры разобьем ее на две составляющие
WK(z) = WB(z)Wa(z)	(XIX.63)
следующим образом. В сомножитель WB (z) включим лишь реализуемые
полюсы функции WK (z), а в Wc (г) — только реализуемые нули 1^к (г),
причем Wc (z) должна содержать равное число нулей и полюсов. Далее,
для каждой из составляющих WB (z) и Wc (z) соответственно по формулам
(XIX.47) и (XIX.55) вычисляем параметры фильтров WB (s) = W,^ (s)
и Wc (s) = W<$, (s), реализуемые затем на /?С-цепях, расположенных со-
ответственно в прямой цепи и в цепи обратной связи.
Дискретная коррекция
Рис. XIX.10. Комбини-
рованная схема реализации
дискретной передаточной
функции
678
Пример XIX. 6. Реализовать на ЛС-цепях дискретную передаточную функцию
_	г*1 (1 — 0,4г"1) (1 — 0,95г'1) 1— 0,8г’1 + 0,65г'2)
(z) -	(1 _ г-Х) (1 _ 0(8г_4) (1 _ 0( 15г-Л) х _ 2 5г-Х)
(XIX.64)
Эта функция рациональна по г и физически реализуема, хотя и соответствует неустойчи-
вой системе.
Из выражения (XIX.64) видно, что IFK (г) не может быть реализована на PC-цепи с по-
мощью последовательной структуры, так как два полюса Ц7К (г) находятся вне единичного
круга. Функцию IFK (г) нельзя также реализовать и с помощью параллельной структуры
вследствие наличия пары комплексных нулей и одного бесконечного нуля. Следовательно,
необходимо воспользоваться комбинированной структурой. Для этого разобьем передаточную
функцию IFK (г) на два сомножителя:
1ГК (г) WB (г) WcM =	г'1 (1-0,8^+0,65г-2)______ (1 - 0,4г-1).(1 - 0,95г-1)
kW	(1 —г-4) (1-0,8г'1) (1 —0,15г-1) (1-2,5г-1) (1 + 1,15г’1) ’
(XIX.65)
первый из которых содержит лишь реализуемые полюсы, а второй — реализуемые нули,
причем число нулей первого сомножителя не превышает числа его полюсов, а для второго
сомножителя число нулей равно числу полюсов, что и требуется для возможности реализации.
По выражению (г) в соответствии с формулой (XIX.47) вычисляются параметры последо-
вательной /?С-цепи И/'в (s) в схеме рис. XIX.10, а по функции Wc (г) параметры фильтра
Wc (s).
Если выражения IVф (s) и 1ГФ (s), описывающие соответственно последовательную
1?С-цепь и 1?С-цепь в обратной связи в комбинированной схеме, имеют общий множитель,
например IT'x (s), то для упрощения схемы в целом этот множитель целесообразно реализовать
на отдельной Р С-цеп и (рис. XIX.10). Тогда, очевидно,
УФ1 (s)
Wb (s) ~ IF4(s)
Уф, (s)
Уд(«)
и Wc **
4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММ КОРРЕКЦИИ НА УПРАВЛЯЮЩЕЙ
ЦИФРОВОЙ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАШИНЕ
Наиболее простой и гибкой реализацией дискретных передаточных
функций является их осуществление в виде программ ЦВМ. При этом воз-
можны три способа составления программы коррекции по известной пере-
даточной функции WK (г): непосредственное, последовательное и параллель-
ное программирование, которые были рассмотрены в гл. XV. Выбор метода
программирования определяется требованиями к объему памяти ЦВМ и
временем запаздывания, вносимым программой в контур управления за счет
проведения вычислений.
Пример XIX.6. Составить программу реализации дискретной коррекции, имеющей пере-
даточную функцию
Г м	0.636 (1 -0,0185г-1) (1-0,135г-1)
к (г) =	-----(F+o;b5FTU+O,5l6^j------’ (XIX .66)
на одноадресной цифровой вычислительной машине при минимальных требованиях к объему
памяти машины [80].
Исходя из требований, предъявляемых к программе реализации, выбираем метод после-
довательного программирования (см. гл. XV). Разбиваем передаточную функцию (XIX.66)
на сомножители
w, Ul(z) 1—0,018г'1.	ZYTY
^(г) = -ОГ= 1+6,05г~1>	<Х1Х-67)
П7 /21 - ^2 (г) _ 1-0,0135г-1
aW Е (г)	1+0,516г-1’
(XIX.68)
Затем, переходя от соотношений (XIX.66)—(XIX.68) в г-плоскости к временной области,
получим следующие программирующие функции:
U1 (кТ) = е (кТ) — 0,0185е[ (к — 1) Т] — 0,05+ [ (к — 1) Т];
+ (кТ) = + (кТ) - 0,135+ [(к — 1) Т] —0,516+ [(к — 1) Т];
и (кТ) = 0,636+ (кГ).
(XIX.69)
679
В-соответствии с уравнениями (XIX.69) составим программу вычисления на ЦВМ управ--
ляющего воздействия и (кТ) методом последовательного программирования, используя при
этом принятые стандартные обозначения [19].
Программирование проводим в условных адресах. Для хранения численных значений
постоянных коэффициентов (с учетом знаков), входящих в уравнения (XIX.69), выделяем
соответственно ячейки, имеющие условные адреса к + 1, к + 2, к + 3, к + 4, к + 5. Пере-
менные величины уравнений (XIX.69) е (к7), е [(к — 1) 7], иг (кТ),	[(к — 1) 7], и2 (кТ),
и2 1(к — 1)7'] будем хранить в ячейках с номерами а + 1, а + 2, ..., а + 6. Для хранения
промежуточных результатов выделим ячейки 6+1, 6 + 2, ... — столько, сколько понадо-
бится при составлении программы.
При вычислении значения и (0) управляющего воздействия в начальный момент времени
согласно формулам (XIX.69) необходимы значения величин их (7), и2 (—7), е (—7), которые
полагаем равными нулю. В составляемой программе вычислений (табл. XIX.1) для этой цели
предусмотрим введение нуля в ячейки а + 2, а + 4, а + 6, соответствующие указанным
величинам. Эта часть программы, расположенная в ячейках 01—04, используется лишь при
первом обращении к ней, а.при последующих просчетах управляющего воздействия обходится
безусловной передачей управления (команда ячейки программы 31) в ячейку 05 после оконча-
ния вычислений за очередной такт.
Оставшаяся часть программы, расположенная в ячейках памяти с 05 по 31, выполняется
ежетактно, при каждом просчете, причем та часть программы, которая находится в ячейках
05—23, непосредственно вычисляет значение и (кТ) в соответствии с формулами (XIX.69).
Рассмотрим подробно реализацию первой из этих формул, которая осуществляется командами
программы с 05 по 13.
Прежде всего в ячейку а + 1 вводится текущее значение величины ошибки в (к7) (команда
ввода, расположенная в ячейке 05), после чего в арифметическое устройство (АУ) вносится
значение хх = —0,0185, хранящееся в ячейке к + 1. Эта операция выполняется командой
ячейки 06. Следующая команда в соответствии с используемой системой команд одноадресной
машины (см. гл. VI) осуществляет перемножение содержимого АУ, где к моменту выполнения
этой команды находится значение кх, на содержимое ячейки а + 2, где хранится текущее зна-
чение величины е [(х — 1)7] (при первом просчете это значение равно нулю, а для последу-
ющих просчетов величина е [(х— 1) 7] формируется, как будет показано ниже, командами
программы 25 и 26). Полученное произведение, представляющее собой второе слагаемое в пра-
вой части первого из уравнений (XIX.69), в результате выполнения команды 07 будет занесено
в АУ. Последующая команда 08 в соответствии с программой отправит это произведение
в ячейку 6 + 1, предназначенную для хранения промежуточных результатов. После этого
(команда 09) в АУ из ячейки памяти к + 2 вводится коэффициент к2 = —0,05, а команда 10
Таблица XIX.1
Программа реализации дискретной коррекции на УЦВМ
Яй ячей- ки	Код операции	Примечания	№ ячей- ки	Код операции	Примечания
01 02 03 04	<Р> -> -	+ 2) -> (а + 4) -> {а + 6)	Ввод нуля в ячейки, где находятся зна- чения е [к — 1) 7], U1 [(к - 1) 7], “2 К» — О Л	14 15 16 17 18 19 20 21	(к+3> X (а+ 4) -* <6+ 1) (х + 4) —> X (а + 6) + (6 + 1) + {а + 3) -* <а + 5)	Вычисление значения и2 (кТ)
05	inp <а+ 1)	Ввод значения е (к7)	22 23	X (х+ 5) -> <6+ 1)	Вычисление значения и (кТ)
			24	out (6+1)	Вывод значения и (кТ)
06 07 08 09 10 11 12 13	(к+ 1) X (а+ 2) -> (6 + 1) (к + 2> X (и 4“ 4) + (а + 1 > + <6 + 1 j (a -j- 3}	Вычисление значения Ui (к7)	25 26 27 28 29 30	(а + 1) -> -* (а + 2) (а + 3)-» -> (а+ 4) (а + 5) -» -» (а + 6)	Переадресация значе- ний е,	и-2
			31	БП (05)	Передача управления на начало нового расчета
68Q
осуществит перемножение содержимых АУ и ячейки а 4- 4 (значение uj [(к — 1) Г]). При этом
произведение будет занесено в АУ (предыдущее значение АУ не сохраняется). Очередная
команда сложит полученное ранее произведение (содержимое АУ) и значение е (кТ) (содержи-
мое ячейки а + 1), а результат занесет в АУ. Далее в соответствии с командой программы 12
складываются содержимые АУ в ячейке Ь 4- 1,« которой, напомним, находится произведение
кхе [(к—ОТ]. Следующая команда переносит результат предыдущей операции, равный
Uj (кТ), из АУ в ячейку а 4* 3. Таким образом, часть программы, находящаяся в ячейках
программы с 05 по 13, осуществляет вычисление значения иг (кТ) в соответствии с первой из
формул (XIX.69) и занесение его в ячейку памяти а 4* 3.
Аналогичным образом последующие команды программы 14—21 реализуют вычисление
очередного значения иг (кТ) с засылкой его в ячейку памяти а 4* 5, а команды 22, 23 реали-
зуют последнюю нз формул (XIX.69). Команда 24 выводит вычисленное значение и (кТ) из
ячейки (b -|- 1) на преобразователь код — аналог. На этом вычисления заканчиваются.
Следующая часть программы (команды 25—30) осуществляет переадресацию численных
значений переменных величин е, ult u2, так как значение, например, величины е (кТ) в теку-
щий момент времени становится значением е [(к— 1) 7] в последующий тактовый момент.
Для осуществления переадресации величины ошибки е значение е (кТ), находящееся в ячейке
«4-1. вначале переносим в АУ (команда 25), затем из АУ переносим в ячейку а 4- 2, соответ-
ствующую величине е [(к — 1) 7], что осуществляется командой 26. Точно так же проводится
переадресация величин ut, иг...
Наконец, команда программы 31 выполняет безусловную передачу управления в ячейку 05
на начало расчета нового значения управляющего воздействия.
Таким образом, теперь можно определить, что сама программа реализации дискретной
передаточной функции 1ГК (z) (XIX.66) занимает 31 ячейку памяти, при этом требуется пять
ячеек для хранения постоянных коэффициентов, шесть ячеек для хранения переменных вели-
чин и достаточно одной ячейки (b + 1) для хранения промежуточных результатов.
Из несложного анализа составленной программы следует, что цифровая вычислительная
машина вносит в контур управления временное запаздывание, равное времени выполнения
команд с 05 по 24 (при самом первом просчете — с 01 по 24).
ГЛАВА XX
СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Задача регулирования. 2. Принцип максимума. 3. Теорема
о числе переключений. 4. Примеры применения принципа максимума.
5. Метод динамического программирования. 6. Синтез непрерывных
оптимальных систем.
Рассмотренные в гл. XVII—XIX методы синтеза систем автоматического
регулирования были связаны с получением корректирующих устройств,
обеспечивающих заданные показатели качества и точности процессов ре-
гулирования. Эти корректирующие устройства являются линейными. Ис-
пользуемые при таком методе синтеза критерии качества задаются во вре-
менной или частотной областях, либо косвенным путем с помощью интеграль-
ных оценок. При их синтезе не учитываются ограничения амплитуды
сигналов или их мощности.
Постановка задач оптимального управления требует применения функ-
ционала качества и позволяет учитывать ограничения, налагаемые на уп-
равляющие воздействия или фазовые координаты. Задачи синтеза таких
систем решаются с помощью принципов максимума или метода динамиче-
ского программирования. В этих случаях корректирующие устройства (или
законы управления) являются существенно нелинейными. Аналитические
методы решения таких задач хорошо разработаны для уравнений объектов
регулирования не выше второго порядка. Решение оптимальных задач
с объектами регулирования выше второго порядка встречает большие вы-
числительные трудности, оно может быть получено с привлечением циф-
ровых вычислительных машин.
Перейдем к конкретному рассмотрению задач оптимального управления
объектами автоматического регулирования. Прежде всего оценим различные
постановки задачи управления.
1. ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Переход объекта регулирования из одного состояния в другое можно
осуществлять различными способами. В связи с этим возникает задача вы-
бора такого способа регулирования, который с определенной точки зрения
окажется наиболее выгодным. Состояние объекта задается в каждый момент
времени фазовыми координатами у1( у2, . . ., уп, которые меняются с тече-
нием времени. Движением объекта можно управлять с помощью функций
Ml (/), м2 (/), . . ., ит (0.
Нетрудно себе представить движущийся объект, снабженный «рулями»,
положение которых можно изменить в допустимых пределах. Предпола-
гается, что, зная состояние фазовых координат объекта в начальный момент
времени t0 и выбрав команды управления иг (0, м2 (0, . . ., ит (f), можно
однозначно определить поведение объекта для любого времени t > t0.
В теории автоматического регулирования управляющие функции
«1 (0, . . ., ит (t) принято называть входными переменными, а фазовые ко-
ординаты (0, ...» уп (0 — переменными состояния системы регулиро-
вания, относительно которых задача регулирования может быть сформулиро-
вана следующим образом: в начальный момент времени t0 объект регулиро-
вания находится в фазовом состоянии yt (t0), уг (t0), . . ., уп (/0); необхо-
димо выбрать такие команды иг (t), tz2 (0, . . ., ит (t), с помощью которых
объект перейдет в заданное конечное состояние уг (tK), у2 (tK), . . уп (tK)
(рис. XX. 1).
Поскольку в общем случае (см. гл. IX) переменные состояния системы
не являются ее выходными координатами, то для корректного решения за-
682
Рае. XX. 1. Траектория
изменения фазового состоя-
ния объекта регулирова-
ния
Рис. XX. 2. Структурная схема
системы автоматического регу-
лирования с регулятором
Рис. XX.3. Область из-
менения функции управле-
ния
дачи регулирования необходимо наряду с регулятором ввести в контур
управления измерительное устройство, на вход которого подаются выходные
координаты объекта регулирования, а с его выхода снимаются переменные
состояния уг (i), у2 (/), . . ., уп (f), и относительно них регулятор формирует
управления ur (t), и2 (Z), . . ит (0, поступающие на вход объекта
(рис. XX.2).
Закон управления можно выбрать из различных условий. В частности,
его можно задать таким образом, чтобы переходный процесс был в некотором
смысле оптимальным, например, чтобы энергия, необходимая для перехода
системы из одного состояния в другое, была минимальной. Если управляю-
щие функции выбраны из условия минимального времени перехода, то
такие процессы называются оптимальными по быстродействию. Как правило,
параметры иг, ..., ит подчинены ограничениям. Естественно считать, напри-
мер, что тяга двигателя не может быть как угодно большой по величине.
Будем полагать, что в пространстве переменных ut, . . ., ит задано
некоторое множество U, и управляющие параметры в каждый момент вре-
мени принимают лишь такие значения, чтобы точка йх, и2, . . ., ит принадле-
жала множеству U (ut (I), . . ., ит (/)) £ U. Множество U называют об-
ластью управления.
Для технических задач наиболее часто встречаются ограничения вида
dt с щ < с{ — const, i = 1, 2,..., т.	(XX. 1)
В этом случае множеству U соответствует /n-мерный параллелепипед;
например, при i = 2 область управления представляет собой прямоуголь-
ник (рис. XX.3).
В более общем случае имеем
У aikUi <-bk, k— 1, ..., т,	(XX.2)
1=1
и множество U представляет собой выпуклый многогранник.
Следует отметить, что при условиях (XX.1) и (XX.2) множество U
является замкнутым, т. е. параметры Mlt и2, . . ., ит могут принимать зна-
чения при любом t как внутри области U, так и на ее границе.
Поскольку U есть множество в пространстве параметров их, и2, . . ., и„,
каждое управление u (t) — (iq (t), и2 (i), . . ., ит (/)) является векторной
функцией на отрезке t0 < t < tK, значения которой находятся в области
управления U. На управление и (0 накладываются условия кусочной не-
прерывности и кусочной дифференцируемости. Эти управления называют
допустимыми, т. е. для таких управлений и (0 каждый компонент непреры-
вен для всех рассматриваемых t за исключением лишь конечного числа то-
чек, где функция щ (t) (i = 1, 2, . . ., т) может претерпевать разрывы пер-
вого рода. Кусочно-непрерывные управления являются безынерционным
способом управления (например, рулей), поскольку значения u (t) в момент
разрыва могут мгновенно перескакивать из одной точки области управления
в другую. ’
683
2. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
Пусть закон изменения фазового состояния объекта записывается в виде
системы дифференциальных уравнений
= (У1......Уп, ««)» i = 1. 2, ..п, (ХХ.З)
где функции ft (у1У . . уп) непрерывны по совокупности аргументов у1У
у2, . . уп и непрерывно дифференцируемы по уъ у2, . . уп; заданы на-
чальные у (t0) = (г/х Go), у2 Go), . . ., уп G„)) и конечные у (tK) = (г/j (Q,
у2 (tK), . . уп GK)) условия; управление и G) принадлежит некоторой зам-
кнутой области U.
Тогда задачу определения оптимальных управлений можно сформулиро-
вать так: среди всевозможных допустимых управлений и G) £ U, которые
переводят фазовое состояние объекта из положения yt (t0), у2 (i0), . . .
. . уп (t0) в положение уг (ZK), у2 (tK), . . ., уп GJ, найти такое управле-
ние, при котором функционал
‘к
J= J/o(y(0,	(ХХ.4)
/о
принимает минимальное значение.
В случае, когда f0 (у (t), и (t)) = 1, функционал (ХХ.4) будет
J = tK - t0,	(ХХ.5)
и задача определения оптимального управления будет обозначать выбор
таких управлений, которые обеспечивают минимальное время перехода
из начального положения у (t0) в конечное у (Q.
Если к фазовым координатам уг G), . . ., уп (f) добавить еще одну ко-
ординату у0 (t), определяемую из уравнения
-^- = ?о(Уи Уг...Уп, и),
где  • •> Уп, и) — подынтегральная функция (XIX.4), то сформулиро-
ванная задача сводится к определению такого решения системы дифферен-
циальных уравнений
^-^fi(y1,yi,...,yn,u),i = O,l,...,n,	(ХХ.6)
когда фазовая координата у0 (t) достигает наименьшего значения при iK,
а другие координаты удовлетворяют заданным начальным и конечным ус-
ловиям.
Непосредственно из формулировки задачи в случае автономности си-
стемы (ХХ.6) вытекают следующие свойства оптимальных управлений.
При сдвиге характеристики управления вдоль оси времени t свойства
управлений не меняются (рис. ХХ.4), т. е. если управление и (/), t0 <
с t с tK переводит фазовую точку из состояния у (£0) в состояние у GK)
и придает функционалу (ХХ.4) значение J, то управления и G 4~т), t0—
— г < t < tK — т, при любом действительном т также переводят фазовую
точку из состояния у Gq) в состояние у GK), и функционал (ХХ.4) прини-
мает то же значение J.
Далее, пусть задана конечная система точек у0, ylt . . ., gt фазового
пространства Y и существует управление щ (t), которое переводит фазовую
точку из состояния «/,_! в состояние г/;- и придает значение функционалу
(ХХ.4); тогда существует управление u (/), переводящее фазовую точку из
состояния у0 в положение yt. При этом функционал (ХХ.4) принимает зяа-
684
Рис. XX.4. Функция оптимального управления для
стационарных систем со сдвигом во времени
Рис. XX. 5. Иллюстрация свойств оптимального
управления
чение ./1+А+ ’ +-Л- Из перечисленных свойств следует, что всякий
отрезок оптимальной траектории (аналогично для оптимального управле-
ния) является также оптимальной траекторией.
Предположим, что и (0, t0 с t < tK, является оптимальным управле-
нием, переводящим фазовую точку из положения у (t0) в положение у (tK),
а соответствующее этому управлению у (0 является оптимальной траекто-
рией. Пусть значения функционала (XX.4) на отрезках оптимальной тра-
ектории при t0 с t с т0, т0 « / ст1( с t < тк соответственно равны
/i, J2, А (рис. XX.5). В этом случае при управлении и (0, t0 с t <. tK,
функционал (XX.4) принимает значение J =	-f- J2 J3.
Предположим, что управление и (0 на отрезке т0 < t с Tj не опти-
мально; тогда существует управление и' (0, которое переводит фазовую
точку из положения у (т0) в положение у (xj, и при этом функционал
(XX.4) имеет значение J' < J2. Отсюда следует, что существует новое
управление, переводящее фазовую точку из положения у (i0) в положение
у и придающее функционалу (XX.4) значение J' =	+ Л) < J-
Это противоречит первоначальному условию, что и (0 на отрезке t0 <
< t с tK оптимально.
Решение поставленной задачи дает теорема — принцип максимума
Л. С. Понтрягина, доказательство которой приводится в работе (58]. Прежде
чем сформулировать эту теорему, рассмотрим, кроме основной системы диф-
ференциальных уравнений (XX.6), системы уравнений относительно до-
полнительных переменных ф0, фх, . . ., ф„:
ТГ-................................»• (ххл
/=0
Если на всем отрезке t0 «с t < tK определены управление и (0 и тра-
ектория у (0, то система (XX.7) в силу линейности и однородности допускает
единственное решение ф (0 — (ф0, лрт, . . ., ф„) при любых начальных усло-
виях для ф(-. Решением системы (XX.7) являются непрерывные функции
фг (0, имеющие всюду непрерывные производные по 0 кроме конечного
числа точек, где имеет место разрыв управления и (t).
Системы уравнений (XX.6) и (XX.7) объединяются одной записью при
введении функции &€ переменных у0, ух, . . ., уп, ф0, фп . . ., ф„, иг, . . .
. . ., ит, называемой гамильтонианом'.
п
^(Ф, У, «)= 2 фЛ(у. и).	(ХХ.8)
у=о
Легко проверить, что системы уравнений (XX.6) и (XX.7) с помощью
функции (ф, у, и) объединяются в одну гамильтонову систему:
где i — 0, 1, . . ., ti-
dy, _ д&е .
dt ~ dip; ’
<ft|y ____ д&в
dt дщ ’
(ХХ.9)
(XX. 10)
685
При фиксированных значениях фг, . .	ф„, ylt . . уп функция 36
является функцией параметра u £ U. Обозначим точную верхнюю грань
значений функции 36 через Л4 (ф, у):
Л4 (ф, у) = sup 36 (ф, у, u).	(XX. 11)
и £ и
Если точная верхняя грань значений функции 36 достигается в неко-
торой точке области управления U, то М (ф, у) является максимальным зна-
чением функции 36 при заданных ф и у.
Пусть существует такое допустимое управление и (/), t0 с t с tK,
при котором траектория у (/) проходит в момент времени t = t0 через на-
чальную точку у (t0) = (О, у! (Zo).уп (Zo)) и в момент времени tK через
точку (g, У! (7К), . . уп (£к)), где g — произвольное число.
Сформулируем теперь следующую теорему.
Теорема 1 (принцип максимума) Ч Для оптимальности управления и (£)
и траектории у (t) необходимо существование такой ненулевой непрерывной
вектор-функции ф (t) = (ф0 (t), ipj (t), . . ., фп (t)), соответствующей функ-
циям u (i) и у (/), что:
1) при любом t на отрезке t0 < t < tK функция 36 (ф (£), у (0> и) пере-
менного и £ U достигает в точке и = и (0 максимума:
36 (ф ((), у (0. и (0) = М (ф (0, у (/));	(XX. 12)
2) в конечный момент времени tK выполняются соотношения
ф0(/к)<0; М(фО уО = 0.	(XX. 13)
Кроме того, если величины ф (t), у (t), и (/) удовлетворяют системе
уравнений (XX.9), (XX.10) и условию 1), то функции ф0 (Z) и М. (ф (£), у (0)
переменного t являются постоянными, и условие 2) выполняется в любой
момент времени на отрезке t0 с t < tK.
Аналогичное необходимое условие получается из приведенной теоремы
для оптимальности по быстродействию. В этом случае /0 (у, и) = 1, и функ-
ция 36 имеет вид
^ = Фо+£ФЛ(у. «)•
/=>
Поскольку уравнение (XX.9) при I = 0 не нужно, то гамильтонова
система будет иметь вид
dyi две* .
dt = <Этрд- ’
d^t _ дЗС*
dt	dyi ’
где £ = 1,2, ...., п.
Гамильтониан запишем в виде
п
^* = ДМ(у- и).
Верхнюю грань значений функции 36* при фиксированных значениях ф
и у снова обозначим М (ф, у); тогда на Основании соотношения (XX. 15)
36* = 36($, у, и) — ф0.
Условия (XX.12) и (XX.13) будут иметь вид
:	^*(ф(0,у(0, и(0) = М(ф(/),у(0) = -фо>О. (XX. 16)
1 Теорема 2 приведена в п. 3 данной главы.
(XX. 14)
(XX. 15)
686
Принцип максимума дает необходимые условия оптимальности, по-
этому если некоторая траектория удовлетворяет принципу максимума, то
это, вообще говоря, еще не значит, что найдено оптимальное решение. В ряде
случаев выделение оптимальных решений требует дополнительных условий.
Из всех фазовых траекторий (решений), начинающихся в точке у (Zo)
и заканчивающихся в точке у (/к), принцип максимума позволяет выделить
отдельные траектории, которые удовлетворяют условиям (XX.9)—(XX. 13).
В формулировке принципа максимума имеется 2п 4- т 4- 2 неизвест-
ных функций:
Уо, У1< Уг, • • •, Уп., Фо- Ф1-  • • - фп- ^1- ^2- • • • > ^т-
Следовательно, для решения задачи нужно иметь 2« 4- 2 начальных
значений для решения системы дифференциальных уравнений (XX.9),
(XX. 10) и дополнительных соотношений для определения ии и2, . . ., ит.
Рассмотрим равенство (XX. 12). Очевидно, что из него получается т
соотношений между неизвестными функциями.
Действительно, если точка и (/) является внутренней точкой области U,
то для выполнения условия (XX. 12) необходимо обращение в нуль т част-
ных производных:
дЖ (Ф (/), у (0, al I	п t 1
-------ч------- == U, I = 1,..., tn.
OUi	|u=5u (О
Если точка и (0 лежит на (т — 1)-мерной грани области U, то должно
выполняться условие принадлежности точки u (t) этой грани, что дает одно
соотношение, и должны обращаться в нуль частные производные ей? (ф (О,
у (0, и) по всем направлениям в этой грани, т. е. еще будет т — 1 соотно-
шений. Аналогично будет и для области с меньшим числом граней. Таким
образом, из условий (XX.9), (XX. 10), (XX. 12), (XX. 13) все неизвестные
функции могут быть найдены, если заданы 2п 4- 2 начальных условий.
Поскольку функции фг (I) определены с точностью до общего множителя,
функции 3€ однородны и один из параметров связан условием М (ф (tK),
У (4)) “ 0, то остается только 2п начальных условий. Этими 2п параметрами
нужно распоряжаться так, чтобы траектория у (/) при заданном t0 прохо-
дила через точку у (/0) и при каком-то I > t0 проходила через точку у (tK).
Число tK — t0 также является определяемым параметром. Условие прохож-
дения траектории через точки (0, уг (t0), . . ., уп (t0)), (£, уг (Q, . . .
. . ., уп (/к)) дает 2п 4- 1 соотношений.
Например, если принципу максимума удовлетворяет только одна тра-
ектория и по техническим соображениям оптимальная траектория постав-
ленной задачи должна существовать, то найденное решение и является
оптимальным.
3.	ТЕОРЕМА О ЧИСЛЕ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЙ
Рассмотрим частный, но важный для практических приложений, слу-
чай о линейных оптимальных быстродействиях, когда уравнения состояния
объекта линейны и минимизируется время перехода ?к — Со — J dt. При-
^0
мем; что закон движения объекта записывается в виде линейной системы
дифференциальных уравнений
-$-= S Ш + ЕМ-	(XX. 17)
*-=1	i-i
или в векторной форме
-J-=Ay4-Bn,	(ХХ.18)
687
где А — матрица коэффициентов, имеющая все действительные собственные
значения. Это означает, что характеристическое уравнение системы (XX. 18)
а11 —	а12	• • • а1п
Д __	°21	^22 — 1 ...	а21
ая1 • • • йл2 • • • апп — h
имеет только действительные корни.
Множество U представляет собой параллелепипед, определенный не-
равенствами
а,- с i= 1, 2...........т.	(XX.20)
Функция (ф, у, и) в соответствии с (XX.8) имеет вид
п	п	пт
эе = (ф, Ау) + (ф, Ви) = S Ф/ 2	+ 2 ф, Ё ьцщ- (хх.21)
/=1	fsel
Вспомогательная система уравнений (XX. 10) записывается следующим
образом:
Л/ Д
(ХХ.22)
или в векторной форме
= - АТФ,	(ХХ.23)
где Ат — матрица, транспонированная к исходной А. Очевидно, что
(ф, у, и) как функция u £ U достигает максимума одновременно с функ-
цией (ф, В, и). Таким образом, на основании теоремы I можно заключить,
что если и (0 — оптимальное управление, переводящее фазовую точку
у о (0 в ук (0, то существует такое решение ф (0 вспомогательной системы
(ХХ.23), что
(Ф(0, Ви (0) = Л4 (ф (0).	(ХХ.24)
