Є. П. Нелін

АЛГЕБРА
І ПОЧАТИЙ АНАЛІЗУ

Підручник для 10 класу
загальноосвітніх навчальних закладів

Академічний рівень

Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України

Харків
«Гімназія »

2010
УДК 373:[512+517]

ББК 22.12я721+2.161я721

Н49

Видано за рахунок державних коштів
Продаж заборонено

Рекомендовано
Міністерством освіти і науки України
(наказ від 03.03.2010 № 177)

Наукову експертизу проводив

Інститут математики Національної академії наук України

Психолого-педагогічну експертизу проводив
Інститут педагогіки

Національної академії педагогічних наук України

Експерти, які здійснювали експертизу:

П. Я. Кіндюх, гімназія м. Ужгорода, директор, заслужений вчитель України,
вчитель-методист

Л. А. Бойко, Монастирищенська спеціалізована школа І—ПІ ст. № 5
Монастирищенської районної ради Черкаської обл., вчитель,
вчитель-методист

І. О. Воробей, Управління освіти Житомирської міської ради, методист

М. А. Муратов, Таврійський національний університет ім. В. І. Вернадського,
кафедра математичного аналізу,
доктор фізпко-математичних наук, доцент

Нелін Є. П.

Н49 Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загально-
освіт. навчальн. закладів : академ. рівень / Є. П. Нелін. —
X. : Гімназія, 2010. — 416 с. : іл.

І8ВМ 978-966-474-095-8.

УДК 373:[512+517]

ББК 22.12я721+2.161я721

І8ВМ 978-966-474-095-8

© Є. II. Нелін, 2010

© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 2010
ПЕРЕДМОВА ДЛЯ УЧНІВ

Ви починаєте вивчати новий предмет «Алгебра і печатки аналі-
зу», який об’єднує матеріал кількох галузей математичної науки. Як
і в курсі алгебри, значну увагу буде приділено перетворенням виразів,
розв’язуванню рівнянь, нерівностей та їх систем і розгляду властивостей
функцій. Поряд із розв’язуванням знайомих задач, пов’язаних з много-
членами, раціональними дробами, степенями і коренями, у 10 класі буде
розглянуто нові види функцій: степеневі й тригонометричні та відповід-
ні рівняння і нерівності.

Принципово нову частину курсу — початки аналізу — буде розгля-
нуто в 11 класі. Математичний аналіз (або просто аналіз) — галузь
математики, що сформувалася у XVIII ст. і відіграла значну роль у роз-
витку природознавства: з’явився потужний, достатньо універсальний ме-
тод дослідження функцій, які використовуються під час розв’язування
різноманітних прикладних задач.

Кілька зауважень про те, як користуватися підручником.

Систему навчального матеріалу підручника з кожної теми подано
за двома рівнями. Основний матеріал наведено в параграфах, номери
яких позначено синім кольором. Додатковий матеріал (номери пара-
графів позначено сірим кольором) призначений для оволодіння темою
на більш глибокому рівні (наприклад, для виконання складніших за-
вдань з алгебри і початків аналізу зовнішнього незалежного оцінювання
з математики). Учні можуть опановувати його як самостійно, так і під
керівництвом учителя.

На початку багатьох параграфів наведено довідкові таблиці, які
містять основні означення, властивості та орієнтири для пошуку пла-
ну розв’язування задач з теми. Для ознайомлення з основними ідея-
ми розв’язування задач наводяться приклади, у яких крім розв’язання
міститься також коментар, що допоможе скласти план розв’язування
аналогічного завдання.

З метою закріплення, контролю і самоконтролю засвоєння на-
вчального матеріалу після кожного параграфа запропоновано систему
запитань і вправ. Відповіді на ці запитання і приклади розв’язування
аналогічних вправ можна знайти в тексті параграфа. Систему вправ до
основного матеріалу подано за трьома рівнями. Задачі середнього рівня
позначено символом «°>>, дещо складніші задачі достатнього рівня по-
дано без позначень, а задачі високого рівня складності позначено сим-
волом «*». У підручнику для багатьох задач поглибленого рівня також
пропонуються спеціальні орієнтири, які дають можливість опанувати
методи їх розв’язування. Відповіді і вказівки до більшості вправ наведе-
но у відповідному розділі. Про походження понять, термінів і символів
ви зможете дізнатися, прочитавши «Відомості з історії». У кінці підруч-
ника наведено довідковий матеріал.
ПЕРЕДМОВА ДЛЯ ВЧИТЕЛЯ

Пропонований підручник спрямовано на реалізацію основних поло-
жень концепції профільного навчання в старшій школі, на організацію
особистісно-орієнтованого навчання математики. Підручник підготовле-
но відповідно до чинної програми з алгебри і початків аналізу акаде-
мічного рівня з урахуванням програми профільного рівня та програми
і змісту зовнішнього незалежного оцінювання з математики.

Відзначимо основні відмінності пропонованого підручника від ін-
ших підручників з алгебри і початків аналізу. Це дворівневий підруч-
ник, у кожному розділі якого поряд з параграфами, що призначені для
оволодіння учнями стандартом математичної освіти на академічному
рівні, є систематичний матеріал для організації індивідуальної роботи
з учнями, які цікавляться математикою.

Основний матеріал, який повинні засвоїти учні, структуровано
у формі довідкових таблиць на початку параграфа, які містять система-
тизацію теоретичного матеріалу та способів діяльності з цим матеріалом
у формі спеціальних орієнтирів для розв’язування завдань. У першу чер-
гу учні повинні засвоїти матеріал, який міститься в таблицях. Тому
під час пояснення нового матеріалу доцільно працювати з підручником,
використовуючи відповідні таблиці та рисунки. Усі потрібні пояснення
й обґрунтування теж наведено в підручнику, але кожен учень може ви-
бирати свій рівень ознайомлення з цими обґрунтуваннями.

Підкреслимо, що будь-який підручник з алгебри і початків аналізу
повинен забезпечити не тільки ознайомлення учнів з основними алгебра-
їчними поняттями та їх властивостями (тобто дати можливість формува-
ти в учнів знання з алгебри і початків аналізу), а й формування способів
дій із цими поняттями (тобто дати можливість формувати в учнів уміння
з алгебри і початків аналізу). Систему умов, на яку реально спираєть-
ся учень при виконанні дії, психологи називають орієнтовною осно-
вою дії. Якщо учням пропонують достатньо загальні орієнтовні основи
для розв’язування відповідних завдань у вигляді спеціальних правил
та алгоритмів, то кажуть, що їм пропонують орієнтовні основи другого
і третього типів. Як правило, у підручниках алгебри і початків аналізу
для 10 класів учням пропонуються тільки зразки розв’язувань завдань.
Учні самостійно розв’язують ці завдання, орієнтуючись на зразки (тобто
учням пропонуються орієнтовні основи першого типу). Таке навчання
передбачає, що учень самостійно виконає систематизацію та узагальнен-
ня способів дій, орієнтуючись на запропоновані зразки, і виділить для
себе орієнтовну основу розв’язування розглянутих завдань. Як правило,
у цьому випадку орієнтовна основа, що створюється в учня, неповна.
Крім того, вона часто не усвідомлена ним, бо учень не може пояснити,
чому він виконував саме такі перетворення під час розв’язування за-
вдання, а не інші.

Із цієї причини одним з принципів побудови пропонованого підруч-
ника було виділення для учнів орієнтовних основ відповідної діяльності
з розв’язування алгебраїчних завдань безпосередньо в підручнику.

У кожному розділі розв’язанню вправ передує виділення загальних
орієнтирів для розв’язування таких завдань. Тому важливою складо-
вою роботи за пропонованим підручником є обговорення вибору відпо-
відних орієнтирів та планів розв’язування завдань. Пояснення методів
розв’язування ведеться за схемою:

Розв’язання	Коментар

За умови такої подачі навчального матеріалу коментар, у якому по-
яснюється розв’язання, не заважає сприйняттю основної ідеї та плану
розв’язування завдань певного типу. Це дозволяє учневі, який уже за-
своїв спосіб розв’язування, за допомогою наведеного прикладу згада-
ти, як розв’язувати завдання, а учневі, якому потрібна консультація
з розв’язування, — отримати детальну консультацію, що міститься
в коментарі.

За рахунок чіткого виділення загальних орієнтирів роботи з прак-
тичними завданнями курсу вдається частину «нестандартних» (з точки
зору традиційних підручників) завдань перевести в розряд «стандарт-
них» (наприклад, рівняння, для розв’язування яких доводиться вико-
ристовувати властивості функцій). Це дозволяє, зокрема, ознайомити
учнів з методами розв’язування навіть складних завдань з алгебри і по-
чатків аналізу, які пропонуються в зовнішньому незалежному оцінюван-
ні з математики, та з оформленням їх розв’язання.

Умовні позначення
головне в навчальному матеріалі

►	початок розв’язання задачі

<	1	закінчення розв’язання задачі

<	>	початок обґрунтування твердження

О закінчення обґрунтування твердження
Позначення, які застосовано в підручнику

N

г

^0

в

в+

[а; Ь]

(а; Ь)

(а; Ь],
[а; Ь)

(а; +°°),
[а; +°°),
&],
(—оо; £>)

—	множина всіх нату-
ральних чисел

—	множина всіх цілих
чисел

—	множина всіх невід’-
ємних цілих чисел

—	множина всіх раціо-
нальних чисел

—	множина всіх дійсних
чисел, числова пряма

—	множина всіх додат-
них дійсних чисел

—	відрізок (замкнений
проміжок) з кінцями
а і Ь, а < Ь

—	інтервал (відкритий
проміжок) з кінцями
а і Ь, а < Ь

—	напіввідкриті проміж-
ки з кінцями а і Ь,
а <Ь

[х] — ціла частина числа х

{х} — дробова частина
числа х

/ (х) — значення функції /
у точці х

Е (/) — область визначення
функції /

Е (/) — область значень функ-
ції І

8ІП 		функція	синус
СОВ 		функція	косинус
	функція	тангенс
сі£ —	функція	котангенс
агсвіп —	функція	арксинус
агссов —	функція	арккосинус
агсі£ —	функція	арктангенс
агссі£ —	функція	арккотангенс

4а — арифметичний корінь
із числа а

— нескінченні проміжки

— нескінченний промі-
жок, числова пряма

— модуль (абсолютна ве-
личина) числа х

2уІа — арифметичний корінь
27г-го степеня із числа
а (7г є ТУ)

гк+у/а — корінь (27г+1)-го степе
ня із числа а (7г є ТУ)
Розділ 1

І

ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ
І НЕРІВНОСТІ

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

§	1. Множини

§	2. Функції

§3	. Рівняння

§	4. Нерівності: рівносильні перетворення
та загальний метод інтервалів

ДОДАТКОВИЙ МАТЕРІАЛ

§5	. Графіки рівнянь та нерівностей
з двома змінними

§	6. Метод математичної індукції

§7	. Многочлени від однієї змінної
та дії над ними

§8	. Рівняння і нерівності,
що містять знак модуля

§9	- Рівняння і нерівності з параметрами

В основній частині цього розділу ви систематизуєте та уза-
гальните свої знання й уміння, пов’язані з множинами,
функціями, рівняннями і нерівностями, уточните, як дослі-
джують і обґрунтовують основні характеристики функцій.
Також ви отримаєте рекомендації щодо розв’язування рів-
нянь та нерівностей різними методами.

У додатковій частині розділу ви зможете ознайомитися з
важливим методом доведення математичних тверджень (ме-
тодом математичної індукції) та з методами розв’язування
деяких складних завдань, що їх пропонують у завданнях
зовнішнього незалежного оцінювання чи державної підсум-
кової атестації з математики.
МНОЖИНИ

1.1. Множини та операції над ними

Таблиця 1

Поняття множини та її елементів					
					Множину можна уявити собі як сукуп- ність деяких об’єктів, що об’єднані за якоюсь ознакою. У математиці мно- жини — це одне з основних неозначу- ваних понять.  Кожний об’єкт, що входить до мно- жини А, називається елементом, цієї множини.  Множина, що не містить жодного еле- мента, називається порожньою множи- ною і позначається 0
Елемент а належить множині А			3 3	ає А	
Елемент Ь не належить множині А				ЬіА	
					
У множині немає елементів				0	
					
Підмножина (с)					
		в			Якщо кожен елемент однієї множини А є елементом другої множини В, то кажуть, що перша множина А є підмножиною другої множини В,  і записують так: А с В.  Використовують також запис А с В, якщо множина А або є підмножиною множини В, або дорівнює множині В
АсВ		Якщо х є А, то х є В			
					
Рівність множин					
Гхє А=>хє В А = В<=>\  |хє _В=>хє А					Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої множини є елементом другої множини, і навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини
Продовження табл. 1

Перетин МНОЖИН (П)

хе С<=> хе А і хе В

Перетином множин А і В називають їх
спільну частину, тобто множину С всіх
елементів, що належать як множині А,
так і множині В

Об’єднання множин (и)

С = АСІВ

Об’єднанням множин А і В називають
множину С, складену з усіх елементів,
що належать хоча б одній із цих
множин (А або В)

х е С <=> хе А або х е В

Різниця множин (\)

С=А\В

Різницею множин А і В називається
множина С, що складається з усіх
елементів, які належать множині А
і не належать множині В

хе С<=> хе А і хе В

Доповнення множин

Якщо всі множини, які ми розглядає-
мо, є підмножинами якоїсь так званої
універсальної множини 17, то різниця
17 \ А називається доповненням мно-
жини А. Тобто доповненням множини
А називається множина, яка склада-
ється з усіх елементів, які не належать
множині А (але належать універсаль-
ній множині 17)
Пояснення й обґрунтування

1.	Поняття множини. Одним з основних понять, які використовують
у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Мож-
на пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів,
а самі об’єкти — елементами даної множини. Так, можна говорити про
множину учнів у класі (елементи — учні), множину днів тижня (елемен-
ти — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи —
числа 1, 2, 3, 6) тощо. У курсах алгебри та алгебри і початків аналізу
найчастіше розглядають множини, елементами яких є числа, і тому їх
називають числовими множинами.

Як правило, множини позначають великими літерами латинського
алфавіту. Наприклад, якщо множина М складається із чисел 1; 2; З,
то її позначають так: М = {1; 2; 3}. Той факт, що число 2 входить до
цієї множини (є елементом даної множини М), записують за допомогою
спеціального значка є так: 2 є ТИ; а те, що число 5 не входить до цієї
множини (не є елементом даної множини), записують так: 5 £ М.

Можна розглядати також множину, яка не містить жодного елемен-
та, — порожню множину.

Наприклад, множина простих дільників числа 1 — порожня множина.

Для деяких множин існують спеціальні позначення. Так, порож-
ню множину позначають символом 0, множину всіх натуральних чи-
сел — літерою І\Т, множину всіх цілих чисел — літерою 7, множину
всіх раціональних чисел — літерою ф, а множину всіх дійсних чи-
сел — літерою В. Множини бувають скінченні і нескінченні залежно
від того, яку кількість елементів вони містять. Так, множини А = {7};
М = {1; 2; 3} — скінченні, бо містять скінченне число елементів, а множи-
ни І\Т, 7, В — нескінченні.

Множини задають або за допомогою переліку їх елементів (це можна
зробити лише для скінченних множин), або за допомогою опису, коли
задається правило — характеристична властивість, яке дозволяє ви-
значити, належить чи ні даний об’єкт розглядуваній множині. Напри-
клад, множина А = {—1; 0; 1} задана переліком елементів, а множина В
парних цілих чисел — характеристичною властивістю елементів множи-
ни. Останню множину інколи записують так: В = {Ь | Ь — парне ціле
число} або так: В = {Ь | Ь = 2т, де т є 7} — тут після вертикальної риски
записана характеристична властивість.1

У загальному вигляді запис множини за допомогою характеристичної
властивості можна подати так: А = {х | Р (%)}, де Р (х) — характеристична
властивість. Наприклад, {х | Xі - 1 = 0} = {-1,1}, {х | х є В і Xі + 1 = 0} = 0.

1 У цьому випадку і в записах розв’язків тригонометричних рівнянь і нерів-
ностей в розділі 4 запис т є 7 означає, що т приймає будь-яке ціле значення,
що також можна записувати так: т = 0; ±1; ±2; ...
2.	Рівність множин. Нехай А — множина цифр трицифрового числа 312,
тобто А = {3; 1; 2}, а В — множина натуральних чисел, менших від 4,
тобто В = {1; 2; 3}. Оскільки ці множини складаються з одних і тих
самих елементів, то їх вважають рівними. Це записують так: А = В.
Для нескінченних множин таким способом (порівнюючи всі елементи)
установити їх рівність неможливо. Тому в загальному випадку рівність
множин означають таким чином.

Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої
множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент
другої множини є елементом першої множини.

З наведеного означення рівності множин випливає, що в множині од-
накові елементи не розрізняються. Дійсно, наприклад, {1; 2; 2} = {1; 2},
оскільки кожний елемент першої множини (1 або 2) є елементом другої
множини і, навпаки, кожний елемент другої множини (1 або 2) є еле-
ментом першої. Тому, записуючи множину, найчастіше кожний її еле-
мент записують тільки один раз.

3.	Підмножина

Якщо кожен елемент однієї множини А є елементом множини В, то
кажуть, що перша множина А є підмножиною множини В.

Цезаписують так:АсВ. Наприклад, {1; 2} с{0; 1; 2; 3},7У с£(оскіль-
ки будь-яке натуральне число — ціле), (оскільки будь-яке ціле чис-
ло — раціональне), фс.В(оскількибудь-якераціональнечисло — дійсне).

Вважають, що завжди 0 с А, тобто порожня множина є підмножи-
ною будь-якої непорожньої множини.

Інколи замість запису А с В використовують також запис А с В,
якщо множина А або є підмножиною множини В, або дорівнює множи-
ні В. Наприклад, А с А.

Співставимо означення рівності множин з означенням підмножини.
Якщо множини А і В рівні, то: 1) кожний елемент множини А є елемен-
том множини В, отже, А — підмножина В (А с В); 2) кожний елемент
множини В є елементом множини А, отже, В — підмножина А (В с А).
Таким чином,

дві множини рівні, якщо кожна
з них є підмножиною іншої.

Інколи співвідношення між мно-
жинами зручно ілюструвати за допо-
могою кругів (які часто називають
кругами Ейлера—Венна). Наприклад,
рисунок 1 ілюструє означення підмно-
жини, а рисунок 2 — співвідношення
між множинами І\т, 2, (£, В.

Рис. 1
4.	Операції над множинами. Над множина-
ми можна виконувати певні дії: перетин,
об’єднання, знаходження різниці множин.
Дамо означення цих операцій і проілюстру-
ємо їх за допомогою кругів Ейлера—Венна.
Перетином множин А і В називають їхню
спільну частину, тобто множину С усіх еле-
ментів, що належать як множині А, так
і множині В.

Перетин множин позначають знаком П

(на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перетину множин).

Наприклад, якщо А = {2; 3; 4}, В = {0; 2; 4; 6}, то А П В = {2; 4}.

Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається
з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В).
Об’єднання множин позначають знаком О (на рисунку 4 наведено
ілюстрацію означення об’єднання множин).

Наприклад, для множин А і В з попереднього прикладу

А О В = {0; 2; 3; 4; 6}.

Якщо позначити множину ірраціональних чисел через М, то ЛІС ф = В.

Різницею множин А і В називається множина С, яка складаєть-
ся з усіх елементів, які належать множині А і не належать мно-
жині В.

Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку 5 наведеню ілю-
страцію означення різниці множин).

А П В	АС В

Рис. З	Рис. 4	Рис. 5

Наприклад, якщо А={1; 2; 3}, В = {2; 3; 4; 5}, то А \ В = {1},
а В \ А = {4; 5}.

Якщо В — підмножина А, то різницю А \ В називають доповненням
множини В до множини А (рис. 6).

Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел
через М, то В \ 0 = М: кажуть, що множина М ірраціональних чисел
доповнює множину раціональних чисел до множини В, усіх дійсних
чисел.

Якщо всі множини, які ми розглядаємо, є підмножинами якоїсь так
званої універсальної множини 17 (на рисунку її зазвичай зображують
у вигляді прямокутника, а всі інші множини — кругами всередині цього
прямокутника), то різницю 17 \ А називають доповненням множини А
(рис. 7). Тобто

доповненням множини А називається множина, яка складається
з усіх елементів, які не належать множині А,

але які належать універсальній множині (7.

Доповнення множини А позначають А (читають: «А з рискою» або
«доповнення А»).

Наприклад, якщо 17 = В, і А = [0; 1], то А = (—°°; 0) 0 (1; + о°). (Для цьо-
го прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дій-
сних чисел на числовій прямій — рис. 8).

Рис. 6

17

Рис. 7

 Запитання для контролю

1.	Наведіть приклади множин, укажіть декілька елементів кожної
множини.

2.	Як позначають порожню множину, множини натуральних, цілих,
раціональних, дійсних чисел?

3.	Дайте означення рівності множин. Наведіть приклади двох рівних
множин.

4.	Дайте означення підмножини. Наведіть приклади. Проілюструйте
це поняття за допомогою кругів Ейлера—Венна.

5.	Дайте означення перетину, об’єднання, різниці двох множин. Наве-
діть приклади. Проілюструйте за допомогою кругів Ейлера—Венна.

6.	Поясніть, що називають доповненням однієї множини до іншої; до-
повненням множини. Наведіть приклади. Проілюструйте ці поняття
за допомогою відповідних рисунків.
Вправи

1°. Запишіть за допомогою фігурних дужок множину:

1)	букв у слові «алгебра»; 2) парних однозначних натуральних чи-
сел; 3) непарних однозначних натуральних чисел; 4) однозначних
простих чисел.

2°. За якою характеристичною властивістю записані такі множини:

1)	{понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя};

2)	{січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, сер-
пень, вересень, жовтень, листопад, грудень};

3)	{Австралія, Азія, Америка, Антарктида, Африка, Європа};

4)	{до, ре, мі, фа, соль, ля, сі};

5)	{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

3°. Наведіть приклади порожніх множин.

4°. А — множина натуральних чисел, які розміщені між числами 15
і 35. Запишіть множину А за допомогою фігурних дужок. Які з чи-
сел 18, 28, 36, 40 належать множині А? Відповідь запишіть за допо-
могою знаків є і £.

5°. Запишіть за допомогою фігурних дужок і позначте множину:

1)	натуральних дільників числа 12;

2)	натуральних дільників числа ЗО;

3)	цілих дільників числа 6;

4)	простих дільників числа 12.

6°. Відомо, що М = {1; 2; 5}, N = {1; 4; 5; 7; 9}, К = {4; 7; 9}. Запишіть
за допомогою фігурних дужок або знака 0:

1)	перетин ТИ і А; 2) перетин М і К; 3) перетин N і К; 4) об’єднання
М і А; 5) об’єднання ТИ і А; 6) об’єднання А і К; 7) різницю ТИ і А;

8)	різницю ТИ і К; 9) різницю А і А; 10) доповнення А до А.

7°. Поясніть, чому виконуються такі рівності:

1)АШ0=А; 2)АиА=А; 3) А П 0 = 0; 4)АПА=А.

8°. Запишіть множину всіх двоцифрових чисел, які можна записати за
допомогою цифр 0, 1, 3.

9°. Відомо, що А — множина натуральних дільників числа 12,
а В — множина цілих дільників числа 6. Запишіть множини:

1)	А О В; 2) А П В; 3) А \ В;	4) В \ А.

10*. Нехай А і В — деякі множини. Доведіть указані рівності та проілю-
струйте їх за допомогою кругів Ейлера—Венна:

1)А и В = В и А — переставний закон для об’єднання;

2)	АГ\ В = В Г\ А — переставний закон для перетину.
11.	В одній множині 40 різних елементів, а в другій — ЗО. Скільки еле-
ментів може бути в їх: 1) перетині; 2) об’єднанні?

12'. Нехай А, В, С — деякі множини. Доведіть указані рівності та про-
ілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера—Венна:

і)	(А и В) и с = А и (В и С) — сполучний закон для об’єднання-,

2)	(А П В) П С = А П (В П С) — сполучний закон для перетину,

3)	А П (В Ш С) = (А П В) О (А П С);

4)	А и (В О С) = (А и В) п (А и С);

5)АСІВ = АПВ

6)АПВ = АиВ

— закони де Моргана.

13. Кожний учень у класі вивчає англійську або французьку мову.
Англійську мову вивчають 25 учнів, французьку — 27 учнів, а оби-
дві мови — 18 учнів. Скільки учнів у класі?

14'. Частина жителів міста вміє розмовляти тільки українською мо-
вою, частина — тільки російською, а частина — обома мовами.
Українською мовою розмовляє 95 % жителів, а російською — 85 %.
Скільки відсотків жителів міста розмовляє обома мовами?

15*. Доведіть рівності і проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера—
Венна:

1) А \ В = А \ (А П В);	2) А П (В \ С) = (А П В) \ (А П С).

16*. Запишіть множину всіх правильних дробів —, де а є А, Ь є В

і А = {2; 3; 4; 6}, В = {1; 3; 4; 5; 6}.

17’. Які трицифрові числа можна записати, якщо:

А = {3; 1; 2} — множина цифр для позначення сотень;

В = {2; 8} — множина цифр для позначення десятків;

С = {5; 7} — множина цифр для позначення одиниць?

Скільки таких чисел одержимо? Спробуйте сформулювати загальне
правило підрахунку кількості таких чисел, якщо в множині А —
т елементів (О £ А), у множині В — п елементів, у множині С —
к елементів.
1.2.	Числові множини. Множина дійсних чисел

Таблиця 2

1. Числові множини

Раціональні числа

Можна подати у вигляді нескорот-

-	/71

ного дробу —, де т — ціле,
п

п — натуральне число.
Записують у вигляді нескінченного
періодичного десяткового дробу
(| = 0,333... = 0,(3)]

Ірраціональні числа

Не можна подати у вигляді неско-
_ т
ротного дробу —, де т — ціле,
п

п — натуральне число.
Записують у вигляді нескінченного
неперіодичного десяткового дробу
(>/2=1,4142135...)

Цілі числа 7

Включають натуральні числа,
числа, їм протилежні,
та число 0

Дробові числа

Числа, складені із цілого числа
часток одиниці

/ 2

І — — звичайний дріб,

1,23 — десятковий дріб:

1,23 = —)
іоо/

Натуральні числа N (цілі додатні)		Число 0		Цілі від’ємні числа
У шкільному курсі математики натуральне число — основне неозна- чуване поняття		Таке число, що будь-яке число при додаванні до нього не змінюється (а + 0 = 0 + а = а)		Числа, протилежні натуральним
Продовження тпабл. 2

2. Модуль дійсного числа та його властивості

Означення

Геометричний зміст модуля

ь

о

Модулем додатного числа нази-
вається саме це число, модулем
від’ємного числа називається чис-
ло, йому протилежне, модуль нуля
дорівнює нулю.

а при а > 0,
| а | = - 0 при а = 0,
-а при а < 0

На

В О Ах

\а\ = ОА, |б| = ОВ

координатній прямій модуль —

це відстань від початку координат
до точки, що зображує дане число.

Модуль різниці двох чисел а
і Ь — це відстань між точками а
і Ь на координатній прямій

а

Властивості

1.

Модуль будь-якого числа — невід’ємне число

2.

І ~а | = | а |

Модулі протилежних чисел рівні

3.

І а І , тобто -| а | < а < | а |

Величина числа не перевищує вели-
чини його модуля

а

4.

При Ь>О|а|<Ь<=>-Ь<а<Ь

5.

При Ь>О\а\>Ь^>а<~Ь або а

| а | = Ь | а | = Ь

-Ь

І а-Ь | = |а |-| Ь |

6.

Модуль добутку дорівнює добутку модулів
множників

7.	і =ї>*°>	Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо знаменник не дорівнює нулю)

8- | а" | = | а |

|а|2 = а2

| а |2/| = о,2'1

9.	|а+Ь|<|а| + |Ь|			Модуль суми не пере- вищує суми модулів доданків
	1 «! + + • • • + «, 1 < 1 «і 1 + 1 «2 1 + • • • + 1 1			
10.	||а|-|Ь||<|а±Ь|<|а| + |Ь|			
Пояснення й обґрунтування

1.	Числові множини. У курсі математики ви зустрічалися з різними
числами: натуральними, цілими, раціональними, ірраціональними, дій-
сними. Уявлення про числа у людства складалися поступово, під впли-
вом вимог практики. Наприклад, натуральні числа з’явилися у зв’язку
з необхідністю підрахунку предметів. Але для того щоб дати відповідь
на запитання «Скільки сірників у порожній коробці з-під сірників?»,
множини натуральних чисел N = {1; 2; 3; ...} недостатньо — для цього
потрібно мати ще й число нуль. Приєднуючи до множини N натураль-
них чисел число 0, одержуємо множину невід’ємних цілих чисел. її час-
то позначають 20 = {0; 1; 2; 3; ...}. Одних тільки невід’ємних цілих чисел
виявилося недостатньо для розв’язування задач практики (а отже, і ма-
тематичних задач, що відображують задану реальну ситуацію). Так, для
того щоб охарактеризувати температуру повітря вище і нижче нуля чи
рух тіла в протилежних напрямках, потрібні протилежні до натураль-
них числа, тобто від’ємні числа. Для натурального числа п протилежним
вважають число — п, а для числа -п протилежним вважають число п.
Нуль вважають числом, протилежним самому собі.

Натуральні числа, нуль і числа, протилежні натуральним, склада-
ють множину 2 цілих чисел.

Вимірювання величин привело до необхідності розширення множи-
ни цілих чисел і введення раціональних чисел. Наприклад, середня ба-
гаторічна температура повітря в січні в м. Харкові становить —7,3 °С,
З
тривалість уроку — 45 хв, або — год.

Таким чином, вибираючи якусь одиницю виміру, ми одержуємо чис-
лове значення величин, що можна виразити за допомогою різних раціо-
нальних чисел — цілих і дробових, додатних і від’ємних.

Цілі і дробові числа складають множину раціональних чисел.

Будь-яке раціональне число можна записати у вигляді дробу —, де
п

пі є 2, п є N (тобто чисельник т є цілим числом, а знаменник п — на-
туральним).

Раціональне число можна записати різними дробами. Наприклад,
1_2_3_10	_ 2 _ -2 _ -8 _ -10	12_ — - 6 - 120	5-5-12-50

2~ 4~ 6~ 20’	7 ” 7 ” 28 ” 35 ’	’ ~І0~ 5 ”100’	-1-2-10'

Як видно з наведених прикладів, серед дробів, що зображують дане
раціональне число, завжди є єдиний нескоротний дріб (для цілих чи-
сел — це дріб, знаменник якого дорівнює 1).

Зауважимо, що раціональне число, записане у вигляді дробу —, де
п

пі є 2, п є А, можна записати також у вигляді скінченного або нескін-
ченного періодичного десяткового дробу, поділивши чисельник на зна-
менник. Наприклад, — = 0,75, — = 0,3333....

4	З

Домовимося, що скінченний десятковий дріб можна зображувати
у вигляді нескінченного, у якого після останнього десяткового знака,
відмінного від нуля, на місці наступних десяткових знаків записують
нулі, наприклад, - = 0,75 = 0,75000....

4

Цілі числа також домовимося записувати у вигляді нескінченного
десяткового дробу, у якого справа від коми на місці десяткових знаків
стоять нулі, наприклад 13 = 13,000.... Таким чином, будь-яке раціо-
нальне число може бути записане як нескінченний періодичний дріб.
Нагадаємо, що у нескінченного періодичного дробу, починаючи з деяко-
го місця, усі десяткові знаки повторюються. Групу цифр, що повторю-
ється, називають періодом дробу, у записі дробу період наводять у дужках.
Наприклад, 1 = 0,3333.. . = 0,(3), — = 0,136363636... = 0,1(36).

З	22

Отже, кожне раціональне число може бути записане у вигляді не-
скінченного періодичного десяткового дробу і, навпаки, кожний нескін-
ченний періодичний десятковий дріб задає раціональне число.

Зауважимо, що будь-який періодичний десятковий дріб, який має
своїм періодом дев’ятку, дорівнює нескінченному десятковому дробу
з періодом нуль, у якого десятковий розряд, що передує періоду, збіль-
шений на одиницю порівняно з відповідним розрядом першого дробу.
Наприклад, нескінченні періодичні дроби 0,2(9) і 0,3(0) є записом одного
й того самого раціонального числа —. Дійсно, ураховуючи, що сума не-
скінченно спадної геометричної прогресії з першим членом ах і знамен-
ником у обчислюється за формулою 8 = —^—, маємо:

1-9

0,2(9) = 0,2999... = 0,2 + — + — + —^— + ... = 0,2 + ^- = 0,2 + —= 0,3 = 0,3(0).

100 іооо юооо	і 10

ю

У подальшому, записуючи раціональні числа за допомогою нескін-
ченних періодичних десяткових дробів, домовимося не розглядати не-
скінченні періодичні дроби, період яких дорівнює дев’яти.

Кожне раціональне число можна зобразити точкою на координатній
прямій (тобто на прямій, на якій вибрано початок відліку, додатний на-
прям і одиницю виміру). Наприклад,
на рисунку 9 зображено декілька раціо- 10	1	2 5	х

нальних чисел (б; 1; — 1; 2,б).

'	2	/	Рис. 9
Але на координатній прямій розташо-
вані точки, які зображають числа, що не
є раціональними. Наприклад, з курсу ал-
гебри відомо, що число уі2 не є раціональ-
ним. Це так зване ірраціональне число.
Якщо побудувати квадрат із стороною,
рівною 1, на координатній прямій х
(рис. 10), то його діагональ дорівнюватиме
уі2. Тоді, провівши дугу кола з центром
у точці О і радіусом ОМ = л/2, одержимо

точку М, координата якої дорівнює у/2. Крім числа -^2, ви також зу-

стрічалися з ірраціональними числами д/з, -710 тощо.

Раціональні та ірраціональні числа складають множину дійсних чи-
сел В. На координатній прямій кожному дійсному числу відповідає єди-
на точка і, навпаки, кожній точці координатної прямої відповідає єдине
дійсне число (у такому разі кажуть, що між множиною дійсних чисел
і множиною точок координатної прямої встановлюється взаємно одно-
значна відповідність).

Кожне дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десят-
кового дробу: раціональні числа — у вигляді нескінченного періодичного
десяткового дробу, ірраціональні — у вигляді нескінченного неперіодич-
ного десяткового дробу.

Нагадаємо, що для порівняння дійсних чисел і виконання дій над
ними (у випадку, коли хоча б одне з них не є раціональним) викорис-
товують наближені значення цих чисел. Зокрема, щоб порівняти два
дійсних числа, треба розглядати послідовно їх наближені значення
з недостачею з точністю до цілих, десятих, сотих і т. д. доти,
поки не одержимо якесь наближене значення одного числа, більше
за відповідне наближене значення другого. Тоді те число, наближене
значення якого більше, і вважається більшим. Наприклад, якщо
а = >/з =1,7320508..., 0 = 1| = 1,7500000..., то а < р (оскільки 1,73 <
< 1,75).

Для того щоб виконати додавання чи множення розглянутих чи-
сел а і р, послідовно записують їх наближені значення з недостачею та
з надлишком (з точністю до цілих, десятих, сотих і т. д.) і виконують
дії над одержаними раціональними числами. У результаті послідовно
отримують значення суми чи добутку з потрібного точністю.
а	р	а + р	еф
1 а < 2	1 < Р < 2	2 < а + р < 4	1 < еф < 4
1,7 < а < 1,8	1,7 < р < 1,8	3,4 < а + р < 3,6	2,89 < ар < 3,24
1,73 < а < 1,74	1,75 < р < 1,76	3,48 < а + р < 3,50	3,0275 < ар < 3,0624
1,732 < а < 1,733	1,750 < р < 1,751	3,482 < а + р < 3,484	3,031 < ар < 3,034483
...	...	...	...

Як бачимо, а + р = 3,48..., еф = 3,03... .

У курсі математичного аналізу доводиться, що у випадку, коли на-
ближені значення чисел а і р послідовно беруть з точністю до цілих, де-
сятих, сотих і т. д., то значення суми а + р з недостачею і з надлишком
прямує до одного й того самого числа, яке приймають за значення суми
а + р (аналогічно означають і добуток еф).

2.	Модуль дійсного числа та його властивості. Нагадаємо означення мо-

дуля.

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем
від’ємного числа — число, йому протилежне; модуль нуля дорівнює

нулю.

Це означення можна коротко записати декількома способами.

а при а > 0,

| а | = - 0 при а = 0,

—а при а < 0,

[а при а > 0,
або а=5	або

[-о, при а < 0,

Г а при а > 0,
[-а при а < 0,

або

. . \а при а > 0,
а=е	За потреби ми будемо користуватися будь-яким із

[-а при а < 0.

цих записів означення модуля. Для того щоб знайти | а |, за означенням
необхідно знати знак числа о і використати відповідну формулу. Напри-
клад, | 5 | = 5, | -3 | = -(-3) = 3, |>/3-2| = -(л/3-2) = 2-л/з.

На координатній прямій модуль чис-
ла — це відстань від початку координат
до точки, що зображає це число.

Дійсно, якщо а > 0 (рис. 11), то відстань
ОА = а = | а |.

Якщо Ь < 0, то відстань ОБ = — Ь = | Ь |.

Ь	0	а

-І-----1-----1---з

В	О	Ах

Рис. 11

 Модуль різниці двох чисел а і Ь — це відстань між точками
аіЬ на координатній прямій.

• Для доведення можна скористатися тим, що при паралельному пере-
несенні вздовж осі координат на Ь одиниць абсциса відповідної точки
змінюється на Ь: до абсциси заданої точки додається число Ь, тобто при
Ь > 0 точка переноситься вправо, а при Ь < 0 — уліво. Позначимо на

координатній прямій числа а, Ь, а — Ь відповідно точками А, В, С. На
я	АС	рисунку 12 ці точки зображено для ви-

।&	।।> падку а > 0 і Ь < 0, хоча наведене далі об-

Ь 0 а а~Ьх ґрунтування не залежить від знаків а і Ь.

^2	При паралельному перенесенні вздовж

осі Ох на Ь одиниць точка О перейде
в точку В, а точка С (з координатою а — Ь) — у точку з координатою
а — Ь + Ь = а, тобто в точку А. Тоді СО = АВ. Але відстань СО — це
відстань від точки а — Ь до початку координат, тобто СО = | а — Ь |,
а отже, і АВ = | а - Ь |. О

Використовуючи означення модуля та його геометричний зміст,
можна обґрунтувати властивості модуля, наведені в таблиці 2.

Наприклад, ураховуючи, що | а | — це відстань від точки а до точ-
ки О, а відстань може виражатися тільки невід’ємним числом, одержуємо

І « І > 0,

тобто модуль будь-якого числа є невід’ємним числом.

Ураховуючи, що точки а і —а розташовані на однаковій відстані від

точки О, одержуємо
| -а | = | а |,
це означає, що модулі протилежних чисел рівні.

Якщо а > 0, то | а | = а, а якщо а < 0, то а < | а |. Отже, завжди
а < | а |,
тобто величина числа не перевищує величини його модуля.

Якщо в останню нерівність замість а підставити —а і врахувати, що
| — а | = | а |, то одержуємо нерівність — а < | а |. Звідси а > —| а |, що разом
із нерівністю а < | а | свідчить, що для будь-якого дійсного числа а ви-

конується подвійна нерівність

- | а | < а < | а |.	(1)

При Ь > 0 нерівність | а | < Ь означає, що число а на координатній
прямій розміщене від точки О на відстані, яка не перевищує Ь (рис. 13),

тобто в проміжку [—Ь; &]. Навпаки, якщо число а належить цьому про-
міжку, тобто — Ь < а < Ь, то | а | < Ь. Отже,

при Ь > 0	ЬСаСЬ.	(2)

Зауважимо, що останнє твердження
справедливе і при Ь = 0 (тоді обом нерів-
ностям задовольняє тільки одне значення
а = 0).

Аналогічно при Ь > 0 нерівність | а | > Ь
означає, що число а на координатній пря-
мій знаходиться від точки О на відстані,
яка більша або дорівнює Ь (рис. 13), тобто
в цьому випадку а < — Ь або а > Ь. Навпаки, якщо число а задовольняє
одній із цих нерівностей, то | а | > Ь. Отже, при Ь > 0 нерівність | а | > Ь
рівносильна сукупності нерівностей а < — Ь або а > Ь, що можна записати
так:

при Ь > 0 | а | > Ь « а < — Ь або а > Ь.

Властивості модуля добутку і модуля дробу фіксують відомі правила
дій над числами з однаковими і різними знаками:

модуль добутку дорівнює добутку модулів множників, тобто
|а«Ь| = |а|«|Ь|;

модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль
знаменника (якщо знаменник не дорівнює нулю), тобто

Формулу для знаходження модуля добутку можна узагальнити для
випадку декількох множників:

|	• а2 •• ап | = |	| • | а2 |	| ап |.	(3)

Якщо у формулі (3) взяти ах = а2 = ... = ап = а, одержуємо формулу
| а" | = | а |".

Застосовуючи останню формулу справа наліво при п = 2к і врахо-
вуючи, що а211	0 при всіх значеннях а, одержуємо | а |2/|' = | а21 | = а211.

Отже,

|	а |2/|' = а2к.

Для обґрунтування нерівності

|	а + Ь | < | а | + | Ь |	(4)

запишемо нерівність (1) для чисел а і Ь:

-| а | < а < | а |;	-| Ь | < Ь < | Ь |.

Додаючи почленно ці нерівності, одержуємо

-(| а | + | Ь |) < а + Ь < | а | + | Ь |.

Ураховуючи нерівність (2), маємо

|а + Ь|<|а| + |Ь|,

тобто модуль суми не перевищує суми модулів доданків.

Якщо в нерівності (4) замінити Ь на — Ь і врахувати, що | — Ь | = | Ь |,
то одержимо нерівність

| а - Ь | < | а | + | Ь |.	(5)

Якщо записати число а так: а = Ь + (а — Ь) і	використати нерівність

(4), то одержимо нерівність | а | < | Ь | + | а — Ь	\.	Звідси

| а | - | Ь | < | а - Ь |.	(6)

Якщо в нерівності (6) замінити Ь на — Ь і врахувати, що | — Ь | = | Ь |,
то одержимо нерівність

| а | - | Ь | < | а + Ь |,	(7)

тобто модуль суми двох чисел не менше різниці їх модулів.
Міняючи місцями букви а і Ь у нерівностях (6) і (7) та враховуючи,
що | а — & | = | & — а \, маємо також нерівності

| Ь | - | а | < | а ± Ь |.	(8)

Одержані нерівності (4)—(8) можна коротко записати так:
||а|-|Ь||<|а±Ь|<|а| + |Ь|.

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Доведіть, що сума, різниця, добуток, натуральний степінь
і частка (якщо дільник не дорівнює нулю) двох раціональ-
них чисел завжди є раціональним числом.

Розв’язання	Коментар

► Нехай задано два раціональних
числа г. =— і г„=—, де т і т —
"1	«2

цілі, а пА і п2 — натуральні числа.
Оскільки сума, різниця, добуток,
натуральний степінь і частка двох
звичайних дробів завжди є звичай-
ним дробом, то одержаний резуль-
тат завжди буде раціональним
числом. Наприклад,
т1 т2 т^п^+п^т^
Г] + Г2 =	І =	,

п1 п2	П1П2

де т п2 + п1т2 — ціле число, а
піп2 — натуральне. <1

Приклад 2 Доведіть, що для будь-якого натурального числа п число
л/п або натуральне, або ірраціональне.

Коментар

Для доведення твердження задачі можна використати метод від су-
противного: припустити, що задане додатне число є раціональним нена-
туральним (тобто дробом), і отримати суперечність з умовою або з якимсь
відомим фактом.

Записуючи >/п у вигляді нескоротного дробу, слід ураховувати, що
при натуральних значеннях п це число завжди буде невід’ємним.

Будь-яке раціональне число
... т

можна записати як дріб —, де т —
п

ціле, п — натуральне число. Щоб
довести твердження задачі, достат-
ньо довести, що сума, різниця, до-
буток і частка двох дробів виду —
п
буде дробом такого самого виду.

Розв’язання

* • Припустимо, що у[п не є ірраціональним числом (тоді це число ра-
ціональне) і не є натуральним числом. Отже, це число може бути тільки
раціональним нескоротним дробом у[п = —, де р і ц — натуральні числа
ч
(о Ф 1). За означенням квадратного кореня маємо п = ^-, тобто п=Р Р.
Ч	Ч-Ч

Ураховуючи, що §	1, одержуємо, що дріб р р, який дорівнює нату-

ч-ч

ральному числу п, повинен бути скоротним. Отже, у натуральних множ-
ників, що стоять у чисельнику і знаменнику цього дробу, повинен бути
спільний натуральний дільник, який відрізняється від 1. Але в чисель-
нику стоять тільки множники р, а в знаменнику — тільки множники у.
Тоді числа р і у мають натуральний дільник, який відрізняється від 1,

тобто дріб £- є скоротним дробом, що суперечить умові. Таким чином,
наше припущення неправильне, і для будь-якого натурального числа п
число у/п або натуральне, або ірраціональне. <

Наприклад, оскільки числа д/з і л/10 не є натуральними числами
(1<д/з<2, 3<л/10 <4), то у/з і а/10 —ірраціональні числа.

Приклад 3* Доведіть, що сума л/з + л/б — число ірраціональне.

Рпзв’язан ня

Коментар

► Припустимо, що число >/3 + л/5 =
= г— раціональне. Тоді л/б = г —>/з.
Піднісши обидві частини останньої
рівності до квадрата, маємо
5 = г2— 2г>/з + 3. Звідси 2га/з = г2 —2.

Отже,

Але права частина

цієї рівності — раціональне число
(оскільки за припущенням г — ра-
ціональне число), а ліва — ірраціо-
нальне. Одержана суперечність
означає, що наше припущення не-
правильне і число у/з+у/б — ірра-
ціональне. <1

Для доведення твердження за-
дачі можна використати метод «від
супротивного» — припустити, що
задане число є раціональним, і отри-
мати суперечність з якимсь відомим
фактом, наприклад з тим, що
у/з — ірраціональне число.

Аналізуючи одержані вирази,
використовуємо результат прикла-
ду 1: якщо число г—раціональне,
то числа г2 - 2 і 2г та їх частка
теж будуть раціональними.

Зазначимо, що знаменник отри-
маного дробу 2г = 2 (д/з + л/б) ф 0.

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння1 | 2х + 5 | = 7.

1 Розв’язування рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля, докладніше
розглянуто в § 8.
Розв’язання

Коментар

І спосіб

► 2х + 5 = 7 або 2х + 5= -7,
2х = 2 або 2х = -12,
х = 1 або х = —6.

Відповідь: 1; -6. <1

Задане рівняння має вигляд
| і | = 7 (у даному випадку і = 2х + 5).
Його зручно розв’язувати, викорис-
товуючи геометричний зміст мо-
дуля: | 2х + 5 | — це відстань від
точки 0 до точки 2х + 5. Але від-
стань 7 може бути відкладена від 0
як праворуч (одержуємо число 7),
так і ліворуч (одержуємо число —7).
Отже, рівність | 2х + 5 | = 7 можли-
ва тоді і тільки тоді, коли 2х + 5=7
або 2х + 5 = -7.

II спосіб

► | 2х - (-5) | = 7,

Рис. 14

2х = 2 або 2х = -12,
х = 1 або х = —6.

Відповідь: 1; -6. <1

Приклад 5 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання

►	-6 < х2 - 5х < 6,

Гх2-5х<6,	іх2-5х-6<0,

[х2 - 5х > -6,	[х2 - 5х + 6 >0,

Г(х + 1)(х —6) < 0,
[(х-2)(х-6)> 0,

Розв’язуючи ці нерівності (рис. 15),
отримуємо

(-1С х<6,
[х<2абох>3.

З геометричної точки зору \а — Ь\
є відстань між точками а і Ь на коор-
динатній прямій. Запишемо задане
рівняння так: | 2х — (—5) | = 7. Тоді
рівність | 2х — (—5) | = 7 означає, що
відстань від точки 2х до точки —5 до-
рівнює 7. На відстані 7 від точки —5
знаходяться точки 2 і -12 (рис. 14).
Отже, задана рівність виконується
тоді і тільки тоді, коли 2х = 2 або
2х = —12, тобто задане рівняння рів-
носильне цій сукупності рівнянь.

| х2 - 5х | < 6.

Коментар

Задана нерівність має вигляд
| і | < 6 (у даному випадку і = х2 — 5х),
і її можна розв’язувати, використо-
вуючи геометричний зміст модуля.
З геометричної точки зору, І і | — це
відстань від точки 0 до точки І. На
відстані 6 від 0 знаходяться числа 6
і -6.
Тоді нерівності | І | < 6 задоволь-
няють усі ті і тільки ті точки, які
знаходяться в проміжку [—6; 6], тобто
—6 С і < 6. Для розв’язування одер-
жаної подвійної нерівності її зручно
замінити відповідною системою.

Отже, — 1 < х < 2 або 3 < х < 6.

Відповідь: [-1; 2] О [3; 6]. !

Запитання для контролю

1.	Поясніть, які числа входять до множин цілих, раціональних і дій-
сних чисел. Наведіть приклади. Зобразіть відповідні точки на коор-
динатній прямій.

2.	Поясніть, чим відрізняються записи у вигляді нескінченного десят-
кового дробу раціонального та ірраціонального чисел.

3.	Поясніть, як порівнюють дійсні числа.

4.	Дайте означення модуля дійсного числа, а) Сформулюйте властивос-
ті модуля, б4) Обґрунтуйте властивості модуля дійсного числа.

	Вправи
1.	Поясніть, чому задане дійсне число не може бути раціональним:  1) 1 + >/2;	2) л/З-5;	3) >/Ї0;  4) >/7 + 3;	5) 2-75.
2’.	Доведіть, що сума (різниця, добуток і частка) раціонального та ірра- ціонального чисел завжди є числом ірраціональним (добуток і частка тільки у випадку, коли задане раціональне число не дорівнює нулю).
3я.	Доведіть, що задані дійсні числа є ірраціональними:  1) >/2 + >/3;	2) л/5 + >/2;  3) УІ7-УІЗ;	4) >/7-л/2.
4.	Користуючись геометричним змістом модуля, зобразіть на коорди- натній прямій множину чисел, які задовольняють нерівності: 1°) 1 х 1 < 2;	2°) І х 1 > 5;  3) | х - 3 | < 0,5;	4) | х + 1 | < 0,3.
5.	Розв’яжіть рівняння:  1) | Зх + 1 | = 4;	2) | 4х - 2 | = 6;  3я) | | х - 1 | - 2 | = 1;	4*) | | 2х + 3 | - 5 | = 3.
6.	Розв’яжіть нерівність:  1) | 2х - 7 | < 1;	2) | Зх + 5 | > 7;  3я) || 2х - 1 | + 3 | > 5;	4Я) || 4х + 7 | -11 | < 4.
§ 2	функції

2.1.	Поняття числової функції.

Найпростіші властивості числових функцій

Таблиця З

1.	Поняття числової функції

Числовою функцією з областю визна-
чення £) називається залежність, при
якій кожному числу х із множини £)
(області визначення) ставиться у від-
повідність єдине число у.

Записують цю відповідність так:

У = /' (х).

Позначення і терміни
П (/) — область визначення
Е (/) — область значень

х — аргумент (незалежна змінна)
У — функція (залежна змінна)
/ — функція

/ (х0) — значення функції / у точці х()

2.	Графік функції

Графіком функції / називається мно-
жина всіх точок координатної площи-
ни з координатами (х; / (х)), де перша
координата х «пробігає» всю область
визначення функції, а друга координа-
та — це відповідне значення функції /
у точці х

3.	Зростаючі і спадні функції

Функція / (х)

зростаюча на множині Р:
якщо х2 > хг, то / (х2) > / (х,)
для всіх X є Р

(при збільшенні аргументу відповідні
точки графіка піднімаються)
Продовження табл. З

Функція / (х)
спадна на множині Р:
якщо х2 > хг, то / (х2) < / (хг)
ДЛЯ ВСІХ X є Р
(при збільшенні аргументу відповідні
точки графіка опускаються).

4.	Парні і непарні функції

Функція / (х) парна:
ї (-х) = ї (х)
для всіх х з області визначення.
Графік парної функції симетричний
відносно осі Оу

Функція / (х) непарна:
/ (—х) =	(х)

для всіх х із області визначення.
Графік непарної функції симетричний
відносно початку координат — точки О

Пояснення й обґрунтування

1.	Поняття функції. З поняттям функції ви ознайомилися в курсі ал-
гебри. Нагадаємо, що залежність змінної у від змінної х називається
функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким
означенням числової функції.

Числовою функцією з областю визначення 1) називається залеж-
ність, при якій кожному числу х із множини 1) ставиться у відповід-
ність єдине число у.

Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами. Роз-
глянемо довільну функцію /. Число у, яке відповідає числу х (на ри-
сунку до пункту 1 табл. З це показано стрілкою), називають значенням
функції / у точці х і позначають / (х).
Область визначення функції / — це множина тих значень, яких
може набувати аргумент х. Вона позначається £) (/).

Область значень функції / — це множина, яка складається з усіх
чисел / (х), де х належить області визначення. її позначають Е (/).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає
додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої форму-
лою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має
зміст. Наприклад, якщо функція задана формулою у = -/х+1, то її об-
ласть визначення — х > 0, тобто £) (у) = [0; +°°), а область значень —
у 1, тобто Е (у) = [1; +оо).

Іноді функція може задаватися різними формулами на різних мно-
. . Гхприх>0,
жинах значень аргументу. Наприклад, у = х = <{

[~хприх<0.

Функцію можна задати не тільки за допомогою формули, а й за допо-
могою таблиці, графіка чи словесного опису. Наприклад, на рисунку 16
графічно задана функція у = / (х) з областю визначення £) (/) = [—1; 3]
і множиною значень Е (/) = [1; 4].

Значення, що приймає функція / (х) в деякій точці х0 множини М,
на якій ця функція задана, називається найбільшим (найменшим) на цій
множині, якщо ні в якій іншій точці множини
функція не має більшого (меншого) значення.
Тобто для всіх х є М виконується нерівність
/ (х) < / (х0) (відповідно / (х) > / (х0) для най-
меншого значення). Іноді це записують так:
шах / (х) = / (х„) (відповідно шіп / (х) = / (х„)).
м	м

Наприклад, для функції у = / (х), графічно за-
даної на відрізку [—1; 3] на рисунку 16, най-
менше значення дорівнює 1, а найбільше — 4.
Тобто тах/(х) = 4. тіп/(х) = 1,
[-і;3]	Г-і;3]

2.	Графік функції. Нагадаємо, що

графіком функції у = / (х) називається множина всіх точок коор-
динатної площини з координатами (х; / (х)), де перша координа-
та х «пробігає» всю область визначення функції, а друга координа-
та — це відповідне значення функції / у точці х.

На рисунках до пункту 4 таблиці 3 наведено графіки функцій у = х2
та у = —, а на рисунку 17 — графік функції у = | х |.

X

Наведемо також графік функції у = [х], де [х] — позначення цілої
частини числа х, тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує х
(рис. 18). Область визначення цієї функції Е (у) = В, — множина всіх
дійсних чисел, а область значень Е (у) = Ч — множина всіх цілих чисел.
На рисунку 19 наведено графік
числової функції у = {х}, де {х} — по-
значення дробової частини числа х (за
означенням {х} = х — [х]).

3.	Зростаючі та спадні функції. Важ-
ливими характеристиками функцій є їх

зростання та спадання.	Рис. 19

Функція / (х) називається зростаючою на множині Р, якщо біль-
шому значенню аргументу із цієї множини відповідає більше зна-
чення функції,

тобто для будь-яких двох значень Хх і х2 з множини Р,

ЯКЩО Х2 > Хх, то / (х2) > / (хх).

Наприклад, функція / (х) = 2х зростаюча (на всій області визначення,
тобто на множині К), оскільки, якщо х2 >хх, то 2х2 > 2хі, отже, /(х2) > / (хх).

Відповідні точки графіка зростаючої функції при збільшенні аргу-
менту піднімаються (рис. 20).

На рисунку 21 наведено графік зростаючої функції у = х8. Дійсно,
при х2 > хх маємо х| > хх, тобто / (х2) > / (хх).
Функція / (х) називається спадною на множині Р, якщо більшо-
му значенню аргументу із цієї множини відповідає менше значення
функції,

тобто для будь-яких двох значень Хх І Х2 з множини Р,
ЯКЩО Х2 > Хр то / (х2) < / (хх).

Наприклад, функція / (х) = — 2х спадна (на всій області визначен-
ня, тобто на множині К), оскільки, якщо х2 > хх, то — 2х2 < — 2хх, отже,
/ (х2) < / (хх). Відповідні точки графіка спадної функції при збільшенні
аргументу опускаються (рис. 22).

Розглядаючи графік функції у = х2 (рис. 23), бачимо, що на всій об-
ласті визначення ця функція не є ні зростаючою, ні спадною. Але мож-
на виділити проміжки області визначення, де ця функція зростає і де
спадає. Так, на проміжку [0; +°°) функція у = х2 зростає, а на проміжку
(—оо; 0] — спадає.

Зазначимо, що для зростаючих і спадних функцій виконуються
властивості, обернені до тверджень, що містяться в означеннях.

І Якщо функція зростає, то більшому значенню функції відпо-
відає більше значення аргументу.

Якщо функція спадає, то більшому значенню функції відпо-
відає менше значення аргументу.

С Обґрунтуємо першу із цих властивостей методом від супротивного.
Нехай функція / (х) зростає і / (х2) > / (хх). Припустимо, що аргу-
мент х2 не більше аргументу хх, тобто х2 < хх. Із цього припущення
одержуємо:

ЯКЩО Х2 < Хх і / (х) зростає, то / (х2) < / (хх), що суперечить умо-
ві / (х2) > / (хх). Отже, наше припущення неправильне і, якщо
/ (Л’г) > / (Л’і), то	’ що і потрібно було довести.

Аналогічно можна обґрунтувати і другу властивість. О

Наприклад, якщо х3 > 8, тобто х3 > 23, то, ураховуючи зростання
функції / (х) = х3, одержуємо х > 2.
4.	Парні і непарні функції. Розглянемо функції, області визначення
яких симетричні відносно початку координат, тобто разом з кожним
числом х містять і число —х. Для таких функцій визначено поняття пар-
ності і непарності.

Функція / називається парною, якщо для будь-якого х з її області
визначення / (-х) = / (х).

Наприклад, функція у = х2 (тобто функція / (х) = х2) — парна, оскільки
/ (-х) = (-х)2 = х2 = / (х).

• Якщо функція / (х) парна, то до її графіка разом з кожною точ-
кою М з координатами (х; у) = (х; / (х)) входить також і точка МІ
з координатами (-х; у) = (-х; / (-х)) = (-х; / (х)). Точки М і роз-
міщені симетрично відносно осі Оу (рис. 24), тому й графік парної
функції розміщений симетрично відносно осі Оу. О

Наприклад, графік парної функції у = х2 (рис. 23) симетричний від-
носно осі Оу.

Функція / називається непарною, якщо для будь-якого х з її області
визначення / (—х) = —/ (х).

Наприклад, функція У = ~ (тобто функція /(х) = —— непарна,
оскільки

ї(-х) = — = -- = —/(х).

—X X

С Якщо функція / (х) непарна, то до її графіка разом з кожною точ-
кою М з координатами (х; у) = (х; / (х)) входить також і точка
з координатами (-х; у) = (-х; / (-х)) = (-х; -/ (х)). Точки М і М{ роз-
міщені симетрично відносно початку координат (рис. 25), тому й
графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку
координат. О

симетричний відносно початку координат, тобто відносно точки О.
Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Знайдіть область визначення функції:

1) у = х2 + х;	2) у = —^—;	3) у = 4х + 5.

X +х

Розв’язання	Коментар

1)	► Обмежень для знаходження
значень виразу х2 + х немає,
отже, Б (у) = К. <1

2)	► Область визначення функції
у =	— задана обмеженням

X +х

х2 + х Ф 0, оскільки знаменник
дробу не може дорівнювати нулю.
З’ясуємо, коли х2 + х = 0. Маємо
х (х + 1) = 0, х = 0 або х = -1.

Тоді область визначення мож-
на задати обмеженнями х Ф 0,
х Ф — 1 або записати так:

Б (у) = (—оо; -1) и (-1; о ) О (0; -Но). <]

3)	► Область визначення функції
у = л/х + 5 задана обмеженням
х + 5 > 0, тобто х —5, оскільки
під знаком квадратного кореня по-
винен стояти невід’ємний вираз.
Отже, Б (у) = [-5; +°°).<|

Оскільки всі функції задано
формулами, то їх області визначен-
ня — це множина всіх значень змін-
ної х, при яких має зміст формула,
тобто вираз, який стоїть у правій
частині формули у = / (х).

У курсі алгебри зустрічалися
тільки два обмеження, які необхід-
но враховувати при знаходженні об-
ласті визначення:

1)	якщо вираз записано у вигляді

дробу то знаменник В 0;

2)	якщо запис виразу містить
квадратний корінь 4а, то під-
кореневий вираз А > 0.

У всіх інших випадках, які вам
доводилося розглядати, областю ви-
значення виразу були всі дійсні чис-
ла1.

Приклад 2" Знайдіть область значень функції у = х2 — 3.

Розв’язання

Коментар

► Складаємо рівняння х2 — 3 = а.
Воно рівносильне рівнянню х2 = а + З,
яке має розв’язки, якщо а + 3 > 0,
тобто при а > —3. Усі ці числа і скла-
дуть область значень функції.

Отже, область значень заданої
функції

Е (/) = [-3; +°о) (тобто у > -3). <1

Позначимо значення заданої
функції / (х) (тобто х2 — 3) через а
і з’ясуємо, для яких а можна зна-
йти відповідне значення х (при цьо-
му значенні х значення / (х) = а).

Тоді всі числа а, для яких існує
хоча б один корінь рівняння / (х) = а,
увійдуть до області значень функції
/ (х). Множина всіх таких а і складе
область значень функції.

1 Надалі в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу з’являться нові вирази
з обмеженнями: а, сі§ а, агсєіп а, агссоє а, у[а, а", де а — неціле число.
Корисно пам’ятати, що

 область значень функції у = ї (х) збігається з множиною тих
значень а, при яких рівняння і (х) = а має розв’язки.

Приклад 3я Доведіть, що при к Ф 0 областю значень лінійної функції
у = кх + Ь є множина всіх дійсних чисел.

Розв’язання

► Якщо кх + Ь = а (де к ф 0), то

,	.	а-Ь 

розв язок цього рівняння х =-- 1С-

к

нує для будь-якого а є В, (к Ф 0 за
умовою). <1

Таким чином, значенням зада-
ної функції може бути будь-яке дій-
сне число, отже, її область значень
Е (/) = Р.

Коментар

Позначимо значення заданої
функції / (х) (тобто кх + Ь) через а
і з’ясуємо, для яких а можна зна-
йти відповідне значення х, таке, що
/ (х) = а.

Множина всіх таких значень
а і буде складати область значень
функції / (х).

Приклад 4“ Доведіть, що лінійна функція у = кх + Ь при к > 0 є зрос-
таючою, а при к < 0 — спадною.

Розв’язання

Коментар

► Нехай	(тоді	> 0).

Розглянемо різницю / (х2) — / (хх) =
= кх2 + Ь - (7?хх + Ь) = к (х2 - хх).

Оскільки х2 - хх > 0, то при
к > 0 маємо / (х2) — / (хх) > 0, отже,
/ (х2) > / (хх) — функція зростає.

При к < 0 маємо / (х2) —
- / (хх) < 0, отже, / (х2) < / (хх) —
функція спадає. <1

Для обґрунтування зростан-
ня або спадання функції корисно
пам’ятати, що для доведення нерів-
ності / (х2) > / (хх) чи / (х2) < / (хх)
достатньо знайти знак різниці
/ (х2) - / (хх).

Задана функція / (х) = кх + Ь
буде зростаючою, якщо з нерівно-
сті х2 > хх випливатиме нерівність
/ (х2) > / (хх), а для доведення остан-
ньої нерівності достатньо знайти знак
різниці / (х2) — / (хх). Аналогічно об-
ґрунтовують і спадання функції.

Приклад 5' Доведіть, що:

1)	сума двох зростаючих на множині Р функцій завжди є зростаю-
чою функцією на цій множині;

2)	сума двох спадних на множині Р функцій завжди є спадною
функцією на цій множині.
Розв’язання

1)	► Нехай функції / (х) і 8 (х)
є зростаючими на одній і тій са-
мій множині Р. Якщо х2 > хх, то
/ (х2) > / (хх) і Я (х2) > 8 (хх).
Додаючи почленно останні не-
рівності, одержуємо

/ (х2) + 8 (х2) > 7 (хх) + 8 (хх).
Це і означає, що сума функцій
/ (х) і 8 (х) є зростаючою функ-
цією на множині Р. <1

2)	► Нехай функції / (х) і 8 (х)
є спадними на множині Р.
Тоді з нерівності х2 > х1 маємо
І (х2) < І (хх) і Я (х2) < 8 (хх).

Після почленного додавання
останніх нерівностей одержуємо:
/ (х2) + 8 (х2) < / (хх) + 8 (хх),
а це й означає, що сума функцій
/ (х) і 8 (х) є спадною функцією
на множині Р. <1

Коментар

Для доведення зростання суми
двох зростаючих функцій / (х) і 8 (х)
достатньо довести, що на множині Р
з нерівності х2 > хх випливає нерів-
ність

/ (х2) + 8 (х2) > і (хх) + 8 (хх).

Аналогічно для доведення того,
що сума двох спадних функцій
є спадною функцією, достатньо до-
вести:

ЯКЩО Х2 > Хх, то

/ (х2) + 8 (х2) < / (хх) + 8 (хх).

Приклад 6

Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває
кожного свого значення тільки в одній точці її області ви-
значення.

Розв’язання

► Нехай функція / (х) є зростаю-
чою і

7 (хх) = / (х2).	(1)

Припустимо, що

Хх Ф х2.

Якщо хх Ф х2, то або хх > х2,
або хх < х2. Ураховуючи зростан-
ня / (х), у випадку хх > х2 маємо
/ (хх) > / (х2), що суперечить рів-
ності (1). У випадку хх < х2 маємо
/ (хх) < / (х2), що також суперечить
рівності (1).

Отже, наше припущення непра-
вильне, і рівність / (хх) = / (х2) мож-
лива тільки при Хх = Х2.

Коментар

Доведемо це твердження мето-
дом від супротивного. Для цього до-
статньо припустити, що виконується
протилежне твердження (функція
може набувати одного й того само-
го значення принаймні у двох точ-
ках), і одержати суперечність. Це
означатиме, що наше припущення
неправильне, а правильним є задане
твердження.
Тобто зростаюча функція набу-
ває кожного свого значення тільки
в одній точці її області визначення.

Аналогічно доводиться твер-
дження і для спадної функції. <1

Приклад 7 Дослідіть, які із заданих функцій є парними, які непарни-
ми, а які — ні парними, ні непарними:

1) у = ——;	2) у = Xі-,	3) у = ха + х.

х + 1

Розв’язання	Коментар

1)	► Область визначення функції

у = ——: х Ф — 1, тобто вона не си-
У х + 1

метрична відносно точки О (точ-
ка х = 1 входить до області
визначення, а х = — 1 — ні).

---о--•---• >
-1----0 1	X

Отже, задана функція не може
бути ні парною, ні непарною. <1

2)	► Область визначення функції
у = Xі: Р (у) = К, тобто вона си-
метрична відносно точки О.

/ (-%) = (-х)4 = Xі = / (х), а отже,
функція парна. <1

3)	► Область визначення функції
у = Xа + х: Р (у) = К, отже, вона
симетрична відносно точки О. <1
/ (-х) = (-х)3 + (~х) = -Xа - X =

= -(х3 + %) = -/ (х),
отже, функція непарна.

Запитання для контролю

Для дослідження функції
у = / (х) на парність чи непарність
достатньо, по-перше, упевнитися,
що область визначення цієї функції
симетрична відносно точки О (разом
з кожною точкою х містить і точку
—х), і, по-друге, порівняти значення
/ (-х) і / (х).

1.	Що називається числовою функцією? Наведіть приклади таких
функцій.

2.	На прикладах поясніть, що таке область визначення функції, об-
ласть значень функції, найбільше та найменше значення функції на
множині М. Які обмеження необхідно врахувати, щоб знайти об-
ласть визначення функції у = ^~? Знайдіть її область визначення.

X
3.	Що називається графіком функції у = / (х)? Наведіть приклади.

4.	Яка функція називається зростаючою? Наведіть приклади.

5.	Яка функція називається спадною? Наведіть приклади.

6.	Яка функція називається парною? Наведіть приклади. Як розміще-
но графік парної функції на координатній площині? Наведіть при-
клади.

7.	Яка функція називається непарною? Наведіть приклади. Як розмі-
щено графік непарної функції на координатній площині? Наведіть
приклади.

Вправи

1°. Знайдіть значення функції в указаних точках:

1) /(х) = х + — у точках 2; -1; 3; а (а Ф 0);

X

2) £ (х) = Xі - 3 в точках 0; 1; -2; Ь;

3) ф (х) = 7х + 1 у точках 0; 3; —1; т (т > 0).

2. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:

Ґ) у = 2х + 3;	2°) у = 4^3;	3°) у = ^~;	4) у = ^~;

х + 1	X +1

5) у = -^х2 3-1;	6) ї/ = л/х2 + 1;	7) у = ^х-1 + ^5-х; 8) у=^х+-;

_____	X

9‘)	1(Г> У = ^^’ 1Г) У = ГГГ’	12*> !/=>/х2 + х+1.

V х-<5	х + 1	| х|-2

3. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:

1) / (х) = 5;	2) / (х) = х;	3) / (х) = х2;	4) /(х) = >/х;

5і) у = -Зх + 1; 6‘) у = х2 - 5; 7') у = | х | + 3.

4°. Для функцій, які задано своїми графіками на рисунку 26, укажіть
область визначення, область значень, найбільше та найменше зна-
чення на всій області визначення, проміжки зростання і спадання та
значення кожної функції при х = 1.

5. Обґрунтуйте, що задана функція є зростаючою (на її області визна-
чення):

1) у = Зх; 2) у = х + 5; З4) у = х8;	4*) у = х5 * 7;	5*) у = 4х.

6*. Доведіть, що на заданому проміжку функція зростає:

1) У=~—, де х > 0;	2) у = ——, де х < 0.

X	X

7. Обґрунтуйте, що задана функція є спадною (на її області визначення):

1) у = -Зх; 2) у = -х - 1; З4) у = -х8;	4*) у = -х5.

8*. Доведіть, що на заданому проміжку функція спадає:

1) у = —, де х < 0;	2) у = ~, де х > 0.
9'. Доведіть, що функція у = х2 на проміжку [0; +°°) зростає, а на про-
міжку (— о°; 0] спадає.

10*. Користуючись твердженнями, доведеними в прикладі 5 (с. 35), ука-
жіть, які із заданих функцій є зростаючими, а які — спадними:
1) у = Xй + х; 2) у = -х - х5; 3) у = х + 4х;	4) у = ~х'л - х5.

11*. Користуючись твердженнями, доведеними в прикладі 6 (с. 36):

1)	обґрунтуйте, що рівняння х8 + х = 10 має єдиний корінь х = 2;

2)	підберіть корінь рівняння -\/х+х = 6 і доведіть, що інших коре-
нів це рівняння не має.

12.	Обґрунтуйте, що задана функція є парною:

1)	у = Xе; 2) у = ^ + 1;	3) у = -^х2 +1;	4) і/ = ^/| х | + х4.

X

13.	Обґрунтуйте, що задана функція є непарною:

1)	у = х5;	2) у = —3) у = х | х |;	4) у = х8 - х.

X
2.2. ВЛАСТИВОСТІ І ГРАФІКИ ОСНОВНИХ ВИДІВ ФУНКЦІЙ

Таблиця 4

Умови для ко- ефіцієн- тів	Графік					Властивості			
						в (У)	Е(у)	парність і непар- ність	зростання і спадання
1	2					3	4	5	6
1. Лінійна функція у = кх + Ь									
к> 0 Ь * 0	У/  "•й/ х / Ж/ // /  V				*Ь	в	В	НІ парна, ні непарна	зростає
	/ 0				X				
к < 0  Ь * 0	уі  Ь*	\^  \ *  \ X							спадає
	0								
Ь = 0 у = кх	У>		о к /  А					непарна	при к > 0 зростає
									при к < 0 спадає
			“з?  Л  3 \						
о  н н  Лі а	У/  Ьі			л II			ь	парна	постійна
									
	0			X					
Продовження табл. 4

1	2				3	4	5	6
к  2. Обернена пропорційність, функція у = — (7?^0) X								
к> 0	У'  к		7	/ II /	НІ»  !	х Ф 0	У * о	непарна	спадає на кож- ному з про  міжків (— оо; 0)  і (0; +оо)
			І	X					
к < 0	У>  к /  У=х 1		1					зростає на кожному з про- міжків (—оо; 0) і (0; +оо)
	0  к		—т					
3. Функція у = ах2 (а ф 0)								
а > 0		= 0x2			П	[0; +°°)	парна	спадає на проміжку (—оо; 0], зростає на проміжку [0; Ч-оо)
		0	х						
а < 0	Уі	\  0	>				(-оо; 0]		зростає на проміжку (—оо; 0], спадає на проміжку [0; Ч-оо)
		X \у= ах2						
Продовження табл. 4

1	2			3	4	5	6
4. Квадратична функція у = ах2 + Ьх + с (а^О, х0							
а > 0	"і  Уо	а	у-	її	[Уоі +°°)	у загаль- ному ви- падку — ні парна, ні непар-  на при Ь = 0 функція у = ах2 + с парна	спадає на про- міжку	х0],  зростає на про- міжку [х(); +°°)
а < 0	У/  Уо  7		V со \ х		(-°°; у0]		зростає на про- міжку	х0],  спадає на про- міжку [х(); +°°)

Пояснення й обґрунтування

1. Лінійна функція у = кх + Ь. Лінійною функцією називається функ-
ція виду у = кх + Ь, де к і Ь — деякі числа.

Обґрунтуємо основні характеристики цієї функції: область визна-
чення, область значень, парність чи непарність, зростання і спадання.

Область визначення — множина всіх дійсних чисел: В (у) = її,
оскільки формула кх + Ь має зміст при всіх дійсних значеннях х (тобто
для будь-якого дійсного х ми можемо обчислити значення кх + Ь).

Область значень лінійної функції буде різною залежно від значення
коефіцієнта к.

Якщо к = 0, то функція має вигляд у = Ь, тобто її область значень
складається з одного числа Ь. У такому випадку графіком лінійної функ-
ції у = Ь є пряма, паралельна осі Ох, яка перетинає вісь Оу у точці Ь
(рис. 27).

Якщо к 0, то _Е (у) = її (обґрунтування наведено в розв’язанні при-
кладу 3 до пункту 2.1).

Парність і непарність лінійної функції суттєво залежить від зна-
чень коефіцієнтів Ь і к.

При Ь = 0 і к Ф 0 функція у = кх + Ь перетворюється на функцію
у = кх, яка непарна, оскільки для всіх х з її області визначення

/ (-%) = к (-%) = -кх = -/ (х).
Отже, графік функції у = кх (рис. 28) симетричний відносно точки О.

При к = 0 одержуємо функцію у = Ь, яка є парною, оскільки для всіх
х з її області визначення / (— х) = Ь = / (х). Тобто графік функції у = Ь
симетричний відносно осі Оу (рис. 27).

УА

г>|; У = ь

0	х

Рис. 28

Рис. 27

У загальному випадку при к Ф 0 і Ь Ф 0 функція у = кх + Ь не буде ні
парною, ні непарною, оскільки / (— х) = к (— х) + Ь = —кх + Ь^і (х) і також
/ (-х) = -кх + Ь = -(кх - Ь) ф -/ (х).

Зростання і спадання лінійної функції залежить від значення кое-
фіцієнта к.

При к = 0 одержуємо функцію у = Ь — постійну.

При к > 0 функція у = кх + Ь зростає, а при к < 0 — спадає (обґрун-
тування наведено в розв’язанні прикладу 4 до пункту 2.1).

У курсі геометрії було обґрунтовано, що графіком лінійної функції
у = кх + Ь завжди є пряма лінія.

Оскільки при х = 0 функція набуває значення у = Ь, то ця пряма зав-
жди перетинає вісь Оу у точці Ь. Графіки лінійних функцій наведено
в таблиці 4.

• к	•

2.	Функція у = — (к О). Ця функція виражає обернено пропорційну
X

залежність.

Область визначення: х а 0. Це можна записати також так:

В (у) = (—°°; 0) 0 (0; +°°).

Область значень: у ф 0. Це можна записати також так:

В (у) = (—°°; 0) 0 (0; +°°).

Для обґрунтування області значень функції у = — позначимо — = а.
X	X

Тоді із цієї рівності одержимо х = — для всіх а Ф 0. Тобто для всіх а Ф 0
а

•	к	к к	г-	•	•

існує значення х = —, при якому у = — = — = а. Отже, у набуває всіх діи-
а	х к

а

сних значень, які не рівні нулю.
Функція непарна, оскільки її областю визначення є множина, симе-
трична відносно точки О, і /(—х) = —= —— = —/(х). Отже, її графік симе-
—X X

тричний відносно початку координат (рис. 29 і ЗО).

Рис. ЗО

Зростання і спадання функції залежить від знака коефіцієнта 7г.

•	Якщо х2 > хі (тобто х2 — х, > 0), то для порівняння значень / (х2)
і / (Л’і) розглянемо їхню різницю:

ч к к кхл-кх2 -к(х2-х1)	.....

/(х2)-/(хх) = -— — =	(1)

На проміжку (0; +°°) значення хх > 0 і х2 > 0, отже, ххх2 > 0. На про-
міжку (—о°; 0) значення хх < 0 і х2 < 0, отже, ххх2 > 0.

Ураховуючи, що	> 0, у кожному з проміжків (—оо; 0) або

(0; +°°) при 7г > 0 з рівності (1) отримуємо / (х2) — / (хх) < 0, а при
7г < 0 одержуємо / (х2) - / (хх) > 0.

При 7г > 0 на кожному з проміжків (—	0) та (0; +°°) якщо х2 > хх, то

/ (х2) < / (хх), отже, функція спадає на кожному із цих проміжків.

При 7г <. 0 на кожному з проміжків (—	0) та (0; +°°) якщо х2 > хх, то

/ (х2) > / (хх), отже, функція зростає на кожному з цих проміжків. О

З курсу алгебри відомо, що графік функції у = — (7г Ф 0) називається
X

гіперболою (вона складається з двох віток). При 7г > 0 вітки гіперболи
знаходяться в І і III координатних чвертях, а при 7г < 0 — у II і IV чвер-
тях (рис. 29 і 30).

Зауваження. Характеризуючи зростання чи спадання функції у = —

X

(7г Ф 0), слід пам’ятати, що, наприклад, функція у = — (рис. 31) спадає на

X

кожному з проміжків (— оо; 0) та (0; +°°), але на всій області визначення
(х Ф 0) ця функція не є спадною (і не є зростаючою). Дійсно, якщо взяти
хх = -1 і х2 = 1, то х2 > хл, але / (х2) = / (1) = 1 і / (хх) = / (-1) = -1, тобто
більшому значенню аргументу не відповідає менше значення функції

і на всій її області визначення функція /(х) = — не є спадною.

X

Із цієї ж причини не можна сказати, що функція /(х) = — спадає при

х є 0) 0 (0; +°°).

3.	Функція у = ах2 (а Ф 0). Як відомо з курсу алгебри, графіком цієї
функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору при а > 0 (рис. 32)
і вниз при а < 0 (рис. 33). Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік

Область визначення: х' є її, оскільки значення у = ах2 можна об-
числити при будь-яких значеннях х.

Функція парна, оскільки / (-х) = а (~х)2 = ах2 = / (х). Отже, її графік
симетричний відносно осі Оу.

Інші властивості сформулюємо, скориставшись графіком функції
у = ах2 (рис. 32 і 33). їх можна обґрунтувати аналітично (проведіть таке
обґрунтування самостійно) або спираючись на властивості функції у = х2
і на геометричні перетворення її графіка, які буде розглянуто в пунк-
ті 2.3.

Область значень. При а > 0 графік проходить через початок коор-
динат, а всі його інші точки розташовані вище осі Ох. Якщо значення
х збільшується до нескінченності, то і значення у теж збільшується до
нескінченності (+°°), отже, (/ > 0, тобто Е (у) = [0; +°°).

Аналогічно при а < 0 графік також проходить через початок коорди-
нат, але всі інші його точки знаходяться нижче осі Ох. Якщо значення
х збільшується до нескінченності, то значення у зменшується до мінус
нескінченності (—°°), отже, у < 0, тобто Е (у) = (—°°; 0].

Зростання і спадання. При а > 0 на проміжку (—	0] функція спа-

дає, а на проміжку [0; +°°) — зростає.

При а <. 0 на проміжку (—	0] функція зростає, а на проміжку

[0; +°°) — спадає.
4.	Квадратична функція у = ах2 + Ьх + с (а Ф 0). З курсу алгебри 9 кла-
су відомо, що функція виду у = ах2 + Ьх + с, де а, Ь, с — дійсні числа,
причому а Ф 0, називається квадратичною. її графіком є парабола, вітки
якої напрямлені вгору при а > 0 і вниз при а < 0.

Абсциса вершини цієї параболи х0 =—Для обґрунтування цього
2а

достатньо в заданій формулі виділити повний квадрат:

у = ах2+Ьх + с = а(х2 + — х + — ) = а(х + —) +4ас~& тобто

\ а а/ \ 2аІ 4а

2 , . ,	( , Ь \	4ас — Ь2 1>

и = ах +Ьх + с = а\х-\-+п„, де и=------=----

V	\	2а]	0 4о 4о

(В = Ь2 — 4ас — дискримінант квадратного тричлена ах2 + Ьх + с).

Нагадаємо, що залежно від знака дискримінанта В парабола або пе-
ретинає вісь Ох (О > 0), або не перетинає (В < 0), або дотикається до неї
(В = 0). Основні варіанти розміщення графіка функції у = ах2 + Ьх + с
(а Ф 0) зображено в таблиці 5.

Охарактеризуємо властивості функції у = ах2 + Ьх + с (а 0), спи-
раючись на ці відомі нам графіки (самостійно обгрунтуйте відповідні
властивості аналітично).

Область визначення'. О (у) = В, оскільки значення у = ах2 + Ьх + с
(а Ф 0) можна обчислити при будь-яких значеннях х.

Область значень. При а > 0 функція набуває всіх значень у у0,
тобто Е (у) = [у0; +оо).

При а < 0 функція набуває всіх значень у < у0, тобто Е (у) =	£/0]-
Парність і непарність. При Ь = О одержуємо парну квадратичну
функцію у = <р (х) = ах2 + с. Дійсно, <р (-%) = а (~х)2 + с = ах2 + с = <р (х).

У загальному випадку (якщо Ь Ф 0) функція у = / (х) = ах2 + Ьх + с
(а / 0) не е ні парною, ні непарною, оскільки / (— х) = а (—х)2 +
+ Ь (~х) + с = ах2 - Ьх + с Ф / (х) (і не дорівнює -/ (х)).

Зростання і спадання. При а > 0 на проміжку (—	х(|] функція спа-

дає, а на проміжку [х(|; +°°) — зростає.

При а < 0 на проміжку (—	х(|] функція зростає, а на проміжку

[х(|; +°о) — спадає.

Оскільки при х = 0 значення у = с, то графік завжди перетинає вісь
Оу у точці с.

Відповідні графіки при В > 0 наведено також у таблиці 4.

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Побудуйте графік функції:

1) у = 2х + 1;	2) у = -Зх - 1;

3) У = 4.

Розв’язання

Коментар

Усі задані функції лінійні, отже,
їх графіками є прямі.

Щоб побудувати прямі в за-
вданнях 1 і 2, достатньо побудувати
дві точки цих прямих. Наприклад,
можна взяти х = 0 і х = 1 і знайти
відповідні значення у. Оформляти
ці обчислення зручно у вигляді таб-
лички:

х 0	1

У

3) ► Графік функції у = 4 — пря-
ма, паралельна осі Ох, яка про-
ходить через точку 4 на осі Оу.
<

X	0	1
У	4	4

У завданні 3 розглядається
окремий випадок лінійної функції
(у = Ь). Для побудови цього графі-
ка корисно пам’ятати, що пряма
у = 4 — це пряма, паралельна осі
Ох (при будь-якому значенні х зна-
чення у дорівнює 4).

И

4

0

х
Приклад 2'

За наведеним графіком функції
у = кх + Ь укажіть знаки к і Ь.

Розв’язання

► При х = 0 значення у = Ь > 0 —
за рисунком. Оскільки зображено
графік спадної лінійної функції, то
к < 0. <

Відповідь: Ь > 0, к < 0.

Коментар

Графік функції у = кх + Ь — пря-
ма, яка перетинає вісь Оу у точці Ь.
На рисунку ця точка лежить вище
нуля, отже, Ь > 0.

Лінійна функція у = кх + Ь при
к > 0 зростаюча, а при к < 0 — спад-
на. На рисунку зображено графік
спадної функції, отже, к <. 0.

Приклад 3 Побудуйте графік1 функції у = х2 — 4х + 3.

Розв’язання

► Графік заданої функції — па-
рабола (виду у = х2), вітки якої на-
прямлені вгору.

Абсциса вершини:

Ь -4 О

х0 =---=----= 2.

0 2а 2-1

Тоді у0 = у (2) = 22 - 4 • 2 + 3 = -1
і графік має такий вигляд:

Коментар

Функція у = х2 — 4х + 3 — ква-
дратична (має вигляд у = ах2 +
+ Ьх + с, де а Ф 0). Отже, її графіком
буде парабола (виду у = ах2), вітки
якої напрямлені вгору (а = 1 > 0).

Абсциса вершини параболи об-
,	ь

числюється за формулою х0=——,
а ордината у0 — це відповідне зна-
чення заданої функції при х = х0,
тобто у0 = у (х0).

Якщо потрібно уточнити, як
проходить графік, то можна знайти
координати кількох додаткових то-
чок, наприклад, при х = 0 одержує-
мо у = с = 3.

1 Побудову таких графіків за допомогою геометричних перетворень графіка

функції у = х2 розглядатимемо в пункті 2.3.
 Запитання для контролю

1.	Яка функція називається лінійною? Назвіть властивості лінійної
функції. Яка лінія є графіком лінійної функції? Наведіть приклади
лінійних функцій та їх графіків.

2.	Яка лінія є графіком функції у = — (7г	0)? Наведіть приклади гра-

X

фіків функцій у = — при 7г > 0 і при /г < 0. За графіками вкажіть
X

властивості цієї функції при 7г > 0 і при 7г <. 0. Доведіть непарність

функції у = — (7г Ф 0).

X

3.	Яка лінія є графіком функції у = ах2 (а Ф 0)? Як розміщено цей
графік при а > 0 і при а < 0? Наведіть приклади графіків функцій
у = ах2 при а > 0 і при а < 0. За графіками вкажіть властивості цієї
функції при а > 0 і при а <. 0.

Доведіть парність функції у = ах2 (а Ф 0).

4.	Яка лінія є графіком функції у = ах2 + Ьх + с (а Ф 0)? Як розміщено
цей графік при а > 0 і при а < 0? Як знайти абсцису вершини графі-
ка функції у = ах2 + Ьх + с (а Ф 0)? Наведіть приклади графіків цієї
функції при а > 0 і при а <. 0. За графіками вкажіть властивості цієї
функції при а > 0 і при а <. 0.

 Вправи

1°. Побудуйте графік функції:

1)	у = Зх - 2; 2) у = -х + 4; 3) у = -2; 4) у = -5%; 5) у = 0; 6) у = 4х.

Чи є серед цих функцій парні або непарні? Відповідь обґрунтуйте.

2*. За наведеними графіками функцій у = кх + Ь (рис. 34) укажіть зна-
ки 7г і Ь у кожному випадку.

Рис. 34
Побудуйте графік функції (3—5).

3°.

4°.

5.

6*.

2	З

1) У =—;	2) у = ~;

X	X

1) у = -2х2;	2) у = Зх2;

1) у = х2 - 6% + 7;

3) у = 2Х2 - 2х + 1;

3)	=	4) у=$.

X	X

3)	у = -Зх2;	4) у = 5х2.

2) у = -х2 + 4х + 2;

4)	у = -Зх2 + 6х.

За наведеними графіками функції у = ах2 + Ьх + с (а 0) (рис. 35)

укажіть знаки а, Ь і с у кожному випадку.

Рис. 35

7*. На рисунку зображено графіки функцій
ї/ = \/х + 3 і у = х — 3 (рис. 36). Укажіть
проміжок, на якому виконується нерів-
ність \/х + 3 < х — 3.

2.3. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних
перетворень відомих графіків функцій

Таблиця 6

Перетворення графіка функції у = / (х)				
№	Формула залежності	Приклад		Перетворення
1	2	3		4
1	У = -і (Л-)	У'	«V /  V  » І  У  х  V  V*	Симетрія відносно осі  Ох
Продовження табл. 6

1	2	3							4
2	У = І (-Л-)	У1				\ \\  у*\  /			Симетрія відносно осі Оу
		0				X			
3	у = / (х - а)	* Уф  \ ЇЧ х/\					X		Паралельне	перене-  сення графіка функції у = / (х) уздовж осі Ох на а одиниць
		-3					0 ' 2	X	
4	у = /(х) + с	-і				11  /г У • 0 / х			Паралельне	перене-  сення графіка функції у = / (х) уздовж осі Оу на с одиниць
5	у = 7г/ (х) (7г > 0)			У‘  і		сч і		І  1?	Розтяг або стиск гра- фіка функції у = / (х) уздовж осі Оу (при 7г > 1 розтяг, при 0 < 7г < 1 — стиск)
				1		0 1	х			
6	У = / (сіл-) (а > 0)	У‘  2	\  			7“					£	Розтяг або стиск гра- фіка функції у = / (х) уздовж осі Ох (при а > 1 — стиск, при 0 < а < 1 — розтяг)
							у=У*  »=1І		
			0	2				4 х		
Продовження табл. 6

1	2		3	4
7	у = 1 / (л-) 1	У»  \  0  У = 2х - 1/ в	1 К сч  II	фк	Вище осі Ох (і на са- мій осі) графік функції у = / (х) — без зміни, нижче осі Ох — симе- трія відносно осі Ох
8	У = / (1 х 1)	II  N  1 1  о	«	т-Н  1  X сч  II	Праворуч від осі Оу (і на самій осі) графік функції у = / (х) — без зміни, і та сама части- на графіка — симетрія відносно осі Оу

 Приклади й обґрунтування

Розглянемо способи побудови графіків функцій за допомогою гео-
метричних перетворень відомих графіків функцій.

1. Побудова графіка функції у = — / (х). Порівняємо графіки функцій
у = х2 та у = —х2 (див. перший рядок табл. 6). Очевидно, що графік функ-
ції у = —х2 можна одержати з графіка функції у = х2 симетричним відо-
браженням його відносно осі Ох. Покажемо, що завжди графік функції
у = — / (х) можна одержати з графіка функції у = / (х) симетричним відо-
браженням відносно осі Ох.

• Дійсно, за означенням графік функції у = / (х) складається з усіх то-
чок М координатної площини, які мають координати (х; у) = (х; і (х)).
Тоді графік функції у = —/ (х) складається з усіх точок К координат-
ної площини, які мають координати (х; у) = (х; — / (х)).

Точки М (х; / (х)) і К (х; — / (х)) розміщено на координатній площині
симетрично відносно осі Ох (рис. 37). Отже, кожна точка К графіка
функції у = — / (х) одержується симетричним відображенням віднос-
но осі Ох деякої точки М графіка функції у = / (х). Тому

 графік функції у =	(х) можна одержати з графіка функції

у = І (х) його симетричним відображенням відносно осі Ох. О
Ця властивість дозволяє легко обґрунтувати побудову графіка функ-
ції у = | / (х) |. Маємо:

.	. Г/(х) при/(х)>0 (графік не змінюється);

у = /(х)

[—/(х) при /(х) < 0 (симетрія відносно осі Ох).
Отже,

І графік функції у = | / (х) | може бути побудований так: час-
тина графіка функції у = / (х), яка лежить вище осі Ох (і на
самій осі), залишається без зміни, а та частина, яка лежить
нижче осі Ох, відображується симетрично відносно цієї осі.

Наприклад, на рисунку 38 і в таблиці 6 (рядок сьомий) з викорис-
танням цього правила зображено графік функції у = | 2х — 1 |.

2.

Побудова графіка функції у = т (—х).

Для побудови графіка функції у = / (—х) урахуємо, що в означенні
графіка функції перша координата для точок графіка вибираєть-
ся довільно з області визначення функції. Якщо вибрати як першу

координату (—х), то графік функції
у = / (— х) складатиметься з усіх то-
чок Т координатної площини з ко-
ординатами (-х; у) = (-х; / (х)),
а графік функції у = / (х) — з усіх
точок М (х; / (х)).

Точки М (х; / (х)) і Т (-х; / (х)) роз-
міщено на координатній площині си-
метрично відносно осі Оу (рис. 39).
Отже, кожна точка Т графіка функ-
ції у = / (—х) одержується симетрич-
ним відображенням відносно осі Оу
деякої точки М графіка функції
У = 7 (*)• Тому

графік функції у = 7 (-х) можна одержати з графіка функції
у = 7 (х) його симетричним відображенням відносно осі Оу. О
Ця властивість дозволяє легко обґрунтувати побудову графіка функ-
ції у = / (| х |). Маємо:

/і і\ Г/(х) прих>О(графік не змінюється);

г/ = /(| лг |) = -^

[/(—х) при х < 0 (симетрія відносно осі Оу).

Інакше кажучи, для того щоб отримати графік у = / (| х |) при х < 0
(тобто ліворуч від осі Оу), потрібно відобразити симетрично відносно
осі Оу ту частину графіка функції у = / (х), яка лежить праворуч від
осі Оу. Таким чином, частину графіка функції у = / (х), яка розташована
ліворуч від осі Оу, узагалі не використовують у побудові графіка функції
у = / (| х |)). Отже,

І графік функції у = / (| х |) будують так: частину графіка
функції у = І (х), яка лежить праворуч від осі Оу (і на самій
осі), залишають без зміни і саме цю частину відображують
симетрично відносно осі Оу.

Наприклад, на рисунку 40 та в табл. 6
(рядок восьмий) з використанням цього пра-
вила зображено графік функції у = 2 | х | — 1.

3.	Побудова графіка функції у = / (х — а).

• Для того щоб побудувати графік функції
у = / (х — а), виберемо як першу коор-
динату точки N цього графіка значення
х + а. Тоді графік функції у = / (х - а)
складається з усіх точок N координат-
ної площини з координатами (х + а; у) =
= (х + а; / (х + а - а)) = (х + а; / (х)),
а графік функції у = / (х) — з усіх то-
чок М (х; / (х)).

Якщо точка М має координати (х; у), а точка N — координати (х + а; у),
то перетворення точок (х; І/) -> (х + а; у) — це паралельне перенесення
точки М уздовж осі Ох на а одиниць (тобто на вектор (а;0))-

Оскільки кожну точку N графіка функції у = / (х — а) одержують
паралельним перенесенням деякої точки М графіка функції у = / (х)
уздовж осі Ох на а одиниць (рис. 41), то

 графік функції у = / (х - а) можна одержати паралельним пе-
ренесенням графіка функції у = / (х) уздовж осі Ох на а оди-
ниць. О

Наприклад, у третьому рядку таблиці 6 зображено графік функції
у = (х — 2)2 (виконано паралельне перенесення графіка у = х2 на +2 оди-
ниці вздовж осі Ох) та графік функції у = (х + З)2 (виконано паралельне
перенесення графіка у = х2 на —3 одиниці вздовж осі Ох).
4.	Побудова графіка функції у = / (х) + Ь.

• Графік функції у = / (х) + Ь складається з усіх точок А координат-
ної площини з координатами (х; у) = (х; / (х) + Ь), а графік функції
у = / (х) — з усіх точок М (х; і (х)).

Але якщо точка М має координати (х; у), а точка А — координати
(х; у + Ь), то перетворення точок (х; у) (х; у + Ь) — це паралельне пере-
несення точки М уздовж осі Оу на Ь одиниць (тобто на вектор (0; і>))-
Оскільки кожна точка А графіка функції у = / (х) + Ь одержується
паралельним перенесенням деякої точки М графіка функції у = / (х)
уздовж осі Оу на Ь одиниць (рис. 42), то

графік функціїу = / (х) + Ь можна одержати паралельним пере-
несенням графіка функціїу = / (х) уздовж осі Оу на Ь одиниць. О

Наприклад, у четвертому рядку таблиці 6 зображено графік функції
у = х2 + 2 (виконано паралельне перенесення графіка функції у = х2 на
+2 одиниці вздовж осі Оу) та графік функції у = х2 — 1 (виконано пара-
лельне перенесення графіка функції у = х2 на —1 уздовж осі Оу).

5.	Побудова графіка функції у = к/ (х).

• Графік функції у = к{ (х) (к > 0) скла-
дається з усіх точок В (х; 7г/ (х)),
а графік функції у = / (х) — з усіх то-
чок М (х; / (х)) (рис. 43).

Назвемо перетворенням розтягу
вздовж осі Оу з коефіцієнтом к (де
к > 0) таке перетворення фігури Р,
при якому кожна її точка (х; у) пере-
ходить у точку (х; ку).

Перетворення розтягу вздовж осі Оу
задають формулами: х' = х; у' = ку. Ці
формули виражають координати (х'; у') точ-
ки М', у яку переходить точка М (х; у) при
перетворенні розтягу вздовж осі Оу (рис. 44).
При цьому відбувається розтягування від-
різка АМ у 1г разів, і в результаті точка М
переходить у точку М'. (Зауважимо, що іно-
ді вказане перетворення графіка функції
у = / (х) називають розтягом тільки при
1г > 1, а при 0 < 1г < 1 його називають стис-

ком уздовж осі Оу у — разів.)

к

Як бачимо, кожна точка В графіка функції
у = 7г/ (х) одержується з точки М перетво-

ренням розтягу вздовж осі Оу. При цьому загальна форма графіка не
змінюється: він розтягується або стискається вздовж осі Оу. Напри-
клад, якщо графіком функції у = / (х) була парабола, то після роз-
тягування або стискування графік залишається параболою. Тому

осі Оу. О

графік функції у = 7г/ (х) (к > 0) одержується з графіка функ-
ції у = / (х) його розтягуванням (при к > 1 розтяг у к разів)

або стискуванням (при 0 < к < 1 стиск у — разів) уздовж
к

6.	Побудова графіка функції у = / (ах).

• Для побудови графіка функції у = / (ах) (а > 0) виберемо як першу
координату точки С цього графіка значення —. Тоді графік функції
а

у = / (ах) складатиметься з усіх точок С з координатами
7/) = (^/(«^)) = (^;/(*))’ а графік функції у = / (х) — з усіх то-

чок М (х; / (х)) (рис. 45).

Назвемо перетворенням розтягу вздовж осі Ох з коефіцієнтом а (де
а > 0) таке перетворення фігури Р, при якому кожна її точка (х; у)
переходить у точку (ах; у).

Перетворення розтягу вздовж осі Ох задається формулами: х' = ах;
у' = у. Ці формули виражають координати (х'; у') точки М', у яку
переходить точка М (х; у) при перетворенні розтягу вздовж осі Ох
(рис. 46). При цьому перетворенні відбувається розтягування відріз-
ка ВМ в а разів, і в результаті точка М переходить у точку М'.
(Зауважимо, що іноді вказане перетворення називають розтягом
(у — разів) тільки при 0 < а < 1, а при а > 1 його називають стис-
ком уздовж осі Ох (у а разів). Як бачимо, кожна точка С графіка
функції у = / (ах) одержується з точки М графіка функції у = / (х)
перетворенням розтягу вздовж осі Ох (при цьому загальна форма
графіка не змінюється). Тому

І графік функції у = / (ах) (а > 0) одержується з графіка функ-

ції у = / (х) його розтягуванням (при 0 < а < 1 розтяг в — ра-
а

зів) або стискуванням (при а > 1 стиск в а разів) уздовж
осі Ох. О

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Побудуйте графік функції у= 1 .
х + З

Коментар

Ми можемо побудувати графік

функції у = /(х) = —. Тоді графік

X

функції у = —!— = /(х + 3) = /(х - (-3))
х + 3

можна одержати паралельним пере-
несенням графіка функції у = / (х)
уздовж осі Ох на —3 одиниці (тобто
вліво).
Приклад 2	Побудуйте графік функції у = — | 2х — 2 |.

Розв’язання

► Послідовно будуємо графіки:

Коментар

Складемо план послідовної по-
будови графіка заданої функції.

1.	Ми можемо побудувати графік
функції у = / (х) = 2х - 2 (пря-
ма).

