А. Е.ИНГАМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

ОПЕЧАТКИ
№по|
пор.
1
2
3
4
5
б
7
Ь
9
10
32
69
87
106
109
109
130
141
141
155
Строка
4-я св.
б-я св.
3-я сн.
1-я сн.
10-я сн.
7-я сн.
5-я св.
3-я св.
5-я св.
2-я сн.
Напечатано
сю
3 1
2=
Р
\Т) Х
оД.т
3G (а + t"i) > — с lnln /"
1
О(д:3Iплг)
У->ОЭ
Следует читать
з 1 s
О(д:4 4 S)
р
D)!jr<p+'<3j:e+1
2 т
Я? •
3G (а + ^'/) < — с lnln F
Р* ?(Р2)
1
lihi tW ^ 1
Зак. 955. Ингам, Распределение простых чисел.

АННОТАЦИЯ
Небольшая книга Ингама представляет собой
монографию, посвященную одному из основных
вопросов теории чисел. Она может служить хо-
хорошим введением в аналитическую теорию чисел,
не предполагая у читателя предварительного зна-
знакомства с теорией чисел. Книгу могут читать
студенты старших курсов университетов, аспи-
аспиранты и научные работники.

СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
КНИГА ШЕСТАЯ
А. В. ИНГАМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ОБЪЕДИНЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР

A. E. ИНГАМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Д. А. РАЙКОВА
С ПРИЛОЖЕНИЕМ СТАТЬИ ПЕРЕВОДЧИКА
О МЕТОДЕ ЛАНДАУ-ИКЕАРА ДОКАЗАТЕЛЬ-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА АСИМПТОТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАС-
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ОБЩЕТ1ХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И НОМОГРАФИИ

T 23-5-4
ТКК 14
THE DISTRIBUTION OF
PRIME NUMBERS
BY
A. E. INGHAM, M. A.
Fellow ef King's College, Cambridge
Sometime Fellow of Trinity College, Cambridge
CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1932
Ред. А. И. Маркушевича. Оформление С. Л. Дыман.
Корректура О. Н. Барашковой. Выпускающий #. #. Вигонт.
Сдана в набор 10/V1II 1935 г. Подписана к печати 20/Н 193*) г.
Формат 82X110 Vag. Изд. № 53. Бум. л. 2%. Тип. зн. в 1 бум. л. 174.5CU.
Уполн. Главлита № В—37061. Тираж 5.000. Авт. л. 10,9. Заказ № 955.
2-я тип. ОНТИ им. Бвг. Соколовой. Ленинград, пр. Кр. Командиров, 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Предметом настоящей монографии является теория распре-
распределения простых чисел в натуральном ряде. Глава, посвященная
элементарной части теории, включена как в силу своего исто-
исторического интереса, так и вследствие самостоятельной ценности
применяемых в ней методов. Однако в основном книга посвя-
посвящена аналитической теории; основывающейся на дзета-функции
Римана. Таким образом эта книга примыкает к 26-му выпуску
настоящей серии1) (Е. С. Titchmarsh, „The zeta-lunction of Rie-
mann*), вышедшему в свет в 1930 г.; однако логическая после-
последовательность обеих книг прямо противоположна хронологиче-
хронологическому порядку их опубликования. Излагаемые здесь свойства
дзета-функции можно отнести скорее к классической части
теории; в своем большинстве они приведены Титчмаршем во
введении без доказательства. В настоящей книге эти свойства
обосновываются во всех деталях (за исключением нескольких
изолированных ссылок на Титчмарша, не отражающихся на
понимании остального текста), причем соответствующие ее части
могут в свою очередь служить введением к более глубокому
изучению дзета-функции в книге Титчмарша. Настоящая моно-
монография не обращается исключительно к специалистам, которые
найдут исчерпывающее изложение предмета в известных книгах
Ландау „Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen*
и „Vorlesungen tiber Zahlentheorie"; ее цель — сделать предмет
доступным более широкому кругу читателей.
Эта книга, равно как и книга Титчмарша, ведет свое
начало от рукописи Бора-Литтльвуда, на которую ссылается
Титчмарш в своем предисловии. Однако при подготовке к окон-
окончательному изданию пришлось ее заново пересмотреть с тем,
чтобы привести в соответствие с положением проблемы на
сегодняшний день и учесть все улучшения в технике доказа-
доказательств, введенные со времени ее написания.
1) Книга Ингама является 30-м выпуском известной английской
серии монографий .Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical
Physics». Ред.

*> ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой работе мне оказали большую помощь записки лек-*
дни, любезно предоставленные в мое распоряжение проф. Литтль-
вудом. Что касается влияния двух упомянутых книг Ландау, то
оно слишком очевидно для всех, знакомых с ними, чтобы
стоило отмечать его в каждом отдельном случае. Настоящая
монография была читана в корректурах проф. Бором и проф,
Литтльвудом, авторами первоначальной рукописи, а также
проф. Харди, д-ром Зигмундом, Р. М. Габриелем и О'Д. Алек-
сандером, которым и выражаю здесь свою благодарность за ряд
исправлений и улучшений. Проф. Винеру я обязан некоторыми
ценными замечаниями в заключительных параграфах гл. П.
Л. Е. Ингам.

ВВЕДЕНИЕ.
L Целые положительные числа, отличные от единицы, рас-
распадаются на два класса: составные числа D, 6, 8, 9, .. .)> раз-
разлагающиеся на меньшие множители, и простые числа B, 3, б,
7, 11,...)» на меньшие множители уже не разлагающиеся.
Простые числа приобретают особую важность в силу „фунда-
„фундаментальной теоремы арифметики", гласящей, что каждое состав-
составное число может быть представлено одним и только одним
способом в виде произведения простых множителей. Уже на
пороге развития математики как науки мы встречаемся с проб-
проблемой распределения простых чисел в натуральном ряде. Хотя
последовательность простых чисел ведет себя чрезвычайно
причудливо в деталях, тем не менее оказывается, что общее ее
распределение в натуральном ряде подчинено некоторым про-
простым закономерностям, которые могут быть точно формулиро-
формулированы и подвергнуты математическому исследованию.
Мы будем обозначать через п(х) число простых чисел, не
превышающих х\ наша проблема сводится, таким образам,
к исследованию функции ir(jc). Уже первый взгляд на таблицу
простых чисел показывает, что, как бы мы далеко ни отодви-
отодвигали ее границу, простым числам не видно конца, хоть они и
начинают встречаться в среднем все реже в более удаленных
ее частях. Это наводит нас на две теоремы, которые могут
служить отправным пунктом всего дальнейшего исследования.
В терминах функции 1с(лг) эти теоремы гласят, что, при без-
безграничном увеличении дг, ?г(лг) стремится к бесконечности,
тг(лг)
а отношение ———к нулю.
2. Первая теорема, утверждающая существование бесконеч-
бесконечного множества простых чисел, была доказана уже Евклидом
(„Начала", кн. 9, предложение 20). В основных чертах его
доказательство таково: пусть Р —произведение любого конеч-
конечного числа простых чисел и пусть Q==P-{-l. Числа Р и Q
не могут иметь общих множителей, ибо их общий множитель
должен был бы делить разность Q — Р=1, что, очевидно, не-
невозможно. Но Q как целое число, превышающее единицу,
должно делиться на какое-либо простое число. Следовательно,

8 ВВЕДЕНИЕ
существует по крайней мере одно простое число, отличное от
простых чисел, составляющих Р. Если бы поэтому имелось
только конечное число простых чисел, то мы могли бы взять
за Р их произведение, и противоречие было бы налицо. Это
рассуждение дает даже несколько больше. Оно показывает, что
Qn — Р\Рг**- РпЛ" Ь г^е Рп есть п"е пР°стое числ<> (Pi = 2,
/?2 = 3, Ps=>5$ •••)> делится на некоторое рт с индексом
т > л, так что pn,l^.pm^.Qn, а отсюда по индукции по-
получаем оценку:
Рп < 22". A)
3. В 1737 г. Эйлер доказал существование бесконечного
множества простых чисел новым методом, обнаруживающим,
кроме того, что
1
ряд ^— расходится. B)
Эйлерово доказательство базируется на применении формаль-
формального тождества
2 й-
п-\ р р
где произведения распространены на все простые числа. Вклад
Эйлера в теорию распределения простых чисел имел осново-
основоположное значение; открытое им тождество, которое можно
рассматривать как аналитический эквивалент упомянутой выше
фундаментальной теоремы арифметики, образует базис почти
всей современной аналитической теории чисел.
Теоремы A) и B) сходятся между собою в том, что обе
несколько уточняют (хотя и разными способами) теорему
о бесконечности множества простых чисел.
4. Вопрос об убывании частоты простых чисел служил
предметом многочисленных бесплодных попыток и спекуляций,
прежде чем были получены сколько-нибудь определенные ре-
результаты. Проблема приобрела гораздо более точный вид
с опубликованием Лежандром в 1808 г. (после менее опреде-
определенной формулировки в 1798 г,) замечательной эмпирической
формулы для приближенного представления функции тс (х).
Лежандр выставил утверждение, что, для больших значений лг,
7с(лг) приближенно равно

ВВЕДЕНИЕ у
где В — некоторое постоянное число1)» — теорема, названная
Абелем (водном письме, написанном в 1823г.) „самой замеча-
замечательной во всей математике". Сходная, хотя и не тождествен-
тождественная формула была предложена, независимо от Лежандра, Гаус-
Гауссом. Метод Гаусса, состоящий в подсчете числа простых чисел,
падающих последовательно на каждую тысячу чисел натурального
ряда, наводит на предположение, что средняя плотность распреде-
распределения („число простых чисел на единицу интервала") для больших
значений х приближенно выражается функцией -—, и, значит
It/
JlTu
дает приближенное выражение для тг(лг). Свои соображения
Гаусс сообщил Энке в 1849 г., впервые они были опублико-
опубликованы в 1863 г. Однако по некоторым данным они восходят еще
к 1791 г., когда Гауссу было всего четырнадцать лет 2). В про-
промежутке между этими датами пригодность интеграла E) для
приближенного выражения функции тг {х) была замечена незави-
независимо друг от друга различными авторами 3).
В целях удобства обозначений этот интеграл обычно заме-
заменяют „интегральным логарифмом":
7+
-um G
от которого он отличается на постоянную И 2 = 1,04...
Ни Гаусс, ни Лежандр не формулировали достаточно явно
требований к точности своих эмпирических формул за преде-
пределами таблиц, использованных для их построения, однако мы
можем принять, что они, во всяком случае, стремились достичь
„асимптотической эквивалентности" тг (х) и аппроксимирующей
функции /(лг), т. е. чтобы при безграничном увеличении х
отношение - ' стремилось к единице. Нетрудно усмотреть,
что две теоремы, получающиеся при этом соответственно двум
*) Legencfre, la> 19; 1Ь, 394; 2, И, 65. Курсивом обозначены ссылки
на библиографию, приложенную в конце книги.
2) Gauss, 1, II, 444—447; Xlf И.
*) Dirichlet, Werke, I, 372, сноска **; Tschebyseheff, 1, 2; Наг-
greave, lt 2.

10 ВВЕДЕНИЕ
приведенным выше формам функции /(дг), эквивалентны как
между собой, так и более простому соотношению:
х
\пх
1 при X -> оо.
Однако различие между выражениями D) и E) и значение
константы В в D) становятся существенными, как только мы
хотим более точно оценить порядок „ошибки" к(х)—/(*).
Утверждение F), известное под наименованием асимптотического
закона распределения простых чисел, занимает центральное
место во всей теории распределения простых чисел. Проблема
доказательства этого закона или его опровержения привлекала
внимание математиков в течение почти ста лет.
5. Первыми теоретическими результатами, устанавливающими
х
связь функции 7с(лг) с отношением -— , мы обязаны Чебы-
шеву. В 1848 г. он показал (в ряду других теорем), что если
отношение в левой части формулы F) вообще стремится
к какому бы то ни было пределу, то этот предел должен быть
равен единице. Далее, в 1850 г. им было показано, что отно-
7U (X) л
шение —1-jL для всех достаточно больших значений х заклю-
\пх
чается между двумя положительными постоянными а и А, так
X
что функция — во всяком случае дает истинный порядок
роста ъ(х). Эти результаты представляли собой достижение
первоклассного значения, однако (как ясно понимал и сам Че-
бышев) их было недостаточно для установления самого главного,
а именно существования hm —±-*- при дг-*оо. И хотя чис-
\пх
ленные границы (а, Л), полученные Чебышевым, были после-
последовательно сужены другими авторами (особенно Сильвестром),
тем не менее вскоре было замечено, что методы, примененные
этими авторами, вряд ли могли привести к окончательному ре-
решению проблемы.
6. Новые идеи, давшие ключ к решению, были введены
Риманом в 1859 г. в мемуаре, ставшем знаменитым не только
вследствие содержащегося в нем вклада в теорию простых чисел,

ВВЕДЕНИЕ
11
но и из-за влияния, оказанного им на развитие общей теории
функций. Тождество Эйлера было применено самим Эйлером
только для фиксированного значения 5 E = 1), а Чебышевым
для всех вещественных $, больших единицы. Риман же первый
стал рассматривать 5 как комплексное переменное и исследовать
ряд в левой части тождества C) с помощью методов теории
аналитических функций. Этот ряд сходится только в некоторой
части плоскости комплексного переменного (именно, в полу-
полуплоскости ffis > 1), однако с помощью аналитического продол-
продолжения он определяет однозначную аналитическую функцию,
регулярную во всех конечных точках, за исключением простого
полюса в 5 = 1 с вычетом 1. Эта функция называется „дзета-
функцией Римана", в соответствии с обозначением С($), при-
присвоенным ей введшим ее автором.
Хотя Риман и не занимался непосредственно аппроксимиро-
аппроксимированием функции -л (#), тем не менее весь его анализ ясно пока-
показал, что эта функция интимно связана со свойствами функции
С (s) и прежде всего с распределением ее нулей в плоскости s.
Риман выдвинул ряд важных утверждений относительно дзета-
функции и, в частности, указал замечательное тождество, свя-
связывающее ъ(х) с ее нулями; однако в большинстве случаев
он дал лишь недостаточные наметки доказательств. Проблемы,
поставленные мемуаром Римана, послужили толчком к фунда-
фундаментальным исследованиям Адамара по теории целых функций,
и результаты этих исследований устранили, наконец, ряд пре-
препятствий, преграждавших более чем тридцать лет путь к стро-
строгому доказательству теорем Римана. Доказательства, лишь на-
намеченные Риманом, были завершены (в существенных чертах)
частью самим Адамаром в 1893 г., частью фон-Мангольдтом в 1894 г.
7. Открытия Адамара расчистили путь для быстрого про-
гресса теории распределения простых чисел. Асимптотический
закон распределения простых чисел был доказан в 1896 г»
почти одновременно и независимо друг от друга самим Адама-
Адамаром и де-ла-Валле-Пуссеном. Из этих двух доказательств первое
(принадлежащее Адамару) проще, однако де-ла-Валле-Пуссен
(в другой работе, опубликованной в 1899 г.) со всей подроб-
подробностью исследовал вопрос о точности приближения. Его резуль-
результаты с убедительностью показали, что (как это уже предвидел
Чебышев) для всех достаточно больших значений х п(х) ап-
аппроксимируется посредством Их более точно, чем посредством
функции D), какое бы значение ни было приписано константе В3
а также что наилучшим значением для В в D) является 1,
Правда, это стоит в противоречии с предположением самого

12 ВВЕДЕНИЕ
Лежандра, что В приближенно равно 1,08366 (предположением,
базирующимся на таблице простых чисел, простирающейся лишь
до х = 400 000), однако уже давно было ясно, что лежандрово
значение для В имеет лишь исторический интерес.
С того времени вся эта теория была весьма упрощена,
так что теоремы де-ла-Валле-Пуссена могут быть теперь дока-
доказаны, при желании, совершенно без помощи теории целых функ-
функций. Этим мы обязаны почти исключительно работам Ландау.
Но сами результаты не претерпели существенного изменения
вплоть до 1921 г., когда они были значительно усилены Литтль-
вудом; однако уточнения, полученные Литтльвудом, заложены
чрезвычайно глубоко, и доказательства их потребовали при-
применения очень тонких и сильных аналитических средств.
8. Решениям проблемы, о которых мы говорили выше,
можно было бы поставить в упрек то, что они опираются на
идеи, чрезвычайно далекие от первоначальной постановки во-
вопроса. Представлялось бы естественным искать доказательство
асимптотического закона распределения простых чисел, не за-
зависящее от теории функций комплексного переменного. Однако
до настоящего времени такого доказательства найдено не было.
Мы можем пойти даже дальше и усомниться в том, чтобы та-
такое доказательство вообще могло быть найдено, по крайней
мере поскольку теория основывается на тождестве Эйлера.
Действительно, все известные доныне доказательства асимпто-
асимптотического закона распределения простых чисел основываются на
некоторых свойствах комплексных нулей функции С (s), и, обратно,
эти свойства являются простыми следствиями самого асимптоти-
асимптотического закона. Поэтому представляется очевидным, что ука-
указанные свойства должны применяться (явно или неявно) во
всех доказательствах, основывающихся на функции С (s), и
нелегко усмотреть, как бы это можно было выполнить, если
Ограничиться рассмотрением лишь вещественных значений $.
9. В одном важном отношении теория распределения про-
простых чисел еще очень далека от завершенности. Риман пред-
предположил, без какого бы то ни было намека на доказательство,
что комплексные нули функции ?(s), которые, как Риманом
было доказано, содержатся в бесконечной полосе 0 ^ о ^ 1
плоскости 5 и симметрично расположены относительно ее цент-
центральной прямой о = —-9 все лежат на этой прямой. Это
предположение — знаменитая ныне „гипотеза Римана"—не было
с тех пор ни доказано, ни опровергнуто несмотря на то, что
как теоретические соображения, так и эмпирические подсчеты

ВВЕДЕНИЕ
13
только укрепляли уверенность в ее истинности. Доказательство
гипотезы Римана значительно улучшило бы теоремы де-ла-Вал-
ле-Пуссена и Литтльвуда о порядке ошибки п(х)—Ил:, и об-
обратно: истинный порядок этой ошибки не может быть опреде-
определен, раз только справедливость гипотезы Римана находится под
сомнением.
10. Связь между тг(лг)и И л: иллюстрируется нижеследую-
нижеследующей таблицей *):
X
1000
10000
50000
100 000
500000
1000000
2000000
5 000000
10000 000
20 000 000
90 000 000
100000 000
1000 000 0С0
168
1229
5133
9 592
41538
78 498
148933
348 513
664 579
1270 607
5 216954
5 761 455
50 847 478
li х
178
1245
5167
9 630
41606
78 628
149055
348 638
664 918
1 270 905
5 217 810
5 762 209
50 849 235
К (X)
li х
0,94...
0,98...
0,993...
0,996...
0,9983...
0,9983...
0,9991...
0,9996...
0,9994...
0,9997...
0,99983...
0,99986...
0,99996...
Уже первый взгляд на эту таблицу показывает, что для
всех приведенных значений х тг (х) < И х. Вплоть до сравнитель-
сравнительно недавнего времени существовала уверенность, что это нера-
неравенство справедливо для всех х, и к этому были не только
эмпирические, но и теоретические основания, ибо из соотно-
соотношения между тг (х) и С (s) получается для тс (х) выражение не
прямо через Их, а в виде довольно сложного образования,
*) Последние четыре строки выходят за пределы существующих
таблиц простых чисел, простирающихся лишь несколько дальше 10000000.
Но к(х) было вычислено для указанных значений х без фактического
подсчета простых чисел; метод, с помощью которого это было сделано,
изложен в книге G. В. Mathews „Theory of numbers", Part 1 (Cambridge,
Deighton, Bell and Co., 1892), 272—278. Значения li л: округлены до
ближайшего целого числа. См. J. Glaisher, 1, 28—38; 2, 66—103; Leh-
mer, /, XIII—XVI; Phragmen 2, 199-200 (сноска).

14
ВВЕДЕНИЕ
1 i
в котором главными членами являются Ид;— — II^2# Однако
Литтльвуд в 1914 г. доказал, что при достаточном расширении
таблицы в конце концов встретится значение х, для которого
it (х) > И х, причем таких значений х будет бесконечное мно-
множество. Теорема Литтльвуда является лишь „теоремой суще-
существования", и до сих пор еще не известно ни одного конкрет-
конкретного значения х% для которого выполнялось бы неравенство
я (X) > И х. Вероятно, первое такое значение лежит далеко за
пределами существующих таблиц.
Аналогичное явление связано с распределением нечетных
простых чисел между двумя арифметическими прогрессиями
4п<-\-1 и 4я-|-3. Пусть тгA)(л:) и ъ®(х) обозначают соответственно
количества простых чисел указанного вида, не превышающих
х\ тогда отношение -тг»—- стремится к единице при безгранич-
ном увеличении х. (Эта теорема того же порядка трудности,
что и асимптотический закон распределения простых чисел;
ее доказательство опирается на теорию аналитических функций.)
Таким образом в первом приближении нечетные простые числа
одинаково распределены между обеими прогрессиями. Но таб-
таблицы показывают определенный численный перевес простых
чисел вида 4л + 3, и вплоть до 1914 г. склонялись к заклю-
заключению, что (за исключением небольшого промежутка вначале)
*w(x)<i^(x) для всех х *).
Однако метод Литтльвуда дает возможность показать, что
неравенство тгA)(л;)>тсC) (х) выполняется для произвольно боль-
больших значений х, хотя и в этом случае мы не знаем ни одно-
одного его численного решения.
11. Настоящая монография посвящена систематическому
изучению проблем асимптотического поведения функции я (х),
намеченных в предыдущих параграфах. Теория дзета-функции
Римана развивается здесь лишь постольку, поскольку это
необходимо для приложений к функции я (х). Более разверну-
развернутая теория функции С (s) составляет предмет упомянутой в пре-
предисловии монографии Титчмарша 2),
Существует ряд других проблем, относящихся к распределению
простых чисел, которые мы не могли включить в рамки настоящей
*) J. W. L. Glaisher, l. Более ранняя таблица Шерка („Journal fur
Math*., 10, 1833, 208) очень неточна.
8) Т в библиографии, приложенной в конце книги.

ВВЕДЕНИЕ 15
монографии либо вследствие ограниченности места, либо вследствие
нерешенности этих проблем. К первой категории относится общая
теория распределения простых чисел в различных арифметических
прогрессиях с заданной разностью, связанная главным образом с име*
нами Дирихле и де-ла-Валле-Пуссена *). Ко второй категории отно*
сятся почти все проблемы, связанные с более тонкой структурой
последовательности простых чисел. Асимптотический закон показывает,
что средний интервал рплг1—рп между двумя последовательными
(большими) простыми числами приближенно равен 1п/?п; однако
наблюдаются значительные отклонения от этого среднего значений
как в ту, так и в другую сторону. Имеются, с одной стороны,
серьезные основания ожидать, что указанный интервал бесконечно
часто приводится к значению 2, так что существует бесконечное мно-
множество пар простых чисел — „близнецов", отличающихся только на 2
(таких, как 17, 19 или 10006 427, 10 006 429); однако это предположе-
предположение до сих пор не доказано. Противоположная проблема, о ненор-
ненормально больших значениях разности рп+х — рп, также не ре-
решена, и все существующие указания имеют отрицательный характер.
Так, с помощью гипотезы Римана нетрудно вывести из результатов
настоящей монографии, что для всякого фиксированного #, боль-
большего -х-* указанная разность не может превзойти /?*, за исключе-
исключением, возможно, конечного множества чисел рп, и было предположено,
что аналогичное утверждение для &=-^-также справедливо; однако
самое большее, что до настоящего момента удалось доказать, это
соответствующее утверждение для #>1—C3000j—1 в).
х) Изложение этой теории (равно как и всего предмета в целом) чи-
читатель найдет в обеих известных книгах Ландау (//и Vв библиографии).
2) По поводу последнего результата см. Hohelsel, 1. Обо всех
указанных проблемах и ряде других, с ними связанных, см. V,BQ
805 — 810 и ссылки в этих книгах; Hardy and Littlewood, *, 5\ Hardy
and Littlewood, „Proc. London Math. Soc.«, B), 28, 1928, 518 (сноска);
Schnirelmann, 1 \Landau, 10.

Глава I.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ.
1. В настоящей главе мы ограничиваемся теоремами, кото-
которые могут быть доказаны без помощи теории аналитических
функций. Правда, все основные результаты этой главы покрыва-
покрываются результатами последующих глав, однако элементарные
методы, которыми мы здесь оперируем, представляют самостоятель-
самостоятельный интерес вследствие своей простоты и непосредственности.
Простые числа обозначаются нами вообще буквой /?, л-е
простое число — через рп\ к (х) обозначает число простых чисел,
не превышающих ху где х — произвольное положительное число
(не обязательно целое). Под
2/(«), 2/О0)» п/ооит.п.
п < х р < х р
мы понимаем суммы или произведения по всем целым поло-
положительным п или всем простым числам р, подчиняющимся
указанным условиям; в третьем примере, где для р не указано
никаких ограничений, подразумевается, что входят все простые
числа. Слагаемые или сомножители предполагаются расположен-
расположенными в порядке возрастания п или р. В соответствии с обще-
общепринятым соглашением „пустой" сумме (т. е. сумме, не содер-
содержащей совсем слагаемых) мы приписываем значение 0, а „пу-
„пустому" произведению — значение 1, Примерами могут служить
(для *>0)
(] 2 2
где [лг] обозначает „целую часть" числа х (т. е. целое число т,
удовлетворяющее неравенствам т^х<С /я-j-l) их может быть
[х]
любым вещественным числом. Иногда вместо 2 мы пишем
х п — 1
просто 2 •
Мы употребляем символы О, о и ~ (символ „асимптоти-
„асимптотического равенства") в ныне ставшем классическим смысле. Так,
/W-OD f(x) = o(x)9 f{x)~x

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
17
(при лг->оо) означают соответственно: „отношение f ' для
всех достаточно больших х остается меньше некоторой кон-
f(x)
станты К (т. е. числа, не зависящего от л:)а,и^-^~>0 при
fix)
лг-> со " и „^^-^ 1 при дг-> оо ".
X
т\п означает: „т делит пи.
2. Теорема 1. Ряд V—-и произведение ТТ A 1
расходятся *)•
Пусть
Так как
то
где m — произвольное целое положительное число. Выполняя
перемножение в произведении справа, получим сумму V —,
<™ п
п
распространенную по определенным целым значениям п, и если
т выбрано так, что 2™+1>лг, то в эту сумму войдут, в част-
частности, слагаемые, соответствующие всем целым п от 1 до [*].
Поэтому
[х] 11 +
2| /
7, Theorema 19; 2, § 279.

