А.	Г Мерзляк
Д. А. Номіровськии
В.	Б Полонський
М. С. Якір
І’ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
ПРОШІПЬНИИ
Д РІВЕНЬІДИг
•/Ч £г. /ІЬ»
ГІМНАЗІЯ

А. Г. Мерзляк
Д. А. Номіровський В. Б. Полонський М. С. Якір
АЛГЕБРА
І ПОЧАТИМ АНАЛІЗУ
Підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів
Профільний рівень
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
Харків «Гімназія» 2010
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 + 517.1]
ББК 22.141я721.6
М52
Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (наказ від 08.06.2010 № 544)
Наукову експертизу проводив
Інститут математики Національної академії наук України
Психолого-педагогічну експертизу проводив Інститут педагогіки Національної академії педагогічних наук України
Експерти, які здійснювали експертизу:
О. В. Гордієнко, Фізико-технічний ліцей при Херсонському національному технічному університеті, вчитель, старший вчитель
Т. І. Калепко, СШ № 19 м. Нікополь Дніпропетровської обл., вчитель, вчитель-методист
Г. В. Скрипка, Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського, методист
Г. П. Досенко, Районний методичний кабінет відділу освіти Білозерської райдержадміністрації Херсонської обл., методист
Мерзляк А. Г.
М52 Алгебра і початки аналізу : підруч. для 10 кл. загально-освіт. навч. закладів : проф. рівень І А. Г. Мерзляк, Д. А. Номі-ровський, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — X.: Гімназія, 2010. — 416 с. : іл.
І8ВМ 978-966-474-093-4.
УДК [373.5 : 372.851]:[512.1 4- 517.1]
ББК 22.141я721.6
© А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський,
В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2010
© Кулинич С. Е.. художнє оформлення, 2010 І8ВМ 978-966-474-093-4	© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 2010
^^ВідавторІв
ЛЮБІ ДЕСЯТИКЛАСНИКИ!
Ви починаєте вивчати новий шкільний предмет — алгебру і початки аналізу.
Цей предмет надзвичайно важливий. Мабуть, немає сьогодні такої галузі науки, де б не застосовувалися досягнення цього розділу математики. Фізики та хіміки, астрономи та біологи, географи та економісти, навіть мовознавці та історики використовують «математичний інструмент».
Алгебра і початки аналізу — корисний і дуже цікавий предмет, який розвиває аналітичне і логічне мислення, дослідницькі навички, математичну культуру, кмітливість.
Ви зробили серйозний життєвий крок: вирішили продовжити освіту в профільному класі, де математика вивчається на підвищеному рівні. Ми вітаємо вас з цим вибором і сподіваємося, що ви не розчаруєтеся у своєму рішенні.
Навчатися в профільному класі не просто. Потрібно бути наполегливим і завзятим, уважним і акуратним, при цьому найголовніше — не бути байдужим до математики, а любити цю красиву науку. Сподіваємося, що ви з інтересом будете засвоювати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.
Підручник розділено на п’ять параграфів, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом.
Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв’язання.
До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позначено зірочкою (*)).
Крім того, у підручнику ви зможете прочитати оповідання з історії математики, зокрема про діяльність видатних українських математиків. Назви цих оповідань надруковано синім кольором.
Дерзайте! Бажаємо успіху!
З
Від авторів
ШАНОВНІ КОЛЕГИІ
Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з підвищеним рівнем викладання математики — робота нелегка. Організація такого навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який формує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.
У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв'язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.
Червоним кольором позначено номери задач, що рекомендуються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно.
Бажаємо творчого натхнення й терпіння.

Умовні позначення
завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень;
завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень;
завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень;
задачі для математичних гуртків і факультативів;
задачі, у яких отримано результат, що може бути використаний при розв’язуванні інших задач;
закінчення доведення теореми;
рубрика «Коли зроблено уроки*.
множини.
ОПЕРАЦІЇ НАД МНОЖИНАМИ
§ 1. Множини. Операції над множинами
|Ц^Множина та її елементи

Ми часто говоримо: косяк риб; зграя птахів; рій бджіл; колекція марок; зібрання картин; набір ручок; букет квітів; компанія друзів; парк машин; отара овець.
Якщо в цих парах перетасувати перші слова, то може вийти смішно. Наприклад, букет овець, косяк картин, колекція друзів тощо. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція картин, колекція ручок, колекція машин тощо, достатньо прийнятні. Справа в тому, що слово «колекція» досить універсальне. Однак у математиці є більш всеосяжне слово, яким можна замінити будь-яке з перших слів у наведених парах. Це слово множина.
Наведемо ще кілька прикладів множин:
•	множина учнів вашого класу;
•	множина планет Сонячної системи;
•	множина двоцифрових чисел;
•	множина пар чисел (х; у), які є розв’язками рівняння х2 + у2 = 1.
Окремі найважливіші множини мають загальноприйняті назви та позначення:
•	множина точок площини — геометрична фігура;
•	множина точок, яким притаманна певна властивість, — геометричне місце точок (ГМТ);
•	множина значень аргументу функції / — область визначення функції Д яку позначають £>(/);
•	множина значень функції / — область значень функції Л яку позначають Е(/);
•	множина натуральних чисел, яку позначають буквою И;
•	множина цілих чисел, яку позначають буквою 2;
•	множина раціональних чисел, яку позначають буквою
•	множина дійсних чисел, яку позначають буквою К.
Множини ВІ, 2, ф, й — приклади числових множин. Також прикладами числових множин є числові проміжки. Наприклад, проміжки [-3; 2], (5; +оо), (-оо; -4] є числовими множинамик
Як правило, множини позначають великими латинськими літерами: А, В, С, В тощо.
Об’єкти, які складають множину, називають елементами цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими латинськими літерами: а, Ь, с, (і тощо.
Якщо а належить множині А, то пишуть а є А (читають: «а належить множині А»). Якщо Ь не належить множині А, то пишуть Ь £ А (читають: «д не належить множині А»).
6
1. Множина та її елементи
2	2
Наприклад, 12 є -3 £ М, -є О,
З	з
Якщо множина А складається з трьох елементів а, &, с, то пишуть А = {а, Ь, с}.
Наприклад, якщо М — множина натуральних дільників числа 6, то пишуть М = {1, 2, 3, 6}. Множина дільників числа 6, які є складеними числами, має такий вигляд: {6}. Це приклад одноелементної множини.
Позначення множини за допомогою фігурних дужок, у яких указано список її елементів, є зручним у тих випадках, коли множина складається з невеликої кількості елементів.
Означення. Дві множини А і В називають рівними, якщо вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини А належить множині В і, навпаки, кожний елемент множини В належить множині А.
Якщо множини А і В рівні, то пишуть А = В.
З означення випливає, що множина однозначно визначається своїми елементами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не має значення. Так, множина, яка складається з трьох елементів а, Ь9 с, припускає шість варіантів запису:
{а, Ь9 с}, {а, с, Ь}9 {Ь9 а9 с}9 {Ь9 с9 а}, {с, а, Ь}9 {с9 Ь9 а}.
Оскільки з означення рівних множин випливає, що, наприклад, {а, Ь9 с} = {а, а, Ь9 с}9 то надалі будемо розглядати множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «шаровари» має вигляд {ш, а, р, о, в, и}.
Зауважимо, що {а}	{{а}}. Справді, множина {а} складаєть-
ся з одного елемента а; множина {{а}} складається з одного елемента — множини {а}.
Найчастіше множину задають одним із двох таких способів.
Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указан-ням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких зазначали список її елементів. Зрозуміло, що не всяку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати не можна.
Другий спосіб полягає в тому, що задається характеристична властивість елементів множини, тобто властивість, яка притаманна всім елементам даної множини і тільки їм. Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел.
7
§ 1. Множини. Операції над множинами
Якщо х — довільний елемент множини А, яку задано за допомогою характеристичної властивості її елементів, то пишуть А = {х | ...}. Тут після вертикальної риски вказують характеристичну властивість, якій має задовольняти елемент х, щоб належати множині А.
Розглянемо кілька прикладів.
•	{х | х = Зп, п є 14} — множина натуральних чисел, кратних 3.
•	{х | х (х2 - 1) = 0} — множина коренів рівняння х (х2 - 1) = 0. Ця множина дорівнює множині {-1, 0, 1}, яку, у свою чергу, можна задати за допомогою іншої характеристичної властивості:
{х | х є Я, | х | < 2}.
Тому можна записати, що {х | х (х2 - 1) = 0} =
= {х | х є Я, | х | < 2}.
•	Нехай (х; у) — координати точки. Тоді множина точок {(х; у) | у = = 2х - 1, х — будь-яке число} — пряма, яка є графіком функції у = 2х - 1.
Узагалі, для точок координатної площини множина {(х; у) | у = = / (х), х є Б (/)} — це графік функції Л
У геометрії, задаючи множину точок за допомогою характеристичної властивості, тим самим задають ГМТ.
•	Якщо А, В — дані точки площини, X — довільна точка цієї площини, то множина {X | ХА = ХВ} — серединний перпендикуляр відрізка АВ.
Якщо задавати множину характеристичною властивістю її елементів, то може статися, що жодний об’єкт такої властивості не має.
Розглянемо приклади.
•	Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5.
З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента.
•	Позначимо через А множину учнів вашого класу, які є майстрами спорту з шахів. Може виявитися, що множина А також не містить жодного елемента.
• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.
Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позначають символом 0.
Наприклад, {х | Ох = 2} = {х | х є М, х < 1} = 0.
Зазначимо, що множина {0} не є порожньою. Вона містить один елемент — порожню множину.
8
1. Множина та її елементи
ПРИКЛАД І Доведіть, що множина А всіх парних натуральних чисел дорівнює множині В чисел, які можна подати у вигляді суми двох непарних натуральних чисел.
Розв'язання. Нехай х є А. Тоді можна записати, що х = 2т, де т — натуральне число. Маємо: х = 2т = (2т - 1) + 1. Отже, х є В.
Тепер припустимо, що х є В. Тоді х = (2п - 1) + (2к - 1), де п і к — натуральні числа. Маємо: х = 2п-1 + 2Л-1 = = 2 (п + к - 1). Отже, х є А.
Маємо: якщо х є А, то х є В, і навпаки, якщо х є В, то х є А. Звідси А = В.
Вправи
1/ Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін?
2/ Як називають множину вовків, які підпорюються одному ватажку?
8/ Назвіть яку-небудь множину запорізьких козаків.
4." Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі?
8/ Поставте замість зірочки знак є або £ так, щоб отримати правильне твердження:
1) 5 * И;	3) -5 *	5) 3,14 * 0;	7) у[2 *К;
2)0*М;	4) -1*2;	6) я * <0;	8) >/з*0.
2
6	.° Дано функцію / (х) = х2 + 1. Поставте замість зірочки знак є або £ так, щоб отримати правильне твердження:
1)	з * в (Л;	3) о * Е (Л;	5) 1,01 * Е (Л.
2)	0 *В(/);	4) !*£(/);
7	.' Які з наступних тверджень є правильними:
1)	1 є {1, 2, 3};	3) {1} є {1, 2};	5)0 « {1, 2};
2)	1 і {1};	4) {1} є { {1} };	6) 0 є {0}?
8	.° Запишіть множину коренів рівняння:
1)	х (х - 1) = 0;	3) х = 2;
2)	(х - 2) (х2 - 4) = 0;	4) х2 + 3 = 0.
9
§ 1. Множини. Операції над множинами
9	.* Задайте переліком елементів множину:
1)	правильних дробів зі знаменником 7;
2)	правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;
3)	букв у слові «математика»;
4)	цифр числа 5555.
10	.* Задайте переліком елементів множину:
1)	А = {х	| х	є	К,	х2 - 1 = 0};
2)	В = {х	| х	є	2,	| х | < 3};
3)	С = {х	| х	є	И,	х < 15, х = 7к,	к є 2}.
11	.* Задайте переліком елементів множину:
1)	А = {х	І х	є	2,	х (2 І х І - 1)	=	0};
2)	В = {х	| х	є	И,	-З С х < 2}.
12	.* Чи рівні множини А і В, якщо:
1)	А = {1, 2}, В = {2, 1};	3) А = {1}, В = {{1}}?
2)А = {(1; 0)}, В = {(0; 1)};
18.* Чи рівні множини А і В, якщо:
1)	А = [-1; 2), В = (-1; 2];
2)	А — множина коренів рівняння | х | = х, В = [0; +оо);
3)	А — множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні; В — множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?
14.* Які з наступних множин дорівнюють порожній множині:
1)	множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°;
2)	множина гірських вершин заввишки понад 8800 м;
3)	множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої вона проведена;
4)	множина функцій, графіком яких є коло?
16/ Нехай О — задана точка площини. Що являє собою множина точок М цієї площини:
1)	{М | ОМ = 3 см};	3) {М | ОМ < 5 см}?
2)	{М І ОМ > 5 см};
16.* Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:
1)	А = {х|хє2, |х-2 = о};	4) Р = {х | Зх4 + 5х2 + 7 = 0};
2)	В = {х | х ф х};	5) Е = {х | х > |х|}?
3)	С = {х І х є 2, |х| < 1};
10
2. Підмножина. Операції над множинами
' В0 Підмножина. Операції над множинами
Розглянемо множину цифр десяткової системи числення А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини А ті її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину В = {0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини А.
Означення. Множину В називають підмножиною множини А, якщо кожний елемент множини В є елементом множини А.
Це записують так: В а А або А о В (читають: «множина В є під-множиною множини А» або «множина А містить множину В»).
Розглянемо приклади:
•	N с 2, 2 с 0, (Ц) => ІЧ, <0 К; А С В
•	{х|2х-1 = 0}с=(х|х2 =-|;
11	] Iі 4Г	Рис. 1
•	{а} с= {а, Ь};
•	множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи;
•	множина ссавців є підмножиною множини хребетних;
•	множина точок променя СВ є підмножиною множини точок прямої АВ (рис. 1).
Для ілюстрації співвідношень між множинами використовують схеми, які називають діаграмами Ейлера.
На рисунку 2 зображено множину А (більший круг) і множину В (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що ВсА (або А о В).
На рисунку 3 за допомогою діаграм Ейлера показано співвідношення між множинами ІЧ, X, (Ц> і К.
11
§ 1 Множини. Операції над множинами
Якщо В о А, то за допомогою рисунка 2 можна зробити такі висновки:
1) для того щоб елемент х належав множині А, достатньо, щоб він належав множині В;
2) для того щоб елемент х належав множині В, необхідно, щоб він належав множині А.
Наприклад, якщо А — множина натуральних чисел, кратних 5, а В — множина натуральних чисел, кратних 10, то очевидно, що В с А. Тому для того, щоб натуральне число ті було кратним 5 (п є А), достатньо, щоб воно було кратним 10 (п є В). Для того щоб натуральне число п було кратним 10 (п є В), необхідно, щоб воно було кратним 5 (п є А).
Із означень під множини і рівності множин випливає, що коли А с В і В с А, то А = В.
Якщо в множині В немає такого елемента, який не належить множині А, то множина В є підмножиною множини А. У силу цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будь-якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині А. Тому для будь-якої множини А справедливе твердження: 0 сс А.
Будь-яка множина А є підмножиною самої себе, тобто А с А.
Означення. Якщо В а А і В * А, то множину В називають власжою під множеною множини А.
Наприклад, множина 2 є власною підмножиною множини
ПРИКЛАДІ Випишіть усі підмножини множини А = {а, 6, с}.
Розв'язання. Маємо: {а}, {6}, {с}, {а, Ь}, {Ь, с}, {а, с}, {а, Ь9 с}, 0. Усього отримали 8 підмножин. В 11 класі буде доведено, що кількість підмножин п-елементної множини дорівнює 2п.
Нехай А — множина розв’язків рівняння х + і/ = 5, аВ — множина розв’язків рівняння х - у = 3. Тоді множина С розв’язків системи рівнянь
|х + і/ = 5,
[х-і/ = 3 складається з усіх елементів, які належать і множині А, і множині В. У такому випадку кажуть, що множина С є перетином множин А і В.
12
2. Підмножина. Операції над множинами
Означення. Перетином множин А і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать і множині А, і множині В.
Перетин множин А і В позначають так: А А В.
З означення випливає, що
АПВ = {х|хєАіхє В}.
Легко переконатися, що розв’язком системи, яка розглядалася, є пара (4; 1). Цей факт можна записати так:
{(х; у) | х + у = 5} П {(х; у) | х - у = 3} = {(4; 1)}.
Якщо множини А і В не мають спільних елементів, то їх перетином є порожня множина, тобто А А В = 0. Також зазначимо, що А А 0 = 0.
З означення перетину двох множин випливає, що коли А а В, то А А В = А, зокрема, якщо В = А, то А А А = А.
Наприклад,
(Ц А N = №, ІШ = 1.
Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ей-лера. На рисунку 4 заштрихована фігура зображує множину А А В.
Для того щоб розв’язати рівняння (х2 - х) (х2 - 1) = 0, треба розв’язати кожне з рівнянь х2 - х = 0 і х2 - 1 = 0.
Маємо: А = {0, 1} — множина коренів першого рівняння, В = {-1, 1} — множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина С = {-1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або множині А, або множині В, є множиною коренів заданого рівняння. Множину С називають об’єднанням множин А і В.
Означення. Об'єднанням множинА і В називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В.
Об’єднання множин А і В позначають так: А Ці В. З означення випливає, що
АиВ = {х|хєА або х є В}.
13
§ 1. Множини. Операції над множинами
Наприклад, (-3; 1) О (0; 2] = (-3; 2], (-оо; 1) Ці (-1; +оо) = = (—оо; +оо).
Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел дорівнює множині дійсних чисел.
Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків рівнянь (нерівностей), то кажуть, що треба розв’язати сукупність рівнянь (нерівностей). Сукупність записують за допомогою квадратної дужки. Так, щоб розв’язати рівняння (х2 - х) (х2 - 1) = 0, треба розв’язати сукупність рівнянь
х2 -х = 0,
х2-1 = 0.
Зауважимо, що А О 0 = А.
З означення об’єднання двох множин випливає, що коли А с: В, то А О В = В, зокрема, якщо В = А, то А О А = А.
Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера. На рисунку 5 заштрихована фігура зображує множину А О В.
Часто доводиться розглядати перетин і об’єднання трьох і більше множин.
Перетин множин А, В і С — це множина всіх елементів, які належать і множині А, і множині В, і множині С (рис. 6).
Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь
х+і/ = 5, х-і/ = 3, . х2 +у2 =17, треба знайти перетин трьох множин: {(х, у) | х 4- у = 5}, {(х, у) | х -- У = 3} і {(х, у) І х2 + у2 = 17}.
Об’єднання множин А, В і С — це множина всіх елементів, які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або множині В, або множині С (рис. 7).
Наприклад, об’єднання множин гострокутних, тупокутних і прямокутних трикутників — це множина всіх трикутників.
14
2. Підмножина. Операції над множинами
Рис. 6	Рис. 7
ПРИКЛАДІ Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1)	А = {х | х = 5£, к є №}, В = {х | х = Зп, п є ІЧ};
2)	А — множина ромбів, В — множина прямокутників;
3)	А = {х | х > 3}, В = {х | х < 4};
4)	А = {х | х є И, х = 2т, т є №}, В — множина простих чисел.
Розв'язання
1)	А — множина натуральних чисел, кратних 5.
В — множина натуральних чисел, кратних 3.
Тоді множина А А В складається з усіх натуральних чисел, кратних 5 і 3 одночасно, тобто з усіх натуральних чисел, кратних 15. Отже, А А В = {х | х = 15Л, к є №}.
2)	Множина А А В складається з усіх чотирикутників, які одночасно є і ромбами, і прямокутниками. Отже, шукана множина — це множина квадратів.
3)	А А В = {х | 3 < х С 4}.
4)	А — множина парних натуральних чисел. Оскільки у множині простих чисел є тільки одне парне число (число 2), то А А В = {2}.
ПРИКЛАДІ Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:
1)	А = {х | х = 2к - 1, к є И}, В = {х | х = 2п, п є ТЧ};
2)	А = {х | х = 2к - 1, к є И}, В = {х | х = 4п + 1, п є И};
3)	А = {X | ОХ < 3}, В = {X | ОХ = 3}, де О і X — точки площини, О — дана точка.
Розв9 язання
1)	А — множина непарних натуральних чисел, В — множина парних натуральних чисел. Тоді А О В — це множина натуральних чисел, тобто А ЦІ В = N.
2)	А — множина непарних натуральних чисел. Елементами множини В є тільки непарні числа. Отже, В сі А. Тоді А Ш В = = А = {х|х = 2Л- 1, к є И}.
3)	Очевидно, що А О В = {X | ОХ С 3}. Отже, А Ці В — це круг з центром О і радіусом 3.
15
§ 1 Множини. Операції над множинами
Вправи
17/ Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу.
18/ Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок прямої.
19/ Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами множини точок круга.
20/ Нехай А — множина букв у слові «координата». Множина букв якого слова є підмножиною множини А:
1) кора;	4) крокодил;	7)	тин;	10) дорога;
2) дірка;	5) нитки;	8)	криниця;	11) дар;
.	3) картина;	6) нирки;	9)	сокирка;	12) кардинал?
21/ Нехай А — множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр числа х підмножиною множини А, якщо:
1) х = 98;	3) х = 519;	5) х = 195888;
2) х = 9510;	4) х = 5858;	6) х = 91258?
22/ Нехай А # 0. Які дві різні підмножини завжди має множина А?
23/ Знайдіть перетин множин цифр, які використовуються в запису чисел:
1) 555288 і 82223;	2) 470713 і 400007.
24/ Нехай А — множина двоцифрових чисел, В — множина простих чисел. Чи належить множині А П В число: 5, 7, 11, 31, 57, 96?
25/ Знайдіть множину спільних дільників чисел ЗО і 45.
26/ Знайдіть об’єднання множин цифр, які використовуються в запису чисел:
1) 27288 і 56383;	2) 55555 і 777777.
27/ Які з наступних тверджень є правильними:
1) {а} є {а, Ь};	3) а сі {а, д};
2) {а} с: {а, Ь);	4) {а, Ь} є {а, Ь}?
28/ Доведіть, що коли А сі В і В сі С, то А сі С.
29/ Розмістіть дані множини у такій послідовності, щоб кожна наступна множина була підмножиною попередньої:
1) А — множина прямокутників;
В — множина чотирикутників;
С — множина квадратів;
В — множина паралелограмів;
2) А — множина ссавців;
В — множина собачих;
С — множина хребетних;
16
2. Підмножина. Операції над множинами
В — множина вовків;
Е — множина хижих ссавців.
і 0. Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення між множинами:
1) А — множина невід’ємних раціональних чисел;
в = {0};
N — множина натуральних чисел;
2) 2 — множина цілих чисел;
А — множина натуральних чисел, кратних 6;
В — множина натуральних чисел, кратних 3.
ЗІ/ Запишіть за допомогою символу с співвідношення між множинами:
А = {х	| х = 2п, п є М};	С = {х |	х = 10п, п є ІЧ};
В = {х	| х = 50п, п є Н};	В = {х |	х = 5и, п е Н}.
32. Яка з множин А або В є підмножиною другої, якщо:
А = {х	| х = 4п 4- 2, п є И};	В = {х |	х = 8п + 2, п є №} ?
33/ Дано	множини {7}, {11},	{19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, 0,
які є всіма власними підмножинами деякої множини А. Запишіть множину А.
34.	Запишіть усі підмножини множини {1, 2}.
35/ Опишіть мовою «необхідно й достатньо» належність елемента х множинам А, В і С (рис. 8).
36/ Замість крапок поставте слово «необхідно» або «достатньо», щоб утворилося правильне твердження:
1)	для того щоб трикутник був рівностороннім, ..., щоб два його кути були рівні;
2)	для того щоб чотирикутник був паралелограмом, ..., щоб дві його сторони були паралельні;
3)	для того щоб число ділилося націло на 3, ..., щоб воно ділилося націло на 9;
4)	для того щоб остання цифра десяткового запису числа була нулем, ..., щоб число було кратне 5.
17
§ 1. Множини. Операції над множинами
37	.* Відомо, що для будь-якої множини В множина А є її підмножиною. Знайдіть множину А.
38	.* Які з наступних тверджень є правильними:
1)	{а, Ь} П {а} = а;	3) {а, Ь} А {а} = {а};
2)	{а, Ь} А {а} = {а, Ь};	4) {а, Ь} А {а} = {&}?
39	.* Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1)	А — множина рівнобедреник трикутників, В — множина рівносторонніх трикутників;
2)	А — множина прямокутних трикутників, В — множина рівносторонніх трикутників;
3)	А — множина двоцифрових чисел, В — множина натуральних чисел, кратних 19;
4)	А — множина одноцифрових чисел, В — множина простих чисел.
40	.’ Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1)	А = {х | х < 19}, В = {х | х є х > 11};
2)	А = {х | х = 4п, п є М}, В = {х | х = 6п, п є №};
3)	А = {(х; у) І 2х - у = 1}, В = {(х; у) | х + у = 5}.
41	.* Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3) трикутник; 4) п’ятикутник; 5) шестикутник.
42	.’ Які фігури можуть бути перетином двох променів, що лежать на одній прямій?
43	.* Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність А А В = А. Знайдіть множину А.
44	.* Які з наступних тверджень є правильними:
1)	{а, Ь} О {Ь} = {а, &};	3) {а, Ь} О {а} = {а};
2)	{а, Ь} а {Ь} = {&};	4) {а, Ь} СІ {д} = {{Ь}}?
45	.* Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:
1)	А — множина рівнобедрених трикутників, В — множина рівносторонніх трикутників;
2)	А — множина простих чисел, В — множина складених чисел;
3)	А — множина простих чисел, В — множина непарних чисел.
46	.’ Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:
1)	А = {х | х2 - 1 = 0}, В = {х | (х - 1) (х - 2) = 0};
2)	А = {х І 2х + 3 = 0}, В = {х | х2 + 3 = 2};
3)	А = {х І х є М, х < 5}, В = {х | х є N. х < 7}.
18
3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
47	.* Накресліть два трикутники так, щоб їх об’єднанням був: 1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може об’єднання трикутників бути відрізком?
48	.’ Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що лежать на одній прямій?
49	.* Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність А О В = В. Знайдіть множину А.
50	.* Наведіть приклад такої одноелементної множини, що її елемент є одночасно підмножиною даної множини.
з
Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
Якщо множина містить скінченну кількість елементів, то її називають скінченною, а якщо в ній нескінченно багато елементів — то нескінченною. Порожню множину вважають скінченною.
Наприклад, множина учнів вашого класу — скінченна множина, а множина натуральних чисел — нескінченна множина.
Якщо А — скінченна множина, то / /ууууА \ кількість її елементів позначатимемо так: І А	В І
п	X УУ/Л )
Наприклад, якщо А — це множина днів
тижня, то п (А) = 7; якщо В — це множина двоцифрових чисел, то п (В) = 90. Зро-	Рис‘ 9
зуміло, що ті (0) = 0.
Нехай А і В — такі скінченні множини, що А А В = 0. Тоді очевидно, що
п (А О В) = п (А) + п (В).	(1)
Якщо А і В — скінченні множини, причому А А В / 0 (рис. 9), то до суми п (А) 4- п (В) двічі входить кількість елементів їх перетину, тобто двічі враховується число п (А А В). Отже, у цьому випадку
п (А Ці В) = п (А) + п (В) - п (А А В)	(2)
Коли А А В = 0, то п (А А В) = 0. Тому формула (2) є узагальненням формули (1).
19
§ 1. Множини. Операції над множинами
ПРИКЛАД 1 У фізико-математичному класі 25 учнів, і всі вони люблять математику. Відомо, що 23 учні люблять алгебру, а 21 — геометрію. Скільки учнів цього класу люблять і алгебру, і геометрію?
Розв’ язання. Нехай А — множина учнів, які люблять алгебру, В — множина учнів, які люблять геометрію. Тоді п (А) = 23, п (В) = 21, п (А СІ В) = 25. Водночас А А В — множина учнів, які люблять і алгебру, і геометрію. З формули (2) отримуємо п (А А В) = п (А) + п (В) - п (А СІ В) = 23 + 21 - 25 = 19.
З’ясуємо, як знайти кількість елементів множини А Сі В Сі С, де А, В і С — скінченні множини.
Якщо А А В А С = 0 (рис. 10), то зрозуміло, що п (А Сі В Сі С) = п (А) + п (В) + п (С) -- п (А А В) - п (В А С) - п (С А А).	(3)
Якщо А П В А С ф 0 (рис. 11), то права частина формули (3) не враховує кількості спільних елементів множин А, В і С. Отже, у цьому випадку формула набуває вигляду:
п (А Сі В Сі С) = п (А) + и (В) + п (С) -
- п (А А В) - п (В А С) - п (С А А) + п (А А В А С).	( '
Аналогічну формулу можна отримати для будь-якої кількості множин. Її називають «формулою включення-виключення».
ПРИКЛАД 2 У спортивній школі є три секції: акробатики, баскетболу, волейболу. Відомо, що школу відвідують 200 школярів, а кожну із секцій — 80 школярів. Доведіть, що знайдеться 14 школярів, які відвідують одні й ті самі дві секції.
Розв'язання. Позначимо множини школярів, які відвідують секції акробатики, баскетболу й волейболу, буквами А, В і В відповідно. Тоді п (А О Б СІ В) = 200, п (А) = п (В) = п (В) = 80. Підставимо ці значення у формулу (4):
200 = 80 + 80 + 80 - и (А А Б) - и (Б А В) -- п (В А А) + п (А А Б А В).
20
3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
Звідси
п (А П Б) + п (Б П В) + п (В П А) = 40 + п (А П Б П В) > 40.
Якщо припустити, що кожне з чисел п (А П Б), п (Б А В), п (В П А) не перевищує 13, то їх сума не перевищує 39. Отримали суперечність.
Нам доволі часто доводиться порівнювати скінченні множини за кількістю їх елементів.
Як дізнатися, чи вистачить у шкільній бібліотеці підручників з алгебри і початків аналізу для десятикласників? Звичайно, можна порахувати окремо учнів і підручники, а можна видати підручники учням. Якщо, наприклад, усім підручників вистачить, а в бібліотеці не залишиться жодного підручника, то це означатиме, що десятикласників і підручників однакова кількість.
Так само, щоб дізнатися, чи вистачить стільців у класі, зовсім не обов’язково їх перераховувати. Достатньо запросити учнів сісти на стільці. Якщо, наприклад, місць вистачить не всім, то це означатиме, що кількість учнів більша, ніж кількість стільців.
У цих прикладах, порівнюючи кількість елементів двох множин, ми кожному елементу однієї множини поставили у відповідність єдиний елемент другої множини. Скористаємося цією ідеєю в наступному прикладі.
ПРИКЛАД 3 Порівняйте кількість елементів множини А двоцифрових чисел і множини В трицифрових чисел, десятковий запис яких закінчується цифрою 1.
Розв'язання. Поставимо у відповідність кожному двоцифровому числу те трицифрове число, яке отримаємо з нього, приписавши справа одиницю. Дістанемо:
ю,	11,	12,	...,	98,	99
0	0	0		Є	Є
101,	11:,	12і,	•••9	98 г,	991
Зазначимо, що за такої відповідності всі елементи множини В виявляться «задіяними». Справді, якщо в числі виду аЬІ закрес-лити останню цифру, то отримаємо двоцифрове число аЬ.
На основі відповідності між елементами множин Аі В можна зробити висновок, що п (А) = п (В).
Означення. Якщо кожному елементу множини А поставлено у відповідність єдиний елемент множини В і при цьому будь-який елемент множини В є відповідним деякому єдиному елементу множини А, то кажуть, що між множинами А і В встановлено взаємно однозначну відповідність.
21
§ 1. Множини. Операції над множинами
У прикладі 3 кожному двоцифровому числу було поставлено у відповідність єдине трицифрове число зазначеного вигляду і, навпаки, кожне таке трицифрове число є відповідним єдиному двоцифровому числу. Отже, між множинами, що розглядаються, було встановлено взаємно однозначну відповідність.
Зазначимо, що коли в класі всі учні сидять і при цьому є вільні стільці, то між множиною учнів і множиною стільців взаємно однозначної відповідності не встановлено.
Цікаво, що з дитинства кожному з нас неодноразово доводилося встановлювати взаємно однозначні відповідності. Дитина, промовляючи «один», «два», «три» і при цьому послідовно показуючи на машинку, м’ячик і коника, тим самим встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною своїх іграшок і множиною {1, 2, 3}. Рахуючи іграшки, дитина ніби прив’язує до кожного з предметів ярлики з написами «1», «2», «З». Зауважимо, що, показуючи іграшки в іншому порядку, наприклад, «м’ячик», «коник», «машинка», одержуємо іншу взаємно однозначну відповідність між цими множинами.
Якщо між скінченними множинами А і В встановлено взаємно однозначну відповідність, то п (А) = п (В). І навпаки, якщо п (А) = п (В), то між скінченними множинами А і В можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Отже, між скінченними множинами з різною кількістю елементів неможливо встановити взаємно однозначну відповідність. Це дозволяє сформулювати таке правило.
Якщо між скінченними множинами А і С встановлено взаємно однозначну відповідність і С с В, С * В, то п (А) < п (В).
Вправи
51/ Кожний з 32 учнів класу вивчає щонайменше одну іноземну мову. З них 20 вивчають англійську мову і 18 — французьку. Скільки учнів вивчають і англійську, і французьку мови?
52. Відомо, що 26 мешканців будинку тримають котів і собак, 16 з них мають котів, а 15 — собак. Скільки мешканців мають і собаку, і кота?
53/ 3 анкети, проведеної в класі, з’ясувалося, що з ЗО учнів класу 18 мають брата, 14 — сестру, а у 10 учнів є сестра і брат. Чи є в цьому класі учні, у яких немає ні сестри, ні брата?
22
3. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність
54.° У грудні було 10 ясних і затишних днів, 15 днів був вітер і 12 днів ішов сніг. Скільки днів у грудні була хуртовина (сніг і вітер)?
56.’ Чи встановлено взаємно однозначну відповідність між множинами А і В (рис. 12)? Точками на рисунку зображено елементи множин.
Рис. 12
56/ Одинадцять гравців футбольної команди отримали футболки з номерами від 1 до 11. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?
57.° У результаті жеребкування кожна з 20 пар фігуристів отримала порядковий номер її виступу. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?
58/ Кожний глядач, який прийшов до кінотеатру, купив квиток із зазначеними рядом і місцем. Між якими множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?
59/ Між першими п натуральними числами і правильними дробами зі знаменником 7 установлено взаємно однозначну відповідність. Знайдіть и.
60/ Кожному елементу множини {п, п + 1, п + 2}, де п є М, поставили у відповідність остачу від ділення цього елемента на 3. Чи встановлено таким чином взаємно однозначну відповідність між множинами {п, п + 1, п + 2} і {0, 1, 2}?
61/ В олімпіаді взяли участь 46 учнів. їм було запропоновано розв’язати 3 задачі. Після підведення підсумків з’ясувалося, що кожен з учасників розв’язав хоча б одну задачу. Першу і другу задачі розв’язали 11 учасників, другу і третю — 8 учасників, першу і третю — 5 учасників, а всі три задачі розв’язали тільки 2 учасники. Доведіть, що одну із задач розв’язали не менше ніж половина учасників.
23
§ 1. Множини. Операції над множинами
Нескінченні множини. Зліченні множини
У попередньому пункті ми розглядали скінченні множини, між якими встановлено взаємно однозначну відповідність, і з’ясували, що такі множини мають однакову кількість елементів.
Керуючись принципом «частина менша від цілого», доходимо висновку, що коли В — власна підмножина скінченної множини А, то п (В) < п (А). Отже, між скінченною множиною та її власною підмножиною неможливо встановити взаємно однозначну відповідність.
Оскільки N с: то, здавалося б, природно вважати, що цілих чисел більше, ніж натуральних. Проте це не так.
Нескінченні множини в цьому сенсі поводяться незвично.
Розглянемо множину N і підмножину М парних чисел. Множина М є власною підмножиною множини N. Кожному елементу п є N поставимо у відповідність єдиний елемент 2п є М:
1,	2,	3,	4,	...» п,
е	0	$ $	$
2,	4,	6,	8,	2п,
При цьому	кожне	парне число відповідатиме єдиному нату-	
ральному числу. Тим самим між множинами N і М встановлено взаємно однозначну відповідність, а тому не можна вважати, що в множині N міститься більше елементів, ніж в її власній під множині — множині парних чисел.
Цей приклад показує, що звичні для нас уявлення про скінченні множини не можна переносити на нескінченні множини.
Узагалі, математиками було доведено, що в будь-якій нескінченній множині А можна виокремити власну підмножину Ах таким чином, що між множинами А і А можна встановити взаємно однозначну відповідність. Це принципова відмінність нескінченних множин від скінченних.
Якщо множини А і В є скінченними і між ними встановлено взаємно однозначну відповідність, то п (А) = п (В). Якщо ж взаємно однозначну відповідність установлено між нескінченними множинами А і В, то в математиці не прийнято говорити, що ці множини мають однакову кількість елементів, а кажуть, що множини А і В мають однакову потужність.
24
4. Нескінченні множини. Зліченні множини
Означення. Дві множини називають рівнопотужними, якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Для нескінченних множин слово «потужність» означає те саме, що для скінченних множин «кількість елементів».
Доведемо ще один дивовижний факт: множина точок прямої рівнопотужна множині точок відкритого відрізка (відрізка, у якого «виколото» кінці), тобто пряма містить стільки ж точок, скільки містить їх відкритий відрізок.
На рисунку 13 зображено пряму МУ, яка дотикається до півкола з центром у точці О і діаметром АВ, паралельним прямій МУ. Вилучимо з півкола точки А і В. Таке півколо називають відкритим.
Кожній точці X відкритого півкола поставимо у відповідність точку прямої МУ, яка лежить на промені ОХ. Зрозуміло, що точці X відповідає єдина точка прямої МУ і, навпаки, кожна точка прямої МN є відповідною єдиній точці відкритого півкола. Отже, установлено взаємно однозначну відповідність між множиною точок прямої і множиною точок відкритого півкола.
На рисунку 14 показано, як встановити взаємно однозначну відповідність між множиною точок відкритого відрізка і множиною точок відкритого півкола. Отже, множина точок відкритого відрізка АВ рівнопотужна множині точок прямої МІ'Ї.
У розповіді на с. 27 ви дізнаєтесь ще про один несподіваний факт, у який важко повірити, керуючись лише інтуїцією: множина точок сторони квадрата рівнопотужна множині точок квадрата.
Означення. Множину, рівнопотужну множині натуральних чисел, називають зліченною множиною.
Вище ми показали, що множина парних чисел є зліченною. Зрозуміло, що жодна скінченна множина не є зліченною.
Натуральне число п, яке відповідає елементу а зліченної множини А, називають номером цього елемента. Якщо елемент а має номер п, то пишуть: ап. Коли встановлюють взаємно однозначну відповідність між множинами А і Я кожний елемент
25
§ 1. Множини. Операції над множинами
множини А отримує свій номер, і ці елементи можна розмістити послідовно:
ар а2, а3, ал, ... .
Так, якщо елементи множини Р простих чисел розмістити у порядку зростання 2, 3, 5, 7, 11, ..., то всі елементи цієї множини можна пронумерувати:
2,	3,	5,	7,	11,
0	0	0	0	0
1,	2,	3,	4,	5,
Тим самим установлено взаємно однозначну відповідність між множинами Р і N.
У такий спосіб можна показати, що будь-яка нескінченна під-множина множини N є зліченною (зробіть це самостійно).
На перший погляд здається, що елементи множини 2 пронумерувати неможливо: адже множина N є власною підмножиною множини 2. Отже, чисел для нумерації не вистачить: усі вони будуть «витрачені» на множину N.
Проте якщо елементи множини 2 розмістити у вигляді послідовності 0, 1, -1, 2, -2, З, -3, ..., то тим самим можна кожному цілому числу надати свій номер:
0,	1,	-1,	2,	-2,	3,	-3, 0	0	0	0	0	0	0 1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,
Можна показати, що множина 0 є також зліченною.
Зазначимо, що не будь-яка нескінченна множина є зліченною.
Можна довести, що, наприклад, множина К не є зліченною.
Вправи
62	.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною натуральних чисел і множиною натуральних чисел, кратних 3.
63	.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною натуральних чисел і множиною чисел виду 4п + 1 (п є Л).
64	.° Доведіть, що множини парних і непарних натуральних чисел рівнопотужні.
65	.° Доведіть, що множина чисел виду 2" (п є ВІ) зліченна.
26
Коли зроблено уроки
66	. Доведіть, що множина чисел виду — (п є Н) зліченна. п
67	.° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною чисел виду 2п (п є К) і множиною десяткових дробів виду 0,1; 0,01; 0,001; ... .
68	.* Покажіть, що множини точок сторони і діагоналі квадрата рівнопотужні.
69/ Покажіть, що множини точок будь-яких двох концентричних кіл рівнопотужні.
70	.** Покажіть, що множина точок прямої і множина точок кола з «виколотою» точкою рівнопотужні.
71	.** На координатній прямій позначили точки О (0), А (1), В (5). Доведіть, що:
1)	множина точок відрізка О А рівнопотужна множині точок відрізка ОВ;
2)	множина точок відрізка ОА з «виколотою» точкою О рівнопотужна множині точок променя АВ.
72/* Покажіть, що множини точок будь-яких двох відрізків рівнопотужні.
«Я бачу це. але ніяк не можу цьому повірити!»
		 І  । і
Ці слова належать видатному математику, засновнику теорії множин Георгу Кантору. Вони свідчать про те, що навіть генію часом буває складно примирити свою інтуїцію з формальним
результатом.
Мабуть, і ви зазнавали подібного дискомфорту, коли логіка міркувань вимушувала вас погодитися з тим, що на будь-якому, навіть дуже маленькому, відрізку стільки ж точок, скільки їх на всій прямій.
А чи можна повірити в те, що множина точок квадрата рівнопотужна множині точок його сторони? Мабуть, ні. Цьому не вірив і сам великий Кантор.
У 1874 р. в одному зі своїх листів до видатного математика Р. Дедекінда (1831-1916) Кантор писав: «Чи можна зіставити поверхню (наприклад, квадратну площадку,
Георг Кантор (1845-1918)
27
§ 1. Множини. Операції над множинами
включаючи її межі) з відрізком прямої таким чином, щоб кожній точці поверхні відповідала одна точка на цьому відрізку, і навпаки?»
Кантор думав, що відповідь має бути негативною, і намагався це довести протягом трьох років. Проте в 1877 р. він отримує несподіваний результат: будує взаємно однозначну відповідність між
множиною точок квадрата і множиною точок його сторони.
Ознайомимося з ідеєю доведення Кантора.
Розглянемо на координатній площині квадрат з вершинами А (0; 0), В (0; 1), С (1; 1), В (1; 0) (рис. 15).
За допомогою цих
Нехай точка М (х; у) належить квадрату. Координати х і у задовольняють нерівності ОСхСІіОС^СІ. Тому числа х їу можна подати у вигляді нескінченних десяткових дробів:
х - 0,а.а..ач ...,
//-О-МуЛ.. .
Зауважимо, що коли х = 1 або у = 1, то координату можна записати у вигляді дробу 0,999... .
записів сконструюємо новий десятковий
дріб, «перемішуючи» цифри десяткового запису чисел х і у через
одну:
г =	... .
Точці М (х; у) поставимо у відповідність точку К (г; 0). Очевидно, що ця точка належить стороні АВ квадрата.
Зрозуміло, що різні точки квадрата мають різні координати. Тому при зазначеній відповідності різним точкам квадрата відповідають різні точки його сторони АО* 1.
• Після викладеного ви, мабуть, уже не дивуватиметесь тому, що, наприклад, множина точок куба рівнопотужна множині точок його ребра.
Множини, рівнопотужні множині точок відрізка, називають множинами потужності континууму (від латинського соїгііпиит — неперервний).
1 Деякі числа мають два десяткових записи. Наприклад, дробам 0,7000...
і 0,6999... відповідає одне й те саме число. Оскільки ідея доведення Кантора пов’язана з десятковим записом числа, то в строгому доведенні має бути показано, як вирішується проблема неоднозначності запису числа при встановленні взаємно однозначної відповідності.
28

ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Хї ЇЇ:
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Повторення та розширення відомостей про функцію
У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни іншої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.
З цим поняттям ви ознайомилися в 7 класі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.
Нехай X — множина значень незалежної змінної, У — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини У.
Зазвичай незалежну змінну позначають буквою х, залежну — буквою і/, функцію (правило) — буквою Л Кажуть, що змінна у функціонально залежить від змінної х. Цей факт позначають так: у = / (х).
Незалежну змінну ще називають аргументом функції.
Множину значень, яких набуває аргумент, тобто множину X, називають областю визначення функції і позначають £> (/) або В (у).
2
Так, областю визначення оберненої пропорційності у = —
X є множина (-©о; 0) О (0; +«>). Також можна записати (у) = = {хе Ж | х * 0 }.
У функціональній залежності кожному значенню аргументу х відповідає певне значення залежної змінної у. Значення залежної змінної ще називають значенням функції і для функції / позначають / (х). Множину значень, яких набуває залежна змінна у9 тобто множину У, називають областю значень функції і позначають Е (/) або Е (у). Так, областю значень функції у = у[х є множина [0; +<»)•
Елементами множин (/) і Е (/) можуть бути об’єкти найрізноманітнішої природи.
Так, якщо кожному многокутнику поставити у відповідність його площу, то можна говорити про функцію, область визначення якої — множина многокутників, а область значень — множина додатних чисел.
Якщо кожній людині поставити у відповідність день тижня, у який вона народилася, то можна говорити про функцію, область
ЗО
5. Повторення та розширення відомостей про функцію
визначення якої — множина людей, а область значень — множина днів тижня.
Коли Б (/) с К і Е (/) с К, функцію / називають числовою.
Якщо областю визначення функції / є множина X, а областю значень — множина У, то функцію / також називають відображенням множини X на множину У. Слова «відображення» і «функція» є синонімами. Проте термін «відображення» частіше використовують тоді, коли при заданні функції хочуть наголосити, які множини є областю визначення і областю значень.
На рисунку 16 проілюстровано відображення множини X на множину У (точками позначено елементи множин).
Відображення / принципово відрізняється від відображень £ і ф (рис. 16): у відображенні / кожний елемент множини У є відповідним деякому єдиному елементу множини X. Таке відображення називають взаємно однозначним відображенням множини X на множину У. Наприклад, нумерація елементів деякої зліченної множини М — це взаємно однозначне відображення множини N на множину М.
Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення і правило, за яким за кожним значенням незалежної змінної з області визначення можна знайти значення залежної змінної з області значень.
Функцію можна задати одним з таких способів:
•	описово;
•	за допомогою формули;
•	за допомогою таблиці;
•	графічно.
Розглянемо кілька прикладів функцій, заданих описово.
Кожному раціональному числу поставимо у відповідність число 1, а кожному ірраціональному — число 0. Функцію, задану таким чином, називають функцією Діріхле і позначають у = © (х). Пишуть:
|1, якщо хєО, ©(х) = {
[0, якщо х Є <2.
31
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Тут Я (у) = К, Е (у) = {0, 1}.
Кожному дійсному числу х поставимо у відповідність найбільше ціле число, яке не перевищує число х. Таку функцію називають цілою частиною числа х і позначають у = [х]. Напри-клад, [л/ї] = 1, [2] = 2, [->/2] = -2. Тут И (у) = Ж, Е (у) = 2.
Кожному дійсному числу х поставимо у відповідність різницю х - [х]. Таку функцію називають дробовою частиною числа х і позначають у = {х}. Наприклад, {>/2} = 72-[>/2] = \/2-1, {2} = 2 - [2] = 2 - 2 = 0, {-ч/2} = -ч/2-[-^] = ->/2-(-2) = 2->/2.
Тут Р (у) = Ж, Е (у) = [0; 1).
Кожному від’ємному числу поставимо у відповідність число -1, кожному додатному числу — число 1, нулю — число 0. Функцію, задану таким чином, називають сигнум (від латинського 8і&пит — знак) і позначають у = 8&п х.
Пишуть:
-1, якщо х < 0,
8£П х = 0, якщо х = 0,
1, якщо х > 0.
Значення цієї функції характеризує знак відповідного аргументу. Зауважимо, що х-8&п х = | х |.
Розглянемо функцію Д у якої В (/) = N. Вважатимемо, що / (п) = 1, якщо десятковий запис числа п містить п цифр 4, що йдуть поспіль, і / (п) = 0, якщо цей запис такої властивості не має. Звернемо увагу на те, що значення функції / обчислювати важко. Наприклад, ми не знаємо, чому дорівнює / (10 000 000 000). Проте й у такому випадку функцію вважають заданою.
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до формули. Наприклад, якщо функція / задана формулою /(х) = -5=і=, то її областю визначення є область визначення
виразу
тобто проміжок (1; +«>).
Значення однієї функції можуть слугувати значеннями аргументу іншої функції.
Наприклад, розглянемо функції / (х) = 2х - 1 і £ (х) = х2 + х + 1. Тоді /(х)) = 2я(х) - 1 = 2 (х2 + х + 1) - 1 = 2х2 + 2х + 1. Отже,
32
5. Повторення та розширення відомостей про функцію
можна говорити, що формула у = 2х2 + 2х + 1 задає функцію у = Не (*))
Якщо значеннями аргументу функції / є значення функції £, то говорять, що задано складену функцію у = / (£ (х)).
Існують функції, які на різних підмножинах області визначення задаються різними формулами. Наприклад,
[х2, якщох<1,
у = 5
[2х-1, якщо х>1.
Такі функції називають кусково заданими.
Спосіб задання функції однією чи кількома формулами називають аналітичним.
У тих випадках, коли область визначення функції є скінченною множиною і кількість її елементів не дуже велика, зручно використовувати табличний спосіб задання функції. Цей спосіб досить часто використовують на практиці. Так, результатом запису спостережень за якою-небудь характеристикою процесу (температурою, швидкістю, тиском і т. п.) є таблиця, яка задає відповідну функцію залежності цієї величини від часу.
Нагадаємо означення графіка функції.
Означення. Графіком числової функції / називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати — відповідним значенням функції /.
Сказане означає, що коли якась фігура є графіком функції /, то виконуються дві умови:
1) якщо х0 — деяке значення аргументу, а / (х0) — відповідне значення функції, то точка з координатами (х0; / (х0)) належить графіку;
2) якщо (х0; у0) — координати довільної точки графіка, то х0 і у0 — відповідні значення незалежної і залежної змінних функції Д тобто у0 = / (Хо).
Фігура на координатній площині може бути графіком деякої числової функції, якщо будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не більше однієї спільної точки. Наприклад, коло не може слугувати графіком жодної функції.
Графічний спосіб задання функції широко застосовується при дослідженні реальних процесів. Існують прилади, які видають оброблену інформацію у вигляді графіків. Так, у медицині використовують електрокардіограф. Цей прилад рисує криві, які характеризують роботу серця.
33
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Осцилограф
Електрокардіограф
ПРИКЛАД 1 Знайдіть область визначення функції у=7*2(х-і).
Розв'язання. Область визначення даної функції — множина
розв’язків нерівності
х2(х - 1) > 0.
Ця нерівність рівносильна сукупності
х2=0, х-1>0.
Звідси Р (у) = {0} 0 [1; +«>).
ПРИКЛАД 2 Знайдіть область значень функції у =---г.
1 + х
Розв'язання. Нехай а є Е (у). Тоді задача зводиться до зна-
2х ходження всіх значень а, при яких рівняння ------7-а має
1 + х
розв’язки.
Це рівняння рівносильне такому:
2х = а 4- ах2, звідки ах2 - 2х + а = 0.
Якщо а = 0, то отримане рівняння має корінь х = 0.
Якщо а * 0, то це рівняння є квадратним, і наявність коренів
визначається умовою > 0.
Маємо:	= 4 - 4а2. Залишається розв’язати нерівність
4 - 4а2 > 0:
4а2 < 4, а2 < 1, | а | < 1.
Отже, Е (у) = [-1; 1].
ПРИКЛАД З Побудуйте графік функції у = [х].
Розв'язання. Нехай х є [&; к + 1), де к є Тоді за озна-
ченням цілої частини числа [х] = к.
Тепер зрозуміло, що для побудови шуканого графіка потрібно область визначення функції розбити на проміжки виду [/?; к 4- 1),
34
5. Повторення та розширення відомостей про функцію
де к є На кожному з цих проміжків значення функції у = [х] є сталим і дорівнює к.
Шуканий графік зображено на рисунку 17.
ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції У = {*}•
Розв'язання. Спочатку доведемо важливі властивості цілої і дробової частин числа.
Якщо к є то [х 4- к\ = |х] + к.
Нехай [х] = с. Тоді за означенням цілої частини числа с < х < с 4- 1. Звідси с + к<х4к<(с4й)4 1. Отже, [х 4- к\ = = с 4- к = [х] 4- к.
Якщо к є то {х 4- к} = {х}.
Маємо: {х4Л} = х4й-[х4й] = х4Л - ([х] 4- к) = х - [х] = {х}.
Доведена властивість дробової частини числа дозволяє стверджувати, що на кожному з проміжків виду [&; к 4- 1), де к є графік функції у = {х} має однаковий вигляд. Тому досить побудувати його, наприклад, на проміжку [0; 1), а потім отриману фігуру «розмножити».
Якщо х є [0; 1), то [х] = 0 і {х} = = х - [х] = х, тобто при х є [0; 1) маємо і/ = х.
Шуканий графік зображено на рисунку 18.
Ц Вправи
73	.° Кожному натуральному числу, більшому за 10, але меншому від 20, поставили у відповідність остачу від ділення цього числа на 5.
1)	Яким способом задано цю функцію?
2)	Яка область значень цієї функції?
3)	Задайте цю функцію таблично.
74	.° Дано функції: / (х) = [х], § (х) = {х}, ф (х) = 2) (х). Знайдіть: 1) / (3,2), 8 (3,2), <р (3,2); 2) /(-3,2), 8 (-3,2), <р (-3,2); 3) / (7з), #(х/з), ф(х/з); 4) /(-7з), я(-7з), <р(-х/з).
35
§2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
75	.° На рисунку 19 зображено графік функції у = визначеної на проміжку [-4; 5]. Користуючись графіком, знайдіть:
1)	Г (-3,5); / (-2,5); / (-1); і (2);
2)	значення х, при яких / (х) = -2,5; / (х) = -2; / (х) = 0; Г(х) = 2;
3)	область значень функції.
Рис. 19
76	.° Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями координат графіка функції:
і	2 і
1) /(х) = іх-7;	3) е (х) = 9 - х2;	5) /(х) = ^-±і.
6	X
2) /(х) = ^±^;	4) ф (х) = х2 + 2х - 3;
ОХ О
77." Знайдіть, не виконуючи побудови, точки перетину з осями координат графіка функції:
„2 _р
1) к (х) = 9 - Юх; 2) р (х) = 4х2 + х - 3;	3) $(х) =
х +2
Зх-1, якщох<-1,
78.° Дано функцію / (х) = х2 - 5, якщо -1 < х < 4,
11, якщох>4.
Знайдіть: 1) / (-3); 2) / (-1); 3) / (2); 4) / (6,4).
9, якщох<-3,
79.° Побудуйте графік функції / (х) =
х2, якщо -3<х<1,
х, якщох>1.
36
5. Повторення та розширення відомостей про функцію
4
—, якщо х < -2,
80.° Побудуйте графік функції /(х) =
2) /(х) =
-х, якщо -2<х<0, л/х, якщо X > 0.
81.° Побудуйте графік функції у = з£п х.
82.° Знайдіть область визначення функції:
1) /(х) = Тх^2 + ^|;	3) /(х) = >/ЇТз + -їЦ-;
х-5	х -9
4)	=	>-лс-~3- я
у/х + 2 х -7х + 6
83. Знайдіть область визначення функції:
1) /(х) = Т^+4 + ^-;	2) /(х) = л/8^+^—.
Х + 1	X -8х
84.° Знайдіть область значень функції:
1) Г(х) = >/х-1;	4)	/ (х) = | х + 2 | + 2;
2) / (х) = 5 - х1 2;	5)	/(х)	=	>/-х^;
3)/(х) = -7;	6)	/(х)	=	7х-2 + >/2-х.
85. Знайдіть область значень функції:
1) г (х) = х2 + 3;	2) /(х) = 6->/х;	3) /(х) = (>/хГ.
86.° Дано функції /(х) = 1 - Зх і ^(х) = х2 - 1. Задайте формулою функцію:
1)у = Н* + 1);	3) у = / (е (х));	5) у = / (/ (х));
2) У = *(!);	4) у = 8 (х));	6) у = 8(8 (х)).
87. Дано функції / (х) = \/х + 1 і £(х) = х2 - 2х. Задайте формулою функцію:
1) У = / (Зх);	3) у = /(§ (х));	5) у = НГ (*));
2) у = 8 (-х);	4) у = 8 (/ (х));	6) у = £ (8 (*))•
88	.° Задайте формулою яку-небудь функцію, областю визначення якої є:
1)	множина дійсних чисел, крім чисел 1 і 2;
2)	множина всіх чисел, не менших від 5;
3)	множина всіх чисел, не більших за 10, крім числа -1;
4)	множина, яка складається з одного числа -4.
89	.° Знайдіть область визначення та побудуйте графік функції:
1) /(х) = ^^;	2) Г(х) = Ц^; 3) /(х) = ф^.
х+4	х-6х	х-9
37
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
90	.° Знайдіть область визначення та побудуйте графік функції: 1) /(х)= Х'+4х + 4;	2) /(х) = —.
х + 2	х
91/ Функцію / задано описом: кожному натуральному числу поставлено у відповідність остачу від ділення цього числа на 3. Знайдіть / (2), / (0), / (16), / (21). Знайдіть Е (/)• Доведіть, що / (х) = / (х + 3) для будь-якого х є N.
92.* Функцію § задано описом: кожному натуральному числу поставлено у відповідність остачу від ділення цього числа на 4. Знайдіть § (3), б (0), б (14), § (32). Знайдіть Е (£). Доведіть, що £ (х) = £ (х + 4) для будь-якого х є N.
93/ Знайдіть область визначення функції:
1) «-74-1x1^; 2) у = ^\х\-3+-^=-, л/х + 1	4) у = ^\х+1\(х-3); 5) у= Г2	; ^х(х + 2)
3) у = ^(х-1)2(х-2);	6) У = УІ8ЄПХ.
94.* Знайдіть область визначення функції:
	4) і/ = 7(х+4)2(х-3);
2)	5) у = ^\х + 5\(х + 2);
8) У = .	-2	; 7(х + 1)2(х + 3)	6) у= ,	 УІ8&ЛХ
95/* Знайдіть область значень функції:
1) у = Зх2 - 2х + 1;	3) У = ^±1; 2x4-3 2) у - -2х2 + Зх - 4;	4) у= х ; х -1	5) у = х+~. X
96.” Знайдіть область значень функції: 1) у = 5х2 - х + 1;	3) У = ^=^; 0X4-4	5) у = 4х+±.
2) у- Зх2 х 2;	4)у = ж22*4; 97.** Побудуйте графік функції £/ = (7(* + 2)2х)	-х3 -4х2.
98.” Побудуйте графік функції у = х3~(>]х2(х-	1>Г-
38
6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції
99.” Знайдіть область визначення функції: п	3)	5)
л/	і-*7
2) У = Л;	4) у = 5/-Ф(х);
о
Зростання і спадання функції.
Найбільше і найменше значення функції
Часто про властивості об’єкта можна робити висновки за його зображенням: фотографією, рентгенівським знімком, рисунком тощо.
«Зображенням» функції може слугувати її графік. Покажемо, як графік функції дозволяє визначити певні її властивості.
На рисунку 20 зображено графік деякої функції у = / (х).
Її областю визначення є проміжок [-4; 7], а областю значень — проміжок [-4; 4].
При х = -3, х = 1, х - 5 значення функції дорівнює нулю.
Означення. Значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю, називають нулем функції.
Так, числа -3, 1, 5 є нулями даної функції.
Зауважимо, що на проміжках [-4; -3) і (1; 5) графік функції / розташований над віссю абсцис, а на проміжках (-3; 1) і (5; 7] — під віссю абсцис. Це означає, що на проміжках [-4; -3) і (1; 5) функція набуває додатних значень, а на проміжках (-3; 1) і (5; 7] — від’ємних.
39
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Означення. Проміжок, на якому функція набуває значень однакового знака, називають проміжком знакосталості функції.
Наприклад, проміжки (-<»; 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталості функції у = х2.
Зауваження. Під час пошуку проміжків знакосталості функції прийнято вказувати проміжки максимальної довжини (точніше, ті, які не є власними підмножинами інших проміжків знакосталості). Наприклад, проміжок (-2; -1) є проміжком знакосталості функції / (рис. 20), але до відповіді увійде проміжок (-3; 1), який містить проміжок (-2; -1).
Якщо переміщатися по осі абсцис від -4 до -1, то можна помітити, що графік функції йде вниз, тобто значення функції зменшуються. Кажуть, що на проміжку [-4; -1] функція спадає. Із збільшенням х від -1 до 3 графік функції йде вгору, тобто значення функції збільшуються. Кажуть, що на проміжку [-1; 3] функція зростає.
Означення. Функцію / називають зростаючою на множині М с В (/), якщо для будь-яких двох значень аргументу х± і х2, які належать множині М, таких, що х1 < х2, виконується нерівність / (х^ < / (х2).
Означення. Функцію / називають спадною на множині М с І) (/), якщо для будь-яких двох значень аргументу хх і х2, які належать множині М, таких, що х± < х2, виконується нерівність / (х^ > / (х2).
Часто використовують коротше формулювання.
Означення. Функцію / називають зростаючою (спадною) на множині М, якщо для будь-яких значень аргументу з цієї множини більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.
Якщо функція зростає на всій області визначення, то її називають зростаючою. Якщо функція спадає на всій області визначення, то її називають спадною.
Наприклад, на рисунку 21 зображено графік функції у = 4х. Ця функція є зростаючою. На рисунку 22 зображено графік спадної функції у = -х.
О-чг ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція у = хп, де п — парне натуральне число, спадає на проміжку (-«>; 0].
Розв'язання. Нехай х± і х2 — довільні значення аргументу з проміжку (-«>; 0], до того ж х1 < х2. Покажемо, що х” >х^9
40
6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції
тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Маємо: хг < х2, -х± > -х2. Обидві частини останньої нерівності є невід’ємними числами. Тоді за властивістю числових нерівностей можна записати, що (-х,)71 > (~х )л. Оскільки п парне, то
Зазначимо, що в таких випадках кажуть, що проміжок (-©о; 0] є проміжком спадання заданої функції. Аналогічно можна довести, що проміжок [0; +°°) є проміжком зростання функції у = хп, де п — парне натуральне число.
Зауваження. У задачах на пошук проміжків зростання і спадання функції вказують ті проміжки, які не є власними підмно-жинами жодних інших проміжків зростання (спадання), аналогічно тому, як це робиться під час пошуку проміжків знакосталості.
Зазначимо, що існують функції, визначені на К, які не є зростаючими (спадними) на жодному проміжку області визначення. Наприклад, такою функцією є константа. Ще одним прикладом такої функції є функція Діріхле.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що функція / (х) = — спадає на кожному х
з проміжків (-©о; 0) і (0; +°°).
Розв'язання. Нехай х1 і х2 — довільні значення аргументу з проміжку (0; +оо), причому хг < х2. Тоді за властивістю числових нерівностей — >—. Отже, дана функція спадає на проміжку Х1 Х2
(0; +<»).
Аналогічно доводять, що функція / спадає на проміжку (“оо; 0).
Зауважимо, що не можна стверджувати, що дана функція спадає на всій області визначення Р (/) = (-©о; 0)О(0; +°°), тобто
41
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
є спадною. Дійсно, якщо, наприклад, х1 = -2, х2 = 3, то з нерівності хл < х9 не випливає, що —	.
Хі х2
Теорема 6.1. Якщо функція у = / (х) є зростаючою (спадною) на множині М, то функція у = ~/ (х) є спадною (зростаючою) на множині М.
Доведення. Нехай, наприклад, функція у = /(х) є зростаючою на множині М. Тоді для будь-яких ху і х2, які належать множині М і таких, що хг < х2, виконується нерівність / (хх) < / (х2). Звідси -/ (хх) > -/ (х2). Отже, функція у = -/ (х) є спадною.
Аналогічно доводять, що коли функція у = / (х) спадає на множині М, то функція у = -/ (х) зростає на множині М. А
Теорема 6.2. Якщо функції у = ( (х) і у = § (х) є зростаючими (спадними) на множині М, то функція у = / (х) + § (х) є зростаючою (спадною) на множині М.
Доведіть теорему 6.2 самостійно.
Теорема 6.3. Якщо функція у = / (х) є зростаючою (спадною) на множині Я (/), то рівняння / (х) = а, де а — деяке число, має не більше одного кореня.
Доведення. Нехай функція / є зростаючою та рівняння / (х) = а має два корені х1 і х2, причому х^ < х2. Тоді / (хх) < / (х2). Проте / (хх) = а, / (х2) = а, тобто ( (хх) = / (х2). Отримали суперечність. Отже, рівняння / (х) = а має не більше одного кореня.
Аналогічно розглядається випадок, коли функція / є спадною. А
З цього випливає таке твердження:
якщо функція / зростає (спадає) на О (/) і / (хх) = / (х2), то хх = х2, тобто зростаюча (спадна) функція кожного свого значення набуває лише при одному значенні аргументу.
Наслідок. Якщо одна з функцій / або § є зростаючою на множині О (0 П £> (£), а інша — спадною на цій множині, то рівняння / (х) = § (х) має не більше одного кореня.
Доведіть це твердження самостійно.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння X5 + УІ2Х-1 =2.
Розв'язання. Легко довести (зробіть це самостійно), що функції / (х) = х5 і #(х) = \/2х-1 є зростаючими. Отже, згідно з теоремою 6.2 функція у = / (х) + § (х) є зростаючою на множи-
42
6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції
ні -; + °°і. Тоді теорема 6.3 дозволяє стверджувати, що дане _ /
рівняння має не більше одного кореня.
Нескладно помітити, що х = 1 є коренем даного рівняння. Ураховуючи вищесказане, цей корінь є єдиним.
Відповідь: 1.
Нехай у множині М с Р (/) існує таке число х0, що для всіх х є М виконується нерівність і (х0) > / (х). У такому випадку говорять, що число / (х0) — найбільше значення функції / на множині М, і записують тах^(х) = /(х0).
Якщо для всіх х є М виконується нерівність / (х0) < / (х), то число / (х0) називають найменшим значенням функції / на множині М і записують шіп / (х) = / (х0).
м
Розглянемо кілька прикладів.
Для / (х) = >/х і множини М = [0; 4] маємо: шіп / (х) = шіп у[х = [0;4]	[0:4]
= /(0) = 0, шах/(х) = /(4) = 2 (рис. 23). [0;4]
Для /(х)=| х | і множини М = [-1; 2] маємо: тіп / (х) = / (0) = 0,
тах / (х) = / (2) = 2 (рис. 24).
[-1:2]
Рис. 23	Рис. 24
Якщо с — деяке число і / (х) = с для будь-якого х є М, то число с є і найбільшим, і найменшим значенням функції / на множині М.
Не будь-яка функція на заданій множині М с Р (/) має найменше або найбільше значення. Так, для функцій / (х) = х2 і / (х) = {х} маємо, що тіп/(х) = 0. Найбільшого значення на п
множині К ці функції не мають.
Функція /(х) = — на множині М = (0; +°°) не має ні найбіль-х
того, ні найменшого значень.
43
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Часто для знаходження найбільшого і найменшого значень функції зручно користуватися таким очевидним фактом:
’Ь якщо функція / зростає на проміжку [а; &], то шіп / (х) = / (а),
[а;Ь]
шах/(х)=/(Ь) (рис. 25);
[а;Ь]
якщо функція / спадає на проміжку [а; Ь], то тіп/(х) = /(Ь), [а; 6]
ПРИкД/* Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х3 + Зх + 2 на відрізку [-2; 1].
Розв’язання. Функції і/ = х3іі/ = Зх + 2є зростаючими. За теоремою 6.2 зростаючою є і функція Л Отже, шіп / (х) = / (-2) = -12, [-2;1]
шах/(х) = /(1) = 6.
З Вправи
100.° На рисунку 27 зображено графік функції у = / (х), визначеної на множині Ж. Які з даних тверджень є правильними:
1)	функція спадає на проміжку -9];
2)	/ (х) < 0 при -5 < х < 1;
3)	функція зростає на проміжку [-2; +°о);
4)	/ (х) = 0 при х = -5 і при х = 1;
5)	функція набуває найменшого значення при х = -2?
101/ На рисунку 28 зображено графік функції у = / (х), визначеної на множині К. Користуючись графіком, знайдіть: 1) нулі функції;
2)	значення х, при яких у < 0;
3)	проміжок спадання функції;
4)	область значень функції.
44
6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції
102.° На рисунку 29 зображено графік функції у = / (х), визначеної на множині К. Користуючись графіком, знайдіть:
1)	нулі функції;
2)	проміжки знакосталості функції;
3)	проміжки зростання і проміжки спадання функції;
4)	тіп/(х), к
5)	тіп/(х), ' [-2;И
6)
тах / (х); п
тах / (х); [-2;1]
тах / (х);
тіп / (х), тах / (х).
(-2;0)	(~2;0)
103	.° На рисунку ЗО зображено графік функції у = / (х), визначеної на множині К. Користуючись графіком, знайдіть:
1)	нулі функції;
2)	проміжки знакосталості функції;
3)	проміжки зростання і проміжки спадання функції;
4)	тіп / (х), тах / (х);
[0;2]	[0:2]
5)	тіп / (х), тах / (х); п	п
6)	тіп/(х), тах/(х).
[-1;0)	[-1;0)
Рис. ЗО
2х + 8, якщо х < - 2,
104	.° Побудуйте графік функції / (х) =
.2
якщо -2<х<2,
-2х + 8, якщо х > 2.
Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції, її проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання.
45
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
4
—, якщо X < -1, X
105.’ Побудуйте графік функції /(х) =
якщо -Кх<1,
4
—, якщо х>1.
.х
Користуючись побудованим графіком, укажіть нулі даної функції, її проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання.
О"» 106.° Доведіть, що лінійна функція / (х) = кх 4- Ь є зростаючою при к > 0 і спадною при к < 0.
107	.’ Зростаючою чи спадною є функція:
1)	у = 9х - 4;	3) у = 12 - Зх;
2)	у = -4х 4- 10;	4) у = -х?
108	.° Знайдіть нулі функції:
1)	У = >/х2 —1;	4) у = х2 4- 1;	7) у = | х | - х.
2)	„=*2+*-б.	5) у = 4х^ї-4х+ї;
х + 3	____
3)	у = х3 - 4х;	6) у = х 7х-1;
109	.' Знайдіть нулі функції:
1)	у = 7х2-4;	3) У = *-=^;	5) У = 4=-
х + 5	уіх-2
2)	у = -5;	4) у = | х | + х;
110	.° Знайдіть проміжки знакосталості функції:
1)	у = х2 - 2х + 1;	3) у = -7х-1;
2)У = ^~;	4) у = | х + 1 |.
о — X
111	.° Знайдіть проміжки знакосталості функції:
1)	у = -х2 - 1;	3) у = 4х + 2;	5) у = | х2 - 4 |.
2)	у = х2 + 4х + 4; 4) у = | х | - 1;
112	.° Доведіть, що є зростаючою функція:
1)	у = л/х-1;	2) у = >/2x4-1.
113	.° Доведіть, що є зростаючою функція:
1)	у = >/х-3 + 2;	2) у = >/3х-1-1.
114/ Функція у = / (х) є спадною. Зростаючою чи спадною є функція (відповідь обґрунтуйте):
1)у = 3/(х); 2) У = |/(х);	3) у = -/ (х); 4) у = / (х) + 5?
О
46
6. Зростання і спадання функції. Найбільше і найменше значення функції
115/ Функція у = і (х) є зростаючою. Зростаючою чи спадною є функція (відповідь обґрунтуйте):
1) У = |/(х):	2)у = -ЗГ(х)?
О"^ 116/ Доведіть, що функція у = хл, де п є И, п — непарне, є зростаючою.
117/ Доведіть, що функція
118/ Доведіть, що функція
у = -- зростає на проміжку (3; 4-©о).
о — X
7
у =--- спадає на проміжку (-5; 4-©о).
х + 5
к
у-— спадає на кожному з проміжків х
0 і зростає на кожному з цих проміж-
119/ Доведіть, що функція
(-о©; 0) і (0; 4-е©) при к > ків при к < 0.
120/ Доведіть, що є зростаючою функція:
1) у = х5 4-х; 2) ^ = х4+>/х;	3) у = >/х-1 + >/х.
121/ Доведіть, що є спадною функція:
1) і/=-х3 - х;	2) у = >Рх-х.
122/ При якому найменшому цілому значенні т функція у = 7тх 4- 6 - 20х є зростаючою?
123/ При яких значеннях к функція у = кх - 2к 4- 3 4- 6х є спадною?
124/ При яких значеннях Ь функція у = Зх2 3 - Ьх 4- 1 зростає на множині [3; 4-оо)?
125/ При яких значеннях Ь функція у = Ьх - 4х2 спадає на множині [-1; 4-°о)?
126/ Функція у = /(х) визначена на множині дійсних чисел, є зростаючою і набуває лише додатних значень. Доведіть, що: 1) функція у - /2(х) зростає на множині К;
2) функція у = —— спадає на множині К; /М
3) функція у = у]/(х) зростає на множині К.
127/ Функція у = /(х) визначена на множині дійсних чисел, є зростаючою і набуває лише від’ємних значень. Доведіть, що: 1) функція у = /2(х) спадає на множині К;
2) функція у = —спадає на множині К.
/(х)
128/ Чи можна стверджувати, що коли функції у = / (х)іу = § (х) зростають на множині М, то функція у = /(х) - § (х) теж зростає на множині М?
47
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
129.* Функції у = / (х) і у = § (х) спадають на деякій множині М і набувають на цій множині від’ємних значень. Доведіть, що функція у = / (х) § (х) зростає на множині М.
130/ Наведіть приклад двох зростаючих на множині М функцій, добуток яких не є зростаючою на цій множині функцією.
131/ Знайдіть тіп / (х) і тах / (х), якщо: м	м
1) / (х) = х2 - 6х + 10, М = К;	2) / (х) = >/16 - х2, М = Р (/).
132/Знайдіть тіп/(х) і тах/(х), якщо: м	м
1) / (X) = -X2 - 8х - З, М = Ж;	2)/(х) = х + —, М = (0; +-»).
X
133/ При яких значеннях с найбільше значення функції у = -0,6х2 4- 18х 4- с дорівнює 2?
134/ При яких значеннях с найменше значення функції у = 2х2 - 12х 4- с дорівнює -З?
135/ Сума двох чисел дорівнює 8. Знайдіть:
1) якого найбільшого значення може набувати добуток цих чисел;
2) якого найменшого значення може набувати сума квадратів цих чисел.
136. Ділянку землі прямокутної форми обгородили парканом завдовжки 200 м. Яку найбільшу площу може мати ця ділянка?
137/* Розв’яжіть рівняння:
1) X5 + х3 + х = -3;	2) ч/х+1 + л/х+6 + ^х + 13 = 9
138.” Розв’яжіть рівняння:
1) 2х7 4- х5 4- х = 4;	2) 2 >/х + 7x^5 +>/2х + 7 =13.
139/* Розв’яжіть рівняння 4х + л/х-5 = 23-2х.
140.” Розв’яжіть рівняння х2 +\/х = -—4-15.
X
Парні і непарні функції
Означення. Функцію / називають парною, якщо для будь-якого х з області визначення / (—х) = / (х).
Означення. Функцію / називають непарною, якщо для будь-якого х з області визначення / (—х) = — / (х).
Очевидно, що функція у = х2 є парною, а функція у = х3 — непарною.
48
7. Парні і непарні функції
Виконання рівності / (-х) = / (х) або рівності / (-х) =	(х) для
будь-якого х є Р (/) означає, що область визначення функції { має таку властивість: якщо х0 є Р (/), то -х0 є В (/)• Таку множину називають симетричною відносно початку координат.
З вищенаведених означень випливає, що коли область визначення функції не є симетричною відносно початку координат, то ця функція не може бути парною (непарною).
Наприклад, область визначення функції у = —— не є симе
тричною відносно початку координат. Тому ця функція не є ні парною, ні непарною.
Водночас у функції / (х) = х3 + х2 її область визначення Р (/) = й є симетричною відносно початку координат. Проте ця функція не є ні парною, ні непарною. Дійсно,
/ (-*) = (~*)3 + (~х)2 = -х3 + х2; -/ (х) = -х3 - х2.
Існують деякі значення х, наприклад 0, при яких / (-х) = / (х) або / (-х) = -/ (х), проте ці рівності виконуються не для всіх х є И. Наприклад, при х = 1 маємо / (х) = 2, а / (-х) = 0.
Підкреслимо, що для парності або непарності функції / необхідно, але не достатньо, щоб її область визначення була симетричною відносно початку координат.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що функція / (х) = х3 - х є непарною.
Розв'язання. Оскільки Р (/) = й, то область визначення функції / симетрична відносно початку координат.
Для будь-якого х е Р (/) маємо / (~х) = (-х)3 - (-х) = -х3 + х = = -/ (X).
Отже, функція / є непарною.
ПРИКЛАД 2 Дослідіть на парність функцію
/(*) =
І| | | х + 2|, 1 + х 1-х
Розв'язання. Оскільки Р (/) = {х є й | х -1 і х 1}, то область визначення функції / симетрична відносно початку координат.
Для будь-якого х є Р (/) маємо:
Г(-Х) =
І~*~2|+|-х+2|=|х + 2|+|х-2| 1-х	1 - (—х)	1-х	1 + х
= /(*)•
Отже, функція / є парною.
Теорема 7.1. Вісь ординат є віссю симетрії графіка парної функції.
Доведення. Якщо точка М (а; Ь) належить графіку функції /, то / (а) = Ь. Оскільки функція / є парною, то / (-а) = / (а) = Ь. Це
49
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
означає, що точка М± (-а; Ь) також належить графіку функції / (рис. 31). А
І <><	‘ ? Початок координат є центром симетрії
графіка непарної функції.
Доведіть цю теорему самостійно (рис. 32).
Очевидно, що функція у = 0, у якої В (у) = К, одночасно є і парною, і непарною. Можна показати, що інших функцій з областю визначення Ж, які є одночасно і парними, і непарними, не існує.
Вправи
141.	Функція / є парною. Чи може виконуватися рівність:
1)	/ (2) - / (-2) = 1;	2) / (5) / (-5) =-2;	3) ^) = 0?
142.	Функція / є парною. Чи обов’язково виконується рівність
/(-1)
143.	Функція / є непарною. Чи може виконуватися рівність:
1)	ні) + /(-1) = 1;	2)/(2)Н-2) = 3;	3)у^ = 0?
144.° Доведіть, що є парною функція:
1)/(х)=171;
2)	/ (х) = хл, де п є N1/1 — парне;
3)	г (х) = -Зх2 + І х І - 1;
4)	/(х) = >/4-х + >/4+х;
5)	^(х) = >/х2 -Зх + 5 + л/х2 +Зх+5;
50
7. Парні і непарні функції
7) №).І5«-гН^г1;
х -1
8) /(х) = — -----—у;
7	(Зх-1)7 (Зх + 1)7
9)/(х) = (х + 2) | х - 4 | - (х - 2) | х + 4 |.
145. Доведіть, що є непарною функція:
1)	8 (х) = х", де п є N	4) я(х) = -т=—т=;
і п — непарне;	л/З-х-г/З+х
, |х|	. 14х-1|-| 4х + 11
2)	#(х) = 1—1;	5) я(х) = ]-у-1-----1;
х	х4 -1
3)	я(х) = >/2^->/27ЇЇ;	6) я(х)=	23х~2 .
х - х +1 X + X +1
146/ Дослідіть на парність функцію:
і) !/=-;	3)	б) у = 4^Л'4ї+ї.
X	X -1
2)	4)
147/ На рисунку 33 зображено частину графіка функції у = / (х), визначеної на проміжку [-5; 5]. Добудуйте графік цієї функції, якщо вона є: 1) парною; 2) непарною.
51
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
148/ Ламана АВС2), де А (0; 0), В (2; -2), С (3; 4), 2) (6; 1), є частиною графіка функції у = / (х), визначеної на проміжку [-6; 6]. Побудуйте графік цієї функції, якщо вона є: 1) парною; 2) непарною.
149/ Про функцію /, яка визначена на множині К, відомо, що / (х) = х2 - 4х при х > 0. Побудуйте графік цієї функції, якщо вона є: 1) парною; 2) непарною.
150/ Про функцію /, яка визначена на множині К, відомо, що
/ (х) = -0,5х2 при 0 < х < 2 і /(х) = -— при х > 2. Побудуйте х
графік цієї функції, якщо вона є: 1) парною; 2) непарною.
151/ Область визначення функції / симетрична відносно початку координат. Доведіть, що функція £ (х) = / (х) -І- / (-х) є парною, а функція к (х) = / (х) - / (-х) є непарною.
152/ Областю визначення парних функцій / і £ є множина М. Дослідіть на парність функцію:
1)	У = / (х) + 8 (х); 2) у = / (х) - б (х); 3) у = / (х) б (х).
153/ Областю визначення парної функції / і непарної функції б є множина М. Дослідіть на парність функцію:
1)	У = / (х) + б (х); 2) у = / (х) - § (х); 3) у = / (х) § (х).
154/ Областю визначення непарних функцій /* і б є множина М. Дослідіть на парність функцію:
1)	У = / (х) + б (х); 2) у = / (х) - б (х); 3) у = / (х) б (х).
/ (х)
155/ Непарні функції / і б такі, що функція к (х) = визначена. Дослідіть на парність функцію к.
156/ Одна з функцій, / або б> є парною, інша — непарною. Відомо, / (х)
що й(х) =---- визначена. Дослідіть на парність функцію к.
б(х)
157/* Доведіть, що область значень непарної функції симетрична відносно початку координат.
158/* Непарна функція / така, що 0 є 2) (/)• Знайдіть / (0).
159	.” Непарна функція / має 4 нулі. Доведіть, що 0 £ 2) (/).
160	.** Непарна функція / має 7 нулів. Знайдіть / (0).
161	.” Парна функція / має 7 нулів. Знайдіть / (0).
162	.** Дослідіть на парність функцію / (п) = (2 + \/з) +(2-\/з) ,
163	.” Дослідіть на парність функцію / (п) = (>/2 +1) -(\/2-1) , 2) (/) = 2.
52
8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
164/* Парна функція А визначена на Л&, зростає на проміжку [0; +«>)• Визначте, зростаючою чи спадною є функція /* на проміжку (-<»; 0].
11 *’ Непарна функція /, визначена на К, зростає на проміжку [0; +<»)• Визначте, зростаючою чи спадною є функція / на проміжку (-©о; 0].
166/’ Функція / є парною і тіп/(х) = 2, тах/(х) = 5. Знайдіть [1;3]	[1;31
тіп / (х), тах / (х).
[-3;-1]	[-3;-1]
167.” Функція / є непарною і тіп / (х) = 1, тах / (х) = 3. Знайдіть [2;5]	[2;5]
тіп / (х), тах / (х).
[-5;-2]	[-6;-2]
(Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
У 9 класі ви навчилися за допомогою графіка функції у = / (х) будувати графіки функцій у = /(х) + Ь, у = / (х + а), у = к/ (х). Нагадаємо правила, які дозволяють виконати такі побудови.
Графік функції у = / (х) + Ь можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції у = / (х) на Ь одиниць угору, якщо Ь > 0, і на -Ь одиниць униз, якщо Ь < 0.
На рисунках 34, 35 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій у = х2 - 4 і і/ = 4х + 3.
53
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Графік функції у = / (х + а) можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка функції у = / (х) на а одиниць уліво, якщо а > 0, і на -а одиниць управо, якщо а < 0.
На рисунках 36, 37 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій у = (х - 2)2 і у = >/х + 3.
Рис. 36
Рис. 37
Графік функції у = к/(х) можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції у = / (х) на точку з тією самою абсцисою і ординатою, помноженою на к.
На рисунках 38, 39, 40 показано, як працює це правило для
побудови графіків функцій у = 2х2, у = ^\/х, у = і У = -2 \Іх. З	2
Кажуть, що графік функції у = к/ (х) отримано з графіка функції у = / (х) у результаті розтягу в к разів від осі абсцис, якщо к > 1, або в результаті стиску в разів до осі абсцис, якщо 0 < к < 1.
54
8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
Покажемо, як можна побудувати графік функції у = / (&х),
якщо відомо графік функції у = / (х).
Розглянемо випадок, коли к > 0. Якщо точка (х0; у0) належить
належить графіку
графіку функції у = /* (х), то точка
Отже, кожній точці (х0; у^ графіка функції у = /(х) відповідає
єдина /точка
графіка функції у = / (Лх). Аналогічно мож
на показати (зробіть це самостійно), що кожна точка (х^ уг) графіка функції у = / (кх) є відповідною єдиній точці (кх^ у^ графіка функції у = / (х). Тобто між точками графіків функцій у = / (х) і у = / (кх) можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Тому графік функції у = / (кх), де к > 0, можна отримати, замінивши кожну тонку графіка функції у = / (х) на тонку з тією самою ординатою і абсцисою, поділеною на к.
На рисунку 41 показано, як працює це правило для побудови графіків функцій у = \І2х і у =
Говорять, що графік функції у = / (кх) отримано з графіка функції у = / (х) у результаті стиску в к разів до осі ординат, якщо к > 1, або в результаті розтягу в разів від осі ординат, якщо 0 < к < 1.
55
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Покажемо, як побудувати графік функції у = / (~х), якщо відомо графік функції у = / (х).
Зазначимо, що коли точка (х0; у0) належить графіку функції у = / (х), то точка (~х0; р0) належить графіку функції у = / (~х). Дійсно, / (-(-Хо)) = / (хо) = у0.
Зрозуміло, що між точками графіків функцій у = / (х) і у = /* (-х) можна встановити взаємно однозначну відповідність.
Тоді всі точки графіка функції у = / (-х) можна отримати, замінивши кожну точку графіка функції у = /* (х) на точку, симетричну їй відносно осі ординат, тобто відобразивши графік функції у = /* (х) симетрично відносно осі ординат.
Таке перетворення графіка функції у = / (х) називають симетрією відносно осі ординат.
На рисунку 42 показано, як за допомогою графіка функції у = \[х побудовано графік функції у = 4-х.
Рис. 43
З огляду на сказане стає зрозумілим, що правило побудови графіка функції у = / (Лх), де к < 0, аналогічне випадку, коли к > 0. Наприклад, на рисунку 43 показано, як можна за допомогою графіка функції у = 4х побудувати графіки функцій
56
8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
ПРИКЛАД 1 Побудуйте графік функції у = \ІЗх-2.
Розв'язання. Схема побудови має такий вигляд (рис. 44): управо	стиск у 3 рази
на 2 од.	до осі ординат
у = у/х -------► у = >/х-2
то по-
х/Зх-2
Якщо задану функцію подати у вигляді у
будову графіка можна вести і за такою схемою (рис. 45):
ПРИКЛАД 2 Побудуйте графік функції і/ = >/1 - Зх Розв'язання. Побудову графіка можна вести за такою схемою (рис. 46):
уліво	симетрія	стиск
на	відносно осі	у 3 рази до
1 од.	ординат	осі ординат
у = 4х --► у ® \/х + 1 ----► у = 7-х + 1---у ж >/-Зх + 1
Рис. 46
57
§2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Зауважимо, що можливі й інші схеми розв’язування цієї задачі, наприклад, так (рис. 47, 48):
Вправи
168. Графік якої функції отримаємо, якщо графік функції у = х* 1 2 паралельно перенесемо:
1) на 5 одиниць угору;	3) на 10 одиниць униз;
2) на 8 одиниць управо;	4) на 6 одиниць уліво;
5) на 3 одиниці вправо і на 2 одиниці вниз;
6) на 1 одиницю вліво і на 1 одиницю вгору?
58
8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
169/ Графік якої з наведених функцій отримаємо, якщо паралельно перенесемо графік функції у = х2 на 4 одиниці вправо: 1) у = х2 + 4;	3) у = (х + 4)2;
2) у = х2 - 4;	4) у = (х - 4)2?
170.° Графік якої з наведених функцій отримаємо, якщо паралельно перенесемо графік функції у = х2 на 5 одиниць угору: 1) у = х2 + 5;	3) у = (х + 5)2;
2) у = х2 - 5;	4) у = (х - 5)2?
5
171. Як треба паралельно перенести графік функції і/ = —, щоб
5	Х
отримати графік функції у =----:
X — о
1) на 8 одиниць угору;	3) на 8 одиниць управо;
2) на 8 одиниць униз;	4) на 8 одиниць уліво?
172/ Як треба паралельно перенести графік функції у-\[х, щоб отримати графік функції у - >/х + 3 :
1) на 3 одиниці вгору;	3) на 3 одиниці вправо;
2) на 3 одиниці вниз;	4) на 3 одиниці вліво?
173/ На рисунку 49 зображено графік функції у = / (х). Побудуйте графік функції:
1) у = / (х) - 2;	3) у = / (х - 3);	5) у =	(х);
2)	/ (х) 4-4;	4)у = /(х + 1);	6) у = 3 - / (х).
І74/ На рисунку 50 зображено графік функції у = /(х). Побудуйте графік функції:
1)!/ = Нх) + 5; 4) {/= / (х - 2);
2) |/= / (х) - 3; 5)у = -Г(х);
3)у = /(х4-1); 6) і/ = -/(х)-1.
59
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
176.° Побудуйте графік функції у = х2. Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:
1)	у = х2 - 3;	4)	у = (х + 2)2;
2)	у = х2 + 4;	5)	у = (х - І)2 + 2;
3)	у = (х - 5)2;	6)	у = (х + З)2 - 2.
176	.’ Побудуйте графік функції у	= -х2. Використовуючи цей
графік, побудуйте графік функції:
1)	у = -х2 +1;	4)	у = —(х + 4)2;
2)	у = -х2 - 2;	5)	у = -(х + І)2 - 1;
3)	у = -(х - 2)2;	6)	у = -(х - З)2 + 4.
177	.* Побудуйте графік функції у=~—. Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:
1)	у = -—+5;	2) у = —3) у = —±--2.
х	х-2	х-і-4
178.* Побудуйте графік функції у = у/х. Використовуючи цей графік, побудуйте графік функції:
1)	у = УІх-±\	2) і/ = \/х-4;	3) і/ = \/х-1+3.
•	2
179. Побудуйте графік функції у = ~. Використовуючи цей гра-х
фік, побудуйте графік функції:
1) у = ^-1;	2) у = -^т;	3) у = -^+б.
X	X т 1	X ~ о
180.’ Задайте дану функцію формулою виду у = а(х - т)2 + пі побудуйте її графік, використовуючи графік функції у = ах2:
1) у = х2 - 4х 4- 6;	3) у = 2х2 - 4х + 5;
2) у = -х2 + 6х - 6;	4) у = 0,2х2 - 2х - 4.
•	к
181. Задайте дану функцію формулою виду у =---+ Ь і побу-
х + а к дуйте її графік, використовуючи графік функції у = —: х
Зх +8	2x4-14	-2х
І)	у= ——;	2) у=~—3) У=—
х	х + о	х —1
60
8. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень
182.* Задайте дану функцію формулою виду у = х + Ь і по-к будуйте її графік, використовуючи графік функції у = —:
Ч	2) „=1^.
183/ На рисунку 51 зображено графік функції у = / (х). Побудуйте графік функції:
1) у = |/(х);	2) у =-3/(х).
184/ На рисунку 52 зображено графік функції у = 8 (*)• Побудуйте графік функції:
185/ Побудуйте графік функції:
1) і/ = 0,5>/х;	2) у = -2>Іх-2.
186/ Побудуйте графік функції:
1) і/ = 3л/х;	2) і/ = -і л/х + 4.
187/ На рисунку 51 зображено графік функції у = /(х). Побудуйте графік функції:
1)у = Г(2х);	2)» = Г(|).
188/ На рисунку 52 зображено графік функції у = б (*)• Побудуйте графік функції:
1) =	2)у = £(4х).
\ А /
61
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
189/ Побудуйте графік функції:
і)	2)
190/ Побудуйте графік функції:
1) у=^;	3) У =
2> » =
191/ Розв’яжіть графічно рівняння:
1) х + 1 = >/х + 7;	3) — = х-3.
х-2
2) 2>/х=3-х;
192/ Розв’яжіть графічно рівняння:
1) ТЗ-х=0,5х;	2) Тх + 2 = —.
х-1
193/ Побудуйте графік функції:
1) р = г/2х-1;	3) у = ^|х + 2.
2) у = >/3-4х;
194/ Побудуйте графік функції:
1) 0 = 73х+1;	2) у = 75-2х.
Як побудувати графіки функцій у = /(|х|) і -1 / (х) І» <кщо ві .оме графік
функції у = Цх)
Скориставшись означенням модуля, запишемо:
У
=/(І«І)={
/ (х), ЯКЩО х > 0, / (—х), ЯКЩО X < 0.
Звідси можна зробити висновок, що графік функції у = / (|х|) при х > 0 збігається з графіком функції у = / (х), а при х < 0 — з графіком функції у = / (~х).
62
у=|/(*)!=
9. Як побудувати графіки функцій у = / (|х|) і у = | / (х) |
Тоді побудову графіка функції у = / (|х|) можна проводити за такою схемою:
1) побудувати ту частину графіка функції у = / (х), усі точки якої мають невід’ємні абсциси;
2) побудувати ту частину графіка функції у = / (~х), усі точки якої мають від’ємні абсциси.
Об’єднання цих двох частин і складатиме графік функції у = /(|х|).
Фактично це означає, що слід побудувати графік функції У = / для х > 0, а потім відобразити його симетрично відносно осі ординат.
На рисунку 53 показано, як за допомогою графіка функції у = (х - 2)2 побудовано графік функції у = (|х| - 2)2.
Для функції у = | / (х) | можна записати:
/ (х), якщо / (х) > 0,
-/ (х), якщо / (х) < 0.
Звідси випливає, що графік функції у = | / (х) | при всіх х, для яких / (х) > 0, збігається з графіком функції у = / (х), а при всіх х, для яких / (х) < 0, — з графіком функції у = -/ (х).
Тоді будувати графік функції у = | / (х) | можна за такою схемою:
1)	усі точки графіка функції у = / (х) з невід’ємними ординатами залишити незмінними;
2)	точки з від’ємними ординатами замінити на точки з тими самими абсцисами, але протилежними ординатами, тобто частину графіка у = / (х), розміщену нижче від осі абсцис, відобразити симетрично відносно осі абсцис.
На рисунку 54 показано, як за допомогою графіка функції у = (х - І)2 - 2 побудовано графік функції у = | (х - І)2 - 2 |.
63
$ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
ПРИКЛАД Ц Побудуйте графік функції у =	х |+1-2|.
Розв'язання. Алгоритм побудови шуканого графіка можна подати у вигляді такої схеми (рис. 55):
симетрія відносно осі ординат
униз	симетрія
на	відносно
2 од. ______ осі абсцис
=71x1+1—►р=5/і*і+і-2—► ИТИ+1-2І
а)
б)
в)
г) Рис. 55
64
9. Як побудувати графіки функцій у = / (|х|) і у = | / (х) |
ПРИКЛАД 2 Побудуйте графік функції і/ = | х + 11-1|.
Розв'язання. Побудову шуканого графіка можна подати за такою схемою (рис. 56):
уліво
на
1 од.
униз
на
1 ОД.
= Л*+і| —►р=7І*+і|
симетрія відносно осі абсцис
1 -----► ;
г)
Рис. 56
65
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Вправи
196.° Використовуючи графік функції у = / (х), зображений на рисунку 57, побудуйте графік функції:
1) У = / (1*1);	2) у = | / (х) |.
Рис. 57
196/ Використовуючи графік функції у = / (х), зображений на рисунку 58, побудуйте графік функції:
197/ Використовуючи графік функції у = / (х), зображений на рисунку 59, побудуйте графік функції у = | / (|х|) |.
66
9. Як побудувати графіки функцій у = / (|х|) і у = | / (х) |
Рис. 59
198	.° Побудуйте графік функції:
« -И’	2)
199	.° Побудуйте графік функції:
і)	у=А;	2) у=-А
1*1	1*1
200	.* Побудуйте графік функції:
1)	У = І х2 - 1 |;	3)і/ = ||-1|;
2)	у = | >/х-21;	4)^ = |^ї|;
201/ Побудуйте графік функції:
5) У =
1) У = І х2 - 4 |;
2) У = |
3) у —
4) У =
х + 2 х-3
4 х-2
202/’ Про функцію у = / (х) відомо, що В (/) = [-3; 7] і Е (/) = [-6; 5]. Знайдіть:
1)	область визначення функції у = / (|х|);
2)	область визначення та область значень функції у = | / (х) |.
203	.” Про функцію у = / (х) відомо, що В (/) = К, функція має два нулі -3 і 2, / (х) > 0 при х є (-оо; -3) сі (2; +«>) і / (х) < 0 при х є (-3; 2). Знайдіть нулі та проміжки знакосталості функції: 1)у = /(|х|); 2) у = | / (х) |.
204	.” Про функцію у = / (х) відомо, що В (/) = К, функція має два нулі -1 і 3, / (х) < 0 при х є (~°°; -1) 0 (3; +°°) і / (х) > 0 при х є (-1; 3). Знайдіть нулі та проміжки знакосталості функції: І)у = Г(1*1); 2)у = |/(х) |.
67
$ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
205	.** Використовуючи графік функції у = / (х), зображений на рисунку 60, побудуйте графік функції: 1) у = /(|х| - 1); 2) у = / (|х - 1|).
206	.” Використовуючи графік функції у = / (х), зображений на рисунку 61, побудуйте графік функції: 1) у = / (|х| + 2); 2) р = / (|х + 2|).
207	.** Побудуйте графік функції:
1)	у = (|х| - І)2; 2) р = Т|х| + 2; 3) У =
4) 4/ = 71-іхі-
208	." Побудуйте графік функції:
1)	у = (|х| + 2)а; 2) р = ^|х|-3; 3)	4) Г>14
209	.” Побудуйте графік функції:
1)	11 = Т|х + 2|;	3) у = х-11 + 2;
2)„ = (|«-2|-1)-;
210	.” Побудуйте графік функції:
1)	р = 7іх-31ї	3) у = 7|х-2|-3;
2)	р = (|х + 1| + 2)2;	4) У = |	|_4>
211	.” Побудуйте графік функції:
1)	р = 72|х|-1;	2) р = 71-3|х|;	3) р = 7|2х-1|.
212	.” Побудуйте графік функції:
1)	р = ^/3|х| + 1;	2) у = 7|3х + 1|.
213	.” Побудуйте графік функції:
1)	р = Д-2 ;	2) р = р4- ;
|х|	|х|-2
3) р = 11 - 11 - | х 111.
68
10. Обернена функція
214/* Побудуйте графік функції:
1)	У = 11 X І - 4 І;
2)	у = | 2 | х | - 4 |;
3)	у = 111 х - 1 | - 1 | -1 |.
215.” Побудуйте графік функції:
1) у=| 7| х |-1-1|; 3)у =
5) У =
1*1 + 2 |х|-1
2) у = | 7 х-1|-1|; 4) у =
216.“ Побудуйте графік функції:
1) у = |72|х 1-1-11;	3) у =
І Де 1-2 1*1 + 1
2) у = | 7 Зх+11-21;
10.' ____а
Обернена функція
На рисунках 62, 63 зображено графіки функцій / і £.
Будь-яка горизонтальна пряма перетинає графік функції / не більше ніж в одній точці. Це означає, що кожному числу у0 є Е (/) відповідає єдине число х0 є І) (/) таке, що у0 = / (х0). Функція д такої властивості не має. Справді, з рисунка 63 видно, що значенню у0 відповідають два значення аргументу х1 і х2 такі, що У0 = 8 (*!> і Уо = 8 (х2).
Рис. 62
Означення. Функцію у = /(х) називають оборотною, якщо для будь-якого Уо є Е (/) існує єдине Хо є О (/) таке, що у0 = / (х0).
69
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Функція / (рис. 62) є оборотною. Функція 8 (рис. 63) не є оборотною.
Функції у = х, у = —, у = уіх є прикладами оборотних функцій (рис. 64).
Функція у = х2 не є оборотною. Наприклад, значенню функції, яке дорівнює 4, відповідають два значення аргументу х1 = -2 і х2 = 2.
Теорема 10.1. Якщо функція є зростаючою (спадною), то вона є оборотною.
Доведення. Припустимо, що існує зростаюча функція Л яка
не є оборотною. Тоді знайдеться уое Е (/)• для якого існують х1 і х2 (х1 < х2) такі, що / (х^ = ((х2) = у^. Разом з тим функція ( — зростаюча, і з нерівності хх < х2 випливає, що ( (х^ < ( (х2).
Отримали суперечність.
Аналогічно розглядається випадок, коли функція / є спадною. ▲
Зазначимо, що обернена теорема не є правильною, тобто не будь-яка оборотна функція є зростаючою (спадною).
На рисунку 65 зображено графік оборотної функції, яка не є ні зростаючою, ні спадною.
Розглянемо функцію у = / (х), задану таблично:
X	5	6	7
У	>/5	7б	>/7
Функція / є оборотною.
70
10. Обернена функція
Поміняємо рядки таблиці місцями і розглянемо функцію у = я (х)» задану отриманою таблицею:
X		>/б	
У	5	6	7
Функції ї \ & зв’язані такими властивостями:
1) В (П = Е (е) і Е (П = В (£);
2)	Г(5) = ч/5, ^(ч/б) = 5;
/(6) = >/б, |?(>/б) = 6;
/(7) = >/7, ^(>/7) = 7.
Ці рівності означають, що коли / (х0) = і/0, то 8 (Уо) = х0-
У таких випадках говорять, що функція 8 є оберненою до функції Л а функція / — оберненою до функції 8- Такі функції / і 8 називають взаємно оберненими.
Означення. Функції / і £ називають взаємно оберненими, якщо:
1) О (/) = Е (£) і Е (/) = О (*);
2) ДЛЯ будь-якого Хо € й (/) З рівності / (хо) = Уц випливає, що
І = *0‘ тобто 8 V <*о» = *0-
Можна показати, що другу умову в означенні можна замінити на таке: для будь-якого х0 е В (£) з рівності 8 (*0) = Уо випливає, ЩО / (р0) = Хо, тобто / (8 (Хо)) = Хо.
Коли функція / не є оборотною, то не існує функції, оберненої до неї. Будь-яка оборотна функція має обернену.
ПРИКЛАД Доведіть, що функція / (х) = 2х - 1 є оборотною. Знайдіть обернену функцію.
Розв’язання. Функція /(х) = 2х - 1 є зростаючою. Отже, вона є оборотною.
Щоб задати обернену функцію, потрібно вказати правило, яке дає змогу за кожним значенням змінної у знайти відповідне значення змінної х таке, що у = 2х - 1.
Маємо: 2х = у 4- 1; х = 2—.
Отримана рівність задає функцію з аргументом у і залежною змінною х.
Традиційно незалежну змінну позначають буквою х, а залежну — буквою у. Дотримуючись таких позначень, можна сказати, X + 1 що ми отримали функцію, яка задається формулою у = ——.
71
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Покажемо, що функції =	- і /(х) = 2х - 1 є взаємно
а
оберненими.
Маємо: £>(/) = Е (8) - К, Е (/) = Б (8) = К.
Нехай / (х0) = у0, тобто у0 = 2х0 - 1. Доведемо, що е (Уо) = х0.
, Ро+1 2х0-1 + 1
Маємо: ^(у0) = -2—= —2—-----х0.
&	и
Функція / (х) = х2 не є оборотною. Разом з тим ця функція зростає на проміжку [0; +«>). Отже, функція / (х) = х2, Р (/) = [0; +°°), є оборотною. Також прийнято говорити, що функція / (х) = х2 є оборотною на множині [0; +°°). Знайдемо обернену функцію.
Маємо: у = х2, де х є [0; +<»). Звідси у/у =	= | х | = х.
Скориставшись традиційними позначеннями, отримаємо функцію у = 4х.
Покажемо, що функції / (х) = х2, Р (/) = [0; +<»), і #(х) = >/х є взаємно оберненими.
Маємо: Р (П = Е ($) = [0; +«), Е (П = Р (#) = [0; +~).
Нехай / (х0) = у0, тобто у0 = х02, де х0 > 0. Запишемо £({/0) =
=	=	—\ хо | = хо-
Троррма ІО.2. Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х.
Доведення. Нехай точка М (а; Ь) належить графіку функції у = / (х). Тоді Ь = / (а). Якщо функція у обернена до функції /, то
у (Ь) = а, тобто точка N (Ь; а) належить графіку функції у = у (х).
Покажемо, що точки М і N є симетричними відносно прямої у - X.
Якщо а = Ь, то точки М і N збігаються і належать прямій у = х.
При а * Ь маємо (рис. 66): ОМ = у/а2 + Ь2, ОМ = у/а2 + Ь2, тобто точка О рівновіддале-
на від кінців відрізка МУ, а отже, нале-
жить серединному перпендикуляру відрізка ММ. Середина К
відрізка ММ має координати
а + Ь. а + Ь 2’2
тобто належить прямій
у = х. Отже, пряма у = х і є серединним перпендикуляром відрізка ММ. ▲
72
10. Обернена функція
Доведену теорему ілюструють графіки взаємно обернених функцій, що розглядалися вище (рис. 67).
Теорема 10.3. Якщо функція / € зростаючою (спадною), то обернена функція у є також зростаючою (спадною).
Доведення. Припустимо, що функція / — зростаюча і при цьому обернена до неї функція у не є зростаючою. Тоді знайдуться такі ухє О (у) і у2 е О (у), що з нерівності у} < у2 випливатиме нерівність у (Уг) > у (у2). Нехай у (у^ = хр у (у2) = х2. Отримуємо, що х1 > х2. Оскільки функція / — зростаюча, то / (х^ > / (х2), тобто ух > у2. Отримали суперечність.
Для спадної функції міркуємо аналогічно. А
Вправи
217. Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 68, є оборотними?
а)	б)	в)	г)
Рис. 68
73
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
218. Які з функцій, графіки яких зображено на рисунку 69, є оборотними?
219/ Доведіть, що дана функція не є оборотною:
1) Р = І х |;	2) у = 4;	3) у = 5;	4) у = [х].
х
220	.* Доведіть, що функції / і 8 є взаємно оберненими:
1)	Г(*) = £ + |. Г(х) = 3х-1; О о
2)	/(х) = ^-, X — и	X
3)	/(х) = >/х + 2, е (х) = х2 - 2, Р «) = [0; +°°).
221	.* Доведіть, що функції / і £ є взаємно оберненими:
1)	/ (х) = 4х + 2, £(х) = *-|;
4	&
3) Г (х) = (х - З)2, В (П = [3; +«), *(х) = ^+3.
222* Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) у = Зх - 1;	2)р = Ь	3)1/ = -^-; 4) р = |х+4.
223.* Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) у = 0,2х + 3;	2) у = -±~;	3) у = -^; 4) у = 4х - 5.
X — 1	Х + Л
224/ Знайдіть функцію, обернену до даної:
1 \ х
2) у = >/2х-1;
3) у = 2\[х-1;
4) у = х2, Р(у) = (—>; 0];
1“Х
5) “=Г^;
л/х-2, якщо х>З, 6) р = С
[2х-5, якщох<3.
74
10. Обернена функція
225/ Знайдіть функцію, обернену до даної:
1) У = ^і	3) у = л/х2-4, В (у) = [2;+о»);
2-х2, якщох>1, 2-х, якщох<1.
2) у =
4) у =
226/ Знайдіть функцію у = 8 (х), обернену до функції У = ~—г-
Зх — 1
Чи буде функція 8 оборотною? Яка функція буде оберненою до у = 8 (х)?
227/ Побудуйте в одній системі координат графік даної функції і графік функції, оберненої до неї:
---- (X, ЯКЩО X > 0,
1) у = -0,5х + 2;	2) у = >£+ї;	3) !/ = ]_	_
|2х, якщох<0.
228.* Побудуйте в одній системі координат графік даної функції і графік функції, оберненої до неї:
>/х, якщо х > 0,
1) і/= Зх - 1;	3) у = \1
-х, якщохсО.
2) у = х2 - 4, якщо х > 0;
229/ Користуючись графіком функції у = / (х), зображеним на рисунку 70, побудуйте графік функції, оберненої до функції Д
230/ Користуючись графіком функції у = / (х), зображеним на рисунку 71, побудуйте графік функції, оберненої до функції Д
231/ Доведіть, що функція, обернена до лінійної функції у = кх + Ь при к Ф 0, теж є лінійною.
75
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
282.** Нехай < — функція, обернена до функції / (х) = х6 + 6х8.
1)	Знайдіть 8 (7).
2)	Розв’яжіть рівняння 8 (х) = _1.
3)	Скільки коренів має рівняння 8 (х) = с залежно від значення с?
233.“ Нехай 8 — функція, обернена до функції
/(х) = х* +>/х-2.
1)	Знайдіть 8 (28).
2)	Розв’яжіть рівняння 8 (х) = І-
3)	Чи існує таке значення с, що рівняння я (х) = с має два корені?
О—» 284.** Доведіть, що функція, обернена до непарної функції, теж є непарною.
285.* При яких значеннях кіЬ функція у = кх + Ь, де к * 0, буде збігатися з оберненою до неї функцією?
286.* При яких значеннях а і Ь функція у = —-—, де а # 0, буде ах+Ь
збігатися з оберненою до неї функцією?
Львівська математична школа
АНАЛІЗ
Підручник Банаха «Курс функціонального аналізу»
Ви тримаєте в руках підручник «Алгебра і початки аналізу». У назві з’явилося нове словосполучення — «початки аналізу». Що ж приховано за цією назвою? Відповідь дуже проста — математичний аналіз вивчає функції. З цього року ви починаєте знайомство з елементами аналізу; вам доведеться розглядати все нові й нові класи функцій, вивчати їх властивості, опановувати методи дослідження функцій.
У першій половині XX ст. при вивченні певних класів функцій з’явилася нова математична дисципліна, вершина сучасної математики — «функціональний аналіз». Важливу, фактично головну роль
76
Коли зроблено уроки
у створенні цієї дисципліни відіграли науковці Львівської математичної школи.
У 20-30-х рр. XX ст. місто Львів було справжньою світовою математичною столицею. У той час у його закладах працювали такі легендарні математики, як Казимир Куратовський, Станіслав Мазур, Владислав Орліч, Вацлав Серпінський, Станіслав Улам, Юліуш Шаудер, Гуґо Штейнгауз та ін. Кваліфікація науковців Львова була настільки високою, що всесвітньо відомий математик, автор видатних теорем у математичній логіці та теорії множин Альфред Тарський не пройшов за конкурсом на вакантну посаду професора Львівського університету.
Математики Львова створили міцний науковий колектив, відомий як «львівська математична школа*. Її керівником вважають геніального математика Стефана Банаха.
Вручення гусака
Стефан Банах (1892-1945)
Сьогодні С. Банаха в усьому світі з цілковитою підставою вважають засновником функціонального аналізу. Один з перших у світі підручників з цієї дисципліни написано самим С. Бана-хом. Багато результатів С. Банаха та введених ним понять стали класичними. Наприклад, досліджені ним множини одержали назву «простори Банаха* і зараз входять до необхідного мінімуму знань кожного студента-математика, фізика, кібернетика тощо.
77
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Розповідають, що багато теорем львівські математики доводили... у кав’ярні. С. Банах з учнями облюбували «Шкотську (шотландську) кав’ярню», де маленькі столики мали мармурове покриття — дуже зручне для запису математичних формул і теорем. Господар кав’ярні був незадоволений таким свавіллям науковців, але ситуацію врятувала дружина С. Банаха, яка придбала великий зошит для записів. Так з’явилася знаменита «Шкотська книга» — збірка математичних проблем, над якими працювала група С. Банаха. Як винагороду за розв’язання складних задач автори з гумором пропонували коли кухлі пива, коли вечерю в ресторані. Так, одна з проблем, за яку автор пообіцяв живого гусака (1936 р.), була розв’язана лише в 1972 р., тоді ж і було вручено винагороду.
Проблеми, поставлені в «Шкотській книзі», вважають настільки важливими і складними, що кожний, кому вдасться розв’язати хоча б одну з них, одразу дістає світового визнання. Сама ж «Шкотська книга» є однією з найвідоміших і найцінніших реліквій світової науки.
Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
Нехай задано дві функції у = / (х) і у = $ (х) і поставлено задачу знайти множину значень аргументу х, при яких значення функцій / і я рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв’язати рівняння / (х) = 8 (*)•
Означення. Областю визначення рівняння / (х) = § (х) називають множину значень змінної х, при яких мають зміст обидві частини рівняння.
З означення випливає, що областю визначення рівняння / (х) = £ (х) є множина В (/) А В (£)•
Розглянемо кілька прикладів:
областю визначення лінійного рівняння, тобто рівняння виду
ах = Ь, є множина дійсних чисел;
х2 -4 областю визначення рівняння 	— = 0 є множина
х + 2
{х | х # -2};
х 3 областю визначення рівняння :—і— = 0 є множина
|х|-х
{х\х< 0}.
78
11. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
Незважаючи на те що рівняння х2 = -2 не має коренів, його областю визначення є множина дійсних чисел.
Зрозуміло, що кожний корінь рівняння обов’язково належить його області визначення. Цей факт ілюструє діаграма Ейлера (рис. 72). Наприклад, не розв’язуючи рівняння 4х2 + 12х + — + -^- = 47, можна х х2
сміливо стверджувати, що число 0 не є його коренем.
Розглянемо два рівняння: х2 = 4 і | х | = 2.
Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені: -2 і 2.
У таких випадках кажуть, що рівняння х2 = 4 і | х | = 2 рівносильні.
Означення. Рівняння (ж) =	(х) і /2 (х) = #2 (х) називають
рівносильними* якщо множини їх коренів рівні.
З означення випливає, що коли потрібно довести рівносиль-ність двох рівнянь, то треба довести, що кожний корінь першого рівняння є коренем другого рівняння і, навпаки, кожний корінь другого рівняння є коренем першого рівняння.
Наведемо приклади пар рівносильних рівнянь:
-х = 0 і 2х = 0; 2
х2 = 1 і (х - 1) (х + 1) = 0;
х - 1 = 0 і (х2 + 1) (х - 1) = 0;
(х - І)100 = 0 і (х - І)1000 = 0.
Множина коренів кожного з рівнянь х2 = -5 і | х | = -3 є порожньою, тобто множини коренів цих рівнянь рівні. Отже, за означенням ці рівняння є рівносильними.
Якщо будь-який корінь рівняння Ц (х) =	(х), що належить
множині М, є коренем рівняння /2 (х) = &2 (х), а будь-який корінь рівняння /2 (х) = &2 (х), що належить множині М, є коренем рівняння (х) =	(х), то такі два рівняння називають рівно-
сильними на множиш М.
Наприклад, рівняння х2-1 = 0іх + 1= 0є рівносильними на множині (-<»; 0).
79
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Розв’язуючи рівняння, важливо знати, за допомогою яких перетворень можна замінити дане рівняння на рівносильне.
Теорема 11.1. Якщо до обох частик дикого рівняння додати (або від обох частик відняти) одке й те саме число, то отримаємо рівкяккя, рівносильне даному.
Доведення. Доведемо, що рівняння
((х) = б(х)	(1)
і
/ (х) 4- С = Є (х) 4- с (с — деяке число)	(2)
рівносильні.
Нехай деяке число а є коренем рівняння (1). Тоді справджується числова рівність / (а) = у (а). Отже, правильною буде й така числова рівність: / (а) 4- с = у (а) 4- с. Це означає, що число а є коренем рівняння (2). Таким чином, кожний корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2).
За допомогою аналогічних міркувань можна показати, що кожний корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1).
Отже, рівняння (1) і (2) рівносильні. ▲
Теорема 11.2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Теорема 11.3. Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Доведення теорем 11.2 і 11.3 аналогічні доведенню теореми 11.1. Проведіть доведення самостійно.
Зауваження. З теорем 11.1 і 11.3 не випливає, що коли до обох частин рівняння додати один і той самий вираз зі змінною або обидві частини помножити на один і той самий вираз зі змінною, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Так, якщо до обох частин рівняння х2 — = 25--— додати
5-х	5-х
дріб ——, то отримаємо рівняння х2 = 25, яке не рівносильне 5-х
даному.
Означення. Якщо множина коренів рівняння /2 (х) = #2 (х) містить множину коренів рівняння (х) =	(х), то рівняння
4	=	(*) називають наслідком рівняння (х) =	(х).
80
11. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
Наприклад, рівняння х2 - 25 є наслідком рівняння х2 - --
5-х = 25-—^—.
Рис. 73
Множина коренів рівняння-наслідку
Множина коренів рівняння
Також говорять, що з рівняння х2--— = 25---— випливає
5-х	5-х
рівняння х2 = 25.
На рисунку 73 означення рівняння-наслідку проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера.
Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то, наприклад, наслідком рівняння х2 = -5 є будь-яке рівняння з однією ЗМІННОЮ X.
Зауважимо, що коли два рівняння рівносильні, то кожне з них можна вважати наслідком іншого.
Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями даного рівняння, називають сторонніми коренями даного рівняння.
Наприклад, рівняння
Іх--І(х + 2) = 0 є наслідком рівняння \ /
2х - 1 = 0. Рівняння-наслідок має два корені: х. = -, х = -2,
2	2
а рівняння 2х - 1 = 0 має один корінь і. У цьому випадку корінь
-2 є стороннім коренем рівняння 2х - 1 = 0.
Розв’язуючи рівняння, треба намагатися побудувати ланцюжок рівносильних рівнянь, щоб урешті-решт отримати рівняння, яке рівносильне даному і корені якого легко знайти.
Проте якщо під час розв’язування рівняння рівносильність не було дотримано і відбувся перехід до рівняння-наслідку, то отримані при цьому сторонні корені, як правило, можна відкинути за допомогою перевірки.
х2-4
Розв’яжемо РІВНЯННЯ ---— = 0. Прирівнявши чисельник дро-
х + 2
бу до нуля, отримаємо рівняння х2 - 4 = 0, коренями якого є числа -2 і 2. Проте число -2 не належить області визначення даного рівняння, а число 2 задовольняє задане рівняння і є його єдиним коренем.
81
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
х2-4
Розв’язуючи рівняння ---— = 0, ми перейшли до рівняння-
х + 2
наслідку х2 - 4 = 0, корені якого було перевірено.
При розв’язуванні рівняння важливо розуміти, на якому етапі було порушено рівносильність і що спричинило це порушення.
х2 -4	2
Так, при переході від рівняння-— = 0 до рівняння х - 4 = 0
х + 2
було розширено область визначення даного рівняння. Інакше кажучи, зняття обмеження х * -2 якраз і призвело до появи стороннього кореня -2.
Зазначимо, що розширення області визначення рівняння не завжди призводить до появи сторонніх коренів. Наприклад, пере-х2 — 4	2
хід від рівняння —— = 0 до рівняння X - 4 = 0 є рівносильним, хоча при цьому розширюється область визначення даного рівняння.
Ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому / (х)
розв’язування рівняння ----= 0 зводиться до розв’язування рів-
няння / (х) = 0 і перевірки умови £ (х) * 0. Іншими словами, /(х)
множина коренів рівняння ------ = 0 дорівнює перетину множин
{х | / (х) = 0} і {х | 8 (х) # 0}. У таких випадках кажуть, що рів-/(х) = 0,
£(х)*0.
/ (х)
няння -----= 0 рівносильне системі
8(х)
х2 -4
Наприклад, рівняння —^- = 0 рівносильне системі Іх2-4 = 0,
х + 2*0.
Означення. Нерівності називають рівносильними, якщо множини їх розв’язків рівні.
Наведемо кілька прикладів.
Нерівності х2<0і|х|<0є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний розв’язок х = 0.
Нерівності х2>-1і|х|>-2є рівносильними, оскільки множиною розв’язків кожної з них є множина дійсних чисел.
Оскільки кожна з нерівностей | х | < -1 і Ох < -3 розв’язків не має, то вони також є рівносильними.
82
11. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
Розв’язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, більш простим рівнянням, але рівносильним даному. За аналогічною схемою розв’язують і нерівності, використовуючи такі правила.
•	Якщо до обох частин нерівності додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
•	Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в іншу, замінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
•	Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
•	Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Означення. Якщо множина розв’язків першої нерівності є підмножиною множини розв’язків другої нерівності, то другу нерівність називають наслідком першої нерівності.
Наприклад, нерівність х > 2 є наслідком	...—
нерівності х > 5 (рис. 74).	—<£—(£—
Оскільки порожня множина є підмно-
жиною будь-якої множини, то будь-яка	рис 74
нерівність з однією змінною є наслідком не-
рівності, яка не має розв’язків, наприклад нерівності | х | < 0.
Вправи
237. Чи рівносильні рівняння:
1)	х + 2 = 10 і Зх = 24;
2)	-2х = -6 і -х = 1;
З
3)	х - 5 = 0 і х (х - 5) = 0;
4)	(Зх - 12) (х + 2) = 0 і (0,4 - 0,1х) (7х + 14) = 0;
5)	— = 0 і х2 = -4;
X	2
б)х + 1 = і + х і =1;
х2+1
7)	х3 = 1 і | х | = 1;
8)	х100 = 1 і х1000 = 1;
83
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
9)	>/х-2 = 1 і х2 - 6х + 9 = 0;
10)	- = 1 і х = х;
X
11)	х2 + 2х + 1 = 0 і х + 1 = 0;
12)	(х + 1) (х2 + 1) = 0 і х + 1 = 0;
X2 -1
13)	-—і = 0 і х - 1 = 0;
X +1
14)	————- = 0 і х2- 9 = 0;
х + 2
15)	>/х2-Зх + 1 = 3 і | х - 4 | = -2?
238. Чи рівносильні рівняння:
1)	х + 6 = 10 і 2х - 1 = 7;
2)	х2 = х і х = 1;
3)	[х-|)(2х+1) = 0 і 4х2 - 1 = 0;
4)	л/х-ї = 2 і х2 - Юх + 25 = 0;
5)	х2 + 1 = 0 і —= 0;
х-1
б)	^77 = 1 І 4т| = 1;
X+1	X +1
7)	— = 0 і 2х2 + 3 = 0; х-2
8)	х2 + 4х + 4 = 0 і ^т = 0;
х-1
9)	^^ = 0 і х + 3 = 0;
х-3
ю) ^±А=о і 4-^=°;
’ х + 1	х2-1
11) >/х-4=-4 і х2 + х + 1 = 0?
239	.° Складіть рівняння, яке рівносильне даному:
1)	2х - 3 = 4;	3) х + 6 = х - 2;	5) — = 1.
х-1
2) | х 1=1;	4)^51=0;
84
11. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Рівносильні нерівності
240	.° Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:
1)	4х - 8 = х 4- З і 4х-х = 8 + 3;
2)	х2 - 1 = 3 і х2 + 5 = 9;
3)	Зх^5 _х = 1 і 9д. _ 15 _ х = 6
2	6
4)	(2х + 1) (х2 + 1) = 3 (х2 + 1) і 2х + 1 = 3.
241. Чи буде рівняння, отримане в результаті вказаного перетворення, рівносильним даному:
1) у рівнянні 3 (2х - 1) - 5 (4х 4- 2) = 1 розкрити дужки і звести подібні доданки;
2	1	1 А /ч	1	1	•
2) у рівнянні х 4---------3 = 49 різницю ------------ заміни-
х-7 х-7	х-7 х-7
ти на нуль;
3) у рівнянні
х* - і
-----— 4-Зх-5 = 0 скоротити дріб;
4)	обидві частини рівняння х3 * * * = х поділити на х;
5)	обидві частини рівняння (х 4- 1) (х2 4- 4) = х2 4- 4 поділити на х2 4- 4;
х2
6)	обидві частини рівняння — = 2 помножити на х;
X
7)	обидві частини рівняння 2х 4- 1 = 5 помножити на х 4- 1?
242.° Яке з двох рівнянь є наслідком другого:
1) х2 = х і х = 1;	5)	= і х2 = 36;
х-6 х-6
2) - = 1 і X	Ох = 0;	6)х2 = 4 і х2 і-=4—Ї-; х + 2	х + 2
3) х8 = 1 і	х2 = 1;	7) ^і = 0 і х2 - 1 = 0; х + 1
4)|х|=1 і	х8 = 1;	8) х2 - 1 = 0 і х2 4- \[х -1 = \ІХ ?
243.° Яке з двох рівнянь є наслідком другого:
1)	— = 1 і х2 = х;	3) — = — і х2 = 64;
х	х + 8 х + 8
2) х2 + 1 = 1 і х (х - 1) = 0;	4) х2+ —= 9 + — і х2 = 9?
х + 3	х + 3
244.° Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких:
1) має один корінь;	3) має безліч коренів;
2) має два корені;	4) не має коренів.
85
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
245.° Чи рівносильні нерівності:
1) х + 3 > 6 і -4х < -12;
2)(х + 2/(х+1)<0 і х + 1<0;
3)(х + 2)2(х + 1)<0 і х+КО;
4)	-<1 і х > 1; X
5)	х2 > х і х > 1;
6)	(х + 4)2 < 0 і | х - 2 | < 0;
7)	(х - І)2 > 0 і | х - 1 | > 0;
8)	| х | < 0 і х2 < 0;
9)	(х - 2)2 < 0 і (х - І)2 < 0?
24Ь. Чи рівносильні нерівності:
1)	(х - З)2 (х + 4) < 0 і х + 4 < 0;
2)	(х - З)2 (х + 4) < 0 і х + 4 < 0;
3)	—>0 і х - 2 > 0; х-4
4)	>/х<0 і х4 5 < 0?
247/ Як може змінитися (розширитися чи звузитися) множина
коренів заданого рівняння, якщо:
1) рівняння (|х| + 3) / (х) = 2 | х | + 6 замінити на рівняння
ГМ = 2;
2) рівняння
ГМ
-т— = 0 замінити на рівняння / (х) = 0;
х +1
3) рівняння (х 4- 1) /(х) = х 4- 1 замінити на рівняння ГМ- 1;
4) рівняння -—- =---- замінити на рівняння Г М - £ Мі
х + 1 х + 1
5) рівняння /(х) = £(х) замінити на рівняння (х + 1) / (х) = = (х + 1) 8 (х)?
248.' Яка з двох нерівностей є наслідком другої:
1) х < -4 і х < 1;
2) х > 5 і х > 5;
3) х2 < 0 і х < 0;
4) >/х >-1 і | х | > 0;
5) | х | > х і х2 + х + 2 > 0?
249/ Яка з двох нерівностей є наслідком другої:
1) х >-2 і х> 1;
2) х2 - 4 > 0 і х - 2 > 0;
3) х2 > 0 і х > 0?
86
12. Метод інтервалів
Метод інтервалів
На рисунку 75 зображено графік деякої функції Д у якої В (/) = й і нулями є числа хр х2 і х3. Ці числа розбивають область визначення функції на проміжки знакосталості (-©о; хх), (х ; х2), (х2; х3), (х3; +~).
А чи завжди нулі функції розбивають її область визначення на проміжки знакосталості? Відповідь на це запитання негативна. Для функції графік якої зображено на рисунку 76, проміжок (х2; х3) не є проміжком знакосталості. Справді, якщо х є (х2; х0), то е (х) > 0, а якщо х є (х0; х3), то § (х) < 0.
Рис. 77
Принципова відмінність між функціями / і у полягає в тому, що графіком функції / є неперервна крива, а графік функції у такої властивості не має. Говорять, що функція / неперервна в кожній точці області визначення, або, як ще прийнято говорити, неперервна на В (/), а функція 8 У точці х0 є В (#) має розрив.
Так, функція у = {х} має розрив у кожній точці х такій, що х є 2. При цьому, наприклад, у кожній точці проміжку (0; 1) ця функція є неперервною (рис. 77).
Таке уявлення про неперервну функцію інтуїтивно зрозуміле. Детальніше з цим поняттям ви ознайомитеся в 11 класі. Там же буде доведено таку наочно очевидну теорему:
Теорема 12.1. Якщо функція / неперервна і не має нулів на деякому проміжку, то вона на цьому проміжку зберігає постійний знак.
Ілюстрацією до цієї теореми слугує графік функції, зображений на рисунку 75.
Ця теорема дозволяє, не будуючи графіка функції Д розв’язувати нерівності / (х) > 0 і / (х) < 0.
Звернемося знову до рисунку 75.
87
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
ук	Уявімо собі, що з цього рисунка
«зникли» всі точки графіка функ-
А	В	С ції Л за винятком точок А (х ; 0),
хї	х~2	Хз х в (х2; 0), С (х3; 0) (рис. 78). Очевидно,
ЩО КОЖНИЙ 3 проміжків (~оо; х^, (х ; х,), (х,; х,), (х,; +°°) не містить 7Я	і л & о о
<о	нулів функції Л
Тоді, пам’ятаючи, що функція і неперервна на Р (/) = К, можна стверджувати: указані проміжки є проміжками знакосталості функції /.
Залишається лише з’ясувати, якого знака набувають значення функції і на цих проміжках. Це можна зробити за допомогою «пробних точок».
Нехай, наприклад, а є (-<»; хх) і / (а) > 0. Тоді для будь-якого х є (-оо; хх) виконується нерівність {(х) > 0. Аналогічно можна «взяти пробу» з кожного проміжку знакосталості.
Описаний метод розв’язування нерівностей називають методом інтервалів.
Справедливою є така теорема, яку буде доведено в 11 класі.
/(х)
Теорема 12.2. Функція у = —де / (х) і £ (х) — много-о
члени, неперервна на О (у).
Наприклад, функція у = — неперервна в кожній точці множини (-оо; 0) О (0; +оо), тобто на Р (у).
/ (х)	/ (х)
Ця теорема дозволяє для нерівностей виду------> 0 або-----< 0,
8 (х)	8 (х)
де / (х) і 8 (х) - многочлени, застосовувати метод інтервалів.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність (х + 3) (х - 1) (х - 2) > 0.
Розв'язання. Числа -3, 1 і 2 є нулями функції /(х) = (х + 3)х х (х - 1) (х - 2), яка неперервна на Р (/) = Тому ці числа розбивають множину К на проміжки знакосталості функції /: (-<»; -3), (-3; 1), (1; 2), (2; +оо) (рис. 79).
За допомогою «пробних точок» установимо знаки функції / на зазначених проміжках.
Маємо:
З є (2; +°°); / (3) > 0, тому / (х) > 0 при будь-якому х є (2; +«>);
З
2
0 є (-3; 1); ї(0) > 0, тому / (х) > 0 при будь-якому х є (-3; 1);
<0, тому { (х) < 0 при будь-якому х є (1; 2);
88
12. Метод інтервалів
-4 є (-«>; ~3); / (-4) < 0, тому / (х) < 0 при будь-якому х є (-°°; -3).
Результати дослідження знака функції / показано на рисунку 80.
-4—
-З
----1---- 1
Рис. 79
4-
2
Рис. 80
Тепер можна записати відповідь.
Відповідь: (-3; 1) О (2; 4-©о).
Зауваження. При оформленні розв’язування нерівностей процес дослідження знака функції можна проводити усно, фіксуючи результати у вигляді схеми, показаної на рисунку 80. ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність (х 4- 1) (3 - х) (х - 2)2 > 0.
Розв’язання. Позначимо нулі функції /(х) = (х 4- 1) (3 - х)х х(х - 2)2 на координатній прямій (рис. 81). Вони розбивають множину В (/) = К на проміжки знакосталості функції /.
-4----1---Н
-12	3
Рис. 81
Рис. 82
Дослідимо знак функції / на цих проміжках. Результат дослідження показано на рисунку 82.
Відповідь: (-1; 2) О (2; 3).
„т.„ПАпат> ,	.	(х -1)3 (х + 2)4 (х - 5) _
ПРИКЛАД 3 Розв яжіть нерівність ------------5--< 0.
(2х + 1)(х-4)2
Розв’язання. Областю визначення функції
Г(х) =
(х-1)3 (х + 2)4 (х-5) (2х + 1)(х-4)2
є множина
Сі (4; 4-оо). функція / є неперервною
на кожному з проміжків
(~°°; 4)’(4; 4)>(4; +оо)-у	] \	/
Тому нулі
-2, 1, 5 функції / розбивають 2) (/) на проміжки знакосталості
(--2), (-2;-|).	(1; 4), (4; 5), (5; +«).
\	а /	\	&	/
89
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Результат дослідження знака функції / на цих проміжках показано на рисунку 83.
Рис. 83
Відповідь:	- 2) О (-2; -|І Сі (1; 4) (4; 5).
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність —+ —— <1. 2-х 2 + х
Розв’язання. Маємо:	< 0; х	+ 8 < о.
(2-х)(2 + х)	(2-х)(2 + х)
Областю визначення функції /(х) = ——є множина (2-х) (2 + х)
(-оо; -2) її (-2; 2) Сі (2; +«>). Функція / нулів не має. Оскільки функція / неперервна на кожному з проміжків (-оо; -2), (-2; 2), (2; +оо), то ці проміжки є для неї проміжками знакосталості.
Рис. 84	На рисунку 84 показано результат до-
слідження знака функції Д
Розв’язання цієї нерівності можна оформити інакше. Оскільки дискримінант квадратного тричлена х2 - 4х + 8 від’ємний, а старший коефіцієнт додатний, то для будь-якого х є К маємо
х2 - 4х + 8 > 0. Тому нерівність	< 0 рівносильна та-
кій: (2 - х) (2 + х) < 0. Далі слід звернутися до рисунка 84. Відповідь: (-«>; -2) її (2; +«>).
За допомогою методу інтервалів можна розв’язувати і нестрогі нерівності / (х) > 0 або / (х) < 0. Множина розв’язків такої нерівності — це об’єднання множини розв’язків нерівності / (х) > 0 (або відповідно / (х) < 0) і множини коренів рівняння / (х) = 0.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність ** +4х + 1 0.
х2+2х-3
Розв’язання. Радимо, якщо це можливо, многочлени, записані в чисельнику і знаменнику дробу, розкладати на множники. Тоді набагато зручніше досліджувати знак функції на проміжках знакосталості.
90
12. Метод інтервалів
Маємо:
<2у41>2	>0
(х + 3)(х-1)
Установлюємо (рис. 85), що множина -3) О (1; +°о) є множиною ,	(2х + 1)2
розв язків нерівності -------— >0.
(х + 3)(х-1)
Рис. 85
Рівняння
(2х + 1) п	1
-------------= 0 має єдинии корінь х =—. (х + 3)(х-1)-2
Об’єднавши множини розв’язків рівняння і нерівності, отри-
маємо відповідь.
Відповідь: (-°°; -3) О (1; +«>) її
11
21
ПРИКЛАД б Розв’яжіть нерівність (х2 -6х + 8) 7х2 -4х + 3 >0.
Розв'язання. Маємо: (х-2)(х-4)у](х-1)(х-3) >0.
Розглянемо функцію / (х) = (х - 2) (х - 4) у](х -1) (х - 3). Легко встановити (рис. 86), що £>(/) = (~°°; 1]	[3; +«»).
Рис. 86	Рис. 87
Множина коренів рівняння / (х) = 0 має вигляд {1; 3; 4}.
Розв’яжемо нерівність / (х) > 0. Нулі функції / розбивають її область визначення на такі проміжки знакосталості: (-«>; 1), (3; 4), (4; +«).
Установлюємо (рис. 87), що множина (-«>; 1) її (4; +°°) є множиною розв’язків нерівності / (х) > 0. Об’єднавши множини розв’язків рівняння / (х) = 0 і нерівності / (х) > 0, отримаємо відповідь.
Відповідь: (-<»; 1] її [4; +«>) її {3}.
Вправи
250	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	(х + 1) (х - 2) (х + 5) > 0;
2)	х (х - 3) (х + 2) < 0;
3)	(2х + 3) (Зх - 1) (х + 4) > 0;
4)	(2х - 1) (3 - х) (х + 1) < 0; 5)(х-3)(2х+ 1)(1-5х)(х + 4)>0; 6)(х + 6)(х-9)(4-х)(Зх + 2)<0.
91
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
251	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	(х + 3) (х - 1) (х	+ 4) < 0;	3) (1	- Зх)	(х +	2)	(3	-	х)	<	0;
2)	(Зх + 2) (х - 5) (4х	-	1) > 0;	4)х(5х + 3)(2-х)(4х-3)(х +	5)>0.
252	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	(х - 1) (х + З)2 (х	-	2) < 0;
2)	| х - 4 | (х + 1) (х	-	3) > 0;
3)	(2х + 3) (1 - 4х)4 (х - 2)3 (х + 6) < 0;
4)	(1 - Зх)3 (х + 2)2 (х + 4)5 (х - 3) > 0.
253	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	х2 (х + 1) (х - 4) > 0;
2)	(3 - х)3 | х + 2 | (х - 1) (2х - 5) < 0;
3)	(1 - 2х) (х - З)9 (2х + 7)" (х 4- 4) (х - 2)2 > 0.
254	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	(2х + 1) (х - 3) (х2 + 4) < 0;	5) Зх3 + 2х2 - х < 0;
2)	(2 - х) (Зх + 5) (х2 - х + 1) > 0;	6) х3 - 6х + 5 > 0;
3)	(2х + І)2 (х2 - 4х + 3) > 0;	7) х3 - 2Х2 - х + 2 > 0;
4)	(Зх2 - 5х - 2) (Зх2 + х + 1) < 0;	8) (2Х2 + 5х - 3) (2Х2 - 5х + 2) > 0.
255	. Розв’яжіть нерівність:
1)	(4 - х) (Зх + 1) (х4 + х2 + 1) < 0;
2)	| х - 3 | (Зх + 2)3 (Зх2 - 5х + 6) > 0;
3)	4х3 - 25х < 0;
4)	(х2 - 4) (Зх2 + 7х + 2) > 0.
25в.° Розв’яжіть нерівність:
1)	£±3 0;	2)	2^^ + 1-<0;	3)	^<о. х-1	’	7	х-4	9 (2-х)(х-5)		
257."	Розв’яжіть нерівність:		
1)	-24<°; х + 2	2)	(Зх-2)(4-х) ^ (х + 3)(х-1)
258.’	Розв’яжіть нерівність:		
1)	х3 (х-1)4 (х + 5) ; р. (х-8)(1-4х)	4)	(х-2)(х2-1)(4х-5-Зх2) < 0> х + 7
2)	X3 - X2 + X - 1 ; д. х + 8	5)	(х3 -8)(х2 -6х-7) (Зх - 2х2 - 4) (Зх2 - Юх + 3)
3)	4±^±1>0; х2-4х-5	6)	**+?*-* <о. (х + 2)(1-3х)
259.’	Розв’яжіть нерівність:		
1)	(х-2)(2х + 1)3 (3-х)4 (1-5х)8	2)	*2-5х + 7_>0. -2х + Зх + 2
92
12. Метод інтервалів
260.* Розв’яжіть нерівність:
1) -<1; X		4)	-А- + _2_<1; х+1 1-х	7)	х -5х + 6 х-3
2)	х + 3 2	5)	£^1_£±1<2; X х-1	8)	
						 Зх + 7 х + 3 х + 1"
3)	і с 3 .	6)	2х-5 < 1		
	х + 2 х-3’		х2-6х-7 х-3’		
261.’ Розв’яжіть нерівність:		
х 1	2 (х-3) ’ х-4 3’	’ х(х-6)	1 х-1	2х	1 ;	^х2^^^
9\	+ 3	<1.	8>
4-х	’ х2+х-12	2’	
3)	;	6)	+ х+3 х-1	х-5	2		0;
262.* Розв’яжіть нерівність:		
1) (2х + І)2 (х - 1) (х - 2) > 0;	4)	(х-3)(5х + 2)(х + 3) >р. (х-1)(х + 4)2
2) (х - 5) (х + 4) (х2 + 6х + 9) > 0;	5)	х8 | Зх-1 |(х + 3) <0. х-2
3)	~4х + 1>0; х2+х-12	6)	5х + 4_х + 2<() х + 3	1-х
263.' Розв’яжіть нерівність:		
1) (х - 3) (х + 2)2 (х - 5) > 0; 2) (х2 - 4) (х2 + х - 2) < 0;	4)	(х + 6)3(х + 4)(6-х)8 І	І	V, |х + 5|
(2-х)(4х + 3) о)	„	2 \ V, (х-3)3(х + 1)2	5)	20	, Ю |1>0
		х -7х + 12 Х-4
264.** Розв’яжіть нерівність:
1) (х2 + 2х - 15) (х2 -4х + 3)(х- 1) < 0;
2) х3-3х + 2<0;
6-х
265." Розв’яжіть нерівність:
1) (х3 - 4х)(х? + 2х - 8)(х2 + 7х + 10) < 0; (х2-10х + 21)(х2-6х-7)<_
(х2 + 5х + 6) (х2 - 4)
їх (х + 1)3
3) г—!Ч—— <°-
І х-4 | (х + 3)
3) Iх 5І І* 2І<0. (1-х)3(х + 4)
93
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
266	.** Розв’яжіть нерівність
267	.” Розв’яжіть нерівність
268	.** Розв’яжіть нерівність:
1)	(х + 4)7х2-2х-15>0;
2)	(х + 4)7х2-2х-15>0;
3)	(х + 4)7х2-2х-15 <0;
4)	(х + 4) 7х2-2х-15 < 0;
5)	(х2-1)7х2-4 <0;
6)	(х2-1)7х2-4 >0;
269	.” Розв’яжіть нерівність:
1)	(х-3)714 + 5х-х2 >0;
2)	(х-3)714+5х-х2 >0;
3)	(х-3)714 + 5х-х2 <0;
4)	(х-3)714+5х-х2 <0;
5)	(х2-25) 716-х2 <0;
6)	(х2-25) 716-х2 >0;
х + 2 X х-5 X
(х2-4х-5)<0.
(х2-х-12)<0.
7)	(х2-1)7х2-4 <0;
8)	(х2-1)7х2-4 >0;
9)	(х2-5х + 4)7х2-7х + 10<0;
10)	(х2-5х + 4) 7х2-7х + 10 >0;
11)	(х2 -5х + 4)7х2-7х + 10 <0;
12)	(х2-5х + 4)7х2-7х+10>0.
7)	(х2 - 25) 716-х2 < 0;
8)	(х2-25) 716-х2 >0;
9)	(х2 -4х-5)7х2 -5х + 6 >0;
10)	(х2-4х-5)7х2-5х+6<0;
11)	(х2-4х-5)7х2-5х + 6<0;
12)	(х2-4х-5)7х2-5х+6 >0.
Рівняння і нерівності з параметрами
Розв’яжемо такі лінійні рівняння:
1)	Зх = 1. Відповідь: х = ^.
3 і
2)	(-б)-х = 1. Відповідь: х = -~.
б
3)	Ох = 1. Відповідь: розв’язків немає.
Якщо коефіцієнт при змінній х позначити через а, то всі розглянуті рівняння можна записати у вигляді одного загального рівняння ах = 1, де буква а відіграє роль відомого числа, а буква х — роль змінної рівняння. Кажуть, що а є параметром, а рівняння ах = 1 (фактично цілий набір однотипних рівнянь) називають рівнянням з параметром.
94
13. Рівняння і 'Нерівності з параметрами
Розв’язати рівняння з параметром означає розв’язати всі такі однотипні рівняння.
Розглянемо рівняння з параметром ах = 1.
Якщо а = 0, то дане рівняння коренів не має. Якщо а * 0, то « 1 рівняння має єдиний корінь х = —. а
Підкреслимо подвійну природу параметра: з одного боку, ми вважаємо параметр фіксованим числом, з іншого — це число невідоме. Саме це не дозволяє, розв’язуючи рівняння ах = 1, просто • • 1
записати у відповідь х = —. Ми змушені розглядати дві можли-а
вості: а = 0 і а * 0.
Хоча термін «параметр» для вас новий, проте ви вже зустрічалися з цим поняттям. Наприклад, лінійним рівнянням називають рівняння виду ах = Ь. Тут а і Ь — параметри. Квадратичну функцію задають формулою у = ах2 + Ьх + с, де а, Ь і с — параметри, а * 0.
Процес розв’язування рівнянь і нерівностей з параметрами полягає в побудові алгоритму, який дозволяє для будь-якого значення параметра знаходити відповідну множину розв’язків.
ПРИКЛАД 1 Для кожного значення параметра а розв’яжіть рів-х2 4- ах — 2 няння	—- = х-а.
х + 2
,	X2 + ах-2-(х + 2)(х-а) л
Розв язання. Маємо: ---------------------= 0;
х + 2
х2 + ах - 2 - х2 + ах - 2х + 2а _ р. 2ах - 2х + 2а - 2 _ р
х+2	’	х+2
Отримане рівняння рівносильне системі:
Ґ2ах-2х + 2а-2 = 0, Гх(а-1) = 1-а, |х*-2;	[х*-2.
Якщо а = 1, то маємо: Ох = 0, тобто коренем рівняння х(а-1) = 1- ае будь-яке число. Оскільки х * -2, то при а = 1 множиною коренів заданого рівняння є {х | х Ф -2}.
Якщо а * 1, то обидві частини рівняння х (а - 1) = 1 - а можна поділити на вираз (а - 1), що не дорівнює нулю:
х = ^±, > = -1,
-	а-1 <
х^-2; Iх * “2-
Звідси х = -1.
95
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Відповідь: якщо а = 1, то коренем рівняння є будь-яке число, крім -2; якщо а Ф 1, то х = -1.
ПРИКЛАД 2 Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рів-
Ь(х + 1) ь + 1 . няння ------+ - = о.
п >	Ь(х + 1)(х-1) + х(Ь + 1)-дх(х-1) л
Розв язання. Маємо: —------—---------------і----- = 0;
х(х-1)
Ьх2 - & + дх + х - Ьх2 + Ьх _ д, х (2Ь +1) - д _ х(х-1)	’	х(х-1)
Це рівняння рівносильне системі Іх(2Ь + 1) = &, [х(х-1)^0.
Якщо Ь = --, то рівняння системи, а отже, і дане рівняння а коренів не мають.
Якщо	то
Ь Х 2& + 1’ х(х-1)#0.
Знайдемо ті значення параметра д, при яких значення виразу  Д дорівнює 0 або 1.
Рівність = 0 виконується тільки при Ь = 0, а рівність
= 1 виконується тільки при Ь = -1.
2о + 1
Отже, при Ь = 0 або Ь = -1 число ——— не є коренем даного 2д +1
рівняння.
Відповідь: якщо Ь = -р або Ь = 0, або Ь = -1, то рівняння
коренів не має; якщо	Ь 0 і Ь * -1, то х = —-—.
2	2& + 1
Цю відповідь можна записати ще й так:
то коренів немає; якщо
Ь то х =------
2д +1
96
13. Рівняння і нерівності з параметрами
ПРИКЛАД 3 При яких значеннях параметра Ь має один корінь рівняння:
1) 2х2 - Ьх + 18 = 0;	2) (Ь + 6) х2 - (Ь - 2) х + 1 = 0?
Розв'язання
1) Дане рівняння є квадратним. Тому воно має один корінь тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю. Маємо:
В = Ь2 - 4-2-18 = 0;
Ь = -12 або Ь = 12.
Відповідь: Ь = -12 або Ь = 12.
2) Звернемо увагу на поширену помилку: вважати рівняння (Ь + 6) х2 - (Ь - 2) х 4- 1 = 0 квадратним. Насправді це рівняння степеня не вище другого.
При Ь = -6 отримуємо лінійне рівняння 8х + 1 = 0, яке має один корінь.
При Ь Ф -6 дане рівняння є квадратним, тому воно має один корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю:
Л = (Ь - 2)2 - 4 (Ь + 6) = Ь2 - 4Ь + 4 - 4Ь - 24 = Ь2 - 8Ь - 20.
Маємо: Ь2 - 8Ь - 20 = 0, звідси Ь = -2 або Ь = 10.
Відповідь: Ь = -2, або Ь = 10, або Ь = -6.
ПРИКЛАД 4 При яких значеннях параметра а рівняння (х-а)(х + 2)	, о
----------= 0 має єдинии розв язок?
х-1
Розв'язання. Треба знайти всі значення параметра а, при яких множина коренів даного рівняння є одноелементною.
Переходимо до рівносильної системи: (х-а)(х + 2) = 0, х-1^0.
(х = а або х = -2,
Звідси |х^ів
При будь-якому значенні параметра а дане рівняння має корінь х = -2. Для того щоб цей корінь залишався єдиним, потрібно, щоб корінь х = а:
•	або дорівнював тому самому кореню, який уже знайдено, тобто числу -2;
•	або не задовольняв умову х 1.
Звідси а = -2 або а = 1.
Відповідь: а = -2 або а = 1.
97
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
ПРИКЛАД Д При яких значеннях параметра т рівняння т (х - 1) = 0 і х + ти2 + т = 1є рівносильними?
Розв'язання. При будь-якому значенні параметра т число 1 є коренем першого рівняння. Для рівносильності рівнянь необхідно, щоб число 1 було коренем і другого рівняння. Підставимо це значення змінної х до другого рівняння:
1 + т + т2 = 1;
т (т + 1) = 0;
т = 0 або т = -1.
Тепер можна зробити висновок: якщо шукані значення параметра т існують, то їх слід шукати серед елементів множини {-1,0}.
Якщо т = -1, то дані рівняння набувають вигляду (-1) (х - 1) = = 0іх + 1-1 = 1. Ці рівняння є рівносильними.
При т = 0 маємо: 0 (х - 1) = 0 і х = 1. Очевидно, що ці рівняння не рівносильні.
Відповідь: т = -1.
ПРИКЛАДІ Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність (х - а)2 (х - 2) > 0.
Розв'язання
Якщо а < 2 (рис. 88, а), то х є {а} О [2; +<»).
Якщо а > 2 (рис. 88, б), то х є [2; +«>).
Якщо а = 2, то задана нерівність набуває вигляду (х - 2)3 > 0.
Звідси (рис. 88, в) х є [2; +«>).
Рис. 88
ПРИКЛАД $ При яких значеннях параметра а нерівність (а - 1)х2 + 4ах - 2а - 4 > 0 має єдиний розв’язок?
Розв'язання. Якщо а = 1, то дана нерівність набуває вигляду 4х - 6 > 0 і має безліч розв’язків. Отже, а = 1 не підходить.
Для випадку, коли а 1, розглянемо квадратичну функцію у = (а - 1) х2 4- 4ах - 2а - 4.
Якщо а - 1 > 0, то цій умові відповідають клітинки (1)~(з) таблиці, розміщеної на форзаці 2. У цьому разі множина значень аргументу, при яких квадратична функція набуває невід’ємних значень, є нескінченною.
Залишилося розглянути випадок, коли а - 1 < 0. Тоді вимозі задачі відповідає клітинка (б) таблиці. Отже, шуканими зна-
98
13. Рівняння і нерівності з параметрами
ченнями параметра а є розв язки системи
а-1<0, тобто систе-
Р = 0,
а -1 < 0, (4а)2 -4(а-1)(-2а-4) = 0.
2 Розв’язавши цю систему, отримаємо а = -1 або а = -. о
2
Відповідь: а = -1 або а = -.
З
На завершення цього пункту дамо таку пораду. Якщо ви не знаєте, з чого почати розв’язування задачі з параметром, то робіть те саме, що ви робили б у цій задачі при відомому значенні параметра.
^"вправи
270/ Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) а(х~Р = 0;	3)	^ = 0;
х-1	х + а
2) ^^ = 0;	4) ^^ = 0.
х-3	х-а
271/ Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рівняння:
1)	=	2) -Цт- = 0;	3) *~3д =0;	4) (д-1/ = 0.
х - 5	х-2Ь	х + Ь + 2	х + Ь
272/ Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння: (х-а) (х-6) п '	х-7
4) (х-^х+г)^.
х-а _ п.
5) (х-1)(х + 3)" 5
6)
х-2а
X2 -1 і) -—-=0; х-а
2) ^^ = 0; х + 2
273/ Для кожного значення
(х-2)(х-3) х + Ь
= 0;
= 0;
х-а
параметра Ь розв’яжіть рівняння:
3) —— = 0;
7 (х-Ь + 1)х
4) (х + 2Ь)(х-3) 0
х-Ь
параметра а розв’яжіть нерівність: 5) (а + 3) х < а2 - 9;
6) 2 (х - а) < ах - 4.
2) ---£±2----
(х + 1)(х-4)
274/ Для кожного значення
1) ах > 0;	3) ах > а;
2) ах <1;	4) (а - 2) х > а2 - 4;
275/ Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність: 1) а2х <0;	2) (а 4- 4) х > 1;	3) а 4- х < 2 - ах.
99
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
276	.“ При яких значеннях параметра а множина розв’язків сис-„ |х>7,	.
теми нерівностей <! містить рівно чотири цілих роз-[х<а
в’язки?
277	.” При яких значеннях параметра Ь множина розв’язків сис-
теми нерівностей	МІСТИТЬ рівно три цілих розв’язки?
[х>д
278	.** При яких значеннях параметра а розв’язком системи {а<х<а + 8,	. .	.
є відрізок, довжина якого дорівнює 5?
х >4
279	.” При яких значеннях параметра а розв’язком системи Га-7Сх<а, . .
<[	є відрізок, довжина якого дорівнює 4?
х<3
280.** Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) — = а-1; х-а
2) ———— = а + “; х-1 X
а , 3 а2 4-2а
' Х4-3 X 4-2 (Х4-2)(Х4-3)
6) х । 2 _ Зх-2а .
' 2а х-2~2(х-2)’
7) х Д ~ 2 _ 4а - 2а2 х4-а х-а х2 - а2
3x4-1 х 1 З
4) ------------4-----=-----;
(х-1)(х + а) х + а х-1
281.“ Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рівняння:
1)
Ьх 4" 3	>	1
------= о------;
X 4-2	х-1
3) -1- +...........
х + 1 (х + 1)(х-26) 26-х
2) &^2=6 + і + к1£;
х -4	х + 2
282.** При яких значеннях рівняння:
4) х 2д 8&2 х-Ь х + Ь х2-Ь2' параметра а має єдиний розв’язок
1)	^-1 = 0;
х-а
2)	(х + 1)(х-5)_0
(х-1)(х + 3) _ 0 * (х-а)(х4-3а)
х-а
3.	(х-а)(х + 3а)=| х-3
4)	(х-2)(х-а) 0 х-2а
2	г
дч х -ах4-5 х-1
8)
х2 - (За +1) х + 2а2 + За - 2
х2-6х + 5
х2 - (а + 4) х + За + З
= 0?
100
13. Рівняння і нерівності з параметрами
283.” При яких значеннях параметра Ь має єдиний розв’язок
рівняння:
1} (х + 3)(х-8) 0.
х + Ь
2) (х + 2д)(х-4д) р х-2
(х-2)(х + 1)
7 (х + д)(х-2д)
284/* При яких значеннях
4)	х^16х±1=0;
х + З
х2 + (3-26)х + 4й-10
5)
х2 - 4х + З
6)	х2~^х+д~А = о?
параметра а дані рівняння є рівно-
сильними:
1) ^-і = 0 і х - 1 = 0;	4)(а2 3 4-1)х = а-1 і ^1 = 1;
х-а	х-а
2) х<х~а) = 0 і х = 0;	5) а (х - 1) = 0 і х + а2 = 2а?
х-2
(х±аИх-4а)=() . * _ 4а = 0;
Х~1
285.” При яких значеннях параметра Ь дані рівняння є рівно-
сильними:
1) *_1 = о і X - 4 = 0; х + д
2) <х-1)(х+ь) = 0 і х _ і = 0;
х-3
3) (х + Жх-2д)=() і ^±к = 0; х-ЗЬ	х-ЗЬ
4) (Ь2 - 4) (х + 2) = 0 і Ьх + 2Ь = 4 - Ь2?
286/* При яких значеннях параметра а друга з нерівностей пари
є наслідком першої нерівності:
1) х + 2а - 3 > 0 і 2х - а > 0;	3) ах > 1 і х > 0?
2) х > 1 і ах < 1;
287.” При яких значеннях параметра а нерівності є рівносильними:
1) 2х - а > 0 і х + 2а - 3 > 0;	3) ах > 1 і 2ах > З?
2) Зх - а > 0 і ах - 3 > 0;
288/* При яких значеннях параметра а дана нерівність виконується при всіх значеннях х:
1) х2 - 4х + а > 0;	3) (а - 3) х2 - 2ах + За - 6 > 0?
2) х2 + (а - 1) х + 1 - а - а2 > 0;
289.” При яких значеннях параметра а не має розв’язків нерівність:
1) -х2 + 6х - а > 0;	3) ах2 + (а - 1) х + (а - 1) < 0?
2) х2 - (а + 1) х + За - 5 < 0;
101
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
290/* Залежно від значення параметра а знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) І х - а І (5х2 - 2х - 3) < 0;	2) | х - а | (5х2 - 2х - 3) < 0.
291.” Залежно від значення параметра а знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) І х - а І (7х2 - 4х - 3) < 0;	2) | х - а | (7х2 - 4х - 3) < 0.
14.
Рівняння і нерівності, які містять знак модуля
Нагадаємо основні відомості про модуль числа.
Означення. Модулем числа а називають відстань від точки, яка зображує число а на координатній прямій, до початку відліку.
Модуль числа а позначають так: | а |.
{а, якщо а>0,
-а, якщо а < 0.
Отже, щоб знайти модуль числа (або, як ще кажуть, розкрити модуль), треба знати знак числа.
Наприклад, | \/Ї0 - 3 | = л/10 - 3, оскільки у[Ї0 > 3.
| л/ЇО-4 | = 4-л/Ї0, ОСКІЛЬКИ у/16 < 4.
| х2 4- 11 = х2 -І- 1, оскільки х2 -І- 1 > 0 при будь-якому значенні х.
ПРИКЛАД 1 Розкрийте модуль | 2х - 1 |.
Розв'язання, 3 означення модуля числа випливає, що
|2х-1| =
2х-1, якщох>-,
1-2х, якщо х<^-
Властивості модуля, які випливають з означення
1)	| а | > 0;
2)	І а | = | -а |;
3)	якщо | а | = | Ь |, то а = Ь або а = -6;
4)	якщо | а | = Ь, то Ь 0 і виконується одна з двох рівностей: а = Ь або а = -Ь;
5)	відстань між точками А (а) і В (Ь) координатної прямої дорівнює | а - Ь | (рис. 89).
102
14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля
Рис. 89
Розглянемо основні прийоми розв’язування рівнянь, які містять знак модуля.
ПРИКЛАД Ц Розв’яжіть рівняння | х - 1 | = 2.
Розв'язання. Використовуючи властивість 4, перейдемо до сукупності рівнянь
х-1 = 2,
х-1 = -2.
Звідси
х = 3,
х = -1.
Рис. 90
Відповідь*. -1; 3.
Це рівняння можна розв’язати інакше, якщо умову задачі перекласти геометричною мовою: знайдіть координати всіх точок координатної прямої, які віддалені від точки А (1) на 2 одиничних відрізки. Очевидно, що існують дві такі точки: В (-1) і С(3) (рис. 90).
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння | 2х - 1 | = Зх + 1.
Розв'язання. Якщо замінити дане рівняння на сукупність рівнянь
2х-1 = 3х + 1,
2х-1 = -3х-1,
то отримаємо два значення змінної х: -2 і 0. Очевидно, що число -2 не є коренем даного рівняння.
Певна річ, виникає запитання: «Чому заміна рівняння на сукупність призвела до появи стороннього кореня, тобто чому такий перехід не є рівносильним?»
Справа в тому, що ліва частина даного рівняння набуває тіль-
ки невід’ємних значень. Тому Зх + 1 > 0, тобто х>--. Отже, З
шукані корені мають належати проміжку
. У записаній
сукупності такої вимоги немає.
103
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Насправді дане рівняння рівносильне системі
Г2х-1 = 3х + 1, [2х-1 = -3х-1, яка має єдиний розв’язок х = 0.
Узагалі, рівняння виду | / (х) | = 8 (х) рівносильне системі £(х)>0,
И7(х) = £(х), 1/(х) = -£(х).
Рівняння зазначеного виду можна розв’язати й іншим способом: розглянути два випадки / (х) > 0 і / (х) < 0, тобто розкрити модуль | / (х) |. При такому підході рівняння виду | / (х) | = £ (х) можна замінити на сукупність двох систем:
І/(х)>0, [/(х) = £(х), ҐГ(х)<0, Д-/(х) = £(х).
Наприклад, розв’язання рівняння | записати так:
2х-1>0, 2х-1 = 3х+1, 2х-1<0,
-2х + 1 = 3х + 1;
2х - 1 | = Зх + 1 можна
2 х = -2,
Х<~2-х = 0.
Звідси х = 0.
ПРИКЛАД 4 Розв яясіть рівняння | X + 1 | + | X 2 | — З»
-1	2
х-2
Рис. 91 Розв'язання. Розіб’ємо область (рис. 91) на такі проміжки: (~°°; -1) (значення виразів х + 1 і х - 2 на цьому проміжку від’ємні), [-1; 2] (вираз х+1 набуває на цьому проміжку невід’ємних значень, а вираз х-2 — недо-
визначення рівняння
104
14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля
датних) і (2; +°°) (значення виразів х 4- 1 і х - 2 на цьому проміжку додатні). Зазначимо, що точки, у яких значення виразів дорівнюють нулю, можна віднести до будь-якого з проміжків. Отже, дане рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
[х<-1,	.	[х<-1, тт
1)	<	Звідси < Ця система розв язків
[-(х + 1)-(х-2) = 3.	[х = -1.
не має.
ґ-1^х^2,	о .	ґ-1^х^2,	,
2)	<	Звідси <	Розв язком цієї сис-
[(х + 1)-(х-2) = 3.	[0х = 0.
теми є проміжок [-1; 2].
[х>2,	(х>2,
3)	<	< Ця система розв язків не має.
[(х + 1) + (х-2) = 3; |х = 2.
Відповідь: [-1; 2].
Розв’язання даного рівняння можна оформити в інший спосіб, одразу записавши сукупність:
ґхс-1,
[-х-І-х + 2-3, 1	А	В
Ґ-ІСХС2,	---
|х + 1-х + 2 = 3,
г^.^9	Рис. 92
І
|х + 1 + х-2 = 3.
Також це рівняння можна розв’язати за допомогою геометричної інтерпретації: шукані корені — це координати точок координатної прямої, сума відстаней від яких до точок А (-1) і В (2) дорівнює 3. Зрозуміло, що координати всіх точок відрізка АВ, і лише вони, утворюють шукану множину коренів (рис. 92).
Розглянемо основні методи розв’язування нерівностей, які містять знак модуля.
Теорема 14.1. Нерівність виду | х | < а рівносильна системі {х<а9 х>-а.
Доведення. Якщо а 0, то як дана нерівність, так і записана система не мають розв’язків. Отже, вони є рівносильними.
Якщо а > 0, то, розкривши модуль, можна записати, що дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
105
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Звідси
0 < х < а, -а < х < 0;
х>0, х<а9 х<0, -х<а,
-а < х < а.
Очевидно, що отримана подвійна нерівність рівносильна системі
х<а,
х>-а. А
Зауважимо, що для випадку, коли а > 0, доведення теореми можна провести, використовуючи геометричну інтерпретацію: {х<а9
задовольняють координа-х>-а
ти тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань меншу, ніж а.
Узагальненням теореми 14.1 є така теорема.
Теорема 14.2. Нерівність виду | / (х) | < £ (х) рівносильна системі
ї(х)>~8(х).
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 14.1.
ПРИКЛАД * Розв’яжіть нерівність | Зх - 1 І < 2.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі
Зх-1<2, Зх-1>-2.
Звідси
х<1,
Відповідь:
Теорема 14.3. Нерівність виду | х | > а рівносильна сукупності нерівностей
Гх>а,
106
14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля
Доведення. Якщо а = 0, то множиною розв’язків як даної нерівності, так і сукупності є множина (-«>; 0) О (0; +<»). Якщо а < 0, то множиною розв’язків нерівності й сукупності є множина (-©о; +оо). Тому, якщо а < 0, то дана нерівність і записана сукупність нерівностей є рівносильними.
Якщо а > 0, то, розкривши модуль, можна записати, що дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
Іх>0,
[х>а, ґх<0, І -х > а.
Звідси
х>а, х<-а.
Зауважимо, що для випадку, коли а > 0, доведення теореми можна провести, використовуючи геометричну інтерпретацію:
і нерівність | х | > а, і сукупність
х>а, задовольняють коорди-
х<-а
нати тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від початку відліку на відстань, більшу за а.
Узагальненням теореми 14.3 є така теорема.
Теорема 14.4. Нерівність виду | / (х) | > £ (х) рівносильна сукупності нерівностей
Доведення цієї теореми подібне доведенню теореми 14.3.
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність | 4х — 3 | > 5.
Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності нерівностей
4х-3>5,
4х-3<-5.
Звідси
4х > 8, 4х < -2;
х>2,
Відповідь:
107
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
ПРИКЛАД > Розв’яжіть нерівність |х-1| + |х-2|>х + 3.
Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності трьох систем.
[1-х-х-і-2>х4-3;
І<х<2,
х-1-х + 2>х+3;
Отже, х < 0. х<0.
Ця система розв’язків не має.
х<-2.
Отже, х > 6.
Відповідь: (-«>; 0) и (6; +°°).
ПРИКЛАД • Розв’яжіть нерівність —-----!— > 2.
х2-5x4-6
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем.
х<3, 3-х х2-5х + 6
отримуємо:
Перетворивши другу нерівність системи,
1)
х<3,
х<3, 2х2 -9х + 9 Xі - 5х 4- 6
2(х-3)Іх-|І ------і--^<0. (х-2)(х-3)
Схема розв’язання отриманої системи зображена на рисун-о
ку 93. Отже, маємо: — < х < 2.
2
2)
Ця система розв’язків не має (переконайтеся в цьому самостійно).
Відповідь:	21.
108
14. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля
Вправи
292.° Розкрийте модуль:
1) | 72-11;
3) | 2-72 |;
2)|л-3,14|;	4) | х2 * + 1 |;
х2 І
5) х-^-1|;
6) х2 + 2х + 2 |.
293.° Розкрийте модуль:
і) 4-°>7 4
3) | п - 3,15 |;
5) х2+х + ^ ;
4
2) ^-0,8 ;
4) | х4 * * + 2 |;
6) | х2 + 4х + 5 |.
О—» 294.° Доведіть, що:
1)	аЬ | = | а Н Ь |;
2)	£ =1^|, Ь*0;
Ь |Ь|’
3)	(|а|)2 = | а21 = а2;
295	.° Відомо, що а + Ь < 0, чення виразу | а | - | Ь |.
296	.° Відомо, що а 4- Ь > 0, чення виразу | а | - | Ь |.
4)|а-Ь| = |Ь-а|;
5) -| а | < а < | а |.
а > 0, Ь < 0. Порівняйте з нулем зна-
а < 0, Ь > 0. Порівняйте з нулем зна-
297	.° Спростіть вираз:	і і і і і її
< X ХЛ І І І Іх ,<х І І | їх	гчх |лі|-|п| \т 1+ П
1) (З І х І ~ І У І) (3 | х | + | у |);	3) і і і і і
І т І + І п І І лі |-| и
2) (2 | а | - 3 | Ь |)2 + (2 | а | + 3 | Ь |)2;
298.° Розв’яжіть рівняння:
1) І х + З І = 2;	2) І 1 - 2х І = 5;	3) | 6х + 5 | = 1.
299.° Розв’яжіть рівняння:
1) | х - 1 І = 4;	2) І 1 - Зх І = 7;	3) | -4х - 1 | = 8.
(Нг 300.° Доведіть, що:
1) нерівність | / (х) |	§ (х) рівносильна системі
17 (*)<£(*),
2) нерівність | / (х) | > § (х) рівносильна сукупності
7(х)>^(х),
_/(х)<-£(х).
301.° Розв’яжіть нерівність:
1) | х + 5 І < 4;	3) | Зх + 2 | < 1;
2) | 2х - 1 | > 3;	4) | 5х - 1 | > 4.
109
§2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
302.° Розв’яжіть нерівність:
1) | х - 3 | < 6;	3) | 1 - 4х | < 2;
2) | Зх - 2 | > 3;	4) | 5х + 2 | > 6.
О—иг 303.* Доведіть, що:
1)|а + Ь|<|а| + |Ь|;
2) | а - Ь | > | а |	-	| Ь |;
3)|а + Ь| = |а|	+	|Ь| тоді	і тільки тоді,	коли	аЬ > 0;
4) | а | + | Ь | = а	+	Ь тоді і	тільки тоді, коли а	> 0 і Ь > 0;
5) | а - д | = | а |	+ | Ь | тоді	і тільки тоді,	коли	аЬ < 0.
304.* Розв’яжіть рівняння:
1) 11 X І - 2 | = 2;
305/ Розв’яжіть рівняння: 1)І|х|-3| = 1;
306	.’ Розв’яжіть рівняння:
1)	| 2х - 1 | = | Зх + 2 |;
307	.* Розв’яжіть рівняння:
1)	І х + 2 І = 4х - 1;
2)	І Зх + 2 | = 2х - 1;
3)	і х - 1 | = 4х + 3;
4о^ Розв’яжіть рівняння: / 1) І х + 2 І = 2 (3 - х);
'	2) | Зх - 1 | = х + 1;
2) | | х | + 2 | = 1.
2) | | х | + 1 | = 1.
2) | 3 - 4х | = | 2х + 11.
4) | х2 - х - 8 | = -х;
5) | Зх - 4 | = 4х2 + Зх - 2.
3) | х2 - 2х | = 3 - 2х; 4)|х4-3| = х24-х-6.
309/ Розв’яжіть нерівність:
1)|х + 5|<2х + 3;	3)|4х + 51 > Зх-1; 5)х24-6>|3х4-2|-7х;
^2}| 1-2х|<х+ 1;	4) 12х - 71 > х - 2; б^х2 - 4| +2х+1 > 0.
310/ Розв’яжіть нерівність:
1)	І х + 21 < 2х - 1; 3)|3х-2|> 2x4-1; 5)|х2-4|<3х;
2)	5х 4- 3 > | х 4- 11; 4) | Зх - 5 | > 9х 4-1; 6) | х2 4- Зх | > 2 - х2.
311.* Розв’яжіть нерівність:
1)
2х-1 х-1
>2;
2)	<1;
х2-4
3)
х2 - 5х + 4 х2-4
<1.
31,2.' Розв’яжіть нерівність:
1)
х-3
х-5
>1;
2)
313.** Розв’яжіть нерівність:
1)
X
2)
3)
х2-|х|-12 х-3
х2 - Зх + 2
х2 + Зх + 2
>2х.
<1.
х + 4
х + 2
110
15. Рівняння з двома змінними та його графік
314.’4 Розв’яжіть нерівність:
1) І* + 3І + Х>1; х + 2
2)
х2-7 х +10 л
—г-1—1—<0?
х2-6х + 9
315.** Розв’яжіть рівняння: 1)|х-2| + |х-4| = 3; 2)|х-2|-3|3-х| + х = 0;
3)	| 4 - х | + | 2х - 2 | = 5 - 2х;
4)|х|-2|х+1| = 5;
316	.** Розв’яжіть рівняння:
1)	| х + 1 І + І х - 5 І = 20; 2)|х + 3|-|5-2х| = 2-3х;
3)|х-3| + 2|х + 1| = 4;
4)	| х + 5 | + | х - 8 | = 13;
317	.** Доведіть, що:
1)	| х І + І х - З І > 3;
5) | х | + | х - 6 | = 6;
6)|х + 2|-|х-3| = 5;
5) | х | - | х - 2 | = 2;
6) | 7х - 121 -1 7х - 111 = 1;
2)|х-1| + |х-3|>2.
318	.** Знайдіть найменше значення виразу:
1)	І х І + І х + 4 І;	2)|х + 2| + |х-3|.
319	.** Розв’яжіть нерівність:
1)|х+1| + |х + 2|>2х+3;	3)|х + 1| + |х-1|<2.
2)2|х-3| + |х+1|<3х + 1;
320	.” Розв’яжіть нерівність:
1)2|х+1|-|х-1|>3;	3)|х-1| + |х + 3|<4.
2)|х-1|-2|х + 3|>х + 7;
" 1 1 
Рівняння з двома змінними та його графік
Вирази х2 + у2, (х - 1) (у + 2), ^х-3</ є прикладами х ~~ У
виразів з двома змінними х і у.
Вираз зі змінними х і у позначають так: Р (х; у) (читають:
♦еф від ікс, ігрек»).
Тоді рівність Р (х; у) = 0 є рівнянням з двома змінними х і У-
Наприклад, якщо Р (х; у) = ах + Ьу + с, то Р (х; у) = 0 є лінійним рівнянням з двома змінними.
Нагадаємо, що коли Р (х; у) — многочлен стандартного вигляду, то його степенем називають найбільший із степенів одно
111
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
членів, які в нього входять. У цьому разі степенем відповідного рівняння Е (х; у) = 0 називають степінь многочлена Е (х; у).
Наприклад, степінь рівняння х2 - х2у3 + у3 = 0 дорівнює 5.
Якщо в лінійному рівнянні ах + Ьу 4- с = 0 параметри а і Ь одночасно не дорівнюють нулю (а2 + Ь2 * 0), то це рівняння є рівнянням першого степеня ЗІ ЗМІННИМИ X і у.
Рівняння другого степеня зі змінними х і у має вигляд: ах2 + Ьу2 + сху + (їх + еу 4- / = 0, де а, Ь, с, сі, е, / — параметри, причому а2 4- Ь2 + с2 * 0.
Нагадаємо, що пару чисел (х0; у^ називають розв’язком рівняння Е (х; у) = 0, коли Е (х0; у0) = 0 — правильна числова рівність.
Якщо на координатній площині ху позначити всі точки, координати яких є розв’язком рівняння Е (х; у) = 0, то отриману фігуру називають графіком цього рівняння.
Наприклад, графіком рівняння першого степеня є пряма, графіком рівняння (х - а)2 4- (у - Ь)2 = Я2, де Н Ф 0, є коло, графіком рівняння у = ах2 4- Ьх 4- с, де а Ф 0, є парабола.
Навчившись перетворювати графіки функцій, ви тим самим істотно розширили клас функцій, графіки яких ви вмієте будувати.
Аналогічні перетворення можна виконувати з графіками рівнянь.
г Графік рівняння Г (х 4- а; у) = 0 можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка рівняння Г (х; у) = 0 вздовж осі абсцис на а одиниць уліво, якщо а > 0, і на —а одиниць управо, якщо а < 0.
Наприклад, графік рівняння (х 4- 2)2 4- у2 = 4 можна отримати, якщо перенести коло х2 + у2 = 4 вздовж осі абсцис на дві одиниці вліво (рис. 94).
Графік рівняння Е (х; у 4- Ь) = 0 можна отримати в результаті паралельного перенесення графіка рівняння Г (х; у) = 0 вздовж осі ординат на Ь одиниць униз, якщо Ь > 0, і на —Ь одиниць угору, якщо Ь < 0.
Наприклад, графік рівняння х2 4- (у 4- 2)2 = 4 можна отримати, якщо перенести коло х2 4- у2 = 4 вздовж осі ординат на дві одиниці вниз (рис. 95).
Графік рівняння Г (—х; у) = 0 можна отримати в результаті симетричного відображення графіка рівняння Е (х; у) = 0 відносно осі ординат.
112
15. Рівняння з двома змінними та його графік
Наприклад, графік рівняння (-х + 2)2 4- у2 = 4 можна отримати, симетрично відобразивши коло (х 4- 2)2 4- у2 = 4 відносно осі ординат (рис. 96).
>	Графік рівняння Г (х; — у) = 0 можна отримати в результаті симетричного відображення графіка рівняння Р (х; у) = 0 відносно осі абсцис.
Наприклад, графік рівняння х2 4- (-у 4- 2)2 = 4 можна отримати, симетрично відобразивши коло х2 4- (у 4- 2)2 = 4 відносно осі абсцис (рис. 97).
>	Графік рівняння Г (кх*, у) = 0, дек > 0, можна отримати з графіка рівняння Р (х; у) = 0 в результаті стиску в к разів до осі ординат, якщо 'к > 1, або в результаті розтягу в разів від К
осі ординат, якщо 0 < к < 1.
113
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Наприклад, графік рівняння (2х)2 + у2 = 4 можна отримати, якщо стиснути у 2 рази коло х2 + у2 = 4 до осі ординат (рис. 98). Отриману фігуру називають еліпсом.
>	Графік рівняння Г (х; ку) = 0, де к > 0, можна отримати з графіка рівняння Г (х; у) = 0 в результаті стиску в к разів до осі абсцис, якщо к > 1, або в результаті розтягу в разів від осі К
абсцис, якщо 0 < к < 1.
Наприклад, графік рівняння
можна отримати,
якщо розтягнути у 2 рази коло х2 4- у2 = 4 від осі абсцис (рис. 99). Отримана фігура також є еліпсом.
х Графік рівняння Г (|х|; у) = 0 можна отримати з графіка рівняння Г (х; у) = 0 таким чином: побудувати фігуру яка є графіком рівняння Е (х; у) = 0 при х > 0, і побудувати фігуру М2, симетричну фігурі М1 відносно осі ординат. Фігура О М2 є шуканим графіком.
На рисунку 100 зеленим кольором зображено графік рівняння (| х І - І)2 + у2 = 4.
>	Графік рівняння Е (х; | у |) = 0 можна отримати з графіка рівняння Е (*; у) = 0 таким чином: побудувати фігуру яка є графіком рівняння Е (х; у) = 0 при у > 0, і побудувати фігуру М2, симетричну фігурі М1 відносно осі абсцис. Фігура Мх О М2 є шуканим графіком.
У
Рис. 100
На рисунку 101 синім кольором зображено графік рівняння х2 + (І у І + І)2 = 4.
114
15. Рівняння з двома змінними та його графік
ПРИКЛАДІ Побудуйте графік рівняння х = у2.
Розв'язання. Якщо в даному рівнянні замінити х на у9 а у на х, то отримаємо рівняння у = х29 графіком якого є парабола.
Виконана заміна означає, що шуканий графік — це графік рівняння у = х2, побудований на координатній площині ух9 тобто в системі координат, у якій осі абсцис і ординат поміняли місцями.
Зі сказаного випливає, що графіком рівняння х = у2 є парабола, зображена на рисунку 102.
ПРИКЛАДІ Побудуйте графік рівняння | х | + | у | = 1.
Розв'язання. Нехай рівняння Р (х; у) = 0 позначає рівняння х + у - 1 = 0. Тоді шуканий графік можна побудувати за такою схемою (рис. 103):
Р (х; у) = 0 -> Р (| х |; у) = 0 -> Р (| х |; | у |) = 0.
ПРИКЛАДІ Побудуйте графік рівняння х = у]1-у2.
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі
2 -а 2
X = 1-у ,	.
Звідси х>0.
х24-/=1, х>0.
Отже, шуканим графіком є півколо, яке лежить у правій півплощині відносно осі ординат (рис. 104).
ПРИКЛАД І При яких значеннях параметра а модуль різниці коренів рівняння х2 - 6х 4- 12 4- а2 - 4а = 0 набуває найбільшого значення?
У
Рис. 104
Розв'язання. Перепишемо дане рівняння так: (х - З)2 4-+ (а - 2)2 = 1.
115
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Його графіком у системі координат ха є коло (рис. 105).
Якщо пряма а = а0 перетинає коло в точках А і В, то модуль різниці коренів рівняння дорівнює довжині відрізка АВ (рис. 105). Отже, слід знайти таке положення прямої а = а0, при якому хорда АВ має найбільшу довжину. Очевидно, що ця умова виконується тоді, коли хорда АВ є діаметром кола. Звідси а = 2.
Вправи
321	.* Розв’яжіть рівняння:
1)	х2 - 8х + у2 4- 4у 4- 20 = 0; 2) 5х2 - 2ху 4- у2 - 4х 4- 1 = 0.
322	.’ Розв’яжіть рівняння:
1)	х2 - 6х 4- у2 + 4у 4- 13 = 0;	2) х2 + 2ху 4- 10^ - 12і/ + 4 = 0.
323	.* Побудуйте графік рівняння:
1)	X2 = у2-,	3) (х	+	2) (у - 3) = 0;
2)	х2 - 4;	4) у2	+	вху = 0.
324/ Побудуйте графік рівняння:
1) х2 = 4у2;	3)	ху	-	4х + 2у = 8;
2) у2 = 1;	4) х2	-	бху + 5уг = 0.
325/ Побудуйте графік рівняння:
1) І х + 2у І = 1;	3) ху = І X І;
2) | х + 3 | = | у - 2 |;	4) | х | у = 1.
326/ Побудуйте графік рівняння:
1) | х - Зу | = 2;	2) (х - 4)2 = (і/+ І)2;
327/ На рисунку 106 зображено графік рівняння Р (х; у) = 0. За допомогою цього графіка побудуйте графік рівняння:
1)	Р (-х; у) = 0;
2)	Р (х; у - 1) = 0;
3)	Р (2х; у) = 0;
4)	Р (х; | у |) = 0;
5)	Р (| х + 1 |; у) = 0.
3) ху = | у |.
Рис. 106
116
15. Рівняння з двома змінними та його графік
328/ На рисунку 107 зображено графік рівняння Р(х; у) = 0. За допомогою цього графіка побудуйте графік рівняння:
1)	Р (х; -у) = 0;
2)	Р (х + 1; у) = 0;
3)	Р (х; 2у) = 0;
4)Г(|х|;|і/|) = 0;
5)Г(х;|у - 1|) = 0.
Рис. 107
329/ Побудуйте графік рівняння:
1) (х - 2)2 + (у - І)2 = 9;	3) (| х | - 2)2 + (| у | - І)2 = 9.
2) (| х | - 2)2 + (у - І)2 = 9;
330/ Побудуйте графік рівняння:
1) (X - І)2 + (у- 2)2 = 16;	3) (І х І - І)2 + (І у І - 2)2 = 16.
2) (| х | - І)2 + (у - 2)2 = 16;
331/* Побудуйте графік рівняння:
1)	х = у[у; 5) х-2 = Т=у;	9)|х| = 4ЇЇЇ;
2)	х = 7</-і;	6)	х=^/Ру];	10)	| х-11 = ТІ У+11;
3)	х = ТІ^Ї + 2;	7)	Х = ^у + 1|;	11)	| х |-1 = 7 У+11;
4)	х = у[-у;	8)	х = 7і 1/1 + 1;	12)	І х |-1 = 7ГГІ+Ї-
332/* Побудуйте графік рівняння:
1)|ї/| = \/х;	4)	| у |+1 = 7ГГЇ;	7)	| у |+1 = 7|х|+1.
2)	| у+1 | = -7х;	5) | у+11 = 7| х | + 1;
3)|ї/| = 7ГЙ; 6) 1у1 = 7 х + 11;
333/* Побудуйте графік рівняння:
1)	| х | + | у | = 2;	3)|х-1| + |і/ + 2| = 2.
2)	| х - 1 | + | у | = 2;
334	.“ Побудуйте графік рівняння:
1)	І х І - І у І = 2;	3) І X + 1 І - І у - 1 І = 2.
2)	| х + 1 | - | у | = 2;
335	.“ Побудуйте графік рівняння:
1)	х = 74-і/2;	3) х = 72і/-у2;
2)	| у | = 74-х2;	4) у = 7^| х |-х2.
117
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
336	.** Побудуйте графік рівняння:
1)	і/ = 71-х2;	3) х = 74у-/;
2)	І х І = 71-У2;	4) х = ^4| у 1-у2.
337	." Побудуйте графік рівняння:
2	2 .	2 і	2	2
1)	^- = 0;	2) х г=0;	3) * 2У =0.
У-х	|х|-1	х2 + і/г-1
338	." Побудуйте графік рівняння:
1)	—~ = 0;	2) Х| 1 =0;	3) 1 Х * =0.
х + у	ІУІ-1	у-х2
Нерівності з двома змінними
Нерівності 2х - у > 1, у > х2 -і- у2 < 4 є прикладами нерівностей з двома змінними.
Означення. Пару значень змінних, яка перетворює нерівність з двома змінними на правильну числову нерівність, називають розв’язком нерівності з двома змінними.
Так, для нерівності 2х - у > 1 кожна з пар чисел (3; -1), (0; -2), (1; 0) є її розв’язком, а, наприклад, пара (0; 0) не є її розв’язком.
Рис. 108
Означення. Графіком нерівності з двома змінними називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини, координати яких є розв’язками даної нерівності.
ПРИКЛАД | Зобразіть графік нерівності 2х - у > 1.
Розв'язання. Графіком рівняння 2х - у = 1 є пряма. Ця пряма розбиває координатну площину на дві області, кожну з яких називають відкритою пів-площиною1 (рис. 108). Покажемо, що жовта область є шуканим графіком.
1 Відкрита півплощина відрізняється від півплощини тим, що вона не містить пряму, яка її обмежує.
118
16. Нерівності з двома змінними
Перепишемо дану нерівність так: у < 2х - 1.
Розглянемо довільну точку М (Хр у)9 яка належить зазначеній відкритій півплощині.
Нехай пряма, яка проходить через точку М і перпендикулярна до осі абсцис, перетинає пряму у = 2х - 1 у точці К (Хр у2). Зрозуміло, що у2 > уг Маємо: у2 = 2х1 - 1 > уг Отже, пара (Хр у^} є розв’язком даної нерівності.
Ми показали, що координати будь-якої точки жовтої області є розв’язком даної нерівності. Залишилося показати, що будь-який розв’язок нерівності є координатами точки, яка належить зазначеній області.
Розглянемо пару (х0; і/0), яка є розв’язком нерівності у < 2х - 1, тобто у0 < 2х0 - 1. Нехай 2х0 - 1 = у. Тоді точка А (х0; у') належить прямій у = 2х - 1 (рис. 108). Оскільки у0 < у', то точка В (х0; у0) лежить нижче від точки А, тобто належить жовтій області.
Міркуючи аналогічно, можна показати, що синя область є графіком нерівності 2х - у < 1.
Також говорять, що нерівності 2х-у>1і2х-у<1 задають відповідно жовту і синю області.
Домовимося, що в зображенні графіка пунктирна лінія позначає точки, які не належать шуканому графіку. Тому на рисунку 108 пряма у = 2х - 1 зображена пунктиром.
У
ПРИКЛАДІ Зобразіть графік нерівності х > 2.
Розв'язання. На координатній площині ху графіком рівняння х = 2 є вертикальна пряма, яка розбиває площину на дві відкриті півплощини (рис. 109). Покажемо, що відкрита півплощина, розміщена праворуч від прямої х = 2, є шуканим графіком. Перепишемо дану нерівність так: х 4- Оу > 2.
Нехай точка М (Хр у ) належить зазначеній області. Тоді х1 > 2, а отже, пара (Хр у ) є розв’язком даної нерівності.
Нехай пара (х2; у2) є розв’язком нерівності х 4- Оу > 2, тобто х2 4- 0 • у2 > 2; х2 > 2. Отже, точка К (х2; і/2) розміщена праворуч від прямої х = 2.
Ми показали, що координати будь-якої точки відкритої півплощини є розв’язком даної нерівності, і навпаки, будь-який розв’язок нерівності є координатами точки, яка належить відкритій півплощині.
Уі
У2
0
Рис. 109
119
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Нерівності, розглянуті в прикладах 1 і 2, є окремими випадками нерівності ах + Ьу > с.
Означення. Лінійною нерівністю з двома змінними називають нерівність виду ах + Ьу > с або ах + Ьу < с, де х і у — змінні, а, Ь і с — параметри.
Міркуючи аналогічно наведеному в прикладах 1 і 2, можна показати, що при а2 + Ь2 * 0 графіком лінійної нерівності є одна з відкритих півплощин, на які пряма ах + Ьу = с розбиває координатну площину ху.
Якщо а2 + Ь2 = 0, то графіком лінійної нерівності є або вся координатна площина, або порожня множина (доведіть це самостійно).
Нерівності виду ах + Ьу > с і ах + Ьу < с теж вважають лінійними. Зрозуміло, що графіком нерівності ах + Ьу > с або ах 4- Ьу < с, де а2 + Ь2 Ф 0, є півплощина.
Розглянемо приклади побудови графіків нелінійних нерівностей.
ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік нерівності у > х2.
Розв'язання. Парабола у = х2 розбиває координатну площину на дві області (рис. 110). Шуканим графіком є множина точок, які лежать вище від параболи у = х2. Це можна показати, міркуючи так, як у прикладі 1.
ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік нерівності х2 4- у2 С 4.
Розв'язання. Графіком рівняння х2 4- у2 = 4 є коло радіуса 2 з центром у початку координат. Очевидно, що розв’язками даної нерівності є координати тих і тільки тих точок, які віддалені від початку координат на відстань, не більшу за 2. Тому шуканим графіком є круг радіуса 2 з центром у початку координат (рис. 111).
Зрозуміло, що графіком нерівності х2 4- у2 > 4 є множина точок координатної площини, які не належать кругу радіуса 2 з центром у початку координат (рис. 112).
120
16. Нерівності з двома змінними
Зазначимо, що графіки нерівностей прикладів 1-4 можна знайти за однією загальною схемою: побудувати графік рівняння Р (х* У) = 0, який розбиває координатну площину на дві області. Тоді одна з цих областей (можливо, разом з графіком рівняння) є шуканим графіком нерівності. Ця схема застосовна і в тих випадках, коли графік рівняння Р (х; у) = 0 розбиває область визначення виразу Р (х; у) на три і більше областей. Які з цих областей належать шуканому графіку, з’ясовують за допомогою «пробних точок». Пояснимо суть цього прийому на прикладах1. ПРИКЛАД 5 Зобразіть на координатній площині ху графік нерівності ху > 6.
Розв'язання. Графік рівняння ху = 6 розбиває координатну площину на три області (рис. 113). Як «пробні» розглянемо точки А (-3; -3), О (0; 0), В (3; 3). Вони належать відповідно жовтій, синій і зеленій областям. Пари (3; 3) і (-3; -3) є розв’язками даної нерівності, а пара (0; 0) розв’язком не є.
Тоді можна зробити такий висновок: жовта і зелена області належать графіку нерівності, а синя область не належить.
Звідси шуканим графіком є об’єднання жовтої та зеленої областей.
ПРИКЛАД # Зобразіть графік нерівності х2 - у2 < 0.
Розв'язання. Графіком рівняння х2 - у2 = 0 є об’єднання прямих х 4- у = 0 і х - у = 0. Тому графік рівняння х2 - у2 = 0 розбиває координатну площину на чотири області (рис. 114).
За допомогою «пробних точок» встановлюємо, що шуканим графіком є об’єднання блакитної та жовтої областей (рис. 114).
О
Рис. 114
1 Повне обґрунтування описаного методу для нерівностей, наведених
у підручнику, вимагає знань, які виходять за межі шкільної програми.
121
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Вправи
339.° Укажіть нерівності, для	яких пара (-1;	2)	є	розв’язком:
1) -2х + у > 3;	3) х2 3 4 + у2 <	5;
2) х2 + у2 > 7;	4) у < Зх2 +	х.
340/ Чи є розв’язком нерівності х2 - ху + у2	>	2	пара чисел:
1)(1;1); 2)(-1;1); 3) (1;-1); 4) ґ 73;	5) (0;>/2)?
І уіЗ )
341	.° Чи належить графіку нерівності 4х >у точка:
1)	А (0; -1);	2) В (-1; 0);	3) С (1; 0);	4) В (4; 3)?
342	.° Задайте нерівністю з двома змінними півплощину з межею 2х + Зу = -1, яка містить точку А (-1; 1).
343	.° Задайте нерівністю з двома змінними відкриту півплощину з межею Зх - у = 2, яка не містить точку В (0; -1).
344	.° Зобразіть графік нерівності:
1)	Зх - у > 1;	2) 2х + у > 2;	3) у < -1;	4) х < 3.
345	.° Зобразіть графік нерівності:
1)	х - 2у < 3;	2) х + 4і/ > 5;	3) у > -2;	4) х > -2.
346	.° Чи є відкрита півплощина графіком нерівності:
1)	Зх > у + 1;	4) х + у > 1;	7)
х + у
2)	х > 0;	5) ^^<0;	8) 4і>-у2-,
х+у
3)	у < 0;	6)	9) | х | > х?
X + у
347	.° Чи є півплощина графіком нерівності:
1)	х- 5у <-3; 3) п < 1;	5) (*~у)2 >0; 7) 4х>-у2',
х-у
2) х > 2;	4)	6) ^^>0; 8) | х | > х?
Х+у	Х+у
348.° Побудуйте графік нерівності:
1) у < 2х - х2;	5) ху < 2;
2) у < х2 - 4х + 3;	6) ху > 12;
3) (х - І)2 + (у + 2)2 <1;	7) (х - у) (х + у - 1) < 0.
4) х2 + 2х + у2 > 3;
122
17. Системи нерівностей з двома змінними
349.° Побудуйте графік нерівності:
1)	у > х2 - х - 2;	5)	ху < 6;
2)	у < -х2 - Зх;	6)	ху >	-12;
3)	(х + 2)2 + у2 <	4;	7)	(х + у) (х	- у - 1) > 0.
4)	х2 + у2 - 4у > 0;
350/ Побудуйте графік нерівності:
1) х2 > 4;	3) у > І х І;	5)	у > | 2	|	х	|	-	1	|.
2) | у | < 1;	4) у < 2 | х | - 1;
351/ Побудуйте графік нерівності:
1) У2 < 4;	2) І х І < 3;	3)	у < | х	+	1	|	-	2.
352	.*’ Побудуйте графік нерівності:
1)	у < |х2 - 4х |;	5) х2 - 2 | х | + у2 < 0;
2)	у > х2 - 4 | х |;	6) х2 - 2 | х | + у2 - 2 | у | + 1 > 0;
3)	у < |х2 - 4 | х | |;	7)	| х | + | у | < 1;
4)	І У І < \х2 - 4х |;	8)	| х | - | у | > 1.
353	.” Побудуйте графік нерівності:
1)	у > х2 - 4 І х І +	3;	3)	І у І > х2 - 4 | х	| + 3;
2)	| у | < х2 - 4х + 3;	4)	х2	-	2 | х | + у2	<	3.
17
Системи нерівностей з двома змінними
Пара (1; 2) є розв’язком кожної з нерівностей у - х2 > 0 і у - х > 1. У такому разі говорять, що пара (1; 2) є розв’язком системи нерівностей с 9 \у-х >0, \у-х>1.
Щоб знайти множину розв’язків системи, потрібно знайти перетин множин розв’язків нерівностей, які входять до системи.
Розв’язки системи можна зображати на координатній площині. Для цього слід побудувати графіки нерівностей, які складають систему, і знайти їх перетин. Отриману фігуру називають графіком системи нерівностей.
Побудуємо графік записаної вище системи.
Графіком першої нерівності є фігура, показана на рисунку 115 синьою горизонтальною штриховкою. Графіком другої нерівності є півплощина, показана на рисунку 115 червоною вертикальною штриховкою. Фігура, яка зображує розв’язки системи, позначена подвійною штриховкою.
123
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Рис. 115
Рис. 116
.	„ (у-х2>0,
Також кажуть, що система нерівностей і	задає по-
К	А.’	[1/-Х>1
будовану фігуру.
У>0,
Наприклад, система нерівностей * х < 0, задає трикутник АБО (рис. 116).	1-х + у < 1
Система нерівностей на рисунку 117.
х2 + у2 < 9,	.
задає півкруг, зображений х-у >0
ПРИКЛАД Зобразіть графік нерівності у]1-х2-у2 (х + і/)>0.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі х + і/>0, 1-х2-у2 >0.
Графіком першої нерівності системи є відкрита півплощина, графіком другої — внутрішня область круга радіуса 1 з центром у початку координат.
Отже, графіком даної нерівності є відкритий півкруг (рис. 118).
Рис. 117
Рис. 118
124
17. Системи нерівностей з двома змінними
Ц Вправи
354.° Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків системи нерівностей:
[2х-3у>1, 1)	У	3) 1 х + 2у < 2; [4х + у <0, 2> 41	(х<2,	(Зх + 2у>5. 1	1 [2х-у>-1;	[у<-1,5х + 1 (2х-у >1, [2х-у<2;
355.° Побудуйте графік системи нерівностей:
(-х + 2у<-2, 1)	’	3) [х-у>1;	(х+3у>1,	І3х-у>2, |х>0;	[бх-2у<1.
[у >-1, 2) Г	4) [2х-у<2;	(у+3>2х, [2х - у > -2;
356/ Зобразіть на координатній площині ху множину С = А ГІ В, де:
1) А = {(х; у) | х2 + у2 < 1}, В = {(х; у) | у > 2х};
2) А = {(х; у) І у < —х2 + 1}, В = {(х; у) | у > -4};
3) А = {(х; у) | у > х2 - 4х + 3}, В = {(х; у) | у < -х2 + 4х - 5};
4) А = {(х; у) | х2 + у2 >	4}, В = {(х; у) | у < х2}.
357.* Побудуйте графік системи нерівностей:
1} \х2+у2<4, [х2 +(у + 3)2 <9;	4>
(х2+у2<9, [х2 + уг>4і	5) І5'4;1?1’
3) Iх2+у2>4’
(х-3)2 + у2 <9;
358.* Зобразіть на координатній площині ху множину розв’язків системи нерівностей:
1) Iх <9’	3) і |х|<2;	1	|х2 + и2<10,	[х2+у2<4, 5) 1 [ху < - 3;	[ху > 0;
х2 + у2 > 1, 2)	< 1 1	4)	| у 1 < 2;	Iх!/ < 0.
125
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
359.** Задайт» системою нерівностей фігуру, зображену на рисунку 119.
ж) Рис. 119
126
17. Системи нерівностей з двома змінними
360/* Задайте системою нерівностей фігуру, зображену на рисунку 120.
Рис. 120
361. Зобразіть графік нерівності:
1) І X - у І < 2;
2)| у - Зх | >4;
3)	| х + у | < х - у,
4)	І х - у | > 2х + у;
5)	4^у<2;_______
6)	\[х + У <у[2х^у + ї;
7)	у[2х+у >у^х^у^ї.
127
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
362	.** Зобразіть графік нерівності:
1)	І X + у І > 3;	4) І х + у І > х - у;
2)	| 2х - у | < 1;	5)	у[х+у<1‘,
3)	| 2х - у | < х + у,	6) 7х-2у-1 <у[х~У-
363	.*’ Зобразіть графік нерівності:
1)	(х + і/-1)7х2+у2-1<0;
2)	(х + г/-1)7х2+у2-1 >0.
364	.** Зобразіть графік нерівності:
1)	71-| х | (і/-х2)>0;
2)	71-| х І (і/-х2)<0.
Ділення многочленів. Корені многочлена. Теорема Безу
Ви вмієте додавати, віднімати і множити многочлени. У цьому пункті ми запровадимо дію ділення многочленів.
Ви знаєте, що ціле число а ділиться націло на ціле число Ь (Ь * 0), якщо існує таке ціле число с, що а = Ьс. Засновуючись на цих міркуваннях, приймемо таке означення.
Означення. Кажуть, що многочлен А (х) ділиться націло на тотожно не рівний нулю многочлен В (х), якщо існує такий многочлен (х), що для будь-якого х є К виконується рівність А (х) = В (х) • ф (х).
Многочлен А (х) називають діленим, многочлен В (х) — дільником, многочлен (і (х) — часткою.
Якщо многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х), то це позначають так: А (х) : В (х).
Розглянемо кілька прикладів.
Многочлен х3 + 1 ділиться націло на многочлен х+1. Справді, х3 + 1 = (х + 1) (х2 - х + 1). Тут роль частки виконує многочлен х2 - X + 1.
Многочлен 6х4 - 5х3 + 4х2 - х ділиться націло на многочлен 2х2 -х+1, оскільки 6х4 - 5х3 + 4х2 - х = (2х2 -х+1) (Зх2 - х). У цьому можна переконатися, розкривши дужки.
128
18- Ділення многочленів. Корені многочлена. Теорема Везу
Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійснювати за алгоритмом ділення «куточком», аналогічно тому, як це роблять при діленні чисел:
х8 + 1	х + 1	_ 6х4 - 5х8 + 4х2 - х	2х2 - х + 1
х8 + х2	х2 - х + 1	6х4 - Зх8 + Зх2	Зх2 - х
_-х2 + 1 -х2 - X X + 1	_-2х8 + х2 - х -2х3 + х2 - х 0	
________X 4- 1
0
Якщо А (х) : В (х), тобто А (х) = В (х)*(? (х), і многочлен А (х) ненульовий, то очевидно, що степінь многочлена А (х) дорівнює сумі степенів многочленів В (х) І (х). Тому для ділення націло ненульових многочленів необхідно, щоб степінь діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова не є достатньою. Так, многочлен х3 4- 1 не ділиться націло на многочлен х-1. Справді, якби існував многочлен (х) такий, що для будь-якого х е К виконувалася рівність х3 4- 1 = (х - 1) © (х), то при х = 1 отримали б неправильну рівність І3 + 1 = 0.
Теорема 18.1. Для будь-якого многочлена А (х) і ненульово-го многочлена В (х) існує єдина пара многочленів Ц (х) і В (х) таких, що
А (х) = В(х)-(?(х) + Я (х), де степінь многочлена В (х) менший від степеня многочлена В (х) або В (х) — нульовий многочлен.
У цій рівності многочлен (х) називають неповною часткою, а многочлен В (х) — остачею.
Ви зможете довести цю теорему на заняттях математичного гуртка.
Розглянемо многочлени А (х) = 2х4 - х3 + х2 - 1 і В (х) = х2 -- Зх 4- 2. Знайдемо для цих многочленів неповну частку й остачу.
Це можна зробити за допомогою ділення «куточком»:
_ 2х4 - х3 4- х2 - 1	х2 — Зх 4~ 2
2х4 - 6х3 4- 4х2_______ 2х2 4- 5х 4- 12 (неповна частка)
_5х3 5х3	- Зх2 - 1 - 15х2 + Юх
_12х2 - Юх - 1 	12х2 - 36х + 24	
26х - 25 (остача)	
129
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Тепер можна записати:
2х4-х3 + х2 - 1 = (х2 - Зх + 2)(2х2 + 5х+12) + 26х-25. (1)
2х4 — х3 + х2 -1
Розглянемо раціональний дріб ----;--------. За допомогою
х -Зх + 2
рівності (1) можна записати:
= 2х* + 5х +12 +
X -Зх + 2	х -Зх + 2
Права частина цієї рівності є сумою многочлена і дробу. У чисельнику дробу записано многочлен, степінь якого менший від степеня многочлена, який записано в знаменнику. Такий дріб називають правильним. Подання раціонального дробу у вигляді суми многочлена і правильного дробу називають виділенням цілої частини з раціонального дробу.
Означення. Число а називають коренем многочлена А (х), якщо А (а) = 0.
Зрозуміло, що корінь многочлена А (х) — це корінь рівняння А (х) = 0.
Легко знайти множину коренів рівняння
(Зх - 7) (5х + 1) (2х - 9) (х + 1) = 0.
Проте, якщо рівняння переписати так: ЗОх4 - 169х8 4- 75х2 + 4- 337х 4- 63 = 0, то задача пошуку його коренів стає непростою.
Тому при розв’язуванні рівнянь виду А (х) = 0, де А (х) — многочлен, важливо навчитися виділяти в многочлені лінійний множник, тобто подавати його у вигляді добутку: А (х) = (х - а) В (х), де В (х) — деякий многочлен, степінь якого на 1 менший від степеня многочлена А (х).
Цьому значною мірою сприятимуть такі теореми.
Теорема 18.2 (теорема Безу). Остача від ділення многочлена А (х) на двочлен х-а дорівнює А (а).
Доведення. Оскільки степінь дільника (двочлена х-а) дорівнює 1, то степінь остачі має дорівнювати нулю або остача має бути нульовим многочленом, тобто шукана остача — це деяке число г. Для будь-якого х є К маємо:
А (х) = (х - а) в (х) 4- г.
Поклавши в цій рівності х = а, отримаємо:
А (а) = (а - а) в (а) 4- г.
Звідси А (а) = г. А
130
18. Ділення многочленів. Корені многочлена. Теорема Везу
Етьєн Везу (1730-1783)
Французький математик» основні роботи якого стосуються вищої алгебри. Викладав математику в училищі гардемаринів, Королівському артилерійському корпусі. Автор шеститомної праці «Курс математики»
' Для того щоб число а було коренем многочлена А (х), необхідно й достатньо, щоб многочлен А (х) ділився націло на двочлен х-а.
Доведення. Нехай А (а) = 0» тобто число а є коренем многочлена А (х). Доведемо» що А (х) : (х - а).
За теоремою Везу А (а) є остачею від ділення многочлена А (х) на двочлен х-а. Проте А (а) = 0, отже, А (х) : (х - а).
Нехай тепер А (х) : (х - а). Доведемо, що А (а) = 0.
Оскільки А (х) : (х - а), то остача від ділення многочлена А (х) на двочлен х-а дорівнює 0, тобто А (а) = 0. &
; . и • ч<»• ; Якщо {ар а2, ...» ал} — множина коренів многочлена А (х), то А (х) = (х - а^ (х - а2)-...-(х - ал) (х), де (х) — деякий многочлен.
Доведення. Якщо ах — корінь многочлена А (х), то за теоремою 18.3 маємо А (х) = (х - а^ (х). Покладемо в цій рівності х = а2. Отримаємо (а2 - ах) (а2) = 0. Оскільки ат Ф ф а2, то а2 — корінь многочлена (х). Тоді за теоремою 18.3 маємо (х) = (х - а2) ф2 (х). Отримуємо А (х) = (х - а^ (х) = = (х - а^ (х - а2) в2 (х).
Застосовуючи аналогічні перетворення для коренів а3, а4, ..., а , отримаємо, що А (х) = (х - а,) (х - ао)-... -(х - а ) в (х). А
: з !	1; Множина коренів многочлена степеня п міс-
тить не більше ніж п елементів.
Доведення. Припустимо, що ар а2, ..., ал, ал + 1 — корені многочлена А(х), степінь якого дорівнює п. Міркуючи так само, як у доведенні наслідку 1, можна записати:
А (х) = (х - о^) (х - а2)-...-(х - ап + 1)	(х).
131
§2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Проте ця рівність неможлива, оскільки в лівій частині записано многочлен степеня п, а в правій — вираз, який тотожно дорівнює многочлену, степінь якого більший за п. А
З наслідку 2 випливає таке твердження.
Наслідок 3. Якщо множина коренів многочлена апхп + + а „Xй"14- ... 4- а*х + аЛ містить більше ніж п елементів, то а = а = ... = а = аЛ = 0, тобто цей многочлен тотожно дорівнює нулю.
ПРИКЛАД Доведіть, що вираз А (х) = (х - 2)100 4- (х - І)50 - 1 ділиться націло на многочлен В (х) = х2 - Зх + 2.
Розв'язання. Маємо: В (х) = х2 - Зх 4- 2 = (х - 1) (х - 2). Оскільки А (1) = 0, то многочлен А (х) ділиться націло на х - 1, тобто А (х) = (х - 1) (х). Оскільки А (2) = (2 — 1) (2) = 0, то многочлен (х) ділиться націло на х - 2, тобто (х) = (х - 2)	(х).
Таким чином, А (х) = (х - 1) (х - 2)	(х), тобто многочлен А (х)
ділиться націло на многочлен х2 - Зх + 2.
ПРИКЛАД 2 Остачі від ділення многочлена Р (х) на двочлени х-2 і х - 3 відповідно дорівнюють 5 і 7. Знайдіть остачу від ділення многочлена Р (х) на многочлен х2 - 5х 4- 6.
Розв'язання. Оскільки степінь многочлена х - 5х 4- 6 дорівнює 2, то степінь шуканої остачі не більший за 1 або остача є нульовим многочленом. Тому остача — це многочлен виду ах 4- Ь.
Маємо: Р (х) = (х2 - 5х 4- 6) ф (х) 4- ах 4- Ь;
Р (х) = (х - 2) (х - 3) в (х) 4- ах + Ь.
Підставимо по черзі в цю рівність х = 2 і х = 3. Отримуємо:
Р (2) = 2а + Ь, Р (3) = За + Ь.
Застосовуючи теорему Везу, маємо: Р (2) = 5 і Р (3) = 7. Тоді [2а 4-6 = 5, отримуємо систему
[За 4- Ь = 7.
Звідси а = 2, Ь = 1. Тоді шуканою остачею є многочлен 2х 4- 1. Відповідь: 2х + 1.
ПРИКЛАД 3 При яких натуральних п многочлен / (х) = х" 4- ап ділиться націло на двочлен х 4- а, де а * 0?
Розв'язання. Маємо: х 4- а = х - (-а). З’ясуємо, при яких натуральних п виконується рівність / (-а) = 0, тобто (-а)л 4- а” = 0. Очевидно, ця рівність виконується тільки при всіх непарних п.
132
18. Ділення многочленів. Корені многочлена Теорема Везу
ПРИКЛАД 4 Доведіть тотожність:
(а-ьпа-с) । (а-с)(а-а) ।	1 = р
(а -Ь)(а- с) (Ь - с)(Ь - а) (с - а) (с - Ь)
Розв'язання. Розглянемо ліву частину рівняння як многочлен зі змінною д, і позначимо його / (с?). Зазначимо, що многочлен / (<2) має степінь не більший за 2 або є нульовим многочленом.
Легко перевірити, що / (а) = / (Ь) = / (с) = 0. З наслідку 3 випливає, що цей многочлен тотожно дорівнює нулю.
Вправи
365.° Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х):
1) А (х) = х* 1 2 - 7х 4- 6, В (х) = х - 6;
2) А (х) = х4 - 1, В (х) = х3 + х2 + х + 1;
3) А (х) = Зх4 - 7х3 4- 2х2 + Зх - 1, В (х) = х3 - 2х2 + 1
Зі > Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х):
1) А (х) = х3 - 1, В (х) = х2 + х 4- 1;
2) А (х) = 4х3 - 8х2 4- 5х - 1, В (х) = 2х2 - Зх + 1;
3) А (х) = 2х4 - х3 + 2х2 + 1, В (х) = х2 - х 4- 1.
367. Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу:
1) А (х) = 2х5 * + 5х3 4- 6х - 7, В (х) = х3 + х;
2) А (х) = х4 + х 4- 1, В (х) = х2 4- х 4- 1;
3) А (х) = х4 4- х2 4- 1, В (х) = х 4- 5.
368.’ Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х), знайдіть неповну частку й остачу:
1) А (х) = х5 - 6х3 4- 2х2 - 4, В (х) = х2 - х 4- 1;
2) А (х) = х7 - 1, В (х) = х3 4- х 4- 1;
3) А (х) = х3 + 5х2 - 6х - 6, В (х) = х - 2.
369.° Доведіть, що многочлен А (х) не ділиться націло на многочлен В (х):
1)А(х) = х2 + 1, В (х) = х - 1;
2) А (х) = х3 + х - 1, В (х) = х 4- 1;
3) А (х) = 2х4 - Зх3 - х + 1, В (х) = х2 - Зх 4- 2.
370.° Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на двочлен В (х):
1) А (х) = х3 4- 2х2 4- Зх 4- 1, В (х) = х - 1;
2) А (х) = 2х4 - 4х3 - х - 1, В (х) = х 4- 2.
133
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
371	.° Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на двочлен В (х):
1)	А (х) = 2х3 - 7х2 + х + З, В (х) = х - 4;
2)	А (х) = 6х4 - 5х3 - 53х2 + 45х - 9, В (х) = х + 1.
372	.° Доведіть, що многочлен А (х) ділиться націло на двочлен В (х):
1)	А (х) = 2х3 + 7х2 + 7х + 2, В (х) = х + 2;
2)	А (х) = Зх4 - 8х3 + 2х2 + 5х - 2, В (х) = х - 2;
3)	А (х) = 5х5 - 6х4 - х2 + х + 1, В (х) = х - 1;
4)	А (х) = х® - Зх5 - х4 + 2х3 + Зх2 + х - З, В (х) = х - 3.
373	.’ Виділіть цілу частину з раціонального дробу:
х3-х + 2	х4-2х3 +3х2 +4х + 1
А) 2 -	’	2	«
Х+1	X + X - 2
2х4-Зх3 +4х2 +1.
'	х2-1
Зу4.* Виділіть цілу частину з раціонального дробу:
1) 2х4 + х3 - 5х2 - х +1.	3) х5 - Зх3 + х2 + 2х -1
х2-х ’	х2+х —1
5х4-Зхв +3х-1. і 2	’
Х + 1-Х
375/ Доведіть, що вираз (х 4- 1)2л - х2л - 2х - 1 ділиться націло на вираз х (х 4- 1) (2х 4- 1), де п є N.
376/ Доведіть, що вираз (х2 4- х - 1)2л + (х2 - х 4- 1)2л - 2 ділиться націло на многочлен х2 - х, де п є N.
377/ При яких значеннях параметра а остача від ділення многочлена:
1) х4 4- ах3 - 2х2 4- х - 1 на двочлен х-1 дорівнює 5;
2) 2х4 - Зх3 - ах2 - х - 2 на двочлен х 4- 1 дорівнює З?
378/ При яких значеннях параметра Ь многочлен х3 4- Зх2 - Ьх 4- 6 ділиться націло на двочлен х 4- 2?
379/ При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х):
1) А (х) = 2х3 - х2 4- ах 4- &, В (х) = х2 - 1;
2) А (х) = 6х4 - х3 4- ах2 + Ьх 4- 4, В (х) = х2 - 4?
380/ При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) = ' = Зх4 4- 5х3 4- ах2 + Ьх + 10 ділиться націло на многочлен
В (х) = х2 4- х - 2?
381/* Доведіть, що коли п : к9 п є М, к є то (хл - ал) : (х* - а*).
134
19. Алгебраїчні рівняння
382/* При яких значеннях параметрів а, Ь і с многочлен х3 + + ах2 + Ьх + с ділиться націло на двочлени х - 1 і х + 2, а при діленні на двочлен х + 1 дає в остачі 10?
383/ При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен х3 + ах2 + + Ьх + аЬ при діленні на х - 2 дає в остачі 15, а при діленні на х + 1 дає в остачі 0?
384/* Остачі від ділення многочлена А (х) на двочлени х - 3 і х - 1 відповідно дорівнюють 6 і 4. Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на многочлен х2 - 4х + 3.
385.* Доведіть тотожність
а-----------1- Ь---------ь с----------= а.
(а-Ь)(а-с)	(Ь-с)(Ь-а)	(с-а)(с-Ь)
^^Алгебраїчні рівняння
Означення Рівняння виду апх" + ал_1х"-1 + ... + а^х + а0 = 0, де а0, а , ...» ап — параметри, називають алгебраїчним рівнянням.
Числа а0,	..., ап називають коефіцієнтами алгебраїчного
рівняння.
Число а0 називають вільним членом цього рівняння.
і о । ема 19.1. Якщо алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного члена.
Доведення. Нехай х0 — цілий корінь рівняння
а хп + а хп~1 + ... + аЛх + а = 0, п	п - 1	1	0
де а0, ар ..., ап — цілі числа. Тоді виконується рівність
+ ^п-1^0	+ ••• + аіХо + «о = 0.
Звідси а0 =-а„х;“•••-Оі^ої
= %0	—... —О1).
Отже, ціле число а0 дорівнює добутку двох цілих чисел, одне з яких х0. Тому а0 : х0.
Зауваження. З доведеної теореми не випливає, що дільник вільного члена алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами обов’язково є коренем рівняння. У теоремі йдеться тільки про те, що цілі корені алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами слід шукати лише серед дільників вільного члена.
135
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Іншими словами: для того щоб число було цілим коренем алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб воно було дільником вільного члена (рис. 121). Однак ця умова не є достатньою.
Наприклад, числа -1, 1, -2 і 2 є дільниками вільного члена рівняння Зх2 - 5х - 2 = 0. Проте тільки одне з них, число 2, є коренем рівняння.
Теорема 19.1 допомагає розв’язувати ті алгебраїчні рівняння з цілими коефіцієнтами, які мають цілі корені. Переконаємося
в цьому на такому прикладі.
ПРИКЛАД Розв’яжіть рівняння 2х4 - 5х3 - 2х2 - х - 6 = 0.
Розв'язання. Щоб перевірити наявність цілих коренів у цього рівняння, випишемо всі дільники його вільного члена: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
Перевіркою встановлюємо, що х = -1 є коренем даного рівняння. Отже, многочлен / (х), який стоїть у лівій частині рівняння, ділиться націло на двочлен х -І- 1, тобто / (х) = (х + 1) £ (х).
Многочлен б (х) знайдемо, виконавши ділення «куточком» многочлена / (х) на двочлен х 4- 1:
2х4 - 5х3 - 2х2 - х - 6 х+ 1_____
2х4 + 2х3_________ |2х3-7х24-5х-6
_-7х3	2х' - х - 6
з7х1_7г________
_ 5 л2 -х-6
5х2 + 5х 6х - 6 -6х - 6
Те саме можна записати в «одноповерховому» вигляді.
2х4 — 5х3 — 2х2 — х — 6 = 2х4 -ь 2х3 — 7х3 7 х“ + 5х"’ 4- 5х-6х — 6 = -5х3	2х2 -х
= 2х3 (х + 1) - 7х2 (х + 1) + 5х (х + 1) - 6 (х + 1) = = (х + 1) (2х3 - 7х2 + 5х - 6).
Отже, б (х) = 2х3 - 7х2 4- 5х - 6.
З’ясуємо, чи має цілі корені рівняння 2х3 - 7х2 4- 5х - 6 = 0. Випишемо дільники вільного члена: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6.
136
19. Алгебраїчні рівняння
Перевіркою встановлюємо, що х = 3 є коренем цього рівняння. Тоді § (х) = (х - 3) к (х). Знайдемо многочлен Л (х). Для цього подамо многочлен § (х) у вигляді суми двочленів, кожний з яких ділиться націло на х - 3:
2х3 -7х2 +5х-6 = 2х3-6х2 -х2 4-3x4-2х-6 = :
-7х2 5х
= 2х2(х-3) х(х-3) + 2(х-3) = (х 3) (2х2 - х 4-2).
Отже, Л (х) = 2х2 - х + 2.
Очевидно, що рівняння к (х) = 0 коренів не має. Таким чином, дане рівняння має два корені -1 і 3.
Відповідь: -1; 3.
І Вправи
386.* Розв’яжіть рівняння:
1)	х3 + 9х2 + 23х +15 = 0;
2)	2х3 - х2 - 5х - 2 = 0;
3)	Зх + 5х3 - х2 - 5х - 2 = 0;
4)	5х4 + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 = 0;
5)	2х4 - Зх3 - 7х2 + 6х + 8 = 0;
6)	х5 + 8х4 + 24х3 + 35х2 + 28х + 12 = 0.
387 Розв’яжіть рівняння:
1)	х3 + х2 - 4х + 2 = 0;
2)	х3 - х2 - 8х + 12 = 0;
3)	х3 + 4х2 + 5х + 2 = 0;
4)	х4 + 4х3 - 2х2 - 4х + 1 = 0;
5)	х4 + 2х3 - 11х2 + 4х + 4 = 0;
6)	Зх4 + 5х3 - 9х2 - 9х + 10 = 0.
388." Доведіть, що коли алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами
х" + а 1хл 1 4- ... 4- а х 4- а = 0 пі	10
має раціональний корінь, то він є цілим числом.
9Л Доведіть, що коли алгебраїчне рівняння з цілими коефіцієнтами
а хп 4- а _хл“ 1 4- ... 4- а,х 4- а = 0 п	п - 1	10
має раціональний корінь хп=—, де — — нескоротний дріб,
то р — дільник вільного члена а0, д — дільник коефіцієнта ап.
137
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
| Метод математичної інду кції
Вивчаючи навколишній світ, нам часто доводиться на підставі результатів спостережень і дослідів робити висновки.
Загальні висновки, отримані на підставі окремих випадків, називають індуктивними, а сам метод таких міркувань — індуктивним методом або індукцією (від лат. іпсіисііо - наведення).
Наприклад, задовго до відкриття законів руху Землі люди зробили висновок, що Сонце вранці встає на сході, а ввечері зникає за обрієм на заході. Цей висновок є індуктивним: адже він базувався лише на спостереженнях.
Звісно, за допомогою індукції не завжди можна отримати правильні висновки. Так, якщо у вашій і сусідній школах серед учителів початкових класів немає чоловіків, то це не означає, що всі вчителі початкових класів — жінки.
Незважаючи на необхідність ставитися до індуктивних висновків з певним ступенем недовіри, індуктивний метод знаходить широке застосування в математиці.
Розглянемо два приклади.
* Будемо спостерігати, як «поводяться» суми п перших непарних натуральних чисел. Маємо:
5, = 1 = 1;
8г = 1 + 3 = 4;
53 = 1 + 3 + 5 = 9;
54 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;
5=1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 □
Числа 1, 4, 9, 16, 25 є квадратами послідовних натуральних чисел.
Тепер можна зробити таке припущення: для будь-якого натурального п
8п = 1 + 3 + 5 + ... + (2п - 1) = п2.	(1)
Розглянемо значення многочлена / (п) = п2 - п + 41 при зна-ченнях п, які дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5. Маємо:
/ (1) = 41 — просте число;
/ (2) = 43 — просте число;
/ (3) = 47 — просте число;
/ (4) = 53 — просте число;
/ (5) = 61 — просте число.
Припущення: для будь-якого натурального п значення виразу / (и) є простим числом.
138
20. Метод математичної індукції
Два наведених припущення є лише гіпотезами, які належить або довести, або спростувати.
Спростувати гіпотезу можна контрприкладом. Для другого припущення такий контрприклад легко знайти. Маємо: / (41) = 412 - 41 -І- 41 = 412 — складене число.
Спроба знайти контрприклад для першого індуктивного висновку може привести до	таких рівностей:
5в = 1	+	3 +	5 + 7 + 9	+	11	= 36 = б2;
£7 = 1	+	3 +	5 + 7 + 9	+	11	+ 13 = 49 = 72;
86 = 1	+	3 +	5 + 7 + 9	+	11	+ 13 + 15 = 64 = 82.
Отримані рівності лише підкріплюють упевненість у тому, що висунута гіпотеза є правильною.
Зрозуміло, що приєднання до суми чергового непарного доданка не призведе до доведення гіпотези: скільки б сум ми не обчислили, неможливо гарантувати того, що серед нескінченної кількості сум, що залишаються, не трапиться така, для якої рівність (1) не виконується.
Щоб довести справедливість висловленої гіпотези, потрібно провести деякі загальні міркування.
Нехай рівність (1) є справедливою для к доданків, тобто = 1 + 3 + 5 + ... + (2к - 1) = к2.
Розглянемо суму, яка містить к 4- 1 доданок:
5,+х = 1 + 3 + 5 + ... + (2#-1) + (2к +1) = 8к + (2к +1).
5*
З урахуванням припущення маємо: 8* х = к2 4- (2к + 1) = = & + І)2.
Наведені міркування гарантують, що коли рівність (1) є правильною для п = к, то вона залишається правильною і для п = к 4- 1.
Тепер можна стверджувати, що рівність (1) доведено для будь-якого натурального значення п. Пояснимо це.
Ми показали, що рівність (1) є правильною для п = 1. Отже, вона є правильною для п = 1 + 1 = 2, а тоді вона є правильною при п = 2 + 1 = 3, при п = 3 4- 1 = 4, при п = 4 + 1 = 5і взагалі, цей «ланцюжок» можна протягнути до будь-якого натурального значення п. Отже, рівність (1) є правильною при всіх натуральних значеннях п.
Описаний метод доведення називають методом математичної індукції. У загальному вигляді його можна описати так.
Нехай потрібно довести, що деяке твердження є правильним для будь-якого натурального значення п.
139
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Доведення цього факту методом математичної індукції складається з двох частин (теорем):
1) доводять (перевіряють) справедливість твердження для п = 1;
2) роблять припущення, що твердження є правильним для п = к, і на підставі цього доводять, що воно є правильним для п = к + 1.
Теорему, яку доводять у першій частині, називають базою індукції.
Наприклад, при доведенні рівності (1) базою індукції було твердження, що рівність (1) виконується при п = 1.
Теорему, яку доводять у другій частині методу, називають індуктивним переходом.
ПРИКЛАД 1 Виведіть формулу для обчислення значення суми
5"=ПЇЇ + ^ + ^7+- + (2п-21)(2п + 1)’ ДЄПЄК-
Розв'язання. Для п = 1: 8.	= -
1 1-3 З
= 2- Я =^ + ^ = 1
2 1-3 + 3«5 5* _о. с =^ + ^ + 11=9
3	1-3	3-5	5-7	7’
= 4. 5	1 +^ + 1Г + _31=16
4	1-3	3-5	5-7	7-9	9
п
Для
Для
п
п
Для
Бачимо, що тепер можна зробити таке припущення:
8 =-^—. п 2п + 1
Доведемо цю гіпотезу методом математичної індукції.
Вище ми перевірили справедливість формули (2) для п = 1, тим самим ми довели теорему «база індукції».
Тепер доведемо теорему «індуктивний перехід».
(2)
1 . 7 .17
Маємо:	л о п
к+1 1-3 3-5 5-7
к2
Нехай формула (2) є правильною при п = к, тобто 8к = —— 2л+ 1
2*2-!	| 2(*4-1)2-1
(2* -1) (2* +1) (2* 4-1) (2* 4- 3)
5*
= 5 + 2С& + 1)2-1 = *г + 2к*±4к + 1 _ 2*34-5*г 4-4*4-! = * (2* 4-1) (2* 4-3) 2*4-1 (2* 4-1) (2* 4-3)	(2* 4-1) (2* 4-3)
= 2*8 4-2*2 4-З*2 4-3* 4-* 4-1 = 2*2 (*+1) + 3*(*+1)+*4-1 = (*4-1)(2*2 4-3*4-!) =
(2* 4-1) (2* 4-3)	(2* 4-1) (2* 4-3)	(2* 4-1) (2* 4-3)
140
20. Метод математичної індукції
_ (Аг + 1)(£ +1) (26 +1) _ (6 +1)2
(2Л + 1Н2Л + 3) ” 2Л + 3 ’
Отже, припустивши, що формула (2) є правильною при п = к, ми довели, що вона є правильною і при п = к + 1. Аз урахуванням теореми «база індукції» можна зробити висновок, що гіпотеза є правильною.
З—» ЗАДАЧ А 1 Доведіть, що 1 + 2 + 3 + ... + п =	де п є N.
Користуючись методом математичної індукції, доведіть цю рівність самостійно.
ПРИКЛАД 2 Виведіть формулу для обчислення суми 1® + 2® + + 3® + ... + п3, де п є N.
Розв’язання. Для п = 1: 51 = 1® = 1.
Для п = 2: 82 = 1® + 2® = 9 = З2 = (1 + 2)2.
Для п = 3: 83 = 1® + 23 + 3® = 36 = б2 = (1	+	2	+	З)2.
Для п = 4: 84 = І3 + 2® + З3 + 43 = 100 = 10*	=	(1	+ 2 + 3 + 4)!.
Тепер можна зробити таке припущення:
8п = (1 + 2 + 3 + ... + п)2.
Ураховуючи ключову задачу 1, гіпотезу можна записати в такій формі:
= М(п + 1П	(3)
п І 2
Справедливість цієї формули при п = 1 було встановлено вище.
( к (к +1) V
Нехай формула (3) є правильною при п = к9 тобто 8к = І —-— І .
\ & /
Маємо:	=1®+23+З3+ ...* Аг® + (* +1)® = [ * (*0+І + (Аг + 1)3 =
и.Ьи.ії (Л + 1)2 (Аг2+4Л + 4) (к +1)2 (к + 2)2 Ґ(А + 1)(Л + 2)У
V 4	7	4	4 І 2	7
Методом математичної індукції формулу (3) доведено.
ПРИКЛАД 3 Доведіть, що для будь-якого п є N значення виразу 5Л - Зл + 2п кратне 4.
Розв'язання. При п = 1 отримуємо 5і - 3і + 2 -1 = 4 : 4, тобто теорему «база індукції» доведено.
Нехай при п = к є правильним твердження (5* - 3* + 2к)  4.
141
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
Доведемо, що тоді це твердження є правильним при п = к + 1, тобто
(5* + 1 - 3* + 1 + 2 (к + 1)) 4.
Для доведення достатньо показати, що різниця (5* +1 - 3* +1 + + 2к + 2) - (5* - 3* + 2Л) кратна 4.
Перепишемо цю різницю так:
5* (5 - 1) - З* (3 - 1) + 2 = 4-5* - 2 (3* - 1).
Оскільки (3* - 1) : 2, то значення отриманого виразу кратне 4.
Отже, твердження, що доводиться, є правильним, у чому ми переконалися за допомогою методу математичної індукції.
Методом математичної індукції можна скористатися і в тих випадках, коли потрібно довести твердження, правильне для всіх натуральних п таких, що п > п0, де п0 є №, п0 > 1. У цьому разі теорему «база індукції» доводять (перевіряють) для п = п0.
ПРИКЛАД Доведіть, що для будь-якого п є N і п > 4 виконується нерівність 2Л > л2.
Розв'язання. При п = 5 маємо правильну нерівність 2б > 52.
Нехай 2* > к\ к є И, к > 4. Маємо:
2-2* > 2Л2;
2* + 1 > 2к2.
Легко показати (переконайтеся в цьому самостійно), що при к > 1 + у/2, а тим більше при к > 4, виконується нерівність 2к2 > (к + І)2. Звідси
2* + 1 > (к + І)2.
Ми показали, що при п = 5 виконується теорема «база індукції», і довели теорему «індуктивний перехід». Отже, нерівність, що розглядається, є правильною при будь-яких натуральних п таких, що п > 4.
Завершуючи розгляд методу математичної індукції, наголосимо на такому.
Кожний з обох етапів доведення методом математичної індукції — і база індукції, і індуктивний перехід — є важливим. Вище ми переконалися, що твердження може бути правильним у цілій низці окремих випадків, але неправильним узагалі. Це переконує нас в тому, наскільки важливим є довести теорему «індуктивний перехід». Але було б помилково вважати, що доведення теореми «база індукції» є менш суттєвим.
Покажемо, як, користуючись лише теоремою «індуктивний перехід», можна, наприклад, «довести», що при будь-якому натуральному п число 2п 4- 1 є парним.
142
20. Метод математичної індукції
Нехай це твердження є правильним при п = А, тобто 2к 4- 1 є парним числом. Доведемо, що тоді воно буде правильним для п = к + 1, тобто число 2 (к 4- 1) 4- 1 також буде парним.
Маємо: 2 (к 4- 1) 4- 1 = (2к 4- 1) 4- 2.
За припущенням число 2к 4- 1 є парним. Сума двох парних чисел — число парне. Отже, число (2к 4- 1) 4- 2 також є парним.
Ми коректно довели теорему «індуктивний перехід». Але при цьому не виявили, що теорема «база індукції» є неправильною (при п = 1 число 2п 4- 1 є непарним). У цьому й полягає причина того, що нам удалося «довести» настільки безглузде твердження.
Вправи
390.° Числа 24, 44, 64, 84 кратні 4. Чи можна звідси зробити висновок, що число, яке закінчується цифрою 4, кратне 4?
391/ Розгляньте значення многочлена / (п) = п2 4- п 4- 17 при п=1,п = 2, п = 3, п = 4, п = 5. Зробіть припущення. Установіть, чи є висловлена гіпотеза правильною.
392/ Доведіть, що при будь-якому натуральному п виконується рівність:
_ М" + 1) (2п + 1)
11 1 4-2 4-0 4-...4-П =------------;
6
2)	І2 + 32 +52 +...+(2я-1)2 = "(4д ~1};
3)	1-3+2-5+3-7 + ...+п(2п + 1) = ^іД^^;
6
.. 1-4 2-5 3-6 и(л + 3) п(п + 1)
4)	1------4-----4-... 4-------—-------:
' 2-3 3-4 4-5	(« + 1)(« + 2)	п + 2
(і——Vі——Vі —	• . ґі____—і+
Ч 1Л 9/\	25/ "Д (2и-1)2; 1-2и’
393/ Доведіть, що при будь-якому натуральному п виконується рівність:
1)	1-2 + 2-3+3-4 + ...+п(п + 1)=га(п + 1^(п + 2);
2)	1-4 + 2-7 + 3-Ю + ... + п (Зп + 1) = п (п + І)2;
3)	І3 + З3 + 53 + ... + (2п - І)3 = л2(2п2 - 1);
4)	1	1	1 +	1	п
’ 1-5 5-9 9-13	(4п-3)(4п + 1) 4п + ґ
143
§ 2. Функції, многочлени, рівняння і нерівності
394/* Доведіть, що при будь-якому натуральному п > 2 виконується рівність
Л 1У..	і \	ґ-і	і	п+1
\	4/\	9/\	16/	\	п2)	2и ’
395." Доведіть, що при будь-якому натуральному п виконується рівність
-1 + 3- 5 + 7- 9 + ... + (-1)п-(2п - 1) = (-1)пп.
396	." Виведіть формулу для обчислення суми
---+------ь--+... ч------------, де ТІ є N.
1-3 3-5 5-7	(2и-1)(2п + 1)
397	.” Виведіть формулу для обчислення суми
——+ —— + —— + ... + — ---, де п є N.
1-2 2-3 3-4 п(п + 1)
398	." Доведіть нерівність 2п > 2п + 1, де п є N. п > 3.
399	.” Доведіть нерівність 3Л > 4п + 1, де п є N. п > 3.
400	." Знайдіть усі натуральні значення п такі, що 4П > Зп2 4- 1.
401	.” Доведіть нерівність | аг + Л2 + а8 +	+ Лп । С । °1 । + । а2 । +
+ | а31 + ... + | ап |.
402	." Доведіть, що для будь-якого натурального п:
1)	(32л + 1 + 2Л 2) : 7;	3) (4Л + 15п - 1) : 9;
2)	(62л + 19” - 2” + *) і 17;	4) (5Л - 3” + 2л) : 4.
403	.” Доведіть, що для будь-якого натурального п:
1)	(7Л *•1 + 82л *) : 19;
2)	(7-24л - 5-ІЗ” - 2Л + 1)  11;
3)	(З2” + 2 - 8л - 9)  64.
144
СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ
§ 3. Степенева функція
Степенева функція з натуральним показником
Властивості і графіки функцій у = х і у = х2 добре знайомі вам з попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції у = хп, п є N. яку називають степеневою функцією з натуральним показником.
Оскільки вираз хп, п є N. має зміст при будь-якому х, то областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина К.
Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль х = 0.
Подальше дослідження властивостей функції у = хп, п є №, проведемо для двох випадків: п — парне натуральне число і п — непарне натуральне число.
• Перший випадок: п = Д’ є N.
Зазначимо, що при к = 1 отримуємо функцію у = х2, властивості і графік якої були розглянуті у 8 класі.
Оскільки при будь-якому х вираз х2* набуває тільки невід’ємних значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від’ємного числа.
Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що х = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = хп, де п — парне натуральне число, є множина [0; +«>).
Якщо х * 0, то х2* > 0.
Отже, проміжки (-°°; 0) і (0; +°°) є проміжками знакосталості функції у = хп, де п — парне натуральне число.
Функція у = хп, де п — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-х)2* = х2*.
Розглянемо довільні числа хг і х2 такі, що хх є (-«>; 0], х2 є (-©о; 0] і хх < х2. Тоді -хх > -х2 > 0. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо (-хх)2* > (-х2)2*. Звідси
Л2 *
Отже, функція у = хп, де п — парне натуральне число, спадає на проміжку (-©о; 0]. Аналогічно можна показати, що ця функція зростає на проміжку [0; +«>).
146
21. Степенева функція з натуральним показником
У = хп, п — парне натуральне число
х
Рис. 122
Рис. 123
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = хп9 де п — парне натуральне число (рис. 122). Зокрема, графік функції у = х4 зображено на рисунку 123.
• Другий випадок: п — непарне натуральне число.
Зазначимо, що при п = 1 отримуємо функцію у = х, властивості і графік якої були розглянуті в 7 класі.
Тепер нехай п = 2к + 1, к є N.
Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення аргументу х, що х2* +1 = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = хп, де п — непарне натуральне число, є множина №.
Якщо х < 0, то х2* +1 < 0; якщо х > 0, то х2* +1 > 0.
Ь Отже, проміжки (-«>; 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталості функції у = хп, де п — непарне натуральне число.
Ь Функція у = хп, де п — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність (-х)2А + 1 = -х2* + 1.
Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що хх < х2. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо х2*+1 <х2*+1.
У
у = хп,
п — непарне натуральне число, п > 1
Рис. 124
Отже, функція у = хп, де п — непарне натуральне число, є зростаючою.
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = хЛ, де п — непарне натуральне число, п > 1 (рис. 124).
147
§ 3. Степенева функція
Зокрема, графіки функцій у = х3 і у = х5 зображено на рисунку 125.
Рис. 125
Дослідимо взаємне розміщення графіків функцій у = хт і у = хл, де т є N. ті є N. т > л, на проміжку [0; +«>). Очевидно, що ці графіки мають дві спільні точки: (0; 0) і (1; 1).
Розглянемо різницю хт - хп = хп (хт ~п - 1). Оскільки т > п, то (т - п) є N.
Якщо 0 < х < 1, то хп > 0 і хт " п < 1. Звідси хп (хт ' п - 1) < 0.
Якщо х > 1, то хп > 0 і хт ” п > 1. Звідси хп (хт " п - 1) > 0.
Отже, на проміжку (0; 1) графік функції у = хт знаходиться нижче від графіка функції у = х", а на проміжку (1; +«>) — вище (рис. 126).
Якщо т і п — парні натуральні числа, то, відобразивши графік, зображений на рисунку 126, симетрично відносно осі ординат, отримаємо рисунок 127. Для непарних ті п застосуємо симетрію відносно початку координат (рис. 128).
шіп — непарні натуральні числа, т > п
Рис. 128
т і п — парні натуральні числа, т > п
Рис. 127
т > п, х>0
Рис. 126
148
21. Степенева функція з натуральним показником
У таблиці наведено властивості функції у = хп, п є N. установлені в цьому пункті.
	п — парне натуральне число	п — непарне натуральне число
Область визначення	к	№
Область значень	[0; +°°)	к
Нулі функції	х = 0	х = 0
Проміжки знакосталості	У > о на кожному з проміжків (-оо; 0) і (0; +оо)	У < 0 на проміжку (-оо; 0), У > о на проміжку (0; +®о)
Парність	Парна	Непарна
Зростання / спадання	Спадає на проміжку (-оо; 0], зростає на проміжку [0; +оо)	Зростаюча
Вправи
404. При яких значеннях а графік функції у = ах4 * * * проходить через точку: 1) А (2; - 12); 2) В (-3; -3)?
405.° При яких значеннях а графік функції у = ах8 проходить через точку: 1) С (3; -18); 2) В (-2; 64)?
406.° Функцію задано формулою / (х) = х19. Порівняйте:
1) / (1,4) і / (1,8);	3) Г (-6,9) і / (6,9);
2) / (-7,6) і / (-8,5);	4) / (0,2) і / (-12).
407.° Функцію задано формулою / (х) = х21. Порівняйте:
1) г (20) і г (17);	2) г (-44) і / (1,5); 3) / (-52) і / (-45).
408.° Функцію задано формулою / (х) = х20. Порівняйте:
1) / (3,6) і / (4,2);	3) / (-2,4) і / (2,4);
2) / (-6,7) і / (-5,8);	4) / (-15) і Г (2).
109.’ Функцію задано формулою / (х) = х90. Порівняйте:
1) г (9,2) і / (8,5);	3) Г (19) і / (-19);
2) / (-1,1) і / (-1,2);	4) / (-7) і / (9).
149
§ 3- Степенева функція
410	.° Скільки коренів має рівняння хп = 1600, якщо:
1)	п — парне натуральне число;
2)	п — непарне натуральне число?
411	.° Чи має дане рівняння від’ємний корінь:
1)	х® = 2;	2) х6 = -3;	3) х7 = 9;	4) Xе = -10?
412	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	х6 = 32;	2) х® =	3) х4 = 81;	4) х4 = -16.
413/ Розв’яжіть рівняння:
1)	х® =-27;	2) х6 = 0,00032;	3) х® = 64; 4) х® =-1.
414.° Знайдіть точки перетину графіків функцій:
1) у = Xе і у = 2х4;	2) у = х4 і у = -27х.
415	. Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х5 і у = х3.
416	.° Установіть графічно кількість коренів рівняння:
1)	х* = х 4- 1;	3) х4 = 0,5х - 2;
2)	хб = 3 - 2х;	4) х8 = х2 - 3.
417	.° Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
1)	|У=Л	2) У = Х6’	2
2х-у-3 = 0;	[у = 2-0,5 х2,
418	.° Чи випливає з рівності х" = х£, що х1 = х2, коли: 1) п — парне; 2) п — непарне?
419	.° Чи випливає з нерівності х[>х^9 що хг > х2, коли: 1) п — парне; 2) п — непарне?
420	. Чи випливає з нерівності х1 > х2, що х^>х^9 коли:
1)	п — парне; 2) п — непарне?
421.° Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння:
1) х12 = а - 6;	2) х24 = а2 + 7а - 8?
422	. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння х8 = 9а - а3?
423	.* Побудуйте графік функції:
1)	у = х® - 1;	4) у = (х - І)4;	7) у = -|х4;
2)	у = (х + 2)3;	5) у = (х + І)4 -	1;	8) у = | х® |;
3)	у = х4 - 4;	6)«/=-х®;	9) у = (| х | + І)4.
150
21. Степенева функція з натуральним показником
424/ Побудуйте графік функції:
1)	у = х3 + 3;	4)	у = (х + І)4;
2)	у = (х - З)3;	5)	у = (х - І)3 + 2;
3)	у = х4 + 2;	6)	у =	|х3;
4
425.* Побудуйте графік функції:
7)	у = -х4;
8)	у = (| х | - 2)3;
9)	у = | х + 1 |3.
1) Г(Х) =
2) Г(х) =
х4, якщо х<0, 4х, якщо х>0;
х5, якщох<-1, -х-2, якщо х>-1.
Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.
426/ Побудуйте графік функції /(х) =
3, якщохсО, -\/х, якщо х>0. Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.
427/ Побудуйте графік функції:
1)	у = І X І X4;	2) у = І х І х4 + х5.
428/ Побудуйте графік функції:
1)	у = І х І х3;	2) у = І х І х4 - х8.
429/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х8 на проміжку:
1)	[0; 2];	2) [-2;-1];	3) [-1; 1];	4) (—; -2];	5) (-2; 1).
430/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х6 на проміжку:
1)	[-13; -1];	2) [-2; 1];	3) [1; +«>);	4) (1; +«>).
431/ Парним чи непарним натуральним числом є показник степеня п функції / (х) = х", якщо:
1)	/ (-4) > Н-2);	4)	/	(4) > /(2);
2)	/ (-4) < / (2);	5)	/	(-4) > / (2);
3)	/ (-4) < / (-2);	6)	/	(4) > / (-2)?
432/* Розв’яжіть рівняння:
1) х11 + х3 = 2;	2) 2х4 + х10 = 3.
133.” Розв’яжіть рівняння:
1) 4х3 + х7 = -5;
2) х6 + Зх8 = 4.
151
§ 3, Степенева функція
Степенева функція з цілим показником
Функцію, яку можна задати формулою у = хп, де п є 2, називають степеневою функцією з цілим показником.
Властивості цієї функції для натурального показника було розглянуто в попередньому пункті. Тут ми розглянемо випадки, коли показник п є цілим від’ємним числом або нулем.
Областю визначення функції у = х° є множина (-«>; 0) О (0; +«>), областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функції зображено на рисунку 129.
Розглянемо функцію у = х"л, де п є N.
З окремим випадком цієї функції, коли п = 1, тобто з функ-
цією у = —, ви знайомі з курсу алгебри X
8 класу.
Запишемо функцію у = х~п у вигляді = Зрозуміло, що областю ви-
значення функції у = х"л, п є ІЧ, є множина 0) Сі (0; +«>)•
Очевидно, що ця функція нулів не має.
Рис. 129
Подальші дослідження властивостей функції у = х~п, де п є N. проведемо для двох випадків: п — парне натуральне число і п — непарне натуральне число.
• Перший випадок: п - 2А, Аг є N.
Маємо: х~2к =-4г. Оскільки вираз набуває тільки додатних х	х
значень, то до області значень розглядуваної функції не входять від’ємні числа, а також число 0.
Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що х"2* * = а.
Сказане означає, що областю значень функції у = х~п, де п — парне натуральне число, є множина (0; +«>).
Очевидно, що проміжки (-«>; 0) і (0; +<») є проміжками знакосталості функції у = х~п, де п — парне натуральне число. Функція у = х~п, де п — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х з області визначення виконується рівність	= А- = х-2*.
\ X) X
152
22. Степенева функція з цілим показником
Розглянемо довільні числа Хг І Х2 такі, ЩО Хг Е (-оо; 0), х2 є (-©о; 0) і х± < х2. Тоді -хг > -х2 > 0. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо 0<—— <——. Звідси
Отже, функція у = х~п, де п — парне натуральне число, зростає на проміжку (-оо; 0).
Ь Аналогічно можна показати, що функція у = х~п, де п — парне натуральне число, спадає на проміжку (0; +оо).
Зауважимо, що зі збільшенням модуля х значення виразу -|р к є N. стає все меншим і меншим. Тому відстань від точки графіка функції = к є К, до осі абсцис зменшується і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.
Аналогічно можна встановити, що зі збільшенням модуля ординати відстань від точки графіка до осі ординат зменшується і може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = х~п, де п — парне натуральне число (рис. 130). Зокрема, графік функції у = -^ зображено на рисунку 131.
Рис. 131
• Другий випадок: п = 2к - 1, к є N.
Можна показати, що для будь-якого а * 0 існує таке значення аргументу х, що х~(2Л ” п = а.
’Ь Сказане означає, що областю значень функції у = х~п, де п — непарне натуральне число, є множина (-«>; 0) О (0; +«>), Якщо х < 0, то •2^_1 <0; якщо х > 0, то —^->0.
153
§ 3. Степенева функція ф .
Отже, проміжки 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталості функції у = х~л, де п — непарне натуральне число.
Функція у = х~л, де п — непарне натуральне число, є непарною.
Справді, для будь-якого х з області визначення виконується
рівність	-11 = = -X і2* *’.
( ^0 х
Розглянемо довільні числа хх і х2 такі, що хг є (-оо; 0), х2 є (-оо; 0) і х1 < х2. Тоді -х1 > -х2 > 0. Скориставшись властивостями числових нерівностей, отримуємо —— <——;
Х1 Х2
глядувана функція спадає на проміжку (-оо; 0). Аналогічно можна показати, що ця функція спадає і на проміжку (0; +оо).
Отже, функція у = х~п, де п — непарне натуральне число, спадає на кожному з проміжків (-«>; 0) і (0; +«>).
Отримані властивості дозволяють схематично зобразити графік функції у = х~л9 де п — непарне натуральне число (рис. 132). Зо-
крема, графік функції у = зображено на рисунку 133.
У попередньому пункті було проведено дослідження взаємного розміщення графіків функцій у = хт і у = хл9 де т є К, п є ІЧ, 154
22. Степенева функція з цілим показником
т> п. Міркуючи аналогічно, можна показати, що схематичне розміщення графіків функцій у = х~т і у = х~п9 де т є И, п е Н, т > п, є таким, як показано на рисунках 134, 135.
тіп — непарні, т > п
тіп — парні, т > п
Рис. 134
Рис. 135
У таблиці наведено властивості функції у = х п, п є М, вивчені в цьому пункті.
	п — парне натуральне число	п — непарне натуральне число
Область визначення	0) й (0; +°о)	(-оо; 0) 0 (0; +оо)
Область значень	(0; +«)	0) 0 (0; -Н»)
Нулі функції	—	—
Проміжки знакосталості	у > 0 на кожному з проміжків (-«; 0) і (0; +~)	у < 0 на проміжку	0), у > 0 на проміжку (0; +°°)
Парність	Парна	Непарна
Зростання / спадання	Зростає на проміжку (“оо; 0), спадає на проміжку (0; +®о)	Спадає на кожному з проміжків (-оо; 0) і (0; +оо)
155
§ 3- Степенева функція
^"вправи"""""^"
434.° Чи проходить графік функції у = х4 через точку:
1) А
435.° Чи проходить графік функції у = х~5 через точку:
1) А (0; 0);
4) П
3) С ±
2) В (-1; -1); 3) С
436.° При яких
через точку:
4> В Г3; -2ЇЗІ7 значеннях а графік функції у = ах 3 проходить 1)А(-5; 20); 2) В (2; —)?
437/ При яких
значеннях а графік функції у = ах 4 проходить через точку: 1) А (3; -3); 2) В|-2; -І?
438.° Дано функцію / (х) = х~19. Порівняйте:
1) / (1,6) і / (2);	3) / (-9,6) і / (9,6);
2) / (-5,6) і / (-6,5);	4) / (0,1) і / (-10).
439/ Дано функцію / (х) = х“25. Порівняйте:
1) / (18) і / (16);	2) / (-42) і / (2,5); 3) / (-32) і / (-28).
440/ Функцію задано формулою / (х) = х 16. Порівняйте:
1) /	(1,6) і	Г (2,2);	3)	/	(-3,4) і / (3,4);
2) /	(-4,5)	і Г (-3,6);	4)	/	(-18) і / (3).
441. Функцію задано формулою / (х) = х~40. Порівняйте:
1) /	(6,2) і	/ (5,5);	3)	/	(24) і / (-24);
2) /	(-1,6)	і / (-1,7);	4)	Г	(-8) і / (6).
442/ Скільки коренів має рівняння х~п = 2500, якщо:
1) п — парне натуральне число;
2) п — непарне натуральне число?
443/ Чи має дане рівняння від’ємний корінь:
1) х’в = 2;	2) х"5 = 0,3;	3) х 7 = -3;	4) х 8 = -2?
444/ Знайдіть область визначення функції:
1) У = (х1)1;	2) у = ((х - 2)"2) 2.
445/ Побудуйте графік функції:
1) у = (х - 2)°;	2) у = (х2 - 4х + 3)°;	3)4/ = (^т) -
\х +1/
446. Побудуйте графік рівняння:
1) (у + 2)° = х - 2;	2) (у - 2)° = (х + 1)°.
156
22. Степенева функція з цілим показником
447	.* Знайдіть точки перетину графіків функцій:
1)	у = х і у = х"3;	2) у = х"2 і у = |х.
О
448	.* Знайдіть точки перетину графіків функцій у = х"7 і у = х"4.
449	.’ Побудуйте графік функції:
1)	У =	х~2 + 2;	4)	у	=	х"3 - 1;	7)	у = |	х’3 |;
2)	у =	(х - З) 2;	5)	у	=	(х - І)’3;	8)	у = |	х - 1 |"8;
3)	У = х2;	6)	у	=	Зх"3;	9)	у =
150.* Побудуйте графік функції:
1) у =	X і - 3;	3)	у	=	(х + І)"4;	5)	у = |	х"51;
2) у =	4х"5;	4)	у	=	-х"4;	6)	У = -ц—
х І х|
451/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х) = х
на проміжку:
2) -і;-|
3) [1; +°°);	4) [-1; 0).
452/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції /(х) = х
на проміжку:
1) ;
2) [-2; -1];	3)	-3];	4) (0; 2].
453/ Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
1)
У = х,
У = 4-Х2-,
2)
у = ха, у = х3+3.
454/ Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
У = х3,
2)
У = х'2, у = х2-2.
455/ Побудуйте графік функції / (х) =
456/ Побудуйте графік функції / (х) =
х 2, якщо х<-1, х2, якщох>-1. Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.
х’3, якщох<-1,
-х2, якщо -1 < X < 1, X’3, якщох>1.
Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.
157
§ 3. Степенева функція
457.* Парним чи непарним є натуральне число п у показнику степеня функції і (х) = х~п9 якщо:
1) / (-2) > / (-1);	3) / (-2) < / (-1);
2) / (-2) < / (1);	4) / (2) < / (1)?
Означення кореня п-го степеня
Ви знаєте, що квадратним коренем (коренем другого степеня) з числа а називають таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно дають означення кореня п-го степеня з числа а, де п є №, п > 1.
О ін а чек н я. Коренем п-го степеня з числа а, де п є Ві, п > 1, називають таке число, п-й степінь якого дорівнює а.
Наприклад, коренем п’ятого степеня з числа 32 є число 2, оскільки 2б = 32; коренем третього степеня з числа -64 є число -4, оскільки (-4)3 = -64; коренями четвертого степеня з числа 81 є числа 3 і -3, оскільки З4 = 81 і (~3)4 = 81.
З означення випливає, що будь-який корінь рівняння хп = а9 де п є М, п > 1, є коренем п-го степеня з числа а і, навпаки, корінь п-го степеня з числа а є коренем розглядуваного рівняння.
Якщо п — непарне натуральне число, то функція у = хп є зростаючою і, оскільки її областю значень є множина К, то рівняння хп = а має єдиний корінь при будь-якому а (див. теорему 6.3). Тоді можна зробити такий висновок:
якщо п — непарне натуральне число, більше за 1, то корінь п-го степеня з будь-якого числа існує, причому тільки один.
п — непарне натуральне число
Рис. 136
Рисунок 136 ілюструє останній висновок: при будь-якому значенні а графіки функцій у = хп і у = а мають одну спільну точку.
Корінь непарного степеня п, п > 1, з числа а позначають так: у[а (читають: «корінь п-го степеня з а»). Знак >Г називають знаком кореня п-го степеня або радикалом. Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом.
Наприклад, ^32 = 2, ^-64 = -4, {/6 = 0.
158
23. Означення кореня п-гб степеня
Корінь третього степеня також прийнято називати кубічним коренем. Наприклад, запис ^2 читають: «корінь кубічний з числа 2».
Наголосимо, що вираз к є Н, існує при будь-якому а.
З означення кореня п-го степеня випливає, що при будь-якому а виконується рівність
Наприклад, (^2)3=2, (^-0,1)? =-0,1.
Розглянемо рівняння хп = а, де п — парне натуральне число.
Оскільки областю значень функції у = хп, де п — парне натуральне число, є множина [0; +«>), то при а < 0 дане рівняння не має розв’язків.
Очевидно, що при а = 0 рівняння має єдиний корінь х = 0.
Функція у = хп, де п — парне натуральне число, зростає на [0; -Н») і набуває всіх додатних значень. Отже, при а > 0 рівняння хп = а, де п — парне натуральне число, на проміжку [0; +°°) має єдиний корінь.
Оскільки розглядувана функція є парною, то при а > 0 дане рівняння має два корені, які є протилежними числами.
Тепер можна зробити такий висновок:
якщо п — парне натуральне число, то при а < 0 корінь п-го степеня з числа а не існує; при а = 0 корінь п-го степеня з числа а дорівнює 0; при а > 0 існують два протилежні числа, які є коренями п-го степеня з числа а.
Отримані висновки мають просту геометричну інтерпретацію (рис. 137). Якщо а < 0, то графіки функцій у = хп і у = а не мають спільних точок; якщо а = 0, то розглядувані графіки мають одну спільну точку; якщо а > 0, то спільних точок дві, причому їх абсциси — протилежні числа.
Вище було встановлено, що рівняння хп = а при а > 0 обов’язково має один невід’ємний корінь. Його називають арифметичним коренем п-го степеня з числа а.
натуральне число
Рис. 137
159
§ 3. Степенева функція
Означення. Арифметичним коренем п-го степеня з невід’ємного числа а, де п є Н, п > 1, називають таке невід’ємне число, п-й степінь якого дорівнює а.
Арифметичний корінь п-го степеня з невід’ємного числа а позначають так: у[а.
Наприклад,
^81= З, оскільки 3 > 0 і З4 = 81;
\/б4 =2, оскільки 2 > 0 і 26 = 64;
>Уо = 0, оскільки 0 > 0 і О10 = 0.
Узагалі, якщо Ь > 0 і Ьп = а, де п є Н, п > 1, то у/а=Ь.
Звернемо увагу на те, що для позначення арифметичного кореня п-го степеня з невід’ємного числа а і кореня непарного степеня п з числа а використовують один і той самий запис: \/а. Запис 2у[а> к є М, використовують тільки для позначення арифметичного кореня. Зазначимо, що корінь парного степеня з числа а не має позначення.
За допомогою знака кореня п-го степеня можна записувати розв’язки рівняння хп = а, де п є К, п > 1.
Якщо п — непарне натуральне число, то при будь-якому значенні а розглядуване рівняння має єдиний корінь х = у[а.
Якщо п — парне натуральне число і а > 0, то рівняння має два корені: хх = у[а, х2 = -у[а.
Якщо а = 0, то х = 0.
Наприклад, коренем рівняння х3 = 7 є число у/ї; коренями
рівняння х4 = 5 є два числа: -^5 і ^5.
З означення арифметичного кореня п-го степеня випливає, що для будь-якого невід’ємного числа а має місце таке:
у[а >0 і виконується рівність (у[а) =а.
Наприклад, (у/ї) =7.
Покажемо, що при будь-якому а і к є N
Для того щоб довести рівність 2к+у[х=у9 що у2к + 1 = X.
Маємо: (-2*+\/а)	= -(2к+у/а)	--а.
потрібно показати,
160
23. Означення кореня п-го степеня
Доведена властивість дозволяє корінь непарного степеня з від’ємного числа виразити через арифметичний корінь.
Пптттчтгт^ттотт з/ О— з/о з/ 19- б/і П
Ц Вправи
458." Чи має зміст запис:
459/ Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте):
460.' Доведіть, що:
1)	число 2 є арифметичним кубічним коренем з числа 8;
2)	число 3 є арифметичним коренем четвертого степеня з числа 81;
3)	число -3 не є арифметичним коренем четвертого степеня з числа 81;
4)	число 10 не є арифметичним коренем п’ятого степеня з числа 10 000.
461/ Знайдіть значення виразу:
1) >/0,25; 3) </0,0016;
7) 4</0,125; 9)
2) Ї2Ї6; 4) V-».00001:
462/ Чому дорівнює значення виразу:
З
1 1024’
6) ‘^О60 ?
463/ Обчисліть:
1> (ЛїЛ 3) (-Ї7)';
5) -V?4;
6) (5</з)3;
464/ Знайдіть значення виразу:
1) №)8;	3) (-</її)в;
з
2) (</б)3; 4) (Ч/2)7;
7) (-3 4/їо/; 9) І
& /	\3
2) (-^9)’;
З
6) (-г^)5.
161
§ 3. Степенева функція
465.° Обчисліть:
1) О,З^ООО-5^256 + 6-(-*^б)10;
2) </Ї4Г+(-2л/Ї0)2-У-128;
7 V 256 V 32 16	\2	/
466.° Обчисліть:
1) 200 </0,001 - </-0,00032 - (-4	;
467.° При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1) <£+6;	3)	5) </^2;
2) </а-10;	4)	6) *<Ух2+2х-8?
468.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = Ух-2; 2) у = \І4-х; 3) у = 1$2х-х2; 4) у = —=2==
469.° Розв’яжіть рівняння:
1)	х3 = 27; 2)	х6 = 9; 3)	х7 = -2;	4)	х4 = 16; 5)	Xе = 5; 6)	х4 = -81;	7)	27х3 -1 = 0; 8)	(х - 2)3 = 125; 9)	(х + 5)4 = 10 000.
470.° Розв’яжіть рівняння:		
1) X9 = 1;	4) х18 = 0;	7) 64х5 + 2 = 0;
2) х8 = 12;	5) х6 = -32;	8) (2х + І)3 = 8;
3) х10 = 1;	6) х8 = -64;	9) (х - З)8 = 729.
471.° Розв’яжіть рівняння:
1) >/х=9;	4) </х = -6;	7) </2х + 7 = О;
2) <£ = £; 0	5) </х=-2;	8) </2х+7=0;
3) </х=3;	6) </х=0;	9) </2х + 7 = 7.
472.° Розв’яжіть рівняння:		5) </Зх-2 = 0;
1) </х = -2;	3) </х=-2;	
2) </х = -2;	4) </Зх-2 = 0;	6) </Зх-2 = 2.
473.° Побудуйте графік функції:
1) у=(^)а;	2) у=№)*.
474/ Розв’яжіть рівняння:
1) х8 - 82х4 + 81 = 0;	2) х8 + х3-56 = 0;	3) х12 + х8 - 12 = 0.
162
24. Властивості кореня п-го степеня
75/ Розв’яжіть рівняння:
1) х6 - 25х3 - 54 = 0;	2) х8 + 13х4 - 48 = 0.
476.* Знайдіть область визначення виразу:
1> 2) і X ~	— х
77 Знайдіть область визначення виразу:
і)	2) ^ІхІ-3-іА=-
Ух2-36	^х + 4
478.* Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 -4)З/х+ї = 0;	2) (х-1)^х2-2х-3 = 0.
79. Розв’яжіть рівняння:
1) (| х |-3)^2-х = 0;
2) (х + 2)^х2+2х-3 =0.
480/ Побудуйте графік функції:
1) у =	+ (Й^)‘ +1; 2) у = №)‘ + (Й^)*.
181/ Побудуйте графік функції:
1) у = х(>/х)4;	2) у = (^2 + х)8+(^2-х)в.
482/* Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:
1) (х-а)^х + 1 = 0; 2) (х - а) (</х +1) = 0; 3) (х-а)(^х-1) = 0.
183/* Залежно від значення параметра а визначте кількість коренів рівняння:
1) (х+1)л/х-а =0;	2) (х -1) (</х - а) = 0.
^^Властивості кореня п-го степеня
Розглянемо теореми, які виражають властивості кореня п-го степеня.
Теорема 24.1 (корінь із степеня). Для будь-якого а є К і к є N виконуються рівності:
2кі№^=а
І*
Доведення. Для того щоб довести рівність 2к+\[х—уу достатньо показати, що у2к + 1 = х. Тоді перша з рівностей, що доводяться, є очевидною.
163
§ 3. Степенева функція
Для того щоб довести рівність 2\Іх = у, достатньо показати, що у > 0 і у2к = х. Маємо: | а | > 0 і (| а |)2* = а2*. А
Теорема 24.2 (корінь з добутку). Якщо а > 0 іЬ > 0, п є К, п > 1, то
УаЬ=Уа-ї/Ь
Доведення. Для того щоб довести рівність \[х =у9 де X > 0, достатньо показати, що у > 0 і уп = х.
Маємо:	і \/ь>0. Тоді	Крім того,
(Й-Л)" = («'-Ж-аь. А
Зауважимо, що коли а < 0 і Ь < 0, п е И, л > 1, то ^аЬ = ^а-^Ь.
Теорема 24.3 (корінь з дробу). Якщо а > 0 і Ь > 0, я є И, п > 1, то
Доведіть цю теорему самостійно.
п[а _ у/-а
Зауважимо, що коли а<0іЬ<0,ле^я>1,то^“	•
Теорема 24.4 (степінь кореня). Якщо а > 0, п є М, к є п > 1, то
(>/а)* =
Доведення. Якщо к = 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.
Нехай к > 1. Маємо: (^п) = \[а- \[а -...-у/а = ц]а*а-...*а=у[аї. А * множників	к множників
Теорема 24.5 (корінь з кореня). Якщо а > 0, п е N. к є N. п > 1, к > 1, то
у[^/а =п>/а
Доведення. Маємо: \[ї/а >0.
Крім того, ($/а) = {($їа) ) = (Уа) = а. ▲
164
24. Властивості кореня п-го степеня
Теорема 24.6, Якщо а 0, п є К, к є Г4, п > 1, то
Доведення. Якщо к - 1, то рівність, що доводиться, є очевидною.
Нехай к > 1. Маємо: л№ = у[Ца* = ч[а. А
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) у/їв • 2; 2)
Розв'язання
1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо: </їб.</2 = </16-2 = </32 = 2.
2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), ма
тимемо:
</24 =3[2± = 3Г8І=2 З/375 N375 N125 5’
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: 1)	2) </а12; 3) а2; 4) </х®г/в,
якщо х > 0 і у < 0.
Розв’язання. Застосуємо теореми 24.5 і 24.1.
1)	3 умови випливає, що а > 0. Тоді *\Іа* = у]\Іа* =у/а.
2)	^ = </(?/= | а8 |.
3)	</^ = </^7 = </їїї|.
4)	Ураховуючи, що х > 0 і у < 0, можна записати:
</х*У = </(хі/)в = |ху| = |х||р| = х(-у) = -хр.
ПРИКЛАД 3 Побудуйте графік функції
у-\ІХв + х.
Розв'язання. Оскільки х/х®" = | х |, то У = І х І + х.
Якщо х > 0, то у = х + х = 2х.
Якщо х < 0, то у = ~х 4- х = 0.
[ 2х, якщо х > 0,
Отже, у = <
[0, якщо х < 0.
Графік функції зображено на рисунку 138.
Рис. 138
165
§ 3. Степенева функція
І Вправи
484.° Знайдіть:
1) ^64-125;
2) ^/0,0625-81;
485.° Обчисліть:
3) ^210-75;
4) ^3“.10“;
б) лі
'з12.11*
5® . 2і® '
1) ^0,064-343;
48в.° Знайдіть:
2) ^0,0081-114;
3)
224-316 “7”
6) ^55.
Т
9;
10) У28-*20
</35
3) Ш 45
4> у 128
5)	^34 - 52 .^38 ’54;
487.° Чому дорівнює значення виразу:
1)	1/25 -^5;	5) ^9-^7 .^9+^17;
7> у 256 • у81 \/12
2)	Ж 1/5
3)	^215-53 .^2в-54;
4)	у.ю2, ?/108«34 ’
488. Чому дорівнює значення виразу:
1) ^(-13)4;	2) ^(-9)5;	3) ^(-8)в?
489.° Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо а > 0 і Ь > 0:
1) >/25а2;	3) </б25а*аЬ4;
2) ^276®;	4) ^729амЬ18.
166
	24. Властивості кореня п-го степеня
490 Подайте вираз у вигляді одночлена, якщо т 0 і п > 0:
1) л/49пг2; 2) ^125п15; 491/ Спростіть вираз:	3) ^0,000064т30п42; 4) \/т12п24.
1) у$а;	3) 2^;	5) ^а8&24;	7) 1^81;	9)	. ут5п3 .—
2) </<7х;	4) 1№;	6) Шб;	8) 10^2
492. Спростіть вираз:
1) ^/х;	3) 1\/а3;	5) 2уІаиЬ7;	7) 1Уб4;
2)	4)	6) ^27;	8) Цс
493. Подайте вираз \!а у вигляді кореня:
1) четвертого степеня;	3) десятого степеня;
2) шостого степеня;	4) вісімнадцятого степеня.
1. Подайте вираз \ІЬ, 6 > 0, у вигляді кореня:
1) шостого степеня;	3) п’ятнадцятого степеня;
2) дев’ятого степеня;	4) тридцятого степеня.
495/ При яких значеннях а виконується рівність:
1) >/а* =а;	6) ^/(а-5)4 =(</а-б)4;
2) № = -а;	7) ^(а~2)4 =(^а-2)4;
3) ^ = а;	8) ^а(а-1) = ^а-^(1-а);
4)	=-а-,	9) 1№-4«1^(а-4)9 =а-4;
5) ^/(а-5)3 =(^а-5)3;	Ю) УІа-2 _ 12/2-а Уа-3
96 При яких значеннях а виконується рівність:
1)^30=а5; 2) л/а30 =-а5; 3)^?=Ш4; 4) ^ = (^Ґ?
497/ При яких значеннях а і Ь виконується рівність:
1) УаЬ = і[а-Цїг, 3)	=	5) ЦаЬ = Ц^а-Ц-Ь?
2) ЦаЬ = Ц^а-Цч>; 4) ^аЬ = ^а-^;
167
§ 3. Степенева функція
498/ При яких значеннях х виконується рівність:
1)	^хг-4 = ^х-2-^х+2;
2)	^(х-3)(7-х) = ^х-3-^7-х;
3)	^(х-6)(х-10) = ^х-6.^/х-10;
4)	^(х+1)(х+2)(х + 3) = ^х+ї-^х + 2 Лх+3?
499.’ Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить знака кореня:
1)	3) </а*®;	5) V/1®;
2)	-0,4	4) ^а*®;	6) ^(х-5)12.
500/ Замініть вираз тотожно рівним виразом, який не містить
знака кореня:
1) 1,2‘^х1®;	2)
501/ Спростіть вираз:
1)	у/т?> якщо ти > 0;
2)	у/п4, якщо п < 0;
3)	^16р4, якщо р > 0;
4)	^256Л®, якщо к < 0;
502/ Спростіть вираз:
1)	ч/б25а24;
2)	^О.ОООІЬ20, якщо Ь > 0;
3)	-5 л/4х2, якщо х < 0;
4)	-0,1^1000 000г42 , ЯКЩО 2^0
3)	;	4) ‘^(8-у)14.
6)	7о,25Ь14, якщо Ь < 0;
7)	^/в1х®у4, якщо у > 0;
8)	7о,О1а®&5 6 7 * * 10, якщо а <0, Ь>0;
9)	-1,2х ч/б4х®°, якщо х < 0;
4/ іг-гв 32
10)	4 8 10 , якщо а > 0, Ь < 0.
а Ь с
5) ^р30#40, якщо р > 0;
6)	, якщо т < 0, п < 0;
7) аЬ2 \Іа4*Ь3*с44, якщо Ь > 0, с < 0;
8тЗр4
; 8)	і2’ЯКщотп<0Л>0.
к у
503/ При яких значеннях а виконується нерівність:
Пз/ з \ 4? 4	б/ 5 б/ 6 п
уа ;	2) уа ^уа І
504.’ Спростіть вираз:
1) у/а? +а, якщо а > 0;	3) у/а? +УІО4;
2) у/а? +уісІ?9 якщо а < 0;	4) у/а2
168
25. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
505/ Розв’яжіть рівняння:
1) ^(х+4)4 = х + 4;	3) ^/(х2-2х-3)6 = 3 + 2х-х2.
2) д/(1-3х)8 = (1-3х)2;
506/ Спростіть вираз:
1) ^(л/б-2)3; 2) Л1-^2)2;	3) ^2->/з)8; 4) ^(х/3-2)\
507. Спростіть вираз:
1) ^(х/б-2)4; 2) ^(л/З-л/б)2; 3) ^(Лї-з)3; 4) *^(х/7-3)3. 508/ Побудуйте графік функції:
1)	у = №-х,	4) і/ = ^-2)8;	6) !/ = і + 2;
л/хв
2)	і/ = 2х + ^х®;	5)	-V?;	7) у =
3)	у = у!х • ^х^;
09 Побудуйте графік функції:
1)	у = ^-2х-,	2) у = у/-х • \[-х*;	3) У = ^~-
510/ Розв’яжіть рівняння:
1) ^ = х-4;	2) 1^ЇУ = 6-х;	3) 2^ = х + 3.
• 11/ Розв’яжіть рівняння:
1) ^хГ = х + 8;	2) 1^хї? = 6х-10.
512/* Розв’яжіть рівняння у](х - З)4 + ^/(5 - х)6 =2.
513? Побудуйте графік функції у = у](х + І)8 +7(х-3)2.
Н Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
Користуючись теоремою про корінь з добутку, перетворимо вираз л/48:
^48=^6^3=^6.</3 = 2</3.
Отже, вираз \ 18 ми подали у вигляді добутку раціонального числа 2 та ірраціонального числа ^3. Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня. У даному випадку було винесено з-під кореня множник 2.
169
§ 3. Степенева функція
Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку:
2 </з = </16 • </з = </16-3 = </48.
Таке перетворення називають внесенням множника під знак кореня.
Винесіть множник з-під знака кореня: 1) ^250;
2) </162а8; 3)	4) </^; 5) </а®Ь\ якщо а < 0.
Розв’язання
1) Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді добутку двох чисел, одне з яких є кубом раціонального числа:
</250 = </125-2 = 5</2.
2) </162а8 = </81а8«2 = За2 </2.
3) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
4)	3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
№=НІЇ = І ь61 №=-ь6 №.
5)	3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
</^ =	= І а 11ЬІ </ь = -аЬ |/д.
Внесіть множник під знак кореня: 1) -2 ^3; 2) а ^7;
3) с'№; 4) ЗЬ^|.
Розв’язання
1)	-2^3=-^64- ^3 = -^Ї92.
2)	Якщо а > 0, то а ^7 =	• уі7 = ^7а4; якщо а < 0, то
а^7=-^Г«^7=-^7^Г.
3)	3 умови випливає, що с > 0. Тоді = 1у[с™	=
4)	3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
ЗЬ = -ІІЗЇЬ* .	= -<І81д4	= -</-276®.
V З	V З У \ З/
Спростіть вираз: 1) </54а + </16а - </2000а; 2) </4 </ї;
3) >/4->/7-</23+8^.
Розв’язання
1)	Маємо:
</б4а + </їба - </2000а = </27-2а + </8-2а - </1000-2а =
= 3 </2а +2 </2а-10 </2а =-5</2а.
170
25. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
2)	Внесемо множник 4 під знак кубічного кореня, а потім скористаємося теоремою про корінь з кореня:
^/4 =^/^4=^.
Далі остаточно отримуємо:
4/44/ї = 1^4Г = 4/Ї.
3)	^4-77-^23 + 8^ = ^(4-^)2 .^23 + 8>/7 =
= 4/16-8 >/7+7 • ^23+8^7 = ^/(23-8>/7)(23+877) =
= ^232-(8>/7)2 = 4/529-448 = 4/81 = 3.
ПРИКЛАД 4 Скоротіть дріб: 1)	2) 2~.2У2; 3)	л.
ЧЬ+1 ^2	>1а-2ЧаЬ + уІЬ
Розв'язання
1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо:
4/5-1 = (4/5)2-і = (4/5-і) (4/5+1)=!
Уь+і 4/5+1 Уь+і
2-з4/2 _(4/г)4-з4/г _ 4/г (^?-з)_4/£ _ 4/24/2	4,2
3) Розклавши чисельник і знаменник даного дробу на множники, маємо:
\/а-\/ь	_ (\/а -Уь)(Уа + Уь) _ \/а+у/ь
у/а-2\/аЬ + у/ь [у/а-у/ь^	1/а-у/ь
ПРИКЛАД 5 Звільніться від ірраціональності в знаменнику
дробу: 1) Х~; 2) 2 4/3	2-4/3
Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу означає перетворити дріб так, щоб його знаменник не містив знака кореня п-го степеня.
Розв'язання
1) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на ^3\ отримуємо:
171
§ 3. Степенева функція
2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на неповний квадрат суми чисел 2 і ^3, отримуємо:
5 _	5(4 + 2л/з+У9)	_ 5(4 + 25/3+5/9) _
2-^3 (2-5/3) (4+ 2 5/3 + ^)	28-(</з)3
б(4 + 2^3 + </9) , п3гт ,гт
8-3
ПРИКЛАД 6 Доведіть тотожність
ПРИКЛАД 7 Скоротіть дріб
Розв'язання. З умови випливає, що числа а і Ь однакового знака. Розглянемо два випадки.
Перший випадок: а > 0 і Ь > 0. Маємо:
Другий випадок: а < 0, Ь < 0. Маємо:
Випадок, коли а < 0 і Ь < 0, можна розглянути інакше. Нехай а = -х, Ь = -у, де х > 0, у > 0. Маємо:
172
25. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
ПРИКЛАД8 Доведіть,що ^/3->/2 . ^5-2л/б • *^49-20>/б = 7з - >І2.
Розв’язання. Маємо: л/л/З-ї/2 • ^5-2>/б • ,^49-205/6 =
= ^(л/З-Тг)2.^5-2>/б • ^49-20>/б = ^5-2 >/б .^5-2л/б • ^49-20/б =
= ^(б-2Тб)2 • *^49-20л/б = ^49-20Тб • ^49-20 7б =
= ’^(49-20Тб)2. ^49-20^6 = ^(49-20 >/б)’ = ^49-20^6 =
= ^(б-2х/б)2 = 7б-2х/б = 7^3->/2)2 = л/З - >/2.
ПРИКЛАД 9 Доведіть, що ^9+780+^9^/80 =3.
Розв’язання. Нехай ^9+780+^9 - \І80 = х. Скористаємося тим, що (а 4- Ь)3 = а3 + Ь3 4- ЗаЬ(а 4- Ь).
Маємо:
х3 = 9+780 + 9- 80 + 3 79 + 780 • 79- 780 .(^9 + ^80 + 79 - 78о).
Звідси х3 = 18 4- Зх; х3 - Зх - 18 = 0.
Розглянувши дільники числа 18, нескладно установити, що х = 3 є коренем даного рівняння. Поділивши многочлен х3 - Зх - 18 на двочлен х-3, отримуємо х2 + Зх 4- 6.
Маємо: (х - 3) (х2 -4- Зх 4- 6) = 0.
Це рівняння має єдиний корінь х = 3.
Вправи
514. Винесіть множник з-під
1) </16;	3) </250;
2) </162;
4) ^7290;
знака кореня:
5) 740а9;
з/ л7 .
о) у-а ;
515.° Спростіть вираз:
1) -|7б4;
О
2)	-Тб40;
8
3)	|Тб8б;
7) 7-54а9Ь9;
8) 7-Ю8а7610.
4)	-1,2796.
Нв/ Винесіть множник з-під знака кореня:
1) ^80;
2)	486;
3)	^432;
4)	^30 000 000;
5) ^54/;
6) д/243й9с18 .
173
§ 3. Степенева функція
517	.° Внесіть множник під знак кореня:
1)	2>/3;	3) -10^0,271;	5) 5</0,04х;	7) Ь</з
2)	4</б;	4) |</54;	6) 2^6у;	8) с^.
518	.° Внесіть множник під знак кореня:
1)	-</320; 2) 2ІІ7; 3) 5^4а; 4) 0,3</100с2; 5) 2х3 4
519	.° Замініть вираз на тотожно рівний йому:
1)	</б25-</320-</135 + </40;
2)	</ббт + </-189т - </-81 п -1,5 </24п + </448т.
520	.° Спростіть вираз:
1)	</М-3</16 + 5</Ї28 + </2000;
2)	3/б25а + 3</ї6а-2</8Їа+4</1296а.
521	.° Спростіть вираз:
1)	^2^/3;	3)	</а</а;	5)
2)	^/2;	4)	ЇІЬЇІЬ;	6)	^2^2^.
522	.° Спростіть вираз:
1)	у/а7а;	3)	^ьЦь;	5)	</х2 </х“;
2)	</з73;	4)	</с2 </с;	6)
523	.° Спростіть вираз:
1)	(1 + </а + </аУ)(1-</а);	2) (1+>/а)(1+</а)(1-</а).
524	.° Спростіть вираз:
1)	(у/т+у/п)(\/т+ у/п)$т+ у/п)(\/т-у/п);
2)	(</^-</^ + </ь)(^ + 3/ь).
525	.° Подайте у вигляді кореня вираз:
174
25. Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
526	.° Подайте у вигляді кореня вираз:
2)	4)
№
527.° Обчисліть значення виразу:
1)	(б </4+0,5^/108-^500) </2;
2)	^25$4 + 3^/32-2^108);
3)	(2^2-2^5 + </ЇОО)(3/ЇО + ^4);
528/ Обчисліть значення виразу:

