Text
                    А.В Архангельский, В.И.Пономарев
ОСНОВЫ
ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
В ЗАДАЧАХ
И УПРАЖНЕНИЯХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974


А.В Архангельский, В.И.Пономарев ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва 1974
517.6 A 87 УДК 513.83 Книга вводит читателя в область основных понятий и методов общей топологии своеобразным^ путем, а именно посредством задач, которые пред- лагаются читателю в порядке возрастающей труд- ности. Никакой специальной подготовки книга не требует — она доступна студентам-математикам, начиная со второго курса. Книга является оригинальным по форме, но достаточно полным учебником общей топологии,, доводящим читателя до современных проблем этой области математики. Она будет полезна научным работникам, аспирантам, студентам, интересы кото- рых так или иначе сталкиваются с общей тополо- гией. (g) Издательство «Наука», 1974 20203—093 „л 053(02)-74 Ц £ • тр ТЛЬНГ. 40 , нова
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие....................................................... 5 Обращение к читателю . ........................................... 9 Глава I. Теория множеств......................................... 13 § 1. Операции над множествами. Счетные множества (задачи 1-22) 20 § 2. Общие задачи об отображениях (задачи 23—35)............. 22 § 3. Общие задачи о вполне упорядоченных множествах (задачи 36-82)...................................................... 23 § 4. Свойства кардинальных чисел (задачи 83—122)............. 28 § 5. Предфильтры, фильтры и ультрафильтры. Центрированные и максимальные центрированные семейства множеств (зада- чи 123-146)................................................. 32 • Решения.......................................................... 35 Глава II. Топологические пространства. Метрические простран- ства. Основные понятия, связанные с топологическим и метрическим пространством .................................... 52 § 1. Простейшие задачи, связанные с общими понятиями тополо- гии (задачи 1—74)........................................... 62 § 2. Кардинальнозначные характеристики пространств (задачи 75—150)..................................................... 70 § 3. Метрические пространства (задачи 151—280)............... 77 § 4. Непрерывные отображения топологических пространств. Первый круг задач (задачи 281—352)...................... 91 § 5. Тихоновские произведения (задачи 353—398).............. 100 Решения......................................................... 106 Глава III. Бикомпактные пространства и их подпространства. По- нятия, связанные с бикомпактностью............................. 136 § 1. Функциональная отделимость. Вполне регулярные и нор- мальные пространства (задачи 1—41) 136 § 2. Бикомпактность (задачи 42—174) ...................... 140 § 3. Понятия, близкие к бикомпактности (задачи 175—252) . . . 152 § 4. Компакты (задачи 253—308) ...........>.............. 160 § 5. Непрерывные функции на бикомпактах (задйчи 309—337) 165 § 6. Связность (задачи 338—376)............................. 170 Решения ........................................................ 174 Глава IV. Бикомпактные расширения .............................. 232 § 1. Общие конструкции и общие задачи (задачи 1—47)......... 233 § 2. Задачи, связанные с расширением P7V Стоуна—Чеха счетного дискретного пространства (задачи 48—68) ............. 238 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Бикомпактные расширения и а-фильтры (задачи 69—78) § 4. ^-пространства и расширение Хьюитта (задачи 79—139) . . § 5. Подчинения (задачи 140—184)........................... Решения ....................................................... Глава V. Метризация и паракомпактность......................... § 1. Общие задачи о покрытиях и базах (задачи 1—74)....... § 2. Основные метризационные теоремы (задачи 75—101) . . . . § 3. Пространства, близкие к метризуемым. Специальные теоремы о метризации и метрических пространствах (задачи 102—125) § 4. Паракомпакты (задачи 126—156)......................... § 5. Свойства типа паракомпактности: счетная паракомпактность, сильная паракомпактность, слабая паракомпактность и дру- гие (задачи 157—206)....................................... § 6. Некоторые дальнейшие задачи (задачи 207—231).......... Решения ....................................................... Глава VI. Пространства и непрерывные отображения............... § 1. Факторные, бифакторные и псевдооткрытые отображения (задачи 1—28) ....................................... § 2. Совершенные отображения (задачи 29—72)............... § 3. Замкнутые отображения (задачи 73—114)................ § 4. Открытые отображения (задачи 115—152)................ § 5. Экстремально несвязные пространства (задачи 153—187) . . § 6. Абсолюты регулярных пространств и совершенные неприво- димые отображения. Соабсолютные пространства (задачи 188—252) ........................................... Решения ....................................................... Литература.....................................................
ПРЕДИСЛОВИЕ За последние годы в иностранной математической литературе появилось много книг, посвященных так называемой общей топологии, т. е. в первую очередь теории топологических пространств. Книги эти — раз- ного достоинства. Наилучшими среди них я считаю обширный двухтомный классический трактат К. Кура- товского «Топология» (выдержавший несколько изданий на различных языках и переведенный на русский язык несколько лет тому назад) и замечательную книгу польского математика Р. Энгелькинга, вышедшую параллельно на польском и английском языках соот- ветственно под заглавиями «Zarys topologii ogolnej» и «Outline of general topology». Неудивительно, что обе эти книги принадлежат перу польских математиков: общеизвестно, что польская математическая школа в течение более чем полустолетия занимает одно из самых передовых мест в теоретико-множественной топо- логии. Советская топологическая школа в течение этого же полустолетия выдвинулась также на одно из пер- вых мест, но в нашей книжной литературе это обстоя- тельство, можно сказать, совсем не отразилось: кроме уже упомянутого перевода трактата Куратовского и перевода знаменитой «Теории множеств» Хаусдор- фа (оригинал которой относится — в различных его изданиях — к 1914 и к 1927 гг.), мы имеем еще на рус- ском языке перевод книги Келли (изданной в 1955 г., но устаревшей больше, чем упомянутые выше классиче- ские произведения) да еще написанное мною и изданное
ПРЕДИСЛОВИЕ в 1948 г. совсем элементарное «Введение в общую теорию множеств и функций», не доходящее в тополо- гической части даже до формулировки какой-либо общей метризационной теоремы. На фоне фактического отсут- ствия оригинальных русских книг по общей топологии даже новое издание «Мемуара о компактных топологи- ческих пространствах», написанного в 1922 г. П. С. Уры- соном и мною, явилось, вероятно, небесполезным попол- нением нашего книжного фонда по данной области математики. Книга, предлагаемая ныне вниманию математиков, интересующихся и занимающихся общей топологией, имеет заглавие «Общая топология в задачах и упраж- нениях» и принадлежит перу двух математиков моло- дого поколения, принадлежащих к числу наиболее выдающихся представителей советской математической школы в области теоретико-множественной топологии. Им принадлежат многие из самых замечательных результатов, полученных в теории топологических пространств за последние 10—15 лет. Достаточно ска- зать, что такая фундаментальная и совершенно новая глава топологии, какой является общая теория непре- рывных отображений топологических пространств, в основном создана именно двумя авторами этой книги. Такие результаты, как теоремы В. И. Пономарева об абсолюте топологического пространства или о про- странствах с первой аксиомой счетности как открытых образах метрических пространств, равно как теоремы Архангельского о введенных им так называемых пери- стых пространствах и вообще о связях между различ- ными типами пространств,— связях, осуществляемых непрерывными отображениями тех или иных классов,— принадлежат бесспорно к основным и наиболее инте- ресным достижениям общей топологии. Что же касается решения А. В. Архангельским вопроса о мощности всех бикомпактных хаусдорфовых простра ств с первой аксиомой счетности, то это не только решение проблемы пятидесятилетней давности, но и несомненно один
ПРЕДИСЛОВИЕ из фундаментальных результатов всей теоретико-множе- ственной математики. Неудивительно, что авторы, столь далеко продви- нувшие разрабатываемую ими область науки, в наилуч- шей степени могли отразить в своем общем труде и наиболее существенные стороны современного ее состояния, и наиболее яркие перспективы ее дальней- шего развития. Действительно, книга А. В. Архангель- ского и В. И. Пономарева вводит нас в самую глубину достижений и задач, волнующих нас сейчас в разраба- тываемой ими, хотя и очень абстрактной, но от этого не менее увлекательной области математики. Именно эту увлекательность излагаемых ими вопросов они сумели показать, хотя избранный ими оригинальный (в последнее время, к сожалению, становящийся уже и модным) способ изложения —«в задачах и упражне- ниях»,— по моему мнению, не столько помогает им, сколько скорее затрудняет их в достижении поставлен- ной цели. Тем не менее задача представить читателю увлекательную картину самого значительного из того, чем живет общая топология именно сегодня, удачно решается в этой книге так, что не нахожу другого сочинения, которому в этом отношении можно было бы отдать предпочтение. После сказанного выше читатель не удивится тому, что все сочинение кульминирует в общей теории непре- рывных отображений, с одной стороны, и в теории так называемых кардинальных инвариантов (мощность, вес, так называемый л-вес, теснота, число Суслина и т. д.) — с другой. Эти вопросы и многочисленные с ними связанные не только наиболее близки интересам самих авторов, но и объективно в самые последние годы выдвинулись в общей топологии на первый план. Но и другие основные направления теории топологи- ческих пространств не остались в тени. Такова проблема метризации, получившая за последние десятилетия неожиданное новое развитие, в значительной степени связанное именно с общей теорией непрерывных отобра-
ПРЕДИСЛОВИЕ жений и в свою очередь тесно связанное с понятием паракомпактности, его усилениями и ослаблениями. Такова теория бикомпактных расширений и в не мень- шей степени теория диадических бикомпактов. Книга не осталась в стороне и от связей с аксиоматикой абстрактной теории множеств, которые так ярко выяви- лись в общей топологии за последние годы. В мои задачи не входит даже конспективное изло- жение содержания книги. Читатель найдет его в оглав- лении. Подводя итог сказанному, хочется только повто- рить, что сочинение А. В. Архангельского и В. И. Поно- марева вводит читателя именно в современные вопросы общей топологии и притом не случайно выбранные, а отобранные действительными знатоками дела. Книга в высшей степени приспособлена для того, чтобы направить читателя на собственные исследова- ния, давая ему, кроме того, и хорошую школу актив- ной работы над математической книгой. Я не сомне- ваюсь, что эта книга найдет успех среди читателей, для которых она предназначена, и сослужит этим читателям большую службу, сделав многих самых молодых среди них настоящими математиками — неза- висимо от того, будут ли они дальше заниматься непре- менно общей топологией или какой-нибудь другой частью математической науки. П. Александров Болшево—Комаровка, 12 ноября 1972 г.
Нашему дорогому учителю Павлу Сергеевичу Александрову посвящается эта книга ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ Когда мы начинали писать эту книгу, еще не вышли книги Халмоша «Гильбертово пространство в задачах», а также Глазмана и Любича «Конечномерный линейный анализ в задачах»; нам казалось, что мы первые делаем попытку нового подхода в изло- жении основ той или иной математической дисциплины — посред- ством задач. Названные книги лишают нас приоритета в этом отношении, но, с другой стороны, показывают, что мы не оди- ноки в желании практически опереться на, казалось бы, бес- спорный тезис: лучший способ глубоко овладеть какой-либо серьезной математической теоремой — это самостоятельно ее дока- зать. Поэтому первое и основное требование, которое мы предъяв- ляем нашему читателю,— это требование его активности и готов- ности терпеливо самому искать решения предлагаемых ему задач и как можно позже обращаться к решению, данному в книге. Иногда мы считаем полезным даже перейти от данной задачи, решить которую читателю не удается, к нескольким следующим. Может быть, он справится с ними и приобретенный при этом опыт принесет ему успех, когда он вернется к задаче, решить которую ему упорно не удавалось. Неудачи сами по себе не должны сму- щать читателя — во многих случаях, предлагая ему ту или иную задачу, мы в действительности предлагаем ему доказать трудную теорему, т. е. предлагаем ему серьезную пробу сил, вовсе не суля- щую верный и тем более быстрый успех. Словом, обращение к дан- ному в книге решению должно всегда быть для читателя действи- тельно крайним средством! Другое дело, что, найдя самостоятель- но решение задачи, читатель поступит благоразумно, если сравнит это решение с тем, которое мы приводим в книге. Это всегда полезно и даст повод для размышлений, а иногда укажет читателю и на ошибку в его решении — этот случай тоже нельзя исключить. Несомненно, что первые решения, найденные читателем для задач, особенно более трудных, довольно часто будут ошибочными — бывает и при самом процессе математического творчества. Мы Должны также предупредить читателя, что, располагая задачи
to ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ по тематическому признаку, мы в некоторых случаях вынуждены ссылаться на решения задач, появляющихся позже — в другом тематическом разделе. Создавая этим, конечно, дополнительные трудности для читателя, мы, однако, уверяем, что никогда не заставляем его в этих немногих случаях двигаться по кругу. Само собой разумеется, что в пределах каждой темы мы заботились о том, чтобы логическая последовательность задач не нарушалась. Многие трудные задачи мы расчленяем на более легкие. В дру- гих случаях (например, в задаче 213 гл. III, представляющей собой трудную математическую проблему, решенную сравнительно недавно) мы даем несколько подходов к решению. Все это, по нашему мнению, должно или облегчить работу над книгой, или увеличить пользу, получаемую читателем от этой работы. Мы надеемся и желаем, чтобы читатель находил и свои собственные подходы к решению именно наиболее трудных задач и этим как бы тренировал свои творческие возможности, что, несомненно, в ряде случаев будет приводить и к реальному прогрессу науки — на- хождению новых лучших доказательств тех или иных важных теорем. Обратим внимание читателя также и на то, что некоторые из предлагаемых задач —- не решенные до сих пор проблемы. Решение подобного сорта задач могло бы явиться предметом научной публикации. Разумеется, пассивный читатель или читатель, чьи научные интересы лежат в стороне от общей топологии, но которому надо по роду его научной деятельности познакомиться с общей тополо- гией, может (и предлагаемая книга дает ему эту возможность) подойти к работе над книгой как к работе над учебником или научной монографией, из которой он хочет почерпнуть нужные сведения. Этой цели наша книга также может служить. Мы надеем- ся, что такой читатель сможет с достаточной полнотой осуществить свои намерения. Перед каждой главой, а часто даже перед началом параграфа мы приводим теоретическое введение, в котором мы даем не только основные определения, но и вводим вспомогательные понятия, нужные для решения задач этой главы (или параграфа), если, конечно, они не встречались ранее. Существенно, чтобы читатель с самого же начала ознакомился с этими определениями и поня- тиями. По каждой из разбираемых тем мы стремились подвести читателя к современному ее состоянию и довести до современной проблематики. Многие из задач — это задачи на доказательство совсем недавно доказанных теорем. Есть, повторяем, и задачи — не решенные до сих пор проблемы. После всех этих общих и отчасти даже принципиальных заме- чаний дадим некоторые конкретные сведения о книге, вероятно, полезные для читателя.
ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ И От читателя не предполагается никаких специальных знаний области общей топологии. Однако предполагается, что читатель хорошо владеет элементами математического анализа и аналити- ческой геометрии по программе первых двух курсов математи- ческих факультетов университетов и педагогических институтов. Книга рассчитана на студентов III——V курсов этих факультетов, специализирующихся в областях математики теоретико-множе- ственного направления, на аспирантов и научных работников, работающих в области функционального анализа, топологии, некоторых отделах геометрии, теории динамических систем и т. п. Полагаем, что особенно полезной будет наша книга при ведении специального семинара. В книге 1587 задач. Она разбита на шесть глав в основном по тематическому принципу, каждая глава в свою очередь разбита на параграфы. В каждой главе своя нумерация задач (например ссылка на задачу 10 главы I делается так: см. 10 гл. I). После формулировки последней задачи каждой главы приводятся реше- ния задач этой главы или указания к решению. Некоторые зада- чи не снабжаются ни решениями, ни указаниями к решению обыч- но по причине их элементарности или же потому, что эти задачи не связаны с остальным материалом книги. В последнем случае мы иногда снабжаем номера этих задач звездочкой, что отнюдь не означает, что эти задачи труднее других. В частности, мы не даем, как правило, решений к задачам, относящимся к теории метрических пространств — ведь теория метрических пространств является составной частью многих учебников по функционально- му анализу, к тому же она входит в настоящее время в обяза- тельную программу по анализу на первых двух курсах математи- ческих факультетов. Заметим также, что при решении неболь- шого числа задач мы отсылаем читателя либо к некоторой книге, либо к оригинальной работе. В конце книги мы приводим небольшой список литературы. Этот список ни в коем случае не претендует на полноту. Прежде всего, здесь указаны книги и работы, на которые имеются ссылки при решении задач. И еще одна важная особенность этой книги. Мы нигде не касаемся истории вопроса, не указываем, за небольшим исключе- нием, кто (то или иное) предложение впервые доказал, кто (тот или иной) пример впервые построил. Мы также не выделяем в формулировках задач, какие задачи трудные, какие более легкие. Появлению в свет этой книги мы в первую очередь обязаны Павлу Сергеевичу Александрову, который самым настойчивым образом побуждал нас к ее написанию. Павел Сергеевич тща- тельно следил и направлял нашу работу над книгой, очень ч*сто мы пользовались его советами и рекомендациями, не- однократно он просматривал уже написанное нами. Мы от всей
12 ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ души благодарим нашего дорогого учителя за все его многообраз- ное участие и неизменную помощь. Приносим искреннюю благодарность рецензенту этой книги Л. А. Тумаркину за ценные замечания и пожелания, которыми мы старались воспользоваться. Мы благодарны В. Л. Илюшину, прочитавшему рукопись книги от начала до конца и принявшего самое деятельное участие в редактировании книги. Мы благодарны нашим аспирантам — А. Башкирову, А. Ком- барову, В. Малыхину, Б. Шапировскому, В. Мишкину и др.— которые*^ тщательнейшим образом просмотрели решения к за- дачам и сделали целый ряд важных поправок. А. В. Архангельский, В. И. Пономарев Московский университет Кафедра высшей геометрии и топологии 25 июня 1973 г.
ГЛАВА I ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Понятие множества, равно как и более общее понятие класса (совокупности, семейства) элементов, мы будем считать перво- начальным и интуитивно ясным. В частности, мы полагаем, что ясен смысл следующих высказываний. Множество состоит из элементов и определяется своими эле- ментами. Формула а £ А читается как «а является элементом множества А». Равенство множеств понимается как их совпаде- ние*. А = В, где А и В — множества, в том и только в том случае, если из а С А следует, что a £ В, и из Ъ С В следует, что Ъ С А. Существует (и единственно) пустое множество — множество, не имеющее ни одного элемента. Пустое множество обозначается через А. Классы также состоят из элементов и характеризуются своими элементами. Все множества являются классами. Но класс является множеством в том и только в том случае, если он сам служит элементом некоторого класса. Только что сказанное можно пони- мать так: запрещено пользоваться некоторыми классами как элементами при построении новых множеств. Пример такого класса — класс всех множеств. Напротив, по каждому множе- ству А канонически определяется некоторое новое множество ехр А, которое, в частности, содержит и А в качестве элемента — а именно, ехр А есть множество всех подмножеств (см. ниже) множества А. Разделение всевозможных мыслимых совокупностей па мно- жества и классы, не являющиеся множествами, позволяет избе- жать широко известных парадоксов, возникших в «наивной» теории множеств на заре нашего века (см. книгу Френкеля и Б а р-Х и л л е л а [1]). Мы не рассматриваем в этой книге ни аксиоматики теории множеств, ни этих парадоксов. Если для всех а из а £ А следует, что a £ В, где В — мно- жество, а А — класс, то мы пишем А с В и говорим, что А яв- ляется подмножеством множества В. При этом А непременно само является множеством. Ясно, что пустое множество является ПоДмножеством любого множества. Если А В и А ф В, то
14 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ говорят, что А является собственным подмножеств ом (или собствен- ной частью) множества В. (А) При определении и обозначении новых множеств часто используется запись следующего вида: А ~ = {а: ...F(a) . . Разъясним ее смысл. А — определяемое множество, а — символ, обозначающий произвольный объект, могущий быть эле- ментом (какого-нибудь класса), a F(a) — высказывание об а (Р(я) — формула, в которую х входит только в качестве свободной переменной и в которой все другие переменные связаны квантора- ми). При этом а £ А в том и только в том случае, если высказыва- ние F(a) имеет смысл и верно (предложение, получающееся при подстановке индивидуальной переменной а в F(x) на место всех вхождений х в F(x), осмысленно и истинно). Через {а} всегда обозначается множество, единственным элементом которого слу- жит а. (Б) Операции над множествами. Сумма или объединение множеств А и В обозначается через A IJ В и опре- деляется так: A (J В == {а: а £ А или а £ В} (союз «или» всегда означает, что требуется выполнение хотя бы одного из соединен- ных им утверждений). Пересечение множеств A is В обозначается через A f| В и определяется так: A f| В = {а: а £ А и a g В} (союз «и» всегда означает требование одновременной истинности соединенных им утверждений). Когда A f| В — А, множества А и В называются непер осекающимися, или дизъюнктными. Если каждому элементу а множества А поставлено в соответствие не- которое множество Ра, томы полагаем U {Ра: а С А}—{а: существует а £А, для которого а £ Ра} is []{Ра: а Е А} ={а: a g Ра при каждом а £ А}. При этом мы называем J {Ра: а £ А} суммой (или объединением) (элементов) семейства {Ра: а С А), или телом этого семейства, и П{Ра: а £ А} — пересечением (эле- ментов) семейства {Ра: а Е А}. В аксиоматической теории множеств доказывается, что классы () {Ра: а 6 А} и Л{Ра: а Е А} в опи- сываемой нами ситуации являются множествами. Если объединение элементов семейства т) множеств равно Хг то ц называется покрытием множества X. Если у = {Ра: а £ А) — семейство множеств, и для любых а', а" Е А из а' =# а" следует, что Ра' П = А, то семейство у называется дизъюнктным. Разность упорядоченной пары множеств А и В есть мно- жество А\В ={а: а С А и а $ В} (где запись «а $В» читается как «а не принадлежит множеству В»). Иногда A\Z? называют дополнением В в А. Наряду сА\Ви2?\А рассматривают симмет- ричную разность А д В множеств А и Б: А д В = (А \2?) (J (В\А). (Круглые скобки всюду в этой книге играют обычную роль — в отличие от фигурных, которые, как мы видели выше, выполняют специальную функцию при определении множеств.)
ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 15 Произведение множеств А я В есть множество А X В = с={(а, Ь): и € А и Ъ € В}. Аналогично определяется произведение Ai X Аг X . . . X А^ любого конечного семейства множеств д . . А*. При этом пишут А X А X . . . X А = Ah. Вскоре k раз будет определено произведение любого (не обязательно конечного) семейства множеств. Пусть каждому a £ А поставлено в соответствие множество X Элементами свободного объединения или свободной суммы, jc{Xa: a € А} множеств Ха по всем а £ А являются всевозмож- ные пары (х, а), где а С А и х £ Ха. При фиксированном a* £ А множество Ха* отождествляется с подмножеством га*(Ха*) свободного объединения, состоящим из всех пар (я, а), для которых а = а*. Мы полагаем при этом 1а(х) (ж» а) Для всех а А и х £ Ха. Для разных а1? а2 Е А может быть Ха1 П Ха2 ф А. Но всегда iai(Xai) f] ia2(Xa2) = A, если (*! Ф a2. Это замечание выясняет характерное отличие операции сво- бодного объединения от обычной операции объединения: мы не просто объединяем слагаемые, но одновременно располагаем их так, чтобы они попарно не пересекались. (В) Отображения. Понятие отображения мы также считаем интуитивно ясным: говорят, что задано отображение f множества X в множество Y (пишут «задано (отображение) /: X У»), если каждому элементу х Е X поставлен в соответствие однозначно определенный элемент у £ У, обозначаемый при этом через/(х) (т. е. у — /(ж)). Простейшее отображение множества X — тождественное е* X X — определяется так: е(х) = х ддя всех х € X. Пусть задано отображение /: X У. Элемент /(я) назы- вается образом элемента х (при отображении /). Если Л с X, то полагают f(A) = {f(x): х Е А} *) (это — сокращенная форма записи, развернутая такова: f(A) ={у: существует х£А, для которого у = /{%)})• Множество /(А) называется образом мно- жества А (при отображении /). Если % — семейство подмножеств множества X, то = {f(A): A Е £}. Далее, если В gz У, то пола- гают f~\B) = {ж: f(x) Е В} и называют /-1(В) прообразом мно- жества В. Прообраз /-1ц семейства т] подмножеств множества У есть {f~\B): В Е ц}. Отображение / называют отображением ««а» {отображением X на Y), если /(X) = У. Если для любых х1У х2 € X из Xi Ф х2 следует, что /(xj =/= f{x2), то отображение / казывают взаимно однозначным (или вложением). Специальный Интерес представляют взаимно однозначные отображения «на». ^сли /: X У — отображение и X' с X, то отображение ♦) Там, где это не вызывает разночтения, скобки могут опускаться, т' е» наряду с / (Л) допускается написание /Л.
