i
i
j
i
И*Л
Государственное издательство
иностранной
литературы
!
J

THE ZETA-FUNCTION
OF RIEMANN
by
E. С TITCHMARSH, M. A.
Fellow of Magdalen College, Oxford
Professor of Pure Mathematics in the University of Liverpool
1930

Е. К. ТИЧМАРШ
ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ
РИМАНА
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
70. А. ШРЕЙДЕРЛ
19 4 7
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Моек в а

Дзета-функция Римана играет исключительно
большую роль в теории чисел. Ряд проблем о
распределении простых чисел, остающихся
десятилетиями и даже вехами неразрешенными, целиком
сводятся к проблемам о свойствах дзета-функции,
в частности к вопросу о распределении ее нулей.
Ввиду этого дзета-функции посвящено большое число
исследований ряда крупнейших математиков у нас
и за границей,
В книге Тичмарша излагаются систематически
основные свойства дзета-функции Несмотря на
семнадцатилетнюю давность, книга содержит все самые
важные факты в данной области. Овладев ею,
читатель может уже без затруднения взяться за
изучение новейшей советской и иностранной литературы
по этому вопросу. Чтение книги предполагает, как
указывает автор, знакомство с более элементарной
книжкой Ингама (есть в русском переводе).
Книга Тичмарша может быть рекомендована
аспирантам-математикам и студентам старших
курсов, социализирующимся по теории чисел.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Несколько лет тому назад проф. Г. Бор и проф. Дж. Е. Литтль-
вуд начали писать книгу о распределении простых чисел и
Римановой дзета-функции, которая должна была войти в
Кембриджскую серию. Работа их осталась незавершенной, существует
лишь подготовленная ими рукопись значительных размеров.
Тот факт, что в ней кое-что теперь уже устарело, обусловлен
не в малой степени их собственными исследованиями.
Настоящая работа относится лишь собственно к теории
дзета-функции, не рассматривая приложений последней к
теории простых чисел. Эти приложения будут составлять
содержание одного из последующих выпусков, автором которого
является А. Е. Ингам*\ Мы не пытались объяснить связь между
дзета-функцией и простыми числами. Мы даем лишь краткий
набросок общеизвестных свойств дзета-функции, сведения о
которых читатель найдет в другом месте**). За исключением
этого изложение достаточно полно.
Начало главы IV взято с небольшими изменениями из
рукописи Бора — Литтльвуда. В нескольких местах я пользовался
записями лекций проф. Литтльвуда, которые он любезно
предоставил в мое распоряжение. Я приношу также благодарность
д-ру Т. Эстерману и проф. Г. Б. Джеффери, прочитавшим
рукопись, и г-же М, Л. Картрайт и проф. Г. X. Харли,
просмотревшим корректуру. Им принадлежит большая часть
исправлений и предложений.
Е. К. Т.
Ливерпуль, май 1930 г.
*) См. А. Е. Ingham, The distribution of prime numbers.
Cambridge, 1932. (Русский перевод: Ингам, Распределение простых
чисел, М. — Л., 1936. — Прим. перев.)
**) Подробнее элементарная теория изложена в книге Ингама
«Распределение простых чисел». {Прим. перев.)

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга рассчитана на читателей, которые уже имеют
некоторые сведения о дзета-функции и ее роли в
аналитической теории чисел, но ради полноты мы вкратце изложим
ез элементарные свойства.
Функция определяется рядом Дирихле:
с 00 = 2«-s, (1)
где s = a-|-/Y, и ряд сходится к аналитической функции при
о>1.
С другой стороны,
Z>(s) = U(l-p~sr1 (a>l)f (2)
i p
где р пробегает все простые числа. Если мы разложим каждый
множитель по степеням p~s и формально перемножим, то этот
результат получится из того факта, что каждое целое число п
однозначно представляется в виде произведения степеней
простых чисел рт. Строгое доказательство легко получается, если
сначала взять конечное число сомножителей.
Из сходимости произведения (2) мы получаем, что С ($)
не имеет нулей при о > 1.
Мы получаем из (2) формулы
оо оо
р тв*1 п—1
оо
с (s) 2л 2d р***
~2
А (я)
я«
<Г)
/7=1

Введение
7
где Л (ri) = In р, если п есть степень простого числа р и А(п) =
= 0, в противном случае и Аг (п) = Л(я)/1п п.
Третье представление дзета-функции таково:
оо
Так как °
оо
n-s Г (5)= (х8-1 e~™dx,
о
то мы получим нужный результат суммированием по п с
дальнейшей переменой суммирования и интегрирования*).
Прежде всего рассмотрим вместо интеграла (3) интеграл по
контуру
с
где контур С начинается в положительной бесконечности на
вещественной оси, обходит один раз начало координат в
положительном направлении, но не обходит точек ± 2/тг,:±:4иг,...,
и возвращается к исходной точке. Степень иод знаком
интеграла понимается как ехр {(s —1 )1п (— г)}, где логарифм
вещественен на отрицательном луче вещественной оси. При
о>1 эта формула выводится из (3) стягиванием контура С в
дважды пройденную вещественную положительную ось,
принимая во внимание разные значения логарифма по обеим
сторонам оси.
Последний интеграл равномерно сходится в каждой
конечной области и представляет целую функцию от 5. Это
позволяет распространить С ($) на всю плоскость. Итак, С (s)
регулярна для всех значений s, кроме простого полюса при s = 1
с вычетом 1. Действительно, полюсы Г (1—s) суть точки s =
= 1, 2,..., но мы знаем уже, что С (s) регулярна в этих
точках, за исключением 5=1. Если s целое, то интеграл может
быть вычислен по теореме о вычетах. Так как
* —\ * ~ 1 р ** д *4 i
*) Подробнее см. Ингам, Распределение простых чисел. (Прим.
перед).

8
Введение
то мы находим следующие значения £(s):
С(0)=—j, С(—2») = 0, С(1-2т) =
= (~12^"(т=1'2'---)- <5>
Мы теперь расширим контур С до положения Сю в
котором он охватывает полюсы it: 2 пг,..., ±2ш подинтеграль-
ного выражения. Сумма вычетов в этих точках составляет
2^(2 тк)"-isin-^ST,.
т = 1
Если а < 0, то мы можем устремить я к бесконечности;
интеграл вдоль Сп стремится к нулю, и мы получим
функциональное уравнение 1}
С (а) «= 2»т:*-1 sin -2-етгГ (1 —5) : (1 — 5) (6)
или
C(l—s) = 2'-**-* cos-s~.T(s)l.(s). (6')
Это справедливо (как следует из теории аналитического
продолжения) для всех значений s. Мы .выводим из этого, что
£(s) не имеет нулей в полуплоскости з<0, кроме точек
s =-2,—4,.. . .
В обозначении
4s)=± .S(s-1)T.-Tsr(±.sy.(s) (7)
функциональное уравнение принимает простую форму
E(s) = *(l—s). (6")
Итак, Е (г) = Ц —-j-/^j ^сть четная функция от г.
*■) Подробнее см. HandbuchX 281—299, Hardy [2], [3], Mordelt
[1], [2]. Handbuch здесь и в дальнейшем означает книгу Е. Landau,
Mandbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, 1909.
Числа в скобках относятся к библиографии, которая дается в конце.

Введение 9
Каков порядок1} Е(г) или ;($)? Согласно (6") достаточно рас-
2
смотреть полуплоскость а^ —- . Далее мы легко можем
проверить формулу
N оо
С(*)=2т? + 7=ТлР=Г-* J-^Й1 -rf«(«>0) (8)
и вывести что2) для а^§(0<8<1), |/|>1,
если положить N=[t]. Так как
|г(^*)|^|г(|з)|==0(^-),
то из (7) следует, что ;(б) не более чем первого порядка.
Рассматривая вещественные положительные значения, легко,
убеждаемся, что порядок ; (s) равен единице.
Отсюда следует, что Е(|/г) есть целая функция
порядка -н- и, следовательно, имеет бесконечное множество нулей..
Из этого мы выводим, что £ (s) имеет бесконечно много нулей,,
отличных от уже рассмотренных. Эти нули должны быть
комплексными и лежать в полосе 0^а< 1.
Мы можем теперь написать
С (s) = *L Д ( 1 _ IW, (Ю);
2(*-1)Г(-* ,+ i) Л V J
где р пробегает все комплексные нули i(s). Действительно,,
по теореме Адамара 3)
!) См. G. Valiron, Lectures on the General Theory of Integral
Functions, 1923, гл. II, § 5.
2) А всюду означает абсолютную положительную константу, вообще
говоря, различную в каждом случае. Для каждого п Ап означает ту
же самую константу. А (Ь) обозначает константу, зависящую от $.
/(/} = О {?(/)} означает, что f(t) < А\ <р (t)\ для />Л. f(t) =
= Q {ф (t)} обозначает, что существует сколь угодно большие
значения *>Л, при которых \f(t) |>Л I ф(0 I- Если же ср или ф зависят
от §, то константа, фигурирующая в О или Q, есть Л (о). £ всегда,
обозначает произвольно малое положительное число.
3) См. Valiron, Integral Functions, гл. Ill, § 4.

10
Введение
Здесь £(0)=-£(0) = ~ и
Ь = Ь0 + ±1пъ = \п2ъ — 1 - i-т, (Х!)
где ч— эйлерова постоянная.
Доказательство тождества (11) довольно сложно. Вначале
мы имеем
Д»1<(*>--7=тЬъ (12)
так как из (8) выводим
'M-rb-tiw'T'Hite-T)-
п = 1 1 п = 1
Дг оо
-J(i-i)*-J-^-^o^
1 jV
Мы можем выбрать TV, и притом равномерно по а, таким
большим, что последний член был бы как угодно мал, а
первый член очень мало отличался бы от ^. При фиксированном N
оставшиеся члены стремятся к нулю вместе с s—1.
Это доказывает (12). Теперь мы можем вычислить С'(О),
логарифмически дифференцируя (6'), устремляя s к нулю и
используя (5), (12) и то, что Г'(1) = —-у. Мы получаем
Ц'(0)= — lln2i:. (13)
Наконец, &0 = £'(0)/6(0) и (11) следует из (13).
Что касается нулей С (s), то известно, что ни один из них
не лежит на прямой о=1. Мы выводим из (2'), что
Св(а)|С(а + й)|4|С(а + 2й)|= (14)
I V V 3 + 4 cos (тИп /0 + cos (2mt In p)\
— ехР \2j2u тр™ ) '
Так как
3 + 4cos?-j-cos2cr> =2(l + coscp)2>0, (15)

Введение
И
то каждый член в показателе правой части равенства (14)
положителен, и, следовательно, выражение справа не меньше
чем единица. Полагая <з=1-{-е (е<1) и замечая, что
оо
t О +£) = ]£ n~l'z<l + j и-1-**» = 1 + 7 <Т '
1
мы получаем J—-—L-^-J—^->—j г. (16)
2eT|C(i+e + 2/0IT
Так как £ (5) есть аналитическая функция, то, если 1 ~\- it
есть нуль C(s), левая часть стремится к |С (1-}-*"01> когда
s—^0, а правая чзсть стремится к бесконечности. Следовательно,
С (s) не может иметь нулей на прямой о=1.
Число1) N(T) нулей £ (s) между £ = 0 и t—T дается
асимптотической формулой
N(T) = ~ Г In T - 1+2^2я ^+ О (In T). (17)
Это число одинаково для I ($) и С (s) и равно половине от
числа нулей в прямоугольнике — 1<о<2, — Г<£<7\
Поэтому, если Т не есть ордината нуля, 4тсМ(Г) равно
вариации t(s) по периметру этого прямоугольника. Далее, £ (s)
вещественна при * = 0, а также при о= -~- ; значит,
вариация вокруг всего прямоугольника в четыре раза превосходит
вариацию вокруг его четвертой доли (начиная от s = 2).
Следовательно, т:ЛГ(Т) = AargE(s), где А означает вариацию от 2 до
2 + /7\ а затем до -х- -}- /7\ взятую по прямым линиям.
Выражая $(s) опять через С (s) и применяя асимптотическую
формулу для T(s) 2\ мы получаем:
ЩТ)-£\п£- ^-+|-]-±Даг2С(,)-Ь0(4). (18)
Основная трудность доказательства лежит в установлении
того, что Aarg£(s) = 0(ln Г).
!) Handbuch, 368 —-372, Backlund [2], [3].
2) Whit take r and Watson, Modern Analysis (ed. 4, 1927),
$ 13—6. (Русский перевод: У и т т е к е р, В а т с о н, Курс современного
анализа. — Прим. перев)

12
Введение
Во-первых, 91 [*($)} не исчезает при з = 2, так как
9U (2 + «)^1 —2Л"2>°-
П = 2
Следовательно, вариация C(s) в пределах от 2 до 2-[-IT
1
меньше чем-^- тт.
Во-вторых, если sJt{^(s)} исчезает q раз между 2-J-/T и
—-|-/7\ то этот интервал делится на #+1 частей, на
каждой из которых 3* { С О) } ^ 0 или 91 { С (s) } ^ 0.
Следовательно, на каждой части вариация от C(s) не превышает т:, и>
значит, |Aarg£(s)|^(? + -2-)'i:-
Теперь q есть число нулей f (г) = ^ { С (г -f- гТ) -j- £ (^ —
—/Г)} для 3 И = 0,у<Л(г)^2, и поэтому #^я, где я
3
есть число нулей /(г) в круге \г — 2\^-^. По теореме
Иенсена !)
п<А { f In |/(2 + ««О ! fifO — 2wln |/(2) | } ,
О
3
где-9- <г<2 и согласно (9) правая часть не превосходит
Л In Т. Это и доказывает (17).
Непосредственное следствие (17) есть 2)
iV(r-j-l) —ЛГ(Г)*=0(1пГ). (19)
Это, однако, получается прямо из теоремы Иенсена тем же
способом, как и предыдущий результат для /(г).
Из наших рассуждений следует также, что
arg С (5) = О (In 0 (а > 4") • <20>
1) Valiron, Integral Functions, гл. Ill, § 1.
2) Handbuch, 337.

Г лasa I
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ l(s)
1.0. Введение.
Важнейшая проблема, проистекающая из попыток
определить распределение простых чисел, это — где лежат нули
дзета-функции? При этом мы сталкиваемся с проблемой
асимптотического поведения C(s), когда £—> со для заданного
значения о. Обе проблемы тесно связаны между собой, и
мы не можем полностью разделить их. Но мы находим
удобным, поскольку это возможно, иметь дело только со вторым
вопросом. Соответственно все теоремы нашей первой главы
относятся к неравенствам, за исключением теоремы 12 о нулях,
так как, естественно, место ее именно здесь.
Мы возьмем некоторое значение (или ряд значений) о и
спросим, каковы наибольшие, значения |C(s)| и соответственно
наименьшие? Второй вопрос мы поставим в такой форме: как
велико наибольшее значение |l/C(s)|? Более точно: мы будем
пытаться определить монотонные функции «(*) и <!>(/) такие,
что
^) = 0{ <?(/)}, С(*) = 9Ж*)Ь
и затем рассмотрим аналогичную проблему для 1/C(s). Если
<р (*) = &(*), то проблема состоит в нахождении наилучших
констант.
1.1. С (s) в полуплоскости о> 1.
1.11. В полуплоскости о >1, где £ (s) представлена абсолютно
сходящимся рядом Дирихле, ее главные свойства общеизвестны.
Теорема 1. Если а>1, то |C(s) | <[£(а)*) для всех
значений ty хотя |£(s)|;>(l—е)С(<з) для некоторых
произвольно больших t.
*) Уточнение см. К aim а г [1*] (в дальнейшем мы будем
обозначать таким образом ссылки на дополнительную библиографию. (Прим.
ред.)

14
Глав а I
Мы имеем ^ |С(^) | = | 2 п""81 = 2/г~аг== ^ (°)» так что вся
трудность лежит во второй части.
1.12. Мы используем следующую хорошо известную теорему
из диофантовых приближений.
Теорема Дирихле. Пусть заданы вещественные числа
av a2, •••» aN> Целое положительное q и положительное т;
тогда можно найти такое число t, что
x^t^zqX,
и целые числа хи л*2,. .., х^ тате, что
|*аЛ —*n|=gl/?(n=l,2, .... N).
Доказательство основано на рассуждении, которое
придумал и успешно применял Дирихле. Это рассуждение в
простейшей форме состоит в том, что если имеются т-|-1 точек
в т областях, то по крайней мере в одной области находятся
хотя бы две точки.
Рассмотрим N-мерный единичный куб, одна из вершин
которого лежит в начале координат, а стороны направлены по
координатным осям. Разделим каждую сторону на q равных
частей и тем самым куб на qN равных ячеек. Рассмотрим qN-\-l
точек в кубе, конгруэнтных (по модулю 1) точкам (иаи иа2> . . .,
иаху), где и=«0, т, . . . ,zqN. По крайней мере две из этих
точек должны лежать в одной ячейке. Если эти точки
соответствуют u — uv u — u2, (#!<%), то t=u2 — ui
удовлетворяет требованиям теоремы.
1.13. Применим это теперь к £ (s). Для всех значений N
N со
W=l W = jV-fl
и, следовательно (модуль первой суммы не меньше ее
вещественной части),
N оо
K(5)l^2"~ccos(/In'0— 2 п~в- О)
*) Если пределы суммирования не проставлены, то они всегда суть
(1, со).

Асимптотическое поведение r^(s)
15
По теореме Дирихле существует число t(?^t^iqN) и
целые xv ..., х$ такие, что для заданных N и q
| Лил/2*— xn\<\jq (/i=l,2,..., N).
Следовательно, cos (Лп п) > cos (2тг/^) для этих значений н,.
и, таким образом,
IV N со
У л"J cos (*In /z)>cos (2n/?) 2 n~3 >cos (2*/?) С (о) — 2 '*"a
£=1 n=l ff+1
и согласно (1)
oo
I С (s) I ^ cos (2ф) г (a) — 2 2 n-. (2)
Теперь
1
CO CO
У л-а
<|"а-Назначит,
o — l
|C(*)| Ы cos {2к1д) — 2№- } С (a), (4)
и нужный результат получается, если q и N достаточно велики.
1.14. Как следствие теоремы 1 получаем, что C(s), будучи
ограниченной на любой фиксированной линии о = о0>1, не
ограничена в открытой области о>1, tf>tf0>l. Это сразу
получается из того факта, что верхняя граница С (о) стремится
к бесконечности при о->1. Но небольшое дополнительное
рассуждение дазт следующий, более точный и более интересный
результат г\
Теорема 2. Каково бы ни было tf0, всегда существуют
значения s в области о > £, £ > £0, для которых
|С(5)|>Л1п1п/. (1)
Положим т = 1 и <7 = 6в § 1.13. Тогда из 1.13. (3) и
(4) вытекает:
|С(0|Ц1 —2ЛР-'}/(а — 1) (2)
х) Boh г, Landau [1].

16
Глава I
для значений / между 1 и 6N. Мы определим N как первое
целое число, следующее за 81^~1^. Тогда:
K(^)l^4^—Tl)>—VliT8—> AinJV (3)
для значений t таких, что
N>A\nt. ' (4)
Требуемое неравенство (1) следует из (3) и (4). Остается
только показать, что значения t могут быть сделаны больше
любого наперед заданного t0, если а—1 достаточно мало.
.Если это не так, то из (3) следовало бы, что С (s) не
ограничена в области а>1, 1 < t < t0; но мы знаем, что C(s)
ограничена в такой области.
1.15. Остается выяснить, как велика может быть
константа А в теореме 2. Было доказано, что теорема 2 верна,
если А принимает значение меньшее, чем е'(, где f есть
Эйлерова постоянная г\ Это значение константы получается
из формулы 2):
In х *
р <х
1.16. Ясно, что предыдущие рассуждения применимы ко
Беем рядам Дирихле с коэффициентами одинакового знака, не
абсолютно сходящимся на своей прямой сходимости. Например,
ряды для lnC(s) и его производных принадлежат к этому типу.
Результат для lnC(s) есть, однако, следствие оценки для Z(s),
которая дает
| In С (s) | > In In In ^ — Л
для произвольно больших значений t при а>1. Для п-й
производной In С (s) результат таков:
^)П1пСи)|>А(л)(1ШпОЛ
для произвольно больших значений t при а> 1.
1.2
1.21. Мы теперь обратимся к соответствующей проблеме
для ljl{s).
П ('-?)-
х) L i 111 е w о о d [5], Т i t с h m a r s h [4].
2) Handbuch, §§ 28 и 36; H а г d у [4].

Асимптотическое поведение С (s)
17
Теорема 3, Если о > 1, то
чений t и, тем не менее,
ГА*)
£(°) л
—- для всех зна-
С(2а)
I С (5) l^1 *' С (2а)
Лгя некоторых произвольно больших значений t.
Как прежде, первая часть почти очевидна. Мы имеем
~Ш = И V1 _ 1р) == 2d ~^~"'
где ^(1)== 1, |а(я)=(—- l)fe, если /г есть произведение /г
различных простых чисел, и jx (/г) = 0 в противном случае.
Следовательно,
|J-|< V I^W _тг^ l-P""2gV 4(g)
К(*)|=-* „а -П^ l-p — J~W
1. 22. Нам нужно теперь доказать вторую часть. В этом
случае теорема Дирихле не дает ничего, так как
коэффициенты \ь (п) разного знака. Поэтому мы на время оставим диофан-
товы приближения и обратимся к другому методу х) (который
также может быть применен к доказательству теоремы 1). Он
основывается на том факте, что если o(t) положительна и
непрерывна при a^gt^by тогда
ъ
lim [)г=^Г{<р(0}л^11/п= Мах «(О-
а — —
Мы можем тем самым свести вопрос о максимальном значении
функции к вопросу о поведении интегралов, содержащих
большие степени функции.
1. 23. Нам также требуется следующая теорема о средних
значениях для рядов Дирихле. Положим
j.
Т -»оо
L) Bohr, Landau [7].
2 Зак. 598.

18
Г л а в а I
Если f(s)=^ann s, где ряд абсолютно сходится при
о = о0, тогдл для о = о0
^{1/12} = 2КГ""2'°-
Мы имеем:
= 21a» I2""2'0+2 2'а«^» (»»)-• о»*7,
где штрих указывает, что члены с т = п опущены. Тогда:
Последний двойной ряд сходится равномерно по Г, так как
его общий член по абсолютному значению не больше чем
\атап\(тп)~°° и каждый член стремится к нулю при Г-> со.
Следовательно, сумма ряда стремится к нулю, и мы получаем
требуемое.
1. 24. Мы можем доказать теперь вторую часть теоремы 3.
Напишем
N
и затем возведем обе части равенства в Aj-ую степень. Мы
таким образом выражаем {t,(s)}~k как произведение Л^+1
абсолютно сходящихся рядов Дирихле, причем числа т в
каждом члене атт~8 одного из них (с ненулевым коэффициентом)
и п в каждом члене апп~8 другого (с отличным от нуля ап)
взаимно просты. Отсюда и из теоремы п. 1.23 легко видеть, что
М{^-2Ц8)\} = иМ{\(1-р-^\}М{\^(з)\}.
Теперь для каждого р
2тс/1п р
О
так как подинтегральное выражение имеет период 2r,j\np и

Асимптотическое поведение С (s)
19
так как ряд Дирихле для ^(s) начинается с 1 + . .. . Тогда:
N 2п/1прн
tt= 1 О
Теперь
2тг/1п J9
lim & Г II— /Г«|а*<«\1/2* = Мах |1_р-*|=1-{-/>-'.
Значит,
Jim_[M {| C(s) I -2*}],/в*Э5П (1 +P~e).
Раз это верно для всех /V, то мы можем правую часть заменить
ее пределом при yV->oo, т. е. £(а)/£(2о). Следовательно, для
каждого s найдется такое &, что
№
и, следовательно, существуют сколь угодно большие значения ty
для которых
1
:(*)
(1~~с)С~(27)*
Это доказывает теорему.
1. 25. Теорема 4 1}. Функция l/£(s) не ограничена в
открытой области а > 1, t > /0 > 0.
Это следует, во-первых, из теоремы 3 и из того, что при
о -> 1
С(а)/С(2а)-*оо.
Существует другое доказательство этого предложения,
основанное на диофантовых приближениях. Мы уже говорили, что
теорема Дирихле в этом случае не действует, но существует
похожая теорема, которую мы можем применить.
1. 26. Теорема Кронекера2). Если av а2, • • ■» ап
линейно независимые^ a bv #2> • • • > ^Д" произвольные вещест-
!) Bohr, Landau [7].
2) Известны различные доказательства теоремы Кронекера. См.
F. Lettenmeyer, Proc. London Math. Soc. [2], 21 (1922), стр. 306—
314; Н. Bohr, ibid. стр. 315—316. Мы даем в приложении
доказательство Бора.
2*

20
Глава I
венные числа, тогда, при заданном q, мы можем найти число t
и целые xv х2, ..., хя такие, что
\aj— bn-xn\<\lq (я=1, 2,...,Л/).
Если все Ьп равны нулю, то это следует из теоремы Дирихле.
Общая теорема требует, чтобы числа ап были линейно
независимы, т. е., чтобы не существовало соотношение вида
гхах + г2а2 + rNaN = О,
где ги г2,. . . целые числа. Кроме того, не устанавливается
верхней грани для t% наподобие qN в теореме Дирихле.
Вследствие этого из теоремы Кронекера мы можем извлечь только
неограниченность, а не определенный порядковый результат,
как в теореме 2.
1. 27. Чтобы доказать теорему 4, мы напишем
lnC(*)-2p-*-f-?(s),
р
где <р($) ограничено при а>1. Теперь
N со
M(%p-s)^%cos(tlnpn)p-°^^cos(t\npn)p-° + % р~*.
р п=1 n = N+l
Все числа 1прп линейно независимы. Это следует из
теоремы о том, что целое число однозначно представляется в виде
произведения простых чи:ел, т. е. не может быть
соотношения вида
и тем самым соотношения вида
rilnPl+ ... -\-rN\npN = 0.
Итак, числа 1прп/2тг линейно независимы. По теореме
Кронекера мы можем найти число t и целые хи. . . ,xN, так, чтобы
\tlnpj2v—±—xn\<± (я=1,2,...,Л0
\t\npn — it — 2i:xn\<lr'K(n=l,29...,N).
пли
Тогда, для этих значений п
cos (t In рп) = — cos (tlnpn — к — 2тг хп) < — cos у тг = — y
и, значит,
эт(2р-8)<-т1р«°+ 2 Рпа-
р м = 1 n = N+l

Асимптотическое поведение С (s)
21
Так как V р~г расходится, то мы можем, если Н какое-то
выбранное положительное число, выбрать о так близко к 1,
что У^Рп* > Н- Зафиксировав а, мы можем выбрать N столь
большим, что
Тогда M = 1 n = N + l
atфр-*)< - -f-tf+i w= -iw-
Так как Н может быть выбрано как угодно большим, то отсюда
следует, что ^(^P"s) и> значит, ln|C(s)| принимают отрица-
р
тельные значения, произвольно большие по модулю. Это
доказывает теорему.
1. 28. Мы уже заметили, что в общем случае теоремы
Кронекера мы не можем указать верхней грани значений числа ty
но Бор и Ландауа) доказали замечательный результат, что
в частном случае, когда ап = \прп/2к, значение t может быть
найдено и имеет верхнюю грань, грубо говоря, не слишком
отличающуюся or qN . Это открытие позволяет доказать
результат, аналогичный теореме 2.
Теорема 5. Как бы велико ни было t0J найдутся
значения s в области о>1, t>t0, для которых
|l/C(s)|>A-ln1n*.
1. 3. Функция С(1 + #)
1. 31. Теорема 6. Мы имеем :£($) = О (In t) равномерно
в области 1 ;—-<о<2, *>^п.
In / — — ' ^ и
В частности
C(l+tf) = 0(ln<).
В рассматриваемой области, если п <С /,
2) Bohr, Landau [6], [7].