1) 4^72-3</9 + 5
529/ Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
9)й-:
і) 4=;
2) іг;
</2
5)
Цв
6) 7Г; Цв
530/ Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
3) 7Г’ Ці
4) -7^;
Ц^
7) -у=;
№
8)
7) £
т
8) 7ГТ*
Ю) 7Г=
531.* Скоротіть дріб:
3)
4)
175
§ 3. Степенева функція
7)	3/1.2 і 3/2 а\1о —о\1а	9)	+ .	11)	</І8+</з.
			у/а -у/аЬ + %/ь’		у/12 + у/2’
8)	л/? + 4^х+16>	Ю)	2-^2.	12)	>/а^ — >/а + л/а -1
	х-64		</2		а-у/а
532.*	Скоротіть дріб:				
1)	Уа + 1. ^-1’	З’і	а-Ь к-ІІЬ	5)	у/аЬ + у/а
2)	4т-УІтп. 4/— Г ’ у/тп -у/п	4) -	у/І-Ьу/а. у/аЬ	6)	з+</з
533.* Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
5
2 + </г’
1)
5)
15
$/36+$/б+1’
534.* Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
3) і— /——; ^100-^10 + 1
535.** При яких значеннях а і Ь є правильною рівність:
1)	у/а№ =аЬу/аЬ; 2)	= а3) Уа*І> = -а*/ь?
536.’* Винесіть множник з-під знака кореня:
1) УІ-т9;	5) \І162а*Ь*с12 9 якщо а > 0, с < 0;
2)	уІа8Ь13, якщо а > 0;	6) ^а1бд16;
3)	№7, якщо х * 0;	7) ^-а26Ь“.
4)	^32/п18п17;
537	.** Винесіть множник з-під знака кореня:
1)	д/32а®, якщо а < 0;	3) УІа’ії', якщо а < 0, Ь < 0;
2)	^-625а9;	4) у/а^Ь™, якщо а > 0.
176
25, Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня
538	.” Внесіть множник під знак кореня:
1)	ял/2, якщо а > 0;	4)
2)	аЬ в/—, якщо а > 0, Ь < 0; 5) а у/^а. N а Ь
3)	тп - т-3;	6) аЬуІаЬ2, якщо Ь < 0.
V т п
539 Внесіть множник під знак кореня:
1)	су/з, якщо с < 0;	4)	якщо а < 0;
\ а Ь
2)	а>[а\	5) а ^-а3.
3)	-аЬ ^6, якщо а < 0, Ь > 0;
540.” Знайдіть значення виразу:
1)	^>/Ї0-3-^19+6>/Ї0;	4) ^4 + 2^2-^6-472;
.1-----7= І—7=----	^7з + >/б *^9-6^-л/Ї8
2)	^24 - 8 Л • 72 75 + 2;	5) —----	.
3)	+4 .^31-8^5;
541/ Знайдіть значення виразу:
1) ^7-4^3 »^2 + >/3;	2) 72>/б-1 • ^25 + 4>/б.
542.” Спростіть вираз:
177
§ 3. Степенева функція
544.* Доведіть, що значення виразу є числом раціональним:
1) ^7 + 5>/2+^7-5>/2;	2) ^6>/3 + 10-^бл/З-10.
545.* Доведіть, що ^20+14-72 + ^20-14-72 = 4.