16 ГЛ. 1« ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ f = f | X', f: X' -> У, называемое сужением отображения / на множество X', определяется для всех х Е X' правилом: f(x) = — f(x) (f(x) ПРИ прочих х не определено). Пусть даны отображения /: X Y и g: Y -> Z. Для каждого х Е X положим ср(х) = g(/(.r)). Очевидно, ф является отображением множества X в множество Z; оно называется композицией (или суперпозицией) отображений / и g; пишут при этом ф = gf. Графиком отображения f: X —Y называется подмножество Г(/) = {(#, /(#)): х Е X} произведения X X Y. Стандартное ото- бражение фу области определения X отображения / па график Г(/) отображения / определяется следующим правилом: фу(^) == — (х, f(x)) Е Г(/) для всех х Е X. Если л у : X X У -> У — про- ектирование, т. е. лу (х, у) — у для всех (х, у) Е X X У, то, очевидно, f — Лу фу. Пусть каждому элементу а множества А поставлено в соот- ветствие некоторое множество Ха. Тогда назовем нитью ♦) любое отображение х, определенное на А, в силу которого каждому а Е А однозначно соответствует некоторый элемент множества Ха, обозначаемый через х(а) или через ха. (Здесь нет расширения поня- тия отображения: можно считать, что нить х есть подчиненное указанному выше условию отображение множества А в множество, являющееся объединением множеств Ха.) При этом ха называется а-й координатой нити х. Множество всех нитей называется произ- ведением множеств Ха по всем а Е А и обозначается через П{Ха: а Е А} или просто через ПХа, если ясно, какое А имеется в виду. Положим X = П{Ха: а Е А}. Для каждого х Е X и каждого а Е А полагаем ла(я) = Очевидно, ла — отображение мно- жества X на множество Ха; оно называется проектированием произведения на а-й сомножитель. Пусть Ar ст А. Тогда произве- дение П{Ха: а £ А'} называется А'-гранъю (или просто гранью) произведения X = П{Ха: а Е А} и обозначается через ХАч Имеет место естественное проектирование лА' произведения X = П{Ха: а Е А} на грань ХА> (называемое стандартным отображением на грань ХА>), описываемое правилом: яА\х) = == х | А' для каждого х Е X, где х | А' есть такой элемент х’ Е ХА> = П{Ха: а Е А'}, что х'а = ха для всех а Е А'. Формаль- но грань произведения не является его подмножеством, но для каждой точки х* Е X определено естественное вложение i** мно- жества ХА> в множество X, а именно: для каждого х' Е ХА* ix*(^/) = х, где# | A’ — xf и х | (Л\Л') = | (Л \А'). В частно- сти, каждый сомножитель, т. е. каждое Ха, где а Е А, можно интерпретировать как грань множества X, получающуюся, когда *) В последней главе термин «нить» употребляется в более специальном смысле, что будет в надлежащем месте оговорено.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 17 4' ={а}. Для этого случая мы полагаем = ix* — очевидно, iax является вложением множества Ха в X. Вложения Zx«, ix* будут называться стандартными вложения- ми в произведение (граней, сомножителей) в направлении х*. Полезна следующая специализация понятия произведения: если А и В — множества, то через ВА обозначается множество всех отображений А в В. Очевидно, ВА~П{7?а: а Е Л}, где В а = В для каждого а Е Л. Если для каждого а Е А задано отображение /а некоторого множества в некоторое множество Уа, то произведение / — = П{/а: а Е Л} отображений /а является отображением множе- ства X = П{Ха: а Е Л} в множество Y = П{Уа: а Е Л}, опре- Сйделяемое следующим правилом: f(x)=y<=> fa(xa) — уа при всех Е Л *). Если Ха = Z для каждого а Е А, то в произведении X = П{Ха: а ЕЛ} выделяется следующее подмножество А, пазы- <Г^ваемое диагональю произведения: А ={х Е X: х^ = для лю- ^Г"бых а'Е^, a" Е Л}. Если, кроме того, заданы отображения *C/a: Ха = Уа, а Е Л, то их диагональное произведение /д = = А {/се,: а Е Л} определяется как сужение произведения / отобра- жений fa, a Е Л, на диагональ А. Так как диагональ посредством произвольного проектирования ла естественно отождествляется с множеством Z, то /д можно интерпретировать как отображение множества Z в множество У = П{Уа: а Е Л}, определяемое условием: /д (z) = у <=> /a(z) = уа для всех а Е Л. Понятие отображения может быть положено в основу опре- деления понятия числа. Особенно важно, что на этом пути удается определить не только конечные (натуральные) числа, но и раз- личные бесконечные (кардинальные, порядковые) числа. Подроб- ности можно найти в книге Серпинского [1]. Множество называется счетным, если оно или состоит из конечного числа элементов (т. е. конечно — в частности, можег быть, пусто), или если существует взаимно однозначное отображение этого множе- ства на множество N всех натуральных чисел. Если существует взаимно однозначное отображение множества X на множество У, то говорят, что X и У равномощны, и пишут [ X | = | У |. Класс всех множеств, равномощных данному множеству X, называется мощностъю множества X и обозначается через | X |. Мощности именуются также кардинальными числами. Если существует У' cz У, для которого | X | = | У' |, то пишут | X | | У |. Если | X | | У |, но неравенство ] У | | X | не имеет места, то пишут | X | < | У |. Для произвольного множества X полага- ют 2|А,= | exp X |. Понятие кардинального числа позволяет *) Знак «<=>» заменяет выражение: «тогда и только тогда, когда». 2 А. В. Архангельский, В. «*^-*~а* ---- у ’ трчльна науя<эвв|
18 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ произвести несколько достаточно важных определений на основе рассмотренных выше конструкций. Именно, если т — кардиналь- ное число, то мы полагаем ехрт X —{А С exp X: | А | < т}. Далее, если Y = П{Уа: а Е Л} и у* 6 У, то у* {Уа: а Е Л} есть множество всех таких у Е У, что мощность множества всех тех аЕ^1, для которых z/а ¥= меньше т. Обозначение 2х,у* {Уа: а € -4} читается так: 2Т — произведение множеств Ya по всем a Е А с центром в у*. Часто то же множество обозна- чают через 2т(г/*) и называют х-оболочкой точки у* в произведе- нии П{Уа: а Е А}, Важную роль в теоретико-множественных построениях игра- ют упорядочения на множествах и связанные с ними общие прин- ципы. Мы говорим, что на множестве или классе X определено упорядочение <, если для некоторых х, у Е X объявлено истинным соотношение у, причем выполняются условия: (а) если у и z/-< и, то z; (б) х< у и у -^х имеют место одновременно тогда и только тогда, когда х = у. Упорядочение -< называется линейным, если дополнительно выполняется условие (в) для любых х, у Е X имеет место или х < у, или у -< х. Множество X вместе с заданным на нем упорядочением < называют упорядоченным множеством (X, -<). Гнездом, или цепью, в упорядоченном множестве (X, <) называется любое подмножество, на котором < является линейным упорядочением. Элемент Ь Е X называется мажорантой множества А с: X по отношению к заданному на X упорядочению <, если а < Ъ для всех а £ А. Упорядоченное множество (X, <) (или само упорядочение называется индуктивным, если для каждой цепи А с X в X существует мажоранта. Элемент с Е (X, <) называется максимальным элементом мно- жества X, если из а Е X и с -< а следует, что а — с. Постулат Куратовского — Цорна (прини- маемый нами) гласит: каждое индуктивное множество содержит хотя бы один максимальный элемент. Соответственно элемент а множества А, лежащего в упоря- доченном множестве (X, -<), называется минимальным элемен- том множества А, если а £ А, и из а' £ А, а' а следует, что а' — а. Линейное упорядочение, заданное на множестве X, назы- вается вполне упорядочением, если у каждого непустого множества A cz X есть минимальный элемент. Мы принимаем без дока- зательства принцип: каждое множество может быть вполне упорядочено.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ «9 Пусть (X, -<) — упорядоченное множество и х Е X. Через 1{х) (иногда через Т(х) или I^x)) условимся обозначать множество всех У Е для КОТОРЫХ У я положим I(x) = I(x) (J (J {х}- Когда -< — вполне упорядочение, будем 1{х) называть интервалом с концом в х, а 1(х) — сегментом с концом в х. Вполне упорядочение <, заданное на X, называется мини- малъным, если 11(х) | #= \Х | для любого х € X. Положим А(х) = Х\1(х). Если Л(х) =И= Л, то через х + 1 обозначают минимальный (относительно <) элемент множества А(х). Для произвольного подмножества А вполне упорядоченного множества (X, -<) через sup А обозначается первый элемент множества {х Е X: а -< х для всех а 6 Л}, если последнее не пусто. В противном случае выра- жение sup А объявляется лишенным смысла. Через (7V+, <) в дальнейшем обозначается множество целых положительных чи- сел, наделенное естественным вполне упорядочением, a N — множество всех целых чисел, линейно упорядоченное, как обычно. Мощность множества N+ обозначается через х0. Взаимно одно- значное отображение /: (X, <)-> (У, «С) одного упорядоченного множества в другое называется (-(-^монотонным, если для лю- бых Xi, х2 Е X из Xi < х2 следует, что /(xj f(x2) *). Если, кроме того, /(X) = Y и /-1 — тоже (+)-монотонное отображение, то / называется подобием, или подобным отображением. Иногда сама природа элементов множества позволяет опре- делить на нем естественное упорядочение. Первостепенное значе- ние имеет следующая конкретная ситуация. Пусть % — некоторое семейство подмножеств множества X. Для At Е А2 Е $ поло- жим u4t < А 2 в том и только в том случае, если Ai cz А2. Отноше- ние < является упорядочением на ё. При этом цепь или гнездо в В — это любое такое подсемейство семейства что для лю- бых At Е ё', А2 Е либо Ai cz А2, либо A? cz ЛР В этом случае говорят, что ранг семейства равен единице. Наряду с гнездами, большую роль в теории множеств и общей топологии играют Центрированные семейства множеств, характеризующиеся тем, что пересечение любого конечного множества их элементов не пусто. Если X — множество и §— некоторое семейство его под- множеств, то через У (%) всюду в дальнейшем будет обозначаться Упорядоченное множество всех центрированных семейств множеств, содержащихся в (2/ (^) упорядочивается как семейство множеств естественным .образом — по сформулированному выше правилу). Множество У (g) возникло как семейство семейств подмножеств _ *) Для обозначения конкретных упорядочений наряду со знаком -< УДут употребляться «<», «<^» и другие похожие символы. Условимся также писать х -<с у, если х -< у и х Ф у.
20 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ множества X. Законно спросить, оправдан ли интерес к подобным «громоздким» образованиям; имеется ли разумная причина рас- сматривать У (g), игнорируя в то же время 37 ("7(g)), У (У (У (3?))) и т. д.? Упорядоченное множество 3/ (JJ) индуктивно (см. 127 гл. I): заметьте, что упорядоченное естественным образом, не всегда индуктивно, а на X вообще не дано порядка. Как и во всяком индуктивном упорядоченном множестве. вУ ($) достаточно много максимальных элементов (см. 144 гл. I). В данном случае максимальные элементы — это максимальные центрированные системы элементов g, т. е. центрированные системы, все элементы которых принадлежат g и которые не являются собственным подмножеством никакой другой такой центрированной системы. Центрированная система g множеств, принадлежащих g, называется предфильтром в g, если изЛЕ^ийЕ? следует, что С о А П В для некоторого С Е Предфильтр £ в g называется фильтром в g, если из Л Е £ и J5 Е В эЛ, следует, что В Е Если g совпадает с множеством всех подмножеств рассматриваемо- го множества X, то мы говорим просто о предфильтре (на X) фильтре (на X). В этом случае максимальная центрированная система элементов g называется ультрафильтром (на X). Центрированная система g множеств (предфильтр, фильтр, ультрафильтр) называется свободной, если Q {U: U Е 5} = А. В противном случае говорят, что система £ сингулярна, или .тривиальна. Семейство ц непустых множеств называется базисом семейства 3; множеств, если для каждого U Е § существует V Е Л такое, что V cz U. В этом смысле можно говорить о базисе предфильтра, фильтра, ультрафильтра. Если семейство имеет счетный базис, то его называют счетно порожденным. § 1. Операции над множествами. Счетные множества 1. Пусть Л, ВиС — подмножества множества X. Докажите, что тогда (а) (Л п В) и С = (Л и Q П (В и Q; (б) Х\ (Х\Л) - Л; (в) Л cz В в том и только в том случае, если Х\В cz Х\Л; (г) Л\В = Л П (Х\В); (д) А П в = Х\((Х\Л) и (Х\?)). 2. Пусть В — множество и {Аа: а Е №} — семейство мно- жеств. Покажите, что (а) В П (П{Ла: а € М}) = П{В П а Е М}-, (б) В Л ( U Иа: а Е М}) = U {В П « Е М}\ (в) В U (П {Ла: а Е М}) = П{В U Аа: а Е М}.
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 21 3, Пусть X — множество и {Аа: а Е М} — семейство его подмножеств. Докажите, что (а) Х\П{Ла: а € М} = U {Х\4а: а € М}-, (б) Х\ и Ма: а е м} = П{ХХЛа: а Е М}. Эти соотношения называются формулами де Моргана. 4. Покажите, что если множества А \В иравномощны, т0 । ^4 | = | В | (но обратное, вообще говоря, не верно). 5. Покажите, что из | А± | = | Вг | и | А2 | = I В2 | не сле- дует, вообще говоря, что | 4j П А2 | = | Вх f) В2 |. 6. Пусть А — конечное множество и п — его мощность. Какова мощность множества ехр 4? 7. Приведите пример непустого множества, каждый элемент которого является некоторым подмножеством этого множества. 8. Для каждого целого п>0 постройте множество Ап, состоящее ровно из п элементов, такое, что для любых а Е Ап, а' Е Ап либо а Е а', либо a' Е а. 9. Множество конечно в томи только в том случае, если лю- бое линейное упорядочение на нем является вполне упорядочением. 10. Пусть (X, <^) — вполне упорядоченное множество. Для ^1, х2 Е X положим Xi < х2 в том и только в том случае, если х2 Xi. Докажите, что < — вполне упорядочение на X в том и только в том случае, если X — конечное множество. 11. Множество X конечно в том и только в том случае, если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству. 12. Всякое подмножество счетного множества является счет- ным множеством. 13. В каждом бесконечном множестве существует бесконечное счетное подмножество. 14. Для любого бесконечного множества ^непременно х0^|Х|. 15. Каждое бесконечное счетное множество можно предста- вить как объединение двух непересекающихся бесконечных (тоже счетных) подмножеств. 16. Если А и В — счетные множества, то и A (J В — счетное множество. 17. Если X — несчетное множество, а А — его счетное под- множество, то | | = | X |. 18. Объединение счетного семейства конечных множеств есть множество счетное. 19. Объединение счетного семейства счетных множеств есть множество счетное. 20. Произведение двух (конечного числа) счетных множеств ®сть множество счетное. 21. Образ счетного множества (при произвольном отображе- нии) есть множество счетное. 22. Докажите, что следующие множества счетны: (а) множество всех рациональных чисел на прямой;
22 ГЛ 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (б) множество всех точек плоскости (пространства), обе (все три) координаты которых рациональны (система координат пред- полагается фиксированной); (в) множество всех конечных подмножеств счетного множе- ства; (г) множество всех интервалов на прямой с рациональными концами; (д) множество всех шаров в пространстве с центрами в раци- ональных точках (все три координаты которых рациональны) и рациональным радиусом; (е) множество всех полиномов от конечного числа перемен- ных с рациональными коэффициентами (с точностью до отожде- ствления полиномов, переходящих друг в друга в результате переименования переменных); (ж) любые множества попарно не пересекающихся восьмерок, лежащих на фиксированной плоскости (восьмерка — множество точек двух касающихся внешним образом окружностей, радиусы которых могут быть различны). § 2. Общие задачи об отображениях 23. Пусть /: X -> Y — отображение, т] = {Ва: а € М} — се- мейство подмножеств множества У, £ 0 g L} — семейство подмножеств множества X. Докажите, что тогда (а) Г\[]{Ва: а € М}) = П {/"%»: а £ М}; (б) U{MP: ₽££}=/( U р С £}); (в) /(П{Л₽: ₽€£})<= р € L}. Покажите, что может быть /(Л {Л р: 0 g L}) Ф Г) {/Л р: 0 Е L}. 24. Пусть /: X -> У — отображение, A cz X и В cz У. Пока- жите, что /~Х(/(Л) f) В) zz> А П f~rB и /(Л П f~rB) = /(Л) П В. Выведите отсюда, что /(Л) f| В = Л в том и только в том случае, если Л П /-1В = Л. Покажите, что /^(УхВ) = ХХ/ЛВ. 25. Если существует отображение / множества X на множе- ство У, то | У | ^ | X |. 26. Пусть /: X У, g: У -> X — отображения и |g(y)| >2. Тогда существуют непустые множества Х1? Х2, У1, У2> для которых xt П Х2 = Л, У1 Г| Уг = л, /Хх = У, и gy2 - Х2. 27. Для любых непустых множеств Л, В и С | (Л х В)с | = [ Ас X В° ]. 28. Для любых трех непустых множеств Л, В и С таких, что В Л С = А, имеет место равенство: | Лвис | = | Ав X Ас |. 29. Для любых непустых множеств А, В и С | (Лв)с ] - | Аяхс |. 30. Каковы бы ни были множества X и У, по крайней мере одно из них равномощно некоторому подмножеству другого.
§ 3. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ 23 31. Пусть /: X -+Y и g: Y X — взаимно однозначные отображения (не обязательно «на»). Постройте с помощью / и g взаимно однозначное отображение множества X на множество У.а 32. Для любых двух множеств X и У либо | X | < | У |, либо | X | = | У |, либо | У | < | X |. 33. Отношение между кардинальными числами является линейным упорядочением класса всех кардинальных чисел. 34. Докажите, что всегда | X | < | exp X |. 35. Пусть i Е N+} — последовательность конечных мно- жеств Si9 причем каждому а£ поставлен в соответствие неко- торый элемент <р(а) С St при всех i Е N+. Покажите, что всегда можно выбрать at Е St так, чтобы при всех t Е N+ было <р(а/+1) = § 3. Общие задачи о вполне упорядоченных множествах Пусть (X, <) — линейно упорядоченное множество. Множе- ство A cz X называется фрагментом этого множества, если из х £ А, у Е X пу<х всегда следует, что у С А. Если линейно упорядоченные множества (А, <) и (В, <^) не пересекаются, то их сумма, обозначаемая через (А, <) + (В, <^), есть множество A U В, линейно упорядоченное отношением которое определяется так: если а£А, Ь£В, то а -< Ъ\ если ai £ А и а2 Е А, то ах -< а2 <=> < а2; если b{ Е В и b2 Е В, то -< Ъ2 <=> < b2. Общая концепция: если (А, -<) — линейно упорядоченное множество и для каждого а Е А задано множество Ва, линейно упорядоченное отношением <а, и Ва> [\Ва^= Л при а' а", то упорядоченная сумма множеств (В^, <а) по множеству (А, -<), обозначаемая через S {(Ва, <а): а Е (А, <)}, состоит из точек множества X = U {Ва: а Е А), упорядоченного отношением < по следующему правилу: если х, у Е X и х Е В^>, у Е Ва„ , то при а' < а" полагаем х < у, а при а' = а" полагаем х < у <=> <^у. Произведение (лексикографическое) (A, <j X (В, <^) двух ли- нейно упорядоченных множеств (А, <) и (В, <С), взятых в опре- деленном порядке (этот порядок обычно выражается порядком следования символов, обозначающих рассматриваемые множества), получается, если наделить произведение А X В множеств А и В следующим соотношением -<. Если (а19 b^) Е А X В и (а2, b2) Е Е А X В, то (аь Ь{) -< (а2, Ь2), когда Ь2 или bi ~ Ь2 и а{ < а2. Упорядочение -< называется лексикографическим упоря- дочением (произведения). Заметьте, что операция произведения, в отличие от операции сложения, определена нами для всех (а не только для непере- секающихся) линейно упорядоченных множеств. В частности, можно рассматривать (лексикографически) упорядоченный квад-
24 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ рат линейно упорядоченного множества. В задаче 50 гл. I будет определен канторов квадрат линейно упорядоченного множества, отличный, как мы увидим, от лексикографического квадрата, обычно именуемого просто квадратом. Для любых двух (непустых) линейно упорядоченных множеств (А, <) и (В, <^), где, кроме того, (В, <^) имеет первый элемент 9, определяется также понятие степени, а именно, элементами мно- жества (В, О(А> <), служат точки SKo —произведения (по всем а С А)множеств Ва, где Ва = В для каждого а Е А, с центром в точке {9}, все координаты которой совпадают с первым элемен- том 9 множества В. Иначе говоря, элементы, из которых состоит (В, <^)(А,<),—это такие отображения х множества А в мно- жество В, что ха — 9 для всех а Е А\К(х), где К(х)— некоторое конечное множество. Пусть х, у Е (В, <}. Через а(я, у) обозначим наибольший (относительно <) элемент множества К(х) U К(у) cz А: так как К(х) (J К(у) — конечное множество, наибольший элемент в нем существует. Мы полагаем х < у в том и только в том случае, если Для а* = У)- Часто в дальнейшем нам будет встречаться упорядоченное множество (D, <). Оно состоит из двух элементов: 0 и 1, порядок такой: 0<1. Символами 0, 1, 2, . . . мы будем пользоваться иногда для обозначения первого, второго и т. д. элементов произ- вольно фиксированного вполне упорядоченного множества. В этом параграфе (N, <Z) всегда обозначает множество натуральных чисел, естественно упорядоченное; иногда эти два символа — N и < — мы будем заменять одним символом о)0. 36. Докажите, что если каждое счетное подмножество линейно упорядоченного множества вполне упорядочено, то и всё множество вполне упорядочено. 37. Произвольный фрагмент А вполне упорядоченного мно- жества (X, <) либо совпадает с X, либо является интервалом с концом в некоторой точке множества X. 38. (а) Объединение любого множества фрагментов линейно упорядоченного множества является фрагментом этого множества. (б) Из любых двух фрагментов А, А' линейно упорядоченного множества (X, <) один непременно содержится в другом. 39. Существует ровно одно подобное отображение / вполне упорядоченного множества (X, <) в себя, при котором /(X) является фрагментом множества X, а именно — тождественное. 40. Пусть (X, <), (У, — вполне упорядоченные множест- ва и fit (X, <)->(У, <), f2: (X, <)->(У, <) — подобные отображения, причем/t(X) и/2(Х) — фрагменты множества (У,<^). Тогда /t = /2. 41. Каковы бы ни были вполне упорядоченные множества (X, <) и (У, <^), хотя бы одно из них можно подобно отобразить на некоторый фрагмент другого.
§ 3. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ 25 42. Для любых двух вполне упорядоченных множеств (X, <) /у, существует одно и только одно (с точностью, возможно, по перехода к обратному отображению) подобное отображение одного из них на некоторый фрагмент другого. 43. На каждом бесконечном множестве X существует вполне упорядочение относительно которого X не имеет последнего элемента (т. е. для каждого х С X множество {х’ g X: х < хг и х х'} не пусто). 44. Если А — бесконечное множество, А' — его подмноже- ство и Л\Л' состоит ровно из одной точки, то | А | = | А’ |. 45. На всяком множестве X существует минимальное вполне упорядочение. 46. Покажите, что если вполне упорядоченное множество (Л, <) подобно вполне упорядоченному множеству (В, <^) и < минимально, то и минимально. 47. Для любых минимальных вполне упорядочений < и одного и того же множества X существует и единственно подобное отображение множества (X, <) на множество (X, <^). 48. Естественное вполне упорядочение множества натураль- ных чисел минимально. 49. Если < — минимальное вполне упорядочение на беско- нечном множестве X, то никакой элемент множества X не является относительно < последним. 50. Пусть (Л, <) — вполне упорядоченное множество. Рас- смотрим упорядочение множества А X А, определенное следую- щим образом. Пусть у4), (х2, у2) € А X Л и maxf^, yj max{z2, Уг} *)• Если max{xb yj < max{#2, у2), то полагаем (яь yi) (rr2, у2) (соответственно, если шах{я2, у2} < max{^i, yj, то полагаем (^2? Уг) <С 2/1))- Если max{a;i, yj == max{#2, у2}, то полагаем (#1,У1) С (^2>Уг), если хх <Zx2 либо если yt <.уг, когда Xi ~ х2. В остальных случаях полагаем (х2, у2) (х^ у^. Докажите, что *♦) (Л X Л, <) — вполне упорядоченное мно- жество. 51. Пусть (7V, <) — множество натуральных чисел, наделен- ное естественным вполне упорядочением, и (N X N, <^) — era канторов квадрат (см. 50 гл. I). Тогда (7V, <) и (N X TV, С) подобны. 52. Если множество Л бесконечно, то множества Л и Л X Л равномощны. *) Через max {ж, у}, где х, у — элементы линейно упорядоченного множества, обозначается наибольший из них. *♦) Условимся называть в дальнейшем А X Л вместе с так определен- ным вполне упорядочением^ка/торовыж квадратом вполне упорядоченного- множества (А, <).
26 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 53. Докажите, что любые два из следующих множеств равно- мощны: (а) прямая; (б) плоскость; (в) n-мерное евклидово про- странство, п = 1, 2, 3, . (г) отрезок; (д) квадрат; (е) шар; (ж) сфера; (з) интервал. 54. Если (Л, <) — бесконечное вполне упорядоченное мно- жество и < минимально, то и вполне упорядочение канторова квадрата множества (Л, <) минимально. 55. Канторов квадрат (Л X Л, <^) бесконечного вполне упо- рядоченного множества (Л, <) подобен (Л, <), если < мини- мально. к 56. Если X = Ц Xi и | Xi | т для всех i = 1, . . ., fc, г—i где т — некоторое бесконечное кардинальное число, то | X | т. 57. Пусть X — множество и {Ха: а g М} — некоторое семей- ство его подмножеств, причем | М | т и | Ха | т для всех а 6 М. Тогда | U {Ха: а £ М} | т. 58. Множество &С (Л) всех конечных подмножеств любого фиксированного бесконечного множества Л равномощно Л. 59. Пусть X — бесконечное множество. Тогда существуют ’такие Xi и Х2, что X = Xt J Х2, П ^2 — Л и | Х± | — | X | = = I Х2 |. 60. Пусть X — бесконечное множество и | X | = т. Мно- жество X можно представить как объединение множества мощно- сти т своих попарно не пересекающихся подмножеств мощности т. 61. Проверьте, что сумма непересекающихся вполне упорядо- ченных множеств по вполне упорядоченному множеству (см. стр. 23) является вполне упорядоченным множеством. 62. Покажите, что если (Л, <) и (В, <^) — непересекающиеся бесконечные вполне упорядоченные множества и их сумма (Л, <) + (В, <^) — минимально вполне упорядоченное множе- ство, то | А | < | В | + к0 и (В, <^) —^минимальное вполне упорядоченное множество. Покажите, что верно и обратное ут- верждение. 63. Покажите, что операция сложения вполне упорядоченных множеств не коммутативна. 64. Проверьте, что операция умножения линейно упорядо- ченных множеств ассоциативна: ((Л, <) X (В, <^)) X (С, -<) по- добно (Л, <) X ((В, <С) X (С, -<)) для любых линейно упорядо- ченных множеств (Л, -<), (В, <^) и (С, -<). 65. Пусть (Л, <) и (В, <^) — вполне упорядоченные множе- ства и (С, -<) = (Л, <) X (В, О — их произведение. Покажи- те, что (С, -<) — вполне упорядоченное множество. 66. Докажите, что ♦) произведение (D, <) X (N, <) подоб- но (Аг, <). *) Обозначения см. на стр. 24.