Уравнение (ХХ.23) не содержит неизвестных функций у (0 и и (0,
поэтому все решения этого уравнения могут быть найдены, а затем опреде-
ляется управление и (0 как решение уравнения (ХХ.24). Так как функция
(ф (0, Ви) линейна, то она либо постоянна, либо достигает своего максимума
лишь на границе многогранника U. Поскольку это соображение применимо
к каждой грани, то функция (ф (0, Ви) достигает своего максимума либо
лишь в одной вершине многогранника U, либо на целой грани, причем в по-
следнем случае достижение максимума возможно лишь для конечного числа
значений t [31 ]. Точку разрыва оптимального управления называют точкой
переключения.
В общем случае число переключений зависит от значений коэффициентов
системы уравнений (XX. 17), от вида многогранника U и от выбора точек
У (U и у ((к).
Рассмотрим систему (XX. 18) при условии выполнения (XX.19) и сфор-
мулируем теорему о числе переключений, которая впервые была доказана
А. А. Фельдбаумом [79].
Теорема 2. Пусть область управления U представляет собой параллеле-
пипед, определяемый неравенствами (XX.20), и все собственные значения
матрицы А, составленной из коэффициентов уравнений (XX. 17) при неиз-
вестных yt, действительны. Тогда для каждого ненулевого решения ф (0
уравнений (ХХ.22) соотношение (ХХ.24), аналогичное выражению (XX.12),
однозначно определяет управление и (0 — («1 (0........ит (0)- При этом
688
оказывается, что каждая из функций uk (k = 1, . . т) кусочно-постоянна,
принимает только значения ak и и имеет не более (п — 1) переключений
(не более п интервалов постоянства), где п — порядок системы уравнений
(X X. 17).
Доказательство. Запишем подробно функцию (ф(^), Ви) в виде
п т	т / п
(Ф(О, Ви) = 2 S	2 I 2 ^ibjiui
1=1	r=i \/=i
Эта функция достигает максимума при условии, что каждое из слагае-
мых
п
L Ф/ (0 b/iub t = 1, 2, ..., tn
i=l
принимает максимальное значение. Следовательно, функция и( принимает
п
значение az, если	отрицательна, и значение если
п
2	положительна. Таким образом, точками переключения для уп-
/—1
п
равления w, будут те значения t, при которых У ф, (0 bjt обращается
в нуль.	'
Заметим, что теорема 2 будет доказана полностью, когда установим,
что линейная комбинация функций фх, . . ., ф„, не равная тождественно нулю,
имеет не более чем (п — 1) действительных корней.
Если известно решение линейных однородных уравнений с постоянными
коэффициентами, то каждая из функций фх (t), . . ф„ (/) записывается
в виде
Л (0 & + h (0 &	eV,	(ХХ.25)
где	— попарно различные собственные значения матрицы Ат;
f1 (/), . . ., fn (t) — многочлены, степень которых на единицу меньше крат-
ности соответствующих собственных чисел.
п.
Выражение У ф, (/) Ьа имеет вид, аналогичный выражению (ХХ.25).
,=1
Все числа . . ., действительны, так как по условию собственные числа
матрицы А, а следовательно, и матрицы А* действительны. Обозначим
кратность собственного значения тогда степень многочлена Д (t) не пре-
вышает числа vz — 1, и поэтому по лемме, изложенной ниже, число действи-
тельных корней функции (ХХ.25) не превышает
(vi — 1) + (v2 — 1) + • • • + (Уг — 1) + г ~ 1 = vi 4" • ‘ • 4" vr — 1 == га — !
Таким образом, теорема 2 доказана полностью. При доказательстве
теоремы 2 была использована следующая лемма.
Лемма. Пусть	кг — действительные попарно различные числа;
fi (t), . . fr (t) — многочлены с действительными коэффициентами, имею-
щие степени соответственно vlt v2, . . ., vr. Тогда функция
Д (0	4- f* (О	(ХХ.2б)
имеет не более vx + v2 -р • • -f- vr 4- г — 1 действительных корней.
Доказательство. При г — 1 лемма справедлива, так как функция
/х (0 ex‘z имеет не более чем Vj действительных корней. Пусть лемма спра-
ведлива для (tn — 1) слагаемых, докажем ее для т слагаемых выражения
(ХХ.26).
689
Предположим, что лемма неверна; тогда функция (XX.26) имеет, по
крайней мере, 54 4-v2	4- т действительных корней. Умножим
функцию (ХХ.26) на е-^, что не меняет числа ее корней; тогда
fi (/) e<S“Mz 4- ft (0	+	+ frl (/) е( W-*) Ч fr (f). (ХХ.27)
Функция (ХХ.27) также имеет не менее v, 4- v2 -]-••• 4-v, 4. т дей-
ствительных корней. Поскольку между двумя действительными корнями
функции (ХХ.27) лежит, по крайней мере, один корень производной от этой
функции, то (уг 4- 1)-я производная от выражения (ХХ.27) имеет не менее
(vi 4* v2 4* *   + xr m)— (vr 4“ 1) vi 4~ v2 4~ • • • 4- xr-i 4“ (m — 1)
действительных корней.
Легко получить (yr 4- 1)-ю производную выражения (ХХ.27) в виде
gt (/) e4i”4)f4- ga (t)	>* 4----1- gr_^ (t)	\	(XX. 28)
где числа — %r, . .	X,., — попарно различны, а степени многочле-
нов gc (t) соответственно равны v(. По индукции функция (XX.28) имеет
не более 4- v2 4- - • • 4- vr_: 4- (г — 1) — 1 действительных корней, а это
противоречит только что сказанному. Следовательно, лемма справедлива.
4.	ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА
Рассмотрим несколько примеров применения принципа максимума для вычисления опти-
мальных процессов.
Пример XX. 1. Пусть движение объекта описывается системой уравнений
dt В1'
.	(ХХ.29)
и управление и ограничено:
— 1 I.
(XX. 30)
Определим такое управление и, при котором из заданного начального состояния у,- (/0);
У» (^о) фазовая точка попадает в начало координат (0, 0) за минимальное время.
Гамильтониан е№ (ip, у, и) в рассматриваемом- случае запишется следующим образом:
ёЖ (ф, у, и) = ф0 4- ф1У2 4- ф2а.	(ХХ.31)
Для дополнительных переменных ф1 и ф2 получаем систему уравнений
которая легко решается:
Ф1— Ср ф2 — — С±14- С2,
интегрирования, а ф0»= const.
где С^, С2 — постоянные
Учитывая условия (ХХ.ЗО) и (ХХ.31), определяем оптимальное управление [см. выра-
жение (ХХЛ2>):
1-1,Фг(0<0.
Поскольку известно выражение фа (f), запишем и* (t) в виде
u* (t) -^sign Фа (0 = sign (— Cft 4- Са).
(XX ЛЗ)
690
Рис. ХХ.6. Оптимальные фазовые тра-
ектории для и* = 1 и и* = —1
Рис. XX.7. Блок-схема системы
управления к примеру XX.2
Линейная функция —СХ1 4- Cs мбжет менять знак на интервале t -g: tK ие более
одного раза, поэтому оптимальное управление и* (I), являясь кусочно-постоянной функцией,
принимающей значения ±1, имеет не более двух интервалов постоянства (не более одного
переключения).
Для интервала времени, где и* = 1, оптимальная траектория определяется из уравне-
ний (XX.29) и имеет вид
У! = 4-^ + С-	(ХХ-34>
Аналогично для интервала времени, где и* = —1, оптимальная траектория будет
У1 = -^-у1 + С.	. (ХХ.35
Таким образом, имеем два семейства Парабол, соответствующих (XX.34) и (ХХ.35):
по параболам (XX.34) фазовые точки движутся снизу вверх (так как уг — +1 > 0), а по пара-
болам (ХХ.35) фазовые точки движутся сверху вниз (так как у2 = —1 < 0). Искомая траек-
тория должна попасть в начало координат, поэтому для начальных точек, не находившихся
в начальный момент времени на параболе, проходящей через начало координат, фазовая
траектория состоит из двух кусков парабол, примыкающих друг к другу, причем второй кусок
параболы проходит через точку (0, 0).
На рис. ХХ.6 показаны все фазовые траектории, представляющие собой два семейства
парабол (для и* = 4-1 и для и* = —1) с направлением движения. Линия ВОД состоит из Двух
дуг парабол: АО — дуга параболы = у%/2, расположенная в нижней полуплоскости; ВО —
дуга параболы уг = —уя/2 в верхней полуплоскости. Если начальная точка ух (t0), уг (Zo)
находится выше линии ВОА, то фазовая точка должна двигаться под действием управления
и* = —1 до тех'пор, пока не выйдет на дугу АО, где управление переключается и становится
равным 4-1 вплоть до прихода в точку (0, -0). Если начальная точка ух (/0), У г Uo) находится
ниже кривой АОВ, то управление и* = 4-1 действует до момента выхода на дугу ВО, затем
происходит переключение управления иа и* = —1 до прихода в начало координат.
Задание начальной точки ух (f0), уг (<0) однозначно определяет оптимальную траекторию
для рассматриваемой, задачи.
Пример XX.2. Определить оптимальный по быстродействию закон управления объектом
регулирования, состоящим из двух интегрирующих звеньев, если заданы воздействия:
управляющее
g (t) = Ав 4- Atl;
возмущающее
Полученный оптимальный закон управления реализовать на аналоговых элементах.
Составим блок-схему системы автоматического регулирования в виде, показанном на
рис. XX.7. Регулятор системы представляет собой аналоговое вычислительное устройство.
Составим уравиеиия’ динамики системы автоматического регулирования:
ф	(XX.36)
= ...........................
8 (0 =g (О —у (О- J
691
Из уравнений (XX.36) можно найти одно уравнение для системы регулирования, запи-
санное относительно ошибки:
(ХХ-37)
Подставив в полученное уравнение воздействия, получим
r1r2-g- = -«.	(ХХ.38)
Будем считать, что управление, так же как и в первом примере, ограничено:
— 1 1.
Приведем уравнение (ХХ.38) к системе (XX.29); для этого введем переменные:
t 1
Х~ Ti ’
„	}	(ХХ.39)
Тогда
(ХХ.40)
Пользуясь уравнениями (XX.31) и (XX.32), получим оптимальное уравнение в виде
или
u*(0 = —signifo.	(XX.41)
По аналогии с первым примером для интервала времени, где и* = 1, оптимальная тра-
ектория
г = -~у* + С,	(ХХ.42)
а для интервала времени, где и* = —1,
8=-y^ + C'‘	(ХХ.43)
Таким образом, получены два семейства парабол. Уравнения линии переключения
получим при С — С' = 0, т. е.
в+^М-=0.	(ХХ.44)
На основании последнего уравнения нетрудно записать закон относительно управления
в виде
CT = e + -L!±L,	(ХХ.45)
Для реализации данного закона управления перейдем к первоначальным переменным.
Для этого, подставив в первое уравнение (ХХ.40) соотношение т= t!Tlt получим
Ti^- = y.	(XX.46)
Кроме того,
в=-Ь-е.	(ХХ.47)
Пользуясь выражениями (ХХ.45)—(ХХ.47), сформируем на аналоговых элементах
оптимальный регулятор (рис. XX.8). Как видно, в него входят блок постоянных коэффициен-
тов Tg/T-t, блок дифференцирования Tts, блок нелинейного преобразования у ] у |/2, положи-
тельная жесткая обратная связь и сумматор.
692
Рис. XX.8. Структурная схема
системы с оптимальным регуля-
тором, реализованным на анало-
говых вычислительных средствах
(к примеру XX.2)
Пример ХХ.З. Рассмотрим задачу оптимального регулирования скорости двигателя,
описываемого уравнением Я = и, при котором Й = Йдв. Определим управление как функцию
ошибки е = й3 — Й, т. е. и = и (е). При этом функционал
t
J (и)	(е8 4- Си8) dz
о
принимает минимальное значение при условии
(XX. 48)
| и (01^1.	(XX.49)
Для решения задачи используем принцип максимума. Введем новую переменную
t
е0 = J (и) = J (еа 4- Си8) dx;
0
(XX.50)
получим систему уравнений
-^- = е8+ Си8;
de
It
и.
(XX.51)
Составим гамильтониан в виде
Зв (t) = ф0 (в8 + Си8) — 4xu,
(ХХ.52)
где дополнительный вектор ф (Фо. Ф1) Удовлетворяет следующей системе уравнений:
<*Фо_______ п.
dt де0 ’
дф, дзе
откуда фо = const (положим ф0 = —1). Оптимальное управление и* = а* (е) найдем из ус-
ловия минимизации гамильтониана
Ф1_.
2С =
I I
2С’ I 2С I
и* (0 =
— li
(ХХ.53)
1,
2L-<-i.
2С
получим систему уравнений
Учитывая выражения (ХХ.52) и (ХХ.53),
ds	_Ф1 .
~dt	2С ’
4k =28.
at
(XX.54)
Решая эту систему, найдем
а!8е	е _ п
~dfl	С~ ~ °’
или
t	t
S = cie~ 4- C2e .	(XX.55)
693
Рис. XX. 9. Структурная схема систе-
мы оптимального регулирования к при-
меру хх.з
Так как е -* О при i -* «е, то, положив
Cj = 0, получим
t
откуда
t
Ф1 = -S/CCte
Ф1- —2 V~C в. (XX .56)
Оптимальный закон управления в функции от ошибки можно записать в виде
1, при
(XX.57)
На основании полученного закона управления нетрудно получить структурную схему
оптимальной системы регулирования скорости (рис. XX.9).
5.	МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В теории систем автоматического регулирования и ее практических при-
ложениях значительное место занимает так называемая задача оптимального
синтеза. При ее решении необходимо определить управление как функцию
состояния, т. е. u = и (у), относительно которой синтезируемая система
оптимальна.
В этом важном случае, когда искомое управление не зависит от преды-
стории системы и определяется только ее текущим состоянием, задача опти-
мального синтеза может быть решена методом динамического программиро-
вания, в основе которого лежит принцип оптимальности, сформулирован-
ный Р. Веллманом [29]. Оптимальное управление обладает тем свойством,
что каковы бы ни были первоначальное состояние и первоначальное решение,
последующее решение должно определять оптимальную стратегию1 относи-
тельно состояния, полученного в результате первоначального решения.
Это означает, что оптимальное управление зависит лишь от того, в какой
точке фазового пространства находится в данный момент система.
Часто из этого положения делают неправильный вывод о том, что тра-
ектория, полученная путем объединения оптимальных траекторий, должна
быть также оптимальна. Простейший пример иллюстрирует всю несостоя-
тельность такого утверждения. Для трех точек А, В и С (рис. XX. 10) опти-
мальными траекториями в смысле наикратчайшего расстояния будут от-
резки, соединяющие эти точки. Хотя по отношению к каждому из отрезков
траектории оптимальны, их объединение дает оптимальную траекторию
только в том случае, когда все три точки лежат на одной прямой.
Выясним, каким образом, используя принцип оптимальности, можно
синтезировать системы оптимального управления.
Для этого рассмотрим процесс управления дискретной линейной систе-
мой вида
У£+1 = «У, +Рир 0, 1,..., N — 1,	(ХХ.'58)
где у и и суть n-мерный и /n-мерный векторы состояния и управления, а а
и 0 — матрицы размерности п х п и т х т.
* Здесь под-термином «стратегия» понимается определенный порядок действий.
694
Поставим задачу оптимального синтеза еле-	g *
дующим образом. Для системы (XX.58) и ее
начального состояния у0 требуется определить
последовательность управлений
. <	, .	.	.	Рис. XX. 10. К пояснению прин-
та — u (Уо)>. ui — u (У1)>  • • > Ц/v-i — а (Уу-1)>	ципа оптимальности
т. е. найти функцию uz — u (yz), относительно которой функционал качества
ЛГ-1
Jn =* (y.v, $УлО + 2 КУ/. Qy<) “1“ (u/> Duz)J	(XX.59)
£=0	.
принимает минимальное значение. Будем считать, что входящие в выраже-
ние (XX.59) матрицы Q и D — положительно определенные матрицы раз-
мерности пХп и mXm; S — положительно полуопределенная матрица раз-
мерности пхп, а (х, у), как обычно, обозначает скалярное произведение,
т. е.
(х, у) =- £ xtgt,
/«1
где Xj и У] — j-e компоненты векторов х и у.
Введем в рассмотрение функцию Веллмана	-
^-.•(Уг)= min Am.	(ХХ.60)
af “U1.....иН-1
где
N-1
Ar-z == (Ул'> $УлО 4 S КУ/-Qyz) + («z> Duz)J.
/=-* ...
Из принципа оптимальности следует, что каково бы ни было состоя-
ние yz, имеет место рекуррентное соотношение
fn-i (У/> = min f(yz, Qyz) 4- (uz, Duz) 4- (<xyz + 0uz)].	(XX.61)
Данное рекуррентное соотношение в теории оптимального управления
носит название основного функционального уравнения Беллмана. Это уравне-
ние занимает важное место в теории и практике проектирования систем
оптимального управления, поскольку его решение равносильно решению
проблемы оптимального синтеза.
Действительно, положим, что i-*= 0. Тогда уравнение Беллмана примет
вид
ftr (Уо) = min [(у0, Qy0) 4- (ue, Du0) 4- A-i («Уо + ₽“o)L
uo
Так как y0 задано, то, разрешая это уравнение, найдем управление,
соответствующее состоянию у0, т. е. состоянию, в котором находится система
в данный момент.
Для i — 1 уравнение Беллмана запишем в виде
fN-i (У1) = min [(yj, Qyt) 4- (ult DuJ 4 A_2(ayi 4- ₽Ui)L (ХХ.62)
U1
где уг — состояние системы (XX.58), в которое она переходит под действием
управления и0.
Определив это состояние и решив затем уравнение (ХХ.62), найдем
управление Uj, но уже относительно состояния ух. Аналогичным образом
могут быть получены управления относительно всех состояний системы.
Иначе говоря, синтезирована функция управления uz = u (уг) для всех
i »= 0, 1, . . ., ТУ.:— 1«
695
Данный процесс рекурсивного построения функции управления на ос-
нове решения уравнений Веллмана носит название динамического програм-
мирования.
Между динамическим программированием и принципом максимума су-
ществует глубокая взаимосвязь [31, 581. Динамическое программирование
целесообразно использовать в тех случаях, когда функция Веллмана либо
известна, либо существует достаточно простой способ ее численного построе-
ния. Проблема, с которой здесь приходится сталкиваться, связана с необ-
ходимостью запоминания функции Веллмана во всех тех точках фазового
пространства, относительно которых ищется управление.
Так, например, если область фазового пространства содержит 100 то-
чек, то для реализации численного решения задачи оптимального синтеза
методом динамического программирования потребуется цифровая вычисли-
тельная машина с оперативной памятью не менее чем в Ю2" ячеек. Отсюда
видно, что для одномерных или двумерных задач управления можно реали-
зовать описанную выше процедуру синтеза. Если размерность фазового
пространства равна трем, то объем оперативной памяти составляет 10е
ячеек.
При п > 4 синтез оптимальной системы управления становится невоз-
можным, так как современные цифровые вычислительные машины не обла-
дают требуемым объемом оперативной памяти, необходимой для реализации
численной процедуры построения функции Веллмана.
Однако в том случае, когда аналитический вид функции найден, про-
цесс вычисления оптимального управления оказывается сравнительно про-
стым.
Действительно, из выражений (XX.60) и (XX.61) нетрудно установить,
что функция Веллмана для задачи синтеза систем регулирования в виде
выражений (XX.58), (XX.59) имеет вид квадратичной формы:
fw-z (Уг) == (Уо К.у./Уг).
Подставляя это равенство в выражение (XX.61), получим соотношение
(Уг> Kw-tfi) = min [(у„ Qy,) + (u„ Du,) + (ay, + ₽u,), (ay, + M,
“Z
(XX.63)
минимум которого легко вычислить, если принять во внимание, что
((«У/ + ₽) U/, Ky_,_i (ay, + pu,)) = (у„ aTKjV_£_iay,) +
+ (uz, ₽тКл/_,_1Ри,) + 2 (ЭтКл7_,_1ау,, и,),
где ат и рт — транспонирование относительно аир матрицы.
С учетом последнего выражения уравнение Веллмана (XX.63) примет
вид
(Уо КдмУ,) = min'[(y„ (Q + cctKaz-z-x«)&) +
ui
+ (u„ (D 4- РтКу-г-!₽) uz) 4- 2 (₽тКл/_,_1<туг, u,)]. (XX. 64)
Обычный вариационный подход к его минимизации приводит к следую-
щему уравнению:
2 (D + РтКл,_г_хР) и, + гр-Клм-хау, = 0.
Разрешая его относительно вектора и,, получим искомое управление
в виде функции от состояния системы (XX.58):
и, = - (D + р^Клм^Р)-1 PTK,v_,_iay,.	(XX. 65)
696
Рис. ХХ.11. Структурная схема оп-
тимальной системы регулирования с за-
коном управления (ХХ.67)
Рис. XX.12. Блок-схема программ вы-
числения коэффициентов
Входящая в это выражение матрица К,у_(_1 может быть найдена следую-
щим образом. Подставим полученное управление (XX.65) в уравнение
(XX.64):
(Уо Kv_,y,) = (yz (Q + oTKv_«_i« -	(D + p^Kv^P)-1 PTKv_wa) y().
Поскольку последнее выражение является тождеством и справедливо
при любых у;, то
= Q + aTK,v—1« - ^Kaz-i-xP (D + P’Kv-r-tP)-1 РтК„_,_га. (XX.66)
Данное соотношение позволяет рекурсивно вычислить Kv-, по Ко
для всех i = 0, 1, . . N — 1, где значение матрицы Ко можно получить,
если учесть, что
(Ум» КоУдг) = fo (УлО — К — (Ул/, Sv, у^),
т. е.
K0=S.
Таким образом, решение задачи оптимального синтеза приводит к по-
следовательности управлений, имеющих вид
u0 = - (D + PTKv-iP)-1 PTKv_1ayJ‘.
Uj = (D -f- PTKv-aP) 1 PTKv-2ayx>	/yy R7\
Uzv-x = - (D + PTK1P)-' P’Kxayv-x,
где матрицы Kj, • • • , Kv-2, Kv-i вычисляются через рекуррентное соотно-
шение (XX.66).
На рис. XX.11 показана структура оптимальной системы с законом
управления (ХХ.67), для вычисления коэффициентов которого может быть
использована программа, блок-схема которой представлена на рис. XX. 12.
Отсюда видно, что процедура вычисления коэффициента Kv_;_i относительно
проста и легко может быть реализована на алгоритмических языках типа
ФОРТРАН или АЛГОЛ.
697
6. СИНТЕЗ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Используя результаты предыдущего параграфа, рассмотрим методы
синтеза оптимальных по квадратичному критерию непрерывных систем уп-
равления, динамика которых описывается линейными дифференциальными
уравнениями вида
У (О = Ау (() + Ви ((), t е (О, Л,	(XX.68)
где у (0 и и (/) — n-мерный и /n-мерный векторы состояния и управления,
а А и В —матрицы размерности пхп н пхт.
Поставим задачу оптимального синтеза следующим образом. Для си-
стемы, описываемой уравнением (XX.68) с начальным состоянием у0, тре-
буется определить управление в форме обратной связи, т. е. найти функцию
u = и (у), относительно которой функционал качества
Т	'
Л=<У(П Sy(T))-i-f [(y(0,Q(0) + (u(0, Du(/))]d/	(ХХ.69)
о
принимает минимальное значение. Будем считать, что входящие в функцио-
нал (ХХ.69) матрицы Q и D — положительно определенные матрицы раз-
мерности пхп и тХт, a S — положительно полуопределенная матрица
размерности пхп.
Для приближенного решения этой задачи разобьем отрезок 0 с t < Т
на (V частей точками 0 < tx < • • • < tN_x < tN — tp и, взяв эти точки в ка-
честве узловых, заменим интеграл (ХХ.69) суммой, а уравнение (XX.68) —
разностными уравнениями по схеме Эйлера (см. гл. XV). В результате при-
дем к следующей дискретной задаче оптимального управления. Требуется
минимизировать функционал
АГ—1
JN = (У (Ov), Sy (tN)) + £ [у (ti), Q A/у (ti)) + (U (ti), R A/u (^))J (XX.70)
t-o
при' условии, что
• У Л+i) — (I + A At)y ((J + В Д/u (/,), ( = 0, 1,..., V — 1, (ХХ.71)
где Д/ — шаг квантования по времени, равный ti+1 —
Заметим, что выражения (XX.70), (ХХ.71) эквивалентны (XX.68),
(ХХ.69), в том смысле, что при Д/ —>0 JN —> Jr, а состояние у (Zz) и управ-
ление и (^) стремятся соответственно к у(1) и u(t), где t — произвольный
момент времени на интервале (0, tp). Следовательно, искомое управление
и — и (у) может быть найдено как решение задачи с помощью выражений
(XX.70), (ХХ.71), в которой шаг квантования по времени Д(—> 0. Рассма-
триваемая задача, записанная в форме (XX.70), (ХХ.71), совпадает с зада-
чей оптимизации, рассмотренной в предыдущем параграфе. Поэтому из
.формул (XX.65) и (XX.66) следует, что оптимальное относительно дискрет-
ных моментов времени Z, управление u (/z) имеет вид
u (ti) = — (D -I- BTR (Q В Д/)-1 BTR (^) (I -f- А ДО у (Q,	(XX.72)
где
R(^)“K(/zv^0-ao=Kzv.z_1,
а матрица K^z_i удовлетворяет рекуррентному соотношению
KW_Z = QA(+ (I + AД^rк^_z.1(I + AД0-(I + AД0тK^_z_1B(R +
+ BTKAr_z_1B^)~iBTKzv_z_1(I + АД()Д/ (XX.73)
с начальным значением матрицы Ко, равным S.
698
Если учесть, что
(1 + АА^ГКЛ,_;_1(1 + АД0 =
==	+(ATK/v_J-_i + Kjv-/-iA) А/ 4*
+ A-K.v.^AAi,.............
а матрица K.v-i есть не что иное, как матрица
R (tt 4-Д/)> то соотношение (XX.73) можно
переписать в виде
Рис. XX. 13. Структурная схе-
ма оптимальной системы с за-
коном управления (XX.76}
_	—W. = q + AtR ft) 4-R (tj A—(I + A A()TR ft) В (D +
4- BTR (Ь) В A/)-1 BTR ft) (I 4- A AO 4- ATR ft) A Ы, (XX.74)
где R (tN) = S,
Устремим теперь в выражениях (XX.72), (ХХ.74) Д£—»0. Поскольку
при Д/ — 0 R ft) —> R (0> то
Um R(0)-R(ft-4Q... = rдо.	(ХХ.75)
д«->о	ш
Тогда, из выражений (XX.72) и (ХХ.74) следует, что оптимальное
управление, решающее задачу синтеза (XX.68), (XX.69), имеет вид
u ft = — D-iBTR (0 у ft,	(ХХ.76)
где симметричная положительно определенная матрица R (I) является ре-
шением дифференциально-матричного уравнения
R (0 + Q 4- ATR (0 + R (0 а - R ft BD‘BTR ft = О, (ХХ.77)
удовлетворяющим граничному условию
Rft) = S.
Матричное уравнение типа (ХХ.77) в теории управления носит название
уравнения Риккати.
На рис. XX. 13 показана структура оптимальной системы с законом
управления (ХХ.76). В соответствии с этим законом для организации управ-
ления системой (XX.68) необходимо в каждый момент времени измерить
параметры состояния у (/) и вычислить матрицу R (/), а затем с помощью
линейного преобразования D-1BTR (?) получить само управление u (t).
Остановимся теперь на вопросах вычисления матрицы R (t). Поскольку
дифференциальное уравнение Риккати нелинейно, то найти его решение в зам-
кнутой форме, как правило, не удается. Поэтому для вычисления матрицы
R (/) необходимо использовать цифровые вычислительные машины. Данная
процедура вычисления может быть построена различным образом, но чаще
всего она основана на методах численного интегрирования дифференциального
уравнения Риккати в прямом времени, при котором процесс интегрирования
этого уравнения выполняется не относительно конечного условия R ft) = S,
а относительно начального значения матрицы R (t):
R (0) — lim Кдь
д/->о
В заключение главы рассмотрим задачу оптимизации, для которой функ-
ционал качества записывается в виде
J = J[(y(O. Qyft)4-(«ft. R(u))]<ft	(ХХ.78)
о
где Q и R — положительно определенные матрицы соответственно размер-
ности пхп и тХт.
699
Отсутствие здесь конечных условий типа (у (оо), Sy (оо)) объясняется
тем, что данная задача имеет практический смысл только в том случае,
когда limy (L) = 0, т. е. когда синтезируемая система асимптотически устой-
Vя
чива. Таким образом, задачу оптимального синтеза можно сформулировать
следующим образом. Требуется определить управление как функцию со-
стояния системы (XX.68), относительно которого эта система асимптотически
устойчива, а функционал качества (XX.78) принимает минимальное зна-
чение.
Данную задачу можно рассматривать как частный случай задачи син-
теза (XX.68), (XX.69), в которой необходимо положить /р —> со. Очевидно,
что данная задача также эквивалентна задаче оптимизации дискретной си-
стемы, записанной в форме (XX.70), (XX.71), когда N —► оо. Р. Калманом
было показано, что в этом случае матрица обратной связи R (^) стацио-
нарна на всех интервалах управления, т. е.
lim R (ti) = lim R — &t) = Ra/.
W-»ot>	TV-* 00
Поэтому в силу соотношения (XX.75) производная R (t) = 0 и закон
управления (XX.76) принимают вид
и (/) = — D-]BTRy (0,	(ХХ.79)
где симметричная и положительно определенная матрица R является реше-
нием матричного уравнения
Q -f- ATR + RA - RBD-!BTR = 0.	(ХХ.80)
Покажем, что система (XX.68) с законом управления (ХХ.79) асимптоти-
чески устойчива. Для доказательства этого факта воспользуемся прямым
методом Ляпунова (см. гл. XI и гл. XIV).
Выберем функцию Ляпунова в виде
V = (x(0,Rx(n).
Производная этой функции по времени
V =(х(0, Rx(/)) + (x(0, R’x(O).
Подставляя сюда значения вектора фазовой скорости у (/) системы
(XX.68), найдем, что
V = (х (О, (ATR + RA) х (/)) + 2 (Bu (t), Rx (t)).	(ХХ.81)
Учитывая выражения (ХХ.79) и (ХХ.80), из уравнения (ХХ.81) полу-
чим
1Z = — (х(О, (Q+ RBD-IBTR) х(()),
где производная функция Ляпунова всюду отрицательна, за исключением
точки фазового пространства, в которой | у | = 0. Так как, с другой стороны,
матрица R положительно определена, то функция Ляпунова положительна,
а исходная система асимптотически устойчива.
Таким образом, для асимптотической устойчивости системы, синтезируе-
мой по минимуму функционала (XX.78), необходимо и достаточно, чтобы
матрица R, являющаяся решением матричного уравнения Риккати, была
положительно определенной матрицей.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Структурные преобразовании
линейных систем автоматического регулирования
вой ои5у	Наименование структурного преобразования	Исходная структурная схема				Преобразованная структурная схема					Формула для npeoSpa- зооанной передаточ- ной функции или выходного сигнала
1	Перестановка звеньев	X —*	W,(S)	W2(s)	Y N »	X	W2(s)		WHS)	у	Wt(s)-W2(s)
2	Объединение последовательно соединённых звеньев в одно звено	X			Y 1  J"	X				У	W(s)=Wt(s)-W2(s)
			W,(s)	W2(s)			- W,(s)W2(s) -				
											