22
Глава I
Тогда, на основании равенства (8) Введения, с 7V=[/],
N со
'м-2°®-°(-Нп-)+°('/т&)-
1 N
= о (in TV) -f о (vo 4- о (w-°) = о (in о + о (i) + о (i).
Этот результат будет позднее заменен несколько лучшим
(теорема 11), который, однако, требует гораздо более трудного
доказательства.
1. 32. Теорема 71}:
t(14-tf) = Q(lnln*).
Мы уже видели, что £ (s) принимает произвольно большие
значения в непосредственной близости прямой о=1, но наши
рассуждения сами по себе ничего нам не говорят про значения
на прямой о=1. Однако существует известная теорема Лин-
делёфа, которая дает возможность решения вопросов подобного
типа.
Теорема Линделёфа2). Предположим, что функция
f (s) регулярна и имеет оценку 0(tA) в полу полосе ох ^ о <£ о2,
t^to>® и чт0 \f(s)\^=*M на п°лной границе полу полосы,
тогда \f{s)\^M во всей полу полосе.
Предположим теперь, что функция С (1-{-//) была бы
ограничена; мы знаем, что {,(2-{-it) ограничена, 'и мы знаем из
теоремы 6, что £(s) = 0(tA) в полуполосе lgoS2,^>/0 >0.
Отсюда мы вывели бы, что С (s) ограничена в этой полуполосе,
в то время как мы знаем из теоремы 1, что это не так.
Следовательно, £(1-|-#) не ограничена.
Мы можем, однако, использовать более точные сведения,
даваемые теоремой 2, относительно асимптотического
поведения С (s) при о > 1 к выводу соответственно более точных
результатов относительно ее поведения на прямой о=1.
Во-первых, из теоремы Линделёфа следует, что если f(s)
регулярна и имеет вид 0(tA) в полу полосе Oj^o^o2> t^t0
и если /($)—► О по обеим прямым о — о^^, a =zg2, когда t -> со,
то f(s) -> 0 равномерно в полу полосе.
Вывод, будучи простым, не совсем тривиален.
с
Мы рассмотрим функцию F ($) = /(s) sin •
!) Bohr, Landau [1].
^Доказательство этого дано Hardy HRiesz, The General
'Theory of Dlrtchlefs Series, стр. 15.

Асимптотическое поведение 'С (s)
23
Выбирая h достаточно большим, мы можем обеспечить, что
l^(s)|<3 Ha границе и, следовательно, по предыдущей теореме,
так же во всей полуполосе. Тогда
\f(*)\ = \Q+h(s)F{*)\<2*
для |$|>й, что и дает желаемый результат.
Теперь мы видим из теоремы 2, что
/(s) = C(s)/lnlns
не стремится к нулю равномерно для 1<з<2 при t -> ,х> и
/(2 -J- Щ -> 0. Предыдущая теорема нам показывает, что /(1 -|- Щ
не стремится к нулю, что доказывает теорему 7.
Используя результат, упомянутый в п. 1.15, мы можем дальше
доказать, что
In In ^ —•
1.33. Читатель увидит, что имеется значительный пробел
между О-результатом теоремы 6 и Q-результатом теоремы 7;
даже теорема 11 мало что дает для уменьшения этого пробела.
Истинный результат может несомненно лежать где угодно в этом
промежутке. Но мы увидим в дальнейшем, что 2-результат есть
вероятно (т. е. если верна гипотеза, Римана), лучший возможный и
что есть О-результат, лежащий недалеко от истинного. Подобное
замечание применимо ко всем нашим О- и Q-результатам.. Нам
всегда лучше удаются 2-результаты, Это, может быть, не так
неожиданно, так как О-результат есть утверждение, относящееся
ко всем большим значениям t, а 2-результат лишь к некоторым
произвольно большим значениям.
1.4. Нули C(s) и функция 1/£(14-#)-
1.41. Прежде чем иметь дело с 1/С(1+/£)> мы должны
доказать, что £($) не имеет нулей в непосредственном соседстве
с прямой о==1. Для этой цели используем следующие леммы х\
Лемма. Если f(s) регулярна и \/(s)/f(s0) \<еш (М>1)
в круге \s — 50|^r, то
\f(s) YJLJ^ л— (\s—s 1<- Л
где р пробегает все нули /(s) при \s — s0\^ -к- г.
1; Landau [9].

24
Глава I
Функция g{s)=f(s)U(s—р)"1 регулярна при \s — s0\^r
и отлична от нуля при \s — s0\^-^r на окружности |s —
— 5ol = r» Is-р!^уг^Но — р|, так что
g(s)
g{*o)
f(s)
f(s0)
<e
M
Это неравенство, разумеется, справедливо и внутри круга»
Тогда функция h(s) — \n {g(s)!g(so)}> где логарифм равен нулю
при s = So, регулярна при \s—'50 |^ у/*
h(sc) = 0, 9t{h(s))<M.
Следовательно, по теореме Каратеодори г)
\k(s)\<AM (\s — So\^r).
Итак, для | 5 — s0 | ^ х г>
wmH^Ii^**
<
AM
где С — круг \'г — sJ == ■«-г. Это и дает нужный результат.
Лемма. Если f(s) удовлетворяет условию предыдущей
леммы и не имеет нулей в правой половине круга \s — s0 | < г,
тогда
если же f(s) имеет нуль р0 между s0—-^ г и s0, то
М
Предшествующая лемма дает
1
f о — Ро
Ю-
(2)
Но так как 9? {l/(s0 — p} ^° Для каждого р, то оба результата
сразу получаются.
!) Landau, Darstellung und Begrundung einlger neuerer Ergeb-
nisse der Funktionentheorie, 1916, § 24.

Асимптотическое поведение С (■?)
2S
1.42. Теорема 8. Существует константа А2 такаяг
что С ($) не обращается в нули при
Это вытекает из неравенства того же типа, что и (14) Введения.
Согласно (2") Введения
-«{•?#}■-S^™*"!. Л).
р, т
Тогда
= 2^{3 + 4cos(mTln^+cos(2^1n)};^0,
р, т
так.как выражение в скобках никогда не отрицательно.
о
Пусть р -j-q есть нуль £ (s), для которого, скажем, £ > -г-.
Если таких нулей нет, требуемый результат, конечно, сразу
получается.
Пусть о0= 1-f-fl/ltif, где а —константа, которая
определится поздней. Мы применим последнюю лемму к /($)==:(;($)-
для кругов с центрами в точках о0-]-/^, с?0 4-2/7 и радиусом
~2~. Ни один из этих кругов не имеет нуля в своей правой-
половине, и первый из них имеет по крайней мере один нуль
в своей левой половине, если у достаточно велико. Теперь
1—^1^4%) < ~г{ = A \nv
Так что, согласно (9) Введения
< At2 lnf<V In T < eln T (T > To>,
в круге \s — s0\^-^. Следовательно, беря в лемме >" —-54
М = In f, мы имеем

16
Глава I
Также, когда а0 -* 1,
С'Ы 1_
сы c0-i •
Так что при 7 > Ti
<>•!<** (4)
С(9й) ^4 с0~1
5 4
Мы берем -j как удобную постоянную между 1 и •«-,
которая появляется из (1). Тогда (1) дает:
Разрешая относительно 1—(3, мы получим
4 \ 1
1-Р>1
4? + 10* /
:где постоянная в скобках положительна, если а достаточно
мало. Это доказывает теорему.
1.43. Теорема 9!). Существует область 1—Ajlnt^g
<;a^g2, t>t0) в которой мы имеем равномерно
1 -0(lnQ, !£J- = O(ln0.
.В частности
ЩТЩ-0(1Ш),Щ±^ = 0{Ш).
Это соответствует теореме 6. Естественно, что это
доказывается труднее, чем теорема 6, так как это в первую очередь
зависит от регулярности 1/C(s) в рассматриваемой области.
Мы выведем это из следующей леммы2).
1.44. Лемма. Пусть f(s) удовлетворяет условиям первой
леммы п. 1.41 и пусть
\f(s0)lAs0)\<Mlr. (1)
Предположим также, что /($) ф 0 при \s — s0 | <; г, о ^ а0 —-
— 2г', где 0<г'<~ г.
1) Gronwall (1), Landau [12].
2) Landau [12].

Асимптотическое поведение С (■?)
27
ГОгдй: \f(s)lf(s)\<AMlr (\s-s0\^rf). (2)
Мы берем s0 = 0. Тогда (1) и лемма п. 1.41 с 5 = 0 дают
12'/?1<М/л (3)
Далее, |р|> — Ot (р) > 2г';> 21s\ для \s\^/, значит,
]_j | 'L * ^ г -aw - _*т
|5-р^р1 |*-р||р| = Мр||р| ^ 1р13 W'
Поэтому I 2 | ■
IS^t+StN-^ItNIStI.
так что, согласно (3),
|2^7|И2т1<^-
Требуемый результат следует теперь из леммы п. 1. 41.
1. 45. Мы можем теперь доказать теорему 9. Мы знаем,
что C(s) не обращается в нуль в области <з^1 —Л2/1п£, t>2.
Пусть 50 = о0-}-#о> гДе o0=14-^2/(41nV- Тогда, для /0>3>
круг | 5 — SqI^y принадлежит области О-у, *>2, в
которой
Далее С (*) - О (^О = О(У70*.
Следовательно,
С(«)
<вА»ш?о. (2)
Таким же образом
При ^0>Л C(s) не имеет нулей в части круга, где
<=^1 J" ^2/1п^о-
Мы можем поэтому применить лемму с
г = 4"' ''= 3 Л2/8 In *0, Ж = Мах(Л3, 2Л4)1п/0.
Мы выводим отсюда, что
y(« + fto) ^Л1П/ Л Л2 _ , , А \
4 In и

28
Глава I
Это и есть желаемый результат для означенной области, а для*
1 + ~ Л2/1п*^а^2
результат следует сразу из (3).
Опять-таки для о>1—Л2/81п£,
In |С(<у)1 = — 9tln£(<0 =
- -*-<(1+т£т+»)+Т,"«тШ**
а
Таким образом,
в то время как для 1 + "Т А2/\п t^a^2 результат полу-
чается сразу из (1).
1.46. Теорема 10. ^ * = 2(1п1п/)*>.
Это выводится из теоремы 5 так же, как и теорема 7 из
теоремы 2.
1.5* C(s) в критической полосе
1.51. Функциональное уравнение, рассмотренное в. Введении,
позволяет нам выводить различные результаты для
полуплоскости ogO из рассмотрения результатов в полуплоскости а> 1>
Это дает при фиксированном ои />0
1r(s)|==2'.K-i{i^*'+O(«-"0}^"V7"'+O(1)[C(l-s)| =
= ^-%0(,)|С(1-5)|. (1)
1
Например, мы выводим из теоремы 6, что £(#) = О (t 2 In Л.
Формулировка и вывод остальных результатов могут быть
предоставлены читателю.
Ясно, что мы не можем получить результата
рассмотренного выше вида для 1/C(s) в критической полосе 0<о<1,
*) См. Titchmarsh 18*J.

Асимптотическое поведение С (s)
29
так как на некоторых прямых о = о0(0<о0< 1), l/£(s) может
становиться бесконечной бесчисленное множество раз. Поэтому
мы сосредоточим наше внимание на £(s).
1.52. Мы теперь введем функцию |х(о), которая дает
порядок С (о-]-#), как функции от t\ более точно, и. (а) есть нижняя
грань чисел \ таких, что £ (а-[-#) = 0(£х).
Из теоремы 1 следует, что jx(o) = 0 для а>1, и затем из
функционального уравнения, что \i (о) = -н- — ° ПРИ ° < О- Далее,
из равенства (9) Введения следует, что jx(o) конечна для
Наиболее важное свойство ^(о) — выпуклость вниз. Это
прямое следствие теоремы Линделёфа, детально разработанное
Харди и Риссом. Этот факт говорит нам многое про jx(a) при
0<а<1, но не позволяет определить ее полностью.
Во-первых, должно быть jx(o)> 0 при-^ ^о< 1, иначе
•ji(s) перестала бы быть выпуклой где-то между-^-и 1.
Подобным образом jx(o)>>2 ° ПРИ 0<а<— •
Аналогично |х(о)^-2 ^ о для 0<о<1, так как из-за
свойства выпуклости оказывается, что jx (о) не подымается выше
прямой линии, соединяющей точку (О, -^-J, которая дает
значение <а(о) в о == 0, с точкой (1,0), которая дает значение ц (с)
при о=1.
Позже мы увидим, что мы можем получить несколько меньшую
верхнюю грань для jjl (a); но нигде в критической полосе ее
точное значение не известно.
1.53. Предыдущие рассуждения показали, что C(s) =
_i i_
= 0(t2 2 ) в критической полосе. Мы можем, однако,
получить несколько более точный результат.
\ j_
Теорема 11. С (s) = О (* 2 2 ° \nt) равномерно при
<0 <; о <; 1. В частности
с(4- + а) = °('Г1пЛ-

30
Глава I
Мы применяем более общую форму 1} теоремы Линделёфа,
которая утверждает, что если f(s) регулярна и имеет форму
0{tA) для о1^о^а2 и
/(°1 + «)=0('Ч /(о2 + «) = О(**),
то f(s) = 0{tk№} равномерно для а1^а^а2, где k (о)
линейная функция от о, принимающая значения ku k2 при
Теперь / (5) = С (s)/ln 5 удовлетворяет этим условиям
(при 2 > 1 для <зх =0, а2= 1, ^1 = -£-, &2 = 0. Нужный
результат отсюда сразу следует.
1.6. Вейлевский метод приближений и теоремы
Харди и Литтльвуда2)
1.61. Мы уже говорили о том, что возможно улучшить
О-результат предшествующего параграфа; мы дадим очерк
применяемого для этого метода. Он очень сложен, и мы изложим
его только в общих чертах.
Метод основан на нескольких очень важных неравенствах,
полученных Вейлем, рассматривавшим неравенства, которым
удовлетворяют суммы вида
S= % eiP(r),
r = 0
где jx велико, а Р (г) есть полином от г с вещественными
коэффициентами. Заменив каждый член его модулем, мы
получим, что |S|^g|A. Но легко видеть, что в простых случаях
имеются более точные оценки. Так, если Р (г) = яг, то
|5| = |(1— е^)/(1-
а также
|5|^М1пГ[х,
Если Р (г) = яг2, то
— eia) <
1
cosec -х-а
cosec -у а
>
{Д. — 1 v*- — 1 \*- — 1
x) Hardy, R i e s z, /or. clt.
2) Weyl [1], Littlewoo d [?], Landay [10].

Асимптотическое поведение С (s)
ЗГ
где п = q — г, и в последней сумме г пробегает <х — \п
последовательных целых чисел. В таком случае
l^l2= 2 |2*2йшМ = 2 Min(ji, |со$есяа|).
Мы можем продолжить этот процесс и получить подобные
неравенства в общем случае. Но непосредственно наша задача —
это получить неравенство- для суммы
N'
n = N
которая, очевидно, связана с дзета-функцией. Для этого мы
разобьем S на частные суммы1), содержащие каждая по \i членов^
Модуль первой из них, например,
I 2 «"1-12(1+^7'
n=N г=О
-Теперь
, 1 Г \И | V' (—I)"-1 Г» ^
tt = l
ft оо оо
w = 1 . n = ft + 1 v = 0
где P(r)—полином степени &, a *v (*)— функция от v, k и /у,
с которой мы сумеем легко разделаться. Тогда
Здесь внутренняя сумма отличается от сумм типа 5 лишь-
множителями г, и мы можем получить неравенство для нее
из неравенства для S частным суммированием. Это
устанавливает связь между S и S'.
Нужный нам результат !) таков. Пусть N и N'
положительные числа такие, что iV^iVrg2iV. Пусть *>3 и К=2к~1.
Тогда
i^ it i--1 1 I ft-i 1
12> |<Л{Л/ **(*+!)* .J-М (HD/cin/f AMln^MlV
!) Landau [10], стр. ПО [16].

32
Г лав a J
Это неравенство содержит произвольное целое &, которое
может быть выбрано по потребности в каждом отдельном
случае.
Мы выводим из (1) следующие неравенства 2):
| 2 n~s\<At e^In^(ft^3, l-l/(4/0=S«^l), (2)
2 2
'А1
,32
1--
<А (|-So<l), (3)
^] л-«|<Д (б^г=§1п1п*,/? = 2'-1, 1—£-=§?< l).(4)
Эти: результаты получены из (1)' разбиением
соответствующих сумм на части N^gn^N', в которых, как в (1), /V' ^27V,
и применением частного суммирования.
1.62. Мы можем теперь доказать2*).
Теорема 12. Мы имеем
равномерно для 63/64^а< 1 8) и
t(l-f tf)==0(ln//lnln*).
Пусть г — целая часть от
Min[ln{ 1/(1—o)}/ln2, lnlnfj,
так, что o<;r<ilnln^ при t > А. Так как
о^=1—2-'>1 —1//?,
(1)
(2)
г) См. Landau [10], стр. 114 — 115. Мы ставим в (3) и (4) верхний
предел t вместо f-\ это все, что требуется для применяемого метода.
2) В зтом месте удобнее заранее знать результат теоремы 19. Нам
не кажется подходящим приводить ее полностью в середине подобного
очерка, и в некоторых случаях результаты могут быть получены без
нее. Подобное замечание относится несколько позже к применению
теоремы 22.
*) Из старых работ см. также van derCorputu. Koksma [I *]
*(Прия. пер ев,)
3) Hardy, Little wood [1], Weyl [1].

Асимптотическое поведение С (s)
33
мы можем применить 1.61 (4) и получить из теоремы 19,
при х = ty
с<*) = о(1) + о(2 /i-) = o(i) + o (2 *-)■
Предположим сначала, что
1 —o^lnlnf/ln*.
Тогда легко видеть, что для t > A
Тогда
<-p{I»'ro-iSi}1»""-o(J71) = o(m^)-
т. е. соотношение нужного нам вида.
Если, напротив,
1— о > In In t/ln *,
тогда
^[lBT=7]>TlnT=7
при > А, и
что имеет уже форму правой стороны (1). Это доказывает (1),
а (2) следует по непрерывности.
1.63 *). Теорема 13. Существует постоянная Аь такая>
что С is) ф 0 для
о>1— Аб In In//In*, *^*0.
Предыдущая теорема дает, при
o^l— (Inln09fln«, *>А
C(s) = 0[exp{4,„1i!^/,„(liJ^)}ni-r] =
= О { ехр (Л In In 0 In t[\n \nt} = 0 (\nA t). (1)
*) Создание акад. И. М. Виноградовым нового метода в
аналитической теории чисел позволило значительно усилить оценки теорем
типа 12 и 13. См. Чудаков [1*], [2*], Titchmarsh [11*].
(Прим. пер ев.)
3 Зак. 598.

34
Глава I
Доказательство теперь основывается на той же идее, что
и доказательство теоремы 8, но мы используем дополнительно
тот факт, что (1) справедливо для
o^l— (lnln*)2/ln*,
а не только (как мы знали раньше) для а;>1 — 1/1п£.
Пусть
a0=l-f alnlnT/lnT (т>3).
Достаточно рассматривать такие нули (3 -\- гу, _ если они
вообще есть, для которых
р>а0 —i(lnlnT)«/lnTf Т>Л,
из-за того, что другие нули наверняка удовлетворяют
требуемым условиям.
Для Sq = o0 -j- tff а также для s0 = o0-f 2fy круг
I s — sQ | ^ г = (In In f)a/ln -f
лежит в области о^1—(ln\n t)2/\nt, t^t0, если ?
достаточно велико. Теперь
Л In у
СЮ
<
с0 — 1 In In 7 '
отсюда и из (1) следует, что для
\s — s0\^r, ?>Л, (2)
С<*)
Щ|<(,П^
Тогда по второй лемме п. 1. 41
_ <у? | *' (go + П) \ ^ Л^пшу 1__
\ С(а0+/Т) I ^ (Ш1пу)з/1пу °о-? '
ср{С'(*о + 2*гП ^ ЛИ61п1пу
Jl\C(.0 + 2/Y))^ (lnlnT)2/lnT '
Как и раньше, справедливо 1.42 (4), и мы выводим из 1.42(1),
что
15 _1 5iM6lnY 4_ 0
4 а0— 1 "г In In у с0— Э "^ *
Разрешая относительно 1—J3, мы получаем
0_3)-ИИ->
V1 iJ;ln In v "^
In In у ^ 15 . с. -
■я,

Асимптотическое поведение С (s)
35
что положительно, если а достаточно мало. Это доказывает
теорему.
1.64. Если не считать распространения 1.63 (1) на более
широкую область, аналитический аппарат доказательства такой
же, как и в доказательстве того, что С (s) ф 0 при о > 1 — A /In t.
Ясно, чго пока мы не откроем какого-либо нового
аналитического метода, мы не можем надеяться распространить
результат далеко — по крайней мере не дальше непосредственной
окрестности прямой о=1. Предположим, что мы применяем
предыдущие рассуждения для каких-то значений г и о0 и что
|C(s)/C(*o)!<^
в соответствующих областях. Мы получаем
15 1 t bAjXnM 4
4 so-l^ r ао-р >0>
или
1 -?>(а0 —1)( 5
~ + {5А1{*0-\)\пМ}1г
— 1
Чтобы выражение справа было положительно, мы должны
иметь
5^(a0—1)1пМ<^г<~>
и так как М, разумеется, велико при больших ^, °о— * должно
быть мало; но тогда нижний предел, полученный для 1 — р,
мал; т. е. наш результат ограничен непосредственной
окрестностью прямой о=1.
1.65. Теорема 14. Существует область
1 — A In In t/ln /gag2, / >/0,
в которой ми имеем равномерно
С (s) и\ \nlnt У' С (s) \ Li In/ )'
В частности
1 _п( In/ \ С (! + */) п( In/ \
С (1-+-//) V In In/ У' C(l + //) \Ш1п/У'
Доказательство схоже с доказательством теоремы 9.
Пусть
, Л51п1п/0 flnMOf
^0—1+ 41п/0 "Т^О»''.- 21п/о 1
О*

36
Глава I
где Аъ есть константа из теоремы 13. Тогда, из К63 (1),
при \s — s0\^r, следует
I С(*0) 1^ Ofc-1^*
П*о)
С(*о>
В то же время та часть круга, где
а>1 2-Л51п1п/0/1п*0,
принадлежит к области, в которой С(з)ф 0. Мы можем поэтому
применить лемму из п. 1.44 с предыдущими значениями s0 и г и
о
r' = -g-Л51п1п/0/1п^, М = Мах(Л7, Л8)1п1п/0.
Все нужные результаты получаются теперь в точности, как и
в доказательстве теоремы 9.
1.66. Как последнее приложение метода, мы распространим
наш О-результат для С ($) на значения о, не покрываемые
теоремой 12, и получим более точный результат для некоторых
значений о, который, правда, не является равномерным при о->1.
Теорема 15*). Для фиксированного #^2, Q = 2q~l,
o=l-l/Q,
Z(s) = 0(ttu + 1><*lni+Q t); (1)
8 частности
С(^-И)=0(/Чп*0- (2)
Мы выводим из наших основных неравенств 1.61 (1) два
дальнейших неравенства 2):
1 £
2 n-* = 0(ti* + lrtinl+Qt)(q^2,o==i—i/Q), (3)
2
£t S + Vlntf-1*
й-«= О (*(1+1>«) (? > 2, о «= 1 — 1/Q). (4)
q + 1/in в ~ 1 t < n ^ *
*) Теоремы такого типа встречаются у Phillips [1 *], Tit с
lima г s h [i *]. (Прим. пер ев.)
^Landau [10], стр. 118.

Асимптотическое поведение 'С (s) 37
Предположим сначала, что q > 2. Тогда по теореме 19
c(s)=2w_s+°(1)'
и, разбивая сумму на две части (3) и (4), мы получаем результат.
Случай q = 2 более труден, и мы должны обратиться к
таким результатам, как теорема 22. Теорема 22 даст, например,
П <V{t/2 к) П <V{t/2 к)
где -^=«0(1), и требуемый результат получается применением (3)
к каждой из этих сумм.
1*67. Теорема 15 дает нам некоторое количество точек*
под которыми должен проходить график функции у = \i (о) из
п. 1.52. Мы видем теперь, что \ь(~2)=1\ и что график
касается оси y = Q в точке о=1.
Истинное значение jx (о) в критической полосе остается
неизвестным. Но мы увидим позже, что есть основания
предполагать, что jx(o) = 0 при -к-^0^1 с соответственными
значениями (полученными из функционального уравнения) при:
1.7. Метод Ван-дер Корпута
1)
Неравенство 1.66 (2) для cfy-j-гЛ хотя и лежит глубоко,.
не есть лучшее известное. Метод, схожий в принципе с
вейлевским, но еще более совершенный, был придуман Ван-дер Кор-
путом первоначально для приложений к проблеме делителей и
аналогичным проблемам теории чисел. Валфиш показал, что
метод Ван-дер Корпута дает следующий результат:
163
Теорема 16. c(JL + «) = 0
...... ш . *).
?
Дальнейшие приложения этого метода были также
анонсированы 2).
1) См. Walfisz [1].
*) Усиление этой оценки см. последовательно: Titchmarsh [2-*]»
Phillips [1*], Titchmarsh [\3% (Прим. пер ев.)
2) См. Math. Zeitschrift, 29 (1928), сноска на стр. 400.

38
Глава I
1.8. 2-результаты для С (s) в критической полосе
1.81. Легко видеть, что £(з-{-й) неограничена для каждого о
при -п-^а < 1; в самом деле доказательство неограниченности
£(1-|-#) одинаково применимо и в общем случае. Но мы
можем доказать больше, чем это.
Теорема 17 х). При у^gs < 1
C(3 + /0=^{exp(Jn*/-ar-e}.
Тем самым |£(з-[-#)| принимает значения большие, чем
любая произвольно большая степень In/, но мы не можем
показать, что она принимает значения большие, чем хотя бы и
очень маленькая степень t.
Мы не дадим доказательства, которое несколько сложно,
но мы обратимся к нему вновь в конце главы II, где оно более
уместно.
1.82. Предыдущая теорема говорит нам, что в критической
полосе £($) иногда велика. Но она не говорит нам ничего
о том, как распределены те значения t, при которых С($) велика.
Существует, однако, другой результат, устанавливающий гораздо
более слабое неравенство, но зато для гораздо большего
множества значений t. Грубо говоря, |C(s)| в общем не слишком
мала.
Теорема 18 2). Если И произвольное число, большее
единицы, то
|С(*)|> Г-**
для —1^°^2, Т— Y^/^Г+у,
исключая (возможно) множество значений t меры 1[Н.
1.83» Мы сначала докажем следующую лемму, которая часто
приносит пользу.
Лемма. Если р = (3-|-./^ пробегает нули £(s),
1*-тЮ
равномерно для — 1 <а<2.
х) Titchraarsh [4].
2) V а 1 i г о п [1], L a n d a u [5], [14]; Н о h e i s е 1 [1].

Асимптотическое поведение С(?) 39
3
Возьмем s0 =-jr--|-ft, r = 10 в первой лемме п. 1.41. Тогда
М = A In £, и мы получаем
для U-—50I = Y и> в частности, для —1^а^2.
Наконец, согласно (19) Введения, число членов в одной
из предыдущих сумм, но не входящих в другую, есть О (in О
и каждый такой член есть 0(1).
1.84. Мы имеем для
■^1= У — ЬОПпГ),
\Т-Л\<1
так как число членов, входящих в эту сумму, но не в таковую
из леммы, или наоборот, есть О (In t)y и каждый такой член
есть 0(1). Тогда
2 +it
loglC(*)| = -9l J" ^£fe4-ln|C(2 + tt)| =
= 2 ьФ-р! + оОпг>> (i)
1 2* —Tl <1
> 2 1п|*-т|+0(ШГ).
|Г-т1<1
Легко видеть на графике, что интеграл
Г ln|f—?!<#,
х 2
рассматриваемый как функция от ?, имеет минимум, когда ^Г,
и равен тогда —hi 2 — 1. Так как в сумме О (In 7) членов,
то из (1) следует, что
*+4-
Г ^ mj/ — if|d<> —Aln T.
__1 IT-TfKI
2

40
Г лав а I
Т°ГДа 2 1п|<-Т|>-Л//1п7\ (2)
|Г-т1<1
кроме, быть может, множества меры 1/Я, и результат следует
из (1) и (2).
Исключительные значения t находятся, разумеется, в
окрестностях ординат нулей C(s).
1.85. Применение к формуле Рамануджана1^ Пусть а и»
Р — вещественные числа, такие, что а;3 = т\ рассмотрим интеграл
г'*) ^__ i Г Рв Г\2 V
^rJ а :(!-&) 2 Я/ J У« С (25)
fite,
взятый по границе прямоугольника 1 ±iT, — — zt г Г (две фор>-
мы эквивалентны в силу функционального уравнения). Чтобы
получить подходящее множество значений, по которым мы можем
устремить Т к бесконечности, наиболее удобно воспользоваться
не самой теоремой 18, но равенством 1.84(1). Предположим,
что t—>■ со через такие значения, что \t — 71 > ехр (— Л9^/1п «у)
для каждой ординаты -у нулей C(s). Тогда для t<t0
In | С (5) | > - 2 ДэТ/1п Т + О О" 0 > - АюЬ
l*-Tl<l
где Л10 < х77» если ^9 достаточно мало, a t0 достаточно велико.
Из асимптотической формулы для Г-функции следует
теперь, что интеграл, взятый по горизонтальной стороне контура,,
стремится к нулю, когда Т—> оо по таким значениям, что
I г— 7| > ехр(— Л9Т/1пТ) Для каждого ?. Тогда по теореме
о вычетах 2)
1 Г „.. Г(Л ^ 1 Г J"
J С (1 — 25) 2яг J
2те£ J С (1 — 25) 2ni J уя r (2s)
1 1 —«00 '
— —■ — i со
1 Vqp Г(^~^Р)
i) Hardy, Little wood [2], стр. 156 — 159.
2) Образовывая ряды вычетов, мы предположили, для простоты,
что все полюсы просты.