§ з. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВАХ 27 67- Докажите аналогичное сформулированному в задаче 66 гл. I утверждение для случая, когда вместо (7V, <) взято произ- вольное вполне упорядоченное множество, в котором нет последне- го элемента. 68. Подобны ли (ДГ, <) X (D, <) и (АГ, <)? 69. Покажите, что операция умножения вполне упорядочен- ных множеств не коммутативна. 70. Пусть а, 0, у — упорядоченные множества. Докажите, что всегда <х X (0 + V) = (а X 0) + (а X у) и что может быть (0 + т) X а =/= (Р X а) + (у X а). 71. Вполне упорядочение (лексикографическое) квадрата {А, <) X (А, <) бесконечного вполне упорядоченного множества (Л, <) никогда не бывает минимальным. 72. Покажите, что канторов квадрат и (лексикографический) квадрат вполне упорядоченного множества редко совпадают. 73. Пусть (Л, <) и (В, <^) — вполне упорядоченные множе- ства и (С, -<) = (В, <>. Покажите, что (С, -<) — вполне упорядоченное множество. 74. Рассмотрите вполне упорядоченное множество (Z), <)(D<)* 75. Докажите, что если вполне упорядоченные множества (Л, <) и (5, <^) состоят из конечного числа элементов, то (Л, <)(в> «0 подобно вполне упорядоченному множеству нату- ральных чисел, меньших | А . 76. Покажите что если упорядоченные множества (Л, <) и (В, <^) бесконечны, то мощность множества элементов степени (Л, не превосходит наибольшего из кардинальных чисел | А |, | В |. 77. Докажите, что если (Л, <^) — линейно упорядоченное множество, то (Л, <)(D’ <> == (Л, <^) X (Л, <^). 78. Докажите, что для любых вполне упорядоченных мно- жеств а, р и у имеет место а^+v = а? х av. 79. Укажите такое.вполне упорядоченное множество (Л, <^) мощности к0, что (Z), <)<А’«О подобно (Л, <;). 80 (принцип доказательства по трансфи- нитной индукции). Пусть W — вполне упорядоченное множество и Q gz W. Если для каждого х £ W из I(x) cz Q следует, что х £ Q, то Q — W. 81 (практичная формулировка принципа Д^о казательства по трансфинитной индук- ц'и и). Пусть W — вполне упорядоченное множество, и каждому W поставлено в соответствие некоторое утверждение Р(х), причем выполняются условия: 1) Р(0) — верное утверждение (где 0 — первый элемент мно- жества РГ) и 2) для каждого х £ W, если Р(а) верно для всех а С /(ж), то и Р(х) верно.
28 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Тогда Р(х) верно для всех х £ W. 82 (принцип построения по трансфинит- ной индукции). Пусть W — вполне упорядоченное мно- жество, S — некоторый класс элементов и для каждого х g W определено отображение Кх, в силу которого каждому отображе- нию / множества 1(х) в S соответствует некоторый элемент Kx(f) класса S. Тогда существует и единственно отображение ср: W S такое, что <р(ж) = Kx(q> | 1(х)) для всех х £ W. § 4. Свойства кардинальных чисел Для кардинальных чисел определяются операции сложения,, умножения, возведения в степень таким образом, что для нату- ральных чисел они совпадают с операциями обычной арифметики. Арифметика кардинальных чисел весьма своеобразна. Значение ее для теоретико-множественной топологии исключительно велико. Кардинальные числа входят с необходимостью и нетривиально в многие фундаментально важные определения, построения, фор- мулировки теорем общей топологии. Кардинальное число называется бесконечным, если оно являет- ся мощностью бесконечного множества. В противном случае оно называется конечным. Конечные кардинальные числа естественно отождествляются с натуральными числами — при этом мы пони- маем натуральное число как мощность множества всех меньших его натуральных чисел. В частности, 0 — мощность пустого мно- жества. Среди бесконечных кардинальных чисел есть наименьшее в смысле отношения С, определенного на классе всех кардиналь- ных чисел в начале главы I; в этой книге никаких других упоря- дочений класса кардинальных чисел не рассматривается. Это чис- ло — к0 — мощность бесконечного счетного множества N. Скоро, решив задачу 84, вы узнаете, что в любом непустом множестве кардинальных чисел есть наименьший элемент. Этот факт имеет исключительно важное значение для всей математики. В соответ- ствии со сказанным через т+ для произвольного кардинального числа т мы обозначаем наименьшее из всех кардинальных чисел, строго больших т. Пусть Хит — кадинальные числа. Зафиксируем непере- секающиеся множества А и В, для которых | А | = X, ] В | = т. Тогда кардинальное число X + т — сумма кардинальных чисел X и т — определяется как мощность множества A U В. Произведе- ние Хх есть мощность произведения А X В множеств А и В. Кардинальное число Xх — говорят «X в степени т»,— по определению, является мощностью множества Ав. Ясно, что остающийся произвол в выборе множеств А и В не влечет неодно- значности в определении суммы, произведения и степени карди- нальных чисел.
§ 4. СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 29 Обобщенная континуум-гипотеза заключается в том, что 2х = т+ для каждого бесконечного кардинального числа т. /Гонттш- Нуум-гипотеза в классическом понимании есть утверждение, что 2 so == Xi (где Xi = к*; это общепринятое обозначение). П. Коэн показал, что континуум-гипотеза (равно как и обобщенная, конти- нуум-гипотеза) не зависит от принятых систем аксиом теории множеств. Часто в связи с заданным числом т приходится рассматривать производное (от т) число с/(т). По определению, с/(т) есть наимень- шее из таких кардинальных чисел X, что т можно представить как сумму некоторого множества М, где | М | = X, кардинальных чисел, каждое из которых меньше т (слово «меньше», по условию, в случае кардинальных чисел всегда означает «строго меньше»). Мы должны разъяснить только, что понимается под суммой беско- нечного множества кардинальных чисел. Пусть А — некоторое множество, и для каждого а С А задано кардинальное число та. Будем считать, что та является мощностью некоторого множества Ха; при этом множества Ха можно выбрать для каждого а £ А так, чтобы при а' а" всегда было Ха'Г| Ха* = А. (Достаточно перейти от самих Ха к их экземплярам ia(Xa), лежащим в свобод- ной сумме множеств Ха по всем a £ А.) Положим X = (J {Ха: а С А} и назовем суммой кардинальных чисел та по всем а £ А (обозначение: S {та: а £ А}) мощность множества X. Ясно, что и это определение действует однозначно в пределах допускаемого произвола. Аналогично можно было бы определить произве- дение произвольного бесконечного множества кардинальных чисел. Кардинальное число т называется изолированным, если т = V для некоторого кардинального числа %. Если т не является изо- лированным, то его называют предельным. Кардинальное число т называется регулярным, если т = с/(т). Говорят, что т недости- жимо, если для любого X из % < т следует, что 2^ < т. Регуляр- ное недостижимое кардинальное число называется сильно недости- жимым. 83. Пусть Хит — произвольные кардинальные числа. Пока- жите, что всегда (а) % -р т = т -|- К* (б) 84. Во всяком непустом множестве М кардинальных чисел имеется наименьшее. 85. Пусть (X, <) — вполне упорядоченное множество мощ- ности т и X — кардинальное число, меньшее т. Тогда существует я Е X, для которого | 1(х) | = X. 86. Мощность множества § всех кардинальных чисел, мень- ших произвольно фиксированного кардинального числа т, не превосходит т.
30 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 87. Пусть т — мощность некоторого бесконечного множества. Тогда (а) т + т = т; (б) т«т = т; (в) если т, то %-т равно наибольшему из кардинальных чисел X, т. 88. Покажите, что если та т для каждого а Е А и | А | т, то S {та: а Е А} т. 89. Каждое предельное кардинальное число т является сум- мой всех предшествующих кардинальных чисел. 90. Пусть т = S {та: а Е А}. Покажите, что т равно наибольшему из двух кардинальных чисел: sup{xa: а Е А} и | А |. 91. В дальнейшем символом «1 мы всегда обозначаем наимень- шее из кардинальных чисел, больших к0« Пусть (или T((0i))— множество мощности наделенное минимальным вполне упоря- дочением < (все такие множества подобны в силу 47 гл. I). Дока- жите, что, каково бы ни было счетное множество А, существует элемент b Е такой, что а < Ъ для всех а Е А. 92. Докажите, что эквивалентны следующие два определения кардинального числа 2х: z (а) 2х есть мощность множества exp X всех подмножеств такого множества X, что | X | = т; (б) 2х есть мощность множества Dx всех отображений мно- жества X, для которого | X | — т, в множество Z2, состоящее из ровно двух элементов — нуля и единицы. 93. Для каждого кардинального числа т непременно т < 2х. 94. Не существует самого большого кардинального числа. 95. Пусть Лит — бесконечные кардинальные числа. Всегда ли Xх = тЛ? 96. Пусть Л, р и т — кардинальные числа. Докажите, что если Л < р, то V рх и тх тК 97. Для любых трех кардинальных чисел Л, р, т справедливы соотношения: Л^+х = Х»**Хх, (Л^)х = т , (Л*р)х = Лх*рх. 98. Покажите, что множество всех счетных подмножеств пря- мой имеет мощность 2*4 99. Покажите, что — 2Ко. 100. Докажите, что если р х0 и 2 Л р, то Л.** = 2^. 101. Пусть X, р и т — кардинальные числа. Всегда ли (Л^)х = = Л^т)? 102. Число к0 сильно недостижимо. 103. Определите какое-нибудь недостижимое кардинальное число, отличное от к0- 104. Верно ли, что если кардинальное число Л меньше карди- нального числа т, то 2^ меньше 2х? 105. Если X = U {Ха: а Е А}, где | А | < | X | и | Ха | < < I X ] для каждого а Е А, то X = (J {Ур: р Е В}, где | В |
§ 4. Свойства кардинальных чисел 31 < I Л I и | 4| < | Ур ]<| X | для всех ₽ € В, причем |Ур'|¥=|Ур"Ь когда Р'¥=Р"- 106. Пусть т — кардинальное число и (л, <Z) — минимально вполне упорядоченное множество мощности т. Тогда с/(т) есть наименьшее из кардинальных чисел X таких, что в (X, <) суще- ствует конфинальное подмножество мощности X. При этом под- множество М cz X конфинально (X, <), если для каждого х£ X существует М, для которого х<а. 107. Для любого кардинального числа т, если % = с/(т), то с/(%) = к- 108. Чему равно г/(т*) для кардинального числа т*, опреде- ленного в решении задачи 103 гл. I? 109. Всякое изолированное бесконечное кардинальное число регулярно. 110. Пусть А и Ха, где а Е А,— множества, причем | А | = т и | Ха | X для каждого а Е А. Тогда мощность произведения X = П{Ха: а Е Л} не превосходит Хт. 111. Пусть т и % — кардинальные числа, причем % < с/(т) и число т предельное. Тогда — S{уА: р < т}. 112. Приняв обобщенную континуум-гипотезу докажите сле- дующее утверждение: если т и X — кардинальные числа, причем 1 X < с/(т), то = т. ИЗ. Пусть М — некоторое множество и для каждого а Е М заданы множество Аа и множество Ва такие, что | Аа | < | Ва |„ Тогда мощность объединения всех Ла, а Е М, строго меньше мощности произведения всех Ва, а Е М. 114. Пусть для каждого а Е М задано множество Ла, причем выполняются условия: 1) если а' =£ а", а/ Е М и а" Е М, то | Ла, | =/= | Ла* |; 2) в множестве {| Ла ]: а Е М} нет наибольшего элемента. Тогда | U {Ла: а Е М} | < | П{Ла: а Е М} |. 115. Для любого кардинального числа т имеем т < е/(2т). 116. Докажите, что отрезок нельзя представить в виде объединения счетного семейства множеств меньшей мощности. 117. Пусть даны множества Ль Л2, и В? такие, что (а) А1(]А2 = Л; (б) В, П В2 = Л; (в) | Л4 U Л2 | = = I В, U В2 |; (г) | Л± | = | Л2 |; (д) | В, | = | В2 |. Тогда | Ai | = | В± | (и | Л2 | = | В2 ]). 118. Существует такое семейство подмножеств натураль- ного ряда ТУ, что: (а) если Л Е %*, В Е S* и Л Ф В. то | Л Q В |< < хо5 (б) для каждого Л Е I* имеем | Л | = х0; (в) | %* | = = 2^°; (г) если С cz N и | С | = х0, то ] А р С | = х0 для некоторого Л Е ё*. 119. Пусть (В, <) — минимально вполне упорядоченное мно- жество мощности т+. Пусть а0 Е В, причем |{а Е В: а < а0} | = *= т, С ={а Е В: а0^а} и/: С В — отображение такое, что
32 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ /(а) < а для всех а Е С (иначе говоря, / — произвольный элемент произведения П{Ва: а £ С}, где ={0 Е В: 0 < а}). Тогда существуют а' С С и а" Е для которых а' =/= а", но f(a') = 120. Пусть т — кардинальное число, т ;> х0, % = 2r, X — множество мощности, большей X, и М — множество всех неупо- рядоченных пар различных элементов множества X. Пусть, кроме того, задано отображение / множества М в некоторое множество Т мощности т. Тогда существует X* cz X такое, что | X* | > т и /(я, у) = /(#'» у') Для любых х, у, х’, у' Е X*, где х у и х'^у'. 121. Пусть А — множество, т — кардинальное число, т х0 и | А | > 2Т. Предположим, что множество М всех неупо- рядоченных пар различных элементов множества А так разбито в сумму попарно не пересекающихся множеств, что для каждого а Е А множество {(а, х): х Е А\{а}} содержится в объединении семейства мощности т этих слагаемых. Докажите, что тогда суще- ствует такое А* с: А, | А* |>т, что множество Л/* всех неупо- рядоченных пар различных элементов А* лежит в одном слагаемом. 122. Пусть на множестве Y задано семейство $ = {уа: а Е А} семейств уа подмножеств множества У, причем выполняются условия: 1) если а', а" Е А и а'=/=а", то существуют Fa' Е Та' и Fa" Е Е Та- такие, что Fa' П Fa" — Л; 2) каждое Та содержит пересечение любых двух своих эле- ментов; 3) | Та I т, a I А I > 2Т для всех а Е А и некоторого карди- нального числа т. Тогда можно выбрать множество A* cz А, и для каж0 дого а Е А* множество Fa Е Та так, чтобы выполнялись условия: 4) | А* | > т, и 5) если а' Е -4*» Е А* и а' а", то Fa' р| = Л. § 5. Предфильтры, фильтры и ультрафильтры. Центрированные и максимальные центрированные семейства множеств Прежде чем решать задачи этого параграфа — а результаты, в них полученные, существенно применяются в многих построени- ях и рассуждениях общей топологии,— советуем читателю еще раз обратиться к теоретическому введению, данному в начале этой главы, и внимательно перечитать его последнюю часть. Здесь мы дополнительно разъясняем лишь небольшое число специальных понятий. Ультрафильтр, заданный на множестве X, называется а- улыпрафилыпром, если пересечение любого счетного множества его элементов не пусто. Мощность множества X называется изме- римым кардинальным числом, если на X существует нетривиальный (т. е. свободный) а-ультрафильтр.
§ 5. ПРЕДФИЛЬТРЫ. ФИЛЬТРЫ И УЛЬТРАФИЛЬТРЫ 33 Пусть и Вг — фильтры, заданные соответственно на мно- естве Xi и множестве Х2. Говорят, что Bi и Вг эквивалентны, ели существует взаимно однозначное отображение / множества на множество Х2 такое, что *) /В1 — Вг- Фильтры Bi и Вг называют- ся слабо эквивалентными, если существуют такие Л2 £ £2 и А 6 чт0 сУжения I и §2 I А2 (рассматриваемые как фильтры, заданные на множествах Ai и А2 соответственно) эк вивалентны. _ 123- Покажите, что если В — предфильтр на X, то § = =={В r~ X: существует А Е L для которого А cz В} является фильтром. При этом говорят, что В — базис фильтра В- 124. Всякое центрированное семейство В подмножеств множе- ства X содержится в некотором фильтре на X. 125. Пусть В — предфильтр на X и В — подмножество мно- жества X, для которого А П В Л, каково бы ни было A Е В* Докажите, что тогда В' = £ U {В} ~ центрированная система множеств. 126. Докажите, что каждая максимальная центрированная система множеств является фильтром. Покажите, что обратное не верно. 127. Пусть X — множество и % — некоторое семейство не- пустых подмножеств множества X. Докажите, что каждое центри- рованное семейство элементов % содержится в максимальном центрированном семействе элементов 128. Докажите, что следующие утверждения равносильны: (а) — максимальное центрированное семейство подмножеств множества Х\ (б) В — ультрафильтр на X; (в) В — предфильтр, и для каждого A cz X из А С £ следует, что существует В Е В» для которого А П В = Л; (в') В — предфильтр, и для каждого A cz X, если A П В =^= Л для любого В Е В> то А С В; (г) для каждого A cz X либо А £ %, либо Х\4 Е £ и В — цен- трированное семейство множеств; (д) В — центрированное семейство множеств на X, В Э X, и из Ai U А2 £ В следует, что либо At Е В? либо А2 Е В- 129. Пусть X — бесконечное множество и ц(Х) ={Х\А: A cz X и | А | < | X |}. Покажите, что ц(Х) — фильтр, но не ультрафильтр. 130. Пусть X — множество. Докажите, что каждый фильтр В на X содержится в некотором ультрафильтре на X. 131. Ультрафильтр В на X тривиален в том и только в том случае, если {х} Е В для некоторой точки х Е X. *) /ВА= {f(Ay. А ЕЫ- 3 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
34 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 132. Пусть g — фильтр на X и Г с X. Покажите, что (а) % | X' является фильтром па X' в том и только в том случае, если А Q X' у= Л для всех А С В; (б) если £ — ультрафильтр, то £ I X' — ультрафильтр на X' в том и только в том случае, если Хг £ 133. Сужение £ | А ультрафильтра | на любое А £ % является подсемейством семейства £. 134. Пусть X—множество, х—некоторый его элемент и А — некоторое подмножество множества X. Введем следующие обозна- чения: Ux) = {В с= X: В^х}, 1(A) = {В с= X: В zz>A}. Докажите, что 1) 1-(х) — сингулярный ультрафильтр; 2) £(Л) — сингулярный фильтр; 3) £(Л) — ультрафильтр в том и только в том случае, если А состоит ровно из одной точки; 4) X бесконечно тогда и только тогда, когда существует сво- бодный ультрафильтр на X. 135. Пусть X и Y — множества, /: X Y — отображение, g __ семейство множеств на X, ц — семейство множеств на У. Докажите, что (а) если £ — предфильтр, то и — предфильтр; (б) если фильтр, то может фильтром не быть (даже при /X = У); (в) если т] — предфильтр, то / 1т] — предфильтр; (г) если т] — фильтр, то /-1т) может фильтром не быть (даже при /X = У); (д) если Z — ультрафильтр и /X — У, то и — ультра- фильтр; (е) если f — взаимно однозначное отображение X на У, то g — фильтр (соответственно предфильтр, ультрафильтр) в том и только в том случае, когда —фильтр (соответственно пред- фильтр, ультрафильтр). 136. Сужение о-ультрафильтра заданного на множестве X, на множество Хо cz X является п-ультрафильтром на Хо, если *о€ 137. Если £ — ультрафильтр на Хит — кардинальное чис- ло, т > к0, причем для каждого семейства cz мощность которого не превосходит т, имеет место П{Л: А £ £'} Л, то для любого |£'| Ст, выполняется П{Л: А £ £'} € L 138. Если X cz У и на множестве X существует нетривиаль- ный о-ультрафильтр, то нетривиальный а-ультрафильтр. сущест- вует и на У.
РЕШЕНИЯ 35 139. Если т4 < т2 и Ti — измеримое кардинальное число, т0 и кардинальное число т2 измеримо. 140. Если % — нетривиальный а-ультрафильтр на X и g' cz g, | g' I т’ ПМ: А € £'} = А, то кардинальное число т из- меримо. 141. Пусть А и X — множества, причем X = U {Ха: а £ А} л | А | = т, | Ха | = та для каждого а £ А — неизмеримые кар- динальные числа. Тогда и мощность множества X неиз- мерима. 142. Если мощность множества X неизмерима, то и мощность множества exp X неизмерима. 143. Наименьшее из измеримых кардинальных чисел (если такие существуют) является сильно недостижимым кардинальным числом, отличным от 144. Мощность множества всех различных (т. е. отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом) максимальных центри- рованных семейств подмножеств множества X равна 22|Х|. 145. Покажите, что существуют неэквивалентные свободные ультрафильтры на множестве натуральных чисел. 146. Покажите, что на множестве натуральных чисел суще- ствуют свободные ультрафильтры, не являющиеся слабо экви- валентнымй (см. стр. 33). Какова мощность семейства всех попар- но неслабо эквивалентных свободных ультрафильтров на множе- стве натуральных чисел? (Сравните с задачей 144 этой главы.) РЕШЕНИЯ 6. 2П (докажите по индукции; напоминаем, что пустое множество является элементом ехр 4). 7. Годится А = {А} или В = {А, {А}} и т. д. 8. Положим = {А}, а2 = (А, {А}}, а3 = {А, (А), {{А}}}, . . . Тог- да aj при I < у и А — {ап . . ., ап} — искомое множество. 9. Предоставляется читателю (см. 10 гл. I) 10. Пусть < — вполне упорядочение на X. В (X, <) есть наименьший элемент. Обозначим его через х*. Тогда х* — наибольший элемент в (X, <^). Если X бесконечно, то множество А = {у: у Е X и I « (у) бесконечно} непусто (ибо х* С А). Пусть а — наименьший элемент множества А (отно- сительно <). Тогда 1«(а) — бесконечное множество, у которого, как легко видеть, нет наименьшего по отношению к упорядочению < элемента. Полу- чили противоречие. Остальное ясно. И. Пусть X бесконечно и < — вполне упорядочение на X. Если в X существует максимальный элемент, то только один. В этом случае обозначим его через g и положим X' = X\{g}. В противном случае полагаем X' == X. Для каждого х £ X’ определен элемент х + 1 £ X. Отображение ф: X' -> X, спреде ленное правилом ф (х) — х + 1» взаимно однозначно. Если X' = X, то ср; х X есть взаимно однозначное соответствие между X и собственным подмножеством ф (X) множества X, ибо наименьший элемент ц множества X не принадлежит ф (X). Если X' X, то Х\Х' — {£}. Положим ф (g) = ц. 3*
36 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Тогда снова <р: X -> X взаимно однозначно. Покажем, что ср (X) =4 X. Множество (g) бесконечно (ибо X бесконечно, а £—максимальный элемент). Положим В = {у С Х\ 1«(у) бесконечно}. Тогда I £ В, и поэтому В ф Л. Через у о обозначим минимальный элемент множества В. Каково бы ни было z f X, непременно yQ =#= z + 1: если yQ = z + 1, то /« (yQ)= — I(z) U {?} и Раз (Уо) бесконечно,‘то и (2) бесконечно, что противо- речит выбору у0, ибо z < уо и z Ф yQ. Но тогда у0 $ фХ, т. е. ф (X) — соб- ственное подмножество множества X. Остальное ясно. 12. Пусть X' cz X. Если X конечно, то и X' конечно. Если X беско- нечно, но счетно, то существует взаимно однозначное отображение ф*. Х->- 2V+ множества X в множество N + целых положительных чисел. Положим N’ = = ф (X'), N'cz N+. Достаточно отобразить взаимно однозначно N' на N+. На N + и на N' задан естественный порядок Для произвольного х' £ 7V' положим ф (х‘) = | {у' £ N': у' х'} | — мы интерпретируем сейчас целые положительные числа как мощности конечных непустых множеств. Легко доказывается, что ф: N' -> N+ — взаимно однозначное отображение множе- ства N' на множество N + (надо воспользоваться тем, что — вполне упо- рядочение). 15. Отобразим X взаимно однозначно на множество N всех натураль- ных чисел и рассмотрим в X прообраз множества N0 всех четных чисел (обо- значим его через Хо) и прообраз множества всех нечетных чисел (обозна- чим его через Х4). Множества Хо и Xj искомые (см. 12 гл. I). '16 . Можно считать, что А Г) В = Л. (В противном случае заменим В на В' = В\4; в силу 12 гл. I В' счетно. Кроме того, A J В = A (J В'.) Разберем только случай, когда А и В бесконечны. Через No обозначим мно- жество всех четных чисел, через — множество всех нечетных чисел. В силу 12 гл. I иЛоИ взаимно однозначно отображаются на множество N+ всех натуральных чисел. Значит, А можно взаимно однозначно отобразить на No, а В — на TVj. Но тогда объединение этих отображений (в естественном смысле) является взаимно однозначным отображением множества A (J В на множество N. 17. Множество Х\4 несчетно (16 гл. I). Поэтому в Х\4 можно выде- лить бесконечное счетное подмножество С (13 гл. I). Бесконечное множество А С счетно (16 гл. I); существует взаимно однозначное отображение мно- жества С на множество A |J С. Объединяя это отображение с тождественным отображением множества Х\(4 |J С) на себя, получаем искомое взаимно однозначное отображение множества Х\4 на множество X. 18. Будем считать, что каждому п С N поставлено в соответствие неко- торое конечное множество 4П (не страшно, если Ап = Л). Можно считать, что АП1 Q Ап$ = Л при И1 #= п2 — в противном случае следует перейти к (конечным) множествам Ап == 4n\(J {4&: к и}), для которых |J {4^: п Е N} — □ {4П: п С Л"}. На 4 = (J {4n: п £ N} определим упорядочение следующим образом. Зафиксируем какое-нибудь вполне упорядочение <п на каждом 4П. Если х, у С Ап, то положим х у тогда и только тогда, когда х <^п у. Если не существует такого п, что х, у С 4П, то положим х < у, если с п2> где 4П1 $ х, 4ng Э У- Легко проверяется, что < — вполне упо- рядочение на 4, причем для каждого х С 4 множество I^(х) конечно. Инте- ресен лишь случай, когда всё 4 бесконечно. Определим отображение ф: 4 -> N правилом: ф (х) = | /« (х) |. Пользуясь тем, что (Лг, <) и (4, <) — вполне упорядоченные множества, докажите, что ф — взаимно однозначное отображение 4 на Л. 19. Достаточно разобрать случай (см. 18,12 гл. I), когда каждому целому п > 0 поставлено в соответствие счетное бесконечное множество Ап с соблю- дением условия: 4П1 П 4П2 = Л при щ #= п2. Зафиксируем для каждого п С N+ некоторое взаимно однозначное отображение фп множества 7V + на
РЕШЕНИЯ 37 множество Ап. Положим фп (*) = xnh. Тогда А = (J {Ап- п £ JV+} == _ (х п £ А+, к £ Лг+}. Положим Вг = {^п&: и + к = 1} для каждого Ге У+\{1}. Тогда U {Bi- I £А+, Z=#l}={^: п € N*, к £ N+} = А и каждое Bi — конечное множество. Остается сослаться на результат задачи 18 гл. I- 20. Пусть Л1, Л 2 — счетные множества и фь ф2 — взаимно однознач- ные отображения, фр At -> TV, ф2: А2 N. Тогда ф! X фг- At X А2 -> А X TV — тоже взаимно однозначное отображение. Поэтому доста- точно установить, что N X TV — счетное множество. Положим Ап = = {(п, к): к £ TV} для каждого и С TV. Тогда Ап — счетное множество, ибо р : Ап -> N, где р„ (п, к) — к для каждого к £ TV,— взаимно однозначное отображение Л на TV. Очевидно, (J {Ап: п С TV) = TV X TV, т. е. TV X X — счетное множество (см. 19 гл. I). Теперь по индукции результат распростра- няется на случай любого конечного семейства счетных сомножителей. 21. Пусть f: X -> Y — отображение и X — счетное множество. Для каждого у £ f (X) зафиксируем х (у) £ /-1 (у)- Положим ф (у) = х (у); тогда ф: / (X) -> X — взаимно однозначное отображение множества / (X) на множество ф/ (X), которое счетно, как подмножество счетного множества (см. 12 гл. I). 22. (а) Рассмотрим произведение 7V+ X TV+ множества всех целых положительных чисел на себя. Для (т, п) £ N+ X положим % (т, п) — = —. Этим определено отображение % счетного (см. 20 гл. I) множества N+ X Х+ на множество R + положительных рациональных чисел. Следова- тельно (см. 21 гл. I), В + счетно. Тогда и множество отрицательных рацио- нальных чисел счетно (умножение на (—1) устанавливает естественное взаим- но однозначное соответствие между А + и R~). Поэтому и множество R+ (J (J {0} (J счетно (см. 16 гл. I). (б) Достаточно сослаться на задачи 12, 20, 22 (а) гл. I. (в) Пусть А счетно и А* = U {Af. t = 1, 2, . . .}, где At = А, А2 = = А X А = А2 и вообще At — А X А*"1. Множество А* счетно (см. 19, 20 гл. I). Каждому элементу из А* естественно соответствует некоторое конечное подмножество множества А, причем все непустые конечные множества из А получаются таким образом, т. е. существует естественное отображение мно- жества А * на множество всех непустых конечных подмножеств множества А. Следовательно, последнее (пополненное пустым множеством как элементом) является счетным множеством (см. 21, 16 гл. I). (г) Доказывается так же, как и 22(a) гл. I. (д) См. 22(a) и 20 гл. I. (е) Следует из 22(в) гл. I. (ж) Выберем внутри каждой из окружностей, ограничивающих вось- мерку, по точке, обе координаты которых рациональны. Получается, легко видеть^ взаимно однозначное отображение множества восьмерок, входящих в семейство, на счетное множество. 27. Пусть /: С —А X В — отображение, лА: А X В А, лв: А X ( & — проектирования, т. е. лА (а, Ь) — а, лв (а, b) — b для всех Ь) £ а X В. Положим А = лА/, /2 — лБ/, /f. С -> А, /2: С -> В. Про- рьте, что правило % (/) ~ (/ь /2) устанавливает взаимно однозначное соот- ветствие между множествами (А X В)с и Ас X 28. Достаточно заметить,- что в силу соотношения В Г) С = А имеет сто взаимно однозначное соответствие между отображениями /: В (J С -+ А и парами (/1? /2) их сужений Л = / | В, /4: В -> А, /2 ~ f I /2‘ С А. 29. Пусть f £ АВхС (т. е. /: В X С -> А) и (Ъ, с) £ В X С, & £ В, эу Положим ф£ (&) = / (6, с) £ А. При фиксированных f £ АВхС и с £ С нравило определяет отображение ф£: В -> А (таким образом, ф£ £ Ав);
38 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ полагая (с) — Ф£, мы получаем отображение С -> Ав. Наконец, правило % (/) — х/ определяет отображение X: АВхС -> (Ав)с. Оказывается, X — взаимно однозначное отображение «на». Действительно, пусть g: С ~> Ав — отображение. Для произвольного элемента (д, с) £ В X С положим fg (Ь, c)~(g (с)) (6) £ А. Правилом р, (g) = fg определено некоторое ото- бражение р: (Ав)с -> АВхС. Проверьте, что циХ- обратные друг к другу отображения. 30. Тройкой назовем любой набор t = (А, /, В), где Л с X, В cz Y и / — взаимно однозначное отображение множества А на множество В. Множество всех троек обозначим через Т. Пусть t = (А, /, В) и tr — (A', f, В') — произвольные две тройки. Положим t < t', если A cz Д', В с В' и ff | А — /; t = t', если А — А', В — В', / — f. Проверьте, что упорядо- ченное множество (Г, <) индуктивно. В силу принципа Цорна — Куратов- ского в (Т, <) существует некоторый максимальный элемент t* = (А*, /*, В*). Если А* = X или В* = У, то задача решена. В противном случае можно выбрать .г* g Х\Л* и у* g У\2?*. Полагая А = А* □ {.г*}. В = — В* U {у*} и / (х*) — у*, / | А* =7*, мы получаем тройку t = (А,7, В) g g Т, причем i* <z t, t* Ф t, что противоречит максимальности элемента t* в (Г, <). Значит, либо А* = X, либо В* — У. 31. Можно считать, что множества X и У не пересекаются. (В против- ном случае следует умножить множество X (J У на множество {0, 1}, состоящее из двух элементов 0 и 1; тогда X X {0}, У X {1} — «копии» множеств X и У, являющиеся непересекающимися подмножествами множе- ства (X U ^0 X {0, О*) Пусть 5 обозначает объект, не являющийся элемен- том ни одного из множеств Х,У (например, годится g — {X (J У} — множе- ство, единственным элементом которого является множество X (j У). Поло- жим Z = X J У. Для каждого z £ Z определим по (обычной) индукции последовательность S (z) = (zt: i = 1, 2, . . .} элементов множества Z (J (J {£} следующим образом. Всегда Z} = z. Пусть zt g S (z) определены уже для всех i /г. Тогда либо zn g X, либо zn g У, либо zn = g (и одновременно эти соотношения не осуществляются). Если zn £ X и zn g g (У), то мы пола- гаем zn+i = g"1 (zn). Если zn g X и zn $ g (У), то мы полагаем zn+t = £. Если zn € г и zn € / W, то пусть zn+t = f-1 (znj. Если zn £ Y и zn < f (X), то пусть zn4-j £. Наконец, если zn = £, мы полагаем и zn+d = £. Положим Хос = = {.г g X: S (х) не содержит £}, Уоо = {у С Y: S (у) не содержит £}, Хн — = {.г £ Х\Хоо: шах {«: хп =^= — нечетное число}, Ун = {у g У\Уте: шах {и: уп Ф £} — нечетное число}, Хч = {х g Х\Хоо: max {«: хп - четное число}, Y4 = {у g Y\YOO: max {п: уп £} — четное число}. Тогда легко видеть, что имеют место следующие соотношения: X = Хн |J Хч J и Хоо. у = Ум и Y4 и Гоо, /Хоо - Уоо, 1ХН = Уч. gYn Хч, Определим Ф: X У так: Ф | Х^ - f | Х«,, <р | Хн = f | Хн, Ф | Хч - g~l | Хч. Про- верьте, что Ф — взаимно однозначное отображение X на У. 32. Следует из задач 30 и 31 гл. I. 34. Положим / (х) = {.г} для каждого х g X. Тогда / (х) g exp X и / — взаимно однозначное отображение множества X в множество exp X. Теперь следует установить, что если Ф: X exp X — взаимно однозначное отобра- жение, то Ф (X) ~^= охр X. Положим А = {х g X: х g Ф (#)}. Если A g g Ф (X), то А -- ср (х*) для некоторого .т* g X и либо х* g А, либо я* (£ А. Покажем, что обе альтернативы ведут к противоречию. Если х* g А, то ж* g ср (.т*) и, в силу определения А, х* •(£ А — получаем противоречие. Если о** $ А, то .т* Ф (х*) и, в силу определения А , х* g А — получаем противо- речие. Следовательно, А 4 <Р (^0- Если X - Л — пустое множество, то множество exp X состоит ровно из одного элемента, а X не имеет элементов. Следовательно, между X и exp X нельзя установить взаимно однозначного соответствия.