Функція у = чх
• У пункті 23 було встановлено, що корінь непарного степеня з будь-якого числа існує і набуває тільки одного значення. Тому кожному числу х е В можна поставити у відповідність єдине число у таке, що у = 2**у/х. Тим самим для всіх к є N задано функцію /(х) = 2А+^х з областю визначення В.
Покажемо, що функція / є оберненою до функції 8 (х) = х2А+1, А є N.
Оскільки рівняння 2*+у/х=а при будь-якому а має корінь х - а2к + \ то областю значень функції / є множина В.
Маємо: Б (/) = Е (£) = В, Е (/) = П (Л = В.
Для всіх х є В виконується рівність 2*+<Ух2*+1 =х. Іншими словами, { (£ (х)) = х для всіх х є В (£). Сказане означає, що і 8 — взаємно обернені функції.
178
2^ Функція у = \Іх
Використовуючи графік функції у = х2к+1 і теорему 10.2, можна побудувати графік функції у = 2к+у[х (рис. 139). Зокрема, на рисунку 140 зображено графіки функцій у = л/х і у-у/х.
Оскільки функція § (х) = х2*41 є зростаючою, то за теоремою 10.3 функція /(х) = 2Л+Ух також є зростаючою.
Функція /(х) = 2*+л/х має єдиний нуль х = 0.
Якщо х < 0, то / (х) < 0; якщо х > 0, то / (х) > 0. Отже, проміжки (-оо; 0) і (0; +«>) є проміжками знакосталості функції /.
179
§ 3- Степенева функція
Для будь-якого х з області визначення функції / виконується рівність /(~х) = 2к+\[^х = —2к+у[х = -/ (х). Отже, функція / є непарною.
• У пункті 23 було встановлено, що арифметичний корінь парного степеня з будь-якого невід’ємного числа існує і набуває тільки одного значення. Тому кожному числу х з проміжку [0; +°°) можна поставити у відповідність єдине число у таке, що у-2у[х. Тим самим задано функцію /(х) = 2>/х, /? є ІЧ, з областю визначення [0; +°°).
Покажемо, що функція / є оберненою до функції § (х) = х2*, к є ІЧ, з областю визначення [0; +«>).
Оскільки рівняння 2\Іх = а при будь-якому а > 0 має корінь х = а2* і при будь-якому а < 0 не має коренів, то областю значень функції / є проміжок [0; +«>).
Маємо: £>(/) = Е (£) = [0; +«>), Е (Л = Б (*) = [0; +~).
Для будь-якого х є [0; +<») виконується рівність 2у/х2к = х. Іншими словами, / (£ (х)) = х для всіх х є О (£) Сказане означає, що / і & — взаємно обернені функції.
На рисунку 141 показано, як побудувати графік функції у = 2у[х, к є N. На рисунку 142 зображено графік функції У = у/х>
Рис. 141
Рис. 142
Оскільки функція § (х) = х2*, к є ІЧ, Б = [0; +«>), є зростаючою, то функція /(х) = 2\/х також є зростаючою.
Функція / має єдиний корінь х = 0.
180
26. Функція у = Ух
Якщо х > 0, то / (х) > 0. Отже, проміжок (0; +«>) є проміжком знакосталості функції /.
Оскільки область визначення функції / не є симетричною відносно початку координат, то функція / не є ні парною, ні непарною.
У таблиці наведено властивості функції у = л/х, вивчені в цьому пункті.
	п — парне натуральне число	п — непарне натуральне число, п > 1
Область визначення	[0; +~)	к
Область значень	[0; +~)	к
Нулі функції	х = 0	х = 0
Проміжки знакосталості	У > 0 на проміжку (0; +о°)	У < 0 на проміжку (~оо; 0), У > 0 на проміжку (0; +оо)
Парність	Не є ні парною, ні непарною	Непарна
Зростання / спадання	Зростаюча	Зростаюча
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність: 1) у/х<2; 2) у/х-2 <1;
3) ^х2-4>^Зх.
Розв'язання
1)	Дана нерівність рівносильна такій: у/х < ^8. Оскільки функція у = у/х є зростаючою, то можна зробити висновок, що х < 8.
Відповідь: (-оо; 8).
2)	Маємо: \]х-2 < у!Ї. Оскільки функція у = у/ї є зростаючою з областю визначення [0; +°о), то дана нерівність рівносильна системі:
х-2<1,
х-2>0.
Звідси 2 < х < 3.
Відповідь: [2; 3).
181
§ 3. Степенева функція
3)	Дана нерівність рівносильна системі
х2-4>3х, Зх>0.
Тоді
х2-Зх-4>0, х>0;
х<—1,
х>4, Звідси отримуємо, що х > 4.
х>0.
Відповідь: (4; +<»).
ПРИКЛАД 2 Порівняйте і 1/2.
Розв’язання. Маємо: >І2 = * 1\І2* = \/їб; $/2 = Ч^ = *$8.
Оскільки функція у = Іу[х є зростаючою, то \/16 >	.
Відповідь: >І2 > >І2.
Вправи
546.° Через які з даних точок проходить графік функції у = ух: А (2; 16); В (16; 2); С (-1; 1); Б з); Е (81; 3); Р (0,001; 0,1); в (10 000; 10)?
547.° Через які з даних точок проходить графік функції у = ^х
А (-8; -2);
С (3; 27); Б (0,64; 0,4); Е (-216; 6);
Р (-1000; -10)?
548.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = Ух^ї;	3) у= ьЕї;	5) У = <Д-й
N X + с
2) і/ = ^х + 1;	4) у = у[х^-х-2;	6) у = у[х^ (х-3).
549.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = </ГГ2;	3) У =	5) У = ^3"И;
V х — о
2) і/ = ^х-2;	4) у = $/х2-4х + 3;	6) у = ^|х|(х-6).
550.° Знайдіть область значень функції:
1) у = і[і + 1;	3) у = ^-3;
2) у = Ух-2;	4)у = |^х-1|;
5) У = |
182
26. Функція у = $/х
551.° Знайдіть область значень функції:
1) у = ^+2;	3) у = ^-2;
2) у = уІх-4; 4)у = |$/х-2|;
5) і/ = |$/х + 1|.
562.° Знайдіть область значень функції:
1) Г(х) = $/Ї, Б (Л = [-27; 8]; 3) Г(х) = $/Ї, Л(/)=[-^: 32 04
2) /(х) = $/х, £(/) = 1.; 100001;
116
553.° Оцініть значення виразу $/х, якщо:
1) 1 < х < 216;	2) -729 < х < 8.
554.° Оцініть значення виразу >/х, якщо:
1) 0 < х < 256;
555.° Порівняйте:
1)	$/Гб і УЇЛ-,
2)	\[-23 і $/-26;
3)	2 і $/Ї7;
556.° Порівняйте:
1) і $/80;
2) $/2 і ЧЇЇ8;
2)
4)	$/б і $/28;
5)	1$/б0 і $/4;
6)	2$/з і 3$/2;
16 < х < 10 000.
3) 3$/ї і 4$/2;
4) 5$/М і 10 $/0,012.
567.° Між якими двома послідовними цілими числами знаходиться на координатній прямій число:
1) >/3; 2) $/3; 3) 1І2Ї; 4) $/Ї00;	5) -$/30; 6) -$/вї?
558/ Між якими двома послідовними цілими числами знаходиться на координатній прямій число:
1) $/Ї8;	2) $/139;	3) -$/212?
559.° Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами:
1) 4 і $/140;	2) $/=35 і $/б40.
560.° Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами -$/1300 і $/Ї0.
561/ Порівняйте:
1) $/б і >/3;	3) $/3 і
2) $/Ї2 і $/б; 4) $/?27 і $/4;
5) 73 і $/<28;
6) /Ж і $/8;
183
§ 3, Степенева функція
562/ Порівняйте:
3) і ^2^;
4) і у[у/з.
563.* Розташуйте в порядку зростання числа:
564.' Розташуйте в порядку спадання числа:
1) </б, ^4 і л/З;	2) ^6, ^30 і \/Ї0.
565.* Побудуйте графік функції:
1) у = -Ух;	4) у = ^2-х;	7) У~уІ\х\-1;
2) у = у/х-2;	5) у = Цх-2-2;	8) У = фх-1\;
3) у = >Іх-2;	6) у=$І\*\;	9) у = | ^х+1-2|.
566. Побудуйте графік функції:		
1) у = -і/х;	4) у = ^х + 3;	7) У = у]\х\+1;
2) у = іРх;	5) у = </х + 3 + 1;	8) У = у]\х + 1\;
3) у = і/х + 3;	6) У = */\х\->	9) у = | </х + 2-2|.
567.* Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х |		
на проміжку: 1) [1; 2];	3) [-1; 1];	5) [-3; +о°);
2) [-3; -1];	4) [-1; 2];	6) (—; -1].
568/ Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = х |		
на проміжку: 1) [2; 3];	3) [-2; 2];	5) [-1; +~);
2) [-1; 0];	4) [-2; 1];	6) (-со; 2).
569.* Розв’яжіть нерівність:		
1) ^х-1>2;	3) ^4х+1<1;	5)	Ух2 +2х>у]х2— х—6.
2) ^Зх+1<4;	4) х/х2-8>^2х;	
570/ Розв’яжіть нерівність:		
1) ^х+2>1;	3) >/5х + 1<3;	
2) </Зх+2<2;	4) V*2-!	х | + 1 >^5-| х |.
184
27, Означення та властивості степеня з раціональним показником
571.** Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра а:
1) >/х=а-х;	2) \[х = а-х?
572	.** Скільки коренів має рівняння | \[х -1 | = а залежно від значення параметра а?
573	.** Розв’яжіть рівняння ^х-26 + V* = 4.
574	." Розв’яжіть рівняння ^х-9 +^х + 6 =3.
Означення та властивості степеня з раціональним показником
Нагадаємо означення степеня з натуральним показником:
ап	п є ІЧ, п > 1;
п МНОЖНИКІВ
а1 = а.
Ви знаєте, що степінь з натуральним показником має такі властивості:
1.	ат *ап = ат +
2.	ат : ап = ат п, а * 0, т > п;
3.	(ат)” = атл;
4.	(аЬ)п = апЬп;
5.	Ь*0.
\ЬІ ьп
Пізніше ви ознайомилися з означеннями степеня з нульовим показником і степеня з від’ємним цілим показником:
а0 = 1, а * 0;
а~п =—, а * 0, п є N.
ап
Ці означення дуже вдалі: при такому підході всі п’ять властивостей степеня з натуральним показником залишилися справедливими і для степеня з цілим показником.
Введемо поняття степеня з дробовим показником, тобто сте-
пеня аг, показник якого є раціональним числом виду г = —, де п
т є 2, п є й, л > 1. Бажано зробити це так, щоб степеню з дро-
185
§ 3- Степенева функція
бовим показником залишилися притаманними всі властивості степеня з цілим показником. Підказкою для такого означення може слугувати такий приклад.	2
Якщо через х позначити шукане значення степеня 2’, то, ураховуючи властивість (ат)п = атп, можна отримати рівності х8 = (2*) = 22. Отже, х — це кубічний корінь з числа 22, тобто х = ^2* або
Ці міркування підказують таке означення.
Означення. Степенем додатного числа а з раціональним показником г, поданим у вигляді —, де т є 2, п є И, п
п > 1, називають число уіл™, тобто аг =ап =\[а"*
Наприклад, 5* = У58, 3 ’ = 36 = УЗ'1, 0,40’8 = 0,410 = ^0,48.
Зауважимо, що значення степеня аг, де г — раціональне число, не залежить від дробу, у вигляді якого подано число г. Це т ---------------------------------------------- тЛ
можна показати, використовуючи рівності ая =\Іат і а"* =
Степінь з основою, яка дорівнює нулю, означають тільки для додатного раціонального показника. т
Означення. 0м =0, де т є И, п є N.
і
Зазначимо, що, наприклад, запис 0 2 не має змісту. т
Зауважимо, що в означенні не йдеться про степінь ап для і
а < 0, наприклад, вираз (-2)3 * * залишився невизначеним. Разом
з тим вираз ^-2 має зміст. Виникає природне запитання: чому б ___________________	і
не вважати, що ^-2=(-2)8? Покажемо, що така домовленість привела б до суперечності:
%/-2 = (-2)* = (-2)® - ^(-2)2 = ^4 •
Отримали, що від’ємне число	дорівнює додатному числу ^4.
Функцію, яку можна задати формулою у = хг, г є О, називають степеневою функцією з раціональним показником.
186
27. Означення та властивості степеня з раціональним показником
Якщо нескоротний дріб —, т є 2, п є Н, п > 1, є числом доті	т
датним, то областю визначення функції у = хп є проміжок [0; +°°); а якщо цей дріб — від’ємне число, то — проміжок (0; +«>).
Властивості функції у = хг для цілого показника було вивчено в п. 21 і 22. Випадок, коли показник г не є цілим числом, буде розглянуто в 11 класі. Зараз зазначимо таке.
і
Функція у = х2к, к є Н, нічим не відрізняється від функції 1
у = 2\/х. Функції у = х2*+1 і у = 2к+у[х, к є №, мають різні області визначення. Так, на проміжку [0; +«>) обидві ці функції не відрізняються, але на проміжку (-°°; 0) визначена лише функція 2* + 1Г“
У= уіх.	1 і
На рисунку 143 зображено графіки функцій у = х2. у-х2. і і/ = х4.
Покажемо, що властивості степеня з цілим показником залишаються справедливими і для степеня з довільним раціональним показником.
Теорема 27.1 (добуток степенів). Для будь-якого а > 0 і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
др.а^др + ч
Доведення. Запишемо раціональні числар і д у вигляді дробів з однаковими знаменниками: р = —, д = —, де т є 2, к є 2, п п
л є Н, п > 1. Маємо: т к ,	,  г	і--- т+к	т + к_
„а __ п	л/пі —к  пі~к  піп+к   п   п и  л
а>а =а • а" =\/а •Ц.а -а =\а =а “ = а" =а . А
187
§ 3. Степенева функція
Наслідок. Для будь-якого а > 0 і будь-якого раціонального числа р виконується рівність
ар
Доведення. Застосовуючи теорему 27.1, запишемо: ар*ар =
= а~р + р = а° = 1. Звідси а~р = -±~. А
ар
Теорема 27.2 (частка степенів). Для будь-якого а>0 і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
ар : ад = аРЧ
Доведення. Застосовуючи теорему 27.1, запишемо: ач-ар 4 = = а4 + р ~9 = ар. Звідси ар ~4 = ар : а4. А
Теорема 27.3 (степінь степеня). Для будь-якого а>0 і будь-яких раціональних чисел рід виконується рівність
(ар)д = ам
Доведення. Нехай р = —, те 2, пе N. п > 1,та д = |, «є 2, п	к
к є К, к > 1. Маємо:
*/і -У\ап
та
= акп = а
Теорема 27.4 (степінь добутку і степінь дробу). Для будь-яких а > 0 і Ь > 0 та будь-якого раціонального числа р виконуються рівності
(аЬУ = арЬР
Доведіть цю теорему самостійно.
ПРИКЛАД Побудуйте графік функції /(х) = М) .
Розв’язання. Областю визначення функції / є множина (0; +«>). Дану
функцію можна задати такими умовами: / (х) = х, В (/) = (0; +«>). Графік функції зображено на рисунку 144.
188
27. Означення та властивості степеня з раціональним показником
575.° Подайте степінь з дробовим показником у вигляді кореня:
1) 5*;	3) Ь~Ь	5) (а&А	7) (т + п)2’5;
3 2) а*;	4) 10®;	6) а/;	8) (х-ЗуД
576. Замініть степінь з дробовим показником коренем:		
1) ІЗ2;	3) с0,2;	5) Зт‘>2вп0>те;
2) 3*;	6 4) х7;	6) (а-25)“.
577.° Подайте корінь у вигляді степеня з дробовим показником:		
1) &	3) У6®;	5) ^2’2;	7)
2)	4) >/За;	6) 4/49;	8) ліа7-Ь7.
578/ Замініть корінь степенем з дробовим показником:		
1) >/2;	3)	5) \]х + у;
2) V?;	4) ^5<?;	6)
579.° Знайдіть значення виразу:		
1) 4*;	3) 3-64 *;	5) 0,216*;	7) 27*;
2) 255;	3 4) -5’0,01 2;	6) (з|) 3;	8) 32"0,2.
580. Чому дорівнює значення виразу:		
1) 8*;	3) 0,0081	°’25;	5) 0,125 *;
2) 10000*;	3 * (Г<	5 6) (11бї)в 7 \	04/
581.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = хв;
3) у = (х - З)2 6;
2)у = х’м;	4) у = (х2-6х-7) *.
582.° Знайдіть область визначення функції:
1) У = х 3;
3) у = (х + 1) 12;
2) у = х3,2;
4) і/ = (х2-х-30)15.
189
§ 3. Степенева функція
583.° Спростіть вираз:
з 11	( 2\	7	3	/ 7 14 V
1) а2а3;	5)\а3) ;	9)а8:а4;	13) \а3Ь27) ;
2) (а5) ;	6)	10) а2а3а	14) а8а ®а8а8;
3)а8:а8;	7)а8:^а?;	11) (а0-4)0^0,18; 15)
а 4 Ь3
1 І	/ 5)1-8/ »)2-4 4) амаи; 8) (а2’4)3;	12)	16) (а9) (а8) .
а 4
584.° Спростіть вираз:
/ 2\|	5 1_ _3	2	111
1)63.56-4.2.	5)	.	9) авд12а їЬ-а. 13) 62Ь3Ь4.
7 6 2) ьЛЗ; 6)Ь’8:>/Ь;	10)-^^-;	14) (60-в)°-6&’0-4;
айь'8
3) 6: б8;	7) УЬ:Ь6; 11)	;	15) (У0 8)1-2^0-8)0’4;
1 _2	3
4) Ь: Ь *;	8)	12) (а'8&8) *;	16) (Ь4)-017: (Ь 03)’5.
Ь3
586.° Знайдіть значення виразу:
1) 3*’8-3~2’в-32,8; ?) (5’0,8)8-54-8;	4) 5)	/*Л4’5 ||І .1,24-5;	’)4; 22 8) 360 4-612;
3) І258)4;	6)	і	і Ртр / 1 р. \10/ *\700/ :	9) І4'8) -16°-в.
586.° Чому дорівнює значення виразу:
1) 53’4-5-1’8-5’2 в;	4)	(їГ=	7) 8°’4-21,8;
2) (7-0,7)8 : 7’718;	5)	(2|р5.1,42-5;	8) (б18)8 -2160’2?
3) (97)3;	6)	1 813. і ’	
3і
190
27. Означення та властивості степеня з раціональним показником
587.° Відомо, що а — додатне число. Подайте а у вигляді:
1) квадрата;	3) шостого степеня;
2) куба;	4) восьмого степеня.
588.° Відомо, що т — додатне число. Подайте у вигляді квадрата
вираз:			
1) т4;	3) /п8;	5) т8;	7) т"1,2;
	1	5	2
2) /п’в;	4) т* 2;	6) т«;	8) т\
і89.° Відомо, що Ь — додатне число. Подайте у вигляді куба вираз:			
1) ьв;	3) Ь2;	5) д8;	7) Ь1'8;
	1	4	7
2) ь16-,	4) б8;	б) Ь8;	8) Ьп.
590.* При яких значеннях а виконується рівність:
1)	((а-2)*) = а-2;	2) ((а-2)'8) =а-2?
591.* Побудуйте графік функції:
1) у = (х8) ;	2) у = ((х-2)4) ;	3) у = х2хіхі.
592.* Обчисліть значення виразу:
1) 12» -6’ -(0,5)»;	7)	»	±	і 52 .812	84 1	5	1 ’
		9®	58 • 98
		( _1
2) 251'6 + (О,25) 0 6 - 81°’75;	8)	\728) -2 3:36 ®;
_2	-1	-З (	-1	-1	і З
3) 0,008 8 +0,064 8 -0,0625 4; 9) Ц2 8 -18 8 - б8’5) -54 • 258;
З	2
4) Ш'+(і)' №81)";
5) 16®-8 ® •41,в;
1ОООО0,4-Ю06
6)--------------
1ОО0,3* 1000е
10)
11)
С -і -- Vе З ® «7 ®
<2г*-б8)
<	3	4 V1 ( 3	9 А з
ігв28^?'9	ів2-8і8
11* -З
, 3е-16® V 9"-4 8 ,
191
§ 3. Степенева функція
593.’ Знайдіть значення виразу:
1)
5)
32°’24 •40,7
64°’в-160’25 ’
2)	10* -40* • 5*;	-6)
3)	0,0016 *-0,04 *+0,216 8;	7)
4)	625 11!Б-251в-125»;	8)
594.* Розв’яжіть рівняння: 2	5
1) х 8 = 0,04;	2) (х - 2)2 = 32;
і 15 12* З2-78 2	1 *	1	’
7».8 о 82 ( _? _? у1’5 5~8*3'3
2 ІЗ ’ Д58-2’8 , /41 А"2 ( И 14 \| 813.8«	.	2’’276
1	2	13	1
9'3.43	^3 9 ,128 ’>
3) (х2-2х) *=-1.
595.’ Розв’яжіть рівняння:
2	З
1) х'1’8 = 27;	2) (х -І)’8 = 100;	3) (х - 5)’ = 0.
28.
Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником
Розглянемо приклади, у яких виконуються тотожні перетворення виразів, що містять степені з раціональним показником.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
1) (За0,3 + Ь°’2) (а0,3 - 46°’2) - (а0’3 + 2Ь0’2) (а0’3 - 26°’2);
2) (а^-Ь^)(а*+а^+^)+(а8+Ь8) .
Розв'язання
1) Розкриємо дужки, використовуючи правило множення многочленів, формулу різниці квадратів, а потім зведемо подібні доданки:
(За0’3 + і,0’2) (а013 - 460’2) - (а0’3 + 2Ь°’2) (а0’3 - 2Ь0’2) =
= За0’6 - 12а°’3Ь0’2 + а°’3&0’2 - 4Ь^ - а0-8 + 4іЛ*_= 2а°’8 - 11а0’V’2.
2) Маємо: (а^-6**)(а*+а^+6*) + (а*+68) =(а^)	+
( її2 1 1 / і? і *	1	111	1	11
+ 1а8) +2ааЬа+\Ь6) =а4-Ь* +а4 +2ааЬа +Ь* =2а4 +2ааЬа.
192
28. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником
і з
ПРИКЛАД 2 Розкладіть на множники вираз а2 -Ь4 * * *, використовуючи формулу: 1) різниці квадратів; 2) різниці кубів.
Розв'язання
1) а*-Ь«=Ц) -У) =(а4 -Ь^)(а4 +Ь^).
2) а^-Ь«=У) -У) = (а^-Ь4)(а^+аУ 1	5	11	1	1
« іч 4а3 Ь®+ЗЬ2с4 „ч 323-163 ПРИКЛАД 3 Скоротіть дріб: 1) —--у; 2) —---—; 3) —,-----—.
а2 — а3 Ь3 —9с2	48—28
Розв’язання
1) Розкладемо знаменник дробу на множники, винісши за дужки спільний множник, і скоротимо дріб:
і	і
4а8 _ 4а3	_ 4
а2-а3 а8(а®-1) а®-1
2) Розклавши чисельник і знаменник дробу на множники, отримуємо:
Б 11	1 / 1	1 \	1
Ь3+ЗЬ2с4 _	Ь2\Ь3+Зс4)	= Ь2
2	1	/1	1\/ 1	1\	-
Ь3 - 9с2	ІЬ8 - Зс4 )\Ь3+Зс4) Ь3 - Зс4
3) Маємо:	= 4^4 = 4 = (уГ = 8і = 2.
43-23	2аІ23-1)	23
і	і
ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз	- Т1’.
х3 - 2 х3 + 2 х3 - 4
і
Розв’язання. Зробимо заміну х3=у. Тоді даний вираз набуває вигляду: у+2 у-2	16
у-2 у + 2 у2-±
Цей вираз легко спростити. Завершіть розв’язування самостійно.
Відповідь: —р—. х3 +2
193
§ 3. Степенева функція
Вправи
596.° Розкрийте дужки:
1)	аМ(а*+Й);
2)	2аЦа^-4)+8а^;
3)	(а0,8 - ЗЬ0,3) (2а0,8 + 60>3);
4)	(тп4-п4)(?п4+п4);
5)	(зЗ - 3) (з&® + А;
6)	(а* + 3) ;
7)	(4п^+ЗпО ;
( -1 Х-А V
8)	а 26 ;
\	4	7
597.° Розкрийте дужки:
1) (5а0’4 + Ь0'2) (За04 - 45°’2);
2) (ти0’5 + а0’8) (т0,8 - п0’8);
3) М-5гЗ)(а®+5б'4);
9)	(5°’4 + З)2 - 66°’4;
10)	(З -1)(3 +3 +1);
11)	(а®+а2)(а®-а*+а);
12)	а® (а* + ю)-(а® +б) ;
І З 1 \2	1 / 23	1 \
13)	М>®-258/ +46®ІЬ80-Ь2А 14) (а* + 6*) (а* - 3)(а* - &’); 15) (3-1)(3+х5+1)(х8+1).
6)	(х«+г)(х8 -2З+4);
7)	(у16 - 4у0’8)2 + 8у2;
8)	(с® + зЗ) -Зс1'2 (зс4 +2с4);
5) (З-гЗ);
10) \а® + 5®) Іа3 1 - а®5® + Ь8 Да2 -Ь2
598.° Подайте даний вираз у вигляді різниці квадратів і розкладіть його на множники (змінні набувають тільки невід’ємних значень): 2	2	11
1) а - Ь;	3) ти3 -п5;	5) х3 -у7;
2) а3 - Ь3-,	4) х^ -3;	6) 4х0’4 - 9у0 Т.
599.° Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці квадратів (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
1) а8 - Ь8;	3) х*-3;	5) 5-е;
111 ?
2) тп®-п®;	4)х4-2;	6) 16х0’3-25у9.
194
28. Перетворення виразів, які містять степені з раціональним показником
600.° Подайте даний вираз у вигляді суми кубів і розкладіть його на множники (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
1)	а + 6;
2)	а? +&5;
3)	а®+&3;
з
4)	а2+27;
5)	а1’2 + 2;
2	2
6)	а3 +63.
601/ Розкладіть на множники, використовуючи формулу різниці кубів (змінні набувають тільки невід’ємних значень):
§
1) а - Ь; 2) а16 - Ь1’5;	3) т0 6 - 8и18;	4) х7 -6.
602.° 1) 2) 603.° 1) 2) 3) 604.° 1) 2) 3) 4) 605.° 1) 2)	Винесіть за дужки спільний множник: 1	1	1	зі а + За2;	3)аЬ3-а3Ь;	5)т5-т5; її	зі	її Ь2-4&4;	4)с4-с2;	6) б4-З4; Винесіть за дужки спільний множник: 2 х-5х3;	4)	З6-Ь°’5с0,5; 11	2	1 1 а2+6а8;	5)	аЬ*-а*Ь">; 4	7	3 1	1 3 р9-р9;	6)	т2п2 +тп + т2п2; Скоротіть дріб: і а-ба2.	Д-Ь . а2 -5	аб2+а2б 2	11 Д8 .	дч а + 2а2Ь2 +Ь 52»	6)	і	і	; а3 + а3	а2 + Ь2 3	11	2	112 б4 + Ь2с4 .	4с3-12Л/3+9сГ8. її’	*'	її’ &4+с4	2с'3-за3 а — 4Ь	а+ 6			7)	2-27; & 1 8)	х* + х3. і	і 7) 812-4‘2; 8) 10+10І 9)	Ф4; т2 -п2 ю) х7~6х6.; X® -6х3 3	1 11) аі+Таї. а - 49а 2 і	і ЗО5 - б5	
	а°’6 + 2Ь°’5’ Скоротіть дріб: і а + 2а3.		’ 1 1 ’ а3 + Ь3 3) д~^2 .	0,5	.0,5 а -о	і	і • 10® -2®
	2	’ а3 +2 5 1	15 т4п4 -т4п4		а-а2Ь 41 —а	_ •	ач	а-Ь	х^у^.
	5 5 т4п4	9	2	11	2 ’	°’ а3 +а8Ь3 +Ь3	х + 2х°’5і	7°’5+У ’
195
§ 3. Степенева функція
а-125.
2	’
а3-25
І
8) 7716 -36 ти 6
7713 -6т713
9)
і і
244-84 і і •
64-24
606.* Знайдіть значення виразу:
1)
4-0.25
2 \ -(гТгр);
2)
/'11	1	1 А®	(	3	1	1	8 \®
52.3з +53. з2	3«.22	-32*24
ї ї	ї	ї
к 5®+3®	)	І	24	-34	)
607Спростіть вираз:
п а-Ь а^-Ь16
' а0л-Ь0’5 а-Ь ’
„0,5	к0,5	„0,6 , .0,5
Д____0	। о ~ь о ,
л0,Б .0,6 ’
1	111	12
дч а2 + 2а454 +Ь2 в а-а3Ь3
7 ®	® І * 1 1	1 ’
а6Ь3-а3Ь3 а*Ь4 +Ь2
з з _? і
а2+Ь2 ,а3(а-5)3
5)	2 ’ З 3 ’
(а2-ад)3 а2-Ь2
3) -^-^-+(1-ЬЗІ°)(1 + Ь®® 4-Ь1®);
Ь™-!
608.’ Спростіть вираз:
т-п т+п
^1 1 1 1 ’
т3-п3 т3+п3
2) (1-а“)(1 + а^+а«)+^^-;
2-а12
609.** Доведіть тотожність:
6	3	1
т2 -т2 т2 +т ® з т3-т2	т2+т2
2)
3)
а^+2 сі + 2о?'3 + 1
а0,5-2 а-1
<	1 1	Л	2	2	11
а3Ь3 1	а3+Ь3	= а3Ь3
-І _л-1	_1	_1	‘ _2	1	1	2	1	1’
<	а 3-Ь 3 ) а3+а3Ь3+Ь3 а3-Ь3
4)
(а-Ь)2 а2-Ь2
а1_3 (а2+г>2)(а + ЛЗ+ь)
= 2а2-2Ь^.
196
29. Ірраціональні рівняння
610.” Спростіть вираз:
1)
< 1 1 1 1 >
х1 2-у2 д х2 + у2	2х + 2у
ї + 1 1 ‘ /	*
^ху2+х2у ху2-х2у) ^ху
(	11	1	1А 1	1
х6 + Зу6 Xе - 3|/в в х3 + Зу3
1 11 1 + 1 1’1 1 ‘
кх3 -2х6і/в + у3 х3-у3 у х6 -у6
611.” Спростіть вираз:
/2	2 \2	—+ - V
\гр+г~Ч -4гр я
/ і і\2 і + і <\2Р ~ 2/ + 4яР Я )

7	5 2	4
оч а3 - 2а3Ь3 +аЬ3 Б 4 1	2	2
а3 -а3Ь3 -аЬ9 +а3Ь
і а3;
612.” Спростіть вираз:
11 11 1_1
х-у х2у4 -ьх4|/2 х4у 4
1'8	11*	1	1	1	11	1’
X4 + Х2І/4	X2 + у2	х2 - 2х4у4 4- у2
ЗУ^ррайюнальні рівняння
Розглянемо функцію у = х3. Вона є зростаючою, а отже, оборотною. Тому функція у = х3 кожного свого значення набуває тільки один раз. Іншими словами: з рівності х3=х| випливає, що х1 = х2. А оскільки з рівності хг = х2 випливає, що х3 =х3, то можна стверджувати, що коли обидві частини рівняння піднести до куба, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
197
§ 3. Степенева функція
1 Розв’яжіть рівняння >/2х + 1 = —3. Розв’язання. Підносячи обидві частини рівняння до куба, отримаємо рівняння, рівносильне даному. Маємо:
(</2х + 1)3 =(-3)8;
2х + 1 = -27;
х = -14.
Відповідь: -14.
Оскільки функція у = х2к 4 \ к є М, є оборотною, то міркування, використані при розв’язуванні прикладу 1, можна узагальнити у вигляді такої теореми.
Теорема 29.1. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Доведення. Покажемо, що рівняння
Г (х) = 8 (х)	(1)
і (/(х))2к1 = (*(х))2*’1,ке N	(2)
є рівносильними.
Нехай число а — корінь рівняння (1). Тоді маємо правильну числову рівність / (а) = 8 (а). Звідси можна записати:
(/ (а))2*"1 = (^(а))2*1.
Це означає, що число а є коренем рівняння (2).
Нехай число р — корінь рівняння (2). Тоді отримуємо, що (/ (Р))2* ~ 1 = (8 (Р))2* х. Оскільки функція у = х2к ~ \ к є Н, є оборотною, то / (Р) = 8 (Р)- Отже, число р — корінь рівняння (1).
Ми показали, що кожний корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2) і, навпаки, кожний корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). Це означає, що рівняння (1) і (2) рівносильні. А
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння у]х2 —2 = УІХ.
Розв’язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до сьомого степеня. Отримаємо рівносильне рівняння:
(^х2-2) =(^х)7;
х2 - 2 = х;
х2 - х - 2 = 0;
хх = -1, х2 = 2.
Відповідь: -1; 2.
198
29. Ірраціональні рівняння
Рівняння, які ми розглянули в прикладах 1 і 2, містять змінну під знаком кореня. Такі рівняння називають ірраціональними.
Ось ще приклади ірраціональних рівнянь:
\/х-3 = 2; у[х -2 >[х +1 = 0; \/3-х = >/2 + х.
При розв’язуванні прикладів 1 і 2 нам довелося спрощувати вирази виду (^//(х)) , де п — непарне натуральне число. Розглянемо випадок, коли ті — парне натуральне число.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння (\/Зх + 4) =(л/х-2) .	(1)
Розв'язання, Природно замінити це рівняння на таке:
Зх + 4 = х - 2.	(2)
Звідси х = -3.
Але перевірка показує, що число -3 не є коренем початкового рівняння. Отже, рівняння (1) не має коренів. Причина появи стороннього кореня полягає в тому, що застосування формули (>/а) = а призводить до розширення області визначення рівняння. Тому рівняння (2) є наслідком рівняння (1).
Ще однією причиною появи сторонніх коренів при розв’язуванні ірраціональних рівнянь є необоротність функції у = х2*, к є N. Це означає, що з рівності х2* =х2* не обов’язково випливає, що х1 = х2. Наприклад, (-2)4 = 24, але -2^2. Водночас із рівності хг = х2 випливає рівність х2* =х|*.
Наведені міркування підказують, що справедливою є така теорема.
Т орем а 29, ‘ При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримане рівняння є наслідком даного.
Доведення. Покажемо, що рівняння
(Г (X))2* = и (х))2*, к є N.	(3)
є наслідком рівняння
/ (х) = Я (х).	(4)
Нехай число а — корінь рівняння (4), тобто / (а) = § (а). Тоді (/ (а))2* =	№)2к- Отже, число а є коренем рівняння (3).
Ми показали, що кожний корінь рівняння (4) є коренем рівняння (3). Це означає, що рівняння (3) є наслідком рівняння (4). А
Зауважимо, що коли число р — корінь рівняння (3). то з рівності (/ (Р))2* = (£ (Р))2* не обов’язково випливає, що / (Р) = § (Р). Тому в результаті переходу від рівняння / (х) = § (х) до його наслідку (/ (х))2Л = (§ (х))2к можуть з’явитися сторонні корені, які можна виявити за допомогою перевірки.
199
§ 3. Степенева функція
Розв’яжіть рівняння л/4+Зх = х.
Розв'язання. Підносячи обидві частини рівняння до квадрата, отримаємо рівняння, яке є наслідком даного:
4 + Зх = х2;
х2 - Зх - 4 = 0; хх = -1, х2 = 4.
Перевірка показує, що число -1 є стороннім коренем, а число 4 задовольняє дане рівняння.
Відповідь: 4.
Розв’яжіть рівняння \/2х - 3 + \/4х +1 = 4.
Розв'язання. Піднесемо обидві частини даного рівняння до квадрата:
2х-3 + 2>/2х-3 >/4х + 1 + 4х + 1 = 16.
Звідси >/2х-3 >/4х+1 = 9-Зх.
Переходячи до рівняння-наслідку, отримуємо:
8х2 - Юх - 3 = 81 - 54х + 9х2;
х2 - 44х + 84 = 0; х1 = 42, х2 = 2.
Перевірка показує, що число 42 є стороннім коренем, а число 2 задовольняє дане рівняння.
Відповідь: 2.
£ Вправи
ВІЗ. Поясніть, чому не має коренів рівняння:
1) 7х-2 + 1 = 0;	3)	>/х-4 + >/Г^ = 5;	5) >/26+>/х+ї = 5.
2) >/х + ^х-ї =-2;	4)	^/х-6 + -7б^х = 1;
614.° Розв’яжіть рівняння:
1) </2х-2 = 2;	3)	^х б = -3;	5)	>/7 + \/х2 + 7 = 3;
2) ^х-4 = 2;	4)	^х3-2х	+ 3 = х;	6)	^х2+15 = 2 ^х+ї.
615. Розв’яжіть рівняння:
1) >/х-3 = 4;	2) 43х 616.° Розв’яжіть рівняння: 1) ^2х-1 = ^3-х; 2) 72х-1 = 71-2х; 617/ Розв’яжіть рівняння: 1) </х+3 = </2х-3; 2) >/4х-5 = л/1-х;	2-х-15 = 3; 3) ^25 + >/х2+3=3. 3) 72х-1 = 7х-3; 4) >/2х-1 = >/х2+4х-16. 3) ^х2-25 = ^2х+10; 4) >/х2-36 = 72х-1.
29. Ірраціональні рівняння
618	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	уІ2-х = х;
2)	7х + 1 = х-1;
3)	73х-2=х;
4)	72х2-Зх-10 = х;
619	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	710-Зх=-х;
2)	х = 7х+5 + 1;
3)	72х2+5х + 4 = 2х + 2;
620	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	>/(2х + 3)(х-4) =х-4;
2)	7(х-2)(2х-5)+2 = х;
621	.° Розв’яжіть рівняння:
1) 7(3х-1)(4х+3)=3х-1;
622/ Розв’яжіть рівняння:
1)	х 'ї*2 + 24 = х +1;
623.* Розв’яжіть рівняння:
1) 722-х-710-х = 2;
2) 7х+2- 72х-3 = 1;
624/ Розв’яжіть рівняння:
1) 72х + 5-73х-5 = 2;
625/ Розв’яжіть рівняння:
1) Тх-б + 710-х =3;
2) 7х-7 + 7х-1 = 4;
626/ Розв’яжіть рівняння:
1) 74-х + 7х+5 = 3;
2) 75х + 1 + 77-х=6;
627/* Розв’яжіть рівняння:
1) 72х + 1 + 7х-3 = 27х;
2) 75х-1-73х-2 = 7х-1;
628/* Розв’яжіть рівняння:
1)	7х + 2 + 73х + 7 = 78-х;
5)	27х+5 = х + 2;
6)	715-3х-1 = х;
7)	х-72х2 +х-21 =3;
8)	х + 2 + 7в-3х-х2 = 0.
4) 37х + 10-11 = 2х;
5) х-73х2-Их-20 = 5.
3) (х + 2)7х2-х-20 = 6х+12;
4) (х+1)7х2-5х + 5 = х + 1.
2) (х-1)7х2-Зх-3 = 5х-5.
2)	71 + х>/х2-27 = х-1.
3)	72х + 3-7х + 1 = 1;
4)	272-х-77-х =1.
2)	73х + 1-7х + 1 = 2.
3)	7Гх + 71 + х = 1;
4)	713-4х + 7х + 3 = 5.
3) 72х + 3 + 7х+5 =3.
3) 273х-1-7х-1 = 7х-9.
2) 7бх-11-7х-2 = 7х+3.
201
§ 3. Степенева функція
629.* Розв’яжіть рівняння:
1)	7х-1-2>/х^2+7х + 7-6>/х^2=6;
2)	5/х + 3-4-Ух-1+7х + 8-6>/х-1=1;
3)	^х+2+27х+1 -^х + 5-4-7х + 1 = 4.
630.* Розв’яжіть рівняння:
1)	>іх + 24х^1+у[х^24х^1=6-,
2)	^х+6 + 2 -Ух + 5 -^/х + 6-2 -Ух + 5 = 2.
Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
Ви знаєте, що сторонні корені рівняння можна виявити в результаті перевірки.
Коли йдеться про перевірку як про етап розв’язування рівняння, неможливо уникнути проблеми її технічної реалізації. Наприклад, число	є коренем рівняння \/2х-5 + \/х + 2 = \/2х+1.
7
Щоб у цьому переконатися, потрібно провести значну обчислювальну роботу.
Для подібних ситуацій можливий інший шлях розв’язування — метод рівносильних перетворень.
ґ(	? Рівняння виду у]/(х) =	(х) рівносильне
системі
|/(х) = ^(х), [Г(х)>0.
Доведення. Нехай число а є коренем даного рівняння. Тоді (а) = Звідси / (а) > 0. Обидві частини числової рівності піднесемо до квадрата. Отримаємо правильну числову рівність / (а) = б (ос). Таким чином, число а є розв’язком системи.
Нехай число Р є розв’язком системи, тобто
Ґ/?(Р) = Я(Р), 1/(Р)>0.
Звідси отримуємо, що б (Р) > 0. З того, що невід’ємні числа / (Р) і б (Р) рівні, випливає, що 7/(Р) = Отже, число Р є коренем даного рівняння.
202
ЗО. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
Таким чином, кожний розв’язок даного рівняння є розв’язком системи, і навпаки, кожний розв’язок системи є розв’язком даного рівняння. Отже, множини розв’язків рівняння і системи рівні. А
Зауваження. Зрозуміло, що рівняння у]/(х) =	(х) також
рівносильне системі
/(х) = £(х),
^(х)>0.
Вибір відповідної системи, як правило, пов’язаний з тим, яку з нерівностей, / (х) > 0 чи 8 (х)	0, розв’язати легше.
х = 2+&
-1, п .
Звідси <
х = 2-л/3,	х = 2 + л/3.
х>1;
Розв’яжіть рівняння >/х2 - Зх = \/Х“1.
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі
|х2-3х = д [х>1.
Відповідь:
Теорема
системі
7(х) = (^(х))а,
£(х)>0.
Скориставшись ідеєю доведення теореми 30.1, доведіть цю теорему самостійно.
2 + >/з.
30.2. Рівняння виду у/ї (ж) = £ (ж) рівносильне
Розв’яжіть рівняння л/х + 7 = х-3.
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі
х + 7 = (х-3)2, х-3>0.
Звідси
х2-7х + 2 = 0, х>3;
7 + л/ІЇ
2	’
х>3;
7+ >/41 2
Відповідь:	—
2
Теореми 30.1 і 30.2 можна узагальнити, керуючись таким очевидним твердженням: якщо а > 0 і Ь > 0, то з рівності а2* = Ь2*, к є №, випливає, що а = Ь.
203
§ 3. Степенева функція
Теорема 30.3. Якщо для будь-якого х є М виконуються нерівності { (х) > 0 і $ (х) > 0, то рівняння / (х) = £ (х) і (/ (х))2* = =	(х))2к, к є рівносильні на множині М.
на М-
Скориставшись ідеєю доведення теорем 30.1 і 30.2, доведіть цю теорему самостійно.
Розв’яжіть рівняння \І2х-3 4- 74x4-1 = 4.
Розв’язання. Областю визначення цього рівняння є множи-
На цій множині обидві частини даного рівняння
з _2 набувають невід’ємних значень. Тому дане рівняння на множині. М рівносильне рівнянню
Ліва частина останнього рівняння на множині М =
множині М. =
Звідси 2х-3-ь272х-3 74x4-14-4x4-1 = 16; \І2х-3 74x4-1 = 9-Зх.
5;+оо) 2	)
набуває невід’ємних значень. Тому права частина, тобто 9 - Зх, має також бути невід’ємною. Звідси 9 - Зх > 0; х < 3. Тоді на
3 обидві частини рівняння 72х- З >/4х + 1 = 9-Зх _ А
набувають невід’ємних значень. Отже, за теоремою 30.3 це рівняння рівносильне системі
(2х-3)(4х + 1) = (9-3х)2,
х2-44x4-84 = 0,
х = 2, _* = 42,	х = 2.
Рівняння Т2х -3 + >/4х + 1 = 4 можна розв’язувати й інакше. Розглянемо функції / (х) = 72х-3 і я (х) = 74x4-1. Легко переконатися (зробіть це самостійно), що ці функції є зростаючими. Тоді за теоремою 6.2 функція ^ = 72х-3 4-74x4-1 є зростаючою
З \
на множині М= о;+°°|. За теоремою 6.3 дане рівняння має не більше ніж один корінь. Нескладно ПОМІТИТИ, ЩО X = 2 є коренем розглядуваного рівняння.
Відповідь: 2.
204
ЗО. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
на М-
Л ВИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння \/2х-5 + >/х + 2 = л/2х + 1.
Розв'язання. Областю визначення даного рівняння є множи-~5	\
-;+оо|. Обидві частини даного рівняння на цій множині _ & /
набувають невід’ємних значень. Тому дане рівняння на множині М рівносильне рівнянню (\/2х-5 + \/х + 2) = (\/2х + 1) . Звідси 2 уІ2х-5 >/х + 2 = 4 - х.
Скориставшись теоремою 30.3, отримуємо: 4(2х-5)(х + 2) = (4-х)2, ^<х<4.
12
-2-6уІП
7х2+4х-56 = 0, Звідси к
^Сx<4;
12
5
2
Відповідь: --6——.
7
Розв’яжіть рівняння \/4х2 +9х + 5->/2х2
7
-2 + 6>/її
Х~ 7
-1.
Розв'язання. Вигідно розкласти квадратні тричлени, які стоять під радикалами, на множники:
7(х+1)(4х + 5) - 7(х+1)(2х-1) = 7(х-1)(х + 1).
Тепер важливо не зробити поширену помилку, а саме: застосувати теорему про корінь з добутку в такому вигляді: 4аЬ = = >/а*у[ь. Насправді записана формула справедлива лише для а>0іЬ>0, а якщо а < 0 і Ь < 0, то у[аЬ = у^-а • уГ-Ь.
Оскільки областю визначення даного рівняння є множина
5
4
І) [!; + <») и {-1} (рис. 145), то дане рівняння рівносиль
не сукупності двох систем і одного рівняння.
Рис. 145
205
§ 3. Степенева функція
1)
х>1,
у/х+ї >/4х + 5-л/х+1 >/2х-1 = >/х-1 л/х+1;
х>1,
х>1,
>/2х-1+ >/х-ї = л/4х + 5; [2 >/2х -1 >/х^ї = х + 7;
х>1,	Гх>1,
4 (2х - 1)(х -1) = Xа + 14х + 49; (7х1 2 3 4 - 26х - 45 = 0;
2)
5
4’
х<--, 4
'Ч
х<-7, 4(2х-1)(х-1) = х2 +14х + 49;
х>1,
х = 5’ х = 5.
-1=
х<-7,
7х2 -26х-45 = 0;
Зрозуміло, що ця система розв’язків не має.
3) х + 1 = 0; х = -1.
Відповідь: -1; 5.
Вправм
631.* Розв’яжіть рівняння:
х = 5,
1) 7х-1 >/х+4 =6;
5) -^---2-=>/^4;
>/2х-7
2) >/2х + 3 7х-2=3;
3) л/х+Їл/х+2 = 4;
4) >/х \І1-х = х;
7) л/7-х + -Д= = 2>/5х + 37.
>/7-х
206
ЗО. Метод рівносильних перетворень при розв'язуванні ірраціональних рівнянь
632.’ Розв’яжіть рівняння: 1) 7х+2 7х+8 = 4;
2) х-1 = 72х-5 7х+ї;
633/ Розв’яжіть рівняння:
3)
= 73х + 1;
4) . 12 ~72х+3 = 7х +10. уіх + 10
1)	74 + 2х-х2 = х-2; 3) 7х2+8 = 2х + 1;	5) 7х = х-1;
2)	7б-4х-х2 =х + 4; 4) 72х2-7х+5 = 1-х; 6) 7х2-1=3-2х.
634.’ Розв’яжіть рівняння:
1) 7х2-4х + 13 = |х+2;
2) 72х2+8х + 7-2 = х;
635.* Розв’яжіть рівняння:
1)	72х+6-7х+1 = 2;
2)	7х + 5-7х = 1;
3)	7х-5-79-х = 1;
4)	72х + 5 = 8-Тх-ї;
636/ Розв’яжіть рівняння:
1) 72х-4-7х+5 = 1;
2) 7x4-11-72x4-1 = 2;
637/* Розв’яжіть рівняння:
1) 73x4-44-7х-4=27х;
638.” Розв’яжіть рівняння:
1) 7х4-3-72х-1-73х-2
639.* Розв’яжіть рівняння:
3)	7x4-2 = 1-х.
5)	7x4-54-7б-х = 4;
6)	73х-1 + 7x4-3 = 2;
7)	^/х + Тх+лГ + 7х-Тх+17 = 4
3) 73х+1 + 716-ЗХ=5.
2) 7х+Ї-79-х = 72х-12.
= 0;	2) 7х+ї+7х=ї = 73х-1.
1) 7х2 - 4 + 7х2 + 2х-8 = 7х2 -6х+8;
2) 72х2 + 5х + 2-7х2+х-2 = 73х + 6.
640.* Розв’яжіть рівняння:
1) 7х2 -Зх + 2 + 7х2 -6х+8 = 7х2 -ііх+18;
2) 7х2-Зх-10 + 7х2+Зх+2 = 7х2+8х+12.
207
§ 3. Степенева функція
Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем
У попередніх пунктах ви ознайомилися з методами розв’язування ірраціональних рівнянь, заснованими на піднесенні обох частин рівняння до одного й того самого степеня.
Розширимо арсенал прийомів розв’язування ірраціональних рівнянь.
Насамперед звернемося до методу заміни змінної.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння х2 +Зх-18 + 4>/х2 4-Зх-б = 0.
Розв’язання.Нехай \/х2 -ьЗх-6 -і. Тодіх2 4- Зх - 18 = і2 - 12, і дане рівняння набуває вигляду і2 - 12 4- 4ґ = 0. Звідси
’ґ = -6,
/ = 2.
Оскільки і > 0, то підходить лише І = 2. Отже, дане рівняння рівносильне такому:
х/х2 +3х-6 = 2. Звідси х2 4- Зх - 6 = 4; х = -5 або х = 2.
Відповідь: -5; 2.
ПРИКЛАД . Розв’яжіть рівняння х/х4-4 4-х/х-4 = 2х + 2х/х2 -16-12.
Розв зання. Нехай х/х4-44-х/х-4 = і. Тоді, підносячи до квадрата обидві частини останньої рівності, отримаємо
2х+2 7х2-16 = ґ2.
Дане рівняння набуває вигляду і = і2 - 12. Звідси £ = 4 або ґ = -3.
Очевидно, що рівняння х/*4-44-х/х-4 = -3 не має розв’язків. Отже, початкове рівняння рівносильне такому: х/х4-4 4-х/х-4 = 4. Далі,
х>4,
2х+2>/х2-16=16;
х>4,
>/х2-16 = 8-х;
4<х<8,
х = 5. х2-16=64-16х+х2;
Відповідь: 5.
208
31. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння 2(х + 1)-х>/х + 1 - х2 = 0.
Розв'язання. Оскільки число 0 не є коренем даного рів-2 (х +1) \1х + 1	~
няння, то рівняння ——---1=0 рівносильне даному. х2 х
Нехай —- = і, тоді 2і2 - і - 1 = 0. Звідси і = 1 або ґ = ~. х	2
Маємо:
х>0, х +1 = х2, х<0, 4х + 4 = х2;
х = 2-2>/2.
Відповідь-. ЦД; 2-2^2. 2
Метод заміни змінних є ефективним і для розв’язування систем ірраціональних рівнянь.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть систему рівнянь
у[х+~У + у[ху+22 = 5, і[х+У + $[ху+22 = 3.
Розв’язання. Нехай ^[хТу = а, ^[ху+22 = Ь, а > 0, Ь > 0. Тоді (а2 + Ь2 = 5,	.
дана система набуває вигляду •!	Далі маємо:
[а + Ь = 3.
\а+Ь)2-2аЬ = 5,	(аЬ = 2,
а+Ь = 3;	|а + Ь = 3.
.	|а = 1,	(а = 2,
Звідси	або
[5 = 2	(& = 1.
Отже, дана система рівносильна сукупності двох систем
*[х+у=1,
і[ху + 22 = 2, ЗВІДСИ
*/х+у = 2, $[ху + 22 = 1,
х+у = 1, ху = -6, х+у = 16, ху = -21.
Розв’язавши останні дві системи, отримуємо відповідь.
Відповідь: (3; -2), (-2; 3), (в+>/85; 8-^б), (в ->/85; 8+>/8б).
209
§ 3. Степенева функція
Ц Вправи
641. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) ^х+2^х2-3 = 0;	6) х2-х + 9+л/х2-х+9 = 12;
2) х/х + ^х-6 = 0;	7) </х2-4х+4-2^х-2-3 = 0;
3) 2х-74х-15 = 0;	8) -4- + -Л— = 2; <1х-1 х/Х+1
4) ^х + З^х =4;	9) ч|—+7\|£Ц=8; Ух —1	Ух + 5
5) 2>/х+1-5 = -4=> л/х + 1	х^х-1 10) Ї2 -7	= 4. л/х7-!	\/х + 1
642.° Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) х-\/х-12 = 0;	5) -4— + -4— = 1; у/х+1 у/х+3
2) ^?+8 = 9^х;	6) №-6х + х2+2^3-х-8 = 0;
3) 7х-4= = 1; ух	7) х2-х+-Ух2-х+4 = 2;
4) >/х+5-3</х + 5 + 2 = 0;	8) /3£±2+ /2£23=25 V 2х - 3 у Зх + 2
643/ Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) х2-5х+16-3>/х2-5х+20 =0; 4) х/Зх2-9х-26 = 12+3х-х2;
2) х2 +4-5уіх2-2 =0; 3) \1х2 -Зх + 5 +х2 =Зх + 7;	5) 2х2+6х-3-7х2+3х-3 = 5; 6) у}ху/х + 4х =72.
644/ Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) х2-4х-Зл/х2-4х+20+10=0; 3) ^2х2 - 6х + 40 = х2 - Зх + 8;
2) 2>/х2-Зх + 11 =4 + Зх-х2;	4) 5х2+10х+>/х2+2х-15 = 123.
210
31. Різні прийоми розв'язування ірраціональних рівнянь та їх систем
645/ Розв’яжіть систему рівнянь:
ху = 8;
5)
6)
%/хї-у + %[х-у = 4, у[х+у-у[х^у =&,
/Зх-2у ( І 2х
N 2х \3х-2у х2 -8у2 =18-18у;
^/4 - х + у + ^/9-Зх + у = 7, 2у-3х = 12.
646.* Розв’яжіть систему рівнянь:
у/х-^/у = 2, ху = 27;
х + у = 5.
647.** Розв’яжіть рівняння х/ГЛ + х/х + 3 + 2 7(х-1)(х + 3)=4-2х.
648/* Розв’яжіть рівняння х + 7(х + 6)(х-2) = 2 +>/х + 6 + х/х-2.
649/’ Розв’яжіть рівняння >/2х4-3 4-\/х4-1 = 3x4-2 >/2х2 4-5x4-3-16.
650/* Розв’яжіть рівняння .	- +>/2х + 5 = 2х.
>/2x4-5
651/* Розв’яжіть рівняння 4х2 + 12х >/1 + х = 27 (1 + х).
652.” Розв’яжіть рівняння 6х2 -5х>/х4-3 + х4-3 = 0.
653.* Розв яжіть рівняння ^(х+З)2 + </(6-х)2 - ^(х+3)(6-х) = 3.
654.* Розв’яжіть рівняння ^/(х+4)2 +^/(х-5)2 +^(х + 4)(х-5) =3.
211
§ 3. Степенева функція
Ірраціональні нерівності
Розглянемо теореми, за допомогою яких розв’язують основні типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем аналогічні доведенню теореми 30.1.
Теорема 32.1. Нерівність виду (х) >(ж) рівносильна системі
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність V*2 -Зх + 1 > л/Зх-4.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі
хг-Зх + 1>Зх-4, Зх-4>0;
х2 - 6х + 5 > 0,
х>5, х<1,
х > 5.
Відповідь: [5; +«>).
Теорема 32.2. Нерівність виду у]/(х) <£(х) рівносильна системі
/(*)<(£ (*))\
• ^(х)>0,
ПРИКЛАД 2 Розь яжіть нерівність >/2х2 -Зх-5 <х-1.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна системі
2х2-Зх-5<(х-1)2,	-2<х<3,
х -1 > 0,	Звідси х > 1,
2х2 -Зх-5>0.	хС-1 або х>2,5.
Рис. 146
Розв’язування цієї системи проілюстровано на рисунку 146.
Отримуємо 2,5 < х < 3.
Відповідь: [2,5; 3).
212
32. Ірраціональні нерівності
Теорема 32.3, Нерівність виду	(х) >§(х) рівносильна
сукупності двох систем
І7(х)>0, Гя(*)>о, _1/(х)>(^(х))2.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність \Іх2 +7х+12 >6-х.
Розв'язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох
систем.
1)
6-х<0, х2 + 7х + 12>0;
х>6,
х<-4, х > 6. х>-3;
2)
6-х>0, х2+7х + 12>(6-х)2;
х<6,
24
Відповідь:
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність (х-3) >/х2 +4 < х2 -9.
Розв'язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді: (х-3)(7х2+4-х-з)<0.
Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем.
1)
2)
х-3>0, 7х2 +4 < х + 3;
х>3,
х2 +4<х2 +6х + 9;
х > 3.
х-3<0,
7х2 +4 >х+3.
Друга нерівність системи рівносильна су-
х + 3 < 0,
купності
х + 3 > 0, х2+4>(х + 3)2;
х<-3,
-3<х<-~;
6
х<--. Тоді маємо:
х<3,
5
6
Відповідь:
Сі [3;+°о).
213
§ 3. Степенева функція
Нерівність прикладу 4 можна розв’язати інакше, використовуючи метод інтервалів (див. п. 12). Справді, розв’язавши рівняння (х-3)(>/х2 + 4 - х-з) = 0, отримуємо два корені х = 3, х = ——.
6 Розв’язування даної нерівності проілюстровано на рисунку 147.
При розв’язуванні ірраціональних нерівностей можна користуватися більш загальною теоремою.
Теорема 32.4. Якщо для будь-якого х є М виконуються нерівності / (х) > 0 і & (х) > 0, то нерівності / (х) > § (х) (*))2* > (^ (х)) , Лг е рівносильні на множині
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність >/2х + 1 + \/х-3 <24х.
Розв'язання. Обидві частини даної нерівності набувають невід’ємних значень на множині М - [3; +°°), яка є областю визначення цієї нерівності. Тому дана нерівність на множині М рівносильна нерівності
(>/2х + 1 + 7х-3)2 <(2>/х)2.
Звідси 2 л/2х + 1 /х-3 < х+2.
На множині М = [3; +<») обидві частини останньої нерівності набувають невід’ємних значень. Тому за теоремою 32.4 отримуємо:
4(2х + 1)(х-3)<(х + 2)2,
х>3;
7х2 -24х-16<0,
х>3;
<х<4,  7
х>3;
З < х < 4.
Відповідь: [3; 4].
214
32. Ірраціональні нерівності
| Вправи
655	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	л/х^1>4;	2) >/х^ї<4;	3) л/х^1>-4; 4) ч/х^1<-4.
656	.° Розв’яжіть нерівність:
1)	72х-4>>/5^х;	4) >/х2-Зх + 1 >>/2х-3;
2)	у/х<4х + ї;	5) >/8-5х>л/х2-16;
3)	7х2 +х <л/х2 + 1;	6) 7х2 -Зх + 2 <72х2 -Зх + 1.
657 Розв’яжіть нерівність:
1)	73х-2< 7х+6;	3) 7х2 +Зх-10 <7х-2.
2)	72х2 + 6х-3 >7х2 + 4х;
658	.’ Розв’яжіть нерівність:
1)	х>>/24-5х;	3) л/Зх-х2 < 4 - х; 5) 7х2 + Зх + 3 < 2х +1;
2)	>/2х + 7 <х + 2; 4) 3-х>3>/1-х2; 6) 7?х-х2-6 <2х+3.
659	.' Розв’яжіть нерівність:
1)	>/9х-20<х;	3) 2>/4-х2 <х + 4;
2)	л/х + 61 <х + 5;	4) >/х2 +4х-5 <х-3.
660	.’ Розв’яжіть нерівність:
1)	72-х >х;	3) 7х2-1>х;	5) 7х2 + х-2 >х;
2)	7х+7>х + 1; 4) 7х2-2х>4-х; 6) 7-х2+6х-5 >8-2х.
661 Розв’яжіть нерівність:
1) 7х + 2>х;	3) 7х2-5х-24 >х + 2;
2) >/2х + 14>х + 3;	4) 7х2+4х-5 >х-3.
662.** Розв’яжіть нерівність:
1) (х + 10)7х-4 <0;	3) (х2-1)>/х2 -4 <0.
2) (х + 2)7(4-х)(5-х)>0;
663 ** Розв’яжіть нерівність:
1) (х-12) л/х-З <0;	3) (х2-9)>/16-х2 >0.
2) (х-3)7х2+х-2>0;
215
§ 3. Степенева функція
664.** Розв’яжіть нерівність:
2) 1~^1~4ХІ! <3;
X
665.” Розв’яжіть нерівність:
1) (х + 1)>/х2 +1 >х2 -1;
У8-2х-х2 < У8-2х-х2 х + 10	2х + 9
л/12-х-х2	\/12-х-х2
2х-7	х-5
2) А+20_1<0; X
666.** Розв’яжіть нерівність:
1) Зл/х-л/х+З >1;
2) 71-х2 +>/4-х2 <2;
667.” Розв’яжіть нерівність:
1) -Ух-6->/х + 10 <1;
3) >/х + 3<л/х-І + л/х-2.
2) 2-Ух + >/5-х >>/х + 21.
216
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§ 4. Тригонометричні функції
Радіанне вимірювання кутів
Досі для вимірювання кутів ви використовували градуси або частини градуса — мінути і секунди.
У багатьох випадках зручно користуватися іншою одиницею вимірювання кутів. Її називають радіаном.
Означення. Кутом в один радіан називають центральний кут кола, який спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.
На рисунку 148 зображено центральний кут АОВ, величина якого дорівнює одному радіану. Пишуть: АОВ = 1 рад. Також говорять, що радіанна міра дуги АВ дорівнює одному радіану. Пишуть: иАВ = 1 рад.
Радіанна міра кута (дуги) не залежить від радіуса кола. Справді, розглянемо два кола зі спільним центром О і радіусами В і г (Я > г) (рис. 149). Сектор АОВ гомотетичний сектору А1ОВ1 з цен-тром О і коефіцієнтом Тоді, якщо довжина дуги АВ дорівнює радіусу Я, то довжина дуги А1В1 дорівнює радіусу г.
На рисунку 150 зображено коло радіуса Я і дугу МІЧ, довжи-3
на якої дорівнює -Я. Тоді радіанна міра кута МОМ (дуги МУ)
з
дорівнює - рад. Узагалі, якщо центральний кут кола радіуса Я
спирається на дугу кола довжини аЯ, то кажуть, що радіанна міра цього центрального кута дорівнює а рад.
Рис. 149
— Я
Рис. 150
Довжина півкола дорівнює лЯ. Отже, радіанна міра півкола дорівнює п рад, а його градусна міра становить 180°.
218
33. Радіанне вимірювання кутів
Це дозволяє встановити зв’язок між радіанною та градусною мірами, а саме:
п рад = 180°.	(1)
Звідси
Поділивши 180 на 3,14 (нагадаємо, що п ~ 3,14), можна установити: 1 рад ~ 57°.
Рівність (1) дозволяє також записати, що
1=180 рад
З цієї формули легко встановити, що, наприклад,
15°=15’ї^рад=^рад’ 90°=90'їайрад= 9раА ЮО	14	ІОМ
135° = 135--5- рад = рад. ІоІІ	4
Зазвичай при записі радіанної міри кута позначення «рад» опускають. Наприклад, пишуть 135° = ^.
4
У таблиці наведено градусну і радіанну міри кутів, які часто зустрічаються:
Градусна міра кута	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
Радіанна міра кута	0	я 6	Я 4	я 3	Я 2	2я 3	Зя 4	5я 6	Я
Використовуючи радіанну міру кута, можна отримати зручну формулу для обчислення довжини дуги кола. Оскільки центральний кут в 1 рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу Я, то кут в а рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює аЯ. Якщо довжину дуги, яка містить а рад, позначити І, то можна записати
І = аЯ
На координатній площині розглянемо коло одиничного радіуса з центром у початку координат. Таке коло називають одиничним.
Нехай точка Р, починаючи рух від точки Ро(1; 0), переміщується по одиничному колу проти годинникової стрілки.
219
§ 4. Тригонометричні функції
У певний момент часу вона займе положення, при якому ^Р0ОР = ^ = 120° (рис. 151).
З
Будемо говорити, що точку Р отримано з точки Ро у резуль-2л
таті повороту навколо початку координат на кут — (на кут 120°).
З
2л
Пишуть: Р = Яо3(Р0).
Нехай тепер точка Р перемістилася по одиничному колу за годинниковою стрілкою і зайняла положення, при якому
X. РОР0 =	= 120° (рис. 152). Говоритимемо, що точку Р отрима-
но з точки Ро у результаті повороту навколо початку координат 9—
на кут —— (на кут -120°). Пишуть: Р = Яо3(Р0). З
Узагалі, коли розглядають рух точки по колу проти годинникової стрілки, то кут повороту вважають додатним, а за годинниковою стрілкою — від’ємним.
Рис. 153
Рис. 151
Рис. 152
Розглянемо ще кілька прикладів. Звернемося до рисунку 153. Можна говорити, що точку А отримано з точки Ро у результаті повороту навколо початку координат на кут (на кут 90°) або
на кут (на кут -270°), тобто А =	(Ро), А = Но 2 (Ро). Точку В
отримано з точки Ро у результаті повороту на кут я (на кут 180°) або на кут -я (на кут -180°), тобто В =	(Ро), В = Воп (Ро). Точку С
Зл
отримано з точки Ро у результаті повороту на кут — (на кут 270°) £
іг	Зл	_5.
або на кут (на кут -90°), тобто С = Яо2(Р0), С = Яо2(Р0).
220
33. Радіанне вимірювання кутів
Якщо точка Р, рухаючись по одиничному колу, зробить повний оберт, то можна говорити, що кут повороту дорівнює 2л (тобто 360°) або -2л (тобто -360°).
Якщо точка Р зробить півтора оберти проти годинникової стрілки, то природно вважати, що кут повороту дорівнює Зл (тобто 540°), якщо за годинниковою стрілкою — то -Зл (тобто -540°).
Зрозуміло, що кут повороту як у радіанах, так і в градусах може виражатися будь-яким дійсним числом.
Кут повороту однозначно визначає положення точки Р на одиничному колі. Проте будь-якому положенню точки Р на колі відповідає безліч кутів повороту. Наприклад, точці Р (рис. 154) відповідають такі кути повороту:	^ + 2л, ^ + 4л, ^ + 6л і т. д.,
4 4	4	4
а також “2л, “4л, ^-6л і т. д. 4	4	4
Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність точку Р одиничного кола таку, що Р =	(Ро). Тим самим ми задали відо-
браження множини дійсних чисел на множину точок одинично-
го кола. Зауважимо, що це відображення не є взаємно однозначним: кожній точці одиничного кола відповідає безліч дійсних чисел. Наприклад, точці Р (рис. 154) відповідають усі дійсні числа виду ^ + 2лЛ, к є 2.
Зауважимо, що множину чисел виду 4 + 2лЛ, к є 2, можна задати й інак-4
ше. Наприклад: ^ + 2лп, п є X, або 4
_72£ + 2лтп, т є 2. 4
Вправи
668.° Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює:
1) 25°;	2)	40°; 3) 100°; 4) 160°;	5) 210°;	6)	300°.
669.° Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює:
1)	2)	3)	4)	1,2л;	5) Зл; 6) 2,5л.
221
§ 4. Тригонометричні функції
670." Заповніть таблицю:
Градусна міра кута		12°	36°			105°	225°			240°
Радіанна міра кута	я 18			4л 9	Зл 5			4л	1,8л	
671.° Чому дорівнює довжина дуги кола, радіус якого дорівнює 12 см, якщо радіанна міра дуги становить:
1)	2) 2;	3)	4) 2л?
672.° Обчисліть довжину дуги кола, якщо відомо її радіанну міру а і радіус В кола:
1) а = З, В = 5 см; 2) а =	В = 6 см; 3) а = 0,4л, В = 2 см.
4
673.° Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:
1) 5 і 1,5;	2) і -2;	3) £ і 1;	4) і 4,8.
674.° Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:
і)?іі;
675.° Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо при повороті точки Ро(1; 0) на кут:
1) 45°;
3) 150°; 5) у;
2) О
676." Позначте на одиничному повороті точки Ро(1; 0) на кут: 1) 225°;
4) 210°; 6) -45°;
7) -120°; 9) 450°;	11)
8) -300°; 10) -480°; 12) З
отримаємо при
колі
5) 420°;
2) -60°;
4) 320°;
точку, яку
7) у;
3>
9) 6л;
10) -720°.
3) Ь о
(1; 0) на кут:
6) -315°;
677.° У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Ро
1) 127°;	5) -240°;	9) -470°;	ІЗ)	17) 3;
2) 89°;	6) 400°;	10> Ь	14) -1,8л;	18) 6;
3) 276°;	7) 750°;	И) у;	15) 2,6л;	19) -2;
4) -130°;	8) -24°;	12) у;	16> -¥; 4	20) 7?
222
33. Радіанне вимірювання кутів
678/ У якій чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1) 94°;	4) -100°;	7) -800°;	Ю) О	13) 1;
2) 176°;	5) -380°;	8)^;	11) 5,5л;	14) -3;
3) 200°;	6) 700°;	9)	12)	15) 5?
679/ Знайдіть координати точки одиничного кола, отриманої при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1)	3) -90°;	5)	7) 450°;
2) л;	4) -180°;	6)	8) -2л.
680/ Які координати має точка одиничного кола, отримана при повороті точки Ро (1; 0) на кут:
1)	2) Зл; 3)	4) 180°; 5) -270°; 6) -540°?
681/ Кути трикутника відносяться як 2 : 3 : 5. Знайдіть радіанні міри його кутів.
682/ Кути чотирикутника відносяться як 1 : 3 : 4 : 7. Знайдіть радіанні міри його кутів.
683/ Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого 13л о
дорівнює —- ?
15
684/ Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 36°. Знайдіть радіанні міри кутів цього трикутника.
685/ Укажіть найменший додатний і найбільший від’ємний кути, при повороті на які точки Ро (1; 0) буде отримано точку з координатами:
1) (0; 1);	2) (-1; 0);	3) (0; -1);	4) (1; 0).
686/ Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одиничного кола (рис. 155).
а)	б)	в)
Рис. 155
223
§ 4. Тригонометричні функції
687.’ Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одиничного кола (рис. 156).
Рис. 156
688/ Серед кутів 400°, 510°, 870°, 1230°, -150°, -320°, -210°, -680°, -1040° укажіть ті, при повороті на які точка Ро (1; 0) займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 40°; 2) 150°.
689/ Знайдіть кут а, 0° < а < 360°, при повороті на який точка Ро (1; 0) займе те саме положення, як при повороті на кут: 1) 440°; 2) -170°; 3) -315°; 4) 1000°.
690/ Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих при повороті точки Ро (1; 0) на кути:
1) £+2яЛ» к є 2;	3) % + пк, к є 2;	5) 2пк, к є 2;
6	2
2) -£ + 4яЛ, Леї;	4) пк, к є 2;	6) к є 2.
691/ Побудуйте на одиничному колі точки, яким відповідає така множина чисел:
1) ^ + 2пк, ке 2;	3) -? + лЛ, к е 2;
4	4
2) ^ + 2пк, ке 2;	4) к є 2.
2	З
692/ Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Ро (1; 0), щоб отримати точку:
1) Л(°;1); 2)Р2(-1;0); 3)Р,[А-|); 4)Р4(-^;^).
693/ Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Ро (1; 0), щоб отримати точку:
ПРДО;-!);	2) Р2Ґ|;^1;	3)
224
34. Тригонометричні функції числового аргументу
О-чн 694/ Доведіть, що площу сектора, який містить дугу в а рад, ссН2
можна обчислити за формулою 5 = —де В — радіус кола.