Асимптотическое поведение С (s)
At
Первый член слева равен
1
преобразуя второй член тем же способом и умножая на Yar
мы получаем результат Рамануджана:
= i^yigp г(т~Т')
2/в ^Р С'(Р)
Мы, конечно, не доказали, что ряд справа сходится в
обычном смысле. Мы доказали только, что он сходится, если
сгруппировать члены так, чтобы два члена, для которых
IТ — 7' К ехр (— ЛвТ/1п i) + exp (— Atf'jln тО»
включаются в одни и те же скобки. Конечно, в среднем нули
находятся гораздо дальше друг от друга, и вполне возможно,
что ряды сходятся без всяких скобок, но мы не можем доказать
это, даже основываясь на гипотезе Римана.

Глава II
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯХ
2. 1.
2.11. Проблема порядка £(s) в критической полосе, как
мы видели, не решена. Проблема '«порядка в среднем» или
среднего значения является гораздо более легкой и в своей
простейшей постановке полностью решена. Проблема
принимает форму определения поведения интеграла
т
4-J КО»+ «)!■<«,
1
когда Г->оодля заданного значения о. Мы также
рассматриваем средние значения других степеней |C(s)|. Результаты
дают интересное сравнение с аналогичными результатами из
главы I и могли бы быть использованы для доказательства
Орезультатов, если бы мы могли продвинуть их достаточно
далеко. Кроме того, они имеют применение в проблеме нулей,
а также в проблемах теории чисел 1\
Для о > 1 мы сразу выводим, из общей теоремы о
средних значениях п. 1.23, что
т
litn 4" Г КО*+ «)!** = Ул-9' —С(2о).
Мы покажем, что это также справедливо при ^~ < з<;1. Но
сначала нам понадобится приближенная формула для С (s)
в критической полосе.
!) Hardy, Littlewood [4].

Теоремы о средних значениях
43
2.12. Теорема 191}. Мы имеем
C(s)=2J/r-8 — *1-8/(1-*)+0(х-) (1)
равномерно для о^о0>0, \t\<2'xjc, где с>1.
Мы можем предположить, не нарушая общности, что х
является половиной нечетного целого числа, так как последний
член в сумме (на который могло бы повлиять наше
ограничение) есть 0{х-*) и таково же возможное изменение xl-sj{\ — s).
Предположим сначала, что о>1. Тогда простое
применение теоремы о вычетах показывает, что
х-\- i оо
С 00- 2 я_8= 2 "-* = — 5Г J *-"ctg«zdz =
п < ,т /2 > ж яг — гоо
а? х-\- г оо
= -"17" J (ctg^-/)2:-s^— 2/- J (ctgic*-f 0*~8<** —
а; — г со ,т
-far- <12)
Окончательная формула верна, как это следует из теории
аналитического продолжения, для всех значений 5, так как
последние два интеграла равномерно сходятся в любой
конечной области. Во втором интеграле мы положим z = x-\-irt
так что
|ctg7c*-H| = 2/(1 4-**=') < 2е-^\
\z~s\ = |г|-°е*агвг< х-*е I*1агсtgг';*< jt-*el'ir/a?.
Тогда модуль этого члена не превышает
оо
и
Подобный результат имеет место для другого интеграла, и
отсюда вытекает желаемая теорема.
1) Hardy, Littlewood [3] и [4]. В [3] дано совершенно
отличное доказательство, основанное на методе „вещественного
переменного".

44
Глава II
2.13. Нам также потребуется следующая лемма.
Лемма. Мы имеем
.«З^игёда-<>(»«■■■ л
для y ^ о < 1 и равномерно для -к- ^ о ^ о0 < 1.
vi ]
Пусть У^г означает сумму членов, для которых т<^~п>
2г—сумму остальных. В 2i *п я//п> Д, так что
2i<^ 22 ^-5я-?<А(2«"а)2<^^2-Ч
т< w < Т п<Т
В 2г мы полагаем т = п — г, где l^r^-н-я, и тогда
In п]т — — In (1 — г In) > г/п.
Следовательно,
22<М2 2 (я — 0-я-/г/г<л2я1"2' 2 г"*<
п = 1 г = I л = 1 г = 1
<ЛГ2-2МпГ.
2.14. Мы можем теперь доказать:
Теорема 20. При Т->со
т
/|С(о+Ф1ял~:гс(2о)*> (°>~).
Мы уже рассматривали случай а>1, так что теперь мы
предположим, что^<а^1. Так как ^>1, теорема 19 при
х = t дает
С (s) = 2 л-5 + О(*-) = Z+ О (/-).
Теперь
J\Z\*dt = П V да—« ^ "-ff+*'}<
1 * m < £ м < t
*)См. еще Wang'Fu T г a i n g [1*].

Теоремы о средних значениях
45
Т
= J J m-*n—f(nlmy*dt= (7\ = Max(m, л))
m <Т п < Т Тх
= V п-**(Т— п) -fO{ 22 m-*n-*l\nnlm} =
= Г 2 ^-2' + О(Г2-20 + °(г2~251п7,)~^(2а)
я < Г
при условии, что о<1. Если же а = 1, то мы можем заме-
3
нить о в О-члене, скажем, на -j и получить тот же результат.
Тогда во всяком случае
т т т
f \r^s)\* dt= f\Z\*dt+o{f \Z\t~*dt} +
1 1 1
Т Т Т Т i
+ olft-*>dt\ = f\Z\*dt + olj^Zfdtft-°-°dt\T + 0(\n T) =
11 11
т г
= $\Z\*dt + 0{(TlnT)T} ±0(1пТ),
откуда получается нужный результат.
2.15. Для дальнейшего будет полезно иметь результат того
же типа, который имеет место равномерно в полосе. Такова
Теорема 21 1}.
т
Г ! С (о + й) I2 dt < АТШп { In Г, —Ц-\
1 1 а 2
равномерно для -^ ^ а <; 2.
1 3
Предположим, что -у^0^!' Тогда мы имеем, как и ранге,
т
f\Z\*dt<T^n-**+0(T2-0-° In Г)
1 я<5Г
1) L i 111 e w о о d [4].

46
Глава II
равномерно по о. Теперь
п < Т п < Г
а также
Подобным образом
и также, полагая д: = (2а — 1)1п Г,
7*-* Ш Т = 1 7*в-/(« - -i) =g i Т/(а - -Jr) •
з
Это дает результат для о^-г-(с членом О (£~ *) поступаем как
и раньше).
Если —^а^ 2, мы получаем
т _£ L.
JVfrf^rJJ/i 2 +0(72 1пГ)>
1
откуда все получается. *
2.16. В частном случае о = -9-'
Мы можем улучшить О-результат до асимптотического
равенства. Но теорема 19 недостаточна для этой цели, и нам
потребуется более глубокий результат того же вида.
2.21. Приближенное функциональное уравнение
1) *)
Слабость теоремы 19 состоит не в существовании
остаточного члена О (х -а), который достаточно мал для дальнейших
целей, но в том обстоятельстве, что х больше, чем некоторое
кратное t. Тем самым конечная сумма, которой мы представили
!) Hardy, Littlewood [3], [4] и [6].
*) Другое доказательство дано Suet una [1*]. (Прим. перев.)

Теоремы о средних значениях
47
С(s), содержит более чем At членов. Мы теперь получим
формулу более сложную, чем 2.12(1), но в которой конечная
сумма содержит гораздо меньшее число членов.
Ограничение на х возникает из неравенства, которое мы
получили для интегралов в п. 2. 12(2). Теперь мы можем
модифицировать применяемые рассуждения, например,, во втором
интеграле, полагая
—ctg « — /=2/2 ва^-4-2^2(я+1)гя</(1— еЪк1)- О)
Поступая как прежде, убеждаемся, что последний член в (1),
ведет к остаточному члену
оо
0{х~* f e-aOi+^icr+ifir/e^l^ o[ *"'.,}'
I J I \2(л+1)* — | t\,lxj
о
что в свою очередь равно О (#-*), если
2(п+1)п — \ф>А9 (2>
т. е. для сравнительно малых значений х, если п велико. Мы
должны далее рассмотреть другой член в правой части
равенства (1). Теперь
а? + г'оо i со х 1, х
e*™i*z-»dz= J —J =(Ъъу-и- г(1 —s) — Г ..
о? и 0 6
Преобразуя тем же способом другой интеграл, мы получаем
вообще
2*ir«-i sinl57:r (1— s) J] Vя-1 — JJ J(^-^-2^) ^-ed*. (3)
v = 1 v = 1 О
Первая сумма есть в точности начало разложения для £($),
справедливого при о <0, которое мы выводим из
функционального уравнения. Это наводит на мысль, что мы можем получить
более плодотворное приближение к С (s) в критической полосе,
беря некоторое количество членов разложения, имеющего место
при о<0, так же как и членов разложения, годного при о >1.
Результат, известный как «приближенное функциональное
уравнение», таков:

48
Глава II
Теорема 22. Если 2^xy = \t\ и
у =у {$) п=» 2*<к8-1 sin ~ksT (1 — s),
a h и k — положительные постоянные, тогда
с(^) = 21 >*-8+х 2л^ + ослг^ + осу-ч*!"т~а)
» < а? л < у
равномерно для — Л<^о<;А, #>£, ^>А.
i_-
Заметим, что lx(s)| = 1 ^^(t)K"V; и что послед"
ний член в каждой сумме имеет порядок одного из остаточных
членов.
Мы даем доказательство в случае, когда а имеет
фиксированное значение между нулем и единицей. Ввиду наших
предыдущих замечаний вопрос состоит только в преобразовании
второй суммы в (3). Мы предположим сначала, что х есть
половина нечетного целого числа и что х^уу так что х>
-1^ У ( | * |/2тг) . Мы примем число я, встречающееся в (1), (2)
и (3), равным [^] -f-1. Тогда у <.п^у-\-1> и условие (2)
удовлетворено. Мы предполагаем также, что t > 0. В первых
п — 2 членах рассматриваемой суммы мы заменяем интеграл
вдоль (0, х) интегралами, взятыми вдоль (0, — ix) и (— ix> x).
В первой части мы имеем z-8 = \z\~a e 2 " , и эти члены
суть
п—2 х i 1
Во второй ча:ти мы имеем
j_. __
г = х — re*™ (0 <г < * У2 )
г~* | = О2 — xr У 2> г*)" "2 * ехр ( — t arctg —j=—) =
= О { х-° ехр (— tr/x j/2~) } = О { x-Q exp (— куг yj} }э
так как arctg {5/(1—£)}^£ (O^S^l).
Также
2 «**"• = i_fg^i • = о о) + о («с-2)^2),
V = 1

Теоремы о средних значениях 49
так что этот интеграл равен
xVT
о
С членами, включающими е~2^™у можно поступить таким
зке путем. Члены v =/г—1, v = я требуют специального
рассмотрения. Первый из них дает, как и прежде, член О (е~м)
вместе с интегралом
?^2
X У Z
О \х-° §ехр| — tarctg —~ 1-(п — 1)тег ут} dr\ .
Так как (п — 1) тс <;j/tc === — */л;, он равен
Полагая b = rlxY% и замечая, что
— агс*ет=т-Ь£^ — -А£3 (0^6^ 1),
мы получаем
хУТ х
о{х-° f е-АгЧ№ ^Л=0(л;1--°Г"2).
Для члена v = п мы возвращаемся, с ошибкой О (| у | yQ — *) =
•——а а—i
= 0(|q2 j/ ), к первоначальному интегралу вдоль (л;, x-}-ioo)
и поручаем
оо
o(x~Q f e~2n7zr+tarctsrfxdr\
о
Так как 2 л тс > 2 уте =t]x> это равно
оо оо
О { х-*'( e-trfx+tSTzi^^xdr\= о(х~° Г e-A1r*lx% dr) =
о о
4 Зак. 598.

50
Глава II
Это дает желаемый результат при установленных
ограничениях.
Мы должны, наконец, снять ограничения (/) xs==-j(mod 1),.
(и) х>у. Во-первых, пусть х' = [х] +-о > У = */2те*\
Тогда *
Следовательно,
7. 2 - 7 S =0(171Г-1) = О (F~>-»),
" < # « < 2/'
откуда теорема получается для произвольного х.
Чтобы освободиться от второго ограничения, возьмем
результат с х>у и изменим 5 на 1—5. Мы получаем
c(i-s)= S«-1+xiS«- + o(*e-,) +
я < а? /г < ?/
+ 0(г'|'1'~'Ьэ (4>
где
ул = 2(21г)-всо8у^1сГ(5), xXi=L C(l-s) = XiC(0.
__^
Тогда, разделив (4) на уЛ и замечая, что | Xi \~A \ t \~ 2 , мы
получаем
j
С(^)= 2! *-e+x S л^ + осу-^ + о^-м^ " *)>
n <y n<x
т. е. теорему с переставленными хну. Это восполняет
доказательство. Небольшие уточнения показывают, что результат
верен также для а = 1.
Как пример превосходства теоремы 22 над теоремой 19
заметим, что мы можем вывести сразу из теоремы 22:
с(^ + «) = 0(<«"),
I 1
беря х =у = (У/2тс)а, о = -я- и замечая, что
х(-5 + «)=0(1)-

Теоремы о средних значениях
51
2. 22. Теорема 231'. При Г->оо,
т
Пс(1 + //)|2^~Пп7\ .
о
Мы берем о = ~, *>2 и лг = */(2тс /in7), .У = УПГГ.
Тогда в силу того, что Х\~о~\~ #) = 0(1), .
С(5)= 2 ws + 0( S«"T) + 0(rT) + 0(ln"7 0 —
= S /r8 + 0(ln7*)=Z4-0(lnTf).
n < x
Так как
T I I
f (In4 ()*dt= О (Tin* Г) —о (Tin Г),
2
достаточно, как и в доказательстве теоремы 19, доказать, что
т
f \Z\2dt~T\nT.
о
Теперь
О 0 w <a? w <a?
Меняя порядок интегрирования и суммирования, следует
помнить, что х есть функция от t. Член с (т, л) встречается,
если
*>Мах(да, я) = Г1/{2«/(1п71) },
где Tj = 7\ (т, л). Тогда, полагая ЛГ= Г/ { 2гс 1/(1 п 7) },
x) Hardy, Littlewood [2] и [4].
4*

52
Глава II
-г21+о(2^)+°(22х7тгё-)-
п<Х п<Х т<п<Х г к ' '
Первый член равен
Г1пЛГ+0(Г) = ПпГ-|- о(ПпГ).
Второй член равен
о(2 К"П^Г)==о(л:|/""ПГа')==о(г),
и, согласно лемме п. 2.13, последний член равен
0(Х\пХ) = 0(Т УТпТ).
Это доказывает теорему.
2.23. Исследование формул для средних значений такого
вида было далеко продвинуто Литтльвудом и Ингамом 1).
Известно, что если а и р-фиксированы, а>-^-> р>—-к", <* + Р>1>
тогда
С cW (а -]- «) £ W (р — tf) dt ~ C(^ (а -f P) Г.
1
Эта формула доказана со сравнительно маленьким
остаточным членом и, с необходимыми поправками в выражении справа,
распространена на все (даже комплексные) значения ос и р.
В частности
т / i_
jh(~ + ity\2dt=T\nT--(l-\-\n2T: — 2?) Г+О (Г2 In Г),
о
где f — эйлерова постоянная*).
2. 3.
2.31 2). Ввиду трудности доказательства приближенного
функционального уравнения представляет некоторый интерес иметь
независимое доказательство теоремы типа теоремы 23. Фор-
1) Littlewood [2], Ingham [l].
*) См. еще Titchmarsh [3*], [5*], кроме того, Atkinson [1*].
(Прим, перев.)
*) Titchmarsh [1].

Теоремы о средних значениях
53
мальной основой этого метода является хорошо известная
формула из теории интеграла Фурье. Мы можем записать формулы
обращения Фурье в виде:
ОО 00
0(*)=--L=. JF{t)etatdt,F(x)=-j±=r JO(/)«-<«rf/. (1)
" ' —СО * * ' —00
Если мы умножим первое из этих уравнений на G (х) и
проинтегрируем по х (меняя порядок интегрирования справа), мы
получим формальное равенство
СО 00
j \0(x)\*dx= J \F(x)\*dx. (2)
— CO —CO
В случаях, которые нам будут нужны, этот процесс легко
может быть обоснован. Мы будем предполагать, что как F(x),
так и G{x) суть аналитические функции, регулярные и
ограниченные на вещественной оси и абсолютно интегрируемые на
(—со, оо). Перемена порядка интеграции оправдывается тогда
абсолютной сходимостью соответствующего двойного интеграла.
Предположим теперь, что f(s) — ^anti-s регулярна и
0{tA) для о > О, исключая, возможно, полюс в точке s— 1, и
что ряд абсолютно сходится при о> 1. Тогда, если 9t(x)>0
2-J-*oo со 2-\-ico
-±- J r(s)/(s)r»*=^ J Г (*) («*)-* <fs =
2—i со /1=1 2 — *'со
оо
= 2 "»*-""•
Передвинем теперь контур до о = а(0<ос<1). Пусть R(x)
есть вычет при 5=1. Тогда
а + / оо оо
"25" J Г (*)/(s) x~8 ds = 2 а» *""* — #(*) = ? (*)•
а—г'оо л=1
Полагая л: = /* *-*5 (0 < 8 < -^ тс), мы получаем
— со

54
Глава II
Тем самым мы можем положить
О(0 = (21с)-ТГ(а + /0/(а + ОДГ<("5""4)(в1+^
и (2) дает
оо
"5Г J IГ (« + «)/(« + й) |»в("-м)* Л=
— оо
00 СО
= J |?(/^-«)|a^rf5=:J|<p(fe-«e)pa*e-lrftte (3)
- оо О
Так как Т(a + it) ~e~ "*K]tl\t\*~ ~* "|/!(2й) при |*|->оо, то
часть /-интеграла по ( — оо, о) ^ограничена при 8->0, и мы
получаем:
оо оо
J \f(* + it)\*P*-1e-™dt=f |9(te-<8«)P«a«-1rfa-fO(l). (4)
о 6
2.32. Мы теперь используем 2.31 (4) для доказательства
следующей теоремы.
Теорема 23 Л1). При 8->0
со
J|s(|+tf)|V^~Ilni*). (1)
о
Мыберем/($)=СОО,а = ~- в 2.31 (4). Тогда
оо оо
Щг + «)Г'-*"<- Л exp(^U-i -5Firh +
о о
+ 0(1). (2)
Подинтегральное выражение справа ограничено на (0, тг)
равномерно по 8, так что эта часть интеграла ограничена. В остав-
*) Этот результат эквивалентен результату теоремы 23 в том
смысле, что один из другого может быть выведен без дальнейшего
использования свойств С (я), см. Hardy, Littlewood [2], стр. 152.
*) Дальнейшие уточнения см. Wilton [1*], Kober [1*], кроме того,
Atkinson [1*]. (Прим. перев.)

Теоремы о. средних значениях
55
шейся части мы выразим квадрат модуля как произведение
сопряженных величин и получим
оо
Г йЛ : i_
J { exp (iue-™) — 1 } { ехр (— шегЬ) — 1 } '
тс
00 СО
+»{<-! „(-U-.-r-l+fg- да
тс тс
Мы переводим прямую интегрирования в первых двух
интегралах в (тг, ти —}— / оо) и применяем теорему о вычетах,
процесс который может быть обоснован. Первый член
становится равным
со
21 * 2d Те17** ехр (— 2in ъеЩ — 1 + '4)
п- 1
со
+ Г *i .
1 J [ехр {(/тс — v)ett} — 1] [ехр {( — U + v)e^} — 1] *
о
Ряд есть важнейшая часть. Он асимптотически равен
со
1
2пе* ^
ехр (2л я sin 2о) — 1 '
п=1
причем абсолютная величина разности меньше, чем
со
2*^ exp(2/Z7:sin28);l-exp(4m7:sin28)|{exp(2rt7rsin28)—1}-2=
«=i
п <> 1/5 п > 1/5
Также
V 1 .~ С
JU exp(2nrcsin2o) — 1 J
OQ
2т: sin 2о J
da
ехр (2ля sin 2о) — 1 J ехр (2«т; sin 2o) -1
n = i 1
dv
ev — Г
2resin 25
1
= li| J -J?L+0^1>}'~27=sin2S 1пГ*
2rcsin25

56 Глава II
Мы должны еще рассмотреть оставшиеся интегралы в (3)
и (4). Мы имеем
|ехр{ ( — fa-\-v) eib) — 1 | ^ expO cos 8-]-тс sin 8) — Ь
так что средний член в (3) есть
ОО 00
°\) exp(t/coso + 7usino)-l ( = ° { J !™^Л) = ° \1 П Т) '
О к sin 8
Также | ехр {(/тс — *>) г-*5} — 11 > А; справедливость этого ясна*
если 8 = 0, и по непрерывности для 0 < v < тс и достаточна
малых 8; а если 1>>тс, то модуль экспоненциального члена
меньше чем 1. Итак, мы находим тем же способом, что
последний член в (4) равен О (In 1/8). Это завершает доказательство.
2. 4.
2.41. Формулы, даваемые для четвертой степени |C(s)|t
аналогичны соответствующим формулам для квадрата, но горазда
более трудно доказуемы. Интерес изучения этой и высших
степеней будет выявлен более отчетливо в главе VI. Эти
формулы также имеют приложения в теории чисел.
Теорема 24 1). При Т-> со
[\«' + ">Г"~Щт (а>1). (1)
Если а>1, мы имеем Z,2(s)==^id(n) n~s [d(n) обозначает,
как обычно, число делителей л], и мы выводим сразу из леммы
п. 1. 23, что
т т
f 1 С(а + #) |4^ — / I J] d(n) n-^dt ~ Г J] &{п) п-*'
1 1
Последний ряд был просуммирован Рамануджаном9). Если
разложение п на простые сомножители есть p™i.. ./?J?V, то d(л) =
=(ml -f- 1).. .(/яг+ *)• Отсюда легко видеть, что справедлива
тождество
с»
2 <Р(п) n-s=U 2 {тп + 1)*р-я».
р т — О
*) Hardy, Little wood f4].
2) Ramanujan [2], В. М. Wilson [Ц.

Теоремы о средних значениях • 57*
Так как
со
2 (от + 1)2х'»=(1+^)(1-д;)-3=(1— х2)(1 — *)-*,
m =0
то отсюда следует, что
2^2(я)я-8=П(1-/7-^)(1-/7-^ = С4(5)/{;(25). (2),
Это дает нужный результат, когда з> 1.
2.42. Общий случай может быть выведен из приближенного-
функционального уравнения. Следует положить х=у и итти*
методом, аналогичным доказательству теоремы 20. Мы, однако,
дадим другое доказательство, придуманное Карлсоном1),
которое не зависит от приближенного функционального уравнения.
Мы исходим из формулы
2 + / оо
^d(n)n-8e-bn=-~^- J T(w — $)1?(w)b8-«>dw9 (1)*
2 — /со
полученной подстановкой ряда ^d(n)n~w для t?(w) и
почленной интеграцией. Сдвигая контур до положения 9t(*e>) = a,,
где а— 1<а<а, мы проходим через полюс T(w—- s) в w = s^
с вычетом C2(s), и полюс C2(s) в таг=1, с вычетом вида:
ЛГ(1 — 5)8*-1 + А8*-» {Г(1—*)1п 1/8 + Г(1 — *)} =
= О (*-*!'18-*).
Если 8>|/|-д, то это равно О (е--41*!), и мы получаем.
a + too
Обозначим первые два члена справа через Zi и Z2. Тогда,.,
как и в доказательстве теоремы 20,
1Г
1) Carlson [3].

58
Глава II
+ o(SS' "УЛСГ )-о(П+о(«--),
так как1) d(n)=0(n*). Далее, полагая w = a-|-M>,
|Z,|«g.^{ J |Г(<»-*)!*>/ |Г(^-5)^(^)|^}2.
—со —со
Теперь из асимптотической формулы для Г (г) следует, что
/первый интеграл равен 0(1), в то время как
- 2Т со
J J ^ J\|r(w — 5)'С4(^)]^ = 0(^^Г)
-со 2Т
при |/|<Г, так как С(а + /г^) = 0(|'о|л).
Тогда
Т 2Т Т
f |Z2|2<ft=OJ82(*-«) J |С*(«01^ J |Г(«; —5)|rf<j +
22*
4-0(82('-«))-О j82(*-«) J | C4(a + «0 I ** V=
-2Г
= O{82(*-«0 Г *(«)+• ],
где Х(о) есть нижняя грань чисел £ таких, что левая часть
равенства 2.41 (1) есть О (Я). Поэтому
т
f |С (5) |* Л = О (Г) + О (82з-2-е) + 0(8^-2* Г*(«)+») (3)
Выбирая 8 так, что Гх(а) = 82*-2, мы видим, что правая
сторона (2) есть 0(Г), если а> 1 — (1 — а)/Х(а). Для таких
значений о, заменяя 7 на ^ Г, -j- Г,... и суммируя, мы
получаем
т
fyC,(s)\4t=0(T). (4)
1) Handbuch, § 60.

Теоремы о средних значениях
59
Пусть с нижняя грань таких положительных о, для
которых имеет место (4). Тогда мы доказали, что
с^1 —(1—а)Л(а) (5)
для всех значений а в (0, с). Но, беря о=1— с в 1.51 (1),
мы видим, что
Ч1 — <0^ 4с — 2 + \(с) = 4с — 1.
Так как Х(1 — с)>1, отсюда следует, что с^-^. Также,
полагая а=1—с в (5), мы получаем с^=1—с/(4с—1), откуда
(2с-1)2^0, с=\.
Это доказывает О-результат, соответствующий 2.41 (1) при
Но, по общей теореме о рядах Дирихле *), если О-результат
?имеет место при о > -^, то верно асимптотическое равенство,
устанавливаемое теоремой. Поскольку эта часть доказательства
не связана особо с дзета-функцией, мы должны отослать
читателя к заметке Карлсона.
2.43. Соответствующим результатом для о = -=- является
Теорема 25. При Т—юо
т
/|c(4-+tf)|4*~5bnn*7\
1
В этом случае приближенное функциональное уравнение
дает только О (Пп4 Г), и требуются дальнейшие рассуждения.
Мзвестны два доказательства этого результата 2). Мы можем
использовать метод пп. 2.31, 2.32 или использовать
приближенное функциональное уравнение для квадрата С(s), которое
пишется таким образом 3)*).
О Carlson [2].
2) Ingham [I], Titchmarsh [1].
3) Hardy, Li ttiewood [6].
*) Иной вывод теоремы см. Titchmarsh [12*]. (Прим. перев.)

60
Глава II
1 3
Теорема 26. Если — -j^a^y, *>Л, у > А, ху =
= (tf/2ir)2, тогда
л ^ л: л ^j/
2. 5.
2.51. Мы теперь переходим к более высоким степеням С ($)*
В общем случае наши сведения весьма неполны, и мы можем:
установить формулы для средних значений лишь в некоторых
частных областях значений о. Две следующие теоремы
содержат все, что мы об этом знаем.
Т е о р е м а 27. Для каждого положительного целого & > 2„
т
{№ + и)\*М~Т^*к(п)п-ъ (1)
i
при о> 1 — \\k\ dh(n) означает число представлений п в виде
произведения k сомножителей *).
Это может быть доказано прямым распространением метода
Карлсона или применением приближенного функциональнога
уравнения. Мы предоставляем доказательство читателю.
Теорема 28. Если С (тр + #) = О (<*+') , тогда (1) верно
при
о>(4а + 1)/(4** + 2)-
Мы применяем следующее очевидное обобщение равен*
ства 2.42 (2):
p^-S^^- (2>
w= 1
a + ioo
— -L Г Г {w — 5) Vе О) 8е-" dw-\-0 (e-A 1*1).
a — zoo
Беря a = -o" ,мы получаем
Р(5)=2^*(л)л-в е-ь + О^—Ъ *<М")*). (3)
*) См. еще Davenport [1*]. (Прим. перев.)

Теоремы о средних значениях
61
Теперь, как и в п. 2.42,
чт
т
= Г2 dl (п) п-*°е-^ + О (82*-2-*),
и О-членом можно пренебречь, если S2ff-2-2e=7\
О-член в (3) есть о (1), если
±
т.е. еслиа>ж^2.
Результат получается, как в предыдущих случаях.
2.52. Если мы применим теорему 15, то мы сможем взять
Я = — и получим большую область из теоремы 28, чем из
теоремы 27, если к > 6. Теорема 16, без сомнения,
распространила бы область еще дальше. Вполне возможно, что С (-к-+ #)===
==0(£е)> в каковом случае мы можем положить Х = 0, и
результат будет справедлив при о > -^ для любого k. На
настоящей степени наших знаний мы не можем расширить области,
где справедливо 2.51 (1) до а>"2"> Для какого-либо
значения k большего, чем 2. Также неизвестны формулы средних
значений для k C-j ~f" #) > верной при k > 2.
2. 53. С другой стороны, мы можем в этом случае
получить большую нижнюю грань для среднего значения при всех
значениях k.
т
Теорема 29*). J| c(-J-+ й)|а*Л> СлГ(1п Г)*9 ,
о
где Ск зависит только от k.
Полагая f(s) = { С (s) }fe, a = у
1) Т itch marsh [4].