РЕШЕНИЯ 39 35. Если к С Лг+, i € N* и а Е SfW положим ф^ (а) = ср (фд-i (а)) = = <р (ф (. . . ф (а))). Далее, фА (Si+k) = {фй (а): а 6 Si+ft}. Так как 5/+й =£ Л, k раз то и <рй (5г+й) = Л. Очевидно, фА (5г+й) с: St. Положим S* — Г) {ф* {Si+ky к 6 Л'+}. Из ф (5г+й+1) с Si+k следует, что фй+1 (Si+k+l) cz <pft (Si+k). Сле- довательно, последовательность = {<рь (б^+fe): к £ N+} монотонно убы- вающая (но не строго, вообще говоря). Так элементы 5/ — непустые конечные множества. Поэтому 5* — <pfe* (Si+k*) для некоторого к* £ N + и потому S? =Н= А. Далее, ф (5*ж) = ф (Г) {фй (Si+k+iY к Е Аг+}) cz Q {фй+1 (5\+й-н): к € А+} cz Si. С другой стороны, пусть а С St и А = {Ъ £ S^: ф (Ь) = а}. Если S't±i Г) Л = А, то, так как — монотонно убывающее семейство конечных множеств, существует к' Е А+, для которого ф^* (5г+А'+1) П Л = А. Но тогда Фь'+i (^’i+A'+i) П ф (А) = А (ибо А — полный прообраз при ср), т. е. а § фй'+i (^г+й'-н) и, тем более, а $ Si. Этим доказано, что ф (St^i) zd zd Si. Значит, ф (3?-±л) ~ St для всех i Е А*. Теперь искомая последователь- ность {af: i ЕА+} строится без труда: выбираем произвольно Е 5*, и, если определены уже все для£<Г?г, причем так, что Е St, то принимаем за ап-н любой элемент множества 6^+1, для которого ф (an+j) = ап. 36. Пусть существует множество А cz X, А =/= А, в котором нет наи- меньшего элемента. Тогда очевидным образом по индукции строится после- довательность {ап} cz А такая *), что ап+1 <; an, an+i =/= ап при всех п. Оче- видно, {an: п = 1, 2, . . — счетное множество, которое не вполне упоря- дочено отношением с, заданным на X. 38. Утверждение (а) сразу вытекает из определения фрагмента. Дока- жем (б). Если Л' в А не содержится, то х' $ А для некоторого х’ ЕЛ'. Пусть х — произвольный элемент множества А. Соотношение х' —< х не может быть верным — в противном случае х' Е А. Значит, так как -< — линейное упорядочение, х -< х'. Но тогда х Е Л', так как Л' — фрагмент, и мы заклю- чаем, что Лс Л'. 39. Если Л — {х Е X: f (х) <^х и / (х) =£ х} =£ А, то пусть х* — первый элемент множества Л. Тогда х — f (х*) х* и х <х*. Следователь- но,^ 4 А. Поэтому не верно, что f (х) <х — f (х*). Но / — подобное ото- бражение; поэтому из ж <ж* следует, что / (х) <zf (ж*),— получаем проти- воречие. Значит, Л — А. 11оложим В = {ж Е X: / (х) Ф х}. Пусть В =/= А, и пусть x.q — наименьший элемент множества В. Рассмотрим множество I (яо) — {.г Е X: х <; х0 и х о-0}. Тогда / (I (xQ}) = I (х0), ибо для всех х Е I (х0} f (х) == х. Положим С ~ Х\(/ (я0) (J {я©}). Имеем f (х0) =£ х0 и жо < / (х0); значит, / (ж0) Е С. Кроме того, f (С) с С (ибо Л = А). Сле- довательно, / (X) $ х0 и f (X) Э f (#о)> где х0 <; / (xQ). Это противоречит тому, что / (X) является фрагментом множества (X, <). 40. Очевидно, либо /4 (X) cz /2 (X), либо /2 (X) cz Л (X) (ибо /i (X) и /2 (X) — фрагменты множества (У, <^)). Пусть, для определенности, /1 (X) cz /2 (X). Тогда Yi = f (Х4) и У2 = / (Х2) сами вполне упорядочены как подмножества вполне упорядоченного множества (У, <^), причем У1 является фрагментом множества (У2, <^). Для каждого у Е Y2 положим (У) = /1/21 (у). Как суперпозиция двух подобий: /а1: (У2, <) -> (X, <) и Л-’ (X, <;) -> (Уj, <С), отображение qp является подобием множества (У2, <) на его фрагмент (Уь <). Но тогда (см. 39 гл. I) yt — У2, а ф — тождественное отображение множества У2 на себя, т. е. ф (у) = у для всех у Е Уз- Это *) Мы пишем {ап} вместо правильного {an: п Е А+}-
40 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ означает, что Л и /J1 —взаимно обратные отображения; окончательно. (х)= — fz (х) для всех ж Е X. 41. Обозначим через семейство всех фрагментов множества (X, <), » которые (будучи наделены вполне упорядочением из (X, <;)) допускают подобное отображение на некоторый фрагмент множества (У, <^). & имеет естественное вполне упорядочение А-< В, если A cz В для любых 4, В£&- Докажем, что множество (^, -<) индуктивно. Прежде всего, если А — U {4а: а Е М}, где Аа £ для каждого а Е М, то А — фрагмент множества (X, <) (см. 38 (а) гл. I). Пусть теперь /а: 4а (У, <^) — подоб- ное отображение множества (4а, <) на фрагмент множества (У, О для каждого а Е М. Образ фрагмента при подобном отображении на фрагмент снова является фрагментом (это очевидно). Рассмотрим /а*: (Да% <)-> -> (У, <), /а#: (4а„, <) (У, <) для любых а', а" Е М. Тогда либо Да, ~ фрагмент в (Да- , <), либо 4а„ — фрагмент в (Да,, <). Из задачи 40 гл. I следует, что отображения fa, и /а„ совпадают там, где они оба определе- ны. Определим теперь /: А У правилом: / (х) = /а (х) для любого х Е А и любого а Е М такого, что х Е 4а. В силу сказанного выше это определение корректно. Так* как семейство {4а: а Е М} — гнездо (цепь), то для любых #i, х2 Е А найдется а' Е М такое, что х^ х2 £Аа,. Из / | 4а, = /а, и того, что f , — подобное отображение, следует теперь, что и f — подобное отображение. Значит, множество (ZJ°, -<) индуктивно. В силу принципа Куратовского — Цорна в множестве (^, -<) существует максимальный элемент Л*. В силу определения семейства существует подобное отображение /* множества (4*, <) на некоторый фрагмент У* множества (У, <^). Если А* == X пли У* = Y, то цель достигнута. В про- тивном случае пусть х* — первый элемент множества Х\4* и у* — первый элемент множества У\У*. Положим А = A* (J {ж*}, У = У*0 {у*} и определим отображение /: 4 У следующим образом: / (х*) = у* и / | X* = = /*. Тогда 4 — фрагмент множества (X, <) п / — его подобное отображе- ние на фрагмент У множества (У, <). Значит, 4 Е Но 4* у=4 и 4* -< 4, а это противоречит тому, что 4* — максимальный элемент множества Значит, либо 4 = X, либо У* = У. 42. Достаточно сослаться на задачи 40 и 41 гл. I. 43. Пусть <; — какое-нибудь вполне упорядочение на X. Если оно не удовлетворяет условию задачи, то множество В — {х Е X: х0 11 < (ж) [} не пусто (ибо В содержит тогда по крайней мере последний элемент множества (X, <)). Через х* обозначим первый элемент множества В. Тогда (7 (ж*), <;) — бесконечное вполне упорядоченное множество без последнего эле- мента. Определим на X новое вполне упорядочение но правилу: а) если ^2 С 7 (я*) или хх, х2 Q Х\7 (я*), то xt х2 в том и только в том случае, если Xi <ж2; б) для любых х± Е Х\7 (х*) и х2 Е 7 (х*) полагаем -< х2 (и, как всегда, х -< х для всех х Е X). Не вызывает сомнений, что — действительно вполне упорядочение и притом искомое. 44. Легко следует из задач 17, 16 гл. I. 45. Согласно принципу вполне упорядочения X может быть вполне упорядочено некоторым отношением <\ Если это упорядочение не мини- мально, то множество 4 = {х Е X: | {xr Е X: х' < х и х' ф #} | — | X |} не пусто. (Сокращенное определение множества 4: 4 = {х Е X: | 7 (х) [ = = | X |}.) Через х* обозначим первый элемент множества 4. Тогда | 7 (х*) | = = | X |, и для любого х Е 7 (я*) имеем | 7 (х) | <| X |. Зафиксируем какое- нибудь взаимно однозначное отображение <р множества X на множество 7 (х*) и положим Xi < х2 в том и только в том случае, если (р (х±) < ф (х2). Тогда <р — подобное отображение, откуда легко следует, что <С — минималь- ное вполне упорядочение па X.
РЕШЕНИЯ 41 47. См. задачу 42 гл. I. 49. Если х — последний элемент множества (X, <), то X == I (х) |J (J {я}. Из задачи 44 гл. I следует, что | X | — 11 (х) |. Но тогда < не мини- мально. 50. При любом а £ А положим Го — {(#, у) Е А X A: max {х, у} = -= а}. Пусть В — произвольное непустое подмножество множества А X А 11 Ва = В р Га. Первый элемент множества {я£Л: Ва Л} обозначим через а*. Очевидно, Га# = Г** U U {(«*, а*)}, где Г*# = {(я, у) Е € Га»\{(а*,а*)}: max {г, у} = у}, = {(х, у) £ Го*\{(а*, а*)}: щах {х, у} = х}. Проектирования л,: (Г*,, <) -► (4, <) и л2: (Г®*, <) -> (А, <;) (где Я1 (х, у) = х, л2 (я> у) = у) являются подобными отображе- ниями. Следовательно, (Г*#, «) п (Г*„ С) — вполне упорядоченные мно- жества. Из определения отношения < следует, что любой элемент множества Г£* предшествует любому элементу множества и все элементы из Г** U U Г|ф предшествуют элементу (л*, а*). Из сказанного без труда выводится, что (Га*, <) — вполне упорядоченное множество. Поэтому в Ва* есть пер- вый элемент. Этот элемент является и первым элементом множества В. 51. Из определения (см. 50 гл. I) следует, что — минимальное вполне упорядочение на N X N. Теперь достаточно сослаться на задачи 42 и 48 гл. I. 52. Предположим противное, и пусть т* — наименьшее из карди- нальных чисел, квадрат которых отличен от них. Тогда х0 < (см. 51 и 14 гл. I). Выберем множество Л*, для которого ] Л* | = т*. Пусть < — некоторое минимальное вполне упорядочение на А * (см. 45 гл. I) и (Л* X А *, <С) — канторов квадрат вполне упорядоченного множества (4*, <) (см. 50 гл. I). Из т* — | А* | < | А* X А* | следует (см. 41 гл. I и определение вполне упорядочения<), что найдется а* Е А*, для которого | 7((а*, а*)) | = = т*. Так как у (А*, <) нет последнего элемента, то определен элемент а* + 1 € (А*, <). Но 7 (а* -|- 1) X 7 (а* 4- 1) гэ /((а*, а*)); поэтому т* | /(а* 4- 1) X I(a* + 1) | и No Ца* + 1) |. В силу минимальности вполне упорядочения < имеем | 7(а* +1) | <т*. Из определения т* следует теперь, что | 7(а* -j- 1) X Ца* 4“ 1) | =- | /(а* + 1) | < т*, а это противо- речит соотношению, доказанному ранее. 54. Положим т = | А | ~ | А X А | (см. 52 гл. I), и пусть существует а Е А, для которого | 2 ((а, а)) | — т. Элемент а 4- 1 Е А определен в силу минимальности <. Имеем 2((а, a)) cz Ца + 1) X 2(а + 1), и поэтому т = = | 7((а, а)) | < | I(a + 1) | (см. решение задачи 52 гл. I). Но | Ца 4~1)| < < т в силу минимальности <. Мы получили противоречие: т < т. 55. В силу 42 гл. I существует подобное отображение множества (А, <с) на некоторый фрагмент I множества (А X А, <). Если бы фрагмент I был собственным, то вполне упорядочение <С не было бы минимальным (ибо 11 | — | А | = | А X А | — см. 52 и 54 гл. I). Значит, I ~ А ХА. 56. Воспользуйтесь результатом задачи 52 гл. I. 57. Зафиксируем некоторое множество X*, для которого | X* | = т. Для каждого а Е М существует взаимно однозначное отображение 1а\ Ха X*. Положим га (Ха) — X». В силу 56 гл. I | X* X М ] < т. Пусть = U {Ха X {а}: а Е М}. Из Y* cz X* X М следует, что | Y* | т. Положим <р (xj, а) = ia1 Ua) € Ха для каждого а Е М и каждого ха С X*. Этим правилом определено отображение ср: Y* X, причем ф (У*) = — (J {Ха: а Е М}. Но тогда (см. 25 гл. I) ] □ {Ха: а Е М} [ <|У* | < т. 58. Для любого натурального п мощность Ап—произведения п экзем- пляров множества А—равна мощности множества А в силу 56 гл. I. Но мно- жество Ап допускает очевидное естественное отображение на множество Вп всех подмножеств множества А, состоящих не более чем из п элементов. Сле-
42 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ довательно, I I < I An | = | А |. Имеем (А) ~ (J {Вп: п £ Л} (где Лг — множество всех натуральных чисел). Так как | N | х0 — наименьшее из бесконечных кардинальных чисел, а А — бесконечное множество, то | N j А |. На основании задачи 57 гл. I можно заключить, что | d%7(A) [ < | А |. Очевидно, | А | < | Ж (А) | (ибо {ar} Е Ж (А) для каждого х С А). Значит. | <^(А) ] = | А |. 59. Зафиксируем х% £Х, х% £Х, х% =/= х%. Рассмотрим X- = X X X X = {(zi, х2)\ € X, х2 £ X}. Положим AXi*= {(rrf, х): х £ X}, i = - 1, 2, У a - Ах* , У2 - Х2\Ах?. Тогда X2 = У4 (J У2. У, И У2= Л, | Yi | — | X |, | У2 | — | X |. Последнее следует из того, что А * cz У2 cz cz X2 и | X2 | = | X | = | Ах* |. Множество X2 равномощно X (см. 52 гл. I). Значит, между ними существует взаимно однозначное соответствие. Образы множеств Yt и У2 при этом соответствии — искомые Ха и Х2. 60. Множество X X X можно взаимно однозначно отобразить на X (52 гл. I). Отсюда решение легко следует. 63. Пусть а — бесконечное минимально вполне упорядоченное мно- жество и Р — (тривиально вполне упорядоченное) множество, состоящее из одного элемента, не принадлежащего а. Тогда р + а подобно а (см. 42 гл. 1),,но а + Р не подобно а, так как в а + р есть наибольший элемент, а в а такого элемента нет. 65. Предоставив читателю рассмотреть самостоятельно все подробно- сти, мы докажем только, что в каждом непустом подмножестве Q множества С есть первый, пли наименьший относительно элемент. Положим S = = {b Е В: существует а С А, для которого (а, 6) С (?}. Очевидно, S у= Л. Через bi обозначим первый относительно элемент множества S. Положим = {а С A: (a, &i) С (>}. В силу определения имеем 3й =£ Л. Через at обозначим первый элемент множества Тогда (а^ 6А) — первый элемент множества £ (проверьте это сами). 66. Покажите, что вполне упорядочение произведения минимально, сошлитесь затем на задачу 42 гл. I. 68. Нет. Упорядочение произведения (Лт, с) X (D, <) не минимально, a (N, <) — минимально упорядоченное множество. 69. См. задачи 66 и 68 гл. I. 70. Первое утверждение выводится легко из определения. Для доказа- тельства второго годится следующий пример. Пусть каждое из множеств р, 7 состоит ровно из одного элемента и эти элементы различны (а упорядоче- ния тривиальны — других в этой ситуации быть не может). В качестве а привлечем множество натуральных чисел, наделенное естественным вполне упорядочением. Тогда р 4~ у — упорядоченное множество, состоящее из двух элементов, и произведение его на а подобно а (см. 66 гл. I). В то же время (Рх а) + (у X а) есть сумма двух непересекающихся вполне упоря- доченных множеств, подобных а. Поэтому вполне упорядочение на (Р X а) + (у X а) не минимально, и, так как а — минимально вполне упорядоченное множество, то а и (р Ха)+ (у X а) не подобны. 71. В самом деле, если 0 — первый элемент множества (А, <), то г0А =- {(а, 0): а £ А}.—очевидно, собственный фрагмент лексикографического квадрата множества (А, <с)> равномощный всему этому множеству (ибо | А | = | А X А | в силу 52 гл. I). 72. Канторов квадрат минимально вполне упорядоченного множества минимально вполне упорядочен. Но вполне упорядочение лексикографиче- ского квадрата бесконечного вполне упорядоченного множества никогда не бывает минимальным (71 гл. I). Следовательно, они не подобны. 73. Проверим сначала, что отношение транзитивно, а затем, уже не оговаривая деталей, проведем общее рассуждение. 1) Пусть х, у, z £ С и х -< у 1 у -< з. Обозначим через а' наибольший элемент множества А такой, что ха, =И= уи через а" — наибольший эле-
РЕШЕНИЯ 43 мент множества А такой, что уа„ za„ Все ха,, уа,, za,, ха„, уа„, za. являются элементами множества В, причем из их определения и определения -К следует, ЧТО %а' У а' У а” *а"' Рассмотрим три случая. I) а' — а". Тогда ха = уа, уа — za и, следова- тельно. ха = za, если а' = а <с а и ха, <с уа, = уа„ <с значит, х ~<z в этом случае. II) а'<са". Тогда, в силу определения а'п а", будем иметь Ха„= уа„ и, значит, яа.<Сс 20,. Кроме того, ха = уа и уа = za при а" <с я. Поэтому х -< z. Ill) а" <с а!. Тогда уа, — za,, xQ, <^с Уа, и, зна- чит, ха, <с za" При а' <с а имеем хо = уа, уа — za и, следовательно. ха = = za. Поэтому х -< z. Утверждение 1) доказано. 2) Через 0 условимся обозначать первый элемент множества (В, <^). через (Ах, <), где х С А. — сегмент Цх) множества (Л, <), упорядоченный отношением <. Заметим, что если х = у + 1, то (В, подобно (4 О (В, <) У' ' X {В, <^) (достаточно сравнить определения степени и произ- ведения). Последнее множество вполне упорядочено, если вполне упорядо- (ь О _ чено множество (В, <) • Пусть теперь А = L У € 0 для неко- торого множества Q с А; предположим, кроме того, что никакой элемент множества Q не является последним (наибольшим в (Q, <)). Из опреде- ления степени ясно, что (В, <С/А’ подобно (J {(В, <)(АУ’<к. у eQ}. где (А • <Э при у'Су "множество (В, <^) У' естественно отождествляется с некоторым сегментом множества (В, и порядок на объединении определяется как объединение порядков. Значит, если (В, <) — вполне упорядо- ченное множество для каждого у С Q> то и (В, <)<Л’ — вполне упоря- доченное множество. Так как (В, подобно (В, <) и, следовательно, вполне упорядочено, мы имеем все необходимое для того, чтобы заключить в соответствии с принципом трансфинитной индукции (см.а81 гл. I), что (В, вполне упорядочено. 74. Из определения степени следует, что (В. есть (0, 0) -< -< (1, 0) (0, 1) -< (1, 1). 79. Через со обозначим множество натуральных чисел, упорядоченное обычным образом. Положим 8 = со -}- со®-}- ед®**-)- . . . (Здесь n-е сла- гаемое имеет вид раз ; скобки надо расставить так: О)(ш( Сложение осуществляется по вполне упорядо- ченному множеству со.) Число 8 искомое. (Подробнее см, в книге С е р- пинского [1], стр. 326—329.) 80. Очевидно, среди элементов множества W, не принадлежащих мно- жеству Q, не может быть первого. Значит, таких элементов нет. 81. См. 80 гл. I. Очевидно, за Q следует принять множество всех х С Ж, Для которых Р (х) верно. 82. (а) Пусть (р: W -> S и гр': W S удовлетворяют требованию зада- чи и <р' ф <р. Тогда существует первое х С Ж, для которого ср (х) ф' Для этого я, очевидно, <р | 1(х)=ср' | Цх), и поэтому А\х((р | Z(,r))=Ax(<p' | Цх))>
44 ГЛ. J. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ т. е. ф(я) = ф'(я) — получили противоречие. Таким образом, существует не более одного отображения ф: W S с интересующим нас свойством. (б ) Обозначим через А множество всех х С W, для которых на 1(х) существует нужная функция ф — мы будем обозначать ее через фх. По дока- занному в (а), если х± с х% и ФХ1> ФХя определены, то фХг | 1(х^) = фХ1< Положим А — [J {Дя): Д Л). Тогда либо А = W, либо существует х Е Wr для которого А ~ I(х).^Отображение -ф: Л~-> 5 определяется правилом: ф(у) = Фх,(у), где х' £ А и у С Если Л = Ж, то ф,— очевидно, иско- мое отображение. Если А Ж, то полагаем ф (х) = Хх(ф) и ф(я') — ф(я') при х' Е Л .Отображение ф: Цх + 1) -> 5 удовлетворяет требованию задачи; значит, х С 1(х + 1) cz А—1(х),& это противоречит х (J/ (х).Следовательно, случай Л =# Ж невозможен и ф — искомое отображение. 84. Пусть т — некоторый элемент множества М и М = {т 6 М: т < < т} #= Л. Через X обозначим какое-нибудь множество мощности т7 В силу принципа вполне упорядочения можно считать, что X вполне упорядочено некоторым отношением^. Пусть, далее, Хх для каждого т Е М — множество мощности т, вполне упорядоченное некоторым отношением В силу 41 гл. I существует ровно одно подобное отображение fx множества (ХХ1 <т) на некоторый фрагмент Хх множества (X, <^) (мы учли, что т<т). Из т < 7 следует, что Хх^ X. Обозначим через хх первый элемент множества Х\хт. Для любых т1т т2 6 М либо ХТ1 cz ХХ2, либо XT2 cz Хтр ибо ХТ1 и~ХХ2— фрагменты. Но если Ti < т2, то включение ХТ2 cz Хх± невозможно (как невозможно и равенство XXi = ХТ2). Значит, тогда непременно XXi cz cz ХХ2, причем ХТ2\ХТ1 #= Л. Поэтому Е ХТ2\ХЯ и < яТ2. Так как хХ2 $ хХ2’ мы заключаем, что =£ хХ2. Сказанное выше означает, что отображение ф: (М, <) —> (X, <^), определенное формулой ф(т) = хх для каждого т Е М, является подобным отображением упорядоченного множе- ства (М, <3 на некоторое подмножество А вполне упорядоченного множества (X, <^). Но в Л есть первый элемент. Обозначим его через х*. Существует т* Е М, для которого ф(т*) ~ х* (ибо ф(М) = Л). Так как ф — подобное отображение, то т*—первый (наименьший) элемент множества (М, <). Из определения М следует теперь, что т* — наименьший элемент множе- ства М. 85. Зафиксируем вполне упорядоченное множество (У, <) мощности X. Оно отображается подобно на некоторый собственный фрагмент 1(х) множества (X, <) (см. 42 гл. I; мы учли, что л < т). Тогда х — искомый элемент мно- жества X. 86. Пусть (Л, <) —- какое-нибудь вполне упорядоченное множество мощности т. Каждому т' Е % поставим в соответствие некоторый элемент хх, £ А такой, что | Цх%,) ] == т' (это возможно — см. 85 гл. I). Очевидно. хх, у= хх„ при т' т". Значит, нами получено взаимно однозначное ото- бражение множества % в множество Л, откуда следует, что | $ | | Л | = т. 87. См. задачи 52, 57 гл. I. 88. Вывод прямо следует из определения суммы кардинальных чисел и результата задачи 57 гл. I. 89. Обозначим через % множество всех кардинальных чисел, мень- ших т. Так как | % | (см. 86 гл. I) и т для каждого т' Е то т* — == 2 {т': т' Е %} «С т (88 гл. I). Если бы было т* < т, то, так как число т