Тригонометричні функції числового аргументу
Поняття «синус», «косинус» і «тангенс» кутів від 0° до 180° знайомі вам з курсу геометрії 9 класу. Узагальнимо ці поняття для довільного кута повороту а.
Означаючи тригонометричні функції кутів від 0° до 180°, ми користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів повороту природно звернутися до одиничного кола.
Означення. Косинусом і синусом кута повороту а називають відповідно абсцису х і ординату у точки Р (х; у) одиничного кола такої, що Р = Яф(Р0) (рис. 157).
Пишуть: сов а = х, віп а = у.
Точки Ро, А, В і С (рис. 158) мають відповідно такі координати: (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Вони отримані з точки Ро (1; 0)
у результаті повороту відповідно на такі кути: 0,
Л Зл ггі її’ л’ т- Тому
користуючись даним означенням, можна скласти таблицю:
X	0	п 2	п	Зл 2
ВІП X	0	1	0	-1
СОВ X	1	0	-1	0
225
§ 4. Тригонометричні функції
ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі кути повороту а, при яких: 1) зіп а = 0; 2) соз а = 0, Розв'язання
1) Ординату, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: Ро і В (рис. 158). Ці точки отримано з точки Ро у результаті поворотів на такі кути:
0, я, 2л, Зл, ... або
-л, -2л, -Зл, ...
Отже, зіп а = 0 при а = лЛ, де к є 2.
2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: А і С (рис. 158). Ці точки отримано з точки Ро у результаті поворотів на такі кути:
5 + л, £ + 2л, £ + Зл, ... або
2 2	2	2
£-л, %-2п, %-Зп, ... 2	2	2
Отже, соз а = 0 при а = + пк, де ке Е.
А
Означення. Тангенсом кута повороту а називають відношення синуса цього кута до його косинуса:
Означення. Котангенсом кута повороту а називають відношення косинуса цього кута до його синуса:
•	/ \ соз І — І
Наприклад,	= —- = 0, сіе|-?| =----
созя	\ 2/	. І я]
8Ш\ 2/
. Зл
4
Зл соз— 4
. Зл ЗІП — 4
З означення тангенса випливає, що тангенс визначено для тих
кутів повороту а, для яких соз а * 0, тобто при а#^ + лЛ, к є 2.
З означення котангенса випливає, що котангенс визначено для тих кутів повороту а, для яких зіп а * 0, тобто при а Ф пк, кеі.
226
34. Тригонометричні функції числового аргументу
Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для
— + котангенса для а лЛ, Лє 2) кута а. Тому залежність £
значень синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута повороту є функціональною.
Функції / (а) = зіп а, б (ос) = сов а, Л (а) = і# а, р (а) = сі# а, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута повороту а.
Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут а рад. Це дозволяє розглядати тригонометричні функції число
вого аргументу.
Наприклад, запис зіп 2 означає синус кута 2 радіана.
З означення синуса і косинуса випливає, що областю визначення функцій у = зіп х і у = соз х є множина Ж.
Оскільки абсциси і ординати точок одиничного кола набувають усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій у = зіп х і у = соз х є проміжок [-1; 1].
Кутам повороту а і а + 2лл, де я є 2, відповідає одна й та сама точка одиничного кола. Тому
зіп а = зіп (а + 2т)9 пеії соз а = соз (а + 2лп), п є 2
Областю визначення функції у = 1$ х є множина
{х є Ж |	+ к є 2}.
Областю визначення функції у = сі# х є множина {хе Ж і х * пк9 к е 2}.
Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої
геометричної інтерпретації.
Проведемо пряму х = 1. Вона проходить через точку Р (1; 0) і дотикається до одиничного кола (рис. 159).
Нехай точка Р отримана з точки Ро (1; 0) у результаті повороту на кут а і розміщена так, як показано на рисунку 159. Пряма ОР перетинає пряму х = 1 у точці М. Проведемо РN ± ОР0.
З подібності трикутників ОРИ і ОМР0 РN МР0 випливає, що =
227
§ 4. Тригонометричні функції
Оскільки РN = віп а, СЖ = сов а, ОР. = 1, то МРп = 81па = а.
0	0 сов а
Отже, ордината точки М дорівнює а.
Можна показати, що і при будь-якому іншому положенні точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює а. Тому пряму х = 1 називають віссю тангенсів.
Зрозуміло, що при зміні положення точки Р на одиничному колі (рис. 160) точка М може зайняти довільне положення на прямій х = 1. Це означає, що областю значень функції у = х є множина К.
Рис. 161
Рис. 162
Нехай точка Р отримана з точки Ро (1; 0) у результаті повороту на кут а і розміщена так, як показано на рисунку 161. Можна показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у = 1, то абсциса точки перетину дорівнює сі£ а (рис. 161). Тому пряму у = 1 називають віссю котангенсів.
З рисунка 162 зрозуміло, що областю значень функції у = сі£ х є множина К.
Якщо точки О і Р лежать на одній прямій, то прямі ОРг і ОР2 перетинають вісь тангенсів (котангенсів) в одній і тій самій точці М (рис. 163, 164). Це означає, що тангенси (котангенси) кутів, які відрізняються на я, 2л, Зл і т. д., рівні. Звідси
а = (а + лп), пеі сі£ а = сі£ (а + лп), п є X
228
34. Тригонометричні функції числового аргументу
Рис. 164
Рис. 165
Рис. 163
ПРИКЛАДІ Доведіть, що соза = зіпІа +І.
Розв'язання. Нехай точки Рх і Р2 отримано з точки Ро у результаті поворотів на кути а і ач~ відповідно. Опустимо пер-пендикуляри РХА і Р2В на осі х і у відповідно (рис. 165). Оскільки ЛРХОР2-^, то можна встановити, що ДОР1А = ДОР2В. Звідси ОА = ОВ. Отже, абсциса точки Р1 дорівнює ординаті точки Р2, тобто сов а = зіп (а І.
Випадки розміщення точок Рх і Р2 в інших координатних чвертях розглядаються аналогічно.
Розгляньте самостійно випадки, коли точки Р і Р2 лежать на координатних осях.
ПРИКЛАД | Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1X1 а	пх (2-зіп а) сов а
1) 1 - 4 соз а; 2) 1-------.
сова
Розв'язання. 1) Оскільки -1 < соз а < 1, то -4 < -4 соз а < 4, -З < 1 - 4 соз а < 5. Отже, найменше значення даного виразу дорівнює -3; вираз набуває його при соз а = 1. Найбільше значення дорівнює 5; вираз набуває його при соз а = -1.
Відповідь: 5; -3.
пмг (2-віпа)сова л	о	«	•
2) Маємо:  ---------= 2 - зіп а. Зрозуміло, що вираз 2 - зіп а
набуває всіх значень від 1 до 3. Найменше значення виразу 2 - зіп а, яке дорівнює 1, досягається лише при зіп а = 1, проте л .	(2-зіп а) сов а	„ ~
при цьому соз а = 0 і вираз ---------- не визначений. Отже,
сова
найменшого значення не існує.
229
§ 4. Тригонометричні функції
Аналогічно, найбільшого значення вираз 2 - віп а набуває лише при віп а = -1, проте при цьому також сов а = 0. Отже, і найбільшого значення не існує.
Відповідь: не існують.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень виразу: 1) -----------
£* ~' СО8 лХ
Звіп х-2’
Розв'язання. 1) Маємо: -1 < сов 2х < 1; 1 < 2 - сов 2х < 3;
1>-—т;. Зрозуміло, що коли значення сов2х змінюється 2-сов2х З
від -1 до 1 включно, то значення виразу 2-соа2х зміНЮ€ТЬСЯ від
| до 1 включно.
Відповідь: [дії]-
2) Маємо: -1 < віп х < 1; -3 < Звіп х < 3; -5 < Звіп х - 2 < 1.
При 0 < Звіп х - 2 < 1 отримуємо, що --------->1, причому
З віп х - 2
рівність досягається при віп х = 1.
При -5 < Звіп х - 2 < 0 отримуємо, що ---------при-
3 віп х - 2	5
чому рівність досягається при віп х = -1. Отже, область значень даного виразу — множина	и [1; +°°).
\	5

Вправи
695.° Обчисліть значення виразу:
1) 2 соз 0° + Ззіп 90°;	6) віп 0 +тс — віп-~;
2) 41® 180° - 2 сі® 90°;	7) 5созл + 4со8^+2соз2я;
3) зіп 45° + соз 45°;	8) 6 зіп— - 2 соз—+і® 4 " 7 сі®£; 6	3	4	4
4) зіп2 60° + соз2 30°;	9) 2 зіп2 соз2 4	6
5) зіп 45° соз 60° сі® 30°;	10) зіп^і^сі^. О	О	О
230
34. Тригонометричні функції числового аргументу
696." Чому дорівнює значення виразу:
1)	віп 270° - 3сов 180°;
2)	сов 60° + зіп 30°;
3)	7і£2 45° - 3 сіє 45°;
4)	віп 180° сов 120° і£ 60°;
ВІП £ + СОВ Я +	4
5)	---2----------
2 віп о
6)	віп£сов£сіє£;
4	4	3
Зя Зя ,  Зя
7)	сов —-віп —+ сіє-5-;
8)	6сов0 + 4віп2л + 4 8іп2^?
697	.° Відомо, що а = ^. Знайдіть і порівняйте значення виразів: 6
1)	віп 2а і 2 віп а;
2)	сов За і 3 сов а.
698	.° Відомо, що Р = 4- Знайдіть і порівняйте значення виразів: 4
1)	віп 4Р і 4 віп Р;
2)	4Р і 4іЄ р.
699	.° Чи можлива рівність:
1)	сова =	4. 7’		4)	сова =
2)	віпа =	—	/15. 4 ’	5)	сова =
3)	8іпа =	3.		6)	віпа =
я
4
9 8
я
З
7) іе а = -4;
8) сі£а = >/26?
л/5
700	. Чи може дорівнювати числу —
1)	віп а;	3) а;
4) сі£ а?
значення:
2) соз а;
701.° Знайдіть значення виразу:
- ч віп 2а + сов 2а	я
1) -------г------, якщо а = —
віпІа-^І + Зі^а
віп (а + В)	я о я
) віп(а-Р) + сов(а + р)’ ЯКП*° а“"з’
3) (віп а + віп Р)2 - (віп а - віп Р)2, якщо а = 5» Р = т-6	4
231
§ 4. Тригонометричні функції
702.° Знайдіть значення виразу:
зіпЗр-8ІпріЄа	п я
сов За-3 віп (За+ 30)’ якщо а“з’ Р-6Ф
703	.° Укажіть найбільше і найменше значення виразу:
1)	3 віп а;	3) 2 - віп а;	5) віп2 а;
2)	4 + сов а; 4) 6 - 2сов а;	6) 2сов2 а - 3.
704	.° Укажіть найбільше і найменше значення виразу:
1)	-5сов а;	2) сов а - 2;	3) 5 + він2 а; 4) 7 - Звіп а.
705	.* Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1)	віп х = 1;	2) зіп х = -1.
706	.’ Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:
1)	сов х = 1;	2) сов х = -1.
707	.* Чи існує таке значення х є К, при якому обидві функції у = х і у = сі£ х не визначені?
708	.* При яких значеннях а можлива рівність:
1)	сов х = а + 3;	3) соз х = а2 - 1;	5) сов х = а2 - 5а 4- 5;
2)	віп х = а2 4- 1;	4) віп х = а2 - а - 1; 6) х =
а —2
709/ При яких значеннях а можлива рівність:
1) віп х = а - 2;	3) сов х = а2 - 3;
2) сов х = а2 4- 2;	4) віп х = 2а - а2 - 2?
710/ Порівняйте значення виразів 2віпа і віп2а, якщо 0<а<^.
711/ Порівняйте:
1) сов 10° і сов 10°сов 20°;	2) віп 40° і віп2 40°.
712/ Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1	віп а (1 +соз а).
1)	5	о) :	5
1 + віп а	віп а
сов3а	о	.	2сов2а
2) ------;	4) 2 сов а + 3 віп а-----.
сов а	сов а
713/ Знайдіть найбільше і найменше значення виразу: 1	віп а сов а оч .	віп а сов а
1) ------2) ----------;	3) віп а + сов а--------.
соз а - 2	зіп а	сов а
232
35. Знаки значень тригонометричних функцій
714.* Знайдіть область значень виразу:
1)	тг-А—;	2) — ----;
2 + 8ШХ	1--СО8Х
715/ Знайдіть область значень функції:
1)	ч =— ----;	2) у =------;
’ * З-созх	’ * 8ІПХ + 1
716/* Доведіть, що зіп а = -соз І + а І.
717/’ Доведіть, що соз а = -соз (я 4- а).
3) ---------.
4 зіп х-3
3) у =--------.
7 у 1-2СО8Х
Знаки значень тригонометричних функцій. Парність І непарність тригонометричних функцій
Нехай точку Р отримано з точки Ро (1; 0) у результаті повороту навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить І чверті, то говорять, що кут а є кутом І чверті. Аналогічно можна говорити про кути II, ЦІ і IV чвертей.
Наприклад, £ і -300° — кути І чверті, і -185° — кути 7	З
II чверті, і -96° — кути III чверті, 355° і ~ — кути IV чверті. 4	8
пк
Кути виду —, к є не відносять до жодної чверті.
Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису і ординату.
Отже, якщо а — кут І чверті, то зіп а > 0, соз а > 0.
Зрозуміло, що коли а — кут II чверті, то зіп а > 0, соз а < 0.
Якщо а — кут III чверті, то зіп а < 0, соз а < 0.
Якщо а — кут IV чверті, то зіп а < 0, соз а > 0.
Знаки значень синуса і косинуса схематично показано на рисунку 166.
Рис. 167
233
§ 4. Тригонометричні функції
~	. зіп а	сов а
Оскільки іяа =-------, сі£а = —---, то тангенси і котангенси
соз а	зіп а
кутів І і III чвертей є додатними, а кутів II і IV чвертей — від’ємними (рис. 167).
Нехай точки Р± і Р2 отримано в результаті повороту точки Ро (1; 0) на кути а і -а відповідно (рис. 168).
Для будь-якого а точки Р1 і Р2 мають рівні абсциси і протилежні ординати. Тоді з означень синуса і косинуса випливає, що
для будь-якого а є К
сов (-а) = сов а віп (-а) = -віп а
Це означає, що функція косинус є парною, а функція синус — непарною.
Області визначення функцій у = = І£ X і у = СІ£ х симетричні відносно початку координат (перевірте це самостійно). Крім того:
Рис. 168
, , ч аіп(-а) -зіп а , і£(-а) = —=------------= -іеа;
сов (-а) сов а
. , ч сов (-а) соз а .
сіє (-«) = .• , ; = —:— = -сіє зіп (-а) -зіп а
Отже, функції тангенс і котангенс є непарними.
Який знак має: 1) віп 280°; 2) іє (-140°); 3) іє 2?
Розв'язання. 1) віп 280° < 0, оскільки кут 280° є кутом IV чверті;
2)	ІЄ (-140°) > 0, оскільки кут -140° є кутом III чверті;
3)	оскільки ^<2<л, то кут 2 рад є кутом II чверті. Отже, ІЄ 2 < 0.
ПРИКЛАД Визначте знак виразу сов 123° іє 231° віп 312°.
Розв'язання. Оскільки 123° — кут II чверті, 231° — кут III чверті, 312° — кут IV чверті, то сов 123° < 0, іє 231° > 0, віп 312° < 0 і їх добуток більший за 0.
П 1АД і Порівняйте віп 200° і віп (-200°).
Розв язання. Оскільки кут 200° — кут III чверті, кут -200° — кут II чверті, то віп 200° < 0, віп (-200°) > 0. Отже, віп 200° < віп (-200°).
234
35. Знаки значень тригонометричних функцій
ПРИКЛАД 4 Дослідіть на парність функцію: 1) /(х)= — С^—;
х
2)	/ (х) = 1 + зіп х; 3) /(х) = ^-; 4) /(х)= С^. соз х	х -1
Розв'язання 1) Область визначення даної функції Л (/) = (-©о; 0) О (0; +°°) є симетричною відносно початку координат. Маємо:
(-х)	X
Отже, дана функція є парною.
2)	Область визначення даної функції Л (/) = (“°°; +°°) є симетричною відносно початку координат. Маємо:
/ (-х) = 14- зіп (-х) = 1 - зіп х.
Тоді / (-х) Ф / (х); /* (-х) -/ (х). Отже, дана функція не є ні парною, ні непарною.
3)	Область визначення даної функції — усі дійсні числа, крім
чисел виду ^4-лЛ, к є — є симетричною відносно початку координат. Маємо:
соз (-х) СОЗ X
Отже, дана функція є непарною.
4)	Область визначення даної функції Л (/*) = (-«>; 1) О (1; 4-оо) не є симетричною відносно початку координат. Отже, дана функція не є ні парною, ні непарною.
Вправи
718 Кутом якої чверті є кут:
1) 38°;	3) 302°;	5) -98°;	7) 5	9) О
2) 119°;	4) 217°;	6) -285°;	8) 6	10) 4
719.° Додатним чи від’ємним числом є значення тригонометричної функції: 1) зіп 110°;	4) зіп (-280°);	7) зіп (-130°);	10)	1;		
2) соз 200°;	5) соз 340°;	8) соз 2;	И)
3) іе 160°;	6)	(-75°);	9) зіп (-3);	12) О
235
§ 4. Тригонометричні функції
720.° Який знак має:
1)	зіп 186°;	3)	340°;	5)	(-291°); 7)
о
2)	ід 104°;	4) сов (-78°); 6) зпЛ 8) соз(-^)?
721.° Знайдіть значення виразу:
1) зіп (-30°);	2) ід (-60°);	3) сід (-45°); 4) соз (-30°).
722.° Чому дорівнює значення виразу:
1) соз (-60°) + ід (-45°);	2) сід (-60°) зіп (-45°) соз (-45°)?
723.° Знайдіть значення виразу:
1)	зіп (-30°) - 2 ід (-45°) + соз (-45°);
2)	5 ід0+2зіп(-^-3 сід(“)+4соз
3)	ід	сід (~)+2 сов (-я) + 4 зіп* 1 2 3 4 5
2сов(-®)
724.° Знайдіть значення виразу:
1) 3 зіп (-45°) + соз (-45°) + 2 зіп (-30°) + 6 соз (-60°);
2) зіп2 (-60°) + соз2 (-30°);
3) 2ід(“)сід(“)+3зіп( \ 4/	\ о/ \
725.° Визначте знак виразу:
1) зіп 100° зіп 132°;
2) соз 210° зіп 115°;
3) соз 285° соз (-316°);
4) ід 112° зіп 165°;
5) соз 318° ід (-214°);
6)	сід 300° віп 220°;
7)	зіп 1 соз 2;
8)	зіп 5 ід 5;
9)	зіп 3 соз 4 ід 5;
10)	зіп (-118°) соз 118° ід 118°.
726.* Порівняйте з нулем значення виразу:
1) зіп 102° соз 350°; 3)	5) аіп 112° соз (-128°) ід 198°;
соа 256°
2) зіп 134° соз 131°; 4)	6) зіп (-245°) ід 183° сід (-190°).
727.° Відомо, що < а < п. Порівняйте з нулем значення виразу:
1) зіп а ід а;
• 2	«З
2)	з) 22-*;
сов а ' соз а
4) зіп а - соз а.
236
35. Знаки значень тригонометричних функцій
728.“Відомо, що л<Р<^.
1)	зіп Р соб Р; 2) -8ІП?- ; соб р
729.° Порівняйте:
1)	130° і	(-130°);
2)	110° і	193°;
3)	соб 80° і біп 330°;
730/ Порівняйте:
1) зіп 200° і біп (-250°);
2) сі£ 100° і сі£ 80°;
Порівняйте з нулем значення виразу:
3)	4) БІП Р 4- СОБ р.
Біп Р
4)	біп 60° і біп^;
5)	сі£ і соб 280°;
6)	СІ£ 6 І СІ& 6°.
3)	соб 250° і соб 290°;
4)	соб 6,2 і зіп 5.
731.° Відомо, що а — кут III чверті. Спростіть вираз:
1)	біп а - | біп а |;	3) | а | - а.
2)	| соб а | - соб а;
732/ Відомо, що Р — кут IV чверті. Спростіть вираз:
1) | біп Р | 4- біп Р;	3) | сі£ Р | - сІ& р.
2) соб Р - | соб Р |;
733/ Кутом якої чверті е кут а, якщо:
1)	біп а > 0 і соє а < 0;	3) | біп а | = біп а і а * 5* к є 2;
А
2)	зіп а < 0 і а > 0;	4)сі£а + |сі&а| = 0 і а*£+лЛ, Ає2?
734.“ Кутом якої чверті е кут а, якщо:
1)	соз а > 0 і і£ а > 0;	3) | соз а | = -соз а і а * Лей;
2)	зіп а < 0 і сіє а < 0;	4) | а | - а = 0 і а * пк, кє2?
735/ Дослідіть на парність функцію:
1)	/ (х) = зіп2 х; 4) / (х) = —----;	7) / (х) = і-—----;
1 + СОБ X	X — 1
2)	/(х) = ^;	5) /(х) = х3 + созх; 8) / (х) =	*П Х.
3)/(х) = (£х + созх; 6) /(х) = -^^-;
1 - СОБ X
736/ Дослідіть на парність функцію:
1)/(х) = і£х + сі£х; 3) /(х) = -^^-; 5) /(х) = созх+£; х-1	о
2)'<Х> = Ї^^ 4)/(х) = ^; 6)/(х) = (х2;^Х.
237
§ 4. Тригонометричні функції
П« ОІОДИЧНІ функції
Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через 27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця; якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота.
Подібні явища і процеси називають періодичними, а функції, які є їх математичними моделями, — періодичними функціями.
Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності зіп (х - 2л) = зіп х = зіп (х 4- 2л);
соз (х - 2л) = соз х = соз (х + 2л).
Це означає, що значення функцій синус і косинус періодично повторюються при зміні аргументу на 2л. Функції у = зіпх і у = созх є прикладами періодичних функцій.
Означення. Функцію / називають періодичною, якщо існує таке число Т * 0, що для будь-якого х з області визначення функції / виконуються рівності
/(х-Т) = /(х) = /(х4-Т).
Число Т називають періодом функції /.
Виконання записаних рівностей для будь-якого х є В (Л означає, що область визначення періодичної функції / має таку властивість: якщо х0 є В (Л, то (х0 - Т) є В (Л і (х0 + Т) є В (Л-
Ви знаєте, що для будь-якого х з області визначення функції у = х виконуються рівності
(х - л) = X = (х + л).
Також для будь-якого х з області визначення функції у - сі£ х виконуються рівності:
СІ£ (х - л) = СІ£ X = СІ£ (х 4- л).
Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодичними з періодом л.
Періодичною є функція дробова частина числа1 у = {х}. Її періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді, у прикладі 4 п. 5 було доведено, що для будь-яких х є К і к є виконується рівність {х +& } = {х}.
Розглянемо деякі властивості періодичних функцій.
Теорема 36.1. Якщо число Т є періодом функції то і число -Т також є періодом функції
Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної функції.
1 3 цією функцією ви ознайомилися в п. 5 на с. 32.
238
36. Періодичні функції
Теорема 36.2. Якщо числа ТііТ2єперіодами функції причому Тх + Т2* 0, то число Т1 + Т2 також є періодом функції /.
Доведення. Для будь-якого хє !)(/) можна записати:
г (х) = / (х + тх) = / ((X + Т,) + т2) = г (х + (Т, + т2));
ї (х) = / (х - Т,) = / ((х - Т,) - Т2) = / (х - (Т, + Т2)).
Звідси для будь-якого х є В (/) виконуються рівності:
ї (X - (Тг + т2)) = / (х) = / (х + (7\ + т2)).
Отже, ЧИСЛО Тх + Т2 є періодом функції /. А
Нас лідок. Якщо число Т є періодом функції /, то будь-яке число виду пТ, де п є п * 0, також є її періодом.
Доведіть цей факт самостійно.
Остання властивість означає, що кожна періодична функція має безліч періодів.
Наприклад, будь-яке число виду 2лп, п є 2, п Ф 0, є періодом функцій у = віп х і у = сов х; будь-яке число виду лп, п є 2, п # 0, є періодом функцій у = X і у = СІ& X.
Теорема 36.3. Якщо число Т є періодом функції у = / (х),
Т то число де к * 0, є періодом функції у = / (кх + Ь). к
Доведення. Для будь-якого х з області визначення функції у = ї (кх 4- Ь) можна записати:
/(*х+Ь) = /((Лх + &) + Т) = /?|ЛІх + ^|+б|;
/(Лх + &) = /((Лх+&)-Т) = /|л(х-^)+б|.
Звідси для будь-якого х з області визначення функції у= / (кх + Ь) виконується:
Ак (х -	/ (кх + Ь) = / (к (х + + ь).
\ \	к /	/	\ \ к / І
Т
Отже, число — є періодом функції у = / (кх + Ь). А к
Якщо серед усіх періодів функції /* існує найменший додатний період, то його називають головним періодом функції Л
Наприклад, головним періодом функції у = {х} є число 1.
Теорема 36.4. Головним періодом функцій у = віп хіу = сов х є число 2л; головним періодом функцій у = і% хіу = сі& х є число л.
Доведення. Проведемо доведення для функції у = зіп х (решту тверджень теореми доводять аналогічно).
239
§ 4, Тригонометричні функції
Якщо число Т є періодом функції у = зіп х, то рівність зіп (х + Т) = зіпх виконується при будь-якому дійсному значенні т
х9 зокрема при х = ——. Тоді маємо:
(7^	і	і 7^ і	Т	7^
—=- + Т =зіп	; зіп4- = -зіп4-; зіп4- = 0.
2	/	\ 2/	2	2	2
т
Звідси -~ = лЛ, Т = 2лЛ, Ає 2. З останньої рівності випливає,
що будь-який період функції у = зіп х має вигляд 2лЛ, А є 2.
Найменшим додатним числом виду 2лЛ, к є 2, є число 2л, яке є періодом функції у = ЗІП X.
Отже, число 2л — головний період функції у = зіп х, ▲
Застосовуючи теореми 36.3 і 36.4 до функцій у = зіп (кх + Ь) і у = соз (кх + д), де к * 0, отримуємо, що чцсло є періодом, к
9—
а число 7-^7 є головним періодом цих функцій.
І к І
Головним періодом функцій у = (кх + Ь) і у = СІ£ (кх + Ь), де к * 0, є число 7-^-7.
І к |
Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є періодичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, є її періодом. Отже, ця функція не має головного періоду.
Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж не мають головного періоду.
Наприклад, розглянемо функцію Діріхле1 у = 2) (х). Ця функція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, є Ті періодом. Це випливає з того, що сума двох раціональних чисел — число раціональне, а сума раціонального і ірраціонального чисел — число ірраціональне. Отже, функція Діріхле не має головного періоду.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу: 1) зіп 660°; 2) зіп(-1|^); 3)	135°.
Розв’язання. 1)зіп660° = зіп(720° - 60°) = зіп(-60° 4- 360°• 2) = = зіп (-60°) =-зіп 60° = -^.
2) зіп	= _8Іп	= -зіп^4л + 3) = ~8Іп ^2 • 2л+=-зіп
1 3 цією функцією ви ознайомилися в и. 5 на с. 31.
240
36. Періодичні функції
3)	135° =	(-45° 4- 180°) =	(-45°) = -1.
На рисунку 169 зображено графік деякої періодичної функції / з періодом 7, В (Л = К.
У
-2Т -Т 0 т 2Т х
Рис. 169
Очевидно, що фрагменти графіка цієї функції на проміжках [0; 7], [7; 27], [27; 37] і т. д., а також на проміжках [-7; 0], [-27; -7], [-37; -27] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яка з цих фігур може бути отримана з будь-якої іншої паралельним перенесенням на вектор з координатами (и7; 0), де п. — деяке ціле число.
Узагалі, якщо проміжки [а; Ь] і [с; с£] є такими, що с = а 4- 7п, (і = Ь 4- Тп, п є 2, то частини графіка функції / на цих проміжках є рівними фігурами (рис. 170).
У^
Рис. 170
ПРИКЛАД 2 На рисунку 171 зображено фрагмент графіка періодичної функції, період якої дорівнює 7. Побудуйте графік цієї
функції на проміжку
37.57 2 ’ 2
Розв'язання. Побудуємо образи зображеної фігури при паралельних перенесеннях на вектори з координатами (7; 0), (27; 0) і (-7; 0). Об’єднання даної фігури та отриманих образів — шуканий графік (рис. 172).
Рис. 172
Рис. 171
241
§ 4. Тригонометричні функції
ПРИКЛАД З Покажіть, що число Т = я є періодом функції / (х) = >/-СО82Х.
Розв'язання. Областю визначення функції /є множина значень змінної х, при ЯКИХ СО8 X = 0, тобто Б (Л = {х Є Н | X = -^ + КП9 п Е 2£}.
Тоді якщо х е Б (/), то (х + я) є В (Л і (х - я) є Б (Л-Оскільки Е (Л = {0}, то / (х - я) = / (х) = / (х 4- я) = 0.
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція /(х) = —Ц- не є періодичною.
х — А
Розв'язання. Зауважимо, що В (Л = (~°°; 2) О (2; +<»). Припустимо, що функція / є періодичною з періодом Т * 0. Очевидно, що х0 = 2 - Т є В (Л, тоді х0 + Т= 2- Т + Те В (Л, тобто 2 є В (Л — отримали суперечність.
Вправи
737.° Знайдіть значення виразу:
1) зіп 390°;	5) соз (-750°);	9) соз 300°;	13) зіп^;
2) соз 420°;	6) зіп (-390°);	10) іє 150°;	і	7л 14) соз—; 4
3) І£ 780°;	7) іе (-210°);	11л 11) соз—;	15) \	о і
4) сіє 405°;	8) сі® 225°;	23л 12) віп-—; 4	
738/ Знайдіть значення виразу:
1) зіп 420°;	4) зіп 1110°;	7) сіє 4
2) соз 405°;	5) іє 765°;	8) зіп(-^ї
3) іє (-315°);	6) соз у;	9) сіє (-у1 \ о
739.° На рисунку 173 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; ЗТ].
242
36- Періодичні функції
740.” На рисунку 174 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції
Рис. 174
741.° Доведіть, що число Т є періодом функції /:
1) /(х) = соз4, Т = 8л;
4
3) / (х) = пх, Т = 3;
2) Г (х) = Зх, Т = -^;	4) Г (х) = зіп (5х - 2), Т = ^.
З	а
2л
742, Доведіть, що числа і -4л є періодами функції / (х) = соз Зх. З
743	.° Знайдіть головний період функції:
1)	/ (х) = соз (Зх + 1); 4) / (х) = зіп 2лх;
2)	Г (х) = і« (2х + 1);	5) / (х) = соз >/Зх;
3)	/ (х) = сі« (-7х + 2); 6) / (х) = (4лх - 3);
7)	/(х) = {бх+|};
8)	/(*) = {-л/2х };
9)	/ (х) = [ лх+— 1.
І я ]
243
§ 4. Тригонометричні функції
744	.° Знайдіть головний період функції:
1)	/ (х) = зіп (Зх - 1); 3) г (х) = іе (-х + 1); 5) 7(х) = сіб(^+4);
2)	/(х) = со8і^ + 2і; 4) / (х) = соз пх;	6) /(х) = І у-2 |.
745/ Доведіть, що число я не є періодом функції / (х) = зіп х.
746/ Доведіть, що число ~ не є періодом функції /* (х) = X.
747/ Знайдіть головний період функції /(х)= /1----.
V соз х
748/ Знайдіть головний період функції / (х)= /1------——.
V зіп2 X
Властивості і графіки функцій у = піп х і у = СОЯ X
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє досліджувати їх властивості та будувати графіки за такою схемою.
1) Розглянути проміжок виду [а; а 4- Т], тобто довільний про-
міжок завдовжки в період Т найчастіше обирають проміжок
[0; Т] або проміжок
Т Т і . 2 ’ 2 ])'
2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.
3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.
4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на вектори з координатами (иТ; 0), п є 1
Розглянемо функцію у = зіп х на проміжку [0; 2л], тобто на
проміжку завдовжки в період цієї функції.
У
Рис. 175
При повороті точки Ро (1; 0) навколо Л я початку координат на кути від 0 до —
ордината точки одиничного кола збіль-
шується від 0 до 1 (рис. 175). Це означає, що функція у = зіп х зростає на
проміжку 0; — . _ -
При повороті точки Ро (1; 0) на кути . п Зл від — до — ордината точки одиничного £
244
37. Властивості і графіки функцій у = зіп х і у = соз х
кола зменшується від 1 до -1 (рис. 175). Отже, функція у = зіп х спадає на проміжку
я. Зя _2; 2 _Г
При повороті точки Ро (1; 0) на кути від до 2л ордината точки одиничного кола збільшується від -1 до 0 (рис. 175). Отже, функція у = зіп х зростає на проміжку ^;2л .
Функція у = зіп х на проміжку [0; 2л] має три нулі: х = 0, х = л, х = 2л.
Якщо х є (0; л), то зіп х > 0; якщо х є (л; 2л), то зіп х < 0.
Функція у = зіп х на проміжку [0; 2л] досягає свого найбіль-ї	я
шого значення, яке дорівнює 1, при х = —, і найменшого зна-
1	Зя
чення, яке дорівнює -1, при х =
Отримані властивості функції у = зіп х дозволяють побудувати її графік на проміжку [0; 2л] (рис. 176). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 3.
На всій області визначення графік функції у = зіп х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2лп; 0), п є (рис. 177).
245
§ 4. Тригонометричні функції
У таблиці наведено основні властивості функції у = зіп х.
Область визначення	№		
Область значень	[-1; і]		
Періодичність	Періодична з головним періодом, який дорівнює 2я		
Нулі функції	Числа виду яп, п е 2		
Проміжки знакосталості	зіп х > 0 на кожному з проміжків виду (2яп; я + 2яп), п є 2 віп х < 0 на кожному з проміжків виду (я 4- 2яп; 2я 4- 2яп), п є 2		
Парність	Непарна		
Зростання/ спадання	г (	Зростає на кожної ~х + 2лп; % + 2пп 1 2	2 Зпадає на кожною £ + 2лп; ^ + 2пп І2	2	му з проміжків виду , п є 2 іу з проміжків виду , п є 2
Найбільше і найменше значення	Найбільшого значення, яке дорівнює 1, набуває в точках виду £ 4- 2яп, п є 2 а Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду “4-2яп, пе 2		
Розглянемо функцію у = сов х на проміжку [0; 2л].
Розглядаючи повороти точки Ро (1; 0) навколо початку координат, можна дійти такого висновку: функція у = соз х спадає на проміжку [0; я] і зростає на проміжку [я; 2я].
я Зя
Функція у = соз х на проміжку [0; 2я] має два нулі: х = —, х = —.

Якщо хе
(я Зя і
то
и
соз х < 0.
Функція у = соз х на проміжку [0; 2я] досягає свого найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = 0 або х = 2я і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х = я.
246
37. Властивості і графіки функцій у = зіп х і у = соз х
Графік функції у = соз х на проміжку [0; 2п] зображено на рисунку 178.
На всій області визначення графік функції у = соз х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2пп; 0), п є 2 (рис. 179).
У
Рис. 179
Графік функції у = соз х називають косинусоїдою.
Якщо скористатися формулою созх = зіпІ^ + х] (див. при-клад 2 п. 34), то зрозуміло, що графік функції у = соз х можна отримати як результат паралельного перенесення графіка функції у = зіп х на вектор з координатами	(рис. 180). Це
означає, що графіки функцій у = зіп х і у = соз х — рівні фігури.
У"
у “ЗІП X
Рис. 180
247
§ 4, Тригонометричні функції
У таблиці наведено основні властивості функції у = соз х.
Область визначення	№
Область значень	[-1; і]
Періодичність	Періодична з головним періодом, який дорівнює 2л
Нулі функції	Числа виду £ + лп, п є 2
Проміжки знакосталості	СО8 х > 0 на кожному з проміжків виду |-^+2лп; ^ + 2лп|, пє 2 \ 2	2	/ сов х < 0 на кожному з проміжків виду (£ + 2лп; ^ + 2яп), пе2 \2	2	/
Парність	Парна
Зростання/ спадання	Зростає на кожному з проміжків виду [л + 2лп; 2л + 2лп], п е 2 Спадає на кожному з проміжків виду [2лп; л + 2лп], л є 2
Найбільше і найменше значення	Найбільшого значення, яке дорівнює 1, набуває в точках виду 2лп, п е 2 Найменшого значення, яке дорівнює -1, набуває в точках виду л + 2лп, п є 2
ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) зіп 0,7л і зіп 0,71л; 2) соз 324° і соз 340°.
Розв'язання. 1) Оскільки числа 0,7л і 0,71л належать про
міжку
я, Зл .2’ 2 1
на якому функція у = зіп х спадає, і 0,7л < 0,71л,
то зіп 0,7л > зіп 0,71л.
2) Оскільки 324° і 340° належать проміжку [180°; 360°], на якому функція у = соз х зростає, і 324° < 340°, то соз 324° < < соз 340°.
ПРИКЛАД 2 Порівняйте зіп 40° і соз 40°.
Розв'язання. Оскільки зіп 40° < зіп 45° = -^, соз40°>соз45° = —
2	2
то соз 40° > зіп 40°.
248
37. Властивості і графіки функцій у = віп х і у = сов х
ПРИКЛАД З Чи можлива рівність зіп а = 2 зіп 31°?
Розв'язання. Оскільки зіп31°>зіп30° = і то 2 зіп 31° > 1.
2
Отже, дана рівність неможлива.
ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції і/ = зіп(х + ^.
Розв'язання. Шуканий графік отримуємо з графіка функції у = зіп х у результаті його паралельного перенесення вздовж осі
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції г/ = ^зіп2х.
Розв'язання. Стиснемо графік функції у = зіп х до осі ординат у 2 рази, тобто зменшимо у 2 рази відстані від кожної точки графіка функції у = зіп х до осі ординат. Отримаємо графік функції -іп • . Потім цей графік стиснемо у 2 рази до осі абсцис. Це і буде шуканий графік (рис. 182).
Рис. 182
ПРИКЛАД 6 Побудуйте графік функції і/ = зіп 2х-^і. З І
Розв язання. Проведемо такі перетворення:
1)	у = зіп х у віп ‘ х | — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0;
249
§ 4. Тригонометричні функції
2)	у = віп | х | —> у = зіп | 2х | — стиск до осі ординат у 2 рази;
3)	у = зіп| 2х |—> у = 8іп| 2(х-	| — паралельне перенесен-
ня вздовж осі абсцис у додатному напрямі на £ одиниць 6
ПРИКЛАД $ Побудуйте графік функції у = зіп (21 х | -~
Р о з в9 я зання. Проведемо такі перетворення:
1) у = віп х у = віп 2х — стиск до осі ординат у 2 рази;

2)
у = віп 2х -> у = віп
— паралельне перенесення
вздовж осі абсцис у додатному напрямі на 5 одиниць; 6
3) і/ = 8іп(2х-|)-> {/ = 8ІП
І2'--зі
— симетрія відносно осі
ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0. Шуканий графік складається з двох симетричних частин
Рис. 184
250
37. Властивості і графіки функцій у = 5Іп х\у = соз х
ПРИКЛАД Ц Побудуйте графік рівняння соз х -І- соз у = 2.
Розв'язання. Оскільки | соз х | < 1 і | СО8 у | < 1, то дане рівняння рівно-{СОЗ X = 1,
СОЗ 1/ = 1.
{х = 2лп, пєХ, у = 2пт, Шуканий графік — це множина точок, зображених на рисунку 185.
♦ 		У'		і.		 4-	
		2я ф		
*-4л	-2я (		4лі	
•	4-	о'	-2Л ; •		X
				
Рис. 185
К..........* 1 11
ф Вправи
749.” Серед чисел -Зл, -2л,	-л,	0,	2л,
к	2	2	2	2	2	2
6л, 7л укажіть:
1) нулі функції у = зіп х;
2) значення аргументу, при яких функція у = зіп х набуває найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = зіп х набуває найменшого значення.
ггкм - ґу	5л	Зл	_	л	я	_	Зл	5л	7л
750. Серед	чисел	——,	——,	-л,	0,	—,	л,	—,	—,	—,	5л, 8л
н	2	2	2	2	2	2
укажіть:
1) нулі функції у = соз х;
2) значення аргументу, при яких функція у = соз х набуває найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = соз х набуває найменшого значення.
751.° На яких з наведених проміжків функція у = зіп х є зрос-
таючою:
1)
_л.л
_ 2;2_Г
2)
я. Зл 2’ 2
3)
Г Зл. я
І 2 ’ 2
4)
Г 5л.
І 2 ’
Зл о
2 Г
752/ На яких з наведених проміжків функція у = зіп х є спадною:
1)	2)[-л;0];	3) Г-£;/|;	*)[?;?!?
І 2	2.Г	І 2 2_]	|_ 2 2
753/ Серед наведених проміжків укажіть проміжки спадання
функції у = соз х:
1)
5л Зл
2 ’ 2 _Г
2) [-2л; -л];	3)
4) [6л; 7л].
251
§ 4. Тригонометричні функції
754.° Серед наведених проміжків укажіть проміжки зростання функції у = соз х:
1) [-Зя; -2л];	2) [0; я];	3) [-я; я];	4) [Зя; 4я].
755.° Порівняйте:
1)	соз 1,6я і соз 1,68я;
2)	зіп 20° і зіп 21°;
3)	соз 20° і соз 21°;
. 10л . . 25л
4)	зіп— і зіп—;
756.° Порівняйте:
-і \	л	4л
1) соз — і соз—;
'	9	9
. 5л . . 17л
2) зіп— і зіп—;
У	1о
10л .	25л
5)	соз-— і соз—;
У	1о
6)	соз 5,1 і соз 5;
7)	зіп 2 і зіп 2,1.
3) біп ) і зіп(-^); '	\ 30/	\ 10/
4)
10л .	11л
соз—— і соз—— 7	9
10л .
757.° Розташуйте числа в порядку зростання:
1) зіп 3,2, зіп 4, зіп 3,6, зіп 2,4, зіп 1,8;
2) соз 3,5, соз 4,8, соз 6,1, соз 5,6, соз 4,2.
758.° Розташуйте числа в порядку спадання:
1) зіп (-0,2), зіп 0,2, зіп 1,5, зіп 1, зіп 0,9;
2) соз 0,1, соз 1,4, соз 2,4, соз 3,1, соз 1,8.
759/ Порівняйте:
1) зіп 58° і соз 58°; 2) зіп 18° і соз 18°; 3) соз 80° і зіп 70°.
760/ Чи можлива рівність:
1) соз а = 2 зіп 25°;	2) зіп а = 42 соз 35°?
761/ Побудуйте графік функції:
1) «/ = 2зіп(х + ^)-2;	2) </ = -|соз(х-^)+1.
762/ Побудуйте графік функції:
1) у=-3віп(х-|)+|;	2) у = 2соз(х4~)-1.
763/ Побудуйте графік функції:
1) і/= зіп | х + ^- |;	2) і/ = 2соз| |.
764/ Побудуйте графік функції:
1) г/ = 2зіп х + ^ ; о
2) У = -СО8
252
37. Властивості і графіки функцій у = віп х і у = сов х
765/ Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція і при яких значеннях аргументу: 1) у = віп х 4- 1;	3) у = зіп 2х;
2) і/ = 5Іп(х-^);	4) і/ = -|зіпх.
4) у = 3 соз х.
766/ Побудуйте графік функції, укажіть область значення даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція і при яких значеннях аргументу: 1)і/ = созх-1; 2) і/ = соз|х + £І; 3) і/ = соз^
767/ Побудуйте графік функції і/ = зіп(| х |-^.
768/ Побудуйте графік функції і/ = 2со5І| х |-~
769/* Побудуйте графік функції і/ = 2зіпІ2х +
770/’ Побудуйте графік функції у = -3 зіп І
771,” Побудуйте графік функції:
1) у = 2 соз | Зх 4- 2 |;
772.” Побудуйте графік функції:
1) у = 3 зіп | 2х - 1 |;
773/* Побудуйте графік функції:
1 . 71 І 2	6 1
774.” Побудуйте графік функції:
1) у= 8ІП
2)
2)
2)
у = -2 віп
у= соз
І2ЧІ
У =
1) у = соз
2)
У =
775/* Побудуйте графік функції:
1)	У = (78іпх) 5	5) у = у]созх-1;	9) у = х | соз х |;
• І • І І	8ІПІХІ	ЗІП2Х
2)^ = зтх4-8ш|х|;	6) у = —10) у= .  — .
8ШХ	У8ІП2Х
3) і/ = созх4->/со52х; 7) у = |8!ПХ.;
|зіпх|
4) у = у/-зіп2х;	8) у = х сов х;
253
§ 4. Тригонометричні функції
776/’ Побудуйте графік функції:
1)	у = (у/совх) ;	4) у = у]зіпх-1;
| соз X |
2)	м = 8іпх-\/8ііГх; 5) у = -----
созх
3)	і/ = л/-соз2х;	6) у = сі£ х зіп х;
777	.” Побудуйте графік рівняння:
1)	зіп я (х2 4- у2) = 0;	2) зіп х 4- зіп у = 2.
778	.” Побудуйте графік рівняння:
1)	соз ті (х2 4- у2) = 1;	2) соз х 4- соз у = -2.
7) у = сі£х | зіпх |;
8) ї =
І зіпх
з а
Властивості і графіки функцій у = і? х і у = сі^х
я. я 2’2
Розглянемо функцію у = х на проміжку проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що функція у = х в точках і не визначена).
тобто на
З рисунка 186 видно, що при зміні аргументу х від до значення функції у = х збільшується від -оо до 4-оо. Це означає,
Функція у = х на проміжку І-?;?
має один нуль: х = 0.
254
38. Властивості і графіки функцій у = х і у - сі& х
Якщо хє|“;0І, то х < 0; якщо х є 10; £І, то х > 0. \ а /	\ м /
Отримані властивості функції у = х дозволяють побудувати
її графік на проміжку
(-|Л) (рис. 187). Графік \ м & /
можна побуду-
вати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 3.
На всій області визначення графік функції у = х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (лп; 0), п є 2 (рис. 188).
У таблиці наведено основні властивості функції у = х.
Область визначення	 X Є В ІX Ф + пп, пеХ‘ їм	
Область значень	в	
Періодичність	Періодична з головним періодом, який дорівнює п	
Нулі функції	Числа виду лп, п є 2	
Проміжки знакосталості	іе X > ВИДУ ІЄ х < ВИДУ	* 0 на кожному з проміжків (лп;^ +лп), п є 2 ' 0 на кожному з проміжків “ +лп; лп), п є 2 \ 2	/
Парність	Непарна	
Зростання/спадання	Зростає на кожному з проміжків виду І“ + лп;^ + лпІ, п є 2	
Найбільше і найменше значення	Найбільшого і найменшого значень не набуває	
255
§ 4. Тригонометричні функції
Розглянемо функцію у = сі& х на проміжку (0; я), тобто на проміжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у = х не визначена в точках 0 і я).
З рисунка 189 видно, що при зміні аргументу х від 0 до я значення функції у = х зменшується від 4-оо до -оо. Це означає, що функція у = сі& х спадає на проміжку (0; я).
Функція у = сі£ х на проміжку (0; я) має один нуль: х =
Якщо х є 10;£), то сі£ х > 0; якщо х є І^;яІ, то сі£ х < 0. \ л /	\ л /
Графік функції у = сі# х на проміжку (0; я) зображено на рисунку 190.
На всій області визначення графік функції у = сі& х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (яп; 0), п є (рис. 191).
Рис. 191
256
38. Властивості і графіки функцій у = х і у = х
У таблиці наведено основні властивості функції у = х.
Область визначення	{х є Ж | х пп, п є 2}
Область значень	К
Періодичність	Періодична з головним періодом, який дорівнює п
Нулі функції	Числа виду + тш, пеі
	СІ£ х > 0 на кожному з проміжків
Проміжки знакосталості	виду (яп; + пп), п є X СІ£ х < 0 на кожному з проміжків ВИДУ	+	п Е X
Парність	Непарна
Зростання/спадання	Спадає на кожному з проміжків виду (пп, п + ял), и є 2
Найбільше і найменше значення	Найбільшого і найменшого значень не набуває
ПРИКЛАД Побудуйте графік функції у = | сі£ х | х.
Розв'язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні
числа, крім чисел виду л є 2, тобто
0/) = 1 лс є К | ас *	п є 2 1.
Якщо пк<х<^ + пк, к є 2, то сі£ х > 0 і у = 1.
Сл
Якщо ^ + пк<х<п + пк, к е 2, то сіє х < 0 і у = -1.
Шуканий графік складається з окремих відрізків з «виколо-
Рис. 192
257
§ 4. Тригонометричні функції
Вправи
779. Чи ііроходить графік функції у = іє х через точку:
1)	2) в(-£;-^); 3) с(^;о); 4)
\ *	/	\ З /	\3	/	\ О З 7
780	.’ Чи проходить графік функції у = сі& х через точку:
1)	2) В (у; о);	3) С (я; 1);	4) в[у;^з)?
яго -а ° ст	ТС л ТС ЗТС	л бТС ТС
781	. Які з чисел —, 0,	, -тс, 2л, ——, —:
2	2	2	2	4
1)	є нулями функції у = сі# х;
2)	не належать області визначення функції у = сі# х?
782	.’ Які з чисел -я,	0, £, £, % Зя:
1)	є нулями функції у = і# х;
2)	не належать області визначення функції у = і# х?
783	.° Порівняйте:
1)	іє (-38°) і іє (-42°); 4) іє 0,9я і іє 1,2я; 7) сіє у і сіє у 5
2)	іЄу і *є{£;	5)	іє	1 і ІЄ 1,5;	8)	сіє (-10°) і сіє (-60°);
3)	іє 130° і іє 150°; 6) сіє 24° і сіє 28°; 9) сіє 2 і сіє 3.
784	.“ Порівняйте:
1)	іє 100° і іє 92°; 3) і8~ і ІЄ^ 5) іє (-1) і ІЄ (-1.2); В	1о
2)	сіє 100° і сіє 92°; 4) сіє^ і сієу£; 6) сіє (-3) і сіє (-3,1). О	13
785	.” Розташуйте в порядку спадання:
1)	іє 0,5, іє 1,2, іє (-0,4), іє 0,9;
2)	сіє 3,2, сіє 4,6, сіє 6, сіє 5,3.
788." Розташуйте в порядку зростання:
1) іє 1,6, іє 4,1, іє 3,6, іє 2,5;
2) сіє (-0,7), сіє (-2,4), сіє (-2,8), сіє (-1,4).
787.” Побудуйте графік функції:
1) у = -ІЄ х; 2) у = іе х + 2;
788.’ Побудуйте графік функції:
1) у = -сіє х;
3) у = іє(х-у); 4) у = іє Зх
2) у = сіє х - 1; 3) у = сіє(х + £);
\ о /
4) у = сіє^.
258
39. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
789/ Чи можлива рівність:
1) віп а = ^і£80°;	2) соза = сі£-^;	3) соза = і£^?
З	1о	9
790/ Порівняйте: 1) віп 78° і 78°;
791/ Побудуйте графік функції:
1) «/ = |сіг(х+2)+1;
792/ Побудуйте графік функції:
1) у = 2іЄ(х + ^)-|; \ о /	&
793.** Побудуйте графік функції:
2) зіп 40° і сій 20°.
2) у = ій
2) у = сій(зх-^). \	А^ /