62
Глава II
в п. 2. 31 (4), мы получаем
со
г(т + и)\ е dt =
о
со
= /Щ^(л)ехр(— ie-Япи) — /?(a)|arf« + 0(l),
о
где значение /?(#) целиком обусловлено соответствующим:
вычетом. Интеграл справа распадается на две части, которые
ведут себя совсем по-разному. При и >1 член R(u) тривиален
и может быть опущен, и мы можем аппроксимировать интеграл
по (1, со ), выражая подинтегральное выражение в виде
произведения сопряженных и интегрируя почленно. Мы находим, что
эта часть больше, чем постоянная, умноженная на (1/8) 1п& (1/8).
С другой стороны, при k > 2 очень трудно доказывать что-
либо про интеграл, взятый по (0, 1); самое существование
его зависит от интерференции между R(u) и большой частью
ряда. Но подинтегральное выражение положительно, и поэтому
в проблеме нижней грани мы можем эту часть совсем опустить..
Это рассуждение того же типа, которое позволяет нам
доказать теорему 17. Из теоремы 29 сразу следует, что
i;(i+//) = 2(in"K)
для любого k, и мы можем ожидать получения еще лучшега
результата, делая k функцией от 8. В настоящее время мы
применяем вывод не прямо к ^(у + ^), а к С(е + #) с s >-<f
и затем получаем случай а = -^ из теоремы Фрагмена — Лин-
делёфа.

Глава HI
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
3. 1. Гипотеза Римана
3.11. Работа, в которой Риман впервые рассмотрел дзета-
функцию, стала известной благодаря множеству содержащихся
в ней идей, доказавших с тех пор свою плодотворность, и,
вне сомнений, их богатство до сих пор не исчерпано *). В
особенности интересен анализ, предшествовавший его замечаниям
о нулях дзета-функции. Он пишет:
со
2 е-"2™ = ф(*) (1>
и получает, интегрируя почленно, формулу
T\~TS)*~* '^^ f И*)*2 **- (2)
о
Применяя функциональное уравнение!)
2<K*) + 1=*-t{2<M1/aO + 1},
мы видим, что правая часть (2) равна
СО J 1 I
f $(x)xT'~l dx+ f <J>U/*)*T dx +
(3)
*) См. Siegel [l*]. (Прим. перев.)
г) Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, гл. IV,
§ 17.

<64
Глава III
l
1 , п. 1
О
1
-Полагая s = -^- -j- # и записывая х>
E(/)=,S(s)==45(5~1)r(4"s)^T5{;(5))
:г\ы получаем формулу
Е (О = 4 — (> + 4") / Ф (*) *~ ~ cos (-|- Яп *) <f*. (4)
Если мы проинтегрируем по частям и воспользуемся
соотношением 4<J/(1)~{-^(1) = ^- , которое непосредственно
следует из (3), получим
Е (/) = 4 J i {*т^' (-v) J *~ 4 cos (т *1п*)**• (5)
Здесь Риман замечает:
„Diese Function ist fur alle endlichen Werthe von t endlich,
und lasst sich nach Potenzen von tt in eine sehr schnell conver-
-giereiide Reihe entwickeln. Da fur einen Werth von s dessen
reeller Bestandtheil grosser als 1 ist, log£(s) = — 2 l°g(l —P~s)
endlich bleibt, und von den Logarithmen der ubrigen Factoren von
S {t) dasselbe gilt, so kann die Function E (t) nur verschwin-
'den, wenn der imaginare Theil von t zwischen -^-Z und ^-i
liegt. Die Anzahl der Wurzeln von S (t) = 0 deren reeller Theil
zwischen 0 und T liegt, ist etwa
T . T T
= -sr log
2т: tw* 2tc 2tc '
*denn dass Integral \ dlogE(t) positive um den Inbegriff der Wer-
4 he von / erstreckt, deren imaginare Theil zwischen-^т / und
*) Следуя Landau, мы применяем обозначение 3 там, где Риман
писал 5.

Распределение нулей
65
— -i- / und deren reeller Theil zwischen 0 und T liegt, ist (bis
auf einen Bruchteil von der Ordnung der Grosse *) -y-J gleich
(jlog -* 7j/, dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der
in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von S ^) = 0 multiplicirt mit 2 тс/.
Man findet nun in der That etwa so viel reelle Wurzeln inner-
halb dieser Grenzen, und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle
Wurzeln reelle sind" *).
Это утверждение, что все нули Е (/) вещественны, есть
знаменитая „гипотеза Римана", которая остается недоказанной
по сей день. В мемуаре следует дальше:
„Hiervon ware allerdings ein strenger Beweis zun wunschen;
ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen fluchtigen
vergeblichen Versuchen vorlaufig bei Seite gelassen, da er fur
*) Обычно предполагают, что это 1/Г поставлено по ошибке
вместо In T; так как N(T) имеет бесконечно много разрывов, по меньшей
мере равных 1, остаток не может стремиться к нулю.
*) „Эта функция конечная для всех конечных значений t и может
быть разложена по степеням t2 в очень быстро сходящийся ряд. Так
как для значений s, вещественная часть которых больше 1, lnC(s> =
=— ^ In (1—р ~s) остается конечным и то же самое относится к
остальным сомножителям S (t), то функция Е может обратиться в нуль,
лишь когда мнимая часть лежит между ~~- / и ^-/. Число корней
2 (t) = 0, вещественная часть которых находится между 0 и Т,
приблизительно равно
Т t Т Т
•In
2тс 2тс 2тс '
так как интеграл j ding (О» распространенный в положительном
направлении вокруг области значений t, мнимая часть которых лежит
между — i и — -^ /, а вещественная часть — между 0 и Г, равен
(с точностью до дроби порядка -=-) (ГIn * Tj /; но этот
интеграл равен числу корней S (t) = 0, лежащих в этой области,
умноженному на 2тг/. На самом деле мы находим приблизительно столько же
вещественных корней между этими пределами, и очень вероятно, что
все корни вещественны".
5 Зак. 598.

66
Глава III
den nachsten Zweck meiner Untersuchung (т. е. точная
формула ДЛЯ 7Г (х)) entbehrlich schien" *).
Приближенная формула для числа нулей Е(7), с
вещественной частью между нулем и Г, со времен Римана была,
конечно, доказана; кое-что сверх того еще установлено про
вещественные нули. Но хотелось бы узнать, что подразумевал
Риман, говоря, что мы обнаруживаем столько вещественных
нулей, сколько нулей вообще существует. Повидимому, нет
ключа к пониманию точного смысла этого замечания. Риман,
очевидно, никогда к этому не возвращался, и прошло 3.4 года,
прежде чем исследования Адамара показали корректность
некоторых предположений Римана**).
3.12. Формула 3.11 (5> представляет интерес потому, что
Риман, повидимому, придавал ей существенное значение, хотя
и не извлек из нее определенной пользы, кроме получения
своих «быстро сходящихся рядов». Только недавно Полиа1)
применил ее к доказательству того, что Е(/) имеет бесконечно
много вещественных нулей, — результат, полученный
несколько раньше другим путем (см. п. 3.3). Но эта формула имеет
любопытные особенности. Мы можем написать ее в виде
00
Е(*) = 2 J* ф{и)соъ2utdu,
где °
со
ф («) = 4 2 (2/f4lA?9M — 3/Ас*Б«) е- "?™iu .
w = i
Это — четная функция от и, положительная для всех
вещественных значений и. Когда v—*-=tco, то
Ф (и) ~ 16тс2 ch 9ue-**ch **.
Если мы обозначим функцию в правой части через Фг (и) и
положим
со
Ег (0 = 2 Г Фх (и) cos 2 ut duy
о
*) „Желательно было бы строгое доказательство. Однако после
нескольких беглых напрасных попыток я пока отложил исследование,
так как доказательство этого показалось мне ненужным для
непосредственной цели моего исследования (точная формула для п(х))и.
**) См. также S el berg [1*]. (Прим. пер ев.)
1) Poly a [3].

Распределение нулей
67
то Exit) будет целой функцией t, все нули которой
вещественны г\
Еще более точное приближение к Ф(и) дает
ф2 (и) = (16ir2 ch 9 и — 24тс ch 5 и) е-**ch 4",
и это также ведет к функции Е2(£), все нули которой веще»
ственны 2).
Возможно также вывести из этой формулы необходимые и
достаточные условия вещественности корней Е {р. Одно из
подобных условий3) таково:
оо оо
f Г Ф (а) Ф (£) е Ч«+№ е <<«-Р) у (а — |3)- da d§ ^ 0
— оо —оо
для всех вещественных значений х и у. Но не было
предложено никакого метода для проверки выполнимости этого
критерия.
3.13. Первые нули Е(£) вычислены с большой точностью.
Вот они:
04 = 14,13..., а9 = 21,02.'. ., аъ = 25,01,..,
а4== 30,42..., аб ==39,93..., а6 = 38,58...
и так далее. Все они вещественны. Бэклунд4) показал, что
интервал 0< tf< 200 содержит 79 вещественных нулей и что это
суть все нули, удовлетворяющие условию 0<#t(f)<200; а Гет-
чинсонб) проверил вещественность нулей до ^=300*).
Естественно, чем дальше мы идем, тем сложнее становятся вычисления.
Мы здесь удовлетворимся тем, что покажем, что первый нуль
во всяком случае является вещественным, и отыщем весьма
приблизительно его местонахождение. Мы предоставляем
читателю только некоторые совсем тривиальные числовые выкладки..
3. 2.
Теорема 30. Комплексный нуль Р + /т(Т>°)
Функции С (^), ближайший к вещественной оси лежит на прямой
о = -о-, между /= 10 и t— 18.
*)Р61уа [1], [2].
2) Р 6 I v a [3].
3) Poly а И, §7.
*) Backlund[l], [2].
5j Hutchinson [1].
*) Дальнейшие числовые данные см. Т i t с h m а г s h [9*], [10*].
(Прим. перев.)
5*

€8
Глава III
Рассмотрим N(T) — число нулей р + /^ таких, что 0<л^== Т.
Мы покажем, что не существует нулей на прямых £=10 и
/= 18, а затем, что N(10) < 1 и 0<Af(18)<2. Следовательно,
7V(10;==0, Л/\18) = 1. Тем самым существует ровно один нуль
между t= 10 и *= 18, он должен лежать на прямой а = у, так
как нули, не лежащие на о = — симметричны относительно
этой прямой.
Из п. 2.12 следует, что если х равен половине нечетного
целого и а>-=-, то
С (s) = 2 п-8 -И, (1)
где
JL
|8|<f2 H Х- <2>
д: 2 (2и - | * | /ж)
5
Полагая *=10, х = — и беря вещественную часть, мы
получаем
9ftC(o+10/)=l + 2-*cos(101n2) + 8', где, как легко
видеть из (2) (заменяя тг на 3), |8'|<1. Также cos(10In 2)>0.
Следовательно, $С (о+ 10/) > 0 при а^у и С(о+10 0^0.
9
Подобным же образом, полагая ^=18, лг = -к-, мы получаем
4
9Ща+180=1+2>*-асо8(18 1пл) + &'',
72 = 2
где 18" [ < 1. В то же время cos (18 In n) положителен при
л = 2, 3, 4. Следовательно, 9К(з + 18/)>0 при <з^у и
11(0+180^0.
Теперь
KN(T) = b{&rgs(s—l)K~^8r(Jrs^(s)}, (3)

Распределение нулей
69
где Л означает вариацию вдоль 2,2 -{— / 7", \~iT. Легко
видеть, что
L, 1
Aargs(s—l) = '.r, Aarg тс 2 = ■ ^ Пптг.
А из формулы Бинэ1)
О
следует, что
Aaigr(4-s) = 3Inr(i- + 4-'r) =
= 4лп|
1
1
т + т'гг~тагс*2Г~тг
-J
In
, 1 т 1 .
1 т , 1 .
И"ТГ+Т'
da
(4)
Так как второй и четвертый члены отрицательны, мы
выводим, что
кЛ/(Г)<4пп{^(^+^)т} + * + Даг?С(5). (5)
Так как 91С (s) положительна на контуре, соответствующем
Г=10 и 18, AargC(s) остается между:!:-^- тс, и мы можем
легко проверить, что 7V(10)< 1, N(18)<2.
В вопросе о нижней границе мы примем во внимание
интеграл в равенстве (4). Мы имеем
In
«4-ш/ч
и + ТТ"Т1
2 ^ -Г 4
2иГ
Г j 2иТ \ иТ
^Уиттекер, Ватсон, Курс современного анализа, § 12. 32.

70
Глава III
при и<1, Г>2. Так как е2ш—1 > 2ш/, интеграл по отрезку
(0,1) меньше чем
С аТ du _ Т 8 /т^Ах
Jo(^-l)2 2--2,(4-r-l)J<^ ^^
Также в2ш — 1 > 20 тси при й>1, так что интеграл, взятый
по (1, со), меньше чем
сю
0
Так как, кроме того, arctg27< ~ тс, мы получаем:
*N(T)> ^ Л^+^ —^+A'argC(s), (6)
и неравенство Л/(18)>0 легко отсюда получается.
3.3. Общие теоремы о нулях, лежащих на прямой о = —.
3.31. Теорема 31 х\ На прямой о — -^ лежит
бесконечное множество нулей.
Пусть
z«) = «т " s (()/((«+i) _
Тогда Z (t) вещественна при вещественных ty и нули С^) на
прямой <з=-^- соответствуют вещественным нулям Z(7). Мы
покажем, что Z t) имеет бесконечно много вещественных нулей.
Идея доказательства состоит в сравнении поведения
интегралов
2Т 2Т
jZ(t)dt, j\Z(t)\dt,
т т
1 Hardy [1], Landau [4]. de laVallee Poussin[l), [2],
Hardy, Littlewood [2], Fekete [1], Polya [3].
u-TT
du
20 ли
40

Распределение нулей
71
когда Т—> оо. Если функция Z(t) имеет лишь конечное число
нулей, то она имеет при достаточно больших значениях постоянный
знак, и второй интеграл равен модулю первого. Мы покажем,
что это предположение ведет к противоречию.
Мы имеем, если 9?(х)>0,
2 -f / оо i
i / г(4-)с(')*"т'*-
2 — i оо
оо 2 -f i oo i оо
-2н/г(т')<Л>~т'*-аЕ«~"-
П = 1 2 — i oo 1
Передвигая прямую интегрирования до положения о= — ,
мы проходим полюс в точке s = l с вычетом W/л;).
Следовательно,
^+ico _,
2гс/
i-i-
или, пользуясь обозначением Z (/),
оо 11
L f е—4«* z(t)^y + ~n dt= -»(*). (i)
— со
Полагая х = ъе*\2 к~ /, где 8 мало и положительно, и исполь-
__ 1 _,
зуя то обстоятельство, что е 4 Z (t) — четная функция от t,
мы получаем
|Jch|^_8)||,-T^Z(0^==:<p(^(T'c-5)} =
О
00 со
в0С£ е-»«"'°8) + 0(1) = 0(/с-и*к9!п8^)+0(1) =
1 О
= 0(«-"Г). (2)

72
Глава HI
Следовательно, если Z(t)^0 при t > *0, тогда для T>t0
f\Z(t)\dt = \ f Z{t)dt\<e\f e* " ' ' * 4* Z(*)#|<
<2*
/сь(4^-^4)Г * * Z(0*| = O(/7). (3)
С другой стороны,
так что
1 1 тл 4-'* 4-** in* JL
Z(0|e|_(2)-*VT (2«о И Г-4 х
х{ 1 + о(т)Мт+й)1>аг4'Кт+й)
2Г -L 2Г| 1
$\z{t)\dt>Ar * / с(^Ч-й)|л>
i- 2Г
>ЛГ"4 |f с(-5- + «)л|1>.
Но
чт
Т + «г
— + 2/Г
2 + iT 2 + 2iT 2 т
2Г
х) Нет большой разницы между I С (-=--[-//J d* и
г
|Гс(т+«и«
г
хотя несомненно, что на этом шаге мы кое-что теряем»

Распределение нулей
7$
Следовательно,
з
$\Z{t)\dt>AT~* (4>
г
Так как это противоречит (3), теорема доказана.
3. 4.
3.41, Мы теперь обозначим через NQ(T) число нулей на:
прямой о = -~ с ординатой меньшей, чем Т. Мы доказали,
в п. 3.31, что /V0 (Т) —► оо вместе с Т. Развивая ту же идею, мы.
можем доказать гораздо больше этого.
Теорема 32 *>. N0(T)>AT *>.
Доказательство основывается на той же идее, что и
предыдущее, но мы будем рассматривать интегралы более сложного-
вида. Мы сравним поведение интегралов
/= f Z(u)e~Tdu, J== j \Z(u)\e Tdu (T^t^2T)i (1)
t t
когда t—♦ oo., a //—постоянно. Мы начнем с доказательства
того, что
2Т
j \Ifdt<AHVT (Г>Г0=Г0(Я)). (2)
т
3.42. Нам понадобится обобщение формулы Фурье из п. 2.-31-
Легко видеть, что функции
t + H
J G(x)dxy Р(х)(е*И*—1)/1х
t
связаны теми же соотношениями, что и G(x) и F(x), так что*
J| f G(x)dx\*dt = f\F(xf\——^ dx. (1)
— oo t — oo
Теперь, полагая в 3.31 (1) х = кеь\2 ' , мы видим, что
i) Hardy Littlewood [3].
*) См. еще Siegel [1 *], Кузьмин [1*]. См. также важное
исследование Selberg [1*]. (Прим. пер ев.)

74
Глава III
связаны друг с другом наподобие G (f) и Z7^). Следовательно,
<1) дает
оо t + H
12
'-budu
dt =
— ОО t
- | , <(4..-,)+<N|.4°'(j-«)<<t
= 2тг ^ cpf-rce V2 ' ) ^2 ~я£ =
— oo
-8«/|?(«^^ h)\ v,n% '-^ (2)
последнее получается использованием соотношения
эквивалентного с 3.11 (Ъ) на отрезке (0,1).
Левая часть равенства (2) больше, чем левая часть 3.41 (2),
если о = 2/Т. Таким образом, нам нужно доказать, что правая
часть равенства (2) есть 0Гя8"ТК
Теперь эта часть меньше чем
001 sin2 (х Я In у\
В члене, содержащем А\ мы опустим сомножитель у 2 ,
и тогда этот чл°н есть просто кратное Н. В другом члене мы
полагаем
sm*(jH\ny"}<AHZ\n*y <j/< 1-f-l/#),
^1 (у>14-1/Л)

Распределение нулей
75
и получаем
1 + 1/Я ОО |^!0
*»f \2! <>+*!№ ■%■ <3>
1 1-Н/Я r J
Теперь
j 212 == S e-2"2^sins + 2 2 2е" («*+*tywsins+^^-m2)^ cos ьа (4^
n <«г
_ 1
Как и в 3.31 (2), первая сумма есть О {(уЪ) 2 ) , и ее
привнесение в интеграл (3) есть, таким образом,
i + 1/я ! °° __L !
о{№ / (уЬ)--ау}+о{ J ъ->^)=о(т »).
1 1+1/Я
Второй член в (4) привносит во второй интеграл равенства (3)
члены вида
ОО
/е - (т*+п*)ку sinb+i(m?-n2} ку со s5 аУ
1 + 1/Н Г ^ ^
Поворачивая прямую интегрирования на + -н- тг и полагай
.y=l + l///+ir,
мы видим, что это равно
ОО
q | е _ (mt -f- п«)ГС sin 8 Г ^ - (w* - п*)лт cos 6 tf&dr I —
0
и таким образом весь ряд представляет собою
ОО W— 1
o(^s s-'-'ГГ)-
m = 2 w«l
оо 2 m — 1 оо
w =2 n = l w = 2
= o(ff2 2 w"llnOT+//2 S «_m2,csin5) =
m < 1/8 m > 1/5
__1_
= О (tf*ln2 1/8) = 0(#8 2)

76
Глава III
при 8<80=80(#К Это дает желаемый результат для второго
интеграла в (3). С первым интегралом можно поступить таким
же образом или, еще проще, непосредственным
интегрированием каждого члена. Sto и доказывает 3.41 (2).
3.43. Следующим шагом будет доказательство того, что
_ JL
J>{AH+W)T 4, (1)
где
27
j\W\-dt<AT (0<//<Г). (2)
т
Это соответствует 3.31 (4). Мы имеем, если s=-^-\-ity
T<t<2T,
TT\Z(t) | > Л | С(*) | > | (1 - 2i-)C(5)|1} =
oo oo
= A|i+2(-i)w-1*-el>4 9t {i+ 2(—i)*-1*-*} >
и, следовательно,
l
T4J>AH+A9t\i4%(—l)»-1n-*llnn p ^
lr + Ut + щ
= A«+A»fe(5)]*
T+"
Теперь достаточно доказать, что
J 1^{4- + ^ + ^)}12^=0(Г) (3)
г
равномерно при 0 <;и ^ Г, а это, очевидно, следует из
частного случая и — 0. Теперь g*(s) регулярна и равна 0(tA) для
о>0, так что из 2.31(4) вытекает
. т л р — пгхе1
V (_i)»-J-e
Inn
W=2
<*х+0(1). (4)
i) Этот шаг предупреждает появление у функции g(s) полюса,
влияние которого нежелательно.

Распределение нулей
77
Левая часть равенства (4) больше, ч~м константа, умноженная
на левую часть (3) при и = О, если 8 = 1/7\ В правой час и (4)
подинтегральное выражение ограничено для малых значений х,
и 0<8<— тг, так как, полагая w — — exp(—ixeib), так что
|1—яу[>Л, получаем:
оо
In л
W
In 2
-=*%«-*>п+1Яш~
пй + 1 J|<"nr2 ^A 2r2(ln^ 1пл + 1 J
1П 17 +
Также, если а>0,
со | оо
dx-
-2пав'тЬ
'2dn\v$ п
sin о
Г 1 У (— Уп~
J \Zd inn
a J 2
V1 V' (—\)т+п eia(fne~^ »e*8)
' -s^ JmU In /л In л ~" i(me-tt — neib) '
Ясно, что первая сумма равна 0(1/8), а вторая равна
оо т — 1
4 Zd^ 2u\nm\nn(m-n))~U\ 2j
m—l
in/л
«г = 3 « = 2
w» = 3
Y_L_U
n -2
uu
= 0 I V e-amBin*\,
m = 3
что опять-таки равно О (1/8). Это доказывает равенство (3).
t- 3.44. Доказательство теоремы 32. Пусть S такое
подмножество интервала (Г, 2Г), где \I\=J. Тогда
f | / \dt= j Jdt.
Теперь
2Т 2Т J_ i
f\I\dt^f\I\dt^{Tf\I\*dty <AH^f
1 3^
4

78
Глава III
согласно 3.41 (2); а согласно 3.43 (1) и (2)
jjdt> Г"Т [ (AH-\-W)dt>AT 4 Hm(S) —
S 8
I 2T i i 2T JL
_Т~Т j \W\dt>Af~THm(S)— Т~ т It f \У \*dty2 >
т т
- JL L
>АТ 4tf/n(S) —ЛГ4,
где m (S) означает меру 5. Следовательно, для достаточно
больших Н г
m(S)< ATH~T.
Теперь разделим интервал (Г, 27) на [Т/2Н] пар смежных
интервалов j\ У2> каждый, кроме, быть может, последнего у*,
длины Я, и каждый j2 лежит непосредственно справа от
соответствующего j\. Тогда тот или другой из интервалов j\ и j2
содержит нуль Z(t), е.ли j\ не состоит всецело из точек S.
Предположим, что последнее имеет место для v штук интервалов j\.
Тогда j
v/J^m(S)< A77/~T.
Следовательно, в (Г, 2Г) существуют, по крайней мере,
нулей. Это доказывает теорему.
3. 5.
3.51. Теорема 32, сама по себе интересная, ничего не
говорит про общее распределение нулей, так как число всех
нулей больше, чем некоторое кратное Tin Т. Нули, про
которые доказано, что они лежат на прямой а=-к", составляют,
таким образом, бесконечно малую долю.
С другой стороны, если мы поставим вопрос только о числе
нулей, лежащих в непосредственной окрестности прямой <з=-2~>
мы можем сказать гораздо больше. В самом деле, мы можем
доказать, грубо говоря, что все нули, кроме бесконечно малой
доли их, лежат в непосредственной окрестности прямой о = — ^

Распределение нулей
П
3.52. Мы начнем с доказательства общей формулы
относительно нулей аналитической функции в прямоугольнике *\
Предположим, что Ф (s) мероморфна внутри и на границе
прямоугольника, ограниченного прямыми tf=0, t~T, о = а, а = |?
((3 > а), регулярна и отлична от нуля на прямой a = j3. Функция
1пФ регулярна в окрестности а={3; и зде:ь мы определим
F(s) = In Ф (s), отправляясь от какого-либо значения логарифма.
Для других точек s прямоугольника мы определим F {s) как
значение, полученное из In Ф(р-}-/£) непрерывным изменением
вдоль t — const от j3-j-# до o-J-#, в предположении, что путь
не пересекает нуля или полюса Ф ($); если же это так, мы
полагаем
F(s) = — limj/^a + tf + ze) f F (a -f it — u) }.
Пусть v(a', T) означает избыток числа нулей над числом
полюсов в той части прямоугольника, для которой a>a',
считая нули и полюсы на / = 0 или /= Т лишь за половину
таковых. Тогда
Р
j F(s)ds=—2irf Jv(-, T)do9 (1>
a
интеграл слева берется вокруг прямоугольника в положитель*
ном направлении.
Мы можем предположить, что t=0 и t— T свободны от
нулей и полюсов Ф (s); легко проверяется, что наложенные нами
условия гарантируют справедливость теоремы и в общем случае.
Мы имеем
! р
j p(s)dS= |V(a)rfo— jV(a+*T)db-f- (2)
a a
Г
+ j { ^(P+«) — ^ (« + «)} «*•
0
Последний член равен
ЫЛ£8>-*-/*Т-£$-Л-
0 a a a
i) Lit tie wood [4].

30
Глава III
и по теореме о вычетах
а + гТ р р+гЗ» Р + iT
с а р a -f /T
= /7(о + /Г) —^(о) —2u/v(o, Г).
Подставляя это в (2), мы получаем (1).
3.53. Теорема 33 1}. Пусть N(o\ T) означает число
нулей С(s) при <з>о', 0<*<Г и пусть — l±go0^l. Тогда
1 г
2тт|л/(а, Г)йа= J 1п | С (о0 + «) 1 Л+ О (In Г). (1)
В 352 (1) мы берем а = а, (3 — большим положительным
и Ф (5 =C(s), и определяем /(s) = InC (s), как и в случае
F(s), отправляясь от вещественного значения в точке s = j3.
Тогда (учитывая наличие полюса в точке s=l)
?(о, T) = N(a, Т) — 1 (а<1), v(a, 7) = 0 (а>1).
Поэтому
1 р
— 2m j v (о, T)da= — 2ruj v (а, Г) do =
р р г
= J/(a)db —J/(a + /7-)rfo —J/(o0+«)W<+ (2)
'о с0 О
+ //(? + «)'<«•
О
При (3 -» со последний член устремится к нулю, а первые два
интеграла устремятся к интегралам, взятым в пределах от о0
до со. Беря мнимые части, мы имеем
1 т
2тс|\(о, T)da= f 1п|С(о0 + й)|Л +
с0 О
оо
+ /аг&С(в + /Г)Л + С(оЬ), (3)
Ср
где С(о0) = const (зависит лишь от о0).
!) Lit tie wood [4].

Распределение нулей
81
Применяя равенство (20) Введения на отрезке (о0, 2) и
то, что СО)= 1 + 0(е-л% arg£(s) = 0(e-A°) приа>2,
мы видим, что средний член в правой части (3) равен О (In Г);
и отсюда теорема доказана
3.64. Теорема 34 *\ Для произвольного
фиксированного а, большего чем -^, N(a, Г) = 0(Г).
Мы имеем при о > ~^-
т т
f 1п|С(о+Й)|Л = ^ f ln|t(° + tf)|a<«^
2 2
Т
^i(r-2)ltl{TirT/|!;(a+/Y)|3^}a)==0(r))
по теореме 20. Следовательно, по теореме 33
Jw(o, T)do = 0(7)
при о0 > у. Следовательно, если о£ = "о" + т(°о — т)'
а° 1
что и требовалось доказать.
Из этой теоремы и того факта, что N(T) — AT In T,
следует, что все нули функции C(s), за исключением бесконечно
малой доли их, лежат в полосе -к—&<8<-9"+8> как бы
мало ни было 8.
3.55. Применением теоремы 21 вмеси теоремы 20 мы можем
получить еще более точные сведения о нулях в непосредственной
2) Bohr, Landau [4], Little wood [4].
2) Чтобы доказать неравенство, следует заменить интегралы
конечными интегральными суммами и использовать то обстоятельство, что
геометрическое среднее не превосходит арифметического.
6 Зак. 598.