3	Перенос линии связи до звена	X	Н -		Y	X			W(S	гх	Y(s)=W(s)-X(s)
						Y		J			
											
Ч	Перенос линии связи за звено	3					Y	X	X 1 W(3)			У	Y(s)= W[s) Х(з) X(s)=~ Y(s) W(s)
5	Перемена мест линий связи	X Y	W,(s)		— Y	X -»« Y	WHs)	Y ПТ	W2(s	Z J У	Y(s) = Wi(s)X(s) Z(s)= Y(s)Wt(s)
											
6	Перестановка сравнивающих устройств	X X~Y U				X x+z и ——©  Q z f	fy					U(s)=X(s)-Y(3)+Zt3)
7	Перестройка схемы сравнивающих устройств	X 7	-	I			x x-y a ~^Y^ fz					H(s)=X(3)-Y(s)-Z(s)
			X z •								
											
в	Перенос линии связи до сравнивающего- устройства	X  Z	z			X			z_ Ту		Z(s)=X(s}-Y(s)
			Ту			Z r> 1					
						Ту					
9	Перенос линии связи за сравнивающее устройство	X X 			z ^y						Z	Z(s)—X(s)-Y(s) X(s)=Z(s)+Y(?)
10	Перенос сравнивающего устройства до звена	X -»>	w(s)	Y	U		X	9—1^1- t	If-			и Z	U(s)= W(s)X(s)-Z(3)
		Т с					1 yyffl				
11	Перенос сравнивающего устройства за звено	X У |		- W(s)	-I Z	X У —	W(s) W(s)	z			 •Z(s}=W(s)/x(s)-Y(3)]
701
Продолжение прил. Г
№по пер.	Наименование структурного преобразования	Исходная структурная схема						Преобразованная с тру ктурна я схема				Формула для преодра заданной передаточ- ной функции или выходного сигнала
12	Объединение -* параллельно соединенных звеньев в одно звено	X Г	WAs)		z	и К f							U(S) —— = WAsj-Wtls) Х(з)
								А —* и		№)-WAs)		
												
13	Перестройка схемы двух параллельно соединенных звеньев	X 1	WAs) Wt(s)-		z	и Y T			X			и	и(з)=[^(3)-№г(^Х(5)
												
/4	Перестройка схемы параллельно соединенных звена и линии связи	г	W,(s)		z и			X		-		U(s)^[Wj(s)-lJX(s)
15	Объединение контура с жесткой обратной связью	X		W,(S)		—	и	X		w,(s) ±wt(g) Г	и	d(s) _ W,(s) X(s) 1+W,(s)
												