2.	Потім можна побудувати гра-
фік функції у = ф (х) = | 2х - 2 | =
= І / (х) І (вище осі Ох графік
функції у=2х—2 залишається
без зміни, а частина графіка,
розташована нижче осі Ох, відо-
бражається симетрично відносно
осі Ох).

3.	Після цього можна побудувати
графік функції

у = - | 2х - 2 | = -ф (х)
(симетрія графіка функції
у = ф (х) відносно осі Ох).

Приклад З' Побудуйте графік функції у = -^4 —|х|.

Розв’язання

Коментар

► Запишемо рівняння заданої
функції так:

У=л/4“Іх І = л/-(Іх|-4) •

Послідовно будуємо графіки:

Складемо план послідовної по-
будови графіка заданої функції. Для
того щоб можна було скористатися
перетвореннями графіків, наведени-
ми в таблиці 4, підкореневий вираз
функції запишемо так:

у=7-(М-4)-

1.	Ми можемо побудувати графік

функції у = {(х) =

2.	Потім можна побудувати графік

функції у = §{х) = \[-х = /(—х)
(симетрія графіка функції / (х) від-
носно осі Оу).
3.	і/ = ^—(х —4)

3.	Після цього можна побудувати
графік функції

У = ф (х) = 7~(х-4) = § (х - 4)
(паралельне перенесення графі-
ка функції § (х) уздовж осі Ох
на 4 одиниці).

4.	Потім уже можна побудувати
графік заданої функції

У = л/“(ІхІ“4) = Ф(Іх І) = л/4 —ІХІ
(праворуч від осі Оу відповідна
частина графіка функції у = ф (х)
залишається без зміни, і та сама
частина відображується симе-
трично відносно осі Оу).

Запитання для контролю

1-	На прикладах поясніть, як можна з графіка функції у = / (х) одер-
жати графік функції:

1)	У = “7 (*);	2) у = / (-х);	3) у = і (х - а);

4)	у = / (х) + с;	5) у = кї (х), де 7г > 0; 6) у = / (ах), де а > 0;

7)у = \ї(х)\;	8)у = Ц\х\).

2*. Обґрунтуйте геометричні перетворення, за допомогою яких із графіка
функції у = / (х) можна одержати графіки вказаних вище функцій.

	Вправи  Побудуйте графіки функцій та відповідностей (1—7):		
1.	1) У = |х - 5|;	2)у = |х| - 5;	3) У = ||х| - 5|;	4і) |у| = х-5.
2.	1°) у = х2 - 9;	2) у = |х2 - 9|;	3) у = |х2| - 9;	4*) |у| = х2 - 9.
3.	Ґ) у = (х + І)2;  3) у = (х + І)2 -	2) у = (|х| + 1) 3;	2.  >  4) у = |(х + І)2 - 3|.
4.	П у=—;  х + 2	МтУ	з) у=г^~;	4) М=—•  |х| + 2	ІІЛ х + 2
5.	1 Ох	2  і) у=—;  X	2°) І/ = 3-2; X	2	...	2  3) у=	4) у=-г-1.  х-1	| % |
6.	1°) і/ = >/х-3;	2°) у=4х-8;	3) у = у]\х\-3;	4) і/ = |>/^-3|;

5і)	У = |л/Н-з|; 6і) \у\ = у[х—3; 7”) \у\ = 4х-3.

7.	1°) у = —/х;	2°) у = —Тх + 4;	3) =	х|;	4) у = -\Іх-1.

8.	Функція у = / (х) задана на проміжку [0; 12] і має графік, зображе-
ний на рисунку 47. Побудуйте графіки функцій (та відповідностей
9і і 10і):

1)у = -/(х);	2)у = /(-х);	3)у = |/(х)|;	4) у = / (| х |);

5і) у = 2/ (х);	6 ) у = / (2х);	7і) у = Л-Цх)-,	8*) у=Г (|х);

9.	Виконайте завдання вправи 8 для функції у = / (х), заданої на про-
міжку [—14; 0], графік якої зображено на рисунку 48.

2.4	. Обернена функція

Таблиця 7

1. Поняття оберненої функції

Якщо функція у = / (х) набуває кожного свого значення в єдиній точці її

області визначення, то можна задати функцію у = £ (х), яка називається

оберненою до функції у = / (х):

для кожного а є В (/),
якщо / (а) = Ь, то & (Ь) = а

Е(П=В(е);В(П = Е(е)

Функції / (х) і у (х) взаємно обернені
Продовження тпабл. 7

2) Якщо функція / (х) зростає (спа-
дає) на деякому проміжку, то вона
має обернену функцію на цьому
проміжку, яка зростає, якщо / (х)
зростає, і спадає, якщо / (х) спа-
дає

3. Практичний спосіб знаходження формули функції,
оберненої до функції у = / (х)

Алгоритм

1.	З’ясувати, чи буде функція
у = / (х) оборотною на всій облас-
ті визначення: для цього достат-
ньо з’ясувати, чи має рівняння
у = / (х) єдиний корінь відносно
змінної X.

Якщо ні, то виділити (якщо мож-
ливо) проміжок, де існує оберне-
на функція (наприклад, це може
бути проміжок, де функція
у = / (х) зростає або спадає).

2.	З рівності у = / (х) виразити х
через у.

3.	В одержаній формулі ввести
традиційні позначення — аргу-
мент позначити через х, а функ-
цію — через у.

Приклад

Знайдіть функцію, обернену до
функції у = 2х + 4.

► 3 рівності у = 2х + 4 можна од-
нозначно виразити х через у.

1 о

х = — и-2.

2

Ця формула задає обернену
функцію, але в ній аргумент позна-
чено через у, а функцію — через х.

Позначимо в одержаній форму-
лі аргумент через х, а функцію — че-
рез у.

Маємо функцію у=^х—2, обер-
нену до функції у = 2х + 4. <1
Пояснення й обґрунтування

1. Поняття оберненої функції. Відомо, що залежність шляху від часу
для тіла, яке рухається рівномірно з постійною швидкістю і>0, виража-
ється формулою 8 = і>01. З цієї формули можна знайти обернену залеж-

«	і8	•	8

ність — часу від пройденого шляху 1 = —. Функцію і(8) =— називають

І’о	І’о

оберненою до функції 8 (і) = о01. Зазначимо, що в розглянутому прикладі
кожному значенню # (і > 0) відповідає єдине значення 8 і, навпаки, кож-
ному значенню 8 (8 > 0) відповідає єдине значення І.

Розглянемо процедуру одержання оберненої функції в загальному
вигляді.

Нехай функція / (х) набуває кожного свого значення в єдиній точці
її області визначення (така функція називається оборотною). Тоді для
кожного числа у0 = Ь (з області значень функції / (х)) існує єдине зна-
чення х0 = а, таке, що / (а) = Ь. Розглянемо нову функцію § (х), яка
кожному числу Ь з області значень функції / (х) ставить у відповідність
число а, тобто у (Ь) = а для кожного Ь з області значень функції / (х).
У цьому випадку функція £ (х) називається оберненою до функції / (х),
а функція / (х) — оберненою до функції £ (х).

З означення оберненої функції випливає, що область значень прямої
функції Е (/) є областю визначення оберненої функції В (£), а область ви-
значення прямої функції В (/) є областю значень оберненої функції Е (§).

Отже,

Е (/') = В (§), В (/) Е (£).

2.

Властивості оберненої функції

 Властивість 1. Графіки прямої і оберненої функцій симетрич-
ні відносно прямої у = х.

Ураховуючи наведену вище процедуру побудови функції, оберненої

до функції у = / (х), маємо: якщо / (а) = Ь,

функції точка М з координатами (а; Ь)
належить графіку функції у = / (х).
Аналогічно, оскільки у (Ь) = а, то
точка з координатами (Ь; а) нале-
жить графіку функції у = § (х). Точки
М (а; Ь) і М1 (Ь; а) розміщені на коор-
динатній площині симетрично віднос-
но прямої у = х (рис. 49).

Дійсно, пряма у = х є віссю симетрії
системи координат. Отже, при симе-
трії відносно прямої у = х вісь Ох відо-
бражається на вісь Оу, а вісь Оу — на

то за означенням графіка
вісь Ох. Тоді (наприклад, при а > 0 і Ь > 0) прямокутник ОАМО
із сторонами ОА = а і ОО = Ь на осях координат відображається на
прямокутник ОАІМГО1 із сторонами на осях координат, у якого
ОАХ = ОА = а і ОО{ = ОО = Ь. Таким чином, при симетрії віднос-
но прямої у = х точка М (а; Ь) відображається в точку (Ь; а)
(а точка — у точку М). Отже, при симетрії відносно прямої у = х
будь-яка точка М (а; Ь), що належить графіку функції у = / (х), має
відповідну точку МІ (Ь; а), яка належить графіку функції у = § (х),
а будь-яка точка (Ь; а), що належить графіку функції у = § (х), має
відповідну точку М (а; Ь), яка належить графіку функції у = / (х).
Отримуємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні від-
носно прямої у = х. О

І Властивість 2. Якщо функція / (х) зростає (спадає) на деяко-
му проміжку, то вона має обернену функцію на цьому про-
міжку, яка зростає, якщо / (х) зростає, і спадає, якщо / (х)
спадає.

• Дійсно, якщо функція / (х) зростає (спадає) на деякому проміжку,
то за властивістю зростаючої (спадної) функції кожного свого зна-
чення вона набуває в єдиній точці з цього проміжку (див. приклад 6
до пункту 2.1), отже, вона має обернену функцію § (х) на цьому про-
міжку. Обґрунтувати, що функція § (х) зростає, якщо / (х) зростає,
можна методом від супротивного.

Нехай числа і а2 входять до області визначення функції / (х) і

(1)

Позначимо / (ах) = &х, І (а2) = Ь2. Якщо функція / (х) зростає, то
/ (а2) > / (а,), тобто Ь2 > Ь±. За означенням оберненої функції у (х)
числа Ьх і Ь2 входять до її області визначення і

Я (Ьг) = ах, Я (Ь2) = а2.	(2)

Якщо припустити, що функція § (х) не є зростаючою, то з нерівності
Ь2 > Ьх не може випливати нерівність § (Ь2) > § (Ьх) (інакше функція
§ (х) буде зростаючою), отже, може виконуватися тільки нерівність
§ (Ь2) < § (Ьх). Але тоді за формулами (2) одержуємо а2 < а , що су-
перечить умові (1). Отже, наше припущення неправильне, і функція
§ (х) зростає, якщо / (х) зростає.

Аналогічно обґрунтовується, що у випадку, коли функція / (х) спа-
дає, обернена до неї функція у (х) теж спадає. О

3. Практичний спосіб знаходження формули функції, оберненої до
функції у = / (х). З означення оберненої функції випливає, що для отри-
мання оберненої залежності необхідно знати, як значення х виражається
через значення у. Це можна зробити, розв’язавши рівняння у = / (х) від-
носно змінної х. Якщо задана функція оборотна, то рівняння матиме
єдиний розв’язок для всіх у з області значень функції / (х), і ми одержи-
мо формулу х = § (у), яка задає обернену функцію. Але в цій формулі ар-
гумент позначено через у, а функцію — через х. Якщо поміняти позна-
чення на традиційні, то одержимо запис функції, оберненої до функції
У = ї (*)•

Ці міркування разом із відповідним алгоритмом наведено в табли-
ці 7 і зреалізовано в наступних прикладах.

Приклади розв'язування завдань

Знайдіть функцію, обернену до функції у= 1 .
х-1

Приклад 1

Розв’язання

► Область визначення: х Ф 1. Тоді

1
з рівності у =-- маємо

х-1

-і	। -і	7 + 1

ху ~ у = і, ху = у + і, х = -—.

У

Позначаємо аргумент через х,
а функцію — через у і одержуємо
функцію у= х + 1, обернену до Зада-

ЛІ

ної. <1

Коментар

На всій області визначення
(х Ф 1) задана функція оборотна,
1
оскільки з рівняння у =-- можна

х-1
однозначно виразити х через у (у Ф 0
на області значень заданої функції).

Одержана формула х = задає
у
обернену функцію, але в ній аргу-
мент позначено через у, а функ-
цію — через х. Змінюючи позначення
на традиційні, одержуємо кінцевий
результат.

Приклад 2 Знайдіть функцію, обернену до функції у = х2.

Розв’яза ння

Коментар

► 3 рівності у = х2 при у > 0 одер-
жуємо X = ±-\[у. Тоді при у > 0 одно-
му значенню у відповідають два
значення х. Отже, на всій області
визначення х є (—	+°°) функція

у = х2 не є оборотною, і для неї не-
можливо знайти обернену функцію.
<

Область значень заданої функ-
ції: у > 0. Але при у > 0 з рівності
у = х2 не можна однозначно вирази-
ти х через у. Наприклад, при у = 4
одержуємо х = ±2. Через це ми не
можемо значенню у = 4 поставити
у відповідність єдине число, щоб по-
будувати обернену функцію.
Приклад 3 Знайдіть функцію, обернену до функції у = х2 при х > 0.

Розв’язання	Коментар

► 3 рівності у = х2 при у > 0 одер-
жуємо х = ±-у/у. Ураховуючи, що за
умовою х > 0, маємо х = ^.

Позначимо аргумент через х,
а функцію — через у і одержимо,
що функцією, оберненою до функції
у = х2, яка задана тільки при х > 0,
буде функція у = л/х. <1

Множина значень заданої функ-
ції: у 0. При х > 0 задана функція
у = х2 зростає, отже, на проміжку
х > 0 вона має обернену функцію.
Тому на цьому проміжку рівняння
х2 = у ми зможемо однозначно роз-
в’язати: при х > 0 маємо х = -у/у.

Ця формула задає обернену
функцію, але в ній аргумент позна-
чено через у, а функцію — через х.
Замінюючи позначення на традицій-
ні, одержуємо кінцевий результат.

Зауваження. У прикладах 2 і 3 ми фак-
тично розглядаємо різні функції (вони мають
різні області визначення), хоча в обох випад-
ках ці функції задаються однією й тією самою
формулою. Як відомо, графіком функції у = х2
(приклад 2) є парабола, а графіком функції
у = х2 при х > 0 (приклад 3) є тільки права
вітка цієї параболи (рис. 50).

Запитання для контролю

1.	За якої умови для заданої функції у = / (х) можна побудувати обер-
нену функцію?

2.	Поясніть побудову графіка оберненої функції на прикладі функції
у = / (х), яка задана таблицею:

X	0	2	4	6
/(X)	1	3	5	7

Задайте обернену функцію у = § (х) за допомогою таблиці:

X				
Є (х)				
3.	Як розміщено графіки прямої і оберненої функцій, якщо їх побудо-
вано в одній системі координат? Проілюструйте відповідну власти-
вість графіків на прикладі.

4.	Обґрунтуйте взаємне розміщення графіків прямої і оберненої функцій.

5.	Чи існує функція, обернена до функції у = Xі, де х < 0? Поясніть це,
спираючись на відповідні властивості оберненої функції. Якщо обер-
нена функція існує, то задайте її формулою виду у = § (х).

Вправи

1.	Запишіть формулу, яка задає функцію у = д (х), обернену до заданої.
Укажіть область визначення і множину значень функції § (х):
1°) у = Зх - 6; 2°)у = -3х-6; 3) у = —;	4) у = ~—;	5) у = 4х.

X	X

2.	На одному рисунку побудуйте графік даної функції і функції, обер-
неної до даної:

Ґ) у = 2х;	2°) у = х - 2;	3) у = -±; 4*) У = ^~; 5*) у = 4^ї.

X	х — 1

3.	Знайдіть функцію, обернену до даної на заданому проміжку, і побу-
дуйте на одному рисунку графік даної функції і функції, оберненої
до неї:

1)	у = — х2 при х > 0;	2) у = — х2 при х < 0;

4	4

3)	у = (х - 2)2 при х > 2;	4) у = х2 - 2 при х < 0.

§ з РІВНЯННЯ

3.1.	Рівняння-наслідки та рівносильні перетворення рівнянь

Таблиця 8

1. Поняття рівняння та його коренів	
Означення	Приклад
Рівність зі змінною називаєть- ся рівнянням. У загальному вигляді рівняння з однією змінною х запи- сують так: / (х) = Я (х).  Під цим коротким записом ро- зуміють математичний запис задачі про знаходження значень аргумен- ту, при яких значення двох даних функцій рівні	2х = — 1	— лінійне рівняння;  х2 — Зх + 2 = 0 — квадратне рівняння;  >1х + 2=х	—ірраціональне  рівняння (містить змінну під знаком кореня)
Продовження тпабл. 8

Коренем (або розв’язком) рів- няння з однією змінної називається значення змінної, яке перетворює це рівняння на правильну рівність.  Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або довести, що їх немає	х = 2 — корінь рівняння л/х + 2 =х, оскільки при х = 2 одержуємо пра- вильну рівність: л/4 = 2, тобто 2 = 2
2. Область допустимих значень (ОДЗ)	
Областю допустимих значень (або областю визначення) рівняння на- зивається спільна область визна- чення для функцій / (х) і £ (х), що стоять у лівій і правій частинах рів- няння	Для рівняння >/х + 2=х  ОДЗ: х + 2 > 0, тобто х > -2, оскільки область визначення функ- ції /(х) = >/х + 2 визначається умовою х + 2 > 0, а областю визначення функції § (х) = х є множина всіх дій- сних чисел
3. Рівняння-наслідки	
Якщо кожен корінь першого рів- няння є коренем другого рівняння, то друге рівняння називається на- слідком першого.  Якщо з правильності першої рівності випливає правильність кожної наступної, то одержуємо рівняння-наслідки.  При використанні рівнянь- наслідків не втрачаються корені початкового рівняння, але можли- ва поява сторонніх коренів. Тому при використанні рівнянь-наслідків перевірка одержаних коренів під- становкою в початкове рівняння є складовою частиною розв’язування (див. пункт 5 цієї таблиці)	л/х + 2 =х.  ► Піднесемо обидві частини рів- няння до квадрата:  (л/х + 2) = х2,  х + 2 = х2, х2 - х - 2 = 0, х1 = 2, х2 = -1. Перевірка, х = 2 — корінь (див. вище); х = —1 — сторонній корінь (при х = —1 одержуємо неправильну рівність 1 = -1). < Відповідь: 2.
Продовження табл. 8

4.	Рівносильні рівняння

Означення

Найпростіші теореми

Два рівняння називаються рів-
носильними на деякій множині,
якщо на цій множині вони ма-
ють одні й ті самі корені.

Це означає, що кожен корінь
першого рівняння є коренем другого
і, навпаки, кожен корінь другого є ко-
ренем першого (схема розв’язування
рівнянь за допомогою рівносильних
перетворень наведена в пункті 5 цієї
таблиці)

1.

2.

Якщо з однієї частини рівняння
перенести в іншу частину до-
данки з протилежним зна-
ком, то одержимо рівняння,
рівносильне заданому (на будь-
якій множині)

Якщо обидві частини рівняння
помножити або поділити на
одне й те саме число, яке не
дорівнює нулю (або на одну й
ту саму функцію, що визначена
і не дорівнює нулю на ОДЗ за-
даного рівняння), то одержимо
рівняння, рівносильне заданому
(на ОДЗ заданого рівняння)

5. Схема пошуку плану розв'язування рівнянь

^2^ — рівняння, одержане в результаті перетворення початкового;
4-, Т — символічне зображення напрямку виконаних перетворень

1	Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь розглянуто
в пункті 3.2.
Пояснення й обґрунтування

1.	Поняття рівняння та його коренів. Рівняння в математиці найчас-
тіше розуміють як аналітичний запис задачі про знаходження значень
аргументу, при яких значення двох даних функцій рівні. Тому в загаль-
ному вигляді рівняння з однією змінною х записують так:

/(%) = £ (х).

Найчастіше рівняння означають коротше — як рівність із змінною.

Нагадаємо, що коренем (або розв’язком) рівняння називається зна-
чення змінної, при підстановці якого в рівняння утворюється правиль-
на рівність. Розв’язати рівняння — означає знайти всі його корені або
довести, що їх немає.

Наприклад, рівняння 2х = —1 має єдиний корінь х = —

а рівняння

| х | = —1 не має коренів, оскільки значення | х | не може бути від’ємним

числом.

2.	Область допустимих значень (ОДЗ) рівняння. Якщо задано рівняння
І (л’) = Є (х), то спільна область визначення для функцій / (х) і £ (х) нази-
вається областю допустимих значень цього рівняння. (Іноді використо-
вують також терміни «область визначення рівняння» або «множина до-
пустимих значень рівняння».) Наприклад, для рівняння х2 = х областю
допустимих значень є всі дійсні числа. Це можна записати, наприклад,
так: ОДЗ: х є К, оскільки функції / (х) = х2 і £ (х) = х мають області ви-
значення К.

Зрозуміло, що кожен корінь заданого рівняння входить як до об-
ласті визначення функції / (х), так і до області визначення функції £ (х)
(інакше ми не зможемо отримати правильну числову рівність). Отже,
кожен корінь рівняння обов’язково входить до ОДЗ цього рівняння. Це
дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ рівняння при
його розв’язуванні.

Наприклад, у рівнянні л/х —2 + -71 —х = х функція £ (х) = х визначена
при всіх дійсних значеннях х, а функція / (х) = л/х —2 + -71 —х — тільки за
умови, що під знаком квадратного кореня будуть стояти невід’ємні вира-
Гх-2>0,
зи. Отже, ОДЗ цього рівняння задається системою <{	з якої одер-

[1 - х > 0,
їх > 2,
жуємо систему <{ що не має розв язків. Таким чином, ОДЗ заданого
[х<1,
рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має коренів.

Зазначимо, що знаходження ОДЗ заданого рівняння може бути ко-
рисним для його розв’язування, але не завжди є обов’язковим елемен-
том розв’язування.
3.	Методи розв’язування рівнянь. Для розв’язування рівнянь викорис-
товують методи точного і наближеного розв’язування. Зокрема, для точ-
ного розв’язування рівнянь у курсі математики 5—6 класів використову-
вали залежності між компонентами та результатами дій і властивості чис-
лових рівностей; у курсі алгебри 7—9 класів — рівносильні перетворення
рівнянь, а для наближеного розв’язування рівнянь — графічний метод.

Графічний метод розв’язування рівнянь не дає високої точності зна-
ходження коренів рівняння, і за його допомогою найчастіше можна діс-
тати лише грубі наближення коренів. Іноді зручно графічно визначити
кількість коренів рівняння або знайти межі, у яких знаходяться ці ко-
рені. У деяких випадках можна графічно довести, що рівняння не має
коренів. З указаних причин у шкільному курсі алгебри і початків ана-
лізу під вимогою «розв’язати рівняння» розуміється вимога «використо-
вуючи методи точного розв’язування, знайти корені даного рівняння».
Наближеними методами розв’язування рівнянь можна користуватися
тільки тоді, коли це зазначено в умові задачі (наприклад, якщо ставить-
ся задача розв’язати рівняння графічно).

Переважно при розв’язуванні рівнянь різних видів нам доведеться
використовувати один із двох методів розв’язування. Перший із них поля-
гає в тому, що задане рівняння замінюють більш простим рівнянням, яке
має ті самі корені, — рівносильним рівнянням. У свою чергу, одержане
рівняння замінюють простішим, рівносильним йому, і т. д. У результа-
ті одержують найпростіше рівняння, яке рівносильне заданому і корені
якого легко знайти. Ці корені і тільки вони є коренями даного рівняння.

Другий метод розв’язування рівнянь полягає в тому, що задане
рівняння замінюють простішим рівнянням, до коренів якого належать
усі корені даного рівняння, тобто замінюють так званим рівнянням-
наслідком. У свою чергу, одержане рівняння замінюють більш простим
рівнянням-наслідком доти, поки не одержать найпростіше рівняння, ко-
рені якого легко знайти. Тоді всі корені заданого рівняння знаходяться
серед коренів останнього рівняння. Отже, щоб знайти корені задано-
го рівняння, достатньо корені останнього рівняння підставити в зада-
не рівняння. За допомогою такої перевірки відділяють корені заданого
рівняння (вилучають так звані сторонні корені — ті корені останнього
рівняння, які не задовольняють заданому).

У наступному пункті буде також показано застосування властивос-
тей функцій до розв’язування рівнянь певного виду.

Рівняння-наслідки

Розглянемо докладніше, як можна розв’язувати рівняння за до-
помогою рівнянь-наслідків. При розв’язуванні рівнянь головне — не
загубити корені заданого рівняння, і тому в першу чергу ми повинні
стежити за тим, щоб кожен корінь початкового рівняння залишався
коренем наступного. Фактично це і є означенням рівняння-наслідку:
І у тому випадку, коли кожний корінь першого рівняння є коре-
нем другого, друге рівняння називається наслідком першого.

Це означення дозволяє обґрунтувати такий орієнтир: для одержання
рівияння-иаслідку достатньо розглянути задане рівняння як правильну
числову рівність і гарантувати (тобто мати можливість обґрунтувати),
що кожне наступне рівняння ми можемо одержати як правильну чис-
лову рівність.

Дійсно, якщо дотримуватися цього орієнтира, то кожен корінь пер-
шого рівняння перетворює це рівняння на правильну числову рівність.
Але тоді друге рівняння теж буде правильною числовою рівністю, тобто
розглядуване значення змінної є коренем і другого рівняння, а це й
означає, що друге рівняння є наслідком першого.

х2 -1

Застосуємо наведений орієнтир до розв’язування рівняння ---= 0

х + 1

(поки що не використовуючи відому умову рівності дробу нулю).

Якщо правильно, що дріб дорівнює нулю, то обов’язково його чи-
сельник дорівнює нулю. Отже, з даного рівняння одержуємо рівняння-
наслідок х2 — 1 = 0. Але тоді правильно, що (х — 1)(х+1) = 0. Останнє
рівняння має два корені: х = 1 та х = — 1. Підставляючи їх у задане рів-
няння, бачимо, що тільки корінь х = 1 задовольняє початковому рівнян-
ню. Чому це сталося?

Це відбувається тому, що, використовуючи рівняння-наслідки,
ми гарантуємо тільки те, що корені заданого рівняння не втрачають-
ся (кожний корінь першого рівняння є коренем другого). Але дру-
ге рівняння, крім кореня першого рівняння, має ще й інший корінь,
який не є коренем першого рівняння. Для першого рівняння цей корінь
є стороннім, і, щоб його відсіяти, виконуємо перевірку підстановкою
коренів у початкове рівняння. (Більш детально причини появи сторон-
ніх коренів розглянуто в таблиці 9.) Отже, щоб правильно використову-
вати рівняння-наслідки для розв’язування рівнянь, необхідно пам’ятати
ще один орієнтир: при використанні рівнянь-наслідків можлива поява
сторонніх коренів, і тому перевірка підстановкою коренів у початкове
рівняння є складовою частиною розв’язування.

Схема застосування цих орієнтирів подана в таблиці 8. У пункті З
цієї таблиці наведено розв’язання рівняння

^х + 2=х.	(1)

Для того щоб розв’язати це рівняння за допомогою рівнянь-наслідків,
достатньо задане рівняння розглянути як правильну числову рівність
і зазначити, що у випадку, коли два числа рівні, то і їхні квадрати теж
будуть рівні:

(л/х + 2) =х2.	(2)
Отже, ми гарантуємо, що у випадку, коли рівність (1) правильна,
то і рівність (2) теж буде правильною, а це й означає (як було показано
вище), що рівняння (2) є наслідком рівняння (1). Якщо ми хоча б один
раз використаємо рівняння-наслідки (а не рівносильні перетворення), то
можемо отримати сторонні корені, і тоді до розв’язання обов’язково вхо-
дить перевірка одержаних коренів підстановкою їх у задане рівняння.

Зауваження. Перехід від заданого рівняння до рівняння-наслідку
можна позначити спеціальним значком =>, але його використання для
запису розв’язання не є обов’язковим. Разом з тим, якщо цей значок
використано, то це свідчить про те, що ми скористалися рівняннями-
наслідками, і тому обов’язково до запису розв’язання необхідно вклю-
чити перевірку одержаних коренів.

Рівносильні рівняння

З поняттям рівносильності ви знайомі з курсу алгебри 7 класу, де
рівносильними називалися рівняння, які мали одні й ті самі корені. За-
уважимо, що рівносильними вважалися і такі два рівняння, які не мали
коренів. Формально будемо вважати, що і в цьому випадку рівняння
мають одні й ті самі корені, оскільки відповіді до таких рівнянь однако-
ві: «рівняння не має коренів» (точніше: однаковими є множини коренів
таких рівнянь — вони обидві порожні, що позначаюєть символом 0).

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо розглядати більш за-
гальне поняття рівносильності, а саме рівносильність на певній множині.

І Два рівняння називаються рівносильними на деякій множині,
якщо на цій множині вони мають одні й ті самі корені, тоб-
то якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого і,
навпаки, кожен корінь другого рівняння є коренем першого.

Для рівнянь, які задано на множині всіх дійсних чисел (напри-
клад, для лінійних), ми можемо дати однозначну відповідь на запитан-
ня «Чи рівносильні задані рівняння?». Наприклад, рівняння х + 3 = 0
і 2х + 6 = 0 рівносильні, оскільки обидва мають однаковий корінь х = — З
і інших коренів не мають. Отже, кожне з них має ті самі розв’язки, що
й друге.

При розгляді рівносильності рівнянь на множині, яка відрізняється
від множини всіх дійсних чисел, відповідь на запитання «Чи рівносиль-
ні задані рівняння?» може суттєво залежати від того, на якій множині
ми розглядаємо ці рівняння. Наприклад, якщо розглянути рівняння:

2 і

^1 = 0,	(3)

х + 1

х2 - 1 = 0,	(4)

то, як було показано вище, рівняння (3) має тільки один корінь х = 1,
а рівняння (4) — два корені: х = 1 та х = — 1. Таким чином, на множині
всіх дійсних чисел ці рівняння не є рівносильними, оскільки у рівняння
(4) є корінь х = — 1, якого немає у рівняння (3). Але на множині додат-
них дійсних чисел ці рівняння рівносильні, оскільки на цій множині
рівняння (3) має єдиний додатний корінь х = 1 і рівняння (4) теж має
тільки один додатний корінь х = 1. Отже, на множині додатних чисел
кожне із цих рівнянь має ті самі розв’язки, що й друге.

Зазначимо, що множина, на якій розглядають рівносильність рів-
нянь, як правило, не задається штучно (як в останньому випадку).
Найчастіше за таку множину вибирають ОДЗ заданого рівняння. Домо-
вимося, що надалі

І всі рівносильні перетворення рівнянь (а також нерівностей
і систем рівнянь та нерівностей) ми будемо виконувати на ОДЗ
заданого рівняння (нерівності чи системи).

Зазначимо, що в тому випадку, коли ОДЗ заданого рівняння є множи-
на всіх дійсних чисел, ми не завжди будемо її записувати (як не запису-
вали ОДЗ при розв’язуванні лінійних чи квадратних рівнянь). І в інших
випадках головне — не записати ОДЗ до розв’язання рівняння, а реаль-
но врахувати її, виконуючи рівносильні перетворення заданого рівняння.

Наприклад, для рівняння л/х + 2 = х ОДЗ задається нерівністю
X + 2 > 0. Коли ми переходимо до рівняння X + 2 = X2, то для всіх його
коренів це рівняння є правильною рівністю. Тоді вираз х2, який стоїть
у правій частині цієї рівності, завжди невід’ємний (х2 > 0), а отже, рів-
ний йому вираз х + 2 теж буде невід’ємним: х + 2 > 0. Але це й означає,
що ОДЗ заданого рівняння (х + 2 >0) врахована автоматично для всіх
коренів другого рівняння і тому при переході від рівняння л/х + 2 = X до
рівняння х + 2 = х2 ОДЗ заданого рівняння можна не записувати до
розв’язання.

Для виконання рівносильних перетворень спробуємо виділити за-
гальні орієнтири, аналогічні відповідним орієнтирам для одержання
рівнянь-наслідків.

Як указано вище, виконуючи рівносильні перетворення рівнянь,
необхідно врахувати ОДЗ заданого рівняння — це перший орієнтир для
виконання рівносильних перетворень рівнянь.

За означенням рівносильності рівнянь потрібно гарантувати, щоб
кожен корінь першого рівняння був коренем другого і, навпаки, кожен
корінь другого рівняння був коренем першого. Для першої частини цієї
вимоги ми вже виділили загальний орієнтир: достатньо гарантувати збере-
ження правильної рівності при переході від першого рівняння до другого.

Щоб виконати другу частину цієї вимоги, достатньо друге рівнян-
ня розглянути як правильну рівність (тобто взяти таке значення змін-
ної, яке є коренем другого рівняння) і гарантувати, що при переході до
першого рівняння правильна рівність зберігається (цей корінь залиша-
ється і коренем першого рівняння). Фактично з означення рівносиль-
ності рівнянь одержуємо, що кожне з рівносильних рівнянь є наслідком
другого рівняння. Таким чином, виконуючи рівносильні перетворення,
ми повинні гарантувати збереження правильної рівності на кожному
кроці розв’язування не тільки при прямих перетвореннях, а й при зво-
ротних — це другий орієнтир для розв’язування рівнянь за допомогою
рівносильних перетворень. (Відповідні орієнтири схематично подано
в пункті 5 таблиці 8.)

Наприклад, щоб розв’язати за допомогою рівносильних перетворень
2 і

рівняння ——- = 0, достатньо врахувати його ОДЗ: х + 1 Ф 0 і умову рів-
х + 1

ності дробу нулю (дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник
дробу дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю). Також слід звер-
нути увагу на те, що на ОДЗ всі потрібні перетворення можна виконати
як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням правильної
рівності.

Запис розв’язання в цьому разі може бути таким:

х2 -1

----= 0. ОДЗ: х + 1 Ф 0. Тоді х2 — 1 = 0. Отже, х = 1 (задовольняє умові
х + 1

ОДЗ) або х = — 1 (не задовольняє умові ОДЗ). Відповідь: 1.

Для виконання рівносильних перетворень рівнянь можна також
користуватися спеціальними теоремами про рівносильність. У зв’язку
з уточненням означення рівносильності рівнянь узагальнимо також фор-
мулювання найпростіших теорем про рівносильність, відомих з курсу
алгебри 7 класу.

І Теорема 1. Якщо з однієї частини рівняння перенести в іншу
частину доданки з протилежним знаком, то одержимо рів-
няння, рівносильне заданому (на будь-якій множині).

І Теорема 2. Якщо обидві частини рівняння помножити або
поділити на одне й те саме число, яке не дорівнює нулю (або
на одну й ту саму функцію, що визначена і не дорівнює нулю
на ОДЗ заданого рівняння), то одержуємо рівняння, рівно-
сильне заданому (на ОДЗ заданого).

Обґрунтування цих теорем повністю аналогічне обґрунтуванню орі-
єнтирів для рівносильних перетворень заданого рівняння.

Зауваження. Для позначення переходу від заданого рівняння до
рівносильного йому рівняння можна використовувати спеціальний зна-
чок С4>, але в записі розв’язань це не є обов’язковим. (Хоча іноді ми його
будемо використовувати, щоб підкреслити, що було виконано саме рів-
носильні перетворення.)
Приклаі 1 Розв’яжіть рівняння 5 = 3 .

х-2	х-1

Розв’язання

► ОДЗ: х-2^0іх-1^0.

На цій ОДЗ задане рівняння рів-
носильне рівнянням:

—-----— = 0,	(1)

х-2 х-1

5 (х-І)-З (х-2)	_

—-----'----- = 0,	(2)

(х-2)(х-1)	>

(х-2)(х-1)	' ’

2% + 1 = 0,	(4)

тобто х = ——.

2

Урахуємо ОДЗ: при х = —

х-2 = ---2 = -2-^0,
2	2

х—1 = —— —1 = —1—^0.
2	2

Отже, х = — і — корінь.

Відповідь:

2

Коментар

Використаємо рівносильні пере-
творення для розв’язування задано-
го рівняння. Для цього необхідно
врахувати ОДЗ, тому зафіксуємо її
обмеження на початку розв’язання.

Зазначимо, що в рівняннях обме-
ження ОДЗ можна тільки зафіксу-
вати, але не розв’язувати, а в кінці
перевірити, чи виконуються ці об-
меження для знайдених коренів.

При перенесенні члена заданого
рівняння з однієї частини рівняння
в іншу з протилежним знаком одер-
жуємо рівняння (1), рівносильне за-
даному.

Зводячи до спільного знаменни-
ка, розкриваючи дужки і зводячи
подібні члени, знову одержуємо пра-
вильну рівність і можемо обґрунту-
вати, що при виконанні зворотних
дій рівність теж не порушується,
отже, одержані рівняння (1)—(3) рів-
носильні заданому (на його ОДЗ).

Дріб дорівнює нулю тоді і тіль-
ки тоді, коли чисельник дробу дорів-
нює нулю, а знаменник не дорівнює
нулю. Але друга умова вже врахована
в обмеженнях ОДЗ, отже, одержує-
мо рівняння (4), рівносильне задано-
му рівнянню на його ОДЗ. Оскільки
всі перетворення були рівносильни-
ми тільки з урахуванням ОДЗ, то ми
повинні перевірити, чи задовольняє
одержане число обмеженням ОДЗ.

4.	Причини появи сторонніх коренів та втрати коренів при розв’язуванні
рівнянь. Найбільш типові випадки появи сторонніх коренів та втрати
коренів рівняння наведено в таблиці 9. Там же вказано, як у кожному
з цих випадків одержати правильне (чи повне) розв’язання.
Причина	Перетворення, при яких це може відбуватися	Приклад неправильного (чи неповного) розв’язання	
1. Поява сторонніх коренів			
Одержання рівнянь- наслідків за рахунок:  а) переходу до рівняння, у якого ОДЗ ширша, ніж у заданого рівняння;	1. Зведення подіб- них членів	х2 + уіх-2 = 6х + уіх-2.  Перенесемо з правої частини рівняння в ліву доданок у/х — 2 з протилежним знаком і зведе- мо подібні члени.  Одержимо х2 — 6х = 0, х, = 0, х2 = 6	
	2. Зведення обох частин рівнян- ня до спільно- го знаменника (при відкиданні знаменника)	4 |	7 _	4  х + 2 х + 3 х2 + 5х + б'  Помножимо обидві части- ни рівняння на спільний зна- менник усіх дробів  (х + 2) (х + 3).  Одержимо  4 (х + 3) + 7 (х + 2) = 4, 11х = -22, х = -2	
	3. Піднесення обох частин ірраціонально- го рівняння до квадрата	л/2х + 1 = д/х.  Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата.  2х + 1 = х,  X = -1	
б) виконання перетво- рень, при яких від- бувається неявне мно- ження на нуль;	Множення обох час- тин рівняння на ви- раз зі змінною	х2 + х + 1 = 0. Помножимо обидві частини рівняння на х — 1.  (х - 1) (х2 + х + 1) = 0.  Одержимо х3 — 1 = 0, х = 1	
Таблиця 9

	У чому полягає помилка	Як одержати правильне (чи повне) розв’язання	Приклад правильного (чи повного) розв’язання
при розв’язуванні рівняння			
	х} = 0 не є коре- нем заданого рів-  няння	Виконати перевірку підстановкою коренів у задане рівняння	х2 +уіх — 2=&х + уіх — 2.  ► х2 - 6х = 0, х} = 0, х2 = 6.  Перевірка показує, що  X' = 0 — сторонній корінь, х2 = 6 — корінь.  Відповідь: 6. <1
	х = 2 не є коре- нем заданого рів- няння		4	|	7 _	4  х + 2 х + 3 х2+5х + б' ► 4 (х + 3) + 7 (х + 2) = 4;  11% = -22, х = -2. Перевірка показує, що X = -2 — сторонній корінь. Відповідь: коренів немає. <1
	х = -1 не є коре- нем заданого рів- няння		>/2х + 1 =4х.  ► 2х + 1 = х, х = -1. Перевірка показує, що х = -1 — сторонній корінь.  Відповідь: коренів немає. <1
	х = 1 не є коре- нем заданого рів- няння		Для розв’язання цього рівнян- ня не було необхідності мно- жити на х — 1.  х2 + х + 1 = 0.  ► В = -3 < 0.  Відповідь: коренів немає. <1  Якщо помножити обидвічастини рівняння на х - 1, то перевірка показує, що х = 1 — сторонній корінь, тобто рівняння не має коренів.
Причина	Перетворення, при яких це може відбуватися	Приклад неправильного (чи неповного) розв’язання	
1. Поява сторонніх коренів			
в) застосуван- ня до обох частин рів- няння функ- ції, яка не є	зроста-  ючою або спадною	Піднесення обох частин рівняння до парного степеня або застосування до обох частин рівнян- ня тригонометрич- них функцій (див. с. 365)	х - 1 = 2х + 1. Піднесемо обидві частини рів- няння до квадрата:  (х- 1)2 = (2х + І)2. Одержимо Зх2 + 6х = 0, хл = 0, х2 = -2	
2. Втрата коренів			
Явне чи неявне звуження ОДЗ заданого рів- няння, зокрема виконання пере- творень, у про- цесі яких відбу- вається неявне ділення на нуль	1. Ділення обох частин рівнян- ня на вираз зі змінною	X2 = X.  Поділивши обидві частини рів- няння на х, одержимо  х = 1	
	2. Додавання, від- німання, мно- ження або ді- лення обох час- тин рівняння на вираз, у якого ОДЗ вужча, ніж у заданого рів- няння	х2 = 1.  Якщо до обох частин рівняння додати л/х, то одержимо рів- няння  X2 + л/х = 1 + л/х, у якого тільки один корінь  X = 1	
Продовження табл. 9

	У чому полягає помилка	Як одержати правильне (чи повне) розв’язання	Приклад правильного (чи повного) розв’язання
при розв’язуванні рівняння			
	х} = 0 не є коре- нем заданого рів-  няння	Виконати перевірку підстановкою коренів у задане рівняння	У даному рівнянні не було необхідності підносити до квадрата.  х - 1 = 2х + 1.  ► х - 2х = 1 + 1, х = -2.  Відповідь: -2. <1  Якщо використати піднесення до квадрата, то перевірка по- казує, що х2 = — 2 — корінь, а хх = 0 — сторонній корінь
при розв’язуванні рівняння			
	Втратили корінь X = 0, оскільки після ділення на х фактично одер- жали рівняння  2 X _ X  X X  у якого ОДЗ:  х Ф 0, тобто зву- зили ОДЗ задано- го рівняння	Ті значення, на які звузилася ОДЗ, необхідно розглянути окремо	X2 = X.  ► 1. При х = 0 одержуємо  О2 = 0 — правильна рів- ність, отже, х = 0 — ко- рінь.  2. При х Ф 0 одержуємо  2 XX — =—, X = 1.  X	X  Відповідь: 0; 1. <1 (Зазвичай зручніше розв’язу- вати так: х2 - х = 0,  х (х - 1) = 0; х = 0, х = 1.)
	Втратили корінь X = -1, оскільки ОДЗ заданого рів- няння: х — будь- яке число, а л/х існує тільки при х > 0		У даному рівнянні не було не- обхідності додавати до обох частин л/х.  ► х2 = 1, х = ±1.  Відповідь: ±1. <1  (Якби довелося додавати до обох частин л/х, то при х < 0 задане рівняння потрібно було б розглянути окремо, і тоді одержали б ще й корінь  х = -1.)
Запитання для контролю

1.	Що називається коренем рівняння? Наведіть приклади.

2.	Дайте означення області допустимих значень (ОДЗ) рівняння. На-
ведіть приклади.

3.	Дайте означення рівняння-наслідку заданого рівняння. Наведіть
приклади. Поясніть, у якому випадку можна гарантувати, що в ре-
зультаті перетворення рівняння одержали рівняння-наслідок.

4.	Дайте означення рівносильних рівнянь. Наведіть приклади. Пояс-
ніть, у якому випадку можна гарантувати, що в результаті перетво-
рення рівняння одержали рівняння, рівносильне заданому.

5.	Сформулюйте основні теореми про рівносильність рівнянь. Наведіть
приклади їх використання.

6.	Поясніть, у результаті яких перетворень заданого рівняння можна
одержати сторонні для заданого рівняння корені. Як можна відсіяти
сторонні корені? Наведіть приклади.

7.	Поясніть, у результаті яких перетворень заданого рівняння можна
втратити корені цього рівняння. Наведіть приклади. Поясніть на
прикладах, як необхідно доповнити відповідні перетворення, щоб не
втратити корені заданого рівняння.

Вправи

1°. Знайдіть область допустимих значень (ОДЗ) рівняння:

Зх —6.

х-1 ’

і \ х — 5 2х — 3 гі	/

1)-------------= 0;	3) уїх

х + 2 х

2) ^-^- = 0;	4 ) Т^Т5-^ = 0.

о х +1	х+4

2. З’ясуйте: а) чи є друге рівняння наслідком першого;

б) чи є ці рівняння рівносильними (відповідь обґрунтуйте):

2 -4

1)	2х2 - 8% - 9 = 0 і х2 - 4% - 4,5 = 0; 2)	—— = 0 і х2 - 4 = 0.

х - 5х + 6

3°. Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:

1)	5х - 8 = 7 - Зх і 5х + Зх = 7 + 8;

2)	(2х - 1) (х2 + 5) = х (х2 + 5) і 2х - 1 = х.

4°. Обґрунтуйте, що задані рівняння не є рівносильними:

1) х2ч—— = 9ч—— і я2 =9;	2) (2х - 1) (х2 - 5) = х (х2 - 5) і 2х - 1 = х.

х + 3	х + 3

5°. Поясніть, які перетворення було використано при переході від пер-
шого рівняння до другого і чи можуть вони приводити до порушення
рівносильності:

1)	Зх + 1,1 = 6,8 - 2х і Зх + 2х = 6,8 - 1,1;

2)	х2~81 + Зх2-1 = 0 і х - 9 + Зх2 - 1 = 0;

х + 9
3)	за2Г[ + х = 3 і 5 + х (Зх — 1) = 3 (Зх — 1);

4)	уіх2 -1 =х-2 і х2 - 1 = х2 - 4х + 4.

6.	Чи є рівносильними задані рівняння на ОДЗ першого з них:

1)	5-х = х+7 і 5-хч—— = х + 7ч——;
х-3	х-3

2х х 5	• і л л

2)		=------ і 12 - 2х = х - 5;

х-2	х-2

3)	6 - х = 10 і 6-х + л/х-4х = 10;

4)	(х2 + 2х - 3) (х2 + 6) = 5 (х2 + 6) і х2 + 2х - 3 = 5;

яке перетворення могло привести до

х (х-2)2 + 8 _ (4-х) (2-х).

4 х	х

7.	Розв’яжіть рівняння і вкажіть,
порушення рівносильності:

8 5-х	8 + Зх

1)	=-----х;

х 2 х

7_____16	х-4.

х + 3 3-х	х2-9 3 + х’

8.	Розв’яжіть рівняння за допомогою рівнянь-наслідків і вкажіть, яке
перетворення могло привести до порушення рівносильності:

1)	Зх + >/х-2 = 5х-1 + >/х-2;	2) д/2х + 5 = х + 1;

3)	>/3-2х=1-х;	4) 7.5+х2 = х-4.

9.	За якої умови рівняння є рівносильними:

1)	/^- = §(х) і / (х) = § (х) (2х - 3);

2)	/(х) + 7х = §(х) + 4х і / (х) = § (х)?

10.	Чи може відбутися втрата коренів або поява сторонніх коренів,

якщо:

1)	рівняння (х2 + 7) / (х) = 4х2 + 28 замінити рівнянням / (х) = 4;

2)	рівняння (х — 1)/ (х) = (х — 1)я(х) замінити рівнянням / (х) = §(х);

3)	рівняння --=--- замінити рівнянням / (х) = § (х);

х + 3 х + З

4) рівняння	= 0 замінити рівнянням / (х) = 0?

Зх2+5

11. Розв’яжіть рівняння і обґрунтуйте, що побудовано ланцюжок рівно-
сильних рівнянь:

1) 13 - (х - І)2 + (2х - 1) (х + 1) = (х + 2)2;

2) (х - І)4 * * * 8 - (х - З)8 = Зх + 26;

3) (х + І)8 - (х - І)8 = 6 (х2 + х + 1);

4) (Зх - І)2 + (6х - 3) (2х + 1) = (х - І)2 + 5 (2х + І)2.
3.2.	Застосування властивостей функцій до розв’язування рівнянь

Таблиця 10

Орієнтир				Приклад			
1. Скінченна ОДЗ							
Якщо область допустимих значень (ОДЗ) рівняння (нерівності або системи) складається із скінченного числа значень, то для роз- в’язування достатньо пере- вірити всі ці значення				УІХ2-1 + х |х2-1>0, ► ОДЗ: [2-2х2>0^ Перевірка.  х = 1 — корінь (л/о + х = —1 — не корінь ( Відповідь: 1. <1			= 1 + ^2-2х2.  [х2>1,  4	<=>х =1<=>х = ±1.  |х2 <1  і=і+>/о,і=і),  >/0-1#1 + л/0).
2. Оцінка значень лівої та правої частин рівняння							
							
			II II 2 2 '		1				
/(х) = я(х)	<=>				1-х =^1 + ^|х|.		
/ (х) > а, § (х)< а					► /(х) =	1 - х2 < 1,	
					Я(х) = 5  Отже, за/ системі  Відповідь:	/щ	/|х|>1 (бо ^|х| >о).
Якщо потрібно розв’язати рівняння виду / (х) = § (х) і з’ясувалося, що / (х) > а, § (х) < а, то рівність між						(ане рівняння рівносильне  1-х2 =1,  л	
лівою і правою частинами можлива тоді і тільки тоді, коли / (х) і % (х) одночасно дорівнюють а						х/і+-  0. <		X—/ *х	V/  =1
			А(х) = 0, /2(х) = 0,				
їг (х) + /2 (х) + +—+ А, (х) = о		<=>-			\ •X'  ► /1(х)=7	х-2 >0, /2 (х) = | х2 - 2х | > 0,	
А (х) > о, 4 (х) > 0,  їп (х) > 0					/	(^2 ЛХ2	Л		
			Л(х) = 0.		/3 Отже, задане системі  <  3 першого ріві що задовольня Відповідь: 2. <		о.  рівняння рівносильне  уіх-2=0,  х2 - 2х | = 0, (х2-4)2 = 0. тяння одержуємо X = 2, є всій системі
Сума кількох невід’ємних функ- цій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю							
Продовження табл. 10

3. Використання зростання та спадання функцій

Схема розв’язування рівняння

1.	Підбираємо один або декілька коренів рівняння.

2.	Доводимо, що інших коренів це рівняння не має (використовуючи теоре-
ми про корені рівняння або оцінку лівої та правої частин рівняння)

Теореми про корені рівняння

1.	Якщо в рівнянні і (х) = а функція
/ (х) зростає (спадає) на деякому
проміжку, то це рівняння може
мати не більш ніж один корінь на
цьому проміжку.

Приклад

Рівняння -/х + 2х3 = 3 має єди-
ний корінь х=1 (л/ї + 2 • І3 = З,
тобто 3 = 3), оскільки функція
/ (х) =-\/х + 2х3 зростає на всій об-
ласті визначення х > 0

2.	Якщо в рівнянні / (х) = Д (х) функ-
ція / (х) зростає на деякому проміж-
ку, а функція § (х) спадає на цьому
самому проміжку (або навпаки), то
це рівняння може мати не більш
ніж один корінь на цьому проміжку.

Приклад

Рівняння л/х + х3 = 3 — х має єди-
ний корінь х=1 (>/ї + 13=3-1,
тобто 2 = 2), оскільки ї (х) = л/х + х3
зростає на всій області визначення
х > 0, а § (х) = 3 — х спадає (на
множині К, а отже, і при х > 0)

Пояснення й обґрунтування

1.	Скінченна ОДЗ. Нагадаємо, що у разі, коли задано рівняння / (х) = §(х),
спільна область визначення для функцій / (х) і § (х) називається облас-
тю допустимих значень цього рівняння. Зрозуміло, що кожен корінь
заданого рівняння входить як до області визначення функції / (х), так
і до області визначення функції § (х). Отже, кожен корінь рівняння
обов’язково входить до ОДЗ цього рівняння. Це дозволяє в деяких ви-
падках, аналізуючи ОДЗ, одержати розв’язки рівняння.

Наприклад, якщо задано рівняння л/х —2 + д/4 —2х = Зх —6, то його
Іх-2>0,

ОДЗ можна записати за допомогою системи 5^	Розв’язуючи цю

Гх>2,

систему, одержуємо <! тобто х = 2. Отже, ОДЗ заданого рівняння
|х<2,

складається лише з одного значення х = 2. Але якщо тільки для одного
числа потрібно з’ясувати, чи є воно коренем заданого рівняння, то для
цього достатньо підставити це значення в рівняння. У результаті одер-
жуємо правильну числову рівність (0 = 0). Отже, х = 2 — корінь цього
рівняння, інших коренів бути не може, оскільки всі корені рівняння
знаходяться в його ОДЗ, а там немає інших значень, крім х = 2.

Розглянутий приклад дозволяє виділити орієнтир для розв’язування
аналогічних рівнянь:

І якщо ОДЗ рівняння {а також нерівності або системи) скла-
дається із скінченного числа значень, то для розв’язування
достатньо перевірити всі ці значення.

Зауваження. У тому випадку, коли ОДЗ — порожня множина (не
містить жодного числа), ми можемо зразу дати відповідь, що задане
рівняння не має коренів.

Наприклад, якщо потрібно розв’язати рівняння л/х —З = л/2 —х + 5х,
Гх — 3>0,	Гх>3,

то його ОДЗ задається системою (	тобто ( яка не має

|2-х>0,	[х<2,

розв’язків. Отже, ОДЗ заданого рівняння не містить жодного числа,
і тому це рівняння не має коренів.

2.	Оцінка значень лівої та правої частин рівняння. Деякі рівняння
можна розв’язати за допомогою оцінки значень лівої та правої частин
рівняння.

Нехай ми розв’язуємо рівняння / (х) = § (х) і нам удалося з’ясувати,
що для всіх допустимих значень х значення / (х) > а, а значення § (х) < а.
• Розглянемо два випадки: 1) / (х) > а; 2) / (х) = а.

Якщо / (х) > а, то рівність / (х) = § (х) не може виконуватися, бо
§ (х) < а, тобто при / (х) > а задане рівняння коренів не має. Зали-
шається тільки випадок / (х) = а, але, ураховуючи необхідність ви-
конання рівності / (х) = § (х), маємо, що тоді § (х) = а. Отже, ми об-
ґрунтували, що виконання рівності / (х) = § (х) (за умов / (х) > а
і § (х) < а) гарантує одночасне виконання рівностей / (х) = а і
§ (х) = а (і навпаки, якщо одночасно виконуються рівності / (х) = а
|/(х) = а,
темі (

Коротко це
§ (х) = а.

/(х) = Я(х)

/(х)

а,

§ (х) < а

і § (х) = а, то виконується і рівність / (х) = § (х)). Як було показано
в пункті 3.1, це й означає, що рівняння / (х) = § (х) рівносильне сис-
записати так:

Г/(х) = а,
[я (х) = а

О

Приклад використання такого способу розв’язування рівнянь наве-
дено в пункті 2 таблиці 10.

Аналогічно до попередніх міркувань можна обґрунтувати і орієнтир
для розв’язування рівняння / (х) + /2 (х) + ...+/ (х) = 0, у якому всі
функції-доданки невід’ємні (/, (х) > 0; / (х) > 0; ...; / (х) > 0).

• Якщо припустити, що / (х) > 0, то сума всіх функцій, що стоять
у лівій частині цього рівняння, може дорівнювати нулю тільки тоді,
коли сума / (х) + ...+/ (х) буде від’ємною. Але це неможливо,
оскільки за умовою всі функції невід’ємні. Отже, при / (х) > 0 за-
дане рівняння не має коренів. Ці самі міркування можна повторити
для будь-якої іншої функції-доданка. Залишається єдина можли-
вість — усі функції-доданки дорівнюють нулю (очевидно, що в цьо-
му випадку рівність / (х) + /2 (х) + ... + / (х) = 0 обов’язково буде
виконуватися). Таким чином, сума кількох невід’ємних функцій до-
рівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівню-
ють нулю. О

Наприклад, щоб розв’язати рівняння х4 + | х — 1 | = 2х2 — 1, достат-
ньо перенести всі члени в один бік, записати рівняння у вигляді
(х2 — 1)2 + |х — 1 | = 0 і взяти до уваги, що (х2 — І)2 і | х — 1 | — невід’ємні

Г(х2-1)2=0,

функції. Отже, задане рівняння рівносильне системі х	3 дру-

[| х -11 = 0.

гого рівняння одержуємо х = 1, що задовольняє всій системі, тобто за-
дане рівняння має єдиний корінь х = 1.

3.	Використання зростання та спадання функцій до розв’язування
рівнянь спирається на таку властивість: зростаюча або спадна функція
набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визна-
чення.

Корисно пам’ятати спеціальні теореми про корені рівняння.

Теорема 1. Якщо в рівнянні / (х) = а функція / (х) зростає (спадає)
на деякому проміжку, то це рівняння може мати не більш ніж один
корінь на цьому проміжку.
Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 51. Пря-
ма у = а перетинає графік зростаючої на проміжку [а; р] функції у = / (х)
тільки в одній точці. Це й означає, що рівняння / (х) = а не може мати
більше одного кореня на проміжку [а; р]. Доведемо це твердження ана-
літично.

•	Якщо на проміжку [а; р] рівняння має корінь х0, то / (х0) = а. Ін-
ших коренів бути не може, оскільки для зростаючої функції
/ (х) при х > х0 одержуємо / (х) > / (х0) = а, а при х < х0 маємо
І (х) < І (х0) = о. Отже, при х Ф х0 / (х) Ф а. Аналогічно для спадної
функції прихлх одержуємо / (х) ф а. О

Теорема 2. Якщо в рівнянні / (х) = § (х) функція / (х) зростає на
деякому проміжку, а функція § (х) спадає на цьому самому про-
міжку (або навпаки), то це рівняння може мати не більш ніж один
корінь на цьому проміжку.

Графічно твердження теореми проілюстровано на рисунку 52.

•	Якщо на проміжку [а; р] рівняння має корінь х0, то / (х0) = § (х0) = а.
Інших коренів бути не може, оскільки, наприклад, для зростаючої
функції / (х) і спадної функції § (х) при х > х0 маємо / (х) > а, а
§ (х) < а, отже, / (х) Ф § (х). Аналогічно і при х < х0 / (х) Ф § (х). О
Кожна із цих теорем стверджує, що в розглянутому проміжку зада-
не рівняння може мати не більш ніж один корінь, тобто або це рівняння
зовсім не має коренів, або воно має тільки єдиний корінь. Якщо нам
удалося підібрати один корінь такого рівняння, то інших коренів у за-
даному проміжку рівняння не має.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння х8 + х = 10, достатньо помі-
тити, що функція / (х) = х8 + х є зростаючою на всій числовій прямій
(як сума двох зростаючих функцій) і що х = 2 — корінь1 цього рівняння

1 Корінь х = 2 одержано підбиранням. Як правило, підбір починають із ці-
лих значень: х = 0, ±1, ±2, ..., які підставляють у задане рівняння.
(23 + 2 = 10; 10 = 10). Отже, задане рівняння / (х) = 10 має єдиний ко-
рінь х = 2.

Зазначимо, що кожна з цих теорем гарантує єдиність кореня рівнян-
ня (якщо він є) тільки на проміжку зростання (чи спадання) відповідної
функції. Якщо функція має декілька проміжків зростання і спадання,
то доводиться розглядати кожен з них окремо.

з 2

Приклад Розв яжемо за допомогою теореми 2 рівняння х +х = —.

X

2

► Спочатку слід урахувати його ОДЗ: х Ф 0 і згадати, що функція у = —

X
на всій області визначення не є ні спадною, ні зростаючою (пункт 2.2),
але вона спадає на кожному з проміжків (—	0) і (0; +°°). Тому розгля-

немо кожен проміжок окремо.

1)	При х > 0 задане рівняння має корінь х = 1 (і3 +1 =у, 2 = 2^.

Функція / (х) = х8 + х зростає при х > 0 (як показано вище, вона

зростає на множині В), а функція § (х) = — спадає на проміжку х > 0.

X

Отже, задане рівняння / (х) = § (х) при х > 0 має єдиний корінь
х = 1.

2)	Прих < 0 задане рівняння має корінь х = —1 ((— І)3 + (— 1) =	-2 = —2^.

Функція / (х) = х3 + х зростає при х < 0, а функція § (х) = — спадає

X

на цьому проміжку. Тому задане рівняння / (х) = § (х) при х < 0 має
єдиний корінь х = — 1.

У відповідь слід записати всі знайдені корені (хоч на кожному з про-
міжків корінь єдиний, але всього коренів — два). Отже, задане рів-
няння має тільки два корені: 1 і — 1. <1

Приклади розв'язування завдань

Прикладі Розв’яжіть рівняння х4+-^ —2 —(х —І)2.

X

Рпзв’язан ня	Коментар

► ОДЗ: х Ф 0. На ОДЗ х4 > 0. Тоді
функція / (х) = х4 + -^ > 2 (як сума

X

двох взаємно обернених додатних чи-
сел), а функція § (х) = 2 - (х - І)2 < 2.

Якщо розкрити дужки і звести
обидві частини рівняння до спільно-
го знаменника, то для знаходження
коренів одержаного рівняння дове-
деться розв’язувати повне рівняння
восьмого степеня, усі корені якого
ми не зможемо знайти.
Таким чином, задане рівняння рів-

носильне системі

2-(х-1)2 = 2.

З другого рівняння системи одержу-
ємо х = 1, що задовольняє і першо-
му рівнянню, тобто система (отже,
і задане рівняння) має єдиний
розв’язок X = 1.

Відповідь: 1. <

Спробуємо оцінити області зна-
чень функцій, які стоять у лівій
і правій частинах рівняння. Оскіль-
ки на ОДЗ (х Ф 0) Xі > 0, то в лівій
частині рівняння стоїть сума двох
взаємно обернених додатних чисел,
яка завжди більша або дорівнює 2.
У правій частині від 2 віднімається
невід’ємне число (х — І)2. Отже, при
всіх значеннях х одержуємо значен-
ня, менші або рівні 2. Рівність між
лівою і правою частинами можлива
тоді і тільки тоді, коли обидві час-
тини дорівнюють 2.

Приклад 2

Розв’яжіть систему рівнянь

<

х2 + 3у2 =36.

Розв’язання

Коментар

Гх>0,

► ОДЗ: ( Розглянемо функ-
ІУ>0.

цію /(і) = л/ї + і3. На своїй області
визначення (і > 0) ця функція є зрос-
таючою (як сума двох зростаючих
функцій). Тоді перше рівняння за-
даної системи, яке має вигляд
ї (л’) = І (у), рівносильне рівнянню
х = у. Отже, на ОДЗ задана система
Гх= І/,
рівносильна системі <!

|х2 + 3у2 = 36.

Підставляючи х = у у друге рівнян-
ня системи, маємо 4(/2 = 36, у2 = 9,
у = ±3. Ураховуючи, що на ОДЗ
у > 0, одержуємо у = 3. Тоді
х = у = 3.

Відповідь: (3; 3). <

Іноді властивості функцій уда-
ється використати при розв’язуванні
систем рівнянь. Якщо помітити, що
в лівій і правій частинах першо-
го рівняння заданої системи стоять
значення однієї і тієї ж функції,
яка є зростаючою (як сума двох
зростаючих функцій), то рівність
/ (х) = / (у) для зростаючої функції
можлива тоді і тільки тоді, коли
х = у, оскільки однакових значень
зростаюча функція може набувати
тільки при одному значенні аргу-
менту. (Зауважимо, що така сама
властивість матиме місце і для спад-
ної функції.)

Зауваження. Твердження, яке було обґрунтовано в коментарі до при-
кладу 2, може бути використано при розв’язуванні аналогічних завдань.
Коротко його можна сформулювати так: якщо функція / (х) є зростаючою
(або спадною) на певній множині, то на цій множині /('а) = /('Р)«а = р.
Запитання для контролю

1. Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функцій
до розв’язування рівнянь.

2”. Обґрунтуйте правильність орієнтирів для розв’язування рівнянь
з використанням властивостей функцій, які наведено в таблиці 10.

Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—4), використовуючи властивості відповідних
функцій.

1°. 1) уіх-2 + х2 = >І8-4х + х+2;

2) 2х + у/хг-9=хг+у/18-2хг-3;

З) >]1-х2 + л/1 + Зх + -^4х2 + у2 -2у-3 = >/х4 -1 -2у + 3.

2°. 1) ^4 + х2 = 2—х4;	2) 1 +1хБ + Зх| = >/1-х2;

З”) х6+Цг = 1-2х-х* 2 З);
х°

4і) 72х+’ =2-|2х-1|.

\І2х

1)	| х2 - 7х + 12 | + | х2 - 9 | + | 6 - 2х | = 0;

2)	і х + 2 | + | у - 5 | + | 2х2 - 8 | = 0;

3)	у/1-у + л/х2-9 + >/х2-Зх = 0;

4)	>/х2-4 + у/х-2 + \Іх2-х = 0;

5)	х2 + у2 + 5 = 4х + 2у;

6)	Зх2 + у2 + 2 г2 = 4у - 6х - 12з - 25.

1) л/х-2 + л/х-6 = 2;

3) 2>/х + 1+л/х + 9 = 5-х;

5) >/2х + 5 + л/х + 2=—;

X

Розв’яжіть систему рівнянь:

1) \х+х5=У+У5’

[х2 + Зі/ = 10;

\хй-уй = у5-х5,
|х2 + у2 = 1;

2) х + -ух + х® = 3;

4) у]х-2 + х = -^—',
х-1

6) 2х + л/х = л/Ю-х.

4) і ' ~
Зх2-у2 = 8.
§4

НЕРІВНОСТІ: РІВНОСИЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
ТА ЗАГАЛЬНИЙ МЕТОД ІНТЕРВАЛІВ

Таблиця 11

1. Поняття нерівності зі змінною та її розв’язків	
Означення	Приклад
Якщо два вирази зі змінною сполучити одним із знаків >, <, >, <, то одержуємо нерівність зі змінною.  У загальному вигляді нерівність з однією змінною х (наприклад, для випадку «більше») запису- ють так: / (х) > р (х)	Зх <1 — лінійна нерівність;  х2 - Зх + 2 > 0 — квадратна нерівність;  ——— <1 — дробова нерівність  2х + 4
Розв’язком, нерівності з однією змінною називається значення змінної, яке перетворює задану нерівність на правильну числову нерівність.  Розв’язати нерівність — озна- чає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає	X = 4 — один з розв’язків нерівності 2х — 3 > х, оскільки при х = 4 одержуємо правильну нерівність: 2-4 — 3 > 4, тобто 5 > 4
2. Область допустимих значень (ОДЗ)	
Областю допустимих значень (або областю визначення) нерів- ності називається спільна об- ласть визначення для функцій /(х) і § (х), що стоять у лівій і правій частинах нерівності	Для нерівності \1х + 2<х ОДЗ: х + 2 > 0, тобто х > -2, оскільки область визначення функції /(х) = -\/х + 2 визнача- ється умовою х + 2 > 0, а областю визна- чення функції р (х) = х є множина всіх дійсних чисел
3. Рівносильні нерівності	
Означення	Найпростіші теореми
Дві нерівності називаються рів- носильними на деякій множині, якщо на цій множині вони ма- ють одні й ті самі розв’язки	1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу частину доданки з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на будь-якій множині)
Продовження табл. 11

тобто якщо кожен розв’язок першої нерівності є розв’язком другої і, навпаки, кожен розв’язок другої нерівності є розв’язком першої	2. Якщо обидві частини нерівності по- множити або поділити на одне й те саме додатне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і додат- на на ОДЗ заданої нерівності), не змі- нюючи знак нерівності, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)	
	3. Якщо обидві частини нерівності по- множити або поділити на одне й те саме від’ємне число (або на одну й ту саму функцію, що визначена і від’єм- на на ОДЗ заданої нерівності) і змі- нити знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)	
4. Метод інтервалів (розв’язування нерівностей виду і (х) 5 0)		
План		Приклад
1.	Знайти ОДЗ.  2.	Знайти нулі функції /' (х) = 0.  3.	Позначити нулі на ОДЗ і знайти знак / (х) у кожно- му проміжку, на які розби- вається ОДЗ.  4.	Записати відповідь, урахо- вуючи знак заданої нерів- ності	2 і х -1  Розв ЯЖІТЬ нерівність ^х + ^2 'и‘  2 1  ► Нехай /(х) = —	5-.  (х + 3)2  1.	ОДЗ: (х + З)2 Ф 0, отже, х Ф -3.  2.	Нулі функції: / (х) = 0.  х -1 =0, х2 - 1 = 0,  (х + 3)2  хх = -1, х2 = 1 (входять до ОДЗ)  "+Л/Л+'\/^--ЛЛ+_  3.		б	*	*	>  -3	-11	х  Відповідь: (-°°; -3) 0 (-3; -1] 0 [1; +°°).	
Продовження тпабл. 11

5. Схема пошуку плану розв'язування нерівностей

(5)	— нерівність, одержана в результаті перетворення початкової;
Т — символічне зображення виконаних перетворень

(із вказівкою напрямку їх виконання)

Пояснення й обґрунтування

1.	Поняття нерівності зі змінною та її розв’язків. Якщо два вирази зі
змінною сполучити одним із знаків >, <, >, <, то одержимо нерівність зі
змінною.

Аналогічно до рівняння, нерівність зі змінною (наприклад, із зна-
ком >) найчастіше розуміють як аналітичний запис задачі про знахо-
дження тих значень аргументів, при яких значення однієї із заданих
функцій більше за значення другої заданої функції. Тому в загальному
вигляді нерівність з однією змінною х (наприклад, для випадку «біль-
ше») записують так: / (х) > § (х).

Нагадаємо, що розв’язком нерівності називається значення змін-
ної, яке перетворює цю нерівність на правильну числову нерівність.

Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довес-
ти, що їх немає.

Наприклад, розв’язками нерівності Зх < 6 є всі х < 2, розв’язками
нерівності х2 > — 1 є всі дійсні числа (Я), а нерівність х2 < — 1 не має
розв’язків, оскільки значення х2 не може бути від’ємним числом, мен-
шим за —1.
2.	Область допустимих значень (ОДЗ) нерівності означають аналогіч-
но до ОДЗ рівняння. Якщо задано нерівність / (х) > § (х), то спільна
область визначення для функцій / (х) і р (х) називається областю до-
пустимих значень цієї нерівності (іноді використовують також терміни
«область визначення нерівності» або «множина допустимих значень
нерівності»). Наприклад, для нерівності х2 < х областю допустимих зна-
чень є всі дійсні числа (це можна записати, наприклад, так: ОДЗ: х є К),
оскільки функції / (х) = х2 і § (х) = х мають області визначення х є К.

Зрозуміло, що кожен розв’язок заданої нерівності входить як до об-
ласті визначення функції / (х), так і до області визначення функції р (х)
(інакше ми не зможемо отримати правильну числову нерівність). Отже,
кожен розв’язок нерівності обов’язково входить до ОДЗ цієї нерівності.
Це дозволяє в деяких випадках використовувати аналіз ОДЗ нерівності
для її розв’язування.

Наприклад, у нерівності -Ух —З + -\/2 —х > х функція р (х) = х визна-
чена при всіх дійсних значеннях х, а функція / (х) = л/х —3 + л/2 —х —
тільки за умови, що під знаком квадратного кореня будуть стояти
невід’ємні вирази. Отже, ОДЗ цієї нерівності задається системою
Гх-3>0,	Гх>3,

<!	з якої одержуємо систему <! що не має розв язків. Отже,

12 х > 0,	І х 2,

ОДЗ заданої нерівності не містить жодного числа, через те ця нерівність
не має розв’язків.

Узагалі при розв’язуванні нерівностей різних видів нам доведеться
використовувати один із двох методів розв’язування: рівносильні пере-
творення нерівностей або так званий метод інтервалів.

3.	Рівносильні нерівності. З поняттям рівносильності нерівностей ви
знайомі з курсу алгебри 9 класу. Як і для випадку рівносильних рівнянь,
рівносильність нерівностей ми будемо розглядати на певній множині.

І Дві нерівності називаються рівносильними на деякій мно-
жині, якщо на цій множині вони мають одні й ті самі
розв’язки, тобто якщо кожен розв’язок першої нерівності
є розв’язком другої і, навпаки, кожен розв’язок другої нерівно-
сті є розв’язком першої.

Домовимося, що надалі всі рівносильні перетворення нерівностей
будемо виконувати на ОДЗ заданої нерівності. Зазначимо, що у випад-
ку, коли ОДЗ заданої нерівності є множина всіх дійсних чисел, ми не
завжди будемо її записувати (як не записували ОДЗ при розв’язуванні
лінійних чи квадратних нерівностей). І в інших випадках головне —
не записати ОДЗ до розв’язання нерівності, а дійсно врахувати її, вико-
нуючи рівносильні перетворення заданої нерівності.
Загальні орієнтири для виконання рівносильних перетворень нерів-
ностей аналогічні до відповідних орієнтирів для виконання рівносиль-
них перетворень рівнянь.

Як було указано вище, виконуючи рівносильні перетворення нерів-
ностей, необхідно врахувати ОДЗ заданої нерівності — це і є перший
орієнтир для виконання рівносильних перетворень нерівностей.

За означенням рівносильності нерівностей потрібно забезпечити,
щоб кожен розв’язок першої нерівності був розв’язком другої і, навпа-
ки, кожен розв’язок другої нерівності був розв’язком першої. Для цього
достатньо забезпечити збереження правильної нерівності на кожному
кроці розв’язування не тільки при прямих, а й при зворотних пере-
твореннях. Це і є другий орієнтир для розв’язування нерівностей за
допомогою рівносильних перетворень. Дійсно, кожен розв’язок нерівно-
сті перетворює її на правильну числову нерівність, і якщо правильна
нерівність зберігається, то розв’язок кожної з нерівностей буде також
і розв’язком іншої, а отже, нерівності будуть рівносильні (відповідні
орієнтири схематично подано в пункті 5 таблиці 11).

Наприклад, щоб розв’язати за допомогою рівносильних перетворень
нерівність

— >0,	(1)

х + 1

достатньо врахувати її ОДЗ: х + 1 Ф 0 і умову додатності дробу (дріб буде
додатним тоді і тільки тоді, коли чисельник і знаменник дробу мають
однакові знаки), а також звернути увагу на те, що на ОДЗ всі потрібні
перетворення можна виконати як у прямому, так і у зворотному напрям-
ку зі збереженням правильної нерівності.

Розв’язання	Коментар
► Задана нерівність рівносильна сукупності двох систем:  Гх — 3>0,	ґх —3<0,	. .  і	або	(2)  |х +1 > 0	|х +1 < 0.  ґх>3,	|х<3,  Тоді одержуємо 5	або <{  |х>-1	|х<-1.  Отже, х > 3 або х < —1.  Відповідь: (-<*>; -1) О (3; +°°).<|	Зауважимо, що, записуючи умо- ву додатності дробу — сукупність систем (2), ми неявно врахували ОДЗ нерівності (1). Дійсно, якщо х + 1 > 0 або х + 1 < 0, то х + 1 Ф 0, тому в явному вигляді ОДЗ заданої нерівності не записана при оформ- ленні розв’язання.

Крім виділених загальних орієнтирів, виконуючи рівносильні пе-
ретворення нерівностей, можна також користуватися спеціальними
теоремами про рівносильність. У зв’язку з уточненням означення рів-
носильності нерівностей узагальнимо також формулювання найпрості-
ших теорем про рівносильність нерівностей, відомих з курсу алгебри
9 класу.

II.	Якщо з однієї частини нерівності перенести в іншу части-
ну доданки з протилежним знаком, то одержимо нерів-
ність, рівносильну заданій (на будь-якій множині).

12.	Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити
на одне й те саме додатне число (або на одну й ту саму
функцію, що визначена і додатна на ОДЗ заданої нерівно-
сті), не змінюючи знака нерівності, то одержимо нерів-
ність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).

ІЗ.	Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити
на одне й те саме від’ємне число (або на одну й ту саму
функцію, що визначена і від’ємна на ОДЗ заданої нерівно-
сті) і змінити знак нерівності на протилежний, то одер-
жимо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).

Обґрунтування цих теорем повністю аналогічне до обґрунтування
орієнтирів для рівносильних перетворень заданої нерівності.

Зауваження. Для позначення переходу від заданої нерівності до
рівносильної їй нерівності можна використовувати спеціальний значок
•», але його використання при записуванні розв’язань не є обов’язковим
(хоча іноді ми будемо ним користуватися, щоб підкреслити, що було ви-
конано саме рівносильні перетворення).

4. Метод інтервалів. Розв’язування нерівностей методом інтервалів
спирається на властивості функцій, пов’язані зі зміною знаків функції.
Пояснимо ці властивості, використовуючи графіки відомих нам функ-
цій, наприклад у = — і у = 2х — 2 (рис. 53).

X

Рис. 53
Розглядаючи ці графіки, помічаємо, що функція може змінити свій
знак тільки у двох випадках:

1)	якщо графік розривається (як у випадку функції у = — (рис. 53, а) —

X

графік розривається в точці 0, і знак функції змінюється в точці 0);
2) якщо графік без розриву переходить з нижньої півплощини у верх-
ню (або навпаки), але тоді графік перетинає вісь Ох (як у випадку
функції у = 2х — 2) (рис. 53, б). На осі Ох значення функції дорівню-
ють нулю. (Нагадаємо, що значення аргументу, при яких функція
перетворюється на нуль, називають нулями функції.) Отже, будь-
яка функція може поміняти свій знак тільки в нулях або в точках,
де розривається графік функції (у так званих точках розриву функ-
ції1).

Точки, у яких розривається графік функції / (х), ми виділяємо, як
правило, коли знаходимо область визначення цієї функції. Наприклад,
якщо /(х) = —, то її область визначення х Ф 0, і саме в точці 0 графік
X

функції розривається (рис. 53, а). Якщо ж на якомусь проміжку області
визначення графік функції не розривається і функція не дорівнює нулю,
то за наведеним вище висновком вона не може в цьому проміжку помі-
няти свій знак2. Отже, якщо відмітити нулі функції на її області визна-
чення, то область визначення розіб’ється на проміжки, усередині яких
знак функції змінитися не може (і тому цей знак можна визначити
в будь-якій точці з цього проміжку).

У таблиці 12 наведено розв’язання дробово-раціональної нерівності
2х + 4 г.

---->0 методом інтервалів; коментар, який пояснює кожен крок
х-1

розв’язування; план розв’язування нерівностей виду / (х)	0 методом

інтервалів.

Таблиця 12

Приклад	Коментар	План розв’язування
2х + 4  х — 1  ►	/(Х) = ^  х -1	Розглянемо	функцію,  яка стоїть у лівій частині цієї нерівності, і позначимо її че- рез / (х): /(х)=2^±1 х-1	

1 Докладніше це поняття буде розглянуто в 11 класі.

2 В 11 класі ми уточнимо формулювання цієї властивості (так званих не-
перервних функцій). Для всіх відомих вам функцій (лінійних, квадратичних,
степеневих, дробово-раціональних) ця властивість має місце.
Продовження тпабл. 12

1. ОДЗ: х - 1 * 0, тобто X Ф 1	Розв’язком нерівності / (х) > 0 можуть бути тільки числа, що входять до облас- ті визначення функції / (х), тобто числа, які входять до ОДЗ нерівності. Тому пер- шим етапом розв’язування нерівності методом інтерва- лів буде знаходження її ОДЗ	1. Знайти ОДЗ нерівності
2.	Нулі / (х):  (/ (х) = 0).  2х + 4 _ о  х-1	’  тоді х = — 2.	Нас цікавлять ті проміж- ки області визначення функ- ції / (х), на яких ця функція додатна. Як було зазначено вище, функція / (х) може помі- няти знак у своїх нулях, тому другим етапом розв’язування нерівності / (х) > 0 буде зна- ходження нулів функції (для цього прирівнюємо функцію / (х) до нуля і розв’язуємо одержане рівняння)	2. Знайти нулі /' (х)  (/ (х) = 0)
	Якщо тепер відмітити нулі на області визначення функції / (х), то область ви- значення розбивається на проміжки, причому всереди- ні кожного проміжку функ- ція / (х) не змінює свій знак (рис. 1). Тому знак функції в кожному проміжку можна визначати в будь-якій точці цього проміжку. Це і є тре- тім етапом розв’язування	3. Позначити нулі на ОДЗ і зна- йти знак функ- ції в кожному з проміжків, на які розбиваєть- ся ОДЗ
3.	-2	1	х		
4. Відповідь:  (—о°; -2) О (1; +оо).<]	На рисунку до пункту 3 видно, що розв’язком нерів- ності є об’єднання проміжків (— оо; -2) и (1; +°°)	4. Записати відпо- відь, ураховуючи знак нерівності

Наведемо приклади розв’язування більш складної дробово-
раціональної нерівності методом інтервалів та за допомогою рівносиль-
них перетворень.
Приклад

Розв’яжіть нерівність

х2 +2х -3 < 0

(х + 1)

І спосіб (метод інтервалів)

Розв’язання

► Нехай /(х) = х2+2х„3.

(х+1)2

1	ОДЗ: х Ф —1.

2.	Нулі / (х): *2+2*73 = 0,
(х + 1)

Xі + 2х - 3 = 0,

хх = 1, х2 = -З (входять до ОДЗ).

3.	Відмічаємо нулі функції на ОДЗ
і знаходимо знак / (х) у кожно-
му з проміжків, на які розбива-
ється ОДЗ.

Коментар

Задана нерівність має вигляд
/ (х) < 0, і для її розв’язування
можна застосувати метод інтерва-
лів. Для цього використаємо план,
наведений вище та в таблиці 11.

При знаходженні нулів / (х) сте-
жимо за тим, щоб знайдені значення
входили до ОДЗ (або виконуємо пе-
ревірку знайдених коренів рівняння
/ (х) = 0).

Записуючи відповідь до нестро-
гої нерівності, слід урахувати, що
всі нулі функції повинні ввійти до
відповіді (у даному випадку — чис-
ла —3 і 1).

4. Відповідь: [-3; -1) О (-1; 1]. <

II спосіб (за допомогою рівносильних перетворень)

Коментар

Виберемо для розв’язування метод рівносильних перетворень нерів-
ності. Виконуючи рівносильні перетворення, ми повинні врахувати ОДЗ
заданої нерівності, тобто врахувати обмеження (х + І)2 Ф 0.

Але якщо х Ф — 1, то (х + І)2 > 0, і тоді в заданому дробу знаменник
додатний. Якщо виконується задана нерівність, то чисельник дробу
х2 + 2х — 3 < 0 (і навпаки, якщо виконується остання нерівність, то на
ОДЗ дріб х + 2х 3 < 0 , тобто задана нерівність рівносильна на ОДЗ не-
(х + 1)2

рівності х2 + 2х - 3 < 0.

Щоб розв’язати одержану квадратну нерівність, знайдемо коре-
ні квадратного тричлена х2 + 2х — 3 і побудуємо ескіз графіка функції
у = х2 + 2х - 3. Розв’язок квадратної нерівності: — 3 < х < 1.
Оскільки всі перетворення були рівносильними тільки на ОДЗ, то
ми повинні вибрати тільки ті розв’язки квадратної нерівності, які задо-
вольняють обмеження ОДЗ.

Розв’язання

► ОДЗ: (х + І)2 Ф 0, отже, х Ф -1.

Тоді (х + І)2 > 0 і задана нерівність на її ОДЗ X	X

рівносильна нерівності х2 + 2х — 3 < 0. Оскільки 3Ч _
х2 + 2х —3 = 0 при хг = — 3, х2 = 1 (ці значення х вхо-
дять до ОДЗ), одержуємо — 3 < х < 1 (див. рисунок).

Ураховуючи ОДЗ, отримуємо відповідь.

Відповідь: [-3; -1) О (-1; 1]. <

Запитання для контролю

1.	Поясніть на прикладах зміст понять: «розв’язок нерівності»,
«розв’язати нерівність», «область допустимих значень нерівності»,
«рівносильні нерівності».

2.	Сформулюйте відомі вам теореми про рівносильність нерівностей.
Проілюструйте їх на прикладах.

3.	Сформулюйте план розв’язування нерівностей методом інтервалів.
Проілюструйте використання цього плану на прикладі.

4.	Поясніть на прикладі, як можна виконувати рівносильні перетво-
рення нерівностей у тих випадках, які не описуються відомими тео-
ремами про рівносильність нерівностей.

Вправи

Розв’яжіть нерівність (1—2) двома способами: за допомогою рівно-
сильних перетворень і за допомогою методу інтервалів.

1°.	2  1)	— >0;	2) —;
	х2-і	>х-4	х + 2	х-3
	3)	~25 <0;	2 і о  4) 2 +	>1-
	(х + 5)(х-4)		х — 2х —8
2*.	1) Xі -	5х2 + 4 < 0;	2) 9х’ - 10х2 + 1 > 0;
	3)  X	х3;	4) (х2 + 4х - 5) (х2 + 4х + 3) < 105.
3°.	Знайдіть область визначення функції:		
	і)	і х-4  2 А ’ х — 4	І2х-х2 -1 2) у=д 2	;  \х2+Зх + 2
	з) у=^	сл  1  а  і  « | Сї	Іхг-7х + 12  4)	У = д 2  V х -2х-3
§5

ГРАФІКИ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ

З ДВОМА ЗМІННИМИ

Таблиця 13

1. Побудова графіків функцій виду у = / (х) + у (х)			
Якщо нам відомі графіки функцій у = / (х) та у = § (х), то ескіз графіка функції у = / (х) + § (х) можна побудувати так: зобразити в одній системі координат графіки функцій / (х) і § (х), а потім буду- вати шуканий графік за точками, виконуючи для кожного значення х (з області визначення функції / (х) + § (х)) необхідні операції над відрізками, які зображають відповідні ординати / (х) і § (х).  Аналогічно можна будувати і схематичні графіки функцій  У = / (*)•£ (л-) та У = ~^—  /О)			
Приклад			Коментар
Побудуйте графіт  У =  У	>. +	"		  N	Я» -			 \	ЦІЇ  2+і  1у = х2	Будуємо в одній системі коор- динат графіки функцій-доданків:  у = Xі та у = — (на рисунку вони  X  побудовані відповідно зеленою та синіми лініями). Для кожного зна- чення х (крім X = 0, яке не входить до області визначення заданої функ- ції) додаємо відповідні відріз- ки — значення функцій (справа від осі Оу) або віднімаємо, якщо зна- чення / (х) і У (х) протилежні за знаком (у даному випадку — зліва від осі Оу). На рисунку рожевою лі- нією зображено результат — графік  функції у = х +-  X
У = ~Х	0	х		
Продовження табл. 13

2. Графіки рівнянь та нерівностей з двома змінними

Означення. Графіком рівняння (нерівності) з двома змінни-
ми х і у називається множина всіх точок координатної площини з коор-
динатами (х; у), де пара чисел (х; у) є розв’язком відповідного рівняння
(нерівності).

Графіки деяких рівнянь і нерівностей

3. Геометричні перетворення графіка рівняння Е (х; у) = 0

Перетворення

Е (х — а; у — Ь) = 0
Паралельне перенесення
графіка рівняння

Е (х; у) = 0
на вектор п (а-, Ь)

Приклад

у* (х-З)2 + (у-2)2 = 1
Продовження табл. 13

Р (І х |; у) = 0

Частина графіка рівнян-
ня Р (х; у) = 0 праворуч від
осі Оу (і на самій осі) за-
лишається без зміни, і ця
сама частина відображу-
ється симетрично відносно
осі Оу.__________________

Р(х-,\у\) = 0

Частина графіка рівняння
Р (х; у) = 0 вище від осі Ох
(і на самій осі) залишається
без зміни, і ця сама части-
на відображується симе-
трично відносно осі Ох.

Пояснення й обґрунтування

1.	Побудова графіків функцій виду у = / (х) + § (х). Якщо відомі гра-
фіки функцій у = / (х) та у = § (х), то можна побудувати орієнтовний вид
графіка функції у = / (х) + § (х), або у = / (х)‘ £ (х), або у = ——. Для
ї(х)
цього достатньо зобразити в одній системі координат графіки функцій
/ (х) і 8 (х), а потім побудувати шуканий графік за точками, виконуючи
для кожного значення х (з області визначення заданої функції) необхід-
ні операції над відрізками (або над довжинами цих відрізків), які зобра-
жають відповідні ординати / (х) і 8 (х).

Приклад побудови графіка функції виду у = / (х) + £ (х) наведено
в таблиці 13, а графіка функції виду у = —— — далі в прикладі 1
(в останньому випадку зручно будувати графіки функцій у = / (х) і
у = —— не в одній системі координат, а в різних, розміщених так, щоб
ї(х)
їхні осі ординат розташовувалися на одній прямій).

Зауважимо, що такий спосіб побудови графіка функції не завжди
дає можливість виявити всі характерні особливості поведінки графіка
(часто це можна зробити тільки в результаті спеціального дослідження
функції, яке буде розглянуто в 11 класі), але в багатьох випадках наве-
дений спосіб дозволяє отримати певне уявлення про вид графіка заданої
функції.
2.	Графіки рівнянь та нерівностей з двома змінними. З поняттям гра-
фіка рівняння з двома змінними ви ознайомилися в курсі алгебри. Ана-
логічно вводиться і поняття графіка нерівності з двома змінними. Тому
можна дати спільне означення цих графіків:

Графіком рівняння (нерівності) з двома змінними х і у назива-
ється множина всіх точок координатної площини з координатами
(х; у), де пара чисел (х; у) є розв’язком відповідного рівняння (не-
рівності).

• Для побудови графіка нерівності у > / (х) (чи у < / (х)) достатньо
мати графік функції у = / (х). Дійсно, за означенням графік функції
у = / (х) складається з усіх точок М координатної площини з координа-
тами (х; у) = (х; / (х)). Тоді для кожного значення х точки, координати
яких задовольняють нерівності у > / (х), будуть розташовані вище точ-
ки М (рис. 54, а), а точки, координати яких задовольняють нерівності
у < / (х), будуть розташовані нижче точки М (рис. 54, б). Таким чином,

Рис. 55

графік нерівності у > / (х) складається з усіх точок координатної

площини, які знаходяться вище від графіка функції у = / (х), а гра-

фік нерівності у < / (х) складається з усіх точок
координатної площини, які знаходяться нижче
від графіка функції у = / (х). О

Наприклад, на рисунку 55 зображено графік
нерівності у > х2, а на рисунку 56 графік нерівності
у < Xа. Оскільки точки графіка у = Xі не належать
графіку нерівності у > Xі, то на першому графіку
парабола у = Xі зображена штриховою лінією; але
точки графіка у = Xі належать графіку нерівності
у < х2, тому на другому графіку парабола у = Xі зо-
бражена суцільною лінією.
Аналогічно, якщо на координатній площині є пряма х = а, то
графіком нерівності х > а будуть усі точки координатної площини,
які розташовані праворуч від цієї прямої, а графіком нерівності
х < а будуть усі точки координатної площини, які розташовані ліво-
руч від цієї прямої.

Наприклад, на рисунку 57 зображено графік нерівності % > 2, а на
рисунку 58 — графік нерівності х < — 1.

Зазначимо, що в тому випадку, коли на координатній площині є зо-
браження кола х2 + у2 = В2, то

графіком нерівності х2 + у2 < В2 будуть усі точки координатної
площини, які розташовані всередині кола, а графіком нерівності
х2 + у2 > В2 будуть всі точки координатної площини, які розташо-
вані поза колом.

4 Дійсно, якщо на координатній площині розглянути точку М (х, у),
то ОМ2 = х2 + у2 (точка О — початок координат). Якщо х2 + у2 = 7?2
(де В > 0), то ОМ2 = В2, отже, ОМ = В — точка М лежить на колі
радіуса В із центром у початку координат (рис. 59, а).

Якщо х2 + у2 < 7?2, то ОМ2 < В2, отже, ОМ < В. Тобто нерівності
х2 + у2 < В2 задовольняють координати всіх точок (і тільки цих то-
чок), які розташовані всередині круга, обмеженого колом радіуса В
із центром у початку координат (рис. 59, б).
Якщо х2 + у2 > В2, то ОМ2 > В2, отже, ОМ > В. Тобто нерівності
Xі + у2 > В2 задовольняють координати всіх точок (і тільки цих то-
чок), які знаходяться поза кругом, обмеженим колом радіуса В із
центром у початку координат (рис. 59, в).

Аналогічно, якщо на площині є зображення кола (х — а)2 +
+ (у — Ь)2 = В2, то графіком нерівності (х — а)2 + (у — Ь)2 < В2 будуть
усі точки координатної площини, які розташовані всередині кола,
а графіком нерівності (х — а)2 + (у — Ь)2 > В2 будуть усі точки коор-
динатної площини, які розташовані поза колом. Наприклад, на ри-
сунку 60 зображено графік нерівності х2 + у2 > 9, а на рисунку 61 —
графік нерівності (х - І)2 + (у - 2)2 < 16. О

Рис. 60

Рис. 61

3.	Геометричні перетворення графіка рівняння Р (х; у) = 0.

• За означенням графік рівняння

Р (х; у) = 0	(1)

складається з усіх точок М (х0; у0) координатної площини, коорди-
нати (х0; у0) яких є розв’язками цього рівняння. Це означає, що при
підстановці пари чисел (х0; у0) у задане рівняння воно перетворюєть-
ся на правильну числову рівність, отже, Р (х0; у0) = 0 — правильна
рівність.

Розглянемо точку МІ (х0 + а; у0 + Ь). Якщо координати цієї точки
підставити в рівняння

Р (х - а; у - Ь) = 0,	(2)

то одержимо рівність Р (х0; у0) = 0, яка є правильною. Тому коорди-
нати точки МІ є розв’язками рівняння (2), а отже, точка МІ нале-
жить графіку рівняння Р (х - а; у — Ь) = 0. Точку МІ (х0 + а; у0 + Ь)
можна одержати з точки М (х0; у0) паралельним перенесенням її
на вектор п(а',Ь). Оскільки кожну точку Мг графіка рівняння
Р (х — а; у — Ь) = 0 можна одержати з точки М графіка рівняння
Р (х; у) = 0 паралельним перенесенням її на вектор п (а; Ь) (рис. 62),
то і весь

 графік рівняння Р (х - а; у - Ь) = 0 можна одержати з графі-
ка рівняння Р (х; у) = 0 паралельним перенесенням його на
вектор п (а; Ь). О

• Для обґрунтування зв’язку між графіками Р (х; у) = 0 ІР (| х І; у) = о
достатньо помітити, що при х > 0 рівняння Р (| х |; у) = 0 збігається
з рівнянням Р (х; у) = 0, отже, збігаються і їхні графіки праворуч
від осі Оу і на самій осі. Нехай точка М (х0; у0) (де х() > 0) — одна із
спільних точок цих графіків. Тоді Р (х0; у0) = 0 — правильна рівність.
Розглянемо точку М± (— х0; (/0). Якщо координати цієї точки підста-
вити в рівняння Р (| х |; у) = 0 і врахувати, що х() > 0, то одержимо
рівність Р (х0; (/0) = 0, яка є правильною. Тому координати точки
є розв’язками рівняння Р (| х |; у) = 0, а отже, точка належить
графіку цього рівняння. Ураховуючи, що точки М і Мх симетричні
відносно осі Оу (рис. 63),

І графік рівняння Р (| х |; у) = 0 можна одержати із графіка рівнян-
ня Р (х; у) = 0 так: частину графіка рівняння Р (х; у) = 0 праворуч
від осі Оу (і на самій осі) залишити без змін і цю саму частину
відобразити симетрично відносно осі Оу. О

Аналогічно можна обґрунтувати, що

І для побудови графіка рівняння Р (х; | у |) = 0 частину графіка
рівняння Р (х; у) = 0 вище від осі Ох (і на самій осі) потрібно
залишити без змін і цю саму частину відобразити симетрич-
но відносно осі Ох.

У таблиці 13 наведено найпростіші приклади використання геоме-
тричних перетворень графіків рівнянь. Указані співвідношення вико-
ристовують у завданнях типу: побудувати графік рівняння чи нерівності
або зобразити на координатній площині множину точок, координати
яких задовольняють заданому рівнянню (нерівності).
Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Побудуйте графік функції У = ~----

х -9

Ра зе’яза н н а

► Xі - 9 = 0 при х = ±3. Тому об-
ласть визначення заданої функ-
ції:

Xі - 9 Ф 0, тобто х Ф ±3.

нпі ар

Побудуємо дві системи коорди-
нат так, щоб осі ординат у них були
на одній прямий. У тих точках, де
функція / (х) = Xі — 9 дорівнює нулю
(х = ±3), не існує графіка функції
У = у~ = ~^—• Тому проведемо че-
рез ці точки вертикальні прямі, що
не перетинають графік функції
у =---. Потім для кожного значен-

их)

ня х поділимо 1 на відповідне
значення ординати / (х) (використо-
вуючи те, що ординати / (х) від-
мічені на верхньому графіку).
На рисунку червоною лінією зобра-
жено результат — графік функції
у = ——. (Для побудови цього гра-
ді -9

фіка вибрано різний масштаб по
осях Ох і Оу.)
Приклад 2

Покажіть штриховкою на координатній площині множи-
ну точок, координати яких задовольняють системі
ґх2 + і/<0,
[х-у<2.

Розв’язання

► Задана система рівносильна сис-
темі

—х2,
[у>х-2.

Зобразимо штриховкою графіки
нерівностей системи (першої — вер-
тикальною , другої—горизонтальною):

Рис. 64

Тоді множина точок, коорди-
нати яких задовольняють системі,
буде такою:

Коментар

Перепишемо задану систему
так, щоб нам було зручно зобра-
жати графіки заданих нерівностей
(тобто запишемо нерівності у вигля-
ді у > / (х) або у < / (х)). Множиною
точок, координати яких задовольня-
ють нерівності у < —х2, є об’єднання
параболи у = —Xі і точок коорди-
натної площини, які розташовані
нижче цієї параболи (на рис. 64 ця
множина позначена вертикальною
штриховкою). Множина точок, ко-
ординати яких задовольняють не-
рівності у > х — 2, складається
з точок координатної площини, які
знаходяться вище прямої у = х — 2
(на рисунку ця множина позначена
горизонтальною штриховкою).

Системі нерівностей задовольня-
ють координати тих і тільки тих то-
чок, які належать перетину множин
точок, що задаються кожною з не-
рівностей заданої системи (на ри-
сунку перетину множин відповідає
та область, де штриховки наклалися
одна на одну).

Зауважимо, що в подібних
завданнях можна не виконува-
ти проміжних рисунків, а відразу
штрихувати шукану множину то-
чок координатної площини (вище
прямої у = х — 2 і нижче параболи
у = —х2 разом з тією частиною па-
раболи, яка лежить вище прямої;
рис. 65).
Приклад 3 Побудуйте графік рівняння | х — //| + 2|х + //| = х + 6.
Орієнтир

Для спрощення виразу з кількома модулями з двома змінними мож-
на знайти нулі підмодульних виразів (тобто прирівняти їх до нуля) і
розбити область визначення розглядуваного виразу на декілька частин,
у кожній з яких всі модулі розкриваються однозначно.

Використовуючи цей орієнтир, одержуємо план розв’язання прикладу.

Прирівняємо до нуля підмодульні вирази х — у = 0 (звідси у = х)
і х + у = 0 (звідси у = —х). Прямі у = х і у = —х розбивають координатну
площину на чотири області. У кожній із цих областей всі модулі роз-
криваються однозначно, і після перетворення одержаної рівності можна
будувати відповідну частину графіка заданого рівняння.

Розв'язання

► 1. Область визначення: х є К, у є К.

2.	х - у = 0 при у = х; х + у = 0 при у = -х.

3.	Прямі у = х і у = —х розбивають координатну площину на чотири
частини, у кожній з яких позначено знаки першого і другого під-
модульних виразів (рис. 66, а). (Будемо вважати, що кожна область
береться разом із променями, які її обмежують.) Дійсно, якщо точки
розташовані в області І або на її межі, то їхні координати задоволь-
„ \у>х,

няють системі нерівностей <!	яку можна записати так:

[у>-х,

[х-у < 0,

1	Тоді в області І перший підмодульний вираз є від’ємним,

[х + у> 0.

а другий — додатним, і тому задане рівняння має вигляд: —(х ~ у) +
+ 2 (х + у) = х + 6. Звідси у = 2. Будуємо частину графіка цієї функ-
ції, що розміщується в області І (рис. 66, б).
Аналогічно для точок області II:

У>х,	ґх-і/СО,

тобто 5
у<-х,	[х+і/СО.

Отже, в області II задане рівняння має вигляд: —(х - у) — 2 (х + у) =
= х + 6. Звідси у = —4х — 6. Будуємо частину графіка цієї функції,
що розташовується в області II.

(у < X,

Якщо точки розташовані в області III: <{	тобто

[У < -х,

х-у^0,
х + у < 0,

із заданого рівняння одержуємо (х — у) — 2 (х + у) = х + 6. Звідси
2 о
у = —х-2.