РЕШЕНИЯ [45 предельное, нашлось бы кардинальное число т, для которого т* < т < т. Но тогда 'х С % и т т* — получили противоречие. Значит, т* = т. 90. См. задачу 57 гл. I. 91. Из определения Xi и минимальности < вытекает, что | 1(a) | к0 для всех а £ А. Но тогда | |J {7(a): а £ 4} | <; к0 в силу 57 гл. I. Следова- тельно, 7\x'i\(U {Ла): а С 4})т^=Л. Из определения множеств 7(a) (см. стр. 19) вытекает, что элемент множества TX\(!JUW: а С 4}) удовлетво- ряет требованию задачи. 92. Каждому F £ exp X поставим в соответствие отображение ф^: X -> определенное условием ф^-1(1) = F. Положим фр = f(F). Тогда / — взаимно однозначное отображение множества exp X на множество Dx. 93. См. задачу 34 гл. I и определение кардинального числа 2Т (см. 92 гл. I). 94. См. задачу 93 гл. I. 95. Нет, не всегда. Положим X — 2, т = Хо- Тогда тЛ = к§ — к0 (87 гл. I) и Г - 2*«. Но к0 < 2*° (93 гл. I). 97. Достаточно сопоставить определения суммы, произведения и сте- пени кардинального числа и результаты задач 28, 27 и 29 гл. I. 98. Очевидно, мощность множества всех счетных подмножеств прямой не превосходит мощности произведения счетного множества прямых. Но мощность последнего равна (2*О)*°=2*° (см. 97 гл. I и определение степени кардинальных чисел). 99. Из 2 < Xi следует, что 2К° к*®. Из х4 2*° следует, что х*° (2*°)*° = 2*®*® = 2К® (87, 97 гл. I). Значит, 2х® = к*®. 100. Имеем 2* < X», ибо 2 < X. Но 2* = 2^== (2»)». Сравнивая (2,х),х и Хц, заключаем, что Хц (2^)^, ибо X < 2^ 2Ц. Итак, X*1 2^ и, следовательно, 2й = Xй- 101. Нет. Пусть X = к0, ц = х0 и т — к0. Тогда (Хи)г = (к^®)*° = =х0х..х0=хк,=2х.(см 100) 97 гл j) Но1(цТ) = х^°Х0) =х^2К*> = = 2<2No). В силу 93 гл. I 2s’ < 2<2Х’>. 103. Воспользуемся имеющимися в нашем распоряжении операциями сложения и возведения в степень. Положим т0 = х0, xt = к?®» Тг = == к?1 , . . тп+! = xjn , . . . и т* == S {tz: i ~ 0, 1, 2, . . ., п, . . .} (суммирование ведется по всем натуральным числам). Убедитесь в недости- жимости т*. 104. Это тонкий вопрос. Он решается в аксиоматической теории мно- жеств (см. П. Коэн [1]). 105. Возьмите объединение равномощных слагаемых; объедините также в одно множество все слагаемые не слишком большой мощности (см. 106. Если 4 — конфинальное подмножество в (X, <), то X — — U {/(.г): х С 4}. Так как | I(x) ] < | X ] = т для всех х Е X (упорядо- чение < минимально), то cf(x) | 4 | (см. определение с/(т)). Пусть, с дру- гой стороны, М — множество мощности ц = cf(x) и X ~ U {Ха: а С М}, ГДе । I < I X I Для всех а С М. В этой части рассуждения, очевидно, Достаточно рассмотреть случай, когда ц < т. Для каждого а С М тогда суще- ствует элемент ха Е X такой, что | Ха | = 11(ха) | (см. 85 гл. I). Положим 4 (ха> а С М}. Мы можем считать, что | Ха, | Ф | Ха„ | при любых Различных а', а" С М (105 гл. I). Тогда и ха, Ф ха„ при а' =# а"; поэтому I А |= | М |—с/(т)=р,. Множество 4 конфинально (X, <) — в против-
46 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ном случае I) U(xa): а 6 М} = 1(х*} для некоторого х* £ X’ и I Ха | = | Дга) | < | /(**) I < т. Тогда т = | X | = | (J {Ха: |а 6 ЛГ) | = S { | Ха |: а £ ДО < max {| Цх*) |, р} < т — получим проти- воречие. 107. Очевидно, всегда с/(Х) < А. Предположим, что р = с/(А) < Л. Пусть А — множество мощности %, В — множество мощности pt и X — множество мощности т. Тогда существуют разложения в суммы попарно не пересекающихся множеств: X = U {Ха: а Е Л}, А — (J {Ар: 0 Е #}> где | Аа ] < | X | = т для всех а£Ли|Лр|<|Л | = А для всех (3 Е В. Положим Уэ = U {Ха: а Е Ар} для каждого РЕВ. Тогда (J {Ур: р Е В} = = X. Из I В | < А = с/(т) следует, что | У^ | = | X | = т для некоторого Р* Е В. Но | Ха | < т для каждого а Е А &*, и | U {Ха: а Е Л^} | = т. Значит, X = cf{%) < | Л |, а это противоречит тому, что | А^ | < %. 108. с/(т*) = х0- Докажите это сами (см. 88, 93 гл. I). 109. Это утверждение сразу следует из определений и результата зада- чи 88 гл. I. 110. Пусть У — множество мощности А, Уа = У и /а: Уа -* Ха — отображение множества Уа на множество Ха для каждого а Е А. Рассмотрим произведение П {Уа: а Е А} и произведение /= П {/а: а Е А}. Тогда П {Уа: а ЕЛ}= YA и f — отображение множества УА на множество X. По определению, Ат = | У ] = | Ул |. Тогда из задачи 25 гл. I следует, что I X I < I Ул |. 111. Рассмотрим множество А мощности А и множество X мощности т, причем на X зафиксируем некоторое минимальное вполне упорядочение С. Тогда если f£XA , то /(А) о Цх) для некоторого х Е X (ибо | /(Л) | •< 1 А | < < с/(т) — см. 106 гл. I). Следовательно, ХА — U {(Цх))А: х Е X}. Выбе- рем я(р) Е X для каждого р < т так, чтобы было | 7(я(р)) ] = р (85 гл. !)• Тогда ХА — U {(/(я))А: х — я(р), р<т}. (Здесь мы снова учитываем, что т — предельное кардинальное число.) Последнее соотношение равносильно заключению задачи. 112. Из задач 97, 87, 109 гл. I следует, что достаточно рассмотреть случай, когда т — предельное кардинальное число и А х0- Тогда, в силу 111 гл. I, тЛ = S {рХ: у, < т}. Но рА тах(рЛ А^) — max (2g, 2^) (см. 100, 96 гл. I). В силу обобщенной континуум-гипотезы 2Д = р + (или р < < Ко), 2% == А+. [Из А < с/(т)^< т4 и р < т следует, что р+ т, А* т, Итак, рх < т для всех р < т. Но тогда т < = S {р^: р < т} т, т. е. тЛ = т. 113. Положим А (J {Аа: а Е М} и В — П {Ва: а Е М}. Можно считать, что Аа, Q Аа„ = А при а' =£ а". Через ф обозначим произвольное отображение множества А в множество В и положим <ра = лаф, где ла: В -+ -> Ва — проектирование (см. стр. 16), Са = фа(Аа), а Е М. Тогда | Са | < < I ФаМа) I < 14 I < I Ва | и, следовательно, Da = Ва\Са А. Поло- жим D ~ П {Ра: а Е М} cz 2? и проверим, что ф(А) Q D — А. Пусть Ь £ Е ф(Х). Тогда для некоторого а* Е М имеем 6=ф(а), где а Е Заключаем, что ла#(&) = ла#ф(а) = фа*(а) Е значит, Ъ $ D (ибо = 2>а* =- = Ва*\Са^)л Следовательно, ф(Л) #= В и | А | < | В |. 114. Для каждого а ЕМ определим ф(а) Е М следующими требования- ми: (а) | Аа | < | 4ф(а) | и (б) если р е М и | Аа | < | |, то | (в) | < < | Лр |. Так как класс кардинальных чисел вполне упорядочен по вели- чине, из 1) следует, что элемент <р(а), удовлетворяющий условиям (а) и (б), существует (и единственен) для каждого a g М. Положим Вп= А^. Тогда
РЕШЕНИЯ 47 I Л I < I Ba | для каждого а М. В силу 113 гл. I | U {Ла: а Е М} I < < |аП {Ва: а € М} |. Так как множество П {Ва: а £ М) = П {Лф(а): а Е г М} является гранью произведения П {Ла: а Е М} (заметим, что <р — взаимно однозначное отображение множества А в себя), то | (J {Л^: а С Е М} I < I П Ма: а € м} |. 115. Предположим противное: пусть К — cf(2x) т. Зафиксируем минимально вполне упорядоченное множество (4, <) мощности 2\ и пусть М с Л, Я конфинально А, ( М | = X. Для произвольного а £ М положим 4 = {р Е Л: р < а}. Тогда 1 Аа | < 2х и U {Аа: а Е М} = А. Отсюда и°пз |М I т следует, что в множестве {] Ла |: а Е ЛГ} нет наибольшего элемента (в противном случае этот наибольший элемент, умноженный на т, дал бы 2х, что невозможно (см. 87 (в) гл. I)). Из аналогичных соображений вытекает, что можно найти М* cz М, конфинальное М (и, следовательно, конфинальное Л), для которого выполняется условие: если а' Е М*, а" Е и а' =^а\ то | Ла, | =# I Аа,|. Тогда (114 гл. I) | (J {Ла: а Е М*} | < < | П {Ла: а Е >*} |. Но | Ла ] < 2х для каждого а Е М* и | М* [ < | М | = % < т. Значит, | П {Ла: а Е М*} | < (2Х)Х = 2х. С другой сто- роны, М* конфинально Л, и поэтому Л«= (J {Ла: а Е М*} и ] j {^а: а € Е №*} | ~ | Л | = 2х. Итак, 2х < 2х -- получили противоречие. 116. В противном случае было бы с/(2Ко) Ко, что невозможно (см. 115 гл. I). 118. В силу 50 гл. IV существует семейство подмножеств множества N, удовлетворяющее условиям (а), (б) и (в). Семейство ЗГ всех таких семейств, частично упорядоченное отношением включения, индуктивно (и, как только что отмечено, не пусто). Поэтому в ЗГ есть максимальный элемент. Очевидно, это максимальный элемент и есть искомое 119. Предположим, что f взаимно однозначно. Обозначим через Л наименьшее подмножество множества В, содержащее Вао, Для которого f-iA = А (т. е. Л = Вао (J J ГЧ^Ва» U • •)• Тогда I Л | < х0*т = * и’ значит, В\Л А. Из Л ю ВО0 следует, что В\Л cz cz С. Поэтому на В\Л определено отображение /, и из /-1Л= Л следует, что /(В\Л) с: 5\Л. Зафиксируем а* Е В\Л. Тогда /(а*) Е В\Л, //(а*) Е 6#\Л,.., причем, в силу предположения о /, будем иметь а* >/(а*) > > //(а*) . . . Таким образом, мы построили бесконечную монотонно (строго) убывающую последовательность элементов вполне упорядоченного множе- ства (В, С), т. е. получили противоречие. 120. Для любых t Е Г, х X и Ac X положим (A)Xit = {у Е Л: /U» у) = t} (мы отождествляем (х, у) с (у, х) и всегда предполагаем, что х Ф у). Очевидно, х £ (A)Xit и (Л)х4 cz Л. Пусть (j£, <) — минимально вполне упорядоченное множество мощности т+. Для каждого а Е У поло- жим = {(3 Е Р < а}. Тогда | | < т при всех а Е Далее а + 1 всегда есть первый элемент множества больший а. В каждом непустом множестве Л с X зафиксируем элемент с(Л). По индукции вдоль (J£, <) Для каждого а Е теперь будет определено некоторое семейство jaa под- множеств X. Положим 3% = {X}. Если р Е Р ф 0 и для всех а < р Уже определено семейство .7^, обозначим через семейство всех непустых с X вида Л = П {Л%: а < Р}» где Ра Е Для всех а < р. Положим — {(Л)с (Д) /: t 6 Ти (4)с (Д)>< Л} U {{с(Л)}}. Очевидно, 7р д — дизъ- юнктное покрытие множества А, причем | | < | Т | = т.’ Положим 3 = U {тр1Д: A g ®р}. Если | | % для всех а < Р (при Р = 1 это iT0,’ ^Иб°, 1 । = !)’ т0 । = 2Т = %, и потому вает? ~ к- Если каждое .7°а, где а < р, покрывает X, то и покры- тл, а тогда и покрывает X. При этом покрывает X. Если все J°a,
48 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ где а < Р, дизъюнктны (а заведомо таково), то и 3d $ дизъюнктно. Ясно, что вписано в при а < р. Будем считать, что семейства ./°а опреде- лены, как выше, для всех а С Следующий очевидный факт важен для нас: (ю) если аД?,а < а', Af g 'Fa'’ А Е ^°а и А Г) И' =^=Лх, то Л' cz Л, причем если | А' | > 2, то с(Л) с(Л') и существует t' 6 Т, для которого A' cz (Л)с (А), f,. Положим & == U {^а: а Е^}, = {Л € | Л | < Л} и Хх = — □ {Л: Л С Тогда | | < | &> | < т+Х = %, и поэтому | Х^ | < X. Значит, Х\Х% =#= А. Зафиксируем £ Х\Х^. Для каждого а выбе- рем Ла С такое> что х^ С Ла. Из х^ £ Х^ следует, что Аа $ т. е. что | Ла | > X > 1 при всех а 6 F- Положим ха = с(Аа). В силу (ю) ха Ф ха'ч при а а' и Ла-нс=Ла. Так как | Ла-н | >Х, то для каждого a Cf существует такое ta £ Т, что Ла+1с2(Ла)ха,/а. При а < а' имеем Ла, cz Ла+1 (см. (ю)) — отсюда и из ха' Е Ла* следует, что f(xa>, ха)= ta,. Но | Т 1 = = т < т+. Следовательно, существует t* £ 7, для которого множество — — {а С Т : *а = t*} равномощно у. Положим X* = {ха: а € F*}- Имеем | X* | = | | = т+ > т. Если х Е X*, у* С X и х ф у, то х = яа, у = х^' для некоторых а, а' С ^*, причем а Ф а'. Пусть, для определенности, а <а'. Тогда f(xa, ха') = ta = «♦, т. е. f(x, у) = t* для любой неупорядо- ченной пары различных элементов множества X*. Значит, X* — искомое множество. 121. Зафиксируем множество Т мощности т. Линейно упорядочим множество Л некоторым отношением<. Для каждого а С Л зафиксируем неко- торое отображение фа множества Т на множество всех слагаемых, пересекаю- щих множество {(а, ху. х С Л и а <Zx}> и некоторое отображение фа мно- жества Т на множество всех слагаемых, пересекающих множество {(ж, а): х < а}. Пусть теперь а' £ А, а" £ А и а' а". Тогда либо а' < а", либо а" < а'. Предположим, для определенности, что а' < а". Тогда существуют /' С Т и t” Е Т, для которых (а', а") С фа' (Г) и (а', а") Ефа" (О- В соответ- ствии с тем, что а' < а", рассмотрим упорядоченную пару (f, t") С Т X Т и положим /(а', а") = (Г, t"). Имеем | Т X Т | — т и |Л|>2\ В силу задачи 120 гл. I существует Л* с Л и упорядоченная пара ($i, /2) элементов Т такие, что] А* |>т и f(a'f a") = (ti, t2), для любых а' £ Л*, а" £ Л* и а'=£а". Обозначим Л* — А*, если (Л*, с) не имеет наибольшего элемента, и Л* = — Л*\{т}, если m — наибольший элемент в (Л*,<). Множество Л* иско- мое. Действительно, если а', а" С Л* и а! < а", то фа' (fj) Э (я'> а") и фа* (*г) Э Э (а', а"), т. е. (ра* (ft) fl фа"(*2) ¥= А, а так как, по предположению, различ- ные слагаемые не пересекаются, то <р«'(М — фаД^г)- Но тогда фа(?1) = Фь(*1) для всех а, b £ Л*, ибо можно выбрать с € А* такое, что а<с и b С с и, по доказанному выше, будем иметь (£i) — фДг2)> Фь(*1) = и потому <Pa(*i) = Фъ(^1)- Из {(а', а")? а', а" С Л* и а' a") cz U {фа(*1): « С теперь следует нужное заключение. 122. Зафиксируем множество L мощности т и отобразим его иа каждое уа. Тогда уа = {Ff: I С L}. Положим Т == L X L. Тогда | Т [ = т2 = т- Для каждой пары (а', а") различных элементов множества Л зафиксируем t — (Г, Iм) £ Т лзск, чтобы было: Ffi П П П Р^ = (эт0 возможно в силу 1)), и положим /(а', а") = t (порядок элементов в паре (а', а") не влияет, очевидно, на выбор t). Тогда можно применить утверждение задачи 120 гл. I (с Л в роли X). Заключаем, что существуют Л* cz Л и t* Е f такие, что | Л* | > т и /(а', а") = <*, если а' С Л*, а" А* л а'
РЕШЕНИЯ 49 Пусть t* = (*ь h)* Для каждого а £ 4* положим Fa = Я В силу 2\ Е Та- Очевидно, множества Fa, а £ 4*, искомые. 124. В силу 123 гл. I достаточно показать, что § содержится в некото- ром предфильтре на X. Ясно, что таким предфильтром является, в частности, семейство g^ всех подмножеств множества X, представимых в виде пересе- чения конечного множества элементов семейства g, 125. Если бы нашлись Bif . . £ g', для которых Г) {Bt: i = = 1, ., 1} = Л, то непременно одно из ...» совпадало бы с В (ибо’ i центрирована). Пусть Bi = В. Тогда можно считать, что В2, . . . v Bi £ Так как g — предфильтр, существует В' £ g, В’ cz П {5Z: i = ~ 2, . . О- Тогда В' П В = Bi Q В' cz П {В- i = 1, . . ., Z} — Л, что противоречит условию. 127. Множество Z7(^) всех центрированных систем элементов % упо- рядочим естественным правилом: если gi £ Z/(^) и g2 £ .7Сё), то gt < g2 в том и только в том случае, если gj cz g2. Покажем, что упорядоченное множество (Z7($), <) индуктивно (см. стр. 18), т. е. что для любой цепи <- («/($), <) существует 1 £ J’(^), являющееся мажорантой для Вспомнив, что все g £«$# (как и вообще все g £ Z7(^)) являются подмноже- ствами множества положим g = J {g : g £ «^}. Проверим, что g — центрированное семейство множеств. Если 4i, . . ., 4& — произвольный конечный набор элементов g, то, в силу определения g, существуют такие gi, . . -Лк Е «4, что At £ g£, i = 1,. . .,/с. Так как — цепь в (J^(^), <),то можно найти перестановку ij, . . ., гд чисел 1, ...» /с, для которой g^ < ... . . . < gjfe. Тогда, в силу определения отношения <, получим g^ cz ... . . . cz g|A и, значит, 4$ £ g^fe для всех i — 1, . . ., к. Но тогда, поскольку gift — центрированное семейство множеств, f] {4j: j = 1, . . ., к} Л. Этим доказано, что *g — центрированное семейство. Из определения g сле- дует теперь, что g С «/($) и что g cz g для любого g £ ^. Но последнее означает, что g < g для любого g £ ^; таким образом, g — мажоранта мно- жества На основании принципа Куратовского — Цорна мы заключаем теперь, что в упорядоченном множестве («7(^), <) есть максимальный эле- мент (см. стр. 18) — обозначим последний через g*. Покажем, что g* — максимальная центрированная система элементов % в смысле определения, данного на стр. 20. Пусть 4 £ <g\g*. Положим g' = g* (J {4}. Тогда g* cz cz g' и g* g'. Если j' — центрированное семейство множеств, то мы полу- чаем соотношения g' £ J^(^), g* < g' и g* g', которые противоречат максимальности g* в (Z7(^), <)• Следовательно, семейство g' не центри- ровано, что и требовалось доказать. 128. (а) => (б). Из (а) следует в силу 126 гл. I, что g — фильтр. Если Г g и g' — фильтр на X, то g' — центрированное семейство множеств И, В силу (а), g' = g. (б) (а). Из (б) следует, что g — центрированное семейство множеств. Рассмотрим произвольное центрированное семейство g' на X, содержащее g. В силу 124 гл. I существует фильтр g" на X, содержащий g'. Но из (б) теперь следует, что g" = g. Тем более, g' = g. (а) (в). Из (а) следует, что g — фильтр (тем более, g — предфильтр). Если4 £ g, но 4 f) В Ф Л для всех В £ g, то, в силу 125 гл. I, g' = g |J У» {4} — центрированное семейство на X, причем g' =/= g, g' zz> g, что про- иворечит (а). Очевидно, (в') — переформулировка условия (в). и » (Д)- Если $ g и 42 $ g, то, в силу (в), существуют Bt £ g p 5^ € Для которых Ai П Bi = Л и 42 П В2 = Л. Тогда (4i (J 42) Q ’‘ П В2) = Л. Но так как g — предфильтр, то существует В' £ g, Bf cz t "1 П В2. Тогда (4i (J 42) Q В' — Л, что противоречит центрированности Очевидно, g Э X. В. Архангельский, В. И. Пономарев
50 ГЛ. I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (д) => (г). Имеем X = (Х\А) U Л, X С Теперь (г) следует из (д). (г) => (а). Пусть g' — центрированное семейство множеств на X, содержащее g. Если А С то Х\А $ %' и, тем более, Х\4 $ g. В силу (г) тогда 4 Е g. Значит, g'cz g, т. е. g' = g, и (а) доказано. 129. В силу 90 гл. I, если мощность каждого из множеств А), . . Ak меньше мощности X, то и | (J {Лг«: i = 1, . . ., к} | < | X |. Теперь ясно, что ц(Х) — фильтр. В задаче 59 гл. I показано, что X можно представить в виде объединения непересекающихся множеств Xi и Хг, каждое из кото- рых равномощно X. Следовательно (см. 128 (г) гл. I), ц(Х) — не ультра- фильтр. 130. Фильтр g является центрированным семейством множеств. А каж- дое такое семейство, в силу 127 гл. I, содержится в некотором максимальном центрированном семействе множеств; последнее же, в силу 128 гл. I, является ультрафильтром. 135. Утверждения (а), (б), (в) и (г) доказываются без труда. Покажем, что справедливо (д). Мы проверим, что для /g выполняется условие (в) задачи 128 гл. I. Предфильтромявляется в силу (а). Пусть А £ /g. Тогда f~lA (f § (ибо Y — fX). Поэтому, в силу 128 (в) гл. I, существует В Е £, Для которого (/-U) П В = А. Но /((/'М) П В) = А П №. Значит, А р fB = А. При этом fB Е ибо В Е Следовательно, условие (в) задачи 128 гл. I для /g выполняется, и /g является ультрафильтром в силу 128 гл. I. 137. Положим Л' = Х\П (А: А С £'}• Тогда 4' Q (П {Л: 4 Е £'}) = = А, откуда, в силу предположения о | (и того, что | g' (J {4'} | т), следует, что 4' $ g. Так как g — ультрафильтр на X, мы заключаем, что Х\Л' Е 5, т. е. что р {4: Л Е £z} в 6- _ 138. Пусть — нетривиальный о-ультрафильтр на X. Положим = = {A cz Yi'A ft X £ £} Если Л U В = У, то (Л р X) (J (В р X) = X, и из того, что g — ультрафильтр на X, следует (см. 128 гл. I), что либо 4 Р X, либо В Р X является элементом g. Но тогда либо Л Е либо В Е F Этим рассуждением доказано (см. 128 гл. I), что g — ультрафильтр на Y. Если At Е Г, где i = 1, 2, . . ., то Г) {4- i = 1, 2, . . .} р X = р {Лг р X: i = = 1, 2, . . .} Е I, ибо At р X Е I при каждом i = 1, 2, . . . и g — а-уль- трафильтр. Значит, р {4f. i = 1, 2, . . .} Е I* Очевидно, g cz g, откуда следует, что Р {Л: 4 Е£}с П {А* Л Е?}= А. Доказано, таким образом, что J — нетривиальный о-ультрафильтр на Y. 139. См. задачу 138 гл. I. 140. Предположим противное, и пусть т* — наименьшее кардинальное число такое, что существует g* cz g, для которого | g* | т* и Р {Л: 4 Е Е g*} = А. Тогда т* т, и потому (139 гл. I) т* неизмеримо. Зафиксируем семейство g* cz g, обладающее названным свойством. Пусть элементы семейства g* поставлены во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого минимально вполне упорядоченного множества (Af, с) мощности т*: g* = {ла: а £ л/}. Положим (для каждого а Е М) Ва = р {Ла': а' а}. В силу минимальности рассматриваемого вполне упорядочения, опре- деления т* и задачи 137 гл. I, Ва Е £ при всех а Е М, Отсюда и из определе- ния т* следует, что множество {Ва: а Е М} не стабилизируется: переходя к подходящему конфинальному подмножеству множества М, можно добить- ся, чтобы было Ва, В^ при а' #= а". Будем считать, что это условие уже выполняется. Очевидно, если а' <; а", то zd Ва„. Пусть 0 — первый элемент множества (М, <). Положим Bq — Z. Определим отображение л: Z М правилом: л-1(а) = 2?а\Ва-н для всех а Е М. Так как n“x(M) = = Z Е I и прообраз суммы равен сумме прообразов, а прообраз пересечения равен пересечению прообразов, то следующее условие определяет о-ультра- фильтр ц на М: L Е Ц, где L cz М, в том и только в том случае, если л~гВ С Е g. Так как Ва = Е L то л(Ва) Е П и Г) {л(Ва): а Е М} =
РЕШЕНИЯ 51 ₽ гт(П{^а: а € М}) = = л. Следовательно, т] — нетривиальный а_ультрафпльтр на М\ при этом | М | = т*, что противоречит тому, что неизмеримо. 141. Пусть £ — о-ультрафпльтр на X. Возможны два случая. I) Ха& Е I для некоторого а0 С А. Тогда сужение = g | Ха' ультрафильтра g на множество Ха° является о-ультрафпльтром на Ха* (136 гл. I). Так как тао = | Ха<) [ — неизмеримое кардинальное число, мы заключаем, что ультрафильтр gao тривиален, т. е. {а^} С £ао для некоторой точки Ха<) е Хао. Но |О0 а: I (см. 133 гл. I); значит, {ха°} £ В, и ультрафильтр Р тривиален. II) Xa (Н для каждого a Е А. Тогда (128 гл. I) X\Xa Е 5 при всех асд, Так как | А | = т — неизмеримое кардинальное число и g — о-ультра- фильтр, то П {X\Xa: а Е А} Е £ (см. 137, 139, 140 гл. I). Но, в силу форму- лы де Моргана, fl{X\Xa: а Е А} = X\((J{Xa: а Е Л}) = А. Таким обра- зом, А Е что противоречит определению ультрафильтра. 142. Предположим противное, и пусть g — нетривиальный о-ультра- фильтр на exp X. Положим, для каждой точки х Е X. тнСг) = {Л сс X: А Э я}, = (Л с X: Л J х}. Пусть, далее, F = {х Е X: ^(я) Е 5}, Ф == = X\F. Тогда т]1(я) (J т]2(я) = exp X и тц(л) Г) ЛгС*) = Л. Значит, Ф = = {х Е %: ПгСО € 1} (так как g — ультрафильтр). Из | Ф | < | X | и | F | < | X |, так как | X | неизмерима, следует (см. 137, 139, 140 гл. I), что А* = = Dblifc): *€*}€£ и Я* = П{П2(я): * Е ф} Е Поэтому Л* 0 5* Е £ g. Мы покажем, что Л* Л В* == {Z1}, т. е. что подмножество Л* П^* множества exp X состоит ровно из одной точки, и этой точкой является элемент F Е exp X. Из х Е Ф = Х\7г и определения т]2(я) следует, что F Е для всех х Е Ф. Значит, F Е В*. Точно так же из определения т]1(л) следует, что F Е HiCO Для всех х £ Значит, F Е Л*,т. е. F £ А* Л В*. Более того, если Q Е Л*, то, очевидно, Q тэ F, и если Q Е В*, то, столь же очевидно, Q Л Ф = А, т. е. Q cz F. Следовательно, если Q Е Л* Л то Q — F и {/’} = Л* Л В* Е Но тогда ультрафильтр g тривиален — он есть совокупность всех подмножеств множества exp X, содержащих (в качестве элемента) F, Получили противоречие. 143. Если т — наименьшее из измеримых кардинальных чисел, то т- регулярно (в силу 141 гл. I). В задаче 142 гл. I установлено, что если X неиз- меримо, то и 2х неизмеримо. Значит, т недостижимо (см. 139 гл. I). 144. См. задачи 53 гл. IV и 180 гл. VI. 145. Решение получается легко, если опереться на задачу 63 гл. IV 146. См. Архангельский [6] и Фролик [3]. 4*