18 ГЛАВА I
Далее, так как для 0 < и < 1, как это нетрудно усмотреть
из разложения In A—и) по возрастающим степеням и, имеет
1 Ф
место неравенство: — In A — и) — и < -^ , то
— 2 °° «
\пР(х) — S(x)<y. ^ - <Y
Отсюда, принимая во внимание A), имеем:
S(x)>\n\nx—~. B)
Полученные нами неравенства A) и B), очевидно, устанав-
устанавливают справедливость теоремы.
3. Теорема 1 обнаруживает помимо прочего, что множество
простых чисел бесконечно или, иными словами, что п(х) бес-
конечно возрастает вместе с х. Мы покажем теперь, что—^^
стремится к нулю.
Теорема 2.
it (дг) = о (х) при х -* оо .
Обозначим через Nr(x,^ti) число целых положительных п,
не превосходящих х, делящихся на h и не делящихся ни на
какое из г первых простых чисел ри ..., рг\ под NQ(x, К) мы
будем понимать число тех п^х, которые делятся на Л. Целые
/г, число которых есть МгХ{х, h), разбиваются на два класса:
неделящиеся на рг и делящиеся ца рг. (Мы предполагаем, что
рг не делит А.) Первых будет Nr(x, А), вторых Л/^Длг, prh\
ибо п делится одновременно на А и на рг тогда и только
тогда, когда оно делится на prh. Сообразно этому
Выражая из этого соотношения jV. через Nr x, затем ана-
аналогично А^._1 через Л^_2 и т. д., мы получаем, что для А, не
делящихся ни на одно из ри ..., рг>
г, A) — %N0(x, A

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 19
где суммы берутся по всем сочетаниям из pv ..., рг по одному,
два и т. д. Беря, в частности, А=1 и замечая, что Мо(х,т) =
находим:
Пусть теперь 2 < ? < х и г — индекс наибольшего простого
числа, не превосходящего \\ рг < 5 < рг+1. Тогда
1),
так как каждое простое число либо равно одному из рг, либо
находится в числе положительных чисел, не делящихся ни на
одно из этих р. Подставим вместо Nt (х, 1) его выра-
выражение из формулы C); если мы опустим в этом выражении
все квадратные скобки, то это даст в каждом слагаемом ошибку,
меньшую единицы, и, значит, общая ошибка будет меньше 2%
числа всех членов. Поэтому
ибо г < 2Г < 21 Выбирая теперь за \ такую функцию от х,
Е+1
2
что, при х -> оо, ? -> оо и > 0, и, принимая во внимание
т:(х)
теорему 1, мы убеждаемся, что—^-^О. Беря, в частности,
? = ?1плг, где 0<?<г-^, и применяя неравенство A), полу-
получаем более точный результат:
1п1пл;/
Еще Эйлер указал, что простые числа встречаются „бесконечно
реже, чем целые", однако его рассуждения не доказывают этого
утверждения в полном смысле теоремы 21)»
В осноре изложенного метода лежит принцип „эратосфенова ре-
решета", сама формула C) принадлежит Лежандру2). В недавнее время
Бруну удалось значительно разработать и уточнить указанный метод,
причем ошибка, получающаяся при опускании квадратных скобок,
Euler% lf Theorema 7. Corollarium 3.
Legendre, la, 12—15; 1Ь, 412-414; 2, II, 86-8

20
ГЛАВА I
была значительно снижена1). С помощью этого уточненного метода
можно получить соотношение тс (х) = О L— \ которое будет доказано
(и притом значительно более простым путем) в § 5. Достоинством
метода Бруна является то, что хотя он и не претендует на оконча-
окончательное разрешение крупных проблем, тем не менее он применим,
в своих границах, к ряду проблем, недоступных в настоящее время
аналитическим методам, вообще говоря, гораздо более мощным. Так,
например, с его помощью можно доказать, что число простых чисел,
падающих на любой интервал длины дг> 1, будет меньше, чем
А ~, где А — абсолютная константа 2). Далее, можно указать на его
применение в доказательстве теоремы Шнирельмана о том, что каждое
целое положительное п(>1) может быть представлено в виде суммы
не более, чем к простых чисел, где k —• некоторая абсолютная кон-
константа, — теоремы, являющейся крупнейшим вкладом в не решенную до
сих пор „проблему Гольдбаха" о возможности представления всякого
четного числа в виде суммы двух простых чисел 3).
4. Чебышевские функции Ь и ty. Введем вспомогательные
чебышевские функции:
*>(*)= 2 In Л <К*) = 2 ln/> (*>0),
р<х Рт<х
где вторая сумма распространена по всем комбинациям простых
чисел р и положительных целых т, для которых рт^Сх.
Если мы сгруппируем в ^(л;) вместе все члены с общим
значением т, то получим:
где ряд справа обрывается на конечном числе членов, так как
0(У) = 0 при у < 2. Группируя, с другой стороны, вместе все
члены с одним и тем же р (не превышающим л;), будем иметь:
ибо число значений т, соответствующих данному р, равно
числу целых положительных решений неравенства т In p ^ In x,
т. е. равно
Г-1.
\>р\
х) Вгип, 1; Rademacher, 1.
2) Hardy and Littlewood, 4,69C).
8) Sehnirelmann, /, 2\ Landau, 10.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 2!
Нижеследующая теорема показывает, что асимптотическое
поведение любой из функций я, ft, ф определяет асимптоти-
асимптотическое поведение двух других.
Теорема 3. Три отношения:
*(*) Чх) <К*)
_Х_% • X '* X W
In л;
имеют общие нижние и верхние пределы при х -* оо .
Пусть верхние и нижние пределы будут соответственно А1э
Л2, Л3 и Хр Х2, Х3. В силу формул D) и E)
Поэтому Л2 <^ Л3 ^ Лг Но, с другой стороны, для 0 < а < 1,
х>1
так как it (ха) < х", то
(it (^) In л; In х \
~~х х^}'
^ ^п х
Фиксируем а и пусть х -> оо ; так как —j^ -> 0, то мы по-
лучим, что Ag^aAp откуда А2^АХ, ибо а может быть взято
сколь угодно близким к единице. В соединении с предыду-
предыдущими неравенствами это дает А2 = А3 = А1. Аналогично рас-
рассуждаем и для нижних пределов X.
Из теоремы 3, в частности^ вытекает, что если одно из
выражений F) при х -> со стремится к определенному пре-
пределу, то то же имеет место и для двух других, причем все три
предела между собою равны. Таким образом три соотношения:
из коих первое представляет асимптотический закон распреде-
распределения простых чисел, эквивалентны друг другу.
Из трех функций тт, $, ф функция ф—на первый взгляд наиболее
удаленная от первоначальной проблемы — является самой естественной
с аналитической точки зрения (как это станет ясным в § 7). По этой

22 ГЛАВА I
причине обычно сначала оперируют с этой функцией ф и уже затем
с помощью теоремы 3 (или более точных соотношений, соответственно
рассматриваемой степени приближения) выводят результаты относи-
относительно я. Это усложнение, повидимому, коренится в самом существе
дела, и читатель должен с самого начала освоиться с функцией ф,
которую можно рассматривать как фундаментальную.
Отметим кстати, что ф (х) имеет простой арифметический смысл:
она представляет собой логарифм общего наименьшего кратного всех
целых чисел, не превосходящих х.
5. Порядок роста те(дг). Мы докажем теперь, что тс (х)
будет в точности порядка -— при возрастании х.
1П X
Теорема 4. Существуют две такие положительные констан-
константы а и А, что для всех достаточно больших х
Пусть Л будет общий верхний, а X — общий нижний предел
трех выражений F) при х -> оо .
Рассмотрим число
N_ ,
где п — целое положительное. Это число является целым, как
член в биномиальном разложении A -j-1J*, и удовлетворяет
неравенству
N<22n<Bn+1)N, (8)
ибо указанное разложение содержит 2/г -f-1 членов, среди ко-
которых N является наибольшим. N делится на все простые
числа р в интервале п < р ^ 2п и, следовательно, на их про-
произведение, ибо эти простые числа входят множителями в числи-
числитель, но не могут входить в знаменатель. Значит,
W> П /7.
п < Р < 2»
В соединении с первым из неравенств (8) это дает:
2л1п2>1пЛ/Р> 2 1п/?=ЙBя) — Ъ(п).
П < р < 2П
Полагая п = 2r ~l и суммируя от г = 1 до г = т, находим;

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
23
Пусть теперь х > 1 и т — целое число, определяемое не-
неравенствами 2т~ ^ х < 2т\ тогда
О (*)< & Bт) < 2W +* 1 п 2 < 4* In 2.
Следовательно, Л < 4 In 2.
Для получения нижней границы для X воспользуемся извест-
известной теоремой, что простое число р входит в т\ в точности
в степени
?№]+•••¦>•
Применяя эту теорему к N = г, , получаем, что
(п\у
N= П рчР,
где
Каждая из этих сумм обрывается на Мр-м члене, где
так как [^]=0, если 0<_у<1. Поэтому
ибо [2^] — 2 [у] равно либо нулю, либо единице. Но, согласно
формуле E),
Следовательно, N\e^^2n\ откуда, в силу второго из нера-
неравенств (8),
2л In 2 — In Bn -1- 1) < In Л/Р< ф B/г).
г) r-е слагаемое этой сумща, wr = I —г I, представляет собой
число сомножителей в произведении 1 ¦ 2... /я, делящихся на рг, и
сомножителю, содержащему р точно в г-й степени, соответствует
в сумме тг + /я2 +... ровно г единиц, а именно, по одной в каждом
из слагаемых тъ т2,. •.. тг.

24 глава i
Беря здесь
*>2,
L * J
получаем:
Ф (*) > Ф Bл) X* — 2) In 2 — In (л
Следовательно, X ^ In 2.
Неравенства In 2 ^ X <; Л <; 4 In 2, очевидно, и доказывают
утверждение теоремы.
Путем небольшого изменения проведенных рассуждений можно
уменьшить верхнюю оценку вдвое, т. е. показать, что
1п2<Х<Л<21п2.
Но Чебышев *), которому мы обязаны теоремой 4, имел в виду опре-
определенное применение — доказательство так называемого „постулата
Бертрана", состоящего в том, что для всякого п > 6 существует по
крайней мере одно простое число р, удовлетворяющее неравенству
I . 9
,п — г,
а для этого ему было необходимо неравенство Л<2Х. Это неравен-
неравенство Чебышев получил как следствие из более сильных неравенств:
/г<Х<Л<#,
где
о 3 с 5 с
^ =0,921.,,, Я = -|л =
Последующими авторами2) были найдены еще более тесные гра-
границы, однако все попытки доказать этими методами асимптотический
закон оказались бесплодными 3).
Теорема 2, конечно, содержится в теореме 4. Но и теорема 1
также является простым следствием этой последней. Действительно,
х
неравенство tz (x)^>a-z показывает прежде всего, что число про-
простых чисел бесконечно, а затем, что для достаточно больших п
откуда
apn<n\npn<2nlnn (п>п0),
1) Tschebyscheff, 3.
2) Sylwester, 1, 2, 3; И, I, 87—95; см. также Schur, lt 2; Breusch, L
3) См. Я, II 597—604.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 25
и, значит, ряд 2а— расходится, как это явствует из сравнения его
с радом 2лшл-
6. Тождество Эйлера. Мы установим теперь фундаментальное
тождество теории простых чисел. Оно получается как частный
случай из следующей теоремы г).
Теорема 5. Пусть fin) „мультипликативная" функция
целого положительного переменного п, т. е. не равна тожде-
тождественно нулю и удовлетворяет уравнению
f(m)f(n)=f(mn) (9)
для всех взаимно простых т и п.
со
Если ряд 2 f(n) абсолютно сходится, то
1
причем произведение такусе абсолютно сходится.
Если, кроме того, f(ri) „вполне мультипликативна*, пи е.
если уравнение (9) имеет место для всех тип, взаимно
простых или нет, то можно написать:
Заметим прежде всего, что /A)=1; действительно, в силу
условия (9) /(/г)/A)=/(п) и п может быть выбрано так,
чтобы f{n) ф 0. Рассмотрим теперь произведение
= П {
Число его сомножителей конечно, и каждый из этих со-
сомножителей представляет собой абсолютно сходящийся ряд, ибо
2|/(п)| сходится по условию. В силу теоремы об умножении
рядов мы можем выполнить перемножение и расположить члены
полученного формального произведения в любом порядке в виде
простого ряда, причем этот ряд будет абсолютно сходящимся.
Вследствие мультипликативности функции f(n) и фундаменталь-
!) Примененной (формально) в ряде частных случаев уже самим
Эйлером (/, Theorema 8; 2, ,Caput Id).

26
ГЛАВА I
ной теоремы арифметики, по которой каждое п единственным
образом представляется в виде произведения простых множи-
множителей, мы получаем:
где сумма распространена по всем целым положительным я'»
не имеющим простых множителей, больших дг. Обозначая через S
сумму ряда, стоящего в левой части формулы A0), имеем поэтому:
где п" пробегает все целые положительные числа, содержащие
по крайней мере один простой множитель, превосходящий х.
Так как каждое п" должно быть больше, чем х, то мы полу-
получаем, что
|Я(*)-5|<2|/(«")|< 2 |/(я)|.
пух
При х -> оо выражение в левой части стремится к нулю
вследствие сходимости ряда 21/(/0|- Следовательно, Р(дг)-> S.
Это доказывает сараведливость формулы A0). Абсолютная схо-
сходимость произведения явствует из того, что
||
П=2
Если уравнение (9) выполняется для всех т и я, то тогда
m
(попрежнему в предположении, что ряд2|/(/0| сходится); это
дает формулу A1).
7. Фундаментальные формулы. Положим в теореме 5
f(n)=sn~8, где $>1. Условия справедливости формулы A1)
удовлетворяются, и мы получаем:
Мы будем во всем последующем предполагать, что $>1.
Введем обозначение

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 27
Логарифмируя обе части формулы A2) и разлагая лога*
рифмы в правой части в степенные ряды, мы получим:
где р пробегает все простые числа и т — все целые положи-
тельные значения. Диференцирование дает:
С (s) yi p 8\np ^n In p
что может быть записано так:
A4)
где А (я) равно In/?, если п есть целая (положительная) сте-
степень простого числа р, и равно нулю в противном случае. Эти
преобразования законны для s>l, ибо члены двойного ряда
положительны, а простой ряд равномерно сходится для
5 ^> 1 -|~ 8 при любом фиксированном положительном 8.
Чебышевская функция ф(лг), определенная в § 4, связана
с коэфициентами А (п) ряда A4) простым соотношением:
= 2 А(>0- A&)
Таким образом ф(дг) естественно появляется как сумма
первых [л:] коэфициентов сп в разложении РТл в «Ряд Ди*
рихлеа: 2^»n~SJ Ф(-^) есть „сумматорная функция" коэфи-
коэфициентов „производящей функции" A4). Аналогично сумматорной
функцией для In С (s) служит:
Из формул A4) и A5) вытекает, что
. .*, '¦* (*>1), 07)
*• \S)

28 ГЛАВА I
а из A3) и A6), —что
со
Г* тт / «„\
(s>l). A8)
-•/¦
x8+1
Доказательства опираются на теорему, имеющую в дальней-
дальнейшем многочисленные применения и представляющую в сущ-
сущности лишь удобную для нас форму тождества Абеля (фор-
мулы „частного суммирования").
Теорема А1). Пусть \19 Х2,... — неубывающая последова-
последовательность вещественных чисел, стремящаяся к бесконечности,
и пусть
2
где сп вещественны или комплексны и суммирование произво-
производится по множеству (конечному) целых положительных ин-
индексов п, для которых Хп^#; тогда, если Х^\{ и Ф(х)
обладает непрерывной производной, имеем:
х
2 <«ф (К) = - / С (х) Ф' (х) dx + C{X) Ф (X). A9)
in<x х,
Если, кроме того, С(Х)Ф(Х)-+ 0 при X-> оо, то
1 >.;
в предположении, что хотя бы одна часть этого равенства
сходится.
Обозначая левую часть формулы A9) через S, имеем:
!) Теоремы, не относящиеся непосредственно к простым числам,
или к специальным функциям, связанным с ними, мы будем нумеро-
нумеровать не числами, а буквами.

х
= f
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 29
что и представляет требуемый результат. Перемена порядка
суммирования и интегрирования вполне законна, ибо и то и
другое производятся в конечных пределах. Что же касается
изменения пределов суммирования и интегрирования, то доста-
достаточно указать, что мы фактически в тождестве
х х
2 fn(x)dx
\ xn<x
полагаем fn (x) равным нулю для x < Xn и равным спФ' {х) для
х^\ь- Это доказывает формулу A9); вторая же формула по-
получается путем предельного перехода по X—¦ оо .
Замечание, Для простоты мы предположили, что индексы при
\п и сп изменяются от единицы; однако иногда оказывается
более удобным избрать другой начальный индекс (например, О
или 2). Очевидно, выведенные формулы, с соответствующими
изменениями, сохраняют при этом силу.
Теорема А может быть выведена также непосредственно из тож-
тождества Абеля. Другое доказательство получается путем интегрирова-
интегрирования по частям интеграла Стилтьеса; рассмотрение теоремы А с точки
зрения процесса интегрирования Стилтьеса является, пожалуй, наи-
наиболее естественным.
Формула A7) получается из теоремы А, если положить
и заметить, что при фиксированном 5 > 1
при Х-> оо.
Совершенно так же получается формула A8), ибо
[ряд для П (X) обрывается, как только XN становится меньше
двух].
Полученные формулы имеют фундаментальное значение для
всего дальнейшего. Обозначения С (s), А (п), П(лг), введенные в
настоящем параграфе, сохраняются на протяжении всей книги.
Теорема 1, очевидно, покоится на том же принципе, что и тожде-
тождество Эйлера, и мы можем провести ее доказательство, опираясь не-
непосредственно на это тождество, беря в нем s-> l-|-0. Можно также
прямо положить в A0) f(ri) = —, ибо, как нетрудно усмотреть, при

30 ГЛАВА 1
условии /(л)>0 из сходимости произведения вытекает и сходимость
ряда. Менее ечевидным является то обстоятельство, что и формулы
§ 5 также связаны с тождеством Эйлера. Действительно, теорему
о делимости факториалов, которую мы применили во второй поло-
половине доказательства теоремы 4 (и могли применить и в первой),
можно записать в форме:
«!= П рНИ + 12] + "- B0)
р< т
или (беря логарифмы) в форме:
n=l pr<m nA<w w1n2<
а это подтверждает совпадение сумм первых т коэфициентов в левой
и правой частях тождества
л»
=1
со оо
- 2л ^Г 2лnf
где произведение справа должно быть выражено в виде ряда Дирихле
^спп~8. Так как перемножение законно при 5>1 и „приравнивание
коэфициентов" для рядов Дирихле, имеющих одинаковые суммы, так
же обосновано, как и для степенных рядов !), то мы можем, обратно,
вывести B0) из A4), т. е., следовательно, из тождества Эйлера.
8. Мы можем теперь доказать, что если —— вообще стре-
х
In л:
ми тс я к какому-либо пределу при х-+ <х>, то этот предел
должен быть равен единице. Это положение, очевидно, выте-
вытекает из следующей теоремы:
Теорема 6. При х -> оо
lifti
In л; In л;
Введем обозначение
1) HR, теоремы 53 и 6.
2) Tschebyscheff, 1, 2, теорема II (п = 1) (см. Я, I, 16).

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 31
Пусть
Если А не есть -\- °° *)> т0 выбираем произвольно В > А.
Ф(дг)
Тогда мы будем иметь v < В для всех х >- дг0 = х0 (В), при-
причем х0 можно взять больше "единицы. Из формулы A7) выводим,
что для s > 1
¦/¦
1 яу0
Вх S П
откуда
где /С= ЛГ(^, аг0) = /С(Я) 2). Беря 5 -* 1 + 0, видим, что А'< S,
и так как это имеет место для всех В > А, то, следовательно,
А'<А. (Если А = -|-оо, то это неравенство тривиально.) Ана-
Аналогично доказываем, что X' ^ X. Таким образом
<Л'<А.. B1)
Теперь остается вычислить пределы X' и А'. Так как x~~s
есть убывающая функция от х (s фиксировано и больше еди-
единицы), то
1
т. е.
1
1) Мы знаем из теоремы 4, что Л конечно, однако нам нет нужды
опираться на это.
2) То-есть, К есть число, зависящее от В и х0 и, значит, только
от В, поскольку х0 зависит только от В\ К—„константа* в том
смысле, что она не зависит от главных переменных х и s.

32
ГЛАВА 1
Следовательно, при s-> l-j-0 будем иметь (s—l)C(s)->l.
Далее, так как —- для х^е (при s > 1) тоже есть убываю-
х
щая функция от х, то аналогично убеждаемся, что при s -* 1 -}- О
(подстановка л:8 ~х = **). Поэтому при s -* 1 -j- О
и X/ = A/ = 1. В соединении с B1) это дает X^l^A, что,
в силу теоремы 3, эквивалентно утверждению нашей теоремы.
Чебышев пошел в этом направлении значительно дальше. Его
результаты показывают, что наиболее подходящим значением для В
х
в лежандровой формуле -= 5" является единица и что функция
1П X ~~~ хЗ
Ил: (введенная им независимо от Гаусса) в качестве приближения
для т:(лг) предпочтительнее любой рациональной функции от х и 1пдг.
В точной формулировке его теорема относительно значения В гласит,
что если функция В(х), определенная уравнением
— В(х) '
вообще стремится к пределу при х -> оо, то этот предел должен быть
равен единице 1). Эти теоремы были уже в новейшее время допол-
дополнены доказательством существования соответствующих пределов и
представляют собой простые следствия результатов главы III, § 12,
стр. 85—87.
9. Мы закончим настоящую главу рядом интересных асимптоти-
асимптотических формул Мертенса для некоторых сумм и произведений, распро-
распространенных по простым числам 2). Доказательства опираются на тео-
теорему Чебышева ty(x) = O(x) (эквивалентную второму из неравенств
теоремы 4) и на тот установленный в процессе доказательства тео-
теоремы б факт, что E — 1) С (<?)-> 1 при s-+ 1+0.
1) Tschebyscheff, 1, 2, теорема III; Я, I, 140-150.
2) Mertens, 1; см. также Hardy, 2.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 33
Теорема 7. При х -> оо
^ B2)
B3)
B4)
1плг '
В—некоторое постоянное число и С— эйлерова постоянная.
Логарифмируя обе части формулы B0), получаем:
B5)
По формуле Стирлинга In ml = m In m -f- О (/и) при т->со. С другой
стороны, опущение квадратных скобок в правой части формулы B5)
вызывает ошибку, не превышающую ф (/я) = О (аи). Беря эти прибли-
приближения и деля обе части на т, получаем:
п < т
где т может быть теперь заменено непрерывной переменной х. Этот
результат эквивалентен формуле B2), так как
и последний ряд сходится.
Далее, полагая
имеем по теореме А:
А(х)
= V
1прп J и (in иJ \пх
(д:>2). Согласно формуле B2), А(х) = Injc-f-/*(*), где |г(*)| меньше
некоторой константы /С для всех лг>2. Следовательно,
X
г (и) du
1пд:
B6)

34 ГЛАВА I
где В — некоторое постоянное число, и
_ Г r(u)du r(x) F Kdu К ^ Ж
J и (In up ' In х ^ J и (In иJ * In х ' In х
X X
). Это доказывает формулу B3).
Постоянная В может быть теперь определена путем иссле-
исследования, двумя различными способами, поведения функции
?(s) = 2^~"8 при s~* 1 ~^~®'
С одной стороны, для s>l, по теореме А,
оо оо
g (s) - 2 bnV*~ 8 =(s-l)f B{x) х-8 dx,
1 2
ибо ? (А!) ЛТ1 ""*8-* 0 при АГ->оо. Подставляя сюда значение для В (х)
й! формулы B6), получаем:
)J
In In ж . . , 1Ч Г В
dx + (s\)J
J
а х 2
Так как
то | R (х) |< е для всех х > *0 = х0 (з) (> 2). Следовательно,
а?0
для всех s, достаточно близких к единице: 1 <X>0 = s0(s, х0) =
= ^о(е), и, значит, /3-> 0 при 5-> 1 +0. В Д и /2 заменяем нижний
предел интегрирования через единицу, что вызывает ошибку оA),
при S-* 1. Выполняя в Д подстановку л:8"~1 = ^, получаем, таким,
образом:
оо
g(s) == /* ^-у 1п -^Ц <у + В + о A)«-С- In E-1) 4- 5 + о A), B7)
0
где С—эйлерова постоянная *). С другой стороны, по формуле A3)
i) Формула j e y\nydy^—C получается, если эйлеров интеграл
о
для Г(*)диференцировать по z (под знаком интеграла) и положить z = 1

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ 35
при s-> 1+0, ибо (s— l)C(s)-> 1, и ряд справа равномерно сходится
для s > 1 (ср. с У]"""я ) * сРавнивая B7) и (Щ> получаем;
p
Подстановка найденного для В значения в B3) дает:
Во второй сумме слева мы можем ограничиться конечным числом сла-
слагаемых, для /?<*, с ошибкой:
Мы получаем тогда:
ИЛИ
откуда и вытекает, в частности, формула B4).
Эта последняя формула важна в том отношении, что показывает,
как предпринимающиеся время от времени различные скороспелые
попытки „вероятностных" доказательств приводят к заведомо непра-
неправильным результатам 3).
Hardy and Littlewood, 4, 32—3?

Глава II.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ.
1. Риманова дзета-функция. Целью настоящей главы яв-
является доказательство асимптотического закона распределения
простых чисел; для этого нам придется исследовать риманову
функцию
оо
1
как функцию комплексного переменного s. Мы ограничимся
пока лишь теми свойствами этой функции, которые нужны для
непосредственного применения, откладывая изложение система-
систематической теории ее до следующей главы.
Мы пишем:
и определяем х8 для х > О как ехр($1пл;) = е8Ых, где In л;
имеет вещественное значение» Тогда \п8\ — па, и ряд A) (по
признаку Вейерштрасса) равномерно сходится для о > 1 -}- 8
при любом фиксированном положительном 8. Следовательно, С (s)
регулярна в полуплоскости о > 1 и все ее производные могут
быть получены почленным диференцированием *). Формулы
*) В силу классической теоремы Вейерштрасса о равномерно схо-
сходящихся последовательностях fn(s) регулярных функций. Мы еще
будем иметь случай применить аналогичную теорему для fx {s), где X
изменяется непрерывно. Так, например, в следующем параграфе мы
будем иметь дело с функцией
где

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 37
гл. I, § 7 (стр. 26—28) сохраняют силу во всей полупло-
полуплоскости о> 1. Действительно, формальные преобразования, оче-
очевидно, не затрагиваются продолжением переменной 5 в комплекс-
комплексную область, что же касается вопросов сходимости, то доста-
достаточно заметить, что все встречающиеся там ряды мажорируются
рядами, получающимися из них при замене s на а. В форму-
формулах A3) и A8) берется ветвь In С E), вещественная на веще-
вещественной оси. Функция С (s) не обращается в нуль при о>1,
ибо эйлерово произведение ?($) = ПA—р"8) при о > 1
р
сходится и ни один из его сомножителей не равен нулю; таким
образом In С (s) не имеет особенностей при а > 1.
2. Аналитическое продолжение. До сих пор ? (s) была опре-
определена только в полуплоскости а > 1, и мы должны теперь
заняться вопросом об ее аналитическом продолжении. Для бли-
ближайших целей мы ограничимся лишь следующим частным ре-
результатом:
Теорема 8. Функция С (s), определенная для а > 1
формулой A), аналитически продолжаема на полуплоскость
о > 0, причем в этой последней полуплоскости она однозначна
и имеет единственной особенностью простой полюс в точке
s=\ с вычетом 1.
Полагая в теореме А (стр. 28) Хп = я, сп= 1, Ф(х) = х~,
получаем, что для X ^ 1
Полагая [лг]=л; — (л;), так что 0 <;(#)< *» находим:
и (х) = x — [x]. В этом и в аналогичных случаях регулярность функ-
цич fx (s) в0 всей плоскости s (при фиксированном X) может быть
либо установлена путем разложения подинтегрального выражения по
степеням s и почленного интегрирования, либо выведена из общих
теорем. И в том и в другом случаях нетрудно показать, что произ-
производная от fx (s) может быть получена путем диференцирования под
знаком интеграла: следовательно, по теореме Вейерштрасса, то же спра-
справедливо и для / (s) во всей области равномерной сходимости.

38 глава и
Беря X -+ со и замечая, что ——-
Xе
видим, что для о > 1
Но
X
.8 + 1
< ——; поэтому последний интеграл равно-
X
мерно сходится для о > 8 при любом фиксированном положи-
положительном 8 и, значит, представляет функцию от s, регулярную
во всей полуплоскости о > 0 (см. сноску на стр. 36—37). Это и
доказывает теорему, ибо формула C) осуществляет продолже-
продолжение С (s) на полуплоскость о > 0.
3. С(s) ограничена в любой полуплоскости о^1-{-8> 1,
так как |С (s) | <С (о)-<СA +8). Формулы, полученные в § 2,
позволяют оценить порядок величины |C(s)|b соседстве с пря-
прямой о=1, и влево от нее. Прежде всего нас интересуют
точки s = a~\-ti с большим \t\; при этом мы можем ограни-
ограничиться верхней полуплоскостью t > 0, ибо, как показывает
формула C), С(о-|-#) и С (о — ti) имеют сопряженные ком-
комплексные значения.
Здесь и во всем последующем мы употребляем букву А
(иногда а), с индексом или без, для обозначения положитель-
положительной абсолютной константы, численное определение которой нас
не интересует. Через А (а, {3, ...) мы обозначаем положитель-
положительное число, зависящее лишь от явно указанных параметров а,
р, ... Наконец, мы употребляем символ О и в применении
к функциям, содержащим параметры; так, мы говорим, что,
при /-» со, f(pj) = O(f) равномерно в известных пределах из-
изменения о, если для всех t > t0 и всех о в указанных пределах
имеет место неравенство |/(о, /) j < Kf, где К и t0 не зави-
зависят от t и а.
Теорема 9.
|СE)|<Л1п/ (а>1, />2), D)
|?'($)| < A In2/ (о>1, *>2), E)
|СE)|<Л(8)^-5 (о>8, *>1), F)
?де 0<8< 1.

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 39
В силу формул B) и C) имеем для о > 0, /> 1, ЛГ>1:
(x)dx
1
G)
Следовательно,
yl+JLi !
так как
- Если а>-1, то
так как />-1, Jf^l. Полагая X=t, получаем D).
Если а ^> Yj, где 0 < iq < 1, то
А-т\
Л — t
Беря, как выше, ЛГ = /, находим:
откуда вытекает F).
Неравенство E) может быть выведено либо аналогичным пу-
путем из формулы, получающейся при диференцировании ра-
равенства G), либо следующим образом. Пусть s0 = o0-\-t0i —
произвольная точка области o^l, t^>2 и С — окружность
с центром в sQ и радиусом р < —; тогда
1 С ^д)ф

40
ГЛАВА II
где М—максимум модуля j?(s)| на С. Но для всех точек 5
окружности С имеем о ^ а0 — р !> 1 — р и 1 < / < 2/0. Следо-
Следовательно, в силу неравенства (8),
ибо р<1 — р<1, 2Р<2; отсюда
Возьмем р = —-——; тогда /ор = ер1п*° О, так что
mto-f- z
Но это равносильно равенству E), ибо s0 есть произвольная
точка области а^1, />2.
Оценки D), E), F) отнюдь не являются наилучшими, и то же
можно сказать и про другие оценки для С (s), приводимые на протя-
протяжении настоящей книги. Правда, дальнейшие уточнения эшх оценок
не имеют существенного значения в теории простых чисел, ибо они
все равно стираются при переходе от С (s) к ее логарифму или лога-
логарифмической производной — функциям, непосредственно выступающим
в этой теории. Однако проблема определения истинного порядка роста
С (а -\-Н) как функции от t является одной из важнейших в теории
функции ?{s), правда, и одной из труднейших; ее решение еще да-
далеко не закончено1}.
4. Нули. Естественно ожидать, что в приложениях функции
l ($) к теории простых чисел ее нули будут играть важную
роль, как особенности функций 1п С (s) и — -у-*, занимающих
в теории простых чисел центральное место. Эйлерово произве-
произведение C(s)= U(l—р~~s)~1 показывает (как было замечено
в § 1), что в полуплоскости а> 1 не содержится нулей C(s),
однако из него непосредственно не видно, как будет обстоять
дело вне этой полуплоскости. Мы докажем теперь, прежде всего,
следующую теорему.
Теорема 10. ? (s) не имеет нулей на прямой о=1, Далее,
при / -» со
равномерно для всех а>1.
1) См. Г, гл. I, V, VI.

