основы
ТЕОРИИ
автоматического
регулирования
Ивданив второе переработанное и дополненное
Под редакцией
д-ра техн, наук проф. В. К Крутова
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
машиностроительных специальностей вузов
МОСКВА
« МАШИНОСТРОЕНИЕ »
1984

ББК 32.965
075
УДК 621.3.078(075.8)
Авторы:
В. И. Крутов, Ф. М. Данилов, П. К. Кузьмин, И. П. Спорыш,
В. И. Шатров, В. Д. Юношев
Рецензент
кафедра судовой автоматики и измерений Ленинградского ордена Ленина
кораблестроительного института, зав. кафедрой д-р техн. наук Р. А. Нелепин
075 Основы теории автоматического регулирования: Учебник
для машиностроительных специальностей вузов/В. И. Крутов,
Ф. М. Данилов, П. К. Кузьмик и др.; Под ред. В. И. Кру-
това.—2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение.
1984. 368 с, ил.
В пер.: 1 р. 20 к.
Рассмотрены свойства регулируемых объектов теплосиловых установок,
чувствительных, усилительных и стабилизирующих элементов, систем автоматического
регулирования (САР) прямого и непрямого действия. Даны анализ устойчивости
работы САР с помощью критериев устойчивости и диаграммы И. А. Вышнеградского
и основные методы оценки качества и синтеза систем регулирования. Во второе
издание добавлен материал о применении цифровых ЭВМ при расчете устойчивости и
качества САР, приведены программы расчетов.
1505000000-071 ББК32.965
038(01)-84 6Ф6.5
Виталий Иванович Крутов, Феликс Михайлович Данилов
Петр Константинович Кузьмик, Игорь Павлович Спорыш,
Виктор Иванович Шатров, Виктор Дмитриевич Юношев
ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Редактор 3. С. Баранова, Художественный редактор С. С. Водчиц
Переплет художника Н. П. Степанова, Технический редактор Л. П. Гордеева
Корректор Т. В. Багдасарян
ИБ № 4427
Сдано в набор 15.12.83. Подписано в печать 2G.03.84. Т-07721. Формат 60X90Vie-
Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ.л. 23,0.
Уел кр.-отт. 23,0. Уч.-изд. л. 25,0. Тираж 15700 экз. Заказ 275. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение» 107076, Москва,
Стромынский нер., д. 4
Ленинградская типография № 6 орден а Трудового Красного Знамени Ленинградского объе*
динения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
© Издательство «Машиностроение», 1984 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Автоматическое управление и регулирование широко
используются в настоящее время во всех отраслях промышленности и
сельского хозяйства. Специфичность требований к автоматическим
устройствам в той или иной области техники приводит к
необходимости разработки многих автоматических устройств непосредственно
на заводах, выпускающих автоматизируемый или регулируемый
объект. Поэтому в процессе работы инженеру любой специальности
приходится участвовать в проектировании, расчете, исследовании
систем автоматического регулирования или эксплуатировать
машины, оборудованные такими автоматическими устройствами.
В связи с этим инженеры всех машиностроительных
специальностей должны быть подготовлены к работе с автоматизированными
агрегатами и установками еще в период обучения в вузе.
С этой целью в учебные планы машиностроительных
специальностей включены дисциплины, обеспечивающие такую подготовку
будущих специалистов в соответствующей области.
Учебник предназначен для студентов машиностроительных
специальностей высших технических учебных заведений при изучении
ими основ теории автоматического регулирования.
Машины, изучаемые студентами различных специальностей,
имеют свои специфические особенности, поэтому авторы при
составлении учебника ориентировались главным образом на студентов
теплотехнических специальностей. Эти особенности учтены при
составлении главы о регулируемых объектах и их свойствах. В
соответствии с учебной программой в книге рассмотрены основы теории
автоматического регулирования в объеме, достаточном для
последующего изучения специальной литературы по автоматическому
регулированию энергетических установок [3, 11, 14 и др.].
В учебнике изложены основные понятия и определения теории
автоматического регулирования, приведена характеристика
основных видов систем автоматизации и автоматического регулирования.
Описаны статические и динамические свойства регулируемых
объектов, введено и раскрыто понятие фактора устойчивости объекта
и его способности к самовыравниванию. Чувствительные,
усилительные и стабилизирующие элементы автоматических регуляторов
рассмотрены при работе в установившихся и неустановившихся
режимах, дана методика анализа их статических и динамических
свойств как элементов, входящих в структуру систем автоматического
регулирования. Рассмотрены системы автоматического
регулирования, методы исследования устойчивости их работы. Дана оценка
качества работы систем автоматического регулирования, а также
основные понятия и некоторые приемы синтеза систем
автоматического регулирования с определенными свойствами по устойчивости
и качеству. Значительное внимание при исследовании работы систем
автоматического регулирования уделено применению электронных
вычислительных машин (аналоговых и дискретных).
1*
3

ВВЕДЕНИЕ
На всех этапах развития общества задача увеличения количества
энергии, участвующей в процессе производства, была чрезвычайно
важной, требующей больших затрат человеческих усилий и
материальных средств. В наши дни иллюстрацией этому может служить
строительство гидроэлектростанций, увеличение производства
различных тепловых двигателей и турбин, интенсивное расширение
использования в мирных целях атомной энергии.
Необходимость увеличения количества энергии, расходуемой для
целей производства, сопровождалась усложнением машин,
потребляющих эту энергию, созданием комплексов машин и механизмов,
частично заменяющих или облегчающих физический труд
человека, — частичной механизацией производственных процессов.
По мере совершенствования техники производственный процесс
усложняется, темпы его возрастают, и число операций,
выполнявшихся человеком за счет мускульной силы, систематически
сокращается. В этих условиях человек все больше включается в процесс
управления машиной или комплексом машин.
В тех случаях, когда в производственном процессе за человеком
сохраняется лишь функция управления и он полностью отстраняется
от выполнения операций иного назначения, механизация становится
комплексной.
Увеличение качества машин, занятых в производстве,
большая интенсификация и усложнение технологического процесса
поставили человека, освобожденного от физического труда, перед
фактом чрезвычайной сложности процесса управления всем этим
комплексом. Не удивительно поэтому, что еще в начале развития
тепловых машин появлялись и устройства, осуществляющие процесс
управления машинами в целях поддержания в процессе эксплуатации
заданного значения того или иного параметра, характеризующего
работу машины.
Передача некоторых функций управления специальным приборам,
т. е. тем же машинам, привела к появлению частичной
автоматизации производственного процесса, широко используемой и в
настоящее время. Практически все теплоэнергетические установки в той
или иной мере снабжены приборами (автоматическими
регуляторами), обеспечивающими частичную автоматизацию процесса
производства энергии.
Однако частичная автоматизация оказывается приемлемой при
работе лишь небольшого числа агрегатов при ограниченной
интенсивности их работы. По мере увеличения как числа агрегатов, так
и интенсивности их работы резко растет поток информации, которую
должен воспринимать и перерабатывать человек в процессе
управления.
На современном этапе развития техники во многих случаях
частичная автоматизация оказывается неспособной обеспечить
желаемый процесс производства. В связи с этим от частичной автома-
4

тизации во все больших масштабах переходят к комплексной, а затем
и к полной автоматизации управления производственными
процессами. За человеком при этом сохраняется лишь функция общего
контроля за качеством производства и профилактические проверки
системы автоматизации.
По мере развития техники человек все ближе соприкасался
с проблемой управления в самых различных областях своей
деятельности, поэтому изучением проблем управления приходилось
заниматься более углубленно.
По мере накопления знаний о процессах управления в различных
областях деятельности человека выяснилось, что законы, в
соответствии с которыми действуют системы управления, имеют много
общих черт, причем в одной области знаний эти законы управления
оказывались изученными более, в другой — менее. Поэтому
изучение проблем управления в одной области приносило пользу при
разработке систем управления в другой.
Сознание целесообразности комплексного изучения проблем
управления постепенно привело к созданию самостоятельной
фундаментальной науки об управлении, получившей название
кибернетики. Часть ее, связанная с изучением процессов управления
работой машин, называется технической кибернетикой.
Вопросы, связанные с выбором конкретных конструктивных
схем, расчетом элементов автоматических устройств для управления
различными объектами, рассматриваются в прикладной технической
дисциплине — автоматике, которая тесно связана с технической
кибернетикой.
Современная теория автоматики получила развитие на базе
теории автоматического регулирования.
Впервые в 1765 г. автоматический регулятор был установлен
на паровой поршневой машине русским механиком И. И. Ползуновым
на Барнаульском заводе для поддержания заданного уровня воды
в паровом котле.
Двадцать лет спустя английский механик Джеймс Уатт
использовал на своей паровой машине регулятор для поддержания
постоянства частоты вращения. Принцип работы этих регуляторов оказался
одним и тем же: они поддерживают заданное значение параметра
не точно, а в некотором заданном диапазоне, поэтому в настоящее
время такой принцип регулирования называется принципом Ползу-
нова — Уатта.
Применение автоматических регуляторов скорости на паровых
поршневых машинах потребовало от ученых разработки теории
их функционирования.
В 1877 г. профессором Петербургского технологического
института И. А. Вышнеградским была опубликована работа «О
регуляторах прямого действия». В результате тщательного анализа
характеристик машины и регулятора И. А. Вышнеградский раскрыл
Динамику работы машины, снабженной регулятором типа Уатта,
и показал, что машина и регулятор во время работы образуют
единую систему. Труды И. А, Вышнеградского оказали большое влияние
б

на все дальнейшие работы в этой области науки, поэтому он по праву
считается основоположником классической теории
автоматического регулирования.
Возможность решения вопросов устойчивости регулирования
с использованием линеаризованных характеристик научно
обоснована в работе А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости
движения», изданной в 1892 г. Большой вклад в развитие теории
автоматического регулирования внесли также труды А. Стодолы,
опубликованные в 1893 и 1894 гг., по регулированию гидравлических
турбин, лекции Н. Е. Жуковского по курсу «Теория регулирования
хода машин», прочитанные в Московском высшем техническом
училище (МВТУ) и изданные в 1909 г., а также работы К. Э.
Рериха, Е. Л. Николаи, М. Толле и др.
В начале 30-х гг. теория автоматического регулирования
обогатилась частотным аппаратом исследования. В 1932 г. появилась работа
X. Найквиста, а в 1938—1939 гг. работы А. В. Михайлова, в
которых были даны новые критерии устойчивости, впоследствии с
успехом использованные при решении многих практических задач. Идеи,
заложенные в этих работах, получили дальнейшее развитие в трудах
B. В. Солодовникова, Я. 3. Цыпкина и др.
В 1944 г. вошел в строй разработанный во Всесоюзном
теплотехническом институте (ВТИ) под руководством В. Н. Веллера
первый промышленный образец гидродинамической системы
регулирования. В 1946 г. Г. Боде и Л. Мак Кол показали возможность
применения при анализе свойств систем регулирования
логарифмических частотных характеристик.
Существенные результаты в области автоматического
регулирования теплоэнергетических установок были получены учеными
Московского энергетического института (МЭИ) А. В. Щегляевым,
C. Г. Герасимовым, В. А. Вениковым и др.
Важные для промышленности работы в области автоматизации
и автоматического регулирования двигателей внутреннего сгорания
были выполнены в центральном Научно-исследовательском
автомобильном и автомоторном институте (НАМИ) Г. Г. Калишем, в
МВТУ, Центральном научно-исследовательском дизельном
институте (ЦНИДИ), Харьковском и Ленинградском политехническом
институтах и в ряде других отечественных
научно-исследовательских институтах и высших учебных заведениях.
С развитием автоматизации сложных объектов (паровые котлы,
турбины и др.) появилась необходимость в разработке теории
автоматического регулирования систем с несколькими регулируемыми
параметрами. Работы в этом направлении были начаты еще в 1931 г.
в Центральном котлотурбинном институте им. Ползунова (ЦКТИ)
под руководством И. Н. Вознесенского. В его работах, а также
в работах Ю. Г. Корнилова. В. Д. Пивня и других была разработана
теория связанного прямого и непрямого регулирования и найдены
условия автономности.
Советские ученые А. А. Андронов, Б. В. Булгаков, Н. Н. Баутин,
А. Г. Майер, А. И. Лурье, Н. Г. Четаев и многие другие значительно
6

обогатили науку в области исследования устойчивости различных
нелинейных систем автоматического регулирования.
При автоматизации энергетических объектов широко
используются релейные и импульсные системы, в разработку теории
которых в 50-е и 60-е гг. внес большой вклад Я. 3. Цыпкин.
Сложность исследования работы нелинейных систем
автоматического регулирования привела к необходимости создания различных
приближенных методов, к числу которых относится метод
гармонического баланса, предложенный Н. М. Крыловым и Н. Н.
Боголюбовым. Л. С. Гольдфарб, а затем Е. П. Попов и другие разработали
графоаналитический метод определения основных параметров
автоколебаний. Б. Н. Петров и В. С. Кулебакин создали теорию
инвариантности и независимости работы систем автоматического
регулирования от возмущающих воздействий.
В теплоэнергетических установках существенное значение имеют
режимы работы, обеспечивающие максимальное или минимальное
значение того или иного параметра. В разработку таких систем,
автоматически настраивающихся на экстремальное значение
заданного параметра, значительный вклад внесли В. В. Козакевич
и А. А. Красовский. В некоторых случаях процесс управления
объектом должен обеспечить оптимальное сочетание многих
параметров, определяющих эффективность работы объекта в целом.
Решению таких задач служат работы Л. С. Понтрягина, А. А. Фельд-
баума, относящиеся к теории оптимального управления.
К середине 30-х гг. появилась необходимость обобщения опыта
работы по автоматизации в различных организациях и научно-
исследовательских институтах. Поэтому в 1934 г. была создана
специальная комиссия по телемеханике и автоматике, а уже в 1935 г.
созвана Первая Всесоюзная конференция по автоматике и
телемеханике. В результате работы этой конференции на многих заводах
были созданы отделы автоматики.
В 1939 г. был создан журнал «Автоматика и телемеханика» и
образован Институт автоматики и телемеханики, а в 1960 г. в Москве
состоялся Первый Международный конгресс по вопросам
автоматического управления.
Новое, значительное развитие автоматика получила с
появлением ЭВМ, включение которых в систему управления может быть
различным. В простейших случаях оператор пользуется ЭВМ для
быстрого технико-экономического анализа новой ситуации в
целях ввода в систему соответствующих корректирующих
воздействий.
В других случаях информация воспринимается ЭВМ
автоматически, что облегчает работу оператора. В более совершенных
системах автоматики ЭВМ непосредственно включается в цепь
автоматического управления и сама не только перерабатывает получаемую
информацию, но и вводит управляющее воздействие в
исполнительный механизм регулируемого объекта. По мере увеличения
быстродействия ЭВМ появляется возможность подачи в нее информации
не только о значениях тех или иных параметров объекта в устано-
7

вившихся режимах, но и о параметрах в переходных процессах,
которые сами по себе достаточно быстротечны. Это позволит
оптимизировать регулирование, так как в ходе самого переходного процесса
будут вырабатываться необходимые корректирующие воздействия
на объект.
Процесс оптимизации режима во многих случаях происходит
путем многочисленных проб изменения режима, оценки получаемых
результатов и выбора лучшего результата, который и соответствует
лишь оптимальному режиму. Это так называемый метод проб и
ошибок.
Система автоматического управления с автоматическим
поиском оптимального режима работы регулируемого объекта
(объектов) представляет собой простейшую самоприспосабливающуюся
систему.
Известно, что наиболее совершенной самонастраивающейся и
самоприспосабливающейся системой является живой организм,
в связи с чем сформировалась отрасль кибернетики — бионика,
изучающая процессы управления в живых организмах с тем, чтобы
все лучшее что создала живая природа в процессе эволюции,
использовать при создании автоматических систем в технике.
В настоящее время уже известны многие решения, удачно
примененные в технической кибернетике, которые были найдены именно
таким путем. Следует, однако, отметить, что применение тех или
иных систем автоматического регулирования или управления в
значительной степени определяется экономической целесообразностью,
технологической необходимостью, обеспечением безопасности или
здоровья обслуживающего персонала, повышением качества
продукции и др.
Применение систем автоматического регулирования в
теплоэнергетических машинах и установках приводит, как правило, к
определенному повышению их первоначальной стоимости, в связи с чем
автоматизация их работы может быть признана экономически
целесообразной, если экономия средств, расходуемых за время работы
установки (до выхода ее из строя), за счет автоматизации окажется
больше увеличения первоначальной стоимости установки по тем же
причинам.
Особое внимание применению систем автоматики следует уделять
в случаях, когда это связано с обеспечением охраны окружающей
среды.

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
В зависимости от условий эксплуатации к теплоэнергетическим
установкам предъявляют различные требования, удовлетворить
которые удается при наличии автоматических регуляторов различного
назначения. Например, турбина или дизель, приводящие в
движение генератор переменного тока, должны при любой нагрузке
поддерживать одну и ту же частоту вращения ротора. Однако свойства
турбины и дизеля таковы, что обеспечить выполнение этого
требования невозможно без установки на них автоматического регулятора
скорости. Теплоэнергетическая машина и автоматический регулятор
постоянно взаимодействуют между собой в процессе работы для
поддержания на заданном уровне скоростного режима независимо
от нагрузки.
В этом случае совокупность взаимодействующих турбины или
двигателя с регулятором называют системой автоматического
регулирования. Следовательно, системой автоматического регулирования
(САР) называют совокупность взаимодействующих в процессе
работы элементов, предназначенных для поддержания значения
регулируемой координаты в заданных пределах. Автоматический
регулятор и регулируемый объект (турбина или двигатель), входящие
в эту систему, являются ее элементами. Во многих случаях каждый
из названных элементов сам оказывается сложным и может быть
расчленен на более простые составляющие элементы,
взаимодействующие между собой.
2. РЕГУЛИРУЕМЫЙ ОБЪЕКТ И АВТОМАТИЧЕСКИЙ РЕГУЛЯТОР
Все элементы, составляющие систему автоматического
регулирования, в общем случае можно разбить на две группы. В одну из этих
групп входит регулируемый объект. Регулируемыми объектами
будем называть теплоэнергетические машины или установки, для
поддержания работы которых в заданном режиме применяется
автоматический регулятор. От источника питания в регулируемый объект
поступает энергия или масса рабочего тела, которая в регулируемом
объекте преобразуется и в виде, удобном для использования,
поступает потребителю. Количество энергии или массы, подаваемой
в объект или отбираемой от объекта, можно изменять перестановкой
регулирующего органа.
Рассмотрим систему автоматического регулирования уровня
жидкости в резервуаре (рис. 1). Регулируемым объектом в системе
является резервуар 5, уровень Н жидкости в котором должен
поддерживаться постоянным. Если изменяется нагрузка (изменяется
9

Рис. 1. Регулирование уровня жидкости
в резервуаре
количество жидкости, уходящей к
потребителю), то для поддержания
заданного уровня Я необходимо
подать воздействие Ah на
регулирующий орган 1 (орган
управления), выполненный в виде
клапана, изменяющего проходное
сечение подводящего трубопровода 2.
Для автоматизации этой
операции к регулирующему органу 1
присоединяют дополнительное
устройство, называемое
автоматическим регулятором, который входит во вторую группу элементов
системы автоматического регулирования. К автоматическому
регулятору 4 (см. рис. 1) относится поплавок 6, рычаг регулятора 7,
винт 8 настройки регулятора.
Для процесса регулирования необходимо, чтобы регулятор
измерял регулируемую координату ДМ, вырабатывая регулирующее
воздействие Ah на объект. В соответствии с этим автоматический
регулятор должен включать чувствительный элемент,
воспринимающий отклонение регулируемой координаты (в данном случае уровня
Н в резервуаре) от ее заданного значения (поплавок 6), задающий
элемент (задатчик), с помощью которого можно установить желаемое
значение регулируемого параметра (винт S), и исполнительный
орган, предназначенный для воздействия на регулируемый объект
(клапан 1).
3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ И САР
Для того чтобы представить себе работу системы автоматического
регулирования в целом, необходимо прежде всего изучить
последовательную цепь взаимодействий от элемента к элементу этой
системы, а также свойства и характеристики основных элементов
в отдельности. Взаимодействие элементов в системе автоматического
регулирования наглядно можно представить функциональной
схемой, каждый элемент которой определяется его функциональным
назначением и изображается прямоугольником, а взаимодействие
элементов указывается стрелками, показывающими
функциональное воздействие одного элемента на другой.
Одним из основных элементов САР является регулируемый
объект. На рис. 1 — это резервуар 3 с жидкостью, в котором по
технологическим условиям должно быть обеспечено постоянство
уровня Н при различных нагрузках, определяемых количеством
жидкости, отбираемым из резервуара по каналу 5. Например,
жидкость резервуара (см. рис. 1) воздействует на связанный с ним
автоматический регулятор изменением уровня Я, в связи с чем
10

Рис. 2. Функциональные схемы: h
а — регулируемого объекта; б — автоматичес- N
кого регулятора; в — система автоматического —■
регулирования
Регулируемый
объект
а)
\Автоматический\
регулятор
б)
h
\N
Регулируемый
объект
<
Н
—*-
—о-
\я>
Автоматический
регулятор
1
<
1
ю
уровень Я — регулируемая
координата— является выходной
координатой регулируемого объекта
(рис. 2, а). Для обеспечения
постоянства уровня регулируемый
объект воспринимает воздействие
автоматического регулятора в
виде oiiределенного положения Ah
регулирующего органа 1 (см.
рис.1). В связи с этим h для
регулируемого объекта является входной координатой (см. рис. 2, а).
Однако уровень Я может изменяться и при постоянном
положении регулирующего органа 1, но при различной нагрузке, т. е. при
изменении количества жидкости, отбираемого из резервуара
потребителем. Если нагрузку объекта обозначить N, то это вторая входная
координата регулируемого объекта (см. рис. 2, а).
Для автоматического регулятора (рис. 2, б) входной координатой
является уровень Я жидкости в резервуаре, измеряемый поплавком,
а выходной координатой — положение z поплавка.
Уровень жидкости в резервуаре может быть изменен с помощью
смены настройки автоматического регулятора Дф через задатчик 8
(см. рис. 1). Если положение винта обозначить i|), то это вторая
входная координата автоматического регулятора (см. рис. 2, б).
В процессе работы регулируемый объект и автоматический
регулятор непрерывно взаимодействуют так, что выходная координата
одного элемента является входной координатой второго элемента,
и вся цепь взаимодействия оказывается замкнутой. Для этого
выходная координата Az (положение поплавка) кинематически жестко
связывается рычагом 7 (см. рис. 1) с положением Ah органа
управления 1. Наличие рычага 7 с определенным передаточным
отношением на функциональной схеме системы автоматического
регулирования (рис. 2, в) показано кружочком.
Воздействие автоматического регулятора z на регулируемый
объект называется главной обратной связью. Изменения всех
координат в системе автоматического регулирования принимаются
положительными, если при этом значение регулируемой координаты Я
возрастает. В связи с этим главная обратная связь в системе
автоматического регулирования всегда должна быть отрицательной (при
увеличении уровня Я клапан должен перемещаться в сторону
закрытия, т. е. в сторону противодействия возрастанию Я).
4. ПОНЯТИЕ О ВОЗМУЩАЮЩИХ И ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Задачей автоматического регулирования является поддержание
регулируемых координат постоянными или изменение их по
заданному закону. Регулируемые координаты могут быть самыми различ-
П

ными по своей физической природе. Например, у паровой турбины,
работающей на генератор, этой координатой является частота
вращения генераторного вала, т. е. механическая величина; у газовой
турбины этой координатой может быть температура газов перед
турбиной, т. е. тепловая величина, и т. д.
Значение регулируемой координаты, которое должно
поддерживаться в процессе работы на заданном режиме или которое должно
быть установлено с помощью регулирующего устройства в случае
нарушения заданного режима, называется заданным значением
регулируемой координаты.
В процессе регулирования измеряют текущее значение
регулируемой координаты и сравнивают ее с заданным значением. При
наличии отклонения регулируемой координаты (AQ, AT и др.)
от ее заданного значения (Q0» T0 и др.) регулирующая система
вырабатывает соответствующее воздействие, стремящееся уменьшить
или совсем ликвидировать это отклонение. Такое воздействие
называется управляющим или регулирующим. По своей физической
природе оно может быть различным, например, открытие парового
или топливного крана; изменение напряжения, управляющего
электромашинным усилителем, и т. п.
Регулирующее воздействие может быть введено или оператором,
следящим за работой машины, управляющим автомобилем,
локомотивом, судном, или автоматически — с помощью автоматического
регулятора.
Обеспечение работы теплоэнергетической установки в заданном
режиме с помощью автоматического регулятора называется
автоматическим регулированием. В процессе автоматического
регулирования измерение текущего значения регулируемой координаты,
сравнение его с заданным значением и введение регулирующего воздействия
осуществляется автоматически, без вмешательства оператора.
Нарушение режима работы теплоэнергетической машины и,
следовательно, отклонение регулируемого параметра от его заданного
значения происходят вследствие нарушения равновесия в системе.
Величины, которые вызывают отклонение регулируемой
координаты от заданного значения и нарушают равновесие, называются
возмущающими воздействиями или возмущениями. Наличие
возмущающих воздействий является причиной нарушения заданного
режима теплоэнергетической машины.
Действительно, если бы не возникало возмущающих воздействий,
то приведенная в равновесие система оставалась бы в этом состоянии
сколь угодно долгое время и не нуждалась бы в дальнейшем
регулировании. Например, при регулировании частоты вращения
генераторного вала паровой турбины возмущающим воздействием может
быть изменение момента нагрузки или параметров пара перед
турбиной; при регулировании температуры охлаждающей воды в
двигателе внутреннего сгорания одним из возмущающих воздействий
является изменение цикловой подачи топлива.
Заданное значение регулируемой координаты во многих случаях
в процессе работы теплоэнергетических машин остается постоянным,
12

но могут быть случаи, когда оно меняется во времени или в
зависимости от какой-либо другой величины. Последнее связано с
изменением заданного режима работы теплоэнергетической машины.
Например, в процессе эксплуатации достаточно часто меняются
заданные скоростные режимы работы транспортных двигателей
внутреннего сгорания (изменяется заданная частота вращения вала).
При регулировании температуры газов в газовой турбине
необходимо поддерживать температуру в зависимости от температуры
окружающей среды.
Величины, меняющие заданное значение регулируемой
координаты, называются задающими воздействиями. Изменение
регулируемой координаты И (уровня воды), вызванное возмущающим
воздействием, является в данном случае следствием изменения притока
воды через подводящую трубу 2 (см. рис. 1) или изменения отбора
воды через трубу 5. Это изменение уровня, приводящее через рычаг 7
к изменению положения клапана ), является регулирующим
воздействием.
Изменение значения регулируемой координаты Н достигается
изменением положения винта 8, на который подается задающее
воздействие Д-ф.
5. УСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ РАБОТЫ
ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ
Каждый режим работы теплоэнергетической установки
характеризуется совокупностью многих параметров, отражающих те или
иные ее свойства. К числу таких параметров относятся: N —
мощность; М — крутящий момент; Q — частота вращения ротора; /?ч—
давление в ресивере; ge — удельный расход топлива; Т —
температура; г\ — КПД; h — положение органа управления; i|) —
положение рычага управления автоматическим регулятором и др.
Режим работы теплоэнергетической установки называется
установившимся, если числовые значения всех координат сохраняются
постоянными во времени. Такая работа теплоэнергетической
установки в установившемся режиме возможна лишь при выполнении
ряда условий. Эти условия могут быть выражены уравнениями
статического равновесия.
Так, ротор турбины может сохранить постоянство частоты
вращения только при условии равенства крутящего момента турбины М
и момента сопротивления Мс, потребителя:
М-Мс = 0. (1)
Уровень Н в резервуаре (см. рис. 1) останется постоянным во
времени лишь при условии равенства поступления т„ жидкости
через канал 2 в единицу времени и расхода жидкости тр через
канал 5:
тп — тр = 0. (2)
Температура Т в холодильной камере останется постоянной во
времени при выполнении условия
Qn-QP = 0, (3)
13

где Qn и Qp — соответственно количество -теплоты, поступающей
в холодильную камеру через ее стенки от охлаждаемой массы в
единицу времени, и количество теплоты, отбираемое от холодильной
камеры в ту же единицу времени системой охлаждения.
Уравнения статического равновесия (1)—(3) также часто
используют для установившихся режимов, при которых обеспечивается
равновесие в общем случае прихода и расхода энергии, массы,
теплоты и т. д.
Между координатами, характеризующими работу
теплоэнергетической установки в установившемся режиме, существует
определенная функциональная связь, которой в обобщенной форме можно
придать вид
N = f(M\ Q; р;Г;/г; ...). (4)
Применительно к паровой турбине Q — частота вращения ротора#
р и Т — давление и температура пара; h — положение органа
управления.
Каждый установившийся режим установки всегда определяется
постоянством во времени всех координат, входящих (и не входящих)
в зависимость (4). Эту зависимость можно представить в виде
некоторой многомерной поверхности, каждая точка которой
определяется совокупностью конкретных числовых значений всех
координат, входящих в функциональную зависимость (4) и
соответствующих определенному установившемуся режиму.
Однако во многих случаях нет необходимости учитывать все
возможные координаты, характеризующие работу двигателя на
установившемся режиме. В этих случаях выбирают одну или несколько
координат, представляющих наибольший интерес. Например, к числу
таких координат двигателя внутреннего сгорания можно отнести
крутящий момент М\ частоту вращения коленчатого вала Q;
положение органа управления Л, определяющего подачу топлива. Если
за положительное направление перемещения h принять перемещение
в сторону уменьшения подачи топлива, то эти три координаты в
совокупности дадут некоторую поверхность А (рис. 3). Каждая точка
поверхности А соответствует одному установившемуся
(равновесному) режиму.
Иногда для характеристики установившегося режима работы
двигателя из всего многообразия координат (4) выбирают постоянной
какую-то одну координату и по ее значениям характеризуют тот
или иной установившийся режим работы установки. Например,
постоянное числовое значение крутящего момента свидетельствует
о соответствующем установившемся нагрузочном режиме (М =
= const при h = var; Q = var), постоянное значение частоты
вращения вала Q — об определенном установившемся скоростном
режиме (Q = const при М = var; h = var), постоянное значение
температуры Т — о соответствующем тепловом режиме и т. д.
Если в процессе эксплуатации двигатель работает в нескольких
установившихся скоростных и нагрузочных режимах, то часто
говорят, что такой двигатель работает в переменных режимах.
14

рис. 3. Образование
статических характеристик
двигателя:
А — поверхность
установившихся режимов; В, С, D —
секущие плоскости; 1 —
внешняя скоростная
характеристика; 2 —
частичная скоростная
характеристика; 3, 4 —
регулировочные характеристики; 5,
6 — нагрузочные
характеристики
Если необходимо подчеркнуть те или иные взаимосвязи между
координатами, справедливые для установившихся режимов, из
всего многообразия взаимосвязей (4) выбирают лишь необходимые
и на их основе строят статические характеристики
теплоэнергетической установки.
Если для этой цели воспользоваться поверхностью А (см. рис. 3),
то соответствующие статические характеристики могут быть
получены сечениями этой поверхности плоскостями В> С и D,
параллельными соответствующим координатным плоскостям.
Проекции на координатную плоскость (УИ; Q) сечений
поверхности А плоскостями В, параллельными координатной плоскости,
дают на плоскости (УИ; Q) скоростные характеристики 1,2: М = / (Q)
при h = const. Проекции сечений поверхности А плоскостями D,
параллельными координатной плоскости (Л; Q), дают на плоскости
(Л; Q) регулировочные характеристики 3 и 4; h = f (Q) при М = const,
и наконец, проекции сечения поверхности А плоскостями С,
параллельными координатной плоскости (УИ; Л), дают на плоскости (УИ; К)
нагрузочные характеристики 5 и 6: М = f (h) при Q = const. Все
сказанное применительно к выбранным трем координатам УИ, Q и h
можно практически повторить, если выбрать любые другие три
координаты.
Таким образом, каждая точка любой статической характеристики,
т. е. каждая точка, лежащая на поверхности А и определяемая
Функциональной зависимостью (4), соответствует только одному
установившемуся режиму, а каждая статическая характеристика
двигателя представляет собой последовательную совокупность уста-
повившихся режимов, выраженных определенными координатами
при определенных условиях (например, постоянство той или иной
координаты). Один установившийся режим определяется одной
точкой любой статической характеристики.
15

Сказанное выше свидетельствует о том, что статические
характеристики элементов систем автоматического регулирования
применяют для определения тех или иных статических свойств. Каждая
статическая характеристика иллюстрирует взаимосвязь координат
при установившихся режимах работы двигателя в определенных
условиях.
6. ФАКТОР УСТОЙЧИВОСТИ
Установившийся режим работы каждого элемента системы
автоматического регулирования теплоэнергетической установки может
поддерживаться в течение конечного интервала времени только при
выполнении соответствующих условий статического равновесия
(1)—(3) и им подобных.
В качестве примера на рис. 4 приведен график совмещенных
статических характеристик холодильной камеры. Эти
характеристики определяют зависимости количества поступающей Qn и
отбираемой Qp теплоты от температуры Т в камере. График показывает,
что условие (3) выполняется в точке 0, поэтому в камере будет
поддерживаться установившийся тепловой режим при
температуре Т0.
Однако режимы работы камеры с течением времени могут
нарушаться при загрузке в камеру новой порции охлаждаемого вещества
и по другим причинам. Нарушение установившегося режима
вызовет отклонение температуры Т в камере от ее значения Т0 в
установившемся режиме на Д7\ например, в сторону увеличения. В этом
случае равенство (3) нарушается, так как количество теплоты,
отбираемой от камеры, увеличится на AQP, а количество теплоты,
поступающей в камеру, уменьшится на AQn. При температуре То +
+ AT имеет место неравенство Qp > Qn, в связи с этим температура
в камере будет уменьшаться, и установившийся режим при Т0
восстановится. При уменьшении температуры на Д7\ наоборот, Qn >
> Qp» и установившийся режим при То восстановится. Такой
установившийся режим называется устойчивым.
Устойчивость режима зависит от дисбаланса тепловых потоков
при данном отклонении температуры от Г0. Поэтому оценкой
устойчивости может служить
отношение
AQ/A7\
(5)
называемое фактором
устойчивости, в данном случае
холодильной камеры. Аналогично
может быть оценена
устойчивость режимов работы и дру-
j Рис. 4. Определение фактора
устойчивости
16

гих элементов. Например, устойчивость скоростного режима
турбины определится отношением
F = ДМ/AQ, (6)
где AM — дисбаланс моментов турбины и потребителя при
отклонении скоростного режима от установившегося на Дй.
В соответствии с графиком, приведенным на рис. 4,
AQ = AQP + AQn-
Однако приближенно эта разность может быть принята равной
отрезку AQ' между касательными, проведенными к характеристикам
в точке О установившегося режима. Из графика на ри^. 4 видно, что
AQ' тем ближе к значению AQ, чем меньше Д7\ При достаточно
малых AT
AQp=ArtgTp = ^PAT; AQn = АГ tg Тп = - *k Д7\
Здесь использованы частные производные, так как тепловые
потоки Qp и Qn могут зависеть не только от температуры Т внутри
камеры.
С учетом полученных соотношений фактор устойчивости (5)
может быть представлен в виде разности
р dQp __ dQn /7ч
Г ~ ОТ дТ ' К '
Устойчивость установившегося режима характеризуется
алгебраическим знаком F и его числовым значением. Если ~^-> ^п ,
то F > 0 и режим устойчив, причем тем более устойчив, чем больше
значение F. При F <0 режим работы неустойчив. В этом случае
рассматриваемый элемент имеет отрицательное самовыравнивание.
7. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ РЕЖИМЫ РАБОТЫ
ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ
Значительную часть рабочего времени теплоэнергетических
установок составляют такие режимы работы, которые являются
следствием смены нагрузки со стороны потребителей или других
внешних возмущений. При таких режимах постоянство во времени
значений тех или иных координат, входящих в функциональную
зависимость (4), нарушается и все они (или некоторые из них) меняют
свои значения с течением времени.
Изменение во времени одной, нескольких или всех координат,
характеризующих режим работы теплоэнергетической установки,
является единственным и исчерпывающим признаком появления
в процессе эксплуатации так называемых неустановившихся
режимов работы. Практика показывает, что неустановившиеся режимы
часто занимают значительно больше рабочего времени, чем
установившиеся режимы.
Основным признаком появления неустановившегося режима
работы служит нарушение условий статического равновесия (1)—(3)
17

или любых других, аналогичных названным. В результате этого
нарушается баланс вырабатываемой и потребляемой энергии,
теплоты, приходящей и расходуемой массы, рабочего тела. Например,
избыток (в алгебраическом смысле) энергии в виде крутящего
момента М турбины расходуется на изменение частоты вращения Q
ротора и связанных с ним агрегатов, которое определяется
дифференциальным уравнением, написанным в соответствии с принципом
Д'Аламбера:
J^ = M-MC, (8)
где J — приведенный момент инерции турбины и связанных с ней
агрегатов.
Давление р воздуха в ресивере изменяется по закону,
определяемому дифференциальным уравнением
-£f -£- = тп - mp, (9)
где Vv — объем ресивера; Т — температура воздуха в нем; R —
газовая постоянная.
Нарушение теплового баланса холодильной камеры приводит
к изменению температуры этой системы в соответствии с
дифференциальным уравнением
C-f—Qn-Qp, (10)
где С — теплоемкость системы охлаждения.
В связи с нарушением условий статического равновесия (1),
(2) или (3) и появлением в системе изменений, определяемых
дифференциальными уравнениями (8)—(10), все (или некоторые)
координаты, входящие в зависимость (4), при неустановившихся режимах
получают приращения и их значения становятся зависимыми от
времени. В связи с этим зависимость (4) применительно к
неустановившимся режимам работы теплоэнергетической установки должна
быть дополнена координатой времени / и представлена в виде
N = f(M\ Q; р; Г; А; ...; /). (11)
Введение времени t в функциональную зависимость (И)
свидетельствует о том, что определенные (числовые) значения координат,
входящих в эту зависимость, имеют смысл лишь для конкретно
выбранного мгновения времени t. В зависимость (11), таким образом,
должны входить мгновенные значения координат, меняющихся во
времени. Следовательно, один неустановившийся режим
соответствует только одному значению времени, и это обстоятельство
является одним из основных признаков неустановившихся режимов,
отличающих их от установившихся режимов.
Во многих случаях наибольший интерес при оценке
неустановившихся режимов представляют не все координаты, входящие
в функциональную зависимость (11), а только некоторые из них или
одна. Если такой координатой является, например, частота
вращения Q ротора, то говорят о неустановившемся скоростном режиме;
<8

если такой координатой является температура Т, то говорят о
неустановившемся тепловом режиме. При этом изменения во времени
других координат можно не рассматривать.
Признаки неустановившихся режимов подтверждаются
сопоставлением уравнений (1)—(3) статического равновесия, описывающих
работу установки в установившихся режимах, с соответствующими
уравнениями (8)—(10) динамического равновесия, описывающими
появление неустановившихся режимов.
Действительно, если исследуемые параметры в уравнениях (8)—
(10) не зависят от времени, то их производные, входящие в эти
уравнения, оказываются равными нулю:
-г-»-. ^=°; 4?-°- <12>
В этом случае уравнения (8)—(10) динамического равновесия,
соответствующие неустановившимся режимам, превращаются в
уравнения (1)—(3), соответствующие установившимся режимам работы
двигателя.
Условия (12) могут встречаться и при неустановившихся режимах,
но лишь для конкретных мгновенных значений времени (например,
при смене алгебраического знака производных).
8. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССАХ
С понятием неустановившегося режима работы объекта связано
определение переходного процесса теплоэнергетической установки.
Переходным процессом называется процесс изменения во времени
координат установки, входящих в функциональную зависимость
(12), вследствие изменения нагрузки, смены регулируемого режима
обслуживающим персоналом или других произвольных изменений
внешних условий работы. Переходный процесс по своему смыслу
всегда является переходом от одного (начального) установившегося
режима к другому (конечному) установившемуся режиму. Конечный
установившийся режим часто является режимом вновь заданным.
Таким образом, переходный процесс всегда протекает во времени,
и его аргументом является время. Каждая точка переходного
процесса представляет собой неустановившийся режим в данный момент
времени, а сам переходный процесс — последовательная во времени
совокупность неустановившихся режимов.
В общем случае при переходном процессе изменяются все или
многие координаты, характеризующие работу установки. Если
необходимо подчеркнуть или выявить зависимость от времени той
или иной координаты, характеризующей работу установки, при
неустановившихся режимах строят (или экспериментально
записывают) процессы изменения этой координаты во времени, например
Q = / (0; h = f (/); Т = f (t); p = f (t) и др. Эти зависимости также
называются переходными процессами. Переходный процесс
изменения частоты вращения ротора Q = f (t)t появившийся вследствие
сброса нагрузки N при t = 0, представлен на рис. 5. Такой и ана-
19

Рис. 5. Переходный процесс (динамические
характеристики):
AQg — область допустимых отклонений от заданного
значения в установившемся режиме; t^ev— время
переходного процесса (время регулирования)
логичные ему переходные процессы
иногда называют по выбранной
координате. Например, зависимость Q = f (t)
называют скоростным переходным
процессом, М = f (t) или N = f (t) —
нагрузочным переходным процессом,
Т = / (/) — тепловым переходным процессом и т. д.
Каждый переходный процесс можно рассчитать с той или иной
степенью точности путем составления и решения дифференциального
уравнения исследуемой системы. Решение такого дифференциального
уравнения дает общий интеграл в виде зависимостей Q = f (t) (см.
рис. 5), Т = f (t) или других, являющихся математическими
выражениями переходных процессов. Таким образом, для оценки
динамических свойств теплоэнергетической установки необходимо
составить дифференциальное уравнение прежде всего для каждого
элемента, входящего в систему автоматического регулирования
(см. рис. 2, в), и на их основе дифференциальное уравнение системы
автоматического регулирования в целом.
Анализ и решение такого уравнения дадут представление о
переходных процессах этой системы и, следовательно, о ее динамических
свойствах.
9. МЕТОДИКА АНАЛИЗА СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ ЭЛЕМЕНТОВ И САР
Совокупность регулируемого объекта и автоматического
регулятора составляет единую систему автоматического регулирования.
Свойства этой системы определяются свойствами элементов,
образующих ее. Взаимосвязь элементов системы автоматического
регулирования показана на функциональной схеме (см. рис. 2, в).
Каждый элемент системы регулирования имеет входные и
выходные координаты. Для автоматического регулятора координаты Н
и 1|> являются входными, а координата z (или ft)— выходной.
Регулируемый объект (рис. 2, в) характеризуется входными
координатами N, ft и выходной координатой Я. Входная координата N
представляет собой внешнее по отношению к объекту и системе
автоматического регулирования возмущение, которое в большинстве случаев
отражает изменение нагрузки со стороны потребителя, а г (Л) —
выходная координата автоматического регулятора является второй
входной координатой объекта.
Для каждого элемента САР (рис. 2) в зависимости от его свойств
можно построить следующие статические характеристики:
для регулируемого объекта
H = f%(N\ ft) или H = f3(N\ г)\ (13)
20

для автоматического регулятора
z — fi(H) при ф = const. (14)
Исключение координаты z из уравнения (13) путем использования
уравнений (14) позволяет получить зависимость
H = f(N) при гр = const. (15)
Эту зависимость называют регуляторной характеристикой системы
автоматического регулирования. Она устанавливает зависимость
значений регулируемой координаты Н от нагрузки N и настройки г|)
автоматического регулятора.
По аналогичной методике с помощью уравнений (13) и (14) может
быть построена характеристика z = / (N) при Н = const.
Однако в практике автоматического регулирования наиболее
часто используют зависимость (15), построенную по выходной
координате объекта. Объясняется это тем, что выходная координата
объекта является регулируемой координатой, определение значения
которой в любой момент времени как при установившихся режимах
работы САР, так и при нарушении этих режимов представляют
собой один из основных вопросов теории и практики
автоматического регулирования.
Работу САР и ее элементов анализируют для двух возможных
режимов: установившихся и неустановившихся.
При статическом анализе установившихся режимов САР изучают
условия обеспечения таких режимов, а также выявляют статические
характеристики. Анализ последних позволяет оценить статическую
точность поддержания заданного значения регулируемой координаты
в различных режимах. Выполнение условий работы системы по
заданной точности и диапазону регулируемых режимов проверяется
статическим расчетом. При известном регулируемом объекте
статический расчет сопровождается нахождением параметров элементов
автоматического регулятора, которые определяют его
конструктивные показатели, обеспечивающие заданную точность и диапазон
работы.
Динамический анализ работы САР связан с исследованием ее
поведения при нарушении установившегося режима, т. е. при
неустановившихся режимах. Предметом исследования в этом случае
является переходный процесс изменения регулируемой координаты
во времени Q = / (t); Т = / (t) или z = / (t). Нарушение^
равновесного режима может сопровождаться возвращением системы в
исходное состояние, переходом ее в новое равновесное состояние,
характеризуемое новым значением регулируемой координаты (в
статических системах), или непрерывным удалением от первоначального
состояния. В первом и во втором случае система является
устойчивой, в третьем — неустойчивой. Поэтому первая задача
динамического анализа работы САР — оценка системы с точки зрения ее
Устойчивости. Вторая задача динамического анализа связана с вы-
21

явлением качественных показателей переходных процессов (время
переходного процесса, максимальное отклонение регулируемой
координаты от заданного значения, колебательность процесса и т. п.).
Третьей задачей анализа является определение влияния параметров
элементов, образующих САР, на устойчивость и на качественные
показатели переходного процесса.
Теория автоматического регулирования содержит еще один
чрезвычайно важный для практики раздел — синтез САР. Задача синтеза
заключается в разработке структуры системы, определении
количественных характеристик параметров элементов, обеспечивающих
заданные показатели переходного процесса САР при устойчивой
ее работе.
Решение статических и динамических задач автоматического
регулирования можно осуществить двумя путями: аналитическим
расчетом и экспериментальным исследованием. Аналитический расчет
обычно используют при создании САР. Экспериментальные
исследования проводят при наличии САР или ее отдельных элементов.
Однако часто приходится использовать комбинированный способ
решения указанных задач, включающий аналитический расчет
и экспериментальное исследование.
Таким образом, изучение процессов, происходящих в замкнутой
САР, связано прежде всего с выявлением статических и
динамических характеристик элементов, образующих ее. При этом
устанавливаются зависимости (1)—(3) или (8)—(10).
Уравнения элементов (1)—(3) дают возможность установить
зависимость выходной координаты от входных координат,
представляющих собой внешние по отношению к элементу возмущения,
и таким образом определить связь между выходной координатой
и конкретным внешним возмущающим воздействием при различных
установившихся режимах работы.
Дифференциальные уравнения элементов (8)—(10) САР
позволяют изучать их динамические свойства, строить переходные
процессы, оценивать устойчивость и качество работы, т. е. определять
время tpec переходного процесса, отклонения координат от заданных
значений и т. п.
Дифференциальные уравнения элементов являются основой для
получения дифференциального уравнения САР. С помощью
дифференциального уравнения системы регулирования можно найти
изменение регулируемой координаты во времени, т. е. переходный
процесс. Знание переходного процесса дает наиболее полное
представление о работе САР.
Дифференциальные уравнения элементов и САР записываются
в форме, при которой левая часть уравнения, содержащая выходную
координату и ее производные, определяет собственные свойства
элемента или системы, а правая часть уравнения, включающая
соответствующие входные координаты возмущающих или задающих
воздействий, характеризует их влияние на работу элемента или
системы. Дифференциальное уравнение системы в общем виде при
определенных условиях можно представить как линейное дифферен-
22

циальное уравнение я-го порядка с постоянными коэффициентами:
л _^L | Л dn~lQ 1 ' \ dQ I /IQ —
Если задать определенные значения возмущающих воздействий N
и i|) на САР, то решение дифференциального уравнения (его общий
интеграл) дает зависимость Q = / (0, т. е. математическое
выражение переходного процесса.
Для решения таких уравнений часто используют методы
операционного исчисления и операторную форму записи уравнения.
В этом случае операция дифференцирования --^- обозначается
символом /?, и тогда
d d*
--->/>; -ж-*Р"*<
dt F> dt* H »• • •' dtn г .
Такая форма записи позволяет функцию отделять от оператора р
и дифференциальное уравнение записывать в виде
D(p)Q = B(p)N + S(p)^
где D (р) = Апрп + ... + Ахр + А0 —собственный оператор САР;
в (р) = втР™ + ... + в1Р + в0; s (р) = s*p* + ... + slP + s0-
операторы возмущающих воздействий.
10. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ,
ВХОДЯЩИХ В САР
Дифференциальное уравнение элемента устанавливает связь
выходной координаты с входными в переходном процессе. Поэтому
для каждого элемента необходимо составить столько уравнений,
сколько у него выходных координат.
Дифференциальные уравнения элементов САР являются
справедливыми в том случае, если при их составлении выполняется
требование энергетического баланса или баланса вещества (в
дальнейшем все рассуждения будут вестись применительно к понятию
«энергия», но они будут справедливы и для понятия «масса»). Поэтому
выявлению закона движения того или иного элемента должно
предшествовать выяснение вида подводимой, отводимой и
аккумулируемой энергии в данном элементе. Например, в уравнении (10) в
качестве подводимой и отводимой энергии выбраны тепловые потоки,
а аккумулирование энергии характеризуется теплоемкостью.
Количество подводимой и отводимой энергии элемента и закон
ее изменения можно охарактеризовать рядом показателей. Среди
таких показателей всегда есть координата, которая является общей
и принимается в качестве выходной координаты элемента. Превыше-
23

ние подводимой к элементу энергии над отводимой создает условие
для аккумулирования энергии в данном элементе. Значение разности
подводимой и отводимой энергий обусловливается свойствами
элемента, а равенство нулю этой разности определяет установившееся
состояние элемента, как это следует из уравнений (1)—(3).
В некоторых случаях при выводе дифференциальных уравнений
элементов в целях упрощения анализа их работы значение
аккумулированной энергии принимается равным нулю. Это не вносит
в получаемые результаты заметной ошибки только при
установившемся режиме или при малых значениях разности энергий. Однако
такое упрощение должно всегда оговариваться.
Как уже отмечалось, в зависимости от вида элемента его
уравнение является либо энергетическим, либо уравнением сохранения
массы. Конкретно эти уравнения могут представлять собой
уравнения сил, моментов, количества теплоты и т. п. Например,
уравнение (8) является исходным для составления дифференциальных
уравнений элементов, равновесные состояния которых определяются
крутящими моментами. Если крутящий момент, например, двигателя
определяется положением h органа управления, частотой вращения Q
ротора и давлением рк подводимого воздуха, то теоретическим или
экспериментальным путем можно найти функциональную
зависимость М = М (A; Q; /?к), которую используют для составления
дифференциального уравнения. Если учесть, что момент сопротивления
определяется настройкой N потребителя и частотой вращения Q
ротора, то Мс = Мс (Q, N), и тогда уравнению (8) может быть
придан вид
J^ = M (ft; Q; рк) - Мс (Q; N). (16)
Только при знании всех показателей, влияющих на характер
изменения того или иного вида энергий, можно получить близкую
к действительности картину явлений, происходящих в элементе.
Иначе говоря, учет всех факторов, известных из теории и опыта,
позволяет найти уравнения, максимально отражающие реальные
процессы. Получаемые при этом дифференциальные уравнения
нередко оказываются сложными и громоздкими, что затрудняет их
анализ. Поэтому часто при составлении дифференциальных
уравнений элементов приходится прибегать к упрощениям некоторых
взаимосвязей. Прежде всего следует исключать из уравнений
факторы, мало влияющие на энергетические показатели элемента,
а также параметры, значения которых поддерживаются постоянными
либо естественным путем, либо за счет работы других САР.
11. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ
В самом общем случае статические характеристики элементов
представляют собой нелинейные функции тех или иных параметров.
Нелинейности выявляются либо аналитически, либо графически
на основе конкретного экспериментального материала. Поэтому
24

Рис. 6. Линеаризация
статических
характеристик элемента САР:
а — абсолютная система
координат; б — система
координат по приращениям
дифференциальные уравнения элементов в большинстве случаев
оказываются нелинейными, что существенно затрудняет их анализ.
Поскольку использование методов числового или графического
интегрирования таких уравнений сопряжено с большими
трудностями, упрощение анализа уравнения элемента имеет определенное
практическое значение. В связи с этим в теории автоматического
регулирования широко используется метод линеаризации
статических характеристик элементов — искусственный прием,
обеспечивающий применение хорошо разработанных в математике методов
решения обычных линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.
Несомненно, что использование метода линеаризации статических
характеристик и, следовательно, дифференциальных уравнений
сопряжено с определенным искажением реальных явлений.
Получаемое в этом случае дифференциальное уравнение, в отличие от
исходного уравнения, называется уравнением линейного приближения
или уравнением линейной модели. Вместе с тем А. И. Ляпунов
показал, что изложенный метод вполне подходит для решения
многих задач механики.
Применим метод линеаризации для характеристик объекта,
функциональная схема которого представлена на рис. 2, а, а
конструктивная на рис. 1.
Подводимая к объекту масса жидкости и отводимая от объекта
энергия определяются координатами z, H и N:
mu = f(z\ Н)\ )
тр-/(ЛГ; Я).) ( )
На основании этих зависимостей могут быть построены
статические характеристики (рис. 6). В точке Л, на пересечении этих
характеристик, подводимая масса оказывается равной отводимой.
Это является признаком того, что точка А соответствует
установившемуся режиму работы резервуара. Этому равновесному состоянию
соответствуют значения координат Я0; N0i г|э0.
Если в какой-то момент времени объект получает некоторое
возмущение, то равновесное состояние нарушается и в объекте
возникнет движение (переходный процесс).
Отклонения координат от значений, соответствующих
равновесному состоянию, характеризуют движения объекта и обозначаются
25

A//, AN и Ai|). Поэтому текущие координаты объекта могут быть
представлены в виде
Н = Н0 + АЯ; N = N0 + АЛГ; ф = i|*0 + Ai|).
В основе метода линеаризации нелинейных дифференциальных
уравнений элементов САР лежит положение о том, что все величины,
характеризующие отклонения координат во время переходного
процесса, достаточно малы и являются величинами первого порядка
малости; величины Ах?; Ах%, ... или Ах\-Ах2; Ал-2-Ахз; ••• являются
величинами второго порядка малости, и ими можно пренебречь.
Поэтому математически линеаризация дифференциальных
уравнений элементов заключается в том, что при разложении
нелинейных функциональных зависимостей, входящих в левую и
правую часть дифференциального уравнения, в ряд по степеням
отклонений сохраняются только величины первого порядка малости.
Так, разложение в ряд Тейлора зависимости (17) дает
т.-»., + (^),А2+(^),/Я + (^«)й.^ +
,(дЬпп\ АЯ» ,
"•"\ая2Л0 2! "I
В результате линеаризации отмеченным выше способом можно
получить
«.-«..+№)„.*•+(*).. а*
В исходном и полученном выражениях величина тПо представляет
собой значение потока массы жидкости, поступающей в резервуар
в точке установившегося режима (точка А на рис. 6). Индексы,
стоящие у частных производных, означают, что последние берутся
также в точке А. В дальнейшем эти индексы для упрощения записи
опускаются.
Линеаризацию связей в элементе можно представить графически,
используя зависимость подводимой массы тп от одной какой-либо
координаты, например z. Получение графического изображения
тп = / (Я) возможно только в том случае, если остальные
координаты сохраняются постоянными.
Функция mn = f (Я) нелинейна (рис. 6) и в точке А
установившегося режима определяется следующей зависимостью:
Линеаризация заключается в замене реальной нелинейной
зависимости. Это достигается проведением касательной к нелинейной
кривой в точке установившегося режима, которая заменяет
первоначальную нелинейную характеристику. Естественно, что такая
замена тем точнее, чем меньше отклонение параметра Я от его
установившегося значения Я0. Приемлемость этого метода для элементов
САР определяется прежде всего тем, что по своему смыслу работа
САР связана с допущением лишь малых отклонений от равновесного
состояния.
26

Рассматривая отклонение функции тп относительно точки Л,
можно перейти к новой системе координат (Атп; Д#) (рис. 6, б).
Очевидно,
(*).-*•■
где а — угол наклона касательной к характеристике mn = f (H)
в точке установившегося режима.
Точно таким же образом можно найти и другую составляющую
разложения функции в ряд:
(■&i-w
Если применить метод линеаризации к функциональным
зависимостям, вошедшим в уравнение (16), то их можно представить в виде
M(h; G; р^Мо + ^ДЛ + ^ДО + ^Дрк;
(18)
С учетом этих зависимостей, а также уравнения (1), справедливого
для установившегося режима, дифференциальное уравнение (16)
получит вид
где Fd = —^ g^ фактор устойчивости.
Получаемые в результате линеаризации дифференциальные
уравнения обладают очень важным свойством — постоянством
коэффициентов. Последнее вытекает из того, что значения коэффициентов
определяются значениями частных производных, которые берутся
только в точке установившегося режима.
Линеаризованное дифференциальное уравнение тем более точно
описывает реальный процесс, чем меньше отличие при одних и тех же
значениях переменного параметра Н касательной и заменяемой
действительной характеристики. Поэтому граница линеаризации
существенно сокращается при ярко выраженной криволинейности
характеристик.
Необходимо при этом отметить, что существует категория
существенно нелинейных зависимостей (например, скачкообразные
характеристики и др.), когда метод линеаризации становится
неправомочным.
Бурное развитие вычислительной техники позволяет в
настоящее время проводить детальное исследование систем
автоматического регулирования с учетом всех особенностей изучаемых
процессов, т. е. с учетом всех нелинейностей.
27

Линеаризация связи выходной координаты Н с одной из входных
координат, например г, путем линеаризации уравнения (13) статики
приводит к зависимости
Д#/Аг = tg у = /с,
где к = const — коэффициент усиления рассматриваемого объекта
по входной координате г.
12. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
Линейные дифференциальные уравнения элементов САР,
записанные в абсолютных координатах, позволяют выявить изменения
выходной координаты при тех или иных значениях входного
возмущения. Получаемые в этом случае абсолютные значения
изменений, которые являются очень важными для определения условий
работы данной установки, становятся неудобными при сравнении
качества ее работы с другими или аналогичными установками.
Несмотря на самые существенные различия регулируемых
объектов и других элементов САР, работа их характеризуется
принципиально одними и теми же показателями: пределами изменения
регулируемой координаты при переходе от режима холостого хода
к режиму максимальной нагрузки (статическими показателями),
а также изменением регулируемой координаты в процессе перехода
из одного установившегося режима в другой (динамическими
показателями).
Сравнение показателей наиболее удобно проводить с помощью
относительной системы координат. Такой способ выражения
параметров элемента САР удобен еще и тем, что относительная
координата представляет собой безразмерную величину. Введение
относительной координаты отклонений взамен абсолютных отклонений
становится возможным, если выбрано значение базовой координаты,
причем этот выбор может быть произвольным, но одним и тем же
для всех элементов данной системы автоматического регулирования.
В теории автоматического регулирования наиболее
употребительными базовыми значениями координат являются значения
координат, соответствующие данному установившемуся режиму, от
которого отсчитываются отклонения (например, Н0 на рис. 6, а);
номинальные значения координат, характеризующих работу данной
теплоэнергетической установки; средние значения координат
(в пределах неравномерности); значения координат,
соответствующие заданной степени неравномерности регулируемой координаты
САР.
Для объекта, функциональная схема которого показана на
рис. 2, а> можно ввести следующие относительные (безразмерные)
координаты:
Ф = Д#/#о, Ф = Д#/#н, Ф = ДЯ/Яср, Ф = АЯ/6ЯСР;
г) = Дг/г0, ц = Az/zH, tj = Дг/гср, т) = Дг/6гср.
Наиболее часто за базовые принимаются значения координат
в выбранном установившемся режиме. Для уравнения (18) такими
28

базовыми значениями являются Q0, ft0, Л«ъ N0, а относительными
координатами
9 = Q/Q0; х = АЛ/Л0; Р,< ==A/?k//W> ао = Д#/ЛГ0. (20)
Введение относительных координат в дифференциальное
уравнение (19) приводит его к виду
Безразмерная форма относительных координат (20) дает
возможность преобразовать уравнение (21) так, чтобы все его члены были
безразмерными. Для этого все члены уравнения можно разделить,
например, на произведение FAQ0, тогда уравнение (21) примет вид
Т°Ж + Ф = *?* + Ф" - *Я (22)
или в операторной форме записи
do (Р) Ф = к?и + ^оРк — ^оа0. (23)
Здесь Т0 = J/Fn — постоянный коэффициент, имеющий
размерность времени и характеризующий инерционность объекта, а
коэффициенты /с?, /с©, /с? называются коэффициентами усиления по
соответствующим входным координатам, причем
х __ дМ h0 . к __ дМ Рко . а_ dAfc W0 т>.
*° — a/i /^Q0' ° "" дрк F^Qo' ° ~ dN F^Qo* K }
13. ТИПОВЫЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ
Любая входная координата по отношению к элементу САР пред
ставляет собой внешнее возмущающее воздействие. При составлении
дифференциальных уравнений в теории автоматического
регулирования принято все внешние возмущающие воздействия записывать
в правой их части. В этом случае левая часть уравнения отражает
собственные свойства элемента.
В общем случае любые внешние возмущающие воздействия,
действующие" на элемент, зависят от времени, поэтому их можно
обозначить / (t)y например, а0 = / (t). Однако внешние
возмущающие воздействия имеют различный характер. Одни из них действуют
мгновенно. К таким относятся возмущающие воздействия типа
мгновенного ступенчатого изменения входной координаты (рис. 7, а),
мгновенных импульсов первого (рис. 7, б) и второго (рис. 7, в) рода.
К другому типу относятся внешние постоянно действующие
возмущающие воздействия, линейно (рис. 7, г) или периодически
изменяющиеся по времени. В теории автоматического регулирования среди
последних наиболее часто применяется возмущающее воздействие,
носящее гармонический характер (рис. 7, д).
Мгновенное ступенчатое возмущение и мгновенные импульсы
первого и второго рода для удобства исследования принимаются
29

единичными (рис. 7, а—в). Это значит, что относительная система
координат, которая обычно принимается при выводе дифференциал-
ного уравнения элемента, построена так, что в пределах изменения
параметров от начального режима до конечного режима
регулируемого объекта изменения относительных параметров в указанных
пределах оказываются равными единице, или 100 %.
Действительно, если в качестве возмущающего воздействия
выбрано ступенчатое изменение ф = Д#/#0, то при единичном
возмущающем воздействии Д# = Я0. При этом решение при любом
долевом значении внешнего возмущающего воздействия может быть
получено из решения, найденного для единичного возмущающего
воздействия путем умножения его на реальный размер мгновенно
изменяющегося возмущающего воздействия. За начало отсчета
времени при построении переходных процессов выбирается t = 0.
Особенностью этого времени является возникновение возмущающего
воздействия / (/). Если при КОи при t = 0 элемент или система
уже находились в движении, то при t = 0 координата,
характеризующая движение элемента или системы, и ее производные могут
иметь конечные значения. При t < 0 возмущающее воздействие
отсутствует, а при t > 0 имеет конечное значение. Однако даже
ступенчатое возмущающее воздействие не может произойти действительно
мгновенно, так как любое возмущающее воздействие в большинстве
случаев связано с перемещениями материальных деталей и узлов,
имеющих определенную инерционность. Следовательно, ступенчатое
возмущающее воздействие происходит не мгновенно, а за очень малый
интервал времени — е < t < +е, где 8 имеет некоторое
положительное значение.
Рис. 7. Типовые возмущающие воздействия:
\ — мгновенное единичное ступенчатое; б — мгновенный единичный импульс первого рода;
в — мгновенный единичный импульс второго рода; г — линейное; д — гармоническое
30

рис. 8. Дельта-функции:
j _- при К = 1; 2 — при К> /; 3 — при К — <*>
Чтобы реальное ступенчатое
возмущающее воздействие
приблизилось к идеальному
ступенчатому, необходимо к нему предъявить
требование, которое сводится к
условию е-> 0. При выполнении
этого условия момент времени
/ = 0 по существу разбивается на
две части: t = —0 и t = +0. Время
t = —0 характеризует
приближение к t = 0 со стороны отрицательных значений времени, а время
t = +0 — приближение к t = 0 со стороны положительных
значений времени.
Единичное мгновенное ступенчатое возмущающее воздействие
(см. рис. 7, а) представляет собой функцию времени, отличающуюся
ступенчатым (скачкообразным) изменением входной координаты в
момент времени t = 0 и сохраняющую в дальнейшем свое постоянное
значение. Эта категория возмущающих воздействий наиболее полно
характеризует возможные случаи сбросов или набросов нагрузки
на регулируемые объекты. Ее используют и при выявлении влияния
других параметров, характеризующих поведение элементов САР.
Условно мгновенное единичное ступенчатое возмущающее
воздействие записывается в виде
/(0-1(0.
(25)
причем / (t) = 0 при t = —0; /(0 = 1 при t = +0.
Мгновенный единичный импульс первого рода (см. рис. 7, б)
определяется дельта-функцией б (t). Для характеристики такой
функции можно выбрать одну из функций, которые при t = 0 дают
максимум, а при t = ±°° стремятся к нулю. В качестве примера
такой функции может быть f (t) = 8 (t) = 1/[я (1 + t2)]. По
условию воздействия на элемент импульс должен быть единичным,
поэтому
J 6(t)dt= 1,0. (26)
—оо
Следовательно, площадь под кривой / (рис. 8) должна быть равна
единице. Для выбранного примера это выполняется, так как
1 r dt 1 +/W
-утрТ-^-arctg/
-и
!!1=4-2агс'г(+~)=4-2-г=1*
Однако равенство площади единице должно сохраняться и в том
случае, если границы слева и справа от максимума будут сужаться.
31

Пусть масштаб времени увеличится в К раз, тогда применительно
к кривой 2
—с» —оо
т. е. площадь под кривой 2, так же как и площадь под кривой У,
оказывается равной единице.
Однако на масштаб К ограничений не накладывалось, поэтому
дельта-функция может быть определена и при условии, что К -> оо:
f(t) = 6(t) = \imK6l(K(),
где
K8L(Kt) = — 1+/C2,2-
Полученная функция равна нулю при всех / Ф О и имеет бесконечно
большое значение при t = 0. Площадь под кривой этой функции
всегда равна единице. Следовательно, названная дельта-функция
(кривая 3 на рис. 8) соответствует единичному импульсу первого
рода (см. рис. 7, б).
Так как возмущающее воздействие на САР воздействует при / =
= +0, то мгновенный единичный импульс первого рода можно
представить в виде интеграла
оо оо X
[ 6(9df=lim [ /(/; т)Л = Нт[ — dt= 1,0,
о ^Оо *-W Т
где т — абсцисса импульса (см. рис. 7, б).
Если продифференцировать по времени функцию (26), то
«w_^_jya_,.w.
Следовательно, дельта-функция представляет собой производную
по времени единичного ступенчатого возмущающего воздействия.
Сопоставление функциональных зависимостей, приведенных
на рис. 7, а и б, подтверждает этот вывод, если произвести
графическое дифференцирование при условии т-> 0. При этом для
рассматриваемой схемы воздействия Г (f) = 0 при 0 > t > т и Г (t) =
= 1/т при 0 < t < т.
Мгновенный единичный импульс второго рода (см. рис. 7, в) —
это также функция времени длительностью т -> 0. Данная функция
представляет собой первую производную по отношению к
мгновенному единичному импульсу первого рода б (t). Следовательно, по
отношению к единичному мгновенному ступенчатому возмущающему
воздействию эта функция является второй производной. Поэтому
единичный импульс второго рода имеет обозначение
f(t)=\"(t).
Из сказанного выше следует, что Г (t) = 0 при 0 > t > 2т;
1" до = l/T2 при 0 < t < т; 1" (0 = —1/т2 при т < t < 2т.
32

Возмущающие воздействия, изменяющиеся линейно (см. рис. 7, г),
применяются при исследовании весьма редко, а гармоническое
возмущение (см. рис. 7, д) получило наибольшее распространение
при частотных методах исследования элементов и систем
автоматического регулирования и управления.
14. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЭЛЕМЕНТА
Динамические свойства элемента САР характеризуются
дифференциальным уравнением (23) с выходной координатой ф. Входных
координат в общем случае несколько. Среди них — перемещение
регулирующего органа и, для двигателей внутреннего сгорания —
изменение давления наддува рк и др. Совместное воздействие входных
координат на элемент, определяемое уравнением (23), может быть
разделено на воздействие каждой входной координаты в
отдельности. Если ввести обозначения: срк — изменение выходной
координаты вследствие перемещения и органа управления при равенстве
нулю всех остальных входных координат; сра — изменение выходной
координаты вследствие изменения настройки N потребителя; срк —
изменение выходной координаты вследствие изменения давления
наддува и т. д., то в соответствии с принципом суперпозиции
уравнение (23) может быть заменено совокупностью нескольких линейных
дифференциальных уравнений с одной входной координатой каждое:
*я(Р)Ч>* = «**'> ^д(р)фк = ^рк; ^д(/>)фа = -/#х0, (27)
где /Сд, /Сд, Кд — операторы воздействия по соответствующим
входным координатам.
Рассмотрим одно из этих уравнений, например
4д(/>)Ф* = /с£х. (28)
Изменение выходной координаты фк определяется видом входного
возмущающего воздействия и структурой дифференциального
уравнения, описывающего динамические свойства рассматриваемого
элемента САР. Действительно,
**=шх- <29)
Следовательно, при любом законе изменения входной
координаты соотношение между входной координатой и и выходной фн
определяется из формулы (29) передаточной функцией двигателя
внутреннего сгорания по перемещению регулирующего органа в виде
К?(/>) = фн/х = дад(/>). (30)
При неизменной структуре уравнения (28) отношение k%/dA(p)
остается неизменным и, таким образом, определяет закон транс-
Формации входной координаты в выходную при прохождении через
элемент САР. Это отношение называется передаточной функцией
элемента.
В. И. Крутов и др.
33

Yfa
/V
Ул'Р)
Рис. 9. Структурная схема элемента САР (собственно
дизеля):
а — развернутая; б — свернутая
-S&
otff
т
а)
Ш
К*
Передаточная функция представляет
собой отношение оператора воздействия эле-
qr | мента к его собственному оператору.
По аналогии из (27) могут быть получены
передаточные функции и по другим
входным координатам. Так, передаточную
функцию по давлению наддува можно получить
4д(Р) I—*- в виДе отношения
б) по настройке потребителя
У о (Р) = Фа/«о = - K«ld0 (p). (32)
Таким образом, для получения передаточных функций
дифференциальное уравнение элемента, записанное в операторной форме,
достаточно разделить на собственный оператор. Применительно
к уравнению (23) это дает
Ф = У? (р) к + YK0 (р) Рк + 70а (р) а0. (33)
Передаточные функции определяются выражениями (30)—(32).
Каждый член уравнения (33) представляет собой отклонение
выходной координаты вследствие изменения соответствующей
входной координаты так, что
<рк=У?(/>)х; фк = П»Рк; Фв = У?(/>)ао.
в связи с чем уравнению (33) можно придать вид
Ф = Фк + Фк + Фа (34)
или
Ф = У* (р) к + У* (р) Рк + Y* (р) а0. (35)
Следовательно, элемент САР имеет столько передаточных
функций, сколько входных координат содержит его дифференциальное
уравнение.
Запись дифференциального уравнения элемента через
передаточные функции дает возможность построить структурную схему
элемента, отражающую его динамические свойства. Каждая
передаточная функция в структурной схеме изображается
прямоугольником, а входные и выходные координаты — соответствующими
стрелками.
В соответствии с уравнениями (34) или (35) все выходные
координаты элемента суммируются, как это показано на рис. 9, а. В
некоторых случаях для упрощения структурную схему можно
изобразить одним прямоугольником с обозначением собственного
оператора (рис. 9, б). Выходной координатой в этом случае является
результирующее изменение ф под воздействием всех входных
координат.
34

ГЛАВА II
ВИДЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ
1. КОМПЛЕКСНАЯ И ПОЛНАЯ АВТОМАТИЗАЦИЯ
ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ УСТАНОВКИ
Система комплексной автоматизации теплоэнергетической
установки представляет собой совокупность автоматических подсистем
и устройств, выполняющих задачи обслуживания, контроля,
защиты, управления и регулирования работы теплоэнергетической
установки. Каждая из таких подсистем может быть достаточно сложной
и выполнять ряд технологических операций определенного
назначения.
Введение комплексной автоматизации существенно облегчает
задачи обслуживающего персонала и дает значительный
экономический эффект. За обслуживающим персоналом в этом случае
сохраняются функции, связанные с периодической настройкой системы,
определением программы функционирования, периодической
проверкой (контролем) ее работы, а также выполнением
профилактического и текущего ремонта. В связи с этим внедрение комплексной
автоматизации сопровождается сокращением числа
обслуживающего персонала и улучшением технических показателей установки
путем обеспечения ее работы при оптимальных значениях
параметров (температуры, скорости, давления) и исключения
возможности работы в аварийных ситуациях.
Следующей, высшей ступенью автоматизации
теплоэнергетической установки является полная автоматизация. Такая
автоматизация производится на базе ЭВМ и практически полностью исключает
участие обслуживающего персонала из сферы управления
установкой. В полностью автоматизированной установке кроме функций
непосредственного управления вырабатывается оптимальная
программа управления в зависимости от конкретных внешних
возмущающих воздействий и цели управления, осуществляется
периодический контроль работы не только объекта управления, но и
вспомогательных устройств.
Таким образом, полная автоматизация работы установок
является высшей формой автоматизации всей совокупности
технологических операций, обеспечивающей оптимизацию экономических
и технических показателей.
Выбор степени автоматизации теплоэнергетической установки
определяется каждый раз экономической целесообразностью
создания системы управления. При этом должны учитываться
первоначальные материальные затраты на создание автоматизированной
Установки по сравнению с неавтоматизированной, срок
эксплуатации, который у автоматизированной установки, как правило, больше,
эксплуатационные расходы и цели, выполняемые объектом
управления, которые иногда оправдывают значительные затраты средств
и времени на создание автоматизированной установки.

2. АВТОМАТИЗАЦИЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ И КОНТРОЛЯ
Система автоматизации обслуживания и контроля включает ряд
подсистем, выполняющих задачи автоматизации пускоостановочных
операций, контроля и защиты, а также обслуживания
вспомогательных агрегатов. Создание каждой подсистемы сопровождается
глубоким изучением и последующей разработкой целесообразного ряда
последовательных технологических операций, конечной целью
которых является выполнение заданной эксплуатационной задачи.
Например, система автоматизации пускоостановочных операций
включает несколько подсистем, среди которых — подсистема
автоматизации предпусковых операций, автоматизации пусковых
операций, автоматизации остановочных операций и автоматизации
послеостановочных операций [2].
При пуске и останове теплоэнергетической установки
необходимо обеспечить выполнение в определенной последовательности
ряда операций с участием большого числа агрегатов. Например, при
пуске газотурбинной установки (особенно многовальной с
подшипниками скольжения) необходимо закачать масло в смазочную систему
и систему регулирования, т. е. включить масляные насосы, пустить
пусковой двигатель, начать раскрутку одного из валов основной
машины, включить подачу пускового топлива и запальное
устройство и т. д. Все эти операции должны осуществляться в строгой
последовательности, через определенные промежутки времени или при
достижении определенных значений тех или иных параметров. При
останове объекта также необходимо выполнить большое число
операций с введением в действие многих агрегатов.
Все эти операции могут быть автоматизированы с помощью
автоматической системы пуска и останова объекта.
Комплексная система автоматизации включает систему контроля
и защиты, которая состоит из подсистем аварийной и
предупредительной сигнализации и системы централизованного дистанционного
контроля. Эта система ограничивает возможность превышения
определенных граничных (максимальных или минимальных) значений
параметров. При приближении к таким границам срабатывает
система предупредительной сигнализации, обращающая внимание
обслуживающего персонала на опасные изменения в режимах
работы. Если меры не приняты и приближение к границам
продолжается, включается аварийная сигнализация и система защиты.
Например, в двигателях внутреннего сгорания, в паровых и газовых
турбинах нельзя допускать превышения частоты вращения выше
определенного предела по условиям прочности двигающихся деталей.
В этом случае применяют систему автоматической защиты по частоте
вращения ротора. Газотурбинный двигатель необходимо оградить
от чрезмерного повышения температуры газов, от помпажных
режимов, от потухания факела в камере сгорания и т. п.
Как правило, защиту объекта -от аварийных режимов работы
выполняют с помощью fастатических автоматических устройств,
настроенных на предельно допустимое значение того или иного пара-
36

(Г". —ll
Ц—J
u
1
I
1
Рис. 10. Автомат безопасности
метра, по которому осуществляется защита. Так, на валу турбин,
некоторых мощных дизелей устанавливают автомат безопасности
по частоте вращения (рис. 10). При Q < Йдоп пружина /
преодолевает центробежную силу подковообразного груза 2 и удерживает
его в крайнем внутреннем положении. При достижении допустимого
значения частоты вращения £1ДОп центробежная сила становится
больше усилия пружины, пружина деформируется, груз отходит
и выключает подачу топлива.
Система автоматизации обслуживания вспомогательных
агрегатов включает подсистемы пополнения резервуаров с топливом,
маслом, подзарядки баллонов со сжатым воздухом, подогрева,
фильтрации, охлаждения и т. п.
Все операции, выполняемые системой автоматизации
обслуживания и защиты, подчиняются определенным алгоритмам,
обеспечивающим последовательность дискретных операций, временные
интервалы между ними, контроль реализации и, если необходимо,
повторение тех или иных операций.
3. АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ
В процессе эксплуатации объекта требуется изменять режим
его работы в зависимости от изменения внешних условий (условий
полета, нагрузки, профиля пути и т. п.). Кроме того, во многих
случаях объект находится на достаточном удалении от оператора,
который должен следить за работой объекта и управлять им. Эту
задачу решает система автоматического^управления объектом.
Элементы, используемые в системе управления, соединяют так,
чтобы они образовали цепь последовательного взаимодействия.
В состав таких элементов системы управления могут входить
задающее устройство, чувствительный элемент, измеряющий
рассогласование, ряд промежуточных устройств, среди которых могут быть
и усилительные элементы и др. Система управления, таким образом,
предназначена для воспроизведения на выходе цепи значения ко-
°Рдинаты (например, Йвых на рис. 11), задаваемой задающим
устройством на входе.
Во многих случаях цепь управления может включать замкнутые
Контуры с обратными связями, как это показано на рис. 11.
Обратит

Задающее
{устройство]
Я*
8к
Ъ
Чувствительный^
элепент
дых
Промежуточные
устройства
Обратная
связь
У
—>-
Объект
управления
Явых
«ь
Рис. И. Функциональная схема САР
ная связь обеспечивает повышение точности работы системы и ее
устойчивости. Физическая природа координаты, подаваемой
обратной связью на вход чувствительного элемента, в системах
управления должна совпадать с физической природой координаты,
вырабатываемой задающим устройством. Так, в функциональной схеме
системы управления скоростными режимами двигателя в качестве
задающего устройства может быть выбран электродвигатель, а
чувствительный элемент при наличии обратной связи должен замерять
рассогласование QEX—QBbIX и вырабатывать сигнал, направленный
на уменьшение этого рассогласования.
В некоторых случаях система управления может решать задачи,
близкие к задачам, выполняемым системой регулирования.
Например, температура Т в помещении (рис. 12) может меняться в
зависимости от нескольких возмущающих воздействий: /х — открытие
окна; /2 — изменение температуры наружного воздуха и /3 —
изменение расхода горячей воды через радиатор (регулирующее
воздействие). Таким образом, в рассматриваемом случае на объект
действуют два возмущающих воздействия fx и /2 и одно регулирующее /я.
Автомат управления может иметь чувствительный элемент,
измеряющий температуру наружного воздуха. При изменении
температуры наружного воздуха автомат меняет подачу горячей воды в
радиатор и тем самым способствует сохранению температуры в
помещении.
Однако возмущающее воздействие Д — открытие или закрытие
окна — не учитывается этой системой, поэтому оно беспрепятственно
может изменить температуру в помещении. Следовательно,
система управления компенсирует только те возмущающие воздействия,
которые измеряются управляющим устройством. В
противоположность этому автоматический регулятор реагирует на отклонение
регулируемой координаты, вызванное всеми возмущающими
воздействиями.
Нередко система автоматического управления
теплоэнергетической установки усложняется удалением поста управления от объекта
управления. В этом случае в
систему управления включаются эле-
У////////////////Х
У/////шу///Ш
Управляющее
устройство
-PkJ- Рис. 12. Схема управления температурой
в помещении
38

менты дистанционной связи, а сама система управления называется
дистанционной автоматической системой управления. В качестве
рабочих тел элементов связи наиболее часто используют те, которые
уже имеются на установке. Например, при наличии сжатого воздуха
целесообразно использовать систему пневматической связи, при
наличии тока — систему электрической связи. Механическую связь
используют только при небольшой ее протяженности, а
гидравлическая связь требует качественной герметизации.
4. ВИДЫ САР
САР выполняют задания, определяемые задающими элементами.
На основании воздействий задающего и чувствительного элементов
автоматический регулятор вырабатывает регулирующее воздействие,
которое через исполнительный элемент и регулирующий орган
действует на регулируемый объект.
При работе САР чувствительный элемент непрерывно измеряет
регулируемую координату. Регулирующее воздействие
исполнительного механизма может быть непрерывным или прерывистым.
В зависимости от характера регулирующего воздействия на
регулируемый объект или в зависимости от конструкции
автоматического регулятора САР можно подразделить на несколько основных
типов.
САР непрерывного действия
САР непрерывного действия называются такие, регуляторы
которых вырабатывают регулирующее воздействие непрерывно в
процессе работы. Характерная особенность таких систем заключается
в том, что регулирующее воздействие на объект существует по-
Аг,
1
А*,
1
[ / \
\
t
ч
Рис. 13. Отклонения регулируемых"параметров и
регулирующих воздействий автоматических
регуляторов с различными принципами работы*
а — регулятора непрерывного действия; б — регулятора
импульсного, или прерывистого действия; в — релейного
регулятора; г "- позиционного регулятора
39

Рис. 14. Автоматический регулятор
давления газа непрерывного
действия
стоянно при наличии
отклонения регулируемой координаты
от ее заданного значения. На
рис. 13, а представлены
графики отклонения Дл:
регулируемой координаты от ее заданного
значения х0 и регулирующего
воздействия Дг,
вырабатываемого регулятором непрерывного
действия.
Рассмотрим работу
автоматического регулятора давления
газа непрерывного действия
(рис. 14). Регулятор состоит из
чувствительного элемента в
виде диафрагмы 5 и пружин 5,
6 и органа управления в виде
клапана /. При увеличении давления газа, воспринимаемого по
трубке 4, диафрагма 5 прогнется и, деформируя пружины Зяб,
через шток 2 увеличит проходное сечение газового канала,
перекрываемого клапаном /. Это приведет к увеличению оттока газа из
ресивера и восстановлению нарушенного значения давления
(регулируемой координаты).
САР придет в состояние равновесия только в том случае, если
давление р газа восстановит свое значение (при той же нагрузке).
Таким образом, существует рассогласование Д/? заданного значения
давления и его текущего значения, система непрерывного
регулирования будет работать, вырабатывая регулирующее воздействие.
Такие системы наиболее часто используют для автоматического
регулирования различных параметров теплоэнергетических
установок, поэтому далее изучению их статических и динамических свойств
будет уделено основное внимание.
САР импульсного действия
Импульсными, или прерывистыми, системами автоматического
регулирования называются такие, регуляторы которых при
непрерывном измерении регулируемой координаты вырабатывают
регулирующее воздействие в виде импульсов продолжительностью т через
равные интервалы времени t (см. рис. 13, б). Амплитуда этих
импульсов может быть либо пропорциональна отклонению, либо
постоянная. Эти регуляторы при непрерывном измерении отклонения
регулируемой координаты передвигают регулирующий орган машины
с перерывами во времени.
Схема импульсного регулирования давления (рис. 15) отличается
от непрерывного регулятора (см. рис. 14) тем, что на входе в испол-

Рис. 15. Импульсная САР давления
нительный механизм 4 поставлен
прерыватель тока. Прерыватель
представляет собой двуплечий
потенциометр 5, вдоль которого
перемещается стрелка 5, связанная с
диафрагмой чувствительного
элемента 2. Таким образом,
положение стрелки определяется
значением давления — регулируемого
параметра объекта 1. Стрелка 5
не соприкасается с
потенциометром 5, поэтому электрическая цепь,
связанная с исполнительным механизмом 4, разорвана. Однако на
стрелку 5 периодически нажимает падающая дужка 6 под действием
равномерно вращающегося эксцентрика 7. Это приводит к
периодическому замыканию электрической цепи через каждые tc при
продолжительности импульса т (см. рис. 13, б). Орган управления
регулируемого объекта 1 воспринимает сигналы исполнительного
механизма 4 и воздействует на регулируемый объект в направлении
восстановления заданного значения регулируемой координаты.
Системы импульсного регулирования имеют некоторые
преимущества перед системами непрерывного регулирования, так как
падающая дужка допускает применение в конструкции регулятора обычных
стрелочных приборов без ухудшения точности, что обусловлено
фиксацией стрелки дужкой с некоторым сдвигом времени после
замера регулируемой координаты. Кроме того, прерывистое
регулирование дает возможность подключать к одному и тому же прибору
несколько последовательно действующих чувствительных
элементов и исполнительных механизмов, что обеспечивает компактность
сложной системы автоматического регулирования.
Релейные САР
Релейными называются такие САР, у которых регулирующее
воздействие по абсолютному значению остается постоянным или
обращается в нуль, а его направление всегда противоположно знаку
отклонения регулируемой координаты.
График регулирующего воздействия для поляризованного реле
с зоной нечувствительности ±г приведен на рис. 13, в. Как только
отклонение Ах регулируемой координаты х перейдет предел +8,
на объект подается регулирующее воздействие, постоянное по
абсолютному значению, но имеющее знак, противоположный
отклонению. Регулирующее воздействие сохраняется до тех пор, пока
отклонение не уменьшится до значения +е, после чего реле отключается
и регулирующее воздействие оказывается равным нулю.
Регулирующее воздействие появится вновь при достижении отклонения — е.
Затем процесс повторяется.
41

'//////Л
Рис. 16. Релейная система автоматического регулирования
частоты вращения
Релейный регулятор частоты вращения
(рис. 16) отличается от регулятора
непрерывного действия (см. рис. 14) наличием
электрической связи между клапаном 6 и
центробежным чувствительным элементом 4. При
увеличении частоты вращения замыкаются верхние
контакты 5, ток проходит по электромагниту /,
который притягивает якорь 2, клапан 6
поднимается вверх, уменьшая доступ рабочего
тела в двигатель. Клапан 6 будет занимать
верхнее положение до тех пор, пока не отключается верхние
контакты. При отключении контактов пружина вернет якорь в
исходное положение. При уменьшении частоты вращения процесс
повторится в обратном направлении (ток проходит по электромагниту 3).
К группе релейных САР следует отнести также позиционные.
График изменения регулирующего воздействия при включении САР
показан на рис. 13, г.
Системы экстремального регулирования
Характеристики регулируемых объектов могут иметь минимум
или максимум. Так, внешняя скоростная характеристика дизеля
имеет максимум крутящего момента, а нагрузочная характеристика —
минимум удельного расхода топлива. Поэтому возникает задача
создания таких САР, которые могли бы сами (автоматически)
отыскивать экстремум характеристики и поддерживать работу
регулируемого объекта в режиме экстремума. Такие САР называются
эстремальными и в настоящее время получают все большее
распространение.
Существует несколько способов создания экстремальных
регуляторов. Функциональная схема одного из таких регуляторов
показана на рис. 17. В таких системах объект обычно воздействует на
чувствительный элемент, который вырабатывает сигнал,
пропорциональный значению регулируемой координаты. Это значение с
помощью сравнивающего устройства сопоставляется со значением
регулируемой координаты, зафиксированным в предыдущем замере
в запоминающем устройстве. Если новое значение регулируемой
Регулируемый
объект
—*»
Исполнительный 1
механизм \
i
\
1 Чувствительный
1 элемент
—>■
Запоминающее
устройство
'
'
Сравнивающее
устройство
■ ■■ <
и. .
Рис. 17. Функциональная схема системы экстремального регулирования
42

координаты оказывается меньше (или больше) предыдущего, то на
исполнительный механизм подается соответствующий сигнал, в
результате которого регулируемый объект воспринимает сигнал
управления. Таким образом система экстремального регулирования
автоматически отыскивает экстремум функций и поддерживает режим
работы объекта, соответствующий этому экстремуму.
Такие системы более сложны, чем системы непрерывного
действия, однако имеют ряд преимуществ, связанных с возможностью
оптимизации работы регулируемого объекта [II.
Статические и астатические САР
САР можно подразделить на статические и астатические. Все
САР поддерживают значение регулируемой координаты в
установившихся режимах в пределах допустимых отклонений независимо от
внешних возмущающих воздействий. Изменение режима работы
(смена равновесного состояния) приводит к установлению некоторого
нового значения х регулируемой координаты, причем
х = х0 + Ах,
где х0 — заданное значение регулируемой координаты; Ал: —
отклонение регулируемой координаты от заданного значения в пределах
зоны регулирования при новом установившемся состоянии, или
абсолютная статическая^ошибка.
Существуют и такие регуляторы, которые во всех возможных
установившихся режимах объекта поддерживают только одно
заданное значение регулируемой координаты х0. В таких системах
регулирования статическая ,ошибка отсутствует (А* = 0).
Если статическая ошибка Ал: = 0 во всей зоне регулирования, то
такие САР (и регуляторы) называются астатическими, если Ал: Ф 0,
то статическими. Следовательно, астатическими называются такие
САР, которые при различных значениях внешнего воздействия на
объект (например, при различных нагрузках) обеспечивают всегда
одно и то же (заданное) значение регулируемой координаты.
Рассмотрим астатический
регулятор частоты вращения
(рис. 18, а). Равновесное
положение этой системы
возможно только в том случае,
если каналы 5, 6 золотника 2,
связывающие полости
цилиндра с напорной 8 и
сливной 7 магистралями,
перекрыты. Это возможно только
Рис. 18. Астатическое
регулирование частоты вращения:
а ~- схема автоматического регулятора;
0 — регуляторная характеристика
43

a) 6)
Рис. 19. Статическое регулирование расхода газа:
а—схема статического регулятора расхода газа; б—регуля-
торная характерестика
при постоянстве частоты вращения грузов 1 чувствительного
элемента. Положение штока 5, определяющего пропуск рабочего тела
в двигатель, а следовательно, и положение поршня 4 зависят от
нагрузки на двигатель.
Рассмотренный пример позволяет сформулировать основные
свойства, характеризующие системы астатического регулирования:
равновесие системы регулирования с астатическим регулятором
возможно только при единственном значении регулируемой координаты,
равном заданному; регулирующий орган объекта в астатической
системе регулирования должен занимать различные положения при
одном и том же значении регулируемой координаты.
Характеристика астатического регулятора (рис. 18, б)
показывает зависимость положения регулирующего органа от
регулируемой координаты.
Статическими САР называются такие, у которых регулируемая
координата при различных, но определенных внешних воздействиях
на объект принимает по окончании процесса регулирования
различные значения, зависящие от внешнего воздействия.
Рассмотрим статическое регулирование расхода газа.
Автоматический регулятор расхода (рис. 19, а) состоит из чувствительного
элемента расхода с диафрагмой 5, воспринимающей перепад
давлений по обе стороны от дросселирующего сечения 4. При увеличении
расхода газа диафрагма 3 прогибается вверх и поворачивает
струйную трубку 2 против часовой стрелки. По струйной трубке подается
под напором масло. При отклонении трубки в указанном
направлении в верхней полости серводвигателя над поршнем 6 давление
повышается, а в нижней — понижается, в связи с чем поршень 6 и
шток 7 перемещаются вниз, поворачивая дроссельную заслонку 5
в сторону перекрытия. Одновременно рычаг 8 обратной связи
поворачивается по часовой стрелке относительно точки Л, поршень 1
обратной связи опускается, в связи с чем струйная трубка 2
возвращается в исходное (среднее) положение, и процесс регулирования
на этом может прекратиться.
44

