Теория автоматического управления. Часть І. Теория линейных систем автоматического управления - Ким Д.П., Воронов А.А., Бабаков Н.А., Воронова А.А., Дидук Г.А., Дмитриева Н.Д.

Author: Ким Д.П. Воронов А.А. Бабаков Н.А. Воронова А.А. Дидук Г.А. Дмитриева Н.Д.
Tags: инженерное дело техника в целом автоматика телемеханика теория автоматического управления издательство высшая школа линейные системы
Year: 1986
Similar
Теория автоматического управления. Часть 1. Теория линейных систем автоматического управления
Теория автоматического управления и регулирования
Теория автоматического управления. Часть 2. Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления
Теория линейных систем автоматического регулирования и управления.
Text
                    ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..............................................  3
Введение .	..............Г ..... ................  5
Глава 1. Основные понятия и определения................... 13
§ 1.	Сущность проблемы автоматического управления . 13
§ 1.2.	Фундаментальные принципы управления............ 16
§ 1.3.	Основные виды автоматического управления .... 22
§ 1.4.	Об основных законах регулирования ..............31
Г лава 2. Математическое описание автоматических систем
управления . ......................................... 33
§ 2.1.	Уравнения динамики и статики. Линеаризация . . 33
§ 2.2.	Основные свойства преобразования Лапласа .... 37
§ 2.3.	Формы записи линейных дифференциальных урав-
нений. Передаточные функции............................40
§ 2.4.	Частотные характеристики	.	...	44
§ 2.5.	Временные характеристики	........ 49
§ 2.6.	Элементарные звенья и их характеристики .... 52
§ 2.7.	Структурные схемы, графы, уравнения и частот-
ные характеристики стационарных линейных систем 64
§ 2.8.	Многомерные стационарные линейные системы . . 81
§ 2.9.	Нестационарные линейные системы . ....... 94
§ 210.	САР напряжения генератора постоянного тока.
Математическое описание.........................105
Глава 3. Устойчивость линейных систем автоматического управ-
ления..................................................114
Понятие устойчивости.............................114
Общая постановка задачи устойчивости по А. М. Ля-
пунову ..........................................117
А. М. Ляпунова об устойчивости движения
по первому приближению	. .	 121
§^3.4? Условия устойчивости линейных систем автомати-
ческого управления................................ 123
-т» § 3.5;	Алгебраические критерии	устойчивости............128
§' 3.6.. Частотные критерии устойчивости...............137
§'3,7.' Анализ устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам . . . .	. .....................153
t § 3.8. Построение областей устойчивости в плоскости
1 параметров системы..................................  155
§ 3.9. Устойчивость систем с запаздыванием и систем с ир-
рациональными звеньями..............................  .	167
!	§ 3.10. Устойчивость нестационарных систем.............175
Глава 4. Методы оценки качества регулирования линейных си-
стем .......................................... 179
§4.1.	Общие положения^~ . . . . . . .	. . . . . . 1 у
§ 4.2.	Оценка качества регулирования в установившемся
режиме (коэффициенты ошибок).........................180
§ 4.3.	Оценка качества переходного процесса при воздей-
ствии ступенчатой функции............................185
§ 4.4.	Оценка качества регулирования при гармонических
воздействиях.........................................187
§ 4.5.	Корневые методы оценки качества регулирования 189
§ 4.6.	Корневые годографы.............................194
§ 4.7.	Интегральные оценки качества переходных процес-
сов .............................................. . . 204
§ 4.8.	Частотные методы оценки качества регулирования 214
§ 4.9.	Чувствительность систем автоматического управле-
ния ......................;........................  231
Глава 5. Обеспечение устойчивости, повышение качества регу-
лирования и синтез линейных автоматических сис-
тем .......................................... .........	. 236
§ 5-1.	Общие положения..............................  236
§ 5.2.	Корректирующие устройства.....................	237
§ 5.3.	Преобразовательные элементы..................  244
§ 5-4-	Повышение точности в установившихся режимах 250
§ 5.5.	Обеспечение устойчивости и повышение запаса ус-
тойчивости ......................................... 260
§ 5.6.	Выбор параметров и синтез корректирующих уст-
ройств по корневым годографам!.......................264
§ 5.7.	Синтез корректирующих устройств по логарифми-
ческим амплитудно-частотным характеристикам 268
Гкава 6. Машинная реализация методов теории автоматического
управления ..................................... ........	283
§ 6.1.	Математические модели автоматических систем и
особенности реализации их на ЭВМ.....................283
§ 6.2.	Анализ устойчивости по уравнениям переменных
состояния и по характеристическому уравнению 293
§ 6.3.	Функционально-преобразованные матрицы и их при-
менение. Критерий В. И. Зубова	298
§ 6.4.	Матричный критерий устойчивости, не связанный
с обращением матрицы...............................  307
§ 6.5.	Векторные методы построения переходных про-
цессов в линейных системах...........................315
§ 6.6.	Векторный способ построения переходных процессов
в нелинейных системах................................324
§ 6.7.	Стандартные численные методы интегрирования . 328
§ 6.8.	Машинная реализация частотных методов .	... 333
§ 6.9.	Построение областей устойчивости и динамического
качества как задача параметрического синтеза . . 339
§ 6.10.	Модифицированный метод £>-разбиения. При-
менение полиномов Чебышева...........................341
§ 6.11.	Универсальные методы построения областей ус-
\ тойчивости и динамического качества............353
Список литературы .......................................362
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник «Теория автоматического
управления» издается в двух частях. На-
стоящая книга является первой частью
учебника и состоит из введения и шести
глав.
Во введении дан краткий историчес-
кий очерк основных этапов развития те-
ории автоматического управления.
Глава 1 содержит основные понятия и
определения и знакомит с фундаменталь-
ными принципами управления, различ-
ными алгоритмами функционирования
автоматических систем управления. Гла-
ва 2 посвящена математическому опи-
санию с помощью дифференциальных
уравнений, передаточных функций, вре-
менных и частотных характеристик,
структурнйх схем и графов одномерных
и многомерных, стационарных и неста-
ционарных систем автоматического упра-
вления. Глава 3 знакомит с различными
критериями устойчивости (алгебраиче-
скими и частотными), понятием D-разби-
ения. Наряду с обыкновенными линей-
ными стационарными системами рас-
сматриваются вопросы устойчивости ли-
нейных нестационарных систем, а также
систем с запаздыванием. В главе 4
рассмотрены оценки качества по времен-
ным и частотным характеристикам, кор-
невым годографам и интегральным по-
казателям. Глава 5 знакомит с различны-
ми методами синтеза параметров и кор-
ректирующих цепей Линейных систем уп-
равления с целью обеспечения устойчи-
вости и повышения качества, а также со
средствами коррекции. В главе 6 описа-
ны различные численные способы решения алгебраических
и дифференциальных уравнений, алгоритмы оценки устойчи-
вости и качества систем автоматического управления, удобных
для реализации на ЦВМ.
Второе издание существенно переработано и дополнено.
Заново написана глава 6 и дополнена глава 2. Значительно
переработаны главы 4 и 5. Изменения претерпели и остальные
главы.
В написании учебника принимали участие Н. А. Бабаков
(гл. 2), А. А. Воронов (введение, гл. 1,5), А. А. Воронова (гл.6),
Г. А. Дидук (гл. 6), Н. Д. Дмитриева (гл. 4), Д. П.
Ким (гл. 2), Б. М. Менский (гл. 5), П. Н. Попович (гл. 3).
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам—
академику С. В. Емельянову и коллективу кафедры Мос-
ковского высшего технического училища им.' Н. Э. Баума-
на, руководимой чл.-кор. АН СССР Е. П. Поповым, за ценные
замечания, способствовавшие улучшению книги, а также сот-
рудникам кафедры «Проблемы управления» Московского ин-
ститута радиотехники, электроники и автоматики за помощь
при подготовке рукописи к печати.
Все замечания и пожелания по книге можно направлять по
адресу: 101480, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29fl4, из-
дательство «.Высшая школа». Авторы с благодарностью при-
мут их и используют в дальнейшей работе над учебником.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
В число научных дисциплин, об-
разующих науку об управлении, вхо-
дит теория автоматического управления
и регулирования. Вначале она создава-
лась для изучения статики и динамики
процессов автоматического управления
техническими объектами — производст-
венными, энергетическими, транспортны-
ми и т.п. Основное ее значение сохра-
нилось и в наше время,хотя в последние
годы ее выводами и результатами начи-
нают пользоваться и для изучения ди-
намических свойств системы управления
не только технического характера, но
и экономического, организационного,
биологического и т. д.
Для осуществления автоматического
управления техническим процессом со-
здается система, состоящая из управля-
емого объекта и связанного с ним уп-
равляющего устройства. Как и всякое
техническое сооружение, система долж-
на обладать конструктивной жесткостью
и динамической прочностью. Эти чисто
механические термины в данном случае
несколько условны. Они означают, что
система должна выполнять заданные ей
функции с требуемой точностью, несмо-
тря на инерционные свойства и на не-
избежные помехи. Пока объект облада-
ет достаточной жесткостью и динамичес-
кой прочностью, потребности в автома-
тическом регулировании не возникают.
С необходимостью построения регу-
ляторов первыми, по-видимому, стол-
кнулись создатели высокоточных меха-
низмов. В neOBVIO ПЧРПРПК иярлп
очень небольшие, но действующие непрерывно помехи, на-
капливаясь, приводили в конечном итоге к отклонениям от
нормального хода, недопустимым по условиям точности. Про-
тиводействовать им чисто конструктивными средствами, напри-
мер улучшая точность и чистоту обработки деталей, повышая
их массу или увеличивая полезные усилия, не всегда уда-
валось, и для повышения точности в состав часов стали
вводить регуляторы. На рубеже нашей эры арабы снабдили
поплавковым регулятором уровня водяные часы. В 1675 г.
X. Гюйгенс встроил в часы маятниковый регулятор хода.
Другой причиной, побуждавшей строить регуляторы, была
необходимость управлять процессами, подверженными столь
сильным помехам, что при этом утрачивалась не только точ-
ность, но зачастую и работоспособность системы вообще. Пред-
шественниками регуляторов для подобных условий можно счи-
тать применявшиеся еще в средние века центробежные маят-
никовые уравнители скорости хода водяных мукомольных
мельниц. Но хотя отдельные автоматические регуляторы появ-
лялись в давние времена, они оставались любопытными в
истории эпизодами и серьезного влияния на формирование
техники и теории автоматического управления не оказали.
Бурное развитие этих направлений началось лишь в XVIII и
XIX столетиях, в эпоху промышленного переворота в Европе.
Первыми промышленными регуляторами этого периода яв-
ляются автоматический поплавковый регулятор питания котла
паровой машины, построенный в 1765 г. И.И. Ползуновым в
Барнауле; центробежный регулятор скорости паровой маши-
ны, на который в 1784 г. получил патент английский, механик
Дж. У атт; первое программное устройство управления ткацким
станком от перфокарты (для воспроизведения узоров на ков-
рах), построенное в 1808 г. Ж- Жаккаром. Эти регуляторы как
бы открыли путь потоку изобретений принципов регулирова-
ния и регуляторов, продолжавшемуся вплоть до середины
XX в. В этот период появились регуляторы с воздействием по
производной (братьев Сименсов), по нагрузке (инж. Ж- Пон-
селе), сервомоторы с жесткой обратной связью (инж. Л. Фар-
ко), регуляторы с гибкой обратной связью (изодромные), им-
пульсные регуляторы «на отсечку пара».
Паровая машина не случайно стала первым объектом для
применения техники и теории регулирования, так как она не
обладала способностью устойчиво работать сама по себе, не
имела «самовыравнивания». Ее неблагоприятные динамичес-
кие свойства часто приводили к тому, что подключенный к ней
регулятор действовал не так, как ожидал конструктор, «раска-
чивал» машину или вообще оказывался неспособным управ-
лять ею. Все это, естественно, побуждало к проведению теоре-
тических исследований. Однако до конца 60-х годов прошлого
века теоретические исследования регулирования отличались
тем, что мы называем сегодня «отсутствие системного подхода».
Исследователи еще не сознавали, что в технике рождается но-
вое направление. Они считали, что регуляторы были лишь
вспомогательным придатком к машине, приборной разновид-
ностью «модераторов», «уравнителей хода», дублировавшей
функции маховиков. Во многих работах рассматривались иде-
альные безынерционные регуляторы. Шагом вперед были ра-
боты, учитывавшие динамику регулятора, но и в них регуля-
тор рассматривался отдельно от машины. Авторы обычно до-
бивались хорошего успокоения колебаний самого регулятора,
считая, что этого достаточно и для его спокойной работы на ма-
шине. При таких подходах теоретические исследования не мог-
ли стать основой для новой науки и. были лишь дополнитель-
ными частными проработками в рамках прикладной механики,
придатком к ее разделу о паровых машинах.
Коренное изменение в подходе к проблеме и в методологии
исследований внесли три фундаментальные работы, содержа-
щие, по существу, изложение начал новой науки: работы Дж.
Максвелла «О регуляторах» (1866) и И. А. Вышнеградского
«Об общей теории регуляторов» (1876) и «О регуляторах пря-
мого действия» (1877). Дж. Максвелл и И. А. Вышнеградский
осуществили системный подход к проблеме, рассмотрев регуля-
тор и машину как единую динамическую систему, перейдя к
исследованию малых колебаний и линеаризовав сложные диф-
ференциальные уравнения системы, что позволило дать об-
щий методологический подход к исследованию самых разно-
родных по принципам действия и конструкции систем, зало-
жить основы теории устойчивости и установить ряд важных об-
щих закономерностей регулирования по принципу обратной
связи. Особо важную роль в то время сыграла работа И. А.
Вышнеградского, отличавшаяся глубоким инженерным подхо-
дом, рассмотрением самых важных для техники тех лет объек-
тов и содержавшая кроме ценных практических рекомендаций
истоки ряда современных методов исследования качества ре-
гулирования (диаграммы устойчивости и распределения кор-
ней, выделение областей устойчивости и монотонности и др.).
Поэтому современники И. А. Вышнеградского считали
его основоположником теории автоматического регулиро-
вания.
Работа Дж. Максвелла осталась в то время почти незаме-'
ченной, так как она рассматривала малоинтересный для ши-
рокого круга инженеров объект (механизм ведения телескопа),
явно полезных практических выводов не делала и даже по умо-
зрительным выводам рекомендовала астатические регуляторы,
практически непригодные для промышленных машин того вре-
мени. Ее роль была оценена значительно позднее, когда теория
автоматического регулирования сформировалась в самостоя-
тельную общую научную дисциплину.
Уже в ранние годы теория регулирования стала стимулиро-
вать разработки математического плана. По рекомендации
Дж. Максвелла был разработан Раусом алгоритм для оценки
расположения корней характеристического уравнения и устой-
чивости. По просьбе А. Стодолы А. Гурвицем был выведен де-
терминантный критерий устойчивости. Работы словацкого
инженера и ученого А. Стодолы занимают видное место в теор-
рии устойчивости регулирования паровых и гидравлических
турбин, в учете влияния на процесс регулирования длинного
трубопровода.
Крупный вклад в теорию внесен Н. Е. Жуковским, автором
труда «О прочности движения» и первого русского учебника
«Теория регулирования хода машин» (1909). Н. Е. Жуковский
дал математическое описание процессов в длинных трубопрово-
дах, рассмотрел влияние сухого трения в регуляторах, исследо-
вал некоторые процессы импульсного регулирования посред-
ством уравнений в конечных разностях.
К началу XX в. и в первые его десятилетия теория автома-
тического регулирования формируется как общая дисциплина
с рядом прикладных разделов, таких, как регулирование
электрических машин и систем — X. Тома (1914), Р. Жюиль-
яр (1933), В. С. Кулебакин (1926), С. А. Лебедев и П. С. Жда-
нов (1932), Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов (1932); регули-
рование двигателей — М. Толле (1905), У. Тринкс (1919);
тепловых и паросиловых установок — Т. Штейн (1926),
Г. Вюнш (1930), Ю. Г. Корнилов и В. Д. Пивень (30-е годы),
паровых турбин — А. В. Щегляев (1933), различных произ-
водственных процессов — В. Оппельт (1939) и др. Особенно
четко мысль о теории регулирования как дисциплине обще-
технического характера проводится в работах И. Н. Вознесен-
ского (1922—1949) — руководителя одной из крупных совет-
ских школ в этой области.
Усложнение систем, связанное с повышением интенсивно-
сти процессов, скоростей, требований к точности и качеству,
приводит к необходимости создания более эффективных ме-
тодов исследования. Мысль исследователей обращается к час-
тотным методам, позволяющим сочетать аналитические и наг-
лядные графические приемы, теоретические и эксперименталь-
ные методы исследования. Появляются работы: X. Найквиста
(1932), в которой рассматривается критерий устойчивости ра-
диотехнических усилителей с обратной связью, основанный
на свойствах частотной характеристики разомкнутой системы,
и А..В. Михайлова «Гармонический метод в теории регулирова-
ния» (1938), в которой обосновывалась целесообразность
применения частотных методов в теории регулирования и пред-
лагается новый критерий (критерий Михайлова), не требующий
предварительного размыкания цепи регулирования. Методы
Найквиста и Михайлова вошли в практику в послевоенные го-
ды. В 1946 г. Г. Боде и Л. Мак-Кол ввели логарифмические
|частотные характеристики. Флойд для исследования качества
предложил аппроксимировать вещественную частотную ха-
рактеристику суммой трапеций. Г. Браун, А. Холл, Д. Кемп-
белл, Г. Честнат, В. В. Солодовников завершили разработку
частотных методов синтеза и расчета систем, придав им фор-
му, удобную для инженерных расчетов.
В 40—50-е годы разрабатываются основы теории нелиней-
ных систем. Задача существенно затруднялась из-за отсутст-
вия единого общего математического аппарата для нелинейных
(задач. Продвинуться в этомнаправлении удалось тогда, когда
из всего множества частных видов нелинейных систем были
.отобраны для исследования суженные классы, имеющие вмес-
те с тем достаточно широкое распространение в практике, т. е.
системы, в которых можно выделить две части: линейную ди-
намическую и нелинейную статическую. Наиболее детально бы-
|ли исследованы кусочно-линейные аппроксимации нелиней-
ных статических характеристик.
Одно из важных направлений исследования устойчивости
нелинейных систем с аналитическими характеристиками нели-
нейной части, основывающееся на работах А. А. Ляпунова
(1896), развивалось в СССР в работах А. И. Лурье (1944—
—1951), А.М. Летова (1955) и др. Завершающим этапом этого
направления можно считать разработку теории абсолютной ус-
тойчивости. Проблема была выдвинута А. И. Лурье и В. И. По-
стниковым (1944), более детально сформулирована М. А. Ай-
зерманом (1949, 1963) и доведена до изящного решения
румынским ученым В. М. Поповым (1959), который использо-
вал частотные представления, что позволило в дальнейшем
применить эти методы для синтеза нелинейных систем.
Большое значение для качественного исследования нели-
нейных систем имеют методы, базирующиеся на представле-
нии переходных процессов траекториями в фазовых плоско-
стях и пространстве. Основы направления заложены
А. А. Андроновым и его школой в 1930—1940 гг. Метод фазо-
вой плоскости, обладая большой наглядностью и всеобщим ох-
ватом совокупности возможных движений, несмотря на огра-
ниченность уравнениями второго (иногда третьего) порядка,
позволил вскрыть ряд характерных особенностей процессов в
нелинейных системах: предельные циклы, скользящие режимы,
захватывание и т. п. Сочетание фазовых представле-
ний с аналитическими методами исследования многомерных
фазовых пространств дало возможность предложить и исследо-
вать новый важный класс систем с переменной структурой, со-
храняющих высокое качество работы в условиях значитель-
ных изменений параметров объекта (С. В, Емельянов и др.,
60-е годы). Работа удостоена Ленинской премии в 1971 г.
Я. 3. Цыпкиным разработаны основы теории релейных
(1955) и импульсных (60-е годы) систем с различными вида-
ми модуляции. Цикл этих работ удостоен Ленинской премии
в 1960 г.
Для определения параметров автоколебаний и условий их
возникновения приближенными методами Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым (1934) был разработан метод гармоничес-
кого баланса. Л. С. Гольдфарб дал графоаналитический ме-
тод нахождения в первом приближении частоты и амплитуды
основной гармоники автоколебаний с помощью частотных ха-
рактеристик. Дальнейшее развитие этот метод получил в ра^
ботах Е. П. Попова и др.
Развитие теории автоматического регулирования в после-
военные годы было исключительно плодотворным и многогран-
ным и невозможно, хотя бы бегло, даже упомянуть о всех ос-
новных направлениях и авторах. Ограничимся коротким упо-
минанием об основных новых разделах теории, посвященных
разработкам новых фундаментальных принципов управления,
выполненных советскими авторами.
Трудами Г. В. Щипанова, В. С. Кулебакина, Б. Н. Петро-
ва и других разработаны теория автоматического регулирова-
ния по возмущению, теория компенсации возмущений и инва-
риантности.
В. В. Казакевичем, А. А. Фельдбаумом, А. А. Красовским
и другими разработаны принципы экстремального управления
и теория поиска экстремума (дуального управления). Л. С.
Понтрягин, А. М. Летов, Н. Н. Красовский и другие создали
основы теории оптимального управления, обеспечивающего
выражаемое обычно функционалом максимальное значение
показателя технико-экономической эффективности процес-
са в динамике. Разработка теории экстремальных (самонаст-
раивающихся) оптимальных систем дала основание расширить
название курса «Теория автоматического управления и ре-
гулирования», поскольку рассматриваемые в нем виды управ-
ления не ограничиваются только регулированием.
Значение теории автоматического управления в настоящее
время переросло рамки только технических систем. Динами-
ческие управляемые процессы имеют место в живых организ-
мах, экономических и организационных человеко-машинных
системах. В таких системах функции управления не могут быть
полностью переложены на автоматические устройства. При-
нятие наиболее ответственных решений остается за человеком.
Системы, в которых автоматизируется часть операций, а дру-
гая часть выполняется человеком, получили название «Авто-
матизированные системы управления» (АСУ). АСУ создаются
на нескольких уровнях: технологических процессов (АСУТП)
и предприятия (АСУП), отрасли и т. д. В АСУ широко исполь-
зуется вычислительная техника. Изучение принципов построе-
ния АСУ составляет предмет специального учебного курса.
Соотношение между числом автоматизированных и неавто-
матизированных операций в АСУ различных уровней неодина-
ково. На низшем уровне (АСУТП) роль автоматических уст-
ройств и роль динамики превалируют. На высших уровнях
учет динамики становится существенно труднее как вследст-
вие усложнения структуры системы и возрастания числа уп-
равляемых переменных, так и вследствие увеличения числа и
возрастания роли не поддающихся формализации на матема-
тическом языке факторов. В настоящее время интенсивно раз-
виваются новые разделы динамики управления: «Динамика
сложных систем», изучающая системы высокой размерности со
сложной структурой, описание которых может быть выполне-
но на математическом языке, и «Системная динамика», изучаю-
щая поведение сложных систем при наличии как формализуе-
мых, так и неформализуемых факторов. Одним из основных ме-
тодов исследования в системной динамике является имитаци-
онное моделирование. В настоящее время изучение динамики
сложных систем и системной динамики выходит за рамки изла-
гаемого в данной книге курса обнов теории автоматического
управления.
Законы динамики в сложных системах обычно не являются
основными и определяющими само управление, как это свой-
ственно техническим системам, но тем не менее их влияние
зачастую существенно и отказ от их учета приводит к крупным
потерям В автоматизированных системах, управления (АСУ)
технологическими процессами роль динамики бесспорна и пре-
валирует, но она становится все более ясной и в других типах
АСУ по мере расширения, их не только информационных, но
и управляющих функций.
В утвержденных на XXVII съезде КПСС Основных на-
правлениях экономического и социального развития СССР
на 1986—1990 годы и иа период до 2000 года предусмот-
рено внедрять автоматизированные системы в различные
сферы хозяйственной деятельности, и в первую очередь
в проектирование, управление оборудованием и технологи-
ческими процессами. В решении этих задач исследования
и разработки в области теории автоматического управле-
ния играют исключительно важную роль. .
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
! И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1.1. Сущность проблемы
автоматического управления
Целенаправленные процессы, выполня-
емые человеком для удовлетворения
различных потребностей, представляют
собой организованную совокупность
действий — операций, которые делят на
два класса: рабочие операции и опера-
ции правления. К рабочим операциям
относят действия, непосредственно не-
обходимые для выполнения процесса
в соответствии с. теми природными за-
конами, которыми определяется ход про-
цесса, например снятие стружки при
обработке детали на станке, вращение
вала двигателя и т. п. Замену труда
человека в рабочих операциях называ-
ют механизацией, цель которой — осво-
бождение человека от тяжелых опера-
ций, требующих больших затрат физи-
ческой энергии (земляные работы, подъем
грузов); во вредных операциях (химиче-
ские, радиоактивные процессы); в одно-
образных, утомительных для нервной
системы операциях (завинчивание одно-
типных винтов при сборке, заполнение
большого количества типовых докумен-
тов, выполнение большого объема стан-
дартных вычислений и т. п.).
Для правильного и высококачествен-
ного выполнения рабочих операций их
необходимо направлять Действиями дру-
гого рода — операциями управления, ко-
' торые обеспечивают в нужные моменты
времени начало, порядок следования и
прекращение отдельных операций, обеспечивают выделение не-
обходимых для их выполнения ресурсов, задают нужные пара-
метры самому процессу: направление, скорость, ускорение ра-
бочего инструмента, температуру, концентрацию в химическом
процессе и т. д. Совокупность управляющих операций
образует процесс управления.
Операции управления также частично или полностью мо-
гут выполнять технические устройства. Замену труда человека
в операциях управления называют автоматизацией, а тех-
нические устройства, выполняющие операции управления,—
— автоматическими устройствами. Совокупность техничес-
ких средств — машин, орудий труда, средств механизации,
выполняющих данный процесс, — с точки зрения управления,
-является объектом управления. Совокупность средств управ-
ления и объекта образует систему управления. Систему, в кото-
рой все рабочие и управляющие операции выполняют автома-
тические устройства, называют автоматической системой.
Систему, в которой автоматизирована только часть операций,
другая же их часть (обычно наиболее ответственная) сохра-
няется за людьми, называют автоматизированной (частично
автоматической) системой.
Объектами и операциями управления охватываются техни-
ческие процессы и агрегаты, группы агрегатов, цехи, предпри-
ятия, людские коллективы и организации и т. д.
Всякий технический процесс характеризуется совокупно-
стью физических величин, называемых показателями, коор-
динатами, а иногда параметрами процесса. Будем избегать
термина «параметр» в этом смысле, так как им обычно обозна-
чают физические константы самих устройств. Для осуществле-
ния управления и-построения управляемых систем нужны зна-
ния двоякого вида: во-первых, конкретные знания данного про-
цесса, его технологии и, во-вторых, знание принципов и мето-
дов управления, общих для самых разнообразных объектов и
процессов. Конкретные, специальные знания дают возможность
установить, что и как следует изменять в системе, чтобы
получить требуемый результат. Будем считать, что все это
задано технологами, и будем изучать, абстрагируясь от част-
ных свойств, только общие законы и методы управления и спо-
собы их реализации.
При автоматизации возникает необходимость в различных
видах операций управления. К одному из видов относятся
операции начала (включения), прекращения (отключения)
данной операции и перехода от одной операции к другой (пере-
0) Z’tf
^*n“**-
Рис. 1.1
ключения). Различные аспекты этих видов операций рассмат-
риваются в теории переключающих устройств и отчасти в тео-
рии расписаний, составляющих предмет других курсов.
Другая группа операций связана с контролем за координа-
тами с целью установления, не вышли ли они за допустимые
границы. Эта группа операций состоит в измерении значений
координат и выдаче результатов измерения в удобной для чело.-
века-оператора форме. Операции этой группы рассматривают-
ся в теории автоматического контроля.
Для правильного и высококачественного ведения процесса
некоторые из его координат — управляемые координаты —
должны поддерживаться в определенных границах или изме-
няться по определенному закону. Поэтому третью группу
операций управления — операции по поддерживанию задан-
ного закона изменения координат — изучают в теории автома-
тического управления, которой посвящена эта книга.
Необходимость в управлении значениями координат воз-
никает в том случае, когда нормальный ход процесса наруша-
ется из-за различного рода возмущений, т. е. колебаний на-
грузки, воздействий внешней среды или внутренних помех.
Пусть х = {х1; х2, ..., хп} — совокупность управляемых
координат процесса. В схеме, изображенной на'рис. 1.1, а,
б, объект представлен прямоугольником, а управляемые ко-
ординаты, или, как их часто называют, выходные величины
объекта, — одиночными стрелками, если они Скалярные ве-
личины х1г х2,---, ИЛИ двойными при изображении вектора х.
На схеме показаны также возмущающие воздействия z = {zlt
zit ..., Z[} и управляющие воздействия u — {«j, w2, ..., um},
прикладываемые к управляющему органу объекта УО, с помо-
щью которого можно изменять координаты х. Величины х, и и
z в зависимости от природы объекта связаны различными ма-
тематическими зависимостями. В общем случае
х = A (z,u),
где А — оператор, определяющий вид зависимости.
(1.1)
В простейшем случае, когда это обычная функциональная
зависимость
x=F(z,u),	(1.2)
объект называют статическим или безынерционным, а зависи-
мость (1.2) или ее графическое изображение — статической
характеристикой объекта (рис. 1.1, в).
Если объект обладает инерцией, то изменения координат
под воздействием возмущений z или управлений и происходят
не мгновенно и в этом случае объект называют динамическим.
Величины х, и и z в динамических объектах связаны дифферен-
циальными, интегральными или разностными уравнениями.
Изменения координат в нормальном требуемом ходе про-
цесса определяются совокупностью правил, предписаний или
математических зависимостей, называемой алгоритмом фун-
ционирования системы. Алгоритм функционирования состав-
ляется на основании технологических, экономических и других
требований без учета динамических искажений. В теории ав
томатического регулирования алгоритм функционирования
считают заданным.
Алгоритм управления будет зависеть как от алгоритма
функционирования, так и от динамических свойств системы.
§ 1.2. Фундаментальные принципы управления
Зная статические и динамические свойства управления
системы, можно построить математическую модель системы и
найти такой алгоритм управления, который обеспечивает за-
данный алгоритм функционирования при известных, заданных
воздействиях. Однако модель всегда приближенно выражает
свойства оригинала, а возмущающие воздействия могут изме-
няться не известным заранее образом, поэтому и при найденном
алгоритме управления фактическое поведение системы будет
отличаться от желаемого, определяемого алгоритмом функцио-
нирования.
Чтобы приблизить поведение к требуемому, алгоритм уп-
равления нужно увязать не только со свойствами системы и ал-
горитмом функционирования, но и с фактическим функциони-
рованием системы.
В основе построения системы автоматического управления
лежат некоторые общие фундаментальные^ принципы управле-
Рис. 1.2
ния, определяющие, каким образом осуществляется увязка
алгоритмов функционирования и управления с фактическим
функционированием или причинами, вызывающими отклоне-
ние функционирования от заданного. В настоящее время в тех-
нике известны и используют три фундаментальных принципа:
разомкнутого управления, компенсации и обратной связи.
Принцип разомкнутого управления. Сущность принципа
состоит в том, что алгоритм управления вырабатывается толь-
ко на основе заданного алгоритма функционирования и не кон-
тролируется другими факторами — возмущениями или выход-
ными координатами процесса. Общая функциональная схема
системы показана на рис. 1.2, а. Задание х0 (/) алгоритма функ-
ционирования может вырабатываться как специальным техни-
ческим устройством — задатчиком программы 1, так и выпол-
няться заранее при проектировании системы и затем непо-
средственно использоваться при конструировании управляю-
щего устройства 2. В последнем случае блок 1 на схеме отсут-
ствует. В обоих случаях схема имеет вид разомкнутой цепоч-
ки, в которой основное воздействие передается от входного эле-
мента к выходному элементу 3, как показано стрелками. Это и
дало основание названию принципа. Близость х и х0 в разомк-
нутых системах обеспечивается только конструкцией и подбо-
ром физических закономерностей, действующих во всех эле-
ментах .
Несмотря на очевидные недостатки, этот принцип исполь-
зуют очень широко. Элементы, представляемые разомкнутой
цепью, входят в состав любой системы, поэтому принцип пред-
стявлдется-нястодыммийРИ^м. что его не всегда выделяют как
один из фундаментальных принципов. Этому способствует и
то, что общих правил построения разомкнутых цепей можно
выделить не много. Основные правила, полезные конструкто-
ру, существенно зависят от частных свойств конкретных уст-
ройств и изучаются в специальных прикладных курсах по при-
боростроению и машиностроению.
Упоминавшиеся выше операции включения, отключения и
переключения часто выполняют с помощью различных логиче-
ских элементов и их наборов (выключателями, реле, элемента-
ми И, НЕ, ИЛИ и др.), каждый из которых может представ-
лять собой элемент с управлением по разомкнутой цепи.
Другим типом этих элементов могут быть датчики програм-
мы, состоящей из устройства запуска программного элемента
и самого программного элемента (например, устройство пуска
и барабан музыкальной шкатулки, магнитофон, профилирован-
ный кулачковый механизм, приводимый в движение двигате-
лем и осуществляющий перемещение рабочего инструмента по
заданному контуру, и т. п.).
Следующим типом элементов являются линейные преобра-
зователи. Один вид таких преобразователей осуществляет про-
порциональное преобразование одной физической величины в
другую, более удобную для использования, другой их вид —
усилители — имеют на входе и выходе одну и ту же физичес-
кую величину, но с различными значениями ее количественных
показателей. Используются также нелинейные функциональ-
ные преобразователи.
К элементам разомкнутого типа можно отнести и многие
счетно-решающие элементы, выполняющие операции дифферен-
цирования, интегрирования и формирования разных диффе-
ренциально-интегральных операторов.
Принцип компенсации (управление по возмущению). Если
возмущающие воздействия настолько велики, что разомкну-
тая цепь не обеспечивает требуемой точности выполнения алго-
ритма функционирования, то для повышения точности иногда
возможно, измерив возмущение, ввести по результатам измере-
ния коррективы в алгоритм управления, которые компенсиро-
вали бы вызываемые возмущениями отклонения алгоритма
функцион ирования.
Так как отклонение регулируемой величины зависит не
только от управляющего и, но и от возмущающего z воздей-
ствия, т. е. х = Fx (иъ z), то в принципе можно подобрать уп-
равление u — F2 (z) таким образом, чтобы в установившемся ре-
жиме отклонение отсутствовало, т. е. Дх — х0 — Ft (ult z) —. 0.
Так, в простейшем линейном случае, если характерис-
тика объекта в статике х0 = kcu — kz z, то, выбирая и =
= Х0/к0 4- kz z/k0, получим X = Л'о = const.
Функциональная схема регулирования по возмущению по-
казана на рис. 1.2, б. Примерами систем компенсации могут
служить: известная из физики биметаллическая система стерж-
ней с разными коэффициентами теплового расширения в маят-
нике хронометра, обеспечивающая постоянство длины маятни-
ка при колебаниях температуры; схема компаундирования ге-
нератора постоянного тока, обеспечивающая неизменность на-
пряжения при колебаниях тока нагрузки (рис. 1.3). Если
э. д. с. генератора Ег — &ФВ линейно зависит от его потока
возбуждения фв, а уменьшение напряжения вызвано только
активным сопротивлением якоря, т. е. пропорционально току
нагрузки, то для поддержания постоянства заданного напря-
жения ит0 надо изменять э. д. с. генератора в функции тока
нагрузки по закону Ег = /7?а + ыг0. Такое изменение осуще-
ствляют с помощью дополнительной компаундной обмотки КО,
по которой проходит ток равный или пропорциональный
току якоря I. С помощью компаундирования, выбирая коэф-
фициент пропорциональности при I, можно уменьшить ста-
тизм характеристики 6, сделать его равным нулю или изме-
нить знак статизма, получив возрастание напряжения при рос-
те нагрузки (перекомпенсация). Следует подчеркнуть, что ком-
пенсация достигается только по измеряемым возмущениям.
Так, в приведенном примере не компенсируются колебания
температуры, скорости приводного двигателя и ряд других
факторов, вследствие чего ошибку нельзя свести к нулю даже
при идеальном компаундировании.
Принцип регулирования паровой машины по моменту со-
противления на ее валу был предложен в 1830 г. француз-
ским инженером Ж- Понселе, однако реализовать свое пред-
ложение на практике ему не удалось, потому что динамичес-
кие свойства машины (астатизм) не допуска-
ли непосредственного использования прин-
ципа компенсации. В 1940 г. Г. В. Щипа-
нов предложил принцип достижения незави-
симости управляемой величины от возмуще-
ний — так называемый принцип инвариант-
ности. Г. В. Щипанов пытался получить
компенсацию путем соответствующего подбо-
ра связей в регуляторе, не измеряя непосред-
ственно возмущение. Он получил матема-
Рис. 1.3
тические условия для такого под ора, но попытки реали-
зовать эти условия наталкивались на физическую нереали-
зуемость. Это вызвало в свое время острую длительную дискус-
сию, в которой крупные специалисты вообще ставили под сом-
нение возможность самого принципа инвариантности. В. С.
Кулебакин в 1948 г. и Б. Н. Петров в 1955 г. показали, как
следует строить системы, чтобы в них можно было реализовать
принцип инвариантности.
Принцип обратной связи. Регулирование по отклонению.
Систему можно построить и так, чтобы точность выполнения
алгоритма функционирования обеспечивалась и без измерения
возмущений. На рис. 1.2, в показана схема, в которой коррек-
тивы в алгоритм управления вносятся по фактическому значе-
нию координат в системе. Для этой цели в конструкцию систе-
мы вводят дополнительную связью, в которую могут входить
элементы для измерения х и для выработки корректирующих
воздействий на управляющее устройство. Схема имеет вид зам-
кнутой цепи, что дало основание назвать осуществляемый в
ней принцип принципом управления по замкнутому контуру.
Введенную дополнительную цепь называют цепью обратной
связи, так как направление передачи воздействий в дополни-
тельной связи обратно направлению передачи основного
воздействия на объект.
Схема, изображенная на рис. 1.2, в, представляет собой
наиболее общий вид замкнутых систем. По такой схеме строят,
например, многие преобразовательные и счетно-решающие
элементы. В управлении же наиболее широко распространен
частный вид замкнутых систем, в которых коррекцию алгорит-
ма управления осуществляют не непосредственно по значени-
ям координат х, а по их отклонениям от значений, определяе-
мым алгоритмом функционирования х0, т. е. Дх = х0 — х.
Схема, реализующая эту разновидность управления с об-
ратной связью, показана на рис. 1.2, г, в которой: элемент 1
задает алгоритм функционирования, а элемент сравнения —
сумматор 2 — осуществляет вычитание х из х0, т. е. выраба-
тывает величину Дх, называемую отклонением или ошибкой
управления. Часто оказывается целесообразным вырабаты-
вать управляющее воздействие в функции не только Дх, но
также его производных и интегралов по времени:
(е	\
Дх, Дх,..„ J Axd/,... I ,Дх = х0—х.	(1-3)
о	/
Функция f должна быть не-
убывающей функцией Дх и одно-
го с ней знака. Относительно
других аргументов ее знак опре-
деляется из анализа.
Управление в функции от-
клонения при упомянутых тре-
бованиях к функции f называют
регулированием. Управляющее
устройство в этом случае на-
зывают автоматическим регу-
лятором. Объект 3 и регулятор 2
замкнутую систему, называемую системой автоматического
регулирования (САР). Регулятор, вырабатывающий управ-
ляющее воздействие и в соответствии с алгоритмом управле-
ния (1.3), образует по отношению к выходу объекта отрица-
тельную связь, поскольку знак Д 'х, как следует из (1.3), обра-
тен знаку х. Обратную связь, образуемую регулятором, назы-
вают главной обратной связью. Кроме нее внутри регулятора
могут быть и другие местные обратные связи.
Если регулируется несколько величин хъ х2 посредством
нескольких управлений и1у uiy...y т. е. если х и и — векторы,
соответствующие стрелки изображают двойными линиями
(см. рис. 1.1, б). .
Пример системы автоматического регулирования напря-
жения генератора постоянного тока показан на рис. 1.4. С де-
лителя напряжения Д Н снимается напряжение kur, пропор-
циональное регулируемому напряжению иГ. Оно сравнивает-
ся с напряжением и0 эталонной батареи. Разность Дх = и0—
— киГ подается на вход усилителя У, к выходу которого под-
ключен якорь двигателя постоянного тока Д. Двигатель при-
водит в движение регулирующий орган — реостат, включен-
ный в цепь обмотки возбуждения ОБ генератора. При увеличе-
нии цг сверх заданного значения двигатель переместит ползу-
нок реостата так, чтобы сопротивление реостата увеличилось и
напряжение, подводимое к ОБ, уменьшилось. Следствием будет
уменьшение регулируемого напряжения.
В данной схеме мощности сигнала Дх оказывается недоста-
точно для непосредственного управления током возбуждения,
поэтому и использован усилитель У. Такие системы называют
системами непрямого регулирования. В маломощных системах
иногда можно применить прямое регулирование, управляя ис-
полнительным органом непосредственно от сигнала ошибки.
Принцип обратной связи широко распространен не только
в технике, но и в процессах управления, осуществляемых в
Живых организмах (системы регуляции различных функций—
температуры, ритма кровообращения и др.). В управлении
общественными организациями этот принцип реализуется в ви-
де проверки исполнения принятых решений и распоряжений,
играющих роль управляющих воздействий.
В ряде случаев эффективно применение комбинированного
регулирования по возмущению и отклонению (см. рис. 1.2, 5),
например компаундирование с коррекцией мощных синхрон-
ных генераторов. Комбинированные регуляторы объединяют
достоинства обоих принципов — быстроту реакции на измене-
ние возмущений и точное регулирование независимо от того,
какая причина вызвала отклонение.
§ 1.3. Основные виды автоматического
управления
На первом этапе развития техники управления использо-
вался практически лишь один вид автоматического управления
— поддержание заданного постоянного значения регулируе-
мой величины. Долгое время под системами автоматического
регулирования понимался именно этот вид. Впоследствии чис-
ло видов увеличивалось, и вполне вероятно, что упомина-
емые ниже шесть основных их видов не исчерпывают не толь-
ко возможные виды в будущем, но и существующие сегодня.
Стабилизация. Системы поддержания постоянства управ-
ляемой величины называют также системами стабилизации.
Желаемый закон в них имеет вид х0 (Z) = const.
Пример системы автоматической стабилизации напряжения
генератора постоянного тока был рассмотрен в § 1.2 (рис. 1.4).
Если в этой схеме изъять цепочку ДН — эталонная батарея
— У — Д, то получим систему стабилизации, действующую
по разомкнутому контуру. В ряде установок местного значения,
где не требуется высокой точности стабилизации, такие
разомкнутые схемы используют и в наши дни.
Известна важная особенность систем регулирования по от-
клонению: если в них использовать регуляторы, состоящие
только из элементов, осуществляющих обычные аналитические
преобразования, т. е. обладающих аналитическими статичес-
кими характеристиками, то регулирование по отклонениюмо-
жет уменьшить, но не устранить ошибку.
Рассмотрим схему с простейшими линейными преобразо-
вательными звеньями. Уравнения статики для такой схемы
(см. рис. 1.2, г) будут
х = kou — kzz\ и = ЛрДх = kp (х0 — х),	(1.4)
где k0, kp и kz — постоянные коэффициенты, называемые соот-
ветственно коэффициентами передачи объекта, регулятора и
нагрузки.
Из (1.4) получаем
kp	kz
х —-----s— х0 — -------г,
14- kp	1 kp
т. e. значение регулируемой величины х зависит от нагруз-
ки г, уменьшаясь с ее ростом.
Регулирование, в котором установившаяся ошибка при по-
стоянном заданном значении л0 зависит от нагрузки, называ-
ют статическим. Установившаяся статическая ошибка
Дхст = х0—х = ----------х 4-
с 0	1 + ^0 kp
——г.
1 -1 -Лр
(1.5)
Выражение это громоздко, и для оценки степени зависимости ста-
тической ошибки от нагрузки z переходят к уравнениям, связываю-
щим относительные безразмерные отклонения <р = Дх/хт1п;2,= Az/zHOM,
где абсолютные значения Lx = х — xmin и Az = z — zH0M отнесены
к базовым значениям, соответствующим номинальной нагрузке zH0M
(рис. 1.5). Вообще статизм 5 равен относительной крутизне регулировоч-
ной характеристики х = F (г) [нли Ф = Ф (Z)], т. е.
6 = —dy/ffK.	(1.6)
Если характеристика прямолинейна, то
__ Афтах   (х'тах ~-^mlnl/^mln (хтах *min)
А^тах (2ном 0)/гиом	Хт1п
(1-7)
Статический регулятор поддерживает постоянное значение
регулируемой величины с ошибкой. Статизм — это величи-
на относительной статической
ошибки при изменении нагруз-
ки от холостого хода до номи-
нальной. В некоторых системах
статическая ошибка нежелатель-
на. Тогда переходят к регули-
рованию, в котором она в силу
структуры системы равна нулю,
X	т. е. к астатическому регулирова-
но	нию. Регулировочная характеристика
	]£ идеального астатического регулиро-
0	2нам вания представляет собой прямую
линию, параллельную оси нагрузки
Рис. 1.6	(рис. 1.6). Вследствие неточности
регулятора регулируемая величина
может принимать любое значение внутри некоторой зоны (на
рисунке заштрихована), но ошибка при этом не будет зависеть
от нагрузки. Для получения астатического регулирования в
регуляторе нужно устранить жесткую зависимость между по-
ложением регулирующего органа и значением регулируемой
величины, с тем чтобы одно и то же значение регулируемой ве-
личины можно было поддерживать при любой нагрузке. Для
этого в цепь регулирования вводят астатическое звено. Приме-
ром астатического звена является интегрирующее звено,опи-
t
сываемое уравнением и = k J Дх dt или duldt — k Ьх.
о
Регулятор при этом будет находиться в равновесии только в
том случае, когда duldt = Дх = О, т. е. когда регули-
руемая величина будет равна заданному значению. Электри-
ческий двигатель является примером астатического звена.
В схеме, изображенной на рис. 1.4, двигатель, перемещающий
ползунок реостата возбуждения, — астатическое звено, а
изображенная система есть система астатического регулиро-
вания.
Программное управление. При программном управлении ал-
горитм функционирования задан и можно построить специ-
альное устройство — датчик программы, — вырабатывающее
х0 (I). Таким образом, все схемы, показанные на рис. 1.2,
в которых х0 (0 есть заданная функция, а звенья 1 представ-
ляют собой датчики программы, вырабатывающие эту функ-
цию, относятся к классу систем программного управления.
Программное управление можно осуществить по-любому из
фундаментальных принципов или с помощью их комбинации.
В практике используют два вида систем программного
управления: системы с временной программой и системы с про-
странственной программой. В системах первого вида датчик
программы вырабатывает непосредственно функцию х0 (0.
Примерами могут служить устройства, в которых движение ча-
сового механизма или двигателя с равномерным ходом преоб-
разуется с помощью функциональных преобразователей (про-
филированных кулачков, реостатов и т\ nJв движение
х0 (О- К таким устройствам относят устройства программы для
изменения температуры закалочных печей, заводные игрушки,
магнитофоны, проигрыватели и т. д. Системы второго вида ис-
пользуют в программном управлении металлообрабатывающи-
ми станками. В них движение исполнительного органа (инстру-
мента) осуществляется по заданной в пространстве траектории,
закон же движения по траектории во времени мало существен
и в широких пределах может быть произвольным.
Используются два способа пространственного программно-
го управления. Первый состоит в том, что движение по каж-
дой из координатных пространственных осей выполняется от-
дельным приводом, движение по одной из осей задается про-
извольно (обычно равномерным), а остальные движения увя-
зываются с первым так, чтобы инструмент двигался по за-
данной траектории. Примером может служить копироваль-
ный палец 77, скользящий по шаблону 3 в системе управ-
ления 1 копирова льным станком 2 (рис. 1.7). Одно движение —
подача по оси х двигателем Дх — происходит равномерно,
второе — движение по оси у — задается профилем кулачка
(шаблона 3). При обработке изделия 4 инструмент Ф станка
2 повторяет движение пальца П. Второй способ состоит в том,
что заданн ая траектория описывается с помощью системы па-
раметрических уравнений, в которых параметром является
время, а затем строится решающее устройство, задающее
движение приводам по отдельным осям в соответствии с эти-
ми параметрическими уравнениями.
Системы программного управления по своей структуре
также могут быть статическими и астатическими, однако, по-
скольку величины х0 (I) и z в них непостоянны, статическая
ошибка не устраняется, так как возникают установившиеся
ошибки, зависящие от скорости и высших производных. Для
устранения этих составляющих ошиб-
ки можно вводить в систему допол-
нительные астатические звенья (по-
вышать порядок астатизма). Этот
вопрос рассматривается более деталь-
но в § 5.2.
Следящие системы. В следящих
системах алгоритм функционирова-
ния заранее не известен. Обычно ре-
гулируемая величина в таких системах
Должна воспроизводить изменение не-
которого внешнего фактора, следить за ним. Так, автоматиче-
ски управляемые зенитное орудие должно поворачиваться,
следя за полетом цели. Следящая система может быть выпол-
нена в соответствии с любым фундаментальным принципом
управления и будет отличаться от соответствующей системы
программного управления тем, что вместо датчика программы
в ней будет помещено устройство слежения за изменениями
внешнего фактора.
В качестве примера следящей системы на рис. 1.8 приведена уп-
рощенная схема отработки угла. Регулируемой величиной является
угол поворота 0ВЫК управляемого объекта 2. Приводной Двигатель 3
питается от электромашинного усилителя 1. Входное воздействие по-
дается на сельсин-датчик 5 в виде угла поворота 0ВХ его ротора. Соеди-
ненные по трансформаторной схеме сельсин-датчик и сельсин-прием-
ник 4, механически связанный с нагрузкой, вырабатывают напряже-
ние, пропорциональное рассогласованию е = 0ВХ — 0ВЫХ между вход-
ным и выходным валами следящей системы. Напряжение ошибки уси-
ливается усилителями и <У2 и электромашиииым усилителем 1 и по-
ступает на якорь исполнительного двигателя 3, вращающего одновремен-
но объект (нагрузку) 2 и ротор сельсина-приемника до тех пор, пока
рассогласование не станет равным нулю.
Системы с поиском экстремума показателя качества. В ря-
де процессов показатель качества или эффективности процесса
может быть выражен в каждый момент времени функцией те-
кущих координат системы, и управление можно считать опти-
мальным, если оно обеспечивает поддержание этого показате-
ля в точке максимума, например настройку радиоприемника
на частоту передающей станции по наибольшей громкости при-
ема или по наибольшей яркости свечения индикаторной лам-
пы. Такое управление обладает одной нежелательной особен-
ностью: когда точка настройки
Рис. 1.8
под воздействием различных
возмущений окажется сме-
щенной от экстремума, неиз-
вестно, в каком направлении
следует воздействовать на
регулирующий орган, чтобы
вернуть ее к экстремуму.
Поэтому экстремальное уп-
равление начинают с поиска:
сначала выполняют неболь-
шие пробные движения в ка-
ком-то выбранном направле-
нии, затем анализируют ре-
акцию системы на эти пробы
и после этого по результа-
там анализа вырабатывают
управляющее воздействие
в виде импульса, прибли-
жающего систему к экстре-
муму.
Первые упоминания в
литературе об экстремаль-
ных регуляторах содер-
жатся, по-видимому, в	Рис. 1.9
статье М. Леблана (1922),
где описан регулятор для колебательного контура электропо-
езда, и в 1926 г. в книге Т. Штейна, где высказывалась идея
регулирования топки парового котла по минимуму потерь в
дымовой трубе. Далее предложения экстремальных регулято-
ров давались и исследовались Ю. С. Хлебцеричем (1940) и
В. В. Казакевичем (1943). Широкую же известность в миро-
вой литературе принцип экстремального регулирования при-
обретает в 50-х годах после выхода в свет статей Дрейпера, Ли
и других и книги Цян Сюэсеня (1954).
На рис. 1.9 приведена функциональная схема экстремаль-
ного регулирования с поиском. Измерительно-преобразую-
щий элемент ИПЭ, измеряющий координаты процесса и вычис-
ляющий показатель качества J = Ft (хъ х2,..., хп), подклю-
чен к выходу объекта О. Устройство пробных воздействий
УПВ генерирует пробные воздействия vlt v2,..., vn на систему
регулирующих органов РО. Логическое устройство ЛУ, по-
лучая информацию как о введенных пробных воздействиях,
так и об изменении J под их влиянием, анализирует получен-
ные данные и результат сообщает вычислительному устройст-
ву ВУ, которое вырабатывает управляющие воздействия ult
..., un.
Для поиска экстремума необходим чувствительный элемент,
обнаруживающий экстремум. Один из способов обнаружения
экстремума функции одной переменной у — f (х) состоит в из-
мерении производной dyldX}. Необходимые и достаточные ус-
ловия экстремума выражены соотношениями:
dyldx — 0; d^yldx2 < 0 для максимума;
dyldx — 0; d^y/dx2 > 0 для минимума.
Для измерения dyldx используют или измерения в достаточ-
но близких смежных точках разностей Дх = х2 — хх и Ду =
= у2 — ух и вычисления их отношения kyl&x « dyldx,
или же другие методы, например известный из радиотехники
метод синхронного детектирования, место трудно реализуе-
мого технического измерения второй производной чаще всего
делают проверку знака величины А// в окрестности предпо-
лагаемого экстремума: у должно быть положительным в ок-
рестности минимума и отрицательным в окрестности максиму-
ма. Однако одиночной проверкой можно пользоваться лишь в
том случае, если известно, что экстремум существует, что он
единственный и что в рабочей области нет точек перегиба функ-
ции. Если одно из этих условий не выполняется, поиск услож-
няется. Так, если отсутствие точек перегиба не гарантирова-
но, то в случае функции одной переменной надо проверить
значения А// по обе стороны предполагаемого экстремума. В
случае функции многих переменных используют вычислитель-
ные устройства поиска, основывающиеся на математических
итерационных методах решения экстремальных задач: Гаус-
са — Зайделя, градиента, наискорейшего спуска и т. п.
Прямой метод измерения dyldx часто трудно реализуем, по-
этому используют и другие методы обнаружения экстремума:
релейные и шаговые схемы с логическими элементами для
анализа знаков, способы «запоминания экстремума», точнее—
наибольшего (или наименьшего) из ряда наблюдений в про-
цессе поиска значений, и с ним сравниваются последующие.
Подробнее экстремальные (самонастраивающиеся) системы
рассмотрены в гл. 10.
Если в рабочей области системы существует несколько ло-
кальных экстремумов, то упомянутые методы позволяют об-
наружить лишь один из локальных экстремумов, именно тот,
в окрестности которого оказалась исходная точка поиска. Для
нахождения глобального экстремума, если априорной ин-
формации об его окрестности нет, приходится просматривать
всю рабочую область, выявляя все локальные экстремумы и
сравнивая их между собой. Поскольку в системах экстремаль-
ного управления измеряется значение управляемой величины,
они относятся к классу систем управления по замкнутому
контуру.
Оптимальное управление. Оптимальное управление в по-
следние годы начали применять как в технических системах
для повышения эффективности производственных процессов,
так и в системах организационного управления для совер-
шенствования деятельности предприятий, организаций, отрас-
лей народного хозяйства.
В организационных системах обычно интересуются конеч-
ным, установившимся результатом команды, не исследуя эф-
фективность во время переходного про-
цесса между отдачей команды и получе-
нием окончательного результата Объяс-
няется это тем, что обычно в таких си-
стемах потери в переходном процессе
достаточно малы и влияют несуществен-
но на общую величину выигрыша в уста-
новившемся режиме, поскольку сам уста-
новившийся режим значительно более
длителен, чем переходный процесс. Но
Рис. 1.10
иногда динамика не исследуется из-за математических труд-
ностей. Методам оптимизации конечных состояний в орга-
низационных и экономических системах посвящены курсы
методов. оптимизации и исследования операций.
В управлении динамическими техническими системами
оптимизация часто существенна именно для переходных про-
цессов, в которых показатель эффективности зависит не толь-
ко от текущих значений координат (как в экстремальном уп-
равлении), но и от характера изменения в прошлом, настоящем
и будущем, и выражается некоторым функционалом от коор-
динат, их производных и, может быть, времени.
В качестве примера можно привести управление бегом спортсме-
на на дистанции. Так как его запас энергии ограничен физиологиче-
скими факторами, а расходование запаса зависит от характера бега,
спортсмен уже ие может в каждый момент отдавать максимум возмож-
ной мощности, чтобы не израсходовать запас энергии преждевременно
и ие выдохнуться на дистанции, а должен искать оптимальный для
своих особенностей режим бега.
Нахождение оптимального управления в подобных динами-
ческих задачах требует решения в процессе управления доста-
точно сложной математической задачи методами вариацион-
ного исчисления или математического программирования в
зависимости от вида математического описания (математиче-
ской модели) системы. Таким образом, органической состав-
ной частью системы оптимального управления становится
счетно-решающее устройство или вычислительная машина.
Принцип поясняется на рис. 1.10. На вход вычислительного
|устройства (машины) ВМ поступает информация о текущих
значениях координат х с выхода объекта О, об управлениях и
с его входа, о внешних воздействиях z на объект, а также за-
дание извне различных условий: значение критерия оптималь-
ности J, граничных условий х (0), х (со ), информация о до-
пустимых значениях х g X и и С Пит.п. Вычислительное
устройство по заложенной в него программе вычисляет опти-
мальное управление и. Оптимальные системы могут быть как
разомкнутыми, так и замкнутыми.
Адаптивные системы. В реальных условиях внешние воз-
мущения иногда приводят к изменению не только координат,
но и параметров системы (коэффициентов уравнений), причем
в таких системах, как баллистические ракеты, изменения па-
раметров существенны. Изменения параметров, вышедшие
за определенные границы, приводят не только к количествен-
ным ошибкам или к ухудшению других показателей качества
системы, но зачастую и к полной потере ее работоспособности.
Эти потери качества часто невозможно устранить, находясь
в рамках первоначально принятого фундаментального принци-
па управления, это можно сделать лишь путем изменения па-
раметров (а иногда и структуры) системы так, чтобы приблизить
математическое описание претерпевшей изменения системы к
ее исходной модели настолько, чтобы сохранить работоспо-
собность первоначально принятого фундаментального прин-
ципа управления.
Системы, автоматически изменяющие значение своих па-
раметров или структур при непредвиденных изменениях внеш-
них условий на основании анализа состояния или поведения
системы так, чтобы сохранялось заданное качество ее работы,
называют адаптивными системами (от лат. adaptio — при-
способление). Термин заимствован из биологии, где адаптаци-
ей называют приспособление организма к изменяющейся среде
с целью сохранения жизнедеятельности. Но в теории управле-
ния (так как любая автоматическая система в каком-то смысле
приспосабливается к изменениям среды) понятие адаптации
умышленно сужено: к ней относят лишь такие виды приспо-
собления, которые осуществляются путем изменения уп-
равляющим устройством параметров или структуры системы
по данным анализа ее работы.
Адаптивные системы с изменением значений параметров
иногда называют самонастраивающимися, а системы с измене-
нием структуры и алгоритма управления — самоорганизую-
щимися.
Обычно адаптивная система содержит в качестве «ядра» схе-
му, реализующую один из фундаментальных принципов управ-
ления, а контур адаптации пристраивают к ней как вторич-
ный, осуществляющий коррекцию параметров. Контур адап-
тации, обычно состоящий из устройства измерения ИУ, вы-
числения ВУ и управления УУ, может быть разомкнут
(рис. 1.11, а), если
на его вход подается
только входное воз-
действие, ' или замк-
нут (рис. 1.11, б),
если он реагирует
также и на выход
системы. Контур са-
монастройки воздей-
ствует на блок на-
стройки параметров
БНП, который может
быть включен не
только последова-
тельно, как пока-
зано на рисунке, но
и любым другим способом, например в цепь обратной связи.
Вычисление воздействий для коррекции параметров —
весьма сложная математическая задача, поэтому в составе адап-
тивных систем используют различные моделирующие, счет-
но-решающие устройства и даже вычислительные машины. Спо-
собы адаптации и соответствующие им схемы различаются
главным образом алгоритмами и реализующими их програм-
мами ЭВМ. Более детальное описание адаптивных систем при-
водится в гл. 10.
§ 1.4. Об основных законах регулирования
Законом регулирования называют математическую зависи-
мость, в соответствии с которой управляющее воздействие на
объект вырабатывалось бы безынерционным управляющим
устройством.
В технике используют довольно много различных законов
регулирования, которые тесно связаны с конструкцией управ-
ляющего устройства, и одним из распространенных видов клас-
сификации регуляторов является классификация по законам
управления.
Многие из законов регулирования, реализуемых различ-
ными регуляторами релейного, импульсного действия, экст-
ремальными ит. п., рассматриваются далее в процессе изложе-
ния теории. Здесь ограничимся упоминанием о наиболее рас-
пространенных законах, реализуемых линеиными регулятора-
ми по отклонению непрерывного действия. В этих простей-
ших законах управляющее воздействие линейно зависит от
отклонения, его интеграла и первой производной по време-
ни. При описании законов наиболее удобно использовать без-
размерные относительные переменные е =Дх/хб. р == и/иб,
где хб и «б — базовые значения (например, соответствующие
номинальному режиму объекта).
Пропорциональный закон (обозначаемый П): р — kpe.
Регулятор, осуществляющий этот закон, называют пропор-
циональным. Постоянную kp называют коэффициентом переда-
чи (усиления) регулятора, обратную величину — статизмом
регулятора. С возрастанием статизма регулятора возрастает и
статизм регулирования. Интегральный закон (И):
t
р = -у ^edt или dpldt — ь/Т.
'о
Постоянная Т имеет размерность времени, и ее называют
постоянной времени интегрирования. Интегральный регуля-
тор — астатический, и именно с его помощью осуществляется
рассмотренная выше простейшая схема астатического регу-
лирования. Пропорционально-интегральный закон (ПИ):
(4	\
е + у J ed/1.
о /
Иногда его называют пропорциональным законом с интег-
ральной коррекцией. Регулятор ПИ также обеспечивает аста-
тическое регулирование. В этом можно убедиться, представив
уравнение в виде d\nJdt = kp (deldt + е/Т).
В состоянии равновесия при постоянных воздействиях
должно быть d\n/dt — 0; de/dt = 0, откуда равновесие может
иметь место лишь при в = 0. Пропорционально-интегрально-
дифференциальный закон (ПИД):
(t	.
е + — fedf + T--].
r„J	pdtl
о	/
Постоянные ТИ и Уд соответственно называют постоянны-
ми времени интегрирования и дифференцирования. Регулятор
ПИД так же обеспечивает астатическое регулирование. Про-
изводную dddt вводят в закон регулирования для повышения
качества процесса регулирования.
ft 2
§ 2.1. Уравнения динамики и статики.
Линеаризация
На определенном этапе разработки
и исследования автоматической систе-
мы управления получают ее математи-
ческое описание — описание процессов,
проистекающих в системе, на языке ма-
тематики. Математическое описание мо-
жет быть аналитическим (с помощью
уравнений), графическим (с помощью
графиков, структурных схем и графов) и
табличным (с помощью таблиц).
Для получения математического опи-
сания системы обычно составляют опи-
сание ее отдельных элементов. В част-
ности, для получения уравнений систе-
мы составляют уравнения для каждого
входящего в нее элемента. Совокупность
всех уравнений элементов и' дает урав-
нения системы.
Уравнения (а также структурные схе-
мы) автоматической системы управле-
ния называют ее математической мо-
делью. Такое название обусловлено тем,
что при математическом описании (сос-
тавлении уравнений) физических про-
цессов всегда делают какие-либо допу-
щения и приближения. Математическая
модель одной и той же системы в зави-
симости от цели исследования может
быть разной. Более того, иногда полез-
но при решении одной и той же задачи
на разных этапах принимать разную ма-
тематическую модель: начать исследова-
ние с простейшей модели, а затем ее по-
степенно усложнять, с тем чтобы учесть
-	дополнительные явления и связи, кото-
и 1 у рые на начальном этапе были отброшены
•—*•	—как несущественные. Сказанное обуслов-
---------- ливается тем, что к математической мо-
дели предъявляются противоречивые тре-
Рис. 2.1 бования: она должна, с одной стороны,
как можно полнее отражать свойства ори-
гинала, а с другой стороны, быть по возможности простой,
чтобы не усложнять исследование.
Система управления и любой ее элемент производят преоб-
разование входного сигнала х (0 в выходной сигнал у (t).
С математической точки зрения они осуществляют отображение
у (0 = Ах (О,
согласно которому каждому элементу х (/) из множества X
входных сигналов (х (0 g X) ставится в соответствие единст-
венный, вполне определенный элемент у (0 из множества Y вы-
ходных сигналов [у (/) g YJ. В приведенном соотношении А
называется оператором. Оператор, определяющий соответст-
вие между входным и выходным сигналами системы управле-
ния (элемента), называется оператором этой системы (эле-
мента). Задать оператор системы — это значит задать правило
определения выходного сигнала этой системы по ее входному
сигналу.
Рассмотрим математическое описание непрерывных систем
управления с помощью дифференциальных уравнений. В боль-
шинстве случаев звенья и системы описываются нелинейными
дифференциальными уравнениями произвольного порядка.
Здесь под звеном понимается математическая модель элемен-
та. Для примера рассмотрим звено (рис. 2.1), которое можно
описать дифференциальным уравнением второго порядка
F(y,y,y,u, u) + f=O,
(2.1)
где у — выходная величина; и и f — входные величины; у
и и — первые производные по времени; у — вторая произвщ
ная по времени.
Уравнение (2.1), описывающее процессы в звене при про-
извольных входных воздействиях, называют уравнением ди-
намики. Пусть при постоянных входных величинах и = м°
и f = f° процесс в звене с течением времени установится:
выходная величина примет постоянное значение у — у®. Тог-
да (2.1) примет вид
F = (y°,0,0,uo,0)+f«^0.	(2.2)
: Это уравнение описывает статический или установившийся
режим и его называют уравнением статики.
Статический режим можно описать графически с помощью
статических характеристик. Статической характеристикой
звена или элемента (а также системы) называют зависимость
выходной величины от входной в статическом режиме. Стати-
ческую характеристику можно построить экспериментально,
подавая на вход Элемента постоянное воздействие и измеряя
выходную величину после окончания переходного процесса,
или расчетным путем, используя уравнение статики.
Если звено имеет несколько входов, то оно описывается с
помощью семейства или семейств статических характеристик.
Например, звено, характеризующееся в статическом режиме
уравнением (2.2), можно описать графически с помощью семей-
ства статических характеристик, представляющих собой кри-
вые зависимости выходной величины у от одной входной вели-
чины и (или /) при различных фиксированных значениях дру-
гой — f (или и).
Линеаризация. Обычно автоматические системы описыва-
ют нелинейными дифференциальными уравнениями. Но во
многих случаях можно их линеаризовать, т. е. заменить ис-
ходные нелинейные уравнения линейными, приближенно
описывающими процессы в системе. Процесс преобразования
нелинейных уравнении в линейные называют линеаризацией.
В атоматических системах должен поддерживаться неко-
торый заданный режим. При этом режиме входные и выходные
величины звеньев системы изменяются по определенному зако-
ну. В частности, в системах стабилизации они принимают оп-
ределенные постоянные значения. Но из-за различных возму-
щающих факторов фактический режим отличается от тре-
буемого (заданного), поэтому текущие значения входных и вы-
ходных величин не равны значениям, соответствующим задан-
ному режиму. В нормально функционирующей автоматической
системе фактический режим немного отличается от требуемого
режима и отклонения входных и выходных величин входящих
в нее звеньев от требуемых значений малы. Это позволяет про-
извести линеаризацию, разлагая нелинейные функции, вхо-
дящие в уравнения, в ряд Тейлора. Линеаризацию можно
производить по звеньям.
Пример 2.1. Проиллюстрируем изложенное на примере звена,
описываемого уравнением (2.1). Пусть заданному режиму соответст-
вуют
и —и*; и = й*; f — f*; у=у*; у = у*', У=У*-	(2.3)
Обозначим отклонения реальных значений и, f и у от требуемых
через Дп, Д/ и Д{/, т. е. Дп = и — и*, И/ = f — f*, Ну = у — у*.
Тогда и = и* + Дп; и = и* + Дп; f = f* 4- Д/; у = у* -|- Ну; у =
= у* -|- Ну; у = у* -f- Ну. Подставим эти выражения в (2.1) и, рас-
сматривая F как функцию от независимых переменных и, и, у, у и у,
разложим ее в ряд Тейлора в точке (2.3) и отбросим малые члены бо-
лее высокого порядка, чем отклонения. Тогда (2.1) примет вид
F* -}~(дР/ду}* Д{/+ (дР)ду)* Hy-}-(dF /ду)* Hy-}-(dF /ди)* Дп-}-
4- (dF /ди) * Дп'+ / * 4- Hf = 0.	(2.4)
Здесь звездочка сверху обозначает, что соответствующие функ-
ции и производные вычисляются при значениях аргумента, определяе-
мых соотношениями (2.3). Когда в системе устанавливается заданный
режим, уравнение (2.1) принимает вид F* + /* = 0. Вычтя это урав-
ние из (2.4), получим искомое уравнение звена в отклонениях:
п0 Д#4-°1 ^У-}-о2 Ну—Ьо Ни — Ьх Ни—с0 Н[ = 0,	(2.5)
где а0— (dF/ду)*; a1 = (dF/dy)*; a2~(dF/dy)*;
b0= — (dF/ди)*;	= — (dF/ди)*; c0 — — 1.
Если время t явно не входит в исходное уравнение (2.1) и, кроме
того, заданный режим является статическим — величины у*, и* и /*
не зависят от времени, то коэффициенты линеаризованного уравнения
(2.5) являются постоянными.
Звенья и системы, которые описываются линейными урав-
нениями, называют соответственно линейными звеньями и ли-
нейными системами.
Уравнение (2.5) было получено при следующих предполо-
жениях: 1) отклонения выходной Ду и входной Ап величин до-
статочно малы; 2) функция F обладает непрерывными частны-
ми производными по всем своим аргументам в окрестности то-
чек, соответствующих заданному режиму. Если хотя бы одно
из этих условий не выполняется, то линеаризацию произво-
дить нельзя. По поводу первого условия необходимо отметить
следующее: нельзя раз и навсегда установить, какие отклоне-
ния считать малыми. Это зависит от вида нелинейности.
Часто нелинейную зависимость между отдельными пере-
менными, входящими в уравнение звена, задают в виде кри-
вой. В этих случаях линеаризацию можно произвести графи-
чески.
(звенья) называют
Геометрически линеаризация
нелинейной зависимости между
двумя переменными (рис. 2.2) озна-
чает замену исходной кривой АВ
отрезком ее касательной А'В' в
точке О’, соответствующей задан-
ному режиму, и параллельный
перенос начала координат в эту
точку.
В зависимости от того, вхо-
дит или нет время явно в урав-
нение, системы разделяют на
стационарные и нестационарные.
Автоматические системы управл
стационарными если они при постоянных внешних воздейст-
виях описываются уравнениями, не зависящими явно от време-
ни. Это означает, что свойства системы со временем не изменя-
ются. В противном случае система называется нестационар-
ной. Для линейных систем можно дать также следующее опре-
деление: стационарными линейными системами (звеньями)
называют системы (звенья), которые описываются линейными
уравнениями с постоянными коэффициентами; нестационарны-
ми линейными системами (звеньями) или системами с пере-
менными параметрами — системы (звейья), которые описы-
ваются линейными уравнениями с переменными коэффици-
ентами.
§ 2.2. Основные свойства преобразования Лапласа
В этом параграфе даны основные сведения о преобразова-
нии Лапласа, которые будут использованы при рассмотрении
систем, описываемых линейными дифференциальными уравне-
ниями.
Преобразованием Лапласа называют соотношение
оо
X (s) = J х (0 e~stdt,
о
ставящее функции к (t) вещественного переменного в соответ-
ствие функцию X (s) комплексного переменного s (s — <т+
+/<о). При этом х (0 называют оригиналом,, а X (s) — изобра-
экением или изображением по Лапласу. То, что х (0 имеет сво-
им изображением X (s) или оригиналом X (s) является х (t),
записывается так:
х (t) === X (s) или X (s) == х (0.
Иногда также пользуются символической записью
X (s) = L {х (0),
где L — оператор Лапласа.
Предполагается, что функция х (0, которая подвергается
преобразованию Лапласа, обладает следующими свойствами:
х (0 определена и кусочно-дифференцируема на всей положи-
тельной числовой полуоси [0, со]; х (t) =0 при t < 0; суще-
ствуют такие положительные числа М и с, что |х (0| Mect
при 0 t <Z со. Функции, обладающие указанными тремя
свойствами, часто называют функциями-оригиналами.
Соотношение
С0 + /оо
X (0 = J -X (s) eSt ^S,
Co—/оо
определяющее по известному изображению его оригинал (в точ-
ках непрерывности последнего), называют обратным преобра-
зованием Лапласа. В нем интеграл берется вдоль любой пря-
мой Res — о0 > с. Символически обратное преобразование
Лапласа можно записать так:
х (0 = L~l {X (s)},
где символ L-1 — обратный оператор Лапласа.
Остановимся на основных свойствах преобразования Лап-
ласа.
1.	Свойство линейности. Для любых постоянных аир
Z. {а*! (0 + Рха (0} = aL {Xj (0} + Р6 {ха (0 }•
2.	Дифференцирование оригинала. Если производная х (0
является функцией-оригиналом, т. е. обладает указанными вы-
ше тремя свойствами, то L {х (0} = sX (s) —х (0), где
(п)
X(s) = L {х (0}, х(0) = Нт х (0. Если п-я производная х (0
х->+0
является функцией-оригиналом, то
((п)	।	.	(п—И
L |х(0J =snX(s)—s"-1 х(0)—sn~zх(0)—...—х (0),
<*> . (*)
где х(0) =limx (0, 6 = 0,1,..,,п — 1.
? Если начальные условия нулевые, т. е. х (0) == х (0) =...
(n—1)
. . . = х (0) = 0, то последняя формула принимает
(«>
вид L { к (0} = $п X (s). Таким образом, при нулевых на-
чальных условиях дифференцированию оригинала соответст-
вует умножение изображения на s.
3.	Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала
сводится к делению изображения на s:
t
х (0 dt
b
X(s)
s
4.	Теорема запаздывания. Для любого положительного чис-
ла т
L {х (t — т)} = е—w L {х (/)} = е~этХ (s).
5.	Теорема о свертке (теорема умножения изображений).
Если хх (/) и х2 (/) — оригиналы, a (s) и Х2 (s) — их изоб-
ражения, то
t	t
Xi (s) • X2 (s) == J Xj (t) x2 (t —t) dx = J x2 (t) Xj (t —t) dx.
0	0
Интеграл правой части равенства называют сверткой
функций хх (/) и х2 (t) и обозначают Xj (/) * х2 (t):
t	t
Xi (t) * X2 (0 = J *1 (t) X2 (t — t) dx = J X2 (t) Xj (t —T) dx.
о	0
6.	Теоремы о предельных значениях. Если х (t) — ориги-
нал, а X (s) — его изображение, то х (0) = lim sX (s) и при
существовании предела х (оо) — lim х (0
/->оо
х(со) —limsX (s).
s->0
7.	Теорема разложения. Если функция X (s) = A (s)/B (s)
дробно-рациональна, причем степень полинома числителя
меньше степени полинома знаменателя, то ее оригиналом яв-
ляется умноженная на 1 (t) функция
1	1	~1
х(/)= 2
(«л—i)i
где sk — корни уравнения В (s) = 0, а пк —• их кратности
и Z — число различных корней. Если все корни уравнения про-
стые, то эта формула разложения принимает вид
п
X(t)= 2
1
djfiL esfc
В' (Sfc)
где п — степень полинома B(s), В' (sfl) = ~s |si=Sft.
Пример 2,2. Пусть изображение
X (s) = 4 (s + l)/{s (S + 2)»].
Согласно принятому обозначению,
A (s) = 4 (s + 1); В (s) = s (s + 2)а; В' (s) = 3sa + 8s + 4.
Функция X (s) имеет полюсы [корни уравнения В (s) = 01 Sj =
= О, s2 = —2. Полюс Sj является простым, а полюс s2 — кратным, имея
кратность и2 = 2. Простому полюсу Sj соответствует слагаемое
A (st) .. t 4.
—7-^- eS1* —-----е» = J,
В' (SJ 4
кратному полюсу s2 — слагаемое
lim ------Г Iх («) (s—sa)n,es,J =
(п2—-1)! s-»se 1
= lim ~f-^±JLerfl = (2<-l)e-2<.
s->—2 as L s j
Поэтому x (/) = 1 -|-(2/— 1) e~2<
§ 2.3. Формы записи линейных диффенциальных
уравнений. Передаточные функции
При описании автоматических систем управления широко
используют символическую форму записи линейных диффе-
ренциальных уравнений. Рассмотрим ее на примере уравнения
(2.5). Перепишем его, опустив для сокращения записи знак
Д и оставив в левой части только члены, содержащие выход-
ную переменную и ее производные:
'Joy + at'y + a^y^boii + ^u + cof.	(2.6)
Введем для операции дифференцирования обозначение р,
т. е.
dldt^p', d4dtl^pl.
Используя его, уравнение (2.6) можно записать в виде
аор2у + а1РУ + а*У = btf>u + biu + cof- (2.7)
При записи и преобразовании дифференциальных уравне-
ний оператор (операцию дифференцирования) р можно рас-
сматривать как алгебраический сомножитель, а выражение
ру — как произведение, не обладающее свойством коммутатив-
ности: нельзя вместо ру писать ур. Учитывая зто замечание,
перепишем (2.7), вынеся у и и за скобки:
(аор2 + агр + а2)у = (bop + bj и + cof. (2.8)
Введем обозначения Q (р) — айр* + а^р + а2, Rr (р) —
—bop + blt R2 (р) — со- С помощью этих обозначений урав-
нение (2.8) можно записать в более компактной форме:
Q (р) У = Ri(p) и +	(р) Л	(2-9)
В уравнении (2.9) Q (р) (дифференциальный оператор при
выходной величине) называют собственным оператором, а
7?! (р) и R2 (р) (дифференциальные операторы при вход-
ных величинах) — операторами воздействия.
Передаточные функции. Отношение оператора воздейст-
вия к собственному оператору называют передаточной функ-
цией или передаточной функцией в операторной форме.
Звено, описываемое уравнением (2.6) или, что то же самое,
уравнениями (2;7) — (2.9), можно характеризовать двумя пере-
даточными функциями: передаточной функцией Wr (р) по
входной величине и, т. е.
(р) = Ri (p)/Q (р) = (bop + Ь1)/(а0^+
+ ахр + а2),	(2.10)
и передаточной функцией W2 (р) по входной величине f, т.е.
^2 (р) = Rz (PVQ (р) = с<Даср* + а±р + а2).	(2.11)
Используя передаточные функции, уравнение (2.6) записы-
вают в виде
у = Wr (р) и + W2 (р) f.	(2.12)
Это уравнение представляет собой условную,более компакт-
ную форму записи исходного уравнения (2.6). Уравнения (2.8),
(2.9) и (2.12) называют уравнениями в символической или опе-
раторной форме записи.
Наряду с передаточной функцией в операторной форме ши-
роко используют передаточную функцию в форме изображе-
ний Лапласа.
Передаточной функцией или передаточной функцией в
форме изображений Лапласа называют отношение изображения
выходной величины к изображению входной величины при ну-
левых начальных условиях. Если звено (система) имеет не-
сколько входов, то при определении передаточной функции
относительно какой-либо одной входной величины осталь-
ные величины полагают равными нулю.
Пример 2.3. Найдем передаточные функции в форме изображений
Лапласа для звена, описываемого уравнением (2.6),
Перейдем в обеих частях этого уравнения к изображениям Лапласа:
I- {°о	Z/+02 у\ {*о и +^1 u-j-c0 f).
Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала
(1-е и 2-е свойства преобразования Лапласа), при нулевых начальных
условиях получим
(aosa + a,s + а2) У (s) = (bos + bi) V (s) + c0F (s),	(2.13)
где У (s) = Z,(v (0); U (s) = L {u (/)}; F (s) = L {f (0).
Полагая последовательно^ F (s) = 0 и V (s) = 0 и определяя каж-
дый раз отношение выходной величины к входной, получим
^1(S)=J3±= *>* + *! .
U (s)	C0S2 + «1s4-O2
ir2 (s)=-^-=- -------------- (2.14)
F (s) й0 s2 + at s + a2
Сравнивая выражения (2.10), (2.11) и (2.14), нетрудно за-
метить, что передаточные функции в форме изображений Лап-
ласа и в операторной форме с точностью до обозначений совпа-
дают.
Передаточную функцию в форме изображения Лапласа
можно получить из передаточной функции в операторной фор-
ме, если в последней сделать подстановку р = s. В общем слу-
чае это следует из того, что дифференцированию оригинала—
символическому умножению оригинала на р — при нуле-
вых начальных условиях соответствует умножение изображе-
ния на комплексное число s.
Сходство между передаточными функциями в форме изобра-
жения Лапласа и в операторной форме чисто внешнее. Оно
имеет место только в случае стационарных звеньев (систем).
Если звено является нестационарным, т. е. коэффициенты в
(2.6) зависят от времени, формула (2.14) неверна.
Используя передаточные функции (2.14), уравнение (2.13)
в изображениях Лапласа можно записать
У (s) =	(s) U (s) + W2 (s) F(s).	(2.15)
Это уравнение, как и уравнение (2.13), адекватно исходному
дифференциальному уравнению (2.6) только при нулевых на-
чальных условиях. Если начальные условия не равны нулю,
го уравнениями (2.13) и (2.15) как математическими описания-
ми исходного звена пользоваться нельзя.
Передаточные функции системы наряду с дифференциальны-
ми уравнениями широко используются для описания систем
автоматического управления (САУ). Но при ненулевых на-
чальных условиях они не всегда являются их исчерпывающи-
ми характеристиками. Если собственный оператор и оператор
воздействия системы имеют общие множители (нули), то они
при вычислении передаточной функции сокращаются. И в этом
случае по передаточной функции системы нельзя восстано-
вить ее дифференциальное уравнение и получить описание про-
цессов в ней при произвольных начальных условиях.
Рассмотрим для примера системы, которые описываются уравнени-
ями х — х = g — g', х + х = g. Им соответствует передаточная Функ
Нии W (р) = 1/(р + О- Их решениями при g — I являются соответст-
зенно х (/) = Cie—* +	-j- t — 1; х (/) = Се~4 + t — 1. Эти реше-
ния совпадают только при нулевых начальных условиях. При других
запальных условиях они не совпадают и передаточная функции
(Р) = 1/(Р + 1) не может служить описанием системы, определяе-
мой первым из приведенных дифференциальных уравнений.
Стандартная форма записи линейных дифференциальных
уравнений. Обычно линейные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами не выше второго порядка за-
писывают в стандартной форме. При этом члены, содержащие
выходную величину и ее производные, записывают в левой час-
ти уравнения, а все остальные члены — в правой; коэффици-
ент при выходной величине делают равным единице. Если в
правой части содержатся производные, то члены, содержащие
какую-либо одну входную величину и ее производные, объеди-
няют в одну группу и коэффицент при соответствующей вход-
ной величине выносят за скобки.
Уравнение (2.6) в стандартной форме принимает вид
где — а^/а^", 7\ — a^la^, k\ — byld^i T2 — b^lb^
k% = £(/^2*
В уравнении (2.16) постоянные 70, 7\ и Т2 имеют размер-
ность времени и их называют постоянными времени, а коэф-
фициенты Л, и Л2 — передаточными коэффициентами. Если
исходное уравнение (2.6) не содержит у («2 — 0), то в стандарт-
ной форме коэффициент при производной у должен быть равен
единице: обе части уравнения делят на коэффициент аг.
В символической форме уравнение (2.16) принимает вид
(Пр* + Т1Р + 1) у = kt (Т2р +1) и + Аа f.
Напомним, что это уравнение представляет собой услов-
ную запись уравнения (2.16).
§ 2.4. Частотные характеристики
Важное значение при описании линейных стационарных си-
стем (звеньев) имеют частотные характеристики. Они получа-
ются при рассмотрении вынужденных движений системы (зве-
на) при подаче на ее вход гармонического воздействия.
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции,
который можно сформулировать следующим образом: реак-
ция системы на несколько одновременно действующих входных
воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в от-
дельности. Это позволяет ограничиться изучением систем толь-
ко с одним входом. В общем случае уравнение линейной ста-
ционарной системы с одним входом можно записать так: _
(а0рп + сцрп~1 +... М) У = (&о Рт +	+
4-... + Ьт)ы-	(2.17)
Ее передаточная функция по определению
W (р) =	+	*+ ' -	.	(2.18)
«о pn -f- щ рп * -f-... + ап
Функцию W (ja>), которую получают из передаточной функ-
ции (2.18) при подстановке в нее р — ja>:
№ (j©) =□= - bp№)m + ji (/и)”1-1 +    +bm	(2.19)
«о (/<°)"-|-«i(/®)n—1 +... -fan
называют частотной передаточной функцией, частотная пере-
даточная функция является комплекснозначной функцией от
действительной переменной со, которая называется частотной.
Функцию W (jo) можно представить в виде
W (ju>) = (/ (со) + jV (со) = А (со) e'W>,	(2.20>
где
А (со) = ]/1/2 (со)V2 (со),	(2.21)
ф (со) = arg W (jo).
Если | arg W (/со) |	л/2, то
(со) = arctg .	(2.22)
U (<о)
На комплексной плоскости (рис. 2.3) частотная передаточ-
---------------------------------->
ная функция W (jo) определяет вектор ОС, длина которого рав-
на А (со), а аргумент (угол, образованный этим вектором с
действительной положительной полуосью) — ср (со). Кривую,
которую описывает конец этого вектора при изменении часто-
ты от 0 до со (иногда от — оо до оо), называют амплитудно-
фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).
Частотную передаточную функцию будем называть также
амплитудно-фазовой частотной функцией. Ее действительную
часть V (со) = Re W (jo) и мнимую часть V (со) =	(/со)
будем называть соответственно вещественной и мнимой часто-
тной функцией. График вещественной частотной функции [кри-
вая зависимости U — U (со)! называют вещественной частот-
ной характеристикой, а график мнимой частотной функции—
мнимои частотной харак-
теристикой.
Модуль А (со) = |1Г (/со) |
называют амплитудной час-
тотной функцией, ее гра-
фик — амплитудной частот-
ной характеристикой.
Аргумент ср (со)—arg W (jo)
называют фазовой частотной
функцией, ее график — фа-
зовой частотной характери-
стикой.
Кроме перечисленных ча-
стотных характеристик ис-
пользуют еще логарифмические частотные характеристики
(ЛЧХ) — логарифмические амплитудные частотные характе-
ристики (ЛАЧХ) и логарифмические фазовые частотные ха-
рактеристики (ЛФЧХ). Назовем функцию
L (®) = 20 1g Л (®) = 20 lg|XV (/®)1
логарифмической амплитудной частотной функцией. График
зависимости логарифмической амплитудной частотной функции
L (®) от логарифма частоты (1g®) называют логарифмической
амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При по-
строении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в лога-
рифмическом масштабе: на отметке, соответствующей значению
1g®, пишут само значение ®, а не значение 1g®, а по оси орди-
нат — L (®). Логарифмической фазовой частотной характе-
ристикой (ЛФЧХ) называют график зависимости фазовой
частотной функции <р (®) от логарифма частоты 1g ®. При его
построении по оси абсцисс, как и при построении ЛАЧХ, на
отметке, соответствующей значению 1g®, пишут значение о.
Единицей L (®) является децибел, а единицей логарифма
частоты в ЛЧХ—декада. Декадой называют интервал, на
котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты
в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду.
Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произво-
льную точку, а не через точку ® = 0. Частоте ® = 0 соответ-
ствует бесконечно удаленная точка: 1g ®-> — оо при ® —>0.
Рассмотрим, какой физический смысл имеют частотные ха-
рактеристики и как можно построить их экспериментально.
Найдем математическое описание вынужденного движения
системы при подаче на ее вход гармонического воздействия,
например
и = ит cos art.	(2.23)
Для этого решим уравнение (2.17), подставив в правую
часть выражение (2.23). Общее решение имеет вид
У (П =Рс(0 + Ув(0,	(2-24)
где у0 — общее решение однородного уравнения, а ув —
частное решение неоднородного уравнения.
Составляющая ус (t) определяет свободные движения (пе-
реходный процесс). В устойчивых системах она со временем
затухает: ус (t) ->0 при t -> сю. Вынужденное движение опи-
сывается частным решением ув (0- Чтобы найти его, предста-
вим входное воздействие (2. ) с помощью формулы У лера в
виде суммы:
« = «т-----;;--- =и1 + «2,
где
и1=^е^, иа=^е-'“'.	(2.25)
Используя принцип суперпозиции, решение уравнения (2.17)
можно также представить в виде суммы у — у^ + у2, где /д —
решение при и = иь a tjt — решение йри и- = и%. Найдем от-
дельно каждое из этих решений. Подставим выражение для
их в правую часть уравнения (2.17) вместо и. Так как
pth = у pe>at = у (/со) е/6,/ = (/®) иъ
р*их = р (pur) = р (jtMiJ = (/со)2 ult....
рт Ut.— U1,
(2.26)
уравнение (2.17) примет вид
(а0 рп+«1 рп~1 + ... + ап)У1 + [Ь0 (fo)"1 + (/w)"1-1 +
+ ... + 6JM1.	(2.27)
Частное решение последнего уравнения будем искать
в виде
Й = А«1 = А^,	(2.28)
где А не зависит от времени. При подстановке этого выраже-
ния в (2.27) получим
[а0 (/со)" + (/со)"-1 + ... + oj A = (50 (/со)т +
+51 (/со)т~‘ + ... + 5т] иь
откуда
_ bp	(jo)m 1 + ... +frm
Со (/©)“ + Ci	+ ... -|-«п
Очевидно, это выражение совпадает с частотной передаточ-
ной функцией (2.19) рассматриваемой системы:
At = W (/ы) — А (со) e^t®’.
Подставив это выражение в формулу (2.28), получим
(2.29)
Теперь найдем частное решение у2 исходного уравнения, под-
ставив вместо и выражение для иа из (2.25). Так как
Р«2 = ~ Pe-/'ai = (—/со) l-~ e-i^t = (—]&) и2,
£	Л
p2U2 = p (pU2) = ( —7®)а U2,...,pm Щ.	U2,
то (2.17) в этом случае
(е0 рп+а2 рп~1 + ... + ап) у2 = [Ьо (—рд)т +
+М-/®)т~-, + ... + М«2.
Частное решение этого уравнения будем искать в виде
уг — А2 и2- А2 ~ e~/at.
Проделав те же выкладки,-что и при нахождении частного
решения уъ получим
А2 = W (—/<£>) = A (w) e~M«> ,у2 = А (со) е-Л“‘+ф(“>1. (2.30)
Сложив (2.29) и (2.30) для c/j и у2, найдем математическое
описание вынужденного движения:
У = У1 + Уз = А (со) ит cos [erf + <p(®)J.	(2.31)
Таким образом, при гармоническом воздействии в устойчи-
вых системах после окончания переходного процесса, выходная
величина также изменяется по гармоническому закону, но с
другими амплитудой и фазой. При этом отношение амплитуд
выходной и входной величин равно модулю, а сдвиг фазы — ар-
гументу частотной передаточной функции. И, следовательно,
амплитудная частотная характеристика показывает изме-
нение отношения амплитуд, а фазовая частотная харак-
теристика—сдвиг фазы выходной величины относительно вход-
ной в зависимости от частоты входного гармонического воздей-
ствия.
Из приведенной физической интерпретации частотных ха-
рактеристик ясно, как строить их экспериментальным путем.
Для экспериментального построения частотных характерис-
тик имеется специальная аппаратура, в состав которой
входят генератор гермонических колебаний с регулируемой
частотой и устройства для измерения амплитуды и фазы коле-
баний.
Частотные характеристики используют для описания как
устойчивых, так и неустойчивых систем. Но в последнем слу-
чае они не имеют такого ясного физического смысла.
§ 2.5. Временные характеристики
Другой важной характеристикой автоматических систем
(звеньев) являются переходные и импульсные переходные
функции и их графики — временные характеристики. Их ис-
пользуют при описании линейных систем, как стационарных,
так и нестационарных.
Переходной функцией системы (звена) называют функцию,
описывающую изменение выходной величины системы (зве-
на), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздей-
ствие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию
обычно обозначают h (t). Иначе: переходная функция h (t) есть
функция, описывающая реакцию системы (звена) на единич-
ное ступенчатое воздействие при нулевых начальных усло-
виях.
Аналитически единичное ступенчатое воздействие можно
описать единичной функцией
(О при /<0.
График переходной функции — кривая зависимости функ-
ции h (t) от времени t — называют переходной или разгонной
характеристикой.
Импульсной переходной или весовой функцией (функцией
веса) системы (звена) называют функцию, описывающую реак-
цию системы (звена) на единичное импульсное воздействие при
нулевых начальных условиях; обозначают эту функцию w (/).
График импульсной переходной функции называют импульс-
ной переходной характеристикой.
Переходную и импульсную переходную характеристики
называют временными характеристиками.
При определении весовой- функции было использовано по-
нятие единичного импульса. Физически единичный импульс
можно представить как очень узкий импульс, ограничивающий
единичную площадь. Математически он описывается функцией
6 (0, которую называют дельта-функцией; дельта-функция
является обобщенной функцией. Теория обобщенных функ-
ций — сравнительно новый раздел функционального анализа,
и здесь она не будет рассматриваться. Отметим только, что в
рамках теории обобщенных функций любые встречающиеся в
приложении функции обладают производными любого поряд-
ка. В частности, существует производная от единичной функ-
ции — она равна дельта-функции: 1 (t) — б (0. Обладает
производными любого порядка и дельта-функция.
Перейдем к определению дельта-функции и ее производ-
ных . При этом воспользуемся тем обстоятельством, что при ре-
шении практических задач, как правило, дельта-функция и ее
производные встречаются только на промежуточных этапах.
В окончательном результате они или отсутствуют, или фигу-
рируют под знаком интеграла в произведении с какой-либо
«обычной» функцией. Поэтому нет прямой необходимости от-
вечать на вопрос, что такое дельта-функция, а достаточно от-
ветить на вопрос, что означает интеграл от произведения дель-
та-функции или какой-либо ее производной и обычной функ-
ции. Руководствуясь приведенными соображениями, дельта-
функцию можно определить так: дельта-функция есть функ-
ция, которая обладает следующими свойствами:
оо	е
J б(0Л =
— оо	— е
J б (0 ф (0 dt = J6 (0 ф (t) dt-<p (0).	(2.33)
— co	— е
Производные от дельта-функции можно определить по сле-
дующим соотношениям:
оо	8
J б (0 ф (О dt - J б (0 ф (0 dt = -ф (0);	(2.34)
— оо	— 8
~ <т>
j б(0ф(0Л=
— оо	—8
где е — произвольное положительное число; ф (0 — обычная
(т)
функция, обладающая m-й производной; б (0 — т-я производ-
ная по времени от дельта-функции.
J б (0^=1;	(2.32)
[б(0ф(0Л = (-1)тф(О),	(2-35)
Найдем изображение по Лапласу от дельта-функции и ее про-
изводных. При этом преобразование Лапласа будем тракто-
вать как предельное соотношение
X (s) — lim С х (t)	dt.
e->0 J
—e
Используя соотношения (2.32)—(2.35), нетрудно получить
(m)
L {б (/)} = 1, L {б (/)} = s, L { 6 (0} = sm. (2.36)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами в общем виде:
(а0 р" +	1 + ... + ап) y = (bopm+bipm~l +
+ ... + bm)u.	(2.37)
В изображениях по Лапласу это уравнение принимает вид
Y (s) = W (s) U (s),	(2.38)
где W (s) = (&os т + bjS + ... + Ь тУ(ао£п + ars ”-1+
...+ an) есть передаточная функция.
Как легко проверить, используя (2.36), уравнение (2.38)
справедливо и в тех случаях, когда «=!(/) или и — б (/).
В соответствии с определением весовой функции при и =
— б (0 переменная у (f) = w (t). И так как £{б (/)} = 1,
то при этом (2.38) можно записать
L {ш (/)}, = W (s).	(2.39)
Таким образом, передаточная функция равна изображению
по Лапласу от весовой функции и соответственно
w (0 = L-1 {W (s)}.	(2.40)
Последнюю формулу можно использовать для вычисления
весовой функции.
Установим связь между весовой и переходной функциями..
Так как L{ 1 (/)}• = 1/s, то уравнение (2.38) при и = 1 (/) при-
нимает вид
L{h(t)} = W(s)±.
S
Сравнив эту формулу с (2.39), нетрудно заметить, что sL{h(t)}=
= L {w (/)}. Так как при нулевых начальных условиях умно-
жению изображения на s соответствует дифференцирование
оригинала, то из последнего равенства w (t) = h (t). Весовая
и переходная функции, как и передаточная функция, являются
исчерпывающими характеристиками системы (звена) при нуле-
вых начальных условиях. По ним можно однозначно опреде-
лить выходную величину при произвольном входном воздейст-
вии. Действительно, исходя из уравнения (2.38), с помощью те-
оремы о свертке (свойство 5 преобразования Лапласа) можем
записать
t	t
х (f) = Jro (t—т) a (r) dx == j w (т) a (t — x) dx.
о	0
Эта формула, как и уравнение (2.38), справедлива только при
нулевых начальных условиях.
§ 2.6. Элементарные звенья и их характеристики
Выше звено было определено как математическая модель
элемента. Вообще же звеном называют математическую модель
элемента, соединения элементов или любой части системы.
Звенья, как и системы, могут описываться дифференциальны-
ми уравнениями довольно высокого порядка, и в общем слу-
чае их передаточные функции могут быть записаны в виде
W (s) = (&о sm + bi sm -1 +-... + bm)/(a0 sn + aY sn~ ’ +
+ ... + a„).	(2.41)
Но всегда их можно представить как соединения типовых
или элементарных звеньев, порядок дифференциальных урав-
нений которых не выше второго.
Из курса алгебры известно, что полином произвольного по-
рядка можно разложить на простые множители — множители
вида
kj, (d1S + d2), (d^ + d2s + d3),	(2.42)
поэтому передаточную функцию (2.41) можно представить как
произведение простых множителей вида (2.42) и простых дро-
бей вида
k/s, k/(diS + d2), k!(diS2 + d2s + d3).
(2-43)
Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых
множителей (2.42) или простых дробей (2.43), называют
типовыми или элементарными звеньями.
Прежде чем переходить к изучению элементарных звень-
ев, вспомним формулы для модуля и аргумента комплексного
числа. Пусть комплексное число представлено в виде отноше-
ния двух произведений комплексных чисел
i= 1 I k=I
Так как zt = |zje' агег*, zh = |гь |е' arg г*. то для модуля и
аргумента комплексного числа имеем
т
п bil
I z I = <_J--; arg Z = у arg гг — arg~zk
П|гн
i
Таким образом, справедливо следующее правило модулей
и аргументов комплексных чисел: модуль комплексного числа,
представленного в виде отношения двух произведений комп-
лексных чисел, равен отношению произведения модулей сом-
ножителей числителя к произведению модулей сомножителей
знаменателя, а его аргумент — разности суммы аргументов
сомножителей числителя и суммы аргументов сомножителей
знаменателя.
Пропорциональное звено. Пропорциональным называют
звено, которое описывается уравнением у (/) = ku (t), или, что
то же, передаточной функцией W (s) = k.
Частотные и временное функции этого типового звена име-
ют следующий вид:
W (/со) — k‘, V(«>) =k; V (со) = 0; A (co) — k;
ср (ю) = 0; L (со) = 201g k\ h (t) = fel(0; w (t) = 6 (0.
На рис. 2.4 представлены некоторые из характеристик про-
порционального звена: амплитудно-фазовая частотная характе-
ристика (рис. 2.4, а) есть точка на действительной оси; фазо-
вая частотная характеристика (и ЛФЧХ) совпадает с положи-
тельной полуосью частот; логарифмическая амплитудная час-
тотная характеристика (рис. 2.4, б) параллельна оси частот и
a)
jv
о
S)
цы]
20lgK
B)
b(t)lK
igW	t
Рис. 2.4
проходит на уровне L (со) = 20 1g k. Переходная характе-
ристика (рис. 2.4, в) параллельна оси времени и проходит на
уровне h = k.
Интегрирующее звено. Интегрирующим называют звено,
которое описывается уравнением ру = ku или передаточной
функцией W (s) = k/s.
Частотная передаточная функция W (/со) = k/j со =
= — jk!а. Остальные частотные и временные функции имеют
следующий вид:
U (со) = 0; V (со) = — k/a; А (со) = k /со; ср (со) =
= — л/2; L (со) = 20 1g k —20 Igco; h (t) = kt; w (t) = k.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.5, а)
интегрирующего звена совпадает с отрицательной мнимой по-
луосью. ЛФЧХ (рис. 2.5, б) параллельна оси частот и прохо-
дит на уровне <р = — л/2; сдвиг фазы не зависит от частоты и
равен — л/2. ЛАЧХ (рис. 2.5, б) — наклонная прямая, про-
ходящая через точку с координатами со = 1 и L (со) = 20 1g k.
Как видно из уравнения L (со) — 20 Igfe— 20 1g со, при увеличении
частоты на одну декаду ордината L (со) уменьшается на 20 дБ.
Поэтому наклон ЛАЧХ равен — 20 дБ/дек (читается: минус
двадцать децибел на декаду). Переходная характеристика
Рис. 2.5
представляет собой пря-
мую, проходящую через
начало координат с уг-
ловым коэффициентом
наклона, равным k (рис.
2.5, в).
Дифференцирующее
звено. Дифференцирую-
щим называют звено,
которое описывается
уравнением у ~ kpu или
Частотные и временные функции имеют следующий вид:
W (/со) = /Ли; U (со) = 0; V (со) = ka; А (о) = ka>;
<р (to) = л/2; L (со) = 20 1g k + 20 lg со; h (/) = 6 (t); w (t)—
= в (0 -
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.6,а)
совпадает с положительной мнимой полуосью. ЛФЧХ
(рис. 2.6,6) параллельна оси частот и проходит на уровне
ср = л/2; сдвиг фазы не зависит от частоты и равен л/2.
ЛАЧХ есть прямая, проходящая через точку с координата-
ми со = 1 и £(со) — 20 1g k и имеющая наклон 20 дБ/дек
(читается: плюс двадцать децибел на декаду); L (со) увели-
чивается на 20 дБ при увеличении частоты на одну декаду.
Апериодическое звено. Апериодическим звеном первого
порядка называют звено, которое описывается уравнением
(Тр + 1) у = ku	(2.44)
или передаточной функцией
W (з) = k/(Ts + 1).
Это звено также называют инерционным звеном или инерцион-
ным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие
от вышерассмотренных звеньев характеризуется двумя пара-
метрами: постоянной времени Т и передаточным коэффициен-
том k.
Частотная передаточная функция
W (ja) =	+ 1).	(2.45)
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряжен-
ное знаменателю число, получим
U (о) = И(Тсо)2 + U; V (®)	— kTa/[(Taif + 11. (2.46)
Амплитудную и фазовую частотные функции можно опреде-
лить, воспользовавшись правилом модулей и аргументов.
Так как модуль числителя частотной передаточной функ-
ции (2.45) равен k, а модуль знаменателя (7 о)2 + Г, то
А (а) = k/ К(7о)2 + 1.	(2.47)
Аргумент числителя W (]а) равен нулю, а аргумент знамена-
теля arctg ыТ, поэтому <р (л>) = arg W — — arctg ыТ.
Из (2.47).
L (со) = 201g А (со) = 201g k—20 lg]Z(7w)2 + l.	(2.48)
Решив дифференциальное уравнение (2.44) при и = 1 (t) и
нулевом начальном условии (х (0) = 0), получим h (t) —
= k (1 — е -^г). Весовая функция
tiy(Z)=/I(/) = (fe/7)e-</r.
АФЧХ апериодического звена (рис. 2.7, а) есть полуокруж-
ность, в чем нетрудно убедиться, исключив из параметричес-
ких уравнений (2.46) АФЧХ частоту.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика
представлена на рис. 2.7, б. На практике обычно ограничива-
ются построением так называемой асимптотической ЛАЧХ (ло-
маная линия на том же рис. 2.7, б). Только в критических слу-
чаях, когда небольшая погрешность может повлиять на вы-
воды, рассматривают точную ЛАЧХ. Впрочем, точную ЛАЧХ
можно легко построить по асимптотической ЛАЧХ если вос-
0,5 I 2	4 6	10 1520 S0 80 S№010 ВО	S5 Bl 88	ВЗ ВЗЛ	град
Л ... 1	 - 1( .	I., ( I	I, I Ч->Т-Ц- * 'Ч 1 I  81	I ' 1 ""I* 1 ’>	!*">'..
W да да	0,1	0,2 Ofy 0,11 2 Ц 6	10 -20 kQ	60 100	Tcd
Рис. 2.7
пользоваться следующей зависимостью (AL — разность меж
ду асимптотической и точной ЛАЧХ):
7’и	. . 0,10	0,25	0,40	0,50	1,0	2,0	2,5	4,0	10,0
АЛ . . . 0,04	0,25	0,62	0,96	3,0	0,96	0,62	0,25 0,04
Частоту «>! — ИТ, при которой пересекаются асимптоты,
называют сопрягающей. Точная и асимптотическая ЛАЧХ на-
иболее сильно отличаются при сопрягающей, частоте;.отклоне-
ние при этой частоте примерно равно 3 дБ.
Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид
!20 lg k при сХой
20 lg& — 201g Ты при ы^ыг.
Оно получается из уравнения (2.48), если в нем под корнем при
<»<«>! пренебречь первым слагаемым, а при ы^ ы± — вторым
слагаемым. Согласно полученному уравнению, асимптотичес-
кую ЛАЧХ можно строить следующим образом: на уровне
L (со) = 20 lg k до частоты со = tOj провести прямую, парал-
лельно оси частот, а далее через точку с координатами со =
= (Dj и L (ы) = 20 lg k — прямую под наклоном — 20 дБ/дек.
По АФЧХ или ЛАЧХ легко определить параметры Т и k
апериодического звена (рис. 2.7).
Логарифмическая фазовая частотная характеристика изоб-
ражена на рис. 2.7, б. Эта характеристика асимптотически стре-
мится к нулю при ы -> 0 и к—л/2 при to -> со. При со =
фазовая частотная функция принимает значение — л/4, т. е.
<р (wi) = — л/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют
одинаковую форму и могут быть получены по какой-либо од-
ной характеристике параллельным сдвигом вдоль оси частот
влево или вправо в зависимости от постоянной времени Т. По-
этому для построения ЛФЧХ апериодического звена можно
Воспользоваться шаблоном или номограммой (рис. 2.7, г).
Переходная характеристика апериодического звена
(рис. 2.7, в) представляет собой экспоненциальную кривую.
По ней можно определить параметры: передаточный коэффи-
циент, равный установившемуся значению h (со); постоянную
времени, равную значению i, соответствующему точке пересе-
чения касательной к характеристике в начале координат с ее
асимптотой (рис. 2.7, в).
Форсирующее звено. Форсирующим звеном, или форсирую-
щим звеном первого порядка называют звено, которое описыва-
ется уравнением
у — k (Тр + 1) и
или, что то же, передаточной функцией
W (s) = k (Ts + 1).
Это звено, как и апериодическое, характеризуется двумя па-
раметрами: постоянной времени Т и передаточным коэффици-
ентом k.
Частотная передаточная функция
W (/со) = k (Т{ы + 1).
Остальные частотные и временные функции имеют следующий
вид:
U (to) = Л; V (со) = кТы; А (со) = fej/(Гео)2 + 1;
ср (о) = arctg Т со; L (со) = 20 lg k + 20 lg]/(Ты)2 + 1;
h (t) = k [76 (t) +1 (01; w (0 = k [76 (0+6 (01.
АФЧХ (рис. 2.8, а) есть прямая, параллельная мнимой оси и
пересекающая действительную ось в точке U = k. ЛАЧХ изоб-
ражена на рис. 2.8, б. Как и в случае апериодического звена, на
практике ограничиваются построением асимптотической
ЛАЧХ (ломаная линия). Частоту сог = l/Т, соответствующую
точке излома этой характеристики, называют сопрягающей
частотой.
Уравнение асимптотической ЛАЧХ форсирующего звена
...	(20 lg fe при со < со,;
L(co)?a J
( 20 lg k + 201g Ты при со соь
Асимптотическая ЛАЧХ при й < й] параллельна оси час-
тот и проходит на уровне L = 20 Igfe, а при со в>1 имеет нак-
лон 20 дБ/дек.
ЛФЧХ форсирующего звена можно получить зеркальным
отражением относительно оси частот ЛФЧХ апериодического
звена и для ее построе7
ния можно воспользо-
ваться тем же шабло-
ном и номограммой (см.
рис. 2.7, г), которыми
пользуются для построе-
ния последней.
Колебательное, кон-
сервативное и апериоди-
ческое второго порядка
звенья. Звено, которое можно описать уравнением
(Пръ 4- 7\р + 1) У = ku,
или в другой форме
(TV + 2£7> + 1)р = ku,	(2.49)
где Т — То, % — 7’1/(27’), или передаточной функцией
W (s) = fe/(7V + 2£7's + 1),	(2.50)
называют колебательным, если 0 < £ < 1, консервативным,
если £ = 0 (7\ = 0), и апериодическим звеном второго порядка,
если g 1. Коэффициент £ называют коэффициентом
демпфирования.
Колебательное звено. (0<5<;1). Частотная передаточ-
ная функция
W (ja) = fc/[(l — ТЮ)+&Т&].
Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряжен-
ное знаменателю выражение, получим вещественную и мни-
мую частотные функции:
=	; У«о) =______.
' (1 —Ггсо2)г+(2§Г«)г’	(1—Т2со2)2 + (2|Г<о)2
Фазовая частотная функция, как это видно из АФЧХ
(рис. 2.9, а), изменяется монотонно от 0 до — ли выражается
формулой
<р («о) =
, 2gr<o
—arctg ——— при со < \ Т,
—л —arctg - —	- при со > МТ.
Ь 1 —72 6)2 F
Логарифмическая фазовая частотная характеристика (рис.
2.9, б) при со -> 0 асимптотически стремится к оси частот, а
при to —> оо — к прямой ср = — л. Ее можно построить с
помощью шаблона. Но для этого необходимо иметь набор шаб-
лонов, соответствующих различным значениям коэффициента
демпфирования.
Амплитудная частотная функция
А (со) = kl	+
логарифмическая амплитудная функция
L (со) = 201g £ - 201g /(1 -Г2	+ (2^со)2.	(2.51)
Уравнение асимптотической ЛАЧХ имеет вид