З	г	,

и/<х,	х-у>0,

Якщо точки лежать в області IV: і	тобто <{	із задано-

(у>-х, (х + у>0,
го рівняння маємо (х — у) + 2 (х + у) = х + 6. Звідси у = —2х + 6.
Остаточний вигляд графіка рівняння наведено на рисунку 66, б. <1

Запитання для контролю

1-	Поясніть на прикладах, як можна, маючи графіки функцій у = / (х)
та у = § (х), побудувати ескіз графіка функції у = / (х) + § (х) та
функції у = -^}.

2.	Що називається графіком рівняння з двома змінними? Що назива-
ється графіком нерівності з двома змінними? Наведіть приклади.

3.	Як, знаючи графік функції у = / (х), побудувати графік нерівності
у > / (х) та нерівності у < / (х)? Наведіть приклади.

4.	Як, знаючи графік рівняння Р (х; у) = 0, можна побудувати графік
рівняння Р (х - а-, у — Ь) = 0 та рівнянь Р (| х|; у) = 0 і Р (х; | у |) = 0?
Наведіть приклади.

5.	Обґрунтуйте правила геометричних перетворень графіка рівняння
Р (х; у) = 0 для одержання графіків рівнянь Р (х - а; у — Ь) = 0,
^(|х|; у) = 0, Р(х;\у\) = 0.

6.	Поясніть на прикладі, як можна знайти на координатній площині
множину точок, координати яких задовольняють системі нерівно-
стей із двома змінними.

Вправи

1. Побудуйте ескіз графіка функції:

1) у = х + —;	2) у = х~—;	3) у = х3 + —;

XXX

4) У = Х2--.
2.

3.

4.

Побудуйте графік рівняння:

1) І у І	= х - 2;	2)	І у І	= х2	- х;	3) |	х	| =	-у2;

4) І х |	+ | у | = 2;	5)	| х |	- | у	| =	2.

Побудуйте графік нерівності:

1) у >	х2 - 3;	2)	У<—;	3)	х2	+	у2 < 25;

4) (х -	2)2 + (у + З)2 > 4.

Покажіть штриховкою на координатній площині множину точок,
координати яких задовольняють системі:

у < 5-х,

4)	- у>х,

у^2х + 4.

Побудуйте графік рівняння:

1)	| х - у \ - \ х + у \ = у + 3;

2)	| х - 2у | + | 2х - у | = 2 - у;

3)	І Зх + у | + | х - у | = 4.

х2 + у2<4,	\х2 + у2>9,

І

у>х-,	[х2 + у2 «С 25;

§ 6 МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

При розв’язуванні математичних завдань інколи виникає потреба
обґрунтувати, що певна властивість виконується для довільного нату-
рального числа п.

Перевірити задану властивість для кожного натурального чис-
ла ми не можемо — їх кількість нескінченна. Доводиться міркувати
так: 1) я можу перевірити, що ця властивість виконується при п = 1;
2) я можу показати, що для кожного наступного значення п вона теж ви-
конується, отже, властивість буде виконуватись для кожного наступного
числа починаючи з одиниці, тобто для всіх натуральних чисел.

Такий спосіб міркувань при доведенні математичних тверджень на-
зивається методом математичної індукції. Він є одним з універсаль-
них методів доведення математичних тверджень, у яких містяться слова
«для довільного натурального п» (можливо, не сформульовані явно). До-
ведення за допомогою цього методу завжди складається з двох етапів:
1) початок індукції: перевіряють, чи виконується розглядуване твер-
дження при п = 1;

2) індуктивний перехід: доводять, що коли задане твердження викону-
ється для 7г, то воно виконується і для 7г +1.

Таким чином, почавши з п = 1, ми на основі доведеного індуктивно-
го переходу одержуємо справедливість сформульованого твердження для
п = 2, 3, ..., тобто для будь-якого натурального п.
На практиці цей метод зручно використовувати за схемою, наведе-
ною в таблиці 14.

Таблиця 14

Схема доведення тверджень за допомогою методу математичної індукції	Приклад
1.	Перевіряємо, чи викону- ється дане твердження при п = 1 (іноді почина- ють з п = р).  2.	Припускаємо, що задане твердження справедливе при п = к, де к > 1 (дру- гий варіант — при п С й).  3.	Доводимо (спираючись на припущення) справед- ливість нашого тверджен- ня і при п = к + 1.  4.	Робимо висновок, що дане твердження справедливе для будь-якого натураль- ного числа п (для будь- якого п > р)	Доведіть, що для довільного натурального п:  1 • 2 + 2 • 3 +... + п (п +1) = — п (п +1) (п + 2).  ► Для зручності запису позначимо  = 1*2+ 2*3 + ... + и (и + 1).  1.	При п = 1 рівність виконується:  1-2 = — -І'2'З, тобто 2 = 2.  3  2.	Припускаємо, що задана рівність є пра- вильною при п = 1г, де 1г 1, тобто  = 1 • 2 + 2 • 3 + ... + 1г (1г + 1) =  = |й(й + 1)(й + 2).	(1)  о  3.	Доведемо, що рівність виконується і при п = 1г + 1, тобто доведемо, що  5Л + 1 = 1-2 + 2-3 + ... + 1г (1г + 1) +  + (к +1) (к + 2) = —(к +1) (к+ 2) (к+ 3).  3  Ураховуючи, що  5Л + 1 =	+ (1г + 1) (1г + 2),  і підставляючи 8к з рівності (1), одер- жуємо  ^+1=|й(й + 1)(й + 2) + (й + 1)(й + 2) =  = -(/? +1)(/? +2) (й + 3),  3  що й потрібно було довести.  4.	Отже, задана рівність правильна для будь-якого натурального п. <

Приклади розв'язування завдань

Приклад 1 Доведіть, що 10" — 9п — 1 ділиться на 81 при будь-якому
натуральному п.

Коментар

Оскільки твердження необхідно довести для будь-якого натурально-
го п, то використаємо метод математичної індукції за схемою, наведеною
в таблиці 14. Виконуючи індуктивний перехід (від п = 1г до п = 1г + 1),
подамо вираз, який одержуємо при п = к + 1, як суму двох виразів: того,
що одержали при п = к, і ще одного виразу, який ділиться на 81.

Розв’язання

1.	► Перевіряємо, чи виконується задане твердження при п = 1. Якщо
п = 1, заданий вираз дорівнює 0, тобто ділиться на 81. Отже, задана
властивість виконується при п = 1.

2.	Припускаємо, що задане твердження виконується при п = к, тобто
що 10' — 97г - 1 ділиться на 81.

3.	Доведемо, що задане твердження виконується і при п = к + 1, тобто
що 10' +1 — 9 (7г + 1) — 1 ділиться на 81.

10*41 - 9 (7г + 1) - 1 = 10*-10 - 97г - 9 - 1 = 10 (10* - 97г - 1) + 817г.
Вираз у дужках — це значення заданого виразу при п = к, яке за
припущенням індукції ділиться на 81. Отже, кожний доданок остан-
ньої суми ділиться на 81, тоді і вся сума, тобто 10'1 1 — 9 (7г + 1) — 1,
ділиться на 81. Таким чином, задане твердження виконується і при
п = 7г + 1.

4.	Отже, вираз 10' — 9п — 1 ділиться на 81 при будь-якому натурально-
му п. <1

Приклад 2 Доведіть, що 2" > 2п + 1, якщо п 3, п є N.

Коментар

Оскільки твердження повинно виконуватися починаючи з п = 3, то
перевірку проводимо саме для цього числа. Записуючи припущення ін-
дукції, зручно використати, що за означенням поняття «більше» а > Ь
тоді і тільки тоді, коли а — Ь > 0. Доводячи нерівність при п = 7г + 1,
знову використовуємо те саме означення і доводимо, що різниця між
лівою і правою частинами відповідної нерівності додатна.

Розв’язання

1.	При п = 3 одержуємо 2® > 2 • 3 + 1, тобто 8 > 7 — правильна нерів-
ність. Отже, при п = 3 задана нерівність виконується.

2.	Припускаємо, що задана нерівність виконується при п = 7г (де 7г > 3):
2' > 27г + 1, тобто 2* - 27г - 1 > 0.	(1)

3.	Доведемо, що задана нерівність виконується і при п = к + 1, тобто
доведемо, що 2* + 1 > 2(7г + 1) + 1.

Розглянемо різницю

2* + 1 - (2 (7г + 1) + 1) = 2*-2 - 27г - 3 = 2 (2* - 27г - 1) + 27г - 1 > 0
(оскільки вираз у дужках за нерівністю (1) додатний і при 7г => З ви-
раз 27г — 1 теж додатний). Отже, 2* + 1 > 2 (7г + 1) + 1, тобто задана
нерівність виконується і при п = 7г + 1.

4.	Таким чином, задана нерівність виконується при всіх натуральних
п > 3.
Вправи

Доведіть за допомогою методу математичної індукції (1—12).

1.	—— ч——+ ... ч-------= п при всіх натуральних п (п є И).

1*2 2*3 п (п ч-1) п ч-1

2.	—— ч-—-—н...ч------------= —-—, де п є N.

1*5 5*9	(4п - 3) (4;? ч-1) 4??ч-1

3.	13 + 23 + 33 + ... + п3 = ,,2('; + 1)2, цеп є N.

4

4.	1'2'Зч-2'3-4ч-...ч-п(пч-1)(пч-2) = —п(пч-1)(пч-2)(пч-3), де п є N.
4

5.	Добуток 1*2*3*...*п позначається пі (читається: «п факторіал»).
Доведіть, що 1 • 1! + 2 • 2! + ... + п • пі = (п + 1)! - 1, де п є N.

6.	4" > 7п — 5, якщо п є N.

7.	2" > па, якщо п 10.

8.	Доведіть, що 9" — 8п — 1 ділиться на 16 при будь-якому натурально-
му п.

9.	Доведіть, що 5" + 2 • 3" — 3 ділиться на 8 при будь-якому натураль-
ному п.

10.	Доведіть, що 7" + 3" — 2 ділиться на 8 при будь-якому натуральному п.

11.	Доведіть, що 23п + 3 - 7п + 41 ділиться на 49 при будь-якому нату-
ральному п.

12.	Доведіть, що коли а, = 2, а„ = 8, а „ = 4а , — За , то а = 3" - 1, де
п є N.

§ 7	МНОГОЧЛЕНИ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ТА ДІЇ НАД ними

7.1.	Означення многочленів від однієї змінної та їх тотожна рівність

Розглянемо одночлен і многочлен, які залежать тільки від однієї
змінної, наприклад від змінної х.

За означенням одночлена числа і букви (у нашому випадку одна бук-
ва — х) у ньому пов’язані тільки двома діями — множенням і піднесен-
ням до натурального степеня. Якщо в цьому одночлені добуток усіх
чисел записати перед буквою, а добуток усіх степенів букви записати як
цілий невід’ємний степінь цієї букви (тобто записати одночлен у стан-
дартному вигляді), то одержимо вираз виду ах", де а — деяке число.
Тому одночлен від однієї змінної х — це вираз виду ах", де а — деяке
число, п — ціле невід’ємне число. Якщо а Ф 0, то показник степеня п
змінної х називається степенем одночлена. Наприклад, 25х6 — одно-
член шостого степеня, —х2 — одночлен другого степеня. Якщо одночлен
з

є числом (не рівним нулю), то його степінь вважають рівним нулю. Для
одночлена, який заданий числом 0, поняття степеня не означають
(оскільки 0 = 0*х = 0>х2 = 0>х8...).

За означенням многочлен від однієї змінної х — це сума одночленів
від однієї змінної х. Тому

І многочленом від однієї змінної х називається вираз виду

/ (х) = апх" + ап гх" ’+... + а2х2 + а}х + а0,	(1)

де коефіцієнти ал, ал р а0 — деякі числа.

Якщо а Ф 0, то цей многочлен називають многочленом п-го сте-
пеня від змінної х. При цьому член а;х" називають старшим членом
многочлена / (х), число ап — коефіцієнтом при старшому члені, а член
а0 — вільним членом. Наприклад, 5х8 - 2х +1 — многочлен третього
степеня, у якого вільний член дорівнює 1, а коефіцієнт при старшому
члені дорівнює 5.

Зазначимо, що іноді нумерацію коефіцієнтів многочлена починають
з початку запису виразу (1), і тоді загальний вид многочлена / (х) за-
писують так:

/ (х) = Ь„х" + Ь.х" 1 + ... + Ь ,х + Ь ,
де Ьо, Ьг, ..., Ь — деякі числа.

І Теорема 1. Одночлени ах”, де а 0, та Ьх™, де Ь 0, тотожно
рівні тоді і тільки тоді, коли а = Ь і п = т.

Одночлен ах" тотожно рівний нулю тоді і тільки тоді, коли
а = 0.

• Оскільки рівність одночленів

ах" = Ьх'"	(2)

виконується при всіх значеннях х (за умовою ці одночлени тотожно
рівні), то, підставляючи в цю рівність х = 1, отримуємо а = Ь. Скоро-
чуючи обидві частини рівності (2) на а (де а Ф 0 за умовою), одержу-
ємо х" = х'". При х = 2 із цієї рівності маємо: 2" = 2"'. Оскільки
2” =2-2'...-2, а 2т = 2-2'...-2, то рівність 2" = 2"' можлива лише
п разів	т разів

тоді, коли п = т. Отже, з тотожної рівності ах" = Ьх™ (а 0, Ь 0)
отримуємо, що а = Ь і п = т.

Якщо відомо, що ах" = 0 для всіх х, то при х = 1 одержуємо а = 0.
Тому одночлен ах" тотожно рівний нулю при а = 0 (тоді ах" = 0 • х" =
= 0і). О

Надалі будь-який одночлен виду 0 • х" замінюватимемо на 0.

ІТеорема 2. Якщо многочлен / (х) тотожно рівний нулю (тоб-
то набуває нульових значень при всіх значеннях х), то всі його
коефіцієнти рівні нулю.

Значком = позначено тотожну рівність многочленів.
< Для доведення використовуємо метод математичної індукції.

Нехай / (х) = а^х" +	,х" 1 + ... + а}х + а0 = 0.

При п = 0 маємо / (х) = а0 = 0, тому а0 = 0. Тобто в цьому випадку
твердження теореми виконується.

Припустимо, що при п = 7г це твердження також виконується: якщо
многочлен а,хк + а. лхкі + ... + алх +	= 0, то а. = а. = ... = а =

к	к - 1	1	0	7 к к 1	1

= «0 = °-

Доведемо, що задане твердження виконується й при п = 7г + 1. Нехай
/ (х) = ак+1хк+1 + акхк + ... + аАх + а0 = 0.	(3)

Оскільки рівність (3) виконується при всіх значеннях х, то, підстав-
ляючи в цю рівність х = 0, одержуємо, що а0 = 0. Тоді рівність (3)
перетворюється на таку рівність: ак + 1хк + 1 + акхк + ... + а{х = 0. Ви-
несемо х у лівій частині цієї рівності за дужки та одержимо

х (акл гхк + акхк 1 + ... + ах) = 0.	(4)

Рівність (4) повинна виконуватися при всіх значеннях х. Для того
щоб вона виконувалася при х Ф 0, повинна виконуватися тотожність
ак + іхк + акхк 1 + ... + аі = 0.

У лівій частині цієї тотожності стоїть многочлен із степенями змінної
від х° до хк. Тоді за припущенням індукції всі його коефіцієнти дорів-
нюють нулю: ак+ = ак = ... = ах = 0. Але ми довели також, що а0 = 0,
тому наше твердження виконується і при п = 7г + 1. Отже, тверджен-
ня теореми справедливе для будь-якого цілого невід’ємного п, тобто
для всіх многочленів. О

Многочлен, у якого всі коефіцієнти рівні нулю, зазвичай називають
нульовим многочленом, або нульмногочленом, і позначають 0 (х) або
просто 0 (оскільки 0 (х) = 0).

І Теорема 3. Якщо два многочлени / (х) і § (х) тотожно рівні,
то вони збігаються (тобто їхні степені однакові й коефіцієн-
ти при однакових степенях рівні).

• Нехай многочлен / (х) = апх" + ап_іхя1 + ... + а2х2 + ахх + а0,
а многочлен £ (х) = Ь X" + & Xм 1 + ... + Ь2х2 + Ьхх + Ьо. Розгляне-
мо многочлен / (х) — § (х). Оскільки многочлени / (х) і § (х) за умо-
вою тотожно рівні, то многочлен / (х) — § (х) тотожно дорівнює 0.
Отже, усі його коефіцієнти дорівнюють нулю.

Але / (х) - Я (х) = (о0 - ьо) + (а, - Ьх) х + (а2 - Ь2) х2 + ... .

Тоді а0 - Ьо = 0, а1~ Ьі = 0, а2 - Ь2 = 0, ... . Звідси а0 = Ьо, ах = Ьх,
а =& ,.... Як бачимо, якщо припустити, що в якогось із двох заданих
многочленів степінь вищий, ніж у другого многочлена (наприклад,
п більше т), то коефіцієнти різниці дорівнюватимуть нулю. Тому,
починаючи з (т + 1)-го номера, усі коефіцієнти а. також дорівнюва-
тимуть нулю. Отже, многочлени / (х) і § (х) дійсно мають однаковий
степінь і відповідно рівні коефіцієнти при однакових степенях. О
Теорема 3 є основою так званого методу невизначених коефіцієнтів.
Покажемо його застосування на такому прикладі.

Приклад Доведіть, що (х + 2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) + 16 є повним
квадратом.

► Заданий многочлен є многочленом четвертого степеня, тому він
може бути повним квадратом тільки многочлена другого степеня.
Многочлен другого степеня має вигляд ах2 + Ьх + с (а Ф 0).

Одержуємо тотожність:

(х + 2) (х + 4) (х + 6) (х + 8) + 16 = (ах2 + Ьх + с)2.	(5)

Розкриваючи дужки в лівій і правій частинах цієї тотожності та при-
рівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х, одержуємо систему
рівностей. Цей етап зручно оформляти в такому вигляді:

X4	1 =а2
X8	2 + 4 + 6 + 8 = 2аЬ
X2	2 • 4 + 2 • 6 + 2 • 8 + 4 • 6 + 4 • 8 + 6 • 8 = Ь2 + 2ас
Xі	2 • 4 • 6 + 2 • 4 • 8 + 2 • 6 • 8 + 4 • 6 • 8 = 2Ьс
х°	2 • 4 • 6 • 8 + 16 = с2

З першої рівності одержуємо а = 1 або а = — 1.

При а = 1 із другої рівності маємо Ь = 10, а з третьої — с = 20. Як
бачимо, при цих значеннях а, Ь і с останні дві рівності також викону-
ються. Отже, тотожність (5) виконується при а = 1, Ь = 10, с = 20 (анало-
гічно можна також одержати а = — 1, Ь = —10, с = —20).

Таким чином, (х + 2)(х + 4)(х + 6)(х + 8) + 16 = (х2 + Юх + 20)2. <

Вправи

1.	Знаючи, що многочлени / (х) і § (х) тотожно рівні, знайдіть значен-
ня коефіцієнтів а, Ь, с, д:

1)	/ (х) = 2х2 - (3 - а) х + Ь, § (х) = сх8 + 2дх2 + х + 5;

2)	/ (х) = (а + 1) х8 + 2, £ (х) = Зх8 + Ьх2 + (с - 1) х + д.

2.	Знайдіть такі числа а, Ь, с, щоб задана рівність (х2 — 1) а + Ь (х — 2) +
+ с (х + 2) = 2 виконувалася при будь-яких значеннях х.

3.	Доведіть тотожність:

1)	(х - 1) (х + 1) (х2 - х + 1) (х2 + х + 1) = х6 - 1;

2)	1 + х4 = (1 + х>/2 +хг)(1-х>/2 +хг).

4.	Доведіть, що заданий вираз є повним квадратом:

1)	(х - 1) (х - 2) (х - 3) (х - 4) + 1;

2)	(х + а) (х + 2а) (х + За) (х + 4а) + а4.
5.	Знайдіть такі а і Ь, щоб при будь-яких значеннях х виконувалася
рівність

Зх4 + 4х8 + 8х2 + Зх + 2 = (Зх2 + ах + 1) (х2 + х + Ь).

6.	Запишіть алгебраїчний дріб --------- як суму двох алгебраїчних

15х2 +х-2

г--	а  Ь

дробів виду ---- 1 ---

Зх -1 5х + 2

7.2. Дії над многочленами. Ділення многочлена на многочлен
з остачею

Додавання і множення многочленів від однієї змінної виконують за
допомогою відомих правил додавання і множення многочленів. У ре-
зультаті виконання дій додавання або множення над многочленами від
однієї змінної завжди одержують многочлен від тієї самої змінної.

З означення добутку двох многочленів випливає, що старший член
добутку двох многочленів дорівнює добутку старших членів множни-
ків, а вільний член добутку дорівнює добутку вільних членів множни-
ків. Звідси одержуємо, що степінь добутку двох многочленів дорівнює
сумі степенів множників.

При додаванні многочленів одного степеня одержують многочлен
цього самого степеня, хоча іноді можна одержати многочлен меншого
степеня.

Наприклад, 2х8 - 5х2 + Зх + 1 + (-2х8 + 5х2 + х + 5) = 4х + 6.

При додаванні многочленів різних степенів завжди одержуємо мно-
гочлен, степінь якого дорівнює більшому степеню доданку.

Наприклад, (Зх8 - 5х + 7) + (х2 + 2х + 1) = Зх8 + х2 - Зх + 8.

Ділення многочлена на многочлен означається аналогічно діленню
цілих чисел. Нагадаємо, що ціле число а ділиться на ціле число Ь (Ь Ф 0),
якщо існує таке ціле число у, що а = Ь- у.

Означення. Многочлен А (х) ділиться на многочлен В (х) (де
В (х) — ненульовий многочлен), якщо існує такий многочлен (х),
що

А (х) = В (х) • (х).

Як і для цілих чисел, операція ділення многочлена на многочлен
виконується не завжди, тому в множині многочленів уводять операцію
ділення з остачею. Кажуть, що

многочлен А (х) ділиться на многочлен В (х) (де В (х) — ненульо-
вий многочлен) з остачею, якщо існує така пара многочленів (х)
і В (х), що А (х) = В (х) • (х) + В (х), причому степінь остачі В (х)
менший за степінь дільника В (х). (Зазначимо, що в цьому випадку
многочлен (х) називається неповною часткою.)
Наприклад, оскільки х3 — 5х + 2 = (х2 - 5) х + 2, то при діленні
многочлена х3 — 5х + 2 на многочлен х2 — 5 одержуємо неповну частку х
і остачу 2.

Іноді ділення многочлена на многочлен, як і ділення багатозначних
чисел, зручно виконувати «куточком», користуючись таким алгорит-
мом.

Приклад Розділимо многочлен А (х) = Xі — 5х8 + х2 + 8х — 20 на
многочлен В (х) = х2 — 2х + 3.

► х4 - 5х8 + х2 + 8х - 20 х2 - 2х + З

х4 - 2х8 + Зх2 х2 - Зх - 8

-Зх8 - 2х2 + 8х - 20

-Зх8 + 6х2 - 9х__________

-8х2 + 17х - 20

-8х2 + 16х - 24

х + 4

Доведемо, що одержаний результат дійсно є результатом ділення
А (х) на В (х) з остачею.

• Якщо позначити результат виконання першого кроку алгоритму че-
рез /х (х), другого кроку — через / (х), третього — через / (х), то
операцію ділення, яку виконали вище, можна записати у вигляді
системи рівностей:

А (х) = А (х) - х2 • В (х);	(1)

/2 (л-) = А (л-) - (“Зх) • В (х);	(2)

А (х) = А (х) - (-8) . В (х).	(3)

Додамо почленно рівності (1), (2), (3) та отримаємо

А (х) = (х2 - Зх - 8) В (х) + А (* *)•	(4)

Ураховуючи, що степінь А (л’) = х + 4 менший за степінь дільника
В (х) = х2 - 2х + 3, позначимо А (*) = К (х) (остача), а х2 - Зх - 8 =
= (х) (неповна частка). Тоді з рівності (4) маємо: А (х) = В (х) • © (х) +
+ В (х), тобто х4 - 5х8 + х2 + 8х - 20 = (х2 - 2х + 3) (х2 - Зх - 8) +
+ х + 4, а це й означає, що ми розділили А (х) на В (х) з остачею.
Очевидно, що наведене обґрунтування можна провести для будь-якої
пари многочленів А (х) і В (х) у випадку їх ділення стовпчиком. Тому
описаний вище алгоритм дозволяє для довільних діленого А (х) і діль-
ника В (х) (де В (х) — не нульовий многочлен) знайти неповну частку
© (х) та остачу В (х).

Зазначимо, що у випадку, коли степінь діленого А (х) менший за
степінь дільника В (х), вважають, що неповна частка (х) = 0, а остача
В (х) = А (х).
Вправи

1.	Виконайте ділення многочлена на многочлен:

1)	Зх8 - 5х2 + 2х - 8 на х - 2;	2) х10 + 1 на х2 + 1;

3)	х5 + Зх8 + 8х - 6 на х2 + 2х + 3.

2.	Виконайте ділення многочлена на многочлен з остачею:

1)	4х4 - 2х8 + х2 - х + 1 на х2 + х + 2;

2)	х5 + Xі + х3 + х2 + 1 на х2 - х - 2.

3.	При яких значеннях а і Ь многочлен А (х) ділиться без остачі на
многочлен В (х)?

1)	А (х) = х8 + ах + Ь, В (х) = х2 + 5х + 7;

2)	А (х) = 2х8 - 5х2 + ах + Ь, В (х) = х2 - 4;

3)	А (х) = х4 - х8 + х2 - ах + Ь, В (х) = х2 - х + 2.

4.	Знайдіть неповну частку і остачу при діленні многочлена А (х) на
многочлен В (х) методом невизначених коефіцієнтів:

1)	А (х) = х8 + 6х2 + 11х + 6, В (х) = х2 - 1;

2)	А (х) = х8 - 19х - ЗО, В (х) = х2 + 1.

7.3.	Теорема Везу. Корені многочлена. Формули Вієта

Розглянемо ділення многочлена / (х) на двочлен (х — а). Оскільки
степінь дільника дорівнює 1, то степінь остачі, яку ми одержимо, пови-
нен бути меншим за 1, тобто в цьому випадку остачею буде деяке чис-
ло В. Таким чином, якщо розділити многочлен / (х) на двочлен (х — а),
то одержимо

/ (х) = (х - а) • © (х) + В.

Ця рівність виконується тотожно, тобто при будь-якому значенні X.
При х = а маємо: / (а) = В. Одержаний результат називають теоремою
Везу1.

І Теорема 1 (теорема Везу). Остача від ділення многочлена / (х)
на двочлен (х - а) дорівнює / (а) (тобто значенню многочлена
при х = а).

Приклад 1 Доведіть, що х5 - Зх4 + 2х8 + 4х — 4 ділиться без остачі на
х - 1.

► Підставивши в / (х) = х5 — Зх4 + 2х8 + 4х — 4 замість х значення 1,
одержуємо: /(1) = 0. Отже, остача від ділення / (х) на (х — 1) дорів-
нює 0, тобто / (х) ділиться на (х — 1) без остачі. <1

Означення. Число а називається коренем многочлена / (х), якщо
/'(а)	0.

1 Безу Етьєн (1730—1783) — французький математик, який зробив значний
внесок у розвиток теорії алгебраїчних рівнянь.
Якщо многочлен / (х) ділиться на (х - а), то а — корінь цього мно-
гочлена.

•	Дійсно, якщо / (х) ділиться на (х — а), то / (х) = (х — а) •	(х) і тому

/ (а) = (а — а) •	(а) = 0. Отже, а — корінь многочлена / (х). О

Справедливе і зворотне твердження. Воно є наслідком теореми Безу.
ІТеорема 2. Якщо число а є коренем многочлена / (х), то цей
многочлен ділиться на двочлен (х — а) без остачі.

•	За теоремою Безу остача від ділення / (х) на (х — а) дорівнює / (а).
Але за умовою а — корінь / (х), отже, / (а) = 0. О

Узагальненням теореми 2 є таке твердження.

ІТеорема 3. Якщо многочлен / (х) має попарно різні ко-
рені ах, а2, ..., ап, то він ділиться без остачі на добуток
(х — ах) (х — аД-...-(х — ап).

•	Для доведення використовуємо метод математичної індукції.

При п = 1 твердження доведено в теоремі 2.

Припустимо, що твердження справедливе при п = к. Тобто, якщо а ,
а2, ..., а, — попарно різні корені многочлена / (х), то він ділиться на
добуток (х — </.,) (х — а,Д ••(* — оє^ Д. Т°ДІ

/ (х) = (х - ах) (х - аД-...-(х - аД-© (х).	(1)

Доведемо, що твердження теореми справедливе й при п = к + 1.
Нехай а , а2, ..., аА, осА + 1 — попарно різні корені многочлена / (х).
Оскільки ак — корінь / (х), то / (ак ) = 0. Беручи до уваги рів-
ність (1), яка виконується згідно з припущенням індукції, одержу-
ємо:

/ (осА + 1) = («А + 1 - «Д («А + ] - а2)-...-(аА + 1 - «Д-0 («А +Д = 0.

За умовою всі корені а , а2, ..., аА, осА + 1 різні, тому жодне із чисел
ак — а , ак — а2, ..., ак — ак не дорівнює нулю. Тоді (ак х) = 0.
Отже, — корінь многочлена (х). За теоремою 2 многочлен
© (х) ділиться на (х — ак х), тобто (х) = (х — ак х) •	(х) і з рівно-

сті (1) маємо

/ (х) = (х - ах) (х - а2)-...-(х - аД (х - аА + х) •	(х).

Це означає, що / (х) ділиться на добуток

(х - аД (х - аД-...-(х - аД (х - аА + Д,
тобто теорема доведена й при п = к + 1.

Отже, теорема справедлива для будь-якого натурального п. О

Наслідок. Многочлен степеня п має не більше п різних коренів.
♦ Припустимо, що многочлен п-го степеня має (п + 1) різних
коренів: ах, а2, ..., ап, ал + 1. Тоді / (х) ділиться на добуток
(х — аД (х — аД-... -(х — а ) — многочлен степеня (п + 1), але це
неможливо. Тому многочлен п-го степеня не може мати більше ніж
п коренів. О
Нехай тепер многочлен п-го степеня / (х) = апх" + ал_1х" 1 + ... +
+ а2х2 + ахх + а0 (ал ф 0) має п різних коренів осх, а2, ..., ап. Тоді цей
многочлен ділиться без остачі на добуток (х — ах) • (х — а2) •... • (х — ап).
Цей добуток є многочленом того самого п-го степеня. Отже, у результа-
ті ділення можна одержати тільки многочлен нульового степеня, тобто
число. Таким чином,

алх" + а, ,х" 1 + ... + а2х2 + ахх + а0 = Ь (х - ах) (х - а2)-...-(х - ап). (2)
Якщо розкрити дужки в правій частині рівності (2) і прирівняти
коефіцієнти при старших степенях, то одержимо, що Ь = ап, тобто

а х" + а ,х" 1 + ... + а„х2 + а,х + ап = а (х - а,) (х - «„)•... -їх - а ) (3)
п	п - 1	2	1	0 п'	1/ '	2х '	п' х '

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях X, що стоять в то-
тожності (3) зліва і справа, одержуємо співвідношення між коефіцієнта-
ми рівняння та його коренями, які називають формулами Вієта:

°п-1

ОС, + 0С9 +... + ос —-;

2

ос1ос9 + ос1осч + ... + осм .а =----------------------;

і. с.	і. о	ТІ- — 1 ТІ-	'

ап-2,
ооо^ос-ч-сос^ое,+... + ос 9ос =---------------;

і. С о	1 с. Ч	ТІ — а ТІ—}. ТІ	~

ап

(4)

аха2а3...ап =(-1)п—.
ап

Наприклад, при п = 2 маємо:

«о

СХх+СХ2=—-,	СХхСХ2=—,

а при п = 3:

Виконання таких рівностей є необхідною і достатньою умовою того,
щоб числа осх, ос2, ..., осп були коренями многочлена

/ (х) = а х" + а ,х" 1 + ... + а„х2 + а,х + ап (а 0).

' ' 7 п	п - 1	2	1	0'п/
Формули (3) і (4) справедливі не тільки для випадку, коли всі корені
многочлена / (х) різні. Введемо поняття кратного кореня многочлена.

Якщо многочлен / (х) ділиться без остачі на (х — а)*, але не ділиться
без остачі на (х — ос)* + ',то кажуть, що число а є корінь кратності к
многочлена / (х).

Наприклад, якщо добуток (х + 2)3 (х — І)2 (х + 3) записати у вигляді
многочлена, то для цього многочлена число (—2) є коренем кратності З,
число 1 є коренем кратності 2, а число (—3) є коренем кратності 1.

Використовуючи формули Вієта у випадку кратних коренів, необ-
хідно кожен корінь записати таке число разів, яке дорівнює його крат-
ності.

Приклад 2 Перевірте справедливість формул Вієта для многочлена
/ (х) = х8 + 2х2 - 4х - 8.

► / (х) = х8 + 2х2 - 4х - 8 = х2 (х + 2) - 4 (х + 2) = (х + 2) (х2 - 4) =
= (х - 2)(х + 2)2. Тому / (х) має корені: ах = 2, а2 = -2, а3 = -2 (оскіль-
ки —2 — корінь кратності 2).

Перевіримо справедливість формул (5).

У нашому випадку: а:і = 1, а2 = 2, аі = -4, а0 = -8. Тоді

2 + (-2) + (-2) =	2-(-2) +2-(-2) +(-2)-(-2) = ^; 2 -(-2) -(-2) = -у.

Як бачимо, усі рівності виконуються, тому формули Вієта є справед-
ливими для даного многочлена. <1

Приклад 3 Складіть квадратне рівняння, коренями якого є квадрати
коренів рівняння х2 — 8х + 4 = 0.

► Позначимо корені рівняння х2 — 8х + 4 = 0 через хх і х2. Тоді коре-
нями шуканого рівняння повинні бути числа ах = х2 і сх2 = х%. Отже,
це рівняння має вигляд х2 + рх + ц = 0,

де Р = -(«! + а2) = -(х2 + X2) = —((ххх2)2 - 2х1хг), ч = аха2 = х2х2 = (ххх2)2.

За формулами Вієта маємо: хх + х2 = 8 і ххх2 = 4. Звідси знаходимо,
що

5 = (ххх2)2 = 42 = 16, а р = -((хх+х2)2-2ххх2) = -(82-2-4) = -56.

Таким чином, шукане рівняння має вигляд х2 — 56х + 16 = 0. <1

Вправи

1.	Знайдіть остачу від ділення многочлена х5 — 4х4 + 2х3 — 5х + 1 на
х + 2.

2.	Знайдіть коефіцієнт а, знаючи, що остача від ділення многочлена
х8 — ах2 + 5х — 3 на х — 1 дорівнює 6.
3.	Многочлен / (х) при діленні на х - 1 має остачу 4, а при діленні на х - 3 —
остачу 6. Знайдіть остачу від ділення многочлена / (х) на х2 - 4х + 3.

4.	При яких значеннях а і Ь многочлен Xі + 2хя + ах2 — Ьх + 2 ділиться
без остачі на х + 2, а при діленні на х — 1 має остачу, яка дорівнює З?

5.	Остача від ділення многочлена / (х) на Зх2 - 5х + 2 дорівнює 7х + 1.
Знайдіть остачу від ділення цього многочлена на двочлени х - 1 і Зх - 2.

6.	Запишіть формули Вієта при п = 4.

7.	Складіть кубічний многочлен, який має корені 5, —2, 1 і коефіцієнт
при старшому члені —2. Розв’яжіть задачу двома способами.

8.	При яких значеннях а сума квадратів коренів тричлена х2 —
- (а + 2) х + За дорівнює 12?

9.	Яку кратність має корінь 2 для многочлена / (х) = х5 — 5х4 + 7х8 —
- 2х2 + 4х - 8?

10.	Складіть кубічний многочлен, який має корінь 3 кратності 2 і ко-
рінь (—1), а коефіцієнт при старшому члені 2.

11.	Знайдіть такі а і Ь, щоб число 3 було коренем не менш ніж другої
кратності для многочлена / (х) = х8 — 5х2 + ах + Ь.

12.	Складіть квадратне рівняння, корені якого протилежні кореням рів-
няння х2 — 5х +1=0.

13.	Складіть квадратне рівняння, корені якого обернені до коренів рів-
няння 2х2 - 5х + 1 = 0.

14.	Складіть квадратне рівняння, коренями якого є квадрати коренів
рівняння х2 + 6х + 3 = 0.

7.4.	Схема Горнера

Ділити многочлен / (х) на двочлен (х — а) іноді зручно за допомогою
спеціальної схеми, яку називають схемою Горнера.

• Нехай многочлен / (х) = аохп + а{х'; ' + ... + ап Хх + ап (а0 + 0) потріб-
но розділити на двочлен (х - а). У результаті ділення многочлена п-го
степеня на многочлен першого степеня одержимо деякий многочлен
(х) (п - 1)-го степеня (тобто (х) = Ь0Хп 1 + Ь1Х" -2 + ... + Ьп 2Х +
+ р де Ьо =£ 0) і остачу К. Тоді / (х) = (х - а) • 0 (х) + К, тобто
аох" + а^х" 1 + ... + аіі_іх + ап =

= (х - а)-(Ьох" ~1 + Ьгх" 2 + ... +&„_2х + &„_,) + її.

Оскільки ліва і права частини тотожно рівні, то перемножимо мно-
гочлени, які стоять справа, і прирівняємо коефіцієнти при відповід-

них степенях х:

х1
х°

а] = ЬІ - аЬ0

а2 = Ь2 - аЬ}

а = Ь . - аЬ „
пі пі	П ~

а = її - аЬ ,
п	п — 1
Знайдемо із цих рівностей коефіцієнти &0, & ,..., х і остачу В:
Ьо = а0, Ьх = аЬ0 + ах, Ь2 = аЬг + а2, Ьп х = аЬп _ 2 + ап х, В = аЬл _ х + ап.

Як бачимо, перший коефіцієнт неповної частки дорівнює першо-
му коефіцієнту діленого. Решту коефіцієнтів неповної частки і остачу
знаходять таким чином: для того щоб знайти коефіцієнт Ьк + 1 неповної
частки, достатньо попередньо знайдений коефіцієнт Ьк помножити на
а і додати /г-й коефіцієнт діленого. Цю процедуру доцільно оформляти
у вигляді спеціальної схеми-таблиці, яка називається схемою Горнера.

Приклад 1 Розділіть за схемою Горнера многочлен / (х) = Зх4 — 2х3 — 4х + 1
на двочлен х — 2.

► Запишемо спочатку всі коефіцієнти многочлена / (х) (якщо в мно-
гочлені пропущено степінь 2, то відповідний коефіцієнт вважаємо
рівним 0), а потім знайдемо коефіцієнти неповної частки і остачу за
вказаною схемою:

2

Отже, Зх4 - 2х3 - 4х + 1 = (х - 2)(3х3 + 4х2 + 8х + 12) + 25. <1

Приклад 2 Перевірте, чи є х = —3 коренем многочлена

/ (х) = 2х4 + 6х3 + 4х2 - 2х - 42.

І*- За теоремою Везу остача від ділення многочлена / (х) на х — а до-
рівнює / (а), тому знайдемо за допомогою схеми Горнера остачу від
ділення / (х) на х — (—3) = х + 3.

	2	6	4	-2	-42
-3	2	0	4	-14	0 (остача = / (—3))

Оскільки / (—3) = 0, то х = —3 — корінь многочлена / (х). <1

Вправи

1.	Використовуючи схему Горнера, знайдіть неповну частку та остачу
від ділення многочлена А (х) на двочлен В (х):

1)	А (х) = х3 + Зх2 + Зх + 1; В (х) = х + 1;

2)	А (х) = 5х3 - 26х2 + 25х - 4; В (х) = х - 5;

3)	А (х) = х3 - 15х2 + Юх + 24; В (х) = х + 3.
2.	Використовуючи схему Горнера, перевірте, чи ділиться многочлен
/ (х) на двочлен д (х):

1)	/ (х) = 4х8 - х2 - 27% - 18; д (х) = х + 2;

2)	/ (х) = Xі - 8х8 + 15х2 + 4х - 20; д (х) = х - 2.

3.	Розділіть многочлен А (х) на двочлен В (х):

1)	А (х) = 2х8 - 19х2 + 32х + 21; В (х) = х - 7;

2)	А (х) = 4х8 - 24х2 + 21х - 5; В (х) = 2х - 1.

7.5.	Знаходження раціональних коренів многочлена

з цілими коефіцієнтами

І Теорема 4. Якщо многочлен з цілими коефіцієнтами
/ (х) = апх" + ап ’+...+ а}х + а0 має раціональний корінь
Х=д ф 0), то р є дільником вільного члена («0), а ц — діль-
ником коефіцієнта при старшому члені ап.

• Якщо — є коренем многочлена / (х), то / — =0. Підставляємо —

Ч	\Ч)	Ч

замість х у / (х) і з останньої рівності маємо

а—+а„	Г+... + а, — + а„=0.	Ні

ч" 1 ч" '	1 ч 0

Помножимо обидві частини рівності (1) на <7" (б/ Ф 0). Одержуємо
а^У + ап 1ц + ...+а1р^' 1 + аод" = 0.	(2)

У рівності (2) всі доданки, окрім останнього, діляться на р. Тому
аод" = - (апр" + ап гд + ... + а{рд" х) ділиться на р.

Але коли ми записуємо раціональне число у вигляді —, то цей дріб

ч

вважається нескоротним, тобто р і д не мають спільних дільників.
Добуток а()<7" може ділитися на р (коли р і д — взаємно прості числа)
тільки тоді, коли а0 ділиться на р. Тобто р — дільник вільного чле-
на а0.

Аналогічно всі доданки рівності (2), крім першого, діляться на д.
Тоді аігр" = ~(а _1р,11д + ••• + а^)дп "1 + а,од") ділиться на д. Оскільки
рід взаємно прості числа, то а ділиться на д, тобто д — дільник
коефіцієнта при старшому члені. О

Відзначимо два наслідки із цієї теореми. Якщо взяти д = 1, то коре-
нем многочлена буде ціле число р — дільник а0. Отже, має місце такий
наслідок.

	Наслідок 1. Будь-який цілий корінь многочлена з цілими ко-
ефіцієнтами є дільником його вільного члена.
Якщо в заданому многочлені / (х) ап = 1, то дільниками агі можуть
бути тільки числа ±1, тобто в цьому випадку д = ±1, і має місце:

	Наслідок 2. Якщо коефіцієнт при старшому члені рівняння
з цілими коефіцієнтами дорівнює 1, то всі раціональні корені
цього рівняння (якщо вони існують) — цілі числа.

Приклад 1	Знайдіть раціональні корені многочлена 2х8 — х2 + 12х — 6.

► Нехай нескоротний дріб — є коренем многочлена. Тоді р необхідно
ч

шукати серед дільників вільного члена, тобто серед чисел ±1, ±2, ±3,
±6, а ([ — серед дільників старшого коефіцієнта: ±1, ±2.

Таким чином, раціональні корені многочлена потрібно шукати серед
1 з

чисел ±—, ±1, ±—, ±2, ±3, ±6. Перевіряти, чи є дане число коренем

многочлена, доцільно за допомогою схеми Горнера. При х = ~ маємо
таблицю.

	2	-1	12	-6	Крім того, за схемою Горнера можна записати, що  2х3 -х2 +12х-6 = (х-і)(2х2 +12).
1_  2	2	0	12	0	

Многочлен 2х2 + 12 не має дійсних коренів (а тим більше раціональ-
них), тому заданий многочлен має єдиний раціональний корінь
х = -. <1
2

Приклад 2 Розкладіть многочлен Р (х) = 2х4 + Зх8 — 2х2 — х — 2 на
множники.

Шукаємо цілі корені многочлена серед дільників вільного члена: ±1,
±2. Підходить 1. Ділимо Р (х) на х — 1 за допомогою схеми Горнера.

ТодіР(х) = (х - 1)(2х8 + 5х8 +3х + 2).
Шукаємо цілі корені кубічного мно-
гочлена 2х8 + 5х2 + Зх + 2 серед
дільників його вільного члена: ±1, ±2. Підходить (—2). Ділимо на х + 2.

Маємо Р (х) = (х - 1) (х + 2) (2х2 + х +1).

Квадратний тричлен 2х2 + х +1 не має дійсних коренів і на лінійні
множники не розкладається.

Відповідь: Р (х) = (х - 1) (х + 2) (2х2 + х +1). <1
Зазначимо, що в множині дійсних чисел не завжди можна знайти всі
корені многочлена (наприклад, уже квадратний тричлен х2 + х + 1 не має
дійсних коренів). Таким чином, многочлен п-го степеня не завжди мож-
на розкласти в добуток лінійних множників. Але многочлен непарного
степеня завжди можна розкласти в добуток лінійних і квадратних множ-
ників, а многочлен парного степеня — у добуток квадратних тричленів.

Наприклад, многочлен четвертого степеня розкладається в добуток
двох квадратних тричленів. Для того щоб знайти коефіцієнти цього роз-
кладу, іноді можна використовувати метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад 3 Розкладіть на множники многочлен Xі + х8 + Зх2 + х + 6.
► Знайти раціональні корені не вдається — многочлен не має раціо-
нальних (цілих) коренів.

Спробуємо знайти розклад цього многочлена в добуток двох ква-
дратних тричленів. Оскільки старший коефіцієнт многочлена дорів-
нює 1, то й у квадратних тричленах візьмемо старші коефіцієнти
рівними 1. Тобто шукатимемо розклад нашого многочлена у вигляді:
Xі + х8 + Зх2 + х + 6 = (х2 + ах + Ь) (х2 + ех + д),	(3)

де а, Ь, с і д — якісь невизначені (поки що) коефіцієнти.

Многочлени, що стоять у лівій і правій частинах цієї рівності, то-
тожно рівні, тому коефіцієнти при однакових степенях х у них од-
накові. Розкриємо дужки в правій частині рівності і прирівняємо
відповідні коефіцієнти. Це зручно записати так:

х4 + х8 + Зх2 + х + 6 = Xі + сх8 + дх2 + ах8 + асх2 + адх + Ьх8 + Ьсх + Ьд.

Одержуємо систему:

*4 1 = 1,

х3 1 = а + с,

хг 3 = ас + Ь + д,’

(4)

х1 1 = Ьс + ад,

х° 6 = Ьд.

Спроба розв’язати цю систему методом підстановки приводить до
рівняння 4-го степеня, тому спробуємо розв’язати систему (4) у ці-
лих числах. З останньої рівності системи (4) одержуємо, що Ь і д
можуть бути тільки дільниками числа 6. Усі можливі варіанти за-
пишемо в таблицю.

Коефіцієнти Ь і д у рівності (3) рів-
ноправні, тому ми не розглядаємо
випадки Ь = 6 і д = 1 або Ь = — 6
і д = -1 і т. д.

Для кожної пари значень Ь і д з третьої рівності системи (4) знайде-
мо ас: ас = 3 — (Ь + д), а з другої рівності а + с = 1.

ь	1	-1	2	-2
д	6	-6	3	-3
Знаючи а + с і ас, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, зна-
ходимо а і с як корені квадратного рівняння. Коли буде знайдено
всі числа а, Ь, с, сі, то із четвертої рівності Ьс + асі = 1 системи (4)
можна вибрати ті числа, які є розв’язками системи (4). Зручно ці
міркування оформити у вигляді таблиці:

ь	1	-1	2		-2
а	6	-6	3		-3
а + с = 1	1	1	1		1
ас = 3 - (Ь + гі)	-4	10	-2		8
а	неціле	не існує	2	-1	не існує
с	неціле	не існує	-1	2	не існує
Ьс + ад' = 1	—	—	Ьс + асі = 4  4^1	Ьс + асі = 1  1 = 1	—

Як бачимо, системі (4) задовольняє набір цілих чисел а = -1, Ь = 2,
с = 2, а = 3. Тоді рівність (3) має вигляд

Xі + х3 + Зх2 + х + 6 = (х2 - х + 2)(х2 + 2х + 3).	(5)

Оскільки квадратні тричлени х2 — х + 2 і х2 + 2х + 3 не мають не
тільки раціональних, але й дійсних коренів, то рівність (5) дає оста-
точну відповідь. <1

Вправи

1.	Знайдіть цілі корені многочлена:

1)	х3 - 5х + 4;	2) 2х8 + х2 - 13% + 6;

3)	5х8 + 18х2 - 10х -	8;	4) 4х4 - 11х2 + 9х - 2.

2.	Знайдіть раціональні корені рівняння:

1)	х8 - Зх2 + 2 = 0;	2) 2х8 - 5х2 - х + 1 = 0;

3)	Зх4 + 5х3 - х2 - 5х	- 2 = 0;	4)	Зх4 - 8х8 - 2х2 + 7х - 2 = 0.

3.	Розкладіть многочлен на множники:

1)	2х8 - х2 - 5х - 2;	2) х3 + 9х2 + 23% + 15;

3)	Xі - 2х3 + 2х - 1;	4) Xі - 2х8 - 24х2 + 50% - 25.

4.	Знайдіть дійсні корені рівняння:

1)	х3 + х2 - 4х + 2 = 0;	2) х3 - 7х - 6 = 0;

3)	2х4 - 5х8 + 5х2 - 2 = 0;	4) 2х8 - 5х2 + 1 = 0.

5х. Розкладіть многочлен на множники методом невизначених коефіцієнтів:
1) Xі + х3 - 5х2 + 13% - 6;	2) х4 - 4х8 - 2 0х2 + 13% - 2.

6*. Розкладіть многочлен на множники, заздалегідь записавши
його за допомогою методу невизначених коефіцієнтів у вигляді
(х2 + Ьх + с)2 - (тх + гі)2:

1)	Xі + 4х - 1;	2) Xі - 4х8 - 1;	3) Xі + 4о,3х - а4.
§ 8 РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ ЗНАК МОДУЛЯ

Таблиця 15

2. Використання геометричного змісту модуля (при а > 0)

1-	І / (х) | = а <=> / (х) = а або / (х) = —а.

2.	І / (х) І = | £ (х) |	/	(х) = £ (х) або /' (х) = -§ (х).

3.	| / (х) | > а <=> / (х) < —а або / (х) > а.

4.	|/(х)|<а<=>-а</(х)<а

Г/(х)>-а,
(х) < а.
Узагальнення

5.	|/(х)| = £(х)

6.	| / (х) | > £ (х)

7.	|/(х)|<#(х)<^

#(х)>0,

/ (х) = § (х) або / (х) =	(х).

>ї(х) <	(х) або /' (х) > § (х).

ї(х)>-£(х),
/(х)<§(х).


Продовження табл. 15

_______________3. Використання спеціальних співвідношень___________

1.	| и | = и <=> и > 0.

2.	| и | = — и	и < 0.

3.	| и | = | V | « и2 = V2.

4.	| и | > | V | « и2 > V2. Тоді | и | - | V | > 0 « и2 - V2 > 0;

знак різниці модулів двох виразів збігається зі знаком різниці їх
квадратів.

। । । ।	Ги>0,

5.	и + V = и + г<=>^

[г>0.

। । । ।	Ги<0,

6.	и + V = -и-ц^

[V <0.

7.	| и | + | V | = | и + V | <=> ис > 0.

8.	|и| + |о| = |и — с | ас < 0.

9.	|х-а| + |х-Ь| = Ь — а а < х < Ь, де а < Ь.

Приклади й обґрунтування

Розв’язувати будь-яке рівняння або нерівність, що містить знак мо-
дуля, можна одним з трьох основних способів: за означенням модуля,
виходячи з геометричного змісту модуля або за загальною схемою. Деякі
рівняння або нерівність, що містить знак модуля, можуть бути розв’язані
також з використанням спеціальних співвідношень (табл. 15).

Залежно від обраного способу одержуємо різні записи розв’язання.

Приклад

Розв’яжіть рівняння | 2х — 4 | = 6.

І спосіб (за означенням модуля)

Розв’язання

► 1) Якщо

2х - 4 > 0,	(1)

то одержуємо рівняння

2х - 4 = 6.

Тоді х = 5, що задовольняє умо-
ві (1).

2)	Якщо

2х - 4 < 0,	(2)

то одержуємо рівняння

-(2х - 4) = 6.

Тоді х = —1, що задовольняє та-
кож умові (2).

Відповідь: 5; -1. <1

Коментар

Ураховуючи означення модуля,
розглянемо два випадки:

2х - 4 > 0 і 2х - 4 < 0.

За означенням модулем додат-
ного (невід’ємного) числа є саме це
число, а модулем від’ємного числа
є протилежне йому число. Тому при
2х - 4 > 0 | 2х - 4 | = 2х - 4, а при
2х - 4 < 0 | 2х - 4 | = -(2х - 4).

У кожному випадку розв’язуємо
одержане рівняння і з’ясовуємо, чи
задовольняє кожен із знайдених коре-
нів умові, за якої ми його знаходили.
II спосіб (використовуючи геометричний зміст модуля)

Розв’язання

Коментар

► 2х - 4 = 6 або 2х - 4 = -6,
2х = 10 або 2х = -2,
х = 5 або х = — 1.

Відповідь: 5; -1. <1

З геометричної точки зору
| 2х — 4 | — це відстань від точки 0
до точки 2х — 4. За умовою рівнян-
ня вона дорівнює 6, але відстань 6
може бути відкладена від 0 як пра-
воруч (одержуємо число 6), так і лі-
воруч (одержуємо число —6). Отже,
рівність | 2х — 4 | = 6 можлива тоді
і тільки тоді, коли 2х — 4 = 6 або
2х - 4 = -6.

Зауваження. При застосуванні геометричного змісту модуля знак
модуля розкривається неявно, тобто не доводиться використовувати
означення в явному вигляді.

Загальна схема розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять
знак модуля, — це фактично трохи змінений метод інтервалів. Поясни-
мо зміст цієї схеми на прикладі рівняння, що містить два модулі, виду

І 7 (х) | + | £ (х) | = а (а > 0).

• Щоб розв’язати це рівняння, необхідно розкрити знаки модулів,
а для цього потрібно знати, де функції / (х) і § (х) будуть додатними,
а де — від’ємними. Тобто фактично ми повинні розв’язати нерівно-
сті

7 (X) Ї о,	(1)

8 (х) ї 0.	(2)

Кожну із цих нерівностей ми вміємо розв’язувати методом інтерва-
лів. Перебудуємо прийом розв’язування нерівностей методом інтер-
валів таким чином, щоб він давав можливість одночасно розв’язувати
кожну з останніх нерівностей. Як відомо, розв’язування нерівності
(1) методом інтервалів починається із знаходження її ОДЗ (тобто об-
ласті визначення функції / (х)), а розв’язування нерівності (2) — із
знаходження її ОДЗ (тобто області визначення функції § (х)). Щоб
почати одночасно розв’язувати обидві нерівності, необхідно знайти
спільну область визначення для функцій / (х) і § (х), тобто знайти
ОДЗ заданого рівняння (це перший з орієнтирів потрібної схеми).
Щоб продовжити розв’язування нерівностей / (х) ї 0 та § (х) ї 0 ме-
тодом інтервалів, необхідно знайти нулі функцій / (х) і § (х), тобто
знайти нулі всіх підмодульних функцій (це другий орієнтир).

Якщо далі використовувати схему методу інтервалів одночасно для
двох нерівностей, то необхідно на ОДЗ позначити нулі підмодульних
функцій і розбити ОДЗ на проміжки (це третій орієнтир).
У кожному з одержаних проміжків знаки функцій / (х) і р (х) не
змінюються. Отже, ми можемо знайти знаки підмодульних функцій
на кожному проміжку (у будь-якій точці цього проміжку), розкри-
ти знаки модулів і знайти розв’язок заданого рівняння в кожному
з цих проміжків (це четвертий орієнтир загальної схеми). <1
Можливість застосування наведеної схеми до розв’язування нерівно-
стей, що містять знак модуля, обґрунтовують аналогічно.

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння

+\х-2\ = 2.

1. ОДЗ: х Ф 1.

2.

3.

4.

Нулі підмодульних функцій: —— = 0
х-1

(х = 0) та х - 2 = 0 (х = 2).

Нулі 0 і 2 розбивають ОДЗ на чотири
проміжки, у яких підмодульні функції
мають знаки1, показані на рисунку 67.

Знаходимо розв’язки заданого рівняння в кожному з проміжків

(оскільки знаки підмодульних функцій однакові на проміжках І
і III, зручно для розв’язання об’єднати ці проміжки).

Проміжки І і III: х є (—0) О (1; 2). Ураховуючи знаки підмодульних
функцій на цих проміжках і означення модуля, одержуємо, що в цих

проміжках задане рівняння рівносильне рівнянню —----(х — 2) = 2.

х-1

Звідси х = 0 або х = 2. До розглянутих проміжків одержані значення
не входять, отже, у цих проміжках коренів немає.

Проміжок II: х є [0; 1). (Слід звернути увагу на те, щоб не пропус-
тити значення х = 0, яке входить до ОДЗ.) У цьому проміжку одер-

жуємо рівняння —  (х — 2) = 2. Звідси х=0 — корінь, оскільки
х-1

входить у цей проміжок.

Проміжок IV: х є [2; +°°) (і в цьому проміжку потрібно не забути

значення х = 2). Одержуємо рівняння х +х —2 = 2. Звідси х = 2 —
х-1

корінь, оскільки входить у цей проміжок.

Об’єднуючи всі розв’язки, які ми одержали в кожному з проміжків,
маємо розв’язок заданого рівняння на всій ОДЗ.

Відповідь: 0; 2. <1

1 На рисунку 67 у кожному з проміжків перший знак — це знак функції

Х , а другий — знак функції х-2. Виконуючи рисунок, зручно спочатку по-
х-1

значити на числовій прямій ОДЗ, а потім на ОДЗ — нулі підмодульних функцій.
Проілюструємо також одержання і використання спеціальних спів-
відношень, наведених у таблиці 15.

і і і і	ґи>0,

Обґрунтуємо, наприклад, співвідношення 5: | и | + | V | = и + ь> <=>

• Запишемо задану рівність у вигляді ц + р = |м|+|ц|і проаналізує-
мо її, спираючись на відомі із 6 класу правила дій над числами з од-
наковими і з різними знаками. Щоб додати два числа и і V, ми
додали їх модулі, отже, ці числа мають однакові знаки. Якби обидва
ці числа були від’ємними, то їх сума була б теж від’ємною, але
и + V = | и | + | V | > 0. Тоді одержуємо, що числа и і V — обидва не-
Г«>о,

від ємні. Навпаки, якщо	то виконується рівність и + V =

[г>>0,

= | и | + | V |. Отже, рівняння | и | + | V | = и + V рівносильне системі
Г« >0,
нерівностей 1 О

Приклад 2' Розв’яжіть рівняння | х - 5 | + | 2х + 5 | = Зх.

розв'язана я

Коментар

► Оскільки Зх = (х - 5) + (2х + 5),
то задане рівняння має вигляд |м| +
+ | V | = и + V, але ця рівність може
виконуватися тоді і тільки тоді, коли
числа и і V — обидва невід’ємні.
Отже, задане рівняння рівносильне
системі

х-5>0, _ .

Звідси
2х + 5>0.

Отже, х > 5.

Відповідь: [5; +°о).<

х>5,

Якщо позначити х — 5 = и
і 2х + 5 = к, то и + V = Зх і задане
рівняння має вигляд | и | + | V | = и +
+ V, а за співвідношенням 5 таке
рівняння рівносильне системі

Г и > 0,
[ц>0.

Зауважимо, що задане рівняння
можна розв’язувати і за загальною
схемою, але тоді розв’язання буде
більш громіздким.

При розв’язуванні нерівностей, що містять знак модуля, міркуван-

ня щодо розкриття знаків модулей повністю аналогічні міркуванням, які
використовувалися при розв’язуванні рівнянь, що містять знак модуля.

Приклад 3 Розв’яжіть нерівність | 2х — 5 | < 7.

Розв’язання

Коментар

► За геометричним змістом моду-
ля задана нерівність рівносильна не-
рівності

-7 < 2х - 5 < 7.	(1)

Нерівність виду | / (х) | < а (де
а > 0) зручно розв’язувати, вико-
ристовуючи геометричний зміст
модуля. Зокрема, задананерівність —
Тоді -2 < 2х < 12, отже,

-1 < х < 6.

Відповідь: [-1; 6]. <1

це нерівність виду | І | < 7. Але мо-
дуль числа — це відстань на коор-
динатній прямій від точки, що
зображує дане число, до точки 0.
Тобто заданій нерівності задоволь-
няють усі точки, які розташовані
в проміжку [—7; 7], отже, —7 < І < 7.
Якщо виникають ускладнення
з розв’язуванням подвійної нерівно-
сті (1), то її замінюють на рівносиль-

ну систему

2х-5>-7,
2х-5<7.

Приклад 4 Розв’яжіть нерівність

► 1. ОДЗ: | х - 2 | - 1	0. Тоді | х - 2 | Ф 1, тобто х - 2 Ф ±1, отже:

х Ф 3 або х Ф 1.

2.	Нулі підмодульних функцій: х — 3 = 0 (х = З — не входить до ОДЗ)
та х - 2 = 0 (х = 2).

3.	Нуль 2 розбиває ОДЗ на чотири проміж- | ц щ ру
ки, на яких підмодульні функції мають	Х7ТХ /+"”+

знаки, показані на рисунку 68 (на кож- ---о----¥-----о—----->

йому з проміжків перший знак — це	$ З

знак функції х — 3, а другий — знак	рис

функції х — 2).

4.	Знаходимо розв’язки заданої нерівності в кожному з проміжків
(оскільки знаки підмодульних функцій є однаковими на проміжках
І і II, зручно для розв’язання об’єднати ці проміжки).

Проміжки І і II: х є (—	1) 0 (1; 2]. Ураховуючи знаки підмодуль-

них функцій у цих проміжках і означення модуля, одержуємо, що
при х є (— оо; 1) О (1; 2] задана нерівність рівносильна нерівності
~^х	>1. Тоді -——^1, тобто 2 > 0. Звідси х < 1. До проміж-

—(х — 2) — 1	1 — х	1 — х

ків, які ми розглянули, входять усі значення х < 1, отже, у цьому
випадку розв’язком буде х < 1.

Проміжок III: х є [2; 3). На цьому проміжку одержуємо нерівність

——^1, тобто	—— >1. Але при будь-якому значенні х із про-

х-2-1	х-8

міжку III остання нерівність перетворюється на хибну нерівність
(—1 > 1). Отже, у проміжку III нерівність (1) розв’язків не має.
Проміжок IV: х є (3; +°°). У цьому проміжку одержуємо нерівність

——— >1, тобто ——-^1. Як бачимо, при будь-якому х із проміж-
х-2-1	х-3

ку IV нерівність (1) перетворюється на правильну числову нерівність
(1 > 1)- Отже, розв’язком нерівності (1) у проміжку IV є будь-яке
число із цього проміжку (х > 3).

Об’єднуючи всі розв’язки, які ми одержали в кожному з проміжків,
маємо розв’язок заданої нерівності на всій ОДЗ: х < 1 або х > 3.
Відповідь: (-<*>; 1) 0 (3; +°°). <1

Зазначимо, що для розв’язування деяких нерівностей, що містять
знак модуля, зручно використовувати також спеціальні співвідношення,
наведені в таблиці 15.

тт	г> ,	• • (І х-11 -1 х + ЗІ)(| 2х І-1 х + 61) _

Приклала Розв яжіть нерівність  і—і —і—і — <0.

11-х|-1 х + 2|

► Оскільки | а | > 0 і функція у = і2 монотонно зростає на множині
невід’ємних чисел, то всі різниці модулів у нерівності можна замінити на
різниці їх квадратів (тобто скористатися співвідношенням 4: | и | — | V | >
> 0 и2 — V2 > 0). Тоді одержуємо нерівність, рівносильну заданій:
((х-1)2 -(х + 3)2)((2х)2 -(х + 6)2)

2	2	<

(1-х) -(х + 2)

Тепер, розкладаючи на множники всі різниці квадратів, маємо:

(-4) (2х + 2) (х - 6) (Зх + 6) , 0

(-1-2х)3

Далі методом інтервалів одержуємо — 2 < х < — 1 або —і < х < 6 (рис. 69).

Відповідь: -2 < х < -1 або <х<6. <1

2

Загальна схема, запропонована в таблиці 15, може бути використана
не тільки при розв’язуванні рівнянь чи нерівностей, що містять знак мо-
дуля, але й при виконанні перетворень виразів, що містять знак модуля.

Наприклад, для побудови графіка функції / (х) = |х+1| + |х— 1|
зручно спочатку за загальною схемою розкрити знаки модулів, а вже
потім будувати графік функції / (х).

Оформлення розв’язання подібного прикладу може бути таким.

Приклад 6 Побудуйте графік функції / (х) = | х + 1 | + | х — 1 |.

► 1. Область визначення функції: всі х є К.

2.	Нулі підмодульних функцій: х = —1 і х = 1.

3.	Позначаємо нулі на області визначення і розбиваємо область визна-
чення на проміжки (на рисунку 70 також указано знаки підмодуль-
них функцій у кожному з проміжків).
Рис. 69

4. Тоді

-(х +1) - (х -1), якщо х < -1,

/ (х) = х +1 - (х -1),

X +1 + х -1,

якщо -1< X < 1,
ЯКЩО X >1.

—2х, якщо х < — 1,

Отже, /(х) = <2, якщо -1<х<1,

2х, якщо х > 1.

Будуємо графік цієї функції (рис. 71).

Запитання для контролю

1.	Поясніть, якими способами можна розв’язувати рівняння та нерівно-
сті, що містять знак модуля. Проілюструйте ці способи на прикладах.

2.	Обґрунтуйте спеціальні співвідношення, наведені в таблиці 15. Про-
ілюструйте їх застосування до розв’язування рівнянь та нерівностей,
що містять знак модуля.

3.	Обґрунтуйте узагальнення використання геометричного змісту
модуля, наведені в таблиці 15. Проілюструйте їх застосування до
розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля.

Вправи

Розв яжіть рівняння і нерівності, що містять знак модуля (1—15).

1.	1) | Зх - 5	| = 7;	2) |	8 -	4х |

2.	1) | 2х - 3	| > 5;	2) |	3 -	5% |

3. 1) | х - 2 | - 2х - 1 = 0;

4.	1) і х - 1 і	+ | х -	3 | =	2;

3) і х + 5 |	+ | х -	8 | =	13.

5. 1) і х + З і < х - 2;

3)|х + 3| + |х-1|<|б-3х|.

6. 1) л/х2-2х + 1+|х-2| = 1;

7. 1) >/х2 - 4х + 4 + л/х^ = 8;

= 6;	3) | х* 1 2 3 4 5 6 7 - 5х | = 6.

7;	3”)	|>2;	4)

2) х2 + Зх + | х + 3 | = 0.

2) | х + 1 | + | х - 5 і = 20;

2)|х + 1| + |х-2|<2х-1;

2) л/х2 + 4х + 4 +1 х | = х + 5.

2) >/16-8х + х2 + л/х2 + 2х + 1 = 5.
8.	1)	|х2-4х| + 3 і х2 +| х-5 |
9.	1)1	| х- 1 | - 2 | = 1;
10.	1)1	х2 - 4л- і < 5;
11.	1) 3 | х - 1 | + х2 - 7 > 0;	
12.	1)	| х + 3 | + х х + 2
13.	1)1	| х- 1 | - 5 | < 2;
14.	1)1	х - 2х2 | > 2л-2 - х;
15.	1)	+ 00 т  V а + ьз
16.	Побудуйте графік функції:	

1) у = | 2х - 4 | + | 2х + 6 |;

2) і — = |х + 1|.

|х + 1|-2 1	1

2) І І 2% - 4 І - 5 І = 3.

2) | х2 - х - 6 | > 4.

2) | х - 6 | > х2 - 5х + 9.

2)	1 <1

7 |х|-3 2'

2)|х-1|+|х + 2|-|х-3|>4.

2) | х2 + х - 20 | < х2 + х - 20.

2) і--— >|х-1|.

|х + 1|-2	1	1

2) у = | х - 5 | + | Зх + 6 |.

§ 9	РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ З ПАРАМЕТРАМИ

9.1.	Розв’язування рівнянь і нерівностей з параметрами

Якщо крім змінної та числових коефіцієнтів до запису рівняння
чи нерівності входять також буквені коефіцієнти — параметри, то при
розв’язуванні можна користуватися таким орієнтиром.

І Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами можна
розв’язувати як звичайне рівняння чи нерівність до тих
пір, поки всі перетворення або міркування, необхідні для
розв’язування, можна виконати однозначно. Якщо якесь пере-
творення не можна виконати однозначно, то розв’язування
необхідно розбити на кілька випадків, щоб у кожному з них
відповідь через параметри записувалася однозначно.

На етапі пошуку плану розв’язування рівняння чи нерівності з па-
раметрами або в ході розв’язування часто зручно супроводжувати відпо-
відні міркування схемами, за якими легко простежити, у який момент
ми не змогли однозначно виконати необхідні перетворення, на скіль-
ки випадків довелося розбити розв’язання та чим відрізняється один
випадок від іншого. Щоб на таких схемах (чи в записах громіздких
розв’язань) не загубити якусь відповідь, доцільно поміщати остаточні
відповіді в прямокутні рамки. Зауважимо, що відповідь треба записати
для всіх можливих значень параметра.
Приклад 1 Розв’яжіть нерівність зі змінною х: Зах + 2 > х + 5а.

Коментар

Задана нерівність є лінійною відносно змінної х, тому використаємо
відомий алгоритм розв’язування лінійної нерівності:

1)	переносимо члени зі змінною х в одну частину, а без х — у другу:
Зах - х > 5а - 2;

2)	виносимо в лівій частині за дужки спільний множник х (тобто
приводимо нерівність до вигляду Аг > В): (За — 1) х 5а — 2.

Для знаходження розв’язків останньої нерівності ми б хотіли по-
ділити обидві її частини на (За — 1). Але якщо обидві частини нерівно-
сті поділити на додатне число, то знак нерівності не зміниться, а якщо
на від’ємне, то знак нерівності необхідно змінити на протилежний.
Крім того, слід урахувати, що на нуль ділити не можна. Отже, почи-
наючи з цього моменту потрібно розглянути три випадки: За — 1 > 0,
За — 1 < 0, За — 1 = 0.

Наведені вище міркування можна наочно записати так:

Зах + 2 > х + 5а

Розв’язання
► Зах - х > 5а - 2

Відповідь: 1) якщо а>— ,тох>——2) якщо ас — ,тох<——

З	За-1	З	За-1

3)	якщо а = і,то х — будь-яке число. <1

При розв’язуванні більш складних рівнянь чи нерівностей слід
пам’ятати, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше роз-
в’язують за допомогою рівносильних перетворень, а всі рівносильні пе-
ретворення рівнянь чи нерівностей виконують на області допустимих
значень (ОДЗ) заданого рівняння чи нерівності (тобто на спільній об-
ласті визначення для всіх функцій, які входять до запису рівняння чи
нерівності). Тому, перш ніж записати відповідь, потрібно обов’язково
врахувати ОДЗ заданого рівняння чи нерівності.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння х =1 + —, де х — змінна.

х-3 х

Коментар

Задані дробові вирази існують тоді і тільки тоді, коли знаменники
заданих дробів не дорівнюють нулю, отже, ОДЗ рівняння: х Ф 3, х Ф 0.

Помножимо обидві частини заданого рівняння на вираз х (х — 3) —
спільний знаменник дробів — і одержимо ціле рівняння, яке за
умови х (х — 3) Ф 0 (тобто на ОДЗ заданого рівняння) рівносиль-
не заданому: х2 = х (х — 3) + а (х — 3). З цього рівняння одержуємо
х2 = х2 - Зх + ах - За, тобто ах - Зх = За. Тоді (а - 3) х = За.

Для того щоб знайти значення змінної х, хотілося б поділити обидві
частини останнього рівняння на (а — 3), але при а = 3 довелося б ділити
на 0, що неможливо. Отже, починаючи з цього моменту, потрібно роз-
глянути два випадки.

Розв’язання відповідно до наведених вище міркувань можна наочно
записати у вигляді схеми.

= 1 + -
х — 3 х

Розв’язання

► ОДЗ: х 3, х 0.

х2 = х (х - 3) + а (х - 3), х2 = х2 - Зх + ах - За, ах - Зх = За,

З’ясуємо, при яких значеннях а знайдені корені не входять до ОДЗ
рівняння, тобто при яких значеннях а одержуємо х = 3 та х = 0.

= 3, тоді За = 3 (а — 3), За = За — 9 — розв’язків немає. Отже,

а —З

•	• Зй	• о

при всіх значеннях а корінь ---- не дорівнює 3.

а-3
м = 0 тоді а = 0. Отже, при а = 0 маємо х = 0 — сторонній корінь
а-З

(не входить до ОДЗ), тобто при а = 0 задане рівняння не має коре-
нів.

Відповідь: 1) при а = 3 і а = 0 коренів немає;

2) при а Ф 3, а ф 0 х = -^—. <1

а-З

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння ——і = — відносно змінної х.

х-а х

Коментар

Будемо виконувати рівносильні перетворення заданого рівняння.
Для цього знайдемо його ОДЗ (знаменники дробів не дорівнюють нулю).
Якщо далі обидві частини рівняння помножити на добуток виразів, що
стоять у знаменниках дробів (і який не дорівнює нулю на ОДЗ рівняння),
то одержимо рівняння ах2 — 5х + 4а = 0, рівносильне заданому (на ОДЗ
заданого). Але останнє рівняння буде квадратним тільки при а Ф 0, тому
для його розв’язування слід розглянути два випадки (а = 0 і а Ф 0).

Якщо а Ф 0, то для дослідження одержаного квадратного рівняння
потрібно розглянути ще три випадки: В = 0, В < 0, £> > 0 і в кожному
з них перевірити, чи входять знайдені корені до ОДЗ, чи ні. При В = 0
зручно використати, що значення кореня відповідного квадратного рів-
няння збігається з абсцисою вершини параболи у = ах2 — 5х + 4а, тобто
х = х0	= Розглядаючи випадок В > 0, слід пам’ятати також про

попереднє обмеження: а Ф 0.

Оскільки корені рівняння (1) записуються достатньо громіздкими
формулами (див. розв’язання), то замість підстановки одержаних коре-
нів в обмеження ОДЗ підставимо «заборонені» значення х у рівняння (1)
і з’ясуємо, при яких значеннях параметра а ми отримаємо значення х,
які не входять до ОДЗ, а потім перевіримо отримані значення параметра.

Розв'язання

► ОДЗ: х Ф 0, х Ф а. На цій ОДЗ задане рівняння рівносильне рівнян-
ням: ах2 - х = 4х - 4а,

ах2 - 5х + 4а = 0.	(1)

1.	Якщо а = 0, то з рівняння (1) одержуємо х = 0 — не входить до ОДЗ,
отже, при а = 0 коренів немає.

2.	Якщо а 0, то рівняння (1) — квадратне. Його дискримінант

В = 25 — 16а2. Розглянемо три випадки:

5

1)	В = 0, тобто 25 — 16а2 = 0, а = ±—. Тоді рівняння (1) має одне зна-
4

5

чення кореня х = —.

2а
5

Якщо а = —, то корінь х = 2 рівняння (1) входить до ОДЗ і є коренем
4

заданого рівняння.

Якщо а = —, то корінь х = — 2 рівняння (1) теж входить до ОДЗ і є

4

коренем заданого рівняння.

5	5

2)	В 0, тобто 25 — 16а2 < 0, отже, а<— або а>—. Тоді рівняння

4	4

(1) не має коренів.

3)І) > 0, тобто 25 — 16а2 > 0, отже, —— <а

4

ня (1) має два корені

_ 5 ±>/25-16а2

і’2- 2а

— але а Ф 0. Тоді рівнян-
4

(2)

З’ясуємо, при яких значеннях а знайдені корені не входять до ОДЗ,
тобто при яких значеннях а одержуємо х = 0 і х = а.

Підставляючи в рівняння (1) х = 0, одержуємо а = 0, але при а = 0
задане рівняння не має коренів.

Підставляючи в рівняння (1) х = а, одержуємо а3 — 5а + 4а = 0, тоб-
то а3 — а = 0, а (а2 — 1) = 0. Тоді а = 0 (задане рівняння не має коре-
нів), або а = ±1. Перевіримо ці значення а.

При а = 1 ОДЗ записується так: х Ф 0, х Ф 1. Із формули коренів (2)
маємо хг = 4 (входить до ОДЗ) і х2 = 1 (не входить до ОДЗ). Отже,
при а = 1 задане рівняння має тільки один корінь х = 4.

При а = —1 ОДЗ записується так: х Ф 0, х Ф —1, а із формули коре-
нів (2) отримаємо: хг = —4 (входить до ОДЗ) і х2 = — 1 (не входить
до ОДЗ). Отже, при а = —1 задане рівняння має тільки один корінь
х = -4.

Таким чином, формулу коренів (2) можна використовувати, якщо

5	5-

— <а<—, тільки при а Ф 0 і а Ф ±1.

4	4

5
Відповідь: 1) якщо а = ~> т° х = 2;

2)	якщо а = ~, то х = —2;

3)	якщо а = 1, то х = 4;

4)	якщо а = — 1, то х = -4;

5)	якщо а є -1) СІ (-1; 0) 0 (0; 1) 0 (1; то х12 =

6)	якщо ає о°;	0	+ або а = 0, то коренів немає. <1

Зауваження. Щоб полегшити запис відповіді в цьому та аналогіч-
них прикладах, можна користуватися таким способом. Перед записом
відповіді в складних або громіздких випадках зобразимо вісь параметра
(а) і відмітимо на ній усі особливі значення параметра, які з’явилися
в процесі розв’язування. Під віссю параметра (лівіше від неї) випишемо
всі одержані розв’язки (крім розв’язку «коренів немає») і напроти кож-
ної відповіді відмітимо, при яких значеннях параметра цю відповідь
можна використовувати (рис. 82). Після цього відповідь записують для
кожного з особливих значень параметра і для кожного з одержаних про-
міжків осі параметра. Зокрема, у розглянутому прикладі перед записом
відповіді зручно зобразити на чернетці таку схему (рис. 72).

1)	х = 2

2)	х = -2

оч	5 ±725-16а2

3)	Х^=-----2«----

4)	х = 4

5)	х = -4

Рис. 72

9.2.	Дослідницькі задачі з параметрами

Деякі дослідницькі задачі з параметрами вдається розв’язати за та-
кою схемою: 1) розв’язати задане рівняння чи нерівність; 2) дослідити
одержаний розв’язок.

Приклад 1 Знайдіть усі значення а, при яких рівняння	—— = 0

має єдиний корінь.

Розв’язання

► ОДЗ: х Ф -Ч. На ОДЗ одержуємо
рівносильне рівняння

(х + а) (х - 5а) = О.

Тоді х + а = О або х - 5а = О.

Одержуємо х = —а або х = 5а.

Урахуємо ОДЗ. Для цього
з’ясуємо, коли х = —7:

-а = -7 при а = 7,

с „	7

5а = -7 при а = ——.

Коментар

Оскільки дріб дорівнює нулю
тоді і тільки тоді, коли його чисель-
ник дорівнює нулю, а знаменник не
дорівнює нулю, то на ОДЗ (х + 7 Ф О)
задане рівняння рівносильне рів-
нянню (х + а) (х — 5а) = О. Далі вра-
ховуємо, що добуток дорівнює нулю
тоді і тільки тоді, коли хоча б один
із множників дорівнює нулю (а дру-
гий має зміст).
Тоді при а = 7 одержуємо:

х = — а = — 7 — сторонній корінь;

х = 5а = 35 — єдиний корінь,
у

При а =— одержуємо:

5

х = 5а = — 7 — сторонній корінь;

7

х = —а = — — єдинии корінь.

Також задане рівняння матиме єди-
ний корінь, якщо —а = 5а, тобто при
а = 0 (тоді х = -а = 0тах = 5а=0^

*-7).

Відповідь: а = 7, а = -~, а = 0. <1

5

Після цього з’ясуємо, при яких
значеннях а знайдені корені не
входять до ОДЗ, тобто х = —7: при-
рівнюємо корені до —7 і знаходимо
відповідні значення а.

При знайдених значеннях
а один із двох одержаних коренів
буде стороннім (х = —7) і рівняння
матиме єдиний корінь (одне зна-
чення кореня). Крім того, задане
рівняння матиме єдиний корінь ще
й у тому випадку, коли два одержа-
ні корені (х = — а та х = 5а) збігати-
муться (і входитимуть до ОДЗ).

Дослідження кількості розв’язків рівнянь та їх систем. При
розв’язуванні деяких завдань із параметрами можна користуватися
таким орієнтиром: якщо в завданні з параметрами йдеться про кіль-
кість розв’язків рівняння (нерівності або системи), то для аналізу за-
даної ситуації часто зручно використовувати графічну ілюстрацію
розв’язування.

Достатньо простим є відповідне дослідження в тому випадку, коли
задане рівняння можна подати у вигляді / (х) = а, оскільки графік
функції у = а — це пряма, паралельна осі Ох (яка перетинає вісь Оу
у точці а). Відзначимо, що, замінюючи задане рівняння на рівняння
/ (х) = а, потрібно слідкувати за рівносильністю виконаних перетворень,
щоб одержане рівняння мало ті самі корені, що й задане, а отже, і кіль-
кість коренів у них буде однаковою. Для того щоб визначити, скільки
коренів має рівняння / (х) = а, достатньо визначити, скільки точок пере-
тину має графік функції у = / (х) з прямою у = а при різних значеннях
параметра а. (Для цього на відповідному рисунку доцільно зобразити всі
характерні положення прямої.)

Прикла-і 2	Скільки коренів має рівняння | х2 — 4 | х 11 = а залежно від

значення параметра а?

Розв’язання	Коментар

Побудуємо графіки функцій
у = |х2-4|х||тау = а (рис. 73).
Аналізуючи взаємне розміщення
одержаних графіків, отримуємо
відповідь:

Оскільки в цьому завданні мова
йде про кількість розв’язків рівнян-
ня, то для аналізу заданої ситуації
спробуємо використати графічну
ілюстрацію розв’язування.
1)	при а < 0 рівняння коренів не має;

2)	при а = 0 рівняння має 3 корені;

3)	при а < 0 < 4 рівняння має 6 ко-
ренів;

4)	при а = 4 рівняння має 4 корені;

5)	при а > 4 рівняння має 2 корені.

1.	Будуємо графік функції
у = | х2 - 4 | х Ц
(ураховуючи, що х2 = | х \2, побу-
дова може відбуватися, напри-
клад, за такими етапами:

х2 - 4х -> | х |2 - 4 | х | ->

-> | х2 - 4 | х Ц).

2.	Будуємо графік функції у = а.

3.	Аналізуємо взаємне розміщення
одержаних графіків і запису-
ємо відповідь (кількість коре-
нів рівняння / (х) = а дорівнює
кількості точок перетину гра-
фіка функції у = / (х) з прямою
У = а).

Зазначимо, що значну кількість дослідницьких завдань не вдається
розв’язати безпосередніми обчисленнями (або такі обчислення є дуже
громіздкими). Тому часто доводиться спочатку обґрунтувати якусь влас-
тивість заданого рівняння або нерівності, а потім, користуючись цією
властивістю, давати відповідь на запитання задачі.

Наприклад, беручи до уваги парність функцій, що входять до запису
заданого рівняння, можна використовувати такий орієнтир.

Якщо в рівнянні / (х) = О функція / (х) є парною або непарною,
то разом з будь-яким коренем а ми можемо вказати ще один корінь
цього рівняння (—а).

Приклад 3 Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
Xі - а | х |3 + а2 - 4 = О	(1)

має єдиний корінь.
Розв’язання

Функція /(х) = Xі-а | х |3+ а2- 4
є парною (В (/) = К, / (-х) = / (х)).

Якщо х = а — корінь рівняння
(1), то х = —а теж є коренем цьо-
го рівняння. Тому єдиний корінь

Коментар

Помічаємо, що в лівій части-
ні заданого рівняння стоїть парна
функція, і використовуємо орієн-
тир, наведений вище. Дійсно, якщо
х = а — корінь рівняння / (х) = О,
у заданого рівняння може бути тіль-
ки тоді, коли а = —а, тобто а = 0.
Отже, єдиним коренем заданого рів-
няння може бути тільки х = 0. Якщо
X = 0, то з рівняння (1) одержуємо
а2 - 4 = 0, тоді а = 2 або а = -2.

При а = 2 рівняння (1) перетворю-
ється на рівняння Xі — 2 | х |3 = 0. Тоді
| х |4 - 2 | х |® = 0, | х |3• (| х | - 2) = 0.
Одержуємо | х |3 = 0 (тоді | х | = 0, тобто
х = 0) або | х | - 2 = 0 (тоді | х | = 2, тоб-
то х = ±2). Отже, при а = 2 рівняння
(1) має три корені, тобто умова задачі
не виконується.

При а = — 2 рівняння (1) перетво-
рюється на рівняння Xі + 2 | х |3 = 0.
Тоді | х |4 + 2 | х |3 = 0, | х |3 • (| х | +
+ 2) = 0. Оскільки | х | + 2 Ф 0, то
одержуємо | х |3 = 0. Тоді | х | = 0,
тобто X = 0 — єдиний корінь. Отже,
а = — 2 задовольняє умові задачі.
Відповідь: а = -2. <1

то / (а) = 0 — правильна числова
рівність. Ураховуючи парність функ-
ції / (х), маємо / (—а) = / (а) = 0.
Отже, х = —а — теж корінь рівнян-
ня / (х) = 0. Єдиний корінь у цього
рівняння може бути тільки тоді,
коли корені а і —а збігаються. Тоді
х = а = -а = 0.

З’ясуємо, чи існують такі зна-
чення параметра а, при яких х = 0
є коренем рівняння (1). (Це значен-
ня а = 2 і а = -2.)

Оскільки значення а = 2 і а = — 2
ми одержали з умови, що х = 0 —
корінь рівняння (1), то необхідно
перевірити, чи дійсно при цих зна-
ченнях а задане рівняння матиме
єдиний корінь.

При розв’язуванні одержаних
рівнянь доцільно використати, що
Xі = І X І4.

9.3.	Використання умов розміщення коренів квадратного тричлена
/ (х) = ах2 + Ьх + с (а / 0) відносно заданих чисел А і В

Розв’язування деяких дослідницьких задач з параметрами можна
звести до використання необхідних і достатніх умов розміщення коренів
квадратного тричлена. Основні з цих умов наведено в таблиці 16 (у таб-
лиці використано традиційні позначення: х0 =—В = Ь2 — 4ас).

Таблиця 16

Розміщення коренів	Необхідні і достатні умови розміщення коренів		
	при а > 0	при а < 0	у загальному випадку (а ф 0)
Л  V V он	/ (А) > 0  В > 0; х0 < А  \Хі х0 х2/\  •—•—я •—>  Х.2/ А х	&  У-* (ь А о я	**  «у	о л  3 - . Л\ V  ' а
Продовження табл. 16

Розміщення коренів	Необхідні і достатні умови розміщення коренів							
	при а > 0		при а < 0				у загальному випадку (а ^0)	
2. х1 <. А < х2	/' (А) < 0  V а У		/ (А) > 0  ^х^а^х^ х				а-/(А) < 0	
х±	А х2								
	\^/К2 X							
3. хх > А х2 > А	*	V-»  > я	®	!ь.  Н	о*	V  <	V	о  /		X V* , ) =>£ У о* 7  V о /					а • /(А)>0,  В>0, хп > А
А	*і	*2								
				’ҐХі х0 хА х				
	аХ^У^Л х							
4. А < х1 < В  А < х2 < В	/ (А) > 0; / (В) > 0  О > 0; А < х0 < В  |\Х1 х0 х2/\		/ (А) < 0; / (В) < 0  В > 0; А < х0 < В  А	В					а • /(А)>С а • /(В)>0 В>0, А < х0 < В
А хг х2 В								
				А1 ХО хД		X		
	А'	' В х							
5. хх < А  А < х2 < В	/ (А) < 0; / (В) > 0  \ А х2]\		і (А) > 0; / (В) < 0  1 . ?					а • /(А)<0, а • /(В)>0
			Г А хХ			X		
х1 А х2 В								
	х?\^	В х							
6. А < хі < В х2 > В	/' (А) > 0; /' (В) < 0  А?1 ? У		і (А) < 0; /' (В) > 0  А	>\х2					а • ^(А)>0, а • /(В)<0
				Лі в А х				
А «і В х2								
	а\__	'УХ2 X						
7. хх < А х2 > В	/' (А) < 0; /' (В) < 0  V А в у		/ (А) > 0;  хі/Г^		ив)>о \х2			а • /(А)<0, а • /(В)<0
			Г А В X X					
Хі А В х2								
		/х2 X						
Пояснення й обґрунтування

Для обґрунтування зазначених умов достатньо скористатися тим,
що графік функції / (х) = ах2 + Ьх + с (а Ф 0) — суцільна (нерозривна1)
лінія. Якщо така функція на кінцях якогось проміжку набуває значень
з різними знаками (тобто відповідні точки графіка розташовані в різних
півплощинах відносно осі Ох), то всередині цього проміжку є принаймні
одна точка, у якій функція дорівнює нулю (рис. 74).

Наприклад, для того щоб два різні корені квадратного тричлена
/ (х) = ах2 + Ьх + с (а ф 0) при а > 0 були розміщені по різні боки від за-
даного числа А, достатньо зафіксувати тільки одну умову: / (А) < 0
(рис. 75).

• Дійсно, графік квадратичної функції / (х) = ах2 + Ьх + с при а > 0 —
парабола, вітки якої напрямлено вгору. Тоді у випадку, коли аргу-
мент х прямує до +°° або до —(це позначають зазвичай так: х +°°
або х	—°°), функція / (х) прямує до +°° (/ (х)	+°°), отже, / (х) > 0

при х +°° або при х	— оо. Якщо виконується умова / (А) < 0, то

зі зміною значення аргументу х від А до +°° квадратична функція
/ (х) змінює свій знак з «—» на «+», отже, / (х) має принаймні один
корінь х2 > А.

Так само зі зміною значення аргументу х від —до А квадратична
функція / (х) змінює свій знак з «+» на «—», отже, / (х) має при-
наймні один корінь х, < А. Але квадратний тричлен / (х) не може
мати більше двох коренів, отже, при а > 0 умова / (А) < 0 необхідна
і достатня для того, щоб два різні корені квадратного тричлена роз-
міщувалися по різні боки від заданого числа А.

Аналогічні міркування при а < 0 показують, що для виконання цієї
самої вимоги необхідно і достатньо, щоб / (А) > 0. Ці дві умови можна
об’єднати в одну: а • / (А) < 0.

Га>0,	Га<0,

Дійсно, а./(А)<0<=>(	або і „	„ Отже,

1/(А)<0	1/(А)>0.

1 Відповідну властивість буде обґрунтовано більш строго в 11 класі під час
розгляду так званих неперервних функцій.
 квадратний тричлен / (х) = ах2 + Ьх + с (а Ф 0) має два різні
корені, що знаходяться по різні боки від заданого числа А,
тоді і тільки тоді, коли виконується умова аД (А) < 0.

Аналогічно можна обґрунтовати й інші умови, наведені в табли-
ці 16.

Зауважимо, що наведені умови не обов’язково запам’ятовувати: для
їхнього запису можна користуватися графіком квадратичної функції (зо-
браженим для потрібного розміщення коренів) і таким орієнтиром.

Для того щоб корені квадратного тричлена / (х) = ах2 + Ьх + с (а ф 0)
були розміщені заданим чином відносно даних чисел А і В, необхідно
і достатньо виконання системи умов, яка включає:

1)	знак коефіцієнта при старшому члені:

2)	знаки значень / (А) і / (В);

3)	знак дискримінанта В;

4)	положення абсциси вершини параболи (х0 = відносно даних чи-
сел А і В.

Зазначимо, що для випадків, у яких хоча б одне з даних чисел розмі-
щено між коренями квадратного тричлена (див. другий, п’ятий, шостий
і сьомий рядки табл. 16), достатньо, щоб виконувалися перші дві умови
цього орієнтира, а для інших випадків доводиться розглядати всі чотири
умови. Зауважимо також, що, записуючи кожну з указаних умов, слід
розглядати, чи виконуватиметься вимога задачі в тому випадку, якщо
в цій умові записати знак нестрогої нерівності.

Приклад 1 Знайдіть усі значення параметра а, для яких рівняння
ах2 — х + За = 0 має один корінь більший за 2, а другий —
менший від 1.

Коментар

Оскільки задане рівняння має два різних корені, то воно квадратне
і Ґ	т •	1-л/1-12а2	1 + у/1-12аг . ґ

(тобто а Ф 0). Годі х, =-----, х2 =--------- і, щоб отримати відпо-

2а	2а

відь на запитання задачі, достатньо розв’язати сукупність із двох систем
[х1>2,	(х1<1,

ірраціональних нерівностей: (	або (	Але такий шлях

[х2<1	[х2>2.

розв’язування достатньо громіздкий.

Спробуємо скористатися умовами розміщення коренів квадратного
тричлена. Для цього можна безпосередньо використати відповідні умо-
ви, зафіксовані в таблиці 16, або отримати їх за допомогою запропо-
нованого орієнтира. Зокрема, позначимо / (х) = ах2 — х + За і зобразимо
графік квадратичної функції / (х) (параболу) в таких положеннях, які
задовольняють умові задачі (рис. 76, а і б).

б

Рис. 76

Для того щоб корені квадратного тричлена розміщувалися по різні
боки від чисел 1 і 2, необхідно і достатньо, щоб виконувалася сукупність
а>0,	Га<0,

умов:

-/(1)<0, або -л / (1) > 0, Помічаємо, що в кожній системі знаки а

1/(2)<0

1/(2)>0.

і / (1) та а і / (2) протилежні, тому цю сукупність систем можна заміни-
Га/(1)<0,

ти рівносильною системою (	3 цього випливає такий план

|а/(2)<0.

розв’язування.

Розв’язання

Оскільки задане рівняння має два різних корені, то воно є квадрат-
ним (тобто а Ф 0). Позначимо / (х) = ах2 — х + За. Як відомо, корені ква-
дратного тричлена можуть розміщуватися по різні боки від чисел 1 і 2
тоді і тільки тоді, коли виконується система умов:

а/(1)<0,

а / (2) < 0.

Га(4а-1)<0,	(1)

Одержуємо систему 1

Розв’язуємо нерівності (1) і (2) і зна-
ходимо спільний розв’язок системи
(рис. 77).

Відповідь: задане рівняння має один ко-
рінь більший за 2, а другий — менший
від 1 при ає^0;і). <1
Вправи

Розв’яжіть рівняння та нерівності ЗІ ЗМІННОЮ X (1-3).

1.	1) 5ах - а =	ах + а-,	2) 4 - ах = 2х + 7а;

3)	ах + 7а <	ах + 8а;	4) 2а - 6х > 2ах + 11.

2.	1)|х-2| +	|х + 1| = ах +	3;	2) | х - а | + | х | = 2;

3)|а-х| +	|х + а + 1| =	1.

3.	1) ах + 1 = ^-^-; 2) 2ах-1 = ^-±;	3) ££±1 = 1.

х	х-1	х+а х

4.	Знайдіть усі значення а, при яких задане рівняння має єдиний ко-

-<ч (х-а)(х-2а) „	(х + 2а)(х-6а) „

рінь: 1)  ---—--- = 0; 2)  ---—----- = 0.

х-4	х + 12

5.	Знайдіть усі значення а, при яких задане рівняння має єдиний ко-
рінь: 1) х8 + ах6 + а2 + 4а = 0; 2) х4 5 6 + ах2 + а2 - а = 0.

6.	Для кожного значення параметра Ь знайдіть число коренів рівняння
2х2 + Юх + | 6х + ЗО | = Ь.

7.	Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння | х2 — 2ах | = 1
має рівно три різних корені.

8.	Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння | х2 + 2х + а | = 2
має чотири різних корені.

9.	Знайдіть найбільше значення параметра к, при якому обидва корені
рівняння х2 + (2/г + 6) х + 4/г + 12 = 0 більші від -1.

10.	Знайдіть усі значення параметра т, для яких рівняння (т — 2) х2 —
— 2 (т + 3) х + 4т = 0 має один корінь більший за 3, а другий —
менший від 2.

ДОДАТКОВІ ВПРАВИ ДО РОЗДІЛУ 1

1.

Визначте суму розв’язків рівняння:

2.

3.

1)	| х + 5 | = 7;

3)	і х + 7 і = 2;

5)2|х-3|-|3-х| = 5;

Визначте х + у, якщо:
1)|х-у|+|4-х| = 0;

Визначте ху, якщо:

1)	| х - 2 | + 4х2 - 4ху + у2 = 0:

2)	| 2х - 1 | = 5;

4)	і 4х - 8 і + | 2 - х | = 4;

6)5|х + 4|-2|4-х| = 4.

2)	| 2х - у | + 2 | 2 - х | = 0.

2)	| у - 1 | + х2 - 2ху + у2 = 0.

4.

Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності:
1) | х - 1 | < 2; 2) | х + 2 | <4; 3) | х - 3 | < 6;

4) | х + 4 | < 5.

5. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності в проміжку [—5; 5]:

1) | х + 2 | > 3; 2) | х - 1 | > 4; 3) | х - 2 | > 3;	4) | 2х - 1 | > 3.

6. Визначте найбільший цілий розв’язок нерівності:

1) | Зх - 1 | < 2х + 2;	2) | 2 - Зх | - х < 8;	3) | 7 - Зх | - 2х < 2.
7.	Визначте найменший цілий розв’язок нерівності:

1)	| 1 - 2х | - х < 10; 2) | Зх - 2 | + 2х < 8; 3) | 4х - 4 | + 4х > 5.

8.	Визначте найменший розв’язок нерівності:

1)	| Зх + 1 | < х + 7; 2) | 2х + 3 | < х + 12; 3) | 4х + 3 | < х + 21.

9.	Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому рівняння має
розв’язок:

1)	| 2х - 1 | = 1 - 4а;	2) | Зх + 2 | = 3 - 4а.

10.	Знайдіть найменше значення параметра а, при якому рівняння має
розв’язок:

1)	| 2х - 1 | = 4а + 1;	2) | Зх + 3 | = 5а - 7.

11.	Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння
має розв’язок:

1)2|х — 3| — а|3—х| = 5;	2)3|х-2| + а|2-х| = -4.

12.	Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
має розв’язок:

1)8|х-3| + а|3-х| = 5;	2)3|х-2|-а|2-х| = -6.

13.	Визначте значення параметра пі, при якому рівняння має точно чо-
тири розв’язки:

1)	| х (| х | - 5) | = т;	2) | (х + 1) (| х + 1 | - 3) | = т;

3)	| 2 (5 - | х | х) | = пі.

14.	При якому найменшому цілому значенні параметра т рівняння
х2 - | 16х — 48 | = пі має чотири розв’язки?

15.	При якому значенні параметра пі рівняння х2 — | 14х — 28 | = пі має
один розв’язок?

16.	Укажіть, скільки всього дійсних коренів має рівняння X3 —3| X | = 0.

17.	Знайдіть всі значення параметра а, при яких задана система рівнянь
має єдиний розв’язок.

3)

х2 + у2 = 4,
у = х2 + а;

х2 + у2 = а2,
(х — 7)2 + у2=1;

4)

(х-а)2+ (у-4)2 = 9,
х-у = 0;

(х - а)2 + у2 =4,

| у | = 1-| х-12|.

Розв’яжіть завдання (18—29), використовуючи складання рівнянь,
нерівностей або їх систем.

18.	Робітник повинен був за планом виготовити за декілька днів 72 де-
талі. Оскільки щодня він виготовляв на 2 деталі менше плану, то
закінчив роботу через 3 дні після запланованого терміну. Скільки
деталей в день повинен був виготовляти робітник за планом?

19.	Три однакові комбайни, працюючи разом, зібрали врожай з першо-
го поля, а потім два з них зібрали врожай з другого поля (іншої
площі). Уся робота зайняла 12 годин. Якби три комбайни виконали
половину всієї роботи, а потім частину, що залишилася, виконав
один з них, то робота зайняла б 20 годин. За який час два комбайни
можуть зібрати врожай з першого поля?

20.	Продуктивність першого верстата на 25 % більша за продуктивність
другого верстата. На другому верстаті виготовлено деталей на 4%
більше, ніж на першому. На скільки відсотків час, витрачений ро-
бітником на виготовлення деталей на другому верстаті, більший за
час, потрібний для цієї роботи на першому верстаті?

21.	Перша труба наповнює басейн водою у два рази швидше, ніж друга.
Якщо половину басейну наповнити через першу трубу, а частину,
що залишилася, через другу, то для наповнення басейну буде потріб-
но 6 годин. За скільки годин можна наповнити басейн водою тільки
через першу трубу?

22.	Два велосипедисти виїжджають одночасно назустріч один одному
з пунктів А і В, відстань між якими ЗО км, і зустрічаються за годи-
ну. Не зупиняючись, вони продовжують шлях з тією самою швидкіс-
тю, і перший прибуває в пункт В на 1,5 години раніше, ніж другий
у пункт А. Визначте швидкість першого велосипедиста.