16	Перестройка схемы контура с жесткой обратной связью	X		WAs)		—	и	X		—	-I и ij	w,(s) U(S) =	 1+ WAs)
												
17	Объединение контура с гибкой обратной связью в одно звено	X			WAs) WAs)	и						U(s)	w,(s) X(s) 1i-Wt(s)WAs)
								X 1ч		WAs) w,(s)W2(sj	и	
												
18	Перестройка схемы контура с гибкой обратной связью	х ^			W,(s) was)		и		X	~Г		—\V	WAs) U(s)=		—x(s) it was) WAs)
												
19	Объединение конту- ра с передаточной функцией в цепи обратной связи в одно звено	х	и								...		U(S) _	1 X(S) It WAS)
								X		It WAS)	U	
				W,(S)		p						
Z0	Перестройка конту ра с передаточной функцией в цепи обратной связи	X,	'S	U					х ZL "ж			U (У-r-	U(s)= —-—-X(s) It was)
				WAs)		l-J						
21	Замена одного звена контуром с пере - даточной функци- ей 8 прямой связи	X		W(S)		и		X		W(S) ~ 1- W(3,	и	U(s) - W(s)X(s)
22	Замена одного звена контуром с передаточной функцией в цепи обратной связи							X	/-Ч	. U			V(s)= W(s)X(s)
		X		W(s)		и			—	—-7 w(s)	J	
702
ПРНЛ0Ж{НИ8П
Амплитудно-фазоВые частотные
хар а ктеристики типодых динамических звенье!
с:	Передаточная функция		Хар		а к т ер ц с ти к	а	
С; ч			амплитудная		фазодая	амплитудно-фазодая	
1	к	Н, к	QJ	в	CJ	А с	А 7”
2	к Tsfl	к к	и	8 -я/ч	>/г		0, ц=оо	к
3	Ts*l	н	у CJ	8 % э/4	>/Т	<и	jv 	0_	(Ji=oo It и=о и
	к Ts-1	И,		8 -т/г- -л	1/7	и 	:ч. 2" ' *	к ы=0 0	и=оо	и
5	к S	н	а	в -fy		и	JV 	8_	и=0 и Ь/жоо
6	$	н		8 Л/2			0_	С с II II 8 ’tj
7	Ts-l	н		8 Л 71/2,	//7	и	1^=00 -1	0	 и
8	к	н	.1.00 /|| /|1	6	У?	и	CJ-oo	/у к
	r-s‘+1	к	S iV L.	-Л/’		-|		(8=0	*и/
			£7	ы			\ . - -\ - --	У
9	к ТгЗг-1	н к	Г ^*4***" квП~ и	8 -Л	(J	JH к 0 и^О	1 (J=QO	0
10	к	н А-		8 -я/1 -л	1/7	и	Л t/=0O	0 к
	Тгзг 4-2173^1 (М		а/					Уи=0 ’</
11	к Тгзг+21Тз+1 (0<1<1)	н к	л /7	и>	в -% -л	1/7	сз~	CU = °°	J4 0 /Ы=0 и
703
wz.
7 i \a		i- л!"	r>	e	m		I H	si3	17
7 / w		y- лГ	n	a	r>		I H	si-3	OZ
7	0		I- 00®n Af	n		к a	n		' 1 H	1-гХг1	61
i n o=n* a		oo*-f) А.Г '	V.	Jjl	X a		V	I H	l+tStl	ai
~a	я		oo=D Ц- \^Jo=^ Af	r>	V^£- X- Ух- a	ri _ ^Vi	¥ H	l-si^z+tsy ¥	Zl
0=n # 7 С о		А Г	n— l/l	хг- кг/t- x- a	g	У/ ”\ 7^~"	¥ H	l}A>0') 1+^г-г^г1 ¥	91
~n	7		l- o=m \ ЛГ	m		Ух X a	ir>		' I H	1-Чи+г3г1	SI
7 о		^г—^О=я *>=r) y- Af	Э l/l >b 1	X- Ух- a	IV			¥ H		Ы
o=m ~ii		Af Qo—ffJ	e -	Ух X a	Д	У	I H		£1
0=n 7 /V	0	 pr		n	ih	Ух X a	f9 		I H	(l<l) 1+!&г+гЗг.1	Zl
вирософ-онрбштгинп			ивдосвф		xoHgdujnvUHV		иъ'пхнаф aoxhoiuDgaday	N-no nop-
D x nujondauixndnx								
Л -ifndu апнажиородц
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш.
Логарифмические амплитудные и фазовые частотные
характеристики типовых динамических звеньев
№ по пор.	Передаточная функция	Характеристика					
		а м п л и т у д н а я			фазовая		
1	к	Lm	ZOLgK и		9,		(d	
2	к Ts+ 1	Lm	ZOLgk	^говд/дек^	в -з(/у -т/г-	1 f	Ы	
			i 7				
3	Ts+1	Lm	Т		В 1 —		 arpf——	у 1	2 Т		
4	к Ts-1	Lm	го^^^одЕ/зек u 1 *" T		9 -*/г\ -1к	II 1 ц 1 U 		LLL	
5	А 5	Lm	Of		в -*/г	(d	
6	5	Lm	t	0/ ’x>"7	*		в ^/г		(d	
7	Ts-l	Lm			в ^/2-	1		—t. 1 7	
8	к	Lm	ZOlgk	co k	Cd '\-ЧО^/дек	-Л	1 1	и	
	T2s^ 1		7			—	
9	к Т2зг-1	Lm	ZOlgk		В	(d	
			Cd £ \^0&/дек		-71	—	
10	к	Lm	, ZOlgk j\-40 М/дек		В		1	 	Т	и	
	Тгз2+2к,7з+1 (&)				-71	—'	
11	к	Lm ZOlgk			В -71/2 -71	2 7	Ы	
	Тгз2+2tjs +1		—(J • ± \гЧО^/дек					-
23 Иващенко Н Н.
705
Продолжение прил. Ш
N*	Передаточная		Характеристика			
пор.	функция	анплитудная			<р азов а я	
п	T2s> +2&ТЗ + 1 (!=’)	Lm		Ы 1_	’ T	8 я Х/2		ш 2 т	
13	Тгзг + 2£Тз + 1 (o<t<i)	Un госуг*	1 T yr	<J ""'"'Xl/ "~™ — *"	9 л Л/z	7		и
14	8 Тгзг~гЦз-1 ' где Т*/Г^ (^)	Lm ZOlgk	t	9 -Я/г -Я			6/
15	T’s^ZtJs-l, где Г= (iBf)	Un	fit oft Ide к L.»\l I 7г и	9 Л Л/2_		—	6/
16 ~	К Т‘зг-ЦТз-И (0<Ь<1)	Lm	У^Мг7/ - 'ЧЛ» \г	8 -Л -дл -гл	«II 1 1 1 \| 1 \1 1	1 Т	ы 	
17	8 7г$**2£1з-1 * где 7=f^h № .	Lm; ZOlgk	L Х&- тг <у Т>	8 -Л' -}л			ы
18	Т2зг + 1	Lm	1 /-Чодд/дек Т/	U 1' оо	9 Л		J	и
19	Гг$*-1	Un,		8 Л		и	
го	е<3	Un	Одд	ы	9		________
21	gtts	Lm	Овд	ы	в			у
706
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ТАБЛИЦА ftx (О-ФУНКЦИЙ
t	X										
	0,00	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
0,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,2	0,0637	0,0666	0,0701	0,0731	0,0764	0,0794	0,0828	0,0858	0,0890	0,0921	0,0955
0,4	0,1269	0,1332	0,1411	0,1459	0,1523	0,1585	0,1648	0,1712	0,1774	0,1834	0,1899
0,6	0,1890	0,1984	0,2079	0,2172	0,2267	0,2361	0,2456	0,2553	0,2643	0,2735	0,2830
0,8	0,2502	-0,2627	0,2745	0,2876	0,3001	0,3123	0,3247	0,3370	0,3493	0,3614	0,3752
1,0	0,3096	0,3250	0,3405	0,3559	0,3711	0,3863	0,4016	0,4165	0,4315	0,4465	0,4611
1,2	0,3671	0,3857	0,4030	0,4218	0,4399	0,4578	0,4755	0,4931	0,5099	0,5280	0,5452
1,4	0,4223	0,4434	0,4642	0,4851	0,5056	0,5260	0,5462	0,5663	0,5860	0,6056	0,6248
1,6	0,4748	0,4985	0,5220	0,5452	0,5682	0,5909	0,6128	0,6355	0,6571	0,6786	0,6997
1,8	0,5246	0,5506	0,5765	0,6019	0,6272	0,6520	0,6735	0,7002	0,7237	0,7467	0,7691
2.0	0,5712	0,5997	0,6276	0,6553	0,6824	0,7090*	0,7325	0,7605	0,7853	0,8095	0,8314
2.2	0,6147	0,6452	0,6752	0,7047	0,7336	0,7617	0,7892	0,8159	0,8417	0,8667	0,8870
2,4	0,6548	0,6872	0,7190	0,7502	0,7806	0,8099	0,8385	0,8663	0,8928	0,9181	0,9402
2,6	0,6915	0,7256	0,7591	0,7908	0,8233	0,8538	0,8832	0,9114	0,9382	0,9638	0,9863
2,8	0,7250	0,7605	0,7953	0,8291"	0,8618	0,8931	0,9235	0,9515	0,9783	1,0020	1,0272
3,0	0,7546	0,7917	0,8278	0,8625	0,8950	0,9278	0,9579	0,9862	1,0130	1,0375	1,0606
3,2	0,7810	0,8194	0,8572	0,8921	0,9260	0,9580	0,9882	1,0162	1,0420	1,0658	1,0837
3,4	0,8043	0,8437	0,8817	0,9178	0,9520	0,9839	1,0137	1,0412	1,0662	1,0886	1,1086
3,6	*0,8244'	'0,8647	0,9032	0,9399	0,9741	1,0058	1,0351	1,0616	1,0853	1,1063	1,1242
3,8	0,8416	0,8827	0,9217	0,9584	0,9925	1,0239	1,0520	1,0777	1,1000	1,1191	1,1350
4,0	0,8561	0,8978	0,9371	0,9738	1,0076	1,0382	1,0656	1,0897	1,1102	1,1273	1,1410
4,2	0,8081	0,9102	0,9497	0,9862	1,0195	1,0493	1,0756	1,0980	1,1167	1,1315	1,1428
4,4	0,8777	0,9204	0,9596	0,9959	1,0285	1,0573	1,0821	1,1030	1,1196	1,1321	1,1407
4,6	0,8853	0,9281	0,9675	1,0033	1,0352	1,0628	1,0861	1,1050	1,1194	1ГГ2П5	1,1354
4,8	0,8912	0,9341	0,9733	1,0085	1,0395	1,0659	1,0876	1,1044	1,1166	1,1242	1,1275
5,0	0,8954	0,9385	0,9773	1,0120	1,0420	1,0669	1,0868	1,1018	1,1117	1,1166'	1,1173
6,0	0,9028	0,9452	0,9814	1,0126	1,0366	1,0540	Т,0648	170693	1,0680	1,0616	1,0508
7,0	0,'9’036	0,9454	0,9782	1,0059	1,0239	1,0340	1,0365	1,0325	1,0229	1,0090	0,9923
8,0	0,9110	0,9513	0,9831	1,0069	1,0200	1,0242	1,0206	1,0113	0,9976	0,9818	0,9658
9,0	0,9248	0,9559	0,9964	1,0158	1,0247	1,0247	1,0174	1,0056	0,9917	0,9784	0,9678
10	0,9386	0,9800	1,0085	1,0251	1,0304	1,0270	1,0175	1,0053	0,9937	079852	0,9819'
11	0,9471	0,9877	1,0148	1,0281	1,0302	1,0239	1,0130	1,0019	0,9934	0,9902	0,9930
12	0,9498	0,9898	1;0145	1,0249-	1,0235	1,01-48	1,0036	0,9938	0,9888	0,9899	0,99.68
13	0,9500	0,9892	1,0116	1,0188	1,0146	1,0043	0,9932	0,9857	0,9843	0,9888	0,9971
14	0,9514	0,9899	1,0102	1,0146	1,0081	0,9969	0,9871	0,9825	0,9845	0,9913	0,9992
15	0:9555	0,9933	1,0118	1,0138	1,0057	0,9948	J),9871	0^858	0,9906	0,9984	1,0048
16	0,9606	0,9979	1,0146	1,0143	1,0055	0,9954	0,9903	0,9922	0,9992	1,0065	1,0101
17	0,9645	1,0013	1,0161	1,0442	1,0046	0,9958	0,9934	0,9978	1,0055	1,0112	1,0116
18	0,9662	1,0023	1,0152	1,0116	1,0017	0,9943	0,9943	1,0003	1,0074	1,0103	1,0076
19	0,9664	1,0017	1,0128	1,0076	0,9976	0,9917	0,9939	1,0006	1,0059	Г,0058	1,0005
20	0,9668	1,0013	1,0107	1,0042	0,9945	0,9906	0,9943	1,0008	1,0039	1,0011	0,9950
21	0,9684	1,0023	1,0101	1,0025	0,9935	0,9914	0,9964	1,0024	1,0033	0,9986	0,9931
22	0,9710	1,0042	1,0105	1,0023	0,9942	0,9941	1,0001	1,0048	1,0037	0,9983	0,9947
23	0,9733	1,0059	1,0108	1,0022	0,9952	0,9968	1,0032	1,0064	1,0036	0,9984	0,9974
24	0,9745	1,0064	1,0100	1,0009	0,9953	0,9984	1,0045	1,0059	1,0017	0,9978	0,9991
25	0,9747	1,0060	1,0082	0,9989	0,9945	0,9988	L0041	1,0037	0,9988	0,9964	0,9995
26	0,9748	1,0053	1,0063	0,9970	0,9939	0,9988	4,0031	1,0009	0,9962	0,9955	0,9997
27	0,9755	1,0053	1,0053	0,9961	0,9943	0,9997	1,0027	0,9993	0,9953	0,9966	1,0007
28	0,9769	1,0062	1,0049	.0,9961.	.0,9957	1,0013	1,0030	0,9988	0,9962	0,9990	1,0025
29	0,9785	1,0072	1,0050	0,9966	0,9975	1,0031	J.0035	0,9990	0,9979	1,0018	1,0038
30	0,9795	1,0074	1,0044	0,9967	0,9987	1,0039	1,0029	0,9987	0,9992	1,0033	1,0034
31	0,9797	1,0070	1,0033	0,9961	0,9990	1,0036	1,0014	0,9978	0,9996	1,0030	1,0015
32	0,9797	1,0064	1,0018	0,9953	0,9990	1,0027	0,9996	0,9968	0,9996	1,0018	0,9990
33..	0,9801	1,0060	1,0008	0,9953	0,9994	1,0022	0,9983	0,9967	.1,0002	1,0009	0,9974
34	0,9809	1,0062	1,0006	0,9957	1,0003	1,0021	[0,9981	(79977	1,0013	1,0006	0,9973
35	0,9820	1,0067	1,0005	0,9966	1,0015	1,0023	75,9984	0,9992	1,0023	1,0004	0,9983
36	0,9828	1,0069	1,0004	0,9972	1,0024	1,0021	0,9985	1,0005	1,0028	1,0001	0,9993
37	0,9831	1,0066	0,9997	0,9975	1,0025	1,0013	0,9983	1,0009	1,0022	0,9992	0,9998
38	0,9831	. 1,0060	0,9989	0,9974.	1,0021	.1,0001	0,9978	1,0008	1,0009	0,9981	1,0000
39	0,9833	1,0055	0,9981	0,9975	1,0019	0,9991	0,9977	1,0008	0,9997	0,9976	1,0000
40	0,9837	1,0051	0,9979	0,9980	1,0020	0,9987	0,9982	1,0011	0,9992	0,9981	1,0007
23’
707
Продолжение прилож. IV
t	X														
	0,00		0,05		0,10		0,15		0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	0,9844 0,9851 0,9855 0,9855 0,9856 0,9859 0,9864 0,9869 0,9872 0,9873		1,0057 1,0058 1,0055 1,0051 1,0045 1,0043 1,0043 1,0043 1,0042 1,0038		0,9980 0,9982 0,9980 0,9975 0,9971 0,9970 0,9973 0,9975 0,9976 0,9975		0,9988 0,9996 1,0001 1,0001 1,0001 1,0004 1,0009 1,0016 1,0017 1,0016		1,0022 1,0023 1,0021 1,0014 1,0007 1,0004 1,0003 1,0002 1,0000 0,9995	0,9989 0,9989 0,9988 0,9983 0,9979 0,9981 0,9986 0,9993 0,9997 0,9998	0,9993 1,0002 1,0007 1,0007 1,0007 *Г0008 1,0012 1,0016 1,0015 1,0010	1,0017 1,0019 1,0016 1,0006 0,9997 0,9992 0,9992 0,9992 0,9994 0,9989	0,9992 0,9992 0,9990 0,9986 0,9985 0,9989 0,9996 1,0006 1,0011 1,0009	0,9993 1,0004 1,0011 1,0009 1,0006 1,0007 1,0008 1,0008 1,0005 0,9996	1,0016 1,0019 1,0013 1,0000 0,9989 0,9985 0,9987 0,9992 0,9998 0,9999
t		X													
		0,55		0,60		0,65		0,70		0,75	0,80	0,85	0,90	0,95	1,00
0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 Г 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11 12 13 14 15 16 17 - 18 19 20 21 22 23 24 25		0,0000 0,0985 0,1962 0,2921 0,3856 0,4760 0,5622 0,6438 0,7203 0,7909 0,8556 0,9138 0,9657 1,0107 1,0491 1,0809 1,1066 1,1259 1,1395 1,1475 1,1511 1,1503 1,1452 1,1373 1,1266 1,1139 1,0355 0,9745 0,9517 0,9619 0,9843 1,0014 1,0071 1,0059 1,0046 1,0061 1,0081 1,0067 1,0013 0,9945 0,9907 0,9920 0,9968 1,0017 1,0042 1,0039		0,0000 0,1021 0,2027 0,3015 0,3960 0,4905 0,5789 0,6624 0,7405 0,8123 0,8776 0,9360 0,9876 1,0318 1,0694 1,0996 1,1233 1,1410 1,1534 1,1574 1,1579 1,1543 1,1466 1,1362 1,1222 1,1067 1,0203 0,9569 0,9407 0,9612 0,9925 1,0135 1,0178 1,0117 1,0046 1,0015 1,0012 0,9999 0,9966 0,9928 0,9922 0,9961 1,0023 1,0067 1,0071 1,0036		0,0000 1,1049 0,2080 0,3030 0,4096 0,5050 0,5960 0,6808 0,7601 0,8327 0,8986 0,9570 1,0080 1,0516 1,0875 1,1161 1,1378 1,1526 1,1611 1,1639 1,1618 1,1551 1,1444 1,1308 1,1145 1,0966 1,0007 0,9408 0,9340 0,9665 1,0055 1,0269 1,0258 1,0118 0,9983 0,9925 0,9937 0,9964 0,9973 0,9969 0,9981 1,0014 1,0054 1,0066 1,0039 0,9989		С 0 с с с 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 с 0 0 0 1 с с с с I с (	,0000 ,1087 ,2165 ,3142 ,4214 ,5193 ,6117 ,7024 ,7798 ,8500 ,9187 ,9769 ,0276 ,0682 ,1040 ,1306 ,1499 ,1621 ,1678 ,1679 ,1627 ,1528 ,1393 ,1227 ,1041 ,0838 ,9838 ,9273 ,9324 ,9760 ,0202 ,0398 ,0286 ,0052 ,9869 ,9829 ,9900 ,9991 ,0043 ,0041 ,0025 ,0018 ,0024 ,0015 ,9991 ,9959	0,0000 0,1114 0,2218 0,3288 0,4334 0,5344 0,6280 0,7164 0,7980 0,8720 0,9383 0,9961 1,0454 1,0858 1,1188 1,1430 1,1600 1,1693 1,1720 1,1691 1,1606 1,1481 1,1314 1,1124 1,0915 1,0693 0,9659 0,9170 0,9957 0,9898 1,0356 1,0465 1,0248 0,9934 0,9746 0,9772 0,9930 1,0083 1,0136 1,0089 1,0006 0,9956 0,9953 0,9974 0,9993 0,9996	0,0000 0,1154 0,2280 0,3380 0,4451 0,5475 0,6441 0,7339 0,8165 0,8907 0,9566 1,0096 1,0620 1,1013 1,1318 1,1535 1,1679 1,1740 1,1736 1,1674 1,1563 1,1406 1,1214 1,1000 1,0770 1,0530 0,9491 0,9108 0,9438 1,0062 1,0490 1,0481 1,0148 0,9789 0,9650 0,9782 1,0026 1,0205 1,0198 1,0059 0,9914 0,9860 0,9915 1,0007 1,0066 1,0065	0,0000 0,1182 0,2413 0,3472 0,4567 0,5614 0,6592 0,7506 0,8342 0,9082 0,9742 1,0308 1,0775 1,1149 1,1430 1,1621 1,1734 1,1768 1,1732 1,1642 1,1496 1,1311 1,1094 1,0860 1,0615 1,0369 0,9341 0,9090 0,9552 1,0231 1,0586 1,0439 1,0003 0,9646 0,9611 0,9868 0,0179 1,0297 1,0185 0,9948 0,9796 0,9816 0,9969 1,0110 1,0152 1,0075	0,0000 0,1233 0,2409 0,3561 0,4683 0,5752 0,6751 0,7678 0,8512 0,9260 0,9911 1,0467 1,0915 1,1273 1,1530 1,1689 1,1767 1,1771 1,1703 1,1581 1,1413 1,1202 1,0960 1,0705 1,0448 1,0193 0,9220 0,9111 0,9703 1,0379 1,0631 1,0341 0,9845 0,9552 0,9652 1,0007 1,0314 1,0323 1,0082 0,9806 0,9718 0,9868 1,0100 1,0224 1,0158 0,9977	0,0000 0,1271 0,2465 0,3642 0,4816 0,5896 0,6876 0,7847 0,8688 0,9437 1,0076 1,0603 1,1055 1,1371 1,1604 1,1744 1,1787 1,1763 1,1659 1,1520 1,1322 1,1085 1,0820 1,0563 1,0290 1,0029 0,9136 0,9174 0,9865 1,0512 1,0616 1,0212 0,9697 0,9517 0,9758 1,0176 1,0396 1,0256 0,9927 0,9699 0,9750 1,0008 1,0239 1,0253 1,0056 0,9836	0,0000 0,1270 0,2524 0,3744 0,4915 0,6023 0,7054 0,7997 0,8844 0,9586 1,0220 1,0744 1,1157 1,1462 1,1664 1,1769 1,1786 1,1726 1,1599 1,1417 1,1193 1,0940 1,0669 1,0393 1,0122 0,9867 0,9070 0,9260 1,0022 1,0600 1,0557 1,0048 0,9581 0,9545 0,9907 1,0317 1,0385 1,0123 0,9782 0,9668 0,9856 1,0153 1,0288 1,0157 0,9898 0,9750
708
Продолжение прилож. IV
if	X									
	0,55	0,60	0,65	0.70	0,75	0,80	0,85	0,90	0,95	1,00
26	1,0023	0,9992	0,9945	0,9947	0,9999	1,0022	0,9956	0,9838	0,9776	0,9835
27	1,0010	0,9965	0,9939	0,9969	1,0010	0,9983	0,9883	0,9843	0,9913	1,0060
28	1,0007	0,9965	0,9967	1,0013	1,0027	0,9969	0,9918	0,9970	1,0113	1,0216
29	1,0007	0,9979	1,0009	1,0051	1,0031	0,9978	0,9997	1,0112	1,0211	1,0169
30	0,9996	0,9992	1,0036	1,0053	1,0015	0,9990	1,0062	1,0146	1,0116	0,9974
31	0,9981	0,9998	1,0036	1,0022	0,9980	0,9995	1,0065	1,0062	0,9943	0,9815
32	0,9968	0,9997	1,0017	0,9980	0,9957	0,9997	1,0023	0,9935	0,9928	0,9831
33	0,9971	1,0003	0,9999	0,9956	0,9965	1,0004	0,9973	0,9878	0,9873	0,9997
34	0,9988	1,0014	0,9990	0,9964	0,9995	1,0014	0,9958	0,9924	1,0030	1,0155
35	1,0010	1,0023	0,9990	0,9989	1,0031	1,0021	0,9971	1,0021	1,0152	1,0166
36	1,0025	1,0020	0,9993	1,0015	1,0044	1,0010	1,0002	1,0090	1,0144	1,0028
37	1,0025	1,0005	0,9989	1,0024	1,0025	0,9989	1,0022	1,0078	1,0019	0,9872
38	1,0014	0,9986	0,9986	1,0016	0,9991	0,9970	1,0016	1,0011	0,9892	0,9839
39	1,0001	0,9973	0,9991	1,0004	0,9967	0,9972	1,0004	0,9936	0,9869	0,9953
40	0,9994	0,9977	1,0003	0,9996	0,9966	0,9996	0,9954	0,9925	0,9960	1,0103
41	0,9993	0,9991	1,0017	0,9995	0,9989	1,0024	0,9994	0,9970	1,0088	1,0154
42	0,9994	1,0007	1,0023	0,9996	1,0013	1,0035	0,9996	1,0034	1,0134	1,0064
43	0,9993	1,0014	1,0014	0,9994	1,0024	1,0019	0,9993	1,0063	1,0068	0,9921
44	0,9988	1,0012	0,9997	0,9990	1,0018	0,9991	0,9992	1,0035	0,9954	0,9856
45	0,9988	1,0006	0,9981	0,9992	1,0002	0,9967	0,9993	0,9986	0,9891	0,9923
46	0,9995	1,0002	0,9979	1,0001	0,9991	0,9973	1,0006	0,9954	0,9931	1,0057
47	1,0005	0,9999	0,9988	1,0011	0,9989	0,9994	1,0015	0,9963	1,0032	1,0134
48	1,0015	0,9998	1,0003	1,0017	0,9993	1,0018	1,0015	0,9997	1,0105	1,0087
49	1,0016	0,9998	1,0011	1,0012	0,9998	1,0029	1,0004	1,0030	1,0084	0,9964
50	1,0009	0,9990	1,0012	0,9998	0,9999	1,0014	0,9982	1,0029	1,0004	0,94"8
ПРИЛОЖЕНИЕ V
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ
ОТ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
, _ Ьо , j ____ — Ьр 4~ apbi/gg . j _ — Qg^o ~4~ Др^1 — ДрД1^2 'аз .
1 ~ 2арД1 ’	2 ~ 2аоа1 ’	3	2а0 (а0а3 — а4а2)	’
Ьо (—ага4 + а2а3)—а0а3Ь1а0агЬ2(а3а3— а4а2) а0Ь3/а4 .
—	~~	'
2аа (auag + aja4 — а^Од)
J -
6	2а0 Д8
М3 — ъп (— а0а4а& + a4al + afa5 — а2а3а4) + aQb1 (— d2a3 -f- <z3a4) -f- a0b2 (a0a5 — a,a+) 4-
+ aobs (— a0a3 + a4a2) + (— a3a4a3 + а0“з + aia4 — a4a2a3) a0b4/a5;
A6 = «o«2 — ZdPida-, — a0a2a3a5 + a0a%a4 4- afaf -|- а4а1а3 — a^Og^;
j ___
6 2a
— ftp (— at,a3a3aG + a3a4a^ — afaf + 2a1asa5ee + а^а^ад — ata$a5 — a|a| — a^ag 4-
4- a2a3a4as) + a064 (— a^ag + a^af 4- a|a3 — a3a4aj) 4- a0b2 (— aoa? — а^йд 4-
4- aia4d) 4- «р&з (aoa3a5 4- aia6 — а4а2аъ) 4- айЬ4 (aoa3as — aoa^ — aja4 4- axa2a3) +
4- (a?a= 4- а0а4а3ае — 2izGaliz4a3 — а0а2аза5 4- a0a|a4 — ala2aB 4- ajal 4- а^ад —
— <Zjfl2a3a4) Gp^s/Gei
A p — GpGg 4- Зада4а3а3а3 2ciga4a4a3	— GpGgflg 4" GpC3G4£Zg 4~ а|ар — 2а4а2а3ав —
— a?a3a4ae 4- a^as 4- aja^ag 4- а^а^Од — ауОдЯда^д,
7Q9‘
ПРИЛОЖЕНИЕ VI
ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ
1.	Матрица порядка п X т с элементами а^ записывается в виде
т- столбцов
°11	°1а