1)	У =	;	4) У = пт^—і5	7) у = -— ---;
* в ’	' * | сієх |	ійхсійх’
2)і/ = іях + і£|х|; 5) у = сі£х--7сїя*х; 8) у = | ій х | сій х. 3) у = >Г^хі 6) у = | іе х |;
794." Побудуйте графік функції:
1) У = Цйїх)2;	5) у = їех + 4їе*х;
2)у = сій х - сіє |*|;	6) у = | сій х |;
3) у = 7~сі82*;	7) у = ій х сій х.
а Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу
У цьому пункті встановимо тотожності, які пов’язують значення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.
Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задовольняють рівняння х2 + у2 = 1. Оскільки х = соз а, у = зіп а, де а — кут повороту, у результаті якого з точки Ро (1; 0) було отримано точку Р, то
зіп2 а + соз2 а = 1	(1)
Звернемо увагу на те, що точку Р обрано довільно. Тому тотожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною тригонометричною тотожністю.
259
§ 4. Тригонометричні функції
Використовуючи основну тригонометричну тотожність, знайдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і синусом.
Припустивши, що соз а # 0, поділимо обидві частини рівності (1) на соз2 а. Отримаємо:
зіп2 а + соз2 а _	1
2	“	2	’
соз а соз а
2	2	,
зіп а соз а _	1
2	'	2	2	’
соз а соз а соз а
1 + і&2а = \ соз а
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких соз а * 0, тобто при а#^ + лЛ, Ає 1
Припустивши, що зіп а # 0, поділимо обидві частини рівності (1) на зіп2 а. Отримаємо:
зіп2 а + соз2 а _	1
. 2	. 2	’
зіп а зіп а
зіп а соз а _	1
. 2	’	. 2	. 2	9
зіп а зіп а зіп а
Г1 + сі£2а =—• ।	зіп а
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких зіп а # 0, тобто при а # лЛ, А є 2.
Зв’язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за
.	х зіп а . соз а
допомогою означень цих функцій. Маємо:	а =-----, сія а = — .
соз а	зіп а
Звідси
| а сіє а = !•
(2)
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких зіп а # 0 і соз а # 0, тобто при а * лЛ і а#^ + лЛ, к є 2.
Зазначимо, що
{аєІК|а = лЛ,Лє^}сНаєІК|а = ^ +
І
аєК|а =
Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, що а # —, кєі.
260
39. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
ПРИ» ЛАД 1 Спростіть вираз:
1) зіп2 і 4- сов2 і 4- і#2 х; 2) —-1&2(р - зіп2 (р;	3) ,8Іп а .
сов ф	1 + сов а
Розв'язання. 1) 8ІП2^4-СО82^4-І^2Х = І4-І^2Х = — соз х
2) —ї----І£2 ф-8ІП2ф = І4-І£2 ф-І£2 ф-8ІП2ф = 1-8ІП2ф = СО82ф;
СОЗ ф
зіп2а _1-с082а_(1-С08а)(1 + С08а) -1 + соз а 1 + соз а 14- соз а
ПРИКЛАД Доведіть тотожність:
1)	^^Щ = «асівР;
сіяа + іяр
2)	соз2 а + зіп2 а зіп2 Р + зіп2 а соз2 Р = 1;
(зіпа + соза)2-! _2 , 2 сі® а - зіп а сов а
Розв’язання. 1)	а*^-| = ґі£а+—:ґ——+ <<р1 =
сі«а + івР ® ІяР,/	)
= іЄаі8Р + 1 1 + іЄаіЄр = ііа = І8Р	івР Р
2)	соз2 а 4- зіп2 а зіп2 Р 4- зіп2 а соз2 Р = соз2 а 4- зіп2 а (зіп2 р + + соз2 Р) = соз2 а + зіп2 а = 1.
3)	(зіпа + сова)2-1 зіп2а4-2зіпасоеа4-со82а-1 _ сія а - зіп а соз а	соз а
—-----зіп а соз а
зіп а
1 + 2зіпа соза-І _ 2 зіп а соз а
соз а —-----зіп а	соз а • —;---
\зіпа /	зіп а
2зіпа«зіпа _ 2зіп2а _ 9.
-	. 2	~	2	“"^Б а-
1 — зіп а соз а
о
ПРИКЛАД Відомо, що соза = -. о
Обчисліть зіп а.
Розв'язання. Маємо:
зіп2 а = 1 - соз2 а = 1 -	. Звідси
зіпа = -*г або зіпа = --^. З	З
Рисунок 193 ілюструє цей при
клад.
261
§ 4. Тригонометричні функції
гг
п ІАД 4 Знайдіть соє а, а, а, якщо зіпа = -~
25
і л<а<^.
&
Розв'язання. Маємо:
соз2 а = 1 - зіп2 а = 1 -
\ 25/
49 _ 576
625 625‘
Оскільки л<а<~^,
то соз а < 0, отже, соз а =
/576 = 24
\625	25 ‘
І£ОС =
зіп а соз а
7 /_24 \
25 А 25/
2_. 24’
сі£а =
1 _ 24 і£а 7 ’
\Д | Дано: сі&а = ^, 90° < а < 270°. Знайдіть зіп а, 63
соз а, а.
63 Розв'язання. Маємо: і&сс = —•
16
1
зіп2 а
= 1 + сі&2а = 1 +
256 _ 4229.
3969 3969’
зіп2а =
3969
4225
Оскільки сі& а > 0 і 90° < а < 270°, то 180° < а < 270°. Отже, 63 зіп а < 0. Тоді зіпа = -—.
65
,,	.	16 / 63\	16
Маємо: соза = сі&азіпа = —• ь	63 \ 65/	65
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз ^/зіп2а(1 -сі£а)+соз2а (1 - ос), якщо ^—<а<2л.
Розв'язання. 7зіп2а(1 -сі£а) + соз2а(1 -а) =
1.2	• 2 соз а	2	2 зіп а
=. /зіп а - зіп а • —— + соз а - соз а--
у	зіп а	соз а
= уїзіп2 а - зіп а соз а + соз2 а - соз а зіп а =
= УІ&ЇП2 а - 2зіп а соз а + соз2 а = 7(віпа-соза)2 = | зіп а - соз а |.
Оскільки	< ос < 2л, то зіп а < 0, соз а > 0. Тому зіп а - соз а < 0.
Отже, | зіп а - соз а | = соз а - зіп а.
Відповідь: соз а - зіп а.
262
39. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
ВНИМИНИВВВМИНННВВНВИМММММНМВМВШМНІШМИиНШіММвВММІММіМИйшммдонншйрівдої^^
Вправи
795.° Спростіть вираз: 1) зіп2 р - 1; 2) 1 - зіп2 За - соз2 За;	6) 1 - зіп2 а 4- сі£2 а зіп2 а; 7) соз2 а + сій2 а	; зіп а
1-зіп2а, -	2	’ 1-соз а	8) Г^-с4е2Р; 1 - 81П р
4) соз а а;	/і	• х\іл	х\ 9) 11 + зіп—ІІ1-51П—1; \ & / \ /
б) -V-1; соз а	10) (зіп а 4- соз а)2 4- (зіп а - соз а)2.
79в/ Спростіть вираз:
1) зіп2 2а + соз2 2а 4- сі£25а; 5) (і£ а соз а)2 4- (с!& а зіп а)2;
2) зіп—сій^; О	о	«ч	зіп2 а О/	9	9	> 1 + сі&2а(соз2а-1)
з) і—V; зіп у	7) | —ї— + ій<х —		ійа соз а	Д соз а	)
4) соз а -1	8) (ій Р + сій Р)2 - (ій Р - сій Р)2-
О-» 797.° Чи можуть зіп а і соз а одночасно дорівнювати нулю?
О—ж 798.° Чи можуть а і сі& а за модулем бути: 1) обидва більші за 1; 2) обидва менші від 1?
799.° Спростіть вираз:
1) (1 + ій а)2 + (1 - іє а)2;	8)	1-сі#23ав ій23а-1 сійЗа
2) зіп4а + 2 зіп2а соз2а 4- соз4а; 9) —;
І£а + СІ£ОС
оч зіп а	зіп а 3) -	*	; 1 + соз а 1 - соз а л ч .	зіп X 4) сійх + -	; 1 + СОЗ X 1-8ІПХ СО8Х б)	-	, СОЗ X	1 + зіп X зіп а	1 + соза о)	і .	, 1 + соз а зіп а „ ійа + ійР . ’ сі£а + сі£Р’	Ю) 1-ійї ’ 11)	соз4 а - соз2 а + зіп2 а; 12)зіп4а + зіп2асоз2а + сов2 а; 13)	соз (-а) + соз а ій2 (-а); 14)	1созП/в?)~І8(~Р)- соз(~р)
263
§ 4. Тригонометричні функції
800.° Спростіть вираз:
1)	(1 + сіє Р)2 3 + (1 - с1£ р)2; 6)
1 + а сіє а
2)	яіп2а соз2а (і^а + сі^а 4- 2); 7) 1 + Ц »
1 + а
СО8р СОЗ В	О\ 4 І • 2	2	2	1
3)	-—+ з—т2-??;	8) соз а 4- зш а соз а - соз а - 1;
1 + зіп р 1 - зіп р
4)	і£ х +  со-; * ;	9) зіп2 а + зіп2 а соз2 а 4- соз4 а;
1 + зіпх
5)	10) 1$ (-а) сіє а + зіп2 (-а).
1 - 81П Р	СОЗ Р
801.° Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:
1) соза = -;	3) і£ а = 2 і жа<^;
2) зіп а = 0,6 і £ < а < я; 4) сі£ а = ~ і < а < 2я.
Л	О &
802.° Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:
1)	соза = || і 0<а<—;	3) і£а = -| і ^-<а<2л;
13	2	3	2
2)	зіпа = -^ і л<а<^;	4) сіє а = -7і^<а<л.
803	.* Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
1)	зіпа = 4 і соза = --^РР	3) соза = ^ і і£а = -^-^?
4	4	7	5
2)іє а = 2,5 і сі® а = 0,6;
804	.* Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
2	3	1	і—
1)	зіпа = - і соза = -;	3) зіпа = -- і сі£а = 737?
5	5	о
2)	і£а = | і сієа = 1|;
9	4
805/ Доведіть тотожність:
2) соз2 а 4-2 зіп2 а 4-зіп2 а і#2 а = —; соз а
3) іє2 а - зіп2 а = і£2 а зіп2 а;
л ч \/з - 2 зіп а 1 + 2 соз а
4) —---------— =----------т=;
2соза-1 2зіпа + >/3
264
39. Основні співвідношення між тригонометричними функціями
5)
СІ£2(Х-СО82а
8Іп2а-і£2а
= -сі&6 а;
зіпа + іяа .
6)	—------— = і$а;
1 + соз а
7)	1 + (сі&2 а - і£2 а) соз2 а = сі£2 а;
8)	. і— 2 сі£ а-соз а
806.* Доведіть тотожність:
1)	зіп а соз а 4- зіп а соз а = зіп а соз а;
2)	сі&2 а - соз2 а = сі#2 а соз2 а;
3)	(і£2 а - зіп2 а) - с1^2 а = 1. зіп а
807/ Доведіть тотожність:
1)	зіп4 а + соз4 а - зіп6 а - соз6 а = зіп2 а соз2 а;
2)	зіп6 а + соз6 а + 3 зіп2 а соз2 а = 1.
808/ Доведіть тотожність 2 (зіп6 а 4- соз6 а) - 3 (зіп4 а 4- соз4 а) = -1.
809/* Знайдіть значення виразу: зіп а - соз а	.і
—---------, якщо іяа = 7?;
зіп а + соз а	З
2соз2а-7зіп2а	. о
----5------------> якщо сі£ а = -2;
З соз а + 4зіпасоза
8 зіп а - 3 соз а
1)
2)
---а-----5----------о—, ЯКЩО а = -3. зіп а + 5зіп а сов а - 8соз а
810.” Знайдіть значення виразу: бсоза + бзіпа	і
Ззта-7соза	2
зіп а сов а	, з
—5------о—, якщо сі&а = ^;
зіп а-соз а	4
2зіп3а + Зсоз3а	. А
——----------, якщо а = -4.
5віпа-сова
3)
1)
2)
3)
811.- Спростіть вираз:
1) у/сов2р (14- Р) 4-зіп2р(1 + сі£Р), якщо л<Р<^-;
А
- зіп2 а - соз2 а соз2 р	ч _
2) ікрс^а ’ ЯКЩО л<а<2’ 2<Р<Л;
/1 + зіпа /1-зіпа 3) у 1 - зіп а у 1 + зіп а 4) ^2- 2соз2 Р + ^2 зіп2
> якщо 90° < а < 180°;
р-2>/2зіпр + 1, якщо ^<р<л.
265
§ 4. Тригонометричні функції
812/* Спростіть вираз:
1) зіп а - Vе*#2 а " соз2 а, якщо 180° < а < 360°;
1 - соз а
1 + соз а
1 +СОЗ ОС	Зтг
;-----, якщо л<ос< —;
1-соза	2
2)
3)	^соз2а + 4соза +1 -л/4-4зіп2а, якщо з
813	.** Дано: зіп а + соз а = Ь. Знайдіть:
1)	зіп а соз а; 3) зіп4 а 4- соз4 а; 5)	+—т—.
зіп4 а соз4 а
2)	зіп3 а + соз3 а; 4) зіп6 а 4- соз6 а;
814	.’* Дано: а 4- сі& а= Ь. Знайдіть:
1)	Ї£2 а 4- сі£2 а;	3) і&4 а 4- сі£4 а;
2)	і£3 а 4- сі&3 а;	4) (соз а + зіп а)2.
815	.** Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1)	2 соз2 а - 3 зіп а;	3) 1 - л/соз^ - 2 зіп2 ос;
2)	і£2сс4- - ;	4) 3 соз2 а - а сі£ а.
соз а
816	.** Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
1)	3 зіп2 а 4- 3 соз а;	3) 2 зіп2 а 4- З а сі& а.
2)	1 + \/зіп2а 4-2соз2ос;
Формули додавання
Формулами додавання називають формули, які виражають соз (а ± Р), зіп (а ± Р) і (а ± Р) через тригонометричні функції
кутів а і р.
Рис. 194
Доведемо, що
соз (а - Р) = соз а соз Р 4- зіп а зіп р.
Нехай точки Рг і Р2 отримано в результаті повороту точки Ро (1; 0) на кути а і Р відповідно.
Розглянемо випадок, коли
0 < а - Р < л.
Тоді кут між векторами ОРг і ОР2 дорівнює а - Р (рис. 194). Координати точок Рх і Р2 відповідно дорівнюють
266
40. Формули додавання
(сов а; віп а) і (сов Р; зіп Р). Тоді вектор ОРГ має координати (соз а; зіп а), а вектор ОР2 — (соз Р; зіп Р).
Виразимо скалярний добуток векторів ОР} і ОР2 через їх координати:
ОРг • ОР2 = соз а соз р + зіп а зіп р.
Водночас за означенням скалярного добутку векторів можна записати
ОР} .6^ = 1 ОРі 1-І ОР2 |соз(а-р) = со8(а-р).
Звідси отримуємо формулу, яку називають косинус різниці:
соз (а - Р) = соз а соз Р + зіп а зіп Р	(1)
Для доведення формули (1) скалярний добуток векторів ОРГ і ОР2 можна застосувати і тоді, коли (а - Р) £ [0; я]. У цьому ви зможете переконатися на заняттях математичного гуртка.
Доведемо формулу косинус суми:
соз (а + Р) = соз а соз Р — зіп а зіп Р
Маємо: соз (а + Р) = соз (а - (-Р)) =
= соз а сов (-Р) 4- зіп а зіп (~Р) = соз а соз Р - зіп а зіп р.
Доведемо формули синуса суми і синуса різниці:
зіп (а + Р) = зіп а соз Р + соз а зіп Р
зіп (а - Р) = зіп а соз Р - соз а зіп Р
За допомогою формули (1) доведемо, що
зіп а = соз
Маємо: соз
соз соз а + зіп ? зіп а = зіп а. 2	2
Тепер доведемо, що
соза =
Маємо: соз а = соз
Тоді віп(а + Р) = соз
267
§ 4. Тригонометричні функції
= соє І “ а І соз р+зіп І т; - а І зіп Р = віп а сов р + соз а віп Р;
зіп (а - Р) = зіп (а 4- (-Р)) = зіп а соз (~Р) 4- соз а зіп (~Р) = = зіп а сов Р - соз а зіп р.
Формули тангенса суми і тангенса різниці мають вигляд:
/ ох і£а + і£р 1 |І8(а+Р)-11ва1вр і	(2)
1	1 + іваікР і	(3)
І........	.1
Доведемо формулу (2). Маємо:
і (а 4- В) - 8*п (а + - 8Іп а со8 Р + СО8 а 8Іп Р н соз (а + Р) соз а соз Р - зіп а зіп Р ’
Припустивши, що соз а соз Р 0, отриманий дріб можна переписати так:
зіп а соз Р соз а зіп р
соз а соз Р соз а соз Р _ а 4- Р соз а соз р зіп а зіп р 1 - і£ а £& Р' соз а соз Р соз а соз Р
Формулу тангенса різниці (3) доведіть самостійно.
Тотожність (2) є правильною для всіх а і Р, при яких соз (а 4- р) * # 0, соз а * 0, соз Р * 0.
Тотожність (3) є правильною для всіх а і Р, при яких соз (а - Р) * * 0, соз а * 0, соз Р * 0.
~	>/з зіп а+ 2 соз (60° +а)
Спростіть вираз -----------4=----
2	зіп (60° + а) - л/3 соз а
п	\/з зіп а+ 2 соз (60°+ а)
Розвязання. Маємо: ---------------4=----
2 зіп (60° 4- а) - уІЗ соз а
_ Уз зіп а 4- 2 (соз 60° соз а - зіп 60° зіп а) _
2 (зіп 60° соз а 4- соз 60° зіп а) - \/з соз а
г-	/і	л/З 1
уіЗ зіп а 4- 214 соз а - Л^зіп а
=\2 2	/ =
21	соза 4-77 зіп а І - \/з соз а
\ 2	2 І
л/з зіп а 4-соз а -	зіп а сова
= - г=---------7=----= —---= сі£ а.
\/3 соз а 4-зіп а- д/Зсоза зіп а
268
40. Формули додавання
Доведіть тотожність: 1) 8Іпа-созаі;^^ = і^^;
2) сі£а-і£р =
соз (а + Р) зіп а соз Р ’
а	. а
зіп а соз — - соз а зіп — зіп
А	_
. а соз а зіп — Розв'язання. 1) зіпа-созаі£ —= зіпа---------------— =
2	а
Є°8 2 а 81п 2 а а	а	а	Б 2
соз	соз — соз
. п сова зіпР соз а соз Р - зіп а зіп Р соз(а + Р) 2) сі< а - р =  ---------£ =-----—---------е = -т-3—
аіп а соз р віп а соз р	віп а соз р
ПРИКЛАД 5 Знайдіть значення виразу
1-1& 70° і£65° 70° + І£б5° ‘
Розв'язання. Використовуючи формулу тангенса суми кутів 70° і 65°, маємо: 1 ~ 70° і£ 65° =-1---= —1— = с^із5о =
’	І£70о + І£б5° І£(70°+ 65°) і£135° В
= сіє (180° - 45°) = -сіє 45° = -1.
Знайдіть сов 15°.
Розв'язання. Маємо: соз 15° = соз (60° - 45°) = = соз 60° соз 45° + зіп 60° зіп 45° =	+	=
2 2	2	2	4
Знайдіть найбільше і найменше значення виразу сов а + \ІЗ зіп а.
Розв'язання. Представимо даний вираз у вигляді синуса суми. Для цього помножимо і поділимо даний вираз на 2:
г~	її л/3
соза + л/Ззіпа = 2 -соза+---8іпа \2	2
1	\/з
Ураховуючи, що - = зіп30°, — = соз 30°, отримуємо: А	А
соз а + \ІЗ зіп а = 2 (зіп 30° соз а + соз 30° зіп а) = 2 зіп (30° + а).
Отже, найбільше значення даного виразу дорівнює 2 (його вираз набуває при зіп (30° + а) = 1), найменше значення дорівнює -2 (його вираз набуває при зіп (30° + а) = -1).
269
§ 4. Тригонометричні функції
І Дано: еіпа = 4-, соер = -1=, 0°<а<90°,0° <Р<90°.
УІ5	у/10
Знайдіть а 4- р.
Розв'язання. Оскільки 0° < а < 90°, 0° < Р < 90°, то 0° < а + Р < < 180°. На проміжку (0°; 180°) косинус набуває кожного свого значення з проміжку (-1; 1) один раз. Отже, знайшовши соз (а 4- Р), можна визначити і значення а 4- р. Маємо:
соза = 71-зіп* 1 2 а = -4=, зіпр = -71-соз2Р = -Д=.
>/5	710
Тоді соз (а 4- Р) = соз а соз Р - зіп а зіп Р =
= _1___1___2____3_ =___5_______5_____1_
л/б л/ЇО 7б л/ЇО л/бО 5>/2
Беручи до уваги, що 0° < а 4- Р < 180°, отримуємо а 4- Р = 135°.
Вправи
817.° Спростіть вираз:
| 1) соз (а 4- Р) 4- соз (а - Р);
—»2) зіп (30° 4-а) - соз (60° 4- а);
—3) \І2 зіп(а-45°)-зіпа4-соза;
4) 2 соз (60° - а) - у/з зіп а - соз а.
818.° Спростіть вираз:
1) зіп (а - Р) - зіп (а 4- Р);	3) 4% зіпі^ + аі-соза-зіпа.
\4	/
2) зіп (30° - а) 4- соз (60° - а);
819.° Спростіть вираз:
1) зіп а соз 4а 4- соз а зіп 4а;
2) соз 17° соз 43° - зіп 17° зіп 43°;
Зл л . Зл . л
3) соз —— соз — — зіп —— зіп —;
'	8	8	8	8
4) зіп а зіп (а 4- Р) 4- соз а соз (а 4- Р);
— 5) зіп 53° соз 7° - соз 53° зіп (-7°);
6) зіп (а 4- Р) соз (а - Р) - зіп (а - Р) соз (а 4- Р);
7) (зіп а соз Р 4- соз а зіп Р)2 4- (соз а соз Р - зіп а зіп Р)2;
дч зіп 20° соз б° - соз 20° зіп б° в соз 10° соз 5° - зіп 10° зіп 5° ’
9) соз (а 4- Р) 4- 2 зіп а зіп р.
270
40. Формули додавання
Н20. Спростіть вираз:
1)	сов 6а соз 2а - зіп 6а зіп 2а;
2)	зіп 12° соз 18° 4- зіп 18° соз 12°;
3)	зіп (-15°) соз 75° 4- соз 15° зіп 75°;
4)	соз (а 4- Р) соз (а - Р) 4- зіп (а 4- Р) зіп (а - р):
008 64° 008 + вій 64° зіп 4°
зіп 19° соз 41° + зіп 41° соз 19° ’
6) соз (а - Р) - 2 зіп а зіп р.
821.° Відомо, що і£а = ^, (а 4- р).
і#Р = -. Знайдіть значення виразу
• Відомо, що а = З, (а - Р).
Р = 5. Знайдіть значення виразу
823.° Спростіть вираз: і£13°+і£47° . 1- іе 13°ій47°;
ІЄ1°-*Є46° . г> 1 +	1° 46° ’
і Спростіть вираз: іе24°+іе36° .
1 - іе 24° іе 36° ’
1 - іе 27° іе 33е.
3) ід 27°+іе 33° ’
4)
5а - За 2> 1 + іе 5а іе За'
825.° Доведіть тотожність:
1)
соз (а +13) + зіп а зіп р _ соз (а - Р) - зіп а зіп р
Пч 8іп(а + Р) + зіпґа-рі	о
2) З.п(о4>-з.п<а—
у/2 соз а - 2 соз (45° + а)
3) ---------------4=---- = і£а;
2 зіп (45° + а) - у/2 зіп а
4)
зіп (а + Р) соз (а - Р) + соз (а + Р) зіп (а - Р) соз (а + Р) соз (а - Р) - зіп (а + Р) зіп (а - Р)
= 1£2а;
6)
зіп(45°4-а)-соз(45° 4-а)
зіп (45° 4- а) 4- соз (45° 4-а) а’
зіп а + 2 зіп (60° - а)
2 соз (30° - а) - >/з соз а
= л/3 сі£ а.
271
§ 4. Тригонометричні функції
826.° Доведіть тотожність:
1)
2)
3)
аіп (а 4- Р) - зіп р соз а _
зіп (а - Р) + зіп Р соз а
>І2 соз а - 2 зіп (45° - а) _
2 зіп (60° 4- а) - >/з соз а 2зіпасо8р-8іп(а-р) =	+ ~
соз а соз Р - зіп а зіп Р	н *
о
827. Дано: зіпа = —, 90° < а < 180°. Знайдіть зіп (а + 45°). 41
828. Дано: соз а = -0,6, 180° < а < 270°. Знайдіть соз (60° - а).
З	тс	4
829.° Знайдіть соз (а + Р), якщо соза = -, 0<а<^ і созР = — 5	2	5
А
15	Зя	7
830/ Знайдіть зіп (а - Р), якщо зіп а =	, я < а < і соз р = —,
17	2	25
^<р<2л. &
831.° Дано: і&а = ^, зіпр = ^, 0<Р<^. Знайдіть (а + Р). 2	5	2
о
832/ Відомо, що і&а = -. Знайдіть (45° 4- а), о
833/ Доведіть тотожність:
х о зіп(а-Р)
1) і£а-і£Р =---і—
соз а соз Р
пх х , о соз(а-р) 2) с1£а4-і£р = -т-:— зіп а соз р
ОО 4 о ТГ .	X	, О ЗІП (а 4-Р)
834. Доведіть тотожність сія а 4- сі£ р = —--.
зіп а зіп р
835.° Спростіть вираз:
1)	соз|сі^ + зіп|;
1
3)	1 + і£аі£2а’
соз 2а зіп 2а
4)	:------------
' соз а зіп а
2) соз 4а - зіп 4а сі£ 2а.
2)	сід а - сі£ 2а;
836.° Спростіть вираз:
1) соз 2а + зіп 2а а;
837/ Користуючись формулами додавання, знайдіть:
1) зіп 15°;	2) зіп 105°;	3) с1£ 105°.
838/ Користуючись формулами додавання, знайдіть:
1) соз 75°;	2) зіп 75°.
272
40. Формули додавання
839	.* Доведіть тотожність:
1)	зіп (а + Р) зіп (а - р) = зіп2 а - зіп2 Р;
2)	(зіп а - зіп Р)2 + (соз а + соз Р)2 - 2 = 2соз (а + Р);
3)	7^^Л = іе(а + Р)ів(а-Р);
1-і® аі® Р
4)	Ца + івР, Ца-КР |2х 2	2
' ів(а + Р) 1<(а-Р)	соз2а’
840	.’ Доведіть тотожність:
1)	сов (а 4- Р) соз (а - Р) = соз2 а - зіп2 Р;
2)	(а + Р) - (і£ а + р) - (а + Р)і£ а р = 0.
841	.“ Знайдіть найбільше значення виразу:
1)	зіпа-л/зсоза;	3) зіп а 4- соз а;
2)	4 зіп а + 5 соз а;	4) 2 зіп а - соз а.
842	.” Знайдіть найбільше значення виразу:
1)	Тз соза-зіпа; 2) >/5соза-2л/5 зіпа; 3) 3 зіп а 4-соз а.
843	.“ Дано: соз|^-а| = -^, ^<а<4г- Знайдіть зіп а. \3	/	5 о З
844	.” Дано: зіп^-а^ = -^, л<а<^-. Знайдіть зіп а.
845 “ Дано: соз (5° 4- а) = 0,6, 0° < а < 55°. Знайдіть ід (35° + а).
846.“ Дано: зіп (40° 4- а) = Ь, 0° < а < 45°. Знайдіть соз (70° 4- а).
847	.“ Дано: зіп 10° = Ь. Знайдіть зіп 35°.
848	.“ Дано: ід (а - 45°) = 3. Знайдіть ід а.
849	.“ Дано: ід (б°4-а) = ^, 0° < а < 40°. Знайдіть соз (50° 4- а). З
850	.“ Дано: іда = у, ідР = ^, 0<а<^, 0<р<^. Знайдіть а - р. 4	3	2	2
851	.” Дано: зіпа = ^, 8іпр = ^ї, 0° < а < 90°, 0° < Р < 90°.
Знайдіть а + р.
852	.” Дано: соза = ^ї, зіпр = ^, 0° < а < 90°, 0° < р < 90°.
Знайдіть а + р.
853	.“ Дано: ід а = 5, сідр = ^, 0<а<^, 0<Р<^. Доведіть, що 3	2	2
а+р=^.
854	." Дано: і£аЦ, і£р = |, 0° < а < 90°, 0° < р < 90°. Знайдіть 2	З
а + р.
273
§ 4. Тригонометричні функції
855	." Побудуйте графік функції: \/3 + І£Х . « = 2>
856	." Побудуйте графік функції:
1)	„= *Зх-Цх	2)	***-!.
’ у 1 + і«3хі8х	і«х + 1
857	.* Доведіть, що коли а, 0, у — кути гострокутного трикутника, то І£ а + Р + V = Іе «	Р ¥•
858	.* Доведіть, що коли а, 0, у	— кути трикутника, то
| +	2іе2=1'
859	.* Обчисліть (1 + а) (1 +	Р), якщо а + р = ^,	а >	0,	Р	> 0.
860	.* Обчисліть (1 + сі£ а) (1 + сі& Р), якщо а + Р =	а >	0,	Р	> 0.
4
861	.* Доведіть нерівність яіп (а + Р) < сов а + сов Р, де 0<а<-^,
0<р<5-
А
862	.* Доведіть нерівність сов (а - Р) < сов а + віп Р, де 0<а<—,
о<0<|.
Щ^рмули зведення
Періодичність тригонометричних функцій дозволяє зводити обчислення значень синуса і косинуса до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 2л], а значень тангенса і котангенса — до випадку, коли значення аргументу належить [0; л]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дозволяють у таких
обчисленнях обмежитись лише кутами ВІД 0 ДО
Кожний кут у межах від 0 до 2л можна подати у вигляді ^±а, або п ± а, або ^+а, де 0<а<£. Наприклад, ^г = Я“, 2	2	3	3
5л Зл . л — = —.
3	2 6
274
41. Формули зведення
Обчислення синусів і косинусів кутів виду ^±а, я ± а, ^-±а а	а
можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Наприклад:
соз 5 + а І = соз 5 соз а - зіп зіп а = - зіп а; \2	/	2	2
С—Іп ~~\2 зіп (я - а) = зіп я соз а - соз я зіп а = зіп а. Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отримати:
ЗІП І	^-а^ = соза	зіп (я - а) = зіп а	зіп - а) = -соз а
зіп |	+а) = соз а	зіп (я + а) = —зіп а	зіп + а) = -соз а
Ці шість формул називають формулами зведення для синуса.
Наступні шість формул називають формулами зведення для косинуса:
соз(	'|-а) = зіпа	соз (л — а) = —соз а	СО8(^-а) = -	-зіп а
соз	^ + а) = -зіпа	соз (я + а) = —соз а	соз + а) =	зіп а
Ці тотожності теж легко отримати, застосувавши формули додавання.
Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду ^±а можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад: /	\ зіпі^ + а
І8І- + а) = —-----!
\2	/ /я ,
соз (— + а \2
Аналогічно можна отримати:
соз а
------= -сі£ а. -зт а
*8І$-а)=сіба \ А	/	<<Ік + а) = -сі£а
с<«(|-а) = і«а	сід(| + а) = -і<а
Ці чотири формули називають формулами зведення для тангенса і котангенса.
275
§ 4. Тригонометричні функції
Проаналізувавши записані 16 формул зведення, можна помітити закономірності, які роблять заучування цих формул не обов’язковим.
Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися такими правилами.
1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0<а<—.
2. Якщо в лівій частині формули аргумент має вигляд £±а А
або ~^±а, то синус міняють на косинус, тангенс — на ко-
тангенс, і навпаки. Якщо аргумент має вигляд л ± а, то зміни функції не відбувається.
Покажемо, як працюють ці правила для виразу 8Іп|^-а).
Припустивши, що 0<а<^, доходимо висновку:	є кутом
III чверті. Тоді 8Іп|^-аІ<0. За першим правилом у правій частині рівності має стояти знак «-».
Оскільки аргумент має вигляд ^-а, то за другим правилом слід замінити синус на косинус.
Отже, 8ІП
-соє а.
2) с1£ (а - 90°).
ПРИКЛАД Зведіть до тригонометричної функції кута а: 1) соз2
Розв’язання. 1) Маємо: соз2
\\2 ,н
= (-зіп а)2 = зіп2 а.
2) сі£ (а - 90°) = -сі£ (90° - а) = а.
ПРИКЛАД 2 Замініть значення тригонометричної функції значенням функції гострого кута: 1) со8у^; 2) соз^; 3)	(-125°).
Розв’язання. 1) соз —= соз|тс-—І = -соз—; 7	10	\	10/	10
2) соз —— = соз (тс + —•) = — соз —;
7	\	7/	7
3)	(-125°) =	125° =	(90° + 35°) = -(-сі$ 35°) = сі£ 35°.
276
41. Формули зведення
ПРИКЛАД 3 Обчисліть: 1) зіп 930°; 2) соз (-480°).
Розв'язання. 1) зіп 930° = зіп (360°«2 + 210°) = зіп 210° = = зіп (180° + 30°) = -зіп 30° = -і;
2) соз (-480°) = соз 480° = соз (360° + 120°) = соз 120° =
= соз (90°+30°) = -зіп 30° =
ПРИКЛАД 4 Обчисліть 41°	42°	43°	44°•... і? 49°.
Розв'язання. Маємо: 49° = сі& 41°,	48 = сі£ 42° і т. д.
Тоді, об’єднавши попарно множники, які рівновіддалені від кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких дорівнює 1:
41°	49° =	42°	48 =	43°	47° =	44°	46° = 1.
Ще один множник даного добутку 45° = 1. Отже,
41°	42°	43°	44°-...-і£ 49° = 1.
ПРИКЛАД 5 Спростіть вираз:
277
§ 4. Тригонометричні функції
Вправи
863.° Зведіть до тригонометричної функції кута а:
1) зіп^-а);	4) соз (-а + 270°);	7) сі£2 (90° + а);
2) ів(^-а);	5) соз (а - 180°);	8) соз^ + а);
3) зіп (я - а);	6) соз2 (Зл - а);	9) зіп^^-а).
864.° Зведіть до тригонометричної функції кута а:
। Зл і 1) созі—+а|;	3) соз (л - а); \ £а	/	5) зіп (180° + а);
2)	4)	~ 270°>; \ £а	/	6) зіп2(^+а).
865.“ Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного
аргументу:
1) соз 123°;	2) зіп 216°;	3) соз (-218°);	4) соз у.
866/ Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:
1) іе 124°;	2) зіп (-305°);	3) сів (-0,7л);	4)	ЗІП	14л 15 *
867.° Обчисліть: 1) соз 225°;	2) зіп 240°;	3) соз 4	4)	СОЗ	/ 4л \ \ 3 /’
868.° Обчисліть: 1) іе 210°;	2) сів 315°;	3) соз (-150°);	4)	зіп	1 5л \ \ 3 /’
869.° Спростіть вираз: 1)	зіпІ“а)+соз(л-а); 2)	ів(|+а)сів(~а); 3)	зіп(л+а)созІ^ + аІ; 870.° Спростіть вираз:		зіп(л-а). /л V созі — + а] \2	/ 5) соз2(л+а)+созі 6) зіп^+а)-зіп(	'Й-4 ¥4		
1)	£+а -сіе(л-а);
\ £а	/
2) зіп (270° - а) + соз (270° + а);
278
41. Формули зведення
3) 8іп|^+аІ + соз(я + а)4Ч£І-^-аІ+сі£(2я-а);
4) 8іп2(л-а)+віп2
871.° Обчисліть:
1) З іе 135° - 2 зіп 150° + <£ 300° - 2 зіп 240°; зіп2315°соз300° + і£(-315°).
зіп (-120°) соз 150°	’
. 5я
зіп—СОЗ 4
зіп 20° соз 10° + соз 160° соз 100° . зіп 21° соз 9° + соз 159° соз 99°
соз 66° соз 6° + соз 84° соз 24° соз 65° соз 5° + соз 85° соз 25° *
872.° Знайдіть значення виразу:
1) 4 соз 225° - 6 соз 120° + 3 сі£ 300° +	240°;
6соз2(-240°)сі8210°.
зіп (-300°) соз2180° ’
3)
л. соз 64° соз 4° - соз 86° соз 26°
4) --------------------------.
соз 71° соз 41° - соз 49° соз 19°
873/ Спростіть вираз:
п зіп (я + а) соз (2я - а) в
(я-а) соз (я-а)
2)
3)
4)
5)
5л .7 2л\ .„4л. т1г(-т)сі8т;
2) зіп(я-Р) соз
соз (я~Р);
3) віп (90° + а) зіп (180° - а) (і« (180° + а) +	(270° - а));
зіп2 (а - л) зіп2(а+л) - соз2(а+л) соз21 а -	І;
4) зіп
5) віп2(л - х)+і&2(л - х) І£г	+х)+ЗІП (т;+хї
\ £	/	\ Сі	/
/	/	\	\2	/	,	V
+ ХІСО8 (х-2я);
2
+ соз(2я-х) ;
(я - х) зіп | + х І
7) --------------У-----
'	І Чтт
СО8(Л + Х) СІ£І-^ + Х
279
§ 4. Тригонометричні функції
8ІП* 1 2 3(^ + х) яіп2ґ_гТ
8) —--------и 8Ш,( х) ;
сів(х-2я) сі82(х-^)
сі£і—-аіівіпі—-а)+8іп(л+а)І
д\ \2	/ \	\ 2	/_________
7 сі£(л + а)(со8(2л + а)-8іп(2л-а))’
Ю)
И)
, х _ X XX х хх2 28ІП (Л-а)
(сі$ (6,5л - а) соз (-а) + соз (л - а)) +-----;
(а - л)
874.’ Доведіть тотожність:
8іп(л-а)8іп(а + 2л)
1) -----------1----г- = — соз а;
1<(л+а) сов^ + а^
2) зіп(л+х)соз[ “X І+соз (2л+ х) зіп у а у
3)	(180° - а) сов (180° - а) (90° - а)
’ 8іп(900 + а)сі8(900 + а)і8(90° + а)
4) зіпСгл-фИвру-ф)-
соз (<р - л) - зіп (<р - л) = зіп ф;
5)
сов (2л-а)
----г-----= зіп а;
СІ£ (Л + а) 8ІП
6)
віп (л+а)
81П
—(л - а) = -1; сі^(л-а)
7)
зіп (л - а) сов (л -ь а)	(л - а)
1;
81П
| зіп а сов а | ’
875.** Обчисліть:
1) сі£ 5° сі# 15° сі# 25° •... • сі# 75° сі# 85°;
2) і# 20° + і# 40° + і« 60° + ... + 1« 160° +	180°;
3) зіп 0° + зіп 1° + зіп 2° + ... + зіп 359° + зіп 360°.
280
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
876." Обчисліть:
1)	віп 110° + зіп 130° + віп 150° +... + зіп 230° + віп 250° + віп 270°;
2)	ік Ю° «8 20° І8° 30° •... • І8 70° 18 80°;
3)	сі8 15° + сі8 30° + с18 45° + ... + с«8 165°.
877." Доведіть тотожність:
2)
________сов4 (а-я)_______
Зп\ . 4/ Зл\ сов ^а~— |+8іп ^а + —^-1
= -|сі;82а; &
3)	зіп2	- а) (і#2 а-1) сі# (а-—) зіп 2Ґ—+ а) = 2.
\ 2	/	\	4 /	\ 4	)
878.** Знайдіть значення виразу
СО82 + СО82 уу + СО82 уу + СО82
879.” Спростіть вираз:
1)	соз2 + а)+соз2 - а)+зіп	- а) соз	+ а)	(я + а);
2)	+іе<а+10°>(80°-а).
віп (70° +а)
Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами подвійного аргументу.
У формулах додавання соз (а 4- Р) = соз а соз Р - зіп а зіп Р, зіп (а 4- Р) = зіп а соз Р 4- зіп Р соз а,
покладемо Р = а.
281
§ 4. Тригонометричні функції
Отримаємо:
л	2	«2
сов 2а = сов а - зіп а
зіп 2а = 2 віп а сой а
, п 2і#а
‘е2а=г^
Ці формули відповідно називають формулами косинуса, синуса і тангенса подвійного аргументу.
Оскільки соз2 а = 1 - зіп2 а і зіп2 а = 1 - соз2 а, то з формули соз 2а = соз2 а - зіп2 а отримуємо ще дві формули:
сов 2а = 1 - 2 віп2 а
сов 2а = 2 сов2 а - 1
Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:
1 - сов 2а = 2 віп2 а
1 + сов 2а = 2 сов2 а
або в такому вигляді:
,о	1 - соз 2а
8іпа =--------
2	1 + соз 2а
сов а =---------
Дві останні формули називають формулами пониження степеня.
ПРИКЛАД 1 Виразіть дану тригонометричну функцію через функції вдвічі меншого аргументу: 1) соз—; 2) і#|^+а1.
2	\ 3	/
Розв’язання. 1) Маємо: ^ = 2-—. Тоді соз^ = соз2^-зіп2^;
2	4	2	4	4
\6 2/
2іе
2) Маємо: ^ + а = 2-
282
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз:
1) ---.	3) соз4 а - зіп4 а; 5) і# а - сі# а;
.а	а
зіп — - соз — 2	2
8111 ОС	»\ <« о * 2 о 2 о / •	2 СОЗ 01 1
2) ------;	4) 1 - 8 ЗІП Р СОЗ р; 6) ----------------
2 соз2	2	- а) зіп21 я + а)
Розв'язання. 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного аргументу соз 2х = соз2х-зіп2х і формулу різниці квадратів, отримуємо:
СО32~ —8ІП2 — (сОЗ^ -ЗІП^) (сО8~ + ЗІП^’)	/	\
---^8-а— =-----2----2 = к_2------2/\	2--22 = _ сода + діпа\
. а а . а а	. а а	\	2	2/
81П—-СО8—	81П--СОЗ--	ЗІП--СО8--
2	2	2	2	2	2
2)	Застосовуючи формулу синуса подвійного аргументу для кута отримуємо:
п . а	а .а
~	2 зіп л СО8 л зіп л
8іпа _	2	2 ______2_ _ а
о га п га а в 2* 2 соз л 2 соз - СО8 л 2	2	2
3)	соз4 а - зіп4 а = (соз2 а - зіп2 а) (соз2 а + зіп2 а) = соз 2а.
4)	1 - 8 зіп2 Р соз2 Р = 1 - 2 • 4 зіп2 Р соз2 р = 1 - 2 зіп2 2Р = соз 4р. . зіпа соза зіп2а-соз2а	соз2а
5)	І£а-с1£а =------:::--------------------------=
соз а зіп а соз а зіп а зіп а соз а
2 соз 2а 2 соз 2а _ л л = —---------=----—— = -2сі£2а.
2 зіп а сов а зіп 2а
6) Оскільки сума аргументів ~а і а дорівнює то
8Іп|4 + а) = со5|4-а). Тоді \4	/	\4	/
2 соз2 а -1	_	2 соз2 а -1	_
2 (у - а) зіп2 (у + а) 2 (у - а) соз2 (7-а) \4	/	\4	/	\4	/	\4	/
сов 2а	сов 2а
Застосувавши формулу синуса подвійного аргументу до кута
7-а, отримуємо: 4
283
§ 4. Тригонометричні функції
соз 2а _ соз 2а _ соз 2а о . Іп	\	(ті	\	. /тс	о \	соз 2а
2зіп — -а соз т-а зіп—-2а \4	/	\4	/	\2	/
ПРИКЛАД з Обчисліть
о
х Я
*8
Розв'язання. Застосовуючи формулу тангенса подвійного
аргументу, отримуємо:
	 = *	 = —/-\ =- л ТС-------------------л . ТС	. і ТС і і тс
•'і	2 "в	«І2-») 1вї
ПРИКЛАД	Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 + соз 4а;
2) 1 - соз 6а; 3) 1 - зіп а.
Розв'язання. 1) Застосовуючи формулу 1 + соз 2х = 2 соз2 х, отримуємо: 1 + соз 4а = 2 соз2 2а.
2) Застосовуючи формулу 1 - соз 2х = 2 зіп2 х, отримуємо:
1 - соз 6а = 2 зіп2 За.
3) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус і застосуємо формулу 1 - соз 2х = 2 зіп2 х:
1 - зіп а = 1 - соз (— - а) = 2 зіп2	—
\2	/	\4 2
ПРИКЛАД 5 Спростіть вираз 2зіп2 (45° - а) 4- зіп 2а.
Розв'язання. Застосуємо формулу пониження степеня для синуса, а потім формулу зведення. Отримуємо:
2 зіп2 (45° - а) 4- зіп 2а = 1 - соз (90° - 2а) 4- зіп 2а =
= 1 - зіп 2а 4- зіп 2а = 1.
-	а . а 1 + соз—— зіп — Доведіть тотожність 	------— = -сі£—.
-	а . а 4
1-соз—-зіп—
2	2
-	а . а о 2 а о . а а 1 + соз—-зіп — 2 соз —-2 зіп—соз— Розв'язання. Маємо: 	2------— =---*----------і
-	а .а о . 2 а о . а а 1-соз—-зіп— 2 зіп —-2 зіп—соз—
2	2	4	4	4
П	а / а	.	а\
2 соз— соз — - зіп — =---------4—*-^ = -<=487-
П . а / . а а і 4 2 зіп— зіп — - соз —
4 \	4	4/
284
н и її
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
ПРИКЛАД 7 Доведіть тотожність л	о	віп 32а
сов а сов 2а сов 4а сов 8а соз 16а =-.
32 віп а
Розв'язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на зіп а та багаторазово застосуємо формулу синуса подвійного аргументу:
о	о	віп а сов а сов 2а сов 4а сов 8а сов 16а
сов а соз 2а сов 4а сов 8а сов 16а =---------------------=
віп а
_ віп 2а сов 2а сов 4а сов 8а сов 16а _ віп 4а сов 4а сов 8а сов 16а _ 2 зіп а	4 віп а
_ віп 8а сов 8а сов 16а _ віп 16а сов 16а _ віп 32а
8 віп а	16 віп а 32 віп а *
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами потрійного аргументу.
Маємо: віп За = віп (2а 4- а) = віп 2а сов а + сов 2а зіп а = 2 зіп а сов а сов а 4-(1 -2зіп2а)8Іпа = 2зіпасов2а4-зіпа-2 зіп8 а = 2 віп а (1 - віп2 а) 4- віп а - 2 зіп3 а = 2 віп а - 2 віп3 а 4- віп а - 2 віп3 а = 3 зіп а - 4 зіп3 а.
Отже,
віп За = Звіп а - 4віп3 а
Цю формулу називають формулою синуса потрійного аргументу.
Маємо: соз За = соз (2а 4- а) = соз 2а сов а - зіп 2а віп а = = (2 сов2 а - 1) сов а - 2 сов а віп а віп а = 2 сов3 а - сов а - 2 сов а (1 -- сов2 а) = 2 сов3 а-сова-2сова + 2 сов3 а = 4 сов3 а - 3 соз а.
Отже,
сов За = 4сов3 а - Зсов а
Цю формулу називають формулою косинуса потрійного аргументу.
О-"» ЗАДАЧА Доведіть тотожність 4 сов а сов (60° - а) сов (60° 4- а) = = сов За.
Розв'язання. Застосувавши формули косинуса різниці і косинуса суми, отримуємо:
4 сов а сов (60° - а) соз (60° 4- а) = = 4 сов а (сов 60° сов а 4- віп 60° віп а) (сов 60° сов.а - віп 60° зіп а) =
285
§ 4. Тригонометричні функції
= 4 соз а (соз2 60° соз2 а - зіп2 60° зіп2 а) = 4 соза І і соз2 а - зіп2 а І =
\4	4	/
= соз3 а - 3 сов а зіп2 а = соз3 а - 3 соз а (1 - соз2 а) =
= соз3 а - 3 соз а + 3 соз3 а = 4 соз3 а - 3 соз а = соз За.
Доведіть рівність 16 соз 20° соз 40° соз 60° соз 80° = 1.
Розв'язання. Маємо: 16соз 20° соз 40° соз 60° соз 80° =
= 16 • ^соз 20° соз 40° соз 80° = 8 соз 20° соз 40° соз 80°. 2
Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосувати тотожність, доведену в ключовій задачі цього пункту (при а = 20°):
8 соз 20° соз 40° соз 80° = 2 соз (3-20°) = 1.
Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при розв’язуванні приклада 7:
оло 4ЛО дло оло 8 зіп 20° соз 20° соз 40° соз 80°
16 соз 20° соз 40° соз 60° соз 80° =-----------—------------=
зіп 20°
_ 4 зіп 40° соз 40° соз 80° _ 2 зіп 80° соз 80° _ зіп 160° _ зіп (180° - 20°) _ х зіп 20°	зіп 20°	зіп 20° зіп 20°
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами половинного аргументу.
Замінивши у формулах пониження степеня а на	отримуємо:
А
• 2а 1 - соз а зіп — -----------
2
2
2 а 1 + соз а соз — =-------.
2	2
Почленне ділення першої рівності на другу призводить до формули
2 а _ 1-соза
2 1 + соза’
Тепер можна записати
286
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса і тангенса половинного аргументу.
ПРИКЛАД 9 Дано: 1&3а = 3^, 60° < а < 90°. Знайдіть віп^, і	а
За , _ За
СО8Т’ іе~г
Розв'язання. Маємо:	—і—
сов2 За
= 1 + іг23а = 1+|^ \ 7 ,
* .625.
।	49 ’
сов2 За = ^т^. 625
Оскільки 60° < а < 90°, то 180° < За < 270°. Отже, сов За < 0.
7
Тоді совЗа = -—.
Оскільки 90°<^<135°, то віп^>0, а соз^<0. Тоді: 2	2	2
. За /1 - сов За віп — = <------
2
З
5’
2	\2
За_ /1 +сов За
” V 2
. За о	віп —-
—=----2_ = __
® 2	За З
сов —-2
ПРИКЛАД І(> Знайдіть віп 22°30' і сов 22°30'.
Розв'язання. Використовуючи формули половинного аргументу, отримуємо:
СО8---=
2
287
§ 4. Тригонометричні функції
ПРИКЛАД 11 Спростіть вираз
1 —сова /1 + соза уі + соза уі-соза’
Розв'язання. Маємо:
1-соза /1 + сов а
1 + соза у 1-соза
За допомогою формул подвійного аргументу можна виразити зіп а і соз а через .
о . а а
2 зіп — соз —
Маємо: зіпа =----------—.
. 2а , га зіп — 4-соз — 2	2
Припустивши, що соз^#0, поділимо чисельник і знаменник
отриманого дробу на соз2 —:
2 ЗІП СОЗ 2	2
соз2 —	77
зіп а =-------------=--------—
зіп2 £ + соз2 £	1 + іЯ277
2______2	2
2 а соз — 2
Отже,
8іпа =----
1 + І82|
га . 2а соз — -зіп —
Маємо: соза =---------
га , . га СОЗ — + 81П —
2	2
Припустивши, що соз^^О, поділимо чисельник і знаменник
отриманого дробу на соз2 :
288
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
Отже,
2 а .га сов — — зіп —
2	2
2 а	, 2 а
сов -	-
сов а =-------------=--------
га, .га і., га сов - + віп -	1 + і£ -
2 а сов —
2
1-іе2|
сов а =-----—
ПРИКЛАД 12 Дано:	=3. Знайдіть віп а + сов а.
&
2 о 2-3
Розв'язання. Маємо: віпа =---— = —- = 0,6;
І**1? 1 + 9
І 9	1-9
сова =----—- = -0,8. Тоді віп а + сов а = 0,6 - 0,8 = -0,2.
1	+ і82£	1 + 9
ПРИКЛАД 13 Знайдіть сов 2а, якщо 2 сі#2 а + 7сі£ а + 3 = 0 і
2	4
Розв'язання. Розглянемо дану рівність як квадратне рівняння відносно сі£ а. Знаходимо сі£ а =	або сі& а = -3.
&
Оскільки < а < то сі& а > сі&^ = -1 (нагадаємо, що коли 2	4	4
а і Р - кути IV чверті і а < Р, то сі& а > сі£ Р). Отже, у даному випадку сі^а = --, а =-2. Тоді сов 2а = * а = 7—у = -7.
2	1 + ія а 1 + 4	5
Вправи
880.° Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:
1) сов а; 2) віп За; 3)	; 4) соз 8а; 5) віпІ2х-^І; 6)1&7а.
2	\ О /
289
§ 4. Тригонометричні функції
881.° Виразіть дані трш меншого аргументу:	юнометричні функції через функції вдвічі
1) зіп 10а;	3) соз^;	5)ійЗ; 4
2) зіп (а - Р);	4) соз -20°);	6) 18 12а.
882.° Спростіть вираз:
аіп 2а' віп а ’ віп 2а 2)	2	2 ’ сов а-віп а	віп2 а сі£ а е 9) віп 2а 10) (зіп ф - соз ф)2 + зіп 2ф;
3) соз 2а 4- зіп2 а;	л _ 1 . а	а\ І . а	а\ Ц) І8Ш —+ СО8—ІІ81П—-СО8—1; \	4	4/ \	4	4/
віп 50° 4) 2сов25°’ сов 44° +віп2 22° '	сов2 22° сов 2а 6) сова-віпа’	віп а сов а . 1“/	9	> 1-2 віп2 а 13) соз4^-а)-зіп4^-а); (віп а + сов а)2 - віп 2а 14) сов 2а+ 2 віп2 а
7) 1-2зіп2^; 4 віп 2а 8)	2 х ’ сов аі&а	18(45°-ьа) . ' 1-іе2(4б°+а)’ 16) 4 зіп а соз8 а - 4 зіп8 а соз а.
883.° Спростіть вираз:
віп 80° #	1 +віп 2а
' сов 40°’	8)	2’ (віп а + сов а)
л 211а , 2) 2 соз ——1;	9) зіпа сова (соз2 а - віп2 а);
3) соз4Р+зіп2 2Р;	10)	; сов а-віп а
4) 2 зіп 20° соз 20°;	11) 8Іп|у-а|совіу-а); \4	/	\4	/
5) соз210ф-зіп210ф;	12) 8Іп2(р-45°)-со82(р-45°);
6) соз 6а + 2 зіп2 За;	13) 48іп^зіп(90о-^)зіп(270о-а);
сов 70° сов 35° + віп 35° *	2 181,5а 14)	„ 1 + іЄ 1,5а
290
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
884.° Обчисліть:
, я	218165°
1) 2 віп 75° сов 75°;	3) 1 -2 віп2	5)	165О
2) сов2 15° - віп2 15°;	4) віп 22°3(У сов 22°3(У;	6)	♦
885. Обчисліть:
1) сов2 22°30' - віп2 22°30';	3) 2 віп у сов у;
21875°	. -
2>	4> 1~2соагГ2-
886.° Знайдіть віп 2а, якщо віп а = -0,6 і < а < 2л.
А
887.° Знайдіть зіп 2а, якщо
5 . я соза = -— і -<а<л.
13 2
888	.° Знайдіть соз 2а, якщо соза = ^.
З
889	.° Знайдіть соз 2а, якщо зіпа = —у.
4
890	.° Знайдіть 18 2а, якщо:
1)	18 а = 4;	2) віпа = ^ і 0<а<^.
891	.° Знайдіть 18 2а, якщо:
1)	сІ8 а = 2;	2) сова = “ і л<а<^.
5	2
892	.° Подайте у вигляді добутку вираз:
1)	1 - сов 4а; 2) 1+соз^;	3) 1 - соз 50°; 4) 1 + віп 2а.
З
893	. Подайте у вигляді добутку вираз:
1) 1-соз^;	2) 14-соз 12а;
894.° Понизьте степінь виразу:
1) соз2 8х;	2) зіп2^;
895. Понизьте степінь виразу:
1) зіп2 5х;	2) соз2—;
896.° Доведіть тотожність:
1)	2 зіп2 а + соз 2а = 1;
2)	сі£ За (1 - соз 6а) = зіп 6а;
3)	1 + сов 40°; 4) 1-віп^.
3)віп2 (2х- 157, 4) сов2(£+£). \4 О/
3) соз2(4х+10°);
4)	8іп2[х-1).
3)
1-соз 2а зіп2 а
4)
1 - сов 4а
1 + соз 4а
= 1822а.
291
§ 4. Тригонометричні функції
897. Спростіть вираз:
1)	2 зіп2 (135° - а) - зіп 2а; 2) 1+со^8а. віп 8а
898.° Знайдіть зіп а, соз а, а, якщо 1&^ = 5.
Сі
899. Знайдіть соз 2а, якщо 18 а = -3.
900.° Дано: соз 2а = -0,6, ^<а<я. Знайдіть зіп а і соз а.
901. Дано: соза = ^, 0<а<^. Знайдіть зіп^, соз^ і 18^. 4	Сі	Сі	Сі
902.° Знайдіть:
1) зіп 15°;	3) їв 75°;	5) 18 112°30';
2) соз 15°;	4) соз 75°;	6) 18
903.* Спростіть вираз:
І., зіп За соз За. зіпа сова ’	4і£а(1-І£2а) 7	(1+І82а)2 ’
2)	І	;	ф ів2аіва . ів2а-іг«’
3) (і£ а + сів а) віп 2а;	4	4	2 зіп а-соз а-ьсов а, 2(1-сова)
4)		ї—; 1-І8а 1 + іяа 904.* Спростіть вираз:	8> 2я»(Н)от(Н).
соз 6а віп 6а. 7 зіп 2а соз 2а ’	.. ( соз а	соз а . о 4) -—;—+-—;— зіп2а; 1 + зіп а 1 - зіп а }
2)	2 соз 2а сІ8 а - а ’ 3)	+...**<»; 1 + і£а 1-іяа	5) (сів а - с18 2а) зіп 2а; соз 2а +1 - соз2 а о)	/	\ ’ соз + 2а
905.* Доведіть тотожність:
1) со52^-2а)-соз2р^ + 2а) = 8іп4а;
2) 1 4- 2 соз 2а + соз 4а = 4 соз2 а соз 2а;
1-соз 4а	1 +соз 4а _
--------1--15------= 4
соз 2а -1 зіп 2а -1
1 + зіп 2а-соз 2а , -—— --------— = 18 ос;
1 + зіп 2а + соз 2а
4)
292
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
зіп2 2а+ 4 віп2 а-4 1 , 4
5) ї а • 2--------— =	4 а;
1-8 віп а - сов 4а	&
6)
сов ^4а -	віп + 2а)
(1 + соз 2а) (1 + сов 4а)
= і£а;
7)
сов 4а +1 сі# а - а
= - зіп 4а;
2
8)
2сов2а-8іп4а , 2/^о ч -     = і&(45° -а)
2 с оа 2а + віп 4а
906/ Доведіть тотожність:
1)	зіп2	4а) - зіп2 (^ +4а) =-зіп 8а;
2)	1-2соз3а+со5ба = -48іп2^соз3а;
8Іп2(4а“її)	1
3)	--т------\--—------г = --зіп8а;
сі&	- 2а І +	+ 2а І	4
\ А	/	\ А	/
.. 2зіпа-віп2а . 2а
4)	------------=	.
2зіпа + зіп2а	2
907/ Доведіть, що 15° 4- сі£ 15° = 4.
908/ Доведіть, що	75°-сі£ 75° = 2>/з.
909/ Доведіть тотожність:
со83а-совЗа віп3 а + віп За о віп3а + віпЗа , 1) ----------+-------;------— <5; £л) з	— с а.
сова	віп а	сов а-сов За
,Ь<,¥ФТГ .	.	віп За+ 4 віп3 а сов За-сов3 а
910. Доведіть тотожність ------------— =----------—.
сов За - 4 сов а віп За + віп а
911/ Дано: зіп 2а = -^-, 135° < а < 180°. Знайдіть зіп а.
912/Дано: зіпа = -^, 90°<^<135°. Знайдіть соа^.
& & £і
913/ Дано: і£^ = 6. Знайдіть аіп а - соа а.
914/Обчисліть 2-13 соз 2а4-—-—, якщо сіяа = --. віп 2а	5
о
915/ Обчисліть 1 + 5 зіп 2а-2—, якщо а = -2.
сов 2а
916/* Знайдіть зіп 2а, якщо соз а+зіп а = ^. 0
293
§ 4. Тригонометричні функції
917.” Знайдіть зіп а, якщо со5^-5ІП“ = --.
а	а а
918.” Спростіть вираз:
1) соз4 а - 6 зіп2 а соз2 а 4- віп4 а;
2)
соз 2а сі£а-зіп 2а*
2 зіп 4а (1--і£2 2а) 1 + сі82(| + 2а)
4)
зіп2 2а + 4 зіп4 а - 4 зіп2 а соз2 а 4 - зіп2 2а - 4 зіп2 а
2 зіп2 4а-1
о . ІЛ .1	215Л .
2	\ 4 + 4<Х/ С°8 \Т ~ 4<Х
919.” Спростіть вираз:
________соз 2а_________е віп2 2а (сіє2 <х - іє2 а) *
2)	зіп2 За сов2 За. зіп2 а соз2 а
д) сова
. 2 а . 2 а *
* --с1в --
920.” Доведіть» що:
. 2/ ч . г/Зл а\ віп (а-л)-4сов
сов«(а_^)_4+4сов»(|+|) віп - а) віп + а)
віп За сов а - сов За віп а *
- 4а) віп2 + 4а) 1-2 сов2 4а
1)	зіп 18° соз 36° = |;
4
2)	8сО8^СО8^СОв4г = 1;
'	9	9	9
3)	соз—сов^-соз—-= ~; 7	7	7	8
4)	зіп 6° зіп 42° соз 12° соз 24° = у—;
5)	соз а соз 2а соз 4а соз 8а соз 16а соз 32а =	•
64 віп а
294
42. Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів
921.’* * Доведіть, що:
1) зіп 54° соз 72° = і; 4
2) всоз^соз—сов^ = -1;
7	7	7
о а ЇП віп 24а
о) сов За сов 6а сові 2а = --—;
8 віп За
-ч п 2л Зя	7я 1
4> “^5С08>їС08Іб' - '““їГ 128-
922." Доведіть тотожність:
1) 3 + 4 сов 4а + соз 8а = 8 сов4 2а;
сов2 (4а - Зя)-4 сов2 (2а-я) + З . 4о
2	о	—	^а;
сов (4а + 3я) + 4сов (2а + я)-1
4віп4(2а- ~^)
3) -----------г-—----------г— = -2сі£22а.
віп412а - І + сов41	- 2а) -1
* \	2 /	\ 2	/
923." Спростіть вираз:
3 + 4 сов а + сов 2а. 3-4сова + сов2а*
3)
4	.4	2
сов а-віп а-сов а
2 (сов а -1)
	сов4 (а-я)____е сов4 (а -_________________+віп4 (а + ^) -1
\	2 /	\	2 /
924." Спростіть вираз:
1)	сов2а •	2а, якщо
4
/ віп4а 1	.	Зя
2) .1--------------+ 1, якщо — <а<я.
у сі# а - £& а віп 2а	4
925." Спростіть вираз:
1) 7(с*£ а - а) 2 сі£ 2а • 2а + 2, якщо
4
2)
' сов 2а	я	Зя
—5------х—, якщо -<а<—.
сі£2а-і£2а	2	4
926." Доведіть тотожність:
О-ш 1) 4 віп а віп (60° - а) віп (60° 4- а) = зіп За;
2) 16 зіп 20° зіп 40° зіп 60° зіп 80° = 3;
4 віп 20° віп 50° віп 70° віп 80°
3)
295
§ 4. Тригонометричні функції
927	.” Доведіть тотожність:
О-» 1) а (60° - а) (60° + а) = <« За;
2)	1#20Ч£40оі<80о = >/3.
928	.” Доведіть тотожність зіп За зіп3 а + соз За соз3 а = соз3 2а.
929	.” Доведіть тотожність зіп3 2а соз 6а+соз3 2а зіп 6а = у зіп 8а.
4
930	.** Спростіть вираз:
1)	7о»5+0’5\/о»5+0,5со8а, якщо 0 < а < п;
соз а зіп а	ло
2)	...... —.	, якщо 0° < а < 90°;
71-соз 2а 71+соз 2а
зіп 145° + ~ І зіп (450 “І
3)	- -А--—-2<--Д-. -2/, якщо о° < а < 90°.
71 - зіп а	71 + зіп а
931	.” Спростіть вираз:
1)	^2+72 + 20054а, якщо 0<а<^;
2)	^0,5+0,5 ^0,5+0,5 7о>5+0,5соз а, якщо 0 < а < я;
3)	^І + ЗІПф-^І-ЗІПф, якщо ^<ф<Я.
932	.** Знайдіть зіп 2а, якщо 2 а-7і&а + 3 = 0і < а <
933	.” Дано: зіпа+соза = ^. Знайдіть 5	2
934	.* Обчисліть зіп 18°.
Формули для перетворення суми і різниці І тригонометричних функцій у добуток
У цьому пункті ми розглянемо формули, які дозволяють перетворити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток.
Запишемо формули додавання для синуса:
зіп (х 4- у) = зіп X соз у 4- соз х зіп у9	(1)
зіп (х - у) = зіп X соз у - соз х зіп у.	(2)
Додаючи почленно ліві і праві частини цих рівностей, отримаємо:
зіп (х 4- у) 4- зіп (х - у) = 2 зіп х соз у.	(3)
296
43. Формули для перетворення суми і різниці у добуток
Введемо позначення:
х 4- у = а, х - у = р. г» •	а + Р	а-В _	. о
Звідси х = ——у Зазначимо, що аїр можуть набува-
ти будь-яких значень.
Тоді рівність (3) можна переписати так:
•	. о Л . а + Р	а-Р
81П а + ВІП р = 2 81П-^- сов—~-А	А
Цю тотожність називають формулою суми синусів.
Віднімемо почленно від рівності (1)*рівність (2):
зіп(х 4-у) - зіп(х - у) = 2созх зіпу.
Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отримаємо рівність, яку називають формулою різниці синусів:
•	. о . а-Р а + Р
8Ш а - віп р = 2 віп—сов—5-^
Запишемо формули додавання для косинуса: сов (х 4- у) = соз х сов у - віп х зіп у, сов (х - у) = сов х сов у 4- віп х віп у.
Додаючи і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отри
муємо:
сов (х 4- у) 4- соз (х - у) = 2 сов х соз у;	(4)
сов (х 4- у) - сов (х - у) = -2 віп х зіп у.	(5)
Звідси, ввівши позначення х + у = аіх-у = Р, отримаємо відповідно формули суми і різниці косинусів:
□	о	а + Р	а-Р
сов а 4- сов р = 2 сов—сов—
лл	и
о	о . а + р . а-Р
сов а - сов р = -2 віп—віп-
л	а
Перетворимо у добуток вираз а 4- р. Маємо:
і#а 4- і р - 8Іп а + 8*п Р _ 8^п а 008 Р + 008 а	Р _ 8іп (а+Р)
сов а сов Р соз а соз Р сов а соз Р *
Рівність
,	. о вш(а + Р)
іва + І8Р =-----
сов а сов р
називають формулою суми тангенсів.
297
§ 4. Тригонометричні функції
Аналогічно можна довести такі три рівності:
І8а-і£0 =
віп (а - р) соя а сов Р
.	. о вш(а + Р)
сі£ а + сі£ Р = -т-
ьіп а віп р
сі& а - сі£ Р =
віп (р - а) віп а віп р
їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми котангенсів, різниці котангенсів.
ПРИКЛ/ ; 1 Перетворіть у добуток: 1) 1 + а; 2) \/3-2зіпа.
Р зв’язання
8іп|^ + а) Л віп І у+ а
1) 1 + І8а = і87+Іва = ———- =-------——
4	п	сов а
сов—сова
4
2) у/з - 2 віп а = 2 (- віп а= 2 (віп	- віп а) =
о-а	?+«	/	\ /	\
= 2-2 зіп - -	-	соз 3	= 4 віп І	І сов | — +—І.
2	2	\6	2/ \6	2/
ПРИКЛАД 2 Перетворіть у добуток вираз зіп За + зіп 5а 4- віп 7а. Розв’язання. Перетворимо суму зіп За + віп 7а у добуток. Маємо:
віп За 4- віп 7а 4- зіп 5а = 2 віп 5а соз 2а 4- зіп 5а = 2 віп 5а І сов 2а 4- -М.
\	2/
Подамо і як соз^. Маємо: 2	З
2 зіп 5а Ісоз 2а+-1 = 2 зіп 5а І соз 2а+соз?
\	21	\	З,
= 2 зіп 5а-2со8|а + ?Ісо8|а-?| = 48іп5асо8|а+?|со8Іа-?
\	6/	\	6/	\	6/	\	6,
ПРИКЛ/ 1 ' Доведіть тотожність зіп2 (а + 0) - віп2 (а - 0) = = зіп 2а зіп 20.
Розв’язання. Застосуємо формули пониження степеня, потім перетворимо отриману різницю косинусів:
• 2 , .	• 2 /	дч 1-соз(2а + 20) 1-сов(2а-20)
зіп (а + 0) - зіп2 (а - 0) =-------—-------------- =
&	и
298
II II II
43. Формули для перетворення суми і різниці у добуток
_ 1 - соз (2а + 2Р) -1 + сов (2а - 2Р) _ сов (2а - 2Р) - сов (2а + 2Р) _ 2	“	2	”
. 2а - 2Р + 2а + 2Р . 2а - 2Р - 2а - 2р . п .
= - віп------------ віп-------------- = віп 2а віп 2р.
2	2	г
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що коли а 4- Р 4- у = л, то:
віп2 а 4- зіп2 Р 4- віп2 у = 2 + 2 сов а сов Р сов у.
„	,	.2	. 2о . 2	1-сов2а 1-сов2Р . о
Розв язання. віп а 4-віп р4-зш у =---------4-----—- + 81П у =
ч соз2а + сов2В	. 2 і / ох х -	2
= 1------------- + 81П у = 1-сов(а + Р)сов(а-Р)4-1-сов у =
2 - соя (я - у) соз (а - р) - соя2 у = 2 + соя у соз (а - Р) - соз2 у =
2 + соз у (соз (а - Р) - сов у) = 2 + соз у (соз (а - Р) - соз (я - (а + Р))) =
2 + соз у (соз (а - Р) + соз (а + Р)) = 2 + 2 соз у соз а соз р.
Вправи
935	.° Перетворіть у добуток:
1)	соз 2а - сов 4а;
2)	зіп Р + зіп 4Р;
3)	соз~х+соз-~-;
’	18	12
4)	сів 5а - сів а?
936	.” Перетворіть у добуток:
1)	соз 16° - соз 36°;
2)	зіп 28° + зіп 12°;
3)	соз За + сов 5а;
4)	сів 55° - сів 15°;
937	.° Перетворіть у добуток:
1)	зіп 20° + соз 20°;
2)	соз^-зіп^;
8	8
938.° Перетворіть у добуток:
1) зіп 25° + соз 55°;
2) соз 22° - зіп 66°;
5) соз
6) ів « - ів (а “ 30°);
7) сів (45° - а) - сів (45° + а).
5) зіп (а + Р) - зіп (а - Р);
6) зіп
7) соз
3) зіп а - соз а;
4) зіп а - соз (а - 60°).
3) зіп а + соз р.
299
$ 4. Тригонометричні функції
939.° Спростіть вираз:
зіп 8а + зіп 2а.	•	зіп 5а - зіп а.
9 соз8а + соз2а’	9 соз 5а-соз а’
940.° Спростіть вираз:
п соз6а + соз4а. соза-созіїа. соз а + соз 9а ’	зіп 11а - зіп а ’
соз74°-соз 14°
' зіп 74° +зіп 14° ’
3)
соз 58° +соз 32° зіп 58° + зіп 32° ’
941.° Перетворіть у добуток:
1) 1 - 2 соз а;
2) л/з + 2соза;
3) 1-\/2 зіп а;
4) >/з + сі£а.
942.° Перетворіть у добуток:
1) 1 - 2 зіп а;
3) л/2 + 2соза;
2) л/3-2соза;
4) >/3-і£а.
943.* Доведіть тотожність:
1)
сх	9а
соз За - соз 4а - соз 5а + сов 6а = - 4 віп—віп а сов—;
2	2
2) сов	+4а|+віп (Зл - 8а) - віп (4л - 12а) = 4 соз 2а соз 4а віп 6а;
3) сов2 а - сов2 Р = зіп (а + 3) зіп (Р - а);
4)
5)
віп а + віп За + віп 5а + віп 7а	, .
------------------------------= 4а;
сов а + сов За + сов 5а + сов 7а
2 (віп 2а+ 2 сов2 а-1)	_ 1
сов а - віп а - сов За + віп За віп а ’
6)
1 + соз а + соз 2а + соз За Л
------------------------= 2 соз а;
соз а + 2 соз а -1
а — В
7) (соз а - соз Р)2 + (зіп а - зіп Р)2 = 4 зіп2 —
&
9)
соза-соз7а	. . о
-----------= -4 зіп За;
зіп а
Ю)
И)
(зіп а - соз а)2 -1 + зіп 4а	.
8) 1---------—---------------= і£а;
соз 2а + соз 4а
[ зіп а соз а зіп 2а соз 2а
(соз а - соз За) (зіп а + зіп За) _ . 1 - соз 4а
зіп (2а + 2л) + 2 зіп (4а - я) 4- зіп (6а 4- 4л) _
соз (6 л - 2а) + 2 соз (4а - л) + соз (6а - 4 л)
300
43. Формули для перетворення суми і різниці у добуток
944	.’ Доведіть тотожність:
1)	віп5а + віп6а + віп7а + віп8а = 4сов — сова зіп^^;
2	2
2)	зіпа+зіпЗа-зіп2а = 4зіпсоза соз^;
3)	8іпа + 8ІпР + 8іп(а-Р) = 4зіп^со8^ сов^-^;
4)	зіп2 а - зіп2 р = зіп (а + р) зіп (а - Р);
' соз а - соз 2а - соз 4а + соз 5а	, о
5)	—-----—------—-----—— = сі£3а;
зіп а - зіп 2а - зіп 4а + зіп 5а
зіп а - зіп За - зіп 5а + зіп 7а	. о
6)	--------«-----------— = -І£2а;
соз а - соз За + соз 5а - соз 7а
7)	(зіп а + віп р)2 + (соз а + соз р)2 = 4соз2 А
8)	зіп 2а соз 4а (1 + соз 2а)	_ 1 .
(зіп За + зіп а) (соз За 4- соз 5а) 2 ’
(зіп 4а соз 4а V 1	, 1 А . ,
9)	—:-----------. • 4--— =4сі£а.
зіп а соз а Д зіп За зіп а )
945	.* Доведіть тотожність:
1)	сі£ 6а - сі£ 4а 4- 2а = -сі£ 6а сі£ 4а 2а;
2)	--------------------= сій 4а;
ІЙ За + їй а сійЗа + сійа
3)	а+сі£а4ЧйЗа + сійЗа = ~^7г^-
зіп 6а
946	." Доведіть тотожність:
1)	За - їй 2а - і£ а = І£ а їй 2а їй За;
2)	1--------1 — = віп2а.
їй За + їй а їй 5а-їй а
947/ Доведіть тотожність:
1)	1+8Іпа+со8а = 2-У2со8^со8І^-уІ;
14-соз (4а-2л)4-соз(4а-^І
2)	--------------------^ = сі£2а;
14-	сов (4а + я) 4- соз ^4а +	1
3)	аіп2(1|Н_2а)_со82(^-2а) = -^;
\ 8 І \ 8 І у/2
4)	со82(^+а)-8Іп2р^+а) = ^8іп2а.
\ 8 І \ 8	/2
301
§ 4. Тригонометричні функції
948/ Доведіть тотожність:
1) 1-2со8(Х+со8 2а = -4со8а8Іп2—;
3) зіп2
2) 1-зіпа-соза = 2\/2 зіп^зіп^-'	2	\2
зіп 2а
у[2
949.** Доведіть рівність 30° + 40°+50° + 60° =	.
73
960/* Доведіть, що коли а + р 4- у = я, то має місце тотожність:
1)	8ІЛа + 8ІпР + 8Іпу = 4СО8^СО8^СО8^; г ’	2	2	2
2)	зіп 2а + зіп 2р 4- зіп 2у = 4 зіп а віп р віп у;
3)	соз а + соз Р + соз у = 1 + 4 зіп — зіп зіп ; г '	2	2	2
4)	соз 2а + соз 2Р + соз 2у = -1 - 4 соз а соз р соз у;
5)	зіп2 а + зіп2 Р - зіп2 у = 2 зіп а зіп Р сов у.
951.** Доведіть, що коли а + Р + у = л, то має місце тотожність:
1)	зіп 4а + зіп 4Р 4- зіп 4у = -4 зіп 2а зіп 2Р зіп 2у;
Р.	. а + В а + у В + у
+ соз у = 14- 4 соз —— соз ——соз г-— '	2	2	2
3) соз2 а + соз2 Р 4- соз2 у = 1 - 2 соз а соз р соз у.
952.” Доведіть, що коли а4-Р4-у = ^,
то має місце тотожність:
соз2 а + сов2 0 + сов2 у = 2 + 2 віп а віп 0 віп у.
І Формули перетворення добутку
І тригонометричних функцій у суму
У п.43 при доведенні формул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності:
зіп (х 4- у) 4- зіп (х - у) = 2 зіп х соз у;
соз (х 4- у) 4- соз (х - у) = 2 соз х соз у;
соз (х 4- у) - соз (х - у) = -2 зіп х зіп у.
302
44. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
Перепишемо їх так:
8ІП X СОЗ у = (ЗІП (х - у) + 8ІП (х + у))
СО8 X СО8 у = (СОЗ (X - у) + СО8 (Х + у))
8ІП X 8ІП у = (СО8 (х-у)~ СО8 (х + у))
Ці тотожності називають формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
ПРИКЛАД Перетворіть добуток у суму:
1) зіп 15° сов 10°;	3) сов а соз За; 5) 2 зіп 2а соз 5а.
2) зіп зіп 4) 2 зіп (а + 0) соз (а -0);
1^2 о
Розв'язання
1) віп 15° соз10° = | (зіп (15° -10°)+зіп (15°+10°)) = | (зіп 5°+зіп 25°); А	А
3) соз а соз За = і (соз (а - За) + соз (а + За)) = (соз 2а + соз 4а);
А	А
4) 2зіп(а + Р)соз(а-Р) = 2-^(8Іп(а+Р-а + Р)+8Іп(а + Р + а-Р)) = А
= зіп2р+зіп2а;
5) 2 зіп 2а соз 5а = 2 • ^(зіп (2а - 5а) + зіп (2а + 5а)) =
- зіп (-За) + зіп 7а = зіп 7а - зіп За.
ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність1:
4 соз а соз (60° - а) соз (60° 4- а) = соз За.
Розв'язання. Двічі застосовуючи формулу перетворення добутку косинусів у суму, отримуємо: 4 соз а соз (60° - а) соз (60° + а) =
= 2 соз а (соз (60° - а - 60° - а) + соз (60° - а + 60° 4- а)) =
= 2 соз а (соз 2а + соз 120°) = 2 соз а (соз 2а - і) =
= 2 соз а соз 2а - соз а = соз а 4- соз За - соз а = соз За.
1 Іншим способом ця тотожність була доведена в п. 42.
303
§ 4. Тригонометричні функції
ПРИКЛАД 3 Доведіть тотожність віп2 2а - сов - 2а) віп |2а - —) =
Розв’язання. Застосуємо формули пониження степеня і пере-
творення добутку в суму:
віп2 2а-сов
(|-2а)гіп(га-і)=
1 — сов 4а . Іл я я г* ./« л л « и =---«----- віп (2а—— — — + 2а 1+віп 12а — — + — — 2а І =
2	2<	\	6 3	/	\	6 З І)
1-сов4а-віп|4а-5|-8Іп5 | = ^|1-сов4а + сов4а“1 =-у-2<	\	2/ в) 2\	2/4
ПРИКЛАД 4 Доведіть рівність
СО877 + СО8ТТ + СО8ТТ + СО8ТТ + СО8ТТ = п
11	11	11	11	11 2
Розв’язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної
рівності на 2віп^-. Отримуємо:
о.тс тс о . тс Зл , о . л 5л , П . л 7тсіО.тс 9л 2 віп—сов — + 2 зіпсов — + 2 вш—соз— + 2 віп—сов — + 2 віп—сов—
П • Я
2"”її
Застосуємо формулу віп а сов Р = (віп (а - Р)+віп (а+Р)):
.2л	.2л	.4л	.4л	.6л	. 6л . 8л . 8л , . 10л
ВІП — - 81П — + ВІП — - ВІП — + ЗІП — - ЗІП — + ЗІП — - ЗІП — + ЗІП
2"пії
. 10л 81П—--
л віп—
11 -11-1
п • л о . л 2
2 зіп— 2 віп—
ПРИКЛАД 5 Доведіть нерівність віп—віп-віп— 2	2	2 8
де а + Р + у = п.
Розв’язання. За умовою у = я - (а + Р). Тоді
а.р.у . а . Р . ґл а + Р^ . а . Р	а + р
віп— віп- віп -т = віп— віп- віп-= віп— віп^ сов——- =
222	2	2 к2 2 )	22	2
1/ а-Р	а + РІ	а + Р 1/ а-р	а + Р	2« + р\
= 77 сов——- сов—2- СО8—-2- = - сов-—2- СО8—-2- - СО8 ——- =
2\	2	2 /	2	2 \	2	2	2
304
44. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
\ 2
1 а-0	а + р)
- сов - - сов -
2	2	2 7
11	2 а-Р
= - - сов ---
2<4	2
~	• а	Р	у 1
Отже, Зіп— Зіп - 81П-т< —
2	2	2 8
1	2а~Р1
< — • — сов  - < —. 2 4	2	8
Ц Вправи
953.° Перетворіть добуток у суму:
1) соз 15° соз 5°;	4) віп 48° зіп 74°;
2) 2 соз (а + Р) соз (а - 3);	5) зіп (60° + а) зіп (60° - а).
3) зіп 6а сов 4а;
954.° Перетворіть добуток у суму:
1) 2сов — соз—;	3) зіп 5а соз За;
о О
2) зіп 28° зіп 24°;	4) зіп^+а)зіп^-а).
955.° Спростіть вираз:
1) 2 соз 20° соз 40° - соз 20°;
2) зіп а (1 + 2 соз 2а);
3) 2 соз а соз 2а - соз За;
4) соз 2а + 2 зіп (а + 30°) зіп (а - 30°).
956.° Спростіть вираз:
1) 2 зіп 2а зіп а 4- соз За;
2) зіпа-2зіп|—-^-|соз|^ + -^-І. ’	\2 12/	\2 12/
957.* Доведіть тотожність:
1) зіп а зіп За + зіп 4а зіп 8а = зіп 7а зіп 5а;
2) 8Іп|^ + 5аІсо8|^ + 2а|-8іп|^ + аІ8Іп|^-6а| = 8Іп4асо8а. \4	/	\4	/	\4	/	\4	/
958.’ Доведіть тотожність:
1) сов За соз 6а - соз 4а соз 7а = зіп 10а зіп а;
2) 2 соз — віп (— +15°] соз (— -15°) = зіп (45° + —1 соз (45° - —
2	\4	/	\4 І \	4/	\	4 /
959/ Спростіть вираз:
1) зіп* 1 2 3 4а + сов ^-аісоз|“+а);
2) сов2 а + соз2 Р - соз (а + Р) соз (а - Р);
3) соз2 (45° + а) - соз2 (30° - а) + зіп 15° зіп (75° - 2а).
305
§ 4. Тригонометричні функції
960.’ Спростіть вираз:
1) зіп2 а + зіп2 Р + соз (а + р) соз (а - р);
2) соз2 (45° - а) - соз2 (60° 4-а) - зіп (75° - 2а) соз 75°.
961.** Доведіть рівність:
2л .	4л . 6л	1
1) СО8—+ СО8—+ соз—= - —;
7	7	7	2
2) 8т10о + 8Іп20о + ... + 8Іп50° = ^^1.
2 віп 5
962." Доведіть рівність СО8-^- + СО8^ + ... + СО8т^ = ^.
1У 1У	1У £
5 Гармонічні коливання
У попередніх пунктах ви ознайомилися з тригонометричними функціями у — зіп х, у = соз х та їх властивостями. Розглядаючи графіки цих функцій, можна згадати, що в повсякденному житті ви бачили схожі криві та поверхні. Наприклад, хвилі на морі мають форму, що нагадує синусоїду. І це не випадково. Багато фізичних величин періодично змінюються і можуть бути описані за допомогою тригонометричних функцій у = А зіп (кх 4- а) або у = А соз (кх 4- а), де А, А, а — задані числа, А ф 0, к ф 0. У такому випадку говорять, що фізична величина здійснює гармонічне коливання, а відповідну тригонометричну функцію називають функцією гармонічного коливання.
Розглянемо рух точки зі сталою ненульовою ШВИДКІСТЮ V по одиничному колу (рис. 195). Нехай початкове положення точки задається кутом а, тобто в початковий момент часу точка має координати Мо (соз а; зіп а). За час і точка пройде по дузі кола відстань VI. З означення радіанної міри кута випливає, що довжина дуги одиничного кола, по якій перемістилася точка, дорівнює куту повороту початкової точки Мо. Тому через час і положення точки визначатиметься кутом VI 4- а, а отже, точка матиме координати М (соз (VI + а); зіп (VI 4- а)). Бачимо, що кожна координата точки, яка рухається колом, визначає функцію гармонічного коливання:
х = соз (VI 4- а), у = зіп (VI 4- а).
У 8 класі на уроках фізики ви вивчали коливальний рух, зокрема рух математичного маятника (рис. 196). Можна встановити, що відхилення маятника від положення рівноваги визна-
306
45. Гармонічні коливання
•і
чається функцією у = А сов
де А — величина відхилення
маятника від вертикалі у початковий момент часу, § — стала прискорення вільного падіння, І — довжина нитки маятника, і — час. Таким чином, коливання математичного маятника — приклад гармонічного коливання.
Гармонічні коливання також можна спостерігати при коливанні гирьки з пружиною; слухаючи музику, адже при цьому в повітрі утворюються звукові хвилі; граючи на гітарі, бо струна набуває форми, близької до синусоїди; вивчаючи роботу електроприладів, оскільки змінний електричний струм також описується тригонометричними функціями, та в багатьох інших випадках.
Якщо у функції гармонічного коливання у = А віп (кх + а) або у - А сов (кх + а) числа А і к є додатними, то число А називають амплітудою гармонічного коливання, а число к — циклічною частотою гармонічного коливання.
Оскільки тригонометричні функції у = А віп (кх + а), у = А соз (кх + а), де А — додатне число, набувають значень з проміжку [-А; А], то амплітуда гармонічного коливання показує найбільше значення функції гармонічного коливання.
Оскільки головний період функцій у = А зіп (кх + а), у = А соз (кх + а), де ,	2л
к — додатне число, дорівнює —, що к в к разів відрізняється від головного періоду функцій у = ЗІП X і у = СОЗ X, то циклічна частота к показує кіль-
307
§ 4. Тригонометричні функції
кість головних періодів функції гармонічного коливання в одному періоді функції у = 8ІП х або у = СОЗ X.
Гармонічні коливання грають значну роль при вивченні багатьох процесів. При цьому намагаються подати функцію складного періодичного процесу як суму кількох функцій гармонічних коливань, які вважаються простішими. Наприклад, функцію, що описує складний музичний акорд, можна подати як суму функцій гармонічних коливань окремих нот, що складають цей акорд. На цьому принципі працюють багато технічних пристроїв. Так, деякі типи радіопередавачів кодують інформацію у вигляді окремих гармонічних коливань, випромінюючи у простір хвилю, що є їх сумою. В іншому місці радіоприймач виконує зворотний процес — подає отриманий сигнал як суму окремих гармонічних коливань, що дозволяє відтворити передану інформацію.
Розділ математики, який вивчає гармонічні коливання, називають «Гармонічний аналіз». Якщо ви пов’яжете своє майбутнє з математикою, фізикою, технікою, то зможете ознайомитися з цим розділом у вищому навчальному закладі.
ПРИКЛАД Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармоніч
ного коливання, яке задається функцією: 1) у = -3 зіп
2) у = -6соз
Розв'язання
1) Можна записати:
у = -3 зіп [ — - 4х| = 3 зіп 14х -—І. \4	/	\	4/
Отже, А = 3, к = 4.
2) Маємо:
л /л	хі	л п	х , ।	л їх	9п\
\8	2/	\8	2	/	\2	8/
Отже, А = 6, к = ±.
2
Доведіть, що функція у = 3 віп 2х + 4 сов 2х є функцією гармонічного коливання.
Розв’язання. Запишемо вираз 3 віп 2х + 4 сов 2х у вигляді
^З2 +421 . 8 зіп 2х + . = сов 2х 1 = 51 — віп 2х + — соз 2хІ.
Іл/з2?? ї/зЧІ2 )	'5	5	/
308
45. Гармонічні коливання
Оскільки
то існує та-
3	4
кии кут а, що соза = -, зіпа = — 5	5
(рис. 197). Тоді маємо:
у = 5 (зіп 2х соз а + соз 2х зіп а) = = 5 зіп (2х + а).
Отже, дана функція є функцією гармонічного коливання, амплітуда якого дорівнює 5, а циклічна частота коливання — 2.
Вправи
963	.° Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармонічного коливання:
1)	у = 2,6 зіп Злх;	2) у = 4 озі^-і].
964	.° Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармонічного коливання:
1)	у = 0,6 соз (2лх - 3);	2) (/ = 8зіпІ7х + -^І.
965	.* Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармонічного коливання:
1)	у = -2зіп(б-—);	2) у = -1,5соз(-5х-—).
966	.’ Укажіть амплітуду А і циклічну частоту к гармонічного коливання:
1)	у = -38іп(-лх-і);	2) у = -|соз[-7х-^.
967	.** Доведіть, що функція у = 2 зіп Зх - соз Зх є функцією гармонічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту цього коливання.
968	.” Доведіть, що функція і/ = 5зіп4 + 12соз4 є функцією гар-4	4
монічного коливання. Укажіть амплітуду і циклічну частоту цього коливання.
309
§ 4. Тригонометричні функції
Ставай Остроградським!
Видатний український математик Михайло Васильович
Остроградський народився в селі Пашенівка на Полтавщині.
У 1816-1820 рр. він навчався в Харківському університеті, а по
Михайло Васильович Остроградський (1801-1862)
тім удосконалював математичну освіту, навчаючись у таких великих учених, як П’єр Симон Лаплас (1749-1827), Симеон Дені Пуассон (1781-1840), Огюстен Луї Коші (1789-1857), Жан Батіст Жозеф Фур’є (1768-1830).
Серед величезної наукової спадщини, яку залишив нам Михайло Остроградський, значну роль відіграють роботи, пов’язані з дослідженням тригонометричних рядів і коливань. Багато важливих математичних теорем сьогодні носять ім’я Остроградського.
Крім наукових досліджень, Остроградський написав низку чудових підручників для молоді, зокрема «Програму і конспект тригонометрії». Сам Остро
градський надавав
питанню викладання тригонометрії такого
значення, що це стало предметом доповіді в Академії наук.
Науковий авторитет Остроградського був настільки високим, що в ті часи, відправляючи молодь на навчання, казали: «Ставай Остроградським!» Це побажання актуальне і сьогодні, тому:
«Ставай Остроградським!»
310

§5
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ
І НЕРІВНОСТІ
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
РІВНЯННЯ СОВ X = Ь
Оскільки областю значень функції у = соз х є проміжок [-1; 1], то при | Ь | > 1 рівняння соз х = Ь не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому Ь такому, що | Ь | < 1, це рівняння має корені, більш того, їх безліч.
Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпретації: графіки функцій у = соз х і у = Ь, де | & | < 1, мають безліч
Зрозуміти, як розв’язувати рівняння соз х = Ь у загальному випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, роз-
Розглянемо функцію у = соз х на проміжку [-я; я], тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рисунку 199). Пряма у = - перетинає графік функції А
у = соз х на проміжку [-я; я] у двох точках М1 і М2, абсциси яких є протилежними числами. Отже, рівняння соз х = на проміжку я 1
---, то цими ко-3 2
[-я; я] має два корені. Оскільки соз = соз =
я . я ренями є числа і — о о
312
46. РІВНЯННЯ С05Х = Ь
Функція у = соз х є періодичною з періодом 2л. Тоді кожен
з інших коренів рівняння соз х = — відрізняється від одного з
знайдених коренів -— або £ на число виду 2лп, пеі. З з
Отже, корені розглядуваного рівняння задаються формулами
х = — + 2кп і х = -—+ 2лп, пєі з	з
Як правило, ці дві формули замінюють одним записом:
х = ±^ + 2лп, пе 1
З
Повернемося до рівняння соз х = Ь, де | Ь | < 1 (рис. 200). На проміжку [-тс; тс] це рівняння має два корені а і -а, де а є [0; тс]
Рис. 200
Зрозуміло, що всі корені рівняння соз х = Ь мають вигляд х = ±а + 2тсп, леї
Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння соз х = Ь. Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.
Означення. Арккосинусом числа Ь, де | Ь | < 1, називають таке число а з проміжку [0; я], косинус якого дорівнює Ь.
Для арккосинуса числа Ь використовують позначення агссоз Ь. Наприклад,
агссоз- = —, оскільки — є[О;тс] і соз —= -;
2 3	3 1	1	3 2
агссоз ґоскільки ^є[0;л] і соз^ = -^-;
V 2 7	4	4	4	2
агссоз 0 = —, оскільки — є[0;л] і соз —= 0;
2	2	2
агссоз (-1) = л, оскільки л є [0; л] і соз л = -1.
Узагалі, агссоз Ь = а, якщо а є [0; л] і соз а = Ь.
313
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Зазначимо, що, наприклад, соз
ЯІ 1 3/2'
Проте агссоз^-^, 2	3
оскільки ~ £ [0;л].
Тепер формулу коренів рівняння соз х = Ь, | Ь | < 1, можна записати так:
х = ±агссоз Ь 4- 2пп, пеії	(1)
Зазначимо, що окремі випадки рівняння соз х = Ь (для Ь = 1, Ь = 0, & = -1) було розглянуто раніше (див. п. 34). Нагадаємо отримані результати:
СОЗ X = 1	соз х = 0	соз х = -1
х = 2лп, п є 2	х =—+лп, п є 2 2	х = п 4- 2лп, п є 2
Такі самі відповіді можна отримати, використовуючи формулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто. Тому радимо запам’ятати отримані результати.
ПРИКЛАД Розв’яжіть рівняння: 1) соз4х = -^-; 2) соз^ + ^) =
3) соз|“7х| = 0; 4) соз пх2 = 1.
Розв'язання. 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати: і \І2 І
4х = ±агссоз	+2лп, п є 2.
\ 2 )
Далі отримуємо:
а . Зя . п	. Зя , кп
4х = ±— + 2лп; х = ±— + —.
4	16	2
Відповідь:	+ п є 2.
16	2
2)	Маємо:
тг + — = ±агссоз^ + 2лп, п є 2; 3 4	2
“ + - = ±- + 2лп;	— = ±^- — 4-2лп;
3 4	3	3	3 4
X = ±я — —+ блп.
4
Відповідь: ±п-^-+6пп, п є 2.
4
314
46. РІВНЯННЯ СО8Х = Ь
3)	Перепишемо дане рівняння у вигляді сов
0. Маємо:
7х-^ = - + лп, пеі.
5 2
Тоді 7х = |+|+дп;	=	+	х=£+^.
Відповідь: “г + —, ле 2.
10 7
4)	Маємо: лх2 = 2лп, л є 2;
х2 = 2п, п є 2.
Оскільки х2 > 0, то 2п > 0, тобто п є N О {0}.
Тепер можна записати х = >/2п або х = -у[2п9 де п є N0 {0}.
Відповідь: д/2и, ->/2п, п є N О {0}.
ПРИКЛАД Визначте кількість коренів рівняння сов х = Ь на проміжку
залежно від значень параметра Ь.
Розв'язання. Зобразимо графік функції у = сов х на проміж-5л \
ку 0; —І (рис. 201). Кількість коренів визначається кількістю
точок перетину прямої у = Ь з виділеною червоною частиною
Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить виділеній
не належить.
кривій, а точка
Розглядаючи різні положення прямої у = Ь9 отримуємо такі результати:
якщо Ь < -1, то коренів немає;
якщо Ь = -1, то один корінь;
л/2
якщо -1 < Ь <——, то 2 корені;
315
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
\І2
якщо	то один корінь;
якщо Ь > 1, то коренів немає.
Відповідь: якщо Ь < -1 або Ь > 1, то коренів немає; якщо Ь = -1
або	то один корінь; якщо	то 2 корені.
2	&
Вправи
969.° Розв’яжіть рівняння:
1) совх = ~;	3) со8х = -^—;	5) соех = ~; 2	2	3
2) созх = ^Д;	4) созх = ~;	6) созх = ^. 2	3	4
970.° Розв’яжіть рівняння:
і \	>/5	\/2	4 1) со8х = 2т~;	3) соз х =	;	5) созх = -. 7	2	2	7
1	УІ5 2) СО8Х = --;	4) С08х = ~~;
971.° Розв’яжіть рівняння:
1) созЗх = --;	3) соз 6х = 1;	5) соз9х = -^; 2	о
2) соз|х = ^;	4) соз ^ = 0;	6) соз(-|) = ^. О	2	о	\ о/ о
972.° Розв’яжіть рівняння:
1) соз2х = ^;	2) соз^ = -^;	3) соз^ = -1. 2	5	2	4
973.° Розв’яжіть рівняння:
1) соз(х + 5) = —;	3) соз (|-2) = -1; \	6/	2	\6 І
2) СО8(^-х) = --у;	4> 2соз[|-3х)+1 = 0.
974.° Розв’яжіть рівняння:
1) соз[|-4х) = 1;	2) ї/2соз[|+з)+1 = 0.
975.° Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння соз їх - | = \	о/2
976/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння соз у = ——.
4
316
46. РІВНЯННЯ С08Х = Ь
УІЗ
977.* Скільки коренів рівняння созЗх = — належать проміжку
Л._ 9 _її’пГ
978.' Знайдіть усі корені рівняння сов
1
-» які задоволь-
А
няють нерівність “<х<4л.
979	.** Розв’яжіть рівняння:
1)	соз —= 1;	2) созл>/х=-^-;	3) соз(созх) = ^.
980	." Розв’яжіть рівняння:
2л д/2	\ >/2
1)	соз-^ = —;	2) соз(созх) = —.
981	.** При яких значеннях параметра а рівняння сов 2х = -4а2 + 4а - 2 має розв’язки?
982	." При яких значеннях параметра а рівняння соз
-а2-1
має розв’язки?
983	.** При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння (а2 - 4) сов х = а + 2?
984	." При яких значеннях параметра а рівняння За соз х = 2а + 2 має розв’язки?
985	.** При яких значеннях параметра а рівняння	— = о
^/совх-За + 1
має розв’язки?
•• тт	•	сов X - а
986. При яких значеннях параметра а рівняння------------= 0 має
соз х + -З
розв’язки?
987	.** При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж 3 корені рівняння СО8Х = ^?
988	." При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж 3 корені рівняння СОЗХ = “?
989	.** Визначте кількість коренів рівняння сов х = а на проміжку залежно від значень параметра а.
я, 11л
4’ 6 _
317
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
990/* Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння соз х = а на проміжку
-Ч]?
991." Визначте кількість коренів рівняння соз х = а на проміжку залежно від значень параметра а.
я, Зл
_ 2’ 4
992.* При яких значеннях параметра а рівняння (х-а) соз х +
«	.	Зл л
має єдиним корінь на проміжку я; — ?
_ Сі _
993.* При яких значеннях параметра а рівняння (х + а) соз х -
має єдиний корінь на проміжку ~;0 ? _ Сі □
32 РІВНЯННЯ ЗІП X = Ь
Оскільки областю значень функції у = зіп х є проміжок [-1; 1], то при | Ь | > 1 рівняння зіп х = Ь не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому Ь такому, що | Ь | < 1, це рівняння має корені, більш того, їх безліч.
Зазначимо, що окремі випадки рівняння зіп х = Ь (для 6=1, Ь = 0, Ь = -1) було розглянуто раніше (див. п. 34). Нагадаємо отримані результати:
ЗІП X = 1	зіп х = 0	зіп X = -1
х = ^ + 2пп, пе 2 2	X = ЯП, ПЕІ	х = ~—+2пп, п є 2 2
Для того щоб отримати загальну формулу коренів рівняння зіп х = Ь, де | Ь | С 1, звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 202 зображено графіки функцій у = зіп х і у = &, ІЬІ < 1.
Розглянемо функцію у = зіп х на проміжку
я Зя 25 2
, тобто на
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона лінія на рисунку 202). На цьому проміжку рівняння зіп х = Ь має
два корені. Позначимо корінь, який належить проміжку
я. я 2’2
318
47. Рівняння зіп х = Ь
через а. Оскільки зіп (я - а) = зіп а, то другий корінь дорівнює я - а. Зауважимо, що при Ь = 1 корені а і я - а збігаються.
Рис. 202
Оскільки функція у = зіп х є періодичною з періодом 2я, то кожен з інших коренів рівняння зіп х = Ь відрізняється від одного із знайдених коренів на число виду 2яп, п є Е.
Тоді корені розглядуваного рівняння задаються формулами х = а + 2яп і х = я - а + 2яп, п є X.
Ці дві формули можна замінити одним записом:
х = (-1)*а 4- яЛ, й є 1	(1)
Справді, якщо к — парне число, тобто к = 2п, п є Е, то отримуємо х = а + 2яп; якщо к — непарне число, тобто к = 2п + 1, п є Е, то отримуємо х = -а + я + 2ял = я - а + 2яп.
Формула (1) показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння зіп х = Ь. Корінь а має спеціальну назву — арксинус.
Означення. Арксинусом числа Ь, де | Ь | < 1, називають таке
Л. ЛІ 2;2Г
число а з проміжку
синус якого дорівнює Ь.
Для арксинуса числа Ь використовують позначення: агсзіп Ь. Наприклад, 1л . л л л . . л 1 агсзіп- = —, оскільки —є	і зіп —= -;
2 6	6 _ 2 2.	6 2
319
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
п л
Уз агсзіп —— V 2
л • я =	, оскільки є
з	З І 2 2^
агсзіп 0 = 0, оскільки Оє — І 2 2]
агсзіп (~1) = ~, оскільки ~є
Узагалі, агсзіп Ь = а, якщо а
1 81П
і віп 0 = 0;
(ЛІ 1
-р |=-1-/
і віп а = Ь.
Зазначимо, що, наприклад,
_л. л _ 2’2_
[л л 2’2
5л 1 т-г	.	1 5л
зіп — = -. Проте агсзіп-#—, 6	2	2	6
є
5л оскільки — £
6
_я. я
_ 2’2.’
Тепер формулу коренів рівняння віп х = Ь, | Ь |	1, можна за-
писати або у вигляді сукупності:
х = агсзіп Ь + 2лп,
х = л - агсзіп Ь + 2лп, п € Д
або одним записом:
х = (-1)* агсзіп Ь + лЛ,
(2)
Узагалі, при розв’язуванні тригонометричних рівнянь одна й та сама правильна відповідь може бути подана в різних формах запису.
Зрозуміло, що формула (2) застосовна і для окремих випадків: Ь = 1, Ь = 0, Ь = -1. Проте рівняння зіп х = 1, зіп х = 0, зіп х = -1 зустрічатимуться часто. Тому радимо запам’ятати формули їх коренів, які записано на початку пункту.
V 1	/ 7Г
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння: 1) віп	2) віп І —
уз.
2 ’
3) зіп
Розв'язання, 1) Використовуючи формулу (2), можемо записати:
X	/ 1 \
— = (-1)л агсзіп І--І +лп,
Далі отримуємо:
2
+ лп;
а	о
X___, -|\л + 1 Я
о 1) -д+лга;
£	о
320
47. Рівняннязіпх = Ь
х = (-1)л+1~ + 2яп.
Відповідь: (-1)л+ -^ + 2лп, пє 1
2) Перепишемо дане рівняння у вигляді -зіп
/З 2
Тоді зіп
/3.
2 9
Зх“ = (-1)л-агсзіп^—+ яп, пє2; О	&
Зх-|=(-1)"Л+ші; Зх = (-1)".| + | + яп;
х = (-1Г-^ + ^ + 2^.
9 9	3
Відповідь: (-1)"--+-+^, пє2.
9 9 З
3) За формулою коренів рівняння зіп х = -1 можемо записати:
і+—— —--н 2лп, п €
10	2
Далі маємо: і = -—-— + 2пп; і = -^ + 2пп.
2 10	5
Відповідь: ~^ + 2пп, п є 2.
5
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння <3 созх + зіп х = 2.
Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді:
1 . 1
----СОЗ X + - ЗІП X = 1. 2---2
Оскільки — = зіп—, а - = соз—, то можна записати: 2	3	2	3
зіп — соз х + соз зіп х = 1. З	З
Використовуючи формулу синуса суми зіп а соз Р + соз а зіп Р =
= зіп (а 4- Р), отримаємо:
зіп
Звідси -^ + х = ^ + 2лп, о
Відповідь: х = —+ 2лп, 6
п є 1
п є 2.
321
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Зауважимо, що при розв’язуванні рівняння прикладу 2 можна було Скористатися і формулою косинуса різниці соз а соз Р +
+ зіп а зіп Р = соз (а - Р). Справді, оскільки = соз 77, а = зіп 77, то 2	6	2	6
соз — соз х + зіп ? зіп х = 1;
6	6
соз
має рівняння (зіп х - Ь) І соз х -
Звідси отримуємо таку саму відповідь: х = ^ + 2лп, пє 1
6
ПРИКЛАД % Скільки коренів залежно від значень параметра Ь | = 0 на проміжку [0; 2л)?
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне сукупності: зіп х = Ь,
1 созх = —.
І 2
Друге рівняння цієї сукупності на проміжку [0; 2л) має 2 коте . 5л
реш: З 1 У
При | Ь | > 1 рівняння зіп х = Ь коренів не має. Тоді дане в умові рівняння має 2 корені.
Якщо Ь = 1 або Ь = -1, то рівняння зіп х = Ь на проміжку [0; 2л) має один корінь. Це відповідно числа £ і Тому при | Ь | = 1 а а
дане в умові рівняння має 3 корені.
Якщо | Ь | < 1, то рівняння зіп х = Ь на проміжку [0; 2л) має 2 корені. Тому може здатися, що задане в умові рівняння в цьому випадку матиме 4 корені. Насправді один з коренів рівняння
зіп х = Ь може збігатися з числом — або з числом —.
З	З
Знайдемо значення параметра Ь, при яких числа і є о 0
коренями рівняння зіп х = Ь. Маємо:
1 \	• Л г- і. "V З
1) зіп — = Ь; Ь =
З	2 2
2) зіп^ = 6;
З	2
При Ь = рівняння зіп х = Ь на проміжку [0; 2л) має корені
л . 2л	о . л 2л 5л
— і —, а дане в умові рівняння має 3 корені: —, —, —.
322
47. Рівняння йіпх = Ь
уіЗ
При Ь = —— аналогічно отримуємо, що дане в умові рівняння
має 3 корені: 3	3	3
Відповідь: Якщо Ь < -1 або Ь > 1, то 2 корені; якщо Ь = -1,
або Ь = 1, або Ь = або Ь =	то 3 корені; якщо -1 < Ь <
^3	л/3	л/3
або	<Ь<19 то 4 корені.
Вправи
994.* Розв’яжіть рівняння:
1) зіпх = ^; 2) зіпх = -^; 3) зіпх = ^;	4) зіпх = 72.
995.° Розв’яжіть рівняння:
1) зіпх = -;	2) зіпх = --^-; 3) зіпх = 2^—; 4) зіп х = 1,5.
2	2	З
996/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп £ = -Ь 2) зіп ^ = ^; 3) зіп 5х = 1; 4) зіп (-8х) = §. О /	О £	У
497.' Розв’яжіть рівняння:
1) зіп2х = ^;	2) зіп^ = 0;	3) зіп^ = -^.
а	7	о 2
998.° Розв’яжіть рівняння:
1) зіп(х-|) = ^;	3) зіп(| + 1) = -1;
2) віп(|-х) = ^;	4) 72зіп(^-Зх)-1 = 0.
999. Розв’яжіть рівняння:
1) 8Іп|т^-8х| = 1;	2) 2зіп(^-4| + 1 = 0.
\18	/	\5	/
1000/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння віп
віп (зх--^) = -1. \	15/
1<Ю 1/ Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння
1002/ Знайдіть усі корені рівняння віп
які належать
проміжку
• Зл
. ’ 2
323
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
л/2
1003.* Скільки коренів рівняння зіпЗх = — належать проміжку
Зл. л «
_ 2 ’2_|
1004/ Розв’яжіть рівняння:
3)
3зіп- + 73соз- = 3.
2	2
2)	8ІПХ + СО8Х = УІ2.
3)	зіп (соз х) = 0,5.
2) соз (я зіп х) = 0.
1005.’ Розв’яжіть рівняння: 1) зіпх-\/з созх = 1;
1006/* Розв’яжіть рівняння:
2	і
1) зіп —= 0;	2) зіплл/х = -1;
х
1007.” Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп-^ = -^; у[х 2
1008/* При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння (а2 - 1) зіп х = а + 1?
1009.** При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння (а 4- 4) зіп2 2х = а2 - 16?
1010.** При яких значеннях параметра а рівняння
зіпх-а -о
Г	ї
В1ПХ--1	2
має розв’язки?
1П11-ТТ	зіпх + а
1011. При яких значеннях параметра а рівняння----------= 0
зіп х - 2а +1
і-
має розв’язки?
1012/* При яких додатних значеннях параметра а проміжок містить не менше ніж 4 корені рівняння зіпх = - ?
1013.” При яких від’ємних значеннях параметра а проміжок [а; 0] містить не менше ніж 3 корені рівняння зіпх = ——?
1014/* Визначте кількість коренів рівняння на даному проміжку залежно від значень параметра а:
• Гл Ил
1) зіп х = а, 0;-^-
л. 7 л
4’ 4 _
2) зіп х = а,
324
48. Рівняння і&х = Ь і сї%х = Ь
1015.’“ Визначте кількість коренів рівняння зіп х =
а на проміж-
ку
тс, 2 л
6’ З
залежно від значень параметра а.
1016/* Визначте кількість коренів рівняння зіп х = а на проміж-
ку ~;2л залежно від значень параметра а. І_ з
1017.” Визначте кількість коренів рівняння зіп х = а на проміж-
5л, Зя _ 6 ’ 2 _
ку
залежно від значень параметра а.
1018.* Скільки коренів залежно від значень параметра а має і	і
рівняння І созх--^-І(зіпх-а) = 0 на проміжку [0; 2л)?
1019.* Скільки коренів залежно від значень параметра а має рівняння (созх-а)^зі
81ПХ +
^1 = 0 на проміжку (0; 2л]?
&х = Ьі
Оскільки областю значень функції у = і# х є множина К, то рівняння х = Ь має розв’язки при будь-якому значенні Ь.
Для того щоб отримати формулу коренів рівняння X = Ь9 звернемося до графічної інтерпретації.
На рисунку 203 зображено графіки функцій у = х і у = Ь.
проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рис. 203). На цьому проміжку рівняння х = Ь при будь-якому Ь має один корінь а.
325
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Оскільки функція у = І£ х є періодичною з періодом я, то кожен з інших коренів рівняння І£ х = Ь відрізняється від знайденого кореня на число виду пп, п е 2.
Тоді множина коренів рівняння І£ х = Ь задається формулою х = а + лп, п є 2.
Отримана формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння х = Ь. Корінь а має спеціальну назву — арктангенс.
з проміжку
Означення. Арктангенсом числа Ь називають таке число а тангенс якого дорівнює Ь.
Для арктангенса числа Ь використовують позначення агсі£ Ь. Наприклад, агсі#\/з = £, оскільки ^єі—;
З	3 \ 2
агсі£(-1) = -у, оскільки 4	4
І = О
1;
агсі£ 0 = 0, оскільки 0 є
і і£ 0 = 0.
а-Ь.
Зл 4 ’
Узагалі, агсі£ Ь = а, якщо а є
(З* \
——1 = 1. Проте агсі£І 4 /
Зл 7 л л\
ОСКІЛЬКИ---“	—
4 \ 2 2/
Тепер формулу коренів рівняння х = Ь можна записати так:
х = агсід Ь + лп, п є 2
Оскільки областю значень функції у = сі£ х є множина К, то рівняння сі£ х = Ь має розв’язки при будь-якому значенні Ь. На рисунку 204 зображено графіки функцій у = сі£ х і у = Ь.
326
48. Рівняння = Ь і сі£х = Ь
Розглянемо функцію у = сІ£ х на проміжку (0; я), тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рис. 204). На цьому проміжку рівняння х ~Ь при будь-якому Ь має один корінь а.
Оскільки функція у = сі£ х є періодичною з періодом я, то кожен з інших коренів рівняння СІ& х = Ь відрізняється від знайденого кореня на число виду яп, п є 2.
Тоді множина коренів рівняння с£& х = Ь задається формулою х = а + яп, п е 1
Корінь а має спеціальну назву — арккотангенс.
Означення. Арккотангенсом числа Ь називають таке число а з проміжку (0; я), котангенс якого дорівнює Ь.
Для арккотангенса числа Ь використовують позначення агссі& Ь.
Наприклад,
агссі&^ = ^, оскільки ^є(0;я) і =
агссі# (-\/з) =	оскільки ^є(0;я) і сі£^ = -\/3;
6	6	6
агссІ£0 = ^, оскільки ^є(0;я) і сі#^ = 0. А	А	А
Узагалі, агссі# Ь = а, якщо а є (0; я) і сі& а = Ь.
Зазначимо, що, наприклад, сі& 1-^1 = -1. Проте агссі& (-1) *-у, \ 4/	4
оскільки “£(0;я).
4
Тепер формулу коренів рівняння сі£ х = Ь можна записати так:
х = агссі& Ь + т9 п є 2
Розв’яжіть рівняння:
1) *8у = ->/3; 2) сіе(у-х)=-1.
Розв'язання. 1) Маємо: ^ = агсі§(-л/з)+яЛ, к є 2;
З
2	л , . п 3 .
X	+ ЛЛ« X ““	+ ЛЙ*
3	3	2 2
Відповідь: -- + -яЛ, к є 2.
2 2
2)	Маємо: сі& [х -	= 1,
\ з /
х -	= агссі£ 1 + пк, к є 2;
327
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
х~ = ^+пк; х = Ц-п+пк. 3 4	12
Відповідь: х=—п+пк, к є 2.
12
ПРИКЛАД 2 Визначте, при яких значеннях параметра Ь рівнян-
ня (х - Ь) І£ х = 0 на проміжку
—І має єдиний корінь.
І має єдиний корінь.
_ 6 2/
Розв'язання. Множина коренів рівняння і& х = 0 визначаєть-
_ б;2/
ся формулою х - пп, п є Розглядуваному проміжку
належить лише один корінь х = 0.
Рівняння х - Ь = 0 має єдиний корінь х = Ь.
Якщо Ь = 0, то початкове рівняння має єдиний корінь х = 0.
Якщо Ье
1-І’0 проміжку має два корені х = 0 і х = Ь.
Зрозуміло, що умова Ье — І_ 6 2, чаткового рівняння тільки одного кореня.
то початкове рівняння на заданому
забезпечить існування у по-
Відповідь: 6 = 0, або Ь<-—, або
Вправи
1020.° Розв’яжіть рівняння:
1) ієх = 73;	4) іє X = 5;	7) сі£х = —>/3;
2)	=	5) <Лех = ^;	8) сієх = у/7;
3) іє х = -1;	6) х = “1;	9) сі® х = 0.
1021. Розв’яжіть рівняння:
3)	І8* = —73; 5) сіє* = 73;	7) іє х = 0.
2)	=	4) іє х =-2;	6) сіех = -^;
О	о
1022	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	ІЄ 2х = 1;	3)	5) сіє 6х =
\ 4 /	11
2)	=	4) сіє£ = О;	6) сі8(-9х) = ^.
О О	О
1023	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	ів|х = 0;	2) сіє| = -73;	3) сіє|х = 5.
О	4	6
328
48. Рівняння І£х = Ь ісЇ£х = Ь
1024	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	*е(зх-~) = ^;	3) у/3 сі8(5х + ^+3 = 0;
\	1л/ о	\ о/
2)	(3 - 2х) = 2;	4)
\4 о/ о
1025	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	І8(х + ^) = 1;	2) сі8 (4 - Зх) = 2; 3) Зі8(Зх + 1)-^ = 0.
1026	.° Скільки коренів рівняння 4х = 1 належать проміжку [0; я]?
З З
х уіЗ
1027	.° Скільки коренів рівняння сі£ — = належать проміжку “;2л1?
І 2
1028	.° Знайдіть суму коренів рівняння 2х = ->/3, які належать
проміжку -я;	.
1029/ Знайдіть суму коренів рівняння
Зя" проміжку -2я; — .
1030/ Розв’яжіть рівняння:
1) І8- = 0;	2) сІ8Л = 1;
2
3) 1&(Я 8ІПХ) = \/3.
3) СІ£ (я соз X) = 1.
1031/ Розв’яжіть рівняння:
і)	2) *8^==-і;
5х
1032	.** При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:
і,	2)
сіех + 3	Зі< х-1
1033	." При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:
1)	сі8х + а=о.	2)	=
х - 2	СЇ£2 х-3
1034	.* При яких значеннях параметра а рівняння (х + а) (і& х - \/з) = 0
на проміжку
має єдиний корінь?
на проміжку
1035	.* При яких значеннях параметра а рівняння (х-а)(і& х+1) = 0 має єдиний корінь?
329
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Функції у - агссоз х у - аг< 8іп л
Ь Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння сов х = а на проміжку [0; л] має єдиний корінь, який дорівнює агссоз а (рис. 205). Тому кожному числу х з проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку [0; л] таке, що у = агссоз х.
Рис. 205
Тим самим задано функцію / (х) = агссоз х з областю визначення В (Л = [-1; 1] і областю значень Е (Л = [0; л].
Функція / є оберненою до функції б (х) = соз х з областю визначення В (я) = [0; л].
Дійсно, Б (Л = Е (б) = [-1; 1];
Е (Л = В (*) = [0; л].
З означення арккосинуса випливає, що для всіх х з проміжку [-1; 1] виконується рівність
соз (агссоз х) = х
Іншими словами, б (/ (х)) = х для всіх х є В (Л-
Сказане означає, що / і б — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 10, дозволяють визначити деякі властивості функції / (х) = агссоз х.
Оскільки функція б (*) = соз х, В (#) = [0; л], є спадною, то з теореми 10.3 випливає, що функція / (х) = агссоз х також є спадною.
Для будь-якого х є В (б) маємо / (£ (х)) = х. Це означає, що для будь-якого х є [0; л] виконується рівність
агссоз (соз х) = х
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. Це дозволяє побудувати графік функції / (х) = агссоз х (рис. 206).
330
49. Функції у = агссоз х і у = агсзіп х
Відзначимо ще одну властивість функції у = агссоз х: для будь-якого х є [-1; 1] виконується рівність
Рис. 207
Рис. 206
Ця властивість має просту графічну ілюстрацію. На рисунку 207 АВ = Л/ТУ = агссоз х0, ЛГР = агссоз (-х0), а А/ТУ + NР = п.
Доведемо рівність (1). Нехай агссоз (-х) = ар п - агссоз х = а2. Зауважимо, що є [0; л], а2 є [0; л]. Функція у = соз х є спадною на проміжку [0; л], отже, на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що соз а1 = соз а2, тим самим доведемо рівність = а2.
Маємо: соз = соз (агссоз (-х)) = -х;
соз а2 = соз (л - агссоз х) = -соз (агссоз х) = -х.
Для будь-якого а є [-1; 1] рівняння зіп х = а на проміжку ~ має єдиний корінь, який дорівнює агсзіп а (рис. 208).
331
§ 5- Тригонометричні рівняння і нерівності
Тому кожному числу х з проміжку [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку
п п . 2’2.
таке, що
у = агсзіп х.
Тим самим задано функцію / (х) = агсзіп х з областю визначення Р (/) = [“1; 1] і областю значень Б (/) = £“;
Функція / є оберненою до функції § (х) = зіп х з областю ви-
значення Р(#) =	•
Справді, Р (/) = Е (б) = [-1; 11;
Е(П = В(Є) = \-^ . _ А Сі _
З означення арксинуса випливає, що для всіх х є [-1; 1] виконується рівність
зіп (агсзіп х) = х
Іншими словами, б (/ (х)) = х для всіх х є Р (/) Сказане означає, що / і б — взаємно обернені функції. Визначимо деякі властивості функції / (х) = агсзіп х.
Оскільки функція я (*) = зіп х, Р (#) =
є непарною, то
функція / (х) = агсзіп х також є непарною (див. ключову задачу № 234). Іншими словами, для будь-якого х є [-1; 1] виконується рівність
агсзіп (—х) = -агсзіп х
Наприклад, агсзіп
. л/З -агсзіп — = 2
л
З*
Функція б (*) = ЗІП х, Р(£) =
є зростаючою. Отже,
функція / (х) = агсзіп х також є зростаючою (див. теорему 10.3).
Для будь-якого х є Р (й маємо / (б (*)) = х- Це означає, що
для будь-якого х є
п п 2’2
виконується рівність
агсзіп (зіп х) = х
Знову скористаємося тим, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = X.
332
49. Функції у = агссоз х і у — агсзіп х
побуду-
На рисунку 209 показано, як за допомогою графіка функції
8 (х) = ЗІП х, В(е}=
вати графік функції / (х) = агсзіп х.
Доведемо, що для будь-якого х є [-1; 1] виконується рівність
1 агсзіп х +агссоз х = ^
Для цього покажемо, що
я агсзіп х = — агссоз х.
2
Маємо:	агсзіп х<—. Крім того, 0 < агссоз хСя. Тому
-п < -агссоз х < 0;	—-агссозх<—.
2 2	2
Отже, значення виразів агсзіп х і ~агссозх належать проміжку зростання функції у = зіп х. Тому достатньо показати, що зіп (агсзіп х) = зіп - агссоз х
Маємо: зіп (агсзіп х) = ) = соз (агссоз х) = х.
зіп І “ агссоз х \2
У таблиці наведено властивості функцій у = агссоз х і у = агсзіп х.
	у = агссоз х	у = агсзіп х
Область визначення	[-1; її	[-1; і]
Область значень	[0;л]	1	1 1 го |а 1	1
Нулі функції	х = 1	х = 0
Проміжки знакосталості	Якщо х є [-1; 1), то агссоз х > 0	Якщо х є [-1; 0), то агсзіп х < 0; якщо х є (0; 1], то агсзіп х > 0
Парність	Не є ні парною, ні непарною	Непарна
Зростання / спадання	Спадна	Зростаюча
333
§ 5-Тригонометричні рівняння і нерівності
Знайдіть область визначення функції у = агссоз (х2 - 3).
Розв'язання. Областю визначення В (у) даної функції є множина розв’язків нерівності -1 < х2 - 3 < 1.
Маємо:
х2<4, х2>2;
-2<х<2,  Гх<-72, х>72;
-2<х<-72,
72<х<2.
Отже, В (у) = [-2; -72] І) [72; 2].
Знайдіть найбільше і найменше значення функції / (х) = 4 - агссоз Зх.
Розв'язання. Оскільки 0 < агссоз Зх < я, то -я < -агссоз Зх < 0 і 4 - я < 4 - агссоз Зх < 4.
Зазначимо, що /|“| = \ З/
4-я, /
Відповідь: найменше значення дорівнює 4 - я, найбільше значення дорівнює 4.
ПРИКЛАД З Обчисліть
Розв'язання. Використовуючи формулу агссоз (соз х) = х, де
х є [0; я], маємо агссоз
Відповідь: -З
ПРИКЛАД 4 Обчисліть агсзіп (зіп 6).
Розі язання. Здавалося б, відповідь можна отримати одразу, зважаючи на рівність агсзіп (зіп х) = х. Проте число х = 6 не на-
лежить проміжку
пв я 2’ 2
а отже, не може дорівнювати значен-
ню арксинуса.
Правильне міркування має бути таким:
агсзіп (зіп 6) = агсзіп (зіп (6 - 2я)). Оскільки 6-2яє
я.
2’2_г
то агсзіп (зіп 6) = 6 - 2я. Відповідь: 6 - 2я.
Обчисліть агссоз (зіп 10).
Розв'язання. Маємо: агссоз(зіп 10) = агссоз
334
49. Функції у = агссоз х і у =* агсзіп х
Зауважимо, що число "Ю не належить проміжку [0; я].
Тому слід виконати такі перетворення:
агссоз І соз 15 - Ю11 = агссоз | соз 110 - - 2л 11 = 10-^.
V \2 І) V \	2 і) 2
Відповідь: 10-^ 2
І	Зі
ПРИКЛАД 6 Обчисліть зіп І агссоз- ;
\	5у
З	З
Розв’язання. Нехай агссоз- = а, тоді а є [0; я] і соза = -. 5	5
Задача звелася до пошуку значення зіп а.
Урахуємо, що коли а є [0; я], то зіп а > 0. Тоді отримуємо: зіп а = ^1-соз2 а =71--— = 7.
V 25 5
4
Відповідь: -
5
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння агсзіп =
Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді . х-1	. у[з
агсзіп —— = агсзіп -2—.
2	2
Оскільки функція у = агсзіп х є зростаючою, отже, кожного свого значення набуває один раз, то рівність агсзіп хг = агсзіп х2 виконується тоді і тільки тоді, коли х1 = х2, хг є [-1; 1] і х2 є [-1; 1].
х —1 хІЗ
Тому дане рівняння рівносильне такому: ----= —.
&
Відповідь: 73 + 1.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть нерівність агссоз (2х-1)>^.
Розв’язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:
рівносильна системі «
агссоз (2х -1) > агссоз
Оскільки функція арккосинус є спадною, то дана нерівність
*4
х>0.
2х-1<|, „ .
2 Звідси 2х-1>-1.
Відповідь:
335
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
побудувати її графік на проміжку
ПРИКЛАД 9 Побудуйте графік функції у - агсзіп (зіп х).
Розв'язання. Нагадаємо, що агсзіп (зіп х) = х лише за умови | х | <—. Тому думка, що шуканим графіком є пряма у = х,— по-& милкова.
Дана функція є періодичною з періодом Т - 2я. Тому достатньо я. Зя 2’ 2
довжиною в пе-
ріод.
Якщо	то агсзіп (зіп х) = х. Тому на проміжку
_я. к
_ 2’ 2_
шуканий графік — це відрізок прямої у = х.
Якщо — <х< —, то -^я-х<^, отже, агсзіп (зіп х) = &	&	£	с
= агсзіп (зіп (я -х)) = я -х. Тому на проміжку
Зя 2’ 2
шуканий
графік — це відрізок прямої у = я -х.
Графік функції у = агсзіп (зіп х) зображено на рисунку 210.
Вправи
1036.	Чи є правильною рівність:
г2
1)	агссоз----+ агссоз — = я;
\ 2 )	2
оч гґ л/з'і 25лі 2
2)	агссоз	;
V 2 )	36
і 3 і я
3) агсзіп 1 + агсзіп-----=—;
V 2 ) 6
. 1 ,	. уЗ я
4)	агсзіп- +агсзіп 2	2	2
кч -1	.1л2
5)	агсзіп 1 • агсзіп- = 2 12
(	л2
6)	агсзіп— =—?
І 2 7	16
336
49. Функції у = агссоз х і у = агсзіп х
1037.° Чи є правильною рівність: л/з ,	1л
1)	агссоз-2—+ агссоз - = 2	2 2
4/2	/ 1 \	л^
2)	агссоз — • агссоз -- =--;
2	\ 21	12
4) агсзіп 0 + агсзіп- =— 2	6
УГ
2 >
. л/З
5) агсзіп —•агсзіп -
2	V
36
3)	агсзіп - + агсзіп 2
1038.° Обчисліть:
0;
1) зіп І агссоз - І;
3) сі& 2 агсзіп-7= ;
І >/2 7
2) созі 2агссоз
1039." Обчисліть:
їх ґ і • >/з!
1)	соз -агсзіп—- ;
\2	2 7
3)
1
І	>/3	/ 1
соз 3 агсзіп — + агссоз —
V 2	\ 2,
2
• О .	>/3
зіп 3 агсзіп ——
к	V 2
2)	(2 агссоз (-1));
. >/2 . о >/2 агсзіп —— + 2 агссоз — .
2	2 7
1040.° Знайдіть область визначення функції:
1) у = агсзіп (х - 1);	2) у = агссозл/х; 3) у = агссоз
1041	.° Знайдіть область визначення функції:
1)	у = агсзіпїх + — І;	2) у = агссоз\/3-х;	3) у = агссоз-^-.
1042	.° Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1)	у = агсзіп х + ^;	2) у = агссоз х + 2.
1043	.° Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
1)	у = агссоз х + я;	2) у = агсзіп х + 1.
1044	.° Обчисліть: 1) соз І агссоз
(Зі агсзіп - ; 2) с 4/
1046.° Розв’яжіть рівняння:
1) агсзіп х = -~;	2) агссоз х = ^;
1047.° Розв’яжіть рівняння:
1) агссоз х = —;	2) агссоз х = ~—
6	6
агссоз у І.
к	4/
3) агсзіп х = ^. 6
3) агссоз (2х-3) = —.
2
337
§ 5- Тригонометричні рівняння і нерівності
1048.* Розв’яжіть нерівність:
1)	агсзіп х>~; 2	4)	агсзіп х < 5; 2	7) агссоз х -	> 0;
2)	агсзіп х<-?; 2	5)	агсзіп х > 2	8) агссоз х <	с п.
3)	агсзіп х>-~; 2	6)	агссоз х < 0;		
1049.’ Розв’яжіть нерівність:
1)	агссов х > п;	3) агссов х > 0;	5) агссоз х > я.
2)	агсзіп х<^;	4) агссоз х < я;
1050/ Знайдіть область визначення функції:
1)	у = ^/я-агссозх; 3) у = агссозх;	5)у = агссоз (-1 -х2).
2)	у = ^/агссоз х - я; 4) у = агсзіп (\/х +1);
1051/ Знайдіть область визначення функції:
1) У —
'	__________ 2
агсзіп х; 3) у = -^агссов х;	5) у = агссов
2)	у = Лагсвіпх; 4) у = агссов(х2-2х + 2);
1052/ Знайдіть область значень функції:
3)	у=—-—; агсзіп х
1) у = агсзіп >/х
2) у = ^-агссоз х 5	4) у = .—=
^агссоз х
1053/ Знайдіть область значень функції:
1) і/= агссоз >/х + 2;	3) у =------;
агссоз х
2) у = ^/агсзіп х;	4) у = —====.
^/агсзіп х
О""иг1054/ Доведіть, що при | х | < 1 виконується рівність зіп (агссоз х) = уіі-х2 .
О—ШІ055/ Доведіть, що при | х | < 1 виконується рівність соз (агсзіп х) = л/1~х2.
1056/ Обчисліть:
п (	• 4\
1) соз І агсзіп - ;
\	5/
(з\
2 агсзіп - ;
5/
І . З	5 \
3) соз агсзіп - - агссоз — І;
\	5	13/
4) СОВ Іт; агссов і).
338
49. Функції у = агссоз х і у = агсзіп х
1057.* Обчисліть:
агссоз - ;
3) соз
41 агссоз-1;
5/
4) соз -агсзіп — . \2	13/
агссоз - + к З
5х + 5;
агссоз -І; З/
1058/ Розв’яжіть рівняння:
1) соз (агссоз (4х - 9)) = х2 - ;
2) зіп (агсзіп (х 4- 2)) = х 4- 2.
1059/ Розв’яжіть рівняння:
1) соз (агссоз (4х - 1)) = Зх2; 2) соз (агссоз (х - 1)) = х - 1.
1060/ Розв’яжіть рівняння:
1) агсзіп (Зх - 2) = агсзіп (-х 4- 2);
2) агссоз (Зх - 16) = агссоз (х2 - 26).
1061/ Розв’яжіть рівняння:
1) агссоз (Зх 4- 2) = агссоз (5х 4- 3);
2) агсзіп (х2 - 4) = агсзіп (2х 4- 4).
1062/ Розв’яжіть нерівність:
1) агссоз (2х-1)> —; 2) агсзіп2х>—; 3) агсзіп(5-Зх)<“.
3	6	З
1063/ Розв’яжіть нерівність:
1) агссоз(4х-1)>^;	3) агссоз(4-7х)<—.
4	6
2) агсзіп (2-Зх)<^;
4
1064/ Розв’яжіть нерівність:
1) агсзіп (Зх - 2) > агсзіп (5х - 3); 2) агссоз(2х-1)<агссоз—.
х
1065/ Розв’яжіть нерівність:
1)агсзіп(х2 - х) > агсзіп(Зх - 4); 2) агссоз (1 -2х) < агссоз —
1066/* Побудуйте графік функції:
1) у = агсзіп | х - 1 |;	2) у = агссоз | 2х 4- 1 |.
1067/* Побудуйте графік функції:
1) у = агссоз (| х | 4- 1);	2) у = агсзіп | ^ | х | -1 ].
1068/* Побудуйте графік функції у =
агсзіп | х |
1069/* Побудуйте графік функції:
1) у = зіп (агсзіп х);	3) у = соз (2 агсзіп х);
2) у = соз (агсзіп х);	4) у = зіп (агсзіп х 4- агссоз х).
339
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1070.” Побудуйте графік функції:
1) у = сов (агссоз х);	3) у = сов (2 агссоз х);
2) у = віп (агссоз х);	4) у = соз (агсзіп х 4- агссоз х).
1071.** Побудуйте графік функції у = агссоз (сов х).
1072.** Обчисліть:
1) агсзіп
3) агсзіп (зіп 3);
2) агсзіп
4) агсзіп (сов 8).
1073.” Обчисліть:
-і \	А
1) агссоз соз— ;
V 9 )
3) агссоз (сов 6,28);	5) агссоз (віп 12).
2) агссоз
4) агсзіп соз ;
І 8)
50.
____□
Функції у = агсі& х І у • агссі£ х
Для будь-якого а рівняння х = а на проміжку	має
єдиний корінь, який дорівнює агсі£ а (рис. 211). Тому будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у
Тим самим задано функцію / (х) = агсі&х з областю визначення Б (/) = К і областю значень Е(/) = ^-^;^.
340
50. Функції у = агсі£ х і і/ = агссі£ х
Функція / є оберненою до функції б (х) = х з областю ви
значення В (#)
Дійсно, В (/) = Е (£) = К;
я (П=!>(<)=(“; ?).
\ « «/
З означення арктангенса випливає, що для всіх х є К виконується рівність
(агсі£ х) = X
Іншими словами, £ (/ (х)) = х для всіх х є В (/)•
Сказане означає, що / і £ — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 10, дозволяють визначити деякі властивості функції / (х) = агсі£ х.
Оскільки функція б (х) = і£ х, І) (£) =
л, л\ 2’2/
є зростаючою,
то з теореми 10.3 випливає, що функція / (х) = агсі£ х також
є зростаючою.
Оскільки функція £ (х) = І£ х, В(£)
є непарною, то
функція / (х) = агсі£ х також є непарною (див. ключову задачу № 234). Іншими словами, для будь-якого х є К. виконується рівність	______________________
агсі£ (—х) = — агсі£ х
Наприклад, агсі£(-\/з) = -агсі£\/з = -—. о
Для будь-якого х є В (£) маємо / (£ (х)) = х. Це означає, що
для будь-якого X є
виконується рівність
агсі£ (І£ х) = X
Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. На рисунку 212 показано, як за допомогою графіка функції 8 (*) = ІЄ X, Б (8) =	£),
побудувати графік функції / (х) = = агсі£ х.
341
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Для будь-якого а рівняння х = а на проміжку (0; я) має єдиний корінь, який дорівнює агссі& а (рис. 213). Тому будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у з проміжку (0; я) таке, що у = агссі£ х.
Тим самим задано функцію / (х) = агссі& х з областю визначення В (/) = К і областю значень Е (/) = (0; я).
Функція / є оберненою до функції 8 (*) = х з областю визначення В (#) = (0; я).
Справді, Е (8) = К. Таким чином, Б (П = Е (8) = Ж;
Е (Л = Б (8) = (0; я).
З означення арккотангенса випливає, що для всіх х е К виконується рівність
сі# (агссі& х) = х
Іншими словами, 8 (/ (х)) = х для всіх х є Б (/*)•
Сказане означає, що / і 8 — взаємно обернені функції.
Визначимо деякі властивості функції / (х) = агсс1£ х.
Оскільки функція 8 (х) = х, Б (8) = (0; я), є спадною, то функція / (х) = агссі& х також є спадною.
Для будь-якого х є Б (8) маємо / (8 (х)) = х. Це означає, що для будь-якого х є (0; я) виконується рівність
агссі& (сі£ х) = х
На рисунку 214 показано, як за допомогою графіка функції 8 (х) = сі£ х, х є (0; я), побудувати графік функції / (х) = агссі£ х.
Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого х є Ж виконується рівність
агссі& (-х) = я — агссі& х
342
50. Функції у = агсі£ х\у = агссі£ х
Наприклад, агссід (->/з) = п - агссі< >/з = п - £ = 6	6
Доведемо цю властивість.
Нехай агссі£ (-х) = ах і п - агссі£ х = а2. Зауважимо, що ах є (0; я), а2 є (0; я).
Функція у = сі£ х спадає на проміжку (0; я), отже, на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Тому, показавши, що сі£ ах = сі^ а2» тим самим доведемо рівність «1 = а2-
Маємо: сі£ ос1 = сі£ (агссі£ (-х)) = -х;
сі£ а2 = сі£ (я - агссі£ х) = -сі£ (агссі£ х) = -х.
Отже, сі£ ах = сі£ а2.
Покажемо, що для будь-якого х є Ж виконується рівність
агсі£ х + агссі£ х = £
Достатньо показати, що агсі£ х = — - агссі£ х.
Маємо: “<агсі£х<^, 0 < агссі£ х < я;
-п < -агссіе х < 0; “<^-агссі£х<^.
Отже, значення виразів агсіех і ^-агссі£х належать про-
А
міжку зростання функції у = і&х. Тому достатньо показати, що іб (агсіб х) = 1“ агссі£ х).
Маємо: і£ (агсі£х) = х, І£І^-агссі£хІ = сІ£(агссІ£х) = х.
343
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
У таблиці наведено властивості функцій у = агсі£ х і у = агссі£ х.
	у - агсі£ х	у = агссі£ х
Область визначення	к.	к
Область значень	\ 2’2/	(0; п)
Нулі функції	х - 0	-
Проміжки знакосталості	ЯКЩО X Є (~оо; 0), то агсі£ х < 0; якщо х є (0; +°°), то агсі£ х > 0	агссі£ х > 0 при всіх X
Парність	Непарна	Не є ні парною, ні непарною
Зростання / спадання	Зростаюча	Спадна
ПРИКЛАД 1 Обчисліть сов І 2 агсі£ І
Розв'язання. Нехай агсі£І-^| = \ о/
а, тоді = Запишемо: о
1	+ а = —; сов2 а = —. сов а	10
2	9	4
Звідси соз 2а = 2 сов а -1 = 2-1 = -.
10	5
Відповідь: -. 5
ПРИКЛАД . Доведіть, що агсі£ - + агсі£ . И	о 4
Розв'язання. Оскільки функція у = агсі£ х є зростаючою, то можна записати:
0 < агсі£ < агсі£ 1 = 7,
0 < агсі£ < агсі£ 1 = —.
З	4
Звідси 0<агсі£7 + агсі£7<7. 2	3 2
Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах рівності, яка доводиться, належать проміжку 10; 71. На цьому проміжку функція у = ів х зростає.
344
50. Функції у = агсід х і у = агссід х
Тоді для доведення достатньо показати, що
ід І агсід |+агсід 11 = ід
\	£	о /	4
Маємо: ід^ = 1;
4
ід І агсід | + агсід |І = \	2	о/
ід (агсід М +ід (агсід |)	| + |
\____2/_____\____О/   & О
, . І	. 1\. І	. 11", 1 1
1-ід агсід- ід агсід-\	2/	\ О/	&
=1.
Вправи
1074/ Обчисліть:
1) соз (2 агсід 1);	3) ід І 2 агсід |—| + ? І;
( І л/з; 6/
2) сід(2агссід(--Уз));	4) зіп(агсзіп^ + 2агсід 1
\ «
1075.° Знайдіть значення виразу:
1) агсзіп 14-агссоз (-1) + агсід \/з + агссід (-\/з);
\/2
2) агссоз 0 ч- агсзіп — 4- агсід (-1) 4- агссід
22
>/з\
З }’
3) 4 агссоз
1	\ІЗ
З агссоз 14-2 агсзіп — агсід —.
2	З
1) агсзіп
2) 2 агссоз
1076.° Знайдіть значення виразу:
І 1 \	\ІЗ
І - -14- агсід 0 4- агссід 14- агссоз	;
\ £» /	2
*\/з
- 5 агсзіп — 4- 4 агсзіп (-1). 2
1077	.° Знайдіть область визначення функції:
1)	у = 7агссідх;	2) у = ^/агсідСх-І).
1078	.° Знайдіть область визначення функції у = ^/я - агссід х.
1079	.° Знайдіть область значень функції:
1)	у = агсі£ х + 2;	2) у = у/агсі^ х.
1080	.° Знайдіть область значень функції:
1)	у = агссі£ х 4- 4;	2) г/ = 7~агсї^х.
345
§ 5- Тригонометричні рівняння і нерівності
1081.° Обчисліть:
1) ій (агсій 4);
2) сій (агссій 5);
1082.” Розв’яжіть рівняння:
1) ій (агсій 2х) = 5;
1083.” Розв’яжіть рівняння:
1) агсій х =
4
3) ій (агсій
4) сій (агссій я).
2) сій (агссій (4 - Зх)) = 2.
3) агсій х = —;
4
2) агсій х = 1;	4) агсій(4х + 9) = ~~.
О
1084/ Розв’яжіть рівняння:
1) агссі£х = ^;	3) агссі&х = “;
4	4
2) агссі& х = -1;	4) агссі£(5-8х) = ^.
о
1085/ Знайдіть область значень функції у-—-—. агсі^х
1086/ Знайдіть область значень функції у =----—.
агссі£ х
1087/ Обчисліть:
1) віп (агсі& 2);
2) сов (агсі£ 2);
1088/ Обчисліть:
1) зіп (агссі£ (-2));
2) віп (агсі& (-3));
1089/ Розв’яжіть нерівність:
1) агсі&(5х +3)
1090.* Розв’яжіть нерівність:
1) агссій(Зх-7)>^; З
1091/ Побудуйте графік функції:
1) у = (агсі£ х);	2) у = сі£ (агсі£ х).
1092/ Побудуйте графік функції:
1) у = сі£ (агссі& х);	2) у = (агссі£ х).
1093.** Побудуйте графік функції у = агсі£ (І£ х).
1094.” Побудуйте графік функції у = агссі& (сі£ х).
4) сов Іагсі£ -агссі& ЗІ. \	Сі	/
3) соз 12 агсі£ 4 + агссоз \	4
2) агссій (х — 2) <^. 6
2) агсій (х + 11)<
сої ю
346
51. Тригонометричні рівняння які зводяться до алгебраїчних
1095.** Обчисліть:
1) агсід І ід	3) агсід (ід 5);
2) агсід [ід	4) агсід [сід
1096.’* Обчисліть:
(4тс \
сід —І;	3) агссід (сід 15);
2) агссід [сід 4) агссід ґ ід
\ А А /	у АУ у
5) агсі£ (с1£ 17).
5) агссі£ (і£ 10).
Тригонометричні рівняння, ЯКІ ЗВОДЯТЬСЯ до алгебраїчних
У пунктах 46-48 було отримано формули для розв'язування рівнянь виду сов х = а, віп х = а, х = а, сі£ х = а. Ці рівняння називають найпростішими тригонометричними рівняннями. За допомогою різних прийомів і методів багато тригонометричних рівнянь можна звести до найпростіших.
Спочатку розглянемо тригонометричні рівняння, які зводяться до найпростіших за допомогою введення нової змінної.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння віп х-3 сов 2х = 2.
Розв'язання. Використовуючи формулу сов 2х = 1 - 2 віп2 х, перетворимо дане рівняння:
віп х - 3 (1 - 2 віп2 х) - 2 = 0;
6 віп2 х + віп х - 5 = 0.
Нехай зіп х = І. Отримуємо квадратне рівняння + і - 5 = 0. 5
Звідси = -1, і2 =-.
Отже, дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: віп х = -1,
5
81ПХ = -.
6
Маємо:
х = ~ + 2лп,
2
5
х=(-1)" агсзіп - + пп, пеії.
6
тс	5
Відповідь: —+2пп, (-1)” агсзіп - + пп, п є 2. 2	6
347
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
П* ИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння і£х +—= 3.
СО8 X
Розв'язання. Оскільки —^“ = 1 + 1§2х, то дане рівняння СОЗ X можна записати так:
х + (1 + І£2 х) = 3.
Звідси І£2 х + х - 2 = 0. Нехай х = і. Тоді і2 + і - 2 = 0.
Звідси = 1, ґ2 = -2.
Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: =	х = - + лп,
і#х = -2. 3віДси 4 с	^х =-агсі£ 2 + тш, леї
Відповідь: ^ + лп, -агсі£ 2 + ли, пє 1 4
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 2 віп2 х + соз 4х - 2 = 0.
Розв'язання. Можна записати: 1 - соз 2х + 2 соз2 2х - 1 - 2 = 0. Звідси 2 соз2 2х - соз 2х - 2 = 0. Зробимо заміну соз 2х = і. Тоді останнє рівняння набуває вигляду 2і2 -£-2 = 0. Розв’язавши його, отримуємо і1 =~'^ ’ *2 =
1 + л/17	1 — \І17
Оскільки —-— > 1, а —7— є [-1; 1], то дане рівняння рівно-4	4
1 —л/17 сильне рівнянню соз2х = —2, звідси 4
1	1 — х/17
х = ±-агссоз—-— + лА, к є 2	4
1	1 — х/17
Відповідь: ±-агссоз—-— + пк, к є 2.
2	4
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння 12 соз2 = 9 - 4 соз соз —.
2	2 Сі
Розв'язання. Скориставшись формулами пониження степеня і перетворення добутку в суму, отримуємо:
6 (1 + соз х) = 9 - 2 (соз 2х + соз х).
Звідси 2 соз 2х + 8 соз х - 3 = 0; 2 (2 соз2 х - 1) + 8 соз х - 3 = 0; 4 соз2 х + 8 соз х - 5 = 0.
Використовуючи заміну соз х = £, отримаємо рівняння 4^ + 8£ - 5 = = 0. Звідси і2=-~. Далі маємо: созх = ^; х = ±^ + 2л&, ке X.
2	2	2	3
Відповідь: ±— + 2лЛ, Леї З
348
51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння
Ї£2 X 4- сі£2 X + З X + З СІ£ X + 4 = 0. Розв'язання. Маємо: 1£2 х + сї&2 х + 3 х + с!& х) 4- 4 = 0. Нехай х + х = у. Підносячи обидві частини записаної рівності до квадрата, отримуємо: і£2х 4-2 4- сї£2х = у2, або і#2 х 4- сі£2 х = у2 - 2. Дане в умові рівняння набуває вигляду у2 - 2 + Зу + 4 = 0, тоді у2 + Зу + 2 = 0; ух = -1; у2 = -2.
Маємо сукупність
іех+сіех = -1,	,
Розв язуючи рівняння ІЄ X + СІЄ X = -2.
сукупності, знаходимо х = -1. Звідси х = -—4-лЛ, к є X.
4
Відповідь:	+ яЛ, к є X.
4
Означення. Рівняння виду
ап 8Іпп х + ал 8іпа “1 х созх 4- ... 4- а , зіпхсоз* "1 х + а сова х = 0, де а0, ар ..., ап — дійсні числа, які одночасно не дорівнюють нулю, а є И, називають однорідним тригонометричним рівнянням п-го степеня ВІДНОСНО 8ІП X І СО8 X.
З означення випливає, що суми показників степенів при зіп х і соз х усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння рівні.
Наприклад, рівняння 2 зіпх - 3 созх = 0 — однорідне тригонометричне рівняння першого степеня, а рівняння зіп2 X -- 5 зіпх созх 4- 2 соз2 х = 0 і 2 зіп2 х - соз2 х = 0 — однорідні тригонометричні рівняння другого степеня.
Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв’язування. Ознайомимося з ним на прикладах.
ПРИКЛАД б Розв’яжіть рівняння
7 зіп2 х - 8 зіп х соз х - 15 соз2 х = 0.
Розв'язання. Якщо соз х = 0, то з даного рівняння випливає, що зіп х = 0. Але зіпх і созх не можуть одночасно бути рівними нулю, оскільки має місце рівність зіп2 х 4- соз2 х = 1. Отже, множина коренів даного рівняння складається з таких чисел х, при яких соз х 0.
Поділивши обидві частини даного рівняння на соз2 х, отримаємо рівносильне рівняння:
7зіп2х 8 зіпх созх 15 соз2 х .
2	2	2	~
СОЗ X СОЗ X	СОЗ X
7 і£2 х - 8 іє х - 15 = 0.
349
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Звідси
X = -1,
X =	+ пп,
4
15
х = агсі£ — + пп, п є 1
7С	15
Відповідь: — + пп, агсія — + пп, п є X. 4	7
ПРИКЛАД 7 Розв*яжіть рівняння 3 віп2 X + віп 2х = 2.
Розв' зан я. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:
З віп2 х + 2 віп х сов х = 2 (віп2 х + сов2 х); віп2 х + 2 віп х сов х - 2 сов2 х = 0.
Отримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому прикладі, отримуємо рівняння, рівносильне початковому:
і£2 х + 2 х - 2 = 0.
Завершіть розв’язування самостійно.
Відповідьх агсі&(-1±>/з) +пп, пє X.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть рівняння ВІП X - СОВ X = 4 віп3 X.
Розв'язання. Це рівняння не є однорідним. Перепишемо його інакше: (зіп2 х + соз2 х) (зіп х - сов х) = 4 віп8 х. Після розкриття дужок і зведення подібних доданків маємо:
З віп3 х + віп2 х сов х - віп х сов х + сов3 х = 0.
Поділивши обидві частини цього рівняння на сов3 х і позначивши х = ґ, маємо: Зі3 + і2 - і + 1 = 0. Це рівняння очевидно має корінь і = -1. Тому варто зробити такі перетворення: Зі3 + і2 - і + 1 = Зі3 + Зі2 - 2ґ2 - 2ґ + і + 1 = Зі2 (ґ + 1) — - 2ґ (ґ + 1) + (ґ + 1) = (і + 1) (Зі2 - 2і + 1). Оскільки рівняння
Зі2 - 21 + 1 = 0 не має коренів, то х = -1; х = -—+ лЛ, Леї 4
Відповідь} ~— + пк, кєі.
4
ПРИКЛАД 9 Розв’яжіть рівняння 2 зіп х-3 сов х = 2.
Розв'язання. Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю:
4віп х сов —-3[сов2 —-віп2 *] = 2(сов - + віп2 —І;
2	2*2	21	\	2	21
віп2 — + 4 віп — сов — - 5 сов2 — = 0.
2	2	2	2
Поділимо обидві частини останнього рівняння на
сов — і зроби-
. мо заміну — = і. Отримуємо: і2 + 4ґ - 5 = 0, звідси іх = 1, і2 = -5,
350
51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних
х = — + 2лп,
2
х = -2агсі£5+2лп, леї
Відповідь: —+ 2лп, -2 агсі£ 5 + 2лп, п є X. £л
Зауваження. Рівняння прикладу 9 є окремим випадком рівняння виду
а віп х + Ь сов х = с,	(1)
де а, Ь, с — деякі числа, відмінні від нуля.
При розв’язуванні таких рівнянь крім методу, розглянутого в прикладі 9, можна використовувати такий прийом. Перепишемо рівняння (1) у вигляді: а .	Ь	с
5/аЧь2 777?	7?іЬ2
✓	\2	✓	\2	л	\
Оскільки -==^= + ------— = 1, то точка Р -==^=;
\\Іа +р у \у/а + о )	\у/а + о \/а +о )
належить одиничному колу. Тому існує такий кут <р, що а .	Ь
соз ф = —== , віп ф = —== 777?	7а2+Ь2
Тепер рівняння набуває вигляду
СОЗ ф ЗІП X + ЗІП ф СОЗ X =	.'  
777?
Звідси зіп(х + ф)= , с =.
у] а2 +Ь2
Таким чином, отримали найпростіше тригонометричне рівняння.
ПРИКЛАД 1 При яких значеннях параметра а рівняння
віп Зх
зіп Зх + ~ = 0 має на проміжку 2
2л
рівно: 1)два
корені; 2) три корені?
Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно зіпЗх. Тоді отримаємо рівносильну сукупність:
• о 1 зіп Зх = -, 2
зіп Зх = а.
Перше рівняння сукупності має на проміжку