20 lg k при а<й1;
20 lg k —401g Та при <о «и,
где «»1 = 1/Т является сопрягающей частотой. Оно получает-
ся из уравнения (2.51), если под корнем при <о < coj оставить
только единицу, а при (o^scoj — слагаемое Г4©4. Асимптоти-
ческая ЛАЧХ (рис. 2.9, б) при о < <ог параллельна оси час-
тот, а при <о <01 имеет наклон — 40 дБ/дек.
Следует иметь в виду, что асимптотическая ЛАЧХ (рис.
2.9, б) при малых значениях коэффициента демпфирования до-
вольно сильно отличается от точной ЛАЧХ. Точную ЛАЧХ
можно построить по асимптотической ЛАЧХ, воспользовав-
шись кривыми отклонений точных ЛАЧХ от асимптотических
(рис. 2.9, г).
Решив дифференциальное уравнение (2.49) колебательного
звена при и = 1 (t) и нулевых начальных условиях [у (0) =
= У (0) = 0], найдем переходную функцию:
h (/) = k = f 1 —	e-at sin (p/ + <p0)
I ₽
где a = g/T; p = VТ^ГГ, <p0 = arctg^^T.
Весовая функция
w (/) = h (0 =	sin₽/.
₽
По переходной характеристике (рис. 2.9, в) можно опреде-
лить параметры колебательного звена следующим образом.
Рис. 2.9
Рис. 2.10
Передаточный коэффициент k определяют по установивше-
муся значению h (оо) переходной функции. Постоянную вре-
мении Т и коэффициент демпфирования можно найти из
уравнений
рТк = 2л; A/A = e“rH
или
Р=--2л/7к;а=±1п %,
где Тк — период колебаний; Аг и Д2 — амплитуды двух со-
седних колебаний относительно установившегося значения
(рис. 2.9, в).
Консервативное звено (£ = 0). Передаточная функция
W (s) = A/(T2s2 + 1).
Частотная передаточная функция
W (ja>} = k/(\ — Го2).
Фазовая частотная функция, как это следует из АФЧХ
^рис. 2.10, а),
. .	|	0 при 1/7;
<Р (“) =
I —л при со > 1/Т
Это выражение можно получить из фазовой частотной функ-
ции колебательного звена предельным переходом при 1; -> 0.
Нетрудно выписать выражения для остальных частотных
функций; ЛЧХ приведены на рис. 2.10, б.
Переходная функция
h (t) = k (1 — cos «>! t);	= 1/7
Переходная характеристика (рис. 2.10, в) представляет со-
бой график гармонических колебаний.
Апериодическое звено второго порядка (g 1). Передаточ-
ную функцию (2.50) при g 1 можно преобразовать к виду
Г («) = -----*-------,
(^s+lX^s+i)
где
т
7\ g =_______
 s±W-i
Апериодическое звено второго порядка можно представить
как последовательное соединение двух апериодических звень-
ев первого порядка. Оно не относится к числу элементарных
звеньев.
Форсирующее звено второго порядка. Так называют зве-
но, которое описывается уравнением
У = k (Т*р* + 2%Тр + 1) и
пли, что то же, передаточной функцией
W (s) = k (Т2? + 2g7s 4- 1)	(2.52)
при условии, ЧТО 0 g < 1.
Не представляет трудности получить выражения для час-
тотных и временных функций и построить соответствующие
характеристики.
На рассмотрении этих вопросов останавливаться не будем
Заметим только, что при частотах, превышающих сопрягают
щую частоту, ЛАЧХ имеет наклон 40 дБ/дек и ЛФЧХ получа-
ется зеркальным отражением относительно оси частот ЛФЧХ
соответствующего колебательного или консервативного звена.
Если g 1, то звено с передаточной функцией (2.52) не отно-
сится к числу элементарных; его можно представить как
последовательное соединение двух форсирующих звеньев пер-
вого порядка.
Неминимально-фазовые звенья. Звено называют мини-
мально-фазовым, если все нули и полюсы его передаточной
функции имеют отрицательные или равные нулю веществен-
ные части. Звено называют неминимально-фазовым, если хотя
бы один нуль или полюс его передаточной функции имеет по-
ложительную вещественную часть.
Напомним, что нулями передаточной функции W (s) ==
= R (s)/Q (s), где R (s) и Q (s) — полиномы от s, называют кор-
ни уравнения R (s) — 0, т. е. такие значения s, при которых
передаточная функция обращается в нуль, а полюсами —
корни уравнения Q (s) = 0, т. е. такие значения s, при которых
передаточная функция обращается в бесконечность.
Все рассмотренные выше элементарные звенья относятся
к минимально-фазовым. Примерами неминимально-фазовых
элементарных звеньев являются звенья с передаточными функ-
циями:
IF (s) = k/(Ts — 1); W (s) = k (Ts — 1); № (s) = k/(T^—
—2%Ts + 1); IF (s) = k (TW — 2gTs + 1)
и др. Для неминимально-фазового звена характерно, что
у него сдвиг фазы по модулю больше, чем у минимально-фазо-
вого звена, имеющего одинаковую с неминимально-фазовым
звеном АЧХ.
На рис. 2.11 приведены ЛЧХ неминимально-фазовых
звеньев с передаточными функциями IF (s) = l/fTs—- 1) (рнс.
2.11, а) и W (s) — k (Ts — 1) (рис. 2.11, б). ЛАЧХ этих звень-
ев совпадают с ЛАЧХ апериодического (см. рис. 2.7, б) и фор-
сирующего (см. рис. 2.8, б) звеньев. Сдвиг фазы у последних
меньше: фазовые частотные функции апериодического и форси-
рующего звеньев по абсолютной величине не превышают зна-
чения л/2, а фазовые частотные функции соответствующих не-
минимально-фазовых звеньев достигают по абсолютной вели-
чине значения л. К неминимально-фазовым звеньям относят
также звено чистого запаздывания с передаточной функцией
W (s) — ke~~'is.
Частотная передаточная функция
IF (/со) йе ~iw — k (cos сот — / sin сот).
Для остальных частотных и временных функций имеем:
U (со) = k cos сот; V (со) — — k sin сот; А (со) = k‘,
ср (со) = — сот; L (со) = 20 1g k\ h (t) — k\ (t — t); w (t) =
= #6 (t — t).
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (рис. 2.12,
а) — окружность с центром в начале координат и радиусом k.
Канадой точке этой характеристики соответствует бесконеч-
ное множество значений частот. ЛАЧХ (рис. 2.12, б) совпада-
ет с ЛАЧХ пропорционального звена с передаточной функцией
А, ЛФЧХ (рис. 2.12, б) — с графиком функции у = — тЮ*
(у = L(co); х — Igw). Переходная характеристика приведена
на рис. 2.12, в.
§ 2.7. Структурные схемы, графы, уравнения
и частотные характеристики стационарных
линейных систем
Структурной схемой в теории автоматического управления
называют графическое изображение математической модели
автоматической системы управления в виде соединений звень-
ев. Звено на структурной схеме условно обозначают в виде
прямоугольника с указанием входных и выходных величин,
а также передаточной функции внутри него. Иногда вместо
передаточной функции указывают уравнение или характерис-
тику. Звенья могут быть пронумерованы и их передаточные
функции, уравнения или характеристики представлены вне
структурной схемы.
Входные и выходные величины записывают в виде изобра-
жений, если передаточные функции задают в форме изображе-
ний. Если же передаточные функции задают в операторной
форме или звенья описывают дифференциальными уравнения-
ми, то входные и выходные переменные записывают в виде ори-
гинала.
Сравнивающие (рис. 2.13, а, б) и суммирующие (рис. 2.13,в)
звенья изображают в виде круга, разделенного на секторы.
В сравнивающем звене сектор, на который подается «вычитае-
мое», затемняют (рис. 2.13, б) или перед соответствующим вхо-
дом ставят знак минус (рис. 2.13, а).
Структурную схему широко используют на практике при
исследовании и проектировании автоматических систем управ-
ления, так как она дает наглядное представление о связях
между звеньями, о прохождении и преобразовании сигналов в
системе.
При математическом описании автоматическую систему
обычно изображают в виде блок-схемы и для каждого «блока»
(элемента) записывают уравнения, исходя из физических за-
конов, которым подчиняются процессы в нем. Структурную
схему можно составить на основании этой блок-схемы и полу-
ченных уравнений или только на основании последних. И даль-
нейшие преобразования, необходимые для получения уравне-
ний и передаточных функций системы, проще и нагляднее про-
изводить по структурной схеме.
Звено на структурной схеме не обязательно изображает
модель какого-либо отдельного элемента. Оно может быть мо-
делью элемента, соединения элементов или вообще любой час-
ти системы.
Основные правила преобразования структурных схем.
1. Последовательное соединение звеньев (рис. 2.14, а). При
последовательном соединении выходная величина каждого
предшествующего звена является входным воздействием по-
следующего звена. При преобразовании структурных схем це-
почку из последовательно
нить одним звеном (рис.
2.14, б) с передаточной
функцией № (s), равной
произведению передаточ-
ных функций отдельных
звеньев: W («)=П	(s).
;=i
соединенных звеньев можно заме-
Рис. 2.14
Запишем уравнения звеньев ух — 1Ехг/0, У 2 = W2ylt..., уп =
= ^пУп-1-
Исключив из этой системы переменные y1t у2, ..., уп-ъ
получим
уп = W1W2..., Wny0,
откуда
W = П Wt.
i~ 1
2.	Параллельное соединение звеньев (рис. 2.15, а). При па-
раллельном соединении на вход всех звеньев подается один и
тот же сигнал, а выходные величины складываются. Цепь из
параллельно соединенных звеньев можно заменить одним
звеном (рис. 2.15, б) с передаточной функцией W (s), равной
сумме передаточных функций входящих в нее звеньев: W (s)^=
п
— У, Wi (s). Для вывода этой формулы составим уравнения
для каждых звеньев:
1/1 = ^1!/о> У2 ~ W2y0', ...; уп — WnyQ.
п
Сложив эти уравнения и учитывая, что у — У yt, получим
i — 1
искомую формулу.
3.	Звено, охваченное обратной связью (рис. 2.16, а). При-
нято считать, что звено охвачено обратной связью, если его
выходной сигнал через какое-либо другое звено подается на
вход. При этом если сигнал ух обратной связи вычитается
из входного воздействия у(), т. е. ех == у0— уг, то обратную
связь называют отрицательной. Если сигнал ух обратной свя-
зи складывается с входным воздействием у0, т. е. ех = у0 +
+ уъ то обратную связь называют положительной.
Разомкнем обратную связь перед сравнивающим звеном
(рис. 2.16, а). Тогда получим цепь из двух последовательно
соединенных звеньев. Поэтому передаточная функция W разом-
кнутой цепи (рис. 2.16, а) равна произведению передаточной
функции Wn прямой цепи и передаточной функции И?о.с об-
ратной связи: W = U7O.C (рис. 2.16, б).
Передаточная функция замкнутой цепи с отрицатель-
ной обратной связью — звена, охваченного отрицательной об-
ратной связью, — равна передаточной функции прямой цепи,
деленной на единицу плюс передаточная функция разомкну-
той цепи:
Г3 = №п/(1 + W).
Для вывода этой формулы выпишем уравнения для каждого
звена:
У = ei, yt ==WO.D у; в! = у0 — уг.
В этой системе последнее уравнение — уравнение сравнива-
ющего звена — называют уравнением замыкания.
Исключив переменные et и yt из приведенной системы, по-
лучим уравнение у = Wn (у0 — V7o.cy) или (1 + Wn Wo.c)y=
= Wny0- Отсюда
W3 = ПХп/(1 + WB Wo.c) - Гп/(1 + W).
Если обратная связь положительна, то аналогично полу-
чим	W3 = Гп/(1 — W).
Передаточная функция замкнутой цепи с положительной
обратной связью равна передаточной функции прямой цепи,
Рис. 2.15
Рсс. 2.16
деленной на единицу минус передаточная функция разомкну-
той цепи. Если передаточная функция U/0.c = 1, то обратная
связь называется единичной и структурная схема изображает-
ся так, как показано на рис. 2.16, в. Передаточная функция
W3 при этом принимает вид W3 = Wn/(1 + И?п) при отрица-
тельной обратной связи и W3 — W?n/(1 — И?п) при положи-
тельной обратной связи.
При преобразовании структурных схем возникает необхо-
димость переноса и перестановки сумматоров и узлов. Рас-
смотрим, какие изменения в схеме при этом нужно произвести.
4.	Перенос сумматора (рис. 2.17). Легко показать, что при
переносе сумматора по ходу сигнала необходимо добавить зве-
но с передаточной функцией, равной передаточной функции
звена, через которое переносится сумматор (рис. 2.17, а). Если
сумматор переносится против хода сигнала, то необходимо до-
бавить звено с передаточной функцией, равной обратной пере-
даточной функции звена, через которое переносится сумматор
(рис. 2.17, б).
При переносе сумматора возникают неэквивалентные уча-
стки линии связи. Эти участки на рис. 2.17 заштрихованы.
5.	Перенос узла (рис. 2.18, а). При переносе узла также не-
обходимо добавить звено. Если узел переносится по ходу сиг-
нала, то добавляется звено с передаточной функцией, равной
обратной передаточной функции звена, через которое перено-
сится узел (рис. 2.18, б). Если узел переносится против хода
сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, рав-
ной передаточной функции звена, через которое переносится
узел (рис. 2.18, в).
Рис. 2.17
Рис. 2.19
6.	Перестановка узлов и сумматоров (рис. 2.19). Узлы мож-
но переставлять местами (рис. 2.19, а). Точно так же можно
переставлять сумматоры, не добавляя звена (рис. 2.19, б).
При перестановке узла и сумматора (перенос узла через сум-
матор) необходимо добавить звено — суммирующее или срав-
нивающее (рис. 2.19, в, г).
При переносе узла через сумматор, а также при переста-
новке сумматоров возникают неэквивалентные участки линии
связи. Эти участки на рисунке заштрихованы.
Вычисление передаточной функции одноконтурной систе-
мы. Замкнутую систему (структурную схему) называют одно-
контурной, если при ее размыкании в какой-либо точке полу-
чается цепочка из последовательно соединенных звеньев или
цепь, не содержащая параллельных и обратных связей.
Рассмотрим одноконтурную систему, приведенную на
рис. 2.20, а. Найдем передаточную функцию по входу g и вы-
воду у. Участок по ходу сигнала от точки приложения входно-
го воздействия до точки съема выходного сигнала назовем пря-
мой Цепью (рис. 2.20, а), а цепь из последовательно соединенных
звеньев, входящих в замкнутый контур (рис. 2.20, б), — разом-
кнутой цепью. Как легко проверить, справедливо следующее
правило: передаточная функция одноконтурной системы
с отрицательной (положи-
тельной) обратной связью
равна передаточной функ-
ции прямой цепи, делен-
ной на единицу плюс (ми-
нус) передаточная функция
разомкнутой цепи:
W W°
и? I ± W, w2 ws
1 ± w ’
где Wn — передаточная функция прямой цепи; W7 — переда-
точная функция разомкнутой цепи.
Сформулированное правило справедливо для любой одно-
контурной системы.
Вычисление передаточной функции многоконтурной сис-
темы. Замкнутую систему (структурную схему) называют
многоконтурной, если при ее размыкании получается цепь,
содержащая параллельные или обратные связи, или, иначе,
замкнутую систему называют многоконтурной, если она поми-
мо главной обратной связи содержит местные обратные или
параллельные связи. Говорят, что многоконтурная система
имеет перекрещивающиеся связи, если контур обратной или
параллельной связи охватывает участок цепи, содержащий
только начало или конец другой цепи обратной или параллель-
ной связи (рис. 2.21, а, б).
Для вычисления передаточной функции многоконтурной
системы необходимо прежде всего перестановкой и переносом
узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся
связей. Затем, используя первые три правила преобразования
Рис. 2.21
структурных схем, преооразовать ее в одноконтурную систе-
му, передаточную функцию которой легко вычислить соглас-
но сформулированному выше правилу. Следует иметь в виду,
что при преобразовании структурной схемы нельзя перено-
сить сумматор через точку съема выходного сигнала, так как
при этом точка съема оказывается на неэквивалентном участке
линии связи.
Пример 2.4. Найдем передаточные функции системы, приведен-
ной на рис. 2.22, а, по «входам» g и f и «выходам» у и е’> Эта система яв-
ляется многоконтурной с перекрещивающимися связями. Перенеся
и переставив сумматоры, ее можно привести к многоконтурной систе-
ме без перекрещивающихся связей (рис. 2.22, б). После замены парал-
лельно соединенных звеньев и звена, охваченного обратной связью,
эквивалентными звеньями с передаточными функциями U713 = Wi +
+ 1Г8,	= W3/(l - W3Wt)
получим одноконтурную схе-
му (рис. 2.22, в).
При вычислении переда-
точной функции по входному
воздействию g полагаем f = 0.
Согласно правилу вычисления
передаточной функции одно-
контурных систем, имеем
Wvg = W13WM/(l+W13W2iy,
Weg=l/(l+W13W^„
При вычислении переда-
точной функции по входному
воздействию / полагаем g= 0.
При этом сравнивающее зве-
но становится инвертирующим
звеном с передаточной функ-
цией, равной —1. Инверти-
. р’ующее звено в замкнутый
контур можно не вводить,
если суммирующее звено пре-
образовать в сравнивающее.
Поэтому структурную схему
можно представить так, как
это показано на рис. 2.22, е.
Из этой схемы очевидно
^/ = ^1^/(1+^^);
^е/ =	Г24/(1+Г24 Г,з).
Графы. Математичес-
кую модель системы уп-
равления наглядно можно
представить также с по-
мощью ориентированных
Рис. 2.22
графов. Графом называется [1] совокупность множества V то-
чек, называемых вершинами, и множества R простых (т. е.
самонепересекающихся) кривых, называемых ребрами, удов-
летворяющих следующим условиям: 1) каждое незамкнутое
ребро содержит ровно две точки множества V, которые явля-
ются граничными точками ребра; 2) каждое замкнутое ребро
Содержит только одну точку из V (граничные точки совпада-
ют); 3) ребра (кривые из множества /?) не имеют общих точек,
за исключением точек из множества V.
На рисунке вершина изображается точкой или окружно-
стью. Граф обозначают одной буквой G или парой букв (V, /?),
где V — множество вершин, R — множество ребер графа.
Если множества VaR состоят из конечного числа элементов,
то граф (V, R) называется конечным. Граф Gi = (Vi, 7?i),
который состоит из части вершин (V± с V) и части ребер
(/?! с R) графа G = (V, R), называется подграфом G. При
этом G называется надграфом G±. Если вершины vh и vt явля-
ются граничными точками ребра г, то говорят, что г инцидент-
но каждой из вершин vh и и, обратно, каждая из вершин
vh и Vi инцидентна г. Граничные точки ребра г, очевидно,
можно определить как вершины, т. е. точки из множества V,
инцидентные г. Если ребро замкнуто, т. е. оно имеет только
одну граничную точку, то ребро называется петлей.
Если ребра ориентированы, т. е. на каждом ребре задано
направление, то граф называется ориентированным графом,
или орграфом. Ориентированные ребра называются дугами.
Поэтому ориентированный граф, или орграф, можно опре-
делить как совокупность множества V вершин и множества
D дуг, удовлетворяющих перечисленным выше трем услови-
ям. Вершина, являющаяся начальной граничной точкой ду-
ги dit называется ее начальной вершиной, а вершина, являю-
щаяся конечной граничной точкой дуги d,, — ее конечной вер-
шиной.
Последовательность дуг dlt..., dn (не обязательно разных),
для которой конечная вершина vt дуги dt является началь-
ной вершиной дуги di+1, i = 1, ..., п — 1, называется ориен-
тированным маршрутом (ррмаршрутом). Ориентированный
маршрут называется замкнутым, если конечная вершина
vn дуги dn совпадает с начальной вершиной и0 дуги dx. В против-
ном случае ормаршрут называется незамкнутым. Ормаршрут,
в котором нет повторяющихся дуг (все дуги разные), называет-
ся путем от вершины v0 к вершине vn, если он незамкнут, и
контуром (ориентированным циклом), если он замкнут. Если
Рис. 2.23
все вершины v0, иь..., vn различны, то путь или контур назы-
вается простым (в случае контура и0 и совпадают). Верши-
ны и0 и vn будем называть соответственно начальной и конеч-
ной вершинами пути, а остальные вершины — промежуточ-
ными. Дуги и d2 называются параллельными или строго
параллельными, если они имеют общие начальную и конечную
вершины.
Граф системы управления представляет собой ориентиро-
ванный граф, который обладает следующими свойствами I3J:
1. Каждая дуга (ребро со стрелкой, указывающей направ-
ление распространения сигнала) изображает звено и характе-
ризуется оператором изображаемого ею звена. Поэтому можно
говорить о передаточной функции, дифференциальном уравне-
нии, частотных и временных функциях дуги.
2. Каждой вершине ставится в соответствие одна из пере-
менных. Если к вер'шине подходит (входит в нее) только одна
дуга, то соответствующая ей переменная равна выходной ве-
личине дуги (выходной величине изображаемого ею звена).
Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая
ей переменная равна сумме выходных величин этих дуг. Вход-
ная величина дуги (входная величина изображаемого ею зве-
на) равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит.
Если из вершины исходят несколько дуг, то входная величи-
на всех этих дуг одна и та же.
Граф системы управления легко построить по ее структур-
ной схеме. И наоборот, по графу системы управления нетруд-
но построить структурную схему. При построении графа сис-
темы управления по ее структурной схеме нужно исходную
схему (рис. 2.23, а) представить так, чтобы в сумматорах все
переменные складывались с положительным знаком (рис. 2.23,
б). Затем по последней схеме построить граф (рис. 2.23, в),
руководствуясь следующими правилами: 1) каждый сумматор
заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выход-
ная переменная заменяемого сумматора; 2) каждое звено (пря-
моугольник на структур-
IVjV ной схеме) заменяется ду-
*'	гой с оператором, равным
У W2 ^~_)У оператору заменяемого
Л/С_у—*	звена; 3) каждой перемен-
ной (в том числе перемен-
ic. 2.24	ной, обозначающей .внеш-
нее воздействие) соответ-
ствует своя вершина. Если нужно изобразить выход одной
из дуг (например, дуги с передаточной функцией на
рис. 2.24, а), входящих в общую вершину, то следует ввести
дополнительную, конечную для этой дуги вершину и соеди-
нить эту вершину с исходной вершиной дугой с единичным
оператором (рис. 2.24, б).
На графе системы управления, как правило, для обозначе-
ния дуги и ее оператора, точно так же как и для обозначения
вершины и соответствующей ей переменной, будет использо-
ваться одна и та же переменная. И поэтому выражения «дуга
с оператором W» и «дуга W», а также выражения «вершиина,
соответствующая переменной х» и «вершина х» будут иметь
одинаковый смысл.
Формула Мейсона. Как нетрудно показать, параллельные
дуги (рйс. 2.25, а) можно заменить одной дугой с передаточной
функцией, равной сумме передаточных функций исходных
дуг (рис. 2.25, б). Простой путь, если нет не принадлежащих
ему дуг, инцидентных его промежуточным вершинам, можно за-
менить дугой с передаточной, функцией, равной произведе-
нию передаточных функций Дуг этого пути. Так, например,
п
простой путь на рис. 2.25, в можно заменить дугой U7 = П Wt
i— 1
(рис. 2.25, г). Простой путь на рис. 2.25, д заменить дугой нель-
зя, так как имеются не принадлежащие этому пути дуги
Wk и W[t инцидентные его промежуточным вершинам.
Для упрощения графа и вычисления передаточной функции
системы управления по ее графу можно также воспользовать-
ся формулой Мейсона
т
i= 1
Здесь Wi — передаточная функция i-ro простого пути от вер-
шины g к вершине х, равная произведению передаточных функ-
ций дуг, входящих в этот путь; т — общее число таких путей;
д — определитель графа;
Д = 1 -2	+ 2	2	w<>' 4-
где в первой сумме IFOJ.—передаточная функция /-го простого
контура, равная произведению передаточных функций входя-
щих в этот контур дуг, и суммирование производится по всем
простым контурам; во второй сумме lF0J.U70fe — произведение
передаточных функций /-го и k-ro контуров и суммирование
производится по всем несоприкасающимся парам конту-
ров; в третьей сумме Wo] Woh Wot — произведение передаточ-
ных функций /-го, Л-го и/-го контуров и суммирование произ-
водится повеем несоприкасающимся тройкам контуров и т. д.;
Дг — определитель подграфа, получающегося из исходного
графа при удалении дуг и вершин i-ro простого пути, а также
всех дуг, инцидентных этим вершинам.
Два контура (пара контуров) называются несоприкасаю-
щимися, если они не имеют общих дуг и (или) общих вершин.
Тройка (четверка и т. д.) контуров называется несоприкасаю-
щейся, если любая пара контуров из этой тройки (четверки и
т. д.) является несоприкасающейся.
Подграф, получающийся при удалении дуг и вершин ка-
кого-либо простого пути, а также всех дуг, инцидентных уда-
ляемым вершинам, будем называть подграфом, соответствую-
щим этому простому пути.
Рис. 2.25
Граф на рис. 2.26, а имеет два простых пути от вершины
g к вершине х (пунктирные линии с точками). Передаточные
функции этих путей = Wu U712	3; W2 = U72]U722.
Он содержит пять простых контуров (см. замкнутые пунктир-
ные линии) с передаточными функциями
= UZ12 Wu- Го, = U7u UZ12U?13 U733 Г34 UZ35 U?31;
W03 = W21	U%3 W3i W3S U?31;	= Г22IT33 WM U73(t;
1^05 = ^35 ^34^32
и три несоприкасающиеся пары контуров с передаточными
функциями Wol и U7O3, !FOi и U704, IFO1 и U7O5.
Этот граф не содержит несоприкасающихся троек и боль-
шего числа контуров, поэтому определитель
Д = 1 - (U701 + U702 + !F03 + U?04 + U7O5) + (U701X
X IFO3 + r01 U7M + U7O1 IM-
Подграф, соответствующий первому простому пути (рис. 2.26,
б), имеет один контур, а подграф, соответствующий второму
простому пути (рис. 2.26, в), — два контура. Определители
этих подграфов Д4 = 1 — U70r.; Д» = 1 — (U70t + U7O5) +
+ U701 UM
Согласно формуле Мейсона, передаточная функция
wxe = (U7uu719iv13a1 + и/21и/22д2)/д.
Пример 2.5. Вычислим передаточные функции системы управле-
ния, рассмотренной в примере 2.4 (см. рис. 2.22, а). Граф этой системы
Рис. 2.26
управления приведен на
рис. 2.27. Найдем передаточ-
ные функции Wvg, WVf и Weg.
От вершины g к вершине
у имеется два простых пути
с передаточными функциями
= Wo Wt Га = Гх Г2;
Wi » VW,* W2W3.
Имеется три контура с пе-
редаточными функциями
= Wi -WiW,; П702—
= г.г4; r03 = w3w2w2 =
Рис. 2.27
= -Г2Г3.
. Несоприкасающихся пар и большего числа контуров граф не со-
держит. Поэтому его определитель
Д = 1 -(Г01 + Г02 + Гоз) = 1 + W, W2-Г2 Г4 + Г2 Г3.
Подграфы, соответствующие простым путям от вершины g к вер-
шине у, замкнутых контуров не с’одержат, и их определители At = 1,
Д2 = 1.
По формуле Мейсона,
= (г; + г ) / а = (Г1 г2+г2 г3) /(i +	г2 -w2wt+w2 wa).
От вершины f к вершине у ведет один простой путь — дуга U7e.
Соответствующий этому пути подграф не имеет замкнутых контуров,
и его определитель Aj = 1. Следовательно,
Wyf = «76/Д = 1 / (1 + W, Г2 - W2	+Г2 Г3).
От вершины g к вершине с ведет также один простой путь — дуга
Wo. Соответствующий этому пути подграф имеет один контур с переда-
точной функцией U701 = W2Wit и его определитель Ах = 1 — Г01 =
= 1 - Г2Г4.
Передаточная функция
Weg = Го Дх / Д = (1 - Г2 Г4) / (1 + Гх Г2 - W2 Г4 + W2 П73).
Дифференциальные уравнения. Зная передаточные функ-
ции системы, нетрудно записать ее дифференциальные уравне-
ния. Если система имеет одну управляемую величину, то для
ее полного описания достаточно иметь одно дифференциальное
уравнение, выражающее зависимость между выходной и вход-
ной величинами.
Автоматические системы с одной управляемой величиной
называют одномерными. В общем виде дифференциальное урав-
нение одномерной системы с двумя входными величинами, на-
пример задающим воздействием g и возмущающим воздейст-
вием /, можно записать как
(и)	(и— 1)	(т) (tn— 1)
aoyJpaiy-\-... + any = bog + b1g + ..4-6mg +
(0 Ц-D
+ Со/ + с1 f + • • • + С1 /•
Получим дифференциальное уравнение системы, рассмот-
ренной в примере 2.4 (рис. 2.22, а). Для нее
У = Wvgg + Wvff.	(2.53)
Это дифференциальное уравнение в символической форме,
связывающее выходную величину у с входными величинами.
Аналогично можно записать дифференциальное уравнение от-
носительно любой другой «выходной» величины. Исходя из
определения передаточной функции нетрудно перейти от урав
нения (2.53) к обычной «несимволической» форме записи.
Допустим, например, что Ц7, = k^,	= kJ(p + 1);
IF3 = k3/p\ UZ4 = kt. Тогда
UZ =-----ZkP+2-----. w	—W^+p)—,
ye Tf p^+ T2 p+ i - vf T\f^+T2p+\
где k = l/(k2k3); 7\ = ~Vk\ T2 = (1 + k3k2 — k2ka) /(/г2Л3);
Tз. ~ kjk 3.
Поэтому на основании (2.53)
T\yVT2y 'ry = T3g+g + k(f+f).
Частотные характеристики. При исследовании и проекти-
ровании автоматических систем обычно используют амплитуд-
но-фазовые и логарифмические частотные характеристики
разомкнутых систем. Передаточные функции W (s) разомкну-
тых одноконтурных, а иногда и многоконтурных систем мож-
но преобразовать к виду
W'(s)= П	(2.54)
C= 1
iде W, (s) — передаточные, функции элементарных звеньев.
В этом случае модули и аргументы частотных пере-
даточных функций системы и звеньев А (со) = |UZ (/<о)|;
(со) = |Г,- (/со)|; <р (со) = argUZ (/со); ф/ (со) = arg UZ; (/со)
в соответствии с правилом модулей и аргументов комплекс
ных чисел связаны между собой соотношениями
А (со) = П Д (со);	(2.55)
i=l
Ф (со)-= у Фг(со).	(2.56)
Вещественные и мнимые частотные функции системы опре-
деляются равенствами
U (со) — А (со) cos ср (со);
V (со) = А (со) sin ср (со).
Пользуясь полученными соотношениями (2.55)—(2.57),
можно построить АФЧХ. Из (2.55) очевидно
(2.57)
L (со)- 2
I— 1
(2.58)
где L (со) — 20 1g А (со) и Ьг (со) = 20 1g Дг (со) — логарифми-
ческие амплитудные частотные функции.
Из (2.56) и (2.58) вытекает следующее правило построения
ЛЧХ (ЛАЧХ и ЛФЧХ) систем, передаточные функции кото-
рых преобразованы к виду (2.54): строят ЛЧХ отдельных
звеньев и затем их графически складывают.
На основании (2.58) можно также сформулировать несколь-
ко иной, более простой порядок построения ЛАЧХ. Проил-
люстрируем это сначала на кон-
кретном примере.
Пусть W (s)=100 (s+ l)/[sv X
X (10s + 1) (0,01 s2 +0,1 s+1)].
Логарифмическая амплитуд-
ная частотная функция
L (со) — 40—v20 lg со—
—20 lg]/(10co)2+ 1 +
+20 iev<^+i-
- 20 lg ]/(l—0,01o2f+(0,lco)2.
Асимптотическая ЛАЧХ рас-
сматриваемой системы состоит
из четырех асимптот (рис. 2.28,
а, б, в) и строится следующим
образом. Вычислим сопрягаю-
щие частоты:
«1 = 1/10 — 0,1; со2 = 1;
со3 = 1/0,1 = Ю.
Здесь colt со2 и со3-- сопрягаю-
щие частоты апериодического,
форсирующего и колебательного
звеньев соответственно.
Напомним, что при построении асимптотической Л ЧХ эле-
ментарных звеньев при частотах, меныпих сопрягающей час-
тоты, под корнем оставляют только единицу (остальными чле-
нами пренебрегают), а при частотах, больших сопрягающей
частоты, —члены с найвысшей степенью со. Поэтому в рас-.,
сматриваемом примере при со < «ц
L (со) as 40 — v2Olgco.
Это уравнение первой асимптоты. Согласно этому уравне-
нию, первую асимптоту проводят через точку с координата-
ми со = 1 и L = 20 lg k с наклоном — т20 дБ/дек. Она кон-
чается на первой сопрягающей частоте.
При coj со < со2 аналогично имеем
L (со) as 40 — v201g со — 201g Юсо = 20 — v 20 Igco —
— 20 Igco.
Это- уравнение второй асимптоты. Ее наклон изменяется
на — 20 дБ/дек и обусловливается апериодическим звеном.
Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до вто-
рой сопрягающей частоты согласно ее уравнению с наклоном
(— v 20—20) дБ/дек.
При са2 sg; со < со3
L (со) as 20 — v2Olgco — 201gco + 2Olgco — 20 — vx
X20 Igco.
Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон изменяется
на 20 дБ/дек и обусловливается форсирующим звеном. Третью
асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей со-
прягающей частоты с наклоном — т-20 дБ/дек.
При со со3 .
L (со) = 20 — v-2Olgco — 40 1g 0,1 со = 60 — v2Olgco —
— 401g со.
Это уравнение последней, четвертой, асимптоты. Ее наклон
изменяется по отношению к третьей асимптоты на —40 дБ/дек
и обусловливается колебательным звеном.
Теперь нетрудно сформулировать общее правило построе-
ния асимптотической ЛАЧХ системы с передаточной функци-
ей вида
U7(s)= П «Ms),
i= 1
где IF, (s) — передаточные функции элементарных звеньев.
Правило построения асимптотической ЛАЧХ..
1.	Вычисляют сопрягающие частоты и значение 201g&,
где k — передаточный коэффициент системы, равный произ-
п
ведению передаточных коэффициентов звеньев (k = П&;).
. < = i .
2.	Строят первую асимптоту, которую проводят До первой
сопрягающей частоты через точку с координатами © = 1 к
L = 201gfe с наклоном — v-20 дБ/дек. Здесь v равно разности
между числами интегрирующих и дифференцирующих звень-
ев.
3.	Проводят вторую асимптоту от конца первой асимптоты
до второй сопрягающей частоты. Ее наклон изменяется на
20,—20, 40 или — 40 дБ/дек в зависимости от того, является
ли <»1 сопрягающей частотой форсирующего, апериодическо-
го, форсирующего второго порядка или колебательного зве-
на соответственно.
4.	Строят каждую последующую асимптоту аналогично
второй. Изменение наклона (t + 1)-й асимптоты зависит
от того, сопрягающей частотой какого элементарного звена
является <ог.
Если какая-либо сопрягающая частота является кратной
и ее кратность равна I, т. е. имеется I одинаковых элементар-
ных звеньев,"го изменение наклона при этой частоте в I раз
больше, чем при соответствующей простой частоте.
Для колебательных звеньев с малым коэффициентом демп-
фирования < 0,4) асимптотическая ЛАЧХ должна быть
скорректирована в окрестности сопрягающей частоты по точ-
ным формулам или с помощью кривых поправок (см. рис. 2.9, г).
§ 2.8. Многомерные стационарные линейные
системы
Многомерными системами или системами многосвязного уп-
равления называют автоматические системы управления, в ко-
торых имеется несколько (больше одной) управляемых вели-
чин. Соответственно объекты, имеющие несколько управляе-
мых величин, называют многомерными объектами или объ-
ектами многосвязного управления. ,
Примерами многомерных объектов могут быть: самолет,
у которого управляемыми величинами являются курс, углы
тангажа и крена, высота, скорость; паровой котел, в котором
регулируется температура, давление пара и другие величины.
Обычно управляемые величины называют выходами или
выходными величинами. И поэтому многомерные системы еще
определяют как автоматические системы с многомерным (век-
торным) выходом.
Многомерные системы и объекты называют линейными и
стационарными, если они описываются системой линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициента-
ми.
Уравнения многомерных стационарных линейных систем
и объектов. Пусть ух, ур обозначают выходные величины,
«1, •••, ит — параметры управления или задающие воздейст-
вия и Д, ..., ft — возмущающие воздействия. Уравнения
многомерных стационарных линейных систем и объектов в об-
щем случае можно записать в виде следующей системы:
«и (Р)У1 + —+ «1Р (р)УР = Ь1г (р)иу + ... +Ь1т (р) ит~\~
+ сп (р)^ + ... 4- си (р) f ,
«Р1 (Р) У1 + • • • + «РР (р) Ур = bP 1 (Р) «1 + • • • + Ьрт (р) Мт 4-
+ СР1 (р) fl + • • • + Cpl (р) f ь
или в более компактной форме
2 ац(р)У1~ % Ьц(р)и}+ 2 Cti(P)h’ i =	(2.59)
/= i	/= i	/= i
Здесь aij (р), Ьц (р), Сц (р) обозначают стационарные линей-
ные операторы, т. е. полиномы от оператора дифференцирова-
ния с постоянными коэффициентами.
Переходя в обоих частях (2.59) к изображениям Лапласа,
при нулевых начальных условиях получим систему алгебраи-
ческих уравнений:
2 «о (S) У} (S) = Z ЬУ ® vi <s) + Z СЧ
7= 1	/= 1	/= I
1 = 1,..,р,	(2.60)
где
Yj (s) = L{y} (/)}, Uj (s) =	(/)}, Pi (s) = L {fj (t)}.
Для многомерных систем удобна матричная форма записи
уравнений.
Введем в рассмотрение матрицы
В(р) =
У1
: : ; A(p) =
.Ур
bu(p)... blm(p)
«и(Р) ••• «1₽(Р)
«Р! (p) ... (Zpp(p) _
Г A I
U =--
«х
L«mJ
L^pl (p)-“ bpm (p)
С их помощью (2.59)
Jl
С(р) =
Cpl(P)...«pz(P).
в матричной форме будет
А (р)у = В (р) и ф-C (р)f.	(2.61
Точно так же можно записать (2.61) в изображениях Лап-
ласа в матричной форме:
A (s) Y (s) = В (s) U (s) + С (s) F (s).
Здесь
(2.62)
I «и (s)... aip(s)
................... J	V(s) =
«pl (s)...«pp(s) _
bn (s)...blm (s)
ГЛ(8)1
Tp(s)J
В (s) =
У =
6pi (s)... bpm (s)
В (2.61), после умножения и сложения матриц, в правой и
левой частях получатся матрицы-столбцы. Приравняв их со-
ответственные элементы, получим систему уравнений (2.59).
Аналогично, выполнив указанные операции над матрицами
и приравняв соответственные элементы матриц левой и правой
частей матричного уравнения (2.62), получим систему (2.60).
Пример 2.6. Пусть исходная система дифференциальных урав-
нений имеет вид
(«о Р + Pi) /А Фоа 1J2 =b0 рих -f-blu2;
«а У1Т («4 Р Т об) Уг ~ о2.
В матричной форме, как нетрудно проверить, эта система записывается
в виде
А (р) у = В (р) и,
где
. , . Г«о ₽ +
А (р) =
L «з
°2	1.
а&р + ай ]’
В(р) =
[ЬоР
I 0
М
.^2J
Передаточная матрица. Для описания многомерных систем
и объектов, как и в случае одномерных систем, можно ис-
пользовать передаточные функции. Передаточной функцией
W" (s) (в изображениях Лапласа) по j-му параметру управле-
ния и t-му выходу называют отношение изображения Лапласа
выходной величины t/; к изображению входной величины Uj при
нулевых начальных условиях. По определению,
№’?Д5) = Уг(8)/^(8).	(2.63)
Эту передаточную функцию можно вычислить следующим об-
разом. В системе (2.60) приравниваем нулю изображения всех
возмущающих воздействий и параметров управления, кроме
U} (s). Из полученной системы алгебраических уравнений на-
ходим решение Y, (s), а затем, разделив его на Uj (s), получим
искомую передаточную функцию.
Аналогично определяют передаточную функцию Wfij (s)
по /-му возмущающему воздействию и i-му выходу:
=	(2.64)
(s)
В случае многомерных систем (объектов) для ее полного
описания необходимо иметь р-т передаточных функций по уп-
равлению ир-/ передаточных функций по возмущению. Эти
передаточные функции записывают в виде матриц:
W“ (8) =	^,(8)...	.	(2.65)
	_(Fpl(s)... U^m(8)] К (s)... IF'Us)'	
Wf (s) =	Xi(s)-X/(s) .	(2-66)
Матрицы (2.65) и (2.66) называют матрицами передаточ-
ных функций или передаточными матрицами', матрица (2.65)—
по управлению., а матрица (2.66) — по возмущению.
Передаточные матрицы дают полное описание многомерных
систем (объектов) при нулевых начальных условиях. С их по-
мощью уравнения (2.60) или (2.62) многомерной системы в изо-
бражениях Лапласа можно записать в следующем виде:
Y (s) = W“ (s) U (s) + Wf (s) F (s).	(2.67)
Действительно, согласно определению (2.63), когда изоб-
ражения всех возмущающих воздействий и параметров уп-
равления, кроме Uj(s), равны нулю, имеем
У i (s) =	(s) (s), i = 1 p; / = 1....m-
Аналогично, из (2.64)
КД$) = Ч(«)/Ш i = l.......p; /-1.....1.
В общем случае, когда все параметры управления и возмущаю-
щие воздействия отличны от нуля, используя принцип супер-
позиции, можем записать
т	I t
Vi(s)= 2	+ 2 И/(8)Г>(8). i = l....р. (2.68)
/=1 /=1
Очевидно, (2.67) является матричной формой записи получен-
ной системы (2.68).
Рассмотрим способы вычисления передаточных матриц.
Первый способ, указанный выше, основан на использовании
определений (2.63) и (2.64). Второй способ основан на соотно-
шениях
W“ (s) = A-1 (s) В (s); Wf (s) = A-1 (s) С (s).	(2.69)
Эти соотношения получают следующим образом. Умножим
слева обе части матричного уравнения (2.62)
A(s)Y(s) = B(s)U(s) + C(s)F(s)
на обратную матрицу A-1 (s). Тогда получим
Y (s) = A-1 (s) В (s) U (s) 4 A-1 (s) С (s) F (s).
Приравнивая правую часть полученного уравнения к правой
части равносильного ему уравнения (2.67), получим соотноше-
ния (2.69).
Как известно из курса высшей алгебры, обратная матрица
I
I А (з) |
А"Ч8) =
Ап (s)... A ip (s)
Api(s)... Арр(s)
Здесь (s) — алгебраическое дополнение элемента аг; (s).
Знак Т обозначает операцию транспонирования.
Пример 2.7. Пусть система (объект) описывается уравнениями
г/1+г/1+№ = «1+Л; yi+yi+y2 = u2+f2.
Перейдем к изображениям Лапласа (при нулевых начальных условиях)
(s2 + s) Y1 (s) + У2 (s) = U2 (s) + М (S);
(s + 1) Ух (s) + sV2 (s) = U2 (s) + F2 (s).
В матричной форме эта система записывается так:
A(s) Y(s) = B(s)U(s) + C(s)F(s),
где
C(s) =
°1
1 ]’
Найдем обратную матрицу A—i(s):
| A (s) | = («+1) (s2—1); Au=s; Аи= - (s |1); A21=-l;
Л2 = 52+-»;
А-1 (s) =-----!-----
(s+l)(s2- 1)
Г s -(s+ny
L — 1 s2 + s ]
1_______[ s — 1 I
(s~pl)(s2—s) [ — (s-pi) S2 + s J
Так как В (s) и C (s) являются единичными матрицами, то
W" (s) = Wf (s) = А-1 (s).
Весовые или импульсные переходные матрицы. Пусть уп-
равляющий параметр Uj = 6 ((), а остальные управляющие
параметры и возмущающие воздействия равны нулю. При этом
решение (2.59) многомерной системы при нулевых начальных
условиях обозначим wt, ((), w“j (t),..., Wp, (t). Эти функции
называют весовыми или импульсными переходными функция-
ми. Функция w“j (t) описывает реакцию системы на t-м вы-
ходе при действии в точке приложения /-го параметра управле-
ния единичного импульса и называется импульсной переходной
или весовой функцией по /-му параметру управления и t-му вы-
ходу. Матрицу
w" (/) =
Ul'1'l (/)••• (О
(/)•  • wpm (0.
составленную из весовых функций по управлению, называют
импульсной переходной или весовой матрицей по управлению.
Аналогично определяют импульсную переходную или весовую
матрицу по возмущению:
wf (0 =
лун (0... wn(0
Wpi (t)... wfpi(i)
Здесь w\j (t), аур, (f) — решение (2.59) многомерной систе-
мы, когда f j = 6 (/), а все остальные возмущающие воздейст-
вия и параметры управления равны нулю.
Весовые матрицы, как и передаточные матрицы, дают пол-
ное описание многомерной системы (объекта).
Установим связь между весовыми и передаточными матри-
цами.
Согласно определению (2.63) передаточной функции W“j (s),
Yt (s) = Wtj (s) U} (s), i = 1,.... p.	(2.70)
Так как Uj (s) = L{6 (t)} =1 и yt (f) — w“, (/) при us =
= 6 (t) и остальных входных воздействиях, равных нулю, то
из уравнения (2.70)
оо
=	(2.71)
о
i — 1,..., р; / = 1,..., т.
Аналогично можно показать, что
№t/(s) == L {аУ£/(01 = J	i=l......р, / —
о
(2.72)
Таким образом, передаточные функции (элементы передаточ-
ных матриц) равны изображению Лапласа от весовых функций
(элементов весовых матриц).
В матричной форме (2.71) и (2.72) принимают вид
W" (s) = L {w“ (t)} = J w“ (0 e~s/ dt-,
0
Wf (s) - L {Wf (0) = J wf (0 e-'f dt.
0
По определению, интеграл от матрицы равен матрице интегра-
лов от ее элементов.
Запишем формулу для определения выходных величин по
весовым матрицам при произвольных входных воздействиях.
Учитывая, что оригиналами от передаточных функций явля-
ются весовые функции, и используя теорему о свертке, из
(2.68)
т	I	.
i= i	/= ।
переходя к оригиналам, получим
У, (0 = S f “*“/ (z — т) аi (т) +
/=1 о
/ со
Эта система в матричной форме записывается как
у(0= f w"(?— т) и (т) th + С wf (/ — T)f(T)dT.
Й	о
Таким образом, связь между выходными и входными величи-
нами с помощью весовых матриц записывается так же, как и в
одномерном случае.
Запись дифференциальных уравнений в нормальной форме
Коши. При рассмотрении многих вопросов удобно, если урав-
нения одномерных и многомерных систем записаны в виде нор-
мальной системы. Нормальной системой или системой в нор-
мальной форме Коши называют систему дифференциальных
уравнений первого порядка, разрешенных относительно про-
изводных. В частности, нормальной системой линейных диф-
ференциальных уравнений называют систему
п	т	I
X auXj+ X +	(2.73)
/=1	/=1	/=1
В матричной форме она записывается как
х = Ax4-BuJ-Cf,	(2.74)
где
СИ • • • CU
Snl--' cnl.