А = [а/у] =
«21	«22
п-строк.
—Gni	Я/18 * ’ * апт-*
2.	Транспонированная матрица Ат порядка т X п получается путем перестановки
строк и столбцов матрицы А:
Ат = [в/,]
п-столбцов
_«и а31 • • •	~
°1а	«22 ''' «П2
~°lzn Oam • • • Опт—
т -строк.
3.	Матрицу, в которой число строк равно числу столбцов, называют квадратной ма-
трицей.
4.	Квадратная матрица, все недиагональНые элементы которой равны нулю, называют
диагональной матрицей.
5.	Единичная матрица
-1 0 ... 0-
0 1 ••• о
_0 О ••• 1_
6.	Матрица, у которой все элементы равны нулю, называют нулевой матрицей.
7.	Комплексно-сопряженная матрица А* представляет собой матрицу, образованную
путем замены каждого элемента квадратной матрицы Аг комплексно-сопряженным.
8.	Определители квадратной матрицы
«11 • • • °ш
| А1 = det А =
«П1 •  ‘ апп
«11
«21
«12
«22
— «п«22 — a2i°i2 — определитель второго порядка;
| а | = а — определитель первого порядка.
Определитель находят в виде суммы произведения элементов любой строки или столбца
и их алгебраических дополнений:
| [а^у] | = У (— а^ | I — для любого целого числа i, 1 i
/=1
п
I [«</] I = У (— atj | [л^у] I — для любого целого числа /, 1 «S j s; п,
где | {mij 11 —минор элемента матрицы А.
9.	Присоединенная матрица adj А к квадратной матрице получается при замене каждого
ее элемента а,-у алгебраическим дополнением с последующим транспонированием,
10.	Обратная квадратная матрица
д.1и ad£A
710
11.	Вектор-столбец (вектор х) матрица порядка я X L
L*n_l
12.	Вектор-строка (транспонированный вектор-столбец хт) порядка 1 X п. х* = [xi,
х2, .... х„].
13.	Сложение и вычитание двух матриц А = [ац ] иВ = [Ь//] одинаковых порядков
можно выполнить в виде С=А + В, где нх элементы с/;- =	+ 6^-; D = А — В, где их эле-
менты djj = atj — t>ij.
14.	Умножение двух матриц А и В.можно выполнить в виде С — АВ, когда число столб-
цов матрицы А равно числу строк матрицы В. Элемент матрицы С, стоящей в »-й строке и /-м
столбце, равен сумме произведений'соответствующих элементов i-й строки матрицы А и fe-ro
столбца матрицы В, т. е.
т
Cij — У anftki-
15.	Деление матриц А и В выполняется с помощью следующих соотношений:
С = А-1В; D = ВА*1.
16.	Ранг матрицы А порядка п X т определяется как размер наибольшего квадратич-
ного минора (см. пункт 8 настоящего приложения), определитель которого не равен нулю.
17.	Собственные значения X квадратной матрицы
определяются из уравнения
| А — XI | =
—dnl °пг • • • апп —
а11 — а1а • • • ат
саа —	' вал
агЧ аП2 ' ’" апп ~~
18;	Собственные векторы V/ квадратной матрицы А. Каждому значению X/ соответствует
вектор V,-, удовлетворяющий уравнению Av(- = X/v,-.
19.	Приведение матриц к диагональному виду выполняется с помощью следующего ма-
тричного уравнения:
Р-^АР = Л,
с 1-го по л-й пред-
где А — исходная квадратная матрица; Р — матрица, в которой столбцы
ставляют соответственно собственные векторы Vj, .... vn;
LO О
. 20.  Квадратичная форма п переменных в вектор но-матричном виде
п п
У, У = xTQx-
где	Q =	>=1 i=i		kin 4* k
		^ii &12 + k21	kl2 + &21 2 ^22	
				2
		2		
		km + kn		ъ
		2		Knn
Квадратичная форма xTQx является положительно (отрицательно) определенной, когда
все п определителей IQi I..... Юл | положительны (отрицательны).
711
21.	Эрмитова сопряженная матрица Нй к Н получается из матрицы:
H =	all 4* /Р11 a21 4" /^21	a12 “H /Р12 a22	/Р22	• • • • • •	ain + /Pin a2n + /Ргп
	_ ani +	аП2 4“ /Рп2	• • •	ann 4“ /Pnn _
путем ее транспортирования и замены элементов на сопряженные, т. е.
а11 — /Р11	а21 — /₽21
а12	/Р12	а22	/Р22
_	И1П /Р1П	С1гп — ]'^2П
ani /Рп1
аП2 /Рл2
апл №пп _
22.	След матрицы А = [а(у] размеров п X п есть сумма
Тг (А) = £ аи
«=1
ее диагональных элементов.
23.	Коэффициенты характеристического уравнения
I А — XI | = (— 1)" (лп 4~ а^М1 1 4- а2/.п 2 -j-  • • -f- an)
вычисляются в следующем виде:
ах = Тг(А);
«2 = - ~ Тг + Тг (А2)1;
ап = - ~ Тг (А) 4- а„,а Тг (А«> 4- •  • + ах Тг (А"-’) + Тг (А«)].
24.	Присоединенная матрица adj А вычисляется через коэффициенты характеристиче-
ского уравнения в виде:
adj А = (— l)”"*"1 [А” 1 ajA” 2 4-   • -j- an_2A 4- a»-ilj.
25.	Матричные соотношения:
а)	[АВ . . . RS]T = STRT. . .ВТАТ;
б)	[АВ . . . RS]-i = S-1R-1 . . . B-iA'1;
в)	[АВ . . . RS] = | А 11 В | . . . | R 11 S |.
26.	Дифференцирование матрицы А = [а/,] по скалярному аргументу t производится
в соответствии с выражением:
di А(/)~ dt
daiz j
d/ J
712
Формулы для Определения козффициентоб
гармонической линеаризации типодых нелинейностей
Однозначные нелинейности
N-no пор.	Bub нелинейной ха рант ер истина		Формулы для Вычислений <f(A)	20lg^} uxuZOlg^ ,d6			
1	У -св	А 1	2к(	. С С /, Сг ) при A W	Ln	’	k=1,0		
				w 20 Л			
	1 >	-вс tgfi- к					
							
				“0,01	0,1 C/p 1,0			
1	У в \| 1?	ct с} -в	, . Zk2 Гк, . рС . гС а (А)= —- j—arcsin—+ arcsin-	 7 at i_kt	A	A • C k,fpC /, p‘C‘		p=1,0; k=1,0		
				Lm 100 80 60 00 20 °0			
							
							
							
	Ct=pC> tgfi^k,; C2=rC; tgfii=k2 С3=С						
							
					01	0,1 C/p 1,0		
3	В	У X	^=ма		8=1,0; C=1,0		
				Lm 20 °0				
		-в					
						**	
					01	0,1 C/p 1,0		
4	У -Сг-С,	_^$\Ci Г х Ct=mC ~В tqfi=k	a(A)~ ~(arcsin~-arc$ln~ + 71 ' л 1	A	A , C L c‘ mC /, m‘C2) + ?r"?’Tr"F/ при AW	Lm У0 20 °0,	J	n=0,25 — 0,50 1=0,75	1,0
							
	т=-/4,1/> Ь2				01	0,1 C/p 1,0		
5	|к F— 'ч	f	X С -В	„/it- йВС /, C‘ при A i-C	Lm 00 20 n	B=1,0; C=1,0		
							
							HI
							
				“0,01	0,1 C/p 1,0			
6	У -С f S	' ХГ^' Лс fit * fi, tgft^k, tgPz~ki	^’4)]		Lm У 2 0 0,	к,=0,5;кг=1,0		
							
							
					01	0,1 c/p	и 1,0
7	У, -с	fi^x С tgfi=k	при A i-C	Lm 6 У 2 0 0			
							
							
							
					01.	0,1 C/p	to
8	0	jf(x)=Bx’		Lm 20 0 20	B=1,0		
							
							л
							
							 A
							Th i	‘
				0,01	0,1	1,0			
713
Двузначные нелинейности
Tai лица!
№ по пор	Вив нелинейной л хари^теристукц		Формулы для вычислений													
			4(A)	Я (А)												
1	. 9 В -С Г	 1* х	при АЪС	_£ и(А]~- arc ta			40 30 го to	Lm	'	' T					 o,ot 0,1 Ца					
											-iuu -120 -140 460 -180					
														*		
																
																
				-г‘ • -	’ /—/г 1	14? •	при A i-C												
	-в							'								
					“0Л1 -- a.t cfy to							- v .	.				
: z	У ~р -Г	в	z[(Hlml)jl * '№)('-&)] при А >,С			Lm					0,0!	0,! CU					
					30 20 to						-120 -140 -160			HI1		
		fr=/nc| X												/п-Л/Г		
				jt(A)--arcсу -—	. - - при А З’С											1.50~. 7,75	
	JK	J						1 \						m=		
	-в							-								
					"0,0/	0,t C/A 1,0							-*• *				
3											0,01	0,1	C/A - 00.	•••,ТГ.П1	, 					
	У	*			too	Lm										
				ji(A)=* arc .	... 7,1 '	^arcs^-f).	80 60 40 20						-110 -130 -150 -170 -M					
																
			^^<-^[^агсз1п(1-^к при А>,С													
																
																
		/с		при Л												
																
								Il								
	bgji-K				O.Ot	0.1 c/a 1,0									•		
4											0,01	0,1 с C A an					
			^=^[т + агс/1п('-¥)]^													
	У в -С j	*7fi *			8 6 4 2			I			-110 -130 -150 -170 -130					
				^(Aj-.ar.ty ^arcs.n(f ^ при A>cC												
																
			-1НМ('-а при A i-0													
																
		'С -8 tn n-ir														
																
													—			
					0,01	0,1 C/a 1,0											
Продепхение та5л I
Формулы для определения коэффициента! гармонической линеаризации
при постоянной составляющей. Однозначные нелинейности
Таблица!
№no пор- и Вид нелинейной ха- рактеристики		
1 У В		
		/Г
-С		«I X
\/		С
_к.		
F°№A)= *{(.C-.xi)arcsin!2~
,	,	. C-Xl /г/ (Сгх‘)'‘
-(Ctx’larcsm— -.AlUI—
Формулы для вычислений
F°(x°A)
q(x’A)
+arcsiri-
qMA^-^arcsin
при А»С+1х91
Lm
80
60
40
го
to
при А»
2

В
F4x!A)~(amln arcsin -
-arcsin + arcsin ~¥~)+
A	A
*//»/	. C,-xe , C,‘X"\ .
+ — arcsm —— + arcsin ——) +
Я I A A x
r^uCrX^arcsm——arcsm—J-
-fCtrx’)(arcsin^-6>- arcsin
С(х!А)г Г11arcsin
"L *
..«.fc'-'ei’lf
- arcsin cyS'.mi,SC!l.
larcsin-^-
-в
fgh-b
tgbrkp
при A>Cj
ZOlgp В 86
20lgt В BS
*Tf
х>;
------В

(Crx‘)2'
A2
FWAh arcsin £
ори А »|х’1
			
			III
10 I 100
х’-ОЯ
Lm
KO
120
100
80
60
60
го
&0.5 х^О.1
			
			
			
		'	
			
		|| \	
lm
80 Г
60
60
го
to

		дг	А
		 At	А...
		. At	-Т’
		ft г	
			
ll!
A
100
qlx?A =
Lm
100
, РЛХ kf - C?-X°	b-*6
<7(^?A)s—Iarcsin-^- -arcsin— *
, C}*xO . Cr^x°
* arcsm —z-----arcsm —:— *
A	A
ст
при
lm
WO
SO
60
 °* 0.5,0.9
_______100
?S/j/ (C-xtf'. г / (СыЛ)2'}
r-tCrx”)
tcA ।

н>, В/ . Ci**1	, Гг-x’t
f(xM*-{vtsin ~-arcsln——J-
ЯГ A	A
, . Cl-*1	. Ci-xh
(arcsm—arcsm—j-J-
..	 ci*x' ,
-K^x^farcsm -----arcsin—^-/i-
(С,-х°)2
при Л»Сг+|х’|
ь-с,

при А»Сз
при 4э|№1
		ААТТПТЛ
		ftf^Wnni
	1 1	11	Тнт
		it	1 '	1 . L..
	и	4^	^=^;=Л Ji 1
	'И HI		1 : HI 'II
ХЩЯ
^0,10.5.0,9
			т	к
	4--f	4Т		и
	'А			й
			-4	1
0.1.0,5,0.9
	“ГТ				п
		п	1 \		
	-t-	ill	U	1L.	

	1 и		т	п
	Тн		1	J
				
	И '			
		1		14
rO/ Ba\	c *°	• c~* )
-arcsm — -arcsm —}
Я' A	A
при А&С + |х°1
при A
х	^0.1	х°=0.5	to
Lm /		/		
80 —[i		tJJJ.lt	-20
60	/			
40			-60 —
			- ЯП
20	lx	\l ll'l 4	100
Ж
Lm
to
\ ins
Xs--03
x°‘O.l
716
mtr9n.3
N*no пор. и 8ud
нелинейной ха-
рактеристики
Форнулы для Вычислоний
F°MA)
q(x'A)
20Lg± в db
Mlgj 8 dt
6 g		
		
tgf$*k
7

xO
tg№
8
У в	.
	с
tgpsk
У	t
	
y=Dx3
У	/1 X
	j X»
	
д*{}Х-£Х*
11
У		рхг ' x
	x"	
		
12
У		fix3 X
	x°	
		
13
0X-CX-
ro, о», kx°, k f „ xt
Fa(x"A)=-y * ~(x°arcsm 
4
p(xOA)~
x°
arcs/п+
^•01 xe-0.5
Lm / /
20
0
-20
.40
60
-80
				a*
		r=		
V		ПГ		
±		Ml		
		.nt	.1.	
0.Ц9
Lm
8
7		E		ffl
X.		Г		Д
I=-				-Ж
				
з:		. ЕЕ		.Л
1,0
\	100
x»>09
FWy- | (furcsm £
A
F°(O,A)^+^
arcsin^] при A^C
F0lx?A)=li{x'>s-jx'’A2)
^?4)»^[гх^’ех®г-^£4г) *
x a resin + (?$A -^eAs- уexe2A) *


FarfA)-^[(2xi>t-3Aix',)x

a(x?A)-
**•09 х*-0£
Lm 
40
20
0
-20
-40
				
				
				
				
i.				