Рычаг 8 обеспечивает образование статической регуляторной
характеристики (рис. 19, б). Действьтельно, при различных
положениях дроссельной заслонки 5 точка С рычага 8 занимает также
различные положения от утах до 0. В соответствии с положениями
точки С разные положения занимает и точка В, т. е. поршень 1
обратной связи. Так как в установившемся режиме струйная трубка 2
должна занимать всегда одно и то же (среднее) положение, то
диафрагма 3 должна занимать различные положения, соответствующие
положениям точки В, что возможно только при различных расходах
газа, изменяющихся в пределах от Gmln до Gmax. Это и обеспечивает
образование статической характеристики у = f (G), имеющей
определенную статическую ошибку AG при изменении нагрузки.
На основании этого примера можно сформулировать основные
свойства, характеризующие статическое регулирование: равновесие
системы регулирования со статическим регулятором возможно при
различных значениях регулируемой координаты; каждому
значению регулируемой координаты соответствует единственное и вполне
определенное положение регулирующего органа.
Как уже отмечалось, разность между каким-либо установившимся
значением регулируемой координаты и его заданным значением
называется абсолютной статической ошибкой. Применительно к
регулятору, изображенному на рис. 19, а, абсолютная статическая ошибка
определяется разностью AG = G — G0 (см. рис. 19, б).
Отношение абсолютной статической ошибки к заданному
значению регулируемой координаты
AG/Go = (G - G0)/G0
называют относительной статической ошибкой.
Относительную ширину зоны регулирования (Gmax — Gmin)/Gcp
часто называют максимальной относительной статической ошибкой
или степенью неравномерности:
6 = (Gmax — Gmln)/Gcp.
Здесь вместо заданного значения регулируемой координаты G0
использовано его среднее значение
GCp = (Gmax + Gmm)/2.
Системы программного регулирования
В ряде случаев заданное значение регулируемой координаты
необходимо изменять по определенному закону. Регуляторы, у которых
задающее воздействие (заданное значение регулируемой координаты)
меняется по определенному наперед закону, называются
программными регуляторами. Подобные регуляторы встречаются при ре-
гУлировании мощности, давления, температуры и других
параметров теплоэнергетических установок.
45

САР прямого и непрямого действия
Все САР можно разделить на две большие группы: системы
прямого и непрямого действия.
Такие названия системам автоматического регулирования дают
в зависимости от типа регулятора, включенного в их структуру.
В регуляторах прямого действия перестановка регулирующего
органа объекта регулирования осуществляется за счет энергии
самого чувствительного элемента. Регулятор прямого действия,
изображенный на рис. 1, предназначен для поддержания постоянства
уровня в резервуаре. При отклонении уровня Н от заданного
значения перемещается поплавок 6, в связи с чем изменяется
положение клапана 1 и, следовательно, подача жидкости в резервуар.
В рассмотренном примере чувствительный элемент в виде
поплавка непосредственно управляет регулирующим
органом—клапаном 1.
По мере роста параметров рабочего тела (увеличения давления,
расхода, скорости и т. п.), поступающего в машину, и повышения
требований к точности регулирования усилия, вырабатываемые
чувствительным элементом, оказываются недостаточными для
непосредственного управления регулирующим органом. Поэтому
возникла необходимость в усилении сигнала, вырабатываемого
чувствительным элементом, с помощью специальных усилительных
элементов, получающих дополнительную энергию. Таким образом,
появились регуляторы с усилителями, которые называются
регуляторами непрямого действия (см. рис. 18 и 19).
Однако включение в схему регулятора усилительного элемента
в виде гидравлического серводвигателя (см. рис. 18) делает
регулятор астатическим, который не способен работать устойчиво.
Действительно, малейшее отклонение золотника 2 от своего среднего
положения (если масляные каналы 6 и 5 перекрыты) приводит к
неограниченному перемещению поршня 4 и штока 3 и, следовательно, органа
управления регулируемым объектом.
Для стабилизации режимов работы САР с регуляторами
непрямого действия в схему связи серводвигателя с чувствительным
элементом включаются обратные связи. Все обратные связи
подразделяются на жесткие (кинематические или силовые), изодромные
(кинематические или силовые) и комбинированные.
Так, регулятор расхода газа непрямого действия, изображенный
на рис. 19, а, имеет жесткую силовую обратную связь в виде рычага S,
возвращающего струйную трубку 2 в исходное положение при
новом положении поршня 6. Эта жесткая обратная связь является
силовой, так как воздействие на струйную трубку осуществляется
пружиной, опирающейся на поршень 1.
Более сложной является двухкаскадная схема регулятора
частоты вращения непрямого действия с двумя серводвигателями,
оборудованными жесткими обратными связями (рис. 20). В этом
регуляторе при увеличении частоты вращения грузов 4
чувствительного элемента поднимается небольшой золотник 5, в связи с чем пор-
46

шень 6 серводвигателя перемещается вниз. Этот серводвигатель
оборудован жесткой силовой обратго"! связью, включающей шток 3
и рычаг /. При перемещении п шшня 6 вниз увеличивается
предварительная деформация пружины 2 и золотник 5 возвращается в
исходное (среднее) положение. Масляные каналы верхнего серводвигателя
окажутся в этом случае перекрытыми, и поршень 6 остановится в
новом положении, соответствующем новому значению регулируемого
параметра. Серводвигатель второго каскада усиления оборудован
жесткой кинематической обратной связью в виде рычага 7, который
под действием поршня 6 повернется около точки В и поднимет
золотник 8. Масло высокого давления поступит в полость над поршнем 9,
в связи с чем он, перемещаясь вниз, прикроет паровой клапан 10
и уменьшит подачу пара к паровой турбине по каналу //.
Регуляторы непрямого действия с жесткой обратной связью
относятся к числу статических и обладают статической
характеристикой (см. рис. 19, б).
Регуляторы непрямого действия с астатической характеристикой,
как правило, не могут поддерживать заданный режим работы
регулируемого объекта. Эти системы в большинстве случаев оказываются
неустойчивыми.
Тем не менее в технике часто встречаются случаи, когда в
процессе эксплуатации машин значение той или иной регулируемой
координаты во всех режимах работы необходимо выдерживать
постоянным. Такая задача в автоматическом регулировании решается
применением регуляторов непрямого действия с изодромной обратной
связью.
Схема автоматического регулятора
расхода с изодромной обратной связью,
называемого обычно изодромным
регулятором (рис. 21), работает следующим
образом.
При изменении расхода газа в
патрубке 2 равновесный режим работы
системы нарушается, что приводит к
изменению перепада давлений в
полостях чувствительного элемента 1.
Мембрана прогибается и смещает золотник 3
из среднего положения. Масло высокого
давления поступает в одну из полостей
серводвигателя 5, поршень которого
перемещается в сторону полости с
меньшим давлением. Движение поршня
ч^рез рычаг 9 приводит к повороту
Дроссельной заслонки 10 в сторону
восстановления нарушенного значения рас-
рис. 20. Автоматический регулятор непрямого
Действия частоты вращения турбины с двухкас-
кадным усилением
47

Рис. 21. Система изодромного
регулирования
хода газа. Однако вместе с
поршнем серводвигателя перемещается
поршень 7 обратной связи,
который в зависимости от
направления движения создает в полости
над поршнем 6 изодрома
избыточное давление или разрежение,
которые не могут исчезнуть сразу,
так как регулировочный винт 8
дросселирует переток масла.
Изменившееся давление
создает усилие, которое деформирует
пружину 11 изодрома и
перемещает буксу 4 в сторону движения
золотника до перекрытия поршеньками золотника масляных каналов
серводвигателя. Движение поршня серводвигателя прекратится,
однако пружина 11 будет постепенно смещать буксу 4 вследствие
перетекания масла через задросселированное винтом 8 отверстие.
Это приведет к возобновлению процесса регулирования, который
прекратится лишь в том случае, если в новом равновесном режиме
пружина И окажется ненагруженной, что произойдет, если только
букса 4 займет исходное положение. Но при исходном положении
буксы 4 в равновесном режиме исходное положение должен занять
и золотник 3 (только в этом случае масляные каналы серводвигателя
окажутся перекрытыми).
Золотник 3, жестко связанный с мембраной чувствительного
элемента, может занять исходное (прежнее) положение только
при исходном значении перепада давления и, следовательно, при
исходном значении расхода рабочего тела. Переходный процесс
заканчивается лишь после восстановления прежнего значения расхода
газа, изменившегося при возмущении в патрубке 2.
Таким образом, при любых возмущениях, воспринимаемых
регулируемым объектом, во всех возможных режимах работы системы
значение регулируемой координаты (в данном случае расхода газа)
поддерживается постоянным.
Статическая характеристика таких регуляторов изображается
вертикальной прямой (см. рис. 18, б) (неравномерность равна
нулю).
В технике встречаются случаи, когда к САР потребитель
предъявляет требование достаточно точного поддержания значения
регулируемой координаты при всех возможных режимах работы и
одновременно наличия определенного небольшого статизма.
. Так как регуляторы прямого действия или непрямого действия
с жесткой обратной связью не могут обеспечить в этих условиях
достаточно устойчивую работу, а изодромный регулятор не имеет
48

M,hmi
В
J5?
i
*"
вляс
Рис. 22. Система регулирования
непрямого действия с комбинированной
обратной связью:
а — конструктивная схема; / —
чувствительный элемент частоты вращения; 2 —
рычаг обратной связи; 3 — золотник;
4 — рычаг; 5 — пружина изодрома; 6 —
изодром; 7 — серводвигатель; 8 —
регулируемый объект; 9 — рейка топливного
насоса (регулируемый орган объекта);б —•
регуляторная характеристика при
комбинированной обратной связи
статизма, приходится использовать регуляторы непрямого действия
с комбинированной обратной связью.
Такие регуляторы часто называются изодромными с остаточной
неравномерностью (отличной от нуля). Схема такого регулятора
применительно к регулированию частоты вращения вала двигателя
показана на рис. 22, а.
Введение рычага 4 в схему регулятора обеспечивает регуляторной
характеристике статизм, не нарушая устойчивой работы системы
регулирования (рис. 22, б). Выбором соотношения плеч рычага 4
можно устанавливать желаемую неравномерность работы AQ.
Такая комбинированная обратная связь используется в системах
регулирования угловой скорости дизель-генераторов переменного
тока при работе нескольких дизель-генераторов на одного
потребителя, т. е. при параллельной работе двигателей. В этом случае при
наличии статизма регуляторной характеристики обеспечивается
определенное распределение нагрузки между дизель-генераторами,
а наличие изодромной обратной связи способствует увеличению
точности поддержания заданного значения регулируемого параметра
(уменьшению неравномерности) без нарушения устойчивости работы
систем.
Автоматические регуляторы непрямого действия обеспечивают
возможность автоматического регулирования при значительных
Усилиях, необходимых для перемещения органов управления
объектами, и позволяют повысить точность поддержания заданного
значения регулируемой величины, недоступную для регуляторов прямого
Действия.
49

ГЛАВА III
РЕГУЛИРУЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Регулируемым объектом называется элемент САР, в котором
происходят процессы, подлежащие регулированию.
В качестве регулируемых объектов будем рассматривать
теплоэнергетические установки, вырабатывающие соответствующего вида
энергию, характеризуемую определенными параметрами. Например,
при выработке электрической энергии в большинстве случаев
необходимо обеспечить постоянство напряжения и частоты переменного
тока. Если генератор связан с двигателем внутреннего сгорания
или турбиной, то частота тока определяется частотой вращения
коленчатого вала двигателя или ротора турбины. По своим
свойствам как двигатель, так и турбина в процессе работы могут
поддерживать постоянство частоты вращения только при условии установки
на них соответствующего автоматического регулятора. В связи с этим
двигатель или турбина оказываются регулируемым объектом, а
частота вращения — регулируемой координатой. Если в
производственном процессе используется сжатый газ, то регулируемым объектом
может быть ресивер, содержащий этот газ, а регулируемой
координатой — давление или расход этого газа. Работа многих
регулируемых объектов требует поддержания заданного значения температуры.
Это котельные агрегаты, камеры сгорания, холодильные камеры,
термические печи и др. Обеспечение постоянства температуры
достигается воздействием на процесс теплообмена.
Требование максимальной экономичности работы регулируемых
объектов обусловливает необходимость поддержания на заданных
уровнях не только показателей вырабатываемой энергии, но и тех
параметров, которые определяют экономичность и в целом качество
работы объекта. Так, наряду с регулированием частоты вращения
вала двигателя внутреннего сгорания необходимо регулировать
температуру охлаждающей жидкости или воздуха, температуру
наддувочного воздуха, угол опережения впрыска топлива или угол
опережения зажигания и т. п. В этих случаях двигатель внутреннего
сгорания становится регулируемым объектом не только по частоте
вращения, но и по температуре, углу опережения впрыска и другим
параметрам.
Таким образом, один и тот же объект можно регулировать по
нескольким координатам, в результате чего регулирование
становится многоконтурным.
Несмотря на многообразие регулируемых объектов, все они
обладают одним существенным общим признаком — являются
аккумуляторами энергии. Так, поршневая часть двигателя внутреннего
сгорания, роторная часть газотурбинной установки, турбонасосный
50

агрегат жидкостного ракетного двигателя аккумулируют
механическую энергию, камеры сгорания и теплообменники — теплоту,
различного рода ресиверы, газовые и воздушные тракты — энергию
сжатого газа, резервуары — потенциальную энергию, заключенную
в массе жидкости, и т. д.
В зависимости от типа аккумулируемой энергии объекты имеют
свои характерные регулируемые координаты. Эту особенность
объектов обычно и используют для их классификации. В соответствии
с этим признаком теплоэнергетические установки подразделяют на:
объекты, аккумулирующие механическую энергию с
регулируемой координатой в виде частоты вращения ротора;
объекты, аккумулирующие тепловую энергию с регулируемой
координатой в виде температуры;
объекты, аккумулирующие энергию сжатого газа с регулируемой
координатой в виде давления;
объекты, аккумулирующие потенциальную энергию жидкости
с регулируемой координатой в виде уровня жидкости и др.
Динамические свойства регулируемого объекта, как и любого
другого элемента САР, характеризуются дифференциальным
уравнением. В простейшем случае, если среди элементов объекта лишь
один способен аккумулировать энергию, дифференциальное
уравнение оказывается уравнением первого порядка. Если в системе объекта
два элемента аккумулируют энергию, то результирующее
дифференциальное уравнение получает второй порядок, при трех
аккумулирующих элементах — третий порядок и т. д.
Этим признаком иногда удобно пользоваться при классификации
элементов, называя элементами первого порядка все те, динамические
свойства которых характеризуются дифференциальными уравнениями
первого порядка. Если дифференциальное уравнение второго
порядка, то и элемент второго порядка и т. д.
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СХЕМЫ РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Большинство теплоэнергетических установок представляют
собой сложные машины, состоящие из ряда элементов, выполняющих
различные функции. Элементы взаимодействуют между собой в
процессе работы, чи в каждом из них протекают механические,
тепловые, газодинамические или гидравлические процессы.
Для изучения особенностей теплоэнергетических установок в
качестве регулируемых объектов целесообразно воспользоваться
методами теории автоматического регулирования, в соответствии с
которыми каждая исследуемая сложная система рассматривается в виде
совокупности простейших взаимодействующих элементов,
обладающих определенными статическими и динамическими свойствами.
Такое разделение объекта на элементы обеспечивает возможность
выявления характерных особенностей этих элементов и
взаимосвязи между ними в процессе работы. Последнее наиболее наглядно
выявляется с помощью функциональных схем.
В процессе работы, например, газотурбинного двигателя
(рис. 23, а) воздух из атмосферы после сжатия в компрессоре 1
51

Рис. 23. Газотурбинный двигатель:
а — общий вид; б — функциональная схема
У
тв\
h
i
2
3
тн
■ тг
J
5
Ящ
Ж
\*Ят
6
а)
6)

попадает через газовоздушный тракт в камеру 2, в которой
образуется смесь с топливом, подаваемым в камеру сгорания 3
форсунками 4. В результате сгорания топливовоздушной смеси происходит
превращение химической энергии топлива в тепловую энергию
рабочего тела — газов. Газы направляются к турбине 5, в которой
осуществляется переход тепловой энергии в механическую,
используемую на привод компрессора 1 и внешнего потребителя 6 (рис. 23, б).
Таким образом, элементом газотурбинного двигателя является
камера сгорания 3 (см. рис. 23, б). Входными координатами камеры
сгорания служат подача воздуха тв из газовоздушного тракта и
подача топлива, определяемая положением h органа управления;
ее выходной координатой является подача газа тг к турбине.
Следовательно, тг — также входная координата турбины 5. Выходной
координатой турбины и входной координатой компрессора 1 является
частота вращения QT ротора. Компрессор 1 подает воздух в
количестве тк5 (выходная координата компрессора) в газовоздушный тракт.
Совокупность функциональных схем элементов составляет
функциональную схему газотурбинного двигателя в целом (рис. 23, б).
Другим примером регулируемого объекта, состоящего из
нескольких элементов, может служить дизель с автономным газотурбинным
наддувом (рис. 24, а). Основой служит его шатунно-поршневая
часть — собственно двигатель 4, который связан входной
координатой тд (подача воздуха) с впускным коллектором 3 и he органом
управления 7 подачей топлива. Выходная координата Q (частота
вращения коленчатого вала) связывает собственно двигатель с
потребителем 5, а потоки отработавшего газа тТ — собственно двигатель
с выпускным коллектором 6. Газовая турбина 1 под действием
потока газа тт вращает компрессор 2 с частотой йт, в результате чего
во впускной коллектор 3 подается сжатый воздух в количестве тк.
Совокупность перечисленных элементов дает функциональную схему
дизеля с наддувом в целом (рис. 24, б).
Статические и динамические свойства таких сложных
регулируемых объектов определяются аналогичными свойствами всех
элементов, входящих в функциональную схему объекта. В связи с этим
при изучении четатических и динамических свойств сложных
объектов должны быть предварительно выявлены свойства каждого
элемента, входящего в функциональную схему.
Рис. 24. Дизель с газотурбинным наддувом:
а *— конструктивная схема; б — функциональная схема
53

Рис. 25. Схемы ресивера с газом:
а — конструктивная; б — функциональная
Иногда регулируемый объект
7 может быть представлен одним
элементом функциональной схемы,
например, ресивер с газом, часто
используемый в
теплоэнергетических установках (рис. 25, а).
Регулируемой координатой такого
ресивера во многих случаях
является давление р газа (выходная
координата), поддерживаемое в
заданных пределах путем воздействия органа управления (входная
координата) на положение h в условиях изменяющейся нагрузки N
(расхода газа через патрубок У) и в некоторых случаях давления на
входе рп (рис. 26, б).
Аналогичной функциональной схемой с одним элементом может
быть представлен такой регулируемый объект, как резервуар с
жидкостью, и др.
3. НЕОБХОДИМОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
Как уже отмечалось, в большинстве случаев задачей
автоматического регулирования является поддержание в заданных пределах
значения регулируемой координаты (частоты вращения, давления,
расхода и др.) теплоэнергетической установки при различных
нагрузках на объект и других возмущающих воздействиях.
Эта задача может быть выполнена самим объектом без
вмешательства автоматического регулятора только в том случае, если его
фактор устойчивости F имеет не только положительное значение (F >
> 0 — объект устойчив), но и достаточно большое числовое
значение. В противном случае переходные процессы, возникающие
вследствие нарушения установившегося режима, могут быть либо
расходящимися (при F < 0), либо сходящимися (при F > 0), но слишком
длительными, что часто недопустимо по условиям эксплуатации.
Чтобы исправить такое положение, на регулируемый объект
необходимо воздействовать через орган управления, перемещая который
можно изменять количество подводимой или отводимой энергии или
массы рабочего тела и, таким образом, устанавливать новый режим
работы объекта при сохранении заданного значения регулируемой
координаты.
Если воздействие на орган управления осуществляется
непосредственно обслуживающим персоналом, то такое регулирование часто
называется ручным. Однако при быстроизменяющихся условиях
работы объектов ручное регулирование, с одной стороны,
оказывается малоэффективным, зависящим от субъективных способностей
оператора, с другой утомительным для обслуживающего персонала.
54

При неустойчивых объектах ручное регулирование вообще
непригодно.
В связи с изложенным ручное регулирование заменяется
автоматическим путем применения специальных приборов, называемых
автоматическими регуляторами, воздействующими на орган
управления регулируемого объекта без участия обслуживающего
персонала в зависимости от изменения значений самой регулируемой
координаты.
Таким образом, применение автоматического регулирования
безусловно необходимо при неустойчивых (F < 0) и слабоустойчивых
(F > 0, но мало) объектах, а также в тех случаях, если к
теплоэнергетической установке предъявляется жесткое требование
постоянства регулируемой координаты или изменения его по заданной
программе.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
Физические процессы, протекающие в теплоэнергетических
установках и их элементах, взаимосвязаны и достаточно сложны, поэтому
любая математическая модель, описывающая в математической форме
эти процессы, в той или иной степени идеализирует их в зависимости
от принятых допущений. При составлении дифференциальных
уравнений Элементов учитываются лишь основные факторы, имеющие
непосредственное отношение к решению поставленной задачи.
Таким образом, далее под математической моделью подразумевается
дифференциальное уравнение или совокупность дифференциальных
уравнений, описывающих с определенной степенью идеализации
процессы в реально существующих или проектируемых объектах или
системах в удобной для использования форме.
В качестве примеров рассмотрим составление математических
моделей некоторых элементов, наиболее распространенных в
теплоэнергетических регулируемых объектах.
Ротор газовой турбины и компрессора
Ротор газовой турбины и компрессора является составным
элементом газотурбинного двигателя (см. 5 и У на рис. 23) и дизеля с
наддувом (см. 1 и 2 па рис. 24).
Установившийся режим такого ротора, при котором
обеспечивается постоянство частоты вращения, обусловливается уравнением
(1). Так как момент сопротивления Мс в газотурбинном двигателе
образуется суммированием момента сопротивления Мк компрессора
и MN потребителя, то дифференциальное уравнение ротора в
соответствии с уравнением (8) можно представить в форме
J9**=M,-M,-MN, (36)
где £2Т — частота вращения ротора; JT — суммарный приведенный
момент инерции ротора потребителя; Мт — крутящий момент
турбины.
55

Пусть QT0, Мт0у УИк0 и Af^o — значения частоты вращения и
соответствующих моментов в установившемся режиме, Дйт, АМТ,
АМК и AMN — их отклонения при нарушении установившегося
режима. Тогда с учетом уравнения статического равновесия (1)
дифференциальное уравнение (36) примет вид
JT J^L = ДМТ - АМК - AMN. (37)
Если давление и температуру окружающей среды (перед
компрессором и за турбиной) принять постоянными (справедливо для
наземных условий работы) и считать, что нет поворотных лопаток в
направляющем аппарате компрессора и сопловом аппарате турбины,
то моменты турбины и компрессора определяются функциональными
зависимостями
MT = f(Tv\ pv\ QT); MK = f(pK; QT),
где Тг и рт — соответственно температура и давление газов на входе
в турбину; /?к — давление воздуха на выходе из компрессора.
Момент потребителя MNt являющийся внешним возмущающим
воздействием регулируемого объекта, зависит от частоты вращения
ротора йт и от настройки N, в связи с чем
M„ = /(QT; N).
Полученные таким образом функциональные зависимости
представляют собой непрерывные функции, что позволяет разложить их
в ряд Тейлора и произвести линеаризацию, после чего отклонение
моментов будут иметь вид
лм.-^Дл + ^да,: дм„=^да,+^1лл-.
Подстановка приращений моментов в уравнение (37) дает
j,J"JL + Pja,-%»r, + %b.-3bip.-%.tii. (38)
где F* = (^ + 4йг) - ^ - Фактор устойчивости объекта,
определяемый взаимным расположением характеристик турбины,
компрессора и потребителя в точке равновесного режима.
После введения относительных отклонений координат от их
значений в установившемся режиме
и деления всех членов уравнения (39) на FTQT0 последнее приводится
к виду
Тт ~ЧГ + фт = Кт Г^г + К*РГ ~~ ^Рк ~~ ^а° (40)
5а

или в операторной форме записи
dr (Р) фт = Кг Г#г + *трг — 1С?рк — К?Оо> (41)
где собственный оператор газотурбинного двигателя
dT(p) = TTp+l; (42)
постоянная времени ротора, характеризующая его инерционность, с
TT = JT/FT, (43)
и коэффициенты усиления по соответствующим координатам
^т ~" дТг FtQTo ' т — дрг FtQto '
к _ дМк Рко . <х _ dMN N0
Фк FTi}T0' т dN FtQt
(44)
Дифференциальные уравнения (40) и (41) характеризуют
динамические свойства ротора газовой турбины и компрессора как элемента
газотурбинного двигателя.
В турбокомпрессоре дизеля (см. У и 2 на рис. 24) единственной
нагрузкой является сопротивление компрессора, поэтому
уравнение (37) в этом случае имеет вид
ут^ = дмт-дмк. (45)
Так как температура газа Тг перед турбиной определяется
соотношением между количествами сгоревшего топлива и поданного в
двигатель воздуха, то
Тг = f (hi Q; /7K), (46)
где h — положение органа управления; Q — частота вращения
коленчатого вала двигателя и /?к — давление воздуха, поступающего
в двигатель.
Разложение этой функции в ряд Тейлора и последующая
линеаризация позволяют найти приращение температуры газов перед
турбиной
ATp^Ah + ^AQ+^ApK.
Подстановка полученного выражения в уравнение (38) приводит его
к виду
дМт л /дМк дМт дТг\ А
где фактор устойчивости турбокомпрессора
р _Шк_дМ1 . -.
57

После перехода к относительным координатам (39) и
х = ДЛ/Ао, ф = Й/Й0 (48)
и деления всех членов уравнения на FTQT0 уравнение
турбокомпрессора приводится к виду
Тт -^ + <Гт = *?* + к?Ф + /с?Рг - /сткрк (49)
или в операторной форме записи
dT (р) фт = к*х -f- к?ф - (- /Стрг — Ктрк, (50)
где
х _ дМт дГг ft0 . ф _ дМт дГг Q0 . г __ dMT pro .
Кт ~ дТг dh Ft^to ' — 07r dQ FTQT0' ^ — дрг FTQT0'
*-(т£-тЙ£)т&' *W-r*+l: Г.-4
2.
Ft
(51)
Дифференциальные уравнения (49) и (50) характеризуют
динамические свойства турбокомпрессора, используемого для наддува
дизелей.
Деление всех членов уравнения (41) на собственный оператор
дает возможность представить уравнение в виде
Фт = Y*r (р) #г + П (Р) Рг + Y* (р) рк + Г? (р) а* (52)
где передаточные функции ротора газотурбинного двигателя по
соответствующим входным координатам
у!'<р)—ш; n(/?)=w; r^)=-^k;
Каждый член уравнения (52) представляет собой отклонение частоты
вращения ротора газотурбинного двигателя вследствие воздействия
на ротор изменения соответствующей входной координаты так, что
<£*=У?г(р)Ъг; Ф?=П(/7)рг; )
Ф? = У?(р)рк; <p«=Y?(p)*o> I (54)
в связи с чем уравнение (52) можно представить в виде
фт = Фтг + фт" + фт + Ф?- (55)
Уравнение (50) турбокомпрессора дизеля после деления на
собственный оператор примет вид
Фт = Г? (Р) х + Y? (р) Ф + Yi (p) pr + YS (р) рк, (56)
58

Рис. 26. Структурная схема ротора:
а — газотурбинного двигателя — развернутая;
6 — газотурбинного двигателя — свернутая;
в __ турбокомпрессора дизеля — развернутая;
г — турбокомпрессора дизеля — свернутая
/V.
Рт^
Ут(Р)
К(р>
где передаточные функции
Y*(P)
dr (P)
Я<"> = 7Ш;
ykAp)= d
„<р
dT (p) •
к*
i^
а0
<(р)
Уг(Р)
й
m
0*
а)
\"тг*г
dT(P)
4>г
I7*; а 0
6)
X
<р
Рг^
А^
к?<Р.
«тРг
Уг(Р)
Yr'<P)
УГТ(Р)
Yr(P)
в)
dj{P)
!f?
Щ
0<
Щ
v?\
<Pr
Фг
\<Рк
г)
*т (P) '
(57)
Развернутые структурные
схемы ротора газовой турбины и
компрессора, соответствующие уравнениям (52) и (56), показаны на
рис. 26, а, в; свернутые структурные схемы тех же элементов на
рис. 26, б, г.
Собственно двигатель
Собственно двигатель 4 (см. рис. 24, а) является элементом,
аккумулирующим механическую энергию. Установившийся режим
его работы обеспечивается равенством крутящего момента М0у
вырабатываемого машиной на установившемся режиме, моменту Мс0
потребителя (сопротивления) на этом же режиме в соответствии
с уравнением (1).
Нарушение равновесного состояния, например в связи с
изменением нагрузки, вызывает неравенство моментов машины и
потребителя.
Разность моментов расходуется на ускорение или замедление
вращения ротора в соответствии с уравнением (8). Если учесть,
что при нарушении установившегося режима частота вращения
коленчатого вала и моменты получают приращения: Q = Q0 + Ай;
М = М0 + ДМ; Мс = Мс0 + АМС, то с учетом условия (1)
уравнение (8) будет иметь вид
J*^L=AM-AMC.
(58)
Момент сопротивления зависит от настройки потребителя N
(нагрузки) и частоты вращения Q коленчатого вала;
Мс = / (О; N).
Крутящий момент дизеля при наличии наддува зависит от
цикловой подачи топлива, определяемой положением h органа
управления и скоростным режимом, от цикловой подачи воздуха,
определяемой давлением наддува рю и частоты вращения коленчатого
вала Q;
Af = / (А; й; Рк).
59

Разложение полученных зависимостей в ряд Тейлора и
последующая линеаризация дают их приращения
а л я дМ А« . дМ АГ% , дМ А
дМс АО . дМс
AMc = ^AQ+^Atf,
подстановка которых в уравнение (58) приводит его к виду (19).
После введения относительных координат (39) и (48) и деления
всех членов уравнения на FAQ0 уравнение (48) приводится к виду
(22) или (23) с коэффициентами усиления (24). Структурная схема
собственно дизеля показана на рис. 9.
Ресивер с газом
Работа ресивера (см. рис. 25) при установившемся режиме (р =
= Ро) обусловливается равенством поступающего тп0 и
расходуемого тр0 количества газа в единицу времени в соответствии с
уравнением (2). Изменение притока или оттока газов приводит к
отклонению /пп0 и /Пр0 от равновесного состояния соответственно на Д/лп и
Дтр. Разность между последними характеризует количество газа,
аккумулируемое в емкости в соответствии с уравнением (9).
Количество газа, поступающего в ресивер через патрубок 5, определяется
давлением газа в ресивере, давлением рп газа, поступающего
в патрубок 3, и проходным сечением патрубка 5, зависящим от
положения органа управления 2. Следовательно,
mn = f (/?; pn; h).
Расход газа через патрубок 1 определяется давлением р в
ресивере и давлением за патрубком У, которое зависит от количества
газа, расходуемого потребителем, т. е. настройки потребителя или
нагрузки N на ресивер. Следовательно,
Щ = / {р\ N).
Разложение полученных зависимостей в ряд Тейлора и
последующая линеаризация дают
тп-^ + ^Др + ^Ар^^АЛ;
Щ = тр0 + ^ А/7 + ^ AN.
После подстановки этих выражений в уравнение (9) с учетом
уравнения (2) будем иметь
Zp^_4-F Ad — ^-Ad Л-^-Ah-^-AN (59}
RT dt +ГрА/?~ dPu A/?n+ dh A" dN ШУ' {0*>
где
r, dmp дтп /АПч
Fp = -aF-1F" (6)
60

— фактор устойчивости ресивера, определяемый взаимным
расположением характеристик расхода и притока газа в точке
установившегося режима.
После деления всех членов уравнения (59) на Fpp0 и перехода
к относительным координатам (39) и р = Др//?0; Рп1= AAi/A/W, * ^
= ДЛ/Ло уравнение (59) примет вид
То-^ + Р = KU + KSpn - *?«о
или в операторной форме записи
do (p) p = KqX + Корп — *£«<>,
где собственный оператор ресивера
d0 (р) = T0p+\
и коэффициенты усиления
(6i)
(62)
К0 '
дШп
дшп рдо
к0 -
Wo
dh Fppo' °~ др„ Fppo ' 'vo~ dN FpPo"
После деления всех членов уравнения на собственный оператор
уравнение (62) приводится к виду
р = П(р)х + Г2(р)рп + Г?(/>)а0 (63)
с передаточными функциями
^w=w; у°м=1Ш' ^>=-w-
Структурная схема ресивера как регулируемого объекта по
давлению показана на рис. 27, а.
Аналогичная методика составления дифференциальных
уравнений применяется для таких элементов, как воздушные и газовые
тракты и коллекторы теплоэнергетических установок.
Например, в газотурбинном двигателе (см. рис. 23) таким
элементом является газовоздушный тракт, включающий камеру
сгорания 3 и соединяющий
компрессор 1 с турбиной 5. Если учесть,
что объем газовоздушного тракта
невелик, а скорость перемещения
воздуха и газов значительна, то можно
пренебречь аккумулирующей
способностью объемов и принять Ур = 0.
В этом случае уравнение (9) примет
вид
Атк — Дтг = 0. (64)
Рис. 27. Структурные схемы газовоздушных
ресиверов:
а — ресивера с газом (см. рис. 25, а); б — газовоз-
Душного тракта газотурбинного двигателя (см.
Рис. 23); в — впускного коллектора дизеля; в »-
выпускного коллектора дизеля
61

Таким образом, дифференциальное уравнение (9) превращается
в алгебраическое, дающее связь между параметрами,
определяющими изменение массы воздуха Д/пк, поступающего от компрессора,
и массы газа Атг, подаваемого к турбине. В действительности
тг = пгк + тТ. Однако в связи с малостью массы сгоревшего
топлива тт ею обычно пренебрегают.
Подача воздуха компрессором в газовоздушный тракт
определяется давлением воздуха рк в объеме тракта и частотой вращения
QT ротора: пгк = / (рн; QT). Расход газа через турбину в
основном зависит от его температуры и давления: тГ = f (Тг; /?г).
Разложение полученных функциональных зависимостей в ряд
Тейлора, линеаризация и последующие преобразования дают
возможность представить уравнение (64) в виде
рг = КвРк + Квфт — КВГ#Г, (65)
где коэффициенты усиления газовоздушного тракта по
соответствующим входным координатам
дтк дтк дтг
к* = ^? ; /с? = -211 : к
,.к орк . Лф оъ1т . к г а/ г
РвРго РвРго FrPvq
и фактор устойчивости газовоздушного тракта
р дтг
Гв~" дРг '
Таким образом, фактор устойчивости рассматриваемого элемента
определяется только характеристикой расхода газов через турбину
и не зависит от расходной характеристики компрессора. Элементы
систем регулирования, подчиняющиеся такому уравнению
(алгебраическому), называются пропорциональными.
Передаточные функции пропорциональных звеньев равны
коэффициентам усиления по соответствующим координатам.
Уравнение (65), записанное через передаточные функции, примет вид
pr = YI (р) Рк + К? (Р) Фт + Ytr (P) »г
или
К | ф | *
рг = рг + Рг + Рг
г
(66)
Структурная схема газовоздушного тракта в соответствии с
уравнением (66) представлена на рис. 27, б.
Двигатель внутреннего сгорания имеет два ресивера —
коллектора. Один из них — впускной коллектор 3 (см. рис. 24). Если,
как и в предыдущем случае, пренебречь его объемом (Vp ^ 0), то
уравнение впускного коллектора можно представить в виде
Д/лк — Дтд = 0. (67)
62

Приращение расхода воздуха через компрессор Атк зависит
от давления наддува р1{ и частоты вращения QT ротора
турбокомпрессора, поэтому
расход воздуха через двигатель Д/яд определяется также давлением
наддува рк и частотой вращения Q коленчатого вала, поэтому
Подстановка полученных выражений Ат[{ и Дтд в уравнение (67)
после ряда преобразований приводит его к виду
Рк = квт<Гт — к?ф, (68)
где
дтк0 ^дп
Фт __ dQT то . Ф __ dQ ° . р _дтп дтк
Кв ~ FbPko ' Кв ~ FbPko ' tB~ дрк дрк'
Передаточные функции рассматриваемого элемента
ПОЭТОМУ рк = У** (р) фт + ^в (р) ф
Фт I Ф
или рк = рк + р£.
(69)
Структурная схема впускного коллектора дизеля с автономным
газотурбинным наддувом изображена на рис. 27, е.
Выпускной коллектор 6 дизеля (см. рис. 24, а) связывает
собственно двигатель с газовой турбиной, поэтому уравнение
выпускного коллектора можно представить в виде
Атг — А/??г = 0. (70)
Расход газов тТ через двигатель отличается от расхода воздуха тд,
как правило, весьма незначительно, поэтому можно считать Атг =
= Атд.
Расход газов пгг через турбину определяется давлением pv и
температурой Тг газа перед турбиной или с учетом выражения (46)
mP = /(ft; Q; рк; рг),
поэтому
д^^м + ^Аа + ^Ал+^Др,
63

Подстановка приращений Дтд и Дтг в уравнение (70) приводит
его к виду
или после перехода к безразмерным координатам (48) и деления всех
членов на коэффициент при рг получим
рг = к?ф + к?рк — к?х, (71)
где коэффициенты усиления по соответствующим входным
координатам
Ф / d/Пд _^ дтг \ Q0 .
Kr ~~\ dQ dQ ) Frpro '
к / d/Пд дтг \ jpkq . x dmr h0
r ~~ \ дрк дрк ) FrPro ' Г "~ dh Frpr0 '
фактор устойчивости выпускного коллектора
р дтг
г~~~ дрг '
Передаточные функции выпускного коллектора на основании
уравнения (71) записываются в виде
y?(p) = ^-=k?; y?(p) = ^L = k?; ад =.£• = -*?•
С помощью передаточных функций уравнение выпускного
коллектора может быть представлено в форме
рг = Г?^)ф+УгК(/7)рк + Г?(/7)х
или
ф I К | X
Рг = Рг + Рг + Рг
и построена его структурная схема (см. рис. 27, г).
(72)
Камера сгорания газотурбинного двигателя
В качестве составных элементов теплоэнергетических установок
как регулируемых объектов часто используются различные
теплообменники. В газотурбинном двигателе (см. рис. 23) к числу таких
элементов относится камера сгорания, в дизеле (см. рис. 24) таким
элементом является система охлаждения, в холодильных
установках — холодильная камера.
Камера сгорания 3 газотурбинного двигателя (см. рис. 23)
аккумулирует теплоту сгорания топлива, поэтому ее тепловое
равновесное состояние определяется уравнением (3). При нарушении
установившегося режима работа теплообменника характеризуется
дифференциальным уравнением (10), которому с учетом уравнения (3)
можно придать вид
c^ = AQu-AQP. (73)
64

Так как температура стенок камеры сгорания изменяется
значительно медленнее, чем температура газов, находящихся в объеме VKC
камеры сгорания, то с достаточной степенью точности тепловую
аккумулирующую способность камеры можно представить
соотношением
С ,, — £рг У ксРг
г
dt — "Рггкс^г dt '
где сРг — средняя теплоемкость продуктов сгорания; рР —
плотность продуктов сгорания; Тг — температура газа в камере.
Подводимая теплота Qn определяется температурой Тк и
давлением рк воздуха, проходящего через компрессор, расходом топлива,
определяемым положением органа управления h и частотой
вращения ротора QT газотурбинного двигателя. Теплоемкости воздуха
и топлива, низшая теплотворная способность топлива и его
температура принимаются постоянными в связи с их незначительными
изменениями в процессе работы газотурбинного двигателя. Кроме
того, значение коэффициента полноты сгорания может быть
принято постоянным и равным среднему значению для наиболее
характерных условий работы двигателя. Таким образом,
Qn = /(7V, /V, Йт; Л).
Отводимая теплота зависит только от параметров газа, т. е. от
температуры Тг и давления рг. Следовательно,
QP = /(7V> Рг).
С учетом сделанных замечаний разложение полученных
зависимостей в ряд Тейлора, последующая линеаризация и подстановки
полученных результатов в уравнение (73) дают
с V п d^Tv I dQv AT — ^Н-ДГ 4--^ИЛ0 4-
V У ксрг dt "t- дТг А1 г — дТк Ы к i- дрк &Рк i-
+ dh аП + dQT *"т дрг *рг-
Введение относительных координат (39) и (48) позволяет
полученное уравнение записать в виде
Здесь постоянная времени камеры сгорания, характеризующая ее
инерционность, с
Т —
1 КС
gpr*KcPr
фактор устойчивости камеры сгорания
3 в.
И. Крутое и др. 65

безразмерные коэффициенты усиления при действии
соответствующих возмущений
OQr . dQn dQp n
и __ on Фт <%Лт „г орг
^КС г Т у ^кС F Т ' кс Г Т '
гкс'го гкс^го гкс' го
I КС' ГО ГКС/ г
КС' ГО ^KCi ГО
После перехода к операторной форме записи уравнение получит
вид
4с (Р) #г = КксХ + Кксфт — /Сксрг + *ксрк + Кк?#к> (74)
где собственный оператор камеры сгорания
<*кс(/>) = ТксР+ 1.
Деление всех членов уравнения на собственный оператор
позволяет получить передаточные функции камеры сгорания и
представить уравнения в виде
«г = ^кс (Р) X 4- ^кс (р) Фт + Пс (Р) Рг + У кс (Р) Рк + YJ (р) flK
или
(75)
где передаточные функции камеры сгорания газотурбинного
двигателя составлены по соответствующим входным координатам
Кы/> -_Фгл . . тг^т ккс
уЬ(р) = -^—я-=Ь; ГС </»--£--
х ~ Икс (Р)' кс ун/ ~~ Фт ~~ икс (/>)'
*г кг
Пс(,) = ^ = -^; УЪ (,) = ■£-
Рг ~ «fee (р)' кс VF/ ~ Рк ~ <*кс (P)'
Структурная схема камеры сгорания, построенная с учетом
уравнений (75), изображена на рис. 28, я.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Некоторые из рассмотренных выше элементов, например ресивер
с газом, холодильная камера и резервуар с жидкостью, сами могут
быть регулируемыми объектами. Дифференциальные уравнения
этих элементов имеют первый порядок, поэтому они могут быть
названы регулируемыми объектами первого порядка.
66

)h\
ь~
Ik.
Ъ~
к
€*(р)
Y*Up)
Vtc(P)
C(P)
Yfc(P)
'* 0
I'll
Г
Yc(P)
Yfr(P)
6)
Yc(P)
6)
**
w
a)
Рис. 28. Структурные схемы процессов
в камере сгорания газотурбинного
двигателя
а — формирования температуры отходящих
газов; б — формирования температуры
воздуха, поступающего из компрессора; в —
связи давления воздуха и давления
отходящих газов
Рис. 29. Холодильная камера
Холодильная камера
Задачей системы автоматического регулирования холодильной
камеры (рис. 29) является поддержание в заданных пределах
температуры Т внутренней полости камеры 1. Подвод теплоты в
холодильную камеру осуществляется, во-первых, за счет разности
температуры окружающей среды и температуры внутри камеры Т и, во-
вторых, за счет разности температуры охлаждаемых предметов,
загружаемых в холодильную камеру, и температуры 7\
Как известно, количество теплоты, поступившее в холодильную
камеру в единицу времени, определяется количеством теплоты
Qni = f(T), проникающей через стенки [см. выражение (3)1, и
Qn2 = / (N), вносимой охлаждаемым грузом, причем под N
понимается количество охлаждаемого груза и его тепловое состояние.
Таким образом, Qn = Qnl + Qn2 = / (Т; N).
Отвод теплоты Qp из камеры осуществляется с помощью
криогенного агента, благодаря разности температур камеры Т и
криогенного агента Тт:
Qp = / (Т; Гх).
Средняя температура криогенного агента в испарителе определяется
температурой на входе в испаритель 3 и его расходом. Если
принять условия на входе постоянными, то расход агента через
испаритель будет зависеть только от положения h органа управления
расходом агента (это может быть пускатель компрессора при дискретной
работе установки, орган управления частотой вращения вала
компрессора при непрерывной подаче криогенного агента). Условно
орган управления изображен в виде дроссельной заслонки 2 (см.
Рис 29). Таким образом, Qp = / (Г; А).
3* 67

Полученные функциональные зависимости дают возможность
найти приращения AQn и AQP, входящие в уравнение (73). После
разложения их в ряд и последующей линеаризации
AQn = l§jLbT+%-AN; Д(3Р = ^АГ + -^ДЛ.
Подстановка этих выражений в уравнение (73) приводит последнее
к виду
dQp
c*£ + FJiT=3gz&N +
dh
ДА.
В полученном уравнении Fx — фактор устойчивости
холодильной камеры, определяемый разностью
Р dQp dQu
Гх~ дТ дТ '
Производная —^- <0, так как положительным является
направление перемещения h в сторону увеличения 7\ т. е. в сторону
закрытия дроссельной заслонки.
После перехода к относительном координатам
ф = Д77Г0, а0 = ДЛГ/ЛГо
и деления всех членов уравнения на FXT0 уравнение холодильной
камеры записывается в форме
Го^ + Ф = /£х + к5ао, (76)
где Т0 = cJFx — постоянная времени объекта, характеризующая
его инерционность;
1 dQp
*_ I dh
AW
Kx —
FXT0 ' 'vx FXT0
— безразмерные коэффициенты усиления по соответствующим
выходным координатам.
Дифференциальное уравнение (76) холодильной камеры является
линейным с постоянными коэффициентами. Его можно записать
в операторной форме
d0 (р) ф = /СхХ -f Kxa0, (77)
где собственный оператор объекта
d0(p) = Тър+ 1.
После деления всех членов уравнения (77) на собственный
оператор уравнение холодильной камеры можно представить в виде
<p = Y*o(p)K + Y«(p)a0 или Ф = фх + Фа> (78)
68

Y?(P)
Y$M
(fK
A
4
T
w*
рис. 30. Структурная схема регулируемого объекта
первого порядка il_
где передаточные функции объекта по ££
соответствующим входным координатам
^о (р) = <р7х = кЖ (/7), Y* (р) = ф°7а0 = KaJd0 (р).
Уравнение (78) позволяет составить структурную схему
холодильной камеры как регулируемого объекта по температуре (рис. 30).
Резервуар с жидкостью
Резервуар 3 с жидкостью (см. рис. 1) является регулируемым
объектом по уровню Я жидкости. Постоянство уровня жидкости
должно обеспечиваться в паровых котлах, в поплавковых камерах
карбюраторов и во многих других теплоэнергетических установках.
Установившийся режим работы резервуара, при котором
обеспечивается постоянство уровня жидкости, может поддерживаться во
времени при выполнении условия (2) статического равновесия.
При нарушении условия (2) обе части уравнения получают в
общем случае не равные одно другому приращения, в результате чего
в резервуаре изменяется сосредоточенная в нем масса жидкости
так, что
dm
Если площадь поперечного сечения S резервуара не изменяется
по высоте, то
т = pV = pSH,
где Я — уровень жидкости; р — ее плотность.
Так как р = const и S = const, то
о dH
В полученном уравнении Я = Я0 + ДЯ; ти = ти0 + Д/ии; тр =
= Wpo + Д/Яр, поэтому
Sp —£• = Дтп — Дтр. (79)
Поступление жидкости в резервуар определяется ее уровнем Я
и положением h органа управления. Если давление жидкости перед
входом в резервуар постоянно, то тп = / (Я; К).
Расход жидкости зависит также от уровня Я и нагрузки N,
следовательно, тр = / (Я; N).
Разложение полученных зависимостей в ряд Тейлора и
последующая линеаризация дают
Дтп = ^АЯ + ^ДЛ; Дтр = ^ ДЯ + ^ ДЛГ.
69

Подстановка этих выражений в уравнение (79) дает
После введения относительных координат ф = Д#/#0, х = АЛ/Л0,
а0 = ATV/jVo и деления всех членов уравнения на произведение FPH0
уравнение получит вид
T0^ + <p = k"0k-kW (80)
Разность
Р d/Лр дтп
является фактором устойчивости резервуара. Постоянная времени
объекта характеризует его инерционность, с
Г0 = Sp/Fpt
безразмерные коэффициенты усиления по соответствующим
входным координатам
и дтп h0 . « дтр NQ
К° ~- dh FVH0 ' К° ~ dN FVH0 '
В полученном уравнении правая часть представляет собой
входное возмущающее воздействие, а левая характеризует собственные
динамические свойства элемента. Входящие в это уравнение
частные производные расхода и притока жидкости могут быть получены
либо аналитически, либо графически по экспериментальным или
расчетным характеристикам. Однако при построении таких
характеристик должен изменяться только тот параметр, по которому
берется производная. В оперативной форме дифференциальное
уравнение резервуара получит вид
d0 (р) ф = KqX — Коа0, (81)
где d0 (р) = Т0р + 1 — собственный оператор объекта.
В соответствии с уравнением (81) можно получить
передаточные функции рассматриваемого объекта по каждой из выходных
координат
и тогда уравнение можно представить в форме
Ф = Уо(/?)и + У2(/?)а0 или ф=ф* + фа.
Дифференциальные уравнения, записанные через передаточные
функции, позволяют построить структурную схему элемента (см,
рис. 30).
70

Выше были получены дифференциальные уравнения нескольких
элементов теплоэнергетических установок. Динамические свойства
этих элементов характеризуются дифференциальными уравнениями
первого порядка. При условии линеаризации статических характе-
ристик элементов уравнения становятся линейными. В некоторых
случаях с достаточной степенью точности путем соответствующих
упрощений (например, принятием V ^ 0) дифференциальное
уравнение заменяется алгебраическим. Это свидетельствует о том, что
динамические свойства элемента объекта регулирования не
учитываются.
в. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если регулируемый объект состоит из ряда элементов,
обладающих определенными динамическими свойствами, то порядок
дифференциального уравнения такого регулируемого объекта
повышается. К числу более сложных регулируемых объектов из
рассмотренных выше относятся газотурбинный двигатель и дизель с
автономным газотурбинным наддувом.
Двигатель внутреннего сгорания
с автономным газотурбинным наддувом
Структурные схемы каждого из элементов — собственно дизеля
(см. рис. 9), турбокомпрессора (см. рис. 26, в), впускного (см. рис. 27,
в) и выпускного (см. рис. 27, г) коллекторов позволяют составить
структурную схему дизеля с автономным газотурбинным наддувом
как регулируемого объекта по частоте вращения. Для этого
отдельные элементы необходимо расположить таким образом, чтобы
замкнуть координаты, являющиеся внутренними для объекта, и
оставить только выходную координату ср и входные координаты х и а0,
характеризующие внешние воздействия (рис. 31).
Уравнения, характеризующие динамические свойства элементов,
входящих в рассматриваемый регулируемый объект: собственно
дизеля (23), турбокомпрессора(50),
впускного (68) и выпускного (71) Г
коллекторов, составляют систему
dA (Р) Ф = *£х + КдРк - Кда0;
<*г(Р) Ф* = KjK + /С?ф + КтРг — *£рк J
Фт ш
рк = К вфт — Квф;
Рг = К? ф + КгРк — К?Х-
Рис. 31. Структурная схема дизеля с
автономным газотурбинным наддувом как
регулируемого объекта по частоте вращения
коленчатого вала
е\
^ГШ PL
YflP)
Ут(р)
Y?(P)
*-®Ц Гг(Р)
Рк
170* Г
У'(Р)
\Ч>'\
'г(Р) |~|
\Рг\
*Г№)
Zv I Т ао Г
у$(р) К* -Ч
Y?W
Уа(Р)
Уд(Р)
Ya(P)
л
71

При выборе в качестве регулируемой координаты частоты
вращения коленчатого вала двигателя совместное решение системы
уравнения ищется в форме
Аф = Аф, (83)
где А — главный (собственный) определитель системы, дающий
левую часть дифференциального уравнения; Аф — присоединенный
определитель воздействия системы, дающий правую часть
дифференциального уравнения.
Для составления главного и присоединенного определителей
систему уравнений целесообразно переписать так, чтобы в правой
их части остались лишь члены, связанные с входными
координатами. В соответствии со структурной схемой двигателя (см. рис. 31)
такими входными координатами являются перемещение h или х
органа управления (рейки топливного насоса) и изменение
нагрузки а0 (изменение настройки потребителя).
С учетом сделанных замечаний
dA (Р) Ф — Кдрк = Кд* — Кдао;
dT (р) фт — Kj(p — КтРг + К?рк = КтК\
Фт I CD r\ Ф К У.
рк — Кв фт + ЯтЧр = 0; рг — /С?ф — АСгрк = — КГК.
Главный и присоединенный определители системы уравнений
имеют вид
d*(P) -
-к?
к?
-к? -
/СдХ — ЯдО&О
гСтХ
0
— гСрХ
— Кд
/с*
1
— rvj*
-«5
Kj
1
— Кр
0
drip) -
Фт
— #в
0
0
drip)
Фт
— АСВ
0
0
— Kj
0
1
»
0
-к
0
1
Раскрытие определителей и подстановка их в уравнение (83)
приводят к линейному дифференциальному неоднородному уравнению
второго порядка
d0 (р) Ф = Яо (Р) * - S0 (p) а* (84)
где собственный оператор объекта
d0(p) = Tl2p2 + Tolp+ 1;
(85)
оператор воздействия со стороны органа управления
RM^TuP + b*
72
(86)

оператор воздействия со стороны нагрузки (настройки потребителя)
S0(p) = Tsp + Kg. (87)
В полученных выражениях
Г 2 гр гр I гл •
02 = I Д* т/£>0»
Го, = {гд[1 -(^-/cTK)/cM + n(i + «)}/B0;
Т^ = ТткА1В0\
Kr = \АСд [1 — АСВ \fCpKr — Kj)J — КдКв \KjKr — Кг)]/-Do»
1 S == Л iKj^lUQy
Ks = j/Сд [1 — JCB ^JCTfCr — Ят/])/^о"»
-Oo == L * — ^JCTfCr — Kj)KB J -|—
~т" ^д L ^в — ^в {JC^Kr —p /Cj / J >
где Гог, ТоЪ T^, Г8, 7*т> Тд — имеют размерность времени.
В дифференциальной форме записи уравнение (84) имеет вид
(88)
т2 d2(p , т dq> , т d* , т da0
d*2
ctf
dt
КЗД).
(89)
Уравнение (84) позволяет получить передаточные функции
регулируемого объекта второго порядка путем деления всех членов
уравнения на собственный оператор:
Ф = У2(/>)х+У?(р)ао, (90)
где
0(Р,~ doW TV + ^oiP+l
* о (Р) — — л /пч ~
Твр + К8
(91)
*>&>> *V + r0lp+l
Структурная схема регулируемого объекта, соответствующая
Уравнению (90), показана на рис. 30.
Газотурбинный двигатель
Динамические свойства газотурбинного двигателя (см. рис. 23)
характеризуются дифференциальными уравнениями его элементов:
роторной части (41), камеры сгорания (74) и газовоздушного
тракта (65). Эти уравнения составляют систему
dT (р) фт = Кт Г0Г + Ктрг — Кт рк
a
АСта(Ъ
,.фт
<*кс (Р) Ог = Ккс* + /Ск^фт — Кксрг + Кксрк + ККс$к,
рг = АСврк + ^в ф? — *в 0Г-
73

Для совместного решения этой системы необходимо ввести
дополнительные уравнения, отражающие связь внутренних координат
регулируемого объекта.
При неизменных условиях на входе в компрессор температура
воздуха на выходе из него является функцией давления рк и частоты
вращения ротора QT:
T* = f(p*\ Йт)-
После разложения полученной зависимости в ряд Тейлора,
последующей линеаризации и перехода к безразмерным
координатам (39) и (48) уравнение связи принимает вид
$к = Кс рк + к?тфт, (92)
где безразмерные коэффициенты усиления по соответствующим
координатам
к Рко дТк . <рт QT0 дТк
с ~~ Тко дрк > *с — Гко dQT *
Эти коэффициенты усиления в пропорциональных элементах
одновременно являются передаточными функциями, поэтому
в связи с чем
*к = у№рк + КЧр)<рг (93)
Структурная схема этой связи представлена на рис. 28, б.
В камере сгорания двигателя давление рк на входе изменяется
до давления рг на выходе из камеры, причем без внесения
существенной погрешности можно принять, что отношение
Рт^Рк — <у = const
сохраняется постоянным также при неустановившихся режимах.
С учетом этого допущения после перехода к относительным
координатам
рк = Ксрг = Кс(/?)рг, (94)
где безразмерный коэффициент и передаточная функция
Krc = /W(a/7Ko); УЕ(Р) = ■£■ = *£■
гг
Структурная схема этой связи представлена на рис. 28, е. Для
построения структурной схемы газотурбинного двигателя в целом
(как регулируемого объекта по частоте вращения ротора) (рис. 32)
необходимо воспользоваться структурными схемами отдельных
элементов (см. рис. 26, а; 27, б; 28, б, в). Все внутренние координаты
в схеме замкнуты, остались свободными только выходная <рт и
входные х и а0, характеризующие внешние воздействия. С учетом
уравнений связи (93) и (94) и сохранения в правой части только членов,
74

рис. 32.Структурная схема
газотурбинного двигателя как регулируемого
объекта по частоте вращения ротора
Ег^
У"(Р)
Ус Ш
У«"(Р)
У/(Р)
Щ УсЪ)
Рг
y.cW)
V,
Г$Ч У Lip)
Ут(Р)
Рг
Yr'P)
у«т(р1
$г
€
У,с(Р)
Уг'Ь)
А&-
"-Ч Ут<р>
характеризующих входные
воздействия, система уравнений
примет вид
+ <Рк = —*?«„'•
^.(Р)*г-«ЙФ,+
Рг-<Рк-«вТФх+«Н = 0-.
*к-*сРк-<ТФТ=
=°; Рк-«сРг=о-
При исследовании газотурбинного двигателя в качестве
регулируемого объекта по частоте вращения ротора результирующее
уравнение системы (83) следует искать в форме
ЛсРт = ДФт. (95)
Главный определитель системы и присоединенный определитель
воздействия имеют вид
dT(P) ~к*г ~<
rfrp)
рУ
А =
О
-Ст d«M <c -*й
—/с;
—«Г
к*г
1
О О
О —«с
V =
-/с?а0 —«:*<• —к£
КксХ dKC (р) к*к
О к*г 1
0 0 0
0 О
1 -<
0 -<
1 -к"
Kq
о
1
Следует отметить, что при необходимости исследования динамики
газотурбинного двигателя по любому другому параметру в
выражении (95) меняется лишь присоединенный определитель.
75

Раскрытие определителей и подстановка их значений в
уравнение (95) приводят к линейному дифференциальному неоднородному
уравнению второго порядка вида (84) с регулируемой координатой срт:
do (Р) Тт = Я0 (р) * - S0 (p) а0. (96)
Здесь собственный оператор двигателя d0 (p) и операторы
воздействия R0 (p) и 50 (р) по соответствующим входным координатам
имеют вид
do(p) = T2o2p2 + Tolp+U 1
R0(p) = kR\ S0(p) = T8p + ks. J
В полученных выражениях
/ о2 = ' г* кс \ 1 — КВКС)/Б0)
Tol ={(Tr + TJ (1 - «) + Ттк°г [< («>к + <с) _ <с, +
+ гкс<т(«Х-4))/50;
Л = Ткск« (1 - /с^)/50; [ (98)
^о=о - «) [i-«j' («:»<т+<?)]+
+ («X - О Кт - «вг («!?<т+<ст)1 +
+ («*г - к*г<т) [< (/cNc* + к") - кП.
1 N В Т В ' 1 С ^ КС С ' КС' КСЛ
В дифференциальной форме записи уравнения (96) имеет вид
7^2 -Ф- + Тох ^ + Фт = krk - Ts **- - Mo. (99)
d/2
<tt
<tt
Разделив все члены уравнения (96) на собственный оператор,
получим
Ф, = К?(р)х + К?(р)ао, (100)
где передаточные функции по соответствующим входным
координатам определяются отношениями
Yo{p)
YZ(P) = -
do(p)
So(p)
do(P) ~
Tl^+Tolp+l '
Tap + k,
1%f + ToiP+l
(101)
Структурная ехема регулируемого объекта, соответствующая
уравнению (100), показана на рис. 30 (при замене ф на фт).
76

ГЛАВА IV
ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для выполнения основной задачи автоматического
регулирования необходима информация о текущих значениях регулируемых
координат, определяющих режим работы объекта. Эту информацию
следует привести к виду, удобному для использования в
последующих элементах регулятора. В качестве такой информации в САР,
как правило, выбирают отклонение регулируемой координаты от
заданного значения. Для этого необходимо измерить текущие
значения координат и сравнить их с заданными значениями. Для
выполнения этой задачи служит измерительный элемент регулируемой
координаты (или датчик), задающий и сравнивающий элементы.
Кроме того, полученный сигнал отклонения координаты от
заданного значения необходимо преобразовать в вид, удобный для
дальнейшего использования в последующих элементах регулятора.
Эта операция осуществляется первичным преобразователем
сигнала. Измерительный, сравнивающий, задающий и
преобразовательный элементы (рис. 33, а) при построении регуляторов
теплотехнических объектов конструктивно объединяются в один элемент,
называемый чувствительным (рис. 33, б). Таким образом,
чувствительный элемент в САР предназначен для получения и первичной
обработки информации о значении регулируемой координаты.
Отсюда следует, что основным требованием, предъявляемым к
чувствительному элементу, является обеспечение им определенной
функциональной связи между изменением входной (регулируемой)
координаты и изменением значения выходной координаты z.
В эксплуатации чувствительные элементы должны обеспечивать
надежность измерения регулируемой координаты при любых
условиях работы системы, обладать высокой чувствительностью, малой
инерционностью и т. п. Кроме того, чувствительный элемент должен
иметь на выходе сигнал достаточной силы, чтобы по возможности
избежать в системе регулирования большого усиления. Последнее
определяется сопротивлением органа управления регулируемым
Рис. 33. Функциональная
схема чувствительного
элемента:
а — развернутая; б —
свернутая; Q __ регулируемая
координата; ф _ координата
задающего воздействия; z — выходная
координата чувствительного
элемента
Задающий
элемент
Сравнивающий
элемент
Измеритель]
(датчик)
/а*
) х
Q
Первичный
преобразователь
!<*
Чувствительные
элемент |
б)
77

Рис. 34. Механические чувствительные элементы частоты вращения:
а — с пружиной, воздействующей на грузы; б — с пружиной, воздействующей на муфту;
в — с пружиной Уатта
объектом и значением сигнала на выходе чувствительного элемента.
При одном и том же сопротивлении регулирующего органа
уменьшение выходного сигнала чувствительного элемента потребует
увеличения мощности усиления, что усложняет систему
регулирования.
Чувствительные элементы разнообразны по конструкции.
Принцип действия чувствительных элементов определяется физической
природой измеряемой величины, способом получения и
преобразования ее отклонения. Классифицировать чувствительные элементы
удобнее в зависимости от измеряемого ими параметра. Поэтому при
регулировании теплотехнических объектов наиболее часто
используют чувствительные элементы следующих типов: частоты
вращения, давления, уровня, расхода, соотношения расходов и
температуры.
2. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ
Чувствительные элементы частоты вращения, измеряющие и
преобразующие частоту вращения вала машины в различные по,
своей физической природе сигналы на выходе, называют обычно
тахометрами. По принципу действия тахометры подразделяют на
механические, гидравлические, пневматические, магнитные и
электромагнитные.
Механические чувствительные элементы частоты вращения
наиболее распространенных типов (рис. 34, я, б) состоят из вращающихся
грузов У, укрепленных на траверсе 4, приводимой в движение от
вала машины. Вращение грузов преобразуется в перемещение
муфты 3, которое далее передается к следующему элементу системы
регулирования. Грузам чувствительных элементов придается самая
разнообразная форма, которая зависит от требуемой массы и
габаритных размеров внутренней полости автоматического регулятора.
В чувствительном элементе типа Уатта (рис. 34, в) вращающиеся
грузы У, подвешенные на рычагах 4, могут поворачиваться вокруг
точки А и через систему рычагов перемещать муфту 3 вдоль оси
шпинделя, связанного с валом машины.
78

Под действием центробежной силы грузы стремятся удалиться
от оси вращения, но масса щ грузов, тм муфты и натяжение F
пружины 2 оказывают действия, обратные центробежным силам, и тем
самым стремятся приблизить грузы к шпинделю. При определенной
частоте вращения устанавливается равновесие сил, и муфта 3
удерживается на каком-то уровне, соответствующем заданной частоте
вращения.
Оси х и z направлены так, что положительному направлению
перемещения Аг муфты соответствует увеличение AQ частоты
вращения.
В неподвижном элементе (Q = 0) действуют только силы
тяжести и усилие пружины. Если муфте 3 сообщается малое
вертикальное перемещение Аг, то точка В подвеса пружины получит
горизонтальное перемещение А*, а центры тяжести грузов переместятся
по вертикали на Azx.
Работа сил в этом случае определится суммой
L = mMAz + 2-^Az1 + 2FAx.
Масса рычагов чувствительного элемента обычно не учитывается
ввиду малости по сравнению с массой грузов и муфты.
Полученную таким образом работу можно заменить работой
какой-то эквивалентной силы F на пути А г, приложенной к муфте
чувствительного элемента и направленной вниз. В этом случае
значение этой силы находится по условию равенства работ
F = mM + mr^L + F^-. (102)
Величина Е называется восстанавливающей силой. Отношения
Дгх/Дг и Дх/Дг легко вычислить путем построения нескольких
положений механизма чувствительного элемента и графического
определения перемещения точек приложения сил.
В малогабаритных чувствительных элементах массой тг грузов,
тм муфты и соединительных элементов часто можно пренебречь
без внесения заметной ошибки. Если принять тг = /лм = 0, то
уравнение (102) примет вид
где 2 Ад: — деформация пружины.
^ При соосном расположении пружины 2 и муфты 3 (см. рис. 34, б)
и непосредственном воздействии пружины на муфту
чувствительного элемента перемещение муфты Аг равняется деформации
пружины 2 Дх, поэтому Е = F.
Если F0 — предварительная деформация, а Ъ — жесткость
пружины, то
Е = F0 + Ъ Аг.
Эта зависимость представлена на рис. 35, а в виде семейства
прямых 2 при разных значениях F0.
79

Рис. 35. Статические
характеристики механических
чувствительных элементов
частоты вращения:
- восстанавливающей силы;
- с учетом массы грузов; 2 —-
с различными значениями F0
при тм = тг = 0, b = const;
3 — при Ь = var{
б—поддерживающей силы при Q = const
При изменении жесткости пружины меняется наклон
характеристики £(z;i|)). Кривая 3 соответствует меньшей жесткости
пружины.
Следовательно, изменяя предварительную деформацию
пружины F0 (задающий элемент), можно выбирать уровень изменения
восстанавливающей силы Е и таким образом устанавливать
настройку г|) чувствительного элемента:
Е = f(z; г|)), где F0 = F (г|>). (103)
При определении восстанавливающей силы грузы
чувствительного элемента не вращались (Qp = 0); при вращении грузов
возникает центробежная сила
п
где mi — масса t-ro элемента вращающихся деталей (рычагов,
грузов и т. и.); хг — расстояние от оси вращения до центра тяжести
1-го элемента (см. рис. 34, в).
Центробежную силу также можно привести к муфте
чувствительного элемента. Такая сила называется поддерживающей. Ее
значение зависит от частоты вращения Qp грузов и от положения z
муфты.
Преодолевая восстанавливающую силу Е, центробежная сила Рц
перемещает муфту чувствительного элемента на Az. Центры тяжести
всех элементов в этом случае перемещаются по оси х на А*; и по оси z
на Azj.
Значение поддерживающей силы может быть определено из
условия равенства работ, совершаемых центробежными силами
отдельных частей чувствительного элемента и поддерживающей силой:
Здесь
называется инерционным коэффициентом чувствительного элемента.
60

Таким образом, поддерживающая сила
C = QJi4(z) = /(Qp; z), (104)
ее характеристика при Q = const приведена на рис. 35, б.
Муфта чувствительного элемента оказывается в состоянии
равновесия при выполнении условия
С (Qp; z) - Е (г; «) = 0, (105)
называемого уравнением статического равновесия. При заданной
частоте вращения йр муфта имеет вполне определенное положение
равновесия, соответствующее точке пересечения характеристик
С (йр; z) и Е (z; г|)) (рис. 36). Характеристика Е (г; я|>) может менять
свой наклон в зависимости от жесткости пружины. Если наклон
характеристики восстанавливающей силы Е (z; г|)) больше, чем
наклон характеристики поддерживающей силы С (Qp; z) (кривые 1
и 2 на рис. 36), то при уменьшении z поддерживающая сила
становится больше восстанавливающей и муфта возвращается в
прежнее положение равновесия. При увеличении z появляется избыток
восстанавливающей силы, который также вернет муфту в исходное
положение.
Таким образом, в рассмотренном случае равновесие в точке zx
является устойчивым, и чувствительный элемент с такими
характеристиками восстанавливающей и поддерживающей сил может быть
использован для регулирования частоты вращения вала машины.
Если наклон характеристики Е (г; я|?) меньше наклона
характеристики С (йр; г) (кривые 3 и 2 на рис. 36), то равновесие в точке zx
оказывается неустойчивым, так как при малейшем смещении муфты
в ту или иную сторону возникают силы, стремящиеся удалить муфту
от положения равновесия.
Подобные чувствительные элементы являются статически
неустойчивыми, поэтому не могут быть использованы для регулирования
частоты вращения вала машин.
Устойчивость чувствительного элемента характеризуется
фактором устойчивости Fp, определяемым отношением (см. рис. 36)
Fp = (Д£ — ДС)/Д*.
Так как йри достаточно малом Дг
ДВ-(£.)4«. *-(£)*.
то
^р-
дЕ
дг
дС
дг
(Ю6)
Рис. 36. Совмещенные характеристики
восстанавливающей и поддерживающей сил при Q ==
= const: **
J и 3 — зависимость восстанавливающей силы Е при
различных значениях жесткости пружины Ь от
перемещения муфты; 2 — зависимость поддерживающей
силы С от перемещения муфты
1/
-^
АгА
М
г -—""^Т
4
1
1
А
т
^»_
81

Рис. 37. Чувствительный
элемент частоты вращения
авиационного газотурбинного
двигателя
Рис. 38. Схема гидравлического
чувствительного элемента
частоты вращения
Чувствительный элемент устойчив, если Fp > О, и неустойчив,
если Fp < 0.
Рассмотрим механический чувствительный элемент
авиационного газотурбинного двигателя (рис. 37). На приводном валике У,
кинематически связанном с валом двигателя, укреплены грузы 3 на
осях2. Муфтой чувствительного элемента служит вращающийся
золотник 4, нагруженный с одной стороны через упорный подшипник 5
усилием пружины 6 (восстанавливающая сила Е), а с другой стороны
с помощью качающихся штифтов 9 центробежной (поддерживающей)
силой С грузов 5. Предварительную деформацию пружины можно
менять рычагом 8 через стакан 7.
Для регулирования частоты вращения тепловых машин
применяют также гидравлические чувствительные элементы (рис. 38).
Насос У, соединенный с валом машины, подает жидкость в канал 2,
к которому присоединен приемник 3. Из канала 2 жидкость через
постоянный дроссель сечением s0 сливается обратно в масляный бак.
Насос 1 может быть насосом объемного типа, подача которого
пропорциональна частоте вращения его ротора
Q = айп, (107)
где а — коэффициент пропорциональности.
Расход жидкости через дроссель s0 определяется выражением
Q = fVo]/ —(Рп-Рсл)>
где \i0 — коэффициент расхода; рн—давление жидкости перед
дросселем в канале 2; рсп — давление жидкости за дросселем. Если
На с ли б -*-:
От насоса •
На слиб -*-:
82

для простоты рассуждений принять рсл =■ 0, то
*-(тУЧ-«-
или с учетом выражения (107)
*-(т$г)Ч*
Таким образом, напор, развиваемый насосом при постоянном
сливном сечении s0, зависит только от частоты вращения:
Pn = BQl (108)
где В =ау[2(|1л)21.
При увеличении частоты вращения на AQH напор возрастает
на А/?, тогда
/>н + Д/>я = В(Йно + ЛЙн)2.
Отклонение AQH от установившегося значения йно принимается
малым, поэтому значением AQ| можно пренебречь. В этом случае
/?„о — /±ри = В (Qho + 2Qho AQ„).
В установившемся режиме /?н0 = BQl0i поэтому
&р = 2В£1н0Шн. (109)
Давление жидкости на поршень 4 приемника 2 уравновешивается
усилием пружины. Для равновесного положения поршня pH0Sn =
= bz0, где 5П — площадь поршня.
При изменении давления на А/? поршень 4 переместится на Az,
поэтому
(/?н0 + Ьра) Sn = b (z0 + Az),
откуда
bpHSu = bbz. (110)
Подстановка в уравнение (ПО) выражения (109) дает
2BQH0SnAQH = &Az,
откуда
Az = -i- 2BQn0Sn AQH = k AQH.
Следовательно, каждому значению AQH соответствует вполне
определенное перемещение поршня приемника, поэтому устройство,
представленное на рис. 38, может быть использовано для измерения
частоты вращения, т. е. в качестве чувствительного элемента
частоты вращения вала машины.
Если поршень 4 (см. рис. 38) получил малое перемещение Az
при неподвижном вале машины, то работа действующих сил на пути
может быть представлена в виде Е Az = F Az, откуда Е = F, где
* —- сила пружины.
83

Обозначив Ь жесткость пружины, a F0 ее предварительную
деформацию, получим
Е = F0 + bz = £(г;г|)).
Таким образом, значение восстанавливающей силы Е зависит
от перемещения муфты z и предварительной деформации г|)
пружины, т. е. настройки чувствительного элемента (рис. 39, а).
При вращении вала машины насос 1 (см. рис. 38) подает жидкость
в канал 2, и на поршень 4 чувствительного элемента действует
поддерживающая сила
C = pBSa. (Ill)
Подставив в формулу (111) выражение (108) и полагая s0 = const,
найдем
с^-Н-^/я-лв,
H<oso
где А = Sn -|- (-jj7") = const при s0 = const.
Следовательно, поддерживающая сила С = / (QH)> и поэтому
в подобных чувствительных элементах она не зависит от положения
муфты (поршня) и определяется при постоянном сечении слива s0
только частотой вращения ротора насоса.
Устойчивость положения равновесия z0 (рис. 39, б) можно
оценить фактором устойчивости Fp, определяемым выражением (106).
Однако для гидродинамического чувствительного элемента -^— = 0,
поэтому
п дЕ и
Таким образом, равновесное положение поршня
гидродинамического чувствительного элемента оказывается всегда устойчивым
при любой жесткости пружины.
Подвод жидкости
Рис. 39. Статические характеристики
гидравлического чувствительного элемента частоты
вращения:
а — характеристики восстанавливающей силы;
/ — при различных значениях F0 и Ьх = const; 2 «-
при Ьг = const (&я > bt); б — совмещенные
характеристики восстанавливающей и
поддерживающей сил чувствительного элемента
Рис. 40.
Гидродинамический чувствительный
элемент частоты вращения
газотурбинного двигателя
84

Гидродинамический чувствительный элемент газотурбинного
двигателя (рис. 40) состоит из крыльчатки У, связанной с валом
двигателя, сильфона 2 и пружины 3. При изменении частоты вращения QH
крыльчатки 1 меняется давление в полости Л, следовательно,
меняется сила, деиетвующая на сильфон 2, что вызывает перемещение
штока 6. Предварительная деформация пружины 3 изменяется
рычагом 4 через подвижную буксу 5. В качестве рабочего тела может
быть использовано масло или топливо. Существенным недостатком
гидродинамического чувствительного элемента является зависимость
равновесной частоты вращения QH от плотности рабочей жидкости.
Уменьшение плотности на 1 % приводит к увеличению равновесной
частоты вращения примерно на 0,5%.
В чувствительном элементе электромагнитного типа
измерительным элементом (датчиком) является тахогенератор постоянного или
переменного тока (рис. 41). Электомагнитный метод измерения
частоты вращения вала основан на использовании закона
электромагнитной индукции
£H = B/Qp10-8,
где Ен — наводимая ЭДС; В — магнитная индукция; / —
активная длина проводника; Qp — скорость перемещения проводника.
Это уравнение справедливо для взаимно перпендикулярных
направлений В, / и Qp. В противном случае следует использовать
проекции этих величин на взаимно перпендикулярные оси. В
случае, если В = const и / = const и проводник перемещается в
магнитном поле с частотой вращения Qp, наводимая ЭДС определится
простой зависимостью Ен = KQP, где К — коэффициент
пропорциональности. Если напряжение 7ВЫХ на выходе тахогенератора
близко по значению к ЭДС Ен (что справедливо для больших
сопротивлений нагрузки и малых внутренних сопротивлений обмоток
тахогенератора), то последнее уравнение можно представить в виде
Увых = *А>- (112)
Схема тахогенератора постоянного тока с обмоткой возбуждения
показана на рис. 41, а. Ток возбуждения остается неизменным,
и поэтому выходное напряжение УВых» снимаемое со щеток
тахогенератора, пропорционально частоте вращения его вала (рис. 42, а).
Однако тахогенераторы постоянного тока при изменении частоты
вращения допускают значительные погрешности, обусловленные
изменением сопротивления обмоток и магнитной проницаемости
стали вследствие изменения температуры и нестабильностью
щеточного контакта. Асинхронные тахогенераторы (рис. 41, б) не имеют
подвижных контактов, в статоре вмонтированы две обмотки 1 и 2,
оси которых расположены под углом 90°. Ротор выполнен в виде
алюминиевого стакана, вращающегося в зазоре между статором и
неподвижным цилиндрическим сердечником. На одну из обмоток
статора подается питание от источника переменного тока V_, а с
другой при вращении ротора в магнитном поле обмоток возбуждения
85

+0-*
О",
б)
Рис. 41. Тахогенератор:
а — постоянного тока с обмоткой
возбуждения; б — асинхронный; / — ось
первичной обмотки; 2 — ось вторичной
обмотки
s.
Чувствительный
злспент
частоты вращения
а)
Чувствительный
элемент
частоты вращения]
5)
Рис. 42. Функциональные схемы
электромагнитных чувствительных
элементов частоты вращения:
а — с выходной координатой в виде
напряжения; б — с выходной координатой в виде
частоты тока
снимается выходное напряжение VBUX9 пропорциональное по
значению частоте вращения ротора [см. выражение (112)].
Асинхронные тахогенераторы также допускают погрешность
при изменении их температуры вследствие изменения сопротивления
материала ротора.
Если точность измерения частоты вращения необходимо
повысить, то применяют синхронные тахогенераторы с постоянными
магнитами. У них не только ЭДС, но и ее частота зависят от частоты
вращения: / = /?Qp/(2n), где р — число пар полюсов; Qp — частота
вращения. Функциональная схема такого чувствительного элемента
показана^ на рис. 42, б.
Погрешность по частоте / в таком чувствительном элементе
отсутствует, что используется при конструировании чувствительных
элементов, основанных на измерении частоты выходного
напряжения синхронного тахогенератора (рис. 42, б).
В качестве задающего элемента, вырабатывающего опорную
частоту, с которой сравнивается измеренная частота на элементе
сравнения (см. рис. 33, а), используют стабилизированные
кварцевые генераторы.
Кроме температурных погрешностей есть и другие
погрешности, влияющие на работу тахогенераторов. К ним относятся
остаточное напряжение при нулевой частоте вращения и
нелинейность зависимости выходного напряжения от частоты вращения
ротора. Остаточное напряжение возникает вследствие магнитной
или механической несимметрии, которые искажают пути
магнитного потока так, что даже при нулевой частоте вращения ротора
развивается напряжение на выходе. Несимметричность магнитного
поля возникает при неоднородности материала ротора и
неодинаковом воздушном зазоре между статором и ротором.
Нелинейность выходного напряжения, наведенного при
вращении ротора, на вторичной обмотке можно определить зависимостью
V,
86

где VBX — напряжение на первичной обмотке; /Сх — наклон
характеристики, определяемой соотношением (112); К2 — коэффициент
нелинейности характеристики (112); т = np/ns = nvp/(Q0f)
—отношение частоты вращения ротора пр к синхронной частоте
вращения ns\ р — число пар полюсов; / — частота выходного напряжения.
При небольших значениях т, т. е. при ns > лр, величиной /С2/я2
можно пренебречь, тогда
Vem = KlmV„ = ^^-n.,
р»
т. е. зависимость VBhlx от /гр становится линейной (при постоянном
напряжении VBX) в соответствии с соотношением (112).
3. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ДАВЛЕНИЯ
Чувствительные элементы давления могут быть как
механическими, так и электрическими. К механическим элементам
относятся поршневые (рис. 43, а), мембранные коробки (рис. 43, б),
трубчатые пружины (рис. 43, в), сильфоны (рис. 43, г),
гидростатический колокол (43, д) и др. Выбор той или иной схемы
чувствительного элемента зависит от уровня регулируемого давления,
заданной точности и надежности работы чувствительного элемента
в эксплуатации.
Входной координатой механических чувствительных элементов
является давление /?, а выходной — перемещение z поршня,
деформация z мембраны, сильфона или трубчатой пружины.
Функциональная схема таких чувствительных элементов показана на
рис. 44, а.
Принцип действия электрических чувствительных элементов
давления основан на изменении электрического сопротивления
(рис. 44, б), емкости конденсатора (рис. 44, в), на
пьезоэлектрическом эффекте, электрокинетическом эффекте (рис. 44, г),
электрическом разряде в газах и т. п.
В омических чувствительных элементах (рис. 44, б) используется
зависимость электрического сопротивления некоторых материалов
от внешнего давления. .
Например, в связи с {
деформацией кристал- |||
лической решетки под
влиянием внешнего
давления сопротивление
металлов зависит от
давления так:
R = R0 (1 + k A/7),
Рис. 43. Чувствительные
элементы давления:
JJ -- поршневой; б —
мембранный; в — трубчатая пружина;
е — сильфон; д — колокол
87

Механический
чувствительный
элемент давления
а)
Омический R
чувствительный V—►
элемент давления
б)
Емкостный
чувствительный
элемент давления
в)
£ Рис. 44. Функциональные
"*" схемы чувствительных
элементов давления:
Электрокинетический]
чувствитель ный
элемент давления
а — механического: б — оми-
вых ческого; в — емкостного; г —
-*- электрокинетического
г)
где R0 — сопротивление при атмосферном давлении; Л/7 —
изменение давления; k — коэффициент, определяющий зависимость
электрического сопротивления от давления.
Для изготовления омических чувствительных элементов в
основном применяют ртуть и манганин.
Коэффициент k зависит от температуры (изменение температуры
на 100° вызывает изменение k на несколько процентов), поэтому
омические чувствительные элементы следует использовать при
постоянной температуре.
Некоторые пьезоэлектрические кристаллы под влиянием
гидростатического давления поляризуются по определенным
направлениям, причем поляризационный заряд зависит от приложенного
давления. Для чувствительных элементов давления используют
кристаллы винной кислоты, сахарозы, однако наиболее часто для
этой цели применяют турмалин. Недостатком таких чувствительных
элементов является зависимость выходного напряжения
чувствительного элемента от температуры окружающей среды
(пироэлектрический эффект). Например, для турмалинового кристалла
изменение температуры на 1° вызывает изменение выходного
напряжения, эквивалентное изменению давления на 1,3 ЛШа.
Электрокинетические чувствительные элементы (см. рис. 44, г)
основаны на электрическом взаимодействии жидкости с твердым
телом в месте контакта. Если жидкость находится в контакте с
твердым телом, то в пограничном слое между двумя веществами
возникает электрическое поле молекулярного слоя.
Такой измерительный элемент (рис. 45) состоит из пористого
фарфорового диска 4 и корпуса 5, наполненного полярной жидкостью
(ацетонил) 3. Под действием давления р на диафрагму 1 жидкость
проходит сквозь диск. Движение частиц жидкости сквозь
неподвижно закрепленный диск создает потенциал смещения между
сторонами диска. Эту разность
потенциалов снимают с диска с 'помощью двух
электродов из проволочной сетки 2.
Промышленные образцы электрокинетических
чувствительных элементов работают в
диапазоне давлений 0,6—60 Па.
Выходное напряжение
от давления р.
V,
линейно зависит
Рис. 45. Электрокинетический чувствительный
элемент давления

Чувствительный элемент давления поршневого типа (см. рис. 43, а)
состоит из цилиндра У, в который помещен поршень 2, нагруженный
снизу пружиной 3 и давлением регулируемой среды сверху. Если
пренебречь силами трения поршня о стенки цилиндра и массами
поршня и штока, то уравнение статического равновесия поршня
примет вид
pSn = F0 + bz,
где 5П — площадь поршня; F0 — начальное усилие пружины;
b — жесткость пружины; z — добавочная деформация пружины,
равная перемещению поршня.
Следовательно,
z = (SJb) р - FJb.
Так как начальное усилие пружины F0 = bz0y то
z = (Sjb) p — z0
или
z-z0 = z1 = (Su/b)p. (113)
Отсюда следует, что каждому значению регулируемой
координаты р соответствует вполне определенное положение поршня гг.
Применение таких чувствительных элементов целесообразно для
систем, в которых регулируемое давление передается через рабочее
тело с хорошими смазывающими свойствами. Такого рода
чувствительные элементы обладают большой перестановочной силой и
требуют после себя меньшего числа усилений по сравнению с другими
видами чувствительных элементов.
Для регулирования давления газовых или других сред, в
которых требуется применение герметичного чувствительного элемента,
используют чувствительные элементы с мембраной или сильфоном
(см. рис. 43, б и г).
В зависимости от значения измеряемого давления и условий
работы чувствительного элемента (рис. 43, б) применяют мембраны
различной формы из различных материалов (латуни, стали и др.).
Мембраны имеют существенный недостаток, связанный с тем,
что зависимость перемещения центра мембраны от давлений
оказывается линейной лишь в небольших пределах ее деформации. Эту
зависимость прогиба z в центре мембраны от давления р почти для
всех типов мембран (плоских и гофрированных) можно
аппроксимировать выражением вида
р = Ем [A (z/80) + В (г/б0)2 + С (z/60)3],
где Е — модуль упругости материала мембраны; 60 — толщина
мембраны; Л, В и С — безразмерные коэффициенты, являющиеся
Функциями толщины мембраны б0, радиуса мембраны R, типа и
Шубины гофрирования и числа гофров.
Для плоских мембран В = 0, у гофрированных мембран В ф О,
и это показывает, что прогиб гофрированной мембраны под
действием давления в одну сторону не одинаков с прогибом в проти-
89

h2>hi>0
Рис. 46. Форма гофров мембран:
- синусоидальные; б — круглые; в —
трапециевидные; г — треугольные
Рис. 47. Влияние формы и глубины
гофра на характеристики мембраны:
а — для различных форм гофра; / —
синусоидальные; 2 — трапециевидные; 3 —
треугольные; б —для различной глубины гофра
воположную сторону, так как при изменении знака у z и р этот член
своего знака не меняет. Функциональная связь р = f (z) зависит
также от заделки краев мембраны.
Для плоских мембран при свободной заделке
Р~ R* L 3(1-1*») вв + 7 U/J'
при глухой заделке
R* I
16г
+
1 (23 — 9|ы)
3(l-fi2)60 ^ 6 (l-|i)
an
где \i — коэффициент Пуассона.
Для получения достаточно больших перемещений центра
мембраны, линейно зависящих от давления, в металлических мембранах
выдавливают гофры различного профиля. Форма гофров оказывает
существенное влияние на линейность характеристики мембраны.
Основные формы гофров мембран показаны на рис. 46. Зависимость
между давлением и перемещением центра мембраны для различных
по форме и глубине гофров приведена на рис. 47.
Кроме металлических применяются также мягкие мембраны
из капроновой, шелковой и других тканей, пропитанных маслом
и бензостойкой резиной, или мембраны из резины и пластмасс.
Восстанавливающая сила (противодействующее усилие) создается
добавочным упругим элементом — пружиной.
У сильфонного чувствительного элемента упругим звеном
является сам сильфон (см. рис. 43, г), который представляет собой
тонкостенную гофрированную трубку, выполненную из упругого
материала. Характеристика сильфона, как и пружины, т. е.
зависимость перемещения от приложенной силы, линейна в относительно
узком диапазоне перемещений, но несколько большем, чем у
мембраны, поэтому сильфоны, как и мембраны, целесообразно
использовать при малых прогибах.
Восстанавливающая сила Е чувствительного элемента давления
поршневого, мембранного или сильфонного типа складывается
из усилия упругого элемента (пружины, мембраны, сильфона)
90

и в некоторых случаях силы тяжести подвижных деталей (поршня,
штока и др.).
Значение восстанавливающей силы определяется из условия
равенства работы эквивалентной силы на пути Az и работы
действующих сил на том же пути. Если пренебречь массой подвижных
деталей, то Е Az = F Az, и тогда Е -= F, где F — сила упругого
элемента (пружины, мембраны, сильфона).
Пусть F0 —- усилие предварительной деформации упругого
элемента, a b — его жесткость, тогда
Е = F0 + bz = Е(г;Ц). (114)
Следовательно, восстанавливающая сила является функцией
перемещения z муфты чувствительного элемента и предварительной
деформации \|э упругого элемента, т. е. его настройки.
Жесткость пружины определяется отношением
0пр— SDsn у
где GM — модуль упругости второго рода (модуль сдвига); d —
диаметр проволоки; D — средний диаметр навивки; п — число
рабочих витков.
Жесткость сильфона
1-Й
где цм — коэффициент Пуассона; £м — модуль упругости первого
рода; а — угол уплотнения; 60 — толщина стенки сильфона; п —
число гофров; Л0, Alt A2 и В0 — конструктивные коэффициенты.
Жесткость мембраны можно считать постоянной при
перемещениях, меньших толщины материала мембраны. Таким образом,
восстанавливающая сила Е для мембранных и сильфонных
чувствительных элементов линейно зависит от z в сравнительно узком
диапазоне перемещений.
Поддерживающая сила
C = pS*9 (115)
а) 6)
Рис. 48. Схема мембранного чувствительного элемента давления:
а •*> без жесткого центра; б •«* с жестким центром
91

Рис. 49. График зависимости восстанавливающей Е и
поддерживающей С сил чувствительного элемента
давления от перемещения г муфты
где р — регулируемое давление; SJ(J) —
эффективная площадь, воспринимающая
давление.
Для поршневого чувствительного
элемента (см. рис. 43, а) БЭф равна
действительной площади Sn поршня со стороны регулируемого; давления.
Для сильфонного чувствительного элемента (см. рис. 43, г)
5эФ = я(#н + /?в)74,
где #н, RB — наружный и внутренний радиусы гофров сильфона.
У мембранного чувствительного элемента эффективная площадь
зависит от конструкции мембраны (плоская или гофрированная)
и от способа заделки краев мембраны.
Приближенно эффективную площадь мембраны, изображенной
на рис. 48, а, можно определить, представив мембрану 2
разрезанной на элементарные секторы. Принимается, что р/3 давления на
площадь каждого элементарного сектора передается в центр, а 2р/3—
на внешнюю опору (заделку краев). Значение силы, передаваемой
центральному штоку 1У поэтому определится выражением
С = nR2p!3.
Отсюда следует, что для плоской мембраны с жесткой заделкой
краев эффективная площадь определяется соотношением
Язф = я#2/3 = SM/3,
где SM — действительная площадь мембраны со стороны
регулируемого давления.
Для того чтобы увеличить силу, передаваемую центральному
упору, среднюю часть мембраны 2 выполняют обычно жесткой с
помощью жестких шайб 3 (рис. 48, б). Для этой конструкции
значение силы, передаваемой штоку 1,
C = n(R2 + Rr + г2) р/3,
откуда
S* = я (R2 + Rr + г2)/3,
где г — радиус жесткого центра.
Радиус жесткого центра не должен превышать 80 % радиуса
мембраны.
Поддерживающая сила не зависит от перемещения муфты (поршня
мембраны, сильфона) чувствительного элемента и определяется
только изменением регулируемой координаты С = С (р).
Совмещение характеристик восстанавливающей Е и поддерживающей С
сил (рис. 49) показывает, что фактор устойчивости Fp подобных
чувствительных элементов всегда больше нуля.
92

Рис. 50. Различные схемы чувствительных элементов уровня:
а и в ■- грузового типа; б и г — манометрического
4. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ УРОВНЯ
Уровень жидкости может быть измерен различными способами,
основанными на выработке электрического сигнала, механическом
перемещении поплавка (см. рис. 1 и 50, а), изменении давления
(рис. 50, б, г), оптическими, акустическими или другими методами.
Функциональные схемы некоторых чувствительных элементов
уровня показаны на рис. 51.
Надежным способом измерения уровня является поплавок,
вес которого меньше подъемной силы, выталкивающей его из
жидкости. На поплавок 2 (см. рис. 50, а) действует усилие пружины 1
и вес поплавка Gn, поэтому восстанавливающая сила Е определится
суммой
E = Gn + F0 + bz = f(z;yp). (116)
Полученное выражение показывает зависимость
восстанавливающей силы Е от перемещения поплавка г и предварительной
настройки \|) [начальной деформации пружины 1 (см. рис. 50, а)]
чувствительного элемента (рис. 52, а).
Если принять, что поплавок имеет постоянное сечение S, а
уровень жидкости открытый (т. е. плотность среды над поверхностью
жидкости достаточно мала по сравнению с плотностью самой
жидкости), то поддерживающая (подъемная) сила поплавка определится
произведением
С = pS/i,
где S — площадь сечения поплавка; р — плотность жидкости,
в которую погружена нижняя часть поплавка; h — текущее
заглубление поплавка (см. рис. 50, а), определяемое выражением
h = h0 + Д# — Д*.
Рис. 51. Функциональные схемы
чувствительных элементов уровня:
? """ грузовых (см. рис. 50. а, в) и
гидростатических (см. рис. 50, г); б —
пневматических (см. рис. 50, б)
ГрузоВой
чувствительный
элемент
уровня
Пневматический]
чувствительный^
элемент
уровня
а)
6)
93