рівно два
корені. У цьому можна переконатися безпосередньо, знайшовши
351
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Рис. 215
ці корені, або графічно (рис. 215). Тому для задачі 1) треба, щоб друге
рівняння сукупності не давало нових
коренів на проміжку
З ’
При а = і очевидно, що корені а
рівнянь сукупності збігаються. При а > 1 або а < 0 рівняння віп Зх = а
не має коренів на проміжку
2л. З ’
У цьому знов-таки можна
переконатися, наприклад, графічно (рис. 215).
Для задачі 2) друге рівняння сукупності на проміжку, що розглядається, повинно додавати до множини всіх коренів тільки один корінь. Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при а = 1.
Відповідь: 1) а > 1, або а < 0, або а =
1. 2’
2) а = 1.
Вправи
1097	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	2 віп2 х + зіп х - 1 = 0;
2)	2 соз2 х - 5 сов х - 3 = 0;
3)	віп2 Зх + 2 віп Зх - 3 = 0;
1098	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	2 віп2 х - 3 зіп х + 1 = 0;
4)	і£2 х - 2 х - 3 = 0;
5)	3 сі£2 2х + сі# 2х - 4 = 0:
6)	3соз2 — + 5сов — -2 = 0.
4	4
3) 4 і£2 х - х - 3 = 0;
2) 2 соз2 2х - соз 2х - 1 = 0; 4) Зсі£2^-сі£^-2 = 0. З з
1099.° Розв’яжіть рівняння:
/ ( -1) зіп х - сов х = 0;
5) зіп — + 5 сов — = 0; З З
2)	л/3 віпх + созх = 0;
3)	3 зіп х = 2 соз х;
4)	4 соз 2х - зіп 2х = 0;
6)	зіп2 х - 5 віп х соз х + 4 сов2 х = 0;
7)	зіп2 — - 3 зіп — соз — + 2 соз2 — = 0;
2	2	2	2
8)	Ззіп2х-2л/ззіп х соз х + соз2 х = 0.
1100.° Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп х + соз х = 0;	4)	соз 4х - 3 зіп 4х = 0;
2)	зіп х - >/з соз х = 0;	5)	зіп2 х - 5 зіп х соз х + 6 соз2 х = 0;
3)	2 зіп х + соз х = 0; Л ~-6) 4 зіп2 х = 3 зіп х соз х + соз2 х.
352
51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних
1101.° Розв’яжіть рівняння:
1)	6 соз2 х + 5 зіп х - 7 = 0;	8)	соз^4-созх = 0;
2)	2 зіп2 х 4- 7 соз х 4- 2 = 0;	9)	х + сі£ х = -2;
3)	соз 2х = 1 4- 4 соз х; ї 10)	8 зіп2 Зх 4- 4 зіп2 6х	= 5;
4	4) 2 соз х - соз 2х - соз2 х = 0; ~	11)	4 5х 4- З сі£ 5х	=	7;
5) соз 2х 4- зіп х = 0;	4- 12) —= сі£ Х4-3;
ЗІП X
“ 6) соз^-5соз“2 = 0;	4- 13) 2 і£2 х 4- 4 соз2 х = 7;
о	о
7)	соз2х-соз2х-л/2 зіпх = 0; 14) соз2х-4\/2 созх4-4 = 0.
1102.° Розв’яжіть рівняння:
1)	4 зіп2 х 4- 8 соз х 4- 1 = 0;
2)	2 соз2 х = 1 4- зіп х;
3)	соз 2х 4- 8 зіп х = 3;
4)	соз 2х 4- зіп2 х = соз х;
5)	5зіп — — соз — 4-3 = 0;
6 З
6)	СО8Х4-8ІП —= 0;
2
7)	2 соз2 4х - 6 соз2 2х 4- 1 = 0;
8)	х 4- 2 сі£ х = 3;
9)	у/зіех+з=—V; СОЗ X
10)	4 зіп2 х 4- 9 х = 6.
1103/ Розв’яжіть рівняння:
-1) зіп2 х 4- 0,5 зіп 2х - 2 соз2 х = 0;
2)	соз2 5х 4- 7 зіп2 5х = 4 зіп Юх;
3)	(соз х 4- зіп х)2 = 1 - соз 2х;
4)	3 зіп2 х - 7 зіп х соз х 4- 14 соз2 х - 2 = 0;
5)	5 соз2 х-3 зіп2 х - зіп 2х = 2;
6)	3 зіп2 х 4- зіп х соз х 4- 4 соз2 х = 3;
7)	3 зіп х соз х 4- соз2 х = 1;
2 СОЗ X + зіп х 1
8)	------------= —
7 7 зіп х - соз х 2
1104/ Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп2 х 4- 3 соз2 х - 2 зіп 2х = 0;
2)	5 зіп2 х - 5 зіп х соз х 4- 2 соз2 х = 1;
3)	6 зіп2 х 4- 2 зіп 2х 4- 4 соз2 х = 3;
4)	2 соз2 х 4- зіп 2х - 2 = 0;
5)	3 зіп2 х - 2 >/з зіп х соз х 4- 5 соз2 х = 2;
2 зіп х - соз х _ і
7 5 зіп х - 4 соз х 3 *
1105/ Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння зіп2 х 4- соз х 4- 1 = 0.
353
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1106/ Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння віп2 х 4- 0,5 віп 2х = 1.
1107/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 6 віп2 х 4- 2 віп2 2х = 5.
1108/ Знайдіть найменший додатний корінь рівняння віп х соз х 4- сов2 х = 0.
1109/ Розв’яжіть рівняння:
— 1) 4 сов х віп х = х 4- сі£ х;
— 2) 3 сов х 4- 2 х = 0;
3)	8 віп2 х 4- 4 віп2 2х 4- 8 сов 2х = 5;
4)	3 4- 5 сов х = віп4 х - соз4 х;
5)	сов2х-9со8Х4-6 = 4віп2—.
2
1110/ Розв’яжіть рівняння:
1)	4 сі£ х - 5 віп х = 0;
2)	4 зіп2 2х 4- 7 соз 2х - 2 зіп2 х = 6;
3)	7 4- 2 зіп 2х 4- 1,5 (1^ х 4- сі£ х) = 0;
4)	зіп2 х = сов4 — -зіп4—; 2	2
5)	2 соз 4х - 2 соз2 х = 3 соз 2х.
1111/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп2 2х - - = соз 2х соз 6х;
4
2) зіп 2х зіп х 4- соз2 х = зіп 5х зіп 4х 4- соз2 4х.
1112/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп — зіп-х4-соз2 — = -;
2	2	2 4
1113/ Розв’яжіть рівняння:
1) 3 зіп х - 8 соз х = 3;
1114/ Розв’яжіть рівняння:
1) 3 зіп х 4- 5 соз х = -3;
1115/ Скільки коренів рівняння соз 2х 4- зіп х = соз2 х належать проміжку [-я; я]?
1116.’ Знайдіть суму коренів рівняння 2 зіп2 х 4- 7 соз х 4- 2 = 0, я Зя
2)2зіпхсобЗх = оов24х -зіп2х 4-1.
2) 2 віп х - 5 сов х = 3.
2) 3 л/З віпх-5совх = 7.
які належать проміжку	•
1117.* Знайдіть усі корені рівняння 2 сов2 х = віп х, які задоволь-.	. я
няють нерівність — < х < я.
354
51. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних
1118/ Знайдіть усі корені рівняння віп х 4- сов х = 1, які задовольняють нерівність 0 < х < п.
1119/* Розв’яжіть рівняння:
1) віп4х4-віп4 їх4-^1 = \	4/4
2) зіп4 х + віп4 (х + -1 + віп41 х -—І = 0,5.
1120.” Розв’яжіть рівняння:
1) 4 зіп4 х 4- сов 4х = 1 4- 12 сов4 х; 2) сов4 Зх 4- сов41 Зх - — ) = \	4/4
1121/* При яких значеннях параметра а має корені рівняння:
1) віп2 х - (За - 3) віп х 4- а (2а - 3) = 0;
2) сов2 х 4- 2 соз х 4- а2 - 6а 4- 10 = 0?
1122.” При яких значеннях параметра а має корені рівняння:
1) сов2 х - сов х 4- а - а2 = 0;
2) віп2 х - 2а зіп х 4- 2а2 - 4а 4- 4 = 0?
1123/* Розв’яжіть рівняння:
1) і#4 х 4- сі£4 х + х + сі£2 х = 4;
2) 18 сов2 х 4- 5 (3 соз х 4- соз-1 х) 4- 2 соз"2 х 4- 5 = 0.
1124.” Розв’яжіть рівняння:
1) і£3 х 4- і#2 х + сі£2 х 4- сі£3 х = 4;
2) 4зіп2х + —4-48ІПХ4-—— = 11. віп2х	віпх
1125.** Розв’яжіть рівняння:
1) сов3 х віп х 4- сов2 х віп2 х-3 соз х зіп3 х-3 зіп4 х = 0;
2) 2 соз2 х 4- — зіп2 2х 4- віп4 х 4- сов 2х = 0; 4
3) віп3 X = віп х 4- СОВ X.
1126.” Розв’яжіть рівняння:
1) х/з зіп2хсозх-4 зіпх сов2Х4-х/З соз3х = 0;
2) зіп3 2х 4- сов3 2х - віп 2х = 0.
1127.** Розв’яжіть рівняння:
1) сов Зх 4- 2 сов х = 0;
1128.” Розв’яжіть рівняння:
1) 3віп^ = віпх;
1129.** Розв’яжіть рівняння:
1) 7^-2віпх =6віпх-1;
2) сов 2х = -х/2 сов х;
2) зіп 6х + 2 = 2 сов 4х.
2) сов Зх - 1 = сов 2х.
3)	соз 2х = ./зіпх.
355
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1130.” Розв’яжіть рівняння:
1) 7Ю-18созх = 6созх-2; 3) ^3 + 4 соз 2х = ^2созх.
2) 73 соз 2х -1 = >/2 зіп х;
1131.” При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно 3 корені рівняння:
1) 2 зіп2 х - зіп х = 0;	2) 2 соз2 х - >/з соз х = 0?
1132.” Визначте, при яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно п коренів рівняння:
1) 2 зіп2 х + зіп х = 0, п = 4; 2) 2 соз2 х + соз х = 0, п = 3.
1133.* Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння
2	7	\ 7а
соз х- — + а созх + — \10	/	10
= 0 має на проміжку
я, 11п
З’ 6
1) один
корінь; 2) два корені?
1134.* Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння а>/2 81ПХ +---------------------
2
. 2 І	у/2
зіп х- а + —
V	2 .
= 0 має на проміжку 0; —
З _
1)два
корені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені?
соз2х
1135.* Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння соз х - ^ = 0 має на проміжку рені; 2) три корені; 3) не менше ніж три корені?
я 5я\
-;уІ: 1) два ко-
52
Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники
Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину вдалося розкласти на множники, то розв’язування цього рівняння можна звести до розв’язування кількох більш простих рівнянь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння зіп 2х + СОЗ X = 0.
Розв’язання. Маємо: 2 зіп х соз х 4- соз х = 0;
соз х (2 зіп х + 1) = 0;
соз х = 0,
2 зіп х +1 = 0;
соз х = 0,
1
81ПХ = ——
2
х = — + ял,
2
X = (-1)л + 1 — + ял, л є X.
6
Відповідь: — + пп, (-1)”+1 —+ ял, леї 2	6
356
52. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння зіп Зх + зіп х = зіп 2х.
Розв'язання. Маємо: зіп Зх + зіп х - зіп 2х = 0;
2 зіп 2х соз х - зіп 2х = 0; зіп 2х (2 соз х - 1) = 0;
зіп2х = 0,	х = —,
2 совх = |;	х = ±—+ 2лп,пєЕ.
ь	ІЗ
Відповідь:	±—+2пп, п є
2 З
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння зіп2 х + зіп2 2х + зіп23х = 1,5.
Розв'язання.Скориставшись формулами пониження степеня, запишемо:
1 - соз 2х 1 - соз 4х 1 - соз 6х З ----------І»------_ — о
2	2	2	2
Далі маємо: соз 4х + (соз 2х + соз 6х) = 0;
соз 4х + 2 соз 4х соз 2х = 0; 2со8 4х|- + соз2х| = 0. \2	/
Отримуємо сукупність
соз 4х = 0,
О	1
соз 2х = —
2
Звідси
о 4
Х = ±-^ + 7Ш, з
Відповідь: — +	±— + яп, п є %.
8	4	3
ПРИКЛАД 4 Розв ’яжіть рівняння зіп 6х соз 2х = зіп 5х соз Зх - зіп 2х. Розв'язання. Перетворивши добуток тригонометричних функцій у суму, отримуємо:
- (зіп 8х + зіп 4х) = - (зіп 8х + зіп 2х) - зіп 2х;
зіп 4х 4- зіп 2х = 0;
2 зіп Зх соз х = 0.
Перейдемо до сукупності
пп Г .	хч	Х = ,
зіп Зх = 0, З созх = 0;	х = ^ + лп, леї
Відповідь:	— + пп9 пе І.
З 2
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння зіп Зх 4- 3 зіп 2х = 3 зіп х. Розв'язання. Застосувавши формули синуса подвійного та потрійного аргументів, отримуємо:
357
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
З віп х-4 зіп3 х + 6 зіп х сов х = 3 віп х. Звідси 2 зіп х (3 соз х - 2 зіп* 1 2 х) = 0;
2 зіп х (3 соз х - 2 (1 - соз2 х)) = 0;
2 віп х (2 сов2 х + 3 сов х - 2) = 0.
Переходимо до сукупності
віп х = 0,
2 соз2 х + 3 соз х - 2 = 0.
Звідси
Х = 71П,
х = ±5 + 2яп, пе%. З
Відповідь: пп, ±—+ 2лп, пєі. З
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння
1 + віп х + сов х + віп 2х + сов 2х = 0.
Розв'язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді
(1 + сов 2х) + віп 2х + (віп х + сов х) = 0.
Тепер можна записати: 2 соз2 х + 2 віп х сов х + (віп х + соз х) = 0;
2 соз х (зіп х + соз х) + (зіп х + соз х) = 0;
(2 соз х + 1) (зіп х + соз х) = 0.
Отримуємо сукупність
созх = ——,	х-± +2яп,
2 Звідси
8ІПХ + СО8Х = 0.	Х = -у + 7СП, пех.
Відповідь: ±— + 2лп,	+ лп, п є X.
З	4
Вправи
1136.° Розв’яжіть рівняння:
1) соз х + соз Зх = 0; ' 3) 2 зіп х соз 2х - зіп х + 2 соз 2х - 1 = 0;
2) зіп 5х - зіп х = 0; -4)2 зіп х х + 2 л/З зіп х - х - \/з = 0.
1137/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп 7х + зіп х = 0; —3) х + і£2 х - 2 х - 2 = 0;
2) соз 9х - соз х = 0; 4) >/2 созх сі£ х-3 >/2 соз х+сі£х-3 = 0.
1138.° Розв’яжіть рівняння:
1) созІ — + ХІ+СО81—-х|-1;	3) зіп 5х = соз 4х;
\4	/	\4	/
2) зіп|“ + х| —зіп|^-х| = 1;	4) зіп Юх - соз 2х = 0.
\6	/	\о	/
358
52. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники
1139	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп І4-х 14-зіп І— -х| = 1;	2) соз 5х + зіп Зх = 0.
\12	/	\4	/
1140	.° Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп 2х + 2 зіп х = соз х 4- 1;
2)	1 4- соз 8х = соз 4х;
3)	соз х + соз Зх + соз 2х = 0;
- 4) 2 зіп 2х + соз Зх - соз х = 0;
5)	соз х - соз Зх 4- зіп х = 0;
6)	зіп 4х 4- 2 соз2 х = 1;
7)	соз х - соз Зх = 3 зіп2 х;
8)	зіп х 4- зіп 2х 4- зіп Зх 4- зіп 4х = 0;
9)	соз 7х 4- зіп 8х = соз Зх - зіп 2х;
10)	7з зіп2х4-соз5х-соз9х = 0.
1141.° Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп 2х 4- 2 зіп х = 0;	5) зіп х 4- зіп 2х 4- зіп Зх = 0;
2)	зіп2х - созх = 2 зіпх - 1; 6)соз9х - соз7х 4- созЗх - созх = 0;
3)	1 - соз 8х = зіп 4х; 7)зіпх - зіп2х 4- зіпбх 4- зіпвх = 0;
4)	зіп2х 4- зіп4х 4- созх = 0; 8) \І2 соз 5х + зіп Зх-зіп 7х = 0.
1142/ Розв’яжіть рівняння:
1 ч • 2 X . . 2 Зх і	/ / О	~	'
1) зіп — + зіп — = 1; / ' Л 2	2
\^соз2 х 4- соз2 2х 4- соз2 Зх = 1,5;
3)	соз 2х - соз 8х 4- соз 6х = 1;
4)	1 - соз х = х - зіп х;
5)	зіп х 4- зіп Зх = 4 соз2 х;
6)	соз 2х = \/2 (соз х - зіп х);
7)	зіп Зх 4- >/з соз Зх = 2 соз 5х;
8)	зіп2 х 4- зіп2 2х - зіп2 Зх - зіп2 4х = 0;
9)	соз2 х 4- соз2 2х + соз2 Зх 4- соз2 4х = 2;
10)	соз9х = 2зіп^-3х^
1143/ Розв’яжіть рівняння:
1)	соз2 6х 4- соз2 5х = 1;	4) зіп 2х 4- соз 2х = \Ї2 зіп х;
2)	соз2 х - зіп2 2х 4- соз2 Зх =	5)соз2х 4- соз22х = соз23х 4- соз24х;
3)	соз 2х - соз 4х = зіп 6х;	6) 8іп6х = 2соз^^ч-2х).
359
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1144/ Розв’яжіть рівняння:
1) сов Зх 4- віп х зіп 2х = 0;	3) 2 соз (х 4- 20°) соз х = соз 40°;
2) зіп Зх соз 2х = зіп 5х;	4) соз Зх соз 6х = соз 4х соз 7х.
1145/ Розв’яжіть рівняння:
1)	2 зіп х зіп 2х 4- соз Зх = 0;
2)	зіп (х 4- 45°) зіп (х - 15°) = 0,5;
3)	зіп
0,5;
4)	зіп 5х соз Зх = зіп 9х соз 7х.
1146/* Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп 7х - л/2 соз 5х 4- у[з соз 7х - л/2 зіп 5х = 0;
2)	2 зіп Зх 4- зіп х - соз 2х = у[з (зіп 2х - соз х);
3)	>/3(2 - соз х) 4- 4 зіп 2х = зіп X.
1147/* Розв’яжіть рівняння:
1) соз Зх - зіп х =->/з (зіпЗх-созх);
2) (зіп 2х + >/з соз 2х)2 - 5 = соз - 2х
1148/* Розв’яжіть рівняння:
1) зіп Зх 4- зіп х - зіп 2х = 2 соз2 х-2 соз х;
2) (соз х - зіп х)2 - 0,5 зіп 4х = зіп4 х - соз4 х.
1149/* Розв’яжіть рівняння:
1) зіп3 4х 4- соз3 4х = 1 - 0,5 зіп 8х;
2) соз2х4-5іп2х = л/2(соз42х-5Іп42х).
Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння соз х 4- зіп х 4- зіп х соз х = 1.
Розв’язання. Нехай соз х 4- зіп х = і. Тоді зіп2 х 4- 2 зіп хсоз х +
4- соз2 х = зіпхсозх=і - *. Дане в умові рівняння набуває £
л.2_-в
вигляду £4- *	=1, або і2 4- 2і - 3 = 0. Звідси і. = -З,	= 1.
2	і
З урахуванням заміни отримуємо сукупність соз х 4- зіп х = -З, СОЗ X 4- ЗІП X = 1.
Оскільки І зіп X І < 1 і | соз х | < 1, то перше рівняння сукупності коренів не має.
360
53. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь
Залишається розв’язати рівняння соз х + зіп х = 1. Маємо:
72 і у[2 . ТІ
—— соз х + —- зіп х = — 2	2	2
соз 4 соз х + зіп т зіп х = 4	4	2
х-^ = ±-^ + 2лп, пє2;
4	4
х = т - т + 2лп;
4 4
х = 2пп,
х = + 2пп.
І 2
Відповідь: 2пп, ^ + 2пп, п є 2.
2
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
л/2 соз3 X соз Зх + зіп3 х зіп Зх = —.
4
Розв'язання. З формул для синуса і косинуса потрійного аргументу знайдемо зіп3 х і соз3 х:
. з	3зіпх-зіпЗх	з	Зсозх + созЗх
зіп х =-------------, соз х =-----------.
4	4
Тоді дане рівняння набуде вигляду:
Зсозх + созЗх о 3 зіпх-зіп Зх	о \/2
4	4	4
(соз2 Зх-зіп2 Зх) + 3 (соз х соз Зх + зіп х зіп Зх) = 72; соз 6х + 3 соз 2х = 72;
4 соз3 2х - 3 соз 2х + 3 соз 2х = 72;
соз32х = —соз2х = Д=; х = ±^ + лЛ, к є 2 72	72	8
Відповідь: ±^ + лЛ, йє 1
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 4 соз х соз 2х соз 4х = соз 7х.
Розв*язання. Помножимо обидві частини рівняння на зіп х. Отримаємо рівняння-наслідок:
4 зіп х соз х соз 2х соз 4х = соз 7х зіп х.
361
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Звідси аіп 8х = 2 соз 7х зіп х; зіп 8х = зіп 8х - зіп 6х; зіп 6х = 0; х = к є 2. О
Оскільки корені рівняння зіп х = 0 не є коренями заданого в умові рівняння, то з отриманих розв’язків необхідно виключити всі числа виду х = лтп, т е 2. Маємо
— *пт, звідси к * 6т.
Відповідь:	к є 2, к * 6т, т є Ж.
6
рівносильне системі «
„2 _ Ду
ПРИКЛАД Розв’яжіть рівняння соз--—— = х2 + 1.
5
Розв'язання. Оскільки при будь-якому значенні х викону-X2 - 8х .	2 . 1 \ -і
ються нерівності соз—-—СІ їх 4- 1 > 1, то коренями даного 5
рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже, дане рівняння х2 - 8х л соз —-— = 1,
5 х2 4-1 = 1.
Друге рівняння системи має єдиний корінь х = 0. Він також задовольняє перше рівняння системи.
Відповідь: 0.
П Р И ХЛАД 5 Розв’яжіть рівняння х2 - 2х зіп ^ + 1 = 0. £
Розв'язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно х. Оскільки дискримінант Р = 4зіп2 ^-4 має бути невід’-
2 х і о *	7СХ	л.	7СХ •»
ємним, то отримуємо зіп — > 1. Звідси зіп — = 1 або зіп — = -1.
& & &
Тепер зрозуміло, що задане в умові рівняння рівносильне сукупності двох систем:
8т- = і,
х2-2х + 1 = 0, лх , 81П- = -1,
х2+2х+1 = 0.
Відповідь: 1; -1.
362
53. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь

Вправи
1150.* Розв’яжіть рівняння 2 зіп 2х = 3 (зіп х 4- соз х).
1151/ Розв’яжіть рівняння зіп 2х 4- 5 (зіп х 4- соз х) = 0.
1152/ Розв’яжіть рівняння:
1) зіп3 X + СО83 х = 1;	2) 1Ї5“2х + 2.1І*2Е = 3.
1 - зіп 2х 1 - х
1153/ Розв’яжіть рівняння зіп х 4- соз х = 1 4- зіп X СОЗ X.
1154/* Розв’яжіть рівняння:
1)	3 соз х 4- 3 зіп х 4- зіп Зх - соз Зх = 0;
2)	соз 4х = соз2 Зх;
3)	зіп3 х зіп Зх 4- соз3 х соз Зх = соз3 4х.
1155.“ Розв’яжіть рівняння:
З л/з
1) зіп3 х4-зіпЗх = —— зіп2х;
4
2) соз 6х + 8 соз 2х - 4 соз 4х - 5 = 0.
1156/* Розв’яжіть рівняння:
1)	со5хсоз2хсо5 4хсоз8х = у^;
2)	соз х 4- соз 2х 4- соз Зх 4- соз 4х = -0,5;
3)	соз2 х 4- соз2 2х 4- соз2 Зх 4- соз2 4х = 1|.
4
1157	.“ Розв’яжіть рівняння:
-І- соз 8х = -0,5.
1)	созхсоз2хсо5 4хсо5 8х = ^со5І5х;
2)	зіп х 4- зіп 2х 4- зіп Зх = соз х 4- соз 2х 4- соз Зх;
3)	соз 2х 4- соз 4х 4- соз 6х
1158	.** Розв’яжіть рівняння:
1)	2соз^Ц^ = х2 + 4х+6;
1159	.“ Розв’яжіть рівняння:
1)	зіп-у-= х2-4x4-5; 4
1160	.** Розв’яжіть рівняння зіп х = х2 4- х 4- 1
1161	.** Розв’яжіть рівняння Зх2 =1-2 соз х.
1162	.** Розв’яжіть рівняння:
1)	4у2 - 4у соз х 4- 1 = 0;
2)	(х 4- у)2 4- 10 (х 4- у) соз (пху) 4- 25 = 0.
2) 3 соз х 4- 4 зіп х = х2 - 6х + 14.
2) -----~----= >/2-х2.
' зіпх + созх
363
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1163.” Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + 8х зіп (ху) + 16 = 0; 2) у2-3\І2 (созх-зіпх)і/+ 9 = 0.
Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь
У попередніх пунктах ви ознайомилися з основними прийома
ми розв’язування тригонометричних рівнянь. Проте при застосу-
Множина
коренів
рівняння
Область
визначення
рівняння
Рис. 216
ванні кожного методу є свої тонкощі, нюанси, «підводні риф ».
Очевидно, що поза областю визначення рівняння коренів бути не може (ри'л 216). Якщо під час перетворень рівняння відбувається розширення області його визначення, то зрозуміло, що це може привести до появи сторонніх коренів. Цю небезпеку слід брати до уваги при розв’язуванні тригонометричних рівнянь.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння 2-2зіп2х-созх _о 6х2+5лх + л2
Розв'язання. Дане рівняння рівносильне системі 2-2 зіп2 х - соз х = 0, 6х2 + 5лх + л *0.
Маємо:
2 соз2 х-созх = 0,
Звідси
х = 5 + лй, к є 2, 2
х = ±^ + 2лп,пє^, З
Зауважимо, що при к = -1 корінь першого рівняння, а при п = 0 один із коренів другого рівняння сукупності не задоволь
няють систему.
Відповідь: ^ + 2лп, -^ + 2лтп, ^ + л/г, п є 2, т є к є 3	3	2
т 0, к —1.
364
54. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння СО8 х—008 х = 0.
1 - зіп х
Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи
СО8Х = 0, СО8Х = 1, зіпх^І;
х = ^ + пк, ке%, 2
х = 2лп, п є 2,
+ Іє%.
2
Очевидно, що при парних значеннях к розв’язки першого рівняння сукупності не задовольняють систему. При к = 2т - 1, т є 2, отримуємо х = ^ +я (2тп-1) = “ + 2тцп, т є 2.
Відповідь: -^ + 2лт, т є 2, 2пп, п є 2.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння — —  Х = у/з І£2 X. соз Зх
Розв’язання. Застосуємо формули синуса і косинуса по-~	3 зіп х-4 зіп3х-2зіп х	п; 2
трійного аргументу. Отримаємо:--------з----------= х.
4 соз х-3 соз х
Звідси	" 4-8Ії—— = ^/3 Ї£2 х. Останнє рівняння рівносильне
соз х (1-4 зіп2 х)
системі
І£Х = л/3 І£2х, <	1 звідси
8ІПХ^±~, 2
Відповідь: пп, п е 2.
4&х = 0,
зіпх^±4;
2
х = яп, пє2,
х = ~ + пк, кє%,
8ІПХ^±-—.
2
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння
^9-х2 (2віп2лх + 5совлх) = 0.
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі [9-х2 = 0,
< 2 віп 2лх + 5 сов лх = 0,
9-х2>0.
Звідси
Тх2-9-0,
< |_4 віп лх сов лх + 5 сов лх = 0, х2 < 9;
365
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
х2 = 9,
сов лх (4 віп лх + 5) = 0, х2<9;
х2 =9,
соз лх = 0,
5 віп лх = —
4
х2<9;
х2 = 9,
лх = ^ + лА, к є 2, -ЗСхСЗ;
х = 3,
х = -3,
х = ^ + А, Лє2, 2
-3<х<3.
І + ЛСЗ, 2 Розв язавши відносно к систему ї	отримаємо
І|+л>-з,лє2,
Відповідь: х = 3, або х = -3, або х = ^ + Л, де к є {-3, -2, -1, 0, 1, 2}.
ПРИКЛАД# Розв’яжіть рівняння у]СОЗ 2х СОВ х = 0.
Розв'язання. Перейдемо до рівносильної системи:
Г сов х = 0, ’ соз2х = 0, сов 2х > 0;
х = ^ + тсЛ, к є 2, &
ТС	ТС 71	гіг
х = — +—, пєі,
І 4 2
соз 2х > 0.
При х = ^ + пк маємо: сов 2х = сов (л + 2лЛ) = -1 < 0 і при А
х = Д + 2Е5. маємо: соз2х = соз|5 + тсп| = 0>0.
4	2	\2	/
Відповідь: 4 +	п є 2.
4	2
У деяких тригонометричних тотожностях вирази, які записано в лівих і правих частинах, мають різну область визначення. Наведемо кілька прикладів.
зіпа =----—	(1)
1^.2 0
366
54. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь
Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множина К, а правої — множина {а є К. | а Ф л 4- 2л&, к є 2}.

(2)
Областю визначення лівої частини тотожності (2) є множина {(а, Р) | а + Р * + лЛ, к є 2}; область визначення правої частини — множина {(а, Р) | а#^+яга, гає 2, Р#^ + лгаі, т є 2, а + |3#£+лй, &	&	ш
к є 2}.
Застосування цих формул справа наліво призводить до розширення області визначення рівняння, а отже, з’являється загроза появи сторонніх коренів.
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння (1 4- і£2 х) віп х 4- І#2 X - 1 = 0.
Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді
(1 4- х) ВІП X = 1 - X.
Поділимо обидві частини останнього рівняння на 1 4- і&2 х. Зрозуміло, що таке перетворення не порушує рівносильності.
.	1-І&2х ~	,	о 1-І&2х
Маємо віп х =---. Оскільки має місце формула соз 2х =---
1 + 1$2х	1 + і£2х
то виникає бажання замінити праву частину останнього рівняння на сов 2х. Проте така заміна розширить його область визначення
на множину чисел виду ^4- я/?, ке 2. Отже, дане рівняння рівно-
сильне системі віп х = соз 2х, созх*0.
.	[2зіп2х4-зіпх-1 = 0,
Звідси <
(соз х * 0;
зіпх = -1, зіпх = ^, Ь 2 созх^О.
Маємо зіпх = ^.
Відповідь: (-1)л^ + лп, п є 2.
Очевидно, що звуження області визначення рівняння — це загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул (1) і (2) зліва направо може призвести до втрати коренів.
367
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
16
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння	2х + ВІП 2х = 77СІ& X.
15
Розв'язання. Застосувавши формули . о 2і£х . о 2і£х .	1
і£2х =---зіп2х =---------і с1£х = -—,
6	1-І8 х	1 + ІЄ х	*8Х
дане рівняння зручно звести до алгебраїчного рівняння відносно х. Проте такі перетворення звужують область визначення рівняння і призводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати
коренів виду + ял, л є 1 Цей факт треба врахувати при записі відповіді.
,	2 X 2 X 16
Розв язавши рівняння --Е-т~+-----, отримаємо
1-І£2х 1 + і£2Х 15і£Х
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть
х = ±агсі£^4-ял, пєі &
Відповідь: ^4-ял, ±агсі£^4-ял, леї 2	А
рівняння І£|^4-Х| = -1-5сІ£Х.
\ 4	/
Розв'язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність
. 5я , .
/5	\	— 4- X
— 4-х =----=-----. Але при цьому область визначення рів-
4 1-іе^іЄХ
4
няння звузиться на множину
Легко переконатися,
що числа виду ^4-яЛ, к е є коренями даного рівняння. Тому А
запишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню:
х = ^ + пк, кє%, 2
, 5л , Ье-г + їех	-
4= —1 — 0 - . 5я .	іех9
1-іЄ — іЄх в Ь 4
х = £ + пк, кє^, о
х = 5 + Лє2, 2
1 + і^^ _ і 5
Звідси
я	5
Відповідь: -т + пк, агсі£-+лА, к е 2. 2	о
368
54. Про рівносильні переходи при розв'язуванні тригонометричних рівнянь
Вправи
1164.* Розв’яжіть рівняння:
8ІП X п	2-3 ЗІП X - СО8 2х _ п	1-5 8ІП лх +2 сов2 лх
х + 2л" ; '	6х2 —лх —л2	; )	6х2 + х-5
1165/ Розв’яжіть рівняння:
1)
ЗІП X - СО8 X
4х —л
З зіп2 2лх + 7 сов 2лх - З 4х2-7x4-3
р. сов 2х - 2 соз х +1_ п
1 12х2-8лх4-л2	;
1166/ Розв’яжіть рівняння:
1) -22^ = 0;
1 - ЗІП 2х
2) -^- = 0'.
1 - соз 2х
ЗІП2 X 4-ЗІПХ п
о) і	О»
1 4- СО8 X
зіп 2х соз Зх - соз 2х зіп Зх 1 + соз х
8 зіп х соз х зіп 2х -1 \/з + 2 зіп 4х
зіп2х
1 + зіп х
= -2 соз х.
1167/ Розв’яжіть рівняння:
2 зіп2 х-ь 3 зіп х _ о)
1 - СОЗ X
ЗІП X -
4) -------= 1-созх;
7 1 + созх
зіп 2х о .
5) ;------= 2зіпх.
7 1-СО8Х
соз 2х Л
' 1 + зіп2х
зіп 2х Л
2) 1 + соз 2х	’
1168/ Розв’яжіть рівняння:
1) 7х-2 зіп лх = 0;
2) 725-4х2 (3 зіп 2пх + 8 зіп лх) = 0.
1169/ Розв’яжіть рівняння:
1)	73-х соз лх = 0;
1170/* Розв’яжіть рівняння:
соз х-4 зіп2 хсоз х _
'	зіп Зх +1
1-СОЗХ-ЗІПХ
'	СОЗ X
1171.” Розв’яжіть рівняння:
-ч СО52 2х - зіп2 X _ ~
'	зіп Зх — 1	~ ;
2)	749-4х21 зіп лх + 3 соз ^1 = 0.
3)
2)
зіп х -ь соз 4х - 2 _ о
2 соз - >І2 Са
соз х + соз Зх + 2
= 0.
81П 2 2
369
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1172	." Розв’яжіть рівняння:
1)	у/зіпх созх = 0;	3) л/со8х^(8віпх + 5-2сов2х) = 0.
2)	\]сї£х-у[з созх = 0;
1173	." Розв’яжіть рівняння:
1)	7СО8Х8іпх = 0;	3) ./зіпх (4-5созх-2зіп2х) = 0.
/ уі2
2)	^созх-— зіпх = 0;
1174	." Розв’яжіть рівняння:
1)	іе(2х+^)=2сіЄ2х + ±сїе^-, 2) с^^ = 2с*ЄХ^.
Мх+в)
1175	." Розв’яжіть рівняння:
о
1)	І£2х+8іп2х = -сі;в*;
О
2)	І8(2х-£) = сі8^ + 3сі82х;
3)	2ій(5 + х)+5>/з і«(| + х) = -7.
Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть систему рівнянь
х+У = ^, О
ЗІП X + зіп у = 1.
Розв'язання. Перепишемо дану систему у вигляді
Х + р =
о . х + у	х-у ..
2 зіп —— соз ——- = 1.
2	2
Підставимо в друге рівняння системи замість х + у. Маємо:
З
х+Н’ Іх+Н’
28ІП^СО8™^ = 1;	СО8^—^ = 1;
6	2	2
х+У = ^, О
х-у = 4пк,
370
55. Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь
Далі отримуємо:
х = ^ + 2лЛ, 6
у = ^-2пк. 6
Відповідь:
^ + 2пк;^-2пк
.6	6
к є 2.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему рівнянь
х-!, = ї
1
СОВ X 81П У = ~.
4
Розв'язання. Ураховуючи, що х-^ = ~, перетворимо друге
6
рівняння системи:
|(8ІП(Р-Х) + 8ІП(У + Х)) = | а	4
зіп І-~+віп (х + у)
\ 6/
1.
4’
зіп (х + у) = 1; х+і/ = ~ + 2лЛ, к є 2. сі
Тепер система набуває вигляду
я
х + у = — + 2лк. а
Звідси отримуємо:
[ я , х = — + пк,
З
у = ^+пк. о
Відповідь: (77 + лЛ; + кеі. \о о /
п
х+У = -7> 4
І£Х + І£і/ = 1.
Розв'язання. Перетворимо друге рівняння системи: зіп (х +1/) „	.	п	уі2
------— = 1. Оскільки х + у = —, то маємо: соз х соз у = —; соз х соз і/4	2
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть систему рівнянь *
1	\І2
- (соз (х + у) + соз (х - у)) = Сі
1
2
п .
сов — + соз
і 4
2 /2.
2 ’
371
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
л/2	г~
+ соз(х-у) = 72; А
, Ч ^2 сов(х-у) =—;
Сі
х-у = ±- + 2пк, к е 2. 4
Тепер отримуємо:
. Я
х + 4' = 7’ 4
х-у-^- + 2пк, 4
Звідси
* + У = р 4
х-у = ~ + 2пк. 4
х = 7 + пк, 4
у = -пк,
х = пк,
у = ~пк. 4
Відповідь:
^ + геЛ; -лЛІ, ІгеЛ; у-пк], к є 2. ^4	/ \	4	/
аіп х сов і/= 0,25, сов х віп і/= 0,75. Розв'язання. Запишемо систему, рівносильну даній:
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть систему рівнянь
зіп х соз у + соз х віп у = 1, зіп х соз у - сов х зіп у = -0,5.
Звідси
зіп (х+1/) = 1, зіп (х-у) = -0,5;
х + ^ = 7 + 2л£,£е2, Сі
(1)
(2)
х-у- (-1)л+17 + лп, п є 2; 6
х + у = “ + 2 як, а
х-у = ~+2пп, О
х + у = + 2лЛ,
» 2
х-у = -^- + 2пп;
6
х = ^ + п(к + п), О
у = £ + л(Л-п), О
х = -“ + л(Л+п),
у = ^+я(Л-и). О
372
55. Приклади розв'язування систем тригонометричних рівнянь
х = ^+2пк, 6
п
У = 3-
Зауважимо, що, переходячи від системи (1) до системи (2), при записі розв’язків першого рівняння системи ми використовували параметр Л, а при записі розв’язків другого рівняння — параметр п. Вживання тільки одного параметра призвело б до втрати розв’язків. Справді, якщо записати систему (2), використовуючи лише параметр к, отримаємо сукупність:
х+і/ = 7^ + 2лй, а «
х-у=~— 4-2лЛ, 6 ЗВІДСИ х+у = 5 + 2лА, * 2
х-у = -~ + 2пк,
6
х = ~ + 2пк,
6
2л у‘-з-
Тепер бачимо, що розв’язки отриманої сукупності є підмножиною множини розв’язків вихідної системи. Так, наприклад, пара	є розв’язком системи рівнянь, проте не є розв’язком
отриманої сукупності.
Відповідь:	+ п (к 4- и);
-+п(к+п)-, — + п 6	З
ПРИКЛАД 5
_	, .	(іех+і£у = 2,
Розв яжіть систему рівнянь <
[2 соз х соз у = 1.
Розв'язання. Маємо:
8ІП(Х-Ьу)=^ ґ8Іп(х + і,) = 1,
СОЗ X соз у	5
І созх соз і/= 0,5; созх соз р = 0,5;
і/ = ^4-2лЛ-х,
* 2
соз х соз І — + 2пк - х = 0,5; \2	/
х + ^ = ^ + 2л£,Лє2, созх соз у = 0,5;
у = — + 2пк-х, а
созх зіпх = 0,5;
у = ^+2пк-х, &
віп 2х = 1;
X = — 4- ЛП, 4
у = - + л(2к-п), кє%,пє%. 4
Відповідь: (74-лп; у4-л(2Л-п)|, Лє 2, пє 1 \4	4	/
373
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1	(прави	
1176.*	Розв’яжіть систему рівнянь:	
	я	я
1)	х~у=з' о	3>	х~у=з’
	3 созх + созі/ = -;	СО82Х-СО82 У = -
	х+р = |л,	
2)	1 4)'	
	сов2х + со82і/ = -; 4	соз х соз у = -. у 2
00| тґ
1177.* Розв’яжіть систему рівнянь:
І) І1"1'60’	3) • [соз х +соз і/= 1,5;	8ІП пх + 8ІП пу = 1;
г я 2) Х У-4’	4)- 8ІП2Х + 8ІП2 1/ = 1;	Х + У = ^> о 8ІПХ8ІП 1/ = 0,25.
1178.’ Розв’яжіть систему рівнянь:
2я	.	5
1) Х + У = Т	2) 8Іпх-2зіпі/ = 0;	.Х^У=2П9 СО8 2х + 8ІП у = 2.
1179/ Розв’яжіть систему рівнянь «	5 х-У=*п> р 8ІПХ = 2зІП у.
1180/ Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
Х+У = ^> £
іЄх+ієу = 2;
2)
4
І8хіЄУ = ±-О
1181/ Розв’яжіть систему рівнянь:
2п х~У = ^, іЄх-іЄУ = -2>/3;
1)
2)
х-у = —, * б
сіє х сіє у = 1.
374
56. Найпростіші тригонометричні нерівності
1182.* Розв’яжіть систему рівнянь:
>/з 81ПХ81П У = —, 4
>/з совх сову = —;
4
зіп пх соз пу = --пх сї%пу = -1;
1183/ Розв’яжіть систему рівнянь:
1)
2)
3)
Х + У	Х-у „ __
соз ——- соз ——- = 0,25, 2	2
созх соз у = -0,5.
1)
зіп х соз у = -0,5, соз х зіп у = 0,5;
3)
л/2
СО8 X СО8 у = —;
2)
зіп х зіп у = —==
4)
созх соз у = 0,25,
х + у	х-у пс
соз---— соз —- = 0,5.
2	2
І£ХІ8Р = |
О
56.
___
Найпростіші тригонометричні нерівності
Нерівності виду / (х) > а, / (х) < а, де / — одна з чотирьох тригонометричних функцій, називають найпростішими тригоно-
метричними нерівностями.
Підґрунтям для розв’язування цих нерівностей є таке наочне міркування: множиною розв’язків нерівності / (х) > £ (х) є
множина тих значень змінної х, при яких точки графіка функ
ції / розміщені вище за відповідні точки графіка функції б (рис. 217). На цьому рисунку проміжок (а; Ь) — множина розв’язків нерівності / (х) > б (х).
Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей проводитимемо за такою схемою: знайдемо розв’язки на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції; усі інші розв’язки відрізняються від знайдених на Тп, де Т — період даної функції, п є 2, п Ф 0.
Розглянемо приклади.
375
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність 8ІПХ>^.
Розв'язання. На рисунку 218 зображено графіки функцій у = зіп х і У = Оскільки агсзіп = то графіки перетинають-
ся в точках з абсцисами —+ 2лп, ^ + 2лп, пе 1 6	6
Розв’яжемо цю нерівність на проміжку
?;т+2л
|_в б
завдовжки
в період функції у = зіп х.
На цьому проміжку графік функції у = зіп х знаходиться вище
Рис. 218
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є б'єднання всіх проміжків виду І “ + 2лп; + 2лп І, п е 2. Таке об’єднання прийня-\о о /
+ 2пп
то позначати так: 0 |^ + 2лп;
€г'6	6
п є 2,
Відповідь записують в один з трьох способів: ^+2пп<х<^- + 2пп, п є 2, 6	6
+2пп; ^ + 2лп), 6	/
+ 2лп; —+ 6
або \6
аб° и
пєГ6
л/3
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність зіп х <——.
Розв’язання. Оскільки агсзіп= то розв’яжемо цю не-
Л. л , о 1	-
рівність на проміжку —, —+ ^л и тобто на проміжку
|_ о О	□
л, 7 л _3’ 3 .
376
56. Найпростіші тригонометричні нерівності
На проміжку, що розглядається, графік функції у = віп х ....... /з	/2л 7л\
розміщений нижче від графіка функції у = — при хєі—; — І
Рис. 219
(— + 2лп; — + 2лп), п є 2. \ З З І
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду
Відповідь: —+ 2лп<х< —+ 2лп, п є 2.
З	З
У прикладах 1 і 2, розв’язуючи нерівності виду віп х > а і віп х < а, ми розглядали проміжок виду [агсзіп а; агсзіп а + 2л]. Зрозуміло, що розв’язування можна провести, розглядаючи будь-який інший проміжок, довжина якого дорівнює 2л, наприклад проміжок [-2л 4- агсзіп а; агсзіп а].
уі2
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність соз х > ——
Розв язання. Маємо:
агссоз
Зл
4 ’
Розв’яжемо дану
нерівність на проміжку
тобто на проміжку
-2л + —; —
4	4 _
5л. Зл
. 4’4/
На цьому проміжку графік функції у = соз х розміщений вище за графік функції у = -— при хє(-—; —) (рис. 220).
2	\ 4	4 /
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду |-^ + 2лп; ^ + 2лп|, п є 2.
\ 4	4	/
Відповідь:	+ 2лп<х< — + 2лп, п є 2.
4	4
377
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Рис. 220
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність X < 1.
Розв язання. Розв яжемо дану нерівність на проміжку І-—; —І.
\ /
Оскільки агсі£І = у, то на проміжку, що розглядається, гра-4
фік функції у = х розміщений нижче від графіка функції у = 1
при хе
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх проміжків виду І-“ +лп;+лпі, пеі.
Відповідь: -— + пп<х< — + пп, пеі. 2	4
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть нерівність СІ£ X > -Тз.
Розв'язання. Розв’яжемо дану нерівність на проміжку (0; я).
Оскільки агссі& (-л/з) = —, то на проміжку, що розглядається,
6
графік функції у = х розміщений не нижче від графіка функ-
ЦІЇ у = -\]3 при хе
(рис. 222).
378
56. Найпростіші тригонометричні нерівності
Отже, множиною розв’язків даної нерівності є об’єднання всіх
проміжків виду
5я пп; — + лп
6
п є 2.
бтс Відповідь: пп<х<— + пп, пє2.
6
ПРИКЛАД ІВ Розв’яжіть нерівність віп х - соз х > -1.
Розв'язання. Маємо:
Скориставшись рисунком 223, отримуємо:
+ 2лп<£< —+ 2лп, п є 2.
4	4
379
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
Звідси “ + 2лп<х-у<^ + 2лп;
4	4	4
2пп<х<^+2пп.
2
Відповідь: 2пп<х< — + 2лп, п є 2.
2
Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей можна інтерпретувати за допомогою одиничного кола.
\/3	1
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть нерівність —— <совх<-.
Розв'язання. Виділимо на одиничному колі множину точок, абсциси . . . 1 яких не менші від —— і менші від -
(рис. 224).
Множина розв’язків даної нерівності — це множина таких чисел х, що точки Рх=В,о(Рь) належать дузі АВ або дузі СЛ.
Маємо:
1	л	ґ >/з	5л
агссоз - = — і агссоз	= —.
2	3	к 2 ) 6
Уявімо собі, що ми рухаємося по дугах АВ і СІ) проти годинни-л	5л
кової стрілки. Тоді можна записати: А = Я^(Р0), В = В£ (Ро), 7л	5я
С = ЯО6 (Ро), Л = ЯО3 (Ро).
З урахуванням періодичності функції у = сов х переходимо до сукупності, яка рівносильна даній нерівності:
~+2пк<х<^-+2пк, З	6
^ + 2лЛ<х<^ + 2лЛ, ЛєЕ.
І 6	З
Відповідь: ^ + 2пк<х<^-+2пк
З	6
або ^ + 2пк<х<—+2пк, к є 2.
6	З
380
56. Найпростіші тригонометричні нерівності
Вправи
1184.° Розв’яжіть нерівність: 1	л/з 1) 8Іпх<—;	4) совх <—; 2	2	7) СІ£Х<^	УЗ;	9) 8Іпх<^;	
2) віпх>-^~; 5) іє х < -1;	8) сіє х >	-1;	10) іе х >	• 3.
3) совх>^-; 6) 2	3 1185.° Розв’яжіть нерівність: і \	•	а \ 1) віпхч—;	4) сов х >—; 2	2	7) СІ£Х>-	3 ’	з 9) совх>-; 5	
2) віпх>--; 5) іє х > -1;	8) сіє х < 1;		10) СІ£ X	< 2.
3) совх<^; 6) і£х<-73; 1186.° Розв’яжіть нерівність:				
1) віп2х>^; 2) *« (")<>& 1187.° Розв’яжіть нерівність:	3) сі£ 5х >	1; 4) сов(-Зх)		>1 3
1) 8Іп|<|;	2) сіЄ(-^)>>/3; 1188.° Розв’яжіть нерівність: 1) ЙГ (*-?)< >/3;	3)сів(^-х \ З/	\4	3) і«2х<- )>4=; 5) ' >/3	3^-. 3 ’ сові	4) сов4х І2 4/	<1. 4 2 ’
2) со8[2х-^)>-|; 4)2віп(^- 1189.° Розв’яжіть нерівність: 1) сів(х+;)>73;	3) 2віп(^ \ о/	\ о	3х)<73; 6) -х)<1;	5)	віп (1-2х)<-- / 1 сов їх-— \	6/ 2		У2 2 ’
21 СО8(і+ї)<_4; 4> 1в(ї+ї) 1190/ Розв’яжіть нерівність:	о V	8ІП	[4х + ^)<- 1	5/	2 ‘
1) -|<8Іпх<|;	3)-2 < І£ х < 3;
а	4
2) -|<совх<|;	4)
381
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1191/ Розв’яжіть нерівність:
1)	-^“-<совх<";
2	2
2)	і<віпх<^;
З	2
3) -4 < х < 1,5;
4) ~-<і8х<1. О
Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність і£2 X < 3. Розв’язання. Маємо: -у/з<і&х<у/з.
На рисунку 225 зображено графіки функцій у = х9 у = уІЗ,
у = -у[з.
Оскільки
Рис. 225
агсі£>/з = ^, З
агсіе(-^) = -^, О
то на проміжку
/ л. л\
\ 2’2/
графік функції у = х розміщений нижче від графіка
/ я. л\ ’ 3’3/
функції у =
'З і вище за графік функції у = -уЗ при х є
Звідси отримуємо відповідь.
Відповідь: -— + лп<х<^ + пп9 п є 2. З	З
ПРИКЛАДІ Розв’яжіть нерівність 8ІП4 X + СО84 X < о
Розв’язання. Маємо: (8Іп2х+со82х)2-2аіп2хсо82х<^;
382
57. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей
1 - - • 4віп2 х соз2 х < —;	- зіп2 2х > —; зіп2 2х > у;
2	8	2	8	4
1 - соз 4х З	.	1
-------соз4х<--.
2	4	2
Нехай 4х = і. Отримуємо соз£<“.
Звідси — + 2пп<і <^- + 2іиг, пє 2 (рис. 226). З	з
Рис. 226
Тоді ^ + 2лп<4х<^ + 2лп;
З	з
п пп	п пп
6 2	3 2 ’
Відповідь: —+ —<х< —+—, п є 2. 6	2	3	2
ПРИКЛАД Л Розв’яжіть нерівність -5 зіп х + соз 2х < 3.
Розв9язання. Маємо: -бзіпх + 1 - 2зіп2х < 3;
2зіп2х + 5зіп х + 2 > 0.
Зробимо заміну зіп х = і. Маємо:
2і2 + 5і + 2 > 0, і < -2 або
2
Оскільки | і | < 1, то зіпх>-і Звідси
-— + 2пп < х < — + 2лп, п є 2.
6	6
Відповідь: “ + 2лп<х<^+2лп, п є 2. 6	6
У пункті 12 ви ознайомились із методом інтервалів для розв’язування раціональних нерівностей. Цей метод можна використовувати і при розв’язуванні тригонометричних нерівностей.
Для розв’язування нерівності виду У (х) > 0 (або У (х) < 0), де У — періодична функція, достатньо, користуючись методом інтервалів, знайти розв’язки на проміжку, довжина якого дорівнює періоду функції /. Потім записати відповідь з урахуванням
383
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
періодичності. В аналогічний спосіб розв’язуються нестрогі нерівності / (х) > 0 і / (х) < 0.
ПРИКЛАД Розв’яжіть нерівність віп 2х + віп х > 0.
Розв'язання. Розглянемо функцію / (х) = віп 2х + віп х, Р (/) = ІК, яка є періодичною з періодом 2л.
Знайдемо нулі функції / на проміжку [-л; л].
Маємо: віп 2х + віп х = 0;
2 зіп х соз х + зіп х = 0; 2 зіп х (соз х + -1 = 0;
\	2/
зіп х = 0, х = лп,
созх = -~; х = ±— + 2лп, леї
І 2 І З
На проміжку [-л; л] функція / має п’ять нулів: -л,
, о, з
2л
З ’
л. Ці числа розбивають указаний проміжок на проміжки
знакосталості (рис. 227).
~Л _ 2л	0	2л п X
З	З
Рис. 227
Функція / набуває додатних значень на проміжках
З урахуванням періодичності функції / запишемо відповідь.
Відповідь: ~п+2пп<х<—-+2пп або 2пп<х<—+2пп, п є 2. З	З
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність
8ІПХ-^ІІ£Х>0.
І	£ /
Розв'язання. Розглянемо функцію /(х) = (зі
зіпх
--Ііях. Вона 2/
є періодичною з періодом 2л (доведіть це самостійно).
Знайдемо нулі функції / на проміжку
л Зл 2’ 2
Маємо:
зіпХ“ІІ£х = 0;
І	/
384
57. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних нерівностей
На проміжку
1
81П X = -2
І£х = О;
тс. Зтс . 2* 2 .
Х = (-1)Л| + Я71, х = тсп, леї
Функція / на проміжку
функція / має чотири нулі: 0,	л.
6	6
тс не визначена в точках —, 2 тс. Зтс . 2’ 2 .
тс. Зтс ,2’2.
і —. Ці числа і нулі функції / розбивають проміжок на проміжки знакосталості (рис. 228).
я. 0	71 Л 5я ТС Зл
2	6	2	6	2
Рис. 228
З урахуванням періодичності функції / запишемо відповідь.
Відповідь: -^ + 2пп<х<2тсп, або ? + 2пп<х<5 + 2тсп, або 2	6	2
5тс
— + 2тсп<х<тс + 2тсп, леї 6
Вправи
1192." Розв’яжіть нерівність:
і) | совх
2) | совЗх |<^;
1193/ Розв’яжіть нерівність:
1) | сов2х |>|;
2) | 8Іп2х |<—;
1194/ Розв’яжіть нерівність:
їх • 4 X , 4ХІ
1) віп — + соз —
З 3 2
3) |і£х|<>/3;
4) | ІВ х | > 2.
3) | сі£ х | < у/3;
4) | сіє х | > 5.
3)
ЗІП X + СОЗ X зіп X - СОЗ X
>УІЗ.
385
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності
1195	.* Розв’яжіть нерівність:
1)	8іп х + соз х>-;
2)	зіп х > сов х;
1196	.* Розв’яжіть нерівність:
1)	4 соз х соз І х + •— і>>/3; \ б/
1197	.’ Розв’яжіть нерівність:
1)	2зіп(х + ^)созх<>/3;
3) СОЗ 7СХ + ЗІП І7СХ +~ І > 0. \	4/
2) 3 + 2 зіп Зх зіп х > 3 сов 2х.
2) соз(х + —)соз(х-\	4/	\	4/	4
1198/* Розв’яжіть нерівність:
1) 2 соз2 х + 3 соз х - 2 < 0
3) 2 соз2
4) х > 2 сі£ х.
1199.” Розв’яжіть нерівність:
1) 2віп2х + >/з 8Іпх-3>0;	3) 4 зіп4 х + 12 соз2 х - 7 < 0;
2) сі#2 х + сі£ х > 0;	4) —<2-і&х.
І£Х + 1
1200.” Розв’яжіть нерівність:
4) 1 - зіп 2х > соз х - зіп х;
5) зіп х + зіп 2х + зіп Зх > 0.
2
І ,
1201." Розв’яжіть нерівність:
1)	віп 2х + 2 зіп х > 0;
2)	віп х + віп 2х + віп Зх + віп 4х < 0;
3)	віп2 х + зіп2 2х - віп2 Зх > 0;
4)	соз х соз Зх < соз 5х соз 7х.
1) зіп 2х - віп Зх > 0;
2) соз 2х їе х > 0;
3) 1-зіпЗх< віп — соз —
\	2	2
386
ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ
8. 2) {-2, 2}; 4) 0. 9. 4) {5}. 23. 2) {4, 0, 7}. 33. {7, 11, 19}. 36. 3) Достатньо; 4) необхідно. 39. 2) 0; 4) {2, 3, 5, 7}. 40. 2) {х | х = 12л, п є №}. 46. 2) Множина всіх натуральних чисел, крім 1; 3) множина, яка скла-
дається з усіх непарних чисел і числа 2. 46. 2)	.
50. {0}. 54. 6 днів. 67. Показнику степеня числа 2” можна поставити у відповідність кількість нулів, які використано в запису десяткового дробу. 69. Рис. 229.
70. Рис. 230. 71. 1) Кожній точці М(х0) відрізка ОА можна поставити у відповідність точку Л/(5х0) відрізка ОВ; 2) кожній точці М(х0) відрізка ОА (крім точки О)
можна поставити у відповідність точку ЛЧ — променя \хо )
Рис. 229
АВ. 82. 2) (--о; -7) 0 (-7; 7) О (7; -Н«); 4) [4; 6) О (6; +«). 84. 3) {-7}; 4) [2; +оо). 85. 2) (-«; 6]. 86. 4) у = 9х2 - 6х; 5) у = 9х - 2. 87. 3) у = = | х - 1 |. 93. 3) {1} О [2; 4-оо); 4) {-1} 0 [3; -н»); 5) (-2; 0) 0 (0; +«);
[-3; -1) 0 (-1; +оо); 4) {-4} 0 [3; +оо); 5) {-5} 0 [-2; -Но);
};«.), 2)	3) (^|) о 4)(-; <4
6) [0; +оо). 94. 3)
6) (0; -Но). 95. 1)
5)(-і-бІо[в;+-).9в.і)	2)	3) (—:|) о
4) (-©о; 4-оо); 5) (-©о; -4] о [4; 4-оо), 97. Рис. 231. 98. Рис. 232. Вказівка. В (у) = {0} и [1; 4"°°). 99. 1)	2) (-®о; 0) о [1; -н®); 3) усі дійсні числа,
крім цілих; 4) усі ірраціональні числа; 5) ф. 102. 5) -1; 1; 7) найменшого і найбільшого значень не існує. 103. 6) -2; найбільшого значення не існує. 108. 5) 1; 6) 1; 7) [0; -Но). 109. 4) (-оо; 0]; 5) 3. 110. 4) (-оо; -1), (-1; 4-00). 111. 4) (-оо; -1), (-1; 1), (1; +оо). 120. Вказівка. Скористайтеся теоремою 6.2. 122. ні = 3. 123. к < -6. 124. Ь < 18. 125. Ь < -8. 128. Ні.
Рис. 230
387
131. 1) тіп/(х) = 1, найбільшого значення не існує; 2) тіп/(х) = О, К	[-4; 4]
тах/(х) = 4. 132. 1) Найменшого значення не існує, тах/(х) = 13; [-4; 4]	К
2) тіп / (х) = 2, найбільшого значення не існує. 133. с = -133.134. с = 15. (0;+°°)
135. 1) 16; 2) 32. 136. 2500 м2. 137. 1) -1. Вказівка. Доведіть, що ліва частина рівняння задає зростаючу функцію; 2) 3. 138. 1) 1; 2) 9. 139. 9. Вказівка. Доведіть, що ліва і права частини рівняння задають функції, одна з яких є зростаючою, а друга — спадною. 140. 4. 142. Необов’язково. 146. 4) Парна; 5) не є ні парною, ні непарною. 158. 0. 160. 0. 161. 0.162. Парна. 163. Непарна. 164. Спадна. 165. Зростаюча. 166. 2; 5.167. -3; -1.180.1)Вказівка. х2-4х4-6 = х2-4х + 4 + 2 = = (х - 2)2 + 2. 181. 3) Вказівка, у = ~2х + 2~2 =_2—2_. 191. 1) 2; 2) 1;
х-1	х-1
3) 1; 4. 192. 1) 2; 2) 4. 202. 1) [-7; 7]; 2) [-3; 7], [0; 6]. 203. 1) -2; 2; у > 0 при х є (-оо; -2), х є (2; 4-оо); у < 0 при х є (-2; 2); 2) -3; 2; у > 0 при х є (-оо; —3), х є (-3; 2), х є (2; +оо). 205. Вказівка. 1) Скористайтеся схемою: у = / (х) —> у = / (х - 1) —> у = / (| х | - 1); 2) скористайтеся схемою: у = / (х) у = / (| х |) -+ у = / (| х - 11). 207. 4) Рис. 233.
Вказівка. Скористайтеся схемою: у = 4х —>у = 714-х -> у -- V1 х —>
у- 7і~І х І- 209. 3) Рис. 234. Вказівка. Скористайтеся схемою:
у = >/х -» у = 7х + 2 -> у ~ ч, । х і 4 2	у -	-11 + 2. 215. 1) Рис. 235.
Вказівка. Скористайтеся схемою: у = \Гх —>у = \/х-1 —> у = ^/| х |-1
->у=^Гх|-1 1->у = | /ГР1-11-222.3) у =	223.1) у = 5 (х - 3).
224. 2) у = ^~~, Л(у) = [0;+~).
А
226. 4) у =
[2-х, якщох>1.
Рис. 235
388
232. 1) 1; 2) -7; 3) один корінь. 233. 2) Коренів немає. 234. Вказівка. Нехай функція / — непарна, функція Є — до неї обернена. Маємо: / (Х0> = Уо’ *	= хо‘ Тоді < (~Уо> = & <хо» = < (/ <-хо)) = ~хо =	(Уо>-
235. к = 1, Ь = 0 або к = -1, Ь — будь-яке число. Вказівка. Обернена
функція задається формулою у = або У = ~х~~- Звідси “ = А і к	к к	к
Ь = —-• 236. При довільному а, відмінному від 0, і Ь = 0. Вказівка, к
Обернена функція задається формулою у = - —х. Тоді для всіх х та-ах
„ . Ь	.	.	1 1-Ьх
ких, що х # 0 і х#—, має виконуватися рівність ----- =----, яку
а	ах + Ь ах
можна переписати так: Ь (ах2 + Ьх - 1) = 0. Тепер зрозуміло, що підходить тільки Ь = 0. 247. 3) Може звузитися на число -1, тобто може бути загублено корінь х = -1; 4) може розширитися на число -1. 250.4) (-1;|) 0 № +«)• 251.4) (-«;-5) У о) У (|; 2). 252.2) (—»; -1) У
У (3; 4) У (4; +«); 3) (-~;-6) У |) У (|;2);
4) (-;-«) о (4,3).
253. 2) (1; 2,5) У (3; +~); 3) (-°°;-4) У У (2;3). 254. 2)
(44
3) (““'"і) ° Ц;1) ° (3; +“); 6) ( * 2 " ;1) и ( 2 : + Т 8)(^°: “3) ° У (2; +оо). 255. 2) (-|;з) У (3;+~). 258. 1) (-5;0) У У (1;8);
4) (^о; -7) У (-1; 1) У (2; -Н»); 5) (-1; У (2; 3) У (7; +<»). 260.5) (-«; -1) У У (о; 1) У (1; -но); 7) (-5; 1) У (2; 3). 261. 4) (^»; 0) У (1; 6); 5) (-~; -4) У У (-3; 3) У (6; -ь=°); 8) (-х/2; 0) У (1; х/г) У (2; +~). 262.1) (—; 1] У [2; +«); 2) (-оо; -4] У [5; +оо) У {-3}; 5) (-~; -3] У [0; 2). 263. 1) (-«>; 3] У У [5; +оо); 2) [1; 2] У {-2}; 4) (-«=; -6] У [-4; 6]. 264. 2)	-2] У {1} У
У (6; -М; 3) (-3; -1] У {0}. 265. 1)	-5] У [-4; 0] У {2}; 2) (-3; -2) У
У (-2; -1] У (2; 3] У (7). 266. [-1; 0) У (0; 5] У {-2}. 267. [-3; 0) У У (0; 4] У {5}. 268. 1) (-4; -3) У (5; +~); 2) [-4; -3] У [5; +«>); 3)	-4);
4) (-оо; -4] О {-3; 5); 5) 0; 6) (-«>; -2) У (2; +“); 7) {-2; 2); 8) (-«>; -2] У У [2; +~); 9) (1; 2); 10) (-«; 1) У (5; +~); 11) [1; 2] У {5}; 12) (-«; 1] і) У {2} У [5; +~). 269.1) (3; 7); 2) [3; 7] У {-2}; 3) (-2; 3); 4) [-2; 3] У {7}; 5) (-4; 4); 6) 0; 7) [-4; 4]; 8) {-4; 4); 9) (-«; -1) У (5; +~); 10) (-1; 2) У У (3; 5); 11) [-1; 2] У [3; 5]; 12) (-~; -1] у [5; +«) У {2; 3). 270. 2) Якщо а = 0, то х — будь-яке число, крім 3; якщо а = 3, то коренів немає; якщо а * 0 і а # 3, то х = а; 4) якщо а = 0, то х — будь-яке число, крім 0; якщо а = 4, то розв’язків немає; якщо а 0 і а # 4, то х = 4. 271. 3) Якщо Ь = -і то коренів немає; якщо	то х = ЗЬ.
А	А
272. 1) Якщо а = 1, то х = -1; якщо а = -1, то х = 1; якщо а Ф 1 і а * -1, то х = 1 або х = -1; 2) якщо а Ф -2, то х = а або х = 0; якщо а - -2, то х = 0; 3) якщо а # 7, то х = а або х = 6; якщо а = 7, то х = 6;
389
4) якщо а # 4 і а # -2, то х = 4 або х = -2; якщо а = 4, то х = -2; якщо а = -2, то х - 4; 6) якщо а = 0, то х = 2; якщо а = 1, то х = 1; якщо а # 0 і а # 1, то х = а або х = 2. 273. 2) Якщо Ь = -4 або Ь = 1, то коренів немає; якщо Ь # -4 і Ь # 1, тох = -Ь; 4) якщо Ь = 0, то х = 3; якщо Ь = 3, то х = -6; якщо Ь # 0 і Ь # З, тох = 3 або х = -2Ь. 274. 1) Якщо а > 0, то х > 0; якщо а < 0, то х < 0; якщо а = 0, то розв’язків немає;
2) якщо а > 0, то х < —; якщо а < 0, то х >—; якщо а = 0, то х — будь-а	а
яке число; 3) якщо а > 0, то х > 1; якщо а < 0, то х < 1; якщо а = 0, то х — будь-яке число; 4) якщо а > 2, то х > а 4- 2; якщо а < 2, то х < а 4- 2; якщо а = 2, то розв’язків немає; 5) якщо а > -3, то х < а - 3; якщо а < -3, то х > а - 3; якщо а = -3, то х — будь-яке число; 6) якщо а < 2, то х < -2; якщо а > 2, то х > -2; якщо а = 2, то розв’язків немає. 275. 1) Якщо а # 0, то х < 0; якщо а = 0, то х — будь-яке число;
2) якщо а > -4, то х>—якщо а < -4, то х<—; якщо а = -4, а + 4	а + 4
,	„	2-а	.
то розв язків немає; 3) якщо а > -1, то х<—-; якщо а < -1, то а + 1
х>—якщо а = -1, то х — будь-яке число. 276. 10 < а < 11. а + 1
277. 1 < Ь С 2. 278. а = 1. 279. а = 6. 280. 1) Якщо а = 2, то коренем є будь-яке число, крім х = 2; якщо а * 2, то х = а 4- 1; 2) якщо а = 2 або а = 3, то коренів немає; якщо а * 2 і а * 3, то х = ——; 3) якщо З —а
а —5 а = 3 або а = 7, то коренів немає; якщо а * 3 і а # 7, то х = —; 4) якщо а = | або а = 0, то коренів немає; якщо а Ф | і а # 0, то х = За; 5) якщо а = 0 або а = 1, то коренів немає; якщо а = -3, то коренем є будь-яке число, крім чисел -2 і -3; якщо а # 0, а # 1 і а # -З, то х = а - 3; 6) якщо а * 1 і а # 0, то х = 2а або х = а 4- 2; якщо а = 1, то х = 3; якщо а = 0, то коренів немає; 7) якщо а*1,тох = а-2;
1	5
якщо а = 1, то коренів немає. 281. 2) Якщо Ь = - або то коре-
нів немає; якщо і	то х =	; 3) якщо Ь = 0, або
2	2	о
Ь = -3, або Ь = -1, то коренів немає; якщо Ь Ф 0, Ь Ф -3 і Ь -1, то ^2_____
х =	; 4) якщо а # 0, то х = За або х = -2а; якщо а = 0, то коренів
о+І
немає. 282. 3) а = 0, або а = 3, або а = -1; 4) а = 1, або а = 0, або а = 2; 5) а = -3 або а = -і; 6) а = 2х/б, або а = -2х/б, або а = 6; 7) а = 1 або а = -1; 8) а = 2 або а < 1. 283. 1) Ь = -8 або Ь = 3; 2) Ь = 0, або Ь = -1, або Ь =	3) Ь = -~ або Ь = -2; 4) Ь = 2, або Ь = -2, або & =	;
2	2	З
5) Ь = 3, або Ь = 4, або Ь = |; 6) Ь < 0 або Ь = 2. 284. 2) а = 0 або а = 2; 4) а = -1; 5) а = 0 або а = 1. 285. 1) {& | Ь * -4}; 2) Ь = -1 або Ь = -3; 3) Ь = 0; 4) таких значень Ь не існує. 286. 1) а<^; 2) а < 0; 3) а > 0.
5
390
287. 1) а = ^; 2) а = 3; 3) а = 0.
5
289. 1) а > 9; 2) 3 < а < 7; 3) а хє(-|;1^; якщо -^<а<1, то а > 1, то хє[“;1] О {а}; якщо а<-у або а > 1, то хє(-у;1);
З
2) якщо а<-- або а > 1, то ХЄ[-7:1]’ 298' 3) ~3: -1* 2" 3) [-1;-|]. 302. 1) [-3; 9]; 4) 2) розв’язків немає. 305. 1) -4;
307. 1) 1; 2) розв’язків немає;
288. 1) а > 4; 2) -1<а<|; 3) а > 6.
5
> 1. 290. 1) Якщо або а > 1, то 5
хє(-~;а) О (а;1); 2) якщо а<-|^ або то хєГ-^;11. 291. 1)Якщо 5	І_ 5 □
якщо -у<а<1, то хє(-у;а) Сі (а;1); хє[-3;і] о {а}; якщо	то
. 2) -2; |. ЗОЇ. 2) (-оо; -1) и (2; +оо);
о
(-»;-|) 0	304. 1) -4; 0; 4;
-2; 2; 4; 2) 0. 306. 1) -3; -|; 2) 2; |. О	о
; 3)	4) -2; -242; 5)
о	4
30	8.1) ~; 2) 0; 1; 3) 1; -43; 4) -3; 3.309.1) (2; +-); 2) [0; 2]; 3) (-»; +«); З
4)	(-«о; 3] 0 [5; +-); 5)	-5->/17] О [-5 + 417; +~); 6) (-°о;-3) 0
0 (1—7б; +~).
310. 1) (3; +<»); 2)
3) (—°°;і] її [3; +°о);
\	5 □
4) (^°:з): 5) (1: 4): 6) (-~;"з]и[2;+~)- 311‘ П
[|;1)и(1;-Юо);
2) (-»; -4] и [-1; 1] 0 [4; +-); 3) [О; |
+~). 312.1) [4; 5)и(5;+-);
О
2) (-оо; -3]; 3) (0; +==). 313.1) (—о; 0) II (1; +—); 2) (-»; 3). 314х 1) (-5; -2) Сі
Сі (-1; +оо); 2) (-5; -2) О (2; 3) О (3; 5); 3) [-1; 0). 315. 1) |;	2) И;
2	2	5
7; 3) 1; 4) розв’язків немає; 5) [0; 6]; 6) [3; +оо); 7) (2; +оо). 316. 1) -8;
12; 2)	3) -1; 4) [-5; 8]; 5) [2; +~); 6) (-оо; ИІ; 7) [3; 6). 317. Вка
З	\	7 □
зівка. Скористайтеся геометричною інтерпретацією. 318. 1) 4; 2) 5. 319. 1) (—; -1); 2)	3) [-1; 1]. 320. 1) (^>;-6) 0 (|; + о»);
2) 0;,3) [-3; 1]. 321. 1) (4; -2); 2) (|;	322. 1) (3; -2); 2) (-|;|).
331. 11) Рис. 236. Вказівка. х = у[у->х-1 = уІу ->х-1 = у -»х-1 = =	і х і -1 -- у + У І; 12) Рис. 237. Вказівка. х = у[у->х-1 =
= у/у+ї -> | х | -1 = 7і/+1 -> | х | -1 = 7і У | + 1- 335. 4) Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі Д' Х ।	336. 4) Вказівка. Дане
Ь/>0.
391
рівняння рівносильне системі +(І^І 2) 4, ^2 2х + Зу > -1. |х>0.
343. Зх - у > 2. 352. 6) Рис. 238; 8) рис. 239. 363. 2) Графіком нерівно* сті є множина точок, позначених на рисунку 240 жовтим і червоним кольорами. 377. 1) а = 6. 378. Ь = -5. 379. 1) а = -2, Ь = 1; 2) а = -25, Ь = 4. 380. а = -9, Ь = -9. 382. а = -З, Ь = -6, с = 8. 383. а = 1, Ь = 1
або а = З, Ь = -1. 384. х + 3. 386. 1) -1; -3; -5; 2) -1; 2;	4) 1; -2;
5) 2; -1; 1~Л^; 1+У^. 387. 1) 1; ->/5-1; >/3-1; 4) 1; -1; ->/5-2; 4	4
>/5-2; 5) 1; 2;	396.	397.	400. п > 2.
2	2	2п + 1	п + 1
402. 1) Вказівка. З2* + 8 + 2* + 3 = (З2* +1 + 2* + 2) • 2 + 7 • З2* + *; 2) Вказів ка. Досить показати, що різниця (б2* + 2 + 19* + 1 - 2* + 2) - 19 (б2* + + 19* - 2*+ *) кратна 17. 403. 1) Вказівка. 7* + 2 + в2*+ 1 = 7 (7*+ 1 + + 82* ‘) + 57-82‘ ‘.4О4.1) а = -|; 2) а = ~. 406.1) а=-|; 2)а = -8. 414. 1) (0; 0), (>/2;в),.(->/2;8); 2) (0; 0), (-3; 81). 415. (0; 0), (1; 1), (-1; -1). 416. 4) 1. 417. 2) 1. 421. 1) Якщо а = 6, то один корінь; якщо а > 6, то 2 корені; якщо а < 6, то коренів немає; 2) якщо а = 1 або а = -8, то один корінь; якщо а < -8 або а > 1, то 2 корені; якщо -8 < а < 1, то коренів немає. 422. Якщо а = 0, або а = 3, або а = -З, то один корінь; якщо а < -3 або 0 < а < 3, то 2 корені; якщо -3 < а < 0 або а > 3, то коренів немає. 429. 4) тіп/(х) = 256, найбільшого значення не існує; 5) ітп/(х) = 0, найбільшого значення не існує.
Рис. 240
392
431. 1) Парним; 2) непарним; 3) непарним; 4) установити неможливо; 5) парним; 6) установити неможливо. 432. 1) 1; 2) -1; 1. Вказівка. Розгляньте функцію /(х) = 2х4 + х10. Вона є парною. Тому досить знайти невід’ємні корені цього рівняння. На [0; +°°) функція / є зростаючою, отже, рівняння / (х) = 3 на цьому проміжку має не більше одного кореня. 433. 1) -1; 2) -1; 1. 436. 1) а =-2500; 2) а = і. о
437. 1) а = -243; 2) а = 8. 444. 1) (-*>; 0) О (0; +«>); 2) (-*>; 2) 0 (2; +*>).
447. 1) (1; 1), (-1; -1); 2)
448. (1; 1). 451. 1)
Г(х)=64,
/(«)=!; 2)
/(х) = 64,
^тіп^ / (х) = 1; 3) тах/(х) = 1, наймен-
шого значення не існує; 4) найбільшого значення не існує, тіп / (х) = 1.
452. 1) тах/(х) = 27, тіп/(х) = |; 2) тах/(х) = -|, тіп/(х) = -1;
||;2І	||;2|	8	8	1-2:-1]
3) найбільшого значення не існує, тіп /(х) = -^-; 4) найбільшого (—;-8]	27
значення не існує, тіп/(х) = і. 453. 1) 4 розв’язки; 2) 2 розв’язки.
454. 1) 3 розв’язки; 2) 2 розв’язки. 457. 1) Непарним; 2) установити неможливо; 3) парним; 4) установити неможливо. 461. 9) 3; 10) 2. 462. 5) 3; 6) 7. 465. 1) 29; 2) 56; 3) -|. 466. 1) -11,8; 2) 5в|. 467. 3) (-«; 0] Сі [1; +~); 5) {0}. 474.1) -1; 1; -3; 3; 2) -2; V?; 3) -$/3; >/з. 475. 1) -^2; 3; 2) -ЛІЗ; </з. 476. 1) (-~; -3) Сі [-1; 1] СІ II (3; -Но); 2) [-6; 3). 477.1) (^»; -6) Сі [-4; 4] її (6; -Но); 2) (-4; -3] II [3; -Но). 478. 1) -1; 2; 2) -1; 3. 479. 1) -3; 2; 2) -3; 1. 482. 1) Якщо а < -1, то один корінь; якщо а > -1, то 2 корені; 2) якщо а < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь; 3) якщо а < 0 або а = 1, то один корінь; якщо 0 < а < 1 або а > 1, то 2 корені. 483. 1) Якщо а > -1, то один корінь; якщо а < -1, то 2 корені; 2) якщо а < 0 або а = 1, то один корінь; якщо а > 0 і а# 1, то 2 корені. 497. 1) а > 0, Ь > 0; 2) а < 0, Ь < 0; 3) а > 0, Ь < 0; 4) а і Ь — довільні числа; 5) а і Ь — довільні числа. 498. 2) [3; 7]; 3) В. 499. 4) | а31; 5) т2. 501. 2) -п; 5) с4; 8) -0,1а3Ь8.	502. 3) Юх; 7) -аїзЬпси. 505. 1) х >-4; 2) В;
3) -1 < х < 3. 506. 2) >/>/2-1. 510. 1) Коренів немає; 2) 3; 3) -1; 3. 511. 1) -4; 2) 2. 512. [3; 5]. 519. 1) 0; 2) зНтіп. 520. 1) 27^/2; 2) 29На. 521. 4)	5) Нх2; 6) ‘^128. 522. 5) Нх3; 6) На.
525. 5) ‘^24; 6) На3; 7) НЗ; 8) НаЮ; 9)	526. 5) ^|; 6) Най)3.
527. 1) 3; 2) 1; 3) 14; 4) -1; 5) 1. 528. 1) 25; 2) 7; 3) -1. 535. 1) аЬ > 0; 2) Ь = 0, а — будь-яке число або Ь > 0, а > 0; 3) Ь = 0, а — будь-яке число або Ь > 0, а < 0. 536. 1) т2 2) а2Ь3 уіЬ\ 3) | х |«у %[у; 4) 2т4п4 Нзт^п; 5) -ЗаЬ2с3 Н2; 6) а3Ь3Н^; 7) -а3Ь3Н^.
393
537. 1) -2аІІ2а^; 2) -5аі/^а; 3) аЬЦаІг, 4) а3Ь3№ь. 538. 1) Тза7;
2) -Тба354; 3) іїпп; 4) Тбб8 *, якщо Ь > 0. -Тбб8, якщо Ь < 0; 5) -Т^а7;
6) -*/(№. 539. 1) -4/Зс3; 2) Та7; 3) і/ба*Ь*; 4) -ТЗа4»3; 5) -іЕа’'.
540.1) 1; 2) 4; 3) 1; 4) 2; 5) -Тз. 541.1) 1; 2) 723. 542.1)	2)
а
3) -Та; 4) Та; 5) Тб-Тс; 6) ТаЬ; 7) Та2-1. 548. 1) К;
2) [-1; +“); 3) (-«; -2) II (-2; +~); 4) (-°»; -1] 0 [2; +~); 5) (-оо; -1] и її [1; +оо); 6) [3; +оо) і) {0}. 549. 1) К; 2) [2; +~); 3) (-оо; 3) її (3; +«); 4) (—°; 1] 0 [3; -и»); 5) [-3; 3]; 6) [6; -и») її {0}. 550.1) [1; +~); 2) [-2; +~); 3) К; 4) [0; +оо); 5) [0; +оо). 551. 1) [2; +оо); 2) [-4; +оо); 3) К; 4) [0; +оо);
5) [0; +оо). 552. 1) [-3; 2]; 2)
[і;10І; 3) Г-|;2І
. 555. 4) Т5<Т28;