Lm
14
12
10
A
g(O.A)*~ (musing *
при AmC
a(x.W-30pJ*£)
q(xM=^[(№-flx42-jlA!)>
^Jcx-A)
a(xW)-^[xe^* arcsin^)
<F?]
alxM-ffixO^-A1)*
(X.erc,ln&(£!^
ataxV’^-fa*
,	x^0,1;0.S;03
Lm
!»l
				
				
				A
10
100
t
I»
La
60
40
20
0
-20
-40
x*-tL1 *9*(L5
			Illi Illi		llllll'l	
					Illi	
						IH
				It		ap
						
						
						
x"-H9
Lm 1.0
-20
-40
-60
-80
^01 x4~05
I /ю too
---------------14
				
				
				5И
				ДИ
				it и
			••	41
				ля
х*-0,9
Lm

zM5
1Q0A
0
-20
-40
-60
x^Q.9
Lmu
01“
-20
-40
•60
-80
-100
x9-05;flP
/ io________ipOA
			—
	's	Г	
		Ж.	
		ПГ	
		.fflz	
x4l
Lm
0
•20
-4Q
-60
-80
-100
1!!1ПГ ГТ1ПТП1
1 IIIIIL" 1 ЭДИ
ESlIfMIIIIIC'llIIII
Bi
,	xe»<L1;O.S;08
Lm
ЙГ
40
20
LO
				
				i
				
				
JO
wo
x^.0,1 x^OS ^0.9
Lm /	/
60
40
20
0
-20
-40

-40
•60
-80
-100
-120
100
“|4
— -				J
				
				
				
х».Ц9
хв~Ы0Н19
40
20
0
-20
-40
т 11 inn л i H		1 П
wntiiniEimii		
1 Г	TttttWJ 1 1 I	
	От	i
zti	lllffl	П
хв-Л5 л’-а/
Lw 1.0 \ I ip
Of' ' '--------
-20
-40
•60
•80
-100
JOOA
			
			
	1 [		
			
			
xa>OJ
Lm
20
0
-20
-40
-60-
-SO-
-toot
ииь!«ни itzaaiiii
HDD
J5O4
717
Формулы для определения коэффициентов шрмонической линеаризации
N*no пор. и Вид нелинейной
Ф о р
Л Ы Оля 0 ы Ч
характеристики			F\x°,A)	q^A)	
1		У	F'rfA). * (arcsin С+х'_ arcsi„ С^х Л'	А	А ' при А *С + lxffl		
	в			ч(хпА) = тЛ h+ 	ЛА У I	A2	 при А г C + |x’|	
		X,			
-с 		С ‘			
-в		X»			
г		У	F°(x?A) = O-(arcsin £*'+ arcsin - arcsin	-arcsin mC~X-) A	A ' при A*C+ lx°l	7M^=Ap/?^£^£^ +	
				, (тС-х°)(тС + х°) + 1<С2т , *	л	'К A2	
т_					
					
				^['-^['-'"ТЪ	
-в		х°			
					
5	У- -с/ f		\T7.p	Fe(x°A) = Ax’	ЯМА)^^	arcsin(l-^)]! +	
				+ *а(1~а) +[”+ 2arcs!n(’-^)] 2 (1~ -%)№-£)	
		/с tgfi-k X»			
			A Г,„	. B-k(Ct*x<>) *!n[^r>,r,s„ J - -rc-rt,,'Sl,!sU^L kA J В Г . B-k(C1*x«) - — arcsin	—i	 2я[	kA . .	. B-kfCt-x»)! - arc si n	r-j	/.- kA J		
				’ B-kfCt-rx») C-х» тП” + arcsin	i-i	.z		— \ 1- кА	А У	
1 5 -		/ ' / Р> /С * В X»		[в-к(С-х«)]2' С,+х°Т / [в-к(С;+х<>)]г кгАг	А У	кгА2 +	
				-нвЛ/. [в-к(с,-х’Цг' в-[/ кА Г кгАг	кАГ [Ь-к(С^хО]г'в-к(СГх>)^1 [в-кфГх>)]г' к2А2	2 к А	У	к2А2	
			kA ЛЛ [B-k(C,-xO)]1' 2n[V	k2A2	_ в~к(с’+1<',)]1 f [в^к(СГх»)]г' 2кА И	к2А2	
			т/ [e-kfC^x”)]1' 1 И	k2A> J A	Л	A B"K ffCl	A при 4=—.	x° и A = — 	' + xO к	к	а В-^кС _	A B-fkCj п Д~—		х° и А-—		 + Х° к	к	
718
.	„	Таблица И
при постоянной составляющей. Дбузнаоные нелинейности. 
719
N9no пор. и вид нелинейной характеристики		Формулы	Зля	8 ы ч		
		F°(x°A)	q(xf.A)	
5		Г&А)=£ (arcsin	arcsin 2тг	А	А + arcsin	arcsin —	) А	А ' при А*С+1х°1	Ч(х°А>^а/2{2+	+	
			(fnC-xo)(fnC^xV _ 4 Аг	Аг _	
				
!	S ;	-С-тС	у			
				
				
1	тС С -В			
				
				
				
				
			при AtC + lx°J	
б		F!’(x°A)-*S-£-(arcs/narcsin 2 сП'	А	А ' при A#C+lxff1		
в	У		р^А^-В 1/?Л+ ПА V 1	А2 при А » С + 1ха1	
	-Г..			
-с	с			
				
7 в ---	*1	Г°(О,А)= ~ arcsin— при А=С в	приА^С ч	
тС С				
8		к f	. B-k(Ci + x°) +?n[(Cl+x°) arcs/n J - -(С-х°) arcs/п 8	к-С’ ~ x°2l - кА J В Г . 8-к(Сг+х°) - — arcs/n	Д-2	 2я[	кА . 8-k(Ci-x°)l - arcs/n	—L	I - kA J		
			Я(х°.А)=кпУ{^ arcs/n	J +	
	У у—7' п А( Х1		. B-kCCf+x")	С-х« -.Г~ + arcs/n			— I/7- кА	А у	
			_ [В-к(С-ха)]г‘ C+x°]L [8-k(Ct-rxf)]!' кгАг	А Г	кгАг +	
		/с i | х°		+ А Г/;_ [в-к^-хо)]2’ А т/ _ кА V	кгА?	кА У	
		k±i\i [B-k(C,-x°)]2' 2я( И	кгАг тЛ [B-kfCf-rxo)]^} !	кгАг	} „ B+kC „	. B+kCt . при А= —	ха и А = - к  + х°	[в-к(Сгх°)]! B-kfCf-x") j/ [e-kfCf-x")]2' кгАг	2кА Г	кгАг	
	/тЛ-Л			
			_ B-klCj-rxmi [в-к(С1-х'>)]г' 2кА г	кгА2	
720
Продолжение та5л.4
и с л е н и й
А (х°, 71)
/с(х°А)=-arctg

!0lg-~- О 85
F’(A)
!01^)ваВ
Ш'-рМ
т-0,25 х°-0,1;Ц5;0.9
(С+х°)2
А2
(тС-х»^1
А2
80
60
46
20
1,0
хо-0.1 т-0,25; 0,5,0,75
			
			
			
			
10
х°-0,5
т* 0,25; 0.5; 0.75
А
100
80
60
40
20
1Jh
ха-0,1 т-0.25.0.5;0,75
			
			
			
п
_А
100
т‘0,5х°’0,1Л5Д0
-100
-726
-146
-160
-7W-
			
			
			
10
А
100
>х”)2>
А2
хО-05
т-0,25,0.^075
т-<7.75.хе-0Л;О,5;О,3
х°-ОЛ т-.025:0,5;0,75
х°-О,0 т-0.25,0,5:0.75
/i(x°A)x- arctg
2С
А
(С-х°)2''
А2
8.01
м
1,0
при А 3 С+| х°1
хО-0,1 х°-0,5
№WIII»I			I
	ИТ	ТП	.1
T	Tl	fir	I.
ZG	tt	IF	I
х’-о.з
А
10	100
x^QJ5 *0*0,9
Lim. /
80
60
40
20
о ..
1.6 \	10
\°-а,7
T'			-Ж
t			
A	i..		
			
А
100
-100
-120
-140
-160
-1801^
1,0
хО-ООМОЗ
V			
			
			
			
ю
-А
100
т
jx(O,A)=-arctg\ - .....'i при А=С
I/ 7 + т-
г А
2ГС+С,2а (С-С^2
jx(x’. A)--arc tg ——
А2
2
. 8-k(Cf-x<y . B-kfCi-xe)
4 arcsin---i—L— 4 arcsin - « -a—-
kA	<A
5
С-хО т/? [В-к(С-хЮГ С,-х7
. А У к2А2 А У *
Г8-к(С+х°)]21 В_
к2А2 + кА
к2 А
кА
В'к(С-х°)лГ
2кА *
[B-kfCt-x0)]2 В-к(С,+х<>)
к2А2	2кА
[В-к(С,-> х<>)]2
к2 А2
т*0,75 т«0,5
т-0,25 т»0,5
Lm /	/			Lm 1	/								
И1			100	J							- 80
\И1 IIHU			60	7							-120 -140 -160 -180
KiisaiiiiiiiB			40	T							
				Гг							
ивдммнпи		4	e	e	-					A	
100
ij\ 10
пт 0,75
10\	10	100
т-0,25
m*Q25
T	lllllllr	Iffl
±		Iffl
	IIIUlll I	Iffl lllllll
	SiaillllM	
	-NUllII—L	
-SA
100,
1,0\\ 10
т*0,5 -пт 0,75
zM? х^о,з
Lm
100 Г~
80 —
60 —
40 —
20 -•
о1_с
1,0
Lm
10,0
8.0
6.0
4.0
2.0
1,0 ' ’ за
х6-О,1;0Л0,9
А
100
хО.ЦТМИ}
-SO
-100
					
					
					
fll					
					
					
					