Ek
О)
G)
Рис. 52. Характеристики чувствительных элементов уровня поплавкового типа:
а — восстанавливающей силы чувствительного элемента с пружиной; б —
восстанавливающей силы чувствительного элемента без пружины (грузового); 1 — характеристики
восстанавливающей силы при различных затяжках пружины (настройках); 2 — то же, при
изменении жесткости; в — совмещенные характеристики восстанавливающей и
поддерживающей сил
Так как Д# = Н — Н0\ Н0 — z0 = h0 и Дг = z — z0f то h = Н — z.
Поэтому
С = pSh = pS (H — z) = С (Я, г). (117)
Поплавок находится в положении равновесия, если С — Е = 0.
Подставив в это уравнение (116) и (117), можно получить
pSh = Gn + F0 + bz.
Если чувствительный элемент без пружины (F0 + bz = 0), то
поддерживающей силе противодействует только сила тяжести
поплавка (Е = Gn) (рис. 52, б). Погружение поплавка в этом случае
постоянно, и его положение повторяет изменение уровня Н жидкости
h = GJSp.
При наличии пружины 1 (см. рис. 50, а) подъемной силе
противодействует не только вес поплавка, но и усилие пружины.
Перемещение поплавка поэтому меньше изменения уровня Н вследствие
разного заглубления поплавка Л:
2=*(pSh-Gn-F0).
График зависимости восстанавливающей и поддерживающей
сил от перемещения поплавка при неизменном уровне жидкости //
(рис. 52, в) показывает, что равновесие поплавка всегда устойчиво
и фактор устойчивости всегда больше нуля
дЕ
дС
^р-^---£- = * + 5пР
дг
дг
5. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ РАСХОДА
Объемный расход жидкости можно определить по формуле
Q = Sw, (118)
где S — площадь поперечного сечения трубопровода; w — скорость
движения жидкости.
94

Согласно уравнению Бернулли
w = У2 (pt - /?2)/р,
где р — плотность жидкости; (pt — р2) — перепад давления.
Следовательно,
Q = SV2(Pl-p2)/p.
При постоянной плотности жидкости ее объемный расход можно
определить путем измерения перепада давления до и после какого-
либо искусственно созданного суживающегося сечения площадью S.
При этом возможны два способа измерения расхода:
при постоянном сечении 5 измеряют перепад давления перед и
за сужающим устройством (рис. 53, а и б);
при постоянном перепаде давления измеряют площадь сужающего
устройства (рис. 53, в).
Объемный расход жидкости при постоянном сечении канала можно
измерить также трубками скоростного напора (рис. 53, г); путем
измерения скорости течения жидкости. Чувствительные элементы
этой группы основаны на использовании кинетической энергии
движущейся струи. Плоскость входного отверстия одной трубки
располагают перпендикулярно направлению скорости потока, плоскость
входного отверстия второй трубки — параллельно скорости потока.
Торможение потока в первой трубке повысит давление, равное сумме
динамического и статического давлений:
Pi = Рст + Рдин = Рст + о>2Р/2.
• AQ 1 2
Рис. 53. Различные схемы чувствительных элементов расхода:
а и б — переменного перепада давления; в — постоянного перепада давления; г — с
использованием скоростного напора (трубка Пито); д и е — с использованием объемного расхода
жидкости (механические); оа — с водосливом
95

Давление во второй трубке равно статическому давлению р2 (р2 =
= рст). Разность давлений (рг — р2), действующая с
противоположных сторон на упругий элемент (мембрану, усиленную
пружиной) (рис. 53, г), будет перемещать муфту под действием только
скоростного напора:
Рх — р2 = я>2р/2.
Чувствительные элементы такого типа называются
чувствительными элементами скоростного напора.
Объемный расход жидкости можно измерить и другими
способами. Если в поток жидкости поместить крыльчатку (рис. 53, д),
то скорость вращения крыльчатки при турбулентном течении
линейно зависит от объемного расхода. Следовательно, по частоте
вращения крыльчатки можно судить об объемном расходе жидкости.
Для такой же цели можно использовать частоту вращения вала
обращенного насоса объемного типа (зубчатого, винтового и др.)
(рис. 53, в). Наконец, о расходе жидкости можно судить по ее уровню
при сливе через преграду — водослив (рис. 53, ж).
Функциональные схемы таких чувствительных элементов расхода
показаны на рис. 54.
В чувствительном элементе расхода жидкости индукционного
типа (рис. 55) изоляционная трубка 2, по которой течет жидкость,
имеет два электрода 1. Трубка помещена в магнитное поле, индукция
которого В. Если жидкость протекает через трубку со средней по
сечению трубки скоростью w, то электрические заряды, движущиеся
вместе с жидкостью, образуют между двумя электродами разность
потенциалов
U = Bdw, (119)
где d — расстояние между электродами (внутренний диаметр трубки).
Соотношения (118) и (119) показывают, что
Q = ndW(4B).
(120)
Таким образом, измеряя разность
потенциалов при постоянных Bud, можно судить
о расходе жидкости Q.
Магнитное поле может быть как
постоянным, так и переменным в зависимости от на-
ЧудствительА
ный элемент
расхода

Чувствительный элемент
расхода
Q
а)
б)
Индукционный
^»—I чувстбительный
\ элемент
Рис. 54. Функциональные схемы чувствительных
элементов расхода:
а — с выходной координатой в виде перемещения (см. рис.
53, а, б, в, г, ою): б — с выходной координатой в виде
частоты вращения (см. рис. 53, д, е)
96
б)
Рис. 55. Схемы
чувствительного элемента
расхода жидкости
индукционного типа:
а — конструктивная; б —
функциональная

пряжения питания. Использование переменного тока устраняет
электрическую поляризацию электродов, но одновременно приводит к
появлению паразитного сигнала за счет емкости самого
чувствительного элемента и асимметрии распределения магнитной
индукции в жидкости и в проводах. Этот сигнал увеличивается с
возрастанием частоты.
Выходное напряжение U не зависит от характера потока
(ламинарный или турбулентный) и от профиля скорости потока, но
линейно зависит от скорости потока w, а следовательно, и от расхода Q#
Электрическая проводимость жидкости должна быть не менее
3,5-10"4 См.
Для регулирования тепловых двигателей наиболее часто
применяют чувствительные элементы расхода переменного перепада
давления и чувствительные элементы скоростного напора.
Перепад давления в патрубке 1 чувствительного элемента
расхода переменного перепада (см. рис. 53, б), создаваемый
дросселирующей диафрагмой 5, действует на мягкую мембрану 2,
нагруженную пружиной 3. Мембрана жестко соединена со штоком 4.
С изменением расхода меняется перепад давления, действующий
на мембрану и вызывающий перемещение мембраны, а следовательно,
и штока 4.
Восстанавливающая сила чувствительных элементов расхода
переменного перепада давлений и скоростного напора определяется
усилием упругого элемента (массой деталей, перемещающихся
вместе со штоком 4> во многих случаях можно пренебрегать). В
качестве упругих элементов применяют пружины, жесткие мембраны
или сильфоны. Однако чаще других используют мягкие
мембраны из ткани, пропитанной бензостойкой резиной, либо сильфон,
обеспечивающие достаточную герметичность, так как перемещения
жестких мембран только в очень узком диапазоне линейно зависят
от перепада давлений.
Таким образом, без учета массы перемещающихся деталей
Е = F0 + Ьг = Е (г; i|>).
Следовательно, восстанавливающая сила Е является функцией
перемещения г и предварительной настройки \|э чувствительного
элемента (см. рис. 52).
Восстанавливающая сила чувствительного элемента постоянного
перепада давлений (см. рис. 53, в) определяется только весом G
поплавка и штока, и, следовательно, Е = G = const не зависит
от перемещения поплавка (см. рис. 52, б).
Поддерживающая сила С чувствительного элемента расхода
создается перепадом давления {р1 — р2), воспринимаемого
мембраной или сильфоном.
Если для простоты рассуждений принять, что площадь мембраны
или сильфона одинакова с обеих сторон, то
С = (рг — р2) S0(j>,
гДе 5аф — эффективная площадь, воспринимающая перепад
давления.
В. И. Крутое и др.
97

Рис. 56. Характеристики поддерживающей силы
чувствительного элемента расхода:
1 — чувствительного элемента (см. рис. 54, б): 2 —
чувствительного элемента с постоянным перепадом давления
В зависимости от расхода жидкости (или
газа) и площади сужающего устройства
(диафрагмы или сужающей трубки)
поддерживающая сила
C = [icpS94bQ7(2s2),
где fxc — коэффициент расхода рабочего тела через сужающееся
устройство; р — плотность рабочего тела; s — площадь
трубопровода.
Для чувствительных элементов переменного перепада s = const,
поэтому поддерживающая сила не зависит от перемещения штока
чувствительного элемента (кривая 1 на рис. 56) и определяется
только расходом рабочего тела С = С (Q).
У чувствительных элементов постоянного перепада с изменением
перемещения штока поплавка изменяется s. Эта зависимость
определяется конструкцией поплавка и его седла. Подбором формы
поплавка эту зависимость можно сделать линейной. В этом случае
тогда С = С (Q; г) (кривая 2 на рис. 56).
Для чувствительных элементов скоростного напора С =
= pS3(|)Q2/(2s2), где s— площадь трубопровода, в котором
измеряется расход жидкости. Так как s = const, то и С = С (Q).
Фактор устойчивости для всех трех типов чувствительных
элементов оказывается положительным. Действительно, для
чувствительного элемента переменного перепада
дЕ и дС ~
1F = &; ^Г = 0^
поэтому Fp = Ь > 0.
Для чувствительного элемента постоянного перепада
поэтому Fp = fAcpS3<i)Q?/(a2?) > 0.
Для чувствительного элемента скоростного напора
Следовательно, статическое равновесие любого из
рассмотренных чувствительных элементов всегда устойчиво.
6. ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕМПЕРАТУРЫ
Для создания чувствительных элементов температуры
используют физические свойства тел, которые однозначно определяют их
температуру (тепловое расширение, изменение электрической про-
98

водимости, появление контактной термо-ЭДС, изменение интенсив-
ности излучения и т. д.).
Многие чувствительные элементы, принцип действия которых
основывается на тепловом расширении, преобразуют тепловую
энергию в механическую. В качестве выходной координаты в этих
элементах служит перемещение г. К таким элементам относятся
дилатометры, развивающие на выходе значительные
перестановочные усилия (рис. 57, а). Дилатометр в защитном кожухе 4
помещается в объем 7, температура которого измеряется. Действие его
основано на различных коэффициентах линейного расширения
стакана 2 и стержня 3. Вследствие этого изменение температуры на AT
приводит к смещению конца стержня 3 на Дг. Однако наиболее часто
для этих же целей используют тепловое расширение жидкостей,
паров или газов в термобаллонах (рис. 57, б).
Термобаллоны можно подразделить на три типа: 1)
термобаллоны, заполненные высококипящей жидкостью. В зависимости от
пределов измеряемой температуры в качестве заполняющей
жидкости применяют ацетон, ксилол, ртуть и др. Применение
чувствительного элемента этого типа ограничено температурами кипения
и застывания жидкости, заполняющей термобаллон; 2)
термобаллоны, заполненные газом, чаще всего азотом, но возможно и любым
инертным газом. Применение такого термобаллона ограничено
температурой сжижения заполнителя; 3) термобаллоны, заполненные
низкокипящей жидкостью, образующей в термобаллоне
насыщенные пары. В качестве заполнителя применяют фреон, бромистый
метил, диэтиловый эфир, воду и др. Применение ограничено
критической температурой жидкости и температурой ее застывания.
В термобаллонах (см. рис. 57, б) жидкость (или газ) находится
в замкнутом объеме, состоящем из объема термобаллона 1, капил-
Чубствительный
элемент
температуры
6)
Рис. 57.
Чувствительные элементы
температуры:
а — дилатометр; б —тер-
м баллон
99

ляра 2 и мембраны 3, помещенных в защитный кожух 4. Изменение
объема жидкости преобразуется в деформацию г мембраны
(манометрической пружины или сильфона).
Функциональная схема таких чувствительных элементов
температуры показана на рис. 57, в.
Термоэлектрические чувствительные элементы могут быть
основаны также на возникновении термо-ЭДС в спае разнородных
проводников (термопары) или на изменении сопротивления
проводников и полупроводников в зависимости от температуры (термометры
сопротивления). Эти чувствительные элементы имеют на выходе
электрический сигнал, который в дальнейшем усиливается и
преобразуется. В зависимости от уровня измеряемой температуры для
термопар применяют различные материалы. Наибольшее
распространение получили термопары медь—константан, хромель—ко-
пель, хромель—алюмель, платина—платинородий и др. ЭДС спаев
определяют по градуировочнои характеристике, которую получают
экспериментально. Для получения при той же температуре большей
ЭДС применяют батареи, в которых термопары соединены
последовательно.
Восстанавливающая сила чувствительного элемента температуры
с термобаллоном (см. рис. 57, б) и упругим элементом в виде
мембраны 3 определяется соотношением
Е = F0 + bz = E (z; \|>). (121)
Обычно настройку такого чувствительного элемента выполняют
только при установке 'и в процессе эксплуатации ее не изменяют,
т. е. \|) = const.
Чтобы уменьшить влияние изменения атмосферного давления
на показания чувствительного элемента, термобаллон заполняют
газом под давлением выше атмосферного.
Если термобаллон заполнен жидкостью, то нет необходимости
заполнять его под давлением, так как жидкость практически
несжимаема. В этом случае F0 = 0.
Поддерживающая сила возникает при изменении температуры,
вследствие изменения давления жидкости (или газа), которой
заполнен термобаллон, поэтому
С = Д/>5эф, (122)
где Др — изменение давления жидкости (или газа) термобаллона.
Давление жидкости (или газа) зависит от удельного объема и
температуры р = р (v\ Т), поэтому Ар = (-^Л Ду + (-^-) Д71.
Изменение удельного объема при постоянной температуре Ду =
= Д25эф/т0, где т0 — масса жидкости или газа в термобаллоне,
поэтому
*-(*)*.-£+(#)«••
Подстановка полученного выражения в формулу (122) дает
С=(-|-^ГДг + f )S3«, = C(Z; T). (123)
100

Таким образом, поддерживающая сила С чувствительного
элемента манометрического типа с термобаллоном зависит как от
температуры Т (регулируемой координаты), так и от перемещения
муфты г.
Величины -~- и -^ имеют определенный физический смысл.
Если производную -~ отнести к начальному значению давления, .
взятому при О °С, то получим температурный коэффициент
изменения давления
др_
дТ
Если производную -д— отнести к первоначальному объему,
взятому при давлении, принятом за единицу, то получим
коэффициент объемного сжатия
dv 1 о dp m0
5 = Р ИЛИ -^-= rrV>
dp v0 l dv V$
где V6 — объем термобаллона.
Подстановка полученных выражений в формулу (123) дает
С = yTpoS3b АГ - [S^/(V6p)] Дг. (124)
Подстановка выражений (121) и (124) в формулу (106) показывает,
что фактор устойчивости Fp манометрического чувствительного
элемента
/7р = Н-5э2Ф/(^бР)>0,
т. е. чувствительный элемент этого типа в состоянии равновесия
всегда устойчив.
7. СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Основным требованием, предъявляемым к чувствительным
элементам, является обеспечение определенной функциональной связи
между измеряемой величиной на входе (регулируемым параметром)
и изменением выходного сигнала.
В рассмотренных чувствительных элементах при непрерывном
изменении входной координаты х от xmln до лгтах выходной сигнал z
также изменяется непрерывно от zmln до гтах. Зависимость z =f (х)
называется статической характеристикой и определяется для
механических систем чувствительных элементов равенством
поддерживающей С и восстанавливающей Е сил в каждой ее точке. Иначе
говоря, статической характеристикой называется геометрическое
место точек равновесных режимов чувствительного элемента,
определяемых условием
С (*0; *ь) - Е (*<>; Ь) = 0- (125)
101

щ
Рис. 58. Статические
характеристики
чувствительного элемента:
а — построение статической
характеристики; б —
статическая характеристика
О Z; Z;Z3 li,
*)
Если аналитические зависимости С (z, х) и Е (г; г|)) в явном виде
отсутствуют, то в этом случае прибегают к графоаналитическому
способу построения статической характеристики. С этой целью
строят зависимости С = С (z) и Е = Е (г) для различных
значений х, затем эти зависимости совмещают на одном графике
(рис. 58, а). Равновесные положения муфты определяются точками
пересечения соответствующих характеристик. По этим точкам строят
(рис. 58, б) статическую характеристику — зависимость выходной
координаты z от входной координаты х.
Чувствительностью чувствительного элемента Л называют
отношение изменения выходной координаты z к соответствующему
изменению входной координаты х (регулируемой координаты), т. е.
наклоном статической характеристики. В целях обеспечения
постоянной чувствительности элемента стараются получить
статическую характеристику линейной или близкой к линейной в
заданном интервале изменения входной координаты. Формула (125)
является уравнением статической характеристики. При линейной
статической характеристике чувствительность
Л = (Zmax 2mln)/(*max *min) == A^max/A^max = COllSt.
При нелинейной статической характеристике чувствительность,
определяемая наклоном характеристики, меняется, поэтому вводится
понятие местной чувствительности Лм = -^- = var.
Чувствительность в точке хг (см. рис. 58, б) определится тангенсом угла наклона
касательной, проведенной в точке (zly xt) статической
характеристики:
*.-(#)_-**
В чувствительных элементах механического типа в реальных
условиях кроме восстанавливающей и поддерживающей сил на муфту
чувствительного элемента действуют силы трения без смазочного
материала, которые возникают в различных сочленениях подвижных
частей чувствительного элемента. Силы трения можно, как и все
остальные, привести к муфте и заменить эквивалентной силой
трения fT, причем ее направление всегда противоположно движению
102

муфты, а при неподвижной муфте эквивалентная сила направлена
против разности восстанавливающей и поддерживающей сил.
С учетом приведенной к муфте силы трения /т уравнение
равновесия сил, действующих на муфту, получит вид
С — Е ± /т = 0. (126)
Два знака перед силой трения /т взяты потому, что последняя
меняет свое направление при изменении направления движения
муфты.
С учетом соотношения (104) для чувствительного элемента
частоты вращения уравнение (126) примет вид
QlA(z)-E±fT = 0,
откуда можно определить Qp, соответствующую равновесию муфты
при одном и том же ее положении г = zx\
Таким образом, одному и тому же положению муфты
чувствительного элемента соответствуют две частоты вращения,
определяемые формулами
Q'vX = У(Е (гх) + U)IA (zx)\ Q'pi = V(E (z{) - fT)/A (zx)t
причем движению муфты в сторону увеличения Qp соответствует Qpi,
а в сторону уменьшения Qpi (рис. 59).
Таким образом, при изменении Qp от Qpi до Qpi муфта
чувствительного элемента не движется, т. е. чувствительный элемент не
реагирует в этом интервале на изменение частоты вращения. Поэтому
интервал (Qpi — Qpi) называется нечувствительностью.
Отношение интервала нечувствительности к средней частоте
вращения называется степенью нечувствительности
ер = (Q[ — Q'i)/QCp,
где Qcp = (Qmax + Qmln)/2.
Определив для каждого z от zmln до zmax значение интервала
нечувствительности, находят область нечувствительности,
заштрихованную на рис. 59.
В электрических чувствительных
элементах выходной координатой
является значение одного из
электрических параметров (напряжения,
частоты, тока, емкости, индуктивности и
ДР-)э зависящих от значений входной
координаты — регулируемой
координаты. В этом случае статической ха-
Ис» 59. Область нечувствительности
чувствительного элемента частоты вращения
7-лпп
Q'mn Я'J ^ Яп
103

рактеристикой является зависимость выходной координаты
(напряжения, тока, частоты и др.) от входной (регулируемой)
координаты.
8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Дифференциальное уравнение характеризует поведение
чувствительного элемента в переходных процессах при нарушении
установившегося режима. При составлении дифференциального уравнения
чувствительных элементов механического типа обычно используется
принцип Д'Аламбера. Для чувствительных элементов
электрического типа пользуются вторым законом Кирхгофа.
Пусть на муфту чувствительного элемента частоты вращения
действуют восстанавливающая сила Е и поддерживающая сила С.
Кроме того, в подвижных хорошо смазанных сочленениях
чувствительного элемента при нарушении установившегося режима обычно
появляются силы гидравлического трения Fr.
В некоторых случаях для улучшения процесса регулирования
гидравлическое трение усиливается с помощью катаракта (рис. 60).
В цилиндре /, наполненном маслом, перемещается поршень 2,
кинетически связанный с муфтой чувствительного элемента. Масло
перегоняется им из одной полости в другую через гидравлический
дроссель 5. Этим и обусловливается появление дополнительного
гидравлического сопротивления, значение которого изменяется
пропорционально скорости движения муфты чувствительного элемента
Гг и dt '
Значение коэффициента ft, называемого фактором торможения,
определяется обычно экспериментальным путем. Однако в
большинстве случаев катаракт в чувствительный элемент не вводится, так
как для его работы оказываются достаточными силы
гидравлического трения, действующие в подвижных сочленениях.
При нарушении установившегося режима работы муфта
чувствительного элемента приходит в движение. Если т — приведенная
масса всех движущихся деталей чувствительного элемента,
связанных в своем движении с муфтой, то уравнение динамического
равновесия, написанное в соответствии с принципом Д'Аламбера,
примет вид
С (О; г)-Е(г, ф) - *-§ = m-g-. (127)
Нелинейные функции С (Q; г) и Е (г; ф)
можно разложить в ряд Тейлора. После
линеаризации они получат вид
С (О; г) = С (Q0;z<>) + -§- А* + -£- АО;
Рис. 60. Чувствительный элемент частоты вращения с
катарактом
104

<p
ap
Y/(P)
YP"(P)
4*
£
s
"r
7"
Рис. 61. Структурная схема чувствительного элемента
Е(г; *) = £(г0; гЬ)+-^ Дг + ^Дф.
Подстановка их в уравнение (127) с
учетом уравнения (125) дает
После введения относительных отклонений от положения
равновесия ц = Дг/г0, ф = AQ/Q0 и ар = Д^/^о уравнение примет вид
mz° 4F + **°ТГ + fiA4 = Iq" qoT - -Щ- *IW (128)
где Fp — фактор устойчивости, определяемый выражением (106).
Путем деления правой и левой части уравнения на
коэффициент при выходной координате уравнению можно придать вид
или в операторной форме
dP (Р) Ц = *ф Ф — *P аР» (!30)
где собственный оператор чувствительного элемента
dp(p) = Tlp2 + TKp+\. (131)
В уравнениях (129) и (130)
Тр = j/^m/Fp — постоянная времени чувствительного
элемента, с;
Тк = dAFp — постоянная времени (гидравлического
трения), с;
кР~у~"дй—- — коэффициент усиления по регулируемой
координате, отн. ед.;
кр = -р- -g-г- — — коэффициент усиления по настройке
чувствительного элемента, отн. ед.
Коэффициенты усиления в уравнении (129) характеризуют
реакцию чувствительного элемента на изменения регулируемой
координаты к% и настройки /Ср.
При установившемся режиме работы чувствительного элемента
муфта неподвижна, поэтому -~- = -тг = 0, в связи с чем
уравнение (129) при неизменной настройке (ар = 0) получит вид
откуда коэффициент усиления
Яр = Т|/ф.
105

Путем деления всех членов уравнения (130) на собственный
оператор (131) можно получить передаточные функции
чувствительного элемента по регулируемой координате
*£ *?
Y* (р) = -pfy = 2 2 р (132)
и по настройке чувствительного элемента
к? к»
У?(р) = _р = , 2 р . (133)
pw rfp(P) r^p2 + rKp+l v ;
С учетом передаточных функций дифференциальное уравнение
чувствительного элемента будет иметь вид
Ч = П (Р) Ф + Ур (Р) «р = ЛФ + Ч*. (134)
Структурная схема чувствительного элемента, построенная в
соответствии с этим уравнением, представлена на рис. 61.
Для многих чувствительных элементов можно пренебречь
временем Тр, так как массу движущихся частей стараются сделать как
можно меньшей. Для электрических чувствительных элементов
(кроме чувствительных элементов температуры) можно пренебречь
еще временем катаракта Тю поэтому для большинства
чувствительных элементов электрического типа dp (p) = 1.

ГЛАВА V
УСИЛИТЕЛЬНЫЕ И СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1. НАЗНАЧЕНИЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА
УСИЛИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА
Простота систем прямого регулирования, выражающаяся в
небольшом числе элементов и связей, определяет их высокую
надежность в работе. Однако в ряде случаев применение системы прямого
регулирования может привести к существенному ухудшению
показателей качества автоматического регулирования объекта, а иногда
ее применение вообще невозможно. Так, рост усилий, необходимых
для перестановки регулирующих органов, при прямом
регулировании обусловливает увеличение инерционности чувствительного
элемента (например, увеличение массы грузов регулятора частоты
вращения). Естественно, что при этом снижается быстродействие
системы в целом. В результате динамические свойства САР могут не
обеспечить требуемого качества работы.
Эти обстоятельства определяют необходимость применения
системы непрямого регулирования, для чего в цепь чувствительный
элемент — регулируемый объект вводятся специальные
усилительные элементы, обеспечивающие усилия, требуемые для перестановки
регулирующих органов. Такие элементы в регуляторах
теплоэнергетических установок обычно называются серводвигателями.
Серводвигатель включает два устройства: исполнительный механизм,
вырабатывающий силовое воздействие за счет внешних источников
энергии, и управляющее устройство (рис. 62).
В качестве управляющих устройств (элементов управления)
серводвигателями используют различные
усилительно-преобразовательные устройства, основным назначением которых является
преобразование, а иногда и предварительное усиление сигнала г,
поступающего от чувствительного элемента, в сигнал х>
необходимый для управления исполнительным механизмом.
Исполнительный механизм непосредственно воздействует на
регулирующий орган объекта. В качестве исполнительных
механизмов в САР используют различные двигатели (гидравлические,
пневматические, электрические).
Таким образом, входной координатой серводвигателя является
выходная координата чувствительного элемента г, которая в
управляющем устройстве преобразуется во входную координату ИСПОЛНИ-
Рис. 62. Функциональная схема
усилительного элемента
Управляющее
устройство
Исполнительный
механизм
107

тельного механизма, а та в управляющее воздействие (выходную
координату исполнительного механизма), поступающее на вход
объекта регулирования.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ УСИЛИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для нормального функционирования усилительных элементов
к ним необходимо подводить внешнюю энергию, в качестве которой
целесообразно использовать энергию рабочего тела, применяемого
в самом регулируемом объекте, или энергию, которая является
следствием работы объекта. Например, при регулировании
газотурбинного двигателя внешней энергией для усилителя может быть
энергия воздуха, сжимаемого в компрессоре. Если в объекте
вырабатывается или используется электрическая энергия
(электрические серводвигатели), то она является наиболее целесообразной
для усилителя. В системах регулирования теплоэнергетических
установок рабочим телом часто служит масло, циркулирующее
в смазочной системе. В этом случае серводвигатели являются
гидравлическими.
Иногда системы регулирования оборудуют автономными
источниками энергии, если рабочее тело, вырабатываемое или
используемое в объекте, по своим свойствам или параметрам не удовлетворяет
требованиям, необходимым для работы серводвигателя. Например,
масло в смазочной системе теплового двигателя иногда нельзя
применить в серводвигателе в связи с недостаточным давлением или
значительным изменением вязкости при изменении температуры
в процессе работы, что приводит к изменению характеристик
регулирования.
Так как вид используемой энергии часто определяет основные
отличительные особенности усилительных элементов, то их можно
классифицировать по этому признаку, в соответствии с чем
усилительные элементы подразделяются на гидравлические (если рабочим
телом является жидкость), пневматические (если потребляют
энергию сжатого воздуха или другого газа), электрические (если
используют электрическую энергию) или смешанные (например, механо-
гидравлические, механопневматические, электрогидравлические,
электропневматические и др.).
В САР теплоэнергетических установок, особенно тепловых
двигателей, преимущественное распространение получили
гидравлические и пневматические серводвигатели. Они конструктивно просты,
имеют большие перестановочные усилия при малых габаритных
размерах и массе, малую инерционность и широкий диапазон
плавного изменения скоростей, высокую надежность и долговечность,
для гидравлических серводвигателей во многом обусловленные
применением рабочей жидкости с хорошими смазывающими
свойствами.
Вместе с тем такие устройства имеют и недостатки, к числу
которых следует отнести изменение характеристик серводвигателей,
связанное с непостоянством вязкости рабочей жидкости при изме-
108

нении температуры, сжимаемостью рабочего тела (для
пневматических серводвигателей), а также наличие утечек, что при
применении некоторых жидкостей создгет повышенную пожароопас-
ность.
3. УПРАВЛЯЮЩИЕ УСТРОЙСТВА УСИЛИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В САР теплоэнергетических установок наиболее часто применяют
механогидравлические, пневматические усилительные элементы,
управляющие устройства, в которых входное механическое
перемещение х преобразуют в изменение расхода Q или давления р
рабочей жидкости (газа) на выходе. Рассмотрим управляющее
устройство золотникового типа (рис. 63, я), в корпусе / которого
перемещается золотник с поршеньками 5. Если входной сигнал
отсутствует (г = 0), то поршеньки полностью перекрывают каналы 2,
соединенные с исполнительным механизмом, и рабочая жидкость от
насоса к исполнительному механизму не поступает (Q = 0). Рабочие
органы исполнительного механизма в этом случае неподвижны. При
смещении золотника, например, влево магистраль / соединяется
с напорной магистралью, а магистраль // — со сливом. Давление
в магистрали / увеличивается, а в магистрали // — уменьшается.
Разность давлений используется в исполнительном механизме.
По конструктивному исполнению золотники различают трех
типов: первый тип — ширина буртиков поршня превышает ширину
окон (отсечной золотник); тип второй — ширина буртиков равна
ширине окон (идеальный золотник); тип третий — ширина буртиков
меньше ширины окон, и в нейтральном положении между буртиком
и окном есть осевой зазор (проточный золотник). Изготовление
буртика золотника шириной, точно равной ширине окна,
технологически затруднительно. Наличие в отсечном золотнике перекрытия А
(см. рис. 63, а) понижает чувствительность серводвигателя, но
снижает утечки рабочей жидкости или газа. Серводвигатели с
проточными золотниками имеют большую чувствительность, но требуют
дополнительного непроизводительного расхода жидкости при
среднем (нейтральном) положении золотника.
Зависимость расхода Q жидкости (выходная координата) от
положения золотника z (входная координата) представляет собой
Рис. 63. Схемы механогидравлических (механопневматических) управляющих
устройств:
а — золотникового типа; б -» типа сопло — заслонка
109

о) 6) в) г)
Рис. G4. Статические характеристики управляющих устройств:
о — золотникового; / — при равенстве длины буртика золотника и ширины окна втулки
(линейная); 2 — при наличии перекрытия Л; 3 — проточного золотника; б — сопла-заслонки;
в — струйного; г — электрогидравлического преобразователя
Золотниковый
гидроусилитель
АРш
<*)
Струйный
усилитель
-1 2
ДРош Uynp
Усилитель
сопло - заслонка \
б)
Электрогидравли\
ческий
преобразователь
Ар
Рис. 65. Функциональные
схемы управляющих
устройств:
а — золотникового; б —
сопла-заслонки; в — струйного;
г — электрогидравлического
преобразователя
в)
г)
статическую характеристику (рис. 64, а) золотникового
управляющего устройства (рис. 65, а).
При подборе материалов для изготовления золотника и втулки
учитывается необходимость получения минимального трения между
ними. В этих случаях усилия, необходимые для перемещения
золотника, оказываются небольшими.
Управляющее устройство типа сопло-заслонка (см. рис. 63, б),
также широко применяемое в системах управления
теплоэнергетическими установками, состоит из неуправляемого дросселя / и
управляемого дросселя 2 с заслонкой 3. Рабочая жидкость (газ) через
нерегулируемый дроссель подается в междроссельную камеру,
которая соединена с магистралью, идущей к исполнительному
механизму. Если сопло полностью перекрыто заслонкой (входная
координата z = 0) (рис. 65, б), в междроссельной камере устанавливается
максимальное давление (выходная координата /?), и весь расход
идет через исполнительный механизм. По мере удаления заслонки
от сопла расход через сопло возрастает, а через исполнительный
механизм падает, вследствие чего выходная координата р
уменьшается (рис. 64, б). В этом устройстве отсутствуют трущиеся
поверхности, поэтому его чувствительность высока, а инерционность мала.
Однако в процессе работы мощность потока рабочей жидкости (газа)
в таком устройстве используется не полностью, так как часть
жидкости сливается через сопло и не попадает в исполнительный механизм.
Его выходная мощность меньше, чем золотникового.
В системах регулирования высокофорсированных
теплоэнергетических установок (например, в газотурбинных авиационных
двигателях) в качестве усилительных устройств используют устройства
пневмоники [8] (рис. 66). От источника питания струя газа подается
ПО

в камеру усилителя и при отсутствии или равенстве управляющих
пневматических сигналов рущл = Рупрг распределяется равномерно
в выходные каналы / и //, при зтом рВЫх1 =: Рвых2- Если увеличить
давление в одном из управляющих каналов, например pynpi, то это
приведет к отклонению струи в канал /, давление рвых1 возрастет,
а Рвых2 в канале // упадет. Таким образом, на выходе усилителя
(рис. 65, в) создается перепад давлений, пропорциональный
изменению давления в одном из управляющих каналов (рис. 64, в).
Коэффициент усиления таких усилителей невысок рвы^Рупр = 2-М,
и давление питания мало. Однако такие устройства имеют высокое
быстродействие и могут работать при высоких температурах. Их
используют в качестве предварительных усилителей в
пневматических серводвигателях.
В связи с применением в САР теплоэнергетических установок
электрических и электронных чувствительных элементов с
последующей передачей воздействия гидравлическим или пневматическим
исполнительным механизмом, возникает необходимость в
преобразовании электрического сигнала в механический или гидравлический.
Схема электрогидравлического
усилительно-преобразовательного устройства управления (рис. 67) состоит из двух симметрично
расположенных сопл 7, перекрываемых находящейся между ними
заслонкой 2. Заслонка выполнена заодно с якорем
электромагнитного реле 3. В зависимости от знака электрического сигнала £/упр,
приходящего с чувствительного элемента (рис. 65, г), включается
одна из катушек реле, якорь поворачивается вокруг оси О, и между
линиями / и //, идущими к исполнительному механизму ИМ,
создается перепад давлений Ар, пропорциональный поступающему на
вход электрическому сигналу £/упр (см. рис. 64, г).
В ряде схем управления теплоэнергетическими установками
применяют электрические серводвигатели постоянного и
переменного тока, обладающие такими преимуществами, как высокое
быстродействие, большой диапазон изменения частоты вращения выходного
вала, удобство сопряжения с чувствительными элементами,
имеющими электрический выход, удобство включения в схемы с
электронными управляющими машинами. Вместе с тем им присущи
и недостатки: большие, чем у
гидравлических серводвигателей,
масса и габаритные размеры, мень-
надежность вследствие чув-
шая
К ИМ
I
Д_Й f
Рупр2
От
насоса
К ИМ
л
О?
vaept
м
*=к
ъиупр2
Рис. 66. Схема струйного
управляющего устройства (струйного усилителя)
Рис. 67. Схема электрогидравлического
управляющего устройства
Ш

I 11^ 1
*l II
0вкч*е a~1
I R*4 TCh\
O- 1 til
Ubw
= C0
—о
a)
Рис. 68. Электронные усилители напряжения:
а — однокаскадный переменного тока; б — однокаскадный постоянного тока; в — однокао
кадный переменного тока на транзисторе
Рис. 69. Статические характеристики электрических управляющих устройств:
а — электронных усилителей; б — магнитного усилителя; в — электромашинного
усилителя
ствительности электронных схем к вибрациям, изменению
температуры и повышенной радиации.
Для управления электрическими исполнительными механизмами
используют электронные, электромашинные и магнитные
усилительно-преобразовательные устройства.
Однокаскадный электронный усилитель переменного тока
(рис. 68, а) усиливает напряжение переменного тока £/вх,
поступающее на его вход от чувствительного элемента, и преобразует его
в более мощный выходной сигнал £/вых переменного тока,
используемый для управления исполнительным механизмом. Как правило,
такие усилители делают многокаскадными для большего повышения
мощности выходного сигнала.
Примерный вид статической характеристики такого однокаскад-
ного электронного усилителя показан на рис. 69, а, а его
функциональная схема на рис. 70, а. До значения напряжения 0ВЫТ =
= (/нас усилитель работает в линейном диапазоне характеристики.
Ламповые усилители имеют высокое быстродействие и большой
коэффициент усиления (порядка нескольких десятков тысяч). Однако
необходимость больших затрат энергии для разогрева катодов
электронных ламп обусловливает их невысокий КПД и необходимость
отвода значительного количества теплоты. Кроме того, для
включения в работу ламповые усилители должны находиться в разогретом
112

состоянии в целях стабилизации параметров электронных ламп,
что приводит к ограничению их ресурса работы. В ламповых
усилителях постоянного тока (рис. 68, б) на выходе схемы появляется
некоторое напряжение £/вых при отсутствии входного сигнала Uux =
= 0, так называемый дрейф нуля в связи с нестабильностью
характеристик элементов усилителя. Это требует введения стабилизации
усилителя, усложняет схему и, следовательно, снижает надежность
работы.
Отмеченные недостатки привели к тому, что ламповые усилители
стали вытесняться усилителями на транзисторах (68, в и 70, а).
Такие усилители по сравнению с ламповыми имеют больший срок
службы, большую надежность, меньшие габаритные размеры и массу,
более высокий КПД, повышенную виброустойчивость, возможность
получения значительной выходной мощности (до нескольких сотен
ватт) при параллельном соединении, немедленную готовность к
работе после включения.
Расширяется применение полупроводниковых интегральных
схем. С помощью современной технологии в интегральных
микросхемах удается в малых габаритах разместить большое число
полупроводниковых элементов (транзисторов) и радиотехнических
элементов (резисторов, конденсаторов и т. п.), различное соединение
которых позволяет получить большое число (до нескольких сотен)
функциональных преобразований входного сигнала. Усилительные
блоки на основе микросхем обладают коэффициентами усиления
порядка 10°, выходной мощностью порядка 100 Вт и более, малыми
габаритными размерами и массой, высокой стабильностью
параметров, повышенной^ надежностью, малым потреблением энергии
питания [4, 20].
Для получения мощных сигналов управления исполнительными
механизмами (порядка десятков киловатт) в САР
теплоэнергетических установок применяют магнитные усилители (рис. 71). На
среднем стержне трехстержневого сердечника намотана катушка
управления Wyt а на крайних сердечниках — катушки нагрузки WHl
и Wu2. К катушке W7 подводится входной сигнал постоянного тока iy.
Катушки нагрузки соединены с источником переменного тока,
который, проходя по ним, создает в сердечнике переменный
магнитный поток, циркулирующий только по крайним стержням, так как
в среднем стержне переменные потоки от каждой из катушек
вычитаются один из другого. Это обусловливает отсутствие ЭДС
переменного тока, наводимой в катушке управления Wy> при отсутствии
Рис. 70. Функциональные ^вх
схемы электрических
управляющих устройств:
в — электронного усилителя ;
° — магнитного усилителя;
в — электромашинного
усилителя
ИЗ
Электронный
усилитель
Увь,
Магнитный
усилитель
IV
а)
5)
Электропашинный
усилитель
7)
ин

Kt %
го
'Л «л
Рис. 71. Схема магнитного усилителя
)9=const
Рис. 72. Схема электромашинного
усилителя
входного сигнала (/у = 0). При подаче на вход сигнала постоянного
тока 1У (см. рис. 71) в сердечнике создается постоянный магнитный
поток Фу, который, выходя из среднего стержня, разветвляется
и обходит крайние стержни, повышая степень их насыщения, что
приводит к уменьшению индуктивности цепи нагрузки и к
повышению тока нагрузки /н (выходного сигнала) пропорционально сигналу
постоянного тока iy на входе в усилитель (см. рис. 69, б).
Особенностью работы магнитных усилителей является наличие тока
холостого хода /н.х.х в цепи нагрузки при отсутствии входного сигнала
(iy = 0). Магнитные усилители, не имея подвижных частей, просты
по конструкции и обладают большой надежностью. Коэффициент
усиления по мощности достигает 1000. Вместе с тем они имеют малый
КПД, а также большую массу и габаритные размеры, их
быстродействие значительно ниже, чем электронных усилителей.
Функциональная схема такого усилителя приведена на рис. 70, б.
При необходимости получить мощный сигнал управления
исполнительным механизмом используют также электромашинные
усилители. Простейшим из них является генератор постоянного тока
с независимым возбуждением, вращаемый электродвигателем
(рис. 72). Входной сигнал UY подается на обмотку возбуждения,
а пропорциональный ему усиленный выходной сигнал Un
(рис. 69, в) снимается с клемм якоря. Преимуществом
электромашинных усилителей является малая чувствительность к
возмущающим воздействиям со стороны цепи нагрузки ввиду постоянства
частоты вращения якоря. К их недостаткам следует отнести большие
габаритные размеры и массу, а также малое быстродействие.
Функциональная схема электромашинного усилителя представлена на
рис. 70, в.
4. ИСПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МЕХАНИЗМЫ УСИЛИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В САР используют гидравлические, пневматические и
электрические исполнительные механизмы. Гидравлические и
пневматические исполнительные механизмы по конструктивному исполнению
подразделяют на поршневые, мембранные и роторные.
Рабочая жидкость или газ в поршневых исполнительных
механизмах поступают под давлением через золотниковые каналы к од-
114

Sm
1-A h;Pi
")
6)
Рис. 73. Поршневые гидравлические
исполнительные механизмы:
а — одностроннего действия а пружиной)
б — двустороннего действия
ному или обоим торцам
цилиндра / (рис. 73). Если по обе
стороны поршня 2 давление
одинаково, то поршень
неподвижен. При поступлении расхода
жидкости Q возникает перепад
давлений в полостях цилиндра,
и поршень перемещается в новое положение у. Посредством штока 3
(см. рис. 73) поршень приводит в действие регулирующий орган.
Функциональная схема поршневого исполнительного механизма
двустороннего действия представлена на рис. 74, а.
Равновесное состояние гидравлического исполнительного
механизма двустороннего действия (см. рис. 73, б) возможно лишь при
отсутствии расхода жидкости через золотниковые каналы (Q =
= 0, и поршень неподвижен), поэтому его статическая
характеристика (рис. 75, а) совпадает с осью ординат.
Входной координатой поршневого исполнительного механизма
одностороннего действия с пружиной (см. рис. 73, а) является
давление р рабочей жидкости на поршень. Усилие, создаваемое давлением,
преодолевает усилие пружины и перемещает поршень. Таким
образом, положение поршня у изменяется пропорционально давлению
(рис. 75, б). Наклон статической характеристики определяется
жесткостью пружины исполнительного механизма. Функциональная
схема такого исполнительного механизма дана на рис. 74, а.
В мембранном исполнительном механизме (рис. 76) жидкость
или газ под давлением р подаются от управляющего устройства
(золотника, сопло-заслонки и др.) по каналу L В корпусе 3
расположена мембрана 2, поджатая пружиной 4, Разность усилий,
создаваемая давлением рабочего тела и пружиной, заставляет мембрану
и связанный с ней шток 5 перемещаться в положение равновесия у.
Исполнительный
механизм
двойного
действия
о)
"U М
Исполнительный\
механизм
одностороннего
действия
Мембранный
исполнительнь1й
механизм
б)
в)
Ар
г)
Возвратно-
- вращательный
исполнительны^
механизм
Ар
Аксиально поршневщ
исполнительный
механизм
Рис. 74. Функциональные схемы гидравлических (пневматических) исполнительных
механизмов:
мембранного;
в — двустороннего действия; б — одностороннего действия с пружиной; в
г — возвратно-вращательного; д — аксиально-поршневого
115

Рис. 75. Статические характеристики
гидравлических или пневматических исполнительных
механизмов поступательного действия:
а — двустороннего действия; б — одностороннего
действия с пружиной и мембранного; ув — положение
поршня на верхнем упоре; у
к. У
— положение поршня на
нижнем упоре
Рис. 76. Мембранный
исполнительный механизм
а) 6)
Рис. 77. Роторные исполнительные механизмы:
возвратно-вращательным ротором;
поршневой
аксиально-
Статическая характеристика мембранного исполнительного
механизма представлена на рис. 75, б и функциональная схема
на рис. 74, е. Основным преимуществом таких механизмов является
отсутствие утечек рабочей жидкости или газа, так как мембрана
обеспечивает надежную герметизацию.
Исполнительный механизм с возвратно-вращательным ротором
(рис. 77, а) имеет лопасть 2, разделяющую полость корпуса 1 на две
изолированные части. Каждая из полостей сообщается с одной
из магистралей, идущих от устройства управления. Если в
подводящих магистралях создается перепад давлений А/?, лопасть
поворачивается вместе с валом, соединенным с регулирующим органом, и
занимает положение у, соответствующее равновесию сил, действующих
на лопасть.
Статическая характеристика такого исполнительного
механизма (рис. 78, а) имеет зону нечувствительности, обусловленную
трением в уплотнениях 3 (см. рис. 77, а), обеспечивающих
уменьшение перетечек между полостями. Его функциональная схема
представлена на рис. 74, г.
В системах автоматического управления применяют также
аксиально-поршневые исполнительные механизмы вращательного
действия (рис. 77, б). В неподвижном корпусе 1 помещен ротор 2,
в цилиндрических сверлениях которого могут перемещаться поршни
У\
У2
SI f
9t
-0Д).
max
Лр
Ар
*ft/>).
]тах
Рис. 78. Статические
характеристики роторных
исполнительных механизмов:
а — с возвратно-вращательным
ротором; б —
аксиально-поршневого; уи уг — крайние
положения лопасти 2
а)
б)
116

3 и 4, связанные через рычаги с наклонной шайбой 5. Через сверле-
ния в корпусе к поршням поступает давление рабочей жидкости
от элемента управления. Если, например, полость под поршнем 4
соединить с напорной магистралью, а полость под поршнем 3 с
магистралью слива, то поршень 4, отодвигаясь влево, провернет
ротор 2. При этом поршень 3 будет перемещаться вправо. Как только
поршень 3 займет крайнее правое положение, а поршень 4 — левое,
произойдет переключение магистралей, и цикл повторяется. Таким
образом, входной координатой механизма является перепад давлений
Д/7 в подпоршневых полостях. Выходной вал исполнительного
механизма при наличии перепада давлений Д/? получит вращательное
движение. Частота вращения Q вала (Еыходная координата)
пропорциональна давлению, подаваемому в полости поршней (рис. 78, б).
Для улучшения равномерности вращения ротора число поршней
увеличивают. Такие исполнительные механизмы имеют большую
выходную мощность при малых габаритных размерах и высокий
КПД.
Зона нечувствительности статической характеристики
аксиально-поршневого исполнительного механизма обусловлена
трением в поршнях. Функциональная схема аксиально-поршневого
исполнительного механизма приведена на рис. 74, д.
В качестве исполнительных механизмов электрического типа
используются электродвигатели постоянного и переменного тока
[10, 20]. Электродвигатели постоянного тока имеют большой
диапазон плавного регулирования частоты вращения выходного вала,
большой пусковой момент, высокий КПД. Промышленность
выпускает такие электродвигатели мощностью от сотен ватт до тысяч
киловатт.
Электродвигатели имеют электромагнитное возбуждение или
возбуждение от постоянных магнитов (рие. 79).
Управление электродвигателями с электромагнитным
возбуждением осуществляется путем изменения либо напряжения тока якоря,
либо напряжения возбуждения. Наибольшее распространение
получил первый способ, так как он позволяет получить лучшие
динамические характеристики исполнительного механизма. Второй
способ прост в осуществлении, но не обеспечивает большого
диапазона регулирования частоты вращения.
mL^UJ , *
i 4aLL#.
Рис. 79. Электрические исполнительные
механизмы постоянного тока:
J — с электромагнитным возбуждением;
о — с возбуждением от постоянных
магнитов
Рис. 80. Асинхронный двухфазный
эл ектродв и гател ь

Q
Электрический
исполнительный
механизм
Рис. 81. Функциональная
схема электрического
неисполнительного механиз-
ма
"" Рис. 82. Статическая
характеристика
электрического исполнительного
механизма
К недостаткам исполнительных механизмов, действующих на
основе двигателей постоянного тока, следует отнести наличие
коллекторов, что существенно ограничивает их применение при тяжелых
условиях эксплуатации (взрывоопасные и агрессивные среды,
пониженное или повышенное давление, относительная высокая или
низкая влажность и т. п.).
Из электродвигателей переменного тока в качестве
исполнительных механизмов наиболее часто используются двухфазные
асинхронные двигатели (рис. 80), преимуществом которых является
отсутствие щеток и коллектора, высокое быстродействие, простота и
стабильность усиления управляющего сигнала, осуществляемого
с помощью усилителей переменного тока. Двигатель имеет коротко-
замкнутый ротор и статор с двумя обмотками, намотанными так,
чтобы магнитные оси для двухполюсной машины были взаимно
перпендикулярными. Обмотка WB служит для возбуждения,
напряжение на нее поступает от источника переменного тока с
фиксированным напряжением UBy обмотка Wn является управляющей, на
нее поступает напряжение переменного тока той же частоты, что
и напряжение возбуждения, но через управляющий усилитель. Для
работы электродвигателя необходимо, чтобы возбуждающее Un
и управляющее Un напряжения были сдвинуты по фазе на я/2, для
чего последовательно с обмоткой возбуждения включается
конденсатор С. В этом случае появляется вращающееся магнитное поле,
которое, взаимодействуя с токами ротора, создает вращающий
момент, пропорциональный входному напряжению £/п. Таким
образом, частота вращения вала электродвигателя Q (выходная
координата) изменяется в зависимости от изменения входного сигнала UH.
Функциональная схема электрического исполнительного
механизма дана на рис. 81. Статические характеристики таких
исполнительных механизмов имеют зону нечувствительности (рис. 82).
Если масса и габаритные размеры привода не играют решающей
роли и, кроме того, скорость перемещения регулирующего органа
может быть постоянной (например, перемещение управляющих
стержней в стационарном ядерном реакторе), то в САР в качестве
исполнительных механизмов используют трехфазные асинхронные
двигатели переменного тока. Их отличает простота конструкции,
высокая надежность, большие выходные мощности.
В настоящее время в практику автоматического управления
внедрены шаговые электродвигатели. Благодаря дискретному
перемещению выходного вала они обеспечивают высокую точность
управляющего воздействия на объект.
118

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УСИЛИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Гидравлический серводвигатель с отсечным золотником
и двусторонним подводом рабочей жидкости
Золотники 2 серводвигателя (рис. 83) путем перекрытия каналов
управляют движением поршня 4 в цилиндре 3 исполнительного
механизма, связанного с регулирующим органом объекта. Шток 1
золотника 2 связан с выходом чувствительного элемента.
Равновесное положение поршня 4 серводвигателя поддерживается только
при перекрытии каналов золотниками. Если длина поршня
золотника совпадает с шириной канала, то равновесное положение поршня
устанавливается всегда при одном и том же значении входной
координаты х. Регулятор с таким серводвигателем стремится
поддерживать постоянное значение регулируемой координаты,
характеризуемое значением х = const.
Статическое равновесие поршня определяется равенством нулю
алгебраической суммы всех сил, действующих на поршень. Этому
равенству можно придать вид
ISiPn + SuPnl^N + lPTpl
где /?10, /?2о — давление в полостях I и II соответственно; Sj, Sn —
эффективные площади торцов поршня; N — внешняя нагрузка на
шток поршня; РТр — сила трения без смазочного материала,
действующая на поршень.
Поскольку поршень 4 может занимать в установившемся режиме
любое положение у> а положение золотника неизменно (х = const),
то статическая характеристика поршневого серводвигателя
двустороннего действия, являющаяся зависимостью выходной
координаты у от входной х, параллельна оси ординат (рис. 84).
В процессе движения динамическое равновесие поршня
серводвигателя определяется дифференциальным уравнением, которое
в соответствии с принципом Д'Аламбера можно представить в виде
mH^ = |S1/71-Sn/7^sgn^-|PTP|sgn^f----^H^-bHt/-^(135)
где тя — масса подвижных частей поршня и нагрузки, приведенная
к штоку поршня; Фн — коэффициент вязкого трения поршня и
нагрузки, приведенный к штоку поршня; Ьп — жесткость внешней
Рис. 83. Гидравлический ^.
серводвигатель с отсечным f
золотником и двусторон- Утах\ ~~?
ним подводом жидкости I
Рис. 84. Статическая ха- I
рактеристика гидравли- I
ческого поршневого серво- , | \ ж
двигателя двустороннего Утп /д /
действия
1*
IDlVJ 4
Sii Pi
I Pe
П9

нагрузки, приведенная к штоку поршня; sgn — знак + или —,
учитывающий направление движения золотника или знак скорости
поршня; pi и р2 — давление в полостях I и II соответственно.
Форма записи уравнения (135) зависит от направления движения
поршня, так как полости I и II могут соединяться то с магистралью
нагнетания, то с магистралью слива, в связи с чем знак разности
SiPi — SiiPu меняется.
Скорость перемещения поршня серводвигателя определяется
расходом рабочего тела через каналы золотника.При этом с достаточной
степенью точности можно принять условие неразрывности потока
рабочего тела, устанавливающее связь между секундным расходом,
идущим на заполнение освобождающегося при движении силового
поршня объема, и расходом через проходное сечение каналов,
пропорциональным положению поршней золотника.
При движении поршня 4, например, вниз (см. рис. 83) полость /
соединяется с напорной магистралью, а полость // — со сливной.
Уравнения неразрывности в этом случае примут вид
si w *= swiв "^i у\ (л - Pi);
II -^Г = SWll = ЛЧ1ц У -у (р2 - /?с),
(136)
где s — площадь проходного сечения канала золотника; тг и доп —
скорости истечения жидкости через сечение канала; р — плотность
рабочей жидкости; 2п — суммарное число каналов.
Если коэффициенты расхода для всех золотниковых каналов
одинаковы fx = jlxx = fxTI, а каналы золотника имеют прямоугольную
форму при ширине а, то s = ах.
С учетом принятых допущений уравнениям (136) можно придать
вид
Л1 = - S> (dyy ,
^ x»aV2*a \ dt 1 ^ Рю
2 (137)
__ su9 ,dyy
Подстановка соотношений (137) в уравнение (135) при движении
поршня вниз дает
/
(SipH — Supc — тн
dt*
dt цп Г p ^j^sj X.
(138)
В реальных CAP на шток поршня преобладающее воздействие
оказывает какой-либо один вид нагрузки, что позволяет не учитывать
те члены в уравнении (138), которые значительно меньше остальных
по абсолютному значению. Например, если преобладающей нагруз-
120

кой является постоянная сила N> то можно пренебречь членами,
учитывающими инерционную нагрузку, силы вязкого трения и
трения без смазочного материала и силу упругости.
В этом случае уравнение (138) примет вид
(1У ^ а | Г
dt /zfi I/
2_SlPn--SnPa-N Xm (1g9)
5? + 5fi
В процессе движения у = у0 + Ду и х = х0 + Ах, где у0 и х0 —
равновесные положения поршня и золотника. Подстановка этих
соотношений в уравнение (139) с учетом уравнения статического
равновесия дает
/:
р (Si + Sii) |iiV dby __ д
2(SiPn + SilPc-N)a* dt
Введение относительных координат &у/у0 = X; kxlxQ = £ и
допущения рн = const и рс = const позволяют представить
дифференциальное уравнение серводвигателя в виде
Гс-^- = С, (140)
где постоянная времени серводвигателя при перемещении поршня
вниз, с
Ус~ х0 у 2(SIPH-Supc-N)a* ' l1*1'
и дифференциальное уравнение серводвигателя при перемещении
поршня вверх
Г с -§- = £, (142)
где постоянная времени серводвигателя, с
--W
p(st + sfi)|iV
2(SiipH-Sipc + iV)a»
Выражения (141) и (143) показывают, что при выбранных
условиях постоянная времени серводвигателя Тс различна в зависимости
от направления движения поршня. Это обстоятельство используется
при конструировании привода к регулирующему органу. Обычно
меньшее значение постоянной времени серводвигателя выбирается
при движении поршня усилителя в сторону закрытия
регулирующего органа.
В ряде случаев усилия, развиваемые серводвигателем,
выбираются с таким запасом, что нагрузкой N по сравнению с усилием,
например SupH1 можно пренебречь. Если при этом площади поршня
в обеих полостях цилиндра одинаковы, то в соответствии с
формулами (141) и (143) Гс = Тс = Тс, тогда уравнения (140) и (142)
примут вид
П-§- = £- (144)
121

at
-Л
V
i /ч
A
f
</
к
Рис. 85. Скоростная статическая характеристика
гидравлического поршневого серводвигателя
двустороннего действия:
1 —- с идеальным золотником; 2 — с зоной нечувствительности
Полученное уравнение свидетельствует о
том, что скорость перемещения поршня
определяется относительным положением £
золотника (рис. 85). Если высота поршня золотника и ширина канала
совпадают (идеальный золотник), зависимость X = f (т)) оказывается
линейной (прямая 1). Для реальных отсечных золотников эта
характеристика имеет зону нечувствительности ±Д (прямая 2), так как
поршень начинает двигаться лишь после того, как будет выбрано
перекрытие (см. рис. 63, а). Наклон скоростной статической
характеристики определяется постоянной времени Тс и, следовательно,
зависит от нагрузки N на штоке поршня.
В операторной форме записи уравнение (144) имеет вид
dc [p) Я = С, (145)
где собственный оператор серводвигателя
do (Р) = ТсР. (146)
Передаточная функция серводвигателя
^W-asW (,47)
дает возможность изобразить структурную схему серводвигателя
(рис. 86).
Гидравлический серводвигатель с соплом-заслонкой
и односторонним подводом рабочей жидкости
Рабочая жидкость под давлением рн подается через
неуправляемый дроссель 5 (рис. 87) в междроссельную камеру, соединенную
с цилиндром исполнительного механизма магистралью 4. Часть
расхода, проходящая через сопло 6, зависит от положения заслонки,
связанной со штоком чувствительного элемента /. Если пренебречь
потерями давления в магистрали 4, то давление в полости цилиндра 2
можно принять равным давлению в междроссельной камере р.
Поршень 3 перемещается лишь при нарушении равенства между силами,
действующими на оба его торца и зависящими от давления р.
Давление определяется соотношением расходов через магистраль 4 и
сопло 6 и, таким образом, зависит от положения х заслонки, т. е. от
входной координаты серводвигателя. Установившийся режим
работы сопла с заслонкой при отсутствии расхода жидкости через
YS(p)
Рис. 86. Структурная схема усилительного элемента
(серводвигателя)
122

Рис. 87. Гидравлический серводвигатель с
соплом-заслонкой и односторонним подводом рабочей жидкости
исполнительный механизм определяется
равенством расходов через неуправляемый дроссель
и сопло при неподвижной заслонке
или
Ип«др V 2р (Ра ~ Ро) = ИчА*К2р (Ро - Рс). (148)
где [iH и (ic — коэффициенты расхода через
дроссель и сопло; sAP —площадь
нерегулируемого дросселя; sc = ndx — площадь,
открываемая заслонкой; d — диаметр сопла; х — координата заслонки,
отсчитываемая от торца сопла; рн и рс — давления нагнетания и
слива соответственно.
При сливе жидкости в атмосферу рс = 0 зависимость давления
в междроссельной камере р0 от перемещения заслонки х0 на
установившихся режимах (статическая характеристика управляющего
устройства типа сопло-заслонка) при рн = const получит вид
Рн
А> =
\ Цн$др /
(149)
Эта характеристика нелинейна (см. рис. 64, б), поэтому диапазон
перемещения заслонки подбирают таким образом, чтобы рабочие
режимы серводвигателя были близкими к точке А линейной части
статической характеристики [8].
Если предположить, что на шток поршня 3 (см. рис. 87)
действует лишь постоянная сила N, уравнение статического равновесия
поршня исполнительного механизма примет вид
Snp0±N = bny0t
откуда
5П , N
(150)
где Sn — площадь поршня; &п — жесткость пружины; у0 —
значение выходной координаты на установившемся режиме.
Таким образом, статическая характеристика исполнительного
механизма (см. рис. 75, б) определяется не только его
конструктивными параметрами, но и нагрузкой.
При движении поршня исполнительного механизма равенство
(148) нарушается, так как часть расхода поступает по магистрали 4
(см. рис. 87) в цилиндр. Уравнение расходов рабочей жидкости
в этом случае имеет вид
%- = Q4-Q<, (151)
123

где т — мгновенное значение массы рабочей жидкости в полости
цилиндра, причем т = Vp\ V — мгновенное значение объема под
поршнем при его движении; р — плотность рабочей жидкости;
Qh = Quo + AQh — мгновенное значение расхода в напорной
магистрали; Qc = Qc0 + AQC — мгновенное значение расхода в
магистрали слива.
Если плотность рабочей жидкости р переменна, уравнение (151)
можно представить в виде
^- = aQh-aQc
или
Po^ + V0^- = AQR-AQG. (152)
В соответствии с уравнением (148) QH = QH (p), Qc = Qc (p\ х),
поэтому
AQH = ■*=- Ар; AQC = ^Ар + ^-Ах. (153)
В общем случае процесс сжатия рабочей жидкости при движении
поршня осуществляется по политропному процессу с показателем п:
pp-n = PQP^n = const,
откуда
dp = -£»-dp = -£±-d&p. (154)
^ Роп н Роп н v '
Изменение объема под поршнем связано с его перемещением At/,
поэтому
AV = SnAy и dV = dAV = SndAy. (155)
Подставим соотношения (153)—(155) в уравнение (152), тогда
о ,. Ро dAp , / dQc dQn\An_ dQc д « dby
После перехода к безразмерным переменным Ау/у0 =Я; Ар/р0=
= а; Ах/х0 = £ уравнение управляющего устройства типа
сопло-заслонка получит вид
Туг -зг + 1ф = 1 — Ту2 -jf > О56)
где Ту1 = —-—до\ постоянная времени управляющего
устройства, с; ky = -—jStt коэффициент статизма управля-
(-■&ь
ЗпРоУо
124
ющего устройства; Т1г = ——Щ^ постоянная времени воз-

Рис. 88. Статическая характеристика серводвигателя с
соплом-заслонкой и односторонним подводом жидкости
действия со стороны исполнительного
механизма, с; Fc = -^- ^—фактор устойчивости
серводвигателя или в операторной форме
dy (Р) о = I - uv (p) К. (157)
Здесь dy (р) = Ту1р + ky — собственный оператор управляющего
устройства; ыу (р) = Ту2р — оператор воздействия.
Уравнение исполнительного механизма в соответствии с
уравнением (150) можно записать так:
Ay = b-Ap±-[L (158)
или после введения безразмерных переменных % = Ау/у0 и а =
Л = Кцм<* ± Мим, (159)
где ким:
Vo
— коэффициент усиления исполнительного меха-
N
низма; Л/им = -^ безразмерная нагрузка на штоке поршня.
Исключение из уравнений (157) и (159) внутренней координаты
серводвигателя а приводит к дифференциальному уравнению
d%
где Т,
(S-»n + PA)«
(160)
теля; kc
рсЬрУо
— постоянная времени серводвига-
— коэффициент статизма серводвигателя;
- относительное значение постоянной нагруз-
FCM
*»(-*)
ки, действующей на шток поршня.
В операторной форме уравнение (160) имеет вид
dc (р) К = £ ± N09 (161)
где dc (р) = (Тср + kc) — собственный оператор серводвигателя.
Деление на собственный оператор при Nc = 0 дает передаточную
функцию серводвигателя
У1{р)=1/(ТсР + 1ъ),
(162)
по которой можно построить структурную схему, приведенную
«а рис. 86.
125

Уравнение (160) при -тт- = 0 может быть использовано для
построения статической характеристики серводвигателя (рис. 88).
Так как
kc% = £ ± ЛГС,
TO -f- =-т — ±ЛГ ИЛИ У = 1Г X±N.
Уо «с *о «с
Электрический серводвигатель
с асинхронным исполнительным механизмом
Электрические усилительные элементы с асинхронным
электроприводом в зависимости от мощности элемента оборудуют
электронными или магнитными управляющими устройствами. Для
маломощных приводов в качестве управляющих устройств чаще
используют электронные управляющие устройства переменного тока
(см. рис. 68, а). Быстродействие таких устройств на несколько
порядков выше, чем других элементов САР, поэтому без внесения
большой погрешности можно пренебречь их инерционностью и
уравнение, связывающее входную и выходную координаты, записать
в виде
где т] = А(/вх/(/вх0 — относительное изменение входного
напряжения, эквивалентного изменению выходной координаты
чувствительного элемента; а = Д£/вых/£/выхо —относительное изменение
выходного напряжения усилителя; kY — коэффициент статизма
усилителя.
Передаточная функция электронного управляющего устройства
имеет вид
yj(rt=i/V (163)
Для получения мощных сигналов управления исполнительными
механизмами используют магнитные управляющие устройства,
которые усиливают сигнал чувствительного элемента и преобразуют
его из постоянного тока в переменный (см. рис. 71).
Уравнение статического равновесия обмотки управления
устройства в установившемся режиме имеет вид
(Яу + #ч.э)*у0 = *ч.э0. (164)
где /?у — активное сопротивление обмотки управления; R4t3 —
активное сопротивление электрического чувствительного
элемента; еч, а — ЭДС на выходе чувствительного элемента; /у — ток
в обмотке управления.
Если ЭДС чувствительного элемента изменяется
пропорционально регулируемой координате, ток в обмотке управления
меняется. Дифференциальное уравнение изменения тока управления
запишем следующим образом:
L* »ЧГ + W?4T + <*у + Яч. э) Ч = *ч.., (165)
126

где!ч.э — индуктивность выходной цепи чувствительного элемента;
WY — ампер-витки обмотки управления магнитного усилителя; Фу —
магнитный поток.
В свою очередь
Фу = sii0H,
где |ы0 — магнитная проницаемость сердечника; s — площадь
поперечного сечения сердечника; Н — напряженность магнитного поля.
Если предположить, что магнитное поле создается только током
в обмотке управления, то
гг_ о,4:пиуу
п— j ,
где / — длина магнитопровода.
Подстановка приведенных соотношений в уравнение (165)
приводит последнее к виду
I ^ч. э Н j ) —£- + (#ч. э + Ry) *у = еч. э-
В переходном процессе i7 = ty0 + Aiy и еч,0 = еч,.д 0 + Леч.э>
поэтому с учетом уравнения (164)
\L4.э Н iLJL. 1 -jJL + (R4tэ + Ry) Д*у = Деч.э.
Инерционностью электромагнитных процессов при передаче
сигнала от обмотки управления к обмотке нагрузки для линейного
участка статической характеристики магнитного усилителя (см.
рис. 69, б) можно пренебречь, тогда
Шп = kuRjMyi
где Д£/н — падение напряжения на сопротивлении нагрузки Rn;
ku — коэффициент усиления магнитного усилителя по напряжению.
При этих условиях
(г .OMlioWyS\ 1 dMJn , / R4.* + Ry\ мт _кр
^ч.еН } jjj^—t \-{ kuRy )Шк — ьеч%ь.
Входное напряжение управляющего устройства Uy является
выходной координатой чувствительного элемента еч.э, а выходное
напряжение Un — входной координатой исполнительного механизма.
Это дает возможность использовать следующие обозначения
относительных координат:
Agg.e _ &Uy . _ &UH
Г) = —=-7/ > °~ п
с учетом которых уравнение управляющего устройства с магнитным
усилителем получит вид
ry^ + V = Ib (166)
127

_ (L4 3 + OAnyL0Wls)Uu0
где Ту=-—:—г-n—z—Li — постоянная времени МаГНИТ-
Кй Ау^Ч. Э О
(R ' R ) U
ного усилителя, с; k„ =у ч;э1Гп у; 1Т0 — коэффициент статизма
магнитного усилителя.
В операторной форме уравнение (166) имеет вид
dy (р) а = г,, (167)
где собственный оператор магнитного усилителя
dy(p) = (T7p-\-ky)
и передаточная функция
Y*(p)=l/(Typ + k7). (168)
При — = 0 из уравнения (166) найдем выражение статической
характеристики магнитного усилителя по напряжениям входа ивы-
хода &у<т = т) и Un =-г-еЧфд. Деление правой части полученного
Ну
соотношения на (/?ч.э + Ry)> a левой на RH дает статическую
характеристику, представленную на рис. 69, б. Для работы усилителя
в линейной зоне характеристики входной сигнал не должен
превышать ЗНачеНИЯ tymax-
Электрический исполнительный механизм в виде асинхронного
двухфазного двигателя показан на рис. 80. Выходной координатой
его является частота вращения выходного вала Й, а входной —
напряжение на обмотке управления £/н, поступающее с выхода
управляющего устройства.
Установившийся режим работы Й0 = const такого
исполнительного механизма обеспечивается при условии
Мдо — Мс0 = О,
где МД0 — крутящий момент электродвигателя; Мс0 — момент
сопротивления.
При нарушении этого условия ротор исполнительного механизма
получит ускорение, и уравнение примет вид
J^ = MR-MC, (169)
где /д — момент инерции ротора (якоря электродвигателя) и всех
вращающихся вместе с ним частей.
Если пренебречь инерционностью электромагнитных процессов
в обмотках электродвигателя, то крутящий момент двигателя
определится соотношением
Л*д « 2ЛдйпоФнФв - 6дЙ (Фн + Фв)>
где Qu0 — частота вращения магнитного поля; Фв — магнитный
поток, обусловленный напряжением на обмотке возбуждения; Фн —
магнитный поток, обусловленный изменением входного напряжения
128

на обмотке управления; &д — коэффициент пропорциональности,
зависящий от конструктивных особенностей двигателя.
Так как UJUB = Фа/Фи иФя = UJUB, то
М
2knQ„^
Д'
gj5.i/.-w![i+(#)'] о.
В двигателях рассматриваемого типа Un < Ub> поэтому можно
принять (UJUB)2 ^Ои
Текущее значение крутящего момента определяется суммой его
значения в базовом установившемся режиме УИД0 и некоторым
приращением АУИд, поэтому
Мд = Мдо + АМд = 2^п°Фв UH0 - £дФ&о +
и ВО
Момент сопротивления Л1с зависит в основном от частоты
вращения ротора Й. С учетом этого условия
MC==MC0 + ^AQ. (171)
Если учесть, что Q = £20 + Д^> то после подстановки
соотношений (170) и (171) в уравнение (169)
j dAQ , / , ^-2 , дМС \ АП 2^Д^П0ФВ АГГ L ^2АП
или после перехода к относительным переменным AQ/Q0 =
= К\ MJa/UA0 = а уравнение примет вид
Ти1Л-^ + кИ1ЛК = ау (172)
ГДО Т'им = д ° °° постоянная времени исполнительного
2& Q Ф2£/ Л
^д^пО^в^нО
механизма, с; яим = 2 коэффициент статизма
2^д^пОФв^нО
исполнительного механизма.
В операторной форме
4м (р) Л = а, (173)
где собственный оператор исполнительного механизма
4м (/>) = (7"им/> + &им)>
5 В. И. Крутое и др. 129

тогда передаточная функция электрического исполнительного
механизма
Уравнение статической характеристики исполнительного
механизма (см. рис. 82) можно получить из уравнения (172) при условии
-т£ = 0, в этом случае уравнение (172) получит вид к^ = а,
откуда
О = ЦДш- (175)
Управляющее устройство и исполнительный механизм работают
совместно и в совокупности составляют усилительный элемент
(серводвигатель). По передаточным функциям (163), (168) и (174)
можно построить структурную схему серводвигателя (рис. 89, а).
Выходная координата управляющего элемента а является
внутренней координатой серводвигателя и может быть исключена из
рассмотрения путем составления дифференциального уравнения
серводвигателя в целом. Такое уравнение можно получить путем
совместного решения дифференциальных уравнений управляющего
устройства и исполнительного механизма.
Если в качестве управляющего устройства использовать
электронный усилитель, то совместное решение уравнений (163) и (172)
приводит к уравнению первого порядка вида
или в операторной форме записи
4(/>)Ь = ГЬ (176)
где dc (/?) = (Тср + kc) — собственный оператор серводвигателя;
kc = &у&Им — коэффициент статизма серводвигателя; Тс =* TnyLky —
постоянная времени серводвигателя, с.
По передаточной функции серводвигателя
ЯЮ=ТО = Т5ГП£ (177)
можно представить структурную схему серводвигателя одним
элементом (рис. 89, б).
t Если в качестве управляющего устройства использовать
магнитный усилитель, уравнение электрического серводвигателя получится
путем совместного решения уравнений (167) и (172):
7-о1-27 + *с* = я. (178)
Рис. 89. Структурная схема элек-
i. трического серводвигателя:
, . , , а — с асинхронным исполнительным
а) о) механизмом; б — с магнитным
усилителем
K/W
б
й-
flip)
ГГ.2 <РХ . rp
1 c2 IF + l cl
Д- -L
rfw
130

*t
I
J—^
0 eHJmax 6tf9
Рис. 90. Статическая характеристика электрического
серводвигатели
где Гс2 = ТУТИ1Л — постоянная времени
серводвигателя, с2; Тс\ = (Ту + Гим) — постоянная
времени демпфирования, с; kc
=kyknM—коэффициент статизма серводвигателя.
Передаточная функция такого серводвигателя
Г?(/7) =1Ш" = Tl^ + TclP + kQ
определяет структурную схему, приведенную на рис. 89, б.
Уравнение статической характеристики электрического
серводвигателя, показанной на рис. 90, получается из уравнения (179)
при -ттг = 0 и -7т = 0. При этих условиях kc% = г], откуда
(179)
Q = -r-e,
ч. э»
6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СЕРВОДВИГАТЕЛЕЙ
СО СТАБИЛИЗИРУЮЩИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Применение в системах автоматического регулирования
серводвигателей рассмотренных типов может привести к появлению
незатухающих колебаний регулируемой координаты в
установившихся режимах. Пусть, например, изменение выходной координаты
чувствительного элемента z и, следовательно, входной координаты
серводвигателя определяется графиком, изображенным на рис. 91
(кривая /). Выходная координата у гидравлического
серводвигателя, характеризующая воздействие на регулирующий орган объекта
в этих условиях, определяется кривой //. Величины z0 и у0
представляют собой значения входной и выходной координат серводвигателя
в установившемся режиме. Знаками + и — обозначены отклонения
регулируемой координаты и, следовательно, координаты z от
первоначального установившегося значения. Значения выходной у
координаты серводвигателя ограничены верхним и нижним упорами,
соответствующими положению поршня
исполнительного механизма в одном из
крайних положений у торцов цилиндра.
Предположим, что нагрузка на объект
изменилась скачкообразно. В силу
инерционности объекта, чувствительного и
усилительного элементов скорость изменения
регулируемой координаты и координаты г
будет ограниченной. Поэтому изменение коор-
Рис. 91. Колебания входной г и выходной у координат
гидравлического серводвигателя без стабилизирующих
элементов
5*
131

динаты z от установившегося до максимального значения произойдет
за определенный интервал времени (точки 0,1 на графике /).
Отклонение золотника гидравлического серводвигателя от первоначального
положения приведет к перемещению у поршня исполнительного
механизма (см. рис. 83). Если скорость поршня исполнительного
механизма постоянна, то за время отклонения координаты z от точки О
до точки 1 (см. рис. 91) поршень переместится от первоначального
установившегося положения до верхнего упора (точки 0', Г на
графике //) и передаст тем самым воздействие на объект управления.
Под влиянием этого воздействия значение регулируемой
координаты и координаты z начнет изменяться в сторону первоначального
значения z0. В точке 2 золотник пройдет положение равновесия,
и при дальнейшем его движении полости нагнетания и слива в
серводвигателе поменяются местами, что приведет к перемещению поршня
в обратном направлении (точки 2'—4' на графике //). На объект
подается управляющее воздействие с противоположным знаком, что
приведет к уменьшению отклонения регулируемой координаты
(точки 2—3) и к отклонению ее в противоположную сторону (точки
3—4). Точка 4 соответствует равновесному положению золотника,
поэтому, пройдя ее, золотник опять изменит ход поршня
серводвигателя (точка 4'), и процесс повторится. Это и приводит к
появлению незатухающих колебаний регулируемой координаты. Для их
устранения необходимо, чтобы в точках 2, 4 и других, если золотник
перекрывает каналы, значение регулируемой координаты
соответствовало заданному установившемуся режиму работы объекта.
Для улучшения динамических свойств отдельных элементов
и всей системы регулирования в целом применяют различные
стабилизирующие устройства. В качестве таких устройств часто
используют обратные связи, с помощью которых изменение выходной
координаты элемента или группы элементов, соединенных между собой,
передается на вход, где оно суммируется с входной координатой.
Если суммирование происходит с одинаковыми алгебраическими
знаками, обратная связь усиливает воздействие на серводвигатель
и называется положительной, если с противоположными —
уменьшает воздействие и называется отрицательной. Для целей
стабилизации используют отрицательные обратные связи.
Если сигнал обратной связи пропорционален изменению самой
выходной координаты, обратная связь называется жесткой, если
пропорционален скорости изменения (первой производной) этой
координаты, то обратную связь назовем изодромной. Существуют
также комбинированные обратные связи, включающие как жесткую,
так и изодромную обратную связь.
Серводвигатель с комбинированной обратной связью
Пусть серводвигатель гидравлического типа с золотниковым
управлением и двусторонним подводом рабочей жидкости оборудован
комбинированной обратной связью (рис. 92, а). Значение входной
координаты х управляющего устройства серводвигателя определяется
132

Ao-
/^b=^
T"
-^ВПИ-4-/2 Л'С
4
Рис. 92. Гидравлический
серводвигатель с
комбинированной обратной
связью:
— схема серводвигателя?
схема положений
рычага 4
не только выходной координатой z чувствительного элемента, но
и положением точки С, которое зависит от значения выходной
координаты серводвигателя у. Для этого шток 3 золотника соединяется
как с чувствительным элементом (в точке А), так и с точкой С при
помощи рычага 4 обратной связи. Точка С соединена с поршнем 12,
шток которого прикреплен к рычагу 15 через пружину 14. Поршень
12 перемещается в цилиндре 11 катаракта, полости которого
заполнены вязкой жидкостью. Надпоршневое и подпоршневое
пространства соединены между собой дросселем 5, сечение которого при
настройке работы можно изменять. Устройство, включающее
цилиндр 11 с дросселем 5, поршнем 12 и пружиной 14, называется
изодромом. Точка закрепления пружины изодрома Е перемещается
пропорционально изменению выходной координаты у серводвигателя
при помощи рычага 13.
Пусть вследствие уменьшения значения регулируемой
координаты точка А займет положение А'. Точка С в первый момент
остается неподвижной, так как малое проходное сечение дросселя 5
препятствует быстрому перетеканию жидкости из одной полости
Цилиндра // в другую. В связи с этим рычаг обратной связи 4
поворачивается вокруг точки С так, что точка В занимает положение В'
(рис. 92, б) и золотник 2 открывает каналы 6 и 9 цилиндра 5.
Канал 9 соединяется при этом с магистралью 1 нагнетания рабочей
жидкости, а канал 6 — с магистралью слива. Поршень 7 под
действием перепада давлений перемещается вверх вместе с цилиндром 11
изодрома и поршнем 12 (ввиду малого перетекания жидкости). Шток
133

последнего сжимает пружину 14, перемещая точку С вверх.
Одновременно переместится вверх точка Еу г рычаг 4 повернется вокруг
точки А\ перемещая точку В из положения В' вверх. Золотник 2
перекроет каналы 6 и 9, и поршень 7 остановится.
В этом заключается эффект отрицательной обратной связи:
движущийся под управлением золотника поршень серводвигателя
влияет на положение золотника, обеспечивая выключающее
воздействие (возвращая золотник в среднее положение). Это существенно
уменьшает колебания поршня, так как серводвигатель сам
управляет своим положением.
Однако рассмотренная часть работы серводвигателя еще не
приводит поршень 7 в положение равновесия, так как пружина 14
изодрома остается сжатой и, воздействуя на поршень 12 изодрома,
заставляет его перемещаться вниз. Вместе с поршнем 12
перемещается точка С, и рычаг обратной связи поворачивается вокруг
точки Л'. Золотник 2 серводвигателя смещается вниз, приоткрывая
каналы 6 и 9, а поршень 7 перемещается вверх, подавая на объект
управляющее воздействие. Процесс регулирования продолжается
до тех пор, пока все элементы серводвигателя не придут в положение
равновесия. Точка В в этом случае вернется в первоначальное
положение, при котором каналы 6 и 9 перекрыты золотником 2, пружина
14 изодрома не нагружена. Так как точка Е при этом может занять
положение £", соответствующее другому положению поршня 7,
точка С при полностью ненагруженной пружине 14 также займет
другое положение С, и, следовательно, точка А в положении
равновесия должна занять положение А'. Это возможно при новом
значении выходной координаты z чувствительного элемента, т. е. при
новом значении регулируемой координаты объекта. Таким образом,
каждому значению управляющего воздействия у серводвигателя
на регулируемый объект соответствует определенное значение
регулируемой координаты и соответственно определенное значение
выходной координаты z чувствительного элемента. Статическая
характеристика такого серводвигателя в связи с этим имеет некоторый
наклон (статизм) (рис. 93).
Из сказанного следует, что результирующее перемещение Ах
золотника 2 (см. рис. 92) в процессе работы определяется разностью
Ах = Axz — Дхс,
где Д#г — перемещение золотника 2 под действием изменения
выходной координаты z чувствительного элемента (поршень
серводвигателя при этом неподвижен); Дхс — перемещение золотника 2
под действием перемещения As точки С (точка
А рычага 4 при этом неподвижна).
Так как Д*2 = -j^ Дг; Ахс = -т^- As, то А* =
ВС А ав А
Рис. 93. Статическая характеристика серводвигателя с
комбинированной обратной связью
134

Введение относительных координат
Ах/х0 = £; Az/z0 = т|; As/s0 = £ (180)
приводит уравнение (180) к виду
с. вс z0 ав sq >
Ь ~~~ ЛС х0 ^ ЛС *0 6'
Если обозначить -T?T-2- = k1 и -^-£- = £2, то уравнение примет
вид
С = *Л - *2&. (181)
Если плечи рычага 4 (см. рис. 92, а) удовлетворяют условиям
уравнение (181) будет иметь вид
С = Л — 6- (182)
Шток поршня серводвигателя связан с рычагом 4 через изодром.
Если пренебречь инерционностью изодрома (ввиду малости),
уравнение динамического равновесия поршня 12 получит вид
F* + F* = 0, (183)
где Fn — усилие пружины 14 изодрома; FK — сила жидкостного
трения, возникающая при движении поршня 12 в цилиндре 11
катаракта.
Усилие пружины изодрома
Fn = blI3(As-AsE)y (184)
где AsE — перемещение точки Е рычага 15; Ьиз — жесткость
пружины 14 изодрома.
Сила жидкостного трения определяется соотношением
где W — скорость движения поршня 12 относительно цилиндра 11;
$н — коэффициент жидкостного трения.
Так как поршень 7 серводвигателя и вместе с ним цилиндр 11
и поршень 12 движутся в одну сторону, то относительная скорость
их движения определяется разностью W =--£ -^, тогда
Подстановка соотношений (184) и (185) в уравнение (183)
приводит его к виду
4^+мд5-д*в)=»„^
135

Перемещение точки Е рычага 15 определяется соотношением
а л ЕР
AsE = Ay-W9
поэтому
*к1§- + ЬаАв = Ьк±$+Ьп^Ау (186)
или после введения относительных координат
7,,^ + 6 = Г«Р,-§- + *Л (187)
Здесь Тх = ^к^из — постоянная времени изодрома, с; Р^ = y0/s0 —
коэффициент пропорциональности; ^с = —-щ; коэффициент
усиления изодрома по перемещению поршня серводвигателя
(координате у).
В операторной форме уравнение (187) имеет вид
(TiP+in=(TfitP + kc)^ (188)
Правая часть уравнения (188) содержит производную
отклонения и само отклонение выходной координаты серводвигателя,
поэтому усилительный элемент, показанный на рис. 92, имеет как
жесткую, так и изодромную обратную связь. Это обстоятельство
и определяет рассмотренную схему обратной связи как
комбинированную.
Разделив почленно правую часть уравнения (188) на оператор
(Ttp +1), можно представить его в виде
t = Y^(p)X + YUp)K (189)
где передаточная функция изодромной обратной связи
Y^(p) = T$iP/(TiP+l) (190)
и передаточная функция жесткой обратной связи
Y^(p) = kc/(TiP + l). (191)
В соответствии с уравнением (189) структурная схема
комбинированной обратной связи имеет вид, представленный на рис. 94.
Уравнение серводвигателя с комбинированной обратной связью
определяется совокупностью уравнений серводвигателя (145), рычага
обратной связи (182) и изодрома (188), которые составляют систему
(TiP + i)t = (T#iP + kc)X.j (iyz;
Входной координатой серводвигателя с комбинированной
обратной связью (см. рис. 92, а) является выходная координата г)
чувствительного элемента, а выходной — перемещение X поршня 7 (и
клапана 10) серводвигателя. Следовательно, координаты £ и £ являются
136

Рис. 94. Структурная схема комбинированной
обратной связи
внутренними, и для получения
дифференциального уравнения серводвигателя с
комбинированной обратной связью их следует
исключить путем совместного решения
системы уравнений (192). Это дает дифференциальное уравнение
второго порядка
Л
->—
1 А
>
у.)(р) I
Уи)(РП
r,7'e^. + (7-e + pl7-|)^ + U = 7'l^-+4
(193)
dt» i \* с i r-<- </ d,
или в операторной форме записи
[7\7>* + (Го + Р,Г,) р + Ао] й. = (Ttp + 1) т,.
Если обозначить собственный оператор серводвигателя с
комбинированной обратной связью
4, (р) = TcTiP* + (Гс + р,Г,) р + Ао (194)
и оператор воздействия
и0(р) = 7>+1, (195)
то уравнение (193) в операторной форме запишется так:
d0 (р) А, = «с (р) ц. (196)
Передаточная функция серводвигателя с комбинированной
обратной связью
7>+1
уУ\ I ч _ «с(Р)
ГсГгр2 + (Гс + ргГг) р + kc '
(197)
соответствующая ей структурная схема показана на рис. 95, а.
Если требуется раскрыть на структурной схеме обратные связи,
необходимо воспользоваться структурными схемами серводвигателя
(см. рис. 86) и комбинированной обратной связи (см. рис. 94),
совместное изображение которых дает развернутую структурную схему
серводвигателя с комбинированной обратной связью (рис. 95, б).
Если в уравнении (193) принять равными нулю все производные, то
можно получить уравнение
статической характеристики
серводвигателя с комбинированной обратной
связью kcX — ri или и = — -r-z
(см. рис. 93).
Уе(Р) Н*~ "1И§Н Ус(Р)
ГС
Vcfp)
УоЛс(Р)
Yu>(P) P
Уиз(р) И
в)
Yoi(P)
б)
г;
Рис. 95. Структурные схемы
серводвигателей:
а — свернутая; б — с комбинированной
обратной связью; в — с гибкой обратной связью; г —
с жесткой обратной связью
137

Серводвигатель с изодромной обратной связью
У серводвигателя с изодромной обратной связью (рис. 96) точка Е
закреплена неподвижно. При отклонении регулируемой координаты
от ее установившегося значения серводвигатель с изодромной
обратной связью работает аналогично серводвигателю с комбинированной
обратной связью. Однако так как один конец пружины / изодрома
закреплен неподвижно (точка Е), равновесие точки С наступает при
одном и том же положении — когда пружина не нагружена.
Положение равновесия поршня 2 возможно только при одном и том же
положении точки В (золотник 5 перекрывает каналы 3 и 4).
Поскольку точка А, определяющая положение муфты чувствительного
элемента, принадлежит жесткому рычагу 5, в установившемся
режиме работы она также должна занимать одно и то же
первоначальное положение. Это означает, что при наличии изодромной обратной
связи процесс регулирования должен длиться до тех пор, пока
координата чувствительного элемента не возвратится к
первоначальному значению, определяемому первоначальным значением
регулируемой координаты.
Следовательно, улучшая динамические свойства серводвигателя
(подавляя колебания поршня 2), изодромная обратная связь не
ухудшает точности регулирования (значение регулируемой
координаты на всех установившихся режимах остается одним и тем
же и не зависит от значения внешнего возмущающего
воздействия).
Сопоставление схем, приведенных на рис. 92 и 96, показывает,
что при отсутствии в серводвигателе жесткой обратной связи плечо
ED (см. рис. 92) оказывается равным нулю. Следовательно, при
наличии в серводвигателе только изодробной обратной связи kc = О,
и тогда дифференциальное уравнение (193) для рассматриваемого
случая примет вид
ГгГс^-+(Гс+р\7\-)-^ =
1 ' dt г 'l>
или в операторной форме
[TiTcp* + (Tc + $tTi)p]X =
= (7>+1)ть
(198)
или (196), где собственный оператор
серводвигателя
rfc(P) = 7',7'cp« + (rc + plr,)/»
и оператор воздействия
ис(р) = Ttp+ 1.
Рис. 96. Гидравлический серводвигатель
изодромной обратной связью
138

В соответстбии с уравнением (198) передаточная функция сербб-
двигателя с изодромной обратной связью
ис(р) 7>+ 1
Ус (Р) dc (p) Т]Тср* + (Тс + №ь) р
(199)
Структурная схема серводвигателя показана на рис. 95, а или
в развернутом виде на рис. 95, в.
Приняв в уравнении (198) производные равными нулю, получим
уравнение статической характеристики серводвигателя г) = 0 или
— = 0, что удовлетворяется при условии Az = 0, т. е. в устано-
вившемся режиме должна обеспечиваться неизменность выходной
координаты чувствительного элемента — неизменность регулируемой
координаты (см. рис. 84).
Серводвигатель с жесткой обратной связью
Жесткая обратная связь (рис. 97) осуществляется путем
соединения муфты чувствительного элемента (точка А) рычагом 4 (ABC)
со штоком золотника 1 и штоком 5 поршня 7.
Пусть точка А перемещается муфтой чувствительного элемента
вверх на Az.
Точка С в первый момент неподвижна, поэтому рычаг 4 повернется
относительно точки С, обеспечив смещение золотника 2 из среднего
положения вверх на Ахг (положение АС). Напорная магистраль 3,
в которой действует давление рн, соединяется через канал 6 с
верхней полостью серводвигателя 5, а сливная магистраль, в которой
имеется давление рс, соединяется через канал 9 с нижней полостью.
Поршень 7 перемещается вниз на Д#, воздействуя на регулирующий
орган 10. В связи с инерционностью регулируемого объекта можно
принять, что в начальный момент движения поршня положение
точки А (координаты чувствительного элемента) остается
неизменным. Поэтому движению поршня 7 вниз соответствует движение
золотника 2 в ту же сторону. Рычаг 4 в этом случае остановится
в положении А'С. Таким образом достигается эффект обратной
связи — изменение выходной у координаты серводвигателя влияет
на положение золотника. Равновесное
положение поршня 7 достигается при различных
положениях точки А (например, при Л'),
т. е. при разных положениях координаты
чувствительного элемента z и, следовательно,
при разных значениях регулируемой
координаты.
Сопоставление схем, приведенных на
рис. 92 и 97, показывает, что при наличии в
серводвигателе только жесткой обратной связи
точка С рычага 4 кинематически жестко свя-
Рис. 97. Гидравлический серводвигатель с жесткой
обратной связью
139