23.	Протягом 7 год 20 хв катер пройшов угору по річці 35 км і повернув-
ся назад. Швидкість течії дорівнює 4 км за годину. З якою швидкіс-
тю катер ішов за течією?

24.	Змішали 30%-вий розчин соляної кислоти з 10%-вим і одержали
600 г 15 % -вого розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?

25.	Є два сплави, що складаються з цинку, міді та олова. Відомо, що
перший сплав містить 40% олова, а другий — 26% міді. Процент-
ний вміст цинку в першому і в другому сплавах однаковий. Спла-
вивши 150 кг першого сплаву і 250 кг другого, одержали новий
сплав, у якому виявилося 30% цинку. Визначте, скільки кілограмів
олова міститься в новому сплаві.

26.	Знайдіть таке двозначне число, у якому число одиниць на два більше
від числа десятків, а добуток шуканого числа на суму його цифр до-
рівнює 144.

27.	Біля дому посаджено берези та липи, причому загальна їх кількість
більша за 14. Якщо кількість лип збільшити вдвічі, а кількість беріз
збільшити на 18, то беріз стане більше. Якщо збільшити вдвічі кіль-
кість беріз, не змінюючи кількості лип, то лип все одно буде більше.
Скільки беріз і скільки лип було посаджено?

28.	Групу людей намагалися вишикувати в колону по 8 чоловік у ряд,
але один ряд виявився неповним. Коли ту ж групу людей вишику-
вали по 7 чоловік у ряд, то всі ряди виявилися повними, а число
рядів виявилося на 2 більшим. Якби тих же людей вишикували по
5 чоловік в ряд, то рядів було б ще на 7 більше, причому один ряд
був би неповним. Скільки людей було в групі?

29.	У магазині продаються гвоздики і троянди. Гвоздика коштує 1 грн.

50 коп., троянда — 2 грн. На купівлю гвоздик і троянд можна ви-
тратити не більше ЗО грн. 50 коп., при цьому число гвоздик не по-
винне відрізнятися від числа троянд більше ніж на 6. Необхідно
купити максимально можливу сумарну кількість квітів, при цьому
гвоздик потрібно купити якомога менше. Скільки гвоздик і скільки
троянд можна купити за вказаних умов?

ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ

Нагадаємо, що алгебра — розділ математики, присвячений вивчен-
ню буквених виразів і рівнянь. Довгий час алгебра була частиною на-
уки про число — арифметики. Значну кількість задач, які виникають
у процесі практичної діяльності людини, розв’язують однаковими спо-
собами. Використовуючи замість чисел букви, математики навчилися
розв’язувати такі задачі в загальному вигляді. Цим шляхом і утворила-
ся математична наука — алгебра.

Історично зачатки алгебри були відомі вавилонянам, єгиптянам
і грекам задовго до нашої ери. Зберігся єгипетський папірус Ах мес а
(XVII ст. до н. е.) з розв’язуванням алгебраїчних задач. Учені Вавило-
на (більше 4000 років тому) вміли знаходити наближене значення ква-
дратного кореня з будь-якого натурального числа, а також розв’язувати
квадратні рівняння. Це було пов’язано з розв’язуванням задач про зна-
ходження площ земельних ділянок і з розвитком астрономії. Проте у ва-
вилонян ще не було поняття від’ємного числа, і тому корінь квадратного
рівняння міг бути тільки додатним.

Діофант, грецький математик, який жив у III ст. в Александрії,
написав трактат «Арифметика», у якому він уже розв’язував лінійні
та інші рівняння. У Середні віки особливо активно алгебра розвивалася
в арабських країнах і Середній Азії.

Завдання, пов’язані з квадратними рівняннями, можна знайти
і в працях індійських математиків V ст. Квадратні рівняння класифі-
кував у трактаті «Алгебра» аль-Хорезмі. Він же навів і способи їх
розв’язання.

Упродовж багатьох століть розвиток алгебри сильно гальмувався,
тому що математикам довго не вдавалося ввести у свої дослідження до-
речні позначення. Тому виклад математичних робіт виглядав громіздко.
Тільки починаючи із XVI ст. поступово до математики почали вводити
сучасні позначення. Символи а2, а2, а4 тощо вперше застосував фран-
цузький учений Рене Декарт (1596—1650). Символ а" для довільного
числа п запропонував англійський учений Ісак Ньютон (1643—1727).

Завдяки дослідженням французького математика Франсуа Вієта
(1540—1603) рівняння другого ступеня, третього і четвертого ступенів
уперше стали розглядати в буквених позначеннях. Він увів буквені по-
значення для невідомих величин і коефіцієнтів рівнянь. Особливо ціну-
вав відкриті ним формули, названі згодом формулами Вієта. Проте Вієт
визнавав тільки додатні корені. Лише в XVII ст., після робіт Р. Декарта,
І. Ньютона й інших математиків, розв’язування квадратних та інших
рівнянь набуло сучасного вигляду.

Ідея залежності величин теж бере початок від старогрецької науки.
Але греки розглядали лише величини, що мають «геометричну» при-
роду, і не ставили питання про загальне вивчення різних залежностей.
Графічне зображення залежностей між величинами широко використо-
вували Ґ. Ґалілей (1564—1642), П. Ферма (1601—1665) і Р. Декарт,
який увів поняття змінної величини. Розвиток механіки і техніки при-
вів до необхідності введення загального поняття функції, що зробив ні-
мецький філософ і математик Г. Лейбніц (1646—1716). Великі класи
функцій вивчав у ході своїх досліджень І. Ньютон.

У 1718 р. учень Лейбніца, І. Бернуллі (1667—1748), дав означення
функції, позбавлене геометричних образів. Наступний крок у розвитку
поняття функції зробив його учень, член Петербурзької академії наук
Л. Ейлер (1707-1783).

Після робіт ряду математиків (Ж. Фур’є (1768—1830), М. І. Ло-
бачевський, П. Діріхле та ін.) було дано таке означення: «Змінна
величина у називається функцією змінної величини х, якщо кожному
значенню величини х відповідає єдине значення величини у». На су-
часному етапі до слів «кожному значенню величини х» додають «що
належить деякій множині», а замість змінних величин говорять про еле-

М. І. Лобачевський
(1792-1856)

П. Діріхле
(1805-1859)
менти цих множин. Цей підхід дозволяє розглядати з єдиної точки зору
як числові функції, так і, наприклад, геометричні перетворення тощо.

Несумірність сторони квадрата та його діагоналі була відкрита
в V ст. до н. е. в Стародавній Греції. Це відкриття показало, що для
вимірювання геометричних величин недостатньо раціональних чисел.
Тому грецькі математики відмовилися від вираження геометричних ве-
личин числами і стали розвивати геометричну алгебру (тому і зараз ка-
жуть «квадрат числа», «куб числа» тощо). Грецький математик Евдокс
(IV ст. до н. е.) розробив теорію відношень геометричних величин, що
замінювала для старогрецьких математиків сучасну теорію дійсних чи-
сел. В основу теорії Евдокса покладено ідею про нескінченну подільність
відрізків та інших фігур.

Р. Декарт увів довільно вибраний одиничний відрізок, що дозволи-
ло йому виразити всі дії над числами через дії над відрізками. По суті,
він уже працював з додатними дійсними числами. Лише в другій по-
ловині XIX ст. теорія дійсних чисел була зведена до теорії натуральних
чисел.

Про поняття дійсного числа. Перші уявлення про числа формува-
лися поступово під впливом практики. З давніх часів числа застосовува-
лись під час лічби і вимірювання величин.

Відповідь на запитання «Скільки елементів містить дана скінченна
множина?» завжди виражається або натуральним числом, або числом
«нуль». Отже, множина

{0; 1; 2; ...}
всіх невід’ємних чисел обслуговує всі потреби лічби.

Інакше з вимірюванням величин. Відстань між двома пунктами
може дорівнювати 3,5 кілометра, площа кімнати — 16,45 квадратних
метра тощо.

Історично додатні дійсні числа з’явились як відношення довжин від-
різків.

З відкриттям несумірності діагоналі одиничного квадрата з його сто-
роною стало зрозумілим, що відношення довжин відрізків не завжди
можна виразити не тільки натуральним, а й раціональним числом. Щоб
числове значення кожного відрізка при фіксованій одиниці виміру було
визначене, потрібно було ввести нові числа — ірраціональні.

Усі практичні вимірювання величин мають лише наближений
характер. їх результат з потрібного точністю можна виразити за допо-
могою раціональних дробів або скінченних десяткових дробів. Напри-
клад, вимірюючи діагоналі квадрата із стороною 1 м з точністю
до 1 см, ми виявимо, що її довжина наближено дорівнює 1,41 м. Ви-
мірюючи з точністю до 1 мм, дістанемо, що ця довжина наближено до-
рівнює 1,414 м.
Проте в математиці часто відхиляються від наближеного характеру
практичних вимірювань. Послідовний теоретичний підхід до вимірюван-
ня довжин відрізків приводить до необхідності розглядання нескінчен-

них десяткових дробів. (Саме такими дробами є числа = 0,666...,
>/2=1,41421356..., л = 3,14159265... .)

Відношення довжини будь-якого відрізка до довжини відрізка, при-
йнятого за одиницю виміру, завжди можна виразити числом, поданим
у вигляді нескінченного десяткового дробу.

Повна теорія дійсних чисел достатньо складна і не входить у про-
граму середньої школи. її зазвичай розглядають у курсах математичного
аналізу. Проте з одним із способів її побудови ми ознайомимося в за-
гальних рисах.

1.	Покладають:

а)	кожному дійсному числу відповідає (як його запис) нескінченний
десятковий дріб:

х = а0, а1а2...ап...-,

б)	кожний нескінченний десятковий дріб є записом дійсного числа.
Але при цьому природно вважати десятковий дріб, що закінчується
нескінченною послідовністю дев’яток, лише другим записом числа,
поданим десятковим дробом, що закінчується нескінченною послі-
довністю нулів: 0,9999... = 1,0000...; 12,765999... = 12,766000... .
Тільки вилучивши з розгляду десяткові дроби з дев’яткою в періоді,
дістаємо взаємно однозначну відповідність між множиною дійсних
чисел і множиною нескінченних десяткових дробів.

Число а0 — це ціла частина додатного числа х,
х' - а= 0,а,а„...а ... — дробова частина числа х.

Число хп = ай,ага2...ап називають десятковим наближенням х з точ-
ністю до 10" з недостачею, а число х'=хп + 10" називають десят-
ковим наближенням з точністю до 10" з надлишком для числа

х = а^а^.-.а^.. .

Якщо число х від’ємне, тобто

х = —а(),аіа2...ап..., то вважають
хп = -а0,а1а2...ап і хп = х'-10".

2.	Вводять правило порівняння двох дійсних чисел. За означенням чис-
ло х менше від числа у, коли принаймні для одного п виконується
нерівність X < у , де х і у — десяткові наближення з точністю до
10" з недостачею для чисел х і у. (Ми скористалися тим, що правило
порівняння скінченних десяткових дробів уже відоме.)

3.	Означають арифметичні дії над дійсними числами (при цьому та-
кож користуються тим, що ці дії вже означені для скінченних де-
сяткових дробів).
Сумою двох дійсних чисел х і у (позначають: х + у) називають таке
дійсне число 2, що для будь-якого п виконуються нерівності

Х„+У„<Х + У<Х„ + У„-

У курсах математичного аналізу доводиться, що таке число існує
і воно єдине.

Аналогічно добутком двох невід’ємних чисел х і у називають таке
число 2 (позначають ху), що при будь-якому п виконуються нерівності
хпУп<хУ<хпу’п.

Таке число існує, і воно єдине.

Нагадаємо, що приклади виконання означених таким чином дій до-
давання і множення дійсних чисел було розглянуто в курсі алгебри
8 класу.

Для дійсних чисел різних знаків, скориставшись тим, що добуток
невід’ємних чисел | х | і | у | уже означений, покладають ху = - | х | • | у |,
а для чисел однакових знаків ху = | х | • | у | (зазвичай модулем кож-
ного з чисел ап,а.а„...а ... і -ап,а.а„...а ... називають число ап,а.а„...

0’ 1 2 п	0’ 1 2 п	0’ 1 2

а ...).

Віднімання означається як дія, обернена до додавання: різницею
х ~ у чисел х і у називається таке число 2, що у + 2 = х. Ділення
означають як дію, обернену до множення: часткою х : у називається
таке число г, що уг = х.

4.	Показують, що нерівності та арифметичні операції, означені вище,
зберігають основні властивості, притаманні їм у множині раціональ-
них чисел.

Теорія дійсного числа була побудована відразу в декількох формах
німецькими математиками Р. Дедекіндом (1831—1916), К. Вейєр-
штрассом (1815—1897) і Г. Кантором (1845—1918).
Розділ 2

СТЕПЕНЕВАІ

ФУНКЦІЯ '

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

§10.	Корінь п-го степеня та його % 
властивості. Функція у = л[х
та її графік

§11.	Ірраціональні рівняння

§ 12.	Узагальнення поняття степеня.

Степенева функція, її властивості
та графік

ДОДАТКОВИЙ МАТЕРІАЛ

§ 13.	Застосування властивостей функцій
до розв’язування ірраціональних рівнянь

§ 14.	Ірраціональні нерівності

§ 15.	Розв’язування ірраціональних рівнянь
та нерівностей з параметрами

В основній частині цього розділу ви ознайомитеся з узагаль-
ненням поняття квадратного кореня — коренем п-то степеня
та його властивостями, навчитеся розв’язувати ірраціональні
рівняння та будувати графіки степеневих функцій і функції
у = уіХ та використовувати їх властивості до розв’язування
різноманітних задач.

У додатковій частині розділу ви зможете ознайомитися з ме-
тодами розв’язування більш складних завдань з теми, які
пропонують у завданнях зовнішнього незалежного оціню-
вання чи державної підсумкової атестації з математики (це,
у першу чергу, методи розв’язування ірраціональних нерів-
ностей, застосування властивостей функцій до розв’язування
ірраціональних рівнянь та методи розв’язування ірраціо-
нальних рівнянь і нерівностей з параметрами).
§10

КОРІНЬ п-го СТЕПЕНЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ.
ФУНКЦІЯ у = у/х ТА ЇЇ ГРАФІК

Таблиця 17

1. Означення			
Квадратний корінь	Корінь п-го степеня		
Квадратним коренем із числа а називається таке число Ь, квадрат якого дорівнює а.  Якщо а = Ь2, то Ь — квадратний корінь із числа а.  Арифметичний корінь — При а > 0: у/а, у[а — позначен	Коренем п-го степеня з числа а нази- вається таке число Ь, п-їі степінь якого дорівнює а.  Якщо а = Ь" (п є ТУ, п Ф 1), то Ь — корінь п-го степеня з числа а.  невід’ємне значення кореня.  ня арифметичного значення кореня.		
(л/а) =а	ШЯ = а		
2. Область допустимих значень (ОДЗ)			
Квадратний корінь	Корінь п-го степеня		
у[а існує тільки при а > 0	2у/а існує тільки при а > 0 (7г є ТУ);  2к у/а існує при будь-яких значеннях а		
Запис розв’язків рівняння хп = а (п є ТУ)			
п = 27г + 1 — непарне (7г є ТУ)	п = 27г — парне (7г є ТУ)		
При будь-яких значеннях а рівняння х2/' + 1 = а має єдиний .	27?+1/-  корінь х= На	При а < 0 рівняння х2'' = а не має коренів	При а > 0 всі корені рівняння х2'' = а можна записати так: х = ±г\[а	
Приклади			
Рівняння X'' = 3 має єдиний корінь Х = у[3	Рівняння х8 = -7 не має коренів	Рівняння х8 = 7 має корені х = ±>/7	
3. Властивості кореня п-го степеня			
п = 27г + 1 — непарне число	п = 27г — парне число		
і ч 2Й+1/	2к+1і  1)	Н-а=- На  2)	^ = ^а2к+1 = а			
	—		«1^
Продовження табл. 17

Для довільних значень п і к (п & N, п к & Н)

3) При а

4) При а

5) При а

> 0  > 0  > 0, Ь > 0	у[\Іа=п^а	
		
	ї[аЬ=Ч./а  ’-і/Ь	

Наслідки

сення множника з-під знака кореня.

сення множника під знак кореня.

6) При а > 0, Ь > 0

7) При а

— основна властивість кореня

Значення кореня з степеня невід’ємного числа не зміниться, якщо по-

казник кореня і показник степеня підкореневого виразу помножити (або
поділити) на одне й те саме натуральне число.

8) При а > 0, Ь > 0, якщоа>Ь, то уа >уЬ

4. Функція у = Чх та її графік

Графік функції у = Чх (п є N. п> 2)
Продовження табл. 17

Властивості функції у = у[х	
п — парне (п = 27г, к є А)	п — непарне (п = 27г +1, 7г є А)
1. Область визначення: х > 0, тоб- то  п(>/х) = [0;+оо).	1. Область визначення: х є К (х — будь-яке дійсне число), тобто  £>(2''7х)=іг.
2. Область значень: у 0, тобто £№) = [0,-Юо).	2. Область значень: у є К(у — будь- яке дійсне число ), тобто  е(2*+-Ух)=я.
3. Найбільшого значення функція у = 2\[х не має; найменше значення — у = 0 (при х = 0).	3. Найбільшого і найменшого зна- чень функція у = №+у/х не має.
4. Функція ні парна, ні непарна.	.	•	2к+1І	2к+1І  4. Функція непарна: \І-х = - отже, графік функції симетричний відносно початку координат.
Гх = О,	Г у = 0,  5. Точки перетину з осями координат: Оу і	Ох і  1 у	1	♦  Графік проходить через початок координат.	
6. Проміжки зростання і спадання: на всій області визначення функція зростає.	
7. Проміжки знакосталості: при х > 0 значення у > 0	7. Проміжки знакосталості: при х > 0 значення у > 0, при х < 0 значення у < 0

Пояснення й обґрунтування

1.	Означення кореня п-го степеня. Поняття кореня квадратного з чис-
ла а вам відомо: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно
означають і корінь п-го степеня з числа а, де п — довільне натуральне
число, більше за 1.

Коренем п-го степеня з числа а називається таке число, п-й степінь
якого дорівнює а.

Наприклад, корінь третього степеня з числа 27 дорівнює 3, оскіль-
ки З3 = 27; корінь третього степеня з числа —27 дорівнює —3, оскільки
(—З)3 = —27. Числа 2 і —2 є коренями четвертого степеня з 16, оскільки
24 = 16 і (-2)4 = 16.

При и = 2 та при п = 3 корені п-го степеня називають також відпо-
відно квадратним та кубічним коренями.
Як і для квадратного кореня, для кореня п-го степеня вводять по-
няття арифметичного кореня.

Арифметичним коренем п-го степеня з числа а називається
невід’ємне число, п-й степінь якого дорівнює а.

При а > 0 для арифметичного значення кореня п-го степеня з чис-
ла а існує спеціальне позначення1: у/а; число п називають показником
кореня, а саме число а — підкореневим виразом. Знак у/~ і вираз у/а на-
зивають також радикалом.

Наприклад, те, що корінь третього степеня з числа 27 дорівнює З,
записують так: у/27 = 3; те, що корінь четвертого степеня із 16 дорів-
нює 2, записують так: у/16 = 2. Але для запису того, що корінь четверто-
го степеня із 16 дорівнює —2, позначення немає.

При а < 0 значення кореня п-го степеня з числа а існує тільки при
непарних значеннях п (оскільки не існує такого дійсного числа, парний
степінь якого буде від’ємним числом). У цьому випадку корінь непарно-
го степеня п із числа а теж позначають у/а. Наприклад, те, що корінь
третього степеня з числа —27 дорівнює —3, записують так: >/—27 =—3.
Оскільки —3 — від’ємне число, то уі—27 не є арифметичним значенням
кореня. Але корінь непарного степеня з від’ємного числа можна вирази-
ти через арифметичне значення кореня за допомогою формули

2к+1І- 2к+1І~

у]-а = - у]а 

• Щоб довести наведену формулу, зауважимо, що за означенням коре-
_	( 2к+1Г~\Ж+1

ня п-го степеня ця рівність буде правильною, якщо і— ча)	= —а.

„	( 24-+1/-і2**1 / 1-.2*+1 І2к+1Г~ \И'11

Дійсно, \— ча) — І—1) А ча) ——а, а це и означає, що
2к+1І  2к+1Г~

уі-а = - ча. О

Наприклад, ^27 = ->/27 =-3; ^32=-^32=-2.

2к+1Г~

Зазначимо також, що значення Ца має той самии знак, що
й число а, оскільки при піднесенні до непарного степеня знак числа не
змінюється.

Також за означенням кореня п-го степеня можна записати, що
в тому випадку, коли існує значення у[а, виконується рівність

Ш=а

і, зокрема, при а

0 (у/а) =а .

Усі властивості виразів виду у/а наведено для випадку п є А, п > 2. При

п = 1 домовимося вважати,
2.	Область допустимих значень виразів із коренями п-го степеня.
Розв’язки рівняння х” = а (п є А). Зазначимо, що

|2й+1Г~
значення ча — кореня непарного степеня з числа а — існує
при будь-яких значеннях а.

• Обґрунтуємо це, наприклад, для кореня третього степеня. Позначимо
у/а = х. Тоді за означенням кореня п-го степеня х3 = а і значення у/а
буде існувати, якщо рівняння х3 = а матиме розв’язок.

Зобразивши графіки функцій у = х3 і у = а (рис. 78), бачимо, що при
будь-яких значеннях а пряма у = а перетинає графік функції у = х3
в одній точці. Отже, при будь-якому значенні а існує єдине значення
у[а (оскільки функція у = х3 зростає і набуває всіх значень від —°° до
+оо). О

Аналогічне обґрунтування можна навести і для інших коренів непар-
ного степеня (див. графіки і властивості функцій виду у = х№ +1 у § 12).

Наведені міркування дозволяють записати розв’язки рівняння
х" = а для непарних значень п = 27г + 1: при будь-яких значеннях а рів-
няння х2''+1 = а (к є А) має єдиний корінь х = 21!+у/а.

Наприклад, рівняння Х': = 3 має єдиний корінь х = л/з, а рівняння
X7 = -11 має єдиний корінь х = -7—11 (ураховуючи, що х = ^4Ї = Ч/П,
корінь для рівняння х7 = —11 можна записати так: х = —1/11).

 Значення 2у/а — кореня парного степеня з числа а — існує
тільки при а > 0.

Дійсно, у тому випадку, коли гу/а=х, за означенням кореня п-го
степеня а = х№. Отже, а > 0.

Для квадратного кореня це можна також обґрунтувати, використо-
вуючи відомий графік функції у = х2.

Рис. 78

Рис. 79
• Нехай уІа = х, тоді за означенням квадратного кореня х2 = а і зна-
чення ‘/а буде існувати, якщо рівняння х2 = а матиме розв’язок.
Зобразивши графіки функцій у = х2 і у = а (рис. 79), бачимо, що
пряма у = а перетинає графік функції у = х2 тільки при а > 0 (при-
чому при а>0 — у двох точках: х1=\[а і х2= —\[а, а при
а = 0 — тільки в одній точці х = 0). Отже, при будь-яких значеннях
о, > 0 існує значення л/а, оскільки функція у = х2 набуває всіх зна-
чень із проміжку [0; +°°). О

Розглянемо розв’язки рівняння х" = а для парних значень п = 27г
(7г є АГ).

Рівняння х2 = а при а < 0 не має коренів, оскільки квадрат будь-
якого числа не може бути від’ємним (на рисунку 79 пряма у = а при а < 0
не перетинає графік функції у = х2). Так само рівняння х2'' = а (7г є А)
при а < 0 не має коренів (оскільки парний степінь будь-якого числа не
може бути від’ємним).

При а = 0 рівняння х2'' = 0 (7г є А) має єдиний корінь х = 0 (оскільки
парний степінь будь-якого відмінного від нуля числа — число додатне,
тобто не рівне нулю, а О2' = 0).

При а > 0 за означенням кореня 27г-го степеня \\Іа) =а. Отже,
х = л/а — корінь рівняння х2к = а. Але (-л/а) = (л/а) = а, тому х = -2у[а —
теж корінь рівняння х№ = а. Інших коренів це рівняння не має, оскільки
властивості функції у = х2к аналогічні властивостям функції у = х2: при
х > 0 функція зростає, отже, значення а вона може набувати тільки при
одному значенні аргументу (х = 2-\/а). Аналогічно при х < 0 функція
у = х№ спадає, тому значення а вона може набувати тільки при одному
значенні аргументу (х = — 2у[а). Таким чином, рівняння х2'' = а при а > 0
має тільки два корені: х = +2у[а.

Наприклад, рівняння х10 = —1 не має коренів, а рівняння х6 = 5 має
корені х = ±^5.

3. Властивості кореня п-го степеня можна обґрунтувати, спираючись

на означення кореня п-го степеня.

1)

Формула

2к+1І-- 2к+1Г~

у-а =- -у а

була обґрунтована в пункті 1 пояснень.

Обґрунтуємо інші формули, наведені в таблиці 17.

С Нагадаємо, що за означенням кореня п-го степеня для доведення
рівності у[а = В (при А > 0, В > 0) достатньо перевірити рівність
В” = А.
2)	Вираз у/а" розглянемо окремо при п = 27г + 1 (непарне) і при п = 27г
(парне).

Якщо п — непарне, то враховуємо те, що вираз у/а" існує при будь-
яких значеннях а і що знак у[а" = 2к+//агк+1 збігається зі знаком а.
Тоді за означенням кореня п-го степеня одержуємо

^ = 2й+^а2й+1 =а .

Якщо п — парне, то враховуємо те, що вираз у/а" = ‘у/а2к позначає
арифметичне значення кореня п-го степеня (отже, 2у/а21 > 0) і що

| а |2/,= а№. Тоді

ц/а"=2^ = \а\ .

3)	Формулу

П-/&/ тіш	г\

УІУІа = у/а при а > 0

обґрунтуємо, розглядаючи її справа наліво. Оскільки

(у/у/а) = {{у/у/а) ) = (у/а) = а, то за означенням "у/а = у/у/а.

4)	Справедливість формули

(у/а) = у/а* при о, > 0
випливає з рівності {(у/а) ) = (у/а) = {(у/а) ) =п*.

5)	Для обґрунтування формули

у/аЬ =у[а • у/Ь при а > 0, Ь > 0
використовуємо рівність (у/а -у/ь) = (у/а) (у/ь) = аЬ.

6)	Для обґрунтування формули

= при « о, ь > о

(\[а	)П а

використовуємо рівність	=-----= —.

(&)	Ш "

7)	Властивість кореня

у/а™ = "у/а™* при а > 0

випливає з рівності (у/а™) = {(у/а™) ) = (а™)к =а™к. О

Наприклад, у/8 = у/22 = у/2 (показник кореня і показник степеня під-
кореневого виразу поділили на натуральне число 3).
За допомогою формули у[аЬ = у/ауІЬ (а > 0, Ь > 0) можна одержати
важливі наслідки: формули винесення множника з-під знака кореня або
внесення множника під знак кореня.

Дійсно, при а > 0, Ь > 0 уІапЬ = у[а" • у/ь = ау/б. Розглядаючи одержа-
ну формулу зліва направо, маємо формулу винесення невід’ємного множ-
ника з-під знака кореня:

!І^Ь = а^/Ь ,
а справа наліво — формулу внесення невід’ємного множника під знак
кореня:

Наприклад, </96 =</32 • 3 = </2в • 3 = 2</з.

8)	Зазначимо ще одну властивість коренів п-го степеня:

для будь-яких невід’ємних чисел а і Ь

якщо а > Ь, то у[а > у/ь 

Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що у/а^у/б.

Тоді при піднесенні обох частин останньої нерівності з невід’ємними
членами до п-го степеня (із збереженням знака нерівності) одержу-
ємо правильну нерівність а < Ь. Це суперечить умові а > Ь. Отже,
наше припущення неправильне і у/а > уІЬ. О

Наприклад, ураховуючи, що 21 > 16, одержуємо у/21>у/16. Оскіль-
ки у/16 = 2, маємо, що УІ21 > 2.

Узагальнення властивостей кореня п-го степеня1

Основна частина формул, які виражають властивості коренів п-го
степеня, обґрунтована для невід’ємних значень підкореневих виразів.
Але інколи доводиться виконувати перетворення виразів з коренями
п-го степеня і в тому випадку, коли таких обмежень немає, наприклад
добувати корінь квадратний (або в загальному випадку корінь парного
степеня) з добутку аЬ від’ємних чисел (а < 0, Ь < 0). Тоді аЬ > 0 і гу[аЬ
існує, проте формулою

</^>=</^</ь	(1)

скористатися не можна: вона обґрунтована тільки для невід’ємних зна-
чень а і Ь. Але у випадку аЬ > 0 маємо: аЬ = | аЬ | = | а | • | Ь | і тепер
| а | > 0 та | Ь | > 0. Отже, для добування кореня з добутку | а | • | Ь | можна
використати формулу (1).

Цей матеріал є обов’язковим тільки для класів фізико-математичного профілю.
Тоді при а < 0, Ь < 0 можемо записати:

2у/аЬ = 2-^|а| • |Ь| = д/|а~|• 2-(/|ь"|.

Зазначимо, що одержана формула справедлива і при а > 0, Ь > 0,
оскільки в цьому випадку | а | = а і | Ь | = Ь. Отже,

при «Ь > 0 2у/аЬ = 2^\ а | •

Аналогічно можна узагальнити властивість 6.

При > 0	2й/«	
	\ь	

Слід зазначити, що в тих випадках, коли обґрунтування основних
формул можна повторити і для від’ємних значень а і Ь, такими фор-
мулами можна користуватися для будь-яких а і Ь (з ОДЗ лівої частини
формули).

Наприклад, для коренів непарного степеня для будь-яких значень аіЬ
2к+1Г~Т 2к+1Г~ 2к+1П~

уіаЬ = уіа • -уо.	(^)

Дійсно, ліва і права частини цієї формули існують при будь-яких
значеннях а та Ь і виконується рівність

= (2*^Г1	= аЬ.

Тоді за означенням кореня (2к + 1)-го степеня виконується і рівність (2).

Наприклад, у/а15Ь = у/а15 -у/ь = а5у/б при будь-яких значеннях а і Ь.

Але деякими формулами не вдається скористатися для довільних
значень а і Ь. Наприклад, якщо ми за основною властивістю кореня за-
пишемо, що у/а2 = у/а (показник кореня і показник степеня підкоренево-
го виразу поділили на натуральне число 2), то одержана рівність не
є тотожністю, оскільки при а = — 1 (ліва і права частини цієї рівності
означені при всіх значеннях а) маємо л/(—І)2 = у/—1, тобто 1 = —1 — не-
правильну рівність.

Таким чином, при діленні показника кореня і показника степеня
підкореневого виразу на парне натуральне число потрібно узагальнити
основну властивість кореня. Для цього достатньо помітити, що а2 = | а |2,
і тепер основа степеня підкореневого виразу | а | > 0, а отже, можна ви-
користати основну формулу (властивість 7): у/а2 = а |2 = а|.

У загальному випадку, якщо при використанні основної властивос-
ті кореня доводиться ділити показник кореня і показник степеня під-
кореневого виразу на парне натуральне число, то в результаті основу
степеня підкореневого виразу потрібно брати за модулем, тобто
Аналогічно можна обґрунтувати й інші приклади використання
основних властивостей коренів при довільних значеннях а і Ь (з ОДЗ
лівої частини формули), які наведено в таблиці 18.

Таблиця 18

Основні формули для кореня п-го степеня (тільки для		Чи можна користуватися основними формулами для будь-яких а і Ь з ОДЗ лівої частини формули (якщо ні — дано узагальнену формулу)		
невід’ємних значен  Г« > о,' а і Ь, тобто і |&>0	ь	корінь непарного степеня	корінь парного степеня	
1. (^а) =а		можна	тільки для невід’ємних а	
2. у[а/'=а		можна	2^ = \а\	
3. Корінь із кореня 	Пу[л		можна	можна	
4. Корінь із добутку		можна	2^ь=2^Щ2^|ь|	
і добуток коренів			можна	
5. Корінь із частки  = 4 (&*0)		можна	№ «Є*?? н	
і частка коренів у/ь Уь			можна	
6. Основна властивість кореня:			Перехід парний —> парний можна	
	 П-\/Сіт^  і навпаки		можна, якщо всі корені непарного сте- пеня (тобто перехід не-	Пере	хід непарний парний  п0[а^ при о,'">0,
	у/С1т		парний непарний)	у] а	-^ппи ат<0
			п^Г = ^|ат|	
Продовження тпабл. 18

Основні формули для кореня п-го степеня (тільки для невід’ємних значень Г а > 0,' а і Ь, тобто і |&>0	Чи можна користуватися основними формулами для будь-яких а і Ь з ОДЗ лівої частини формули (якщо ні — дано узагальнену формулу)		
	корінь непарного степеня	корінь парного степеня	
7. Винесення множни- ка з-під знака кореня у[а^ = а>/ь	можна		
8. Внесення множника під знак кореня  а\[ь = у[а"Ь	можна	ауІЬ =	\ІапЬ, при а > 0,  ->ІапЬ, при а < 0, де Ь > 0

Зауваження. Під терміном «перехід», який використано в табли-
ці 18, слід розуміти перехід у відповідній формулі від кореня п-го степе-
ня до кореня ш-го степеня.

Якщо п і т обидва парні, то такий перехід коротко охарактеризова-
но як «перехід парний парний» (типу	= у[а^).

Якщо п і т обидва непарні, то в таблиці записано, що виконано «пе-
рехід непарний непарний» (типу 1 *у[а^ =

Якщо п — непарне число, а т — парне число, то в таблиці говорить-
ся, що виконано «перехід непарний парний» (типу ^/(—2)3 = —'•\/(—2)6 ).

Таким чином, якщо за умовою завдання на перетворення виразів
із коренями п-го степеня (ірраціональних виразів) відомо, що всі букви
(які входять до запису заданого виразу) невід’ємні, то для перетворення
цього виразу можна користуватися основними формулами, а якщо та-
кої умови немає, то необхідно аналізувати ОДЗ заданого виразу і тільки
після цього вирішувати, якими формулами користуватися — основними
чи узагальненими.

4. Функція у = \/х (п є ТУ, п > 2) та її графік. Характеризуючи власти-
вості функцій, найчастіше виділяють такі їх характеристики: 1) область
визначення; 2) область значень; 3) парність чи непарність; 4) точки пере-
тину з осями координат; 5) проміжки знакосталості; 6) проміжки зрос-
тання і спадання1; 7) найбільше і найменше значення функції.

1 Проміжки зростання і спадання функції інколи називають проміжками

монотонності функції.
Розглянемо властивості функції у = у/х. Оскільки деякі властивості
коренів непарного степеня не збігаються з властивостями коренів парно-
го степеня, то для відповідних випадків ці корені будемо розглядати
окремо.

Якщо п — непарне (п = 2к +1,
к є ТУ):

1.	Область визначення. При не-
парних значеннях п (п = 2к + 1,
к є ТУ) корінь непарного степеня
з числа х існує при будь-яких
значеннях х, тому областю ви-
значення функції у = 2к+у[х є всі
дійсні числа:

Якщо п — парне (п = 27г, /г є ТУ):

2.	При непарних значеннях п
функція непарна, оскільки
2/, і І /	2к+1Г~	, .

у—х=— ух, отже, графік
,	...	2к+1!

функції у= -Ух симетричний
відносно початку координат.

1.	Область визначення. При пар-
них значеннях п (п = 27г, 7г є ТУ)
корінь парного степеня з числа
х існує тільки при X > 0, тому
областю визначення функції
у = 2І[х є множина невід’ємних
чисел:

І) (л/х) = [0;+°°).

2.	При парних значеннях п
функція ні парна, ні непарна
(тому що її область визначення
несиметрична відносно початку
координат).

3.	Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = у/х завжди
проходить через початок координат (інших точок перетину з осями
координат немає: при у = 0 з рівняння ц[х = 0 знову одержуємо тільки
х = 0).

4.	На всій області визначення функція у = у[х зростає. Справді, для не-
від’ємних значень і х2 за властивістю 8, якщо х > х , то \[х\ > у[х^,
а це означає, що функція зростає при невід’ємних значеннях х. Отже,
при парному значенні п функція дійсно зростає на всій області визна-
чення. Для непарного значення п достатньо врахувати, що графік
функції у = у/х симетричний відносно початку координат, і, відо-
бражуючи графік зростаючої при х > 0 функції, знову одержати графік
зростаючої функції (див. нижче). *

5.

Для того щоб знайти область значень функції у = у/х (п є ТУ, п > 2),

складемо рівняння

'х = а.
Якщо п — непарне, то вираз
у/х набуває як невід’ємних, так
і від’ємних значень, і рівняння
у/х = а при будь-якому а за означен-
ням кореня п-го степеня має корінь
х = а". Отже, для непарних п мно-
жина значень складається з усіх
дійсних чисел: Е(2к+у[х) = К. Тому
найменшого і найбільшого значень
функція у = УІх немає.

6. Проміжки знакосталостг.

при х > 0 значення у > 0 (оскіль-
2к+1Г~

ки в цьому випадку у= у/х —
арифметичне значення кореня),
а при х < 0 значення у < 0 (оскіль-
ки корінь непарного степеня
з від’ємного числа є числом
від’ємним).

Якщо п — парне, то вираз у]х
позначає арифметичне значення ко-
реня (^>0), тому рівняння у[х = а
має корінь тільки при а > 0. Тоді
для всіх а > 0 маємо х = а". Отже,
для парних п множина значень
складається з усіх невід’ємних чи-
сел: е(л/х) = [0;+оо)-

Тому найбільшого значення
функція у = ‘уі~х не має, а наймен-
шого — у = 0 — набуває при х = 0.

6. Проміжки знакосталості-.

при х > 0 значення у > 0
(оскільки у = л/х — арифметичне
значення кореня).

Зазначимо також, що при х = 1 маємо у = 1, отже, графік функції
у = у/х завжди проходить через точку (1; 1).

Наведене дослідження дозволяє побудувати графік функції у = у/х
для непарних (рис. 80) і парних (рис. 81) значень п.

На рисунку 82 в одній і тій самій системі координат зображено гра-
фіки функцій у = у/х та у = у[х і для порівняння графік функції у = х.
Зауважимо, що графік функції у = у[х можна побудувати, викорис-
товуючи графік функції у = х". Наприклад, функцію у = у[х можна роз-
глядати як обернену до функції у = х8, а отже, побудувати її графік
(рис. 83) як криву, симетричну кубічній параболі у = х8 відносно прямої
у = х. Аналогічно в пункті 2.4, використовуючи праву вітку параболи
у = х2, було побудовано графік функції у = у[х (рис. 50, с. 65).

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Знайдіть значення виразу:

Розв’язання

1) ► у625 = 5, оскільки 54 = 625. <1

Коментар

Використаємо означення кореня
п-го степеня. Запис у[а=Ь означає,
що Ь" = а.

Приклад 2 Знайдіть значення виразу:

1)	^27 • 125;	2) ^2 • ^8.

Коментар

Використаємо властивості кореня п-го степеня і врахуємо, що кож-
ну формулу, яка виражає ці властивості, можна застосувати як зліва
направо, так і справа наліво. Наприклад, для розв’язування завдання 1
скористаємося формулою у[аЬ=у]а- у/ь, а для розв’язування завдан-
ня 2 — цією самою формулою, але записаною справа наліво, тобто:

у/а • у/ь = >[аЬ (при а > 0, & > 0).

Розв’язання

1) ► ^27 • 125=л/27 • </125 = 3 • 5 = 15; <

2)	► ^2 • </8=</2 • 8=</їб = 2.<

Приклад З

Порівняйте числа:

1) л/бО і л/7; 2) </з і </з.

Розв’язання

Коментар

1) ► л/7 = у/т? = </49. Оскільки 50 > 49,
то у/бО > </49, тобто у/бО > уІ7; <|

2)^ </з = '^3? = '^27, </з = '</з? = І-^8Ї.
Оскільки 27 < 81, то 1у/27 < 1уі81,
тобто </з < </з. <|

Для порівняння заданих чисел
у кожному завданні достатньо при-
вести всі корені до одного показни-
ка кореня і врахувати, що для
будь-яких невід’ємних чисел а і Ь,
якщо а > Ь, то у[а > у/ь.

Приклад 4 Подайте вираз у вигляді дробу, знаменник якого не міс-
тить кореня п-го степеня:

1)	2)	;	3і)	.

</3	>/5 + 1	у!іі+\

Коментар

У завданні 1 урахуємо, що </з^ = 3, отже, після множення чисельни-
ка і знаменника заданого дробу на </з^ знаменник можна буде записати
без знака радикала. У завданні 2 достатньо чисельник і знаменник за-
даного дробу домножити на різницю у/Б —1^0 (щоб одержати в знамен-
нику формулу різниці квадратів).

Але виконання аналогічного перетворення в завданні 3 пов’язане
з певними проблемами. ОДЗ виразу —Л— є а > 0 (і всі тотожні перетво-
УІа+1

рення потрібно виконувати для всіх значень а > 0). Ми хочемо домножи-
ти чисельник і знаменник заданого дробу на вираз у/а—1. За основною
властивістю дробу це можна зробити тільки для випадку, коли у/а—1 0,
тобто тільки при а 1. Але а = 1 входить до ОДЗ початкового виразу,
і тому вибраний нами спосіб розв’язування приведе до звуження ОДЗ по-
чаткового виразу. Дійсно, якщо записати, що —— = — >/«-1-----_ у/а -1

у/а+1 Суд+ 1)(>/а-1)	а-1
то ця рівність не є тотожністю, оскільки не виконується ДЛЯ а = 1 з ОДЗ
початкового виразу. У цьому разі, щоб не припуститися помилок, можна
користуватися таким орієнтиром: якщо для тотожних перетворень (чи
для розв’язування рівнянь і нерівностей) доводиться використовувати
перетворення (чи формули), які призводять до звуження ОДЗ початко-
вого виразу, то значення, на які звужується ОДЗ заданого виразу, слід

розглянути окремо.

Розв’язання

4	4(л/б-1)	= 4(л/б-1) =4(л/б-1)= г=

^+і (^+і)(^-і) ш2_і*	4

3)	► Позначимо А =	. Тоді при а = 1 одержуємо А =	—

л/а+1	VI + 1

1_

2

При а ф 1 (а > 0) маємо А = —

а-1

а -1

Відповідь: при а = 1 А = |,

при а * 1 (о, > 0) А = ——

а-1

Приклад 5

(тобто відповідь не можна записати однозначно). <1

Спростіть вираз:

1)	2) а + ^ при а > 0 і Ь > 0;	З*)

уа-Ді	Ь + у/аЬ

а + у] аЬ
Ь + у[аЬ

Розв’язання

1) І спосіб

Коментар

II спосіб

► Позначимо у/а = х, у/ь = у, де
а > 0, Ь > 0. Тоді у/а=($/а) = х2
і у/ь = (у/ь) = у2. Отже,
у/а-у/ь _ х2 -у2 _ (х-у)(х + у) _
у/а-у/ь Х~У Х~У

У завданні 1 ОДЗ заданого виразу:
а > 0, Ь > 0, у/а-у/ь Для
невід’ємних значень а і Ь ми маємо
право користуватися всіма основними
формулами перетворення коренів (як
зліва направо, так і справа наліво).

При а > 0, & > 0 можна записа-
ти: у/а=(у/а) і у/ь = (у/ь) . Тоді чи-
сельник заданого дробу можна
розкласти як різницю квадратів.
Для того щоб виділити в чисельни-
ку різницю квадратів, можна також
виконати заміну у/а = х; у/ь = у.
Відповідь:

1) при а > 0 і Ь

2) приа<ОіЬ<О(зОДЗ) А =

У завданні 2 за даної умови а > 0
і Ь > 0, тому ми маємо право скорис-
татися всіма основними формулами
перетворення коренів. Тоді

4аЬ=у/а>ІЬ, а = (4аТ, Ь = (\/ь)2.

У завданні З ОДЗ заданого ви-
разу: аЬ > 0, Ь + у[аЬ ^0. Але аЬ > 0

Га>0,	Га<0,	Га>0,

при ( або ( При (

[Ь>0	[Ь<0.	[Ь>0

ми маємо право користуватися всі-
ма основними формулами перетво-
рення коренів (як у завданні 2).

[а<0,

При і < доведеться вико-
ристати узагальнену формулу
=	і врахувати, що при

а < 0 одержуємо (—а) > 0. Тоді мож-
на записати:	а = — (—а) = — (>/—а) .

Аналогічно при Ь < 0 можна записа-
ти Ь = -(-Ь) = -(уГ^ь) . Також слід
урахувати, що при а < 0 і Ь < 0 ма-
ємо:

| а | = -а і | Ь | = -Ь.

Записуючи відповідь, доцільно взя-
ти до уваги, що Ь = 0 не входить до
ОДЗ заданого виразу.

Приклад 6“ Спростіть вираз урі/'уіа2

Коментар

В умові не сказано про те, що значення а невід’ємні, тому доведеть-
ся спочатку визначити ОДЗ заданого виразу.

Вираз у/а2 існує при будь-яких значеннях а і є невід’ємним. Ви-
раз а4 також існує і невід’ємний при будь-яких значеннях а. Отже,
при будь-яких значеннях а під знаком квадратного кореня буде місти-
тися невід’ємний вираз а/'у/а2, тобто заданий вираз існує при будь-
яких значеннях а (ОДЗ: будь-яке а є К), і його перетворення потрібно
виконати на всій ОДЗ.

Можливими є декілька шляхів перетворення заданого виразу, на-
приклад: 1) спочатку розглянути корінь квадратний із добутку, а потім
скористатися формулою кореня з кореня і основною властивістю кореня;
2) внести вираз а4 під знак кубічного кореня, а потім теж використати
формулу кореня з кореня і основну властивість кореня. На кожному з
цих шляхів ураховуємо, що при будь-яких значеннях а значення а2 > 0
і а4 > 0 (а значить, для цих виразів можна користуватися основними
формулами). Використовуючи основну властивість кореня, доводиться
ділити показник кореня і показник степеня підкореневого виразу на
парне натуральне число 2. Тому в результаті основу степеня підкорене-
вого виразу потрібно брати за модулем (оскільки а є К).

Розв’язання

І спосіб

II спосіб

 Запитання для контролю

1-	Дайте означення кореня п-го степеня з числа а. Наведіть приклади.

2.	Дайте означення арифметичного кореня п-го степеня з числа а. На-
ведіть приклади.

3.	При яких значеннях а існують вирази 2у[а та гк+і/а (к є ТУ)?

4.	Запишіть властивості кореня п-го степеня для невід’ємних значень
підкореневих виразів.

5”. Доведіть властивості кореня п-го степеня для невід’ємних значень
підкореневих виразів.

б4.	Якими властивостями кореня п-го степеня можна користуватися
при довільних значеннях букв (з ОДЗ лівої частини відповідної фор-
мули)? Наведіть приклади використання основних формул та їх уза-
гальнень.

7-	При яких значеннях а має корені рівняння:

1)	х2к +1 = а (к є ТУ); 2) х2к = а (7г є ТУ).

8.	Запишіть усі розв’язки рівняння:

1)	х2к +1 = а (7г є ТУ);

2)	х2к = а (7г є ТУ):	а) при а > 0; б) при а < 0; в) при а = 0.

Наведіть приклади таких рівнянь і розв’яжіть їх.
9.	Побудуйте графік функції у = Чіх, де к є І\т, та сформулюйте її влас-
тивості.

10.	Побудуйте графік функції у = гк+у[х, де к є /V, та сформулюйте її
властивості.

її4. Обґрунтуйте властивості функції у = у/х (п є ТУ, п 2):

1)	для непарного значення п;	2) для парного значення п.

Вправи

1. Перевірте правильність рівності:

1°) л/б4=4;  4°) х/о = О;	2°) ^4=-1;	3)  5°) ^32=-2;	6°)		^1024=2;  1у(ї = 1.
2°. Обчисліть:			
1) уі-8;	2’й;	3)	
4) </32;	5) </125;	6)	</81.
Знайдіть значення виразу (3—7).			
3. 1°) ^8 • 1000;	2°) 4/16 • 625;	3) </24 • 9;	4) 5/48 • 81.
4. 1) </9 • >/27;	2) </2 • </500;	3) 1І8 • </Лб;	4) ^/5 • ^Ї25.
5. 1)	2)  </й	3)	4) УЇ024. л/16
			1/, \б
6°.1)	-11й;	2) </26 • З6;	3) </з7 • 57;	4)	• ЮБ-
			1/ \30
7°. 1) ^210 • 31Б;	2) </б6 • 29;	3) </(0,1)4«38;	4)	• б20.
8. Порівняйте числа:			
1°) ^0Д і 0;	2°) ХД^З і 1;	3) </23 і >/б;	4) ^4 і ^/3.
9°. При яких х має зміст вираз:			
1) ^5х+1;	2) </2х-6;	3) </х + 2;	
10. Подайте вираз	у вигляді дробу,	знаменник якого не містить кореня	
п-го степеня:			
« ТГ’ УІ2	2)	4 ;  <7-1	з4) 1 ;  у(1 + 3	4)	1 —•  3/ 2 , ух + ух + 1

11.	Винесіть множник за знак кореня (а > 0, Ь > 0):

1)	2)	3) </-27аБЬ14;	4) ^128авЬ17.
12'. Винесіть множник за знак кореня:

	1) уІа^Ь14;	2) у]а9Ь8;	3)	^64а12Ь7;	4)	№ь9.
13.	Внесіть множник під знак кореня (а > 0, Ь >		0):	
14".	1) а</7;	2) -Ьі/аІг,	3)  Внесіть множник під знак кореня:	аЬу/б;	4)	
15.	1) а^7;	2) а8у/аЬ;	3)  Спростіть вираз:  1) у/а8 при а < 0;	2)	у/а5 при а	4)  < 0;	-Ьуі-ЗЬ8.
	3) у/а^-у/а8 при а > 0;	4)		при а <	0.

16*. Спростіть вираз:

1) УІ2аЬа -л/ібаЛ/’;

3)

17. Спростіть вираз:

1)	"^'-і/аіг,

' ‘•Г ‘•/7	’

У1а -у] о

з/ 2 „6/ 5

УіаЬ -2У1аЬ +Ь	г. ,

З ) —~і=———, де а > 0, Ь >
уаЬ —\а/>

18°. Розв’яжіть рівняння:

1) х3 = 7;	2) хе = 3;

4) х3 = -13;	5) Xі = 16;

3) х5 = -5;

6) х3 = -64.

19.	Побудуйте графік функції:

20.	Розв’яжіть графічно рівняння:

1)	у/х=2-х;	2) л/х=6-х;

3) д/х-2 = 4-х;	4) >Дх=х+2

Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.

21'. Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 20, не мають інших ко-
ренів, крім знайдених графічно.
§ 11 ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Таблиця 19

Поняття ірраціонального рівняння	
Рівняння, у яких змінна міститься під знаком кореня, називають ірраці- ональними. Для того щоб розв’язати задане ірраціональне рівняння, його найчастіше зводять до раціонального рівняння за допомогою деяких пере- творень.	
Розв’язування ірраціональних рівнянь	
1. За допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня	
При піднесенні обох частин рівнян- ня до непарного степеня одержуємо рівняння, рівносильне заданому (на його ОДЗ)	При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть з’явитися сторонні корені, які відсіюють пере- віркою
Приклад 1 Розв’яжіть рівняння л/х —1 = 2. ) (л/х-1)3=23, х - 1 = 8, х = 9.  Відповідь: 9. <1	Приклад 2 Розв’яжіть рівняння л/2х + 3=х.  > (д/2х + з) = х2, х2 - 2х - 3 = 0, хх = -1, х2 = 3. Перевірка. При х = —1 маємо: л/ї = —1 —неправильна	рівність,  отже, х = —1 — сторонній корінь. При х = 3 маємо: л/9 = 3 — правиль- на рівність, отже, х = 3 — корінь заданого рівняння.  Відповідь: 3. <1
2. За допомогою заміни змінних	
Якщо до рівняння змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз із змінною позначити однією буквою (новою змінною)	
Приклад 3  Розв’яжіть рівняння уіж?+у/х = 2.  Позначимо у/х = і. Тоді уіх2 = (д/х) = і2.  Одержуємо рівняння: І2 + 1 = 2, І2 + 1 — 2 = 0, іх = 1, 12 = —2.  Виконуємо обернену заміну: у/х =1, тоді х = 1 або у/х = —2, звідси х = —8.  Відповідь: 1; -8. <	
Пояснення й обґрунтування

Ірраціональними рівняннями називають такі рівняння, у яких змін-
на міститься під знаком кореня. Наприклад, у/х —2 = 5, у/х + х = 2 — ірра-
ціональні рівняння.

Найчастіше розв’язування ірраціональних рівнянь ґрунтується на
зведенні заданого рівняння за допомогою деяких перетворень до раціо-
нального рівняння. Як правило, цього досягають піднесенням обох час-
тин ірраціонального рівняння до одного й того самого степеня (часто
декілька разів).

Слід ураховувати, що

І при піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня
завжди одержуємо рівняння, рівносильне заданому (на його
ОДЗ).

Наприклад, рівняння у/х + 7 = 3	(1)

рівносильне рівнянню (</х + 7)3 = З3,	(2)

тобто рівнянню х + 7 = 27. Звідси х = 20.

Для того щоб обґрунтувати рівносильність рівнянь (1) і (2), достат-
ньо звернути увагу на те, що рівності А = В і А3 = В3 можуть бути пра-
вильними тільки одночасно, оскільки функція
у = і3 є зростаючою (на рисунку 84 наведено її	ум

графік) і кожного свого значення набуває тіль-	І У~і

ки при одному значенні аргументу і. Отже, усі	/

корені рівняння (1) (які перетворюють це рів-	/

няння на правильну рівність) будуть і коренями	/

рівняння (2), і навпаки, усі корені рівняння (2) ___>

будуть коренями рівняння (1). А це й означає, /	®

що рівняння (1) і (2) є рівносильними. Аналогіч- /
но можна обґрунтувати рівносильність відповід- /
них рівнянь і у випадку піднесення обох частин
рівняння до одного й того самого довільного не-	Рис. 84

парного степеня.

Якщо для розв’язування ірраціонального
рівняння обидві частини піднести до парного степеня, то одержуємо
рівняння-наслідок — коли всі корені першого рівняння будуть кореня-
ми другого, але друге рівняння може мати корені, що не задовольняють
заданому рівнянню. Такі корені називають сторонніми для заданого рів-
няння. Щоб з’ясувати, чи є одержані числа коренями заданого рівнян-
ня, виконують перевірку цих розв’язків.
Наприклад, для розв’язування рівняння

л/х=2-х	(3)

піднесемо обидві його частини до квадрата і одержимо рівняння

(л/х) = (2-х)2.	(4)

Ураховуючи, що (л/х) = х, маємо х = 4 — 4х + х2, тобто х2 — 5х +
+ 4 = 0. Звідси X] = 1, х2 = 4.

Виконуємо перевірку. При х = 1 рівняння (3) перетворюється на
правильну рівність л/ї = 2 —1, 1 = 1. Отже, х = 1 є коренем рівняння (3).

При х = 4 одержуємо неправильну рівність д/4 = 2 —4; 2 + —2. Отже,
х = 4 — сторонній корінь рівняння (3). Тобто до відповіді потрібно за-
писати тільки х = 1.

Поява стороннього кореня пов’язана з тим, що рівність А2 = Б2 можна
одержати при піднесенні до квадрата обох частин рівності А = В або рів-
ності А = ~В. Отже, виконання рівності А2 = В2 ще не гарантує виконан-
ня рівності А = В. Іншими словами, корені рівняння (4) не обов’язково
є коренями рівняння (3) (проте кожен корінь рівняння (3) є коренем
рівняння (4), оскільки при виконанні рівності А = В обов’язково вико-
нується і рівність А2 = В2).

Приклади розв'язання завдань

Прикладі Розв’яжіть рівняння -\/х + 3+\/5х —1 =4.

Розв’язання	Коментар

► ч/5х-1=4->/х + 3,
(л/бх-1) =(4->/х + з) ,
5х-1 = 16-8>/х + 3 + х + 3,
8>/х + 3 = 20-4х; 2>/х + 3 = 5-х,
(2>/х + з)2 = (5-х)2,

4(х + 3) = 25 - Юх + х2,
х2 - 14х + 13 = 0, хх = 1,х2 = 13.

Перевірка, х = 1 — корінь

(л/4+л/4 = 4,4 = 4); х = 13 — сторон-
ній корінь (5/164-5/64^4).

Ізолюємо один корінь і підне-
семо обидві частини рівняння до
квадрата — таким чином ми позбу-
демося одного кореня.

Потім знову ізолюємо корінь
і знову піднесемо обидві частини
рівняння до квадрата — унаслідок
одержимо квадратне рівняння.

Оскільки при піднесенні до квад-
рата можна одержати сторонні коре-
ні, то в кінці виконаємо перевірку
отриманих розв’язків.

Відповідь: 1. <1
Приклад 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

► Нехай л/б —х = і, де І > 0.

Одержуємо — — 1 = 2.

Тоді і2 + 21 - 8 = 0.

Звідси іх = 2, 12 = -4.

іх = 2 — задовольняє умові

І > 0;

і2 = — 4 — не задовольняє умові

І > 0.

Обернена заміна дає:

у/б — х =2,

6 - х = 4,
х = 2.

Відповідь: 2. <1

-=1=->/б-х=2.

л/б-X

Коментар

Якщо в задане рівняння змінна
входить в одному і тому самому ви-
гляді (>/б —х), то зручно цей вираз
із змінною позначити однією бук-
вою— новою змінною (>/б —х = і).

Якщо зафіксувати обмеження
І > 0 (арифметичне значення
л/б —х >0 і в знаменнику не може
стояти 0), то в результаті заміни
і зведення одержаного рівняння до
квадратного виконуватимуться рів-
носильні перетворення заданого рів-
няння.

Можна було б не фіксувати об-
меження і > 0, але тоді в результаті
перетворень отримаємо рівняння-
наслідки й одержані розв’язки слід
перевірити.

Приклад 3* Розв’яжіть рівняння у/х —2 +у/х+ 1 = 3.

Розв’язання

Коментар

Нехай -

= и,
Тоді

= о.

х — 2 = и8,
х + 1 = о2.

Одержуємо систему

и + V = З,
иг-ог=-3.

З першого рівняння знаходимо
о = 3 — и і підставляємо в друге
рівняння.

и8 - (3 - и)2 = -З,

и8 - (9 - би + и2) = -З,

и8 - и2 + би - 6 = 0,

и2 (и - 1) + 6 (и - 1) = 0,
(и - 1) (и2 + 6) = 0.

Ураховуючи, що и2 + 6 Ф 0,
одержуємо и = 1. Тоді о = 2.

Деякі ірраціональні рівняння,
що містять кілька коренів п-го сте-
пеня, можна звести до систем раці-
ональних рівнянь, замінивши кожен
корінь новою змінною.

Після заміни	у/х —2 = и,

у/х + 1 = V із заданого рівняння отри-
муємо тільки одне рівняння
и + V = 3. Для того щоб одержати
друге рівняння, запишемо за озна-
ченням кореня п-го степеня
[х-2 = п3,	.	...

Віднімемо від першої рів-
[х + 1 = V2.

ності другу (щоб позбутися змінної х)
Маємо систему
</х-2=1,
л/х + 1 = 2.

З першого рівняння X = З,
що задовольняє і другому
рівнянню.

Відповідь: 3. <1

і одержимо ще один зв’язок між и
і о: и8 - V2 = -3.

Одержану систему рівнянь
розв’язуємо методом підстановки.

Слід звернути увагу на те, що,
виконуючи обернену заміну, необ-
хідно з’ясувати, чи існує значення
х, яке задовольняє обом співвідно-
шенням заміни.

При розв’язуванні систем рівнянь, що містять ірраціональні рівнян-
ня, найчастіше використовують традиційні методи розв’язування сис-
тем рівнянь: метод підстановки і метод заміни змінних. При цьому слід
ураховувати, що заміна змінних (разом з оберненою заміною) завжди
є рівносильним перетворенням (звичайно, якщо при вибраній заміні не
звужується ОДЗ заданого рівняння чи системи). Але якщо для подаль-
шого розв’язування рівнянь, одержаних у результаті заміни, ми будемо
користуватися рівняннями-наслідками, то можемо отримати сторонні
розв’язки, і тоді одержані розв’язки доведеться перевіряти.

Приклад 4

Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

Коментар

► Заміна у/х =и і у[у = V дає сис-
тему

Гп + і? = 3,
1п2-і? = 3.

З першого рівняння цієї систе-
ми:

и = 3 - о.

Тоді з другого рівняння одержу-
ємо

(З - V)2 - V2 = 3.

Звідси V = 1, тоді и = 2.

Обернена заміна дає:

х = 2, отже, х = 16.

Якщо позначити ух = и і у У — V,
то у[х =и2 і у/у = V2. Тоді задана сис-
тема буде рівносильна алгебраїчній
системі, яку легко розв’язати, а піс-
ля оберненої заміни одержати систе-
му найпростіших ірраціональних
рівнянь.

Ураховуючи, що заміна та обер-
нена заміна приводили до рівно-

сильних систем, одержуємо роз-
в’язки заданої системи, що
збігаються з розв’язками системи
\[х=2,	[х = 16,

-	тобто 5

1!у=1,	^ = 1-

Відповідь: (16; 1). <1
Запитання для контролю

1.	Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних рівнянь. На-
ведіть приклади застосування відповідних методів.

2.	Поясніть, чому для розв’язування рівнянь
^х2+3</х-4 = 0, у[х-у[х-2 = 0

зручно використати заміну змінної. Укажіть заміну для кожного
рівняння.

3.	Обґрунтуйте, що при піднесенні обох частин рівняння до непарного
степеня завжди одержують рівняння, рівносильне заданому.

4.	Поясніть, чому при піднесенні обох частин рівняння до парного степе-
ня можуть з’явитися сторонні корені. Як відсіюють сторонні корені?

Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—6).

1.	1)	>/х—2 = 1;	п 1  II 00 ОО  1  II  1  ЦІ О?
	4)	л/х2 + 125=5;	5) л/2х-9 = 3.
2.	1)	л/х + 1 = х-5; 2) л/Зх-	-2 + х = 4; 3°) л/х-х8 =-х; 4) л/х8 + х-х = 0.
3.	1)	л] х — 2 + л/ 2х + 5 — 3	2) >/2х-20 + л/х + 15=5;
	3)	л/х-З =1 + >/х-4;	4) уіх + 2-уіх-6 =2.
4.	1)	^х3-2х + 6 =х;	2) л/х-х8+ 5 =-х;
	3)	>/з-л/х + 10=2;	4) ^2 + л/х2 + Зх-4 =2.
5.	1)	</х + 3^х = 4;	2) ^х-2 + 2^х-2 = 3;
	3)	З^х + 1+л/х + 1 =4;	4) л/х2-1+^х2-1 =2.
6".	1)	у/2 — х = 1-у/х-1;	2) л/2х + 3->/2х + 1 = 2.

Розв’яжіть систему рівнянь (7—8).

7. 1) •	«о ...  । -І  +  їй 00 \	;	2) •	2у[х + 3у/у = 7, 3>/х-у/у = 5;
3) •	со  II ьГ  II Л а \	/	4) '	2у[х -у/у = 7, у[ху/у=4:.
8*. 1)	у[х + & = 4, х+і/ = 28;	2) •	у]х + у + у/х — у = 2, ^х + у --^х-у =8;
3)	у]х + 3у + 6 =2,	4) •	^х + у-1 =1,
	у]2х-у+ 2 =1;		^х-у + 2 = 2у-2.
§12

УЗАГАЛЬНЕННЯ ПОНЯТТЯ СТЕПЕНЯ.

СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІК

12.1. Узагальнення поняття степеня

Таблиця 20

Пояснення й обґрунтування

1. Вам відомі поняття степенів з натуральним і цілим показниками.

Нагадаємо їх означення та властивості.

Якщо п — натуральне число, більше за 1, то для будь-якого дійсно-

го числа а

а" = а • а •... • а

п разів

тобто а" дорівнює добутку п співмножни-

ків, кожен з яких дорівнює а.

При п = 1 вважають, що а1 * = а

Якщо а Ф 0, то

а°=1

і а " = 4-
а

де /і — натуральне число.

Наприклад, (—5)3 = (—5)-(—5)-(—5) = —125, 2 3=-^- = ^.

Також вам відомі основні властивості степенів:

пт -.п   пт+п, пт , -.п   -.т—п,	/г.т\п  птп,	/пілп  пп1^п'*	1—1  — 

ІЛ/ * ІЛ/   ІЛ/ у ІЛ/ • ІЛ/   ІЛ/ у уСЬ }   ІЛ/ у	уСІ/С/}   ІЛ/ С/ у у	•
Нагадаємо ще одну корисну властивість
/аГ" 1	1	Ґ

\&/ " Іа\п ~ а?- ~ а" \аІ

Ь) ьп

2	1

Узагальнимо поняття степеня для виразів виду З7; б0’2; 5 3 і т. п.,
тобто для степенів з раціональними показниками. Відповідне означення
бажано дати так, щоб степені з раціональними показниками мали ті самі
властивості, що й степені з цілими показниками.

Наприклад, якщо ми хочемо, щоб виконувалася властивість (ар)д = аР9,
( т У* т п

то повинна виконуватися рівність \ап) =ап =ат. Але за означенням

пг
кореня п-го степеня остання рівність означає, що число ап є коренем
п-го степеня з числа а”'. Це приводить нас до такого означення.

Степенем числа а > 0 з раціональним показником г = —, де т — ціле
п

число, а п — натуральне число (п > 1), називається число \Іат.

Також за означенням приймемо, що при г > 0

0' = 0 .

Наприклад, за означенням степеня з раціональним показником:
2	--- £	3	-- ГТ	2

37=-у32=у9;	53=</5;	2^ =у/2^ = ^;	03=0.

т

Зауваження. Значення степеня з раціональним показником ап
(де п > 1) не означають при а < 0.

Це пояснюють тим, що раціональне число г можна подати різними
ґ"	* ґ	кп тії	і

способами у вигляді дробу: г = — = —, де я — будь-яке натуральне
п пк

число.

При а > 0, використовуючи основну властивість кореня і означення
т ------------------------------------------------ і---- тк

степеня з раціональним показником, маємо: аг =ап =Цат ='\а"!> = а"1.
Отже, при а > 0 значення а’ не залежить від форми запису г.

При а < 0 ця властивість не зберігається. Наприклад, якщо г = ^ = ^,

£	2

то повинна виконуватися рівність а3=ав. Але при а = -1 одержуємо:

Ц3 = (—1)3 = ^/-ї = -1; О,*’ _ (-1)6 =	= 5/1 = 1 ф -1, тобто при від’ємних

12	т

значеннях а маємо: а3 7аА Через це означення степеня ап (пі — ціле,
п — натуральне, не рівне 1) для від’ємних значень а не вводять.
Покажемо тепер, що для введеного означення степеня з раціональ-
ним показником зберігаються всі властивості степенів з цілими по-
казниками (відмінність полягає в тому, що наведені далі властивості
є правильними тільки для додатних основ).

Для будь-яких раціональних чисел г і 8 та будь-яких додатних чисел
а і Ь виконуються рівності:

1)	аг‘ае = а’+е;

2)	а’ : ае = а’	е;

3)	(а')е = а'в;

4)	(аЬ)’ = а’Ь’;

5)

аг

Ьг ’

Для доведення цих властивостей достатньо скористатися означенням
степеня з раціональним показником і доведеними в § 10 властивостями
кореня тг-го степеня.

тт « т • р

Нехай г = — і 8 = —,
п	д

де п і — натуральні числа (більші за 1),

а т і р — цілі.

Тоді при а > 0 і Ь > 0 маємо:

1) аг • а8



тд+пр

2) аг:ае = ^
а8

3)



т І	І----- І----- І-----	—	—

4)	(аЬ) =(аЬ> = у](аЬ) = у!атЬт =Цат • у/ьт = а" • Ь" =агЬг;

5)

Поняття степеня з ірраціональним показником. Опишемо в за-
гальних рисах, як можна означити число а° для ірраціональних а, коли
а > 1. Наприклад, пояснимо, як можна розуміти значення 2^®.

Ірраціональне число л/з можна подати у вигляді нескінченного не-
періодичного десяткового дробу л/з =1,7320508075.... Розглянемо десят-
кові наближення числа л/з з недостачею і надлишком:
1<л/з<2;

1,7<л/з<1,8;

1,73 <л/з< 1,74;

1,732 <л/з <1,733;

1,7320 <л/з <1,7321;

1,73205 <л/з< 1,73206;

1,732050 < л/з < 1,732051;

Будемо вважати, що коли г<^/з<$ (де г і 8 — раціональні числа),
то значення 2®® розміщується між відповідними значеннями 2' і 2®,
а саме: 2Г < 2®® < 2®. Знайдемо за допомогою калькулятора наближені
значення 2' і 2®, вибираючи як г і 8 наближені значення л/з з недоста-
чею і надлишком відповідно. Одержуємо співвідношення:

2і <2®® <22;

21’7 « 3,2490096 < 2®® < 21’8 « 3,4822022;

21,73 « 3,3172782 < 2®® < 21’74 « 3,3403517;

21’732 « 3,3218801 < 2®® < 21,733 « 3,3241834;

21’7320 » 3,3218801 < 2®® < 21’7321 = 3,3221104;

2'-7320Г' » 3,3219952 < 2®® < 21’73206 = 3,3220182;

2і,732обо 3,3219952 < 2®® < г1’732051 = 3,3219975.

Як бачимо, значення 2' і 28 наближаються до одного й того самого чис-
ла 3,32199... . Це число і вважають степенем 2®®. Отже, 2®® = 3,32199....

Значення 2®®, обчислене на калькуляторі, таке: 2®® — 3,321997.

Можна довести, що завжди, коли ми вибираємо раціональні числа г,
які з недостачею наближаються до ірраціонального числа а, і раціональ-
ні числа 8, які з надлишком наближаються до цього самого ірраціональ-
ного числа а, для будь-якого а > 1 існує, і притому тільки одне, число у,
більше за всі аг і менше за всі а8. Це число у за означенням є а”.

Аналогічно означають і степінь з ірраціональним показником а для
0 < а < 1, тільки у випадку, коли г < а < 8 при 0 < а < 1, вважають, що
а8 < а° < аг. Крім того, як і для раціональних показників, за означенням
вважають, що 1° = 1 для будь-якого а і 0" = 0 для всіх а > 0.
Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

Розв’язання

Приклад 2

Коментар

За означенням степеня з раціо-
нальним показником для а > 0

Для завдання 3 врахуємо, що
2

вираз а7 означений також і при
а = 0.

У завданні 4 при а < 0 ми не ма-
ємо права користуватися формулою
(1). Але якщо врахувати, що а2 = |а|2,
то для основи | а | формулою (1) уже
можна скористатися, оскільки | а | > 0.

Обчисліть: 1) 81^; 2) 128^; З4) (-8Х

Розв’язання

Коментар

1)	>> 814 =^81» =(^8Ї)3 = 3® = 27; <

2)	► 128 = л/128 2 = (л/Ї28) 2 =

= 2 2=і;

4
і

З*) >	(-8)3 не існує, оскільки

х
степінь а3 означений тільки
при а > 0. <1

Використовуємо означення сте-
пеня з раціональним показником:
т ।-----

а" =\]а'п, де а > 0, а при виконанні
завдання 3 враховуємо, що вираз
т

ап не означено при а < 0.

Приклад 3 Спростіть вираз:

1)

а—Ь

7 Г’

2Д

х + 27

а2-Ь2

2	1

х3 -Зх3 +9

Розв'язання

1) ►

11 11

а2— Ь2	а2-Ь2

Коментар

Оскільки задані приклади вже
1X1

містять вирази а2, Ь2, х3, то а 0,
2) ►

Ь > 0, х > 0. Тоді в завданні 1 не-
від’ємні числа а і Ь можна подати
як квадрати: а = (а3) , Ь = {ь^] і ви-
користати формулу різниці квад-
ратів: х2 - у2 = (х - у) (х + у), а в
завданні 2 подати невід’ємне чис-
ло х як куб: х = (х3) і використати
формулу розкладу суми кубів:

а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2).

Приклад 4 Розв’яжіть рівняння:

1) л/х^ = 1;

2

2”) х3=1.

Розв’язання

1) ► ^ = 1. ОДЗ: х є К,
х2 = 1,
X = ±1.

Відповідь: ±1. <1

2*) ► х3=1. ОДЗ: х > 0,
х2 = 1,
X = ±1.

Ураховуючи ОДЗ, одержуємо
X = 1.

Відповідь: 1. <1

Коментар

Область допустимих значень
•	з/	•	• є» •

рівняння ух =1 — усі дійсні чис-

2

ла, а рівняння х3 = 1 — тільки
х > 0.

При піднесенні обох частин рів-
няння до куба одержуємо рівняння,
рівносильне заданому на його ОДЗ.
Отже, першому рівнянню задоволь-
няють усі знайдені корені, а друго-
му — тільки невід’ємні.

(У завданні 1 також ураховано,
що (« = х2, а в завданні 2 — що
и)’=«т"=«м

Запитання для контролю

1.	Дайте означення степеня з натуральним показником. Наведіть при-
клади обчислення таких степенів.

2.	Дайте означення степеня з цілим від’ємним показником та з нульо-
вим показником. Наведіть приклади обчислення таких степенів.
При яких значеннях а існують значення виразів а° та а”, де п є N2
Зут О	•	/її

. Дайте означення степеня з раціональним показником г = —, де
п

т — ціле число, а п — натуральне, не рівне 1. Наведіть приклади
обчислення таких степенів. При яких значеннях а існують значення
т	2	_2

виразу ап ? Укажіть область допустимих значень виразів а5 і а 5.

4.	Запишіть властивості степенів з раціональними показниками. На-
ведіть приклади використання цих властивостей.

5*. Обґрунтуйте властивості степенів з раціональними показниками.

б4.	Поясніть на прикладі, як можна ввести поняття степеня з ірраціо-
нальним показником.

Вправи

1°. Подайте вираз у вигляді кореня з числа:

1) 2* 1 2;	2) З А	3) 50’25;	4) 4	5) 21’5;	6) 7’1

2. Подайте вираз у вигляді степеня з раціональним показником:

1°) ^3®;	2°) ^4;	3°) у/'Р;

4) у] а 2 при а > 0;	5) ^2Ь при Ь > 0;	б4) л/сі

3°. Чи має зміст вираз:
1	2

1) (-3)2;	2) (—5)2;	3) 47;	4) О 5?

4. Знайдіть область допустимих значень виразу:

1	_2

1) х5;	2) х 3 4;  4)	(х + зЛ	5) (х2 - 1)°;  5.	Знайдіть значення числового виразу:  і  ґВ44 V'	-  1) 2430-4;	2) 2^- ;	3) 164;  1 3 )  і	_1  5)	(1) 2 • 25^-8Р • 125"3;	6)	2 •  А -1	_1	А  / 1 \ 2	.	/1 \ 3	„	_1  7)	—	• 7 і- -	• 2 3 :49 2.  ' \\25/	\$/	)  6.	Розкладіть на множники:  1)	(ах)3+(а^;	2) а-аї;	3) 3+3^;	3) (х-1) ®;  6) х8 - 5.  2  4) ;  7 ^1256 )  162-2 1 . (X) 2 . 8  1 1 11  4) а+Ь2 +а2 +а2Ь2.
7. Скоротіть дріб:

11 1

а2+ Ь2.	2) Р2~5.

а-Ь	р-25

X і

оч с + с2й2+йф	т+п

З З ’	4)	2	1 1	2"-

с2-сі2	тя-тяпя +пя

Спростіть вираз (8—9).

8.

9.

-т 2 4 ф	р ч а — &

х-1б’	~ї І’

а3 -&3

10.	Розв’яжіть рівняння: 1

1) х^=1;	2) х^=2;

І	і м2 і х

2) \х2-у2) +2х2у2;

4)	+

оч г-8	.	а + Ь

2	1 ’	2 1 1 2

х3+2г3+4	а8 -а8Ьа +Ь8

3)х§=2;	4)</^ = 2.

Таблиця 21

	Особливий випадок (а = 0)					
	Якщо а = 0, то  у = х°= х° = 1 (при X Ф 0).			У  	і		?	У = Х°  0	х
	функції у = Xа (при а ф 0)					
	Властивості					
		£(у)	парність і непарність		зростання і спадання	
	(у = х2", я є Л’)					
	В	[0; +°°)	Парна		Спадає на проміжку (—оо; 0], зростає на проміжку [0; +°°)	
	(у = х та у = х2’1 1 яє Лг)					
	В	В	Непарна		Зростає	
	(У=х <2п !>= 2^, пеШ) X					
	х ф 0		Непарна		Спадає на кожному з проміжків (—оо; 0) і (0; +оо)	

Продовження табл. 21

	функції у = Xа (при а ф 0)			
	Властивості			
	О (у)	£(у)	парність і непарність	зростання і спадання
	(у = Х ^ = Л_, ПЄІГ) X			
	х' ф 0	(0; +°°)	Парна	Зростає на проміжку (—о°; 0), спадає на проміжку (0; +°°)
	а — неціле додатне число			
	[0; +°°)	[0; +°°)	Ні парна, ні непарна	Зростає
	а — неціле від’ємне число			
	(0; +°°)	(0; +°°)	Ні парна, ні непарна	Спадає
Пояснення й обґрунтування

Степеневими функціями називають функції виду у = Xа, де а —
будь-яке дійсне число.

З окремими видами таких функцій ви вже ознайомилися в курсі
алгебри 7—9 класів. Це, наприклад, функції у = х1 = х, у = х2, у = х3. При
довільному натуральному а графіки і властивості функції у = Xа анало-
гічні відомим вам графікам і властивостям указаних функцій.

Описуючи властивості степеневих функцій, виділимо ті характерис-
тики функцій, які ми використовували в § 10: 1) область визначення;
2) область значень; 3) парність чи непарність; 4) точки перетину з осями
координат; 5) проміжки знакосталості; 6) проміжки зростання і спадан-
ня; 7) найбільше та найменше значення функції.

1.	Функція у = X3 (а — парне натуральне число). Якщо а — парне на-
туральне число, то функція у = х2", п є 1\', має властивості та графік,
повністю аналогічні властивостям і графіку функції у = х2.

Дійсно, область визначення функції у = х2": О (у) = К, оскільки зна-
чення цієї функції можна обчислити при будь-яких значеннях х.

Функція парна', якщо / (х) = х2п, то / (-х) = (~х)2п = х2п = / (х). Отже,
графік функції у = х2" симетричний відносно осі Оу.

Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = х2" завжди
проходить через початок координат.

На проміжку [0; +°°) функція зростає.

•	Дійсно, для невід’ємних значень при х2 > хх (хх > 0, х2 > 0) одержу-
ємо х^ >х3п, оскільки, як відомо з курсу алгебри 9 класу, при під-
несенні обох частин правильної нерівності з невід’ємними членами
до парного степеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо
правильну нерівність. О

На проміжку (-<*>; 0] функція спадає.

•	Дійсно, для недодатних значень хх і х2 (хх < 0, х2 < 0), якщо х2 > хх,
то -х2 < ~х1 (і тепер ~х] > 0, -х2 > 0). Тоді (-х2)2" < (-хх)2", отже,
х2п <х2" , тобто / (х2) < / (хх). О

Для того щоб знайти область значень функції у = х2", п є Н, складемо
рівняння х2" = а. Воно має розв’язки для всіх а > 0 (тоді х = ±2^) і тіль-
ки при таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функ-
ції. Отже, область значень заданої функції: у > 0, тобто Е (у) = [0; +°°).

Таким чином, для всіх дійсних значень х значення у 0. Найменше
значення функції дорівнює нулю (у = 0 при х = 0). Найбільшого значен-
ня функція не має.

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = І2" = 1.

Ураховуючи властивості функції у = х2", п є Н, одержуємо її графік
(рис. 85).
2.	Функція у = Xа (а — непарне натуральне число). Якщо а — непарне
натуральне число (а = 2п — 1, п є Л^), то властивості функції у = х2" х,
п єК, аналогічні властивостям функції у = х8.

Дійсно, область визначення функції у = х2"-1, п є IV: О (у) = К,
оскільки значення цієї функції можна обчислити при будь-яких зна-
ченнях х.

Функція непарна: якщо / (х) = х2" "х, то / (-х) = (-х)2" х = -х2" 1 =
= —/ (х). Отже, графік функції симетричний відносно початку координат.

Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = х2" 1 зав-
жди проходить через початок координат.

На всій області визначення функція зростає.

* Дійсно, при х2 > хх одержуємо х2" 1 >х12"~1, оскільки при піднесенні
обох частин правильної нерівності до непарного степеня (із збере-
женням знака нерівності) одержуємо правильну нерівність. О
Для знаходження області значень функції у = х2" ', п є Н, складемо
рівняння х2" 1 = а. Воно має розв’язки для всіх а є В, (при п = 1 одержу-
ємо х = а, а при п Ф 1, п є І\Т, одержуємо х = 2" -І/а). Отже, область зна-
чень заданої функції: у є К, тобто Е (у) = Е = (—ОО* -роо).

Тому найменшого і найбільшого значень функція не має.

Проміжки знакосталості: при х > 0 значення у = х2" 1 > 0,
при х < 0 значення у = х2" 1 < 0.

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = І2" 1 = 1.

Як відомо з курсу алгебри та геометрії, графіком функції у = Xх = х
є пряма, яка проходить через початок координат (рис. 86), а при інших
непарних натуральних а функція у = х2" + х, п є Н, має графік, аналогіч-
ний графіку функції у = х8 (рис. 87).

3. Функція у = х" (а — непарне від’ємне число). Якщо а — непарне
від’ємне число, то функція у = х <2" п є IV, має властивості та графік,

Рис. 87

Рис. 85

Рис. 86
Дійсно, область визначення функції у = X = 2п-1 : Х 0, тобто

X '

Ц (у) = (— °°; 0) О (0; +°°), оскільки значення цієї функції можна об-
числити при будь-яких значеннях х, крім х = 0.

Функція непарна', при х 0, якщо / (х) = х (2" Х), то

/ (-х) = (-х) <2" Х) = -х <2" '* = -/ (х).

Отже, графік функції симетричний відносно початку координат.

Ураховуючи, що х Ф 0 і у Ф 0 ^у = х~<2п~^ = х ^0^, одержуємо, що

графік функції у = х <2" Х) не перетинає осі координат.

На проміжку (0; +°°) функція спадає.

% Дійсно, для додатних значень при х2 > хх (хх > 0, х2 > 0) одержуємо

„2/ї-І . ..2// І	•	11	(2п-1) . „-(Зтї-І)

х2 >хх , але тоді 2 х < 2л х, отже, х2 ’ <хр
х2	ХЛ

На проміжку 0) функція теж спадає. Це випливає з того, що її
графік симетричний відносно початку координат.

О Наведемо також і аналітичне обґрунтування: якщо хх < 0, х2 < 0
і х2 > хх, то —х2 < —хх (і тепер —хх > 0, —х2 > 0). Тоді за обґрунтова-
ним вище (-х2)-(2" -х)>(-хх)-(2" -х), отже, -х2(2" 0 >-х,(2" Звідси
ХХ2п < Х| <2” Х)- О

Для того щоб знайти область значень функції у = х <2" Х), п є N,
складемо рівняння х (2" 1) = а, тобто ?, = а. Воно має розв’язки для
х

всіх а Ф 0 (тоді х = 2п Д— при п Ф 1 і х = — при п = 1) і тільки при таких
V а	а

значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції. Отже, об-
ласть значень заданої функції: у Ф 0, тобто Е (у) =(—°°; 0) О (0; +°°).

Тому найменшого і найбільшого значень функція не має.

Проміжки знакосталості'.
при х > 0 значення у = х <2" 1) > 0,
а при х < 0 значення

у = х <2" х) < 0.

Зазначимо також, що при х = 1
значення у = 1 (2п 1) = 1.

Ураховуючи властивості функції
у = х <2" х), п є Н, одержуємо її графік
(рис. 88).

4. Функція у = х" (а — парне від’ємне
число). Якщо а — парне від’ємне чис-
ло, то функція у = х 2", п є N, має
властивості та графік, повністю аналогічні властивостям і графіку функ-
ції у=4-

X

Дійсно, область визначення функції у = х-2п=Ц^-: х ф 0, тобто

И (.У) = (—°°; 0) и (0; +°°), оскільки значення цієї функції можна об-
числити при будь-яких значеннях х, крім х = 0.

Функція парна', при х Ф 0, якщо / (х) = х 2", то / (-х) = (-х)2" = х 2" =
= / (х). Отже, графік функції симетричний відносно осі Оу.

Оскільки при х Ф 0 значення у = х 2п =	> 0, то графік функції

X

у = х2" не перетинає осі координат.

На проміжку (0; +°°) функція спадає.

• Дійсно, для додатних значень при х2 > хх (хх > 0, х2 > 0) одержуємо

х2п>х2п, але тоді —5-<—5-, отже, х..2"<х.2". О

2 І5 * 7	2п 2п 7	7	2	1

х2 Хх

На проміжку (-°°; 0) функція зростає.

> Це випливає з того, що її графік симетричний відносно осі Оу.
Наведемо також і аналітичне обґрунтування: якщо хх < 0, х2 < 0
і х2 > хх, то —х2 < —хх (і тепер —хх > 0, —х2 > 0). Тоді за обґрунтова-
ним вище (-Х2) 2" > (-Хх)-2", отже, х22п <х,2". О

Для того щоб знайти область значень функції у = х 2", п є Н, скла-
демо рівняння х 2" = а, тобто ~^ = а. Воно має розв’язки для всіх а > 0

X

(тоді х = ±2Ч— і тільки при таких значеннях а. Усі ці числа і складуть
N а )

область значень функції. Отже, область значень заданої функції: у > 0,
тобто Е (у) = (0; Ч-00).

Тому найменшого і найбільшого значень функція не має.

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = 1 2" = 1.

Ураховуючи властивості функції у = х 2", п є У, одержуємо її графік (рис. 89).

5. Функція у = Xа (а — неціле додатне чис-

ло). Якщо а — неціле додатне число, то
функція у = х° (а > 0, а — неціле) має об-
ласть визначення х > 0: Л (у) = [0; Ч~°о),
оскільки значення степеня з додатним не-
цілим показником означено тільки для не-
від’ємних значень х.

Тоді область визначення несиметрична
відносно точки 0, і функція не може бути
ні парною, ні непарною.
Оскільки при х = 0 значення у = 0, то графік функції у = Xа (а > 0)
завжди проходить через початок координат.

При х > 0 значення у = Xа > 0.

Можна обґрунтувати, що на всій області визначення функція у = Xа
(а > 0) є зростаючою.

Для того щоб знайти область значень функції у = Xа, складемо рів-
няння Xа = а. Воно має розв’язки для всіх а > 0 (тоді х = а“) і тільки при
таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції.
Отже, область значень заданої функції: у > 0, тобто Е (у) = [0; +°°).

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = 1°• = 1.

Зображуючи графік функції у = Xа (а > 0, а — неціле), слід урахову-
вати, що при 0 < а < 1 графік має вигляд, аналогічний графіку у = -4х
(рис. 90)1, а при а > 1 — аналогічний правій вітці графіка у = х2 (рис. 91).
6. Функція у = Xа (а — неціле від’ємне число). Якщо а — неціле
від’ємне число, то функція у = Xа (а < 0, а — неціле) має область ви-
значення х > 0 (В (у) = (0; +°°)), оскільки значення степеня з від’ємним
нецілим показником означено тільки для додатних значень х.

Тоді область визначення несиметрична відносно точки 0, і функція
не може бути ні парною, ні непарною.

Ураховуючи, що при х > 0 значення у = Xа > 0 (тобто х Ф 0 і у Ф 0),
одержуємо, що графік функції у = Xа (а < 0) не перетинає осі координат.

На проміжку (0; +°°) функція спадає, тобто для додатних значень
при Х2 > хх (хх > 0, х2 > 0) одержуємо х2 < х“.

С Доведемо це, наприклад, для випадку, коли а — від’ємне раціональ-

не неціле число І оі = —— — неціле, т є И, п є ІФ). При додатних
\ п

значеннях х2 > хх (хх > 0, х2 > 0), ураховуючи результати досліджен-
ня функції у = Xа при цілому від’ємному а, одержуємо х2"'<х|"'.
Потім, зважаючи на те, що функція у = у[ї при додатних І є зроста-
ючою, маємо ^х2т <^х|"', тоді х2п <ххп.О

Можна обґрунтувати, що і в тому випадку, коли а — від’ємне ірра-
ціональне число, функція у = Xа також спадає на всій області визначен-
ня (тобто при х > 0).

Для того щоб знайти область значень функції у = Xа, складемо рів-
няння Xа = а. Воно має розв’язки для всіх а > 0 (тоді х = а“) і тільки при
таких значеннях а. Усі ці числа і складуть область значень функції.

Отже, область значень заданої функції: у > 0, тобто Е (у) = (0; +°°).

Це буде детальніше обґрунтовано в підручнику для 11 класу.
1)	► х — 3 > 0, тобто х > З, отже,
П (у) = [3; +~). <

2)	► х + 1 > 0, тобто х > —1, отже,
Л (у) = (-1; +оо). <

Зазначимо також, що при х = 1 значення у = 1°- = 1.

Ураховуючи властивості функції у = Xа (а < 0), одержуємо її графік
(рис. 92).

Особливий випадок. Якщо а = 0, то функція у = Xа = х° = 1 при х Ф 0
(нагадаємо, що 0° — не означено) і її графік — пряма у = 1 без точки
(0; 1) (рис. 93).

Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Знайдіть область визначення функції:

1) і/ = (х-3)з;	2) г/ = (х + 1) 1 2.

Розв’язання	Коментар

і

Ураховуємо, що вираз аа озна-
_і
чений при а > 0, а вираз а 2 —
тільки при а > 0.

Приклад 2 Побудуйте графік функції:

1) у = х5 + 1;	2) і/ = (х + 2)3 *.

Розв’язання

1) ► Будуємо графік у = х5
(рис. 94, а), а потім паралельно
переносимо його вздовж осі Оу
на +1 (рис. 94, б). <1	і

2) ► Будуємо графік у = хя

(рис. 95, а) а потім паралельно

переносимо його вздовж осі Ох

на -2 (рис. 95, б). <1

Коментар

Графіки заданих функцій мож-
на отримати із графіків функцій:

х

1)	у = х5, 2) у = хя за допомогою
паралельного перенесення:

1)	на +1 уздовж осі Оу,

2)	на -2 вздовж осі Ох.
Запитання для контролю

1. Користуючись графіком відповідної функції, охарактеризуйте
властивості функції у = Xа, якщо: 1) а — парне натуральне число;
2) а — непарне натуральне число; 3) а — непарне від’ємне число;
4) а — парне від’ємне число; 5) а — неціле від’ємне число;
6) а — неціле додатне число.

2”. Обґрунтуйте властивості степеневої функції в кожному з випадків,
указаних у завданні 1.

Вправи

1.

2.

3.

4.

5*.

Знайдіть область визначення функції:

1°) у = х1-,	2°) у = Xх;

2	5

4°) у = х 7;	5) ї/ = (х2-х)3;

Побудуйте графік функції:

1°) у = Xі; 2°) у = х7;	3) у = х 3;

Б	1

6) і/ = х4; 7) у = (х + І)4; 8”) і/ = хБ-3;

3°) у = (х-1)2;

9

6) у = (х2-х + 1) 2.

х

4) у = х"4;	5) у = х* і;

9”) і/ = |хр; 10”) у = | х5 * - 1 |.

Побудуйте і порівняйте графіки функцій:
1	_	і

1) у = уіх і у = хх;	2) у = \Іх і у = х\

Розв’яжіть графічно рівняння:
1	_1	5

1) х2=6-х;	2) х 3=х2;	3) х2=2-х;	4) х 4=2х-1.

Перевірте підстановкою, що значення х дійсно є коренем рівняння.

Доведіть, що рівняння, наведені в завданні 4, не мають інших коре-
нів, крім знайдених графічно.
§13

ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЙ

ДО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

13.1. Застосування властивостей функцій до розв’язування
ірраціональних рівнянь

Нагадаємо основні ідеї, які використовують при розв’язуванні рів-
нянь за допомогою властивостей функцій.

Таблиця 22

1. Скінченна ОДЗ				
Орієнтир			Приклад	
Якщо область допустимих значень (ОДЗ) рівняння (нерівності або сис- теми) складається із скінченного числа значень, то для розв’язуван- ня достатньо перевірити всі ці зна- чення.			Розв’яжіть рівняння  >/х-3 + 2х2=^6-2х +18.  Гх-3>0,	Гх>3,  ОДЗ: А 9 >П Т°ДІ [6-2х>0.	|х<3.  Отже, ОДЗ: х = 3.  Перевірка, х = 3 — корінь (л/0+ 18 = ^0 + 18; 18 = 18).  Інших коренів немає, оскільки до  ОДЗ входить тільки одне число.  Відповідь: 3. <1	
2. Оцінка значень лівої та правої частин рівняння				
Орієнтир			Приклад	
	&	з	«  Ьо	д	V/  II	О  І	в	«  II	II  3  $	Розв’яжіть рівняння 7х2 - 5х + 6 = 4х - х2 - 4. ► Запишемо задане рівняння так:  7х2-5х + 6 =-(х2-4х+4), 7х2-5х + 6 =-(х-2)2,	
Якщо потрібно розв’язати рів- няння виду / (х) = § (х) і з’ясувалося, що / (х) > а, § (х) < а, то рівність між лівою і правою частинами рівняння можлива лише у випадку, якщо / (х) і § (х) одночасно дорівнюють а.			/(х £(- Отже, зада системі  Із другог< х = 2, що рівнянню. Відповідь:	) = л/х2 - 5х + 6 >0, г) = -(х - 2)2 < 0. не рівняння рівносильне  л/х2-5х + 6 =0,  -(х-2)2 = 0.  з рівняння одержуємо задовольняє й першому  2. <
Продовження табл. 22

3. Використання монотонності функцій
Схема розв’язування рівняння

1.	Підбираємо один або декілька коренів рівняння.

2.	Доводимо, що інших коренів це рівняння не має (використовуючи теоре-
ми про корені рівняння або оцінку лівої та правої частин рівняння).

Теореми про корені рівняння

Якщо в рівнянні / (х) = а функція
/ (х) зростає (спадає) на деякому
проміжку, то це рівняння може мати
не більш ніж один корінь на цьому
проміжку.

Приклад

РІВНЯННЯ у/х +2^х=3 має єдиний
корінь х = 1 (>/ї + 2 • у/ї = 3, тобто
З = 3), оскільки функція /(х) =
= у/х + 2у/х зростає (на всій області
визначення х > 0) як сума двох зрос-
таючих функцій

Якщо в рівнянні / (х) = § (х) функ-
ція / (х) зростає на деякому проміж-
ку, а функція § (х) спадає на цьому
самому проміжку (або навпаки), то
це рівняння може мати не більш ніж
один корінь на цьому проміжку.

Приклад

Рівняння у/х = 6 — х має єдиний ко-
рінь х = 4 (>/4=6-4, 2 = 2), оскіль-
ки /(х) = >/х зростає (при х > 0),
а Є (л’) = 6 — х спадає

Пояснення й обґрунтування

1.	Використання скінченності ОДЗ для розв’язування ірраціональних
рівнянь. Основними способами розв’язування ірраціональних рівнянь,
що використовують у курсі алгебри і початків аналізу, є виконання рів-
носильних перетворень рівнянь або одержання рівнянь-наслідків, які
дозволяють звести задане рівняння до раціонального. Але іноді одержа-
не раціональне рівняння виявляється складним для розв’язування. На-
приклад, рівняння д/х — 3 + 2х2 = ^6 — 2х +18, наведене в пункті 1 табли-
ці 22, можна звести до раціонального, ізолюючи у/б — 2х і підносячи
обидві частини до четвертого степеня, а потім ізолюючи вираз, який
містить д/х —З, і підносячи обидві частини до квадрата. Але в результаті
ми одержуємо повне рівняння шістнадцятого степеня. У таких ситуаці-
ях спробуємо застосувати відомі нам методи розв’язування рівнянь,
пов’язані з використанням властивостей функцій. Зокрема, у розгляну-
ґ 'Х’______________________________________ 2	0)

тому рівнянні ОДЗ визначається умовами	’ Звідки одержуємо

[б - 2х > 0.

тільки одне значення х = 3, яке входить до ОДЗ. Оскільки будь-який
корінь рівняння входить до його ОДЗ, достатньо перевірити, чи є ті чис-
ла, що входять до ОДЗ, коренями заданого рівняння. Перевірка показує,
що х = 3 — корінь. Інших коренів бути не може, оскільки ОДЗ рівняння
складається тільки з одного значення х = 3.

Зауважимо, що в тому випадку, коли ОДЗ заданого рівняння — по-
рожня множина (не містить жодного числа), ми навіть без перевірки
можемо дати відповідь, що рівняння не має коренів. Наприклад, якщо
потрібно розв’язати рівняння д/х —З = уі2 — х + 5х, то його ОДЗ задається
Гх-3>0,	Гх>3,

системою <	тобто	яка не має розв язків. Отже, ОДЗ за-

[2-х>0,	|х<2,

даного рівняння не містить жодного числа, і тому це рівняння не має
коренів.

2.	Оцінка значень лівої та правої частин рівняння. Іноді в тих випад-
ках, коли ірраціональне рівняння зводиться до громіздкого раціонально-
го (або зовсім не зводиться до раціонального), доцільно спробувати оці-
нити значення функцій, які стоять у лівій і правій частинах рівняння.

Наприклад, щоб розв’язати рівняння

л/х + у[х + ^х + 1 = 1,	(1)

достатньо знайти його ОДЗ: х>0 і за допомогою рівносильних перетво-
рень записати його у вигляді л[х +у[х =1 —^х + 1. У лівій частині остан-
нього рівняння стоїть функція /(х) = л/х+\/х > 0 на всій області
визначення, а в правій — функція £ (х) =1 —^х + 1 < 0 при всіх значен-
нях х з ОДЗ (оскільки при х >0 у/х + 1 1). Тоді рівність між лівою

і правою частинами рівняння можлива тільки в тому випадку, коли вони

одночасно дорівнюють нулю. Отже, рівняння (1) рівносильне системі

/(х) = 0,

£(х) = 0,

тобто системі

4х + ух =0,

<

1-^х + 1 = 0.

(2)
Розв’яжемо спочатку перше рівняння цієї системи. Урахуємо, що
у/х > 0 і у/х 0. Сума двох невід’ємних функцій може дорівнювати нулю
тоді і тільки тоді, коли кожен з доданків дорівнює нулю. Отже, рівняння

+ у/х = 0 рівносильне системі -

у/х = 0,

яка має єдиний розв язок х = 0.
у/х =0,

Цей розв’язок задовольняє і друге рівняння системи (2) (дійсно,
1 —л/0 + 1 = 0, 0 = 0), отже, система (2) теж має тільки один розв’язок
х = 0. Таким чином, і рівняння (1) має єдиний корінь х = 0.

3.	Використання монотонності функцій. Ще одним способом розв’язу-
вання тих ірраціональних рівнянь, які зводяться до громіздких раціо-
нальних, є використання зростання або спадання відповідних функцій.
Найчастіше це здійснюють за такою схемою:

1)	підбираємо один або декілька коренів рівняння-,

2)	доводимо, що інших коренів це рівняння не має.

Обґрунтування відповідних властивостей наведено в пункті 3.2 роз-
ділу 1, а приклади використання цього способу для розв’язування ірра-
ціональних рівнянь — у таблиці 22.

Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—4) та системи рівнянь (5), використовуючи
властивості відповідних функцій.

1.	1) у!х2 -1 + х2 =уі2-2х2 +х + 2;

2)	2х + уіх2-5х + 6=х2+уі10х-2х2-12-3.

2.	1) л/16 + х2 =2-уіх8 + х;	2) 1 + |х->/х | = ^/1-|х|;

3.	1) уІх-1+уІхг-1+уІха-1=0;	2) 17х-2| + |7у-5| + ^хі/-1ОО = 0.

4.	1) >/х^7+^х=3;	2) ^/х + 12 + ^Т3 = 3;

13	.2. Приклади використання інших способів розв’язування
ірраціональних рівнянь

Якщо, розв’язуючи ірраціональні рівняння, ми використовуємо
рівняння-наслідки (як у § 11), то в кінці слід виконувати перевірку
одержаних розв’язків. Але в тих випадках, коли ці розв’язки — не
раціональні числа, перевірка за допомогою підстановки одержаних зна-
чень у початкове рівняння є достатньо складною і громіздкою. Для та-
ких рівнянь доводиться використовувати рівносильні перетворення на
кожному кроці розв’язування. При цьому необхідно пам’ятати, що всі
рівносильні перетворення рівнянь чи нерівностей виконують на ОДЗ за-
даного рівняння чи нерівності (пункт 3.1), тому, виконуючи рівносиль-
ні перетворення ірраціональних рівнянь, необхідно враховувати ОДЗ
заданого рівняння. Також досить часто в цих випадках міркують так:
для всіх коренів заданого рівняння знаки лівої і правої частин рівнян-
ня збігаються, оскільки при підстановці в задане рівняння числа, яке
є його коренем, одержують правильну числову рівність. Використовую-
чи останнє міркування, часто вдається одержати якусь додаткову умову
для коренів заданого рівняння і виконувати рівносильні перетворення
не на всій ОДЗ даного рівняння, а на якійсь її частині.