557. 4) 4 і 5; 6)-5 і-4. 561.2) </Ї2>$/5; 5) Тз<^?28.
562.3) ‘^7 < ^2?2. 567.1)
шах / (х) = у/2, тіп / (х) = 1; 2) тах / (х) = ^3, [1;2]	[1;2]	[-3;-!]
тіп/(х) = 1;	3) тах/(х) = 1,	тіп/(х) = 0;	4) тах/(х) = ^2,
[-3;-і]	[-1Л]	[і;і]	[-і;2]
тіп/(х) = 0; 5) найбільшого значення не існує, тіп /(х) = 0; 6) най-[-1;2]	(-3;4—)
більшого значення не існує, тіп/(х) = 1. 568. 3) тах/(х) = ^2, (—;-1]	[-2:2]
тіп/(х) = 0; 5) найбільшого значення не існує, тіп /’(х) = 0; 6) най-[-2;2]	(-1;+-)
більшого значення не існує, тіп/(х) = 0. 569. 1) (65; +<»); 2) (-«>; 21);
3) -1;о]; 4) (4; +оо); 5) [3; +оо) її {-2}. 570. 1) (-1; +оо); 2) (-~; Ю);
3) -і; 16 ; 4) [-5; -2) її (2; 5]. 571. 1) Один корінь при будь-якому 1_ 5	□
значенні а; 2) якщо а < 0, то коренів немає; якщо а > 0, то один корінь. 572. Якщо а > 1 або а = 0, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені; якщо а < 0, то коренів немає. 573. 27. Вказівка. Функція у = Тх-26 + Тх е зростаючою. 574.10. 579. 3) -; 5) |; 8) |. 580.3) 1Я;
4	3	2	З
19	і —
5) 4; 6) 7^. 581. 3) [3; +«); 4) (-«; -1) О (7; +«). 583. 3) ав; 7) а15; 32
11) а*; 15)	584. 4)	8) Ь; 12) а^ «; 16) б8,8. 585. 3) 125; 6) 10;
9) 4. 586. 2) 49; 5) 32; 8) 1. 587. 4) (Та)’. 588. 7) (т41'6)2; 8) (Тіп)2. 590. 1) а > 2; 2) а > 2. 592. 1) 6; 2) 100; 3) 19,5; 4) 12|; 5) 2; 6) 10;
У
7) ~; 8) 3; 9) 571; 10) ||; 11) 12. 593. 1) 7; 2) 10; 3) 122^; 4) 1;
15	аі	У
5) |; 6) 21; 7) Щ; 8) -|-. 594. 1) 125; 2) 6; 3) 0. 595. 1) |; 3) 5.
4	лоб 7&У	У
2	112	1	ь	(у0-5 — і/0»5)
604.4)аол-2Ь°’5; 8)а« -а3Ь3 + Ь3-, 12)8«. 605.3) 1 + -Д-;6)хмуад	у ';
О1	(хад + уад)
394
9) 2І 606. 1)	2) 441. 607. 1)	2)	3) 2;
(п 4 . А 4) 13 . А 3)	11	~	_ 1
4)	У--- -<; 5) а +аЬ + Ь2. 608. 1) 2т3п3-, 2) 3; 3) -^; 4) т 2.
а2Ьи	°
610. 1) —; 2)	,2 ,. 611. 1) 3-г’ ; 2) а^+Д 3) -1.
х-у	з з
X3-у3
1 1
612. 1)	—у4; 2) 0; 3) 3-27х, якщо х є [0; 9); -3, якщо х є (9; +~).
х'-у*
614. 5) -1; 1; 6) 1; 7. 615. 3) -1; 1. 616. 1)	2)	3) коренів немає;
4) 3. 617. 2) Коренів немає; 3) -5; 7; 4) 7. 618. 1) 1; 2) 3; 3) 1; 2; 4) 5; 5) 4; 6) 2; 7) 3; 8) -4. 619. 1) -5; 2) 4; 3) 0; 4) -1; 5) 5. 620. 1) 4; 2) 2; 3; 3) -7; 8; 4) -1; 1; 4. 621. 1) і; 2) 7; -4. 622. 1) 0; 5; 2) 7. 623. 1) 6;
З
2) 2; 3) -1; 3; 4) -2. 624. 1) 2; 2) 8. 625. 1) 6; 9; 2) 13І; 3) коренів немає; 4) 1; -3. 626. 1) -5; 4; 2) 3; 7; 3) -1. 627. 1) 4; 2) 2; 3) коренів немає. 628. 1) -1; 2) 6. 629. 1) 27; 2) 5 < х < 10; 3) коренів немає. 630. 1) 10; 2) х > -4. 631. 3)	4) 0; |; 5) 8; 6) 25; 7) -5; б|.
Л	її	І
632. 3) 5; 4) -1. 633. 3) 1; 4) 1; 5)	6)	634. 1) 2; 6; 2) -1;
2	З
3) 3 У13. 635. 3) -Ц-4) 10; 5) 4; -4; 6)	7) 5. 636. 1) 20;
2) 22-7464; 3) 0; 5. 637. 2) 7; 8. 638. 2) 1. 639. 1) 2;	2) _2;
1; 13. 640. 1) 0; 2; 2) -2;	641. 1) 1; ~; 2) 16; 3) 25; 4) 1;
О	о
5) 8; 6) 0; 1; 7) 1; 29; 8) 0; 16; 9) |; 10) 8. 642. 1) 16; 2) 1; 512; 3) 4; 4) -4; 11; 5) -8; 1; 6) -61; 7) 0; 1; 8) 2,8; -1,1 643. 1) 1; 4; 2) -Тії; -7б; 7б; Тії; 3) -1; 4; 4) -2; 5; 5) -4; 1; ~3+/22;	6) 1024.
&	і
644. 1) -1; 5; 2) 1; 2; 3) 1; 2; 4) -6; 4. 645. 1) (9; 4), (4; 9); 2) (64; 1); 3) (8; 1), (1; 8); 4) (41; 40); 5) (6; 3), (3; 1,5); 6) (-2; 3), (12; 24). 646. 1) (27; 1), (-1; -27); 2) (4; 1), (1; 4). 647. 1. Вказівка. Скористайтеся заміною 7х —1 + 7x4-3 = і або властивостями зростаючих і спадних функцій. 648. 3. Вказівка. Заміна 7x4-6 4-7х-2 = і/. 649. 3. г~	х	81-9797
650. 14-76. Вказівка. Заміна ....= і. 651. 3; --й. Вказівка.
72x4-5	В
Поділіть обидві частини рівняння на х2. 652. 1;	. 653. -2; 5.
18
Вказівка. Нехай 7х+3 =а, 7б-х =і>. Тоді а3 + Ь3 = 9. 654. -3; 4.
395
656. 1) [3; 5]; 2) [0; +~); 3)	-1] и [0; 1); 4) (4; +~); 5) [-8; -4];
6) (-оо; -1) и [2; +оо). 657. 1) [|;4^; 2) (-«; -4] 0 [1; +оо); 3) 0. 658. 1) (з;^1; 2) [1; +«); 3) [0; 3]; 4) [-1; 0) о (0,6; 1]; 5) (|;+«);
6) [1; 6]. 659. 1) [2|;4) 0 (5; +оо); 2) (3; +~); 3) [-2; -1,6] і) [0; 2];
4) 0.660.1) (-оо; 1); 2) [-7; 2]; 3)	-1]; 4)	5) (-оо; -2] 0 (2; -Н»);
6) (3; 5]. 661. 1) [-2; 2); 2) [-7; 1); 3) (-оо; -3]; 4) (-оо; -5] 0 [1; +оо). 662. 1) 4; 2) [-2; 4] 0 [5; +«); 3) -2; 2. 663.1) [3; 12]; 2) {-2, 1} 0 [3; +о°);
3) [-4; -3] О [3; 4]. 664.1)
[|;2) С (5;+оо); 2)
665. 1) (-1; +°°); 2) [-20; 0) І) (5; +«); 3) {-4} 0 [2; 3]. 666. 1) (1; +~);
2)	3)	П [6; +“): 2) (¥:4
671. 3) 10л. 672. 2) у. 677. 5) У II чверті; 10) у І чверті; 15) у II чвер-ті. 678. 4) У III чверті; 8) у II чверті; 15) у IV чверті. 679. 3) (0; -1); 5) (0; 1); 8) (1; 0). 680. 2) (-1; 0); 6) (-1; 0). 681.	З". «. 682.
5 10 2	15
у; ур 683.15 сторін. 685.3) у; -у 4) 2л; -2л. 686. б) ~+2пк, к є 2.687. б) у| + 2яЛ, к є 2.690.1) (^у:	2) (0; -1); 3) (0; 1), (0; -1);
4) (1; 0), (-1; 0); 5) (1; 0); 6) (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). 692. 1) | + 2яй, к е 2; 2) л + 2лй, к є 2; 3) -^ + 2лЛ, к є 2; 4) у+2пк, ке 2. 693. 1) -|+2лЛ, ке 2; 2) |+2лЛ, ке 2; 3) -у+ 2лЛ, к є 2. 695. 1) 5; 3) 72; 5)	7) -3; 9)	696. 2) 1; 4) 0; 6)	8) 9.
4	4	6
699. 2) Так; 4) ні; 6) ні; 8) так. 700. 1) Ні; 3) так. 701. 3) 72. 702. 2) ^у^. 703. 1) 3; -3; 3) 3; 1; 5) 1; 0. 704. 2) -1; -3; 4) 10; 4. 708.1) -4 < а < -2; 2) а = 0; 3) -72 <а<72; 4) -1 < а < 0 або 1 < а < 2; 5) 1 < а < 2 або 3 < а < 4; 6) а ф 2. 709. 1) 1 < а < 3; 2) таких значень а не існує; 3) -2<а<-\/2 або \І2 <а<2; 4) а = 1. 712. 1) Найбільшого
значення не існує; і — найменше; 2) найбільше значення 1; найменшого не існує; 3) найбільшого і найменшого значень не існує;
4) найбільшого і найменшого значень не існує. 713. 1) ~; -1; 2) най-
3
більшого і найменшого значень не існує; 3) 1; -1. 714. 1) Н1|;
2) [0,5; +~); 3)
0 [2; -в»), 715. 1)
396
3) (—>;-1] О [!;+«). 721. 1)	4)	722. 1)	2)
723. 1)	2) 2; 3) 4; 4)	724. 1) 2->/2; 2) 1,5; 3) 4>/3-3.
731. 1) 2 зіп а; 2) -2 соз а; 3) 0. 732. 1) 0; 2) 0; 3) -2 сіє Р- 733. 1) II; 3) І або II. 734. 2) IV; 4) І або III. 735. 2) Парна; 5) не є ні парною, ні непарною; 8) непарна. 736. 2) Парна; 4) не є ні парною, ні непарною;
6) непарна. 737. 3) 73; 6)	9)	12)	15) ->/3. 738. 1)
3) 1; 6)	8)	743. 4) 1; 5) 3&. 6) 1; 7) |; 8)	9) і.
2	2	^3	4	6	у) 2	п
744. 2) 4л; 3) л; 6) 4. 747. л. 748. л. 755. 1) соз 1,6л < соз 1,68л;
3) соз 20° > соз 21°;	5) созсоз	7) зіп 2 > зіп 2,1.
756. 2) зіп у >зіп	4) соз^>соз^. 759. 1) зіп 58° > соз 58°;
2) зіп 18° < соз 18°;	3) соз 80° < зіп 70°.
760. 1) Так; 2) ні. 777.1) Рис. 241. Вказівка. л (х2 + і/2) = лп, п є X; х2 + у2 = п, п = 0, 1, 2... 783.2)	5)і«1<ів1,5;
8)	сік (-40°) < сій (-60°). 784. 1) і« 100° >
>	92°; 4) сів^>сі8§; 6) сІ8 (-3) <
< сі£ (-3,1). 789. 1) Ні. Вказівка. 1^80°>і^60° = \/3;	2) ні; 3) так.
790. 2) зіп 40° < сів 20°. 795. 6) 2 соз2 а;
7) -зіп2 а; 8) 1;	9) соз2|; 10) 2.
790. 4) —V; 5) 1; 6) 1; 7) 1; 8) 4. 799. зіп а
4) зігГТ : 5) 0; 6)	: 7) <« а Р; 8) і; 9) со®2 <*;10) -<*<т>її)8Іп< «;
12) 1; 13)	; 14)	800. 1)	2) 1; 3) -2-; 4) —;
СОЗ а	СОЗ р	8ІП Р	соз р СОВ X
5)	6) Ї£2 а; 7) 18 а; 8) -1; 9) 1; 10) -соз2 а. 801. 2) соза = -4,
созр	5
1еа=--, сіеа = “; 3)	соза=—1=,	зіпа=—?=,	сіеа = ^.
43	>І5	>І5	2
к	к	12	1	7
802. 1) зіпа =—, 1&а =—, сі£а =—; 4) зіпа = -т=, соза = —т=, 13	12	5	750	750
і£а = -~. 805. 2) Вказівка. Подайте доданок 2 зіп2 а у вигляді суми зіп2 а + зіп2 а; 4) Вказівка. Розгляньте різницю лівої і правої частин даної рівності і доведіть, що вона дорівнює нулю. 809. 1) -А. Вказів
ка. Поділіть чисельник і знаменник даного дробу на соз а; 2)
1. 4’
397
3) -27. Вказівка. Помножте чисельник даного дробу на зіп2 а 4- соз2 а.
810. 1)	2)	3) Щ. 811. 1) -зіп 0 - соз 0; 2) -зіп а сов 0;
3) -2 а; 4) 1. 812. 1)	; 2) 2 сів а; 3) ~1- Вказівка. Оскільки
віпа
то соз^>соза. 813. 1) & Вказівка. Ь2 = (зіп а 4-3	3	2
+ соз а)2 = 1 + 2 зіп а соз а; 2) ^1; 3)	4)
5)	814.1) Ьг - 2; 2) & (Ьг - 3); 3) &4 - 4Ь2 + 2; 4) Вка
1	2
зівка. З умови випливає, що ---------= Ь. Звідси 2зіпасоза = -.
віп а со& а	Ь
815. 1) 3~, -3. Вказівка. 2 сов2 а - 3 зіп а = 2 (1 - зіп2 а) - 3 зіп а = 8
= -2 зіп2 а - 3 зіп а 4- 2. Позначимо зіп а = і і розглянемо функцію / (ґ) = -2і2 - Зі 4- 2, визначену на проміжку [-1; 1]. Це квадратична функція зі старшим від’ємним коефіцієнтом а = -2. Вона набуває
найбільшого значення в точці і0=-
-3 „ З
2-(-2)	4*
яка належить про-
міжку [-1; 1]. Отже, тах/(0 = /(-^ = -2-(-^ -3-(-^4-2 = 3^. Для
знаходження найменшого значення обчислимо значення функції / (і) на кінцях проміжку [-1; 1]: / (-1) = -2 4- 3 4- 2 = 3, / (1) = -2 - 3 4- 2 =
= -3. Отже, тіп/(0 = -3; 2) найбільшого значення не існує, наймен-1~1» 11
ше дорівнює -1; 3) 0; -1^; 4) найбільшого і найменшого значень не 8
існує. 816. 1) 3^; -2; 2) 3^; 2; 3) найбільшого і найменшого значень З	8
не існує. 817. 3) 0; 4) 0. 818. 3) 0. 819. 2)	3) 0; 4) сов 0; 5)
Л	А
6) віп 20; 7) 1; 8)	15°; 9) сов (а - 0). 820. 2)	3)	4) сов 20;
а	&
6) сов (а + 0). 821.	823. 2) -1; 3)	824. 1) 7з. 827.
828. -3+140^'- 829. -||. 830. -Щ. 831. 2. 832. 5. 835. 1) сія|;
2)	3) сов 2а; 4) ——. 838. 1) 1; 2) -1. 837. 1)
віп 2а	сова	4
2)	3) >/3-2. 838. 1)	2)	841. 1) 2; 2) Лі;
4	4	4
3)	>/2; 4) Л. 842. 1) 2; 2) 5; 3) 710. 843.	Вказівка.
 (п /я и ап пс 48 + 25>/з	ї/за-Ь2)-*
8іпа = 8іпІ--І--аІІ. 844. -0,6. 845. -------. 846. -  •-——.
847. ^(71-&2-&). 848. -2. 849.	850. ~. 851. 60°. 852. 120°.
2	5	4
398
854. 45°. 855. 1) Вказівка. З графіка функції у = х вилучіть точки, абсциси яких дорівнюють * 4- ™, леї 857. Вказівка. З рівності
(а+р) = І*?**? Р випливає, що а + Р = і£ (а + р) (1 - а і£ Р).
Тоді а 4- р + у = (а + Р) (1 - а Р) 4- у = (я - у) X X (1 - а І£Р) 4- І£У = -І£У (1 - а Р) 4- у = - І£ у 4- І£а І&Р І£У + 4- і£ у = а і£ Р у. 859. 2. Вказівка. З рівності (а + Р) = ^а+--^Ро 1 - а р випливає, що а 4- р = (а 4- Р) (1 - і£ а ід Р). Тоді (1 + ід а) (1 + ід Р) = = 1+іда+ідр+ ідаідр = 1+ід(а + Р)(1-ідаід Р) + ідаідр = 1 + іду(1-
-ідаідр)+ідаідр = 1 + 1-ідаідр + ідаід Р = 2. 860. 2. 865. 3) -соз 38°;
4)	-зіп^-. 866. 3)	4) зіп^. 869. 2) -1; 6) 2 соз а. 870. 3) 0;
18	5	15
5	'6
4)	1. 871. 1) -4; 2)	3) —; 4) 1. Вказівка. Зведіть кожну функцію до
З	4
г~	3 \/2
найменшого додатного аргументу; 5) 1. 872. 1) 3-2\/2; 2) 3; 3) ——;
4)	-1. 873. 1) -соз а; 2) 1; 3) 1; 4) -1; 5) 2; 6) 2; 7) 1; 8) 1; 9) -і^2 а; 10) 1; 11) « а. 875. 1) 1; 2) 0; 3) 0. 876. 1) -1; 2) 1; 3) 0. 878. 2. Вка-~	. Л Зл Л . Зл 5л Я	2 Зл . 2 Л .	2 5л
зівка. Оскільки - + — = — 1 — + — = то соз — = зпг- і соз — = 8 8	2	11 22 2	8	8	22
= зіп2 —. 879. 1) соз2 а; 2) —---. 882. 1) 2 соз а; 2)	2а; 3) сов2 а;
11	со82(а+10°)
4)	віп 25°; 5) 1; 6) сов а + зіп а; 7) соз£; 8) 2: 9)	10) 1; 11) -соз^;
А	А	А
12)	|іе2а; 13) віп 2а; 14) 1; 15) -| сіє 2а; 16) зіп 4а. 883. 1) 2 зіп 40°; 2) соз 11а; 3) соз2 20; 4) віп 40°; 5) соз 20<р; 6) 1; 7) сов 35° - віп 35°; 8) 1; 9) 1віп4а; 10) 2 віп 2а; 11) ісов2а; 12) -віп 20; 13) -зіп 2а;
4	£
14)	віп За. 884.1) |; 4)	5) -^; 6) 2л/з. 890. 2) -4 >/5. 891. 2) -у.
897. 1) 1; 2) сів 4а. 898. зіпа = -^, сова = -і|, а = -~. 899. -°,8.
13	13	Ііь
900. зіпа = ~7=, сова = —|=. 901. віп^ = ^, соз^ = ^^,	=
75	24	2	4 ’ 6 2	7
902. 1) ^2~^; 2)	3) 2+^; 4) ^2~^; 5) -(і + л/І);
6) >/2-1. 903. 1) 2; 2)	3) 2; 4)	2а; 5) віп 4а; 6) віп 2а;
7) сов2^; 8) сов а. 904. 1) 2 сі£ 4а; 2) віп 2а; 3) 2а; 4) 4 віп а; 5) 1; 6) -і сіє а. 911. |. 912. -і 913.	914. Ц. 915. 2. 916. -£.
2	2	2	37	5	9
917.	918.1) соз 4а; 2) <.« а; 3) віп 8а; 4) і®4 а; 5) 1; 6) -1. 919.1) |;
4	4
399
2)	8 соз 2а; 3) -і зіп2 а; 4) і?4^; 5) |сі?2а; 6)	923. 1) сі£4|;
2)	-|сі?2а; 3) соз2^. 924. 1) -2; 2) 0. 925. 1) 4; 2)	віп 2а.
а	а	&
930.	1)сов^; 2) >/2сі<2а; 3) ^2їеа. 931.1)Якщо 0<а<^, то 2 сов а;
якщо £<а<£, то 2 віп а; 2) сов£; 3) 2сов£. 932. 7. 933. 2 або -|. 4	2	8	2	5	З
034. —. Вказівка. Маємо: віп 36° = сов 54°. Тоді: віп (2 • 18°) = сов (3 • 18°); 4
2 віп 18° сов 18° = 4 сов3 18° - 3 соз 18°; 2 віп 18° сов 18° = сов 18° х х (4 сов218° - 3); 2 віп 18° = 4 сов218° - 3; 2 зіп 18° = 4(1- зіп218°) - 3;
2 зіп 18° = 4-4 зіп2 18° - 3; 4 зіп2 18° + 2 зіп 18° -1 = 0. Розгляньте останню рівність як квадратне рівняння відносно зіп 18° і врахуйте, що віп 18° > 0. 939.1) ІЄ 5а; 2) -сі« За; 3) -^. 940.1)	2) ба;
З	сов 4а
3)	1. МІ. 1)	+	2) 4«.(і+|)с„(Х-|); 3)
2^”Нї-її)“(Ї+1)і4'!Г^-(м2л>4“(й-І)с“(ї5+ї);
2)	3) 4оо.(|*ї)оо.(|-5); 4)
953. 1) (сов 20°+соз 10°); 2) соз 2а + соз 2Р; 3)	(зіп 2а+віп 10а);
£	А
4)	|(сов260-сов1220); 5) 2сов^а+1. 954. і) сов^ + сов^;
2)	(сов4°-сов52°); 3) |(віп8а+віп2а); 4) 2сов2а г. 955. і) 1;
2	2	4	2
2)	віп За; 3) сов а; 4) 0,5. 956.1) сов а; 2) |. 959. 1) і; 2) 1; 3) -віп 2а. 2	4
960. 1) 1; 2) зіп 2а. 961. 1) Вказівка. Помножте і поділіть ліву частину рівності на 2зіпу. 965. 2) 1,5; 5. 966. 2) і; 7. 967.	3.
968. 13; і 971. 2) ±£ + 1^, пє2;6) ±3агссов^+6лл, лє2.
4	5	5	З
972. 2) ±~+10лп, п є 2; 3)	л є 2. 973. 3) 12 + 6л + 12лп,
б	3	3
64 (8* + 1)2’ ^)+2лЛ,
пє 2; 4)	+ де 2. 974. 2) ±^-6+4лп, пе 2. 975.
24 9	3	2	6
976. Зл. 977. 4 корені. 978.	979. 2) (|+2*) ,
12	12	4	4	' \6	/
к е N 0 {0}, (“ + 2п) , л е К; 3) розв’язків немає. 980. 1) ке N О {0}, —64 9, п є И; 2) ±агссоз^ + 2лА, ±агссоз|-(8п-1)2	4	\
400
кє 2. 981. а = 4- 982. а = 0. 983. а < 1 або а >3.984. а<-~ або а >2. 2	5
985. -Ка<І
2
Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі
соз х = а, созх>3а-1,
яка має розв’язок тоді, коли
а>3а-1.
986.
або -і<а<1.987. аєГ^; +~). 988. аєГ^; +~). 989. Якщо а < -1 З	І_ 3	/	І о /
або а > 1, то коренів немає; якщо а = -1 або а = 1, то один корінь;
^2 уіЗ	\І2	\/з
якщо -1<а<— або — <а<1, то 2 корені; якщо — <а<—, то
& &
З корені. 990. Якщо	то 2 корені; якщо -1<а<| або а = 1,
то один корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає. 991. Якщо а<—— або а > 1, то коренів немає; якщо —— <а<0 або а = 1, то один корінь; якщо 0 < а < 1, то 2 корені. 992. а < я, або	або
а =—. 993. а < 0, або а>-, або а = -. 996. 3) Л+—, л є 2;
6	2	4	10	5
4) (-Ц^агсаі	п є	997. 3) (-1)л+1~ + ^, п Е Я.
8	9 8	'	6	2
998. 2) (-1)"+1-£+£ + лл, пєі 999. 2) (-1)"+1 ~+20+5лл, пеі. 3 8	6
1000.	1001.	1002.	1003. 6 коренів.
12	90	6	2	6
1004. 1) £+2яп, пєї; 2) (-1)" •£ + ^ + ллІ п є 2; 3) п + 4лп, З	6 4
5+4ЛП, пє2. 1005. 1) (-1)"-£ + £+лп, пє 2; 2) у+2пп, п є 2. З	6 3	4
1006.2) |2Л-1| , к є Н;3) ±агссоз- + 2лЛ, Ьеі. 1007.1)----8* , ,,
\	2/	6	(3* + (-1) )
к є И; 2) ±- +лЛ, к є 2. 1008. а < 0 або а > 2. 1009. а = -4 або 4 < а < 5. 6
1010.
1013.
1011. -1<а<| або І<а<1. З З
1012. а>—. 6
З
а<--—. 1014. 1) Якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає; 6
а = -1, або -і<а<0, або а = 1, то 1 корінь; якщо -1<а<-^
якщо
або 0 < а < 1, то 2 корені; 2) якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає;
якщо а = 1, або а = -1, або —— <а<—, то 1 корінь; якщо А
>/2	\/2	1
-1<а<—— або — <а<1, то 2 корені. 1015. Якщо а<-- або а > 1
А	&	А
1	<3 -	її-
то коренів немає; якщо	або а = 1, то 1 корінь; якщо
&	&
УІЗ	уіЗ
— <а<1, то 2 корені. 1016. Якщо —— <а<0, то 3 корені; якщо
401
О < а < 1 або -1<а<—
2
то 2 корені; якщо а = -1 або а = 1, то
1 корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає. 1017. Якщо
-1 < а < - і то 3 корені; якщо -і < а < 1 або а = -1, то 2 корені; якщо Лл	&
а = 1, то 1 корінь; якщо а < -1 або а > 1, то коренів немає. 1018. Якщо
.	х/2	-	л/2	>/2	>/2	. л
-1<а<——, або —— <а<—, аб° — <а<1, то корені; якщо а	а	&
уі2	у/2
а = -1, або а = ——, або а = —, або а = 1, то 3 корені; якщо а < -1 45	&
_/ о	-/3
або а > 1, то 2 корені. 1019. Якщо -1<а<——, або —— <а<—, а^° А	45	£
14	__ 1 Л	Л	1
— < а < 1, то 4 корені; якщо а = -1, або а = —або а = —, або а = 1,
то 3 корені; якщо а < -1 або а > 1, то 2 корені. 1022. 3)
п € 2; 5) Іагссі8^+^, п є 2. 1023. 2) ^ + 2ял, п є 2. 1024. 2) 6	11	6	3	2
-|агсі82+^, лє 2. 1025. 3)	+ + л є 2. 1026. 4 корені.
2	2	3 18 З
1027. 1 корінь. 1028. -Л 1029.	1030. 2)	— , к є N 0 {0};
4	З	(4*+1)2
3) (-1)* агсзіп | + пк, (-1)* агсзіп	к є 2. 1031. 1)	•	-,
З	\ З/	20А? + 5
к є 2; 2) ———7, ке И; 3) ±агссо8І + 2лЛ, ± агссоз (“ І+2лЛ» к є 2.
(4яЛ-я)2	4	\ 4/
1032. 1) а<-^, або -^<а<0, або а > 0; 2) -1<а<-і, або З 3	2	2	2
або і<а<1. 1033. 1) а<-^, або -і<а<0, або а > 0; 2) -1<а<-^, 2	2	2	2
або	або ^<а<1. 1034. а = -^, або а<-£, або а > 0.
2	2	2	3	2
1035. а = -р або а<-|, або а > 0. 1040. 1) [0; 2]; 2) [0; 1];
3) (-оо; -п - 4] 0 [я - 4; +«>).	1041. 1) |-“1;1-“1; 2) [2; 3];
з>(-4Мі;+4
1042. 1) я; 0; 2) 2 + я; 2. 1043. 1) 2л; я; 2) |+1;
-£+1. 1044. 1) |; 2) * 1045. 1)	2)	1046. 1)	2) соз|;
2	3	6	4	4	2	2
3) коренів немає. 1047.1)	2) коренів немає; 3) |. 1048.1) (-1; 1];
2) {-1}; 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв’язків немає; 6) {1}; 7) [-1; 1); 8) (-1; 1]. 1049. 1) {-1}; 2) [-1; 1); 3) [-1; 1]; 4) [-1; 1]; 5) розв’язків немає. 1050. 1) [-1; 1]; 2) {-1}; 3) {1}; 4) {0}; 5) {0}. 1051. 1) [-1; 1];
2) {1}; 3) [-1; 1]; 4) {1}; 5) {-1; 1}. Вказівка. Якщо х > 0, то ^-±і>1,
402
причому рівність досягається тільки при х = 1; якщо х < 0, то х2+1
——<-1, причому рівність досягається тільки при х = -1.
1052. 1) ^4;|+4^; 2) {0}. Вказівка. Оскільки -агссоз х < 0, то об-
ласть визначення даної функції складається з однієї точки х = 1;
3)
1053.
3)	1056* 1)	2) ||. Вказівка, зіп^2агсзіп =
о . (	. 3\	/	• 3\	56 З	п 2^2 оч 4>/2 + >/5
= 2 зіп І агсзіп-І соз І агсзіп-І; 3) —; 4)	1057. 1) ——; 2)-----------;
\	5/	\	5/	65	4	3	9
7	5
3) ттгі 4) —?=. 1058. 1) х = 2. Вказівка, соз (агссоз (4х - 9)) = 4х - 9
25	>/26
тільки за умови | 4х - 9 | < 1; 2) [-3; -1]. Вказівка. Множиною коре-
нів цього рівняння є його область визначення. 1059. 1) Вказівка. з
Дане рівняння рівносильне системі
|4х-1|<1, 4х-1 = 3х2;
2) [0; 2]. 1060. 1) 1;
2) 5. 1061. 1)	2) -2. 1062. 1) [о; |); 2) (|;|]; 3) (^±^;2
1063. 1)	2)	3)
Ь о/ \ 6	17	14 /
2) розв’язків немає. 1065. 1) |^1;	2) {0}.
1068. Рис. 242. Вказівка. Якщо -1 < х < 0, то агсзіп х < 0 і | агсзіп х | = -агсзіп х, агсзіп | х | = = агсзіп (-х) = -агсзіп х. Тоді у = 1. Якщо 0 < х < 1, то агсзіп х > 0 і | агсзіп х | = = агсзіп х, агсзіп | х | = агсзіп х. Тоді у = 1.
1064. 1)
і=1>
Уі
1
-1 0
1069. 3) Рис. 243. Вказівка. Зауважимо, що рис 242
Р (у) = [”1; 1]. Запишемо: соз (2 агсзіп х) =
= 1-2 зіп2 (агсзіп х) = 1 - 2х2. Отже, шуканим
графіком є частина параболи у = -2х2 + 1; 4) Вказівка. Оскільки
агсзіп х+агссоз х =—, то у = 1. Проте шуканий графік — це не пряма у = 1, а лише її відрізок, оскільки Р (у) = [-1; 1]. 1070. 2) Вказівка. зіп (агссоз х) = 71-х2;
3) Вказівка, соз (2 агссоз х) = 2х2 - 1 за умови | х | < 1. 1071. Рис. 244. 1072. 1)	2) у; 3) л - 3; 4) у-8. 1073. 1) у; 2) у. Вказівка.
со8І^ = сов(2л-^); 3) 2л - 6,28; 4)	5) ^-12. 1074. 3)
9	\	9 /	о 2	З
1075. 1)	3)	1076. 2) -2л. 1077. 1) К; 2) [1; +~). 1078. К.
З 6
403
1081. 1) 4; 2) 5; 3)	4) п. 1082. 1)	2)	1083. 1) 1; 2)	1;
2	2 з
27 + уіЗ
3) коренів немає; 4)----——. 1084. 1) -1; 2) коренів немає; 3) коренів
1А
немає; 4)	1085. (—>;	0	1086.	1087.1) ^=;
2) -7=; 3) —г=; 4) -Д=.	1088. 1) -7=; 2) —Д=; 3)
УІ5	7113	<50	Ло 85
1089. 1)	•и»!; 2) (2-ї/З; +~).	1090. 1) (-«; 21~^];
(	УІЗ	'І
2) І	—-111. 1091. 1) Вказівка. (агсі£ х) = х при будь-якому х;
\	З	7
2) Вказівка. сі£(агсі£х) = — при будь-якому х * 0. 1096. 1)	2) -у£;
х	13	13
3) 5 - 2л; 4)	5) 1^-17. 1096. 1) £; 2) £; 3) 15 - 4л; 4)
42	2	11	11	Зо
5) ^-10. 1097. 1) (-1)".£+лп, -£ + 2лп, п є 2; 2) ±^ + 2лл, п є 2;
2	6	2	З
3)	пе X; 4) -у+пп, агсія 3 + лп, пє 2; 5) £ +
6	3	4	8	2
іагссід(—|)4-^, п є 2; 6) ±4агссоз|+8лп, п є 1 1098.1) (-1)"	+
2	\ З/ а	3	6
--4-2лп, п є 2; 2) ±^ + пп, пп, п є 2; 3) ^ + пп, -агсі£у4-лп, п е 2;
2	3	4	4
4)	^+3лп, ЗагссівІ-||+3лп, пє 11099.1) ^ + лп, пє 2;2) -? + лп, 4	' 3/	4	6
п є 2; 3) агсі£^ + лп, п є й; 4) іагсі^4 + ^, п е й; 5) -3 агсі& 5 4- Зпп, З	2	2
п є 2; 6) ^ + пп, агсі& 4 4- лп, п є 2; 7) ^4-2лп, 2 агсі& 2 4- 2лп, п є 2;
8)	5 +	п е 2.1100.1)	4-лп, п є 2;2) ^4-лтц п є 2;3) -агсі£у4-лп,
6	4	3	2
пє 2; 4) “агсі&І4-^, пє 2; 5) агсі& 2 4- лп, агсі& 3 4- лп, п є 2; 4	3	4
404
6) у + лп, -агсі&4+пл» л є 2. 1101. 1) (-1)”^4-ял, (-1)" агсзіп і 4-ял, 4	4	6	3
п е 2; 2) ±^ + 2лп> п є 2; 3) ±агссоз(1->/2)+2лп, п є 2; 4) 2ял, З
±(я-агссозі)+ 2лп, п є 2; 5) (-1)л+1 *^ + тіп, ^ + 2пп, п е 2; 6) ±2я + \	З/	6	2
4- 6л л, п є 2; 7) ял, л є 2; 8) ±^+4ял, 2я + 4ял, л є 2; 9) -у+ял, З	4
____ ГТ9 *«	1 Л 7С71	_ ГТ9 <« < \ Л 7С71	1 і З ЛЛ	гп неї; 10) ±—+—, леї; 11) —+—, -агсі8- +—, лє2;
1о е	20 О О 4 О
12) ~ + пп, агссі& 2 4- ял, л є 2; 13) ±^4-лл, л є 2; 14) ±^ + 2пп, 4	3	4
пє2. 1102. 1) ±^+2лп, пє2; 2) (-1)п-£+лп, ~+2пп, п є 2; З	6	2
3) (-1)л -агсзіп(2--\/з)4-ял, л є 2; 4) ^4-ял, 2ял, л є 2; 5) (-1)л + 1 я 4-
+ бпп, п є 2; в) (-1)"+1-£+2лп, л + 4лп, п є 2; 7) ±£+^, лє 2; З	6	2
8) -4-ял, агс£& 2 4- ял, л е 2; 9) ^4-ял, ял, л є 2; 10) ±^4-ял, л є 2. 4	6	3
ПОЗ. 1) у+лп, -агсія 2 + лп, п є 2; 2) -£-+^, іагсігі+^, ле 2; 4	20	5	5	7	5
3)	+ л є 2; 4) агсі& 3 4- ял, агсі£ 4 4- ял, л є 2; 5) ~ + ял,
агсі£^4-ял, л є 2; 6) ^4-ял, -4-ял, л є 2; 7) ял, агсі& 3 4- ял, 5	2	4
л є 2; 8) -4-ял, л є 2. 1104. 1) +ял, агсі& 3 4- ял, л є 2. Вказівка. 4	4
зіп 2х = 2 зіп х соз х; 2) ^4-ял, агсі^^ял, л є 2; 3) ~ + пп, 4	4	4
-агсі^^ял, л є 2; 4) ял, ^4-ял, л є 2; 5) ^4-ял, л є 2; 6) -^4-ял,
л є 2. 1105. -я. 1106.	1107. у. 1108.	1109. 1) ? +	п є 2;
2	4	2	4	2
2)	(-1)”-агсзіп+ял, л є 2; 3) ±£ + ял, л є 2; 4) ±^ + 2ял, З	3	3
л є 2; 5) ±^ + 2лл, л є 2. 1110. 1) ±агссоз	~4-2ял, л є 2;
З	о
2)	+^+лп, пєї; 3) (-1)Л+1Л+^. п є 2; 4) ± агссов Д=^ + 2лп, 6	12	2	2
П Є 2; 5) ±^ + тгп, п є 1. 1111. 1) ±£ + ^, п е 2; 2) О	О 11	11
пе 2. 1112. 1) ±^ + 2лп, пє 2; 2)	пє 2. 1113. 1) %+2іш,
З	о 2	2
-2агсі£^4-2ял, л є 2; 2) 2агсі&(-1±\/5)4-2ял, л є 2.1114.1) “4-2ял, 5	2
2 агсі£ 4 4- 2ял, л е 2;	2) ^4-2ял,	2агсі$2\/34-2ял, л є 2.
з
1115. 4 корені. 1116. 2л. 1117. л-агсаіп^-1. 1118.	1119.1) пп,
405
-4+яп, п є 2; 2) пп, пеі. 1120. 1) ±£+лп, п є 2; 2) 4	3	6	3
-Л+2?’ п е 2- 1121- 1) -1 < а < 2; 2) а = 3. 1122. 1) -1 < а < 2; 12 З
2)	таких значень а не існує. 1123. 1) ±^4-лп, п є 2; 2) ±—4-2лп, 4	З
±| л-агссоз^) 4-2лп, леї Вказівка. 5| Зсовх + —і— |+2[9соз2х + \	з/	V созх; \
4-—^—1 + 5 = 0. Зробіть заміну Зсозх + —— = у, тоді 9 сов2 х 4-—— = соз х/	созх	соз2 х
= у2-6. 1124. 1) 4 +	п є 2. Вказівка. (і&8 х 4- сі#8 х) 4- (і£2 х +
4
4- сі&2 х) - 4 = 0. Зробіть заміну х 4- сі£ х = у; 2) ^4-2лЛ, (-1)* *^ + 2	6
+ яЛ. (-1)*агсвіп^~5 + л&, Ь є 2. 1126. 1) -^+яп, ±£+яп» пп, 4	4	6
л е 2; 2) ~ + лЛ, к є 2. Вказівка. 2 соз2 х 4- 5 зіп2 х соз2 х 4- зіп4 х 4-А
4- соз2 х - віп2 х = 0; віп2 х-3 сов2 х = 5 віп2 х сов2 х 4- зіп4 х. Помножте ліву частину на вираз віп2 х 4- сов2 х; 3) ^4-лЛ, к є 2. 1126. 1) ^4-лп, 2	З
£ + лл, ±+пп, п є 2; 2) 7 + ^. | + п є 2. 1127. 1) ± + пп, 0	2	4 2 о 2	2
±£+яп, пє 2; 2)	(-1)"°Л+^г. в є 2. 1128. 1) Зяп, п є 2;
з	2	12 2
2) % + пп, ±атссоз^^-+2пп, п є 2.	1129. 1) (-1)"£ + яп, п є 2;
2	4	6
2) ±^+2яп, пє 2; 3) (-1)"£+яп, п є 2. 1130. 1) ±£+2яп, п є 2; 3	6	з
2) (- 1)"£ + яп, п є 2; 3) ±£+2яп, п є 2. 1131. 1) ^<а<щ 6	3	6
2)	Н32. 1) ^<а<2щ 2)	1133. 1) а < -1,
2	6	6	3	2
7	V 3	7	уіЗ	1	7
або а = —, або а>-^—; 2)	або -<а<—, або а = -1.
10	2	10	2	2	10
1134. 1) а<-^, або а = ^-, або а > 1; 2) а = 1 або -^<а<0; 2	2	2
3) ^<а<1 або	1135.1) а>^, або а = -|, абоа<-1;
2	2	2	2	З
2) І<а<-7Г абоа = -1;3)	або -1<а<-|. 1136.1)
2	2	3	2	3	42
%+пп, п є 2; 2)	п є 2; 3) ~+2пп, ±^+пп, п є 2;
2	2	63	2	6
4) (-1)" • 14- лп, “ + ЯП, пє 2. 1137. 1)	п є 2; 2)
пє 2;3) ±агсі£>/2 4-лп, --4-лп, пє 2; 4) ±^4-2лп, агссі® 3 4-лп, 4	4	4
406
пє г. 1138.1) ±у + 2пп, п є 2; 2) (-1)"агс8Іп^-4-лп, п є 2; 4) -£-4-^, 4	3	24 о
—+ —, леї 1139. 1) — 4-2лп, пє 2; 2) - + пп, -4-^, п є 2.
16 4	' 12	4	16 4
1140. 1) (-1)"-£ + лп, л + 2лп, пє 2; 2)	п є
6	8	4	12	2
3) ^4-^, ±^ + 2лп, пє?.; 4) п є 2; 5) пп, (-1)л+1 -£+^, п є 2; 6)	(-1)"+1 • ~+ т^1-, п є 2; 7) пп, ± агссоз ^4-2лп, п е 2;
8) - + пп, —, л + 2лп, пє 2; 9) —, ~-+2пп, — + ^, п є 2; 2	5	5	2	10	5
Ю) (-1)п+1-#- + ^, п є 2. 1141. 1) лп, п є 2; 2) 2лп, (-ІГ-^+лп, 2	21	7	6
п є 2; 3)	(-1)"“+^, п є 2; 4) £ + лп, (-1Г».А+™ п є 2;
4	24	4	2	18 З
пп . 2п п	Г7, ах Я , пп пп	Г7, „X	п , 2пп _ —
5)	—,	±—+ 2пп,	п є	2;	6)	- +—,	—,	п	є	7)	—,	- +	,	п	є	2;
2	3	63	5	3	7	7
8)	7Х+2?-	(-1)"-?+2£.	Гієії.	1142.	1)	7 +	^,	-+ТШ,	п	є	2;
10	5	8	2	4	2	2
2) 5 +	і~ + лп, п є 2; 3)	~+^, пєІ-,і) 2лп, -+лп, п є 2;
84	3	384	4
е \ Я	гп Я	гт\ Я ПП Я	гп о\ пп
5) - + лп, п є 2; 6) - + яп, п є 2.; 7) — +—, ~— + пп, п є X; 8) —,
2	4	48 4	12	5
п	п	1 - соз 2х 1 - соз 4х 1 - соз 6х 1 - соз 8х л
—+ лп, п є . Вказівка. ---------------+---------------------------------= 0;
2	2	2	2	2
о\ 71 । пп
У) 10 + 5
п пп
4	2 ’
пє 2; 10) 5 4-^, 6 З
±Х + 2?> пєг. 1143. 1) ^ + ~, 9	3	22 11
_ лх П пп . Я , _	_ ™ о\ ЯП п пп Зп , _	_
П Є . ', 2 І ~4—І —4-ЛП, П Є 2^ 3)	, ~4-“ , —— 4-лп, п є 2^
'84	3	'3	82	4
л \ ТС л ТС 2тС72	__ гту \ 7СЛ 7С71	__ гп ЇЇП । ТС 7С71
4) -- + 2лп, т + п є 5) —, —, п е 2;6 —, ±—+ п , п е . '4	4	3	5	2	2	12	2
\	ТС	ТС ТС7Т	__ сі\	7СТІ	ТГП	__ п
1144.	1)	— + тсп,	—+—,	п є ;	2)	- + —,	—,	п є X;
2	4 2	6	3	2
3) -60° 4- 180°п, 40° + 180°п, п є 2; 4) п є 2. 1145. 1) ^+пп,
п є 2; 2) 45° 4- 180°п, -75° 4- 180°п, п є 2; 3) ±?4-лп, п є 2; 4) 6	4
Я ПП ». л- 'Т 11Л43	1\ Я ,	5л ПП	тчг п\ я пп
7Г7 + Т^> п е 114Ь. 1) - —+ лп, ттт + "^“, п є 2) —— + —, 24 12	24	144	6	12	2
5±^ + 2тсп, п є 2; 3) ^77 + лп, (-1)”агсзіп у“ + тсп, пеі. Вказівка. 6 3	3	4 6
4^^ + 8Іп2х)-2^^-со8Х+І8Іпх^ = 0; ?(еій^ + 8Іп2х^-еов^х-^|=0; 4 зіп (х + соз (х - - соз (х - = 0;	4 соз ^х - ^зіп (х + - ^ = 0.
1147. 1) 5 + ^Г’ 777 + 7Гп> п є 2) “т^ + лп, пє 1 Вказівка. 82	12	12
4зіп2x4- — соя2х) -5 = срв^“^— + 2х^; 4зіп2^2х+^~зіп^2х + ^-
407
-5 = 0. 1148. 1) 2лп, -^4-ял, ^4-яті, л є 2. Вказівка. 2 зіп 2х соз х -- 2 зіп х соз х-2 соз х (соз х - 1) = 0; 2 соз х (зіп 2х - зіп х - соз х + + 1) = 0; 2 соз х ((1 4- зіп 2х) - (зіп х 4- соз х)) = 0; 2 соз х ((зіп х 4-4- соз х)2 - (зіп х 4- соз х)) = 0; 2 соз х (зіп х 4- соз х) (зіп х 4- соз х - 1) = 0; 2) 4+лп, %+пп, пеі. 1149.1)	пє 1 Вказівка, (віп 4х +
4	2	2	8	2
4- соз 4х) (зіп2 4х 4- соз2 4х - зіп 4х соз 4х) - (1 - зіп 4х соз 4х) = 0; (зіп 4х 4- соз 4х - 1) (1 - зіп 4х соз 4х) = 0; 2) “4-яті, -£-4-^, пє 1 8	24 З
1150. (-1)В+І агсзіп-1^-^ + лп, п є 2.1151. (-1)"агсвіп 5-^ + тсп, 2 <2 4	2>/2	4
пє 2. 1152. 1) 2лп, ^ + 2пп, п є 2; 2) пп, агсі£ 2 + тіп, пєі. п •	г»	8ІПХ + СО8Х л	л Я л	пг
Вказівка. Зробіть заміну ---------= 1. 1153. 2пп, — + 2пп, п є 2.
81П х - сов X	2
1154. 1) “4-яті, п є 2; 2) ял, + п е Я. Вказівка. соз4х = ^^^; 4 соз2 2х - 2 = 1 4- 4 соз8 2х - 3 соз 2х; 4 соз3 2х -2
- 4 соз2 2х - 3 соз 2х 4- 3 = 0; 4 соз2 2х (соз 2х - 1) - 3 (соз 2х - 1) = 0;
(4 соз2 2х - 3) (соз 2х - 1) = 0; 3) Ле 2. 1155. 1)	±% + 2пп,
З	2	6
л є 2; 2) пп, ±^+пп, п є 2. 1156. 1) к є 2, к * 15р, р є 2, 6	15
17+^’ п є 2> п * 17т + 8, т є 2; 2) к є 2, к * 9р, р є 2. Вказівка. Помножте обидві частини рівності на 2зіп^; 3) к є 2, к Ф 9р, р є 2. Вказівка. Скористайтеся формулою пониження степеня. 1157. 1) к є 2, к + 14р, р є 2; 2) к є 2, к * Зр, р є 2, £ + п є 2; 3) к є 2, к * 9р, р є 2. 1158. 1) -2; 2) коренів не-8	2	9
має. 1159. 1) 2; 2) коренів немає. 1160. Коренів немає. Вказівка. Якщо х > 0 або х < -1, то х2 4- х 4- 1 > 1. При х є [-1; 0] зіп х < 0, а х2 4- х 4- 1 > 0.	1161. Коренів немає. 1162. 1) х = 2пк,
у = ± абох = л + 2лЛ, р = -|, к є 2;2) х=~5+^?5^8*> у=~5~-^-^, абох=-5-725-^, р = -5+У25-8* абох=5 + У21-8п	5-У21-8п
2	’ *	2	2 у 2
або х=5->/21-8п	5+>/21-8п	* є 2, п є 2, Л < 3, п < 2.
2 у 2
1163.1)х = -4, у=~абох = 4, у=~+^, пє 2;2)х = ^+2лп, 8	2	8	2	4
у = -3 або х = -44-2лп, у = 3, п е Я. 1164. 1) пк9 к є 2, к * -2; 4
2) ^+2пк, кє 2, к * 0, (-іУ-^+пп, п є 2; 3) (~1)*|+^ к є 2,
2	6	6
408
к * 1. 1165. 1) ^+пк, к є 2, к * 0; 2) 2пк, к є 2, | + я/і, пє 2, п * 0; 3) |+|, к є 2, к * 1. 1166. 1) ~ + пк, к є 2; 2) | + лЛ» к є 2;	3) ~^+2пк, 2пк, к є 2;	4) 2лЛ, к є 2;
б)	А є 2; 6) (-1)*+1£+лЛ, %+2пк, к є 2. 1167. 1) у+пк,
12	2	6	2	4
к є 2; 2) пк9 ке 2; 3) л + 2пк9 ке 2; 4) 2пк9 ^ + 2пк, ке X; 5) п + 2пк9
±| + 2лЛ, ке X. 1168. 1) х = к9 к є И, к * 1; 2) х = 0, х = ±1, х = ±2,
х = ±^. 1169. 1) х = 3, х = | + Л, к е 2, к < 2; 2) х = ±^, х = ±3, х = ±1.
2	'	2	2
1170.	1) -£+2лЛ, (-1)*£ + лЛ, к є 2) 2пк9 к е Я; 3) ~ + 4пк, 2	6	2
8ІПХ = 1,
к є 2. Вказівка. Дане рівняння рівносильне системі
соз 4х = 1,
соз-#—-. 2	2
1171.	1) |+2лА, -у + 2лЛ, ~^+2пк, к є 2; 2) л+2лЛ, к є 2.
1172.	1) пк, ^+2лк, А є 2; 2) |+лА, к е 2; 3) ~+2пк, | + лА, к є 2.
1173.	1) ~иік, 2пк, к є 2; 2) ±^+2пк, 2пк, к є 2; 3) | + 2яА, пк, ке 2. 1174. 1) 7+^, -|агсів^ + ^. к є 2; 2) ^+пк, -агс1£^Ц-^ + л&, к е 2. 1175. 1) £ + лЛ, ±агсі£^ + лЛ, к є я , пк 1	. 3x6 як .	™ о. я , .	. з(5--7з)	,
2) 7+—, -^агсік——, Лє2? 3) 7 + лА,	--+ лА’
4	2	2	1о 2	2	11
к є 2. 1176. 1) (|+2пЛ;2лл), (2лЛ;-|+2лл), к е 2; 2) (| + лЛ;|-л*)’ (і+я*;її~л4 Ле2; з> ((-і>*її+і+іг(-і)*її-і+?)’ *є2; 4) (|+яЛ;лл), (лМ-|+п/г), к є 2.1177.1) (360°й; 60° + 360°Л), (-60° + + 360°Л; 360°Л), ке 2; 2) Йг+7?;-її-2?)’ к е 2; 3) (|+2Л;і-2ЛІ к є 2; 4) (|+*Л;	к є 2. 1178. 1) (|+*Л;	к є 2;
2) (2лЛ;у-2лл), к є 2.1179.1) (у+лА;-|+лл), к є 2.1180.1) (^+лЛ;
к є 2;2)|агсі;в|+лЛ;7-агсі8І-лй|, Іагсі8І+лЛ;7-агсІ8І-лА|,
А Є 2. 1181. 1) (т|+2?;_12 + ?)’ Ае 2) (і+7Іп;і+7Гп)’ (_і + лп; \12	2	12 2у	\о О /	\ О
409
п е 2, к є 2. 1183. 1) (-ї + я(|-*)^ + я(| + л)) 4 і агссоз—+л(п+А); " + т агссов — + л(л-Л)ї 2	4	8 2	4	/
+ п є 2. 1182. 1) (£+£(п+2Л);£+£(п-2Л)), (|+£(п+2А); |+|(п-2Л)), пє2, ке 2; 2) (-|+^-Л;|+|+л), пє2’ * є 2; 3) ^2лЛ;у+2лп^ ^2лЛ;-у+2лп), (у+2лЛ;2яп), (-у+ 2як-,2тт}, , п е 2, к е 2; 2) (|+ . ґ-^+4 агссов—+ к 8 2	4
+ л(п+Л);5 + іагссо8^ + я(ге-А)),	(^-іагссов^+л(п+А);-^-
82	4	) кв 2	48
- агссов ^ + л(п-Л)],	і агссов —+л(п + Л);	агссов—+
2	4	/ к 8 2	4	82	4
4-л(п-Л)}, пе 2,ке 2;3)(^+я(Л+п);л(Л-п)|, (я(Л+п);-^+л(Л-п)), пе2,ке 2;4)(|+2лА;|+2лп), (| + 2лЛ;-|+2яп), (-|+2лЛ;|+2яп). (-£ + 2лЛ;-£+2лп), ке 2. п е 2. 1184. 2) -£+2лп<х<^+2лп, \ о	«>	/	3	3
п є 2; 3) “ + 2тпі<х<у + 2лп, п є 2; 6) £ + лл <х<£ + лп» п є 2; 4	4	6	2
8)	пп < х < ~ + пп, п є 2; 9) п - агсвіп і + 2пп < х < 2п + агсвіп і + 2лп, 4	6	6
пє 2. 1185. 2) -£+2лп<х<^ + 2лп, п є 2; 3) £ + 2лп<х<^ + 2яп, 6	6	3	3
п є 2; 6) ~ + пп<х<~ + пп, п є 2; 8) - + лп<х<л + лп» п є 2; 2	3	4
10)	цгсОД 2 + яп<х<я + пп, п е 2.1186.1) ^+яп<х<^+яп, п є 2;
3) ’^<х<^- + ^, пе2. 1187. 3) -т+^<х<-^+^, п є 2; 5	20	5	4 2	12 2
4) 7агссо8І+^<х<ї-|агссов|+^,п є 2.1188.1) -£ + лп<х<^+лп» 4	4224	42*	6	З
п є 2; 2) “ + лл<х<у^ + лп, п є 2; 3) і~ + лп<х<^ + лп, п є 2;
4)	+	пє 2; 5) л + 4лп < х < 2л + 4ял, п є 2;
18 3	2 3
6) -+77 + ли<х<^ + і + лп» п є 2. 1189. 1) ~ + пп<х<пПу п є 2; 8 2	8 2	6
2) ^+4лп<х<^+4лп, пє2; 3) ^+2лп<х<^ + 2лп, п є 2; 6	6	2	6
4)	+3лл<х<“ + 3лп» п є 2; 5) ~ + 2пп<х<^+2лп» п є 2;
4	4	6	2
в) ^гЕ+2?г<х<^+^ пе2. 1190. 1) -?+2яЛ<х<агс8іпІ+2лЛ, 60	2	60	2	6	4
л-агсвіп^+2лЛ<х<^+2лЛ, Лє2; 2) -“^+2лп<х<-агссов^ + 2лп,
410
агссоб і + 2пп < х < ~ + 2лп, п є 3) -агсі£ 2 + пк < х < агсі§ 3 + пк, 4	З
Лє 2; 4) ^ + пп<х<^ + пп, п є 2. 1191. 1) -^+2лЛ<х<-^+2лЛ, 6	4	6	3
^+2яЛ<х<^ + 2яй, Ь2; 2) агс8іп|+2яЛ<х<^+2лЛ, З	6	3	6	6
+ 2лЛ< х < л-агсвіп ±- + 2пк, к є 2; 3) агссід 1,5 + пк < х < п - агссід 4 + З
+ пк, к є X; 4) ~+пп<х<^+пп, п є 2. 1192. 1) -у+лЛ<х<^+яА, 6	4	4	4
ке Я; 2) Л + 2тг<^<т-»-—>	3) ~+пк<х<±+пк, к є 2;
12 3	43	З	З
4)	“ + лЛ<х<-агсі£2+лЛ,	агсі£2+лЛ<х<£ + т:Л,	к є 2.
А	А
1193. 1) -£+—+ кеХ-, 2)	+ кЕІ;
62	62	62	62
3) £+яЛ<х<^ + лЛ, к є X; 4) пк < х < агссід 5 + пк, п - агссід 5 + 6	6
+ пк < х < п + пк, к є 1. 1194. 1) х*у + у^, к є 2; 2) 2пк, к є 2;
3) - + пк<х<^-+пк, ке 2. 1195. 1)	к є 2;
4	12	8	2	8	2
2)	^+2пк<х<^-+2пк, к є 2;	3) -|+2Л<х<|+2Л, к є 2.
1196. 1) -~ + пк<х<± + пк, ке 2) х * пк, кеі. 1197. 1) ~+ 3	6	6
+ пк<х<пк, к є 2; 2) ~+лЛ<х<^+яЛ, к є 2.1198.1) %+2пк<х< 12	12	З
<	^+2пк, к е 2; 2) -агсі£2+яА<х<£ + яЛ, к е 2; 3) ~+2пк<х< З	3	6
<	^- + 2пк, к є 2; 4) агсі&\Ї2 + пк<х<£ + пк, -агсі£^2 + пк<х<пк, А	А
ке 2. 1199. 1) |+2яЛ<х<у+2лй, к е 2; 2) пк<х<^ + пк, ^ + пк<і
<	х<п+пк, к е 2; 3) ^+пк<х<^ + пк, ке 2; 4) ~^+пк<х<~^ + пк, 4	4	2	4
іЛ<х<^+пк, к е 2.1200.1) ^+2пк<х<^ + 2пк, п+2пк<х<^+2пк, 4	5	5	5
^+2пк<х<2п + 2пк, к є 2;2) у <х<^ + у, Л є 2;3) 2лЛ<х<|+2лЛ, ^+2пк<х<п+2пк, ^+2пк<х<^+2пк, ке 2; 4)~+2пк<х<2пк, 4	4	4	2
^+2пк<х<^+2пк, кеії-, 5) 2пк<х<|+2пк, у+2пк<х<п+2пк, ^+2пк<х<^+2пк, ке Я. 1201. 1) 2пк < х < п + 2пк, к є 2;
3	2
2) —^-+2пк<х<2пк,	-^-^2пк<х<^^2пк,	-^-+2пк<х<п+2пк,
5	5	2	5
^+2пк<х<^+2пк, ке 2; 3) ^ + пк<х<^ + пк, ^+пк<х<^-+пк, 5	2	6	2	2	6
к є 2І; 4)
Д + ^<Х<Д + ^, 8 2	4 2
-ф ——
4	2	8	2 ’
к є 2.
411
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Амплітуда гармонічного коливання 307
Аналітичний спосіб задання функції 33
Аргумент функції ЗО
Арккосинус 313
Арккотангенс 327
Арксинус 319
Арктангенс 326
База індукції 140
Взаємно однозначна відповідність 21
—	однозначне відображення множини на множину 31
Виділення цілої частини з раціонального дробу 130
Винесення множника з-під знака кореня 169
Відкрита півплощина 118
Відкрите півколо 24
Відкритий відрізок 24
Відображення множини на множину 31
Вільний член алгебраїчного рівняння 135
Вісь котангенсів 228
—	тангенсів 228
Внесення множника під знак кореня 170
Гармонічне коливання 306
Графік нерівності з двома змінними 118
—	рівняння 112
—	системи нерівностей 123
—	числової функції 33
Діаграма Ейлера 11
Дробова частина числа 32
Елемент множини 6
Еліпс 114
Звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу 171
Знак кореня п-го степеня 158
Значення функції 30
Індуктивний висновок 138
—	метод 138
—	перехід 140
Індукція 138
Коефіцієнти алгебраїчного рівняння 135
Корінь п-го степеня 158
—	арифметичний п-го степеня 160
—	кубічний 159
—	многочлена 130
Косинус 225
—	різниці 267
—	суми 267
Косинусоїда 247
Котангенс 226
Кут в 1 радіан 218
—	І чверті 233
—	II чверті 233
—	III чверті 233
—	IV чверті 233
Лінійна нерівність з двома змінними 120
Метод інтервалів 88
—	математичної індукції 139
—	рівносильних перетворень 202
—	розкладання на множники 356
Многочлен-ділене 128
—	-дільник 128
— -неповна частка 129
---остача 129
---частка 128
який ділиться націло 128
Множина 6
—	зліченна 25
—	нескінченна 19
—	одноелементна 7
—	порожня 8
—	, симетрична відносно початку координат 49
—	скінченна 19
—	числова 6
Множини рівні 7
—	рівнопотужні 25
Модуль числа 102
Найбільше значення функції на множині 43
Найменше значення функції на множині 43
Найпростіші тригонометричні нерівності 375
---рівняння 347
Наслідок нерівності 83
—	рівняння 80
Неповна частка 129
Нерівності рівносильні 82
Нуль функції 39
Об'єднання множин 13
Область визначення рівняння 78
---функції ЗО
412
— значень функції ЗО Одиничне коло 259 Основна тригонометрична тотожність 259 Остача 129
Параметр 94
Перетин множин 12
Період функції 238 ----головний 279 Підкореневий вираз 158 Підмножина 11 — власна 12 Потужність 24 — континууму 28 Правильний дріб 130 Проміжок знакосталості функції 40 — зростання функції 41 — спадання функції 41 — числовий 6
Радикал 158
Радіан 218
Радіанна міра 218
Рівняння алгебраїчне 135
—	з параметром 94 — ірраціональне 199
—	найпростіше тригонометричне 347 — першого степеня з двома змінни-
ми 112
—	рівносильні 79
—	, рівносильні на множині 79
—	тригонометричне однорідне п-го степеня 349
Розв'язок нерівності з двома змінними 118 — рівняння 112 — системи нерівностей 123 Розрив 87
Розтяг від осі абсцис 54, 114
Розтяг від осі ординат 55, 113
Сигнум 32
Симетрія відносно осі ординат 56
Синус 225
—	різниці 267
—	суми 267
Синусоїда 245
Степінь з раціональним показником 186
Стиск до осі абсцис 54, 114
Стиск до осі ординат 55, 113
Сторонні корені рівняння 81
Сукупність рівнянь (нерівностей) 14
Тангенс 226 — різниці 268
—	суми 268
Теорема Везу 130
Формула косинуса різниці 267
—	косинуса суми 267
—	синуса різниці 267
—	синуса суми 267
—	тангенса різниці 268
— тангенса суми 268
— різниці косинусів 297
---котангенсів 298
---синусів 297
---тангенсів 298
— суми косинусів 297
---котангенсів 298
---синусів 297
---тангенсів 297
Формули зведення 274
—	перетворення добутку тригонометричних функцій у суму 302
—	подвійного аргументу 281
—	половинного аргументу 286
—	пониження степеня 282
—	потрійного аргументу 285
Функції взаємно обернені 71
Функціональна залежність ЗО
Функція ЗО
—	гармонічного коливання 306
—	Діріхле 31
—	зростаюча 40
—	, зростаюча на множині 40
—	кусково задана 33
—	непарна 48
—	неперервна 87
—	обернена 71
—	оборотна 69
		на множині 72
—	парна 48
—	періодична 238
—	складена 33
—	спадна 40
—, спадна на множині 40
— степенева з натуральним показником 146
-------раціональним показником 186
-------цілим показником 152
—	тригонометрична 227
—	числова 31
—	у = ч[х 178
Характеристична властивість множини 7
Ціла частина числа 32
Частота циклічна гармонічного коливання 307
413
ЗМІСТ
Від авторів...................................................З
Умовні позначення.............................................4
§ 1.	Множини. Операції над множинами..........................5
1.	Множина та її елементи...............................6
2.	Підмножина. Операції над множинами..................11
3.	Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність ... 19
4.	Нескінченні множини. Зліченні множини...............24
• *Я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити! ♦.....27
§ 2.	Функції, многочлени, рівняння і нерівності..............29
5.	Повторення та розширення відомостей про функцію.....ЗО
6.	Зростання і спадання функції.
Найбільше і найменше значення функції................39
7.	Парні і непарні функції.............................48
8.	Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень.............................................53
9.	Як побудувати графіки функцій у = / (|х|) і у = | / (х) |, якщо відомо графік функції у = / (х)....................62
10.	Обернена функція....................................69
• Львівська математична школа........................76
11.	Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок.
Рівносильні нерівності...............................78
12.	Метод інтервалів....................................87
13.	Рівняння і нерівності з параметрами.................94
14.	Рівняння і нерівності, які містять знак	модуля.....102
15.	Рівняння з двома змінними та його графік...........111
16.	Нерівності з двома змінними........................118
17.	Системи нерівностей з двома змінними...............123
18.	Ділення многочленів. Корені многочлена. Теорема Везу ... 128
19.	Алгебраїчні рівняння...............................135
20.	Метод математичної індукції .......................138
§ 3. Степенева функція......................................145
21.	Степенева функція з натуральним показником.........146
22.	Степенева функція з цілим показником...............152
23.	Означення кореня п-го степеня......... ...л........158
24.	Властивості кореня п-го степеня.................   163
25.	Тотожні перетворення виразів, які містять корені п-го степеня............................................169
26.	Функція у = у/х ...................................178
27.	Означення та властивості степеня з раціональним показником..............................................185
28.	Перетворення виразів, які містять степені
з раціональним показником...........................192
29.	Ірраціональні рівняння.............................197
414
ЗО.	Метод рівносильних перетворень при розв’язуванні ірраціональних рівнянь.................................202
31.	Різні прийоми розв’язування ірраціональних рівнянь та їх систем...........................................208
32.	Ірраціональні нерівності............................212
§ 4. Тригонометричні функції.................................217
33.	Радіанне вимірювання кутів..........................218
34.	Тригонометричні функції числового аргументу.........225
35.	Знаки значень тригонометричних функцій. Парність і непарність тригонометричних функцій.........233
36.	Періодичні функції..................................238
37.	Властивості і графіки функцій у = віп х і у	= сов	х.244
38.	Властивості і графіки функцій у = х і у	= сі£	х....254
39.	Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу...............259
40.	Формули додавання...................................266
41.	Формули зведення....................................274
42.	Формули подвійного, потрійного і половинного аргументів.............................................281
43.	Формули для перетворення суми і різниці тригонометричних функцій у добуток.....................296
44.	Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.........................................302
45.	Гармонічні коливання................................306
• Ставай Остроградським!.............................310
§ 5. Тригонометричні рівняння і нерівності...................311
46.	Рівняння сов х = Ь..................................312
47.	Рівняння віп х = Ь..................................318
48.	Рівняння х = Ь і сі£ х = Ь..........................325
49.	Функції у = агссов х і у = агсвіп	х.................330
50.	Функції у = агсі£ х і у = агссі£ х..................340
51.	Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних. ......................................347
52.	Розв’язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники................................356
53.	Приклади розв’язування більш складних тригонометричних рівнянь...............................360
54.	Про рівносильні переходи при розв’язуванні тригонометричних рівнянь...............................364
55.	Приклади розв’язування систем тригонометричних рівнянь...............................370
56.	Найпростіші тригонометричні нерівності..............375
57.	Приклади розв’язування більш складних тригонометричних нерівностей...........................382
Відповіді та вказівки до вправ...............................387
Предметний покажчик..........................................412
415
Видано за рахунок державних коштів Продаж заборонено
Навчальне видання
Мерзляк Аркадій Григорович Номіровський Дмитро Анатолійович Полонський Віталій Борисович Якір Михайло Семенович
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ 10 клас Профільний рівень
Редактор Г. Ф. Висоцька
Художник С. Е. Кулинич Коректор Т. Є. Цента Комп’ютерне верстання О. О. Удалова
Формат 60x90/16. Гарнітура шкільна. Ум. друк. арк. 26,00. Тираж 62 150 прим. Замовлення
ТОВ ТО «Гімназія», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052 Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93 Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10.2001
Надруковано з діапозитивів, виготовлених ТОВ ТО «Гімназія», у друкарні ПП «Модем», вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел. (057) 758-15-80
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ХК X? 91 від 25.12.2003
«Моя любов — Україна і математика». Ці слова Михайла Пилиповича Кравчука (1892—1942) викарбовано на гранітному постаменті пам’ятника науковцеві.
Ми сподіваємося, що це патріотичне висловлювання видатного українського математика стане для вас надійним дороговказом на шляху до професіоналізму.
Графік степеневої функції
у = хл,	у = хл,	у = Х"л,	у = Х"л,
п — парне	п — непарне	п — парне	п — непарне
натуральне	натуральне	натуральне	натуральне
число	число, п > 1	число	число
Властивості кореня п-го степеня
Для будь-якого дійсного а виконуються рівності 2*+^г = а, 2^* =|а|.
Якщо а > 0 і & > 0, то >[аЬ = у[а • >ІЬ;
якщо а > 0 і Ь > 0, то ? —
якщо а > 0, то (у/а} =	;
якщо а > 0, то п\/а = \Ца ;
якщо а > 0, то пуа* = л/а
Розміщення графіка квадратичної функції відносно осі абсцис
Графіки тригонометричних функцій
	0	Значення тригонометричних функцій деяких кутів 0 ДО' идс	$0° я	я	я	я	2я Зя 5я							тг	ви < Зл
		6	4	3	2	3	4	6	/V	2
аіп а	0	1 1. 2	У2 2	Уз 2	1	Уз 2	У2 2	2_ 2	0	-1
соз а	1	Уз 2	У2 2	£ 2	0	2	У2 2	Уз 2	-1	0
а	0	Уз 3	1	Уз	—	-Уз	-1	Уз 3	0	—
сі£ а	—	Уз	1	Уз 3	0	Уз 3	-1	-Уз	—	0
Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу
11	4
віп2 а + сов2 а = 1; 1 + і£2а =  —; 1 + сі£2а =  —; І£асІ£а = 1 сов а	віп а
Формули додавання
сов (а 4- Р) = сов а сов р - віп а зіп Р; сов (а - Р) = сов а сов р + віп а віп Р; віп (а + Р) = віп а сов р + сов а віп Р; віп (а - Р) = віп а сов р - сов а віп Р;
1-І£аі£0	1 + іеаіеР
Формули подвійного аргументу
віп 2а = 2 віп а сов а;
сов 2а = сов2 а - віп2 а = 2 сов2 а - 1 = 1 - 2 віп2 а;
і#2а =
2і&а
1 - іе2а
формули пониження степеня
,2 1 - сов 2а	2 1 + сов 2а
віп а =-----; сов а =---------
2	2
Формули суми і різниці синусів (косинусів)
. о . а + Р	а-Р
віпа + 8іпР = 2 віп -^2"сов -	;
. о о • а“Р	а + Р
віпа -віпр = 2віп—2^~сов—
, о о а+Р а-р сова + совр = 2сов 2 СО8~~2~~ ’ о . а + Р . а-р о . а + Р . Р~а сов а - сов Р = -2 віп 2 8111 2 = * 8111 2 ' 8111 її—
Формули перетворення добутку в суму
віп а сов Р = (віп (а - Р) + віп (а + Р));
віп а віп р = (сов (а - Р) - сов (а + Р));
сов а сов Р = (сов (а - Р) + сов (а + Р))
Формули синуса і косинуса потрійного аргументу
віп За = 3 віп а - 4 віп3а ;	сов За = 4 сов3а - 3 сов а
АЛГЕБРА і початки аналізу
Навчально-методичний і
ШіМГІГІЯХІ
Підручник
Книга для вчителя
Збірник задач і контрольних робіт
тачььч
ТОВ ТО «Гімназія»
пуп восьмого Березня Зі. м Харків 61052 Ієн (057) 719-17-26, 758-03-93, 719-46 НО факс 1057) 758-83-93
•• шліГ опіасі  чутплчл сот.иа
ДЛЯ ТИХ, ХТО ПРАГНЕ ЗНАТИ БІЛЬШЕ
ПІДРУЧНИК ДЛЯ КЛАСІВ З ПОГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕННЯМ МАТЕМАТИКИ
7Ч0ЧЗЧ