82
Глава HI
олизости от а = -^ . В самом деле, предыдущим методом мы
сразу находим, что
1
f N(a, T)do< AT\n
Mini О (In Г), О/" Ц-VH
сС-Т
и, в частности, что
1
J* N(о, T)do=0(Tln\n Т\
О)
(2)
Мы можем теперь представить теорему 34 в такой форме,
что она будет иметь место равномерно по о.
Теорема 35 1}.
yV(c, Т) = 0 Т-
1п-
равномерно
Как и вь
ЛГ(а0,Г)<;
для
iuie,
2
so —
2
1
2
<о^1.
Лп-
СТ» =г <*,
и теорема отсюда легко получается.
3.56. Теорема 36 2). Если Ф (t) положительна и
возрастает до бесконечности вместе с t, то все нули £($)
в верхней полуплоскости, кроме бесконечно малой доли их>
лежат в области
о — у|<Ф(<)1п1л*/1п*, t>A.
Иными словами, число нулей, лежащих вне этой области
с мнимой частью между 0 и Г, равно о (Tin Т). **>
*) Little wood [4].
*} Усиление см. Selberg Г1*1. См. Ingham [1*1. (Прим. перев.)
2) Littlewood [4].
**) См. Si eg el [1*], Selberg [1*]. (Прим. перев.) .

Распределение нулей
83
Очевидно, достаточно показать, что при больших Т число
нулей в области
о^1 + Ф(01п1п*/1п*, VT<t<T> О)
есть о (Tin T). Кривая часть границы области (1) лежит справа
от прямой а=а1, где
ах—1-ф(]/Г)1п1пГ/1пГ.
Но по теореме 34
N(ov Т) = 0(т—-Ц-In—Ц-\ =
и теорема отсюда легко получается.
3.6
3.61. Мы теперь возвращаемся к проблеме изучения Af(o, T)
при фиксированном а. В этом случае мы можем заменить в
теореме 34 0(Т) на 0(Ге), где 6< 1. Мы проделаем это,
применяя предыдущие методы не к самой £($), но к функции
ф.(*) = с(о 2 t* («)«-• = с со ♦•(*)•
Нули С (^) являются нулями функции Фв($). Если а>1,
Фа(з) —► 1, когда Z-+O0. По гипотезе Римана это также верно
и для y<0=1- Конечно, мы не можем доказать этого, не
опираясь на какую-либо гипотезу, но мы можем выбрать z таким
образом, что аддитивные члены до некоторой степени
сглаживали бы особенности С (s), даже для значений о меньших 1.
Теорема 37 х). Для любого фиксированного о большего,
1
чем у, и меньшего', чем 1,
Так как
. |ф.(5)|^1— 2 1Г*>0
г) Bohr, Landau [5], Carlson [1], Landau [7].
6*

S4
Глава HI
«три о^2, то $z(s) не имеет нулей при а>2. Тогда, если Ф (5)
из п. 3.52 равна Фе (s) и -^ < <з0 < 1, то
2 оо • оо
— 2та Jv(o, T)do= j F(o)da— f F (a-{-iT) da —
«0 «0 <*0
о
Заменяя Г на 2Г, вычитая и беря мнимую часть, получаем
2
2тг J{v(o, 2T) — v(a, 7)}rfa =
«о
2Т со
— f »п|Ф,(а0 + |0|Л+ f {argC(a + 2*T)-
— argC(o + /*) + arg<k(° + 2/r) — arg<k(° + T)} Л.
Интегралы, содержащие argC(s), равны О (In Г), согласно
заключительному замечанию п. 3.53. Подобным образом
интегралы, содержащие arg^(s), равны О (In г), так как,
аналогично доказательству равенства (17) Введения, argt]^ (s) = 0(д)
для -п-^о^2, где q есть число нулей:
на отрезке Г-^ -j~ #> 2 -f- /п. Так как фв (5) = О (гл), из
теоремы Иенсена следует, что ? = 0(1п<г). Наконец, arg^(s) =
= 0(е-Л°) при о>2.
Также, беря произвольное ° ("о4^0^ М и П0СТУпая как
в п. 3.54, получаем
|ш|ФЛ5)|^=4/1п|ФЛ5)|2^^
у гр
2Т
;1т1п{1/|Фг(5)|^Л =

Распределение нулей
85
2Т
--^{l+T^f {*,(*)-!}<#+ (1)
т
2Т 2Т
т т
2Т
т
Что касается первого члена, то мы пишем:
ff-f-2/Г 2 + iT 2 + 2/Г а + 2/Г
<j + iT ст + /Г 2 + /Г 2 + 2/Г
Первый и третий члены суть О (Г1-*г1""*), вследствие того,
что (как легко видеть) Ф^(^) само имеет такой вид. Во втором
члене мы пишем
*i(*)-i=2*««-e,
где ах = 0, в то время как для я > 1
и, интегрируя почленно, мы видим, что рассматриваемый
интеграл ограничен. Следовательно, первый член в правой части
неравенства (1) равен О (Tl-°z1"1).
3.62 Мы достигли теперь ядра проблемы, а именно,
изучения второго члена в (1). Здесь мы применяем теорему 19
при х = Т и получаем
пут п<г
= 2*-л-8+ 0(Г-'24-"),
где (если я < /) Ьп = О при я < г и при я > гТ; и ftnl как ап,
равны О (яе). Тогда
/|2*»я-|'л=г2|м»я->'4

86
Глава III
2Т
+ 22' br»bn(mn)-° f (л/т)«Л-О (Г2 if-«)+
+ °{2 2 (mny-*/(\nm/n)\= О(Тг*-*°+')-\-
+ 0{(гГ)2~2'+е}
по лемме п. 2.13. Полагая г=Г2а*"1, мы получаем
/|2*»/|"вГ=°(7'1"(*1"1)'Ч
г
Легко видеть, что все другие члены малы по сравнению с этим,
так что, заменяя в полученном результате о на а0, мы имеем
теперь
2
J { v (а, 2Г) - v(а, Т) } rfa = О { Г1-^-!)*^ }.
Мы можем заменить v под знаком интеграла (a fortiori) на N,
и тогда, заменяя Г на -j Г, — Г,... и складывая, получаем
1
f N(o, T)do = 0 (Г1-<*•-*)»+■).
Следовательно, положив Х=1/1пГ, имеем
N (ао> Г) ^ 1п Т J ^(о, Г> do =
= 0(1п Г- Г*-^-8*-*-*)^) = 0(r1-(8ff«-1>,+0(x)+i) =
= 0(Г1-(2'о-1)2+е).
3.63. Если мы применим приближенное функциональное
уравнение вместо теоремы 19, мы получим еще лучший результат.
Теорема 38. Для произвольного фиксированного о боль-
1
шего, чем у,
TV (о, Т) = 0(Т1-Т=% + %).
Мы опускаем доказательство *\
1) Titch marsh [5].

Распределение нулей
87
3.7. Остаточный член в формуле для N(Т).
3.71 Мы знаем, что
где 7r5(7) = argC Г-у + гТу аргумент отыскивается
непрерывным изменением вдоль 2, 2 + /Г, -^-[~*Г- Поведение функции
5(7), повидимому, очень сложно. Она испытывает скачок на &,
когда Т проходит ординату нуля С(&) порядка k (так как
член 0(1/Г) является непрерывным). Между нулями N(T)
постоянно, так что изменение S(T) должно уничтожить изменение
других членов.
Мы знаем также, что S(T) = О (In Г), так что в формуле,
7 ' .
как она здесь дается, член-g, повидимому, поглощается
изменением S(T) (хотя не доказано безусловно, что S(Г) неогра-
ничена). С другой стороны, мы рассмотрим обинтегрирован-
ную формулу
о о
т
+ f S(t)dt + 0(\nT);
о
член с S(T) играет, конечно, здесь гораздо меньшую роль,
так как, как мы теперь докажем, он все еще равен только
О (In Г). Этим мы, повидимому, обязаны многократному
изменению знака S(t).
3.72. Положим
т
51(Г) = J S{t)dt
и
Мы начнем с доказательства следующей теоремы.
Теорема 39 1}.
2
Si (Г) =4 / In|С (? + lT)\(h -J- 0(1).
2
!) Cramer [2].

88
Глава III
Мы возвращаемся к 3.53 (2) с о0 = у, В —► оо и
одновременно берем вещественную часть. Член с v (о, Г), будучи чисто»
мнимым, исчезает, и мы получаем
оо оо Т
fln\Z(o)\do-~ J In | С (а + ^Т) |^о + f<KS(t)dt = 0.
J- l °
2 2
Первый член есть постоянная, и
оо оо
f In | С (о + *Т) | do = J" О (e-A*)do =-0(1),
2 2
откуда получается требуемое.
3.73. Теорема 40 1}. SiW^OQnt).
Интегрируя 1.83 (1) от $ до 2-\-it (предполагая, что,
очевидно, допустимОз что t не равно ординате какого-либо
нуля), мы получаем
In С (2 + it) -In С ($) = 2 {1п(2-|-й —р) —ln(s —p)} +
I *-Г I < 1
+ 0(1п*).
Так как In С (2 + #) и In (2 -f- ft — р) ограничены и сумма
состоит из 0(lnt) членов, это дает
In С (*) — 2 1п О — Р) + О (In t).
U-тЮ
Следовательно,
2 2
Jln|C(s)|rfc = J JInl5 — р|Л + 0(1п*)-
L 1*-тЮ i
2 2~
Члены последней суммы ограничены, так как
2
2
>2 Jin |a — P|rfa> — Л.
i) Little wood [4].

Распределение нулей
т
Следовательно,
2
Jln|C(s)|rfo = 0(ln/),
1
2
и результат следует теперь из теоремы 39.
Другой результат в том же круге идей — это
jmdt=A + o(™P)l)-
О
3. 8.
3.81. Теорема 41 2) *\ Разности ординат
последовательных нулей С (?) стремятся к нулю.
Мы начинаем с доказательства ограниченности этих
разностей. Так как из 3.71 (1) и из того обстоятельства, что
S(f) = 0 (In /), следует, что
если Н достаточно велико, то это не говорит нам, по~сути
дела, ничего нового. Но это нужно для введения метода в его
простейшей форме, в которой он легко обобщается.
Рассмотрим систему четырех концентрических кругов Си С2,
С3, С4 с центрами в 2 +/Г и радиусами соответственно -^, 3,„
4 и 5. Предположим, что C(s) не имеет нулей в С4. Тогда
каждая ветвь In С (s) регулярна в этом круге. Пусть Ми Л12, Мь>
означают максимумы модулей соответственно в Си С2, Съ той
ветви, которая получается обычным способом при помощи
непрерывного продолжения вдоль прямой линии 2,2-j-iT; w
пусть L — максимум ее вещественной части в круге С4. Тогда,,
по теореме Каратеодори,
Afe^8{I + 2|lnC(2 + /7-j|}.
Теперь /,<Л1пГ, потому что С(»=0(7Л) в
рассматриваемой области. Следовательно, Ж8<Д1пГ. Теорема Адамара.
о трех кругах дает
где
« + Р = 1, 0<р<1.
i)F. и R. Ne vanlinna [l], [2].
5) Littlewood [3].
*) Уточнение см. Selberg [l *]. (Прим. перев.)

*o
Глава III
Так как Aft = 0(l), отсюда следует, что
Л19=0(!пРГ)
и, в частности, что
С (- 1 -f IT) = О {ехр (1пР 7)} = О (7е).
Но на самом деле из функционального уравнения получается,
что
|С(-1+|Т)|>ЛГ
для всех значений 7. Тем самым предыдущее рассуждение
противоречиво, и, значит, в каждой полосе 7—5<с/< 7-J-5
должен находиться нуль C(s).
Ясно, что, применяя подобные рассуждения к полосе
7—8^g£ ^7-j-8, где 3 произвольно мало, мы не можем
пользоваться четырьмя концентрическими кругами. Но смысл теорем
Каратеодори и Адамара не ограничивается сколько-нибудь
существенно множествами концентрических кругов, и мы можем
преодолеть наши трудности, используя вместо них подходящие
кривые.
Пусть DA будет прямоугольник с центром в 2 -J-/7 и углом
в — 3-{-/(7-|- 8), стороны которого параллельны осям. Мы
отобразим D4 конформно на единичный круг D4 г-плоскости
так, что его центр в 2 -|- iT переходит в точку г=0. При этом
отображении множество концентрических окружностей |(г| = г
внутри D4 будет соответствовать множеству таких выпуклых
кривых внутри Z)4, что, когда г-> 0, кривые стягиваются к точке
2 + /Г, в то время как при г-> 1 они стремятся совпасть
с £>4. Пусть Db D2, Dj окружности (не зависящие, разумеется,
от 7), длл которых соответствующие кривые Dv D2, Z)B
о
в плоскости s проходят соответственно через точки -^--f-/7,
-М+/7,-2-fJ7.
Доказательство теперь протекает, как и прежде. Мы
рассматриваем функцию
/(г) = ШС {*(*)},
где s = s(z) есть аналитическая функция, осуществляющая
конформное отображение, и мы применяем тем же способом^ как
и раньше, теоремы Каратеодори и Адамара *К
*) Прямое доказательство — см. Titchma-rsh [7*]. (Прим. перев.)

Распределение нулей
91
Несомненно возможно, при более детальном изучении
функции, осуществляющей конформное отображение, получить
более точный результат. Мы можем доказать, что ^(s) имеет
нуль ? + *? такой, что
If —*|< 16/lnlnln*
для любого t > t0.
3.9. Ряды вида 2 *?/(».
3.91. Ряды вида ^№/(р), где р пробегает комплексные
нули С (5), встречаются в теории простых чисел. Обсуждение их
применения там выходит за рамки этой работы, но они имеют
интересные связи с предметом настоящей главы.
Мы начнем с рассмотрения суммы 2*р, где Р = !3-Мт
пробегает нули С(s) такие, что 0 <л < Т и л: > 1.
Теорема 42г\ Мы имеем
если х степень простого числа р; в противном случае
2^ = о(1пГ). (2)
Пусть q положительное число, меньшее ординаты любого
нуля. Тогда
2 + iT
I ] T§}Xsds + i(T—q)A(x)\^ (3)
2+ «4
^2*22Ь
AW
**| \nx\n\ '
l
где Л (л;) равно нулю, если х — не целое число. Это легко
проверяется подстановкой ряда (2") Введения вместо С (s)/C (s)
и интегрированием почленно. Теперь по теореме о вычетах
2-ffg 2 + /д а + ig « + iT 0<f<7
где а<0, Г не равно ординате нуля.
1) L a n d a u 12].

92
Глава HI
Из функционального уравнения и известных свойств Г-функ~
ции легко выводится, что
С'(*)£(*)= О (1п|5|) ^-1, t^q).
Следовательно, второй интеграл справа стремится к нулю*
когда а—► —ею, и мы получаем
2 + iT - со + iq 2 + iT
Теперь
-1+ /г
f ЩхЫ8= f 0[ln{\a\+T)}x4h = OQnT)
oi + iT
и по п. 1.83
C'(*)
2 -f /T 2 + /Г
-1+*Г |Г-т1<1 -1 + /Г
Записывая
2 + /Г — l+HT + 2) 2 + /(Г + 2) 2 + гТ
— 1+iT — 1 + /Г — 1+/(Г + 2) 2+/(Г + 2),
мы видим, что каждый член в сумме справа равен О (1). Всего»
членов О (In Г), так что сумма равна О (In T). Результат еле-
дует теперь из сопоставления этих равенств.
3.92. Ландау1^ доказал, что ряд V —- равномерно сходится:
в любом .^-интервале, не содержащем внутри и на концах
степени простого числа. Это может быть выведено из
предшествующей теоремы посредством частного суммирования.
3.93. Эти результаты имеют также интересную связь с фор-
мулами главы V, которую мы здесь предвосхищаем. По
гипотезе Римана pv есть -тг + П^ и мы имеем
Y < Т v=l <# = 1
i) Handbuck, стр. 364-368.

Распределение нулей
93
i-4-*T П~1 Tv + ! i-4-/v
+ лх =_ /|/^1пл: Xv Г *wd« + ** =
ТГ Т + 'Ъ
==: —■* Vjc 1п * J N(«)**" <*" + лл:
Обозначая через М(Т) сумму первых трех членов в
правой части 3.71 (1), мы имеем
г In х jAf (a) x*u du = [Л1 (и) xiu]ln — J ■—• In ^ x*wrfw =
= {* - £(?„)} * *» + О (ШТя) = яхТ» + О (In Tfl).
Следовательно,
Лп
^ x? = —iVxlnx j S{u)x^du + 0{\nT), (1)
и наш результат эквивалентен тому, что
Тя
f 5(«) xiudu = - 0<Т^} + О (in Тл). (2)
J 2 тс у «rlnx
Ti
Теперь такие результаты, как теорема 55, наводят на мысль,
что тс 5(и), т. е. аг£Ц-я- + йм> вероятно, связана с суммами
вида
Vi Ах (n) sin (ы In к)
^ /л
Если бы мы могли подставить это вместо tcS(u) в (2) и
проинтегрировать почленно, мы должны были бы получить
результат того же типа, что и (2).
Ясно, что числа р тесно связаны с простыми числами.
Однако, между ними не открыто более определенной связи, чем
та, которая дается предыдущими формулами.

Глава IV
ОБЩЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ C(s)
4.1.
В предшествующих главах мы имели дело почти
исключительно с модулем C(s) и различными значениями, в частности,
нулевыми, которые он принимает. Мы теперь займемся
вопросом о самой функции £(s) и о тех значениях s, при которых
она принимает заданное значение а.
4.2.
Один из подходов к таким проблемам — это связь с
известной теоремой Пикара о функциях, не принимающих некоторых
значений. Мы используем следующую лемму г\
Если f(s) регулярна и не равна ни О, ни 1 в круге \s — «?о I =
^г, и \f(s0)\^a: 0 < 1, то \ f(s)| ^ А (ос, Ь) для \s — *0|^
Отсюда вытекает
Теорема 43. С (s) принимает каждое значение, за
исключением, может быть, одного, бесконечно много раз в полосе
1 — 8<с^1+-8.
Предположим противное, т. е. что С ($) принимает различные
значения а и Ь только конечное число рази, таким образом, ни
разу при t, скажем, большем 10. Пусть Г>*0, и рассмотрим
функцию f(s)= { С Ks) — a )l(b — а) в кругах С и С радиусов
*2 8 и j8 с общим центром ^0 = 1 ~|—— S —f- /7". Тогда
и f(s) нигде не равна 0 или 1. Тогда по лемме |/(s)|< A(a)
в С, и поэтому |С(а-{-г';П|< Л (а, Ь, а) при l^a^l + тгЗ»
!) Landau, Ergebnisse der Funciionentheorie, § 24; Valiron,
Integral Functions, гл. VI, § 3.

Общее распределение значений £,(s) 95^
Г>^0. Следовательно, С (s) = 0(l) в полуплоскости о> 1, что
не верно по теореме 1. Это доказывает Георему.
Мы должны были бы, очевидно, ожидать, что исключительное
значение есть 0.
4.3.
Если мы примем гипотезу Римана, то мы сможем
применить аналогичный метод внутри критической полосы; но более
подробные результаты, не зависящие от римановой гипотезы,
могут быть получены методом диофантовых приближений. Мы
посвящаем конец главы развитию этого метода.
4.31. Мы ограничимся на первых порах полуплоскостью
о > 1 й и рассмотрим не самое C(s), а функцию In C(s),
определяемую при о > 1 рядом
Р
Мы рассмотрим в то же время функцию
р
Мы замечаем, что обе функции представимы рядами Дирихле,.,
абсолютно сходящимися при о> 1 и могут быть записаны в виде*
^(*) = Л (РГО+Л (/>«-")+•••.
где /Л (л:) представимы как степенные ряды с коэффициентами,
не зависящими от 5. В дальнейшем F(s) означает одну из двух
функций: lnC(s) или -рН-
4.32. Мы сначала рассмотрим значения, которые F (s)
принимает на прямой а = о0, где а0 — произвольное число, большее
чем 1. На этой прямой
со
/?(s) = 2f»0>»e,e-Wtap'»),
П = 1
и, когда t меняется, все величины — tlnpn, разумеется, связаны
между собой. Но мы увидим, что имеется тесная связь между
множеством U значений, принимаемых F(s) на о = о0, и
множеством V значений, принимаемых функцией
со
Ф(°о. ?i. ?9--.)=2/»(аГ"•****»),
п = \
1) Bohr [3], [4].

"96
Глава IV
зависящей от бесконечного числа независимых вещественных
переменных срх, ср2,... В самом деле, мы покажем, что
множество U, которое заведомо содержится в V, всюду плотно
в V, т. е. для любого v в V (т. е. для любой заданной
последовательности о1} ср2>« • *) и любого е существует такое t,
что
Так как ряды Дирихле, от которых мы исходим, абсолютно
-сходятся при о = а0> то, очевидно, мы можем найти yV = yV(a0, e)
такое, что
лля любых jiM, или, в частности, при }Aw = cpn или при
Теперь, так как числа 1прп линейно независимы, мы можем, по
теореме Кронекера, найти число tu целые числа gu g"2>«-*> ёя
такие, что
I — t\npn — 2«?n — 2itftl|<ii (л=1, 2,..., ЛО, (2)
где т| — любое наперед заданное положительное число. Так
как fn (рп~*° e2iKv) для каждого п непрерывная функция от сз,
мы можем выбрать т) столь малым, что
| 2 (А {Рп—е***») —fn (Pn~** е-* lnp») } 1 <4- е. (3)
Результат следует теперь из (1) и (3).
4.33. Далее мы рассмотрим множество W значений,
которые F(s) принимает в непосредственной близости прямой о = а0,
т. е. множество всех значений-о/ таких, что уравнение F(s) = w
имеет для всех положительных 8 корень в полосе |о — а0|<8.
Во-первых, очевидно, что U содержится в W. Далее легко
видеть, что U всюду плотно в W. Так как для достаточно
малых 8 [например, для 8<-у (а0 — 1)]
. \F'(s)l<M°o)
.для ЕСех значений s в полосе | о — а01 < 8, то
;F(o0-f/O-^^i + 'O;<AW|e,-«ol (|в!-оо|<8). (1)

Общее распределение значений C(s)
97
Но теперь каждое w из W принимается функцией F (s) либо
на прямой о = с0, тогда w входит в U; либо в точке aL -f- it
произвольно близкой прямой; в этом случае, в силу (1), мы можем
найти и такое, что \w — и | < А (с0) | ох — о01 < е.
Мы теперь приступаем к доказательству того, что W
совпадает с V. Так как U содержится и всюду плотно как
в 1/, так и в IF, то, следовательно, V и W всюду плотны
одно в другом. Тем самым очевидно, что W содержится в V,
если V замкнуто.
Мы увидим в дальнейшем, что справедливо гораздо
большее, а именно, что V состоит из всех точек некоторой
области, зключая ее границу. Нижеследующее прямое
доказательство замкнутости V является, однако, очень поучительным.
Пусть v — предельная точка!/, и пусть *>v (v = 1, 2,...) —
последовательность точек из V, стремящихся к v. Каждому
v^ отвечает точка Pv (<p(j\<p(J, • • •) в бесконечно-мерном
пространстве 0<i<p<^ < 1 (п = 1,2,. . .) такая, что Ф (a0,cpW,. . .) = t>v.
Но так как (Pv) — ограниченное множество точек (т. е.
все координаты ограниченные), то существует ^ предельная
точка Р (ср1? <?2,. . .), т. е. такая точка, что из
последовательности (Pv) мы можем выбрать подпоследовательность (Pv ) так,
что каждая координата <pw(v)H3 Pv стремится к пределу cpw,
когда г —> со. __ _
Теперь легко доказать, что Р соответствует v, т. е. что
Ф (°о> ?i>-••) = *>> так что v есть точка V. Действительно,
ряд для -0^ а именно
П= 1
сходится равномерно nor, так как, по признаку Вейерштрасса2),
он сходится равномерно по всем о; далее, п-ft член стремится
к fn(Pn~°°e*i7Z(?n)i когда г -> оо.
Следовательно,
— °° _
«=» lim -о = Ига 2 /»С^Г"• еа/»*«г)) = Ф («о» ?i. •••).
г-^оо г->оо я = 1
что и доказывает наш результат.
1) Мы используем распространение хорошо известной теоремы
анализа на бесконечно-мерный случай. См. Уиттекер, Ватсон,
Курс современного анализа § 2.21.
2; Там же, § 3.34.
7 Зак. 598

98
Глава IV
4.34. Чтобы установить совпадение V и W, остается только
доказать, что V содержится в W. Для этого, очевидно,
достаточно (а также необходимо), чтобы W было замкнутым. Но
замкнутность W не следует, как это могло бы показаться, из
одного только факта, что W есть множество значений,
принимаемых ограниченной аналитической функцией в
непосредственной окрестности прямой. Так е-82 ограничена и произвольно
близка к нулю в каждой полосе, содержащей вещественную
ось, но никогда не принимает нулевого значения. Тот факт,
что W замкнуто (который мы докажем косвенным путем),
зависит от специальной природы функции F(s).
Пусть г/ = Ф(а0, <fu <p2, ...) — произвольное число,
содержащееся в V. Мы должны показать, что v содержится в W,
т. е. что в каждой полосе |а — а0|<8 F(s) принимает
значение v. Мы рассмотрим, вместе с F($), функцию
п = \
которая заведомо регулярна при о > 1 и отлична от
постоянной. При s — o0 Fils) принимает значение v. Мы выберем
маленький кружок С2, с центром в о0, такой, что Fx (s) ф v
на окружности. Пусть С будет круг, перенесенный вдоль
прямой о = а0 на расстояние t0. Мы сначала покажем, и это будет
основным моментом доказательства, что теорема Кронекера
позволяет нам выбрать t0 таким, что для любой пары
соответствующих друг другу точек иСи s1 в Ct разность \F(s) —
— F\ isi) I будет меньше произвольно заданного е.
Рассуждение почти в точности такое, как и примененное
нами для доказательства всюду плотности U в V. Ряды для
F(s) и Ft (s) равномерно сходятся в полосе, и для каждого
к
фиксированного N, 2/п (/\Г" е2ыы ) — непрерывная функция от
п-\
о, JI.J, ..., [а# . Таким образом, достаточно показать, что мы
можем выбрать t0 так, что разность между аргументами р~8
при s=a0-^-it0 и р~8 е2ЫЧп при s = o0 соответственно и,.
следовательно, разность между соответствующими аргументами
каждой пары соотнесенных точек двух кругов является (по
модулю 2тг) произвольно малой при я=1, 2,..., N.
Возможность такого выбора сразу следует из теоремы Кронекера.