зана со штоком 5 серводвигателя. Такая связь на рис. 92 может
быть создана заменой пружины 14 жестким стержнем, т. е.
принятием жесткости пружины равной бесконечности. При выполнении
этого условия Tt = 0. Учет этого условия приводит уравнение (193)
к виду
Тс^+ксХ=ц (200)
или в операторной форме записи
d0 (P) А, = ть (201)
где собственный оператор серводвигателя
dQ(p) = Tcp + kQ.
Передаточная функция серводвигателя с жесткой обратной связью
(см. рис. 87) имеет вид
Уравнение статической характеристики получается из уравнения
(200), если принять производную равной нулю. Это дает &сА, = г),
&с—£-= — или y=—z (см. рис. 93).
Таким образом, жесткая обратная связь создает некоторый ста-
тизм работы серводвигателя, определяемый значением
коэффициента жесткой обратной связи kc.
Серводвигатель без обратной связи
В серводвигателе без обратной связи (см. рис. 83) чувствительный
элемент связан непосредственно со штоком ) золотника 2. Так как
в рассматриваемом случае z = их, где и — передаточное отношение
этой связи, которое в частном случае может быть равно единице,
то в относительных координатах Az/z0 = &х/х0 и т| = £. Подстановка
этого условия в уравнение (142) дает
Тс ^г = Л (203)
или в операторной форме записи
dc (р) Я, = Л»
где собственный оператор определяется выражением (147).
Передаточная функция серводвигателя без* обратной связи
Уравнение (203) можно получить и из уравнения (193), если
учесть в нем условия отсутствия гибкой (Tt = 0) и жесткой (kc = 0)
обратных связей. Принятие производной в уравнении (203) равной
нулю показывает, что статическая характеристика такого
серводвигателя определяется графиком, приведенным на рис. 84.
140

ГЛАВА VI
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ САР
1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ЭЛЕМЕНТОВ
Регулируемые объекты и их автоматические регуляторы
значительную часть эксплуатационного времени работают в
неустановившихся режимах, характеризуемых изменением всех или некоторых
их параметров во времени. Продолжительность работы
регулируемого объекта или регулятора в неустановившихся режимах
определяется их динамическими свойствами, т. е. способностью
переходить из одного режима в другой или возвращаться к работе в
заданном, но нарушенном установившемся режиме.
Следовательно, динамические свойства элементов САР
определяются переходным процессом. Чем меньше времени занимает
переходный процесс, чем меньше отклонение параметров от
заданных значений, тем выше динамические свойства элемента. Поэтому
для оценки динамических свойств необходимо либо построить
переходный процесс, либо определить значение некоторых
вспомогательных параметров, характеризующих этот переходный процесс.
Наиболее полное представление о динамических свойствах элемента
дает анализ протекания переходных процессов, для построения
которых необходимо знать дифференциальное уравнение элемента.
Решение этого уравнения (общий интеграл) является математическим
выражением переходного процесса.
Ранее были получены дифференциальные уравнения
регулируемых объектов, автоматических регуляторов и их основных
элементов. Например, дифференциальные уравнения таких элементов
(регулируемых объектов), как двигатель внутреннего сгорания (22)
или в операторной форме записи (23), холодильная камера (76)
или (77), резервуар (80) или (81), ресивер (61) или (62),
турбокомпрессор (49) или (50), серводвигатель с жесткой обратной связью (200)
или (201), представляют собой линейные дифференциальные
уравнения первого порядка, неоднородные с постоянными
коэффициентами. Для оценки динамических свойств всех названных элементов
достаточно рассмотреть переходные процессы одного из них,
например двигателя [см. выражения (22) или (23)].
При построении переходных процессов удобно пользоваться
принципом суперпозиции. Смысл его заключается в том, что
переходный процесс ф = / (t), являющийся результатом одновременно
воспринятого сложного возмущения КоХ + КоРк — к?ао> может быть
получен в виде алгебраической суммы трех переходных процессов,
появляющихся вследствие раздельного воздействия на двигатель
возмущения /СоХ, Корк или —/СоОСо- Поэтому вместо решения диффе-
141

ренциального уравнения (22) можно найти решения
дифференциальных уравнений
Г0^- + Ф = кп*;
(205)
dt
в виде зависимостей
Фк=/ (0; Фк=/ (0; фа = / (0.
которые следует затем просуммировать:
Ф (0 = Фх (0 + Ф* (0 + Фа (0-
Так как характер переходного процесса, описываемого
уравнением (22), определяется его левой частью, а правая часть дает лишь
значение возмущающего воздействия, то для оценки динамических
свойств элемента нет необходимости находить общий интеграл
уравнения (22), достаточно решить одно из уравнений (205), например
первое, которое в операторной форме записи имеет вид
Ь (р) у = fix. (206)
Динамические свойства серводвигателя без обратной связи
характеризуются дифференциальным уравнением (203) или (204),
поэтому для анализа динамических свойств таких элементов
необходимо найти общий интеграл уравнения (203).
Динамические свойства значительной части элементов
характеризуются линейными неоднородными дифференциальными
уравнениями второго порядка. К числу таких элементов относятся
чувствительные элементы автоматических регуляторов. Если
воспользоваться принципом суперпозиции, то для анализа динамических
свойств таких элементов достаточно выбрать уравнение (129) и
записать его в виде
**р$- + Г«-$- + Ч = к?ф. (207)
Динамические свойства комбинированного двигателя с
автономным газотурбинным наддувом [см. уравнения (84) или (89)],
серводвигателя с комбинированной обратной связью [см. уравнение (193)]
характеризуются также линейными неоднородными уравнениями
второго порядка, но с производными в правой части уравнения.
Переходные процессы элементов, динамические свойства которых
характеризуются дифференциальными уравнениями более высоких
порядков, будут рассмотрены в последующих главах.
Для построения переходного процесса должен быть найден общий
интеграл дифференциального уравнения элемента. Будем называть
все элементы, дифференциальные уравнения которых имеют первый
порядок, элементами первого порядка и т. д.
142

Рис. 98. Переходные процессы элементов первого порядка:
а — гидравлического серводвигателя без обратной связи при ступенчатом возмущении {х\ *=
= tib = const); / — Я, = f (t) при Гс1; 2 — Я, = f (t) при Гс2 > Гс1; 3 - Я, = /(f) при Гс3 >
> ^сг» * — Л — / (*); б — регулируемого объекта при различных значениях Т0; 1к=*
= /(/): 2 - ф = f(0 при Г01 > Т0; 3 - ф = / (/) при Г0; 4 - ф = / (/) при Г02 < 70; в -
регулируемого объекта при различных значениях коэффициента усиления к*; / — ф =
= f (0 при к*х < Kq2; 2 — ф = f (t) при /с^з; 3 — ф = f (t) при /c^; 4 - Ф =/ (*) при F0 =
= 0; 5 — ф = f (t) при F0 < 0
Как уже отмечалось, к элементам первого порядка относится
серводвигатель, дифференциальное уравнение которого имеет вид
(203).
Возмущающим воздействием на серводвигатель является
перемещение г] золотника. Пусть функция т) (t) — ступенчатая. При
t = +0 имеем г) = г)в = const; X = 0; ^ Ф 0. Интегрирование
уравнения (203) показывает, что начальное перемещение золотника
г)в = const (зависимость 4, рис. 98, а) вызывает линейное по
времени перемещение поршня серводвигателя (прямые /, 2, 3 на
рис. 98, а) X = (г)в/Тс) t.
Значения выходной координаты X являются интегралами
значений входной координаты г). Поэтому элементы, переходные процессы
которых описываются уравнением типа (203) или (204), называются
интегрирующими.
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
Г°1Г + <P = *S* (208)
Дает возможность построить переходный процесс <р = / (t) и
выяснить влияние на этот процесс параметров объекта.
Уравнение (208) неоднородное, поэтому общий интеграл его оты»
скивается в виде суммы общего интеграла <род однородного уравне*
ния и частного интеграла фв неоднородного уравнения: ф = фод +
143

Общий интеграл однородного уравнения можно найти в форме
ф0Д = Сер/,
где С — постоянная, определяемая начальными условиями; р —
корень характеристического уравнения Т0р +1=0, откуда р =
= -1/7V
Следовательно,
фод==Се-'/го.
Частный интеграл неоднородного уравнения отыскивается в форме
правой части уравнения, определяемой выбранным возмущающим
воздействием. Пусть при t = +0 имеет место ступенчатое
возмущающее воздействие (зависимость / на рис. 98, б), при котором и =
= хв = 1 (/) = const. При таком воздействии частный интеграл
отыскивается в форме постоянной величины фв = Св. Подстановка
Ф = Св = const в уравнение (208) дает Св = к* при хв = 1 (t)>
поэтому
Ф = /£ + Се-'/г°.
Так как при t = +0 и ср = 0, то С = —д£, тогда
Ф = к*(1 _е-//го). (209)
Полученное выражение показывает, что переходный процесс
(см. рис. 98, б), описываемый дифференциальным уравнением вида
(208), является апериодическим экспоненциальным.
Дифференцирование выражения (209) по времени дает
_^Р = _^_ е-//г<>. (2Ю)
dt T<
о
Следовательно, чем выше инерционность объекта (больше Т0),
тем медленнее изменяется его координата ф при заданном
ступенчатом возмущающем воздействии хв = 1 (t) (см. кривые 2, 5, 4
на рис. 98, б). Переходный процесс протекает так, что при t = +0
и ф = 0, а при /-* оо ф-> Ко. Чем выше положительное значение
коэффициента усиления д£, тем больше новое установившееся
значение исследуемой координаты ф отличается от ее значения в
установившемся режиме до возмущения (см. кривые /, 2, 3 на рис. 98, в).
Фактор устойчивости регулируемого объекта F0 может иметь
как положительные, так и отрицательные значения при F0 < 0
и Т0 < 0. В этом случае производная (210) с течением времени
увеличивается, и переходный процесс имеет вид кривой 5, объект при
возмущающем воздействии не имеет нового установившегося
режима, так как объект является неустойчивым и не может работать
без автоматического регулятора. Если F0~* 0, то Т0-> оо и е~"'/г° ->
-► 1. Следовательно, производная (210) в этом случае становится
постоянной в течение всего переходного процесса (кривая 4 на рис. 98, в).
При положительном значении Т0 переходный процесс является
сходящимся.
144

Аналогичные рассуждения могут быть приведены применительно
к серводвигателю с жесткой обратной связью, переходные процессы
которого описываются дифференциальным уравнением (200).
Сопоставление переходных процессов, приведенных на рис. 98, а и б,
показывает, что дополнение серводвигателя жесткой обратной связью
делает его устойчивым.
Для анализа динамических свойств элементов второго порядка
можно выбрать дифференциальное уравнение (207)
автоматического регулятора прямого действия. При ступенчатом возмущающем
воздействии изменение входной координаты регулятора происходит
так, что при t < —0 ф = 0 и при t > +0 <р = <рв = 1 (t) = const.
Поэтому уравнение (207) при неизменной настройке регулируемого
режима (ар = 0) имеет вид
Тр"Ж + Г^ + Л = ^Фв- (211)
Это уравнение неоднородное, поэтому решение его ищут в виде
суммы л = ЛоД + Лв-
Общий интеграл т)0д = / (/) однородного уравнения
^ + Тк^ + Ч = 0 (212)
имеет вид
Лад^хе^ + С.е'»', (213)
где Сх и С2 — константы интегрирования, зависящие от
начальных условий; pi и р2 — корни характеристического уравнения
ТУ+ Ткр+1=0, (214)
получаемого после подстановки в уравнение (212) выражения г) =
= СеР*.
Решение характеристического уравнения имеет вид
Pu2 = ^-{-Tk±Yt2k-4T2p). (215)
Частное решение неоднородного уравнения (211) находят в форме
правой части (постоянной величины), поэтому при фв = 1
т|в = к?. (216)
Суммирование решений (213) и (216) дает общий интеграл
неоднородного дифференциального уравнения (211) в виде суммы
r^/cJ + Cie^ + Cae*'. (217)
Для определения значений констант интегрирования Сг и С2
необходимо задать два начальных условия. Если принять, что до
возмущения регулятор работал в установившемся режиме, то его
муфта при t = +0 занимала равновесное положение rj (0) = 0 и
была неподвижна, т. е. -5 = 7l' (0) = 0. Подстановка принятых
145

Рис. 99. Переходные процессы элемента второго порядка:
а — апериодические переходные процессы; / — составляющая к
Ф Pi
JM.
Р fl.-.
Рг—Pi
2 —
составляющая /cfj е ; 3 — переходный процесс при Гк>27'п; 4 — переходный процесс
к Рг—Pi р
при Гк1 < Гк; 5 — переходный процесс при Гк2 < 7^; б — колебательный переходный
процесс; 1,3 — огибающие экспоненты Аеа*; 2 — колебательная составляющая Aea^s\n((Ot -f-
4- V)l 4 — переходный процесс при Гк; 5 — переходный процесс при Гк1 < Гк; в — серво*
двигателя с комбинированной обратной связью
значений начальных условий в общий интеграл (217) при / = +0
приводит к двум уравнениям
Ci+C2:
vp>
CiPi+C2P2 = 0,
совместное решение которых дает
Ci = -/cS
Р2
Pi — Pi
С2=к%-
Pi
I —Pi
(218)
С учетом полученных значений констант интегрирования общий
интеграл (217) приводится к виду
Л = Кр(
Р2
JM
Р2 —Pi
Pi
Р2 —Pi
П,Л
Характер переходного процесса зависит от выбранных значений
параметров Тр и Тк. Если выполняется усчовие Тк > 2ТР, то
корни /?! и /?2 характеристического уравнения (214) оказываются
вещественными отрицательными числами, причем \р2\ >\рх\.
Переходный процесс в этом случае апериодический (кривая 3
на рис. 99, а). Он складывается из суммы трех составляющих
/Ср> ( — /Ср
P2 — Pl
"');
pi
Рг — Pi
J>*t
Первая из них величина постоянная, характер двух последних
показан на рис. 99, а (кривые 1,2). Чем больше значение
подкоренной разности в формуле (215), тем длительнее переходный процесс.
За счет уменьшения Тк можно сократить время переходного процесса
(см. кривые 4 и 5 на рис. 99, а).
146

Если параметры регулятора подобраны так, что выполняется
условие Тк < 27^, то корни характеристического уравнения
становятся комплексными сопряженными:
Рь2 = « ± i<*> (219)
где
а =
£•. -=^-V<-^
Общий интеграл (217) в этом случае
х\ = щ>-\-ъ (C\t +С2е ),
а константы интегрирования (218) с учетом (219) будут
г ф а + /со
С* — *Р 2/со *
Так как по формулам Эйлера
еш = cos со/ + i sin со/;
(220)
= cos со/ — t sin со/,
(221)
(222)
(223)
то
г, = к1 + еа/ [(Ci + С2)cos <°' + ' (ci - с2) sin со/]
или с учетом выражений (221)
rj = Кр + еа/ (ftp cos со/ — /Сра/со sin со/).
После введения обозначений
(224)
к® = A sin 7; — Кра/со = A cos 7,
где
(225)
(226)
Л = ^]Л+а7со2;
Y=arctg(—со/а),
общий интеграл (224) будет иметь вид
T, = K£ + 4ea'sin(co/+Y).
Так как здесь a < 0 и
A sin у = A sin [arctg (— со/а)] = — A sin у = — /#,
то при / = 0 будет и т) = 0, а при /-> оо r\-+ k$. При
рассматриваемом соотношении параметров движение муфты регулятора
становится колебательным, но амплитуда уменьшается по
экспоненциальному закону Atat (см. кривые / и 3 на рис. 99, б). Кривая 2
147

представляет собой колебательную составляющую переходного
процесса Aeai sin (at + 7)» и кривая 4 — переходный процесс (226).
Возрастание времени катаракта Тк (кривая 5) увеличивает ве-
ственную часть а комплексных корней (219), что приводит к
повышению скорости затухания амплитуд колебаний и увеличению
периода колебаний, определяемого отношением
Т = 4яГ2р ]Л71-Г2К. (227)
При отрицательном значении местной степени неравномерности
6г < О (при этом Тк < О и Тр < 0) один из корней
характеристического уравнения становится положительным. Это приводит к
расходящемуся апериодическому процессу, поэтому автоматический
регулятор при 6Z < 0 или, что то же самое, при Fp < 0 для
регулирования непригоден.
Если силы гидравлического трения в регуляторе окажутся исче-
зающе малыми (7^-> 0), то уравнение (211) примет вид
1 р^ттг-гЛ — кр{
Ярфв
Такое уравнение описывает, как известно, незатухающий
колебательный процесс с постоянными амплитудой и периодом
колебаний при Тк = 0 и а = 0, а формула (227) имеет вид
Т = 2я/со0 = 2яГр, (228)
где со0 — частота собственных незатухающих колебаний.
Дифференциальное уравнение (193) в правой части имеет
производную возмущающего воздействия. Это свидетельствует о том, что
на рассматриваемый элемент системы влияет не только само
возмущающее воздействие г), но и скорость его нарастания -J-.
В соответствии с приведенной методикой общий интеграл
дифференциального уравнения (193) можно записать в виде
где
Для определения констант интегрирования следует задаться
начальными условиями.
При наличии производной в правой части уравнения (193)
начальные условия при возмущении т)в = 1 имеют вид
Л --П и — — Ti — *
Л — U И dt ~~ TtTc "" Тс '
поэтому
С\ + С2 — — -j^\ Схрх -\- С2ръ *= YI'
148

Совместное решение уравнений дает
Р2 — Р1
Подстановка Сх и С2 в общий интеграл приводит последний к виду
*С \ Р2 —Pi ' Р2 — Pi I TG(P2 — Pl)
Это выражение свидетельствует о том, что при t = О имеем X = О,
а при *-* оо Я-> у- (рис. 99, в).
Переходные процессы серводвигателя с изодромной обратной
связью описываются дифференциальным уравнением (198).
Если возмущающим воздействием, вызвавшим переходный
процесс, является ступенчатое перемещение т) при t = О муфты
чувствительного элемента из положения tj = 0 в положение г| = т]в =
= 1 (t) = const, то -^- = 0, и уравнение получит вид
где * = 4-
Его решение г|) = г|)од + г|)п, где частный интеграл неоднородного
уравнения
общий интеграл однородного уравнения г|)од = Се*7', корень
характеристического уравнения
TQTiP + (TQ + Tth) = 0
имеет вид
Тс + Tfit
// =
Следовательно,
р~~~ ГсГ*
1 ТТ.
Для определения константы интегрирования С необходимо
задать начальное условие. Как и в предыдущем случае, при наличии
производной в правой части уравнения при t = +0
/ dX\ Tj _ 1
\ dt )й TcTt ~~ Тс >
149

Рис. 100. Переходные процессы серводвигатели
с изодромной обратной связью
поэтому
с L !
Го Гс + Ttfi
Tffit
Тс (Тс + TiPi) '
и тогда
dt
1
Tth
Тс + Tfit ^ Тс (Тс + Tfii)
После интегрирования по времени
Tc+Ti»i
гс+Г;Рг
% = С +
t
Тс + Tfit (Тс + Г«Рг)2
Так как при t = 0 будет и Я, = 0, то
^~(Тс + T$t)* *
С учетом полученного выражения
Л=-
Т%
Tc+Tih
Тс + T#i ^ (Тс + ГгрОа
Здесь %! и %2 — составляющие переходного процесса А, = / (t),
причем
хх =
Лв
/
Тс + Tfii
дает прямую, исходящую из начала координат (рис. 100), и
/ Tc+Tfit
Л2-(Гс + г.р.)2 \i e
представляет собой экспоненту. Сумма этих составляющих дает
предствление о переходном процессе. При возмущающем воздействии
типа ступенчатого смещения золотника в новое постоянное
положение т)в = 1 (f) поршень серводвигателя непрерывно перемещается
в одно из своих крайних положений.
Аналогично могут быть получены переходные процессы
остальных элементов САР, если их динамические свойства
характеризуются линейными дифференциальными уравнениями первого или
второго порядка.
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
В теории автоматического регулирования широко используют
преобразование Лапласа, так как оно дает возможность упростить
получение ряда результатов, важных для анализа и синтеза САР.
150

Преобразование Лапласа можно применить к функциям ф (/),
имеющим конечное число разрывов, равным нулю при / <0и
ограниченным по модулю при t > 0:
|ср(0|<Лек',
где Л и к — постоянные величины, независимые от /.
Для таких функций можно найти изображение по формуле
оо
L[<p(/)] = J<p(/)e"""d/. (229)
о
Общие интегралы дифференциальных уравнений, описывающие
переходные процессы элементов САР, полностью удовлетворяют
приведенным выше ограничениям, поэтому к ним может быть применено
преобразование Лапласа.
Формула (229) показывает, что если функция ф (t) имеет
постоянный коэффициент Л, последний может быть вынесен за знак
интеграла:
L [Лф(/)1 = AL [<р(*)1.
Если
то
Ф (0 = Фх (t) + ф2 (0,
сю
I[<p(9] = J[<Pi(/) + <Pi(9]e""<ft.
0
и, следовательно,
L [Ф (*) ] = L [фх (t) ] + L [ф2 (0 ]. (230)
Преобразование Лапласа позволяет получить изображения
выражений, наиболее часто встречающихся в теории автоматического
регулирования при построении и анализе переходных процессов.
Пусть, например, ф (t) = eZii. В этом случае в соответствии
с формулой (229)
сю оо
L[<p(t)] = J eZlte-zidt]= Je~(Ml) 'Л,
о о
и после интегрирования
lmw — t^*-1"' M
Щг-гд. (231)
Если гх = —ш, то в соответствии с формулой (231)
L[<p(t)) = L[e-le,t] = l/(z + m).
Умножив и разделив полученное отношение на г — ш, получим
ХЛе-<иЧ=(г-«о)/(гЧ<о2).
151

В соответствии с формулами Эйлера (222) и (223)
I \гш ] = L [cos со/ - i sin со/],
следовательно,
L [ф1 (/)] = L [cos со/] = z/(z2 + со2);
L [ф2 (/)] = L [sin со/] = co/(z2 + со2).
Если zx = —(a — /со), то
сю
L[<p(t)) = \e-ia+z-l<0)i dt.
0
В соответствии с формулой (231)
L [Ф(/)] = l/(a + z —/со).
Так как в рассматриваемом случае
<р (/) = е~ {a~w * = e~at (cos со/ + i sin со/),
то после умножения и деления на a + z + /со и в соответствии с
формулой (230)
L [Фх (/)] - L [e"a/ cos со/] = (а+а2+%21
L [ф2 (/)] = L [е"°" sin со/] = (a + 2^> + fl)1 .
В качестве возмущающего воздействия на САР часто используют
единичное ступенчатое изменение входной координаты (см. рис. 7, а).
Таким возмущающим воздействием может быть мгновенное
перемещение Аг|) при / = 0 рычага управления регулятором из
положения г|) = 0 в положение г|) = г|)0 или мгновенное изменение нагрузки N
на регулируемый объект от 0 до N0. В этих случаях Дг|) = г|)0 и AW =
= N0, и, следовательно, ар = 1 (/); а0 = 1 (/). Такое возмущающее
воздействие часто называется единичным. Ступенчатая функция
при / = 0 имеет один разрыв, поэтому к ней может быть применено
преобразование Лапласа
сю
L [ар (/)] = L [etc (01 = J 1 (0 е~2' dt = 1/г. (232)
о
С помощью преобразования Лапласа могут быть получены
изображения исследуемой функции ф (/) и ее производных. Для этого
формулу (229) следует проинтегрировать по частям, тогда
и = ф (/) и do = eTzt dt.
Так как
сю
1 -г/
v = e
152

то
00 00
L [Ф (t)] = -^ *~zt | - J (- e~27z) dp (0
или
dq> (t) ^zt
^[Ф(0] = ф(0) + |^е-
dt
Следовательно,
oo
0
TO
J 4t *~Zt dt = zL № (01 - Ф (0). (233)
о
Если учесть, что
О
L[-^-]=zL[<p(t)}-<p(0). (234)
Выражением (234) можно воспользоваться для получения
изображения дельта-функции, характеризующей единичное импульсное
возмущение (см. рис. 7, б). Действительно, так как
L[-t^]=zL[a0(t)]--ao(0),
то с учетом условий
^ = 6(0; L[a0(/)] = 4-; a0(0) = 0
нетрудно предположить, что
L [6(/)1 = 1,0. (235)
Для получения изображения второй производной функции ф (t)
формулу (234) следует проинтегрировать по частям
и = \,;; и dv=e , v =
dt
Тогда
Wl-^-^ir-K-^^W*
153

откуда
или с учетом формулы (234)
1 [т] = Z*L [V Wl - z<f (°> " <*>' <°>- <236)
Аналогично можно получить изображение производных: третьей
1 [^IF1] = г*1 ^ W1" г2(Р (°) - г<Р' (°) - ?" (°) <237>
и, наконец, л-й
L [^] = Л. [Ф (0J - г""1 Ф (0) - г"-у (0) ф<"->). (238)
Начальное отклонение ср (0) исследуемой функции и ее
производные, входящие в правую часть выражений (234)—(238),
соответствуют моменту t = —0, т. е. до появления возмущающего
воздействия на САР. Если до появления возмущения рассматриваемый
элемент САР работал в установившемся режиме, то
ф (0) = <р' (0) = <р" (0) = • • • = 0. (239)
Изображения производных (234)—(238) удобно использовать для
определения начальных (при t = 0) и конечных (при t = +оо)
значений функции <р (t) в переходном процессе. Действительно,
при z-* оо
о
поэтому выражение (233) приводится к виду
<p(0) = limzL[(p(/)]. (240)
Z-*oo
В соответствии с формулой (236)
<р' (0) = lim \z*L [ф (/)] - гФ (0)}, (241)
2-*00
в соответствии с формулой (237)
Ф" (0) = lim \z*L [ф (*)] - г2ф (0) - гф' (0)} (242)
и в соответствии с формулой (238)
ф<"> (0) = lim {zn+lL [ф (01 - Лр (0) - zn~xф' (0) z<pin-l) (0)}.
Z->>oo
(243)
Таким образом, можно определить значения функции и всех ее
производных при t = 0, т. е. найти начальные условия переходного
154

процесса, появляющегося вследствие единичного ступенчатого
возмущающего воздействия.
Чтобы найти конечное значение функции при t = оо,
необходимо к формуле (234) применить условие Z-* 0. В этом случае
оо
[^Ldt = \im{zL[<p(t)}-<p(0)\.
Так как
j^d*=Jd<p(0 = Hm<p(0-<p(0),
о о '"м*>
то сопоставление полученных выражений свидетельствует о том, что
lim ф (0 = lim \zL [Ф (01}. (244)
t-*oo z->oo
Формула (244) дает возможность определять значение функции
Ф (/) после завершения переходного процесса и тем самым находить
статическую ошибку (неравномерность) работы САР.
С помощью преобразования Лапласа также можно находить
саму функцию <р (/), если известно ее изображение (обратное
преобразование Лапласа). Для выполнения этой задачи необходимо
подсчитать интеграл
4®=ш I Мф(0]е*&. (245)
С—too
Преобразование Лапласа позволяет уточнить понятие
передаточной функции. Если динамические свойства элемента
характеризуются дифференциальным уравнением
1 *>liF •" кЧГ •" ^ — р^'
то преобразование обеих частей по Лапласу дает
= 4 \<v{t)t~ztdL
о
В полученном уравнении в соответствии с формулами (229), (233)
и (236)
J qjp. е-' di = ?L h (0] _ щ (0) - rf (0);
о
155

oo
(Me-'^zL^Ol-^O);
0
oo
lx](t)<rztdt = L[r](t)y,
0
oo
\<p(t)eT2tdt = L[<p(t)].
о
Подстановка этих соотношений в исходное уравнение приводит
последнее к виду
Т\ {z2L [т| (01 - гц (0) - г)' [(0)} + Тк \zL [Ц (t)] - Л (0)} +
+ L[r\(t)] = KlL[^(t)]
или после раскрытия скобок
(Т¥+Ткг+1) L [т| (OJ^icJL [Ф (/)] + (Tlz + Тк) г) (0) + Г2рг)' (0). (246)
Если предположить, что до возмущающего воздействия
рассматриваемый элемент работал в условиях установившегося режима, то
начальные условия окажутся нулевыми [см. условия (239)], тогда
уравнение (246) примет вид
{ТУ + TKz + 1) L [г) (01 = k%L [Ф (01 (247)
или при z = р
(ТУ + 7> + 1) L [г| (/)] = k%L [Ф (<)].
В операторной форме записи
dP(p)L[r](t)] = K»L[<p(t)).
Следовательно, передаточная функция
"w-i^-W' (248)
Сопоставление полученного выражения с формулой (132)
показывает, что передаточная функция является отношением
преобразования Лапласа выходной координаты к преобразованию Лапласа
входной координаты при нулевых начальных условиях (239).
Аналогично можно получить передаточные функции по
управляющему воздействию ар. Для этого достаточно записать уравнение
элемента -в виде
dp(p)*\ = — *ФаР>
откуда с учетом преобразования Лапласа
dp(p)L[4(t)] = KZL(*p(t)].
156

Передаточная функция по управляющему воздействию
„а
Va (п\ — — *Р ~ L ^ ^)1
rpW^ £fp(p) "^LlapWl '
При единичном ступенчатом управляющем воздействии
L [<Хр (/)] = 1/z, поэтому
Г?(р)=гМч(')Ь (249)
при единичном импульсном управляющем воздействии L [ар (/) ] =з
= 1, поэтому
У?(Р) = МЛ(01- (250)
Если известны передаточная функция и изображение входной
координаты, то по формуле (248) можно найти изображение выходной
координаты
L[r\(t)] = YZ(p)L[<p(t)], (251)
а затем, воспользовавшись обратным преобразованием Лапласа
(245), найти и саму выходную координату
С-Н«>
t|(0=2ST J L [ч &]*"&. (252)
С—/оо
3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВ
Для наиболее полной оценки динамических свойств элементов
важно выяснить их реакцию не только на ступенчатое внешнее
воздействие при / = О (см. рис. 7, а), но и на постоянно действующие
внешние воздействия, имеющие характер гармонических колебаний
входной координаты (см. рис. 7, д). Например, для объекта
регулирования — это колебание его регулирующего органа
х = хА cos со/ (253)
или изменения нагрузки
а0 = а0А COS О)/,
где со— частота внешних воздействий; хА и а0А — амплитуды
колебаний соответствующей входной координаты.
Для автоматического регулятора или чувствительного элемента
входные координаты соответственно ср = <рл cos со/; ар = арЛ X
X cos со/, для серводвигателя r\ = r\A cos со/ и т. д.
Переходный процесс, например, объекта регулирования первого
порядка в этом случае описывается дифференциальным уравнением
вида
Т° ЧГ + ф = к*Ка cos <**' (254)
Уравнение (254), так же как и уравнения (77) или (80), является
неоднородным. Однако составляющая фод = / (/) переходного про-
157

цесса при F0 > О (Г0 > 0) по мере увеличения быстро затухает
(чем меньше Т0, тем быстрее) и вскоре практически исчезает. Остается,
следовательно, составляющая переходного процесса, определяемая
частным интегралом неоднородного дифференциального уравнения
(254), отражающим реакцию элемента на постоянно действующее
внешнее воздействие в виде гармонических колебаний (253) входной
координаты.
Каждый элемент, динамические свойства которого
характеризуются линейным дифференциальным уравнением, при гармонических
колебаниях входной координаты может вырабатывать также
гармонические колебания выходной координаты с той же частотой со,
но с другой амплитудой и некоторым сдвигом фазы. Например, при
гармонических колебаниях регулирующего органа [см. уравнение
(253)] с круговой частотой © (кривая 1 на рис. 101, а) частота
вращения ротора будет изменяться также гармонически (кривая 2
на рис. 101, а). Если графики колебаний регулирующего органа и
частоты вращения ротора совместить (рис. 101, б), то окажется, что
колебания выходной координаты <р происходят с той же частотой со,
своей амплитудой срА, но с некоторым запаздыванием,
характеризуемым сдвигом фазы у (со), причем как амплитуда <рЛ, так и сдвиг
фазы у зависят от частоты со возмущающего воздействия.
Гармонические колебания удобно изображать с помощью
векторов, вращающихся с частотой со, длина векторов равна амплитуде
колебаний (рис. 101, в). В рассматриваемом случае гармонически
изменяются две координаты элемента: входная и выходная со
сдвигом фазы. Поэтому следует взять два вектора с модулями хА и фА»
но так, чтобы вектор <рА был повернут относительно вектора хА
на угол, равный углу сдвига фазы у (со). При этом можно принять, что
вектор, изображающий амплитуду колебаний входной координаты,
совпадает с положительной полуосью абсцисс, а вектор (амплитуда)
выходной координаты смещен относительно первого вектора на угол
у (со). Конец вектора выходной координаты при заданном значении
круговой частоты со (точка 1 при со = сох на рис. 102) займет в этом
случае постоянное положение по отношению к вектору входной
координаты.
Рис. 101. Образование частотной характеристики элемента САР (для турбины):
а «схема экспериментальной установки для получения частотных характеристик турбины;
б — совмещенный график колебаний входной и выходной координат; в — векторное пред*
ставление гармонических колебаний
158

Рис. 102. Схема построения АФЧХ
Если изменить частоту
колебаний со входной координаты от щ
до (о2, то соответственно
изменится амплитуда колебаний и сдвиг
фаз выходной координаты. Ко-
нец'вектора выходной координаты
в этих условиях переместится из
точки 1 в точку 2, при новой
частоте (о3 — в точку 5, т. д.
Соединяя плавной кривой
концы векторов F(coi), У(щ), К(о)3),...
выходной координаты, можно
получить новую динамическую
характеристику элемента, называемую амплитудно-фазовой частотной
характеристикой (АФЧХ). Эта характеристика каждой своей
точкой показывает амплитуду колебаний выходной координаты и сдвиг
фазы по сравнению с колебаниями входной координаты.
Обычно сами векторы на таких графиках не изображают и
оставляют только кривую, соединяющую их концы (сама характеристика).
У каждой точки такой характеристики, полученной
экспериментальным или расчетным путем, отмечают точки с определенными
значениями частоты колебаний. АФЧХ охватывает все возможные
гармонические внешние воздействия, так как строится для частот со
колебаний входной координаты от нуля до бесконечности.
Частотные характеристики элементов первого порядка
Динамические свойства элементов первого порядка
характеризуются дифференциальными уравнениями первого порядка. К
элементам этого типа относятся некоторые объекты регулирования
[см. (77), (80), (81)] серводвигатели с жесткой обратной связью
[см. (200)1 и без обратной связи [см. (203)] и др. В соответствии
с формулами Эйлера (222) и (223)
поэтому уравнение (254) первого порядка можно представить в виде
dq>
dt
ф — Ко —о- е -+- к0 -о— е
По принципу суперпозиции вначале достаточно рассмотреть
воздействие на выбранный элемент только одной из составляющих
гармонического входного сигнала ----- хлеш
или
хАе
-iat
159

С учетом, например, только первой составляющей уравнение получит
вид
Го^ + ф = *г-^е'в'. (255)
Частное решение этого неоднородного уравнения может быть
найдено в форме его правой части
Vl=-^y?(fo)e'"'. (256)
После подстановки выражения (256) в уравнение (255) найдем
-1 уса [То (ко) + 1] Г? (ко) еш = 4" *А*Ш>
откуда
Выражение (257) определяет АФЧХ объекта регулирования.
АФЧХ строят на плоскости комплексного переменного в виде
некоторой кривой, по которой скользит конец вектора У? (ш)
при непрерывном изменении со от 0 до + с» (см. рис. 102).
Координаты конца вектора можно определить, если представить АФЧХ
двигателя в виде комплексного числа
Y° М ■= 1 + L-, = х° И + 1У° И-
Умножив и разделив левую часть полученного выражения на
разность 1 — icoT0 и сопоставив результат с правой частью, можно
найти
х?(о) = к?/(1 + со2^), (258)
*,* (со) = -со«/( 1 + оЭД. (259)
Во многих случаях требуется построить зависимости
*?(ю) = Мсо); yZ(<*) = fyH>
называемые соответственно вещественной и мнимой частотными
характеристиками. В соответствии с выражениями (258) и (259)
вещественная и мнимая частотные характеристики элемента первого
порядка построены на рис. 103, а и б.
АФЧХ (257) может быть представлена в полярных
координатах, в качестве которых выбирают длину вектора А% (со) —
амплитуду колебаний и угол наклона вектора Vo (со) — сдвиг фазы.
В соответствии с графиком, приведенным на рис. 103, д,
х* (со) = Ао (со) cos v? И; »? (со) = Ао (со) sin v? (со), (260)
160

Uf(w)
А А?Ш)
rf(w)
tyg(OJ)
CO =00
0l
o,eb
OS
\
■*r.-
0Л
k*
"03
424
k*
k*
\w=0
w~0
QJ=0
i)
Рис. 103. Частотные характеристики элемента первого порядка (апериодического)
(для объекта регулирования):
а — вещественная; б — мнимая; в — амплитудная; г — фазовая; д —
амплитудно-фазовая
поэтому
Y% (ко) = Хо (со) + iyo (со) = Ао (со) [cos 7? (со) + « sin 7? (со)] •
По соотношениям (260) можно определить
Л?И = ]ЛГ И + J/f (со)
или с учетом формул (258) и (259)
Ло>);
у.+
2т2
агГ;
(261)
(262)
Полученное выражение представляет собой амплитудную
частотную характеристику (АЧХ) элемента первого порядка
Ао (со) = /л И,
показанную на рис. 103, е.
Отношение выражений (260) определяет сдвиг фаз
*«-*!£
(263)
откуда с учетом выражений (258) и (259)
7о (со) = —arctg (соГ0). (264)
Зависимость 7* (со) = /Y (со) называют фазовой частотной
характеристикой (ФЧХ) элемента первого порядка (рис. 103, г).
С помощью частотных характеристик (258) и (259) или (262)
и (264) строят АФЧХ. Для этого следует найти выражение
1 + ,*2/^ = 1 + СО Г0 =
((D)
*?(«>)
В. И. Крутое и др.
161

откуда
«2(co) + i£2(co)-/eX(<o) = 0.
Если к последнему уравнению прибавить и вычесть /£/4, то
W И - к?/2]2 + yf (со) = (/с072)2. (265)
Выражение (265) является уравнением окружности радиуса г,
к*
равного -у-, причем центр окружности смещен по оси абсцисс от
начала координат также на /£/2 (см. рис. 103, д). При изменении со
от 0 до +оо вектор У? (ш) скользит своим концом по
полуокружности, расположенной справа от начала координат (четвертом
квадранте) (рис. 103, <Э). В соответствии с соотношениями Эйлера
Г?(/со) = Л*(со)е'*°((0), (266)
где Л о (со) — модуль; у? (со) — аргумент вектора У? (ш).
После подстановки выражения (266) в формулу (256) последняя
будет иметь вид
ф1в^Л?(о>)е'1в/+^(в)1. (267)
Аналогичным путем находят частное решение уравнения (255)
при воздействии второй составляющей гармонического входного
сигнала
Это решение имеет вид
ф2==^-Л?(со)е-1^+^««»]. (268)
Таким образом, частное решение уравнения (254) при
гармоническом входном сигнале запишется так:
ф = ф1 + ф2 = Ц. А? (о>) [е' [•'♦»? <*>] + *-' I»'+*° (ш)1]
или после приведения к тригонометрической форме
ф = кААо (со) cos [со/ + Vo (со)] • (269)
Это выражение показывает, что при гармоническом изменении
входной координаты (253) в элементе первого порядка возникают
вынужденные незатухающие колебания выходной координаты (269)
с амплитудой кАА% (со) и сдвигом фазы Yo (со), причем как входная,
так и выходная координаты при вынужденных колебаниях системы
имеют одну и ту же частоту колебаний со.
АЧХ (см. рис. 103, в) свидетельствует о том, что амплитуда
колебаний выходной координаты будет тем меньше, чем выше частота
колебаний входной координаты. В статических условиях амплитуда
162

колебаний становится максимальной при со = 0. Точка АФЧХ
при (0=0 соответствует новому установившемуся режиму,
определяемому новым положением хА органа регулирования. Этот режим
наступает после завершения переходного процесса при /-> +<х>.
ФЧХ (см. рис. 103, г) показывает, что по мере увеличения
частоты со входного воздействия колебания выходной координаты все
больше отстают по фазе от колебаний входной координаты.
Знание АФЧХ в виде выражения (266) дает возможность
определить и построить логарифмические частотные характеристики
(ЛЧХ) элемента, которые во многих случаях оказываются более
удобными в практическом применении. Для этого выражение (266)
следует прологарифмировать
In Y% (/со) = In Л? (со) + *Yo (со). (270)
Кривые In Ао (со) = / (In со) и у? (со) = / (In со) обычно называют
натуральными ЛЧХ. Однако наиболее часто для построения ЛЧХ
используют десятичные логарифмы.
За единицу измерения по ординате выбирают децибел. Связь
между числом децибел £>дб и самим числом М определяется
формулой Ьдб = 20 lg My поэтому в качестве логарифмической
амплитудной частотной характеристики (ЛАЧХ) элемента принимают
зависимость
L?(co) = 201g^(co) = /(lgco). (271)
По оси абсцисс откладывают lg со, причем длину отрезка, равную
единице, называют декадой (lg 10 = 1).
Характеристику
Vo(co) = /(lgco) (272)
называют логарифмической фазовой частотной (ЛФЧХ)
характеристикой.
Для получения ЛЧХ элемента в выражение (270) следует
подставить формулы (262) и (264):
In Y% (to) = In к* / |Л+ю2Г0 - I arctg соГ0, (273)
тогда в качестве ЛАЧХ (рис. 104, а) принимают зависимость
L? (со) = 20 lg к? - 20 1^]Л+со2Г20 = / (lg со), (274)
а в качестве ЛФЧХ (рис. 104, б) — зависимость
V? (со) = — arctg соГ0 = / (lg со). (27 5)
Форма ЛАЧХ элемента, динамические свойства которого
характеризуются уравнением первого порядка вида (254), такова, что
с достаточной степенью точности ее можно заменить двумя отрезками
прямых А В и ВС (см. LoK (со) на рис. 104,~а). Такая характеристика,
составленная из отрезков прямых, называется асимптотической или
приближенной ЛАЧХ. Ветвь АВ ломаной линии образуется при
6* 163

L%(o))d£
Рис. 104. ЛЧХ апериодического элемента первого
порядка:
а — амплитудная; б — фазовая
со ->• 0, а ветвь ВС — при й -> +<х>. Для
малых частот с достаточной степенью
точности можно принять у 1 + <*?Т2о « 1»
тогда Lo (о)) ^ 20 lg к%у что является
уравнением первой асимптоты, проходящей
параллельно оси абсцисс через
ординату 20 lg Ко. При больших частотах
(со ->• со) ]/~1 + со2То « (оГо, поэтому
Lo (со) = 20 lg Ко — 20 lg (оГ0. Это
уравнение асимптоты ВС, имеющей
наклон — 20 дБ/дек. Асимптоты пересекаются в точке В при
частоте со = 1/То, называемой сопрягающей. При этой частоте
образуется максимальная ошибка от замены действительной ЛАЧХ
характеристикой приближенной (асимптотической). Однако ошибка
эта невелика и составляет всего 20 lg У^2" =—ЗдБ, поэтому ею
обычно пренебрегают.
ЛФЧХ (рис. 104, б) располагается в пределах от 0 при со = 0
до —я/2 при со = +со. При со = 1/То сдвиг фазы Vo (ю) составляет
—я/4.
Сопоставление выражений (82) и (257) показывает, что
математическое выражение АФЧХ (257) легко можно получить с помощью
передаточной функции (82), если в последней произвести замену
р = ш. Эта замена соответствует наличию среди корней
характеристического уравнения чисто мнимого корня, что определяет
появление у исследуемого элемента гармонических колебаний
выходной координаты с постоянной амплитудой. Дифференциальное
уравнение серводвигателя при наличии в нем жесткой обратной
связи имеет вид (200), аналогичный дифференциальному
уравнению (81) регулируемого объекта при а0 = 0. Следовательно, такой
серводвигатель относится к апериодическим элементам первого
порядка, и его АФЧХ имеет вид
r?(tco)= 1/(Лс + 1юГс) (276)
(см. рис. 103 и 104).
Динамические свойства серводвигателя без обратной связи
характеризуются дифференциальным уравнением (203) и передаточной
функцией (204). Если воспользоваться подстановкой р = ш, то
АФЧХ получит вид
Г? (ico) = 1/(шТс).
Так как F? («©) = л:? (со) + iy% (со), то
xj(co) = 0; Й(<о)^-1/(соГс).
(277)
(278)
1G4

Таким образом, АФЧХ серводвигателя без обратных связей
располагается вдоль отрицательной части мнимой оси от —оо до О
(рис. 105, а). Мнимая частотная характеристика (рис. 105, б) при
со > 0 представляет собой гиперболу, расположенную в четвертом
квадранте. Так как
^~~ = (279)
Лс» = |Л?2(а>) + ^2(со);
л / ч i~ у*(со)
Y?((o) = arctg-
(280)
*2 И '
то АЧХ получит вид гиперболы, изображенной на рис. 105, в,
Al (со) = 1/(шГс), (281)
а ФЧХ представляет собой горизонтальную прямую (рис. 105, г)
75((o) = -arctg(oo). (282)
С учетом выражений (281) и (282) АФЧХ
Г? (ш) =
-<т
<оГс
Следовательно, ЛАЧХ и ЛФЧХ серводвигателя без обратной
связи (рис. 105, <Э) определяются выражениями
ИМ — 2018-^; j m
Y? (со) = —я/2 = const.
Частотные характеристики элементов второго порядка
Динамические свойства элементов второго порядка
характеризуются дифференциальными уравнениями второго порядка. К
элементам этого типа относятся
некоторые регулируемые
объекты [см. (84), (96)1,
чувствительные элементы или
автоматические регуляторы прямого
действия [см. (129)],
серводвигатель с комбинированной [см.
(193)] и изодромной [см. (198)]
обратными связями и др.
Динамические свойства
автоматического регулятора прямого дей-
Рис. 105. Частотные характеристики
серводвигателя без обратной связи:
в — амплитудно-фазовая; б — мнимая;
в — амплитудная; г — фазовая; д —
логарифмические амплитудная Z.J? (со) и фазо-
рая v? (ю)
№)'
Ь1
1
со
г)
iS^
п\
r/MJ
Ж
\УсП
*)
(■9М
165

ствия или чувствительного элемента регулятора непрямого действия
характеризуются дифференциальным уравнением (129) второго
порядка, которое при неизменной настройке имеет вид
r2 d2r\ , т jfjL , _ Ф
а передаточная функция определяется отношением (132).
Поэтому АФЧХ с учетом р = /со получит вид
^w-T^g-o-^a+w.- (284>
Так как
то, умножив и разделив отношение (284) на разность (1 — со2Гр) —
— шГк, найдем формулы соответственно вещественной и мнимой
частотных характеристик регулятора:
*J(0>) " 7>'+V'K-2rJW+' ; (285)
«М-гргТ^^ТГ- <286>
Формула (285) показывает, что при со = 1/Гр и при со-> +оо
значение #d (со) = 0; при со = 0, кроме того, *р (со) = AJJ.
Из условия —£-— = 0 определяется соотношение
Г2к = Г2р(1-со2Г2р)2,
подстановка которого в формулу (285) дает
^(о)) = Г4р/(1~(о4Г4р). (287)
Кривые, описываемые выражением (287), на рис. 106, а
изображены двумя штриховыми ветвями, на которых располагаются
экстремальные значения вещественных частотных характеристик элемента
второго порядка.
Выражение (286) мнимой частотной характеристики
чувствительного элемента показывает, что зависимость у* (со) = fy (со)
(рис. 106, б) стремится к нулю при о-^Ои при со -* <х>,
следовательно, кривые проходят через экстремальное значение. Штриховая
кривая (рис. 106, б), на которой расположены экстремальные зна-
чения характеристик, определяется из условия —^— = 0;
2 1-<Р%
166

Так как АЧХ
А%И = У~< И+<(о>) (288)
и ФЧХ
<(<■>)
*?(»>
7*(co) = arctg-^, (289)
то
А% (со) = р ; (290)
-|^7>4+(Г2к-2г2)со2+1
V*H = -arctg /^" ■ (291)
О) У р
Математическое выражение (290) представляет собой АЧХ
элемента второго порядка Ар (со) = /л (со) (рис. 106, в), а выражение
(291) — ФЧХ того же элемента Yp (со) = /Y (<°) (Рис- Ю6» г)- ПРИ
о ^= 0, Гк = 0 формула (290) принимает вид
Л? (©) = *?/( l-©27t)-
Из этого выражения следует, что при о = 1/Гр (при резонансе)
перемещение муфты становится бесконечным (см. рис. 106, в) и АЧХ
распадается на две ветви.
При ТКФ 0 амплитуда не получает бесконечного значения, но
при определенной частоте достигает экстремума.
Из условия —■—— = 0 следует
Л?(со)эк = 1с5/У"1 — a>47t
График зависимости Ар (о))эк — / (со) показан на рис. 106, в
штриховой линией.
ФЧХ (291) при Тк = 0 в пределах изменения о от 0 до 1/Гр
совпадает с осью абсцисс (сдвига фазы нет). При переходе через
резонансное значение (<о = 1/Гр) сдвиг фазы изменяется от нуля до —я
(см. рис. 106, г) и при дальнейшем увеличении со остается таким же,
если Тк = 0.
Если Тк Ф 0, то при резонансе (со = 1/Гр) имеет место всегда
один и тот же сдвиг фаз, равный —я/2. По мере увеличения Тк
изменение сдвига фаз становится все более плавным, об этом
свидетельствуют ФЧХ, показанные на рис. 106, г при Ткф0.
Если известны вещественная (285) и мнимая (286) или
амплитудная (290) и фазовая (291) частотные характеристики регулятора,
то можно построить АФЧХ (рис. 106, <Э) и представить ее в виде
У*(1©) = Л?(со)е'^(в). (292)
167

•г-Г
0
l^^S
cu=1/rp
MpMk
168

Логарифмируя~это выражение после подстановки формул (290)
и (291), получим ЛАЧХ
L% (со) = 20 lg < - 20 lg У^(1-ю27*)Ч<о*Т£ = / (lg ю), (293)
представленную на рис. 106, е> и ЛФЧХ
7£ (со) = - arctg ^TJt2 = f (lg со), (294)
показанную на рис. 106, ж. Логарифмические характеристики
построены при постоянстве безразмерного параметра р = TJ(2T9)
в зависимости от безразмерной частоты колебаний £ = соТр.
Элементы второго порядка, встречающиеся в САР
теплоэнергетических установок, нередко воспринимают не только изменение
входной координаты, но и скорость ее изменения. В качестве
примеров таких элементов можно назвать двигатель внутреннего
сгорания с автономным наддувом, динамические свойства которого
характеризуются дифференциальным уравнением (84) с операторами
воздействия (86) и (87), газотурбинный двигатель, описываемый
уравнением (96) при изменении нагрузки (а0 Ф 0), серводвигатель с
комбинированной обратной связью, уравнение которого имеет вид (193),
и др. Так, по дифференциальному уравнению (84) можно найти
передаточные функции (91) и после замены р = т — математическое
выражение АФЧХ
о( '"(i—ry + wr.,*
Отсюда вещественная частотная характеристика
,и , . _ То1Тн«? + (1-<о2Т2о2)кн
о()~ т1У + (1-о2т2о2у '
мнимая частотная характеристика
У о И =
2-г2
«Я^Кд-шГяО-в)^
о2^
и ФЧХ
т2оУ + (1-*2т2о2)2 '
л*ьл-л/ к% + ы2т%
Рис. 106. Частотные характеристики элемента второго порядка (для
чувствительного элемента) при ТК1< ТК2<С 7'кз< Тм:
о — вещественные; б — мнимые; в — амплитудные; г — фазовые; д — амплитудно-фазовые
При ^р2 > ^pi > TV» е — логарифмические амплитудные; ж — логарифмические
фазовые; з — амплитудно-фазовые элемента второго порядка с производной в правой части
уравнения (для двигателя внутреннего сгорания с автономным газотурбинным наддувом);
/ — при 7^ = 0; 2 — при Т% > 0
169

Tifil
*№ L (Тд+пм*
X?(CJ)
Рис. 107. Частотные характеристики серводвигателя с изодромной обратной связью
при ТС1<ТС2< Гсз:
а — вещественная: б — мнимая; в — амплитудная; г — фазовая; д — амплитудно-фазовая
при Tt = 0,2 с и fy = 1,7
АФЧХ такого элемента при различных значениях Т#
представлены кривыми /, 2 на рис. 106, з.
Если серводвигатель оборудован изодромной обратной связью,
дифференциальное уравнение имеет вид (198) с передаточной
функцией (199).
Путем подстановки р =■- ш в выражение (199) можно найти АФЧХ:
Г? (ш) = — ш[ГсГ.(0_. (7-c + ;r«Pf)] • (295)
Умножая и деля это выражение на сумму ТсТг(д + i (Тс + 7^),
получим формулы соответственно вещественной и мнимой частотных
характеристик (рис. 107, а, б):
*? и = „ „2..2 Л!' . ^ п,,; (296)
rj-y + (гс + Tfity
^^- (о[г2сту + (гс + г,.р,)2]
(297)
По вещественной и мнимой частотным характеристикам можно
определить соответственно амплитудную (рис. 107, в) и фазовую
(рис. 107, г) частотные характеристики:
ЛИ-4-/!ЯэЗ
'2ю2 + 1
+ (Tc + W
Y? И ~ —arctg
ГеГ^ + (Ге + ГД)
(or2pf
(298)
(299)
170

На основе вещественной (296) и мнимой (297) или амплитудной
(298) и фазовой (299) частотных характеристик в соответствии с
выражением
Y?(uo) = A2((*)tiy*w . (300)
можно построить АФЧХ (рис. 107, д).
Частотные характеристики элементов порядка выше второго
В САР теплоэнергетических установок нередко встречаются
элементы, динамические свойства которых характеризуются
дифференциальными уравнениями, порядок которых выше второго. К
таким элементам могут относиться некоторые объекты регулирования,
а также автоматические регуляторы непрямого действия, которые
являются более сложными по сравнению с регуляторами прямого
действия, так как кроме чувствительного элемента включают
усилительный и вспомогательные элементы.
Возможность получения в регуляторах непрямого действия
больших перестановочных усилий на выходе, развиваемых
усилительным элементом, делает целесообразным их применение на
крупных регулируемых объектах.
Такие регуляторы оказываются работоспособными, если в их
схему кроме усилительного элемента двигателя включены
дополнительные стабилизирующие элементы обратных связей, жестких или
изодромных.
Если по условиям работы объекта регуляторные характеристики
могут быть статическими, используют автоматические регуляторы
с жесткой обратной связью. Если при всех нагрузках необходимо
обеспечить точное поддержание заданного значения регулируемой
координаты, то следует использовать автоматические регуляторы
с изодромной обратной связью. Если при высокой точности работы
требуется обеспечить минимальный статизм регуляторной
характеристики, необходимо использовать автоматические регуляторы
с комбинированной обратной связью.
Динамические свойства регуляторов непрямого действия (см.
рис. 17—19) характеризуются совокупностью дифференциальных
уравнений чувствительного и усилительного элементов с
соответствующей обратной связью
d? (р) Л = *фФ ~ *Рар"» dc (р) к = ис (р) г].
Однако перемещение муфты чувствительного элемента т) для
регулятора непрямого действия является координатой внутренней,
поэтому ее можно исключить
dp (p) dz{p)%=^uz (p) к%<р — ис (р) КрОСр.
Если ввести обозначение собственного оператора регулятора
непрямого действия
da(p) = dp(p)dc(p) (301)
171

itf(Gj)
If
1
Xh("i)
Ye ^///
—-y%>3
hi
*%<>•)
>f
Рис. Ш. Построение АФЧХ элемента
более высокого порядка (для
автоматического регулятора, непрямого действия)
и операторов воздействия
соответственно по регулируемому
параметру и по настройке
»Ъ(р) = ис(р)к»\ и«(р) = ис(р)4,
то дифференциальное уравнение
регулятора непрямого действия
получит вид
du (Р) Я = и\ (р) Ф - ul (p) ар. (302)
Таким образом, порядок такого
дифференциального уравнения
оказывается третьим при жесткой обратной связи или четвертым
при изодромной или комбинированной обратной связи. При
неизменной настройке (ар = 0)
dH (p) X = ul (р) ср.
Передаточная функция такого элемента
Yl(p) =
dn(p)
dH(p)
Однако собственный оператор (301) такого регулятора
определяется произведением собственных операторов чувствительного
элемента и серводвигателя с различными обратными связями, поэтому
передаточную функцию регулятора можно представить в виде
"с(р)
уФ/„\_ Р цс \Р)
Ун(Р)~ dv(p) dc(p)
Сопоставление этого выражения и передаточных функций,
например (132) чувствительного элемента и (197) серводвигателя,
показывает, что
Y*(p) = Y»(p)YUp)-
Подстановка р = ш в произведение (303) дает
F*(ico) = F*(tco)r?(tco).
(303)
(304)
Следовательно, для построения частотных характеристик
элемента более высокого порядка, например автоматического
регулятора непрямого действия, необходимо знать частотные
характеристики соответственно чувствительного и усилительного элементов
Y» (/со) = А* (со) е''*Р((0); Г? (/со) = Л2 (со) е^ <•>
с соответствующей обратной связью.
172

Так как АФЧХ регулятора непрямого действия У% (ш) можно
представить в виде
У2(Ло) = Л5(а)е'?«(ю), (305)
то после подстановки этих выражений АЧХ регулятора непрямого
действия определяется произведением аналогичных характеристик
составляющих элементов
Л?((о) = Л?((о)ЛсП(о)),
а ФЧХ — суммой соответствующих частотных характеристик со-
ставл яющи х элементов
Для построения (305) удобно пользоваться графоаналитическим
методом. После подсчета значения Л£ (щ) из начала координат
проводят дугу радиусом Л« (щ) и луч под углом Yh (<*h) (рис. 108).
Точка пересечения дуги и луча и является искомой точкой АФЧХ
элемента более высокого порядка.

ГЛАВА VII
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. КЛАССИФИКАЦИЯ САР
САР (см. п. 1, гл. I) можно классифицировать по различным
признакам. Одним из таких признаков является рабочее тело,
использованное в автоматическом регуляторе для осуществления
процесса регулирования. В соответствии с этим САР подразделяют на
механические, пневматические, гидравлические, электрические,
электронные, смешанные (например, пневмогидравлические) и др. Однако
наиболее часто при классификации САР в качестве признака
рассматривают тип использованного в них автоматического регулятора.
Если в регуляторе отсутствуют специальные усилительные
элементы, система называется системой автоматического регулирования
прямого действия. При наличии усилительных элементов системы
автоматического регулирования называют системами непрямого
действия. В зависимости от типа использованной в них обратной
связи их называют системами с жесткой, изодромной и
комбинированной обратными связями. Комбинированная обратная связь часто
называется изодромной с остаточной степенью неравномерности.
Объект регулирования, оборудованный автоматическим
регулятором, имеет определенную статическую характеристику, которую
иногда называют регуляторной. В зависимости от типа этой
характеристики системы регулирования подразделяют на статические и
астатические (см. п. 4, гл. II). Если САР имеет одну регулируемую
координату и один регулятор, то такие системы называют
одноконтурными (см. рис. 2, в).
Однако иногда возникает необходимость в процессе
регулирования измерять не только отклонение регулируемой координаты, но
и скорость ее изменения. Автоматический регулятор в такой системе
реагирует не только на отклонение регулируемой координаты,
но и на ее производную.
В некоторых случаях для регулирования одновременно
измеряются регулируемая координата и нагрузка машины. Такие
системы автоматического регулирования называют двухимпульсными.
Во многих регулируемых объектах необходимо одновременно
регулировать несколько координат. Например, в паровых турбинах
с промышленным отбором пара необходимо регулировать частоту
вращения ротора и давление отбираемого пара, в газотурбинных
двигателях — частоту вращения ротора и температуру газа перед
турбиной и т. д.
Наиболее простым решением этой задачи является несвязанное
регулирование: каждый регулятор воздействует на свой
регулирующий орган РО (рис. 109, а). В этом случае регулируемые
координаты связаны между собой только через объект регулирования:
174

№/o>
0-
1
Регупируепый
объект
| Q {
1 Mp 1/7
Регулятор
Q
Регулятир
P
Zv
7p
П
a)
Рис. 109, Функциональные схемы CAP двух параметров:
а — несвязанной; б — связанной
при действии одного из регуляторов неизбежно изменяются и другие
координаты и, следовательно, вступят в действие все регуляторы.
Чтобы исключить или по крайней мере уменьшить изменение
остальных регулируемых координат, регулирующие органы
теплоэнергетических объектов связывают с регуляторами так, чтобы каждый из
регуляторов воздействовал одновременно на все регулирующие
органы (рис. 109, б). При соответствующем подборе связей такая
система регулирования приводит к уменьшению или к полному
исключению изменения других регулируемых координат.
Такое регулирование называется связанным. Если при связанном
регулировании удается полностью исключить влияние изменения
одного регулируемого параметра на изменение других регулируемых
параметров как в установившемся состоянии, так и в переходном
процессе, то такую систему называют системой связанного
автономного регулирования.
Для регулирования теплоэнергетических машин и установок
наиболее часто используют автоматические регуляторы прямого и
непрямого действия с непрерывным измерением регулируемого
параметра. Поэтому далее системам автоматического регулирования
с такими регуляторами уделяется основное внимание.
2. СТАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА САР
Статической характеристикой САР называется зависимость
значений регулируемой координаты от нагрузки регулируемого объекта,
связанного в работе с автоматическим регулятором. Для построения
статической характеристики САР необходимо знать статические
характеристики каждого из элементов, входящих в эту систему.
Как было выяснено, статической характеристикой элемента
называется функциональная зависимость выходной координаты
элемента *вых от значений входной координаты хвх в установившихся
режимах работы. Таким образом, точки статической характеристики
элемента соответствуют тому или иному равновесному состоянию
этого элемента.
При последовательном соединении элементов (рис. ПО, а) их
совместную статическую характеристику х3 = / (хг) можно построить
по статическим характеристикам 1 и 2 элементов (рис. 110, б). Для
Построения статической характеристики двух параллельно вклю-
J75

ченных элементов (рис. ПО, в) на характеристике / первого
элемента (рис. ПО, г) выбирают произвольную точку Л, которую
сносят на статическую характеристику 2 второго элемента в точку 5,
и определяют соответствующее значение координаты х3 (точка Вг
или В2). По точкам А и В2 находят вспомогательную точку А2.
При наличии обратной связи (см. рис. ПО, в) входной
координатой элемента 1 является х (а не хг). Координата х отличается от хг
на значение координаты х3 (отрезок ОВг на рис. ПО, г). Чтобы
построить этот сдвиг, из точки А2 проводят прямую А2Сг || ВгВ2у
поэтому ОВг = ЛхСх. Точку Сг сносят на характеристику /, что дает
соответствующее значение координаты х2. Таким образом, при
значении входной координаты хг (отрезок ОАг) координата х2 в случае
отсутствия элемента 2 равна АгА, а при параллельном включении
элемента 2 равна СгС. Поэтому для построения точки D
результирующей статической характеристики 3 двух параллельно
включенных элементов следует точку С спроектировать на прямую ААг
и получить точку D искомой характеристики. Аналогично строят
другие точки характеристики.
Изложенные приемы построения статических характеристик
дают возможность построить статическую характеристику
замкнутой САР, состоящей, например, из двух последовательно
включенных элементов (рис. 111, а). Пусть элемент / является
регулируемым объектом, а элемент 2 автоматическим регулятором. В этом
случае координата х2 является регулируемой. Статическая
характеристика х3 = f (х2) автоматического регулятора (рис. 111, б) сама
может быть результирующей статической характеристикой
нескольких элементов, составляющих автоматический регулятор
(например, чувствительный, усилительный элементы и др.).
Статические характеристики регулируемых объектов часто строят в виде
серии кривых N = f (х2) при хг = const, где N — нагрузка
регулируемого объекта. Эти характеристики показывают изменение
регулируемой координаты х2 в зависимости от нагрузки N при
Рис. 110. Построение
статической характеристики
двух связанных
элементов:
a — функциональная схема
двух последовательно
связанных элементов; б —
построение характеристики;
/ — статическая
характеристика первого элемента; 2 —
статическая
характеристика второго элемента; 3 —
статическая
характеристика двух элементов; в—
функциональная схема двух
параллельно связанных
элементов; г — построение
характеристик; / — статическая
характеристика первого
элемента без обратной связи;
2 — статическая
характеристика второго элемента; 3 —
статическая
характеристика двух элементов
X;
6) г)
176

Рис. 111. Построение статической характеристики системы автоматического
регулирования:
а — функциональная схема системы; б — статическая характеристика регулятора; в —
статические характеристики объекта регулирования; г — построение регуляторной
характеристики системы
выбранном значении входной координаты xVo которой является,
как правило, положение органа управления объектом
регулирования (рис. 111, б).
Статическую характеристику можно построить следующим
образом: на оси Хз статической характеристики регулятора (рис. 111, г)
отмечают точки У, 2,5,..., соответствующие значениям координаты xlkl
при которых имеются характеристики N = f (x2). Полученные таким
образом точки сносят параллельно оси х2 на статическую
характеристику регулятора, а затем параллельно оси N на
соответствующие характеристики N = f (x2) объекта регулирования. Соединение
точек 5, 6, 7 и 8 одной кривой и дает искомую статическую
характеристику САР. Таким образом, статическая характеристика системы
определяется статическими характеристиками всех элементов,
входящих в эту систему.
3. ЗАДАЧИ АНАЛИЗА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ САР
При статическом расчете регулятора определяют такие его
параметры и статические характеристики, которые обеспечивают
получение заданных установившихся режимов и соответствующих им
регуляторных характеристик регулируемого объекта. Однако
изменение нагрузки или настройки регулятора нарушает эти
установившиеся режимы, поэтому возникает переходный процесс, муфта
регулятора перемещается в новое положение равновесия.
При рассмотрении смены равновесных режимов с позиций
статики перемещение муфты регулятора должно точно соответствовать
изменению регулируемого параметра. В действительности
переходный процесс протекает иначе, так как перемещающиеся детали
имеют определенную массу, а движение сопровождается ускорением.
177

Поэтому при динамическом исследовании ставится задача прежде
всего оценки устойчивости САР, так как только устойчивая систем?
может обеспечивать установление нового положения равновесия
либо без колебания (апериодический сходящийся переходный
процесс), либо с затухающими колебаниями (колебательный сходящийся
переходный процесс).
Заметим, что не каждый переходный процесс, сопровождающийся
установлением нового положения равновесия (система устойчива),
может удовлетворять требованиям потребителя. Если новое
положение равновесия устанавливается лишь через значительный
интервал времени или в течение переходного процесса проявляются
недопустимо большие отклонения от положения равновесия, то
работу такого регулятора нельзя признать удовлетворительной.
Эти обстоятельства выдвигают вторую задачу динамического
исследования САР — выявление качества переходного процесса
времени переходного процесса, его характера, отклонения от
положения равновесия и т. п.).
В процессе создания системы регулирования и анализа
переходного процесса может возникнуть необходимость изменения
переходного процесса, улучшения его качества. Поэтому третьей задачей
динамики регулирования является выяснение влияния на
переходный процесс параметров системы регулирования и разработка
методов синтеза системы с определенными динамическими качествами.
Перечисленные задачи динамики регулирования решают двумя
путями: экспериментальным и расчетным. В большинстве случаев
задачи динамики предварительно в процессе создания системы
регулирования рассчитывают, решая дифференциальное уравнение
САР» В результате решения получают зависимость регулируемой
координаты от времени, т. е. математическое выражение переходного
процесса <р = / (/), где <р — изменение регулируемой координаты.
Найденный таким образом переходный процесс дает
возможность оценить динамические свойства системы и выяснить ее
пригодность для практических целей.
Для решения перечисленных выше задач необходимо
предварительно составить дифференциальное уравнение САР на основе
дифференциальных уравнений ее элементов.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ САР ПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ
САР прямого действия (см. рис. 1) состоит из регулируемого
объекта 3, имеющего орган управления в виде клапана 7, и
автоматического регулятора уровня Я прямого действия. Чтобы
представить себе работу системы автоматического регулирования в целом,
необходимо прежде всего изучить последовательную цепь передачи
воздействий от элемента к элементу этой системы (см. рис. 2, в).
Качество работы системы регулирования зависит как от
правильности компоновки системм в целом, так и от свойств каждого
элемента системы в отдельности.
Выбранная САР относится к числу статических. Функциональная
зависимость G = / (Я) между подачей жидкости G, осуществляемой
178

Рис. 112. Статическая характеристика САР прямого
действия
с помощью регулятора, и уровнем ее Я в
резервуаре является статической
характеристикой системы регулирования (рис. 112).
Наибольшая подача жидкости Gmax
происходит при полном открытии клапана 1
(см. рис. 1), что соответствует крайнему
положению поплавка 6 при Ят1п (точка а на
рис. 112). По мере повышения уровня
жидкости клапан / все более уменьшает
проходное сечение подводящей трубы 2.
Следовательно, будет уменьшаться и подача
жидкости, которая прекратится при полном перекрытии трубы 2. Это
ограничивает верхний предел уровня ;Ятах (точка 6). Разность
АН = Ятах — Ят1п называют статической ошибкой или
неравномерностью регулирования. При смене одного установившегося
режима работы системы на другой установившийся режим уровень
жидкости должен изменяться в установленных пределах
неравномерности. Дифференциальные уравнения отдельных элементов
системы регулирования позволяют выявить законы изменения по
времени их выходных координат в зависимости от параметров элемента
и характера изменения входной координаты, т. е. входного
воздействия (возмущающего и или управляющего).
В САР все эти элементы связаны между собой так, что выходная
координата предыдущего элемента является входной координатой
последующего, причем цепь элементов представляет собой замкнутый
контур.
Характер переходного процесса" в системе регулирования
определяется совокупностью параметров всех элементов, входящих
в систему регулирования. Для выявления характера изменения по
времени регулируемой координаты, т. е. для оценки динамических
свойств САР, необходимо рассмотреть работу всех элементов системы
во взаимодействии: произвести совместное решение
дифференциальных уравнений всех элементов, входящих в систему. Для этого
необходимо составить общее дифференциальное уравнение системы
автоматического регулирования.
Рассматриваемая система (см. рис. 1 и 2, в) состоит из самого
объекта регулирования и автоматического регулятора прямого
действия, воздействующего непосредственно на орган управления
объектом.
Дифференциальное уравнение (80) или (81) объекта
регулирования имеет вид
^о (р) ф = Ко* — КоОЮ,
где собственный оператор объекта d0 (р) = Т0р +1; Т0 —
постоянная времени регулируемого объекта, с; к% и к% — коэффициенты
усиления по соответствующим входным координатам.
179

Следует отметить при этом, что дифференциальные уравнения
многих других регулируемых объектов имеют вид, аналогичный
уравнениям (80) и (81). Например, дифференциальные уравнения
холодильной камеры (76) и (77), ресивера с газом (61) и (62), дизеля
без наддува (22) и (23) при рк = 0 и др.
В некоторых случаях дифференциальное уравнение объекта
может быть и более высокого порядка, например дифференциальные
уравнения дизеля с газотурбинным наддувом (84) и (89) и
газотурбинного двигателя (96) и (99) имеют второй порядок.
Дифференциальное уравнение автоматического регулятора
прямого действия (129) или (130) имеет вид
dP fa) Л = КрФ — КфаР>
где собственный оператор dp (р) = Т2рр2 + Tvp + 1; Тр —
постоянная времени регулятора, с; Тк — постоянная времени катаракта, с;
/Ср и /с" — коэффициенты усиления по соответствующим входным
координатам.
Для того чтобы система регулирования выполняла возложенные
на нее функции, элементы системы должны быть соединены в цепь
взаимодействия определенным образом. Положительный знак
изменения каждой координаты элементов, входящих в систему,
соответствует увеличению значения регулируемой координаты.
Следовательно, в дифференциальном уравнении объекта регулирования
(в рассматриваемом случае резервуара с жидкостью)
положительный знак х соответствует перемещению АЛ органа управления
объектом в сторону увеличения подвода массы жидкости в единицу
времени, так как только это при прочих равных условиях может
привести к увеличению регулируемой координаты (ср > 0). При
увеличении а возрастает нагрузка на объект (отбор жидкости),
приводящая при прочих равных условиях к уменьшению значения
регулируемой координаты (ср <0). Поэтому перед членом к%а0
в уравнениях (80) и (81) есть знак «минус».
В дифференциальном уравнении регулятора (129) или (130)
перемещение г] муфты регулятора (в рассматриваемом случае
поплавок 6 на рис. 1) принимают положительным (т) > 0) в том случае,
если направление его перемещения соответствует увеличению
регулируемой координаты (уровня жидкости Я в резервуаре).
Изменение настройки регулятора (перемещение винта 8 вверх) при прочих
равных условиях может привести к перемещению поплавка в
сторону уменьшения т) (понижения Я), поэтому перед членом k*ap
уравнения (130) есть знак «минус».
Таким образом, если муфту регулятора жестко соединить с
клапаном 1 так, чтобы х = т], то увеличение уровня жидкости в
резервуаре будет приводить к перемещению клапана 1 в сторону
увеличения подачи жидкости. Естественно, что в этих условиях САР
не сможет выполнять своих функций. Для исключения возможности
такой работы САР необходимо так кинематически соединить
поплавок с клапаном, чтобы при увеличении уровня Я (ср > 0) и поло-
180

Рис. ИЗ. Структурная схема САР
прямого действия
%
—»■
Yp(P)
rfm
Уа
*s~
4f
Уо(Р)
YoK(p)
жительном перемещении поплавка (г\ > 0) клапан двигался в
отрицательном направлении, т. е. в сторону уменьшения подачи
жидкости (х <0). Следовательно, при объединении объекта и регулятора
в замкнутую цепь САР необходимо обеспечить выполнение условия
г\ = —и. (306)
В системе регулирования (см. рис. 1) уровень жидкости в
резервуаре обеспечивается рычагом 7. Такую связь часто называют
главной отрицательной обратной связью САР. Она обеспечивает
перемещение клапана / в сторону уменьшения подачи жидкости при
положительном перемещении поплавка чувствительного элемента,
т. е. при увеличении уровня Н жидкости в резервуаре.
Таким образом, в САР прямого действия есть два элемента,
динамические свойства которых описываются уравнениями
dQ (р) ц) = к^ус — Ко а0\ dp (/?) г] =/Срср —/Срар; и = — г\. (307)
Структурная схема такой системы показана на рис. 113.
Для нахождения дифференциального уравнения САР уравнения
элементов следует записать в виде
d<> (р) ф + к*Ц = — Ко «0; — /с£ср + dp (р) г\ = — к*ару
совместное их решение ищется в форме
Аф = АФ. (308)
Основной определитель системы
\do(p) <
—*р dp (p) |
А =
(309)
определитель воздействия по координате ф (присоединенный
определитель) можно получить из основного определителя заменой
столбца коэффициентов при ф правой частью уравнений
ДФ =
—/с0ао
КтуОСп
*ф"ф dK (p) |
Раскрытие определителей и подстановка их в уравнение (308)
Дают возможность представить уравнение системы в виде
D (р) Ф = -В (р) *0 + S (р) <хр. (310)
Собственный оператор САР определяется выр-ажением
D(p) = R (р) + кЭД = Агрг + А2р2 + Ар + А0,
(ЗП)
181

где
R(p) = d0(p)dp(p); (312)
оператор по возмущающему воздействию (нагрузке)
B(p) = dp(p)K5 = B2p2 + Bip + B0; (313)
оператор по управляющему воздействию
S(p) = K^ = S0. (314)
В дифференциальной форме уравнение (310) имеет вид
_B1r*ji.-Beae + Seap, (315)
где
£$2 == * р#о > 3\= 1 к^о > ^0 == ^о > ^0 === ^o#p •
(316)
Если необходимо исследовать изменение координаты г\ по
времени, т. е. построить переходный процесс r\ = f (f), уравнение (308)
следует представить в форме
Ат| = Дл. (317)
Главный определитель А остается прежним [см. выражение (309)],
а присоединенный определитель воздействия Лл получается из
основного заменой столбца коэффициентов при ц правой частью
уравнений системы (307). В этом случае
д„=
d0(p) — КоОо
Ф a
—Kj(p — Kpap
(318)
Раскрытие определителей и подстановка их в исходное
уравнение (317) приводят последнее к виду
D (/?) ц = -В (р) <х0 - S (p) ap, (319)
где
В (р) ^В0 = /ф£; S (p) = Sip + S0; Si = Г0/Ср; S0 = к* (320)
или в дифференциальной форме
Л-^- + Л-^- + л4г + Л0г1 = -51-^--50ар-50«Хо.
Полученные дифференциальные уравнения САР прямого
действия являются неоднородными (с правой частью) линейными
уравнениями третьего порядка с постоянными коэффициентами.
182

При отсутствии постоянно действующих внешних возмущающих
воздействий а0 = ар = 0, тогда неоднородные уравнения
становятся соответственно однородными уравнениями
(321)
которые описывают свободный переходный процесс САР после
некоторого начального отклонения исследуемой координаты от ее
значения в заданном установившемся режиме.
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ САР НЕПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ
На многих теплоэнергетических установках приходится отка
зываться от простых схем автоматического регулирования прямой,
действия и использовать более сложные системы регулирования
непрямого действия, в схему которых включаются усилительные
элементы (см. рис. 18—22), предназначенные для выработки такого
значения выходной координаты регулятора, которое было бы
достаточным для перестановки органа управления объектом
регулирования.
Система непрямого регулирования, показанная, например, на
рис. 22, состоит из регулируемого объекта 5, имеющего орган
управления Р, чувствительного элемента 1 и усилительного элемента,
состоящего из гидравлического серводвигателя 7, поршень
которого штоком связан с органом управления 9.
Совокупность чувствительного элемента 1 и серводвигателя 7
составляет автоматический регулятор непрямого действия. Как уже
отмечалось, такой регулятор обязательно оборудуется обратной
связью. Наиболее сложной из таких связей является
комбинированная, включающая в свою структуру как изодромную, так и
жесткую обратную связь. В САР входят три элемента:
регулируемый объект, динамические свойства которого
характеризуются дифференциальным уравнением
d0 (р) Ф = к£х — Коа0;
чувствительный элемент, динамические свойства которого
характеризуются дифференциальным уравнением
dP (Р) Л = *рф — Крар'>
усилительный элемент в виде гидравлического серводвигателя
с обратными связями, дифференциальное уравнение которого имеет
вид
dc(p)h = uc(p)r\.
183

*p
у„Ь)
Ур(р)
Па
i у
ТУ*
ftp)
а,
Л&&.
У"(Р) |
Уо(Р)
Рис. 114. Структурная схема
САР непрямого действия
Таким образом, динамические свойства САР непрямого действия
с учетом главной отрицательной обратной связи (к = —и)
характеризуются совокупностью дифференциальных уравнений
do (р) ф = КоХ — /с?а0; dp (р) ц = к£ф — /Ср<хр; |
dc(p)k = uc(p)r\; X = — к. J
Структурная схема такой системы показана на рис. 114.
Главный определитель системы
(322)
А =
к0
d0{p) О
—к$ dp (р) О
О —ыс (р) dc (p)
присоединенный определитель воздействия по регулируемому
параметру ф
—КрОр
О
О
dP (р) О
—"с (Р) dc (p) |
Раскрытие полученных определителей и подстановка их в
уравнение (308) приводят к уравнению
D(p)<p = S(p)ap-B(p)<x0, (323)
где собственный оператор САР непрямого действия
D(p) = R(p) + uc(p)KK0Kl
причем
R(p) = d0(p)dp(p)dc(p);
оператор воздействия по настройке регулятора
S(p) = Uc(p)i&$
и оператор воздействия по нагрузке
В (р) = dp (p) 4 (р) к?.
Уравнение (323) можно представить в дифференциальной форме
записи, если учесть в уравнениях (324), (326) и (327) развернутые
выражения операторов элементов.
J 84
(324)
(325)
(326)
(327)

Регулятор с комбинированной обратной связью
При наличии в регуляторе непрямого действия комбинированной
обратной связи операторы, входящие в систему элементов, имеют
вид
do (р) = ToP+li dp (р) = ТУ + Ткр + 1;
dc (Р) = TcTiP* + (Тс + Г,р,) р + кс;
Подстановка их в выражения (324)—(327) и затем в уравнение
(323) приводит последнее к виду
<*5Ф , А _^Ф_ j_ л £ц_ _,_ л d?y
d(*
А и у I л и v 1 /| " у | /| _
Л
d<p
d/
+ Лф =
«S,
dan
<ft
50ap
54
d*a0
dt*
R d3a<>
B,
"• -^-йл.
d/«
(328)
(329)
В этом уравнении
A5 = Т0ЦТсТг, AA = (Гр + 7\>ГК) ГсГ,- + (Гс + Г,р|) Г0ГР;
Л3 = (Гр + Г0ТК) (Гс + Tth) + (То + Гк) ТсТс + ТоТр^с;
Л2 = (Гр + Г0ГК) Ас + (Го -f Т'к) (Тс + Ш + ГсГ,-;
i4i = (Го + Гк) «с + (Гс -|- Г,Р,) + ^кЭД; А0 = кс + кЭДI
oi = У iK0Kp у оо = К0Кр > £?4 == i рУ с У t#o »
5з = (Гс + Tfii) Т\к« + TKTcTi&
В2 = (Гс + ЭД M + Г2р/сс/с« + Гс«;
Вх (Тс + 7\fr) к? + 7V&cc; Во = к?кс.
Уравнение (328) является неоднородным и описывает
вынужденные переходные процессы исследуемой системы, появляющиеся
в результате внешних воздействий а0 или ар.
Если допустить, что в течение переходного процесса объект
регулирования и чувствительный элемент не получают внешних
воздействий (<х0 = <хр = 0), то уравнение (328) будет иметь вид
Л5 а*ь IT л4 л/4 ^Г Л3 ,.ъ -\- Л2
dV>
dt*
dt*
dt*
+
+ Л1-^ + ЛоФ:
:0
(330)
или в операторной форме
D (р) Ф = 0.
Уравнение (330), описывающее свободные переходные процессы
системы автоматического регулирования с комбинированной
обратной связью, является однородным линейным уравнением пятого
порядка с постоянными коэффициентами.
185

Регулятор с изодромной обратной связью
Комбинированная обратная связь (см. рис. 22) является самой
общей. Если принять, что точка D опоры рычага 4 совпадает с
точкой Е закрепления пружины 5, то жесткая обратная связь исчезает
(DE = 0) и остается только изодромная обратная связь, а
регулятор и САР становятся изодромными.
В этом случае в соответствии с выражением (187) коэффициент^
становится равным нулю, и дифференциальное уравнение (328)
для изодромной САР получит вид
А £±. i л J^L j_ л Ю- -4- A ^L i a M-
Л5 Aib "Г Л4 л/4 ~Г Л3 л/3 "Г Л2 W/2 Т" Л1
dtl
dt*
dP
dt2
= SX
dec*
50ap — B4
d*aQ
dt*
Г»2
Bs
d3a0
B,
dt
d2«o
dt*
(331)
1
(332)
Л5 = ТоЦТсЪ; A4 = (Г* + T0TK) ТсТс + (Г. + Тф{) Т0Ц; \
А3 = (Ц + Т0ТК) (Та + Тф,) + (Т0 + Тк) TeTt;
А2 = (^ + Тк) (Г0 + Г,р,) + ТСТ,;
Л, = (Го + Tfo) + М># Л0 = кЭД;
01 = / iKoKp J оо == ^о^р > ^4 === ' р ' с ' t#o >
Яз = (Гс + ГА) 7>? + TKTcTiK«-y
В2 = (Тс + Tth) TX + ТсТ&
В1 = (ТС + Т&)& В0=0.
Уравнение (331) неоднородное, описывает вынужденные
ходные процессы исследуемой системы изодромного регулирования,
появляющиеся в результате внешних воздействий а0 и ар.
Если допустить, что в течение переходного процесса объект регу
лирования и чувствительный элемент не получают внешних воздей
ствий (<х0 = <хр = 0), то уравнение (331) примет вид (330).
Регулятор с жесткой обратной связью
Для превращения регулятора с комбинированной
связью в регулятор с жесткой обратной связью (см. рис
точно заменить пружину 5 изодрома жестким стержнем

переобратной
22) доста-
т. е.
принять 6ИЗ ->• оо, а силы гидравлического трения поршня 6 в катаракте
сделать как можно меньшими, что соответствует условию vK ->• 0.
Полученные таким образом условия свидетельствуют о том, что для
нахождения дифференциального уравнения САР непрямого
действия с жесткой обратной связью в формулах (329) в соответствии
с выражением (186) следует принять условие Tt = 0.
С учетом этого условия порядок дифференциального
уравнения (323) снижается до четвертого:
Л* Л/4 Т"Л8 dts ТЛ2 dt2
dt*
+ A1-^- + A0<p = S0ap-B3dSa<>
dt9
В,
d*a0
dP
-Вх
da0
dt
B0<x0i
(333)
186

коэффициенты уравнения определяются выражениями
Л4 = Т0ЦТС\ Аг = (Ц + Т0ТК) Тс + Т0Цкс) \
А2 = (Т% + Т0ТК) kc + (Го + Тк) Гс;
Ai = (Т0 + Тк) kQ + Гс; A0 = ko + /Со7срф; } (334)
So = /#£; 5з = Г*ГС>£; В2 = (Г*Л0 + ГКГС) /£;
5i = (Гк£с + Гс) Ко; 50 = Ко*Лс.
Уравнение (333) описывает вынужденные переходные процессы
системы с жесткой обратной связью в регуляторе, которые
появляются за счет внешних воздействий а0 и ар.
Если допустить, что в течение переходного процесса объект
регулирования и чувствительный элемент не получают внешних
воздействий (а0 = ар = 0), то уравнение (333) примет вид
Л
<*4Ф
Аш^ + Аш1& + А1М- + А<р = 0
dt*
dt
(335)
dt* ' 3 dt*
или в операторной форме
D (/?) ф = 0. (336)
Уравнения (335) и (336), описывающие свободные переходные
процессы исследуемой системы, являются однородными линейными
четвертого порядка с постоянными коэффициентами.
Регулятор без обратных связей
В действительности автоматические регуляторы непрямого
действия без обратных связей в теплоэнергетических установках не
используются. Однако дифференциальное уравнение такой системы
представляет определенный интерес, так как дает возможность
наглядно оценить значение обратных связей для обеспечения
устойчивой работы САР.
Для исключения из работы регулятора с комбинированной
обратной связью (рис. 22) как жесткой, так и изодромной обратной
связи в формулах (329) необходимо учесть два условия: kc = 0
и Т% = 0.
Уравнение при этом получит вид
A *L
л* dt*
лз dt9 i-л, dt%
Ai-3r + Au<P = S&p
-Вл
(Ра0
dt9
B9
d*a0
dt*
dt
(337)
где
Л4 = ТоЦТс; Аз = (П + Т0ТК) TQ;
Ач = (Го ~г ' к) * о» А\ = Т«*, Л0 = KQKp\
OQ == К0Кр \ £>3 == i pi C^O »
(338)
187

6. НОРМИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ САР
В дифференциальных уравнениях САР (310), (315), (321), (328),
(331), (337) и других в качестве переменной величины принята
безразмерная регулируемая координата <р. Так как / имеет размерность
времени, то коэффициенты уравнений также размерные величины.
Например, коэффициенты уравнения (337) имеют размерности:
А0 — безразмерный, Аг — размерность секунда; А2 — секунда
в квадрате и т. д.
При исследовании работы САР иногда дифференциальным
уравнениям систем целесообразно придать безразмерный вид.
Уравнения в этом случае называют нормированными. Анализ работы
систем по таким уравнениям становится наиболее общим, так как не
зависит от абсолютных значений параметров элементов конкретной
системы, а определяется только их соотношениями.
Нормирование дифференциального уравнения можно выполнить
выбором некоторой константы q с размерностью времени,
определяемой параметрами объекта регулирования и автоматического
регулятора:
* = qx, (339)
где т — безразмерное время.
Подставляя выражение (339), например, в уравнение (315),
можно получить
= ~B,q^- - Bxq* -^- - B0q**0 + S0q**v. (340)
Так как константа q выбрана произвольно, можно принять
(А0/А3) q3 = 1, откуда для уравнения третьего порядка
q = VA3[A0. (341)
Подстановка соотношения (341) в уравнение (340) приводит его
к нормированному виду
(342)
коэффициенты которого
(343)
№

(346)
Аналогичным приемом можно получить нормированное
уравнение четвертого порядка
- Q2 -gr - Qx -^ - Qo«o + L0ap, (344)
если принять
q = y/ AJA0. (345)
В уравнении (344)
♦--а-^ *-%щъ z=%vm
*-*f(*)'' * = %?№';
В общем случае для уравнения, порядок которого я, константа
времени q = j/AJA0 .
При исследовании работы САР нередко используется
возмущающее воздействие в виде мгновенного импульса первого рода (см.
рис, 7, б). Такое возмущающее воздействие выводит систему из
равновесного положения и затем в течение переходного процесса не
действует. Это равносильно принятию условия а0 = ар = 0. В этом
случае нормированные уравнения имеют вид
4& + *-& + x-S-+c-g-+f-o <m
и т. д.
Коэффициенты нормированных дифференциальных уравнений—
безразмерные величины, поэтому иногда их называют критериями
подобия систем автоматического регулирования. Если в соотношения
Для определения %, £, \|) по формулам (343), (346) подставить
развернутые выражения коэффициентов дифференциальных уравнений
систем регулирования (316), (329), (332), (334), то получим
выражения для их подсчета через коэффициенты дифференциальных
Уравнений элементов САР.
Для САР прямого действия, переходные процессы которых
описываются уравнением (315) с коэффициентами (316),
т т 4- т2
1 pi к * л р
V(ToTPf (1 + «
Ут0Т1(1+к»к1У'
(349)
189

Для САР непрямого действия с жесткой обратной связью,
переходные процессы которых описываются уравнением (333) с
коэффициентами (334),
тс(т0тк + т%) + кет0т* t
V(T*T°Tl)4kc + <"?) '
(350)
Tc(TK + T0) + kc(T0TK + 1*) .
Г— Гс + *с (Г* + Г°>
Аналогично можно получить формулы для подсчета критериев
подобия САР с регуляторами непрямого действия, оборудованными
изодромными или комбинированными обратными связями.
Знание числовых значений коэффициентов нормированного
дифференциального уравнения одной системы регулирования может
облегчить подбор параметров автоматического регулятора другой
системы.
7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАЗОМКНУТОЙ САР
Структурные схемы САР (см. рис. 113, 114) показывают, что
последовательная цепь взаимодействий элементов, входящих в
систему, замкнута. Для анализа работы такой системы необходимо
сначала рассмотреть разомкнутую САР, у которой цепь воздействий
разорвана.
Рассмотрим структурную схему разомкнутой САР (рис. 115, а)
при отсутствии внешних воздействий (а0 = ар = 0). В этих
условиях дифференциальные уравнения элементов, входящих в
разомкнутую САР, имеют вид
dp (Р) Ц = /Срфвх; d0 (/?) фвых = ЛоИ.
В разомкнутой системе главная отрицательная обратная связь
отсутствует, поэтому г\ = х.
Совместное решение системы уравнений с учетом г\ = х дает
уравнение разомкнутой системы регулирования
do (р) dp (р) фвых = Кр«5фвх. (351)
Аналогично можно получить уравнение разомкнутой системы
регулирования непрямого действия с жесткой, изодромной или
комбинированной обратной связью
do (p) dp (р) dQ (p) фвых = uQ (p) КоКрфвх
или
R (р) фвых = «о (Р) КоКрфвх, (352)
где
R{p) = dQ(p)dp{p)dc{p).
190

рис. 115. Разомкнутая система с
последовательным включением эле-
ментов: ~^H K/>^ HSH йдо
<Рвыж VSx
Y(P)
- ГоТр', Аъ
■ + А,
— Г2
— 'р
^2фвых
37*
+ Г0ГК;
■ + Л
Л,=
^фвых
dt
То + Т>
+ ^офвых
<; Л0=1;
= /Сф,
АС =
5Х> («■
АСр/Со»
fl — структурная схема? б — эквива- с; А)
лентная схема
Произведение собственных операторов элементов, входящих в
разомкнутую систему регулирования R (р), является, таким образом,
собственным оператором разомкнутой системы регулирования.
Подставляя выражения собственных операторов элементов, полученные
уравнения (351), (352) можно развернуть и представить в
дифференциальной форме. Например, уравнение (351) примет вид
(353)
где
8. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТЫХ САР
Дифференциальные уравнения разомкнутых САР позволяют
получить их передаточные функции. Так, передаточная функция,
соответствующая уравнению (352), имеет вид (рис. 115,6)
У(п, Фвых _ «c<P)«fr? "c(/>K*g п_
XW- Фвх ~ Rip) - d0(p)dp(p)dc(p) # V°*>
Сравнение выражения (368) с формулами (82), (132) и (197)
свидетельствует о том, что передаточная функция разомкнутой системы
определяется произведением передаточных функций элементов,
входящих в эту систему:
Y(p) = YUp)Y*(p)Y:(p). (355)
Подстановка р = ш в передаточную функцию дает АФЧХ той же
разомкнутой системы
Y (to) = Y% (to) YI (to) Y% (to) (356)
или после преобразований
uQ (to) к*к£
Y 0®) = X/o))dp(to))dc(to)) • <357)
АФЧХ является комплексным числом, поэтому
Y (ш) = х (со) + 1у (со). (358)
Зависимость х (со) = / (со) называют обычно вещественной,
а у (со) = f (со) — мнимой частотными характеристиками
разомкнутой системы регулирования.
Эти характеристики определяются по вещественным и мнимым
частотным характеристикам элементов, входящих в систему авто-
191