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 41
Доказательство основывается на элементарном неравенстве
3 + 4 cos в + cos 26 > 0, A0)
справедливом для всех вещественных 0 [левая часть равна
2A + cos 6J].
В силу равенства A3), стр. 27, имеем для о> 1:
9*2] <уГ~в~**= 2 спп~аcos(tlnn),
2
W2
1
где сп равно —, если п есть /я-я степень простого числа,
и равно нулю в противном случае. Отсюда*), принимая во вни-
внимание A0), имеем:
0. Следовательно,
0—1
1
0—1
Отсюда явствует, что точка l-\-ti(tz^O) не может служить
нулем C(s). Действительно, в противном случае левая часть
при о->1-)-0 стремилась бы к конечному пределу [именно,
к |С'A + '0|4КО +2//) |] вследствие того, что С(^) регулярна
в точках 1*4~# и 14-2// и имеет простой полюс, с вычетом 1,
в точке 5=1; правая же часть стремилась бы к бесконеч-
бесконечности. Это доказывает первую часть теоремы.
При доказательстве второй части мы можем предполагать,
что 1 <; о <; 2, ибо для а > 2
|
i р
Если 1 < о<;2, />2, то вследствие неравенств A1) и D)
1K<{( 1)С()}8|СDМ^( + )|
отсюда (так как in 2/ < In t2 = 2 In /)
з
A2)
*) /п(«) ес'ь я-я степень, fin)(s) — я-я производная функции /(s).

42
ГЛАВА II
(для о аа 1 это тривиально). Пусть теперь 1 < yj < 2; тогда для
1 < о < *]> / > 2, в силу неравенства E),
j\'(u-\-ti)du
)—1);
отсюда, принимая во внимание A2), получаем:
Но последнее неравенство сохраняет силу, вследствие A2),
и для т]^а<;2, t^>2\ значит, оно справедливо вообще для
всех 1 <> < 2, *>2. Выберем теперь t] = r\(f) так, чтобы
для чего нужно, очевидно, положить:
ij =1 + B АЪААГ* (In /)~9,
и возьмем ? столь большим (скажем, ? > ?0), чтобы было т| < 2.
Тогда для 1 <; а ^ 2, ? > ?0 мы будем иметь:
Это и доказывает формулу (9) (с А = 7).
Неравенство A0) является лишь одним из бесчисленного множе-
множества аналогичных неравенств вида
<о + cicos е + • • • + ст cos m 0 > 0,
которые могли бы быть использованы для той же цели, раз только
коэфициенты положительны и Ci>?0- Таково, например, неравенство
5 + 8 cos 0 + 4 cos 20 + cos 30 > 0.
Приведенное нами доказательство первой части теоремы 10 при-
принадлежит в существенных чертах Адамару1). Совершенно отличное
доказательство было дано де-ла-Валле-Пуссеном2); оно значительно
сложнее н требует гораздо больше предварительных сведений о свой-
свойствах функции С (s).
1) Hadamard, 3. См. также Mertens, 2; Я, I, 242-258.
2) De la Vallee-Poussin* L

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 43
5. Фундаментальная формула. Установив все необхо-
необходимые свойства С (s)y мы переходим теперь к выводу из них
интересующих нас свойств ф(лг). В фундаментальном соотно-
соотношении A7), стр. 27, связывающем эти две функции, f(s) =
s= — yV\ выражено через $(х). Для наших целей было бы,
очевидно, желательно иметь, наоборот, выражение $(х) через
f(s). Однако непосредственное рассмотрение $(х) приводит
к некоторым затруднениям, связанным с вопросами сходимости;
чтобы обойти эти затруднения, мы будем сначала оперировать
с функцией
X X
4-1 С*) = / </ («) <*« = /Ч (и) с!и = %(х-п) А (л). A3)
о 1 п<х
(Тождественное совпадение двух последних выражений является
простым следствием теоремы А, стр. 28). Обратный переход
от $г(х) к ty(x) будет уже сравнительно нетрудным делом.
Прежде всего мы докажем фундаментальную формулу
e-f-ooi
где интегрирование производится по прямой о = с. Доказатель-
Доказательство основывается на следующей теореме:
Теорема В. Пусть k — целое положительное число, с > О,
0; тогда
2к t J
fds
с — оог
0
l
Интеграл абсолютно сходится, ибо на контуре интегриро-
интегрирования подинтегральное выражение по модулю меньше yc\t['~k'~1.
Обозначим через / интеграл по бесконечному промежутку
и через 1Т—интеграл в пределах от с—77 до с-|-77{оба
с множителем — 1. Применяя теорему Коши о вычетах, заме-
заменяем контур интегрирования в 1Т дугою окружности С с цен-
центром в 5 = 0, проходящей через точки s^^c^zT

44
ГЛАВА II
то берем дугу Cv лежащую левее прямой о = с, в предполо-
предположении, что Т столь велико, что /? > 2k> где R — радиус
окружности С. Это дает:
A5)
где 5 есть сумма вычетов подинтегрального выражения в его
полюсах s = 0, —1, ..., —k и /(Cj) — интеграл вдоль Сг Но
8 е так как^>1; точно
на Сх
так же
отсюда
и, значит, \у I =у
R (/i =
Rk
Следовательно, в силу равенства A5), IT-*S при 71-» ос.
Итак, I=S\ но
.у
=4i М
что и доказывает теорему для у^1. Для случая ^у<; 1 дока-
доказательство аналогично, с тем отличием, что берется правая дуга Са
окружности С; так как внутри нового контура уже не содер-
содержатся полюсы, то для интеграла / получается значение нуль*
Отсюда формула A4) выводится следующим образом. По
теореме В для х > 0 и с > 0
e+ooi/x \s
п<а?
л
Если с > 1, то можно переставить порядок суммирования
и интегрирования, ибо ряд
/х
ДМ i
¦ds

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 45
сходится *). Следовательно,
C-\-Q0i C-f-OQ*
x 2raJ s(s+l)? „• * 2т:i J s(s-\-l)\ C(s)j '
C~-O3i П —¦ 1 С — OO fc
что эквивалентно формуле A4).
Интегрируя в правой части формулы A7), стр. 27, по частям,
получаем:
A6)
и
[<11(х) = 0 для л:<2]. Равенства A4) и A6) можно рассматривать как
примеры на формулу обращения Меллина, либо, после замены пере-
переменной, как пару взаимно обратных формул типа „преобразований
Фурье", так что каждая можег быть выведена из другой на основании
общих теорем. Они являются частными случаями общих формул теории
рядов Дирихле, справедливых при гораздо более широких условиях2).
6. Мы теперь выведем асимптотическую формулу для
фх (х)} чем будет сделан решающий шаг к доказательству асимп-
асимптотического закона распределения простых чисел.
Теорема 11. При дг-^оо
1П 1_ 9
Во всем последующем предполагается, что лг> 1. Из фор-
формулы A4) имеем:
A7)
*) Указанная перемена порядка суммирования и интегрирования
основывается на следующем общем принципе: пусть Sx и Ту обозна-
обозначают суммирования или интегрирования относительно указанных пере-
переменных; тогда
SeTyf(x,y)= TySxf{x,y)t
если только одна из частей этого равенства остается конечной при
замене /на |/| и, в случае вхождения интегралов, удовлетворяются
некоторые условия интегрируемости (что в интересующих нас прило-
приложениях всегда имеет место). По поводу частного случая />0 см.
Ш. Ж. де-ла-Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. II,
§§ 41, 42. Общий случай может быть приведен к этому с помощью
следующего известного приема: полагаем f=u-{-vi, u = u1 — u2t
I и | = щ -f- u2, v = vx — t>2» 1^1 = vi + V2> и применяем затем указанный
выше частный случай к и1} u9f vlt v2 в отдельности.
*) HRf теоремы 13, 24, 2$, 39, 40.

46 ГЛАВА II
где ?> 1, (с) обозначает прямую а = с, и
L
L
2*1
По теоремам 8, 9, 10 функция g($) регулярна для
за исключением точки 5=1, и
*\>\*0\). A8)
Возьмем з > 0 и пусть L = L (г) = Lx -f- /^ + ^з + ^4 + h
будет бесконечный ломаный контур, указанный на черт. 1,
причем Т=Т(е) выбрано так, что
A9)
а затем a = otG) = a (e) @<a<l) —так, чтобы
^штпрямоугольник а ^ о^ 1, — Г^ t^ T не со-
содержал нулей функции C(s). Первое возможно
в силу неравенства A8), а второе вследствие
того, что С (s) не имеет нулей на прямой
-о=1 (по теореме 10) и (как регулярная
функция) имеет их самое большее конечное
число в области —^с*^1. — T^t^T. При-
Черт. 1.
меняя к интегралу A7) теорему Коши, находим:
где — получается вследствие наличия полюса
1
как логарифмическая производная функции с простым полюсом,
имеет в точке 5=1 простой полюс с вычетом — 1]. Действи-
Действительно, в силу нашего выбора контура L подинтегральное вы-
выражение регулярно на линиях (с) и L и в промежутке между
ними (за исключением точки s = 1); интегрируя сперва по
замкнутому контуру, отсекаемому прямыми линиями /==rti l/, где

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 47
U > max (tQ, Г), видим, что интегралы по отрезкам этих линий,
входящим в указанный замкнутый контур, будут по модулю
8
^ (с—1) max
в силу неравенства A8), и, значит, стремятся к нулю при
A8) показывает, кроме того, что / сходится абсолютно. Напи-
Напишем / = /х 4- /2 + h + U + 4> рде А» • • • у U СУТЬ инте"
гралы, взятые соответственно вдоль Lv ..., Lb. Так как
^•^лг8" принимает сопряженные значения для сопряженных
значений s, имеем по неравенству A9):
с© оо
*/кA-М0|л<«-
Точно так же (вследствие того, что х > 1)
где М — М(Т, а) =
нечных отрезках La,
получаем:
) есть максимум модуля \g(s)\ на ко-
ко4. Применяя эти оценки к формуле B0),
X2
для всех х > х0 = х0 (е, Г, а, Л1) = лго(з). Это и доказывает,
что
Нашей целью при перенесении контура интегрирования влево
является, очевидно, достижение того, чтобы на новом контуре Ix8"1 =
== л:* сделалось возможно меньшим. Однако возможность наткнуться
на особенности подинтегрального выражения, вызванные нулями
функции С (s), ставит границы этому перенесению. Имеется другое
доказательство, при котором контур интегрирования уже вообще не
переходит влево за прямую а = 1. В кратких чертах оно таково:
из формулы A4) и теоремы В (с заменой переменной s = s' -f 1) имеем:
*iW 1
J
(c)
2niJ
(c)

48 глава и
(*>1, с>1). Как и выше, мы перемещаем контур интегрирования
влево, но теперь за новый контур мы принимаем уже прямую сг =» 1,
что можно сделать, так как h (s) регулярна в точке ^я], 3hro дает:
•^-^И-тГ-^Г / h(\+tt)S»dt, B1)
где S = In x. Так как интеграл
со
f | h (I + ti) | dt
—oo
( * 1
сходится (как можно убедиться, применяя оценки для | С7 (^) | и ^ ¦-
из теорем 9 и lOj, то в силу простого обобщения известной теоремы
Римана-Лебега из теории рядов Фурье интеграл в правой части фор-
формулы B1) должен стремиться к нулю при с~>оо, что и доказывает
теорему.
7. Теперь мы должны вывести из теоремы 11 соответству-
соответствующее соотношение для $(х). Этот вывод основывается на сле-
следующей теореме.
Теорема С. Пусть cv г2, ... — заданная числовая после-
довательностъ и
X
С (х) = 2 ся, С, (х) = fc(u)du = 2 (х-п) сн.
П^.Х г/ П^Х
Если сп > 0 (п == 1, 2, ...) и Cj (*) ~ С хс при х -* оо,
где С и с — положительные постоянные, то тогда С(х)~
(Тождество двух выражений для Сх (х) является следствием
теоремы А.)
Пусть 0 < а < 1 < р. Так как сп ^> 0, то С (и) является
неубывающей функцией от и; поэтому для х > О
C(x)<L 7
1 /^(Px) с С.
— i \ (p^)c p x

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 4&
Пусть р фиксировано и л;->оо; так как —~~ -> С при
У
у~>оо, то будем иметь:
Аналогично, рассматривая интервал (ах, х)> получим:
Беря аи^ достаточно близкими к единице, мы можем сде-
сделать правые части полученных неравенств произвольно близ-
близкими к Сс (производной от Сх° в точке л:=1). Следовательно,
Переход от С(х)~Ссхе~~1 кС1(х)^Сх° выполняется (и притом
почти тризиально) без наложения ограничивающего условия in!>0.
Что обратный переход от Сх (х) ~> Схс к С(х)~Ссхс~~х, вообще говор*,
неверен, показывает пример сп = 1 + (— \)пп. См. ниже, в § 10, неко-
некоторые общие замечания относительно теоремы С.
8. Асимптотический закон распределения простых чисел.
Доказательство асимптотического закона распределения про*
стых чисел получается теперь путем простого соединения ре-
результатов предыдущих теорем.
Теорема 12. При лг-*оо>
/ ч х
ТС (ЛГ) —- -: .
In я
По теореме 11, ^>j (л:) ^— — х2. Так как А (п) ^ 0, то, по тео-
теореме С, ^(а:)~а:, а это, по теореме 3, эквивалентно утверж-
дению, что тг(л:)~ .
1пдг
Теорема 12 доставляет следующий результат относительно
я-го простого числа рп.
Теорема 13. При я->оо
рп ~ п In п.
Действительно, положим у = тг (х); тогда при х -*¦ оо
*^-1. B2)

50 ГЛАВА
откуда
\пу -|- 1п 1п х — 1п х -> 0
и, значит,
В соединении с B2) это дает:
откуда, полагая х—рп, мы и получаем требуемый результат,
ибо ж(рп) = п.
Обратно, теорема 12 может быть выведена из теоремы 13, так что
эти две теоремы эквивалентны. В самом деле, пусть теорема 13 верна
ил = л(лг) определяется неравенством Pn^x<^pn^,v Тогда, при
.*•-> оо, рп~п In n и рп^т1/щ^(п+1) In (n-{-\)~n In л, откуда х~п\пп
или же x~ylny, так как j/ = % (х) = я. Отсюда выводим, как выше,
что In х ~ In у и, значит, у ^~ .
J In л:
9. Приведенное выше доказательство асимптотического за-
закона распределения простых чисел основывается на том обстоя-
обстоятельстве, что С (s) не имеет нулей на прямой о=1. Естест-
Естественно встает вопрос: существенно ли это свойство С (s) для
справедливости асимптотического закона? Утвердительный ответ
на этот вопрос доставляется тем фактом, что, как мы сейчас
покажем, обратно, отсутствие нулей С (s) на прямой о = 1
является прямым следствием асимптотического закона, если при-
принять за известные свойства функции С (s), указанные в теореме 8.
По формуле A7), стр. 27, при о>1
oo
1
функция Ф (s) регулярна в полуплоскости о > О, за исключе-
исключением простых полюсов в нулях ? (У). Примем теперь, что
асимптотический закон выполняется, т. е. ty(x) — x-\-o(x).
Тогда для всякого е>0 будем иметь \ty(x) — X | < ед;, начи-
начиная с х ^ х0 = х0 (в) ( > 1); отсюда для о > 1
х0

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 51
где /С= К(хо) — К(е). Это показывает, что
|(о—1)ф(а+Я)| </С(о— !) + • < 2в
для всех а, достаточно близких к единице: 1<а<ао =
== о0 (е, К) = о0 (е). Следовательно, для всякого фиксирован-
фиксированного t
(о—
при о -> 1 -}- 0. Но это не могло бы быть, если бы точка 1 -\- U
была нулем функции С (У), ибо в таком случае (о—1)Ф (а + //)
стремилось бы к пределу, отличному от нуля, а именно к вы-
вычету Ф (s) в простом полюсе 1 -f- ti.
10. Как было уже указано во введении, доказательство асимптоти-
асимптотического закона распределения простых чисел, не опирающееся явно
или неявно на понятие аналитической функции от комплексного пере-
переменного, еще никем не было найдено. Проведенное выше исследование
показывает, что это обусловлено неразрывной связью закона распре-
распределения с поведением C(s) на всей прямой с = 1.
Методом, примененным в доказательстве теоремы 6, можно дока-
доказать следующее общее положение: пусть
тогда
из ?М -> С вытекает (s — 1) f(s) -> С B3)
(при лг-*оо и s->l-j-O)- Если бы было справедливо и обратное
предложение, то для получения асимптотического закона распреде-
распределения простых чисел достаточно было бы просто положить сп = Л (п).
Но обратное предложение, вообще говоря, не верно, и исследование,
проведенное в § 9, показывает, как построить противоречащий при-
пример. Для этого достаточно взять за f(s) функцию, сходную по свой-
ствам с — irT-f, но имеющую особенности на прямой а = 1, отличные
от 5 = 1, например:
В этом случае (s—1) f(s)-> 1 при s-> I -f- 0. И, однако, так как
f(s) имеем полюсы в точках s = 1 :±: /, те рассуждения § 9 показы-
С(х)
вают, что ' при х *» оо не может стремиться к единице (а в силу
утверждения B3) и вообще ни к какому пределу). И действительно,
нетрудно непосредственно проверить (например, с помощью тео-
теоремы А), что
= х + -—=. cos ^1п х - —^ + о (х).

52
ГЛАВА II
Наши теоремы в их взаимной связи будут лучше всего поняты,
если рассматривать их как теоремы „абелева" и „тауберова* типа.
Переход от С(х) ~ Ссхс~х к Сх(х)~Схс (§ 7, стр. 49) есть теорема
абелева типа — не связываемое никакими ограничивающими условиями
заключение от поведения функции к поведению ее среднего; тео-
теорема С — „обращение" этой теоремы, справедливое лишь после ограни-
ограничений, наложенных на функцию, от которой берется среднее, — есть
теорема тауберова типа. Применяя вместо теоремы С другие таубе-
ровы теоремы и вместо tyi(x) другие вспомогательные функции, мы
можем дать приведенному доказательству асимптотического закона
распределения простых чисел самые разнообразные формы, не изменяя
при этом их принципа1).
Другим примером абелевой теоремы может служить утвержде-
утверждение B3), ибо f(s) представляется в виде среднего отС(дг) при помощи
формулы, аналогичной формуле A7), стр. 27. Однако обращение этой
теоремы не верно даже при условии сп^09 как показывает пример
B4). Правда, для рядов Диридле и степенных рядов с положитель-
положительными коэфициентами существуют тауберовы теоремы (Харди и Литтль-
вуда), которые могут быть использованы в качестве базиса для дока-
доказательства асимптотического закона простых чисел. Однако эти
теоремы применяются к вспомогательной функции ^ А(п)z» @<Х1),
поведение которой исследуется методами теории аналитических
функций2); в применении к ^Л(п) п~8 они доставляют лишь дока-
доказательство соотношения
л (я)
п
полученного уже, и притом совершенно элементарным путем, в гл. I
(теорема 7).
П. Исследованиями настоящей главы установлена взаимная связь
асимптотического закона распределения простых чисел о, отсутствием
у С($) нулей на прямой з= I. Однако отсюда еще никоим образом
нельзя заключить об эквивалентности этих двух предложений, ибо при
доказательстве асимптотического закона мы опирались на вспомога-
тельную теорему о порядке роста функции г) -. Этот дефект был
устранен Винером, которому удалось дать доказательство асимптоти-
асимптотического закона, опираясь, кроме свойств С (s), указанных в теореме 8,
А) Доказательство, изложенное в тексте, представляет незначи-
незначительную модификацию доказательства Ландау. По поводу других дока-
доказательств см. //, ВС и приведенные там ссылки на литературу.
2) Hardy and Uttlewood, 1,2A27—134). Их доказательство можно
заменить более элементарным, основываясь на найденном Карамата
простом доказательстве соответствующей тауберовой теоремы. В прин-
принципе доказательство Карамата аналогично доказательству фундамен-
фундаментальной теоремы общей тауберовой теории Винера (см. § 11), однако
особенности частного случая, рассмотренного Карамата, позволили
путем применения специального приема доказать теорему замеча-
замечательно простым путем [см. Wiener, 2 E1)].

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 53
лишь на отсутствие у С (s) нулей на прямой з=1. Доказательство
Винера является применением его общей тауберовой теории 1).
12. Тот факт, что асимптотический закон распределения простых
чисел не был до сих пор доказан методами вещественного перемен-
переменного, послужил поводом к установлению удобной классификации
теорем по их „глубине*. Мы называем теорему „элементарной" или
„трансцендентной" сообразно тому, может ли она или не может быть
доказана без помощи теории аналитических функций. Далее, две
теоремы называют „эквивалентными', если они могут быть выведены
одна из другой .элементарными" методами.
Один из наиболее разительных примеров „эквивалентных* теорем
связан с равенством:
0-1 1-1 -1+1 -±4-J— i I+I4--I— B5)
u-1-2~  b+T 7 МО 11 I3M4"M5 ' ' ' ' {г0)
указанным Эйлером в 1748 г. 2). Члены ряда в правой части предста-
представляют собой обратные величины целых положительных чисел q, не
делящихся ни на какой квадрат (т. е. содержащих все простые мно-
множители лишь в первых степенях), снабженные знаком + или ~~»
смотря по тому, содержит ли q четное или же нечетное количество
простых множителей. В современных обозначениях это равенство
записывают так: }> ^-^ = о, где \х (п)-~функция Мббиуса. Чисто фор-
формальная аргументация Эйлера, сводящаяся фактически к указанию
на то, что правая часть равна
может быть несколько модифицирована с помощью введения перемен-
переменной s и предельного перехода по s -> 1 + 0; этим путем мы обнару-
обнаруживаем, уже совершенно строго, что указанный ряд, в случае, если
он сходится, должен иметь своей суммой нуль. Но сходимость этого
ряда была впервые установлена в 1897 г. фон Мангольдтом, причем
доказательство его базировалось на довольно специальных фактах из
теории функции ?(s) 8). В настоящее время известно, что сходимость
х) Wiener, /, 2. Первоначальное доказательство Винера было
основано на одной тауберовой теореме для рядов Ламберта, из кото-
которой, как это было хорошо известно, асимптотический закон распре-
распределения простых чисел вытекает сравнительно просто. Эта теорема и
ее связь с теорией чисел были впервые исследованы Харди и Литтль-
вудом (Hardy and Litllewood, 3), однако они не имели в виду дока-
доказательства асимптотического закона, ибо опирались явно на теорему,
несколько более глубокую, чем сам этот закон. Винер дал независимое
доказательство тауберовой теоремы для рядов Ламберта, причем
выполнимость условий его общей теоремы в рассматриваемом случае
основывалась лишь на том, что СA + #L=0 для всех вещественных t
Другие доказательства асимптотического закона, опирающиеся на
теорию Винера, но не применяющие рядов Ламберта, были последо-
последовательно получены Икеара (Ikehara, 1) и самим Винером (Wiener, 2).
2) Euler, 2t § 227, Exeraplum I.
3) von Mangoldt, 3; H, II, 567—616.

54
ГЛАВА II
этого ряда „эквивалентна" асимптотическому закону распределения
простых чисел *). Таким образом эйлерово равенство B5) оказывается
„трансцендентной" теоремой. Интересно отметить, что хотя ряд
в правой части представляет формальное разложение произведения
П A — р~г), тот факт, что произведение п первых сомножителей этого
бесконечного произведения стремится к нулю при п -> оо, является
„элементарной" теоремой (теорема 1), тогда как теорема о том, что
сумма первых членов ряда стремится к определенному пределу,
является уже „трансцендентной".
Различие между „элементарными" и „трансцендентными" теоре-
теоремами, конечно, связано с наличным состоянием наших знаний и
является до известной степени неопределенным, поскольку рассужде-
рассуждения, не опирающиеся явно на понятие аналитической функции, могут
тем не менее быть тесно связанными с родственными с ним идеями.
Так, теория Винера, упомянутая в § 11, дает возможность вывести
асимптотический закон распределения простых чисел из свойств C(s)
без какого бы то ни было прямого применения теории аналитических
функций. И, однако, работа Винера базируется на теории преобразо-
преобразований Фурье, почти столь же сложной, как и теория аналитических
функций, и отнюдь не отделенной от нее китайской стеной. Поэтому
и сам Винер не считает свою теорию строго „элементарной" в ука-
указанном смысле 2).
!) Landau, 3.
2) С тех пор, как были написаны эти строки, Ландау удалось
вывести асимптотический закон распределения простых чисел из
свойств С (s) не только без применения теории аналитических функций,
но и совершенно независимо от общей теории Винера. Его рассуждения
совершенно элементарны и опираются лишь на теорему Римана о стре-
стремлении коэфициентов Фурье к нулю и на монотонность функции ф (х)
(см. приложение в конце книги). И, однако, это не дает права назвать
его доказательство „элементарным", ибо оно основывается на свой-
свойствах функции С (s), которые не только доказываются, но даже форму-
формулируются лишь с помощью теории аналитических функций. Перев.

Глава III.
ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ.
1. В настоящей главе мы займемся систематическим изло-
изложением теории дзета-функции и применим наши результаты
к дальнейшему исследованию функций ty(x) и те (х).
2. Аналитическое продолжение и функциональное уравне-
уравнение. Мы снова возвращаемся к вопросу об аналитическом про-
продолжении функции С (s) и хотим теперь определить всю область
ее существования. Одним из методов, ведущих к достижению
этой цели, является расширение этой области, шаг за шагом,
путем последовательного интегрирования по частям в фор-
формуле C), стр. 38, или, что фактически одно и то же, путем
применения формулы суммирования Эйлера-Маклорена. Однако
мы предпочтем другие методы, имеющие то преимущество, что
они естественно приводят к важному функциональному соотно-
соотношению, связывающему C(s) и СA—s).
Теорема 14. Функция t(s), определенная для о> 1 форму-
оо
лой C(s) = V —, является однозначной аналитической функ-
цией во всей плоскости s, имеющей единственной особен-
особенностью {на конечном расстоянии) простой полюс 6 5=1
с вычетом 1.
Далее> C(s) удовлетворяет функциональному уравнению
. A)
Имеем:
f/ J (a>0, л
о
поэтому для а > 1
00
Г (s)C(s) = 2r (s)n"8 =2 У я* е~ nxdxy

ГЛАВА III
что после перемены порядка суммирования и интегрирования
и применения формулы суммы геометрической прогрессии дает:
B)
Указанная перемена порядка суммирования и интегрирования
допустима, так как [стр. 45, сноска *)]
имеет конечное значение.
Рассмотрим теперь интеграл
взятый вдоль (бесконечного) контура С= Q-j-Cg-f-Q» ука-
указанного на черт. 2, где с < 2тс и Cv C3 проходят соответ-
соответственно по верхнему и нижнему краю разреза вдоль отрица-
отрицательной вещественной оси плос-
плоскости z. Мы определяем z* для
всех 5 как exp(slnz), где In z
непрерывен на разрезанной ука-
указанным образом плоскости z и
принимает вещественные значе-
значения на положительной веществен-
ЧеРт- 2- ной оси. Полагая
(r>0, —
имеем:
Интеграл I(s) (если он сходится) не зависит, по теореме
Коши, от с и является функцией от одного только s. Но он
сходится для всех s и притом равномерно в любом круге
151 < Д, ибо на Cj и С3
в—1
-У г_
Д — 1
для всех г>го=:го(Д). Следовательно, /(s) регулярен в про-
произвольном круге |$|<Д и, значит, представляет целую функ-

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ &?
цию. (См. сноску на стр. 36—37; с помощью выведенной ниже
формулы C) I(s) выражается через интегралы, взятые по ве-
вещественным переменным.)
Полагая на Cv C2, С% соответственно z = re~ri, сеЬг , геп% и
обозначая для сокращения —^ —gi*), получаем:
е — 1
2*U (s) - — У r'-'e-^g (- r) dr
ИЛИ
= /,(«, с) Ч-/,(«,«)• C)
-~
Так как zg(z) регулярно для |arj<2ic, имеем \zg(z)\^.Al
в круге l^j^it; следовательно, для с<и
D)
Пусть теперь о > 1; тогда в силу неравенства D) /2(s»?)-*0
при с-* О (н s фиксированном), поэтому, принимая во внима-
внимание формулу B), будем иметь:
оо
тс I(s) = lim /j (s, с) = sin si: f r8 g(— r) dr == sin sn Г {s) С {s).
0
Следовательно, в силу известной формулы Эйлера,
С (s) = -т-^—=~г-г = Г A — s) I (s). E)
sin sn 1 (s)
Так как f(s) является целой функцией, то это равенство,
доказанное сперва в предположении о> 1, определяет ?(s) как
мероморфную функцию с полюсами в тех из точек s = 1, 2, 3,...
[полюсах ГA — s)], в которых /(^)фО. Но при целом 5
подинтегральное выражение в J(s) является однозначной функ-

58
ГЛАВА HI
цией от г и I(s) есть вычет этой функции в точке 2 = 0;
следовательно, /A)== — 1, /B)==/C)= ... ==0. Таким обра-
образом точки 5 = 2, 3,... не являются полюсами ? (s) (что, впро-
впрочем, явствует из того, что они лежат в полуплоскости о > 1).
И так как
Черт, 3.
то точка s = 1 является про-
простым полюсом с вычетом
— ГAOA) =1. Это доказы-
доказывает первую часть теоремы.
Для доказательства второй
R =(?n*\)i, Части примем, что о < 0; по
теории аналитического продол-
продолжения мы имеем на это право,
так как обе части форму-
формулы A) регулярны, за исклю-
исключением полюсов, во всей плос-
плоскости s. Рассмотрим
-dz,
2tu J e~z — ^
elm
где С (N) есть замкнутый контур, обозначенный на черт. 3, и
N—целое положительное число. На внешней окружности имеем:
z8-1
ограничен в области S (S), остающейся после
*) Модуль
удаления из плоскости z внутренних частей кругов радиуса
с центрами в s = 2nni(n = 0, ztl, dt2,...); действительно, он перио-
периодичен с периодом 2и/, не превышает для | х \ > 1 (z = x-\-yi) и
непрерывен, а следовательно, ограничен в области —1 <!.*•<; 1,
\>Ь. Окружность же | z \ = R целиком содержится,
например, в зГ-ут

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 59
Поэтому эта часть контура C(/V) вносит в IN(s) величину,
меньшую по модулю, чем R° ?! г'к Л2, и, значит, стремящуюся
к нулю при Af-* со, ибо о < 0. Отсюда вытекает, что
IN(s)->I(s) при N-+OO.
Но теперь, по теореме Коши о вычетах,
Is (*) = 2 {BИШ)8
N
N N
n~l n=l
Следовательно,
1
I(s)= lim /^(s)^^)8-1^!!— та V n8-1^
N^ 2 &
= 2 BTI)8 sin 4
так как 91A—5) = 1—о > 1.
В соединении с формулой E) это дает:
Bтг/ sin — тт5 С A — s)
sin
откуда и вытекает уравнение A).
3. Функция t(s). Пользуясь известными свойствами функ-
функции Г (s), можно преобразовать функциональное уравнение
к более симметричной форме.
Теорема 15. Функция
(S) F)
является целой и удовлетворяет функциональному уравнению:
Кроме того, ? (s) принимает на прямых t = 0 и о = —
вещественные значения.