Общее распределение значений £(s)
99
4.35. Теперь легко видеть, исходя из общеизвестного
результата^ из теории функций, что когда е в неравенстве \F(s)—
— Fi (5i) I < 8 достаточно мало, F (s) должна принимать
значение v внутри круга С. Пусть т есть минимум значений \FX {sx)—
— г; | на Съ так что т > 0, и выберем е = /я. Тогда для
значений sx на Сх мы имеем
\F(msl + it0) — Fx(s1)\<m.
Положим
^ (*i + «о)-*==G(*i)+ «(*).
где
G (*t) - Fx {sx) -v,H (О = F (s, + *70) - /=\ (s,).
Тогда | H(sx) | < | G Oi) | на С1э и, следовательно, G ($г) -}- tf Ох)
имеет такое же число нулей внутри Си как и G(^); итак,
потому что G (о0) = 0, она имеет, по крайней мере, один такой
нуль. Следовательно, F (s) принимает значение v в некоторых
точках внутри С. Это восполняет доказательство того, что V
содержится в V7, и тем самым доказательство идентичности V и W.
4.36. Мы теперь приступаем к изучению множества V.
Пусть Vn будет множество значений, принимаемых функцией
/л (Р^8) пРи а = °о> т- е- множество значений, принимаемых
функцией fn(x), когда \х\*=р-°°. Тогда V есть «сумма» точек
из Vj, V2,..., т. е. множество всех значений vx-\-v^-\- ...,
где vx — произвольная точка Vu v% — произвольная точка V2
и так далее. Для функции lnC(s) Vn состоит из точек кривой,
пробегаемой функцией—In (1—#), когда х пробегает
окружность [лг|=/?™а°; для С (s)/С (s) оно состоит из точек кривой,
пробегаемой — (х In рп)/(1 — х).
4. 4.
4.41. Мы начнем с рассмотрения функции £'(s)/£(s). В этом
случае мы можем определить V до конца. Кривая значений Vn
есть круг с центром в
Cn=-p-2°°l*Pn/V-Pn8Q0)
и с радиусом
Pn=Pn°olnPnlV— Рп~2Со)'
^G ours at, Cours d'Analyse (ed. 3, 1918), t. 2, § 307. (Русский
перевод: Гурса, Курс маГтемэтического анализа. — Прим. перев.)
7*

100
Глава IV
Пусть с = V сп = С (2з0)/С(2а0). Тогда V есть множество всех
значений
прл независимых 01? 6о,...
Множество V значений ^pneiHn есть сумма бесконечного
числа окружностей с общим центром в нуле, радиусы которых
Pi» P2>•с • образуют, как легко видеть, убывающую
последовательность. Для таких сумм окружностей мы имеем следующую
теорему г\
(I) Вели pj >Ps + Ps+ • • •> тогда множество V состоит
из всех точек z кольца
со со
2Pn^i*I^Pi —2р»-
11-1 П-2,
(II) Если р, <s p9 -}- р3 -4- . •., тогда V состоит из всех
точек z, для которых
со
В интересующем нас случае мы имеем точное выражение
для рп; таким образом, легко определить, когда мы находимся
в случае (I) и соответственно (И).
Полный результат ^ таков: существует абсолютная константа
Z) = 2,57..., определяемая как корень уравнения
2^1п2 __ VI рп-Р\прп
1—2-2D Zd \—Pn-2D >
Пх2
такая, что при <з0>£) мы имеем случай (I) и для l<o0^D —
случай (II). Наибольший радиус в каждом случае есть
/г=-С'(2зо)/С(20о)-С,Ы/С(<»0);
наименьший радиус в случае (I) есть
г=2р1 — #=21-Мп2/(1— 2~2°°) — /?.
4. 42. Резюмируя, мы имеем следующие результаты для
С'(*)/С(*).
х) Основная идея доказательства может быть уяснена из построения
различных фигур, соответствующих случаю трех кругов. О
подробностях исследования см. Bohr [4] и [6].
2) Burrau [1].