матического регулирования. Например, для разомкнутой системы
регулирования прямого действия
К (fa) = К? (ico) У? (to), (359)
поэтому
откуда
Y (ко) = [4 И + ifi И] UI (со) + iyl (со)],
(360)
X ((,)) = Д5 (СО) ДГ» (СО) - $ (СО) $ (СО), |
у (со) - *S (СО) У1 (СО) + *? (СО) у* (0)) J
или с учетом развернутых выражений (258), (259), (285) и (286)
Wll--<*(T0TK + 7*)] .
Х^ (Ц-со2г2)[(1-со2Г2р)2+со2Г2к] ' (361)
_ со[ТК + Т0 (1 - со2Г2)] кЭД£
У И = (1 +со2Г20)[(1-о2Г2)2+со2Г21 ' (362)
Задаваясь различными значениями со и подсчитывая
координаты х (со) и у (со), можно построить АФЧХ разомкнутой системы.
Так, в соответствии с формулами (361) и (362) при со = 0 (рис. 116)
х (со) = k£k$ и у (со) = 0. АФЧХ пересекает ось ординат [л: (со) = 0]
и ось абсцисс [у (со) = 0] (см. рис. 116) соответственно при
СО:
l/YT0TK + Т\ и со = /1 + Гк/ТУГр
В соответствии с выражениями (266), (292) и (300) АФЧХ
разомкнутой системы (356) примет вид
Y (ш) = А* (со) At (со) Л? (со) е'[v* ((0) + v? ((0) + v? ((0)]. (363)
Таким образом, вектор Y ((со) разомкнутой системы с элементами,
последовательно воздействующими один на другой, получается
перемножением векторов отдельных элементов. При этом
амплитуды (модули) перемножаются, а фазы (аргументы) складываются.
После введения обозначений
А (со) = Л£ (со) А1 (со) Л? (со); (364)
у (со) = Vo (со) + у* (со) + Т? (со) (365)
выражение (363) примет вид
yF(i<o) = i4(co)e'v(©)> (366)
где Л (со) = / (со) — АФЧХ разомкнутой системы; у (со) = / (со) —
ФЧХ разомкнутой системы.
Для построения АФЧХ разомкнутой системы регулирования
можно воспользоваться выражением (366). С этой целью при
выбранном значении со подсчитывают Л (со) и у (со).
192

Для определения точки, принадлежащей АФЧХ разомкнутой
системы, следует из начала координат провести окружность
радиусом А (со), а затем луч с углом наклона у (со) (рис. 117). Точка
пересечения окружности с лучом дает искомую точку характеристики.
Задаваясь несколькими значениями со, можно найти число точек,
достаточное для построения всей характеристики.
Для выявления правил построения ЛЧХ разомкнутых САР
необходимо прологарифмировать выражение (377):
In Y (tco) = In [Л2 (со) А% (со) Л? (со) + I [$ (со) + у* (со) + у? И]
или In Y (ш) = In А (со) + iy (со).
Кривые In А (со) = / (In со) и у (со) = / (In со) обычно называют
натуральными частотными характеристиками разомкнутой системы,
соответственно амплитудной и фазовой. Однако чаще для ЛЧХ
разомкнутых систем используют десятичные логарифмы. В этом
случае ЛАЧХ разомкнутой системы будет зависимость
L (со) = 20 lg Л (со) = / (lg со).
После подстановки в нее выражения (364)
L (со) = 20 lg А* (со) + 20 lg А* (со) + 20 lg Л? (со)
или L (со) = L^ (со) + Ц (со) + Я И. (367)
Выражение (367) показывает, что ЛАЧХ разомкнутой САР
можно получить простым суммированием ординат ЛАЧХ элементов
рассматриваемой системы.
Задачу построения результирующей ЛАЧХ системы можно
облегчить, если действительные ЛАЧХ элементов системы заменить
приближенными характеристиками в виде отрезков прямых, как это,
например, изображено на рис. 104, а и 105.
7 В. И. Круюв и др. 193

Формула (365) показывает, что ЛФЧХ разомкнутой системы
регулирования также может быть построена суммированием ординат
ЛФХ элементов, входящих в систему.
АФЧХ разомкнутых САР широко используются при оценке
устойчивости соответствующих замкнутых САР.
9. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ САР
Частотные характеристики замкнутых САР позволяют выяс*
нить характер реакции замкнутой САР на внешнее гармоническое
возмущающее воздействие. Эта реакция зависит как от свойств
элементов, входящих в систему, так и от характера возмущающего
воздействия, поэтому анализ частотных характеристик замкнутых
систем дает возможность судить и о качестве переходного процесса.
Для получения АФЧХ замкнутой системы целесообразно
вначале записать передаточные функции замкнутой системы по
возмущающему (а0) (рис. 118, а) и управляющему (ар) (рис. 118,6)
воздействиям.
В соответствии с дифференциальным уравнением (310)
передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию
получит вид
W(p) = <p/*0 = -B(p)/D(p).
Пусть, например, дифференциальное уравнение имеет вид (315),
тогда
W(р) = - А .y/f^t^L, • (368)
w А9р* + А2р* + Ахр + А0 v '
Передаточная функция по управляющему воздействию
W (р) = Ф/ар = S (p)ID (p)
или применительно к уравнению (315)
W (п) — £° .
WW А3р* + А2р* + AlP + A0'
Передаточные функции (368) и (369) дают возможность путем
подстановки р = ш получить АФЧХ замкнутых САР по
возмущающему и управляющему
воздействиям соответственно:
(369)
W(i<d) =
В (id)) __
D (/CD)
У,'(Р)
jfijj^
/
«•
Y*(P)
0
(Вр — С02В2) + t'COBj
(А0 — соМ2) + to (At — соМ8) '
(370)
118. Структурные схемы системы
прямого регулирования:
а — с возмущающим воздействием; б —с
управляющим воздействием
Рис.
194

W (to) — D (to) ~ (A0 — cdM2) + to (At - o>M8) " ^ ^
Если учесть, что для выбранного примера
D (ко) = R (to) + /с?Кр = d0 (/со) dp (ко) + кЭД;
В (£со) = dp (to) /с?;
то формулам (370) и (371) можно придать вид
w <">> - - d т - - ^+4.^)^^) ■ (372)
Ц7 (to) = 4Ш- = —ТГ^ (373)
v ' Д("») k"0K» + d0(to)dp(to)
АФЧХ замкнутой CAP W (to) может быть определена по АФЧХ
соответствующих элементов, входящих в систему. Разделим
числитель и знаменатель выражений (372) и (373) на произведение R (to) =
= d0 (to) dp (to), тогда с учетом выражений (82), (132) и (133) АФЧХ
(372) по возмущающему и (373) по управляющему воздействиям
получит вид соответственно
К? (to) Yj (to)
*<">— г+у-юугт "ТОТ (374)
*(ш) = i+r»««)r»«»)= i+yw ' (375)
где Y (to) — АФЧХ соответствующей разомкнутой CAP.
Выражения (374) и (375) являются комплексными числами,
поэтому можно найти действительную xw (со) = / (со) и мнимую
yw (со) = / (со) частотные характеристики разомкнутой системы
регулирования:
W (to) = xw (со) + iyw (со). (376)
Если АФЧХ разомкнутой системы
Y (to) = х (со) + 1у (со);
регулируемого объекта
F?(to)=x?(co)+i^(co)
и автоматического регулятора
то по условию равенства комплексных чисел при учете, например,
возмущающего воздействия
xw И + ЧЛг И = i+xW + iyW >
7* 195

Рис. 119. Частотные характеристики замкнутой САР
откуда
xw (со) =
У w (<*>) =
#(ц)[1+*(ц)] + #(р)у(ц)
(377)
[1 + X (CD)]2 + 1,2 (С0)
Таким образом, при заданном значении круговой частоты со воз»
мущающего воздействия по формулам (377) могут быть подсчитаны
значения действительной и мнимой частотных характеристик
замкнутых систем регулирования двигателя (кривые // и /// на рис. 119).
Если значения xw (со) и t/vr(co) рассматривать в качестве координат,
то можно построить АФЧХ W (ш) замкнутой системы
регулирования (кривая /).
Как известно,
W (ico) = Aw (со) eiyw «°\ (378)
где Aw (со) = / (со) — АЧХ замкнутой системы; yw (w) = / (со) —
ФЧХ замкнутой системы.
Значения их при заданном со можно подсчитать, если известны
xw (со) и yw (со), так как по аналогии с выражениями (261), (263) и др.
Aw И = y~x2w(i*)+ywH> (379)
yw (со) = arctg (yw (co)/.xv (©))- (380)
Выражения (379) и (380) с учетом формул (377) позволяют
построить АФЧХ замкнутых систем регулирования (кривые IV и У).
196

10. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩАЮЩИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА САР
В общем случае возмущающее воздействие а0 на САР может быть
сложным периодическим с периодом колебаний Т = 2я/со0, где со0 —
частота основной гармоники возмущающего воздействия. Сложную
периодическую функцию сс0 = / (t) можно разложить на ее
гармонические составляющие с помощью ряда Фурье
£=00
ао (0 = -тр + Jj (а* C0S k(*ot + Ьк Sin k(d°^y ^381)
здесь k — порядок гармоники; a0, ahi bh — коэффициенты Фурье,
определяемые формулами
+7-/2
• J ао(ОЛ; (382)
tfo = -y
2
Т/2
+Г/2
ak = -y- J a0 (/) cos ka0t dt\ (383)
—Г/2
+Г/2
Ък = -^г- J a0(t) sin ka>0tdt. (384)
-Г/2
Ряд Фурье имеет и другую форму записи, к которой можно перейти
с помощью формул Эйлера (222) и (223):
ъ1пШ = ±(*'к°0' -*-'к°0')-
(385)
Если воспользоваться выражениями (385), то k-я гармоника ряда
Фурье получит вид
«о* = (ак - ibh) 4- е'"* + (flfc + щ _*_ <r^ .
В это выражение можно ввести новые комплексные сопряженные
коэффициенты ряда Фурье
Сk = -j- (ak + ibk) и C_ft = ~2" (a* - t'6ft).
С учетом этих обозначений
aQk = Cktck(*of + C.fce"'*wo'. (386)
Таким образом, в каждой гармонике появилось два коэффициента,
°Аин из которых подсчитывают при +k, другой при —k.
197

Действительно,
l
т
+Т/2
I ae(0e'*w°<d/;
—7-/2
+772
Сь = -
J «О (0 е'
■-'*""'Л.
(387)
(388)
—772
Таким образом, при бесконечном числе гармоник (—оо <: k <:
< + со)
Л=-оо
или с учетом выражения (387)
*=±°° /л©п/ +г/2
«о
-2
J ао(/)е
-ik<*0tdL
(389)
£=—оо —Г/2
Свойства САР изучают, как правило, при типовых возмущающих
воздействиях. К числу таких воздействий относится единичное
ступенчатое (см. рис. 7, а), при котором / (t) = а0 (/) = const, если
/^0, и Оо = 0, если t <: —0. Для периодической прямоугольной
функции (рис. 120)
k^t°° Jku0t +TJ2
Так как
а0
+7-/2
2 -Ч-J a°-°~""°'dt-
(390)
*=-оо
J
в-"во'Я = .
t°6a>0
(1
-*Ля'
)»
то выражение (390) будет иметь вид
(391)
*=-оо
Однако ступенчатая функция — лишь частный случай
прямоугольной периодической функции при периоде возмущающего
воздействия Г-*оо. В этом случае частота колебаний co0->*da). Так
как &со0 — со, то \lk =* со0/со. В рассматриваемом случае со0/со —>*
->da)/co; тогда при a)0->dco существует условие &->»оо, при
котором е~'*я -*• 0. После замены бесконечного ряда слагаемых
интегралом формула (390) примет вид
а01
2
-f оо
«0
^_ aQo Г
2ш J
»l(D*
dec.
Рис. 120. График периодического прямоугольного
возмущающего воздействия
198

б&цеприня'йым типовым возмущающим воздействием являетСй
he только ступенчатое при t = +0, но и единичное, при котором
а0о = 1. В этом случае
—ао
11. АФЧХ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ
Возмущающее воздействие, меняющееся во времени по закону
периодической функции, можно найти с помощью ряда Фурье в виде
выражения (389). При неограниченном возрастании периода, т. е.
при Т -* оо (функция становится непериодической), co0-*dco, тогда
МТ = со0/(2я)-*Жо/(2я).
Вместо бесконечного ряда слагаемых в этом случае переходят
к определенному интегралу, который при &со0 = со будет иметь вид
-|-оо -|-оо
«о = зГ J е'ш<Лв J a°(Ое-"0'dt. (393)
—оо — оо
Это выражение называют интегралом Фурье. После введения
обозначения
F(tco)= J a0(t)e-tatdt (394)
я—OO
выражение (393) примет вид
a° = ~W 1 р({(й)*Ш(1<*> (395)
*-»оо
где F (ш) — АФЧХ воздействия, которая является комплексной
величиной, поэтому
F (ш) = хр (со) + iyF (со) или F (to) = AF (со) eiyF w. (396)
Зависимости xF (со) = / (со) и yF (со) = / (со) являются
соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками
возмущающего воздействия, a AF (со) = / (со) и yF (со) = / (со) —
амплитудной и фазовой частотными характеристиками возмущающего
воздействия.
12. ОБОБЩЕННЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТЫХ САР
Возмущающее воздействие на САР можно представить в виде
интеграла (395), поэтому элементарная составляющая этого
воздействия
da0=~F (to) e"*' dco. (397)
199

На основании принципа суперпозиции можно предположить,
что da0 вызывает элементарный переходный процесс d(p, который
определяется с помощью АФЧХ замкнутой системы регулирования.
Так как уравнение замкнутой системы, например, прямого
регулирования (310) при постоянной настройке регулятора (ар = 0)
и при наличии постоянно действующего возмущающего
воздействия а0 имеет вид
У о (р) dp (р) + к&Ср 1 ф = —В (р) а0,
а АФЧХ замкнутой системы
d0 (/о) dp (too) + кЭД '
то
Ф = W (ш) обо. (398)
Элементарный переходный процесс в соответствии с
выражением (398) можно представить в виде
dtp = W (ш) d<x0
или с учетом формулы (397)
dq> = JL W (ш) F (ко) e"°'dco.
Действительный переходный процесс является бесконечной
суммой элементарных составляющих этого процесса, т. е. интегралом
вида
Ф = ~^ J lP(fo>)F(to)e'«'d(D. (399)
—оо
После введения обозначения
ф (ш) = W (ш) F (ш) (400)
интеграл (399) примет вид
ф = ^- J ф(ио)е'®'Ао. (401)
•—00
Выражение (400) называют преобразованием Фурье для функции
переходного процесса или обобщенной АФЧХ САР. Эта
характеристика представляет собой комплексное число
Ф (ш) = хф (со) + 1уф (со). (402)
Зависимости хф (со) = / (со) и уф (со) = / (со) называют
соответственно вещественной и мнимой обобщенными частотными
характеристиками замкнутой системы регулирования. В соответствии
с выражениями (400), (376), (396) и (402)
хф(со) + iy0 (со) = [xw(со) + iywHI [xF(со) + iyF(со)],
200

тогда из условия равенства комплексных чисел
хф (о) = xw (о) хр (о) - yw (со) yF (со); j
Формулы (403) дают возможность при заданных значениях со
подсчитать числовые значения хф (со) и уф (со), представляющие
собой координаты точек обобщенной АФЧХ замкнутой системы
регулирования, и по частотным характеристикам хф (со) = / (со)
и Уф (<*>) = / (©) оценить качество работы САР.
13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ САР
Структурные схемы САР (см. рис. 113—115) наглядно
показывают взаимодействие элементов, входящих в систему. Каждый
элемент схемы определяется соответствующей передаточной функцией
и имеет входную и выходную координаты.
В некоторых случаях структурная схема оказывается достаточно
сложной, тогда для облегчения последующего исследования
возникает необходимость ее преобразования в целях упрощения.
Наиболее часто в этом случае приходится иметь дело с элементами,
включенными в систему последовательно (см. рис. 115, а) и параллельно
(см. рис. 121, я).
При последовательном включении элементов передаточные
функции каждого из них применительно к рис. 115, а имеют вид
Yp(P) = 1\l<P*x> У* (Р) = фвых/И.
Передаточная функция соединения элементов
У (Р) = Фвых/фвх. (404)
Сравнение полученных выражений показывает, что при к = т)
Y(p) = Y*(p)Yt(p)9 (405)
т. е. передаточная функция последовательно включенных элементов
определяется произведением передаточных функций этих элементов.
Следовательно, структурные схемы, показанные на рис. 115, а и б,
эквиваленты.
При параллельном включении элементов (см. рис. 121, а) каждый
из них имеет передаточную функцию
Уг(Р) = Фпых/Фъ У»(Р) = Фа/фвых. (406)
а общая передаточная функция эквивалентного элемента (рис. 121, б)
определяется отношением (404). Если обратная связь элементов
отрицательная, то фх = срвх — ср2. С учетом сказанного
сопоставление. 121. Структурная схема разомкнутой си- % ,
стемы с параллельным включением элемен- ~Tj [ "~ | i ™ i i^u
""" Для параллельно включенных элементов; б —
эквивалентный элемент
ьХ
{
У,(р)
Уг(р)
<
-*—1
<W
<P6*t
Y(p)
V .
201

Рис, 122. Перенос узла и разветвления сигнала в
структурной схеме:
а — с охватом обратной связью одного элемента; б -*
с охватом двух элементов
ние выражений (404) и (406) путем
исключения координат фх и ф2 дает
передаточную функцию эквивалентного
элемента
Y(p) = Yl(p)/ll + Y1(p)Yt(p)). (407)
При положительной обратной связи в знаменателе выражения (407)
должен быть взят алгебраический знак «минус».
Соотношениями (405) и (407) удобно пользоваться в случае
необходимости упрощения структурной схемы САР.
В некоторых случаях передаточная функция элемента,
включенного в обратную связь, оказывается равной единице. Если
применительно к схеме на рис. 121, a Y2 (р) = 1, то в соответствии
с формулой (407) передаточная функция эквивалентного элемента
определится отношением
Y(p)^Y1(p)/[l + Y1(p)]. (408)
Иногда при перестроении структурных схем необходимо
перенести узел разветвления сигнала иг, например, в сторону его
прохождения (рис. 122, а и б). Пользуясь соотношениями (406) и (408),
будем иметь для схемы, приведенной на рис. 122, а,
и для схемы, изображенной на рис. 122, б,
Y(p)- yiWy»W - yiM Y (о)
1 \P) - i + Yl (p) Y2 (p)/Y2 (p) - 1 + Yi (P) 2 [Ph
Сопоставление полученных выражений показывает, что перенос
узла разветвления их (рис. 122, а) в положение и2 (рис. 122, б)
по направлению движения сигнала должен сопровождаться
включением в обратную связь элемента с передаточной функцией \IYZ (p),
обратной по отношению к передаточной функции элемента Yz (/?),
включенного в цепь обратной связи.
Используя изложенную методику определения передаточной
функции эквивалентного элемента, можно показать, что перенос
узла разветвления сигнала в сторону, противоположную движению
сигнала, требует включения в обратную связь элемента с
передаточной функцией Y2 (р)у равной передаточной функции элемента,
исключенного из цепи обратной связи.
Применение приведенных правил дает возможность при
необходимости существенно упростить структурные схемы САР,
ttfrk
Vl
*7
Vt№) |-f*
a)
Y,(p) [^
... \l/Yi(n)
.... y/T2\H/
YiW~\
Yi(P) 1
fa/
Vtux
T5"
p
202

14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ САР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В некоторых САР передача воздействия от одного элемента
к другому или в пределах самого элемента осуществляется не
мгновенно, как это принималось до сих пор, а с некоторым определенным
и постоянным запаздыванием *3ап- К числу таких элементов можно
отнести, например, патрубок 3 (см. рис. 125), связывающий
регулируемый объект 4 и чувствительный элемент 2 в САР давления,
или сам регулируемый объект 4.
Если в момент времени tx в точке А давление мгновенно
возрастает, то волна давления по патрубку распространяется со
скоростью звука а и поэтому достигнет точки В не в момент времени
t = tl9 а в момент t2 = tx + t9aU9 где *8ап — время, необходимое
для прохождения волны давления по каналу регулируемого
объекта 4 длиной L, причем *эап = Lla.
Таким образом, элементом с запаздыванием в системе
регулирования называют такой элемент, в котором значение выходной
координаты воспроизводит изменение входной координаты с некоторым
постоянным запаздыванием *зап.
Дифференциальное уравнение разомкнутой САР, состоящей из
двух элементов, имеет вид (351). Если разомкнутую цепь элементов
замкнуть, включив в систему элемент с запаздыванием, то с учетом
появления при замыкании главной отрицательной обратной связи
Фвх (0 = — Фвых {t — *8ап)-
Совместное решение полученных уравнений приводит к диффе*
ренциальному уравнению САР с запаздыванием
dQ (p) dp (/?) фвых (0 + *рК?фвых (t — /зап) = 0. (409)
Разложение зависимости фвых (t — /зап) в ряд Тейлора дает
Фвых (t - 4ап) = Фвых (0 + ^Г3 <-'зап) +
, *фвых(0 (-'зап)2 , , А>вых(0 (-W* ,
+ Я» 2! "I "Г dtn п\ "Г •••
или после перехода к операторной записи
Фвых (t - W = [l + (-PW + HP2|an)2 + • • •
• • • + У + " • ] <Р«" W = е^^запф^ (0. (4Ю)
Подстановка выражения (410) в уравнение (409) приводит
последнее к виду
[do (P) dp (р) + *Ji£e-p'*n] фвых (0 = 0. (411)
Так как е~"р/аап= 1 при t9au = 0, то уравнение (411) превращается
в обычное линейное дифференциальное уравнение системы
регулирования.
203

15. ПОСТРОЕНИЕ АФЧХ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
АФЧХ (357) разомкнутой системы (см. рис. 115, а) без
запаздывания при ис (ш) = 1 имеет вид
Гб (to) = *»/£//? (to), (412)
где R (to) = d0 (to) dv (/со) dc (to).
Если в структуру разомкнутой САР последовательно включить
элемент с чистым запаздыванием (рис. 123) так, что q> (/) = фвх (t —
— 4ап), то динамические свойства такой системы должны
характеризоваться совокупностью двух уравнений
R (Р) фвых (0 = КрК£ф (О'» Ф (0 = Фвх (/ - *зап),
которые в совокупности дают
R (р) Фвых (0 = КрЯ?фвх.(* — *зап).
С учетом выражения (424) полученное уравнение принимает вид
R (Р) Фвых (0 = кХфвх (0 e-p/-an.
Последнее уравнение дает возможность получить выражение
передаточной функции разомкнутой системы с запаздыванием
K(p) = i«jK?e-pW/?(p)
или ее АФЧХ
Y (to) = к№€~ш**ЧЯ (to).
Сравнение полученного выражения с выражением (412)
показывает, что
Y (ко) = Y6 (to) е-'Ч0'зап (413)
или в соответствии с выражением (370)
K(to) = Ke(to)K,an(to).
Следовательно,
Пап(^С0) = е-/(0/зап
является математическим выражением АФЧХ элемента, имеющего
запаздывание. Построение АФЧХ разомкнутой системы с
запаздыванием оказывается наиболее наглядным, если АФЧХ системы без
запаздывания представить через амплитудную и фазовую частотные
характеристики
Гб(/(о) = Лб(со)е^(-). (414)
ЫЩ
Узап(р)
Ш
Ур (pj ¥Щ
Yok(pj
Рис. 123. Структурная схема
разомкнутой САР с элементом чистого
запаздывания
204

Подстановка выражения (414) в выражение (413) приводит
последнее к виду
7(to) = i4e(©)e'[veW-«'3an].
Таким образом, для построения АФЧХ САР с запаздыванием
необходимо построить вначале АФЧХ разомкнутой системы без
запаздывания (кривая 1 на рис. 124) и затем радиусы-векторы этой
характеристики при выбранных значениях со повернуть на угол со/8ап
по часовой стрелке. Полученные таким образом точки и будут
искомыми точками АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием.
16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ САР С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ
САР с распределенными параметрами содержит элементы типа
каналов с движущейся жидкостью или газом, например
регулируемый объект 4 (рис. 125).
Переходные процессы таких элементов описываются уравнениями
в частных производных. Если не учитывать конечной скорости
распространения волны давления в ресивере, то давление в переходном
процессе будет зависеть только от времени и меняться одинаково
и одновременно во всех точках ресивера, т. е. /?=/(/). В
действительности такая зависимость не может дать полного представления
о процессах, происходящих в ресивере, так как сжимаемое рабочее
тело не в состоянии передать давление мгновенно. Чтобы определить
Давление у сечения // ресивера, необходимо учесть не только
значение давления в данный момент времени у сечения /, но и время,
требуемое для распространения волны давления по ресиверу до
сечения //.
В связи с этим при переходном процессе давление в ресивере
зависит не только от времени t, но и от координаты х — и точки ре-
205

сивера, в которой замеряется это давление: р = f (t\ х), т. е. в
выбранный момент времени t давление в разных точках ресивера
различно. Так, если в сечении х (см. рис. 125) давление газа р> то в
бесконечно близком сечении давление р + dp. Так как р = / (#),
то в выбранный момент времени это давление р + ~ dx.
В этом же сечении х через интервал времени dt давление
изменится и станет равным р + -~- dt, поэтому на каждый элемент
рабочего тела длиной dx в переходном процессе воздействуют с обеих
сторон различные давления: с одной стороны р, с другой р + -^-dx.
Разность сил, обусловленная разностью давлений, вызывает
ускоренное перемещение элемента. На основании принципа Д'Аламбера
можно записать уравнение динамического равновесия этого
элемента
-*-*['-('+**)]■
где w — скорость движения элемента.
Масса рассматриваемого элемента рабочего тела
т = —j- p dxy
где d — диаметр канала; р — плотность газа, поэтому уравнению
Д'Аламбера можно придать вид
т—т*- (416>
Из последнего выражения следует, что ускорение -^-
рабочего тела (например, газа), движущегося по ресиверу,
пропорционально падению давления по длине ресивера.
Так как за элементарный интервал времени dt давление газа
изменяется от р до р + ~п dt, то это вызывает некоторое изменение
объема do рассматриваемого элемента газа вследствие его сжатия.
Если теплообменом газа с внешней средой ввиду кратковременности
процесса пренебречь и принять процесс сжатия адиабатным, то
pvk
; /У*.
Рис. 125. САР давления с
распределенными
параметрами
206

где v — объем газа в рассматриваемом элементе; k — показатель
адиабаты; р0 и v0 — давление и объем при равновесном состоянии
газа.
Дифференцирование уравнения адиабаты
Здесь
dv==-jkdP-
dv=—£-db] v = ^j-dx\ dp~-£-dt,
поэтому укорочение длины элемента
db = -±^dxdt. (416)
Изменение длины элемента газа на db отразится на скорости
движения газа, так как db представляет собой разность пути торцов
элемента газа за время dt.
Действительно, путь движения одного торца (в сечении х + dx)
(w + -jT£-dxjdt, путь другого торца (в сечении х) wdt, поэтому
db = (о> + -g- dx) dt -wdt = 2g; dxdt. (417)
Приравнивая выражения (416) и (417), получим
dw 1 dp
дх kp dt
Так как скорость распространения звука в газе а = у/ kp/p, то
4г=—Х-Щ-- (418)
дх pa2 dt v '
При переходе к относительным координатам
Ф = A/?//v> Ф = &wk/w0; v = Ax/L (419)
уравнения (415) и (418) примут вид
(420)
где р = wja — безразмерный коэффициент, характеризующий
отношение установившегося значения скорости движения газа к
скорости звука в данной среде газа; Т0 = L/w0 — постоянная времени
ресивера (время прохождения газа через канал длиной L).
Для решения системы уравнений (420) необходимо задать
граничные условия, которыми могут быть, например, условия поступ-
207
("-.-£ —
Т д(? —
"57 9
дур
' dv '

ления газа в ресивер через сечение / (см. рис. 125) и расхода газа
через сечение //.
Если масса газа, поступающего в течение 1 с в ресивер через
сечение /, равна тъ то скорость течения газа через это сечение
wt = m1/(s1p1), (421)
где s1 — площадь проходного сечения /; рг — плотность газа в этом
сечении.
Следовательно, wl = /х (тг] рх); т1 = f (г) и рх = /х {рх)> где z —
координата положения регулирующего органа 4\ рх — давление
газа в сечении /.
Разложение в ряд Тейлора и последующая линеаризация дают
**.-■£■*».+ &*.■--й-* *+4g-fc*A- (422>
В соответствии с уравнением адиабаты и соотношением (421)
dwi _ 1 . * дт1 _ т0 .
дтг p0Si ' dz z0 '
dwt __ m0 . dpt _ J_ _ Po
dpi pgsi ' dpi a2 kp0 '
Подстановка полученных соотношений в выражение (422)
приводит последнее к виду
где г] = Аг/г0 — относительная координата положения
регулирующего органа 4.
После сокращений первое граничное условие (поступление газа
в ресивер) имеет вид
Ф1 + 4>i = Л- (423)
Второе граничное условие — расход массы газа через сечение //
площадьюs2m2 = w2p2s2i гдедо2 — скорость истечения газа; р2 —
плотность газа в сечении //.
Таким образом, т2 = f2 (w2, p2) ир2=/ (/?2), и после разложения
в ряд и линеаризации
АШ2+ dp, др2 лр*'
Так как
др2
дръ
","'2 dw2
1 Ро .
a2 kp0 '
дпг2 dm*
p»v. -xr = ^os2
dw2 — г*-*, ap.
TO
Am2 = p0s2w0 ^ + ^oS2^- Р0Ф2 = Jj-(b + Ф2). (424)
Для простоты рассуждений далее принимаем, что истечение
газа через сечение // происходит с критической скоростью, поэтому
ш3 = s2 V &p2/V
208

Если допустить, что сечение s2 не изменяется, а плотность газа
изменяется так незначительно, что этим можно пренебречь (р2 ^
^ р0 ^ const), то т2 = f (p2), тогда
Лт2 = |2- Л/72 = -J- УЩ ЛФ. - тг Я 2- (425)
Сопоставление выражений (424) и (425) показывает, что второе
граничное условие можно представить в виде
Ь ■= -gjjj- Ф2- (426)
Наличие граничных условий (423) и (426) позволяет искать
решение системы уравнений (420) в виде суммы двух функций от
аргументов (t — prov) и (t + prov). Этим функциям можно придать вид
Ф = е.(<-р7>) + ев(* + р7>);
* = -р- 19а (t - р7» - 9В (/ + prov)]. J
(427)
Правомочность выбора этих функций подтверждается
тождеством, получаемым из уравнений (420) при подстановке переменных
из уравнений (427).
Для нахождения функций 0а и 0В следует воспользоваться
граничным условием (426). Для этого сечения Ал: = L, поэтому в
соответствии с выражениями (419) v = 1, тогда
ва (t - рг0) - ев (t + рг0) = р ^ [еа (t - рг0) + вв (/ + рг0)].
Из полученного выражения
вв (t + РГ0) = ^Г 9* С - Р^о).
Если обозначить
1 R k~2
где — = /зап — время прохождения звука в среде газа по длине
ресивера, то
ев(0 = Леа(*-т). (428)
В соответствии с соотношением (410) уравнение (428) можно
представить в операторной форме
9в = Ле-^0а. (429)
209

Для сечения / v = 0 (Дл: = 0), поэтому выражения (427) примут
вид
<Pi = ба (О + 0в (0;
b = j- [9.(0-0.(01
или с учетом уравнения (428)
Ф1 = 9а (0 + Лвш (t - Т); fc *= -£- [9а (0 ~ ^0a (< - т)].
В соответствии с выражением (429) те же уравнения можно
представить в операторной форме
ф1 = (1 + Aerv>) 9а; ^ = -р- (1 - AW) 9a. (430)
Использование граничных условий (423) позволяет уравнение
ресивера представить в виде
[4- (1 + Atr^p) + -f (1 - Жг*р)] ©а = Ч
или
rfo(p)ea = T|f (431)
где собственный оператор ресивера
do (р)=4* о+Ле_тр)+т(I ~ Ле~хр)-
Для получения дифференциального уравнения замкнутой САР
с распределенными параметрами уравнение (431) канала надо
дополнить уравнением автоматического регулятора давления прямого
действия, которое с учетом главной обратной связи имеет вид
dv (р) Л = — Kp<Pi
или с учетом первого выражения (432)
dv(p)y\ = -*eaf (432)
где
к = (1+А<Гхр)4.
Совместное решение уравнений (431) и (432) дает
дифференциальное уравнение САР в виде
d (р) еа = о,
где
D (р) = d0 (р) dp (/?) + /с.
Решение полученного дифференциального уравнения дает
возможность опредеаить зависимость 0а = 9а (0 и с помощью ранее
найденных соотношений получить затем искомую зависимость щ =
= Фх (0 и построить переходный процесс.
210

ГЛАВА VIII
УСТОЙЧИВОСТЬ САР
1. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
При работе объекта регулирования в равновесном режиме его
основные координаты (в том числе регулируемая координата,
положение органа управления и др.) остаются неизменными во времени.
При нарушении установившегося режима в системе регулируемый
объект — потребитель появляется избыток или недостаток энергии
или массы, вырабатываемой (подаваемой) регулируемым объектом,
в связи с чем регулируемая координата начинает меняться во
времени, автоматический регулятор перемещает орган управления и т. д.
В этих условиях объект регулирования работает в неустановившихся
режимах, при которых координаты, характеризующие его работу,
изменяются во времени. Процесс, происходящий при смене
установившегося режима или при возвращении объекта регулирования
в равновесное состояние после возмущающего воздействия и
характеризующийся изменением координат во времени, называется
переходным процессом.
Характер переходного процесса отражает динамические
свойства САР двигателя, поэтому его необходимо исследовать при
создании системы. Обычно наибольший интерес при подобных
исследованиях представляет изучение зависимости регулируемой координаты
от времени. В рассматриваемых САР теплоэнергетических установок
такими координатами являются частота вращения Q ротора,
давление, расход, уровень, температура и др. Регулируемой
координатой различных САР в безразмерной форме являются отношения
Ф = AQ/Q0; ф = Am/m0; ф = Д777У, ф = Ар/р0 и ДР-
Математическим выражением переходного процесса служит
функциональная зависимость ф = / (*), которую можно определить
решением (отысканием общего интеграла) дифференциального
уравнения (310) или (323) САР.
Решение дифференциального уравнения (общий интеграл)
системы (310) и, следовательно, математическое выражение
переходного процесса находятся в виде суммы решений: общего решения
Ф1 = h (0; (433)
однородного дифференциального уравнения вида (336) и частного
Решения неоднородного уравнения (310)
ф2 = /2 (t). (434)
Как известно, решение (433) описывает свободный переходный
процесс исследуемой системы, если возмущающее воздействие в виде,
например, единичного импульса первого рода (см. рис. 7, б), харак-
211

теризуемого дельта-функцией, является лишь причиной появления
переходного процесса и не влияет на систему в период самого
переходного процесса. Переходный процесс, появляющийся вследствие
воздействия на систему возмущающего воздействия в виде дельта-
функции, называется импульсной переходной функцией или
функцией веса. Такие процессы описываются линейными однородными
дифференциальными уравнениями вида (322), (330) или (335).
Характер функции веса полностью определяется параметрами
элементов, входящих в систему.
Решение (434) описывает вынужденный переходный процесс под
влиянием постоянно действующих воздействий в виде а0 = /0 (/)
или ар = /р (t).
Таким образом, для выявления переходного процесса системы
регулирования необходимо найти общий интеграл неоднородного
дифференциального уравнения системы в виде суммы
Ф = <Pi + Фг- (435)
Если возмущающим воздействием на систему, вызвавшим
переходный процесс, является единичное ступенчатое (см. рис. 7, а),
то такой переходный процесс обычно называют переходной
функцией.
Как известно, решение однородного линейного
дифференциального уравнения имеет вид
где Cj и prj — некоторые постоянные величины.
Подставляя это выражение в уравнение, например, (330), найдем
AsCfpljt^ + •.. + AxCfPr^ + ЛоС/eV - 0
или после сокращения на СрРг**
AsPn' + • • • + AiPrf + Л = 0. (436)
Алгебраическое уравнение (436) называют характеристическим.
Число его корней соответствует порядку дифференциального
уравнения. Каждый из корней дает соответствующее частное решение
уравнения
C,ep'i'; С2*р"';...;№*'>
удовлетворяющее дифференциальному уравнению (330) при любых
постоянных значениях Cj.
Общее решение однородного уравнения — это сумма частных
решений, следовательно,
/=1
Постоянные интегрирования Сь С2, С3, ..., С6 выбирают при
известных корнях характеристического уравнения с учетом
начальных условий.
212

Сопоставление характеристического уравнения (436) и,
например, выражения (311) показывает, что в качестве
характеристических уравнений систем могут быть приняты операторные полиномы,
полученные при развертывании главных определителей Д САР,
если оператор р принять в них за некоторую искомую
алгебраическую величину.
В соответствии с выражением (336) характеристическое
уравнение системы можно записать в виде
D (р) = 0, (437)
а общее решение однородного уравнения в виде суммы
j—n
Ф1= И Ci*Pjt> (438)
где п — порядок дифференциального уравнения.
Корни pj уравнения (437) могут быть действительными
(положительными или отрицательными) или комплексными
сопряженными величинами
Ри ui = <*j±j<»j-
В последнем случае решению дифференциальных уравнений САР
можно придать тригонометрическую форму с помощью формул
Эйлера (222) и (223).
В общем случае, если характеристическое уравнение имеет k
корней действительных и п — k комплексных сопряженных, то
/=* /=(я-*)/2
Ф1 = 2 Срр** + £ С7-еа/ sin (со/ + yj). (439)
/=1 /=/И-1
Выражения общих решений показывают, что характер
свободного переходного процесса определяется модулем и знаком корней
характеристического уравнения (451).
Свободный переходный процесс является апериодическим только
в том случае, если все корни характеристического уравнения —
действительные величины. Общее решение (438) показывает, что
такой процесс состоит из суммы п экспонент.
Суммарное значение фх = 21 Фи* стремится к нулю только
/=i
тогда, когда все корни характеристического уравнения (436)
действительные отрицательные числа. Такой свободный переходный
процесс называется апериодическим сходящимся (кривая 2 на
Рис. 126, а).
Если среди корней характеристического уравнения есть хотя
бы один действительный положительный корень, то первоначальное
отклонение ф;0 будет увеличиваться во времени. Такой свободный
переходный процесс (кривая 1 на рис. 126, а) называется
апериодическим расходящимся.
При наличии среди корней характеристического уравнения хотя
бы пары комплексных сопряженных корней свободный переходный
процесс описывается общим решением (439) и называется колеба-
213

Рис. 126. Составляющие переходных процессов в САР:
а — апериодические составляющие переходных процессов; б — сходящаяся колебательная
составляющая_переходного процесса при <x,j < 0; в — расходящаяся колебательная
составляющая переходного процесса при aj > 0; г — несходящаяся колебательная
составляющая переходного процесса при ay = 0; д— сходящийся колебательный переходный
процесс; е *- расходящийся переходный процесс при aj > 0
тельным. Колебательные процессы, так же как и апериодические,
могут быть сходящимися и расходящимися.
Колебательная составляющая ср^ = C/eV sin (со// + у/)
переходного процесса <рх = fx (t) является сходящейся, если амплитудные
значения уменьшаются во времени, стремясь к нулю (рис. 126, б).
Это возможно лишь при отрицательном значении действительной
части oqj < 0 комплексных сопряжений корней р/. /+1 = а, ± /со/
характеристического уравнения.
Если а; > 0, то первоначальное отклонение <рд> увеличивается
во времени, и составляющая <рх; свободного переходного процесса
является колебательной расходящейся (рис. 126, в). Особое внимание
следует обратить на характер свободных переходных процессов при
чисто мнимых корнях характеристического уравнения. Если О/ = 0
(корни мнимые), составляющая <рх; имеет постоянную амплитуду
колебаний (рис. 126, г). Следовательно, при появлении среди корней
характеристического уравнения чисто мнимых корней pkt k+\ = i®
на выходе системы появляются колебания с постоянной амплитудой.
Сходящийся колебательный процесс <рх = С^ + Ctat sin (со* +
+ у) (рис. 126, д) описывается линейным дифференциальным
уравнением (322) третьего порядка (при а0 = ар = 0). Сходимость
процесса может быть нарушена ввиду расходимости одной из
составляющих, например колебательной (рис. 126, ё).
Таким образом, сходящийся свободный переходный процесс
(апериодический или колебательный) существует только при
отрицательных действительных корнях и отрицательной действительной
214

qacTH комплексных сопряженных корней характеристического
уравнения. Наличие хотя бы одного положительного действительного
корня или положительной действительной части одной из пар
комплексных сопряженных корней делает свободный переходный
процесс расходящимся.
При оценке устойчивости САР особое внимание уделяют
изучению свободных переходных процессов, характер которых полностью
определяется свойствами элементов, входящих в САР,
Для простоты записи регулируемый параметр <р при свободном
переходном процессе далее не будет иметь индекса «Ь.
2. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ САР
Устойчивостью САР называют способность поддерживать
заданный регулируемый режим работы системы с определенной точностью
и восстанавливать его при нарушении. Таким образом, об
устойчивости системы регулирования можно судить по характеру
свободного переходного процесса, определяемого однородным
дифференциальным уравнением (322) и др.
Система регулируемый объект—регулятор является устойчивой,
если появившееся при переходном процессе в результате случайного
возмущающего воздействия отклонение ф регулируемого параметра
от положения равновесия (<р = 0) с течением времени стремится
к значению, меньшему любого заданного. Из сказанного следует,
что в устойчивой системе должны быть только сходящиеся
переходные процессы, и, наоборот, неустойчивая система характеризуется
наличием расходящегося переходного процесса в тех же условиях.
Следовательно, САР будет работать устойчиво только в том
случае, если все корни характеристического уравнения (437) будут
отрицательными действительными или комплексными сопряженными
с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного
положительного корня или положительной действительной части
одной из пар комплексных сопряженных корней делает исследуемую
систему регулирования неустойчивой.
Рассматривая действительные корни характеристического
уравнения (437) в качестве частного случая комплексных сопряженных
корней, все корни уравнения можно расположить на комплексной
плоскости (рис. 127) с мнимой осью ординат и действительной осью
абсцисс. В этом случае каждому корню на выбранной координатной
плоскости соответствует вполне определенная точка, а сам корень
изображается в виде вектора, длина которого является модулем
комплексного числа, а угол наклона, отсчитанный от
положительного направления действительной оси, — аргументом (или фазой).
Действительные корни располагаются в этом случае на оси абсцисс,
а число мнимые — на оси ординат.
САР устойчива только в том случае, если все точки,
соответствующие корням характеристического уравнения, находятся в левой
полуплоскости расположения корней (заштрихованная область на
215

Рис. 127. Плоскость
расположения корней характеристическо-
Оценка устойчивости САР является одной из первостепенных
задач. При выводе дифференциальных уравнений элементов системы
регулирования все зависимости между координатами, имеющие
нелинейный характер, подвергались линеаризации в предположении,
что отклонения координат от установившихся значений достаточно
малы.
Если устойчивость системы регулирования можно оценить с
помощью линейных дифференциальных уравнений, то ее называют
устойчивостью «в малом». При этом не рассматривают границы
отклонения координат, в частности регулируемой координаты <р,
от положения равновесия, но ставят лишь условия достаточной
малости этих отклонений.
Так, положение шарика в точке А вогнутой поверхности (рис. 128)
является устойчивым «в малом», так как при отклонениях х от
положения равновесия на расстояния, меньшие хг и хъ шарик будет
возвращаться в исходное положение (оно устойчиво).
Если устойчивость системы регулирования без ограничения
значений отклонения координат можно оценить с помощью нелинейных
дифференциальных уравнений, то ее называют устойчивостью
«в большом».
Следует иметь в виду, что при определенных условиях система,
устойчивая «в малом», может оказаться неустойчивой «в большом».
Действительно, положение в точке А шарика (см. рис. 128)
оказывается неустойчивым, если первоначальное отклонение х шарика
больше хг или хг. Таким образом, положение точки А устойчиво
в «малом» и неустойчиво «в большом».
Анализ устойчивости «в большом», использующий методы
нелинейной механики, относится к специальной области теории
автоматического регулирования.
Исследования устойчивости «в малом» конкретных САР
теплоэнергетических установок показали, что часто результаты
теоретических исследований и расчетов, полученных при использовании
метода линеаризации, оказываются приемлемыми для практики, по-
216

этому такой метод исследования получил широкое распространение
в тех случаях, когда не ставятся специальные задачи, решение
которых требует учета нелинейности характеристик.
3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА—ГУРВИЦА
Для оценки устойчивости САР необходимо найти корни
характеристического уравнения (437) и определить их знаки. Однако
уравнения САР имеют третий и более высокий порядок, в связи с чем
нахождение корней характеристических уравнений иногда
оказывается задачей, требующей для решений значительного времени,
особенно при исследовании системы во многих рабочих режимах и
для многих значений параметров элементов. В связи с этим возникла
задача отыскания таких условий и признаков, по которым можно
было бы судить об устойчивости системы регулирования, не прибегая
к решению характеристического уравнения (437).
С такой задачей столкнулся Максвелл, когда в процессе
математического исследования устойчивости САР обнаружил, что система
п-го порядка устойчива лишь в том случае, если все действительные
части корней алгебраического уравнения n-й степени
(характеристического для исследуемой системы) отрицательны. По его просьбе
в период 1873—1877 гг. математиком Э. Раусом были найдены
необходимые и достаточные условия получения отрицательных
значений действительной части корней характеристических уравнений я-й
степени. Эти условия были записаны Э. Раусом в виде неравенств,
составленных из коэффициентов уравнения, причем число неравенств
увеличивалось при повышении порядка дифференциального
уравнения.
Несколько позже, исследуя устойчивость систем автоматического
регулирования турбин, А. Стодоча вынужден был с аналогичной
задачей обратиться к математику А. Гурвицу.
В 1895 г. А. Гурвиц нашел условия устойчивости систем
(сходимости переходных процессов), выразив их в удобной для вычислений
детерминантнои форме. Так как суть критериев устойчивости Рауса
и Гурвица оказалась одной и той же и раскрытие детерминантов
Гурвица приводит к неравенствам Рауса, указанные критерии позже
стали называть критериями устойчивости Рауса—Гурвица.
Система регулирования устойчива только в том случае, если ее
характеристическое уравнение имеет отрицательные вещественные
корни и отрицательные вещественные части комплексных
сопряженных корней. Характеристическое уравнение вида
pn + A^pn-i + ... + *Lp2+ALp + £_ = 0 (440)
/in лп fin Лп
при известных корнях рх\ р2\ ...; рп можно представить в виде
произведения
(Р - Pi) (Р - Р2) • • • (Р - Pn-i) (P - Рп) = 0. (441)
217

При условии, что все корни характеристического уравнения
отрицательны, произведение (441) примет вид
(P + \Pi\)(p + \P2\).-(P + \Pn-i\)(P + \Pn\) = 0 (442)
или после раскрытия скобок
Pn + fn-i(Pj)Pn-l + *-+f2(Pj)P2 + fi(Pj)Pi+fo(Pj) = 0. (443)
Так как в рассматриваемом случае в произведении (442)
отрицательных величин нет, коэффициенты уравнения (443) могут быть
только положительными величинами.
Если сравнить уравнения (440) и (443), то
AnJAn = !п_г (р);...; AL/An = Д (р3)\ А0/Ап = /0 (pj),
поэтому необходимым условием устойчивости системы являются
положительные значения всех входящих в уравнение
коэффициентов, т. е.
Ап>0; Лл_1>0;...;Л2>0; Ах>0; Л0>0. (444)
В простейших случаях (уравнения первого и второго порядка)
это необходимое условие является одновременно и достаточным.
В более сложных случаях (уравнения третьей степени и выше)
наличие положительных коэффициентов уравнения оказывается
условием необходимым, но не достаточным для оценки устойчивости
САР: нужно найти некоторые дополнительные условия, которые
должны быть необходимыми и достаточными.
Пусть, например, уравнение третьей степени имеет один
действительный и два комплексных сопряженных корня, причем
алгебраические знаки действительных частей корней неизвестны. В этом
случае произведение (441) принимает вид
(р — а — ш) (р — а + ш) (р — рд =
- [(/>-<*)■+©»](/*-л) =0.
Раскрытие скобок дает
где
AJAZ = —(Л + 2а); (445)
Аг/Аа = а2 + со2 + 2арг\ (446)
А0/А3 = —Pl (а2 + со2). (447)
Из соотношения (447) видно, что отношение коэффициентов А0/А3
может быть положительным только при рх < 0. Если действительный
корень рх отрицателен, то для устойчивости системы необходимо,
чтобы и ов была отрицательной. Поэтому границей между устойчивой
и неустойчивой зонами по величине а является условие a = 0.
Для граничного условия при а = 0 выражения (445), (446)
и (447) имеют вид А2/А3 = —рх\ Аг/А3 = со2; Л0/Л3 = —рх(о2.
218

Исключение из полученных соотношений величин со2 и — рг
дает разность
АХА2 - Л3Л0 = 0, (448)
которая может быть представлена в виде определителя
А3 Аг
= 0.
(449)
При а Ф 0 это условие не выполняется, так как разность (448)
становится положительной или отрицательной величиной.
Алгебраический знак определителя (449) для области
сходящихся процессов (рг < 0; а < 0) оказывается положительным.
Для неустойчивой системы регулирования (а > 0) знак
определителя (449) отрицательный, в чем легко убедиться, просчитав ряд
произвольных примеров.
Таким образом, положительный алгебраический знак
определителя (449) является достаточным условием сходимости переходного
процесса и, следовательно, устойчивости САР.
Критерий устойчивости в форме определителя
А% Aq
А3 Аг
>0
(450)
является частным случаем определителя Гурвица, предложенного
им в 1895 г.
Определитель Гурвица может быть составлен для уравнения
любого порядка следующим образом. По главной диагонали слева
вниз направо выписываются все коэффициенты уравнения, начиная
с коэффициента при втором члене и кончая коэффициентом
предпоследнего члена включительно. Столбцы от диагонали вверх
дополняются коэффициентами с убывающими индексами, а столбцы от
диагонали вниз — коэффициентами с возрастающими индексами.
Все места, которые должны были бы заполниться коэффициентами
ниже Ап и выше Л0, заменяются нулями.
Для уравнения n-го порядка главный определитель Гурвица
имеет вид
Ап-1
Ап
0
0
0
0
АП-ь
АП-2
An-i
Ап
0
0
Ап-ь ■
An-i -
Ап-з ■
Ап-2 •
0 .
0 .
.. 0
. 0
. 0
.. 0
. л4
• Л
0
0
0
0
Аг
А3
0
0
0
0
Ао
А,
>0.
(451)
219

АП-\ An_9
An An_2
Процессы будут сходящимися, а система устойчивой, если все
коэффициенты уравнения, главный определитель Гурвица (451)
и все диагональные миноры
I <™Л-1 -Д/2-3 А*-б I
> 0; Ап Ап_2 Ап_А > 0 и т. д.
I 0 А^ An_s I
имеют положительный алгебраический знак.
В соответствии с критериями Рауса—Гурвица вывод об
устойчивости САР можно сделать только в том случае, когда коэффициенты
дифференциального уравнения, описывающего переходные
процессы исследуемой системы, а также детерминант Гурвица,
составленный из коэффициентов этого уравнения, являются
положительными. На этом и может быть основан анализ условий устойчивости.
Например, для САР прямого действия условие устойчивости
в соответствии с определителем (450) и развернутыми выражениями
коэффициентов (316) имеет вид
(Т0ТК + Г2}) (Гк + Г0) - Г0Г2Р (1 + кЭД) > 0.
Полученное неравенство свидетельствует о том, что устойчивость
системы при заданных значениях Гр, Г0 и Гк обеспечивается только
при выполнении условия
*?*?< TJT0 [ 1 + (Г0/Г2Р) (То + ТК)).
Если это условие не выполняется, то для обеспечения
устойчивости должно быть увеличено время катаракта Гк или уменьшена
инерционность регулятора (уменьшено Гр).
С помощью определителя Гурвица (451) могут быть найдены
конкретные условия устойчивости и для САР непрямого действия.
Однако по мере повышения порядка дифференциального уравнения
число неравенств увеличивается, и пользоваться ими становится
труднее. Поэтому при исследовании устойчивости систем порядка выше
третьего целесообразно использовать таблицу Рауса, составленную
по определенному правилу из коэффициентов дифференциального
уравнения системы.
В первую строку такой таблицы (табл. 1) вписывают
последовательно через один все коэффициенты, начиная с коэффициента
при старшей я-й производной. Во вторую строку вписывают
последовательно через один остальные коэффициенты, начиная с
коэффициента при (п — 1) производной. В последующие строки вписывают
коэффициенты, подсчитанные по формулам определителей второго
порядка после деления их на коэффициент при (п — 1) производной.
При подсчете коэффициентов четвертой строки необходимо
применять правило составления третьей строки и использовать при этом
значения коэффициентов второй и третьей строки и т. д. Всего
должно быть п + 1 строка.
Для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы при
Ап > 0 все числа, стоящие в первом столбце таблицы (Ап\ Лп_г;
bit Cx dx\ ...), были положительными.
220

Таблица 1
Номер
строки
1
2
з
4
5
л
Номер столбца
1
Ап
An-i
An-iAn-* — АпАп„з
An-i
= М/г-з — Mn-i
di==c1b2-c2b1
. . .
2
Ап-2
Ап-г
и An-iAn.*— АпАп-ь
Ь\Ап_ь — ЬзАпл
с2 =
сфь — сф±
d2 =
ci
. • .
3
ЛП-4
Ап-ь
и An_iAn_t — АпАп_7
* А
С3 = г
3 Cl
. . .
4
Лг_б
i An-i
An-iAns — АпАп_9
An-i
с4 =
biAn-9 — ЬьАп_г
d* = z
с1
. . .
п
...
. . .
. . .
. . .
. . .

Подсчет числовых значений коэффициентов таблицы Рауса менее
утомителен, чем раскрытие определителя Гурвица САР высокого
порядка.
4. ДИАГРАММА ВЫШНЕГРАДСКОГО
Характер переходных процессов в САР целиком определяется
значением и знаком коэффициентов дифференциального уравнения.
Если уравнение записано в нормированной форме (см. п. 6, гл. VII),
то характер переходных процессов определяется критериями
подобия, которые являются коэффициентами этого уравнения. В системах
прямого регулирования таких критериев два (х и £), поэтому все
виды процессов, описываемых уравнением (361), можно
представить на плоскости с координатами % и £. Диаграмма, полученная
таким способом, впервые была предложена проф. И. А. Вышне-
градским и названа его именем.
Согласно критериям Рауса—Гурвица, процессы, описываемые
линейным дифференциальным уравнением (361), будут сходящимися,
а система устойчивой только в том случае, если % > 0; £ > 0 и
х£ — 1 > 0. В соответствии с этими условиями сходящиеся
процессы располагаются в первом квадранте диаграммы, приведенной
на рис. 129.
Граница между сходящимися и расходящимися переходными
процессами описывается уравнением
%С — 1 — 0. (452)
На поле диаграммы уравнение (452) дает равнобоковую гиперболу,
проходящую в первом квадранте координатной плоскости через
точку (% = 1; £ = 1). Гипербола (кривая 1) показывает, что
процессы будут сходящимися, а система устойчивой в том случае, если
характеристическая точка (х; £) располагается не только в первом
квадранте, но и правее и выше гиперболы, т. е. в областях / или //.
В области /// первого квадранта, несмотря на выполнение
необходимых условий (х > 0 и £ > 0), процессы будут расходящимися,
а система неустойчивой.
Решением уравнения (347) является
выражение
ф = с&р* + С*Р« + С#Р*, (453)
где /?!, /?2 и р3 — корни
характеристического уравнения
Р3 + ХР2 + tp + 1 = 0; (454)
Clf С2 и С3 — постоянные
интегрирования, зависящие от начальных
условий и корней характеристического
уравнения.
Рис. 129. Диаграмма Вышнеградского
222

Корни уравнения (454) определяются соотношениями [11]
Pl = и + v - х/3; р% = Wxu + W2v - х/3;
Рг = W2u + Wxv — х/3, (456)
где
и = У~— а/2 + J/ а2/4 + г*/27;
v = У- о'2 - У о2/* + ^/27; г = £-х2/3;
а = 2Х3/27 - хС/3 + г; WU2 = -\/2± i ^3/2.
(456)
Характер переходного процесса, описываемого уравнением (347)t
зависит от значения и знака корней (455). При наличии комплексных
сопряженных корней /?2,3 = а ± ш переходный процесс становится
колебательным. Известно, что признаком комплексных сопряженных
корней уравнения (454) является условие а2/4 + г3/27 > 0. Если
а2/4 + '3/27 < 0, то все корни характеристического уравнения —
действительные числа. Следовательно, границей, разделяющей
области действительных и комплексных сопряженных корней, т. е.
границей апериодических и колебательных процессов, описываемых
уравнением (347), является уравнение
<т2/4 + rV27 = 0,
которое при подстановке развернутых выражений а и г из (456)
можно привести к виду
4 (X3 + £3) - Х2£2 - ВД + 27 = 0. (457)
Уравнение (457), симметричное относительно переменных % и £#
дает на диаграмме (см. рис. 129) кривую 2, представленную в
первом квадранте двумя ветвями, сливающимися в точке (х = 3; £ = 3)
так, что общая к ним касательная составляет с осями координат угол
я/4. В области расходящихся процессов уравнение (457) дает кривую 3.
Построенные таким образом кривые разделяют все поле
диаграммы на четыре области:
/ — область апериодически сходящихся процессов (кривые 2,
3 и 4 на рис. 126, а)
ф = Cjsr' р * I т + С2е-1 л I * + Cse-1*1*;
//— область колебательных сходящихся процессов (см. рис. 126, д)
ф = de-1 р11Ч- С2е-1a I * sin фх + С3);
/// — область колебательных расходящихся процессов (см*
рис. 126,б)
ф = С1е-'1^1т + С2е+1а1^8Ш(Рт4-Сз);
IV — область апериодически расходящихся процессов (кривая 1
на рис. 126, а)
ф = Схе+ I* I* + С2е+1 ** 1 * + С3е-1 лI*.
По значениям коэффициентов нормированного уравнения
(критериям подобия) диаграмма Вышнеградского дает представление о
223

7 J ,
I
/\
|\J
r~
Щ-
JiLL
Щ
Па
I
3
!
-Iu-
tt
и
1
1
1
1
Рис. 130. Диаграммы сходимости процессов системы четвертого порядка
характере переходных процессов в САР, которые описываются
линейными дифференциальными уравнениями третьего порядка с
постоянными коэффициентами.
Аналогичные диаграммы с выделением областей сходимости
переходных процессов могут быть построены и для системы четвертого
порядка, уравнение (348) которой имеет три безразмерных
коэффициента ф9 х и £. Характеристическая точка такой системы
располагается в пространстве. Однако диаграмма сходимости, построенная
в пространственных координатах, неудобна для работы, поэтому
можно использовать метод параллельных сечений пространственной
диаграммы плоскостями, перпендикулярными к оси % (рис. 130, а).
Переменными в каждой из таких плоскостей являются коэффициенты
i|) и £ при постоянном значении коэффициента %.
Критерии устойчивости Рауса—Гурвица, выполнение которых
обеспечивает сходимость переходного процесса, для уравнения (348)
имеют вид
я|>>0
Х>0
Ф £ 0
1 % 1
>0.
£>0; |0 ф £
Первые три неравенства указывают на то, что
характеристические точки сходящихся процессов располагаются только в
пространстве с положительными значениями координат.
Положительное значение определителя Гурвица является
необходимым и достаточным условием сходимости процессов. Если это
условие не выполняется, то процессы будут расходящиеся, а САР
неустойчивой.
Таким образом, равенство нулю указанного определителя дает
уравнение граничного условия между сходящимися и
расходящимися процессами, решение которого имеет вид
£ = (х±Кх2-4)(ф/2).
При % < 2 подкоренное выражение становится отрицательным,
что свидетельствует об отсутствии области устойчивости при любых
значениях коэффициентов i|) и £. При % = 2 характеристические точки
224

сходящихся процессов располагаются только на прямой £ = г|),
исходящей из начала координат под углом л/4 к осямг[э и £ (рис. 130,6).
При % > 2 область сходящихся процессов располагается между
двумя прямыми, исходящими из начала координат, уравнения
которых имеют вид
С=(х + К5^)(«/2); C = (x-j/5?34)(i|)/2).
Область сходящихся процессов (между прямыми) можно
дополнить качественными характеристиками в виде границ областей
существования корней определенного вида (рис. 130, в, г).
Для САР более высоких порядков диаграмму Вышнеградского
не строят.
5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Критерий устойчивости, предложенный А. В. Михайловым,
более удобен для исследования устойчивости САР, переходные
процессы которых описываются дифференциальными уравнениями
высоких порядков вида
dtn "*" Лп d/"-1 "1 *" An dt*^ An dt ~r An ф
При решении характеристического уравнения такой системы
pn+^p!^+--+^p2+^p+-t-° <458>
может быть найдено п корней рх\ рг\ ...; рп-л\ Рп- Известные корни
дают возможность представить уравнение (458) в виде произведения
(441).
В соответствии с предлагаемым методом в уравнение (458)
подставляется граничное условие между сходящимися и расходящимися
переходными процессами, определяемое наличием среди корней
характеристического уравнения чисто мнимого корня р = по, когда
его действительная часть а = 0. Здесь значение частоты колебаний оа
может изменяться от —оо до +оо.
При этом уравнение (441) принимает вид
П(й>-л) = 0.
Каждый из двучленов данного уравнения является комплексным
числом и поэтому может быть представлен в виде вектора на
комплексной плоскости, где по оси абсцисс откладывается
действительная часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимая
(Рис. 131).
Если положительным выбрать направление осей от начала
координат вправо и вверх, то все действительные части двучленов,
образованных положительными корнями характеристического уравнения
(*со -— р4); (/ш _ р^ 9 откладываются по оси абсцисс влево, а все
Действительные части двучленов, образованных отрицательными
8 В. и. Кругов и др. 225

Pi Рк
Рис. 131. Векторное представление двучленов
характеристического уравнения системы
регулирования:
/ и 2 — при положительных корнях
характеристического уравнения; 3 и 4 — при отрицательных кор.
корнями характеристического
уравнения (/со + |р2|); (to + |/?i|); ...
откладываются по оси абсцисс вправо.
По оси ординат откладывается мнимая величина /со, причем со
принимается в качестве переменной и изменяется от —оо до + оо.
При со=0 все векторы двучленов совпадают с осью абсцисс
(например, Оа при р2 и Оах при р4)- При со > О вектор двучлена,
образованный прямой, соединяющей начало координат с точкой на
координатной плоскости с координатами pk и ш, поворачивается
по мере увеличения со от горизонтального положения при со = 0
до вертикального положения при со = +ск>. Конец вектора движется
при этом по вертикали от а к b и далее (так кгкрк при этом остается
постоянным). Таким образом, при изменении со от 0 до +оо все
векторы поворачиваются на угол л/2, однако направление поворота
различно в зависимости от алгебраического знака корня
характеристического уравнения. Если корень отрицателен, то вектор при
0 < со <: +оо направлен вправо и поворот его на угол л/2
осуществляется против часовой стрелки; если корень положителен, то
вектор, направленный влево, поворачивается на угол л/2 по часовой
стрелке.
Рассмотрим поворот вектора произведения двух двучленов йа (со)
с отрицательными корнями характеристического уравнения при
изменении со от 0 до +оо. Из выражения
К (<*>) = (PiPt — w2) + to (рг + р2)
следует, что при со = 0 вектор й2 (<°) = Р1Р2 совпадает с осью абсцисс
и направлен вправо. Поворот на угол л/2 против часовой стрелки
совершится при со2 = рхръ а при со = +оо угол поворота
достигнет значения 2л/2, так как действительная часть компчексного числа
получит значение —оо. Сказанное остается справедливым, если
корни /?! и /?2 являются комплексными сопряженными числами с
отрицательной действительной частью. Таким образом, если корни
характеристического уравнения имеют отрицательные действительные
части, то поворот вектора осуществляется против часовой стрелки.
Для положительных значений корней поворот вектора при H3Mej
нении со от 0 до +оо произойдет в направлении движения часовой
стрелки. Можно также показать, что вектор fi3 (w) произведения трех
двучленов при изменении со от 0 до +оо повернется на угол Зя/2
против часовой стрелки, если все корни характеристического
уравнения имеют отрицательные действительные части и т. д.
Аналогично можно получить вектор всего характеристического
уравнения (458) с помощью подстановки р = ш в виде
Я(со) = м(со) -\-iv (со).
226

Так, уравнение пятой степени
Аър* + А^ + Лзр3 + Л2р2 + Ахр + А0 = 0
при подстановке р = ш дает
и (со) = Л4со4 — Л2со2 + А0; v (со) =
= Лбсо5 — Л3(о3 + Лхсо.
Как установлено выше, САР будет устойчивой, а процессы в ней
сходящимися, если только все действительные корни, а также все
действительные части всех комплексных сопряженных корней
характеристического уравнения (458) будут отрицательными величинами.
В этом случае вектор Н (со) повернется против часовой стрелки на
угол пп/2 при изменении со от 0 до +оо.
Годограф вектора Н (со) (рис. 132, а) проходит в последнем
случае против часовой стрелки такое число квадрантов, которое
соответствует порядку дифференциального уравнения.
Если среди п корней характеристического уравнения имеется т
корней положительных (действительных или с положительной
действительной частью), то вектор Н (со) при изменении со от 0 до + со
повернется против часовой стрелки на угол (п — т) я/2 и в направ-
Щи)
n=Z
^£^^
X
^V /^
/п*4[ ( 0
\
CJ =
и(и>)
о)
Корни цраднения и(си)=0
V(cjJc
I)
Рис. 132. Годографы вектора Н (со):
шдящи
Оир(о))
6 J7 ПРИ сходящихся переходных процессах; б — при расходящихся переходных процео-
*» в —* паяимигка палппппмгоиио !гг»пнрй vnanHPHJfft и 1((\\ = ft и г> 1и\\ = П ппи гуппягииугя
Сах. ***•« плодящихся переходных прицеисал, и — ирп
*» в —, взаимное расположение корней уравнений и (со)
переходных процессах
8*
О при сходящихся
227

лении часовой стрелки на угол тл/2.Следовательно,суммарный угол
поворота вектора Н (со) при изменении со от 0 до +оо составит
(Л _ т) я/2 — тл/2 = (л — 2т) я/2. (459)
Такой поворот вектора (рис. 132, б) свидетельствует о
расходимости переходного процесса, и, следовательно, о неустойчивости САР.
Таким образом, критерий устойчивости Михайлова сводится
к следующему.
Переходные процессы САР являются сходящимися, а система
устойчивой только в том случае, когда годограф вектора Н (со)
при изменении со от 0 до + оо для уравнения я-го порядка проходит
последовательно п квадрантов, а сам вектор Н (со) поворачивается
при этом против часовой стрелки.
На основании критериев устойчивости Михайлова можно сделать
вывод, что при устойчивой системе вектор Н (со), двигаясь против
часовой стрелки, должен поочередно пересекать действительную
и мнимую ось координатной плоскости (см. рис. 132, а), причем
при совпадении вектора Н (со) с действительной осью
v (со) = 0, (460)
а при совпадении с мнимой осью
и (со) - 0. (461)
Таким образом, значения со в эти моменты являются корнями
уравнений (460) и (461). Следовательно, при сходящихся процессах
исследуемой системы корни уравнений (460) и (461) должны иметь
значения, чередующиеся по мере возрастания со от 0 до +сх> так, что
первым из них является корень уравнения (460) (со = 0), вторым—
корень уравнения (461), третьим — корень уравнения (460) и т. д.
Степень этих уравнений не превышает второй для
характеристических уравнений до пятой степени включительно, поэтому
определение их корней не представляет трудности.
Таким образом, можно избежать построения годографа, а для
определения устойчивости САР следует в характеристическое
уравнение подставить р = /©, получить уравнения (460) и (461),
определить их корни и построить график, показанный на рис. 132, в.
Если значения корней уравнений (460) и (461), отложенные по осям,
чередуются, САР устойчива.
6. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Устойчивость САР можно оценить по АФЧХ разомкнутых САР,
элементы которых связаны между собой в той же последовательности,
что и в исследуемой замкнутой системе.
Чтобы уяснить смысл частотного критерия (критерия Найквиста),
рассмотрим выражение 1 + Y (р), где Y (р) — передаточная
функция разомкнутой САР,
228

В общем случае передаточную функцию разомкнутой системы
(354) можно представить в виде отношения
Y(p)=S {p)lR (p),
где 5 (р) = tic (p) к%Кр — оператор воздействия по входной
координате; R (р) = d0 (p) dp (p) dc (p) — собственный оператор
разомкнутой системы регулирования.
Следовательно,
1 + Y (р) = 1 + S (p)lR (р) = (R (р) + S (р))Щ (р).
Числитель полученного выражения представляет собой
собственный оператор D (р) замкнутой системы автоматического
регулирования (324), поэтому
l + Y(p)=D(p)/R(p).
После подстановки р = ш числитель и знаменатель полученного
выражения делят на действительную и мнимую части. Передаточная
функция разомкнутой системы Y (р) становится АФЧХ разомкнутой
системы, поэтому
1 4- Y (ш) - ° (/С0) - tt(fl)) + fa((a) (462^
1 + Г (Ш) - R (Щ - Ur (о)) + .^ (о)) . ifkbZ)
При выводе частотного критерия устойчивости удобно вначале
рассмотреть случай, когда разомкнутая система элементов,
входящих в структурную схему САР, является устойчивой. При этом
условии все корни характеристического уравнения R (р) = 0 имеют
отрицательные действительные части, а вектор
# (to) = uR (со) + ivR (со) (463)
в комплексной плоскости [ivR((o)\ uR(co)] при изменении со от О
до +оо поворачивается против часовой стрелки на угол шт/2,
где п — порядок уравнения. Если и замкнутая САР является
устойчивой, то все корни уравнения D(/?) = 0 должны иметь также
отрицательные действительные части, а вектор
D(fa) = u((o) + fo((o) (464)
в комплексной плоскости при изменении со от 0 до 4-оо должен
поворачиваться против часовой стрелки тоже на угол ля/2 (см.
Рис. 132, а).
Векторы комплексных чисел [см. выражения (463) и (464)]
можно представить в виде показательных функций
D(to) = D(co)e'va(a)); #(fa) = /?((o)e'v*((D\ (465)
гДе D (ю) и R (со) — модули векторов; yD (со) и yR (со) — их
аргументы.
Подстановка выражений (465) в формулу (462) дает
1+F(Ccu) = me'^(M)-v«(w,]. (466)
229

Рис. 133. АФЧХ разомкнутых САР:
а — при устойчивой системе как в разомкнутом, так и в замкнутом состоянии; б — при
устойчивой системе в разомкнутом состоянии и при неустойчивой системе в замкнутом со^
стоянии; в — при неустойчивой системе в разомкнутом состоянии и при устойчивой системе
в замкнутом состоянии; г—при неустойчивой система как в разомкнутом, так и в замкнутом
состоянии
Названные выше векторы для устойчивых замкнутых и
разомкнутых систем поворачиваются против часовой стрелки на одинаковые
углы пп/2 при изменении со от 0 до +оо, что свидетельствует о
равенстве аргументов yD (со) = у% (<*)) и нулевом суммарном угле
поворота вектора 1 + У (ш), как это видно из выражения (466).
Если замкнутая система неустойчива, то yD (со) Ф пп/2, и тогда
Yd (<о) — Y4 (©) ф 0.
Учитывая сказанное, частотный критерий можно сформулировать
следующим образом: САР устойчива, если при устойчивости
соответствующей разомкнутой системы вектор 1 + Y (ш) при изменении
со от 0 до +оо имеет нулевой суммарный угол поворота.
Вектор Y (ш) (см. рис. 133, а) изображается прямой OD, и так
как прямая СО является вектором, равным единице, то методом
суммирования векторов СО и OD можно получить вектор 1 + У (ш)
в виде прямой CD. При изменении со от 0 до +оо конец этого
вектора движется по АФЧХ, а сам он поворачивается около точки С.
Из графика на рис. 133, а видно, что суммарный угол поворота
вектора 1 + Y (т) будет равен нулю только в том случае, если
АФЧХ не охватывает точку С (—1; 0). Если АФЧХ охватывает
точку С(—1; 0), то суммарный угол поворота вектора 1 +?(ш)
при изменении ю от 0 до +оо окажется не равным нулю, что сви"
детельствует о неустойчивости рассматриваемой САР.
Таким образом, частотный критерий устойчивости можно
сформулировать и так: САР устойчива в замкнутом состоянии, если при
ее устойчивости в разомкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой
системы Y (ш) не охватывает точку с координатами (—1; 0) на
комплексной плоскости. Если АФЧХ разомкнутой системы на
комплексной плоскости в этих условиях охватывает точку с координатами
(—1; 0) (см. рис. 133, б), то САР неустойчива.
Частотный критерий устойчивости можно использовать также
при исследовании устойчивости САР, неустойчивых в разомкнутом
состоянии.
Если среди п корней разомкнутой системы автоматического
регулирования п-то порядка т корней расположены в правой полу-
230.

плоскости (см. рис. 127), то вектор AR (со) при изменении со от О
д0 +оо повернется против часовой стрелки на угол (п — 2т) я/2,
в то время как поворот вектора AD (со) в случае устойчивости САР
в замкнутом состоянии составит угол яя/2 против часовой стрелки.
Подстановка углов поворота векторов AD (со) и А$ (со) в
выражение (466) показывает, что при изменении со от 0 до + оо в
рассматриваемом случае
Yd (ю) — у$ (со) = яя/2 — (п — 2т) я/2 = тя.
Следовательно, частотный критерий устойчивости САР,
неустойчивых в разомкнутом состоянии, должен быть сформулирован
следующим образом: если разомкнутая САР имеет т корней в правой
полуплоскости, т. е. неустойчива, то для устойчивости
соответствующей замкнутой САР необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ
разомкнутой системы при изменении со от 0 до +оо охватывала точку
с координатами (—1; 0) на комплексной плоскости и вектор 1 +
+ Y (*со) при этом поворачивался против часовой стрелки на угол тя.
АФЧХ разомкнутой системы, приведенная на рис. 133, в, имеет
один корень характеристического уравнения в правой
полуплоскости. Соответствующая замкнутая САР устойчива, так как угол охвата
точки (—1; 0) составляет я против часовой стрелки при изменении со
от 0 до +оо. АФЧХ разомкнутой системы, приведенная на
рис. 133, г, расположена так, что при изменении со от 0 до +оо
суммарный угол поворота вектора 1 + Y (ш) составляет также я,
но по часовой стрелке. Это свидетельствует о том, что
соответствующая замкнутая САР неустойчива.
7. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ ПО ФАЗЕ И МОДУЛЮ
Границей устойчивости САР являтся ось ординат плоскости
расположения корней (см. рис. 127). Чем дальше в левой полуплоскости
располагаются корни характеристического уравнения от оси ординат,
тем выше запас устойчивости. Поэтому определенной
характеристикой запаса устойчивости может служить расстояние а от оси
ординат до ближайшего к ней корня в левой полуплоскости, как
это показано на рис. 127.
Запас устойчивости можно оценить и по АФЧХ разомкнутой
системы. В соответствии с частотным критерием устойчивости САР,
устойчивая в разомкнутом состоянии, сохраняет устойчивость и
в замкнутом состоянии, если ее АФЧХ не охватывает точку с
координатами (—1; 0). Если эта точка охватывается АФЧХ К(ш),САР
неустойчива. Если АФЧХ Y (ш) проходит через точку с
координатами (—1; 0), САР находится на границе устойчивости
Сказанное позволяет судить о запасе устойчивости САР по
удаленности АФЧХ от точки (—1; 0). Устойчивость системы обычно
оценивают по двум координатам: запасу устойчивости по фазе у
и запасу устойчивости по модулю Д#.
Для определения запаса устойчивости по фазе необходимо из
начала координат провести окружность радиусом 1, проходящую
231

через точку (—1; 0). Эта окружность пересечет АФЧХ (точка А на
рис. 134). Угол наклона луча, проведенного через эту точку и начало
координат по отношению к отрицательной полуоси абсцисс, и
характеризует запас устойчивости по фазе. На рис. 134 показаны
две АФЧХ (кривые 1 и 2), соответствующие САР с одинаковыми
запасами устойчивости по фазе, так как Yi = ?2-
Для определения запаса устойчивости по модулю Д#
необходимо найти расстояние от точки (—1; 0) до точки пересечения АФЧХ
отрицательной полуоси абсцисс на участке между точкой (—1; 0)
и началом координат (см. рис. 134). Из рассмотрения видно, что
запас устойчивости Д#2 второй .САР по модулю больше запаса
устойчивости Д#! по модулю первой системы.
Для того чтобы все исследуемые САР имели гарантированные
запасы устойчивости по фазе и модулю, около точки (—1; 0) строят
запретную зону, ограниченную двумя лучами под углами ±У
от отрицательной полуоси абсцисс и двумя дугами окружностей
выбранных радиусов (на рис. 134 эта зона заштрихована). Если
АФЧХ не попадает в эту зону по у и Д#, то запас устойчивости
САР по фазе и модулю обеспечивается. Так, у системы 2 запас
устойчивости обеспечен по фазе и модулю, а у системы 1 только по фазе.
8. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЧХ
Устойчивость замкнутой САР можно оценить с помощью
совместного анализа логарифмических амплитудной и фазовой частотных
характеристик разомкнутой системы. АФЧХ разомкнутых САР
подразделяют на характеристики первого и второго рода. Частотные
характеристики первого рода проходят так, что не пересекают
отрицательную полуось абсцисс (см. рис. 133, а) или пересекают ее один
раз в интервале между началом координат и точкой (—1; 0) (см.
рис. 133, б). К АФЧХ второго рода относятся такие, которые
пересекают отрицательную полуось абсцисс как справа, так и слева
от точки (—1; 0) (рис. 135).
Рис. 134. Определение запасов
устойчивости по фазе и модулю
232

Рис. 136. Оценка устойчивости
системы автоматического регулирования
по логарифмическим амплитудной
L (аз) и фазовой у (со) частотным
характеристикам разомкнутой системы:
а — при АФЧХ первого рода; б — при
АФЧХ второго рода; сплошные линии —
при устойчивой системе; штриховые
линии — при неустойчивой системе
В соответствии с частотным критерием устойчивости система
автоматического регулирования, устойчивая в разомкнутом
состоянии, остается устойчивой и в замкнутом состоянии только в'случае,
если фазовый угол АФЧХ разомкнутой системы первого рода всегда
остается больше —я. При АФЧХ второго рода число пересечений
действительной отрицательной полуоси слева от точки (—1; 0)
снизу вверх должно равняться числу пересечений сверху вниз.
Этими условиями можно воспользоваться для оценки устойчивости
замкнутой системы регулирования по ЛЧХ соответствующих
разомкнутых систем. Действительно, если из начала координат
системы, в которой изображена АФЧХ, провести окружность
радиусом г = 1, то в момент пересечения этой окружности АФЧХ
соответствующая ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, так как 1р 1 = 0.
Следовательно, при АФЧХ первого рода САР устойчива, если
при L (со) ^> 0 соответствующая фазовая частотная характеристика
проходит так, что фазы у (со) превосходят значения —я (это показано
сплошными кривыми на рис. 136, а). Если ЛФЧХ проходит так,
как это показано штриховой кривой на рис. 136, а, то система
автоматического регулирования неустойчива.
При АФЧХ второго рода признаки устойчивости системы
регулирования, получаемые по логарифмическим частотным
характеристикам, несколько видоизменяются: при пересечении участка
действительной оси слева от точки (—1; 0) фазовый угол системы равен —я,
амплитуда больше единицы.
Следовательно, исследуемая САР будет устойчивой (в замкнутом
состоянии), если ЛФЧХ разомкнутой системы (устойчивой) при
L (со) ^> 0 будет проходить через ординату (—я) одинаковое число
раз как в одном, так и в другом направлении.
На рис. 136, б показаны логарифмические (амплитудная и
фазовая) частотные характеристики устойчивой (сплошные линии)
и неустойчивой (штриховая линия) САР.
Устойчивость САР по ЛЧХ можно оценить и в том случае, если
в разомкнутом состоянии система неустойчива [9, 11].
9. УСТОЙЧИВОСТЬ САР С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
САР с запаздыванием устойчива только в том случае, если весь
бесконечный ряд корней его трансцендентного характеристического
Уравнения располагается в левой полуплоскости расположения кор-
233

*!/H
Рис. 137. Определение
критического времени запаздывания:
/ — АФЧХ системы; 2 — АФЧХ
системы, устойчивой при любом времени
запаздывания
ней (см. рис. 127). При
наличии хотя бы одного корня
в правой полуплоскости
система становится
неустойчивой.
Устойчивость подобных
систем можно оценить с
помощью АФЧХ (рис. 137)
разомкнутой системы, включающей элемент с запаздыванием
(см. рис. 123). В соответствии с частотным критерием устойчивости
система автоматического регулирования, устойчивая в разомкнутом
состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если АФЧХ
разомкнутой системы не охватывает точку (—1; 0).
Следовательно, для проверки устойчивости системы с
запаздыванием при наличии АФЧХ разомкнутой системы без запаздывания
необходимо при повороте векторов Y6 (/со) [см. выражение (426) ]
на угол со^ап по часовой стрелке проверить, не охватывает ли
АФЧХ системы с запаздыванием точку (—1; 0). Если
охватывает, то система неустойчива, если не охватывает, система
устойчива.
Таким образом, устойчивость системы с запаздыванием зависит
от времени запаздывания /Зап- При некотором критическом времени
запаздывания йап частотная характеристика разомкнутой системы
пройдет через точку (—1; 0). Для того чтобы найти ^п, следует
из центра координатной плоскости (см. рис. 137) провести
окружность радиусом г = 1, найти точку А пересечения этой окружности
с АФЧХ (кривая 1) разомкнутой системы без запаздывания, т. е.
определить ее запас устойчивости по фазе, и тогда после замера
угла 7к можно определить ук = сок&, если точка А
соответствует частоте сок. Отсюда #L = 7к/сок. Если /Зап < & —
система с запаздыванием устойчива, если /Зап > ££п — система
неустойчиза. При t3an = t*%n система находится на границе
устойчивости, т. е. имеет колебания с постоянной амплитудой.
Исследования показывают, что некоторые САР имеют несколько
диапазонов изменения t3dLU, в пределах которых система оказывается
устойчивой. Если |Кб(ш)| <1 во всем диапазоне изменения со,
то вся АФЧХ (кривая 2) разомкнутой системы располагается внутри
окружности радиуса г = 1, 0, а САР оказывается устойчивой при
любом времени запаздывания.
Дифференциальное уравнение (432) САР с распределенными
параметрами аналогично по форме дифференциальному уравнению
234

САР с запаздыванием. Поэтому методика оценки устойчивости
работы САР с запаздыванием применима для оценки устойчивости
работы САР с распределенными параметрами.
10. ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ САР
ПО ВЫРОЖДЕННОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
Динамические свойства САР определяются соответствующими
свойствами входящих в нее элементов. Например, в САР прямого
действия, дифференциальное уравнение которой имеет вид (315),
входят два элемента: объект регулирования и автоматический
регулятор прямого действия.
Дифференциальные уравнения объекта регулирования могут
быть первого порядка
Г0 -^~ + Ф = коК — Ко^о
или второго порядка
гр,2 d2(p . rp, dtp , х а
Т02 -~г + ^oi -£- + Ф = к0к - коа0.
Эти уравнения описывают переходные процессы, показанные
соответственно на рис. 98 и 99.
Характер переходного процесса элемента определяется
значениями его параметров, т. е. числовыми значениями коэффициентов
соответствующего дифференциального уравнения. Так, по мере
уменьшения числового значения коэффициента 70, характеризующего
инерционность объекта регулирования первого порядка, время,
необходимое для достижения вновь заданного установившегося
режима (см. ВС на рис. 98, б), непрерывно сокращается (см.
переходные процессы 2, 3 и 4 на рис. 98, б). Если предположить, что Т0 ^ О
(объект не обладает инерционностью), то время переходного
процесса (см. ОВС на рис. 98, б) оказывается равным нулю, а
переходный процесс протекает мгновенно. В действительности таких
объектов регулирования в теплоэнергетических установках нет, но для
упрощения анализа динамических свойств САР иногда приходится
прибегать к упрощению дифференциального уравнения системы
путем понижения его порядка. Эта задача может быть осуществлена,
если пренебречь некоторыми коэффициентами дифференциальных
уравнений элементов, принимая их равными нулю.
Переходные процессы 29 3 и 4 на рис. 98, б показывают, что ошибка
в оценке динамических свойств элемента будет тем меньшей, чем
меньше числовое значение коэффициента Т0. Так, принятие
условия Т0 = 0 при переходном процессе 4 дает меньшую ошибку, чем
при переходном процессе 3 или тем более 2.
Формулы (316) коэффициентов дифференциального уравнения
(315) системы прямого регулирования показывают, что принятие
Условия Т0 = О снижает порядок дифференциального уравнения
235

(с третьего до второго). Уравнение системы при Т0 = 0 называвшей
вырожденным и получает вид
A*^ + AiQ + AoV = -B2^-Bl^-Bto + Sffh, (467)
где А2 = Т1) АХ = ТК и Ло=1+кЭД.
Построение переходного процесса с помощью вырожденного
дифференциального уравнения (467) существенно легче, чем построение
с помощью полного уравнения (315).
Однако полученный при этом результат будет приближенно
справедлив лишь при условии, что числовое значение Т0 существенно
меньше по сравнению с числовыми значениями других
коэффициентов уравнения и принятие условия Т0 = 0 не нарушит сходимости
переходного процесса, т. е. устойчивости САР.
Дело в том, что далеко не всегда результаты исследования
динамических свойств САР оказываются одинаковыми при
использовании вырожденного и полного дифференциальных уравнений. Чтобы
исключить несоответствие, необходимо выдержать определенные
условия.
С этой целью следует рассмотреть дифференциальное уравнение
какой-либо САР, например непрямого действия с жесткой обратной
связью. Собственные динамические свойства такой системы
характеризуются совокупностью уравнений (81), (130) и (201), в котором
для простоты записи принято kc = 1:
do (р) Ф = к£х; dp (р) Ц = к£ф;
dc (p) ь = л; * = —Ь-
Совместное решение этих уравнений дает дифференциальное
уравнение САР
[do (P) dp (p) dc (р) + кЭД1 <р = 0. (468)
Уравнение (468) — четвертого порядка, так как уравнения двух
элементов системы имеют первый порядок (объект и серводвигатель)
d0(p) = T0p+l; dc(p) = Tcp+l
и один элемент (чувствительный) имеет второй порядок
Необходимо выяснить условия, при которых можно упростить это
уравнение путем снижения его порядка.
Предположим, что параметры элементов Т0 и Тс малы настолько,
что ими можно пренебречь, т. е. принять условие Г0 ^ 0 и Тс ^ 0.
Это даст возможность снизить порядок дифференциального
уравнения (468) до второго. Пусть Т0 = иТ и Тс = 7\ тогда уравнение
(468) приводится к виду [16]
Т2ир% (р) + 7 (и + О Pdv (Р) + dP (р) + £4 = 0. (469)
236

При Т =0 уравнение (469) вырождается в уравнение Второго порядка
dp(p) + K^ = 0. (470)
После подстановки развернутого собственного оператора
чувствительного элемента и деления на Т2 уравнение (469) примет вид
иТУ + uTj + up2 + ± [ТУ + ТкР2 + р] (и + 1) +
+ -уг 0V + ^ + 1 + *ЭД) = 0. (471)
Если вырожденное уравнение (470) удовлетворяет условиям
устойчивости (два корня его находятся в левой полуплоскости),
то два корня уравнения (471) (из четырех) при 7-> 0 будут
стремиться к двум корням вырожденного уравнения (470), а два других
корня при Г->0 будет уходить в бесконечность. (Действительно,
характеристическое уравнение Тр + 1 = 0 имеет корень р = —1/7.
При Г-* 0; р-» —оо.)
Оценка устойчивости исследуемой САР по вырожденному
уравнению (470) будет справедливой, если два корня уравнения (471),
уходящие при 7-> 0 в бесконечность, будут оставаться при этом
в левой полуплоскости.
Для выявления этого условия в уравнении (471) следует заменить
переменную р = q/T, тогда после умножения всех членов уравнения
на Г4 оно получит вид
(T2pq2 + ТКТЯ + Т2) Щ2 + {ТУ + TKTq + Т2Уи+1)д +
+ [Т2У + ТКТЯ + Т2 (1 + «)1 = 0.
При условии Т-> О
T2puq4 + Tl(u+\)q3 + Ty = 0
или после сокращения на ТУ
uq2 + (и + 1) q + 1 = 0. (472)
Уравнение (486), называемое вспомогательным, определяет
расположение корней, уходящих в бесконечность. Если это уравнение
имеет отрицательные корни или его коэффициенты удовлетворяют
критериям Рауса—Гурвица, то корни, уходящие в бесконечность,
останутся в левой полуплоскости. В рассматриваемом частном
случае корни уравнения (472) qx = —\lu\ q2 = —1, поэтому
устойчивость системы регулирования можно оценить по вырожденному
Уравнению, а переходный процесс, построенный с помощью
вырожденного уравнения, будет приближенно характеризовать динамические
свойства САР, если числовые значения коэффициентов, принятых
Равными нулю, были достаточно малы по сравнению с числовыми
значениями других коэффициентов, имеющихся в уравнении.
Сопоставление уравнений (472) и (471) показывает, что
вспомогательное уравнение составляется из старших членов полиномов
Уравнения (471).
237

Изложенное свидетельствует о том, что для оценки устойчивости
САР, имеющей п малых параметров, каждый из которых повышает
порядок уравнения на единицу, необходимо и достаточно, чтобы
вырожденное и вспомогательное уравнения в отдельности
удовлетворяли условиям устойчивости.
Нередко в САР входят элементы только второго порядка.
Примером может служить система регулирования прямого действия
объекта регулирования второго порядка. Характеристическое
уравнение такой системы имеет вид
d0 (p) dp (/?) + /&Ср = О,
где
d0 (Р) = TW + Tolp + 1; dp (р) = ТУ + ТкР + 1.
Иногда инерционность чувствительного элемента настолько
незначительна, что числовое значение коэффициента Т? оказывается
значительно меньше числовых значений остальных коэффициентов.
В этих условиях можно упростить уравнения, коэффициент Т% = Т2
принять в качестве малого и им пренебречь (Т2-* 0). Это приведет
к понижению порядка уравнения системы на единицу и таким
образом облегчит возможность построения переходного процесса и оценку
устойчивости. Однако последнее будет возможно, если только
полное и вырожденное уравнения при исследовании системы на
устойчивость дают одинаковый результат. Для этого необходимо
убедиться, что условию устойчивости удовлетворяет не только
вырожденное, но и вспомогательное уравнение.
После подстановки развернутых выражений собственных
операторов элементов характеристическому уравнению системы путем
принятия Тр = Т2 и деления всех членов уравнения на Т2 можно
придать вид
TW + ТыР" + р2+-+г [Т2о2ТкР3 + (То1Тк + 7*2) Р1 +
Для определения вспомогательного уравнения произведем
замену переменного р = qlT2. В этом случае после умножения на Т8
TW + rVoi?3 + 7V + T2o2TKq" + T2 (TolTK + T2o2) q2 +
+ 74 (TK + Toi) q + T6(l+ *ЭД) = 0.
При Т2 -> 0 вспомогательное уравнение получит вид q + Тк = 0,
корень которого отрицателен, и условие устойчивости выполняется.
Следовательно, оценка устойчивости системы по ее
вырожденному уравнению в этом случае справедлива.
Дальнейшее снижение порядка дифференциального уравнения
системы можно осуществить, если среди оставшихся коэффициентов
дифференциальных уравнений элементов есть еще один, значение
которого существенно меньше остальных.
238

Пусть в рассмотренном выше примере таким коэффициентом
является Гк — время катаракта регулятора. Следует при этом
заметить, что нельзя пренебрегать значением Гк при учете значения Г£,
так как принятие условия Гк = О приводит к неправильному
выводу о неустойчивости системы по вырожденному уравнению.
Принятие одновременно двух упрощающих условий Гр -* О
и Гк-> 0 снижает порядок дифференциального уравнения системы
на две единицы. Однако использовать этот путь снижения порядка
дифференциального уравнения можно только при определенных
соотношениях между значениями коэффициентов. Между
коэффициентами Тр и Гк существуют такие соотношения, при которых
по вырожденному уравнению можно еде тать вывод о неустойчивости
системы, в то время как полное уравнение свидетельствует о ее
устойчивости.
Для выявления таких соотношений необходимо предположить,
что между малыми коэффициентами Гр и Гк существует
соотношение Гр=«Гк, подстановка которого в характеристическое уравнение
системы
(TW + Го1р + 1) (Г2р2 + ТкР + 1) + *ЭД = О
после деления всех членов уравнения на Гк приводит его к виду
Гк [иТ1У + (иТ0х + Tlo) р3 + (и + Toi) Р2 + р] +
+ 1Г2о2/72 + Го1/7+1-Ь«]-=0-
При снижении порядка дифференциального уравнения на две
единицы об устойчивости САР можно судить по вырожденному
уравнению [16]
Т2о2р2 + То1р + 1+кЭД = 0
только при выполнении условия
^oi + Гс2 Тог ^ л
определяющего требуемое соотношение числовых значений
коэффициентов при старших производных полного и вырожденного
дифференциальных уравнений. Нетрудно видеть, что в рассматриваемом
примере это условие выполняется.