ГЛАВА П ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ТОПОЛОГИЧЕСКИМ И МЕТРИЧЕСКИМ ПРОСТРАНСТВОМ Пусть X — некоторое множество. Семейство подмножеств множества X называется топологией на множестве X, если выпол- нены следующие условия. 1°. Пересечение любого конечного числа элементов семей- ства есть снова элемент семейства 2°. Объединение любого множества элементов из снова принадлежит JT. 3°. Всё множество X и пустое подмножество Л являются элементами семейства Множество X вместе с фиксированной топологией на нем называется топологическим пространством (или просто простран- ством)} последнее обозначается через (X, JT) или просто через X. Подмножества множествах, принадлежащие топологии назы- ваются открытыми множествами топологического пространства (X, .У). Множество F cz X называется замкнутым в простран- стве (X, если множество X\F открыто в (X,jT ), т. е. если X\F £ . Множества, открытые и замкнутые одновременно, на- зываются открыто-замкнутыми. Все дальнейшие обозначения и понятия относятся к точкам 'и множествам, лежащим в произвольно фиксированном про- странстве X. Окрестностью множества А называется любое открытое мно- жество, содержащее А. Особенно часто рассматриваются окрестно- сти точек (т. е. одноточечных подмножеств) пространства X. Точка х называется точкой прикосновения для множества А, если всякая окрестность точки х имеет непустое пересечение со множеством А. При этом мы пишем х$А или х Е [4]. Множество всех точек пространства X, являющихся точками прикосновения для А, называется замыканием множества А и обозначается через [А]. Ядром.жливнутренностью, множества А называется множество Х\ [Х\А], обозначаемое через Int А. Если х Е Int 4, то точку х называют внутренней точкой множества А. Точка х называется предельной для множества 4, если всякая
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 53 окрестность этой точки содержит некоторую отличную от х точку множества Л. Точка х пространства X называется изолированной, если множество {х} открыто в X. Говорят, что пространство X дискрет- но. если все его точки изолированные (топология такого простран- ства называется дискретной топологией). Последовательность {хп: п — 1, 2, . . .} точек пространства X сходится к точке х этого пространства, если для каждой окрестности Ох точки х существует такой номер /г*, что хи £ Ох при всех п > п*. Пишут при этом — х и точку х называют пределом последовательности {хп: п ~ 1, 2, . . Точка при- косновения семейства g множеств есть любая точка, принадлежа- щая замыканию каждого из этих множеств. Множество всех точек прикосновения семейства | обозначается через [£]; очевидно, [g] = П{[Л]: А Е £}. Говорят, что семейство % множеств сходится к множеству A cz X. если для каждой окрестности О А множества А найдется элемент Q £ В, содержащийся в О А в качестве подмно- жества. Если А ={х}. где х £ X. и g сходится к Л, то говорят, что £ сходится к точке х; точку х называют пределом семейства | и пишут: х g lim При этом через lim £ обозначается множество всех точек пространства X. являющихся пределом для 5. Особенно важны в топологии сходящиеся в указанном выше смысле фильтры и предфильтры. В соответствии с этими общими представлениями полезно развить точку зрения на сходимость последовательностей следующим образом. Скажем, что последовательность {хп: п = = 1,2,...} точек пространства X сходится к множеству А cz X. если для каждой окрестности О А множества Л существует номер п* такой, что хп £ О А при всех п 2> п*. Во многих случаях полезны понятия нетривиальной после- довательности и существенной последовательности. Последователь- ность {хп: п = 1, 2, . . .} называется существенной, если мно- жество точек этой последовательности бесконечно (т. е. беско- нечно множество {у: существует номер п. для которого = у}}, и нетривиальной, если из п* =£ л" всегда следует, что =/= Ха". Семейство о множеств называется сетью в X (или сетью пространства X), если каждое открытое множество является объединением некоторого семейства элементов о. Если о — сеть в X и все элементы о — открытые множества, то а называют базой пространства X (или базой топологии, заданной на X). Семейство у открытых подмножеств топологического пространства X назы- вается его предбазой. если совокупность всех множеств, являющих- н пересечением конечного множества элементов семейства у, Разует ^базу пространства X. * Семейство т[ окрестностей фиксированного множества А Ространстве X называется определяющей системой окрестностей
54 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА этого множества, если для каждой окрестности U множества А в X существует F Е Л такое, что V cz U. Если множество А состоит из единственной точки х и т| — определяющая система окрестно- стей множества Л, то говорят, что т] — база пространства X (илп топологии, заданной па X) в точке х (иногда говорят также, что г| — база точки х в X). Для топологии очень важно следующее, по существу чисто теоретико-множественное понятие. Пусть у — семейство множеств в X п Ac X. Звездой множества А относительно у называется множество U {U Е U П А =/= Л}, обозначаемое всегда через у(Л). Если А = {#}, мы пишем у(х) вместо у({#}). Если X — семейство подмножеств пространства X и каждое непустое открытое множество содержит некоторый элемент семей- ства X в качестве непустого подмножества, то говорят, что % плотно в X. Плотная в X система открытых множеств называется п-базой пространства X. Подмножество М называется всюду плотным (в X), если любое непустое открытое множество U пересекается с М (т. е. если U р| М Л). Множество Р называется нигде не плотным (в X), если для каждого непустого открытого множества U существует непустое открытое множество U' cz U, не имеющее общих точек с Р: U' Л Р = Л. Ряд дальнейших понятий относится к фиксированному про- извольно отображению /: X Y топологического пространства X в топологическое пространство Y ♦). Отображение / называется непрерывным, если полный прообраз любого открытого в Y мно- жества является открытым в X множеством. Если / непрерывно, взаимно однозначно и /(X) = Y, то / называют уплотнением. Если /: X —Y — уплотнение и У"1: У —> X — уплотнение, то / называется гомеоморфизмом X на Y, или топологическим отображением X на У. Пространства X и У называются гомеомор- фными (или топологически эквивалентными), если существует гомеоморфизм одного из них на другое. Пусть на множестве X заданы две топологии: Гово- рят, что топология «У 1 больше или равна топологии У 2, если XY2 сс У t (не исключается, что У2 = У1 *) **)). Говорят, что тополо- гии У! и У2 совпадают, или равны, если У4 == У 2. Пусть (X, У) — топологическое пространство и Хо cz X. Топология .У индуцирует (или порождает) топологию У 0~У| Хо на Хо следующим образом: Уо —{U Г) Хо: U Е У'}. При этом *) Говорят об отображении / топологического пространства X в топо- логическое пространство У, имея в виду отображение множества X в множе- ство Y и фиксированные топологии на X и У. **) Когда <У2 cz У1 и говорят, что У строго больше 2.
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 55 (Хо, о) (или просто Хо) называется подпространством *) про- странства X. Если мы рассматриваем одновременно пространство X, его подпространство Хо и множество Л, лежащее в Хо, то замыкание А в X обозначается через [А]х или, как обычно, через [Л], а замыка- ние А в пространстве Хо обозначается непременно через [А]Хо. Гомеоморфизм пространства X на некоторое подпространство у о пространства Y называется гомеоморфизмом X в У, или вложе- нием пространства X в пространство У. Свойство топологического пространства называется топо- логическим, или топологическим инвариантом, если оно сохраняет- ся при гомеоморфизмах, т. е. если из того, что какое-нибудь топологическое пространство X обладает свойством всегда следует, что этим свойством обладает любое гомеоморфное X пространство. Важнейшим топологическим инвариантом является биком- пактностъ. Заслуга выделения понятия бикомпактности как фундаментального математического понятия принадлежит П. С. Александрову. Покрытием топологического пространства X называется всякое покрытие множества точек этого пространства, т. е. любое семейство | подмножеств множества X такое, что для каждого х Е X существует элемент А семейства £, содержащий х. Покрытие со пространства X называется открытым (соответствен- но замкнутым), если все множества, входящие в со, открыты (соответственно замкнуты). Если подсемейство со' семейства само является покрытием пространства X, то со' называют подпокрытием покрытия (о. Про- странство X бикомпактно, если любое открытое покрытие этого пространства содержит конечное подпокрытие. Наряду с понятием подпокрытия, большую роль в топологи- ческих рассмотрениях играет понятие вписанного покрытия. Гово- рят, что покрытие (семейство множеств) % вписано в покрытие (семейство множеств) у, если для каждого V g % существует U Е У такое, что V cz U. К числу ранее всех введенных топологических инвариантов относится связность (Хаусдорф). Пространство X связно, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непере- секающихся открытых (в X) множеств. В противном случае гово- рят, что пространство X не связно. Множество А, рассматриваемое как часть топологического пространства X, называется связным, осли подпространство А пространства X является связным про- странством в смысле данного выше определения. (X Если Хо — замкнутое (открытое) множество пространства X, i£o) называют замкнутым (открытым) подпространством пространства
56 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ II МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА В определенном отношении противоположным связности свой- ством является нульмерность. Пространство называется нульмер- ным, если множества, одновременно открытые и замкнутые в нем, составляют его базу. Нульмерность тоже является топологи- ческим инвариантом. К числу самых фундаментальных топологических инвариан- тов относятся свойства типа отделимости. Они выделяются по- средством так называемых аксиом отделимости, образующих иерархию требований. Топологическое пространство X удовлетворяет аксиоме отде- лимости То, или является Т0-пространством, если для любых двух различных точек х±, х2 этого пространства существует окре- стность одной из этих точек, не содержащая другой точки (А. Н. Колмогоров). Топологическое пространство X удовлетворяет аксиоме отде- лимости Т1? или является ^-пространством, если для любых двух различных точек х2 этого пространства существуют окре- стности Oxi и Ох2 этих точек, для которых х2 Oxi и Xi Е Ох2. Топологическое пространство X называется хаусдорфовым, или ^-пространством, если у любых двух различных точек х^ и х2 этого пространства существуют пепересекающиеся окрестно- сти (при этом топологию, заданную на X, называют хаусдорфовой). Бикомпактные хаусдорфовы пространства называются бикомпак- тами. Ti-пространство X называется регулярным, если для любой точки х Е X и любого замкнутого множества F, не содержащего эту точку, найдутся такие окрестность Ох точки х и окрестность OF множества F, что Ox f| OF = А. Тгпространство X называется нормальным, если у любых двух непересекающихся замкнутых множеств этого пространства существуют непересекающиеся окрестности. Есть еще одно важное нетривиальное условие типа отделимо- сти, называемое вполне регулярностью, более слабое, чем нор- мальность, но более сильное, чем регулярность. Тгпространство X называется вполне регулярным, если для любой точки х$ Е X и любого замкнутого в X множества F, не содержащего эту точку, найдется такая непрерывная функция /, определенная на всем’Х, что 0 f(x) 1 для всех х Е X, f(x0) = 0 и f(x) — 1', если х Е F (см. задачи 25 и 13 гл. III). Ряд весьма важных топологических инвариантов определяет- ся с привлечением кардинальных чисел, причем сами кардиналь- ные числа являются, как правило, значениями этих инвариантов. Наименьшее из кардинальных чисел, являющихся мощностя- ми баз пространства X, называется весом X и обозначается через iv(X). Наименьшее из кардинальных чисел, являющихся мощностя- ми сетей в X, называется a-весом пространства X и обозначается через а(Х). Через шр(Х) обозначается п-вес пространства X —
ГЛ. И. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 57 наименьшая из мощностей его л-баз. Наименьшее из кардиналь- ных чисел, являющихся мощностями всюду плотных в X множеств, называется плотностью X и обозначается через s(X). Через с(Х) обозначается наименьшее из всех кардинальных чисел т, удовлет- воряющих следующему условию: мощность каждой системы по- парно не пересекающихся непустых открытых подмножеств про- странства X не превосходит т. Инвариант с(Х) называется числом Суслина пространства X. Характер %(Л, X) множества А X в пространстве X есть наименьшая из мощностей определяющих систем окрестностей множества А в X. Если А = {#}, где х £ X, то вместо %({#}, X) мы пишем Х(х, X); при этом %(я, X) называется характером тон- ких в пространстве X (или, наоборот, характером пространства X в точке х). Псевдохарактер *ф(Л, X) множества А в ^-пространстве X есть наименьшая из мощностей семейств ё открытых в X мно- жеств таких, что А = f| {У: V Е %} (корректность этого определения утверждается в задаче 41 гл. II). Если А ={#}, где х£Х, то мы пишемся, X) вместоip({х}, X) и называем*ф(гг, X) псевдохаракте- ром пространства X в точке х. Если тр(Л, X) т, мы говорим, что А — множество типа Gx в X. Множества типа GNo называются также, в соответствии с традицией, множествами типа G^ (в X). Теснота t(x, X) пространства X в точке х £ X — наименьшее из кардинальных чисел т, удовлетворяющих условию: если Л X и х Е [Л], то существует Л' cz Л, для которого | Л' | т и х Е Е [Л']. Характер %(Х) (соответственно псевдохарактер ip(X), тесно- та t(X)) пространства X — наименьшее из кардинальных чисел т таких, что Х(я, X) т (соответственно *ф(х, X) т, t(x, X) т) для всех х Е X. Пространство X удовлетворяет второй аксиоме счетности, если w(X) х0, т. е. если в X есть счетная база. Пространство X удовлетворяет первой аксиоме счетности, если %(Х) х0, т. е. если X имеет счетную базу в каждой точке. Если $(Х) х0, то говорят, что X сепарабельно-, если с(Х) х0, то говорят, что X удовлетворяет условию Суслина. Пространство X называется пространством Фреше — Урысона, если из х Е X, с X и х Е [Л] всегда следует, что существует последователь- ность {хп: п = 1, 2, . . .} точек множества Л, сходящаяся к х. Пространство X называется секвенциальным, если из Л с X ® -4 [Л] всегда следует, что существует последовательность п = 1, 2, . . .} точек множества А, сходящаяся к некоторой т°чке [А]\Л. Разница с предыдущим определением в том, что в данном случае точка х Е [Л]\Л не всегда может быть выбрана ^роизвольно. Наконец, индекс компактности ic(X) пространства определяется как наименьшее кардинальное число т такое, п ° любое открытое покрытие пространства X содержит под- кРытие, мощность которого не превосходит т. Если индекс мпактности пространства X равен х0, т. е. из любого открытого
58 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА покрытия этого пространства можно выделить счетное подпокры- тие, то X называется финально компактным. Если X нормально и каждое его замкнутое множество имеет тип то X называется совершенно нормальным пространством. Свободная сумма топологических пространств Ха, где а £ А, есть свободная сумма X = Uc{-^a: a € А} множеств Ха по аЕА, наделенная топологией, однозначно определенной следующими требованиями: (а) каждое ia(Xa) как подпространство свободной суммы X гомеоморфно Ха, причем гомеоморфизмом является отображение ia: Ха -> Uc{^a: a € А}, (б) га(Ха) открыто в X для каждого a Е А (см. стр. 15). В дальнейшем ia будет именоваться стандартным вложением пространства Ха в свободную сумму, а само 1а(Ха) будет назы- ваться стандартной реализацией пространства Ха в свободной сумме. Очень важно понятие топологического (или тихоновского) произведения топологических пространств. Пусть для каждого a Е А задано топологическое пространство (Ха, .<7 а). Через X обозначим произведение П{Ха: аЕА} множеств Ха. Мы сейчас определим топологию на X, называемую топологией произведе- ния. или произведением топологий а по а Е А. Напомним, что через £ ^(А) — ехрХо (А) обозначается множество всех конечных подмножеств множества А. Если U с: X и U = II{C7a: а € А}, причем Ua Е для всех а Е А и Ua = Ха для всех а Е A\F, тдр F — некоторое конечное множество (т. е. /’Её/ДА)), то мы скажем, что U —стандартное множество. При этом мы полагаем k(U) ={a Е А: ?7а ¥= Ха}. Тогда k(U) £ %>h(A) для каждого стан- дартного множества U. Семейство всех стандартных множеств служит базой некоторой топологии на X; эту топологию мы бу- дем называть топологиейпроизведения, или тихоновской топологией, и обозначать через а: аЕА}. Впрочем, обычно мы будем писать коротко: X = П{Ха: аЕА}, подразумевая, что мно- жество X наделено топологией произведения, отвечающей топологиям, заданным на Ха, обозначения которых также не выписываются. Базу топологии произведения, образованную совокупностью стандартных множеств, мы будем называть стандартной базой: само X вместе с топологией произведения называется топологическим, или тихоновским, произведением пространств Ха. Операция топологического умножения, как и более простые операции перехода к подпространству, взятия свободной суммы топологических пространств, позволяет из уже имеющихся про- странств строить новые. Дальнейшие возможности в этом'направле- нии связаны с понятием факторного отображения. Отображение /: X Y топологического пространства X на топологическое пространство Y называется факторным, если в Y
ГЛ. П. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 59 открыты те и только те множества, полный прообраз которых открыт в X. Понятие факторного отображения тесно связано с понятием разбиения пространства X (П. С. Александров). При этом разбиением пространства X называется любое замкнутое дизъюнктное покрытие этого пространства. В дальнейшем <о обозначает некоторое фиксированное разбиение топологического пространства (X, У ). Каждая точка х Е X содержится ровно в одном элементе разбиения <о, т. е. определено естественное отобра- жение л^: X -> со топологического пространства X на множе- ство со. Теперь мы можем наделить множество со естественной топологией, называемой факторной, или фактор-топологией, или естественной топологией разбиения со: множество V с со назы- вается открытым, если л^г(У) открыто в X, т. е. если объединение элементов множества V, рассматриваемых как подмножества множе- ства X, является открытым в X множеством. Естественная тополо- гия разбиения со обозначается через (где — топология, задан- ная на X). Название топологии =«У а связано с тем, что отображе- ние Лео’. (Х,еУ)(со, .У') всегда является факторным. Множество со, наделенное топологией 3"' = 3ю, называется фактор-простран- ством по разбиению со, или пространством разбиения со, простран- ства X. Пишут при этом: (со,.У') = X | со. Отображение л^ называют также естественным проектированием пространства X на пространство разбиения со. Важные специальные случаи фактор- ных отображений — непрерывные открытые отображения и непре- рывные замкнутые отображения. Отображение называется откры- тым, если образ каждого открытого множества открыт. Отобра- жение называется замкнутым, если образ каждого замкнутого множества замкнут. Открыто-замкнутые отображения — те, кото- рые одновременно открыты и замкнуты. Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, под открытым (соответственно замкнутым, открыто-замкнутым) отображением понимается непре- рывное открытое (соответственно непрерывное замкнутое, непре- рывное открыто-замкнутое) отображение. Подчеркнем, что данные выше определения относятся ко всем отображениям, а не только к тем, которые являются отображениями «на». Непрерывное отображение /: X -> Y называется бикомпактным, если подпро- странство f~*y бикомпактно для любой точки у Е У. Непрерывные замкнутые бикомпактные отображения называются совершен- ными. Исторически понятию топологического пространства пред- шествовало понятие метрического пространства (Фреше). Пусть X —• некоторое множество. Функция р, которая каждой паре т°чек х Е X, у Е X сопоставляет неотрицательное действитель- ное число р(я, у), называемое расстоянием от точки х до точ- У, называется метрикой на X, если выполнены следующие аксиомы.
во ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1°. Для любой пары точек х Е X, у Е X всегда р(я, у) = = р(г/, х) (аксиома симметрии). 2°. р(х, у) = 0 в том и только в том случае, когда х = у (аксиома тождества). 3°. Для любой тройки точек х £ X, у £ X, z £ X всегда р(ж, z) р(ж, у) + р(у, z) (аксиома треугольника). Множество X вместе с метрикой р на нем называется метри- ческим пространством (X, р). Пусть х Е X — произвольная точка, а М с= X — произволь- ное подмножество метрического пространства (X, р). Число р(ж, М) = inf {р(я, у)' у Е М} называется расстоянием от точки х до множества М, а число р(2И1, М2) = inf{p(^, 7lf2)‘ # € Mi} = = inf{р(ж, у): х Е у Е М2} называется расстоянием от мно- жества Mi до множества М2. Подмножество А метрического пространства (X, р) называет- ся ограниченным, если существует число К такое, что р(ж, у) < К для всех х Е А, у Е А. Диаметром (diam А) ограниченного мно- жества А называется sup{p(#, у): х Е А, у £ А}. Пусть A cr X и е — положительное число. Множество {у Е X: р(Л, у) < е} называется ь-окрестностъю множества А и обозначается через Ог(А). Если А =Дх}, где х Е X, то Ог(х) = Ое({я}) называется 8-окрестностью точки х или шаром (шаровой окрестностью) в в (X, р) радиуса е с центром в х. Множество S точек пространства (X, р) называется ь-сетъю в X, если для каждой точки х Е X существует точка х9 Е S такая, что р(ж, х9) < 8 (т. е. если и{б?е(ж): я Е £} — X). Равносильное условие: Оъ (S) = X. Метрическое пространство (X, р) называ- ется вполне ограниченным, если для каждого 8 > 0 в X суще- ствует конечная е-сеть (т. е. е-сеть, состоящая из конечного числа точек). Если А — подмножество метрического пространства (X, р), то метрика р высекает на А метрику р' = р | А: р9(х, у) — р(х, у), если х Е А, у Е А. Таким образом, А превращается в метрическое пространство (А, р'), которое называется (метрическим) подпро- странством метрического пространства (X, р) и часто обозна- чается через (А, р) или коротко через А. Подмножество А метрического пространства (X, р) называет- ся вполне ограниченным, если метрическое пространство (Л, р) вполне ограничено. Фундаментальную роль в теории метрических пространств играют также следующие понятия. Последовательность {яп} точек ♦) метрического пространства X сходится к точке х$, если последовательность действительных *) Мы пишем для краткости {хп} вместо {®п: п = 1, 2, . ..} или
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 61 чисел сп = р(х0, хп) сходится к нулю (т. е. для всякого 8 > О найдется такой номер п0, что для всех п > по непременно р(^п» жо) < е)- Последовательность {хп} точек пространства X называется фундаментальной, если для всякого 8 > О существует номер nQ такой, что р(хп, хт) < е при всех п > и т > nQ. Метрическое пространство X называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его точек сходится к неко- торой точке пространства X. Подмножество U метрического пространства (X, р) назовем открытым в (X, р), если р(я, X\U) > 0 для всех х £ U. Через будем обозначать множество всех открытых мно- жеств метрического пространства (X, р). Система р является топологией на множестве X (что, конечно, надо доказать) и назы- вается топологией, порожденной (или индуцированной) метрикой р на X. Таким образом, всякое метрическое пространство (X, р) может в то же время рассматриваться как топологическое про- странство (X, р). Пусть р и р* — две метрики на X. Напишем р == р*, если р(я, у) = р*(я, у) для всех х, у g X. Может оказаться, что р =И= 4р*, ноУр = Если = & р*, то говорят, что метрики р и р* топологически эквивалентны. Однако существуют топологии, которые не порождаются никакой метрикой. Топологическое пространство (X, £Г), для которого 3" = jFp, где р — некоторая метрика на X, называется метризуемым. Метризуемость — тоже топологический инвариант. Метризуемые бикомпакты или, что то же самое, бикомпакты со счетной базой называются компактами. Взаимно однозначное отображение /: (X, р) (У, р') метри- ческого пространства (X, р) на метрическое пространство (У, р') называется изометрией, или изометрическим отображением, если для любой пары точек х^ £ X, ж2 € X непременно р(^, х2) = = р'(М, /^г)- Изометрическое вложение одного метрического пространства (X, р) в другое метрическое пространство (У, р*) определяется как изометрическое отображение пространства (X, р) на некоторое метрическое подпространство пространства (У, р*). Если существует изометрическое отображение пространства (X, р) на пространство (У, р*), то говорят, что (X, р) и (У, р*) изометричны, что каждое из них является изометрическим обра- зом другого. Следует заметить, что обратное к изометрическому отображению «на» является изометрическим отображением. Если — некоторое топологическое свойство, то будем гово- рить, что пространство X обладает этим свойством наследственно, Или что X—наследственное аР-пространство, в том случае, когда Ие только само X обладает свойством $*, но этим же свойством °бладает и всякое подпространство X' с: X.
62 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ II МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА § 1. Простейшие задачи, связанные с общими понятиями топологии Отображение семейства всех подмножеств фиксированного множества X в себя иначе еще называется оператором на семействе всех подмножеств множества X. Оператор С па семействе всех подмножеств множества X называется оператором Куратоеского, если одновременно выполнены следующие условия: 1) для каждого A cz X непременно A cz С(4); 2) если A cz X, В cz X, A cz В, то С(4) cz С(В)-, 3) если Л с X, В cz X, то С(А J В) = С(А) U С(В); 4) для каждого Л с X имеет место С(С(А)) = С(А). Пусть (X, J") — топологическое пространство. Оператор, в силу которого каждому подмножеству А множества X соответ- ствует его замыкание [Л] в пространстве (X, (см. стр. 52), называется оператором замыкания. Другим важным оператором на семействе всех подмножеств топологического пространства является оператор Int, сопоставляющий каждому множеству A cz X множество Int Л — ядро, или внутренность,, множества А в (X, J'). Замкнутое множество F (открытое множество U) назы- вается каноническим замкнутым (каноническим открытым), если F = [Int X] (если Int [ U] = U). Подмножество Л топологического пространства X называется дискретным в себе, если Л как подпространство пространства X является дискретным пространством (см. стр. 53). Замкнутое дис- кретное в себе множество называется дискретным в пространстве X. Топологическое пространство X называется антидискретным^ если открыты в X только два подмножества: пустое и всё X. На каждом бесконечном множестве X может быть определено много топологий. Полезно иметь в виду семейство о7ДХ) всех топологий на множестве X. Семейство 3£(Х) естественно рассматривать как упорядоченное множество: если 6 8№(Х) сЩХ), то мыпо- лагаем < ЗГ", когда cz ". Конечно, это упорядочение не является линейным. Целесообразно поэтому рассматривать цепи, или гнезда, топологий, т. е. цепи в упорядоченном множестве- (^(Х), <). В (ДО), <) есть наибольший элемент — дискретная топология — и минимальный элемент — эту роль играет анти- дискретпая топология. Топологическим объединением \/Ц произвольного семейства топологий, заданных на одном и том же множестве X, называет- ся топология, предбазой которой служит (теоретико-множествен- ное) объединение У = (J топологий из % (при этом каждая топология понимается как множество, лежащее в множе- стве всех подмножеств множества X). Пересечение (топологическое) Д8 семейства £ топологий определяется просто как теоретико- множественное их пересечение: Д^ = С §}.
§ 1. ЗАДАЧИ. СВЯЗАННЫЕ С ОБЩИМИ ПОНЯТИЯМИ ТОПОЛОГИИ 63 Пусть X — множество и В — фиксированное его подмноже- ство. Обозначим через 2(B) семейство, элементами которого являются всё X и всевозможные подмножества множества В. Семейство 2(B) является топологией на X. Эта топология будет называться В-топологией. Сами по себе 5-топологии малоинтерес- ны. Однако могут получаться нетривиальные вещи, если «смеши- вать» Б-топологии с другими топологиями — в смысле, который сейчас будет разъяснен. Назовем В-модификацией произвольной топологии, заданной на множестве X (и обозначим через 2в), топологическое объединение топологий 2 и 2(B). В-усилением называется топология, предбазу которой образуют множества из семейства 2 U 2\В, где 2\B = {U f] В: U ^2}- Своеобразный класс топологических пространств составляют линейно упорядоченные пространства. Пусть (X, <) — линейно упорядоченное множество. Под его интервалом понимается всякое множество вида (xr, х") = {х xf <ZC х <с х”}, где х' £Х, х" £ g X. Порядковой топологией 2 < на множестве X, порожденной линейным упорядочением <, называется топология, базу которой образуют всевозможные интервалы линейно упорядоченного мно- жества (X, <). Линейно упорядоченное множество (X, <Z) вместе с топологией, порожденной на X линейным порядком <, называет- ся линейно упорядоченным (или коротко: упорядоченным) про- странством. Важный класс составляют локально бикомпактные простран- ства. Пространство X называется локально бикомпактным, если для всякой точки х$Х существует такая окрестность Ох, что [ Ох]—бикомпактное подпространство. 1. Пусть X — некоторое множество. Докажите, что для про- извольного оператора Куратовского С на X существует такая топология 2 на X, что С А = [Л] для всех A cz X. 2. Пусть X — бесконечное множество и 2ъ ~{А cz Х:Х\Л конечно или А — Л}. Условимся называть 2ъ конечной тополо- гией на X. Докажите, что (а) 2^ — топология на X; (б) (X, 2k) — ^-пространство; (в) если (X, 2) — топологическое пространство, удовлетво- ряющее Ti-аксиоме отделимости, то 2k <z: 2', (г) любые два непустых открытых в (X, 2k) множества пере- секаются; (д) каждая точка х £ X является предельной для любого бесконечного множества A cz X; (е) для любого бесконечного подмножества А множества X, 14] = X (иными словами, всякое бесконечное подмножество мно- жества X всюду плотно в X); (ж) X бикомпактно и сепарабельно.
64 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 3. Пусть X — бесконечное множество, £ — свободный ультра- фильтр на X и 3^ = £ U {А}. Докажите, что (а) 3\ — топология на X; (б) (X, — Ti-пространство; (в) 3 ь cz 3\ (см. 2 гл. II); (г) в (X, 3нет изолированных точек; (д) если U Е £, то X\U — дискретное подпространство про- странства (X, 3 (е) если 3 — топология на X и 3\ cz 3, 3\ У У, то в (X, 3) есть изолированная точка (утверждение (е) выражает максимальность топологии 3\ по отношению к свойству (г)). 4. Пусть X — топологическое пространство, £ — предфильтр на множестве X и х Е X, х — точка прикосновения для |. Тогда существует ультрафильтр £*, содержащий £ и сходящийся к х. 5. Пусть 3 л.3' — две топологии на множестве X, причем 3 cz 3'. Тогда если 3 — Тгтопология, толЗ'— Тгтопология, и если 3 — хаусдорфова топология, то и 3' — хаусдорфова топология» 6. Пусть на множестве X задано некоторое семейство {За: а Е М} топологий и 3' = П {3а: а Е М} — пересечение топологий За по всем а Е Af. Пусть 3" = и{Уа: а € М} — объединение ТОПОЛОГИЙ За ПО BCCM « Е М. 1) Является ли 3' топологией? 2) Является ли 3" топологией? 7. Всякое упорядоченное пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. 8. Если множество всех точек ^-пространства X конечно, то X — дискретное пространство. 9. Каждое дискретное пространство нульмерно. Верно ли обратное? 10. Приведите пример пространства X, никакое одноточечное подмножество которого в нем не замкнуто (анти Tf-пространство). 11. Приведите пример Т0-пространства, в котором никакое одноточечное подмножество не замкнуто. 12. Пусть X — множество, В cz X и 3 = 3\В) — В-топо- логия на X. Покажите, что (а) В — множество всех изолированных в (X, 3) точек; (б) [В] = X; (в) 3 — дискретная топология в том и только в том случае, если В = X; (г) 3 — антидискретная топология в том и только в том слу- чае, если В — Л. 13. Пусть X — топологическое пространство, а о — неко- торое семейство открытых в X множеств. Докажите, что о — база
§ 1. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ОБЩИМИ ПОНЯТИЯМИ ТОПОЛОГИИ 65 пространства X тогда и только тогда, когда для любой точки х Е X и произвольной ее окрестности Ох существует такое U Е о, что х U а Ох. 14. Пусть X — некоторое множество, § — произвольное се- мейство его подмножеств, 8 — семейство всех множеств, пред- ставимых в виде пересечения конечного множества элементов семейства и ё — семейство всех множеств, представимых в виде объединения какого-либо множества элементов семейства S. Тогда S U {^} U{^ } “ топология на X, ё U{^} является базой этой топологии и ё U{^} является предбазой этой топологии. 15. Проверьте, что совокупность стандартных множеств про- изведения топологических пространств (стр. 58) действительно образует базу некоторой топологии. 16. Опишите, из каких множеств состоит определенная на плоскости топология, предбаза которой состоит из всех прямых, параллельных некоторой фиксированной прямой I. 17. Рассмотрите на плоскости топологию, предбазой которой служит совокупность всех прямых. Что это за топология? 18. Пусть (X, З') — топологическое пространство. (а) Докажите, что пересечение любого семейства замкнутых множеств является замкнутым множеством. (б) Докажите, что объединение конечного семейства замкну- тых множеств является замкнутым множеством. (в) Покажите, что все пространство, а также пустое множе- ство являются замкнутыми множествами. 19. Семейство 3* подмножеств множества X является тополо- гией на X в том и только в том случае, если семейство = {Х\£7: U Е 3~} удовлетворяет условиям: (а) {X} Е 3 и {Л} Е (б) объединение каждого конечного множества элементов се- мейства ff' снова является элементом этого семейства; (в) пересечение любого множества элементов семейства 3 принадлежит 20. Докажите, что множество F топологического пространства (X, 3) замкнуто тогда и только тогда, когда [F] =- F. 21. Открытое множество U пересекается с множеством Q в том и только в том случае, если U пересекается с замыканием множества Q. 22. Пусть (Х,^) — топологическое пространство. Покажи- те, что (а) Л с: [А] для любого подмножества А с: X; (б) если A cz В, то [4] cz [В]; (в) [A* U А21 = [4J [J [А2]; (г) [[4]] = [4]. 23. Если [4] cz 4, то 4 замкнуто. к . А. В Архангельский, В И. Пономарев
66 гл. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 24. Пусть о — база пространства X и А о X. Покажите, что х £ [А] тогда и только тогда, когда для любого множества С7 6 о, содержащего точку х, имеет место U П А Л. 25. Пусть X — топологическое пространство и А о X. Тогда, если каждое подмножество множества А замкнуто в X, то у А в X пет предельных точек. 26. Замыкание всякого множества А в пространстве X есть наименьшее замкнутое в X множество, содержащее А. 27. Для любого множества, лежащего в пространстве X, имеем [А] = П{Р: Р X, Р замкнуто и Р z.4}. 28. Если A cz X, х £ X, где X — топологическое простран- ство, и х Е [А], то для любого открытого в X множества €7, содер- жащего точку х, непременно 117 fl А] Э я. 29. Если множество А всюду плотно в пространстве X и U — открытое в X множество, то [А fl U\ = [С7] о U. 30. Пересечение двух (конечного семейства) открытых всюду плотных в пространстве X множеств всюду плотно (и открыто) в X. 31. Произвольное непустое подмножество антидискретного пространства (даже состоящее из одной точки) всюду плотно в нем. 32. Пусть 98 — некоторая предбаза пространства X, А с X и А П для каждого U £ 98. Вытекает ли отсюда, что А всюду плотно в X? 33. Если множество U открыто, а множество F замкнуто, то U\F открыто, a F\U замкнуто. 34. Докажите, что пространство X удовлетворяет аксиоме отделимости Т\ тогда и только тогда, когда всякое его одноточечное подмножество замкнуто. 35. Пусть X — ^-пространство и фиксированы х С X, A cz X. Тогда следующие утверждения (1) и (2) равносильны: 1) Для каждой окрестности Ох точки х имеет место I Ох П А | > х0- 2) Для каждой окрестности Ох точки х существует точка х' С Ox fl А, отличная от х. 36. Пусть X — топологическое пространство и А — лежащее в нем множество. Следующие утверждения равносильны: (а) у каждой точки х £ А существует окрестность Ох в X такая, что A fl Ох замкнуто в Ох\ (б) [А]\А — замкнутое множество; (в) А является пересечением замкнутого множества с откры- тым. 37. Докажите, что для любых двух непересекающихся откры- тых множеств замыкание любого из них не пересекается с другим. 38. Если множества U и V открыты и не пересекаются, то (Int[t7]) П (IntM) - Л. 39. Если у множеств А и В, лежащих в топологическом про- странстве X, существуют непересекающиеся окрестности, то у А
§ 1. ЗАДАЧИ. СВЯЗАННЫЕ С ОБЩИМИ ПОНЯТИЯМИ ТОПОЛОГИИ 67 и В существуют также непересекающиеся окрестности, являющие- ся каноническими открытыми множествами. 40. Приведите пример пространства, в котором все одноточеч- ные множества замкнуты (Т4-аксиома) и одновременно любые два непустых открытых множества пересекаются (аптихаусдорфовость). 41. В каких пространствах каждое множество является пере- сечением некоторого семейства открытых множеств? 42. Верно ли, что на всяком бесконечном множестве суще- ствует хаусдорфова топология *), по отношению к которой ника- кая точка множества X не является изолированной? 43. Докажите, что пространство X регулярно тогда и только тогда, когда для всякой точки х Е X п любой ее окрестности Ux существует такая окрестность U'x этой точки, что [£7'я] cz Ux, 44. Если М — счетное дискретное подпространство регуляр- ного пространства X, то существует семейство {Оу: у Е М} попар- но не пересекающихся окрестностей этих точек в X. 45. Докажите, что пространство X нормально тогда и только тогда, когда для всякого замкнутого множества F и любой его окрестности UF существует такая окрестность U'F этого множе- ства, что [ U'F} cz UF. 46. Если и — две топологии на множестве Хи FT cz t^z, то cz [А]^ для каждого A cz X. 47. Пусть X — подпространство топологического простран- ства Y и G — открытое в X множество. Тогда следующие утвержде- ния равносильны: 1) £ - U {V cz У: V открыто в Yjl V f] X = G}; 2) G — открытое в У множество, G Q X = G, и если U cz Yb U открыто в У, U П X = G, то U cz G; 3) G = У\[Х\С]у; 4) z E Y\G в том и только в том случае, если каждая окрест- ность точки z пересекается с множеством Х\6% 48. Если Р открыто в пространстве Xи QdX, то IntiP П 01 = = Int[P] П Int[Q]. 49. Если U — открытое в пространстве X множество, то F = = [О]\U нигде не плотно в X. 50. Докажите, что замыкание нигде не плотного в простран- стве X множества A cz X нигде не плотно в X. 51. Докажите, что замкнутое подмножество F пространства X нигде не плотно тогда и только тогда, когда X\F всюду плотно в X. Остается ли это утверждение верным, если опустить слово «замкнутое»? 52. Если открытое множество нигде не плотно, то оно пусто. *) Хаусдорфова топология — топология, удовлетворяющая аксиоме отделимости X аусдорфа.
68 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 53. Если U — открытое в пространстве X множество и А нигде не плотно в X, то А П U нигде не плотно в U (как в под- пространстве пространства X). 54 (пример). Через Q2 обозначим какое-нибудь счетное всюду плотное (по отношению к обычной топологии) подмножество плоскости (см. 173 гл. II), через У— топологию, порожденную (см. стр. 54—55 и задачу 58 гл. II) на Q2 обычной топологией плоско- сти. Положим У — {U\A: U Е А нигде не плотно в (Q2, гГ)}. Тогда (<?2, У) — счетное хаусдорфово пространство без изолиро- ванных точек, в котором нет ни одной нетривиальной (т. е. состоя- щей из попарно различных точек) сходящейся последовательно- сти. Тем более, (Q2, У) не удовлетворяет первой аксиоме счетности ни в одной точке. 55. (а) Замыкание открытого множества является канони- ческим замкнутым множеством. (б) Если А замкнуто, то его внутренность Int А — канони- ческое открытое множество. 56. Дополнение канонического открытого множества является каноническим замкнутым множеством. Дополнение канонического замкнутого множества является каноническим открытым множе- ством. 57. (а) Покажите, что объединение конечного числа кано- нических замкнутых множеств пространства X есть каноническое замкнутое множество. (б) Выясните, будет ли всегда каноническим замкнутым пере- сечение двух канонических замкнутых множеств. (в) Покажите, что для любых двух канонических замкнутых множеств At и Л2 пространства X множество [Int At fl Int Л21 каноническое замкнутое. 58. Пусть (Х,.^) — топологическое пространство и X' cz X — некоторое подмножество. Положим У' ={U fl X': 1УУ}. (а) Проверьте, что У — топология на X'. (б) Докажите, что А с X' замкнуто в X' тогда и только тогда, когда А — F fl X', где F — замкнутое в X множество. (в) Покажите, что [А]Х' = [Л]¥ П для любого множества A cz X'. (г) Пусть о — база топологии У. Докажите, что о' = = {Х' fl U*. U Е о} —’ база топологии У. 59. Пусть X — топологическое пространство и X' — его замкнутое подмножество. Тогда каждое замкнутое множество в подпространстве X' замкнуто и в X. 60. Если X' — открытое подпространство пространства X, то каждое открытое в X' множество открыто в X.
§ 1. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ОБЩИМИ ПОНЯТИЯМИ ТОПОЛОГИИ 69 61. Пусть X — топологическое пространство и X' — его под- пространство. Покажите, что если выполняется одно из следующих условий: (а) X — Т0-пространство; (б) X — ^-пространство; (в) X — хаусдорфово пространство; (г) X — регулярное пространство, то тому же условию удовлетворяет и пространство X'. 62. Докажите, что замкнутое подпространство нормального пространства является нормальным пространством. 63. Каковы пространства X, обладающие свойством: если А с: X и А всюду плотно в X, то А = X? 64. Всюду плотное подпространство Ti-пространства без изо- лированных точек само не имеет изолированных точек. 65. Пусть (X, — топологическое пространство, В cz X и JT — 5-усиление топологии S. Покажите, что (а) £7 Е JT в том и только в том случае, если U = (У Q В) J W для некоторых V^S W Е S'; (б) окрестности множества А = Х\В b(X,S) содержат его окрестность в (X, S}. 66. Приведите пример счетного хаусдорфова нерегулярного пространства. 67. Теоретико-множественное объединение цепи топологий образует базу их топологического объединения. 68. Пусть § — цепь топологий на множестве X и S* — объединение всех топологий, принадлежащих Докажите, что если (X, S} для каждого S Е 8 — пространство без изолирован- ных точек, то и (X, S*) — пространство без изолированных точек. 69. Пусть g — семейство топологий на множестве X и S* — их объединение. Тогда (X, S*) регулярно, если (X, S) регулярно для каждого S Е % *). 70. Пусть — семейство топологий на X и S * — их объеди- нение. Тогда пространство (X, S*} естественно гомеоморфно некоторому подпространству топологического произведения П{(Х, зу. З'Е £}• 71. Пусть (X, S) — хаусдорфово пространство без изоли- рованных точек. Покажите, что существует хаусдорфова тополо- гия S* на X такая, что (a) S cz .У*; (б) в (X, S*) нет изолиро- ванных точек; (в) если У-' — топология па X и S' S, S' ¥= S, То в (X,S'') есть изолированная точка ♦*). *) По поводу аналогичных утверждений для случая Tj-пространств и Хаусдорфовых пространств см. задачу 5 гл. II. ♦*) Любую хаусдорфову топологию со свойствами (б) и (в) называют Максималъмой топологией (ср. сноску на стр. 70).
70 ГЛ II ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 72. Приведите пример топологий и на некотором мно- жестве X, из которых первая регулярна, а вторая — нет, для которых cz .У'. 73. Пусть (X, й/ ) — регулярное пространство без изолиро- ванных точек. Покажите, что существует регулярная топология У * на X, для которой (а) У*=)У; (б) в (X, .У'*) нет изолирован- ных точек и (в) если (X, J ') — регулярное пространство без изолированных точек и JT' зэ У *, то £Г' = 5^* *). 74. Если 3" — максимальная или максимальная регулярная топология на X и Х1? Х2 —всюду плотные в (X, <?} множества, то Xi П Х2 =и= А. § 2е Кардинальнозначные характеристики пространств Говорят, что точечная мощность семейства у множеств про- странства X не превосходит кардинального числа т, если для каж- дого х мощность множества всех элементов семейства у, содержа- щих х (в качестве элемента), не превосходит т. Если точечная мощность семейства не превосходит х0, его называют точечно счетным. Если каждая точка содержится лишь в конечном семей- стве элементов, его называют точечно конечным. Пусть X — пространство и У — его подпространство. Семей- ство открытых в X множеств называется внешней базой про- странства Y в пространстве X, если для каждого у Е У и каждой окрестности G точки у в пространстве X существует У £ такое, что х Е V cz G. Заметьте, что внешняя база пространства Y в X — совсем не то же самое, что определяющая система окрестностей множества У в X (см. стр. 53). Внешний вес пространства У в X — это минимум мощностей внешних баз этого пространства в X. Существенные особенности, хорошо передаваемые языком кардинальных чисел, имеют симметризуемые топологии. Симмет- рика d на множестве X — это такая неотрицательная вещест- веннозначная функция, определенная па множестве всех неупоря- доченных пар элементов X, что d(x, у) = 0 в том и только в том случае, если х — у. Ясно, что каждая метрика является симметри- кой, но обратное, разумеется, не верно. С любой симметрикой d, заданной па множестве X, связывается однозначно топология .Та на X, описываемая так: множество F с: X замкнуто в том и только в том случае, если cZ(y, F) > 0 для всех у Е X\F. При этом d(y, F) = inf{d(y, х): х Е Конечно, следует проверить, что *) Регулярная топология, удовлетворяющая условиям (б) и (в), называется максимальной регулярной топологией. Это понятие не следует путать с понятием максимальной топологии. Максимальная регулярная то- пология (так, как мы ее определили), вообще говоря, может не быть макси- мальной. Вопрос о существовании максимальной топологии, являющейся регулярной, разрешен только в самое последнее время В. Малыхиным.
§ 2. КАРДИНАЛЬНОЗНАЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВ 71 d — топология. Про топологию .Fd говорят, что она порождена симметрикой d. Всякая топология на X, которая порождается некоторой симметрикой, называется симметризуемой топологией; само пространство при этом называется симметризуемым. При изучении симметризуемых пространств полезно общее понятие секвенциального замыкания множества А в пространстве X. Это есть совокупность пределов в X всех сходящихся последова- тельностей, которые можно составить из элементов множества А. Множества, которые совпадают со своим секвенциальным замы- канием, называются секвенциально замкнутыми. 75. Если в покрытие у пространства X можно вписать покры- тие мощности т, то у содержит подпокрытие X мощности т. 76. Если £ — открытое покрытие пространства X, 33 — какая-нибудь база этого пространства и 98^ ={U С существует G £ g, для которого U cz G}, то и 38^ — база пространства X. 77. Докажите, что из любого открытого покрытия простран- ства X со счетной базой (или даже со счетной сетью) можно выде- лить счетное покрытие (финальная компактность X). Докажите аналогичное утверждение для случая любой мощности. 78. В Тгпространстве X никакое семейство множеств не может служить базой двух различных точек. 79. Пусть X — Тгпространство, х — его неизолированная точка, 9S — база пространства X в х и у — конечное семейство открытых множеств. Тогда —тожебаза в точке х. 80. Если X — Ti-пространство, у — точечно конечное семей- ство открытых множеств, причем каждый элемент семейства у содержит по крайней мере две точки, и $8 — база пространства X, то 38' = — база пространства X. 81. Если X — ^-пространство и точка х £ X имеет в X базу, состоящую из конечного числа элементов, то х изолирована. 82. Если каждый элемент базы точки х в пространстве X содержит не менее двух точек, то точка х неизолированная. 83. Эквивалентны ли для произвольного хаусдорфова про- странства условия: (а) в X есть счетное всюду плотное множество, (б) в X есть счетная база? 84. Приведите пример счетного хаусдорфова пространства без счетной базы. 85. Докажите, что мощность произвольной дизъюнктной системы Р непустых открытых множеств сепарабельного простран- ства не превосходит х0. 86. Докажите, что всякое упорядоченное сепарабельное связ- ное топологическое пространство имеет счетную базу. 87. Верно ли, что если каждое счетное подмножество тополо- гического пространства замкнуто в нем, то это пространство Дискретно?