Общее распределение значений t (s) 101
Теорема 44. Значения, которые С (s)/C (s) принимает
на прямой о == о0, образуют множество всюду плотное в
области /?..<з0). Если о0>£>, R(o0) есть кольцо (включающее
границу) с центром с и радиусами R и г\ если а0<; Д /?(<з0) есть
круг (с границей) с центром с и радиусом R\ с, R, г суть
непрерывные функции о0, определенные так:
~~~ с = С (2а0)/С (2а0), R = с — С (о0)/£ (о0),
г = 2^0 in 2/(1 — 2~2*о) — /?.
Далее, при а0 -> оо
lim с = Hm R = lim r = 0, lim с/Л = Ит {R—r)jR = 0;
npuo0-*D, limr = 0; и когда о0-> 1, lim R = оо, lim c=C'(2)/C (2).
Теорема 45. Множество значений, принимаемых
функцией С (s)/C (5) в непосредственной близости прямой о = о0,
совпадает с R(o0). В частности, так как с стремится к
конечному пределу, aR — к бесконечности, когда а0 -> 1, С (s)/C (s)
принимает все значения, и притом бесконечно часто, в
полосе 1 <а< 1+8, при произвольном положительном 8.
Предыдущие результаты, очевидно, позволяют нам изучать
множество точек { о0(я) }, где а = а0(а) есть прямая, на которой
C'(s)/C(s) принимает заданное значение а. Мы удовлетворимся,
дав соответствующий результат для а = 0; это наиболее
интересный случай, потому что нули C'(s)/C(s) совпадают с
нулями £' (s).
Теорема 46. Существует абсолютная константа Е
между 2 и 3 такая, что множество {о0(0)} всюду плотно
между 1 и Е и не имеет представителей, больших чем Е.
Это значит, что С (s) ф 0 при о > £, в то время как С (s)
имеет бесконечное число нулей в каждой полосе между о= 1
и о = Е.
4. 5.
4. 51. Мы приступим теперь к изучению lnC(s). Мы видели,
что в этом случае множество точек Vn состоит из всех точек
кривой Сп, которую описывает —In (1—л:), когда л: пробегает
окружность \х \ = Рп~°°- Тем самым множество точек V есть'
„сумма" кривых Сп.
Трудность этого случая состоит в том, что Сп —не
окружность, но это — замкнутая выпуклая кривая, окружающая
начало координат, а существенное свойство окружности, связан-

J 02
Глава IV
ное с теоремой „суммирования", есть как раз свойство
выпуклости. Соответственно этому теория суммирования окружностей
может быть в следующем виде распространена на выпуклые кривые:
Множество точек, определенных суммой „абсолютно
сходящегося" ряда выпуклых кривых есть либо (I) область,
ограниченная двумя выпуклыми кривыми, одна из которых
целиком лежит в другой^ либо (II) область, ограниченная
единственной выпуклой кривой. В обоих случаях граница
входит в область как ее часть.
Далее, пусть кривые Си С2>... расположены в порядке
убывания площадей и пусть рп' и рп" будут максимальный
и минимальный радиусы-векторы^ проведенные из начала
координат к Сп. Наконец, предположим, что начало координат
находится внутри всех кривых Сп. Тогда мы находимся
со со
в случае (I), если р/> 2 ?п \ а в случае (II), если р/^ 2 Р»"-
п*2 п=2
В любом случае начало координат находится внутри по
отношению к внешней границе Г области, и {что очевидно)
если Rf, R" — максимум и минимум расстояния от начала
координат до Г, то
Если f(z) — аналитическая функция, регулярная при \z\^r,
то достаточное условие, чтобы f(z) описывала выпуклую
кривую, когда z описывает окружность |^| = Л состоит в том,
чтобы касательная к пути, проходимому f{z\ монотонно
поворачивалась на угол 2т:, когда z обходит окружность, т. е.
достаточно, чтобы arg {zf (z)} возрастал монотонно до 2тс.
Это условие выполнено в случае, когда /((г) = — In (1—z),
так как zf (z) = гД 1—z) описывает круг, содержащий внутри
начало координат, если z описывает окружность |z| = r<l.
Легко видеть далее, что выпуклая кривая, обегаемая
функцией—-In (1—z), заключает внутри себя начало координат
и что площадь ее возрастает с возрастанием радиуса г. Теперь
A\z\>\ln(l-z)\>Al\z\ (|г|<1)
и, таким образом, для кривой Сп
Рп<Арп—9 ?n>AiPn~°9 .
Это сразу показывает, что если о0 достаточно велико, то мы
находимся в случае (I), и что если о0 достаточно близко к 1,

Общее распределение значений C(s)
103
мы находимся в случае (II); область /?(а0) содержит
произвольно большой круг с центром в начале координат.
Только в случае окружностей критерий, данный в теореме,
позволяет нам при всех обстоятельствах определять, находимся
ли мы в случае (I) или в случае (II); для произвольных
выпуклых кривых критерий годен лишь в крайних случаях. Этот
критерий, например, не решает вопроса о существовании
абсолютной константы D' такой, что мы имеем случай (I) или (II)
соответственно тому, имеет ли место неравенство e0>D' или
1<°о = ^'в Обсуждение этого потребовало бы более
подробного изучения геометрических свойств тех специальных кривых,
с которыми мы имеем дело, и вопрос оказался бы значительно
более запутанным.
4. 52. Отношения между U, V и W дают нам следующие
результаты для In C(s)> аналогичные таковым для С (s)/C(s).
Теорема 47. На каждой прямой о = о0>1 значения
lnC(s) всюду плотны в области R (о0), которая либо (I)
кольцеобразная у ограниченная двумя выпуклыми кривыми,
либо (II) ограничена одной выпуклой кривой. Для доста*
точно больших значений о0, мы находимся в случае (II), а для
значений о0 достаточно близких к единице, мы находимся
s случае (I) *}.
Теорема 48. Множество значений, которые \nC,(s)
принимает в непосредственной окрестности прямой о = о0,
совпадает с R (о0). В частности, ( так как R (о0) заключает
любую заданную конечную область, когда о0 достаточно
близко к 1, lnC(s) принимает каждое значение бесконечное
число раз в полосе 1 < а < 1 ~|- 8.
Как следствие последнего результата, мы имеем:
Теорема 49. Функция С (s) принимает каждое
значение, кроме нуля, бесконечно часто в полосе 1 < о < 1 -|- 8.
Это более точная форма теоремы 43.
4. 6.
4.61. Выше мы видели, что In С (s) принимает любое
заранее указанное значение а бесконечное число раз в
полуплоскости о>1. Естественно поставить вопрос, как часто
принимается значение а, т. е. вопрос о поведении при
больших Т Ма(Т) — числа корней уравнения lnC(s) = a в полу-
*) Завершение теоремы — В оhг, Jessjen [3*]. Далее
Kersline г, Wintner [1*]. (Прим. перев.)

104
Глава IV
плоскости о>1, 0 < tf < 7\ Этот вопрос, очевидно, тесно
связан с вопросом о том, как часто при t—*оо точка
(axt> a2t,. . .,а2у^), фигурирующая в теореме Кронекера, которая
в силу теоремы (по модулю 1) подходит произвольно близко
к каждой точке N-мерного единичного куба, проходит на
заданном расстоянии от данной точки (Ь1У £а, ...,£#). Ответ на этот
последний вопрос дается следующей теоремой, которая
утверждает, что, грубо говоря, точка (я^,..., a^t) проходит близ
каждой точки единичного куба одинаково часто, т. е. не отдает
предпочтения какой-либо частной области единичного куба.
Пусть #!,..., aR линейно независимы и пусть ^ есть
область N-мерного единичного куба с объемом V. Пусть L{ (7)
есть сумма интервалов между t = 0 и t=T, для которых
точка Р (axt,. . .^a^t) находится (по модулю 1) внутри ^.
Тогда
lim I (T)jT=V.
Т->со
Если мы назовем совокупность точек вида (axt,. . .##0> no
модулю 1, траекторией, теорема Кронекера будет означать,
что траектория всюду плотна в единичном кубе С. Если теперь
Yx, ^2 — Два куба со сторонами, параллельными осям координат,
и с лежащими на траектории центрами Рх и Р9, которым
соответствуют значения t = tx и £2> т0 легко видеть, что
Нт/Т1(7)//Т8(Г) = 1*\
так как (я^,.., a$f) будет лежать внутри у2 тогда и только
тогда, если {^(f-Ma—*i)> • • •} лежит внутри ft. Рассмотрим
теперь совокупность р неперекрывающихся кубов с, внутри С,
со стороной е, каждый из которых имеет центр на траектории
и q из которых лежат внутри *('> во-вторых, рассмотрим
совокупность подобных кубов с', таких, что С содержится в
теоретико-множественной сумме Р из них и f — в
теоретико-множественной сумме Q из них. Так как траектория всюду плотна,
то возможно эти кубы выбрать так, чтобы отношения qjP и
Qlp были произвольно близки к V. Теперь, обозначая через
2 А?(Т) сумму /-интервалов в (0, Г), соответствующих кубам с,
т
лежащим в f, и т. д. ,
2 /с (7)/2 /с* ю^ ^тг ^£'«' w! 2 'осп -
Т G ? С
*) Кубы yi и 72» предполагаются конгруэнтными. (Прим. пррев.)

Общее распределение значений C(s)
10&
Устремляя Т к бесконечности, мы получаем
Р == Т =^ р '
Т-*оо
отсюда вытекает результат.
4.62. Мы можем теперь доказать следующую теорему.
Теорема 50. Существуют положительные постоянные
Л(а) и А'(а) такие, что число Ма(Т) нулей In С О) — а
при о>1 удовлетворяет неравенствам
А(а)Т<Ма(7)<А'(а)Т*\
Мы выведем нижнюю границу из более общего результата,
а именно, если а =- о0 является прямой, на которой In С (s)
подходит сколь угодно близко к заданному значению а, тогда
в каждой полосе а0 — 8<а<а0-|-8 значение а принимается
при больших Т и 0<£< Т более чем А {а, о0, 8) Т раз.
Для доказательства этого нужно привлечь рассуждения из
начала п. 4.36, использованные *для установления существования
корней уравнения In C(s) = a в полосе, и применить теорему
Кронекера в ее обобщенной форме. Мы видели, что
достаточное условие того, чтобы уравнение In I (s) = a могло иметь
корень внутри круга с центром o0-\-it0 и радиусом 28, состоит
в том, что для некоторого N и соответствующих чисел срь . .. 9 <p#,
а также некоторого г\ = ч\ (о0, 8, zx,. . ., oN)f
\ — t0lnpn — 2K*n—2Kgn\<y] (/i=l,2,..., N).
Из обобщенной теоремы Кронекера следует, что сумма длин
интервалов между 0 и Г, в коюрых'/0 удовлетворяет этому
условию, асимптотически равна (r\/2i:)N Г, и тем самым для
больших Т превосходит число -j (r\/2n)N Т. Тогда мы можем
выбрать в них более чем -^-(tj/2i:) ^Г/о чисел t0\ никакие два
из которых не разнятся меньше чем на 48. Если теперь мы
опишем круги с точками о0 -|- it0r в качестве центров с
радиусами 28, эти круги не будут пересекаться, и каждый из
них будет содержать нуль функции lnC(s) — a. Это дает
желаемый результат.
^Завершение рез\льтата см. Bohr, J e s s e n [I*]. {Прим. псрев.--

106
Глава IV
Что касается верхней границы для Ма(Т), то она следует из
более общей теоремы о том, что если Ь — любая заданная
константа^ то число нулей функции С (s) — be прямоугольнике
хз>у + 8, 0<t<T равно 0(Т), когда Т-*со.
Доказательство этого по сути дела таково же, как и
доказательство теоремы 34; функция C(s)— b играет ту же роль,
что £($) играла там. Наконец, число нулей In C(s) — а не
больше, чем число нулей С (s) — ea, и таким образом оно есть 0(7).
4. 7*>
Мы теперь обращаемся к более трудному вопросу!о1-по-
ведении С ($) в критической полосе *). Трудность состоит,
конечно, в том, что C(s) более не представима абсолютно
сходящимся рядом Дирихле. Но по способу, похожему на
примененный в доказательстве теоремы 37, мы в состоянии
получить в критической полосе результаты, аналогичные уже
полученным в области абсолютной сходимости. При a^gl In С ($)
определен на каждой прямой £ = const, которая не проходит
через особенности, при помощи аналитического продолжения
вдоль этой прямой из полуплоскости о>1.
Теорема 51. Пусть а0 — фиксированное число на отрезке
-о- < o^g 1. Тогда множество значений, которые In £ (s)
принимает на прямой а == о0, t > О, всюду плотно во всей плоскости.
Пусть
^(*) = С(*)П(1-яг').
п = 1
Эта функция, "очень похожая на oz (У) из теоремы 37, здесь
оказывается более удобной.
Пусть 8 положительное число, меньшее чем -я- (о о""" -s") •
Тогда легко усмотреть из доказательства теоремы 37, что при
^>Л^0(а0, е), Г>Го=7о(Л0,
т
||С# (a + *Y)--ll2^<eF
l
*) См. Bohr, J ess en [2*]. (Прим, пере*.)
^Bohr [Л [8], Bohr, Courant [1].

Общее распределение значений C(s)
107
равномерно при о0 — S^go^g^-f-S (°i > !)• Следовательно,
т *! + 8
J J |Cn(o + /0 — 1|аЛЛ<(01 — а0 + 28)еГ.
Поэтому
J J t Cw (a + tf) — 1 |2 da]dt < V~(°i — °o + 28)
2
для значений v, по мере больших, чем (1—Y~&)T. Для таких
.значений v и v—-^--l-S^f^gv-]--^ 8, ^^o^a^
интеграл Коши дает
о
при условии 0<г<8; итак, помножая на г и интегрируя,
получаем
2тс 5
I ^ (Ю — 119 - I -^г / / { Cw (5 + г^) - 1 Р rrfrrfei <
о о
так как круг интегрирования содержится в предшествующем
прямоугольнике интегрирования. Следовательно, задав ij< 1
f)'< 1, лш можем выбрать bus так, что
1Сяг(а + а) — 1|<yj (а0^а^О1) (1)
я значений t меры большей,
Л^ЛГ0(а0, Y), т,'), T^T0(N).
для множества значений t меры большей, чем (1 т)') Г
# для
Пусть
Я»(*) = — 2 Ln(l-p-s) (о>1),
Л* +1
где Ln означает главное значение. Тогда С# {s) = ехр {Д> (5) }.
.Мы хотим показать, что RN (5) = Ln С# (s), т. е. что

108
Глава IV
\^Rn(s) |<-о ^ при о^о0 и значениях /, для которых имеет
место (I). Это верно для о = о15 если ог достаточно
велико, так как f RN (s) | -> 0, когда о~> со. Также, согласно (1),
9т.£^О)>0 при Oq^o^Oj, так что %RN(s) должна
оставаться между — -у к Для всех значений о в этом интервале.
Это дает желаемый результат.
Мы имеем, таким образом,
I Rn{s) | = |Ln [1 -f {t.v(*) - 1 }] К 2 Kv» — 1 |< 2iq
для о = а0, N^N0(o0, % -/]')> T>T0(N),
на множестве значений t меры большей, чем (1—7}') ^-
Мы теперь рассмотрим функцию
Fx Оо + ") = - 2 1п (* - Л» - <*°+ "0 ==
11 = 1
= — S ln(l—/v?-",n*n),
м = 1
где гп~рп~а°', и в связи с этим функцию Л/ независимых
переменных:
ФИ?!,..., ?*)=— 2 1п(!— гпе*«%).
Множество V значений, которые принимает Ф#, определено
теоремой о выпуклых кривых. Максимум и минимум длин
радиусов-векторов, исходящих от начала координат к Сп, суть
Ря' = - In (1 - гп), р/ = In (1 + гп).
Так как 2рЛ" расходится, легко видеть, что мы будем иметь
случай (II) теоремы, если N, достаточно велико, и что для
достаточно больших значений N, V содержит любую конечную
область плоскости комлексного переменного. В частности, если а
любое заданное число, мы можем найти число АЛ и значения
чисел ср такие, что ФИ?1>---> 4n) = ci"
Мы' можем затем, по теореме Кронекера, найти число t
такое, что \FN (a0-f- it) — а | произвольно мало. Но это само
по себе не достаточно для доказательства теоремы, так как

Общее распределение значений C(s)
109
при этом значении t \Rx (s) | не обязан быть малым. Таким
образом, нужны добавочные рассуждения.
Пусть
N N со т
Фм,ж = — 2 Ш (1 — гпе^п)= ^ 2 - е2ит?»-
Тогда, записывая квадрат модуля этого выражения как
произведение сопряженных величин и интегрируя почленно, мы
получаем
111 N оо г2т
f $...{\Фм%к\**?*+1 •••***= S S "^<
0 0 0 п = М+ 1 м=1
JV оо оо
< 2 '» 2 '»-2<^i 2 4.
n = M+l m = l JW-fl
что может быть сделано произвольно малым надлежащим
выбором Му равномерно по N. Тем самым, согласно теории
интеграла Римана от непрерывной функции, следует, что, задав е,
мы можем подразделить (N—Ж)-мерный единичный куб на
кубики #v> каждый объема л, таким образом, чтобы
л2тах|Фм,#|2<уг2.
Следовательно, для М> М0 (е) и любого Л/>уИ мы можем
найти кубы общим объемом больше чем^-, в котором | Фж\ д-1 < е.
Мы теперь выберем нужное значение t следующим образом:
(I) Выбираем М столь большим и даем числам ерь • • • > 9м
такие значения, что
м
-2 ln(l— гй*2к/*»)=*.
Тогда из соображений непрерывности следует, что, задав е,
мы можем найти Af-мерный куб с центром (<рь • . •, 9м) и
стороной d>0, в котором
i-sin(i-r„^»)i<4-«-
п - 1

по
Глава IV
(II) Мы можем также предположить, что М выбрано столь
большим, что, для любого значения N, \Фм,n\ <~"з~8 в неко"
торых (N—Ж)-мерных кубах, с общим объемом большим,
чем -1-.
(III) Зафиксировав Mud, мы выбираем N столь большим,.
что при T>T0(N) неравенство \RN(s)\ < -g-э справедливо для
множества значений t меры большей, чемП x-dM)T.
(IV) Пусть I (T) будет сумма длин интервалов между 0 и
Ту для которых точка
( — tinрг/2к,.. ., — t Inpn/2k)
находится, по модулю 1, внутри одного из Af-мерных кубов,
определенных вышеизложенной конструкцией, полный объем
которых больше-н-" . Тогда по расширенной теореме Кро-
некера / (Т) > -^ d Т, если Т достаточно велико. Тем са-
ным существуют значения t, при которых точка попадает
в один из кубов и для которого одновременно \R (s) < -=- s.
Но для таких значений t
|lnC(s)-e|^|f^(0-e| + |/?ir(0|< 48+4"3==^
что и требовалось.
4. 8.
4.81. Теорема 52. Пусть -х- < а < (3 < 1 # пусть а
произвольное комплексное число. Пусть La, e, p (Г) будет
число нулей функции In С (s) — а {определенной как прежде)
в прямоугольнике а < а < р, 0 < / < Г. Тогда существуют
положительные константы А (я, а, |3), Л'(а, а, р) такиеу
что
А (а, а, р)Г<1а,а)р(Г)<Л'(й, «, Р)Г (Г>Г0)*>.
Это — распространение теоремы 50, которое, ввиду
теоремы 51, следовало бы, естественно, ожидать. Доказательство
*) Завершение этой теоремы см. Bohr, J e s s e n [2*]. (Прим.
перев.)

Общее распределение значений С (s)
111
слишком длинно для того, чтобы быть помещенным здесь гК
Но в доказательствах теорем 50 и 51 читатель уже мог
почерпнуть руководящие идеи, от которых оно зависит.
4.82. Непосредственное следствие теоремы 52 состоит в
том, что если Мъ,ю$ (Т) есть число точек в полосе си < о < |3,
0 < *< Г, где С (s) = ft, (ft ф 0), то Мь, в, р (Г) > A (ft, ос, р) Г
для Г> Г0.
Это в связи с теоремой 37 показывает, что значение 0 для
С (5), [если оно вообще попадается в полуплоскости о > -^-,
во всяком случае является исключительным, попадаясь
значительно реже, чем любое значение ft, отличное от нуля.
х) То, что С (5) принимает каждое значение, кроме нуля,
бесконечно часто в критической полосе, было доказано Bohr и
Landau [3], в предположении справедливости гипотезы Римана. Это
доказательство гораздо короче.

Глаза V
СЛЕДСТВИЯ ИЗ ГИПОТЕЗЫ РИМАНА
5. 1.
5. 11. Эта глава находится совершенно вином положении,
■чем предыдущие. Мы принимаем на протяжении ее
справедливость недокязанной гипотезы Римана, состоящей в том, что все
комплексные нули функции l(s) лежат на прямой а = -^-.
Таким образом, все теоремы в этой главе могут быть неверны.
Имеются две причины для исследований такого рода. Если
гипотеза Римана верна, она, повидимому, когда-либо будет
доказана. Эти теоремы займут тогда свое место как существенная
часть всей теории. Если она не верна, то мы можем, вероятно,
надеяться раньше или позже притти к противоречию. Пока вся
эта теория, поскольку она продвинута, является вполне
стройной и не обнаруживает признаков разрушения.
Гипотеза Римана, разумеется, не оставляет ничего
недосказанного про «горизонтальное» распределение нулей. Но из нее
мы можем вынести интересные следствия также и о
«вертикальном» распределении нулей и о наших «проблемах порядка».
Во всех случаях с этой гипотезой мы получаем гораздо более
точные результаты, чем без нее. Но даже доказательство
гипотезы Римана ни в коем случае не довело бы теорию до конца.
Тонкие свойства поведения функции С, (s) не были бы еще
полностью определены.
6. 12. Теорема 531}. Мы имеем
In С (<>) = О {(In О2"23 fe} (1)
равномерно для -~- < а0 <; а <^ 1.
l) Littlewood [1].

Следствия из гипотезы Римана
ИЗ
Здесь, как в большинстве случаев в этой главе, мы
используем гипотезу Римана в форме: «In С (s) есть регулярная
функция при о >-«- (исключая точку $=1)».
Мы сначала докажем, что
In С 0) = О (In t) (2)
равномерно для о^^--|- 8 (8 > 0). Мы применим теорему Ка-
ратеодори к функции In С (s) и кругам с общим центром в точке
3 1 3
2-f it и радиусами -^ g- & и "1] &•
На большем круге
»{lnC(5)}=ln|C(*)|<i41n/.
Также 1пС(2-|-й) = 0(1). Следовательно, на меньшем круге
2(4—тО
max i In t (s) |<-^Ц i-J.{OQnt)+0(l));
отсюда следует желаемый результат.
Мы теперь применим теорему Адамара о трех кругах
к кругам с центром в точке <зг-\~и (ог > 1) и радиусами:
/"1 = ^1 — 1 — 8, >2 = ai— °> гз = а1 2 8>
где -0--М < <Зо= а- Функция 1пС($) ограничена в
наименьшем из кругов и удовлетворяет условию (2) в наибольшем.
Пусть М максимум ее модуля в среднем круге. Тогда
М<Л(8)(1п01ппГу/1п^".
Теперь
,п^/,„^=,„(1+1±^)/1п(1+_4г>)<
< 2(1+8 —о) + в,
если ох = а1 (8,е) достаточно велико. Следовательно,
lnC(s)=O{(ln02(1+8-a)+e}-
Поскольку 8 и s могут быть произвольно малы, то это и есть
желаемый результат.
8 Зав. 598.

114
Глава V
5.13. Так как показатель у \nt в предыдущем результате
меньше единицы, коль скоро е достаточно мало, отсюда
следует, что
-eln*<ln|C(s)|<«ln* (*>*o(0),
т. е. мы имеем одновременно
С (*)=<>(*•) и -Л-= 0(f) (1), (2)
при о>-^-. В частности, функция Линделёфа |х(о) равна нулю
при o>-*-, а также, по непрерывности, и при о =-тр Этим
гипотеза Римана вполне определяет ее для всех значений о.
5. 2.
5.21. Теорема 54 1}. Ряд^р (п) n~s сходится, а его
сумма равна тгт-г для всех значений а больших, чем -к- .
Пусть
л*<*) = 2р(«). О)
Рассмотрим интеграл
2 + № со 2 +iT
2 — г*!Р «= 1 2-/2»
Мы можем предположить, что х равен половине нечетного
целого числа. Если я<лг, теорема о вычетах дает
2 + /Г 2 — /Т — со + /Г
2 — /Г — со - IT 2 + r'T
Теперь
2 Л-iT
— оо + iJP -co
так как \пх/п>А/х. Подобный результат имеет место для
другого интеграла. Если же #>л:, то мы берем интегралы
1) Littlewood [1].

Следствия из гипотезы Римана
115
вдоль (2 + /Г, оо ~\-1Т) и (2 — /Г, со — /Г), и член,
обусловливаемый вычетом, отсутствует. Тогда
Л(*)-^гТтщЛ+°(т)'
2 - /Т
Так как подинтегральное выражение регулярно при о > -к- >
то мы можем заменить этот интеграл интегралами, взятыми вдоль
прямых линий, соединяющих точки 2 — *Т, -^--j-8 — /Г, ~2~ +
Используя 5.13 (2), мы видим, что интеграл вдоль прямой
о в _ -j- 8 равен
в то время как остальные интегралы равны
2
°{ J •vff:r'"1+e^0l =0(**7,-1+«).
Беря Г = х8, мы получаем
Ж (*) = О UT+5 + 37 + О(1),
или просто
м(*) = оСД-+е). <2>
Теперь методом частного суммирования получается, что
ряд^^С7*) w~s сходится равномерно при а^о0>-^-, а так
как он представляет функцию 1/С($) при а> 1, то по теории
аналитического продолжения, он представляет ее также и при
Сходимость ряда 2 Iх (я) п~8 ПРИ ° > "о" есть, таким
образом, необходимое и достаточное условие справедливости
гипотезы Римана.
8*

116
Глава V
6.22. Результат 5.21 (2) может быть заменен более точным *>
М(х) = 0{х^ ехр(А-^г)}. (1)
Это, однако, требует гораздо более сложного анализа,
набросанного в п. 5. 71. Ничего больше в этом направлении
неизвестно. Это составляет контраст с соответствующими
результатами из теории простых чисел, в которой Ц (s)/i ($)
встречается аналогично тому, как 1/C(s) встречается здесь, и
где только степень \пх вызывает сомнения. Проблемы,
касающиеся 1/C(s), повидимому, исключительно трудны.
Гипотеза о том, что
М (х) = О (хт\ (2)
принадлежит Мертенсу. В ее пользу говорит некоторое
количество числовых признаков 2\ хотя в общей теории нет
доводов, поддерживающих ее. Аналогия между М (х) и
остаточным членом в формуле для тс(л:) наводит на мысль, что М(х)
может в действительности содержать медленно возрастающий
сомножитель такой, как In In In л;, который не проявляется
заметно в пределах, доступных для вычислений.
Если гипотеза Мертенса верна, то все нули функции С (s)
простые®.
Действительно, если о > -^-,
jfe-S^-S-wte-piur}-
1
Если (2) справедливо, отсюда следует, что
*) Landau [8], Titchmarsh [31.
2) V. Sterneck [l].
*) Cramer, Landau [1].

Следствия из гипотезы Римана
117
Поэтому каждый нуль на прямой о = -к- должен быть простым,
а также, если -o-+r)f есть н^ль, то
1_
Не составляет большого труда вывести отсюда неравенство
для 1/С' (-о" + #), годное для всех значений /.
Ввиду подозрения, под которым остается (2), имеет
некоторый интерес заметить, что для доказательства простоты нулей
достаточно было бы знать лишь, что
М{х) = о(х* lnx), (5>
так как тогда мы выводим из (3), что при любом фиксирован-
1
ном f, при о —► —,
с
^Н|_^_л}=0{_1_.}:
а это было бы неверно, если бы t являлось ординатой кратного нуля»
Во всяком случае ничто более сильное, чем (2), не может
иметь места; иначе говоря,
M(x)=Q{xy. (6)
Это справедливо независимо от какой-либо гипотезы, потому
что, если этот результат неверен, то так же, как в п. 5.21,
следует, что верна гипотеза Римана. Так что, если гипотеза
Римана неверна, то результат верен. Таким образом, нам остается
рассмотреть лишь тот случай, когда гипотеза Римана
справедлива. Но тогда, если (6) неверно, т. е. если М (x) = o(Y'x)> мы
выводим из (3), что при фиксированном /, когда а -* -i-,
Но это неверно в случае, когда t есть ордината нуля, так что
(6) доказано.

118
Глава V
5.3 Функция v (о) х)
6.31. Мы теперь определим функцию v(a) при о>у как
порядок lnC(a-f-r7) относительно In t\ иначе говоря, как нижнюю
грань чисел \ таких, что
lnC(s) = 0(ln*/).
Из абсолютной сходимости ряда Дирихле для ln£(s) следует,
что v(a)<;0 при а>1. Тогда (как и в п. 5.12) из теоремы
Каратеодори и того факта, что C(s) = 0(^), следует, что
v(o)<oo при а>-2* (на самом деле v(o)^l).
Далее, v (a) является выпуклой функцией от о. Это
доказывается по методу Фрагмена и Линделёфа, как и в случае
функции \l(g)2K Мы рассматриваем
*(s) —In С (s){ln(-/*)}*«>-•,
где k (s) — линейная функция от s, которая равна v(aj) при
0 = 0! и v(o2) при a = a2; g (s) ограничена при 0 = ^, a = o2,
а следовательно, равномерно ограничена в полосе, и результат
следует отсюда обычным образом.
Тогда v(o), как и jx (о), непрерывна и не убывает в любой
области, где она конечна. Далее, ряд Дирихле для lnt(s)
со
показывает, что v(a) = 0 при о>ои где 2-^ = 2 At (я) л-ч;
w = 3
незначительное изменение рассуждений, которые показывают
выпуклость v (о), дает нам, что v (о) не может быть
отрицательной (и, в частности, не может быть — оо) для о>-^.
Итак, v(a) = 0 при о>1, O^gv(o)^£l, и v(o) выпукла
при о>-§-. Кстати, это дает новое доказательство теоремы 53.
5.32. Точное значение v (о) для любого значения о, меньшего
чем 1, неизвестно. Все, что мы знаем, это
Теорема 55. При ±<0<i
l-a^v(o)^2(l -a).
Верхняя граница — это теорема 53, а нижняя граница сразу
получается из теоремы 17. Та же нижняя граница может быть,
однако, получена другим и в некотором отношении простейшим
путем, хотя это доказательство, в отличие от первого, суще-
1) В о h г, Landau [3], L i 111 e w о о d [5].
2) См. п. 1.52.

Следствия из гипотезы Римана
119
ственно зависит от гипотезы Римана1). Прежде чем приступить
к самому доказательству, нам потребуются некоторые формулы,
содержащие С (5),
5.4.
5.41. Приближенное функциональное уравнение для
С (s)/C(s). В п. 2.21 мы получили приближенное функциональное
уравнение для C(s), комбинируя формулы 2^"s и У.^^8"1»
которые представляют функцию соответственно при а > 1 и при
«з < 0. В случае С (s)/£ (s) мы также имеем две формулы, на
этот раз обе имеющие силу при о > 1:
С'(д) _ViA(«) h . _J I 1 Г'(1 + у*)
cw -Д ns - °+,-1+2 Г(1 + ;5)
Мы можем сочетать их в формуле 2)
С(5) ~^J «з 1—5 ^J 2tf + s ',£p—s' w
которая верна при х > 1, 5 9^ 1 > 5 ^ — 2q, s =f= р.
Последние три члена в этой формуле могут быть, по
гипотезе Римана, заменены сравнительно небольшим остаточным
членом, так что мы получаем приближенное функциональное
уравнение для C'(s)/C(s), справедливое при а>-ь •
Это, однако же, не есть та формула, которую мы
собираемся использовать.
Мы уже испытали (в пп. 2.42, 2.51) преимущества
применения рядов вида ^йпе"Ьп, где 8 мало, в качестве
приближения к 2aw> перед обычными частными суммами 2 ап- При-
п <N
сближения первого типа гораздо проще в доказательствах и
столь же эффективны в приложениях.
*) Bohr, Landau [3], Little wood [5].
2) Handbuch, стр. 353 19].

120
Глава V
5.42. Теорема 56^. При t -> оо
-Ш = 2^е-8п+288-рГ<Р-*> +О(ГГ1п0 (1)
р
1 9 ■•/—
равномерно при -^^о^-^г , *-у* ^;8<;1.
Мы имеем (как в п. 2.42)
2 -f ioo
^'-•—i/ r(»-s)^|ls..»^.(2)
2 — ico
Мы переносим контур интегрирования на прямую R(w) =
= Х> применяя теорему Коши к прямоугольнику -j± iTt2z*z
±1Т, и устремляем Г к бесконечности по последовательности
значений, гарантирующей отсутствие особенностей у подинте-
грального выражения. Так как Г-функция экспоненциально
стремится к нулю, то этот процесс может быть без труда обоснован,
например, используя теорему 18. Подинтегральное выражение
имеет полюсы в точке w = s с вычетом £'($)/£ (s), в точках
w = p — с вычетами Г (р — ^) 8s-p (мы считаем кратные нули с
их порядком кратности) и в точке w = 1 с вычетом
1
- Г (1 - s) 8*-* = О (е~А<) = О (8 * In t).
Остаётся только проверить, что
S Г(™~^Т<& bs-wdw=0(b~ 4 In/).
1
г-*со
Теперь, согласно лемме из п. 1.83 и гипотезе Римана,
C'(w)/C(w) = 0(ln|2 + *|),
1 ! •
если w = -4~"Г^> и
— 2
!) Littlewood [5].

Следствия из гипотезы Римана
121
Результат теперь получается из того, что
оо 2t
f e-A\*-*4n\v-{-2\dv = О (In 0 J**-^*-*! dv +
-oo •
ОО 1
-fol Je~"2j41"1 ln|z» + 2Uz»l = 0(lnO + 0(l) =
—ОО
= О(1п0-
5.43. Предыдущая формула позволяет придать теореме 5$
более точную форму.
Теорема 57 х). Жм имеем
4f-01(Ui/)—•l,WW-o{J^fei} <1>
равномерно при ~~ < °о = а = °i < * •
По теореме 56
р
— !
+ 0(8* ^ lnty
Далее
S-
4U п"
2 + ioo
= —к S Г(«»-*)Ш-8—^~Г(1-о)8.-1;(2).
2-/оо
на значение интеграла преобладающее влияние оказывает полюс
при -80 = 1. По асимптотической формуле для Г(<г)
1Г(р —*)|<Л*-41т-м
равномерно для всех о в рассматриваемой области. Тогда
оо
2|г(Р-*)|<л2«-4"-*' =лЦ 2е-л*-п,
1) Littlewood [5].

ш
Глава V
и, так как в каждой внутренней сумме число членов меньше,
*гем A ln(t-\~ n -f- 2), вся сумма меньше чем
оо
A 2 1п(/ + л + 2)*-^<Л1п(2*+2) 2*~Ап +
+ А31п(2я+2)в--4» = 0(1п/).
Следовательно,
-Щ-г^О^'-О + ОС8' 2 1п0+О(8Я 4 In О,
ti, беря 8 = (1п£)-2, мы получаем первый результат.
При Oq^o^Oj
mi:(5)=ini:(e1+i/)-J^^rf«=o{0n^-»^+*j +
с
4- о{ J On о*-аи rf«} = о {(in о2-271 +e} -f о {in o2-2Vin in /}.
a
Если о ^g o2 < ox и e < 2 (ax — o2\ это как раз и есть
требуемый вид; так как ох и о2 могут быть взяты сколь угодно
близкими к 1, то получаем искомый результат.
5.44. Для доказательства теоремы 55 нам потребуется
приближенная формула для In С (5).
Теорема 58 1}. Для фиксированного а и такого о, что
4~<а<° = 1> и ПРИ *~У*^8^1
Ш С (5) = 2 Л1 (л) я-8 *-5,г + О { 8°-* (In ty№ } + О (1). (1)
Доказательство начинается тем же путем, как и в теореме 56,
*но на этот раз мы сдвигаем контур только до прямой
SR{w) = cn> и сумма по р не появляется. Если w = a-\-iv9
С («О _ 1 Г In С (г) ^_
C(t») "" 2и£ J (* —w)*
= О [-1-{In (M +2) }'<«->+•],
») Littlewood [5].

Следствия из гипотезы Римана
123
или, так как v(o) непрерывная функция, просто
I
Следовательно,
^5L.O[{iii(M42)}'M+.].
a-f/oo
J v С (ДО)
oo
= о Га»-* f в-^»-*1{1п(|1»|4-2)}ч(«)+«^1
—oo
м, как в п. 5.42, последний интеграл равен О {(lnf) v(a>+e} +
+ 0(1). Следовательно,
—Ш==2-:^1в"8"+0{8'""(1пОЧа)+е}+о(1)-
Этот результат имеет место равномерно на отрезке fо,-уJ
так, что мы можем проинтегрировать по этому интервалу. Мы
получаем
In с (5) _ 2 At (Я) n-e*-*n - о { 8°-* (In О Ч«0+«} - о (1)=
5.45. Новое доказательство 1} того, что v(o)^l—a.
Теорема 58 позволяет нам распространить метод диофантовых
приближений, уже примененный для значений о > 1 к
значениям а, заключенным между у и 1. Мы имеем, по теореме 58,
9t In С О) = 2 Л1 (я) «"'cos С1п ") *~8п +
4-0 {8°-«(lnf)v(a)+e} +0(1)= 2 A1(/i)/i-»cos(*lnfl)e-*» +
+ 0(2 е-8») + О { 8—(In 0'(a)+e} + 0(1) (in
n>N v '
для всех значений N. Теперь, по теореме Дирихле (с т = 2тс),
существует число t9 2fK^==t^2nqN и целые хи. .., лгдг, такие,
что при заданных N и q
\tlnn/2*-xn\^l/q (л = 1, 2,..., N).
i) Littlewood [5].

124
Глава V
Предположим на некоторое время, что это число t
удовлетворяет условию теоремы 58, т. е. что е—Vt <;8. Для такого t
2 A1(/i)/i-<'cos(«nn)e-8»>2 Ai(*)*-e{1 + °(1/ff)}*-8ne
= 2 А1(я)я-в-*» + 0(7а) 2 я-.
Последний член равен 0(q-1N1~") и
2 Aj («) л-e-^-ji^ 2) Л (") «-'«-Sre^
sw£a(„)„-.«-..+o(2-)>^-'+o(^>
согласно п. 5.43 (2). Таким образом мы получаем из (1)
^1пС(,)>Л(а)^+0(^) + 0(^) +
+ О { 8»-« (In *)v (а>+е} + О (1). (2)
Возьмем теперь q = N=[b-a], где я>1. Тогда второй и
третий члены в правой части равны 0(1) и, так как
1п/^Л + ЛПп?<Л8-<Чп(1/8),
мы получаем
Шп С (^) > (In *)i-<M-4-f- О {(In *)«-'+Ч«)+ч'}, (3)
где v\ и т)' суть функции от е и а, стремящиеся к нулю вместе
сей а— 1.
Если первый член в правой части (3) имеет порядок
больший, чем второй, то сразу следует, что v(a)^l—о. В
противном случае
ос — g+v(cc)> 1 — а.
Так как второй случай сводится к первому, когда ос -» о, та
отсюда вытекает нужный результат.
5.46. Мы должны еще показать, что число t в предыдущих
рассуждениях удовлетворяет условию е- Vt ^ 8. Предположим,
что, наоборот, 8 < е" (для некоторых достаточно малых
значений 8). Теперь, как в п. 1.13, для а> 1,

Следствия из гипотезы Римана 125
при #^6. Беря о = 1 -j- In 8/ln N> получим
^(°+»)>Т^ = Ш8>А1аТ>АУ<- <2>
Но так как #t£ (о -(-//)-> оо, согласно (1), и / > 2тс, то
следует, что *—юо, и (2) противоречит теореме б. Это завершает
доказательство.
6.5. Прямая о=1.
Из римановой гипотезы порядок £($) на прямой а=1 может
■быть точно определен, и остаются лишь проблемы определения
точных значений констант.
5.51. Теорема 591}. Мы имеем
| In С (1 + U) | ^ In In In * -|- Л. (1)
В частности,
С (1 + tf) = О (in In О, 1/С (1 + tf) = О (In In О; (2)
3
Беря в теореме 58 о = 1, а = -— , мы имеем
|1пС(1+й)1< 2)Л1(й)л-1^-^+0(84 In0+ 0(1).
Теперь
<S p-»+o(i)<S /'-1+5(p2-p)-1+o(i).
Здесь вторая сумма равна 0(1), и 2)
2 р-1 = 1Шпл;+0(1)>
Р <я
так что
2 Ах (л) я-1 *-8" = In In 1/8 -f 0 (1),
Л
|1пС(1 + «)1<Ып1/8 + 0(8 4 1пО + 0(1).
Полагая 8 = (1п<)-4, мы получаем требуемое.
*) Lit tie wood [5].
2) Handbuch, § 28.

126
Глава V
5.52. Сравнивая 5.51 (2) с теоремами 7 и 10, мы видим,
что, поскольку дело идет о порядке функции, полученный
результат окончателен. Однако, возможно, развивая наши
исследования, получить интересные результаты относительно
соответствующих постоянных. Мы уже знаем, что вне зависимости от
какой-либо гипотезы
где ^ — эйлерова постоянная. Из гипотезы Римана мы можем
вывести, что
где И5ГЦЙ^^2Р(1)^, (2)
Р(1)= И"1 п-Ь(а)/(1-о).
Из теоремы 55 следует, что (3(1)^1, так что (1) и (2)