60 ГЛАВА Ш
Наконец,
Действительно, множитель при C(s) в формуле A)
*•'(*•)
±A_8) м ± х
112 2 s;
(в силу формул Лежандра и Эйлера из теории гамма-функции).
Поэтому функция
удовлетворяет функциональному уравнению <р A — 5) = <р E).
Эта функция мероморфна, и вследствие функционального ура-
уравнения полюсы ее симметрично расположены относительно
1 ^
точки s=s —. Так как единственным полюсом в полуплоскости
з>0 служит простой полюс в точке s==l с вычетом
7г 2 Г I — I = 1 , то единственными полюсами во всей плос-
плоскости s будут простые полюсы в точках 5 = 0 и 5=1. Следо-
Следовательно,
является целой функцией, и
Из формул F), E), C) и свойств Г E) и остальных вхо-
входящих в эти формулы элементарных функций явствует, что l(s)

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 61
вещественна для вещественных 5 и ? (a ~\-ti) и 5 (а — й) имеют
сопряженные значения *). В частности, сопряженные значения
имеют *
* (~9" + ^ ) и ? ("о **)• ^°» с ДРУгой стороны, в силу
функционального уравнения эти значения между собой равны.
Следовательно, они вещественны.
Наконец,
L / з \ 1
= т: 2 Г ( — 1 • 1 =— ,
/ з \ 1
так что ?A) = т: 2 Г ( — 1 • 1 =— , а $@) = ЕA) в силу функ-
функционального уравнения.
Римаи обозначал через ? (/) функцию, которая в наших обозначе-
обозначениях запишется в виде ?(-s- + #1, и рассматривал / как комплексное
переменное. Принятая нами запись введена Ландау, который обозна-
обозначает риманову ? @ через S (t). Функциональное уравнение показывает,
что 3(*) есть четная функция от t.
4. В предыдущих параграфах изложено одно из двух доказательств
Римана. Второе доказательство, приводящее непосредственно к сим-
симметрической форме функционального уравнения, основывается на
тождестве:
ОО СО ?13JZ
представляющем собой частный случай линейного преобразования
тэта-функции <?).
Имеется доказательство другого типа, основанное на формуле
суммирования Пуассона:
2/(л) = 2 / f(u)cos2Knudu. (8)
— ОО — ОО — ОО
Формально это есть разложение периодической функции
!) Эти результаты можно вывести также, в силу известной общей
теоремы, из того факта, что С {s) есть однозначная аналитическая
функция, принимающая вещественные значения на луче$>1 веще-
вещественной оси.
2) Riemantiy /; см. также Т, 43 D) н замечание в конце последнего
параграфа. По поводу истории функционального уравнения см. Lan-
Landau, 2,

О/ ГЛАВА Ш
при х = 0 в ряд Фурье 2 (ам cos 2яллг -|- #n sin 2nnx). Для справедли-
справедливости такого разложения достаточно, чтобы/(л:) и /'(л:) были не-
непрерывны для всех х, за исключением, быть может, конечного числа
значений для f (х), и чтобы f(x) и I/'C*)! были интегрируемы в пре-
пределах (-— оо, оо); действительно, при этих условиях F{x) является
непрерывной функцией с ограниченным изменением в интервале
О < х <! 1 и, значит, подходит под признак Жордана.
Формулу (8) можно использовать для вывода тождества G) и тем
самым, косвенным путем, для доказательства функционального урав-
уравнения для С (s). Однако ее можно применить и более непосредственно
и притом различными способами; приведем в качестве примера сле-
следующий 1). Пусть
где х__8 равно лг~8для л:>0и равно 0 для х^О. Для
= 4B8 - 1) С (s).
Функция Ф($) регулярна для а>—1, так как, при л->оо,
,s) = O(n~°~2) равномерно во всякой конечной области изме-
изменения s; поэтому формула
СE) = ^-B8-1-1Г1ФE) (9)
дает аналитическое продолжение С (s) на полуплоскость а > — 1 и
показывает, что С (s) в этой полуплоскости регулярна, за исключением,
быть может, полюсов в точках
Для вещественных s из интервала — 1 <s<0 /(*} удовлетворяет
условиям применимости формулы (8), так что
а) Mordell, 1; см. также Hardy, 1. Указания на другие доказатель-
доказательства см. в ВС, 759—763; Т, 2, сноска.

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 63
где
оо
Подинтегральное выражение в /(?,s) будет О(уГ а~2) при и->оо
и О (| и — wo|~J) при и -> и0, где и0 = 0, у, —«~» и притом равномерно
для всех вещественных ? и в любой конечной области изменения 5;
поэтому /(?, 5) непрерывна относительно s и ? для — 1 <а< 1 й
всех вещественных? и регулярна в полосе —1<><1 для любого
фиксированного ?. Если ?фО и 0<s<l, то мы можем разбить
/ (?, s) соответственно трем членам, стоящим в фигурных скобках,
на три интеграла, сходящихся по второй теореме о среднем значении.
Выполняя подстановки u = v~\--1yJ vtv—д- и снова соединяя все
три интеграла в один, получаем:
оо
¦/•_,
- оо
оо
— 2 J dv =
по известной формуле для гамма-функции (легко получающейся при
помощи теоремы Коши из эйлерова интеграла). Окончательная фор-
формула для /(?, s), доказанная в условиях ?фО, 0<5<1, справедлива
при ?фО во всей полосе —1 <а<Ь так как обе ее части предста-
представляют в этой полосе регулярные функции от s. Из непрерывности
относительно ? явствует, что в указанной полосе 7@, s) = 0 (что
можно проверить и непосредственно). Подставляя в A0), получаем,
что для — 1 <<0
Ф (s) = — 8 B7Г)8-1 sin~™ГA — s) A + 38 + 5s
= 8 B7r)s-1sin~-;r5F(l — s) Bs — 1) C(l — s),
так как 1 — s>l. Сопоставляя это с формулой (9), находим:
2B)s-1sin5r(l
y5). (И)
Так как t(s), за исключением полюсов, регулярна в полуплоскости
а>—1, то правая часть формулы A1) регулярна с точностью до
полюсов в полуплоскости а<2. Таким образом формула A1) завер-
завершает продолжение С (s) (как мероморфной функции) на всю плоскость
и справедлива для всех значений s. Формула A) получается отсюда
путем замены s на 1—5. Но мы видели из формулы (9), что С (s)

64 глава m
во всяком случае регулярна в полуплоскости 5>1 и полосе — 1 <а<^ 1.
Следовательно, в силу A1) она регулярна в полуплоскости а<0 и
полосе 0 < а <, 2, за исключением, быть может, полюса в s = 1 [вызы-
[вызывающегося наличием множителя Г A — s)]# В совокупности эти резуль-
результаты показывают, что точка s = 1 является единственным возможным
полюсом С(?). Для окончательного разрешения вопроса замечаем
прежде всего, что Ф@) = 1 (по определению), так что, как показывает
формула (9), С@) = —-^-. Значит, по A1), при s •+ 1
(s - 1) С (s) = - 2 {2п)а-л sin ~ nsTB - s) СA - s) -»
и, следовательно, точка 1 действительно является простым полюсом
с вычетом 1.
Формально формула Пуассона дает непосредственное преобразо-
преобразование одной стороны формулы A1) в другую, однако приходится итти
несколько окольным путем во избежание трудности, возникающей
вследствие того, что ^п~8 и 2 я8" не имеют общей области схо-
сходимости.
5. Нули. Прежде чем перейти к детальному исследованию
вопроса о существовании нулей у функций C(s) и %($), мы
установим некоторые важные факты, относящиеся к располо-
расположению этих возможных нулей.
Теорема 16. (I) Нули ?(s) (в случае, если они суи&ствуют)
все расположены в полосе 0 <; о ^ 1 и притом симметрично
относительно прямых t = 0 и о = —.
(II) С (s) и Е (s) имеют одни и те же нули {притом с оди-
одинаковой кратностью), за исключением простых нулей C(s)
в точках s — — 2, — 4, — б,...
(III) ?(s) не имеет нулей на вещественной оси.
Имеем:
Но С E) (как показывает эйлерово произведение) не имеет
нулей при о > 1, и то же справедливо и для h (s). Следова-
Следовательно, ?(s) не имеет нулей при о> 1, а значит, и при о < О,
ибо ?(s) = S(l—s). Нули (если они существуют) симметрично
расположены как относительно вещественной оси, ибо l(?±ti)
1
комплексно сопряжены, так и относительно точки s==~, так
как 5 (s) = ?A—s).

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 65
Следовательно, они симметрично расположены также отно-
относительно прямой <з = —. Этим доказывается утверждение (I).
л»
Несовпадение нулей С (s) и 6 (s) может вызываться лишь
влиянием нулей и полюсов h(s). Но единственным нулем h(s)
является s=l, и в этой точке ни C(s), ни ?(s) не равны нулю,
ибо С(s) имеет в s=l полюс, а $A) = -— по теореме 15.
Далее, h(s) имеет простые полюсы в точках $==— 2, — 4,
—6, ... Так как в этих точках E(s) регулярна и отлична от
нуля, то они должны служить простыми нулями функции С (s).
Это доказывает утверждение (II).
Для доказательства утверждения (III) достаточно, в силу
предложений (I) и (II) и равенства ?@).= ?A)= —-, показать,
что С (s) ф 0 в интервале 0 < 5 < 1. Имеем:
1 8 - 4"8)+ ... (о > 0);
действительно, это равенство, во всяком случае, справедливо
для о > 1, и так как
dx
<
2n-l
для о > 8, I s I < A, где 8 и Д — фиксированные положительные
числа, то обе стороны регулярны в полуплоскости о > 0. Когда
0 < s < 1, эта формула дает A — 21"8) С (s) > 0 или С (s) < 0.
Полоса 0<;о^ 1 называется „критической полосой" и пря-
прямая с = ——„критической прямой" функции С (s). Нули—-2,
— 4, — 6, ¦.. функции С E), в большинстве вопросов не игра-
играющие роли, называются „тривиальными нулями"*
6* Мы должны теперь доказать, что ?(s) действительно
имеет нули или, иными словами, что С ($) имеет нетривиальные
нули. Наше доказательство будет основываться на теории целых
функций* Соответствующие разделы этой теории излагаются
в следующем параграфе; мы предпошлем им доказательство
двух теорем из общей теорий функций, которыми мы будем
дальше пользоваться.

66 ГЛАВА Ш
Теорема D. Пусть f(z) регулярна в круге \г — zo\ </? и
имеет {по меньшей мере) п нулей в круге \z — z0 \ <> ( < /?);
тогда% в предположении f(z0) ф 0, имеем:
A2)
где М есть максимум модуля \ f{z) \ на окружности \z — z01 = /?.
Кратные нули считаются (как обычно) соответственно по-
порядку их кратности.
Мы можем принять, что z0 = 0, ибо общий случай приво-
приводится к этому посредством подстановки z = zo~\-z'. Пусть
f{z) имеет в круге |z|^r нули аи я2, ..., ап (где кратные
нули выписаны повторно соответствующее количество раз);
тогда f(z) можно представить в виде:
где av сопряженно с av и <х> (z) регулярна в круге | z | < /?. На
окружности (z | = /? каждый сомножитель произведения в
правой части равен по модулю единице; поэтому
Вследствие регулярности <р (<г) в круге | z | ^ /? имеем (по
принципу максимума модуля или же в силу неравенств Коши)
| <р @) | ^ М. Следовательно,
что и доказывает теорему, так как по предположению /@) фО.
Теорема D во многих приложениях играет ту же роль, что
и более точная формула Иенсена, из которой неравенство A2) выте-
вытекает как простое следствие.
Теорема Е. Пусть в круге \z — 20|</? функция
регулярна и удовлетворяет неравенству:
тогда
\с к2^-^ ы-\ 2 з ^ <т

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ
и во всяком круге \г — z01 < г < R имеем:
[
Г (г)
Мы снова можем принять, что z0 = 0. Пусть
оо со
Ф (*)•= U—№ = U—co-2 cnzn = '%t>nzn (\z\<
1 0
и С обозначает окружность | z \ ==/•</?; тогда
5j
С
где
Рассматривая интеграл от регулярной функции Ф {г)гп"г9
взятый по той же окружности, получаем:
~
Заменяя в этом равенстве i на —/, сокращая на гп и скла-
складывая с A4), где предварительно обе части умножены на гп,
находим:
к
. п 1
Но Р= {/— 9i/(<z) ^0 в круге | z | < /? и, в частности, на
окружности С. Следовательно, для п^>\
—п
в силу A4). Беря г->/?, получаем!
ш\ db =~ fpdi) ¦.
A5)

68 ГЛАВА Ш
где $0 = Ш0, а это эквивалентно неравенству A3), ибо
bo=U—co и Ьп = — сп (и>1).
Неравенство A5) показывает, что в круге |.г
Эти неравенства эквивалентны указанным в формулировке
теоремы неравенствам для /(г), ибо
Теорема Е, с различными степенями точности утверждаемых нера-
неравенств, была доказана Адамаром, Борелем и Каратеодори. 6 приве-
приведенной здесь форме она уже не доступна дальнейшему усилению, как
показывает рассмотрение функции /(г)».- ¦ , для которой в круге
|*|<1 имеем »/(*)<-!¦.
7. Целые функции. Пусть G(z)—целая функция, не при-
приводящаяся тождественно к постоянной и удовлетворяющая
условию G @) ф 0«
Нули G(z), в случае, если их имеется бесконечное множе-
множество, можно расположить в последовательность av a2, а%, ...
в порядке возрастания модулей, так что
0<|а1|<|а2|< ..., |an|->oo,
причем нули с совпадающими модулями чередуются между
собой в любом порядке, а кратные нули выписаны повторно
соответствующее количество раз. Рассмотрим ряд 2|ап1~а-
Для а =г 0 он расходится; с другой стороны, если он схо-
сходится для какого-либо вещественного значения а, то он схо-
сходится и для всех ббльших значений, так что существует един-
единственное т ^- 0, обладающее тем свойством, что для а > т ряд
сходится, а для а < т расходится; для а = % он может как
сходиться, так и расходиться. Число т называется показателем

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 69
сходимости последовательности {|ял|}. Пусть k-\-\ будет
наименьшее целое значение а, для которого ряд сходится;
таким образом k^O, и если т не целое, то ^<т<?-|-1>
тогда как при целом х имеем т = k или k -\- I, смотря по тому,
будет ли ряд 21 ап \~Х расходиться или же сходиться; тогда
где H(z) — целая функция, и произведение абсолютно сходится
для всех z (если k = 0, то показатель при е в общем члене
произведения считаем равным нулю). Это — классическая теорема
Вейерштрасса, принимаемая нами здесь без доказательства. Мы
допускаем также законность всех формальных преобразований
равенства A6), совершаемых в дальнейшем, отсылая за доказа-
доказательствами к изложениям теории Вейерштрасса.
Если G(z) имеет лишь конечное число нулей (или же ни
одного), то мы полагаем по определению х = k = 0; тогда фор-
формула A6) остается в силе, с тем отличием, что П будет теперь
уже конечным произведением (которое, в случае, если нет
совсем нулей, принимается равным единице).
Если функция H{z), которая однозначно определена с точ-
точностью до слагаемого, равного произвольному кратному от 2тг/,
есть полином, то мы будем обозначать степень последнего
через А.
Определим теперь порядок целой функции. Пусть М(г)
будет максимум модуля | О (z) | на окружности | z | = г; так
как G{z) не есть постоянная, то М (г) монотонно возрастает
до бесконечности вместе с г (по принципу максимума и тео-
теореме Лиувилля). Если для некоторого вещественного значения
Р имеет место соотношение
ЫМ(г) = 0(/) при г->оо, A7)
то существует единственное <о^>0, такое, что указанное соот-
соотношение выполняется для всех C > со и ни для одного р <[ о>;
для р = о) оно может как выполняться, так и не выполняться.
Число со и называется порядком G(z). [Определение числа <о
не содержит никаких ссылок на нули G {z) и не предполагает,
например, существования формулы A6).]
Мы переходим сейчас к установлению ряда неравенств, свя-
связывающих х, А и о. В этих неравенствах существование меньшей
части уже обеспечивается существованием большей, которое
каждый раз заранее предполагается.

70
ГЛАВА III
T&opema Fl. ш<тах(х, h).
Далее соотношение A7) имеет место при p = max(*c, h)>
если либо
х < К (О
либо
2 \ап\~хесть бесконечный сходящийся ряд. (И)
Имеем по формуле A6):
где Я (г) есть полином степени h и
A8)
Для
l2
•' <еу
Таким образом для всех \
A9)
где ^> может принимать любое значение из интервала k ^ &
Выберем tt > 0 так, чтобы ряд 21 ал Р& (в слУчае, если
он бесконечен) сходился. Такой выбор всегда совместим с усло-
условием k <; & ^ k -j- I, причем & может быть взято произвольно
близким к т; действительно, если 2|амР"есть сходящийся
бесконечный ряд (так что т > 0), то мы можем положить >) — т,
во всех же остальных случаях ^<!?<&-|-1, и тогда можно
взять t<i><&~{~1. При указанном выборе 0- имеем в силу
неравенства A9) (обозначая через Kv K2> ••• числа, зависящие
лишь от Ь и от функции G):

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ПРИМЕНЕНИЯ 71
и, значит, из формулы A8):
(где /С31= ATi SI яя Г*)- Следовательно,
(/) при г-*оо, B0)
так что сортах (A, ft). Так как & может быть взято сколь
угодно близко к т, то отсюда следует, что ш <! max (Л, х).
Если т < h, то мы можем взять & < Л, и соотношение B0)
показывает, что A7) выполняется для р = /г = тах(/г, х). Если
2lanl~T eCTb сходящийся бесконечный ряд, то мы можем взять
|> = х, и A7) будет выполняться для [3 = тах(й, &) =
= max (/г, т).
Теорема F2. т<ш.
Мы можем принять, что G(z) имеет бесконечное множество
нулей, ибо в противном случае т = 0 < ш. Применим теорему D
к G(z), беря zo = Ot /?=2г„, г = гм, где гп = \ап\. Так
как в круге | z |< гп лежит п нулей alt а2, ..., ап, то мы
получаем:
отсюда, в силу определения ш, вытекает, что для всякого фик-
срфованного положительного т In 2 = О {Bгм)ш + *} при п -» оо.
Значит, для всех достаточно больших я
или
Так как J^ > 1, то ряд 2гп Ш 8? сходится; отсюда
т <^ о) -4- 3s и, следовательно, т ^ <о, ибо в может быть взято
произвольно малым.
Теорема F3. й<а>.
Существование ш обеспечивает, по теореме F2, существо-
существование т и, значит, сходимость вейерштрассова произведения
A6). Нам нужно показать, что H(z) является полиномом,

72
ГЛАВА III
степень которого не превышает [да]. Мы можем принять, что
G@) = l, #@)==0, так как h и ю не изменяются от умноже-
умножения G(z) на постоянный множитель, отличный от нуля. Пусть
( 2>/
Для всякого положительного R имеем:
где Ou(z) есть целая функция от z, не имеющая уже нулей
в круге \z\<R. Так как Од@) = G@) = 1, то мы можем
написать:
G (*) = /я(г\ B2)
где gB(z) регулярна в круге \z\ </? и g-?@) = 0. Пусть
irfi0) = |<fV (|г|</?).
На окружности | z \ = 2/?
и, значит,
Так как OR(z) есть целая функция, то, по принципу
максимума, это неравенство выполняется во всем круге \г\ <^ 2/?
и, в частности, для |я|</?; отсюда следует, что
9tgB(z) = In | QR(z) |< In Ж BR) (\z\<R),
и, значит, по теореме Е (так как gR(Q)=zQ)
, да, 21пЖB/?),
|cv |<. — (v=i, z, .. .j.
Сравнивая формулы B1) и B2) с вейерштрассовым произве-
произведением A6), видим, что для \z\<CR

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 73
где взяты главные ветви логарифмов и PR(z) есть полином,
степень которого не превосходит k. Диференцируя v раз,
деля на v! и полагая 2 = 0, получаем:
ап
B4)
Пусть теперь v > со; тогда, по теореме F2, v > т >- k. Сле-
Следовательно, принимая во внимание B3) и B4), имеем:
Фиксируем в этом неравенстве значение v и будем безгра-
безгранично увеличивать /?. Тогда первый член в правой части будет
стремиться к нулю, так как v > о, а второй член (для v,
больших, чем т) — так как ряд 2 la»l~v сходится (или пред-
представляет конечную сумму). Но Ь^ не зависит от R. Значит,
?v ess 0 и притом для всех v > со. Следовательно,
что и доказывает теорему.
Теорема F1 принадлежит Борелю1), теоремы F2 и F3 — Ада мару 2).
Приведенное выше доказательство теоремы F3, значительно упро-
упрощенное по сравнению с первоначальным доказательствам Адамара,
было предложено Ландау3). В теории Адамара даются и другие соот-
соотношения, содержащие коэфициенты степенного ряда для G (z), однако
мы их здесь касаться не будем.
Соединяя теоремы Fl, F2, F3, мы получаем следующий ре-
результат, суммирующий требуемые для наших целей сведения
из теории целых функций.
Теорема F. Имеем:
где существование одной стороны обеспечивает существование
другой.
Далее, если ю>0 й для р = ш соотношение InM(г) =
= О(/^) не выполняется, то тогда т = со, G(z) имеет беско-
бесконечное множество нулей, и ряд 2|а»Гт расходится.
г) Е. Borel, Lemons sur les fonctions entieres (Paris, Gauthier-Villars,
1900), 61.
2) Hadamard, 1.
3) Landau, 9; V, II, 72-74,

74
ГЛАВА III
Первая часть теоремы непосредственно вытекает из нера-
неравенств теорем Fl, F2, F3. Для доказательства второй части
замечаем сперва, что должно иметь место равенство т = а>, ибо
из т<<о( = й) вытекало бы, по теореме F1 (I), что 1пЖ(г) =
== О (г*). Далее, так как т = со > 0, то G (z) должно иметь
бесконечное множество нулей. Наконец, если бы бесконечный
ряд 21 ап !~Т сходился, то мы опять-таки имели бы, по теореме
Числа х и о называются иногда соответственно „истинным" и „ка-
„кажущимся" порядком функции G(z). Целое число max(&, h) называется
.родом* G(z).
8. Нули ?(s). Мы исследуем сперва поведение целой функ-
функции t(s) для больших |s| и определим ее порядок <о.
Теорема 17. Пусть М (г) будет максимум \t(s)\ «я
окружности 151 = г, тогда /г/ш г -> со
1
Имеем:
1
Но jC(s)|<C?B) для о^2 и (по теореме 9) |C(s) | < Лх| /J 2
для <з>-—-, |/| >2, так что jC(s)i < A2\s\ яля о^-—,\s\ >3.
Применяя к Г I -^ ^ I формулу Стирлинга 1), получаем, что для
является
Наиболее удобной для запоминания формой этой формулы
In Г (г + а) » (z + о - i) In if — i? + у 1И 2п + О(| 2 Г1)
при /| -> оо, равномерно в любом фиксированном угле | arg г | <!
<;тс — Е«<7: и в любой ограниченной области изменения а; при этом
для логарифмов берутся ветви, вещественные для вещественных поло-
положительных значений аргумента. Эта форма получается без труда
в качестве следствия из ее частного случая для а = 0, однако для
приложений удобнее сохранять параметр а. Доказательство этой фор-
формулы (для а = 0) см., например, у Bieberbacfr'e, Lejirbuch der Funk-
tionentheorie, I, XIV.

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ
—,
= r> 3,
так как In — s = ln|s|— In2 + /args и |args | <-^-тг.Изфунк-
<-^-тг.Изфункционального уравнения Е(я) = $A—s) заключаем, что
для о^—-, |s| = r>4. Соединяя эти неравенства, получаем:
С другой стороны, для г > 2
Таким образом для г > 4 имеем:
^r\nr — A7r < lnM(r)<-?
что и доказывает теорему.
Теорема 18. 5E) имеет бесконечное множество нулей. Ряд
21Р !""*> г^ Р пробегает эти нули, сходится для а > 1 и
р
Нам потребуется также (хотя и не в полном ее виде) формула
равномерно во всяком угле | arg z | < л — Ь, Эта формула может быть
либо доказана аналогичным образом (но несколько проше\ либо
выведена из формулы для In Г (z) с помощью равенства:
где в качестве С следует взять окружность с центром в С = z и
радиусом j ^ | sin -^-Ь, и положить:

76 ГЛАВА III
расходится для а ^ 1. Вейерштрассово произведение для I (s)
имеет вид:
где Ьо и Ьх — постоянные.
Далее,
¦т). Bб)
где Ь = Ьг -\- -^ In тт.
Так как Е@) = у ф 0 (теорема 15), то теория, изложенная
в § 7, непосредственно применима к \ (s). По теореме 17,
E(s) есть функция порядка 1, и соотношение 1пМ(г)— О(г)
не имеет места. Следовательно, по теореме F, т = 1, h=\
или 0, ?(s) имеет бесконечное множество нулей, и ряд
2|рГХ по этим нулям расходится. Это доказывает утверж-
утверждение относительно 21 P Г"» а также разложение в вейерштрас-
вейерштрассово произведение. Формула B5) получается из вейерштрассова
произведения путем логарифмического диференцирования, а B6)
вытекает отсюда в силу соотношения:
Абсолютная сходимость бесконечного произведения и ряда
для всех s (отличных от р в случае ряда) является, конечно,
следствием вейерштрассовой теории.
Можно показать, что
Ь1 = у In Dтс) - 1 - ~ С = - 0,023
& = lnBrc)—l~-i-C= 0,549 ...,
B7)
где С —эйлерова постоянная1); однако численные значения ука-
указанных постоянных не нужны в приводимых нами приложениях.
1) См. Г, 3-4.