-160
-180---------------...-------
1,Q	10	200
721
Формулы коэффициентов статистической линеаризации для п. 1—3 табл. 5
722
Таблица г- преобразований для передаточных функций
Приложение VIII
№ ШПИЦ	W(s)	W(Z)	j N" Jw w	W(5)	W(z)
_и	.‘к	к	12		к	 S(T,S‘1)(12S‘1)(7}S4)	
2	к_ S	кг z-1			к —		 —Ц- - [z-1	(Т,- T2)(T,-T}) z-e’r> _ T" 1 _ (T2-T,)(T2-T,) z-e^ T" 1 ]
3	к V	кТг (z-1)2			
4	к TqS +1	к z То z-e^			
5	к	_ т к (1 - e~T>)z			(T3-T.)(T,-T,) z-e'^]
	s(Tes*1)	(z-1)(z-e г°)	13	к	 S2(TtS*l)(TiS^)(T33‘1)	k ГГг	<J^Tz'T3)z *	Tf i(z-1)2	z-1	(T,-T2)(T,-TS) z	T2	z T '	г * z eT< (b-Ti)(Tz-Ti) г-етг ,	T2	z 1 (Ts-T,)(Tj-T2) z-e'Tj]
6	к (TiS'l)(T2S,1)	. Г _т к(е Ъ-е тг) 	г	 Т,-Тг	(г-е T')(z-e'r?)			
7	к (Tas*1)!	_ £ к Те Г{*	z Г/ (z-еЪ)’			
в	к s2(Tas<-l)	Г Tz	То (1 - е Г/>)г] *	?	-Z / L(z-u (z-l)(z-e Го)J			
			14	k(T3s.^l) s	k(To^)(z-^) z-1
9	к	 s(TfS^l)(T2s ^1)	к (л. + т> 2	L. 2 1 К	-5	-- [_z-f T^-Tj z-e т» T?-T z - e Tzj	15	k(Tas*1) sl	к Tozfz'T-1) 	l0 (z-1)2
10	к		f TZ (r^Ti)z 7/	Z	 [(z-1)2	z-1	Гг - 7, г- e r' + Tz	i 1 7?- 7( z - e тг]			
			16	k(TfStl) T2s > 1	ъ[г,,(' T'' ,-,-d
	S!(TiS >1)(T2s * 1)		17	k(Tts ^T) s(T2s-l)	Тг	(z-1)(z-e'^)
11 			к	 (TiS*IMT2j*l)(TjS'i)	« T T> z .			
		[(ТгТг)(Т,-Т}) z-e '’	(Тг-Т,)(Т2-Т}) l +	7j	Z 1 z-e	(Tj - T,)(Tj-7?) z-e TiJ	16	k(Tis*1) (T,s*l)(T2s*l)	к Г,'Гг г - e’7i	z - е'7» j
Продолжение прил. И2Г
N* nonop	W(s)		W(z)	N9 nonop	W(S)		W(z)
19	K(T3s<-1) ' s(Tts<-1)(T2s + 1)		J+ <T,-T3)z	+ (Ъ-Тз)г 1 Г' (T2-Tt)(z-e~Ti) (TrWz-e'fyJ	23	к		f z	z2-ze tr' sec<pcos{Vi-T,2t zt-Zze'^’cosf/VMp'J+e'Xy где ^aretgf-^}
20	k(T2s + 1)		Г Tz (T,-T2)(f-e'r>)zl [a-»2 fz-Wz-e-^ J		s(T2s2^2iTts4)		
21	к(Т3з*1) s2(TiS + 1)(T2S'1)		J Tz . (T}-T,-T2)z k[(z-1)2	z-1 (Ti-T})z	(Тг-Тз)г 1 (^-1)(г-в-^ ^-iXz-e-^J	24	k(T2s4)		~г-ч> kT1 2[z-e'(G(c0s^VrF-^si^VJT2)]
					T2s2+2t,TiS+1		T' z2-2ze^cos^^^-2^
				25	K(T2S + 1) s(T2s2+2^TiS>-1)		Г z z2-ze	sectpcos^^Vl-62★ f>)l [Z4 Z2-2ze^COs^Vr^te-2^,j’ ^-6 где arctg
22	К		kze'^T, 5//7^V;-^2^				
	T?s2+ 21.T1S + 1		T^[z2-2ze^cos(j-^)re^				
Таблица z - преобразований для возмущений							
N9 по пор	9(t)	G(s)	G(z)	№ nonop	g(t)	G(s)	G(z)
1	t	1 ?	Tz (z-1)2	7	1 - cosajgt	s(s2-kjS)	Z	Z(z-COSOJi)T) z-1 z2-2zcosojoT+1
2	t2	2 P	T2z(-z+1) (z-1)3	a	sh(jot	tUo s2-<ul	Z shejgT Z2 -2 zcho0T + 1
3	e~at	1 s + a	z z-eai	9	ChUgt	s2-^	Z(Z- ChUgT) z2-2zchcjaT + 7
4	le~at	1	 (s+a)2	Tze~aT (z-e'aT)2	10	f-at- в'01 c ” и	D-a (s^a)(s^fi)	zTe^-e-02) fz-e^z-e-"7)
				11	fig * &i t	S*	21!i^iLz2. (z-1)2-
5	sina>at	t3g	г sin cja T z2-2zcosuoT+1				
6	COSUgt	S2*^	Z(Z - COSCJoT) z2-2zcasa)aT+1	12	ag+ait + a^2	s s2 s3	gaz a, Tz a2 T2z)z*1) z-1 + (z-1)2 ' (z -1)3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники, учебные пособия и задачники
1.	Айзерман М. А. Лекции по теории
автоматического регулирования. Изд. 2-е.
М., Физматгиз, 1958. 520 с.
2.	Айзерман М. А. Теория автоматиче-
ского регулирования. М., «Наука», 1966.
452 с.
3.	Анисимов В. И., Вавилов А. А., Фа-
теев А. В. Сборник примеров и задач по
линейной теории автоматического регулиро-
вания. М.—Л., Госэнергоиздат, 1959. 256 с.
4.	Балашов М. А. Электронные и полу-
проводниковые устройства систем автомати-
ческого управления. Под ред. А. М. Решет-
никова. М., «Машиностроение», 1966. 444 с.
5.	Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория
систем автоматического регулирования. М.,
«Наука», 1972. 768 с.
6.	Васильев Д. В., Чуич В. Г. Системы
автоматического управления. М., «Высшая
школа, 1967. 420 с.
7.	Воронов А. А. Основы теории авто-
матического управления. М.—Л., «Энергия»,
ч. 1, 1965. 396 с.; ч. 2, 1966. 372 с.
8.	Джеймс X., Никольс Н., Филлипс Р.
Теория следящих систем. Под ред. Я- 3. Цып-
кина. М., Изд-во иностр, лит., 1953. 484 с.-
9.	Захаров В. К- Электронные элементы
автоматики. Л., «Энергия», 1967. 352 с.
10.	Иващенко Н. Н. Автоматическое ре-
гулирование. Теория и элементы систем.
Изд. 3-е. М., «Машиностроение», 1973. 608 с.
11.	Красовский А. А., Поспелов Г. С.
Основы автоматики и технической кибер-
нетики. М.—Л., Госэнергоиздат, 1962. 600 с.
12.	Колосов С. П. Элементы авиационных
автоматических устройств. М., Оборонгиз,
1963. 464 с.
13.	Кузовков Н. Т. Теория автоматиче-
ского регулирования, основанная на частот-
ных методах. М., Оборонгиз, 1960. 448 с.
14.	Нетушил А. В. Теория автоматиче-
ского управления. Изд. 2-е. М., «Высшая
школа», 1976. 400 с.
15.	Попов Е. П. Динамика систем авто-
матического регулирования. М., Гостех-
издат, 1954 . 800 с.
16.	Сборник задач по теории автоматиче-
ского регулирования и управления. Под
ред. В. А. Бесекерского. Изд. 3-е. М., «Нау-
ка», 1969. 588 с.
17.	Степаненко И. П. Основы теории
транзисторов и транзисторных схем. М,,
«Энергия», 1967. 616 с.
18.	Техника проектирования систем авто-
матизации. Под ред. Л. И. Шнпетина. М.,
«Машиностроение», 1966. 704 с.
19.	Топчеев Ю. И., Цыпляков А. П. Задач-
ник по теории автоматического регулирова-
ния. М., «Машиностроение», 1977. 592 с.
20.	Фатеев А. В. Основы линейной теории
автоматического регулирования. М.—Л.,
Госэнергоиздат, 1954. 295 с.
21.	Фельдбаум А. А. Электрические си-
стемы автоматического регулирования. Изд.
2-е. М., Оборонгиз, 1957. 808 с.
22.	Честнат Г., Майер Р. Проектирование
и расчет следящих систем и систем регули-
рования. М.—Л., Госэнергоиздат. 1959, ч. I,
488 с.; ч. II, 392 с.
Монографии
23.	Автоматические приборы и регуля-
торы (справочные материалы). Под общ.
ред. Б. Д. Кошарского. М.—Л., «Машино-
строение», 1964. 704 с.
24.	Автоматическая оптимизация управ-
ляемых систем. Под ред. Б. Н. Петрова. М.,
Изд-во иностр, лит., 1960. 240 с.
25.	Агейкин Д. И., Костина Е. Н. и Куз-
нецова Н. Н. и др. Датчики контроля и регу-
лирования (справочные материалы). Изд.
2-е. М., «Машиностроение», 1965. 928 с.
26.	Андронов А. А., Внтт А. А., Хай',
кин С. Э. Теория колебаний. М-, ФизмаИгиз,
1959. 916 с.
27.	Берендс Т. К-, Ефремов Т. К., Тагаев-
ская Н. А. Элементы и схемы пневмоавтома-
тики. М., «Машиностроение», 1968. 312 с.
28.	Бесекерский В. А. и др. Проектирова-
ние следящих систем малой мощности. Л.,
Судпромгиз, 1958. 508 с.
29.	Беллман Р. Динамическое программи-
рование. М., Изд-во иностр, лит., 1960. 400 с.
30.	Боднер В. А. Системы управления лета-
тельными аппаратами. М., «Машинострое-
ние», 1973. 504 с.
31.	Болтянский В. Г. Математические ме-
тоды оптимального управления. М., «Наука»,
1969. 408 с.
32.	Гитис Э. И. Преобразователи инфор-
мации для электронных цифровых вычисли-
725
тельных устройств. Изд. 3-е. М., «Энергия»,
1975. 448 с.
33.	Горелик А. Л., Будко Г. И., Белоу-
сов Ю. А. Бортовые цифровые вычислитель-
ные машины. М., «Машиностроение», 1975.
204 с.
34.	Дубровский А. X., Кочетова Л. И. Про-
ектирование схем на бесконтактных магнит-
ных логических элементах ЭВМ. М., «Энер-
гия», 1968. 152 с.
35.	Журавлев Ю. П. Системное проекти-
рование управляющих ЦВМ. М., «Совет-
ское радио», 1974. 368 с.
36.	Иосифьян А. Г., Коган Б. М. Основы
следящего привода. М,— Л., Госэнергоиздат,
1954. 596 с.
37.	Коган Б. Я. Электронные моделиру-
ющие устройства и их применение для иссле-
дования систем автоматического регулирова-
ния. М., Физматгиз, 1963. 512 с.
38.	Колмогоров А. Н. Интерполяция и
экстраполяция стационарных случайных по-
следовательностей.— «Известия АН СССР.
Серия математическая», т. 5, 1941, № 1,
с. 3—14.
39.	Кувшинский В. В. Автоматизация тех-
нологических процессов в машиностроении.
М., «Машиностроение», 1972. 272 с.
40.	Кузии Л. Т. Расчет и проектирование
дискретных систем управления. М., Машгиз,
1962. 684 с.
41.	Кулсбакин В. С. Теория инвариантно-
сти автоматически регулируемых и управ-
ляемых систем.— «Труды 1 Международного
конгресса Международной федерации по авто-
матическому управлению», т. 1, Изд-во
АН СССР, 1961, с. 247—258.
42.	Кулебакии В. С. Высококачественные
иивариаитиые системы регулирования.—
«Труды 1 Совещания по теории инвариантно-
сти». Изд-во АН СССР, 1959, с. 11—39.
43.	Лебедев А. А., Карабанов В. А. Дина-
мика систем управления беспилотными лета-
тельными аппаратами. М., «Машинострое-
ние», 1965. 528 с.
44.	Летов А. М. Динамика полета и управ-
ление. М., «Наука», 1969. 360 с.
45.	Ли Т. Г., Адамс Г. Э., Гейнз У. М.
Управление процессами с помощью вычис-
лительных машин. Моделирование и опти-
мизация. М., «Советское радио», 1972. 312 с.
46.	Лоссиевский В. Л. Основы автомати-
ческого регулирования технологических про-
цессов. М., Оборонгиз, 1950. 228 с.
47.	Мелкозеров П. С. Энергетический рас-
чет систем автоматического управления и
следящих приводов. М., «Энергия», 1968.
304 с.
48.	Моросанов И. С. Релейные экстремаль-
ные системы. (Приближенные методы иссле-
дования). М., «Наука», 1964. 268 с.
49.	Нелинейные системы автоматического
управления. Под общей ред. Е. П. Попова.
Метод гармонической линеаризации в проек-
тировании нелинейных систем автоматиче-
ского управления. Под ред. Ю. И. Топчеева.
М., «Машиностроение», 1970. 568 с.
50.	Нелинейные системы автоматического
управления. Под общей ред. Е. П. Попова.
Нелинейные корректирующие устройства в
системах автоматического управления. Под
726
ред. Ю. И. Топчеева. М., «Машинострое-
ние», 1971. 468 с.
51.	Олейников В. А., Зотов Н. С., Приш-
вин А. М. Основы оптимального и экстре-
мального управления. М., «Высшая школа»,
1969. 296 с.
52.	Олейников В. А. Сборник задач и при-
меров по теории автоматического управле-
ния (оптимальное, экстремальное и программ-
ное управление). Под ред. А. В. Фатеева.
М., «Высшая школа», 1969. 330 с.
53.	Ордынцев В. М. Математическое опи-
сание объектов автоматизации. М., «Маши-
ностроение», 1965. 360 с.
54.	Основы автоматического управления.
Под ред. В. В. Солодовникова. Т. Ill, М.,
Машгиз, 1963. 660 с.
55.	Пелегрэн М. Статистический расчет
следящих систем. Пер. с франц. Под ред.
В. В. Солодовникова. М., Изд-во иностр,
лит., 1957. 224 с.
56.	Петров Б. Н. Принцип инвариантности
и условия его применения при расчете ли-
нейных и нелинейных систем.— «Труды 1 Ме-
ждународного конгресса Международной фе-
дерации по автоматическому управлению».
Изд-во АН СССР, 1961, т. I, с. 259—292.
57.	Петров Б. Н. О реализуемости условий
инвариантности.— «Труды I Совещания по
теории инвариантности». Изд-во АН СССР,
1959, с. 59—80.
58.	Понтрягин Л. С. Математическая тео-
рия оптимальных процессов. М., «Наука»,
1969. 384 с.
59.	Попов Е. П. Прикладная теория про-
цессов управления в нелинейных системах.
М., «Наука», 1973. 584 с.
60.	Попов Е. П., Пальтов И. П. Прибли-
женные методы исследования нелинейных
автоматических систем. М., Физматгиз, 1960.
792 с.
61.	Прангишвили И. В. Микроэлектроника
и однородные структуры для построения ло-
гических и вычислительных устройств. М.,
«Наука», 1967. 228 с.
62.	Пугачев В. С. -Теория случайных функ-
ций и ее применение к задачам автоматиче-
ского управления. Изд. 3-е. М., Физматгиз,
1962. 884 с.
63.	Рабинович Л. В. Методы фазовой пло-
скости в теории и практике релейных сле-
дящих систем. Серия «Библиотека по авто-
матике», вып. 143. М.—Л., «Энергия», 1965.
152 с.
64.	Расчет и проектирование элементов
ЭВМ. Под ред. Г. Н. Соловьева. М., Атомиз-
дат, 1975. 312 с.
65.	Скворцов Г. В. Синтез корректирую-
щих устройств судовых следящих систем.
Л., «Судостроение», 1968. 252 с.
66.	Современные методы проектирования
систем автоматического управления. Анализ
и синтез. Под общей ред. Б. Н. Петрова,
В. В. Солодовникова, Ю. И. Топчеева. М.,
«Машиностроение», 1967. 704 с.
67.	Современная теория систем управле-
ния. Под ред. К. Т. Леондеса. М., «Наука»,
1970. 512 с.
68.	Солодовников В. В. Статистическая
динамика линейных систем автоматического
управления. М., Физматгиз, 1960. 656 с.
69.	Солодовников В. В., Топчеев Ю. И.,
Крутикова Г. В. Частотный метод построения
переходных процессов с приложением таб-
лиц и номограмм. Справочное пособие. М.,
Гостехиздат, 1955. 196 с.
70.	Справочная книга по технике автома-
тического регулирования. Под ред. Дж. Трак-
села. М., Госэнергоиздат, 1962. 784 с.
71.	Сю. Д., Мейер А. Современная теория
автоматического управления и ее применение.
М., «Машиностроение», 1972. 552 с.
72.	Техническая кибернетика. Теория авто-
матического регулирования. Под ред.
В. В. Солодовникова. Кн. 1. 768 с.; кн. 2.
680 с., 1967; кн. 3, ч. I, 608 с. и ч. 2, 368 с.,
1969, М., «Машиностроение».
73.	Техническая кибернетика. Устройства
и элементы систем автоматического регули-
рования и управления. Под ред. В. В. Соло-
довникова. Кн. 1, 680 с., 1973; кн. 2, 688 с.,
1975; кн. 3, 736 с. 1976.
74.	Топчеев Ю. И., Потемкин В. Г., Ива-
ненко В. Г. Системы стабилизации. М., «Ма-
шиностроение», 1974. 248 с.
75.	Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные си-
стемы автоматического управления. Пер.
с англ. М., «Машиностроение», 1964.
704 с.
76.	Талер Дж. и Пестель М. Анализ и рас-
чет нелинейных систем автоматического
управления. Пер. с англ. Под ред. Д. В. Ва-
сильева. М.—Л., «Энергия», .1964. 488 с.
77.	Удермая Э. Г. Метод корневого годо-
графа в теории автоматических систем. М.,
«Наука», 1972. 448 с.
78.	Фотоэлектрические преобразователи ин-
формации. Под ред. Л. Н. Преснухина. М.,
«Машиностроение», 1974. 376 с.
79.	Фельдбаум А. А. Основы теории опти-
мальных автоматических систем. Изд. 2-е.
М., «Наука», 1966. 624 с.
80.	Хетагуров Я- А., Малишевский В. В.,
Потураев О. С. Основы инженерного проек-
тирования управляющих ЦВМ. М., «Совет-
ское радио», 1972. 368 с.
81.	Хинчии А. Я. Теория корреляции
случайных процессов. Серия «Успехи мате-
матических наук», 1938, вып. 5.
82.	Цыпкин Я. 3. Теория линейных им-
пульсных систем. М., Физматгиз, 1963. 968 с.
83.	Цыпкин Я. 3. Релейные автоматиче-
ские системы. М., «Наука», 1974 . 576 с.
84.	Шаталов А. С., Топчеев Ю. И., Кон-
дратьев В. С. Летательные аппараты как
объекты управления. М., «Машиностроение»,
1972. 240 с.
85.	Lee Joon S. A. Time-optimal Adap-
tive Control System via Adaptive Switching
Hypersurface, J ACC, preprints of technical
papers, 1967, p. 484—491.
86.	Schultz O. G. The Generation of Liapu-
nov Functions. Jn: Advances in Control
Systems, vol. 2, Ed. С. T. Leondes, N. Y.,
Academic Press, 1965, p. 1—64.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоколебания 486
—	амплитуда 486
—	частота 486
Автокорреляционная функция 456
Адамса—Башфорта метод интегрирования 589
Алгоритм 20, 41
Амплитудная характеристика системы 303, 305,
325; высокочастотная часть 633; низкочастот-
ная часть 633; среднечастотиая часть 633
—	желаемая 632
Амплитудно-импульсная модуляция 543
Амплитудно-фазовая характеристика 301; по-
строение для групп типовых звеньев 325
•	— апериодического звена 304, 306
•	- дифференцирующего звена 1-го н 2-го поряд-
ков 316, 317
—	интегрирующего звена 308
*	- колебательного звена 311
*	- трансцендентного звена 321
—	усилительного звеиа 307
Анализ устойчивости систем регулирования 331,
356, 366, 378
—	регрессионный 47, 71
Аналитическая самонастраивающаяся система 19,
20
Аналоговая вычислительная машина 163
Ансамбль случайных функций 457
Б
Беллмана уравнение 695
— функция 695
Белый шум 462
Билинейное преобразование 576
Блок-схема системы автоматического регули-
рования 12, 30, 32, 77
системы автоматического управления 43
В
Величина регулируемая; закон, изменения 9
— случайная 453
Вещественная частотная характеристика 304,
408, 411, 412;
— свойства 413—419, 420
Воздействие, случайная функция времени 13, 15
— возмущающее 9, 13
—• периодическое 13, 14
— типовое 13, 14
— управляющее 13
Время переходного процесса 387
Вынужденные колебания 528
Вычислительное устройство аналогового дей-
ствия 163, 164, 186
цифрового действия 172, 188
Г
Гамильтониан 685
Гаусса закон распределения 462
Гаусса—Зейделя метод 604
Гиперплоскость переключения 620
Гироскоп 101, 227
— дифференцирующий 227, 231
*	- интегрирующий 230, 231
—	поплавковый 230
Годограф Михайлова 353
Гурвица критерий 345
—	определитель 345
—	теорема 345
728
л
Датчики 76; погрешность 105; точность 105;
чувствительность 77, 81, 84, 86
— гироскопические 101, 102
—	давления 80, 97
—	емкостные 85
—	измерения температуры 94
*	— индуктивные 84
—	ионизационные 96
линейных ускорений 76, 103
—	реостатные 81
—	скорости 76
—	углов рассогласования 86
—	угловых скоростей 91, 101
—	фотоэлектрические 93
—	электрические 77
—	электронные 77
Двигатели 202
—	гидравлические 211
—	• дроссельные 212, 215
—	механические 208, 219
—	пневматические 217
Двоичный сумматор 188
Декада 305
Д-разбиение 381, 383
Децибела 305
Динамическая точность 434
Динамические звенья 301; частотные характе-
ристики, см. аплитудно-фазовые характери-
стики и логарифмические амплитудно-фазовые
характеристики
—	мииимально-фазовые 319
—	- неминимально-фазовые 319
—	типовые, см. типовые звенья
—	трансцендентные 321
Динамическое программирование 694
Диодная линейка 152
Дискретное корректирующее устройство 241, 242,
587, 665
Дисперсия 455
Добротность 436
Допустимое управление 683
Е
Единичная матрица 343, 710
3
Закон распределения Гаусса 462
—	нормальный 462
Замкнутый цикл 9, 11
—	по возмущению 9, 15, 18
—	по отклонению 9, 15, 18
Запаздывание 321
Запас устойчивости 353, 354; нормы 358, 432, 433
	— по модулю и фазе 353, 354
Запоминающие устройства; показатели 182
—	на магнитных сердечниках 184
—	на магнитной ленте 183
— на перфокартах и перфолентах 183
— оперативные 172
— экстремальных регуляторов 35, 600, 603
Звено 301
— апериодическое 303, 306
дифференцирующее 316, 317
— интегрирующее 308
— колебательное 310
минимально-фазовое 319
— неминимально-фазовое 319
— трансцендентное 321
— усилительное 307
— чистового запаздывания 321
z-преобразование 561; свойства 566
— обратное 578
!— простейших функций 562, 563
И
Идентификация 42
Изображение 244, 245
Изображающая точка 485
Изодром 239, 258
Импульсная переходная функция 293; вычисле-
ние 297
Импульсная система 30, 543; виды модуляции 543;
критерии устойчивости 568, 572, 576; методы
анализа 557, 558, 567; передаточная функция
552; частотные характеристики 556, 576, 584
Импульсное устройство 30, 543, 545; передаточ-
ная функция 548
Импульсный умножитель 143
Инвариантность 448, 449
—- неполная 451
Инерционность 77, 78
Интеграл свертки 298, 560
Интегральные оценки качества 399
Интегральные схемы 201; запоминающие устрой-
ства 182; параметры 183; прерыватель 180;
характеристики 200
— гибридные 201
— полупроводниковые 201
— совмещенные 201
— тонкопленочные 201
Исполнительные элементы 202; основные по-
казатели 202, 222; сравнительная оценка 222;
типы 202
К
Катаракт 239
Качество систем регулирования 386; интеграль-
ные оценки 399; основные показатели 386,
387; частотные оценки 403, 413
Квантование 30, 543
Колебания низкочастотные 515
— вынужденные 528
— высокочастотные 515
— свободные 528
— субгармонические 515
Комбинированное управление 448
Компаратор 142
Корректирующие устройства 224; виды 224,
235, 239, 241; классификация 224; синтез 635,
637, 641;
— дискретные 241, 242, 587, 669
— линейные 224, 521
— нелинейные 172, 235, 522, 533
— параллельные 522, 626, 637
— последовательные 626, 627
— псевдолинейные 236, 237, 524, 525 .
Корреляционная функция 455, 456; свойства 458
— белого шума 462
— взаимная 456
— иецентрированиая 456
— нормированная 459
Коэффициент гармонической линеаризации 496
— затухания 310
— усиления медленной составляющей; нелиней-
ный 516
Коэффициент ошибки 434, 441, 581, 583; примеры
определения 440, 446
— астатических систем 436
— статических систем 435
Критерий абсолютной устойчивости 483, 535
— асимптотической устойчивости 342, 343, 536
— алгебраический 345
— Гурвица 345
— частотный 349
—. Льенара —Шипара 349
— Михайлова 349
— Михайлова —Найквиста 352, 570
— Рауса 348
— Сильвестра 337
— устойчивости импульсных систем 568, 572, 576
— Шур-Кона 572
Л
Лапласа преобразование, см. преобразование
Лапласа
Линеаризация характеристик 49, 54
Линия задержек 241, 242, 243
— переключения 691, 692
Логарифмические частотные характеристики 305;
построение для групп типовых звеньев 325
— апериодического звена 305
— дифференцирующего звена 1-го и 2-го поряд-
ков 319
— интегрирующего звена 308
— колебательного звена 312
— трансцендентного звена 322
— усилительного звена 308
Логарифмический декремент затухания 387
Логарифмический усилитель 142
Логические операции 173; схемы 174, 175, 176
— элементы 176; одноразрядный преобразова-
тель 176; одноразрядный сумматор 177;
примеры применения 174, 175, 177, 179;
регистр сдвига 178
— элементы комбинированные 175, 176
Льенара—Шипара критерий устойчивости 349
Ляпунова метод, см. метод Ляпунова
— критерий устойчивости 331, 337, 342
— теорема 342
т- функция 335
М
Максимум перерегулирования 386
Математическое обеспечение управляющих ЦВМ
587, 594
— ожидание 455
Матрица 277, 710; собственные векторы 288, 711
— диагональная 286, 710
— единичная 343, 710
— квадратная 342, 710
— обращенная 287, 710
— переходная, см. переходная матрица
— присоединенная 289, 710
— транспонированная 289, 710
— фундаментальная 286, 288
Машина вычислительная аналоговая 163
— цифровая, см. цифровая вычислительная ма-
шина
Метод гармонической линеаризации 477, 495
— Гаусса —Зейделя 604
— градиента 604
— динамического программирования 694
— замораживания коэффициентов 62
— изоклин 492
— линеаризации дифференциального уравне-
ния 51
— Льеиара 493
— Ляпунова 334, 481; первый 334; второй 481
— наискорейшего спуска 605
— решения уравнений по участкам 489
— Сеге 337
— статистической линеаризации 538
— фазовой плоскости 477, 485
— шаблонов 499
— Шульца 337
Методы численного дифференцирования 589; про-
стой разности 590; центральной разности 590,
592
— интегрирования 587; Адамса —Башфорта 589;
трапеций 588; Эйлера 587
Михайлова годограф 353
— критерий устойчивости 349
— Найквиста критерий устойчивости 352, 570
Модуляция амплитудно-импульсная 543
— частотно-импульсная 543
— широтно-импульсная 543
Момент первого порядка 455
— второго порядка 455
— л-го порядка 455
Н
Наблюдаемость 290
Неизменяемая часть системы 293, 625
Нелинейность двухзначная 480
— однозначная 480
Нелинейные корректирующие устройства 172;
235, 522, 533
— законы регулирования 615, 617, 620
— функции 140, 141, 148, 152; воспроизведе-
ние 152, 153, 154
Нелинейный коэффициент усиления медленной
составляющей 516
Нечувствительность 479, 480
Нормальный закон распределения 462
О
Обратная связь 9, 12
Область управления 683, 688
Обобщенные частотные характеристики 403, 404
Обратное преобразование Лапласа 245, 294
729
Обратное z-преобразование 578
Октава 305
Операционный усилитель 163, 164
Описание объектов, устройств и систем автома-
тического регулирования 11, 49
•	— в векторно-матричной форме 276
дифференциальными и алгебраическими урав-
нениями 47, 62, 65
*	— передаточными функциями 244, 280
—	структурными схемами 46, 255
—	таблицами 46, 49
Оптимальная система 682; задача управления 684
—	по быстродействию 690, 691
Оптимальное управление 682, 686; свойства 684,
685
Оригинал 244, 245
Особая точка 487, 488, 489
Особая траектория 495
Отклонение регулируемой величины 13
Ошибка 198, 199
—	входная 198
—	инструментальная 198
•	=“ методическая 198
П
Лередвточиая функция 247
гидропривода 248
—	датчика давления 247
—	дизеля 249
—	длинного канала 253
—замкнутой системы 268, 269, 273
импульсной системы 552
—	- нелинейного звена, эквивалентная 499
—	ошибки 273, 274
>	— преобразователя 548, 551, 666
•	— реактора 257
—	самолета 249
—	системы регулирования 273
—	трансцендентная 251
•	— трубопровода 251
—	ЦВМ 548
—	эквивалентная 499
—	электродвигателя 248
—	электромашииного усилителя 247
Переменные состояния системы 276, 278, 280
Переходная матрица 284, 287
•	— линейных нестационарных систем 285, 298
— линейных стационарных систем 285
Переходная функция 303
— импульсная 293, 297
— типовых звеньев 304, 306, 308, 310, 312,
316, 317
Переходный процесс 387, 388; группы 387; по-
строение 422
Плотность распределения 453
—	спектральная 460
Показатели качества 386; определение 386, 387,
393, 399, 403, 413
Положение равновесия 333
—	неустойчивое 333
—	устойчивое 333
—	асимптотически устойчивое 333
Попова условие устойчивости 537
Потенциометры 81, 150
—	линейные 81, .82