Прикладі Розв’яжіть рівняння -\/2х + 1 — -\Гх + 1 = 1.

Розв’язання

Ґ2х + 1>0,

► ОДЗ:

м |х+1>0.

Розв’язок цієї системи: х> ——.

2

На ОДЗ задане рівняння рівно-
сильне рівнянням:

л/2х + 1 = 1 + л/х + 1,

(>/2х + 1) =(1 + -7х + 1) ,

2х +1 = 1 + 2л/х + 1 + х +1,
х-1 = 2л/х + 1.	(1)

Для всіх коренів рівняння (1)
х - 1 > 0.	(2)

За цієї умови рівняння (1) рів-
носильне рівнянням:

(х-1)2 = (2-7х + 1)2,

х2 - 2х + 1 = 4 (х + 1),
х2 - 6х - 3 = 0.

Тоді х = 3±2>/з.

Коментар

Виконаємо рівносильні перетво-
рення заданого рівняння.

Ураховуючи, що всі рівносильні
перетворення виконуються на ОДЗ
заданого рівняння, зафіксуємо його
ОДЗ.

Переносячи вираз (—л/х + 1) із
лівої частини рівняння в праву
з протилежним знаком, одержуємо
рівняння, рівносильне заданому.

У рівнянні л/2х + 1 = 1 + «>/х + 1
обидві частини невід’ємні, отже,
при піднесенні обох частин до ква-
драта одержуємо рівняння, рівно-
сильне заданому, яке рівносильне
рівнянню (1).

Для всіх коренів рівняння (1)
воно є правильною числовою рівніс-
тю. У цій рівності права части-
на — невід’ємне число (2>/х+1>0),
тоді і ліва частина є невід’ємним чис-
лом, тобто х — 1 > 0 для всіх коренів.
— 3 + 2 л/з — входить до ОДЗ
і задовольняє умові (2), отже, є ко-
ренем заданого рівняння;
х2 = 3 —2>/3 — входить до ОДЗ, але
не задовольняє умові (2), отже, не
є коренем заданого рівняння.
Відповідь: 3 + 2-72. <1

Тоді за умови (2) обидві частини
рівняння (1) невід’ємні, отже, при
піднесенні обох частин до квадрата
одержуємо рівносильне рівняння.
Але після того як знайдено корені
цього рівняння, необхідно переві-
рити не тільки те, чи входять вони
до ОДЗ, а й чи задовольняють умові
(2). Для такої перевірки достатньо
взяти наближені значення коренів
хх ® 6,4 та х2 ~ -0,4.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння -фх + З —47х —1 +у]х — 2уІх — 1 = х + 2.

Коментар

Заміна 7х —1 =1 дає змогу помітити, що кожен вираз, який стоїть
під знаком зовнішнього квадратного кореня, є квадратом двочлена.

Застосовуючи формулу у/а2 =\а\, одержуємо рівняння, що містить
знак модуля, для розв’язування якого використовуємо такий план'.

1)	знайти ОДЗ:

2)	знайти нулі всіх підмодульних функцій;

3)	позначити нулі на ОДЗ і розбити ОДЗ на проміжки;

4)	знайти розв’язки рівняння в кожному з проміжків.

Розв’язання

► Нехай 7х-1 =і, де І > 0. Тоді х - 1 = І2; х = І2 + 1.

Одержуємо рівняння 7і2 +4 —4і + у]і2 +1 — 2і = і2 + З,

яке можна записати так: 7(#-2)2+7а-і)2= #2+3. Звідси

| і - 2 | + | і -1 | = І2 + 3.	(1)

1)	ОДЗ рівняння (1): і є К, але за змістом завдання це рівняння потріб-
но розв’язати при і > 0.

2)	Нулі підмодульних функцій: і = 2 і і = 1.

3)	Ці нулі розбивають область і > 0 на три І II Ш
проміжки, у кожному з яких кожна під-
модульна функція має постійний знак
(рис. 96).

Проміжок І. При і є [0; 1] маємо рівняння	Рис. 96

-(і - 2) - (І - 1) = і2 + 3.

Тоді і2 + 2і = 0, і = 0 або і = —2, але в проміжок [0; 1] входить тільки
І = 0.
Проміжок II. При і є [1; 2] маємо рівняння

-а - 2) + а -1) = І2 + 3, яке рівносильне рівнянню І2 = —2, що не
має коренів. Отже, у проміжку [1; 2] коренів немає.

Проміжок III. При і є [2; +°°) маємо рівняння

(і - 2) + (і - 1) = І2 + 3, з якого одержуємо рівняння і2 — 2і + 6 = 0,
що не має коренів. Отже, у проміжку [2; +°°) коренів немає.

Об’єднуючи одержані результати, робимо висновок, що рівняння (1)
має тільки один корінь і = 0.	____

Виконуючи обернену заміну, маємо у/х — 1 = 0, звідки х = 1.

Відповідь: 1. <1

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння

^(х-6)2 - 3^(х-6)(2х + 3) + 2^(2х + 3)2 = 0.

Розв’язання

Оскільки х = 6 не є коренем
заданого рівняння, то при діленні
обох частин рівняння на ^{х — Ю2 # 0
одержуємо рівносильне рівняння

І---- Г/

1 ^яІ2х + 3 і 23і|2х + 3| _д

V х-6 V'х-6/

Після заміни І = з 2х +8 маємо
\ х-6

рівняння 2і2 — Зі + 1 = 0, корені
якого:

«т = 1, Ч=~2-

Виконавши обернену заміну,
одержуємо:

.,І2х + 3	!	-	.,І2х + 3	1

її----= 1 або Г|---=

\ х-6	\ х-6	2

х = -9 або х = -2.

Відповідь: -9; -2. <1

Коментар

Виконуємо заміну д/х —6 = и,
л/2х+ З = V та одержуємо рівняння
а2 - Зио + 2 є2 = 0, усі члени якого
мають однаковий сумарний сте-
пінь1 — два. Таке рівняння назива-
ють однорідним і розв’язують
діленням обох частин на найвищий
степінь однієї із змінних. Розділимо
обидві частини, наприклад, на и2
(тобто на ^/(х-6)2).

Щоб при діленні на вираз із
змінною не загубити корені рівнян-
ня, потрібно ті значення змінної,
при яких цей вираз дорівнює нулю,
розглянути окремо, тобто в цьому
прикладі підставити значення х = 6
в задане рівняння (це можна вико-
нати усно, до розв’язання записати
тільки одержаний результат).

Для того щоб здійснити такий
план розв’язування, не обов’язково
вводити змінні и і г: достатньо помі-
тити, що задане рівняння однорідне,
розділити обидві частини на ^(х — б)2,
а вже потім ввести нову змінну і.

В означенні однорідного рівняння не враховують член 0, який степеня не має.
Запитання для контролю

1	• Поясніть, які обмеження доведеться накласти на змінну х, щоб розв’язати
рівняння у]х — 2 = х — 6 за допомогою рівносильних перетворень.

2	. Наведіть приклад однорідного ірраціонального рівняння. Складіть
план його розв’язування.

Вправи

1. Розв’яжіть ірраціональне рівняння за допомогою рівносильних пе-
ретворень:

1) л/Зх-2 = 5-х;	2) ^3-2х-^1-х =1;

3) ->/Зх + 4 + л/х-4 = 2>/х;	4) д/х + 5 + >/х = д/4х + 9.

Розв’яжіть рівняння (2—5).

2. 1) ^х + 2у/х-1 +^х-2у/х-1 =х + 1;		2) ^/х-3-2л/х-4 +-у/х-4л/х-4 =1  2) х2 + хл/х + 1-2(х + 1) = 0.
3.	1) </(х + 1)2+2</(х-1)2 =3</х2-1;	
4.	1) ^х-1-л/х-2=^х2-Зх + 2;	2) </2х + 3-</2х + 1 =2.
5.	б/"" 1 бЛТ 1  1) + =  </7-1	<£-1	2) 7 ,	^=~-  Г . 3/	/	3/	о  УІХ+УІХ УІХ—УІХ °

§ 14 ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ

Таблиця 23

Орієнтир	Приклад
1. Метод Інтервалів (для нерівностей виду / (х) й 0)	
1)	Знайти ОДЗ нерівності.  2)	Знайти нулі функції / (х) (/ (х) = 0).  3)	Відмітити нулі функції на ОДЗ і знайти знак функції в кожному проміжку, на які розбивається ОДЗ.  4)	Записати відповідь, урахову- ючи знак нерівності	Розв’яжіть нерівність -\/х + 4 >х + 2.  ► Задана нерівність рівносильна нерів- ності -\/х + 4-х-2>0.  Позначимо /(х) = -\/х + 4—х —2.  ОДЗ: х + 4 > 0, тобто х > -4.  Нулі / (х): >/х + 4-х-2 = 0, у/х + 4=х + 2, х + 4 = х2 + 4х + 4, х2 + Зх = 0, хх = 0 — корінь, х2 = —3 — сторонній корінь.  Відмічаємо нулі на ОДЗ і знаходимо знак функції / (х) у кожному проміжку.  —4	0	х  Відповідь: [-4; 0). <
Продовження табл. 23

2. Рівносильні перетворення	
1) При піднесенні обох частин нерівності до непарного сте- пеня (із збереженням знака нерівності) одержуємо нерів- ність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)	Розв’яжіть нерівність >Іх + 2<— 1.  ► ОДЗ: х є К.  Задана нерівність рівносильна нерівно- стям:  (</х + 2Ґ<(-1)3, х + 2 < -1, х < -3.  Відповідь: (-<*>; -3). <1
2) Якщо обидві частини не- рівності невід’ємні, то при піднесенні обох частин не- рівності до парного степеня (із збереженням знака нерів- ності) одержуємо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої)	Розв’яжіть нерівність і/2х — 6<1.  ► ОДЗ: 2х - 6 > 0, тобто х > 3. Обидві частини заданої нерівності невід’ємні, отже, вона рівносильна (на її ОДЗ) не- рівностям:  и/2х-ᥠ<14, 2х - 6 < 1, х<-.  2  Ураховуючи ОДЗ, одержуємо  3<х<-.  2  Відповідь:	<1
3) Якщо на ОДЗ заданої не- рівності якась частина не- рівності може набувати як додатних, так і від’ємних значень, то, перш ніж під- носити обидві частини не- рівності до парного степеня, ці випадки слід розглядати окремо.  Наприклад,  2-(//(х) >§(х)<^>  ІЯ(х)>0,	|/(х)>0,  ІЯ(х)<0.  |7(х)>0,  >//(х) < Я(х) <=> - Я(х) > 0, /(х)<я“(х)	Розв’яжіть нерівність -\/х + 4>х + 2. ► Задана нерівність рівносильна сукуп- ності систем:  х + 2>0,	Іх + 4>0,  	о	або 5	„ „  1(л/х + 4) >(х + 2)2	|х + 2<0.  [х>-2,	[х>-4,  Тоді 5 ,	або 5  [х2 + Зх<0	[х<-2.  Розв’язавши нерівність х2 + Зх 0, ма- ємо —3 < х < 0.  А	/+  X  Ураховуючи нерівність х > —2, одер- жуємо розв’язок першої системи: —2 < х < 0. Розв’язок другої системи: —4 < х < —2. Об’єднуючи ці розв’язки, одержуємо відповідь.  Відповідь: [-4; 0). С
Пояснення й обґрунтування

1.	Розв’язування ірраціональних нерівностей методом інтервалів.
Загальну схему розв’язування нерівностей методом інтервалів по-
яснено в § 4 розділу 1, а приклад застосування методу інтервалів до
розв’язування ірраціональних нерівностей наведено в таблиці 23.

2.	Рівносильні перетворення ірраціональних нерівностей. Коли для
розв’язування ірраціональних нерівностей використовують рівносильні
перетворення, то найчастіше за допомогою піднесення обох частин нерів-
ності до одного й того самого степеня задана нерівність зводиться до раціо-
нальної нерівності. При цьому потрібно мати на увазі такі властивості.
1) Якщо обидві частини нерівності доводиться підносити до непар-
ного степеня, то скористаємося тим, що числові нерівності А > В
і А2к +1 > В2к +1 або одночасно правильні, або одночасно неправильні.
Тоді кожен розв’язок нерівності

/(х)>Я (х)	(1)

(який перетворює цю нерівність у правильну числову нерівність)
буде також і розв’язком нерівності

Д'1 1 (х) / £2/ І 1 (х)	(2)

і,	навпаки, кожен розв’язок нерівності (2) буде також і розв’язком
нерівності (1), тобто нерівності (1) і (2) — рівносильні. Отже, при
піднесенні обох частин нерівності до непарного степеня (із збере-
женням знака нерівності) одержуємо нерівність, рівносильну зада-
ній (на ОДЗ заданої).

Наприклад,

2';'Жх) > £(*) /(*) > £2К" (х)

2)	Аналогічно, якщо числа А і В невід’ємні (А > 0, В 0), то число-
ві нерівності А> В і А2к > В2к також або одночасно правильні, або
одночасно неправильні. Повторюючи попередні міркування, маємо:
якщо обидві частини нерівності невід’ємні, то при піднесенні обох
частин нерівності до парного степеня (із збереженням знака нерів-
ності) одержуємо нерівність, рівносильну заданій (на ОДЗ заданої).
Наприклад, розглядаючи нерівність

2-^/(х) <Я(х)	(3)

на її ОДЗ, де / (х) > 0, помічаємо, що для всіх розв’язків нерівно-
сті (3) ліва частина невід’ємна (арифметичний корінь ^//(х) о)
і нерівність (3) може виконуватися тільки за умови

§ (х) > 0.	(4)

Якщо виконується умова (4), то обидві частини нерівності (3)
невід’ємні, і при піднесенні до парного степеня 27г одержуємо нерівність,
рівносильну заданій: / (х) <	(х) (звичайно, за умови врахування ОДЗ

заданої нерівності та умови (4)). Отже,

(*)<&(*)«	Ї(Х) > 0, #(х) > 0, /(х)<#2й(х)

3)	Якщо за допомогою рівносильних перетворень необхідно розв’язати
нерівність

>//(х) > §(х)	(5)

на її ОДЗ, де / (х) > 0, то для правої частини цієї нерівності розгля-
немо два випадки: а) § (х) < 0; б) § (х) > 0.

а)	При § (х) < 0 нерівність (5) виконується для всіх х з ОДЗ заданої
нерівності, тобто при / (х) > 0.

б)	При § (х) > 0 обидві частини нерівності (5) невід’ємні, і при під-
несенні до парного степеня 2к одержуємо нерівність, рівносильну
заданій:

/ (х) >	(х).	(6)

Зауважимо, що для всіх розв’язків нерівності (6) обмеження ОДЗ за-
даної нерівності / (х) > 0 виконується автоматично; отже, при § (х) > 0
достатньо записати тільки нерівність (6).

Об’єднуючи одержані результати, доходимо висновку, що:

2УІЇ(х)>§(х)<^

#(х)>0,	або[Н*)>0,

/(х)>^2й(х)а ° І£(х)<0

Приклади розв'язання завдань

Прикладі Розв’яжіть нерівність -ч/х + З — л/х —1 >-\/2х —1.

Коментар

Зведемо нерівність до виду / (х) > 0 і розв’яжемо її методом інтер-
валів.

Для того щоб знайти нулі функції / (х), використаємо рівняння-
наслідки. Щоб вилучити сторонні корені, виконаємо перевірку одержа-
них розв’язків.

Розв’язання

► Задана нерівність рівносильна нерівності -ч/х + З — л/х —1->/2х-1>0.

Позначимо /(х) = -ч/х + З-л/х-1 ->/2х-1.

	х + 3 > 0,	со  1 Л\ н \	
1. ОДЗ:	х -1 > 0, Тоді	Х	тобто X > 1
	2х-1>0.	1 х>—, 1	2
2.	Нулі функції / (х): -7х4-3--7х-1--72х-1=О. Тоді:
•7x4-3 - л/х-1 =уі2х-1, (-7x4-3 - 7х-1) =(-72х-1) ,
х-ьЗ-2-7х-ьЗ • 7х-І4-х-1 = 2х-1, 2-7x4-3 *7х-1 = 3.

Підносимо обидві частини останнього рівняння до квадрата:

4 (х + 3) (х - 1) = 9, 4х2 + 8х - 21 = 0,

З 1 с	.	7	.„

х, = —= 1,5 — корінь, х2=—— — сторонній корінь.

3.	Розбиваємо ОДЗ точкою 1,5 на два проміжки і знаходимо знак / (х)
у кожному з проміжків (рис. 97).

Відповідь: [1; 1,5). <1

1,5

Рис. 97

І 3 + я

Приклад 2 Розв’яжіть нерівність .Iх +й

-2.

І спосіб (метод інтервалів)

Коментар

Зведемо задану нерівність до виду / (х) > 0 і розв’яжемо її методом
інтервалів. Для того щоб знайти ОДЗ заданої нерівності, теж застосуємо
метод інтервалів, розв’язуючи нерівність х +8 >0 (ОДЗ: х Ф 0; х +8 =0

X	X

при х = -2).

Для знаходження нулів функції / (х) використаємо рівняння-
наслідки.

Хоча функція / (х) не має нулів, але й у цьому випадку метод інтер-
валів також працює. Тільки інтервали знакосталості функції / (х) збіга-
ються з інтервалами, з яких складається її область визначення.

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна нерівності

Позначимо /(х) =

-Х4-2.

X3 4- 8

(1)

1.

ОДЗ:

X® 4- 8	„

х Розв яжемо нерівність ------------

х^О.

методом інтервалів (рис. 98).

Одержуємо: х є (——2] О (0; 4-°°).

2.

Нулі функції / (х):

- х 4-2 = 0. Тоді:

X

Рис. 98
= х-2, х + 8=х2-4х + 4, х8 + 8 = х3 - 4х2 + 4х,

4х2 - 4х + 8 = 0 — коренів немає (В < 0).

3.	ОДЗ нерівності (1) розбивається на два
проміжки, у яких функція / (х) має зна-
ки, указані на рисунку 99.

Відповідь: (-<*>; -2] О (0; +°°). <1

Рис. 99

II спосіб (рівносильні перетворення)
Коментар

Для розв’язування використаємо рівносильні перетворення:

д//(х) >

Гя(х)>0,
1/(Х)>^Ж(Х)

або

/(х)>0,
§{х) < 0.

Щоб розв’язати одержану проміжну нерівність х + 8>0, урахуємо
X

умови, за яких цей дріб буде невід’ємним.

У кінці, об’єднуючи одержані розв’язки, отримуємо відповідь.

Розв’язання

х-2

або -

х8 +8 > о

^>(х-2)2

або 

х8 + 8 > о

X8 + 8	2 л , л

---->х -4х + 4.

4х2 -4х + 8

0,

або -

або -

Ураховуючи, що 4х2 - 4х + 8 > 0 при всіх

значеннях х (В < 0

і а = 4 > 0), одержуємо, що остання сукупність трьох систем рівносильна

сукупності:

або -

або -

<=> х > 2, або 0 < х Я) 2, або х < -2 <=> х < -2, або х > 0.

Відповідь: (-<*>; -2] О (0; +°°). <1

Зауваження. Записуючи наведене розв’язання, знаки рівносиль-
ності («) можна не ставити, достатньо на початку розв’язання записати:
«Виконаємо рівносильні перетворення заданої нерівності».
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність

7зх+9-4л/Зх+5 + ^/зх+14-6д/Зх + 5 < 1.	<1 >

Коментар

Заміна д/Зх + 5 = 1 дозволяє помітити, що кожен вираз, який стоїть
під знаком зовнішнього квадратного кореня, є квадратом двочлена.

Застосовуючи формулу у/а2 = \а\, одержуємо нерівність, що містить
знак модуля, для розв’язування якої використовуємо такий план:

1)	знайти ОДЗ;

2)	знайти нулі всіх підмодульних функцій;

3)	відмітити нулі на ОДЗ і розбити ОДЗ на проміжки;

4)	знайти розв’язки нерівності в кожному з проміжків.
Розв’язання

► Нехай д/Зх + 5 = і, де і > 0. Тоді Зх + 5 = і2, Зх = і2 — 5.

Отримуємо нерівність уіі2 + 4 — 4і +уіі2 + 9 — 6і <1, яку можна записати так:

—	+уІ(і —З)2 <1. Одержуємо

| І - 2 | + | І - 3 | < 1.	(2)

1.	ОДЗ нерівності (2): І є К, але за змістом завдання цю нерівність по-
трібно розв’язати при і > 0.

2.	Нулі підмодульних функцій: І = 2 і І = 3.

3.	Ці нулі розбивають область і > 0 на три
проміжки, у кожному з яких кожна під-
модульна функція має постійний знак
(рис. 100).

Проміжок І. При І є [0; 2] маємо нерівність

—(і — 2) - (І — 3) < 1, з якої одержуємо і > 2, але в проміжок [0; 2]
входить тільки 1 = 2.

Проміжок II. При І є [2; 3] маємо нерівність (І — 2) — (І — 3) < 1, яка
рівносильна нерівності 0 • І < 0, що виконується при будь-яких зна-
ченнях І. Отже, у проміжку [2; 3] розв’язками нерівності будуть усі
значення і із цього проміжку (2 < і < 3).

Проміжок III. При і є [3; +°°) маємо нерівність (І - 2) + (І — 3) < 1,
з якої одержуємо і < 3, але в проміжок [3; +°°) входить тільки зна-
чення 1 = 3.

Об’єднуючи одержані результати, робимо висновок, що розв’язками
нерівності (2) будуть усі значення і такі, що 2 < І < 3.

Виконуючи обернену заміну, маємо 2 < д/Зх + 5 < 3, звідки

4 < Зх + 5 < 9.
т • і	4

Тоді —чхч-.

З	з

Відповідь:

1.

2.

3.

Запитання для контролю

Назвіть основні методи розв’язування ірраціональних нерівностей.
Назвіть основні етапи розв’язування ірраціональної нерівності ме-
тодом інтервалів.

Обґрунтуйте справедливість таких рівносильних перетворень:

1)	2к+УЇ(х)	>я(х)<=	>Г(х)>^"(х); 7(х) > 0,	
2)	>//(х) <	я(х) <=> •	я(х) > 0, /(х)<я“(х);	
3)	>//(х) >	я(х) <=> •	Я(х) >0, о,	аб°  [Г(х)>§2к(х)	[/(х)>0, [я(х)<0.

Вправи

Розв яжіть нерівність (1—8).

1.	1) л/х2-3х-18 <4-х;

2.	1) (х-3)>/х2 +4 < х2 -9;

д 1) УІ6 + Х-Х2 ^УІб + Х-Х2 .
2х + 5	х + 4 ’

4.	1) >/х-2 + ч/2х + 5 >3;

5.	1) —^=>>/х + 5;

3-уІх

6.	1) Р+27 >х-3;

V х

2) >/х2 - Зх < 5-х.

2) (х-1)-7х2 +1 <х2 -1.

2) УІЗ-2Х-Х2 < УІЗ-2Х-Х2
х + 8	2х +1

2) л/2х-20 + ч/х + 15 > 5.

2)	>о.

2) -7х4 -2х2 +1 > 1 - х.

7’. 1) 75х + 8-6>/5х-1 + ^5х + 24-10уі5х-1 < 2;

2) ^/х + 3-4л/х-1 + ^/х + 8-6л/х-1 > 1.

8й. 1) (л/х2 - 4х + 3 +1)-\/х + — (л/8х- 2х2 - 6 +0;

2) рх2 - 5х + 6 + 2^/х - |р10х - 2х2 -12 + 2) > 0.
б 1 с	РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІРРАЦІОНАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

з	ТА НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРАМИ

При розв’язуванні завдань з параметрами, у яких вимагається роз-
в’язати рівняння чи нерівність, можна користуватися таким орієнтиром
(§ 9): будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами розв’язують як
звичайні рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або мір-
кування, необхідні для розв’язування, можна виконати однозначно. Але
в тому разі, коли якесь перетворення не можна виконати однозначно,
розв’язування необхідно розбити на декілька випадків, щоб у кожному
з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

Також на етапі пошуку плану розв’язування рівнянь чи нерівно-
стей з параметрами або міркуючи над самим розв’язанням, часто буває
зручно супроводжувати відповідні міркування схемами, за якими легко
простежити, у який саме момент ми не змогли однозначно виконати по-
трібні перетворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання
і чим відрізняється один випадок від іншого.

Зазначимо, що рівняння та нерівності з параметрами найчастіше
розв’язують за допомогою їх рівносильних перетворень, хоча інколи ви-
користовують і властивості функцій, метод інтервалів для розв’язування
нерівностей та рівняння-наслідки.

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння ^х — 2 = а.

Коментар

Ми не можемо однозначно дати відповідь на запитання, чи є в за-

даного рівняння корені, і тому вже на першому кроці повинні роз-

бити розв’язання на два випадки:
1) а < 0 — коренів немає, 2) а > 0 —
корені є (див. схему).

При а > 0 маємо найпростіше ір-
раціональне рівняння, обидві частини
якого невід’ємні. Отже, при піднесенні
до квадрата обох його частин одержу-
ємо рівняння, рівносильне заданому.

ОДЗ заданого рівняння можна не за-

писувати, її враховано автоматично, бо для всіх коренів одержаного рів-
няння х — 2 = а2 0.

Розв’язання

►	1) При а < 0 рівняння не має коренів.

2) При а > 0 х - 2 = а2. Тоді х = а2 + 2.

Відповідь: 1) якщо а < 0, то коренів немає;

2)	якщо а 0, то х = а2 + 2. <1
Приклад 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання1 *

у/х + а = 3 - л/х-1.	(1)

Для всіх коренів рівняння (1):

З-л/х-1 >0.	(2)

Тоді рівняння (1) рівносильне рів-
нянням:

х+а = (3-л/х-1) ,	(3)

х + а = 9-6>/х-1 + х-1,

4^ї = — •	(4)

б

Для всіх коренів рівняння (4):

^>0.	(5)

Тоді рівняння (4) рівносильне рів-
нянню

(6)

[8-а\	1

Отже, х = І—— І +1.

Урахуємо обмеження (2) і (5):

3-л/х-1=3-^^) =3-|^|.

8-й

За умовою (5)	--->0, тоді

6

8б" = 8ба• Отже, умови (2) і (5) за-
3-^£>0,

дають систему 1	тобто

^->0,
І 6

ґа>-10,
тоді -10 < а < 8.

[а <8,

'х + а + л/х-1 = 3.

Коментар
Використаємо рівносильні перетво-
рення заданого рівняння. Для цього
необхідно врахувати його ОДЗ:

Гх+а>0,	(7)

|х-1>0.	(8)

При перенесенні члена задано-
го рівняння з лівої частини в пра-
ву з протилежним знаком одержали
рівносильне рівняння (1).

Для всіх коренів рівняння (1)
воно є правильною числовою рівніс-
тю. Його ліва частина невід’ємна,
отже, і права частина має бути
невід’ємною. Тоді далі можна
розв’язувати рівняння (1) не на всій
ОДЗ, а тільки на тій її частині, що
задана умовою (2).

За цієї умови обидві части-
ни рівняння (1) невід’ємні, отже,
при піднесенні обох його частин до
квадрата одержимо рівносильне рів-
няння (3) (а після рівносильних пе-
ретворень — рівняння (4)).

Для всіх коренів рівняння (3)
його права частина невід’ємна, отже,
і ліва частина буде невід’ємною:
х + а 0. Але тоді умову (7) ОДЗ
заданого рівняння враховано авто-
матично і її можна не записувати до
розв’язання.

Також для всіх коренів рівнян-
ня (4) його ліва частина невід’ємна,
отже, і права частина повинна бути
невід’ємною. Тому далі можна роз-
в’язувати рівняння (4) не на всій
ОДЗ, а тільки на тій її частині, яка
задана умовою (5). Тоді обидві час-
тини рівняння (4) невід’ємні, і після

1 У записі розв’язання прикладів 2—6 у рамках виділено обмеження, які дове-

лося накласти в процесі рівносильних перетворень заданого рівняння чи нерівності.
Відповідь:

1)	при -10 < а < 8 х =	+ 1;

2)	при а < -10 або а > 8 коренів немає. <1

піднесення обох його частин до квадра-
та одержимо рівносильне рівняння (6).

Для всіх коренів рівняння (6)
його права частина невід’ємна, отже,
і ліва частина буде невід’ємною:
х - 1 > 0. Тоді й умову (8) ОДЗ зада-
ного рівняння враховано автоматич-
но, і тому ОДЗ можна не записувати
до розв’язання.

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння ча + у/а + х =х.

Розв’язання

Г Для всіх коренів даного рівняння
_______________х > 0________(1)

Тоді задане рівняння рівносиль-
не рівнянням:

а + у/а + х =хг,	(2)

у/а+х = х2 -а.	(3)

Для всіх коренів рівняння (3)
х2 - а > 0.	(4)

Тоді рівняння (3) рівносильне
рівнянням:

а + х = (х2 - а)2,	(5)

а + х = Xі - 2ах2 + а2.	(6)

Розглянемо рівняння (6) як ква-
дратне відносно а:

а2 - (2х2 + 1) а + Xі - х = 0.

В = (2х2 + І)2 - 4 (х4 - х) =

= 4х2 + 4х + 1 = (2х + І)2.

9

Тоді а=(2х +1)±(2х + 1)

Отже, а = х2 + х + 1 або а = х2 — х.

Звідси

х2 - а + х + 1 = 0	(7)

або

х2 - а = х.	(8)

Ураховуючи умови (1) і (4),
одержимо, що (х2 — а) + х + 1 > 1,
отже, рівняння (7) не має коренів.

Коментар

Як і в прикладі 2, ОДЗ заданого рів-

I а + у/а + х > 0, -
няння <!	буде врахована

[а + х>0
автоматично при переході до рів-
нянь (2) та (5) (для всіх коренів цих
рівнянь), отже, її можна не запису-
вати в розв’язанні.

Міркування при виконанні рів-
носильних перетворень заданого
рівняння (до рівнянь (2)—(3)—(5)—(6))
повністю аналогічні міркуванням,
наведеним у Коментарі до прикла-
ду 2.

Аналізуючи рівняння (6) (яке
достатньо важко розв’язати від-
носно змінної х), користуємося
орієнтиром, який умовно можна
назвати «Шукай квадратний три-
член», а саме: спробуйте розгляну-
ти задане рівняння як квадратне
відносно якоїсь змінної (чи відносно
якоїсь функції). У даному випадку
розглянемо це рівняння як квадрат-
не відносно параметра а (цей спосіб
ефективно спрацьовує тільки тоді,
коли дискримінант одержаного ква-
дратного тричлена є повним квадра-
том, як у розглянутому випадку).
Якщо для коренів рівняння (8)
виконується умова (1) (х > 0), то ав-
томатично виконується й умова (4)
(х2 - а > 0).

Із рівняння (8) одержимо
х2 - х - а = 0.

Це рівняння має корені, якщо

В = 1 + 4а > 0, тобто при а> ——.

Перед записом відповіді зруч-
но зобразити на рисунку всі одер-
жані розв’язки і напроти кожного
розв’язку відмітити, при яких зна-
ченнях параметра цей розв’язок
можна використовувати (див. с. 143).

Толі х	1 + ^1 + 4°	1-у/1 + 4а
1 ОДІ	,	2	2

Для хх умова х 0 виконується,
отже, х — корінь заданого рівнян-

1
ня при а> ——.

Урахуємо умову х > 0 для х2:
і-у/1 + 4а >0 >/1 + 4а<1,
2

0 < 1+ 4а < 1, --СаСО.

4

Із цього рисунку видно, що при
а > 0 у відповідь потрібно записати
тільки одну формулу (х,), при
—і < а < 0 — дві формули (хх і х2),

а при а<—± коренів немає.

Відповідь: 1) при — СаСО

_ 1 + л/1 + 4а _ 1 - >/1 + 4а .

1	“	2	’	2 “	2	’

гл 1+л/1+4«

2)	при а > 0 х =---------;

3)	при а<—— коренів немає. <1

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність х + 4а>5д/ах.

Розв’язання	Коментар
► Задана нерівність рівносильна системі  ах > 0,  • х + 4а >0,	(1)  (х + 4а)2 > 25ах.	Використаємо рівносильні пере- творення. Для цього врахуємо ОДЗ заданої нерівності (ах > 0) і те, що права частина невід’ємна, отже, для всіх розв’язків заданої нерівності її ліва частина повинна бути додатною (х + 4а > 0). За цієї умови (на ОДЗ)
При а = 0

одержуємо систему

0 • х >0,

< х>0, розв’язком якої є х > 0.
х2 > 0,

При а > 0 одержуємо систему

х>0,

•х>-4а,	(2)

х2-17ах+16а2 >0.

Розв’яжемо окремо нерівність
х2 - 17ах + 16а2 > 0.

Оскільки х2 — 17ах + 16а2 = 0 при
х = а та х = 16а, то при а > 0 одер-
жуємо х < а або х > 16а.

Тоді система (2) має розв’язки:
0 < х < а або х > 16а.

обидві частини заданої нерівності
невід’ємні, отже, при піднесенні
обох частин нерівності до квадрата
одержимо рівносильну нерівність.

Отримуємо систему (1).

Для розв’язування нерівності
ах 0 необхідно розглянути три ви-
падки: а = 0 (ділити на а не можна);
а > 0 (знак нерівності зберігаєть-
ся при діленні обох її частин на а);
а < 0 (знак нерівності змінюється).

При а > 0 значення —4а < 0,
тому перші дві нерівності систе-
ми (2) мають спільний розв’язок
х > 0, а для розв’язування нерів-
ності х2 — 17ах + 16а2 > 0 можна
використати графічну ілюстрацію:

При а < 0

одержуємо систему

(3)

х2-17ах+16а2 >0.

Система (3) розв’язків не має,
оскільки при а < 0 перша і дру-
га нерівності не мають спільних
розв’язків.

Відповідь: при а = 0 х > 0;

при а > 0 х є [0; а) С (16а; +°°);

при а < 0 розв’язків немає. <1

При а < 0 значення —4а > 0,
тому перші дві нерівності системи (3)
не мають спільних розв’язків, отже,
і вся система (3) не має розв’язків.

Приклад 5. Розв’яжіть нерівність у]х — а >х + 1.

Коментар

Спочатку скористаємося рівносильними перетвореннями:

2-(//(х) >§(х)

(§(х) > 0,

(х) > я2* (х)

або

/(х) > 0,
Я(х)<0.

Якщо в одержані системи параметр а входить лінійно, то в та-
ких випадках іноді буває зручно виразити параметр через змінну,
розглянути параметр як функцію від цієї зміннсіі і використати гра-
фічну ілюстрацію розв’язування нерівностей (у системі координат хОа).
Зазначимо, що для зображення розв’язків сукупності нерівностей зручно
використовувати дві системи координат, у яких осі Ох розташовані на
одній прямій, і на кожній виділяти штриховкою відповідні розв’язки.

При різних значеннях а пряма а = сопеі або не перетинає заштрихо-
вані області (при а>—або перетинає їх по відрізках. Абсциси точок
перетину є розв’язками систем (1) і (2), а отже, і розв’язками заданої
нерівності.

Розв’язання

Задана нерівність рівносильна сукупності систем:
х + 1>0,	- |х-а>0,

або <!
х-а>(х + 1)2 [х + 1<0.

Тоді

Іх>-1,
[а<-х2-х-1
або
(а <х,
|х<-1.

Зобразимо графічно розв’язки систем нерівностей (1) і (2) у системі
координат хОа (на рис. 101, а, б зафарбовано відповідні області ® і ®).

Бачимо, що

розв’язків немає (немає зафарбованих то-

чок);

якщо — 1 < а <

то пряма а = сопе! перетинає тільки зафарбо-
вану область ®. Причому одержаний інтервал обмежений зліва
і справа вітками параболи а = — хі 2 — х — 1. Але для відповіді нам потрібно
записати х через а. Для цього з рівняння х2 + х + а + 1 = 0 знахо-
димо х:

і	. /ї 7

х = — ±Л—а-1.

2	N4

Як бачимо, х = —— + .-— —а>——, тобто х = ——+	— а —рівняння

2	\ 4	2	2X4

правої вітки параболи, а х = —і ——а — лівої.

Тоді відповідь у цьому випадку буде такою:

якщо а < — 1,

то пряма а = сопе! перетинає заштриховані області ®

і ®. Для області ® інтервал для х зліва обмежений прямою х = — 1,
а справа — правою віткою параболи, тобто -1 <х<-|+— а' Для °^“
ласті ® інтервал для х обмежений зліва прямою х = а, а справа — пря-
мою х = — 1, тобто а < х < — 1. Об’єднання цих інтервалів можна коротше

записати так:

з

— — розв’язків немає;

Відповідь: 1) при а >

Л г' 3	1/3	1/3

2)при-Ка<—	—----а<х<--н,-а;

4	2X4	2 X4

1 /з

3) при а < -1	а<х<--+ д-—-а. <1

Для розв’язування деяких дослідницьких завдань з параметрами
можна використати властивості квадратного тричлена і, зокрема, умо-
ви розміщення коренів квадратного тричлена відносно заданих чисел
(табл. 16).

Приклад 6.

Знайдіть усі значення параметра к, при яких має корені
рівняння х + 2/гл/х + І -й + 3 = 0.

і и.Ів’Я.ІПИНЯ

► Заміна уіх + 1 =і, де І > 0 (тоді

х = І2 — 1). Одержуємо рівняння

і2 + 2кі -к + 2 = 0.	(1)

Коментар

Якщо ірраціональне рівняння міс-
тить тільки один корінь, то інколи
можна звести таке рівняння до раці-
онального, позначивши цей корінь
Задане рівняння буде мати корені
тоді і тільки тоді, коли рівняння (1)
буде мати хоча б один невід’ємний
корінь (І > 0).

Випадок 1 = 0 дослідимо окремо.

При і = 0 з рівняння (1) маємо к = 2.
Отже, при 7г = 2 рівняння (1) має
корінь 1 = 0. Тоді й задане рівняння
має корінь х = — 1, тобто 7г = 2 задо-
вольняє умові задачі.

Позначимо / (7) = І2 + 27г7 - 7г +2.

Рівняння (1) може мати хоча б один
додатний корінь в одному з двох ви-
падків:

1)	один корінь додатний і один
від’ємний — для цього необхідно
й достатньо виконання умови

/ (0) < 0;

2)	обидва корені додатні — для цьо-
го необхідно й достатньо виконання
системи умов:

7(0) >0,

<Б>0,	(2)

7о >0.

З умови / (0) < 0 отримуємо:
-7г + 2 < 0,
тобто 7г > 2.

Система (2) дає:

-7г + 2>0,

- 4/г2-4(-Тг + 2)>0,

-7г >0.

Тоді

7г<2,	Г7г<2,

-Тг2 + Тг-2>0, - 7г<-2 або7г>1,
7г<0.	[тг<0.

Отже, 7г < —2.

Відповідь: к < -2 або 7г >2. <1

новою змінною. Оскільки замі-
на є рівносильним перетворенням
(разом з оберненою заміною), то
одержуємо рівняння, рівносильне
заданому, і тому замість досліджен-
ня заданого рівняння можна дослі-
джувати одержане.

Але при цьому слід ураховува-
ти, що після заміни змінної інколи
змінюється вимога задачі, зокрема
для рівняння (1) вона буде такою:
знайти всі значення параметра /г,
для яких це рівняння має хоча б
один невід’ємний корінь (тоді піс-
ля оберненої заміни ми обов’язково
знайдемо корені заданого рівняння).
Це можливо в одному з трьох випад-
ків: або один із коренів рівняння (1)
дорівнює нулю (цей випадок легко
досліджувати підстановкою в рів-
няння (1) І = 0), або рівняння (1)
має один додатний і один від’ємний
корені, або обидва корені додатні.

Зобразивши відповідні ескізи
графіків функції / (7) = 72 + 2кі -
— к + 2, записуємо необхідні і до-
статні умови такого розміщення для
коренів квадратного тричлена (ри-
сунок або табл. 16).

Для того щоб розв’язати ква-
дратну нерівність 7г2 + 7г - 2 > 0,
можна використати графічну ілю-
страцію.
У кінці необхідно об’єднати всі
одержані результати. Звичайно, для
одержання відповіді можна було
б розв’язати задане рівняння (так
саме, як приклад 2), а потім дати
відповідь на запитання задачі, але
такий шлях потребує більш громізд-
ких обчислень.

Вправи

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Розв’яжіть рівняння:

1) л/х-а = 2;	2) -7х + 2а = а;	3) у/х + 6-т = уІх-3;

4) ^а--4а+х =х.

Розв’яжіть нерівність:

1) ——^^а~х >0;	2) х + 2а>\ІЗах + 4а2;	3) -\І4х: + а >х;

2-х

4) у/х-а>2х + 1;	5) л/а2-х2 >2-х.

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння Зл/х + 2 = 2х+ а
має корені.

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
(у/х — а)їх — —1 = 0 має тільки один дійсний корінь.

\ х/

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння у/2 — ах + 2 = х
має тільки один дійсний корінь.

.	\у = а+у[х,

Визначте кількість розв язків системи (	залежно від зна-

І2х+і/-1 = 0

чення параметра а.
ДОДАТКОВІ ВПРАВИ ДО РОЗДІЛУ 2

1.

Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:

І) г^г,	2) Л Н 3)	4) г3 г

д/З+л/5	л/5-У2	л/15	УІ7 +УІ2

Обчисліть:

1) ї/(л/5-2,5)М(1>5-л/5)3-1;	2) (^+^)(5-Д.

’	’	у/75-5^2

3) 7(л/2-1,5)2-д/((1-л/2)3) +0,75;	4)	• (ц + 2л/зо).

2д/5 + л/24

5.

3.

Спростіть вираз (3—5).

1)

°’5 +1	2

1,5 , +	0,5 ’

-1 X

1 1
(а&)4-Ь2 .

а-Ь
Розв’яжіть рівняння (6—10):

6.	1) (>/х2-7х + ю)2 = 2х2-9х + 7;	2) х2 + >/х2-1-(х + л/х2-1) = 0;

3)	7(х + 1)(2х + 3)=х + 3;	4) уїх+І • л/2х + 3=х + 3.

7.	1) (>/1 + х +1 )(>/1 + х + 2х - б) = х; 2) д/2х2 + Зх + -\І2х2 - Зх - 5 = 6х + 5;

3) >/х2 + Зх-4 =л/2х + 2;

8. 1) л/5х + 7-л/Зх + 1=л/х + 3;

2) л/2х + 3 + л/Зх — 1 = л/ 5х + 2;

4) у]х2 -7х + 1 =>/2х2-15х + 8.

3)	^/х + 3-4>/х-1 + ^/х + 8-6л/х-1 = 1;

4)	^х +11 — 6л/х + 2 + д/х +18 — 8 л/х + 2 = 1.

9. 1) ^/2х-8+</х-8 = 2;	2) </8х + 4+л/8х-4 =2;

3) л/х + 3+л/5-х = 2;	4) </2-х =1->/х-1.

10. 1) у[х+у/х — 16=у/х-8;

2) ^х-1+л/х-2-д/2х-3 = 0;

3) уІ2-х2 =|х|-1;	4) л/х-6+л/10х+5=2.

Розв’яжіть систему рівнянь (11—12).

11.	1) .  3)  12.	1)	у]х + у=1,	2}	' X- + Зі/ + 1 — 2,
	^х-у + 2=2у-2;  7	4	5	у]2х-у + 2 = 7у-6;  5	!	4	31  д/х-9 у]у + 9  3	!	2 _ 7  л/х-9 у]у + 9	20
	\х-7 -иу + 6	$	..  4)  5	3	ІЗ.	
	л/х-7 -^у + 6	6	
	Ь1±і + 4 1^1 = 5,  \ 2а — 1	\ х +у	2) •  х = у+1;	Іх-У ! Іх + У _ Ю \х+у \х—у 3 ху-2х-2у = 2;

/\/2х + у 1 у/х + ї/ — 1,	4) Г^х + 2ї/ + у]х — у + 2 — З,

[Зх + 2у = 4;

Розв’яжіть нерівність (13—21).

13.	1) >/Зх2 +13>1-2х;

3)	л/Зх-х2 <4-х;

14.	1) >/х2 + Зх + 2->/х2-х + 1 < 1;

3)	. х~7	= <0;

V4х2 -19х + 12

[2х + у = 7.

2) >/х2 +х > 1 -2х;

4) уіх2-х-2 <2х + 6.

2) л/Зх2 +5х + 7 - л/Зх2 + 5х + 2 > 1;

4) ^17-15х-2х2 > о

х + 3
15. 1) у]х-2\1х-1 +у]х + 2\1х-1 <2;		2) у]х + 4уіх-4-д/х-4л/х-1 >3;  4) л/х + 6 >д/2х-4+>/х + 1.	
	3)	+	— 1 + л/л- — 2;		
16.	н 1 т? ч «  А  | т?  1	2)	гн’і’сЧ ч «  V  со 1 1
	3) (х-1)л/х2-х-2>0;	4)	(х-3)л/х2 + х-2 >0.
17.	1) (х + 1)л/х2+1 >х2-1;	2)	(х-3)л/х2 +1 <х2 -9;
	д) л/б + х-х2 >>/б + х-х2.	4)	УІ12 + Х-Х2 >\І12 + х-х2 х -11	2х - 9
18.	л/б1-2х-х2 Р 1-х	2)	-\І2 — х + 4х - 3 >2*  X
	3) л/х + 5<1 + д/-х-3 + л/(х + 5)(-х-	3);	
	4) л/(х-5)(-х + 7) +1>у]-х + 7-у]х	-5).	
19.	1) л/х + 6>>/х + 1+л/2х-5;	2)	л/х + 3 >>/х-1 +л/2х-1;

3) л/х2-8х + 15 + л/х2 +2х-15 >\І4х2 -18х + 18.

22.

23.

Розв’яжіть нерівність л/1 —х2 >^(х — а) при а = 0 і переконайтеся,
що множиною її розв’язків є відрізок. При яких значеннях а мно-
жиною розв язків цієї нерівності є відрізок довжиною — І

5

При яких значеннях параметра а множина розв’язків нерівності
а + у/х2 + ах >х не перетинається з проміжком [—1; 0]?

24. При яких значення параметра а у множині розв’язків нерівності
х + -\/х2 — 2ах >1 міститься проміжок |^;1]?
ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ

Поняття степеня виникло в далекій давнині. Збереглися глиняні
плитки стародавніх вавилонян (близько 1700 р. до н. е.), які містять
записи таблиць квадратів і кубів та їх обернених значень. До множення
рівних множників приводить розв’язування багатьох задач. Вираз ква-
драт числа виник унаслідок обчислення площі квадрата, а куб числа —
унаслідок знаходження об’єму куба. Але сучасні позначення (типу аі, а5)
введено в XVII ст. Р. Декартом (1596—1650).

Дробові показники степеня та найпростіші правила дій над степеня-
ми з дробовими показниками застосував у XIV ст. французький матема-
тик Н. Орема (бл. 1323—1382). Відомо, що Н. Шюке (бл. 1445—бл. 1500)
розглядав степені з від’ємними і нульовим показниками.

С. Стевін запропонував розуміти під ап корінь у] а. Але система-
тично дробові та від’ємні показники першим став застосовувати І. Нью-
тон (1643—1727).

Німецький математик М. Штіфель (1487—1567) дав позначення
а° = 1, якщо о * 1, і ввів назву показник (від німецьк. ехропепї). Ні-
мецьке роіепгіегеп означає піднести до степеня. У свою чергу, термін
ехропепіеп виник унаслідок не зовсім точного перекладу з грецької сло-
ва, яким Діофант Александрійський (бл. III ст.) позначав квадрат
невідомої величини.

Терміни радикал і корінь, уведені в XII ст., походять від латинсько-
го гадіх, що має два значення: сторона і корінь. Грецькі математики
замість «добути корінь» казали «знайти сторону квадрата за його даною
величиною (площею)». Знак кореня у вигляді символу V з’явився впер-
ше в 1525 р. Сучасний символ увів Декарт, який додав горизонтальну
риску. Ньютон уже позначав показники коренів так: у/~, у/~.
Розділ З

. ТРИГОНОМЕТРіЯзЖ!
функції МИ

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

§ 16.	Радіанна міра кутів

§ 17.	Тритон -«метричні функції кута
і числового аргументу

§ 18.	Властивості тригонометричних функцій

§ 19.	Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса
і котангенса та їх властивості

§ 20.	Співвідношення між тригонометричними
функц'ями одного аргументу

§ 21.	Формули додавання та їх наслідки

ДОДАТКОВИЙ МАТЕРІАЛ

§ 22.	Додаткові формули тригонометрії

В основній частині цього розділу ви зможете ознайомитися
з тригонометричними функціями, які широко використову-
ють як у самій математиці, так і в її застосуваннях, навчитис я
досліджувати ці функції та будувати їх графіки, розв’язув°ти
різноманітні задачі, спираючись на їх властивості.

У додатковій частині розділу ви будете мати можливість
опанувати додаткові формули тригонометрії, які можуть ста-
ти в пригоді під час розв’язування більш складних завдань
з тйми, що їх пропонують у завданнях зовнітпнього незалеж-
ного оцінювання чи державної підсумкової атестації з мате-

матики.
§ 16	РАДІАННА МІРА КУТІВ

Таблиця 24

1	Походження та зміст терміна «тригонометрія» див. у «Відомостях з істо-
рії», наведених після розділу 3.
Пояснення й обґрунтування

1.	Поняття кута. У курсі геометрії кут означають як геометричну фігу-
ру, утворену двома променями, які виходять з однієї точки. Наприклад,
кут АОВ, зображений у першому пункті таблиці 24, — це кут, утворе-
ний променями ОА і ОВ.

Кут можна розглядати також як результат повороту променя на пло
щині навколо початкової точки. Наприклад, повертаючи промінь ОА на
вколо точки О від початкового положення ОА до кінцевого положення
ОВ, теж одержимо кут АОВ. Зауважимо, що досягнути кінцевого поло-
ження ОВ можна при повороті променя ОА як за годинниковою стріл-
кою, так і проти неї.

2.	Вимірювання кутів. Наведені вище різні означення кута приводять
до різного розуміння вимірювання кутів.

У курсі геометрії кожному куту відповідає його градусна міра, яка
може знаходитися тільки в межах від 0° до 180°, і тому, наприклад, для
прямого кута АОВ (див. пункт 2 табл. 24) його міра записується одно-

значно: АОВ - 90° (нагадаємо, що 1° — це частина розгорнутого
кута).

При вимірюванні кутів повороту домовилися вважати напрям по-
вороту проти годинникової стрілки додатним, а за годинниковою стріл-
кою — від’ємним.

Тому при вимірюванні кутів, утворених при повороті променя на
вколо початкової точки, можна одержати як додатні, так і від’ємні зна
чення кутів повороту. Наприклад, якщо кут АОВ, у якому промені ОА
і О В взаємно перпендикулярні, одержано при повороті променя О А на
кут 90° проти годинникової стрілки, то значення кута повороту 0 (див.
відповідний рисунок пункті 2 табл. 24) дорівнює +90° (або просто 90”).
Якщо той самий кут АОВ одержано при повороті променя ОА на кут
270° за годинниковою стрілкою (зрозуміло, що повний оберт — це 360"),
то значення кута повороту у дорівнює -270°. Той самий кут АОВ можна
одержати також при повороті променя ОА проти годинникової стрілки
на 90° і ще на повний оберт; у цьому випадку значення кута повороту <р
дорівнює 90° + 360°, тобто 450° і т. д.

Вибравши як значення кута повороту довільне від’ємне чи додатне
число (градусів), ми завжди можемо повернути промінь ОА (за годинки
ковою стрілкою чи проти неї) і одержати відповідний кут АОВ. Таким
чином, значення кута повороту (у градусах) може набувати всіх дійсних
значень від —оо до +<».

Для вимірювання кутів певний кут приймають за одиницю виміру
і за її допомогою вимірюють інші кути.
За одиницю виміру можна прийняти будь-який кут.

Нагадаємо, що частина розгорнутого кута — це один градус (1°).
180

У техніці за одиницю виміру кутів приймають повний оберт (зазна-
чимо, що 1 градус — це частина повного оберту).

У мореплавстві за одиницю виміру кутів приймають румб, який до-

рівнює ~ частині повного оберту.

У математиці та фізиці, крім градусної міри кутів, використовують
також радіанну міру кутів.

Якщо розглянути деяке коло, то

1 радіан — це центральний кут, що відповідає дузі, довжина якої

дорівнює радіусу кола.

Рис. 102

Отже, якщо кут АОВ дорівнює одному раді-
ану (рис. 102), то це означає, що и АВ = ОА = В.

Установимо зв’язок між радіанними і градус-
ними мірами кутів.

Центральному розгорнутому куту АОС
(рис. 102), який дорівнює 180°, відповідає півко-
ло, тобто дуга, довжина якої дорівнює кВ, а одно-
му радіану — дуга довжиною В. Отже, радіанна
міра розгорнутого кута АОС дорівнює — = л.

в,
Одержану відповідність між градусною і радіан-
ною мірами кута часто записують так:

180° = я радіан.

Із цієї рівності одержуємо наступні відповідності:

= радіан,

,	.	180° КГ7О

1 радіан —----~ 57

я

 Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Виразіть у радіанній мірі величини кутів: 30°; 45°; 60°;
90°; 270°; 360°.

► Оскільки 30° — це і частина кута 180°, то з рівності 180° = я (рад)

одержуємо, що 30° = — (рад).

6

Аналогічно можна обчислити й величини інших кутів.

У іагальпому випадку враховуємо, що 1° = п- раціан, тоді:
45°=ї&о '45=ї (рад); 6О°=ї&о'6О=з (рад); 90°=^ (рад);

270°^ у (рад); 360° = 2л (рад). <

Ураховуючи, що радіанними мірами розглянутих кутів доводиться
користуватися досить часто, запишемо одержані результати у вигляді
довідкової таблиці.

Таблиця 25

Кут у градусах	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Кут у радіанах	0	Я  6	я  4	я  3	м і а	Я	Зл  2	2л

Зауваження. Найчастіше при записі радіанної міри кутів назву
одиниці виміру «радіан» (або скорочено рад) не пишуть. Наприклад, за-

мість рівності 90° = — радіан пишуть 90° = —.

2	2

Приклад 2 Виразіть у градусній мірі величини кутів:	5.

► Оскільки — Це їо частина кута я, то з рівності л = 180° одержуємо,
що — = 18°. Аналогічно можна обчислити і величини кутів — і —.

10	3	4

180°
У загальному випадку враховуємо, що 1 радіан =-----, тоді

я

2л _ 2л 180° _^20°- Зл _ Зл 180° —135°- 5~5 • ІВО0 — ^00° - 286° <]
33л	44л	лл

 Запитання для контролю

1.	Поясніть, як можна означити кут за допомогою повороту променя.
Як при такому означенні вимірюють кути?

2.	Як ви розумієте такі твердження: «Величина кута дорівнює 450°»,
«Величина кута дорівнює -225°»? Зобразіть ці кути.

3.	Як можна означити кут в 1°?

4.	Дайте означення кута в 1 радіан.

5.	Чому дорівнює градусна міра кута в л радіан?

6.	Поясніть на прикладах, як за радіанною мірою кута знайти його
градусну міру і навпаки — за градусною мірою кута знайти його
радіанну міру.
МВ Вправи

1°. Зобразіть кут, утворений поворотом променя ОА навколо точки О

на:

1) 270°;	2) -270°;	3) 720°;	4) -90°;

5) 225°;	6) -45°;	7) 540°;	8) -180°;

9) 360°;	10) -60°.

2°. Чому дорівнюють кути повороту, показані на рисунку 103?

3.	Виразіть у радіанній мірі величини кутів: 1°) 225°;	2°) 36°;  4) -240°;	5) -22,5°;	3) 100°;  6) -150°.
4.  5.	Виразіть у градусній мірі величини кутів:  1) Зл;	2)	3)  5)	;	6) —;	7)  18	6	8  За допомогою калькулятора (або таблиць)	4) —;  6  8) 3.  знайдіть радіанні міри
6.	кутів:  1) 27°;	2) 132°;	3) 43°;  За допомогою калькулятора (або таблиць)	4) 114°.  знайдіть градусні міри

кутів:

1) 0,5585;	2) 0,8098;	3) 3,1416;	4) 4,4454.
§ 17 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ КУТА І ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТУ

Таблиця 26

1.	Означення тригонометричних функцій

через одиничне коло

(Я=1)

через довільне коло
(К — радіус кола)

через прямокут-
ний трикутник
(для гострих кутів)

| аіп а = у | —
ордината точки Ра

сов а = х , —
абсциса точки Ра

и 8ІП а
іЄа = ^ =--------

х сов а

2.	Тригонометричні функції числового аргументу

зіп (числа а) = віп (кута в а радіан)
сов (числа а) = сов (кута в а радіан)
(числа а) = (кута в а радіан)

сІ£ (числа а) = сі£ (кута в а радіан)
Продовження табл. 26

3.	Лінії тангенсів і котангенсів

ЛРп — лінія тангенсів (АР0 II Оу)
а = уА — ордината відповідної
точки лінії тангенсів

СВ — лінія котангенсів (СВ || Ох)
сі£ а = хв — абсциса відповідної
точки лінії котангенсів

 Пояснення й обґрунтування

1.	Означення тригонометричних функцій. З курсу геометрії вам відо-
мі означення тригонометричних функцій гострого кута в прямокутному

трикутнику. Нагадаємо їх.

Синусом гострого кута а в прямокутному трикутни-
ку називають відношення протилежного катета до гіпо-

тенузи: зіпа = - (рис. 104).
с

Косинусом гострого кута а в прямокутному трикут-
нику називають відношення прилеглого катета до гіпо-
Ь

тенузи: со8(Х = -.
с

Тангенсом гострого кута а в прямокутному трикут-
нику називають відношення протилежного катета до
прилеглого: і&а = ^.

Рис. 104

Котангенсом гострого кута а в прямокутному трикутнику назива-
, ь
ють відношення прилеглого катета до протилежного: сі£О' = —.
а

У курсі геометрії було обґрунтовано, що Синус та косинус гострого
кута залежать тільки від величини кута і не залежать від довжин сторін
трикутника та його розташування, тобто синус і косинус (а отже, і тан-
генс, і котангенс) є функціями величини кута, які називають тригоно-
метричними функціями.

Також у курсі геометрії з використанням кола з центром у початку
координат було введено означення тригонометричних функцій для кутів
від 0° до 180°. Але ці означення можна використати для знаходження
тригонометричних функцій довільних кутів. Нагадаємо їх (але тепер бу-
демо розглядати довільні кути а від — °° до +°°).

Візьмемо коло радіуса В із центром у початку координат. Позначимо
точку крла на додатній півосі абсцис через Ро (рис. 105). Потрібні нам
кути будемо утворювати поворотом радіуса ОР0 навколо точки О. Нехай
у результаті повороту на кут а навколо точки О радіус ОР0 займе положен-
ня ОРа (кажуть, що при повороті на кут а радіус ОР0 переходить у радіус
ОРа, а точка Рй переходить у точку Ра). Нагада-
ємо, що при а > 0 радіус ОР0 повертають проти
годинникової стрілки, а при а < 0 — за нею.

Нехай точка Ра має координати (х; у). Тоді:
синусом кута а називається відношення ор-
динати точки Ра (х; у) кола до його радіуса:

зіп а- —;
в

косинусом кута а називається відношення
абсциси точки Ра (х; у) кола до його радіуса:

сова = —;

В

тангенсом кута а називається відношення ординати точки Ра (х; у)
кола до її абсциси:	= — (звичайно, при х * 0);

котангенсом кута а називається відношення абсциси точки Ра (х; у)
кола до її ординати: сі£а = — (при у ф 0).

Рис. 106

У

Як і для тригонометричних функцій го-
стрих кутів, значення зіп а, сов а, а, сі& а
залежать тільки від міри кута а і не залежать
від В1. Зручно вибрати В = 1, що дозволить
дещо спростити наведені означення тригономе-
тричних функцій.

Коло радіуса 1 з центром у початку коор-
динат будемо називати одиничним колом.

Нехай при повороті на кут а точка
Ро (1; 0) переходить у точку Ра (х; у) (тобто при
повороті на кут а радіус ОР0 переходить у раді-
ус ОРа) (рис. 106).

1 Це випливає з того, що два концентричні кола гомотетичні (центр гомо-
тетії — точка О, а коефіцієнт к — відношення радіусів цих кіл), тоді і точки
Р на цих колах теж будуть гомотетичні. Отже, при переході від одного кола до
іншого в означеннях тригонометричних функцій чисельник і знаменник відпо-
відного дробу помножаться на к, а значення дробу не зміниться.
Синусом кута а називається ордината точкиР(х; у) одиничного кола:
8Іп а = у.

Косинусом кута а називається абсциса точки Ри(х; у) одиничного кола:
соя а = х.

Тангенсом кута а називається відношення ординати точки Рц (х; у)
...	віп а

одиничного кола до її абсциси, тобто відношення --.

сов а

Отже,
віп а
іе а =---------------------- (де сов а * 0).

сов а

Котангенсом кута а називається відношення абсциси точки
___________________________	.	сов а

Р„ (х; у) одиничного кола до п ординати, тобто відношення .

Отже,
, сов а
“ = ніп а <Де 8Іп а * °)-

Приклад Користуючись цими означеннями, знайдемо синус, коси-
.	2л

нус, тангенс і котангенс кута — радіан.

Розглянемо одиничне коло (рис. 107). При повороті на кут — радіус
З

ОР() переходить у радіус ОР2л (а точка Ро переходить у точку Р2л). Коор-

динати точки Р2л можна знайти, використовуючи властивості прямокут-
з

ного трикутника ОАР2л (з кутами 60° і 30° та гіпотенузою 1): х = -ОА = —

3  .'/=АР2п=-^- Т°ДІ: 8І  3	3  Р2п  / \	2 X  /	2п \  1	V Ио  1 4 0 ’ у 1 х  Рис. 107	. 2л Г	„ віп  2л	<3	2л	1	*„2л_	з	_  п—_м_-ї—; сов—-х-—; і£ „ =	„ = уіо,  3	2	3	2	3	2л  сов—  3  . 2л	1  сіє— = --/=•<  3	УЗ  Аналогічно знаходять значення синуса, ко- синуса, тангенса і котангенса кутів, указаних у верхньому рядку таблиці 27.  Зазначимо, що таким чином можна знайти тригонометричні функції тільки деяких кутів. Тригонометричні функції довільного кута за- звичай знаходять за допомогою калькулятора або таблиць.
Таблиця 27

а	градуси	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
	радіани	0	я  6	Я  4	я  3	Я  2	71	Зл  2	2л
8Іп а		0	1  2	Уг  2	Уз  2	1	0	-1	0
сов а		1	Уз  2	Уг  2	1.  2	0	-1	0	1
Іе а		0	Уз  3	1	у/3	не іс- нує	0	не іс- нує	0
с1£ а		не іс- нує	Уз	1	3	0	не іс- нує	0	не іс- нує

2.	Тригонометричні функції числового аргументу. Введені означення
дозволяють розглядати не тільки тригонометричні функції кутів, а й
тригонометричні функції числових аргументів, якщо розглядати триго-
нометричні функції числа а як відповідні тригонометричні функції кута
в а радіан. Тобто

І синус числа а — це синус кута в а радіан;

косинус числа а — це косинус кута в а радіан.

Наприклад,

еіп- = віпі- рад І = віп 30° = -
б \б н І	2

(див. також пункт 2

табл. 26).

3.	Лінії тангенсів і котангенсів. Для розв’язування деяких задач ко-

рисно мати уявлення про лінії тангенсів і котангенсів.

Проведемо через точку Ро одиничного кола пряму АР0, паралельну
осі Оу (рис. 108). Цю пряму називають лінією тангенсів.

Нехай а — довільне число (чи кут), для
якого сов а * 0. Тоді точка Ра не лежить на
осі Оу і пряма ОРа перетинає лінію танген-
сів у точці А.

Оскільки пряма ОРи проходить через
початок координат, то її рівняння у — кх.
Але ця пряма проходить через точку Р
з координатами (сов а; віп а), отже, коор-
динати точки Ра задовольняють рівнянню
прямої у = кх, тобто віп а = к сов а. Звідси
, віп а
к =------------------= а.

сов а
Таким чином, пряма ОРа має рівняння у = (іе

Пряма АР0 має рівняння х = 1. Щоб знайти ординату точки А, до-
статньо в рівняння прямої ОРа підставити х = 1. Одержуємо уА = а.
Отже,

тангенс кута (числа) а — це ордината відповідної точки на

Аналогічно вводять і поняття лінії ко-
тангенсів: пряма СВ, що проходить через
точку С (0; 1) одиничного кола паралельно
осі Ох (рис. 109).

Якщо а — довільне число (чи кут), для
якого віл а * 0 (тобто точка Ра не лежить
на осі Ох), то пряма ОРа перетинає лінію
котангенсів у деякій точці В (хв; 1).

Аналогічно попередньому обґрунтову-
ють, що хв - сіє а- Отже,

котангенс кута (числа) а — це абсциса відповідної точки на
лінії котангенсів.

М Запитання для контролю

1.	Сформулюйте означення тригонометричних функцій гострого кута
в прямокутному трикутнику.

2.	Сформулюйте означення тригонометричних функцій довільного
кута:

а)	використовуючи коло радіуса В із центром у початку координат;

б)	використовуючи одиничне коло.

3.	Що мають на увазі, коли говорять про синус, косинус, тангенс і ко-
тангенс числа а?

 Вправи

Г. Побудуйте на одиничному колі точку Ра, у яку переходить точка
Ро (1; 0) одиничного кола при повороті на кут а. У якій координат-
ній чверті знаходиться точка Ра у завданнях 3—6?

1) а = Зл;	2) а = —4л;	3) а = у;
4) а = -—;  4	4л	7л  5) а =—;	6) а-—.  ,	3	4
2. Знайдіть значення віп а, сов а, а, сі£ а (якщо вони існують) при:

1) а = Зя;	2) а = —4л;	3) а=—

.. 5л	5л	Зл

4) а=ї—;	5) а =---;	6) а = —.

2	б	4

З”. Користуючись означенням синуса і косинуса, за допомогою одинич-
ного кола вкажіть знаки віп а і сов а, якщо:

1) а =—;	2) а = -~;	3) а = —;

5	6	6

4) а=-—;	5) а = —.

з	10

4*. Користуючись лінією тангенсів, укажіть знак а, якщо:

\ Л 4л	. Зтс	117Г

1) а =—;	2) а-----;	3) а-—;

з	4	б

., 7л	9л

4) а=——;	5) а =—.

о	4

5*. Користуючись лінією котангенсів, укажіть знак сі£ а, якщо:

1) а = -—;	2) а=—;	3) а = -—;

'	3	4	6

. ч 7л	г-х	9л

4) а = —;	5) а = -—.

6	4

§ 18 ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ
Продовження табл. 28

3. Періодичність

функція / (х) називається періодичною з періодом Т * 0, якщо для будь-
якого х з області визначення функції числа (х + Т) і (х - Т) також нале-
жать області визначення і виконується рівність

/(х + Т) = ї(х - Т) = / (х).

у = {х} — дробова частина числа х

Через проміжки довжи-
ною Т (на осі Ох) вигляд
графіка періодичної функції
повторюється

Якщо Т — період функції, то
+Т, ±2Т, ±ЗТ, ±кТ — також
періоди цієї функції (к є АГ)

чіп (х + 2л) = ВІП х Функції ВІП X і сов X
соя (х + 2л) = соя х мають період Т - 2л

Ід (х + л) = х Функції X І СІ£ X
сІК (х + л) = сік х мають період Т = л

Т = 2л — спільний період
для всіх функцій: віп х, сов х,
X, СІК X

М Пояснення й обґрунтування

1.	Знаки тригонометричних функцій легко визначити, виходячи
з означення цих функцій.

• Наприклад, віп а — це ордината відповідної точки одиничного
кола. Тоді значення віп а буде додатним, якщо точка Ра має додатну
ординату, а це буде тоді, коли точка Ра знаходиться в І або II ко-
ординатній чверті (рис. 110). Якщо точка Ри знаходиться в III або
IV чверті, то її ордината від’ємна, і тому віп а теж від’ємний.

Аналогічно, ураховуючи, що сов а — це абсциса відповідної точки
Р , одержуємо, що сов а > О в І і IV чвертях (абсциса точки Р додат-
на) і сов а < 0 в II і III чвертях (абсциса точки Ра від’ємна) (рис. 111).
Оскільки іє <* =---і сіє а  ----, то і£ а > 0 і сіє а > 0 там, де віп а і

сов а	віп а

сов а мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, Іє а < 0 і сіє ос < 0 там,
де Віп а і сов а мають різні знаки, тобто в II і IV чвертях (рис. 112). О

2.	Парність і непарність тригонометричних функцій.

• Щоб дослідити тригонометричні функції на парність і непарність,
 зазначимо, що на одиничному колі точки Ра і Рп розміщено симе-
трично відносно осі Ох (рис. 113). Отже, ці точки мають однакові
абсциси і протилежні ординати. Тоді сов(-а) = хр =хр = сов ос,
віп(-а) = і/р =-у„ =-віп ос.

-ч	1 а

Таким чином, сов х — парна функція, а віп х — непарна.

/ і віп(-а) -віпа ,	, ,	. сов(-а) сова ,

Тоді Іє (—ос) = —;—( =----= -Іє а; сіє (-ос) = —т—г =----= -сіє ос.

сов (-а) сова	віп(-а) -віп а

Отже, Іє х і сіє х — непарні функції. О

Парність і непарність тригонометричних функцій можна викорис-
товувати для обчислення значень тригонометричних функцій від’ємних
кутів (чисел).	г

Наприклад, ► віп(——1 = —віп—= —і, сові-—1 = сов—= —. <1
\ 6/	6	2	\ 4/	4	2

3.	Періодичність тригонометричних функцій. Багато процесів і явищ,
що відбуваються в природі і техниці, мають повторюваний характер
(наприклад, рух Землі навколо Сонця, рух маховика). Для опису такого
роду процесів використовують так звані періодичні функції.

Функція у = і (х) називається періодичною з періодом Т 0, якщо
для будь-якого х з області визначення функції числа (х + Т) і (х - Т)
також належать області визначення і виконується рівність

Нх + Т) = ?(х - Т) = ї (х).

• Ураховуючи, що на одиничному колі числам (кутам) а і а + 2лЛ, де
к є 2, відповідає та сама точка (рис. 114), одержуємо

віп (а + 2лк) = віп а, сов (а + 2-кк) = сов а.

Рис. 113

Рис. 114
Тоді 2пк (к * 0) є періодом функцій від х і сов х.

При к = 1 одержуємо, що Т = 2л — це період функцій віп х і сов х.
Доведемо, що ці функції не можуть мати меншого додатного пері-
оду. Щоб довести, що Т = 2л — найменший додатний період коси-
нуса, припустимо, що Т > 0 — період функції сов х. Тоді для будь-
якого значення х виконується рівність СОБ (х + Т) = СОБ х. Узявши
х = 0, одержуємо соб Т = 1. Але це означає, що на одиничному колі
при повороті на кут Т точка Ро знову потрапляє в точку Ро, тобто
Т = 2пк, де к є 2. Таким чином, будь-який період косинуса повинен
бути кратним 2л, а отже,

2л — найменший додатний період косинуса. О

Щоб обґрунтувати, що Т = 2л — найменший додатний період функ-
ції віп х, достатньо в рівності віп (х + Т) = віп х, яка виконується
для будь-яких значень х, узяти х = ^. Одержуємо віп^Т + ^ = 1. Але
це означає, що при повороті на кут Т + точка Ро потрапляє в точку
А (0; 1) (рис. 114), тобто 7’ + ^ = ^ + 2лй, отже, Т = 2пк. Таким чином,
будь-який період синуса повинен бути кратним 2л, а отже,

2л — найменший додатний період синуса.

• Якщо врахувати, що на одиничному колі точки Ра і Ра + п є діаме-
трально протилежними, то цим точкам відповідає та сама точка на
лінії тангенсів (рис. 115) або на лінії котангенсів (рис. 116).

Тоді іе (а + л) = іе а> сіє (а + л) = сі& а, а також (а + лй) = ІЄ а,
<•(,(/ (а І- лй) = сіє а, тобто періодом функцій і£ х і сі£ х є тік {к * 0,
к < 7}

Найменшим додатним періодом для функцій і£ х і сіє х є Т = л.

Щоб довести це, достатньо в рівності ІЄ (х + Т) = ІЄ х узяти X = 0.

Тоді одержуємо іє Т = 0. Отже, Т = тік, де к є 2. Таким чином, будь-
який період тангенса повинен бути кратним л, а отже, л — наймен-
ший додатний період тангенса. Аналогічно у відповідній рівності
для сіє х достатньо взяти х = —. О

2

• Щоб мати уявлення про поведінку графіка періодичної функ-
ції у = / (х), згадаємо, що за означенням графік функції у = / (я)
складається з усіх точок М координатної площини, які мають ко-
ординати (х; у) = (х; / (х)). Першу координату для точок графіка
вибирають довільно з області визначення функції. Виберемо як
першу координату значення х + Т (або в узагальненому вигля-
ді — значення х + кТ при цілому значенні к) і врахуємо, що для
періодичної функції ї (х + Т) = / (х - Т) = / (х) (у загальному ви-
падку — / (х + кТ) = / (х)). Тоді до графіка функції у = / (х) буде
входити також точка Л/’1 координатної площини з координатами:

(х + Т; у) = (х + Т; / (х + Т)) = (х + Т; / (х)).

Точку М1 (х + Т; / (х)) можна одержати з точки М (х; / (х)) пара-
лельним перенесенням уздовж осі Ох на Т одиниць (рис. 117). У за-
гальному випадку точку М2 (х + кТ; / (х)) можна одержати з точки
М (х; / (х)) паралельним перенесенням уздовж осі Ох на кТ одиниць.
Отже, через проміжок Т вигляд графіка періодичної функції буде
повторюватися. Тому для побудови графіка періодичної функції
з періодом Т достатньо побудувати графік на будь-якому проміж-
ку довжиною Т (наприклад, на проміжку [0; Т]), а потім одержану
лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ох на
відстані кТ, де к — будь-яке натуральне число. О

Приклад 1 Користуючись періодичністю, парністю і непарністю три-
гонометричних функцій, знайдіть:

1)	віп—; 2) сов (-405°); 3)	4) сіє (-570°).

2	З

Розв’язання	Коментар

1)

►	. ЛІК

ВІП---— ВІП

(10л + -)=
\	2/

1) Ураховуючи, що значення
функції віп х повторюються
= 8Іп(б- 2л+-) = ВІП—= 1. <1
\	21	2

2)	► СО8 (-405°) = сов 405° =

- сов (360°+ 45°) = сов 45° = ^. <

3)	►	+ -) = !£- = л/3.<1

з \ з/ з

І)	► сіє (-570°) = -сіє 570° =
- -сіє (540° +30°) =
=-сіє (180° • 3 + 30°) =
= -сіє30° = -л/з.<

через період 2л, ВИДІЛИМО
в заданому аргументі число,
кратне періоду (тобто 10л),
а потім скористаємося рівністю
віп (а + 2лй) = віп а (к є 7).

2)	Спочатку враховуємо парність
косинуса: сов (-а) = сов а, а по-
тім його періодичність з періодом
2л = 360°: сов (а + 360°) = сов а.

3)	Функція тангенс періодична
з періодом л, тому виділяємо
в заданому аргументі число,
кратне періоду (тобто 5л), а по-
тім використовуємо рівність
ІЄ (« + я&) =	«•

4)	Спочатку враховуємо непарність
котангенса: сіє (—сс) = —сіє ос,
а потім його періодичність з пе-
ріодом л =180°:

сіє (оі + 180° • к) = сіє ос.

Приклад 2*

Доведіть твердження: якщо функція у = / (де) періодична
з періодом Т, то функція у = А/ (кх + Ь) також періодична
т

з періодом щ (А, к, Ь — деякі числа і к Ф 0).

РиЗи’лЛНСНл

т

Нехай ер (х) = А/ (кх + Ь) і - щ-
Тоді

<р (х + Т{) - А/ (к(х + Тг) + Ь) =
к^х + щ )+ Ь А/(кх ± Т + Ь) =
А/ (кх + Ь + Т) =А/ (кх + Ь) = ср (х),
і це й означає, що функція
Р (х) = А/ (кх + Ь) має період

Зазначимо, що одержана рівність
р (х і- 7\) = <р (х) при підстановці за-
мість х значення х - 7\ перетворюеть-
•я в рівність ер (х) = <р (х - Т1). Отже,
р(х 7]) = ер (х + 7\) = <р (х) і 7\ дійсно
періодом функції <р (х). О

Коментар

За означенням функція ср (х) =
= А/ (кх + Ь) буде періодичною з пе-
т

ріодом Т. = -.—7, якщо для будь-якого
1*1

х з області визначення ср значення
цієї функції в точках х і х + Т1 рів-
ні, тобто ср (х + Т\) - ср (х). У ході об-
ґрунтування враховано, що вираз

к • при к > 0 дорівнює к • — = Т,
1*1	*

т

а при к < 0 дорівнює к • — = -Т. Та-

-к

кож ураховано, що функція / (х) за
умовою періодична з періодом Т,
і тому / (хг ± Т) = / (хх), де х, =
= кх + Ь.
Використаємо твердження, доведене в прикладі 2, для знаходження
періодів функцій.

Наприклад,

1)	► ят£що функція віп х має період Т = 2л, то функція віп 4х має
період

у = Г - 2зт - л • <

1	4	4	2’

2)	► якщо функція х має період Т = л, то функція — має період

4

гп Т п .

Т, = —= —= 4л..^і

1 1 1 -1

4	4

Запитання для контролю

1.	а) Назвіть знаки тригонометричних функцій у кожній із координат-
них чвертей.

б*) Обґрунтуйте знаки тригонометричних функцій у кожній із коор-
динатних чвертей.

2.	а) Які з тригонометричних функцій є парними, а які — непарними?
Наведіть приклади використання парності і непарності для обчис-
лення значень тригонометричних функцій.

б*) Обґрунтуйте парність чи непарність відповідних тригонометрич-
них функцій.

3.	а) Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади.

б*) Обґрунтуйте періодичність тригонометричних функцій. Укажіть
найменший додатний період для синуса, косинуса, тангенса і ко-
тангенса та обґрунтуйте, що в кожному випадку цей період дійсно
є найменшим додатним періодом.

і Вправи

1. Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометрич-
ної функції, знайдіть:

1) сов—;	2) віп (-750°);	3)	);	4) сі£ 945°;

5) віп —;	6) сов (-3630°);	7) сі£ );	8)	600°.

4	\	4 /

2*. Серед заданих функцій знайдіть періодичні й укажіть найменший
додатний період для кожної з них:

1) [ (х) = х2;	2) / (х) = віп 2х;	3) / (х) = | х |;

4)	/ (х) = Зх;	5) / (х) = 3.

3.	Знайдіть найменший додатний період кожної із заданих функцій:

1)	у = сов 2х; 2) у = І£ 5х; 3) г/ = віп—; 4) у = сі£ Зх; 5) г/ = сов—.

З	5
4.	На кожному з рисунків 118—121 наведено частину графіка деякої пері-
одичної функції з періодом Т. Продовжіть графік на відрізок [~2Т; З У].

§19

ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА
І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

19.1. Графік функції у = зіп х та її властивості

Таблиця 29

Графік функції у = віп х (синусоїда)										
У‘  1			У =		8ІП X					
2лу '	\  1Х	1	_\1	1				0/	\	X  X	1		1	іХ								
уґ	'	X	1	у  /	—я	_п	/  2	2 У			1 ТІ  2					>4л х  2		
-І										
Властивості функції у =					віп X					
1. Область визначення: х є		К (х — будь-яке дійсне чиєї						ю).		
		О (віп х) = К								
2.	Область значень: у є [-1; 1].  3.	Функція непарна: віп (-х) = -в чатку координат).  4.	Функція періодична з періодом			V (віп х) = І		-1; і]					
			іп х (гра<  Т = 2л	рік симетричний ВІДНОСНО ПО-  віп (х + 2л) = віп х						
5. Точки перетину з осями координат: Оу					«с а н н Р Р	Ох		у=о, х = лй, к є 2		
6. Проміжки знакосталості:										
	віп х > 0 при х є (2лй; я + 2лй), к є 2  віп х < 0 при х є (я + 2лй; 2л + 2лк), к є 2									
Продовження табл. 29

7. Проміжки зростання і спадання:

функція віп х зростає на кожному з проміжків

-~ + 2пк;- + 2пк , к є 7,

.2	2	.1

і спадає на кожному з проміжків

- + 2пй; — + 2пк , кє7

2	2 -Г

Найбільше значення функції дорівнює 1 при х = + 2пк, к є 7

Найменше значення функції дорівнює —1 при х = -^ + 2л/г, к є 7

М Пояснення й обґрунтування

Характеризуючи властивості тригонометричних функцій, ми буде-
мо виділяти такі їх характеристики: 1) область визначення; 2) область

значень; 3) парність чи непарність; 4) періодичність; 5) точки перетину

з осями координат; 6) проміжки знакосталості; 7) проміжки зростання

і спадання; 8) найбільше і найменше значення функції.

Зауваження. Абсциси точок перетину
графіка функції з віссю Ох (тобто ті значення
аргументу, при яких функція дорівнює нулю)
називають нулями функції.

Нагадаємо, що значення синуса — це ор-
дината відповідної точки одиничного кола
(рис. 122). Оскільки ординату можна знайти для
будь-якої точки одиничного кола, то область
визначення функції у = віп х — усі дійсні чис-
ла. Це можна записати так: О (віп х) = В.

Для точок одиничного кола ординати набу-
вають усіх значень від -1 до 1, отже, область

значень функції у = віп х: у є [-1; 1]. Це можна записати так:

Е (віп х) = [-1; 1].

Як бачимо, найбільше значення функції віп х дорівнює одиниці.
Цього значення функція досягає тільки тоді, коли відповідною точкою

одиничного кола є точка А, тобто при х = + 2лй, к є 7.

Найменше значення функції віп х дорівнює мінус одиниці, якого
вона досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола

є точка В, тобто при х = ~ + 2пк, к є 7.
Як було показано в § 18, синус — непарна функція: віп (-х) = —віп х,
отже, її графік симетричний відносно початку координат.

У § 18 було обґрунтовано також, що синус — періодична функція
з найменшим додатним періодом Т = 2л: віп (х + 2л) = віп х, отже, че-
рез проміжки довжиною 2л вигляд графіка функції віп х повторюється.
Тому для того щоб побудувати графік цієї функції, достатньо побудувати
її графік на будь-якому проміжку довжиною 2л, а потім одержану лі-
нію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ох на відстані
кТ - 2пк, де А — будь-яке натуральне число.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, зга-
даємо, що на осі Оу значення х = 0. Тоді відповідне значення у = віп 0 = 0,
тобто графік функції у = віп х проходить через початок координат.

На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при
яких віп х, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, дорівню-
ватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного
кола буде точка С або І) (рис. 122), тобто при х = л/г, к є 2.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 18, значення
функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола
додатна) у І і II координатних чвертях (рис. 123). Отже, віп х > 0 при
X є (0; л), а також, ураховуючи період, при всіх х є (2л/г; л + 2л/г), к є 2.

Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точ-
ки одиничного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, віп х < 0 при
х є (л + 2л/г; 2л + 2л/г), к є 2.

Проміжки зростання і спадання

• Ураховуючи періодичність функції віп х з періодом Т = 2л, достат-
ньо дослідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку

„	Г я Зл 1

довжиною 2л, наприклад на проміжку І ; — І.

Якщо	(рис. 124, а), то при збільшенні аргументу х

(х2 > X]) ордината відповідної точки одиничного кола збільшується
(тобто віп х2 > віп хД отже, у цьому проміжку функція віп х зрос-
тає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також

зростає в кожному з проміжків

-~ + 2пк;^- + 2пк

.2	2

к є 2.

Якщо ХЄ

л _ Зл
2’ 2

(рис. 124, б), то при збільшенні аргументу х (х2 > х1)

ордината відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто
віп х2 < віп хД отже, у цьому проміжку функція віп х спадає. Ура-
ховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає
в кожному з проміжків |^ + 2лй; + 2л//|, к є 2. О
Рис. 125

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік
функції у = 8ІП х. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом
2л), достатньо спочатку побудувати графік на будь-якому проміжку дов-
жиною 2л, наприклад на проміжку [—л; л]. Для більш точної побудови

точок графіка користуємося тим, що значення синуса — це ордината
відповідної точки одиничного кола. На рисунку 125 показано побудову
графіка функції у = віп х на проміжку [0; л]. Ураховуючи непарність
функції віп х (її графік симетричний відносно початку координат), для
того щоб побудувати графік на проміжку [-л; 0], відображуємо одержа-

ну криву симетрично відносно почат-
ку координат (рис. 126).

Оскільки ми побудували графік
на проміжку довжиною 2л, то, урахо-
вуючи періодичність синуса (з періо-
дом 2л), повторюємо вигляд графіка на
кожному проміжку довжиною 2л (тобто
переносимо паралельно графік уздовж
осі Ох на 2л/г, де к — ціле число).

Рис. 126
Одержуємо графік, наведений на рисунку 127, який називають си-
нусоїдою.

Зауваження. Тригонометричні функції широко застосовують
у математиці, фізиці та техниці. Наприклад, багато процесів, таких як
коливання струни, маятника, напруги в колі змінного струму тощо, опи-
суються функцією, яку задають формулою у = А віп (сох + ср). Такі про-
цеси називають гармонічними коливаннями.

Графік функції у = А віп (сох + ер) можна одержати із синусоїди
у = віп х стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей
і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне ко-
ливання є функцією часу і. Тоді його задають формулою у = А віп (соґ + ер),
де А — амплітуда коливання, со — кутова частота, ер — початкова фаза,
2п
— — період коливання (якщо А > 0, со > 0, <р > 0).
со

19.2. Графік функції у = сов х та її властивості
табл. ЗО

3.

4.

5.

6.

Функція парна: соб (-х) = соб х (графік симетричний відносно осі Оу)

Функція періодична з періодом ' Т = 2я і: соб (х + 2я) = сов х

Точки перетину з осями координат: Оу

У = О,

х = + пк, к є 2

2

Проміжки з акосталості: _______________ ______

соб х > 0 при хє ^~+2як; +2пй), к є 2
соб х < 0 при хє ^~+2л&; ^+2пй), к є 2

Проміжки зростання і спадання:

функція соб х зростає на кожному з проміжків [я + 2пк; 2я + 2я&], к є 2
і спадає на кожному з проміжків [2яй; я + 2пй], к є 2

Найбільше значення функції дорівнює 1 при х = 2лй, к є 2

Найменше значення функції дорівнює —1 при х = я + 2пк, к є 2

М Пояснення й обґруп । увания

Нагадаємо, що значення косинуса — це абсциса відповідної точки
одиничного кола (рис. 128). Оскільки абсцису можна знайти для будь-
якої точки одиничного кола, то область визначення функції у = соб х —
усі дійсні числа. Це можна записати так:

В (соб х) = й.

Для точок одиничного кола абсциси набувають усіх значень від -1
до 1, отже, область значень функції у = соб х: у є [-1; 1]. Це можна за-

писати так:

Е (соб х) = [-1; 1].

Як бачимо, найбільше значення функції соб х
дорівнює одиниці. Цього значення функція дося-
гає тільки тоді, коли відповідною точкою одинич-
ного кола є точка А, тобто при х = 2яЛ, к є 2.

Найменше значення функції сов х дорівнює
мінус одиниці. Це значення досягається тіль-
ки тоді, коли відповідною точкою одиничного
кола є точка В, тобто при х = я + 2яЛ, к є 2.

Як було показано в § 18, косинус — парна
функція: сов (-х) = сов х, тому її графік симе-
тричний відносно осі Оу.
У § 18 було обґрунтовано також, що косинус — періодична функція
з найменшим додатним періодом Т = 2л: сов (х + 2л) = сов х. Отже, через
проміжки довжиною 2л вигляд графіка функції сов х повторюється.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, нага-
даємо, що на осі Оу значення х = 0. Тоді відповідне значення у = сов 0=1.

На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при
яких сов х, тобто абсциса відповідної точки одиничного кола дорівнюва-
тиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного

кола буде точка С або Л (рис. 128), тобто при х = ^ + л/г, к є 7.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 18, значення
функції косинус додатні (тобто абсциса відповідної точки одиничного
кола додатна) в І і IV чвертях (рис. 129). Отже, сов х > 0 при хєі--; —І,

а також, ураховуючи період, при всіх х є + 2л/г; + 2л/г к є 7.

Значення функції косинус від’ємні (тобто абс циса відповідної точки

одиничного кола від’ємна) у II і III чвертях, отже, сов х < 0 при
х Г + 2лЛ;—+2лД к є 7.

\2	2 І

Проміжки зростання і спадання

Ураховуючи періодичність функції сов х (Т = 2л), достатньо досліди-
ти її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжиною 2л,
наприклад на проміжку [0; 2л].

Якщо х є [0; л] (рис. 130, я), то при збільшенні аргументу х (хг >
абсциса відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто
сов х2 < сов х1), отже, у цьому проміжку функція сов х спаде?. Ура-
ховуючи періодичність функції сов х, робимо висновок, що вона та-
кож спадає в кожному з проміжків [2л/г; л + 2 л/г], к є 7.

Рис. 129

Рис. 130
Якщо х є [я; 2л] (рис. 130, б), то при збільшенні аргументу х (х2 > х^
абсциса відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто
сов х2 > сов хг), отже, у цьому проміжку функція сов х зростає. Ура-
ховуючи періодичність функції сов х, робимо висновок, що вона
зростає також у кожному з проміжків [я + 2л/г; 2л + 2л/г], к є 7. О
Проведене дослідження дозволяє побудувати графік функції у = сов х
аналогічно до того, як було побудовано графік функції у = віп х. Але гра-
фік функції у = сов х можна одержати також за допомогою геометричних
перетворень графіка функції у - віп х, використовуючи формулу

8Іп| —+ ХІ = СО8Х .
\2	/

Цю формулу можна обґрунтувати, напри-
клад, так. Розглянемо одиничне коло
(рис. 131) і відмітимо на ньому точки
А = Рх і В-Рп та абсциси і ординати

цих точок. Ураховуючи, що ААОВ = ^,
одержуємо, що при повороті прямокутни-
ка ОС1АО1 навколо точки О на кут про-
ти годинникової стрілки він перейде
в прямокутник ОС2ВВ2. Але тоді ОВ2 - ОВ±

Рис. 131

і ОС2 - ОСГ Отже, віп^+х^ = ув =ОС2-ОСг = іА = совх.

Зазначимо також формули, які нам знадобляться далі:
сов^ + х) = ів = -ОІ)2 = -ОВг — —уА = -віп х.

. /л \

(\ 8ШІ —+ ХІ

71	|	\ 9	/	СОЙ X	.

-+Х =——Г=—:— = -сі£х.

2	/	І 71	І	-81П X

С\2 +/

Отже,

+ х) = - сі& х

.О

Ураховуючи, що со8Х = віп(х+^, графік функції у = сов х можна
одержати із графіка функції у = віп х його паралельним перенесенням
уздовж осі Ох на (--1 (рис. 132). Одержуємо графік, який називається

косинусоїдою (рис. 133).
19.3. Графік функції у = х та її властивості
Продовження табл. 31

3.

4.

Функція непарг а: (-х) = І££ х

(графік симетричний відносно початку координат).

Функція періодична з періодом Т = л і£ (х + л) = х.

5.

Точки перетину з осями координат: Оу

Х = 0,
У = 0;

Ох

У = 0,
х = пк, ке2

6.

Проміжки знакосталості:

ж > 0 при хе

і® х < 0 при хе

= (лЛ; ^+лй), к е 2
(~+лЬ; лй), к є 2

7.

Проміжки зростання і спадання:

функція х зростає на кожному з проміжків своєї області визначення,!
тобто на кожному з проміжків (~+лЛ; ^+лй), к е 2.

Найбільшого і найменшого значень функція не має.

І Пояснення й обґрунтування

Нагадаємо, що = ~Отже, областю визначення тангенса бу-

СО6Х

дуть усі значення аргументу, при яких соя х * 0, тобто х * | + пк, к е 2.

Отримуємо О (і& ж): х * " + пк, к е 2. Цей результат можна одержати

й геометрично. Значення тангенса — це орди-
ната відповідної точки Т* на лінії тангенсів
(рис. 134). Оскільки точки А і В одиничного
кола лежать на прямих ОА і ОБ, паралельних
лінії тангенсів, ми не зможемо знайти значен-
ня тангенса для х = ^+лА, к є 2. Для всіх ін-
ших значень аргументу ми можемо знайти
відповідну точку на лінії тангенсів та її ордина-

ту — тангенс. Отже, усі значення х^~+пк
входять до області визначення функції у = 1® х.
Для "очок одиничного кола (які не збігаються з точками А і Б) ор-
динати відповідних точок на лінії тангенсів набувають усіх значень від
-оо до +оо. Таким чином, область значень функції у = х — усі дійсні
числа, тобто у є В. Це можна записати так: Е (і£ х) = В. З наведених
міркувань випливає також, що найбільшого і найменшого значень функ-
ція х не має.

Як було показано в § 18, тангенс — непарна функція: і£ (-х) = х,
отже, її графік симетричний відносно початку координат.

Тангенс — періодична функція з найменшим додатним періодом
Т = л: І£ (х + л) = І£ х (див. § 18). Тому при побудові графіка цієї функ-
ції достатньо побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною л,
а потім одержану лінію перенести паралельно праворуч і ліворуч уздовж
осі Ох на відстань кТ = лА, де к — будь-яке натуральне число.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат,
нагадаємо, що на осі Оу знач* ння х = 0. Тоді відповідне значення
у =	0 = 0, тобто графік функції у = і£ х проходить через початок ко-

опдинат.

На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при
яких х, тобто ордината відповідної точки лінії тангенсів, дорівнюва-
тиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного
кола буде точка С або Р (рис. 134), тобто при х = лА, к є 2.

Проміжки знакосталості. Як було обгрунтовано в § 18, значення
функції тангенс додатні (тобто ордината відповідної точки лінії танген-
сів додатна) у І і III координатних чвертях. Отже, х > 0 при х є (о
а також, ураховуючи період, при всіх хє(лА;^ + лА^ к є 2.

Значення функції тангенс від’ємні (тобто ордината відповідної точки
лінії тангенсів від’ємна) у II і IV чвертях. Отже, І£ х < 0 при х є ( ~ + лА; ла),
к є 2.

Проміжки зростання і спадання

Ураховуючи періодичність функції і£ х (період Т = л), достатньо до-

слідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжи-

ною л, наприклад на проміжку

। Л Л ।	( Л Л І

—. Якщо хє—; —
V 2 2/	V 2 2/

(рис. 135),

то при збільшенні аргументу х (х2 > х1) ордината відповідної точки
лінії тангенсів збільшується (тобто І£ Х2 >	х,). Отже, у цьому про-

міжку функція І£ х зростає. Ураховуючи періодичність функції І£ х,
робимо висновок, що вон£ зростає також у кожному з про. лжків
ґ-^ + лА; ^ + лАІ, А є 2. О
Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік
функції у = х. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом я),
спочатку побудуємо графік на будь-якому проміжку довжиною я, напри-

клад на проміжку • Для більш точної побудови точок графіка

скористаємося також тим, що значення тангенса — це ордината відпо-
відної точки лінії тангенсів. На рисунку 136 показано побудову графіка

функції у = х на проміжку

Далі, ураховуючи періодичність тангенса (з періодом я), повторюємо
вигляд графіка на кожному проміжку довжиною я (тобто переносимо
паралельно графік уздовж осі Ох на яА, де к — ціле число).

Одержуємо графік, наведений на рисунку 137, який називають тан-
генсоїдою.
19.4	. Графік функції у = сі£ х та її властивості

Таблиця 32

2.	Область значень', у є К.\Е (сій х) = К

3.	Функція непе рь а: сій (—х) = —сій х

{графік симетричний відносно початку координат).

4.	Функція періодична з періодом 1 Т = п сій (х + тс) = сій х.

5. Точки перетину з осями координат: Оу немає , Ох

Ц-°»

х = ^+пк, ке2
і

6.	Проміжки знакосталості:

сій х > 0 при хе |лй; —+лйі, к є 2
сій х < 0 при хе ^+лй; л+лй), к е 2

7.	Проміжки зростання і спадання:

функція сій х спадає на кожному з проміжків своєї області визначен-
ня, тобто на кожному з проміжків {пк; п + пк), к є 2.

8.	Найбільшого і найменшого значень функція не має.
Пояснення й обґрунтування

Нагадаємо, що сіє х =	. Отже, областю визначення котангенса

ВІП X

будуть усі значення аргументу, при яких зіп х * 0, тобто х * пк, к є 2.
Таким чином,

О (сіє х)’ х * яй, к є 2.

Той самий результат можна одер-
жати, використовуючи геометричну
ілюстрацію. Значення котангенса — це
абсциса відповідної точки на лінії ко-
тангенсів (рис. 138). Оскільки точки А
і В одиничного кола лежать на прямих
ОА і ОВ, паралельних лінії котангенсів,
ми не можемо знайти значення котан-
генса для х = пк, к є 2. Для всіх інших
значень аргументу ми можемо знайти
відповідну точку на лінії котангенсів та
її абсцису — котангенс. Таким чином,
усі значення х Ф пк входять до області

визначення функції у = сіє х-

Для точок одиничного кола (які не збігаються з точками А і В) абс-
циси відповідних точок на лінії котангенсів набувають усіх значень від
-оо до +<ю. Отже, область значень функції у = сіє х — усі дійсні числа,
тобто у є В. Це можна записати так: Е (сіє х) = В. З наведених мірку-
вань випливає також, що найбільшого і найменшого значень функція

сіє х не має.

Як було показано в § 18, котангенс — непарна функція: сіє (~х) =
= -сіє хі тому її графік симетричний відносно початку координат.

Також у § 18 було обґрунтовано, що котангенс — періодична функ-
ція з найменшим додатним періодом Т = л: сіє (х + л) = сіє х, тому че-
рез проміжки довжиною л вигляд графіка функції сіє х повторюється.

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат,
нагадаємо, що на осі Оу значення х = 0. Оскільки сіє 0 не існує, то гра-
фік функції у = сіє х не перетинає вісь Оу.

На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при
яких сіє х, тобто абсциса відповідної точки лінії котангенсів, дорівню-
ватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного

кола буде точка С або £>, тобто при х ——+пк, к є 2.

2

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 18, значення
функції котангенс додатні (тобто абсциса відповідної точки лінії котан
генсів додатна) у І і III чвертях (рис. 139). Тоді сі£ х > 0 при хє^О;^.
Ураховуючи період, отримуємо, що сі& х > 0 при всіх хє(лй;^ + лІ?),
к є 2.

Значення функції котангенс від’ємні (тобто абсциса відповідної точ-
ки лінії котангенсів від’ємна) у II і IV чвертях, отже, сі& х < 0 при
хє - + лА;л + лЛІ, к є 2.

\2	/

Проміжки зростання і спадання

Ураховуючи періодичність функції сі£ х (найменший додатний пе-
ріод Т = л), достатньо дослідити її на зростання і спадання на будь-
якому проміжку довжиною л, наприклад на проміжку (0; л).

Якщо х є (0; л) (рис. 140), то при збільшенні аргументу х (х, > х1)
абсциса відповідної точки лінії котангенсів зменшується (тобто
сі£ х2 < сі£ хг), отже, у цьому проміжку функція сі,£ х спадає. Ура-
ховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає
в кожному з проміжків (тік; л + тік), к є 2.

Проведене дослідження дозволяє побудувати графік функції у = сі£ х
аналогічно до того, як було побудовано графік функції у = х. Але гра-
фік функції у = х можна одержати також за допомогою геометричних
перетворень графіка функції у = х. За формулою, наведеною вище,
і£^ + х) = -сі£х, тобто сі£ х = -і&^х + ^). Тому графік функції у = сі,£ х
можна одержати з графіка функції у = х паралельним перенесенням

уздовж осі Ох на і симетричним відображенням одержаного графі-
ка відносно осі Ох. Отримуємо графік, який називають котангенсоїдою
(рис. 141).
Приклад 1 Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції і про-
міжки знакосталості:

1)	у = 2 віп х; 2) у = віп 2х.

Коментар

Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою гео-
метричних перетворень (табл. 6) графіка функції / (х) = віп х. Отже,
графіком кожної із цих функцій буде синусоїда, одержана:

1)	у = 2 віп х = 2 / (х) розтягуванням графіка у = віп х удвічі вздовж
осі Оу;

2)	у = віп 2х = / (2х) стискуванням графіка у = віп х удвічі вздовж
осі Ох.

Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функ-
ція у = 2віп х періодична з періодом Т = 2л, а функція у = віп 2х періо-
дична з періодом Т = ф = л. Тому для кожної функції достатньо з’ясувати
на одному періоді, де значення функції додатні (графік розташований
вище осі Ох) і де від’ємні (графік розташований нижче осі Ох), а потім
одержані проміжки повторити через період.

Розв’язання

1)	► Графік функції у = 2 віп х одержуємо із графіка функції у = віп х
розтягуванням його вдвічі вздовж осі Оу (рис. 142).

Нулі функції: х = тік, к є 7.

Проміжки знакосталості:

2 віп х > 0 при х є (2лА; л + 2лЛ), * є 7;

2 віп х < 0 при х є (л + 2л/г; 2л + 2лА), к є 7.

2)	► Графік функції у = віп 2х одержуємо із графіка функції у = віп х
стискуванням його вдвічі вздовж осі Ох (рис. 143).
Рис. 142

Рис. 143

пк

Нулі функції: х = —, к є 2.

Проміжки знакосталості: віп 2х > 0 при хє(лЛ;^+ла), к е 2;

віп 2х < 0 при хє^+лЛ; л+лл), к є 2. <

Приклад 2 Розташуйте в порядку зростання числа:

віп 1,9; віп 3; віп (-1); віп (-1,5).

Коментар

Для того щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання,
з’ясуємо, які з них додатні, а які — від’ємні, а потім порівняємо між
собою окремо додатні числа і окремо від’ємні, користуючись відомими
проміжками зростання і спадання функції віп х.

Розв’язання •

Числа віп 1,9 і віп 3 — додатні (точки Рх в і Р3 знаходяться в II чвер-
ті), а числа віп (-1) і віп (-1,5) — від’ємні (Р_х і Р_15 знаходяться
в IV чверті).

Ураховуючи, що — <1,9<л, — <3<л і що функція віп х спадає на
2	2

проміжку л^, з нерівності 1,9 < 3 одержуємо віп 1,9 > віп 3.
Також --<-!< О, -я<-1,5<0. Функція віп х на проміжку -~;0
2	2	ь 2 □

зростає. Ураховуючи, що -1 > -1,5, одержуємо віп (-1) > зіп (-1,5).

Отже, у порядку зростання ці числа розташовуються так:
віп (-1,5); віп (-1); віп 3; віп 1,9. <]

Зауваження. Для порівняння заданих чисел можна також зобра-
зити точки Р19, Р3, Р р Р_15 на одиничному колі і порівняти відповідні
ординати (виконайте таке розв’язання самостійно).

Приклад 3 Побудуйте графік функції: 1) у = | віп х |; 2) у = віп | х |.

Коментар

Графіки заданих функцій можна одержати за допомогою геометрич-
них перетворень графіка функції / (х) = віп х. Згадаємо відповідні пере-
творення:

1)	у = | віп х | = | / (х) | — вище осі Ох (і на самій осі) графік у = віп х
залишається без зміни, нижче осі Ох — симетрично відображується
відносно осі Ох;

2)	у = віп | х | = / (| х |) — праворуч від осі Оу (і на самій осі) графік
у = віп х залишають без зміни і ту саму частину графіка відображу-
ють симетрично відносно осі Оу.

Розв’язання

► Спочатку побудуємо графік функції у = / (х) = віп х (рис. 144):
2) Будуємо графік функції у = зіп | х | = / (| х |) (рис. 146).

Приклад 4

Побудуй ге графік функції та вкажіть проміжки її спадан-
ня і зростання:

1) п = сс	2) у = іе х.

Коментар

Графіки заданих функцій можна одержати за допомогою геометрич-
них перетворень графіків функцій:

1)	/ (х) = соз х;

2)	<р (х) = і® х.

Тоді одержуємо графіки:

1)	у = соз(х") = /— паралельним перенесенням графіка функ-

ції / (х) уздовж осі Ох на — одиниць;

6

2)	у = х = -<р (х) — симетрією графіка функції <р (х) відносно осі
Ох.

Щоб записати проміжки спадання і зростання функцій, відмітимо,
що функція у = со8Іх- —І періодична з періодом Т = 2л, а функція

у - х періодична з періодом Т = п. Тому для кожної функції досить
з’ясувати на одному періоді, де вона спадає і де зростає, а потім одержа-
ні проміжки повторити через період.

Розв’язання

1)

Графік функції у - соз

х--

6,

одержуємо із графіка функції у = соз х

його паралельним перенесенням уздовж осі Ох на — одиниць (рис. 147).
6

Функція спадає на кожному з проміжків

| + 2лЛ;у + 2лЛ , к є 2,

і зростає на кожному з проміжків ^~+2пк;^+2пк , к є 2.
2) ► Графік функції у = х одержуємо симетричним відображенням
1 рафіка функції у = х відносно осі Ох (рис. 148).

Рис. 148

Функція спадає на кожному з проміжків +	к є 2. <

Запитання для контролю

1.	а) Побудуйте графік функції у = віп х. Користуючись графії ом, оха-
рактеризуйте властивості цієї функці.

б*) Обґрунтуйте властивості функції у - зіп х.

2.	а) Побудуйте графік функції у = соз х. Користуючись графіком, оха-
рактеризуйте властивості цієї функції.

б*) Обґрунтуйте властивості функції у = соз х.

3.	а) Побудуйте графік функції у = х. Користуючись графіком, оха-
рактеризуйте властивості цієї функції.

б*) Обґрунтуйте властивості функції у = х.

4.	а) Побудуйте графік функції у = сі£ х. Користуючись графіком, оха-
рактеризуйте властивості цієї функції.

б*) Обґрунтуйте властивості функції у = СІ£ х.
Вправи

1.	Користуючись властивостями функції у = віп х, порівняйте числа:

1°) зіп 100° і зіп 130°; 2) зіп 1° і зіп 1;	3°) зіп і зіп

5	5

2.	Користуючись властивостями функції у = соє х, порівняйте числа:

1°) соз 10° і соз 40°; 2) сов (-2) і сов (-3); 3°) сов і сов

3.	Користуючись властивостями функції у = х, порівняйте числа:

1°) іє 15° і ІЄ 140°;	2°) іє д і ІЄ 3)	(~1»2л) і ІЄ (“0,1л).

4. Користуючись властивостями функції у = сіє х, порівняйте числа:

1) сіє 3° і сіє 5°;	2) сіє Л; і сіє 3) сіє (І) і сіє (1>2)-

5.

6.

7.

8.

9.

Розташуйте числа в порядку їх зростання:

1) віп 3,3, віп 3,9, віп 1,2;	2) сов 0,3, сов 1,9, сов 1,2;

3) іє 0,7, іє (-1.3), іє 1,5;	4) сіє 0,5, сіє 2,9, сіє 1,1.

Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції і проміжки знако-

сталості (6-9).

1) р = 8Іп(х-^)
5°) у = 3 віп х;

5°) у = 2 сов х;

і) г/=іє(х~);

4) у = іє | х |;

1) р = сіє(х+^);

2°) у = віп —;	3) у = віп (-х);	4°) у = -віп х;

З

6) У = -| зіп х |;	7*)	у = віп х + |	віп х |.

2°) у - сов Зх;	3) у = сов (-х);	4°) у = -сов	х;

6) у = | сов х |;	7*) у = сов х - |	сов х |.

2) у = іє 2х;	3) у = іє (-х);

5) у = | ІЄ х |.

2) у = сіє (~х); 3) у = -сіє х; 4) у = 3 сіє х.

10.

Побудуйте графік функції та вкажіть проміжки зростання і спадан-
ня функції (10—13).

1°) у = віп Зх;	2°) у = 3 віп х;

3°) у = віп х + 1;	4 ) р = віп^2х+^.

11.	1°) р = сов —;

3)	у = сов | х |;

12.	1) у = іє 4х; 2) у = іє х + 3;

13.	1) у = сіє|;

3)	у = | сіє х |;

2°) у - сов х - 1;

4*) у=3 сов^2х-||.

3) у = -2 іє х; 4') р = іє х 4-1 іє х |.

2) у = -2сіє х;

4*) у = сіє х + сіє І х |.
§20

СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ
ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТУ

Таблиця 33

Основна тригонометрична
тотожність

зіп2 а + сов2 а = 1

віп а

І£а =------

сов а

сова
сієа = ——
віп а

ІЄ «• сіє а = 1

1 + *£2а = -Л-
сов а

1 + сіє2а =—
віп а

 Пояснення й обґручту~анн я

• На рисунку в таблиці 33 зображене одиничне коло, тобто коло раді-
уса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х2 + у2 = 1.

Нехай при повороті на кут а точка Ро (1; 0) одиничного кола пе-
реходить у точку Ра (х; у) (тобто при повороті на кут а радіус ОР0 пе-
реходить у радіус ОРа). Нагадаємо, що синусом а називають ординату
точки Ра (х; у) одиничного кола, тобто зіп а = у, а косинусом а — абсци-
су цієї точки, тобто соз о = х. Координати точки Ра задовольняють рів-
нянню кола, тоді у2 + х2 = 1, отже,

віп2 а + сов2 а = 1. О

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотож
ністю.

Нагадаємо також, що:

, віп а ,	х сов а , .

ІЄ а =--- (де соз а * 0); сіє « =-(зіп а * 0).

сов а	віп а

—	. ,	. віп а ссв а ,	-

Тоді ієа-сієа =---------= 1, тобто

соз а віп а

ІЄ а • сіє а = 1 (зіп а * 0 і соз а * 0).

За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної то-
тожності одержуємо:

і .	, віп !а сов2 а + віп2 а 1

1 + іє а = 1 + —5—=---—- =—V-. той-о

соч а сов а соз а
1 + І£2а = —(соз а ф 0).

іі сов а

л •	_	і .	ч сов2а віп2а + сов2а	1 е

Ана ісг'чно отримуємо: 1 + сіє а -1 ч-= —--$----= —тобто

віп2 а зіп а віп а

1+сіє2а =—(зіп а * 0).
віп а

 Приклади розв'язання за* дань

Приклад 1 Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та
інтервал, у якому знаходиться а, знайдіть значення ін-
ших трьох тригонометричних функцій:

1) зіпа = -, 90° < а < 180°;	2) ієа = і, л<а<—.

5	3	2

Розв’язання

1)	► 3 рівності зіп2 а + соз2 а = 1
одержуємо:	соз2 а = 1 — зіп2 а.

Звідси соз2а = 1-^) =-^. ®ск^ль"
ки 90° < а < 180°, то соз а < 0,

/9 З

а отже, гов <х = -	. = --.

V 25	5

4

Тоді =	=

со» а	~ З

5

сіє а =

сов а
віп а

2)	3 рівності ІЄ а • сіє а = 1 отри-

муємо сі£а = —і- = 3. Підстав-
на

ляємо в рівність 1+іє2ос =—
сов2 а

значення а. і одержуймо

1	+ 7 =—V-- Звідси соз2а = —.

9 сов2а	10

Оскілі ки я < а <- „то соз а < 0,
2

/9 З

тоді соза = -л—=—.

Уіо

Коментар

1)	Рівність зіп2 а + соз2 а = 1 пов’я-
зує зіп а та сов а і дозволяє ви-
разити одну з цих функцій через
іншу. Наприклад, соз2 а =
=1 - зіп2а.Тоді соза=±71 -ьіп2а.
Ураховуючи, у якій чверті зна-
ходиться а, ми можемо визначи-
ти знак, який потрібно взяти
в правій частині формули (це
знак косинуса в II чверті).

Знаючи зіп а і соз а, знаходимо
. віп а .	, сов а „

ІЄ а =	і сг^а =----. Зазна-

соз а	віп а

чимо, що після знаходження
1% а значення сіє а можна та-
кож знайти із співвідношення
а • сіє а = 1.

2)	Рівність іє а ‘ сіє а = 1 пов’язує
ТЄ а і сіє а і дозволяє виразити
одну з цих функцій через іншу
як обернену величину.

Рівність 1+іє2а-- 4— пов’язує
сов а

ІЄ а та соз а і дозволяє виразити
одну з цих функцій через іншу.
зіп а = іе а • сов а =

Наприклад, соз2а = —Ц-. Тоді
1 + іе а

соза = ± І———Знаючи, у якій

чверті знаходиться а, ми можем',
визначити знак, який потрібно
взяти в правій частині формули
(це знак косинуса в III чверті),
Щоб знайти зіп а, можна ско-
ристатися співвідношенням

.	зіп а

і£а • соза = —— • соз а = зіп а.

соз а

Приклад 2 Спростіть вираз

Розв’язання
2	2

1-соз а зіп а
к ---1--=---= СО8 а- <

і® а зіп а
соз2 а

1 - сов4 а

Коментар

Для того щоб перетворити чи
сельник даного виразу, з основної
тригонометричної тотожності зіп2 а -і
+ соз2 а = 1 знаходимо: 1 — соз2 а =
= зіп2 а. Потім використовуємо озна

. злі а
чення тангенса: а — —— і спре
сов а

щуємо одержаний дріб.

Приклад 3 Спростіть вираз зіп4 а - соз4 а + соз2 а.

Коментар

Для перетворення тригонометричних виразів поряд із тригономе-
тричними формулами використовують також алгебраїчні формули і, зо-
крема, формули скороченого множення. Так, вираз зіп4 а — сов4 а можна
розглядати як різницю квадратів: (зіп2 а)2 — (соз2 а)2. Тоді його можна
розкласти на множники (як добуток суми і різниці зіп2 а та соз2 а),
а після цього вже використати основну тригонометричну тотожність:
зіп2 а + соз2 а = 1.

Розв’язання

► чіп4 а — соз4 а + соз2 а = (зіп2 а + соз2 а)(зіп2 а - соз“ а) + соз2 а =
= 1 • (зіп2 а — соз2 а) + соз2 а = зіп2 а — соз2 а + соз2 а = зіп2 а. .
Приклад 4* Спростіть вираз

І—— при -<а<л.
у ІЄ а + сіє а	2

Коментар

Спочатку використаємо означення тангенса і котангенса: а=

віп а

соз а

,	_ сов а

сь£ а - —~ , а після перетворення знаменника дробу — основну триго-
нометричну тотожність: віп2 а + сов2 а = 1. Далі спрощуємо одержаний
дріб. Потім ураховуємо, що у[а? = |а|. Щоб розкрити знак модуля, зна-
ходимо знак косинуса в заданому проміжку і враховуємо, що при а < 0
значення | а [ = -а.

Розв’язання

	соє а	соє а	соб а
/ сіє а _	зіп а	_	бій а	__	віп а
ІЄ а + сіє а. і	зіп а соє а 4  4-	1	2	2	і  8ІП (Х + С08 а \	1

, сов а віп а , сов а • віп а ї сов а • віп а

= усов2а=|соза| = -сова, оскільки в II чверті І—<'а<л) сов і

(віп а + сов а)2 -1 _ „

Приклад 5 Доведіть тотожність 7 ї
(X СОЗ (X

Коментар

Доведемо, що ліва частина рівності дорівнює правій. Для цього

.	.	віп а

в знаменнику використаємо формулу і£а =-----, а в чисельнику підне-

соз а

семо вираз у дужках до квадрата і застосуємо формулу віп2 а + соз2 а = 1.
Нагадаємо, що тотожністю називається рівність, правильна при всіх
допустимих значеннях букв, які входять до неї. Тому задана рівність
є тотожністю тільки за умови а * 0 і сов а * 0.

Розв’язання

(віп а + сов а)2 -1

1 2
ієасоз а

віп2а+со а 4-2втасоза-1 _1 + 2віпасоза-1 _2втасоза _о
— — .

віп а соз а

зіп а соз а

8ІП(Х 2
----- • соз а

соб а

2 = 2. Отже, задана рівність є тотожністю.

Зауваження. При доведенні тотожностей найчастіше використову-
ють такі способи:

1)	за допомогою тотожних перетворень доводять, що одна частина рів-
ності дорівнює іншій;

2)	розглядають різницю лівої і правої частин тотожності і доводять,
що ця рмниця дорівнює нулю (цей спосіб використовують у тих ви-
падках, коли планується перетворювати обидві частини тотожності).
 Запитання гля контролю

1.	Запишіть співвідношення між тригонометричними функціями одно-
го аргументу.

2*. Доведіть співвідношення між тригонометричними функціями одно-
го аргументу.

Вправи

1.

Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:

1°) зіп а = і, соз ос = і
З з

3°) зіп а = 0,7, соз а = 0,3;

2°) зіпа = -

5

4°) ієа=|,
О

сова

сіє ос =

.4
' 5

з’

5°) ієа = ^. сієа = ^

6) ієос = 2+-Тз, сієос = 2--Тз?

2.

Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал,
у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригономе-
тричних функцій:

3.

1°) зіпа = -—, —<а
’	13	2

пх х	3	Зл

3)	ієос = -, л<а<—;

’ ь	2	2

Спростіть вираз:

1°) 1- 8Іп2 а - соз2 а;

дО) сій2 а віп2 а.

1	- віп2 а

2°) соз а = -0,8, - < а < я;
/ 2

4)	сіє сс = -0,2, < ос < я.

2°) (1- сов а) • (1 + соз а);

4°) зіп2 а - іє а сіє а;

4.

5)	зіп4 а +2 зіп2 а соз2 а + соз4 а;

6)

ІВ а сій а

1+ій2а 1±сі£2а

7)

сов а • ід а

віп2 а

-сіє ос соз ос;

8) І-А-+сієа
' І зіп а

—-----СІЄ ос І;

віп а	)

.4	4	,

П*\ 81П а + СО8 а~1.
** / . 6	6	- ’

зш а + соз а-1

Доведіть тотожність:
1°) —2—1 = іє2сс;
соз а

10*)

11+віп а
1 - віп а

2°

3°) (зіпа + соза)2 + (зіпа - соза)2 = 2; 4)

1-і£2а

2	2

соз а —зіп а

6)

11-вша	зл

----- при жа<—.

1 + віпа	2

--------1 = сіє2 ос;

віп а

сік а	я

-----------= соз а;

сій а + і£ а

сов а 1 + віп а 2

---------1--------=-------

1 + віп а сов а	сов а

1

7) сіє2 ос - соз2 а = сіє2 ос соз2 а;

8) (1+ієос)2+(1-ієос)2=-

соз а
5*.

9*)

з . з
соз а - зіп а

1 + віп а соз <ч

= сова-8іп а:

10*)

4	4

1-8іп ос — сов а

4
сов а

= 2іЄ2а.

1)	Відомо, що 8Іпа + соза=р Знайдіть зіп а*соз а.

2)	Відомо, що а + сІ£а. = 2. Знайдіть: а)	а. + сі&2а;б)І£8а + сі£3а.

§ 21	ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА ЇХ НАСЛІДКИ

21.1.	Формули додавання

Таблиця 34

1. Косинус різниці і суми		
	сов (а — Р) = соя а сов р + віп а віп р сов (а + Р) = сов а сов В — віп а віп р	
2. Синус суми і різниці		
	віп (а + Р) = віп а сов Р + сов а віп р зіп (а - Р) = віп а сов Р — соя а віп Р	

3. Тангенс суми і різниці

М;<а<-Р)=  1 - і? а іе Р			

 Пояснення й обґрунтування

1.	Косинус різниці і суми

Щоб одержати формулу для сов (а - Р), спочатку розглянемо випа-
док, коли а і р знаходяться в проміжку [0; я] і а > р. На одиничному
колі позначимо точки Ра і Р3 та зобразимо вектори ОРа і ОРр
(рис. 149). Ці вектори мають ті самі координати, що й точки Ри і Рр,
тобто:

ОРа (сов щ віп а), ОРр (сов р; зіп р).

Довжини (модулі) цих векторів дорівнюють одиниці: | ОРа | = 1,
| ОРр | = 1, а кут між ними дорівнює а - Р (тобто /. РОР^ = а — Р).
Знайдемо скалярний добуток векторів ОРї і ОРр двома способами:
1) як суму добутків однойменних координат:

ОРа ОРр=со8(Х - созР+зіпа • зіпр;
2) як добуток довжин (модулів) векторів на косинус кута між ними:
ОРа • ОА=|б£| • ЩІ * со8ХРаОРь = 1 • 1 • соя(а р)-соз(а- р).

Отже,

соз (а — Р) = соя а соз р + зіп а зіп р.	(1)

Одержану формулу називають формулою косинуса різниці. Словесно
її можна сформулювати так:

І косинус різниці двох кутів (чисел) дорівнює добутку косинуса
першого кута (числа) на косинус другого плюс добуток сину-
са першого на синус другого.

Щоб обґрунтувати цю формулу в загальному випадку, нагадаємо,
що за означенням кут між векторами (X. РаОРр) може бути тільки
в межах від 0 до л, тому при а > Р кут між векторами ОРа і ОРр
може дорівнювати а - р (рис. 149), або може дорівнювати 2л - (а - Р)
(рис. 150), або може відрізнятися від цих значень на ціле число
обертів (тобто на 2лЛ, де й є 7).

Ураховуючи періодичність (з періодом 2л) та парність функції ко-
синус, одержуємо, що в будь-якому випадку соз /. РаОРр = соз (а - Р),
отже, наведене обґрунтування залишається правильним для будь-яких
значень а і р.

За допомогою формули (1) легко вивести формулу косинуса суми:
соз (а + Р) = соз (а - (-р)) = соз а соя (-р) + яіп а зіп (-р) =

= соя а соз р - зіп а зіп р.

Отже,
соз (а + Р) = соя а соз р — зіп а яіп р.	(2)

І Косинус суми двох кутів (чисел) дорівнює добутку косинуса
першого кута (числа) на косинус дпугого мінус добуток сину
са першого на синус другого. О
2.	Синус суми і різниці

Виведемо тепер формули синуса суми і синуса різниці.

Спочатку за формулою (1) одержимо два корисні співвідношення,
а саме:

сов _ ф) = СО8 со8 Ф+ф = 0 • сов ф+1 •віп ф = віп ф.

Запишемо одержану формулу справа наліво:

8ІПф = СОВ^-ф).	(3)

Якщо підставити у формулу (3) ф =—-а, маємо

2
віп^-а^ = сова.	(4)

Використовуючи формули (3), (1) і (4), одержуємо:

8Іп(а+Р) = со8^-(а+Р)) = сов^-а)-р) =

= сов^ - а^сов 0 +	- а)віп 0 = віп а сов 0+сов а віп 0. Отже,

віп (а + 0) = віп а сов 0 + сов а віп 0	(5)

І Синус суми двох кутів (чисел) дорівнює добутку синуса пер-
шого кута (числа) на косинус другого плюс добуток косинуса
першого на синус другого.

Для синуса різниці маємо:

віп (а - 0) = віп (а 4- (-0)) = віп а сов (-0) + сов а віп (-0) =
= віп а соз 0 — соз а віп 0. Отже,
віп (а - 0) = віп а сов 0 - сов а віп 0.

І Синус різниці двох кутів дорівнює добутку синуса першого
кута (числа) на косинус другого мінус добуток косинуса пер-
шого на синус другого. О

3.	Тангенс суми і різниці

За допомогою формул додавання для синуса (5) і косинуса (2) легко
одержати формули додавання для тангенса чи котангенса. Напри-
клад,

, , зіп (а + В) зіп а соз В’+ соз а зіп В
ІЄ (<* + 0) = — - ~ - ---------------------•

соз (а + р) соз а соз р - зіп а зіп р

Поділимо чисельник і знаменник останнього дробу на добуток сов а
сов 0 (звичайно, за умови, що сов а * 0 і сов 0 * 0 ) та одержимо:
зіп а сов р соз а вм р зіп с _ зіп р
соз а соз Р соз а соз р _ соз а соз р _ <т + р

<-оя а соз Р	зіп а зіп Р	зіп а	зіп р	1 - Ід а іе Р	’

соз а соє р	соз а сов Р	соз а	соз р
ІЄ(а + р) =

<® а + і® Р
1 - Іе а Іє Р

Для .тангенса різниці маємо:

Отже.

1 - і® а і® (-Р) 1 + і® а Іє Р

1 + і£аі®р

О

МІ Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Обчисліть: 1) зіп 15°; 2) соз 15°; 3) іє 15°.

Розв’язання

1)	► зіп 15° = зіп (45° - 30°) =
= зіп 45°соз 30° - соз 45° зіп 30° =

-УІ2.а/з . 1 _ а/ІЇ-а/2
2	2	2	2	4

2)	► соз 15° = соз (45° - 30°) =

= соз 45° соз 30° + зіп 45° зіп 30° =

_у/ї а/з | а^ , 1_а/6 + а^ .

2	2	2	2	4

3)	► іє 15° = іє (45° - 30°) =

і	г

_ І£45°-і®30° = 1 з = З-а/З =

1 + 1® 45° <£30°	у/з 3 + а/з

1+1 V

(3~^)	_ 12-6а/з

(з + а/з)(з-а/з)	6	' <

Коментар

Подамо 15° як різницю:
15° = 45° - 30°,
а значення тригонометричних функ-
цій кутів 45° і 30° ми знаємо. Тому,
записавши синус 15° як синус різни-
ці, одержимо значення зіп 15°. Ана-
логічно знайдемо соз 15° і іє 15°.

Зауважимо, що для знаходжен-
ня іє 15° можна було б використати
, віп а
також формулу їЄа-----•

г •’	сова

У завданні 3 в одержаному ви-
разі 3~ зручно позбутися ірраці-
З+уіЗ

ональності в знаменнику дробу, що
значно спрощує відповідь.

сов (а + Р) + віп а віп р

Приклад 2 Спростіть вираз —;—

г	г	сов (а - Р) - віп а віп р

Коментар

У чисельнику і знаменнику дробу використаємо формули косинуса
суми і косинуса різниці та зведемо подібні члени.

Розв’язання

сов (а + Р) + віп а віп Р _ соз а сов р - віп а віп р +віп а віп р _ сов а сов Р
сов (а-Р)-віп а віп р созасовр + віпавіпр-зіпазіпр сов а сов р


Приклад 3 Знайдіть значення виразу сой 37° соб 23° - біп 37° зіп 23°.

Розв’язання	Коментар

соз 37° соб 23° - біп 37° соб 23° = Використаємо формулу косину-
са суми справа наліво:

= СОБ (37°+23°) = СОБ 60° =	СОБ а соб 0 біп а біп 0 = соз (а + 0).

Приклад 4 Доведіть тотожність;

1)	Біпа + соБа = 5/2Біп(а+^;

2)	зіп а - соз а = -72 зіп (а-^.

Коментар

Для того щоб обґрунтувати ці тотожності, доведемо, що їхні праві
частини дорівнюють лівим, використовуючи формули синуса суми і си-
нуса різниці:

вігі (а + 0) = біп а соз 0 ± соб а біп 0.

Розв’язання

1)	► -72 зіп(а+— ) = -Т2 (зіп а сов + со8а8іп- --Т^Гвша*—+соза-— | =
\	4/	\	4	4/ к 2	2 7

-віпа+соб ос; СІ

2)	-'2біг а-- = >/2|8іпасо8--со8а8іп-
\	4/ А	4	4,

= зіп а-соб 0. СІ

.НІ Запитання для контролю

1. Запишіть формули додавання: а) косинус суми і косинус різниці;
б) синус суми і синус різниці; в) тангенс суми і тангенс різниці.

2*. Доведіть формули додавання: а) косинус суми і косинус різниці;

б) синус суми і синус різниці, в) тангенс суми і тангенс різниці.

М Вправи

1.	Обчисліть:

1)	зіп	13° соб	17° + соб 13° зіп 17°;	2)	зіп	16°	соз	29° +	зіп	29° соз	16°;

3)	зіп	78° соб	18° - зіп 18° соз 78°;	4)	зіп	63°	соз	33° -	зіп	33° соз	63°;

5)	соз	66° соб	6° + зіп 66° біп 6°;	6)	соб	71°	соз	26° +	зіп	71° зіп	26°;

7)	соз	20° соз	25° - зіп 20° зіп 25°;	8)	соз	18°	соз	12° -	зіп	18° біп	12°;

д.	10° +1^35° .	1() і#73°-і# 13й . и 1 + і£б7°І£7°

> 1-іКІ0оі<35о’	’ 1+і£73°і£13°’	' Іе67°-іе7° '
2.

Спростіть:

1°) віп 5а сов За — сов 5а віп За;

2)	сов 4а сов 2а + віп 4а віп 2а;

3)	віп (а - Р) сов а + сов (а - Р) віп Р;

4)	соз а соз (а + р) + віп а віп (а + Р);

сон 7а сон 4а + віп 7а віп 4а

віп а сон 2а + сов а віп 2а

віп 8а сон 2а сов 8а віп 2а #
сов 2а сов 4а - віп 2а віп 4а

7О) іе4а + і^ 3г. ,
1 - 4а і® За

віп (а + р) + ніп (а Р)#
віп (а + р) - віп (а - Р) ’

84 *87а-іе2а .

1 + і® 7а 2а ’

0) віп (а+ Р)-2 віп а сов р
сов (а + Р) - 2 сов а сов р

3.	За допомогою формул додавання обчисліть:

1)	віп 75°;	2)	сов 75°;	3)	іє 75°;

4)	віп 105°;	5)	сов	105°;	6)	іє	105°.

4.	Доведіть тотожність:

1)	віп (а + р) +	віп	(а -	Р) = 2 віп а сов	Р;

2)	сов (а - Р) -	сов	(а +	Р) = 2 віп а віп	Р;

віп(а + Р) ,	. о

3)	----'-іеа+іеР;

сов а соз р

.. віп (а-В)	, п ,

4)	——	сіє 3 -сіє а.

зіп а зіп р

5)	зіп (30°-а)-соз(60е-а) = ->/з зіпа;

6)	віп (30° - а) + віп (30° + а) = сов а;

7*) іє^-а)+ієа=іе^у-а)ієа-1;

8*) іє(а+^)-ієа = 1+іє(а+^)ієа;

УЗ віп а + 2 сон (60° + а) ,
9)---------------— - — = сієа;

2 віп (60° + а) - >/з сов а

10і)

>/2 сов а-2 сов (45 +а) ,
--------------у — = ІЄ«-

2 віп (45° + а)- >/2 віп а
21.2. Формули подвійного аргументу

Таблиця 35

віп 2а = 2 віп а сов а		
сов 2а = сов2 а — віп2 а = 1 — 2 віп2 а = 2 сов2 а — 1		
	48 20 = -^  1-іеа	

і Пояснення й < ібґрунтування

Щоб одержати формули подвійного аргументу, достатньо у форму-
лах додавання

віп (а + Р) = віп а сов р + сов а віп р,
сов (а + Р) = сов а сов Р - віп а віп р,

1-і8а ікР

взяти р = а. Одержимо тотожності:

віп 2а = віп а сов а + сов а віп а = 2 віп а сов а, тобто

віп 2а = 2 віп а сов а.

сов 2а = сов а сов а - віп а зіп а = сов2 а - віп2 а, тобто

сов 2а = сов2 а — віп2 а.

Іе2а- +	= 2\а

1-ії а

тобто

і£2а =

2і£а

Із формули сов 2а = сов2 а — віп2 а, користуючись основною тригоно-
метричною тотожністю сов2 а + віп2 а = 1, можна одержати формули, які
дозволяють виразити сов 2а тільки через віп а або тільки через сов а.

Дійсно, з основної тригонометричної тотожності одержуємо

віп2 а = 1 - сов2 а, сов2 а = 1 - віп2 а. Тоді

сов 2а = сов2 а - віп2 а = сов2 а - (1- сов2 а) = 2 сов2 а - 1, тобто

сов 2а = 2 сов2 а - 1.	(1)

сов 2а = сов2 а - віп2 а = 1 - віп2 а - віп2 а = 1 - 2 віп2 а, тобто

сов 2а = 1 - 2 віп2 а. О	(2)

Із формул (1) і (2) можна одержати наслідки, які корисно запам’ятати:

віп2а =

1 - сон 2а

сов2а =

1 + соз 2а

2
Ці формули називають формулами зниження степеня.

Якщо в останніх формулах позначити 2а = х, тобто а = то можна
записати такі формули:

1-созх = 2 зіп2—,	1+СО8Х = 2СО82—.	(3)

2	2

Зазначимо, що формули синуса і косинуса подвійного аргументу спра-
ведливі для будь-яких значень аргументу, тоді як формула тангенса подвій-
ного аргументу справедлива тільки для тих значень аргументу а, для яких
означено а і 2а, тобто тільки при ау^+лй і 2а*^+лА, де к є X.

Зазначимо також, що, як завжди, одержані формули можна вико-
ристовувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, замість
виразу 2 віп За сов За можна записати віп (2«За) = віп 6а, а замість ви-
разу сов2 1,5а - віп2 1,5а записати сов За.

ПриіжЛади розв' язання завда <ь

Обчисліть: 1) сов2- -віп2-; 2) віп 15°сов 15°.
8	8

Прикл < д 1

Розв’язання

1)	► СОВ2 —— ВІП2 —= 008^2  -) =
8	8	\	8/

л л/г

= СО8- = . 1
4	2

2)	► віп 15°сов 15°=--2віп 15' сов 15°=
2

= |віп(2 • 15°) = івіп 30°=|. <

Коментар

У першому завданні достатньо
«впізнати» праву частину формули
косинуса подвійного аргументу і за-
писати результат. У другому зав-
данні слід звернути увагу на те, що
заданий вираз відрізняється від пра-
вої частини формули синуса подвій-
ного аргументу тільки відсутністю
двійки. Тому, якщо цей вираз по-
множити і поділити на 2, то він не
зміниться, але тепер за формулою
одержуємо:

2віп 15° сов 15° = віп (2 -15°) = віп (30°)= І

Приклад 2 Доведіть тотожність ~	2а.

Коментар

Доведемо, що ліва частина тотожності дорівнює правій. Зазначимо,
що в чисельнику дробу знаходиться вираз, який можна безпосередньо
перетворити зя формулою (3). Але застосування цієї формули зменшує
аргумент удвічі: 1 + сов 4а = 2 сов2 2а. Бажано і в знаменнику дробу
перейди до того самого аргументу 2а, який з’явився в чисельнику. Для
цього розглянемо віп 4а як синус подвійного аргументу (відносно аргу-
менту 2а): віп 4а = віп (2 • 2а) = 2 віп 2а сов 2а.

Розв’язання

1 + сов 4а	2 сов2 2а сов 2а . „

-------=----------=-----= сіє 2а. . і
віп 4а 2 віп 2а сов 2а віп 2а

Приклад 3*. Скоротіть дріб -----.

сов 2а

Коментар

Перетворюючи тригонометричні вирази, слід пам’ятати не тіль-
ки тригонометричні, але й алгебраїчні формули. Зокрема, якщо вико-
ристати в знаменнику дробу формулу косинуса подвійного аргументу:
сов 2а = сов2 а — віп2 а, одержуємо вираз, який є різницею квадратів
сов а та віп а. Його можна розкласти на множники як добуток суми
та різниці цих виразів. З огляду на вираз, одержаний у знаменнику,
у чисельнику розглянемо вираз віп 2а = 2 віп а сов а як подвоєний до-
буток віп а на сов а. Тоді для отримання квадрата суми цих виразів нам
потрібна ще сума віп2 а + сов2 а, але за основною тригонометричною
тотожністю цю суму дає одиниця, яка стоїть у чисельнику.

Розв’язання

1 + віп 2а _ віл’' а г сов2 а + 2 віп а сов а
сов 2а	сов2 а - віп2 а

. .	.2

(віп а+сов а) _ віп а+сов а

(сов а + віп а) (сов а - віп а)	сов а - віп а

з

Приклад 4 Знаючи, що сова-- і що ає

обчисліть:

1) віп 2а;	2) сов 2а;	3) іє 2а;	4) сіє 2а.

Розв’язання

віп2а = 1-сов2а = 1-—, тобто
25

віп2а = —. Отже, віпа = - або

25	5

4

віп а =—.

5

Ураховуючи, що ає

4
одержуємо віпа =—. Тоці:

5

Коментар

Щоб знайти значення віп 2а за
І формулою синуса подвійного аргу-
менту вїп 2а = 2 віп а сов а, потріб-
но, крім заданого значення сов а,
мати ще й значення віп а, яке лег-
ко знайти, використовуючи основну
 тригонометричну тотожність:

віп2 а = 1 - сов2 а.
1)

зіп 2а = 2 зіп а соз а =

.4

25

2)

соз 2а = соз2 а - зіп2 а -

3)

іє2а =

віп 2а

сов 2а

25

24

25 _ 24

7 " 7

25

25	25

;<і

4)

. „ сов 2а
сіє 2а =---------

віп 2а

Нагадаємо, що для знаходжеі.
ня зіп а слід також урахувати знак
синуса в заданому проміжку (за
умовою а знаходиться в IV чверті,
де синус від’ємний).

Зазначимо, що соз 2а можна та-
кож знайти за формулою
соз 2а = 2 соз2 а - 1,
не обчислюючи зіп а, а сіє 2а — за
формулою сіє 2а = —-—, підставив-
ік2а
ши знайдене значення іє 2а.

= 2 •

ЧИ Запит зння для кс нтролю

II. Запишіть формули синуса, косинуса і тангенса подвійного аргументу.

2*. Доведіть формули синуса, косинуса і тангенса подвійного аргументу.

Вправи

Обчисліть:

1) соз2 15° - зіп2 15°;

2)

2	зіп —соз—;

8	8

3)	(соз 15° + зіп 15°)2;

4)	(соз 75° - зіп 75°)2;

5)

21^15°

1- і£215°’

6) - Я~8 -

2°.

3.

Доведіть тотожність (2—3).

1) соз2 — -зіп2 — = созх;
2	2

3)	(зіп х + соз х)2 = 1 + зіп 2х;

,. віп 4а	„

1)		= соз а соз 2а;

4 віп а

2)	зіп 5х соз 5х - -зіп ІОх;

2

4)	(зіп х - соз х)2 = 1 - зіп 2х.

віп 4а . п

2) ------= зіп а соз 2а;

4 сов а

2

4.

3)	(сі® а  Чї а) він 2а = 2 соз 2а;

, о сіє2 а -1
сіє2а = —------.

07	2 сі£ а

Спростіть вираз:

, о. віп 2а

1°)------зіп а;

сов а

віп 2а-2 він а

а)----------—;

4)	ієа+сієа =

2°) соз2 а - соз 2а;

сов а -1

... сов2а-віп2а

4	)------------

сов 4а

віп 2а
5.	Знаючи, що	зіпа = ^ і що ає^;л), обчисліть:
	1) зіп 2а;	2) соз 2а;	3) іє 2а;	4) сіє 2а.
6.	Знаючи, що	5 .	1 Злі  соза = -— і що ає^л;	обчисліть:
	1) зіп 2а;	2) соз 2а;	3) іє 2а;	4) сіє 2а.
7.	Знаючи, що	ієа = | і що ає^л;^), обчисліть:
	1) зіп 2а;	2) соз 2а;	3) іє 2а;	4) сіє 2а.
8.	Знаючи, що	сієа = ~ і що ає^;2л), обчисліть:
	1) зіп 2а;	2) соз 2а;	3) іє 2а;	4) сіє 2а.

„	зіп а 4- 3 сов а „

9 . Знайдіть соз 2а, якщо ----------=- 3.

віп а - сов а

10*. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу соз 2а - | соз а |.

11.	Побудуйте графік функції:

1)	у = зіп х соз х; 2) у = зіп* 4 х - соз4 х; 3*) у = іє % зіп 2х.
(X______________________________1

12.	Доведіть формулу сіє 2а =---—.

2сІ#а

21.3. Формули зведення

Таблиця 36

Формулами зведення називають формули, за допомогою яких
тригонометричні функції від аргументів виду кп ± а і (2А+1)-±а (к є 2)
зводять до тригонометричних функцій від аргументу а.

Орієнтир

І Якщо де ч їла а додається
число /гл, к є £ (тобто число,
яке зображується на гори-
зонтальному д аметр± оди-
ничного кола), то назва
заданої функції не змінює, ь-

ч. а якщо додається число
<21г + 1'^ (тобто число, яке
зображується на вертикаль-
ному діаметрі одиничного
кола), то назва заданої функ-
ції змінюється па відповідну

Приклади

1. Спростіть за формулами зведення
(Є (Зл - а).

► (є (Зл - а) = -іє а.<

Коментар. Назва заданої функції не
змінюється, оскільки Зл зображується на
Продовження табл. 36

(синус на косинус, косинус
на синус, тангенс на котан-
генс і г-і. тангенс на тангенс).

горизонтальному діаметрі (зліва) одинич-
ного кола (рис. 1). Якщо а — гострий кут,
то кут (Зл — а) знаходиться в II чверті, де
тангенс від’ємний, тому в правій частині
формули взято знак «-».

2. Знак одержаного виразу ви-
значається знаком початко-
вого виразу, якщо умовно
вважати кут а гострим.

Коментар. Назва заданої функції
змінюється, оскільки — зображується
2

на вертикальному діаметрі (внизу) оди-
ничного кола (рис. 2). Якщо а — го-
„	ҐЗл , і

стрии кут, то кут І—на І знаходиться

в IV чверті, де косинус додатний, тому
в правій частині формули взято знак
«+».

і Пояснення й обґрунтування

Формули додавання дозволяють обґрунтувати формули зведення,
за якими тригонометричні функції від аргументів виду кл ± а
і (2к + 1) • ^ + а (к є 2) зводять до тригонометричних функцій від
аргументу а.

Розглянемо декілька прикладів.

віп (л - а) = віп л сов а - сов л віп а = 0 • сов а - (-1) • віп а = віп а;
сов (л + а) = сов л сов а - віп л віп а = (-1) • сов а - 0 • віп а = -сов а;

.	х соя (6л - а) соз 6л соз а + зіп 6л віп а соз а

сіє (6л - а) = —---- =------------------=------= -сіє а

віп(6л-а) зіп 6л соз а - сов 6л зіп а -віп а
(звичайно, в останньому випадку той самий результат можна одержа-
ти, використовуючи періодичність і непарність функції котангенса);
як було показано на с. 280, віп^—а) = сова;

сові—+а| = сов —сова—віп —віпа = 0 • сова-(-І) • віпа = віпа;

\ 2 І 2	2

. Зл	Зл .

віп — сов а + сов — віп а
2 2

Зл	Зл .

сов — соз а - віп — віп а
2	2

-сов а
віп а

- -сіє а.

Для аналізу одержаних результатів складемо таку таблицю.

Таблиця 37

Вид аргументу	Одержана формула	Зміна назви заданої функції	Координатна чверть (якщо умовно вважати кут а гострим)	Знак зада- ної функції у відповід- ній чверті
кп ± а	віп (я — а) = віп а	немає	II	+
	сов (я + а) = —сов а	немає	III	—
(к Є	сіє (6я - а) = -сіє а	немає	IV	—
(2/?+1)|±а	зіп --а =сова \2	/	є	І	+
(к є 2)	/7л	)  сов—1-а = віп а  \ 2	/	є	IV	+
	ІЄ^~ + а) = -сіє «	є	IV	—

Аналогічно можна обґрунтувати, що в усіх випадках тригонометрич-

ні функції від аргументів виду кп + а і (2/г + 1)^±а (к є 2) можна зводити
до тригонометричних функцій від аргументу а за таким алгоритмом:

І якщо до числа а додається число ка, к є 2 (тобто число, яке
зображується на горизонтальному діаметрі одиничного
кола), то назва заданої функції не змінюється, а якщо дода-
ється число (2к +1)^ (тобто число, яке зображується на вер-
тикальному діаметрі одиничного кола), то назва заданої
функції змінюється на відповідну (синус на косинус, косинус
на синус, тангенс на котангенс і котангенс на тангенс). Знак
одержаного виразу визначається знаком початкового виразу,
якщо умовно вважати кут а гострим. О
У таблиці 38 наведено основні формули зведення. Усі інші випадки
може бути зведено до них за допомогою використання періодичності від-
повідних тригонометричних функцій.

Таблиця 38							
X	я + а	я — а	2я — а	-+а 2	--а 2	—+а 2	Зл 	а  2
зіп X	-зіп а	зіп а	—зіп а	соз а	соз а	-соз а	—соз а
СОЗ X	—соз а	—соз а	соз а	-зіп а	зіп а	зіп а	-зіп а
іє X	ІЄ а	-ІЄ «	-ІЄ а	-сіє а	сіє а	-сіє а	сіє а
сіє х	сіє а	-сіє а	-сіє а	-ІЄ а	ІЄ а	-ІЄ а	ІЄ а
Зазначимо, що за віп —-а| = сова, сіє(--а \2	/	\2			формулами зведення	сові—-а1 = віпа,  = ІЄ а, іє^ - а) =	Якщо останні форму-				

ли записати справа наліво, то одержимо корисні співвідношення, які
часто називають формулами доповняльних аргументів (аргументи а

. я	я

1	—а доповнюють один одного до —

2	2

.	І я

віп ос —собі—а
\2

соз а = зіп

сіє а

ієа = сіє|^-а

Наприклад, зіп 60° = соз (90° - 60°) = соз 30°;
соз 89° = зіп (90° - 89°) = зіп 1°.

 Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Обчисліть за допомогою формул зведення:

1) соз 210°;	2) іє— 

Розв’язання

1)	► сов 210° = соз (180°+30°) =

= -сов30° = -^;<]

2)	►іЄ^ = иД+^=-сіє^=-1.<]

4	\2	4/	4

Коментар

Подамо задані аргументи так,
щоб можна було використати фор
мули зведення (тобто виділимо
в аргументі частини, які зображ.1
ються на горизонтальному або верти
кальному діаметрі одиничного кола)
Наприклад, 210° = 180° + 30°. Зви-
чайно, можна було подати цей ар-
гумент ще й так: 210° = 270° — 60°
і теж використати формули зведення.

Приклад 2* Доведіть тотожність

сов(Зл-а)

ІЄ(її + а)

І8(л + а)

-СОБ2

- сов 2а.

Коментар

Доведемо, що ліва частина тотожності дорівнює правій. Спочатку
використаємо формули зведення, а потім спростимо одержані вирази
за допомогою формул: і£ а • сі£ а = 1 і сов2 а — віп2 а = сов 2а. При
« прощенні виразів сов (Зл - а) і І£ (л + а) можна застосувати як без-
посередньо формули зведення, так і періодичність відповідних функцій.
Наприклад, ураховуючи, що періодом функції сов х є 2л, одержуємо:

сов (Зл - а) - сов (2л + л - а) = сов (л - а) = -сов а.

Розв’язання

зіп

сов (Зл - а)

і£(л+а)

(-сова) • сов а
(-сі^а) • іка

-(-віп а)2

= ——віп2 а = сов2 а—віп2 а = соз 2а. 0

-і

 Запитання для контролю

1.	Проілюструйте на прикладах використання формул зведення.
Поясніть одержаний результат.

2*. Доведіть декілька формул зведення.

І Вправи

І. Обчисліть за допомогою формул зведення:

1) зіп 240°;	2)	300°;	3) сов 330°;	4) сіє 315°;

5) сов4-";	6) 8іп(-^);	7)	•	8)

2.	Обчисліть:

1)	соз 8° сов 37° - соз 82° соз 53°; 2) віп 68° віп 38° - зіп 52° сов 112°.

3.	Спростіть вираз:

п, яіп(л + а)сов(л-а).	81п^	(?-«)	|сов|	N ІЯ + й	1	віп (Зл + а)віп|  -•	ОСЛ 		(?-)

«А,.	'	по, _____________

/,3л і ’	'	1®(л-а)	’	' віп(л-2а)

СЧ 2 ~а)
І — - а І - сов (я - а) віп (Зл+а)

4) -А2-----І--------------—; 5*)<£І°-іе2°-І£30-„.-І£870-іе880-І£893.

(сов(3,5л-а) + віп(1,5л + а)) -1

4.	Доведіть тотожність:

1°) 2 зіп (90° + а) віп (180° + а) = -8іп 2а;	2°) сіє 20° • сіє 70° = 1;

3)

/Я |

віп (я- 2а)- 2 аіпі — а І

---------------------- = -2 сіє а;

/Я |	.2

008 \ 2	~8Ш а

. 2/ Я і 2/ Я|

8іп І — + а]-со8 (а — І -

4*) ---\2_)------^^ = 18іп22а.

. 2ІП 1.2/ ЛІ 4

* (її + а)-сі8 (а--)

21.4. Формули суми і різниці однойменних тригонометричних
функцій та формули перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму

Таблиця 39

1. Формули суми і різниці		
	•	• о г» • а.+ В а-В  він а+він В=2 він —-сов—с г	2	2	
	сов а+сов В = 2 сов^^сов^^ ’	2	2	
	,	, о віп ( а + В)  ієа+ієР = —-—  сов а сов р	
2. Перетворення добутку триг		
		він а віп Р = —( сов( 2  сов а сов р=-|( сов (  віп а сов р =	віп (  2

тоигонометричних функцій		
		
•	• о г» • а-В	а+В  віп а - віп Р = 2 вт—-сов—- к	2	2		
оо* а+В . а-В сов а—сов р = -2 віп—-вт—- 2	2		
,	, о віп (а - Р)  ієа іеР=	_  сов а сов р		
онометричних функцій у суму		
а-Р)-сов(а+Р))  [а~Р)+сов(а+Р)) а~Р) + віп(а+Р))		

«а Пояснення й обґрунтування

1. Формули суми і різниці тригонометричних функцій.

• За формулами додавання:

зіп (х + у) = зіп х сов у + сов х зіп у;

8ІП (х - у) = ВІП X СОВ у - СОБ X ВІП у.

Додаючи почленно ці рівності, одержуємо:

віп (х + у) + віп (х - у) = 2 віп х соз у.	(1)
Якщо позначити:

X + у = а,
х - у = Р,

(2)

(3)

то, додаючи і віднімаючи рівності (2) і (3), маємо: х =

« + В

2 ’ У 2

Тоді з формули (1) одержуємо формулу перетворення суми синусів

у добуток:

.	. о о • а + В а-В

8Ш а + 8Ш Р = 2 81П——— СОВ ——-

А	л

(4)

Словесно її можна сформулювати так:

 Сума синусів двох аргументів дорівнює подвоєному добутку
синуса півсуми цих аргументів на косинус їх піврізниці.

Якщо замінити у формулі (4) р на (~Р) і врахувати непарність сину-
са: віп (-р) = -віп р, то одержимо формулу:

. -по- а-В а+В
8іпа-8іпр = 28іп—~СО8——- .

'	2	2

 Різниця синусів двох аргументів дорівнює подвоєному добутку
синуса піврізниці цих аргументів на косинус їх півсуми.

Аналогічно, додаючи ночленно рівності

сов (х + у) = сов х сов у - віп х віп у,	(5)

сов (х - у) = СОВ X сов у + віп х віп у,	(6)

одержуємо:

сов (х + у) + сов (х - у) = 2 сов х сов у,	(7)

і,	виконуючи заміни (2) і (3), маємо:

о л а + В а-В

СО8а + СО8Р = 2сО8—'сов-— .

	Сума косинусів двох аргументів дорівнює подвоєному добутку
косинуса півсуми цих аргументів на косинус їх піврізниці.

Якщо відняти від рівності (5) рівність (6), то одержимо:

сов (х + у) - соз (х - у) = -2 віп х віп у.	(8)

Тоді______________________________________

сова -СО8р =: —2віп—-^-^8ІП——-

	Різниця косинусів двох аргументів дорівнює: мінус подвоєний
добуток синуса півсуми цих аргументів на синус їх піврізниці.
Для того щоб обґрунтувати формули перетворення суми (різниці)
тангенсів, достатньо використати означення тангенса і формули до-

давання:
І£(Х + І£0 = віп а віп 0 _ віп а соз Р + сов а віп Р _ віп (а + Р)
сов а сов р	сов а сов р	сов а соз Р

Отже,
.	. „ віп(а + Р)	,оч

іеа + і£0 =------тг •	(9)

6	6 г сов а соз р

Якщо у формулі (9) замінити 0 на (-0) і врахувати непарність тан-

генса (і£ (-0) =	0) і парність косинуса (сов (-0) = сов 0), то одер-

жуємо:	_	______

о зіп(а-Р)
І8«-ІЄР =---------а ’	<1°)

соя а сов Р

Зазначимо, що формули (9) і (10) справедливі тільки тоді, коли

сов а * 0 і сов 0 * 0. О

2. Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

• Зазначимо, що в процесі обґрунтування формул перетворення суми
та різниці синусів і косинусів у добуток ми фактично отримали
і формули перетворення добутків тригонометричних функцій у суму.
Дійсно, якщо поділити обидві частини рівності (1) на 2 і записати
одержану рівність справа наліво, маємо:

	віп х сов у - ^(віп (х - у) + віп (х + у))	(11)
Аналогічно з формули (7) одержуємо:		
а з формули І	сов X сов у = ^(сов (х-у) + сов (х+у))	(12)
	8) (після ділення на -2) маємо:	
	віп х віп у - ^(сов (х - у) - сов (х + у))	(13)

Замінюючи у формулах (11-13) значення х на а, у на В, одержуємо
той запис цих формул, який наведено в таблиці 39. О

І Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Перетворіть задану суму чи різницю в добуток і, якщо
можливо, спростіть:

1) віп 75° + віп 15°;	2') сов2 а - сов2 0.

Коментар

1)	У першому завданні можна безпосередньо застосувати формулу
віп ос+віп 0 = 2 віп сов а потім використати табличні значен-
ня віп 45° і сов 30°.
2)	Якщо вираз соє2 а - сов2 0 розглянути як різницю квадратів, то його
можна розкласти на множники, а потім до кожного з одержаних ви-
разів застосувати формули перетворення різниці чи суми косинусів
у добуток. Для подальшого спрощення одержаного виразу викорис-
товуємо формулу синуса подвійного аргументу, а саме:

2віпсовзіп(ос+0) і 2віпсов— зіп(ос—0).

Розв’язання

• -7КО . • ісо О • 75° + 15°	75°-15° „ . .ко опо о л/й >/з	>/б

1)	вш75 +В1П15 = 2вш-----сов-— --- = 2 віп 45 сов ЗО =2-= —

2	2	2	2	2

2)	► сов2 а - сов2 0 = (сов а - сов 0) (сов а + сов 0) =

= -2 віп віп • 2 сов —сов —= — віп (ос+0)віп (ос—0).

Приклад 2 Перетворіть у добуток віп а + соя 0.

Коментар

Ми вміємо перетворювати в добуток суму синусів або косинусів. Для

переходу до таких виразів достатньо згадати, що сов 0 = вії

або віп а = сов І —— ос) .

V	\2 І)

Розв’язання

п „ (п „і

(\ а + —-0	а-І —-01

--01 = 2 віп---— • сов-----=

2 4	2	2

г, . (а-В . л)	/а + В л)

= 2віп  к + - «сов ----.

\ 2	4/	\ 2	4/

Приклад 3 Спростіть вираз	8а-зіп 2а) (соз 2а-соз 8«)^

1 - соз 6а

Коментар

Для того щоб спростити заданий дріб, можна спробувати скоротити
його. Для цього подамо чисельник і знаменник у вигляді добутків, які
містять однакові вирази. У чисельнику використаємо формули перетво-
рення різниці синусів і косинусів у добуток (а також непарність
синуса: віп (-За) = -віп За), а в знаменнику скористаємося формулою
1-совх = 2віп2 —.

2

Розв’язання

(зіп 8а - зіп 2а) (соя 2а - соя 8а) 2 віп За соя 5а • (-2)віп5 а зіп(-За) _
1-созба	2зіп23а

= 2 сов 5а віп 5а = віп 10а.
Приклад 4* Доведіть тотожність 4 віп 70°--ї— = -2.

віп 10°

Коментар

Доведемо, що ліва частина тотожності дорівнює правій. Після при-
ведення до спільного знаменника перетворимо добуток синусів на різни-
цю косинусів, а потім урахуємо, що сов 60° = і, а сов 80° = віп 10°
(оскільки 80° + 10° = 90°).

Розв’язання

. . „_о	1	4 віп 70°віп 10°-1 4 • -(сов біГ-сов800)-1

4	віп 70°----=---------------=--------------------=

віп 10°	віп 10°	віп 10°

2‘2~2 00880 -1 -2 сов 80° -2 віп 10°	_

віп 10°	віп 10° віп 10°

Приклад 5* Доведіть, якщо А, В, С — кути трикутника, то

А	В	С

віп А+віп В+віп С = 4 сов—сов—сов—.

2	2	2

Коментар

Для кутів трикутника А + В + С = я. Тоді С = я - (А + В) і за форму-
лами зведення віп (я - (А + В)) = віп (А + В). Після перетворення суми
синусів віп А + віп В у добуток помічаємо, що аргумент (А + В) удвічі
більший за аргумент Це дозволяє записати віп (А + В) за форму-
лою синуса подвійного аргументу і в одержаній сумі винести за дужки
2 віп а потім перетворити в дужках суму косинусів у добуток. По-

а	А+В п-С л С .	,

тім треба врахувати, що —-— = —— = — — — і використати формули зве-
дення.

Розв’язання

Ураховуючи, що для кутів трикутника С = я — (А + В), одержуємо
віп А + віп В + віп С = віп А + віп В + віп (я - (А + В)) =

=	2 віп сов А В + віп(А+В)=2 віп — — сов А~В+2 віп — — сов — — =
2	2	2	2	2	2

о . А + В І	А-В	, А + ВІ	о . л-С	о А	В

=	2 ВІП-- СОБ---+ СО8- = 2 віп-- • 2 сов — сов— -

2 \	2	2 /	2	2	2

. . /л С\ А В . С А В

= 4 віп--1 сов — сов — = 4 сов — сов — сов —.

\2 2/	2	2	222
 Запитання для контролю

1.	Запишіть формули перетворення суми і різниці синусів або суми
і різниці косинусів у добуток. Наведіть приклади використання цих
формул.

2.	Запишіть формули перетворення суми і різниці тангенсів. Наведіть
приклади використання цих формул.

З*. Доведіть формули перетворення суми і різниці тригонометричних
функцій у добуток.

4. Наведіть приклади використання формул:

зіп х соз у - |(віп (х - у)+зіп (х + у));

соз х соз у - ~(СО8 (х ~ У)+СО8 (х+У))ї

зіп х зіп у = ~(соз (х - у) - соз (х + у)).

5*. Доведіть формули, наведені в запитанні 4.

Вправи

1.

Перетворіть суму (або різницю) тригонометричних функцій у добу-

ток і спростіть:

1°) соз 152° + соз 28°;

2°

3) соз 20° - зіп 20°;

4)

’) соз 48° - соз 12°;
віп 25° + віп 15° .

віп 25° - віп 15°

2.

5‘) зіп* * * 2 а - зіп2 Р;

7‘) соз а + соз 2а + соз За + соз 4а.

Доведіть тотожність:

1О.	віп 75° + віп 15° _ гх

* )	~~і	77°

сов 75 -сов 15

6*) зіп а + зіп 2а + зіп За + зіп 4а;

віп а + віп В	. а + В

2°) ------------ = іє—

’ сов а + сов р 2

сов 6а - сов 10а „ . „

31 ---------------= 2 зіп 2а;

’ віп 8а

4)

ВІП а + ВІП Р

а-В
СО8

2

віп а сов В + сов а 8іп В а +
сов -

2

___(віп 2а + віп 6а) (сов 2а - сов 6а)	.	.

5) ------------—--------------------- зіп 4а;

1 - сов 8а

віп а - сов р
сов а - віп Р

3.

віп а + віп За + віп 5а + віп 7а	. _

7 ) -------------------------= сіє 2а.

сов а - сов За + сов 5а - сов 7а

Перетворіть у суму:

1) соз 45° соз 15°; 2) зіп —соз —; 3) зіп 20° зіп 10°; 4) соз

24	24

л	л

— соз —.
10 5

Обчисліть:

1) 2 соз 20° • соз 40° - соз 20°;

2*) 4 зіп 10° • зіп 50° • зіп 70°.
5*. Доведіть, що при а + 0 + у = я виконується рівність:

1)	ЗІП а-8ІП 0 + 8ІПу = 4 8ІП—СО8-8ІП-;
г '	2	2	2

2)	со8а+со8 0+созу=1+4 зіп

6. Доведіть формули:

,.	. .о зіп (0 + ос)

1)	сіє а + сіє Р = .	.

81П а 81П р

о зіп (В - а)

2)	сіє а- сієР = г . 4.

81П а 81П р

5 22 ДОДАТКОВІ ФОРМУЛИ ТРИГОНОМЕТРІЇ

22.1. Формули потрійного та половинного аргументів.
Вираження тригонометричних функцій

через тангенс половинного аргументу

Таблиця 40

1.	Формули потрійного аргументу

зіп За = 3 зіп а — 4 зіп3 а

з

ІЄ За =	-, а * 2Й +1), кє2

1-Зів а 6

І соз За = 4 соз3 а — 3 соз а

з
сієЗа=3сіеа--сУ
1-Зсіе а 3

2.	Формули пониження степеня

зіп* 1 * 2 а =

1 - соз 2а

2

о

соз а =

1 + соз 2а

2

а . В . у
— 81П - 81П -.

2	2	2

3.	Формули половинного аргументу

(Знак перед коренем вибирають залежно від знака тригонометричної
функції, що стоїть у лівій частині рівності.)

. а 11 - соз а

Й1П2=±\'	2

а_ + /і-1 соза





1 - соз а

1 + соз а

8,11 а	, Г, ,	, гг

---------, а * я + 2яй, к є 2

1 + соз а

а 1 - соз а	. ,	„

і£—= —;-----, а * пк, к & 2

2 зіп а

сі8| = ±

1 + соз а

1 - соз а

зіп а

1 - соз а ’

а Ф 2пк, к є 2
4.	Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу

2*8—

віп а =-----—, а * я + 2яЛ, к є 2

1 + ев2її

і-*2!

сов а =-----а * я + 2яй, к є 2

1 + ів2її
£и

2*8 ~	я

І» а -____2_ а Ф —і- ют, п є 2, а * я + 2яЛ, к є 2

1-4*1	2

сі£а =-----, а * пк, к є 2

2*8 ~
“2

 Пояснення й обґрунтування

1. Формули потрійного аргументу. Використовуючи формули додаван-
ня, формули подвійного аргументу, основну тригонометричну тотож-
ність і формулу а*сі£ а = 1, одержуємо такі формули:

віп За = віп (2а + а) = зіп 2а • сов а + соз 2а • віп а = 2 віп а • соз2 а 4-
+ (1 - 2 зіп2 а) • зіп а = 2 віп а • (1 - зіп2 а) + (1 - 2 віп2 а) • зіп а =

= 3 віп а - 4 зіп3 а. Отже,

зіп За = 3 віп а — 4 віп3 а .

соз За = соз (2а + а) = сов 2а • сов а - зіп 2а • зіп а =
= (2 соз2 а - 1) • соз а - 2 зіп2 а • сов а = (2 соз2 а - 1) • сов а -

- 2 (1 - соз2 а) • соз а = 4 соз3 а - 3 соз а. Отже,

сов За = 4 сов3 а — 3 сов а .

і£(2а+а) =

2*8«	.

-- 2	з

*82а + *8« _ 1-*8 а_3*8а-*8 «

1-*82а • *8«

2*82а	1-3*е2а

1-*82а -

. Отже,

з

І£За = 3*ка-* а
6	1-3*8 а

1___3

сіЄЗа = -*-= х-3*2« =-------

*єЗа 3*8а-1в а _?________к

2а-3)сі8а_3сі8а-сі83а

с*8а с*83а

Зсі82а-1

1-3сі82а

. Отже,
сіеЗа=-СІе“--^-а
І Є 1-3сік2а

Зауваження. Функції віп За і сов За існують при будь-яких зна-
ченнях а, а За існує тільки тоді, коли За*^ + лА, де к є 2, тобто
а*—+—, отже, а*-(2А+1), к є 2. Аналогічно сі& За існує тільки тоді,
6	3	6

ик

коли За * лй, де к є 2. Тоді а*—, к є 2.
З

2.

сов

Формули пониження степеня. З формул соз 2а = 1 - 2 зіп2 а та
2а = 2 сов2 а — 1 одержуємо формули пониження степеня:

. 2 1-соз2а
8іп а =---------

2

2	1 + сов 2а

сов а =---------

2

(1)

(2)

3.

Формули половинного аргументу. Якщо у формулах (1) і (2) замість
_	а	__ ___

а взяти аргумент —, то одержимо:

. 2 а 1 - соз а
81П—=--------

2	2

2 а 1 + соз а
сов — =------

2	2

(3)

(4)

З формул (3) і (4) одержуємо формули половинного аргументу для
синуса і косинуса:	__________

	
1 - сов а	
2	9

(5)

. а .
81П- = ±^

	
а .  СО8— = ±л 2 V	1 + сов а  2

(6)

У цих формулах знак перед коренем вибирають залежно від знака
тригонометричної функції, що стоїть у лівій частині рівності.

Якщо почленно розділити формули (5) і (6) та врахувати, що

. а
81П —

—2-=ідИ, а

2

а
соз—

а
соз—

2

—— - с^И~, то одержуємо:

. а
зіп—

1 - соз а

(7)

1 + соз а

сов а

(8)

2



\ 1 + сов а


У формулах (7) і (8) знак перед коренем також вибирають залежно
від знака тригонометричної функції, що стоїть у лівій частині рівності.

Зазначимо, що формули (5) і (6) можна використовувати при будь-
яких значеннях а, а формули (7) і (8) тільки тоді, коли існують значен-
ня та відповідно. Отже, формулу (7) можна використовувати,
якщо — *- + пк, тобто а п 4- 2пк, к є X, а формулу (8) — якщо —*пк,
2	2	2

тобто а 2пк, к є X.

Зауважимо, що для тангенса і котангенса половинного аргументу
можна одержати формули, які не містять квадратних коренів. Наприклад,

іс—- 8№а

2	1 + соза

(9)

Дійсно, ураховуючи, що аргумент а вдвічі більший за аргумент

„ . а а а

2єіп—соє— єіп —

маємо: 81па =----------— = —=Ї£—, якщо 1 + сов а * 0. Тобто форму-

1 + соза	„ 2 а	а	2

2соє —	соз—

2	2

лу (9) можна використовувати при а * п + 2пк, к є X.

Аналогічно обґрунтовують формулу

а 1-соєа А 	  6 2 зіпа	

(10)

„.20 .а

,	2єіп — єіп—

1-сова _	2	_	2 .

єіпа _ . а	а	а

2 зіп—соз— соє-
2	2	2

можна використовувати при

Ураховуючи, що сі&^ = -

=	, якщо віп а Ф 0, тобто формулу (10)

2

ф пк, к є X.

одержуємо формули:

а

. 01

віп а

с^її =

1 - соє а ’

, а 1 + соє а
сіє — = —-----

6 2 яп а

4. Вираження тригонометричних функцій ч.ерез тангенс половинного
аргументу. Щоб одержати відповідні формули для віп а і сов а, запише-
мо кожен із цих виразів за формулами подвійного аргументу і поділимо
на 1 = 8Іп2~ + со82|^. Потім, щоб перейти до тангенсів, поділимо чисель-
ник і знаменник одержаного дробу на с°в2“ (звичайно, за умови, що

сов2 * 0, тобто при а п + 2пк, к є X).
еіпа =

віп а
1

2віп — сов—

2	2

віп -
2

зіп а =

„ . а а
2 віп—сов—

2	2

2 а
сов —

2

. 2 а 2 а
віп — + сов —

2ікН
в 2

. 2 а

+ *	2

. а
віп

2- - —
а
сов—

2

. га
віп —

_2

2 а

сов —
2

2іе~

2 Отже.

а Ф я + 2яА, к є X

(И)

. 2Й

20	.20	,.20

„ сов — - віп -	1 - іє —

сова 9	9	6 2

сова =----------—---- =------

. 20
віп —

2

2 а

• Отже.

х 2 а ,
18 2+1

,2 а

2

1-іЄ

сов а =

,	.20

1 + їй —
к 2

—, а * я + 2яА, к є X

(12)

Якщо почленно поділити рівності (11) і (12), то одержимо формули:

2*Є А

ІЄа =------» а* — + т, п є X, а * я + 2яА, к є X ,

,.20	2

І-І8 її

(13)

і-*е2а

сіеа =-----2-, а * яй, к є X

2іе-
в 2

Зауважимо, що формулу (13) можна одержати і яа формулою танген-

„ а

са подвійного аргументу, оскільки а = 2-—.

ЯВІ Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором:

1) віп 15°;	2) сов 15°;	3)	15°.

Коментар

Розв’язання

,, х . , со 11 - сов30°
1) ► віп 15 =,--------=

’	V 2

Оскільки аргумент 15° становить
половину від аргументу 30°, а коси-
нус 30° нам відомий, то можна знайти
шукані значення за формулами по-
ловинного аргументу. Ураховуючи,
3) ► ІЄІ5°=* 1 СО830°=:
ВІП 30°

що аргумент 15° знаходиться в
І чверті (де значення всіх триго-
нометричних функцій додатні),
у формулах (5) і (6) перед знаком
квадратного кореня вибираємо знак
«+». Для того щоб знайти тангенс
15°, можна застосувати будь-яку
з формул: (7), (9) або (10), але зруч-
ніше використати формули (9) або
(10), запис яких не містить квадрат-
них коренів. Після того як знайдено
значення віп 15° і соз 15°, можна та-
кож скористатися формулою

сов 15°

Зауваження. Записи відповідей для віп 15° і сов 15° можна дещо
спростити, виділяючи під знаком зовнішнього квадратного кореня ква-
драт двочлена. Щоб подати, наприклад, 2-д/з у вигляді квадрата дво-
члена, помножимо і поділимо цей вираз на 2 (та розглянемо вираз 2д/з
як подвоєний добуток чисел >/з і 1). Одержуємо:

_ /^_4-2>/з _(>/з-1)2	/^_4 + 2>/з _(>/з+1)2

2	2	2	2

Тоді 8іп15° = ^3 =1—=	=

2	2	2-4/2	4

Виконуючи аналогічні перетворення, маємо 00315° = ^^^.

І Запитання для контролю

1.	Запишіть формули потрійного та половинного аргументів і формули
вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного
аргументу. Проілюструйте на прикладах застосування цих формул.

2.	Обґрунтуйте формули потрійного та половинного аргументів і фор-
мули вираження тригонометричних функцій через тангенс половин-
ного аргументу.

 Вправи

1. Обчисліть, не користуючись таблицями і калькулятором:

1) зіп 22°30';	2) соз 22°30';	3)	22°30'.
2.	Знайдіть 8ІП~; 008ЯКГЦ°:

1)	соза = -- і п<а<—;	2) соеа = — і — <а<2л.

5	2	13	2

3.	Обчисліть і£Іа+-1, якщо соз2а = - і п<а<—.
\	4/	3	4

4.	Обчисліть соз—, якщо 8Іпа =------і п<а<—.

2	із	2

5.

Обчисліть зіп а, якщо

1
з'

6. Обчисліть , якщо 8Іпа+соза = і

— < а < 2л.
2

7,-,^	. вш2а сова	х_а п

. Обчисліть ------ • —----якщо — 2.

1 + сова 1 + сов2а	2

8. Ураховуючи, що зіп 36° = соз 54°, обчисліть зіп 18°.

22.2. Формула перетворення виразу а кіп а + Ь соя а

Таблиця 41

	а зіп а+Ь соз а = 7а2 -Ь2 зіп (а+<р)	9
де аргумент ф визначається із співвідношень а	•	Ь  СОЗ (р =		, 81П (р = ..... ..  УІа2 +Ь2	УІа2+Ь2		

Пояснення й обґрунтування

Спочатку доведемо таке твердження: якщо для чисел т і п викону-
ється співвідношення т2 4- п2 = 1, то одне із цих чисел можна вва-
жати синусом, а друге — косинусом деякого аргументу <р.

Розглянемо точку М координатної площини з координатами
М (т; п). Координати точки М задовольняють рівнянню одиничного
кола: х2 + у2 = 1 (оскільки за умовою т2 + п2 = 1). Отже, точка М
знаходиться на одиничному колі, і її абсциса є косинусом кута <р,
який утворює радіус ОМ з додатним напрямком осі Ох, а ордина-
та — синусом цього кута ір. Тобто т = соз <р, п = зіп <р.

2.2

Якщо взяти т= . а п= , то т2 + п2 =-£—- + -^—- = 1.
у/а2+і>2	7777	а +ь а +ь

Тоді для деякого кута <р т = .-о. — = соз <р, п =	— = зіп <р.

Ча2+Ь2	ча2+Ь2

Тепер ми можемо довести формулу а зіп а+Ь соз а = 7а2+Ь2 зіп (а+<р).
Для цього доведемо, що права частина цієї формули дорівнює лівій.

а2 +Ь2 зіп (а+ф) = 4 а2 + Ь7 (зіп а соз ф+соза зіп ф) =

= 4а2+Ь2\ зіпа-т=

І 7777

+соза-г - 

7777

= а зіп а+Ь соз ос,

що й потрібно було довести. Отже,

а зіп а+Ьсоза = 7а2 +Ь2 зіп(а+ф),

де аргумент ф визначається із співвідношень:

а	ь

соз ф = ,    , зіп ф =	-   .

/2,2	/ 2 . 2

\а +Ь	л/а +Ь

Зауваження. В одержаній формулі аргумент ф визначають з точ-
ністю до 2л, але найчастіше вибирають те значення, яке найменше за

модулем.

Наприклад, для виразу зіп а + соз а маємо а = 1, Ь = 1. Тоді

а	1	. л Ь	1

СО8ф = —7-	: = Зіпф = -^-	: =

4а2 + Ь2 4ї 7а2+і>2 Ті

Отже, аргумент ф знаходиться в І чверті, тому як значення ф можна
вибрати ф = 7- Тоді

4

5Іпа+со8а = Т2зіп(а + ^) .

МІ Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Знайдіть найбільше та найменше значення виразу
ТЗзіпа-созсс.

Розв’язання

За формулою

« зіп а+Ь соз а = 7а2+б2 зіп (а+ф)
держуємо

Коментар

Вираз ТЗзіпа-соза можна пере-

творити за формулою

Ураховуючи, що зіп

на-

а зіп ос+6 соз ос = 7а2+62 зіп (а+ф).

Тут	а = 7з,	Ь - -1, тоді

4а2 +Ь2 =74=2. Отже,

уває всіх значень із проміжку

1; 1], маємо, що 2зіп|а

а< всіх значень із проміжку [-2; 2].
•тже, найбільше значення заданого
иразу дорівнює 2, а наймен-
іе — (-2). <

ь і

ЗІП ф = 	. Г =-.

7777 2

Тоді аргумент ф знаходиться в
IV чверті, і як значення ф можна
вибрати, наприклад, <р = -—. Також
6

слід ураховувати, що для того щоб
знайти найбільше та найменше

значення виразу, потрібно не тіль-

ки оцінити значення виразу за до-

помогою нестрогих нерівностей

-2<28Іп(а-^)<2

а й впевнити-

ся, що знак рівності в цих нерівно-
стях досягається.

Приклад 2 Побудуйте графік функції у = л/2(зіп х+соз х).

Коментар

Вираз зіп х + сов х можна записати у вигляді зіп х + соз х = л/2єіп(х + ^).
Тоді графік заданої функції можна побудувати за допомогою геометрич-
них перетворень графіка функції у = зіп х.

Розв’язання

у = л/2(зіпх + со8х) = 2 зіп х + -
\	41

Графік заданої функції одержуємо із графіка функції у = зіп х
(рис. 151) розтягуванням у 2 рази вздовж осі Оу і паралельним перене-

Рис. 151
1.	Запитання для контролю  Запишіть формулу перетворення виразу а віп а + Ь сов а на вираз вигляду с віп (х + ф). Проілюструйте на прикладі застосування цієї формули.
2.	Обґрунтуйте формулу перетворення виразу а віп а + Ь сов а на вираз вигляду С БІП (X + ф).
м	Вправи
1.	Знайдіть найбільше та найменше значення виразу: 1) віп а + сов а;	2) віпа-д/Зсова;  3) д/Звіпа+сова;	4) л/2віп а+л/бсова.
2.  3.	Побудуйте графік функції:  1) у = д/3віпх+совх;	2) у = віп 2х - сов 2х;  3) у = 8Іпх + д/Зсовх;	4) у = д/3віп—+ сов—.  2	2  Знайдіть область значень функції:  1) у = 3 віп х + 4 сов х;	2) у = 5 віп Зх - 12 сов Зх;  3) у = віп 7х — сов 7х;	4) у = 8 віп—+ 15 сов—.  3	3
4.	Чи існують такі значення х, при яких виконується рівність: 1) 3 віп х - 4 сов х = 6;	2) 5 віп 2х + 12 сов 2х = 15;  3) л/38іп4х-сов4х = л/5;	4) віп—+сов—= 1,5?  2	2

ДОДАТКОВІ ВПРАВИ ДО РОЗДІЛУ З

1.	Спростіть вираз (1—2).  1)	і&2 а - віп2 а - а віп2 а;  2)	д/віп2 р(1 + сІ£Р) + сов2 Р(1 + і£Р);  3)	(3 віп а + 2 сов а)2 + (2 віп а - 3 сов а)2;  4)	сіерсовр.  '	81П р
2.	,. п ,	, ,	.	, / Зл і	віп (-а)	\ о /	сов а  1) 2і£а-і£(а-п)+сі£ —-а ; 2) - /4-		+— 	-;  \ 2	/	віп(л-а) сі® а	8іп| — + а)  п	п 1 п п\	. /Зл ) . Зл . 16л	13л  (л - Р) соз (л- Р) Ц- - р]	М1Г + “)81ПУ 81пу С°8 Гв  зіп (| - р)сі® ( | + а) І«	+ а)	сі® (л - а) сов віп ™ сов 2л
Доведіть тотожність (3—4).

^(а + Рі-^а-^Р^^п.

) ікаік(а + Р)

1 - соє 2а + віп 2а ,

2) ----------------= Й?а;

' 1 + соє 2а + віп 2а

сов (а + 3) + сов (а - 3)	,

3)	—1 1с4е ос;

' віп (а + 3) + віп (а - 3)

єіп а - віп За	. ~

4)	------------ = -сі£2а.

' соє а - соз За

1) « ---<І-+-сова =со8— при я < а < 2я;
\2 2\2 2	4

2)

3)

4)

і-ісое2а =л/2сой(--—) при п<а<—;
22	\4 2/	2

—+—*/—+—сов 2а = —сов— при — <а<2я;
2 2У2 2	22

'1 + 7---сова = л/2сов(--— ) при —<а<2я.
N2 2	\4 4/	2

Доведіть рівність:

1) сов—сов—— сов— = і;	2)	20° - 4 віп 20° • зіп 50° = -2 віп 20°;

7	7	7	8

3)	= 4віп70° = 2;	4) сов200+2біп550-л/2зіп65° = 1.

віп 10°

Доведіть, що правильна нерівність:

1) х + сі£ х > 2, якщо 0 < х <

2) —
віп

8Ш

+ 2 віп- <2>/3;

2

3)	(1 + ап <р + сов ф) (1 - віп ф + сов ф) (1 + віп ф - сов ф) (віп ф + сов ф - 1) < 1;

4)	2 віп 4а віп 2а + сов 6а > -1.

Обчисліть:

1)	сов4 а + віп4 а, якщо віп 2а=

2.
з’

2)	-----якщо = т;

1 + віп а	2

3)

сов а, якщо віп а а =

1.

2’

4) віп а, сов 2а, сов—, якщо	=--72, к<а<—.

2	2	2
ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ

Слово «тригонометрія» вперше зустрічається (1505 р.) у назві книж-
ки німецького теолога і математика Питискуса. Походження цього

слова грецьке: «тригонон» — трикутник, «метріо» — міра. Іншими сло-
вами, тригонометрія — наука про вимірювання трикутників. Багато
понять і фактів, які тепер відносять до тригонометрії, були відомі ще
дві тисячі років тому. Фактично різні відношення відрізків трикутни-
ка і кола (власне кажучи, і тригонометричні функції) застосували вже
в III ст. до н. е. у своїх працях великі математики Стародавньої Греції —

Евклід і Архімед.

Довгий час тригонометрія розвивалася як частина геометрії, тобто
факти, які ми тепер формулюємо в термінах тригонометричних функцій,

формулювали та доводили за допомогою геометричних понять і твер-
джень. Мабуть, найбільші стимули для розвитку тригонометрії виника-

Леонард Ейлер
(1707-1783)

ли у зв’язку з розв’язуванням задач астрономії,
що становило великий практичний інтерес (на-
приклад, для визначення місцезнаходження суд-
на, передбачення затемнень тощо).

Сучасного вигляду тригонометрії надав вели-
кий математик XVIII ст. Л. Ейлер, швейцарець
за походженням, який довго працював у Росії
і був членом Петербурзької академії наук. Саме
Ейлер перший увів відомі означення тригоно-
метричних функцій, почав розглядати функції
довільного кута, вивів формули зведення. Після
Ейлера тригонометрія набула форми числення:
різні факти почали доводити формальним засто-
суванням формул тригонометрії, доведення ста-
ли набагато компактнішими.
§26.

§27.

які відрізняються ід найпросі.ших
Розв'язування систем тритон метричних
рівнянь

Найпростіші тригонометричні нервност.

В основній .частині цього розділу ви зможете ознайомити-
ся з поняттями обернених тригонометричних функцій та їх
графіками і властивостями, навчитися розв’язувати триго-
нометричні рівняння та їх < истеми і найпростш." тригономе-
тричні нерівності.

ОСНОВНИЙ МАТЕРІАЛ

§ 23.	Обернені тригонометричні функції

§ 24.	Розв’язування найпростіших
тригонометричних рівнянь

§ 25.	Розв’язування триг  нометричних рівнянь,

ДОДАТКОВИЙ МАТЕРІАЛ

§ 28.	Приклади розв’язування більш складних
тригонометричних рівнянь та їх систем

§ 29.	Тригонометричні рівняння з параметрами

§ ЗО.	Розв’язування тригонометричних
нерівностей

У додатковій частині розді ну бажаючі зможуть ознайомитися
з методами розв’язування більш складних тригонометричних
ріві янь і нерівностей, які пропонують у завданнях зовніш-
нього незалежного оцінювання чи державної підсумкової
атестації з математики (зокрема, з мзтодами розв'язували»
тригонометричних рівнянь з параметрами).
§ 23	ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Для одержання обернених тригонометричних функцій для кожної три-
гонометричної функції виділяють проміжок, на якому вона зростає (або
.•надає). Для позначення обернених тригонометричних функцій перед від-
повідною функцією ставиться буквосполучення «агс» (читається: «арк»).

23.1.	Функція у = агсяіп х

Таблиця 42

1. Графік

3. Непарність функції у = агсзіп х

агсвіп (—а) = — агсзіп а
 Пояснення й обґрунтування

1.	Графік функції у = агсзіп х. Функція у = зіп х зростає на проміжку

[— -і набуває всіх значень від -1 до 1. Отже, на цьому проміжку
2 2_1

функція у = зіп х має обернену функцію (див. § 2, п. 2.4), яку познача-

ють у = агсзіп х, з областю визначення [—1; 1] і областю значень

Функція у = агсзіп х теж зростає, і її графік можна одержати з графіка
функції у = зіп х (на заданому проміжку) симетричним відображенням
відносно прямої у = х (рис. 152).

2.	Значення агсзіп а. За означенням оберненої функції (на вибраному
проміжку), якщо зіп ср = а, то агсзіп а = <р, причому <рє — і | а | < 1.

Отже, запис агсзіп а = ср (| а | < 1) означає, що <рє

і зіп <р = а, тобто

.	. Г я я]

агсзіп а — це таке число з проміжку І ——; — І,
дорівнює а.

синус якого

Наприклад, агсзіп і = ^,
*	•	• ґ \/з

Аналогічно агсзіп----

І 2

• я

ОСКІЛЬКИ -є
6

я. я

2* 2

я .	я

--, ОСКІЛЬКИ —є
з-з

. я 1

1 81П- = -

6 2

3.	Непарність функції у = агсзіп х. Для знаходження арксинусів від’-
ємних чисел можна користуватися також непарністю функції агсзіп х,
тобто формулою агсзіп (-а) = -агсзіп а.

• Це випливає з того, що графік функції у = агсзіп х (рис. 152) симетрич-
ний відносно початку координат, а точки а і (-а) на осі Оу (рис. 153)

Рис. 152

Рис. 153
симетричні відносно осі Ох. Тоді відповідні точки А і В на одинично-

му КОЛІ (у проміжку

я. я
2’ 2

теж будуть симетричними відносно

осі Ох. Отже, А СОА = А СОВ. Але агсвіп а = А СОА, агсвіп (-а) =
= -А СОВ (рисунок 153 наведено для випадку а > 0). Одержуємо

агсвіп (—а) = —агсвіп а . О

Наприклад, агс8Іп(-і) = -агсвіпі = -^.

Приклад.

Знайдіть: 1) віп І агсвіп і

2‘) СО8

агсвіп -

5,

Розв'язання

1) ► Нехай агсвіп і = ф. Тоді за
означенням арксинуса одержу-
ємо, що

1
81П(р = -.

Отже, віп! агсвіп і І = -.<]
\	3/3

Коментар

2)

► Нехай агсвіп- = ф. За озна-

ченням арксинуса одержуємо,
що	* 8Іпф = ^. Урахо-

вуючи, що сов ф > 0, маємо:

совф = ^^вїп2ф = ^1-^ = ^.

Отже, сов(агсвіп^) = со8ф=^. '

1)

2)

Оскільки запис

Ф = агсвіп а (| а | < 1)

означає, що фє

я. я
2* 2

і віп ф = а,

то завжди виконується рівність

віп (агсвіп а) = а, | а | < 1 .

Проте цю формулу можна не
запам’ятовувати: достатньо по-
значити вираз у дужках через ф
і використати означення аркси-
нуса.

Якщо позначити вираз у дуж-
ках через ф, то за вимогою задачі
потрібно знайти сов ф. Викорис-
тавши означення арксинуса,
одержуємо стандартну задачу:
знаючи синус кута, знайти його
косинус, якщо кут знаходиться

в проміжку

Тоді СОВ ф = ±71 - 8ІП2 ф. Оскіль-

ки фЄ

то в цьому про-

міжку сов ф > 0, а отже,
СОВ ф = 71~8ІП2ф.
23.2.	Функція у = агссоя х

Таблиця 43

2. Значення агссоз а (| а | < 1)

Орієнтир

Приклад

агссоз а — це таке число з проміжку [0; л],
косинус якого дорівнює а.

{(рє [0; я],
соаф=а

>/2 п
агссоз— = —, оскільки
2	4

і Пояснення й обґрунтування

1.	Графік функції у = агссоз х. Функція у = соз х спадає на проміж-
ку [0; я] і набуває всіх значень від 1 до -1. Отже, на цьому проміжку
функція у = соя х має обернену функцію, яку позначають у = агссоз х,
з областю визначення [-1; і] і областю значень [0; я]. Функція у = агссоз х
теж спадає, і її графік можна одержати з графіка функції у = соз х (на
заданому проміжку) за допомогою симетричного відображення його від-
носно прямої у = х (рис. 154).

2.	Значення агссоз а. За означенням оберненої функції (на вибраному
проміжку), якщо соз ф = а, то агссоз а = ф, причому ф є [0; я] і | а | < 1.
Отже, запис агссоз а = ф (| а | < 1) означає, що ф є [0; я] і соз ф = а,
тобто

І агссоз а — це таке число з проміжку [0; я], косинус якого до-
рівнює а.

Наприклад, агссоз - = ", оскільки -є[0;я] і соз" = і.

2 З	3	3	2

Аналогічно агссоз	оскільки — єГ0;я1 і сов — --—.

\ 2 ) 6	6 1 л 6	2

3.	Формула для агссоз (—а). Для знаходження арккосинусів від’ємних
чисел можна також користуватися формулою агссоз (—а) - я — агссоз а.

Це випливає з того, що точки а і (-а) на осі Ох (рис. 155) є симе-
тричними відносно осі Оу. Тоді і відповідні точки А і В на одиничному
колі (у проміжку [0; я]) теж будуть симетричними відносно осі Оу. Та-
ким чином, /. СОА = /. ВОВ, а отже, /. СОВ = я - /. ВОВ = я - А СОА.
Але агссоз а = А СОА, агссоз (-а) = /. СОВ = я - А СОА. Одержуємо

агссоз (—а) = я — агссоз а .

тт	/ 1\	1 я 2л

Наприклад, агссоз І= я - агссоз - = я -— = —.

Зазначимо, що рівність агссоз (-а) = я - агссоз а означає, що функ-
ція у = агссоз х не є ні парною, ні непарною.
Приклад.

о - •	(	2

Знайдіть совіагссов-

Розв’язання

2

Нехай агссов- = ф, тоді за озна-
ченням арккосинуса одержуємо, що

2

СО8ф ——

Отже, соз^агссов^

Коментар

Оскільки запис ф = агссоа а
(| а | < 1) означає, що <р є [0; л|
і сов <р = а, то завжди виконується
рівність

сов (агссов а) = а, | а | < 1.

Проте цю формулу можна на
запам’ятовувати: достатньо позна
чити вираз у дужках через ф і вико-
ристати означення арккосинуса.

23.3.	Функція у = агсі& х
Продовження табл. 44

і Пояснення й обґрунтування

1.	Графік функції у = агсіє х. Функція у = іє х зростає на проміжку
(-2* г) * НабуВаЄ вс^х значень від Д° +о°- Отже> на цьому проміжку
функція у = іє х має обернену функцію, яку позначають у = агсіє х,

з областю визначення +°°) і множиною значень

Функція

у = агсіє х теж зростає, її графік можна одержати з графіка функції
у = іє х (на заданому проміжку) за допомогою симетричного відображен-
ня відносно прямої у = х (рис. 156).

2.	Значення агсіє За означенням оберненої функції (на вибраному
проміжку), якщо іє Ф = а, то агсіє а. = ф, причому фє	Отже, за-

пис агсіє а = ф означає, що фє

і іє Ф = а, тобто

І агсіє а — 4е таке число з проміжку |-2’2/* тангенс якого
дорівнює а.

тт	. л/3 я . я І я я\ . ._я >/3

Наприклад, агсіє — = -, оскільки -єІ—;-І і іє~ = —-

36	6 \ 2 2 /	63

Аналогічно агсіє (-1) = “, оскільки	і =

3.	Непарність функції у - агсіє х. Для знаходження арктангенсів
від’ємних чисел можна користуватися також непарністю функції
агсіє х, тобто застосовувати формулу агсіє (-а) = -агсіє

• Це випливає з того, що графік функції у = агсіє х (рис. 156) симе-
тричний відносно початку координат, а точки а і (—а) на лінії тан-
генсів є симетричними відносно осі Ох (рис. 157). Тоді і відповідні

точки А та В на одиничному колі (у проміжку

теж будуть

симетричними відносно осі Ох. Отже, /_ СОА = /. СОВ. Але агсіє а =
= /_ СОА, агсіє (-а) = СОВ. Одержуємо

агсіє (—а) = —агсіє а І. О

Розв'язання

Нехай агсіє 4 = <р, тоді за озна-
ченням арктангенса одержуємо, що
ІЄ Ф = 4.

Отже, іє (агсіє 4) = 4. <1

Коментар

Оскільки запис ф = агсіє а.
означає, що фє і іє ф = а> то
завжди виконується рівність

ІЄ (агсіє а) = а .

і	І--------------

Проте цю формулу можна не
запам’ятовувати: достатньо позна-
Ічити вираз у дужках через <р і вико-
ристати означення арктангенса.
23.4. Функція у = агссі£ х

Таблиця 45

2. Значення агссі£ а

Орієнтир

Приклад

агссі& а — це таке число з проміжку (0; л),
котангенс якого дорівнює а.

оскільки

Гсрє (0; я),
агссіе а = ер, якщо і
[сіеф=а

|є(0;л) і Сіе^ = >/3.

В Пояснення й обґрунтування

1.	Графік функції у = агссі& х. Функція у = сі£ х спадає на проміж-
ку (0; я) і набуває всіх значень від -«> до +«>. Отже, на цьому проміжку
функція у = сІ£ х має обернену функцію, яку позначають у = агссі£ х,
з областю визначення (—°°; +°°) і областю значень (0; я). Функція
у = агссі£ х теж спадає, її графік можна одержати з графіка функції
у = сіє х (на заданому проміжку) за допомогою симетричного відобра-
ження його відносно прямої у = х (рис. 158).

2.	Значення агссіє «• За означенням оберненої функції (на вибраному
проміжку), якщо сіє <р = а, то агссіє а = ф. причому ф є (0; я). Отже,
запис агссіє а = Ф означає, що ф є (0; я) і сіє Ф = тобто

Іагссі§ а — це таке число з проміжку (0; п), котангенс якого
дорівнює а.

Наприклад, агссіє 1 = -, оскільки - є(0;я) і сіє~ = 1.

4	4	'	’	4

Аналогічно агссіє |	)=^-, оскільки — є(0:я) і сіє — = -—.

\ з ) з	з4	з з

3.	Формула для агссіє (—а). Для знаходження арккотангенсів від’ємних
чисел можна користуватися також формулою агссіє (—а) = я - агссіє о,-

Це випливає з того, що точки а і (-а) на лінії котангенсів (рис. 159)
є симетричними відносно осі Оу. Тоді відповідні точки А і В на оди-
ничному колі (у проміжку (0; я)) теж будуть симетричними відносно
осі Оу. Таким чином, А СОА = /. ЛОВ, а отже, /. СОВ = я - /. ЛОВ =
= я - /_ СОА. Але агссіє а = /. СОА, агссіє (-а) = СОВ = я - /. СОА.

Одержуємо

агссіє (—°) = я — агссіє а • О

Наприклад, агссіє (-1) = я - агссіє 1 = я - — = —.

4	4

Зазначимо, що рівність агссіє (-а) = я - агссіє а означає, що функ-
ція у = агссіє х не є ні парною, ні непарною.
Приклад 1 Знайдіть сіє (агссіє 7).

Розв’язання

► Нехай агссіє 7 = <р. Тоді за озна-
ченням арккотангенса одержуємо,
що сіє (р = 7.

Отже, сіє (агссіє 7) = 7. <

Коментар

Оскільки запис <р = агссіє а
означає, що <р є (0; я) і сіє <р = а, то
завжди виконується рівність

сіє (агссіє а) = а .

Проте цю формулу можна не
запам’ятовувати: достатньо по-
значити вираз у дужках через <р
і використати означення аркко-
тангенса.

Приклад 2* Доведіть, що агсіє а + агссіє а = ^.

Розв’язання	Коментар
Нехай ф=~~ агссіє а.  1)	Оскільки агссіє а є (0; я), то Чи)-  2)	Якщо агссіє а = р, то сіє Р = а і Ф^-Р.  Тоді  іЄ<р = іє(^-р) = сієР = а.  За означенням арктангенса одержу- ємо агсіє а = ф-  Отже, агсіє а = - агссіє а, а це й означає, що  агсіє а + агссіє а = “•	Запишемо задану рівність у ви- гляді агсіє а = “агссіє а. Якщо по-  значити <р = “ агссіє о, то Для доведення рівності агсіє а = Ф за означенням арктангенса достатньо довести, що:  І) Фє(~р^) 1 2) іє Ф = а.  При доведенні слід також ура- хувати означення арккотангенса: якщо  агссіє а = Р»  то Р є (0; я) і сіє Р = а.

 Запитання для контролю

1-	Поясніть, яке число позначають вирази: а) агсеіп а; б) агссоз а;
в) агсіє а> г) агссіє а. При яких значеннях а існують ці вирази?
Проілюструйте пояснення прикладами.

2.	Поясніть, як можна одержати графіки обернених тригонометричних
функцій.
З*. Зобразіть графіки обернених тригонометричних функцій, укажіть
і обґрунтуйте їх найпростіші властивості (область визначення, мно-
жина значень, зростання чи спадання, парність, непарність):
а) у =- агсвіп х; б) у = агссов х; в) у = агсіє х; г) у = агссіє х-

4.	Обґрунтуйте формули:

а) агсвіп (-а) = -агсвіп а; б) агсіє (-а) = -агсіє а;

в) агссов (-а) = я - агссов а; г) агссіє (~а) = я - агссіє а.

^1 Вправи

Обчисліть (1—9).

1°. 1) агсвіп 0;	2) агсвіп 1;
..	. л/з  4) агсвіп —;  2	5) агсвіп (-1);
2”. 1) агсіє 9;	2) агсіє 1;

3°. 1) агссов 0;	2) агссов 1;

4) агссов^;	5) агссов (-1);

4°. 1) агссіє 0;	2) агссіє—;

З

5. 1) віп(агсвіп^); 2*) сов^агсвіпі
6. 1) іє (агсіє 7);	2*) сіє(агсіє-)

7. 1) сов^агссов^; 2*) віп^агссов^
8. 1) сіє(агссіє >/7); 2*) іє(агссіє-)
9*. 1) агсвіп^ віп 2) агсвіп (віп 7);

5) агсіє(іЄу); 6) агсіє (<€ 4);

10*. Доведіть, що агсвіп а+агссов а=

. х/2  3) агсвіп—;  2	
(	л/2 і  6) агсвіпі —— .	
3) агсіє >/3;  ОХ	Ч2  3) агссов—;  2	4) агсіє (->/з).
СІ	(  6) агссові——і.	
3) агссіє >/3;	4) агссіє (—7з).
3*) іє(агсвіпі);	4*) сіє^агсвіп^).
3*) віп (агсіє 3);	4*) сов(агсіє л/2).
3*) іє(агссов|);	4*) сієагссов^.
3*) віп (агссіє 5);	4*) сов^агссіє^)-
3) агссов(сов^);	4) агссов (сов 8);
7) агссіє(сіє^р);  при | а | < 1.	8) агссіє (сіє Ю).
§24

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння
сов х = а, еіп х = а, х = а, сі£ х = а.

Щоб міркування із знаходження коренів цих рівнянь були більш
наочними, скористаємося графіками відповідних функцій.

24.1. Рівняння сов х = а

Таблиця 46

1. Графічна ілюстрація і розв’язки рівняння сов х = а
Графічна ілюстрація



Розв’язки

Приклади

1.	► СО8Х~~,
2

х = ±агссо8-+2пп, п є 2,
2

х = ±-+2пп,пє 2. <
з

2.	► СО8Х-УІЗ.

Коренів немає, оскільки л/3>1. 4 1

2.	Окремі випадки розв’язування рівняння сов х = а

СО8 х - 0 х = -+л/?, к є 2

2

соє х = 1 х = 2пк, к є 2

соє х = —1 х = я + 2пк, к є 2
^1 Пояснення й обґрунтування

1.	Розв’язки рівняння сов х = а. При | а | > 1 рівняння не має коренів,
оскільки | соє х | < 1 для будь-якого х (пряма у = а на рисунку до пунк-
ту 1 таблиці 46 при а > 1 або при а < -1 не перетинає графік функції
у = соє х).

Нехай | а | < 1. Тоді пряма у = а перетинає графік функції у = сов х.
На проміжку [0; я] функція у = сов х спадає від 1 до -1, тому рівняння
сов х = а має тільки один корінь хх = агссое а на цьому проміжку (рису-
нок до пункту 1 таблиці 46).

Косинус — парна функція, тому на проміжку [-я; 0] рівняння
сов х = а теж має тільки один корінь — число, протилежне до х1, тобто
х2 = -агссое а.

Отже, на проміжку [-я; я] (довжиною 2я) рівняння сов х = а при
| а | < 1 має тільки корені х = ±агссо8 а.

Ураховуючи, що функція у = сов х періодична з періодом 2я, а отже,
усі інші корені відрізняються від знайдених на 2яп (п є И), одержуємо
таку формулу коренів рівняння сов х = а при | а | < 1:

х = ±агссов а + 2яп, п є И .	(1)

2.	Окремі випадки розв’язування рівняння сов х = а.

Корисно пам’ятати спеціальні записи розв’язків рівняння сов х = а
при а = 0, а = -1, а = 1, які можна легко одержати, використовуючи
як орієнтир одиничне коло.

Ураховуючи, що косинус дорівнює абсцисі відповідної точки одинично-
го кола, одержуємо, що сов X = 0, якщо відповідною точкою одинично-
го кола є точка А або точка В (рисунок до пункту 2 таблиці 46). Тоді

х = —+ я/г, к є И.

Аналогічно сов х = 1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою
одиничного кола є точка С, отже, х = 2яй, к є И.

Також сов X = —1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою оди-
ничного кола є точка £>, отже, х = я + 2яй, к є И. О

Я Приклади розв'язання завдань

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння СО8Х = — і.

2

	Розв’язання	Коментар
►	х=±агссо8|--)+2яп, п є 2, \ 2/  х = ±(я-^) + 2яп,	~ .	1 11 і  Оскільки — - <1, то задане рівняння виду соз х = а має корені, які можна знайти за формулою (1).
х =+—+2пп.
З

Для обчислення агссов і

Відповідь: ±—+ 2пп, п є 2.
з

можна скористатися формулою:
агссов (—а) = ті — агссов а.

Тоді

агссов!--) = я- агссов(і) = я- - = —.
\ 2/	\2/ з з

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння сов х = уі2.

Розв’язання	Коментар
► Оскільки |^2|>1, то коренів не- має.  Відповідь: коренів немає. <1	Оскільки | >/21 > 1, то задане рів- няння не має коренів (тобто форму- лу (1) не можна використовувати).