Матрицы-столбцы x, u и f также называют векторами. Вектор
х называют фазовым вектором или вектором состояния, а его
координаты х1г хп— фазовыми координатами. Вектор и
называют вектором управления или просто управлением, а его
координаты «j, ... ит — параметрами управления: Вектор
f называют вектором возмущения или просто возмущением, а
его /-я координата — /-м возмущением или ;-м возмущающим
воздействием.
Наряду с неоднородным уравнением (2.74) рассмотрим одно-
родное уравнение
х = Ах.	(2.75)
Пусть х<‘) = (х<П ,..., х^)Т, x<2> = (42> ,...,л:<2))г	=
= (х<р, ..., %<">)г образует п линейно независимых решений
этого уравнения. Любую такую систему называют фундамен-
тальной системой решений уравнения (2.75). Составим мат-
рицу, полагая в качестве ее t-ro столбца i-e решение из фун-
даментальной системы:
Ф(о=
x\l>(t)...x™(t) "
x^(t)...x™(t) .
Эту матрицу называют фундаментальной матрицей урав-
нений (2.73) — (2.75). Если при t — t0 фундаментальная мат-
рица обращается в единичную, то она называется нормиро-
ванной. Используя произвольную фундаментальную матрицу
* (0. нормированную (обозначим ее X (t, /0)) можно предста-
вить в виде
X (I, /0) = Ф (/) ф-1 (#<>); X (te, t0) = Е.
(2.76)
С помощью нормированной фундаментальной матрицы ре-
шение неоднородного уравнения (2.74) при всех /их (t0) *=
= х° можно представить в виде соотношения
У
x(t) = K (/, /0) х° + [ X (/, т) [Ви (т) + С/.(т)[ dr, (2.77)
to
которое называется формулой Коши. В справедливости этой
формулы легко убедиться непосредственной подстановкой в
уравнение (2.74), воспользовавшись при этом матричным урав-
нением
Х(/,/0)=АХ(/,/0); K(tn, /0)--=Е,
которое справедливо во всех t. Это уравнение следует из того,
что каждый столбец фундаментальной матрицы является ре-
шением (2.75).
Отметим ряд основных свойств нормированной фундамен-
тальной матрицы. Воспользовавшись (2.76), для любых t, t'
и /0 легко получить следующие равенства:
X (t, К) X (К, X (/. /0); X-1 (/, t0) = X (t0, t).
Если матрица А постоянна, то фундаментальная матрица
X (/, t0) зависит только от разности I — t0 и имеет вид X (/—
— /0) = е Ай-М. Матричная функция е W-*») называется
экспоненциальной матрицей или матричным экспоненциалом
и определяется суммой ряда
еАЦ-<о)^Е_рА(/—/0) + ^-А2(/-/0)2 + ...+
+- —А«(/-/„)' + ... .	(2.78)
т
Рассмотрим уравнение, сопряженное (2.75): г — — № г.
Если Z (/, t0) —г- нормированная фундаментальная матри-
ца этого уравнения, т. е.
= — Аг Z (/, /0); Z (/0, /0) - Е,
at
то формулу Коши можно представить в виде
X (0 = V (t0, t) х (/0) + J V (/0, 0 [Ви (т) + Cf (Т)1 dT. (2.79)
to
Действительно, дифференцируя тождество X (t, /0) t,
X-1 (Л <о) = Е, получаем
х-1 (/, t0) + х (t, t0) =o
r di	dt
или
AX (t, t0) x-1 (t, t0) + X (t, t0)	_0.
Из последнего уравнения
—Zo-} - = —X-1 (t, t0) A,
dt
или после транспонирования
.11х"1 (* <°)17’ = _А^Х-ЧМо)!! [Х-1(/о, /О)]Г = Е.
dt
Сравнивая это уравнение с уравнением для Z (t, t0), получаем
z(M0)-=[X~l(l QH
или
ZT(t0, О^Х-1 (?0,	t0).
При подстановке этого выражения в (2.77) получается (2.79).
Пример 2.8. Пусть система описывается уравнениями
ai=x2; х2 = и
или в матричной форме уравнением
х = Ах + Вн,
где
А =
Найдем нормированную фундаментальную
(2.78). Так как
матрицу, пользуясь
о °1.
о ог
; А” =
то
X(t — /о) = еА<,“<о) =
о г
о о
1 О
О 1
1
О О

Согласно формуле Коши, решение неоднородного уравнения при
х (/о) = х° имеет вид
откуда прн скалярной записи получим
t	i
(/)== X*; + (/—f (t—x)u(x)dx\ *2 (0 =•*«+] u(x)dx.
to	to
Преобразование дифференциальных уравнений к нормаль-
ной системе. Дифференциальные уравнения, разрешимые от-
носительно старшей производной, всегда можно привести к
нормальной системе. Рассмотрим, как преобразуются уравне-
ния одномерной стационарной линейной системы управления.
Пусть система управления описывается уравнением
(п)	(и—о
ao4/+«if/ +...-t-a„i/ = 60u.	(2.80)
Введем новые переменные
^•1 ~ Уч — ^2>	(2.81)
Из (2.81) и (2.80)
(п)	।
хп ~ У “	(^i %п т ^2	4~ Чп Л-1) -(-	 и- (2.82)
Oq	6,0
Объединяя (2.81) и (2.82), получим нормальную систему
Xi = xi+1, i— 1, 2,..., п — 1;
Хп = — — («! хп аг хп-! + ... + ап Xj) + — и.
Go	Gq
(2.83)
эквивалентную исходному уравнению (2.80). Используя обо-
значения (2.81), легко определить решение системы (2.83),
имея решение уравнения (2.80), и, наоборот, определить реше-
ние уравнения (2.80), имея решение системы (2.83).
Рассмотрим более общий случай, когда система управле-
ния описывается уравнением
(п)	(п-1)	(т) (пг—1)
аоУ^'а1У + + яп У — Ьо и + Ь1 и 4-... + bm и‘, т < п, (2.84)
или в символической форме
+	an)y = (bopm + b1pm-1 + ... + bm)u.
Учитывая, что в этом уравнении дифференциальные операто-
ры при выходной и входной величинах и обратные им опера-
торы коммутативны, запишем его в виде [3]
(bopm + b1Pm-• + +	=
= (aopn + a1pfl~l + ...+ап)-1и^х1
или
У = (bQ рт + bj, р'п-1 + ... • + Ьт) хх;	(2.85)
и = (а0 рп 4- рп~1 4-... + ап) хг.	(2.86)
Введем обозначения
хх = Х2 = Хз,..., ^п—1	(2.87)
Учитывая их, из уравнения (2.86) получаем
Хп —-----1—(а1Хп+а2Хп_1 + ...+апХ1) +— и.
ciq	«о
Объединяя это уравнение с уравнениями (2.87), получаем нор-
мальную систему
хг = хг+1; t= 1,2,..., п —1;
хп =>---— («1 хп.+ я2 хп-х + ... + ап хг) + — и,
а0	ав
эквивалентную исходному уравнению (2.84). Выходная пере-
менная системы управления и новые переменные связаны со-
отношением [см. (2.85)1
у =- Ьо хт+1 + &1 хт +... -f- bm xt.
Рассмотрим, наконец, как преобразуется к нормальной си-
стеме общее уравнение одномерной стационарной линейной
системы управления с двумя внешними воздействиями, кото-
рое запишем в виде
(п)	(n—1)	(«)	(п—1)
y + ai У +... 4 ап у = Ьп и + bn-i и + ... + feow-|-
(Zl>	(n— 1)
• + ^nf + cn-if +-.. + cof.	(2.88)
Здесь для удобства коэффициенты в правой части пронумеро-
ваны в обратном порядке. Кроме того, в уравнение (2.88) вклю-
чены’производные входные величин и и /до п-го порядка вклю-
чительно. Но такая запись не нарушает общности, так как
если в действительности порядки старших производных вход-
ных величин меньше п и равны т и I соответственно, то это
значит, что в уравнении (2.88) коэффициенты Ьп =	= ...
• •• = ^т+1 = 0 и сп = сп-г^ ...= сг+1 = 0. Уравнение (2.88)
может быть преобразовано в нормальную систему вида
%1 = х2 -f- «1 и + f\
*2 = *3 +- «2 « + Рй f;
о
(2.89)
где коэффициенты at и р, определяют из следующих соотноше-
ний:
п— 1 —/
= an-j ~ Ь) 2 an~k-jaht
к — о
Il— 1
/= 1,..., п -1; cen = 60 — 2 an-hah;
k= о
n— 1 — j
Po ~^nt Pn— i~Cj	2 ®n—fc—jPfi>
n— 1
/ 	1 , • . •»	1 , P fl ~ £q	&n~k Pfe 
= 0
(2.90)
Выходная величина у связана с фазовыми координатами ра-
венством
у =	+ а0н+РоЛ	(2.91)
Доказательство эквивалентности уравнения (2.88) и системы
(2.89) при условии (2.90) и (2.91) имеется, например, в [8].
§ 2.9. Нестационарные линейные системы
Нестационарными линейными системами или линейными
системами с переменными параметрами называют системы, ко-
торые описываются линейными дифференциальными уравне-
ниями с переменными коэффициентами. Для их Описания по-
мимо дифференциальных уравнений могут быть использованы
передаточные функции, переходные и весовые (импульсные
переходные) функции, частотные функции и их характеристи-
ки. Кроме того, для графического представления нестационар-
ных систем могут быть использованы структурные схемы и гра-
фы. Однако методы, основанные на графических представле-
ниях, не так эффективны, как в случае стационарных систем.
Правила преобразования структурных схем и графов, уста-
новленные при изучении стационарных систем, в случае не-
стационарных систем несправедливы.
Рассмотрим некоторые способы описания одномерных не-
стационарных систем. Они могут быть обобщены на многомер-
ные системы так, как это было сделано при описании стационар-
ных линейных систем.
Так как для линейных систем (как стационарных, так и не-
стационарных) справедлив принцип суперпозиции, то'для про-
стоты можем ограничиться рассмотрением систем с одним вхо-
дом.
Уравнение одномерной нестационарной системы (объекта)
с одним входом в общем случае можно записать в виде
(п)	(п~ 1)	(т)	(т—\)
«о(ОУ4-«1(0 У 4-... rdn(t)y = b0(t)u +bl(t) и + •• +
Vbm(f)u	(2.92)
или, в символической (операторной) форме
Q (р, 0 у = R (р, I) и,	(2.93)
где нестационарные линейные дифференциальные операторы
Q (р, t) = aQ (0 рп-г а, (0 р"-1 4-... 4- ап (0;
R(p, t)-=b0(t)p'n + b1(t)pm-1 + ... -\-bm(t).
Весовые функции. Как уже было определено, весовой функ-
цией называют решение уравнения (2.92) при и (0 = б (Z — т)
и нулевых «начальных» условиях, т. е. функцию, которая опи-
сывает реакцию на единичный импульс системы, находящейся
в момент приложения импульса в исходном состоянии. Здесь
т обозначает момент приложения импульса и в определении
под начальными условиями понимают значения выходной ве-
личины и ее производных в момент т. При рассмотрении стаци-
онарных систем обычно в качестве начала отсчета времени при-
нимаютмомент приложения входного сигнала йпоэто-
му в этих случаях полагают т = 0. В данном случае
этого де.лать нельзя. Реакция нестационарной системы зави-
сит не только от времени t — т, отсчитываемого от момента
приложения импульса, но и от самого значения т. Поэтому,
весовая функция нестационарной системы — обозначим её
w (t—т, т) — являются функцией от двух переменных- от
текущего времени t и момента т приложения импульса.
Реакция — процесс на выходе системы — не может возник-
нуть до приложения входного сигнала: следствие не может
предшествовать причине. Поэтому	•->
w (t—т, т) е= 0 при /<т.	(2.94)
Это условие называют условием физической осуществимости
или условием физической реализуемости. В случае стационар-
ной системы условие физической осуществимости имеет вид
®(/) = 0 при t< 0.
Получим формулы, определяющие связь между выходной
и входной величинами нестационарной линейной системы уп-
равления через ее весовую функцию. Так как, по определе-
нию, w (t — т, т) есть решение уравнения (2.93) при и (0 =
— б (/ — т), то можем записать
Q (р, 0 w (t — т, т) = R (р, t) 6 (t — т).	(2.95)
Умножим обе части на и (т) dx и проинтегрируем по т от —со
до со, а затем, вынеся коэффициенты уравнения за знак инте-
грала (это возможно, так как они не зависят от т) и поменяв
местами операции интегрирования и дифференцирования, по-
лучим
Q(p,t) J w(t—т, т) и (т) с/т= R (pt I)
— сю	— оо
Из определения дельта-функции
J и (т)б(^—t)Jt =и(1),
— оо
поэтому (2.96) можно переписать в виде
Q(p,t) J w(t—т, т) u(t)dx = R(p, t)u(t).
- OQ
н(т)б(/—r)dt. (2.96)
Из последнего равенства, которое выполняется тождественно,
вытекает, что функция
сю
У(0= J w(t—т, t)w(t)c/t
— оо
(2.97)
является решением уравнения (2.93) при произвольном задан-
ном и (t). Нижний предел интегрирования т = — оо в (2.97)
совпадает с моментом подачи входного воздействия. Поэтому
(2.97) является искомой формулой, определяющей связь меж-
ду выходной и входной величинами нестационарной линейной
системы в «установившемся» режиме. Учитывая условие фи-
зической осуществимости (2.94), формулу (2.97) можно запи-
сать также в виде
t
у (t) — j w(t — x,x)u(x)dx.	(2.98)
— co
Аналогично, умножив обе части равенства (2.95) на и (т) dx
и проинтегрировав их от 0 до оо, получим формулу
сю
// (/) — J w{t —т, т) и (т) dx,
о
определяющую выходную величину нестационарной линейной
системы, когда на ее вход подается воздействие и (/) в момент
t = 0. С учетом условия физической осуществимости ее также
можно записать в виде
t
y{i) = J ьу (t—х, х) и (т) dx.
о
Если зафиксировать переменную т, то весовая функция
w (I — х, х) будет функцией от одной переменной I, зависящей
от параметра т, и называться нормальной весовой функцией.
Нормальная весовая функция определяет изменение выходной
величины системы в течением времени при подаче на ее вход
единичного импульса в заданный момент х.
Если зафиксировать переменную t — рассматривать ее как
параметр, — то весовая функция w (t — т, т) будет функцией
от одной переменной т и называться сопряженной весовой функ-
цией. Сопряженная функция определяет зависимость реак-
ции системы в фиксированный момент t от моменту т приложе-
ния единичного импульса.
Передаточные функции. Передаточная функция W {р, t)
нестационарной системы в операторной форме определяется
также, как и передаточная функция стационарной системы
(в операторной форме) и равна отношению оператора R (р, t)
воздействия к собственному оператору Q (р, t):
W(p,t)=R(p, t)/Q(p, t).
Понятие передаточной функции W (s, f) в изображениях
Лапласа требует уточнения. Его нельзя определять как отно-
шение изображений выходной и входной величин, так как при
этом не ясно, как вычислять W (s, t) по заданному дифферен-
циальному уравнению системы. Кстати, между передаточными
функциями W (р, t) и W (s, t) нет такой простой связи, как это
было между передаточными функциями W (р) и W (s) стацио-
нарных систем.
Перейдем к определению передаточной функции W (s, /).
Для этого воспользуемся физическим свойством частотных
передаточных функций.
Как известно, частотная передаточная функция IF(/®) ста-
ционарной системы имеет следующий физический смысл: ее
модуль равен отношению амплитуд гармонических колебаний
на выходе и входе системы, а ее аргумент—сдвигу фазы. Час-
тотная передаточная функция W (/®) стационарной системы
связана с ее передаточной функцией W (s) соотношением
W (/«>)-U7 (s)|s=/e.
Аналогичная связь должна существовать между частотной
передаточной функцией W (j®, t) нестационарной системы и ее
передаточной функцией W (s, t). Поэтому, определив частот-
ную передаточную функцию W (j(&, t), автоматически получим
определение передаточной функции W (s, t).
Как будет показано дальше, при подаче на вход нестацио-
нарной линейной системы гармонического сигнала на ее выхо-
де устанавливается «гармонический» сигнал той же частоты,
но с переменной амплитудой. И частотную передаточную функ-
цию W (j®, t) определим как такую, зависящую от параметра
t комплекснозначную функцию от частоты, у которой модуль
равен отношению амплитуд «гармонических» колебаний на вы-
ходе и входе нестационарной системы, а аргумент — сдвигу
фазы.
Для системы с весовой функцией w (t — т, т) таким свойст-
вом обладает функция
W (ja, t) = j° w (Q,t —6) e~'“e de. (2.99)
о
Это соотношение примем за определение частотной передаточ-
ной функции нестационарной линейной системы с весовой
функцией w (t — т, т). Для ее передаточной функции W (s, f)
из (2.99) получаем
W (s, 0 = j w (0, t —0) e~se de. (2.100)
о
Передаточные функции W (ja, t) и W (s, t) называют парамет-
рическими.
Итак, параметрической частотной передаточной функцией
нестационарной линейной системы (с весовой функцией (w (t —
— т)) называют функцию W (jw, t), определяемую соотноше-
нием (2.99). Параметрической передаточной функцией неста-
ционарной линейной системы (с весовой функцией w (t — т,т))
называют функцию W (s, t), определяемую соотношением
(2.100).
Докажем, что функция W (jo, t), определяемая соотноше-
нием (2.99), действительно обладает свойствами частотной пере-
даточной функции.
Пусть на вход нестационарной линейной системы с весовой
функцией w (t — т, т) подается гармонический сигнал и =
= ит cos со/. Представим его в виде суммы
и = Uj. + и2 = -у- е'ю< +	е~'и<.'
Используя (2.98)
_	t
у (t) = j w(t—т, т)«(т)сД
— оо
при и =иг e'ai, получим
t
= ~ J W{t—т,
— оо
Сделаем замену переменной t — т = 0. Тогда
У1 (t) = -^- J w (0, t~Q) eiw-V d6 =
О
=	е/“‘ J w (0,t —0) e~'“° de.
О
оо
Введем обозначение W (ja, t) = j" ьу(0, t — 0) e-ia6 de.
о
При этом последнее выражение для У1 (/) принимает вид
У1 (/) = W (ja, t)	(2.101)
Аналогично, при и ~	е~/га< получим
у2(/) = W t) е-/^,	(2.102)
где
W( — /со, t) — J w (0, t—0) е/и0 de.
О
Решения (2.101) и (2.102) можно переписать в виде
У1 (t) = А (со, /) еЯ“' +«><“ 01;
у2 (0 = а (со, /)	е-Я<о/+Ф(«. 01,
где
А (со, I) == |W' (/со, Z)|; ср (со, t) = arg W (jco,t).
Пользуясь принципом суперпозиции, для выходной вели-
чины у при и = ит cos со/ получим у = yY + С/2 —	(®, ОХ
X ит cos [со/ + <Р (®> 0J-
Таким образом, действительно модуль функции W (ja, t),
определяемой (2.99), равен отношению амплитуд выходного и
входного гармонических сигналов, а ее аргумент — сдвигу
фаз.
Установим зависимость между изображениями (Лапласа)
выходной и входной величинами.
t
Перепишем (2.98) у (t) = J w (t— т, t) u (t) dt, используя
замену переменной t — т = 0, в следующем виде:
y(t) — [°0,(0. t— 0)и(/—0)d0.	(2.103)
о
Представим входную величину с помощью обратного преобра-
зования Лапласа:
«(0 = yr
2л/
G0 — joo
где <7 (s) == L {и (/)}, и подставим ее в (2.103):
1	Г
2л/	J
Со—/оо
{/(sjef'-e^dsldO.
о
Поменяв порядок интегрирования, получим
с0 + /ь>
2л/
j w(Q, t—Q)e~GsdQ ds.
о
Co— /0°
Очевидно, внутренний интеграл равен параметрической пере-
даточной функции W (s, t). Поэтому можем записать
у (/) = —f U (s)W (s, t) ets ds.
2л/ J
Co —/оо
Этот интеграл совпадает с обратным преобразованием Лапла-
са. Поэтому, обозначив Y (s, t) изображение выходной величи-
ны у (/), получим
Y (s, t) = W (s, t) U (s).	(2.104)
Из этого уравнения следует, что параметрическая передаточ-
ная функция равна отношению изображений выходной н вход-
ной величин.
Если известна параметрическая передаточная функция и
изображение входной величины, то ho (2.104) можно опреде-
лить изображение выходной величины, а затем, пользуясь
таблицами или каким-либо другим способом, найти и саму вы-
ходную величину.
Параметрическую передаточную функцию можно отыскать,
пользуясь ее определением (2.100), если известна весовая
функция. Но проще ее можно определить по дифференциаль-
ному уравнению.
Пусть нестационарная линейная система описывается диф-
ференциальным уравнением
Q (р, t) У (0 = R (р, 0 и (0,
где
Q (р, t) — а0 (t) рп +	(/) рп~1 +... + ап (/),
R (р, t) = b0 (/) р- + fej (0 р™-'. + ... + bm (t).
Тогда ее параметрическая передаточная функция подчиня-
ется дифференциальному уравнению
Q(s,0W(M) + f	+
1 d"Q dnW D,
4---------------= R (s, t),	(2.105)
«’ ds" dtn
где
Q=Q(s,/) = ao(0s" + a1(0s"-, + ...+a„(/); |	2 106
R(s,t)—b0(t)sm + b1(f)sm—1 4-... + bm(0 f
Дифференциальное уравнение (2.105) для параметрической
передаточной функции имеет такой же порядок, что и диффе-
ренциальное уравнение системы. Пего решение так же сложно,
как и решение исходного уравнения. Поэтому рассмотрим один
из приближенных методов решения уравнения (2.105).
Перепишем его в следующем виде:
(2.107)
Q (s, t) W (s, t) = R (s, t) + N {W (s, t)},
где
7V{№(s, /)}= —
d'Q dW	1 d2Q d2 W
ds dt	2! ds2 dt2
,	, 1 dnQ dnW
+... ч---- —
n'- dsn
Решение будем искать в виде ряда
W (s, t), = Wo (s, t) +
В качестве нулевого приближения
(s, Л = R (s, t
dtn
(2.108)
Wj. (s, 0 + ...
примем
)/Q (s, /).
(2.109)
Это будет передаточной функцией системы с «замороженными»
коэффициентами. Для вычисления первой поправки W7, (s, t)
подставим в правую часть уравнения (2.107) полученное нуле-
вое приближение, а в левую часть — сумму нулевого прибли-
жения и первой поправки. Тогда для IFj (s, t) получим
Wj. (s, t) = N {IFO (s, t)}/Q (s, t).	(2.110)
Аналогично для i-й поправки получим
Wt (s, 0 - .¥ {Г;-! (s, t)}/Q (s, t).	(2.111)
Пример 2.9. Найдем параметрическую передаточную функцию не-
стационарной системы, которая описывается уравнением
(«1Ч «0 У=ьви.
В данном случае
Q (s, /) = aos + Oi + at; R (s, t) «= b0;
dQ/ds~a0; d2Q/ds2~O, ..
Уравнение (2 107) принимает вид
(aos + щ + at) 117 (s, /) « ba + N (117 (s. /)},
где TV {117 (s, 0) = aodW/dt.
Для нулевого приближения и первой поправки на основании
(2.109) и (2.110) можем записать
Ц70 (s, t) =г bo/(aos + ах + at); Wi (s, t) = aaobo/(aos -|- Oj -|- at)3.
Пользуясь (2 111), можно вычислить последующие поправки. Но если
а мало, то можно ограничиться только первой поправкой и тогда
Г<«. о ~ им». о+«то о -	+£1+ +°-.
(«о s + Cj-paO3
Квазистациоиарные системы. Если коэффициенты уравне-
ния (2.92) нестационарной системы изменяются медленно, то
такую систему называют кшзистационарной. При описании
квазистационарных систем широко используют метод заморо-
женных коэффициентов. Этот метод является приближенным,
и основан он на «замораживании» коэффициентов: в уравне-
нии нестационарной системы переменные коэффиценты at(t)
и bi (/) заменяются постоянными коэффициентами а, (Г) и
t>i (f), равными значениями исходных коэффициентов в какой-
либо фиксированный момент времени t'. Передаточная функ-
ция системы с замороженными коэффициентами равна нулево-
му приближению (2.109) передаточной функции нестационар-
ной системы при фиксированном времени t = t'.
Принимается что коэффициенты уравнения нестационар-
ной системы изменяются медленно (система квазистационарна),
если за время переходного процесса они изменяются незначи-
тельно. Здесь под временем переходного процесса понимает-
ся минимальное время; по истечении которого (с момента при-
ложения единичного импульса) абсолютные значения весовой
функции системы с замороженными коэффициентами не превы-
шают некоторой заданной достаточно малой положительной
величины.
Если промежуток времени, на котором рассматривают про-
цесс квазист'ационарной системы, является большим, то изме-
нения коэффициентов ее уравнения могут быть значительными.
Тогда при использовании метода замороженных коэффицен-
тов весь промежуток времени разбивают на несколько интер-
валов и на каждом интервале систему описывают уравнения-
ми с постоянными коэффициентами, равными значениям пере-
менных коэффициентов в какой-либо момент времени, из
рассматривает мого интервала.
Формула Коши. В нормальной форме Коши уравнения од-
номерной или многомерной нестационарной линейной системы
в общем случаеимеют	вид
,	п	mJ	I
Xt	=	£ aij(t)Xj+	2	(0+ Ё	z	=	«>
7=1	7=1	7=1
(2.112)
или в матричной записи
х = А (/) х + В (/) и ф-С (/) f.	(2.113)
Здесь х обозначает фазовый вектор, и — вектор управления
или задающего воздействия, f — вектор возмущающих воздей-
ствий.
Пусть Ф (t) обозначает фундаментальную матрицу уравне-
ния
х^А(/)х,	(2.114)
т. е. матрицу, столбцы которой образуют п линейно независи-
мых решений уравнения (2.114). Тогда матрица
Х(/, ^о)=ф(ОФ-г(^о)
является нормированной фундаментальной матрицей. Если
известна фундаментальная матрица Х(£, f0), решение (2.113)
при начальном условии х (t0) — определяется формулой
Коши
х (0 = X (t, t0) х° + J X (t, т) [В (т) и (т) + С (т) f (т)] 4т.
о
Эта формула позволяет определить решение неоднородного
уравнения (2.113), если известна какая-либо система из п ли-
нейно независимых решений однородного уравнения (2.114).
§ 2.10. САР напряжения генератора постоянного
тока. Математическое описание
Рассмотрим в качестве примера вывод дифференциальных
уравнений и передаточных функций системы автоматическо-
го регулирования (САР) напряжения генератора постоянного
тока, блок-схема которой приведена на рис. 2.29. Она состоит
из электронного усилителя У, двигателя постоянного тока с не-
зависимым возбуждением Д, являющегося исполнительным
элементом, генератора Г (объекта регулирования) и делителя
напряжения ДН, выходное напряжение ил которого в сравни-
вающем устройстве вычитается из заданного и0. Определим сна-
чала дифференциальные уравнения и передаточные функции
отдельных элементов, входящих в рассматриваемую систему.
Начнем с объекта регулирования.
Генератор. Управление генератора производится путем из-
менения переменного сопротивления Rn, включенного в цепь
возбуждения (рис. 2.30, а). Обозначив через его номиналь-
ное значение, т. е. значение /?п, при котором ток tB в цепи воз-
буждения принимает номинальное значение гв.к, можно за-
писать
Rn = Ra.n + AT?.
Отклонение А/? переменного сопротивления пропорциональ-
но углу ср поворота вала двигателя:
АТ? = — сур.	(2.115)
Здесь ср — положительная постоянная, знак минус указыва-
ет, что при повороте вала двигателя в положительном направ-
лении сопротивление Rt[ уменьшается, в отрицательном —
увеличивается. Таким образом, входной (управляющей) ве-
личиной генератора является угол ср, а выходной — падение
Рис. 2.29
напряжения нг на на-
грузке.
Составим уравнение
динамики генератора
без учета влияния ги-
стерезиса, вихревых то-
ков и т. п. На рис. 2.30, б
приведена эквивалент-
ная электрическая схема
генератора. На ней гв и
LB — активное и индук-
тивное сопротивления
обмотки возбуждения,
ег — э. д. с. генератора,
гя — активное сопротив-
ление обмотки якоря
(его индуктивным со-
противлением пренебре-
гаем), 7?н — сопротив-
ление нагрузки (нагруз-
ка предполагается ак-
тивной). Э. д. с. генера-
тора связана с током
возбуждения нелиней-
ной зависимостью
er=F(ib), (2.116)
Рис. 2.30	примерный график ко-
торой приведен на рис.
2.30, в. Дополнительное сопротивление RK выбирается таким,
что током через него по сравнению с током нагрузки можно
пренебречь. С учетом сказанного можно записать:
для цепи возбуждения
ив = (гв + /?п.н + Л/?) »в + Lb diB/dt- (2.117)
для якорной цепи
= (г я + /?н) i„; ur = RH in.	(2.118)
В статическом режиме при номинальных значениях токов воз-
буждений iB.H и якоря 1я-н эти уравнения принимают вид
“в.н=('гв + /?11.н)1‘в.н;	(2.119)
ег-н = (гя + ^н.н)	ur.H ~ ^Н.Н	(2.120)
Произведем линеаризацию в рабочей точке, соответствую-
щей номинальным значениям токов возбуждения и якоря.
Подставим в (2.117) iB = iB.H + AiB и выражение (2.115). От-
брасывая малый член CjAi^p более высокого порядка, чем AiB
и ф, и учитывая (2.119), получим
+А/В = *1Ф,
at
или в символической форме
(Твр +1) AtB = А1Ф,	(2.121)
где
Т в —	^В-н/Ов Н" ^Н.и)-
Произведя линеаризацию (2.116), получим
ег=ег.н + с2А1Б,	(2.122)
где
dF
с2= —
Л в i =;
В в.н
Используя это выражение для ег и уравнение статики (2.120),
уравнения (2.118) можно преобразовать к виду
czAiB= (-^-+1 )А«Г—~^AT?KiH.	(2.123)
\ *\Н.Н	/	*'Н,Н
Исключив из (2.121) и (2.123) At'B, окончательно получим одно
уравнение, связывающее входную (управляющую) <р и вы-
ходную Днг величины и возмущение f ~ krnin генератора;
{Твр i-\)\ue^k^^kr2(TBp + \)f,	(2.124)
где
^-il = Га/(Гв/Ли.я"!' 1)1	FпЦгя“Ь /?н.н)*
В изображениях Лапласа это уравнение принимает вид
(Тв s+l)UT (s) = ka Ф (s) + (Тв s + \)F (s),
где Ur (s) = L{Анг}; Ф (s) = L {ф}; F (s) = L {f}. К генерато-
ру приложены два внешних воздействия (ф и /), и он описы-
вается двумя передаточными функциями: передаточной функ-
цией 1ГФ по управляющему воздействию и передаточной
функцией Wf по возмущению. Для них имеем:
в операторной форме
(р) = kn!{TBp + 1); Wf (р) = kn,
Рис. 2.31
и в изображениях Лапласа (s) = k^/fT^s +1); Wt (s)=
= ЙГ2-
На рис. 2.30, г изображена структурная схема генерато-
ра. Математическая модель генератора представляет собой по
возмущению пропорциональное звено, а по управляющему
воздействию — апериодическое звено (первого порядка).
Двигатель. Принципиальная схема двигателя с независи-
мым возбуждением приведена на рис. 2.31, а. При управле-
нии со стороны якорной цепи напряжение возбуждения и =
= const. На рис. 2.31, б приведена эквивалентная электри-
ческая схема цепи якоря, где г'я и Ln — активное и индуктив-
ное сопротивления обмотки якоря, 1’я — ток якоря, ед —
э. д.с., наводимая в обмотке якоря при его вращении. Здесь
делают такие же упрощающие предположения, что и при вы-
воде уравнения генератора.
Запишем уравнение для цепи якоря:
ub. = r^^ + L„^-+en.	(2.125)
Э. д. с. ед пропорциональна угловой скорости вала двигателя:
ед = c&dqldt. Значение постоянной с3 зависит От тока воз-
буждения и конструкции двигателя. Уравнение (2.1.25) с
учетом последнего уравнения можно преобразовать к виду
или
(7яр+1)1я + -^-рф иу,	(2.126)
г	г
г я	я
где Тп — L„/r„ — электрическая постоянная времени цепи
якоря.
На основе законов механики можно записать уравнение
для моментов
вр —Мс
di2 вр с
или
/р2Ф = Мвр-МС)	(2.127)
где J — момент инерции вала двигателя (с учетом нагрузки);
Л1вр — вращающий момент; Мс — момент сопротивления.
Вращающий момент пропорционален току якоря:
MBp = c4i;.	(2.128)
Значение постоянной с4, как и с3, зависит от тока возбужде-
ния и конструкции двигателя.
Исключив из (2.126), (2.127) и (2.128) момент Л4вР и
ТОК 1я, получим
(Тя р +1) U- р2 <р + — мс) + РФ = 4т- «у.
\ с4	Q / гя	гя
Это уравнение можно преобразовать к виду
{Тя Твм р* 4- Там р +1) рф = £д1 иу -kR2 (TnP + V) Мс, (2.129)
где TSM — Jr'tJc&t — электромеханическая постоянная вре-
мени; kpy = с3 и /гд2 = г'я1с.л(\ — передаточные коэффициен-
ты.
В изображениях Лапласа уравнение двигателя принимает
вид:
(Тп Та^ + 7aMs+ I) зФ (s) = k^Uy(s) - kn2 (Tns + 1) Mc(s),
(2.130)
где Uy (s) ~L {wy}; 7WC (s) = L {M)c.
Передаточные функции двигателя имеют вид:
по управляющему воздействию
Wu(p)= —-------;
(7я 7Вм Р2 +	p-р О Р
W u(s) = —---------------—•;
(Т’я 70М s2 + Рэм s-|- 1) s
по возмущению (моменту сопротивления Мс)
Ц7М (р) ----------------------.
(Т я Там р2-}-Та1л р+1) р
w ($) =---------/гдаСЛ^+П-----
(7'я-Рам®2Н-?’эм®Ч- 1) ®
Структурная схема приведена на рис. 2.31, в, откуда видно,
что математическая модель двигателя может быть представ-
лена: по возмущению — в виде последовательного соедине-
ния форсирующего, колебательного (или двух апериодиче-
ских, если Т8М С 2ИТ„ Тэм) и интегрирующего звеньев, а по
управляющему воздействию — колебательного (или двух апе-
риодических, если TSM < 2]/"ТЯТЗМ) и интегрирующего звень-
ев.
Усилитель, сравнивающее звено, делитель напряжения.
Эти элементы описываются уравнениями
иу = йуе;. е = а0—ид; ua — kaur, (2.131)
где ky — коэффициент усиления усилителя; йд — «коэффи-
циент деления» делителя.
Линеаризованное уравнение генератора связывает отклоне-
ние Днг с внешними воздействиями <р и f. Поэтому небходи-
мо преобразовать систему уравнений (2.131), так, чтобы она
зависела от отклонения Днг (а не от нг),
Запишем последние два уравнения системы (2.131) следу-
щим образом:
8=НонЧ" Д^о (^д.н Л АИд), нд.ь4-Днд kR(иг.н4- Д«г), (2.132)
где «он, ыд.н — номинальные значения задающего воздействия
и напряжения делителя, определяемые равенствами
^Д.Ц — Ur-H, Идц  Ид.д.	(2.133)
Уравнения (2.132) с учетом (2.133) можно записать так:
Д«д = йд Днг; е = Дн0 — Д«д-
В изображениях Лапласа уравнения усилителя, сравниваю-
щего устройства и делителя напряжения принимают следую-
щий вид:
Uv(s) = kvE(s)- E(s)=U0(s)—Ua(sy, UK(s) = knUv(s),
где E(s)=L{e}; C/0(s)==L {Д«о}; 1/д(з) = 1{Днд}.
Рис. 2.32
Передаточные функции усилителя Wy и делителя имеют
вид
(Р) =	(s) =	(Р) =	(s) = kR.
Эти звенья являются пропорциональными. Сравнивающее
звено имеет два входа и описывается двумя передаточными
функциями: передаточной функцией по входу, куда подает-
ся уменьшаемое,
W^ci (Р) = W'ci (8) = 1.
и передаточной функцией по входу, куда подается вычитае-
мое,
U?C2 (Р) = Я?С2 (S) = - 1.
Уравнение и передаточные функции системы. На рис. 2.32
приведена структурная схема САР напряжения генератора, со-
ставленная по полученным уравнениям и передаточным функ-
циям отдельных элементов. Используя правило нахождения
передаточной функции одноконтурных систем, определим ее
передаточные функции.
Передаточная функция разомкнутой системы
Г =----------------------------,
(Ря Рэм в2+7’эм s+ О (Тв s+ 1) ®
где k = kykR1knka — передаточный коэффициент разомкну-
той системы.
Передаточные функции прямой цепи:
по задающему воздействию Au0 U?n.u — Wlk^, по моменту
сопротивления Afc
у, __ ________кда fen (Ря s + 1)__
П'М	(Ря Рэм 8*+Рэм S+ 1) (Рв S+1) S ;
по возмущению /	= kr2.
ai — (^я4“ Т'й) Tgia;
ai = k\
Для передаточных функций замкнутой системы (относительно
выхода Дмг) имеем: по задающему воздействию Дм0
Wuu = Гпв/(1 4- W) = --	.
«о & + «1 S8 + а2 s2 + «з $ + а4
где ku~k/kp^ Qq = Тfj Т'эм
+	«з=1;
по моменту сопротивления Мс
^им = ^п.м/(14-Ю =
s 4~
«О S4 + S3 4- «2 s2 +а3 S 4- «4
где Ьо — Ад2 knTH; b1 = рд2 krl; по возмущению /
W — W К1 -J- W)_____ ^г2 {а° s4+C1 s34~ °2 4~ s)
ав S*4-«l + S24-«3 s+a4
Уравнение системы в символической форме имеет вид
или
(a0 s4 + a.1 s3 4- a2 s2 4- as s + a4) Диг = ku Д w0 —
— (t>0 s 4- 6i) Mc 4- fer2 (a0 s4 + at s3 4-- s2 4- a3 s) f.
Об обозначениях передаточных функций. Выше использо-
вались два обозначения для передаточных функций: W (р)
и W (s). Первое указывает на то, что передаточная функция
рассматривается как некоторый оператор, осуществляющий
преобразования входной величины и (t) в выходную х (0. Это
записывается в виде соотношения
x = W(p)u.	(2.134)
Для вычисления х по заданным и и W (р) требуется решать
дифференциальное уравнение, т. е. достаточно простой рас-
шифровки W (р), позволяющей перевести й7 (р) на язык алго-
ритмов, нет, и (2.134) следует рассматривать скорее как сим-
волическую запись дифференциального уравнения. Второе
обозначение W (s), полученное из изображений Лапласа X (s) и
U (s) для переменных х (0 и и (0, указывает на то, что W (s)
рассматривается как обычная функция комплексной перемен-
ной s. В этом, случае можно записать
X(s) = U7(s)t/(s)
(2.135)
с оговоркой, что это соотношение справедливо для нулевых на-
чальных условий. В этом случае W (s) используется, напри-
мер, для вычисления частотных характеристик W (/со).
Двойственность происхождения функций W (s) и W (р)
привела в литературе и к двойственности в обозначениях у
разных авторов. Мы в дальнейшем будем использовать, как
правило, обозначение W (s) для передаточных функций или
d (s) = 0 для характеристических уравнений, сохраняя обо-
значения W (р) для тех случаев, когда W(p) явно рассматри-
вается как оператор, а не как комплексная алгебраическая
функция, а также тогда, когда W (s) не совпадает с W (р), на-
пример для систем с переменными параметрами. В последнем
случае часто в число аргументов функции W будет наряду с опе-
ратором р вводиться и параметр, от которого она зависит, нап-
ример 117 (р, /).
Глава 3
УСТОЙЧИВОСТЬ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
§ 3.1. Понятие устойчивости
На любую автоматическую систему
всегда действуют различные внешние
возмущения, которые могут нарушить ее
нормальную работу. Правильно спро-
ектированная система должна устойчи-
во работать при всех внешних возму-
щениях.
В простейшем случае понятие устой-
чивости системы связано со способно-
стью ее возвращаться (с определенной
точностью) в состояние равновесия по-
сле исчезновения внешних сил, кото-
рые вывели ее из этого состояния. Если
система неустойчива, то она не возвра-
щается в состояние равновесия, из кото-
рого ее вывели, а либо удаляется от
него, либо совершает вокруг него недо-
пустимо большие колебания.
Наблюдения показывают, что некото-
рые положения равновесия системы ус-
тойчивы к небольшим возмущениям, а
другие принципиально возможные рав-
новесные положения практически не мо-
гут быть реализованы.
Наглядно устойчивость равновесия
представлена на рис. 3.1, где изображен
шар, расположенный в некотором уг-
лублении (рис. 3.1, а), на некоторой
выпуклой поверхности (рис. 3.1, б), на
плоскости (рис. 3.1, в).
Положение равновесия шара харак-
теризуется точкой Ао. В случае, изобра-
женном на рис. 3.1, а, при всяком откло-
нении шара от положения равновесия, например в точку Alt
он будет стремиться снова возвратиться к положению равно-
весия — в точку Ао (при отсутствии сил трения) или к не-
которой конечной области, окружающей положение равно-
весия, например в точку Д2 (при наличии сил трения). Та-
кое положение равновесия устойчиво. Случай, изображен-
ный на рис. 3.1, б, соответствует неустойчивому положению
равновесия. Рис. 3.1, в соответствует безразличному равно-
весию. На рис. 3.1, а состояние равновесия устойчиво лишь
до тех пор, пока отклонение не вышло за некоторую гра-
ницу, определяемую, например, точкой В. Выйдя за эту гра-
ницу, шар уже не вернется в точку До, а будет двигаться
вправо от точки В либо все время удаляясь, либо до нового со-
стояния равновесия в зависимости от формы поверхности, т. е.
в конечном счете в зависимости от уравнений движения шара.
Поэтому в общем случае, рассматривая нелинейные систе-
мы, вводят понятие устойчивости «в
целом». Система устойчива «в малом»,
если констатируют лишь факт нали-
чия области устойчивости, но не опре-
деляют каким-либо образом ее грани-
цы. Систему называют устойчйвой
«в большом», когда определены гра-
ницы области устойчивости, т. е. оп-
ределены границы области начальных
отклонений, при которых система
возвращается в исходное состояние,
и выяснено, что реальные начальные
отклонения принадлежат этой обла-
сти. В том случае, когда система воз-
вращается в исходное состояние при
любых начальных отклонениях, си-
стему называют устойчивой «в целом».
Устойчивость «в целом» для опреде-
ленного класса нелинейностей назы-
вают «абсолютной» устойчивостью.
Так, например, случай, изобра-
женный на рис. 3.1, а, соответствует
устойчивости «в целом», а случай,
изображенный на рис. 3.1, г, может
соответствовать. либо устойчивости
«в большом», либо устойчивости «в ма-
лом». Очевидно, что система, устойчи-
малом», «в большом» «в
Рис. 3.1
вая «в целом», будет устойчива «в большом» и «в малом»; систе-
ма, устойчивая «в большом», будет устойчива и «в малом».
На рис. 3.1, д изображено еще одно принципиально возмож-
ное для нелинейных систем состояние равновесия, которое на-
зывают полу устойчивым.
Для того чтобы дать определение устойчивости равновесия,
вводят понятие о невозмущенном состоянии равновесия, соот-
ветствующем состоянию покоя в точке До на рис. 3.1, а, и
возмущенном состоянии, соответствующем, например, точке
Аг, в которую внешняя сила привела шар и затем прекратила
свое действие. Система будет устойчивой, если из возмущенного
состояния она перейдет в некоторую заданную область, окру-
жающую невозмущенное состояние равновесия.
В рассмотренном выше примере с шаром вопрос об устой-
чивости решается довольно просто. Однако следует заметить,
что в общем случае далеко не всегда ясно, при каких усло-
виях равновесное положение системы будет устойчивым.
Понятие устойчивости можно распространить и на более об-
щий случай, когда в качестве невозмущенного состояния рас-
сматривают не положение равновесия системы, а ее движение,
например движения системы по некоторой наперед заданной
траектории.
Допустим, что заданное движение системы при отсутствии
возмущений должно определяться некоторым законом измене-
ния независимых координат у\ (/), у% (/), ..., у„ (t). По анало-
гии со случаем равновесия положения, заданное движение
называют невозмущенным движением. Внешние возмущения,
действующие на систему, вызовут отклонение действительного
движения системы от заданного. Действительное движение си-
стемы называют возмущенным движением. Пусть действитель-
ное движение системы определяется независимыми координа-
тами z/j (/), у2 (/), ..., уп (/). В общем случае у± (/) =£у\ (f),
У2 (б ¥= У2 (0.	Уп (t) ¥= Уп (0-
Заданное^уевозмущенное движение будет устойчивым, ес-
ли после приложаШя внешних .сил (возмущении}, которые за-
тем снимают, .возмущенное движение по истечении некоторо-
го времени войдет в заданную область \yt (t) — yl (01	8;,
где ег =-const— заданные величины, i = 1,2,..., п.
Чтобы проиллюстрировать сказанное, предположим, что
невозмущенное движение происходит по траектории А, а воз-
мущенное движение происходит по траектории Б (рис. 3.2, а).
Возьмем на этих траекториях две произвольные точки NA и
NB, отвечающие одному и тому же моменту времени I. При
устойчивом движении траектория Б должна быть близка к
траектории А.
Следует заметить, однако, что близость траекторий А и Б
является необходимым условием устойчивости движения, но
недостаточным. Действительно, расстояние между точками
ЛМ и /Vй, отвечающими одному и тому же моменту времени,
может возрастать не только для расходящихся, но и для близ-
ких траекторий (рис. 3.2, б).
§ 3.2. Общая постановка задачи устойчивости
по А. М. Ляпунову
Впервые строгое определение устойчивости было дано рус-
ским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая зада-
ча об устойчивости движения». Отсутствие такого определения
часто приводило к недоразумениям, так как движение, устойчи-
вое в одном смысле, может оказаться неустойчивым при другом
понимании этих слов, и наоборот. Определение устойчиво-
сти А. М. Ляпунова оказалось настолько удачным и наилуч-
шим образом удовлетворяющим многим техническим задачам,
что оно в настоящее время принято как основное.
Пусть движение системы автоматического управления опи-
сывается дифференциальными уравнениями, которые могут
быть приведены к виду
dytldt = Yt (уг,у2, ..., уп, t),	(3.1)
где yt~- вещественные переменные, характеризующие состоя-
ние системы управления (обобщенные координаты); Уг — из-
вестные функции переменных z/lf z/a,..., уп и времени t, удовлет-
воряющие условиям существования и единственности реше-
ния.
' Исходное состояние системы при t = t0 однозначно опре-
деляется начальными значениями переменных yit которые
обозначим у10, у20, .... уп0.
Каждой совокупности начальных значений у10, у20,...,
уп0 соответствует единственное решение (3.1) для всех t > t0
Vi — ytilJioi ••• U.not i).	(3.2)
Решение (3.2) описывает какое-либо движение системы, оп-
ределяемое исходным состоянием.
Некоторое вполне определенное движение системы, подле-
жащее исследованию на устойчивость, называют невозмущен-
ным движением.
Заметим, что выбор невозмущенного движения является
произвольным. Это может быть любое возможное движение
системы, как установившееся, так и неустановившееся. До-
пустим, что в качестве невозмущенного движения выбрано та-
кое, которое описывается заданными функциями времени
i/i=t/i(0: У1= уЩ)', Уп =Уп(О-	(3.3)
Предположим, что функции у* (t) являются частным ре-
шением дифференциальных уравнений (3.1), т. е.
dyl (t)ldt = Yi(yt, у%.Уп, I),	(3.4)
удовлетворяющим начальным условиям при t = t0
yi=yi(t0); y2 = y2(t0)-, ...; уп=-УпЦ0). (3.5)
В частном случае, когда параметры системы не изменяют-
ся со временем и функции Уг не зависят явно от t, движения
(3.3) являются установившимися. Им отвечают решения
y*i = const,	(3.6)
служащие корнями уравнений
Y, (Уп у2, > Уп) = 0.	(3.7)
Изменим условия (3.5), дав начальным значениям перемен-
ных ylt у2, .... уп небольшие по модулю приращения gj, е2,...,
еп, т. е. пусть при t = t0
У1 = У\ (to) + 8ь у2 = Уг (t0) + 8г;	; уп = yn(t0) +-e„. (3.8)
Движение системы, отвечающее измененным начальным усло-
виям '(3-8), называют возмущенным движением. Другими ело-
вами, возмущенным движением системы называют всякое
иное движение системы, отличное от невозмущенного.
Введем новые переменные
=	(3-9)
равные разности переменных у-ъ в возмущенном и невозмущен-
ном движении. Переменные хг называют отклонениями или
вариациями величин г/г. Если все отклонения равны нулю
%! = 0; х2 = 0; хп = 0,	(3.10)
то возмущенное движение yt (/) будет совпадать с невозмущен-
ным движением yl (Z), т. е. невозмущенному движению отве-
чают нулевые значения переменных хг.
Пусть при t = to переменные х, принимают какие-либо на-
чальные значения xi0, из которых по крайней мере одно не
равно нулю:
Xi = xio = 8г.	(3.11)
Начальные значения отклонений (3.11) называют возмуще-
ниями.
i\. М. Ляпуновым было дано следующее определение устой-
чивости: невозмущенное движение называют устойчивым по от-
ношению к переменным xt, если при всяком произвольно задан-
ном положительном числе е, как бы мало оно ни было, можно
выбрать другое такое положительное число 6 (е), что при вся-
ких возмущениях xifj, удовлетворяющих условию
п
(3.12)
»= 1
и при любом t t0 будет выполняться неравенство
п
2^(0<е,	(3.13)
1
в противном случае движение неустойчиво.
, Определению устойчивости А. М. Ляпунова можно дать следующую
геометрическую интерпретацию- Совокупность отклонений х2, ...,
.... хп в n-мерном пространстве переменных xlt х2, .... хп определяет
точку М (ее называют изображающей точкой). В возмущенном движе-
нии при Изменении величин xt, xa, ..., хп изображающая точка будет
описывать некоторую траекторию. Невозмущенному движению х, — 0
отвечает неподвижная точка — начало координат.
Рассматривая, например, случай, когда i = 3, построим в трех-
мерном пространстве координат xt две сферы: сферу е = S xf с ра-
диусом "I/6 и сферу 6 — S xio с радиусом ~]/ё. Выберем радиус сфе-
1 = 1
ры е произвольно малым. Если невозмущенное движение устойчиво,
то для этой сферы должна найтись другая сфера 6, обладающая следую-
щим свойством; изображающая точка М, начав свое движение из лю-
бой точки Мо, лежащей внутри или иа поверхности сферы 6, при своем
дальнейшем движении остается всегда внутри сферы е, никогда не до-
стигая ее поверхности (рис. 3.3).
Если же невозмущениое движение неустойчиво, то траектория изо-
бражающей точки М с течением времени пересечет сферу е изнутри на-
ружу (или попадет на ее поверхность) при сколь угодно близком поло-
жении точки Л40 к началу координат.
Заметим, что при i > 3 надо рассматривать движение изображаю-
щей точки в многомерном пространстве относительно гиперповерхно-
стей (гиперсфер) и рассмотрение теряет наглядность.
Практически устойчивость данного невозмущенного дви-
жения означает, что при достаточно малых начальных возму-
щениях возмущенное движение будет сколь угодно мало от-
личаться от невозмущенного движения. Если невозмущенное
движение неустойчиво, то возмущенное движение будет отхо-
дить от него, как бы малы ни были начальные возмущения.
Если невозмущенное движение устойчиво и при этом любое
возмущенное движение при достаточно малых начальных воз-
мущениях стремится к невозмущенному движению, т. е.
lim Xi (t) — О,
(3-14)
то невозмущенное движение называют асимптотически устой-
чивым.
При асимптотической устойчивости изображающая точка
с течением времени должна неограниченно стремиться к нача-
лу координат, не выходя из сферы е.
Отметим некоторые особенности определения устойчивости
по А. М. Ляпунову. Во-первых, предполагают, что возмуще-
ния налагаются только на начальные условия, иначе говоря,
Рис. 3.3
возмущенное движение происходит
при тех же силах (источниках энер-
гии), что и невозмущенное движение.
Во-вторых, устойчивость рассматрива-
ют на бесконечно большом промежут-
ке времени. В-третьих, возмущения
предполагаются малыми. Несмотря на
эти ограничения, определение А. М.
Ляпунова устойчивости движения
является эффективным и плодотвор-
ным в приложениях.
.§ 3.3. Теорема А. М. Ляпунова об устойчивости
движения по первому приближению
Когда известно общее решение дифференциальных уравне-
ний движения (3.1), можно непосредственно определить зна-
чения переменных yt (t) в возмущенном движении, составить
вариации xf — yt (t) — t/*(0 и, исследуя их, решить вопрос об
устойчивости невозмущенного движения yl (I). Однако, как
правило, исследование устойчивости • движения производят
не путем анализа общего решения, а методами, основанными
на качественном анализе дифференциальных уравнений воз-
мущенного движения, которым удовлетворяют отклонения
(вариации) х£.
Чтобы вывести уравнения возмущенного движения, найдем
из (3.9) переменные yt (t) — yl (f) + x^t) и подставим эти
значения yt (t) в дифференциальные уравнения движения (3.1).
Тогда
dyt (t)/dt+dxi{t)/dt = Yi(yl+x1, уЪ + х2, ..., у*п + хп, t). (3.15)
Если правые части уравнений (3.15) допускают разложение в
степенные ряды Тейлора, то после этого разложения по степе-
ням xt получим
аУ( (0 , dxt (/)	„ . .	.	,	, / dYi \
—Г------Ь  =	*/2, ..., уъ 0 + Н-Ч *1 + -
dt	dt	\ дхх Jo
(лу. \
-р- Хп + КАХъ Х2, .... хп), (3.16)
ОХП /о	’
где /?£ (х£, х2,..., хп) — совокупность членов, зависящих от
отклонений xt в степени выше первой.
Учитывая (3.4), будем иметь
dxi (i)/dt	Xi -J- ai2'X2 -F... F xn ~F Z?£ (x£, x2, ..., x^). (3.17)
В уравнениях (3.17) коэффициенты
aik
/ SYt '
\ дхь )x _0
A
(3.18)
в общем случае являются функциями времени t\ в частности,
они могут быть постоянными. В дальнейшем, если не будет
оговорено особо, будем считать коэффициенты aih постоянными.
Уравнения (3.17) называют дифференциальными уравне-
ниями возмущенного движения.
Если отклонения xt достаточно малы, то, пренебрегая
/?£(xj, х2, .... хп), получим линеаризованные уравнения
axjdt =ailx1 + ai2x2 +  •+ainxn, i = l, 2, ..., n, (3.19)
называемые уравнениями первого приближения.
Во многих случаях устойчивость движения исследуют по
уравнениям первого приближения. Это объясняется не только
простотой этого метода, но также и тем, что знания процессов,
происходящих в реальных системах, позволяют надежно оп-
ределять только первые линейные члены. Однако на основа-
нии уравнений первого приближения можно дать иногда не-
верное заключение об устойчивости движения. Поэтому, ес-
тественно, возникает вопрос об определении условий, при вы-
полнении которых по уравнениям первого приближения можно
дать правильные ответы об устойчивости движения. Эту ис-
ключительно важную и принципиальную для теории автомати-
ческого управления задачу впервые поставил и решил
А. М. Ляпунов.
Системе уравнений (3.19) соответствует характеристичес-
кое уравнение, которое можно записать следующим образом:
Си —s а12 ... а1ге
Z)(S) =
а21
а22 s ... а2п
= 0.
(3.20)
ani
ПП2 *•* @пп
Из (3.20) можно найти его корни s£, где i — 1,2, .... п, ко-
торые в общем случае имеют вид s£ = аг ± /сог, где а,- и ы; —
вещественные и мнимые части корней соответственно.
Для исследования устойчивости систем по их линеаризо-
ванным уравнениям принципиально важны следующие тео-
ремы А. М. Ляпунова, которые приведем без доказательства.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней st харак-
теристического уравнения (3.20) первого приближения отри-
цательны, то невозмущенное движение асимптотически устой-
чиво.
Теорема 2. Если среди корней St характеристического урав-
нения (3.20) первого приближения имеется хотя бы один ко-
рень с положительной вещественной частью, то невозмущен-
ное движение неустойчиво.
Если среди корней характеристического уравнения имеет-
ся один или несколько нулевых корней, а вещественные час-
ти остальных корней отрицательны, то этот случай называют
критическим. .Как показал Ляпунов, в критическом случае
устойчивость (неустойчивость) невозмущенного движения не
может быть оценена по уравнениям первого приближения, так
как она зависит от вида нелинейной функции (xlt x2,...,
хп), и поэтому в этом случае требуется рассмотрение дифферен-
циальных уравнений возмущенного движения (3.17) в их ис-
ходном виде.
Теоремы Ляпунова имеют весьма важное значение, так как
они позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по
их линеаризованным уравнениям (уравнениям первого при-
ближения).
§ 3.4. Условия устойчивости линейных систем
автоматического управления
Покажем, как на основе изложенного выше определения
устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчиво-
сти линейных (линеаризованных) систем автоматического уп-
равления.
Дифференциальное уравнение линейной системы автома-
тического управления, записанное для регулируемой выход-
ной величины х (t) при наличии управляющего воздействия
g (t), имеет вид
(а0	+ а1Рп-’ + ...+ ап) х (t) =
= (bopm + b1pm~l +...+bm)g(t),	(3.21)
где а0> «i.---. ап и b0, bt,..., bm — постоянные коэффициенты,
а р — dldt — оператор дифференцирования.
Изменение регулируемой величины х (t) при произвольном
внешнем воздействии g (/) представляет собой решение урав-
нения (3.21):
X (0 = хв (0 + хсв (/).	(3.22)
В (3.22) первое слагаемое хв (i) — вынужденная составляю-
щая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения
(3.21). Она определяется как частное решение неоднородного
дифференциального уравнения (3.21) с правой частью:
(aopn-i-a1pn-l + ...-ban)xB (i) =
= (&оРт + bvр^~1 4-... + bm) g it).	(3.23)
Второе слагаемое хсВ (/) — свободная {переходная) составляю-
щая, которая определяется общим решением однородного диф-
ференциального уравнения (3.21) без правой части:
(а0р‘1 + а1рп~' + ... + ап) хсв(/) = 0.	(3.24)
Обычно в теории автоматического управления интересуют-
ся устойчивостью вынужденной составляющей хв (t) переход-
ного процесса; Поэтому за невозмущенное движение системы
необходимо принять вынужденную составляющую переходно-
го процесса хв (t). Тогда возмущенным движением будет любое
возможное в системе изменение регулируемой величины х {t),
а отклонением или вариацией — свободная составляющая
ХСв (0 = х (/) — хв(/).
Возмущениями, по А. М. Ляпунову, являются начальные
значения хСЕ, которые возникли в момент./ = ip под действи-
ем внезапно подействовавших дополнительных внешних сил,
т. е. начальные значения хсв0. Дифференциальными уравне-
ниями возмущенного движения первого приближения в дан-
ном случае будут уравнения (3.24).
Г В соответствии с определением устойчивости по А. М. Ляпу-
нову система будет асимптотически устойчивой, если с тече-
нием времени при t->- оо свободная составляющая будет стре-
миться к нулю, т. е. хсв (I)	0. Чтобы найти эту составляю-
щую, необходимо решить дифференциальное уравнение (3.24):
а0	+	d"~^J£L +... +Onхсв (t) = о. (3.25)
• atn	atn~*
Решение уравнения (3.25) находят как хсв (/) = Cesi.
Дифференцируя это выражение п раз и подставляя в (3.25),
после сокращения на общий множитель Cest получаем
aosn+a1s"-1 + ...+an=O.	(3.26)
Полученное алгебраическое уравнение (3.26) называют
характеристическим уравнением. Его корни slt s2, ..., sn
будут определять характер переходного процесса в системе.
Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть уравнения
(3.26) совпадает с дифференциальным оператором при выход-
ной величине в уравнении (3.21), поэтому характеристичес-
кое уравнение получают обычно, приравнивая к нулю диф-
ференциальный оператор при выходной величине в исходном
дифференциальном уравнении (3.21), т. е.
о0рп4-а1/?п-’4-..- + ап = 0.	(3.27)
Следует заметить, одна-
ко, что в характеристичес-
ком уравнении (3.27),
р = s означает уже не сим-
вол дифференцирования,
а некоторое комплексное
число.
Решение характеристи-
ческого уравнения степени
п содержит п корней. Кор-
ни характеристического
уравнения обыкновенного
линейного дифференци аль-
Рис. 3.4
ного уравнения с постоян-
ными коэффициентами могут быть вещественными, комплекс-
ными попарно сопряженными, мнимыми попарно сопряжен-
ными, нулевыми. В общем случае
Sj = «£ + /«£•	(3.28)
На рис. 3.4 показаны возможные положения корней в ком-
плексной плоскости корней s при
SjL = CCjJ	“1” /^3» §3 =	/^*2> ^4 = 0; $5 =
= — «5 ; Se = — ав + /<ов; s, = — ав — /<ов.
Если все корни разные, то их называют простыми. Если
среди корней есть одинаковые, то их называют кратными.
Обычно корни с отрицательными вещественными частями
принято называть левыми, поскольку они в комплексной пло-
скости корней расположены слева от мнимой оси, а корни с
положительными вещественными частями — правыми корнями.
Условие устойчивости линейной системы формулируется
следущим образом: для того чтобы линейная система была
асимптотически устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы все корни ее характеристического уравнения (3.27) были
левыми.
Указанное условие устойчивости легко пояснить, рассматривая
решение однородного уравнения (3.25), которое при отсутствии крат-
ных корней имеет вид
*св(о= 2 Cie'Sit,	<3-29>
1=1
где S; — корни характеристического уравнения (3.27); Cj — постоян-
ные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Заметим, что корни характеристического уравнения sf зависят
только от вида левой части дифференциального уравнения (3.21) ли-
нейной системы. Постоянные интегрирования С, зависят и от вида
правой ее части, поэтому быстота затухания и форма переходного про-
цесса определяются как левой, так и правой частями исходного диф-
ференциального уравнения (3.21). Однако, поскольку в понятие устой-
чивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переход-
ного процесса, устойчивость линейной системы не зависит от вида пра-
вой части дифференциального уравнения (3.21) и определяется только
характеристическим уравнением (3.27).
При составлении (3.21) предполагалось, что внешние возмущаю-
щие воздействия отсутствуют. Если записать дифференциальные урав-
нения движения системы относительно возмущающего воздействия, то
в этом случае левая часть (3.21) остается без изменения, а правая будет
иметь другой вид. Так как характер переходного процесса в линейной
системе определяют только по виду левой части дифференциального
уравнения (3.21), то для определения качественной картины переход-
ных процессов практически безразлично, записать ли исходное диффе-
ренциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздей-
ствия.
Вещественным корням характеристического уравнения s, = cq
в (3.29) соответствуют слагаемые, представляющие собой экспоненты
С£е“г<
Очевидно, что отрицательным (левым) корням а, < 0 соответст-
вуют затухающие экспоненты (рис. 3.5, а), положительным (правым)
корням <Х( > 0 — возрастающие экспоненты (рис. 3.5, б) и при нуле-
вых корнях аг- = 0 слагаемые представляют собой прямые, параллель-
ные оси времени (рис. 3.5, в). *
Комплексные кории характеристического уравнения- всегда бы-
вают попарно сопряженными: s£ = a£ + /<о£ и s£+1 = а, — ja>i.
Слагаемые, определяемые этими корнями в (3.29), могут быть при
использовании известной формулы Эйлера е±/е>г = cos сог t±
±1 sin соД представлены в виде С,е * 1 + С£+1 е 1 1 —
= Леа‘е sin (<0j t + фг), где А, и ф/ — новые постоянные.
В этом случае при аг < 0 получаются затухающие колебания
(рис. 3.5, г), при аг > О — расходящие колебания (рис. 3.5, д) и при
а£ = О — незатухающие колебания (рис. 3.5, е). Для устойчивости
и в этом случае необходимо выполнение условия а, < 0. В самом об-
щем случае среди корней характеристического уравнения (3.27) могут
быть кратные корни. Если имеется г кратных корней st, то в (3.29)
появятся слагаемые вида
(С£, г-i 1+ ---+Q1 е ’*•
Если корень s£ = a£ ± /сог имеет отрицательную вещественную
Sjt _
часть at < 0, то множитель е ’ будет с течением времени убывать.
Множитель в скобках неограниченно растет, поэтому мы имеем неопре-
_	—|а,Р
деленность оо-0. Однако известно, что е 1 быстрее стремится к
нулю, чем выражение С(1Г_1 /г-1, поэтому при а, < 0 эта группа слагае-
мых с течением времени также стремится к нулю.
Система неустойчива Система неитралена
lim xc6(t)-m ,
t - °°
Рис, 3.5
Таким образом, видно, что в самом общем случае для устойчивости
линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характе-
ристического уравнения (3.27) были левыми.
Вычисление корней просто лишь для характеристического
уравнения первой и второй степеней. Существуют общие вы-
ражения для корней уравнений третьей и четвертой степеней,
но эти выражения громоздки и практически малопригодны.
Общие выражения для корней уравнений более высоких сте-
пеней вообще невозможно написать через коэффициенты ха-
рактеристического уравнения. Поэтому важное значение при-
обретают правила, которые позволяют определять устойчи-
вость системы без вычисления корней. Эти правила называют
критериями устойчивости. С помощью критериев устойчиво-
сти можно не только установить, устойчива система или нет,
но и выяснить, как влияют на устойчивость те или иные пара-
метры и структурные изменения в системе.
Критерии устойчивости могут быть разделены на алгебраи-
ческие и частотные. С математической точки зрения все Крите-
рии устойчивости эквивалентны, однако целесообразный вы-
бор того или иного критерия устойчивости при решении кон-
кретных задач позволяет провести исследование устойчивости
наиболее простым путем.
§ 3.5. Алгебраические критерии устойчивости
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить
об устойчивости системы по коэффициентам характеристичес-
кого уравнения
D(s)==aos'’ + a1s'1-1 + ...+ап==0.	(3.30)
Из алгебраических критериев устойчивости наиболее ши-
рокое распространение получили критерии устойчивости Ра-
уса и Гурвица.
Прежде чем познакомиться с ними, заметим, что необходи-
мым условием устойчивости системы любого порядка является
положительность всех коэффициентов характеристического
уравнения (3.30):
а0 >0; аг > 0; ...; ап > 0.	(3.31)
Действительно, в соответствии с теоремой Безу уравнение
{3.30) можно представить в виде произведения множителей,
содержащих корни St, s2, .... sn:
«о (s — St) (s — s2) ... (s — sn) = 0.	(3.32)
Если все корни характеристического уравнения будут от-
рицательны, то все множители выражения (3.32) будут иметь
вид
а0 (s +. fcxj) (s + |a2|)... (s + |ап|) = 0.	(3.33)
где Sj = — |аг | — значения корней.
Производя перемножение в (3.33), получим (3.30), в кото-
ром все коэффициенты будут определяться положительными
членами |аг| выражения (3.33), т. е. будут положительны.
/Если характеристическое уравнение (3.30) имеет комплекс-
ные корни с отрицательными вещественными частями, то оно
может быть представлено в виде
а0 (s + l«i|) (s + |«а| — /®2) (« + |а2| + /<М2)-” (s +
a0 (s + lai I) l(s4~ |аг |)a +	••• (s +1 an |) = 0.	(3.34)
Уравнение (3.34) также приводится к виду уравнения
(3.30) с положительными коэффициентами.
Для систем первого и второго порядков необходимое условие
устойчивости является и достаточным условием устойчиво-
сти, поскольку в этом случае при положительных коэффи-
циентах характеристического уравнения все его корни явля-
ются левыми. Однако для систем третьего и высших порядков
положительность коэффициентов характеристического урав-
\ нения является необходимым условием устойчивости, но не
Достаточным. В этом случае все вещественные корни характе-
ристического уравнения (если они есть) левые, комплексные
же корни могут быть и правыми.
Критерии устойчивости Рауса и Гурвица позволяют по
коэффициентам характеристического уравнения (3.30) без вы-
числения его корней сделать вывод об устойчивости системы.
Критерий устойчивости Рауса. Этот критерий устойчиво-
сти был в 1877 г. предложен английским математиком Э. Рау-
сом в виде некоторого правила (алгоритма), которое наиболее
просто поясняется табл. 3.1.
В первой строке табл. 3.1 записывают в порядке возраста-
ния индексов коэффициенты характеристического уравнения
(3.30), имеющие четный индекс: а0, а2, аЛ, ае, во второй
строке — коэффициенты (3.30) с нечетным индексом: щ, а3,
а5, п„ ... .
Любой из остальных коэффициентов таблицы определяют
как
ck, i ~ch+l, i-2 — ri ck+l, i-1»	(3.35)
где
fi ~ci, u-dci, i-i-	(3.36)
В (3.35) и (3.36) k — индекс, означающий номер столбца
табл. 3.1; i — индекс, означающий номер строки табл. 3.1.
Заметим, что число строк таблиц Рауса равно степени ха*1»
рактеристического уравнения плюс единица («> + 1).
После того как таблица Рауса заполнена, по ней можно су-
дить об устойчивости системы. Условие'устойчивости Рауса
формулируется так: для того чтобы система автоматического
управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
		
Коэффициент г.	Строка (0	
		I
—	1	°0 = C11
—	2	Cl = C12
га—ао!ах	3	C13" ^2 —* 3 a3
ri = ai/cls	4	C14 = a.3 — r4 C23
Гь= С1з/С14	5	С1Б == ^23	^6 C24
	...	
ri~ci,i—z/ci,i—i	i	£l,i ~c2,i—2 —ri C2,i—1
Таблица 3.1
Столбец
2	3	4
“ ^21	=CS1	
aS — С22	«Б = eS2	
с2з = cii — гз аь	С33 ~ ^6	^3	...
СМ = ОЪ —	с33	с34 =С? —ГА с43	
С25 ~ с33 — ГЬ С34	С35 = С43 —Гб с44	...
с2, г ~ сз, г—2	г1сз. г—1	cS,i ~ с4, г—2	c4,i—1	
коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и
тот же знак, т. е. при а(; >0 были положительными'.
си — а0 > 0; с12=о1>0, с13>0;	; c^n+j^-O. (3.37)
Если не все коэффициенты первого столбца положительны,
то система неустойчива, а число правых корней характерис-
тического уравнения равно числу перемен знака в первом
столбце таблицы Рауса.
Критерий Рауса особенно удобен, когда заданы числовые
значения коэффициентов характеристического уравнения
(3.30). В этом случае определение устойчивости можно выпол-
нить довольно быстро даже при характеристических уравне-
ниях высокого порядка.
Форма алгоритма, с помощью которого составляют таблицу
Рауса, очень удобна для программирования ЭВМ, поэтому
критерий Рауса нашел широкое применение при исследова-
нии влияния на устойчивость либо коэффициентов характерис-
тического уравнения, либо отдельных параметров системы, не
очень сложным образом входящих в эти коэффициенты, с по-
мощью быстродействующих ЭВМ.
Пример 3.1. Пусть характеристическое уравнение системы D (s).=
= 8е + 6s5 + 21s* + 44s3 + 62s2 + 52s + 100 = 0.
Для определения устойчивости системы по коэффициентам этого
уравнения составим таблицу Рауса (табл. 3.2).
Имеется две перемены знака коэффициентов первого столбца:
следовательно, система неустойчива, а характеристическое уравнение
имеет два правых корня.
Критерий устойчивости Гурвица. В 1895 г. немецким мате-
матиком А. Гурвицем был разработан алгебраический крите-
рий устойчивости в форме определителей, составляемых из
коэффициентов характеристического уравнения системы.
Из коэффициентов характеристического уравнения (3.30)
строят сначала главный определитель Гурвица
	«1|	п3	«5	«7	... 0
	й0	СЦ	«4	ав	... 0
д	0		$3	«5	... 0
ДХд —	0	а0	а2	«4		
	0	0	0	0	ап
(3.38)
		