—	с изогнутым каркасом 150
•	— со ступенчатым каркасом 152
—	с профилированным каркасом 150
Предельный цикл 485
Преобразование билинейное 576
—	Лапласа 245, 249, 250; обратное 245, 294;
прямое 244
Преобразователи 154, 156, 157
—	аналог —код 132, 154, 155, 545
—	вал—цифра 160
	— код—аналог 132, 161, 549
—	напряжение—цифра 158
—	функциональные аналоговые 140, 142
—	цифра — напряжение 162
Принцип максимума 684, 686, 690
Производительность управляющей ЦВМ 597
Процесс регулирования 386
— апериодический 304, 387
—	колебательный 387
—	малоколебательиый 387
— монотонный 387; достаточные условия 416
Процессор 19.4
Процесс стохастический 453
—	случайный 452
—	случайный эргодический 457
Прямой метод Ляпунова 481
Псеедочастота 576
Р
Ранг матрицы 290, 710
Рауса критерий устойчивости 348
—	таблица 348
Реализация корректирующих программ на уп-
равляющей ЦВМ 587
—	корректирующих устройств 171, 674
Регистр сдвига 182
Регрессионный анализ 49, 71
Регулятор 17
Реле 136, 138, 478, 481; коэффициент возврата 137;
параметры 136; типы 137, 479; этапы работы 136
— идеальное 479
Релейная система 20, 30, 478
С
Самовыравнивание 48; степень 48
—	нулевое 48, 49
—	отрицательное 48
—	положительное 48
Сеге и#етод 337
Седло 489, 495
Сельсин 2.7, 86; классы точности 90; погреш-
ность. 90
датчик 27, 86г 88
—	дифференциальный 89
—	приемник 27, 86, 88
—	силовой 86, 88
Сепаратриса 495
Серводвигатель 202; требования 202
—	гидравлический 211, 215
—	пневматический 217
— электрический 202, 204, 205
Сильвестра критерий устойчивости 337
Синтез параллельных корректирующих устройств
637, 641
«— последовательных корректирующих устройств
635, 641
—	систем регулирования, этапы 625
Система автоматического регулирования 9, 11;
классификация 18, 19, 244; математическое
описание 20; определение 11; основные устрой-
ства 11; показатели качества 386, 387; рабо-
тающая по замкнутому циклу 9, 10, 18; рабо-
тающая по комбииироваииому циклу 9, 10,
20; работающая по разомкнутому циклу 9,
Ю, 18
—	астатическая 15, 16
—	двухмерная 21
—	детерминированная 21
—	дискретная 20, 30
—	дискретно-иепрерывиая 20, 33, 665
—	линейная 20
—	многокоитурная 12
—	многомерная 21
—	наблюдаемая 290 .
—	нелинейная 20, 477
—	непрерывная 20
—	непрямого действия .21
—	одномерная 21
—	оптимальная 682
—	прямого действия 21
—	релейная 20, 30, 478
— самонастраивающаяся 20, 35, 41, 599
—	статическая 15, 16
—	стационарная 21, 244
—	управляемая 290
— экстремальная, см. экстремальная система
Система автоматической стабилизации 18
— автономная 21
—	несвязанного регулирования 21
—	программного регулирования 18, 19
—	релейная 20
—	самонастраивающаяся аналитическая 20
—	связанного регулирования 21
Синхронизация колебаний 530
Скользящий режим движения 620
Случайная величина 453; закон распределения 453;
математическое ожидание 455; среднее квад-
ратическое значение 455
Случайный процесс 452; дисперсия 455
—	коррелированный 455
—	некоррелированный 455
—	стохастический 453
— эргодический 457
Солодовникова номограмма 409, 410
Составляющая автоколебательного процесса
— медленная 515, 722
— периодическая 516
— постоянная 515, 715, 718
Спектральная плотность 460
— мощности 459
•— ошибки 471
730
— свойства 460
Способ реализации алгоритма в управляющих
ЦВМ 594
— прямой 594
— последовательный 595
— параллельный 596
Средняя квадратическая ошибка 455
Структурная схема 255
— иедетектирующая 255
— расчетная 268
— систем автоматического регулирования 255
— способы преобразования 268, 507
Сумматор 182
Существенный интервал частот 43!
Схемы элементов ЦВМ 201; характеристики 200
— гибридные 201
— интегральные, см. интегральные схемы
— полупроводниковые 201
— совмещенные 201
— тонкопленочные 201
Счетчик 181, 182
Т
Таблица значений амплитуд и фаз 318, 327
— норм запасов устойчивости 358, 432, 433
поправок логарифмических характеристик 306,
314
*— Рауса 348
— типовых звеньев 302
— ^-функций 707
Таймер 173
Тахогенератор 148
— дифференцирующий 148
— интегрирующий 149
— постоянного тока 149
Тахометр центробежный 91,98
Теорема
— Гурвица 345
— Ляпунова 342
-— Михайлова—Найквиста 352
— общая эргодическая 457
— о числе переключений 687
Термистор 95
Термопара 95
Термосопротивлеиие 94; схема включения 94, 95
Типовое звено 301; логарифмические частотные
характеристики, см. логарифмические частот-
ные характеристики; экспериментальное опре-
деление параметров 327, 328, 330
— апериодическое 303, 306
— дифференцирующее 316, 317
— интегрирующее 308
— колебательное ЗГО
— усилительное 307
Триггер 179
— со счетным входом 180, 189
— с раздельными входами 179
в® счетчик 184
У
Узел 488
— неустойчивый 488
— устойчивый 488
Умножитель 143
— импульсный 143
Управляющая переменная 682
Управляющее воздействие 13, 434, 14
— единичное 13
— типовое 13, 14
Уравнение
— Беллмана 695 ;
— состояния 278, \?82
— характеристическое 343
Усилители 107
— гидравлические; дроссельные 123; струйные
125
— магнитные 112, 113; дифференциальные 115;
— операционные 163,	164; компаратор 142;
логарифмические 142;
— пневматические 128, 129
»— полупроводниковые 110; с общим эмитте-
ром 111
— релейные 136
— решающие 163
— тиратронные 110
•— электромашинные 116; с независимым воз-
буждением 116; с поперечным полем 119;
с самовозбуждением 117
электронные 108, 110; переменного тока 108;
постоянного тока 108
Усилительные элементы 11, 107; классы 107,
130; коэффициент усиления 107. 130; требо-
аамия 107; характеристики 108, 130
Условие устойчивости Попова 537
— физической осуществимости 295
Устойчивость 331; анализ систем 331, 356, 366,
378; критерии 345, 348, 349; математическое
определение 332. 333
— импульсных систем 568, 569
— по Ляпунову 331, 337, 342
Устройства управляющей ЦВМ 172
— арифметическое 172
— ввода 172, 173
— вывода 172, 173
— оперативной памяти 172, 182, 184
— постоянной памяти 172, 182
— управления 173, 174
Устройство задающее 11, 76
— импульсное 30, 543, 545
— исполнительное И, 12, 202
— преобразующее 12, 132
— сравнивающее 12
— усилительное И, 107
Ф
Фазовая линейка 323, 324
— траектория 485
Фазовый портрет 485; методы построения 4S5
Физическая реализуемость 295
— корректирующих устройств 450, 675
Фокус 487
— неустойчивый 488
— устойчивый 487
Функциональные устройства 140; дифференци-
рование 148; интегрирование 149; суммиро-
вание 145, 147; точность 155, 199; требования
142; умножение 143
— аналоговые 142
— линейные 142
— нелинейные 142, 150, 152
— пневматические 128
— электрические 145
— электромеханические 148
— электронные 142
Функция автокорреляционная 456
— Беллмаиа 695
— корреляционная 455,	456; свойства 45S;
белого шума 4G2; взаимная 456: иецентри-
рованная 456; нормированная 459
— Ляпунова 335
— нелинейная 140, 141, 148, 152
— распределения 453; второго порядка 453;
первого порядка 453; третьего порядка 454;
n-го порядка 454
— случайная 453; ансамбль 453; реализация 453
смещения 515
X
Характеристике; линеаризация 49, 54
— амплитудная, см. амплитудная характери-
стика системы
— амплитудио-фазовая; типовых звеньев, см.
амплитудно-фазовая характеристика системы
— усилительных элементов 130
— цифровых элементов 2 00
— частотная, см. амплитудно-фазовая харак-
теристика системы; обобщенная 403, 404;
свойства 413; связь с переходным процес-
сом 413
Характеристическое уравнение 343
Ц
Центробежный тахометр 91, 98
Цифровые вычислительные машины 172; 188;
блок-схема 173; передаточная функция 548;
элементы 173, 178, 182
— управляющие 172, 586, 598
— центральные 44
Цифровые элементы 155, 174; точность 155, 160.
161, 172, 200; характеристики 200
Ч
Частота автоколебания 486
— среза 357
Частотно-импульсная модуляция 543
Частотные характеристики 304; свойства 413
— вещественные, см. вещественные частотные
характеристики
— импульсной системы 550, 576, 584
— логарифмические типовых звеньев, см. лога-
рифмические амплитудно-фазовые характе-
ристики
731
— обобщенные 403, 404
— трапецеидальные 422
Частотный критерий устойчивости 349
Четырехполюсники 232, 235, 236
—• нелинейные 235
— псевдолинейные 523
Чувствительность 77
— датчиков 77, 81, 84, 86
Чувствительные элементы 76; требования 77, 78
Ш
Широтно-импульсная модуляция 543
Шульца метод 337
Шур-Койа критерий устойчивости 572
3
Эйлера метод интегрирования 587
Эквивалентная передаточная функция 499
нелинейного эвена 499
Экстремальная система 20, 35, 599, 616; гло*
бальный экстремум 599; импульсная коррек-
ция 616; критерий оптимальности 599, 615
Экстремальный регулятор 35, 600
— с запоминающим устройством 35, 600, 611
— с поисковым сигналом 35, 600, 601
Элемент
сравнения 76, 77
— импульсный 545
— матрицы 297, 710
•— чувствительный 76
Эмиттерный повторитель 111
Эргодический случайный процесс 457
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................. 3
Введение ............................................................... 5
Часть I. ЭЛЕМЕНТЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВА-
НИЯ ................................................................... 8
Глава I. Основные понятия и определения ................................ 9
1. Принципы действия систем автоматического регулирования (9). 2. Основ-
ные устройства систем автоматического регулирования (И). 3. Виды управля-
ющих и возмущающих воздействий (13). 4. Статические и астатические системы
автоматического регулирования (15).
Глава II. Виды систем автоматического регулирования ............................ 18
1. Классификация систем автоматического регулирования (18). [2. Непрерыв-
ные системы автоматического регулирования (21). 3. Дискретные системы
автоматического регулирования (30). 4. Дискретно-непрерывные системы авто-
матического регулирования (33). 5. Экстремальные и самонастраивающиеся
системы автоматического регулирования (35). 6. Применение ЦВМ в системах
автоматического регулирования (39). 7. Применение систем автоматического
регулирования для унравлеиия сложными производственными процессами.
Системы комплексной автоматизации производства (42).
Глава III. Объекты регулирования ............................................... 46
1. Основные свойства объектов регулирования (47). 2. Особеииости математи-
ческого описания объектов регулирования (49). 3. Линеаризация уравнений
динамики (51). 4. Устойчивые статические объекты (дизель, гидротурбина,
самолет) (52). 5. Неустойчивые статические объекты (ресивер, ракета-носитель
космических летательных аппаратов) (62). 6. Астатические объекты (трехфаз-
ный электрический двигатель, ядерный энергетический реактор на тепловых
нейтронах, космический летательный аппарат) (66). 7. Математические модели
объектов регулирования (71).
Глава IV. Измерительные устройства ........................................  .	76
1. Определение информативности измерительных устройств и измерительных
подсистем (78). 2. Классификация измерительных устройств (80). 3. Устрой-
ства для измерения перемещений, скоростей и ускорений (81). 4. Устройства
для измерения напряжения и тока (93). 5. Устройства для измерения темпера-
тур и излучений (94). 6. Устройства для измерения давлений и расходов
жидкости и газа (97). 7. Устройства для измерения угловых величин, угловых
скоростей и линейных ускорений подвижных объектов (101). 8. Основные харак-
теристики измерительных устройств (105).
Глава V. Усилительные устройства............................................... 107
1. Электронные усилители (108). 2. Магнитные усилители (112). 3. Электро-
машинные усилители (116). 4. Гидравлические усилители (123). 5. Пневмати-
ческие усилители (128). 6. Сравнительные характеристики различных усили-
телей (130).
Г лава VI. Преобразующие устройства ........................................... 132
1. Усилители-преобразователи (132). 2. Реле (136). 3. Функциональные пре-
образователи (140). 4. Преобразователи аналог—код (154). 5. Преобразователи
733
код—аналог (161). 6. Электронные аналоговые вычислительные устройства
(163). 7. Электронные цифровые управляющие вычислительные машины (172).
8. Пневматические аналоговые и цифровые вычислительные устройства (186).
9. Точность работы и быстродействие управляющих цифровых вычислительных
машин (191). 10. Сравнительная оценка преобразующих устройств (197).
Глава VII. Исполнительные элементы .....................................'. . .	202
1. Электрические серводвигатели (202). 2. Механические исполнительные эле-
менты (208). 3. Гидравлические серводвигатели (211). 4. Пневматические серво-
двигатели (217). 5. Механические передачи (219). 6. Сравнительная оценка
исполнительных элементов (222).
Глава VIII. Корректирующие устройства.......................................... 224
1. Линейные пассивные и активные электрические корректирующие устройства
(224). 2. Нелинейные пассивные и активные электрические корректирующие
устройства (235). 3. Гидравлические и пневматические корректирующие устрой-
/Йва (239). 4. Корректирующие устройства на линиях задержек и дискретных
/ элементах (241).
Алова IX.^Уравнения динамики объектов, устройств н систем автоматического регу-
7	/лирования и их структурные схемы...................................... 244
'''--'Г Представление объектов и устройств систем регулирования с сосредоточен-
ными элементами в виде передаточных функций (244). 2. Представление уст-
ройств систем регулирования с распределенными, элементами в виде трансцеи-
0 дентных передаточных функций (251). 3. Составление структурных схем систем
автоматического регулирования (255). 4. Преобразование структурных схем
(268). 5. Передаточные функции систем автоматического регулирования (273).
6. Описание объектов, устройств и систем регулирования в векторно-матричной
форме (276). 7. Уравнения состояния линейных стационарных систем регули-
рования (278). 8. Уравнения состояния линейных нестационарных систем регу-
лирования (282). 9. Решение линейных стационарных и нестационарных уравне-
ний состояния (284). 10. Определение переходных матриц линейных стацио-
нарных и нестационарных систем (285). 11. Управляемость и наблюдаемость
линейных систем (290). 12. Представление динамических характеристик объек-
тов, устройств и систем автоматического регулирования импульсными переход-
ными функциями (293).
Часть II. МЕТОДЫ АНАЛИЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИ-
РОВАНИЯ ......................................................... 300
Глава X. Динамические звенья, их амплитудно-фазовые и логарифмические частотные
характеристики ...... ........................................... 301
1. Апериодическое звено (303). 2. Апериодическое неустойчивое звено (306).
3. Усилительное звено (307). 4. Интегрирующее звено (308). 5. Колебательные
звенья (устойчивые и неустойчивые) (310). 6. Дифференцирующее звено первого
рода (316). 7. Дифференцирующее звено второго рода (317). 8. Трансцендентные
звенья (321). 9. Фазовая линейка (323). 10. Построение амплитудно-фазовых
и логарифмических частотных характеристик последовательно соединенных
групп типовых звеньев (325). 11. Экспериментальный метод определения вида
передаточных функций и параметров групп динамических звеньев (327).
Глава XI. Исследование устойчивости систем автоматического регулирования.......	331
1. Общая постановка задачи устойчивости по Ляпунову(331). 2. Определение
функций Ляпунова методами Г. Сеге и Д. Шульца (337). 3. Устойчивость линей-
ных систем автоматического регулирования 1342). 4. Алгебраические критерии
устойчивости (345). 5. Частотные критерии устойчивости (349). 6. Анализ
устойчивости одноконтурных систем автоматического регулирования (356).
7. Анализ устойчивости многоконтурных систем автоматического регулирова-
^-ыия (3668. Анализ устойчивости систем автоматического регулирования
/ с трансцендентными звеньями (378). 9. Выделение областей устойчивости
с помощью D-разбиения (381).
Глава XII. Исследование качества систем автоматического регулирования............ 386
1. Основные показатели качества процессов регулирования (386). 2. Построе-
ние переходных процессов по заданным передаточным функциям замкнутых
систем (388). 3. Определение показателей качества по расположению нулей и
полюсов передаточной функции замкнутой системы (393). 4. Метод корневого
годографа (395). 5. Интегральные оценки качества (399). 6. Обобщенные
частотные характеристики замкнутых систем регулирования и их связь с харак-
теристиками переходных процессов. (403). 7. Определение вещественных и
734
мнимых частотных характеристик замкнутых систем по амплитудно-фазовым и
логарифмическим частотным характеристикам разомкнутых систем (408).
8. Частотные оценки качества систем автоматического регулирования (412).
9. Частотные методы построения переходных процессов с помощью трапеце-
идальных характеристик (422). 10. Установление норм запасов устойчивости
по фазе и модулю, обеспечивающих требуемые показатели качества систем
регулирования (430).
»
Глава XIII. Динамическая точность систем автоматического регулирования........	434
1. Коэффициенты ошибок (434). 2. Определение коэффициентов ошибок в систе-
мах автоматического регулирования с помощью логарифмических амплитудных
характеристик (441). 3. Повышение точности систем автоматического регули-
рования путем применения комбинированного управления (448). 4. Основные
характеристики случайных процессов (452). 5. Свойства корреляционных функ-
ций стационарных процессов (458). 6. Свойства спектральной плотности мощности
(460). 7. Операции над случайными процессами (463). 8. Преобразование случай-
ных сигналов линейными системами (466). 9. Расчет ошибок в системе автомати-
ческого регулирования при действии шумов (471). 10. Оптимизация систем авто-
матического регулирования при воздействии случайных сигналов и шумов (475).
Г лава XIV- Нелинейные системы автоматического регулирования................... 477
1. Типовые нелинейные элементы в системах автоматического регулирования
(478). 2. Исследование устойчивости нелинейных систем по второму методу
Ляпунова (481). 3. Анализ устойчивости нелинейных систем методом фазовой
плоскости (485). 4. Применение метода гармонической линеаризации для ана-
лиза устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования (495).
5. Структурные преобразования нелинейных систем автоматического регули-
рования (507). 6. Анализ автоколебаний в системах автоматического регулиро-
вания с двумя нелинейностями (509). 7. Двухконтурные нелинейные системы
автоматического регулирования (511). 8. Медленно изменяющиеся процессы i
в автоколебательных системах (515). 9. Способы подавления автоколебаний ’
в нелинейных системах (521). 10. Вынужденные колебания в нелинейных систе-
мах (528). 11. Критерий абсолютной устойчивости нелинейных систем (535).
12. Случайные процессы в нелинейных системах (538).
Глава XV- Импульсные системы автоматического регулирования..................... 543
1. Математические основы теории импульсных устройств (544). 2. Передаточные
функции импульсных систем автоматического регулирования (552). 3. Ампли-
тудно-фазовые частотные характеристики импульсных систем (556). 4. Приме-
нение векторно-матричного аппарата к импульсным системам автоматического
регулирования (558). 5. Основные свойства г-преобразования (566). 6. Методы
анализа устойчивости импульсных систем автоматического регулирования
(567). 7. Методы анализа качествашмпулЕсных систем автоматического регули-
рования (578). 8. Методы анализа точности импульсных систем автоматического
регулирования при регулярных и случайных воздействиях (580). 9. Системы
автоматического регулирования с управляющими ЦВМ (586). 10. Способы
реализации алгоритмов в управляющих ЦВМ и определение их основных пара-
метров (594)
Глава XVI Экстремальные и самонастраивающиеся системы автоматического регули-
рования ....................................................................... 599
1. Методы поиска экстремума (600). 2. Способы организации движения к экстре-
муму (604). 3. Методы расчета динамических характеристик экстремальных
регуляторов (608). 4. Выбор корректирующих устройств в экстремальных регу-
ляторах (615). 5. Экстремальные системы с вычислительными машинами (616).
Часть III. МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИ-
РОВАНИЯ .......................................................... 624
Глава XVII. Синтез непрерывных систем автоматического регулирования при регуляр-
ных воздействиях .................................................. 625
1. Постановка задачи синтеза систем автоматического регулирования (625).
2. Выбор параметров устройств неизменяемой части системы автоматического
регулирования (627). 3. Построение желаемой амплитудной характеристики
системы регулирования (632). 4. Синтез последовательных корректирующих
устройств (635). 5. Синтез параллельных корректирующих устройств (637).
6. Синтез последовательных и параллельных корректирующих устройств (641).
7. Способы реализации последовательных и параллельных корректирующих
устройств (648).
735
Глава XVIII. Синтез непрерывных систем автоматического регулирования при слу-
чайных воздействиях........................................................ 653
1. Постановка задачи синтеза иа основе критерия минимума интегральной
ошибки (653). 2. Синтез систем регулирования при наличии полезного сигнала
и помехи (656). 3. Формулы для определения передаточной функции желаемой
системы №ж (s) (659). 4. Пример синтеза корректирующих устройств системы
регулирования при действии полезного сигнала и помехи (661).
Глава XIX. Синтез дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования 665
1. Синтез дискретных корректирующих устройств, основанный на применении
билинейного преобразования (665). 2. Синтез дискретно-непрерывных систем
при наличии полезного сигнала и помехи (671). 3. Реализация дискретных кор-
ректирующих устройств при помощи /?С-цепей (674). 4. Реализация программ
коррекции на управляющей цифровой вычислительной машине (679).
Глава XX. Синтез оптимальных систем автоматического регулирования........... 682
1. Задачи регулирования (682). 2. Принцип максимума (684). 3. Теорема о
числе переключений (687). 4. Примеры применения принципа максимума (690).
5. Метод динамического программирования (694). 6. Синтез непрерывных опти-
мальных систем (698).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I. Структурные преобразования линейных систем автомати-
ческого регулирования .............................. 701
Приложение II. Амплитудно-фазовые частотные характеристики типовых
динамических звеньев ...................................................... 703
Приложение III. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные харак- \,
теристики типовых динамических звеньев...................................\\	705
Приложение IV. Таблица (1)-фуикций........................................’	707
Приложение V. Формулы для вычисления интегралов от дробно-рацио-
нальных четных функций..................................................... 709
Приложение VI. Векторы и матрицы........................................... 710
Приложение VII. Формулы для определения коэффициентов гармонической
линеаризации типовых нелинейностей......................................... 713
Приложение VIII. Таблица г-преобразований	для	передаточных функций 723
Список литературы.......................................................... 725
Предметный указатель....................................................... 728
ИН № 34
Николай Николаевич Иващенко
АВТОМАТИ Ч ЕСКОЕ Р Е Г УЛ И РО ВАН И Е
Редакторы издательства: Т. В. Абизова, 3. С. Баранова, Е. В. Григории-Рябова
Технический редактор И. Ф. Демкина	Корректоры: Д. Л1. Усачева, Л. >7 Шабашова
Переплет художника А. %. Михайлова
Сдано в набор 26.09.77. Подписано в печать 17.02.78.	Т-03234. Формат 70Х108/1в.
Бумага типографская № 1» Литературная гарнитура. Печать высокая.	Ус л. печ. л. 64,4.
Уч.-изд. л. 62,6. Тираж 33 500 (1-й з-д 1—8500) экз. Зак. 512. Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный, пер., 3
Ленинградская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
193144, Ленинград, С-144, ул. Моисеенко, 10