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 77
9. Обозначим нули t(s), т. е. нетривиальные нули ?(s),
общим символом:
Из теоремы 16 мы знаем, что для всех р 0<(i<;i, а из
теоремы 10, — что {3 < 1, так что, вследствие симметрии отно-
относительно о = — , 0<C<1. Нижеследующая теорема значи-
значительно усиливает эти результаты.
Теорема 19. С (s) не имеет нулей в области
где а — некоторая положительная абсолютная константа1).
Доказательство, как и в случае теоремы 10 (которая не
предполагается известной), опирается на неравенство:
3 -f 4 cos 6 + cos 26 > 0. B8)
Мы исходим из равенства B6), которое записываем в форме:
где
Применяя формулу ¦ ¦ = — 2 -^ (л) л в соединении с не-
^ E)
равенством B8), получаем, что для о > 1 и вещественных /
*) Конечно, для нас важен лишь порядок величины -—т-р
при больших 111; однако мы пишем In A11 -J- 2) вместо In 111, для
того чтобы наша формула была справедлива для всех U Подобные
приемы постоянно применяются в работах этого рода.

78 ГЛАВА Ш
отсюда, в силу равенства B9),
Я { 3/(о) + 4/0» + «) +/(
(*>1). C0)
Выберем теперь (что, очевидно, возможно) такое положи-
положительное число av чтобы C(s) не имела нулей в квадрате
| о — 1 К ax, 111 <; аи и примем во всем дальнейшем, что
, \t\ >ax; тогда, применяя асимптотическую формулу
Г'
для-^ (см. сноску на стр. 74—75), мы получим:
д-— + Лх In (| /1+2). C1)
С другой стороны, для 5—= а, o-f-tf, о-{-2#
'-Pol1" '
где Ро —Ро4"То*' — какой-нибудь из нудей С($) (мы пользуемся
тем, что з>1 и O^p^l для каждого р)„ Следовательно,
Ш }3/(о) + 4/(в + Я) +/(о -f 2tf)} > 4 (q_pJ^;T)8 • C2)
Неравенства C2), C0), C1) дают:
для 1 < а ^ 2, 11\ > а1? и ограничение о ^ 2 может быть
теперь отброшено (с возможным увеличением значения А^),
4
так как при а > 2 левая часть не превышает — < 4. По-
0—Ро
лагая / = -у0 и опуская индекс 0, получаем в частности:
где р = [}-)-^/ — нуль, для которого |т|>лг
Из C3) вытекает прежде всего, что р< 1; в самом деде,
если бы р=1, то левая часть при а —> 1 —1~ 0 стремилась бы
к бесконечности; поэтому мы можем для а > 1 положить

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 79
а = 1 -|~ X A — Р), где X > 0; тогда неравенство C3) примет
вид:
Выражение в скобках в левой части, очевидно, положи-
положительно для достаточно больших X. Беря, например, I = 4, по-
получаем:
1 ^
где а2 = ¦ ¦¦ . Так как это справедливо для всех р, для кото-
рых | ^ | > #!, то в силу нашего выбора а1 мы и получаем
утверждение теоремы; мы можем положить, например,
а = min (a2, fl^ In 2).
10. Мы теперь выведем ряд следствий из теоремы 19, за-
заменяя при этом . ¦ общей функцией от [/|, удовлетворя-
ln(\ t\-\- 2)
ющей некоторым условиям; это даст нам возможность сразу
получить следствия из возможных уточнений теоремы 19.
Прежде всего мы докажем теорему о порядке величины ^-.
Теорема 20. Пусть C(s) не имеет нулей в области
где 4{(t)—убывающая функция от t (^!>0), имеющая непре-
непрерывную производную т]/(f) и удовлетворяющая следующим
условиям:
<><,«<!, ©
r\{t) -^0 при /-> со , (II)
= 0AПО Л/7Й ^->OD. (Ill)
Пусть, далее, а — фиксированное число из интервала
0 < а < 1; тогда

80 ГЛАВА III
равномерно в области
Мы можем принять, что t > 0. Точно так же мы можем
ограничиться областью 1 — щ (f) <^ о ^ 1 -]- ач\ (t) изменения о;
действительно, если о ^ 1 -[- ar\ (t), то, заменяя для краткости
r\(f) через т), имеем:
С 00
А(п)
так как
С
имеет простой полюс в точке 1; последняя же
величина, в силу условия (III), есть О (In /).
Т
o«1-7]ft)
()
Так как C(s) регулярна
и не имеет нулей в одно-
связной области D, выде-
выделяемой неравенствами / > О,
о > 1 —т](/), то существует
ветвь Z(s) функции In C(s),
регулярная в D и при о > 1
определяемая формулой:
Черт. 4.
[стр. 27, A3)]. Применим теорему Е к Z(s) и двум окружно-
окружностям с общим центром в s0— I -|~a//-j- 77, проходящим со-
соответственно через точки 1 — а//-|- 77 и 1 ~ A -}- а) Я-|- 77,
где Г>1 и // = 1Г](Г) (черт. 4); радиусы этих окружностей
Для достаточно больших Г эти окружности лежат целиком в D.
Действительно, так как R < 2Я<! 1 [в силу условия (I)], Г> 1
и т] (/) — убывающая функция, то утверждаемое положение, во
всяком случае, имеет место, если точка

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ
лежит в D, а это условие, эквивалентное условию о' > 1 — г\
выполняется для всех достаточно больших Ту так как
для всех Г> 7\ в силу условия (II). Следовательно, для Г>
2(^) будет регулярной в круге \s — so\ </?.
Далее, по теореме 9,
1пСуТ) < In Т
во всем круге \s — s01 < /?, так как для каждой точки s == о 4- ti
имеем о > — и Г— 1 < t < Г-]- 1. Наконец,
p,m
P
Я)
Следовательно, по теореме Е, для достаточно больших Т
I z'(*)l < (^ {ш г- ю &>} < -^?t^ (ln r+-L)
во всем круге |s — ^о1<Сг- Это неравенство выполняется, в част-
частности, вдоль радиуса, соединяющего s0 с 1—o//-f- 77, т. е. для
С' 1
Так как Z' = у- и, в силу условия (III), ~
О (In Г), то мы и
получаем утверждение теоремы.
11. Приложения к ф(лг) и 7с(лг). Мы можем теперь получить
более точные асимптотические соотношения для тс(дг) и связан-
связанных с ней функций. Как и в главе II, мы начнем с )
Теорема 21. В условиях теоремы 20

ГЛАВА III
при х-юо, где »(лг) есть минимум функции т](/Iпл:
для *>1.
Указанный минимум <о (л:) существует для каждого х > О,
ибо тг] (Jt) In л: + In t для /^>1 непрерывна и безгранично возра-
возрастает вместе с t.
Пусть лг> 1. Применяя к фундаментальной формуле A4),
стр. 43, теорему Коши, получаем:
^lW =i L f
л:2 2 2*/J
где С обозначает кривую а== 1 —<х^(|^|). Это вытекает из того,
что в области, ограничиваемой кривой С и прямой о=с, под-
интегральное выражение регулярно, за исключением точки 5 = 1,
и, по теореме 20, при /-»:±:оо (и х фиксированном) имеем*,
равномерно:
. S—1
При оценке интеграла мы можем в силу симметрии ограничиться
верхней половиной Сх кривой С. Применяя теорему 20 и обо-
обозначая через Kv K2, • • • положительные числа, зависящие от функ-
функции т] и числа а, имеем на Сг:
С 00
С (в
dt
откуда
oo
Следовательно, так как r\(ti-
(«) и лг> 1,
x* 2
где последний интеграл сходится, так как 2 — а> 1.

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 83
Теорема 22. В условиях и обозначениях теорем 20 и 21
имеем:
аи) (а?М
- -i ои> (х)
е
C4)
Л
C5)
Мы начнем с указания некоторых простых свойств ш(лг).
Пусть хх > х2 > 0 и /j и /2— значения /, для которых дости-
достигаются минимумы ©(ATj) и а>(лг2); тогда
П ^ + 1П /2 = Ш (ЛГ2) + Y] (/2) (In Xi — 1П ЛГа)
л:1 — 1пдга),
так что о) (л:) и In л: — о>(лг) являются возрастающими (в строгом
смысле) функциями от х для л:>0. Так как а>A) = 0 и
In 1—«)A) = 0, мы получаем в частности, что, для аг>1,
О < о) (л:) < In х.
Пусть теперь х > 2 и h есть функция от х> удовлетворяющая
условию 0 < h < — х. Так как 6 — возрастающая функция, то
X Х-\-Ь
1 С 1 Г
— | (|/(й)Aй^^(^)^~ I ф (tt) ^tt • C6)
а? — Л »
Крайние выражения равны
*»=уМ_,-4 + О(*'7''))- C7)
по теореме 21, так как —лг<л: — А<лг<лг + Л<-н^^иш
есть возрастающая функция. Под знаком О мы можем заме-
заменить 0>(~9~л:) через о) (л:), ибо In и — со (и) есть возрастающая
функция от и и
2 2 ^
1 \-« а|1и $-о)(ж)>, a — au> (a?)
'-(И

84
ГЛАВА III
Следовательно, в силу соотношений C6) и C7),
<;> (х) = х + О ф) + О (/Г 1х*е- «*{х)) .
1 — -- аи) (х)
Полагая h = — хе , получаем C4).
Выведем теперь с помощью частного суммирования соответ-
соответствующую формулу для П(лг) [стр. 27, A6)]. Имеем прежде
всего:
\nn ~ J и In* a "^ In дг '
< < 2
по теореме А (стр. 28). Далее, интегрируя почленно, имеем:
X X
/du Г udii х 2
\пи~ J и\п2и ' \пх ~ БГТ*
2
Вычитание дает:
+<><•>•<•«>
2
Применяя C4), находим:
(XI \ / 1 \
fe 2™U du) + 0l хе *™*{х)\
' ! \ i
Член 0A) в правой части может быть опущен, так как
1 1 11
хе 2" ухе 2 =х 2 >х2>1. C9)
Далее, интеграл под знаком О равен
/* —«{la w-w(w)} dll -у«{1па?-ю(ж)} /» ^ д.^ 2
J7 Т" 2 Т 1 —а
так как 1 — а > О. Следовательно,
е -Hx-oLe'^^^)
D0)

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 85
Наконец,
f^J- =0 (Д) + oUA»o(*"*), D1)
= 2
= Г^|1] и C5) вытекает из D0), D1) и C9).
12. Конкретизируем теперь общие результаты, полученные
в § 11, с помощью теоремы 19. В соединении с теоремой 22
она дает следующее:
Теорема 23. При х -> со
^ (х) = х + О (хе ~ аУЩ, D2)
тг (х) = И * + О U? ^ а1/ПГ*) э D3)
^^^ а есть положительная абсолютная константа.
Действительно, по теореме 19, мы можем для /!>2 в тео-
теоремах §§ 10 и 11 положить т)(^) = -^-, где аг—подходяще вы-
выбранное число; тогда для дг> 1, применяя неравенство
и + v > 2 У uv ,
где w, z> > 0, имеем:
причем первое из этих неравенств переходит в равенство при
In t = Уаг In х\ отсюда <о (х) = 2 У^ In л: для всех достаточно
больших х. Беря в теореме 22 а == — , мы и получаем теорему 23
1 _/.—
Функция eaV]ax возрастает быстрее любой положительной сте-
степени In х и вместе с тем медленнее любой положительной степени х.
Таким образом соотношение D3) означает, в частности, что
<44>
при любом фиксированном положительном Д; однако это соотношение
не дает нам права утверждать, что ошибка равна
ОС*1"8) с5>0.

86 ГЛАВА III
Легко показать с помощью интегрирования по частям, что
для любого фиксированного целого положительного k. Подставляя это
в D4) и беря Д = 4, ? = 3, получаем после небольших преобразований:
где В— любая константа. Отсюда явствует, что лежандрова функ-
функция -z тг Даст наилучшее приближение к я (х) для больших х
тогда, когда мы положим В = 1, но, однако, и в этом случае она не будет
столь хороша в качестве приближения, как \\х (см. гл. I, § 8, стр. 32).
13. Результаты §§ 9 и 12 принадлежат де-ла-Валле-Пуссену; изло-
изложенный выше метод вывода теоремы 23 из теоремы 19 был предло-
предложен Ландау г). Ландау дал доказательство теоремы 19 (а тем самым
и теоремы'23), не зависящее от теории целых функций и даже от су-
существования С (s) во всей плоскости 2).
Численное значение константы а в формуле D3) было дано де-ла-
Валле-Пуссеном и затем улучшено Ландау. Однако воспроизводить
здесь эти значения нет смысла, поскольку сейчас известно, что функ-
функция Y^nx сама может быть заменена лучшей. Этим успехом мы обя-
обязаны Литтльвуду. Он показал, что С (s) не имеет нулей в области вида
Эта теорема заложена чрезвычайно глубоко, и за доказательством ее
мы вынуждены отослать к монографии Титчмарша 3).
Однако, если принять ее за известную, то мы можем уже без труда
вывести соответствующее уточнение теоремы 23. За функцию у\ (t) §§ 10
и 11 мы можем теперь взять
Тогда будем иметь:
1
2 (я2 In л:In In *) ~ ^Bа2\пх]п\пх)
vj (?) In x = -i- a2 (In д:) 2 In In x A < * :
1) De la Vallee-Poussin, 2\ H, I, 316-333.
2) V, II, 9-28; T, 14-17 (теорема 8).
8) T, 20—23 (теорема 13); V, II, 31—44. По поводу первоначальной
формулировки см. Littlewood, 2 (§ 4). Метод Ландау оказался обладаю-
обладающим настолько большими преимуществами, что Литтльвуд отказался
от опубликования своего доказательства.

ДАЛЬНЕЙШАЯ ТЕОРИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЯ 87
где % — е па? и лг>? , так что ?>3. Следовательно,
[х
JL
2
<о (л:) > B«2 In х In In л:)
для всех достаточно больших х. Соответственно этому теорема 22 дает
следующий результат.
Теорема 24. при х->са
( — aVb a? In In да \
[хе J >
. _ ( — aVln х In In ж ^
тс (лг) == 11лг+ О^ )у
где а — положительная абсолютная константа.
Эти формулы содержат наилучшие известные до сих пор оценки
остаточных членов для функций 6 (х) и п (х) *).
14. Гипотеза Римана. Риман выставил предположение, что
все нетривиальные нули функции С (s) лежат на прямой а = -^-.
Однако это предположение никогда с тех пор не было ни до-
доказано, ни опровергнуто. Доводы в пользу „гипотезы Римана"
(так называют теперь это предположение), а также ее связь
с общей теорией функции C(s) рассматриваются в монографии
Титчмарша, к которой мы и отсылаем читателя за дальнейшими
справками 2). Однако мы не можем здесь обойти молчанием отно-
отношения этой гипотезы к проблеме распределения простых чисел.
Нетрудно усмотреть, что асимптотические соотношения настоя-
настоящей главы допускают существенные улучшения в случае спра-
справедливости гипотезы Римана. Действительно, тогда мы можем
взять за функцию r\(f) §§ 10 и 11 -/)(?) = —; полагая
/ _?_ L € \
\х 2 2 /
мы получим ошибку порядка О\х 2 2 /в формуле для
и порядка О\х /в формулах для ^(л:) и тт(л:). Однако
эти результаты могут быть еще значительно улучшены. Прежде
о
всего показатель степени — в последней формуле можно
1) ВС, 789, сноска 176); V, И, 3-8, 44-47.
2) Г, гл. III и V. См. также Siegel, 1.

88
ГЛАВА III
заменить через -у; появление показателя -у- объясняется лишь
A. JL
несовершенством метода. Кроме того, сомножители х 2 ил:4
можно заменить степенями In л:. Хотя эти улучшения и могут
быть в известных пределах произведены путем подходящего
изменения метода этой главы, тем не менее предпочтительнее
воспользоваться другим методом. Этот последний основан на при-
применении „явных формулuf составляющих главный предмет сле-
следующей главы.

Глава IV.
Явные формулы.
1. В настоящей главе рассматриваются различного рода точ-
точные представления в виде бесконечных рядов для функций, связан-
связанных с ty(x). Эти „явные формулы" чрезвычайно интересны как
сами по себе, так и по своим многочисленным применениям,
с которыми мы познакомимся отчасти в конце главы.
Наши доказательства будут основываться на применении тео-
теоремы Коши к контурам, проходящим через критическую по-
полосу, и мы должны будем прежде всего получить более точное
представление о распределении мнимых частей комплексных
нулей функции C(s).
2. Плотность распределения нулей. Обозначаем через N (Г),
где Т > 0, число нулей С (s) в прямоугольнике 0 ^ а ^ 1,
O^t^Tj т. е., по теореме 16, число тех нулей p = ]3f
функции С (s) или ? (s), для которых 0 < -f < Т.
Теорема 25. При Г->оо
Пусть Т > 3 и на первых порах не совпадает ни с одним -у;
тогда ?(s) имеет 2/V(F) нулей внутри прямоугольника с верши-
вершинами 2±Ti и — 1 ± Т1 и ни одного на его границе. Следо-
Следовательно, по теореме Коши („принцип аргумента"),
где [arg?(s)]c обозначает приращение arg E (s), когда 5 описывает
периметр С этого прямоугольника в положительном направлении.
Но
ys(s— 1I
—~8 /1 \
где <р (s) = тт Г {— s \ С (s). Первое слагаемое в правой части
равно 4ir, и так как cp(s) принимает равные значения в точ-

90
ГЛАВА IV
ках s и 1 — s и сопряженные значения в точках о ± #, то вто-
второе слагаемое, очевидно, равно 4 [arg <p (s)]L, где L есть ломаная
линия, состоящая из отрезка Lx от 2 до 2 -j- 77 и приложенного
к нему отрезка L2 от 2+ Л до -s"+ П. Следовательно,
i f^jJ х. A)
Имеем прежде всего
Далее 1см. сноску на стр. 74—75, с z — —Ti, а = —|
при Г->оо. Подставляя это в A), получаем:
Пусть теперь w будет число различных точек s' линии L
(исключая концы), в которых 9К (s) = 0 (это число, как будет
явствовать из дальнейшего, необходимо конечно). Тогда
f C)
потому что, когда s описывает один из т -\-1 кусков, на ко-
которые L делится точками s', argC(s) не может измениться более
чем на тг, так как 9??(s) не меняет знака. Но ни одна из то-
точек s' не может лежать на Lv так как
оо оо
—5- W

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ
91
Следовательно, т есть число различных точек о интер-
интервала — < о < 2, в которых Ж (о -f- 77) = 0, или, что то же,
число различных нулей функции
в интервале — < 5 < 2 вещественной оси, ибо g (о) = JRC (? 4~ Tt)
для вещественных о, поскольку С (о + 77) и С (о — 77) имеют
сопряженные значения. Так как g(s) регулярна, за исключе-
исключением s=l± Ti, то т конечно, и мы получаем для него верх-
верхнюю границу, применяя теорему D (стр. 56) к g(s) и кру-
7 3
гам \s — 2[<— , \s — 2|<y« в СИЛУ Условия Г>3, g(s)
регулярна в большем круге и удовлетворяет, по теореме 9,
неравенству:
3 3
так как <з>-т" и 1 < | frt Г | < 2 + 71 во всех точках s
указанного круга. Кроме того, в силу неравенства D),
Следовательно, по теореме D
_1_
4
откуда и получаем т<А2\пТ для 7">Г0. Подставляя это
в B) и C), видим, что для Г> То
Т Т , Т
в предположении, что Т не совпадает ни с одним у. Но теперь
это ограничение можно отбросить, в чем убеждаемся, заменяя 7",
в случае, если оно совпадает с одним из f» ббльшим значе-
значением Т; (отличным от всех 7) и беря Г'-

92
ГЛАВА IV
Отметим некоторые следствия теоремы 25, полезные в при-
приложениях.
Теорема 25а. Пусть h — фиксированное положительное
число. Тогда при Г-> оо
Af(Г+ К) —N(T) = О (In T).
Этот результат вытекает из теоремы 25, так как, полагая
1
имеем:
и
Теорема 25Ь. При Г->оо имеем:
О < v < Т (>Т
Суммы берутся с учетом кратности по всем р, мнимые
части f которых удовлетворяют указанным неравенствам. Обо-
Обозначая эти суммы соответственно через S и 5', имеем:
[Г]
m = 0 m •= [T]
где через sm и 5^ обозначены суммы V— и Sj т
m < Т -^ т-\- 1 . Пусть m >-1 и число членов в суммах sm и s'm
тогда sM <^, s'm < ^-. По теореме 25а, vw = О (In
при /;i —> со ; следовательно, при Т —> оо
[Т]

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ 93
Теорема 25с. Пусть нули р = р-}-^ с положительной мни-
мнимой частью, у > О, расположены в последовательность
в порядке возрастания уп, так что tn + 1^tn\ тогда
при п -> со
. . 2пп
Действительно, так как N(*(n—1) < п <Af(Yn + 1) и
л .1 2тгл 2ic/i
то имеем: 2тсгг ~ -у»1п Тм, откуда In п —* In ?„ и]п j ~ -— ,
111 I __ X1 л ш цг
Принимая во внимание неравенства fH<C |pw| < Tn + 1, мы
и получаем требуемый результат.
Теорема 25, содержащая одно из наиболее важных свойств функ-
функции С (s), была указана Риманом, но впервые доказана фон-Мангольд-
том х). Трудность ее состоит, конечно, в оценке значения [arg С (s)]L.
Приведенное доказательство принадлежит Бэклунду 2). В отличие от
доказательства фон-Мангольдта оно не опирается на теорему 18 и
доставляет поэтому одновременно новое доказательство существования
бесконечного множества комплексных нулей. Сведения относительно
плотности распределения вулей, полученные нами этим путем, более
точны, чем доставляемые теоремой 18; в самом деле, мы видим
теперь (из теоремы 25с), что ряд \. сходится для а>2и
расходится для а<2.
Заметим, что теорема 25а, достаточная для многих приложений,
существенно проще теоремы 25. Она может быть сразу доказана пу-
путем применения теоремы D непосредственно к С (s) и к двум кругам,
проходящим соответственно через точки — -\-{T-\-2h)i и -«- + (Т
с общим центром в с-\- Ti [с = с (h) — достаточно большое положи-
положительное число] с использованием симметрии относительно а = —-.
3. В настоящем параграфе мы выведем неравенство, кото-
рому удовлетворяет
на некоторой совокупности линий,
пересекающих критическую полосу, обходя нули С (s).
!) Riemann, 7, von Mangoldt, 1, 2, 4; Я, 1,368—378.
2) Backlund, I, 2. По поводу дальнейшего уточнения остаточного
члена см. Г, 58—61, 87—93, 96.

94
ГЛАВА IV
Теорема 26. Существует такая числовая последователь-
последовательность Г2, Т3, ..., что
m<Tm<m + l (m = 2, 3, ...)
и
C(s)
По теореме 18, формула B6),
1 ., м_
где S@ обозначает бесконечный ряд.
Пусть s =я о -{- #, 50 = 2 + й, где — 1 < о < 2, / > 2 и / не
совпадает ни с одним «у. Пусть, далее, 80 будет расстояние от t
до ближайшего -у и
8 = 5(O = minCo, 1);
тогда для всех р = р -}- -у/
так как 0 ^ р <[ 1. Следовательно,
С другой стороны,

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ
95
так как
отсюда
IS (s) -
94
f I
Таким образом
.25,
25
Применяя асимптотическую формулу для -^г (см- сноску на
i(n)
стр. 74—75) Kg(s) и g(s0) и замечая, что
получаем:
С («о)
E)
Пусть теперь т — любое целое число, превышающее еди-
единицу, vm — число тех р, мнимая часть которых падает на интер-
интервал m<YO#+l, так что vw = N(m-\- 1) — N(m). Если мы
разделим интервал (m, m+l) на vw+l равных частей, то по
крайней мере один подинтервал не будет содержать внутри ни
одного 7- Возьмем за Тт центр такого интервала, тогда для
^-— и теорема вытекает из неравен-
неравенства E), так как (по теореме 25а) vm < A2 In т < Л2 In *.
Нам потребуется также следующая, более элементарная теорема.
Теорема 27. В области, полученной после удаления из по-
полуплоскости о^—1 внутренних частей кругов радиуса ~^-
с центрами в s = — 2, — 4, — 6, . . . , т. е. в области
t—Tm имеем
, (« = -2,-4,-6,...),
имеет место неравенство:

96
ГЛАВА IV
Заменяя в функциональном уравнении $ на 1 — s и беря
логарифмическую производную, получаем:
Но для всех 5 из определенной выше области R имеем 1
так что
с
<A1\ln(\-s)\<A2\n(\s
Далее (см. сноску на стр. 58),
1 . 1
Я Ctg ITS
2 2
е™-1
в области /?. Комбинируя эти неравенства, мы и получаем тре-
требуемый результат.
4. Явная формула для ^1 (х). Мы приступаем к выводу
явных формул и начинаем, как обычно, с ^()
Теорема 28. Для х > 1
л:2 V
=-9—А
1)
Рассмотрим интеграл
-ds,
взятый в положительном направлении по контуру прямоуголь-
прямоугольника С=С(т) с вершинами 2±Tmi, —2т—\±Tmi, где
т — целое число, превышающее единицу, и Тт — числа тео-
теоремы 26. Обозначим через 1± (т) интеграл по стороне B—Tmi,
2 -|- Tmi) и через /2 (т) интеграл, взятый по оставшейся части
контура С.
При т —¦¦ оо имеем 1Х (т) —* tyx (л:), по фундаментальной фор-
формуле A4), стр. 43. В интеграле /2(#0 имеем по теоремам 26 и 27:

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ 97
так как |s| < 2т +1 ~\- Тт < Зт-f-2; кроме того, \s\ > /п,
| 5 + 1 ) > т и | х8 + * | = х*+1 <; л:3, так как х > 1; поэтому
так что /2 (tft) -* 0 при т —¦ оэ . Отсюда получаем:
/(/и) —>^ (л;) при т-*+ со. F)
Но по теореме Кош и о вычетах:
действительно подинтегральное выражение имеет полюсы в точ-
точках 1, 0, —1 и нулях (с и —-2/*) С (s), причем нулю п-го по-
порядка функции С (s) соответствует простой полюс с вычетом п
ее логарифмической производной у ^ , а полюсу я-го no-
note (s)
рядка — простой полюс с вычетом —л. Беря /я—*оо и сравни-
сравнивая с (б), получаем требуемое утверждение. Оба бесконечных
ряда абсолютно сходятся, так как их общие члены по модулю
X2 1
меньше, соответственно, чем — и -у . Второй ряд, разумеется,
может быть выражен в конечном виде, однако это несуще-
несущественно.
Обобщенная форма теоремы 28 послужила Валле-Пусеену базисом
для его доказательства асимптотического закона распределения про-
простых чисел1)» Основную формулу де*ла-Валле-Пуссен получил путем
С (s\
подстановки вместо г-~- его выражения из формулы B6), стр. 76,
и почленного интегрирования — процедуры, которую нетрудно обос-
обосновать. Однако его метод уже не годится для более тонких проблем,
рассматриваемых в последующих параграфах.
De la Vallee-Pou$sin< 1.