отличаются самое большее множителем 2. Если, что вполне
возможно, v(o) = 1 — о, то р (1) = —, и постоянная
определена точно.
Соответствующая проблема для 1/С(1 + Й) является, как
обычно бывает, гораздо более сложнойх). Здесь мы можем
доказать только, что
ТрТТ)Ж—llm—in in* sSW)**
где 6 = 6гТтс-2, а & — число, появляющееся из диофантовых
приближений, про которое мы знаем лишь, что -^-^g&<;2.
Тем самым эта проблема была бы решена, если бы мы смогли
доказать, что (3(1) = — и &= 1. В настоящее время мы можем
только сказать, что
- £-П5|1/С(1 + <0|--5*
8 "="m in 1П* Ш*0-
5.6. Функция S(t)
5.61. Мы начнем с доказательства формулы, связывающей
In С (s) с остаточным членом в формуле для N(t).
Мы пишем
^(0-sr^n<—^-/ + -J- + «(Q, (1)
1) Little wood [6].

Следствия из гипотезы Римана 127
так что R(t) = S(t) + 0(l/t). Тем самым R(t).nS(t) не
слишком разнятся друг от друга, но иногда гораздо удобнее-
бывает рассматривать первую из них.
Пусть
Т(0=1йТй<1-51(«)| (*>1), (2)
так что <р (t) положительна и не убывает при i > 1.
Теорема 60 1}. Ми имеем
mew--'/"—*}^**Щ*Щ+о<х) о>
равномерно при о > -^-, 0 < .х < -к- /.
Полагая s = -~--\-iz, гДе 3(г)<0, мы имеем
4-*(*-i) c(S)r(i-5)1c"TS = s(^) = s(o)n(i-^)>
где числа fw вещественны, и число тех из них, которые по-
модулю меньше чем Г, равно N(T). Теперь
Тп+1 § °° .
-2й J »<*-*) ^'JxJ-^^^
Tw
Ti
Подставляя для ЛГ(и) ее выражение (1), мы получаем-
несколько интегралов, которые могут быть вычислены
обычными методами, и интеграл, содержащий R(u). Результат таков:.
In Е (*)=-!/* In г—\ъг — I feIn 2ice +-3-10^ + 0(1) +
i) Titchmarsh [3].

128
Глава V
С другой стороны, по асимптотической формуле для Г (s),
• 1
lnj~i-s(s— l)r(-i-s)ir 2 l = -g-feln*—\'KZ —
Следовательно,
Yi
Теперь [используя равенство Sx (и) = О (и) при и > 2t]
со
5(«)
f
в{",+(—Ш
Stjt + x)
(* + *){(' + *)" + (*—J-) }
_ _1 \21
1 \2
+ { / Л—i 7 lVSlW^ =
Также
00
С интегралами по (y^ £—л:) можно поступить таким же способом^

Следствия из гипотезы Римана
129
Следовательно,
Но
t+x
Г*
t — х
<!_D_*(a),„ + o(^l) + 0(1),
■(-#
в{*+(.-4)'} -"""«-/(-Ч) и-^~т
f +£С
и результаты
'f "^л-о(1), "Г" ^^-^ = 0(1)
J J «-Ч*—г;
t — X t — X
легко получаются интеграцией по частям. Отсюда вытекает
требуемый результат.
5.62. Теорема 61 1}. Мы имеем
!-
5(0 =2 {О О2 '}
и j__
Берем в теореме 60 х = In *. Тогда, в силу того, что <о (t) =
= О (In О,
t + \nt
lnC(s)-= —
(D-
t — 1П £
Предположим, что 5 (*) = О (1пх *)> т- е- что Л (0 ^ ° (1п>ч О*
Тогда для фиксированного о > -=-
in; (5) = o{in4
« — In *
= 0(ln41nlnO-
dw
*+■-#
i) Landau [i], Littlewood [5].
Q Зак. 598.

130
Глава V
Если л<-п-, это противоречит тому, что v (о) ^ 1 — а для
достаточно близких к -s- значений о. Следовательно, Х^-^-, а это
й есть первое из утверждений теоремы.
Далее, интегрируя по частям, мы получаем (для зафиксиро-
In
ванного значения а
*-1п £
и второе утверждение доказывается тем же способом.
Если мы определим а как нижнюю грань чисел X таких, что
S (0 = О (In* /),
то предыдущие рассуждения показывают, что
«^ lim v (a).
Проблема порядка 5(0» таким образом, тесно связана с про-
блеМой поведения v(o).
5.63. Можно также доказать «односторонний» результат того
же типа, а именно, что и оба неравенства ^
j^ _ 2
s(0>(in*)2 s , S(*)<-(in02 S
имеют решения при произвольно больших значениях t.
Этот результат основывается на том, что мы знаем о v(a).
Так как две функции Мах {±^^п^(5), 0 } обе имеют ту же
самую v-функцию, как и lnC(s), а из этого следует, что если-
о > -у , то оба неравенства
arg С (5) >(ln ty <•> - е, arg С (s) < — (In *)*> - е
имеют решения при произвольно больших значениях t. Нужно
только показать, что они еще верны при о = — .
1) Landau [1], Bohr, Landau [3].

Следствия из гипотезы Римана
131
5. 7.
5.71. Теорема 621}
Полное доказательство этого слишком длинно, для того
чтобы быть помещенным здесь. Но мы укажем основные идеи,
на которых оно основывается.
Во-первых, из того факта, что N(Т) монотонна и равна
О (In 7), элементарным путем следует, что, если © (7)
определена, как в 5.61 (2),
s(t) = o[Vmt*(2t)]; (О
наличие © в степени меньшей, чем первой, является важной
особенностью этой формулы. Отсюда следует, что первый член
в правой части 5.61 (3) зависит от ]/"<?, и мы получаем
In С (s) = О {xln In T /in/? (40 } -f О {х-1 <? (4/)} + О (1)
при о — у^ 1/In In 7, 4^/^ Г. Мы выберзм х так, чтобы
первые два члена были одинакового порядка и получаем
JL 1 L
In£(s) = O[(ln040nlnr)2 {<р(4*)}4]- (2)
Здесь ср встречается попрежнему в степени меньшей, чем первая.
Мы затем применим теорему Адамара о трех кругах, чтобы
улучшить равенство (2), в основном тем же способом, каким
мы улучшили 5.12 (2) до равенства 5.12 (1).
В результате такого рассуждения мы можем разделить
правую часть (2) на степень In Г, возрастающую вместе с а; мы
получаем приближенно
In С (s) = О [(In Ту V *'(1п1п7)г {<р(40}*]. (3)
Теперь, по теореме 39, Sx (t) зависит лишь от интеграла, от
In | С (s) ], взятого по а, и эта интеграция, примененная к (3),
дает нам добавочный множитель In In Г в знаменателе. В самом деле
2 I _JL 1
j In |C (s) |rfo = О [(In Г)4 (In In T) 3 {?(40}4Ь (4)
2 ^ In In Г
i) Landau [6], Cramer [1], Lit tie wood [4], Tit с h mars h [3].
9*

132
Глава V
Мы также находим, что интеграл по отрезку (-^ , -к Т Vn *п м
имеет тот же пэрядок. Левая часть (4) может быть, таким
образом, заменена на S^t). Если мы, таким образом,
пренебрежем разностью между /и Ги между различными кратными t>
мы получим
I _i i
9(0 = O[(ln04(«nln0 * {?(*)}4h
что дает нам результат для S1(t). Результат для S(t) следует
тогда из (1).
5.72. Теорема 62 позволяет также нам доказать неравенства
для C(s) в непосредственной близости прямой а = тг — область,
в которой не действуют методы, подобные примененным в
теореме 57.
Теорема 63 1}.
Так как по теореме 62
Ф (0 = О {In//(In In О9},
то теорема 56 дает
t -fa?
ш|С(*)|=- Г Щ—r-f/?(«)flf«+
+ 0{пшЬ}+0(1)=
R{t — v)—R(t-\-v)) dv +
1
+ °{т([Ж7я}+0(1)-
2) Littlewood [4], Titchmarsh [3].

Следствия из гипотезы Римана
133
Теперь, полагая N(T) = M (7) + Я (7),
R (* — и) — R(t -f-tf) = ЛГ(* — *)—ЛГ (f + *) +
+ Л* (*+*) — Af(f — х>)^ Л* (' + *) — Af(<— *)
(так как N(t) не убывает), а это последнее выражение меньше
Avlnt, так как М' (t) = О (In /). Следовательно,
1.|с<»М<^/5^т_*+о1гя^} + оо)<
< Лл: In * + О [In //{jc(ln In О2}] + О (1);
беря лг=1Дп1п/ и переходя к пределу при о->-^-, получаем
требуемый результат.
5.73. Теорема 64 1}. Жк имеем
^ = 0{^}£+1±П^1-Ь), (1)
«*<<в> = °(щш) (т^'^т+ею). (2)
— А~Лп{ £ \<1«|С(*)|<Мгт^ (3>
In In/ \(s_i)inln/» ' ' lnln< ^'
U 2 ' lnlnj"
Из i их (1) является распространением теоремы 57 на более
широкую область. Используя результат теоремы 62 в теореме 60,
получим
"'">=0(^ire)+»|«!+»m
беря х= \j\nlnt, получаем результат для Q = ^-\-l/\n\nt. Тот
же результат получается в общем случае из теоремы 57 по
методу Фрагмена—Линделёфа.
х) Titchmarsh [3]. Некоторый результат в этом направлении
получил Cramer [3].

134
Глава V
Далее х _ _i_
argC(^) = / ° 2, ,{*(* + *) +
+ R{t-v)}dv + 0 {*&>} +
+ 0(1) = о|г^ Г '~\ dv\ +
+ 0{T(inw} + 0(1>'
и (2) следует, если принять х= 1. Наконец, верхняя граница
(3) следует из п. 5.72, и
что дает нам нижнюю границу, если принять х = V^n In *•
5.8. Теоремы о средних значениях для S(t) и 51(/)1).
Функция tcSjCO* как мы знаем из п. 3.72, представима по
существу интегралом
2
Jln|C(o-j-«)|rfa.
Если мы вычислим интеграл из 5.44 (1) и отбросим некоторые
остаточные члены, то получим
2 А2 (л) /г" 2 cos (7 In я) е-\
где AaCfl^A^/O/ln/i.
Среднее от квадрата модуля этого выражения по отрезку
(О, Т) может быть вычислено по способу п. 1.23. Результатом
этой несколько вольной процедуры является
1) L i 111 e w о о d [5], T i t с h m a r s h [2].

Следствия из гипотезы Римана 135
Но результат верен, и подобные результаты имеют место для
интегралов от St(t) высших порядков; каждая интеграция
упрощает положение.
Случай самого S (t) гораздо более труден. Ряд,
соответствующий стоящему справа в (1), есть V { Ах (я) }2/я; он
расходится, так что мы должны ожидать, что среднее квадрата 5 (/)
на (О, Т) имеет порядок более высокий, чем Т. Действительно,
мы можем доказать, что
т
f\S(t)\*dt>AT\nlnT, (2)
о
но точное поведение этого интеграла остается тайной. С другой
стороны, мы можем доказать, что
т
j\S(t)\dt = 0(Tln\nT). (3)
о
Лучшая известная верхняя граница для (2) получена из (3)
н теоремы 62 и равна АТ\п Т.
45.9. Необходимые и достаточные условия справедливости
гипотезы Римана.
Мы упомянули об одном из таких условий в п. 5.21, а
именно о сходимости 2«-(я)/г-8 при о> ---. Другое
необходимое и достаточное условие !) состоит в том, чтобы
Цт,!-1)!С(2я) =°(*« ), когда *-> со.
Условие совсем другого типа, объяснять которое здесь было
бы слишком долго, было дано Франелем2).
1) Riesz [1], Hardy and Littlewood [2].
2) Franel [1], Landau [11].

Глава VI
ГИПОТЕЗА ЛИНДЕЛЁФА
6.1.
6.11. Гипотеза Линделёфа состоит в том, что Ц-9"~М0~
= 0(YS), или, что приводит к тому же, что С (о + it) = О (/s)
для любого о^-j. Оба утверждения, согласно теории функции
|а(о), равносильны тому, что а (з) = 0 при а^у. В пользу
этой гипотезы говорят различные теоремы в главах I и И.
Мы также видели, что гипотеза Линделёфа верна, если верна
гипотеза Римана. Однако, обратный вывод не может быть
проделан. Тем самым представляет интерес извлекать следствия из
этой менее ограничительной гипотезы, так как она может
оказаться верной, даже если гипотеза Римана не верна, и во всяком
случае может оказаться более легко доказуемой.
6.12. Теорема 65 г\ По гипотезе Линделёфа
т
j1 С (e + Й) |* dt~ T^dl (л) л-* (1)
для каждого целого k и о > у.
Это следует сразу из теоремы 28, в которой мы можем
теперь взять Х=:0.
Можно получить сходный результат и для нецелых
значений k, но это требует дополнительных рассуждений 2).
О Hardy, Li tt J e wood [5]
2)Titchmarsh [6].

Гипотеза Линделефа
137
6.13. Теорема 66 1}. Справедливо обращение теоремы 65,
2;
т. е. если 6.12 (1) имеет место для каждого k мо>-н, тс*
гипотеза Линделефа верна.
Достаточно принять просто, что
т
для всех k и а>тг. Если С(о-|-#) не есть 0(£е), то найдется
положительное число \ и последовательность чисел sv = о -\- it у.
таких, что к, -> оо и
|C(Oj>ax (C>0).
С другой стороны, мы знаем, что при t>: 1
\V(s)\<ET*;
Е и F—суть абсолютные положительные постоянные.
Следовательно,
t
|С (0 + /0-С (a+/OI = |/C4^ + ^)^|<2^(^ —О 'f <
< у ^ ,
если \t—^l = A>"~F и v достаточно велико.
Тогда
2
Возьмем Г= jrA>, так что интервал (tfv — t^~F, t^-\-t^F)
содержится в (Г, 27), если v велико. Тогда
что противоречит предположению, коль скоро & достаточна-
велико. Отсюда следует утверждение теоремы.
1) Hardy, Little wood [5].

138
Глава VI
6.14. Мы можем получить подобные результаты, если нам
дана формула для среднего значения не для всех k, а просто
для частного значения k.
Из общей теоремы о средних значениях аналитических
функций 1} следует, что если для какого-то значения Ъ
7
-L Г|С(о+«)|»Л=0(7«»),
t
тогда
С(о4-«)==0(*1+1/2*)-
Например, если мы смогли бы доказать, что равенство
т
т/1с(т + Л)ГЛ==0(г,)'
1
верное для А = 1, & = 2, имеет место также при &=4, мы
могли бы вывести, что
'(т+«)-<#+,>
6.15, Теорема 2) 67. Необходимое и достаточное условие
<для справедливости гипотезы Линделёфа состоит в том,
чтобы
т
тЛс(т+й)ГЛ=0(7Ч)
6
■для любого k.
Необходимость очевидна, а достаточность может быть
доказана методом п. 6.13.
6. 2.
6.21. Мы сейчас рассмотрим связь между гипотезой Линде-
.лёфа и распределением нулей. Гипотеза, несомненно, не влияет
на наши результаты о порядке N (с, Т). Но она дает новый
результат относительно числа нулей, которые могут попасть
х) G.H.Hardy, A. E. Ingham, G. Poly a, Theorems
concerning mean values of analitlc functions, Proc. Royal Soc. (A), 113
41927), стр. 542 — 569 (Теорема 2).
2) Hardy, Little wood [5].

Гипотеза Линделёфа
139^
в прямоугольник 7,^/<7,-}-1,. а0<до<1 (°о > Ту > и
Равносильна некоторому предположению об этом числе.
Теорема 68 1}. Необходимое и достаточное условие
справедливости гипотезы Линделёфа состоит в том, чтобы для
каждого о > у
N<?> Т+1) — Ща, Т) = о(\пТ). (1)
Необходимость условия доказывается легко. Мы применяем
формулу Иенсена
1п^£^=^.Н/(геге)1^-1п|/(0)|
о
3 1
к кругу с центром 2-f-# и радиусом -у— -^-о, /(s) = £ (5)
По гипотезе Линделёфа правая часть меньше, чем о (In t),
и, если существует Af нулей в# концентрическом круге
3 1
радиуса-7J- — -у^> левая часть больше, чем
И(1-Ж-И-
3 1
Следовательно, число нулей в круге радиуса у— у 8
равно о (!п £), и устанавливаемый результат с о = у-|- 8
очевидным образом получается путем наложения некоторого количества
таких кругов.
Обратный вывод более труден. Следующее доказательство
предложено Литтльв}^дом2).
6.22. Пусть Сх — круг с центром 2 -\-iT и радиусом ~ —8
{Ъ > 0) и пусть 2i означает суммирование по всем нулям С (s)
в Cv Пусть С2 — концентрический круг радиуса у — 28.
Тогда для 5, лежащей в С2,
1) Backlundf4].
2) Littlewood[4]*

140
Глава VI
Это следует из 1.83(1), так как для каждого члена, входящего
в одну из сумм
V _L_ V —L_
AJx s — р ' Ы $ — р >
l*-Tl<l
но не входящего в другую, \s — р|=^8, и число таких членов,
есть О (In Г).
Пусть С3 — концентрический круг радиуса-^ —38, С —
концентрический круг радиуса -~ • Тогда ty(s) = o(lnT) при $г
заключенном в С, так как каждый член равен 0(1), и,
согласно предположению, число членов равно о (In Г). Тогда теорема
Адамара о трех кругах дает для s в С3
|<К5)|<[О(1пГ)}«{О(1пГ)/8}0,
где а-|~р = 1, 0<{3 <1, а и ,8 зависят только от 8. Тем
самым в С3
<!?(,s) = o (In Г),
где символ о зависит от 8.
Теперь
2
J 4* О) <fo = In С (2 -J-tf) — In c(g- + 38 + /Л —
±•435
_2i{ln(2 + W-p)-ln(-i + 38 + tf-p)} =
= 0(1) — in С(-5- +38-f й) + о(1пГ) +
+ 21ln(y+38 + «-p),
так как 2i содержит о (In T) членов. Также если /= Г, левая
часть равна о (In Г). Далее, полагая t= T и беря вещественную»
часть, получаем
1п|с(у+ 38 +/Г) |=о (In П + 21 ln|4+38 + *T—p
Так как
, +38 + /Г—р <Л в Q, то следует, что
. 1пк(4 + 38 + |Т)|<о(1п7),
т. е. что гипотеза Линделёфа верна.

Гипотеза Линделефа
141
6.31. Теорем а691}. По гипотезе Линделефа, S (t)=o(\nt).
Доказательство такое же, как и доказательство Бэклунда,
данное во Введении, того, что (без какой-либо гипотезы)
S(t) = 0(lnt), с той лишь разницей, что мы теперь можем
использовать соотношение С(s) = 0(t*) там, где мы раньше
применяли С ($) = О (tA).
6.32. Теорема 702). /7о гипотезе Линделефа
51(<) = о(1п0. (1)
Мы имеем в наших старых обозначениях, как в п. 6.22,
Ы
г (о-J-/*)— Siln (°-Н — р) + о(1пГ) (~ + 38^а^2)
Тогда
2
J InC (Oi + /0 dox = J] J In (^ + « —p) rfot -J- о (In 7J.
Так как 2i содержит о (In T) членов и, как в п. 3.73,
каждый член суммы равен 0(1), отсюда следует, что
2
J In C(o! + if) dQt = о (In T) (а^~ + 3§).
В частности,
2
J ln|C(a-f tf)|rfa = o(lnr>. (2)
Опять-таки, интегрируя вещественную часть равенства 3.73 (1)
от у ДО у + 38> получаем
4"+ 38
2
| С (5) | <fa =
ll-*ls£l
i- + 3S
1
2
i) Cramer [1], Littlewood [4].
8) Littlewood [4].

142
Глава VI
Далее,
1 .
-у +3S
f ln\s — p|tfo = -l j ln{(a-p)2+(T-02Ma<
L JL
<4-(т+0
T + 38
-+33
J ln|5 —p|^/o^ J lnja—p|
rfa;
1
2
T+38
r
Следовательно,
-i + 85
1
" 2 "
l
2
35 1
2 1
</a = 38(ln^ — l)
j lnj£(s)|rfa = J] 0(8lnl/8)-f 0(81n/) =
JL и - * | < l
2
= 0{81n(l/8)ln/}.
Сопоставляя (2) и (З) с теоремой 39, мы имеем
2
S1(0 = /ln|C(5)|rfa + O(l) = O{8ln(l/8)lnO +
2
-]-о (In0+0(1),
откуда следует утверждение теоремы.
(3).

ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательство теоремы Кронекера
Нижеследующее доказательство теоремы Кронекера (п. 1.
восходит к Бору — Ргос. London Math. Soc. (2) 21 (1922)'
стр. 315—316. Оно основано на идеях, подобных
использованным в доказательстве теоремы 3.
Очевидно, достаточно показать, что мы можем найти число
t такое, что каждое из чисел
e2Ki(ant-bn) (Я= 1, 2,. .., N)
отличается от 1 меньше, чем на s, или, если
N
F(t)= 1 +V е*к*(ап*-ьп),
что верхняя грань \F(t)\ для вещественных t есть N-f- 1.
Обозначим эту верхнюю грань через L.
Пусть 0(©р <ра,. . . вдО = 1 + ^] ^\> ™е числа ?х, <рй,.
• • • »?лт суть независимые вещественные переменные, каждое
из которых лежит в интервале (0,1). Тогда верхняя грань \G\
есть N-\- 1, что достигается, когда <рх = ср2 = . .. = о^ = 0.
Мы раскроем выражения { F(f) }А и { G(<pi, •. •, <?tf) }fe, где-
&— произвольное положительное целое число, и мы замечаем,
что каждое из этих выражений содержит одинаковое количество
членов. Так как числа аи а2,. . ., а# линейно независимы,
никакие два члена в выражении для { F (t) }к не сокращаются.
Аналогично, модули соответственных членов равны. Тогда, согласно-
очевидному обобщению леммы п. 1.23, два средних значения
т
Fh = lim -±Г f \{FV)}k\% dt,

144 Приложение
l l l
Gk = j j... J |{0(<plf ?2,..., Ы}* I 9<*M?q ■..<*№
о о и
равны, и их общее значение есть сумма квадратов модулей
членов полиномиальных выражений.
Так как формула п. 1.22 может быть очевидным образом
распространена на TV-кратный интеграл, мы имеем
j_
Hm Gk 2*=М-И-
fc-> 00
Следовательно, также Hm Fk2k = N-\- l.
к -> оо
JL
Но, понятно, Fk2k^L для всех значений А. Следовательно,
L>N-{- 1, что доказывает теорему.

БИБЛИОГРАФИЯ
(Это — перечень основных работ по дзета-функции, которые
появились после книги Landau „Handbach der lehre von der Verteilung
der Primzahlen*, 1909, Исчерпывающий список более ранних работ дан.
в работе Landau).
К. Anatida-Ran
[1] The infinite product for (s — 1) £ (s), Math. Zeitschrift 20 (1924).
156—164.
R. Backiund
[1] Einige numerische Rechnungen, dieNullpunkte der Riemannschen
C-Funkrion betreffend, Ofversigt Finska Vetensk. Soc. (A) 54 (1911—i9l2).
No. 3.
[2] Sur les zeros de la fonction £(s) de Riemann, Comptes Rendus
158 (1914), 1979—1981.
[3] Ober die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, Acta Math.
41 (1918), 345-375.
[4] Uber die Beziehung zwischen Anwachsen und Nullstellen der
Zetafunktion, Ofversigt Finska Vetensk. Soc. 61 (1918—19) No. 9.
H. Bohr
[1] Ober das Verhalten von С(s) in der Halbebene a>l, Gottinger
Nachrichten (1911), 409—428.
[2] Sur l'existence de valeurs arbitrairement petites de la fonction £($) —
= £(<* + /*) de Riemann pour g>1, Oversigt Vidensk. Selsk. K0benhavn
(1911), 201—208.
[3] Sur la fonction C(«s) dans le demi-plan <?>1, Comptes Rendus
154 (1912), 1078-1081.
[4] Ober die Funktion С (s)ll (s), Journal fur Math. 141 (1912),217—234.
[5] Note sur la fonction zeta de Riemann С (s) = C(c + //) sur ia droite
o= 1, Oversigt Vidensk Selsk. K0benhavn (1913), 3—11.
[6] LGsung des absoluten Konverg<.nzpr(blems eirer allgemeinen
Klasse Dirichleischer Reihen, Acta Math. 36 (1913), 197—240.
[7] Sur la fonction С (s) de Riemann, Comptes Rendus 158 (1914)v
1986—1988.
[8] Zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion im.kritischen Strei-
fen, Acta Math. 40 (1915), 67—100.
10 Зак. 598.

146
Библиография
Н. Bohr, R. Conrant
[1] Neue Anwendungen der Theorie der Diophantischen Approxima-
tionen auf die Riemannsche Zetafunktion, Journal fur Math. 144 (1914),
'249—274.
H. Bohr, E. Landau
[1] Ober das Verhalten von £(s) und C^ (s) in der Nahe der Gera-
-<ien o = 1, Gottinger Nachrichten (1910), 303—330.
[2] Ober die Zetafunktion, Rend, di Palermo 32 (1911), 278—285.
|3] Beitrage zur Theorie der Riemannschen Zetafunktion, Math. Anna-
4en 74 (1913), 3—30.
[4] Ein Satz xiber Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die C-Funk-
tion und die /.-Funktionen, Rend, di Palermo 37 (1914), 269—272.
[5] Sur les zeros de la fonction С (s) de Riemann, Comptes Rendus
158 (1914), 106—110.
[6] Ober d s Verhalten vcnl/£(s) auf der Geradenc = l.Guttinger
'Nachrichten (1923), 71—80.
[7] Nachtr-g zu imseren Abhandlungen aus den Jahrgangen 1910
und 1923, Gdttinger Nachrichten (1924), 168—172.
H. Bohr, E. Landau, J. E. Littlewood
[1] Sur la fonction С (s) dans le voisinage de la droitec7= у , Bull.
-Acad. Belgique 15 (1913), 1144—1175.
C. Burrau
[1] Numerische Losung der Gleichung
2~Dlog2 _ у P-DiogPn
-wo Pn die Reihe der Primzhalen von 3 an durc'ilauft, Journal fur Math.
142 (1912), 51-53.
F. Carlson
[1] Ober die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Rie-
-mannschen C-Funktion, Arkiv for Mat. Astr. och Fysik 15 (1920),
No. 20.
[2] [3] Contributions a la theorie d^s Series de Dirichlet, Arkiv fur
Mat. Astr. och Fysik 16 (1922), No. 18, 19 (1926), No. 25.
H. Cramer
[1] Ober die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Zeitschrift 2 (1918),
237—2-H.
[2] Studien fiber die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion,
Math. Zeitschrift 4 (1919), 104-130.

Библиография
147
[3] Bemerkung zu der vorstehenden Arbeit des Herrn E. Landau,
Math. Zeitschrift 6 (1920), 155—157.
H. Cramer, E. Landau
[1] Ober die Zetafunktion auf der Mittellinie des kritischen Streifens,
Arkiv for Mat. Astr. och Fysik 15 (1920), No 28.
M. Fekete
[1] The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line,
Journal London Math. Soc. 1 (1926), 15—19»
J. Fraifel
[11 Les suites de Farey et le probleme des nombres premiers, G6t-
tinger Nachrichten (1924), 198—201.
T. Gronwall
[1] Sur la fonction C(s) de Riemann au voisinage de o = 1, Rend,
di Palermo 35 (1913), 95—102.
H. Hamburger
II]» [21* [3] Ober die Riemannsche Funktionalgleichung der C-Funklion,
Math. Zeitschrift 10 (1921), 240-254; 11 (1922), 224-245; 13 (1922),
283-311.
[4] Ober einige Beziehungen, die mit der Funktionalgleichung der
Riemanschen £-Funktion Equivalent sind, Math. Annalen 85 (t922),
129-140.
G. H. Hardy
[1] Sur les zeros de la fonction Z,(s) de Riemann, Comptes Rendus
158 (1914), 1012-1014.
[2] On the integration of Fourier series, Messenger cf Math. 51
(1922), 186—192. ,
[3] A new proof of the functional equation for the zeta-funcfion
Mat. Tidsskrift В (1922), 71—73.
[4] Note on a theorem of Mertens, Journal London Math. Soc. 2 (1926),
70-72.
G. H. Hardy, J. E. Littlewood
[1] Some problems of Diophantine approximation, Internat. Congress
of Math., Cambridge (1912), 1, 223-229.
[?] Contributions to the theory of the Riemann zeta-function
and the theory of the distribution of primes, Acta Math. 41 (1918),
119—196.
[3] The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line, Maih.
Zeitschrift 10 (1921). 283-3i7.
[4] The approximate funktional equation in the theory of the zeta-
function, with applic, tions to the divisor problems of Dirichlet and Piltz,
Proc. London Math. Soc. (2) 21 (1922), 39—74.
10*

148
Библиография
[5] On Lindelof's hypothesis concerning the Riemann zeta-function,
Prcc. Royal Soc. (А) ЮЗ (1923ч 403-412.
[6] The approximate functional equations for £(s) and C2 (s) Proc.
London Math. Sec. (2; 29 (1929), 81-97.
E. Hecke
[1] Ober die Losungen der Riemanschen Funktionalgleichung, Math.
Zeitschrift 16 (1923), 301—307.
G. Hoheisel
[1] Ober das Verhalten des reziproken Wertes der Riemanschen
Zeta-Funktion, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. (1929), 219—223.
J. L.Hutchinson
[1] On the roots cf the Riemann zeta-function, Trans. Amer. Math.
Soc. 27 (1925 , 49-60.
A. E. Ingham
[1] Mean-value Theorems in.the theory of the Riemann zeta-function,
Proc. London Math. Soc. (2) 27 (1926), 273 300.
H. D. Kloosterman
[1] Een integraal voor de C-functie van Riemann, Christian Huygens
Math. Tijdschrift 2 (1922), 172—177.
E. Landau
[1] Zur Theorie der Riemannschen Zetafunction, Vierteljahrsschr.
Naturf. Ges. Zurich 56 (1911),125—148.
[2] Ober die Nullstellen der Zetafunction. Math. Annalen 71 (1911),
548-564.
[3] Ober einige Summen die von den Nullstellen der Riemanschen
Zetafunctkn abhangen, Acta Math. 35(1912), 271-294.
[4] Ober die Hardysche Entdeckung unendlich vieler Nullstellen der
Zetafunktion mit reellem Teil-g-, Math. Annallen 76(1915), 212-243.
[5] Neuer Beweis eines Satzes von Herrn Valiron, Jahresberichi der
Deutschen Math. Verein 29 (1920), 239.
[6] Ober die Nullstellen der Zetafunktion, Math. Zeitschrift 6 (1920),
151-154.
[7] Ober die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemann-
schen C-Funktion, Arkiv for Mat. Astr. och Fysik 16 (192.), No. 7.
[p] Ober die Mobiussche Funkiion, Rend, di Palermo 48 (1924),
277—280.
[9] Ober die Wurzeln der Zetafunktion, Math. Zeitschrift 20 (1924),
98—104.
[10] Ober die C-Funktion und die Z,-Funktionen, Math. Zeitschrift 20
(1924), 105—125.

Библиография
149
[11] Bemerkung zu der vorstehenden Arbeit von Herrn Franel, Got-
tinger Nachrichten (1924), 202—206.
[12] Ober die Riemannsche Zetafunktion in der Nahe von a=l, Rend,
di Palermo 50 (1926), 423—427.
[13] Ober die Zetafunktion und die Hadamardsche Thecrie der gan-
zen Funktionen, Math. Zeitschrift 26 (1927), 170—175.
[14] emerkung zu einer Arbeit von Hrn. Hoheisel uber die
Zetafunktion, Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. (1929), 271—275.
J. E. L ttlewood
[1] Quelques consequences de l'hypothese que la fonction С (s) de
Riemann n'a pas de zeros dans le demi-plan Sft(«s)>-7>-, Comptes Ren-
dus 154 (1912), 263—266.
[2] Researches in the theory of the Riemann C-function, Proc. London
Math. Soc. (2) 20 (1922), Records XXII —XXVIII.
[3] Two notes on the Riemann zeta-function, Proc. Camb. Phil. Soc.
22 (1924), 234—242.
[4] On the zeros of the Riemann zcta function, Proc. Camb. Phil.
Soc. 22 (1924), 294—318.
[5] On the Riemann zeta-funciion, Proc. London Math. Soc. (2) 24
(1925) 175—201.
[6] On the function 1/C (1 + it) Proc. London Malh. Soc. (2) 27
(1928), 349-357.
R. Mattson
[1] Eine neue Darstellung der Riemann' schen Zetafunktion, Arkiv.
fdr Mat. Asir. och Physk. 19 (1926), No. 26.
Hj. Mellin
[1] Ober die Nullstellen der Zetafunktion. Annales Acad. Scientiarum
Fennicae (A) 10 (1917), No. 11.
L. J. Mordell
[1] Some applications of Fourier Series in the analytic theory of
numbers, Proc. Camb. Phil. Soc. 34 (1928), 585—596.
[2] Poisson's summation formula and the Riemann zeta-function,
Journal London Math. Soc. 4 (1929), 285—291.
С H. Mflniz
[1] Beziehungen der Riemannschen £-Funkion zu willkurlichen reellen
Funktionen. Mat. Tidsskrift В (1922), 39—47.
F. und R. Nevanlinna
[1], [2] Ober die Nulistellen der Riemannschen Zetafunktion, Math.
Zeitschrift 20 (1924), 253—263; 23 (1925), 159—160.

150
Библиография
G. Poly a
[1] Bemerkung tiber die Iniegraldarstellung der Rfemannschen £-Funk-
tion, Acta Math. 48 (1926), 305—317.
[2] On the zeros of certain irigonometric integrals, Journal London,
Math. Soc. 1 (1926), 98—99.
[3] Ober die algebraisch-funktionentheoretischen Untersuchungen
von J. L. W. V. Jensen, Kgl. Danske Videnskabernes Selskab. 7 (1927),
No. 17.
[4] Ober trigonometrische Integrale mit nur reellen Nullstellen, Jcmi-
nal fur Math. 158 (1927), 6—18.
S. Ramanujan
[1] New expressions for Riemann's functions С (s) and S(/) Quart.
J. of Math. 46 (1915), 253—261.
[2] Some formulae in the analytic theory of numbers. Messenger of.
Math. 45 (1915), 81—84.
M. Riesz
[1] Sur I'hypothese de Riemann, Acta Math. 40 (1916), 185-190.
C. Siegel
[1] Bemerkung zu einem Salz von Hamburger uber die Funktional-
gleichu g der Riemannschcn Zetafunktion, Math. Annalen 86 (1922),
276—279.
R. v. Sterneck
[1] Ncue empirische Daten Uber die zahlentheoretische Funktion
а (л), mternat. Congress of Math., Cambridge (1912), 1, 341—343.
E. С Titchmarsh
[1] The mean-value of the zeta-function on the critical line, Proc.
London Math. Sac. (2) 27 (1928), 137- 150.
[2] On the remainder in the formula for N (T), the number of zeros
of С(s) in the strip 0<*<Г, Proc. London Math. Soc. (2) 27 (1928),
449—458.
[3] A consequence of the Riemann hypothesis, Journal London Math.
Soc. 2.(1927). 247-254.
[4] On an inequality satisfied by the zeta-function of Riemann, Proc.
London Math. Soc. (2) 28 (192o), 70-80.
[5] On the zeros of the Riemann zeta-function. Proc. London Math.
Soc. (2) 30 (1929), 319—321.
[b] Mean value theorems in the theory of the Riemann zeta-function,
Messenger of Math. 58 (1У29), 125—129.
G. Valiron
[1] Sur Jes fonctions entieres d'ordre nul et d'ordre fini, These, Paris
(1914), а также Annales de Toulouse (3) 5 (1914), 117—257.

Библиография
151
Ch. de la Vallee Poussin
[1], [2] Sur les zeros de С (s) de Riemann, Comptes Rendus 163
(1916), 418—421 и 471-473.
A. Walfisz
[1] Zur Abschatzung von С (-я- + it\ Gottinger Nachrichten (1924)»
155-158.
A. Walther
[1] Anschauliches zur Riemannschen Zetafunktion, Acta Math. 48
(1926), 393—400.
H. Weyl
[1] Zur Abschatzung von C(l + tf), Math- Zeitschrift 10 (1921),
88-101.
S. Wigert
[1] Sur la theorie de la fonction C(s) de Riemann, Arkiv for Mat.
Astr. och. Fysik (1919), No. 12.
[2] On a problem concerning the Riemann C-funclion, Proc. Camb.
Phil. Soc. 21 (1921), 17—21.
B. М. Wilson
[1] Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan, Proc. London
Math. Soc. (2) 21 (1922), 235-255»
J. R. Wilton
[1] Note on the zeros of Riemann's C-function Messenger of Math. 45
(1915), 180—183.
[2] A proof of Burnside's formula log Г (*+1) and certain allied
properties of Riemann's C-funciion, Messenger of Math. 52 (1922),
90-93.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ *)
Ниже мы приводим список литературы, отражающий развитие
знаний о дзета-функции с момента выхода книги Тичмарша. Список не
претендует на полноту. Ссылки на него даны в тексте.
F. V. Atkinson
[1*J The mean value of the zeta-function on the critical line. Ouart*
J. Math., Oxford. Ser. 10, 122 — 128 (1928).
H. Bohr, B. Jessen
[1*] Ober Wertverteilung der Riemannschen Zetafunction I Mitt. Das
Verhalten der Funktion in der Halbebene a>l. Acta Math. 54, 1—35
(1930).
[2*] Ober Wertverteilung der Riemannschen Zetafunktion II. Mitt-
Das Verhalten der Funktion im Streifen I/2<<J<1 Acta Math. (Uppsala)
58,1-55(1932).
[3*] On the distribution of the values of the Riemann zeta-function.
Amer. J., Math. 58, 35-44 (1936). T. G.
J. G. von der Corput et J. F. Koksma
[1*] Sur l'ordre de grandeur de la fonction С ($) de Riemann dans
la bande critique. Annal Fac. Sci. Univ. Toulouse (3). Bd. 22. 1—39 (1930)
H. Davenport
[1*1 Note on mean-value theorems for the Riemann zeta-functi on,
J. London, Math. Soc. 10 136—138 (1935).
A. E. Ingham
[1*] On the estimation of N (а, Г). Ouart. J. Math., Oxford. Ser. 11»
291—292 (1940).
L. Kalmar
[1*] Uber die mittlere Anzahl der Produktdarstellung der Zahlen*
Acta litter ac. Sclent regial Univ. hungaricae (Szeged), Sect. sci. math. 5»
95—107 (1931).
) Составлена редактором.

Дополнительная библиография
153
R. Kershner, A. Wintner
[1*1 On the boundarv of the range of values of С (s). Amer. J. Math.
58, 421-425 (1936).
H. Kober
[1*1 Eine Mittelwertformel der Riemannschen Zetafunktion. Compo-
sitio Math. 3,174—1*9(1936).
P. О. Кузьмин
[1*] О корнях функции Римана С (s). ДАН (1934), II 398.
E.Phillips
[1*1 The zeta-f unction of Riemann; further developments of van der
Corput's method. Quart. J. Math. Oxford. Ser. 4, 209-225 (1933).
A. Selberg
[1*] On the zeros of Riemann's zeta-function Skr. Norske. Vid. Akad.
Oslo, Nr. 10.
С L. Siegel
[I*] Ober Riemanns Nachlafi zur analytischen Zahlentheorie. Quell,
u. stud. Gesch. der Math. B—2,45 —80 (1932),
Z. Suetuna
[1*1 Ober die approximative Funktionalgleichung fur Dirichletsche
Z-Funktionen, Jap. J. Math. 9, 110-111 (1932).
E. C. Titchmarsh
[1*], [2*], [3*], [4*]f [5*], [6*] On van der Corput's method and the
zeta-function of Riemann.
I Quart. J. Math. Oxford Ser. 2 (1931), 161—173
II Quart. J. Math. Oxford Ser. 2 (1931), 310—320
III Quart. J. Math. Oxford Ser. 3 (1932), 133—141
IV Quart. J. Math. Oxford Ser. 5 (1934), 99—105
V Quart. J. Math. Oxford Ser. 5 (1934), 195—210
VI Quart. J. Math. Oxford Ser. 6 (1935), 106—112
[7*] On the Riemann zeta-funclion. Proc. Cambridge. Philos. Soc. 28,
273—274(1932).
[8*] On the function. ■„,, *, .,, Quart. J. Math. Oxford. Ser. 4,64—70
(1933).
[9*] The zeros of the Riemann zeta-function. Proc. Roy. Soc. London
A 151, 234 — 255 (1935).
[10*] The zeros of the Riemann zeta-function. Proc. Roy. Soc.
London A 157,261—263 (1936).

154
Дополнительная библиография
[11*1 On С (s) and к (х). Quart. J. Math. Oxford. Ser. Bd. 9, 97—108
(1938).
[12*] The approximate functional equation for C2 ($). Quart. J. Math.
Oxford. Ser. 9, 109—114 (1938).
[13*] On the order of С (-i + /A Quart. J. Math. Oxford. Ser. В 11—
17 (1942).
H. Г. Чудаков
[1*] О нулях функции С (5). ДАН (1936), I, 197.
[2*] О функциях С (s) и тс (лг). ДАН (1938), XXI, 425.
Wang Fu Traing
[1*] On the mean value theorem of Riemann's zeta-function. Sci.
Rep. Tohoku. Univ., 1 Ser. 25, 392 — 414 (1936).
I. R. Wilton
[1*] The mean value of the zeta-function on \he critical line. J. of
London Math. Soc." 5 (1930) 28.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Введение 6
Глава I. Асимптотическое поведение С (s) 13
Глава Л. Теоремы о средних значениях 42
Глава II/. Распределение нулей 63
Глава IV. Общее распределение значений С (*) 94
Глава V. Следствия из гипотезы Римана 112
Глава VL Гипотеза Линделёфа 136
Приложение: Доказательство теоремы Кронекера 143
Библиография 145

Художниц П. Дуаанян >
•
Редактор А. Постников
Технический редактор В. Полтея
Корректор А» Ерусалимский.
, •
Сдано в производство 1/VII 1947 г.
Подписано к печати 1/IX 1947 г.
А-00430. Печ. л. 9*/«. Уч.-издат. л. 9,3.
Формат 60X92Vw. Издат. № 1/73.
Зак*. 598.
•
4-я типография им. Евг. Соколовой тре*
ста „Полиграфкнига* ОГИЗа при Совете-
Министров СССР, Ленинград,
Измайловский пр. ,29.