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння	. 1  308 4х = ~.  3
Розв’язання	Коментар
4х - ± агссов і + 2ян, п є 2, 3  х = ±-агссові +—, п є 2.  4	3	2  Відповідь: ± і агссов-+ —, п є 2. 0 4	3	2	Оскільки |“ <1, то можна ско- ристатися формулою (1).  1  Ураховуючи, що агссов- не є табличним значенням, для одер- жання відповіді достатньо, після того як знайдено 4х за формулою (1), обидві частини останнього рівняння розділити на 4.

Зауваження. Якщо за умовою завдання потрібно знайти наближе-
не значення коренів заданого рівняння в якомусь проміжку, то за допо-
могою калькулятора знаходимо -^агссов ^==0,31, ^ = 1,57, записуємо
наближене значення коренів у вигляді х » ±0,31 + 1,57п, п є 2, обчис-
люємо наближене значення коренів при п = 0, ±1, ±2... та обираємо ко-
рені, що входять до заданого проміжку.
Приклад 4

Розв’яжіть рівняння СОБ

Розв’язання

► 2х-- = ±агссоБ —+ 2пп, п є 2,
з	2

2х - - = ±-+2пп,
з 4

х = -± —+ лп, п є 2.

6 8

Відповідь: — ± — + пп, п є 2. <1
б 8

Коментар

Оскільки

то можна ско-

ристатися формулою (1), щоб зна-

йти значення виразу 2х-^, який
стоїть під знаком косинуса. Після
цього з одержаного лінійного рів-
няння знаходимо х.

24.2. Рівняння віп х = а

Таблиця 47

1. Графічна ілюстрація і розв’язки рівняння біті х = а

Розв’язки

Приклади

1.	► 8ІПХ = —,
2

х = (-1)" агсБІп і + пп, п є 2.

х = (-1)п- + лп, п є 2. =0
б

2.	► БІПХ = л/3.

Коренів немає, оскільки у/з>1.
Продовження табл. 47

2. Окремі випадки розв’язування рівняння зіп х = а

 Пояснення й обґрунтування

1.	Розв’язки рівняння зіп х = а. При | а | > 1 рівняння не має коренів,
оскільки | зіп х | < 1 для будь-якого х (пряма у = а на рисунку 160 при
а > 1 або при а < -1 не перетинає графік функції у = зіп х).

Нехай | а

На проміжку

< 1. Тоді пряма у = а перетинає графік функції у = зіп х.
~2 ’ функція у = зіп х зростає від —1 до 1, тому рівнян-

ня зіп х - а має тільки один корінь х± = агсзіп а на цьому проміжку
(рис. 160) (і для цього кореня зіп х = а).

На проміжку	функція у = зіп х спадає від 1 до -1, тому рів-

няння зіп х = а має на цьому проміжку теж тільки один корінь
х2 — я — агсзіп а (рис. 160). Для перевірки правильності запису значення
другого кореня х2 зазначимо, що х2 = я — х . Тоді зіп х2 = зіп (я — хг) =
= зіп х1 = а, тобто х2 — корінь рівняння зіп х = а.

Отже, на проміжку	(довжиною 2я) рівняння зіп х = а при

| а | < 1 має корені х1 = агсзіп а, х2 = я — агсзіп а.
Оскільки функція у = зіп х періодична з періодом 2л, усі інші корені
відрізняються від знайдених на 2л/? (к є И). Отже, одержуємо такі фор-
мули коренів рівняння зіп х = а при | а | < 1:

.	х = агсзіп а + 2л/?;	(1)

х = л - агсзіп а + 2л/?, к є И.	(2)

Усі значення коренів рівняння зіп х = а при | а | < 1, які дають фор-
мули (1) і (2), можна записати за допомогою однієї формули

х = (—1)" агсзіп а + лп, п є X .	(3)

Дійсно, з формули (3) при парному п = 2к одержуємо:
х = агсзіп а + 2л/? — формулу (1), а при непарному п = 2к + 1 — форму
лу х = -агсзіп а + л (2к + 1) = л — агсзіп а + 2л/?, тобто формулу (2).

2.

Окремі випадки розв’язування рівняння зіп х = а.

Корисно пам’ятати спеціальні записи
розв’язків при а = 0, а = -1, а = 1, які
можна легко одержати, використовуючи
як орієнтир одиничне коло (рис. 161).

Ураховуючи, що синус дорівнює ординаті
відповідної точки одиничного кола, одер-
жуємо, ЩО ЗІП X 0, якщо відповідною
точкою одиничного кола є точка С або точ-
ка £>. Тоді

х = тік, к є X.

Аналогічно зіп х = 1 тоді і тільки тоді, коли

відповідною точкою одиничного кола є точка А, отже, х- — + 2тік, к є X.

2

Також зіп х = — 1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою оди

ничного кола є точка В, отже, х = -—+ 2лй, к є X.

2

_ Ш Приклади розв'язання завдань

V З

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння зіпх = —

Розв’язання

Коментар

і і

► х = (-1)" агсзіп-------+ лп, п є X.

І 2 7

х = (-1)"	+ лп, п є X.

Відповідь: (-1)"	+ лп, п є X. <1

Оскільки

то задане

рівняння виду зіп х = а має кор< ні
які можна знайти за формулою (3).

„	~	( 7.4 1

Для обчислення агсзіп І —- І
можна скористатися формулою

агсзіп (—а) = —агсзіп а.
Тоді

.	л/3	. л/3 л

агсвіп----------- -агсвіп — = —.

І 2 )	2	3

Зауваження. Відповідь до прикладу 1 часто записують у вигляді

х = (-1)п+1 — + пп, п є 2, але такий запис не є обов’язковим.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

►	Оскільки |^|>1, то коренів не-
має.

Відповідь: коренів немає.

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

►	2х +- = (-1)" агсвіп і+ лп, пє2,
4	2

2х + - = (-1)п- + тш,
4	6

х=(-і)"А_іе+™ п&г.

'	12 8	2

Відповідь: (-1)" — --+— п є 7,. <

12 8	2

л

81ПХ ——.

2

Коментар

Оскільки | | > 1, то задане рів-
няння не має коренів (тобто форму-
лою (3) не можна скористатися).

віп|2х + — ) = -.

\	4/ 2

Коментар

„	І 1 I ч

Оскільки - <1, то можна ско-
I 21

ристатися формулою (3) для знахо-
дження значення виразу 2х + —,
4
а потім з одержаного лінійного
рівняння знайти змінну х.

24.3. Рівняння х = а і сі£ х = а

Таблиця 48

1. Графічна ілюстрація і розв’язки рівняння х = а
Продовження табл. 4Н

Формула

ІЄ х = а
х = агсіє а + лп, п & X

Окремий випадок

іЄ х = 0
х = пп, п є X

Приклад

ІЄ х = 1.

х = агсіє 1 + ЛП> п є X.

х = -+пп, п є X. <

4

Приклад

Формула

сіє х = а
х = агссіє а + ЛП» п & X

Окремий випадок

сіє х = 0

х =—+ пп, п є X

2

сіє х = 7.

х = агссіє 7 + пп, п є X. І

МВ Пояснення й обґрунтування

1.	Розв’язки рівнянь іє х = а і сіє х = а.

• Розглянемо рівняння іє х = а. На проміжку —І функція у = іє х
\ 2 2 /

зростає (від —о® до +°°), тому рівняння іє х = а при будь-якому зна-
ченні а має тільки один корінь х1 = агсіє а на цьому проміжку
(рисунок до пункту 1 таблиці 48).

З урахуванням того, що функція у = іє х періодична з періодом л
і всі інші корені відрізняються від знайденого на пп (п є X), одержу-
ємо таку формулу коренів рівняння

ІЄ х = а:
х = агсіє а + пп, п є 2 •	(1)

При а = 0 агсіє 0 = 0, отже, рівняння іє х = 0 має корені х = лп,
л є л. О

О Розглянемо рівняння сіє х - а. На проміжку (0; л) функція у = сіє х
спадає (від +«> до -°°), тому рівняння сіє х = а при будь-якому зна-
ченні а має тільки один корінь х1 = агссіє а на цьому проміжку (ри-
сунок до пункту 2 таблиці 48).

Ураховуючи, що функція у = сіє х періодична з періодом л і всі інші
корені відрізняються від знайденого на лп (п є 2), одержуємо таку
формулу коренів рівняння сіє х = а:

х = агссіє а + лп, п є(2)

При а = 0 агссіє 0 = “> отже, рівняння сіє х = 0 має корені х = + лп,

п є 2. О

МВ Приклади розв'язання завдань

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння ІЄ х = -\13.

Розв’язання	Коментар
► х = агсіє (->/з) + лп, п є И.  х = -- + пп, п є 2.  3  Відповідь: ~— + пп, п є 2. <  3	Рівняння іє х = а має розв’язки при будь-якому значенні а, отже, завжди можна скористатися форму- лою (1):  х = агсіє а + лп, п є 2.  Для знаходження агсіє (—7з) можна використати формулу агсіє (-а) = _агсіє а- Тоді  агсіє (—7з) = -агсіє л/з = --.  3
Приклад 2 Розв’яжіть рівняння ієі —- —1 = 1-	
	
Розв’язання	Коментар
^-^ = агсіє1+лп, п є 2,  X П л . 	= —і лп, 2 4 4  х = л + 2лп, п є 2.  Відповідь: л + 2лп, п є 2. <	Спочатку за формулою (1) зна- йдемо значення виразу	а потім  з одержаного лінійного рівняння — значення змінної х.
Приклад 3 Розв’яжіть рівняння сіє х = 5.

Розв’язання	Коментар
х = агссіє 5 + пп, п є 2.  Відповідь: агссіє 5 + тій, п є 2. <	Рівняння сіє х = а має розв’язки при будь-якому значенні а, отже, завжди можна скористатися форму- лою (2):  х = агссіє а + пп, п є 2.  Ураховуючи, що агссіє 5 не є та- бличним значенням (див. табл. 26, наведену в § 17), одержана формула дає кінцеву відповідь.

Приклад 4 Розв’яжіть рівняння сіє|3х + —1 = —1.

\	6/

Розв’язання	Коментар
►	Зх + — = агссіє (-1) + лп, п є 2,  6  п . п ЗтС , Зх + - = — + пп,  6	4  х=^+™, 36	3  Відповідь: — + ~ п є 2. <  36	3	Спочатку за формулою (2) зна- йдемо значення виразу Зх + -, а 6 потім з одержаного лінійного рів- няння — значення змінної х.  Для того щоб знайти агссіє (—1), можна скористатися формулою агссіє (-а) = л - агссіє Тоді  агссіє (-1) = п - агссіє 1 = я - — = —.  4	4

 Запитання для контролю

1.	Які рівняння називають найпростішими тригонометричними?

2.	Назвіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних
рівнянь. У яких випадках не можна знайти корені найпростішого
тригонометричного рівняння за цими формулами?

3.	Виведіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних
рівнянь.

4*. Обґрунтуйте формули розв’язування найпростіших тригонометрич-
них рівнянь для окремих випадків (для віп х = а і сов х = а випадки
а = 0; 1; -1, для іє х = а і сіє х = а випадок а = 0).
Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—11).

1'. 1) созх ——;  2	2)	соз х - л/З;	3) собх = --;  2	лі	^/2  4) совх =	.  2
2°. 1) 8іпх = -;  2	2)	л/з віп х = —;  2	3) віпх = --;  2	4) віп х 		.  2
3°. 1) іє х = 1;	2)	ІЄХ = Д=;  УЗ	3) іє х = -1;	4) ієх = —Уз.
4°. 1) сіє х = 1;	2)	сіє х =  УЗ	3) сіє х = -1;	4) сієх = —Уз.
5. 1) віп х = -0,6;	2)	сов х = 0,3;	3) іє х = -3,5;	4) сіє х = 2,5.
6. 1) сов2х = -;  2	2)	віп 4х = 0;	3) іє Зх = 1;	4) іе 4х = 3.
7-« “"(-ї)=4;	2)	І >І2 сов—=	;  5	2	3) ‘еНН:	4) сіє^ = 1-
8*. 1) віп 2х=—;  2	2)	х 1 сов— - —;  3	2	X 1  3) віп—= 4	2	4) сов 4х = 0.
9. 1) віп(--) =—; \ 3/	2			2) сов(-2х) = --	!^.  2 ’
3) іє(-4х) = -^;  УЗ			4) сіє(-|) = 1.	
10. 1) 2с°в(|-^) = л/3;			2) л/3^) =	= 3;
3) 2 віп(зх-^) = --У	2;		4) -п(|-ї)+1	= 0.
11. 1) сов^-2х) = -1;			2) «(ї-|)=-1	
3) 2«п(і-£)=^			4) 2сов(^-3х);	= у^.

Знайдіть корені рівняння на заданому проміжку (12—13).

12*. 1) віпЗх = ^р [0, 2я];

3)	=	[-Зя, Зя];

13*. 1) віпЗх——і, [-4, 4];

3) сов х = 1, [-6, 16];

2) сов Зх —[—я, я];

4) сіє 4х = -1, [0, я].

2) кіп| = 0, [-12, 18];

4) совЗх = ——[1, 7].
§25

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ,
ЯКІ ВІДРІЗНЯЮТЬСЯ ВІД НАЙПРОСТІШИХ

Як правило, розв’язування тригонометричних рівнянь зводиться до
розв’язування найпростіших рівнянь за допомогою перетворень тригоно-
метричних виразів, розкладання на множники та заміни змінних.

25.1. Заміна змінних при розв'язуванні тригонометричних
рівнянь

Слід пам’ятати загальний орієнтир, коли заміну змінних можна ви-
конувати без перетворення заданих тригонометричних виразів.

І Якщо до рівняння, нерівності або тотожності змінна вхо-
дить в одному і тому самому вигляді, то відповідний вираз зі
змінною зручно позначити однією буквою (новою змінною).

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння 2 віп2 х - 7 віп х + 3 = 0.

Розв’язання

Нехай віп х = і, тоді одержуємо:
2і2 - 7і + 3 = 0. Звідси

і,	= 3;

1	2 2

1.	При І = 3 маємо віп х = 3 — рів-
няння не має коренів, оскільки
І 3 | > 1.

2.	При і = - маємо віпх = -,
2	2

тоді х = (-1)" агсвіп ± + пп,

Коментар

Аналізуючи вигляд цього рів-
няння, помічаємо, що до нього вхо-
дить тільки одна тригонометрична
функція — віп х. Отже, зручно ввес-
ти нову змінну віп X = і.

Після того як квадратне рівнян-
ня розв’язане, необхідно виконаї ч
обернену заміну і розв’язати одер-
жані найпростіші тригонометричні
рівняння.

х = (-1)" + пп, п є 2.

Відповідь: (-1)"- + лп, п є 2. <
6

Зауваження. Записуючи розв’язання прикладу 1, можна при вве
денні заміни віл х = І урахувати, що | віп х | < 1, і записати обмеження
| і | < 1, а далі зазначити, що один із коренів І = 3 не задовольняє умові
| 11 < 1, і після цього обернену заміну виконувати тільки для 1 = -.
Приклад 2 Розв’яжіть рівняння іє3 2х - 2х = 0.

Коментар

До заданого рівняння змінна входить тільки у вигляді іє 2х. Отже,
зручно ввести нову змінну 2х = і. Після виконання оберненої замі-
ни і розв’язування одержаних найпростіших тригонометричних рівнянь
слід записати до відповіді всі одержані корені.

Розв’язання

► Нехай іє 2х = і. Тоді одержуємо і3 - І = 0. Звідси і (і2 — 1) = 0, тобто
і = 0 або І2 — 1 = 0. З останнього рівняння маємо і2 = 1, звідси і = 1
або і = -1.

Виконуємо обернену заміну:

1.	При І = 0 маємо іє 2х = 0, тоді 2х = тгп, п є 2. Отже, х = ^, п є 2.

2.	При і = 1 маємо іє 2х = 1, тоді 2х = агсіє 1 + ят, 2х = — + пт. Отже,

4

71 , ДШ	ф

х = - +—, т є £.

8	2

3. При І = — 1 маємо іє 2х = -1, тоді 2х = агсіє (-1) + л/г, 2х = —— + як. Отже,

4

Х = _’Е + ^. к є 2.

8	2

Відповідь:	п є 2; -+™, т є 2; -- + -Ї* к є 2. <

2	8	2	8	2

Шукаючи план розв’язування більш складних тригонометричних
рівнянь, можна скористатися таким орієнтиром.

1.	Пробуємо звести всі тригонометричні функції до одного аргументу.
2. Якщо вдалося звести до одного аргументу, то пробуємо всі триго-
нометричні вирази звести до однієї функції.

3.	Якщо до одного аргументу вдалося звести, а до однієї функції — ні,
то пробуємо звести рівняння до однорідного.

4.	В інших випадках переносимо всі члени рівняння в один бік і про-
буємо одержати добуток або використовуємо спеціальні прийоми
розв’язування.

25	.2. Розв’язування тригонометричних рівнянь зведенням
до однієї функції (з однаковим аргументом)

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння сов 2х - 5 віп х — 3 = 0.

Розв’язання

Коментар

Використовуючи формулу ко-
синуса подвійного аргументу
та основну тригонометричну
тотожність, одержуємо:

Усі тригонометричні функції
зводимо до одного аргументу х, ви-
користовуючи формулу

сов2 2х = сов2 х — віп2 X.
СО82 X - 8ІП2 х - 5 ВІП X - 3 = 0,
1 - 8ІП2 х - 8ІП2 х - 5 віп х - 3 = 0,
-2 віп2 х — 5 віп х — 2 = 0.

Заміна віп х = і дає рівняння
—2і2 - 57 - 2 = 0.

Тоді 2і2 + 5і + 2 = 0, і, = —2, і,
1	£	2

Виконуємо обернену заміну:
1. При і = -2 маємо віп х = -2 — ко-
ренів немає, оскільки | 2 | > 1.

2. При 1 = -- маємо віпх = - -.

2	2

Тоді

х = (-1)" агсвіп + пп,

Потім усі тригонометричні ви
рази зводимо до однієї функції ні н х
(ураховуємо, що сов2 х = 1 - віп2 х)

В одержане рівняння змінна
входить в одному і тому самому
вигляді — віп х, отже, зручно вико
нати заміну віп х = і.

Зазначимо, що для розв’язу ва н н я
заданого прикладу можна було та
кож використати формулу сов 2а =
= 1 — 2 віп2 а, що дозволить за один
крок звести всі тригонометричні ви
рази і до одного аргументу і до од
нієї функції.

+ пп, П Є 2.

Відповідь: (-1)"|-—] + пп, п є 2. <
\ 6/

Зауваження. При бажанні

відповідь можна записати у вигляді

(-1)"+1| + лп, п є 2.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння х + 2 сіє х = 3.

Розв’язання

Коментар

► ІЄ* + ------3. Заміна: іє х = і.

2

Маємо рівняння і + - = 3.

При 7*0 отримуємо рівносильне
рівняння

і2 - Зі + 2 = 0.

Звідси 7] = 1, і2 = 2.

Виконуємо обернену заміну:

1.	При 7 = 1 маємо іє х = 1, тоді

х = агсіє 1 + яп,

х = — + пп, п є 2.

4

2.	При 7 = 2 маємо 1% х = 2, тоді

х = агсіє 2 + пт, т є 2.

Відповідь: — + пп, п є 2;

4

Усі аргументи вже однакові (.г),
тому зводимо всі тригонометричні
вирази до однієї функції — іє х
(ураховуємо, що сіє * = —1.

І£Х )

В одержане рівняння зміннії
входить в одному й тому самому ви
гляді іє х, отже, зручно виконати
заміну іє х = і.

агсіє 2 + пт, т є 2. <
25	.3. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь
та зведення тригонометричного рівняння до однорідного
Розглянемо рівняння 8ІП2 х - ВІП X СОБ х - 2 СОБ2 X = 0.	(1)

Для пошуку плану розв’язування цього рівняння (але не для його
розв’язування) виконаємо заміни: біп х = и, соб х = V. Тоді рівняння (1)
матиме вигляд

и2 -ии- 2і>2 = 0.	(2)

Усі одночлени, які стоять у лівій частині цього рівняння, мають
степені 2 (нагадаємо, що степінь одночлена ии теж дорівнює 2). У цьому
випадку рівняння (2) (і відповідно рівняння (1)) називають однорідним,
і для розпізнавання таких рівнянь та їх розв’язування можна викорис-
товувати такий орієнтир.

І Якщо всі члени рівняння, у лівій і правій частинах якого сто-
ять многочлени від двох змінних (або від двох функцій однієї
змінної), мають однаковий сумарний степінь1, то рівняння
називається однорідним. Розв’язують однорідне рівняння ді-
ленням на найвищий степінь однієї зі змінних.

Зауваження. Дотримуючись цього орієнтира, доводиться ділити
обидві частини рівняння на вираз зі змінною. При цьому можна втрати-
ти корені (якщо коренями є ті числа, при яких дільник дорівнює нулю).
Щоб уникнути цього, необхідно окремо розглянути випадок, коли вираз,
на який ми збираємося ділити обидві частини рівняння, дорівнює нулю,
і лише після цього виконувати ділення на вираз, що не дорівнює нулю.

Розв’яжіть рівняння БІП2 х - БІП X СОБ х — 2 СОБ2 X — 0.

Приклад 1

Розв’язання

При соб х = 0 рівняння не має
коренів, тому розділимо обидві
його частини на соб2 х ф 0.

Одержуємо

2	•	2

ВІП X 81П х СОВ X „ сов х _ п

2	2	2	—

СОВ X СОВ X	СОВ X

. 2
, ВІП X 8Ш X „	_

тобто —„----------2 = 0.

СОВ X СОВ X

Тоді і£2 х - іє х - 2 = 0.

Заміна х = і дає рівняння
і2 - і - 2 = 0,
^ = -1,^=2.

Коментар

Задане рівняння однорідне,
оскільки всі його члени мають од-
наковий сумарний степінь 2. Його
можна розв’язати діленням обох
частин на віп2 х або на соб2 х.

Якщо ми будемо ділити на
соб2 х, то, щоб не втратити корені,
випадок соб х = 0 розглянемо окре-
мо. Підставляючи соб х = 0 в задане
рівняння, одержуємо біп х = 0. Але
одночасно БІП X І СОБ х не можуть
дорівнювати нулю (оскільки біп2 х +
+ соб2 х = 1). Таким чином, значення

1 Звичайно, якщо рівняння має вигляд / = 0, ідеться тільки про степінь чле-
нів многочлена /, оскільки нуль-многочлен (тобто 0) степеня не має.
Виконуємо обернену заміну:
1) При і = — 1 маємо іє х = —1, тоді
х = агсіє ('І) + яп,
х--- + тт, п є 2.

4

2)	При і = 2 маємо 1% х = 2, тоді
х = агсіє 2 + пт, т є 2.

Відповідь: + пп, п є 2;

4
агсіє 2 + пт, т є 2. <

змінної х, для яких соз х = 0, не
є коренями заданого рівняння. А при
соз х * 0 можна розділити обидві час
тини заданого рівняння на соз2 х * 0
і одержати рівносильне рівняння І та
врахувати при цьому, що

ВІП X ,	]

	=	•
сов X------І

В одержане рівняння змінна
входить в одному й тому самому ви
гляді іє х, тому зручно виконати за
міну іє х - і.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння зіп Зх = 5 соз Зх.

Розв’язання

► При соз Зх = 0 рівняння не має
коренів, тому розділимо обидві
його частини на соз Зх * 0.

Одержуємо

8—3- = 5, тобто іє Зх = 5. Тоді
сов Зх

Зх = агсіє 5 + пт,
х = іагсієб + ^, т є 2.

Відповідь: -агсіє 5 + —, т є 2. <

З	з

Приклад 3 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

Використовуючи формулу сину-
са подвійного аргументу, маємо

Коментар

Задане рівняння однорідні.
оскільки всі його члени мають од
наковий степінь 1. Його можна
розв’язати діленням обох частин на
зіп Зх або на соз Зх.

Якщо ми будемо ділити на соз Зх,
то, щоб не втратити корені, випадок
соз Зх = 0 розглянемо окремо.

Підставляючи соз Зх = 0 в зада
не рівняння, одержуємо зіп Зх = 0.
Проте одночасно зіп Зх і соз Зх не мо-
жуть дорівнювати нулю. Отже, при
соз Зх = 0 рівняння не має кореїчв.
А при соз Зх # 0 можна розділити
обидві частини заданого рівняння
на соз Зх * 0 і одержати рівняння,
рівносильне заданому (і врахувати
при цьому, що

віп Зх , „ |
---— = *є3х .
сов Зх	І

зіп2 х + і зіп 2х—соз2 х = 2.

2

Коментар

Спочатку зведемо всі тригонометрич
ні функції до одного аргументу х.
6 ЗІП2 X + ВІП X СО8 X ~ СОВ2 X = 2. (1)
Запишемо це рівняння так:

6 ВІП2 X + ВІП X СО8 X - СОВ2 X = 2 • 1
і врахуємо, ЩО 1 = ВІП2 X + СО82 X.

Тоді

6 ВІП2 X + віп X сов х - СОВ2 X =
= 2 (віп2 х + сов2 х).

Звідси

4 віп2 х + віп х сов х - 3 сов2 х = 0. (2)

При сов х = 0 рівняння не має
коренів, тому розділимо обидві його
частини на сов2 х * 0. Одержуємо
р

4 ^_Л + ^_3 = 0,
СО8 X СОВ X

4 іє2 х + іє х - 3 = 0.	(3)

Заміна: х = і. Отримуємо рів-
няння

4і2 + і - 3 = 0,

*І = -1, іг=-.
1	2 4

Виконуємо обернену заміну:

1.	При і = -1 маємо іє х = -1, тоді
х = агсіє (~1) + лп,

х = -- + пп, п є 2.

4

З	з

2.	При і = - маємо Ї£х = ~, тоді
4	4

З

х = агсіє- + пт, т є 2.

Відповідь: —— + пп, п є 2;

4

з

агсіє - + Л7П, т є 2. <

4

використовуючи формулу
віп 2х = 2 віп х соз х.

У лівій частині одержаного рів-
няння (1) стоїть однорідний вираз
другого степеня, а в правій части-
ні — число 2. Якщо домножити 2 на
1, а одиницю розписати за основною
тригонометричною тотожністю
1 = віп2 х + сов2 х, то в лівій і правій
частинах одержаного рівняння всі
вирази будуть другого степеня, тоб-
то одержимо однорідне рівняння (2),
яке можна розв’язати діленням обох
частин або на віп2 х, або на сов2 х.

Якщо ділити на сов2 х, то, щоб не
втратити корені, випадок сов2 х = 0
слід розглянути окремо.

Підставляючи сов х = 0 у рів-
няння (2), одержуємо віп х = 0. Але
одночасно віп х і сов х не можуть до-
рівнювати нулю (оскільки віп2 X +
+ сов2 х = 1). Отже, при СОВ X = 0
рівняння (2) не має коренів. А при
сов х 0 можна розділити обидві
частини цього рівняння на сов2 х 0
(і врахувати при цьому, що

ВІН X .	)

------= Ї£х .
СОВ X-І

В одержане рівняиня (3) змінна
входить в одному й тому самому ви-
гляді іє х, через це зручно виконати
заміну іє х = і.

25.4.	Розв’язування тригонометричних рівнянь виду / (х) = 0
за допомогою розкладання на множники

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння віп 7х = віп 5х.

Розв’язання

► зіп 7х — віп 5х = 0, тоді

о . 7х-5х	7х + 5х с

2 віп-----сов--------- 0,

2	2

Камантар

У цьому рівнянні достатньо
важко всі тригонометричні функції
звести до одного аргументу.
2 віп х сов 6х = 0.

Одержуємо:

віп х = 0 або сов 6х = 0.

Розв’язуючи останні найпрості-
ші тригонометричні рівняння, має-
мо:

х = пп, п є 2, або 6х = — + пт,

2

с	я . Я7П	гг

тобто х = — ч---, т є 2.

12	6

Відповідь: пп, п є 2;

7Г 7Г771	г,

—і----, т є £. хі

12	6

У такому випадку слід скорис-
татися четвертим пунктом орієнти-
ра, наведеного в п. 25.1: перенести
всі члени рівняння в один бік і спро-
бувати одержати добуток, що до-
рівнює нулю.

Для цього застосуємо формулу
перетворення різниці синусів у до-
буток:

. а-В а+В

= 2 віп —-сов —-.

2	2

Але у разі якщо добуток дорів-
нює нулю, то хоча б один із спів-
множників дорівнює нулю, а інші
співмножники мають зміст. У да-
ному випадку всі задані й одержані
вирази мають зміст на всій множині
дійсних чисел.

У кінці враховуємо, що зада-
не рівняння рівносильне сукупнос-
ті рівнянь віп х = 0 або сов 6х = 0,
і через те у відповіді мають бути
записані всі корені кожного з цих
рівнянь.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння віп х + віп Зх = віп їх.

Розв’язання

Коментар

► о. х + Зх	х-Зх	. . г,

2 віп----сов------віп 4х = 0,

2	2

2 віп 2х сов х - віп 4х = 0,

2 віп 2х сов х-2 віп 2х сов 2х = 0,

2 віп 2х (сов х - сов 2х) = 0,
віп 2х = 0 або сов х - сов 2х = 0.

З першого з цих рівнянь:

2х = тіп, х~—~, п є 2.
2

Друге рівняння перетворимо так:

2. х + 2х - х - 2х п
віп------віп--= 0,

2	2

2 віп —віп —= 0.

2	2

Зразу скористаємося четвер-
тим пунктом орієнтира, наведено-
! го в п. 25.1: переносимо всі члени
рівняння в один бік і пробуємо одер
жати добуток, що дорівнює нулю.

Для цього застосуємо форму-
лу перетворення суми синусів, яка
стоїть у лівій частині рівняння, на
добуток:

Рп . а+В а В

= 2 віп —-сов —-
2	2

(і врахуємо, що сов (—х) = сов х).

Для того щоб винести який
небудь вираз за дужки і одержати
Звідси 8Іп^ = 0 або йіп~ = О.

З цих рівнянь одержуємо:

— =пт, тє2, або — = пк, к є 2.

2	2

х = або х = 2лЛ, к є 2.

З

Відповідь:	п є 2;

2

т є 2;

З

2як, к є 2. <

1 добуток, достатньо записати віп 4х
як синус подвійного аргументу (тоді
за дужки можна винести віп 2х).

Якщо добуток дорівнює нулю,
то хоча б один із співмножників до-
рівнює нулю.

У другому з одержаних рівнянь
перетворимо різницю косинусів на
добуток. У кінці враховуємо, що всі
задані і одержані вирази існують на
всій множині дійсних чисел. Отже,
задане рівняння на цій множині рів-
носильне сукупності рівнянь:

віп 2х = 0 або віп—= 0 або

2

- х г.

вт—= 0,

2

і тому до відповіді потрібно записати
всі корені кожного з цих рівнянь.

Зауваження. Запис відповіді можна скоротити. Так, якщо зобра-
зити всі знайдені розв’язки на одиничному колі, то побачимо, що

розв’язок х = 2лЛ дає ті самі точки, що й формула х = — ПРИ кратно-

2

му 4 (и = 4Л), або формула х=-пт при т, кратному 3 (т = ЗЛ). Таким

З

чином, формула х — 2пк не дає нових розв’язків порівняно з формулами

х = — або х = -пт, і тому відповідь може бути записана у вигляді тіль-

2	З

ки двох останніх формул. Але таке скорочення відповіді не є обо-
в’язковим.

25.5.	Відбір коренів тригонометричних рівнянь

Якщо при розв’язуванні тригонометричних рівнянь необхідно від-
бирати корені, то найчастіше це роблять так:

знаходять (бажано найменший) спільний період усіх тригоно-
метричних функцій, що входять у запис рівняння (звичайно, якщо
цей спільний період існує); потім на цьому періоді відбирають коре-
ні (відкидають сторонні), а ті, що залишаються, періодично продов-
жують.
Приклад. Розв’яжіть рівняння віп 4х х = 0.

(1)

І спосіб розв’язування

Розв’язання
віп 4х = 0 або х - 0.

Тоді 4х = пп (тобто х = —, п є 2)
4

або х = тік, к є 2.

Функція у = віп 4х має період
а функція у = і£ х — пе-
ріод Т2 = л. Тоді Т = л є спільним пе-
ріодом для обох функцій. Позначимо
всі одержані корені на одному пері-
оді, наприклад на проміжку [0; л]:

л	я.	я. Зл л X

и	4	2	4

При х = ~ значення і£ х не іс-

я

нує, отже, х = — не є коренем зада-
ного рівняння.

При значеннях 0, —, —, л одер-

4	4

жуємо рівність 0 = 0. Отже, ці зна-
чення є коренями рівняння (1).

Тоді розв’язками заданого рівняння
будуть такі:

х — тік’,

х = - + тік;

4

х = ~ + пк, к є 2.

4

Відповідь: тік; - + тік;

4

— + пк, к є 2. 0

4

Коментар

Якщо число х є коренем рів-
1 няння (1), то при цьому значенні
х рівність (1) перетворюється на
правильну числову рівність. Добу-
ток двох чисел може дорівнювати
нулю тільки тоді, коли хоча б один
із множників дорівнює нулю. Отже,
кожен корінь рівняння (1) буде ко-
ренем сукупності рівнянь віп 4х = 0
або х = 0.

Замінивши рівняння (1) на цю
сукупність, ми не втратимо коре-
ні заданого рівняння, але можемо
одержати сторонні для нього корені,
наприклад такі, при яких перший
множник дорівнює нулю, а другий
не існує.

Щоб відкинути такі значення,
виконаємо перевірку одержаних
коренів підстановкою в початкове
рівняння на одному періоді — про-
міжку довжиною л.

На цьому періоді відбираємо ко-
рені (відкидаємо сторонні), а ті, що
залишаються, періодично повторю-
ємо (тобто додаємо до одержаних
' коренів тік, к є 2).

Зауваження. При розв’язуванні рівняння (1) ми не стежили за рів
носильністю виконаних перетворень, але виконували такі перетворення,
які не приводили до втрати коренів. Інакше кажучи, ми користувалися
рівняннями-наслідками (якщо всі корені першого рівняння є коренями
другого рівняння, то друге рівняння називається наслідком першого)1.
У цьому випадку ми могли отримати сторонні для заданого рівняння ко-
рені (тобто ті корені останнього рівняння, які не є коренями заданого).
Щоб цього не сталося, треба користуватися таким орієнтиром.

І Якщо при розв’язуванні рівняння застосовують рівняння-
наслідки, то перевірка одержаних коренів підстановкою
в початкове рівняння є обов’язковою складовою частиною
розв’язування.

Якщо для розв’язування цього самого рівняння (1) ми будемо вико-
ристовувати рівносильні перетворення, то відбір коренів буде здійснено
дещо інакше: зокрема, доведеться врахувати ОДЗ рівняння, тобто спіль-
ну область визначення для всіх функцій, які входять до запису рівняння.

II спосіб розв’язування рівняння зіп 4х х = 0.

Розв’язання

ОДЗ: хї^ + як, к є 2.
зіп 4х = 0 або х = 0.

Тоді 4х = лп, тобто х=™, п & 2,

або х = як, к є 2.

Функція у = зіп 4х має період
Т} - — = —, а функція у = х — пе-
ріод Т2 = л. Тоді Т = л є спільним
періодом для обох функцій. Позна-
чимо всі одержані корені на одному
періоді, наприклад на проміжку
[0; л], і на цьому ж проміжку позна-
чимо обмеження ОДЗ:

я	я	Зп л X

4	2	4

Під повідь: як; — + як:

4

^ + як, кє2.<

4

Коментар

Усі рівносильні перетворення
рівнянь виконують на їх області
допустимих значень (ОДЗ), тому
потрібно врахувати ОДЗ.

Добуток двох множників дорів-
нює нулю тоді і тільки тоді, коли
хоча б один із множників дорівнює
нулю, а другий множник має зміст.
На ОДЗ обидва множники мають
зміст, тому на ОДЗ задане рівнян-
ня рівносильне сукупності рівнянь
зіп 4х = 0 або х = 0.

Ті корені сукупності, які вхо-
дять до ОДЗ, достатньо відібрати на
одному періоді — проміжку довжи-
ною л, а потім одержані розв’язки
періодично повторити.

Значення х = ^ не входить до
ОДЗ, отже, воно не є коренем зада-
ного рівняння.

Значення 0, л входять до

ОДЗ, отже, ці значення є коренями
заданого рівняння.

1 Докладніше про рівняння-наслідки див. у п. 3.1.
 Запитання для контролю

1.	Які способи використовують при розв’язуванні тригонометричних
рівнянь? Наведіть приклади.

2.	Яку заміну змінних можна виконати при розв’язуванні рівняння
8 сов2 х — 2 сов х — 1 = 0? Яке рівняння одержимо після заміни?

3.	а) Поясніть, чому рівняння 3 віп2 х — віп х сов х - 2 сов2 х = 0 є од-
норідним.

б*) Як можна розв’язати це однорідне рівняння?

4.	Як можна виконати відбір коренів тригонометричного рівняння?
Проілюструйте відбір коренів тригонометричного рівняння на при-
кладі.

Ш Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—20).

1.	1°) 3 віп2 х - 5 віп х - 2 = 0;

3°) 4 віп2 х + 11 віп х - 3 = 0;

2.	1°) 6 сов2 х + сов х - 1 = 0;

3°) 2 сов2 х - сов х - 3 = 0;

3.	1°) 2 віп2 х + 3 сов х = 0;

3°) 5 сов2 х + 6 віп х - 6 = 0;

4.	1°) З іє2 х + 2 іє х - 1 = 0;

2) 3 віп2 2х + 10 віп 2х + 3 = 0:

4) 2віп2——Звіп —+ 1 = 0.
2	2

2) 2 сов2 Зх - 5 сов Зх - 3 = 0;

4) 2 сов2- + 3 сов —-2 = 0.
з з

2) 8 віп2 2х + сов 2х + 1 = 0;

4) 4 віп Зх + сов2 Зх = 4.

2) сіє2 2x 6 сіє 2х + 5 = 0;

3°) 2 іє2 х + 3 іє х - 2 = 0;

5.	1) 3 сов 2х = 7 віп х;

6.	1) віп2	х +	2 віп	х сов х — 3	сов2

2)	віп2	х — 4 віп	х сов х + 3	сов2

3)	віп2	х +	віп х	сов х - 2 сов2 х

4)	3 віп2 х + віп	х сов х - 2	сов2

7.	1) сов — = 1+совх;

’	2

3)	5 сов х + 12 віп х = 13;

4)	7 сіє2 | + 2сіє| = 5.

2)	2 сов 2х = 7 сов х.

х = 0;

х = 0;

= 0;

х = 0.

2) іє х-іє(у-х)=1;

4) 3 сов х - 2 віп 2х = 0.

8.	1) 1-совх = 2віп—;

'	2

3)	сов2х = 2-віпх;

З

9.	1) сов х + віп х = 0;

3)	3 сов2 х = 4 віп х сов х - віп2 х;

10.	1) ----^— = 2; 2) ---------= 2;

З сов х + 4	3 віп х + 4

2) 1+совх = 2сов—;

2

4)	л/3віпх-совх = 0.

2)	сов2 х - 3 віп х сов х = -1;

4) 4 сов2 х - 7 віп 2х - 2.

3)	—7=-^----= 1; 4) —7=-^-----= 1.

Зл/2віпх-1	Зд/2совх-1
11.	1) -------= 1;	2) --------= 1;

5 іє х + 8	5 сіє * + 8

12.	1) 251п-* + 7 =2;

1,5 8Іп х + 3

3)	—~ = 3-іЄх;
ІЄ х + 2

ІЗ.	1)	= 11-2 віп х;

віп X + 1

3)	—-— = 2сіе*-1;
іє Х + 1

14.	1) віп х + віп Зх = 0;

3)	сов 2х - сов 6х = 0;

15*. 1) | віп х | = | сов х |;

16*. 1) віп ^2х “)+со8	~ 2х) = 0;

17*. 1) віп2 х — 5 сов х = віп х сов х

3)	- г ----= 1; 4)	----= 1

л/Зієх + 5 2	л/Зсієх + 5 4

2}	2 сов х + 7 _ 2.

1,5совх + 3

4)	——— = 3-сі£х.
сіє х + 2

2) ——— = 11-2совх;
СОВ X + 1

4)	—= 3-СІ£Х.

ІЄХ + 2

2) віп 5х - віп х = 0;

4) сов 4х + сов 2х = 0.

2) |8Іп2х| = |л/Зсов2х|.

о-. - їх , п І Щ	147л

2) Нї+і) = 'Й<“(-Т"ї)'

— 5 віп х;

2) сов2 х - 7 віп х + віп х сов х = 7 сов х.

18.	1) біп2х + соб^-х)віп(“х)-2соб2х = 0;

2)	віп2 Зх+3 сов2Зх—4 віп +Зх)сов +Зх) = 0;

3)	віп2 х + 2 віп (я - х) сов х-3 сов2 (2я - х) = 0;

4)	віп2(2л-Зх) + 5 віп(л-Зх)совЗх + 4 віп2^^ — Зх) = 0.

19.	1) Звіп2 — + 8Іп— віп(— -—) = 2;
2	2	\2 2/

2)	2сов2— -Збіпіл- — )сов(2л-—]+7віп2 —= 3;

3)	4 сов2 +х) + -Уз віп (ф- х)віп (я+х)+3 сов2 (я+х) = 3;

4)	3віп2^х-^)-2сов^+х)сов(л+х) + 2віп2(х-я) = 2.

20.	1) 2віп2(я+х)—5соз^+х)+2 = 0;

2)	2сов2х + 5сов^-х)-4 = 0;

3)	2со82х + 8Іп^-х)-1 = 0;

4)	5 - 5 віп 3 (я - х) = сов2 (л - Зх).
§ 26	РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Системи тригонометричних рівнянь розв’язують за допомогою тих
самих методів, що й алгебраїчні системи, зокрема це виключення невідо-
мих і заміна змінних. Виключити невідомі можна за допомогою одного
з двох прийомів: з одного рівняння виразити якесь невідоме (або функ-
цію від нього) і підставити його в інші або перетворити задані рівняння
і потім скласти з них комбінації, у яких число невідомих зменшується.

Приклад 1

Розв’яжіть систему рівнянь

я

х+и = —,
** 2

СО8Х + 8ІП у = 1.

З першого рівняння знаходимо у = ^ — х і підставляємо в друге. Одер-

жуємо СОВХ + ВІП

— -х=1, тобто СОВ X + СОВ X = 1, 2 сов х = 1, совх = -.

,2 І	2

Отже,

х = ±—+ 2ли, п є 2.	(1)

з

1)	Якщо х = — + 2пп, то у =——х =—-І— + 2лп| = ——2пп.

'	З	* 2	2 \3 І 6

2)	Якщо х = -- + 2пп, то у =—-х = --\-- + 2пп] = — -2пп.

З	* 2	2 \ 3	16

Відповідь: І — + 2тт; — — 2пп І, |-— + 2лп; — - 2тт), п є 2. <]
\3	6	/ \ З б ”

Зауваження. Якби для знаходження значення у ми не розглянули
формулу (1) окремо зі знаком «+» і знаком «—», то разом з правильними
розв’язками одержали б і сторонні розв’язки заданої системи.

Дійсно, у такому випадку маємо	х = ±- + 2пп, 3  г/=2-(±3+2ЛП)’ П&г'	
Тоді, наприклад, при п = 0 одержуємо	.Я х = ±—,  3  / х тобто •  Я і । я । у-—±-, Iу 2 \ 3/	£1® II  Йї  О к| со » +1 к| <0 II	II  X	в>

Отже, крім розв’язків, які ввійшли до відповіді, ми маємо ще дві
пари значень:

я
х = -,
з

5я

6

я

х =---

З

я

б'
Але ці пари значень х і у не є розв’язками заданої системи, оскільки
вони не задовольняють першому рівнянню.

Тому слід запам’ятати:

коли розв’язок рівняння сов х = а доводиться використовувати для
подальших перетворень, то зручно записувати його у вигляді двох фор-
мул: окремо зі знаком «+» і окремо зі знаком «—».

Приклад 2

Розв’яжіть систему рівнянь

1
СО5ХСО5у = —,

з

81ПХ81П у = ~.

Виконаємо почленно додавання і віднімання цих рівнянь. Одержимо

рівносильну систему

сов(х-і/) = 1,	(х — у = 2пк,кє 2,

-	1 Звідси	2л

сов(х + і/) = -±.	[х+у = ±— + 2пп,пє2.

Подамо останню систему у вигляді сукупності двох систем, записую-
чи розв’язки другого рівняння окремо зі знаком «+» і окремо зі знаком

«—»:

х-у = 2пк,кє2,	(х-у~2пк,ке 2,

«	о	або	2тг л

х + у = —+2пп,пє2,	х + у = -~-+2пп,пє 2.

1*3	3

Почленно додаючи і віднімаючи рівняння цих систем, знаходимо х і у:

х = - + пп + пк,	х — ~ + пп + пк,

3	е.	3

•	або

1/ = - + ПП-ЛЙ!	у - —- + ли- пк.

з	із

Відповідь: - + лп + пк; - + пп- пк ,

\3	з	)

— + пп + пк; —— + пп-пк), п є 2, к є 2.

з	з І

Зауваження. До запису відповіді ввійшли два параметри пік, що
незалежно один від одного «пробігають» множину цілих чисел. Якщо
спробувати при розв’язуванні заданої системи скористатися лише одним
параметром, наприклад п, то це спричинить втрату розв’язків. Отже,
у кожному випадку, коли система тригонометричних рівнянь зводить-
ся до системи, що складається з елементарних тригонометричних рів-
нянь (тобто з рівнянь виду віп х = а, сов х = а, х = а, сі£ х = а), при
розв’язуванні кожного з цих рівнянь необхідно використовувати свій
цілочисловий параметр.
 Запитання для контролю

1.	Які методи використовують для розв’язування систем тригономе-
тричних рівнянь?

2.	Поясйіть, у якому випадку при формальному розв’язуванні системи
віп (х + у) = 0,

1 ми можемо втратити частину розв’язків, а в якому
СО8(х-у) = -

випадку — одержати сторонні розв’язки. Розв’яжіть цю систему.

Ш Вправи

1°.

2°.

Розв’яжіть систему рівнянь (1—8).

Г віп X + віп у-1,

і)

|х+у = я;

1)

2)

СО8Х + СО8 1/ = 1,
х + у = 2л.

і
созх-созу--,

Х + І8 у = 1,
. я

віп х + віп у ~ 0,5,
віпх • віп у = -0,5.

я
х-у = ~.

з

сов х+сов у = -0,5,

совх • сов у = —0,5.

8ІПХ + СО8 1/ = 0,

І) . 2	2 1

ВІП Х + СО8 у = —

У 2

2)

5.	1)	сов х сов у = 0,75, віп х віп у = 0,25;  сов х сов у + віп х віп у = і,
6.	1)	
		віп х сов у + сов х віп у = 1;  СОВ X сов у = віп2 у, віп х віп у - сов2 у,
7*.	1)	
8*.	1)	СОВ2 X + СОВ2 у = 1, віп2 х + віп2 у = сов х;

2)

2)

2)

. Я
х + г/ = -,

І£ХІ£1/ = і.

О
віп х сов у = 0,75,
віп у сов х = 0,25.
віп х віп у - сов х сов у = -1,
віп X сов у - СОВ X віп у = і.

8ІП X СОЗ у = 8ІП2 у,
СОВ X 8ІП у = СОВ2 у.

ВІП2 X + СОВ2 у = 1,
СОВ2 X + віп2 у = ВІП X.
§ 27 НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ

Таблиця 49

Приклади розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

за допомогою
одиничного кола

за допомогою графіків
Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей. Найпро-
стішими тригонометричними нерівностями вважають нерівності виду
віп х > а, сов х > а, х > а, с!& х > а (на місці знака «>» може стояти
будь-який із знаків нерівності: «<, >, <»).

Щоб міркування щодо знаходження розв’язків цих нерівностей були
більш наочними, використовують одиничне коло або графіки відповід-
них функцій, як це показано в таблиці 49.

Приклад 1

Пояснимо більш детально розв’язання нерівності віп х >
наведене в пункті 1 таблиці 49, з використанням одинич-
ного кола (рис. 162).

> Оскільки віп х — це ордината відповідної точки Рх одиничного кола,
то при всіх значеннях х, які задовольняють заданій нерівності, точка Рх
має ординату, більшу за і. Усі такі точки на одиничному колі лежать

вище за пряму </ = “ (вони зображені на
рисунку рожевою дугою РХіРХ2 без крайніх

.1
точок, оскільки в крайніх точках віп х = -,
а не більший за і). Якщо, записуючи від-
повідь, рухатися проти годинникової
стрілки, то точка Рх буде початком дуги
Р^, а точка Р — її кінцем. Спочатку

У4

Рис. 162
запишемо відповідь на одному періоді (нагадаємо, що для синуса період
дорівнює 2л). Для точок Рх виділеної дуги хх < х < х2. Оскільки точка
РХі розташована в правій півплощині, то можна взяти хг = агсвіп і = ^.

Тоді х2-п— — = —. Таким чином, на одному періоді розв’язками заданої
6	6

нерівності є: -<х< —. Через період 2л значення синуса повторюються,
6	6

отже, усі інші розв’язки заданої нерівності отримуємо додаванням до
знайдених розв’язків чисел виду 2л/г, де к є X.

Відповідь: -+2пк<х< —+2л/г, А є 2. <
б	б

тт	,	... і

Для розв язування нерівності віп х > - можна скористатися також

► Розв’язками нерівності віпх>~ будуть ті і тільки ті значення х, для
яких відповідні точки графіка функції у = віп х розташовані вище прямої
У = ~ (на рисунку 165 відповідні частини графіка функції виділено рожеви-
ми лініями). Щоб знайти абсциси точок перетину цих графіків, достатньо
розв’язати рівняння віпх = ^ (х = (-1)”^ + лп, иє З?) і, ураховуючи періо-
дичність функції віп х (Т = 2л), записати розв’язок заданої нерівності на
одному періоді. На відрізку довжиною 2л можна взяти, наприклад, такі
абсциси точок перетину графіків функцій у = віп х і у = -: хг = -, х2 = —

•	2	6	6

(усі інші абсциси точок перетину відрізняються від них на 2л/г). Тоді на
одному періоді розв’язками заданої нерівності є: - < х < — (абсциси виді-
6	6

лених точок графіка у = віп х). Усі інші розв’язки заданої нерівності одер-
жують додаванням до знайдених розв’язків чисел виду 2л/г, де к є X.

Відповідь: -+2л/г < х < — + 2л/г, к є X. • м
б	б
Аналогічно можна одержати і розв’язки інших видів найпростіших
нерівностей, наведених у таблиці 49.

Приклад 2 Розв’яжіть нерівність со8Х>-і.

► Оскільки соє х — це абсциса відповідної точки Рх одиничного кола, то
при всіх значеннях х, які задовольняють заданій нерівності, точка Рх
має абсцису, більшу за І —-1. Усі такі точки на одиничному колі (рис. 164)

лежать праворуч від прямої і — - - (вони зображені на рисунку рожевою
дугою РХ)РІ2 без крайніх точок, оскільки в крайніх точках созх=-р
а не більший за — і). Якщо, записуючи відповідь, рухатися проти годин

никової стрілки, то точка Рг буде початком дуги Р„ Р,, а точка Рг — її
Х1	*! Л2	*2

кінцем. Спочатку запишемо відповідь на одному періоді (нагадаємо, що
для косинуса він дорівнює 2л). Для точок Рх виділеної дуги х1 < » < х2.
Оскільки точка Р знаходиться у верхній півплощині, то можна взяти

х, = агссо8І--|=я--

2	\ 2/ З

2ті

—. Ураховуючи симетричність точок Рх і Рх

З	2	1

—. Та-
3

відносно осі і, одержуємо X, — -х2 - —

ким чином, на одному періоді розв’язками
заданої нерівності є: —-<х<—. Через пе-
ріод 2л значення косинуса повторюються.
Отже усі інші розв’язки заданої нерівності
отримуємо додаванням до знайдених роз-
в’язків чисел виду 2лй, де к є 2.

Одержуємо відповідь:

+ 2л/г<х< — + 2пк,кє2.<\
З	з

Міркування при використанні графічної ілюстрації для розв’язування

нерівності соє х > —— повністю аналогічні наведеним вище міркуванням
по розв’язуванню нерівності 8ІПХ>^.

Приклад 3 Розв’яжіть нерівність і£ х > -1.

► Період тангенса дорівнює л. Тому спочатку знайдемо розв’язки цієї
нерівності на проміжку довжиною л, наприклад на проміжку

а потім використаємо періодичність тангенса. Для виділення тих точок

Л. ЛІ

2* 2/’
Р правого півкола, значення х яких задовольняють заданій нерівності,
скористаємося лінією тангенсів (рис. 165). Спочатку виділимо на лінії
тангенсів значення тангенсів, більші або рівні -1 (на рисунку вони виді-
лені ріжеьим променем), а потім для кожної точки лінії тангенсів зна-
йдемо відповідну точку Рх на правому півколі (для цього достатньо
з’єднати центр кола з вид’леною точкою на лінії тангенсів і взяти точку
перетину проведеного відрізка з колом). Множила відповідних точок Рх
одиничного кола виділена на рисунку рожевою дугою РхРп (зверніть
2

увагу: точка Рх належить розглянутій множині, а точка Рп — ні).
1	2

Оскільки точка Рх розташована в правій півплощині, то моя на взяти

х. =агсі£(-1)---. Отже, на одному періоді розв’язка ли заданої нерів-
4

пості є	Через період я значення тангенса повторкгсться. Тому

всі інші розв’язки заданої нерівності отримуємо додаванням до знайде-
них розв’язків чисел виду пк, де к є 2.

Відповідь: -~ + пк<х<-

Зауважимо, іцо при розв’язуванні заданої нерівності з використан-
ням т,ра<і іків достатньо, як і в попередніх випадках, на одному періоді,

наприклад на проміжку

л. ї.

2* 2

записати аб сциси, для яких відп іьідчі

точки графіка функції у = х розташовані вище прямої у = — 1 або на
самій прямій. (На рисунку до пункту 3 таблиці 49 сідпооідні частини
графіка функції у = І£ х виділено рожевими лініями.)

Приклад 4 Розв’яжіть нерівність сі£ х < >/з.

► Період котангенса доріві тоє я. Тому спочатку знайдемо розв’язки цієї
нерівності на проміжку довжиною я, наприклад на проміжку (0; я), а по-
тім скористаємося періодичністю котангенса.
Для виділення тих точок Рх верхнього півкола, значення х яких за-
довольняють заданій нерівності, скористаємося лінією котангенсів
(рис. 166). Спочатку виділимо на лінії котангенсів значення котангенсів,
менші за >/3 (на рисунку 166 їх виділено рожевим променем), а потім для
кожної точки лінії котангенсів знайдемо відповідну точку Рх на верхньо-
му півколі (для цього достатньо з’єднати центр кола з виділеною точкою
на лінії котангенсів і взяти точку перетину проведеного відрізка з ко-
лом). Множина відповідних точок Рх одиничного кола позначена на ри-
сунку 166 рожевою дугою РхРл. Оскільки точка Рх розташована у верхній
півплощині, то можна взяти х1 = агссі§ уіЗ = —. Таким чином, на одному

періоді розв’язками заданої нерівності є - < х < л. Через період л значен-
6

ня котангенса повторюються. Отже, усі інші розв’язки заданої нерівності

отримуємо додаванням до знайдених розв’язків чисел виду тік, де к є X.

Відповідь: — + пк<х<л+пк,кєХ.<і

6

Аналогічно попереднім випадкам, для того іцоб розв’язати нерів-
ність х < у/з з використанням графіків, достатньо на одному періоді,
наприклад на проміжку (0; л), записати абсциси, для яких відповідні
точки графіка функції у = сі£ х розташовані нижче прямої у — л/з. (На
рисунку до пункту 4 таблиці 49 відповідні частини графіка функції
у = сі& х виділено синіми лініями.)

 Запитання для контролю

1.	Поясніть на прикладах, як можна розв’язувати найпростіші триго-
нометричні нерівності за допомогою: а) одиничного кола; б) графіка
відповідної функції.

2.	Чи завжди мають розв’язки нерівності: 1) віп х < а; 2) віп х > а;

3) сов х < а; 4) сов х > а; 5) х < а; 6) х > а; 7) сі£ х < а;

8) сіє х > а? Чи можуть бути розв’язками якихось із цих нерівно-
стей усі дійсні числа? Наведіть приклади.

 Вправи

Розв’яжіть нерівність (1—14).

1.	1) віпх<-;  2	2) віп х >—  2	3) еіп х < -2;	^3  4) 81П X >—.  2
2.	и	1  1) совх>-;  '	2	2) созх<	;  2	3) соз х < 3;	4) СО8Х>-~.  2
3.	1) х < -1;	2) ієх>л/3;	3) і£х>^;  О	4) х < 1.
4. 1) сі£х>-л/3;		2) сіє х > 1;	3) сіє х “І;	4) сієх<
5. 1)	. о _ -Уг зіп 2х > —;  2	2) соз^<^;	3) іє^>-л/3;	4) сіє 5х
6. 1)	2 соз ^2х -	|>1;	2) л/3іє(зх + ^)<3;
3)	х/2зіп(— + -	)<1;	4) 2соз(4х--)>л/2.
	\3 4	1	\	6'
7. 1) зіп-созЗх-		-соз-зіп Зх > і; 2) зіп5х соз5х	3) зіп х + соз
	6	6	2	4
8. 1)	зіп^2х——)	<Ь	2) | іє х | > і.

§28

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ БІЛЬШ СКЛАДНИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ

Іноді доводиться розв’язувати тригонометричні рівняння, до яких
входить лише сума або різниця синуса і косинуса одного й того самого
аргументу та їх добуток. У такому випадку доцільно цю суму (або різни-
цю) позначити новою змінною.

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння 3 (зіп х + соз х) = 2 зіп 2х.

Коментар

Якщо в заданому рівнянні звести всі тригонометричні функції до
одного аргументу х, то одержимо рівняння (1) (див. розв’язання), до
якого входять лише сума синуса і косинуса одного й того самого аргу-
менту х та їх добуток. Для розв’язування цього рівняння введемо нову
змінну зіп х + соз х = у. Щоб одержати добуток зіп х соз х, достатньо
піднести до квадрата обидві частини рівності, яку одержали після замі-
ни змінної, і врахувати, що зіп2 х + соз2 х = 1. Виконуючи обернену за-
міну, зручно врахувати, що зіпх + созх = >/25Іп(х + ^.

Розв’язання

► Задане рівняння рівносильне рівнянню

З (зіп х + соз х) = 4 зіп х .соз х.	(1)

Якщо позначити зіп х + соз х = у, то зіп2 х + соз2 х+2 зіп х соз х = у2.

& X

Тоді зіп X СОЗ X =	~ .

2

Підставляючи ці значення в рівняння (1), одер

жуємо

Зу = 2у2 -2 = 0,	2у2 - Зу - 2 = 0, уг = 2 або у2 = -~.

Отже, зіп х + соз х = 2 або зіпх+созх = —

2
Тоді \/28іп(х4“) = 2 або л/2віп^х+~)=—і. Одержуємо

віп І х 4*-1 = 42 (коренів немає, оскільки

72 >1) або

Звідси х + — = (-1)" агсвіп
4

+ пп, деп є 7. Тоді

х=~+(-1)" агсвіп) —|+ таї.

2 V 2

Відповідь: --+(-1)"агсвіп|—|+лп, де п є 2. <
<	Я-32

2 7г

Зауваження. При піднесенні обох частин рівняння до квадрата

можна одержати сторонні корені (див. таблицю 9). Але піднесення обох
частин рівності заміни до квадрата є рівносильним перетворенням.
Дійсно, у цьому випадку ліва і права частини рівності мають однакові
знаки, і тоді а = Ь <=> а2 = Ь2. Якщо обидві частини рівності а-Ь додатні,
то для додатних значень і функція у = І2 зростає і тому кожного сво-
го значення набуває тільки при одному значенні аргументу. Отже, при
а > 0, Ь > 0 з рівності а = Ь випливає рівність а2 = Ь2 і, навпаки, з рівності
о2 = Ь2 випливає рівність а = Ь, що й гарантує рівносильність виконаного
перетворення для додатних а і Ь. Аналогічно для а < 0, Ь < 0 використо-
вуємо те, що для від’ємних значень І функція у = і2 спадає і тому кожно-
го свого значення набуває тільки при одному значенні аргументу.

Для розв’язування деяких тригонометричних рівнянь можна застосо-
вувати властивості функцій (відповідні загальні підходи до розв’язування
було розглянуто в п. 3.2), зокрема, оцінку значень лівої і правої частин
рівняная.

Приклад 2 Розв’яжіть рівняння соябх + зіп— -2.

2

► Оцінимо область значень функції /‘(х) = со8бх + 8Іп—.

Оскільки | соз 6х І < 1 і

8ІП-—- <1, ТО І І (х) І

2, тобто -2 < / (х) < 2.

З’ясуємо, чи існують такі значення х, при яких функція / (х) може
набувати найбільшого значення 2 Якщо сов 6х буде менший від 1, то,
для того щоб сума созбх + біп— дорівнювала 2, необхідно, щоб значення

8І11-^~ було більшим від 1, що неможливо. Аналогічно, якщо припусти-
ти, ЩО 8ІП-- менший від 1, то, для того щоб сума СО8бх + 8ІП— дорів-
нювала 2, необхідно, щоб
неможливо. Таким чином,

І ТІЛЬКИ ТОДІ, КОЛИ СО8 6х і

значення сов 6х було більшим від 1, що
рівність у даному рівнянні можлива тоді
віп-у дорівнюють 1. Тому задане рівняння

рівносильне системі

сов 6х = 1;

. 5х Звідси
віп— = 1.

2

6х = 2лА,йє^;

5х п о „ Тоді
— — — + 2лп, пє 7.

І 2	2

х = ^,
з

я + 4лп

х =-----

5

Прирівнюючи праві частини цих рівностей, одержуємо
лй л + 4лп о .	3 + 12л

— =------. Звідси к =----.

3	5	5

Оскільки к і п — цілі числа, то спробуємо підставити в праву час-
тину останньої рівності замість п цілі числа і знайти, для яких значень
п за цією формулою к також буде цілим числом. При п = 1 одержуємо
к = 3. У випадку, коли коефіцієнт 12 при змінній п у чисельнику дробу
і знаменник 5 — взаємно прості числа, повторення подільності націло
буде тільки через знаменник, тобто через 5. Тому останнє рівняння має
розв’язки в цілих числах вигляду п = 1 + 5т, т є 2. Підставляючи зна-
чення п в один із розв’язків системи, одержуємо х = я + 4яш. Ці зна-
чення і є розв’язками останньої системи, а отже, і розв'язками заданого
рівняння.

Відповідь: х = я + 4ят, т є 2. <3

Прикладі Розв’яжіть рівняння з/2|віп х + сов х| = 2 + віп68х.

Перетворимо ліву
віп х + сов х = з/2віп| х + -
\	4

Коментар

частину даного рівняння за формулою

і оцінимо область значень функцій, що стоять

у лівій і правій частинах рівняння. Розв’язуючи одержану систему двох
рівнянь з однією змінною, можна дещо спростити викладки і розв’язати
лише одне рівняння системи, а для іншого пе{ ввірити, чи задовольня-
ють йому одержані розв’язки.

Розв’язання

Задане рівняння рівносильне рівнянню

= 2 + віп68х.	(1)

п  і . Я

2 віпхз—

V 4,

Позначимо: /(х) = 2

§ (х) = 2 + віп6 8х. Оскільки

0<

ВІП^Х-Ь —

< 1, то 0 < / (х) С 2. Проте 0 < віл6 8х < 1, тому 2 < я (х) < 3.
Ліва частина рівняння (1) менша або дорівнює 2, а права частина
більша або дорівнює 2. Рівність між ними можлива тоді і тільки тоді,
коли ліва і права частини рігняння дорівнюють 2, тобто дане рівняння

рівносильне системі

2 віп

2 + 8Іп®8х = 2.

З першого рівняння системи маємо 8ІП

= ±1, звідки х+- = -+тт,
4 2

де п є 2. Тоді

п
х = —і- тт.
4

Перевіримо, чи задовольняють знайдені значення другому рівнянню
системи. Якщо х = — + тт, то 8х = 2л + 8лп, тоді зіп 8х = 0 і тому
4

2 + віп6 8х - 2.

Відповідь: - + пп, п є 2.

4

Іноді для того, щоб розв’язати тригонометричні рівняння, доводить-
ся застосовувати трі гонометричні формули, які призводять до звуження
ОДЗ заданого рівняння. Такі перетворення можуть приводити до втрати
коренів рівняння. Щоб цього не сталося, слід користуватися таким орі-
єнтиром:

І якщо для розв’язування рівнянь (чи нерівност ей) доводиться
вик окувати перетворення, що звужують ОДЗ початкового
рівняння (чи нер:вності), то ті значення, на які звижуєілься
ОДЗ, потрібно розглядати окремо.

У таблиці 50 указано тригонометричні формули, які можуть приво-
дити до звуження ОДЗ, та відповідні значення змінної, які слід переві-
ряти при використанні цих формул.

Таблиця 50

Формула (використовують зліва направо)	Значення змінної, які треба перевірити окремо, якщо вони входять до ОДЗ початкового рівняння
сіє х = ——  . , . ч іе х±1е а / к  іе(х±а) =		— Іа*- + тт,пє2І  1 + Ійж-іеа \	2	/  1-ІЙ х	х = -+лА, к є 2  2
Продовження табл. 50

Формула (використовують зліва направо)	Значення змінної, які треба перевірити окремо, якщо вони входять до ОДЗ початкового рівняння
ієх = —!— сій*  .... сіє х • сіє а +1 і	гг\  сіє (х ± а) = —5	5	(а * ял, п є Я)  сій а ± сій х  с^2х = ^^  2 сій х	х = пк, к є 7
. X 1 + С08 X сієо = .  2 віп х	х = л + 2пк, к є 7
. X 1-совх  І£„ =  2	8Ш X	х = 2пк, к & 7
2 ій	2 І£ |  8ІП X =	—	ІЄ X =	—  і+ій2^	1-І82!  і-ій2~	1-іе2|  СОЗ X =		 СІЄ X =	—  л , 2 X	п. X  1+16 її	2іч	х = п + 2пк, к є 7
Щоб упевнитися, що наведені формули приводять до звуження ОДЗ, достатньо порівняти області допустимих значень їх лівих і правих час- тин.  Наприклад, розглянемо формулу сіє х = ——. ій х  ► ОДЗ лівої частини: х ф яп, п є 7. Щоб знайти ОДЗ правої частини формули, ураховуємо, що знаменник дробу не дорівнює нулю: ІЄ х ф 0, отже, х ф пп, п & 7, а також умову існування тангенса: хї^+пк, кє 7. Тобто ОДЗ правої частини задано системою обме- х*пп, пє7;  жень •! я	Порівнюючи ОДЗ лівої і правої частин розгля-  х*- + пк,кє 7.  2  нутої формули, бачимо, що ОДЗ правої частини містить додаткове обмеження (х?£^+пл|. Отже, при переході за цією формулою від її	
лівої частини до правої відбувається звуження ОДЗ (відкидаються
саме ті значення, які вказано в таблиці: х — +пк, к є X). Щоб не за-
губити корені заданого рівняння, використовуючи формулу
сі&х = —, значення х = -+пк, к є X, потрібно розглянути окремо
іех	2

(звичайно, тільки в тому випадку, коли воно входить до ОДЗ задано-
го рівняння).

Наведемо приклад використання вказаного орієнтира.

Приклад 4 Розв’яжіть рівняння

СІ£2Х-І£(х + ^) = 1.	(1)

Коментар

Якщо скористатися першими двома формулами таблиці 50, то ми
зведемо всі тригонометричні вирази в цьому рівнянні й до одного аргу-
менту, і до однієї функції — х. Але при використанні зазначених
формул відбувається звуження ОДЗ на значення х = ^ + пк, к є 7,. Через
це можна втратити корені рівняння, якщо числа такого виду входили
в ОДЗ початкового рівняння і є його коренями. Щоб цього не сталося,
розіб’ємо розв’язування на дві частини.

1.	Підставляємо ті значення змінної, на які звужується ОДЗ, у рівнян-
ня (1). При обчисленнях ураховуємо періодичність функцій і форму-
ли зведення.

2.	При х*--і-л/г (на ОДЗ рівняння (1)) використання формул сі&х = —
2	їех

. і. І Й?х + 1|ї	1#х + 1	.	.

1	ігіхн— =-------^- =------ приводить до рівняння (2) (див.

\	4/	. п 1-і«х

4

розв’язання), яке рівносильне заданому (на тій частині ОДЗ, де
х*^ + лй), бо ці формули зберігають правильну рівність як при пе-
реході від рівності (1) до рівності (2), так і при оберненому переході
від рівності (2) до рівності (1). Заміна змінної (і обернена заміна)
також приводить до рівняння, рівносильного заданому (на зазнане
ній частині ОДЗ початкового рівняння).

Зауважимо, що ОДЗ рівняння (2) відрізняється від ОДЗ рівняння (1)
лише тим, що до неї не входять значення х = ^ + пк, які входять до
ОДЗ рівняння (1). Оскільки ці «погані» значення ми врахува їй в про
цесі розв’язування, то ОДЗ рівняння (1) можна в явному вигляді не
фіксувати (як у наведеному розв’язанні). У відповіді записуємо всі
корені, які було одержано в першій і другій частинах розв’ я; ання
Розв’язання

► Якщо х = ^ + пЛ, А є 2, тоз даного рівняння одержуємо

сі£2(^ + л/г)-і£(^ + лй + ^) = 1,

тобто О2-(-1) = 1 — правильна рів-

ність.

Отже, х = -+пк,
2

к є 7, — корені рівняння (1).

2.

Якщо хФ^+пк, одержуємо

1

1-і®*-

Заміна х = 1 приводить до рівняння у = 1,

(2)

яке при і Ф 0

і І ф 1 рівносильне рівнянню 2ґ2 + і — 1 = 0. Тоді = -1, і2 = і.
Обернена заміна дає: і& х = -1 або І£Х = |, тобто

х=~+пп, п є 7, або х-агсі^^ + пт, т є 7.

Відповідь: -+пк, к є 7: --+пл, п є 7; агсіє- + пт, т є 7. <1
2	4	2

Деякі тригонометричні рівняння вдається розв’язати, використову-
ючи такий орієнтир, який умовно можна назвати «Шукай квадратний
тричлен», інакше кажучи,

 спробуйте розглянути задане рівняння як квадратне віднос-
но якоїсь змінної (чи відносно якоїсь функції).

Приклад 5 Розв’яжіть рівняння

Розв’я зання

► Розглянемо рівняння як квадрат-
не відносно X'.

х2-І2 віп —) • х +1 = 0.
\	2 І

Це рівняння може мати корені тоді
і тільки тоді, коли його дискримі-
нант буде невід’ємним:

І) = 4віп2 —— 4>0. Тоді віп2 — >1.

2	2

2-2х віп—+1 = 0.

2

Коме нтар

Можна застосувати декілька
підходів до розв’язування заданого
рівняння:

1)	розглянути задане рівнян-
ня як квадратне відносно змінної х
і врахувати, що воно може мати ко-
рені тоді і тільки тоді, коли його
дискримінант буде невід’ємним;

2)	якщо в лівій частині рівнян-
ня виділити повний квадрат
Але віп2— не може бути більшим

за 1. Отже, віп2 —= 1, тобто
2

віп—= 1 або віп —= -1. Підставля-
2	2

ючи ці значення в задане рівняння,
одержуємо, що воно рівносильне су-
купності систем:

. пх ,

ВІП--= 1,

2	або

х2-2х+1 = 0

. пх ,
81П--= -1,

2

х2+2х + 1 = 0.

З другого рівняння першої сис-
теми маємо х = 1, що задовольняє
і першому рівнянню системи. Таким
чином, х = 1 — розв’язок першої
системи, а отже, і розв’язок задано-
го рівняння. Аналогічно одержуємо
х = -1 — розв’язок другої системи,
а отже, і розв’язок заданого рівнян-

(х- 8ІП~) , то одержимо рівняння

(пх\2 . (і  2 Ях) л

X —81П І + 1 —81П — 1 = 0.

2 /	\	2 )

Урахуємо, що завжди

(х-8ІП^) >0 І 1-8ІП2^^О.

А сума кількох невід’ємних
функцій дорівнює нулю тоді і тіль-
ки тоді, коли всі функції одночасно
дорівнюють нулю.

Також можна останнє рівняння
записати у такому вигляді:

(• Лх\2 . 2 пх ,
Х-81П-—І = 81П---1

2 І 2

і оцінити ліву і праву частини цього
рівняння.

(Виконайте розв’язування, запропо-
новані в пункті 2, самостійно.)

ня.

Відповідь: 1; -1. <]

При розв’язуванні систем тригонометричних рівнянь не завжди вда-
ється виконувати тільки рівносильні перетворення рівнянь системи: іно-
ді доводиться користуватися рівняннями-наслідками. У таких випадках
можуть виникати сторонні розв’язки, тому одержані розв’язки необхідно

перевіряти. Причому можна перевіряти як значення змінних, одержа-
них у кінці розв’язчвання, так і значення тригонометричних функцій,
одержаних при розв’язуванні. Якщо всі тригонометричні функції, що
входять до запису системи, по кожній із змінних мають спільний пері-

од, то достатньо виконати перевірку для всіх значень змінних з одного

періоду (для кожної змінної).

Приклад 6 Розв’яжіть систему рівнянь

у/2 ВІП X = ВІП У,
у/2 СО8 X = у/з СОБ у.

Коментар

Якщо з першого рівняння системи виразити зіп х, а з другого — сов х,
то можна піднести обидві частини кожного рівняння до квадрата і піс-
ля почленного додавання одержаних рівнянь використати тотожність
8ІП2 X + СО82 х = 1. У результаті одержимо рівняння з однією змінною у,
яке легко зводиться до однієї тригонометричної функції.
Але при піднесенні обох частин рівняння до квадрата одержуємо
чвняння-наслідок. Отже, серед одержаних розв’язків можуть бути і сто-
ронні розв’язки для заданої системи, які доведеться відсіювати перевіркою.

Для перевірки враховуємо, що всі функції ВІДНОСНО ЗМІННОЇ X, які
входять до запису системи (тобто зіп х і соз х), мають спільний період 2л.
Аналогічно всі функції відносно змінної у (зіп у і соз у) теж мають спіль-
ний період 2л. Таким чином, перевірку розв’язків достатньо виконати
для всіх пар чисел (х; у), де х є [0; 2л], у є [0; 2л] (можна взяти і інші
проміжки довжиною 2л). Корисно також, урахувати, що всі розв’язки,
одержані внаслідок підстановки в одне з рівнянь системи, автоматично
задовольняють цьому рівнянню, а отже, перевірку цих розв’язків до-
статньо виконати тільки для другого рівняння системи.

Для кожної змінної всі одержані розв’язки потрібно повторити через
період.

Розв’язання

І- Задана система рівносильна системі

1 .

81П X = —81П Ї/,
У2

л/з

СОЗ X = -(=СОЗ у.

У2

(1)

(2)

Піднесемо обидві частини кожного рівняння системи до квадрата
і почленно додамо одержані рівняння. Отримуємо рівняння-наслідок

зіп2 х + соз2 X = — зіп21 соз2 у. Тоді 2 = зіп2 у + З соз2 у,

2 = 1- соз2 у + 3 соз2 у, тобто соз2у = -. Отже, соз у = -^= або соз у = —

2	у2	У2

Підставляючи одержані значення в рівняння (2), маємо

соз у=—и
У2

або

і

СОЗ у =---1=

У2

Тоді •

у = ±-+2лл,

”	4

х-±— + 2 л/г
6

УЗ
соз X =---

2

(3)

або

УЗ
СО8Х =----.

2

и = ±—+2пп,

*	4

«

х = ±—+ 2л/г, ті. кє 7,.
. 6

(4)

Відносно кожної зі змінних х і у усі функції, які входять до запису
заданої системи, мають період 2л, тому перевірку достатньо виконати
для всіх пар чисел (х; у), де х є [0; 2л], у є [0; 2л].

тг	_ (п п\ Іп 7п\ /11л л\ /11л 7л\

Для системи (3) це пари чисел: І—; —І, І-;—І, І—; — І, І—— І,

а для системи (4) це пари чисел:
Розв’язками заданої системи є тільки пари чисел:

Відпівідь одержимо, повторюючи наведені розв’язки через період
(для кожної змінної).

Відповідь:	і-+2лк; - + 2лп), |^^ + 2л/г; —+ 2лп),

\6	4	/ \ 6	4	/

(— + 2пк; —- + 2лп), (— + 2пк; —+ 2лп), п, к є X. <
\ 6	4	/ \ 6	4 І

Розв’язуючи рівняння з оберненими тригонометричними функція-
ми, корисно пам’ятати, що при | а | < 1

.	я

агсзіп а + агссоз а = —
2	•

і для довільних значень а

агсі& а + агссі& а =

Також при розв’язуванні рівнянь з оберненими тригонометричними
функціями часто буває зручно від обох частин рівняння взяти якусь
тригонометричну функцію і скористатися означенням відповідних обер-
нених тригонометричних функцій.

Приклад 7 Розв’яжіть рівняння 2 агсзіп х- агсзіп ^х.

Коментар

Якщо взяти від обох частин заданого рівняння функпію синус, то одер-

жимо рівняння-наслідок: якщо числа рівні, то і синуси будуть рівними, але
якщо синуси двох чисел рівні, то це ще не означає, що числа обов’язково

будуть рівними. Правильна рівність буде зберігатися при прямих пере-

твореннях, але не обов’язково буде зберігатися при обернених перетворен-

нях. Отже, у кінці необхідно виконати перевірку одержаних розв’язків.

Якщо позначити агсзіп х = а, то за означенням арксинуса а є

і зіп а = х. Щоб знайти соз а ураховуємо, що при	значення

соз а > 0, отже, соз а - 71-зіп2 а.

Перевіряючи одержані розв’язки, у тих випадках, коли знайдені
числа не є коренями заданого рівняння, іноді зручно порівняти одержа-
12

ні розв’язки з табличними значеннями. Наприклад, — -0,9 більше за

—-0,7. Ураховуючи зростання функції у = агсзіп І, одержуємо, що
.12	. 7г л

агсзіп— > агсзіп — = —.

13	2	4
Розв’язання

Якщо позначити агсвіп х = а, де а є

я. я

2’ 2_]

 Ю о

і агсвіп ~х = р, де

то задане рівняння матиме вигляд
2а = р.

(1)

Візьмемо від обох частин рівняння (1) функцію синус і одержимо

віп 2а = віп р,
2 віп а сов а = віп р.

(2)

За означенням арксинуса віп а = х, віпр = ---х. Ураховуючи, що

13

ає

Я Ф я

ЇЇ’ 2.

одержуємо сов а = -71-віп2а - хі —х2.

Тоді рівняння (2) матиме вигляд 2хл/1 —х2 = |^х. Звідси
х(2л/1-х2 “^) = 0.

Отже, х = 0 або л/1 —х2 =—, тобто 1 —х2=-^-, х2 х = ±—.
13	169	169 із

Перевірка.

1)	х = 0 — корінь ^2 агсвіп 0 = агсвіп	• 0); 0 = 0

12	12	12

2)	х = ±— —сторонні корені. Дійсно, для х = — маємо 2 агсвіп—ф
13	13	13

. 120 ,	-	12 _ хЇЇ „	. 12 „	.	„ я я

^агсвіп  (оскільки —>—, то 2агсвіп—>2агсвіп— = 2>- = -, а
169	13	2	13	2	4 2

. 120 я\ А .	12	„	. ( 12\ я

агсвіп < —І. Аналогічно при х =-------маємо 2 агсвіп----<—,

169 2/	13	V 13/	2

і рівність теж не може викон рватися.

Відповідь: 0. О

Зауваження. Для того щоб розв’язати рівняння 2агсвіп х =

= агсвіп “X, можна було б використати не тільки рівняння-наслідки, а й
рівносильні перетворення рівнянь. Але в цьому випадку доведеться вра-
хувати ОДЗ заданого рівняння:

(3)

/	. 10

а також те, що для всіх коренів рівняння його права частина агсвіп—х

знаходиться в проміжку

означенням арксинуса). Отже, і ліва
частина рівняння позивна знаходитися в цьому самому проміжки. Та
ким чином, для всіх коренів заданОх'О рівняння ви сонуєч ься умова.

<2агс8Іпх<—, тобто

2 .	2

— < агсзіп хС-.	(4)

4	4

У проміжку	функція зіп і є зростаючою, тоді при виконанні

умови (4) (звичайно, на ОДЗ (3)), якщо від обох частин заданого рівняв
ня взяти синус, то одержимо рівносильне йому рівняння (тобто задане
рівняння рівносильне рівнянню (2) за умов (3) і (4)). Виконуючи мірку
вання і перетворення, наведені вище в розв’язанні приклада7 7, одержу-
12

ємо х = 0 або х = ±—. Усі знайдені корені входять до ОДЗ (задовольняють
13

умові (3)), але умові (4) задовольняє ті льки х = 0, отже, коренем задано-
го рівняння є тільки х = 0.

і Запитання для контролю

1-	Поясніть, як можна розв’язати рівняння еоа х = 1 + х2 за допомо-
гою оцінки значень лівої і правої частин рівняння Розв’яжіть це
рівняння.

2.	Поясніть, як можна розв’язувати тригонометричні рівняння, до за-
пису яких входять лише сума або різниця синуса і косинуса одно-
го й того самого аргументу та іх добуток. Наведіть приклад такого
рівняння.

3.	Наведіть приклад тригонометричної формули, застосування якої
може привести до звуження ОДЗ заданого рівняння і до втрати його
коренів. Поясніть, чому відбувається звуження ОДЗ. Як потрібно
використовувати такі формули, щоб не втратити корені заданого
рівняння? Поясніть це на прикладі рівняння 2сі£х-і&|х+-і = 1.

'аиі Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—5).

1	І	ЗлЛ

1.	1) 8ІП X - СОВ X = 8ІП 2х-;	2) 8ІПХ + 8ІП ХЧ--=1-0,58Іп2х.

2	\	2 І

2.	1) 8Іп 7х Ч- сов 12х = 2;	2) віп 2х віп 6х = 1;

3)	еоа лхч-8Іп^~ = -2;	4) 8Іп^ = хг-2х + 2;

5)	і&2 х Ч- сі#2 х + 5 і#2 5х + 5 сі&2 5х - 12.

3.	1) 5і£|х+-) = сі£х-5;	2) 8іп2х + і&2х = --сі£х.
4.

5.

6.

1)	9х2 — 6х соз бях +1=0;

2)	4х2 - 4х віп (ху) +1 = 0 (знайдіть усі пари чисел (х; у), які задо-
вольняють рівнянню).

1) 2 (агсзіп х)2 + л2 = Зп агсзіп х;

3) 2 агсвіп х + 3 агссоз х = я;

5) 2 агсзіп 2х = агссоз 7х;

2) 9 (агссоз 2хУ - Зл агссоз 2х - 2л2 = 0;

2

4) агсі^х • агссіє х = ^;

6)	агсвіп х = 2 агсі^ х.

Розв’яжіть систему рівнянь:

віп х = —73 зіп у,
л/3совх = со8у;

2)

1
зіп х------= зіп у,

ніпх

. о	2 З

віп х+сов у = —,
*	4

5)

соз 2х + 2 соз у = 1;

1
сов X-----= соз у,

СО5Х

СО8Х + СО8у = 0,
з 6)
зіп х зіп у = -;

[віп Х + сОВ у = 0,
[соз 2х - соз 2у — 1;

4 зіп (Зх + 2у) + зіп х = 0,

4 віп (2х + Зу) + зіп у = 0.

§ 29	ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

29.1.	Розв’язування рівнянь з параметрами

Якщо крім змінної та числових коефіцієнтів до запису тригономе-
тричного рівняння входять також буквені коефіцієнти — параметри, то,
розв’язуючи ці рівняння, можна користуватися таким орієнтиром (див.
§9).

І Будь-яке рівняння чи нерівність з параметрами можна роз-
в’язувати як звичайне рівняння чи нерівність доти, поки всі
перетворення або міркування, необхідні для розв’язування,
можна виконати однозначно. Якщо якесь перетворення не
можна виконати однозначно, то розв’язування необхідно роз-
бити на кілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через
параметри записувалася однозначно.

На етапі пошуку плану розв’язування рівняння чи нерівності з па-
раметрами або в ході міркувань, пов’язаних із самим розв’язуванням як
таким, часто зручно супроводжувати відповідні міркування схемами. За
цими схемами легко простежити, у який саме момент ми не змогти одно-
значно виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелося
розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого. Щоб
на таких схемах (чи в записах громіздких розв’язань) не втратити якусь
відповідь, доцільно поміщати остаточні відповіді в прямокутні рамки.
Приклад 1 Розв’яжіть рівняння 2сов х - а = 0.

Розв’язання	Коментар

Відповідь:

1)	якщо |~|>1 (тобто | а | > 2), то
коренів немає;

2)	якщо |^|<1 (тобто | а | < 2), то

х = ±агссов — + 2т, п є 2. <

2

Наявність параметра а не зава-
жає нам однозначно виразити соз х
із заданого рівняння.

Рівняння соз і = Ь при | Ь | > 1 не
має коренів, а при | Ь | < 1 корені рів-
няння можна записати за відомою
формулою (див. табл. 46). Отже, для

а
рівняння соз х - - не можна однознач-
но записати розв’язки, і тому, почи-
наючи з цього моменту, необхідно
розглядати два випадки розв’язання.

Остаточну відповідь можна за-
писувати з використанням знака
модуля, а можна обмеження для па-
раметра а подати без модуля і запи-
сати відповідь так:

1)	якщо а < -2 або а > 2, то коре-
нів немає;

2)	якщо -2 < а < 2,

х - +агссоч + 2тт, п є 2.

2

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння зіп 2х = 4а соз х.

Розв’язання

Коз ентлр

► 2 зіп х соз х - 4а соз х = 0,
2 соз х (зіп х - 2а) = 0.	(1)

Тоді соз х = 0 або зіп х - 2а = 0.

Спочатку зведемо всі тригоно-
метричні функції до одного аргу-
менту х, використовуючи формулу
зіп 2х = 2 зіп х соз х.

Якщо перенести всі члени рів-
няння в ліву частину, то можна ви-
нести за дужки спільний множник
2 соз х.

Оскільки обидва множники
мають зміст при будь-яких значен-
нях змінної х, то рівняння (1) рів-
носильне сукупності соз х = 0 або
зіп х - 2а = 0, тобто сукупності
Відповідь:	сон х = 0 або біп х = 2а.

(див. у кінці заувах.с.яня). <]	Для рівняння соб х = 0 ми мо-

жемо записати корені при будь-
яких значеннях а (у цьому рівнянні
параметра а немає), а у рівнянні
віп х - 2а все залежить від правої
частини: якщо | 2а | > 1, то коренів
неміє, а якщо | 2а | < 1, то коре-
ні є. Отже, доводиться розбивати
розв’ язування цього рівняння на
два випадки.

Зауваження. Для запису одержаних відповідей (вони на схемах
розміщені в прямокутних рамках) доцільно уточнити, при яких зна-
ченнях а виконуються обмеження | 2а | < 1 та | 2а | > 1. Для цього
розв’язуємо відповідні нерівності:

якщо | 2а | < 1, тоді -1 < 2а < 1, тобто

якщо | 2а | > 1, тоді 2а < —1 або 2а > 1, тобто а<~~ або а>^-

Щоб полегшити запис відповіді у складних або громіздких випад
ках, зобразимо вісь параметра (а) і відмітимо на ній усі особливі зна-
чення параметра, які з’явилися в процесі розв’язування (рис. 167). Під
віссю параметра (лівіше від неї) випишемо всі одержані розв’язки (крім
«коренів немає») і напроти кожної відповіді відмітимо, при яких зна-
ченнях параметра цю відповідь можна використовувати. Після цього
записуємо відповідь для кожного з особливих значень параметра і для
кожного з одержаних проміжків осі параметра.

1.	Х-- + Я/П, т є 2
2

2.	х = (-1)"агсвіп (2а) + пп, пє 2

Із цієї схеми добре видно, що при

Рис. 167

- або а>- у відповідь по-
2	2

трібно записати тільки одну формулу, а при —— чаС- — дві формули.

2	2

Відповідь: 1) якщо а<-~ або а>~, то х- — + кт, т є 2\
2	2	2

2) якщо — < а < то х — + кт, т є 2, х = (— іу агсБІп (2а) + лп, п є 2.
Приклад 3 Розв’яжіть рівняння

2х = а х.

(1)

Коментар

Для розв’язування рівняння (1) використаємо рівносильні перетво-
рення. Тоді ми обов’язково повинні врахувати ОДЗ заданого рівняння.
Для цьо^о записуємо умови існування тангенса та котангенса і розв’язуємо
відповідні обмеження. Ми можемо звести всі тригонометричні функції
до одного аргументу х, використовуючи формулу тангенса подвійного
аргументу, а потім звести всі вирази до однієї функції І£ х, використо-
вуючи формулу сі£х = —і-. Але використання вказаних формул приво-
х

дить до звуження ОДЗ (табл. 50), і, щоб не втратити корені заданого
рівняння, ті значення, на які звужується ОДЗ (х-^ + л/г), потрібно роз-
глянути окремо.

При х + пк зводимо всі тригонометричні вирази до однієї функції
і виконуємо рівносильні перетворення одержаного рівняння

1-і£2х І£Х	* )

На ОДЗ рівняння (1) знаменники дробів у рівнянні (2) не дорівню-
ють нулю. Отже, після множення обох частин рівняння на вирази, що
стоять у знаменниках, одержуємо рівняння (2 + а) І£2 х = а, рівносильне
рівнянню (2) на ОДЗ рівняння (1).

1)	Якщо 2 + а = 0, тобто а - -2, то одержуємо рівняння 0 • і£2 х = —2,
яке не має коренів.

2)	Якщо 2 + а * 0, тобто а * —2, то одержуємо і&2х — ——.

а + 2

Щоб розв’язати це рівняння, потрібно знати знак виразу, який сто-
їть у правій частині, оскільки х не може бути від’ємним. Розглянемо
для правої частини три випадки: вона менша від нуля, дорівнює нулю,
більша за нуль. Тобто подальші міркування проведемо за схемою.

Звичайно, для кожного випад-
ку потрібно уточнити, при яких
значеннях а виконується відпо-
відне обмеження, і для кожного
одержаного розв’язку потрібно пе-
ревірити, входить він до ОДЗ зада-
ного рівняння чи ні.
І.

II.

ОДЗ:

Розв’язання

2х Ф - + пп, п є 7,
2	тоді 

х * пт, тє7,

. П . пп гг
	, ЛЕЯ,
4	2

х Ф пт, тє7.

При х = -+ пк, к є 7,з рівняння (1) одержуємо іє (я+2пк} - а сіє І р + І,
тобто 0 = а • 0 — рівність, правильну при будь-яких значеннях а.
Отже, при всіх значеннях параметра а задане рівняння має корені

х- — + пк, к є 7.
2

При хФ- + пк одержуємо рівняння (2):	яке на ОДЗ рів-

2	1-і< х

носильне

1)

2)

Якщо

Якщо

рівнянню 2 іє2 х - а - а іє2 х- Звідси
(2 -І- а) іє2 х = а.

а = -2, то коренів немає.

а Ф -2, то рівняння (3) рівносильне рівнянню

(3)

а)

а + 2

Якщо —— <0, то коренів немає.

Розв’язавши нерівність <0 методом ін-

<1 + 2

терва/іїв (рис. 168), одержуємо —2 < а < 0.

Отже, при — 2 < а < 0

коренів немає .

б)	Якщо —— = 0 (тобто а = 0), одержуємо рівняння іє х - 0, яке має

корені х = тік, к є 7. Але ці корені не входять до ОДЗ заданого рів-

няння. Отже, і при а = 0

коренів немає .

в)	Якщо —— > 0 (тобто а < -2 або а > 0), то з рівняння (4) одержу-

ємо іе х-±,	. Звідси

6 Уа + 2

х- агсіє

+ ПІ, / Є 7.

З’ясуємо, при яких значеннях а одержані корені рівняння (4) не
входять до ОДЗ. Для цього достатньо в рівняння (4) замість аргументу х
підставити «заборонені» значення. Ураховуючи, що функції, які вхо-
дять до запису заданого рівняння (1), мають спільний період Т = л (іє 2х
має період Т, =—, а сіє х має період Т, = л), достатньо підставити ці зна-
1	2

чення тільки на одному періоді, наприклад, на проміжку [0; л]. У цьому
проміжку до ОДЗ не входять такі значення: 0; —; —л. При х = 0 або
4	4
х = п з рівняння (4) одержуємо рівність —— - 0, тобто а = 0. Випадок
а + 2

а = 0 ми вже дослідили (коренів немає). При х = — або х = — з рівняння
4	4

(4) одержуємо —= 1. Але при жодному значенні а ця рівність не може
о + 2

виконуватися. Отже, при всіх значеннях а < —2 або а > О одержані

розв’язки

х = агсіє ±

+ л/, І є 7 , входять до ОДЗ початкового

рівняння.

Зобразимо одержані відповіді (рис. 169).

-2

а

0

1) х-—+ пк, кє 7

2

2) х = агсіє

+ пі, Іє 7

О

Рис. 169

Відповідь:

1)	якщо -2 < а < О, то х = ^+пк, к є 7;

2)	якщо а < -2 або а > О, то х = ~+пк, к є 7,

х=агсіє

+ ПІ, І є 7. <

29.2. Дослідницькі задачі з параметрами

Крім завдань з параметрами, у яких вимагається «розв’язати рівняння
або нерівність», часто пропонуються дослідницькі зак ",ання з параметра-
ми. Такі завдання іноді вдається розв’язати за допомогою безпосеред-
ніх обчислень: розв’язати задане рівняння або нерівність і після цього
дати відповідь на запитання задачі. Проте досить часто дослідницькі
завдання не вдається розв’язати безпосередніми обчисленнями (або такі
обчислення є дуже громіздкими), і тому доводиться спочатку обґрунту-
вати якусь властивість заданого рівняння або нерівності, а потім, корис-
туючись цією властивістю, уже давати відповідь на запитання задачі.

Розглянемо деякі з таких властивостей. Наприклад, беручи до уваги
парність функцій, що входять до запису заданого рівняння, використо-
вують такий орієнтир.

І Якщо в рівнянні / (х) - О функція / (х) є парною або непарною,
то разом з будь-яким коренем а ми можемо вказати ще один
корінь цього рівняння (—а).
Приклад 1 Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
а2 сов2 х — х2 — а = 0	(1)

має єдиний корінь.

Розв’язання	Коментар

► Функція / (х) = а2 сов2 х - х2 - а
є парною (В (Л = К, / (-х) = / (х)).
Якщо х = а — корінь рівняння (1),
то х = -а теж є коренем цього рів-
няння. Тому єдиний корінь у за-
даного рівняння може бути тільки
тоді, коли а = — а, тобто а = 0. Отже,
єдиним коренем заданого рівняння
може бути тільки х = 0.

Якщо х = 0, то з рівняння
(1) одержуємо а2 - а = 0, тобто
а (а — 1) = 0. Звідси а = 0 або а = 1.
При а = 0 рівняння (1) перетворю-
ється на рівняння х2 = 0, яке має
єдиний корінь х = 0. Отже, а = 0 за-
довольняє умові задачі.

При а = 1 маємо рівняння
сов2 х - х2 — 1 = 0, тобто

сов2 х = 1 + х2.	(2)

Оскільки сов2 х < 1, а 1 + х2 > 1,
то рівняння (2) рівносильне системі
сов х2 — 1,
_1+х2 = 1.

З другого рівняння системи одер-
жуємо X = 0, що задовольняє і пер-
шому рівнянню, тобто ця система, а
отже, і рівняння (2) має єдиний роз-
в’язок — х = 0. Таким чином, а = 1
також задовольняє умові задачі.
Відповідь: а = 0, а = 1. <1

Помічаємо, що в лівій частині за-
даного рівняння стоїть парна функція,
і використовуємо орієнтир, наведенні}
вище. Дійсно, якщо х = а — корінь
рівняння / (х) = 0, то / (а) = 0 — пра-
вильна числова рівність. Урахову-
ючи парність функції / (х), маємо
/ (—а) = / (а) = 0. Отже, х = —а теж
корінь рівняння / (х) = 0. Єдиний
корінь у цього рівняння може бути
тільки тоді, коли корені а і —а збіга
ються. Тоді х = а = —а = 0.

З’ясуємо, чи існують такі зна-
чення параметра а, при яких х = 0
є коренем рівняння (1). (Це а = 0
і а = 1.)

Оскільки значення а = 0 і а = 1 ми
одержали з умови, що х = 0 — корінь
рівняння (1), то необхідно перевіри-
ти, чи дійсно при цих значеннях а за-
дане рівняння матиме єдиний корінь.

Для розв’язування рівняння (2)
оцінимо його ліву і праву частини:

/ (х) = СО82 X, я (х) = 1 + X2.

СОБ х2 = 1,
1+х2 = 1.

Розв’язати деякі дослідницькі задачі з параметрами допомагає ви-
користання такого орієнтира.

Якщо в умові задачі з параметрами йдеться про те, що розв’язками
заданого рівняння чи нерівності є всі значення змінної з деякої множи-
ни, то іноді корисно підставити конкретні значення змінної із заданої
множини і одержати деякі обмеження на параметр.
Приклад 2 Знайдіть усі пари чисел (а, 6), для яких коренями рівняння
а (соз х — 1) + Ь2 = соз (ах + Ь2) - 1	(1)

будуть усі дійсні числа.

Розв’язання	Коментар

► Якщо коренями заданого рівнян-
ня є всі дійсні числа, то коренем
буде і число нуль.

При х = 0 одержуємо Ь2 = сов Ь2 - 1,
тоді

1 + Ь2 = сов Ь2.	(2)

Ураховуючи, що 1 + Ь2 1,
а соз Ь2 < 1, одержуємо, що рівнян-
ня (2) рівносильне системі

1 + 62=1,
сов Ь2 — 1.

З першого рівняння системи
одержуємо 6 = 0, що задовольняє
і другому рівнянню, тобто ця сис-
тема, а отже, і рівняння (2) мають
єдиний розв’язок 6 = 0.

Таким чином, умова задачі може
виконуватися тільки при 6 = 0.

При 6 = 0 рівняння (1) перетво-
рюється на рівняння

а (соз х - 1) = соз (ах) — 1. (3)

Але за умовою коренями рів-
няння (1), а отже, і рівняння (3)
повинні бути всі дійсні числа, тому
коренем буде і число 2л. При х = 2л
одержуємо 0 = сов (2ла) - 1, тоді
соз (2ла) = 1, тобто 2ла = 2л6, к є 7.
Отже, а = к, к є 7 (таким чином,
а — ціле число).

Якщо коренями рівняння (3)
є всі дійсні числа, то коренем буде
л
і число -.

2

При х = ~ одержуємо

-а = сов^а)-1.

Ми не в змозі розв’язати задане
рівняння (але його і не вимагають
розв’язати), тому скористаємося
тим, що за умовою його коренями
будуть усі дійсні числа, і підстави-
мо замість змінної х якісь конкретні
значення.

Для підстановки най іастіше ви
бирають такі з них, які дозволяють
перетворити якийсь вираз на нуль.
Так, при х = 0 вираз у перших дуж-
ках дорівнює нулю. Розв’язуючи
одержане рівняння (2) відносно 6,
отримуємо єдиний розв’язок 6 = 0.

Якщо 6	0, то рівність (І) не

може бути правильною при х - 0,
тобто х = 0 не буде коренем задано
го рівняння, а отже, при цих зна
ченнях 6 рівняння (1) не може мати
коренями всі дійсні числа.

Спробуємо ще раз перетворити
вираз у перших дужках на нуль, ви
користовуючи те, що число 2л є не
ріодом функції соз х, отже, через 2л
значення в перших дужках буде н<>
вторюватися (підставляємо х = 2л).

Потім спробуємо перетворити на
. .	л\

нуль соз х (підставляємо х-

При цілому а значення ^а на
одиничному колі зображуються на
кінцях горизонтального та верти
кального діаметрів, отже, значення
соз^а^ можуть бути тільки таки
ми: 1, -1 і 0.
Оскільки соз^а) при цілих
значеннях а набуває тільки значень
1; 0; -1, то а може набувати тільки
значень 0; 1; 2.

Якщо а = 0 (і Ь = 0), то рівнян-
ня (1) має вигляд 0 (сов х - 1) =
= соз 0-1, тобто 0 (соз х — 1) = 0,
і його коренями є всі дійсні числа.
Отже, пара чисел (а, Ь) = (0; 0) задо-
вольняє умові задачі.