93
ГЛАВА IV
5. Явная формула для ^ (лг) основывается в конечном счете
на частном случае k = 1 теоремы В (стр. 43). Общая форма
этой теоремы приводит к явной формуле для
где фА (х) А-кратный интеграл функции ф (х) (в пределах от
нуля до х). Сама функция ty(x) может рассматриваться фор-
формально как соответствующая случаю ? = 0, однако этот случай
представляет теоретические трудности, так как знаменатель
s(s-|~l) ... (s-\-k), обеспечивающий при А>0 абсолютную
сходимость интеграла в теореме В, при ? = 0 приводится
к одному s. Мы должны сперва доказать аналог теоремы В
для & = 0.
Теорема G. Для ?>0, у^>0 имеем:
im J $
6 — ooi
ds
0 Cv
1 (У
«1),
>1).
G)
где в случае у=1 для интеграла берется „главное значение
Коши", т. е. предел интеграла
JL
2к1
c+Ti
J s
ds
(8)
е-24
при Т—*оо.
Кроме того, если
где /(у) и 1{у,Т) обозначают соответственно интегралы G)
и (8), то для Т > О
(9)
JAO, T)\</ (всегда).
A0)

Явные формулы
99
Пусть сначала j/> 1. По теореме Коши
1 Г / _
2гс/ J 5 5~ '
где интеграл берется в положительном направлении вдоль пря-
прямоугольника с вершинами с—UU ?+ Vi9 —Х-\- V7, —X—Ui,
где ?/>0, V>0, X> 0. Фиксируем G и 1/и берем ^Y—>оо.
Тогда интеграл по стороне ( — X-\-Vi, —X—Ui) стремится
к нулю, так как контур интегрирования сохраняет длину t/-f- V
^ < -zz-, ибо у > 1, <Y > 0. Следовательно,
и на нем
с+п
с-VI
2тг/
г
c-Ui
c+Vi
-
Г
/(—t/) и I(V) абсолютно сходятся и
так какд/д==бопу и lnj;>0. Этим доказываются для случая
у > 1 формулы G) и (9). В случае у < 1 рассуждаем анало-
аналогичным образом, с тем отличием, что теперь берем прямо-
прямоугольник, лежащий вправо от прямой а = ?.
В случае у = 1 имеем:
c-f Ti
2ш] s ~2izJ c-\-ti ~2%J с2+/2 ти J
c-Ti — Г -21 0
cdt
так как вещественная и мнимая части подинтегрального вы-
выражения представляют собой соответственно четную и нечетную
функции от L Следовательно,
1
c + Ti
е-И
Г jflfe 1_ _J_ Г cdt
J s 2~7rJ<;2-f,2<
1
2'
1"Д6 первое неравенство получается путем замены знаменатели
с2 -\- & через f2, а второе — путем замены нижнего предела Т

100 ГЛАВА IV
на 0. Это устанавливает справедливость формул G), (9), A0)
для у = 1.
Остается доказать неравенство A0) для у ф 1. Пусть Г будет
дуга окружности | s | — ]/ с2-(-Г2 = R, расположенная влево или
вправо от прямой <з = с, соответственно тому, будет ли у > 1
или у < 1; тогда, по теореме Коши и формуле G),
2*/ J s
ds
Нетрудно показать, что для ?/>0, К>0
1 Г ds 1 / К , . 2с
где 101 < 1 и Т = mm F/, К), так что интеграл G) не сходится в обыч-
обычном смысле для у = L
6. Явная формула для %(х). Теорема G приводит к точ-
точной формуле не для самой функции <K#)> a Для
где штрих при знаке суммы указывает, что для целого х член,
соответствующий л = лг, должен быть взят с коэфициентом
iri ФоС*) отличается от ^(^) лишь если х есть степень про-
простого числа, х — рт, причем разность равна тогда — In р.
Теорема 29.
где 2 означает предел суммы
Г—> оо.
Далее} полагая
A4)

имеем для х> 1,
\R(x, T)\<
ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ
3:
х — 1 Т
{всегда),
101
A5)
A6)
?дг 5 e=s J (х) есть абсолютная величина разности между х и
ближайшей степенью рт простого числа.
Пусть Г>3. Обозначим через V первое из чисел Тт
теоремы 26, превышающее Г, и пусть q будет нечетное целое
число, большее, чем Г. Рассмотрим
где интеграл берется в положительном направлении по прямо-
прямоугольнику с вершинами 2± 7V/, — q±T'i и Jl9 J2f J& J± —
части этого интеграла, соответствующие четырем сторонам ука-
указанного прямоугольника, начиная со стороны B — Ti, 2 -f- Tl),
т~г6- рядом V—V^h
В Jx заменяем
интегрируем почленно
(что законно ввиду равномерной сходимости); принимая во
внимание формулу G) и определение функции %(х), получаем
в обозначениях теоремы G (при с = 2):
На остальных трех сторонах контура С имеем по теоремам 26 и 27:
^ ЗЛ, ^
1п2ЗГ In2Г ....
A7)

102 ГЛАВА IV
так как 3|s|>3r>9>e2 и есть убывающая функция
для и>?2. Поэтому | У3(#)| < KTx~q (где Кт зависит только
от 7), и так как л: > 1, то J$(q)~>0 при #—¦ оо. Таким об-
образом
1 Г
— OQ
—Jf—К. A8)
Интеграл F в силу неравенства A7) (л: > 1) абсолютно схо-
сходится и
AJ^/"?? „9,
С другой стороны, по теореме о вычетах:
vi лгр С'@) v^ x~
Сравнивая с A8) и заменяя последний ряд его суммой, получаем,
пользуясь обозначением A3):
-^)Н-Л B0)
где
. B1)
Так как Г< 7* < Г+2, то, по теореме 25а,
|Z|<2{/V(r)-iV(r>}-f <Л4-^д:. B2)
Оценим теперь
со оо
«к—« #4/» \ в—в
B3)

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ
По теореме G, (9), при с = 2
103
In —
в самом деле, полагая t/ = min (—, —1, имеем 0<<г/<' 1 и
\п х I
In-
п
Пусть v — v(x) есть целое число, определяемое неравенствами
V—— <AT<V-j- —. ЕСЛИ \П — Х\>— X, ТО
п-\-х
\п — х\
2х
п—х
2лг
\п — х
¦<5.
1
Если J ^ — д: | ^ — ху но л ф v, то мы можем написать п =; v dz r,
где г есть целое число, удовлетворяющее неравенствам
0<г=|я — v|<|« — ДгЦ-Iv — дг|<2|я-дг|<лг.
Следовательно, в силу B3) и B4)
\Х—1
Соединяя формулу B1) и неравенства B5), A9), B2), получдем:
*» In2 Г х2 ,
Т \пх
In Г
In2 Г
B6)

104 ГЛАВА IV
Остается рассмотреть и^ Примем сначала, что х не есть рт.
Тогда, если v равно pw, то, принимая во внимание, что
v + # <; 2v-J--q" < 3v, имеем в силу неравенства B4):
I , * 3A(v) 1 ^ л *«
так как |v — х\ = 1 по самому определению числа \\ это же
неравенство сохраняет силу и для v, не равного рт, так как
в этом случае ич = 0. Если же х есть рт, то, по теореме G, (9),
Независимо от этого имеем в обоих случаях, по теореме G, A0),
1«*!<1п*-(т)а<л1°1п*>
Комбинируя эти результаты с B6) и замечая, что
видим, что Р удовлетворяет неравенствам, аналогичным A5)
и A6). Но это доказывает теорему. В самом деле, неравенства,
соответствующие A5), в соединении с B0) показывают прежде
всего, что для всякого фиксированного л:>1 S(x,T) стре-
стремится к пределу S(x) при Г—>оо, причем S(x) — S(x, T) — А
а тогда мы заключаем из A4), что /?(лг, Г)== — Р, так что
требуемые неравенства для R(x, T) вытекают из полученных
уже нами для Р.
Неравенства A5) и A6), конечно, могут быть уточнены. Порядок
относительно х можно, очевидно, понизить, заменяя прямую q ~ 2,
использованную в доказательстве, прямой, лежащей левее. Кроме
того, оценивая другим методом интегралы по горизонтальным ча-
частям контура, можно понизить порядок относительно Т на множи-
множитель In T1). Однако и в приведенной здесь форме неравенства A5) и A6)
достаточны для наших приложений.
7. Явная формула A2) наводит на мысль, что числа рт
[точки разрыва функции % (х) ] и числа р связаны между собой.
Однако до сих пор не удалось установить соотношения между
ними в виде, существенно более явном, чем в формуле A2).
!) V, II, 108—120; Landau, 4. По поводу более глубоких резуль-
результатов, опирающихся на гипотезу Римана, см. Littlewood, 2 (§ 8), 3*

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ Ю5
Из неравенства для .остаточного члена" R (х, Т) можно извлечь
интересные сведения о поведении ряда >. —. Будем писать, как
в теореме 25с, ря = Р« 4- чп1 (п = 1, 2, ...; y^+i > In > 0) и введем
обозначение р_п == Pn — Y^'- Рассмотрим ряд
х)г B7)
хР
где ^я(лг) = —2- (л = :± 1, :t 2, ... ). Пусть SN{x) есть сумма N пер-
первых членов и Ъ (лг) = llm 5 (ж, 7); тогда
Г
где v^ есть число нулей р = Р + fi с y = Y^- Так как» по теореме 25а,
sN = О (In y^), то из неравенства A5) немедленно вытекает, что
ряд B7) сходится [к сумме S (х)] для всех х > 1 и притом равномерно
во всяком замкнутом интервале, содержащемся в этой области и не
содержащем степеней простых чисел. В интервале, содержащем сте-
степень простого числа, сходимость не может быть разномерной, так как
4>о (х), а значит, и 5(лг), разрывна в точках х =рш. Но, как можно по-
показать с помощью неравенства A6), ряд будет .ограниченно сходя-
сходящимся" во всяком фиксированном интервале 1<я<!л:<;?. Если *<!1,
то рассуждения § 6 теряют силу; однако о характере сходимости
ряда (П) в интервале 0<*<1 мы можем заключить, исходя из ха-
характера сходимости для *>1, замечая, что р' = 1 — р пробегает
вместе с р нетривиальные нули С (s), и
pp'
таким путем убеждаемся, что ряд B7) в интервале 0 < х < 1 схо-
дится, причем точки р~~т играют ту же роль, что и точки рт для
*>!. Конечно, формула A2) здесь уже теряет силу, однако, применяя
к интегралу
методы § 6, получаем формулу:
где С есть эйлерова постоянная. Можно показать, что для ряда B7)
в окрестности точек р±т имеет место „явление Гиббсаа. Для #=1

106 ГЛАВА IV
ряд B7) сходится (и притом абсолютно), однако ни одна из явных
формул не остается в силе, и ряд не может быть ограниченно схо-
сходящимся в окрестности х ~ 1 (ни слева, ни справа) вследствие на-
наличия в явных формулах членов —-^-ln(l ) и — -^ln "У"х .
Z \ X J Ji к •"¦•" X
Поведение каждого из рядов:
в отдельности можно исследовать, пользуясь в рассуждениях § б
прямоугольником
B - ?/'/, 2 + VI, —q+Vi, —q— U'i),
где U' Ф У» и прилагая соответственно расширенную теорему G.
Этим путем обнаруживается, что указанные ряды равномерно сходятся
в любом замкнутом интервале, лежащем на полупрямой х > 0 и не
содержащем точек 1, р±т, но уже не сходятся в этих точках1).
Отметим тесную аналогию с известной формулой:
"e2rnxi
1 —ОО ПфО
которую можно рассматривать как явную формулу для функции;
и доказать подобными же (хотя, естественно, и более простыми) мето*
дами с помощью производящей функции:
1
Фундаментальный мемуар Римана был посвящен выводу явной формулы,
аналогичной A2), для функции По (л:) = ~ { П (х + 0) + П (х — 0)}
(в наших обозначениях). Его формула (после исправления одной чис-
численной ошибки и перемены обозначений) такоза:
l) Landau, «5; Cramer, /, 2; Т, 61—63,

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ 107
где lip li^lna?
~ оо -{- г^
Эта формула, равно как и формула для $0(х), впервые была строго
доказана фон Мангольдтом 2).
8. Применения. В качестве первого применения покажем,
как явная формула для ф2 (х) (теорема 28) может быть исполь-
использована для доказательства асимптотического закона распре-
распределения простых чисел. Имеем:
при х —*оо. Но ряд U(x) равномерно сходится в области
так как
и ряд \j —-— сходящийся. Поэтому при дг —¦ оо
«m U (х) = S lira ^zfT} = Ц 0 = 0,
ибо Jагр ±j = агр 3, и по теореме 10 р<1 во всех членах.
Следовательно, -V^~*~9"> откуда и вытекает, в силу тео-
теоремы С (стр. 48), как и прежде, асимптотический закон рас-
распределения простых чисел.
Из формулы B8), в соединении с теоремами 19 и 25а, можно
вывести более точные соотношения, чем указанные в теореме 23.
Таким, в основных чертах, путем и шел Валле-Пуссен8).
*) Если определить \ieu для вещественных и как -^-l(
-\-\ieu~vt), то нетрудно проверить, что это будет совпадать с опре-
определением li х, данным на стр. 9. Наше определение, при котором И ew
является непрерывной функцией на луче w<^0 вещественной оси,, от-
отличается от обычного, которое делает ее непрерывной на луче w^>0.
ew
Наш И ew при w—юо асимптотически равен во всяком фиксиро-
фиксированном угле Ь < arg w < 2т: — о @ < 5 < т:).
2) von Mangoldt, 2\ И, I, 333—363 (см. также 516—532); Cramfr, L
3) De la Vallee Poussin. 2.

108
ГЛАВА IV
Для дальнейших применений введем число 0, определяемое
как верхняя граница вещественной части нулей C(s).
Очевидно, 0<11, так как в полуплоскости о> 1 нулей нет.
С другой стороны, из существования нетривиальных нулей C(s)
и их симметричного расположения относительно прямой о «= —
вытекает, что в>—. Таким образом—<; в < 1, и это все,
что известно по поводу 0. 0 = — в том и только в том слу-
случае, если справедлива гипотеза Римана. Мы докажем теперь
следующую теорему, теряющую, правда, свое значение, если
0 = 1, но зато покрывающую и значительно усиливающую ре-
результаты гл. III в случае, если 0 < 1.
Теорема 30. Имеем:
2+0@+1) B9)
= *+ 0(лг91п*л;), C0)
* C1)
Соотношение B9) представляет собой прямое следствие
формулы B8), ибо
вследствие сходимости
Для доказательства соотношения C0) применяем теорему 29,
полагая в неравенстве A6) Т = х2 (х > 2). Это дает:
Но, по теореме 25Ь,
Так как ^ (л;) — 60 (лг) = О (In л:), то мы и получаем требуемый
результат.

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ
109
Наконец, соотношение C1) выводится с помощью интегри-
интегрирования по частям. Применяя C0) в соединении с формулами
C8) и D1), стр. 84, 85, получаем:
* (х)—Н х=О \fu%^ldu)+ °{х*1п *) + о(х^=о(х& In x\
ибо в>4-.
2
2
Имеется другой метод вывода соотношения C0), хотя и менее
непосредственный, но зато более элементарный, поскольку он бази-
базируется не на теореме 29, а на теореме 28 *). Пусть h — функция от х,
удовлетворяющая для достаточно больших х неравенству 1 <Л <-=• х\
тогда по теореме 28
Обозначив общий член ряда справа через w , имеем:
так как (* + л) ^ < (-у *) <(^-) хv^ 3;ГТА; кроме того,
я?±л
поэтому
7>0
по теореме 25Ь Гтак как 2 < — <.*¦ \ Но ^(;г) (см. стр. 83) заклю-
заключается между двумя выражениями в левой части формулы C2)* Сле*
довательно,
}(х) «= х + O(h)
Беря, в частности, h = \t мы и получаем C0L
J) Holmgren, /; LandaUi 6, 5—10*

по
ГЛАВА IV
Менее точное соотношение ф (х) = х-\~ О (x®~^s), где t — любое
фиксированное положительное число, мы можем получить более пря-
прямым путем, модифицируя метод, примененный в гл. III, беря за контур
интегрирования прямую а = в + -к г- Если мы оперируем с ^i (•*)> то
мы должны перейти к ф (х) путем составления отношения конечных
разностей для 6Х (л) до оценки интеграла по прямой а = 9 -f- -^ г.
Если мы оперируем непосредственно с ф (х)> то рассматриваем конеч-
конечную область интегрирования (—Г, Г) и делаем Т функцией от х, как
в первом из приведенных выше доказательств соотношения C0).
Если гипотеза Римана верна, то теорема 30 дает:
Эти результаты, полученные фон Кохом1) в 1901 г., содержат самую
лучшую оценку остаточных членив в формулах для ф (х) и п(х), выве-
выведенную на основании гипотезы Римана.
9. Соотношение C0) связывает порядок величины $(х)— х
(для больших л:) с числом в, но только с одной стороны.
Нетрудно получить оценку снизу, в которой также фигури-
фигурирует 0, так что мы вправе заключить, что (в известных пределах
точности) порядок ^(лг) — х вполне определяется числом в.
Мы введем в качестве меры порядка ty(x) — х число в',
определяемое как нижняя граница чисел а> для которых
<К*)-* = О(*а> C3)
Тогда мы будем иметь:
Теорема 31.
в' = в.
В самом деле, прежде всего В' ^ в в силу формулы C0).
С другой стороны, по формуле A7), стр. 27, имеем:
s-\ J xs
1
где сначала предполагается о> 1. Но для любого фиксирован-
фиксированного положительного 8 имеем, по определению числа в',
чч*)—•
г) von
К
Koch,
\ (К
и
X
)
X

ЯВНЫЕ ФОРМУЛЫ 111
Поэтому интеграл в первой части формулы C4) равномерно
сходится для о > в' -j- 28 И) значит, представляет функцию,
регулярную в полуплоскости о > в'. Но тогда из C4) выте-
вытекает, что С (s) не может иметь нулей при о > в' или, иными
словами, что 0 ^ 6/. Это и завершает доказательство.
Из двух неравенств: в'<9 и 9<В/, последнее, конечно, более
элементарно. Доказательство его в принципе сходно с доказательством
того, что из асимптотического закона распределения простых чисел
вытекает отсутствие у С (s) нулей на прямой ffis = 1 (гл. П, § 9,
стр.50—51), однако проще в деталях.
Из теоремы 31 и определения числа в' вытекает, что со-
соотношение C3) не может выполняться ни для какого а < в*
Так как в>—, то мы заключаем, что C3) определенно не-
неверно для а < —, причем можно утверждать даже больше
этого, если гипотеза Римана неверна { т. е. если 0 > — 1.
Т б C(
Таким образом мы видим, что комплексные нули функции
накладывают определенные ограничения на степень точности,
с которой <|/(лг) может быть заменено через х и 1г(лг) через Ил;.
Дальнейшее развитие этого замечания приводит к некоторым
очень любопытным результатам, которые будут подробно рас-
рассмотрены в следующей главе.

Глава V.
НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
1. До сих пор мы занимались преимущественно нахожде-
нахождением верхних оценок для порядка разности 7с(#)— Ил: и др.,
иными словами, теоремами, утверждающими известную правиль-
правильность в распределении простых чисел. Целью настоящей главы
является получение результатов в прямо противоположном на-
направлении. Это даст нам возможность решить поставленный
во введении вопрос о том, выполняется ли неравенство тс (X) <
<Нлг для всех х, собственно и послуживший толчком к от-
открытию тонких результатов, излагаемых в настоящей главе.
Наши теоремы наиболее удобно формулировать с помощью
символа Q, представляющего собой естественное дополнение
к ставшим уже классическими символам О и о. Мы пишем:
(при х -* оо), если существует такое положительное число сг
не зависящее от лг, что неравенство \f(x) | > сх выполняется
для произвольно больших значений х\ можно сказать, таким
образом, что символ Q является прямым отрицанием символа о.
Бели f(x) — вещественная функция, то мы пишем:
если /(лг) > Сх для произвольно больших х, и
если f(x) < — сх для произвольно больших х\ отсюда явствует
что Q эквивалентно утверждению: „по крайней мере одно из Q,
и Q_". Для обозначения утверждения „и 2, и Q_u мы будем
писать 9±.Так,
х sin х = 2± (х), х -f- х sin x = Q (х),
причем в последнем соотношении уже нельзя заменить Q че-
через 2±.

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 113
Специальная функция х под знаком Q взята для иллюстра-
иллюстрации; конечно, вместо нее может стоять любая положительная
бесконечно возрастающая функция.
Символ Q был введен Харди и Литтльвудом; мы заменили лишь
их QR и QL через Q+ и Q_ i).
Тип теорем, занимающих нас в этой главе, хорошо иллю-
иллюстрируется сделанным в конце предыдущей главы (§ 9) заме-
замечанием, которое можно записать так:
для каждого а < в и, значит, во всяком случае, для каждого
Однако важно изучить не только величину, но и знак раз-
разности ф(лг) — х и др., и нашей первой задачей является за-
замена в приведенном соотношении символа 2 через 2±. Для
этой цели нам потребуются некоторые результаты из теории
рядов и интегралов Дирихле, которые и приводятся в следую-
следующем параграфе.
2. Ряды и интегралы Дирихле. Предметом этой теории
(в ее простейшей форме) являются ряды и интегралы вида:
где с(х) предполагается ограниченной и интегрируемой (по Ри-
ману) функцией в каждом конечном интервале l^x^X и
sr=o-\-ti — комплексное переменное. Имеют месЛ) следующие
классические результаты:
I. Если ряд (или интеграл) Дирихле сходится при s — sl =
= Oj -f- txiy то он сходится для всех s = o-\-ti с а > ох и
притом равномерно в любом фиксированном угле:
|argE —51)|<а<утг.
II. Если ряд [или интеграл) Дирихле сходится для неко-
некоторых значений 5, но, однако, не для всех, то существует,
и притом единственное, вещественное число а0, обладающее
тем свойством, что ряд (или интеграл) сходится для всех s
Hardy and Littlewood, 2, 138.

114 ГЛАВА V
в полуплоскости о > а0 и ни для какого s в полуплоско-
полуплоскости а < о0.
Определение. Число о0 называется абсциссой сходимости,
прямая о = о0 — прямою сходимости и полуплоскость
а>ао — полуплоскостью сходимости ряда (или интеграла)
Дирихле. (В предельных случаях сходимости или расходимости
для всех значений s мы можем писать о0 = — оо или о0 — -|- оо.)
III. Ряд (или интеграл) Дирихле представляет в своей
полуплоскости сходимости регулярную функцию от s, все
производные которой получаются почленным диференцирова-
нием (для интегралов — диференцированием под знаком инте-
интеграла).
Теорема I легко доказывается с помощью абелева суммиро-
суммирования (для интегралов — интегрирования по частям), теорема II
получается тогда методом дедекиндова сечения, а теорема III
вытекает из I на основании теорем Вейерш трасса (см. сноску
на стр. 36—37) 1).
Имеется известная аналогия между рядами Дирихле ^спп~8
и степенными рядами ^cnzn\ и действительно, оба эти типа
рядов могут рассматриваться как частные случаи обобщенного
ряда Дирихле:
о
%е п (kt <; Х2 < ..., \п -* оо), B)
если в степенном ряде произвести предварительно подстановку
z = e~8. Но эта аналогия прекращается в ряде существенных
пунктов. Так, например, прямая сходимости ряда Дирихле
(соответствующая окружности сходимости степенного ряда),
вообще не стоит ни в какой явной зависимости от особенно-
особенностей аналитической функции /($)> определяемой (на основании
теоремы III) рядом. Это утверждение можно иллюстрировать
рядом 1 — 2~~8-\-3~8— ...> Для которого о0 = 0, и, однако,
представляемая им функция A—21~*)C(s) не имеет особен-
особенностей ни в какой конечной части плоскости s. Однако имеется
один важный частный случай, когда о0 определяется особенно-
особенностями функции f(s).
Теорема Н. Если сп [или с(х)\ вещественны и сохраняют
постоянный знак для всех достаточно больших п (или х),
то вещественная точка s = o0 прямой сходимости ряда (или
По поводу деталей отсылаем к ///?, 3—5,

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
115
интеграла) Дирихле A) служит особенностью функции f(s)>
представляемой этим рядом (или интегралом).
В случае многозначности аналитической функции f(s) рас-
рассматриваемая особенность принадлежит однозначной ветви,
представляемой формулой A).
Предположим, что теорема неверна. Тогда существует неко-
некоторая область Д содержащая как полуплоскость о > о0, так
и точку 5 = о0, и такая, что f(s) регулярна в D и тождествен-
тождественно совпадает с A) в полуплоскости о > о0. Возьмем а > о0 и
выберем /? так, чтобы круг \s — а | < R содержал точку s = о0
(т. е. /? > а — о0), но сам в свою очередь содержался в D;
тогда вследствие регулярности f(s) в D будем иметь:
Пусть для определенности мы рассматриваем интеграл Дирихле,
и с(х)^0 для х > х{у тогда, так как а > ао, имеем:
J X J
для ЛГ> Arx. Подставляя это в ряд Тейлора для /E), получаем,
что для вещественных 5 в интервале а — /? < 5 <; а
О «! / X
/* ^-» (ft , с\П Г ( y\ flfl *ЛИ
I ^' V ^^ / V / \ ) _/
-/A——~dx-
Перестановка порядка суммирования и интегрирования законна
ибо последний ряд равномерно сходится на сегменте 1 ^ х ^ X,
поскольку общий член его не превосходит по абсолютной ве-
„ (R\nX)n с(х)
личине К- ~—•, где К—верхняя граница для v '
ft !
на этом

П6 ГЛАВА V
сегменте. Выполняя суммирование под знаком интеграла, на-
находим:
х х
Так как интеграл в правой части возрастает с возрастанием X
(Аг>лг1), то полученное нами неравенство показывает, что
интеграл Дирихле сходится во всех точках интервала а — /? <
< 5 ^ а. Но это невозможно, так как указанный интервал за-
заходит влево от линии а = з0.
Теорема Н принадлежит Ландау. Соответствующая теорема для
степенных рядов была доказана Прингсгеймом, однако его доказатель-
доказательство неприменимо к рядам Дирихле х).
Заметим, между прочим, что с помощью этой теоремы можно до-
доказать, что С (s) не имеет нулей на прямой j = 1 2). Мы исходим из
тождества:
CJ2 , . п C)
С Bs)
1
где f^O и Си= 2 ^г> причем суммирование производится по всем
d \n
(положительным) делителям d числа п. Это тождество (представляющее
частный случай одного тождества Рамануйана) можно доказать, при-
применяя к ряду в правой части формулу Эйлера (теорема 5). Пусть
с0—-абсцисса сходимости этого ряда; тогда ао<1, и если со<1| то
с помощью аналитического продолжения убеждаемся, что формула C)
справедлива для всех а>а0, поскольку тогда левая часть f(s) необхо-
необходимо регулярна в этой полуплоскости. Так как | Сп |2 >- 0, то из тео-
теоремы Н [вследствие однозначности функции f(s)] вытекает, что с0 есть
самая правая особенность f(s) на вещественной оси. Если бы t(s)
имело нуль в 1 + ?/ (и, следовательно, также в 1 — ?/), то мы имели
бы с0 = — 1 (ибо числитель был бы тогда регулярен всюду, а самым
правым нулем знаменателя является s = —-1). Однако нетрудно пока-
показать самыми различными способами, что это невозможно; например,
из формулы C) тогда следовало бы, что /fy) >| Q|2= 1, тогда как
на самом деле /f~J = O.
3. Мы применим теперь результаты § 2 к доказательству
следующей теоремы:
*) Landau, 1. См. также Landau, Darstellung und Begriindung eini-
ger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, 2-е изд. (Berlin, Springer,
1929), 14, 72.
2) Ingham, 1.

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ И7
Теорема Зй. Для всякого фиксированного положительного 8
W \Х) ¦——* X • и& , \Х )) V /
.^ 0 $ / к\
Здесь 0, как и выше, обозначает верхнюю границу веще-
вещественных частей нулей С (s).
Соотношения D) и E) доказываются независимо друг от
друга, ибо E) из D) нельзя вывести путем частного суммиро-
суммирования. Мы дадим здесь доказательство соотношения E); дока-
доказательство для D) аналогично, однако несколько проще.
Пусть 0 < а < в. Для вещественных 5 > 1 имеем, согласно
формулы A8), стр. 28,
5
1
Далее,
оо оо
dx
s
с е
S—1
1
8—1 8—1
где g(s) — целая функция. Наконец,
х* , 1
xs+1
Комбинируя эти результаты, получаем:
=f(s) (s > 1) F)

118 ГЛАВА V
где
Пусть о0 будет абсцисса сходимости интеграла Дирихле F).
Тогда этот интеграл представляет однозначную ветвь функции
/(s), регулярную для о > о0. Но из формулы G) явствует, что
такая ветвь не может существовать, если полуплоскость о > а0 со-
содержит хотя бы один нуль C(s), поэтому необходимо со^в.
С другой стороны, f(s) не имеет особенностей на луче s > a
вещественной оси, поскольку (s—l)C(s) регулярно и отлично
от нуля на этом луче. Отсюда, в частности, вытекает, что
точка s = o0 не является особенностью функции /(s), ибо
<V>e > а. Но тогда из теоремы Н вытекает, что мы не можем
иметь с (х) ^ О для всех достаточно больших х. Следовательно,
для произвольно больших х будет выполняться неравенство
с (х) > 0, т. е. П (х)— И х > ха. И аналогично можно дока-
доказать, что П(аг) — 11х<С — ха для произвольно больших х. Так
как а — любое число из интервала 0 < а < в, то соотноше-
соотношение E) доказано.
Отметим, что доказательство существенно опирается на тот факт,
что С (s) не имеет нулей на положительной вещественной оси, —
свойство, обычно не играющее сколько-нибудь значительной роли.
Так как
* = Ф ([*])-[*] +0A),
то соотношение D) эквивалентно следующему:
где я->оо по целым значениям. Это показывает, в частности, что
число W (п) перемен знака в последовательности
безгранично возрастает при п -> оо. Полна получил более точный ре-
результат:
П -> оо
1П П
где с определено следующим образом: если С (s) имеет нули в -f- fi
на прямой а = в, то с есть наименьшее положительное ?» соответ-
соответствующее этим нулям; в противном случае с ~+ оо 1). Доказательство
основывается на некотором уточнении теоремы Н.
1) Pdlya, 1.

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
119
4. Так как О > —, то из соотношения D) вытекает, что ф (х) — х ••
/. Путем некоторого уточнения доказательства можно
получить следующую теорему:
Теорема 33.
Если 0 >> ~, то это (и даже больше) вытекает непосредственно
из D), ибо мы можем взять Ь так, чтобы в — Ь > -^. Мы поэтому
предположим, что в =-у. Имеем для с>1:
оо
1
где
1
s сE) *—i ^_JL'
причем с — положительное постоянное число. Пусть, если это воз-
возможно, с(лг)>0 для всех лг>Л'(>1); тогда, так как f(s) имеет на
вещественной оси самую правую особенность в точке 5 = -х-, из тео-
теоремы Н вытекает, что абсцисса сходимости интеграла (8) <?0 будэт
равна —, так что равенство (8) имеет место для всех <;;> —1). Отсюда
Z Л
для а> —
dx=yW)i-«w dx
< 2 У J-^ii/jf +/(a) = АГ+
*) Мы можем при желании вообще обойтись здесь без теоремы Н
(которая в дальнейшем ходе доказательства уже более не приме-
применяется), ибо сходимость интеграла (8) при г>—(=в) обеспечивается
[независимо от каких бы то ни было предположений относительно
знака при c{xj\ теоремой 30.