Коэффициент г-	Стсока	
	(0	1
		
—	1	я0= 1
__	2	Oj =6
Гз = оо/Я1= 1/6 = 0,167	3	с13 = 21—0,167-44= 13,65
/4 = с1/с13 = 6/13,65 =	4	clt = 44 — 0,44 • 53,3 = 20,6
= 0,44		
/’5 = с1з/с14 = = 13,65/20,6 = 0,66	5	cj5 = 53,3-0,66-8 = 48
re = cs4/cl5 = 20,6/48 =	6	СМ=8-0,43-100= —35
= 0,43		
f * = Qs/ci6 = ^8/ "~35 =	7	с17= 100—( —1,37)-0 =
= —1,37		= 100
Таблица 3.2
Столбец (А)
2	3	4
а2 =21	at = 62	а6 = 100
а3=44	о5 = 52	а? = 0
023 = 62 -0,167-52 = = 53,3	с33= 100-0,167-0= = 100	0
с24 = 52—0,44-100 = = 8	Сд4 = 0-0,44-0=0	0
с25= 100—0,66-0= = 100	0	0
с26 = 0—0,43-0 = 0	0	0
0	0	0
по следующему правилу: по главной диагонали определите-
ля слева направо выписывают все коэффициенты характерис-
тического уравнения от aL до ап в порядке возрастания индек-
сов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффи-
циентами характеристического уравнения с последовательно
возрастающими индексами, а столбцы вниз — коэффициента-
ми с последовательно убывающими индексами. На место коэф-
фициентов с индексами больше п (п — порядок характеристи-
ческого уравнения) и меньше нуля проставляют нули.
Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано
пунктиром, диагональные миноры, получаем определители
Гурвица низшего порядка:
Д1 — аг; Д2 —
«1
а0
а3
й2
а3 а3
а0 а2 at ;
О йг й3
«1 as аъ ...
йс а2 й4 ...
О at а3 ...
(3.39)
Номер определителя Гурвица определяется номером коэф-
фициента по диагонали, для которого составляют данный опре-
делитель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется
следующим образом: для того чтобы система автоматическо-
го управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со зна-
ком первого коэффициента характеристического уравнения
а0, т. е. при а0 > 0 были положительными.
Таким образом, при аа > 0 для устойчивости системы не'
обходимо и достаточно выполнения следующих условий:
Дг = йг > 0;
01 °3 >0; Д3 =
Йо й2
й3 й5
й0 й2 й4
0 Й! й3
йх й3 й5 ... 0
} (3.40)
Ф) @2 й4 ... 0
0 аг а3 ... 0
0 0 0 ... йп
Раскрывая, например, определители Гурвица для характе-
ристических уравнений первого, второго, третьего и четвер-
того порядков, можно получить следующие условия устойчи-
вости:
1)	для уравнения первого порядка (n = I), т. е. а0 s +
+ «! =0, условия устойчивости
а0 > 0;	> 0;	(3.41)
2)	для уравнения второго порядка (п = 2), т. е. й0$г+
-prZjS + а2 = 0, условия устойчивости
й0 >0; аг > 0; а2 >0;	(3.42)
3)	для уравнения третьего порядка (п — 3), т. е. aos® +
+ Gjfi2 + й2з + а? = 0, условия устойчивости
а0 > 0; «1 >0; й2 > 0; as > 0;	(3.43)
— affls > О'»	(3.44)
4)	для уравнения четвертого порядка (п=-4), т . е. +
Ч-GjS3 +	+ .«3s + «4= 0, условия устойчивости
с0>0; йг>0; а2>0; а3>0; й4>0;	(3.45)
й0й3)—а? й4>0.	(3.46)
Таким образом, необходимым и достаточным условием ус-
тойчивости для систем первого и второго порядков является
положительность коэффициентов характеристического уравне-
ния. Для уравнения третьего и четвертого порядков кроме по-
ложительности коэффициентов необходимо соблюдение допол-
нительных неравенств (3.44) и (3.46).
При п 5 число подобных дополнительных неравенств
возрастает, процесс раскрытия определителей становится до-
вольно трудоемким и громоздким. Поэтому критерий устой-'
чивости Гурвица обычно применяют при п 4. При п 5 це-
лесообразно применять формулируемый ниже критерий устой-
чивости Льенара — Шипара либо при использовании крите-
рия устойчивости Гурвица переходить к численным методам с
использованием ЭВМ.
В последнем столбце главного определителя Гурвица (3.38)
отличен от нуля только один коэффициент ап, поэтому
Afl—1-
(3.47)
Из (3.47), видно, что при о,г > О для проверки устойчивости
системы достаточно найти только определители Гурвица от Аг
до &n-i- Если все определители Гурвица низшего порядка
положительны, то система находится на границе устойчиво-
сти, когда главный определитель равен нулю:
--ап Ап—1-
(3.48)
Последнее равенство возможно в двух случаях: ап = 0 или
дп_1 = 0. В первом случае система находится на границе
апериодической устойчивости (один из корней характеристи-
ческого уравнения равен нулю); во втором случае — на гра-
нице колебательной устойчивости (два комплексно-сопряжен-
ных корня характеристического уравнения находятся на мни-
мой оси).
Используя критерий Гурвица, можно при заданных пара-
метрах системы принять за неизвестный какой-либо один
параметр (например, коэффициент усиления, постоянную вре-
мени и т. д.) и определить его предельное (критическое) зна-
чение, при котором система будет находиться на границе ус-
тойчивости.
Следует заметить, что критерий Гурвица можно получить
из критерия Рауса, поэтому иногда критерий Гурвица называ-
ют критерием Рауса — Гурвица.
Критерий устойчивости Льенара— Шипара. Для иссле-
дования устойчивости систем автоматического управления,
имеющих порядок характеристического уравнения п 5,
удобно применять одну из модификаций алгебраического кри-
терия устойчивости Гурвица, предложенную в 1914 г. П. Лье-
наром и Р. Шипаром.
Доказано, что в том случае, когда все коэффициенты харак-
теристического уравнения (3.30) положительны (а0 > 0, аг >
>0, ...,	> 0), из того факта, что положительны все оп-
ределители Дъ А3, Д5,... с нечетными индексами, следует и
положительность определителей А. Гурвица Д2, Д4, Де, ...
с четными индексами, и наоборот.
Поэтому в тех случаях, когда выполнены необходимые усло-
вия устойчивости, т. е. а0>0,	ап >0, необходимые и
достаточные условия устойчивости сводятся к тому, чтобы
среди определителей Гурвица Дъ Д2, ..., Д,г были положитель-
ны все определители с четными (или же все определители с не-
четными) индексами.
Таким образом, для того чтобы система автоматического
управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие неравенства:
п0 > О, 0, ап > 0, )	гч д<и
A>0, Д8>0, Д5>0,
или
а0 > 0, аг > 0, .... ап > 0, 1	3
Д2>0, Л4>0, Дв>0, ...J
Последняя формулировка критерия устойчивости, называе-
мая критерием устойчивости Льенара — Шипара, требует
раскрытия меньшего числа определителей, чем обычный кри-
терий Гурвица, а поэтому особенно удобна при исследовании
устойчивости систем автоматического управления высокого
порядка.
Пример 3.2. Пусть характеристическое уравнение системы D (s) =
= 12s4 -|- 2s2 4s -f- 50 = 0. Система неустойчива, так как коэффи-
циент аг = 0.
Пример 3.3. Характеристическое уравнение системы D (s) ~ 3s5 +
+ 10s4 + 5ss — 7s2 4- s + 100 = 0. Система неустойчива, так как
а3 = — 7 < 0.
Пример 3.4. Характеристическое уравнение системы D (s) =
= 2s3 -р 6s2 + 10s + 15 — 0. Все коэффициенты этого характеристиче-
ского уравнения положительны, и определитель Гурвица Д2 с четным
индексом равен
Д2 = | 1 °3	—ап а3 = 6-10 —2-15 = 30 > 0.
I Go С?2 i
Следовательно, система устойчива.
Пример З.б. Характеристическое уравнение системы
D (s) = (1 + T1S) (1 + T2s) (1 + Tss) + К = 0,
где К. — коэффициент усиления разомкнутой системы; Tlt Т2, Т3 —
постоянные времени отдельных динамических звеньев системы. Найдем,-
пользуясь критерием Гурвица, предельнее значение коэффициента уси-
ления разомкнутой системы как функцию постоянных времени
71, 72, 73.
Перепишем характеристическое уравнение в виде
D (s) = 7i7273s3 + (Ti72 + 7\ТЯ + 7273) s2 + (7t + Т2 + 7S) s-j-
4- 1 4- К = gos® 4- щ-s2 4- a2s 4- a3 = 0, .
где «о = ЛТ273; щ = Tr72 + 7iT3 + 7273; a2 = Тг + T2 4- 73;
a3 = 14- K.
Согласно критерию устойчивости Гурвица, система третьего лор яд -
ка будет устойчива, если выполняются следующие неравенства:
По > 0; «1 > 0, с2 > 0, а3 > 0, ai«2 — а0а3 > 0.
В данном случае все коэффициенты характеристического уравне-
ния положительны, поэтому система будет устойчива, если
(1\Т2 + ТгТ3 + 7273) (Тг + Т2 + Т3) > ТгТ2Т3 (1 + К).
Последнее неравенство можно переписать в виде
К < (1 4- т2 4- т3) (1 4- 1/т2 + 1/т3) — 1,
где
т2 = Т2П\-, т3 = T3/Ti.
Предельное (критическое) значение коэффициента усиления, при
котором система будет находиться на границе устойчивости, равно
Аир = (I т2-4- т4 (1 4- 1/т2 4- l/^з)
Из последнего выражения следует, что предельный коэффициент
усиления системы определяется ие абсолютными значениями постоянных
времени динамических звеньев, а их относительными значениями. Чем
более резко отличаются постоянные времени друг от друга, тем больше
Кир. В частном случае, когда т2 = т3 = 1, т. е. Тг = Т2 — Т3, зна-
чение Акр минимально и равно всего лишь АКр — 8.
§ 3.6. Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости позволяют судить об ус-
тойчивости систем автоматического управления по виду их
частотных характеристик. Эти критерии являются графоана-
литическими и получили широкое распространение, так как
позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость сис-
тем высокого порядка, а также имеют простую геометричес-
кую интерпретацию и наглядность.
Принцип аргумента. В основе частотных критериев устой-
чивости лежит следствие из известного в теории функций ком-
плексного переменного принципа аргумента, который кратко
излагается ниже.
Пусть дан некоторый полином n-й степени D (s) = flos"+
4- ... 4- ап. Этот полином в соответствии с теоремой
Безу можно представить в виде D (s) = а0 (s — sj (s — s2)...
... (s— sn), где St = аг 4- ]\>>i — корни уравнения !) (s) = 0.
На комплексной плоскости s каждый корень геометрически
может быть изображен вектором, проведенным из начала ко-
ординат к точке st (рис. 3.6, а). Длина этого вектора равна
модулю комплексного числа з,-, т. е. |з,-|, а угол, образован-
ный вектором с положительным направлением действитель-
ной оси, — аргументу или фазе комплексного числа sf, т. е.
Arg зг.
Величины (s —• зг) геометрически изображаются векторами,
проведенными из точки зг к произвольной точке s (рис. 3.6, б).
В частном случае при s = /со получим
£> (/со) = а0 (ja —• sx) (/со — sa), ..., (/со — sn). (3.51)
Концы элементарных векторов (/со — Sj) будут находиться
на мнимой оси в точке s = /со (рис. 3.6, в).
В выражении (3.51) D (}<л) представляет собой вектор,
равный произведению элементарных векторов (/со — зг) и дей-
ствительного числа а0.
Модуль этого вектора равен произведению модулей эле-
ментарных векторов и а0:
|£> (/со) | = ао|/со — /со — s2|...| /со — s„|,	(3.52)
а аргумент или фаза его равна сумме аргументов элементарных
векторов:
Arg D (/со) = Arg (/со — sj + Arg (/со — s2)+...-f-
+ Arg (/со — sn).	(3.53)
Условимся считать вращение против часовой стрелки по-
ложительным. Тогда при изменении со от — оо до оо каждый
элементарный вектор повернется на угол л, если его начало,
т. е. корень st, расположено слева от мнимой оси, и на угол
— л, если корень расположен справа от мнимой оси (рис. 3.7).
Предположим, что полином D (s) имеет т правых корней и
п — т левых.
Рис. 3.6
Тогда при изменении со от — оо до оо изменение (прираще-
ние) аргумента вектора D (/со), равное сумме углов поворота
векторов (/со — s,), равно
Д Arg D (/со) |“=о° = л (и —т) — пт = л (n— 2m). (3.54)
[Ш = — оо
Отсюда вытекает следующее правило: изменение (прираще-
ние) аргумента D (/со) при изменении частоты со от — оодо
оо равно разности между числом левых и правых корней урав-
нения D (s) = 0, умноженной на п.
Очевидно, что при изменении частоты со от 0 до оо измене-
ние аргумента вектора D (/со) будет вдвое меньше:
AArgD(/co)|“=” = (л/2)(п—2m).	(3.55)
Каждый из векторов (/со — s,), соответствующих вещественным кор-
ням, повернется теперь на угол л/2 или —л/2.
Векторы [/со — (а{- + /<ог)], [/со — (at — которые состав-
ляют пару, соответствующую; например, двум комплексно-сопряжен-
ным корням, повернутся: один — на угол л/2 + ?, а другой — иа
л/2 — у, где у — угол, образованный вектором, проведенным от кор-
ня в начало координат, с осью абсцисс (рис.- 3.8). Общее приращение
аргумента произведения этих векторов при изменении со от 0 до оо
равно
л/2 + V + л/2 — у = л.
В основу всех частотных критериев устойчивости положе-
но уравнение (3.54), определяющее приращение аргумента
D (jay) при изменении со от — оо до со, или (3.55) — прц из-
 менении со от 0 до оо.
Критерий устойчивости Михайлова. Этот критерий устой-
чивости, сформулированный в 1938 г. советским ученым А.В.
Михайловым, является, по существу, геометрической интер-
претациёй принципа аргумента и позволяет судить об устой-
чивости системы на основании рассмотрения некоторой кри-
вой., называемой кривой Михайлова.
Пусть дано характеристическое уравнение системы (3.30).
Левую часть характеристического уравнения называют ха-
рактеристическим полиномом
D(s) = aosn + fl1s«-1 +... + й„.	(3.56)
Если подставить в этот полином чисто мнимое значение
s = /со, то получим комплексный полином
D (/со) = а0	(ja)n~l 4- ... + ап = X (со) 4- j Y (со) =
= D (а)	(3.57)
где
Х(со) = ап— ап_2со24-ап_4со4 —...,	1
>	(3.5о)
Y (со) =<о (йп-! — ап-а <о2+ ап_5 го4 —...))
называют соответственно вещественной и мнимой функциями
Михайлова; функции D (со) и ф (со) представляют собой мо-
дуль и. фазу (аргумент) вектора D (]</>).
При изменении частоты со вектор D (/со), изменяясь по ве-
личине и направлению, будет описывать своим концом в ком-
плексной плоскости некоторую кривую, называемую кривой
(годографом) Михайлова.
В соответствии с (3.55) угол поворота вектора D (ja) вок-
руг начала координат при изменении частоты со от 0 до оо ра-
вен
A Arg D (/со)	= -|- («—2т).
Отсюда определяем число правых корней полинома D (s),
т. е.
— ^/2-ААГёР(/м)1о=0 . ZQHO1
Из (3.59) видно, что число правых корней т будет равно нулю
при одном-единственном условии
A A rg D (/со) |(“= o’ — лп/2.	(3.60)
Условие (3.60) является необходимым, но не достаточным
условием устойчивости. Для устойчивости системы необходи-
мо и достаточно, чтобы все а корней характеристического урав-
нения были левыми; иначе говоря, среди них не должно быть
корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комп-
лексный прлином D (ja), т. е. должно выполняться еще одно
условие
О(/®)^0.	(3.61)
Формулы (3.60) и (3.61) представляют математическое выра-
жение критерия устойчивости Михайлова: для того чтобы си-
стема автоматического управления была устойчива, необхо-
димо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D (/со)
при изменении <о от 0 до оо повернулся, нигде не обращаясь в
нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на
угол ли/2, где п — порядок характеристического уравнения.
Заметим, что для устойчивых систем кривая Михайлова на-
чинается при <о = 0 на вещественной положительной полуоси,
поскольку при а0 > 0 все коэффициенты характеристического
уравнения положительны и D(0) = ап > 0. Кроме того, для
устойчивых систем, описываемых обыкнЬвенными дифферен-
циальными уравнениями с постоянными коэффициентами, фа-
за (аргумент) ф (<в) с ростом частоты <в должна возрастать мо-
нотонно, т. е вектор D (/<в) должен поворачиваться только
против часовой стрелки, поскольку с ростом частоты монотон-
но возрастают имеющие одинаковые (положительные) знаки
фазы элементарных векторов (/со —-зг), являющиеся слагаемы-
ми фазы вектора Z5(/co) (см. (3.53)).
Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости Михай-
лова можно сформулировать так: для того чтобы система ав-
томатического управления была устойчива, необходимо и до-
статочно, чтобы кривая (годограф} Михайлова при изменении
частоты ю от 0 до оо, начинаясь при а — 0 на вешрственной
положительной полуоси, обходила только против часовой
стрелки последовательно п квадрантов координатной плос-
кости, где п — порядок характеристического уравнения.
Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет
плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в
бесконечность в том квадранте координатной плоскости, но-
мер которого равен степени характеристического уравнения.
На рис. 3.9 показаны типичные кривые Михайлова для
устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от
первого (п — 1) и кончая пятым (п = 5) порядком. Для удоб-
ства сравнения коэффициенты ап во всех случаях приняты оди-
наковыми.
Признаком неустойчивости системы является нарушение
числа и последовательности пройденных кривой Михайлова
квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол по-
ворота вектора D (/со) оказывается меньше, чем я.п/2. Число
правых корней неустойчивой системы можно определить по
(3.59).
На рис. 3.10 показаны кривые Михайлова для неустойчи-
вых и нейтральных систем. Рис. 3.10, а — при и = 0 кривая
Михайлова начинается на отрицательной вещественной полу-
оси; система неустойчива. Рис. 3.10, б — порядок уравнения
п — 5, а кривая Михайлова находится вся в одном квадран-
те (этому соответствует характеристическое уравнение D (s)=
= tzes® + t/jS4 + «2 = 0); система неустойчива. Рис. 3.10, в —
нарушена последовательность прохождения квадрантов; сис-
тема неустойчива. Рис. 3.10, г—кривая Михайлова начинает-
ся в начале координат, т. е. в характеристическом уравне-
нии имеется по крайней мере один нулевой корень; система
находится на границе апериодической устойчивости; неболь-
шая деформация кривой Михайлова (прерывистая линия) де-
лает систему устойчивой. Рис. 3-Ю, д — кривая Михайлова
Проходит при некотором значении частоты сок через начало
координат, т. е. в характеристическом уравнении имеются
чисто мнимые корни ± /со*; система находится на границе ко-
лебательной устойчивости; небольшая деформация кривой
Михайлова делает систему устойчивой (прерывистая линия).
Рис. 3.10, е — кривая Михайлова проходит через начало ко-
ординат, но небольшой деформацией кривой Михайлова удов-
летворить условиям устойчивости нельзя; система неустойчи-
ва.
Построение кривой Михайлова практически производится
либо методом контрольных точек, либо методом вспомогатель-
ных годографов. Первый метод
сводится к определению ряда то-
чек кривой Михайлова, соответ-
ствующих фиксированным значе-
ниям частоты со, включая (обяза-
тельно) частоты точек пересечения
кривой с осями координат, кото-
рые находятся как корни уравне-
ний (3.62) и (3.63). При втором
методе предварительно определяют
годографы отдельных звеньев си-
стемы и по ним строят искомую
кривую Михайлова, применяя правила умножения и сложе-
ния векторов.
Анализируя годографы Михайлова, можно установить сле-
дующее следствие из критерия устойчивости Михайлова. При
последовательном прохождении кривой Михайлова квадран-
тов координатной плоскости вещественная и мнимая оси пере-
секаются ею поочередно. В точках пересечения кривой Ми-
хайлова с вещественной осью обращается в нуль мнимая функ-
ция Михайлова К (со), а в точках пересечения кривой с мни-
мой осью обращается в нуль вещественная функция X (со).
Поэтому - значения частот, при которых происходит пересече-
ние кривой с вещественной или мнимой осью, Должны являть-
ся корнями уравнений
X (со) = 0;	(3.62)
Г (со) = 0.	(3.63)
Вещественную X (со) и мнимую К (со) функции Михайлова
можно представить графически в виде кривых (рис. 3.11).
Точки пересечения этих кривых с осью абсцисс дают значения
корней уравнений (3.62) и (3.63). Если значения соо, со2,
со4, ... есть корни уравнения (3.63), a coj.jcog.jcog.... — урав-
нения (3.62), причем соо < со2 < со4 <...,<0! < со3 < со5...,
.... то для устойчивой системы обязательно соблюдение нера-
венства
®0 < со2 < со3 < со4 <соБ<... .	(3.64)
В связи с указанным следствием можно привести другую
формулировку критерия устойчивости Михайлова: система,
^автоматического управления будет устойчива тогда и только
'тогда, когда вещественная X (со) и мнимая Y (со) функции
Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные
\и перемежающиеся корни, причем общее число этих корней рав-
\ но порядку характеристического уравнения п, и при со = О
удовлетворяются условия
X (0) > 0, Y' (0) > 0.
На рис. 3.11, а приведен пример графиков X (со) и Y (со)
для устойчивой системы, а на рис. 3.11,6 — для неустойчивой
системы.
Для уравнений до шестого порядка включительно условие
перемежаемости корней дает возможность легко провести ана-
литическое исследование устойчивости, не вычерчивая кривую
Михайлова. При этом обычно определяют только корни урав-
нения Y (со) = 0. Перемежаемость корней уравнений- X (со)=О
и Y (со) = 0 можно проверить подстановкой в X (со) найден-
ных корней уравнения Y (со) — 0. Как видно из рис. 3.11,а,
знаки X (со) при подстановке возрастающих по абсолютной ве-
личине корней должны чередоваться.
Пример 3.®. Определить устойчивость системы, характеристиче-
ское уравнение которой
D (s) = s6 + 6s6 + 15s4 + 20ss + 15s2 -}- 6s + 1 = 0.
Подставляем s = /со и находим вещественную и мнимую функции Ми-
хайлова:
X (со) = —со6 + 15®4 — 15w2 +1 = 0:
Y (со) = со (6w4 — 20 со2 + 6) = 0.
Находим корни уравнений ¥ (со) = 0, т. е. со0 = 0; со4 — 3,33м2 +
+1=0, откуда
<о|,4= 1,67 ±1/2,78—1; со2=0,36; со|=2,96.
Если перемежаются корни, то перемножаются и их квадраты, по-
этому нахождение со2 и со4 не обязательно.
Проверим, чередуются ли знаки X (со) при подстановке со| и
Имеем
X (coj = —0,36s + 15-0,362 — 15-0,36 + 1 = —2,51;
X (со4) = —2,96s + 15 2,962 — 15-2,96 + 1 > 0.
Так как все корни ¥ (со) вещественны и знаки ординат X (со),
соответствующие этим корням, чередуются, то система устойчива.
Критерий устойчивости Найквиста. Этот частотный крите-
рий устойчивости, разработанный в 1932 г. американским уче-
ным Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкну-
той системы по виду амплитудно-фазовой характеристики ра-
зомкнутой системы.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы
IF (s)__	— ЬрЗ^ + Ф^” 1 +
Q(S) cos'‘+c1s'2'_1+...+cn
, m^.n. (3.65)
Подставляя в (3.65) s — /со, получаем частотную передаточ-
ную функцию разомкнутой системы:
W /со)___~Ь О'ю)то~1 + • - • +	__
Q (/и)	с0 (/со)"+ct (/со)"~1 + ... + сп
= 6/(co) + /V(c») = A(co)eW“),	(3.66)
где U (со) и Y (со) — действительная и мнимая части частот-
ной передаточной функции соответственно; модуль А (со) и
фаза ф (со) частотной передаточной функции равны А (со) =
= W2~(co) + Р (со); ф (со) = Arctg
Если изменять частоту со от —сю до сю, то вектор W (/со)
будет меняться по величине и фазе. Кривую, описываемую кон-
цом этого вектора в комплексной плоскости, называют ампли-
\ U(ti>
W(jo>)
Рис. 3.12
тудно-фазовой умрактеристи-
кой разомкнутой системы
(рис. 3.12).
Амплитудно-фазовая харак-
теристика симметрична относи-
тельно вещественной оси, поэто-
му обычно вычерчивают только
ту часть ее, которая соответст-
вует положительным частотам
и>0 (сплошная линия на рис.
3.12), а ветвь этой характеристи-
ки, соответствующая отрица-
тельным частотам <в < 0 (пунк-
тарная линия на рис. 3.12), может быть найдена как зеркаль-
ное отражение ветви, соответствующей' положительным часто-
там, относительно вещественной оси.
Рассмотрим вспомогательную функцию
Ф (s) = 1 + W (s) = 1 + R (s)/Q (s) = [Q (s) + R (s)l/
/Q (s), = D (s)/Q (s),
(3.67)
где D (s) = Q (s) + 7? (s) = a0 sn + a^-1 + ... + an—
характеристический полином. замкнутой системы; Q (s) =
= cosn +	+ ... + cn — характеристический полином
разомкнутой системы; R (s) = b0, sm+ + ... + bm —
— полином степени m.
Заметим, что так как в реальных системах степень полино-
ма R (s) не выше степени полинома Q (s), т. е. т sC п, то сте-
пени числителя и знаменателя дроби (3.67) одинаковы и рав-
ны п.
Подставляя в (3.67) s = /и, получим
<р (/со) = 1 + W (jw) = [Q (/«•)+ /?(/®)]/Q(/«>) = £> (/®)/Q (/со).
(3.68)
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы
D (з) = 0 имеет т правых корней и п—т левых корней, а ха-
рактеристическое уравнение разомкнутой системы Q (s) = О
имеет I правых и п — I левых корней.
При изменении частоты со от — со до со изменение угла по-
ворота вектора <р (/со) на основе принципа аргумента будет
ДА rg q (»|о=” о, = Д Arg D (/со) — Д Arg Q (/со) =
— л [(и —т) —т] —л l(n —I)—I] = 2л (I —nt).	(3.69)
Ддя устойчивости замкнутой системы необходимо и доста-
точно, чтобы все корни ее характеристического уравнения
были левыми, т. е. т=0. Отсюда суммарный поворот
вектора <р (/со) устойчивой системы вокруг начала координат
должен быть равен
Д Arg ф (/со) |2=“ «о = 2л/,	(3.70)
где I — число правых корней характеристического уравнения
разомкнутой системы.
Обычно рассматривают только положительные частоты
и > 0, в этом случае угол поворота вектора <р(/со) будет вдвое
меньше, т. е.
ДАг&фЦ®)|2Х“«л/ = 2л//2.	(3.71)
Таким образом, если разомкнутая система является неус-
тойчивой и имеет I правых корней, то замкнутая система будет
устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая ха-
рактеристика вспомогательной функции ср (/со) при изменении
частоты <в от 0 до сю охватывает начало координат в положи-
тельном направлении Z/2 раз.
Легко заметить, что число оборотов вектора ср (/со) вокруг
начала координат равно числу оборотов вектора W (/со) во-
круг точки (—1, /0).
На основании сказанного вытекает следующая формулиров-
ка критерия устойчивости Найквиста: если разомкнутая сис-
тема автоматического управления неустойчива, то, для того
чтобы замкнутая система автоматического управления была
устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фа-
зовая характеристика разомкнутой системы W (](£>) при из-
менении частоты то от 0 до сю охватывала точку (—1, / 0)
в положительном направлении 1/2 раз, где I — число правых
корней характеристического уравнения разомкнутой системы.
На рис. 3.13, а показана амплитудно-фазовая характеристи-
ка ф (/со), а на рис. 3.13, б — амплитудно-фазовая характе-
ристика W (/со), соответствующие устойчивой замкнутой сис-
теме, которая в разомкнутом состоянии была неустойчива и
имела число правых корней I = 2. Обычно в реальных систе-
мах W (/<о)|о = оо — о, и поэтому ф (/со) со = 1.
При сложной форме характеристики W (/со) могут возник-
нуть затруднения при .определении числа ее оборотов вок-
руг критической точки (—1, /0). В этом случае для суждения
об устойчивости удобно применять «правило переходов», пред-
ложенное Я. 3. Цыпкиным.
Назовем переход характеристики W (/со) через отрезок ве-
щественной оси слева от точки (—1, /0), т. е. через отрезок
(—со, —1), при возрастании со положительным, если он про-
исходит сверху вниз, и отрицательным, если он происходит
снизу вверх. Если характеристика W (/со) начинается на отрез-
ке (— оо, —1) при со == 0 или заканчивается на нем при со =
= оо, то в этих случаях считают, что она совершает полпере-
хода.
Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так:
если разомкнутая система автоматического управления не-
устойчива, то, для того чтобы замкнутая система автомати-
ческого управления была устойчива, необходимо и достаточно,
чтобы разность между числом положительных и отрицатель-
ных переходов амплитудно-фазовой характеристики разомк-
нутой системы W (/со) через отрезок вещественной оси (— оо,
—1) при изменении частоты со от 0 до со была равна 1/2, где
I — число правых корней характеристического уравнения ра-
зомкнутой системы.
Если система автоматического управления в разомкнутом
состоянии устойчива, т. е. I = 0, то приращение аргумента
вектора ср (/со) равно нулю:
AArg<p(/co)|(oZ-0o=2«/ = 0.	(3.72)
Это означает, что для устойчивости замкнутой системы не-
обходимо, чтобы амплитудно-фазовая характеристика ср (/со)
не охватывала начало координат (рис. 3.14, а), а амплитудно-
фазовая характеристика W (/со) не охватывала точку с коорди-
натами (—1, /0), (рис. 3.14, б).
Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося
на практике случая получаем следующую формулировку кри-
терия Найквиста: если разомкнутая система автоматическо-
го управления устойчива, то замкнутая система автоматичес-
кие. 3.13
Рис. 3,14
кого управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая
характеристика разомкнутой системы W (/со) не охватывает
точку (—1, /0).
Амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых стати-
ческих систем автоматического управления при изменении- час-
тоты и от — оо до оо образуют замкнутый контур. У астати-
ческих разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие
звенья , амплитудно-фазовые характеристики не образуют зам-
кнутого контура. Для таких систем характеристическое урав-
нение разомкнутой системы имеет корни, равные нулю, и мо-
жет быть записано в виде
Q (s) =	(s) = 0,	(3.73)
где v — порядок астатизма; Qi (s) — полином, не имеющий кор-
ней, равных нулю.
Частотная -передаточная функция разомкнутой астатичес-
кой системы, содержащей интегрирующие звенья,
W (ion) = W (s) |s== До = R (s)/sv Qx (s) |s=/<0 =
==^(/®)/[(/®)vQi(Hl.	(3.74)
При <в= 0 частотная передаточная функция астатической
системы обращается в оо, а ее амплитудно-фазовая характе-
ристика претерпевает разрыв. Поэтому в этом случае трудно
решить вопрос об устойчивости замкнутой системы, так как
неясно, охватывает ли амплитудно-фазовая характеристика
W (/со) точку (—1, /0).
Векторы /со при изменении частоты со от — оо до сю из-
меняют при переходе через начало координат фазовый угол
скачком с — л/2 до л/2, но в каком направлении происходит
их поворот в момент перехода через начало координат, сказать
невозможно. Чтобы освободиться от этой неопределенности,
идя по мнимой оси при изменении частоты со от—оо до оо,
обходят начало координат в плоскости корней справа по полу-
окружности бесконечно малого радиуса г (рис. 3.15), т. е. счи-
тают не s = 0, a s = геЛ (г -> О, — л/2 ^ysgJrt/2).
Тогда все нулевые корни дадут точно такой же угол поворо-
та, как левые корни, т. е. каждый из векторов повернется на
л, и формулы (3.54) и (3.55) сохраняют свою силу.
Обходу начала координат по малой дуге г в плоскости
корней соответствует передаточная функция разомкнутой си-
стемы
R(s) = R (0)	1
sv Qi ($) s= о (0) (re/v)v
= b™. _2_ е- й’т = Re-i'i’,	(3.75)
ст rv
где bm и ст — свободные члены полиномов R (s) и (s).
При г -> 0 модуль R -> оо, а аргумент ф меняется аг тл/2
до — тл/2 при изменении у от — л/2 до л/2. Таким образом,
во время движения по полуокружности бесконечно малого ра-
диуса в плоскости корней частотная передаточная функция
разомкнутой системы W (/со) может быть представлена в виде
вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на
комплексной плоскости по часовой стрелке на угол, равный—
— тл (от тл/2 до —¥л/2).
При изменении со от 0 до оо, т. е. при г -> 0 и 0 у ^л/2,
частотная передаточная функция W (/со) будет изменяться по
дуге бесконечно большого радиуса, описывая угол аг 0 до
— vn/2. На рис. 3.16 показана амплитудно-фазовая характе-
Рис. 3.15
Рис. 3.16
ристика разомкнутой аста-
тической системы с аста-
тизмом первого порядка
V = 1.
На основе сказанного
выше для определения ус-
тойчивости систем с аста-
тизмом любого порядка v
достаточно построить
одну ветвь амплитудно-фа-
зовой характеристики ра-
зомкнутой системы, соот-
ветствующую положитель-
ным частотам, дополнить
ее дугой — тл/2 окружно-
сти бесконечно большого
радиуса и затем приме-
нить критерий устойчи-
вости Найквиста.
Например, если ра-
зомкнутая астатическая
система неустойчива, то
замкнутая система будет
Рис. 3.18
устойчива, если при изменении
частоты со от 0 до со амплитудно-фазовая характерис-
тика разомкнутой астатической системы W (/со), дополненная
дугой — тл/2 бесконечно большого радиуса, охватит точку
(—1, /0) в положительном направлении 1/2, раз, где / — число
правых корней характеристического уравнения разомкнутой
системы.
На рис. 3.17 приведена амплитудно-фазовая характеристика
разомкнутой системы с астатизмом второго' порядка v = 2.
Замкнутая система в этом случае будет неустойчива, так как
амплитудно-фазовая характеристика W (/со), дополненная ду-
гой — тл/2 — — л бесконечно большого радиуса, всегда ох-
ватывает точку (—1, /0) в отрицательном направлении (по
часовой стрелке).
На рис. 3.18 приведена амплитудно-фазовая характерис-
тика разомкнутой системы с астатизмом второго порядка, кото-
рая после дополнения ее дугой — тл/2 = — л бесконечно
большого радиуса не охватывает точку (—1, /0) (число положи-
тельных и отрицательных переходов через отрезок (— со, —1)
равно нулю). Следовательно, замкнутая система будет устой-
чива.
Одним из достоинств критерия.Найквиста является то, что
он может быть применен и в тех практически важных случаях,
когда неизвестны уравнения некоторых звеньев системы либо
даже неизвестно уравнение всей разомкнутой системы в целом,
но амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы
может быть получена экспериментально. Кроме того, крите-
рий Найквиста позволяет, как это будет показано ниже, до-
вольно просто исследовать устойчивость систем с запаздыва-
нием.
Так как параметры системы определяют обычно прибли-
женно и в процессе работы они могут изменять свое значение,
то важна оценка удаления амплитудно-фазовой характерис-
тики разомкнутой системы IF (/со) от точки (—1, /0). Это уда-
ление определяет запас устойчивости, который характеризу-
зтойчивости по фазе и запа-
сом устойчивости по ам-
плитуде.
Запас устойчивости по
фазе определяют как вели-
чину угла <р = л —(<ос) |
для частоты сос, при ко-
торой \W (<о)с| = 1; по ам-
плитуде — как величину
отрезка оси абсцисс h, за-
ключенного между крити-
ческой точкой (—1, / 0) и ам-
плитудно-фазовой характе-
ристикой (рис. 3.59).
С ростом коэффициента
усиления разомкнутой си-
стемы модуль амплитудно-
фазовой характеристики
также растет и при неко-
тором значении коэффици-
ента усиления К = /<кр>
называемого критическим
коэффициентом усиления,
амплитудно-фазовая харак-
теристика пройдет через
точку (—1, /0), т. е. си-
стема будет на границе ус-
тойчивости. При /< > Кь.р
система будет неустойчива.
Однако встречаются системы (с внутренними обратными
связями), в которых потеря устойчивости может произойти не
только при увеличении коэффициента усиления, но также и
при его уменьшении. Этим случаям могут соответствовать так
называемые клювообразные амплитудно-фазовые характерис-
тики (рис. 3.20). В этих случаях запас устойчивости по амп-
литуде определяется величинами двух отрезков h оси абсцисс,
заключенных между критической точкой (—1, /0) и амплитуд-
но-фазовой характеристикой.
Чтобы система обладала требуемым запасом устойчивости
при заданных величинах h и <р, около критической точки (—1,
/0) вычерчивается некоторая запретная область в виде секто-
ра, ограниченного величинами +/г и ±<р, в которую амплитуд-
но-фазовая характеристика W (/со) не должна входить
(рис. 3.20).
§ 3.7. Анализ устойчивости по логарифмическим
частотным характеристикам
В инженерной практике широкое применение получил ана -
лиз устойчивости систем автоматического управления, осно-
ванный на применении логарифмических частотных характе-
ристик разомкнутой системы. Это обусловлено прежде всего
тем, что построение логарифмических частотных характерис-
тик разомкнутых систем, особенно -имптотических логариф-
мических частотных характеристик, значительно проще, чем
построение годографа амплитудно-фазовых характеристик.
Покажем, каким требованиям должны удовлетворять ло-
гарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) и
логарифмическая фазочастотная характеристика (ЛФХ) ра-
зомкнутой системы, при которых обеспечивалась бы устойчи-
вость системы в замкнутом состоянии.
Как было показано выше, устойчивость связана с числом
переходов амплитудно-фазовой характеристики W (/со) отрез-
ка (— оо, —!) отрицательной вещественной полуоси. Когда
амплитудно-фазовая характеристика W (jo) пересекает отри-
цательную вещественную полуось, ЛФХ пересекает одну из
линий ± л (2Z + 1), где i = 0, 1,2, 3, ... (рис. 3.21). Переходы
через эти линии не опасны с точки зрения устойчивости, если
они совершаются справа от точки (— 1, / 0), т. е. если при этом
модуль амплитудно-фазовой характеристики меньше единицы
[W (/<Л>)| <1 и, следовательно, если ординаты ЛАХ отрица-
тельны, т. е. Lm А (со) = 20 ig| W (/®)|< 0. Поэтому область
отрицательных ЛАХ при исследовании устойчивости инте-
реса не представляет.
Положительному переходу (сверху вниз) через отрезок
(—оо, —1) характеристики W (/со) соответствует пересечение
ЛФХ при Lm А (о) > 0 прямых ± л (21 + 1) снизу вверх
(точка 2 на рис. 3.21), а отрицательному переходу — сверху
вниз (точка 1 на рис. 3.21).
Критерий устойчивости Найквиста применительно к лога-
рифмическим частотным характеристикам может быть сформу-
лирован следующим образом: для того чтобы система автома-
тического управления была устойчива, необходимо и достаточ-
но, чтобы разность между числом положительных и отрица-
тельных переходов логарифмической фазочастотной характе-
ристикой прямых ± (21 4- 1), i = 0,1, 2,..., во всех облас-
тях, где логарифмическая амплитудно-частотная характерис-
тика положительна ЬтЛ (о) > 0, была равна 1/2 (I — число
правых корней характеристического уравнения разомкнутой
системы).
На рис. 3.21 приведены для примера амплитудно-фазовая
характеристика разомкнутой системы W (ja>) и соответствую-
щие ей ЛАХ и ЛФХ. Из анализа этих ЛАХ и ЛФХ видно, что
разность между числом положительных и отрицательных пере-
ходов ЛФХ прямых — л при Lm А (со) > 0 равна нулю. Та-
ким образом, если разомкнутая система была устойчива
(I = 0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом за-
пасы устойчивости по амплитуде равны /ц и h2, а запас устой-
§ 3.8. Построение областей устойчивости в плоскости
параметров системы
При исследовании устойчивости большое практическое зна-
чение имеет построение областей устойчивости в плоскости од-
ного или каких-либо двух параметров, влияние которых на
устойчивость исследуют, а также построение семейства облас-
тей устойчивости в плоскости двух параметров при различных
фиксированных значениях третьего параметра.
Уравнение границ областей устойчивости можно находить,
пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего
на практике применяют наиболее общий метод построения об-
ластей устойчивости, который был предложен Ю. И. Ней-
марком. и назван им методом D-разбиения.
Понятие о jD-разбиении. Рассмотрим характеристическое
уравнение замкнутой системы л-го порядка, которое делением
на коэффициент при переменном s с наивысшей степенью всег-
да может быть приведено к виду
D(s) = sn + £z1sn-1 + ... +ап =0, п0 = 1.	(3.76)
Представим себе /г-мерное пространство, по координатным
осям которого отложены коэффициенты уравнения (3.76).
Это пространство называют пространством коэффициентов.
Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют кон-
кретные числовые значения коэффициентов уравнения (3.76)
и соответствующий им полином л-го порядка. Уравнение
(3.76) имеет п корней, расположение которых на комплексной
плоскости корней s зависит от числовых значений коэффици-
ентов аг.
Если изменять коэффициенты сц уравнения (3.76), то его
корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов
будут перемещаться в комплексной плоскости корней, опи-
сывая корневые годографы.
Чтобы представить сказанное выше геометрически, рассмот-
рим характеристическое уравнение третьего порядка (л =. 3)
D (s) = s3 + <v>2+ tz2s + л3 = 0.	(3.77)
Если взять три взаимно перпендикулярные оси и отклады-
вать по ним значения коэффициентов alt а2, а3, то получим
трехмерное пространство коэффициентов, каждой точке кото-
рого соответствуют вполне определенный полином третьей сте-
пени и вполне определенные три корня в комплексной плоско-
сти корней s (рис. 3.22).
Например, точке М, имеющей координаты а1М, а%м и азМ,
соответствует полином Dm (s) = s3 +	+ cl-ims + а3м,
имеющий три корня $%м и s3ftf в плоскости корней (рис.
3.22, а). Другой точке, например N, имеющей координаты aLN,
а2м и Usn, соответствует полином Dn (р) = s3 + a^s2 +
+ a3NS + aSN, корни которого s1W, saW и ssW и. т. д.
При некотором значении коэффициентов уравнения (3.77)
один из корней попадает в начало координат или пара корней
попадает на мнимую ось, т. е. корни его будут иметь вид 0 или
± /®h и, следовательно, соответствующая точка в простран-
стве параметров будет удовлетворять уравнению
D (i^k) = (/«fe)3+tZi(M)2 + tz2 (/соЛ) + a3 = 0. (3.78)
Этому уравнению при — оо < <о < оо соответствует
некоторая поверхность S, часть которой показана на рис. 3.22,
б.
При изменении коэффициентов аг корни характеристичес-
кого уравнения также изменяются и попадают на мнимую ось
тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадет на
поверхность S. При пересечении такой поверхности X корни
переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следова-
тельно, поверхность S разделяет пространство коэффициен-
тов на области, каждой точке которых соответствует опреде-
ленное одинаковое число правых и левых корней. Эти области
обозначают D (т), т — число правых корней характерис-
тического уравнения. Разбиение пространства коэффициентов
на области е одинаковым числом правых корней внутри каж-
дой области и выделение среди полученных областей области
устойчивости называют методом D-разбиения.
Рйс. 3.22
Рис. 3.23
Для характеристического
уравнения третьего порядка
в пространстве коэффициен-
тов можно наметить четыре
области: D (3), D (2), D (1),
D (0). Последняя область
D (0) будет областью устой-
чивости.
Если изменяются н.е все ко-
эффициенты, а часть из них,
например два—и а2 при а3 = const, то вместо поверхности
получим линию, которая является сечением поверхности
S плоскостью а3 = const. Эта линия разделит плоскость коэф-
фициентов аг — а2 на области с одинаковым числом правых
корней (рис. 3.23).
Для уравнений более высокого порядка (п > 3) вместо
обычного трехмерного пространства получаются многомерное
пространство и гиперповерхности, разбивающие это простран-
ство на области, что сильно усложняет задачу, а рассмотрение
теряет наглядность.
Так как переход через границу D-разбиения в пространст-
ве коэффициентов соответствует переходу корней характерис-
тического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы
D-разбиения в общем случае
D (р>) = (/«)" + аг (ja)n~1 +... 4- ап = 0.	(3.79)
Из (3.79) видно, что уравнение границы D-разбиения мо-
жет быть получено из характеристического уравнения систе-
1мы заменой s — ja>. Границу D-разбиения можно строить не
только в пространстве коэффициентов характеристического
уравнения, но и в пространстве параметров системы (постоян-
ных времени, коэффициентов усиления и т. д.), от которых за-
висят коэффициенты характеристического уравнения.
£>-разбиение по одному (комплексному) параметру. Предпо-
ложим, что требуется выяснить влияние на устойчивость како-
го-либо параметра v, линейно входящего в характеристичес-
кое уравнение. Для этого сначала характеристическое уравне-
ние приводят к виду
D (s) = S (s) + vN (s) — 0,	(3.80)
где S (s) — полином, не зависящий от т; М (s) — полином, со-
держащий v множителем.
Граница D-разбиения определяется уравнением
D (/со) = S (/со) + vN (/со) = О,	(3.81)
откуда
v = — S (/co)/2V (/со) = X (со) + [Y (со).	(3.82)
Так как изменяемый параметр v в линейных  системах яв-
ляется не комплексным, а вещественным числом (коэффициент
усиления, постоянная времени и т. д.), то (3.82) следовало бы
дополнить условием Y (со) = 0. Однако при первоначальном
построении не будем делать этого ограничения и будем времен-
но считать изменяемый параметр комплексной величиной т,
отмечая это чертой сверху, чтобы отличить ее от вещественного
значения v.
Давая со значения от—оо до оо, можно по (3.82) вычислить
X (со) и Y (со) и построить на комплексной плоскости v границу
D-разбиения.
При построении границы D-разбиения достаточно постро-
ить ее для положительных значений со и затем дополнить зер-
кальным отображением построенного участка относительно,
действительной оси (рис. 3.24, б).
Если при изменении со от — оо до оо в плоскости корней
двигаться по мнимой оси и штриховать ее слева (рис. 3.24,а),
то такому движению в плоскости v соответствует движение по
границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по
обходу при изменении со от — оо до оо (рис. 3.24, 6).
Если в плоскости v пересекать границу D-разбиения по на-
правлению штриховки (стрелка 1), то в плоскости корней
один из корней переходит из правой полуплоскости в левую.
Если же в плоскости v пересекать границу D-разбиения против
штриховки (стрелка 2), то в плоскости корней, один из корней
переходит из левой полуплоскости в правую.
Если штриховка двойная (например, в точке пересечения
кривых), то мнимую ось пересекают два корня.
Рис. 3.24
Для определения области D (т), и в частности области ус"
тойчивости D (0), достаточно знать распределение корней (т.е.
число правых и левых корней) при каком-либо одном произ-
вольном значении параметра v = v0. Переходив плоскости тот
этого параметра к любому другому, по числу пересечений гра-
ницы D-разбиения, направлению и числу штриховок можно
определить значение D (т) в любой другой точке.
Претендентом на область устойчивости является область,
внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому со-
ответствует области с наибольшим числом левых корней. Что-
бы установить, является ли эта обласгь действительно обла-
стью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значе-
нием т0, лежащим в этой области. Подставив т0 в'характерис-
тическое уравнение, нужно, используя любой критерий устой-
чивости, установить, все ли корни характеристического урав-
нения будут при этом левыми. Если при этом не все корни бу-
дут левыми, то области устойчивости нет, т. е. изменением
только параметра т нельзя сделать систему устойчивой.
Так как изменяемый параметр является вещественным чис-
лом; то из полученной области устойчивости выделяют только
отрезок устойчивости, т. е. отрезок вещественной оси, лежа-
щий в области устойчивости, например отрезок АБ на рис.
3.24, б.
D-разбиение по двум параметрам. На практике часто тре-
буется выяснить влияние на устойчивость не одного параметра,
а двух, которые линейно входят в характеристическое уравне-
ние замкнутой системы так, что характеристическое уравне-
ние можно привести к виду
D (s) = vN (s) + р M(s) + L(s) = 0,
(3.83)
где N (s), M (s), L (s) — полиномы от s; v и p — изменяемые
параметры, влиянием на устойчивость которых интересуются.
Подставляя в (3.83) s — /со, получим выражение для гра-
ницы D-разбиения в плоскости параметров:
D (/со) = vN (/<о) + цМ (/со) + L (/со) — 0.	(3.84)
Введем обозначения
N (/со) = Ni (со) + jN2 (со);
М (/со) = Mj, (со) + /М2 (со);
Z.(/<o) = L1(<o) + jL2(<o)
(3.85)
и разобьем (3.84) на два уравнения, приравняв отдельно ве-
щественную и мнимую части нулю:
vA\ (<о) 4- рЛ1х (<в) +	(®) = 0;
vN2 (со) + рЛ42 (со) + L2 (со) = 0.
(3.86)
(3.87)
Решение системы уравнений (3.86) и (3.87) относительно
v и р
v = Ах/А;	(3.88)
р = А2/:\,	(3.89)
где А =
Nt (со) Му (со)
(со) М2 (со)
—главный определитель системы;
—Lx (со) Mi (со)
— La (со) Мй (со)
Л\(со) —Lx(co)
W2(co) — Л2(со)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
— частные определители системы..
Так как N2 (со), Л42 (со) и £2 (со)— нечетные функции со,
то А, Ах и А2 также нечетные функции со, a v и р — четные
функции со.
Задавая различные значения со от — оо до оо, для каждого
со по параметрическим уравнениям (3.88) и (3.89) определяем
величины v и р и строим границу D-разбиения в плоскости
этих параметров.
При этом возможны следующие три случая.
1.	При заданной частоте cofe определитель А, а также опре-
делители Ах и А2 не равны нулю одновременно. Тогда (3.86)
и (3.87) совместны, а (3.88) и (3.89) определяют для заданного
значения cofe точку в плоскости параметров v и р. При
фиксированном слк (3.86) и (3.87) представляет собой в этом
случае в плоскости v и р пересекающиеся прямые 1 и 2, пока-
занные на рис. 3.25, а.
2.	При некотором значении coft определитель А обращает-
ся в нуль, а определители Ах и А2 не равны нулю. Тогда (3.86)
и (3.87) несовместимы и не имеют конечных решений. Прямые
1 и 2 параллельны и не пересекаются, как это показано на
рис. 3.25, б.
3.	При некотором значении со,, определитель А и оба опре-
делителя А, и Аа равны нулю одновременно. Тогда тир ста-
новятся неопределенными. В этом случае, как известно, одно
из уравнений (3.86) и (3.87) становится следствием другого,
отличаясь от него на некоторый постоянный множитель. Пря-
мые 1 и 2 (рис. 3.25, в) сливаются друг с другом и, таким обра-
зом, в плоскости тир для заданного tnk получается не точка,
а так называемая особая прямая, уравнение которой тх Nk (<ofe) ф-
+ pAfx (^л) + Л (“fe) = °-
Особая прямая не относится к кривой D-разбиения, так
как всем точкам этой прямой соответствует одно и то же значе-
ние частоты со = со,,, и направление движения по прямой при
изменении со установить невозможно.
В большинстве практических задач особые прямые получа-
ются при значениях to = 0 и со = оо. В этом случае хотя бы
один из коэффициентов тир входит в коэффициенты, соответ-
ствующие свободному а0 и старшему ап членам характеристи-
ческого уравнения. Особая прямая при со = О получается при-
равниванием нулю коэффициента ам особая прямая при со =со
получается приравниванием нулю коэффициента а0. Если а0 и
ап не зависят от т и р, то эти особые прямые отсутствуют.
После того как граница D-разбиения и особые прямые по-
строены, их необходимо заштриховать, пользуясь следующим
правилом: при возрастании со от — со до оо граница D -разби-
ения штрихуется слева, если А > 0, и справа, если А < 0.
Поскольку, как было отмечено выше, тир являются чет-
ными функциями со, граница D-разбиения при положительных
и отрицательных значениях частоты совпадает. При измене-
нии со от — оо до оо мы обходим кривую D-разбиения >два
раза и поэтому она штрихуется всегда двойной штриховкой.
Штриховка особых прямых, как правилй, одинарная и про-
изводится так, чтобы вблизи точки сопряжения особой прямой
и кривой D-разбиения заштрихованные и незаштрихованные
стороны прямой и кривой были направлены друг к другу
(рис. 3.26, а, б). В тех, сравнительно редких, случаях, когда
особая прямая имеет место при некотором конечном значении
частоты to =	#= 0 и при этом А проходит через нуль и ме-
няет знак, особая прямая штрихуется по приведенному выше
правилу, но двойной штриховкой (рис. 3.26, в). Если же особая
прямая имеет место при а — ah =/= 0 и при этом А, проходя
через нуль, не меняет знака, то особая прямая не штрихует-
ся и исключается из рассмотрения (рис. 3.26, г).
Следует обратить внимание на то, что знак определителя
А, определяемого (3.90), зависит от порядка расположения чле-
нов в (3.86) и (3.87). Чтобы не допустить грубых ошибок при
нанесении штриховки, необходимо в (3.86) и (3.87) сначала на-
писать члены, содержащие параметр, откладываемый по оси
абсцисс, т. е. v, а затем члены, содержащие параметр, откла-
дываемый по оси ординат, т. е. р.
После нанесения штриховки определяют область, претен-
дующую на область устойчивости, т. е. область, внутрь которой
направлена штриховка. Затем, выбирая любые значения v —
— v0 и р = р0, лежащие в этой области, и подставляя их в ха-
рактеристическое уравнение, нужно с помощью любого из
рассмотренных ранее критериев устойчивости определить, все
ли корни характеристического уравнения будут при этом ле-
выми. Если при этом не все корни будут левыми, то в плоско-
Рис. 3.26
сти параметров v и ^области устойчивости нет, т. е. измене-
нием только тир сделать систему устойчивой нельзя. Если же
при этом все корни окажутся левыми, то рассматриваемая об-
ласть действительно является областью устойчивости D (0).
После этого можно разметить области D (т) в любой другой
точке плоскости параметров тир, имея в виду, что пересече-
ние границы £)-разбиения (или особой прямой с двойной штри-
ховкой) из заштрихованной зоны в незаштрихованную соответ-
ствует переходу двух комплексно-сопряженных корней из ле-
вой полуплоскости корней в правую и наоборот. Пересечение
особой прямой с одной штриховкой соответствует переходу
одного корня.
Пример 3.7. Пусть .характеристическое уравнение замкнутой
системы автоматического управления
D(s) = (1 + 71S)( 1 + 72s)( 1 + Tas) + К =0,
где К — коэффициент усиления разомкнутой системы; Гь Та, Т3 — по-
стоянные времени отдельных динамических звеньев.
Требуется построить границу D-разбиення в плоскости коэффици-
ента усиления разомкнутой системы К.
Запишем характеристическое уравнение в виде D (s) = S (s) +
±~N (s) = 0, где S (s) = (1 + 71S) (1 + 72s) (1 + 73s); N (s) = 1;
v = К. Подставляя в характеристическое уравнение s = /со, получа-
ем выражение для границы D-разбиения;
D (/со) = (1 +m (1 + /«72) (1 +/7S) +К = S (/со) + vN (/со) =0,
откуда
v = — S (/co) W (/со) = -(1 4-/со7\) (1 4-/со72) (1 4-/со73) =
«X (со)+/У (со),
где
X (со) = (7- 724-7j 7s+ 72 73) со2 -1;
У (со) = со [72 72 73 (02-(7'14-72 Д- 73)].
Задаваясь различными значениями частоты со > 0, определяем
X (со) и У (со) и строим на комплексной плоскости кривую D-разбие-
ния, соответствующую положительным частотам (сплошная линия на
рис. 3.27). Ветвь кривой D-разбиения, соответствующую отрицатель-
ным частотам со < 0, находим как зеркальное отображение относитель-
ной вещественной оси построенного участка для со > 0 (пунктирная ли-
ния на рис. 3.27). Затем кривую D-разбиения штрихуем слева по обхо-
ду при изменении частоты со от —то до то.
Кривая D-разбиення делит плоскость на три области: I, II и
III. Претендентом на область устойчивости является область I, так
как к ией направлена штриховка. Чтобы проверить, действительно ли
эта^область является областью устойчивости, задаемся значением
v = v0 = 0, лежащим в этой области, подставляем его в характернсти-
Рис. 3.27
ческое уравнение и опре-
деляем корни получаю-
щегося при этом харак-
теристического уравне-
ния D (s) = (I 7\s)X
X (1 + 7» (1 + 7» =
= 0, все корни которого
Si = — 1/Tj , s2 — — 1/ У®
и s3 = —l/7'з являются
левыми; следовательно,
область I является об-
ластью устойчивости
0(0).
Так как Коэффици-
ент усиления К не яв-
будет интересовать только
с действительной осью, на-
ляется комплексной величиной, то нас
отрезок устойчивости АБ, совпадающий
ходящейся в области устойчивости.
Система будет устойчива, если значение К изменяется в пределах
—1 < К < Ккр. Отрицательным значениям К соответствует положи-
тельная обратная связь. Для нахождения Ккр следует определить сна-
чала значение со, при котором Y (со) = 0. Если корень этого уравнения
to = to0, то КкР = X (ю0). Производя вычисления, получаем
to§ = (7’14-7’24-7’s)/(7’1T27’8);
Якр = X (too) = (1 -Ь'г2~ЬТз) (1 + 1/Тг4* 1/тз) — *»
где т2 — т3 — Т3/1\.
На рис. 3.27 показаны области D (0), D (1) и D (2). Область 0(3)
в данном случае отсутствует. Это означает, что прн положительных
значениях Tlt Т2 и Т3 и любом значении К невозможно, чтобы все три
корня характеристического уравнения одновременно были правыми.
Пример 3.8. Рассмотрим теперь ту же систему, но будем интере-
соваться влиянием постоянной времени 7\ на устойчивость.
Запишем характеристическое уравнение в виде
/
D (s) = [(1 + ?'2 s) (1 -|-7’8 S) 4-К] 4-7\ [з (14-7’3 s) (14-7'3s)] =
= S (s)-\-vN (s).
где S(s) = (14-7’2s) (14-7’ss)+X; (V (s) =s (1 ф-7’2 s) (H-7’3s);
v=7\.
Подставляя в характеристическое уравнение s = /со, получаем вы-
ражение для границы О-разбиення:
D (/со) =S (jw)-l-vN (/со) = (1 + /ыТ’2) (1Ч*/со7’3)-|-
4~К + ?’1 /со (1 +]ыТ2) (1 + /со7'3) =0,
откуда
?=7\= -[(1 -Ь/ЪТ’з) (1 4-/ю7’3) + К)/[/ю (1Ч-/«7’2) (1 +/<о7’3)] =
~Х (со) 4-/У (и).
Задаваясь различными значениями частоты ы, можно вычислить Л (to)
и Y (to), а затем построить границу D-разбиення, которая показана на
рис. 3.28. Эта кривая также штрихуется слева по обходу при измене-
нии частоты to от —оо до со.
Кривая разбивает плоскость на четыре области: /, II, III и IV.
Претендентами на область устойчивости являются области I и II. Про-
верим, является ли область I действительно областью устойчивости.
При 7i = 0 характеристическое уравнение D (s) = (72s + 1) (T3s 4-
4- 1) -f- К = 0 является уравнением второго порядка с положитель-
ными коэффициентами; следовательно, оно имеет все левые корни.
Строго говоря, область I соответствует ЛфО и при этом характе*
ристическое уравнение имеет третью степень. При уменьшении Ту одни
из корней характеристического уравнения перемещается в плоскости
корней влево и при Ту = 0 становится отрицательным бесконечно боль-
шим. Исходя из теоремы о непрерывной зависимости корней от коэф-
фициентов уравнения можно утверждать, что система будет оста-
ваться устойчивой не только при Ту = О, но и в некоторой области ма-
лых значений Ту. Следовательно, область I является областью устой-
чивости D (0).
Далее, пересекая кривую Д-разбнения по числу штриховок и нх
направлению, размечаем области D (1) и D (2). Заметим, что в данном
случае имеются две области устойчивости D (О).
Система будет устойчива прн 0 < Ту < Ту и при Ту> Тб. Систе-
ма будет неустойчива при 7“ < Tt< Тб.
Пример 3.9. Рассмотрим ту же самую систему, что и в примере
3.8, но будем считать, что два параметра системы — коэффициент уси-
ления разомкнутой системы К и постоянная времени Ту — могут варьи-
роваться одновременно.
Для определения влияния изменения этих параметров на устой-
чивость построим границу Д-разбиения в плоскости двух параметров:
Ту и К.
Перепишем характеристическое уравнение в виде
D (s) = v [7273s? + (72 4- Та) s* 4- з] 4- р 4- ТгТ^ 4- (72 4-
+ Т’3) s 4- 1 = 0,
где v = Ту, р — К-
Подставляя в характеристическое уравнение 8=/<о, получаем вы-
ражение для границы Д-р азбиения D </с>) — vN (/to) 4- р/И (/со) 4-
4*7 (/to) =0, где W(/со) = [7273 (/со)34-(724-73) (/со)а4*Л4> Л1(/со) = 1,
L (/w) = 7273(/<o)a4-(724-73) (jto)4-l.
Рнс. 3.28
Приравняв нулю действительную и мнимую части, получим сле-
дующую систему двух уравнений:
-v(Ts+Ts)Wa+g-rsTs®4-l=0; 1
-v(T27’3co3-co)+0p + (7’2 + 7’3)co = 0. J
Решаем эти уравнения относительно v и р:
v = (7'2-|-7’3)/(7’27’3co2—1); р = Т2Т3 ®з_1 +
+ (Г2 + Т3)2 <^/(Т2 Т3 щз-1).
Главный определитель системы
Д =
1
О
-(Т’г + Гз)®2
— (Г2 Г3<в3— со)
= (Т2Г3со2-1)со.
Кривую D-разбиення можно построить, задаваясь значениями ча-
стоты ю от 0 до оо и вычисляя vHp для фиксированных значений ча-
стоты. Однако на практике для облегчения построения сначала строят
кривую D-разбиення качественно. Для этого качественно строят зави-
симость v и р от со (или со2), а затем, пользуясь имн и исключая со, стро-
ят качественную границу D-разбнеиия. Качественное построение v =
= / (со) и р = / (со), а также граница D-разбиения показаны на
рис. 3.29.
Особые прямые находим, приравнивая нулю свободный член н ко-
эффициент прн старшей степени s характеристического уравнения.
Особую прямую, соответствующую со — оо, находят нз выражении
zz0 = TiT3Ts = vT3T3 = 0, откуда уравнение особой прямой v = 0.
Особую прямую, соответствующую со = 0, находят из выражения
ап = 1 + К —1 + р = 0, откуда уравнение особой прямой р = —1.
Кривую D-разбнення штрихуют двойной штриховкой при измене-
нии частоты со от 0 до оо слева по обходу, если главный определитель
Д >• О, и справа по обходу, если главный определитель Д < 0. Особые
Рис. 3.29
прямые в данном случае штрихуют одинарно штриховкой, причем
заштрихованные стороны прямых и кривой D-разбнення направлены
друг к другу.	__________
Итак, главный определитель Д < 0 при 0 < w < у 1/(TSTS)
Д>0 при <о >
Кривая D-разбиення и особые прямые делят плоскость (v, р) на
шесть областей: /, II, III, IV, V и Й7. Претендентами на область ус-
тойчивости являются области I и IV. Рассмотрим точки, принадлежа-
щие полупрямой р = К = 0 при v = 7\ > 0, т. е. положительную
часть оси абсцисс.
При К = 0 и любом Л > 0 характеристическое уравнение
D (s) = (1 + 7» (1 + T2s) (1 + T3s) = 0;
следовательно, все три корня характеристического уравнения при
этом будут левыми, т. е. = —1/7\; s2 = —1/Тя и ss — —1/Т3.
Таким образом, положительная часть оси абсцисс принадлежит
области устойчивости D (0), а поэтому и вся область I являетси об-
ластью устойчивости.Переходя из этой области в другие через границу
D-разбиения или особую прямую, размечаем остальные области D (1)
и D (2). Заметим, что в данном случае имеются две области устойчиво-
сти D (0), однако нас будет интересовать только область устойчивости
D (0), соответствующая физически осуществимым положительным зна-
чениям постоянной времени 7\ > О.
Построение границы D-разбиення в плоскости двух параметров
дает полную картину влияния этих параметров на устойчивость систе-
мы. При малых значениях коэффициента усиления К система устойчи-
ва при любых значениях 7\. При больших значениях К система устой-
чива лишь при достаточно малых либо достаточно больших значениях
Т-l, что совпадает с результатами, полученными в примере 3.8.
§ 3.9. Устойчивость систем с запаздыванием
и систем с иррациональными звеньями
Системы автоматического управления могут содержать
звенья, и которых зависимость между входной и (t) и выход-
ной у (t) величинами имеет вид
у (0 = и (t — т),	(3.93)
где т — постоянная величина, называемая временем запазды-
вания. Такие звенья называют запаздывающими, так как они
воспроизводят изменения входной величины без искажения,
но с некоторым постоянным запаздыванием т.
Передаточная функция запаздывающего звена (см. § 2.6)
^аи(«) = е—.
(3.94)
Рис. 3.30
Звенья с чистым запаздыванием часто встречаются в различ-
ных технологических процессах, когда материал перемещает-
ся из одной точки в другую с помощью ленточных транспор-
теров; в системах регулирования толщины листа при прокат-
ке; в системах магнитной записи и воспроизведения и т. д.
Системы автоматического управления, содержащие хотя
бы одно запаздывающее звено, называют системами с запазды-
ванием. Процессы в системах с запаздыванием описываются
дифференциально-разностными уравнениями.
Во многих тепловых процессах, а также при передаче сигналов
на расстояние по длинным электрическим, гидравлическим и другим
линиям наблюдается запаздывание, распределенное по всей дайне ли-
нии, которое в отличне от чистого запаздывания приводит к искажению
передаваемых сигналов. Системы, содержащие звенья с распределен-
ным запаздыванием, требуют для своего описания дифференциальных
уравнений в частных производных. Во многих случаях в результате
решения указанных уравнений в частных производных с учетом гра-
ничных условий после некоторых упрощающих предположений для си-
стемы автоматического управления в целом получают дифференциаль-
но-разностные уравнения такого же типа, как и для систем с чистым
запаздыванием.
На практике широко применяют аппроксимацию передаточных
функций сложных систем с распределением параметрами с помощью
передаточных функций систем с сосредоточенными параметрами и эк-
вивалентных постоянных времени чистого запаздывания. Иногда слож-
ные системы высокого порядка с сосредоточенными параметрами, со-
держащие большое количество инерционных звеньев, также мож-
но заменить для приближенного исследования более простой системой
низкого порядка, но содержащей звенья с чистым запаздыванием.
В дальнейшем будем рассматривать только системы с чистым за-
паздыванием.
Структурная схема одноконтурной системы автоматическо-
го управления, содержащей одно запаздывающее звено, может
быть представлена либо так, как показано на рис. 3.30, а,
если запаздывающее звено находится в прямой цепи, либо так,
как показано на рис. 3.30, б, если запаздывающее звено нахо-
дится в цепи обратной связи.
Передаточная функция разомкнутой системы с запаздыва-
нием равна
W'T(s) = r3an(s)r(s) = -^-e-«	(3.95)
Q (s)
1Где W (s) = R (s)/Q (s) — передаточная функция разомкнутой
системы без учета запаздывания, представляющая собой дроб-
но-рациональную функцию оператора s.
Заметим, что если в одноконтурной системе имеется не-
сколько последовательно соединенных запаздывающих звень-
ев, то они могут быть заменены одним запаздывающим звеном
с эквивалентной постоянной времени запаздывания, равной
сумме всех постоянных времен запаздывания.
Если запаздывающее звено находится в прямой цепи, то
передаточная функция замкнутой системы
wex(р) =	------- = Rt(s)/Dx(s). (3.96а)
1 +	(s) Q (s)+R (s) e ST
Если же запаздывающее звено находится в цепи обратной
связи, то передаточная функция замкнутой системы
W (S) =. JL<S) =---------------= ЛДЕ .	(3.966)
l+rT(s) q (s}+R (s) e~ST
Из (3 96a) и (3 966) видно, что независимо от места включе-
ния запаздывающего звена характеристическое уравнение сис-
темы с запаздыванием и^еет вид
OT(s)=Q(s) + R(s)e“ST=0.	(3.97)
Это характеристическое уравнение из-за наличия множите-
ля е-ЛТ является не полиномом, а трансцендентной функцией
оператора s и в отличие от обыкновенного алгебраического
уравнения имеет бесконечное множество корней. Так как
S2 I2 S® т3
~2! зГ"
то (3.97) можно рассматривать как уравнение «бесконечной
степени».
Для того чтобы линейная система с постоянным запазды-
ванием была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все
корни уравнения (3.97) были левыми. Нахождение корней
уравнения (3.97) затруднительно, поэтому для исследования
e~ST = 1 — st 4
устойчивости систем с запаздыванием используют критерии
устойчивости.
Следует иметь в виду, что алгебраические критерии устой-
чивости Рауса и Гурвица в их обычной форме для исследования
систем с запаздыванием непригодны, причем для устойчивости
линейных систем первого и второго порядков с запаздыванием
только положительности коэффициентов характеристическо-
го уравнения уже становится недостаточно. Существуют раз-
личные алгебраические критерии устойчивости для систем
с запаздыванием, которые являются аналогами крите-
риев Рауса и Гурвица, однако в инженерной практике они
широкого применения не нашли из-за их относительной слож-
ности.
Для исследования устойчивости систем с запаздыванием
можно применять основанные на принципе аргумента частот-
ные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста либо ме-
тод ZJ-разбиения.
Уравнение кривой (годографа) Михайлова системы с запаз-
дыванием получают после подстановки s = /со в характеристи-
ческое уравнение (3.97), т. е.
Dx е'ых) = Q а<л) + R (ja) е~,ьп = 0.	(3.98)
Наличие в (3.98) множителя е~-'ю’ делает очертания кри-
вой Михайлова достаточно сложными, и формулировка этого
критерия для систем с запаздыванием становится не такой про-
стой, как для обычных систем. Как показал Я- 3. Цыпкин, для
исследования устойчивости систем с запаздыванием очень
удобно применять критерий устойчивости Найквиста.
Заключение об устойчивости замкнутой системы с запазды-
ванием делается на основании исследования поведения ампли-
тудно-фазовой характеристики 1УТ (/со) разомкнутой системы
с запаздыванием относительно точки (—1, /0). Формулировка
критерия устойчивости Найквиста для систем с запаздыва-
нием в этом случае аналогична формулировке для обычных
систем, имеющих дробно-рациональные передаточные функции.
Частотную передаточную функцию Wx (/со) разомкнутой
системы с запаздыванием находят, подставляя s = /<о в (3.95):'
Wx (ja>) = W (/со) e-'at = А (со) е/*<“> е-'"'т =
= Д(со)е/^<“),	(3.99)
где W (/<о) = (/ (со) + /V (со) — амплитудно-фазовая харак-
теристика разомкнутой системы без учета запаздывания;
Л (co) -= I Ц/ 0)1 =у ^'2 (ы) + V2 (co) —амплитудно-частот-
ная характеристика; ф (со) = Arctg — фазочастотная ха-
рактеристика разомкнутой системы без учета запаздывания;
фт(со) — ф (“) — сот	(3.100)
— фазочастотная характеристика разомкнутой системы с за-
паздыванием.
Из (3.99) и (3.100) видно, что наличие запаздывающего зве-
|на не меняет модуля А (со) амплитудно-фазовой характери-
стики разомкнутой системы W (jto), а вносит лишь дополни-
тельный отрицательный фазовый сдвиг сот, пропорциональный
частоте, причем коэффициентом пропорциональности являет-
ся время запаздывания т.
Зная амплитудно-фазовую характеристику W (ja) разом-
кнутой системы без запаздывания, легко-построить амплитуд-
но-фазовую характеристику lFT(/<o) разомкнутой системы с за-
паздыванием. Для этого каждый модуль А (сог) вектора ам-
плитудно-фазовой характеристики W (/со) нужно повернуть на
|угол согт по часовой стрелке. С ростом частоты со угол сот
будет быстро расти, а модуль А (со) обычно уменьшается, по-
|Этому амплитудно-фазовая характеристика Wx (/со) разомкну-
той системы с запаздыванием -имеет вид спирали, закручиваю-
щейся вокруг начала координат (рис. 3.31). «Закручивание»
|амплитудно-фазовой характеристики из-за наличия дополни-
тельного фазового сдвига сот, вообще говоря, ухудшает усло-
вие устойчивости, так как вся амплитудно-фазовая характе-
ристика приближается к критической точке (—1, /0). Однако
иногда при сложной форме амплитудно-фазовой характери-
стики IF (/со) введение постоянного запаздывания может улуч-
шить условия устойчивости.
Изменяя время запаздыва-
ния т в широких пределах,
можно найти такое его зна-
чение, при котором замкну-
тая система будет находить-
ся на границе устойчивости.
В _ этом случае характери-
стика Wx (/со) будет прохо-
дить через точку (—1,/0).
Время запаздывания ткр и
соответствующее ему значе-
ние частоты <окр, при кото-
Рис. 3.31
рых (/со) проходит через точку (—1 ,/0), называют крити-
ческими.
Для критического случая справедливо следующее условие;
г (/ЧР) =	(/®кр) е	= А (сокр) е' “крткр1 =
—1.	(3.101)
Условие (3.101)-можно записать раздельно для амплитуд
и фаз вектора; 1Ут(/®кр):-	-
Д(®КР)=1 wM/4p)l=i;	(З.Ю2)
Ч (®кр) = Ф (®кр) — ®кр ткр = — л (2i + !)>	(3- ЮЗ)
где i — 0, 1 f 2, 3, ...	и
Из (3.102) можно найти сначала <акр, а затем из (3.103)
найти ткр, т. е.
х - (0)кр) ~1~я (^-|-1) л-|~ф (<°кр) j j (3 104)
®кр	Икр	<°кр
Для систем автоматического управления с запаздыванием
основное значение имеет минимальное критическое время за-
паздывания (при i = 0), которое является в то же время и
граничным
х = (юкр) (0)кр) Ф (0)нр) , (3 105)
с>кр	<Окр	0)кр
где <р (сокр) — л + Arc tg — запас устойчивости пофа-
юкр
зе.
Пример 3.10. Передаточная функция разомкнутой системы с за-
паздыванием
W’t(s)=Ke-CT/(l+s7').
Определить критическое время запаздывания ткр.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы с запазды-
ванием
Wx (/<в) =Ке-'ит/(1 +/®Г).
Следовательно, условие (3.102) в" данном случае
I Wx (/Ъкр) | = | [К/(1 +/«Кр Т)11= 1.
Из последнего выражения находим критическую частоту:
Юкр = УК5‘“/Т, К>1.
Фазовый сдвиг на критической частоте
ф (<0кр) = — Arctg <окр Т = — Arctg V/<2 — 1.
-По (3.105) находим критическое время запаздывания:
л—Arctg^/A2—1	л—Arctg Д/А2 — 1
tup —	— ‘	------
с>кр	Д/№— 1
При сложном выражении для частотной передаточной функ-
ции W (/со) разомкнутой системы определение критического
времени запаздывания просто выполнить графически. Условие
А (сокр) = \W (/<oKp)j = 1 определяется пересечением годо-
графа W (/со) с окружностью единичного радиуса с центром
в начале координат (рис. 3.32). Точка пересечения определяет
одновременно сокр и угол ф (сокр), который, будучи разделен на
<окр, даст значение критического времени запаздывания.
Если имеется несколько точек пересечения годографа
W (j®) с окружностью единичного радиуса, например при
<о1кр, ®2«р н ®3кР (рис. 3.33), то система будет иметь несколь-
ко критических граничных времен запаздывания:
"Чир = ф (®1кр)/®1кр» Т'йкр ~ ф (®2кр)/®2кр» "^Зкр ~ ф (®3кр)/®3кр»
причем минимальное время запаздывания равно ткр min =
= т1кр. Система будет устойчива при т < т1кр, а также при
т2кр < т < тзкр. Система будет неустойчива при т1кр < т <
< т2иР, а также при т > тзкр. Наблюдаемое в этом случае
чередование участков устойчивости и неустойчивости системы
при непрерывном изменении т (а также других параметров си-
стемы) является характерной особенностью многих систем с
постоянным запаздыванием.
Обычно для повышения быстродействия и точности систе-
мы время запаздывания т стремятся уменьшить, поэтомукри-
терий устойчивости формулируется лишь для минимального
времени запаздывания.
Система автоматического управления будет устойчива,
если время запаздывания т меньше минимального критическо-
го времени запаздывания-, т < ткр mln.
Критическое время запаздывания легко определяют и в
том случае, когда для Исследования системы с запаздыванием
применяют логарифмические амплитудно-частотные (ЛАХ)
И фазочастотные (ЛФХ) характеристики. В этом случае окруж-
ность единичного радиуса представляют осью абцисс. ЛАХ
системы с запаздыванием совпадает с ЛАХ исходной системы
без запаздывания. Дополнительный фазовый сдвиг, который
надо учесть при построении ЛФХ системы с запаздыванием,
определяют из (3.100). Точки пересечения ЛАХ с осью абсцисс
определяют критические частоты согкр, а запасы по фазе
(с учетом кратности), отнесенные к соответствующим критиче-
ским частотам, определяют критические времена запаздывания
т4кр-
Звенья с распределенными параметрами, описываемые
уравнениями в частных производных, имеют иногда передаточ-
ные функции вида
№(S) = K/V^	(3.106)
iF(s) = к/(1	(3.107)
H7(s) = e~*4	(3.108)
где К — коэффициент усиления звена.
Выражения (3.106) и (3.107) отличаются от передаточных
функций интегрирующего и инерционного звеньев (см. § 2.6)
только квадратным корнем. По аналогии с интегрирующими
и инерционными звеньями такие звенья называют полуинте-
грирующими и полуинерционными. Звенья, имеющие переда-
точные функции вида (3.106), (3.107), (3.108), называют ир-
рациональными звеньями. Выражение (3.108) не только ирра-
ционально, но и трансцендентно. С иррациональными звенья-
ми приходится встречаться, рассматривая различные диффу-
зионные и тепловые о ъекты, линии связи с потерями, с рас-
пределенными сопротивлениями и емкостями и т. п.
Устойчивость замкнутых систем автоматического управле2
ния, содержащих иррациональные звенья, может быть иссле-
дована с помощью критерия устойчивости Найквиста. Форму-
лировка критерия устойчивости Найквиста в этом случае ана-
логична формулировке для обычных систем автоматического
управления, содержащих звенья с дробно-рациональными пере-
даточными функциями.
§ 3.10.	Устойчивость нестационарных систем
Линейными системами с переменными параметрами или
нестационарными системами (см. § 2.9) называют системы,
процессы в которых описывается линейными дифференциаль-
ными уравнениями с переменными во времени коэффициен-
тами
[«о (0 Рп + ai (0 Рп~1 + • • • + «п (01 х (0 =
-= [&о (0 Рт + Ъ (/) р—1 + ... +Ьт (01 g (0,	(3. Ю9)
где х (0 и g (0 — выходная и входная величины системы со-
ответственно; аг (0, bt (0 — переменные коэффициенты, явля-
ющиеся известными функциями времени и задаваемые либо
графически, либо аналитически; р — dldt — символ дифферен-
цирования.
Для нестационарных систем понятие устойчивости имеет
некоторую специфику. Действительно, если предположить, что
входная величина системы g (t) — g0 ~ const и к моменту
времени 4 переходные процессы в системе закончились, т. е.
если принять р = d/dt — 0, то из (3.109) для t > 4 имеем
x(t) = b-^-g0.	(3.110)
«п(0
Из (3.110) видно, что в зависимости от характера измене-
ния коэффициентов ап (t) и bm (I) в нестационарной системе
даже при постоянной входной величине выходная величина мо-
жет изменяться неограниченно долго. Так как время работы
реальных систем ограничено, что установившегося значения
в нестационарной системе за время ее ра оты не наблюдается
и поэтому понятие асимптотической устойчивости (см. § 3.2)
практически теряет свой смысл.
Существуют точные методы исследования устойчивости не-
стационарных систем, но они довольно сложны и на практи-
ке обычно пользуются приближенными методами.
' Наиболее простым приближенным методом исследования
устойчивости нестационарных систем является метод замора-
живания коэффициентов. Он может применяться в тех слу-
чаях, когда нестационарная система работает в течение огра-
ниченного интервала времени Т, а коэффициенты уравнения
(3.109) за время протекания переходного процесса в системе
изменяются относительно мало. В соответствии с этим методом
для некоторого фиксированного значения времени t = tk
определяют соответствующие ему значения ог (tk) и 6г (th)
коэффициентов дифференциального уравнения (3.109), заме-
няют исходную нестационарную систему некоторой фиктив-
ной стационарной системой и исследуют устойчивость послед-
ней, применяя один из рассмотренных выше критериев устой-
чивости. Если полученная таким образом стационарная си-
стема устойчива, то считают, что исследуемая нестационарная
система тоже устойчива в рассматриваемый момент времени.
Затем проводят аналогичное исследование устойчивости для
других фиксированных моментов времени, лежащих в интер-
вале 0 t Т, где Т — время работы системы.
—" Если во всем рабочем интервале времени Т условия устой-
чивости стационарной системы, получаемой методом замора-
живания коэффициентов, выполняются, то исходную нестаци-
онарную системуг на этом интервале считают устойчивой.
Следует заметить, что результаты, получаемые при иссле-
довании устойчивости нестационарных систем методом замора-
живания коэффициентов, не являются вполне достоверными,
поскольку сам этот метод не имеет какого-либо математиче-
ского обоснования. Степень достоверности будет тем выше,
чем меньше изменяются коэффициенты за время протекания
переходного процесса.
Эффективность рассматриваемого метода может зависеть от
правильного выбора фиксированных моментов времени, для
которых замораживаются коэффициенты.. Необходимо так
выбирать эти моменты, чтобы юхватить все возможные вариан-
ты значений коэффициентов, обратив особое внимание на
«опасные» точки, в которых происходит значительное изменение
коэффициента, смена его знака и т. п.
Пример 3.11. Система автоматического управления описывается
дифференциальным уравнением
[«о P3+«i Р2+с2 (/) р 4- а3] х (t) = bog (t),	(3. Ill)
где Со = 0, 1 с3; at = 4,2 с2; с2 (0 ~ (72 — 0,1/)с; с8 = 400; Ьо — 400.
Оценить приближенно устойчивость системы, если время работы
ее Т = 100 с.
Рассмотрим систему с замороженными коэффициентами при t = 0
и t = Т = 100 с.
В этих случаях характеристическое уравнение, соответствующее
исходному дифференциальному уравнению (3.111), будет
0,1р3 + 4,2р2 + 72р + 400 = 0;	(3.112)
0,1р3 + 4,2р2 + 62р + 400 = 0.	(3.113)
Для. (3.112) находим корни: Pi = —10 с-1; р2_3 = (—16 ± /12) с-1. Сте-
пень устойчивости (см. §4.5) 1] == IpJ = 10 с-1. Время переходно-
го процесса /п < З»)-1 = 0,33 с. Для (3.113) корни рх = —25 с-1;
p2_s = (—8,8 ± /8,7) с-1. Степень устойчивости г) = 8,8 с-1. Время
переходного процесса /п 3t)~1 = 0,34 с.
За время переходного процесса коэффициент а2 (/) изменяется иа
величину Да2 ж 0,1-0,34 = 0,034, что составляет приблизительно
0,05 %. Следовательно, система может рассматриваться как квазиста-
циоиариая. Оценка устойчивости может быть сделана методом'замора-
живания коэффициентов- характеристического уравнения. Применяя
критерий устойчивости Гурвица, имеем (0 > а0вз- Подстанов-
ка числовых значений дает 4,2 (72 — 0,10 >40. Последнее неравенст-
во выполняется в диапазоне времени 0 t Т. Следовательно, ис-
ходная нестационарная система устойчива.
В общем случае, когда коэффициенты уравнения (3.109)
изменяются значительно, при исследовании устойчивости не-
стационарных систем пользуются понятием технической устой-
чивости, или устойчивости на конечном интервале времени.
Систему считают технически устойчивой (устойчивой на
данном интервале времени работы системы Т), если вы-
ходная величина х (f) не превосходит некоторой заданной
величины хдоп при
Допустимое значение вели-
чины хдоп выбирается в
каждом конкретном случае
из технических соображе-
ний.
На рис. 3.34 показа-
ны возможные графики
изменения х (t) для неста-
ционарных систем. Кривые
/ и 2 соответствуют тех-
нически устойчивой системе, а кривые 3 и 4 — технически не-
устойчивой системе. Из рис. 3.34 видно, что система может
быть одновременно устойчива технически и неустойчива
асимптотически (кривая /) и, наоборот, неустойчива техниче-
ски и устойчива асимптотически (кривая 3). Так как в неста-
ционарной системе изменение х (f) зависит от момента подачи
входного сигнала g (0, то на техническую устойчивость будут
оказывать влияние и начальные условия, и характер входно-
го сигнала.
В настоящее время не существует достаточно простых и
достаточно общих критериев технической устойчивости. По
существу, единственный способ проверки устойчивости неста-
ционарных систем заключается в нахождении кривой выход-
ной величины х (0 при заданном входном воздействии g (t)
(внешнем возмущении). Определение х (0 производят обычно
либо с помощью различных приближенных аналитических ме-
тодов, либо методами математического моделирования на ана-
логовых или цифровых вычислительных машинах.
4
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ
КАЧЕСТВА
РЕГУЛИРОВАНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 4.1.	Общие положения
При исследовании систем автомати-
ческого регулирования приходится ре-
шать задачу обеспечения требуемых по-
казателей качества переходного процес-
са: быстродействия, колебательности,
перерегулирования, характеризующих
точность и плавность протекания про-
цесса. Будем, как и в предыдущих гла-
вах, предполагать, что система автома-
тического регулирования описывается
системой линейных дифференциальных
уравнений с* постоянными коэффициен-
тами. При изменении воздействия g (t)
на входе системы (рис. 4.1) выходную
величину х (0 можно записать так:
х (0 = л'сп (0 + хв (t),	(4.1)
где х (0 — решение дифференциального
уравнения, описывающего систему;
хсв (0 — свободная составляющая пере-
ходного процесса, соответствующая об-
щему решению однородного дифферен-
циального уравнения.
Если последнее не имеет кратных
корней, то
*св(0= SQe*. (4.2)
i— 1
где Ci — постоянная интегрирования,
значение которой определяют парамет-
ры системы и начальные условия; 8г —
корни характеристического уравнения
замкнутой системы D (s) — 0; хв (/) —
g(tj
IV(S)
X(i)
вынужденная составляющая
переходного процесса, обус-
ловленная законом измене-
ния g (I).
Рис. 4.1
Из (4.1) видно, что каче-
ство переходного процесса
можно оценить по его’ со-
ставляющим хсв (t) и хв (t).
В этом смысле различают две группы показателей: первая
группа—показатели качества переходного процесса хсв (t);
вторая — показатели, характеризующие вынужденную (уста-
новившуюся’ составляющую хв (/), по которой определяют
точность системы.
Показатели качества, определяемые непосредственно по
кривой переходного процесса, называют прямыми оценками
качества. Кривая переходного процесса может быть получена
теоретически или экспериментально.
В тех случаях, когда расчет переходного процесса связан с
большими трудностями, используют косвенные оценки каче-
ства. Например, к косвенным оценкам качества можно отне-
сти запасы устойчивости по фазе и по амплитуде, рассмотрен-
ные в гл. 3.
§ 4.2. Оценка качества регулирования
в установившемся режиме
(коэффициенты ошибок)
Рассмотрим показатели качества, характеризующие вынуж-
денную составляющую ошибки ев (t) системы. Если на входе
системы (рис. 4.1) действует сигнал g(t), то установившаяся
ошибка регулирования системы ев (t) ~g (t) — хв (t), где
хв (?) — вынужденная составляющая регулируемой величины
(4.1).
Если g (?) дифференцируема во всем интервале 0 t
то ошибка системы ев (?) модсет быть представлена в виде ря-
да:
«в (0 = Со g (0 4- С, dg (i)!d? + -1-Сг<Рё (?)/d?* 4- - 4-
+—'-Cmdmg(fyd?",
(4.3)
где коэффициенты Со, Си С2, ... принято называть коэффициен-
тами ошибок. Формула (4.3) получена следующим образом.
Передаточная функция замкнутой системы относительно
ошибки (рис. 4.1)
rge (s) = 1/11 + W (s)l = Ев (s)/G (s).	(4.4)
Из (4.4) можно найти выражение для изображения ошиб-
ки:
Ев (s) = G (s)/[ 1 + W (s)l.
(4-5)
Разложим передаточную функцию по ошибке Wge (s) в
ряд по возрастающим степеням s в окрестности точки s = О,
что соответствует большим значениям времени (1-+- оо), т. е.
значению установившейся ошибки при заданном управляющем
воздействии.
В соответствии с (4.5) можно записать
EB(s) =rc0 + C1S + -^-C2s2+^-C3s8 + ...+
L
+ — Cmsm[G(s).	(4.6)
ml J
Если передаточная функция lKgE (s) является дробно-рацио-
нальной функцией
tvz	b»s +KS +  • • + bm~i S -p Ьт
w se к»J — — ~	~ :	— ——— ,
«os 4“G«s	+... i
то разложение в ряд lKgE (s) можно осуществить делением чис-
лителя на знаменатель, располагая члены полинома в поряд-
ке возрастания степеней. Переходя в (4.6) от изображений к
оригиналам, можно получить для ев (/) выражение (4.3).
Коэффициенты ошибок Со, С1Г Сг, ... определяют по фор-
'мулам разложения функции lKgE (s) в ряд Тейлора:
co=[^g6(s)]s=o;	;
I os Js= о
. р %,(«)]	_pmirgE(s)l
'2 I	, ,	I »	|	I
L ds	Js=O	L	Js=O
(4.7)
Если g (t) = 1 (/), то все производные dg (t)/dt —
— d2g (t)/dt2 = ... — dmg (t)!dtm — 0, тогда
Co = rgE(0), a Cr
C2 dag(Q
21	d/2
_Cmdmg(t} Q
ml atm
В данном случае Со = IFge (0) — значение установившейся
ошибки в замкнутой системе.
Если g(t)—t, то dg(t)/dt — I, a d2 g(t)/dt2 —...
... — d,ng (t)!dtm — 0; коэффициенты Co = Wge (0);
= Г I , a C2 [<P g (t)/dt*] = ... = Cm [dmg (t)ldt^ = 0
L Ss Js=O
И T. Д.
Коэффициент Co называют коэффициентом статической или
позиционной ошибки; коэффициент Сг — коэффициентом ско-
ростной ошибки, С2 — коэффициентом ошибки от ускорения.
В статических системах коэффициент Со отличен от нуля.
В системах с астатизмом первого порядка Со = 0, Сг 0.
В системах с астатизмом второго порядка Со == Сх = 0;
С2 Ф 0. Увеличение числа интегрирующих звеньев приводит
к повышению порядка астатизма системы, т. е. к нулевым
значениям нескольких коэффициентов ошибок, но при этом
усложняется обеспечение устойчивости системы. Если на си-
стему помимо задающего воздействия g (/) действует и возму-
щение f (t) (рис. 4.Й), то астатизм системы относительно g (t)
и f (/) зависит от места включения интегрирующего звена.
Пусть воздействия на САУ являются постоянными величи-
нами и равны g (0 = g0', f (t) — fo- Рассмотрим несколько слу-
чаев.
1.	В системе отсутствуют интегрирующие звенья. Элемен-
ты 1 и 2 системы (рис. 4.2) являются инерционными звеньями
Рис. 4.2
и соответственно рав-
ны
(s) =kr /(1 4- s7\);
Г2 (s)=M1+s72).
(4.8)
Тогда на основании метода суперпозиции установившаяся
ошибка САУ
е (0 = (0 + (0,	(4.9)
где eg (/) — ошибка отработки системой задающего воздейст-
вия:
® “ [ 1+^^!=о ёо	l + ^kg ёо°’
a e,f (t) — ошибка, вызванная действием помехи:
t
£1 -J-* W x W 2JS-= 0	1 “I~^l «2
В данном случае САУ является статической относительно обо-
их воздействий, так как eg (t) =И= 0 и e,f (t) Ф 0.
2.	Допустим, что в элемент 2 рассматриваемой системы
(рис. 4.2) включено интегрирующее звено, а элемент 1 являет-
ся инерционным звеном, как и в случае 1. При этом передаточ-
ная функция элемента 2
U7a (s) = kjls (1 + sT2)l.
Тогда составляющие eg (/) и e,f (t) ошибки системы (4.9)
eg(0=--------!--------1 д, = Г -HWOW 1 -=0;
1	(s) ^2 (s)Js = O	1Л ^2“bS (1 + s7\)	Js= 0
/А Г W2 (S) I _
е/ (0 - [, + Wi (s) (s) ]s= о /о
= [-------L±£j---------1 f0=_Л_ Ф о.
Lfe1fe2+s(l+s7’1)(l+s7’2)Js=:o
Следовательно, САУ является астатической относительно за-
дающего воздействия g (t) и статической относительно возму-
щения f (t).
3.	Пусть интегрирующее звено включено в элемент /,
передаточная функция его при этом равна
^1 (s) = Ms (1 + s7'i)l.
Второе звено является инерционным звеном, а передаточная
функция его та же, что и в случае 1.
Рассчитаем составляющие ошибки eg (/) и e,f (t):
eg (t) = Г-----------1 g0 =
g Ll+^1(s)^2(s)Js=oa°
„ Г s 0 + sTr) (1 +зГ2) I _ qo
1Л1 ^2 “F 5 (1 + s7\) (1 4~s^2)Js= о
Е/ (/) = f-----------1 fQ =
ll+^i(s)W'2(s) Js=o °
=Г--------su+еЛ)--------] f =0
К fc2+s(l Ч-вЛ) (1+s7’2)Js=o u
Поскольку и Eg (t) и ef (t) = 0, система является астати-
ческой и относительно воздействия g (/), и относительно воз-
мущения f (0.
Нужно отметить, что метод коэффициентов ошибок приме-
няется при сравнительно медленно меняющихся воздействиях.
Пример 4.1. Для системы (рис. 4.1) определить значение устано-
вившейся .ошибки системы. Передаточная функция системы в разомк-
нутом состоянии
W (s) = fe/[s (1 + sTJ (1 + sT2)I,
где k = 10 c-i; 7\ — 0,2 с; Г2 = 0,02 c.
Выходной сигнал меняется по закону g (/) = 5 + 20/ + 20/2.
Найдем передаточную функцию замкнутой системы относительно
ошибки:
£ (О _ __1__= з(1+зЛ)(1+зГ2)
gE'S) О (s)	1+^(3) s и-НЛ) (1 +sT2) + k
S3r1r24-s2(7’1+r2) + s+fc
Коэффициенты ошибок Ci и С2 (Со — 0, так как система астати-
ческая) определяют по (4.7) или разложением в ряд по возрастающим
степеням з функции lFge (s) делением числителя на знаменатель:
№ge (s) =C1s+C2 s2+... =s/ft+s2	....
Коэффициенты C3, ... вычислять не имеет смысла, так как функция
g (/) имеет только две производные, не равные нулю.
Определим первую и вторую производные входного воздействия
g(0=
g (0 = 20 +40/; g(0=40.
Тогда ев (/) = Gj g (/) + С2 g (/) = 2,48+4/.
§ 4.3.	Оценка качества переходного процесса
при воздействии ступенчатой функции
Переходный процесс в системе зависит не только от свойств
САУ, но и от характера внешнего воздействия, которое в об-
щем случае может быть сложной функцией времени. Поведе-
ние системы рассматривают при следующих типовых воздейст-
виях: единичной ступенчатой функции 1 (/), импульсной 6 (О
и гармонической функций. Прямые оценки качества получают
по кривой переходной характеристики h (t), т. е. при воздейст-
вии единичной ступенчатой функции
г»=ко=!'
( 0 при t <0
и Нулевых начальных условиях.
Эту характеристику можно построить для выходной вели-
чины или для отклонения есв (t) (рис. 4.3, а, б). К прямым
оценкам качества относят:'
1.	Время регулирования tp — минимальное время, по ис-
течении которого регулируемая величина будет оставаться
близкой к установившемуся значению с заданной точностью
|₽св(01<0 при t^tp	(4.10)
или
|М0-Луст|^Д,
где А — постоянная величина, значение которой нужно ого-
варивать (задается величина А в процентах от установившего-
ся значения выходной величины /iyCT).
Рис. 4.3
2.	Перерегулирование о — максимальное отклонение пе-
реходной характеристики от установившегося значения вы-
ходной величины, выраженное в относительных единицах или
процентах:
а  ftmaxi —^уст jqq
Луст
где Лтах1 — значение первого максимума, или
ц = । е<!В Iniaxi JQQ  I есв (0 Imaxi |qq
Луст	I есв (0) |
Допустимое значение перерегулирования в каждом кон-
кретном случае будет подсказано опытом эксплуатации систе-
мы, обычно о = 10 -г- 30 %, но в некоторых случаях допуска-
ется и до 70 %. Иногда перерегулирование недопустимо сов-
сем.
3.	Частоту колебаний <о = 2л/Т, где Т — период колеба-
ний для колебательных переходных характеристик.
4.	Число колебаний п, которое имеет переходная характе-
ристика h (0 или есв (0 за время регулирования (/р).
При проектировании систем чаще всего допускают п —
= 1 -т- 2, а иногда и до 3—4, но в некоторых случаях колеба-
ния в системе недопустимы.
5.	Время достижения первого максимума /тах.
6.	Время нарастания переходного процесса tK — абсцис-
су первой точки пересечения кривой переходной характери-
стики h (t) с уровнем установившегося значения Луст или кри-
вой отклонения есв (?) с осью абсцисс.
8.	Декремент затухания х, равный отношению модулей
двух смежных перерегулирований:
х ~ I ^maxl ^уст И ^шахг ^уст I-
Перечисленные показатели качества могут быть дополне-
ны другими, но это обусловлено спецификой конкретной
системы.
Определение приведенных выше прямых оценок качества
переходного процесса проиллюстрировано на рис. 4.3, а, б.
Переходные процессы, возникающие в системах при скач-
кообразных воздействиях, принято делить на три группы:
монотонные, апериодические и колебательные. У монотонных
процессов первая производная выходной величины х (/) не
меняет знак (кривая а на рис. 4.4), у апериодических знак про-
изводной х (t) меняется не бо-
лее одного раза (кривая б на
рис. 4.4), а у колебательных —
первая производная х (t) ме-
няет свой знак периодически
(теоретически бесконечное число
раз) (кривая в на рис. 4.4).
Нужно отметить, что в на-
стоящее время при бурном раз-
витии вычислительной техники
трудности, связанные с расче-
том переходных процессов и выбором возможных вариаций
параметров системы, существенно уменьшаются, поэтому роль
прямых оценок качества при проектировании САУ возрастает
§ 4.4.	Оценка качества регулирования
при гармонических воздействиях
При гармонических воздействиях качество системы приня-
то оценивать по амплитудно-фазовой, амплитудно-частотной,
фазочастотной и логарифмическим частотным характеристи-
кам. Для оценки качества переходного процесса используются
следующие величины: показатель колебательности М, ре-
зонансная (собственная) частота <ор, полоса пропускания си-
стемы <о0, частота среза соср, запасы устойчивости по модулю
и по фазе.
Показатель колебательности М — это отношение макси-
мального значения амплитудно-частотной характеристики
^зтах(ю) замкнутой системы к ее значению при со = О
(рис. 4.5):
M = A3maK(w)M3(0).	(4.11)
при А3 (0) = 1 показатель колебательности М = Азтах(со).
Показатель колебательности характеризует склонность си-
стемы к колебаниям. Чем выше М, тем менее качественна
система при прочих равных условиях. Считается допустимым,
если 1,1 Л1 < 1,5.
Частоту <0р, при которой амплитудно-частотная харак-
теристика замкнутой САУ имеет максимум, называют резо-
нансной частотой системы (рис. 4.5); на этой частоте гармони-
веские колебания проходят через систему с наибольшим усиле-
нием.
Полоса пропускания системы (рис. 4.6) — это интервал
частот от ш = 0 до соо, при котором выполняется условие
Л3(<оо) <0,707Л3(0)	. (4.12)
или при Ла (0) = 1 величина А3 (<оо)	0,707. Полоса про-
пускания не должна быть слишком широкой, иначе система
будет воспроизводить высокочастотные помехи.
Частота среза <оср — частота, при которой амплитудно-
частотная характеристика системы принимает значение, рав-
ное 1, т. е. Aa (<оср) — 1. Эта частота косвенно характеризует
длительность переходного процесса. Время регулирования
обратно пропорционально частоте среза:
fp~(l 4-2) 2л/<оср.	(4.13)
Если переходный процесс имеет одно-два колебания, то время
достижения переходной характеристикой первого максимума
Лпах — л/“ер-	(4-14)
Склонность системы к колебаниям характеризуется вели-
чинами ее запасов устойчивости по модулю и по фазе, опреде-
ление которых дано в предыдущей главе. В хорошо демпфи-
рованных системах запас устойчивости по амплитуде колеблет-
ся в пределах от 6 до 20 дБ, а запас по фазе — от 30 до 60°.
Так как рассмотренные выше показатели косвенно опреде-
ляют быстродействие, перерегулирование и т. п., то их исполь-
зуют и для расчета систем, находящихся под воздействием не-
периодических возмущений.
§ 4.5.	Корневые методы оценки качества
регулирования
Известно, что характер переходного процесса в системе
определяют по ее реакции на единичное ступенчатое воздей-
ствие. Переходная характеристика h (0 системы может быть
вычислена с помощью обратного преобразования Лапласа
(по формулам разложения Хевисайда):
h (0 = L-1 [— Wgx (s)l = L-1	•
L s gx' 'J sD (s)
Если D (s) не имеет кратных корней, то
Л (О
_ ^(О) , у СМ
П(0) ^iiSiD'(S/)
(4.15)
где Si — корни характеристического полинома замкнутой си-
стемы D (s) = 0; D' = dD (s)/ds|s=s. — первая произ-
водная характеристического полинома D (s) по s при s = st.
Из (4.15) видно, что на характер переходного процесса
влияют и числитель и знаменатель передаточной функции зам-
кнутой системы Wgx (s). Если числитель Wgx (s) не имеет ну-
лей, т. е. представляет собой постоянную величину, то харак-
тер переходных процессов можно оценить по ее полюсам, т. е.
корням характеристического уравнения замкнутой САУ
D (s) = 0.
Для приближенной оценки качества переходного процесса
в системе нужно на плоскости корней s выделить область, в
которой располагаются корни ее харак-
теристического уравнения. Чаще всего
эту область представляют трапецией
(рис. 4.7). Корни характеристического
уравнения располагаются внутри этой
трапеции A BCD, на ее сторонах и ос-
нованиях хотя бы по одному корню, а
вне ее—ни одного. Для выделения этой
области на плоскости корней вычисляют
параметры: степень устойчивости т), ко-
лебательность р и значение £ веществен-
ной части максимально удаленного кор-
ня от мнимой оси.
Понятие степени устойчивости т] введено Я. 3. Цыпкиным
и П. В. Бромбергом. Степенью устойчивости т; называют рас-
стояние от мнимой оси до ближайшего корня или ближайшей
пары сопряженных комплексных корней. Степень устойчиво-
сти т] определяет ближайшее к мнимой оси основание, трапеции
AD (рис. 4.7).
Пусть общее решение дифференциального уравнения си-
стемы
п	,
х(0= V сге4	(4.16)
i= 1
где St — корни характеристического уравнения D (s) — 0.
Составляющая этого решения, определяемая степенью ус-
тойчивости, запишется в виде
хп(0=Спе-^	(4.17)
для случая вещественных корней или
ХгДО—C^e-^sinp/	(4.18)
для случая, когда среди корней есть пара комплексно-сопря-
женных.
В большинстве случаев переходный процесс можно счи-
тать закончившимся тогда, когда затухнет составляющая пере-
ходного процесса, определяемая степенью устойчивости, т. е.
порядок величины времени затухания процесса можно грубо
оценить по наиболее медленно затухающей составляющей
Хт) (/) [см. (4.17), (4.18)1. В случае, когда ближайшим к мнимой
оси является вещественный корень, из (4.17) можно получить
следующую зависимость:	- In . Если принять, на-
пример, Д = 0,05, то время переходного процесса	X
X In Q-ljg л? 3/г]. В том случае, когда ближайшей к мнимой
оси является пара комплексных корней, из (4.18) можно найти
верхнюю границу времени переходного процесса:	1п у .
Можно поставить две задачи:
1.	По заданным параметрам- системы — коэффициентам
D (s) — определить степень устойчивости системы (задача ана-
лиза степени устойчивости).
2.	По заданной степени устойчивости определить значе-
ние варьируемых параметров системы (задача синтеза САУ
по заданной степени устойчивости).
Воспользуемся методом, изложенным в 1121. Предлагает-
ся сместить мнимую ось влево на величину т], тогда один ко-
рень окажется на мнимой оси, а система — на границе устой-
чивости. Это соответствует обращению в нуль старшего опре-
делителя Гурвица: Дп = ап-&п-г = 0. Это условие дает урав-
нение, по которому, задаваясь коэффициентами, можно опре-
делить Ц или решить обратную задачу.
Пусть характеристическое уравнение системы
D(s) =а0«"	, + ... + an-i s ф- an = 0.
Введем новую переменную z — s ф- т]. Подставив значение
s = z — т) в уравнение D (s) = 0, получим новое смещенное
уравнение:
Лоz"ф-Л1 z" * ф-... +	— 0,	(4.19)
где
I [	]
(«—»)! [ &sn~l Js=—ч
(4.20)
Если в смещенном уравнении окажется Ап = 0, то ближай-
шим к мнимой оси окажется нулевой корень, а если Ап =# 0,
то пара сопряженных комплексных корней.
Условие границы устойчивости для системы, описанной
уравнением (4.19), по критерию Гурвица Дп_х = 0 при соблю-
дении всех остальных условий устойчивости Гурвица.
Колебательностью системы р называют тангенс угла, об-
разованного отрицательной вещественной полуосью и лучом из
начала координат к корню, у которого отношение мнимой ча-
сти к действительной максимально (рис. 4.7):
И = tg <₽ = ФМтах,	(4-21)
где Р — значение мнимой части корней D (s); а — действи-
тельная часть.
При известных параметрах системы можно определять зна-
чение колебательности р (задача анализа колебательности)
или решать обратную задачу — задачу синтеза САУ по задан-
ной колебательности. Для этого в характеристическое урав-
нение системы вводится замена s = jze~№M, равноценная по-
вороту мнимой оси на угол (л/2 —	), при этом пара сопря-
женных комплексных корней окажется на мнимой оси, а фик-
тивная система — на границе устойчивости. Колебательность
р является оценкой переходного процесса сверху, при уве-
личении р возрастает число колебаний п за время регулирова-
ния и возрастает перерегулирование. Реальный переходный
процесс может иметь значительно лучшее качество.
Запишем смещенное характеристическое уравнение:
Во z« +	1 4-... + Вп_г z + Вп = 0,	(4.22)
где
Bt == /п-‘’ е~' ФЛ< ai.	(4.23)
В (4.22) часть коэффициентов — комплексные числа.
Так как фиктивная система находится на границе устой-
чивости, то (4.22) имеет пару сопряженных мнимых корней
St ~ ±/Р/ =
Если в (4.22) подставить /со вместо z И разделить смещен-
ный характеристический полином на мнимую и действитель-
ную части, то их можно поочередно приравнять нулю, получив
при этом систему двух уравнений
и (<рлт, со/) — 0; v (<рм, со/) = 0.
Исключив из этой системы со/, получим искомое значение
<рм и р = tg <рм Ш1.
Эту задачу можно решать, используя свойства корней ал-
гебраических уравнений по формулам Виета.
Впервые анализ распределения корней в области устойчи-
вости на примере САУ третьего порядка выполнил И. А. Выш-
неградский.
Оценка прямых показателей качества переходного процес-
са — времени регулирования tp и перерегулирования а
(см. § 4.3) — по известным г)Д и р для любого распределения
корней и любых начальных условий пока не найдена. Но для
определенных классов распределения корней и начальных
условий можно построить две кривые: мажоранту и миноран-
ту, которые ограничивают кривую переходного процесса свер-
ху и снизу:
w (0 х (0 v (J),	(4.24)
где и (0 — миноранта, a v (0 — мажоранта.
Методы построения мажорант и минорант разработаны
С. А. Чаплыгиным, Н. Н. Лузиным, А. А. Фельдбаумом 111]
и уточнены А. М. Рубинчиком [8].
Приведем некоторые формулы для расчета мажорант и
минорант без доказательства. Для случая вещественных кор-
ней и нулевых начальных условий х (0) = 0, х' (0) = ... =
—	(0) = 0 мажоранта и миноранта описываются соот-
ветственно уравнениями
[пП—1 m—1 Ч
1+^ + -+ |; (4-25)
и(0 = е-^.	(4.26)
Перерегулирование для этого класса корней отсутствует.
На рис. 4.8 показаны кривые и (т) и v (т) для разных степеней
уравнения, причем т = -qt — относительное время. Чем выше
п, тем грубее оценка. Если
учесть величину В, то можно
сблизить миноранту и ма-
жоранту [2, 11].
Для систем, имеющих
среди корней пару комплекс-
но-сопряженных, при тех же
начальных условиях мажо-
ранта описывается уравнени-
ем (4.25), а миноранта
и (t) = — v (0. (4.27)
При этом перерегулирование
о е -	(4.28) 6тах=е
Если х (0)=хо, то сгслое“я/м
что проиллюстрировано на
рис. 4.9.	РИС. 4.9
Используя мажоранту и миноранту, можно оценить вре-
мя регулирования переходного процесса:
Л/.
где tu — время регулирования по миноранте; tv — время ре-
гулирования по мажоранте.
§ 4.6.	Корневые годографы
Траектории, описываемые на комплексной плоскости кор-
нями характеристического уравнения замкнутой системы при
плавном изменении одного из ее параметров от 0 до оо, назы-
вают корневым годографом. Располагая корневым годографом,
можно выбрать необходимое значение варьируемого парамет-
ра, соответствующее наиболее выгодному расположению кор-
ней с точки зрения требований к качеству конкретной систе
мы. В СССР основополагающими работами в этом направле-
нии были работы К. Ф. Теодорчика, развитые Г. А. Бендрико-
вым и С. П. Стрелковым в 1948—1949 гг., в США — работы
В. Ивенса в 1950 г.
Используя метод корневого годографа, можно решать сле-
дующие задачи [9]: построение годографов полюсов передаточ-
ной функции замкнутой системы при изменении одного из ее
параметров; оценки влияния параметров системы, появляю-
щихся при ее усложнении; качественной и количественной
оценки реакции системы на типовой сигнал при изменении зна-
чения параметра системы; синтеза корректирующих элемен-
тов системы.
Для непрерывных линейных систем существует несколько
методов построения корневых годографов, в частности ме-
тоды Ивенса, Теодорчика—Бендрикова и Удермана. Наибо-
лее трудоемким является метод Ивенса. Используя этот ме-
тод, можно оценить несколько вариантов с точностью 3—5 %,
что удобцо на первом этапе проектирования. Метод Теодор-
чика—Бендрикова позволяет проводить более детальные рас-
четы с использованием ЭВМ.
Рассмотрим метод Ивенса. Передаточная функция замкну-
той системы (рис. 4.10)
Wgx (s) =	(s)/[l +	(s) W2 (s)l,	(4.29)
где	Wt (s) W2 (s) - W (s)	(4.30)
— передаточная функция разомкнутой системы.
------	S£	5j 0 Re
Рис. 4.10	Рис. 4.11
Характеристическое уравнение замкнутой системы
D (s) = 1 + Wt (s)	(s) = 0	(4.31)
или
lF(s) = — 1.	(4.32)
Надо отметить, что излагаемый метод наиболее пригоден
для выбора общего коэффициента k передаточной функции ра-
зомкнутой системы W (s), которая содержит его как мно-
житель.
Уравнение (4.32) можно записать в виде системы уравне-
ний относительно модулей и фаз:
1Г (s)| = UMs)| = 1;	(4.33)
arg Г (s) =₽ ±(2i + 1) л,	(4.34)
где i — 0, 1, 2, ...
Уравнение корневых годографов (4.34) является основой
для их построения.
Пусть известны нули и полюсы передаточной функции
разомкнутой системы: Sj, s8....sn — полюсы, ”slt s2, .... sn —
нули. Тогда передаточная функция разомкнутой системы
W (s) = ak	(4 35)
(s— S1)(S —s2) ... (s—sn) ”	V
где a — множитель, появляющийся при разложении числи-
теля и знаменателя W (s) на множители; k — общий коэффи-,
циент усиления; т п.
Сомножители (двучлены) числителя (s — sj) и знаменате-
ля (s — Sf) функции (4.35) на плоскости корней изображают-
ся векторами (s — sj) и (s — s{), которые образуют с вещест-
венной осью углы 0/(0;) (рис. 4.11). Тогда аргумент W (s)
можно записать как разность аргументов числителя и знаме-
нателя arg R7 (s) = У б,- — J 0; и уравнение (4.34) при-
/=1	i=i
мет вид
2 0/~ 2 6,- = ± (2v 4- 1) Л,	(4.36)
/=1 /=1
где v = 0, 1, 2, ...
Уравнение (4.33) удобнее представить как
|Г (s)| = akl = 1,
или
k = 1/(п7),	(4.37)
причем
tn I п
I =	П lj / П	(4.38)
/ = 1 I t = 1
где lj — длина соответствующих векторов (s — s,)s / — 1,
..., tn\ If — длина векторов (s — s;), г= 1, ..., n.
Корневые годографы строят по (4.36), куда k не входит.
Для уже найденных корней по (4.37) определяют k. В. Ивен-
сом предложено специальное устройство «Spirul» для ускоре-
ния построения корневых годографов. Оно состоит из проз-
рачного транспортира для сложения углов (0) и логарифмиче-
ской спирали для перемножения длин векторов (/), по кото-
рым определяют величину k. Описание этого устройства при-
ведено в [2] и работах В. Ивенса.
Построение корневых годографов требует знания их
свойств, которые приведем ниже без доказательств.
1.	Комплексные части корневых годографов попарно со-
пряжены, и ветви годографа симметричны относительно ве-
щественной оси.
2.	Число ветвей корневого годографа равно порядку урав-
нения D (s) = 0, т. е. числу полюсов передаточной функции
замкнутой системы (s).
3.	Ветви корневого годографа начинаются при k = О
в полюсах передаточной функции разомкнутой системы W (s).
4.	При k —> оо т ветвей корневого годографа стремятся
к т нулям передаточной функции разомкнутой системы, а
остальные п — т ветвей уходят в бесконечность.
5.	п — т ветвей корневого годографа, уходящие в беско-
нечность, имеют асимптоты, число которых равно разности
порядков числителя и знаменателя передаточной функции
разомкнутой системы W (s), т. е. п — т. Асимптоты выходят
из одной точки на вещественной отрицательной полуоси с аб-
сциссой
/я	т _ \ /
оа =( 2 s‘- 2	/(«--"О	(4.39)
V=i	/=i	/ /
под углами
0а = (2/ -f- 1) л/(п — т),	(4.40)
где i — 0, 1, 2, п — т — 1.
6.	Точки пересечения корневого годографа с мнимой
осью могут быть найдены с использованием одного из крите-
риев устойчивости. Если м < 4, то эти расчеты не вызовут
трудностей, а для систем более высокого порядка эта часть
построения годографа наиболее трудоемка. В этом случае
можно рекомендовать алгоритм Рауса, чрезвычайно удобный
для реализации на ЦВМ, или метод проб по уравнению фаз
(4.36).
7.	Точки на действительной оси, из которых одна ветвь
корневого годографа уходит в верхнюю полуплоскость, а со-
пряженная ей ветвь — в нижнюю или, наоборот, приходят в
эти кратные точки (кратные корни на действительной оси),
можно найти из условия нулевого приращения суммы арг\
ментов в (4.36) при переходе от этой точки к близкой ей, не
лежащей на действительной оси. При этом нужно учитывав
знаки приращения углов ДО.
Проиллюстрируем примером определение точек пересе
чения с действительной осью. На рис. 4.12 показано располо-
жение полюсов передаточной функции разомкнутой системы,
s = —а — двукратный нуль. Определим величину а. При уве-
личении k на Д£ двукратный нуль превратится в два комплек-
сно-сопряженных: s4 и s5. В уравнении (4.36) ввиду малости
Д6 заменим их тангенсами, тогда получим
о/а — <о/(|s2| — а) — <о/(|s3| — а) — 0, а > 0.
Сокращая оз, определим величину а.
8.	Ветви корневого годографа, совпадающие с отрезками
действительной оси, располагаются в тех ее частях, справа от
которых находится нечетное число действительных нулей и
полюсов разомкнутой системы. Это свойство является следст-
вием уравнения (4.36).
9.	При (п — т)> 2 часть ветвей корневого годографа от-
клоняется влево от мнимой оси, а другие — вправо. В [9]
показано, что при оценке переходных процессов можно учиты-
вать лишь те ветви годографа, которые отклоняются вправо.
Те из них, которые располагаются ближе к мнимой оси, назы-
ваются доминирующими. Иначе говоря, система n-го порядка
в динамике будет вести себя как эквивалентная система более
низкого порядка, нули и полюсы которой совпадают с группой
нулей и полюсов, наиболее близких к мнимой оси и началу
координат плоскости s.
10.	Углы выхода из комплексного полюса и углы входа в
комплексный нуль определяют из уравнения фаз (4.36), запи-
санного для этого полюса или нуля, т. е.
= ±(2v + 1) 180° — £6.	(4.41)
Рассмотрим пример построения корневого годографа с ис-
пользованием перечисленных выше свойств.
Пример 4.2. Пусть известна передаточная функция разомкнутой
системы
IF (s) = [/г (s -|- 3)J/[s (s + 4) (s2 + 2s + 2)].
Характеристическое уравнение замкнутой системы
D (s) = s4 + 6s3 -J- 1 Os2 -|- (8 + k) s + 3k = 0.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет нули: s, — — 3
и полюсы: Si =0, s2 — —4, s3t4 = —1 ± /1.
Расположение нулей и полюсов на плоскости s показано на
рис. 4.13. Число ветвей корневого годографа равно 4 (свойство 2). Со-
гласно этому свойству, при k = 0 ветви начинаются в полюсах Sj,
sa, s3< s4 и пРи k <х> (свойство 4) одна ветвь стремится из полюса
Si == 0 в нуль"^ = —3, а из полюса sa = —4 стремится в бесконечность
по действительной оси (рис. 4.14).
Определим число асимптот: п — т— 4 — 1=3 (свойство 5).
Определим координату пересечения асимптоты с действительной осью,
(п — т) =
= [0 —4~ 1 — 1 —(—3)]/(4—1) — — 1
и углы асимптот:
©а = (2/4- 1) 180°/'(и - т).
где i=0, 1, 2; . 0а1 = 18073 — 60°; 0а2 — (2 -f 1) 18073 = 180°;
6из =- (4+ 1) 18073 = 300°= —60° (рис. 4.15).
Определим точки пересечения с мнимой осью (свойство 6). По
критерию Гурвица, для уравнения
D (s) = ccs4 4* Cj^s3 -f- c2s2 -J- CiS 4*	— s4 4* 6s3 4- 10s2 + (8 -j"
4- k) s + 3k = 0,
уравнение границы устойчивости
дз = CiC2a3 — aeal —	0.
Отсюда Агр = 6, а граничная частота
«о = ±1/сз/°1 — 1/14/6 = ±1,53 (рис.
4.16).
Определим углы выхода годографа
из полюсов s3 и s4 (свойство 10):
(6i 4- 634-634-64) = 180°.
Углы ©!, 0]д 02, 03, 04 указаны на
рис. 4.13: 01 = 26,5°; 0j = 135°; 02 =
= 18,2°; 04 = 90°; 03 = -(180° 4- ©1 +
4- б2 4- е4) — ег = _ зб,7°.
Чтобы определить при k = ferp = 6 полюсы на вещественной от-
рицательной полуоси (чисто мнимые уже определены: s3>4 =
= ±}ч>о — ±1,53/), воспользуемся свойством корней (свойство
Виета).
п
1. П Si ~ (	1) UnlciQ, Sj s2 s3 s4=x ЗЛрр 11.
i=l
Так как s3s4=<og, то Sj s2 = 3ferp/co§.
n
2. У Sj=—aj/tio; Sj+sg-|-ss-f-S4——6.
i= 1
Так как s3 + s4 = 0, to s4 + s2 = —6.
Решаем систему уравнений:
S1s2 =3.6/1,532;	1
Sl+Sg= ~6 _______>
Sj=—1,8; s2 =—4,2.
Если необходимо повысить точность расчетов, то нужно использо-
вать уравнение (4.36).
Рассмотрим еще один метод построения корневых годогра-
фов, предложенный Э. Г. Удерманом [6, 91. В предлагаемом
методе для построения корневого годографа используется кри-
вая D-разбиения в плоскости варьируемого параметра с помо-
щью годографа затухания.
Выделим в характеристическом уравнении замкнутой си-
стемы D (s) варьируемый параметр А. Тогда характеристиче-
ское уоавнение S (s) +
+ AR (s) = 0.
Уравнение кривой
D-разбиения в плоско-
сти параметра А
A = ~S (ju)/R (ja).
(4.42)
Уравнение (4.42) поз-
воляет в комплексной
плоскости А выделить
область устойчивости
системы, т. е. ту область,
где корни уравнения
В (s) — 0 имеют отрица-
тельную вещественную
Рис. 4.16	часть.