Якщо а = 1 (і Ь = 0), то рівняння
(1) має вигляд соз х — 1 - соз х — 1,
і його коренями є всі дійсні числа.
Отже, пара чисел (а, Ь) = (1; 0) задо-
вольняє умові задачі.

Якщо а = 2 (і Ь = 0), то рівняная (1)
має вигляд 2 (соз х - 1) = соз 2х - 1.
Коренями цього рівняння не мо-
жуть бути всі дійсні числа, оскільки
коренем не є х = п (при підстанов-
ці одержуємо неправильну рівність
-4 = 0). Отже, пара чисел (а, Ь) =
= (2; 0) не задовольняє умові задачі.
Відповідь: (0; 0), (1; 0). <1

Оскільки значення а і Ь ми отри-
мали при підстановці в задане рів-
няння тільки трьох значень х, то
необхідно перевірити, чи будуть усі
дійсні числа при цих значеннях а і Ь
коренями заданого рівняння, тоб-
то перевірити, чи буде рівняння (1)
перетворюватися на правильну рів-
ність при всіх дійсних значеннях х.
У випадку, коли а = 2 і Ь = 0, одер-
жуємо, що соз 2х = 2 соз х — 1.
Якби ця рівність була правильною
при всіх значеннях х, то це була б
ще одна формула косинуса подвій-
ного аргументу. Але такої формули
немає, отже, можна вказати якесь
значення х, при якому ця рівність
не виконується.

Приклад 3 Знайдіть усі значення параметра а, для яких рівняння
соз 2х + а зіп х — 9 = 0	(1)

має корені.

Коментар

Спочатку виконаємо рівносильні перетворення заданого рівняння:
зведемо до одного аргументу і до однієї функції, а потім виконаємо замі-
ну зіп х = і. Слід враховувати, що після заміни змінної іноді змінюється
вимога задачі, зокрема, для рівняння (2) вона буде такою: знайти всі зна-
чення параметра а, для яких це рівняння має хоча б один корінь у про-
міжку [~1;1] (тоді після оберненої заміни ми знайдемо корені рівняння
зіп х = і, а отже, і корені рівняння (1)). Це можливо в одному з трьох
випадків: або обидва корені рівняння (2) містяться в цьому проміжку
або тільки один з коренів рівняння (2) міститься в проміжку [—1;1],
а другий — праворуч або ліворуч від цього проміжку. Зобразивши від-
повідні ескізи графіків функції / (і) = 2і2 - аі + 8 (рис. 170), за наведе-
ним орієнтиром (або за таблицею 16) записуємо відповідні необхідні і
достатні умови розміщення коренів (3)—(5). При цьому враховуємо, що
у випадках, коли / (-1) = 0 або / (1) = 0, умова задачі теж виконується.

У кінці необхідно об’єднати всі отримані результати.

Зазначимо, що для одержання відповіді можна розв’язати рівняння

. а±УІа2 -64	.	.	.	.	«

(2):	=’ а потім розв язати сукупність нерівностей:

—1 < і < 1, — 1 < іг < 1, але нерівності з коренями розв’язувати досить
складно.

Розв’язання

► Задане рівняння рівносильне рівнянням:

1 — 2 віп2 х + а віп х - 9 = 0,

2 віп2 х - а віп х + 8 = 0. Заміна віп х = і дає рівняння

	2і2 — аі + 8 = 0.	(2)  Рівняння (1) матиме коре ні тоді і тільки тоді, коли рівняння (2) ма-

тиме хоча б один корінь у проміжку [-1;1].

1)	Для того щоб обидва к ірені квадратного тричлена / (і) = 2і2 — аі і- 8 містилися в цьому проміжку, достатньо виконання умов /(-і)>о, Г(і) > о,  Г	(3)  £>>0, -1Ч<1.
2)	Для того щоб один корінь / (і) містився в проміжку [-1; 1], а дру- гий — праворуч від 1 (або в точці 1), досить виконання умов  К(-1)>0’	(0  1/(1) <0.
3)	Для того щоб один кочінь / (і) містився в проміжку [-1; 1], а дру- гий — ліворуч від —1 (або в точці —1), досить виконання умов //(-1)<0, 1/(1)>о.
Розв’язуємо сукупність систем нерівностей (3)-(5):
10+о > 0,

10-а >0,
а2 -64 > 0, або

-1 < - < 1

4

10+а >0,
або
10-а<0

10+а<0,
10-а>0.

а >-10,

а <10,	[а>-10,	Га<-10,

Тоді	або <	або •{

а <- 8 або а >8,	[а >10	[а <10.

—4<а<4

Перша система не має розв ’язків, а з інших одержуємо
а > 10 або а < —10.

відповідь: а є —10] о [10; +°°).<1

 Вправи

Розв’яжіть рівняння (1—2).

1.	1) а віп х = 1;

3)	а х = віп х;

2.	1) сов 2х + 2 віп х + а - 1 = 0;

3) =
зіп Ьх

2) а віп 2х = сов х;

4) сі^ х = а сов х.

2) віп Зх — віп 2х - а віп х:

4) а8Іпх+і£х + 1 = —.

СОЗХ

3.

4.

5.

6.

7.

Знайдіть усі зна ігння параметра, при яких різняння має корені:

1) 2 віп х + 4 сов х = а;	2) 3 віп х - 4 сов х = Ь;

3) а сов 2х - віп х = 0;	1) сов 2х + а соз х = 0;

5) агсвіп2 х + (За - 3) агсвіп х + (а - 2) (5 - 4а) = 0.

При яких значеннях параметра а рівняння

сов2 2х + (а — 3) сов 2х = 0

має на відрізку —; — рівно чоті ри корені?
Ь4 4

Знайдіть усі пари чисел (а, Ь), для яких коренями ріїняння
а (сов Зх — 1) + Ь2 - 2Ь = сов (Зах + (Ь - І)2) - 2

будуть усі дійсні числа.

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння

(4а + 2) віп х + 2а сов х + а + 1 = 0

має точно один корінь, який належить відрізи у

Го;—1.

І б З

Розв’яжіть нерівність:

1) 2 віп х > а;

3) а віп2 х + 2 сов х — а + 1 > 0;

2) (5а - 7) сов х < а + 5;

4) соя х + 1 > а.

СОЗХ
8.	При яких значеннях параметра а задана нерівність виконується при
всіх значеннях х?

1)	зіп6 х + соз® х + а зіп х соз х > 0;

2)	зіп* х + соз4 х > За зіп х соз х.

9.	При яких значеннях параметра а задані рівняння рівносильні?

1)	зіпх + -=0 І І8ІПХ + -||8ІПХ-—1 = 0;

2	\	2/\	21

2) СО8Х“ —= 0

2

1|/	. “-21 Л

соз х — II соз х ч-1 = 0;

2І\	2 І

3) зіп 2х + а = зіп х +

2а соз х і 2 соз 2х + а2 = 5а соз х — 2.

10.	Розв’яжіть систему:

І соз х соз у = а2,

І) .	.	,

[зіп X зіп у = 1.

2)

зіп х соз у = у/а,
ЗІП у СО8Х = 1.

ЗО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Таблиця 51
Продовження табл. 51

У"

ІЄ X > — 1 ——+пйСх<—+пй,йє

6	4	2

У4~

2. Способи розв’язузаннн більш складних тригонометричних нерівностей

а)	Використання рівносильних перетворень, зокрема зведення до
алгебраїчної нерівності за схемою: 1) до одного аргументу, 2) до однієї
функції; 3) заміна змінної (аналогічно до схеми розв’язування триго-
нометричних рівнянь, наведеної в п. 25.1) і наступне розв’язування
одержаних найпростіших тригонометричних нерівностей.

б)	Використання методу інтервалів (після зведення нерівності до виїля-
ДУ / (х) 0) за схемою:

1)	Знайти ОДЗ нерівності.

2)	Знайти спільний період (якщо він існує) для всіх функцій, що вхо-
дять до запису нерівності, тобто період функції / (х).

3)	Знайти нулі функції: / (х) = 0.

4)	Позначити нулі функції на ОДЗ усередині одного періоду та зна-
йти знак функції / (х) у кожному з проміжків, на які розбивається
ОДЗ (усередині одного періоду).

5)	Записати відповідь ураховуючи знак заданої нерівності і період
функції / (х).
 Пояснення й обґрунтування

Способи розв’язування бі іьш сі ладних тригонометричних нерівностей
проілюструємо на прикладах (приклади і пояснення розв’язування най
простіших  ригонометричних нерівностей наведено в § 27).

Приклад 1

Розв’яжіть нерівність ^8ІПгХ + іеІП22х<СО8 2х.

Розв’язання

► 5 1 — сов 2х , 1	2 о X . о

	1-—(1 - сов 2х) < сов 2х.
4	2----4

Тоді

2 сов2 2х + 13 сов 2х — 7 > 0.

Заміна сов 2х = і дає нерівність
2іг + 13* - 7 > 0,
розв’язки якої (див. рисунок):

Коментар

Використаємо рівносильні не
ретворення заданої нерівності. Для
нього зведемо її до алгебраїчної
за схемою, аналогічною до схеми
розв’язування тригономет] шчни х
рівняли:

1)	до одного аргументу (2х);

2)	до однієї функції (сов 2х);

3)	заміна змінної (сов 2х = <).

Після оберненої заміни розн’я
жемо одержані найпростіші триго-
нометричні нерівності.

Обернена заміна дає: сов 2х < -7
(розв'язків немає) або сов 2х >
Тоді

-- + 2пп < 2х < - + 2дп.

З	З

Отже, ~-+пп<х<-+пп,пє X.

6	б

Розв’язуючи більш складні тригонометричні нерівності, можна та-
кож використати метод інтервалів, трохи змінивши його. Необхідність
корекції відомої схеми розв'язування нерівностей / (х)	0 методом ін

тервалів (табл. 11 § 4) пов’язана з тим. що у випадку, коли функція
/ (х) — тригонометрична, вона, як правило, має нескінченну множину
коренів (які одержуют” при цілих значеннях параметра). Тому, якщо
намагатися позначити корені на ОДЗ, доведеться позначити їх нескін
ченну множину, що неможливо. Уникнути цього можна, якщо знайти
період функції / (х) (якщо він існує) і розглянути знак функції на кож
ному проміжку всередині одного періоду.
Таким чином, метод інтервалів для розв’язування тригонометрич-
них нерівностей / (х) 0 може застосовувати я за схемою:

1.	Знайти ОДЗ нерівності.

2.	Знайти період функції / (х) (якщо він існує).

3.	Знайти нулі функції (/ (х) = 0).

4.	Позначити нулі ча ОДЗ всередині одного періоду та знайти знак
функції у кожному з проміжків, на які розбиваються ОДЗ (усерєдин'
одного періоду).

5.	Записати відповідь (ураховуючи знак заданої нерівності і період
функції ї (х)).

Приклад 2 Розв’яжіть нерівність сов 2х < сов Зх — сов 4х.

► Розв’яжемо дану нерівність методом інтервалів. Для цього зведемо її
до вигляду / (х) < 0:

сов 2х + сов 4х - соз Зх < 0.

1.	ОДЗ: х — будь-яке дійсне число.

2.	Як ми знаємо, період функції сов х дорівнює 2л. Тоді період функції

сов 2х буде Тг = — = п, період функції сов Зх — Т2 = — і період функ-

2	З

ції сов 4х — 7’,= — =—.

3	4	2

На відрізку довжиною 2л періоди 7’1, Т2, Т3 вміщуються ціле чис-
ло разів. Тоді 2л буде спільним періодом для всіх цих трьох функцій,
і тому 2л є періоде м функції

/ (х) = сов 2х сов 4х - сов Зх.

3.	Знайдемо нулі цієї функції: сов 2х і- сов 4х - сов Зх = 0.

Тоді 2 сов Зх сов х - соз Зх = 0, соз Зх (2 соз х - 1) = 0.

Звідси соз Зх = 0 або 2 соз х — 1 = 0. Розв’язуючи останні рівняння,

одержуємо х = - + —, к є X, або х = ±— + 2пк, кеЯ.

6	3	з

4.	Позначимо всі нулі на періоді довжиною 2л, наприклад, на відрізку
від 0 до 2л і одержимо 9 проміжків (рис. 171).

Рис. 171

Знаходимо знаки функції / (х) на кожному з проміжків. Для цього
зручно записати функцію / (х) у вигляді добутку: / (х) = соз Зх (2 соз х - 1).

Відповідь (записуємо з урахуванш м періоду):

хє Г+2пк; *+2л/? 10+2пк\ —+2л/г10[—+2ідг, —+2лк\0Г—+2лЛ; —+2лД

1.6 З З Ь2 6	.1 І 6	2	] І 3	6 З

к є 2. <
Зауваження. При розв’язуванні тригонометричних нерівностей
методом інтервалів часто доводиться знаходити знак функції у великій
кількос ’і проміжків. Для того щоб зменшити обсяг роботи, можна за-
пропонувати такий спосіб: стежиги за тим, через який нуль ми проходи-
мо при переході з одного інтервалу до іншого і чи змінюється знак даної
функції в цьому нулі.

У випадку, коли функція / (х), що стоїть у лівій частині нерівності,
записана у вигляді добутку <р (х) • в (х), необхідно звертати увагу на те,
що знак добутку не зміниться, якщо одночасно обидва мн зжники (функ-
ції <р (х) і § (х)) змі нюють знаки на протилежні.

Практичне для використання цієї властивос" і у випадку, якщо ліва
частина нерівності записана як добуток кількох функцій, нулі кожного
множника позначають на проміжку різним кольором (так, як це зроб-
лено на рисунку 174), або, якщо множників лише два, нулі першого
множника позначають під віссю, а пулі другого — над віссю.

Якщо у функцій множників немає однакових нулів, то знак функ-
ції / (х) змінюється агтома"пично при переході черег кожний нуль (за
умови, що тільки одна з фуккцій-множників змінює знак при переході
через цей нуль). У цьому випадки- для знаходження всіх знаків функції
/ (х) на періоді достатньо знайти її знак лише в одному проміжку, а в
інших р ззетавити знаки, чергуючи їх. Якщо ж у функцій множників
є однакові нулі, тс при переході через такий нуль знак добутку може не
змінюватися, і це враховують, розставляючи знаки.

 Запитання для контролю

II. Якими епос >бами можна розв’язувати тригонометричні нерівності,
що відрізняються вщ найпростіших? Наведіть приклади.

Вправи

1. 1) ьіп 4х + соз 4х сі£ 2х > л/З;	2) 8Іп4х-соз4хсі£2х<л/з

2.	1) зіп х > соз* 1 2 3 4 5 6 7 х;	2)	соз2 х - зіп2 х > зіп	2х.

3.	1) соз 2х + 5 соз х + 3	> 0;	2)	зіп х < соз х.

4.	1) соз 2х + соз 6х >	1 +	соз 8х;	2)	зіп х зіп 7х > зіп	Зх зіп 5х.

5.	1) -^зіп х > ^/-соз х;	2)	зіп х > ^/1 - зіп 2х.

6. 1) зіп 9х - зіп 5х + 2 зіп2 х < 2 зіп 2х + 1 - соз 2х;

2) 2 зіп2 х - зіп х + зіп Зх < 1.

7. Знайд"ть розв’язки нерівності л/зіп2х <созх-зіпх, які задовольня-
ють умові ( X І < я.
8.	Знайдіть значення х на відрізку 0 < х < л, які задовольняють нерів-
ності

віп 2х - сов х + 42 віп х >

9.

Розв’яжіть нерівність:

1)	віп 4х > а (віп Зх — зіп х);

2)	а (сов х — віп х)2 + Ь сов2 х > 0.

ДОДАТКОВІ ВПРА ЗИ ДО РОЗДІЛУ 4

Розв’яжіть рівняння (1—8).

1.	1) віп2 х - 4 віп х = 5;

3)	4 сов2 х + 4 віп х - 1 = 0;

2.	1) віп 2х + х = 0;

3)	2віп2х-л/Звіп2х = 0;

3.	1) 1 + созх-2соз —= 0;

2

3)	віп х-л/3созх=0;

4.	1) сов2 х-3 сов х зіп х 4- 1 = 0;

3)	2 + соз2 х = 2 віп х;

5.	1) (1 + соз 4х) віп 2х = сов2 2х;

3)	5віп2х+4зіп^+х)=4;

6.	1) 1-совх-л/Ззіп — = 0;

2

2) сов2 х + 5 соз х = 6;

4) 4 віп2 х — 4 сов х - 1 = 0.

2) віп х+сі£ = 0;

4) 2соз2х + л/3віп2х = 0.

2) 1-созх —2 зіп — = 0;

2

4) л/Звіпх + со8Х = 0.

2) віп2 х + 3 сов х віп х + 1 = 0;

4) 3 - 3 сов х -- 2 зіп2 х.

2) (1 - соз 4х) соз 2х = зіп2 2х;

4) 6соз2х + 5созІ^ —х) = 7.

2) 1+соз х+л/з соз — — 0;

2

4) соз2 4х + 3 соз2 2х - 1 = 0.

2) зіпЗх-2соз^-х);

4) 1 + соз 4х = соз 2х.

2) зіп^|я-2х)+5 зіп(л-х)+3 = 0;

3)	соз2 4х + 3 зіп2 2х - 1 = 0;
/з \

7.	1) созЗх = 2зіп^—п+х);

3)	1 - соз 4х = зіп 2х;

8.	1) 1-со8(л+х)-8Іп^~- = 0;

3)	2 сов2(2лтх)-3 соз^-х^+2; 4) 5 зіп2 (1,5л - х) + 2 віп2 (л - х) = 2
Знайдіть розв’язки рівняння (9—10).

9.	1) зіп х + соз х = 1 на інтервалі (-2л; 0);

2)	зіп х - сов х = 1 на інтервалі (0; 2л);

3)	зіп1 х - соз* х = зіп 2х на проміжку [0; 90°];

4)	—зіп2 х + соз2 х = соз на проміжку [180°; 270°].
10.

...	.	81ПХ „

1)	х ч------= 2 на інтервалі

1 + С08Х

2)	= 8Іп— на проміжку [л; 2л];

1 + СО8Х	2

3)	4 зіп х зіп 2х зіп Зх = зіп 4х на інтервалі

4)	4 сов х соз 2х зіп Зх = зіп 2х на інтервалі (б;

Розв’яжіть рівняння (11—26).

11.	1) зіп 6х - 2 зіп 2х = 0;	2) соз 6х + 2 соз 2х = 0;

3)	соз2 —+соз Зх = зіп2 —-созх;	4) зіп2 х + зіп Зх = соз2 х + зіп х.

2	2

12.	1) 4 соз2 х - зіп 2х = 1;

2)	3зіп2х4-ізіп2х = 2;

3)	зіп2 х + 14 зіп х соз х = 15 соз2 х;

4)	соз2 х — 12 соз х зіп х = 13 зіп2 х.

ІЗ. 1) 1 + 008 2*=0;
1-8ІПХ

2 8ІП2Х + 3 8ІПХ_
«) ----: -

1-С08Х

СОЗХ + СОЗ Зх
14. 1) —:—:--------= 0;

7	1 + 81П X

15.	1) зіп х + л/з соз х = 1;

3)	зіп2 х = зіп2 Зх;

_ „ _ віп 4х + 8Їп 2х . „

16.	1) ------------= і£2х;

СО8

3)	+ соз х = зіп х;

17.	1) зіп4х+соз4х = -;

8

2) 8ІПХ - 8ІП Зх _ ф
1-СО8Х

.. ЗСО82Х-4СО8Х _

4)		= 0.

1	+ 8ІПХ

8Іпх- віпЗх „

2) —:--------= 0;

7	1 + СО8Х

8ІП 2х Л

4) --------= 0.

' 1 - 8ІП 2х

2) л/Ззіп х-созх = 1;

4) соз2 х = соз2 Зх.

сов2х-вїп4х , „

2) ----—-------= сІ#2х;

віп 2х

4) -71-созх-зіпх.

2) зіп4 х + соз4 х = зіп 2х;

3) со8|- + 5х) + 8іпх = 2созЗх;
\2	/

4) соз5х + 8Іп(|л-9х)-л/Ззіп2х = 0.

18. 1) соз х + соз 2х + соз Зх + соз 4х = 0;

2) зіп х + зіп 2х + зіп Зх + зіп 4х = 0;

3) 5 зіп 2х - 11 (зіп х + соз х) + 7 = 0;

4) зіп 2г + 5 (зіп г + соз г) + 1 = 0.
19.

1) віп3 х сов Зх + сов3 х зіп Зх + 0,375 = 0;

2)

соє3 2 СО8 Зз+ВІП3 2 8ІП Зз = —
4

3)	8ІПХ8ІП^“ — Х^8ІП^ + Х^ = ^;

4)	8сОЗХСОЗ^-х)сОЗ^ + х) + 1 = 0.

20. 1) вігі2 х + вігі2 2х = зіп2 Зх;

2) сов2 х + сов2 2х + сов2 Зх + сов2 4х = 2;

3) со8 3х = 1-л/3віп3х;		4) 3 віп х + 5 сов х = 4.
21.	1) >/1 + 48ІПХСО8Х=СО8Х-8ІПХ;	2) л/сов2х-еіп4х =еіп х-соех;
	І£4Х + І£2Х + 5=О.  ' ІЄ 2х іе 4х 2	сїі2х+^г£х+2 = 0  ’ СІЙ X СІЄ 2х
22.	1) агсвіп (х+2,5) = ^;	2) агсвіп^-з)=^;
	3) (х2 - 4) агсвіп х = 0;	4) (х2 агссое х-0.
23.	1) агссое (віп х) = ^+^;	2) агсі^ (<®х)-|=|;
	3) агсвіп (3-2х) = -—;	4) агссое (2х-3) = ^.
24.	п	"2  1) агсвіп х • агссое х =—;  18	2  2) агсі& х • агссі& х = —; 16
	3) 3 агсвіп х — я = 0;	4) 4 агсіє х ~б(“ агсіє
25.	1) (агсвіп х)2 - 4 агсвіп х = 0;	2) (агссое х)2 - 5 агссое х = 0;
	3) агсіє (1+х)+агсіє (1-х) = -;  4	4) агсеіп (1-х)-2 агсвіп х-^.
26.	1) у[^£х=-2 віпх;	2)	х = у/2 созх;
	3) ^/сов х =-віп х;	4) у]соз 2х = >12 віп х.
27.	Знайдіть усі значення х та у, що задовольняють рівнянню:	

1) 12 віп х + 5 соє х = 2у* ~8у + 21; 2) 3 сов х - 4 віп х = 2у2 - 4у + 7;

28.

2і.£

3)		2- = у2-4у+5;

і+іе2-

Розв’яжіть нерівність (28—36).

1) соз2х>-;

4

3) 2 8Іп2хт-л/Звіпх-3>0;

4)		2- = 2у2-4у + 3.

,	. 2 X

1	+ 18 2

2) 8іп2х<і;

4) 2 віп2 х - 3 віп х + 1 > 0.
	2сОВ2Х + СО8Х-1 „	2 8ІП2Х + ВІПХ-1 „
29.	1) 	>0;	2} 	>0;  '	СОВХ-1	'	8ІПХ-1  3) СОВ3 X СО8 Зх — 8ІП3 X 8ІП Зх > —;	4) СО83Х8ІпЗх + СОвЗх8ІП3Х< —  '	8	8
ЗО.	1) віп4 — + сов4 — >	2) 8Іп6х+со86х>-;  3	3 2	8  3) віп х + л/з сов х > 1;	4) л/38іп3х + сов3х>1.
31.	1) іє2х + (2-л/з)ієх-2>/з<0;	2) >/Зіє2х-4ієх + л/з >0;  3) сі#2 х + сіє х > 0;	4) іє2 х - іє х < 0.
32.	1) іє х Зх < -1;	2) сіє х сіє Зх > -1;  3)	3 віп2 х-2 віп х сов х - сов2 х < 0;  4)	2со82х + (2л/3-1)со8Х8тх-л/38Іп2х>0.  8ІП Зх СО8 ^2х - —)
33.	1)	2) сов х сов 2х соз Зх < 0;  '	81П 2х  3)	(Зл/2совх-л/28Іпх-2-л/з)(2 8Іп2х-1)>0;  4)	со8 2х+2 8іп2х>2>/2со8х;
34.	1) 3 віп 2х - 1 > віп х + сов х;	2) сов2х<л/2(совх—віпх);  3)	+	+	<0;	4)	->	.  ' 8ІП 2х 8ІП 4х віп 8х	’ ВІПХ 8ІП 2х 8ІП Зх
35.	1) 2 агссов х > агсвіп х;	2) 2 агсвіп х > агссов х;  3)	2 (агсвіп х)2 - 3 агсвіп х + 1 > 0;  4)	(агссов х)2 - 6 агссов х + 8 < 0.
36.	1)	віп (2х + 10°) + віп (х + 10°) - віп х < 0;  2)	сієх + сіє(х + ^) + 2сіє(х + ^)>0;  3  3)	(агсіє х)3+ (агссіє х)3>~;  4)	агсіє (Зх2 - Зх + 1) < агссіє (Зх2 - Зх + 1).
37.	Знайдіть множину значень функції:  1)	у = -агссов(>/0,125(со8Х-8Іпх)); л  9	- ( Зу/І + 8ІПХ-СО8Х  2)	у=—агсвіп 	7=	 .  *	4л/2
38.	Знайдіть множину значень функції у = віп 2х, якщо:  1) х є [агсіє 0,5; агсіє 3];	2) хє агсіє-; агсіє 2 5  и	3	_І  о\	1	о бтс і	л \	{	5 бтс  3) хє агссое0,8;— ;	4) хє агссов—;— .  '	1	12_|	[	13 12
39.	Розв’яжіть рівняння:

1)	7 х + сов2 х + 3 віп 2х = 1;	2) віп 2х + 1 = віп2 х + 6 сі£ х.

40.	При яких значеннях а вираз 2 + сов х (5 сов х + а віп х) дорівнюва-
тиме одиниці хоча б при одному значенні х?

41.	При яких значеннях а вираз 3 + віп х (2 віп х + а сов х) дорівнюва-
тиме -1 хоча б при одному значенні х?

ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ

Видатні математики з України

У кожному періоді історії математики були свої видатні вчені, які
мали різні долі. Одні зажили слави і безсмертя ще за життя, іншим су-
дилося пройти складні шляхи і розділити трагічну долю свого народу.
У цьому розділі пропонуються короткі бібліографічні розповіді про мате-
матиків з України, які зробили значний внесок у світову та європейську
науку.

Михайло Васильович Остроградський

Багато теорем і формул Петроградського
ввійшли до різних математичних курсів. Добре
відомі математикам усього світу метод інтегру-
вання Петроградського, правило Петроградсько-
го, формула Петроградського тощо.

Народився М. В. Петроградський у селі Па-
шенна Кобеляцького повіту Полтавської губернії
(тепер це Козельщинський район Полтавської об-
ласті) в родині дрібного поміщика. З діда-прадіда
Петроградські належали до козацької старшини,
а сам рід, за легендою, походив від знаменитих
волинських державників і просвітителів князів
Пстрозьких; звідси і прізвище — Петроградські.
Михайло Петроградський навчався спочатку

в Полтавській гімназії, а потім — у щойно відкритому тоді Харківському
університеті. Після закінчення університету Петроградський у 1822 р.
їде до Парижа, де слухає лекції таких корифеїв математичної науки, як
Лаплас, Пуассон, Ампер, Фур’є, Штурм, Коші та ін. У 1826 р. Пґюстен
Коші в одній зі своїх праць дуже схвально відгукнувся про успіхи моло-
дого Петроградського, що цінувалося тоді більше за будь-який диплом.
Тож коли невдовзі Петроградський переїхав до Петербурга, за ним при-
була і слава першого математика Росії.

М. В. Остроградський

(1801-1862)
За свою майже 40-річну наукову діяльність Михайло Васильович
написав близько 50 наукових праць, присвячених найрізноманітнішим
розділам математики і механіки; був обраний членом-кореспондентом
Паризької академії наук, академіком багатьох академій, почесним чле-
ном університетів та багато яких наукових товариств. Поховали його
в рідному селі. У Полтавському педагогічномуінституті відкрито музей
М. В. Петроградського. 200-річчя від дня народження видатного україн-
ського математика було внесено до календаря пам’ятних дат ЮНЕСКО.

Георгій Феодосійович Вороний

Г. Ф. Вороний був визнаний фахівцями як
один із найяскравіших талантів у галузі теорії
чисел на межі ХІХ-ХХ ст., хоча за своє життя
встиг надрукувати всього дванадцять статей. Але
яких! Вони дали поштовх для розвитку кількох
нових напрямків в аналітичній теорії чисел, ал-
гебраїчній теорії чисел, геометрії чисел, які нині
активно розвиваються в багатьох країнах.

НародивсяГ. Воронийус. ЖуравкаПолтавської
губернії (тепер — Варвинського району Чернігів-
ської області). Його дід замолоду чумакував, потім
займався селянською справою, батько закінчив Ки-
ївський університет, а Георгій — Петербурзький.
Працював Г. Ф. Вороний професором Варшав-

Г. Ф. Вороний
(1868-1908)

ського університету, а також Варшавського політехнічного інституту.

Одному зі своїх друзів він говорив: «...Лише моїй дружині відомо,

що математика для мене — життя, все».

М. П. Кравчук
(1892-1942)

Михайло Пилипович Кравчук

Автор понад 180 робіт, серед яких 10 книг із різ-
них розділів математики. Ці наукові праці увійшли
до скарбниці світової науки. На сторінках наукових
досліджень використовуються многочлени Кравчу-
ка, моменти Кравчука, осцилятори Кравчука.

Михайло Пилипович Кравчук — математик
великого масштабу. Його ім’я добре відоме у сві-
товій математичній науці. Світ не знав лише, що
він — українець. Довго не знали про цю надзви-
чайно талановиту людину і його земляки. Адже
ім’я М. Кравчука було занесено до списку «воро-
гів народу», а сам він, повний енергії і творчих
задумів, був засланий на Колиму і пішов з жит-
тя у неповних п’ятдесят років. Лише 1992 року, ПІСЛЯ довгих років
забуття, наукова громадськість України та світу широко відзначила
100-річчя від дня народження видатного вченого. Його ім’я було зане-
сено по лінії ЮНЕСКО до Міжнародного календаря визначних наукових
діячів.

Народився М. П. Кравчук 1892 р. у селі Човниці на Волині в сім’ї
інженера-землеміра. Початкову освіту він здобув удома. У 1910 р. Ми-
хайло Кравчук закінчив гімназію із золотою медаллю та вступив на ма-
тематичне відділення фізико-математичного факультету університету
Св. Володимира в Києві, а після його закінчення залишився в ньому
працювати.

Михайло Пилипович був людиною неабиякої ерудиції та культури.
Академік М. П. Кравчук брав найактивнішу участь у творенні україн-
ської наукової термінології. Він належав до тих учених, чиї праці від-
кривають нові шляхи в розвитку науки та передбачають напрямки її
розвитку в майбутньому.

«Моя любов — Україна і математика» — ці слова Михайла Пилипо-
вича Кравчука викарбовано на гранітному постаменті пам’ятника, який
установлено у 2003 р. перед корпусом музею Національного технічного
університету України «Київський політехнічний інститут».

М. О. Зарицький
(1889-1961)

Мирон Онуфрійович Зарицький

Наукові інтереси М. О. Зарицького охоплюють,
головним чином, теорію множин з алгеброю логіки та
теорію функцій дійсної змінної.

Народився Мирон Зарицький на Тернопільщині
в родині сільського священика. Закінчивши універ-
ситет, учителював у гімназіях, брав участь у роботі
Наукового товариства ім. Т. Шевченка, був обраний
його дійсним членом.

Працював також у Львівському університеті,
Львівському політехнічному інституті, Ужгород-
ському університеті. Педагог він був непереверше-
ний. Тут варто згадати слова відомого математика
С. Банаха, сказані про М. О. Зарицького: «Я не знаю

більше нікого, хто б так логічно та лаконічно викладав математичний

аналіз». Мирон Онуфрійович був обізнаний з природничими науками,
світовою літературою, філософією. На науку дивився передусім як на
правду і красу, що підносить людину на вищий щабель її духовного
розвитку. Недаремно професора М. О. Зарицького називали «поетом

формул».
Володимир Йосипович Левицький

«Основоположник математичної культури нашого
народу» — так сказав про Володимира Левицького
академік* Михайло Кравчук. І мав на це всі підста-
ви. Саме професор В. Й. Левицький першим написав
справжню фахову статтю з математики українською
мовою, був незмінним редактором першого україн-
ського наукового часопису з природничих наук, пер-
шим згуртував навколо себе математиків-українців
для наукової роботи. Великою заслугою В. Левиць-
кого було те, що він зібрав і впорядкував матеріали
з української математичної термінології. Він займав-
ся також геометрією, алгеброю, диференціальними
рівняннями, теорією аналітичних функцій та історією
математики.

В. Й. Левицький
(1872-1956)

Народився Володимир Левицький у Тернополі в старовинній ро-
дині священика. Навчався у Львівському університеті, був членом
математично-природничо-лікарської секції Наукового товариства
ім. Т. Г. Шевченка.

Працював у Львівському університеті, де йому було присвоєно
звання професора. Володимир Йосипович Левицький написав близько
100 науково-популярних статей. Майже вся наукова і громадська робота
В. Й. Левицького проходила в Науковому товаристві ім. Т. Шевченка.
ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

Таблиця 1

1. Системи рівнянь		
Поняття системи та її розв'язків	Приклади	
Якщо ставиться завдання знайти всі спільні розв’язки двох (або більше) рівнянь з однією або кількома змінними, то кажуть, що потрібно розв’язати систему рівнянь. Запи- сують систему рівнянь, об’єднуючи їх фігурною дужкою.  Розв’язком системи називається таке значення змінної або та- кий впорядкований набір значень змінних (якщо змінних декілька), що задовольняє всім рівнянням си- стеми.  Розв’язати систему рівнянь озна- чає знайти всі її розв’язки або до- вести, що розв’язків немає.  Якщо система не має розв’язку, то її називають несумісною.	І	х-у = 4,  2х+у -11 — система двох рівнянь з двома змінними.  Іара чисел (5; 1), тобто  х = 5,  .. _ і — розв’язок системи.  .У А
		х2 - у + 2 = 0,  ху + хг + у2 = 19, — система трьох  Х+у—2 = 2  рівнянь з трьома змінними. Трійка чисел (1; 4; 3), тобто х = 1,  у = 4, — один з розв’язків системи.  2 = 3
2. Рівносильність систем рівнянь		
Дві системи рівнянь називаються рівносильними на деякій множи- ні, якщо на цій множині вони ма- ють однакові розв’язки (тобто кож- ний розв’язок першої системи на цій множині є розв’язком другої і, навпаки, кожний розв’язок другої системи є розв’язком першої).  Якщо змінити порядок запису рівнянь даної системи, то одержимо систему, рівносильну даній.  Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то одержимо систему, рівносильну даній.	Областю допустимих значень (ОДЗ) системи називається спіль- на область визначення всіх функ- цій, що входять до запису цієї сис- теми.  Усі рівносильні перетворен- ня систем виконуються на ОДЗ початкової системи.	
Продовження табл. 1

3.	Основні способи розв'язування систем рівнянь
Спосіб підстановки

Виражаємо з одного рівняння системи одну змінну через іншу (чи через
інші) і підставляємо одержаний вираз замість відповідної змінної у всі
інші рівняння системи (потім розв’язуємо одержане рівняння чи систе-
му і підставляємо результат у вираз для першої змінної).

[2х-у = 3,

Приклад. Розв’язати систему 1х + у = 3

Розв’язання. З першого рівняння системи у = 2х - 3. Підставляємо
в друге рівняння системи і одержуємо х + 2х — 3 = 3. Звідси х = 2.

Тоді у = 2х - 3 = 1.

Відповідь: (2; 1).

Спосіб додавання

Якщо перше рівняння системи замінити сумою першого рівняння, по-
множеного на число а 0, і другого рівняння, помноженого на число
Р 0 (а всі інші рівняння залишити без зміни), то одержимо систему,
рівносильну даній.

5х-3у = 9,	*2

3х + 2у = 13.	-З

Розв’язання. Помножимо обидві частини першого рівняння систе-
ми на 2, а другого — на 3 (щоб одержати як коефіцієнти при змінній у
протилежні числа) і почленно додамо одержані рівняння. З одержано-
го рівняння знаходимо значення х, підставляємо результат у будь-яке
рівняння системи і знаходимо значення у.

10х-6у = 18,
9х + 6г/ = 39.

19х = 57,
х = 3.

Тоді 3 • 3 + 2у = 13, 2у = 4, у = 2.

Відповідь: (3; 2).

Приклад. Розв’язати систему
Продовження табл. 1

4.	Графічне розв'язування систем рівнянь з двома змінними

Виконуємо рівносильні перетворення заданої системи так, щоб зручно
було будувати графіки всіх рівнянь, що входять до системи. Потім буду-
ємо відповідні графіки і знаходимо координати точок перетину побудо-
ваних ліній — ці координати і є розв’язками системи.

Приклади

1. Розв’язати графічно систему -!

[х + у = 3.

ґ у = 2х - З,

Розв’язання. Задана система рівносильна системі 5

(.А/ — 3-х.

Графіком кожного з рівнянь системи є пряма.

Для побудови прямої досить побудувати дві її точки.

Відповідь: (-1; -1), (1; 1) — розв’язок системи.
Знаходження області визначення функції

Таблиця 2

. Вид функції		Обмеження, які враховують при знаходженні області визначення функції	
1		£(х) е 0	Знаменник дробу не дорівннн нулю
2	У = 2$/(х)  (к є ЛГ)	/(*) > 0	Під знаком кореня парного степе ня може стояти лише невід’ємний  вираз
3	У = Ї8(Ґ(х))	/ (х) * ~ + тдг, (к є г)	Під знаком тангенса може стоя ти лише вираз, що не дорівнює  (к — ціле)
4	У = сі£ (/<*))	І(х) * пк, кєХ	Під знаком котангенса може сто яти лише вираз, що не дорівнює пк (к — ціле)
5	у = агсзіп (ґ(х))	1 ї (х) | < 1, тобто 1<7(хК 1	Під знаками арксинуса і аркко синуса може стояти лише вираз, модуль якого менше або дорівнкн одиниці
6	у = агссоз (/(х))		
7	У = ха		
	а) а — натуральне	х — будь-яке число	
	б) а — ціле від'ємне або нуль	х * 0	
	в) а — додатне не ціле число	X > 0	
	г) а — від’ємне неціле число	X > 0	
ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ

Розділ 1

§ 1. Пункт 1.1.13. 34. 14. 80 %. Пункт 1.2. 5. 1) -1- ; 1; 2) - 1; 2; 3) 0;

З

±2; 4; 4) - 5,5; -0,5; ±2,5. 6. 1) [3; 4]; 2) Ь*>;-4)	; 3) (-	- 0,5] О

\3	/

її [1,5; + оо); 4) (- 5,5; - 3,5) її (0;2). § 2. Пункт 2.1. 1. 1) 2,5; -2; 3^;

З

а + і; 2) -3; -2; 1; Ь2 - 3; 3) 1; 2; 0; >/т + 1. 2. 1) Я; 2) [-3; +~); 3) х * -1;

4) Я; 5) (-оо; -1] II [1; +оо); 6) Я; 7) [1; 5]; 8) [-3; 0) II (0; +оо); 9) [-3; 3) О
К (3; +оо); 10) (-оо; -1) II (-1; 0] II [1; +оо); Ц) [0; 2) її (2; +оо); 12) Я. 3.
1) {5}; 2) Я; 3) [0; +оо); 4) [0; +о°); 5) Я; 6) [-5; +-); 7) [3; +<>о). 4. а) Б (Д =
= [—3; 5]; Е (/) = [-3; 2]; зростає: [-2; 3]; спадає: [-3; -2] і [3; 5]; / (1) = 0;
б) Б (/) = [0; 6]; Е (/) = [0; 4]; зростає: [0; 2] і [5; 6]; спадає: [2; 5];
/ (1) = 2. 10. 1) Зростаюча; 2) спадна; 3) зростаюча; 4) спадна. 11. 2) 4.
Пункт 2.2.1. 3) парна; 4) непарна; 5) парна і непарна; 6) непарна. 2. 1) к > 0,
Ь > 0; 2) к < 0, Ь < 0; 3) к > 0, Ь < 0. 6. 1) а < 0, Ь > 0, с > 0; 2) а > 0, Ь < 0,

с < 0; 3) а < 0, Ь > 0, с < 0; 4) а > 0, Ь < 0, с > 0. Пункт 2.4. 1) у = -х+2,
З

£> = Я, Е = Я; 2) у = -±х-2, Б = Я, Е = Я; 3) у = Б: х * 0, Е: у * 0;

4) у =——, Б: х Ф 0, Е: у Ф 0; 5) у = х2, Б = [0; +°°), Е - [0; +о°). 3. 1) у = 2>/х,
X

2) у--2у[х, 3) у-уІх + 2, 4) у = -у/х+2. § 3. Пункт 3.1. 2. 1) а) Так; б) так;

2) а) так; б) ні. 6. 1) Так; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) ні. 7. 1) 3-; 2) -4; 3) -4;

З

2	І—

4) -3; -. 8. 1) Коренів немає; 2) 2; 3) ->І2; 4) коренів немає. 9. 1) х Ф 1,5
З

(умова для коренів); 2) х > 0.11.1) 7; 2) 0; 4,5; 3)	4) --. Пункт 3.2.1.1) 2;

З з

2) 3; 3) (1; 0). 2. 1) 0; 2) 0; 3) -1; 4) 0,5. 3. 1) 3; 2) (-2; 5); 3) (3; 1); 4) коренів
немає; 5) (2; 1); 6) (-1; 2; -3). 4. 1) 6; 2) 1; 3) 0; 4) 6; 5) 2; 6) 1. 5. 1) (-5; -5);
(2; 2); 2) (-2; -2); 3) ґ * ;—*Л	4) (-2; -2). § 4.1. 1) (--; -2] Сі

X. у!2	>І2 ) \>І2 >12)

її (1; 2] її (4; -И»); 2) (-оо; -2) її (3; 8); 3) (4; 5]; 4) [-10; -2) О (4; +оо).

2.1) [-2; -1] її [1; 2]; 2) (-оо;-1)и

(-і; і) II (1; +оо); 3) (—; -3] II (0; 3]; 4) (-€; 2).
\ о о /

3. 1) (-2; 2) II [4; +оо); 2) (-2; -1) або 1; 3) (-оо; 0) СІ [2; 3]; 4) (-оо; -1) сі [4; +~).

§ 7. Пункт 7.1. 1. 1) а = 4, Ь = 5, с = 0, <1=1; 2) а = 2, 5 = 0, с = 1, <1 — 2.
2. а = 0,	с=±. 5. а=1, б = 2. 6. а = -^, Ь=-^. Пункт 7.2.1.1) Зх2 +

+ х + 4; 2) х8 - х8 + х4 - х2 + 1; 3) х8 - 2х2 + 4х - 2. 2. 1) Ц (х) = 4Х2 - 6х - 1,
Я (х) = 12х + 3; 2) © (х) = х3 + 2х2 + 5х + 10, Я (х) = 20х + 21. 3. 1) а = -18,
Ь = -35; 2) а = -8, Ь = 20; 3) а = -1, Ь = -2. 4. 1) © (х) = х + 6, Я (х) = 12х + 12;

2) Ц (х) = х, Я (х) = -20х - ЗО. Пункт 7.3.1.1) -101. 2. а = -3. 3. х + 3. 4. а = -1,

Ь = 1. 5. 8; 5-. 7. -2Х3 + 8х2 + 14х - 20. 8. а = -2. 9. 3.10. 2Х3 - 10х2 + 6х + 18.
з

11. а = З, Ь = 9. 12. х2 + 5х + 1 = 0. 13. х2 - 5х + 2 = 0. 14. х2 - ЗОх + 9 = 0.
Пункт 7.4.1.1) (х) = х2 + 2х + 1, Я (х) = 0; 2) С (х) = бх2 - х + 20, Я (х) = 96;
3) Я (х) = х2 - 18х + 64, Я (х) = -168. 2. 1) Так; 2) так. 3. 1) 2х2 - 5х - 3;
2) 2х2 - 11х + 5. Пункт 7.5.1.1) 1; 2) -3; 2; 3) -4; 4) -2; 1. 2.1) 1; 2) -0,5; 3) ±1;

--; 4) -1;	3. 1) (2х + 1)(х + 1)(х - 2); 2) (х + 1)(х + 3)(х + 5); 3) (х - І)3 х

х (х + 1); 4) (х - І)2 (х + 5) (х - 5). 4. 1) 1; -1+л/З; 2) -2; -1; 3; 3) -0,5; 1;
4) 0,5; 1±>/2. Вказівка. Спочатку знайти раціональний корінь (х = а) мно-
гочлена і розділити многочлен на х - а. 5. 1) (х2 + Зх - 2) (х2 - 2х + 3);
2) (х2 + Зх - 1) (х2 - 7х + 2). 6. 1) (х2 + л/2х + 1-л/2)(х2->/2х+1+>/2);
2) ((1 + л/2)х2-л/2х+1)((л/2-1)х2->/2-1); 3) (х2 + >/2х+1->/2)(х2 + уі2х +
+1 + >/2). § 8.1. 1) --; 4; 2) 0,5; 3,5; 3) -1; 2; 3; 6. 2. 1) (-<»; -1) і) (4; +«>);

З

2) (-0,8; 2); 3) (-3; -1) О (-1; -4) [-2; 2|). 3. 1) |; 2) -1; -3. 4. 1) [1; 3];

2) -8; 12; 3) [-5; 8]. 5. 1) Розв’язків немає; 2) [2; +«>); 3) О (8;+<»).

6. 1) [1; 2]; 2) -2--, 3. 7. 1) -3; 5; 2) [-1; 4]. 8. 1)	0,5; 2; 2) -2- л/б; л/б.

З	з

9.1)0; ±2; 4; 2)-2; 1; 3; 6.10.1)(-1; 5); 2)	]	]С(-1;2) II+~).

11. 1) (—°о; -1) її (2; +°°); 2) [1; 3]. 12. 1) (-5; -2) О (-1; +°°); 2) (-°°; -5) Сі (-3;
3) її (5; +оо). 13. 1) [-6; -2] СІ [4; 8]; 2) (°°; -8) II (2; +«>). 14. 1) (о; |); 2) (-«>;
-5] її [4; +оо). 15. 1) [-3->/б;-4)и(-2;0]; 2) [-1-2>/2;-3)и(1;3].

Додаткові вправи до розділу 1. 2. 1) 8; 2) 6. 3. 1) 8. 9. 1) 0,25.

Розділ 2

§ 10.2. 1) -2; 2) 0,5; 3) -1; 4) 2; 5) 5; 6) 3. 3. 1) 20; 2) 10; 3) 6; 4) ЗхО.

4. 1) 3; 2) 10; 3) -2; 4) 5. 5. 1) -2; 2) 3; 3) -5; 4) 2. 6. 1) 77; 2) 6; 3) 15; 4) 5.

7. 1) 108; 2) 200; 3) 0,9; 4) Iі. 9. 1) Я; 2) [3; +°°); 3) [-2; +°°); 4) (0; +<*>).

З
, .. зТб4	2(77 + 1)	1	_ То-З	л

10. 1) — ; 2)-----------; 3) - при а = 9; ----- при 0 < а < 9 або а > 9; ви-

2	3	6	а-9

1	у[х -1	І----

раз невизначений при а < 0; 4) - при х = 1; х при х Ф 1. 11.1) а2Ь Той2;

2)	ай3То¥; 3) -За^Та2^2; 4) 2аЬ2^2а3Ь6. 12. 1)	2) аЬ&г,

3)	2а2бТЬ; 4) а2\Ь\УаЬ. 13. 1) ТТТ3; 2) -ТаЬ®; 3) Тба7 * * *Ь7; 4) ТЛ.
14. 1) ТТа7 при а > 0; -Тїа7 при а < 0; 2) Та226; 3) %2аЬ74) 7-Зд11.
15.1) -а; 2)а; 3) 0; 4) 0.16.1) 2|а|62 * * * *72; 2) а£2с; 3) а|17; 4) 6$2 • ’Тз • 3^а|".
17.1) Та3 + уіЬ2; 2) $[у; 3)	ПрИ х > 0, у> 0; при х < 0,

у < 0. 18. 1) 77; 2) ±73; 3) -7б; 4) коренів немає; 5) ±2; 6) -4. § 11. 1. 1) 3;
2) коренів немає; 3) -26; 4) 0; 5) 45. 2. 1) 8; 2) 2. 3. 1) 2; 2) 10; 3) 4; 4) 7.
4. 1) 3; 2) -5; 3) -11; 4) -8; 5. 5. 1) 1; 2) 3; 3) 0; 4) ±Т£. 6. 1) 1; 2; 10; 2) -1.
7. 1) (8; 0); 2) (4; 1); 3) (4; 1); 4) (16; 1). 8. 1) (27; 1), (1; 27); 2) розв’язків
немає; 3) (~ |; ~|); 4) (0,5; 1,5). § 12. Пункт 12.1. 1. 1) Т2; 2)	3) ^5;

4)	5)	6)	2'х) 3°; 2) 4 5^; 3) 7	4) а°; 5) (2Ь)*; 6)

3. 1) Ні; 2) так; 3) так; 4) ні. 4. 1) [0; +<*>); 2) (-°°; 0) Сі (0; +«>); 3) (1; +°°);

4) [-3; +~); 5) (-; -1) 0 (-1; 1) О (1; +оо); 6) Я. 5. 1) 9; 2) |; 3) 32; 4)

5) 8,2; 6) 6,75; 7) 3,25. 7.1) -р—; 2) -р—; 3) , 1 ,; 4) т^ + пХ 8. 1) 1 + с;

а2—Ь2 р2+5	с2-а2

Iі	1	2	11	2	1

2) х + у, 3) х - 1; 4) к2-12. 9. 1)	; 2) а3+а3Ь3+Ь3; 3) г3-2;

х2 +4

4) а3 +Ь3. 10. 1) 1; 2) 128; 3) 4л/2; 4) ±4л/2. Пункт 12.2. 1. 1) К; 2) (-~; 0) и

І) (0; +°о); 3) [1; +оо); 4) (0; +«>); 5) (-~; 0] и [1; +°°); 6) П. § 13. Пункт 13.1.

1. 1) -1; 2) 3. 2. 1) 0; 2) 0; 3) коренів немає; 4) 3. 3. 1) 1; 2) (4; 25). 4. 1) 8;

2) 4; 3) 2; 4) 1, -1. 5. 1) (16; 16); 2) (4; 4). Пункт 13.2. 1. 1) —; 2) -3; 1;

3) 4; 4) 4. 2. 1) 1; 2) [5; 8]. 3. 1) 1|; 2) 2-2^2;	4.	1) -5+^-^; 2) -1.

5. 1) 32; 2) 64. § 14. 1. 1) (-оо; -3]; 2) (^о;0]и 3;3^). 2. 1) (-оо;-^и[3;+оо).

2) (-о°; 0] О [1; +оо). 3. 1) -2; [-1; 3]; 2) -3; (-0,5; 1]. 4. 1) [2; +оо); 2) [10; +-).
5.1) [3- 2>/2; 9); 2) [0; 4) її (9; -Н«). 6. 1) (-«>; -3] І) (0; +°°); 2) Н»; -2) її (0; 1) II
її (1; 4-0°). 7. 1) [2; 5,2]; 2) [1; 5) II (10; +<*>). 8. 1) Розв’язків немає; 2) 2;

3. Вказівка. Знайти ОДЗ нерівності і врахувати, що вона містить тільки два
числа*. § 15 1. 1) При а є К х = а + 4; 2) при а > 0 х = а2 - 2а; при а < 0
коренів немає; 3) при т < 0 або т > 3 коренів немає; при 0 < т < З
х = т ~6т, +8-; 4) при а = 0 х = 0; при а > 1 х = ——— -3 4-; при а < 0 або
4т2	2

0 < а < 1 коренів немає. 2. 1) При а < 1 х = а; при 1 < а < 2 х є [1; а]; при

а = 2 х є [1; 2); при а > 2 х = а або х є [1; 2); 2) при а < 0 розв’язків немає;

при а = 0 х є (0; +<»); при а >

розв’язків немає; при -4 < а <

0 хє -^а;-а|і)(0;+о°); 3)
0 х є (2 - \/4 + а; 2+\/4 + а );

при а < -4

при а > 2

хє

—; 2 + л/4+а І;

_ 4	/

-3->/-7-16а. -

при

а;

при

7

16

; при а = ~—

З	_	7	,	.

х = —; при а>-------розв язків

8	16

1

2

7

8

8

8

1

2

немає; 5) при а < -2 або а > 2 х є І - - ——- ;|а| І; при -2<а< —42 або

42<а<2

( 2-4га2-4

хє ---------

I 2

2 + 4га2-4

2

при ->/2<а<>/2

розв’язків немає.

3. а < 5,125. 4. а < 0, а = 42. 5. а < 1. 6. При а < 1 один розв’язок; при а > 1

розв’язків немає.

„ . л/гСл/б-л/з) ^(л/б + л/г)

Додаткові вправи до розділу 2. 1. 1) -------------;	-----г-----;

3)	4)	2. 1) 0; 2) 1; 3) >/2-0,75; 4) 1. 3. 1)	*	 2) 1;

15	5	4а+42

3) х - 1; 4)	4. 2) —; 3) -2</х. 5. 1) х + 1; 2) а&Ма^+Ьї); 3) Зу'?.

6. 1) коренів немає; 3) -2; 3; 4) 3. 7. 1) 2; 3) 2; 4) 7. 8. 1)	2) |; 3) [5; 1(»|;

11	о

4) [7; 14]. 9. 1) 8; 2) 0,5; 3) -3; 6; 13; 4) 1; 2; 10. 10. 1) 8; 56	2) 1; 1,5;

4) коренів немає. 11. 1) ґ-——; 3 + ~^\ 2) (0; 1); 3) розв’язків немає; 4) ро.ч
\ 4	4 7

в’язків немає. 12.1) (і + 1; і), І є 2; 2) (5; 4); (-0,5; -0,4); 3) ^1+>/5;

4) (2; 3);

13. 1) [-2; +°°); 2) [0; +°°); 3) [0; 3]; 4) ( 2; -1].
14. 1) (~оо;-2]и -1;

ЇЗ-1
б

І; 2) (-2;-

'-1]и[4:і): 3) <

•; 0,75] УУ (4; 7);

4) [-3; 1). 15. 1) [1; 2]; 2) [4; 20]; 3) 2;2.Г ; 4) 2;

- І. 16. 1) [-2; 0) У

У (0; 1,6); 2)

0;-^

3) -1; [2; +оо); 4) -2; 1; [3; +«=).

17. 1) (-1; +°о); 2)	1*1 у [3;+<=<.); 3) [-1; 3]; 2; 4) -3; [-2; 4].

»	3_і

18.1) [-1 -2-713; — б) У (1; — 1+2 Тїз]; 2)(—;0) У [1; 2]; 3) [-5;-4 + 2\/>/5-2);

4)

19. 1) [2,5; 3];

2) [1; 1,5];

20.

1)	| -1; —У 4=;1|;

'5.

2)	(0; 0,5);

3)	(-0,75; 1);	4) [-1; 0).

21.

1) (0;4)у

8 + 4а2 + 8х/а2 +1	|

--------2-------;+°° > 2) при

а	)

0;—— 11(1;+°°); при
> а-2

і

5

а = 2 х є (1; +°°); при а > 2 хє

23. а < -3 або а > 1. 24. а < -1.

. 22. -1,25 < а < 1 або а > 1,25.

Розділ З

§ 16. 3. 1) у; 2)	3) у; 4) -у; 5)	6) -у. 4. 1) 540°; 2) 135°;

3) -72°; 4) 210°; 5) -10°; 6) 330°; 7) -22,5°; 8) —. § 17. 1. 3) ПІ; 4) III; 5) III;
л

6) IV. § 18. 1. 1) |; 2) -1; 3) —4) 1; 5)	6)	7) -1; 8) х/з.

2.	2) Т = л; 4) Т = -; 5) Т — будь-яке дійсне число, крім 0. Найменшого до-
З

датного числа не існує. 3. 1) п (пк, к * 0, к є 7)-, 2) - — ,к*0,кє7 ;

5 \ 5	/

5

3)	6л (блй, к 0, к є И); 4) -і—,к*0,кє%]; 5) 5л (5лй, к * 0, к є 2).
З \ з	/

§ 19. 5. 1) зіп 3,9, зіп 3,3, зіп 1,2; 2) соз 1,9, соз 1,2, соз 0,3; 3) іє (-1,3),
ІЄ 0,7, 1® 1,5; 4) сіє 2,9, сіє 1,1, сіє 0,5. § 20. 1. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так;

5)

4)

5	5

так; 6) так. 2. 1) созос = —, іє а = -2,4, сієа = -—; 2) зіп а = 0,6,



а = -0,75, сіє« = -1-; 3) соза = —5=
3	х/13

8іпа = -

3,2
/=, сієа = -
'із	3

8іпа = -Я=, соза =—^=, іє а = -5. 3. 1) 0; 2) зіп2 а; 3) 1; 4) -соз2 а;
х/26	<26
5) 1; 6) 0; 7) еіп а; 8) 1; 9)	10) -2 іє « 5. 1)	2) а) 2; б) 2.

§ 21. Пункт 21.1. 1. 1)	2) ' ; 3)	4)	5) і; 6)	7)	8)

д/2	2	2	2 уІ2 д/2	2

9) 1; 10) >/3; 11) -4=. 2. 1) еіп 2а; 2) соє 2а; 3) зіп а; 4) соз Р; 5) сіє За;
л/3

6) іє 6а; 7) іє 7а; 8) іє 5а; 9) іє а сіє Р; Ю) іє (а - Р). 3. 1) ^4; 2)
242	242

3) 2 + л/З; 4)	5)	6) -2->/з. Пункт 21.2. 1. 1) —; 2) Л;

242	242	2	^2

3) 11; 4) -; 5) г> 6) -. 4. 1) зіп а; 2) зіп2 а; 3) 2зіп а; 4) --------------------------.

2	2	43	2	сов 2а + віп 2а

5. 1) -—; 2) -—; 3) 3-; 4) —. 6. 1) —; 2)	; 3) -1—; 4)	.

25	25	7	’ 24	169	’	169	119	120

7. 1) —;	2) —;	3) 3-;	4) —.	8. 1) -—;	2) —; 3)	-3-;	4) -—.	9. -0,8.

25	25	7	24	25	25	1	7	24

10. -1,125; 0. Пункт 21.3. 1. 1) -^; 2) ->/3; 3)	4) -1; 5) -|; 6) |;

7) 4=ї 8) 1. 2. 1)	2)	3. 1) соз2 а; 2) -соз2 а; 3) -і; 4) 1сіє2а; 5) 1.

д/3	2	2	2	2

Пункт 21.4. 1. 1) 0; 2) -зіп 18°; 3) 72 зіп 25°; 4) іє 20° сіє 5°; 5) зіп (а - Р) х

хзіп(а + Р); 6) 4зіп^соз^соза; 7) 4созсозсоз а. 3.1)	2)

3) іґсоєІО0-—|; 4) -(соз—-соз—). 4. 1) -; 2) -. § 22. Пункт 22.1.

2к	2 )	2\	10	10/	2	' 2	—*--------

1.	УІ2-Л. 2) л/2 + >/2. 3)	2. 1) 8Іп- = -т=; сов—= —у=; іє^ = - 2;

2	2	2	^/5	2	^/5	2

2)	зіп^ = -^=; соз- = —^=; і£- = --. 3. 3 + 2 72. 4. —^=. 5. 0,6. 6.-1.

2 713	2	6 2 з	713	«

7. 2. 8. ~1±->/^. Вказівка. Якщо а = 18°, то 36° = 2а і 54° = За (де 8Іп а > 0).

Додаткові вправи 3. 1. 1) 0; 2) | 8Іп Р + соє Р (; 3) 13; 4) 8Іп р. 2. 1) 2 ід а;

2) -1; 3) 1; 4) 1. 7. 1)	2) -—-—3)	Вказівка. З умови випливає,

9 (т + 1)2	4

що 1~со- а ^1, де | соз а | < 1; 4) 8Іпа = -^^-, соз2а = --, соз—= —т=.
сова 2	1	1	з	9	2	^/3
Розділ 4

§ 23. 1. 1) 0; 2) |; 3) Ь 4) |; 5) -|; 6)	2. 1) 0; 2) Ь 3) Ь 4) -

3. 1) *; 2) 0; 3) *; 4) £ 5) л; 6)	4. 1) Ь 2) Ь 3) *; 4)	5. 1) |;

2	4 о	4	2 о о о	7

2)	3) ^=5 4) |. 6. 1) 7; 2) 3; 3)	4) 4* 7. 1)	2)	3) 1|;

5 л/іа 4	л/іи л/о	7	3	З

4)	ГХ- 8. 1) /7. 2) 1,5; 3)	4) |. 9. 1)	2) 7 - 2л; 3)	4) 8 - 2л;

*  »	V ІО	о	/	о

5)	—; 6) 4 - л; 7) -; 8) 10 - Зл. § 24. 1. 1) ±- + 2лп, пє И;2) коренів немає;

5	9	4

3)	±у + 2лп, п є 2; 4) ±у + 2лп, п є 2. 2. 1) (-1)п^ + лп, п є И;

2) (-1)п^+лп, п є И; 3) (-1)"+1 + лп, п є И; 4) коренів немає. 3. 1) ^ + лп,

пє 2; 2) —+лп, п є 2-, 3) --+лп, п є 2\ 4) -- + лп, п є 2. 4. 1) - + лп,
'б	4	З	4

п є 2-, 2) ^+лп, п є 2\ 3) — + лп, п е 2; 4) ^+лп, п є 2. 5. 1) (-1)" +1 х
х агсвіп 0,6 + лп, п є 2\ 2) ±агссов 0,3 + 2лп, п є 2', 3) -агсіє 3,5 + лп, п є И;

4)	агссіє 2,5 + лп, п є 2. 6. 1) ±^ + 2лп, пє 2; 2) пє 2; 3) ^ + у.

п є 2\ 4) -агсій 3+—, п є 2. 7. 1) (-1)" л + 4лп, п є 2\ 2) ±—+ 10лп,
4	4	4

пє 2;3) -^ + 3лп, п є 2; 4) у+ 7лп, пє 2.8. 1) (~1)П|+п є 2\ 2) ±2л +

+ блп, иє 2; 3) (-1)пу+4лп, п є 2, 4) | + ™, пе 2.9. 1) (-1)п+1у+3лп,

пє 2;2) ±—+лп, пє 2;3)	, пє 2;4) —+ 2лп, п є 2.10.1) —+ 4лп,

'12	24	4	2	З

4лп, пє 2; 2) - + 3лп, пє 2; 3) —; - +—, пє 2; 4) -—+ 4лп, п є 2.
2	3	23	З

11. 1) -—-лп, п є 2; 2)л - 2лп, п є 2; 3) -8лп; -—-8лп, пє 2;4) -—;

12	З	З

л 2лп £ 12 1) —• —’ —•	» 17л. 19л. 2^ +-*_•	13л.

6~~3~’ ПЄ •	' 12’ 4’ 4 ’	12 ’	12 ’	12 ’	' “ 18’	18’	18’

5л	л	7л	д Зл	7л	11л	15л	17л	13л	5л	л

3) ——; —; —; 4) —; —; —; —. 13. 1)--------------;-----;-----;---;

З	З	З 16	16	16	16	18	18	18	18

7л	11л	19л	2) 0 ±2	4	3) 0 2	4	4)	5л	11л	13л	19л	7л

18	18	18	12	12	12	12	4

25. 1. 1) (-1)п+1 агсвіп- + лп, пє2; 2) ——агсвіп-+ ^, пє2;

З	2	3	2
3) (-1)п агсвіп- + лп, п є 7; 4) п + 4лп, (-1)п- + 2лп, пє 2. 2. 1) ±— + 2пп,
4	3	3

±агссові+2лп, п є 2; 2) +— + п є 7; 3) л + 2лп, п є 2; 4) ±л 4 блд,
• 3	9	3

п є 2. 3. 1) ±—+ 2лп, п є 7; 2) - + пп, п є 7; 3) - + пп, (-1)"агсвіп-+пл,
З	2	2	5

п є 7; 4) - + ——, п є 7. 4. 1)	+ пп, агсіє- + лп, п є 2', 2) - + —,

6	3	4	3	8	2

^агссієб + ^-р пє2; 3) -агсіє 2 + лп; агсіє^ + лп, пєХ; 4) ^ + 2лп,
5	1	/	1 \

2агссіє- + 2лп, пє 2.5.1) (-1)" агсвіп- + лп, п є 7; 2) ±^л-агссов-1+ 2лл,
пє 2. 6. 1) - + лп, -агсіє 3 + лп, пє 2; 2) - + лп, агсіє 3 + пп, п ? 7;

4	4

3) ^+лп, -агсіє 2 + пп п є 7; 4) -^ + лп, агсіє | + лп, п е 7. 7.1) л + 2лл;
±—+ 4лп, п є 7; 2) агсіє + лп, п є 7; 3) --агсвіп—- + 2лп, гн /;
4) ^ + пп, (-1)" агсвіп^+ лп, п є 7. 8. 1) 2пп; л + 4лп, п є 7; 2) 4лп; л і 2г ,
п є 7; 3) (-1)"агсвіп^ + пп, п є 7; 4) ^ + лп, п є 7. 9. 1) -^ + лп, л » 7,
2)- + лп, агсіе2+лп,п є 7;3)- + лп, агсієЗ++лп,п є 7; 4)агсіє—4 — ’ • <'•'

4	4	2

п є 7. 10. 1) +—+ 2лп, п є 7; 2) (-1)п+1- + лп, п є 7; 3) (-1)п-+лл, л « М)
З	6	4

4)	±- + 2пп, п	є 7.	11. 1) --+лп,	п є 7; 2) — + лп, п	є 7; 3) - + лл,	я	-	/,

4)	^+лп,	п є	7. 12. 1) ^ + 2лп, п	є 7; 2) 2пп,	п є 7;	3) лп; ^ + лл,	п		Хі

4)	-+лп,	- + лп,	пє7. 13. 1)	(-1)"-+лп,	пє7;	2) ±^ + 2лл,	л

’	2	4	6	З

3)	±агсіє \/2 + пп, п є 7; 4) агсіє 2 ++ лп; -агсіє- + пп, п є 7 14 11

З

п є И; 2) —; - + —, п е Я; 3) —, п є Я; 4) — + —, п є 2. 15. І) * ♦ пя
2	6	3	4	63	4

п є	7; 2) ±- + —, п є 7. 16. 1) — - +—, пе 7; 2) 2лп, п є 7.	17. І) "і	по.

6	2	24	2	7	»

п є	7; 2) -^ + лп, п є 7. 18. 1) ^ + лп, -агсіє 2 + лп, п є 7; 2)	Д	•

-^агсієЗ+^р п є 7; 3) ~ + пп, -агсіє 3 + лп, п є 7,	||	7	і
1

З

агсіє 4 +—, пє2. 19. 1) - + 2т, -2 агсіє 2 + + 2т, п є 2; 2) — + 2т,
3	2	2

-2агсіе^ + 2лп, пє2; 3) лп; “+лп, пє 2; 4) ^+2лп, -агсіє^ + лп,

пе 2. 20.1) (-1)п+1 - + лп, п є 2; 2) (-1)"-+лп, п є 2; 3) л + 2т; ±- + 2лп,
6	6	з

п є 2; 4) - + 2кп, п є 2. § 26. 1. 1) (- + 2лп; —
’ б з	\б б

+ 2т; -
б

пє И;2) - + 2лп;--+2л(1-п) ,1
\ 3	3	/

Іп + т;—ті, п є 2; 2)і2т;——-

\4	/	\ З

~+2т; + 2л (1 - п))

І, п є 2. 2.1)^лп; - лп),

+ 2лп;

(-1)'

-+т;-+2іїк], к,п є И; 2) Іл+2лп;±- + 2лА!І,(±- + 2лп;
б 2	/	\	з / \ з

з

з

л + 2л/г), к, п є 2. 4. 1) ((-1)”-+пп;±—
/	\	6 з

іи+1 -+лп; ±—+2пк І,
б з І

л,

агсіє 2 + лп’ 4 ~ агс^Є 2 ~КП

-+лп;- - агсіє- - лп І,
3	4	3	/

1

п є

2. 5. 1) (- + л(Л + п);- + л(Л-п)), (-- + л(/г+п);--+л(/г-п)], к, п
\6	6	/	\ 6	6	/

2;

2)

—+ л (п + /г);--+л(п-/г)],
і з	б	/

/г,

И.

6.

1) ^+л(Л + п);^ + л(&-п)), (у~+л(Л+п);

^ + л(/г-п)І,

к,

2;

2)

(—+ п(п + к);——+л(п-А)|, (—
\12	12	/	\12

+ л (п+Л); ~~~ + я (п - &)),

к,

г.

7.

я	л& л

- + 2т + —; -

. п_ як л .

+ 2лп---; —і— І,

2 4	2 /

к,

г.

8.

1) 2лп;-

к, п є 2.

—+ 2лп; —+ 2лп ,
б б _Г

-+2лп; — + 2т),
4	4 г

2;

п

п

п

4

2 4

п

§

п

3) розв’язків немає; 4)

—+ 2лп;—+2лп , п є 2. 2. 1)
з з З

+2т; - + 2т І,
\ з з І

п є 2; 2)

—+2лп;—+2лп),
16	б /

п є 2; 3) Я; 4)	+2лп;- + 2лп , пє

и 4	4

И.

- + лп;-- + лп), п є И; 2) —+ пп;- + т
а	л	г	' ч 7 о

ІЗ

л	л

- + пп;- + т

>6	2

- + лп;-+лп І п є 2. 4. 1) ілп;—+лп|, п є 2; 2) |лп;- + лп , п є

2	4 _Г	\ б /	’ \	4 _г

’’ б

2;

+ лп; л+лпі,

- + лп; л+пп
.з

Зл

- + лп; —+ лп ,

>8	8	/

2

4

2

’ 4

л
2) Г- + 6лп; — + 6лп1,
І2 2 _Г

---+ 2пп; л+2лп
. з

п є 2;

л \ / ТС , ТС71 ТС ТС71 ।	л > •»

4) І-----1----; —+ —, п є 2. 6. 1)

’ \20	5 5	5 /

лп;-+лп
з

, п є 2; 2)

Л І лп,
4	3 ’

Л
36

пп І „

+ —, п є 2;
з )

п є 2;

п є 2; 3)

п\ 9л , о а	„	( л , лл 5п , лпі „ —	| 2л 2лп 2лп|

3) +6лп;6лп , п є 2; 4) +—; —+ —, п є 2.7.1)--------------------;-----,

І 2	-Г	\ 48 2 48 2 /’	\ 9	3	3/

пе2; 2) Г- — +	— + —1, п є 2;	3)	+ 2пп;2пп\, пе2.

І 60	5 60	5 _Г	\ 2	/

8-« % / ТС 7С71 ТС ТС77 1	-у о\ І ТС	ТС	і і і  ТС	ТС	|

. 1) (— + —;—+•—, пє7; 2) — + тсп; — + лп и - + 7гп;- + лп , п є 2.
\12	2 4	2 /	\ 2	4	/ \4	2	/

§ 28. 1. 1) (- 1)"+1-+ пп, ±- + 2лп, п е 2; 2) - + 2лп, п + 2пп, п є 2.
6	3	2

2.	1) ~^+2пп, п є 2; 2) коренів немає; 3) 3 + 4п, п є 2; 4) 1; 5) ±^ + пп,

п е 2. 3. 1) ^ + пк, агсіе~^ + лп, к, п є 2; 2) ^ + пк, ±агсі&у/2 + пп,

к, пе 2. 4. 1) і; 2) (0,5; п + 4лп); (-0,5; п - 4лп) п є 2. 5. 1) 1; 2) -0,25;
З

3)	1; 4) 1; 5) 0,125; 6) 0; ±1.6.1) --+п (2к - п); - - пп , -+п (2к + п); - - + пп ,
\ 3	6	/ \6	6	/

к, пе2; 2) (—+ -(4А + п);- + —), к, пе2. 3) ((-1)"+1-+лп;±- + 2лА!);
' \4	2'	4	2 /	' V б з /

|(-1)" —+пп;± —+ 2пкі,	к, п е 2; 4)

\	6	3	/

5)	(-+2пп;—+2пк], (—+ 2пп;- + 2пк),
\з з / \ з з /

(- + —;±- + 2лп|,	к, пе 2;

\4	2 З /

'--+2пп-,-—+2пк\, (-—+2пп;
і з з / \ з

- - + 2л/г|, к,пЕ 2; 6) (лп; пк); (-0,5 агссое (-0,75) + лп; -0,5 агссое (-0,75) + пк),
(0,5 агссоз (-0,75) + лп; 0,5 агссоз (-0,75) + пк), (-0,5 агссоз 0,25 + лп;
-0,5 агссоз 0,25 + пк), (0,5 агссоз 0,25 + лп; 0,5 агссоз 0,25 + пк), к, п є 2.

Ґ4зіп (Зх + 2у) = -зіп х,

Вказівка. Подати систему у вигляді (	і перемножити

[зіп у - -4 зіп (2х + Зу)

відповідно праві і ліві частини одержаних рівнянь. Врахувати, що при та-
ких перетвореннях можлива поява сторонніх розв’язків системи. Розв’язуючи
проміжне рівняння 4 зіп 5х + зіп х = 0, зручно скористатися тим, що
зіп 5х = зіп (х + 4х). § 29.1. 1) При -1 < а < 1 коренів немає; при а < -1 або

а > 1 х = (-1)" агсзіпі+ лп, п є 2; 2) при -0,5 < а < 0,5 х = - + лп, п є 2;
а	2

при а < -0,5 або а > 0,5 х = ^+лп, х = (-1)п агсзіп^ + лп, п є 2; 3) при

а = 0 або а < -1, або а > 1 х = лп, п є 2; при -1 < а < 0 або 0 < а < 1 х - лп,

х = ±агссоз а + 2лп,

п є 2; 4) при -1 < а < 1 х = ^ + пп> п е 2; при а < -1
або а > 1 х =—+пп, х = (-1)"агс8Іпі + пп, п є 2. 2. 1) При а < -0,5 або
2	а

а > 4 коренів немає; при а = -0,5 х = (-1)" — + пп, п є 2; при -0,5 < а < 0
6

, 1хп • 1±л/2а + 1	„ п , л , 1ЧП . 1-л/2а + 1

х = (-1) агсвіп--------+ пп, п є 2; при 0 < а < 4 х = (-1) агсвіп —— -+ пп,

п е 2; 2) при а < -1,25 або а > 5 х = пп, пе 2; при а = -1,25 х = ±агссоз 0,25 +
+ 2пп, п є 2; при -1,25 < а < 1 х = пп; х = ±агссов1 ±	+5 + 2пп, п є 2;

при 1 < а < 5 х - пп, х — ±агссов--^-^-+2пп, п є 2; 3) при 5 = 0 рівнян-

4

ня не визначене; при Ь 0 і а = 0

пк
ь

х є К9 к є при Ь * 0 і а ± 0

лп

X = —
а

п Є

пе 2, п*~9 к є И; 4) при а = -1 або 2~2\^2 < а < 2 +2^2 х - 2лп,
ь

при а < -1 або -1<а<2-2\/2, або а >2 + 2>І2 х = 2пп,

х = -- + (-1)л+1 агсвіп——у= + лп, п є 2. 3. 1) -2а/5<п<2а/5; 2) -5 < Ь < 5;

4	а>12

3)	а є К; 4) а є Я; 5) — <а<—. 4. З—^=<а<3+ ^=. 5. (0; 1); (1; 1).

2	2	д/2	а/2

1. 1) При а

-2 х є К; при -2 < а < -2 хє|агсвіп^ + 2лп; л - агсвіп| + 2лп^,

п є 2; при а > 2 коренів немає; 2) при а < - х є

З

и-і- и , о—

-агссов------+ 2пп;

,	5а-7

агссов 0+5 + 2пп], пе 2; при - < а < З хе К; при а > З х е І агссов а+-5 + 2ли;
5а-7	)	З	\	5а-7

2л-агссо8-^^- + 2лп|, п є 2; 3) при а < -1 х є Н; при а = -1 х є (-л + 2лп,
5а-7	/

л + 2лп), пе 2; при -1 < а < 0 або 0 < а < 3 хє[ -агссов1 ~+1 + 2лп;

агссов^-^^- + 2лп),пє 2;приа = 0 хє(-— + 2пп;—+2лп), пе 2;приа>3

сі	/	\ З	3	/

(	1 — ї о	1 + "\/и +1 о ''і і . (	1 +	+1 о

х є -агссое-+ 2пп; - агссоз--+ 2лп Сі агссов---------+ 2лп;

\	а	а	/	\	а

агссов^^ + 2лп ],п є 2. 8. 1) -0,5 < а < 0,5; 2) ~<а<~. 9. 1) а < -2,
а	7	3	3

а = 1, а > 2; 2) а < 0, а = 1, а > 4; 3) а = 2. 10.

1) ^ + л(Л+и);^ + л(Л-п)

к,

пе 2;2)^п(к+п);^ + п(к-п)І, к,пе И;4)приа<-2 х є

а +л/а -4 „
агссов----------1- 2л п;

2
2л-агссое--  °—-+2лп и(-- + 2лп;- + 2лп), пє2; при -2 < а < 2
2	_І \ 2	2	/

х є І 2лп; - + 2лп

\ 2	2

при а > 2 х є І ~ + 2лп,-агссое

о.-У<»^1+2яп и

2	1

 .	а-уа -4	~ л

и агссов---------+ 2лп; - +

І	2	2

п є 2. § ЗО. 1. 1)

л [ лп, я । лп

4	2*62

п є 2; 2. 1) агсвіп——- + 2пп; п -агсвіп - - +2лп
і	2	2

п І Зтг	ТІ і

пє 2; 2)-------+ лп;- + лп|, п є 2.

2)	(-— + 2лп;- + 2пп), пє 2.

\ 4	4	/

3.	1)

4.	1)

Г-—+ 2лп; —+ 2лп
Із з

п є 2;

лп;- + лп)о|-+лп;—+лп)иі
<	8 І \3	8 І

І/|—+лп; — + лп (Сіі— + лп; л + лп), п є 2;2)
\ 8 з ) \ 8	/

-+лп;-+лп Ш

Л 2 І

п _ Зл
- + лп;—+лп
.2	4

п є 2. 5. 1) Г—+ 2лп; — + 2лп), п є 2; 2) [ агсвіп-?=+2л п; ^ + 2лп|, п є
12	4 І	\ у5	2	/

6. 1) (-- + 2лп;-—+ 2лп)и(-—+ 2лп;2лп)и(- + 2лп; —+ 2лп)и(—+ 2лп;
\2	7	/ \ 7	І \2	7	/ \ 7

—+2лп^ V(—+2лп; л+2лп), п є 2; 2) (--+2лп; — + 2лп)О(-+2лп; — + 2лп1 Сі
7	/ \ 7	/	\4	6 І \4	4	/

О —+2лп; —+ 2лп ,п є 2.	7.

\ 6	4	)

8.

Зл . . 5л
— О —;л

4 І 6

л

6

9.1) При а <-2 хє|2лп;- + 2лп|О|—+2лп;л + 2лп)и ОІ— + 2лп; — + 2лпІ,
’ г	\	4	/ \ 4	/	\ 4	4	/

п є 2; при -2<а<-\І2	хє|2лп;- + 2лп)и(—+2лп;агссов-+ 2лп)

\	4 І \ 4	2 І

и|л+2лп;2л-агссов- + 2лп)и|—+2лп; —+ 2лп),	п є 2; при а = -х/2

\	2	/ \ 4	4	/

хє|2пп;-+2лп)о	о|п + 2лп; — + 2лп|и|—+2лп; — + 2лп), п є 2; при

\	4 І \	4	/ \ 4	4	/

-у/2<а<42 хє|2лп; —+ 2лп) О|агссое-+ 2лп; — + 2лп)и(л + 2лп;—+2лп|'і
\	4	/ \	2	4	/ \	4	/

о|2л-агссое-+ 2лп; — + 2лп|,	п є 2; при а = \І2 хє(2,сп;

\	2	4/

у+2лп|и(-у+2лп; ^+2лпІи|л+2лп; — + 2лпІ, п є 2; при х/2 < а< 2 х є |2лп;

4	/	\4	4	/	\	4	/	’г-

агссое-+ 2лп) и|-+2лп;—+2лп)о|л + 2лп;—+2лп|и|—+2лп;2л-агссон' і

2	/\4	4 І \	4 І \ 4	2

+2лп), п є 2; при а > 2 хє(- + 2лп; — + 2лп|и |л+2лп;—+2лл) і(7п і
/	н	\4	4	/ \	4	/ \ І
+ 2пп;2л + 2лп), п є 2. Додаткові вправи до розділу 4. 1. 1) ~ + 2пп, п є 2;

2) 2пп, п, є 7; 3) (-1)"+1- + лп, п, є 2\ 4) ±- + 2пп, п є 2. 2. 1) лп, п є 2;
6	з

2) л + 2лп, пе 2; 3) лп, ^+лп, п є 2; 4) +	-^ + лп, п є 2. 3.1) л + 2лп,

4лп, пє 2; 2) 2лп, л + 4лп, пє 2; 3) - + лп, пє 2; 4) -- + лп, п є 2.
З	6

4. 1) - +лп, агсіє 2 + лп, пє 2;2) —+ лп, -агссіє 2 + лп, пє 2; 3) - + 2лп,
4	4	2

пє2;4) 2лп, ±- + 2лп, п є 2. 5. 1) ^+—, (-1)" — + —, пє2;2) —,
'	3	' 4 2	' ' 12 2	2

±- + лп, пє2; 3) 2лп, ±агссов(--І+2пп, пє2; 4) (-1)"- + пп,
6	\ 5/	6

(-1)” агсвіп-+лп, п є 2. 6. 1) 2лп, (-1)"—+2лп, п є 2; 2) л + 2лп,
з	з

। 5ТС а	п\	ТС ЛІ	। ТС ТСП	гж	а \	ТС ТСП	 ТС ТСП

±— + 4лп,	пє7; 3)	—,	±— +—,	п є 2;	4)	- + —,	±- + —,	пє2.

З	2	12	2	42	6	2

7. 1) - + лп, ±- + 2лп, ±—+ 2лп, п є 2; 2) лп, ±- + пп, п є 2; 3) —,
'2	3	З	6	' 2

(-1)" —+ —, пє2;4) - + —, ±—+ пп, пе 2. 8. 1) я + 2лп, ±—+ 4лп,
'	12	2	'42	6	З

пє2; 2) (-1)"+1-+лп, пє2; 3) лп, пє2; 4) -+лп, п є 2. 9. 1)
6	2	2

2) -, л; 3) 67,5°; 4) 240°. 10.1) —; 2) 2л; 3) -, —; 4) -. 11.1) —, ±—+—,

2	6	8852	12	2

у	ох	ТС ТС/Т । ТС ТСП	ох	ТС	 ТС	п	ТС ТСЛ

п є	2-,	2)	—і-, ±- +—,	п є 2\	3)	—+ лп,	±- + лп,	п е	2;	4)	- + —,

4262	2	З	42

(—1)п —+ пп, п є 2.12.1) - + лп, -агсіє 3 + лп, п є 2; 2) -+лп, -агсіє 2 + лп,
6	4	4

п є 2; 3) —+ лп, -агсіє 15 + лп, п є 2; 4) —+ лп, агсіє 13 + лп, п є 2.
4	4

13. 1) --+2лп, п є 2; 2) -+—, л + 2лп, п є 2; 3) л + 2лп, п е 2;
2	'42

4) - + 2лп, п є 2. 14. 1) —+ 2лп, - + —, п є 2; 2) - + —, 2лп, п є 2;
'2	2	42	42

3) —+ лп, п є 2;4) п є 2. 15. 1) --+2лп, - + 2лп, п є 2\ 2) - + 2лп,
4	2	6	2	З

л + 2лп, п є 2‘, 3) —, п є 2\ 4) п є 2. 16. 1) —, п є 2; 2) - + пе 2;

3) - + 2лп, л + 2лп, п є 2; 4) - + 2лп, 2лп, п є 2. 17. 1) ±-+—, п е 2;
2	2	62
(-1)”	( П лп	„ п пп п _	„	,, пп

2) л——агсзіпЬ/З-1)+—, п є 2\ 3) -	, — + лп, п є 2; 4)

2	2	6	3	4	2

(-1)"тг-+™, п є 2. 18. 1)л + 2пп, л + пп, ~ + п є 2; 2)л + 2лл, * пл,
п є 2; 3) -- + (-1)" агенти \= + пп, п є 2; 4) ~- + пп, п /
5	4	5^/2	4

19.	1) (-1)п+1^ + ^, пє2; 2) ±п- + лп, п є 2- 3) (-1)п—л і /.
’ ' ’	24	4	8	’ ' * 18 З

..	п пп	„	о,	п	пп	п . пп	„	2пп	2п 2пп

20.	1)	пп,	- + —,	п є	2\	2)	- +—,	- +—, п є	2\	3)	—, —+—,	п	/

’	6	3	10	б	42	3	9 З

4)	- агсвіп-Д=+(-!)"	агсвіп-;4	+ лп, л є 2. 21. 1)	2пп, --+2пп,	л е	/і

734	ХІ34	2

3)	±-агссі&х/2+ —, ±іагс(і£/5 е—, п є 2; 4) ±-+лп, п є 2. 22. і) іі;
2	2	2	2	З

2) 7; 3) 0; 4) ±0,5; 1. 23. 1) 0; ±1"; ±—; 2) -—; -2л;	; 3) —

3	5	3	3	4

4)	1,75. 24. 1) |;	2) 1; 3)	4) коренів немає. 25. 1) 0; 2) 1; 3) |

4) 0. 26. 1) лп, -— + 2пп, -—+ 2лп, п є 2; 2) -- + 2лп, л < /
'	12	12	4

3)-агссов 52 1 + 2лп, п є 2;4)( І/'^ + лп, п є 2.27.1) ^-агссову|+2лп; 2

п є 2; 2)

-агссов-+ 2лп;1

.	5

п є 2; 3) ^+2лп;2^, п є 2; 4) (2лп; 1), л є /

28.1) [-—+ лп;-+лп|, пє 2;2) (-- + лп;-+лп|, пє 2;3) |- + 2пп;—+2лл|„

\ з з /	\ б б І	\з з /

п є 2; 4) - + 2лп, Г-—+2лл;- + 2лп , п є 2. 29. 1) І-- + 2лп;2ллІи
2	1.6 б .1	\3	/

о(2лп;-+2лп|, л є 2; 2) |- + 2пп;- + 2лп|О|-+2лп;—+2пл|, пі/;
\	3	/	\б 2	/ \2 б /

3)	+	пе2. 4)	пЕг, зо. 1)	+

\ 12	2 12	2 )	\ 24	2 24	2 )	\ 4	2

3?€ ЗтїТІ І	лх / ЇГ ЇГМ 7Г 7ГП- І	о\ І	о—  о__ І

— +---, пє7; 2) — + —, пє7; 3) — + 2лп; —+ 2ллЕ

4	2/	'\8282/	16	2	/

гг	а \ і 2тсп 2ті 2тгп ।	011x1 і о їг — ।	гя

п є 2; 4) — +-; — +-, п є 2.	31. 1) -агсі&2 +лп; —+ лп , п є 2\

\93	93 /	\	З Г

2)	І--+лп;- + лп|и|- + лп;- + лпІ, п є 2; 3) (лп;-+лп О —+ лп;л + лл),
\ 2	6	/ \3	2/	\2^^4	/

п є 2; 4) Глп;- + лп , п є 2. 32. 1) |--+2лп;- + 2лп|и(— + 2лп; — + 2лл|и
^4^	\6	4/\4	6	/
О І—+2лп; —+ 2лп|Сі|—+2лп;^^+2лп|, пє2;2) |2лп;-+2лп|Сі(-+2лп;

\ 6	4 І \ 4	6	)	X 4	) \3

—+2лп)и(— + 2лп;л+2лп)и(л+2лп;—+2лп] О (—+2пп;—+2лп | Сі(—+2лп;

З / \ 4	І X 4 І \ З 3	/ \ 4

2л+2лп), пєИ;3) ^-агс€&^ + пп;—+пп , пєИ;4) |^-^+ли;агсі&2 + пп

пєХ. 33. 1) (~+2пп;—+2лп1иГ— + 2лп;л + 2лп|и(л+2лп; — + 2лп)и
' \2	3	□ Ь 6	/ X	2	)

СІ — + 2пп;—~+2пп , п є Х-,
ІЗ 6	.]

2) І-+2пп;- + 2пп

1.6	4

Сі —+2лп; — + 2пп

Ь 4 б

СіГ— + 2лп; —+2пп |сі Г—+2пп;±^+2пп ,пє Х.34.1) |-л+2лп;--+2лп|Сі
16	4	□ Ь 4	6	.1	І	2	/

СІ| агсвіп———— + 2таі;——агсвіп—— + 2лп], п є X; 2) Г-—+2пп;—+ 2лп1,
\	34	4	3	7	14	4

п є X; 3) (- + лп;- + лп)о(-+лп; — + лп)о(—+ лп; —+лп) о(-+лп;—+лп)іі
’ \8	7 І \4	7	/ \ 8	7	/ \2	7 І

+лп;—+лп|1і(—+пп;—+лп|іі|—+лп;л+лп|, п є X; 4) |2ли; —+ 2лп 0

\ 8	7	/ \ 4	7 І \ 8	І	X 7	]

Сі|- + 2лп;—+2пп1иІ-+2пп;—+2пп оГ—+2пп; л+2лп|иГ—+2пп;—+2ли|и
\3	7	^\2	3	□ Ь 7	І І 7 З І

її І—+2пп;—+2пп\ О (—+2пп;—+2т
\2	7	1 \3	7

-1;^); 2) (0,5; ї];

п є X. 35. 1)

3)	[-1; зіп 0,5) и (8іп 1; 1);	4) [-1; сов 2).	36. 1) (^ + 2пп; л+2лп)

\ 36	/

СІ

и(—+2пп;—+2лп), п є Х-, 3) (-«>; 1) 0 (1; +«); 4) (0; 1). 37. 1) 0 < а < 3;
\ 36	18	/

2) -4,5 < а < 4,5. 38. 1) [0,6; 1]; 2) [0,6; 1]; 3) [0,5; 1]; 4) 0,5; — . 39. 1) пп,

пєХ; 2) ^+пп, п е X. 40. 1) а<-2>/б або а>2л/б; 2) а<-4>/б або
а>4л/б.
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

А

Арифметичний корінь 163

Арккосинус 315

Арккотангенс 320

Арксинус 312

Арктангенс 317

В

Відбір коренів тригонометричних

рівнянь 342

Властивості кореня п-го степеня 160

—	оберненої функції 61

—	степеневої — 194

—	степенів 186

— тригонометричних функцій 245

Винесення множника з-під знака

кореня 161

Внесення множника під знак кореня 161

Втрата коренів рівняння 78

Г

Гармонічні коливання 256

---, амплітуда 256

---, період 256

---, початкова фаза 256

---, частота 256

Геометричний зміст модуля 17

Гіпербола 44

Графік квадратичної функції 46

—	косинуса 256

—	котангенса 264

—	нерівності з двома змінними 101

—	лінійної функції 40

—	періодичної — 249

—	рівняння з двома змінними 101

—	синуса 252

—	тангенса 260

—	функції 28

---, геометричні перетворення 50

Графічне розв’язування систем нерівностей

з двома змінними 108

д

Ділення многочлена на двочлен 124

Ділення многочленів 118

---«куточком» 119

---з остачею 118

Доповнення множин 9

Дробова частина числа 31

З

Заміна змінних 180, 335

Звуження ОДЗ 78, 359

К

Корінь з кореня 161, 169

---добутку 161, 169

---частки 161, 169

---степеня 161, 169

—	квадратний 160

—	многочлена 120

—	п-го степеня 160

—	многочлена кратний 123

---раціональний 126

—	рівняння 67

---сторонній 70

Косинус 239

Косинусоїда 256

Котангенс 239

Котангенсо'їда 264

Кут 234

—	, вимірювання 234

М

Метод інтервалів 91

---для тригонометричних нерівно-

стей 381

—	математичної індукції 111

Многочлен від однієї змінної 115

—	п-го степеня 115

—	нульовий 116

Множина 8

—	порожня 8

Модуль числа 17

Н

Неповна частка 118

Нерівності, що містять знак модуля 130

—	з однією змінною 90

—	ірраціональні 212

—	рівносильні 90

— тригонометричні 379

Нулі функції 96

О

Об’єднання множин 9

Область визначення функції ЗО

Область допустимих значень кореня 160

-------нерівності 90
-------рівняння 67

значень функції ЗО

Одночлен 114

Основна властивість кореня 161
тригонометрична тотожність 273

Остача від ділення 118

П

Парабола 45, 46

Переріз множин 9

І	Іеретворення графіка функції 50

Період функції 246

Підкореневий вираз 163

І Іоказник кореня 163

І*

Радикал 163

Р ідіан 234

Радіанна міра кута 234

Рівність многочленів 116

-	множин 11

Рівносильні перетворення нерівності 90

----рівняння 68

Рівняння 67

-	, що містять знак модуля 180

-	з оберненими тригонометричними функ-
ціями 365

з однією змінною 66

-	ірраціональне 180, 205

----наслідок 67

однорідне 211, 338

-	рівносильне 68

—	тригонометричне 324, 335

Різниця множин 9

Розв’язок нерівності 90

-	рівняння 67

Розв’язування нерівностей з параметра-
ми 138
рівнянь-------138

Розкладання многочлена на множники 121

Розміщення коренів квадратного тричле-
на 146

С

Синус 239

Синусоїда 252

Системи тригонометричних рівнянь 347

( тввідношення між тригонометричними
функціями одного аргументу 273

Старший член многочлена 115

Степінь одночлена 114

— з дробовим показником 186

---ірраціональним показником 188

---натуральним показником 186

---раціональним показником 187

---цілим показником 186

Схема Горнера 124

Т

Тангенс 239

Тангенсоїда 260

Теорема Безу 120

---, наслідок 121

Теореми про корені рівнянь 83

---рівносильність нерівностей 95, 213

---рівносильність рівнянь 68

Тотожна рівність многочленів 116

Тотожність 276

Тригонометрія 310

Ф

Формула перетворення виразу

а віп а + Ь соз а 305

Формули Вієта 122

—	додавання

—	доповняльних аргументів 291

—	зведення 288

—	зниження степеня 284

—	перетворення добутку тригонометрич-
них функцій у суму 293

---суми (різниці) 293

---у добуток 293

—	подвійного аргументу 284

—	половинного аргументу 299

—	потрійного аргументу 299

Функція 29

—	зростаюча 28

—	квадратична

—	лінійна 42

—	непарна 29

—	обернена 60

—	обернена пропорційність 43

—	парна 29

—	періодична 246

—	спадна 29

—	степенева 194

—	числова 28
ЗМІСТ

Передмова для учнів................................................ З

Передмова для вчителів............................................. 4

Позначення, які застосовано в підручнику........................... 6

Розділ 1. ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 1.	Множини.................................................... 8

1.1.	Множини та операції над ними......................... 8

1.2.	Числові множини. Множина дійсних чисел............... 16

§ 2.	Функції................................................... 28

2.1.	Поняття числової функції. Найпростіші властивості
числових функцій......................................... 28

2.2.	Властивості і графіки	основних	видів функцій........ 40

2.3.	Побудова графіків функцій за допомогою геометричних
перетворень відомих	графіків функцій..................... 50

2.4.	Обернена функція.................................... 60

§ 3.	Рівняння.................................................. 66

3.1.	Рівняння-наслідки та рівносильні перетворення рівнянь ... 66

3.2.	Застосування властивостей функцій
до розв’язування рівнянь................................. 82

§ 4.	Нерівності: рівносильні перетворення та загальний
метод інтервалів............................................... 90

§ 5.	І Графіки рівнянь та нерівностей з двома змінними........ 100

§ 6.	| Метод математичної індукції............................ 111

§ 7.	І Многочлени від однієї змінної та дії над ними.......... 114

7.1.	Означення многочленів від однієї змінної
та їх тотожна рівність.................................. 114

7.2.	Дії над многочленами. Ділення многочлена
на многочлен з остачею...................................118

7.3.	Теорема Везу. Корені многочлена. Формули Вієта..... 120

7.4.	Схема Горнера...................................... 124

7.5.	Знаходження раціональних коренів многочлена
з цілими коефіцієнтами.................................. 126

($8. І Рівняння і нерівності, що містять знак модуля.......... 130

§ 9.	? Рівняння і нерівності з параметрами.................... 138

9.1.	Розв’язування рівнянь і нерівностей з параметрами.. 138

9.2.	Дослідницькі задачі з параметрами.................. 143

9.3.	Використання умов розміщення коренів квадратного

тричлена Р (х) = ах2 + Ьх + с (а * 0) відносно
заданих чисел А і В..................................146

Додаткові вправи до розділу 1.................................... 151

Відомості з історії.............................................. 154
Розділ 7 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

§ 10.	Корінь п-го степеня та його властивості. Функція у = V* та її
графік......................................................... 160

§ 11.	Ірраціональні рівняння........................................ 180

§ 12.	Узагальнення поняття степеня.

Степенева функція, її властивості та графік.................. 186

12.1.	Узагальнення поняття степеня........................... 186

12.2.	Степенева функція, її властивості та графік............ 194

Застосування властивостей функцій до розв’язування
ірраціональних рівнянь....................................... 205

13.1.	Застосування властивостей функцій до розв’язування

ірраціональних ріві ннь.................................205

13.2.	Приклади використання інших способів розв’язування
ірраціональних рівнянь.................................. 208

§14. £ Ірраціональні нерівності..................................... 212

й 15, Розв’язування ірраціональних рівнянь та нерівностей

з параметрами................................................ 220

Додаткові вправи до розділу 2...................................... 229
Відомості з історії ................................................ 232

Розділ 3. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§ 16.	Радіанна міра кутів.......................................... 234

§17.	Тригометричні функції кута і числового аргументу............. 239

§ 18.	Властивості тригонометричних функцій......................... 245

§ 19.	Графіки функцій синуса, косинуса, тангенса і котангенса та їх
властивості.................................................... 252

19.1.	Графік	функції у =	віп х та	її властивості. 252

19.2.	Графік	функції у =	соз х та	її властивості. 256

19.3.	Графік	функції у =	х та її властивості................ 260

19.4.	Графік	функції у =	сі£ х та	її властивості. 264

§ 20.	Співвідношення між тригонометричними функціями одного

аргументу.................................................... 273

§ 21.	Формули додавання та їх наслідки............................. 278

21.1.	Формули додавання...................................... 278

21.2.	Формули подвійного аргументу........................... 284

21.3.	Формули зведення....................................... 288

21.4.	Формули суми і різниці однойменних тригонометричних
функцій та формули перетворення добутку
тригонометричних функцій у суму......................... 293

22.	| Додаткові формули тригонометрії............................ 299

22.1.	Формули потрійного та половинного аргументів.
Вираження тригонометричних функцій через тангенс
половинного аргументу................................... 299

22.2.	Формула перетворення виразу а віп а + Ь сов а.......... 305

Додаткові вправи до розділу 3......................................... 308

Відомості з історії................................................... 310
Розділ 4. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§ 23.	Обернені тригонометричні функції........................ 312

23.1.	Функція у	“ агсзіп х............................. 312

23.2.	Функція у	= агссов х............................. 315

23.3.	Функція у	— агсіє х.............................. 317

23.4.	Функція у	= агссіє х............................. 320

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь...... 324

24.1	. Рівняння сов х — а.............................. 324

24.2	. Рівняння віп х = а............................. 327

24.3	. Рівняння і® х = а і сіє х = а.................. 330

§ 25.	Розв’язування тригонометричних рівнянь, які відрізняються
від найпростіших............................................. 335

25.1.	Заміна змінних при розв’язуванні

тригонометричних рівнянь.......................... 335

25.2.	Розв’язування тригонометричних рівнянь зведенням
до однієї функції (з однаковим аргументом)............. 336

25.3.	Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь ти
зведення тригонометричного рівняння до однор.дного ... 338

25.4	Розв’язування тригонометричних рівнянь виду / (х) - 0
за допомогою розкладання на множники................... 340

25.5.	Відбір коренів тригонометричних рівнянь......... <142

§ 26.	Розв’язування систем тригонометричних рівнянь........... 147

§ 27.	Найпростіші тригонометричні нерівності................. .	ЯМІ

$ Приклади розв’язування більш складних тригонометричних

рівнянь та їх систем.................................. ЗГ>6

Ф | Тригонометричні рівняння з параметрами.................... 368

29.1.	Розв’язування рівнянь з параметрами.............. 368

29.2.	Дослідницькі задачі з параметрами.......... ,	373

Розв’язування тригонометричних нерівностей............ .	370

Додаткові вправи до розділу 4..............................	384

Відомості з історії ........................................	388

Довідковий матеріал ..........................................	302

Відповіді та вказівки до вправ.................................. ЗЛ6

Предметний покажчик ..................................	411