120
ГЛАВА V
где К не зависит от а и Ь Положим
i» где *о"+ Yi* есть нуль
с наименьшим положительным y» умножим обе части полученного
неравенства на а — -=- и возьмем а -» — -j- 0; это дает:
где wj есть порядок кратности нуля -^ -f~ Yi*- Но ? находится в нашем
распоряжении. Беря его в интервале
Щ
, видим, что
наше предположение, что ?(*)>0 при х^г>Х, приводит к противо-
противоречию. Следовательно, с(дг)<0 для произвольно больших х. Анало-
Аналогичный результат получаем и для функции
(л:) = т \ у
сх
Так как с может быть взято произвольно близко к
ключаем, что при х -» оо
-~х
где
-, то за-
Теоремы 32 и 33 принадлежат Э. Шмидту. До него менее точные
результаты в том же направлении были получены Фрагменом *).
Очевидно, эти методы больших результатов дать не могут. Так, те же
рассуждения в применении к формуле A6), стр. 45, показывают, что
однако, с другой стороны, мы знаем из теоремы 30, что если 8 = —,
1 /
то ^ (x)~yx2==0
х) Phragmen, 1, 2; Schmidt, 1. По поводу другого доказательства
теоремы 33 см. Litilewood, 4,

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 121
5. Введем обозначения
Из теоремы 32 явствует, что Q(x) и /?(лг) при возрастании х
до бесконечности меняют знак бесчисленное множество раз.
Однако соответствующая проблема для Р(х) более сложна, так
как ъ(х) менее непосредственно связана с C(s), чем П(лг)
и Ф(лЛ. Полагая Л1= -т-—- , имеем:
= I -=—^- L
m 2 nx
»l=2
так что
Член —1 в правой части показывает, что можно ожидать
преобладания отрицательных значений для Р(лг); однако будет
ли Р(х) всегда отрицательно, на что, повидимому, указывают
имеющиеся таблицы, нельзя решить, основываясь на полученных
до сих пор результатах. Если в > —, то, по теореме 32, при
оо
X* Х~*
и второй из этих результатов, в комбинации с формулой (9),
показывает, что Р(х) меняет знак бесчисленное множество
раз; однако это заключение теряет силу, если в = —1).
г) С помощью метода § 4 можно было бы показать, что
и этого было бы достаточно для доказательства того, что Р (х) меняет
знак бесчисленное множество раз, если бы Ь± было больше, чем еди-
единица. Однако на самом деле ^ равно приблизительно 0,07 (см. Т,
45-47).

122 ГЛАВА V
Для разрешения вопроса об изменениях знака Р{х) мы
докажем ряд теорем, из которых в совокупности будет следо-
следовать, что соотношения A0) имеют место независимо от спра-
справедливости или ложности гипотезы Римана. Эти теоремы го-
гораздо более трудны, чем предшествующие, так что нам пред-
представляется необходимым, прежде чем перейти к их подробным
доказательствам, указать в общих чертах руководящие идеи,
лежащие в их основе. Исходя из явной формулы для tyo(x)
(теорема 29) и предполагая, что гипотеза Римана истинна (что
мы можем сделать), мы заменяем знаменатели р = — -f- 41
в У— через -\i (что дает достаточное приближение) и тем
самым сам этот ряд через
Т 7»
7 > 0 п~1
1
Теперь последний ряд (без множителя 2л;2) формально равен
где
G() G(+ti) \^-, (И)
и мы хотим показать, что при /->оо
Мы начинаем с исследования G (s) для а > 0. Ряд, определяющий
функцию G (s), абсолютно и равномерно сходится во всякой
фиксированной полуплоскости а>8>0, так как
=-U<-^— < '
т«
и ряд V —-^ сходится. Значит, G(s) регулярна в полупло-
Тп
скости о > 0» Мы показываем сперва, с помощью теоремы
Дирихле о диофантовых приближениях, что существуют точки
s = а-}-// с малым положительным о и большим положитель-

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
123
ным t, в которых 3 G E) велико и положительно, и точки,
в которых 3G(s) велико по абсолютной величине и отрица-
отрицательно. Но эти точки, будучи „близки" к прямой о~0, все
же недостаточно близки, чтобы можно было тривиально заклю-
заключить о поведении 3^(s) на этой прямой, и для перехода
от поведения %G(s) в указанных точках к поведению %G(s)
на прямой о = 0 мы должны использовать одну теорему из
общей теории функций, принадлежащую Фрагмену и Линделбфу.
При этом оказывается необходимым опереться на одно из не-
неравенств для „остаточного члена" R{x, T) в теореме 29;
G ($) непосредственно на самой прямой а = 0 не определяется.
6. Мы начнем с доказательства общих теорем Дирихле и
Фрагмена-Линделбфа, упомянутых в предыдущем параграфе.
Теорема J. Пусть 8j, в2,..., 6^ N вещественных чисел
и q — целое положительное число. Тогда во всяком интервале
вида
/ (т>0)
существует такое число tt что каждое из произведений
отличается от ближайшего целого числа менее чем на —.
9
Воспользуемся (исключительно в целях удобства) языком
Af-мерной геометрии. Рассмотрим „единичный Л/-мерный куб",
т. е. совокупность „точек" {xv xv..., xN], определенных
неравенствами:
0<л:1< 1,..., 0<л^<1,
и разделим его на qN меньших, равных между собой кубов
„плоскостями", параллельными координатным „плоскостям", так
что каждый из этих меньших кубов определяется неравенствами
вида:
«1—1 пх nN—1 nN
где пи п2У. . ., nN—целые положительные числа, не прево-
превосходящие q.
Рассмотрим точки
Рг = {(гсв,), (пва),. . ., (пвы)} (г = 0, 1,2,.. .),

124 глава v
где т — положительное число и (и) —и — [и]. Каждая точка Рг
лежит в единичном кубе и, значит, в одном из меньших кубов.
Так как всего имеется лишь qN меньших кубов, то по край-
крайней мере один из них будет содержать более чем одну из g -|- 1
точек PO,PV...9 PqN. Пусть Я, и Р8@ < s < г < q1*) лежат
в одном и том же меньшем кубе; тогда
| (пвп) - (see,,) |< 1 (« = 1, 2, .. ., М),
т. е.
|Ахвж — Лл| <~ (л=1, 2, ..., ЛО,
где h = r — s и kn = [/-твм] — [si6J. Так как 1 < Л < qN
и ?л — целое, то число t = hz удовлетворяет нашим требо-
требованиям.
Теорема К. Пусть D будет область плоскости s9 опреде-
определенная неравенствами:
причем gx (J) и g @ — непрерывные функции, удовлетворяю-
щие условиям:
где ах и а2 — постоянные. Пусть f(s) регулярна в D и не-
непрерывна в области D\ получающейся присоединением к D
ее границы; пусть, далее, f(s) удовлетворяет во всей обла-
области D' неравенству вида:
\/(s)\<KeeC\ A3)
где
0<с<-^-
и К и с — постоянные] тогда, если неравенство
1/00 К с (Н)
(где С—постоянная) выполняется во всех точках на гра-
границе D, то оно должно выполняться во всей области D.
м ! 1 I
Мы можем принять, что <хх = тс, а2 = — тг I в противном
случае мы могли бы предварительно произвести линейную

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 1 25
подстановку s' = тс — у; при этом предположении
Пусть, в противоречие с утверждением теоремы, неравен-
неравенство A4) выполняется во всех точках границы, но не имеет
места по крайней мере в одной внутренней точке s* = о*-{-?*/,
так что |/(s*)| = C-|-28, где 8 > 0. Рассмотрим функцию
где с < b < 1, а е положительно и столь мало, что
A5)
Это, очевидно, возможно (причем е зависит, конечно, от s*
Так как 0<?<1 и jr^^0^-^^ то в /У мы имеем:
Следовательно, |<p(s)|<!C на границе области D и
| T E) |< АГехр (^ —I • cos-i- *тг • «
внутри. Так как — ecos — ?тг > 0 и ^ > с, то выражение в пра-
вой части стремится к нулю при t-+oo. По тому можно найти
такое T>t*t чтобы это выражение было меньше, чем С -\-Ъ,
для t=T. Отсюда следует, что если DT есть (ограниченная)
область, определенная неравенствами to<^t < 71, gt (t) < о <
<й@» то |?E)|<С + 8 на всей границе DT. Тогда, по
принципу максимума (<р регулярна в DT и непрерывна в D'^),
j<p(s) | < C-f-8 во всех внутренних точках области DT Но это
противоречит неравенству A5), так как, при нашем выборе Т, s*
лежит внутри DT
Теорема К принадлежит к очень широкому классу теорем типа
„/ либо ограничена, либо очень высокого порядка". Она утверждает,
что если модуль \f{s)\ удовлетворяет неравенству A4) на границе D,
то он либо удовлетворяет тому же неравенству внутри D, либо
будет настолько высокого порядка, что не подчиняется никакому

126
ГЛАВА V
неравенству типа A3). Что последнее действительно возможно, пока-
показывает пример:
в самом деле, в этом случае \f(s)\ =
_cos or ch t
, так что модуль| f(s) |
на границе D и, однако, не удовлетворяет никакому неравенству
вида A3) внутри этой области. Так как такое неравенство имеет место
п
при с = = 1, то этот пример показывает также, что теорема
а2 — аг
не может быть существенно улучшена путем ослабления условия A3).
При допущении необходимости некоторых общих ограничений,
таких, как A3), накладываемых на порядок роста функции, теорема К
может быть рассматриваема как расширение принципа максимума на
известный класс неограниченных областей.
7. Мы приведем теперь, в виде ряда лемм, необходимые нам
свойства функции т
^ (о>0),
введенной в § 5.
Лемма 1. Каждому положительному е соответствует та-
такое положительное о1 = аг (е), что в интервале
о* , A6)
где 0 < о < ор Го> 0, найдется число Т=Т(е, о, Го), обла-
обладающее тем свойством, что
|G(o-f ti-\-Ti) — G{o-\- ti)\ <e
для всех вещественных t.
Имеем при о > 0 и вещественных t, T:
Т)-О(а + Й)| =
2-
1
sin-g-
sin
1
П -1
Tf»

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
127
где f/>3 и N(U) обозначает, как обычно, число нулей, для
которых 0 < if ^ U. Так как для х > 0 имеем ех > х, то, по
теореме 25Ь,
Теперь, беря целое положительное q и применяя теорему J
к числам Ьп = -~- [п = 1, 2,..., /V(?/)], видим, что в интервале
TQ^T^.TQqNiU) A7)
существует такое Т, что
^ |?.|<|. [п = 1, 2, ...,
где все kh — целые. Для этого Т имеем, по теореме 25Ь,
N(U) . ЖЕГ).
_ V lsltl7T*?nl s v l71^! ^ JL V JL ^ л21п
что, в соединении с оценкой для 2Х, дает:
для о > 0 и всех вещественных /. Возьмем здесь
"-#¦4- »-[я|">т
где 0 < о < о0 и о0 = о0 (s) выбрано столь малым, чтобы для
указанных значений о выполнялось неравенство 3 <?/<—;
тогда
2 In
В In
1
а
4
i
В
In2
1п>
1
0
1
О
Кроме того, так как, по теореме 25, N(U) = O(U\nU), то
имеем:

128 ГЛАВА V
для 0 < о < Oj =з Oj (Б, з) = Oj (e) ^ Oq. Следовательно, для 0 <о <<з1
неравенство A7) предполагает A6), и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть
тогда при г -* 0 и фиксированном Ь
Имеем:
оо
G (s) = sfc (х) e~'xdx (о > 0), A8)
где
с(*)~ У -.
О < 7 <?D
Это вытекает из теоремы А (стр. 28), если положить там
так
при
как
Х-*
С
> оо. Но
-т..
_
ДЛЯ X
св = -
а?
Г
J
Ti
1
0\N
к
N(u
и*
Ф(х) = е~*
0 Щ»)
X
(снова по теореме А). Отсюда, по теореме 25, при х -> оо
где ? — вещественная постоянная. Подставляя это в A8),
получаем:
l 09)

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
129
где
= sf (\nx)ke~8Xdx
= l, 2),
оо
\R\<\s\ f
1 ' ' ' J
COS
Пусть /^ будет интеграл, получающийся при замене в /;. ниж-
нижнего предела ft через нуль; тогда
j(\nx)
ke-8*
e-8*dx
z»1
i
Но, производя подстановку sx = y и применяя теорему Коши,
имеем:
оо оо
О О
/ 1 \к
Развертывая I In НП.У I и интегрируя почленно, видим,
что 1к есть полином степени k относительно In — со старшим
/ 1 V
членом I In — 1 . Подставляя найденные результаты в A9), по-
получаем, что при г—>0
где В' — вещественная постоянная. Так как
In — = In 6/ = In — + In cos 6 — W,
s r a l
то отсюда следует, что при /-->0
= —61п — +

130 ГЛАВА V
Лемма 3. Если 0 < с < —, то для каждого достаточно
4
малого положительного а, 0 <а <о0=:а0(^), существуют та-
такие два числа t' = f(c, о) и t" = t"(c, о), что
T, %G(?-\-t"i)>—cln\nf.
Пусть 0 < e <-q- и Oj = ox (s) выбрано в соответствии
(тI+'
с леммой 1. Беря То = е , получаем из этой леммы, что
для каждого о в интервале 0 < о < ot существует такое
т, — тв (s), что
е < Го < е ' , B0)
|О(о + Л- + *Тв)-а(а + й)|<« B1)
для всех вещественных /.
Теперь, по лемме 2, с 6 = :±: — тс A—в), имеем [так как
где
Следовательно, для 0 < о < аа = о2 (е)
Беря в B1) ^ = dzXo, в соединении с B2) получаем для
О < о < о3 = <з8 (е):
zpQO(o±Xa/+^o0>i(l-»28)lnJ—e>i(l —3e)lni.
Но из неравенства B0) явствует, что для 0 < a < <з4 = а4 (е)
I (

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 131
Беря
f = Г — Хо и ^ss7l+ Хо,
находим, что для
0
, <з4) — J
будет
и аналогичные неравенства имеют место для — ^ О {o-\-fi). Это
и доказывает теорему, так как с < —, и, следовательно, мы
можем выбрать е=е(с) так, чтобы коэфициент при In In/' был
больше, чем с.
Лемма 4. Для 0 < о ^ 1 имеем:
Пусть ?/ = — ^е\ тогда, применяя теорему 25Ь, имеем:
откуда и вытекает утверждение леммы, так как
8. Мы теперь можем формулировать и доказать наши основ-
основные теоремы.
Теорема 34. При
ty(x) — x = Q±(x2 In In In лг).
Мы докажем, что при х -» оэ
Й5 ¦(*)-* >|, Шп ^>~" <-|. B3)
л: 2 In In In л: х 2 In In In x

132
ГЛАВА V
Если гипотеза Римана неверна
— I, то эти результаты
(и даже более сильные) вытекают из теоремы 32. Мы поэтому
во всем дальнейшем будем предполагать, что гипотеза Римана
верна [е = у|.
По теореме 29, неравенство A6), стр. 101, имеем:
2 -г-—
|<г—+ у/
где
, Т>3).
Так как
\п2и
убывает при и ^ е2} то отсюда, в частности
вытекает, что
\R(xf Т)\<АХ[;
Но
ТГ'
так как ряд
сходится, поэтому
\t\<T
г
sin G In x)

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 133
где
\Rx{x,T)\<AiX2 (*>«
Полагая х~е{ к
находим:
|Я@-5г@|<уЛ (*>1, Г>е2<). B4)
Это, в частности, дает:
Пусть теперь G (s) = G (а -|- ti) будет функция, рассмотренная
в § 7; тогда для а > О
о < ч < т
\у _ та sin ^t
Так как для w > 0 имеем 0 < 1 —е~и < и, то
Далее, полагая в теореме А (стр. 28)
К = Т„, с„ = ^ (Т„ > Г), сп = О (Т„ < Т), Ф
имеем в силу неравенства B5) при *>-1, T^e2t:
Следовательно,

134 ГЛАВА V
Комбинируя это с неравенством B4), полагая T=e2t и
ограничивая соответствующим образом область изменения о,
получаем:
\H{t)— $G(o + ti)\<AQ (/>1, 0<*<<Г3'). B6)
Предположим теперь, что первое из «еравенств B3) неверно;
тогда
ДШ1п/< 4 '
и, значит, можно найти такие а и tlf О < а < —, ti > 3, что
H(t)<a\n\nt (t^tx). B7)
Выберем # и с так, чтобы выполнялись неравенства а < # <
< с < —; числа /2, /3, ... в последующем тексте зависят от
аь Ьу с и выбраны так, что tx <; *2 <; /3 <;... Из неравенств B6)
и B7) имеем:
%G(o^ti)<aln\nt+AQ<b\n\nt (t^t2y 0 < о<>-«). B8)
Применим теперь теорему К к функции
'w Ins
(где для In берется его главное значение) и области D',
определяемой неравенствами t^t2, е~ zt ^ о ^ 1. На кривой
о = е~~ш {t ^ t2), ограничивающей область слева, имеем вслед-
вследствие неравенства B8):
На остальной части границы f(s) ограничена, так как
поэтому во всех точках границы
I Л*)|< С, B9)
где

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 135
Далее, во всей области D', по лемме 4,
1 В (8) \
\№\<Схе Ь <С/*9
так как In — ^ Ы. Таким образом условия теоремы К выпол-
выполнены и неравенство B9) должно сохранять силу во всей обла-
области D'. Отсюда вытекает, что
з<? (в)
е ь
<2Clnt (*>*з,
и, значит,
^ О E)< ft In BC \nt)<c In In /
В соединении с B8) это дает:
, 0<о<0- C0)
Но это невозможно, так как 0 < с <—. Действительно, для
достаточно малого а точка G-\-t'i леммы 3 попадает в область
*>*4> 0<о<1, и в ней неравенство C0) нарушается. Полу-
Полученное противоречие устанавливает первое из соотношений B3);
второе выводится аналогичным путем из другой половины
леммы 3.
9. Нам теперь предстоит вывести из теоремы 34 соответ-
соответствующие результаты для П (х) и тс (х). Этот переход не совсем
тривиален, поскольку мы имеем дело с односторонними нера-
неравенствами.
Теорема 35. При лг-^оо
П (л;) — И х = Q± [ -^ In In In x j > C1)
C2)

136
ГЛАВА V
Предположим сначала, что & = — . Полагая (как в § 5)
чг ( ^\ ___ 11 \* — D ( v*4 | I /**Ч . t\ л* -. i (~\ ( у"Ч ill | *• Л »_—. v* i
7С ^А j 11 X — г" V^, 11 ^Л J П л — Ц/ Ч^Л т V**/ х —
имеем в силу соотношения C8), стр. 84:
4^
и In2 и
Интегрируя по частям, получаем:
X
1V ' du\ ultfiu
где
по теореме 30
<?(*)
0
I с в == -у J .
(83)
Отсюда следует, что для х > 2
1плг
1п2 л: ' J г du\ и\п2и ) ' 2
/du Л3х2 i А С «4 ^w
~Г "" In2х + у 1"^« ~~
2 U \П2п 2 U
Но
U
в конце концов начинает возрастать и стремится
к бесконечности, поэтому, для достаточно больших л:, х > х0
1 1 -г 1
Q(x) —
/?(*)
In л:
In2 л:
I
\П*Х I _»

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
137
Это показывает, что
Q(x) R(x) / 1
= оA), C4)
Tin In In* 1, , , \In*lnlnln*
х * —. х In In In x
\nx
так что оба отношения в левой части имеют общие пределы
неопределенности при л:->со. Итак, если в = — , то соотно-
соотношение C1) вытекает из теоремы 34. Если же в>—, то оно
вытекает из теоремы 32, E). В том и другом случаях C2) вы-
вытекает из C1), ибо
1
Теоремы 34 и 35 принадлежат Литтльвуду х). Идея применения
к вопросам этого типа теории диофантовых приближений принадле-
принадлежит Гаральду Бору, давшему ей многочисленные применения пер-
первостепенной важности в общей теории рядов Дирихле 2). Свойство
функции G(a-f-tf), утверждаемое в лемме 1, можно назвать „аппрок-
„аппроксимативной периодичностью" (относительно ?)\ как раз аналогичные
в известном отношении свойства лежат в основе теории почти пе-
периодических функций, начало которой положил Бор.
10. Теоремы 34 и 35, очевидно, решают проблему, послу-
послужившую поводом к их установлению, именно, проблему о знаке
разности Р (х) = тс (х) — И х. Соотношение C2) показывает,
что Р(х), так же как и Q(x) и R(x), при безграничном воз-
возрастании х изменяет знак бесчисленное множество раз. Тем не
менее представляется интересным несколько ближе познако-
познакомиться с вопросом и с численной точки зрения. В силу соот-
соотношений B3) и C4)
— Q(x)\nx . 1
hm—p-i > —.
х2 In In In л:
Поэтому для 0 < e < 1 заключаем из формулы (9), что не-
неравенство
Р{Х) > &х { - Х +Т° ~8) 1п 1п 1п**-
Littlewood, I; Hardy and Littlewood, 2.
См. Г, гл. I и IV,

138
ГЛАВА V
выполняется для произвольно больших значений х+ Но хотя
правая часть этого неравенства определенно положительна для
достаточно больших х, тем не менее она, во всяком случае,
остается отрицательной в интервале1) Ю^д:^ 10700. Поэтому,
если полученные нами результаты представляют некоторое при-
приближение к истинному положению вещей, то неудивительно,
почему в пределы существующих таблиц не попало ни одного х,
для которого Р(х) > 0, Как далеко мы должны итти до встречи
с таким значением х, неизвестно. Теоретические соображения
не дают никаких подходов к численному решению неравенства
Р(х)>0.
Раньше особое значение придавалось функции, предположенной
Риманом в качестве приближения для тс(лг). Если мы „обратим* фор-
мулу П (х) = тс (х) -f- -н- к (х 2 ) -f ... по теореме Мббиуса 2), то
получим:
где коэфициенты суть члены ряда B5) на стр. 53; риманова функция по-
получается отсюда заменой всюду П на li. Эта функция с изумительной
точностью представляет п (х) для всех значений х в пределах суще-
существующих таблиц 3), и, однако, мы теперь знаем, что ее превосходство
1 - 1 1
над \\х иллюзорно. Действительно, члены—^ И*2 — -g
О Ь J,
(
составляющие в совокупности лишь О Ь J, не имеют никакого
значения в формулах типа C2), так что для отдельных значений х
(сколь угодно больших) одно приближение будет столь же далеко
отклоняться от истинного значения, как и другое.
Эти замечания относятся лишь к индивидуальным значениям х.
Но неравенство п(jc)<lix и формула Римана приобретают известный
смысл, если их рассматривать с точки зрения верности в среднем,
во всяком случае, если гипотеза Римана справедлива. Так (предпола-
*) См. Hardy, Orders of Infinity (Cambridge Tracts in Math, and
Physics, ,N2 12). Приложение III, табл. I.
2) tf, II, 579-580.
3) lehmer% /, Х1Ц—XVI; /. Glaisfier, 2, 84-88,

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 139
гая во всем дальнейшем справедливость гипотезы Римана), имеем, по
теореме 28, для всех достаточно больших х
I f*Wd»
О
X
о
C5)
Гкоэфициент jzr получается без труда из формул B5) и B7), стр. 76 V»
аналогичное неравенство можно вывести для Q(x). Соединяя его
с соотношением (9), можно показать, что
х
J P(u)du<0 (х>х0),
2
так что Р(х) „отрицательно в среднем*. Тем же путем можно убе-
1 —
диться в том, что Ил:—о"***2 »B среднем* лучше аппроксими-
аппроксимирует 71 (л:), чем И х\ что же касается последующих членов в формуле
Римана, то они не оказывают никакого влияния даже при повторном
образовании средних.
Неравенство C5) показывает, что колебания /?(лг), вызываемые
наличием в теореме 34 множителя In In In лг, сглаживаются в процессе
образования средней. Мы можем прибавить, что причиной этому
явлению служит редкое распределение ненормально больших значе-
значений | R (дг) |, а не только взаимное погашение положительных и отри-
отрицательных колебаний. Действительно, Крамер *) показал, что (в случае
справедливости гипотезы Римана)
откуда, по неравенству Шварца,
Истинные порядки величин разностей Р(х), Q(x) и /?(*)
неизвестны, даже в предположении справедливости гипотезы
Римана. Проблема заполнения пробела между результатами
теоремы 30, с одной стороны, и теорем 34 и 35 — с другой,
является одной из наиболее важных нерешенных проблем всей
теории.
l) Cramer, 3. См. также Cramer, 4, 5; ВС, 791—792; V, И, 151—156.

140
ГЛАВА V
И. Мы заключим настоящую книгу некоторыми замечаниями
о распределении нечетных простых чисел между арифметичес-
арифметическими прогрессиями An -f-1 и 4л+ 3 *). Через тс^(лг)(г=], 3) мы
будем обозначать число простых чисел вида 4л -f- г, не превосходя-
превосходящих X.
Аналитическое исследование проблемы основывается на функ-
функции L(s), определяемой (сначала для а>С) рядом:
1
где х(я) = О, Ь 0, — 1 соответственно для л ЕЕ 0, 1, 2, 3 (mod. 4). Так
как функция ^~ „вполне мультипликативна" (стр. 25), то имеем:
р
Функция L(s) имеет свойства, очень сходные со свойствами С (s),
с тем, однако, существенным отличием, что L(s) регулярна во всех
конечных точках, включая и точку s = 1. Функциями, аналогичными п (х)
и П(лг), служат:
> п {х>у)=И "^^ • C6)
р < ж рт^х
С помощью функции I E) можно доказать, во-первых, „элементар-
„элементарными" методами (стр. 53), что существует бесчисленное множество
простых чисел обоих видов 4л+1 и 4я-{-3, и, во-вторых „трансцен-
„трансцендентными" методами, что при лг-»оо
М. C7)
Первая теорема основывается на том факте, что 1A)фО2), а вто-
вторая—на том, что L(s) не имеет нулей на прямой а = 1. Используя
более тонкие свойства L(s), Литтльвуд доказал, что
= О
1) Изложение общей теории распределения простых чисел в ариф-
арифметических прогрессиях с разностью k, по отношению к которой
наши рассмотрения представляют частный случай, си. в Я, I, 391—535;
И, 699-719; V, I, 79-96; II, 3-47.
2) Соотношение 1A)ф0, конечно, тривиально в рассматриваемом
специальном случае (к = 4). Однако установление соответствующих
соотношений в общем случае, будучи еще элементарным, представляет
главную трудность проблемы. Существование бесчисленного множества
простых чисел в каждой из арифметических прогрессий 4п +1 и

НЕПРАВИЛЬНОСТИ В РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ 1*1
если для L{s) выполняется аналог гипотезы Римана, то можно полу-
получить и более точные результаты.
Так как для каждого нечетного Рх(Р2)= +^> то из C6) выте-
вытекает, что
1
П(лг
г,/)-*(*, Х) = -|Д*2 / + OU8/ln
так что
1
'1- * + п <*> х) -f
X 2*
Так как можно ожидать, что значения П(*, х) [как функции,
„естественно" связанной с ln?(s)] совершенно одинаково распреде-
распределены по обе стороны от нуля, то последняя формула указывает, что
у гс (jc, х) = т№(х) — т№(х) будут преобладать отрицательные значе-
значения. На это же наводят (как было указано во введении) и чисто
эмпирические соображения, более того, подсказывающие, что, для
всех достаточно больших л:, п^(х) <rc^(.t). И, однако, методами
§§ 7—9 можно доказать, что
откуда явствует, что в действительности теA)(лг) — гсC) (х) меняет знак
бесчисленное множество раз при безграничном возрастании х. Правда,
если справедлив аналог гипотезы Римана, то можно показать, что
простые числа вида 4л+ 3 жВ среднем* (в различных смыслах) более
часты, чем простые числа вида 4п + \ х).
4л + 3 может быть доказано с помощью модификации метода Евклида,
причем случай 4л + 1 более труден. Тот же метод применим и к не-
некоторым другим частным значениям kt однако его до сих пор не уда-
удалось применить к общему случаю.
1) См. Hardy and Littlewood, 2, 141-151; Landau, 6f 7.

ПРИЛОЖЕНИЕ.
О МЕТОДЕ ЛАНДАУ-ИКЕАРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА АСИМПТОТИ-
АСИМПТОТИЧЕСКОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ.
Д. Л. Райков,
1. В разработке проблем, связанных с асимптотическим за-
законом распределения простых чисел, большое внимание при-
привлекал к себе вопрос об упрощении доказательства этого закона,
т. е. о приведении к возможному минимуму числа свойств
римановой функции С (s), на которые это доказательство опи-
опирается, а также об использовании в процессе доказательства
возможно более элементарных средств анализа. В книге Ингама
упомянуты, в качестве последних достижений в этом направле-
направлении, работы Винера и Икеара, которым удалось показать, что
асимптотический закон распределения простых чисел не связан
СЧ1 + Й)
с поведением //•> ПРИ ^ -> °° и зависит, кроме тривиаль-
тривиальных свойств функции C(s), лишь от отсутствия у нее нулей на
прямой *Rs=l. Однако, как справедливо указывает Ингам,
методы, примененные ими при доказательстве, отнюдь не могли
быть названы элементарными.
В 1932 г., уже после выхода в свет книги Ингама, появи-
появилась работа Ландау (Landau, 11, 12), в которой автору удалось,
не изменяя основной идеи доказательств Винера и Икеара, осво-
освободиться от ссылки на общую тауберову теорию Винера и обой-
обойтись лишь при помощи самых элементарных средств анализа.
Вследствие интереса, который представляет эта работа Лан-
Ландау, мы считали необходимым воспроизвести ее, в несколько
измененном виде, в настоящей статье, помещаемой в качестве
приложения к переводу книги Ингама.
2. Прежде чем излагать доказательство Ландау, наметим
в общих чертах ход идей, нашедших в нем свое завершение1).
1) При желании читатель может этот параграф в первом чтении
опустить.