(Кгр=5)
t,53j J
и
0

Sj ^гр^) /оа
(Kzp^S)-R ^-2 -К
Sz
Re
5/
-и
34«-5
(кгр=Б)
лл.л
К) (S;) «Ъ)
Рис. 4.17
Агц>
Re
Сз
Удерманом введено
понятие годографа за-
тухания [9J.
Г одо1 рафы	затуха-
ния — линии постоян-
ной частоты со = const
и переменного затуха- (w=o)
ния а = var в плоско-
сти варьируемого пара-
метра А, т. е. годографы
затухания — это отобра-
жения линий, перпен-
дикулярных мнимой оси
в плоскости корней s,
а так как кривая £>-разбиения является конформным ото-
бражением мнимой оси на плоскости параметра А, то годо-
графы затухания ортогональны кривой D-разбиения (рис. 4.17).
Л1гр, Л2гр — это отрезок устойчивости.
Из точек Сх, С2 и С3 (на кривой £>-разбиения) проведены
три годографа затухания до пересечения с отрезком устойчиво-
сти в точках £>1( £>2 и D3. В точке характеристическое урав-
нение имеет в числе прочих пару комплексно-сопряженных
корней S!,2 = —	± jcoj при А = Аг. В точке Z>2 при А =
= Л2 корни Sji2 = — а2 ± /®2. В точке D 3 при А = А % кор-
ни sli2 — —а3 /со3 Таким образом, можно построить до-
минирующие ветви корневого годографа при изменении зна-
чения параметра А.
В [9] показано, что для определения величины а в точках
пересечения годографа затухания с отрезком устойчивости
нужно оценить отрезок кривой £>-разбиения QAx = CXDX в
единицах частоты. Тогда ах— oj. Аналогично посту-
пают для точек D2, D3 и т. д.
Для построения корневого годографа нужно в (4.42) за-
менить s на (—а + /а>):
А (—а + /ю) = —S (—а + j<o)/R (—а + /а>).	(4.43)
Используя разложение в ряд Тейлора для полиномов
S (—а + /а>) и R (—а + /со), (4.43) можно представить [9]
как
А (—а + /со) = | IВ (а)----------------В" (а)
4-^- В«>(а) + ... ]т
4!
+ /Ю [- В' (а) + ВЫ (а) —... ] } {|с (а) - С" (а) +
4-“ СЫ («)_...] + /а, [ _С' (а) + С" (а) — ...	(4.44)
где В (а) = S (—а); С (а) = 7? (—а); В' (а) = dB (a)/da;
С (а) = dC(a)/da’t В"(а) = d2В(a)/<faz; С"(а) =<Z2C(ct)/daz.
Чтобы определить действительные корни характеристиче-
ского уравнения D (s) — 0, нужно использовать (4.44) при
<о — 0.
Пример 4.3. Дана передаточная функция разомкнутой системы
W (s) = Л/[(1 + s7\) (1 + sTJ (1 + sT3)l,
где 7/ = 0,1 с; Т,г = 0,2 с; Т3 = 0,3 с.
Варьируемый параметр в данном случае k. Характеристическое
уравнение замкнутой системы
D (s) = (1 4- sTJ (1 + sTd (1 + sZ3) + k = 0.
Уравнение кривой jD-разбиения (рис. 4.18) в плоскости k
k = -(1 + /<о7\) (1 + /<оГ2) (1 + /соГ3).
В соответствии с (4.44) запишем выражение для k (—а + /со):
k (— ad-ju) = [Л (s)ls=_a + /c) = — [a0s3 4 OjS24-a2s -J- o3]s=_=
Г	1 Г	05 I
= В (a) + —- В" (a) 14~/со — В' (a)4-'T~B(3> (а) ,
।	z!	J L	«э*	J
где а^Т^Т,, = 0,008; щ = (7\ Т2Ч-Г2 Т34-Т\ Т3) =0,14;
а2 = Т14-7,24-7’3=0,7; «з=1, В (a) = k(—a)=a<>a3—ala2~a3;
В' (а) = 3о0 а2—2at a4-<V> В" (а) =6п0 а—2aL; В"' (а) = 6а
Тогда
['	со2
k (— а4-/со)= ссо а3—а, и24-«2 а—аз4--Т"
(6«0 а—201)
—
6
+ /со
— За0 а24-2ах а—ОгЧ-
6о01 = [0,008а3—0,14а2 4-0,7а —
— 1 4-со2 (0,024а —0,14)] 4-/со [ — 0,024а24-0,28а—0,7 4-0,ОО8со2].
Если принять а = 0, то получим уравнение кривой 17-разбиения
Проведем из точки С1т соответствующей частоте со = 4, годограф
затухания до пересечения с отрезком устойчивости (—I -г 11,25).
В точке Dt определим значение k = 1,8; а, = 5,5 — 4 = 1,5.
Аналогично, для годографа затухания из точки С2 А2 = 7,5;
сс2 = 8,6 — 8 — 0,6 и т д. (рис. 4.18, а).
Вычислим значения k, принимая а = 1,5 и со = 4 (точка
« — 0,7 и со = 8 (точка О2). При этом получим значения и k2, близ-
кие к рассчитанным выше.
Чтобы определить корни характеристического уравнения D (s) = 0,
подставим в выражение для k (—а + /со) значение со = 0.
По полученным данным можно построить доминирующие ветви
корневого годографа (рис. 4.18, б).
Можно отметить, сравнивая рассмотренные методы, что
метод Ивенса требует меньше времени для вычислений, чем
метод Удермана, не требующий поиска. Существуют и другие
методы построения корневых годографов, например с исполь-
зованием логарифмических частотных характеристик. Ана-
литические методы построения требуют использования вы-
числительных машин для расчетов, но дают высокую точность.
Построение корневого годографа — это только первый этап
анализа или синтеза автоматического регулирования. Как
было упомянуто в начала параграфа, по корневому годогра-
фу можно судить о качестве регулирования (о реакции систе-
мы на типовое воздействие) и о выборе необходимых корректи-
рующих устройств.
Задаваясь значением варьируемого параметра системы, мож-
но вычислить ее переходную характеристку h (/), используя
,формулы разложения Хевисайда.
Для случая простых (некратных) корней переходную ха-
рактеристику вычисляют по формуле (4.15), которую можно
записать в более удобной для вычисления форме [9]. Запишем
характеристический полином системы D (s) (4.15) в виде про-
изведения двучленов: D (s) — (s — sj (s — s2) ... (s — s„), где
sx, s2, sn — его корни. Определим производную D (s) —
— dD (s)/ds, принимая для простоты n = 3:
dD (s)/ds = (s — s2) (s — s3) + (s — s3) (s — s3) + (s — s3) X
X (s — s2).
Подставляя в это выражение s = sn обратим в нуль все сла-
гаемые, кроме первого, при s — s2 — все, кроме второго,
при s = s3 — все, кроме третьего. Таким образом, значение
производной D' (s) при s = sj будет равно произведению
п — 1 сомножителей
£>' (Si) = П (Si—Sfc)..
fe=l
Заменяя в (4.15) D' (sf) полученным выражением, можно на-
писать следующую формулу для вычисления характеристики:
h (/) =	+ У	.	(4.45)
D(0) 1	я	v
‘-1 Si п (Si—Sk)
fe = l
k=f= I
Этим выражением удобно пользоваться, располагая по-
строенными корневыми годографами, определяя значения
длин и аргументов векторов (sf — sft) по чертежу годографа.
Подробнее с упомянутыми вопросами можно ознакомиться
в [9].
§ 4.7. Интегральные оценки качества
переходных процессов
Интегральные оценки качества являются интегралами по
времени от некоторых функций переходного процесса свобод-
ной составляющей выходной величины хсв (t) или ошибки
есв (t). Цель использования таких критериев состоит в том,
чтобы получить общую оценку быстродействия и отклонения
регулируемой величины от установившегося значения. Широко
используются линейные и квадратичные интегральные оценки.
Линейные оценки вычисляются по формуле
оо
J0 = J e-a//«ECB.	(4.46)
О
Рис. 4.19
»
Однако чаще используют моменты t-ro порядка, т. е. оценки
вида
J 00 — J ®Св (0
о
оо
Joi — J ^есв (О
О
(4Л7)
(4.48)
оо
Jon=f	(4.49)
о
Простейшей из этих оценок является Joo (4.47). Если си-
стема устойчива, то lira еов (t) — 0, интеграл Joo стремится
t—>ОО
к конечному значению, равному площади под кривой есв (t)
(рис. 4.19). Чем выше быстродействие системы, тем меньше
величина Joo, поэтому параметры системы следует выбирать
так, чтобы <700 стремился к минимуму, т. е. dJ00ldA — О,
где А — варьируемый параметр системы. Недостатком этой
оценки является то, что она применима к монотонным или
апериодическим процессам. При колебательном процессе
(рис. 4.20) площади, ограниченные есв (t), складывают алге-
браически и минимуму Joo может соответствовать процесс с
большим числом колебаний п, т. е., с малым быстродействием
и даже с незатухающими колебаниями.
Для есв (s) изображение по Лапласу
оо
Е (s) = J e~sZ есв (0 dt.
Сравнивая это выражение с (4.47) для Joo? можно записать
ECB(t)dt = ECB(O).
о
Разложим e~st в ряд по степеням st:
e~~st = 1 —st + 0,5s2t2 ... .
(4.50)
(4.51)
Подставим (4.51) в выражение для определения Есв (s), т. е.
Есв (s) = f e~st есв (0 dt = f есв (/) dt —s 7 teCB (t) dt 4-
o	bo
-i-0,5s2 J* t2ECB(t)dt —... =J00— sJ01 +0,5s2 J №—... . (4.52)
о
Если разложить ECB (s) по степеням s в ряд:
Ece(s) = ^cb(0)+1'——)	s —0,5 f	s2 + ...,
\ '	L И \	/	1 I	-j	I	• I	-j о	I	1	*
\ ds /s = 0	\ US^ /s = 0
(4.53)
то, сопоставляя (4.52) и (4.53), можно сделать следующее за-
ключение, приравнивая выражения при равных степенях s:
Ло = £св(0);	•	<454)
\ OS Js = O
;	(4.55)
\ OS2 /5=0
Jon =(-!)"	•	(4.56)
\ dsn Js=o
Если сравнить результаты (4.50), (4.54)—(4.56) с коэф-
фициентами ошибок, приведенными в § 4.2, то Joo = Со; J01 ==
— (—1) С}, ...; Jдп = (—1)п Сп, где Со, Cj, ..., Сп ко-
эффициенты ошибок.
Квадратичные интегральные оценки
вычисляются по формулам
оо
20 j (0 >
0
(4.57)
J21 = J [ecn (0 + т? ё*в (/)] dt-,
о
(4.58)
оо
Лп = [ [есв (0 т? ёс2в (0 + ... + т2 е<">2 (01 dt, (4.59)
о
где ть т2, ..., тп — постоянные величины.
Оценки J21,..., J2n называют обобщенными квадратичными
оценками.
Геометрический смысл интегральной квадратичной оценки
пояснен на рис. 4.21. Выбирая параметры системы по миниму-
му квадратичной интегральной оценки J20, приближаем кри-
вую еСв (0 к осям есв и t.
Методы вычисления этих оценок предложены А. И. Ман-
дельштамом й Н. Д. Папалекси в 1909 г. В 1937 г. акад. А. А.
Харкевич применил эту оценку для исследования режимов
работы усилителей, в 1948 г. А. А. Красовский и А. А. Фельд-
баум использовали ее для исследования качества линейных
систем автоматического регулирования.
Рассмотрим методы вычисления квадратичных интеграль-
ных оценок есв (Z) — hyCT — h (t). По определению, .
L{h(t)}=*ff(s) = -—-Wgh(s).
По теореме о предельных переходах,
hуСТ •= lim h (t) = lim sH (s) =- Wgh (0);
r	Z—>oo	s-*0
следовательно,
^cB(s) = ^eft(0)-y^eft(s).
Поскольку Wgh (s) — дробно-
рациональная функция, то и
Д (s) можно записать в виде
дробно-рациональной функции:
Д(») =
_b0	. .+Ьт-1 s+bm
«о «"-Hi s”-1-)- ... +ап-1 s+an'
(4.60)
Рис. 4.21
При т < п оценку /20 (4-57) можно вычислить, используя
коэффициенты Ьо, Ьт н а0, ..., ап (4.60), по формулам, при-
веденным ниже без вывода [4]:
оо
/20 = f есв (0 dt = —1— (Во До + Вх Дх +... + Вт_2 Дт_2 +
J	2«п Д
о
+ Вт^ Дт_х + Вт Дт) -	,	(4.61)
п
где Д — определитель Гурвица, составленный из коэффици-
ентов:
			ап-2	^n—4		 0	
	0	^n—1	an— 3		 0	
д =	0		an-2	.... 0	,	(4.62)
	0	0	—«n-1	.... 0	
	0	0	0	....	
в котором все коэффициенты с меньшим индексом 0 и большим
п заменяют нулями. Определители До, ..., Дт получают из
(4.62) заменой столбца (v + 1) столбцом ап_ъ ап0, ..., 0, а
v = 0, 1, ..., tn.
Коэффициенты Во, Blt ..., Bm_lf Вт определяют как
B0 = b2m; B1~bm — i—2bmbm-2;
Bv == bm — v—• 2bm_v-f-1 bm^v^ i ...-]-2 (—l)v bm bm—2v‘t
(4.63)
Интегральную квадратичную оценку J20 можно вычислять
по заданной частотной характеристике замкнутой системы.
Пусть Е (/со) — изображение Фурье для функции есв (0,
на основании теоремы свертки в комплексной области для
£ {есв (0 ЕСв (0} можно записать [71 при s = 0
Ло = J есв (0 dt = ~ Р I2 (4 •64)
о	о
Есв (0 = by с?— h (0 4= Е св (/со) = -i- [/со Wgh (0) — W gh (/w)],
(4.65)
Где Wgh (/со) — комплексный коэффициент усиления замкну-
той системы.
Таким образом, по (4.64) и (4.65) можно вычислить J20.
Выражение (4.64) есть формула Рэлея*.
Существуют таблицы расчета интеграла J20 в функции ко-
эффициентов Ьо, ..., 6,,.. и а0, ..., ап изображения по Лапласу
сигнала ошибки Есв (s) для т = п — 1 и до п = 10. В табл. 4.1
приведены формулы для J20 при п = 1 4- 5.
Таблица 4.1
„ , ,	ьо&т+bt sm 1 4" • •  4"bm_j s +Ьт
Ёав (s) =--------—-----------------------
Go 8 -|-П1 S 4’• • • 4~	8 4" Пн
п—1. J2O=6§/(2aoa1).
и = 2. J20 = (6? ао + ^о «2)/(2ao«i «а).
„	, Ьо «з«2-ЫЬ1— 2Ь0 Ь2) «з«о4-Ь2 «1 а0
tl —: О. J 20- •
2а0а3[а1а2 — а0а3)
ьо (— а1 «1 + «4 «з а2) + (bf —2b2 b0) at а3 а0 +
^„4 j = + (Ь2 —2Ь3 bi) 04 «о + Ьз (— «з «о + «а Др)
2с4 а0 (—at af —al а0 4-Oi о2 а^
п=о. J20 = -^-Ь§т04-(Ь?—2b2b0) m1 + bl—2bsb1 +
+ 2Ь4 Ьй)т2 + [bl — 2b„ b2) m3 4- bl mA,
где
1
m0 = — (a2 m, — ai m^)
ao
тг = —a3 a2 ~|~ ctt a3',
mz — —Og co 04 Oi;
1
m3= ~ (agm2—ai тг)\
аъ
1
m.t = — (a3 «з—at m2)\
a5
&5 = as (o4 mt—az m34-«o m^).
При выборе параметров системы по минимуму оценки J20
часто получают нежелательную колебательность процесса,
так как приближение процесса h (t) к идеальному скачку вы-
зывает резкое увеличение начальной скорости, что, в свою
очередь, может вызвать высокое перерегулирование, умень-
* Эта формула была получена и Парсевалем, поэтому в литерату-
ре ее также называют и формулой Парсеваля.
шив при этом запас устойчивости. В обобщенных квадратич-
ных оценках J21, Jan накладывают ограничение не только
на величину отклонения е (t), но и на скорость отклонения
е (I) в J21, а также и на производные второго, третьего и выс-
ших порядков в J22, J2n, что означает приближение кривой
не к ступенчатой функций, а к экспоненте в случае J21 и к бо-
лее плавной, но сложной кривой в случае использования
J22, ..., У2/1. При выборе параметров САУ по минимуму J21,
J2n существен выбор постоянных ть .... тп, определяю-
щих вес производных в обобщенных квадратичных оценках
(4.58), (4.59). Значительное увеличение ..., тп приводит к
отсутствию перерегулирования, но увеличивает время регули-
рования. При малых тх, ..., тп уменьшение колебательности
будет незначительным. Выбор т1; ..., тп осуществляется с уче-
том постоянной времени экстремали, к которой целесообраз-
но приближать процесс.
Остановимся на методике расчета- системы по минимуму
обобщенной квадратичной оценки:
Л1 = J 1есв (0 + Т? Есв (0] dt.
о
Этот интеграл можно представить в виде суммы двух интегра-
лов:
Jzi — J 1есв (0 Ъ. есв (01s dt 2тх j есв (/) есв (/) dt =
о	о
— 1есв (0 + Ti есв (О)2 dt 2тх |* есв (t) deCB (t).
о	b
Если система устойчива, то lim есв (t) — 0, тогда
2т1 С есв (0 deCP (t) = %! е?в (0 j = ТХ £св (0).
о	о
Кроме того, интеграл J2i будет иметь минимально возмож-
ное значение
Jh min = ес2в (0)	(4.66)
при
есв(0+т^св^) =0.	(4.67)
Если
Ti rfcCB т cCB (t) — 0,
(4.68)
то решение дифференциального уравнения (4.68)
есв (0=есв(0)е-<./т*
(4.69)
является оптимальным по минимуму (экстремальным) пере-
ходным процессом (где тх — постоянная времени этого про-
цесса).
При выборе параметров системы по минимуму /21 обычно
имеет место отклонение JJimm от наименьшего значения
•^aimin' т- 21 min J21mln — 6 > 0.
А. А. Фельдбаумом [10] было показано, что переходный
процесс будет отличаться от экстремального на величину, мень-
шую V6/тг, т. е.
I ДеСЕ(01 сКб/Т!.
(4.70)
По величине 6
ходного процесса
можно оценить отклонение истинного пере-
есв (0 от экстремального (рис. 4.22). При
увеличении порядка системы увеличивается и ширина зоны
±Х б/ъ, при этом уменьшается точность оценки качества си-
стемы (приближения переходного процесса к экстремали);
во избежание этого используют оценки вида (4.59). Величи-
ну задают по требуемому времени регулирования А, т. е.
?Р/6 < тх < ?р/3.
Следует заметить, что задача выбора параметров по мини-
муму J20 или J21 решается аналитически лишь в несложных
случаях для САУ невы-
сокого порядка. В про-
тивном случае расчеты
существенно усложня-
ются и задачу следует
решать численно на
ЦВМ.
Рассмотрим примеры
выбора оптимального
значения какого-либо
параметра системы по
минимуму /2о и J21.
Пример 4.4. Вычислить
значение коэффициента
усиления системы, миии-
мизирующее квадратичную интегральную оценку J 2„. Известна
передаточная, функция разомкнутой системы
W (s) = A/[s (1 + s7\) (1 + sT2)J,
где Т1 — 0,01 с; Т2 = 0,03 с.
Входной сигнал — единичная функция g (f) = 1 (/).
Изображение отклонения еСв (/) по Лапласу
F , ч___L™ , А- 1	1	1 sd+sTiXl+s^)
CBlS) s	s 1 + tt7(s)	s s(i+sri)(i+sr2)+*~
з2Гх72+з(71 + Г2)+1	_
sST] 7’2+s2 (Л + ТУ-Н+А	+	+
где fco=<zo = 7’1T2 = 3-10-з 4 * * * * * * *; b, = at = 7\ + T2==4-IO—2; fc2 = a2=l;
a3 — k
Воспользуемся формулами для вычисления J20, приведенными
в табл. 4.1 для п = 3;
j _	°о °1 + (bi ~2Ьо М Оо Пз + fco Сг »з _
2ав а3 (щ а2 — ав а3)
ав а1—/гап af—aj k 1 A (a2 — aB) + ai
— k2 2a% + A2a0 a, 2 kay — A2 aB
Определим частную производную:
dJ20 1 k (a^ — aD) (дх —fea0) —[A (a2 —ao) + oiJ (ai — ^ao k)
dk 2	A2(ax—Aoo)2
Определим k из dJ2o/dk=O, t. e. k2 aB (a2—aB)-\-2aB	k—a2=0.
Подставляя числовые значения коэффициентов, получим
k2 + k 61,5 — 41- 102 = О,
откуда Аопт « 37.
Пример 4.5. Определить оптимальное значение коэффициента уси-
ления А, соответствующее минимуму обобщенной квадратичной оценки
Передаточная функция разомкнутой системы W (s) = A/|s (1 +
+ sT1)]; Т = 0,1 с; т = 0,5 с.
Входной сигнал — единичная функция g (t) — 1 (/). Можно пред-
ставить J21 в виде суммы:
00 00 .
/2|=У [е2в (/) + т2 ёсв(/) ] dt= J ес»(0^+’12 f бсв^)^-
о	о	о
Изображение отклонения еСв (/) по Лапласу
1	___1_______1_________1_ s(l+sr)
Бев (s) = — WgB (s) - s 1 + U7(S) - s s(14-sT)4-l
sT 4- 1	bo s *4" b±
S2 T 4- S 4- k	U© S2 4- Cj S -f- Oa
где b0 — a0 = T; bt — fli — 1; a2 — k.
Воспользуемся данными табл. 4.1 и определим значение J20
для п = 2:
Ao = (bl о»«2)/(2о0 о2) = (Т + Г2 k)/(2Tk) = (14-kT)!(2k).
Определим изображение производной еСв (t) из свойства преобра-
зований Лапласа:
ёов (0 = sECB (s)—есв (0).
По теореме о предельном переходе,
_	Ьо s2 + b,s
еСв(0)=Ит 8СВ(О = Нт s£CB(s)=lim ——--------------— =1.
<->0	S->оо	s->-oo Go s’tAi s-p^a
Тогда L [еСв (01 = (bo s2+br s)/(a0 s2 4- аг s-|- a2) — I =
--- — fe/(s2 T 4- s4“ fe) ~ (bo s-f- £>i)/(oo s2 *4“ Oj «4- °2) ,
где b0 = 0; bt = — k; a0 = T\ at = I; o2 = k.
Теперь можно определить интеграл
T2JZo :Т2[
b
пользуясь формулой для J2o из табл. 4.1 для п — 2:
„ ,	„ bla0 + bla2	п
т2 J2o = г2 ----------- = т2 Л/2.
2ов Oi as
Итак, J21 = (1 + kT)l(2k) + т2Л/2.
Определим ЛОпт из dJ2l/dk = 0, т. е.
rfj21/dft = (— 2 4- 2fc2 т2)/(4Л2) = (— 1 4-Л2 т2)/(2Л2) = О,
откуда А2т2 = 1; Лопт= }/1/т2= 1/т = 2с-1.
Оптимальный переходный процесс описывается в соответствии с
формулой (4.69) выражением
есв (0=еСв (0) e-z/T==e-2'; J2t mm=	4- "-"'• = 0,55.
2/т	2
Так как еСв(0) = 1, то по (4.66) наименьшее значение оценки Jh.—
=т1е2в(0)=т1 =0,5. Следовательно 6 = /2imin—^2imin=0,05. Соглас-
но (4.70) AeCB(t)= ±Уб/т =1/0,05/0,5 ±0,33 (рис. 4.2).
Интегральные оценки качества широко используются при
синтезе оптимальных САУ в качестве критерия оптимальности.
§ 4.8. Частотные методы оценки качества
регулирования
Частотные методы исследования систем управления широко
используют в инженерной практике. Они основаны на привыч-
ном для инженеров графическом изображении динамических
характеристик системы, поэтому нашли применение при рас-
четах систем автоматического управления и позволили раз-
работать ряд удобных инженерных методов анализа и синтеза
систем автоматического регулирования. В СССР большую роль
в пропаганде и развитии частотных методов сыграли работы
В. В. Солодовникова. В них приведены метод оценки качества
по вещественным частотным характеристикам, метод построе-
ния переходных процессов по вещественным трапецеидальным
характеристикам при ступенчатых воздействиях, а также ме-
тод синтеза корректирующих устройств. В работах была до-
казана возможность применения частотных методов к раз-
личным системам с распределенными параметрами и с запазды-
ванием. Применение этих методов позволяет определить та-
кие важные показатели качества, как быстродействие, перере-
гулирование, колебательность процесса. Эти вопросы хорошо
освещены в литературе, и имеется большое количество вспомо-
гательных таблиц и графиков, что в значительной степени
упростило инженерные расчеты.
Прежде всего остановимся на аналитической зависимости
между переходной характеристикой и частотными характери-
стиками системы. Если на линейную систему воздействует
гармонический сигнал, то и установившееся значение выход-
ной величины будет гармоническим:
X (/со) =	(/со) G (/со),	(4.71)
где X (/со) — изображение выходной величины х (/) по Фурье;
G (/со) — изображение входной величины g (О по Фурье;
Wgx (/со) — комплексный коэффициент усиления замкнутой
системы.
При воздействии на систему единичной ступенчатой функ-
ции g (0 = 1 (0 выходная величина, являющаяся переходной
характеристикой системы h (Z), определяется через веществен-
ную частотную или мнимую частотную характеристику зам-
кнутой системы:
u\ t и\ 2 С Р (со) .	, ,
х (t) = h (t) — — I —— sin cofdco,
nJ co
0
(4.72)
где P (co) — вещественная частотная характеристика замкну-
той САУ;
х (0 - h (t) = — f cos co/dco + P (0),	(4.73)
nJ co
0
где Q (to) — мнимая частотная характеристика замкнутой си-
стемы.
Определение переходной характеристики по (4.72), (4.73)
возможно лишь численными методами с применением ЦВМ.
Но возможен и другой путь, связанный с аппроксимацией ве-
щественной и мнимой частотных характеристик линейно-ку-
сочными функцями. Это позволяет получить достаточно удоб-
ные выражения для приближенного построения переходной
характеристики.
Если на систему действует произвольное возмущение, то
переходный процесс определяется по обобщенным веществен-
ной и мнимой характеристикам:
J\>s(“)Re[№g;B(/co)G(/co)]; |
Зоб (<o)=Im [Гея. (/со) G (/со)],)
(4.74)
где G (/со) = J g (t) e-W dt — изображение входного воздей-
о
ствия g (t) по Фурье. При этом необходимо, чтобы полюсы
функции W (s) G (s) располагались слева от мнимой оси.
Рассмотрим основные свойства вещественных частотных
характеристик и соответствующих им переходных процессов.
Из (4.72) следуют основные свойства Р (со) и h (t). Приведем
|их без доказательств.
1.	Свойство линейности: если вещественную частотную ха-
рактеристику можно представить суммой
Р(со) = 2
1= п
. ...	2 0		.,
ht (0 = — I — sin co/dco,
nJ со
о
(4.75)
то и переходный процесс h (t) может быть представлен суммой
составляющих:
(4.76)
i= 1
2.	Соответствие масштабов по оси ординат для Р (со) и
h (t). Если умножить Р (со) на постоянный множитель а, то
соответствующие значения h (t) тоже умножаются на этот
множитель а.
3.	Соответствие масштабов по оси абсцисс для Р (со) и
h (t). Если аргумент со в соответствующем выражении частот-
ной характеристики умножить на постоянное число (рис.
4.23, а), то аргумент и в соответствующем выражении переход-
ного процесса будет делиться на это число (рис. 4.23, б), т. е.
оо
h (t/a) = — f Р ^аа>-  sin co/dco.
Л J (Jt)
0
(4-77)
4.	Начальное значение вещественной частотной характе-
ристики равно конечному значению переходной характери-
стики:
lim Р (со) = lim х (t) = lim h (t).
(0->0	t—>co
Начальное значение мнимой частотной характеристики
<2 (0) = 0.
5.	Конечное значение вещественной частотной характери-
стики равно начальному значению оригинала переходной ха-
рактеристики:
lim Р (со) = lim х (t) =--- lim h (t).
>оо	t->0	i—>0
Представляют интерес
разрывы непрерывности и
пики в вещественной частот-
ной характеристике. Пред-
положим, что при со = сох
вещественная частотная ха-
рактеристика имеет разрыв
непрерывности Р (сох) = оо,
при этом характеристическое
уравнение системы будет
иметь мнимый корень st =
— т- e- в системе устанавливаются незатухающие гар-
монические колебания, если остальные корни левые. Характе-
ристика для этого случая показана на рис. 4.24, а. По-види-
мому, высокий и острый пик частотной характеристики, за
которым Р (со) переходит через нуль, при частоте, близкой к
cot, соответствует медленно затухающим колебаниям
(рис. 4.24, б).
6. Чтобы переходная характеристика системы имела пере-
регулирование, не превышающее 18 % (а 18 %), вещест-
венная частотная характеристика должна быть положитель-
ной невозрастающей функцией частоты (рис. 4.25), т. е.
Р (со) > 0, dP (a)/da С 0.
7. Условия монотонного протекания переходного процес-
са. Чтобы переходный процесс имел монотонный характер,
достаточно, чтобы соответствующая
ему вещественная частотная характе-
ристика Р (со) была положительной,
непрерывной функцией частоты с от-
рицательной, убывающей по абсо-
лютному значению производной (рис.
4.26, а, б), т. е.
Р (со) > 0, IdP (co)/dcol < 0.
8. Определение наибольшего зна-
чения перерегулирования отах пере-
ходного процесса по максимуму ве-
щественной частотной характеристи-
ки Р (со) (рис. 4.27):
^тах ~ ll,18Pmax- P(O)J/P(O), (4.78)
где Ргаах -— максимальное значение
Р (со); Р (0) — начальное значение
р (со = 0).
р
9. Если вещественная частотная характеристика близка
к трапецеидальной, т. е. может быть аппроксимирована тра-
пецией с диапазоном частот <в2 и коэффициентом наклона к =
= Wi/coa (рис. 4.28), то время регулирования переходного
процесса системы заключено в пределах л/о>2 < tp < 4п/со2.
Оценить время регулирования tp и перерегулирование
можно по кривым, приведенным на рис. 4.29. Это применимо
для систем с невозрастающей вещественной частотной харак-
теристикой.
Если вещественная частотная характеристика Р (со) име-
ет максимум Ртах, то перерегулирование о в и время регули-
рования оценивают по кривым рис. 4.30, а, б в зависимости
от отношения PmaJP (0). При этом время регулирования за-
ключено в пределах Ззт/со2. < tp <Z 8л/со2.
Остановимся на приближенном методе построения графи-
ков переходных процессов в системе по вещественным частот-
ным характеристикам при воздействии единичной функции
е (0 = 1 (0 и нулевых на-
Рис. 4.29
чальных условиях.
Метод трапеций. В инже-
нерной практике широко
применяют метод разложения
частотной характеристики на
сумму трапеций, предложен-
ный В. В. Солодовниковым.
Две стороны единичной тра-
пеции Б (рис. 4.31) совпадают
с координатными осями,
третья параллельна оси аб-
сцисс, а четвертая имеет
Рис. 4.30
наклон х = сох/со2. Функция, соответствующая частотной ха-
рактеристике Б (рис. 4.31), записывается так:
Р(®) =
1	при 0 < со < х;
1 — (и—х)/(1—х)=(1—со)/(1 —х) при х<со<1;
.0	при со < 0 и со > 1.
Если принять такую единичную трапецию за некоторую
вещественную частотную характеристику, то соответствующая
ей переходная /i-функция определяется интегралом:
/ К	1	х
, . .	2 ( С sin сот , , С (1— <о) sin сот , \
h (т) = — I ----------осо + I -5-------------da =
я I J	со	J (1 —х) со *
'•0	и
2	1 Го- / \ С* / \ , COST—COS XT "I ,, -„х
—------------Si (т) — x Si (xt) 4--------------, (4.79)
Я (1—X) |	T J
1
„. . x C sin сот .
где Si (т) = I ------oco—интегральный синус.
J (O
о
Значения /i-функций
даны в табл. 4.2.
Для трапеции с другой
высотой Pk, основанием со2
и точкой излома сох = хсо2
(характеристика А на
рис. 4.31) получим (по
свойствам 2 и 3 об изме-
нении масштабов)
Л* (0 = Pkh (т/со2), (4.80)
где / — т/со2.	Рис. 4.31
Обычно поступают так: сна-
чала характеристику Р (со) при-
близительно разбивают на пря-
молинейные отрезки, при этом
в окрестности экстремумов пря-
молинейные отрезки распола-
гаются параллельно оси со
(рис. 4.32, а). Далее из точек
изломов проводят линии так, что
характеристика оказывается раз-
битой на несколько трапеций,
частично наложенных одна на
другую. Затем эти трапеции
вычерчиваются на другом черте-
же таким образом, чтобы осно-
вание каждой из них легло на
ось со (рис. 4.32, б).
Для всех трапеций опреде-
ляют ht (тг), по (4.80) — соот-
ветствующие им ht (t); вычерчи-
вают кривые на одном графике;
их знаки должны совпадать со
знаками ординат соответствую-
щих трапеций. Суммируя гра-
фически вычисленные процессы
(рис. 4.32, в), получим h (t) —
= ^hi (0-
Можно также характеристи-
ку Р (со) представить линей-
ными отрезками, но распреде-
лить их с лучшим приближени-
ем к кривой и тогда пользо-
ваться методом треугольников,
предложенным А. А. Вороно-
Рис. 4.32	вым [2]. Полученные при пере-
счете значения из тг по (4.80)
могут не совпадать для отдельных трапеций, поэтому при.ис-
пользовании метода трапеций возникает необходимость гра-
фического суммирования составляющих кривых ht (f), что
ухудшает точность результатов. От этого недостатка свобо-
ден метод треугольников.
Представим характеристику Р (со) линейными отрезками
(рис. 4.33), обеспечив возможно лучшее приближение к кри-
вой; отрезки продолжаем до пересечения с осью ординат, при
этом площадь под кривой будет разбита на пять треугольников:
АОВ, BCD, DEF, FGH, GHK. Затем каждый из треугольников
заменим другим с основанием, равным проекции основания
данного треугольника на ось <о, с высотой, равной стороне,
лежащей на оси Р. На рис. 4.34, а, б показана замена /\DBC
на	так. чтобы ОуАу = О А и О, By = BD.
Из (4.79) при х = О
h (т) = — (Si т — -1-~cos т )	(4.81)
эт \	т /
определяют значения ft-функции для единичного треуголь-
ника («! = Ну = 1).
Соответствующие значения /i-функции даны в табл. 4.3.
Заметим, что переходный процесс для. треугольной частотной
характеристики описыва-
ется монотонной функцией
времени. Для того чтобы
показать это, продиффе-
ренцируем (4.81):
dh 2 / sin т
dt	Л \	т
. 1	sin т	cos т
t2	т	t2
= -£-(i—cost). (4.82)
пт/
Из полученного выраже-
ния видно, что производ-
ная h' (т) положительна
и обращается в нуль при
значениях т = 2/т, где
k = 0, 1, 2, ...
Переходный процесс
для треугольников, заме-
щающих Р (<о), определя-
ют из следующей зависи-
мости: xh (t)=Phh (r/cojJ,
где Ph — высота; <ah —
основание замещающего
треугольника.
Рис. 4.33
\ х т \	0,0	0. 05	0,10	0.15	0.20	0,25	0,30	0.35	0.40	0, 45
0,0	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000
0,5	0,138	0,165	0,176	0,184	0,192	0,199	0,207	0,215	0,223	0,231
1,0	0,310	0,326	0,340	0,356	0,371	0,386	0,401	0,417	0,432	0,447
1,5	0,449	0,469	0,494-	0,516	0,538	0,560	0,594	0,603	0,617	0,646
2,0	0,572	0,597	0,628	0,655	0,683	0,709	0,681	0,761	0,786	0,810
2,5	0,674	0,705	0,797	0,833	0,867	0,833	0,839	0,891	0,938	0,943
3,0	0,755	0,790	0,828	0,863	0,896	0,928	0,958	0,987	1,013	1,038
3,5	0,783	0,853	0,892	0,928	0,963	0,994	1,024	1,050	1,074	1,095
4,0	0,857	0,896	0,938	0,974	1,008	1,039	1,060	1,090	1,107	1,124
4,5	0,883	0,923	0,960	0,997	1,029	1,057	1,080	1,100	1 ,115	1,129
5,0	0,896	0,936	0,978	0,012	1,042	1,067	1,087	1,103	1,112	1,117
5,5	0,900	0,940	0,986	1,019	1,046	1,067	1,083	1,093	1,095	1,197
6,0	0,904	0,943	0,982	1,013	1,037	1,054	1,065	1,070	1,068	1 ,062
6,5	0,904	0,942	0,980	1,009	1,030	1,043	1,050	1,049	1,043	1,033
7,0	0,904	0,944	0,979	1,006	1,024	1,035	1,037	1 ,033	1,023	1,009
7,5	0,907	0,945	0,980	1,006	1,019	1,025	1,025	1,017	1,005	0,989
8,0	0,910	0,951	0,985	1,008	1,020	1,024	1,021	1,012	0,995	0,98]
8,5	0,918	0,956	0,989	1,010	1,021	1,022	1,018	1,007	0,992	0,977
9,0	0,924	0,965	0,997	1,016	1,02а	1,025	1,018	1,006	0,992	0,978
9,5	0,932	0,972	1,004	1,022	1,029	1,027	1,019	1,006	0,993	0,982
10,0	0,939	0,978	1,009	1,025	1,031	1,027	1,019	1,006	0,993	0,987
10,5	0,946	0,985	1,013	1,028	1,033	1,028	1,017	1,005	0,993	0,991
11,0	0,947	0,988	1,015	1,029	1,031	1,025	1,014	1,002	0,993	0,991
11,5	0,949	0,988	1,016	1,027	1,028	1,021	1,010	0,999	0,991	0,989
12,0	0,950	0,988	1,015	1,025	1,024	1,015	1,004	0,994	0,988	0,987
12,5	0,950	0,989	1,013	1,022	1,019	1,010	0,999	0,990	0,986	0,986
13,0	0,950	0,989	1,012	1,019	1,015	1,005	0,994	0,986	0,985	0,987
13,5	0,950	0,990	1,011	1,017	1,011	1,000	0,990	0,983	0,984	0,988
14,0	0,952	0,989	1,011	1,016	1,009	0,997	0,988	0,983	0,985	0,991
14,5	0,954	0,990	1,012	1,015	1,008	0,996	0,987	0,985	0,988	0,996
15,0	0,956	0,993	1 ,012	1,014	1,007	0,995	0,988	0,987	0,991	1,000
15,5	0,959	0,995	1,014	1,014	1,006	0,995	0,989	0,988	0,996	1,004
16,0	0,961	0,997	1,015	1,014	1,006	0,995	0,991	0,992	0,998	1,007
16,5	0,964	0,999	1,016	1,014	1,005	0,995	0,993	0,905	1,002	1,009
17,0	0,965	1,001	1,016	1,013	1,005	0,995	0,994	0,997	1,005	1,010
17,5	0,966	1,002	1,015	1,012	1,003	0,995	0,994	0,998	1,006	1,010
18,0	0,966	Г, 002	1,015	1,011	1,002	0,995	0,995	1,001	1 ,008	1,010
18,5	0,966	1,001	1,015	1,009	1,001	0,994	0,995	1,001	1,007	1,009
19,0	0,967	1,000	1,015	1,008	0,998	0,992	0,995	1,001	1,006	1,006
19,5	0,967	1,000	1,014	1,006	0,996	0,991	0,995	1 ,001	1,005	1,004
20,0	0,967	1,000	1,013	1,005	0,995	0,991	0,995	1,001	1,005	1,002
20,5	0,968	1,002	1,012	1,004	0,994	0,991	0,996	1,002	1,004	1,001
21,0	0,968	1,002	1,011	1,003	0,994	0,992	0,997	1,003	1,004	1,001
21,5	0,969	1 ,002	1,011	1,003	0,995	0,992	0,999	1,004	1,004	1,001
Т а б л и ц а 4.
0, 50	0, 55	0,60	0,65	.0,70	0,75	0,80	0, 85	0,90	0,95	1,00
0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0 000
0,240	0,248	0,255	0,259	0,267	0,275	0,282	0,290	0,297	0,304	0,314
0,461	0,476	0,490	0,505	0,519	0,534	0,547	0,562	0,575	0,593	0,603
0,665	0,685	0,706	0,722	0,740	0,758	0,776	0,794	0,813	0,832	0,844
0,833	0,856	0,878	0,899	0,919	0,938	0,956	0,974	0,986	1,003	1 020
0,967	0,985	1,010	1,031	1,042	1,060	1,078	1,098	1,113	1,125	1,133
1,061	1,082	1,100	1,117	1,130	0,142	1,154	1,164	1,172	1.176	1,178
1,115	1,132	1,145	1,158	1,161	1,166	1,171	1,174	1,175	1,175	1,175
1 ,142	1,152	1,158	1,159	1,160	1,161	1,156	1,149	1,141	1,131	1’118
1,138	1,134	1,134	1,138	1,132	1,127	1,111	1,099	1,085	1,071	1,053
1,118	1,115	1,107	1,098	1,084	1,069	1,053	1,037	1,019	1,001	0,986
1,092	I ,083	1,070	1,050	1,032	1,016	0,994	0,979	0,962	0,951	0,932
1,051	1,037	1,021	1,003	0,984	0,956	0,949	0,934	0,922	0,920	0,906
1,018	1 ,001	0,982	0,946	0,948	0,936	0,920	0,910	0,903	0,903	0,905
0,993	0,975	0,957	0,941	0,927	0,917	0,911	0,908	0,909	0,915	0,925
0,974	0,958	0,944	0,926	0,922	0,911	0,920	0,927	0,934	0,946	0,958
0,966	0,951	0,941	0,935	0,932	0,936	0,944	0,9Ь5	0,970	0,986	1,004
0,966	0,949	0,944	0,948	0,951	0,958	0,974	0,990	1,006	1,023	1,041
0,970	0,960	0,961	0,966	0,976	0,990	1,006	1,023	1,039	1,053	1,06.1
0,975	0,972	0,980	0,987	1,000	1,015	1,033	1,048	1,059	1,066	1,066 1,056
0,982	0,985	0,993	1,006	1,020	1,03б	1,049	1,059	1,063	1,062	
0,987	0,996	1,007	1,017	1,033	1,046	1,054	1,058	1,055	1,048	1,033
0,993	1,002	1,014	1,027	1,039	1,047	1,048	1,044	1,034	1,021	1,005
0,997	1,006	1,017	1,029	1,037	1,043	1,034	1,024	1,010	0,994	0,977
0,997	1,006	1,019	1,026	1,027	1,025	1,015	1,000	0,984	0,969	0,958
0,997	1,006	1,018	1,019	1,017	1 ,010	0,995	0,979	0,965	0,954	0,949
0,997	1,006	1,014	1,012	1,005	0,993	0,980	0,964	0,955	0,950	0,955
0,998	1,006	1,010	1,005	0,995	0,982	0,968	0,956	0,954	0,958	0,970
1,000	1,006	1,008	0,999	0,987	0,974	0,96о	0,961	0,965	0,976	0,990
1,002	1,006	1,005	0,994	0,983	0,970	0,969	0,971	0,981	0,997	1,010
1,005	1,007	0,002	0,993	0,983	0,976	0,978	0,987	1,001	’ ,017	1,030
1,008 1,011	1,007 1,008	1,001 1,000	0,993 0,994	0,985 0,990	0,984 0,983	0,991 1,003	1,003 1,018	1,019 1,031	1,032 1,039	1,040 1,039
1,011	1,008	1,001	0,996	0,995	1,001	1,014	1,027	1,036	1,038	1,028
1,012	1,007	0,999	0,997	0,999	1,008	1,020	1,030	1,032	1,027	1,012
1,009	1,005	0,997	0,998	1,002	1,012	1,023	1,027	1,023	1,013	0,988
1,008	1,002	0,997	0,998	1,004	1,014	1,020	1,018	1,038	0,993	0,979
1,006	0,999	0,995	0,998	1,003	1,012	1,014	1,007	0,993	0,978	0,969
1,001	0,995	0,993	0,997	1,004	1,009	1,006	1,007	0,981	0,969	0,956
0,998	0,992	0,992	0,996	1,003	1,005	0,998	0,985	0,973	0,967	0,973
0,996	0,991	0,992	0,995	1,003	1,001	0,991	0,979	0,972	0,974	0,985
0,995	0,991	0,994	0,996	1,001	0,996	0,986	0,976	0,974	0,990	1,001
0,995	0,993	0,997	0,996	0,999	0,993	0,983	0,975	0,981	1,002	1,016
0,996	0,995	1,000	0,995	0,998	0,992	0,986	0,988	0,997	1,013	1,024
\ х т \	0,0	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	
22,0	0,971	1,002	1,011	1,002	0,995	0,993	1,000	1,005	1,004	1,000	
22,5	0,973	1,002	1,011	1,002	0,996	0,995	1,002	1,006	1,004	0,999	
23,0	0,974	1,005	1,011	1,002	0,996	0,997	1,004	1,007	1,003	0,999	
 23,5	0,975	1,005	1,010	1,002	0,996	0,998	1,004	1,008	1,003	0,998	
24,0	0,975	1,005	1,010	1,001	0,996	0,999	1,005	1,007	1,002	0,997	
24,5	0,975	1,005	1,009	1,000	0,996	0,999	1,005	1,006	1 ,001	0,997	
25,0	0,975	1,005	1,008	1,000	0,995	0,999	1,005	1,004	1,000	0,996	
25,5	0,975	1,005	1,008	0,999	0,995	0,999	1,004	1,003	0,998	0,996	
26,0	0,975	1,005	1.007	0,999	0,995	0.999	1.004	1,002	0,997	0,996	
Рассмотрим несколько случаев нахождения ординат веще-
ственной частотной характеристики по другим характеристи-
кам системы: амплитудно-фазовой, логарифмическим частот-
ным характеристикам, кривым D-разбиения в плоскости одно-
го параметра системы.
Остановимся на определении Р (со) по амплитудно-фазовой
характеристике системы.
Передаточная функция замкнутой системы (см. рис. 4.1).
Wgx (/<») = - Г(>) •	(4-83)
Определим Р (со):
Р (со) = Re Wgx (/со) = —cos (а - 0), (4.84)
где а — аргумент вектора
W (/(»)', 0 — аргумент вектора
[1 + Г (/со)].
Соответствующее построение
приведено на рис. 4.35.
В. В. Солодовниковым раз-
работан метод построения кру-
говой диаграммы для нахожде
ния линий равного значения
Р (со) = const и Q (со) = const,
т. е. если W (/со) = и (со) +
+ v (со), то из (4.83) имеем
Продолжение табл. 4.2
0.50	0,55	0,60	0,65	0,70	0,75	0., 80	0.85	0,90	0,95	1.00
0,996	0,996	1,000	0,997	0,997	0,991	0,991	0,997	1,012	1,024	1,029
0,997	1,000	1.004	1,000	0,996	0,992	0,998	1,008	1,022	1,028	1,026
0,998	1,001	1,006	1,001	0,997	0,994	1,002	1,015	1,025	1,027	1,016
0,999	1,002	1,007	1,002	0,998	0,997	1,007	1,017	1, 023	1,023	1,002
1,000	1,002	1,008	1,003	0,999	1,000	1,008	1,017	1,015	1,012	0,998
1,000	1,002	1,006	1,003	1,000	1,002	1,008	1,014	1,005	0,995	0,979
1,000	1 ,002	1,004	1,003	1,001	1,003	1,005	1,008	0,991	0,985	0,975
1.000	1,002	1,002	1,002	1,002	1,004	1,004	1,001	0,986	0,978	0,977
1,000	1,002	1,000	1,001	1,002	1,004	1,002	0,987	0,984	0,977	0,983