ГЛАВА IX
КАЧЕСТВО РАБОТЫ САР
1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА РАБОТЫ САР
Оценка устойчивости САР является обязательной. Только
устойчивая система регулирования может быть пригодна для
эксплуатации.
Однако устойчивость системы, будучи условием необходимым,
во многих случаях не является условием достаточным: мало знать,
что система устойчива, необходимо еще установить, как скоро
заканчивается переходный процесс и не появляется ли при переходном
процессе слишком больших отклонений регулируемой координаты.
Ответ на поставленный вопрос может дать дополнительный анализ
работы САР, оценивающий качество ее работы. К оценке качества
работы САР приступают только после того, как убедятся, что система
устойчива.
Для характеристики качества работы САР вводятся специальные
показатели. Одним из основных показателей, оценивающих
быстродействие, является время регулирования. Если переходный процесс
описывается линейным дифференциальным уравнением, то такой
процесс теоретически длится бесконечно, асимптотически
приближаясь к заданному установившемуся состоянию. Поэтому для
оценки времени регулирования необходимо предварительно задать
допустимое остаточное отклонение сре регулируемой координаты от
заданного равновесного значения.
Переходный процесс (рис. 138, а) считается закончившимся,
если при t = /р отклонение регулируемого параметра ср (t) = ф8
и при t^ztp выполняется условие ф (t) < фе. В этом случае tv
называется временем регулирования.
Часто недопустимо, чтобы в переходном процессе регулируемая
координата отклонялась от заданного установившегося состояния
больше определенного значения. В связи с этим для оценки
переходного процесса вводится понятие заброса регулируемой
координаты. Заброс фтах, перерегулирование <рт1п характеризуются
наибольшим, экстремальным отклонением регулируемой координаты
в течение переходного процесса (рис. 138).
Обычно принимают, что система автоматического регулирования
обладает необходимым качеством, если показатели качества
переходных процессов (/р; фтах; фт1п; <р6) не превышают заданных
предельных значений, поэтому требования к показателям качества
можно изобразить в виде площади (на рис. 138, а заштрихована),
в пределы которой должны вписываться все переходные процессы.
Если это условие выполняется, то считается, что система
автоматического регулирования обладает определенным качеством.
240

Рис. 138. Показатели качества работы САР:
а — апериодический переходный процесс; / — с перерегулированием; 2 — с забросом;
б — монотонные переходные процессы
В некоторых случаях важно знать число экстремумов
регулируемой координаты, появляющихся в течение всего переходного
процесса, что характерно для колебательного переходного процесса.
Отсутствие экстремумов свидетельствует о монотонности
переходного процесса (рис. 138, б), при котором выполняется условие
-^- < 0 в интервале времени 0 < / < tp.
Наиболее точно и наглядно можно оценить качество САР только
путем построения переходного процесса. Такая оценка качества
называется прямой. Если этот метод использовать нельзя, то качество
САР стремятся характеризовать различными критериями качества—
это так называемая косвенная оценка качества.
2. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
Оценка качества по расположению корней
характеристического уравнения
Качество переходного процесса можно оценить по расположению
корней характеристического уравнения в плоскости, показанной
на рис. 127. Математическим выражением переходного процесса
является общий интеграл дифференциального уравнения системы
регулирования. Переходный процесс описывается алгебраической
суммой составляющих, число которых определяется порядком
дифференциального уравнения системы, т. е. числом корней
характеристического уравнения. Если корень характеристического
уравнения pj, то математическое выражение соответствующей
составляющей переходного процесса имеет вид
сР, = С;.ерЛ
Если pf — действительный корень, то фу — экспонента,
обладающая свойством в равные интервалы времени уменьшать ординату
Составляющей в равных отношениях. Пусть в момент времени t±
241

ордината составляющей фу = фу1, а в момент t2 соответственно фу =
= фу2. В этом случае Фу2/фу1 = е^'2""'1).
Пусть фу2 в т раз меньше фя, тогда cp7l = тфу2 и /ут = —In X
X (rnlpj), где tjm = t2 — tv
Полученное соотношение показывает: чем меньше абсолютное
значение действительной части корня, тем больший интервал
времени tjm потребуется для того, чтобы ордината составляющей
уменьшалась в т раз, т. е. чем меньше /?у, тем больше время затухания
данной составляющей.
Следовательно, для обеспечения качества переходного процесса
на плоскости расположения корней (см. рис. 127) можно наметить
некоторую границу АВ, находящуюся левее мнимой оси на
расстоянии £. Если все вещественные части корней характеристического
уравнения по абсолютному значению больше £, то любая из
составляющих фу будет затухать быстрее экспоненты
Фб = Се-*'.
Таким образом, для обеспечения заданного качества переходного
процесса все корни характеристического уравнения должны
располагаться на плоскости левее границы АВ. Выполнение этого условия
нетрудно проверить расчетным путем. Действительно, зная £, можно
преобразовать характеристическое уравнение путем смещения оси
ординат на рис. 127 на £ влево. В этом случае
Ая(р - ir + A^ip - E)»-i + •.. + At(p - I) + А0 = 0.
Раскрытие скобок приводит к уравнению
А\рп + AUpn'1 + ■ ■ ■ + А\р + А\ = 0.
Если это уравнение удовлетворяет условиям устойчивости, то
все корни исходного уравнения расположены левее выбранной
границы. Это свидетельствует о том, что все составляющие будут
затухать быстрее экспоненты Се-**.
Действительная часть а корней характеристического уравнения
определяет скорость затухания составляющих переходного процесса,
а коэффициент со мнимой части корней — колебательность этих
составляющих.
Чем больше по абсолютному значению мнимая часть корня, тем
выше частота колебаний составляющей.
По мере роста значения со увеличивается число колебаний,
совершаемых САР в течение переходного процесса. Поэтому поле
расположения корней характеристического уравнения на плоскости
корней с точки зрения качества ограничивается не только абсциссой £,
но и углом г|)£, причем
\\\ = arct£ (со/а).
Чем меньше со/а, тем меньше колебаний совершает система.
Таким образом, САР удовлетворяет заданному качеству, если корни
характеристического уравнения располагаются в пределах области
CABD, показанной на рис. 127.
242

рпс. 139. Характеристики равных
степеней устойчивости в системах третьего
порядка
1
^
_—- Л, а
^iV
^^:
/уУУЛ16
л ■
^1
Абсолютное значение
действительной части корня
характеристического уравнения САР, ближе
всего расположенного к мнимой
оси, называют иногда степенью
устойчивости.
Для определения степени
устойчивости системы необходимо
перенести мнимую ось (см. рис. 127)
влево на величину а до
совпадения с ближайшим корнем (если
корень действительный) или с ближайшими корнями (если корни
комплексные сопряженные) характеристического уравнения.
Так, характеристическое уравнение (454) нормированного
дифференциального уравнения (347) после переноса оси получит вид
(Р - а)3 + X (р - а)2 + I (р - а) + 1 = 0.
Раскрытие скобок дает
Р* + S2p* + SlP + S0 = 0, (473)
где
S2 = X - За; St = За2 - 2Ха + £; 1
50 = -a3 + Xa2-Caf 1. J (474)
Если ближайшими к оси ординат корнями уравнения (454)
является пара комплексных сопряженных корней, то уравнение (473),
написанное с учетом переноса оси ординат, должно иметь два чисто
мнимых корня ±ш. После подстановки р = /со в уравнение (473)
(S0 — W) + ш (Si — со2) = 0.
При равенстве нулю комплексного числа равны нулю его
вещественная и мнимая части, поэтому после исключения со2 найдем S0 =
= S2SX. Из выражений (474) получим
С jz^b. • (475)
Уравнение (475) позволяет на поле диаграммы Вышнеградского
(рис. 139) нанести кривые при постоянных значениях степени
устойчивости a = const. В частности, при a = 0 уравнение (475) совпадает
с Уравнением гиперболы Вышнеградского.
Если предположить, что ближайшим корнем к мнимой оси был
Действительный отрицательный р = —а, то перенос мнимой оси на
Расстояние а влево дает уравнение (473), имеющее корень р = 0.
с*то может быть выполнено при условии, что
So = —a3 + Xa2 — la + 1 = 0. (476)
243

Для того чтобы остальные два корня оставались В левой полу*
плоскости, следует выполнить необходимое условие устойчивости
52 = % — За > 0; S± = За2 - 2*а + £ > 0.
Граничное условие % — За = 0 и уравнение (476) позволят
исключить а и получить уравнение
2Х3 - Ы + 27 = 0, (477)
дающее границу между монотонными и немонотонными
колебательными сходящимися процессами (кривая АСВ на рис. 139).
Зная значения критериев подобия % и £• по диаграмме на рис. 139
можно определить степень устойчивости а нормированной системы и
по соотношению ан = alq (где q — константа времени) степень
устойчивости ненормированной системы. Так как ап — наименьший
корень характеристического уравнения, то составляющая ф, =
= Схе06"' затухает медленнее других и поэтому определяет время
регулирования tp. Далее будет показано, что наименьшему корню
соответствует наибольшее значение константы интегрирования Сх.
Переходный процесс считается законченным, если при t > tp
выполняется условие ф < ф8. Если t = tpi то ф = фе. Тогда при
начальном отклонении Сг = ф0
Фе = Фоеан/р или ф8/фо = еан'р.
После логарифмирования время регулирования исследуемой
системы определится соотношением
Таким образом, степень устойчивости характеризует время
переходного процесса и, следовательно, динамические качества САР.
Интегральные критерии
Рассмотренные косвенные критерии качества переходных
процессов, основанные на анализе расположения корней
характеристического уравнения в левой полуплоскости, не дают возможности
получить представление сразу о двух основных параметрах качества:
времени регулирования и забросе регулируемого параметра. К числу
косвенных критериев качества, которые позволяют судить сразу и
о времени переходного процесса, и о максимальном отклонении
регулируемого параметра, относятся различные интегральные критерии:
оо
/х = |ФЛ; (478)
о
J2 = j>d/; (479)
о
W[^ + 7*(-g-)']«tf. (48°)
о
244

£ис. 140. Определение интеграла Jx
Все они основываются на подсчете
площади, заключенной между кри- К\\ ; ^
вой переходного процесса и осью pv$w/ /
абсцисс. Считается, что чем меньше у$/\ ^
эта площадь, тем лучше динамиче- \уу$^1®\
ские свойства САР и выше качество ° (© ^^^Ш^**"* t
переходного процесса. Интеграл Jx I ^ ^^uz£^^
представляет собой площадь под
кривой переходного процесса (кривая / на рис. 140).
Для определения числового значения интеграла Jx из
дифференциального уравнения системы, например (330), следует определить ф
и подставить в выражение (478), после чего интеграл примет вид
л~^-Кл-3-+л.-3-+-+л-3-)*
о
САР устойчива, поэтому при t = +oo сходящийся переходный
процесс уже заканчивается
(■&).-(*).—-•.-«•
При / = 0 все производные известны в виде заданных начальных
условий, следовательно,
'.-*[*(-3-).+'Ч-3-).+ -+Н-
Необходимо отметить, что изложенная интегральная оценка не
является универсальной и применима лишь для переходных
процессов без перерегулирования.
При перерегулировании (кривая 2 на рис. 140) параметр <р меняет
алгебраический знак, поэтому при подсчете Jx площади с различными
знаками вычитаются и минимальное значение Jx не соответствует
оптимальному переходному процессу.
Указанного недостатка лишен интегральный критерий J2 [см.
выражение (479)1. В этот интеграл входит ордината отклонения
в квадрате, поэтому осуществляется суммирование положительных и
отрицательных площадей (см. рис. 142).
Для отыскания интеграла все члены дифференциального
уравнения системы n-го порядка необходимо последовательно умножить на
dn-\ . dn-2g> . d<p
dtn-X > шп-2 » ' ' ' dt
Ф
и затем рассматривать систему п уравнений. Так, для уравнения
второго порядка система уравнений имеет вид
л ^Ф <*Ф | я( <*Ф V , л „ <<Ф _п
245

Затем полуденные уравнения интегрируют по времени в пределах
от 0 до +оо:
^ф
М4г^+М^гфЛ+Мф2Л=0;
А~\
d2q> d(p
dt
dtp
+ М(т)Л + Мт^^°-
(481)
dt2 dt
о oo
При вычислении входящих в систему уравнений интегралов вводят
новые неизвестные параметры. В рассматриваемом случае
'•-K-S-)
dt.
(482)
Для исследования системы третьего или четвертого порядка
необходимо дополнительно в качестве неизвестных величин ввести
интегралы
'.-?(-£)'* '.-К-ЗО'*
О о
Остальные интегралы вычисляют методом разложения по частям
J и dv = uv — J v du.
oo
Например, интеграл J-jjrT^ можно представить в виде
о
оо
|ч**(-^г). тогДа
О
H(i)='i[;-fii*=-(ib-'-
о о
После подстановки выражения (482) и найденных решений
интегралов в систему интегральных уравнений (481) последние
выражения примут вид
А2 [-Фо (4f-)0 - Ja] + Ai (--j Фо) + A0J2 = 0;
ИЛИ
A0J2 — A2Ja = N10\ AxJa = ЛТ2о,
где Nio = Л2Ф0 (4F)0 + ^1фо/2;
*—-И^ + МтШ-
246

Следовательно,
J*=-ir(Ni*+-?zN*)- (483)
Изложенная методика определения J2 остается справедливой при
исследовании переходного процесса систем любого порядка. При
создании системы регулирования следует добиваться минимального
значения /2, что равносильно получению оптимального переходного
процесса. Однако при /2min переходный процесс часто оказывается
колебательным, что в ряде случаев нежелательно. В этом случае
следует обратиться к интегральному критерию /3 [см. выражение
(480)1.
Рассматривая сумму квадратов в скобках выражения (480) как
неполный квадрат суммы, интегралу J3 можно придать вид
0 0 0
Второе слагаемое интеграла определяется начальным
отклонением ф0 и выбранным коэффициентом 71, поэтому минимальное
значение интеграл Л получит только при ф + Т (-тг-) = 0.
Решение полученного таким образом линейного дифференциального
уравнения первого порядка имеет вид
Ф = фое~'/7'.
Следовательно, приближение интеграла /3 к своему
минимальному значению возможно лишь при условии приближения
переходного процесса к сходящейся экспоненте.
Применение критерия /3 требует предварительного выбора
значения 7\ что возможно, если известна желаемая экспонента.
3. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ОБЩЕМУ ИНТЕГРАЛУ
Оценка качества работы САР путем построения переходных
процессов наиболее надежна и наглядна (см. рис. 138).
Переходный процесс представляет собой зависимость от времени
регулируемой координаты САР ф = / (/); <р = / (т) (или любого
Другого) при неустановившихся режимах работы после отклонения от
установившегося режима вследствие внешнего возмущающего а0
или управляющего ар воздействия.
Зависимости ф = / (/) или ф = / (т) представляют собой общий
интеграл дифференциального уравнения (323). При нахождении
общего интеграла используют принцип суперпозиции, в соответствии
с которым переходный процесс, появляющийся вследствие сложного
внешнего воздействия, можно получить в виде суммы переходных
процессов, вызванных отдельными составляющими сложного
воздействия.
В связи с этим принципом нет необходимости рассматривать
сложное внешнее воздействие как сумму возмущающего а0 и управляю-
247

щего ар воздействий. Например, можно принять, что переходный
процесс в САР вызван изменением нагрузки (а0 Ф 0), а настройка
регулятора осталась неизменной (ар = 0). В этом случае уравнение
(323) примет вид
D (р) ф = —В (р) obq.
Как уже отмечалось, общий интеграл такого уравнения ищется в виде
суммы (435).
Общий интеграл фх однородного дифференциального уравнения
определяется в виде суммы составляющих (438) при действительных
корнях характеристического уравнения (436) или (439) при наличии
комплексных сопряженных корней характеристического уравнения.
Составляющая (434) представляет собой частный интеграл
неоднородного уравнения; она появляется за счет постоянно
действующего в системе возмущения а0 = / (t). Если эта зависимость задана,
то в соответствии с ней находят решение (434).
При оценке работоспособности САР принято рассматривать не
произвольные, а наиболее характерные случаи возмущения, как
правило, наиболее тяжелые для работы системы.
Для единичного ступенчатого возмущения (см. рис. 7, а)
характерно то, что при t = —0 (непосредственно перед возмущением)
а0 = 0 и при t = +0 (сразу же после возмущения) а0 = 1 (/) =
= const.
Частный интеграл ф2 неоднородного дифференциального
уравнения определяется в форме правой части уравнения. Если а0 =
= const, то подстановка этого значения в уравнение дает
D(p)<p = -BQaQl (484)
поэтому интеграл ф2 = const. Подстановка этого значения в
уравнение (484) приводит к равенству Л0ф2 = —B0a0f откуда
Фв = --т-«о- <485>
В связи с этим общий интеграл при ступенчатом возмущении
принимает вид
Ф = 2С^-^7ао. (486)
/=i
При единичном возмущении а0 = 1.
Для единичного возмущения типа импульса первого рода (см.
рис. 7, б) характерно то, что как при / = —0, так и при t = +0
а0 = 0. В связи с этим ф2 = 0, и общий интеграл ищется в форме
ф = '|]С;.ерЛ (487)
Для построения переходного процесса ф = / (/) по общим
интегралам (486) и (487) должны быть предварительно определены корни
pj характеристического уравнения и константы интегрирования С/.
343

По известным значениям р7 и С;- можно вначале построить каждую
составляющую переходного процесса
depi'; С*Г**; . . .; С„ер<
а затем путем их алгебраического суммирования при выбранных
значениях времени t определить координаты переходной функции
(486) или функции веса (487) и таким образом построить переходный
процесс.
Построенная зависимость ф = / (t) позволяет определить время
регулирования, заброс или перерегулирование, т. е. оценить
качество работы САР.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Для построения переходного процесса по формулам (486) или
(487) необходимо знать числовые значения корней
характеристического уравнения. Один из методов приближенного вычисления
корней с постепенным уточнением их значений в процессе вычислений
заключается в том, что характеристическое уравнение делят на
сомножители в виде полиномов второй степени, если степень
характеристического уравнения четная, или первой степени, если степень
характеристического уравнения нечетная.
Пусть, например, дифференциальное уравнение имеет шестой
порядок, а характеристическое уравнение — шестую степень. Для
определения его корней все члены уравнения следует прежде всего
разделить на коэффициент при члене со старшей степенью р.
Характеристическое уравнение в связи с этим будет иметь вид
Затем на основе последних трех членов составляют квадратное
уравнение вида
после чего полином (488) делят на полином (489). Деление выполняют
до получения в остатке трехчлена вида
а2р2 + а'хр + а'ь (490)
где а'0 = Л0/Л6.
Если трехчлен (490) не делится без остатка на трехчлен (489), то
составляют трехчлен вида
P%+%P + lk (491)
и полином (488) делят на трехчлен (491) до получения в остатке
трехчлена
а1р2 + а[р + а0. (492)
249

Если полученный трехчлен не делится без остатка на трехчлен
(491), то составляют новый делитель вида
и процесс вычисления продолжают до тех пор, пока полином (488)
не разделится на трехчлен-делитель без остатка или с заранее
заданным малым остатком.
Пусть такой делитель имеет вид
p2+-^p+i^> (493>
а частное от деления полинома (488) на трехчлен (493)
Р4 + В3р* + В2р* + BlP + В0. (494)
Так как произведение многочленов (493) и (494) дает многочлен
(488), то характеристическое уравнение (488) может быть записано
в виде произведения
(р4 + В3р* + В2р* + Вгр + Во) (? + -4 Р + 4] = 0- (495)
Равенство нулю этого произведения обеспечивается при
Р4 + Вэр3 + В2р2 + В}р + В0 = 0 (496)
или
р*+4гР + 4г = °- <497>
«2 а2
Это дает возможность определить два корня уравнения (497) и
продолжить процесс вычислений приближенных значений корней
уравнения (496). С этой целью на основе трех последних членов уравнения
(496) составляют трехчлен вида
после чего в соответствии с описанной выше методикой многочлен
(496) делят на этот трехчлен и т. д. После определения трехчлена
Р2+4-Р + |Ь = 0, (498)
на который многочлен (496) разделился без остатка (или с допустимо
малым остатком), записывают частное от деления многочлена (496)
на трехчлен (498) в виде
Р*+фР + -$Г> (499)
250

В соответствии с выражением (495) характеристическое уравнение
(488) можно представить в виде произведения
где пу ky m — индексы, показывающие число последовательных
приближений в каждом расчете.
Корни этих сомножителей, являющихся квадратными
уравнениями, есть корни характеристического уравнения (488).
Если дифференциальное уравнение имеет нечетный порядок,
например пятый, характеристическое уравнение следует привести
к виду
р5 +-%гр* +-^3 +-1Г"2 + it "+■%■= ° (500)
и подсчитать корни уравнения
Если корни этого уравнения комплексные сопряженные, то
порядок дальнейшего вычисления корней характеристического уравнения
сохраняется прежним.
Если корни уравнения (501) действительные, то подсчет корней
характеристического уравнения можно начать с определения одного
корня. С этой целью полином (500) следует делить на двучлен
р + А0/Ах (502)
до получения в остатке двучлена
flip + flo. (503)
Если двучлен (503) не делится без остатка на двучлен (502), то
составляют новый двучлен р + аУа{, на который вновь делят
многочлен (500) до получения остатка dip + a%, и так до тех пор, пока
остаток не разделится. Если деление произведено без остатка, то это
значит, что первый корень характеристического уравнения имеет
значение рх = —ajj/aj, а характеристическое уравнение (500) может
быть заменено произведением
(р4 + ВзР3 + В2р2 + В2р + Во) (Р + anJa4) - 0,
после чего дальнейшее вычисление корней выполняют описанным
выше методом.
Найденные таким образом приближенные значения корней
характеристического уравнения могут быть уточнены
графоаналитическим методом. Для этого характеристическое уравнение следует
Записать например, в виде равенства Мг = М2у где
Мг = Аер* + Л4р4 + А2р* + Л0;
М% = — Аьр^ — А3р* — Ахр ,
251

и в окрестностях вычисленных значении корней построить кривые
Мг = /1 (р) и М2 = /2 (/?). Значения р, при которых кривые Мг =
^ /i (p) и УИ2 = /2 (р) пересекаются, являются уточненными
значениями корней характеристического уравнения.
Изложенная методика позволяет определить корни
характеристического уравнения любой степени.
5. КОНСТАНТЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Для построения функции переходного процесса ср = / (/)
необходимо знать не только характер протекания каждой из составляющих,
но и соотношение между ними. Это соотношение определяется
ординатами составляющих в начальный момент движения (при t — 0).
Общие интегралы (486) или (487) показывают, что начальными
ординатами составляющих являются константы интегрирования Съ
С2, ..., Ck, ..., Сп. Число констант интегрирования всегда равно
порядку дифференциального уравнения.
Для определения констант интегрирования необходимо задать
начальные условия, которые в общем случае зависят от состояния
системы автоматического регулирования в момент применения
возмущающего воздействия и его характера.
Начальные условия при t = 0 записываются в виде совокупности
значений: ф0 — начального отклонения; v0 = (--тт-) — начальной
скорости; w0 = (-Щ-) — начального ускорения и др. и
характеризуют состояние системы автоматического регулирования в момент
появления возмущающего воздействия. Однако момент времени t = 0
по существу разбивается на два момента: t = —0 — непосредственно
перед возмущением и / = +0 — сразу после возмущения.
Режим работы САР при t =* —0 характеризуется начальными
условиями
М «.-(*)..! »—(-$-).„. <W
а при / = +0 должен характеризоваться новыми начальными
условиями
*•* —(4-)-' —(*)-• <605>
Начальные условия (505) можно определить, если известны
начальные условия (504) и дифференциальное уравнение (484) САР.
Пусть собственный оператор САР
D (р) = Аф* + А/?5 + Л4р4 + Л3р3 + Л2/>2 + Агр + А0 (506)
и оператор воздействия
S (р) = Вьр* + В^ + 53/?з + Btf* + Вгр + В,. (507)
252

Формулы для подсчета начальных условий (505) с учетом
начальных условий (504) при ступенчатом возмущении a0j= const_HMeioT
вид П8]
<р+0 - Ф-о = 0; *+0 - v_0 - ($-V - (-g-). = - Ф- «„; '
/ d2<p \ I d2<p \ Б4 Аь * ч
»♦• - ш-°= ("3T)+о ~ ("л5-)-о = —Я7«• ~ "IT(0+в ~ У-о);
** -*-»= (-ж)+0 = (-ж)-о=--1гав - ir^-0-»)-
- -77 Ко - а»_о);
/ #Ф \ /<*4Ф\ _ А а А/о п^
Л4
Ко - &'-о)
(г+о-г_0);
(508)
При снижении порядка оператора воздействия, например, до
четвертого в формулах (508) необходимо принять условие Вь = 0,
при снижении до третьего порядка Въ — 0; В4 = 0 и т- Д- Если в
правой части дифференциального уравнения САР нет производных, то
подстановка условий Вь = В4 = ••• = Вг = 0 в формулы (508)
показывает, что в этом случае начальные условия (504) при t = —0
оказываются равными начальным условиям (505) при t = +0.
Часто САР до возмущающего воздействия работает в
установившемся режиме, когда начальные условия при t = —0 оказываются
нулевыми:
В этом случае начальные условия при t
простыми формулами
+0 определяются более
А
/_*Ф \ _ В2 А9 Л4 ^ / Лр \ .
/ d*<p
di* )«>-- ABa° AtV+° AeW+° Л, W*8 /+0
Ал \ dt* )
(509)
После определения начальных условий можно приступить к подсчету
Констант интегрирования,
253

Пусть, например, переходные процессы САР описываются диффе
ренциальным уравнением третьего порядка
+ At
+ Аг-
4- Лф :
Bt^L-B^-Boao. (510)
"3 Л» ~г^2 Л2 ' "* dt
Если принять, что <х0 = 0 при t — —0 и аэ = const при ^ = +0,
то общий интеграл дифференциального уравнения (510) следует
искать в виде суммы
Ф = С^{ + С2еР«' + С3е">' —
So
а0.
(511)
Для подсчета констант интегрирования необходимо знать три
начальных условия. При ступенчатом возмущении они имеют вид
в2
ф+о = 0; v+o
Bi
ш+0 = -
а0
А, ~° А3
В соответствии с выражением (511)
Во
ап
ЛО-
(512)
Ci + С2 + С3 = -Л а0; СхРх + С2/?2 + сзРз = ЦТ»
Решение полученной системы уравнений в детерминантной форме
имеет вид
Сх = Дх/А; С2 = Д2/Д; С3 = Д3/Д,
где
Д =
д4 =
1 1 1
Pi Ръ Рз
р\ Р\ Р%
1 4е-«. 1
Аа =
/>8
р\
Д8
Л0
Л «о
р\ w0
После раскрытия детерминатов
РгР» -Г-ав — (Pi + Рз) »о + «"о
С1= Ао
£«• ' '
Ц> Рг Рз
Wo Р% р\
>
1 х Xе»
Pi Л 1>0
I Р\ P\ Wo
Р1Р3
Р1Р2
(Pi-
B0
(P2~
B0
Рз) (Pi — P2)
~ (Pi + Рз) "о
■ Рз) (P2 — Pi)
~ (Pi + P2) t>0
" >
+ u>o
>
+ O>0
(Pg - Pz) (Pa - Pi)
(513)
254

В некоторых случаях формулы (513) принимают более простой
вид. Например, при построении переходного процесса по уравнению
(315), если процесс вызван сменой настройки регулятора ар = 1
и а0 = 0, начальные условия имеют значения ф+0 = 0; v+0 = 0;
Х0+О = 0. Если при этом учесть, что в соответствии с формулой (461)
при /?2,з = а ± и» произведение корней р2р3 = — Л0/ОМ0); рхр3 =
= — 40/ОМз) и рхр2 = —А0/(р3А3)у то
Сг S°
С2 =
PiA3 (pi — р2) (Pi — Рз)
So
Р2А3 (р2 — pi) (р2 ~ Рз)
So
(514)
Мз (Рз — Pi) (Рз — Рг)
Нетрудно видеть, что наименьшему корню соответствует наибольшее
числовое значение константы интегрирования.
-В формулах (513) удобно использовать относительные константы
интегрирования, значения которых определяются только корнями
характеристического уравнения. В этом случае
Д
(515)
где относительные константы интегрирования по отклонению ф
скорости v и ускорению w соответственно
г? =
РгРз
(Рг
Ш =
- Pi) (Pi — Рз)
PlP2
S2 =
PlP3
(P2
s=-
(Рз — Pi) (Рз — Рг) *
Pi + Рз
(P2 — Рз) (Р2 — Pi)
1
(Pi — Рг) (Pi — Рз)
6? = -
Рз) (Р2 "
Рг+Рз
Pi)'
ёз
1
(Pi — Рг) (Pi — Рз) '
Pi + Рг
(Рз — Pi) (Рз — Рг)
1
s=-
(Рг — Pi) (Рг — Рз) '
(516)
(Рз — Pi) (Рз — Рг)
Аналогично могут быть определены константы интегрирования и
при исследовании переходных процессов, описываемых линейными
Дифференциальными уравнениями более высоких порядков.
6. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ
Исследование динамических свойств САР путем решения
дифференциального уравнения существенно усложняется необходимостью
Расчета начальных условий и констант интегрирования. Определение
°бщего интеграла дифференциального уравнения с помощью
преобразования Лапласа свободно от этого недостатка.
Преобразование Лапласа позволяет заменить в дифференциальном
Уравнении функцию вещественного переменного, которым является
255

Время /, функцией комплексного переменного р = а + /со. Эта
замена при t^O определяется соотношением (229). Соотношения
(229), (234)—(238) между изображениями и оригиналами исследуемой
функции и ее производных дают возможность записать в
изображениях дифференциальное уравнение САР.
Пусть, например, динамические свойства САР определяются
дифференциальным уравнением (510). Умножим все члены уравнения
на erzt и проинтегрируем в пределах от 0 до оо. Уравнение при этом
приводится к виду
0 0 0 0
оо оо оо
= - Вг J ¥$- е-*' dt - Bt J -^ е-2' dt - В0 J а0е-*< dt.
0 0 0
В полученном уравнении в соответствии с формулами (229),
(234)—(238) имеем
ОО
J -g- е-' dt = z*L [Ф (/)] - z\ (0) - гФ' (0) - Ф" (0);
о
оо
j -g- е-' dt = z*L [<p (/)] - гФ (0) - ср' (0);
о
оо
J-§-e-*<d/ = zL[<p(/)]-<p(0);
о
оо
J<pe-*<d/ = Lrcp(0];
о
оо
J -4F- *~zt dt = Z*L Ia° WJ - *«o (0) - aj (0);
о
oo
J ^ e-rf Л = ?L [00(01-00(0);
OO
1
a0t'ztdt = L [a0(/)].
Подстановка этих соотношений в исходное уравнение приводит
последнее к виду
А3 \z*L [Ф (01 - г2Ф (0) - гФ' (0) - Ф" (0)} + А2 \z*L [<р (/)] - гц> (0) -
- <р' (0)} + Аг \zL [Ф (01 - Ф (0)} + A0L [<р (/)] = -Д. {г2! [а0 (/)] -
- га0 (0) - а5 (0)1 - В{ \zL [а0 (*)] - а0 (0)} - B0L [a0 (/)]
256

или после раскрытия скобок
(Лз*3 + А** + Ахг + А0) L [Ф (/)] = - (Я2*2 + В±г + В0) L [ос0 (/)] +
+ (Лз*2 + Л2г + АО Ф (0) + (4* + А2) Ф' (0) + ЛзФ" (0) +
+ (Я2г + Bi) а0 (0) + В2а'о (0). (517)
Переходный процесс в САР возникает вследствие приложения
возмущающего воздействия при t = 0, в связи с этим можно
допустить, что при t = —0 САР работала в условиях установившегося
режима. Поэтому при t = —0 и t <0
<р(0) = 0; <р'(0) = 0; Ф"(0) = 0; а0(0) = 0; а5(0) = 0,
в связи с этим уравнение (531) примет вид
(Лз*3 + А** + Ахг + А0) L [Ф (<)] = - (В2г* + Вхг + В0) ^ [<*о (01.
откуда
* * «1 = - л/?£%лЛл, L !«• ^ <518)
Сопоставление полученного выражения с формулой (368)
показывает, что отношение полиномов представляет собой передаточную
функцию W (г) при z = р замкнутой САР по возмущающему
воздействию. Следовательно,
L [q>(*)] = W(z)L [a0(/)]. (519)
При возмущающем воздействии в виде единичной ступени (см.
рис. 7, а) в соответствии с выражением (232)
zL [ф(<)] = W(z) (520)
и при импульсном возмущении (см. рис. 7, б) в соответствии с
выражением (235)
L [ф(*)1= Г (г). (521)
Формулами (520) и (521) можно воспользоваться для отыскания
общего интеграла дифференциального уравнения САР.
Для определения переходного процесса <р = / (t) необходимо
применительно к уравнению (519) выполнить обратное
преобразование Лапласа (245), сводящееся к нахождению оригинала по его
изображению.
Подставляя выражение (519) в интеграл (245), найдем
a+to
(Р(/) = Щ- I W(z)L[a0(t)]#<dz. (522)
При единичном ступенчатом возмущающем воздействии в
соответствии с формулами (520) и (518)
L [ф (01 = — zW^+AfS+Aj'+Ao) = — 1DW ' (523)
При импульсном возмущающем воздействии первого рода в
соответствии с формулами (521) и (518)
МФСЛ- А3г* + А2г* + Ахг + А0 -~ ^Г (
9 В. и. Крутов и др. 257

Для облегчения обратного преобразования Лапласа выражения
(523) и (524) целесообразно разбить на такие составляющие, для
которых выражения оригиналов уже известны.
Одним из методов такого разбиения является представление
изображений (523) и (524) в виде суммы отношений:
для единичного ступенчатого возмущающего воздействия
- JLEL = -£l + Cl 4- — h ——; (525)
zD(z) z ^ z — zx ^ z — z2 ^ z-z3 ' v UJ
для единичного импульсного возмущающего воздействия первого
рода
_ A&L = А.{_ с* _{_ _£ | 9i—# (526)
D (z) z ' z — zi ' г — z2 ' г — z:
В этих выражениях гъ z2 и г3 — корни характеристического
уравнения
A3z* + Л2г2 + Axz + А0 = 0.
Для определения числовых значений коэффициентов С0, Сь С2
и С3 можно воспользоваться следующим приемом.
Для определения значения С0 все члены уравнения (525)
необходимо умножить на z, тогда
в (z) _п , гС1 , zC2 , zC3
Если затем принять г = 0, то
c-[-Sf]_—*• (527)
Для определения значения коэффициента Сх все члены уравнения
(525) необходимо умножить на г — гъ тогда
(z — z^Bjz) z — zln ,r , г — zx n i z — ?i г
mj?)— = —~ co + bi + Tzr^c2 + Tz^-c3.
Если-учесть в этом выражении, что
D (2) = А3 (2 — 2х) (2 — 22) (2 — 23),
то, приняв z = zly можно получить
г Б(2*) /528)
1 A3z1(z1-z2)(zl — z3) ' v
Умножая затем все члены уравнения (525) последовательно на
z — 22 и z — 23 и принимая также последовательно z = z2 и z = z3,
можно найти
B(z2)
A3z2(z2 — z1) (z2 — z3) '
(529)
C,-= ^M в /530)
3 A3z3 (z3 — zt) (23 — z2)
258

Аналогично определяются коэффициенты С0, С1у С2, С3 и при
единичном импульсном возмущающем воздействии первого рода по
уравнению (526). В этом случае
С0 = 0; С1 = *^
Лз (zi — z2) (zt — z3)
c2 = -
B(z2)
Лз (22 — гг) (z2 — z3)
B(z3)
Лз (z3 — zx) (23 — z2)
(531)
Следовательно, при известных корнях характеристического
уравнения становятся известными значения всех коэффициентов
изображений (525) и (526).
При отыскании оригинала представленное таким образом
изображение можно не подставлять в интеграл (245), так как связь
изображения, написанного в форме (525) или (526), с оригиналом
определяется формулой (231) и имеет вид
МФ1(0] = 7^<; <Pi(0 = Cie^;
£[ф2(01 = -7^г7; Ф2(0 = С2е**<
и т. д.
С учетом этих связей по изображению можно записать оригинал
искомой функции — общий интеграл дифференциального уравнения
системы автоматического регулирования при единичном ступенчатом
возмущающем воздействии
ф (t) = С^* + С2ег*< + С**** - -^ (532)
и при единичном импульсном возмущающем воздействии
Фи (0 = С^* + С2е**< + С3е^. (533)
Таким образом, выражение (532) — переходная функция, а
выражение (533) — функция веса. При z — р выражение (532)
соответствуют выражению (486) при а0 = 1.
Методом преобразования Лапласа нетрудно определить начальные
условия переходных процессов, если задан тип возмущающего
воздействия. Так, для систем третьего порядка начальные условия cp0 =
= Ф (0); V0 = ф' (0) uW0 = ф" (0) могут быть подсчитаны на
основании формул (240), (241) и (242). При единичном ступенчатом
возмущающем воздействии
* - Ф (0) = to ZL I, «И = to [- jJf^ifi-A. ] ■
Y ' z-00 L Лъгъ + A2z* + Atz + Л0 J
ф (V) _ шп L Авгз + А^ + Alz + AQ + Л8 J
9*
259

Следовательно, при I и +0 игв« +оо
Фо = Ф (0) = 0; V0 = <р' (0) = -52/Л3; 1
Wo = <р* (0) = А2В21А1 - В!/Л3. J (W4)
Таким образом, формулы (534) совпадают с формулами (512) при
а0=1.
Аналогично подсчитывают начальные условия и при единичном
импульсном возмущающем воздействии
Фи (0) = -В2/Аг, Фи (0) = A2B2/Al - Bi/Ай )
Фи(0) = ^г(Л152 + AM) —^(AlBo+AlB2). J (535)
7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ САР ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Определить корни характеристического уравнения и построить
переходные процессы наиболее просто, если порядок
дифференциального уравнения САР не превышает второй. В связи с этим иногда
приходится прибегать к упрощению математической модели
изучаемой системы в целях снижения порядка дифференциального
уравнения до второго. Такое упрощение может быть достигнуто, если один
или несколько параметров системы принять равными нулю (см.
п. 10 гл. VIII).
Однако такие упрощения могут привести к заметным искажениям
результата. Для исключения или снижения таких искажений порядок
дифференциального уравнения либо не снижают, либо снижают до
третьего. Например, если в формулах (334) системы непрямого
регулирования с жесткой обратной связью принять 7р = 0, то порядок
дифференциального уравнения (333) снизится до третьего. При таком
упрощении искажение результата будет тем меньше, чем меньше
числовое значение 7^. Ввиду компактности чувствительного элемента
в регуляторе непрямого действия это условие часто выполняется.
Для построения переходного процесса ub формуле общего
интеграла (486) необходимо предварительно построить каждую из его
составляющих, а затем их алгебраически просуммировать.
Предположим, что начальные условия заданы, константы
интегрирования и корни характеристического уравнения определены.
Начальной ординатой при t = +0 апериодической составляющей
<Pj=Cjtflf (536)
является константа интегрирования С,. Для определения
последующих ординат при t > 0 можно воспользоваться известными
математическими таблицами значений показательных функций е-* или
числовым значением степени сходимости. Степенью сходимости
называется интервал времени, в течение которого ордината составляющей
переходного процесса изменяется в определенное число раз
(например, вдвое). Если выбрать два момента времени tx и/2, при которых
260

LbJj
Рис. 141. Построение составляющих переходного процесса:
а — апериодической; б — колебательной
вторая ордината ср;-2 = Срр**2 в 2 раза меньше первой фд = Суе^'1,
то отношение выбранных ординат
JE£Ls=eP/('1-'1) = JL.
Фл 2
Так как по условию степень сходимости tj = t2 — tx, то
ер^=4-
или
tj =-In (2/pj). (537)
С достаточной степенью точности можно принять tj = —0,693/ру.
Построение апериодической составляющей (536) переходного
процесса по степени сходимости (537) показано на рис. 141, а. По оси
абсцисс в этом случае откладывают несколько значений tj. Ордината
составляющей в конце первого интервала tj равна С/2 и через
каждое последующее значение tj уменьшается вдвое по сравнению с
предыдущей. Соединение полученных таким образом точек плавной
кривой дает желаемый результат.
Если среди корней характеристического уравнения имеется пара
комплексных сопряженных корней, то в переходном процессе
появляются колебательные составляющие.
Для построения колебательной составляющей
ф7. = Ajtat sin (со/ + yj) (538)
переходного процесса (486) должны быть предварительно определены
начальное отклонение при t = 0: <р,0 = Aj sin yJy частота колебаний
®j (мнимая часть комплексных корней характеристического
уравнения) или период колебаний Tj = 2я/соу. Затем следует построить
огибающие экспоненты, которые определяют закон затухания ампли-
тУДных отклонений.
В качестве характеристики скорости затухания амплитуды колеба-
ний составляющей можно выбрать отношение р последующей ампли-
ТУДЫ к предыдущей того же алгебраического знака.
261

В моменты tx и U амплитудных отклонений, когда sin (co^ +
+ yj) = 1,
<p; = V'; Ф; = Луев'-.
Отношение их
Р = -§- = еа «*-''>. (539)
Так как по условию U — tx = Ту, то
р = еаГ'. (540)
В тех случаях, когда при большом периоде колебаний проявляется
резкое затухание амплитуды (р < 1), практическое значение для
переходного процесса имеет лишь первый период колебаний. При этих
условиях существенное значение имеет форма огибающих экспонент
в пределах одного периода Т7- колебаний. Поэтому следует найти
координаты некоторых промежуточных точек огибающих экспонент
в пределах одного периода. Для этой цели выбирают промежуточные
абсциссы
где end — целые числа: с <d.
Если pc/d обозначить отношение выбранной ординаты экспоненты
при определенных значениях с и d к ординате в начале периода, то
Pc/d = tTaTj\ (541)
Следовательно, для построения колебательной составляющей
Ф7. = с1е<«+'«)' + С3е<а-^)' = AfiaJ* sin (со/ + yj)
необходимо определить
Л, = 2/ад" и Y7 = arctg(^l_+g. ,
где С2 и С3 определяют по формулам (513) или (514) при р2, з =
= а ± /со. Зная Л7- и 7л можно построить точки Л, В и С на рис.
141, б. Затем по формулам (540) и (541) определяют р и pc/d и строят
огибающие экспоненты 1 и 2 при известном значении периода
колебаний Tj. По полученным таким образом точкам можно построить
колебательную составляющую 3.
Суммируя все составляющие в соответствии с общим интегралом
(486), получим результирующий переходный процесс САР.
Построение переходного процесса в системе третьего порядка
существенно облегчается, если дифференциальное уравнение (510)
пронормировать и представить в виде выражения (342) при ар = 0.
В этом случае для построения переходного процесса ф = / (т)
необходимо прежде всего определить числовые значения коэффициентов
% и £ по формулам (343) и (349) и общий интеграл (486) представить
в виде
ф = de** + CeeP«T + Сае*т - QQa9, (542)
262

если характеристическая точка с координатами (х; £) располагается
в области / диаграммы, приведенной на рис. 129, и
ф = с&« + С2е°" cos рт + С3еа* sin рт - Q0a0, (543)
если характеристическая точка с координатами (х; £) располагается
в области //.
По известным числовым значениям коэффициентов х и £ можно
без дополнительных расчетов определить все параметры переходных
процессов, необходимые для их построения. Значения этих
параметров в зависимости от значений х и £ либо сведены в таблицы [131,
либо нанесены на поле диаграммы Вышнеградского (см. рис. 129)
в виде кривых при постоянных значениях выбранного параметра [11 ].
К числу таких параметров переходных процессов относятся
следующие: степень сходимости апериодических составляющих,
круговая частота колебаний и др.
В качестве показателя скорости изменения ординаты сходящейся
апериодической составляющей (экспоненты) по аналогии с
выражением (537) выбран отрезок безразмерного временит^-, в течение
которого ордината составляющей уменьшается вдвое. Числовые значения
• 142. Характеристики сходимости и расходимости (xsi) апериодических
составляющих переходного процесса в системах третьего порядка
263

a) S)
Рис. 143. Характеристики колебательной составляющей переходного процесса:
а — круговые частоты; б — затухание и разгон
тн нанесены на характеристики, показанные на рис. 142, или сведены
в таблицы [13].
Одним из параметров, характеризующих протекание
колебательной составляющей
Ф7. = С7е«*з1п(Рт + С/+1), (544)
является р — круговая частота колебаний, представленная кривыми
равных частот в областях // и /// на рис. 143, а. В таблицах [13]
приведено значение безразмерного периода колебаний 7\, причем
7т = 2я/р. (545)
Амплитуда колебаний
Aj=,Cj^ (546)
изменяется во времени. В качестве характеристики скорости
затухания амплитуды выбирается отношение (540).
В области // колебательных сходящихся процессов (рис. 143, б)
нанесены кривые равного затухания при р <1; в области ///—
кривые равного разгона при р > 1.
>г Знание 74 [см. выражение (545) ] и р дает возможность построить
точки огибающих экспонент в каждый период колебаний.
Приведенные выше характеристики протекания апериодических
и колебательных составляющих (см. рис. 142 и 143) могут быть
объединены на поле диаграммы Вышнеградского. В таком виде
диаграмма (рис. 144) при известных значениях % и £ позволяет находить
числовые значения rsi\ р и р без дополнительных расчетов.
Однако для уточнения протеканий колебательных составляющих
иногда приходится использовать дополнительные параметры. Так,
264

с s *
§Я&
§285
1 2 X о,
s ч ч о
2 я & с
р.* о
СО О
s Я
! £*Р
л
X Н
3 *>
О (=( **
S <"<
со <v ч-/
Рн ас

*<г
Z 3
,Jl^
4 !
^
/
1
jj
r£
r >
it"*
^л
ft*
0 0,005 0,010 0,0!S 5> OfiZ 0,0b 0,06 0,06 ? 0,1 0,3 0,S 0,7 0г9 р
a) fi) 0)
Рис. 145. Определение отношения промежуточной ординаты огибающей
экспоненты к ординате в начале периода:
/ — при cjd = 1/4 (четверть периода); 2 — при c/d = */« (полупериода); 3 — при c/d = a/4
(«/4 периода); 4 — при сД/ = 1 (период)
Рис. 146. Построение
колебательных
составляющих переходного
процесса:
/ — сходящая косинусоида;
2 — сходящая синусоида;
3 — огибающая
экспонента
для построения огибающих экспонент в течение одного-двух периодов
колебаний на рис. 145 приведены характеристики (541), с помощью
которых при известных р можно определить числовые значения pc/d-
При изображении колебательной составляющей следует
учитывать, что максимальное значение отклонения составляющей ymi по
абсциссе не совпадает с %ki, т. е. с абсциссой точки касания. Если
момент времени, при котором отклонение составляющей достигает
максимального значения, обозначить хтЬ то интервал времени Дт,
(рис. 146) между моментами максимального отклонения и точкой
266

касания можно найти по графику (рис. 147, а), на котором
представлена зависимость Лт^ = / (р), облегчающая определение Ат^ при
известных значениях круговой частоты р, или непосредственно по
таблицам [13].
Для построения колебательной составляющей переходного
процесса необходимо знать не только сдвиг экстремального значения
ординаты по времени, но и значение экстремального отклонения
(fmi при imi. Поэтому на графике (рис. 147, б) дана зависимость
Фт|/ф*1 =/(р)>
(547)
с помощью которой указанное отношение определяется без
дополнительных расчетов. Отношение q>mj/q>ftj также можно найти
непосредственно по таблицам.
Каждую константу интегрирования можно представить в виде
суммы (515), тогда относительные констаны интегрирования £7»
£/ и IJ оказываются зависимыми только от значений коэффициентов
% и £/ Следовательно, на поле диаграммы Вышнеградского (см.
рис. 129) во всех ее областях можно заранее нанести сетки кривых
& = /Ф (х; 9; 6" = U (х; 0; lw = L (х; 0.
Такое построение диаграммы (см. рис. 148—150) дает возможность
находить по расположению изображающей точки (%; £) без
дополнительных расчетов искомые величины £ч>; £у и £ю и определять при
<Pmi
<Pkl
0 0,005 0,010 0,015 ? 0,02 0,04 0,06 0,08 р 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 ?
с
2,0
¥
1,0
0,5
L
-^ч
**о^
-о—о
—о—
а)
<Pmi
<Рк1
1,2
V
1,0
ол
О 0,005 0,010 0,015 f 0,02 0,04 0,06 0,08 ? 0,1 0,3 0,5 0,7 0f9 1,1 $>
б)
Рис. 147. Определение координат максимального отклонения cpmj колебательной
составляющей:
а — смещения Дт максимального значения во времени от точки касания с экспонентой;
б — максимального значения q>mj
267

известных начальных условиях (ф0; Уфо и №фо по формуле (515)
константы интегрирования Сг\ С2 и С8.
Таким образом, по диаграммам, показанным на рис. 144, 145,
147—150, или по таблицам [131 для систем третьего порядка можно
построить как каждую из составляющих переходного процесса, так
и сам переходный процесс.
Для построения затухающей косинусоиды при a <J0
9j. = CjeaTcospT (548)
необходимо определить период колебаний Т% по формуле (545)
(см. рис. 146) и отметить значения абсцисс через каждый период 7Y
На ординате графика (кривая 1) при т = 0 откладывают
константу интегрирования Cjt которая для косинусоиды является
начальным отклонением. Отношение каждой последующей амплитуды
к предыдущей того же знака определяет степень затухания р.
Следовательно, по параметрам Т% и р можно построить экспоненту,
огибающую амплитудные отклонения составляющей процесса.
Затухающая косинусоида должна быть вписана между экспонентами с учетом,
что нулевые значения затухающей косинусоиды и точки касания
с экспонентами сохраняются при тех же значениях т, что и при
незатухающей косинусоиде.
Для построения затухающей синусоиды при а <<0
9i = CjeaTsinPT (549)
(кривая 2) необходимо учесть, что при т = 0 и <р7- = 0. Поэтому
предварительно по значениям р и Т% следует построить огибающие
экспоненты
Aj=±Cfif*x,
а затем вписать в них затухающую синусоиду.
Совмещение построенных таким образом составляющих на одном
графике в одинаковом масштабе и алгебраическое суммирование их
ординат по времени т позволяют построить в соответствии с
выражениями (543) результирующий сходящийся колебательный переходный
процесс (см. рис. 126, д).
Если при большом периоде колебаний проявляется резкое
затухание амплитуд (р <^ 1), следует использовать параметр рс/а (см.
рис. 145), позволяющий получить в пределах периода еще три точки
(кроме крайних) огибающей экспоненты.
Вписывая между экспонентами затухающие косинусоиду или
синусоиду и зная точки касания этих кривых с огибающими
экспонентами, можно построить точки экстремальных отклонений; для
этого следует воспользоваться графиками, изображенными на
рис. 147.
При исследовании САР наибольший интерес представляет
построение переходного процесса в размерных координатах. От
безразмерного времени т можно перейти ко времени /, измеренному, например,
в секундах в соответствии с соотношением t = qx (рис. 151) при
известной константе времени (341).
268

to
о
10 15 20 25 JO 35 40
Рис. 149. Диаграмма относительных констант по скорости
45
50 JL

о
IS
к
л
о
S
о*
271

Рис. 151. График пересчета безразмерного
времени т на размерное время t
Если Tt — период колебаний,
измеренный в секундах, а 7Т —
безразмерный, то
Tt = qTx = TVAjA0. (550)
Для перехода к размерному
параметру по ординате необходимо
знать установившийся режим, к которому стремится сходящийся
переходный процесс, тогда отклонение от установившегося режима
определится в соответствии с соотношениями
Д/7 = фр0; А Г = фГ0; AQ = фй0 и др.
Здесь р — давление; Т — температура; Q — частота вращения.
Построенный таким образом переходный процесс дает возможность
оценить время регулирования /р и заброс регулируемой координаты.
Признаком завершения процесса регулирования ф = / (т) служит
условие ф < фе, за выполнением которого нетрудно проследить при
получении переходного процесса.
Период времени т от 0 до тр при ф < фе является временем
регулирования.
Изложенным методом можно построить переходные процессы
в системах третьего порядка с различными параметрами и любыми
начальными условиями.
8. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В САР
ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Одним из приближенных методов построения переходных
процессов является метод, основанный на использовании обобщенных
АФЧХ замкнутых САР любого порядка.
Интегралу (401) с учетом выражений (402) и (222) можно придать
вид
+00
ф = -gj- | [Хф (о) + 1уф (©)] [COS СО* + * sin <°<] d(x).
—оо
После раскрытия скобок
+ 00
Ф = -gjj- J Хф (со) cos cat — уф (со) sin otf] do> +
—00
+00
~t~~2jT i l^W^^ + yoHcosw^o). (551)
■—00
При подстановке р = ш собственный оператор САР распадается
на действительную часть с членами, имеющими четную степень со,
272

и мнимую часть с членами, имеющими нечетную степень со. В связи
с этим обобщенная действительная частотная характеристика Хф (со)
замкнутой САР имеет члены с четной степенью со, а обобщенная
мнимая частотная характеристика Цф (со) — члены с нечетной степенью
со. Поэтому Хф (— со) = Хф (со) и Уф (— со) — — уф (со).
Известно, что sin (—со/) = —sin со/ и cos (—со/) = cos со/,
следовательно, сумма Хф (со) sin со/ + Уф (w) cos со/ является нечетной и
ее интеграл в пределах от —оо до +сю равен нулю, а выражение
(551) принимает вид
+00
Ф = ~2^- J [*ф (со) cos со/ — уф (со) sin со/] dco. (552)
—оо
До возмущения при / <0 САР находится в состоянии равновесия
(ф = 0), поэтому
] [-Хф (ю) cos со/ + уф (со) sin со/] Ло = О,
—оо
откуда
Хф (со) cos со/ = —Уф (со) sin со/. (553)
С учетом выражения (553) интеграл (552) можно представить
в форме
+оо
Ф==— J Хф (со) cos со/ dco (554)
«—00
ИЛИ
Ф = — [ г/ф (со) sin со/ dco. (555)
•—00
Выражения (554) и (555) свидетельствуют о том, что переходный
процесс ф = / (/), который появляется в САР вследствие возмущения
при / = 0, в течение всего переходного процесса (/ > 0) полностью
определяется вещественной или мнимой обобщенными частотными
характеристиками замкнутой САР.
Как уже отмечалось, переходные процессы САР при оценке их
динамических качеств строятся, как правило, при типовых
возмущающих воздействиях. К числу таких воздействий относится
единичное ступенчатое. В этом случае при / <0 воздействие а0 = 0, при
/ > 0 воздействие а0 = а0о = const.
Ступенчатое единичное воздействие определяется выражением
(392). Элементарная составляющая единичного ступенчатого
воздействия имеет вид
da°<=^-^dco- <556)
Элементарная составляющая переходного процесса, найденная
через АФЧХ замкнутой САР и соответствующая элементарному
273

единичному ступенчатому воздействию в соответствии с формулой
(398), может быть определена из соотношения
dcpo) = W (ш) da0t
или с учетом выражения (570)
d^^W^^^dco. (557)
Для получения результирующего переходного процесса
выражение (537) следует проинтегрировать, тогда
Так как
то
—00
Выражение (572) можно сравнить с выражением (401). Так как
Ф(ш) = хф (со) + Ч/ф (ю),
то
y^^-J^L; ^M^JbgL; (559)
в связи с этим выражения (554) и (555) соответственно примут вид
_i_ rjwp_C0S(i)td
т Jl J CO
—оо
т Я J СО
—оо
Подынтегральные функции этих формул являются четными (при
смене алгебраического знака со их алгебраический знак не меняется),
поэтому результат подсчета не изменяется, если вместо пределов
интегрирования от —оо до +оо использовать пределы от 0 до +оои
значение интеграла удвоить:
+00
ф==Л J Je^L cos cot dco; (560)
о
+00
ff = }( -^Lsinco/dco. (561)
0
274

рис. 152. Вещественная частотная ха- xw(cj)
рактеристика замкнутой CAP -
Таким образом, для
построения переходного процесса САР
можно воспользоваться
вещественной (кривая // на рис. 119)
или мнимой (кривая /// на
рис. 119) частотными
характеристиками замкнутой САР.
С помощью полученных результатов можно построить
приближенную картину переходного процесса. Существует несколько
методов решения этой задачи. Рассмотрим метод замены действительной
вещественной частотной характеристики xw (со) = / (со) замкнутой
САР участками прямых 1—2, 2—3, 3—4 ... с различными наклонами
(рис. 152).
В этом случае интеграл (561) определяется по участкам.
Например, на участке 2—3 текущее значение xw (со) можно найти из
уравнения прямой линии:
x^) = xw(^) + >{y-XoT{(02) ("-«%)•
(562)
Подстановка выражения (562) в интеграл (561) приводит
последний к виду
0)3
<Р2-3=— J [^W +
Xw (Щ) — *w (Щ)
(со- со2)]
sin со/
со
day
или
ф2-3:
4Я
xw (со2) со3 -~ xw (со3) со2
0),
, XW((D3)— Xw(to2)
» со3 — со2
со3 —соа
sin со/
(О
dec.
Следовательно, искомый интеграл распадается на два интеграла
0)$
= 2 xw((d2)(d3 — xw((d3)(d2 Г sin со/ , .
^2-3 JC С03 —С02 J СО ~*~~
После интегрирования
Ф2-3
I 2 xw (co3) - xw (co2)
ро:
2 xw (со2) со3 -- xw (со3) соа
0)2
sin со/ dco.
2 xw (co3) — xw (co2)
[sin (co30 — sin (co20I
cos co3/ — cos co2/
/ •
(563)
275

Так как / должно быть задано, второе слагаемое выражения (563)
определяется обычным способом. В первом слагаемом в результате
интегрирования появилась разность интегральных синусов
Si Ы) = J ™gL *»; Si Ы) = }' -*£- dco,
о о
значение которых можно найти по графику, изображенному на
рис. 153.
Аналогично можно найти интегралы ф!_2; Фз-4; Ф4-5 ... и для
других прямолинейных участков (см. рис. 152), тогда для выбранного
значения времени /
ф = Ф1-2 + Ф2-3 + ФЗ-4 + Ф4-5 + ' * *
Число участков должно быть выбрано так, чтобы величина xw (со)
на последнем участке была достаточно малой и на последующих
участках не превышала этого малого значения.
Изложенный способ приближенного расчета переходного
процесса удобен тем, что освобождает расчетчика от необходимости
определения корней характеристического уравнения, начальных
условий и констант интегрирования. Точность расчета повышается
по мере увеличения числа отрезков прямых, заменяющих
вещественную частотную характеристику САР.
Расчет и построение переходного процесса с помощью
вещественной (или мнимой) частотной характеристики САР можно существенно
облегчить применением типовых трапецеидальных частотных
характеристик. При замене действительной вещественной частотной
характеристики прямолинейными отрезками (см. рис. 152) вся площадь,
заключенная между осями координат и частотной характеристикой,
разбивается на ряд трапеций. В частном случае трапеция может
принять вид треугольника.
Так, вещественная частотная характеристика, показанная на
рис. 154, а, может быть представлена в виде треугольника 3—5—4
и двух трапеций (4—6—7—1 и 2—9—8—1), причем ординаты
треугольника 3—5—4, дающего избыточную площадь частотной
характеристики, должны быть взяты с отрицательным знаком.
Пусть, например, один из участков вещественной частотной
характеристики заменен отрезком прямой АВ (рис. 154, б),
образовавшим треугольник ОАВ. В этом
случае текущее значение высоты
треугольника, соответствующее
частоте о, определяется
соотношением
Д*ш ((о) = bxw (соА) (1 — со/соЛ).
„--- „ Рис. 153. Характеристика интегрального си
Q 7 2 3 f J fut Hvca
276

Рис. 154. Замена вещественной частотной характеристики замкнутой САР двига-
теля трапецеидальными частотными характеристиками
Подставляя это соотношение в формулу (561), получим
Фь
Л А
2 г Axw(a) , 2 А . ч С sin©/ -
= -^г —/ч sin со* do> = —- Д* ((оА) | —-— а© —
ясол
h*w (®а) J sin (ot dor,
после интегрирования
фд = 4"А^ ^) [ si ^ ~~ ik? ^ "" C0S щ^] *
Если в полученное выражение ввести новую переменную т? =
= <М, то
фЛ = — kxw (©л) [si т — (1 — cos т)/т].
После введения обозначения
2
Лт = — [si т — (1 — cos т)/т]
я
формула (564) будет иметь вид
ФЛ = £iXw (o)A) Лт.
(564)
(565)
(566)
277

Интеграл Лт зависит только от одного параметра т, поэтому
значения его можно подсчитать заранее для определенных значений
т. Эти значения сведены в специальные таблицы [15,17,20]. Наличие
таких таблиц облегчает расчет q>h для треугольного участка частотной
характеристики.
Аналогичным образом можно подсчитать интеграл применительно
к трапеции (рис. 154, в). Действительно, трапецию АВКО можно
разделить на прямоугольник высотой Axw (со,?() и треугольник.
В связи с этим интеграл (561) определяется в виде суммы двух
интегралов
Из рис. 154, в видно, что
&xw (со) = C±xw (com) *ъ-ат '
поэтому интеграл принимает вид
>Р* = Фа (0 = — &xw (cow) si (com/) +
2 <ph Axw (com) г sin Ш jm 2 Axw (com)
я coA —com J
я щ — a>m J
После введения коэффициента наклона стороны трапеции и
интегрирования
/Л 2 Axw((um) Г . . . . , cos со»^ — cos x®t{t I
Ф*(0=1Г 1-v [si<Pfc<-vsivcofcf + ^ ^-J.
Введя безразмерное время т, получим
/А 2 Ахш(сот) Г . . cost —cosvt 1
Ф*^"— Г-v [siT-vsivT+ 5 Г
Пусть
* 2Г. . , COST —COS VT I /1-^-74
ftv* = n(\-v) [ sl т - v S1 VT H x J ' (567)
тогда
<Ph(f) = bxw(<om)hvx. (568)
Выражение (567) называют типовой трапецеидальной частотной
характеристикой. Ее значение зависит только от выбора
безразмерного времени т и коэффициента наклона v. Если задаться значениями
v и т, то величину ftvT, соответствующую выбранным v и т, можно
подсчитать заранее. Этим воспользовались для составления
специальных таблиц значений hv% для различных сочетаний v и т [20].
Значение <pft (t), соответствующее рассматриваемой трапеции, определяется
в виде произведения (568), где Axw (com) — высота трапеции.
Соотношениями (566) и (568) можно воспользоваться для построения
переходного процесса.
278

Простота метода обусловила его широкое применение при
расчетах переходных процессов, описываемых дифференциальными
уравнениями высокого порядка. По виду обобщенных частотных
характеристик можно судить о характере переходного процесса: его
монотонности, перерегулировании и т. п.
9. ПЕРЕХОДНЫЙ ПРОЦЕСС ПРИ ВОЗМУЩАЮЩЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
При исследовании динамических свойств САР обычно используют
типовые возмущающие воздействия (см. рис. 7). Однако иногда
оказывается необходимым выяснить реакцию системы на возмущающее
воздействие произвольной формы. В решении этой задачи может
помочь уравнение САР, записанное в соответствии с преобразованием
Лапласа в форме (519), причем а0 (/) — возмущающее воздействие на
САР, определенным образом зависящее от времени (рис. 155). Эту
зависимость можно представить последовательной совокупностью
импульсных возмущающих воздействий длительностью Atj каждое и
воспользоваться одним из свойств дельта-функции (26), в соответствии
с которым интеграл от произведения некоторой функции а0 (t) на
дельта-функцию б (t — t0) всегда дает значение этой функции при
t=t0:
J a0(t)8(t-t0)dt = a0(t0).
—сю
Действительно, дельта-функция равна нулю при всех t9 кроме t0>
а при t = t0 дает единицу. В связи с этим пределы интегрирования
можно сузить до бесконечно малых отклонений ±А от t0. В этом
случае
J a0(t)8(t-t0)dt = a0(t0) J 8(t-t0)dt = a0(t0),
/о-А *о-Д
так как
*о+Д
J 8(t-t0)dt=l.
t0—Д
Площадь каждого импульса длительностью Д(/ можно представить
в виде произведения
a0(tj)&tj8(t-tj), (569)
тогда интеграл функции а0 (t) можно представить в виде суммы
+00 /=+Л
J а0 (0 dt = 2 <*о (tj) А^б (/ - tj).
—00 /==—П
В приведенных выражениях 8 (t — tj) — дельта-функция при
= //, 2п — число участков, на которые разбит интервал времени,
в течение которого действует функция а0 (t) (см. рис. 155).
279

CCo(t)
«SI
i
At5
At4
At3
At2
At,
\
At§
Atj
At,
At3
Ai4
\
t
!
i
-^.
iLs t-t t.j t.z t-i tD t\ t2 tj t<f tf
5 4 3 2 10 12 3 4 5
Рис. 155. Разложение
возмущающей функции произвольной формы
на составляющие импульсы
Дифференциальное
уравнение (519) является
линейным, поэтому к нему может
быть применен принцип
суперпозиции. В соответствии
с этим принципом
переходный процесс, вызываемый
сложным возмущением а0 (/), можно рассматривать в виде
совокупности переходных процессов, вызванных каждым импульсом.
Так, если единичный импульс б (t—tj)f воспринятый системой
в момент t = tj, порождает переходный процесс (импульсную
переходную функцию) фп (/ — tj), то импульс вида (569) вызовет
переходный процесс с ординатами в [а0 (tj) Afy] раз большими, т. е.
Аф (/) = а0 fa) Mj<pn (t - tj).
Все эти импульсы действуют на систему последовательно со
сдвигом на А/;, поэтому результирующий переходный процесс
ф(0=/ЕЛсхв(0)А</Р«('-0)-
Точность выражения будет повышаться по мере увеличения п и,
уменьшения А^. В пределе при A/j -» 0 и п ->♦ со, поэтому
-f-oo
ф(/)= j ao{tr)qn{t — tn)dtny
где tn — моменты приложения импульсов.
Так как при t <<tn CAP возмущающего воздействия не получила
и работает на установившемся режиме, функция фЛ (/ — tn) =
= 0. Это дает возможность изменить пределы интегрирования
Ф (/) = J a0 (/„) фЛ (t - tn) dtn.
В качестве новой переменной в полученном выражении можно
принять т = / — tn, откуда tn = t — т; dtn = — dx.
о
В этом случае ф (/) = — J а0 (/ — т) ф„ (т) dx или после пере-
—со
мены знака перед интегралом
00
Ф(9 = {ав(*-т)фя(т)Л. (570)
о
Таким образом, если для исследуемой САР известна функция
веса фЛ (т), то переходный процесс ф (/), возникающий вследствие
действия на систему сложного возмущающего воздействия а0 (t — т),
можно определить с помощью интеграла (570).

ГЛАВА X
СИНТЕЗ САР
1. СИНТЕЗ САР ПО УСТОЙЧИВОСТИ
Под синтезом понимают определение структуры САР и значений
параметров ее элементов, обеспечивающих выполнение заданных
требований: статической точности поддержания регулируемой
координаты, устойчивости системы регулирования, качества работы системы
регулирования.
Каждое последующее требование является и более общим и более
сложным, и выполнение последующего требования может быть
правомерным только в том случае, если все предыдущие требования уже
выполнены. Например, обеспечением устойчивости системы
регулирования следует заниматься только тогда, когда заданные значения
параметров статики (степени неравномерности, степени
нечувствительности) уже получены. Часто при синтезе САР используют только
первое требование, реализуемое в результате статического расчета
параметров регулятора. Устойчивость системы регулирования и
качество ее работы оценивают методами анализа, изложенными в
предыдущих главах.
Синтез САР чаще всего осуществляют при условии
предварительного задания части структуры системы и параметров ряда элементов.
Объясняется это тем, что в большинстве случаев известен сам
регулируемый объект, а следовательно, известны его дифференциальные
уравнения (77), (81), (84), (96) и параметры, в качестве которых могут
быть приняты коэффициенты Т2о2, Тои /с£, к% и др.
Кроме этого, может оказаться известной (заданной) требуемая
точность поддержания значения регулируемой координаты при
установившихся режимах, что может обусловить структуру
автоматического регулятора, необходимую для данного объекта регулирования.
Действительно, если требование к системе регулирования допускает
достаточно большой положительный статизм, то можно предположить
возможность применения автоматического регулятора прямого
действия. От такого регулятора следует отказываться только в том
случае, если перестановочные усилия, необходимые для органа
управления, будут слишком большими, приводящими к значительным
габаритным размерам чувствительного элемента. В этих условиях вместо
регулятора прямого действия следует использовать регулятор
непрямого действия с жесткой обратной связью. Иногда для объекта
регулирования требуется нулевой статизм (нулевое значение степени
неравномерности). Это требование можно выполнить только с
помощью изодромного автоматического регулятора.
При параллельной работе нескольких регуляторов приходится
использовать автоматические регуляторы непрямого действия с ком-
281

бинированной обратной связью, обеспечивающей определенный
остаточный статизм (остаточную неравномерность).
Таким образом, анализ условий, вызывающих необходимость
установки автоматического регулятора, и требований, предъявляемых
к этим регуляторам в процессе работы, во многих случаях позволяет
выбрать тип регулятора и, следовательно, его структуру, записать
его дифференциальное уравнение. После этого известной оказывается
вся структура САР, и следует определить лишь часть параметров
автоматического регулятора.
Точность поддержания заданного значения регулируемой
координаты на установившихся режимах обеспечивается методами
статического расчета регулятора, в процессе которого определяются
необходимые перестановочные усилия, прикладываемые к органам
управления, требуемые значения поддерживающей и
восстанавливающих сил в чувствительном элементе, жесткости пружин и т. п.
Таким образом, в результате статического расчета определяют такие
параметры регулятора, которые обеспечивают заданные
установившиеся режимы системы. Другая часть параметров, влияющих на ее
динамические свойства, остается в этом случае невыявленной. К числу
таких параметров можно отнести силы гидравлического трения и,
следовательно, время катаракта Тк чувствительного элемента, время
изодрома Тиз и др.
Значения этих параметров должны быть определены так, чтобы
САР была по крайней мере устойчивой при других значениях
параметров, определенных статическим расчетом. Эта задача решается
с помощью построения областей устойчивости методом D-разбиения.
Построение областей устойчивости по одному параметру
Коэффициенты характеристического уравнения, например вида
Р* + у\'Р3 + ХР2 + \р + 1 = 0, (571)
можно рассматривать в качестве осей координат некоторого
пространства. В этом случае коэффициенты уравнения (571) дают
обычное трехмерное пространство (рис. 156). Расположение изображающей
точки А в этом пространстве зависит от значения и знака
коэффициентов характеристического уравнения. Однако совокупность всех
коэффициентов характеристического
уравнения определяет значение и знаки всех
его корней. В этом смысле
расположение точки А в пространстве определяется
значением и знаками корней
характеристического уравнения ръ p2i p3> ...
Если все корни характеристического
уравнения с коэффициентами, соответст-
Рис. 156. Движение изображающей точки в
пространстве коэффициентов характеристического
уравнения
282

вующими точке Л, располагаются в левой полуплоскости, то точка Л
принадлежит области сходящихся переходных ^процессов
устойчивой системы.
Перемещение точки А в пространстве (Ль Л2, Л3, ...) жестко
связано с изменением коэффициентов характеристического
уравнения и, следовательно, с перемещением корней этого уравнения на
плоскости корней. Если в процессе движения один из корней
характеристического уравнения пересечет мнимую ось (см. рис. 127) и
попадает в правую полуплоскость, точка А из области сходящихся
процессов (на рис. 156 эта область заштрихована) перейдет в область
расходящихся процессов, например в точку Ль и, следовательно,
пересечет некоторую граничную поверхность, разделяющую области
сходящихся и расходящихся процессов в рассматриваемом
пространстве. Очевидно, что точка А будет попадать на границу Лгр между
указанными областями каждый раз, когда один или несколько корней
характеристического уравнения попадают на мнимую ось. Этот момент
соответствует появлению чисто мнимых корней /со
характеристического уравнения.
Точка А переходит границу не только тогда, когда первый корень
пересекает мнимую ось, но и тогда, когда в правую полуплоскость
перемещается второй корень характеристического уравнения. Точка
А из положения Лх переходит в положение Л2, т. е. одна из границ
пересекается точкой А каждый раз, когда число корней в левой
полуплоскости (см. рис. 127) изменяется.
Следовательно, получающиеся таким образом границы на рис. 156
разделяют все пространство на области с определенным числом
корней в левой полуплоскости. Если порядок уравнения /г, а корней слева
от мнимой оси k, то одна из областей может быть обозначена символом
D (k\ п — &), где k — любое целое число (п < k < 0). В частности,
при k = п эта область D (л; 0) будет областью сходящихся
процессов, т. е. областью устойчивой работы САР (на рис. 156
заштрихована). Выделение в пространстве областей D (k\ п — k) называется
£>-разбиением.
Единственным признаком нахождения точки А на одной из
границ D-областей является наличие среди корней характеристического
уравнения мнимых корней р = /со. Этим и можно воспользоваться
для построения искомых границ.
Если координату /со мнимой оси (см. рис. 127) плоскости
расположения корней считать переменной величиной, причем со может
изменяться в пределах от — сю до + сю, то при изменении величины со
от —оо до +оо некоторая изображающая точка будет двигаться по
мнимой оси внизу вверх. Аналогично выполняется иЬ-разбиение.
Для этого в характеристическое уравнение следует подставить все
известные параметры как регулируемого объекта, так и регуля-
тора, за исключением неизвестного (исследуемого) параметра,
которому ниже присваивается символ К. Пусть в уравнении (571)
неизвестным является % (% = А,), тогда
Р4 + урр3 + V + %р + 1 - 0
283

или
Q (р) + KB (p) = 0. (572)
Здесь Q (р) = р4 + г|)р3 + tp + 1; В (р) = р\
Далее в характеристическое уравнение подставляют граничное
условие наличия корней на мнимой оси в виде /) = ши отыскивают X:
Я = —Q (ш)/В (ш). (573)
Полученное число является комплексным, поэтому
X = и (со) + /и (со), (574)
где и (со) и v (со) можно рассматривать в качестве координат точки
на плоскости комплексного переменного при заданном значении со.
При изменении со от —оо до +оо конец вектора К описывает
годограф, который при некоторых значениях со должен пересекать
действительную ось плоскости. Так как в результате исследования должны
быть выяснены пределы изменения действительных значений к,
удовлетворяющие условиям устойчивости работы системы, то точки
пересечения годографа с действительной осью необходимо строить
особенно тщательно.
Следует отметить, что в выражение и (со) параметр со входит в
четной степени, а в выражение v (со) в нечетной. Поэтому достаточно
выполнить построение в пределах от 0 до +оо, а затем дополнить
полученную кривую зеркальным отображением относительно
действительной оси.
После построения границ необходимо выяснить, какая из
областей является областью сходящихся процессов. Для этого удобно
использовать правило штриховки. При движении вдоль мнимой оси
плоскости корней снизу вверх по мере изменения со от —оо до +оо
полуплоскость отрицательных действительных корней или
комплексных сопряженных корней с отрицательной действительной частью
всегда остается слева от движущейся точки. На левую сторону
мнимой оси принято наносить штриховку, как это показано на рис. 127.
Так как граница между D-областями является по существу
отображением мнимой оси плоскости корней, то правило штриховки для
нее остается таким же, как и для мнимой оси. В этом случае
необходимо мысленно двигаться от конца годографа, соответствующего со =
= — оо, к концу, соответствующему со = +оо, нанося штриховку
с левой стороны границы по направлению движения.
Пересечение границы с переходом со стороны, имеющей
штриховку, на сторону без штриховки соответствует перемещению одного
из корней из левой полуплоскости корней в правую.
Пусть, например, переходные процессы системы автоматического
регулирования описываются уравнением (348). Тогда
характеристическое уравнение имеет вид выражения (571). Можно предположить,
что коэффициенты i|) и £ известны, а коэффициент % следует подобрать
так, чтобы система была устойчивой.
284

рис. 157. Построение областей устойчивости методом D»
разбиения
После введения обозначения % = X
характеристическое уравнение (571) преобразуется к
виду уравнения (572). В соответствии с
выражением (573)
К = (1 + о)4)/о)2 + / (С — 1|)со2)/со, (575)
следовательно,
и( со) = (1 + со4)/со2; v (со) = (С—^со2)/о>. (576)
Задаваясь различными значениями со в
пределах от — оо до + оо (или от 0 до +оо) и
подсчитывая и (со) и v (со) по формулам (576),
можно построить кривую (рис. 157),
представляющую собой границу устойчивости. В данном случае граница
устойчивости оказывается совокупностью двух ветвей, из которых
одна получается при изменении со от —оо до 0, другая — от 0 до
4-е». Штриховка нанесена в соответствии с описанным выше
правилом.
Обе ветви кривой пересекают действительную ось в точке,
которая находится из условия v (со) = 0. Следовательно, со = у/ £Л|).
Подстановка полученного значения в первое выражение (576) дает
и (со) = (? + Ш№.
Так как для практики интерес представляют лишь
действительные значения X, то необходимо рассмотреть значения К = и (со) в
области сходящихся процессов:
X = К « и (со) = (£2 + i|)2)/(i|)Q,
откуда
Ш - г|>2 - £2 = 0.
Полученное уравнение дает границу между областями
сходящихся и расходящихся переходных процессов (см. п. 4 гл. VIII).
Штриховка границы показывает, что область значений х,
обеспечивающих сходимость переходного процесса, располагается справа от
точки, получающейся при со = УУ^р. Значения и (со) в этой области
соответствуют условию X > (С2 + ггУОЮ или &СФ — *|>2 — £2 > 0,
которое можно получить с помощью детерминанта Гурвица.
С помощью D-разбиения можно подобрать значение не только
коэффициента характеристического уравнения, но и любого
параметра системы регулирования. Пусть, например, динамические
свойства САР характеризуются дифференциальным уравнением (322)
с коэффициентами (316). Предположим, что в данной САР известны
все параметры, кроме параметра Г2,, характеризующего
инерционность чувствительного элемента. Следовательно, надо подобрать
такое значение этого параметра, которое при заданных значениях
всех остальных параметров системы обеспечивало бы ее
устойчивость.
285

Обозначим
п =%.
Характеристическое уравнение
А3р3 + А2р2 + Агр + А0 = О
с учетом развернутых выражений коэффициентов (316) получит вид
W + (Ь + Т0Т„) Р2 + Агр + А0 = О,
откуда при р = ico
(А0 — ГоГкО)2) + /соЛ!
со2(1+ tcor0)
Умножив и разделив полученное выражение на разность (1 —
— /о)Г0), можно получить
{Ax-A0To) + ^TJl
Х=.
Л0 + <**Т1
0J2 (1 + <й*Т%)
Следовательно,
Л0 + ш2Г2
и (со) = -
со2 (1 + <о2Г2)
+ *■
»(©) =
со (1 + со^Г2)
со (1 + со2Г2)
В выбранном примере форма областей устойчивости зависит от
алгебраического знака разности
А1-А0То = (То + Тк)-(1+к)То = Тк-кТо,
где
К — /Ср /Cq '
Если А± — А0То > 0, т.е. силы гидравлического трения (Гк),
действующие в регуляторе, велики, то при со -> ± оо как а (со),
так и v (со) стремятся к нулю. При со ->- + 0 и (со) -*- + оо и v (со) -*-
-> + оо, а при со -> —0 w (со) -> + оо, а и (со) -> —оо. Таким
образом, в этих условиях (рис. 158, а) САР будет устойчивой, если 7р >
> 0. Если Аг —А0То <0, т. е. силы гидравлического трения малы
Тк <1кТ0у то при со -* +0 и (со) -* +оо и v (со) -> —оо; при со ->
->—0 и (со) -> +оо и и(со)->+оо; при со -> ± оо а (со) -> +0,
а у (со) ~> =F 0.
При со = ±^(А0То - Аг)/(ПТК)
v (со) = 0; и (со) = Т0ТК (Т0 + Тк)/(кТ0 - Гк).
Нанесение штриховки на годограф (рис. 158, б) показывает, что
при выбранных условиях САР будет устойчивой, если
0 < П < ToTRTo + Тк)/(кТ0 - Гк).
Это условие нетрудно получить с помощью детерминанта Гурвица.
iV6oh
Рис. 158. Построение областей
устойчивости системы третьего порядка
по Ц:
а — при Лх — А0То > 0; б — при Ау —
286

Таким образом, методом D-разбиения всегда можно так подобрать
значение недостающего параметра, чтобы устойчивость САР ^была
обеспечена.
Построение областей устойчивости
в плоскости двух параметров
Для построения области устойчивости в плоскости двух
действительных параметров Хх и i2 характеристическое уравнение надо
представить в виде
KS (р) + KQ (Р) + В(р)= 0. (577)
Например, если в уравнении
(Г0р+1)(7>Ч-7> N) + /c = 0
известны все параметры, кроме Тк и Т2,, то Я,х = Т\ и %2 = Тк, тогда
S(р) = (Г0р + 1)р2; Q(р) = (Т0р +1)р; В (р) = 7> + 1 + /с.
После подстановки р = /со уравнение (577) примет вид
^S (/со) + KQ (щ) + В (/со) = и (со) + iv (со) = 0.
Для выполнения этого равенства необходимо, чтобы и (со) = 0
и v (со) = 0. Каждое из этих уравнений по аналогии с уравнением
(577) можно представить в виде
и (со) = ki.Si (со) + a.2Qi (со) + 5Х (со) = 0;
v (со) = KS2 (со) + A,2Q2 (со) + В2 (со) = 0.
В соответствии с рассмотренным выше примером
S (/со) = —со2 (1 + шТ0);
Q (/со) = со (/ — соГ0);
В (/со) = (1 + k) + шТ0.
Следовательно,
St (со) = -со2; 52 (со) = -7>*; Qx (со) = -со270; |
Q2 (со) = со; By (со) = 1 + к; В% (со) = Т0 (со). J ( '
Для заданного значения со величины ^ и %а можно найти из
выражений
|-Bi(co) Qi(a>)[
<?i (со) В2 (со) — Q2 (со) Bt (со).
Sx (со) Q2 (со)
(578)
^
-В2(со) <?з(со)
Si (со) Qi (со)
S2 (со) Q2 (со)
St (со) -В2 (со)
5а(со) -В2(со)
Si (со) С?! (со)
S2 (со) Q2 (со)
5i (со) S2 (со)
•?i (со) <?2 (ш) -
■ S2 (со) Qt (со) '
- В2 (со) Si (со)
■ Sa (со) Qt (со)
(580)
287

Подстановка выражений (579) в выражение (580) приводит последний
к виду
^ = J- [1 + k/(l + со2П)]; К2 = кТ0/(1 + со2П).
По этим формулам можно построить искомую граничную кривую
А* = / (^i) при изменении со от —оо до +оо или, исключив из обоих
выражений со2, найти непосредственную связь между %2 и %х в виде
зависимости
%г = Т0Х2 (Т0 + 12)/(кТ0 - Х2).
Задаваясь рядом значений к2, нетрудно найти соответствующие
значения Кг и таким образом построить граничную кривую (на
рис. 159).
Для некоторых значений со тот или иной детерминант выражений
(580) может обращаться в нуль. Это значит, что одно из уравнений,
и (со) = 0 или v (со) = 0, является следствием другого. При этом на
плоскости (Кг; К2) при указанном значении со вместо точки получается
прямая и (со) = 0 или v (со) = 0. Эти прямые относятся к числу
особых. Чаще всего это имеет место при со == 0 или со = оо.
Правило штриховки границы К = f (К)у точки которой получены
при различных значениях со, отличаются от предыдущего. При
нанесении штриховки необходимо следить за алгебраическим знаком
детерминанта
Si (со) Qi(co)
52(со) Q2(co)
При изменении со от —оо до +оо штриховку наносят слева, если
А >0, и справа, если А <<0.
В рассмотренном примере А = —со3 (1 + co2Tg). Поэтому при
со <J0 детерминант А > 0, и штриховку наносят слева (по мере роста
со от —оо до 0). При со > 0 детерминант А < 0, и штриховку наносят
справа, как это показано на рис. 159. Расположение границы
устойчивости свидетельствует о том, что по мере увеличения
инерционности чувствительного элемента Т\ устойчивость САР можно
обеспечить только при соответствующем увеличении сил гидравлического
трения, действующих в регуляторе. На особые прямые тоже наносят
штриховку, но так, чтобы при уже заштрихованной границе К2 =
= / (М внутренний угол, образующийся от пересечения прямой и
кривой, был заштрихован полностью.
Если детерминант А обращается в нуль при некотором значении
со, а при больших и меньших его значениях знак детерминанта не
меняется, прямую не штрихуют совсем.
Таким образом, D-разбиение сводится к
определению числовых значений одного или
2 Рис. 159. Построение области устойчивости в плоскости
J2J двух параметров Хх = т£ и Х2 = Тк системы третьего
порядка при Т0 = 1 с и k = 0,4
А =
288

двух параметров при условии обеспечения устойчивой работы
синтезируемой системы с заранее заданными значениями всех других
параметров или коэффициентов.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ КРИТЕРИЕВ КАЧЕСТВА
Методы определения параметров регулятора, рассмотренные
выше, были основаны на обеспечении устойчивой работы САР. Однако
во многих случаях устойчивость — требование к САР необходимое,
но не достаточное. Система должна быть не только устойчивой, но
и иметь определенное качество. Для решения поставленной задачи
разработан ряд методов. Один из этих методов основан на
применении интегральных критериев качества.
В соответствии с этим методом параметры регулятора определяют
из условия получения минимального значения интегрального
критерия качества. Пусть, например, поставлена задача создания
автоматического регулятора прямого действия. Если допустить, что
инерционность регулятора мала (Т£ ^ 0), а объект регулирования
обладает отрицательным самовыравниванием (F0 <0), то
переходные процессы САР при а0 = ар = 0 будут описываться линейным
дифференциальным уравнением второго порядка
Л^ + А^ + Ао^О
с коэффициентами
А% = Т0ТК; Аг = Т0 - Гк; А0 = к - 1. (581)
Разрабатываемый автоматический регулятор должен обеспечить
высокое качество работы системы регулирования, при котором
площадь, ограниченная переходным процессом и осью абсцисс,
должна быть минимальной, т. е. минимальным должно быть числовое
значение одного из интегральных критериев качества. Например,
второй интегральный критерий качества для выбранной САР можно
привести к виду (483), где
аг ^1 2. гт Ао 2
если в качестве начальных условий принять <p = <p0 и (-тр) =
= v0 = 0. В этом случае формула (483) приводится к виду
J2 = (AilA0 + A2/Ai)<tl/2
или после подстановки развернутых выражений (581) для
коэффициентов к виду
J2 = [(Го - Тк)/(к - 1) + (Т0ТК)/(Т0 - Тк)] ч*'2. (582)
Пусть, например, в выражении (582) известны значения всех
параметров, кроме Тк. Переходный процесс в такой САР можно
считать наилучшим, если с помощью соответствующего выбора значения
Ю в. и. Kdytob и др. 289

времени катаракта Тк будет выполнено условие —' ^ к* = 0.
Подстановка в него выражения (582) приводит к уравнению
П-2ТоТк + П(2-к) = 0,
решение которого имеет вид
Следовательно, при выбранных условиях /2mln возможно только при
к > 1.
Интегральный критерий качества можно использовать и в тех
случаях, когда необходимо определить два параметра регулятора,
в совокупности обеспечивающих J2mm- Если в качестве таких
искомых параметров выбрать Г£ и Тк, то для получения /2mln
необходимо выполнить одновременно два условия
dh(jK; T\) dJ2(TK; Т\) п
дТн ~U* дТ2 *
р
приводящих к двум уравнениям. Задача может быть решена при
условии, что полученные таким образом уравнения имеют совместное
решение.
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛЯТОРА
ПРИ ЗАДАНИИ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ
Степень устойчивости а (см. п. 2 гл. IX) САР характеризует
время переходного процесса: чем меньше ее числовое значение, тем
больше время переходного процесса. Следовательно, задавая
числовые значения степени устойчивости, можно предопределить
динамические свойства САР по времени переходного процесса, если в
соответствии с этим условием выбрать значения параметров регулятора.
Регулируемый объект при этом принимают заданным.
Поставленную задачу можно решить методом D-разбиения при
а = const. Пусть дифференциальное уравнение САР имеет вид
3 di* ' 2 dt2 * х 1?Г ' ° Р —
Если САР устойчива, то все корни характеристического
уравнения
А3р3 + А2р2 + Агр + А0 = 0 (583)
должны располагаться в левой полуплоскости (см. рис. 127). Как
уже отмечалось, для обеспечения не только устойчивости системы,
но и определенного ее динамического качества необходимо задать
значение степени устойчивости а. Требуемое качество работы САР
будет обеспечено, если все корни характеристического уравнения
такой системы будут располагаться не только в левой полуплоскости,
но и левее значения а.
290

Характеристическое уравнение (583), написанное относительно
оси ординат, смещенной на а влево, получит вид
А3 (р -а)3 + А2(р- а)2 + Ах (р - а) + А0 = 0.
После раскрытия скобок
р3 + В2р* + Вгр + В0 = 0,
где
В2 = Аъ/Аэ — За;
В, = AJA3 - 2 (Л2/Л3) а + За2;
Во = А0/А3 - (AJAJ а + (Л2М3) а2 - а3.
(584)
(585)
Пусть в рассматриваемой САР подобрСлы все параметры объекта
регулирования и автоматического регулятора, кроме одного,
например коэффициента усиления к. В этом случае к = X, и
коэффициенты (316) примут вид
Аг=Т0Т2р; А2 = Т0ТК + Т2Р; А{ = Т0 + ТК'У А0=1+Х.
Подстановка этих выражений в формулы (585) приводит последние
к виду
Ь = %-За-. В1 = %-2(%)а + Э*;
Аз Аз Аз
а*.
С учетом полученных выражений коэффициентов
характеристическому уравнению (584) можно придать вид
X = -А, (р3 + В2р2 + BlP + m0),
1
Al
U,
а-
а*
где то = ___^а + _Лз
Для осуществления £>-разбиения по параметру к = X необходимо
произвести подстановку условия границы устойчивости р = ш,
тогда после некоторых преобразований найдем
X = и (со) + iv (со).
Здесь
и(со) = Л3(В2со2-т0); \
о(©) = Л8а)(а)а-В1). J (&№'
Пусть, например, Г0 = 1 с; Г£ = 10"3с2;
Тк = 0,04 с. В этом случае А3 = 10"3 с3;
Рис. 160. Диаграмма D-разбиения по коэффици-
: задан]
const
енту усиления к = к* к% при заданной степени
устойчивости а
*
\
,
1
iVQ i
~А
' J
i I
'
:
-^
or=0
/ %v i g §
0,92
3* »
4l ^s^
(U 'o^
J?
< J7 * *
?
^ 4—-^
V^
5sS
10*
291