ПРИЛОЖЕНИЕ 143
Обозначим через тг (х) число простых чисел, не превосхо-
превосходящих х- Асимптотический закон распределения простых чисел
X
состоит в том, что п(х)~-—при х-*оо. Как показано в книге
4 ' In лг
Ингама (гл. I, § 4), этот закон эквивалентен утверждению, что при
х-* со <Илг)~*, где ф(лг) = ^ ln/? = S I 1^о 1п/) ^ Пр0"
бегает все простые числа; сумма обрывается, как только р
становится больше лг). Исходным пунктом доказательства этого
соотношения является формула:
s t(s) J xa+1
1
[см. Ингам, гл. I, формула A7)]. Эта формула не дает явного
аналитического выражения для интересующей нас функции ty(x)y
и о поведении этой последней мы должны поэтому судить по
поведению выраженной через нее функции .
S С, \Sj
В гл. I, § 8 Ингам показывает, что, при s -> 1 -f- О,
s С (s) s — 1 *
Так как
со
xdx
то получаем:
откуда немедленно вытекает, что -^-^ не может стремиться к пре-
пределу, отличному от единицы. Но как раз вся трудность состоит
в том, чтобы доказать, что ¦ вообще стремится к какому
бы то ни было пределу, а этого нельзя вывести из соотношения

144 приложение
1 С'(«) l n
г-—- ~ г • Следовательно, нужно использовать какие-
s—1
то более глубокие свойства функции г
Мы стоим перед одной из проблем „тауберова типаа: опре-
определить асимптотическое поведение функции /(дг) ( = <}/(.*;)),
исходя из известного асимптотического поведения ее линейного
преобразования
(
и некоторых дополнительных условий.
Наиболее прямой подход к доказательству теорем тауберова
типа состоит в обращении интеграла F(s)= I K(s,x)f(x)dx,
т. е. представлении /(лг), обратно, через F(s). В зависимости
от принятого способа обращения и определяется характер до-
дополнительных условий, налагаемых на F(s). Икеара и Ландау
исходят из обращения I ^, г dx как интеграла Фурье,
Именно этим, как мы ниже увидим, и объясняется использо-
использование отсутствия у С(s) нулей на прямой 9ts = l в качестве
дополнительного условия, определяющего асимптотическое по-
поведение <|>(лг).
Для представления I -^У/! dx в виде интеграла Фурье сделаем
I • V^
в формуле A) подстановку х=^еи и положим s= I +e-|- #•
Мы получим:
где Hiu)—1-—. Прежде чем обращать этот интеграл, за-
заметим, что для оценки асимптотического поведения функ-
функции Н(и) нам придется предварительно переходить к пределу
по е-*0, ибо иначе быстрое убывание множителя е*~ги будет
все скрадывать. Но тогда левая часть формулы B) будет

ПРИЛОЖЕНИЕ
145
безгранично возрастать для t = 0. Чтобы избавиться от этого не-
1 V(s) 1
удобства, воспользуемся тем, что выражение -— -
уже регулярно в точке s = 1*), и заменим интеграл B) раз-
разностью:
= у [//(и) — 1] e^me"tuidu. C)
Обращение этого интеграла по формуле Фурье дает:
- 1] г"" = 27 / W^dt, D)
— С»
откуда, переходя к пределу по е->0, получаем:
оо
Н(у) — 1 = i- Hm Г А8 (г) Л*. E)
— оо
Руководящая идея доказательства асимптотического закона
может быть теперь намечена в нескольких словах. Допустим,
что можно перейти к пределу под знаком интеграла E) и к инте-
интегралу от предельной функции можно применить теорему а стрем-
стремлении коэфициентов Фурье / y(t)eyUdt к нулю при у-+ со;
тогда имеем при у ~> со;
оо
—l=i- film ht(t)eyHdt-*Q,
*ъ J «->о
откуда
ev
или
Их)
/ имеет bs = 1 полюс первого порядка с вычетом 1.

146
ПРИЛОЖЕНИЕ
а это и составляет требуемое утверждение. Таким образом
асимптотический закон распределения простых чисел оказь^
вается, в конечном счете, следствием давно известного и со-
совершенно элементарного факта — стремления коэфициентов
Фурье к нулю.
В какой мере выполняются наши допущения? Предельная
функция
существует и регулярна для всех t: для t ф О вследствие
регулярности и необращения в нуль функции СA-|-#)'
для / = 0 потому, что мы заблаговременно сняли полюс функ-
1 ?'О?) - 1
ции / ¦ в точке 5 = 1, вычтя -. Но что касается
s С (S) $ 1
интеграла
оо
^ fh(t)e»Mdt,
то мы вообще не знаем, существует ли он в обычном смысле
и тем более стремится ли к нулю npnj/~>oo, а раз так, то мы
не можем провести указанную выше идею в ее непосредствен-
непосредственной форме и вынуждены искать какого-либо обходного пути.
Таким обходным путем является у Ингама введение вместо ty()
X
ее интеграла I $ (х) dx = ^i 00 и> значит, вместо ру-^-
О
функции / 'Г iw / \ » благодаря чему интеграл от пре-
дельной функции становится абсолютно сходящимся (см. Ингам,
мелкий шрифт в конце § 6, гл. II). Но как раз для доказа-
доказательства абсолютной сходимости этого интеграла Ингаму и при-
приходится опираться на оценку асимптотического поведения
I Т .. при |tf|-*oo, ибо интеграл берется в бесконечных
с, A -|- ti
пределах.
Икеара удалось обойти указанное выше затруднение совер-
совершенно иным путем, давшим ему возможность вообще не опй-
раться на оценку асимптотического поведения V/а

ПРИЛОЖЕНИЕ
147
Как мы только что подчеркнули, к этой оценке приходится
прибегать вследствие того, что интеграл берется в бесконечных
пределах, а этого нельзя обойти, если мы хотим получить для
подинтегральной функции точное выражение через значение
интеграла. Но это совсем и не нужно — нас интересует лишь
асимптотическое поведение функции Н(у). Нельзя ли его
определить, не обращая интеграла C) до конца, т. е. не пере-
А
ходя в- h*(t) eyU dt предварительно к пределу при Л -> оо ?
— А
Первая идея Икеара и состоит в том, чтобы, фиксируя А., сна-
сначала перейти к пределу по е->0 и затем попытаться опреде-
определить асимптотическое поведение Н(у), подходящим образом
увеличивая Л вместе с у.
Но здесь мы встречаемся с новым затруднением. Вместо
формулы D) мы имеем теперь:
1 $j (
— А —АО
в последнем же интеграле уже нельзя, без всякого обоснова-
Л * . sinA(v — и)
ния, переходить к пределу по г -> 0, ибо функция —
не является абсолютно интегрируемой в пределах от 0 до оо.
Икеара обходит это затруднение приемом, ставшим теперь уже
классическим. Именно, его вторая идея состоит в том, чтобы
А
вместо интеграла I A, (t) eyii dt рассматривать среднее арифме-
тическое от него
а/ х

148
приложений
Мы получаем тогда:
А
и переход к пределу по в -»¦ 0 под знаком интеграла может
быть выполнен, как мы ниже увидим, в обеих частях.
Производя этот предельный переход, получаем:
~ 2 sin* А (У -иJ
/ [Я(«)-1]—-^ rf« =
«Г -2-С-иK
А
— А
при j; -> оо. Вклад Ландау заключается в том, что он заметил,
что для перехода от этого соотношения к соотношению Н(у)-+\
достаточно совершенно элементарных средств анализа, если
использовать еще монотонность функции ^{х).
После этих вводных замечаний, имевших целью осветить
как характер самой проблемы, так и характер трудностей, воз*
никших при ее разрешении, мы перейдем к изложению дока-
доказательства Ландау.
3. Нам нужно доказать, что, при х —> оо, ty(x)~x
(см. Ингам, гл. I, § 4). Перечислим прежде всего свойства
функций ty(x) и C(s), на которые мы будем опираться:
1) Ф(*) не убывает при возрастании х.

ПРИЛОЖЕНИЕ
149
3) При в->-0
стремится к
w~ i-\-h C(i-f#) я
равномерно на каждом конечном интервале — А ^. t ^ А. Это
1 C'(s) 1
является следствием регулярности функции ТТ\ Г
в области 9Ю-1, что в свою очередь вытекает из следую-
следующих свойств функции С (s): а) С (s) регулярна в области 9ts^>l,
5ф1; Ь) С(s) имеет в точке 5=1 полюс первого порядка;
с)СE)фО на прямой 9ts=l. (По поводу доказательства
этих свойств функции С (s) см. Ингам, теоремы 8 и 10.)
Для Н(и)= и первые два свойства дают:
1') Если н2>нР то Н(и2)^ещ~щ Н(их).
2')Н{и)<и.
Приступим теперь к доказательству. Из формулы
со
s CE)
[см. Ингам, гл. I, формула A7)] получаем:
) — х , 1 С 00
/
S C(S) 5 — 1
1
или, после подстановки х = еи и 5 = 1 -|- е -{- ti%

150
ПРИЛОЖЕНИЕ
Умножая обе части на -^- ( 1 — — J eyii и интегрируя по /
в пределах от —2А до +2А, находим:
2A
-2Д
2А
/[Ж»)-1].—D /A - и) «^Ц
0 \ -2А /
ИЛИ
Я(й)^ ш—т-Н^——Ida— I
о о
_ttsin2 А (у — и)
Перемена порядка интегрирования по / и по и допустима,
так как в силу свойства 2') интеграл
ОО
/'[Я (и)— 1]«—ue~Mdu
абсолютно сходится при всяком г > 0. (В самом деле,
ОО
J | [Н(и) — \]
о
e~me~tui
со.)
Пусть теперь е -> 0; тогда в силу свойства 3) левая часть
2А
формулы A) стремится к— ill—¦—?-1 A (t) e*ndt. Далее,
-2А

ПРИЛОЖЕНИЕ 151
оо
/_tttsin2A(y — и) л
е д , ^ аи в правой части стремится
о
r°sin2AO> — и) , __ м
I д , _ . 8 да. Действительно, последний интеграл су-
к
о
ществует и абсолютная величина разности
и, значит, стремится к нулю при А ~> со и еЛ ~> 0.
Так как интеграл в левой части формулы A) и второй
интеграл в правой части этой формулы стремятся к опреде-
определенным пределам при е->0, то и первый интеграл в правой
части имеет определенный предел. Покажем, что
оо
/
.to. A Q,-О
4 ' А (у — иJ
существует и представляет собой значение этого предела. Прежде
всего при заданных Л и 8 мы можем выбрать такое в1э чтобы
для всех е < е2 выполнялось неравенство:
А А
/„/4sin2A(v — и), ^ Cuf\
4 ' А {у — иJ J v '
— и)
А{у-и)
и и
и тем более

152 ПРИЛОЖЕНИЕ
Беря теперь ечОи затем 8-^0, получаем:
о
Л
ч sin2 A(v — и)
/„, л sin2 Л (v — а) .
// (tf) — д /——^ d# существует и
о
оо
<;iim I H(u)e~~tuS л ~2 ^ Так как меньше он быть
о
не может, то наше утверждение доказано.
Таким образом переход к пределу по г -> 0 можно произ-
произвести во всех трех интегралах. В результате мы получаем:
о о
или, после подстановки Л (и—y) — vy
2А
4/A-2л)А(')Лг'=
-2Д
-Ay — Ay
Пусть Л фиксировано ну ~± со; тогда, по известной теореме
теории рядов Фурье, левая часть формулы B) стремится к нулю
ибо I 1 —J-J-1 h (/) непрерывна и пределы интеграции конечны ;
далее, I —— dv стремится к I —dv=P < со1).
J v- J v*
г) Для наших целей совершенно не важно, что Р« «,

приложение 15S
В итоге
при ^у-> оо.
Теперь уже нетрудно сообразить, почему отсюда следует,
что Н(у)-+1. Если мы возьмем х очень малым, а А столь
большим, чтобы и Ат было велико, то при изменении v от — Ах
до -f- Ах И I у -f- —г-) будет лишь немногим отличаться от Н (у),
гт ( . v \ sin2 v
тогда как Н \У-т"~1г}—о~ пР0Йдет все значения, оказываю-
оказывающие сколько-нибудь заметное влияние на величину инте-
интеграла 1(у, А). Поэтому мы будем иметь:
Ат At
n2ij
—Ax —At
с другой стороны, при достаточно больших >
т. е., в совокупности,
Конечно, все это лишь наводящие соображения, и мы дадим
сейчас совершенно строгое доказательство. Именно здесь мы и
воспользуемся монотонностью функции ^ (*), т. е. свойством 1').
а) ШН(у)<С1.
у->оо
Действительно, в силу свойства 1')
Лт
Н(у - х) j *%1 dv
Это дает;

154 приложение
откуда в силу соотношения C) заключаем, что
Возьмем теперь т->0 и Лт-> оо; так как при этом *2т -> 1
и РХх -> Р, то мы и получаем:
Отсюда, в частности, вытекает, что #Су) ограничено:
Н(у)<К<оо D)
для всех^у.
Ь)
Действительно, в силу неравенства D)
J H
A
J
— At
(~Ат
f
С другой стороны, в силу свойства 2')
Соединяя эти два неравенства, получаем:
откуда
р ]((р р
~21^
Ат

приложений
Беря снова х -> О и Ах -> оо, получаем:
Шп
155
Неравенства а) и Ь) в совокупности дают:
ИЛИ
чем асимптотический закон распределения простых чисел и доказан.

БИБЛИОГРАФИЯ.
[Предлагаемый список литературы отнюдь не претендует
на полноту. Исчерпывающее изложение предмета читатель найдет
в двух монументальных работах Ландау (Я и V), а краткий обзор —
в прекрасной энциклопедической статье Бора и Крамера (ВС). И со-
содержит исчерпывающую библиографию до 1909 г., а ВС — ссылки на раз-»
личные работы до 1922 г. По поводу литературы, посвященной чистой
теории дзета-функции, отсылаем читателя к книге Титчмарша (Т).]
[Даты относятся, вообще говоря, к моменту опубликования. Если указаны две даты,
то первая относится к моменту оглашения или представления работы, вторая же —
к моменту напечатания.]
Н. Е* Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen,
pzig, Teubner, 1909.
BHM. P. Bachmann-J. Hadamard-E. Maillet, Propositions transcen-
dantes, de la theorie des nombres, Encyclopedic des sciences mathematiques,
I, 17, 1910, 215-387.
HR. 0. H. Hardy - M. Riesz, The general theory of Dtrichlet's series,
Cambridge Tracts in Math, and Math. Physics, N2 18, 1915.
ВС И. Bohr-H. Cramery Die neuere Entwicklung der analytlschen
Zahlentheorie, Enzyklopa'die der mathematischen Wissenschaften, II С 8,
1922, 722—849.
V. E. Landau, Vorlesungen tiber Zahlentheorie, Leipzig, Hirzel, 1927.
T. ?. C. Titchmarshf The zeta-function of Riemann, Cambridge Tracts
in Math, and Math. Physics, № 26, 1930.
R. J. Backlund* L Sur les zeros de la fonction С (s) de Riemann,
„Comptes rendus", 158r 1914, 1979—1981; 2. Ober die Nullstellen der
Riemannschen Zetafunktion, „Acta Math/, 41, 1918, 345—375.
5. Bochner, 1. Ein. Satz von Landau und Ikehara, „Math. Zeitschrift",
37, 1933, 1—9; 2. Umkehrsatze fur allgemeine Limitierungsverfahren,
„Sitzungsberichte d. Preuss. Akad. d. Wissens., phys.-math. Kl.\ Berlin
1933, 126—144.
/?. Breusck, 1. Zvu Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates,
dass zwischen x und 2x stets Primzahlen liegen, „Math. Zeitschrift", 34,
1932, 505—526.
V. Brun, L Le crible d'Eratosthene et le theoreme de Goldbach,
„Skrifter utgit av Videnskapsselskapet i Kristiania, mat-naturv. Kl.e,
1920a, 3.
H. Cramer, L Ober die Herleitung der Riemannschen Primzahlformel,
wArkiv for Mat, Astr. och Fys/, 13, 1918,24; 2. Studien uber die Null-
Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, „Math. Zeitschrift% 4, 1919,
104—-130; Д Some theorems concerning prime numbers, „Arkiv for Mat,
Astr. och Fys.a, 15, 1921, 5; 4. Sur un probleme de M. Phragmen, „Arkiv
fdr Mat., Astr. och Fys.% 16, 1922, 27; 5. Ein Mittelwertsatz in der Prim-
zaWtheorie, «Math. Zeitschriftaf 12, 1922, 147—153,

БИБЛИОГРАФИЯ
157
L Euler, L Variae observations circa series infinitas, „Commentarii
Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae", 9, 1737, 1744, 160—188.
Opera omnia (i), 14, 216—244.]; 2, Introductio in analysin infinitorum,
Vol. I, Lausanne, Bousquet, 1748. [Opera omnia A), 8.]
C. F. Gauss, 1. Werke; a. 1-е изд., Gottingen, 1863; b, 2-е изд.,
Gottingen, 1876.
У. Glaisher, 1, Factor table for the fourth million, London, Taylor
and Francis, 1879; 2. Factor table for the sixth million, London, Taylor
and Francis, 1883.
У. W. L Glaisher, 1. Separate enumerations of primes of the form
4л+1 and of the form An + 3, .Proc. Royal Soc.«, 29, 1879, 192—197.
У, Hadamard, L Etude sur les proprietes des fonctions entieres et en
partfculier d'une fonction consideree par Riemann, „Journal de math.", D),
9, 1893, 171—215; 2. Sur la distribution des zeros de la fonction C(s) et
ses consequences arithmetiques, „Bulletin de la Soc. math, de France*,
24, 1896, 199-220.
G. H. Hardy, 1. A new proof of the functional equation for the zeta-
function, „Matematisk Tidssriff, B, 1922, 71—73; 2. Note on a theorem
of Mertens, „Journal London Math. Soc", 2, 1927, 70—72.
О. Н. Hardy and У. Е. Littlewood, L New proofs of the prime-number
theorem and similar theorems, „Quarterly Journal of Math.**, 46, 1915,
215—219; 2. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function
and the theory of the distribution of primes, „Acta Math.*, 41, 1918,
119—196; 5. On a Tauberian theorem for Lambert's series, and some fun-
fundamental theorems in the analytical theory of numbers, „Proc. London
Math. Soc." B), 19, 1921, 21—29; 4. Some problems of „Partitio numero-
rum": III, On the expression of a number as a sum of primes, „ActaMath.",
44, 1922, 1—70; 5. Some problems of .Partitio numerorum", V: A further
contribution to the study of Goldbach's problem, „Proc. London Math.
Soc.« B), 22, 1923, 46-56.
С. У. Hargreave, L Analytical researches concerning numbers, „Philo-
„Philosophical Magazine" C), 35, 1849, 36—53; 2. On the law of prime numbers,
„Philosophical Magazine" D), 8, 1854, 114-122.
G. Hoheisel, 1. Primzahlprobleme in der Analysis, „Sitzungsberichte
d. Pxeuss. Akad. d. Wissens., phys.-math. ЮЛ Berlin 1930, 580-588.
E. Holmgren, 1. Om primtalens f6rdeining, „Ofversigt af Kongl. Ve-
tenskaps-Akademiens FdThandlingar*, 59, 1902, 221—225.
S. Ikehara, I. An extension of Landau's theorem in the analytical
theory of numbers, „Journal of Math, and Phys., Massachusetts Inst. of
Technology", 10, 1931, 1 — 12.
A, E, Ingham, 1. Note on Riemann's C-f unction and Dirichlet's LA un-
unctions, „Journal London Math. Soc.% 5, 1930, 107—112.
У. Karamata, L Ober die Hardy-Littlewoodschen Umkehrungen des
Abelschen Stetigkeitssatzes, „Math. Zeitschrift", 32, 1930, 319-320.
H. von Koch, 1. Sur la distribution des nombres premiers, „Acta
Math.«, 24, 1901, 159-182.
?. Landau, 1. Ober einen Satz von Tschebyschef, .Math. Annalen",
61, 1905, 527—550; 2. Euler und die Funktionalgleichung der Riemannschen
Zetafunktion, „Bibliotheca Mathematical C), 7, 1906, 69—79. 3. Ober die
Aquivalenz zweier Hauptsatze der analytischen Zahlentheorie, „Sitzungs-
berichte d. Akad. d. Wissens. in Wien, math.-naturw. К1Л 120, Abt. 2a,
1911, 973—988; 4. Ober einige Summen, die von den Nullstellen der Rie-
Riemannschen Zetafunktion abhangen, „Acta Math/, 35, 1912, 271—294;

158
БИБЛИОГРАФИЯ
5. Ober die Nuilstellen cjer Zetafunktion, „Math. Annalen", 71, 1912,
548—564; 6t 7. Ober einige aitere Vermutungen und Behauptungen in del
Primzahltheorie, „Math. Zeitschriff, 1, 1918, 1—24; (zweite Abhandlung)»
213—219; 8. Ober die C-Funktion und die I-Funktionen, „Math. Zeitschriff*,
20, 1924, 105—125; 9. Ober die Zetafunktion und die Hadamardsche
Theorie der ganzen Funktionen, „Math. Zeitschriff, 26, 1927, 170-175;
10. Die Goldbachsche Vermutung und der Schnirelmannsche Zatz, „Nach-
rlchten v. d. Gesellschaft der Wissens. zu Go4tin?en, math.-phys. Kl.%
1930, 255-276; //. Ober Dirichletsche Reihen, „Nachrichten v. d. Geselb
schaft der Wissens. zu Gdttingen, math.-phys. Kl.% 1932, 525—527;
12. Ober den Wienerschen neuen Weg zum Prirazahlsatz, „Sitzungsberichte
d. Preuss. Akad. d. Wissens., phys.-math. ЮЛ Berlin 1932, 514—521.
Л. M. Legendre, 1. Essai sur la theorie des nombres; a, 1-е изд.г
Paris, Duprat, 1798; b, 2-е изд., Paris, Courcier, 1808; 2. Theorie des
nombres, Paris, Didot, 1830; 3-е издание предыдущей книги.
D. N. Lehmer, 1. List of prime numbers from 1 to 10006 721, Carne-
Carnegie Institution of Washington, Publication № 165, Washington, D. C,
1914.
Л E. Litilewood, (см. также Q. H. Hardy), L Sur la distribution des
nombres premiers, „Comptes Rendusa, 158, 1914, 1869—1872; 2. Researches
in the theory of the Riemann C-function, „Proc. London Math. Soc* B),
20, 1922, xxii—xxviii Records, Feb. 10, 1921; 3. Two notes on the Rie-
Riemann zeta-function, .Proc. Cambridge Philos. Soc", 22, 1924, 234—242;
4. Mathematical notes: 3. On a theorem concerning the distribution of
prime numbers, „Journal London Math. Soc.*, 2, 1927, 41—45.
H. von Mangoldt, L Auszug aus einer Arbeit unter dem Titefc Zu
Riemann's Abhandlung „Ober die Anzahl der Primzahlen unter einer ge-
gebenen GrGsse*, „Sitzungsberichte d. Preuss. Akad. d. Wissens.*, Berlin
1894, 883—896; 2. Zu Riemann's Abhandlung „Ober die Anzahl der Prim-
Primzahlen unter einer gegebeneft Gro'sse", „Journal fur die r. u. a. Math.*,
114, 1895, 255—305; 3. Beweis der Gleichung ^J ^ = 0,%Sitzuflgsbe-
richte d. Preuss. Akad. d. Wissens.*, Berlin, 1897, 835—852; 4. Zvlx Vet-
teilung der Nullstellen der Riemannschen Funktion 6 It), „Math. Annalen*.
60, 1905, 1—19.
F. Mertens, 1. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, «Journal
fur die r. u. a. Math/, 78, 1874, 46—62; 2. Ober eine Eigenschaft der
Rtemann'schen C-Function, „Sitzungsberichte d. Akad. d* Wissens. in Wien,
math.-naturw. Kb*, 107, Abt. 2a, 1898, 1429-1434.
L J. Mordeil, L Some applications of Fourier series in the ana-
analytic theory of numbers, ,Proc. Cambridge Philos. Soc.*, 24, 1928,
585—596.
E. Phragmen, 1. Sur le logarithms integral et la fonction f(x) de
Riemann, „Ofverstgt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens FOrhandlingar",
48, 1891, 599—616; 2. Sur uneloide symetrie relative acertaines formules
asymptotiques. .Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens FOrhandlingar*,
58, 1901, 189-202.
G. P6lyat 1, Ober das Vorzeichen des Restgliedes im Frimzahlsatz,
.Nachrichten v. d. Geeellschaft der Wisseni. zu Gottingen, math.-phys. K}.",
1930, 19-27.

БИБЛИОГРАФИЯ
15»
Н. Rademacher, 1. Beitrage zur Viggo Brunschen Methode in der
Zahlentheorie, „Abhandlungen aus d. math. Seminar d. Hamburgischen
Univ.", 3, 1924,12—30.
B. Riemann, 1. Ober die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen
Grftsse, „Monatsberichte d. Preuss. Akad. d. Wissens.e, Berlin 1859, 1860,
671—680. [Gesammelte mathematische Werke, 1-е изд., 1876, 136—144,
2-е изд., 1892, 145—155; Oeuvres mathematiques, 1898, 165—176.]
E. Schmidt, 1. Ober die Anzahl der Primzahlen unter gegebener
Grefize, „Math. Annalen", 57, 1903, 195-204.
L. Schntrelmann (Л. Г. Шнирельман), /. Об аддитивных свойствах
чисел. „Известия Донского Политехнического Института* (Новочер-
(Новочеркасск), 14, 1930, 3—28. 2. Uber additive Eigenschaften von Zahien,
„Math. Annalen", 107, 1933, 649—690.
У. Schur, lt 2. Einige Satze uber Primzahlen mit Anwendungen auf
Irreduzibilitatsfragen, I, „Sitzungsberichte d. Preuss. Akad. d. Wissens/,
Berlin 1929, 125—136; II, там же, 1929, 370-391.
С L Slegel, L Ober Rtemann's Nachlass zur analytischen Zahlentheorie,
„Quellen und S tudien zur Geschichte der Math., Astr. und Phys/, Abt. B,
2, 1932, 45-80.
/. /. Sylvester, 1. On Tchebyscheffs theory of the totality of prinm
numbers comprised within given limits, „American Journal of Math/, 4,
1881, 230—247. 2, 3. On arithmetical series, „Messenger of Math/ B), 21,
1892, 1—19; 87-120.
P. L Tschebyscheff (П. Л. Чебышев), /. Teopifl сравненШ, С-Пе-
тербург, 1849; Приложение III; 2. Sur la fonction qui determine la tota-
lite des nombres premiers inferieurs к une limite donnee; a, „Memoires
presentes к rAcademie Imperiale des sciences de St.-Petersbourg par di-
divers savants", 6, 1848; 1851, 141—157; b, Journal de math.44 A), 17, 1852,
341—365; [Oeuvres, I, 27—48]; 3. Memoire sur les nombres premiers,
a, .Memoires presentes a TAcademie Imperiale des sciences de St.-Peters-
St.-Petersbourg par divers savants», 7, 1850, 1854, 15—33; b, Journal de math/
<1), 17, 1852, 366-390. [Oeuvres, I, 49-70.]
C. J. de la Vallee-Poussin, 1. Recherches analytiques sur la theorie
des nombres; Premiere partie: La fonction С (s) de Riemann et les nombres
premiers en general, „Annales de la Soc. scientifique de Bruxelles", 202,
1896, 183—256; 2, Sur la fonction С (s) de Riemann et le nombre des
nombres premiers inferieurs a une limite donnee, «Memoires couronnesde
TAcad. roy. des Sciences... de Belgique", 59, 1899-1900, 1.
JN. Wiener, L A new method inTauberian theorems, „Journal of Math,
and Phys., Massachusetts Inst. of Technology", 7, 1927—1928, 161—184;
2. Tauberian theorems, „Annals of Math/ B), 33, 1932, 1—100; 3. The
Fourier Integral and certain of its applications, Cambridge University
Press, 1933.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Элементарные теоремы 16
Глава II. Асимптотический закон распределения простых чисел. 36
Глава III. Дальнейшая теория дзета-функции. Применения. ... 55
Глава IV. Явные формулы 89
Глава V. Неправильности в распределении простых чисел ... 112
Приложение. О методе Ландау-Икеара доказательства
асимптотического закона распределения
простых чисел (Д. Л. Райков) 142
Библиография 156

Цена 2 p. 75 к.
Т 23-5-4