u-l-jv _____(14-м— Д') (м-|-р)
! + « + /£> —	(1 + u)2~j-v2
РИ== е + И±У2 ;	Q((1))==-----2----
(l+u^ + t)2	,	(l+u)2+^
или
(Р — 1) м2 + (2Р — 1) и + (Р — 1) о2 + Р = 0; (4.85)
Qtz2 + 2Qu + Qv2 — v + Q= 0.	(4.86)
Кривая (4.85) является окружностью, центр которой Р =
— const лежит на оси абсцисс, так как уравнение не содержит
v; окружности имеют общую точку v = 0, и = 1, и =
= — Р(1 — Р). Радиус окружности
Р = 0,5 11 — Р |.
(4-87)
Соответствующие кривые показаны на рис. 4.36 с указанием
значений Р, для которых эти окружности построены. Анало-
гично находят все ок-
ружности Q = const
(рис. 4.36). Радиус ок-
ружности
Р = 1/[2|Q]]. (4.88)
На круговую диаг-
рамму накладывают
кривую W выпол-
ненную в том же мас-
штабе, и считывают зна-
чения Р (со,-), которые
Таблица 4.3							
т	1 *	т	1 »	1 т	1 ft	1 т	1 Л
0,00	0,00000	0,50	0,158	1,0	0,310	7,0	0,904
01	0,00318	51	0,161	1	0,339	2	0,904
02	0,00637	52	0,164	2	0,367	4	0,906
03	0,00955	53	0,167	3	0,395	6	0,907
04	0,0127	54	0,171	4	0,422	8	0,909
0,05	0,0159	0,55	0,174	1,6	0,449	8,0	0,911
06	0,0191	56	0,177	6	0,475	2	0,913
07	0,0223	57	0,180	7	0,500	4	0,916
08	0,0254	58	0,183	8	0,525	6	0,919
09	0,0286	59	1,186	9	0,548	8	0,922
0,10	0,0318	0,60	0,189	2,0	0.571	9,0	0,925
11	0,0350	61	0,192	1	0,593	2	0,928
12	0,0382	62	0,195	2	0,615	4	0,931
13	0,0415	63	0,198	3	0,635	6	0,934
14	0,0446	64	0,201	4	0,655	8	0,936
0,15	0,0477	0,65	0,204	2,5	0,674	10,0	0,939
16	0,0509	66	0,208	6	0,691	2	0,941
17	0,0541	67	0,211	7	0,709	4	0,943
18	0,0573	68	0,214	8	0,725	6	0,945
19	0,0604	69	0,217	9	0,740	8	0,946
0,20	0,0637	0,70	0,220	3,0	0,755	11,0	0,947
21	0,0668	71	0,223	1	0,768	11,5	0,949
22	0,0700	72	0,226	2	0,781	12,0	0,950
23	0,0731	73	0,229	3	0,793	12,5	0,950
24	0,0763	74	0,232	4	0,804	13,0	0,950
0,25	0,0794	0,75	0,235	3,5	0,815	13,5	0,950
26	0,0826	76	0,238	6	0,824	14,0	0,951
27	0,0856	77	0,241	7	0.833	14,5	0,954
28	0,0889	78	0,244	8	0,842	15,0	0,956
29	0,0921	79	0,247	9	0,849	15,5	0,959
0,30	0,0952.	0,80	0,250	4,0	0,856	16,0	0,961
31	0,0984	81	0,253	1	0,862	16,5	0,963
32	0,100	82	0,256	2	0,868	17,0-	0,965
33	0,105	83	0,259	3	0,873	17,5	0,966
34	0,108	84	0,262	4	0,878	18,0	0,966
0,35	0,111	0,85	0,265	4,5	0,882	18,5	0,966
36	0,114	 86	0,268	6	0,885	19,0	0,966
37	0,117	87	0,271	7	0,888	19,5	0,967
38	0,121	88	0,274	8	0,891	20,0	0,967
39	0,124	89	0,277	9	0,894	21,0	0,968
0,40	0,127	0,90	0,280	5,0	0,895	22	0,971
41	0,130	91	0,283	2	0,899	23	0,973
42	0,133	92	0,286	4	0,901	24	0,975
43	0,136	93	0,289	6	0,902	25	0,975
44	0,139	94	0,292	8	0,903	30	0,980
0,45	0,142	0,95	0,29Ь	6,0	0,903	40	0,984
46	0,146	96	0,298	2	0,903	50	0,987
47	0,149	97	0,301	4	0,903	100	0,994
48	0,152	98	0,304	6	0,903	120	0,995
49	0,155	99	0,307	8	0,903		
.соответствуют индексам окружностей сетки, пересекающей
кривую IF (/со) в точках, соответствующих частотам сог.
Вещественную частотную характеристику определяют по
логарифмическим частотным характеристикам. Передаточную
функцию разомкнутой системы можно записать через ампли-
туду И фазу:
IF (/со) — А (со) еЛр (и> = А (со) (cos ср (со) + / sin ср (со)]. (4.89)
Если (4.89) подставить в (4.83) и разделить вещественные и
мнимые части, то
р о.,) =	(Ю) + A (to) cos ср (со)	(4 9().
А2 (со) -р 2А (co) cos ф (со) I
Рис. 4.36
По этим формулам построены номограммы для определе-
ния Р (со) и О (со) по логарифмическим частотным характери-
стикам. Эти номограммы построены на плоскости, по оси аб-
сцисс которой отложены значения ср, а по оси ординат —
20 1g А (стороны квадрата). На эту плоскость накладывают
ЛАФЧХ разомкнутой системы с указанием частоты. Значения
вещественной частотной (или мнимой) характеристики опреде-
ляют по точкам пересечения нанесенной кривой ЛАФЧХ
с кривыми номограммы. Эти номограммы представлены на
рис. 4.37.
Рис. 4.37
Оценка качества
по показателю коле-
бательности. Опреде-
ление показателя ко-
лебательности М при-
ведено в § 4.4. Если
АЧХ системы при
нулевой частоте рав-
на 1 (А3 (0) = 1), то
показатель колеба-
тельности
Л4 = Аз max (®) ’
I	I
I 1 -р W (jto) |max
Чтобы определить
показатель колеба-
тельности системы,
можно воспользоваться амплитудно-фазовой частотной харак-
теристикой разомкнутой системы W (/со) = и (со) + jv (со), где
и — Re W Цы), v (со) = Im W (ja).
Показатель колебательности можно вычислить так:
М --
ц(со) + р(о>)
1 + и (С0) + Jv (to)
[max
l/u2 (a>)-J-v2 (co)
V[l+«(to)]s+os(to) ’
Возведя в квадрат обе части равенства, получим
М2 {[1 + и (со)!2 + о2 (со)} = ы2 (со) + о2 (со).
После алгебраических преобразований можно записать
[и (со) + Af2/(M2— I)]2 4- v2 (со) = М2/(М2 — I)2.	(4.92)
Выражение (4.92) является уравнением окружности с ра-
диусом /? = М/(М2 — 1) и с центром, смещенным от начала
координат влево на величину С = М2/(М2 — 1). Задаваясь
различными значениями М от 0 до оо, можно построить се-
мейство таких окружностей (рис. 4.38). При М = 1 окружность
вырождается в прямую (7? -> оо, С-> оо), параллельную мни-
мой оси и проходящую через точку (—0, 5, /б):
Пт (С — R) = lim [Л42/(Л42 — 1) —М/(М2— 1)1 = 0,5.
ЛС->1	M-S-1
При 0 <1 М < 1 окруж-
ности располагаются справа
от линии, соответствующей
М = 1, а при М > 1 — сле-
ва от нее. Если М -> со, то
окружность вырождается в
точку с координатами [—1,
/01. Номограммы можно ис-
пользовать для построения
амплитудно-частотной харак-
теристики замкнутой системы
Л з (о). Для этого на номограм-
му наносят амплитудно-фазо-
вую характеристику ра-
зомкнутой системы W (/со), далее по точкам пересечения
последней с окружностями определяют значения Л3(со). Ког-
да нужно оценить значение показателя колебательности М, то
строить амплитудно-фазовую характеристику не нужно, а не-
обходимо только оценить, какой наименьшей окружности
она коснется; значение М = const, соответствующее этой
окружности, и будет показателем колебательности.
При проектировании системы может быть поставлено усло-
вие, чтобы показатель колебательности М не превышал за-
данного значения. Это значение определяет ту запретную об-
ласть, куда не должна заходить амплитудно-фазовая характе-
ристика разомкнутой системы W (/со) (рис. 4.39). В том слу-
чае, когда М = 1, систему автоматического регулирования
можно рассматривать как колебательное звено. При этом пере-
даточная функция замкнутой системы
U7gK(s) - 1/(1 +2^+7’s!).
Для этой передаточной функции можно найти зависимости
между перерегулированием о, показателем колебательности
М, запасом устойчивости по фазе Д<р и параметром затухания
g. Эти кривые приведены на рис. 4.40. Для той же передаточ-
ной функции можно определить зависимость между перерегу-
лированием о и показателем колебательности (рис. 4.41).
§ 4.9. Чувствительность систем автоматического
управления
Параметры системы автоматического управления в про-
цессе работы не остаются равными расчетным значениям.
Это объясняется изменением внешних условий, неточностью
изготовления отдельных устройств системы, старением эле-
ментов и т. п. Изменение параметров САУ, т. е. изменение ко-
эффициентов уравнений системы, вызывает изменение стати-
ческих и динамических свойств системы.
Зависимость характеристик системы от изменения каких-
либо ее параметров оценивают чувствительностью. Под чув-
ствительностью понимают свойство системы изменять режим
работы вследствие отклонения каких-либо параметров от но-
минальных значений. Для числовой оценки чувствительности
используют функции чувствительности, определяемые как
частные производные от координат .системы или показателей
качества процессов управления по вариациям параметров:
ии = (dxildctj)0,	(4.93)
где xt — координаты системы; — параметр системы.
Индекс 0 означает, что функция ui} вычисляется при но-
минальных значениях параметров.
Система, значения параметров которой равны номиналь-
ным и не имеют вариаций, называется исходной системой, а
движение в ней — основным движением. Система, в которой
имеют место вариации параметров, называются варьирован-
ной системой, а движение в ней — варьированным движением.
Разность между варьированным и основным движениями на-
зывают дополнительным движением.
Допустим, что исходная система описывается системой не-
линейных дифференциальных уравнений
(tXt/dt = (Xi, ..., хп, ttj, ...,	(4.94)
Пусть в некоторый момент времени в системе произошли
вариации параметров Дау, где / = 1, 2, т\ тогда пара-
метры станут равными ау + Дау. Если вариации параметров
не вызывают изменения порядка уравнения, то варьированное
движение описывается новой системой п уравнений первого
порядка
dXi/dt	.... хп, +	.... атф-Дат), i = l, 2, .... п.
(4.95)
Разность решений уравнений (4.94) и (4.95) определяет допол-
нительное движение:
\xi(t)^xi(t)—xi(t).	(4.96)
Если xt и Х( дифференцируемы по ау (/ = 1, .... т), то до-
полнительное движение (4.96) можно разложить в ряд Тейлора
по степеням Дау. При малых вариациях параметров ограничим-
ся в разложении лишь линейными членами. Нужно отметить,
что в случае конечных вариаций такое приближение недопу-
стимо. Итак, можно записать уравнения первого приближе-
ния для дополнительного движения:
т
AXi(t, Даь ..., Дат) = V Да,. (4.97)
\ оау /о
7= 1
Учитывая формулу (4.93), можно записать
т
&Xt(t, Дап ..., Дат)= ии^а}‘	(4.98)
Следовательно, располагая функциями чувствительности
и задаваясь вариациями параметров, можно определить пер-
вое приближение для дополнительного движения.
Продифференцируем уравнения исходной системы (4.94)
по а,-:
д / dxt \ _ d 7 dxj \ _ dun _ -у dft .
daj \ dt ) dt ' day / dt ] dxh *
+ i = 1,2,	= 1, 2, .... m. (4.99)
day
Полученные линейные дифференциальные уравнения (4.99)
называются уравнениями чувствительности. Решение их да-
ет функции чувствительности «гу. Следует заметить, что в си-
лу сложности уравне-
ний (4.99) их решение
весьма затруднительно.
М. Л. Быховским пред-
ложен структурный ме-
тод построения модели
для определения функ-	Рис. 4.42
ций чувствительности
1131.
Для определения функций чувствительности можно исполь-
зовать уравнения системы или ее передаточные функции.
Пусть САУ описывается уравнением
D	= K(p)g(t),	(4.100)
где D (р) = рп + аг (ах, ..., а„.) рп~х + ... + ап (ах, ай)
— собственный оператор системы;
К (р) = Рт+ bt (<*!, afe) pm~l + ... + bm («!, ..., <хй) —
оператор воздействия g (t); р = d/dt; п т.
Запишем уравнения чувствительности, продифференци-
ровав (4.100) по ак:
при t = 0;
D (р) ик = Lk (p)g — Мк (p) x
(4.101)
р1Иь = 0; Lk(p)= dK(p)/dak; Mk(p) =dD (p)/dak.
По уравнению (4.101) можно представить структурную схе-
му модели чувствительности для определения функции ик
(рис. 4.42). Эту схему можно упростить.
Пусть общей частью операторов (р), ..., Lk (р) являет-
ся оператор Lo (р), а операторов Мх (р), ..., Мк (р) — опера-
тор Мо (р). Тогда можно записать
Ц. (Р) = (Р) U (р);	(4.102)
Mk(p) = M0(p)M*k(p).	(4.103)
Подставляя выражения (4.102) и (4.103) в (4.101), можно пере-
писать уравнение чувствительности так:
£> (р) 4k = (р) и (р) g — Affl (р) Mk (р) X.	(4.104)
Структурная схема модели чувствительности в соответст-
вии с (4.104) показана на рис. 4.43. В этой модели выделена
общая часть для определения всех функций ик (t). Дополни-
тельные блоки модели (рис. 4.43) реализуют операторы
L*k (р) и M*k (р), с общей частью они соединены переключате-
лем П. Как видно из схемы рис. 4.43, функция чувствитель-
ности координаты х определяется последовательно во времени
по всем параметрам. Для одновременного определения всех
функций чувствительности по параметрам ак используем пе-
редаточные функции системы [13].
Выходная координата системы х (/) связана с задающим
воздействием g (t) зависимостью
X (s)= IF (s) G (s),	(4.105)
где W (s) — К (s)/D (s) — передаточная функция системы;
X (s) и G (s) — изображение по Лапласу выходной и входной
величин.
Определим изображение функции чувствительности Uk (s),
дифференцируя (4.105) по ак:
Рис. 4.44
г, , ч dW (s) ~ . .
£4 («) = G (s) =
- dU4s) * (s) _ 4 In Г (s)
~ dah r(s) ~ <Wfe (s) X
x x(s)	(4.Ю6)
где Wk (s) — передаточная
функция элемента, парамет-
ром которого является а,к.
л	a in г (s)	„ ..
Обозначим общую часть	через Яо (s), тогда
a In И? (s)
dWh (s) ”
^o(s)Hft(s),
а для функции чувствительности можно записать
Uh(s) = X(s)H0(s)Hk(S)^^-
или
Uk(s)—X(s) H0 (s) Hk(s), где
дак
На рис. 4.44 показана схема модели для одновременного
определения функций чувствительности по параметрам аг, ...,
.... <xft. Рассмотренный метод позволяет упростить модель
чувствительности за счет упрощения общей части модели, в
частности общая часть может быть представлена пропорцио-
нальным звеном. Подобное упрощение модели используется в
беспоисковых системах оптимизаций.
ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ,
ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА
РЕГУЛИРОВАНИЯ
И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ
 ! АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 5.L Общие положения
Первой проблемой, которая решалась
теорией автоматического регулиро-
вания, было обеспечение устойчивости
автоматических систем. Позднее цен-
тральной задачей стало достижение не-
обходимого качества регулирования. Си-
стематизация и обобщение накопленных
знаний привели к созданию методов на-
учного проектирования (синтеза) систем
с заданными показателями точности ре-
гулирования и быстродействия.
В настоящей главе излагаются ос-
новные сведения о способах и средствах
улучшения свойств линейных систем ав-
томатического регулирования. Затем
рассматриваются наиболее употребитель-
ные методы их синтеза.
Проблема обеспечения требуемых
свойств линейных автоматических- си-
стем весьма сложна. В ней могут быть
выделены прежде всего следующие ча-
стные задачи: обеспечение устойчивости
(стабилизация); повышение запаса ус-
тойчивости (демпфирование); повышение
точности регулирования в установивших-
ся режимах (уменьшение или устранение
статической ошибки воспроизведения за-
дающего воздействия, уменьшение или
устранение влияния постоянных возму-
щений); улучшение переходных процес-
сов (увеличение быстродействия, макси-
мальное уменьшение динамических оши-
бок воспроизведения воздействия и от
возмущений).
Иногда несколько частных задач могут быть решены сов-
местно, в других случаях они оказываются противоречивыми.
В зависимости от назначения системы и предъявляемых к ней
требований одни задачи становятся основными, а другие ото-
двигаются на второй план или снимаются.
Всякая система автоматического регулирования должна
быть устойчивой. Однако запас устойчивости в системе стаби-
лизации (с постоянным или редко изменяемым задающим воз-
действием) может быть значительно меньше, чем в следящей
системе (с непрерывно или часто изменяющимся задающим воз-
действием). Если параметры регулируемого объекта опреде-
лены приближенно или могут изменяться в процессе эксплу-
атации системы, то необходим больший запас устойчивости,
чем при точно установленных и неизменных параметрах.
В системах стабилизации обеспечивается максимально воз-
можное или хотя бы необходимое уменьшение влияния возму-
щений. В следящих системах, кроме того, обеспечивается мак-
симально возможное или необходимое быстродействие и умень-
шение как статических, так и динамических ошибок воспро-
изведения задающего воздействия.
Требования в отношении быстродействия должны соот-
ветствовать мощности исполнительного элемента регулятора.
Использование элементов для нужных преобразований сигнала
управления не должно приводить к существенному повышению
уровня помех, присутствующих в задающем воздействии.
I Когда устойчивость и необходимое качество не могут быть
достигнуты простым изменением параметров системы (коэффи-
циентов передачи, постоянных времени отдельных звеньев),
тогда эта задача решается введением в систему дополнитель-
ных устройств, называемых корректирующими.
§ 5.2.	Корректирующие устройства
Корректирующее устройство включают в систему автома-
тического регулирования по-разному. Возможно последова-
тельное включение корректирующего устройства в прямую
цепь системы (рис. 5.1, о), в этом случае оно называется по-
следовательным корректирующим устройством. Его переда-
точная функция на рис. 5.1, а обозначена ^к1.
Последовательное корректирующее устройство включают
непосредственно после датчика рассогласования или же пос-
ле предварительного усилителя, торой вариант включения ис-
пользуют чаще. Дело в том, что уровень сигнала рассогласо-
вания обычно весьма мал и корректирующее устройство сни-
жает чаще всего уровень сигнала, поэтому при первом вариан-
те включения последовательного корректирующего устройст-
ва потребуется иметь предварительный усилитель значитель-
но более высокой чувствительности, чем при втором варианте.
Применение последовательных корректирующих устройств
наиболее удобно в системах, у которых сигнал управления
представляет собой напряжение постоянного тока. В этих слу-
чаях корректирующее устройство выполняют обычно из пас-
сивных электрических четырехполюсников, обеспечивающих
разнообразное преобразование сигнала. Еще большие возмож-
ности дают активные электрические четырехполюсники по-
стоянного тока.
В системах, у которых сигналом управления является мо-
дулированное напряжение переменного тока, последователь-
ные корректирующие устройства менее удобны по той причине,
что электрические четырехполюсники переменного тока имеют
существенные недостатки (см. § 5.3) и применяются редко, для
использования же пассивных четырехполюсников постоянно-
го тока оказываются необходимыми дополнительные элементы
(рис. 5.2). Модулированный сигнал переменного тока сначала
выпрямляется фазочувствительным демодулятором ФД и за-
тем фильтром Ф от-
Рис. 5.1
фильтр овиваются
высшие гармоники.
Только после этого
осуществляется соот-
ветствующее преоб-
разование сигнала
четырехполюсн и к о м
постоянного тока.
Преобразованный сиг-
нал постоянного то-
ка вновь превращает-
ся модулятором М
в модулированный
сигнал переменного
тока, если это необхо-
димо для действия
последующих элемен-
тов системы.
Параллельно-вст р е ч-
ное корректирующее
устройство показано на
рис. 5.1,6. В данном	Рис. 5.2
случае корректирующее
устройство является об-
ратной связью, чаще всего отрицательной, которая охваты-
вает один из элементов прямой цепи системы. Этим элемен-
том обычно является исполнительный элемент или выходной
каскад усилителя (усилитель мощности). Такое корректирую-
щее устройство называют параллельным. Его передаточную
функцию будем обозначать Т^К2-
Передаточная функция участка цепи с параллельным кор-
ректирующим устройством
W2 = Гг/(1 + W2 Гк2).
(5.1)
Обычно в достаточно широком и существенном для каче-
ства системы диапазоне частот справедливо неравенство
|^20«)Гк2(/ш|»1.	(5.2)
Тогда в этом диапазоне частот
Р72(Я«1/Гк2(М	(5.3)
Таким образом, при удовлетворении неравенства (5.2)
свойства участка цепи с параллельным корректирующим уст-
ройством определяются только лишь свойствами этого коррек-
тирующего устройства.
Указанное обстоятельство является большим достоинством
параллельного корректирующего устройства. При удовлетво-
рении неравенства (5.2) свойства участка прямой цепи, ох-
ваченного параллельным корректирующим устройством, и их
изменения в процессе действия системы це влияют на ее свой-
ства. Несущественные нелинейности этого участка и изменения
его параметров (коэффициентов передаточной функции 1Г2)
не сказываются на динамических свойствах системы. Это спра-
ведливо только при неизменных параметрах самого параллель-
ного корректирующего устройства.
Достоинство данного корректирующего устройства также
в том, что его вход подключен к выходу исполнительного эле-
мента или усилителя мощности, т. е. к выходу мощного эле-
мента с высоким уровнем сигнала. Поэтому в качестве парал-
лельных корректирующих устройств могут быть использова-
ны даже достаточно мощные элементы. Но широко используют
и пассивные четырехполюсники постоянного тока, и тогда
весьма просто обеспечить сложное преобразование сигнала
участком цепи с параллельным корректирующим устройством.
Следует заметить, что влияние местных обратных связей,
реализующих параллельные корректирующие устройства, весь-
ма разнообразно. Корректирующие обратные связи делятся
на жесткие и гибкие. Жесткая обратная связь действует на
систему как в переходном, так и в установившемся режиме,
т. е. W'jkoc (0) У= 0, и реализуется она безынерционным или
инерционным звеном. Гибкая обратная связь действует лишь
в переходных режимах, реализуется она или чисто дифферен-
цирующим с передаточной функцией
Wo(s)=kos,
или инерционно-дифференцирующим звеном
^o(S) =Л08/(Т08+ 1).
Предположим, что звено с передаточной функцией W ох-
вачено отрицательной обратной связью с передаточной функ-
цией IFO. Тогда эквивалентная передаточная функция этого
участка цепи = IF/(1 + 1571ГО).
Наиболее характерны следующие случаи. Пусть апери-
одическое звено охвачено жесткой обратной связью, т. е.
W = k/(Ts +1) и Fo = k0. В этом случае
Гэ = k/(Ts + 1 + kk0) = k3/(Tg s + 1),	(5.4)
где k3 = k/(\ +kk0) и T3 =T/(l ^kk0).
Таким образом, жесткая отрицательная обратная связь не
изменяет структуру апериодического звена, но уменьшает его
инерционность, т. е. уменьшает постоянную времени. Одновре-
менно уменьшается передаточный коэффициент звена.
Если обратная связь гибкая, т. е. IF0 = k^, то
We = kf(Ts + 1 + kk0 s) = k/(T3 s + 1),	(5.5)
где T3 = T-i-kk0.
Следовательно, гибкая отрицательная обратная связь не
изменяет структуру и не влияет на передаточный коэффициент
апериодического звена. Она лишь увеличивает его инерцион-
ность — его постоянную времени.
Пусть интегрирующее звено охвачено жесткой обратной
связью IF = kls и IF0 = k0. В этом случае
IF3=fe/(s + ^0)=^/(7'3s+l),	(5.6)
где k3 — l/k0 и 7Э = l/(kk0).
Таким образом, жесткая отрицательная обратная связь
превращает интегрирующее звено в апериодическое.
Если обратная связь гибкая, т. е. IF0 = kgs, то
Гэ = kf(s 4 kk0 s) = ka/s,	(5.7)
где ka = k/(l +kk0).
Гибкая обратная связь не изменяет структуру интегрирую-
щего звена, но уменьшает его передаточный коэффициент (уве-
личивает постоянную времени интегрирования Тэ — l/kg).
Предположим, что колебательное звено охвачено жесткой
обратной связью, т. е. W = fe/(72s2 + 2|7s + 1) и IF0 = k0.
При этом
IFa = fe/(72 s2 + 2lTs + 1 + kk0) =
= йэ/(Пз2 + 2|эТ'эз+1),	(5.8)
где k3 = k/(l 4- kk0)-, Ta = 77]Л+^0;	= 5/ИЖ
Жесткая отрицательная обратная связь не изменяет струк-
туру колебательного звена, но уменьшает постоянную времени
и коэффициент демпфирования. Уменьшается также переда-
точный коэффициент звена.
При гибкой обратной связи возможны два варианта. Если
k0 < 2Т (1 - ®/k,	(5.9)
то
W, = ft/[72 s2 + 2^Ts 4-1 + kk0 si = k/[T2 s2 + 2ga 7s 4- 11, (5.10)
где |э = | 4- kk0/(2T).
Слабая отрицательная гибкая связь не изменяет структу-
ру колебательного звена и лишь увеличивает его коэффициент
демпфирования.
Если же
.	*0>27(1 - £)/*,	(5.11)
то
= kl[(T1S 4- 1) (72s 4- 1)1,	(5.12)
где 7Д = 0,5(r 4~l/r2—472); 73 = 0,5(r — ]/r2 —472);
r = 2£7 kk0.
Сильная отрицательная гибкая связь превращает колеба-
тельное звено в последовательное соединение двух апериодиче-
ских звеньев.
Еще один случай: идеальное усилительное звено охвачено
инерционной обратной связью, т. е. W = k и IF0 = k0/(T^ +
+ 1). Тогда
Wa = k (То s + ПДТо s + 1 + kk0) = (To s + 1), (5.13)
где kg — k/(l + kk0)', Ta = T0/(l + kk0).
Таким образом, инерционная отрицательная обратная связь
превращает идеальное усилительное звено в реальное форси-
рующее звено, создающее производные от входного сигнала.
Из рассмотренных примеров можно заключить, что даже
простейшие отрицательные обратные связи могут существенно
изменить свойства типовых динамических звеньев. Еще боль-
ший эффект дают сложные отрицательные и положительные
обратные связи. В [1, 31 подробно изложено влияние слож-
ных обратных связей на свойства типовых динамических зве-
ньев и их соединений. Следовательно, если основные элементы
регулятора по своей физической природе позволяют создать
обратные связи, то динамические свойства этих элементов за-
частую могут быть изменены в нужном направлении.
Параллельное корректирующее устройство — это третий
вариант включения устройства в САУ (см. рис. 5.1, в). Вклю-
ченное таким образом корректирующее устройство будем на-
зывать прямым параллельным и его передаточную функцию
будем обозначать 1^кз.
Иногда прямое параллельное корректирующее устройство
оказывается весьма удобным, так как при меньшей сложности
обеспечивает нужное преобразование сигнала управления.
Пусть, например, IF3 = k3; IFK3 — —kK3/(Ts + 1). Тог-
да передаточная функция данного участка цепи
Гз = W3 + №I(3 = k3 (Тз s + 1 )/(Ts 1)
где k3 = k3—kK3l Т3 = k3T/(k3 kv:i).
Следовательно, при малой разности (ks — kKS) получается
реальное форсирующее звено с большой постоянной времени
дифференцирования. Уменьшение передаточного коэффициента
этого участка прямой цепи должно быть скомпенсировано со-
ответствующим увеличением передаточного коэффициента уси-
лителя.
Синтезируют корректирующее устройство на основании не-
которого комплекса требований к свойствам системы (см. §5.1).
Сначала определяют требуемое значение передаточной функции
WK1 последовательного корректирующего устройства. Затем
выясняют, при каких значениях передаточных функций 1ЕК2
параллельного корректирующего устройства и IEIi3 прямого
параллельного корректирующего устройства будет получен
тот же эффект, после чего уже можно решать, какое корректи-
рующее устройство целесообразнее создавать. Составим форму-
лы для такого расчета.
По каждой из структурных схем (см. рис. 5.1) составим пе-
редаточные функций разомкнутой цепи и приравняем эти вы-
ражения друг другу. Получаем
^rK1 = r/(l + r2rK2) = IF(l + rK3/r3),	(5.14)
где W = ГХГ2Г3. -
Из (5.14) определяют формулы перехода от одного вида
корректирующего устройства к другому:
^„1 = 1/(1 + ^2	= 1 + Гк3Ж3;
MZK2 - (1 -	Гк1) = -1Ек3/[1Е2(Г3 + Гк3)];
гк8 = W;i (WК1 -1) « - W2 W3 WK2//( 1 + Г2 И?к2).
(5.15)
Если значение передаточной функции 1ЕН2 оказывается
отрицательным, то параллельное корректирующее устройство
должно включаться в виде положительной обратной связи.
При отрицательном значении передаточной функции 1ЕКЗ
выходной сигнал прямого параллельного корректирующего
устройства должен вычитаться из выходного сигнала участка
Г3.
В настоящее время корректирующие устройства являют-
ся основным способом повышения качества линейных непре-
рывных систем регулирования по отклонению. Иногда в си-
стеме одновременно используют два корректирующих уст-
ройства: последовательное и параллельное или параллельное
и прямое параллельное. Таким образом, функции, которые
должны выполнять корректирующее устройство, распределя-
ются между двумя корректирующими устройствами. Они мо-
гут быть выполнены из более простых элементов.
Составим формулы для замены последовательного кор-
ректирующего устройства двумя: последовательным и парал-
лельным; такой вариант наиболее вероятен.
Рис. 5.3
Итак, пусть определена передаточная функция IFK1 по-
следовательного корректирующего устройства (рис. 5.1, а),
при которой система будет иметь необходимые динамические
свойства. Однако из-за сложности IFK1 решено создать в систе-
ме два корректирующих устройства: последовательное и па-
раллельное (рис. 5.3). Определяем передаточные функции ра-
зомкнутой цепи каждой из этих систем и приравниваем их
ДРУГ другу:
+	(5.16)
Из этого равенства следует, что
=	+	W^=(W;t-WK1)/(W2WK1). (5.17)
Можно выбрать передаточную функцию W,'(2 параллель-
ного корректирующего устройства и по первому из равенств
(5.17) определить необходимое значение W,'^ передаточной
функции последовательного корректирующего устройства или
же выбрать передаточную функцию IFki последовательного
корректирующего устройства и тогда второе из равенств
(5.17) определит необходимое значение IFk2 передаточной
функции параллельного корректирующего устройства.
Аналогично можно составить формулы для замены последо-
вательного корректирующего устройства последовательным и
прямым параллельным или же параллельным и прямым парал-
лельным.
§ 5.3.	Преобразовательные элементы
Корректирующие устройства систем регулирования осу-
ществляют преобразование сигнала управления. С этой целью
их составляют из элементов, которые удобно называть преоб-
разовательными. Используются электрические (наиболее ши-
роко), механические, гидравлические, пневматические и иные
преобразовательные элементы. Рассмотрим основные из них.
Пассивные четырехполюсники постоянного тока. Это элек-
трические цепи из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.
Общая схема пассивного четырехполюсника показана на
рис. 5.4. Входное и выходное напряжения постоянного тока
обозначены соответственно через и u2; zr (s) =	+ 1/
/(CiS) + Lrs и z2 (s) = Rz + l/CC^) 4- L2s — операторы со-
противлений четырехполюсника; Cit Lt — соответственно
активные сопротивления, емкости и индуктивности; zH —
полное сопротивление нагрузки.
Если напряжение w3 приложено к нагрузке с бесконечно
большим полным сопротивлением zH, то передаточная функция
пассивного четырехполюсника
1^п (s) = z2 (s)/[zj (s) + z2 (s)l.	(5.18)
Варьируя вид операторов сопротивлений zt (з) и z2 (з) и
значения Rit Cit Lt, можно получить большое количество
четырехполюсников, описываемых различными передаточны-
ми функциями IFn. Стоимость пассивных четырехполюсников
низкая, а стабильность параметров достаточно высокая.
Этими достоинствами объясняется широкое использование их
в системах автоматического регулирования, у которых сигна-
лом управления является напряжение постоянного тока.
Основной недостаток пассивных четырехполюсников за-
ключается в том, что они ослабляют сигнал; кроме того, при
конечном значении полного сопротивления нагрузки преоб-
разование сигнала отклоняется от желаемого, соответствую-
щего виду передаточной функции Р7П, составленной по (5.18).
Наиболее характерные схемы пассивных четырехполюсни-
ков постоянного тока показаны в табл. 5.1. Там же приведе-
ны их передаточные функции и логарифмические частотные
характеристики.
Принято разделять четырехполюсники на дифференцирую-
щие, интегрирующие и интегродифференцирующие. Диффе-
ренцирующие четырехполюсники
(схемы 1 и 2 в табл. 5.1) в опре-
деленном диапазоне частот диффе-
ренцируют сигнал и создают по-
ложительный сдвиг по фазе. Ин-
тегрирующие четырехполюсники
(схемы 3, 4 в табл. 5.1) в некотором
диапазоне частот обеспечивают
1айлицо
N Электрическая Логарифмические час- ПеоеВатачная шинкиия
схема тошные характеристики нареоатачная функция
Wn=Ts/(Ts+i),
гВе T = RC
Wn=k (rs+i)/(RTs+i),
где R2/(Rt+ Т=ЪС>
Z,, = 20lgK
W„=f/(Ts+1),
где T-RD
^(T^1)/(T,sM),
z8s Tf- (Rf + ^2)6j
Lj-20lg [Rg/(R,+ Rg)]
(TfS^sM) _
(Tys/'x+t)<MT1,S + r)'
где TpRfCfi т^-Р^с^,
ас/; Lt=20lgcc
интегрирование сигнала, создают отрицательный сдвиг по
фазе. Интегродиффереицирующие четырехполюсники (схема 5
в табл. 5.1) в одном диапазоне дифференцируют сигнал, а в
другом диапазоне его интегрируют.
Иногда оказывается целесообразным соединить два пас-
сивных четырехполюсника последовательно (рис. 5.5, а). Пе-
редаточную функцию такого соединения определяют по форму-
ле
^3“	(5.19)
только при условии, что сумма полного сопротивления z12 +
-г z22 второго четырехполюсника значительно, по крайней ме-
ре на порядок, больше полного сопротивления z21 первого че-
тырехполюсника.
Чаще пассивные четырехполюсники соединяют последова-
тельно через разделительный усилитель (рис. 5.5, 6). Если
входное сопротивление усилителя Не влияет на передаточную
функцию UPnl первого четырехполюсника, то передаточная
функция соединения
Гэ=^п1АуУ7п2,	(5.20}
где Ау — передаточный коэффициент усилителя.
Преимущество второй схемы еще и в том, что разделитель-
ный усилитель компенсирует понижение уровня сигнала, вы-
зываемое пассивными четырехполюсниками.
Активные четырехполюсники постоянного тока. Общая схе-
ма такого четырехполюсника представлена на рис. 5.6. В ак-
тивных четырехполюсниках используются операционные уси-
лители с весьма большим передаточным коэффициентом (Ау ==
— 50-10® и более), поэтому передаточная функция четырех-
полюсника с достаточной точностью равна
^--z^.	(5.21)
Знак минус указывает на то, что знак напряжения ц2 про-
тивоположен знаку щ (фаза сигнала изменяется на 180°).
Активные четырехполюсники
удается выполнять так, что они
осуществляют почти идеальное
дифференцирование или интегри-
рование сигнала, тем более в огра-
ниченной полосе частот. Переда-
точный коэффициент может быть
значительным. Легко осуществить
суммирование нескольких сигна-
6
Таолица 5.2
Электрическая
схема
П2
Логарифмические час -
гпотные характеристики
Ч>
1
90
Ч>
VT3 1/Ъ 1/Tt 1/тг ш
ci /?,
	г
	
Передаточная функция
N

%=- Tis/(TzsH')i
где Tj=plcl-, T2-RjCt
причем
Д,= 201д(Лг^)
Wa = -(T2S+l)/(rts),
где 7} - RfC2; Т2~ R2 Сг}
причем
4= 20 lg ( R2/Ri)
w =./t
° UzS+f){T3STl)
где k - R3/Rt;
Ъ ~ (Rt + R2)^t'
^3~^R3+R‘t)^Z'
причем
Lt=20lgk\
R, RiAft< + R,)
лов на входе. Все это весьма существенные достоинства ак-
тивных четырехполюсников. Однако они значительно сложнее
и дороже пассивных четырехполюсников.
В табл. 5.2 приведены простейшие схемы активных четы-
рехполюсников, их передаточные функции и частотные харак-
теристики. Схема 1 является дифференцирующей, при jRt = О
ее передаточная функция принимает вид IFa = —7\s. Схема
2 —- интегрирующая, при R2 — 0 ее передаточная функция
Wa ;== ~l/(7'1s). Схема 3 — интегродифференцирующая.
Варьируя операторы сопротивлений zT (s) и z2 (s) и пара-
метры их элементов, можно получить активные четырехпо-

ного тока. Его приближенная эквивалентная передаточная
функция
где Т = 2R1C1C2 (Сг + С2); а = Я2 (Q + C2)/lRrC2 + R2 X
X (Ct + С2)] < 1.
Недостатки пассивных четырехполюсников переменного то-
ка и однообразие их свойств ведут к использованию в цепях
с модулированным сигналом пассивных четырехполюсников
постоянного тока. Этот вопрос рассматривался в §5.2.
Кроме рассмотренных электрических преобразовательных
элементов используются еще тахогенераторы и тахометриче-
ские мосты постоянного и переменного тока, дроссельные и
емкостные дифференциаторы переменного тока [7], а также
более сложные элементы.
§ 5.4.	Повышение точности в установившихся
режимах
В системе регулирования по отклонению установившаяся
ошибка имеет три составляющие:
8Уст = + * 8/+ 8ч.э»	(5.24)
где Eg — ошибка воспроизведения задающего воздействия
— ошибка, вызываемая действием возмущений; еч.э — ошиб
ка чувствительного элемента, измеряющего рассогласование.
Составляющая гч.э зависит от физической природы и кон-
струкции чувствительного элемента. Она может быть уменьше-
на лишь использованием высокоточного элемента. При этом
может потребоваться снижение уровня сравниваемых сигна-
лов и, следовательно, увеличение передаточных коэффициен-
тов остальных элементов регулятора.
Как было показано в гл. 4, установившаяся ошибка может
быть представлена в виде ряда (4.3). При этом коэффициенты
ошибок воспроизведения Со, Сх, ..., Сm вычисляют по переда-
точной функции Wgs (s) замкнутой системы для ошибки вос-
произведения, а коэффициенты ошибки от возмущения Со/,
Clf, , Cmf — по передаточной функции Wle (s) замкнутой
системы для ошибки относительно возмущения по формулам
(4.7).
Нужно заметить, что в статической системе
со = 1 /(1 + ky, Cof = kf/(l + k),	(5.25)
где k — передаточный коэффициент разомкнутой системы;
kf — передаточный коэффициент прямой цепи от возмущения
f до выходной координаты у.
Следовательно, уменьшение установившейся ошибки при
постоянных значениях задающего воздействия и возмущения
достигается увеличением передаточного коэффициента разом-
кнутой системы. Однако с увеличением статической точности
в большинстве случаев уменьшаются запасы устойчивости и
при значительном увеличении k система становится неустойчи-
вой.
Противоречие между статической точностью и устойчиво-
стью проиллюстрировано на рис. 5.9, где сплошными линиями
показаны логарифмические частотные характеристики разом-
кнутой системы с передаточной функцией
W = k/[(T1S + 1) (Ttf + 1) (T3s + 1)1	(5.26)
при k = 20, 7\ = 0,5 с, Тя = 0,025 с, Та — 0,01 с. Если пере-
даточный коэффициент увеличить до k = 60, то ЛАЧХ при-
нимает положение, показанное пунктиром. Чйстота среза уве-
личилась и запас устойчивости по фазе уменьшился с у = 26°
ДО Vi = 3°. Столь малый запас по фазе совершенно недопустим.
При повышении статической точности путем увеличения
передаточного коэффициента k разомкнутой системы необхо-
димы мероприятия для обеспечения достаточного запаса устой-
чивости. Они будут рассмотрены в следующем параграфе. Воз-
можно, вообще говоря, создание такой структуры системы, ко-
торая допускает неограниченное увеличение передаточного
коэффициента k разом-
кнутой цепи [21.
Другой путь повы-
шения статической точ-
ности — обеспечение ас-
татизма. В астатической
системе младшие коэф-
фициенты ошибки имеют
следующие значения:
С0=0;	= !/£„;
Caf=Q‘r Cij — kflk,„	Рис. 5.9
где k„ — передаточный ко-
эффициент разомкнутой
системы, называемый в
данном случае добротно-
стью системы по скорости
Рис. 5.10	(или коэффициентом доб-
ротности по скорости).
Таким образом, в астатической системе отсутствует уста-
новившаяся ошибка от постоянного задающего воздействия и
постоянных возмущений.
Как было показано в гл. 4, астатизм достигается введением
интегрирующего звена в прямую цепь системы . Для астатиз-
ма относительно возмущения интегрирующее звено должно
быть введено до точки, в которой приложено возмущение
(рис. 5.10).
Влияние интегрирующего звена на динамические свойства
системы приведено на рис. 5.11, где сплошными линиями пока-
заны логарифмические частотные характеристики системы с пе-
редаточной функцией (5.26). При введении в разомкнутую цепь
этой системы интегрирующего звена характеристики прини-
мают положение, показанное пунктиром. Фазочастотная харак-
теристика переместилась вниз на —90°, а амплитудно-частот-
ная характеристика повернулась вокруг точки а по направле-
нию часовой стрелки . В результате запас устойчивости по
фазе уменьшился с у = 26° до недопустимо малого значения
Vi = 6°. Система остается устойчивой, но переходный процесс
будет сильно колебательным. Кроме того, уменьшилась ча-
стота среза и переходные процессы будут более продолжитель-
ными.
Однако в других ситуациях введение интегрирующего зве-
на может не только не ухудшить, а
даже улучшить динамиче-
ские свойства системы.
Пусть, например, посто-
янные времени системы
с передаточной функ-
цией (5.26) имеют сле-
дующие значения: Тг =
= 0,05 с, 7\ = 0,0025
с и Т3 = 0,001 с. Лога-
рифмические частотные
характеристики разомк-
нутой системы показаны
на рис. 5.12 сплошными
линиями. При введе-
нии интегрирующего
звена характеристики
принимают положе-
ние, показанное пунк-
тирными линиями.
В данном случае ин-
тегрирующее звено *
уменьшило частоту ~/50 L г~——-------1—--------------
среза, но запас устой- v
чивости по фазе уве-	Рис. 5.12
дичился с у — 21°
до Т1 = 43°. Хотя быстродействие системы уменьшилось,
но уменьшилась и колебательность.
Таким образом, при повышении статической точности пу-
тем введения интегрирующего звена могут оказаться необхо-
димыми мероприятия по сохранению запасов устойчивости
САУ.
Значительно лучшие результаты получают при получении
астатизма с помощью изодромного звена, т. е. звена с переда-
точной функцией 1ГИ (s) = kK (T^s -J- l)/s — 1 + kVi/s, где Ти —
= 1/&й — постоянная времени изодрома.
Если постоянная времени Ти достаточно велика, то запас
устойчивости может быть сохранен неизменным. Уменьшение
передаточного коэффициента разомкнутой системы должно
быть скомпенсировано увеличением коэффициента усиления
усилителя. Следует учитывать, что при большом значении Тп
могут увеличиться старшие коэффициенты ошибки.
Астатизм САУ относительно задающего воздействия мож-
но обеспечить более простыми способами: неединичной обрат-
ной связью и масштабированием [3].
Структурная схема системы с неединичной обратной свя-
зью показана на рис. 5.13, а. В установившемся режиме регу-
лируемая координата связана с постоянным задающим воздей-
ствием соотношением
y = kng0/(l +knk0),
(5-27)
где kn — передаточный коэффициент прямой цепи системы.
Если выполнить основную обратную связь системы с ко-
эффициентом k0 = 1 — l/ftn, то у = g0 и система относитель-
но задающего воздействия будет астатической.
Структурная схема системы с масштабированием входной
величины показана на рис. 5.13, б. Ее особенность — наличие
Рис. 5.13
усилительного звена
с передаточным ко-
эффициентом т на
входе. В установив-
шемся режиме
y=mgok/(l+k), (5.28)
где k — передаточный коэффициент разомкнутой системы.
При т = 1 + 1/& получаем у = g0 и система является аста-
тической относительно задающего воздействия.
Недостаток этих способов в том, что астатизм обеспечива-
ется только при сохранении указанных соотношений между пе-
редаточными коэффициентами. Неточное определение переда-
точного коэффициента какого-либо элемента системы и его
изменение в процессе эксплуатации ведут к появлению стати-
ческой ошибки. Астатизм, достигнутый введением интегрирую-
щего или изодромного звена, сохраняется и при изменении па-
раметров системы. Однако нужно иметь в виду, что введение
двух интегрирующих звеньев в систему, состоящую из усили-
тельных, апериодических и колебательных звеньев, сделает ее
структурно-неустойчивой. Возможно обеспечение астатизма и
более высокого порядка. При этом из-за введения большого
числа интегрирующих или изодромных звеньев и мероприятий,
обеспечивающих требуемые динамические свойства, структура
САУ значительно усложняется.
Компенсация внешнего воздействия (обеспечение инвари-
антности). Рассмотренные выше способы улучшения статиче-
ских и динамических свойств системы связаны лишь с изме-
нениями параметров элементов САУ и структуры ее отдельных
участков, но при этом не затрагивают принципа действия си-
стемы.
Помимо принципа регулирования по отклонению сущест-
вует принцип регулирования по внешнему воздействию
(см. гл. 1). Значительный эффект дает их одновременное ис-
пользование. В этом случае системы называются комбиниро-
ванными. Кроме замкнутого контура они имеют дополнитель-
ную цепь влияния внешнего воздействия — возмущения или
задающего.
Система комбинированного регулирования. Комбинирован-
ное регулирование используют в системах для уменьшения
влияния сильного возмущения. Это возможно в том случае,
если возмущение доступно измерению. При этом в системе со-
здается дополнитель-
ная цепь воздействия
основного возмуще-
ния. На рис. 5.14 по-
казана структурная
схема такой системы.
Здесь	Г3 и
— передаточные	Рис- 514
функции регулируе-
мого объекта, исполнительного элемента и двух каскадов уси-
лителя; Ws и We — передаточные функции измерительного и
преобразовательного элементов дополнительной цепи воздей-
ствия возмущения f. Эта дополнительная цепь должна компен-
сировать влияние возмущения f на регулируемую координату
у, поэтому ее следует называть компенсирующей. Компенси-
рующую цепь обычно включают в прямую цепь системы между
каскадами усилителя или на вход последовательного корректи-
рующего устройства (если таковое имеется).
Составим передаточную функцию замкнутой системы
(рис. 5.14) относительно возмущения:
~ (Гк.ц W3 Г2- !)/(!-}- W),
(5.29)
где = 1¥z5UZc — передаточная функция компенсирующей
цепи; W =	— передаточная функция разомкну-
того контура.
Если
^2^8^к.ц==1,	(5.30)
то передаточная функция системы относительно возмущения
f равна нулю и возмущение f не влияет на регулируемую ко-
ординату. В этом случае говорят, что регулируемая коорди-
ната у инвариантна (независима) от возмущения [.
Один из разделов теории автоматического управления изу-
чает принципы построения САУ, реализующие полную или
частичную инвариантность от внешних возмущений. Этот
принцип носит название принципа инвариантности. Большое
значение в развитии теории инвариантности и ее практическом
приложении имели работы В. С. Кулебакина, Н. Н. Лузина,
Б. Н. Петрова и др.
Равенство (5.30) является условием полной инвариантно-
сти от /. Полной (с точностью до переходной составляющей)
инвариантностью называют независимость регулируемой ко-
ординаты у от изменений возмущения f — независимость
функций у (/) от вида функции f (t). Однако начальные зна-
чения возмущения и его производных создают переходную со-
ставляющую регулируемой координаты. Если же и начальные
значения возмущения и его производных не влияют на регули-
руемую координату, то имеет место абсолютная инвариант-
ность, для достижения которой необходимо удовлетворение
дополнительных условий. Так, в рассматриваемой системе аб-
солютная инвариантность будет иметь место только при безы-
нерционных элементов И7Й, И73, Ws и И76.
Удовлетворение условия полной инвариантности (5.30)
чаще всего сопряжено со значительными трудностями из-за
инерционности основных элементов. Пусть, например,
= Ml + 7\s); W2 = k2/(T^ + 2£72s + 1); Г3 =
= kjQ + T^); F4 = k4.
Подставив эти выражения в (5.30), получаем условие инвари-
антности:
И7К.Ц = 1 l(W2 Ws) = kK.n (Т3 s 4-1) (П s2 +	s + 1) =
= ^к.ц 1ЛП s3 + (Т1 + 2?,7\ Т3) st + (Т3 + 2?,7\) s + 1 ],
где /гк.ц = (Мз)-1-
В данном случае для полной инвариатности преобразова-
тельный элемент компенсирующей цепи должен создавать пер-
вую, вторую и третью производные сигнала измерительного
элемента. Практически ограничиваются созданием производ-
ных не выше второй, так как многократное дифференцирова-
ние сигнала сложно, неточно и ведет к сильному повышению
уровня помех.
Предположим, что компенсирующая цепь выполняется с
передаточной функцией
^к.ц = ^.ц[(7’з+ 2^5 + 1],
т. е. ее преобразовательный элемент создает только первую
производную от входного сигнала. Тогда из (5.29) получаем
-kt[TlTss+(Tl+2^TsTs)s^__________
iv (T1s+l)(7’*s*+2ETgS4-l)(7’8s4-l) + ft1^fe8fe4
При выбранной компенсирующей цепи возмущение и его
первая производная не будут влиять на регулируемую коор-
динату. Однако старшие производные возмущения, начиная
со второй, будут оказывать влияние на регулируемую коорди-
нату так же, как и при отсутствии компенсирующей цепи. В
данном случае будет достигнута частичная (до первой произ-
водной включительно) инвариантность у от f. Чем глаже функ-
ция f (t), тем эффективнее ее компенсация. При частичной ин-
вариантности начальные значения возмущения и всех его про-
изводных будут создавать переходную составляющую у так
же, как и при полной инвариантности.
Однако выбранная передаточная функция компенсирующей
цепи не может быть реализована. Физически реализуема лишь
такая передаточная функция, у которой степень числителя не
выше степени знаменателя. Следовательно, в рассматриваемом
примере компенсирующая цепь может быть выполнена лишь
с передаточной функцией
Н7к.ц = ^.ц1(7’з + 2ВТ2)8+ 1]/(ts+ 1),
где т — достаточно малая постоянная времени.
Указанное обстоятельство препятствует точному удовлет-
ворению условия инвариантности. Такую же роль играют не-
точности в определении параметров реальных элементов и по-
грешности при выполнении элементов по выбранной переда-
точной функции (хотя она принципиально и может быть реа-
лизована). В результате передаточная функция системы отно-
сительно возмущения даже в лучшем случае (когда компенси-
рующей цепью создается нужное количество производных)
оказывается не равной нулю, но с достаточно малыми коэффи-
циентами числителя. Тогда и влияние возмущения на регули-
руемую координату оказывается весьма малым. Принято го-
ворить, что достигается инвариантность с точностью до малой
величины е.
Несмотря. на указанные трудности и даже, чаще всего, не-
возможность достижения полной и тем более абсолютной ин-
вариантности, комбинированное регулирование имеет большие
достоинства. Компенсирующая цепь практически устраняет
или хотя бы существенно уменьшает влияние основного воз-
мущения. Вследствие этого снижаются требования к замкну-
тому контуру регулирования. В системе стабилизации он мо-
жет иметь меньший передаточный коэффициент разомкнутой
цепи и уменьшаются трудности обеспечения его устойчивости
и достаточного запаса устойчивости. При наличии компенси-
рующей цепи по возмущению замкнутый контур менее сложен.
Следует заметить, что компенсирующая цепь не влияет на
устойчивость замкнутого контура. Однако сама компенсирую-
щая цепь должна быть устойчивой.
Иногда вызывает
затруднения измере-
ние возмущения. Тог-
да используют неко-
торые приемы, позво-
ляющие приближать-
ся к инвариантности
Рис’ 516	регулируемой коор-
динаты от возмущения
без непосредственного измерения последнего [5]. В частности,
создается компаундирующая связь, т. е. дополнительная связь
внутри замкнутого контура регулирования по одной из его
промежуточных координат, зависящих от возмущения (не-
сущих информацию о возмущении).
Комбинированная следящая система. Основной целью
следящих систем является возможно более точное воспроизве-
дение регулируемой координатой изменяющегося задающе-
го воздействия. Этому способствует дополнительная цепь по
задающему воздействию. Следящую систему в этом случае
называют комбинированной следящей системой, ее типичная
структурная схема показана на рис. 5.15. Здесь замкнутый
контур такой же, как и на рис. 5.14, а — передаточная
функция дополнительной цепи.
Эта цепь улучшает воспроизведение регулируемой коор-
динатой задающего воздействия, так как форсирует переход-
ные процессы при изменении g, и ее следует называть форси-
рующей цепью. Она чаще всего состоит только из преобразова-
тельного элемента. Включается форсирующая цепь в замкнутый
контур так же, как и компенсирующая, т. е. обычно между
каскадами усилителя.
В комбинированной следящей системе воспроизведение
задающего воздействия обеспечивается главным образом фор-
сирующей цепью. Замкнутый контур играет в этом отношении
второстепенную роль. Его основная задача —• уменьшение
влияния возмущений.
По структурной схеме комбинированной следящей систе-
мы (рис. 5.15) определяем передаточные функции относитель-
но задающего воздействия:
Wg = W (1 + №ф/Г4)/(1 + W) (5.31)
и для ошибки слежения:
Wx = (1 — ГГф/Г4)/(1 + W),	(5.32)
где Г =
Если
Гф = WJW = 17(^^117 з),
(5.33)
то передаточная функция относительно задающего воздейст-
вия обращается в единицу, а передаточная функция для ошиб-
ки слежения — в нуль. Следовательно, (5.33) — это условие
инвариантности ошибки слежения е от задающего воздейст-
вия, или условие идеального воспроизведения выходной ко-
ординатой у задающего воздействия g.
Выполнение (5.33) связано с большими трудностями, не-
жели выполнение (5.30). Причина в том, что сигнал форси-
рующей цепи должен преодолеть не только инерционность ис-
полнительного элемента регулятора, но и регулируемого
объекта.
Ранее указывалось на практическую невозможность созда-
ния производных выше второго порядка, поэтому в комбини-
рованных следящих системах достигается лишь частичная ин-
вариантность ошибки е от задающего воздействия g до нулевой,
первой или второй производной включительно. Это означает
соответственно астатизм первого, второго и третьего поряд-
ков относительно задающего воздействия.
Неизбежная (хотя и незначительная) инерционность диф-
ференцирующих элементов, а также неточности в определе-
нии параметров и изготовлении элементов регулятора ведут к
тому, что и частичная инвариантность обеспечивается лишь
с точностью до малой величины б.
Несмотря на это, комбинированное регулирование значи-
тельно увеличивает точность слежения и находит широкое
применение. Чем медленнее изменяется задающее воздействие
g, тем больший эффект дает частичная инвариантность е
ОТ g.
При наличии форсирующей цепи роль замкнутого контура
следящей системы уменьшается и он может быть выполнен из
более простых элементов. Форсирующая цепь не влияет' на
устойчивость замкнутого контура, но сама эта цепь должна
быть устойчивой.
Если в комбинированной следящей системе имеется силь-
ное возмущение, то точность слежения может быть увеличе-
на еще более созданием компенсирующей связи по этому воз-
мущению. Преобразовательные элементы обеих цепей частично
могут быть объединены, и может оказаться, что для создания
компенсирующей цепи потребуется только элемент, измеряю-
щий возмущение.
§ Б.5. Обеспечение устойчивости и повышение
запаса устойчивости
Способы придания системам автоматического регулирова-
ния устойчивости и достаточного запаса устойчивости (спосо-
бы стабилизации и демпфирования) разнообразны. В § 5.2
рассматривалась возможность решения этой задачи выбором
основных элементов регулятора и изменением их динамиче-
ских свойств с помощью местных обратных связей. Выясним,
как влияет на устойчивость изменение наиболее характерно-
го параметра — постоянной времени апериодического звена.
На рис. 5.16 сплошными линиями изображены логарифми-
ческие частотные характеристики разомкнутой системы с пе-
редаточной функцией (5.26). При увеличении 1\ с 0,5 до 1 с
характеристики принимают положение, показанное пунктир-
ными линиями. Увеличение постоянной времени Т\ приводЕ-гг
к увеличению запаса устойчивости по фазе с у = 26° до у2 =
— &Т. Заметим, что сопрягающая частота Oj = \1Тг располо-
жена левее частоты среза (ос₽-
Если же сопрягающая частота апериодического звена рас-
положена правее частоты среза (оср, то увеличение постоян-
ной времени этого звена уменьшит запас устойчивости. Оче-
видно, что изменение постоянной времени колебательного зве-
на влияет на запас устойчивости аналогичным образом. Влия-
ние постоянной времени форсирующего звена [звена с переда-
точной функцией 1Уф = k (Ts + 1)] противоположно.
Итак, если сопрягающая частота апериодического или ко-
лебательного звена расположена левее частоты среза логариф-
мической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой
системы, а сопрягающая
частота форсирующего
звена расположена пра-
вее частоты среза, то
увеличение постоянной
времени каждого из этих
звеньев ведет к увеличе-
нию запаса устойчивостей
[4]. Указанная зависи-
мость справедлива лишь
при условии, что сопря-
гающая частота распо-
Рис. 5.17
ложена на некотором удалении (около одной декады) от ча-
стоты среза.
Встречаются, однако, структуры, для которых указанное
правило не выполняется. Пусть, например, передаточная
функция разомкнутой системы
у/ = k (Tj> + l)/[7\,s + 1) (T3s + 1) (T3s + 1)1,
где k = 100; То = 0.1 с; 1\ = 1 с; 7\ = 0,5 с; Т3 = 0,01 с.
Логарифмические частотные характеристики этой систе-
мы показаны на рис. 5.17 сплошными линиями. При изменении
7\ с 1 до 10 с характеристики принимают положение, показан-
ное на рис. 5.17 пунктиром. Запас устойчивости по фазе с
у — 61° уменьшился до ух — 47°.
.Другой и наиболее применяемый путь стабилизации и дем-
пфирования системы— введение в ее прямую цепь дополни-
тельных звеньев. С этой целью используют сложные динамиче-
ские звенья.
В зависимости от структуры и параметров системы введе-
ние одного и того же.звена может дать различные результаты.
Так, в § 5.4 уже было показано, что введение интегрирующего
звена может вести и к уменьшению, и к увеличению запаса
устойчивости. Поэтому правильный выбор дополнительного
звена можно сделать только зная структуру и параметры си-
стемы.
Рассмотрим наиболее характерные случаи стабилизации
и демпфирования систем путем введения дополнительных зве-
ньев. Предположим, что разомкнутая система описывается пе-
редаточной функцией (5.26) при k — 100; 7\ — 0,05 с; Та —
= 0,01 с и Та = 0,001 с. В разомкнутом состоянии система
устойчива и ее логарифмические частотные характеристики,
изображенные на рис. 5.18 сплошными линиями, свидетель-
ствуют о неустойчивости замкнутой системы, так как фаза
достигает —180° при частоте, меньшей частоты среза.
Введем в прямую цепь системы дополнительное звено с пе-
редаточной функцией 1Гд = l/(7’ns + 1)> гДе = 8 с. Тог-
да характеристики системы принимают положение, показан-
ное на рис. 5.18 пунктирными линиями, и на основании их
можно видеть, что замкнутая система становится устойчивой.
Запас по фазе составляет = 5Г. Увеличением постоянной
времени Тп дополнительного звена запас устойчивости по фа-
зе можно увеличить.
Устойчивость достигнута введением апериодического зве-
на, постоянная времени которого значительно больше постоян-
ных времени имеющихся апериодических звеньев. При этом
высокочастотная часть логарифмической амплитудно-частот-
ной характеристики сместилась вниз. Так же изменилась и
логарифмическая фазочастотная характеристика. Такой при-
ем обеспечения устойчивости или повышения запаса устойчи-
вости называют демпфированием с подавлением высоких ча-
стот (демпфированием с внесением отрицательных фазовых
сдвигов).
Апериодическое звено с большой постоянной времени
представляет собой фильтр низких частот и подавляет высоко-
частотные помехи. В этом достоинство данного вида демпфиро-
вания. Значительное уменьшение частоты среза и, следователь-
но, быстродействия системы является весьма существенным не-
достатком.
Если ось абсцисс пересекается асимптотой ЛАЧХ, имею-
щей наклон —20дБ/дек, и слева от частоты среза оСр только
одна сопрягающая частота, то система остается устойчивой и
запас устойчивости не изменяется при увеличении передаточ-
Рис. 5.18
L(w)
кого коэффициента k разомкнутой системы. Нужно только
одновременно с увеличением k пропорционально увеличивать
постоянную времени апериодического звена. Предположим
далее, что в рассматриваемую систему введено дополнитель-
но идеальное форсирующее звено с передаточной функцией
Ц7Д = T^s + 1, где Гд = 0,01 с. На рис. 5.19 изображены
логарифмические частотные характеристики разомкнутой це-
пи исходной системы (сплошные линии) и системы с дополни-
тельным звеном (пунктирные линии). В замкнутом состоянии
система с дополнительным звеном будет устойчивой, запас по
фазе составляет = 43°.
Теперь устойчивость достигнута введением не апериодиче-
ского, а форсирующего звена. В результате высокочастотная
часть ЛАЧХ сместилась вверх. Такое же изменение и у ЛФЧХ,
поэтому данный прием называют демпфированием с подняти-
ем высоких частот (демпфированием с внесением положитель-
ного фазового сдвига).
Введением форсирующего звена могут быть обеспечены
устойчивость и необходимый запас устойчивости при любой
передаточной функции исходной системы (если она становится
структурно устойчивой). Одновременно увеличивается и бы-
стродействие. Однако существенно увеличивается и влияние
высокочастотных помех. Последнее обстоятельство является
серьезным недостатком данного вида демпфирования и огра-
ничивает его применение.
Предположим еще, что в рассматриваемую систему введено
дополнительно сложное звено с передаточной функцией
= С^д 8 + 1) (ТЗД s + 1)/[71д s + 1) (Т4д s + 1)1,
где Т1Я -0,1 с; Т2я = Т3п = 0,01 с и ?4д = 0,001 с.
На рис. 5.20 показаны логарифмические частотные харак-
теристики разомкнутой цепи исходной системы (сплошные ли-
нии) и системы с дополнительным звеном (пунктирные линии).
В замкнутом состоянии система с дополнительным звеном ус-
тойчива, запас устойчивости по фазе у, = 49°.
Устойчивость достигнута смещением вниз среднечастотной
части ЛАЧХ, и данный прием называют демпфированием с
подавлением средних частот. Этот вид демпфирования проме-
жуточный между двумя первыми, и применяют его наиболее
часто.
Рассмотренные приемы стабилизации и демпфирования си-
стем автоматического регулирования являются основными, но
далеко не исчерпывают всех возможностей.
§ 5.6.	Выбор параметров и синтез корректирующих
устройств по корневым годографам
Наглядность и простота исследования влияния отдельных
параметров системы на ее динамические свойства составляют
несомненные достоинства метода корневых годографов и обус-
ловливают его применение как для выбора параметров, так
и для синтеза корректирующих устройств.
Пусть требуется выбрать какой-то параметр а (передаточ-
ный коэффициент элемента, постоянную времени, коэффициент
демпфирования). Тогда при постоянных значениях всех ос-
тальных параметров нужно задавать различные значения а ъ
а2, ... внутри возможных пределов изменения этого параметра
в данной системе и построить траектории корней (корневой
годограф). Затем можно выбрать такое значение а, при кото-
ром имеет место наиболее благоприятное расположение нулей
и полюсов. Корни следует вычислять наиболее простым чис-
ленным методом, так как большой точности не требуется из-за
приближенности корневой оценки качества.
Для выбора значения передаточного коэффициента k ра-
зомкнутой системы необходимо построить корневой годограф
при изменении k. Способ построения такого корневого годогра-
фа разработан весьма детально (см. § 4.6).
При синтезе корректирующего устройства используют раз-
личные исходные положения. В простейшем случае полагают,
что переходный процесс зависит от ближайшего к мнимой оси
вещественного полюса. Вместе с тем пользуются и предположе-
нием, что наилучшие динамические свойства система имеет,
когда ближайшей к мнимой оси будет пара комплексно-сопря-
женных полюсов. Однако добавление третьего ближайшего к
мнимой оси вещественного полюса обычно улучшает качество
переходного процесса.
Необходимо также учитывать влияние нулей передаточ-
ной функции, поэтому для определения качества переходно-
го процесса наиболее правильно рассматривать три ближай-
ших полюса и один нуль передаточной функции замкнутой
системы.
Порядок синтеза также может быть различным. Пусть тре-
буется выбрать последовательное корректирующее устройст-
во по заданным показателям качества переходной характери-
стики и при заданном значении передаточного коэффициента
k разомкнутой системы. Тогда можно поступать следующим
образом [1]: выяснить влияние k на показатели качества; по-
строить корневой годограф нескорректированной системы при
изменении k и отыскать на нем точки, соответствующие задан-
ным показателям качества; добиться прохождения траек-
торий корней при заданном значении k вблизи выбранных
точек, вводя дополнительные нули и полюсы; составить пе-
редаточную функцию последовательного корректирующего
устройства по дополнительно введенным нулям и полюсам.
Следует иметь в виду, что при введении диполя, т. е. полю-
са и нуля, близко расположенных друг к другу, показатели
качества почти не изменяются, но передаточный коэффициент
может быть увеличен.
Пример расчета по изложенной схеме приведен в [1].
Предположим, что динамика системы определяется парой
комплексно-сопряженных полюсов:
% да = — а0 ± /Ч-	(5.34)
Тогда передаточная функция замкнутой системы
Wq (s) = ke!(Tl s2 + 2Г0 g0 s + 1).,	(5.35)
На основании переходной характеристики, соответствую-
щей этой передаточной функции, определяют зависимость а0
и <оо от времени регулирования /р и относительно перерегули-
рования о [31, т. е.
a0«s3/fp; а==е~я«»/щ«.	(5.36)
Теперь синтез последовательного корректирующего уст-
ройства по заданным значениям k, /р и о будет слагаться из
следующих этапов:
1.	Намечают положение определяющей пары полюсов s01
и s02, т. е. пары полюсов передаточной функции (5.35), кото-
рая приблизительно эквивалентна передаточной функции скор-
ректированной системы на оСнованищдаданных показателей
качества /р и о. При этом используют соотношения (5.36).
На диаграмме достаточно отметить только один полюс s01.
2.	Наносят на диаграмму полюсы и нули неизменяемой
части системы.
3.	Вводят дополнительные нули и полюсы так, чтобы тра-
ектория корней скорректированной системы при изменении
\k проходила вблизи полюса s01.Желательно скомпенсировать
нулями ближайшие к мнимой оси полюсы неизменяемой ча-
сти системы, с тем чтобы влияние полюсов s01 и s02 на динами-
ку системы было действительно определяющим. Точка s01
будет принадлежать траектории корней скорректированной
|системы, если удовлетворяется уравнение фаз (4.36).
4.	Вводят диполь так, чтобы передаточный коэффициент
k имел необходимое значение. При этом' для вычисления k
используют (4.37).
5.	Составляют передаточную функцию последовательного
корректирующего устройства по введенным полюсам и нулям.
6.	Для проверки выполнения требований строят переход-
ную характеристику скорректированной системы.
Пример 5.1. Передаточная функция неизменяемой части системы
(s) = k/[s (O.ls-4-1) (0,05s + 1)].
[Требуется выбрать последовательное корректирующее устройство,
обеспечивающее при k 10 следующие показатели качества: 0,5 с
< Л, < 0,7 с; 20% < о с
< 30%.
Подставляя в (5.36) /р =
= 0,5 и с = 0,2, получаем
а0 = 6; е-18-8/“°=0,2;
(Оо— 11,2.
Наносим на комплексную
плоскость (рис. 5.21) опреде-
ляющий полюс sal = — 6 +
-j-/ 11,2 и полюсы неизменяе-
мой части системы st == 0; s2 = — 10; s3 = — 20. Вводим допол-
нительный нуль ?-! — — Ю, который скомпенсирует ближайший к
мнимой оси полюс s2 неизменяемой части системы.
Введем еще дополнительный полюс s4 так, чтобы полюс s01 нахо-
дился на траектории корней скорректированной системы. Для этого
по уравнению фаз определяем угол 64 наклона вектора Z4, т. е.
04 = 180° — (0Х03) = 180° — (118°+ 39°) = 23°.
Подсчитаем, какому значению передаточного коэффициента k со-
ответствует точка sal траектории корней скорректированной системы
(4.37):
fe = ZxZ3Z4/(s3s4) = 12,6-17,8-28,55/(20-26,4) = 12.
Значение k удовлетворяет требованиям; следовательно, вводить ди-
поль не требуется.
По значению нуля Л] и полюса S4 определяем передаточную функ-
цию последовательного корректирующего устройства:
l!7K(s) =feK(0,ls+l)/(0,042s+l).
При этом передаточная функция скорректированной системы
Wg (s) = 12/[s (0,05s + 1) (0,O42s+ 1) + 12] =
= 1/(0,000175s3 + 0,00767 s2 + 0,0833s + 1) = l/[(0,029x
Xs + 1) (0,00611s2 + 0,54s + 1)] = 5650/1 (s + 34,5) (s2 + 9s+ 164)].
Переходная характери-
стика системы
ft(t)= 1— 0,157 е~34,5Ч
+ l,14e~415z X
X sin (12Z—2,31)
изображена на рис. 5.22.
Она имеет следующие
показатели качества:
tp = 0,635 с и с=27 %
Итак, при выбран-
ном последовательном
корректирующем устрой-
стве система удовлетворяет требованиям. Однако следует заметить, что
показатели качества скорректированной системы заметно отличаются
от тех значений (tp = 0.5 с; о = 20 %), по которым производится рас-
чет. Это объясняется недостаточным удалением полюсов s3 и s4 (см.
рис. 5.21) от определяющей пары комплексно-сопряженных полюсов.
В результате полюсы скорректированной системы имеют следующие
значения: slt2 = — 4,5 ± /12; ss — — 34,5 т. е. пара комплексно-
сопряженных полюсов отличается от выбранной (определяющей) и на
динамику системы' оказывает влияние полюс s3.
§ 5.7. Синтез корректирующих устройств
по логарифмическим амплитудно-частотным
характеристикам
Рассмотрим еще один метод синтеза корректирующих уст-
ройств, весьма детально разработанный и нашедший широкое
применение.
Пусть передаточная функция неизменяемой части системы
(«) = ko Ro (s)/[sVo Qo (s)],
где Ro (s); Qo (s) — полиномы от s co свободным членом, рав-
ным единице; k0, v0 — постоянные величины.
Потребуем, чтобы система была астатической v-ro порядка,
имела добротность k, перерегулирование не более о и время
регулирования не более tv. Такой комплекс требований весь-
ма часто предъявляют к следящим системам. Значения по-
рядка астатизма v и добротности k выбирают, исходя из не-
обходимой точности регулирования в установившихся режи-
мах. Выбором показателей качества переходной характери-
стики — перерегулирования о и времени регулирования tv —
гарантируются необходимые быстродействие и динамическая
точность системы.
В некоторых случаях необходимо, чтобы при начальном
рассогласовании ускорение регулируемой координаты не
превышало некоторого допустимого значения w. Такое огра-
ничение необходимо, например, в механических системах,
когда регулируемой координатой является перемещение. Пре-
дупреждается появление в регулируемом объекте и в исполни-
тельном элементе недопустимых перегрузок (механических,
электрических и т. п.).
Легко установить, что если порядок астатизма v0 неизме-
няемой части системы меньше v, то в усилительно-преобразо-
нательном элементе необходимо иметь (у — v0) интегрирующих
звеньев. Так же легко определяется необходимое значение
передаточного коэффициента преобразовательно-усилитель-
ного элемента, равное k/k0
Задача сводится, следовательно, к синтезу корректирую-
щего устройства, обеспечивающего необходимые динамиче-
ские свойства системы. При этом будем полагать, что переда-
точная функция неизменяемой части системы
^0(s) = A/?0(S)/[s'’Q0(s)],	(5.37)
так как уже выяснено, какой передаточный коэффициент дол-
жен иметь усилительно-преобразовательный элемент и нуж-
ны ли в нем интегрирующие звенья.
Метод синтеза корректирующих устройств, разработанный
В. В. Солодовниковым [8], основывается на соответствии меж-
ду логарифмическими частотными характеристиками разом-
кнутой системы и ее статическими и динамическими свойст-
вами в замкнутом состоянии. Метод используется для систем
минимально-фазового типа, и поэтому достаточно рассматри-
вать лишь логарифмическую амплитудно-частотную характе-
ристику разомкнутой системы.
Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы. Асимпто-
тическую ЛАЧХ Lo (&>) нужно строить по передаточной функ-
ции Wo (s), определяемой (5.37). Предварительно каждый из
полиномов Ro (s) и Qo (s) передаточной функции Wo (s) следует
разложить на множители вида (7\s + 1) и (TjS2 + 2Тfas + 1),
где | < 1.
Разложение это удобно осуществлять итерационным мето-
дом, предложенным О. М. Крыжановским. Изложение метода
с примерами его применения дано в [91.
Пусть имеется полином третьей степени
G (з) = «о^3 + CjS2 + a2s + 1 = с0 (s3 + Ci«2 + c2s + с3),
где fj = й1/с0; с2 = а2/о0 и с3 = 1/с0.
Вычисляем: ах = с3/с2; рх = (ct — ocj); c2 = с3/(с2 — ft); Р2=
=«2 (Ci — а2); а3 = с3/(с2 — р2); Р3 = а3 (сх — а3) и т. д.
Если процесс сходящийся, т. е. с увеличением i значения а/ .и pj
стремятся соответственно к некоторым пределам а и Р, то
G (з) = (s/а + 1) (ас0з2 + Р«о s + 1).
Процесс вычисления aj и Р; может оказаться расходящимся. Тог-
да нужно делать такие вычисления:
«1 = C2/q—c3/cj; «2 = c2/(ci—aj—- cs/(ci — ах)2;
«з =	— a2) — cs/(c, — a2) 2 и т. д.
После определения предела а, к которому стремятся значения аг,
получаем
G (s) = (aos/r + 1) (ns2 + ars + 1),
где r=a1—aa0.
Пусть имеется полином четвертой степени
G (з) =a0s4+a1 s3+n2 t? + a3 s+ 1 = a0 (s4-|-Ci s3+c2 s2-j-c3 s+c4),
где Cj = Ox/co, c2 = az/a0, c3 = a3/a0, c3 — l/a0.
Вычисляем: at = cjc3, Pi = d3 (ct — a2); Ti = «x fa — Pi);
a2 = c4/(c3 — ух); p2 — a2 fa — a2); y2 = a2 fa — p2) и т. д.
Если процесс сходящийся, то
G (s) = (s/a + 1) (as3/c4 + p.s2fa + ys/c4 +1),
где a, p и у — пределы, к которым стремятся соответственно а,-, р, н
Yi с увеличением i.
Полином третьей степени в полученном выражении в свою оче-
редь нужно разложить на множители.
Если же процесс вычисления at, р, и расходящийся, то нуж-
но вычислять
О!1 = с3/с2—с4С1/е|; Р1 = аг fa— ax)+c4/c2;
0.2- с3/(с2—Pi)—с4 fa^-ai)/fa— Рх)2;
« P2 = a2fa—a2)-|-c4/fa—Рх) и т. д.
В этом случае
G (s) = (agsVr2 + ris/r2 + 1) fas2 + ar2s +1),
где ос и P — пределы, к которым стремятся соответственно а; и (5,;
Гх = Ох — ас0; г2 = а2 — Ра0.
Порядок разложения иа множители полиномов пятого и шестого
Порядков дан в [9].
После разложения полиномов Ro (s) и Qo (s) передаточной
функции 1С0 (s) на элементарные полиномы можно строить
асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части системы. При
этом нужно иметь в виду одно обстоятельство. В полиномах
Ro (s) и Qo (s) могут оказаться сомножители с весьма малыми
постоянными времени Tt. Их влияние на свойства системы
(в частности, на ее устойчивость) незначительное, и при по-
строении характеристики Lo (<*>) такие сомножители можно не
учитывать. Совершенно уверенно можно пренебречь двучле-
нами и трехчленами, у которых	где Wcn —
частота, при которой характеристика Lo (®) пересекает ось
абсцисс (частота среза этой характеристики). Пользуясь реко-
мендациями, сделанными в [1], можно более точно определить
влияние малых постоянных времени и допустимость прене-
брежения ими.
Примерный вид характеристики Lo (о) системы с аста-
тизмом первого порядка показан на рис. 5.23.
Построение желаемой ЛАЧХ. Желаемой называют асим-
птотическую «ЛАЧХ £}К (со) разомкнутой системы, имеющейже-
лаемые (требуемые) статические и динамические свойства.
Желаемая ЛАЧХ (рис. 5.23) состоит из трех основных асимп-
тот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной.
Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые со-
единяют основные.
Строится желаемая ЛАЧХ на основании требований к си-
стеме. Ранее было выяснено, что низкочастотная асимптота
ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статические свойст-
ва. Если передаточная функция (5.37) разомкнутой системы
имеет передаточный коэффициент k и порядок астатизма v,
удовлетворяющие требованиям, то низкочастотной асимпто-
той желаемой ЛАЧХ Lm (со) является низкочастотная асимп-
тота ЛАЧХ £0 (со) неизменяемой части системы. На рис. 5.23
показан именно такой случай.
Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы
и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические
свойства системы — устойчивость и показатели качества пе-
реходной характеристики.
Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ
начинают с выбора частоты среза соср. Для этого использует-
ся номограмма (рис. 5.24), составленная В. В. Солодовнико-
вым. Она определяет зависимость перерегулирования о и вре-
мени регулирования /р от максимума Ртах вещественной ча-
стотной характеристики замкнутой системы, причем время
регулирования tp дано в виде функции частоты среза соср.
Номограмма используется следующим образом. По задан-
ному значению перерегулирования о определяют значение
Pto^- Затем по Pmax определяют соотношение между и
^ср, Т
/р = сэт/соср.	(5.38)
На рис. 5.24 показано, как по значению о = 30% опреде-
лено Ртах =1,27 и затем Гр = 3,5л/соср.
Из (5.38) вычисляют частоту среза соср1, при которой вре-
мя регулирования не превысит заданного значения. Если
при начальном рассогласовании g0 ускорение регулируемой
координаты ограничивается значением w, то частота среза не
должна быть больше соср2, т. е.
ЮСР2 = V ш/8о-	(5.39)
Частота среза соср2 соответствует оптимальному переходному
процессу при допустимом ускорении w.
Таким образом, частота среза должна быть выбрана по
одному из следующих условий:
ысР~“ср1 ИЛИ юср1 С OJgp С Юср2.
(5.40)
Чем больше соср, тем меньше время регулирования. Одна-
ко если соср2 < соср1, то соср не должна быть больше соср2.
В этом случае требование в отношении времени регулирова-
ния, возможно, не будет удовлетворено.
Среднечастотная асимптота желаемой «ЛАЧХ проводится
через точку соср с наклоном —20 дБ/дек. При большем наклоне
трудно обеспечить необхо-
Рис. 5.24
димый запас устойчивости
и допустимое перерегули-
рование.
Протяженность средне-
частотной асимптоты уста-
навливается исходя из не-
обходимого запаса устой-
чивости. Из этих же сооб-
ражений выбирают ее со-
пряженнее низкочастотной
асимптотой. Кроме того,
сопрягающую асимптоту
следует выбирать так, что-
бы характеристика Lm (со)
возможно меньше отлича-
лась от Lo (со) и коррек-
тирующее устройство
было возможно бо-
лее простым.
Для указанного
выбора по ранее най-
денному значению
Ртах с помощью кри-
вых, показанных на
рис. 5.25, определяют
избыток фазы -р и
предельные значения
LM логарифмических
амплитуд. Избыток
фазы у должен быть
обеспечен на том уча-
стке характеристики
(®), для которого
справедливо
^м'	(®) LM.
(5.41)
Этот участок охватывает среднечастотную асимптоту и, возмож-
но, часть сопрягающей асимптоты.
Сначала нужно провести прямую с ординатой LM (пунктир
на рис. 5.23). Затем нанести сопрягающую асимптоту. Если
наклон низкочастотной асимптоты 0 или —20 дБ/дек, то на-
клон сопрягающей асимптоты выбирается равным —40 или
—60 дБ/дек. Начинать ее можно из точки среднечастотной
асимптоты с ординатой LM. После этого проверяют избыток
фазы уа при частоте соа, где ордината Ь!К (со) равна LM. Зна-
чение уа подсчитывается по формуле
t	k	\
уа = л —vn/2 — I kn/2 — у, сог/соа J +
\	i=i	/
4- (ln/2 — у, У
\ /= 1 /
(5.42)
где v — порядок астатизма; — сопрягающие частоты мень-
ше соа, при которых наклон L№ (со) увеличивается на 20 дБ/
/дек; k — число сопрягающих частот со,; со,- — сопрягающие
частоты, меньшие соа, при которых наклон Lm (о) уменьша-
ется на 20 дБ/дек; I — число сопрягающих частот со>.
Если фаза ф определяется каким-либо другим способом,
то избыток фазы определяют как
Та = 180° + ф,	(5.43)
где ф < 0.
Если избыток фазы уа оказывается меньше необходимого,
то сопрягающую асимптоту следует переместить влево. В про-
тивном случае (при слишком большом избытке фазы) сопря-
гающая асимптота перемещается вправо. Чем. больший диапа-
зон частот занимает низкочастотная асимптота, тем лучше
система воспроизводит низкочастотные изменения задающего
воздействия.
Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет
на свойства системы, поэтому ее следует выбирать так, чтобы
корректирующее устройство было возможно более простым.
Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот
характеристик (со) и Lo (со). Если совмещение не удается,
то высокочастотная асимптота LHi (со) должна иметь тот же на-
клон, что и высокочастотная асимптота Lo (со).
После выбора высокочастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ
и сопряжения ее со среднечастотной асимптотой проверяют
избыток фазы уб при частоте соб, где ордината характеристики
L.tK (со) равна —Ам, г. е.
Тб = л —™?Ср/4 — 2	(5.44>
Г=1
где qcp — относительный наклон среднечастотной асимпто-
ты (при наклоне —20 дБ/дек qcp = 1); со — сопрягающие ча-
стоты, большие частоты среза <оср; т — число частот сог.
Если меньше требуемого значения, то высокочастотную
асимптоту желаемой ЛАЧХ нужно переместить вправо.
Для более точного подсчета фазы при частотах иа и cog исполь-
зуют номограмму (рис. 5.26). Номограмма должна быть расположена
так чтобы ее ось относительных частот со/соо была параллельна оси час-
тот’характеристики (а). Стрелка номограммы должна быть совме-
щена с той частотой иг, для которой подсчитывается фаза фг.
Затем для каждой асимптоты характеристики (со) по номограм-
ме определяется AS, т. е. приращение S иа данном участке частот, и
AS умножается на наклон асимптоты в дБ/дек (с учетом знака накло-
на). Сумма этих произведений есть значение фазы ср, в градусах.
Ппимеп подсчета фазы с помощью номограммы показан на рис.
5.27. В данном случае ® = 0 (2,25—1,5)—40 (1,5—0) — 20 (1,3 0)+
+ 20(2,25—1,3) = — 67ь.
Выбор корректирующих устройств. Передаточная функция
разомкнутой системы с последовательным корректирующим
устройством (см. рис. 5.1, a) W = W'oW'ki. где Wo = W1W2W3,
и для ЛАЧХ справедливо соотношение L (о) = Lo (ю) +
+ iLKi (ю). Желаемая ЛАЧХ LiK (со) есть ЛАЧХ разомкнутой
системы, которая должна быть получена введением последо-
вательного корректирующего устройства. Следовательно,
L.It (ю) = Lo (со) + LK1 (со); LK1 (со) = Lm (ю) — Lo (со), (5.45)
т. е. для определения ЛАЧХ последовательного корректирую-
щего устройства из желаемой ЛАЧХ нужно вычесть ЛАЧХ
неизменяемой части си-
стемы. Вычитание орди-
нат достаточно сделать
на все??' сопрягающих
частотах этих характе-
ристик. Затем получен-
ные точки соединить
прямыми (см. рис. 5.23).
По ЛАЧХ LK1 (ю)
корректирующего уст-
ройства можно опреде-
лить полиномы RK1 (s)
и Qki (s) его функции
= (S)/QM (S)-
Каждой сопрягающей
частоте оц, при кото-
рой наклон «ЛАЧХ увеличивается на 20 дБ/дек, соответ-
ствует множитель (s/ojj + 1) в полиноме QK1 (s). Сопрягаю-
щей частоте со,-, при которой наклон «ЛАЧХ уменьшается на
20 дБ/дек, соответствует множитель (s/co> + 1) в полиноме
(s). Если при какой-то частоте ог или <о,- наклон «ЛАЧХ
изменяется на 40 дБ/дек, то ей соответствует квадрат указан-
ного множителя.
Затем, пользуясь формулами (5.15), следует определить
передаточные функции 1^и2 и WK$ соответственно параллель-
ного и прямого параллельного корректирующих устройств,
эквивалентных требуемому последовательному корректирую-
щему устройству. Если передаточная функция WИ1 сложная,
то по формулам (5.17) целесообразно выяснить, при каких
передаточных функциях I^ki и №«2 требуемое последова-
тельное корректирующее устройство может быть заменено
двумя корректирующими устройствами: последовательным и
параллельным.
На основании полученных, результатов и физических свойств
элементов неизменяемой части системы можно выбрать один
из вариантов включения корректирующего устройства. При
отсутствии очевидных и веских преимуществ одного или двух
из возможных вариантов следует рассматривать все варианты.
По виду передаточной функции корректирующего устройст-
ва может быть выбрана схема пассивного четырехполюсника
для реализации этой передаточной функции. Краткие сведе-
ния о пассивных четырехполюсниках даны в § 5.3. Более об-
ширные сведения можно, например, получить в [7, 8].
«Легко реализуются передаточные функции с полиномами
RK (s) и (s) первой и второй степеней. При более высокой
степени этих полиномов следует использовать два пассивных
четырехполюсника, соединенных последовательно. Основные
соображения о такой возможности изложены в § 5.3.
После выбора электрической схемы необходимо вычислить
требуемые значения емкостей и сопротивлений и убедиться в
возможности физического выполнения этой схемы с необхо-
димыми параметрами ее передаточной функции. В частности,
не следует предусматривать пассивный четырехполюсник с
очень малым (менее 0,1—0,05) передаточным коэффициентом
или с весьма большими емкостями. Не следует также иметь в
одной схеме емкости (или сопротивления), значительно, на
2—3 порядка, отличающиеся друг от друга по величине.
Обычно требуемые значения параметров передаточной функ-
ции пассивного четырехполюсника можно иметь при несколь-
ких вариантах значении его элементов, ь корректирующих
устройствах используют и активные четырехполюсники
(см. § 5.3).
Следует указать на одно обстоятельство. Предположим, что
параллельное корректирующее устройство (см. рис. 5.1, б)
охватывает участок цепи с астатизмом v-ro порядка, т. е.
Г2 = fc2fl2(s)/[svQ2(s)J,
где R2 ($); Qi (s) — полиномы от s с равным единице свобод-
ным членом.
Корректирующее устройство не изменит порядок астатиз-
ма этого участка цепи, если его передаточная функция
Rvz (s) sv I (Qk2 (s)L	(5 AG)
где /?к2 (s); QK2 (s) — полиномы от s с равным единице сво-
бодным членом.
Действительно, при таком корректирующем устройстве
передаточная функция рассматриваемого участка цепи
цу'__	(Ч (s)____________
1 +	(Г1!2	[Q2 (s) QK2 (s) + k2 kII2 R2 (s) Rkz (s) I sv
т. e. астатизм участка остался прежним.
Заключительные этапы синтеза. При построении желаемой
ЛАЧХ предполагалось что неизменяемая часть системы с уси-
лителем имеет необходимый передаточный коэффициент. Пос-
ле выбора корректирующего устройства передаточный коэф-
фициент разомкнутой системы, как правило, изменяется.
И теперь нужно окончательно определить необходимое зна-
чение передаточного коэффициента усилителя. На этом син-
тез системы закончен.
Однако построение желаемой ЛАЧХ основано на опреде-
ленных допущениях. Кроме того, могла иметь место прибли-
женная реализация требуемой ЛАЧХ корректирующего уст-
ройства. Поэтому совершенно необходима проверка качест-
ва синтезированной системы. С этой целью строится переход-
ная характеристика замкнутой системы и определяются пока-
затели ее качества. Если система третьего порядка, то пере-
ходную характеристику удобнее строить операционным мето-
дом. Методика определения корней данного полинома изло-
жена в начале данного параграфа. При более высоком поряд-
ке системы нужно пользоваться методом вещественных ча-
стотных характеристик (трапецеидальных или треугольных).
При аппроксимации вещественной частотной характеристики
отрезками прямых необходимо учитывать следующее: аппрок-
симацию начинать из начальной точки характеристики; при
не слишком сложной форме характеристики достаточно заме-
нить ее четырьмя-пятью трапециями (или треугольниками);
«хвост» характеристики, т. е. ее конечный участок с ордината-
ми менее О, 1 от начальной, можно отбросить.
При существенном невыполнении требований к системе —
при перерегулировании и времени регулирования больше до-
пустимых значений — необходимо выяснить и устранить при-
чины неудачного решения.
Кроме ошибок в расчете могут быть неточной реализа-
ция требуемой передаточной функции коррректирующего
устройства и недостаточным избыток фазы при контрольных
частотах юа и <об.
Возможно также значительное отличие вещественной ча-
стотной характеристики синтезированной системы от типовой,
для которой справедливы номограммы (см. рис. 5.24 и 5.25),
положенные в основу расчета. В этом последнем случае рас-
счет следует повторить, задавшись значениями о и /р меньше
требуемых.
Пример 5.2. Регулируемый объект и исполнительный элемент при-
борной следящей системы описываются передаточной функцией
Го (s) = */[s (0,005s + 1) (0,01 s + 1)].
Требуется выбрать последовательное корректирующее устройство,
сбеспечивающее при k = 200 с-1 и v — 1 следующие показатели каче-
ства: о 30% и tp 0,5 с. Допустимое ускорение регулируемой ко-
срдииаты w = 50 рад/с2 при начальном рассогласовании gu =0,1 рад.
Прежде чем начать расчет, заметим, что при k = 200 система без
корректирующего устройства неустойчива. Действительно, в этом
200 = 0
и определитель Гурвица
С1С2 — °о<2з = 0,06 —
—0,1 - — 0,04 < 0.
Расчет начинаем с
построения ЛАЧХ неиз-
меняемой части систе-
мы. При w=l вычисля-
ем ординату 20 lg k =
= 20 lg 200 = 46 дБ;
сопрягающие частоты
<0! = 1/0,05 = 20 с-1;
(о2 = 1/0,01 = 100с-1.
ЛАЧХ неизменяемой ча-
сти системы Lo (со) со-
стоит из трех асимптот
и построена на рис. 5.28.
случае ее характеристическое уравнение
0,0005s3 + 0,06 s2 + s2 +
Переходим к построению желаемой ЛАЧХ. ЛАЧХ неизменяемой
части имеет требуемый порядок астатизма и передаточный коэффици-
ент, поэтому низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ совпадает с
низкочастотной асимптотой ЛАЧХ неизменяемой части системы.
Для заданного значения а = 30% по номограмме (см. рис. 5.24)
определяем
^гпах“Л,27 и /р — 3,5л/(0Ср.
Вычисляем нижний предел частоты среза желаемой ЛАЧХ:
Wcpi=3,5n//p = 3,5n/0,5 = 22c-1.
По (5.39) находим верхний предел частоты среза:
Wcp2 = ’l//“,/go —-1/50/0,1 = 22,4с-1.
Выбираем сос = 22 с^1 и через эту точку проводим среднечастотную
асимптоту желаемой ЛАЧХ с рекомендованным ранее наклоном
— 20 дБ/дек (рис. 5.28). Далее по кривым (см. рнс. 5.25) для Ртах =
= 1,27 определяем, что необходим избыток фазы у = 40° при ордина-
тах (со), лежащих в пределах ±LM — 14 дБ. Проводим прямую с ор-
динатой + 14 дБ и из точки пересечения ее со среднечастотной асимп-
тотой желаемой ЛАЧХ строим пробную сопрягающую асимптоту с на-
клоном — 40 дБ/дек.
Пусть высокочастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ будет высо-
кочастотная асимптота ЛАЧХ неизменяемой части системы. Сопряже-
ние среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ с высокочастотной
начинаем при частоте со2.
Теперь нужно проверить избыток фазы при контрольных частотах
соа и cog. Воспользуемся номограммой для подсчета фазы по асимптоти-
ческой ЛАЧХ, изображенной на рис. 5.26.
Подсчитываем фазу при частоте соа:
<ра = —20 (2,25 —2,04) — 40 (2,04—0) — 20 (2,16—0) —
— 40(2,2—2,16) — 60 (2,25 — 2,2) = — 133,6°.
Следовательно, избыток фазы
уа = 180—133,6 = 46,4°.
Подсчитываем фазу при частоте cog:
<ра = —20 (2,25—2,22)— (40 (2,22—2,16) — 20 (2,16—0,24)—
— 40 (0,24+1,12)—60 (2,25—1,12) = — 163,6°.
Избыток фазы при этой частоте
уб = 180—163,6=16,4°.
При частоте <оа избыток фазы превышает требуемое значение на
6°. Допустимо, однако, лишь незначительное перемещение сопрягающей
асимптоты вправо. Оно не расширит сколько-нибудь заметно диапазон
пропускания нижних частот, поэтому останавливаемся _иа выполнен-
ном сопряжении.
Избыток фазы прн частоте cog значительно меньше допустимого.
Для его увеличения высокочастотную асимптоту желаемой АЧХ нуж-
fe (s/a>a4- 1)
но сместить вправо.
При этом усложнится
корректирующее устрой-
ство.
Попробуем прове-
рить качество системы
при составленной же-
лаемой ЛАЧХ и затем
будем решать вопрос о
целесообразности ее из-
менения.
По (со) составля-
ем передаточную функ-
цию разомкнутой скор-
ректированной системы;
S (з/(03 + 1) (s/o>2“1“ 1) (s/<04 + 1)
200 (0,24s +1)
= -----------------------------------, где w3 = 0,46с-\
s (2,17s+1) (0,01s+ 1) (0,00574s+ I)
(oa = 4,2c~1; w2=100c~1; w4=174c-1.
Передаточная функция замкнутой системы
Wg (s) =	+ W (s)J = (0,24 s + l)/(6,25  10-’ s4 +
+ 1,74-Ю-4 s3+0,01 Is2 + 0,245 s + 1).
Вещественная частотная характеристика, вычисленная по частот-
ной передаточной функции Wg (/со), представлена на рис. 5.29. Пост-
роенная по ней переходная характеристика показана на рис. 5.30.
Показатели качества <7 = 14% и /р = 0,4 с удовлетворяют требо-
ваниям. Перерегулирование даже значительно меньше допустимого,
поэтому составленную желаемую ЛАЧХ можно ие изменять.
Несоответствие показателей качества с их расчетными значения-
ми объясняется значительным отличием вида вещественной частотной
характеристики скорректированной системы (рис. 5.29) от типовой, по
которой составлены номограммы (см. рис. 5.24 и 5.25).	,,
Вычитая из желаемой ЛАЧХ
£ж (со) ЛАЧХ Lo (со) неизменяе-
мой части системы, получаем
ЛАЧХ последовательного кор-
ректирующего устройства L„ (со)
(см. рис. 5.28). По этой ЛАЧХ
составляем полиномы RK (s) и
QK (s) числителя и знаменателя
передаточной функции корректи-
рующего устройства:
Rn («) = («/соа + D («/“1 + 1)=
= (0,24 s + 1) (0,05 s + 1);
<2к (s) = (s/co3 + 1) (s/co4 + 1) =
= (2,17s + 1). (0,0 0574s + 1).
Рис. 5.31
Желаемую передаточную функцию корректирующего устройства
можно реализовать дифференцирующим и интегрирующим четырехпо-
люсниками с разделительным усилителем (рис. 5.31).
Передаточная функция дифференцирующего четырехполюсника
W'ki (s) — йк1 (?i д-р1 )/(72 д-р1),
где 7\ - 0,05 PiG; Т2 = 0,0574 = R2Ti/(Ri + Р2).
Значение Р2 должно быть выбрано при расчете усилителя. После
этого могут быть определены необходимые значения /?] и и подсчи-
тано значение kl;1.
Передаточная функция интегрирующего четырехполюсника
WК2 (S) = (7’з	1)/(7 4 Д-р 1),
где Т3 = 0,24 = /?4 С2; 74 = 2,17 = (R3 + Д>4) С2.
Выбираем С2 = 10 мкФ. Тогда R3 = 24 кОм и R3 = 193 кОм.
Усилитель должен иметь коэффициент усиления ку = k!kokKl, где
ka — передаточный коэффициент регулируемого объекта и исполнитель-
ного элемента.
Приближенные соотношения. Изложенный метод синтеза —
это приближенный метод, поэтому рекомендуется 181 уточнять
желаемую ЛАЧХ с помощью номограмм.
Вместе с этим используют еще большие приближения, ко-
торые значительно упрощают построение желаемой ЛАЧХ
и синтез корректирующего устройства.
На рис. 5.32 показана типовая ЛАЧХ разомкнутой астати-
тической системы. Ей соответствует передаточная функция
_______k (72 д-р 1)____ __________(д4~со2)	47)
~ д (7\ д-р 1) (Т3 д-р 1) ~ Т\Т3 д(з-рШ1)(д-р<о3) ’
где 7\> Т2> Т3, сог< ®2< со3; k — передаточный коэф-
фициент разомкнутой системы (добротность по скорости),
равный частоте при которой продолжение низкочастотной
асимптоты пересекает ось абсцисс (k — со').
Согласно [4], перерегулирование в системе не превзойдет
20—30%, если удовлетворяются неравенства
со3/со2 «10; 2 < ®3/соср< 4.	(5.48)
При этом время регулирования с достаточной точностью оп-
ределяется по частоте среза:
/р а? л/ю'р.	(5.49)
Следовательно, заданное значение k определяет частоту
<й' и затем можно построить прямую, на которой будет лежать
низкочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ.
С другой стороны, заданное значение времени регулирова-
ния /р позволяет определить по (5.49) частоту среза <йСр же-
лаемой ЛАЧХ. Остается выбрать частоту со2 и со3 так, чтобы
удовлетворялись неравенства (5.48).
В результате оказываются известными желаемая ЛАЧХ
и передаточная функция разомкнутой системы. Зная переда-
точную функцию неизменяемой части системы, можно опреде-
лить необходимую передаточную функцию последовательно-
го корректирующего устройства.
Неравенства (5.48) определяют частоты со2 и со3 не одно-
значно. Поэтому удобно сразу же рассматривать несколько
вариантов значений о)2 и <о3. Затем выбрать тот из них, при
котором система имеет требуемые показатели качества. Для
их определения необходимо, конечно, строить переходные ха-
рактеристики замкнутой системы.
Используют и другие приближенные соотношения для по-
строения желаемой ЛАЧХ. Иногда, особенно при предвари-
тельных расчетах, они оказываются весьма удобными.
Глава 6

МАШИННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
МЕТОДОВ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
§6.1. Математические модели
автоматических систем и особенности
реализации их на ЭВМ
Возможности современной вычисли-
тельной техники позволяют значи-
тельно ускорить сроки проектиро-
вания автоматических систем управле-
ния объектами различного назначе-
ния. Успех в решении задачи в зна-
чительной степени зависит от основных
факторов: математической изученности
управляемого объекта, т. е. от того, на-
сколько адекватно составлено математи-
ческое описание функционирования
объекта, эффективности прикладных ме-
тодов теории автоматического управле-
ния, уровня развития вычислительных
методов, наличия высококачественного
программного обеспечения, от того, на-
сколько успешно используется творче-
ский потенциал исследователя-проекти-
ровщика. При этом решающий фактор
остается за человеком, который может
решать многие неформализованные зада-
чи. Именно этот фактор стимулирует
развитие диалогового проектирования.
Основа автоматизированного проек-
тирования — математическое описание
функционирования системы. В настоя-
щее время преобладают и широко ис-
пользуются три способа математическо-
го описания автоматических систем: 1)
метод передаточных функций и тесно
связанные с ними частотные характе-
ристики; 2) метод переменных состояния;
3) структурно-топологические методы.
Метод передаточных функций, по существу, представляет
собой применение преобразования Лапласа и частотной теории
для изучения качественного поведения решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. Созданные для проектирова-
ния систем с одним входом и одним выходом передаточные
функции и частотная теория до сих пор являются основными
инженерными методами со сложившейся методологией. Непо-
средственное изучение исходных дифференциальных уравнений
с заданными начальными условиями заменяется в этих методах
исследованием алгебраических свойств некоторых функций,
порождаемых системой дифференциальных уравнений. На-
пример, критерий Михайлова и Найквиста основаны на изу-
чении именно таких функций.
На разработку и усовершенствование Частотных методов
были затрачены десятилетия; несмотря на «машинный век»,
они не утратили своего значения и не исчерпали всех возмож-
ностей. Многолетние исследования показали, что по глубине
и степени завершенности частотные методы во многих случаях
не имеют вполне эквивалентный замены, а модификация их
применительно к ЭВМ позволяет получать весьма ценную ин-
формацию о проектируемой системе в сжатые сроки. В 70-е
годы Г. Розенброком [19] был создан метод «размытых» частот-
ных характеристик, предназначенный для автоматизирован-
ного проектирования систем с несколькими входами и выхо*
дами. Дальнейшее развитие метода было осуществлено
В. В. Солодовниковым и его учениками [131.
В основе метода переменных состояния лежит представле-
ние дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши,
которое дополняется алгебраическими уравнениями, связы-
вающими выходные переменные с переменными состояния
x = Ax + Bu; I	(б1)
У = Сх, I
где А, В, С — матрицы коэффициентов размерности п X п,
п X т, г X п соответственно; и — вектор возмущающих воз-
действий; т — число входов; г — число выходов.
Математическим аппаратом метода переменных состояния
(МПС) являются матричное исчисление и вычислительные ме-
тоды линейной алгебры. Метод переменных состояния содей-
ствовал значительному развитию теории управления. На язы-
ке МПС выполнена большая часть работ по оптимальному уп-
равлению, фильтрации, оцениванию. В настоящее время в те-
ории автоматических систем управления наметилось плодо-
творное сочетание метода переменных состояния с частотными
методами. Оба способа описания взаимосвязаны и дополняют
друг друга.
Топологические методы опираются на использование мето-
дов теории графов. Они получают все большее распростра-
нение, однако эффективность их применения во многом зависит
от принципиальных результатов, полученных в теории гра-
фов.
С точки зрения автоматизации проектирования систем уп-
равления с помощью топологических методов представляет
интерес задача формирования передаточных функций по струк-
турным схемам. Если структура системы выбрана, то, исполь-
зуя передаточные функции динамических звеньев и известные
правила преобразования структурных схем, можно сравни-
тельно легко составить программу получения передаточной
функции разомкнутой или замкнутой системы при управляю-
щих или возмущающих воздействиях. Программа нахождения.
передаточной функции сводится к раскрытию скобок, приведе-
нию подобных членов и упорядочиванию коэффициентов по
убывающим степеням полинома. Такая программа часто явля-
ется основной при машинных исследованиях (анализ устойчи-
вости, построение частотных характеристик, построение обла-
стей устойчивости, D-разбиение в плоскости параметров и т. д.).
Автоматизация формирования передаточных функций позволя-
ет вести параметрический синтез и анализировать различные
структуры. Такие программы успешно применялись для по-
строения передаточных функций сложных систем с перекре-
щивающимися обратными связями. Уязвимое место таких про-
грамм — частые случаи переполнения разрядной сетки ввиду
плохой «обусловленности» полинома. Кроме того, существуют
технические трудности при программировании, так как неко-
торые алгоритмические языки (АЛГОЛ ФОРТРАН) не при-
способлены для обработки буквенно-символьной информации.
Решен ie подобных задач стало эффективным на основе тополо-
гических методов. Так, использование методов теории графов
в сочетании со структурными числами дает возможность полу-
чать передаточные функции по любой структуре на языке
ФОРТРАН.
Метод переменных состояния ориентирован на вычисли-
тельные методы теории матриц. Если требуется выполнить
анализ устойчивости по уравнениям переменных состояния
(6.1), то традиционные способы требуют предварительного
приведения матрицы А к характеристическому урав-
нению
(A—sE| = ( — l)n(sn + a1sn-'+ ... + ап)=0	(6.2)
с последующим применением критериев устойчивости или кор-
невых методов. Существующие критерии устойчивости (Рау-
са, Гурвица, Льенара—Шипара, Михайлова) могут применять-
ся только непосредственно к коэффициентам характеристиче-
ского уравнения замкнутой системы. Методы локализации соб-
ственных чисел матрицы А (Гершгорина, Островского, Бра-
уэра и др.) дают лишь достаточные условия и малопригодны
для широкого использования.
Получение коэффициентов характеристического уравнения
часто связано с серьезными трудностями вычислительного
характера, несмотря на наличие стандартных программ, по-
строенных на известных методах. Применительно к задачам
машинного анализа и синтеза сложных автоматических систем
многие методы не вполне подходят из-за чувствительности к
«частным особенностям» матрицы или потери точности из-за
роста погрешности вследствие накопления ошибок округле-
ния.
В последнее время были созданы способы определения всех
собственных чисел матрицы А, не связанные с операцией вы-
числения коэффициентов характеристического уравнения. Они
основаны на представлении матрицы А в виде произведения
ортогональной и почти треугольной форм. Наибольшей уни-
версальностью обладают QR- и QL-алгоритмы. Сущность QR-
алгоритма состоит в представлении исходной матрицы А в ви-
де произведения двух матриц: ортогональной Q и верхней
треугольной R (нижней треугольной L в случае QL-алгорит-
ма). Предварительно матрица А преобразуется к форме Хассен-
берга Н, а QjR-алгоритм всегда предполагает, что такое при-
ведение выполнено. Матрица Н является верхней треуголь-
ной матрицей, но с наличием субдиагональных элементов. На-
пример, матрица Хассенберга размерности (4 X 4) имеет вид
[* * * *
* * * * .	(6.3)
0 0**
Процедура метода предусматривает построение матрицы,
подобной матрице А, но имеющей клеточную треугольную
структуру с диагональными блоками 1X1 или 2 X 2 и теми же
собственными числами, что и исходная матрица А. Приведе-
ние исходной матрицы А к матрице Хассенберга Н осущест-
вляется для сокращения числа операций и экономии машин-
ного времени. Различные способы (например, метод Хаусхол-
дера и метод Гивенса) приведения к матрице Н рассматривают-
ся в работах по линейной алгебре.
В теоретическом отношении Q/?- и QL-алгоритмы мало раз-
личаются. QP-алгоритмы эффективнее использовать, когда
большие элементы матрицы сосредоточены в нижнем правом
углу, a QL-алгоритм — когда большие элементы матрицы со-
средоточены в левом верхнем углу. При правильной реализа-
ции алгоритма на ЭВМ ошибки округления во многих случа-
ях не оказывают большого влияния на точность нахождения
собственных чисел матрицы А. Описание и особенности машин-
ной реализации QR- и QL-алгоритмов более подробно изло-
жены в [4, 5, 14, 15].
Особенности машинных вычислений в задачах автоматиче-
ского управления. Успех в решении задач автоматизирован-
ного проектирования автоматических систем во многом опре-
деляется тем, как в действительности осуществляются дейст-
вия над числами в ЭВМ. Существенная особенность машинных
вычислений — влияние ошибок округления. Как бы точно ни
осуществлялись операции над числами, для их представления
отводится конечное число знаков и они должны быть округ-
лены.
В современных цифровых ЭВМ расчеты, как правило, вы-
полняются в режиме с плавающей запятой. Это связано с пред-
ставлением чисел, сильно различающихся по абсолютной вели-
чине. Число разрядов в мантиссе достигает 15 и выше (в деся-
тичных знаках), и все же встречаются задачи, где такой точ-
ности недостаточно.
Иногда возникает вопрос, почему вообще нужна такая
точность вычислений, как 10-12 и выше. В большей части за-
дач науки и техники исходные данные в лучшем случае имеют
точность 10~3—10-4, а часто она не достигает и 10-2 или бы-
вает еще ниже. На раннем этапе создания цифровых вычисли-
тельных машин Дж. Нейман показал, что для получения точ-
ности конечного результата, равной 10-3, требуется точность
промежуточных вычислений в арифметических операциях
10~12. Кроме того, существует эффект усиления ошибок, обра-
зовавшихся от предшествующих операций. Это усиление в
принципе может быстро покрыть любой разрыв. Например,
отношение 10_3 и 10-12 образуют разрыв 109. Дж. Нейман
привел пример, когда 425 последовательных операций, каж-
дая из которых усиливает ошибку только на 5%, заполняют
этот разрыв. Разумеется, приведенный пример лишь иллю-
стрирует важность проблемы получения верных результатов
в условиях накопления ошибок округления. В действитель-
ности в реальных машинах результаты округления не столь
неблагоприятны. Все же при решении сложных задач прихо-
дится считаться с ошибками накопления в результате округ-
ления.
В режиме с плавающей запятой почти во всех случаях
происходит округление и в окончательных результатах могут
наблюдаться существенные, искажения. Результаты округле-
ний, какими бы малыми они ни были, меняют свойства арифме-
тических операций. Свойства ассоциативности и дистрибутив-
ности не выполняются на существующих ЭВМ. Произведение
сомножителей, отличных от нуля, может оказаться равным
нулю (это явление известно как «возникновение машинного
нуля при умножении»). Свойство коммутативности соблюдает-
ся лишь в том случае, если имеет место «правильное» округле-
ние [4, 5].
Формирование процесса правильного округления в совре-
менных ЭВМ, работающих в двоичной системе счисления, за-
труднительно. В системе счисления с четным основанием ок-
ругление реализуется неоднозначно. Считается невозможным
построить процесс округления в «классическом» виде, основан-
ный лишь на анализе конца мантиссы, таким образом, чтобы
ошибки компенсировали друг друга. Следовательно, на ЭВМ,
по существу, реализуются новые операции, лишь приближен-
но изображающие обычные арифметические операции. Отме-
ченные особенности не могут быть устранены техническими
средствами, хотя точность может быть значительно уве-
личена. Существуют большие возможности увеличения точ-
ности. Они заключаются в применении переменной длины ман-
тиссы, в использовании сокращенных систем счисления (на-
пример, троичной). .
Распространенным способом анализа точности является
решение задачи с обычной и удвоенной точностью. Совпадение
результатов указывает на отсутствие ошибок округления, по-
этому считается, что остальные вычисления в сходных зада-
чах можно вести с обычной точностью. Такой подход распро-
странен и часто дает удовлетворительные результаты.
Другой подход заключается в использовании специальных
программ, позволяющих записывать числа и выполнять one-
рации над ними с тойкостью, превосходяще ра очую точность
ЭВМ. Такой способ резко увеличивает объем потребного ма-
шинного времени и загружает память. В’задачах машинного
проектирования систем управления этот способ имеет огра-
ниченное применение.
Значительный эффект достигается за счет применения но-
вых вычислительных методов. Изменение вычислительной схе-
мы или использование нового подхода часто дает возможность
принципиально решить задачу на ЭВМ. Характерна машинная
постановка фильтра Калмана в задачах управления и Навига-
ции. Последовательные вычисления в соответствии с урав-
нением Калмана не приводят к положительно-полуопределен-
ной матрице ошибок. Причина неудачи кроется в операциях с
плохо обусловленными матрицами. Благоприятное изменение
вычислительной схемы позволило применить фильтр Калма-
на в космической системе «Аполлон». Сущность применения вы-
числительной схемы состояла в использовании метода «квад-
ратного корня матрицы». Использовался тот факт, что квадрат-
ный корень матрицы имеет разброс элементов в два раза мень-
ший, чем исходная матрица, и в этом проявляется как бы эф-
фект «удвоения» разрядной сетки.
Характерно получение передаточных функций по обычным
правилам преобразования структурных схем. В программе
должно быть предусмотрено раскрытие скобок, приведение
подобных членов и вычисление коэффициентов по убывающим
степеням производной. Некоторые коэффициенты элементар-
ных звеньев малы (как правило, всегда меньше единицы), по-
этому возникает опасность превращения в машинный нуль
старших коэффициентов характеристического уравнения.
При исследовании системы по уравнениям переменных со-
стояния часто возникает необходимость многократного по-
строения характеристического уравнения по исходным матри-
цам коэффициентов. Задача является частью «полной пробле-
мы собственных значений» и извест на также как проблема по-
строения векового уравнения. Для того чтобы обойти много-
численные трудности, в течение десятилетий создавались раз-
личные приемы и методы, подробно изложенные в 115].
В задачах анализа и синтеза автоматических систем ча-
сто имеется определенная специфика, не позволяющая в пол-
ной мере воспользоваться стандартными программами, в ос-
нову которых положены известные методы. Одна группа ме-
тодов (А. М. Данилевского, А. Н. Крылова, Хессенберга, Са-
муэльсона и др.) чувствительна к частным особенностям ма-
трицы, например к «провалам», т. е. к вырождению (в смыс-
ле машинной точности) промежуточных определителей. Дру-
гая (методы, основанные на идее Леверье) не учитывает бы-
стрый рост погрешности на высоких порядках вследствие на-
копления ошибок округления, что ограничивает размерность
решаемых задач.
Прямые корневые методы, базирующиеся на построении
характеристического полинома, также чувствительны к на-
коплению ошибок округления. Применение их для исследова-
ния линейных систем порядка п 20 показало, что накопле-
ние ошибок округления при построении характеристическо-
го полинома и последующее применение корневых методов
синтеза часто приводили к совершенно неправильным резуль-
татам. Устойчивые системы при определенных сочетаниях
параметров трактовались как неустойчивые и, наоборот, не-
устойчивые рассматривались как устойчивые. Многолетние
исследования показали, что при принятой длине разрядных
сеток отечественных ЦВМ граница надежной применимости
метода Ньютона (и его модификаций) составляет п 20.
Если 20, результаты также получаются, но неопределен-
ность в результатах увеличивается. Они могут быть сильно ис-
кажены ошибками округления.
Особенно значительное накопление ошибки проявляется
при сильной связи корней полинома с его коэффициентами.
Показателен следующий простой пример 111]. Полином
s4 — 4s3 + (6 — 49-10~8) s2 — 4s + 1 отличается от полинома
(s — I)4 только коэффициентом при s4. Характерно, что это
различие весьма незначительно, всего 49-10-8. Однако если
все четыре корня второго полинома равны единице, то у пер-
вого полинома корни таковы: Sj = 1,02681; s2 = 0,97389;
Sg.4 = 0,99965 ± 0,026455. Это значит, что сравнительно не-
значительное изменение коэффициентов (всего на 49-10~8)
приводит к существенному изменению корней (уже на 0,03).
При степенях полинома порядка 20 и выше может наступить
качественное искажение результатов.
Отметим еще одну особенность. Не все традиционные мето-
ды теории автоматического управления одинаково хорошо при-
способлены к машинной реализации. Затруднения встречают-
ся при реализации D-разбиения, частотных методов, формиро-
вании передаточных функций по структурным схемам.
Ценность D-разбиения как метода построения границ
области состоит в том, что метод не требует какой-либо на-
правленной процедуры для нахождения первой точки грани-
цы, т. е. является беспоисковым. Поиск, особенно в виде пол-
ного или частичного перебора точек плоскости параметров,
не всегда является целесообразным из-за затрат машинного
времени и отсутствия уверенности, что точка искомой области
может быть найдена, если область имеет малые размеры.
£)-разбиение принципиально позволяет сразу найти границы
области устойчивости в плоскости интересующих проектиров-
щика параметров. Однако свойства метода таковы, что помимо
действительных кривых, являющихся границами искомой об-
ласти, появляются «посторонние». «Посторонние» кривые
представляют собой границу областей на плоскости парамет-
ров, соответствующих одинаковому числу корней, расположен-
ных справа от мнимой осн. Например, одному корню в пра-
вой полуплоскости соответствует определенный диапазон из-
менения параметров на плоскости параметров. Два корня соот-
ветствуют другому диапазону изменения параметров, три кор-
ня — третьему и т. д. При больших порядках характеристиче-
ского полинома переплетение истинных и «посторонних» ли-
ний может принимать самые причудливые формы и выбор дей-
ствительных кривых среди большого количества линий оказы-
вается весьма трудной задачей при программировании. При
изменении to кривые могут претерпевать бесконечные разрывы
второго рода и ветви могут уходить в бесконечность.
При ручных расчетах для выделения искомой области слу-
жит графическая процедура штриховки по Неймарку. Суть ее
состоит в том, что при движении по кривой в сторону возраста-
ния со штриховку наносят слева, если определитель положите-
лен, и справа, если он отрицателен. При изменении а> от —оо
до +оо получается двойная штриховка, так как при <о = 0
изменяется знак определителя системы. Если определитель
обращается в нуль,то это приводит к бесконечному разрыву
второго рода. Особенности имеются и при штриховке особых
прямых. Более подробные сведения об этом можно найти в ра-
ботах [3, 8].
Штриховка затрудняет полноценную машинную реализа-
цию метода D-разбиения. Выбор действительной области среди
претендентов, к тому же часто разбросанных во всех квадран-
тах, заставляет привлекать алгебраические критерии, методы
непосредственного вычисления корней. Недостатком метода
является также его недостаточная универсальность. Варьируе-
мые параметры должны входить в коэффициенты характери-
стического уравнения линейно, возникают трудности при за-
дании расположения корней внутри трапеции, угла или других
фигур в левой полуплоскости. Все же метод D-разбиения явля-
ется единственным беспоисковым методом и может быть с ус-
пехом использован при построении областей устойчивости не
только в автоматических системах, но и в численных методах.
D-разбиение может также использоваться в качестве парал-
лельного или вспомогательного метода.
Метод D-разбиения можно существенно видоизменить, уп-
ростить и сделать более универсальным путем введения полино-
мов Чебышева. Полиномы Чебышева, обладая свойствами как
гармонических, так и ортогональных функций, являются уни-
кальными и как будто специально созданы для применения на
ЭВМ. Они, в частности, позволяют вести операции в веществен-
ной арифметике, что само по себе перспективно с точки зрения
возможной модификации некоторых традиционных методов,
ибо расчеты в комплексной арифметике увеличивают объем вы-
числений в четыре раза.
Другой пример — автоматизация построения передаточных
функций в сложных структурных схемах. Наиболее распро-
страненные алгоритмические языки приспособлены для опе-
раций с числами и не вполне подходят для обработки буквенной
информации. Новые вычислительные методы, создаваемые на
основе графов и структурных чисел, позволяют обойти эти
трудности и значительно уменьшить ошибки округления.
Машинная реализация ЛЧХ имеет ряд особенностей. Полу-
чение амплитудной характеристики не вызывает затруднений.
Трудность кроется в вычислении фазовой характеристики, кото-
рая в общем случае находится не только в первом квадранте,
т. е. является разрывной. Видоизменение метода частотных
характеристик применительно к машинной реализации приво-
дит к предотвращению ложных скачков фазы и в целом повы-
шает информационную ценность метода частотных характе-
ристик. Например, в перспективе оказывается целесообразным
строить новые частотные характеристики — изамплиты (ли-
нии равных запасов устойчивости по амплитуде) и изофазы
(линии равных запасов устойчивости по фазе). Таким образом,
машинная ориентация частотных методов приводит к появле-
нию новых способов машинного анализа и синтеза.
§ 6.2. Анализ устойчивости по уравнениям
переменных состояния
и по характеристическому уравнению
Пусть процессы в системе описываются уравнением (6.1).
Для того чтобы система (6.1) была асимптотически устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа sf
(i — 1, ..., п) матрицы А имели отрицательные действительные
части, т. е. лежали слева от мнимой оси плоскости комплекс-
ного переменного s.
Рассмотрим характеристическое уравнение
|А—sE|=0,	(6.4
где Е — единичная матрица.
Корни St характеристического уравнения (6.4) являются
собственными числами матрицы А. Совокупность всех собствен-
ных чисел образует спектр матрицы А. Сумма элементов, стоя-
щих на главной диагонали, образует след матрицы А и обозна-
чается Sp А. След матрицы связан с ее собственными числами
соотношением
Sp А = 2 а«« S s" *’ = !»•••» я. (6.5)
<=i
Раскрывая определитель |А — sE |, получим характери-
стическое уравнение
(— 1)"(s"4 «Is"~1 4"~2 4-  + йп) г~0,	(6.6)
где а.! — сумма всех диагональных миноров первого порядка,
равная следу Sp А; а2 — сумма всех диагональных миноров
второго порядка матрицы A; rzn — определитель матрицы А.
Анализ расположения всех собственных чисел-матрицы А
относительно мнимой оси осуществляется по коэффициентам
уравнения (6.6) с помощью известных критериев.В системах
высокого порядка получение коэффициентов характеристиче-
ского уравнения часто связано с серьезными трудностями чис-
то вычислительного характера.
Число диагональных миноров k-ro порядка матрицы А
равно
£ = 1 2...п
А!
Таким образом, непосредственное развертывание характе-
ристического определителя и приведение его к виду (6.6) эк-
вивалентны вычислению
ДА + А« + • • • + А» — 2"—1
определителей различных порядков. Для больших значений
и эта задача требует большого объема вычислительной рабо-
ты. В связи с этим были разработаны специальные методы раз-
вертывания характеристического определителя минуя вычисле-
ние многочисленных диагональных миноров (методы Данилев-
ского, Крылова, интерполяции, Леверье—Фаддеева и др.).
Одним из самых экономичных с точки зрения количества
операций является метод А. М. Данилевского. Сущность его
состоит в приведении определителя
| A—sE | ==
«п—S й12	... а1п
«21	а‘22 S ••• &2п
«п!	«п2
к так называемому нормальному виду Фробениуса
a^- s а2 ... ctn-! ап
1	—s ...О	О
О 10	0
0	0	1 —s
Развертывание определителя, записанного в нормальном
виде Фробениуса, не представляет затруднений. Разлагая опре-
делитель по элементам первой строки, получим характеристиче-
ский полином
( — 1 )п (sn + «! S"-1 + «2 sn~2 + ... + ап\
Легко убедиться, что элементы первой строки матрицы Фро-
бениуса суть коэффициенты характеристического полинома.
При вычислении на машине коэффициентов характеристиче-
ского полинома целесообразно производить частичную про-
верку правильности вычисленных коэффициентов, контролируя
выполнение соотношения
Щ = «11 + «22 +	+ «пп = Sp А.
Несмотря на экономичность, метод чувствителен к вырож-
дению (обращению в нуль) промежуточных определителей.
Метод, предложенный А. Н. Крыловым, заключается в пред-
варительном преобразовании уравнения
<р (s) = | А —«Е |
в эквивалентное ему
D(s) =
---S
fegl sa b2Z... 62п
Ьщ— & ьп2... ьпп
развертывание которого по степеням s осуществляется значи-
тельно проще, так как определитель можно разлагать по ми-
норам первого столбца. Метод чувствителен к вырождению
определителей и имеет меньшую точность вычисленных коэф-
фициентов.
Нечувствителен к вырождению определителей метод Леве-
рье—Фаддеева. Расчетная схема состоит в построении последо-
вательности
А^ — A, c/j — Sp Aj, — Aj ““tZj E,
A2 = ACt; a2 = Sp A2/2; C2 = A2 —«2 E;
An — ACn^.j, a.n - — Sp An/n, C„ An rzn E.
Полученные величины alt ..., an представляют собой ко-
эффициенты характеристического полинома
A(s) = (— 1)" | А—sE | = s" + «isn-1 + ... + an.
Отметим, что попутно с вычислением коэффициентов харак-
теристического полинома может быть построена обратная ма-
трица А-1 = Cn-i/an. Практически метод сводится к п-
кратному перемножению матриц порядка п. Число операций
умножения составляет около (п — 1) и3.
При реализации этого метода на ЦВМ в случае операций
с матрицами высокого порядка может происходить перепол-
нение разрядной сетки, что вызывает необходимость введения
масштабирования; при вычислении последовательности ма-
триц Сп происходит накопление ошибки при округлениях, ко-
торое с увеличением порядка матрицы увеличивается, так как
происходит пропадание последних значащих цифр ввиду вы-
читания очень близких друг к другу величин. Эю приводит к
тому, что при больших порядках матрицы А коэффициенты ха-
рактеристического полинома оказываются вычисленными с
пониженной степенью точности. Накопление ошибки начи-
нается с 7—8-го порядка и в дальнейшем увеличивается с ро-
стом п. ' -
Если задана структурная схема системы и имеются переда-
точные функции отдельных звеньев, то определение передаточ-
ной функции ведется по обычным правилам структурных пре-
образований схем и построение характеристического полинома
не таит в себе принципиальных трудностей. Однако при руч-
ных расчетах это связано с утомительными выкладками, кото-
рые могут являться источником ошибок. При постановке зада-
чи на ЦВМ передаточные функции отдельных звеньев представ-
ляются полиномами не выше второго порядка. Характеристи-
ческий полином системы может быть записан в виде
т
P(s)= п (M + Bks+Q
к— 1
Программа должна предусматривать раскрытие скобок и
приведение подобных членов.
Перспективно построение передаточной функции с помощью
топологических методов.
Реализация на ЦВМ этих методов излагается в специальной
литературе.
В настоящее время для оценки расположения корней ха-
рактеристического уравнения относительно мнимой оси су-
ществуют критерии Рауса, Гурвица, Льенара—Шипара, Ми-
хайлова, Найквиста, методы непосредственного вычисления
корней (Ньютона, Мюллера, Берстоу). Для анализа устойчи-
вости импульсных систем используется критерий Шура—
Кона. Все перечисленные критерии опираются на знание ко-
эффициентов характеристического полинома.
Машинная реализация и сопоставление критериев показа-
ли, что наиболее простой, удобной в реализации и надежной
является вычислительная схема Рауса. Критерий позволяет
исследовать систему с учетом любой заданной степени устойчи-
вости т]. При этом возникает задача формирования коэффициен-
тов смещенного характеристического уравнения
«о (s “ Я)" + «1 (s—Я)"-1 + — + ап = °-
Относительно новых коэффициентов уравнение записыва-
ется в виде
' 0!6 S" + s«“1	= 0.
Коэффициенты а0, аъ..., ап суть
_ k	,	.
«л= 2
«=о
где k — номер коэффициента; С — число сочетаний по k — i
из и — i.
Формула для ак может быть представлена так:
 Отрицательным значениям величины т] соответствует сме-
щение прямой s — к] вправо, а положительным — влево.
Рассмотрим, например, характеристическое уравнение тре?
тьего порядка. Сместим его влево на величину степени устой?
чивости q. Вычислим коэффициенты ак:
k
af (-1)*-''= fe = 3.
1=0
Имеем:
a0 = a0; аг = — За0»]’+«ь а2 = 3о0т]2—Зад + аа 
«з = — «о П3 + «г — Ог П + Оз-
Если характеристическое уравнение записать в виде
ansn + an*1s"-! + an_2s"~2 +... +«о= 2 g*sZ==G’
«=0
то коэффициенты смещенного уравнения вычисляются по видо?.
измененной формуле
а“„_г= 2 (-iy-kan-k^-kCn~k,
k=0
где Сп—число сочетаний из п по т (i — п, п— 1, ..., 0).
Отметим, что в некоторых задачах, например при направ?
ленном выходе в область устойчивости, критерий Рауса ис-
пользовать затруднительно, так как он не позволяет ввести
количественную меру. (Это, впрочем, относится и к другим
критериям, в которых используется принцип ДА—НЕТ).
В качестве такой количественной меры, например, может быть
использована вещественная часть ближайшего к мнимой оси
собственного числа Resinax. Величина Re sraax является не-
прерывной, хотя и негладкой, функцией параметров. Если
задана область допустимых значений параметров, то возмож-
но из неустойчивой точки направленно выйти на границу об-
ласти устойчивости. Применение критерия Рауса в такой си-
туации приводит к тактике прямого перебора, хотя в силу эко-
номичности критерия это часто оказывается оправданным
§ 6.3. Функционально-преобразованные матрицы
и их применение. Критерий В. И. Зубова
Рассмотрим систему
х = Ах 4- F (/),	(6.7
где А — матрица коэффициентов размерности п X n; F (t) —
вектор-функция внешних воздействий (п X 1).
Пусть на плоскости комплексного переменного з задана
некоторая область D, соответствующая различным случаям
расположения спектра 3/ исходной матрицы коэффициентов А
системы (6.7). Область D может быть произвольной частью
плоскости s, в том числе левой полуплоскостью или некоторой
заданной частью ее. Обозначим совокупность всех матриц
порядка и, спектр которых находится внутри области D,
через Ав.
С другой стороны, пусть на плоскости комплексного пере-
менного р задан круг радиуса г с центром в начале координат.
Обозначим через Вр совокупность всех матриц порядка п,
спектр которых р,- находится внутри круга радиуса
|Pzl< г, i = 1.... и.
Допустим, что существует оператор L, устанавливающий
взаимно однозначное соответствие двух множеств: Ая и Вр.
Если A G As, то оператор L (А) от матрицы А есть такая ма-
трица порядка п, что L (A) G Вр.
Таким образом, оператор L, воздействуя на лю ую матри-
цу А, взятую из множества As, переводит ее спектр в множест-
во точек, содержащихся в множестве Вр. Это значит, что все
собственные числа рг матрицы В = L (А) будут принадлежать
кругу радиуса г с центром в начале координат.
Эту задачу можно интерпретировать так. Требуется ука-
зать такую аналитическую функцию р = f (s), которая пере-
водила бы границы множества Ая на границы множества
Вр. Тогда если спектр исходной матрицы А лежит внутри
области D то спектр матрицы В в результате функциональ-
ного преобразования будет расположен в круге радиуса г
с центром в начале координат.
Чтобы най'ги условия принадлежности спектра матрицы
А области D, требуется указать простые в алгоритмическом
отношении условия нахождения спектра матрицы В в круге.
Если спектр зг- £ D, то необходимо и достаточно, чтобы наи-
большее по абсолютной величине собственное число матрицы
В было по модулю меньше величины г. Если г = 1, то
If (з)| = |рг| < 1
и в этом случае оценка выполняется относительно единичного
круга с центром в начале координат. Тогда, для того чтобы
Si g D, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось ус-
ловие
lim [Ь(А)]/г—О,
где 0 — нулевая матрица.
Аналитическая функция р = f (s) может иметь различную
структуру и отображать Область заданного расположения спек-
тра Si исходной матрицы А не только на единичный круг с
центром в начале координат, но и на области, ограниченные
алгебраическими кривыми высших порядков, вложенными в
единичный круг.
Отображение областей расположения спектра матрицы А
на круг с центром в начале координат или на фигуру, вложен-
ную в круг , позволяет решить задачу устойчивости линейных
систем по исходной матрице А без определения коэффициентов
- характеристического уравнения. Различные отображения при-
водят к различным функциональным преобразованиям матриц.
Основы метода функционально-преобразованных матриц были
заложены В. И. Зубовым в 1959 г. [7].
Необходимые и достаточные условия расположения всех
собственных чисел Аг матрицы А в заданной области D
комплексной плоскости А имеют вид
lim В* =0,	(6.8)
/г->оо
где В — один из видов функционально-преобразованных ма-
триц.
Выполнение условия (6.8) можно проверить по нормам и
модулю следа матрицы В, величине наибольшего по модулю
собственного числа шах |рг|, а также другим неравенствам,
известным в высшей алгебре.
Рассмотрим способ анализа устойчивости линейных систем
по уравнениям переменных состояния без построения характе-
ристического полинома. В теории аналитических функций
широко известно дробно-линейное преобразование
s = (р + 1)/(р — 1).	(6.9)
Оно обладает тем свойством, что левая полуплоскость ком-
плексного переменного s переводится им во внутренность еди-
ничного круга с центром в начале координат плоскости ком-
плексного переменного р, при этом мнимая ось, рассматривае-
мая как окружность бесконечного радиуса, переходит в еди-
ничную окружность. Если комплексная переменная s переме-
щается вдоль мнимой оси, то комплексная переменная р
движется вдоль окружности единичного радиуса. Каждой точ-
ке левой полуплоскости соответствует вполне определенная
точка, принадлежащая внутренности единичного круга, и
наоборот, т. е. это соответствие взаимно однозначно: р = (s +
+ l)/(s — 1).
Подставим значение s из (6.9) в характеристическое урав-
нение (6.4), тогда
|а--р±1е|=о.
I Р-1 I
После некоторых преобразований получим
|(— Е — А) — р(Е—А)|—0.	(6.10)
• Умножим уравнение (6.10) на (Е—- А)"1:
|(—Е—А)(Е—A)-1—pEj =0.	(6.П)
Матрицу (—Е — А) (К— А)_± можно преобразовать:
(— Е — А + Е — Е) (Е —- А)-1 [(Е — А) --- 2Е j (1Е —- А)-1 =
= Е—2(Е—А)-1.
Характеристическое уравнение относительно новой пере-
менной р будет иметь вид
|В—рЕ|=О, где В = Е--2(Е—А)-1.
Легко видеть, что если все собственные числа sf исходной
матрицы коэффициентов А системы (6.7) лежат в левой полу-
плоскости комплексного переменного s, то все собственные
числа рг построенной матрицы В находятся внутри круга
единичного радиуса с центром в начале координат плоскости
комплексного переменного р. Если хотя бы одно s окажется
в правой полуплоскости, среди рг найдется такое, для кото-
рого |р£ | > 1.
Известно, что если собственные числа матрицы В суть
Pi, Ра> •••> Рп. т0 собственные числа матрицы Bfe равны р{,
р*, Рп’ т. е. при возведении матрицы В в степень в ту же
степень возводятся и ее собственные числа.
Тогда, если все 5, матрицы А системы (6.7) отрицательны,
последовательное возведение матрицы В в степень уменьшает
абсолютную величину собственных чисел pf, ибо все рг
лежат внутри единичного круга с центром в начале координат
и по модулю меньше единицы: |рг | < 1.
Критерий формулируется следующим образом: для того
чтобы система (6.7) была асимптотически устойчива, необхо-
димо и достаточно, чтобы для матрицы
В--Е — 2(Е —А)-1	(6.12)
выполнялось условие
Bft->0 при й->оо,	(6.13)
где О — нулевая матрица.
Можно доказать, что критерий справедлив во всех слу-
чаях, если матрица Е — А неособая, т. е. когда ее определи-
тель не вырождается в нуль. Если |Е — А | = О, то не сущест-
вуют (Е — А)-1.
Могут быть построены функционально-преобразованные
Матрицы для всех практически важных случаев расположения
спектра матрицы А. Введем, например, степень устойчивости т)
Для того чтобы спектр st матрицы А располагался левее
мнимой оси в области Res<T], необходимо и достаточно,
чтобы удовлетворялось условие
lim Bfe = О,
/г->оо
где
В —Е —2[(1 Ч-т])Е—А]-1.
Введем угол 2<р, соответствующий некоторому показателю
колебательности. Для того чтобы спектр матрицы А распола-
гался внутри угла раствора 2<р с центром в начале координат,
необходимо и достаточно, чтобы соблюдалось требование
lim Вф = 0,
/г—>оо
где ВФ = Е—2[Е—iAe~‘4>]~1, или Вф = Е—2(Е + iAe1'4’)-1.
Матрицы Вф и Вф являются комплексно-сопряженными, по-
этому можно рассматривать лишь одну из них.
Аналогично могут быть сформированы функционально-
преобразованные матрицы В для других случаев расположе-
ния спектра s£ матрицы А [6, 7J.
Выполнимость необходимого и достаточного условия устой-
чивости можно установить по факту абсолютного убывания
элементов |6у1 матрицы Bft. Возведение матрицы в степень
рекомендуется выполнять так, чтобы каждая последующая
матрица являлась квадратом предыдущей, т, е. по закону
в*=в2т==в2т~* в2'""1
Тогда k-я степень матрицы В* находится через log2 k шагов
(128-я степень матрицы В получается через семь, а 1024-я —
через десять возведений матрицы В в степень). В этом случае
в памяти машины не надо постоянно удерживать матрицу В,
так как каждый раз используются лишь полученные из нее
степени.
Изучение степени матрицы Bft (k = 1, 2, 4, ..., 2т) следует
вести до тех пор, пока не будет соблюдаться неравенство
где Ifey’l — элементы матрицы Bft (/, j = 1, ..., п).
Более экономичная оценка возможна на основе рассмотре-
ния матричных норм и следов. Напомним, что нормой квад-
ратной матрицы В называют действительное число ЦВ||,
удовлетворяющее условиям:
а)	II ВЦ О, причем ЦВЦ = 0, тогда и только тогда, когда-
В = 0;
б)	||сВ|| = (с|• ||ВЦ (с—число), в частности Ц-В|| = || — ВЦ;
в)	||В4 D||^|)BU + ||D||;
г)	||BD(|<||B|H|D||.
Здесь В и D — матрицы, для которых соответствующие
операции имеют смысл. В частности, для квадратной матрицы
имеем ЦВ*Ц< ЦВЦ*, где k — натуральное число.
Рассмотрим следующие легко вычисляемые нормы:
Цветах 2 IM;	(6.14)
1 /=1
||В||„ = тах 2 РуЬ	(6.15)
/ £= 1
«вош-у 26Ь;	(6.16)
||B?||iv==nmax|bf;|.	(6.17)
id
Для того чтобы система (6.7) была асимптотически устой-
чива и В* -> 0 при k -> со, достаточно, чтобы любая из
норм матрицы В была меньше единицы-.
||В||<1,	(6.18)
т. е. достаточно, чтобы выполнялось условие
mindlBU,, ||В||ц, ЦВЦщ, ||B||IV)<i.	(6.19)
Если условие (6.19) не соблюдается, то из этого не следу-
ет, что исследуемая точка пространства параметров системы
является неустойчивой. Вопрос об устойчивости должен быть
исследован дополнительно путем рассмотрения степеней ма-
трицы В*.
Пусть все собственные значения матрицы В лежат внутри
единичного круга с центром в начале координат (|рг|< 1,
1 = 1, 2, ..., п), а все нормы матрицы В больше единицы.
Рассмотрим последовательность степеней
В2, В4, В8,..., в2"1
В силу того что все собственные числа |рг | < 1, элементы
матрицы В* начиная с некоторого k убывают, стремясь к
нулю при k-^co. Тогда на каком-либо шаге ||Bfc||< 1.
Это условие является необходимым и достаточным при суж-
дении об устойчивости системы.
Таким образом, оценка устойчивости по нормам выполня-
ется в такой последовательности.
1.	Строится матрица В по исходной матрице коэффициен-
тов А системы (6.7).
2.	Вычисляется какая-либо из норм матрицы В или конт-
ролируется условие (6.19). Если ||В||< 1, то исследуемая
точка пространства параметров принадлежит области
устойчивости.
3.	Если соотношение (6.19) не выполняется, то матрицу
В следует возводить в степень и рассматривать нормы последо-
вательных степеней:
цва|, ||В*||, цв8||,..„ цв*||.
к = Ах + F (О
Если при некотором фиксированном k какая-либо из норм
стала меньше единицы ||В*||< 1, то условие устойчивости
В* -> 0 (/г -> оо) соблюдается.
Рассмотрим иллюстративный пример.
Пример 6.1. Определим, является ли ' система
асимптотически устойчивой. Матрица А
Г—0.9
0,4
1,1
имеет вид
—0,2-
3,2 .
—3,1.
3,1
—2,5
—1,5
А=
Функционально-преобразованная матрица В
г—0,21792
BE- 2(Е —	—0,11957
1—0,28302
—0,82742
0,49057
—0,03561
—0,58638
—0,39177
0,49820
Вычислим нормы матрицы В:
п
|| B||j = max У, || = тах [0,21792-j-0,82742-j-0,58638;
‘ /= I	1
0,11957 4- 0,49057 4-0,39177; 0,283024-0,035614-0,49820J =
= max [1,63172; 1,00191; 0,816831=1,63172;
||В||н = тах У, |6o-| = max [0,217924-0,11957-1-0,28302;
f i=i ,
0,82742 4- 0,49057 + 0,03561; 0,58638+ 0,391 77 +0,49820] =
= max [0,62051; 1,3536; 1,476351 = 1,47635;
/
|| в цп1 = 1/0, 217922 + 0,827422 + 0,586382 + 0,119572 + 0,490572 + "’~">
•+0,391772 + 0,28302а + 0,035612 + 0,498202 =
. »= Уо,047489 + 0,6846238 + 0,34384 + 0,0142970 + 0,2406589+''
" -] 0,1534837 Н-6,0801003 + 0,001268 + 0,24882032 ==
= У 1,8139639 = 1,34683.
При рассмотрении норм достаточное условие устойчивости не
удовлетворяется, т. е.
min (]| В Цр || В ]|п; || В ||п1) = (1,63172; 1,47635; 1,34683)>1.
Возведем матрицу В в степень:
[ 0,31238 —0,204712	0,15981-1
0,07828	0,35354 —0,31726 |.
—0.07506	0,19896	0,42811 J
Норма матрицы || В2 || меньше единицы, что указывает на факт выполне-
ния условия Bfe —> 0 при k —> 00;
II В2 II, = max [0,676902; 0,74908; 0,69773 =0,74908 < 1.
Рассмотрим возможность оценки собственных чисел матри-
цы В по ее следу. Известно, что следы последовательных
степеней матрицы В6 представляют собой суммы всех собствен-
ных чисел р'(, взятых в той же степени, что и матрица Bfe,
т. е.
spb*=p5 + p* + -+p*=
Если система устойчива и Bfc -> 0, то след Sp Bfc также стре-
мится к нулю при k ео.
Если сочетание параметров исследуемой точки пространст-
ва таково, что точка находится достаточно далеко от границы
устойчивости, то матрицу В можно не возводить в степень, а
воспользоваться достаточным критерием неустойчивости
|SpB|>n.
(6.20)
Можно показать, что если выполняется условие (6.20), то
среди pt найдется хотя бы одно, для которого справедливо
условие |рг | > 1. Это означает, что система является не-
устойчивой .
Если соотношение (6.20) не удовлетворяется, никаких вы-
водов относительно принадлежности исследуемой точки к
области неустойчивости сделать нельзя. В этом случае можно
рассмотреть поведение последовательности следов матрицы
В*, т. е.
| Sp В21; |SpB4|;...; | Sp ВЛ |.
Программу рекомендуется строить таким образом, чтобы
на каждом шаге возведения матрицы В в степень контроли-
ровать условия устойчивости и неустойчивости.
Устойчивость
II В || <1;
II в3 II <1;
II В4||< 1;
Неустойчивость
| SpB |>п;
|SpB31 > п-
| SpB41 > и;
II &т || < 1.
|SpB2m|>n,
/п = 1,2, 3, ...
Отметим, что функционально-преобразованные матрицы мо-
гут иметь различную структуру. Однако вэ ьсех случаях ал-
горитм должен строиться так, чтобы однозначно устанавлива-
лась принадлежность спектра рг матрицы В кругу радиуса
г = 1 с центром в начале координат или некоторой области,
вложенной в круг.
Возведение матрицы в степень требует п3 операций умно-
жения и п2 (п — 1) операций сложения. Матричные операции
хорошо поддаются распараллеливанию, и современные ма-
тричные процессоры позволяют значительно сократить время
расчетов. Тем не менее существуют возможности уменьшения
трудоемкости за счет изменения вычислительной схемы. На-
пример, в некоторых ЭВМ для перемножения матриц приме-
няется алгоритм Штрассена, в котором число операций умно-
жения составляет п|о£» 7 = и2’81, а число сложений 6п2’81 —
— п2. Практически алгоритм Штрассена более эффективен
лишь на высоких порядках матрицы.
§ 6.4. Матричный критерий устойчивости,
не связанный с обращением матрицы
Вычислительные трудности, связанные с нахождением ко-
эффициентов характеристического полинома по исходной ма-
трице А уравнений переменных состояний пробудили интерес
к машинно-ориентированным методам анализа устойчивости,
в которых отсутствуют не только операция построения харак-
теристического полинома, но и операция обращения матрицы.
Операции обращения, где это возможно, желательно избегать.
В матричном критерии (6.13) в функционально-преобразо-
ванную матрицу В входит обратная матрица. Ее появление
связано с использованием дробно-линейного преобразования
(6.9). Рассмотрим подход в общем случае, устраняющий опе-
рацию обращения.
Вообразим себе, что мнимая ось является окружностью
бесконечного радиуса. «Изогнув» ее, получим окружность ко-
нечного радиуса. Таким образом приходим к идее охвата об-
ласти расположения спектра st матрицы А кругом. В дальней-
шем такой круг отображается на единичный круг с центром в
начале координат комплексной плоскости р или на некоторую
область, расположенную внутри этого круга.
Пусть на плоскости s имеется круг радиуса /?, в котором
содержатся все собственные числа зг матрицы А. Центр круга
находится на вещественной отрицательной полуоси в точке
I—/?, 0]. Отобразим круг в левой полуплоскости на единичный
круг плоскости р с помощью функции
S = R(P— 1).	(6.21)
Подставим значение (6.21) в характеристическое уравнение
(6.7). После несложных преобразований получим
|В—рЕ|=0,	(6 22)
где
В = Е + А/Я.	(6.23)
Тогда если все собственные числа s, матрицы А находятся
внутри круга радиуса 7? в левой полуплоскости комплексного
переменного $, то все собственные числа р, функционально-
преобразованной матрицы В лежат внутри круга единичного
радиуса с центром в начале координат на плоскости комплекс-
ного переменного р, т. е. |pj <1 (i = 1,	п).
Имеет место следующее утверждение: для того чтобы все
собственные числа St (i — 1, 2, п) исходной матрицы ко-
эффициентов А системы (6.7) находились внутри заданного
круга радиуса R, расположенного в левой полуплоскости и
имеющего центр в точке [—R, 0], необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
lim В = 0,	(6.24)
k—>оо	—
где В = Е 4 А//?; 0 — нулевая матрица.
Таким образом, условие принадлежности всех собственных
чисел матрицы А кругу радиуса R, расположенному в левой
полуплоскости, сводится к возведению функционально-пре-
образованной . матрицы В в степень и к изучению последова-
тельности степеней по нормам и модулю следа. Аналогично
может быть построен критерий с учетом произвольной степе-
ни устойчивости Т].
Пусть задан круг с центром в точке [—R — т], 0], в котором
находятся все собственные числа st матрицы А (рис. 6.1).
Отображая этот круг на единичный круг с центром в начале
координат, можно построить функционально-преобразован-
ную матрицу.
Для того чтобы все собственные числа S; матрицы А си-
стемы (6.7) лежали в левой полуплоскости внутри круга ра
диуса R с центром в точке [—R — tj, 0], необходимо и доста-
точно, чтобы удовлетворялось
Рис. 6.1
требование
lim В? = 0,
fe-»oo
где
В^Е+ЧА—i]E)/R;
0 — нулевая матрица.
Первоначальное значение
радиуса может быть выбрано ис-
ходя из свойств конкретной ис-
следуемой системы, когда пред-
ставляется каким-либо образом
косвенно оценить частоту ко-
лебаний в ней, а также по нормам матрицы А или на основе
методов локализации. Слишком большие первоначальные зна-
чения радиуса приводят к аннулированию элементов матрицы
ввиду выхода числа за пределы разрядной сетки машины. На-
пример, если элементы матрицы А достаточно малы, то деле-
ние на большое значение еще более уменьшает их, что и при-
водит в отдельных случаях к выходу числа за пределы раз-
рядной сетки. Тот предел, при котором происходит аннулиро-
вание отдельных элементов матрицы А, определяет верхнюю
границу величины радиуса R.
Большие значения радиусов удлиняют время решения зада-
чи, так как увеличивают число шагов при исследовании каж-
дой точки пространства параметров в log2 R раз. Так, увеличе-
ние радиуса в 10® раз требует дополнительно 10 шагов, что
соответствует 10п® операциям умножения.
Центр круга, охватывающий область расположения всех
собственных чисел матрицы А, отнесен влево на величину
—R — г), поэтому касательные, проведенные из начала коорди-
нат к окружности, приближенно характеризуют колебатель-
ность в системе (рис. 6.1).
Показатель колебательности выражается тангенсом угла
наклона касательной
р, — tg <р = /?//=/?2=/?/К2/?ч+п’.
Выполнив несложные преобразования, показатель колеба-
тельности можно представить как
И = —= Т/Г27+Г
У2/?/т]-р1
где у = Rfat],
Из формулы следует, что показатель колебательности за-
висит от отношения двух величин: радиуса круга R, охваты-
вающего все собственные числа матрицы А, и степени устойчи-
вости Т].
В большей части практических расчетов на ЦВМ пределы
изменения показателя колебательности р составляют от 1 до
: Кругами подходящего радиуса можно ограничить интере-
сующую проектировщика область расположения всех собствен-
ных чисел Sj и исходной матрицы коэффициентов А в левой
полуплоскости. Однако при возведении матрицы в степень
возможен колебательный характер сходимости. Этот эффект
имеет место тогда, когда какое-либо из собственных чисел sz
матрицы А достаточно близко расположено от границы круга.
Для устранения этого нежелательного явления можно ис-
пользовать функционально-преобразованные матрицы, соот-
ветствующие нелинейному отображению охватывающего
спектр круга.
Рассмотрим матричный степенной ряд
eA/« = Dm = E + - + —+ — +...+
R 2!7?2	З!/?3
дт
+ _Д_ , т = 0, 1,2,... .	(6.25)
ml Rm
Если для отображения круговой области расположения
всех собственных чисел матрицы А использовать три или четы-
ре члена ряда (6.25), то явление «колебательности» подавляет-
ся.
При использовании первых трех членов ряда (6.25) .функ-
ционально преобразованная матрица имеет вид
D2 = E + —4-—, /п=0, 1,2.	(6.26)
2 R * 2/?«
В этом случае оценивается принадлежность спектра матри-
цы кругу радиуса г — 0,5 с центром в точке {0,5; 0] комплекс-
ной плоскости р (рис. 6.2, а).
Для того чтобы спектр матрицы А системы (6.7) находил-
ся внутри круга радиуса R с центром в точке [—R, 0] комплекс-
ной плоскости s, необходимо и достаточно, чтобы спектр ма-
трицы D2 располагался внутри круга радиуса г — 0,5, вло-
женного в единичный круг с центром в начале координат.
Круг симметричен относительно оси абсцисс и имеет общую
точку [1, 0J с единичным кругом.
Рис. 6.2
При использовании четырех членов ряда (6.25) окружность
радиуса R комплексной плоскости s переходит в алгебраиче-
скую кривую третьего порядка, вложенную в единичный круг
комплексной плоскости р. Эта кривая пересекает оси ОХ в
точках [1/3, 0] и [1, 0] (рис. 6.2, б). Функционально-преобра-
зованная матрица имеет вид
A	А2	ДЗ
D3 = E + —+ —+-2-., /п=0, 1,2,3.	(6.27)
7?	2/?2	6/?з ’	'	'
При. использовании пяти членов ряда (6.25) осуществляет-
ся отображение круговой области отображения спектра на
внутренность области, ограниченной алгебраической кривой
четвертого порядка — конхоидой с круговым базисом (улит-
кой Паскаля). Эта кривая (рис. 6.2, в) имеет общую точку с
единичным кругом [1, 01 и целиком находится в правой его
половине. Функционально-преобразованная матрица имеет
вид
А	Аа	Аз Д4
D4^E-[-—+ —-Ь—4--^—, т = 0, 1,2,3,4. (6.28)
R	2Z?2	6/?3	24/?*	> > > >	\	/
Функционально-преобразованным матрицам D2, D3, D4 мо-
жет быть поставлен в соответствие скалярный ряд
Р	Ч	Ч2	чЗ
= 1+~+—- — + ——
R 2!/?2	3! У?3	miR™
(6.28а)
При т = I, т. е. при рассмотрении первых двух членов,
имеет место линейное преобразование. При т = 2, 3, ... име-
ет место нелинейное преобразование. Известно, что всякая
квадратная матрица является элементом кольца. Это позволя-
ет заменить скалярную величину s матрицей А. При такой за-
мене надо соблюдать два условия: 1) следить за порядком сле-
дования сомножителей, так как в общем случае кольцо матриц
некоммутативно; 2) следить за операцией деления, так как
не всякая матрица имеет свою обратную. В данном случае
каждая матрица коммутирует сайа с собой и со своей целой
произвольной положительной степенью и эти условия авто-
матически соблюдаются.
Можно показать, что функционально-преобразованные ма-
трицы DTO, полученные при круговом охвате и отображении
спектральной области матрицы А, приближают матричную экс-
поненту exp (М), входящую в решение х (/) = ехр (Аг1) х0
однородной системы х = Ах.
Алгоритм построения процессов с равномерным шагом h
имеет вид
xft+1=Dmxft, А>='о, 1,2,..., .	(6.29)
При использовании матрицы Dm порядок ошибки состав-
ляет — 0 (/?.m+1).
Так, при введении матрицы Dj порядок погрешности О (h2)
соответствует методу Эйлера, при введении матрицы Da со-
ответствует методу Эйлера—Коши, т. е. —О (Я8), при ис-
пользовании матрицы D4 — методу Рунге—Кутта четвертого
порядка, т. е. порядок погрешности составляет О (h6).
При построении процессов в однородной системе с прогрес-
сивно увеличивающимся шагом алгоритм имеет вид
хй = оХх0,	(6.29а)
где х0 — вектор начальных условий.
Таким образом, в матричных критериях, основанных на
построении и исследовании функционально-преобразованных
[матриц, заложены возможности не только анализа устойчиво-
сти, но и построения переходных процессов, удовлетворяющих
заданным начальным условиям. В определенной степени трудо-
емкость компенсируется увеличением полезной информации.
Алгоритм позволяет анализировать устойчивость нестацио-
нарных систем прямым построением процессов, а также выяв-
лять временную работоспособность системы на конечном ин-
тервале времени. В нестационарных системах функционально-
преобразованная матрица перестраивается на каждом шаге.
Алгоритм построения процессов в однородной нестационарной
системе имеет вид
xft+i = Dm(ftft) xh,
где Dm (kh) — функционально-преобразованная матрица, фор-
мируемая на каждом шаге/i в соответствии с изменением исход-
ной матрицы A (kh).
Выбор шага h осуществляется по радиусу круга, охва-
тывающего все собственные числа матрицы А. Величина
h = 1//? является шагом интегрирования, она может изменять-
ся в широких пределах, при этом основным условием являет-
ся нахождение всех собственных чисел матрицы внутри круга
радиуса R. Таким образом, увеличивая длину шага, мы можем
ускоренно строить переходные процессы, при этом вычисли-
тельная устойчивость сохраняется и качественная картина про-
цессов, несмотря на рост погрешности, не изменяется.
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение алго-
ритмов.
Пример 6.2. Рассмотрим систему
dxjdt — х2;
dxjdt — — 5xj — 2х2 .
Начальные условия xt (0) = 1; х2 (0) = 0,5. '
Требуется найтн решение, которое определяет собственное дви-
жение (устойчивость) системы. В качестве матрицы Dm выберем матри-
цу О4-
Матрнца А и вектор начальных условий х0 имеют вид
Круг радиуса 7?= с || А || , где || А |( — норма матрицы, примем равным
10. Шаг h = 1/R = 0,1. Если шаг принять равным h = 0,01 (R =
= 100), то масштаб времени уменьшается и потребуется большее ко-
личество вычислений. При h = 0,1 матрица D4 имеет вид
d4=e+a/h
(АЛ2)
2! +
(А/»)3
3!	+
—=[' °1+оЛ 0 ч +
41	[0 1J	[—5 —2J
0,01Г 5 —2]	0,001 Г10
~Г[10 —1]+	6	[5
— 1 1	0,0001 Г 5
12j+	24	[—60
12]
—ю]
0,97668
—0,44941
0,08988 ]
0,796919]’
Для получения решения можно использовать любую из формул
xh+j = l)4xA или х/г—О* х0.
Решение в момент времени I — kh = 0,1 с имеет внд
Г 0,97668 0,08988] И ] Г 1,02162]
Хг-=Х(°’,)=[—0,44941 0,79691] |о,5_|	|—0,05094J
В момент времени t — 0,2
Г 0,993221
х2 = х (0,2) - [__0 48973]
и далее
Г 0,92514] Г 0,82766] Г 0,71808]
Хз= [—0,84461]’ Х4==[—1,00442]; Х® [-1,17239]’
Г 0,59596] Г 0,34403]	_ Г-0,20180]
х« = [—1,25701]: Хв~ [-1,22888j: Хи~ [-О,О957о]’
Решение системы приведен,о на рис. 6.3.
где
Рис. 6.3
Пример 6.3. Рассмотрим однородную нестационарную систему
х = А (7) х,
—5	1
— 1 —10£
Вектор начальных условий
А (/) =
1]
.0,5]'
Требуется построить решение системы на промежутке |0; 1] се-
кунд, используя функционально-преобразованную матрицу D2 (kh).
Положим А = 0,1. При k = 1
имеем
Dg(Aft)=E4-A(Aft)A-f
+ -у [A
*о =
—0,5
—0,1
0,12
0,03
Г 0,62
[—0,07
1 0]
0 1] +
о.п
—0,1] +
—0,031
6 J
0,071
0,9 ]‘
Выполним вычисления в
соответствии с алгоритмом:
xft+i = D2 (kh) -кк, k = 0,
1, 2...............
В моменты времени t = khc значения вектора xk следующие:
х± = х(0, 1) = И2(й/г)Хо =
0,071 [ II 10,6551
0,9 J [о,5]~ [0,38 ]’
Г 0,62 0,0651 ГО,6551
х2= х (0,2)=	=
'	[—0,065 0,815] [0,38 J
[0,4308 1
[о,267125]
0,62 0,061 [0,4308 1	[0,28312351
—0,06 0,74] [о,267125_|~ |o,1718245j
[ 0,62 0,55 1 [0,28312351 [0,184986911
[—0,055 0,675J [о, 1718245] [о, 10040982]
Дальнейший ход процессов изображен на рис. 6.4.
§ 6.5. Векторные методы построения переходных
процессов в линейных системах
Анализ устойчивости путем формирования и возведения в
степень функционально-преобразованных матриц, а также с
помощью других эффективных способов аппроксимации матри-
цы exp (A t) таит в себе скрытые возможности построения
переходных процессов. За счет увеличенного шага можно полу-
чать семейство процессов относительно всех переменных со-
стояния. Слишком большие значения шага увеличивают по-
грешность в решении, однако качественная сторона процессов в
решении сохраняется.
Рассмотрим автоматическую систему, описываемую урав-
нением
х = Ах + F (0,	(6.30)
где F (0 — вектор внешних возмущений.
Решение системы х (0 при начальных условиях х (0) =
= х0 может быть точно представлено в аналитическом виде:
t
х (0 = exp (А0 х0 + J exp [A (t —т)] F (т) di.	(6.31)
о
Ставится задача найти аппроксимацию точной записи решения
(6.31) уравнения (6.30).
I1ОЛОЖИМ
th=kh', xft = x(Q; й = 0, 1,2,...,
где h — шаг построения процессов.
Из (6.31) получаем
kh
xh — exp (Ahk) xo + J exP [A (kh —r)] F (t) dr.
о
Введем обозначения
kh
yh = exp (AA7;)x0; zft =s J exp (A (kh —%)] F (t) dr,
о
тогда
xh=“yft + zfe.	(6.32)
Будем вычислять интеграл zft приближенно по формуле пря-
моугольников с шагом h — \/R. Используя значения подынте-
гральной функции на левых концах частичных промежутков,
получим
kh	k— I
J exp [A (kh —t)] F (t) dr = h 2 exP (A (kh—ih)] F (ih) —
0	i=O
It—I
— h 2 exP IA/i (k —t)l F (^0-
1 = 0
В качестве exp (Ah) выберем функционально-преобразованную
матрицу DTO (см. § 6.4). Имеем
.	k-i
У ft ““ С» Х©» %k~ h 2 m F (l^)'
i=0
Учитывая (6.32), получим
__1
xh = D*x0 + ft 2	<6'33)
1=0
Соотношение (6.33) запишем следующим образом:
х^оЕ+Ч+й 2 dX+,_/fr.
1=0
Преобразуем правую часть этого равенства:
xft+1 == Dm D.m х0 + h®m [ЛX	1 F (ih) + F (kh) 1 =
U=o	J
.	' k~ i .	.	i
Dm x0 + h 2 Dm"' F (ih) + ftF (kh) .
0
= Dm
Сравнение с уравнением (6.33) позволяет алгоритм построения
переходных процессов представить в виде
хй+1 = Dm [xh+ftF(kh)}, й= О, 1, 2, ....	(6.34)
Если использовать точность построения переходных про-
цессов, соответствующую точности усовершенствованного ме-
тода Эйлера, то формула (6.34) принимает вид
хй+1 = (е + Ай +	[xh + ftF (kh)i.	(6.35)
Последовательные значения искомого вектора переходных про-
цессов находятся таким образом:
Х1 = (Е + Ай + -^)[х0 + ftF (0)J;
х2 = (Е + Ай + -^-) [Xi + ftF (ft)];
ха = (Е + Ай + -~-)[х2 + йР(2й)1; ....
Алгоритм (6.34) может использоваться для построения
переходных процессов в линейных системах при внешних воз-
действиях, меняющихся в широком диапазоне. Последние
могут быть достаточно интенсивными, иметь разрывы. Значе-
ния функции F (йй) могут определяться по ходу вычислений
или вводиться таблично.
, Алгоритм (6.34) не накладывает каких-либо принципиаль-
йых ограничений на шаг построения процессов, кроме усло-
вия нахождения спектра st матрицы А внутри круга с центром
в точке [—R, 01 в левой полуплоскости. Процесс будет числен-
но устойчив, если шаг выбрать кратным величине й. Пусть
вначале вычисления осуществляются с шагом h до точки
th ~ Ih (I шагов длиной й), а затем вычисления продолжаются с
шагом в р раз больше, т. е. равным ph. Рекуррентная формула
для такого способа вычисления имеет вид
X/+p(s+i) = Dm{xz+Pf. + p/iF[(/ -[-ps)h]}; s = 0, 1,2, .... (6.36)
При р = 1 вычисления ведутся с шагом h и формула (6.36)
переходит в формулу (6.34). Матрица Dm, согласованная по
точности с приведенным способом вычисления, имеет вид
г, с .	, А2 Л2
D2 = Е-f-АЛ + —.
Более высокая точность приближения матричной экспонен-
ты ехр (АО начиная с т — 4 входит в противоречие со способом
аппроксимации интеграла в уравнении (6.31), отражающего
влияние внешнего воздействия F (О- В этих условиях требует-
ся повышение точности вычисления интеграла. Аппроксими-
руем интеграл
(*+1)й
J ехр [А (ЛЛ —t)J F (т) dx,	(6.37)
используя правило трапеций. Алгоритм построения переход-
ных процессов в окончательном виде будет
xft+1 = ехр (АЛ) fxfi + (Л/2) F (ЛЛ)] + — F ](Л + 1) Л]. (6.38)
Вместо ехр (АЛ) можно подставить функционально-преоб-
разованную матрицу (ФП-матрицу) D2 или D3. Порядок по-
грешности при таком способе построения процессов составляет
О (Л3). Дальнейшее повышение точности построения переход-
ных процессов с помощью ФП-матриц может быть достиг-
нуто с помощью параболической аппроксимации интеграла
(6.37). Построим алгорим для такого способа вычисления век-
тора переходных процессов. Имеем
kh
xft = ехр (АЛЛ) хо Jr J ехр [А (ЛЛ—т)] F (т) dx. (6.39)
о
Положим, как и прежде, tk = Л/Z? = ЛЛ. Заменяя в выра-
жении (6.39) Л на 2Л, получим
2/гй
х2А = ехр (2АЛЛ) х0 + У ехр [А (2ЛЛ— т)] F (т) dx.
Далее имеем
(2*4-2) ft
*2й+2 = ехр [Ah (2k + 2)] х0 +	[ exp {A [(2k + 2) х
о
X h —т]} F (т)(1т,
или
(2*4-2) ft	»
*2*4-2 = ехР (2А/г) xah + J exp [A (2kh —г)] F (г) dr |. (6.40)
2*ft	J
Применим к интегралу в правой части выражения (6.40)
формулу Симпсона. Тогда
(2*+2)ft
j	ехр[А(2*/г—r)J F (т) dr = (/г/3) {ехр (—2А/г) х
2kh
х F [(2k + 2) h\ + F (2kh) 4 4 exp (— Ah) F [(2k 4-1) /г)}.
Выполнив необходимые преобразования, получим рекур-
рентную формулу
*2*4-2 = ехР (2А/г) [x2fi 4- (/г/3) F (2kh)[ 4 (4/3) h ехр (Ah) х
X РГ(2Л?+ \)h] + (h/3)F[(2k 4-2)*], k=0, 1, 2, 3, ....
С учетом функционально-преобразованной матрицы окон-
чательное выражение алгоритма для построения переходных
процессов имеет вид
х2ь4-2 —	[*2ft + (/г/3) F (2kh)] 4	(4/3) hP [(2k 4 1) h] 4
+ (/г/3) F [(2*4-2)/г). * = 0, 1, 2.
Порядок точности при параболической аппроксимации инте-
грала пропорционален 0 (/г4), что соответствует по точности
интегрированию с использованием функционально-преобра-
зованной матрицы D4
Способ вычисления интеграла вносит систематические ошиб-
ки в значение вектора х*. Более подробные способы исследова-
ния точности приводятся в работе 16]. Изложенные алгоритмы
распространяются на построение переходных процессов в ли-
нейных нестационарных системах.
Можно выбрать максимальный шаг построения процессов
по ошибке вычисления вектора хй на й-м шаге. Обозначим эту
ошибку через бй. Тогда величина шага будет равна
। m+l ЛТ
/г = ------ |/ А- (т +1)!,
I smax I |/ й
где т — число, определяющее структуру функционально-пре-
образованной матрицы
Dro = Е + Ай + А2 й2/2! +... + hmhmlrn\
При т = 1 величина шага й =
при т == 4 Й
|<120
I smax I
1/2 - Z бь
I sraax I |/ k
где |smax | — наибольшее по модулю собственное число матри-
цы А.
Максимальное время, в течение которого ошибка не будет
превосходить заданной величины, равно
,	+1)1
^ГПйХ ‘	.	•
I Smax
Пример 6.4. Проиллюстрируем на простом примере изложенные
способы построения переходных процессов. Все расчеты легко выпол-
няются на ручных калькуляторах.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
x = Ax + F(/),
где
. Вектор-функция внешних воздействий F (/) имеет разрывной ха-
рактер, причем в точках разрыва она меняет знак. Ее аналитичес-
кое выражение имеет вид
Д/2/ —tz при 0 < t < 1;
— "|/2/—ПРИ 1</<2;
t—4 при 2< t < 3;
1 при 3 < t < 00.
Вектор начальных условий
Шаг построения процессов выбираем из соотношения h = 1//?,'
где — радиус круга, в котором находятся все собственные числа мат-
рицы А. Величина R может быть приближенно выбрана по норме || А || :
Я>с||А||,
где с — множитель, округляющий значение || А || до ближайшего цело-
го десятка (или сотни). Большие значения R приводят к малому шагу.
Найдем норму:
п
flA|li = max 2 l°ol—шах[1; 6]=?6
i /=1
Полагая R = 10, получим h — 0,1.
Построим переходный процесс по формуле (6.34):
Xfc+i = Dm[Xfc+AF(feft)J, fe=0, 1, 2, 3, ...
В качества' Dm примем D4:
[0,9864259 0,08596251
О 2578875 О 7285375 Г
—O.zozoozo O.zzooozol
Значения функции F(Z) можно вычислить по формулам с любой точ-
ностью. Для иллюстрации примем приближенно:
при t~0 F (0) =
при t
ГО,421
=0,1 F(ft) = F(0,l) = ^ 42J;
при f=0,2 F (2Л)= F (0,2) =
при Z=0,3 F (ЗЛ)= F (0,3) =
при Z=0,4 F (4Л)= F (0,4) =
На первом шаге в момент времени t = 0,1 с получим следующие
значения переменных:
x1=D4[xo+0,1F(0)J =
0,9864259 0,08596251 j П 1	Г01 1	П,0294061
—0,2578875 0,7285375j \ LO.sJ + '* [oj J~~ [О, 106382]'
На втором шаге в момент времени t = 0,2 с имеем
x2 = D4 [x1+0,1F(0,1)J =
‘ 0,9864259 0,08596251 f П,0294061	ГО,4211	Г 1,0696161
—0,2578875 0,7285375] ( [о, 106382] +°’* [о,42]1	[—0,1682012]
На третьем шаге в момент t — 0,3 с имеем
x3 = D4{x2-]-0,1F (2-0,1)] =
‘ 0,9864259
—0,2578875
0,0859625]
0,7285375]
И 1,069616 7 j ГО,60]Л Г 1,104979 7
—0,1682012]+ ’ [о,бо] J	[—0,3701429]
На четвертом шаге в момент t = 0,4 с имеем
x4 = D4 (x3+0,lF (3-0,1)] =
0,9864259 0,0859625] j Г 1,104979]
—0,2578875 0,7285375] Ц—0,370141] +°’*
0,71]]
0,71]]
Г 1,134304
[—0,521205
Окончательно процесс представлен на рис. 6.5 (кривая 7).
Проиллюстрируем применение более точной формулы (6.38) для
построения переходных процессов:
Xfi+i =О4 [х*+(й/2) F (/гЛ)]+(й/2) F [(*+1) А].
На первом шаге в момент времени t = 0,1 с имеем
Рис. 6.5
На втором шаге в момент времени t = 0,2 с имеем
Проиллюстрируем построение переходных процессов с помощью
алгоритма
Г	4	14
х2*+ — F (2kh) + — ftD4 (F (2/гф. 1) h\ +
L	**	I о
h
+ -—[F(2fe + 2)ft].
О
Матрица DJ равна
Г 0,950866 0,1474221
L—0,442266 0.508598]’
На первом шаге в момент времени t — 0,2 с имеем
Г	h	]	4	h
x2=D| х0+ — F (0) +-— ftD4F(ft)+ — F(2ft) =
L	О	J	о	о
, ([ П , h fOl'i , 4 П [0,421	h [0,61	[ 1,10428 1
*U.O,5J + 3 [oj ’	3 °’ 4[o,42j+ 3 |o,6j[—0,141877]
« Г 4
х4 = Щ —F
О
4	4
+ — ftD4 F (ЗЛ) + —• F (4Л) =
О	О
= D4
1,10428
—0,141877
4
О
Далее процесс вычислений идет аналогично вышеизложенному.
Окончательно кривые приведены на рис. 6.5 (кривые 2 и 3).
Отметим, что точность вычислений в последнем методе соответст-
вует известным методам четвертого порядка. Информация о векторе
переходных процессов выдается только в четных точках х2ь+2, в фор-
муле же используются данные и промежуточных точек.
§ 6.6. Векторный способ построения переходных
процессов в нелинейных системах
Пусть динамика автоматической системы описывается век-
торным нелинейным дифференциальным уравнением
x f(x, t).	(6-41)
Представим систему (6.41) в виде линейной и нелинейной
частей:
, х = Ах 4- F (х, 0.	(6.42)
Пусть спектр матрицы А системы (6.42) расположен в ле-
вой полуплоскости. Точное решение системы (6.42) можно пред-
ставить в аналитическом виде:
t
х (0 = ехр (А0 хо + J ехр [A (t— т)] F [х (т), т] dx. (6.43)
о
При интегрировании с шагом h получим рекуррентную фор-
мулу
(A+D Л
xft+1 = ехр (Aft) {хА [ ехр [A (kh — т)] х
kh
XF[x(t), т]^т}, й=0, 1, 2, ....
Вычислим интеграл в правой части рекуррентной формулы.
Используя правило прямоугольников и принимая на левом
конце т = kh, получим
(*4-1) л
ехр [A (kh —т)] F [х (т), т] dx = hF (xft, kh).
kh
Таким образом, имеем
Xft+i = ехр (Ай) [xfe + ЙР (xft, kh)].	(6.44)
Для повышения точности построения переходных процес-
сов применим правило прямоугольников не ко всей подынте-
гральной функции, а только к функции F [х (т), т], т. е. бу-
дем считать, что на длине одного шага на промежутке Ikh,
(k + 1) h]
F[x(t), T] = F(xfi, kh).
В этом случае
xft+1 = exp (Aft)
(Л+.1)Л
xfi + F (xh, kh) J	exp[A(ftft—x)]dr
.	kh
Далее,
<*4-Г)Я	Л
exp IA (kh —T)dr] = j’exp(—Ar)dT=-
kh	о
= —A-1 [exp (—Aft) —E[ = A"1 [E — exp (—Aft)].
Матричную экспоненту представим в виде
exp(-Aft)=E-Aft +
Имеем
(fc+ПЛ
f exp [A (kh) —t] dx = A-1 (Aft —4. ЮН------------------... \
J	\	21	31	/
kh
Вынося Aft за скобку и учитывая, что А-1 А == Е, получим
(А+ПЛ
j exp[A(ftft — T)]dx = ft^E —	- )•
kh
Итак, имеем следующий алгоритм для построения переход-
ных процессов:
xft+i = exp(Aft) [xfe+ ft^E —)F(X«> М].
(6.45)
Обозначим
Q(Aft) = E —+-~^ —	(6.46)
Формулу (6.45) можно записать в виде
xfe+1 = exp (Aft) [xfe + ftQ (Aft) F (xh, kh)].	(6.47)
Более точные формулы для вычисления хь+1 можно получить,
используя большое число членов ряда (6.46). В качестве
exp (Aft) можно подставлять функционально-преобразованные,
матрицы Dx, .... D4 или использовать другие способы прибли-
жения. Отметим, что алгоритм с самого начала предполага-
ет расположение спектра матрицы А слева от мнимой оси.
Выбор шага в изложенном способе построения переходных
процессов легко осуществляется по линейной части системы.
В случае сильного влияния нелинейностей выбор шага осуще-
ствляется другими методами. Подробное их рассмотрение выхо-
дит за рамки данного учебника.
Изложенный векторный способ может быть распростра-
нен на построение переходных процессов в нелинейных неста-
ционарных системах.
Пример 6.5. Для иллюстрации рассмотрим пример. Пусть нели-
нейная система описывается уравнениями
Xj 3x2 Х2 “F" »
х21=3 — '— 2X2 Ч~ 6х^ Х2 Ч~ 0,5х] -f- х2.
Начальные условия Xj (0) = 1; х2 (0) = 0,5. Требуется построить
процессы в системе, удовлетворяющие заданным начальным условиям.
Представим систему в виде линейной и нелинейной частей:
х = Ах + F (х),
где
А =
Г 0 31
[—5 —2]
[Xi х2 -f- xf
бх^ х2 -0,5х 2
Используем функционально-преобразованную матрицу D2. В ка-
честве Q выберем матрицу Q2. Шаг примем равным 0,1, что соответст-
вует выбору его по линейной части. В общем случае такой выбор не
может быть универсальным и зависит от вида нелинейной функции.
Алгоритм построения процессов имеет вид
x*+i= D2 [xA + ftQ2 F (xft, kh)].
Построим матрицы D2 и Q2:
(Aft)2	Г1 01	Г 0 0,31	1 Г—0,15 —0,06]
4--—~ =	+	+ —
2	£0 1J	L—0,5 —0,2j	2 [ 0,1—0,11]
_ Г 0,925 0,27 1
— 1—0,45	0,74б_|’
Вектор нелинейной части для каждого шага пересчитывается. Для
момента времени t = ft = 0,1 с вектор F (х^, kh) равен
F(x0) =
’ 1-0,5
5-1-0,5
+ Р ]_ Г1,5 1
Н-0,5- 12-ф0,52] ~ [3,25]
Для момента времени t = 0,1 с имеем
хЛ = х (0,1) = D2 [Хо+ (Е—0,5АА) AF (х0)] =
Г 0,925
[—0,45
0,27
0,745
I 1	[0,25
1,255137]
0,1711 ]'
—0,15] Г 1,5 ]]
1,1 J [з,25]]
Для момента времени t = 2А = 0,2 с вектор нелинейной части
F (х, kh) равен
_ Г1,255137.0,1711 + 1.2551372	] _ Г1,790122]
<Х* ’ Л) ~ [б -1,255137 -0,1711 + 0,5 -1,255137а 4- 0,17112] “ [ 1,890728]'
Решение в момент t = 0,2 с имеет вид
х2 = х (0,2) = D2 [Xj + (Е —0,5АЛ) AF (xt ЛА1] =
Г 0,925 0,27 ](Т 1,255137] I I —0,15] Г1,790122]]
[—0,45 0,745] ([о, 1711 ]+О,1[о,25	1,1 J 1.1,890728]]
_ Г 1,414787]
= [—0,316849]
Г 1,3592541 Г 0,8586151
далее х3 = [_1о1481 J; х^^	....
Дальнейший ход вычислений представлен на графике (рис. 6.6).
§ 6.7. Стандартные численные методы
интегрирования
Многие важные задачи анализа и синтеза автоматических
систем решаются нахождением кривых переходных процессов
(выявление интервала устойчивого функционирования асимп-
тотически неустойчивой системы, оптимальный синтез). Постро-
ить переходный процесс—это значит проинтегрировать диф-
ференциальное уравнение и получить решение, удовлетворяю-
щее заданным начальным условиям и возмущающим воздейст-
виям. Интегрирование может быть осуществлено различными
методами и выполняться с помощью аналоговых или цифровых
ЭВМ. Применение аналоговых ЭВМ позволяет интегрировать
систему в реальном времени, хотя точность может быть недо-
статочной. При использовании цифровых ЭВМ интегрирование
осуществляется стандартными численными методами. К таким
методам относятся методы Эйлера, Рунге—Кутта, Адамса,
Хемминга, Гира.
Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение
лг = /(лг, 0; x(t0) = x0.
Получить точное решение уравнения аналитическими мето-
дами удается весьма редко, поэтому ставится задача прибли-
зить точное решение с помощью вычислительных (численных)
методов.
Используются два обширных класса вычислительных мето-
дов. К первому относятся одношаговые (одноступенчатые) ме-
тоды. В этих методах для нахождения следующей точки xh+1
кривой требуется информация только в одной предыдущей
точке (xh, tk):
Xk+1 ~ f (Xk> Ifd’
К этому классу относится решение с помощью разложения в
ряд Тейлора, метод Эйлера, Эйлера—Коши, Рунге—Кутта.
Простейшим является метод Эйлера, основанный на вычис-
лении точки x,i+1 посредством прямолинейной экстраполяции
из предыдущей точки xk. Если х (t) — гладкое решение урав-
нения (6.29), то оно имеет разложение в ряд Тейлора. Метод
Эйлера можно рассматривать как приближенное использова-
ние двух членов рада Тейлора. Наклон решений х (t) в началь-
ной точке определяется по формуле
xo~f(xOt t0).
Приближение xt кх (/J находится с помощью двух первых
членов ряда:
х (4) « xt = х0 + hf (х0, t0).
Полагая t2 —	+ h, находим х (t2) яа х2 = xt + hf (хъ /х)
н т. д. Этот процесс можно продолжить по формуле
xk+i=xh + hf(xk, th), fe = O, 1, 2, ....
Погрешность метода имеет порядок О (Л3), так как члены ря-
да Тейлора, содержащие h во второй и более высоких степенях,
отбрасываются.
Точность метода можно увеличить на порядок, если исполь-
зовать среднее значение производной в начале и конце интер-
вала шага. Геометрически это означает, что наклон касательной
на середине шага меняется. Такой усовершенствованный метод
Эйлера xh+1 = xh + hf (xh, th, h) согласуется с разложением
в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2. Порядок ошибки со-
ставляет О (Я3).
Расчетная формула имеет вид
xft+i» xk + 0,5 (Kr 4- Kg)>
где
Ki~hf(xhi th); K2 = hf(xk + Ki, tk+h), k^=0, 1, .... k — 1.
Таким образом, простой и усовершенствованный методы
Эйлера можно рассматривать как приближение, использую-
щее два и три члена ряда Тейлора соответственно.
Если использовать большее число членов ряда Тейлора
• h2
x(/ + /i)=x(0 + ftx(/) + — х(0 + -.
то можно получить методы более высокого порядка точности.
Использование первых пяти членов ряда Тейлора дает
классический метод Рунге—Кутта четвертого порядка точ-
ности
xft+i = Хь 4~ —~ (Ki + 2/G + 2К3 + К4),
6
где K^f(xh, М; K2=f(th + h/2, х„ + К1/2);
К3 =f(th + h/2, xh 4- К2/2); К4 = f (h + h, xh + K3).
В методе Рунге—Кутта четвертого порядка не требуется
вычислений производных, функция f вычисляется четыре ра-
за для продвижения на один шаг вперед. Так как формулы опи-
сывают метод четвертого порядка точности, то порядок по-
грешности метода составляет О (h5). Для выбора шага может
быть использована Оценка