Л3 = 0,041 с2; Аг = 1,04; В2 = 41 — За; Вг = 1041 — 82а + За2 и
т0 = 1000 — 1040а + 41а2 —а3.
Задавая различные значения степени устойчивости а, можно
определить все коэффициенты формул (586). Например, при а = 0
(САР устойчива) и (со) = 0,041 со2 — 1; i/(co) = со (0,001 со2 — 1,041).
Если со = 0, то и (со) = —1 и v (со) = 0. Кроме того, v (со) = 0
при 0,001(о2— 1,041 = 0, откуда со = ±32,3. При этом значении
частоты и (о) = +41. Если 0,041 со2 —1=0, то и (о) = 0; со =
= ±4,94 и v (со) = ± 5,0.
В соответствии с полученными данными можно построить
границу D-разбиения при а = 0 (рис. 160). По мере увеличения а
границы возможных значений коэффициента усиления /с,
обеспечивающих заданное качество работы САР, постепенно сужаются.
Пользуясь изложенной методикой, можно определить диапазон
возможных значений других параметров регулятора при задании
числового значения степени устойчивости.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
ПРИ ЗАДАННОМ ПЕРЕХОДНОМ ПРОЦЕССЕ
Задание переходного процесса накладывает определенные
ограничения на расположение корней характеристического уравнения. Для
обеспечения качества работы САР необходимо выбрать, например,
наименьший корень так, чтобы он располагался в левой
полуплоскости (см. рис, 127) и по модулю был больше или равен желательной
степени устойчивости. Для ограничения колебательности переходного
процесса ограничивается значение мнимой части комплексных
сопряженных корней. Если известны числовые значения корней, то
коэффициенты дифференциального уравнения определяют в
соответствии с теоремой Виетта
(Р — Pi)(P — Р2) (р — Рз) = 0,
откуда
А2/А9 = — (/?! + р2 + /?3);
AJAZ = ргр2 + ргрз + р2рз\
А0/А9 = —ргр2рз.
По известным числовым значениям коэффициентов
дифференциального уравнения системы с помощью формул (316) можно
составить три уравнения для определения трех неизвестных
1 _А±_ 1 (А*_ J_\. Т _Т2(А^ J_\.
lf~ Az ~Т7\Л3 Го Г 1к~ Ур\ А3 ~ Го Г
*.ф _!_ / т т2 ^° 1 \
*D ~ ^г V ° р ~лГ /'
Зная начальные условия и корни характеристического уравнения,
можно построить контрольный переходный процесс и проверить
выполнение заданного качества работы САР.
Полученные таким образом числовые значения коэффициентов
дифференциального уравнения регулятора прямого действия далее
используют при его конструктивной разработке.
292

ГЛАВА XI
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВЫХ ЭВМ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАБОТЫ САР
1. СПОСОБЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Моделированием называется исследование свойств реальной
системы путем замены этой системы или отдельных ее элементов
некоторой моделью, по своим свойствам воспроизводящей свойства
реальной системы.
Моделирование нашло широкое распространение при разработке,
доводке и модернизации САР теплоэнергетических установок.
Использование моделей, заменяющих систему или часть ее,
существенно сокращает сроки разработки головного образца и
материальные затраты. Наличие модели, с достаточной достоверностью
воспроизводящей основные свойства системы или ее отдельных элементов,
позволяет выявить причины некачественной работы и наметить
рациональные пути модернизации.
Способы моделирования подразделяют на физические,
математические и смешанные.
Физическое моделирование выполняют на моделях одной
физической природы с исследуемым оригиналом. Физическая модель
позволяет исследовать даже те явления, аналитическое выражение
которых затруднительно или невозможно. Вместе с тем физические модели
дороги, трудоемки в изготовлении и требуют изменения конструкции
при изменении исследуемых параметров. Все это ограничивает
применение такого способа моделирования.
От этого недостатка свободен метод математического
моделирования, который основывается на идентичности дифференциальных
уравнений, описывающих процессы в реальной системе и в модели.
Методы математического моделирования обеспечивают
сравнительную простоту подготовки задачи к решению (в зависимости от
сложности модели), быстроту перехода от одной задачи к другой,
возможность введения переменных параметров и начальных условий,
позволяют изменять параметры исследуемой системы путем изменения
числовых значений коэффициентов дифференциальных уравнений
и т.д.
Математическое моделирование может осуществляться
построением прямых аналогий или с помощью аналоговых или цифровых
ЭВМ. В моделях первого типа используется аналогия между
явлениями различной физической природы, например аналогия между
механическими и электрическими явлениями и т. п. Так, переходные
процессы автоматического регулятора прямого действия под
влиянием внешнего воздействия <р описываются дифференциальным
уравнением (129).
29а

R
—a 1
„JL Рис. 161. Колебательный контур
i T
-v>^/-
Движение электрического заряда q в цепи (рис. 161) с
сосредоточенными параметрами L, R и С под действием внешней ЭДС £ (*)
описывается дифференциальным уравнением
CL-%L + CR£ + q = CE(t).
Идентичность уравнения (129) (при ар = 0) приведенному
позволяет путем соответствующего подбора параметров электрической
цепи изучать свойства автоматического регулятора.
Вместе с тем системы прямой аналогии обладают, как правило,
невысокой точностью, жесткой структурой и применимы лишь в
самых простейших случаях.
Динамические свойства САР теплоэнергетических объектов даже
при условии полной линеаризации всех нелинейных характеристик
элементов описываются линейными дифференциальными
уравнениями высоких порядков, что существенно затрудняет или делает
невозможным создание на их базе моделей прямой аналогии.
Указанные затруднения во многом можно преодолеть, если в
качестве технических средств математического моделирования
использовать аналоговые или цифровые ЭВМ.
Однако в ряде случаев (особенно при доводке опытных образцов
элементов системы регулирования) с помощью математических
моделей невозможно с достаточной точностью воспроизвести
динамические свойства того или иного элемента и его взаимодействие с
другими элементами системы. Кроме того, иногда не удается получить
приемлемую математическую модель технического устройства
аналитическим путем, и требуется проведение дополнительных натурных
испытаний элемента или части САР в целях получения данных для
составления математической модели. В таких случаях целесообразно
воспользоваться методами смешанного (полунатурного)
моделирования.
При полунатурном моделировании САР используют стенд,
включающий натурный (часто исследуемый) элемент, в то время как
остальная часть системы заменяется математической моделью,
реализуемой на вычислительной машине.
В качестве технических средств, реализующих математические
модели как отдельных элементов, так и всей САР, часто
используют аналоговые ЭВМ, основными преимуществами которых
являются простота подготовки задачи к решению, возможность
быстрой переналадки при изменившихся условиях задачи, высокое
быстродействие и возможность сопряжения с натурными элементами
системы.
294

2. ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ АНАЛОГОВЫХ ЭВМ
Аналоговые ЭВМ состоят из различных элементов, выполняющих
элементарные математические операции: сложение, вычитание,
умножение, деление, дифференцирование и интегрирование.
Основой решающего блока моделирующих машин является
электронный усилитель постоянного тока с глубокой отрицательной
обратной связью и большим коэффициентом усиления (ky ^ до 109).
Схему такого усилителя, называемого операционным (рис. 162, а),
можно рассматривать как замкнутую систему регулирования с п
входными координатами, которая автоматически поддерживает
нулевое напряжение в суммирующей точке 2- Входное напряжение
усилителя ug представляет собой сигнал ошибки.
Уравнение узловых токов рассматриваемой схемы имеет вид
к + it + is H Ь in = h + ig> (587)
где
*'i = ("i — ug)/Zn; i0 = (ug - wBbix)AZ0; h = ("2 — tig)/Z12\
ig = ugIZg\ in = (un-ug)IZln\ ивых = —V*- (588)
Здесь ilk, i0 и ig — токи соответственно во входных цепях, цепи
обратной связи и во входной цепи собственно усилителя; ulkt ug и
Ивых — напряжения соответственно во входных цепях, в
суммирующей точке 2 и на выходе усилителя; Zlft, Z0 и Zg — полные
сопротивления соответственно входной цепи, цепи обратной связи и входа
собственно усилителя.
При ограничении значения входного напряжения и достаточно
большом значении коэффициента усиления ky величиной ig можно
пренебречь.
Подставляя соотношения (588) в уравнение (587), определяют
выходное напряжение усилителя
Рис. 162. Схемы решающих усилителей:
в » с п входами; б *- работающего в режиме сумматора; в — работающего в режиме
интегратора
295

Так как по условию |kv| > 1, то
ky
Zg'1' Li Zlk
k=i
«1,
поэтому с достаточной степенью точности можно принять, что
k=n
"вы* = -V-|^Z0. (589)
Уравнение (589) определяет выходное напряжение усилителя при
различных комбинациях резисторов входных цепей и цепи обратной
связи. Например, если усилитель имеет один вход, а во входную
цепь и цепь обратной связи включены резисторы, то k = 1; Zlk = Rx\
Z0 = R0, тогда
ивых = -^ивх. (590)
Следовательно, в этом случае усилитель выполняет операцию
умножения на постоянную величину (—R0/Ri). Если включено п
входов с омическими сопротивлениями (рис. 162, б), то k = n\ Zlk =
= Rlh\ Z0 = R0, тогда
и™=-1>жи* (591)
и усилитель выполняет операцию суммирования п входных сигналов
с умножением каждого слагаемого на свою постоянную величину
(-Яо/Яи).
При включении на вход усилителя резистора Я, а в цепь обратной
связи конденсатора С при п = 1 (рис. 162, в) разность потенциалов
на пластинах конденсатора
t
и = -£- \ idt,
о
где i — ток, протекающий через конденсатор.
Поэтому
"вых = — -qq \ "вх di. (592)
о
Такой усилитель осуществляет, следовательно, операцию
интегрирования по времени входной координаты и называется
интегратором.
Если в цепь обратной связи включить конденсатор, а на вход
подключить п резисторов, то усилитель будет выполнять операцию
интегрирования суммы входных напряжений, т. е. будет
интегратором-сумматором:
<w=-j2 -chUkdL (593)
0 k=\
296

Характерной особенностью усилителей, применяемых в
аналоговых ЭВМ, является перемена знака входной величины. Поэтому
в выражениях (590)—(593) для определения значения выходного
сигнала стоит знак минус.
Отношение R0/Rik для сумматора называется коэффициентом
передачи по &-му входу и обозначается klk. Для интегратора этот
коэффициент подсчитывают по формуле k = V(RC).
Кроме уже рассмотренных, аналоговые ЭВМ содержат элементы,
позволяющие воспроизводить некоторые нелинейные зависимости,
а также элементы, производящие кусочно-линейную аппроксимацию
заданных кривых. В аналоговых ЭВМ некоторых типов
предусмотрены устройства, позволяющие вводить переменные значения
коэффициентов решаемых дифференциальных уравнений.
3. ПОДГОТОВКА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ САР
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НА АНАЛОГОВЫХ ЭВМ
Линейные дифференциальные уравнения, характеризующие
динамические свойства элементов САР, можно представить в виде
совокупности простейших математических операций, что позволяет
воспроизвести эти уравнения с помощью набора блоков аналоговой
ЭВМ.
Например, для отыскания выходной координаты ф объекта
регулирования уравнения (80) следует разрешить относительно искомой
величины так, чтобы
Ф = /Сох + Ко «о — 7\)/?ф, (594)
затем определить производную в правой части этого уравнения и
просуммировать ее с остальными двумя членами. Для этого
необходимо иметь два решающих блока: дифференциатор и сумматор.
Однако возможен и другой путь решения этой задачи. Уравнение
элемента разрешается относительно старшей производной, тогда
искомая величина определяется последовательным интегрированием
и суммированием компонентов, составляющих эту производную.
При этом для решения рассматриваемого уравнения требуется один
решающий блок, работающий в режиме интегратора-сумматора.
Такой метод решения, называемый иногда методом понижения порядка
производной, получил широкое распространение при решении
линейных дифференциальных уравнений с помощью аналоговой ЭВМ.
Преимущество этого метода заключается в том, что усилители
постоянного тока, работающие в режиме интеграторов или
интеграторов-сумматоров, обладают меньшей погрешностью, чем усилители,
работающие в режиме дифференциаторов.
В соответствии с этим методом уравнение (594) следует
представить в виде суммы
1
Ф = —
Y P
< , к? 1
у^х + ^ао-^ф
(595)
297

Рис. 163. Схема решения
дифференциальных
уравнений элементов САР:
а — регулируемый объект;
б — чувствительный элемент;
в — гидравлический
серводвигатель без обратной
связи
Для отыскания <р необходимо проинтегрировать сумму, стоящую
в правой части уравнения (595), что можно сделать с помощью
схемы регулируемого объекта, показанной на рис. 163, а.
Таким образом, подготовка уравнений элементов систем
регулирования для решения на аналоговой ЭВМ методом понижения
производных начинается с разрешения всех уравнений относительно их
старших производных и составления структурных схем.
Аналогами искомых величин и других переменных, входящих
в исследуемые уравнения, в моделирующих машинах служат входные
и выходные напряжения операционных усилителей. Поэтому все
искомые и другие переменные величины должны быть выражены
через соответствующие масштабы в напряжениях. Так, в
соответствии с уравнением (595)
Цр = ф/Мф; ик = х/Мк; иа = а§'Ма, (596)
где ф, к и а0 — переменные величины; иф, их и иа —
соответствующие им напряжения-аналоги; Л1ф, Л1к и Ма — масштабы
преобразования переменных.
Если процессы в моделирующей машине воспроизводятся в
замедленном или ускоренном темпе по сравнению с натурной системой, то
требуется введение масштаба времени Mt\ при этом связь между
независимой переменной машины tM и независимой переменной
натурной системы t представляется отношением
/м = t/Mt. (597)
При моделировании в натуральном масштабе времени Mt = 1.
В соответствии со структурной схемой (см. рис. 163, а)
^вых = Г" ("их А + W.x2*2 - UBT3k3) (598>
или
/Шф = — (Uykx + Иа/?2 — Мз)>
где kl9 k2 и k3 — коэффициенты передачи операционного усилителя
соответственно по х, а и ф.
Подстановка в уравнение (595) выражений (596) и (597) с учетом
обратного знака ггф = (—ф/Мф) приводит уравнение к виду
~dt
МЛ*
ф«2
k3
(599)
298

Рис. 164. Схема решения дифференциальных уравнений серводвигателей.
а — с изодромной обратной связью; б ~- с комбинированной обратной связью
Сопоставление уравнений (595) и (599) показывает, что
Myki
MyMt
о .
Го'
откуда
*i =
MKMt
То М„
/ИфА?2
MaMt
k2=
• «=■
ко
То
Ко .
Го'
MaMf
Mt —
k -
1
То9
Mt
" То
(600)
Следовательно, значение коэффициентов передач kh зависит как от
коэффициентов исходного уравнения, так и от масштабов
преобразования переменных. При определении масштаба искомой функции
следует исходить из предположения, что максимальное значение этой
функции при решении уравнения должно соответствовать
максимальному значению напряжения-аналога /7тах на выходе
соответствующего операционного усилителя, при котором последний
работает еще в линейном диапазоне характеристики (для ламповых
усилителей (/тах = ±100 В, для усилителей на интегральных схемах
t/max = ±11-7-12 В).
Масштабы преобразования входных величин Мх и Ма следует
также выбирать из условия работы операционного усилителя в
линейном диапазоне, чтобы уменьшить ошибки расчета, вызываемые
оаботой самих электронных блоков машины.
Дифференциальное уравнение (130) чувствительного элемента
решается относительно второй производной (рис. 163, б) так, что
гЛ .
Тн
р J P
1
р
1 — ^r<V
(601)
299

Дифференциальные уравнения серводвигателя без обратной связи
(145) и (203) записываются в виде
%о = 4-Ъ и */> = 4-11- (602)
* С ' С
Структурная схема решения этого уравнения приведена на
рис. 163, в. Введение жесткой обратной связи делает уравнение
серводвигателя аналогичным уравнению объекта регулирования первого
порядка.
Для составления структурной схемы решения дифференциального
уравнения (198) серводвигателя с изодромной обратной связью
целесообразно использовать уравнения составляющих элементов
Xp = -^fc fr = P,/A--l-6; С = л-Ь (603)
Структурные схемы элементов в совокупности дают искомую
структурную схему серводвигателя с изодромом (рис. 164, а).
Дифференциальное уравнение серводвигателя с
комбинированной обратной связью (193) следует представить тремя уравнениями
Хр=-±Ь 6p = PipX--^X—Jj-6; C = f|-b (604)
Структурная схема решения этой системы уравнений приведена
на рис. 164, б.
4. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ САР
Структурные схемы для решения дифференциальных уравнений
элементов (см. рис. 163, 164) позволяют построить структурную схему
моделирования всей САР. В качестве примера рассмотрим САР
непрямого действия с жесткой обратной связью. Динамические свойства
такой системы характеризуются совокупностью трех линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. п. 5
гл. VII).
Системе уравнений придают вид
< . "о 1
* О 1 О i О
р i p J p J P
1 kc
(605)
и строят структурную схему моделирования, приведенную на
рис. 165. Эта схема отражает не только преобразования,
происходящие с входными величинами в каждом из элементов системы
регулирования, но и связи между элементами и внешние возмущающие
воздействия, действующие на элементы.
300

Рис. 165. Схема решения
дифференциального уравнения САР
При составлении
структурных схем удобно
придерживаться следующих правил:
каждому усилителю присваивают
номер; коэффициент передачи
какого-либо усилителя по
определенному входу получает
индекс, первая цифра которого
(или две первые цифры)
обозначают номер усилителя, а
вторая цифра—номер входа.
Например, коэффициент передачи
усилителя 1 по первому входу
обозначают kn и т. д. Такое
обозначение коэффициентов
передач помогает при
определении их через коэффициенты решаемых уравнений. На структурной
схеме обозначают также все переменные (с учетом знаков),
получающихся на выходе каждого усилителя, причем удобнее обозначать
их не в виде напряжений-аналогов, а в виде переменных исходных
уравнений.
После составления структурной схемы и обозначения
коэффициентов передач по каждому входу записывают соотношения между
выходными и входными напряжениями каждого усилителя. При этом
напряжению на выходе усилителя присваивают индекс,
соответствующий номеру усилителя.
Так, для схемы, изображенной на рис. 164,
«1 = — (Ua0kU + «7*12 + "1*13); "2 = — U\k2\\
ttj = — — (u2k31 + tiapk32 -f usk<a + ubk6A)\
Щ = — — (ujtu); иь = — "Ai;
Uf-
— — (н4£61 + ив*вя); щ = —uQkn.
(606)
(607)
(608)
Уравнения (606) описывают объект регулирования, уравнения
(607) — чувствительный элемент, а уравнения (608) —
серводвигатель с жесткой обратной связью. Каждое из уравнений следует
разрешить относительно напряжения-аналога искомой функции.
Для объекта регулирования
Щ (Р + k13) = k2lk12u7 + k21knuH\ (609)
для чувствительного элемента
"4 (Р2 + k33p + M4Ai):
£3Al"2 + ^32*4l"an;
(610)
301

для серводвигателя с жесткой обратной связью
щ (р -f- kn) = keiknu^
d
В записанных уравнениях оператор р
dtK
(611)
учитывает машинное
время.
Далее в уравнения (609)—(611) вводят масштабы преобразования
переменных в напряжения-аналоги
а0 = Маиа- а» = Маиа- t = MttM.
(612)
Уравнения (609)—(612) после подстановки в них соотношений
«(612) примут вид
dt ' Mt ф " 1Л^Щ *12*21>с + MaoMt ^u^iao,
d2t] , £3з <^Л
d/2
^34^41^51
,f2 Tl
Л*„
*sAl<P
мп
' ^32^4iaD >
(613)
Сравнение уравнений (613) с исходными уравнениями (605)
позволяет получить соотношения для определения коэффициентов
передач
Го ~ ~мГ917 ~ ЩЖ 12 21'
тк
&33 .
1 ^34^41^61 .
Л**
О
Го
КР
у>2
_ М<р
M«Mt
kltk
11^21»
мп
MM2t
knk
_1_
Тс
мк h ь • JUL
То
31л41>
(614)
Коэффициенты передач зависят от масштабов преобразования
переменных, поэтому необходимо прежде всего задаться значениями
масштабов. Если решение выполняется в натуральном масштабе
времени, то Mt = 1. Масштабы функций ф,хит) определяются из
соотношений
Af ф = | фшах |ДЛпаХ; Мх = | Хтах |/(/тах; М^ = | Т1тах |/(/тах.
Масштабы преобразования возмущающих воздействий а0 и ар
можно найти из соотношений Ма0 = o^JUmax; Ma = oiv/Umax и
s дальнейшем уточнить из условий сохранения линейного диапазона
работы усилителя.
Коэффициенты передач усилителей, выполняющих
интегрирование с умножением входной величины на единицу, и усилителей,
осуществляющих только перемену знака входной величины, прини-
302

маются равными 1. Таким образом, в рассматриваемом примере
можно принять
*21 = *4i = *51 = *71 = 1 • (615)
Знание масштабов и условие (615) позволяют определить
неизвестные коэффициенты передач.
Если в исходных уравнениях отсутствуют возмущающие
воздействия (<х0 = ар = 0) и заданы начальные отклонения функции или
ее производные, то значения напряжений-аналогов, соответствующих
начальным условиям, могут быть определены.
Например, для заданных ср0, ti0, Щ справедливы соотношения
«2 (0) =-"<ro/AV, "4 (0) •= Ло/Мть и7 (о) = х0/Мк;
для заданного начального условия ~- = сг из уравнения (607)
находим
__ _ dr\ 1 сг
иъ (о — — dt м^ — — M^kn •
После определения значений коэффициентов передач и
напряжений, соответствующих начальным условиям и возмущающим
воздействиям, приступают к набору и решению задачи на аналоговых
ЭВМ.
Конечные результаты решения получаются в виде изменения
напряжения постоянного тока, поэтому для наблюдения и записи
решения применяют вольтметры постоянного тока или специальные
электронные осциллографы с длительным послесвечением экрана
электронно-лучевой трубки (до 30 с). Это позволяет не только хорошо
видеть всю кривую решения, но и фотографировать ее с экрана.
Решение можно записать также с помощью графопостроителя или
шлейфового осциллографа.
С помощью аналоговых ЭВМ можно не только получить
переходный процесс САР, описываемый заданной системой
дифференциальных уравнений, но и выявить влияние коэффициентов на качество
исследуемого переходного процесса. Изменение коэффициента
передачи по какому-либо входу аналогично изменению постоянной
времени или коэффициентов усиления в исходных уравнениях.
Поскольку эти коэффициенты определяются характеристиками и
конструктивными особенностями реальной системы, можно установить
влияние того или иного конструктивного фактора на динамические
качества исследуемой системы. Изменяя конструктивные параметры
различных элементов, можно получить требуемое динамическое
качество системы.
Приведем пример расчета на аналоговой вычислительной машине
переходного процесса САР непрямого действия с жесткой обратной
связью, описываемого дифференциальными уравнениями (605).
С этой целью выбирают числовые значения коэффициентов
уравнений Го = 2,5 с; Тр = 0,01 с; Тк = 0,1 с; Тс = 0,02 с; к" = 2;
303

Для простоты последующих рассуждений начальные условия
принимают нулевыми при t = 0:
dq> d2i\ dr\ dn A
<()o = r]o = x0 = lir=-J- = 1± = — = 0,
а возмущающее воздействие со стороны внешней нагрузки на
объекте — единичным ступенчатым а0 = 1 (t).
Диапазоны изменения переменных при расчете приняты
следующими:
Tmln = 0; фтах = 1; Лтт = 0;
Структурная схема решения уравнений (605) представлена на
рис. 165.
На основании заданных диапазонов изменений переменных
определяют их масштабы. Так, для регулируемой координаты <р Мф =
= 1/100 == 0,01 1/В. Для удобства дальнейших расчетов масштабы
переменных ц и к принимают равными масштабу Мф = Мц = УИ„ =
= 0,01 1/В, а масштаб времени Mt = 1.
После определения масштабов по соотношениям (614)
подсчитывают коэффициенты передач. Так как по условию задачи сср = 0, то
коэффициенты передачи k32 = 0.
Подставляя значения коэффициентов уравнений (615) в
соотношения (614), можно получить
Л18 = 1/Г0 -- 1/2,5 = 0,4; ftufa = к%/Т0 - 2/2,5 = 0,8;
ftn*2i = к?/То - 2,5/2,5 = 1; ftas = TjT% = 0,1/0,01 = 10;
£34*41*51 = 1/7? = Ю .01 = ЮО; k3lkAl = кЦТ% = 0,2/0,01 = 20;
kQ1kn = 1/7\. - 1 0,02 = 50; ke2 = kQ/Tc = 0,2/0,02 = 10.
При определении коэффициентов передач по этим соотношениям
следует помнить, что максимальное значение коэффициента
передачи по какому-либо входу не должно превышать 10. Так как
усилитель 2 выполняет только перемену знака входной величины,
коэффициент передачи &2i можно принять равным 1. Тогда коэффициенты
передачи k12 = 0,8 и kn = 1. Произведение коэффициентов передач
*3i*4i = 20. Примем ksl = 10 и &41 = 2, тогда для произведения
kukA1kbl значения коэффициентов передач можно выбрать такими:
&34 = 10, #41 = 2, kbi = 5. В произведении keikn значения
коэффициентов передач выбирают следующими: &61 = 10, kn = 5.
Установив в моделирующей машине соответствующие
коэффициенты передач по каждому входу операционных усилителей,
определяют внешнее возмущающее воздействие, подаваемое на вход
1 усилителя 1. Для рассматриваемого случая иао = о^0/Ма0 =
= 1/0,01 = 100 В. Подав входной сигнал, пропорциональный
внешнему возмущающему воздействию на объект, получают решение
системы уравнений.
304

V
0,8
0,6
0,4
о,г
о
п
0,8
\ж\ | 1 | | |
/ Z 3
5 ( 7%с
L/
/
//
У
V
^
А
/
*
*^у~
*1а
Рис. 166. Переходные процессы САР непрямого
действия с жесткой обратной связью:
а — частоты вращения ф = f (t); б — выходной
координаты регулятора Т) = f (t); в — входной координаты
регулируемого объекта к = f (t); I — при Т0 = 2,5 с;
// — при Г0 = 1 с; /// — при Т0 = 5 с
Если изменить инерционность
регулируемого объекта и принять Т0 = 1,
сохранив числовые значения
остальных элементов, то коэффициенты
передач на входах усилителя 1 получат
значения 0,6
к1г = ЦТ0 = 1/1; £12*21 = /с0к/:Го *= ¥
= 2/1 = 2; . °Л
knk2l = Ко/То = 2,5/1 = 2,5. О 1 Z J
Если принять, как и ранее k2i = U о 12 3
то k12 = 2, kn = 2,5. Если Т0 = 5, то
ku = 0,5, k12 = 0,4, k13 = 0,2.
Переходные процессы исследуемой
САР при подаче ступенчатого
возмущающего воздействия на вход объекта
для различных Т0 представлены на
рис. 166. Графики показывают, что
уменьшение инерционности объекта Т0 у
за счет уменьшения момента инерции
ротора до 1^с вместо 2,5 с сокращает время выхода системы на новый
установившийся режим, но приводит к появлению некоторого
заброса выходной координаты ф (кривая // на рис. 166, а), что не
всегда допустимо.
Увеличение инерционности объекта Т0 = 5 с вместо 2,5 с
затягивает выход системы на новый установившийся режим и,
следовательно, ухудшает быстродействие системы (кривая /// на рис. 166, а).
На рис. 166, б, в представлены кривые изменения выходных
координат чувствительного элемента и серводвигателя соответственно.
f 6
5 6
7t,c
7t,c
0,6
1 1 1 1 1 1
у
\чч
5. ПОЛУНАТУРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САР
Аналоговые моделирующие машины применяются в стендах
полунатурного моделирования. Необходимость применения методов
полунатурного моделирования вызвана тем, что при математическом
моделировании иногда оказывается невозможным получить точное
описание динамических свойств элементов и системы регулирования
вследствие необходимости принятия ряда упрощений. Вместе с тем
определение динамических характеристик системы регулирования
с помощью проведения полностью натурных испытаний возможно
лишь при наличии опытного образца системы, для создания которого
требуются большие затраты времени и материальных средств.
П В. И. Крутое и др.
305

1—*"
Натурный
испытуепый
объект
Модель
•ч
"*
Ипитатор
внешних
воздействий
Рис. 167. Функциональная схема
стенда полунатурного моделирования
Рис. 168. Схема стенда полунатурного
моделирования на базе
электрогидравлического привода
Методы полунатурного моделирования основаны на исследовании
динамических свойств установок, состоящих из натурных элементов
испытуемой системы, которые сопрягаются с остальной частью
системы, выполненной в виде модели. При этом моделируются также и
внешние возмущающие воздействия на систему (рис. 167).
Применение полунатурного моделирования позволяет получить наиболее
полную информацию о динамических свойствах испытуемого
натурного элемента, проводить испытания в режимах, близких к
аварийному, и проследить взаимодействие нового элемента с остальными
элементами системы, определить его влияние на динамические
свойства всей системы в целом.
В зависимости от задачи исследования испытуемым элементом
может быть либо объект регулирования, либо регулятор, либо
отдельные их элементы. В моделирующую часть входит устройство,
воспроизводящее процессы в моделируемой части системы, и устройства,
обеспечивающие взаимодействие натурного элемента с
моделируемой частью, а также устройство воспроизведения внешних
возмущающих воздействий.
В качестве устройства, воспроизводящего процессы в
моделируемой части системы, целесообразно использовать цифровую или
аналоговую ЭВМ.
К положительным свойствам аналоговой машины (ЭВМ)
следует отнести простоту перенастройки для моделирования различных
элементов системы, возможность работы в реальном масштабе
времени. Основными недостатками применения такой машины являются
меньшая точность вычисления и трудность эксплуатации модели,
состоящей из большого числа операционных блоков аналоговой
ЭВМ.
Вид устройств, осуществляющих взаимодействие натурного
элемента с моделируемой частью, во многом определяется физической
природой сигналов, поступающих на вход натурного элемента и
появляющихся на его выходе. Поэтому в установках полунатурного
моделирования нашли применение электродвигатели постоянного
тока с тиристорными и электромашинными преобразователями и
306

гидравлические двигатели с электрогидравлическими
управляющими устройствами.
В качестве примера установки полунатурного моделирования
на рис. 168 представлена схема стенда, разработанного в МВТУ.
Стенд предназначен для моделирования системы автоматического
регулирования частоты вращения вала теплового двигателя.
Испытуемым натурным элементом является регулятор частоты вращения
6. В качестве моделирующего устройства 2, воспроизводящего
динамические характеристики теплового двигателя, использована
аналоговая вычислительная машина, позволяющая получить как
линейную, так и нелинейную модель объекта регулирования.
Аналог выходной координаты двигателя (частоты вращения)
в виде напряжения на выходе модели подается на
электрогидравлический преобразователь 4> управляющий объемным гидромотором 3.
В диапазоне исследуемых режимов работы системы регулирования
частота вращения выходного вала гидромотора прямо
пропорциональна напряжению, подаваемому на вход электрогидравлического
преобразователя. Выходной вал гидромотора 3 связан с
чувствительным элементом натурного регулятора. Выходная координата
исполнительного механизма серводвигателя регулятора через
преобразователь 7 связана с входом модели объекта. Таким образом,
гидромотор 3, преобразователи 4 и 7 являются устройствами,
осуществляющими связь натурного элемента с моделируемой частью системы.
Стенд оборудован также рядом вспомогательных устройств. Так,
имитацию внешних возмущающих воздействий, поступающих на
объект регулирования, обеспечивает имитатор 1 в виде
электрического генератора специальных сигналов.
Для функционирования устройств связи в стенд включены
стабилизированные источники питания и входные фильтры, сводящие к
минимуму помехи внешней электрической сети. Питание
гидродвигателя осуществляется через фильтр 8 насосом 9, вращаемым
электродвигателем М. Для исключения влияния изменения температуры
рабочей жидкости на ее вязкость и пульсаций давления, возникающих
при работе насоса, в системе питания имеется теплообменник 11,
поддерживающий постоянство температуры рабочей жидкости, и
регулятор давления 10, поддерживающий постоянным давление
рабочей жидкости на входе в электрогидравлический преобразователь.
Регистрация изменения входной координаты регулятора (частоты
вращения) выполняется датчиком 5, а выходной координаты
(перемещения вала или штока исполнительного механизма) датчиком,
встроенным в преобразователь 7.
Стенд дает возможность исследовать динамические свойства
системы автоматического регулирования частоты вращения выходного
вала объекта регулирования с различными натурными
регуляторами при воздействии различных внешних возмущающих
воздействий. Такие исследования позволяют выбрать наиболее приемлемый
вариант регулятора до проредения натурных испытаний и в
дальнейшем дорабатывать лишь этот вариант. Иногда требуется
устанавливать один и тот же тип регулятора иа объекты, различающиеся по
U*
307

wo
200
300
г
г
V
\
0~
100
200
300
О 4 8 12 f,ru, 0 4 8 12 ffu,
д)
Рис. 169. Частотные
характеристики регулятора непрямого действия
частоты вращения дизеля (при
частоте вращения входного валика
регулятора /гр = 1000 мин"1 и
температуре масла в регуляторе 70 °С):
а —• амплитудно-фазовая с
коэффициентом жесткой обратной связи k =* 30; б —
амплитудно-фазовая с k = 50; в —■
амплитудная с k = 30; г —
амплитудная с k = 50; д —■ фазовая при k =*
= 30; е — фазовая при k = 50
своему конструктивному
исполнению. При таких
испытаниях натурный элемент —
регулятор остается одним и
тем же, но меняются
характеристики математической
модели объекта,
воспроизводимые на аналоговой ЭВМ.
При составлении
математической модели объекта
необходимо учитывать также
динамические свойства
устройств сопряжения
регулятора и модели. В
рассматриваемом стенде это
преобразователи и гидродвигатель,
этих устройств соизмеримо с быстродейст-
то устройства сопряжения будут вносить
сигнала от модели к натурному регу-
следует скорректировать математическую
X
и
-*ч,
X
\
L
X-
е)
Если быстродействие
вием модели объекта,
искажения в передачу
лятору. В этом случае
модель так, чтобы динамические характеристики моделируемой
части и сопрягающих устройств были в совокупности в допустимых
пределах адекватны динамическим характеристикам объекта.
Чтобы искажения в передаче сигналов от натурного элемента к
модели объекта и обратно были минимальны, необходимо кроме
высокого быстродействия обеспечить линейность характеристик
сопрягающих устройств во всем диапазоне режимов работы исследуемой
системы.
Электрический входной сигнал по каналу внешнего
возмущающего воздействия позволяет исследовать динамические свойства
системы регулирования при внешних возмущениях различных типов,
описываемых как детерминированными, так и случайными
функциями. При этом используется стандартная аппаратура,
выпускаемая промышленностью (генераторы специальных и случайных
сигналов).
Стенд позволяет исследовать отдельные элементы системы. Так,
подавая на вход электрогидравлического преобразователя
синусоидальный сигнал и фиксируя изменения входной и выходной коорди-
308

наты регулятора при разорванной цепи воздействия между
регулятором и моделирующим устройством, можно получить частотную
характеристику регулятора, с помощью которой оценивают его
динамические свойства (рис. 169). Выходную координату регулятора
выходного вала серводвигателя записывали в угловых градусах, а
входную координату регулятора (частоту вращения входного вала)
в минутах в минус первой степени, поэтому единица измерения
изменения амплитуды на выходе регулятора—°/мин"1. Частотные
характеристики показывают, что имеется резонанс при частоте
входного воздействия 8 Гц. Выявление точного значения резонансной
частоты и амплитуды выходного сигнала расчетным путем часто
оказывается затруднительным ввиду сложности конструкции
регулятора. Частотные характеристики позволяют также оценить влияние
коэффициента жесткой обратной связи на коэффициент усиления
всего регулятора (0,316 7МИН'1 на рис. 169, ей 0,25 7МШГ1 на
рис. 169, г).
Стенд полунатурного моделирования может быть использован
в процессе производства как один из конечных элементов
технологической линии сборки и отладки элемента, агрегата или подсистемы,
входящих в САР теплоэнергетической установки. Некоторые типы
таких стендов и принципы их построения описаны в работе [7].

ГЛАВА XII
ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЭВМ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАБОТЫ САР
1. ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При решении задач, связанных с автоматизацией современных
теплоэнергетических установок, необходимо учитывать возрастающие
требования к точности работы САР, повышение сложности систем
автоматики, осуществляющих измерение, регулирование и контроль
таких физических параметров, как частота вращения, температура,
давление, расход, скорость перемещения, напряжение, ток, т. е.
координат, характеризующих работу теплоэнергетической
установки.
Многообразие физических процессов и большой объем
информации, требующий систематизации и переработки в процессе
эксплуатации системы, обусловливают необходимость применения средств
вычислительной техники.
Первоначально ЭВМ использовались для решения
научно-исследовательских и инженерных задач, связанных с выполнением
наиболее громоздких расчетов.
Инженер должен был уметь сформулировать задачу, подобрать
для нее исходные данные, подготовить программу и применить ее
для решения задачи на ЭВМ. По мере совершенствования средств
вычислительной техники и программирования наметился переход
к систематическому комплексному применению ЭВМ в процессе
проектирования, изготовления и эксплуатации изделия. Система
автоматизированного проектирования (САПР) на базе ЭВМ обеспечивает
сокращение сроков проектирования, увеличивает число
рассматриваемых вариантов и качество проекта, дает существенную экономию
материальных затрат за счет снижения объема испытаний и времени
доводки опытных образцов.
Применение ЭВМ в инженерном деле требует умения разработки
математической модели исследуемой системы, понимания
особенностей функционирования ЭВМ, знания основных сведений о
математическом и программном обеспечении ЭВМ.
Исследование САР также предусматривает формирование
математической модели, выбор метода анализа, проведение расчетов
и оценку их результатов. Под математической моделью далее
понимается совокупность дифференциальных и алгебраических
уравнений элементов САР или дифференциальное уравнение,
характеризующее статические и динамические свойства САР.
Формирование математической модели и выбор метода анализа
тесно связаны между собой, так как различные методы требуют
соответствующей формы математического описания физического
процесса. На выбор метода влияет также трудоемкость расчетов, Ана-
310

Лиз работоспособности САР теплоэнергетических систем сбязай
с необходимостью разработки и исследования сравнительно сложных
математических моделей, которые часто представляют собой системы
нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка.
Формирование таких систем необходимо проводить с учетом требований
экономичности, точности и универсальности математических моделей.
Решение задач автоматизированного проектирования сопряжено
с необходимостью хранения и переработки больших массивов
данных справочной информации, программ анализа, подпрограмм
численных методов и т. п. Поэтому вопрос эффективного использования
машинного времени и памяти является весьма важным.
Точность решения задач при автоматизированном
проектировании и управлении определяется двумя основными факторами:
приближенностью математического описания физических процессов
в элементах и системе (погрешности модели) и погрешностями
используемых методов решения. Требования высокой точности решения
задачи и малых затрат машинного времени противоречивы, так как
повышение точности анализа моделей сопровождается ростом числа
операций, связанных с увеличением числа исследуемых вариантов,
шагов поиска экстремума целевой функции, шагов численного
интегрирования системы дифференциальных уравнений и т. д. Вместе
с тем практика решения задач моделирования, анализа и
оптимизации в ряде областей техники показывает, что наибольшую часть
общей погрешности решения задач, как правило, составляют
погрешности самих моделей. Повышение точности моделей не всегда
целесообразно, так как приводит к увеличению их сложности и появлению
новых источников погрешности в связи с недостаточной изученностью
физических процессов в моделируемом объекте. На основании
сказанного можно сделать заключение, что вопросы точности машинного
расчета в каждом конкретном случае следует решать отдельно,
исходя из целей моделирования, достоверности исходных данных и
выбранных методов численного решения.
Математические модели САР, используемые методы и алгоритмы
решения должны быть ориентированы на многократное применение
и для различных систем.
Однако следует учитывать, что требование универсальности
противоречит требованиям малых затрат машинного времени и
памяти, так как чем детальнее отображаются в модели различные
закономерности физических процессов, тем точнее и универсальнее
модель, но тем большие объем вычислений и число параметров модели.
Удачное компромиссное удовлетворение требований к модели в одних
задачах может оказаться далеким от оптимального в других.
Этим можно объяснить наличие различных моделей одного и
того же элемента или физического процесса и различных методов их
исследования.
Применение ЭВМ для решения задач автоматического
регулирования (анализ устойчивости, статических и динамических
характеристик) снимает ограничения на размерность математических
моделей, а также обеспечивает высокую точность получаемых резуль-
311

татов. При наличии библиотеки стандартных подпрограмм
облегчается выбор метода анализа, ускоряется процедура подготовки
и решения задачи на ЭВМ.
2. ПРОГРАММЫ АНАЛИЗА РАБОТЫ САР
Программы, приведенные ниже в качестве примеров,
предназначены для проведения анализа линейных систем. Программы
написаны на алгоритмическом языке ФОРТРАН по алгоритмам,
изложенным в работе [2].
Программы анализа работы САР (см. прил.) оформлены в виде
стандартных подпрограмм типа SUBROUTINE. С их помощью
могут быть выполнены следующие процедуры:
формирование характеристического полинома системы по
математической модели, записанной системой линейных дифференциальных
уравнений элементов (подпрограмма FLEVER);
формирование таблицы Рауса (подпрограмма TBRAUS);
анализ устойчивости системы по критерию Рауса (подпрограмма
RAUS);
формирование области устойчивости в плоскости двух параметров
системы (подпрограмма OBLUST); анализ устойчивости методом
D-разбиения в плоскости одного параметра, D-разбиения в плоскости
двух параметров (подпрограмма DRAZB);
расчет и вывод на алфавитно-цифровое печатное устройство
годографа АФЧХ системы; анализ устойчивости системы по частотному
критерию (подпрограмма GODOGR);
построение линий равного уровня функции в плоскости двух
параметров, анализ качества переходных процессов по
интегральным критериям качества или по линиям равного значения степени
устойчивости системы (подпрограмма LIRAUR).
Каждой подпрограмме предшествует ее краткое описание, в
котором указывается имя и назначение подпрограммы, способ обращения
к ней, список формальных параметров и требуемые подпрограммы.
Например, подпрограмма GODOGR начинается так:
подпрограмма GODOGR
Назначение: вычисление и вывод на алфавитно-цифровое
печатающее устройство (АЦПУ) годографа частотной характеристики
по заданным зависимостям действительной (RE) и мнимой (IM)
частей частотной характеристики от частоты (W)
Обращение
CALL GODOGR (WN, WK, KL, F)
Описание параметров:
WN — начальное значение частоты;
WK — конечное значение частоты;
KL — необходимое число копий;
F — имя подпрограммы, в которой вычисляются значения RE
и IM
312

Требуемые функции и подпрограммы: подпрограмма GODOGR
работает совместно с подпрограммой, подготовленной пользователем.
Особенности подготовки данных и оформление дополнительных
подпрограмм рассматриваются в каждом конкретном случае.
Результаты анализа в виде таблиц и графиков выводятся на АЦПУ
как наиболее доступное внешнее устройство ЭВМ.
3. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЭФФИЦИЕНТОВ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕМЕНТОВ
Ранее было показано, что наличие дифференциальных уравнений
отдельных элементов позволяет получить дифференциальное
уравнение m-го порядка, описывающее изменение во времени выходной
координаты системы.
Подготовка задачи к решению на ЭВМ не требует составления
математической модели в виде единого дифференциального
уравнения, так как для исследования работы САР достаточно
воспользоваться совокупностью дифференциальных и алгебраических
уравнений отдельных элементов.
В том случае, когда ставится задача анализа устойчивости или
качества работы системы косвенными методами, необходимо
представить модель в виде характеристического полинома
Ахрп + А2рп-1 Н + Апр + Ап+1 = 0.
Для этих целей можно воспользоваться методом Леверрье,
сущность которого сводится к следующему. Пусть математическая
модель исследуемой САР получена в виде дифференциальных
уравнений в форме Коши
Щг = ьиу1 + *1Л -I Ь blmvm\
dt
_L = b2lvx _j_ b22v2 -| \- b2mvm\
dt
dt
= bm\VL = km2V2 -\ \- &ттУп
где vu i>2, ..., vm — координаты, характеризующие работу системы
(например, частота вращения, перемещение, давление, температура
или соответствующие им безразмерные переменные q>, tj, X)\ btj (f,
у = 1, 2, ..., т) —постоянные коэффициенты, зависящие от
параметров системы (постоянные времени Т0, Тк, Тр, 7С, Tit
коэффициенты усиления Ко, Кр> *?> *р и др.).
В векторной форме система дифференциальных уравнений имеет
вид
dt —DV>
313

где вектор V = \vu v2, ..., vm\T длиной т (одномерный массив);
В — квадратная матрица коэффициентов размером тХт
Ьм
Ьп
bml
ь& .
&22 •
Ьщ2 •
• • ьш
•. ьш
• • "mm
Необходимо найти коэффициенты Ah характеристического
полинома линейного дифференциального уравнения САР
Апрп + An-ipn~l + t-Axp + Ao = 0.
При степени полинома п = т число коэффициентов полинома равно
т+ 1.
Для решения задачи вводятся вспомогательные матрицы С и D
(размером тхт каждая) для хранения промежуточных результатов.
На каждом шаге поиска i-ro коэффициента полинома алгоритм
метода Леверрье предусматривает последовательное формирование
следующих матриц:
Ci = BDi_x\ qL = Su'i; D^d- qtE\ am_t = —qi9
m
где qt — искомые коэффициенты полинома; St = JjCjj — сумма
диагональных элементов матрицы С на i-м шаге; Е — единичная
матрица при1'=*1, С1 = В, Ап=1.
Алгоритм (см. прил.) реализован в подпрограмме FLEVER.
Чтобы воспользоваться этой подпрограммой, необходимо прежде
всего ознакомиться с ее описанием.
Подпрограмма FLEVER
Назначение: вычисление коэффициентов характеристического
полинома системы, исходной математической моделью которой
является система линейных дифференциальных уравнений.
Обращение:
CALL FLEVER (М, В, А, С, D, NP, КР)
Описание параметров:
М — размер квадратной матрицы В\
В — вводимая матрица МхМ, содержащая коэффициенты
дифференциальных уравнений. Коэффициенты вводятся
по строке. В процессе расчета сохраняется;
А — выводимый вектор длиной М + 1 коэффициентов
полинома;
С — рабочая матрица МхМ]
D — рабочая матрица МХМ\
NP — рабочий вектор длиной М + 1;
КР — признак печати:
КР =0 — печать результатов не нужна;
КР = 1 — печать нужна.
314

Требуемые функции и подпрограммы: нет.
Как видно из обращения и описания параметров, в программе
пользователя должны быть указаны имена и размерности исходного'
массива коэффициентов дифференциальных уравнений В, массивов
промежуточных результатов С, D, NP и вектора полученных
результатов Л. Это описание может быть выполнено одним из
существующих в ФОРТРАНе способов, например с помощью оператора
DIMENSION или операторов явного описания типа REAL и
INTEGER (рабочий вектор NP является целочисленным).
Числовые значения коэффициентов исходной матрицы В также
могут быть записаны в памяти машины различными способами. Если
эти значения уже известны, то для дальнейших вычислений их
необходимо ввести в оперативную память ЭВМ с помощью оператора
ввода READ или операторов присваивания. При необходимости все
вычисления этих коэффициентов должны быть выполнены в
программе пользователя до момента обращения к подпрограмме
FLEVER.
Во всех случаях формирование матрицы В должно выполняться
по срокам, т. е. вначале записываются все элементы первой строки,
затем второй и т. д. После выхода из подпрограммы FLEVER
матрица коэффициентов дифференциальных уравнений САР сохраняется
и пользователь может вывести ее на печать для контроля результатов .
или продолжить расчеты.
Последним параметром подпрограммы является признак управ-.
ления печатью КР. Если КР = 1, то полученные коэффициенты
выводятся на печать.
Если расчет коэффициентов характеристического полинома
является промежуточным, их значения можно не печатать (КР = 0)
и после вычисления с помощью подпрограммы FLEVER сразу
переходить к другим видам анализа. Пусть, например, система непрямого
регулирования описывается совокупностью дифференциальных
уравнений объекта регулирования (80) при а0 = 0, чувствительного
элемента (130) при ар = 0 и усилительного элемента (200). В форме
Коши система имеет вид
Лр _ ко * _
dt — То
ф;
dr\
da
dt
Т„,
1
dX
= а;
1
1р 1 р 'р
Матрицу S коэффициентов этой системы запишем в виде
S =
-1/То
0
кЦт\
0
0
0
— \1т%
\/тс
0
1
-TjTl
0
— Ко!1 о
0
0
— kc/Tc
315

Пусть коэффициенты дифференциальных уравнений элементов
САР заданы и имеют значения Ц = 0,002 с2; 7К = 0,02 с; Т0 = 4 с;
Тс = 0,2 с; /£ = 2,0; к£ = 0,2; kc = 2,0.
Чтобы вычислить коэффициенты характеристического полинома
с помощью подпрограммы FLEVER, пользователь может выбрать
один из двух следующих способов ввода данных.
В первом способе следует самостоятельно найти значения
элементов матрицы S и подготовить программу следующим образом:
DIMENSION H(5),S(4,4),Q(4(4),P(4,4),K(4)
ДАТА S/—0.25, 0., 0., 0.5, 0., 0..1., 0..1 00.,
*500.,—10.,0.,0.,5.,0.,—10./
CALL FLEVER(4,S,H,Q,P,K,I)
STOP
END
Во втором случае вычисления значений элементов матрицы могут
быть выполнены программным путем
DIMENSION H(5),S(4,4),Q(4,4),P(4,4),K(4)
ДАТА TR2,TKJO,TC/.002,.02,4.,.2/
REAL KO/2./,KR/.2/,KC/2./
S(l.l)
S(l,2)
S(l,3)
S(l,4)
S(2,l)
S(2,2)
S(2,3)
S(2,4)
S(3,l)
S(3,2)
S(3,3)
S(3,4)
S(4,l)=
S(4,2)=
S(4,3)
S(4,4)
CALL
STOP
END
В
2./TO
=0.
=0.
=—ко/то
=0.
=0.
"*1.
=0.
= KR/TR2
=—1./TR2
=—TK/TR2
=0.
=0.
= 1./TC
=0.
—KC/TC
FLEVER(4,S,H,Q,P,K,1)
результате выполнения
циенты полинома
A (4)
= 1,0; A (3)
•= 1000.
= 20,25; A
расчетов будут получены коэффи-
(2) = 605,0; А (1) - 5150; А (0) =
4. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
ПО КРИТЕРИЯМ РАУСА
Одним из наиболее быстродействующих алгоритмов, легко
реализуемых в программах расчета, является критерий устойчивости
Рауса (см. п. 3 гл. VIII). Суждение об устойчивости системы выно-
316

Таблица 2
стро-
Номер
ки (0
1
2
3
4
5
Номер столбца (k)
1
#ы = Лп
#2,1 — An-i
#3,1 =
== #1,2— ^3#2,2
#4,1 ==
== #2,2 — ^4^3,2
— #3,2 — ^5#4,2
2
#1,2 == ^П-2
#2,2 == ^Л-3
#3,2 =
= #1,3 — ^3#2,3
#4,2 =
== #2,3 — ^4#3,3
#6,2 =
== #3,3 — ^б#4,3
3
#1,3 = ^П_4
#2,3 = ^/г_б
#3,3 =
= #1,4 — ^3#2,4
#4,3 =
= #2,4 — ^4#3,4
#б,з —
= #3,4 — ^б#4,4
4
#1.4 = ^«-6
#2,4 = ^П_7
#3,4 ==
= #1,6 — бз#2,б
#4,4 =
== #2,6 — ^4#3,6
#6,4 =
= #3,6 — ^б#4,6
сится на основании анализа соотношений коэффициентов
характеристического полинома.
Прежде всего формируется таблица Рауса (табл. 2). Элементы Rit k
первых двух строк таблицы содержат только коэффициенты
исходного характеристического полинома (элементы с отрицательными
индексами принимаются равными нулю).
Любой из элементов Riyk табл. 2 для третьей и последующих
строк (i ^ 3) вычисляется из соотношений
Ri, ft. = Ri-2> k+i — GiRi-l, ft+1 >
ГДё Gi = #i_2,!//?,_!,!.
При расчете элементов таблицы по
приведенным соотношениям некоторые элементы
оказываются равными нулю. Например, если
система описывается характеристическим
уравнением шестого порядка, то нулевые
элементы заполняют правую нижнюю часть,
как показано в табл. 3.
Поэтому алгоритм формирования таблицы
можно ограничить расчетами только
ненулевых элементов и определить размеры
таблицы Рауса на основании вида исходного
характеристического уравнения.
Число строк таблицы Рауса, в которых
будет записан хотя бы один ненулевой
элемент, равно N + 1, где N — порядок
дифференциального уравнения. Количество М
столбцов при тех же условиях равно целому
Таблица 3
А*
Аъ
+
+
+
+
+
Л4
А3
+
+
+
0
0
At
Аг
+
0
0
0
0
А0
А.г =
= 0
0
0
0
0
0
317

Числу от N/U + 1, причем целое ЧМЛо определяйся путем
отбрасывания дробной части числа, а не его округлением, т. е. М
вычисляется операцией
М = INT {N12 + 1).
Для третьей и всех последующих строк таблицы Рауса (/ ^ 3)
номер последнего столбца с ненулевым элементом находится из
выражения
ММ = М — (I — NN/{2 * М))/2,
где NN = N + 1.
Указанные особенности алгоритма реализованы в подпрограмме
TBRAUS. Подготовка данных для формирования таблицы Рауса
с помощью этой подпрограммы ведется в соответствии с ее описанием.
Подпрограмма TBRAUS
Назначение: формирование таблицы Рауса по коэффициентам
характеристического полинома.
Обращение:
CALL TBRAUS (R, В, NN, M, KL)
Описание параметров:
А — вводимый вектор коэффициентов полинома,
упорядоченных от большей к меньшей степени N. Длина вектора WW;
R — выводимая матрица Рауса NN * М\
NN — число строк матрицы R, равное числу коэффициентов
полинома или N + 1, где N — порядок полинома системы;
М — число столбцов матрицы R> равное целому от N12 + 1;
KL — необходимое число копий печати.
При KL = 0 печать не выполняется.
Требуемые функции и подпрограммы: нет.
Пусть свободный переходный процесс САР теплоэнергетической
установки с жесткой обратной связью описывается
дифференциальным уравнением четвертого порядка, характеристический полином
которого имеет вид
Л4р4 + А*р* + А2р* + Агр + А0 = 0.
Коэффициенты (334) уравнения имеют вид
Л4 = ГсУ(У = Г0Г2р);
л з + tcs + kc v (s = т\ + т0тк);
A2 = kcS + TcZ(Z = T0 + TKy,
Ai = kcZ + Tc; 4> = *c + i#cJ.
Необходимо рассчитать таблицу Рауса этой системы при
Го=10с; Гс = 0,003с; Гк = 0,04 с; £с=1,0; 7^ = 0,01 с;
/с* =1,67; ftj = 25.
Результаты запомнить в массиве В, а затем отпечатать в одном
экземпляре.
318

Программа пользователя имеет вид
DIMENSION A(5),B(5,3)
REAL,KO/I.67/,KR/25./,KC/l./
DATA,TO,TC,TK,TR/10.,. 003,. 04,. 01/
V=TO*TR*TR
S=TR*TR+TO*TK
Z=TO+TR
A(1)=TC*V
A(2)=TC*S+KC*V
A(3) = KC*S+TC*Z
A(4)=KC*Z+TC
A(5)=KC+KO*KR
CALL TBRAUS(A,B,5,3,1)
STOP
END
Важно обратить внимание на заполнение массива А
коэффициентов характеристического уравнения. Так как порядок
уравнения N = 4, то число коэффициентов А-г = 5. Поэтому в описании
массива А указано А (5), т. е. индексация элементов массива А
принята в соответствии с формой, где коэффициент при р4
записывается в виде А (I), при р3 в виде А (2) и т. д.
Результаты выполнения расчетов печатаются в следующем виде:
Таблица Рауса
0.4013 Е00 0.1024 Е01
0.4241 Е00 0.1000 Е —24
0.1024 Е01 0.0
0.0 0.0
0.0 0.0
Заметим, что элемент R2y з, записанный на пересечении второй
строки и третьего столбца матрицы, по условию равен нулю. Однако
для дальнейшего анализа его следует принимать сколь угодно
малым, но не нулевым. Поэтому на печати показано число 0,Ы0~24.
Суждение об устойчивости САР по критерию Рауса основывается
на выявлении алгебраического знака ряда неравенства,
составленных из коэффициентов характеристического полинома. Это сводится
к анализу значений первых двух строк и первого столбца таблицы
Рауса. Необходимым условием устойчивости является требование
ЛЛ>0, ЛЛ_1>0,...,Л1>0, Ло>0.
Необходимым и достаточным условием устойчивости является
требование положительного алгебраического знака у всех значений,
входящих в первый столбец таблицы Рауса по всем строкам:
Яы>0; /?t.i>0;...;/?n+bl>0.
Подпрограмма RAUS (см. прил.) предназначена для
исследования устойчивости САР, и ее можно использовать самостоятельно,
так как в ней реализован алгоритм формирования таблицы и
процедуры анализа результатов.
0.3000
0.2200
0.4008
0.4184
0.1024
Е—05
Е—02
Е00
Е00
Е01
319

Если результат оказывается положительным, то на печать
выводится фраза СИСТЕМА УСТОЙЧИВА. При отрицательном
результате пользователю соббщается СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА
и на печать выводится вся таблица Рауса.
5. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
В анализе работы САР важное место занимает определение
значений отдельных параметров, обеспечивающих устойчивость
системы при прочих заданных условиях. Типичным примером решения
такой задачи является диаграмма Вышнеградского (см. рис. 129).
Для систем высоких порядков получение подобных диаграмм
практически стало возможным только в результате применения ЭВМ.
Исходными данными для подпрограммы OBLUST (область
устойчивости) является задание предполагаемого диапазона изменения
параметров, например х и £ и вид характеристического уравнения.
Диапазон изменения параметров х и 5 разбивается на N% и NZ,
интервалов, и в каждой точке полученного таким образом поля
изменения параметров х и £ исследуется устойчивость системы по
критерию Рауса.
Для того чтобы построить области устойчивости, необходимо
подготовить как основную программу, так и подпрограмму. В
основной программе описываются массивы и обращение к подпрограмме
OBLUST. В подпрограмме, которой присвоено имя FUNOBL
(функция области), записываются операторы вычисления функций F
от аргументов х и £. В процессе расчетов подпрограмма OBLUST
обращается к подпрограмме FUNOBL для вычисления значений
функций F на каждом шаге изменения параметров % и £.
Подпрограмма OBLUST
Назначение: определение области устойчивости системы в
плоскости двух параметров.
Обращение:
CALL OBLUST (ХМ, ХВ, YM, YB, F, В, NN, M, KL).
Описание параметров:
ХМ, ХВ—минимальное и максимальное значения первого
параметра;
YM, YB — минимальное и максимальное значения второго
параметра;
F — вектор длиной NN, содержащий текущие значения
функции от X и Y\
В — рабочая матрица NN * М\
NN— число коэффициентов полинома, равное N + 1,
где N — порядок характеристического полинома системы;
М — число столбцов матрицы В> равное целому от N12 + 1;
KL — требуемое число копий печати.
Требуемые функции и подпрограммы: подпрограмма OBLUST
работает совместно с подпрограммой FUNOBL, подготовленной
пользователем. В последней записывается выражение функций F
от аргументов X и У.
320

Рассмотрим построение диаграммы для системы,
характеристическое уравнение которой имеет вид
257>8 + (25 + 107) р2 + (10 + Т) р + (1 + k) = 0. (616)
При расчетах было принято, что постоянная времени Т
меняется в пределах 0 < Т <: 20с, а коэффициент статизма k — в
диапазоне 0 < k < 25.
Исходное уравнение содержит четыре функции от параметров Т
и k:
Fx = 25Г; F2 = 25 + ЮТ; F3 = 10 + Т и F4 = 1 + k.
Так как порядок уравнения равен N = 3, то вспомогательная
матрица В имеет N + 1 = 4 строки и INT (N/2 + 1) = 2 столбца.
Поэтому основная программа пользователя должна иметь вид:
DIMENSION F (4), В (4, 2)
CALLOBLUST (0., 20., 0., 25., Л В, 4, 2, 1)
STOP
END
Зависимости Ft от параметров следует записать в подпрограмме,
которая может быть оформлена следующим образом:
SUBROUTINE FUNOBL (Т, К, F)
REAL К, F (4)
F (1) = 25.0 * Т
F (2) = 25.0 + 10. * Т
F(3) = 10.+ Т
F(4) = 1.0 + К
RETURN
END
В результате выполнения задания на АЦПУ выводится картина
области устойчивости исследуемой системы (рис. 170). Символ +
указывает на то, что при соответствующих значениях параметров Т и
k система устойчива. Символом & отмечают области неустойчивой
работы системы.
Алгоритмизация метода D-разбиения (см. п. 1 гл. X) имеет ряд
трудностей, связанных с наличием особых линий и правилами
штриховки. Тем не менее подпрограмма DRAZB (D-разбиение)
позволяет вывести на АЦПУ область D-разбиения в плоскости
двух параметров системы. Подготовка исходной информации
содержит те же процедуры, которые выполнялись для подпрограммы
OBLUST (см. прил.).
Результаты расчетов устойчивости системы, описанной
уравнением (616) при изменении параметров —5,0 < k < 20,0 и —2,0 <
< Г < 18,0, приведены на рис. 171. Символом + выделена
подобласть, в которой число корней в правой полуплоскости равно
нулю, указаны подобласти с одним (символ 1) и двумя (символ 2)
положительными корнями. Чтобы не ограничивать* порядок
исследуемой системы, в подпрограмме выполняется печать цифр 1—9, если
321

V.
t\
«а.
I
t
CVJ
о
W
О
о
о
сч
CQ
о
£
О
с
О
о
as
а,
322

0.20000E 02
О.13750Ё 02
O.75000E 01
0.12500E 01
.50000E 01
-0
1111111+++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++++22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++++22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++++22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111++++++2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
1111111+++++++222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222++++++>
1111111+++++++22222222222222222222222222222222222222222222222222222+++++++++++++
1111111++++++++222222222222222222222222222222222222222222222++++++++++++++++++++.
1111111+++++++++222222222222222222222222222222222222++++++++++++++++++++++++++++»
1111111+++++++++++22222222222222222222222222++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111++++++++++++++++2222222222+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++•
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1111111+++++++++++++++++++++++++++++++■
1111111
22222222111
22222222111
22222222111
22222222111
22222222111
22222222111
22222222111
20000Е 01 0.80000Е 01 0.18000Е 02
со
ю
со
Рис. 171. Диаграмма D-разбиения в плоскости двух параметров, построенная с помощью ЭВМ

число корней меньше или равно 9, и отмечаются символом > те
случаи, когда число корней в правой полуплоскости оказывается
больше 9.
В подпрограмме также контролируются ситуации, если элемент
первого столбца таблицы Рауса очень мал и не превышает
значения 1 • 10~25. Если такие случаи встречаются, то в соответствующей
точке области будет отпечатан символ £( как признак близости
системы к границе устойчивости.
6. РАСЧЕТ НА ЭВМ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
И ОЦЕНКА ПО НИМ УСТОЙЧИВОСТИ САР
Наличие дифференциальных уравнений, передаточных функций
или характеристического уравнения САР позволяет рассчитать на
ЭВМ значения координат частотных характеристик.
Для оценки устойчивости системы эти характеристики
необходимо построить, что можно сделать с помощью графического
дисплея, графопостроителя или АЦПУ. Частотные характеристики
дают возможность представить результаты расчета в виде графика
(рис. 172) в комплексной плоскости с помощью подпрограммы
GODOGR (годограф). В подпрограмме нет ограничения на выбор
диапазона изменения частоты, ее можно менять от 0 до сок или от
—сон до сок. В последнем случае желательно, чтобы числовые
значения начальной соя и конечной сок частот не были абсолютно
симметричны относительно нуля. Число позиций вещественной
частотной характеристики по оси абсцисс равно 81. Число позиций мнимой
частотной характеристики на оси ординат выбирается в подпрограмме
из условия вычерчивания окружности по вычисленным оптималь-
х
х
X
X
X
WN- 0.10000Е-03 WK- 0.20000Е 03
ЯЕМАХ- 0.88320Е-01 OMEGA- 0.4549ОЕ-03
IMMIN--0.45299Е-01 OMEGA- 0.52598E 00
ЯЕ1ПИ»-0.17313Е-02 OMEGA* 0.83436E 01
ДОМАХ- 0.37462Е-05 OMEGA- 0.19378Е 03.
Рис. 172. АФЧХ, полученная "с помощью ЭВМ
324

ным значениям Vm[n (со) и Vmax (со). Если годограф вектора
охватывает точку с координатами (—1, 0), то на печати в соответствующем
масштабе указывается эта точка. В противном случае точка (—1, 0)
не печатается.
Алгоритм формирования годографа вектора требует выполнения
определенных правил при задании диапазона изменения частоты.
Если сон = 0, то в подпрограмме эта величина принимается равной
0,Ы0~3, чтобы не было деления на нуль. Если задается сон = сок,
то принимается сон = сон + 0,1 /шн/.
Текущее значение частоты вычисляется по соотношению
<*>*+1 = ю< + 0,1 |со;| при о>о = сон — 0,1 |сон|.
Выбранное соотношение позволяет получить большое количество
точек при малых значениях частоты и по мере увеличения частоты
удлинять интервалы между точками.
Далее вычисляются значения и (со) и v (со) в заданном диапазоне
частот, определяются max и min их значений, выбираются масштабы
по осям и координаты точек годографа вектора. Следует учитывать,
что координаты точек вектора определяются как номер позиции
печати и, следовательно, являются целочисленными. Поэтому
в некоторых случаях на одной и той же строке или в одном и том же
столбце появляется несколько точек как результат формирования
целых чисел (см. рис. 172) Искажение годографа вектора при этом
не превышает ошибки печати одной позиции по оси и (со) или v (со).
Процедура формирования годографа заканчивается определением
позиций координатных осей и точки (—1, 0).
Подготовка исходных данных для подпрограммы GODOGR
исчерпывается указаниями диапазона изменения частоты, числом
копий печати результатов и имени подпрограммы, определяющей
зависимость « (со) и t/ (со) от частоты.
Пусть, например, необходимо построить АФЧХ (358) в
диапазоне частот 0 < со < 200, если ее вещественная и мнимая частотные
характеристики определяются выражениями (361) и (362), а
параметры объекта и регулятора имеют значения Т0 = 5,34 с; к£ =
= 2,72; Гр = 0,036 с; Тк = 0,22 с; к* = 4,1.
Тогда основная программа получит вид
EXTERNAL FN
CALL GODOGR (0., 200., 1, FN)
STOP
END
В этой программе указывается, что зависимости и (со) и v (со)
от частоты представлены в подпрограмме по имени FN. Ей же
вводятся числовые значения параметров САР
SUBROUTINE FN(W,RE,IM)
REAL IM,KO,KR
DATA TO,KO,TR,TK,KR/5.34,2.72,. 036,.22,4.1/
ZN=(l.+W*W*TO*TO) *((!•—W*W*TR*TR)* *2+W*
325

*W*TK*TK)
RE=K0*KR*(1.—W*W*(TO*TK+TR*TR))/ZN
IM=—W*(TK+T0*(1.—W*W*TR*TR))*KO*KR/ZN
RETURN
END
Результаты выполнения подпрограммы GODOGR (см. рис. 172)
показывают, что при заданных значениях параметров разомкнутой
системы частотная характеристика не охватывает точку с
координатами (— 1,0), и согласно критерию Найквиста система является
устойчивой. Надписи под годографом позволяют уточнить
скорректированные значения начальной соя и конечной сок частот,
экстремальные значения действительной и мнимой частей годографа
вектора в пределах вычерченного поля, а также соответствующие им
значения частоты.
7. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ПРИ ОЦЕНКЕ КАЧЕСТВА РАБОТЫ СИСТЕМЫ
НА ОСНОВЕ КОСВЕННЫХ КРИТЕРИЕВ КАЧЕСТВА
Применение ЭВМ позволяет сравнительно просто построить
переходные процессы и найти все необходимые показатели
качества динамических характеристик. Однако численные методы
интегрирования систем дифференциальных уравнений приводят к
сравнительно большим потерям машинного времени для расчета даже
одного варианта. Поэтому косвенные методы анализа качества
динамических характеристик САР (см. п. 2 гл.IX) не теряют своей
актуальности и в этом случае.
Метод интегральных оценок качества переходных процессов
дает возможность выполнить сравнительный анализ качества
системы при различных значениях внутренних параметров или на
основании выбранного критерия осуществить поиск значений
внутренних параметров системы, доставляющих минимум значения
интегрального критерия. Задача в такой постановке может быть
решена одним из методов синтеза (см. п. 2 гл. X).
Ниже рассмотрены случаи, когда качество работы САР можно
оценить путем построения ряда характеристик в плоскости любых
двух параметров, например постоянная времени, коэффициент
усиления или параметры настройки отдельных элементов. При
графическом изображении таких характеристик можно выявить
особые случаи: седловые точки, гребневый или овражный вид
функции.
Такое исследование можно выполнить с помощью подпрограммы
LIRAUR (см. прил.), которая позволяет получить путем вывода
на АЦПУ графическое изображение линий равного уровня
заданной функции, оптимальные значения функции в области
определения параметров и искомые значения параметров, соответствующие
максимальным и минимальным значениям функции. Чтобы
воспользоваться подпрограммой LIRAUR, достаточно указать пределы
изменения первого и второго параметра, а также имя подпрограммы,
где записана исследуемая функция.
326

Алгоритм подпрограммы LIRAUR содержит следующие
процедуры. Заданный диапазон изменения параметров разбивается
на NX * NY узлов и в каждом из них вычисляется и запоминается
значение функции путем многократного обращения в подпрограмму
определения функции. Затем отыскиваются максимальное и
минимальное значения функции по всей области определения.
Полученный диапазон FMAX ~ FMIN разбивается на десять уровней, и
находятся значения функции на каждом из них. Сравнительный
анализ функции в каждой точке разбиения области определения
с числовыми значениями каждого из десяти уровней позволяет
приписать /-й точке номер соответствующего уровня, если значение
функции в этой точке равно с точностью ±2,5 % значению функции
на i-ы уровне. Если значение функции в /-й точке не совпадает ни
с одним из i-x значений уровня, то в /-й точке записывается пробел.
Таким образом, на выводе получается картина совокупности цифр
(0-f 9) и пробелов, причем одна и та же цифра отмечает линию
данного уровня. С увеличением значения функции растет номер
линии уровня, что позволяет наиболее просто ориентироваться в
определении области максимальных и минимальных значений
исследуемой функции.
Результаты расчетов линий равного уровня интегральной оценки
качества, выполненные для системы прямого регулирования,
приведены на рис. 173. Принимая значения параметров объекта
равными Т0 = 10 с, /ср = 5 и постоянную времени регулятора Тр =
= 0,08 с, а также считая, что начальная скорость и ускорение
равны нулю, найдем минимальное значение интеграла, используя
подпрограмму LIRAUR. Для этой цели назначим диапазоны
изменения параметров Гк и /ср в следующих пределах: 0,1 < Гк <: 1 с и
1 < /ср < 5.
Программа реализации указанных условий приведена ниже.
EXTERNAL FI2
CALL LIRAUR(.1,1.,1.,5.,1,FI2)
STOP
END
FUNCTION FI2(TK,KR)
REAL KR,N1,N2,N3
TR = . 08
F=l.
A3=l 0.*TR* *2
A2=l 0.*TK+TK* *2
Al = l 0.+ТК
A0=1.+5.«KR
N1 = .5*A1*F*F
N2=.5*A0*F*F
D=A0*(A1*A2—A0*A3)
DI = N1*(A1*A2—A0*A3)+N2*A2*A2
FI2=DI/D
RETURN
END
327

С.50000В 01 Й
О
0.42000Е 01
0.999$£В 06
0.10000Е 00 0.55000Е 00 О.ЮОООЕ 01
9 F- 0.1Э731Е 01 8 *• 0.12488Е 01 7 F- 0.11244E 01
6 Р- 0.10000Е 01
•5 Р» 0.87565Е 00 4 Р- 0.75128Е 00 3 ?• 0.62691Б 00
л 2 Р» 0.50254Е 00
1 Р- 0.37817Е 00 0 Р- 0.25380Е 00
ТОЧКА В J PMAX- 0.13731Е 01 ТОЧКА Н! ИЛЯ» 0.25381Е 00
*МАХ- 0.99996Б 00 ЛЁАХ- О.ЮОООЕ 01 УЮТ- 0.$0000В 01 XMIN- О.ЮОООЕ 00
DY« 0.8000E-01 ЪХт 0.1125Е-01
Рис. 173. Линии равного уровня и экстремальные точки функции двух
параметров
Для удобства определения искомых параметров графическое
изображение сопровождается печатью заданных предельных и
среднего значений первого аргумента, т. е. Гк (на оси абсцисс), и
значений второго аргумента, т. е. кр, выводимых через равные интервалы
печати (на оси ординат). Для этих же целей указываются
положения осей, если они вошли в диапазон изменения нулевых значений
первого и второго аргументов. Данные под рисунком позволяют
уточнить числовые значения функции на каждом уровне, а также
характеристики оптимальных точек. Максимум функции отмечается
точкой В на графике, а минимум — точкой Я. Из рис. 173 видно,
что /2тах = 1,3731 и координаты равны: Гк= 1 с и/ср = 1. Точка Я
в данном примере характеризуется числовыми значениями /lmln =
= 0,2538 и Гк = 0,1 с, кр = 5. Следовательно, с учетом заданных
значений параметров объекта и регулятора и пределов изменения
варьируемых параметров САР будет оптимальна при Гк = 0,1 с и
кп = 5.
328

Важно также отметить, что использование подпрограммы
LIRAUR не требует нормирования параметров САР и не имеет
ограничений с точки зрения порядка, вида или сложности функции.
8. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ ДЛЯ РАЗРАБОТКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ САР НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Иногда создание математических моделей САР аналитическими
методами затруднено или вообще невозможно ввиду сложности
такого описания.
В этих случаях может возникнуть необходимость разработать
математическую модель исследуемой системы на основании данных,
полученных в процессе нормального функционирования системы
или с помощью специально поставленного эксперимента.
Не менее важно получить числовые значения параметров модели,
необходимые для последующего решения задач анализа поведения
системы. Например, крутящие моменты двигателя, турбины и
компрессора, расходы воздуха через компрессор и турбину, расход
топлива, восстанавливающая сила регулятора, фактор торможения
и другие выражаются нелинейными функциональными
зависимостями, большинство которых определяется двумя и более
аргументами. В ряде случаев аналитическое описание этих зависимостей
отсутствует или является сравнительно сложным. Поэтому
определение частных производных функций, необходимое для вычисления
коэффициентов линеаризованных уравнений элементов, вызывает
определенные трудности и погрешности.
Одним из путей преодоления указанных трудностей является
разработка математических моделей САР или их элементов на
основании результатов замеров входных и выходных сигналов в
процессе специально поставленного эксперимента или нормального
функционирования системы. Такой путь получил название
идентификации параметров. Таким образом, идентификация—это
построение такой математической модели по результатам измерений,
которая наиболее точно описывает реальный процесс. При этом под
экспериментом понимается не только физический эксперимент, но
также результаты расчета сложной модели на ЭВМ. Последующая
обработка этих данных позволяет упростить саму математическую
модель.
Понятие идентификации включает определение области
изменения независимых переменных, выбор типа входного сигнала,
выбор вида уравнений и определение параметров математической
модели.
Определение области изменения независимых переменных
существенно влияет на результаты идентификации, так как
математическая модель адекватна реальному процессу только в выбранном
диапазоне изменения параметров и может оказаться непригодной
вне этого диапазона. Если эксперимент проводится в очень малой
области изменения переменных, количество данных может оказаться
недостаточным для оценки параметров математической модели.
329

Однако значительное расширение этого диапазона ведет к
усложнению эксперимента.
Выбор типа возмущения сопряжен с наличием необходимого
оборудования и реальными возможностями воссоздания в
эксперименте требуемого вида входного воздействия. Причем тип входного
сигнала влияет на выбор метода определения искомых параметров
математической модели.
Следующими этапами идентификации является выбор вида
уравнения и определение его параметров. Выбор уравнений необходимо
осуществлять с учетом физических закономерностей протекания
процесса и основывать на информации о поведении прототипа.
Методы получения математических моделей физических процессов
зависят от вида полученных экспериментальных данных:
статических или динамических характеристик. В первом случае
математические модели чаще всего имеют вид полинома. Во втором —
линейного или нелинейного дифференциального уравнения,
коэффициенты которого получаются с использованием методов
идентификации.
Для наилучшего соответствия выходных характеристик
математической модели и совокупности экспериментальных данных не
обязательно, чтобы результаты расчетов модели в точности совпадали
с имеющейся выборкой данных. Для наилучшего соответствия
функция ошибки, которая определяется как рассогласование между
выходами модели и экспериментальными данными, должна быть
минимизирована. Такой мерой ошибки наиболее часто выбирают
сумму квадратов ошибок
т
min£=2ej (617)
/=i
при
л
ej == У] (Xlj> X2j> • ' ' » Xpj) ~" 2j aifi (Xlj> *2/> • • • > Xpj)>
1=0
где m — число экспериментальных узлов аппроксимации; п —
степень приближающегося алгебраического многочлена; at — искомые
коэффициенты алгебраического многочлена; у; — полученные
экспериментально значения функции от различных параметров при
данных значениях аргументов; ft — выбранные комбинации
аргументов.
Получение модели в этом случае осуществляется подбором по
методу наименьших квадратов или средним квадратическим
приближением.
Предположим, что в результате проведенного эксперимента
имеется т выборок аргумента Xj и соответствующих им значений
функций yjy сгруппированных следующим образом: хъ ух\ х2, Уч\ - - .;
хт> Ут*
Допустим, что модель этого процесса представляет собой прямую
линию у = а0 + ахх. Требуется получить такие значения
коэффициентов а0 и а1у при которых сумма квадратов ошибок е;- для каждой
330

точки является минимальной. Ошибка е,- определяется как
расстояние по вертикали от /-й точки до линии модели и может быть
записана следующим образом:
ei = yi-ft = flb + «i*i--ft;
е2 = У 2 - У г = а0 + агх2 - у2;
Ч = Уъ-Ук = а<> + ЯЛ - У и;
ет = *//» — Ут = а* + fli*m — 0т-
В соответствии с выражением (617) функция ошибки
т т
Е = г\ + е!+ • • • + 4,= Ц е? = £ (& - у,)2 =
m
= S(a0 + ^;-f/;)2. (618)
Условиями минимума функции ошибки, т. е. функции от двух
искомых переменных а0 и а19 является равенство нулю ее частных
производных:
-2L.0 -^- = 0
Поэтому, дифференцируя выражение (617), получим систему
двух уравнений вида
т т
fit fit IR
а0 £ xf + ci S xj - 2 */0/ = 0.
Решение полученной системы уравнений дает
а0
«1
т
/=1
m
m
*?Е
/=1
т
/=1
т
т
»/-
*1-
#/-
4"
т
/ м
т
/=1
/ т
- s
т
Ъх1«1
*)'
т
/=1
-)"
331

Найденную модель следует проверить на достоверность. Обычно
мерой ошибки является среднее квадратическое отклонение,
определяемое по формуле
'm \«/t
/в| ■ в (619)
S = \&
т —2
г-
т —2
Для нормально распределенных процессов приблизительно 66 %
точек должны находиться в пределах области 2S и 95 % точек —
в пределах области 4S.
Модели процессов с многими переменными множественной
регрессии получаются по такой же методике, как модели процессов
с одной переменной.
Пусть функция у зависит от р параметров:
У == f (*i> *2» • • •> Хр),
Ее линейная модель может быть представлена уравнением
р
Задача сводится к определению искомых коэффициентов а09
а1у . . ., ар, при которых сумма квадратов ошибок будет
минимальной.
Определив
р
Zj = 9j-yj = a0+ Jjaixitj-yJ(j=lt 2, ..., т)>
где т — число экспериментальных выборок х и у, найдем функцию
ошибок (617).
Потребуем, чтобы все частные производные функции ошибок
по искомым коэффициентам были равны нулю:
да0 ~v' dat — u' ' • •» дар ~ u#
Дифференцирование дает систему уравнений, решение которой
позволит получить р искомых коэффициентов и, следовательно*
искомую модель физического процесса. В зависимости от характера
физических процессов тип моделей может меняться. Наиболее часто
используют следующие модели:
полиноминальную модель второго порядка для р переменных
управления
р р р
у = 2 aiXi + 2 2j atjXtXj;
i=0 i=l /=1
мультипликативную модель для р переменных управления
р
у = tfo*?1*?* . •. Хр*, или у = а0 П *?*;
333

экспоненциальную модель
р
у = ехр Jj diXi при х0 = 1;
обратимую модель для р переменных управления
У= р+ Еял) •
Аппроксимация результатов обычного эксперимента названными
моделями во многом упрощает условия выполнения задачи
идентификации, так как в этом случае достаточно иметь выборки значений
функции и связанных с ней аргументов в произвольных точках
поля возможных режимов работы объекта. Достоверность моделей
повышается, если для одной и той же рабочей точки можно
использовать несколько выборок функции и ее аргументов, в этом случае
уменьшается влияние погрешности измерений.
Практика расчетов показывает, что функциональные
зависимости параметров теплотехнических САР имеют вид достаточно
плавных поверхностей. Это позволяет аппроксимировать их моделями
не выше третьего порядка.
В математическом обеспечении ЭВМ имеется библиотека
стандартных подпрограмм математической статистики, использование
которой значительно упрощает подготовку и решение конкретных
задач идентификации.
Математические модели динамических процессов САР или их
элементов получаются также на основании метода наименьших
квадратов и в зависимости от характера эксперимента могут быть
записаны в виде системы дифференциальных уравнений.
Для того чтобы получить математическую модель САР в форме
передаточной функции, например
W (р) = —г^ , (620)
необходимо определить числовые значения коэффициента передачи к
и коэффициентов At аппроксимирующего полинома. Следовательно,
исходные данные в этом случае должны быть представлены
совокупностью дискретных значений частотной характеристики в
зависимости от частоты. Передаточную функцию (620) можно записать
в виде
«Г1 (р) = ЬпРп + W"1 + • • • + tlP + 60, (621)
где bi = Ai/k (1 = 0, 1, 2, ..., л).
Определив значения всех bi9 коэффициенты исходной
передаточной функции вычисляются в виде отношений
к=1/Ь0, Ai = bi/b0 (t = 0, l, 2, ...,п).
Ограничим порядок полинома п < 5, после подстановки р = т
в выражение (621) получим
и (со) = Ь0 — fe3(o2 + 64со4; v (со) = Ьх — 6qo)2 + 66со4. (622)
333

Значения и (со), v (со) и со известны из экспериментальных
данных, поэтому задача сводится к определению коэффициентов модели,
которую можно представить в виде
У,' = С1+с2(о2/ + сгь>)-
Индекс у здесь означает, что yj и со,- относятся к /-й выборке
экспериментальных данных, причем / = 1, 2, . . ., т.
Исходя из метода наименьших квадратов, потребуем, чтобы
функция ошибки
т т
£ = Е (У/ - Уjf = Л (с\ + с2<*) + сзсо/ - */у)2->min,
где у; — экспериментальное значение частотной характеристики
в /-й точке.
Система уравнений для определения clt с2 и с3 может быть
получена из условий
-Л—0 «-1,2,3).
Подставив вместо yj значения Uj (ш,) и решив систему уравнений,
получим значения съ с2 и с3, что позволит определить Ь0 = сх; Ь2 =
= —С2\ Ъ± = £з«
Если вместо yj рассматривать значения Vj (со;)/(о7-, то Ьх = съ
Оз — —C2i &5 = ^з»
Передаточная функция (620) характеризует динамические
свойства системы.
Изложенная методика определения параметров передаточной
функции реализована в двух подпрограммах: ведущей IDENTI (иденти-
икация) и вспомогательной SILUR, которые работают совместно,
о второй подпрограмме записаны алгоритмы решения систем
линейных алгебраических уравнений второго и третьего порядков
(см. прил.). Для подготовки исходных данных при идентификации
экспериментальные данные необходимо свести в таблицу, первый
столбец которой должен содержать значения частот, второй и
третий — значения действительной и мнимой частей частотных
характеристик или значения амплитудной и фазовой частотных
характеристик. Эти данные должны быть введены в память ЭВМ в
программе пользователя. При подготовке исходных данных необходимо
следить за тем, чтобы значение частоты не было равным нулю, так
как в подпрограмме есть операция деления на со. Для работы
подпрограммы IDENTI необходимо указать: число экспериментальных
точек (М)\ имя матрицы экспериментальных данных; признак,
определяющий вид системы координат записи частотной
характеристики (MOD = 0 — полярные координаты, MOD = 1 —
прямоугольные координаты), порядок аппроксимирующего полинома
передаточной функции (N <: 5), а также назначить в программе три
рабочих массива длиной М каждый и сообщить имена этих
массивов в обращении г
334

Выбор порядка аппроксимирующего полинома может быть
сделай в результате предварительного анализа поведения частотной
характеристики. Если при to ->• оо годограф частотной
характеристики охватывает Z квадратов, двигаясь по часовой стрелке, и в
системе нет интегрирующих звеньев, то степень полинома N = Z.
Если при этих условиях в системе имеются интегрирующие звенья
в количестве int, то N = Z — int.
Предположим, что передаточная функция чувствительного
элемента температуры имеет вид
W.(p) = 7/(16р2 + 8р + 1) = 7/(4р + I).2 (623)
После подстановки р = ш
A (to) = 7/(1 + 16to2), v И = —2 arctg (4to);
и (to) = 7 (1 — 16to2)/(l + 16to2)2, v (to) = —56to/(l + 16to2)2.
Меняя значения частоты от 0,1 до 2,0 через 0,1, вычислим А (со) и
у (to) в 20 точках частотной характеристики и поместим
полученные результаты во втором и третьем столбцах матрицы PLK.
Аналогичные вычисления приведем для и (to) и v (to), разместив данные
в матрице PRK- Так как значения коэффициента передачи k и
коэффициентов полинома At в этом случае известны, то обращение в
подпрограмму IDENTI позволит оценить точность идентификации
параметров.
Программа, в которой выполняются указанные расчеты и
обращения в подпрограмму идентификации, имеет вид
DIMENSION PLK(20,3),PRK(20,3),X(20),Y(20),Z(20)
1 FORMAT(1X,6F10.3)
2 FORMAT(///8X,,W,,8X,,A(W)\4X,,ARG(W),'
*7X,,W,,7X,'RE(W)\5X,'IM(W)7)
W=.l
DO3I = 1,20
PLK(I,1)=W
PRK(I,1)=W
B=16.*W*W
ZN=1.+B
PZ=L—В
ZN2=ZN*ZN
PLK(I,2)=7./ZN
PLK(I,3)=—2. * ATAN(4. * W)
PRK(I,2)=7.*PZ/ZN2
PRK(I,3)=-56.*W/ZN2
3 W=W+.l
PRINT 2
PRINT 1,((PLK(I,J),J = 1,3),(PRK(I,J),J = 1,3),I = 1,20)
CALL IDENTI(20,PLK,0,0,2,X,Y,Z)
CALL IDENTI(20,PRK,1,0,2,X,Y,Z)
STOP
END
335

Для наглядности числовые значения частоты и соответствующие
значения частотной характеристики приведены ниже.
О)
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
1.600
1.700
1.800
1.900
2.000
А (о»
6.234
4.268
2.369
1.966
1.400
1.036
0.792
0.623
0.501
0.412
0.344
0.291
0.250
0.216
0.189
0.167
0.148
0.132
0.119
0.108
V(o>)
—0.761
—1.349
—1.752
—2.024
-2.214
—2.352
—2.456
-2.536
—2.600
—2.652
—2.695
—2.731
—2.762
—2.788
—2.811
—2.832
—2.850
—2.866
—2.880
—2.893
G)
0.100
0.200
0.300
0.400
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.500
1.600
1.700
1.800
1.900
2.000
и (а)
4.370
0.937
-0.517
—0.862
—0.840
—0.729
—0.613
—0.512
—0.430
—0.363
—0.310
—0.267
—0.232
—0.203
—0.179
—0.159
—0.142
—0.127
—0.115
—0.104
v (©)
—4.162
—4.164
—2.822
—1.767
—1.120
—0.735
—0.502
—0.355
—0.259
—0.194
—0.149
—0.116
—0.093
—0.075
—0.061
—0.051
—0.043
—0.036
—0.031
—0.027
Протокол решения имеет вид:
Частотная характеристика задана в полярных координатах
Число интегрирующих звеньев INT = 0
Число экспериментальных точек М = 20
Порядок аппроксимации N = 2
Результаты идентификации передаточной функции по
частотной характеристике
К = 0-70000Е01
А(0) = 0.10000Е01 А(1) = 0.8 0000Е0 1 А(2) = 0.16 000Е0 2.
Аналогичный результат может быть получен и в декартовых
координатах.
Если сравнить полученные результаты с числовыми значениями
коэффициентов исходной передаточной функции (623), то получим
их полное совпадение, что свидетельствует о высокой точности
данного метода идентификации.
9. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА СВОЙСТВ САР С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
Применение ЭВМ для анализа статических и динамических
свойств САР имеет ряд особенностей. В качестве математической
модели САР рассматривается не дифференциальные уравнения (315),
(328) или др., а система уравнений (307), (322) или др., описывающих
динамические свойства каждого элемента и их связей в
исследуемой системе. Наличие системы дифференциальных уравнений
позволяет оценить поведение во времени всех координат и дать комплекс-
336

ный анализ взаимного влияния элементов на динамические свой,
ства САР.
Математическая модель, записанная в форме (307) или (322),
может быть использована и для определения статических свойств,
если принять все производные координат равными нулю.
Следовательно, математическая модель статики является частным случаем
исследования физических процессов.
Исследование динамических свойств элементов и системы в
целом базируется на использовании общего и частных решений
дифференциальных уравнений. Всякий раз, когда может быть получено
явное решение дифференциальных уравнений, обычно удобнее
использовать именно это решение.
С применением ЭВМ широкое развитие получили численные
методы интегрирования систем дифференциальных уравнений,
которые можно назвать пошаговыми, поскольку результаты
формируются в виде таблицы в процессе выполнения серии шагов. При
этом предполагается, что внутри временного интервала все
переменные сохраняют свое постоянное значение, а все термодинамические
процессы (политропные, адиабатные и т. п.) успевают закончиться.
Сущность численных методов заключается в замене производных
отношениями конечных разностей. Пусть £<0), /<1), /<2), . . ., *<*>,
/(/г+о . . . означает множество равноотстоящих значений аргумента
времени и ф<0), ф<1}, ф(2), . . ., ф^, ф<*+!> . . . обозначены
соответствующие искомые значения функции ф дифференциального
уравнения первого порядка вида
т. е. ф = / (ф, t). Скорость изменения ф на k-u шаге вычислений
определяется отношением
где h = /<*+i) — t{fi) — расстояние между соседними дискретными
значениями времени, которое рассматривается как шаг
интегрирования.
Следовательно, если будут известны значения ф<*> и ф(/г) в k-ft
точке и выбран шаг, то могут быть получены искомые ф и ф на k +
+ 1-м шаге.
Предположим, что полый интервал интегрирования [0, Т] может
быть выбран и разбит на п участков соответствующим выбором шага
интегрирования. Тогда для k = 0, 1, 2, ... будет получена система
п + 1 разностных уравнений вида
Ф^+^^Ф^-'-Аф^, (624)
которая содержит п + 1 неизвестных ф<°>, ф0>, . . ., ф</г). Для
решения системы уравнений (624) необходимо доопределить ее пу-
12 В. И. Крутов и др.
337

тем добавления одного уравнения. Это обычно выполняется
введением значения ф<0) в качестве начального в момент времени / = 0.
Для обобщения изложенного подхода к системам
дифференциальных уравнений первого порядка достаточно рассматривать ф
как элемент вектора V, а / (ф, /) как элемент вектор-функции F (V, t).
Пусть математическая модель исследуемой САР описана
системой уравнений в форме Коши
%- = F(V9l). (625)
Для расчета должен быть известен вектор начальных условий V (0) =
= У(0),
Требуется найти V (/) на интервале времени [0, Т]. Известно,
что решение такой системы существует и является единственным,
если правые части // (У, t) уравнений (625) непрерывны и
удовлетворяют условиям Липшица. Если эти условия соблюдаются, то
можно предположить, что несколько начальных значений вектора
V (t{l)), V (ty2)> . . ., V (tik)) уже вычислены в результате
предшествующих шагов и необходимо найти компоненты вектора на
k+ 1-м шаге интегрирования системы дифференциальных
уравнений. _
Формулы, по которым находят V(^*+!)), составляют сущность
того или иного численного метода. В зависимости от вида формул,
определяющих искомое значение компонентов вектора У(^+1))>
все численные методы делят на явные и неявные. Базой
большинства методов является разложение фунцкий vj (t) в ряд Тейлора
в окрестности точки t{k). Отбрасывание членов ряда различной
степени малости приводит к снижению точности результатов,
поэтому такое решение всегда является приближенным, и далее его
будем обозначать вектором U (t).
Разложим /-ю функцию vj (t) в ряд Тейлора относительно h
в окрестности &-го решения:
-*Г + 2]-п-^л' + */<А1+,>' (626)
где fly (/i/+1) — остаточный член формулы Тейлора.
Если в выражении (626) сохранить слагаемые до порядка
малости / включительно, а производные выразить через конечные раз-
338