, которая не должна пре-
вышать нескольких сотых. Имеются модификации формул
Рунге—Кутта. Одна из них, предложенная Мерсоном, поз-
воляет автоматически выбирать шаг, обеспечивая заданную
точность. Используемые формулы Рунге—Кутта—Мерсона
имеют вид
где
Яь+1 — X/, 4- 0,5 (Ki + 4К4 + КБ),
= 4 hf ^-~hf (+4 х»+*4
О	О \	О	/
k3=4az 4+4Л’ х*+4 +4^4
«5 у	о	Z /
Ki=-^hf(th+ 4^ + 4*1+4*4
О \	Z	о	о /
К6 = 4 hf 4 + h’ х* + т Ki ~Т Кз + 6/<4)-
Погрешность по этому методу оценивается по формуле
5е = К1-4^з + 4К4-4Кб’
где е — заданная точность.
Если правая часть превышает заданную погрешность бо-
лее чем в пять раз, шаг h уменьшается в два раза, если правая
часть меньше чем 5/32 заданной погрешности, то шаг удваи-
вается. Автоматическое изменение шага, по утверждению Мер-
сона, на 20% ускоряет процесс по сравнению со стандартной
процедурой Рунге—Кутта с постоянным шагом. Экономия вре-
мени достигается за счет того, что при стандартном методе
шаг выбирается слишком малым и время счета увеличивается.
Можно построить формулы Рунге—Кутта высших степеней,
при этом основная часть расчетов приходится на счет правой
части уравнения. Формула степени точности р требует р-крат-
ного вычисления правой части. Это может привести к значи-
тельному увеличению затрат машинного времени. С другой сто-
роны, увеличение порядка метода допускает использование
большего шага h. Методы Рунге—Кутта легко программиру-
ются.
Величину шага h можно изменить на любом этапе вычисле-
ний. Метод является «самостартующим», первые точки реше-
ния вычисляются естественно, как и все остальные.
Перечисленные методы могут быть как явными, так и не-
явными. Явными методы называются по той причине, что ис-
комое значение на (k + 1)-м шаге выражается явно через
значения хк и Fh, полученные на предыдущих шагах. Напри-
мер, переходные процессы для явного метода Эйлера рассчиты-
вают по формуле
xk+1= xk+hF (tk, xh).
Неявные методы — это такие, в которых искомое значение
xft+1 определяется неявно, т. е. через значения xft+1 и Fh+l
на том же шаге. Для неявного метода формула Эйлера имеет
вид
— хь + hF (xh+1, th+l).
Важно, что в этом методе можно брать любой шаг, меняя лишь
точность построения процессов. Метод устойчив при любых
значениях h (h > 0).
Вычисление xh+l в неявных методах сложнее, чем в явных,
так как приходится решать систему алгебраических уравне-
ний. Так как неявные методы устойчивы при любом h, то при
интегрировании определенных классов систем общая трудоем-
кость может быть меньше.
Ко второму классу относятся многошаговые (многоступенча-
тые) методы. Их отличительная черта — использование ин-
формации при вычислении следующей точки (xft+I, tk+l) не
только в точке (хк, th), но и в предыдущих точках. Многоша-
говые методы послужили базой для создания методов с прог-
нозом и коррекцией. Как следует из названия, вначале пред-
сказывается значение х/л+1 (прогноз), а затем оно каким-либо
способом исправляется (коррекция). Для корректировки мож-
но использовать ту же самую формулу. Итерационный процесс
повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность.
Однако, как правило, используются две формулы, называе-
мые соответственно формулами прогноза и коррекции. Так
как многошаговые методы не обладают «стартовым» свойством,
то начинать решение надо с помощью одношаговых методов.
Чаще всего для начала решения используется метод Рунге—
Кутта. В настоящее время для интегрирования систем х =
= f (х, t) широко используются методы Адамса—Башфорта и
Хэмминга.
Общая формула прогноза для методов четвертого порядка
точности имеет вид
xh+i = Ао хк + Ах хк-г + А2 хк-2 + h (Во x'k +
+ Bi x'k— i + B2 x'k— 2 + B3 xh—з) + o( ——— У
\	5! J
где x'k=f(xk, tk)-,
Ao = 1 —Ai— A2;	B1==(—59+ 19Aj+32A2)/24;
Ai = Ai,	B2 = (37—5Ar + 8 A2)/24;
A2 — A2;
Bo = (55 + 9 Ai + 8A2)/24;
B3 = (-9+Ai)/24;
£a=(—251 — 19А,—8A2)/6.
Формула прогноза типа Адамса—Башфорта может быть
получена интегрированием обратной интерполяционной фор-
мулы Ньютона [17, 181.
Прогноз по методу Адамса—Башфорта осуществляется
по формуле
хЛ+1 =хк +-~ h (55х*— 59%fe_ i + 37х*_2 —
—9^_3)+
 ’	[ 720	]
Коррекция выполняется по формуле
xh+i = хк +	h (9х*+1 + 19х* —5x'k- i + x'k-2) +
+ [29_ft5x(5)l
L 720 J
Последние члены в обеих формулах в действительности в вы-
числениях не используются и служат для оценки ошибок дис-
кретизации (усечения).
В распространенном в настоящее время методе Хемминга
используются следующие формулы прогноза и коррекции:
прогноз-
4	од
xfe+i — хк-3 + — h (2xk —Xk— 1 + 2xk— г)Ч ~
коррекция
xft+i =	[9xfe - xft_2 4- зл (4 +1 -r 24 — Xk- »)] -—j- Л6 x‘5>.
o	40
Для получения требуемой точности формулы прогноза и
коррекции должны быть одного порядка. Особенность методов
с прогнозом и коррекцией состоит в том, что они позволяют
находить разность между прогнозируемым и скорректирован-
ным значениями и устранять ошибку. Многошаговые методы
более экономичны в смысле затрат машинного времени, так как
используют информацию о ранее вычисленных точках. Однако
при любом изменении величины шага h приходится временно
возвращаться к одношаговым методам. Методы, разработан-
ные в самое последнее время, позволяют менять порядок точ-
ности и шаг. В качестве корректирующей часто используется
неявная формула, в которую подставляются данные прогноза.
§ 6.8. Машинная реализация частотных методов
Машинная реализация известных, сложившихся в теории
автоматического управления методов состоит в том, чтобы рас-
пространить их на системы большой размерности, выполнять
исследования не только по одному, но и по нескольким пара-
метрам, упростить и ускорить процедуру получения конеч-
ных данных, осуществить сервисное представление результа-
тов (графиков, таблиц, расчетных данных) с помощью внеш-
них устройств ЭВМ..
Несмотря на наметившуюся тенденцию широкого внедре-
ния ЦВМ в область анализа и синтеза автоматических систем,
частотные методы применительно к машинной постановке не
утратили своего значения. Наоборот, реализация их на ЦВМ
позволяет в кратчайший срок получать обширную и весьма
ценную информацию о проектируемой системе. По амплитудно-
фазовым частотным характеристикам (АФЧХ) проектировщик
может судить о таких качественных характеристиках, как за-
пасы устойчивости по амплитуде и по фазе, резонансная ча-
стота и т. д. Исследование реальных объектов с помощью
АФЧХ дает возможность решать задачи анализа функциональ-
ных, структурных и параметрических свойств объекта и отдель-
ных его частей, идентификации по экспериментально снятым
АФЧХ, синтеза регулятора систем путем подбора корректи-
рующих контуров.
Рассмотрим возможности вычисления на ЦВМ амплитудно-
фазовых частотных характеристик в логарифмическом масшта-
бе (ЛАФЧХ) и укажем на особенности и основные трудности,
возникающие при решении этой задачи на машине.
Пусть передаточная функция задана в виде
«7 (S) =	6
Q (s)	aosn4-a1sn-1-f-...4-an
Требуется вычислить U (со) = Re W (jto) и V (со) =
= Im W а затем построить
А (to) = 20 lg VU2 (ы) + V2 (to) и
ср (со) = arctg (V (to)/U (ы)) + ил, tn = 0, ± 1, ±2, ...,
где А (со) и ср (со) — амплитудная и фазовая характеристики
исследуемой системы.
Построение частотных характеристик сводится к много-
кратному вычислению передаточной функции W (s) при ком-
плексном значении аргумента s = I + /со, где /® = —1, а со
принимает значения из некоторого интервала [comIn, comaxj,
и последующему построению графиков модуля и аргумента.
Факт устойчивости или неустойчивости устанавливается по
подсчету точек пересечения фазовой характеристикой линии
ср0 = —л слева от частоты среза 1g {А (со)} = 0. Машинная
ориентация этого метода оценки устойчивости состоит в алго-
ритмизации вычислительной процедуры построения графиков
А (со), ср (со). Особенность заключается в том, что функция
ср (со) может находиться не только в первом квадранте, т. е.
может быть разрывной. Это вызывает определенные трудности
при машинной реализации, ибо на ЦВМ легко могут быть по-
лучены только главные значения функции arctg к.
Рассмотрим один из методов построения ЛАФЧХ. Пред-
ставим передаточную функцию W (s) в виде комбинации эле-
ментарных функций
r.(s) = ^+₽£±tlL, (сх? + Р?+с?)>0.
в/ S2-J-bj S-pC2i
которые соответствуют передаточным функциям типовых зве-
ньев системы. Если принять во внимание, запаздывание в бло-
ках, то их передаточные функции можно записать в виде
еет.	(6.49)
at sa+frj s+cj
Таким образом, можно представить передаточную функцию
любого элементарного звена, полагая соответствующие ко-
эффициенты а,[, Рг, у,, at, bt, ct равными нулю. Программа
строится для стандартного вида передаточной функции, а зна-
чение полной передаточной функции получается путем эле-
ментарных арифметических действий над комплексными числа-
ми.
При построении ЛАФЧХ на ось абсцисс, как обычно, на-
носятся значения lg го, меняющиеся в интервале [lg romln,
lg готЕХ]. На оси ординат откладываются величины 20 1g А (го)
и <р (ю). Программа вычисления величины 20 1g А (го) и ср (го)
состоит из постоянной части, которая содержит стандартную
подпрограмму вычисления элементарной передаточной функ-
ции (6.49), а также стандартной подпрограммы вычисления
функций est, sin ют и cos гот и подпрограммы сложения и
умножения пар комплексных чисел. При проектировании кон-
кретной системы управления достаточно скомбинировать вхо-
ды и выходы соответствующих элементарных передаточных
функций и выполнить, где необходимо, замыкание по извест-
ным правилам.
На ЦВМ осуществляется расчет 20 lg At (го) и <рг (го),
i Q [1, N], по стандартным программам, составленным в со-
ответствии с выражениями
...	<f2)2+(pj <о)а	,	„ „
4 (со) = -IU ± 1	.2	|	1 = 1; (6.50)
Ci у(1 —a! <о2)2 +(Ь'. <0)2
аъ (го) = arctg в?  —arctg 	+ arctg гот, (6.51)
1—а,' <о2	1— а- а2
где а/=аг/уг; р/ = рг/уг; а/=аг/сг; Ь'^Ьц'с,.
Используя правила разложения полиномов на множители
аг«2 + рг« + Ть a;s2 + biS + ct, исходную передаточную функ-
цию приводят к произведению из звеньев типа (6.49). Тогда
логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ра-
зомкнутой передаточной функции W (s), 20 1g А (со) будет
иметь вид
201g А (со) = 2 201g Д; (со),
/=1
а фазовая
<р(со)= 2
,= I
Такой алгоритм позволяет достаточно компактно соста-
вить программу вычислений ЛАФЧХ. Ввод массива коэффи-
циентов исходных типовых звеньев осуществляется после
их идентификации.
Остановимся на некоторых особенностях построения
ЛАФЧХ по приведенной методике. При реализации формулы
(6.51) для углов ср«л/2 значения аргументов в (6.51) стремят-
ся к оо, что исключает расчет таких точек на ЦВМ, поэтому их
следует заменить на выражения
Re {«Ч (/со)}	. Im (1Гг(/<о)}
ср, = arccos--!—  ” или ср,- = arcsin-----5—Ш-ii- ,
|U4 (/*>)(	|^i(/<o)|
которые не имеют указанных особенностей.
В общем случае при построении характеристики срг (со)
для звеньев Wt (s) может быть скачок фазы при следующих соче-
таниях коэффициентов bi, р,:
р/#0;	рг=0; Ьг=рг-=О.
В связи с этим программа вычисления фазы должна стро-
иться с учетом возможных скачков функции ср (со). Если
рг =/= 0, bt =/= 0, т. е. система демпфирована, то ср (со) — не-
прерывная функция и скачка фазы не будет.
В любом из указанных «опасных» сочетаний коэффициентов
следует проверить, попадают ли значения
СОП = KYi/CXj, co2i = Ис JOi
в интервал изменения частоты (coft, cofe+1). Если coh- lcofe,
cOft+J, /=1,2, то функция на этом интервале терпит разрыв
и фаза меняется скачком на величину ±л. Тогда к значению
ср (cofe) на этом интервале следует добавить +л по формуле
ср? (со) = срг (со) ± л.
Для учета скачка фазы можно также использовать следую-
щий подход. Пусть известно истинное значение фазы ср (со) в
точке ы — a>h. Выполним вычисления для получения частот-
ных характеристик в точке coft+1. Главное значение функции
Ф (<oh+1) в точке со = coft+1 определяется по формуле (6.51):
р,' со	Ь- <о
tpt (со) = arctg  --—- — arctg —-------—- + arctg cor.
1—а: со2	1—а- со2
Истинное значение	в случае скачка фазы мо-
Окет отличаться от главного значения ср (coft+1) слагаемым, рав-
ным тэт, где яг == ±1. Будем считать, что cofe+1 — hak, где
h —шаг в логарифмическом масштабе. Если шаг h достаточно
мало отличается от единицы, то можно считать, что в случае
скачка фазы разность <р (coh) — ср (соЛ+1) мало отличается от
тп. Тогда значение фазовой характеристики в точке <oft+1 =
= huk вычисляется по формуле
Ф К«) = ф (<oft+1) + лЕ {	|,	(6.52)
I л J
где Е (х) = т.
Если скачка фазы нет, то Е (х) округляется до нуля.
Шаг h построения частотной характеристики должен быть
выбран таким, чтобы колебания фазовой характеристики при
изменении частоты от <oh до <oft+1 не превышали значения л
Для определения запаса устойчивости по амплитуде
20 1g А (ы) необходимо вычислить значение амплитудной ха-
рактеристики при том значении со, при котором фазовая харак-
теристика обращается в —л. Следовательно, нужно найти ко-
рень фазовой характеристики и при этом значении корня вы-
числить значение амплитудной характеристики.
Значения comln, colt со2, “max находятся в памяти маши-
ны в виде таблицы. Следовательно, решение задачи сводится
в основном к решению уравнения ср (со) = —л, левая часть
которого задана таблично.
При построении частотного годографа значения coft и coh+1
располагаются достаточно близко, поэтому для эффективного
решения уравнения ср (со) — —л может быть использован ли-
нейный интерполяционный подход. Использование линейной
интерполяции по формуле
“к,+ Ф (“h)
COft—Ofe+l
позволяет быстро и Достаточно точно определять значение,
при котором фазовая характеристика ср (со) — —л. .	. .
В том случае, когда передаточную функцию W (s) предста-
вить в виде звеньев Wi (s) не удается, приходится строить ал-
горитм вычисления ЛАФЧХ для общего случая представления
в виде (6.48).
В результате внедрения таких программ инженеру-про-
ектировщику остается следующая работа: а) написать выра-
жения для передаточных функций в виде комбинаций переда-
точных функций для элементарных звеньев; б) указать, оТ Ка-
кого входа до какого выхода системы необходимо пострОйть
частотные характеристики.
Использование ЦВМ для получения частотных характери-
стик может дать не только существенные выгоды с точки зре-
ния автоматизации вычислений, но и принципиальные преиму-
щества по сравнению с обычными «ручными» способами. При
исследовании большого числа точек пространства параметров
целесообразно выводить на печать значения функций А (<о)
и <р (<о) не при всех ык (k = О, 1, 2, ...), а при тех, которые в
наибольшей степени Интересуют исследователя. В связи с этим
необходимо выявить те параметры, которые анализирует ис-
следователь при наличии графика логарифмической амплитуд-
ной характеристики. Обычно это запасы устойчивости по ам-
плитуде и по фазе, которые могут быть легко получены при
наличии этой характеристики, а также резонансный пик и ча-
стота среза. Такой Подход позволяет не печатать всех значений
A (to) и <р (to) для большого числа coft, а выводить на печать
только действительно интересующие проектировщика значе-
ния запасов устойчивости по амплитуде и по фазе, величины
резонансной частоты и т. д.
Составленные подобным образом программы прошли до-
статочную практическую проверку и позволили в полной мере
автоматизировать процесс вычисления логарифмических ам-
плитудно-фазовых частотных характеристик на ЦВМ. Частот-
ные методы были реализованы на ЦВМ (в кодах машины) и
применялись В. М. Есиповым еще в начале 60-х годов при ма-
шинном синтезе систем управления.
Можно строить частотные характеристики путем прямого
вычисления вынужденной составляющей уравнения перемен-
ных состояния при подаче на вход гармонического сигнала
A sin at. Такой способ построения АФЧХ был предложен
Р. И. Сольницевым. Преимущества его состоят в том, что пред-
ставляется возможным строить частотные характеристики не-
посредственно по уравнениям переменных состояния (ибо ча-
стотная характеристика, по существу, представляет собой ре-
акцию системы при подаче на вход гармонического сигнала),
устраняются операции с комплексными числами, не нужно
вводить специальных мер для учета неминимально-фазовости,
резонансных свойств. Оказывается возможным упростить и
ускорить получение частотных характеристик системы между
любыми точками ее структуры как для замкнутых, так и для
разомкнутых контуров, а также в определенной степени рас-
пространить такой подход для анализа нелинейных систем.
. Особенность применения частотных методов применительно
к машинной постановке заключается в увеличении их информа-
ционной ценности. Можно строить не только сами частотные
годографы, но и выводить на печать данные анализа их, т. е.
строить линии равных значений запасов устойчивости по ам-
плитуде (изамплиты) и линии равных значений запасов по
фазе (изофазы) в зависимости от изменения параметров систе-
мы. Изамплиты и изофазы затем могут быть нанесены на обла-
сти заданного качества, в частности на области, построенные
при различных степенях устойчивости и показателях колеба-
тельности. Такое совмещение характеристик дает возможность
сразу указать значение запасов устойчивости по амплитуде щ
по фазе для любой интересующей проектировщика точки внутри
области устойчивости и, таким образом, существенно облег-
чить выбор параметров при синтезе системы автоматического
управления.
§ 6.9. Построение областей устойчивости
и динамического качества как задача
параметрического синтеза
Внедрение ЭВМ в практику проектирования систем различ-
ного назначения расширяет возможности инженера-проекти-
ровщика и позволяет повысить информационную ценность
многих традиционных и новых методов теории управления.
В частности, оказывается возможным поставить задачу нахож-
дения совокупности параметров, удовлетворяющих заданным
динамическим свойствам. Подобная задача, по существу, рав-
носильна нахождению области в пространстве параметров, вну-
три которой заданный функционал отвечает заранее постав-
ленным требованиям. Природа области может быть различной
и определяется видом функционала. В наиболее простом слу-
чае это область устойчивости. В дальнейшем в ней может быть
выделена область заданной колебательности, а также области
с другими динамическими свойствами. При определенных спо-
сббах введения функционала искомая область является «око-
лооптимальной» и можно условно говорить об оптимизации
множеством в пространстве параметров. .	1Я
Околооптимальнре множество точек в пространстве пара-
метров представляет практический интерес, теоретическая оп-
тимальная точка может находиться внутри такой области. Кон-
цепция синтеза автоматических систем основанная на нахрж-
дений и использовании областей заданного динамического ка-
чества, представляет собой самостоятельную методологиче-
скую проблему.
Конкретизируем задачу применительно к линейным авто-
матическим системам. Рассмотрим дифференциальную систему
: X = Ах-р F (f). ы;
Пусть элементы матрицы А являются непрерывными функ-
циями параметров Pj, ..., pm, изменяющихся в некоторой ог-
раниченной области R, определяемой неравенствами
где а1э ..., blt ..., bm — заданные пределы изменения па-
раметров.
Пусть задан функционал б (р.х...рт), отражающий ка-
чественные характеристики системы. В качестве такого функ-
ционала могут быть использованы ближайшее к мнимой оси
собственное число (степень устойчивости), ограничения чисто
мнимых частей спектра матрицы А или другие показатели, при-
ближенно характеризующие динамические свойства переход-
ных процессов. В области допустимых значений Q требуется
найти границы такой подобласти <о с: £2, внутри которой
введенный функционал отвечает условию
б (Pi, —, pm) < I,
а вне этой области
б (Р1> •••> Цт) Л
где I — некоторое заданное число.
Пусть, например, требуется осуществить построение гра
ницы подмножества 6) с й так, чтобы спектр матрицы А рас-
полагался внутри заданной области D на плоскости комплекс-
ного переменного s. В частности, если область D есть вся ле-
вая полуплоскость, то задача равносильна построению обыч
ной области  устойчивости. Если область D является полу-
плоскостью, расположенной левее мнимой оси на расстоянии
<). от нее, то задача сводится к построению области, обеспечи-
вающей определенную степень устойчивости. Задавая различ-
ным образом границу области D, можно обеспечить определен-
ные качественные ограничения на переходные процессы. На-
хождение подмножества и c Q (ph £ <о) представляет собой
'бдну из задач параметрического синтеза, так как сводится к
подбору параметров исходя из условий расположения всех
собственных чисел матрицы А в заданной области D левой по-
луплоскости.
Методы нахождения искомой области в пространстве пара-
метров должны быть достаточно эффективны с точки зрения
машинной реализации. Для того чтобы определить границы
области, надо иайти надежные и экономичные способы построе-
ния границы на всем ее протяжении, исключая участки, вы-
ходящие за ограничения.
§ 6.10.	Модифицированный метод D-разбиения.
Применение полиномов Чебышева
Применяемый в ручных расчетах при построении областей
устойчивости метод D-разбиения в принципе позволяет сразу
определить точные границы, несмотря на наличие посторон-
них линий, затрудняющих выделение искомой области. D-
разбиение широко применяется для построения областей устой-
чивости линейных систем в плоскости двух параметров, если
интересующий проектировщика параметры входят в коэффи-
циенты характеристического уравнения линейно. D-раЗбие-
ние может быть в значительной степени усовершенствовано и
лучше ориентировано на использование ЭВМ. Метод может
быть эффективно применен для построения областей с задан-
ным расположением корней характеристического уравнения
в левой полуплоскости (внутри угла, трапеции и других фи-
гур), может быть распространен для построения областей
устойчивости в гармонически линеаризованных системах, а
также для областей с заданным расположением корней в им-
пульсных системах.
< Одним из возможных путей усовершенствования метода
является ис ользование полиномов Чебышева. Полиномы Че-
бышева обладают свойствами как ортогональных, так и гар-
монических функций. Все операции выполняются в веществен-
ной арифметике. На возможность модифицировать D-разбие-
ние применительно к машинной постановке впервые, по-види-
мому, обратил внимание Д. Шилак, который создал методы
анализа и синтеза автоматических систем [20]. В дальнейшем
были продолжены исследования по усовершенствованию ме-
тода и расширению его возможностей [6].
Кратко изложим необходимые сведения о полиномах Чебы-
шева. Полиномы Чебышева имеют ряд существенных преиму-
ществ. Они выражаются через элементарные тригонометриче-
ские функции, обеспечивают наиболее сильную сходимость
при представлении функций, коэффициенты полинома всегда
суть целые числа, что важно с вычислительной точки зрения,
так как целые числа не вносят ошибок округления. Чебышев-
ские многочлены обладают всеми свойствами рядов Фурье.
Их и можно рассматривать как ряды Фурье, замаскированные
с помощью преобразования переменной 6 = arccos х.
Рассмотрим простое тригонометрическое тождество
cos (n + 1) 6 + cos (п — 1)0 = 2 cos 0-cos h0 (6.53)
и аналогичное ему
sin (n + 1) 0 + sin (п — 1) 0 = 2 cos 0-sin п0.	(6.53а)
Тождества позволяют вычислить значения cos п0 и sin п0
через предыдущие значения cos 0 и sin 0. Если положить
cos 0 = х и начать с cos 0 = 1 И cos 0 = х, то формула (6.53)
дает для cos 20 квадратный многочлен от х, для cos 30 —
кубический многочлен и т. д. Поэтому формулу (6.53) можно
переписать в виде
Тп+1 (х) = 2хТп (х)-Тп-г (х), п = 1, 2, ....	(6.54)
В частности,
То (х) = cos(0) = 1;
7\ (х) cos х = х;
72(х) = 2х2—1;
Т3 (х) = 4х3 —Зх;
7\(х) = 8х4 —8х2+1;
Полиномы Тп (х) называются полиномами Чебышева 1-го
рода. По рекуррентной формуле (6.54) получаются те же зна-
чения cos п0, но в виде полиномов n-й степени относительно
переменной х = cos 0:
cos n0 = Тп (х).
Подобный результат имеем для формул (6.53а), если разде-
лить обе ее части на sin 0. В этом случае исходим из тождеств
sin 0	, sin 20 о Л
>	------= 1; —------= 2 cos 0
sin0 sin0
sin 30
и получаем в виде квадратного полинома относитель-
но х, — в виде Кубического полинома, и т. д. Полином
n-й степени относительно переменной х — cos 0 мы получаем
sin (« + 0 ®
через значения •—!а -- :
r	sin 0
sin(»+i)0
sin 0	'	'
Рекуррентная формула для Un (х) имеет вид
^п+1М = 2хС/п(х)—t/n_r(x); n = l, 2, ...
В частности,
t/Jx)
sin0
sin 0
2 sin 0-cos 0
sin 0
C/3 (x) = 8x3 —4x;
l/4(x) = 16x4—12x2+l;
По (х) —
= 2 cos 0 = 2x;
t/2(x)= 4x2 —1;
Полиномы Un (x) называются полиномами Чебышева 2-го
рода.
Преобразование х = cos 0 можно рассматривать как про-
екции пересечений полукруга с прямыми, имеющими равные
углы между собой. Неравномерное расположение прямых,
которое сгущается к концам интервала —1 х <1 1, определя-
ет область задания полиномов Чебышева 1-го и 2-го родов.
Следующая формула связывает полиномы Чебышева 2-го
рода при отрицательных и положительных значениях аргу-
мента:
Пп(-х) = (-1)«Пп(х).
Полиномы Чебышева 1 -го и 2-го родов связаны следующим
образом:
Un (х) = xUn^ (х) + Тп (х), откуда Trt (х) = Un (x) —xUn -j. (х).
Рассмотрим теперь использование полиномов Чебышева для
перестроения D-разбиения. Пусть характеристическое урав-
нение имеет вид
aos"4-ais”-1+.- + ап = 2 an_fts* = O. (6.55)
л=о
Корни характеристического уравнения могут быть различны-
ми. Исследуем случаи комплексных, вещественных и чисто
мнимых корней уравнения. Рассмотрим случай комплексных
корней, представив их в тригонометрической форме:
s = w (cos 0 + / sin 0).	(6.56)
Аргумент 0 изменяется в промежутке [0, л]. Это будет соот-
ветствовать сопряженным корням, расположенным в верхней
и нижней полуплоскостях
Область устойчивости соответствует значениям аргумента
в промежутке [л/2, л]. По формуле Муавра имеем
sk = <ofc (cos А0.+ j sin k6).
Подставим выражение (6.56) в характеристическое уравнение
(6.55) и приравняем нулю вещественные и мнимые части. По-
лучим
2 an-h ы'г cos № = 0:	(6.57)
А = 0
2 ап-ъ sin kB = 0.	(6.58)
/г=»
Отметим, что в равенстве (6.58) счет начинается с k = 1, так
как слагаемые, соответствующие значению k = 0, равны нулю.
Положим cos 0 = 5- Используя полиномы Чебышева, получим
cos kQ = Th (£); sin kQ = sin Вик-г (£) (sin 0 Ф 0).
Это соответствует случаю определения корней характеристи-
ческого уравнения с ненулевой мнимой частью. Равенства
(6.57) и (6.58) запишутся соответственно в виде
2о„-УЛ© = 0;	(6.59)
k~°
(6.59а)
k= 1
Сокращая на <о, получим
*=i
Искомая область находится в левой полуплоскости, что соот-
ветствует отрицательным значениям аргумента £ из промежут-
ка [—1, 0]. Чтобы иметь дело со значениями полиномов Чебы-
шева от положительного аргумента (что удобно с вычислитель-
ной точки зрения), в равенствах (6.59) и (6.59а) заменим пере-
менную £ на —
2 (-1)*ап_й<о*7\(|) = 0;'	(6.60)
4 = 0
2 (-l)ft-1 ап_^~' U^©=0.	(6.61)
4= 1
В равенствах (6.60) и (6.61) области устойчивости соответст-
вуют значениям £ из промежутка 10, 1J.
Заметим, что
£ = —cos 0 = cos <р;	(6.62)
s = о) (+ / )/Е^Р).	(6.62а)
Пусть коэффициенты характеристического уравнения за-
висят от двух параметров и р2 линейно:
«n-4 = an_hpi + Pn-ftP2 + Tn-4-	(6-63)
Подставляя выражение (6.63) в равенства (6.60) и (6.61), по-
лучим систему относительно параметров pj и р2 с коэффициен-
тами, являющимися функциями <в и ,
Р1 /11 (W, 5) + Р2 В1К &) + С1 («о, £) = 0; 1	6
Р1Д(<». 1) + Р2Дг(“> Е) + Сг(“» S)=O,J
где
А = 2 (-1)Ч^ЗД;
fe = O
л = 2
fe= 1
B1= 2
fe=O
e8= 2
*=1
Ct= 2
k=a
C2= s (-.i?-‘Yl,_lk<a*-,i/fc_1(g).
fe=i
Решая систему (6.64) при условии, что
A — Ai Вг—Л2 Bi ~f=^ О,
получим
и ^2 с* • ц —	^~2
И1 AiB2-AtBi' И2 AtB2~AzBi
(6.65)
(6.65a)
Формулы (6.65) для коэффициентов системы (6.64) можно
упростить, если вместо полиномов Чебышева ввести в рассмо-
трение функции
/’U*», £)=(—1)‘<о*7\а>;	(6.66)
Е) =(-bfc<ofc<W-	(6.67)
Для этих функций могут быть получены рекуррентные форму-
лы. Умножая (6.66) на (—l)ft+1coft+1, получим
(- - !)*+ > со*+1 Tk^ (|) =(-!)*+> 2gco*+ ‘7\ ft)-
-(-l)ft+‘^+>rft+ia)
Рк+1 (®.	(w, g) -<o2 Рц-г (co, g), k = 1, 2.
причем
po (®, B) = To (g) = 1; Pl (co, g) = -соЛ (g) = - cog.
Аналогично, умножая (6.67) на (—l)ft+1<o*+1, получим
(-1)*+1	* Uk+1 (g) = (-!)*+« 2g«>*+« Uh®-
-(-!)»+’
Qh+1 6) = -2&oQ» (<o,	(o>, |), k = 1,2,..., (6.68)
где Qo («, g) = UQ © = 1; Q1 (co, g) -	(g) = -2<og.
Таким образом, вместо (6.65) можно' применять формулы
А= S «п-6 А(со, |); Л2 = 2	ап-ь&-1(«о, 1);
6=0	6=1
B1= i ₽n-ftPft(<0,9;	2	&
6=0	6=1	.
G= 2 Tn-ft^(co, 1); c2 = 2
6=0	6=1
Используя связь между полиномами Чебышева 1-го рода
Th и 2-го рода Uh, формулы можно сделать еще проще. Пе-
рейдем от функций Ph к функциям Q)t:
Умножая на (—-l)ftcoft, получим
Ph (®, 1) =& (со, 5) + 5coQa_1 (©, 5).	(6.69)
Подставим теперь выражение (6.69) в формулу для Av
Получим
А = ап Ро + 2 ап~* А =	® +
*=1	fe=i
+ |со 2 an-К Qh~ 1 (®»
6=1
или (так как Qo — О
Ai== 2	0 + £®А-
6=0
Аналогично можно получить
Bi — У Тп-б ^6 (<®« £) +1®А;	= у уп-к Qh Оо, 1) + |соСя.
6=0	*=о
Введем обозначения
л;= £ «n-fcQH®. Ы	2
fe=O	fe=0	’!.,Л
Ci = 2 Vn-hQfc(<o> £)•
fe=o	од|.
Тогда
A == A 4* Bj = Вi-{-Ci —Ci -f- £<вСа. (6.70)
Подставляя выражения (6.70) в первое уравнение системы
(6.64), получим
Hi (^ I + £© А) 4- р3 (В* 4- £<оВг) 4* С? 4“ £wCa = 0
или
Pi Д* 4-Ci 4-£<o(pi А4*Щ В24-С3) =0.
Так как последнее слагаемое равно нулю (в скобках стоит ле-
вая часть второго уравнения системы (6.64)), то первое урав-
нение этой системы равносильно уравнению
Pi Д1 4~ В* 4- С i= 0.
Таким образом, в системе (6.64) можно считать, что
п	1
А - 2 a„_ftQft(co, £);
fe—0
• А== 2 Pn-fcQU®’ Ы
k = 0
Ci ^= 2 Уп-М^ЛУ,
А= 2а"-й-1^(®.5);
ft = 0
п— I
в2= 20»-*-»<М<®Л);
fe=0
п— t
са= 2 Vn-s-iQfc (ю* £)•
/ '	fe—о
Рассмотрим случай вещественных корней характеристиче-
ского уравнения (6.55). Вещественные корни получаются при
5=1. Тогда s = =—со. В этом случае параметры и р2 свя-
заны одним уравнением
А (со) р, + В (со) р2 + £ (со) = 0,	(6.72)
где Ь: V.	л = 2	в = % pn-kGh(и)-,. <= 2, Тп-ЛсЛ(<0); k=0	(6.72а)
Для определения G/j+*(«() используется рекуррентная
формула	;t
G(ft+D (<о)	—®GZ1(co), Л =0, 1,2<.; . '
: При этом Go (со) = 1.	..	. .
В плоскости параметров рг и р2. при каждом значении, со урав-:
ние (6.72) определяет прямую. Это особые прямые.
Если строится область устойчивости,, то определяются две
прямые, соответствующие корню, находящемуся в бесконеч-
ности, и корню, расположенному в начале координат. Если
строится область с заданной степенью устойчивости »], то бе-
рется корень, расположенный в точке [—»], 0]. Особые прямые
совпадают с прямыми в традиционном методе £>-разбиения и
определяются аналогично.
Найдем область параметров pj и р2, соответствующую чи-
сто мнимым корням характеристического уравнения.
Чисто мнимые корни уравнения (6.55) исходя из (6.62а)
получаются при £ = 0. При этом s = /со. При 5 = 0 рекур-
рентная формула принимает вид (6.68):
<2ь+1 (“> 0) = — (со, 0)
при Qo (®, 0) = 1; Qi (со, 0) = 0.
Отсюда следует, что
Qsk ~ —0)2
(6.73)
Qsfc+i — 0
и. следовательно, формулы для коэффициентов (6.71), опреде-
ляющих систему (6.64), принимают вид
Д- — Д1 (<•>, 0) — у, ocn-2h Qzh (ы1 о);
ft=o
[1]
"i = б1(о,0)= 2 ₽п-а0аЛ(<й. 0);
ft = 0
ж
С1=С1(®,0)- s Tn-2ftQ2fe(®.0);
ft—0
Гп- II
—	I 2 J
Ла = Лг (<°> 0) = У, an-2k-i Qzh (ы> О)!
ft—0
м
в2 — ва (w, 0) -= у Рп-ал-1 Сай (% 0),
ft—о
(6.74)
м
Ct — Сг (<o, 0) — у Vn-гл-1 Qih (w> 0).
k~O
Функции Qih (co, 0) вычисляются по рекуррентной формуле
(6.73) при
Qo («>, 0) = 1.
Параметры pt и р2 Для каждого значения со, при котором
Дх В2—Az В, 0,
вычисляются по формулам
С2 fij—Cj в2	Сх Л2—Ct At	/а
Pi =	—zrr—. Иг =	—гттг •	(ь  ‘ °)
Ai В2 — А2 Bi	Ai Вг—Аг Bi
Полученные соотношения могут быть применены для построе
ния областей на плоскости параметров исходя из условия
расположения корней характеристического уравнения внутри
угла, трапеции, полукруга или исходя из заданной степени
устойчивости. Например, при построении области изменения
параметров щ и р2 исходя из расположения корней характери-
ческого уравнения внутри угла 2<р в левой полуплоскости
(рис. 6.7, а) используются формулы (6.65а) и (6.71). При по-
строении областей изменения параметров с учетом заданной сте-
пени устойчивости (рис. 6.7, б) используются формулы, полу-
ченные для случая вещественных отрицательных корней харак-
теристического уравнения, т. е. в формулы (6.65а) подстав-
ляются формулы (6.72а).
Пример 6.6. Рассмотрим характеристическое уравнение замкну-
той системы
а0 s4 -р a, s3 -р а2 s2 -р а3 s -р а4 = 0.
Коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух па-
раметров Pi и ц2 линейно:
at —o-i gi-pPi Ра-рУь « = 0, 1,2, 3,4.
и имеют вид ав — 0,04 щ; аг = 0,36 щ -р 0,04; а2 — 2щ -р 0,36;
а3 — 2рл -Р 0,4р2 +2; а4 = 2р2 -р 2.
Необходимо найти значения параметров щ и р2, для которых ха-
рактеристическое уравнение имеет корни, расположенные слева от
мнимой оси внутри угла <р — 60° (£ = 0,5). Запишем коэффициенты ха-
рактеристического уравнения следующим образом:
а0 = 0,04; р0 = 0; у0 = 0;	= 0,36;	= 0; yt = 0,04; а2 =2;
Ра = 0; у2 = 0,36; аэ = 2; ра = 0,4; у3 = 2; at = 0; Р4 =2; у4 = 2.
Определим функции Qlt Q2, Qs для каждого значения о по рекур-
рентной формуле
(?й+1= -2<о^Л-®20й-1(9о=1; Qi = -2<og).
Для g = 0,5 имеем Qo = 1; Qi = — <о (п = 4).
Найдем коэффициенты Alt Bit Ct, A2, B2, C2 по формуле ((5.71).
Параметры и p2 находятся из решения системы
f А (*«+<^=0;
I A lli"F А112"ЬС2=0,
откуда имеем
С2В«—В2	Cj А2—Cl2 Ai
- и, =а —	1 1 •’—: а„=—д——----
.	. AiBs—AtBi . .АЛ— АаВ1	а
при условии, что А2В2 — A2Bi =f= 0.
Точки Pi и |iE при различных значениях <о образуют границу иско-
мой области. Линии, соответствующие вещественным кориям. являют-
ся особыми прямыми и определ к>тся из .уравнения. (6.72),. .Искомые
области представлены на рис. 6.8‘.
Отметим, что каждому вещественному корню на плоскости
параметров соответствует прямая. При практических расчетах
это должно учитываться (как и в обычном методе D-разбие-
ния) с помощью двух особых прямых. .
При использовании полиномов Чебышева проблема машин
ной «штриховки по Неймарку» остается нерешенной.'В .слу-
чае построения областей устойчивости при различных степе-
нях устойчивости могут быть использованы любые известные
критерии, например критерий Рауса, а также прямые.корне-
. Рис. 6.8
вые мегодьг. При построении области исходя из расположения
корней характеристического уравнения внутри угла, трапеции
или в других областях слева от мнимой оси корневые методы
являются единственно эффективными.
В заключение отметим, что модифицированный метод D-
разбиения, основанный Hai применении полиномов Чебыше-
ва, дает возможность вести исследование импульсных, гармо-
нически линеаризованных систем с одной или двумя нелиней-
ностями.
'§ 6.11. Универсальные методы построения
областей устойчивости и динамического качества
Если каким-либо образом найдена первая точка границы
области, можно обойти весь контур, двигаясь вдоль границы.
Наиболее простой способ слежения состоит в использовании
принципа взаимно-перпендикулярной ориентации.
Пусть построение границы искомой области происходит в
двумерном пространстве, т. е. на плоскости. Алгоритм движе-
ния вдоль границы состоит в следующем. Направление изме-
нения параметров на плоскости параметров рг и р2 осущест-
вляется в четырех возможных направлениях: вверх, вниз,
влево, вправо, т. е. по сторонам квадрата. В вершинах квадра-
тов проверяется выполнение условия G (рп р2) $ I-
Если на данном шаге изменения параметров мы пересека-
ем границу^ и попадаем в искомую область, то G (щ, р2) <
В этом случае следующий шаг выполняется с поворотом по ча-
совой стрелке.
Если на очередном шаге изменения параметров мы пересе-
каем границу и выходим из искомой области, то G (ръ р2) >
>» /. В этом случае следующий шаг изменения параметров вы-
бирается таким образом, Чтобы движение происходило с пово-
ротом против часовой стрелки. Легко видеть, что граница об-
ласти находится в точке, где соблюдается условие G (щ,
|А2) I. .
Получение более точного положения точки границы мож-
но осуществить, применяя метод деления интервала, так, что-
бы границы строились по точкам на расстоянии, равном поло-
вине стороны квадрата, или на расстояния, равном одной тре-
ти ее. Алгоритм движения вдоль границы искомой области
иллюстрируется на рис. 6.9. При каждом пересечении границы
печатаются координаты точек, расположенные в вершинах
квадратов внутри (или вне) области'.
Для более экономичного слежения по контуру может быть
использован видоизмененный алгоритм. Одно из возможных
изменений заключается в следующем. Если при обходе конту-
ра области по квадратам искомая граница области не пересе-
кается в течение двух последовательных шагов, то надо «ок-
ружать» то место', где произошло последнее пересечение, и
впредь до нового пересечения повороты делать после каждого
нечетного шага, причем шаг, на котором было последнее пере-
сечение, следует считать нулевым. Таким образом, изменение
на плоскости параметров происходит по квадрату с удвоенной
Л?
Вход в область - поворот по часовой стрелке; М
Выхов из области-поворот против часовой стрелки.
Рис. 6.9
Рис. 6.10
ороной. Повороты, как и прежде, выполняются в соответст-
[и с правилом: вход в область — поворот по часовой стрел-
выход из области—поворот против часовой стрелки. Пра-
1ло поворотов при пересечении границы искомой области ил-
эстрируется на рис. 6.10.
Алгоритм обхода по вершинам прошел достаточную прак-
ческую проверку и, несмотря на усложненную логику, ока-
лся экономичным. Он легко программируется, при обходе
шолняется относительно небольшое количество лишних ша-
в. Замкнутая область сложной конфигурации с перегибами
крутыми поворотами отслеживается этим алгоритмом без
Можно применить более точный способ движения по гра-
1е искомой области («гусеничный» метод).
Принцип слежения сводится к повороту и параллельному
>еносу координатных осей. Слежение вдоль границы обла-
[ состоит в последовательном продвижении вдоль границы с
imiuhin поступательных перемещений и поворотов. -
Пусть имеются две точки lxt, и [х2, у2], принадлежа-
щие искомой области на плоскости параметров рхр2, и пусть
интересующая нас область лежит справа от прямой, соединяю-
щей точку [xxj с [х2, у2]. Тогда приближенно можно указать
следующую точку по формулам
х° = 2хг — xt; у0 = 2уг — ух.
Геометрически это означает, что сделан шаг по прямой,
соединяющей точки [хх, ух] и [х2, у2], от точки [хх, yj к точ-
ке [х2, у21, равной расстоянию между этими точками
(рис. 6.11, а, б)
В полученной точке с координатами 1х°, у°] вычисляется
функционал G (х°, у°]. При этом возможны два случая:
1. G lx®, у°1 — I > 0.
Анализируемая точка с координатами [х°, у°1 находится
вне искомой области. Тогда выполняется поворот против ча-
совой стрелки и производится определение положения новой
точки lx1, у1] по формулам
x^Xa + lx0— x2]cosa0 — [у° — y2Jsina0; 1	7g
+ x2]sinao + [</Oj-№]c°sao, J
где a0 — угол поворота.
2. G lx”, y°l - I < 0.
Точка находится внутри искомой области. Для выхода на
границу осуществляется поворот по часовой стрелке. Положе-
ние новой точки определяется по формулам
х1 = х2 + [х° — х2] cos а + [t/° — у2] sin а; |
}	(0.1 I)
У = Уг—[*° — xj sin а + [у0 —уг] cos а. J
В полученной точке вновь вычисляется функционал G [х1,
уЧ и проверяется знак разности G [х\ уЧ — I.
Если соблюдается условие G [х°, у°\ — 1 — 0, то точка
[х°, </°1 находится точно на границе искомой области.
Если имеет место случай 1, то нахождение следующей
точки выполняется по формулам (6.76) в соответствии со зна-
ком разности G [х(8>, у(2>1 — /.
Эта процедура продолжается до тех пор, пока случай 1 не
перейдет в случай 2 или наоборот.
Переход сопровождается переменой знака разности
G{x<fc>, «/<*>] — I.
Угол а0 делится на два или на три, и процесс продолжа-
ется до тех пор, пока угол as не станет равным наперед задан-
ному малому значению. При практических расчетах величина
tti 1° отражает достаточную точность. Найденная таким об-
разом точка границы принимается за новое значение [х2, у2],
причем в качестве точки [хх, yj берется прежняя точка [х2,
у2] и процесс повторяется.
Все точки получаются на одинаковом расстоянии от гра-
ницы, что не достигается при использовании алгоритма «блуж-
дания» по вершинам квадратов.
Объем вычислительной работы существенно уменьшается,
при использование малых и фиксированных углов поворота.
Приближенно можно считать sin а лг a; cos а я» 1 — а8/2.
При а sgC 5° ошибка составляет менее 10~4.
Если точка находится внутри области, поворот по часовой
стрелке с учетом параллельного переноса в точку [х2, t/2l
осуществляется по формулам
х1 == Ха 4- (х°-х2) (1 —а2/2) 4- (у° —у2) а;
у'-=^у2~ (х°—x2)a4-(t/°— r/2)(i —а2/2).
Если точка находится вие области, поворот против часовой
стрелки с учетом параллельного переноса в точку [х2, у2]
выполняется по формулам
х1 ==х24-(х°—х2)(1 — а2/2)—-О/0— у.г)а\
У1^У^ + (х0-х2)а + (уа^-у^(1^а2/2).
Вычисления в значительной степени упрощаются, если по-
вороты делать всегда на один и тот же угол. В этом случае для
конкретной задачи величины sin а и cos а вычисляются только
один раз и входят постоянными коэффициентами в формулы.
Например, если взять а = 0,1 рад (5°43'46"), то имеем sin а =
= 0,09983; cos а “ 0,99500.	-
- Для данного угла имеем формулы:
а)	при повороте по часовой стрелке (G < I, точка внутри
юбласти)
х1 = х2 + 0,99500 (х° — х2) + 0,09983 (у0 — z/2);
у1 = у2 — 0,09983 (х° — х2) + 0,99500 (z/° — у2);
б)	при повороте против часовой стрелки (G > /, точка вне
области)
х1 = х2 + 0,99500 (х® — х2) — 0,09983 (у° — у2)\
у1 & у2 -Ь 0,09983 (х® — х2) + 0,99500 (у® — у2).
Точность нахождения границы увеличивается при исполь-
зовании малых углов.
Если отслеживаемый контур имеет сложную конфигурацию,
то процедуру построения границы можно разделить на два
этапа: поиск и уточнение границы. В режиме поиска исполь-
зуются большие углы; в режиме уточнения — малые. Величи-
на угла а0 может быть выбрана из условия окончания слеже-
ния на каждом шаге:
аой в,
где h — шаг; е —заданная точность.
Если заданы точность и шаг, то угол определяется по фор-
муле а0 е/Л.
Движение вдоль участков границы со сложной конфигура-
цией может осуществляться с переменным шагом. При введении
переменного шага в формулы вносятся изменения. Пусть дли-
на шага при переходе из точки [хх, //J в точку [хе, у21 равна /ь
а из точки [х2, у2] в точку [х®, у°] равна /2.
Тогда q = ljjl2 — число, показывающее, во сколько раз
следующий шаг меньше предыдущего.
Координаты новой точки находятся по формулам х® =
= (Я + 1) х2 — q*; у" = (q + 1) у2 — qyt.
Использование переменного шага и угла приводит к адап-
тивному способу слежения вдоль границы. В зависимости от
условий движения, конфигурации области и других факторов
могут изменяться шаг, углы, выбираться различная точность.
Как в режиме поиска, так и в режиме уточнения может быть
использовано несколько этапов.
Такое дробление на этапы, по-видимому, целесообразно
применять при «увеличении» отдельных участков областей
путем введения в программу надлежащего масштабирования.
Изложенные методы использовались для построения обла-
стей устойчивости и подобластей с заданным расположением
собственных чисел исходной матрицы А системы х = Ах +
+ F (0, а также применялись для автоматизации отслежива-
ния линий равного уровня. Программа слежения по контуру
без адаптации содержит 337 операторов, с, адаптацией — 425
операторов.
Представляет практический интерес использование сим-
плексного принципа слежения вдоль границы.
Пусть осуществляется движение по прямой по направлению
к границе с некоторым шагом. Выход на границу определяет-
ся тем, что значения функционала G в двух последовательных
Рис. 6.12
точках Ay и By оказываются разных знаков. После пересече-
ния границы может быть образован равносторонний треуголь-
ник АуВуСу (рис. 6.12,’ а—з). Слежение за границей искомой
области будет осуществляться в положительном направлении,
т. е. против хода часовой стрелки. В качестве первой точки Су
принимается вершина равностороннего треугольника Dy, по-
строенного на отрезке АуВу вправо от него, если выход на гра-
ницу произошел извнеG ИО > О, G (Bt) <Z 0, и влево, если —
изнутри G (А) < О, G (By) > 0.
Таким образом, можно продолжить процесс слежения,
«зеркально» отражая ту из вершин, которая находится в оди-
наковых условиях с соседней вершиной. Одинаковые условия
означают, что обе вершины «устойчивы» или, наоборот,
«неустойчивы», т. е. значение параметров рд и р2 соответствуют
устойчивой или соответственно неустойчивой системе.
Координаты точки Су определяются по координатам точек
А у и By -с помощью формул:
а)	при- выходе на границу извне
И1 _= _ .
и«.) = .
б)	при выходе на границу изнутри .
(С1) = .
*	2
- ^Л° + ^В-) + УЗ(|Х(Л>-|Х(.Л‘>)
- 2
Из построения видно, что та из вершин, которая была послед-
ней, не отражается. В новом треугольнике AyByDy отражается
та вершина, которая находится в одинаковых условиях с со-
седней вершиной. В данном случае это вершина Ау, так как
обе вершины «неустойчивы». Процесс последовательного дви-
жения вдоль границы и правила отражения вершин показаны
на рис. 6.12, а—и.
Отметим, что треугольники при таком способе слежения
вдоль границы могут быть и неравносторонними.
Таким образом, построение границы искомой области
по симплексному методу включает следующую последова-
тельность действий:
1. Выход в область для пересечений с первой точкой
границы. Выход может быть как направленным, например
с  использованием метода конфигураций или градиентных
методов, так и с помощью прямого перебора точек области.
Пересечение границы формирует начало алгоритма слеже-
ния вдоль нее.
2. Пересечение границы образует равносторонний тре-
угольник с вершинами 1—2—3 (рис. 6.12,а).
'3. Далее зеркально «отражается» та из вершин, которая
находится в одинаковых условиях с соседней вершиной
(одинаковые условия означают «устойчивость» или, наобо-
рот, «неустойчивость», обеих вершин. Не отражается та
вершина, которая была последней. В данном случае «отра-
жается» вершина 2, так как точки 2 и 3 находятся в одина-
ковых условиях (устойчивы), а вершина 3 была последней.
4.	Образуется новый равносторонний треугольник, в дан-
ном случае 1—3—4.
5.	Опять зеркально «отражается» та из вершин, которая
находится в одинаковых условиях с соседней вершиной
(рис. 6.12, б).
6.	Далее процесс слежения вдоль границы осуществля-
ется аналогично вышеизложенному принципу (рис. 6.12,
в—з).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
.	1. Андронов А. А., Вознесенский И. Н., Максвелл Д. К., Выш-
неградский И. А., Стодола А- Теория автоматического регулирова-
ния (линеаризованные задвчи). М., 1949.
2.	Воронов А. А. Современное состояние и проблемы теории ус-
тойчивости. Обзор. — Автоматика и телемеханика, 1982, № 5, с. 5—28.
3.	Развитие теории автоматического регулирования в СССР/
Б. Н. Петров, Е. П. Попов, А. А. Воронов, А. В. Храмой. — В кн.:
Труды Второго всесоюзного совещания по теории автоматического регу-
лирования. М., 1955, т. 1, с. 13—50.
4.	Техническая кибернетика в СССР.— В серии: Советская наука
и техника за 50 лет. М., 1978.
К главе 2
1.	Басакер Р., Саати Т. Конечные графы и сети. М., 1974.
2.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. М., 1976.
3.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления.
Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.,
1980.
4.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е, Обобщенные функции и действия
над ними. Вып. 1. М., 1959.
5.	Гноенский Л. С., Каменский Г. А.. Эльсгольц Л. Э. Мате-
матические основы теории управления систем. М., 1969.
6.	Математические основы теории автоматического регулирова-
ния/ Иванов В. А., Медведев В. С., Чемоданов Б. К-, Ющенко А. С.
М., 1977, т. 1.
7.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. М., 1965.
8.	Теория автоматического управления /Под ред. акад. А. А. Во-
ронова. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления.
М., 1977.
К главе 3
1.	Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования. М.,
1966.
2.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория автоматического регу-
лирования. М., 1976.
3.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления.
М., 1980.
4.	Иващенко И. И. Автоматическое регулирование. Теория и
элементы систем. М., 1973, 1978.
5.	Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.
М., 1950.
6.	Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.,
1971.
7.	Техническая кибернетика. Теория автоматического регулиро-
вании/ Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. I. М., 1967.
8.	Теория автоматического управления/Под ред. А. В. Нетушила.
М., 1976.
9.	Сборник задач по теории автоматического регулирования /Под
ред. В. А. Бессекерского М., 1969.
10.	А. А. Красовский, Г. С. Поспелов. Основы автоматики и техни-
ческой кибернетики. М., 1962.
11.	Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыва-
нием (перевод с польского). М., 1974.
12.	Юревич Е. И. Теория автоматического управления. М., 1975.
К главе 4
1.	Энциклопедия современной техники. /Гл. ред. А. И. Берг и
М. И. Трапезников. М., 1962, с. 469, т. 1.
2.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления, ч.
1. М., 1965-
3.	Джеймс X., Никольс Н,, Филипс Р, Теория следящих систем.
М., 1951.
4.	Красовский А. А. Интегральные оценки и выбор параметров си-
стем автоматического регулирования. М., 1954.
5.	Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М., 1946.,
6.	Ньютон Дж. К., Гулд Л. А., Кайзер Дж. Ф. Теория лииейиых
систем. Аналитические методы расчета. М., 1.961.
7.	Наумов Б. Н. Теория автоматического регулирования:
Косвенные методы анализа и синтеза качества линейных систем авто-
матического управления. М., 1967. (Всесоюзи. заочный энергетичес-
кий институт).
8.	Рубинчик А. М. Приближенный метод оценки качества регу-
лирования в линейных системах.— В ки.: Устройства и элементы тео-
рии автомвтики и телемеханики. М., 1952.
9.	Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автомати-
ческих систем. М„ 1972.
10.	Фельдбаум А. А. Интегральные критерии качества регулиро-
вания.— Автоматика и телемеханика, 1948, т. IX, № 1.
11.	Фельдбаум А. А. О распределении корней характеристичес-
кого уравнения систем автоматического регулирования.— Автоматика
и телемеханика, 1948, т. IX, № 4.
12.	Цыпкин Д. 3., Бромберг П. В. О степени устойчивости
линейных систем.— Известия АН СССР, ОТН, 1945, № 12.
13.	Розенвассер Е. Н„ Юсупов Р. М. Чувствительность систем аи.
тематического управления. Л., 1969.
К главе 5
1.	Воронов А. А. Основы теории автоматического управления-
М., 1965, ч.1.
2.	Мееров М. В. Синтез структур систем автоматического регули-
рования высокой точности. М,, 1959.
3.	Бессекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматнческр-
го регулирования. М., 1972.
4.	Основы автоматического управления/Под. ред. В. С. Пугаче-
ва. М., 1968.
5.	Менский Б. М. Принцип инвариантности в автоматическом ре-
гулировании и управлении. М., 1972.
6.	Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические сис-
темы. М., 1980.
7.	Зайцев Г. Ф. Коррекция систем автоматического управления
постоянного и переменного тока. М., 1969.
8.	Техническая кибернетика: Теория автоматического регулиро-
вания/Под. ред. В. В. Солодовникова. М., 1967. Кн. 2.
9.	Наумов Б. Н. Переходные процессы в линейных системах авто-
матического регулирования. М., 1960.
К главе 6
1.	Бахвалов Н. С. Численные методы. М., 1975.
2.	Беклемешев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры.
М., 1983.
3.	Воронов А. А. Основы теории автоматического регулирования.
Особые линейные н нелинейные системы. М., 1981.
4.	Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры.
М., 1977.
5.	Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.»
1984.
6.	Дидук Г. А. Машинные методы исследования автоматических
систем. Л., 1983.
7.	Зубов В. И. Математические методы исследования систем ав-
томатического регулирования. Л., 1959.
8.	Макаров И. М., Менский Б. М. Линейные автоматические сис-
темы. М., 1977.
9.	Мелса Дж., Форсайт Дж. Программы в помощь изучающим
теорию линейных систем управления. М., 1981.
10.	Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программиро-
вание на ФОРТРАНе. М., 1977.
11.	Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений.
М.. 1963.
12.	Сольницев Р. И. Машинные методы анализа сложных систем.
Л., 1982.
13.	Солодовников В. В., Чулин Н. А. Частотный метод анализа и
синтез многомерных систем автоматического управления. М., 1981.
14.	Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ.
Линейная алгебра. М., 1976.
15.	Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линей-
ной алгебры. М., 1960.
16.	Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы
математических вычислений. М., 1980.
17.	ХёммингР. В! Численные методы. М., 1972'.
18.	Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. Практическое
руководство. М., 1982.
19.	Rosenbrok Н. Н. Computer-aided .control, system design..’ Lon-
don—Ne	ork^-San Fraificisko: Acadahic press, 1974.
2Q. Shiljak D. Analyses and sinteses of 'feedback af control'‘sys-
tems ih the parameters pl'aht — IEEE, Trans V. 83, No 75,, 1964, p.
466 — 472.
ТЕОРИЯ
автоматического
УПРАВЛЕНИЯ
В двух частях
Под редакцией академика А. А. Воронова
Издание второе,
переработанное и дополненное
Часть первая
ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
6 качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности
„Автоматика и телемеханика*
МОСКВА
„ВЫСШАЯ ШКОЛА"
1986
ББК 32.965
' ТЗЗ
УДК 62—52
Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова,
Г. А. Дидук, Н. Д. Дмитриева, Д. П. Ким,
Б. М. Менский, П. Н. Попович
Рецензенты:
кафедра Московского высшего
технического училища им. Н. Э. Баумана
(зав. кафедрой •— акад; АН СССР Е. П. Попов);
чл.-кор. АН СССР С. В. Емельянов
(Всесоюзный научно-исследовательский институт
системных исследований)
Теория автоматического управления: Учеб, для
ТЗЗ вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч.
Ч. I. Теория линейных систем автоматического управ-
ления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Вороно-
ва и др.; Под ред. А. А. Воронова.—2-е изд., перераб.
и доп. — М.: Высш, шк., 1986. — 367 с., ил.
В книге изложены основные понятия и принципы управления, мате-
матическое описание, аналитические и машинные методы исследования
устойчивости и качества линейных непрерывных систем. Наряду со ста-
ционарными системами рассмотрены нестационарные ^системы н системы
с чистым запаздыванием. По сравнению с 1-м изданием (1977 г.) 2-е из-
дание переработано' и дополнено. Заново написана гл. 6, переработаны
гл. 4, 5, внесены .-изменения в другие главы. *
2404000000—287-44	ББК 32.96S
Т ----:— --------163—86
001(01)—86	6Ф6.5
© Издательство «Высшая школа», 1977
© Издательство «Высшая школа», 1986, с изменениями