ности, то приближенное решение искомого значения в точке f<*+o
может быть получено в виде
а}»+' > = «}*> + /ш}« + ±- VMf h • • • + -/г vi-'/iM>*>. (627)
где Уг — восходящая разность порядка г, причем
V, = «<*> - «Г"; VI = V* - V*_, = й}« - 2«Г'> + й}*-»> ,, т. д.
Как видно из выражения (627), искомое значение и}Л+1>
записывается явным образом как uJt itj и разности, найденные на
предыдущих шагах интегрирования. Величину / называют порядком
формулы интегрирования.
Среди явных методов наиболее широкое применение находят
методы Эйлера, Адамса и Рунге—Кутта.
Формула метода Эйлера может быть получена из выражения
(627), если принять / = 1:
и)А+п=а(*> + Лй(А>. (628)
Простота метода Эйлера связана с необходимостью хранить
в памяти ЭВМ только значения переменной и ее скорости,
полученные на предыдущем шаге. Можно показать, что метод обладает
сходимостью к точному решению Vj (t) при h -> 0. Поэтому, принимая
достаточно малое значение шага, можно обеспечить высокую
точность решения, если не учитывать ошибки округления.
Метод Адамса позволяет получить более высокую точность при
том же значении шага Л, так как порядок формулы интегрирования
в этом методе выше и обычно принимается равным четырем или пяти.
Однако применение метода Адамса возможно, только если первые
пять шагов интегрирования выполнены каким-либо другим
методом и, таким образом, уже накоплен ряд значений itj. При этом
точность применяемого метода должна быть не ниже точности метода
Адамса. Кроме того, в методе Адамса необходима непрерывность
производных Vj по времени до порядка / включительно.
В методе Рунге—Кутта достигается высокая точность
интегрирования и в то же время отсутствуют недостатки, присущие методу
Адамса. Среди методов Рунге—Кутта наиболее широкое применение
нашел метод вычисления с помощью четырехточечной
вычислительной схемы. В этом случае для начала вычислений не требуется
вычисления в точках, предшествующих 6-му шагу. Высокая точность
интегрирования обеспечивается путем дополнительного
определения значений правых частей /7- при некоторых промежуточных для
данного шага значениях аргументов. Поэтому объем вычислений
на одном шаге этим методом будет больше, чем методами Эйлера и
Адамса. Для / = 4 формулы метода Рунге—Кутта имеют вид
„<.*+!> = u[k) + (1/6) {ki + 2k2 + 2h + ^ (629)
где hl = hfJ(u^\t{k));
k2 = ft/, (*<*> + 0,5/г, uik) + 0,5*0;
12*
339

k, = hfj(tw -!- 0,5/1, uw -\- 0,5A-2);
ki = hfj{tw -|-Л, «(*>-|-£3).
Формулы методов неявного интегрирования также могут быть
получены путем разложения vj (t) в ряд Тейлора
/
+ 2j^a^-(<(*)-/ )'-|-*'(fc/+,)-
i=i
Сохраняя в разложении слагаемые для порядка малости /
включительно и заменяя производные конечными разностями, можно
получить
„(М-1) = u(k) + h 2 Mj*+2-o. (630)
t=i
При i = 1
Приближенное значение /-й переменной вычисляется по ее
значениям на предыдущем шаге и скорости ее изменения, которая
должна быть найдена.на данном шаге интегрирования.
Вычисления «}*+1) неявными методами более сложные, так
как для т переменных т уравнений (630) представляют собой
систему алгебраических и трансцендентных уравнений, решение
которой необходимо выполнять на каждом шаге интегрирования.
Однако суммарные потери при использовании неявных методов
могут оказаться меньше, чем при явных, за счет значительного
увеличения шага интегрирования. Неявные методы являются более
универсальными, так как их можно использовать при записи
математической модели системы в форме Коши, т. е. — = F (V, t), a
также для__математической модели системы, полученной в неявной
форме F(V, V, t) = 0.
В последнем случае к моменту выполнения k + 1-го шага все
величины в ^истеме (630)$_ кроме Z/<*+i) и #<*+>>, вычислены.
Подставляя (/<*+!> вместо V и заменяя V на (7<*+1>| можно
получить систему алгебраических уравнений
F(Uik+l\ 0 = 0, (631)
решение которой дает искомые значения вектора на k + 1 -м шаге
интегрирования.
Если математическая модель системы записана в форме Коши,
то в качестве неявного метода можно использовать неявную формулу
Эйлера первого порядка
yik+D^yik) +hp(JjW)9 f<*+!>). (632)
340

Решение системы алгебраических уравнений (631) или (632)
целесообразно искать с использованием метода Ньютона, выбирая
в качестве начального приближения вектора [/<*>, т. е, результаты,
полученные на предыдущем шаге интегрирования. Практика
расчетов динамических характеристик теплотехнических САР
показывает, что на начальных стадиях переходных процессов наблюдаются
наиболее резкие изменения характера процессов. По мере
приближения к установившимся режимам процессы успокаиваются, что
выражается в плавном изменении кривых. Отсюда следует, что
существует некоторое оптимальное значение шага интегрирования
на разных этапах расчета переходных процессов, выбор которого
позволит обеспечить, с одной стороны, полную информацию о
характере переходных процессов, с другой — меньшие затраты
машинного времени при условии, что заданная точность расчетов
выдерживается. Расчет характеристики возможен, если будет обеспечено
автоматическое изменение шага по мере протекания переходных
процессов.
Сравнение явных методов показывает, что при одном и том же
значении шага h метод Рунге—Кутта заведомо точнее метода Эйлера,
но уступает по точности методу Адамса. Стремление получить более
высокую точность результатов путем уменьшения шага
противоречит требованию экономичности, так как возрастают потери
машинного времени.
Увеличение шага может привести не только к потери точности
интегрирования, но и к нарушению устойчивости вычислительной
процедуры, так как явные методы интегрирования очень
чувствительны к изменению шага и при достижении h = Адоп наблюдается
резкий рост погрешности вычислений. Точность k-го шага в методах
Эйлера и Рунге—Кутта можно оценить по норме ||1/1.<Л> — £/2(Л)||,
где 1/1 <*) — вектор переменных состояния, вычисленный при шаге,
равном ft<*>; t72<*> — тот же вектор, вычисленный при шаге,
равном 2А<*>. Если норма окажется больше некоторой заданной
величины е, то hw следует уменьшить вдвое и повторить расчеты для
момента <<*>. Если ||Z7l<*> — Z/2<*y < be, где 0 < Ь < 1, то шаг
необходимо увеличить вдвое, т. е. Ulik+l) вычисляется при №к+1) =
= 2hSkK a J72<*+!> при fc<*+D *= 4ft<*>. И наконец, если е >
>| £/!(*) — и2<кЦ < Ьг, то вычисление компонентов вектора V
ведется при том же шаге. Указанная процедура приводит к
увеличению временных потерь, но ее можно использовать в качестве
одного из алгоритмов автоматического выбора шага в тех случаях,
когда порядок системы дифференциальных уравнений невысокий.
Более экономно контроль погрешности вычислений можно
выполнить с использованием методов прогноза и коррекции. Сущность
алгоритма вычислений сводится к следующему. Вначале находится
ориентировочный вектор переменных состояния £/<*+*>, например
по формуле Эйлера U^1* = 77<*> + ft<*>F (Wk\ <<*>). Затем вы-
341

числяется вектор правых частей для момента времени /(*+!) : F X
X (0(к+1) > №+1>). и полученные значения используются для
окончательного определения вектора U(*+]) по корректирующей
формуле. Наиболее простой корректирующей формулой является
формула трапеций
V{k+l) = Uw + (l/2)h{k)[F(U{k\ t{k)) i-F(OikW, t{k+l%
Контроль погрешности вычислений осуществляется путем
сравнения нормы ||77(*+i>_ !7<*+i>||c е.
Анализ динамических свойств САР с помощью ЭВМ значительно
упрощается путем использования стандартных подпрограмм,
имеющихся в библиотеках вычислительных центров.
Пусть, например, переходные процессы САР прямого действия
описываются системой дифференциальных уравнений (307).
Большинство методов численного интегрирования предполагает
задание системы дифференциальных уравнений в форме Коши
путем введения новых переменных для понижения порядка
дифференциальных уравнений до первого. Тогда
-§1=1/г0(-ф-О);
(633)
Предположим, что числовые значения коэффициентов уравнений
определены
Г0 = 10 с; Ко = 5; Тр = 0,08 с; Тк = 0,4 с; к$ = 3,0.
Если начальные условия известны, например ф0 = 1,0; ч\0 = 0;
х|*о = 0, то решение системы дифференциальных уравнений (633)
можно выполнить с помощью стандартной подпрограммы методом
Адамса с автоматическим выбором шага. Обращение к этой
программе имеет вид
CALL OMAD (PRMT, Y, DERY, NDIM, IHLF, FCT, OUT, AUX).
PRMT — вектор входных и выходных данных размера ^ 5,
элементы которого содержат: PRMT (1), PRMT(2) — значения
соответственно нижнего и верхнего интервалов интегрирования;
PRMT(3) — начальный шаг интегрирования; PRMT(4) — верхнюю
границу погрешности вычислений, которую можно изменять в
процессе решения с помощью подпрограммы OUT. Следует подчеркнуть,
что PRMT(5) не является входным параметром. В подпрограмме
OMAD при первом к ней обращении этому элементу присваивается
значение 0. Если надо закончить интегрирование системы в
некоторой точке из интервала интегрирования или при выполнении
342

какого-либо условия, проверяемого в процессе решения,
необходимо изменить значение PRMT(5) на ненулевое с помощью
подпрограммы OUT.
Матрица входного вектора Y начальных значений имеет размер,
равный числу уравнений. В процессе расчетов в Y записываются
значения зависимых переменных, вычисленных в промежуточных
точках аргумента. DERY является входным вектором весовых
коэффициентов ошибок отдельных компонентов. Сумма его
элементов должна быть равна единице. При вычислении правых частей
уравнений системы DERY становится вектором значений правых
частей системы уравнений, т. е. производных функций в дискретных
точках аргумента. NDIM показывает число уравнений в системе.
IHLE есть целая переменная, значение которой при выводе
соответствует числу делений начального шага. Если IHLF > 10, то
подпрограмма передает управление в основную программу с
сообщением об ошибке IHLF =11. Внешняя подпрограмма правых частей
системы FCT вычисляет правые части системы для данных
значений X и Y и присваивает им имена DERY. Список ее параметров —
X, Y, DERY. В подпрограмме FCT не должны искажаться X и Y.
Внешняя подпрограмма OUT — подпрограмма вывода результатов,
а также изменения погрешностей или анализа условий
прекращения счета. Список ее параметров — X, Y, DERY, IHLF, NDIM,
PRMT. Ни один из этих параметров [кроме PRMT(4) и PRMT(5),
если необходимо] не должен изменяться подпрограммой OUT.
Вспомогательный двумерный массив памяти AUX имеет размер
8 X NDIM.
Внешние подпрограммы FCT (X, Y, DERY) и OUT (X, Y, DERY,
IHLF, NDIM, PRMT) должны быть составлены пользователем.
Процесс расчета прекращается, и управление передается в
основную пограмму, если требуется более 10 делений пополам
начального шага интегрирования для того, чтобы получить достаточную
точность (обобщение об ошибке IHLF = 11), если начальный шаг
равен нулю или имеет неверный знак (сообщение об ошибке IHLF =
= 12 или IHLF =13), если интегрирование выполнено на всем
интервале, если подпрограмма OUT изменила значение PRMT(5)
на ненулевое.
Предварительно уточним параметры списка подпрограммы OMAD
с учетом рассматриваемого примера. Элементами первого массива
этого списка, который в дальнейшем будем называть PR, являются
числовые значения условий интегрирования, т. е. выбранные
значения момента времени, соответствующего началу переходного
процесса PR (1) = 0, предполагаемого времени окончания
переходного процесса PR (2) = 4 с; начального шага интегрирования
PR (3) = ЫО"6 с и погрешности вычислений PR (4) = 0,001.
Элементу PR (5) выделяется место в памяти ЭВМ, так как этого требует
подпрограмма OMAD, но числовое значение не присваивается,
поскольку он не является входным параметром. Вектор переменных
состояния запишем черех V: V (1) = ср, V (2) = т), V (3) = \|\ при
343

t — 0 начальные значения его элементов (по условию) равны V =
= {1, 0, 0}. Вектор значений производных FV имеет размер, равный
числу уравнений системы (633). Весовые коэффициенты ошибок
его элементов при t = 0 принимаются примерно одинаковыми и
равными 0,33. Смысл остальных параметров очевиден из их описания.
Вывод искомых результатов на печать можно организовать
различными способами. Поскольку интегрирование ведется с очень
малым шагом, то для удобства дальнейшего анализа кривых
переходных процессов следует ограничить в разумных пределах число
выводимых точек путем указания определенного шага печати резуль -
татов. Для этой цели вводится начальное значение печати аргумента
ТН = 0 и шаг печати HP = 0,1. Следует обратить внимание на то,
что в качестве выводимых результатов можно получить значения
как ф и к), так и их производных. Однако для наглядности
ограничимся печатью только двух переменных. Результаты можно оформить
в виде графиков переходных процессов, используя подпрограмму
PEGRAF (см. прил.). Таким образом, для расчета данного примера
необходимые программные модули записываются следующим образом.
С Основная программа расчета динамики
DIMENSION V(3),FV(3),PR(5),AU(8,3)
INTEGER *2MK(41,61)
COMMON/OP/NA,TH,HP,PG(41,3)
EXTERNAL FCT.OUT
DATA V/l.,0.,0./,FV/2*.33,.34/,PR/0.,4.,l.E — 6..001/
NA=0
TH=0.
HP=.l
CALL OMAD(PR,V,FV,3,IH,FCT,OUT,AU)
CALL PEGRAF(0,PG,NA,3,MK,A,B,C,1)
STOP
END
С Подпрограмма вычислений правых частей
SUBROUTINE FCT(T,V,FV)
DIMENSION V(3),FV(3)
REAL KO/5./.KR/3./
DATA TO,TR,TR/10.,.08,.4/
FV(l)=l./TO*(—V(l)—KO*V(2))
FV(2)=V(3)
FV(3)=1./(TR *TR) * (—TK * V(3)—V(2)+ KR *V(1))
RETURN
END
С Подпрограмма формирования массива вывода
SUBROUTINE OUT(T,V,FV,IH,ND,PR)
DIMENSION V(3),FV(3),PR(5)
COMMON/OP/NA,TH,HPP,G,(41,3)
IF(T—TH)3,1,1
344

X« 0.0
1-
4 3
2 3
31
3 1 2
3 1
3 1
1
1
1
1
1
1 4
4
Х- 0.5000вЕ 00+ 3
: 3
:3
:3
:3 1
3 П
3 4
3 4
3 41
3 41
X» О.10000Е 01+ 41
341
341
4 1 2
41 2
41 2
4 2
4 2
4 2
Д 2
X* 0.15000Е 01+ 2
2'
2
2
24
4
4
Р2.
РЗ.
Р4.
4 Р1-
4 Р2«
4 F3«
P4t
Р1«
• 0.24800Е 00
• 0.93500Е 00
• О.ЗЗЮОЕ 01
• 0.89700Е 00
» 0.12130Е 01
к 0.51200В 00
» О.ЗЗЗООЕ 01
> 0.72000Е 00
*2. 0.13980Е 01
Р3«
P4i
Р1.
Р2.
РЗ.
Р4.
Р1.
Р2.
РЗ.
Р4«
Р1-
Р2.
РЗ.
Р4.
Р1.
Р2.
РЗ.
Р4«
Р1.
Р2.
РЗ.
■ 0.20300Е 00
■ 0.10380Е 01
« 0.53800Е 00
• 0.12590Е ОТ
« 0.83000Е-01*
« 0.47400Е 00'
« 0.37900Е 00
» 0.11150Е 01
. О.ЗЗОООЕ-01
» 0.19300Е 00
. 0.23700Е 00
» 0.91200Е 00
• 0.15000Е-01
. 0.670С(ОЕ-01
. 0.11700Е 00
■ 0.69900Е 00
. 0.60000Е-02
• 0.39000Е-01
. 0.34000Е-О1
■ 0.45800Е 00
■ 0.100001-02
NX* 31 DX* 0.50000E-01 TTY-61 DY* 0.69300E-O1
Рис. 174. Переходные процессы, построенные с помощью ЭВМ
1 NA=NA+1
PG(NA,1)=T
PG(NA,2)=V(1)
PG(NA,3)=V(2)
PRINT2,T,V(1),V(2)
2 F0RMAT(1X,3E18.4)
TH=TH+HP
3 RETURN
END
Переходные процессы регулируемой координаты (кривая /) и
воздействий регулятора (кривая 2) показаны на рис. 174.
Ранее отмечалось, что параметры САР могут быть выбраны,
исходя из минимума интегральной оценки качества (см. рис. 173).
Переходные процессы полученные с учетом оптимальных
значений коэффициентов Тк = 0,1 с и ftp = 5 (кривые 3 и 4), также
приводятся на рис. 174. Сравнительный анализ двух вариантов
расчетов позволяет отметить, что длительность переходных
процессов в последнем случае существенно меньше.
10. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В СИСТЕМАХ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ
Автоматическое регулирование таких объектов, как турбины,
атомные электростанции, системы жизнеобеспечения пассажирских
самолетов и многие другие, сопряжено с необходимостью
поддерживать в заданных пределах одновременно несколько регулируемых
345

координат, В этих случаях число автоматических регуляторов,
установленных на объекте, возрастает, и работа оператора,
связанная с их обслуживанием, усложняется. Для ее облегчения
большинство регуляторов стремятся смонтировать на одной панели, чтобы
улучшить условия наблюдения за их работой. Однако при такой
системе автоматизации трудно (или вообще невозможно) обеспечить
оптимальное управление объектами, так как имеют место
недостаточная согласованность работы регуляторов, возможность выхода
объекта на опасные рабочие режимы по некоторым параметрам.
Применение ЭВМ в системе управления объектами позволяет
преодолеть большинство из указанных недостатков, так как ЭВМ
обеспечивают большую скорость вычислений, возможность накапли*
вать и хранить данные и выполнять логические операции по анализу
условий и принятию решений. Эти свойства ЭВМ позволили
оптимизировать процесс управления, сделать его более экономным и
эффективным. По заранее составленной программе с помощью ЭВМ
сравниваются текущие и требуемые значения входных и выходных
параметров и по результатам принимаются решения, направленные
на оптимизацию протекающих процессов. Таким образом, без
участия оператора ЭВМ обеспечивает согласованность, быстроту и
надежность работы объекта.
ЭВМ в системе управления объектом осуществляет обработку
данных, характеризующих работу объекта, слежение за их
значениями в процессе работы, обеспечивает непосредственное,
программное и оптимальное управление.
Схема системы обработки данных, включающая ЭВМ, приведена
на рис. 175. Выходные данные, характеризующие работу объекта,
помимо обычного контура САР, объединяющего объект и
автоматические регуляторы, параллельно поступают в систему сбора данных
в ходе процесса, переводятся в цифровую форму и передаются в ЭВМ.
Вычислительная машина обрабатывает полученные данные и вы-
ВхвдЫ
-**£рЗ
Объект
Выходы
-?—►
Адтопатическце
регуляторы
—\—
/
Измерительные
приборы
¥
/
/
/V
/
Система
сбора данных
Средства
отображения
N
/■
Сигнализация
тревоги
Рабочий Li 7/?/7 I . ^Данные для
формуляр \*-\JDIt \-*\J других ЭВП
Ч Рекомендации
PQ работе
у~~\
Цокупентальньм
форпуляр
Рис. 175. Схема сислчмы обработки данных в САР
346

Эталонные
значения
Управляющая
ЭВГ7
АвтоматичеШе
регуляторы
Эталонные
Команды
Значения
Управляющая
ЭдП
а) б)
Рис. 176. Схемы включения ЭВМ в САР:
а — с заменой автоматических регуляторов на ЭВМ; б — с изменением настройки
регуляторов с помощью ЭВМ
дает текущую и сводную статистическую информацию о ходе
управления объектом. Обработанные текущие данные поступают к
оператору через средства отображения в виде рекомендаций по работе
с системой. ЭВМ может оценивать эффективность работы объекта
и выполнять анализ характера изменения выходных параметров для
предупреждения аварийной ситуации.
Таким образом, в таком виде ЭВМ лишь получает информацию,
обрабатывает ее и выдает рекомендации оператору и, следовательно,
в процессе управления и регулирования непосредственного участия
не принимает. ЭВМ при достаточном быстродействии может быть
включена в контур регулирования, тогда она принимает
непосредственное участие в этом процессе без оператора.
Системой с непосредственным управлением называют систему,
в которой вместо автоматических регуляторов используется ЭВМ
(рис. 176). Такая система состоит из управляющей ЭВМ и цифро-
аналоговых и аналого-цифровых преобразователей сигналов (рис. 176,
а). Сигналы, характеризующие уровень регулируемых параметров,
снимаются с объектов прерывисто (дискретно), и ЭВМ управляет
объектом (объектами) с разделением во времени. Сигналы эталонных
значений параметров могут определяться ЭВМ по заданной программе
или подаваться извне.
Программное управление предусматривает выработку системой
машинного управления объектом определенных функциональных
сигналов в соответствии с заложенной программой. Оно может
осуществляться с помощью автоматических регуляторов (рис. 176, б)
путем подачи к ним эталонных значений координат или
обеспечивать ввод управляющих воздействий, т. е. осуществлять настройку
регуляторов.
Управление объектом может быть оптимальным, если требуется
создать такие условия его работы, при которых обеспечиваются
оптимальные характеристики процессов (снижаются до минимума
затраты ресурсов, сокращается продолжительность процессов,
обеспечивается наилучшая экономичность и т. п.).
Оптимальное управление может осуществляться без обратной
связи, с обратной связью или быть смешанным. В первом случае
347

I IАвтоматические я I I \A6mt
А6томатические\
регуляторы
дталонные
Требуемые
режимы
работы
Математическая
под ель
оптимального
управления
\Wnem I
Вх
&ЫХ
Автоматические^ I
регуляторы
Эталонные
Требуемые
режимы
работы
значения
Экспериментальное}
определение
целевой функции]
I Объект
Вых
Автоматические
регуляторы
\Зтвяонные
Требуемые]
режипы
работы
значения
Математическая
модель
оптимального
улрабления
\Зкспериментальное\
U4 определение
щелевой функции
о)
б)
6)
Рис. 177. Схемы оптимизации процесса управления объектом:
а — без обратной связи; б — с обратной связью; в — смешанная
(рис. 177, а) управляющее воздействие рассчитывается по
уравнениям без измерения сигнала рассогласования. ЭВМ решает
уравнения и выдает значения параметров процесса, требуемые для
оптимизации целевой функции.
При оптимальном управлении с обратной связью (рис. 177, б)
наличия уравнений не требуется, а достижение оптимизации
целевой функции обеспечивается методом проб, т. е. экспериментальными
замерами входных и выходных параметров в процессе управления.
Наиболее успешное ведение процессов достигается в том случае,
когда используется сочетание обоих способов оптимального
управления (рис. 177, в).
Таким образом, машинное управление объектами может быть
успешно выполнено при наличии математических моделей и
соответствующих программ вычислений на ЭВМ.
В системах управления и регулирования в зависимости от
назначения используются модели трех типов:
функциональные модели, описывающие принципиальные схемы
физических систем и функции вычислительной машины в этой
системе;
процедурные модели, определяющие порядок работы по
выполнению различных операций физических объектов;
I
I
—Н9)—*
(-Па
Алгоритм
управления
ЦАП
ЗВП
АЦП
Автоматический
регулятор
Исполнительный
механизм
I
Датчик
Рис. 178. Функциональная схема с ЭВМ регулирования одной координаты объекта
348

модели физических процессов элементов и систем в целом,
описывающие математические зависимости между переменными. Этот
тип моделей рассматривался в предыдущих главах книги.
Функциональные модели описывают функции, выполняемые
элементами системы регулирования во время работы системы.
Разработка моделей этого типа является первым шагом на пути
автоматизации систем, так как позволяет получить общее представление
о структуре системы, ее элементов и процессов, протекающих в
системе. В модели этого типа входят описание конструктивных
особенностей и способов функционирования элементов и САР
(например, чувствительных, усилительных элементов, обратных связей,
объектов регулирования, устройств ЭВМ и способов их
взаимодействия, т. е. аппаратных средств ЭВМ, и т. п.).
Так, функциональная схема с ЭВМ, осуществляющая
регулирование одной координаты (рис. 178), объединяет ЭВМ управления
процессом, сопрягающие устройства, автоматический регулятор,
исполнительный механизм, объект регулирования, датчик сигнала
и элемент сравнения. В качестве сопрягающих устройств
используются цифроаналоговый преобразователь ЦАП для преобразования
дискретных сигналов, поступающих на ЭВМ, в непрерывный сигнал,
подаваемый на автоматический регулятор. Обратное преобразование
сигнала, приходящего от датчика к ЭВМ, выполняется с помощью
аналого-цифрового преобразователя АЦП.
Работа такой системы заключается в следующем. Выходной
сигнал ф объекта регулирования фиксируется с помощью датчика,
преобразуется в АЦП в R сигнал и подается на элемент сравнения.
Сигнал ошибки X определяется в виде разности эталонного Е и
выходного R сигналов X = Е — R. Затем происходит
преобразование сигнала X в сигнал Y по заданному алгоритму управления.
Автоматический регулятор и ЦАП вырабатывают управляющее
воздействие Z, поступающее на объект регулирования через
исполнительный механизм.
Процедурные модели в отличие от функциональных описывают
порядок управления работой отдельных элементов и систем в целом.
Особый интерес представляют информационные модели и
процедурные модели обеспечения режимов безопасной работы.
Информационные модели определяют содержание и способы
обработки информации о работе объекта, а процедурные модели
обеспечения режимов безопасной работы характеризуют состояние
объектов с позиций безопасности. Процедурные воздействия на
объект обычно являются дискретными и выполняются во время
операций пуска или останова.
Процедурные модели наиболее часто записываются в виде
алгоритма, т. е. совокупностью правил, четко и однозначно
определяющих последовательность действий по управлению данным объектом
или системой.
Математическая модель функционирования САР может быть
разработана заранее или получена в процессе работы, если в ЭВМ
заложен соответствующий алгоритм.
349

яриложйнив
ПОДПРОГРАММ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ И КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПОДПРОГРАММА FLBVER
НАЗНАЧЕНИЕ
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА СИСТЕМЫ,ИСХОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛЬЮ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ СИСТЕМА ЛИНВЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
CALL FLEVER (1,В,А,С,В,НР,КР)
ОПИСАНИВ ПАРАМЕТРОВ
И - РАЗМЕР КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ В;
Ъ - ВВОДИМАЯ МАТРИЦА МяМ,СОДЕРЖАЩАЯ
КОЭФФИЦИЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ВВОДЯТСЯ ПО СТРОКЕ.
В ПРОЦЕССЕ РАСЧЕТА СОХРАНЯЕТСЯ;
А - ВЫВОДИМЫЙ ВЕКТОР ДЛИНОЙ M+I
КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА;
С - РАБОЧАЯ МАТРИЦА М*М;
D - РАБОЧАЯ МАТРИЦА МхМ;
ИР - РАБОЧИЙ ВЕКТОР ДЛИНОЙ M+I;
КР - ПРИЗНАК ПЕЧАТИ:
КР-0 - ПЕЧАТЬ НЕ НУЖНА,
КР-1 - НУЖНА ПЕЧАТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ.
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ - НЕТ
SUBROUTINE PLOTTER (M,B,A,C,D,VP,KP)
DIKCTSIOK A(1),UP(1),B(1I,M),D(M,M),C(M,M)
1 ?ORMAT(///3U,'КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛИНОМА«,/ЗОХ,
12M«-»)//4(6X,'A(M2,')-',El2.5))
DO 2 1-1,M
DO 2 J-1,11
2 D(X,J)-B(I,J)
A(1)-1.
DO 6 1-1,11
S-0.
DO 3 J-1.K
** S«S+D(J,J)
Q-S/I
DO 4 J>1,U
4 D(J,J)-D(J,J)-Q
DO б J«1,M
DO 6 L-1.M
R.0.
DO 5 K-1,M
5 R-R+BU,K)sD(lC,L)
6 C(J,L)-R
DO 7 J-1,M
DO 7 L-1,M
7'D(J,L)eC(J,L)
8 A(I+1)«-Q
IP (KP.BQ.0) 00 TO 10
1Ш-И+1
DO 9 1-1,HM
9 ИР(1)-М+1-1
PRIHT 1,(HP(I),A(I),I.1,MM)
10 RETURH
EID
ПОДПРОГРАММА TBRAUS
НАЗНАЧЕНИЕ
ФОРМИРОВАНИЕ ТАБЛИЦЫ РАУСА ПО
КОЭФФИЦИЕНТАМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА
ОБРАЩЕНИЕ
CALL TBRAUS (A,B,W,M,KL)
ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
А - ВВОДИМЫЙ ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПОЛИНОМА,УПОРЯДОЧЕННЫХ ОТ БОЛЬШЕЙ К МЕНЬШЕЙ
СТЕПЕНИ Р. ДЛИНА ВЕКТОРА ИГ;
R - ВЫВОДИМАЯ МАТРИЦА РАУСА ИиМ;
W - ЧИСЛО СТРОК МАТРИЦЫ R,РАВНОЕ КОЛИЧЕСТ
ВУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА ИЛИ W+1,
ГДЕ:»-ПОРЯДОК ПОЛИНОМА СИСТЕМЫ;
М - ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ R,РАВНОЕ ЦЕЛОМУ
ОТ Н/2+1;
KL . НЕОБХОДИМОЕ КОЛИЧЕСТВО КОПИЙ; ПЕЧАТИ.
ПРИ КЬ-0 ПЕЧАТЬ НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ.
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАШЫ - НЕТ.
SUBROUTINE TBRAUS (A,R,W,II,KL)
DIMSNSIOV A(1),R(IH,M)
10 P0RMAT(////21X,«ТАБЛИЦА РАУСА»,/)
11 FORMAT (6X.8(E11.4,3X))
DO 1 1-1,11
350

DO 1 J-1,M
1 R(I,J)«0.
DO 4 J-1,1
R(1,J)-A(2*J-1)
IP (NN-2nJ) 3,2,2
2 R(2,J)-A(2»J)
00 TO 4
3 R(2,J)-1.E-25
4 CONTIEUE
DO 5 1=3,KI
AA-*R (1-2,1)/R (1-1,1)
нм=||-(1-етг/(?»и))/2
DO 5 К»1»МИ
IP (K-M.GT.M) GO TO 5
R(I,K)-R(I-2,K+1)-AA«R(I-1,K+1)
5 CONTINUE
IP (KL.EQ.0) GO TO 8
6 PRINT 10
DO 7 1-1,NN
7 PRIST 11,(R(I,J),J-1,M)
L-L+1
IP (KL.GT.L) GO TO 6
8 RETURN
END
ПОДПРОГРАММА RAUS
НАЗНАЧЕНИЕ
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ПО КРИТЕРИЮ
РАУСА
ОБРАЩЕНИЕ
CALL RAUS (A,B,VH,M,EP)
ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
I ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ
ПОЛИНОМА, УПОРЯДОЧЕННЫХ ОТ БОЛЬШЕЙ К МЕНЬШЕЙ
СТЕПЕНИ Р. ДЛИНА ВЕКТОРА NN;
В - РАБОЧАЯ МАТРИЦА NVsM;
УК - ЧИСЛО СТРОК МАТРИЦЫ В,РАВНОЕ
КОЛИЧЕСТВУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА ИЛИ 5+1,
ГДЕ: I - ПОРЯДОК ПОЛИНОМА СИСТЕМЫ;
М- ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ В , РАВНОЕ
ЦЕЛОМУ ОТ 1/2+1;
КР - ПРИЗНАК ПЕЧАТИ:
КР=0 - ПЕЧАТЬ НЕ НУХНА,
КР= 1 - ПЕЧАТЬ НЕОБХОДИМА.
ПРИМЕЧАНИЕ
ПОДПРОГРАММА ОБЕСПЕЧИВАЕТ ПЕЧАТЬ СООБЩЕНИЙ:
СИСТЕМА УСТОЙЧИВА ИЛИ • СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА'.
ВО ВТОРОМ СЛУЧАЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ПЕЧАТАЕТСЯ
МАТРИЦА РАУСА.
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ - НЕТ
SUBROUTINE RAUS (A,B,NN,M,KP)
DIMENSION A(1),B(NN,M)
1 FORMAT (///411,'СЖШЛА УСТОЙЧИВА',
1/40Х.19С»')///)
9 F0RMAT(///41X,'СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА•,
2/40Х,22('»•))
3 FORMAT (//45X, «ТАБЛИЦА РАУСА»,/)
4 FORMAT (6X,8(E11.4,3X))
DO 6 1-1,NN
DO 6 J=1,M
6 B(I,J)«0.
KN-0
DO 9 J-1.M
B(1,J)-A(2xJ-1)
IF (B(1,J).LE.0.) KN-KN+1
IF (NN-2xJ) 8,7,7
7 B(2,J)-A(2jiJ)
IF (B(2,J).LE.0.) KN-KN+1
GO TO 9
8 B(2,J)«1.E-25
9 CONTINUE
DO 11 1-3,NN
AA-.B(I-2,1)/B(I-1,1)
MM-M-(I-NN/(2aM))/2
DO 10 K-1,MM
IF (K+1.GT.M) GO TO 11
10 В(1,К)»В(1-2,К+1)-ААлВ(1-1,К+1)
IP (B(I,1).LE.0.) KN-KN+1
11 CONTINUE
IP (KP.BQ.0) GO TO 15
IF (KN.NE.0) GO TO 12
PRINT 1
GO TO 15
12 PRINT 2
PRINT 3
DO 13 1-1,NN
13 PRINT 4,(B(I,J),J-1,M)
15 RETURN
END
ПОДПРОГРАММА OBLUST
НАЗНАЧЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
В ПЛОСКОСТИ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ
ОБРАЩЕНИЕ
351

CALL OBLUST (XM,XB,Yll,YB,F,B,Hir,M,KL)
ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
XM,XB - МИНИМАЛЬНОЕ И ШСИМАШЮЕ ЗНАЧЕНИЯ
ПЕРВОГО ПАРАМЕТРА;
УК,ТВ - МИНИМАЛЬНОЕ И МАКСИМАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЯ
ВТОРОГО ПАРАМЕТРА;
F - ВЕКТОР ДВИНОЙ ЮГ, СОДЕРЖАЩИЙ ТЕКУЩИЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ X И Y;
В - РАБОЧАЯ МАТРИЦА Н*лМ;
ЛГ - КОЛИЧЕСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА,
РАВНОЕ Н+1,ГДВ:Л-ПОРЯДОК
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОЛИНОМА СИСТЕМЫ;
U - КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ В,
РАВНОЕ ЦЕЛОМУ ОТ Я/2+1;
И, - ТРЕБУЕМОЕ КОЛИЧЕСТВО КОПИЙ ПЕЧАТИ
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ
ПОДПРОГРАММА OBLUST РАБОТАЕТ СОВМЕСТНО С
ПОДДРОГРАММОЙРОЯОВ1 .ПОДГОТОВЛЕННОЙ
ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ. В ПОСЛЕДНЕЙ ЗАПИСЫВАЮТСЯ ВЫРАЖЕНИЯ ОЯ2К-
ЦИЙ F ОТ АРГУМЕНТОВ X.Y.
SUBROUTINE OBLUST (ХМ,ХВ, YM,YB,F,B,3fi!r,M,KL)
DIHEHSION F(1),B(KH,M)
ISTEGER*2 МО(41,81),К0,К1,К2
DATA IY,KI,K0,K1Д2/41,81,'♦»,»»•,•»'/
1 FORMAT (13X,S12.5,1X,81A1)
2 FORMAT (26X,81A1)
3 FORMAT (22X,E12.5,28X,E12.5,28X,
1Е12.5//49Х,'ПРИМЕЧАШ1Е: t.+.. СИСТЕМА •,
2» УСТОЙЧИВА,' / б 2Х, • * • *' • СИСТЕМА НЕУСТОЙЧИВА •)
4 FORMAT (29X,'UY-»,I3,3X,'DY««,E12.5,26X,'KX=',
3I3.3X, «DX-» ,Е12.5///47Х, «РИС ' ,6Х, • ОБЛАСТЬ'.
4* УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ »/531, • в ПЛОСКОСТИ '.
5 • ДВУХ ПАРАМЕТРОВ» /////)
5 FORMAT (/////)
DX-(XB-XM)/(HX-1)
DY-(YB-YM)/(SY-1)
Y*YB+DY
DO 13 JY-1.HY
Y-Y-DY
X-XM-DX
DO 13 JX*1,HX
X-X+DX
CALL FUHOBL (X,Y,F)
DO 7 1-1,UN
DO 7 J-1.M
7 B(I,J)-0.
DO 9 J-1.M
B(1,J)-P(2rJ-l)
IF (B(1,J).LE.0.) 00 TO \Z
IF (mr-2»J) 9,8,8
8 B(2,J)-F(2iiJ)
IF (B(2,J).LE.0.) GO TO 12.
9 COSTIHUE
DO 11 1-3,UN
AA«B(I-2,1)/B(I-1,1)
НМ»М-(1-Ш/(2яМ))/г
DO 10 К»1,И1
IF (K+1.GT.M) GO TO 11
B(I,K)-B(I-2,K+1)-AA«B(I-1,K+1)
IF (B(I,1).LE.0.) GO TO 12
10 СОНПШЕ
11 С0КТ1ГОЕ
MG(JY,JX)«K0
GO TO 13
12 MG(JY,JX)-K1
13 COHTIHUE
XC-(XB+XM)/2.
FS-1IX/2+1
KG(HY,HS)«K2
¥G(WY,1)-K2
MG(NY,NX)=R2
KX«1
14 L-1
PRIST 5
Y«YB
DO 17 JY=1,WY
IF (JY-L) 16,15,16
15 PRIST 1,Y,(MG(JY,JX),JX-1,lfX)
1=LH0
GO TO 17
16 РПТПТ 2,(MG(JY,JX),JX»1,NX)
17 Y-Y-DY
PRIKT З.ГМ,
PRIHT 4, NY,
IP (KL-KK)
19 KX-KK+1
GO TO 14
20 RETURN
EHD
ПОДПРОГРАММА
,XC,XB
,DY,NX,DX
20,20,19
DRAZB
НАЗНАЧЕНИЕ
АНАЛИЗ УСТОкЧИЗОСТЯ CKoTEJU .ЛВТОДС*! Д-РАЗ-
БСйНИЯ ПЛОСКОСТИ №1 ПАРАМЕТРОЗ И ЬЬШОД НА
АЦПУ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОЬРАЩьНИЕ
CALL DPAZB (XM,XB,YM,?iB,F,E,NN,M,KL)
352

ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ХМ.ХВ - ГРАШЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 1-ГО ПАРАМЕТРА
^МЕНЬШЕГО И БОЛЬШЕГО СООТВЕТСТВЕННО);
YM.YB - ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВТОРОГО ПАРАМЕТРА;
•р - ВЕКТОР ДЛИНОЙ ГО, СОДЕРЖАЩИЙ ТЕКУЩИЕ
ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА;
В - РАБОЧАЯ МАТРИЦА ГОяЯ;
ГО - ЧИСЛО СТРОК МАТРИЦЫ В.РАВНОЕ
КОЛИЧЕСТВУ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОЛИНОМА, Т.Е. N+1,
ГДЕ: N - ПОРЯДОК Х^АКТЕРИСТИЧЕСКСГО
ПОЛИНОМА СИСТЕМЫ;
М - ЧИСЛО СТОЛБЦОВ МАТРИЦЫ В, РАЗНОЕ
ЦЕЛОМУ ОТ Я/2+1;
KL - ТРЕБУЗИОЗ КОЛИЧЕСТВО КОПИЙ ПЕЧАТИ
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ
ЗАВИСИМОСТИ F ОТ ПАРАМЕТРОВ X И Y
ЗАПИСЫВАЮТСЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ В ПОДПРОГРАММЕ FU503L
SUBROUTINE DRAZB (XM,XB,YM,YB,F,B,ro,M,KL)
DIMENSION Р(1),В(ГО,М)
HTS0BRX2 MO(41,81),IOr(9),K0,K1,K2,K3
DATA ПГ/» V , • 2», '3', »4», • 5* • ,б,.»,.7', «в» ,'9'/
DATA FY,IX,K0,K1,K2,K3/41,81,•>','&•,•+',»«•/
1 FORMAT (13Х,Б12*.5,1Х,81А1)
2 PORHAT (26X,81A1)
3 FORHAT (23Х,В12.5,28Х,В12;5,281,512.5,
1//38I,•ПРИМЕЧАНИЕ: •»+•'КОЛИЧЕСТВО КОРЕЕЙ»,
2•В ПРАВОЙ П0Л7ПЛ0СК0СТИ •/54Х,•РАВНО НУЛЮ.',
3» СИСТЕМА УСТОЙЧИВА; »/51Х, • • у 'КОЛИЧЕСТВО*,
4» КОРНЕЙ В ПРАВОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ >9;'/511,
5«»•&' • КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ НЕ ОПРЕДЕЛЯЛОСЬ')
4 РОЕХЛ? (29X,«BY-«,I3,3X,'DY«»,812.5,261,'НХ.»,
6l3,3X,,DX-',E12.5///^7X,,p20#,,6X,
7 «АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ '/4а,' МЕТОДОМ \
8. Д-РЕШЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ДВУХ ПАРАМЕТРОВ'////)
5 FOSKAT(/////)
DI»(XB-XM)/(IX-1)
DY-(YB-Y1)/(IT-1)
ХС-(ХВ+и)/2.
Y-TB+DY
DO 14 JY-1,11
Y-Y-DY
X-XM-DX
DO 14 JX>1,V£
X-X+DX
CALL FUNOBL (X,Y,F)
DO 7 I-1.B»
DO 7 J-1.M
7 B(X,JM.
DO 9 J»1,M
B(1,J)-F(2*j-1)
IP (ro-2»j) 9,8,8
8 B(2,J)-F(2»J)
9 COHTHU E
DO 11 1-З.ГО
A»B(I-2,1)/B(I-1,1)
Ю£»М-(1-ГО/(2жМ))/2
DO 10 K-1,MM
IF (E-t-1.GT.lI) QO TO 11
10 B(I,K)-B(I-2,K+1)-A*B(I-1,K+1)
11 CONTINUE
DO 12 1-З.ГО
IP (ABS(B(I-1,1)).0E.1.E-<!bJ 00 TO 12
MG(JY,JX)=K1
GO TO 14
12 CONTINUE
N-NN-1
E-0
DO 13 1-1,H
13 IP (В(1,1)жВ(1+1,1).ЬТ.0.) K-K+1
IP (K.GB.1.AND.K.LE.9) MG(JY,JX)-KN(I)
IP (K.BQ.0) KG(JY,JX)»K2
IP (y.GT.9) NG(JY,JX)-K0
14 CONTINUE
F3-NX/2+1
M01BX,H3)-K3
KK-1
15 L-1
PRINT 5
Y-YB
DO 18 JY-1,IY
IP (JY-L) 17,16,17
16 PRINT 1,Y,(M0(JY,JX),JX-1,IX)
L-L+10
00 TO 18
17 PRINT 2;(MG(JY,JX),JX»1,UX)
18 Y-Y-DY
PRINT З/ХМ.ХС.ХВ
PRINT 4,BY,DY,BX,DX
IF (KL-ГО) 21,21,20
20 KK-EK+1
GO TO 15
21 RETORI
SID
ПОДПРОГРАММА. GODOGR
i И ВЫВОД НА АЦПУ ГОДОГРАФА
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ЗАДАННЫМ ЗАВИСИМОСТЯМ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ (RE) И МНИМОЙ (тн) ЧАСТЕЙ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТ ЧАСТОТЫ (W)
ОБРАЩЕНИЕ
353

С CALL CODOGR (WH.WK.KL,*)
С
С ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
С
С и - НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ;
с 1К - КОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТОТЫ;
с KL - КОЛИЧЕСТВО КОПИЙ ПЕЧАТИ;
с F - ИМЯ ПОДПРОГРАММЫ, В КОТОРОЙ ВЫЧИСЛЯ-
с ЮТСЯ ЗНАЧЕНИЯ RE И Ш
С
с ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММ
С
С ПОДПРОГРАММ OODOOR РАБОТАЕТ СОВМЕСТНО С
С ПОДПРОГРАММОЙ, ПОДГОТОВЛЕННОЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ
С
SUBROUTINE OODOOR (WN.WK,KL,F)
INTEGERS MG(81,81),K0,K1,K2,K3,K4
REAL Hn,ll»,REO#),THO0J»)
PATA NYS,W,Nl/2ji81,300/
DATA K0,K1,K2,K3,K4/' ', '*' , • »','-' ,'W
/0 PORMAT (30X,»REMAX»»,E12.5,9X,'OMEOA«\E12.5,
1/30X,'IMMIH-',B12.5,9X,»OMEOA-,,I;12.5,/30X,
2»REMIN-',El2.5,9Xt»OMEOA»\E12»5/30X,4lOIIX«»
3E12.5,9X,'0MEQA-»,E12.5)
41 PORMAT (1X,////)
42 PORMAT (20X,81A1)
43 PORMAT (//33X,»WH-',El2.5,12X,'WK-,,t;i2.5)
44 PORMAT (//31X,•PИC.^6X,•ГОДOГPA*ЧACTOTHCЙ^
4 • ХАРАКТЕРИСТИКИ '///)
IP (WN.BQ.0.) WN-.1E-3
IP (ABS(WN).BQ.WK) WH«Wlf+.1nABS(WH)
REX--1.E70
REI-1.E70
IMX—1.E70
IMN-1.E70
DW-.1
P«WN-ABS(WH)iiDW
1.0
1 I-I+1
P-P+ABS(P)*DW
IP (ABS(P).LT..lE-2) *-ABS(P)
CALL P(P,GR,GM)
RE(l)-OR
IM(I)-QM
IP (RBX.GT.RE(l)) GO TO 2
REX-RE(I)
PEX-P
2 IP (REN.LT.RE(I)) 60 TO 4
REN-RE(I)
PEN-P
4 IP (IMX.GT.IM(l)) GO TO 6
3MX-IM(I)
PIX-P
6 IP (IIB.LT.IM(I)) GO TO 8
imr-lM(i)
П1-Р
8 IP (P.LT.WK.AID.I.LT.NI) 00 TO 1
IP-I
DRB-(RBX-REH)/(IX-1)
IP (DRB.BQ.0.) DRB-RBX/IX
DIM-1.6xDRS
NY-INT( (IMX-IMI)/DIM)+1
IP (NY.OT.NYS) DIH-(IKX-I1B)/(NYS-1)
НУ-11ГГ( (IMX-IMN)/DIM)+1
DO 9 IY-1.NY
DO 9 IX-1,HX
9 HO(IY,IX)»K0
IP (REX.LE.0.) JXA-NX
IP<REN.OE.0.) IXA-1
IP(REN.LT.0..AND.REX.GT.j».) IXA»INT(-REN/DRE)+1
DO 10" IY-1.NY
10 H0(IY,IXA)-K2
IP (IKX.LE.0. ) IYA-1
IP (I1B.GE.0.) IYA-HY
IP(IMN.LT.0..AND.IMX.OT.0.) IYA«IHT(IMX/DINf)t1
DO 11 IX-1,NX
11 MG(IYA,IX)-K3
DO 12 1-1, "HP
IX-IHT((RE(I)-REH)/DRE)+1
IY-IKT((IMX-IM(I))/DIM)+1
)2 MG(IY,IX)-K1
IP (REN,LT.-1..AND.REX.0T.-1.) GO TO 13
00 TO 14
13 IX-I1TT((-1.-REH)/DRE)+1
M0(IYA,IX)-K4
14 KKP-1
26 PRINT 41
DO 27 IY-1.NY
27 PRINT 42,(MG(IY,IX),IX»1,NX)
PRIST 43,WH,WK
PRINT 40,REX,PEX,IHN,riN,RBN,PEN,TMX,PIX
?Riire 44
IP (KL-KKP) 29,29,28
28 ККР-ШЧ1
GO TO 26
29 RETURN
END
С ПОДПРОГРАММА LIRM'R
С
С НАЗНАЧЕНИЕ
С
с ОПРЕДЕЛЕЦИБ И ВЫВОД НА АЦПУ ЛИНИЙ РАВНОГО
С УРОВНЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ГШРЕМЕННЫХ.А ТАКЖЕ ЭКСТРЕ-
С МАЛЬНЫХ ТОЧЕК ФУНКЦИИ
С
С ОБРАЩЕНИЕ
54

0
с
,с
с-
0
.с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
с
чшх хпиго (яде,яг,н,кь,»)
СПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ,
21- НАЧАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ 1 -ГО ПАРАМИ?А;
ХК- КОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ 1 -ГО ПАРАМЕТРА;
YH,YK- ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 2-ГО ^ПАРАМЕТРА;
KL- КОЛИЧЕСТВО КОПИИ ПЕЧАТИ;
Р- ИМЯ ПОДПРОГРАММЫ^ КОТОРОЙ
ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ.
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ
ОПИСАНИЕ ФУНКЦИИ ОТ АРГУМЕНТОВ! И Y
ВЫПОЛНЯЕТСЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ В ПОДПРОГРАММЕ ТИПА
FUNCTION
SUBROUTINE LIRAUR (XN,XK,YN,YK,KL,P)
DIMENSION PS(10),C(51,81)
INTEGERS K0,KXtKY,KH,KB,KU(10),MO(51,81)
DATA K0,KU,KY,KX/« V9\'8','7»,'6',' 5',
l,4V3,,,2Vi,»,0V»V-7
DATA WY,RX,mj,KH,KB/51,81,10,'H,7,B7
1 PORMAT (/////)
2 FORMAT (13X,E12.5,U,91A1)
3 FORMAT (262.81A1)
4 PORMAT (20X,E12.5,32X,E12.5,2$T,E12.5/)
5 PORMAT ((34X,3(U1,' P-« ,E12.5,5X)),
2/57X.UV F»*,E12.5)
6 PORMAT (24X,'ТОЧКА Bt TMAX-«,E12.5,28X,
»3'T04KAHt РМ1Я-',Е12.5/19Х,'УМАХ-',Е12.5,
44X,'XMAX-\E12.5,18X,'YMIN-\E12.5,4X,
•XMIN-',E12.5)
7 FORMAT (50X,'DY-»,E11.4,4VDX.',E11.4,
5?/52X,«ЙЙ. "•,5"X, 'ЛИНИИ РАВНОГО УРОВНЯ♦,
6/44%*И ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ ДВУХ1,
7' ПАРАМЕТРОВ»)
DO 9 JY-1.NY
DO $ JX-1,NX
9 MO<JY,JX)-K0
DX-(XK-XN)/(NX-1)
DY-(YK-YN)/(NY-1)
?MIN-F(XN,YN)
РМАХ«РЮН
Y-YK+DY
DO 13 JY»1,mf
Y-Y-DY
X-XN-DX
DO 13 JX-1.KX
I-X+DX
PTP-P(X.Y)
C(JY,JX)-PTP
IP (PMAX.GT.PTP) GO TO 11
FMAX-FTP
YMAX-Y
XMAX-I
JYX-JY
JXXaJX
11 IP (FMIH.LT.PTP) GO TO 13
PMIN-FTP
YMIN»Y
XMIH-X
JYN-JY
JXN*JX
13 CONTINUE
DP»(PMAX-PMIN)/(NU-1)
?S(1)»PMAX
DO 14 I-2,NU
14 PS(I)-PS(I-1)-DP
IP (XK.LE.0.) IV-NX,
IP (XN.OE.0.) IV-1
IP (XN.LT.0..AND.XK.OT.0.) IV-INT(-XN/DX)+1
WT-IY-1
DO 15 JY-2,UV
WG^JY,1).KY
>!G(JY,T?X)-KV
15 MO(JY,I?)»XY
IP (YK.TE.0.) IO-1
IP (YN.OE.0.) IQ-HY
IP ,(Y*.lT.0..AND,Yj:.GT,0\) IG-IIT(YK/DY)+1
DO 16 JX-1,NX
*0(1,»)-KX
VO(NY,JX)-KX
16 W}(I0,JX)-KX
Z-0.025
DO 18 JY-1,NY
DO 18 JX«1,NX
CB-C^Y,JX)+ZJiDP
CM-c(0fY,JX)-2kDP
DO 17 1-1,NU
IP (PSfl).GT.CB.OR PS(I),И,СИ) GO TO 17
yG(JY,tfO-KU(I)
GO TO 48
17 CONTINUE
18 CONTINUE
MO(JYX,JXX)-KB
MG(JYN,JXN)-KH
XC-(XK+XN)/2,
XR-1
23 1-1
Y-Y*
2RINT 1
DO 26 JY-1,NY
IP (JY-L) 25,24,25
24 PRIHT-2,Y|(l«e(JY,JX)tJX-1,HX)
X-Irt-10
00 TO 26
25.ИШГС ?,(II0(JY,JX),JX-1,HX)
355

26 Y.Y-DY
PRINT 4,ПДС,ХК
PRINT 5,(ro(I)tPS(I)tI-lfTO)
PUNT 6,PMAX,FMIN,YMAX,XMAX,YMIH,XMIN
PRIKT 7,DY,DX
PRllIT 1
IP (KL-KR) 28,29,27
27 KR-KR+1
'GO TO 23
28 RETURH
EBB
ПОДПРОГРАММА IDENTI
НАЗНАЧЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ
ФУНКЦИИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНШ ЗНАЧЕНИЯМ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ,ЗАПИСАНН0Й В ПОЛЯРНЫХ ИЛИ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
ОБРАЩЕНИЕ
CALL IDENTI (M,RI,MOD,INT,N,W,U,V)
ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
М - КОЛИЧЕСТВО ЭКСЖРИМЕНТАЖШХ ТОЧЕК ЧАС-^
ТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ;
BI - ВВОДИМАЯ МАТРИЦА РАЗМЕРОМ М*3, В
КОТОРОЙ ПЕРВЫЙ СТОЛБЕЦ СОДЕРЖИТ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТОТ, ДВА ДРУГИХ-
ЗНАЧЕНИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ И МНИМОЙ
КООРДИНАТ ИЛИ МОДУЛЯ И ФАЗЫ;
MOD - СПОСОБ ЗАДАНИЯ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ: MOD-0 ПОЛЯРНЫМИ КООРДИНАТАМИ;
моты ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ;
IHT - КОЛИЧЕСТВО ИНТЕГРИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ;
N - ПОРЯДОК АППРОКСИМИРУЩЕГб ПОЛИНОМА
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ;
W,U,V - РАБОЧИЕ МАССИВЫ ДЛИНОЙ М КАЖДЫЙ
ТРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ
АЛГОРИТМ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ
РЕАЛИЗОВАН ПРИ ПОМОЩИ ДВУХ ПОДПРОГРАММ: IDERTI И
SILUR. ПОДПРОГРАММЫ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ НЕ НУЖНЫ.
SUBROUTINE IDEHTI (M,RI,MOD,INT,N,W,U,V)
DIMENSION RI(M,3),W(K),U(M),V(M),RA(3,3)
1P(4),S(4),SU(3),SV(3),B(6),A(6),C(3),IH(6)
REAL К •
ВАТА Ш/0,1,2,3,4,5/
1 FORMAT (1X,«НЕВЕРНО УКАЗАН ПОРЯДОК АППРОК'
2'СИМАЦИИ',ЗХ,'Н-',12)
2 PORMAT (//51, 'ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНА',
3/7Х, 'В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ')
3 FORMAT (//5Х,'ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАНА',
4/10Х, 'В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ')
4 PORKAT (5Х, •КОЛИЧЕСТВО ИНТЕГРИРУЩИХ ЗВЕНЬЕВ',
5' INT-',I2)
5 PORMAT (5Х, 'КОЛИЧЕСТВО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ТО',
6'ЧЕК М-',13)
6 FORMAT (5Х,«ПОРЯДОК АШШОКСИМАЦИИ Ь',12//)
7 PORMAT (10х,«РЕЗУЛЬТАТЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПЕРЕ',
7 'ДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ •/19Х,» ПО ЧАСТОТНОЙ ',
8'ХАРАКТЕРИСТИКЕ')
8 FORMAT (/30X,'K»«,E12.5)
9 PORMAT (/3(4X,'A(',I1/)««,E12.5))
IP (N.GT.5.0R.N.LT.1) GO TO 41
И-Э. 1415926
NIK-N+1
DO 17 1-1, М
T*(I)-RI(I,1)
IP(MOD) 12,10,12
10 AP-RI(I,3)+INT»?l/2.
U(l)»1./RI(I,2)/W(l)j«INTxCOS(AF)
V(I)—1./RI(I,2)/W(I)jut(INT+1)jiSIH(AF)
GO TO 17
12 IP (INT.EQ.1) GO TO ^?
NR-2
Л1-3
GO TO 14
13 NR-3
HI-2
14 2N-RI(I,2)jni2+RI(I,3)3a!?
U(I)-
М)**((3+1ОТ)/4)*Р1(1,ШО/2Н/И(1)*э|1Яг.
V(I)*
(-1 )i«((3-IHT)/2)3iRI(I,NI)/ZN/W(I)joi(INT+1 »
17 CONTINUE
DO 18 1-1,4
18 S(l)-0.
DO 19 1-1.*
SU(l)-0/
19 SV(l)-0.
DO 22 1-1,11
•P(1)-W(I)J«2
DO 20 J-2,4
20 P(J)-P(1)»tf
DO 21 J-1,»
21 S(J)-S(J)+P(J>
SU(1)»SU(1)+U(I)
SV(1)»SV(1)+V(I)
DO 22 J-2,3
SU(J)-SU(J)+P(J-1)jiU(I
22 SV(J)-SV(J)+P(J-1)*V(I^
RA(1,1)-to
DO 24 KK-2.'
K1-KK-(KK+1)/i
356

К2-КК-(ПМ)/3
DO 24 1-К1Д2
J»KK+1-I
24 BA(I,J).S(KK-1)
KA(3,3)-S(4)
I» (H.BQ.1) GO TO 31
CALL SILUR (N,1,RA,SU,C)
INS-N-(N-l)/2
KI«1
DO 26 I»1,INS
В(К1)»(-1)зга(1+1)жС(1)
26 KI-KI+2
IP (N.LE.2) GO TO 29
CALL SILUR (N,2,RA,SV,C)
IMS-N-N/2
DO 27 I«1,IMS
27 B(2«I).(-1)M(I+1)»C(I)
29 IP (N.EQ.2) B(2)-SV(1)/M
GO TO 33
31 K»M/SU(1)
A(2)«SV(1)/SU(1)
GO TO 36
33 K-1./B(0
DO 34 I«2,NIK
34 A(I)-B(I)/B(1)
3f A(1)-1.
IP (MOD) 42,37,3В
37 PRIHT *
GO TO 1°>
38 PRINT ?
3^ PRINT 4, INT
PRINT 5.»
PRINT 6,N
PRINT "
PRINT 8,K
PRINT 9,(IH(I),A(I),I^1,NIK)
GO TO 42
П PRINT 1,N
\? RETURN
END
SUBROUTINE SILUR (NAS.NPS.R.SVU.CR)
DIMENSION R(3,"»),SVU(3),CR(3),L(2),K(2),D(3)
TF (NAS.LE.3) GO TO R
IP (NAS.BQ^.AND.NPS.^^) GO TO *
DZ=0
DO 6 LV.-1,''
D(LV)«0-
DO IV-2,«
L(IV-1)-IV-LV/IV
DO *> LK-1,
US-( 1>я*(ЪК+1>* H«(LV+H
DD 2 1-2,?
K(I-1)-I-LK/-
IP (VJ-Z^ 4.5.*
4 DZ-DZ+«3aR(1,LK)ii(R(L(1),K(1))*
1R(L(2),K(2))-R(L(1),K(2))icR(L(2)1K(1)))
5 D(LV)-D(LV)+MS»SVU(LK)»(R(K(1),L(1))j,
2R(K(2),L(2))-R(K(2),L(1))»R(K(1),L(2)))
6 CR(LV)»D(LV)/DZ
RETURN
8 DD-H(1,l)rt(2,2)-R(1,?)»R(2,1)
D1-SVU(1)*R(2,2)-SVU(2)»R(1,2)
D2»SVU(2)kR(1,1)-SVU(1)»R(2,1)
CR(1)=D1/DD
CR(2)»D2/DD
RETURN
END
ПОДПРОГРАММА PEGRAP
НАЗНАЧЕНИЕ
ВЫВОД ЕА АЦПУ ДО 9-ТИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ ОДНОГО
АРГУМЕНТА. ЗАВИСИМОСТИ ОПИСЫВАЮТСЯ В ПОДПРОГРАГШ
ИЛИ ПРЕДСТАВЛЯЮТСЯ МАТРИЦЕЙ ДАННЫХ
ОБРАЩЕНИЕ
CALL PEGRAP (KA,YA,NA,NF,GK,XM,XB,SUF,KL)
ОПИСАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
КА - ПРИЗНАК СПОСОБА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДАННЫХ:
КА=0 ДАННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНЫ МАТРИЦЕЙ В ЧО-
РЯДКЕ ВОЗРАСТАНИЯ АРГУМЕНТА,
КА=Т ТРЕБУЕТСЯ УПОРЯДОЧИТЬ ДАННЫЕ,
КА=2 ФУНКЦИИ НЕОБХОДИМО ВЫЧИСЛЯТЬ;
YA ВВОДИМАЯ МАТРИЦА РАЗМЕРОМ NA*NF .ПЕРВЫЙ
СТОЛБЕЦ КОТОРОЙ СОДЕРЖИТ ЗНАЧЕНИЯ АРГУМЕНТА,А
ОСТАЛЬНЫЕ-СООТВЕТСТВУКВДЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ.
ПРИ КА=2- YA РАБОЧАЯ МАТРИЦА ТЕХ ЖЕ РАЗМЕРОВ;
NA ЧИСЛО ЗНАЧЕНИЙ АРГУМЕНТА.ПРИ KA=2-NA
РЕКОМЕНДУЕТСЯ ПРИНИМАТЬ РАВНЫМ ИЛИ БОЛЬШЕ 51;
NP ЧИСЛО СТОЛБЦОВ В МАТРИЦЕ YA .РАВНОЕ
КОЛИЧЕСТВУ ФУНКЦИЙ ПЛЮС ЕДИНИЦА;
GK ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ РАБОЧАЯ МАТРИЦА РАЗМЕРОМ NA*61
НЕСТАНДАРТНОЙ ДЛИНЫ.В ОСНОВНОЙ ПРОГРАММЕ
ОПИСАТЬ GK В ОПЕРАТОРЕ INTBGER*2 GK(NA,6l);
ХМДВ Ш^ЕДЕЛЬШЕ ЗНАЧЕНИЯ APIWHTA. УКАЗЫВАЮТСЯ ПРИ
КА=2. В ОСТАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ ПРОИЗВОЛЬНЫ;
SUP ИМЯ ПОДПРОГРАММЫ,В КОТОРОЙ ЗАПИСАНЫ ВЫРАЖЕНИЯ
ФУНКЦИЙ. ПРИ КА/2 SUF ПРОИЗВОЛЬНО;
tl К0ЛИЧЕСТ30 КОПИл ПЕЧАТИ
ГРЕБУЕМЫЕ ФУНКЦИИ И ПОДПРОГРАММЫ
ЗОЛИ КА=2, ПОДПРОГРАММ SUP ЦОЛКНА БЫТЬ ТИПА
SUBROUTINE. 3 ПРОТИВНОМ СЛУЧАЕ ДОСТАТОЧНО ОГРАДИ-
читься указагсш лсесгс ^aEir: з oKPAuairnai
357

SUBROUTINE PSORA? (KA,YA,HA,H?,GK,Л1,IB,SUP,Kb)
DIMENSION YA(NA,HF),PA(9),FMIN(9),PMAX(9),
1RMF(9),TDY(9)
1НТЁ0ЙЬ|2 K(5),OK(NA,6l),LNP(9),nm(9)
DATA K/« »,•.•',• I »,,-,,4,/.W/6V
DATA ЫГР/'1','2»,»3,,,4,,|5,,,б»,,7,,'в','9»/
DATA KFN/MV2','3V4,,,5V6V7VeV97
1 PORMAT (/////1X)
2 PORMAT (5X,,X-\E12.5,1X,61A1,1X,'P«;IV",>
E12.5)
3 PORMAT (20X,61A1,1X,'F\I1,««\E12.5)
4 РОРУЛТ (/712X,'HX-',I3,4X,«DX-',E12,5,
2dX,'1Ctm' ,Z2,4X,4>Y«* ,^2.5)
5 PORMAT (//35X,'NX-M3,6I,'DX-;,E1?.5,6X,
•НУ-',13)
6 PORMAT (25X,3(5X,1DY»I1A1|U»,E12,5))
IZM-0
NH-NA-1
NY1-NY-1
IP (KA-1) 19,1^,15
10 DO 13 1-1,NN
TY«YA(I,1)
IB-I
II-I+1
1Ю 12 J-II,NA
IP (YA(J,1)-TY) 11,11,12
11 TY-YA(J,1)
IB-J
12 CONTINUE
DO 13 KK-1.NP
TY-YA(I.KK)
YA(I,KK)-YA(IB,KK)
13 YA(IB,KK)=TY
GO TO 19
15 DX-(XB-XM)/HN
X-XM-DX
DO 17 I-f,NA
X-X+DX
YA(I,1)-X
*:all sup (x,pa)
DO 17 J-2.NP
'7 YA(I,J)-FA(J-1)
19 NPA-NP-1
DO 20 J-1.NFA
PVIN(J)-1.E60
20 FMAX(J)»-1.E60
4BMIN-1.E60
\BMAX— 1.E60
DO 22 1-1,NA
DO 22 1-1,NFA
PT«YA(I,J+1)
IP (РТ.?.Т.ЛВ1Ш1) AB1£№PT
IP ГРТ.ОТ.АВМАХ) ABMAX-PT
IP (PT.LT.PMIN(J)) PMIN(J)-PT
IP (PT.OT.PHAX(J)) WAX(J)-M
22 CONTINUE
DO 25 J-1.NPA
PT-PMAX(J)-PMIN(J)
TpY(J)-PT/NY1
25 RMP(J)-PT
IP (ABMAX-ABMIN.LE.15.) GO TO 33
IN-NPA-1
DO 30 1-1,IN
IP (RMP(I).BQ.0.) GO TO 30
PRP-RMP(I)
IP-I
JS-I*1
DO 28 J-JN.NFA
IP (RMP(J)-PRP) 28,28,27
27 PRP-RMP(J)
IP-J
28 CONTINUE
PRP-RMP(I)
RMP(I)-RMP(IP)
RMP(IP)-PRP
30 CONTINUE
DO 31 J-1.NPA
IP (RMF(J).CT.15.) 00 TO 31
JNM-J
GO TO 32
31 CONTINUE
32 ABMAX-PMAX(JNM)
ABMIN-PMIN(JNM)
IZM-1
33 DX-(YA(NA,1)-YA(1,1))/NN
IP (YA(NA,1).LE.0.) KOY-NA
IP (YA(1,1).GE.0.) KOY-1
IP (YA(1,1).LT.0..AND.YA(NA,1).GT.0.)
3KOY-INT(-YA(1,1)/DX)+1
BY-(ABMAX-ABMIN)/NY1
IP (ABMAX.LE.0.) KOX-NY"
IP (ABMIN.OE.0.) KOX-1
IP (ABMIN.LT.0..AND.ABMAZ.GT.0.)
4KOX-INT(-ABMIN/DY)+1
34 IP (IZM.BQ.2) KOX-1
DO 36 IX-1.NA
DO 36 IY-1.NY
36 GK(IX,IY)-K(1)
DO 37 IY-1.NY
37 OK(KOY,IY)-K(4)
112-0
DO 48 IX-1.NA
GK(IX,KOX)-K(3)
DO 42 4-2,NF
IP (IZM-2) 40,38,38
36 A1MJN-FMIN(J-1)
DY-TDY(J-I)
IP (DY) 39,39,40
358

39 IT-IT
00 TO 41
40 IT-IIT(<TA(IX,J)-ABMIH)/DT)+1
IP (IT.OT.HY.OR.IT.LB.0) 00 TO 42
41 «(IX,IT).ai(J-1)
42 С0ЮТ0Е
II2-II2+1
IP (112.ОТ.10) 112» 1
IP (II2-HPA) 43,43,48
43 IP (IZH-2) 46,44,44
44 АВМИ-РМ1Н(112)
DT-TDY(II2)
IP (DY) 45,45,46
45 IT-IT
00 TO 47
46 IY-IHT((TA(IX,II2+1)-ABMIH)/DY)+1
IP (IY.GT.HY.OR.IY.LE.0) 00 TO 48
47 0K(IX,IY)-LHP(II2)
48 COHTIHOB
KR-1
49 1^1
X-YA(1,1)
PRIHT 1
IH-0
DO 52 IX-1,HA.
II1-II1+1
IP (II1.0T.HPA) II1-1
IP (IX-L) 51,50,51
50 0X(IX,K0X).K(5)
PRIIT 2,X,(0K(IX,IY)tIY-1,HT),II1,TA(lX,II1+l)
L-b+10
00 TO 52
51 PRIHT 3,(0K(lX,IY),IY-1,KY),II1,YA(lXtII1+1)
52 X.X+DX
IP (IZM-1) 53,53,54
53 IRIIT 4,HA,DX,HY,DT
00 TO 55
54 PRIHT 5,HA,DX,HY
PRIHT 6,(LHP(J),TDT(J),J-1,HFA)
55 PRIHT 1
IP (KL-KR) 57,57,56
56 KR-KR+1
00 TO 49
57 IP (IZM-1) 60,59,60
59 IZM-2
00 TO 34
60 RETURN
HID
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айзерман М. А. Лекции по теории автоматического регулирования. М.:
Государственное изд-во физико-математической литературы, 1958. 520 с.
2 Белов Д. А., Кузин Р. Е. Применение ЭВМ для анализа и синтеза
автоматических систем управления. М.: Энергия, 1979. 264 с.
3. Веллер В. Н. Автоматическое регулирование паровых турбин. М.: Энергия,
1977. 404 с.
4. Витенберг И. М. Программирование аналоговых вычислительных машин.
М.: Машиностроение, 1972. 404 с.
5. Воронов А. А., Титов В. К., Новогранов Б. Н. Основы теории
автоматического регулирования и управления. М.: Высшая школа, 1977. 520 с.
6. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука. 1969. 400 с.
7. Динамическое моделирование и испытания технических систем/Под ред.
И. Д. К о ч у б и ев с ко г о. М.: Энергия, 1978. 304 с.
8. Денисов А. А., Нагорный В. С. Пневматические и гидравлические
устройства автоматики. М.: Высшая школа, 1978. 216 с.
9. Егоров К. В. Основы теории автоматического регулирования. М.: Энергия,
1967. 648 с.
10. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы
систем. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1973. 500 с.
И. Крутов В. И. Автоматическое регулирование двигателей внутреннего
сгорания. М.: Машиностроение, 1979. 616 с.
12. Крутов В. И. Двигатель внутреннего сгорания как регулируемый объект.
М.: Машиностроение, 1978. 472 с.
359

13. Крутов В. И. Переходные процессы систем автоматического регулирования.
М.: Машиностроение, 1965. 252 с.
14. Левин М. И. Автоматизация судовых дизельных установок. Л.:
Судостроение, 1969. С 464 с.
15. Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические системы. М.:
Машиностроение, 1977. 452 с.
16. Мееров М. В. Введение в динамику автоматического регулирования
электрических машин. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 416 с.
17. Основы автоматического регулирования и управления/Под ред. В. М.
Пономарева и А. П. Литвинова. М.: Высшая школа. 1974. 440 с.
18. Попов Е. П. Автоматическое регулирование и управление. М.: Физматгиз,
1962. 388 с.
19. Сборник научных программ на ФОРТРАНЕ. М.: Статистика, 1976, вып. 1.
316 с, вып. 2. 224 с.
20. Техническая кибернетика. Устройства и элементы систем автоматического
регулирования и управления. Книга 3/Под ред. В. В. Солодовникова.
М.: Машиностроение, 1976. 736 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Автоматизация — Применение ЭВМ
345
— комплексная 4, 35
— полная 5, 35
— частичная 4
В
Воздействие
— возмущающее 11, 12, 29, 142
гармоническое 33
импульсное 31
периодическое 197
ступенчатое 30
— задающее 11, 13
— управляющее (регулирующее) 10,
12
Вышнеградского диаграмма —
Построение с помощью цифровых ЭВМ
— для САР третьего порядка 222—
223
— для САР четвертого порядка 224
Д
Двигатель внутреннего сгорания —
Уравнение дифференциальное 59 —
с автономным газотурбинным
наддувом — Оператор собственный 72 —
Операторы воздействия 72, 73 —
Определитель главный 72 —
Определитель присоединенный 72 — Схема
структурная 71 — Уравнение
дифференциальное 73 — Функция
передаточная 73
Двигатель газотурбинный — Оператор
собственный 76 — Оператор
воздействия 76 — Определитель главный 75—
Определитель присоединенный 75 —
Схема структурная 69 — Уравнение
дифференциальное 76 — Функция
передаточная 76
/>-разбиение — Построение с помощью
цифровых ЭВМ 320
— в плоскости одного параметра 282
— в плоскости двух параметров 287
И
Интеграл общий — Отыскание с
помощью преобразования Лапласа 257—
Уравнение характеристическое см. под
одноименным названием
— уравнения дифференциального 142,
211
неоднородного 143, 145, 147,
148, 248
однородного 144, 145, 149, 212,
248
Интеграл частный 144, 145, 248
Интегрирования константы 252
Исполнительный механизм
усилительного элемента — Схема
функциональная см. под одноименным названием—
Уравнение дифференциальное см. под
одноименным названием
360

— Характеристика статическая см.
под одноименным названием
— гидравлический 115—117
— электрический 117—118
К
Камера сгорания газотурбинного
двигателя — Схема структурная 67 —
Уравнение дифференциальное 65 —
Функция передаточная 66
Качество САР см. Процесс
переходный — Показатели 240
— оценка
интегральная 244—247
по корням характеристического
уравнения 241
по степени устойчивости 244 "5
построением процесса
переходного см. под одноименным названием
с применением цифровых ЭВМ
326
Л
Лапласа преобразование —
Нахождение производных 153 — Применение
для решения уравнения
дифференциального 256 — Прямое 151 —
Функция передаточная см. под
одноименным названием
— обратное 155
М
Моделирование
— математическое 293
методом прямых аналогий 294
с применением аналоговых ЭВМ
295—300
с применением цифровых ЭВМ
310
— полунатурное 305—309
— уравнений САР 300—305
— физическое 293
Модель математическая — Разработка
с помощью цифровой ЭВМ 329 — САР
см. Уравнение дифференциальное
О
Объект регулируемый —
Классификация 50 — Нагрузка 9,11 —
Оператор возмущающего воздействия см.
под одноименным названием —
Оператор собственный см. под
одноименным названием — Орган
регулирующий 10, 11 — Схема структурная
см. под одноименным названием —
Схема функциональная см. под
одноименным названием — Уравнение
дифференциальное см. под одноименным
названием — Уравнение статического
равновесия см. под одноименным
названием — Устойчивости фактор см.
под одноименным названием —
Функция передаточная см. под
одноименным названием
Оператор — возмущающих
воздействий 23
— присоединенный
САР 182, 184
усилительного элемента
с обратной связью
изодромной 138
комбинированной 137
— собственный
объекта регулируемого
второго порядка 72, 76
первого порядка 68, 70
САР 23, 181, 184
усилительного элемента
с гидравлическим
исполнительным механизмом
с отсечным золотником 124,
140
с соплом-заслонкой 125
с обратной связью
жесткой 140
изодромной 138
комбинированной 137
с электрическим исполнитель
ным механизмом 130
чувствительного элемента 105
Определитель
— главный
объекта второго порядка 72, 75
САР 181, 184
— присоединенный
объекта второго порядка 72, 75
САР 181, 182, 184
П
Полином характеристический —
Расчет коэффициентов на ЭВМ 313
Процесс переходный — Воздействие
возмущающее см. под одноименным
названием — Определение 19 —
Построение для САР третьего порядка
260—272 — Построение по
обобщенным частотным характеристикам 272—
278 — Построение по формуле общего
интеграла 142—150 —
Продолжительность (время) 240 — Экстремальное
значение 241
— САР
апериодический 213
вынужденный 212
колебательный 213
расходящийся 213, 214
свободный 211
составляющие 214
361

сходящийся 213, 214
— элементов САР ..141
апериодический 144, 146 (рис. 99)
второго порядка 143
колебательный 147
незатухающий 148
первого порядка 143
расходящийся 144, 148
сходящийся 144, 147
Р
Регулятор автоматический 10 —
Настройка 11 — Схема
функциональная см. под одноименным названием
Режим работы теплоэнергетической
установки неустановившийся 17
— установившийся 13, 15
нагрузочный 14
скоростной 14
тепловой 14
Резервуар с жидкостью — Схема
структурная 69 — Уравнение
дифференциальное 70 — Функция
передаточная 70
Ресивер с газом — Схема структурная
61 — Уравнение дифференциальное 61,
62, 63, 64 — Функция передаточная
61, 62, 63, 64
Ротор газовой турбины и
компрессора — Схема структурная 59 —
Уравнение дифференциальное 56, 58—
Функция передаточная 58
С
Связь обратная — главная 11
— жесткая 46, 132, 139
— изодромная 47, 132, 138
— комбинированная 49, 132
— отрицательная 132
— положительная 132
Серводвигатель см. Элемент
усилительный
Синтез САР — Задачи 281
— по заданной степени устойчивости
290
— по интегральным критериям
качества 289
— с использованием D-разбиения см.
под одноименным названием
Система автоматического
регулирования (САР) — Анализ свойств на ЭВМ
336 — Качество см. под одноименным
названием — Классификация 174 —
Координата входная 11, выходная 11,
регулируемая 10, 11 —
Моделирование см. под одноименным
названием — Оператор воздействия см.
под одноименным названием —
Оператор собственный см. под
одноименным названием — Определение 9 —
Определитель воздействия см. под
одноименным названием —
Определитель главный см. под одноименным
названием — Процесс переходный см.
под одноименным названием —
Свойства 20 — Связь обратная см. под
одноименным названием — Синтез см.
под одноименным названием — Схема
структурная см. под одноименным
названием —- Схема
функциональная см. под одноименным
названием — Уравнение
дифференциальное см. под одноименным
названием — Устойчивость см. под
одноименным названием — Функция
передаточная см. под одноименным
названием — Характеристика статическая
см. под одноименным названием —
Элементы см. под одноименным
названием
— астатическая 43
— импульсного действия 40
— непрерывного действия 39
— непрямогр действия 46
— программного регулирования 45
— прямого действия 46
— релейная 41
— с запаздыванием 203, 204
— с распределенными параметрами
205-210
— статическая 43
— экстремального регулирования 42
Схема структурная —
Преобразование 201
— объекта регулирования
второго порядка 71, 75
первого порядка 67, 69
— САР
непрямого действия 184
прямого действия 181, 195
— элемента
объекта регулирования 59, 61
САР 34
усилительного 122, 130
с обратной связью
жесткой 137 (рис. 95, г)
изодромной 137 (рис. 95, в)
комбинированной 137
(рис. 95, б)
чувствительного 105
Схема функциональная объекта
регулирования 11, 53
— регулятора автоматического 11
— САР 11, 38 (рис. 11)
— элемента усилительного 107
исполнительного механизма
гидравлического
аксиально-поршневого
115 (рис. 74, д)
362

возвратно-вращательного
115 (рис. 74, г)
мембранного 115 (рис. 74, в)
поршневего 115
(рис. 74, а, б)
электрического 118
управляющего устройства
магнитного 113 (рис. 70,6)
механогидравлического 110
(рис. 65, а, б)
струйного ПО (рис. 65, в)
электрогидравлического 110
(рис. 65, г)
электронного 113 (рис. 70, а)
электромашинного 113
(рис. 70, в)
— элемента чувствительного 77
давления 88
расхода 96
температуры 99
уровня 93
частоты вращения 86
У
Управляющее устройство элемента
усилительного — Схема функциональная
см. под одноименным названием —
Уравнение дифференциальное см, под
одноименным названием —
Характеристика статическая см. под
одноименным названием
— магнитное 113
— механогидравлическое 109
— струйное ПО
— электрогидравлическое 111
— электромашинное 114
— электронное 112
Уравнение дифференциальное —
Запись в относительных координатах
29 — Интегрирование численное 336—
345 — Коэффициентов расчет на ЭВМ
313—316 — Линеаризация 27 —
Нормирование 188—190 — Операторная
форма 23 — Решение см. Интеграл
общий — Решение на аналоговой ЭВМ
см. Моделирование
— неоднородное 181, 248
— объектов регулируемых
второго порядка 71, 73
первого порядка 67, 69
— однородное 181, 212, 248
— САР 23
с запаздыванием 203
непрямого действия 184, 187
с жесткой обратной связью
187
с изодромной обратной связью
186
с комбинированной обратной
связью 185
прямого действия 182
разомкнутой 190
с распределенными параметрами
205—210
— элемента усилительного
с гидравлическим
исполнительным механизмом
с отсечным золотником 121,
140
с соплом-заслонкой 125
с обратной связью
жесткой 140
изодромной 138
комбинированной 137
с электрическим исполнительным
механизмом
с магнитным усилителем 130
с электронным усилителем 130
Уравнение
— статического равновесия
объекта 14
усилительного элемента
(серводвигателя) 126, 131
чувствительного элемента 81, 82,
85, 89, 102
— характеристическое 212, 249
Усиления коэффициент 29
Устойчивость САР — Вышнеградского
диаграмма см. под одноименным
названием — Запас по модулю и фазе
231 — Определение по корням
характеристического уравнения 215 —
Оценка по вырожденному
дифференциальному уравнению 235—239 — Оценка
по ЛЧХ 232 — Процесс переходный
см. под одноименным названием —
Степень см. Качество САР
— с запаздыванием 233, 234
Устойчивости критерий Михайлова
225 228
— Рауса—Гурвица 217—222
расчет на цифровой ЭВМ 316—
320
— частотный для замкнутых САР
228—231
расчет на цифровой ЭВМ 324
Устойчивости область см. Вышнеград-
ского диаграмма и D-разбиение —
Построение с помощью ЭВМ 320
Устойчивости фактор объекта
регулирования 16, 27, 56, 57, 60, 65, 68, 70
— элемента чувствительного 81, 84,
94, 98, 101
Ф
Функция передаточная 33, 156
— замкнутой САР 195
— объекта регулируемого
второго порядка 73, 76
первого порядка 69, 70
363

— разомкнутой CAP 191, 257
— элемента усилительного
с гидравлическим
исполнительным механизмом
с отсечным золотником 121,
140
с соплом-заслонкой 125
с обратной связью
жесткой 140
изодромной 139
комбинированной 137
с электрическим
исполнительным механизмом
с магнитным усилителем 131
с электронным усилителем 130
Функция веса 259
— переходная 259
Фурье преобразование 200
— ряд 197, 198
X
Характеристика статическая — Зона
нечувствительности 103 —
Линеаризация 25, 26 (рис. 6) — ПостроениеЧ76
— исполнительного механизма
гидравлического
поступательного действия 116
(рис. 77, а, б)
роторного 116 (рис. 78, а, б)
электрического 118
— объекта регулирования 15, 20
— регулятора автоматического 21
— САР 21, 175
— управляющего устройства
магнитного 112 (рис. 69, б)
механогидравлического ПО
(рис. 64, а, б)
струйного ПО (рис. 65, в)
электрогидравлического ПО
(рис. 65, г)
электромашинного 112 (рис. 69, в)
электронного 112 (рис. 69, а)
— элемента усилительного
с гидравлическим
исполнительным механизмом
с отсечным золотником 119
с соплом-заслонкой 125
с обратной связью
жесткой (рис. 93)
изодромной (рис. 84)
комбинированной (рис. 93)
с электрическим исполнительным
механизмом 131
— элемента чувствительного 80, 84,
102
частоты вращения 80, 84
Характеристика частотная 159 —
Расчет на ЭВМ 324
— Фурье ряд см. под одноименным
названием
— возмущающего воздействия 199
— САР
замкнутой 194—196
обобщенная 199—201
разомкнутой 191
с запаздыванием 204
амплитудная" 192
амплитудно-фазовая 192
вещественная 192
логарифмическая 193
мнимая 192
фазовая 192
— элементов САР
первого порядка 159
амплитудная 161
— амплитудно-фазовая 161
— вещественная 160
логарифмическая 163
амплитудная 163
аппроксимированная 164
фазовая 163
мнимая 160
фазовая 161
второго порядка 165
амплитудная 167, 170
амплитудно-фазовая 167—170
вещественная 166, 170
логарифмическая 169
амплитудная 169
фазовая 169
мнимая 166, 170
фазовая 167, 170
порядка выше второго 170
амплитудная 173
амплитудно-фазовая 172
фазовая 173
Холодильная камера — Схема
структурная 69 — Уравнение
дифференциальное 69 — Функция
передаточная 69
Э
ЭВМ аналоговая 295 — Коэффициент
передачи 297 — Масштаб
преобразования переменных 298 —
Операционный усилитель 295 — Решение
уравнений дифференциальных 297—300—
Схема структурная 298
— цифровая 345—348
Эйлера формула 159
Элемент САР — Свойства 20
— задающий 10, 11, 77
— измерительный 77
— сравнивающий 77
Элемент усилительный
(серводвигатель) — Исполнительный механизм
см, под одноименным названием —
Классификация :108 — Назначение
107 — Оператор собственный см,
под одноименным названием — Схема
364

структурная см. под одноименным
названием — Схема функциональная см.
под одноименным названием —
Управляющее устройство см. под
одноименным названием — Уравнение
дифференциальное см. под одноименным
названием — Уравнение статического
равновесия см. под одноименным
названием — Функция передаточная см.
под одноименным названием —
Характеристика статическая см. под
одноименным названием
— гидравлический
с отсечным золотником 119
с соплом-заслонкой 122
— с обратной связью
жесткой 139
изодромной 138
комбинированной 132
— электрический 126
Элемент чувствительный —
Классификация 77 — Назначение 77 —
Оператор собственный см. под
одноименным названием — Схема структурная
см. под одноименным названием —
Схема функциональная см. под
одноименным названием — Уравнение
дифференциальное см. под
одноименным названием — Уравнение
статического равновесия см. под
одноименным названием — Устойчивости фактор
см. под одноименным названием —
Функция передаточная см. под
одноименным названием —
Характеристика статическая см. под
одноименным названием
— давления 87
— расхода 94
— температуры 98
— уровня 93
— частоты вращения 78

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 4
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Система автоматического регулирования 9
2. Регулируемый объект и автоматический регулятор 9
3. Функциональные схемы элементов и САР 10
4. Понятие о возмущающих и задающих воздействиях 11
5. Установившиеся режимы работы теплоэнергетической
установки 13
6. Фактор устойчивости 16
7. Неустановившиеся режимы работы теплоэнергетической
установки 17
8. Понятие о переходных процессах 19
9. Методика анализа статических и динамических свойств
элементов и САР 20
10. Составление дифференциальных уравнений элементов,
входящих в САР 23
11. Линеаризация статических характеристик элементов 24
12. Относительная система координат 28
13. Типовые возмущающие воздействия 29
14. Передаточная функция и структурная схема элемента 33
Глава II
ВИДЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЗАЦИИ
1. Комплексная и полная автоматизация теплоэнергетической
установки 35
2. Автоматизация обслуживания и контроля 36
3. Автоматизация управления 37
4. Виды САР 39
Глава III
РЕГУЛИРУЕМЫЕ ОБЪЕКТЫ
1. Классификация регулируемых объектов 50
2 Функциональные схемы регулируемых объектов 51
3. Необходимость применения автоматического регулирования . . 54
4. Дифференциальные уравнения элементов регулируемых
объектов 55
5. Дифференциальные уравнения регулируемых объектов первого
порядка 66
6. Дифференциальные уравнения регулируемых объектов второго
порядка 71
Глава IV
ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1. Классификация чувствительных элементов 77
2. Чувствительные элементы частоты вращения 78
3. Чувствительные элементы давления 87
4. Чувствительные элементы уровня 93
5. Чувствительные элементы расхода 94
6. Чувствительные элементы температуры 98
7. Статические характеристики чувствительных элементов ... 101
8. Дифференциальные уравнения чувствительных элементов ... 104
366

Глава V
УСИЛИТЕЛЬНЫЕ И СТАБИЛИЗИРУЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1. Назначение и функциональная схема усилительного элемента . . 107
2. Классификация усилительных элементов 108
3. Управляющие устройства усилительных элементов 109
4. Исполнительные механизмы усилительных элементов .... 114
5. Дифференциальные уравнения усилительных элементов ... 119
6. Дифференциальные уравнения серводвигателей со
стабилизирующими элементами 131
Глава VI
ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ САР
1. Переходные процессы элементов 141
2. Преобразование Лапласа 150
3. Частотные характеристики элементов 157
Глава VII
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Классификация САР 174
2. Статическая характеристика САР 175
3. Задачи анализа динамических свойств САР 177
4. Дифференциальное уравнение САР прямого действия .... 178
5. Дифференциальные уравнения САР непрямого действия ... 183
6. Нормирование дифференциального уравнения САР 188
7. Дифференциальное уравнение разомкнутой САР 190
8. Частотные характеристики разомкнутых САР 191
9. Частотные характеристики замкнутых САР 194
10. Периодические возмущающие воздействия на САР 197
11. АФЧХ возмущающего воздействия 199
12. Обобщенные частотные характеристики замкнутых САР . . . 199
13. Преобразование структурных схем САР 201
14. Дифференциальное уравнение САР с запаздыванием 203
15. Построение АФЧХ разомкнутой системы с запаздыванием . . 204
16. Дифференциальное уравнение САР с распределенными
параметрами 205
Глава VIII
УСТОЙЧИВОСТЬ САР
1. Условия сходимости переходных процессов 211
2. Понятие об устойчивости САР 215
3. Критерии устойчивости Рауса-Гурвица 217
4. Диаграмма Вышнеградского 222
5. Критерий устойчивости Михайлова 225
6. Частотный критерий устойчивости 228
7. Запас устойчивости по фазе и модулю 231
8. Оценка устойчивости по ЛЧХ 232
9 Устойчивость САР с запаздыванием 233
10. Оценка устойчивости САР по вырожденному
дифференциальному уравнению 235
Глава IX
КАЧЕСТВО РАБОТЫ САР
1. Показатели качества работы САР
2. Косвенные методы оценки качества переходных процессов ... 241
3. Построение переходных процессов по общему интегралу . . . 247
4. Определение корней характеристического уравнения 249
5. Константы интегрирования 252
367

6. Применение преобразования Лапласа для решения
дифференциального уравнения системы 255
7. Переходные процессы САР третьего порядка 260
8. Построение переходных процессов в САР высокого порядка . . 272
9. Переходный процесс при возмущающем воздействии
произвольной формы 279
Глава X
СИНТЕЗ САР
1. Синтез САР по устойчивости 281
2. Определение параметров автоматического регулятора с помощью
интегральных критериев качества 289
3. Определение параметров автоматического регулятора при
заданной степени устойчивости 290
4. Определение параметров автоматических регуляторов при
заданном переходном процессе 292
Глава XI
ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛОГОВЫХ ЭВМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
РАБОТЫ САР
1. Способы моделирования физических процессов 293
2. Основы построения аналоговых ЭВМ 295
3. Подготовка уравнений элементов САР для решения на
аналоговых ЭВМ 297
4. Моделирование работы САР 300
5. Полу натурное моделирование САР 305
Глава XII
ПРИМЕНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ЭВМ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
РАБОТЫ САР
1. Особенности формирования математических моделей .... 310
2. Программы анализа работы САР 312
3. Применение ЭВМ для расчета коэффициентов
характеристического полинома по дифференциальным уравнениям элементов 313
4. Применение ЭВМ для анализа устойчивости систем по
критериям Рауса 316
5. Применение ЭВМ для построения областей устойчивости . . . 320
6. Расчет на ЭВМ частотных характеристик и оценка по ним
устойчивости САР 324
7. Применение ЭВМ при оценке качества работы системы на
основе косвенных критериев качества 326
8. Применение ЭВМ для разработки математической модели
САР на основе экспериментальных данных 329
9. Особенности анализа свойств САР с применением ЭВМ .... 336
10. Применение ЭВМ в системах автоматического управления
объектами 345
Приложение 350
Список литературы 359
Предметный указатель 360

да?*'
"4*5 '&''•.?"■>■„■-.
Z %
Ф"
К^ЯЗйв^
• .-ijitf••."•ч-*cr.--^ •."*" '«gSSviV,;.
:^=e
*4
°s
«##ff
v " -f
V.'. "«
:£>&
»■#*
-a.
*->:•:
.»*■
k'
* ?.- -•*-
i *
I
at- _
' '"~t/& ":К*"*> Wf-jise* J' i* °it*" J< '
.?»
^
»
С
i-fe
-*^*?-
; , ■«/-
•©%< •
'-.f •-„
m
%^
-oa-j*
.. >#
m
m
«ж*
*m
i