72 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 88. Покажите, что топологическое пространство (X, где X — бесконечное множество, а £ — сингулярный ультрафильтр на X (см. стр. 20 и задачу 3 гл. II), никогда не имеет счетной базы. 89. Покажите, что пространство (X, |), определенное в задаче 3 гл. II, сепарабельно в том и только в том случае, если существует счетное подмножество А множества X, принадлежа- щее Е. 90. Если каждая окрестность множества А в пространстве X пересекается с фиксированным множеством В cz X, то [5] f| А =^= =/= Л. 91. Если характер множества А в пространстве X равен т и каждая окрестность множества А пересекается с фиксированным множеством В с X, то существует С cz В такое, что | С | т и [С] f| А А. 92. Приведите пример хаусдорфова пространства, в котором характер некоторой точки не равен ее псевдохарактеру (см. стр. 57). 93. Пусть X — топологическое пространство, Y — его зам- кнутое подпространство, F cz X и у — определяющее семейство окрестностей множества F в X. Тогда у' ={t7 f| У: U С у} — определяющее семейство окрестностей множества Ф = F р У в пространстве У. 94. Если У — замкнутое подпространство пространства X и F cz X, Ф = F П Y, то х(Ф, Y) %(F, X). 95. Пусть (X, <) — вполне упорядоченное множество, обла- дающее наибольшим элементом хт и наделенное порядковой топо- логией. Пусть, кроме того, на 1(хт) вполне упорядочение < минимально. Тогда характер пространства X в точке хт равен cf | X | (см. стр. 29). 96. Для произвольного топологического # пространства X и любой его точки х имеют место соотношения: с(Х) s(X) а(Х) w(X) и t(x, X) < %(х, X) ш(Х). 97. Пусть X — топологическое пространство и X' — его под- пространство. Как связаны $(Х) и $(Х')> «(X) и а(Х'), с(Х) н с(Х')> *(Х) и Z(X')? 98. Вес и плотность дискретного пространства равны его мощности. 99. Если X — пространство веса т, то вес любого подпро- странства пространства X не превосходит т. 100. Если S — предбаза топологии на X и | g | х0, то вес пространства (X, не превосходит мощности g.
§ 2. КАРДИНАЛЬНОЗНАЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВ 73 101. Пусть X — топологическое пространство веса т. Дока- жите, что из любой базы а этого пространства можно выделить базу мощности т. Покажите, что для сетей аналогичное утвержде- ние не верно. 102. Если $ — база (или л-база — см. стр. 54) пространства X и U — открытое в X множество, то существует семейство cz $ попарно не пересекающихся множеств такое, что и {F: V е %*} cz и с: [ J {V: V Е £*}]. 103. Приведите пример нерегулярного хаусдорфова про- странства со счетной базой. 104. Рассмотрим полуинтервал [0, 1) числовой прямой. Вво- дим в [0, 1) следующую топологию: все полуинтервалы [а, (3), 0^а<1, а<Р^1, по определению, образуют базис этой топологии. Полученное топологическое пространство обозначим через X*. Докажите последовательно следующие свойства этого пространства: 1) X* — ^-пространство; 2) X* регулярно; 3) X* удовлетворяет первой аксиоме счетности; 4) X* сепарабельно; 5) X* наследственно финально компактно, т. е. любое его подпространство финально компактно (см. стр. 57—58); 6) X* совершенно нормально (см. стр. 58); 7) X* не имеет счетной базы; 8) X* неметризуемо. 105. Пусть X наследственно финально компактно и каж- дому аЕ 7ДсО1) (см. 91 гл. I) поставлено в соответствие замкнутое в X множество F(a) таким образом, что /1(a1)cz F(a2) при а2< «1- Тогда существует а0 Е ТХац), для которого F(a0) = F(a) при всех а > а0. 106. Пусть X — топологическое пространство, т — карди- нальное число. Тогда следующие условия равносильны: (а) для каждого A cz X и любой точки х 6 [Л] существует A' cz А такое, что х Е [4'1 и | А' | т; (б) для каждого незамкнутого множества A cz X существует точка у Е [4]\4 и множество A' cz А такие, что у Е 14'] и | 4' | т. 107. Секвенциальное пространство имеет счетную тесноту. 108. Каждое ли хаусдорфово пространство счетной тесноты секвенциально? 109. Каждое ли хаусдорфово секвенциальное пространство является пространством Фреше — Урысона? 110. Пусть топология пространства X порождается симметри- кой d и 4 — замкнутое в X множество. Тогда если х — неизоли- рованная в 4 точка, то d(x, 4\{:г}) = 0.
ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 111. Если топология пространства X порождена симметри- кой d, х £ X и g ={^n: п € N+} — последовательность точек множества X такая, что lim d(xn, х) = 0, то | сходится к х. П-*-<х> 112. Если топология пространства X порождена симметри- ей d, то X — секвенциальное пространство. 113. Пусть X ={хпт: п Е 2V+, т Е N+} — какое-нибудь бес- конечное счетное множество, элементы которого взаимно одно- значно перенумерованы всевозможными парами положительных целых чисел, Y = {уп: п Е N+} — бесконечное счетное множество, не пересекающееся с X, и 0 — какой-нибудь объект, не принад- лежащий X U Y. Положим Z ={0} U Y (J X и определим d(zr, z") для всех zz, z" С Z следующим образом: (а) если z' = z", полагаем d(zz, z") — 0; (б) если zr = 0 и z" £ X, то d(zr, z") = 1; (в) если zz = 0 и z" = уП1 то d(z', z") — (г) если zz = уп> и z" = хп"т. полагаем d(zz, z") = 1 при 1 nz п" и d(zr, z”) = ~ при пг — п"; (д) если z' Е X, z" Е X и zz Ф z", то cZ(zz, z") = 1; (е) если z' £ У, z" Е Y и z' z\ то d(zf, z") = 1; (ж) во всех прочих случаях определяем d(zz, z") требованием d(z‘, z”) = d(z\ z'). Покажите, что 1) d — симметрика на Z; 2) Z — нормальное пространство; 3) пространство Z секвенциально, но не является простран- ством Фреше — Урысона, не локально бикомпактно, не удов- летворяет первой аксиоме счетности; 4) топология пространства Z является пересечением двух локально бикомпактных метризуемых топологий со счетной базой; 5) пространство Z является образом локально бикомпактного метрического пространства со счетной базой при факторном дву- кратном отображении (т. е. отображении, при котором прообраз любой точки состоит не более чем из двух точек). Утверждения 2) — 5) относятся к топологии «У на Z, порож- денной симметрикой d. 114. Пусть X — хаусдорфово пространство, топология кото- рого порождена симметрикой d. Тогда следующие условия равно- сильны: (а) X удовлетворяет первой аксиоме счетности; (б) X — пространство Фреше — Урысона; (в) для каждого A cz X имеет место [Л] ~{у Е X: d(y, Л) = = 0}:
§ 2. КАРДИНАЛЬНОЗНАЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТРАНСТВ 75 (г) для каждого 8 > О и каждого х £ X непременно Int О£х Э х, где О£х = {у £ X: d(x, у) < е}. 115. Каждое ли сепарабельное хаусдорфово пространство наследственно (см. стр. 61) сепарабельно? 116. Если пространство X обладает счетной л-базой то любое всюду плотное в X подпространство сепарабельно. 117. Если пространство X с первой аксиомой счетности сепа- рабельно, то и любое всюду плотное в X подпространство сепара- бельно. 118. Пусть X — пространство, т — кардинальное число, Y всюду плотно в X и s(X) т, t(X) т. Тогда и s{Y) < т. 119. Верно ли, что произведение люоых двух нормальных наследственно сепарабельных пространств наследственно сепара- бельно? 120. Верно ли, что в каждом вполне регулярном (см. стр. 56) сепарабельном пространстве для любого множества мощности 2*о существует предельная точка? 121. Если X — нормальное сепарабельное пространство и А с: X, | А | ^> 2*% то А имеет в X предельную точку. 122. Пусть X — хаусдорфово пространство и А — всюду плотное в X множество. Тогда | X | 22*А1 123. Если X — хаусдорфово пространство веса т х0, то | X | С 2Т. 124. Пусть мощность хаусдорфова пространства X больше, чем 2*°. Верно ли, что X непременно содержит дискретное под- пространство несчетной мощности? 125. Каждое ли наследственно сепарабельное хаусдорфово пространство имеет мощность, не большую 2*°? 126. Пусть X — хаусдорфово пространство и М cz X, | М ^2*о. Тогда существует секвенциально замкнутое (см. стр. 71) множество М такое, что М cz М cz [М] и | М | 2*°. 127. Пусть X — регулярное пространство. Пусть $(Х) х0 и ф(я, X) для любой точки х 6 X. Докажите, что I X | 2*°. 128. Всякое ли хаусдорфово (регулярное) пространство X счетного псевдохарактера можно уплотнить на хаусдорфово про- странство с первой аксиомой счетности? 129. Пусть X регулярно, ф(а;, X) к0 для каждой точки X, 6‘(Х) 2*о и /(X) = к0. Докажите, что тогда | X | 2*». 130. Пусть X — регулярное пространство, ф(х, X) х0 для любой точки х £ X и Z(X) — х0. Докажите, что для любого М s X из | М | 2*о следует, что | [М] | ^2*о. 131. Если хаусдорфово пространство X с первой аксиомой счетности удовлетворяет условию Суслина, то | X | 2*о.
76 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 132. Пусть (X', У') — подпространство регулярного про- странства (X, У), всюду плотное в последнем. Тогда семейство ЗГ' — {Int[£71: U Е У'} является базой топологии 3*. 133. Пусть X — регулярное пространство, X' — всюду плот- ное в X подпространство и вес X' равен т. Тогда и внешний вес пространства X' в пространстве X равен т (см. стр. 70). 134. Пусть X — регулярное пространство и А — всюду плот- ное в нем множество. Тогда вес X не превосходит 135. Если X — регулярное пространство и X' — всюду плот- ное в X подпространство, то характер любой точки х пространства X' в X' равен ее характеру в X. 136. Всякая база топологического пространства является сетью в нем. 137. В каких пространствах каждая сеть является базой? 138. Семейство всех одноточечных подмножеств произвольно- го пространства является сетью в нем. 139. Если в пространстве X имеется сеть мощности т, то и в любом его подпространстве есть сеть мощности, не большей т. 140. Приведите пример нормального пространства со счетной сетью, но без счетной базы. 141. Пусть X — пространство, Ха для каждого а С М — подпространство пространства X и X — U{^a: ос Е М}. Тогда, если Sa — сеть в Ха, а Е М, то S = J {5а: а £ М} — сеть в про- странстве X. Покажите, что для баз аналогичное утверждение, вообще говоря, места не имеет. 142. Если в регулярном пространстве есть сеть мощности т, то в нем есть сеть мощности, не большей т, все элементы кото- рой — замкнутые множества. 143. Если пространство X обладает сетью мощности т, то из любого открытого покрытия этого пространства можно выде- лить подпокрытие мощности, не большей т. 144. Если в пространстве X есть сеть мощности т, все элемен- ты которой — замкнутые множества, то в X каждое замкнутое множество является пересечением такого семейства у открытых множеств, что | у | т. 145. Верно ли, что в каждом хаусдорфовохм пространстве со счетной базой произвольное замкнутое множество является пере- сечением счетного семейства открытых множеств? 146. Во всяком ли хаусдорфовом пространстве со счетной базой существует счетная сеть из замкнутых множеств? 147. Если в хаусдорфовом пространстве (X, У) есть сеть мощ- ности т, то па X существует хаусдорфова топология У* веса, не превосходящего т, для которой ЗГ* cz ЗГ (ср. с задачей 148 гл. II). 148. Пусть ЗГ — хаусдорфова топология на X, обладающая сетью мощности т х0. Тогда на X существует (хаусдорфова) топология У' веса, ле превосходящего т, для которой У cz У'.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 77 149. Хаусдорфово пространство обладает сетью мощностью т в том и только в том случае, если на него уплотняется некоторое хаусдорфово пространство веса т (см. стр. 54). 150. Хаусдорфово пространство обладает сетью мощности т в том и только в том случае, если оно является непрерывным обра- зом некоторого хаусдорфова пространства веса т. § 3 Метрические пространства Множество F топологического пространства X называется совершенным, если оно, во-первых, замкнуто в X, во-вторых, плотно в себе, т. е. как подпространство пространства X не имеет изолированных точек. Понятно, что множество F пространства X совершенно в том и только в том случае, когда оно замкнуто в X и всякая точка х С F предельная для F. Говорят, что топологическое пространство X удовлетворяет условию Бэра, если пересечение всякого его счетного семейства открытых всюду плотных множеств всюду плотно. Множество А пространства X называется множеством второй категории, если дополнительное множество Х\4 —„первой категории, т. е. Х\Л представимо в виде объединения счетного семейства нигде не плот- ных в X множеств (см. стр. 54). Определение метрического пространства, а также основные понятия, связанные с метрическими пространствами, даны в теоре- тическом введении к главе II. G понятием изометрического отображения тесно соприкасается понятие сжатого отображения: отображение /: (X, р) -> (У, р') называется сжатым, если существует такое действительное число а < 1, что p'(/^i, Лг2) а-р^, я2) для любых двух точек х^ С X, #2 € X. Понятие непрерывного отображения для случая отображений метрических пространств получает совсем классическое звучание. Отображение / метрического пространства (X, р) в метрическое пространство (У, р') непрерывно в точке х0 t X, если для всякого положительного действительного числа 8 существует такое поло- жительное число 6, что р'(/х, /х0) < 8, если только р(я, xQ) < 6. Если отображение / метрического пространства (X, р) в метри- ческое пространство (У, р') непрерывно во всякой точке х £ X, то оно называется просто непрерывным. Наконец, отображение / метрического пространства (X, р) в метрическое пространство (У, р') называется равномерно непрерывным, если для всякого числа 8 > 0 существует такое число б > 0, что для любой пары точек xt и х2 из X, для которой p(^, я2) < б, непременно Р'(М, /ж2) < б. Пополнением метрического пространства (X, р) называется полное метрическое пространство (У, р) вместе с изометрическим
78 ГЛ. П- ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВ \ вложением f: (X, р) (У, р) таким, что р(у, i(X)) = 0 для всех У € Y (последнее означает просто, что г(Х) всюду плотно в (У, JF-)). Когда говорятго пополнении, часто отождествляют х с г(я), X с 1(Х) и пишут X cz У. Пусть (Хь pz), i £ N+,— счетное семейство метрических про- странств, диаметр каждого из которых не больше единицы (т. е. 8ир{рг(я:г, жО: i’£ N+, xt £ Xt, x- £ Хг} < 1). Рассмотрим произведение X = П{Хг: i £ N+}. На множестве X определим метрику следующим образом: если х={х(: i£N+} £ Х> оо У — {УГ-i £N+} £Х, то р(яг, у) =2 Легко проверяется, г=1 что функция р(гг, у) на X действительно является метрикой. Метрическое пространство (П{Х: i Е TV4}, р), так определенное,, называется метрическим произведением метрических пространств (Xf, pj) по i g 7V+. При этом р^(л^, лг-у) р(я, у), где х £ £ П{Хг: i £W+), у £ П{Хг: г £ #+}, (яр, щу) = ^-рг (atx, я(у), П{Хг«: i Е N*} -> (Хг«, р*) — проектирование. Поэтому оно яв- ляется равномерно непрерывным отображением. 151. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Тогда для любой точки х Е X, любого 8 > 0 и любого х Е Огх найдется такое s' > 0, что xf Е 0£>х' cz Оех. 152. Пусть (X, р) — метрическое пространство и семейство его подмножеств определено, как на стр. 61. Докажите, что — топология и что О£х Е для всех х Е X и всех 8 > 0. 153. Пусть X — множество; положим р(гг, у) = 1, если х Е X, у Е X, х =£= у, и^р(гс, х) = 0 для любого х Е X. Покажите, что (X, р) — полное метрическое пространство, ограниченное, но не вполне ограниченное. Какие множества в нем открыты? 154. Докажите, что отрезок числовой прямой (с естествен- ной метрикой) вполне ограничен. 155. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Докажите, что множество U cz Х^открыто в (X,- р) тогда и только тогда, когда для любой точки х Е U существует такое 8 > 0, что х Е Е О£х cz U. 156. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Покажите, что совокупность всех шаровых окрестностей всевозможных точек из X является базой пространства (X, .Ур). 157. Докажите, что топология любого метрического простран- ства удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа. 158. Пусть (X, р) — метрическое пространство, Л cz X. По- кажите, что х0 Е 1Л] в том и только в том случае, когда р(ж0} == = 0. 159. Докажите, что в метрическом пространстве предел схо- дящейся последовательности единственен.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 79 160» Пусть (X, р) — метрическое пространство. Докажите, что точка является точкой прикосновения множества A cz X тогда и только тогда, когда существует последовательность точек {хп: п g N+} множества Л, сходящаяся к х0. 161. Докажите, что топология любого метрического про- странства (X, р) удовлетворяет первой аксиоме счетности. 162. Пусть (X, р) — произвольное метрическое пространство. (а) Докажите, что F cz X — замкнутое множество в том и только в том случае, когда для любого х $ F непременно р(яг, F) > 0. (б) Докажите, что F замкнуто тогда и только тогда, когда для любой сходящейся в X последовательности {£п: n£N+} точек множества F непременно lim хп £ F. 71-* оо 163. Покажите, что в случае, когда точка xQ является пре- дельной для множества М метрического пространства (X, р), всегда можно выбрать последовательность {ггп: п £ попарно различных точек множества М, сходящуюся к точке х$. * 164. Пусть X — метрическое пространство, 4 с X, е — положительное число и р(я, у) 8 для любых х £ Л, у g Л. Тогда в X нет пи одной предельной точки для множества Л. 165. Покажите, что всякая подпоследовательность сходящей- ся последовательности метрического пространства также сходится и имеет тот же самый предел. Покажите, что всякая подпоследова- тельность фундаментальной последовательности также фунда- ментальна. 166. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность метрического пространства (X, р) является фундаментальной. 167. Приведите пример метрического пространства и фун- даментальной последовательности в нем, не имеющей пре- дела. 168. Докажите, что фундаментальная последовательность {яп: п € N+} метрического пространства (X, р) сходится, если она содержит сходящуюся подпоследовательность. 169. Докажите, что всякое бесконечное ограниченное под- множество прямой имеет на прямой предельную точку. 170. Докажите, что из любой существенной (см. стр. 53) и ограниченной последовательности {хп: п gTV4} точек числовой пря- мой можно выделить сходящуюся на прямой подпоследователь- ность из попарно различных точек. 171. Докажите, что любая ограниченная последовательность ng Лт+} действительных чисел содержит сходящуюся под- нос л едо в ате л ьность. 172. Докажите, что числовая прямая с естественной метрикой: у) = | х — у | есть полное сепарабельное метрическое про-
80 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 173. Пусть R2 — плоскость. Пусть х g Я2, у g R2- Положим р(я, у) — расстояние от точки х до у — равным длине отрезка, соединяющего точки х и у. (а) Докажите, что (7?2, р) — метрическое пространство. (б) Докажите, что р(х, у) = Уfa — у{)2 + (х2 — у2)2 для х = {xi, .г2} £ R2, у = у2} € R2. (в) Докажите, что (й2, р) сепарабельно. (г) Докажите, что (Л2, р) полно. Пусть на плоскости R2 введена прямоугольная система коор- динат. (д) Покажите, что следующие множества в R2 открыты: 1) внутренности всевозможных кругов; 2) внутренности всевозможных прямоугольников. (е) Докажите, что множества, описанные в пп. 1) и 2) утвер- ждения (д), образуют базу топологии плоскости. (ж) Положим р*(я, у) = тах{| — ух |, | х2 — Уг 1} для точек х ={^i, х2} Е R2, У — {Уь У 2} € R2* Докажите, что р* — метрика на й2, порождающая ту же топологию, что и мет- рика р. (з) Опишите 8-окрестности точек х £ R2 в метрике р*. (и) Рассмотрите также метрику р'(х, у) на У?2, определенную формулой р'(х, у) = ] Xi — У4 I + I х2 — у2 I, X ={Xi, х2}, у = = {У1, У 2}- Ответьте на вопросы, аналогичные (ж) и (з) для метри- ки р'. 174. Приведите пример множества X и двух различных метрик на нем, приводящих к одной и той же топологии на X. Всякие ли две метрики на данном множестве X приводят к одной и той же топологии? 175. Пусть (X, р) — метрическое пространство, а с X - некоторое подмножество. Множество Хо естественным образом превращается в метрическое пространство — подпространство метрического пространства (X, р): р0(я, у) = р(я, у), где х С Хо, у g Хо. Докажите, что (Хо, р0) — метрическое пространство (в дальнейшем множество Хо метрического пространства (X, р) с определенной выше метрикой будет называться (метрическим) подпространством метрического пространства (X, р)). 176. Пусть (X, р) — метрическое пространство и (А, р') — его подпространство (т. е. А с: X и р' == р | А — сужение метри- ки р па А). Покажите, что (А, .5%') является топологическим подпространством топологического пространства (X, р). 177. Приведите пример двух непересекающихся замкнутых множеств прямой (плоскости), расстояние между которыми равно нулю. 178. Докажите, что любая дизъюнктная система открытых множеств прямой конечна или счетна. Докажите то же самое и для плоскости.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 81 179. Покажите, что объединение любого множества & интер- валов действительной прямой, содержащих фиксированную ее точку, есть снова интервал (быть может, вся прямая, множество вида (—сю, а) или множество вида (fe, 4-оо)). 180. Доказать, что всякое открытое множество на прямой есть объединение конечного или счетного множества попарно не пересекающихся интервалов, концы которых принадлежат дополнительному замкнутому множеству на прямой (среди этих интервалов могут оказаться один или два бесконечных интервала вида (—сю, а) или (а, +оо)). Эти интервалы называются смежными интервалами к дополнительному замкнутому множеству, или компонентами этого открытого множества. 181. Докажите, что замкнутое множество F действительной прямой совершенно в том и только в том случае, когда его смежные интервалы (см. 180 гл. II) попарно не имеют общих концов. 182. Докажите, что любые два счетных плотных в себе (см. стр. 77) множества прямой, не имеющие наименьшего и наиболь- шего элементов, подобны между собой (см. стр. 19). 183. Докажите, что пространство рациональных точек отрез- ка, равно как и пространство иррациональных точек, нульмерно. 184. Докажите, что всякое нигде не плотное множество X на прямой R1 нульмерно (см. стр. 56). 185. Пусть [0, 1] —- отрезок числовой прямой. На нем возь- и At = [у, 1] (будем мем два отрезка До = называть эти отрезки отрезками «первого ранга», а лежащий между ними интервал б = — интервалом первого ранга). Далее возь- \ о и / мем на каждом отрезке первого ранга по два отрезка второго ранга: Доо = [б, у], Д01 = [у, у] и Д1о = [у, у], Ди = == |^у, 1J. Между этими отрезками лежат i оответственно интер- валы второго ранга б0 = (у, у) и 6t — (у, у). Продолжаем это построение неограниченно. Пусть построены 2п отрезков п-го ранга Ай i2 .. .in (индексы ii, . . ., in принимают значение 0 или 1). Разделим каждый отрезок Дй... in на три равных части; два крайних отрезка Дп ... in0 и Дп .. .ini назовем отрезками (n + 1)- го ранга, а лежащий между ними интервал назовем интерва- лом (п + 1)-го ранга. Обозначим через Пп объединение всех отрезков ранга п. Рассмотрим С — П{ПП: п f TV4}. Множество С называется конто- Ровым совершенным множеством или канторовым дисконтинуумом (счетного веса). в А., в. Архангельский, В. И. Пономарев
82 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (а) Докажите, что Пп — замкнутое множество на отрез- ке [0, 1]. (б) Докажите непустоту и замкнутость на [0, 1] множества С. (в) Докажите, что сумма длин всех интервалов всевозмож- ных рангов равна длине всего отрезка [0, 1]. (г) Докажите, что С — совершенное множество. (д) Докажите, что С имеет мощность континуума. (е) Докажите нигде неплотность множества С на [0, 1]. 186. Докажите, что замкнутое (метрическое) подпространство полного метрического пространства является полным метрическим подпространством. 187. Докажите, что метрическое пространство (X, р) полно в том и только в том случае, когда любая убывающая счетная последовательность {Ft: i Е N+} непустых замкнутых в (X, р) множеств, для которых diam F\ е^, где 0 при i -> оо, имеет непустое пересечение (при этом такое пересечение состоит из одной точки). Приведите пример полного метрического про- странства, для которого существует убывающая счетная последо- вательность непустых замкнутых множеств с пустым пересече- нием. 188. Докажите, что метрическое пространство (X, р) полно тогда и только тогда, когда любая убывающая последовательность замкнутых шаров, радиус которых стремится к нулю, имеет непустое пересечение. 189. Пусть (X, р) — метрическое пространство, а М — его подпространство с метрикой р', индуцированной метрикой р. Докажите, что М замкнуто в (X, 3"р), если (М, р') полно. 190. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Положим р*(я, у) = min{l, р(х9 у)}. (а) Докажите, что р*— метрика на X, приводящая к той же топологии, что и метрика р. (б) Покажите, что диаметр метрического пространства (X, р*) не больше единицы. (в) Покажите, что (X, р*) — полное пространство, если (X, р) полное. 191. Покажите, что в любом метризуемом пространстве можно ввести ограниченную метрику, совместимую с его топологией. 192. Докажите, что полное метрическое пространство (X, р) гомеоморфно полному ограниченному метрическому пространству. 193. Пусть (Хг-, pj, где i Е 7V+,— метрические пространства; diam Xf 1. Рассмотрим произведение X = П{Х$: i Е N+} мно- жеств Пусть х ={#i} 6 X, у = 6 X. Положим р(яг, у) == ——. Докажите, что р есть метрика на X и что диаметр г=1 пространства (X, р) не превосходит единицы.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 83 194. Докажите, что тихоновское произведение счетного мно- жества метризуемых пространств всегда метризуемо. 195. Докажите, что тихоновское произведение счетного мно- жества пространств, гомеоморфных числовой прямой, метри- зуемо (и имеет счетную базу). 196. Метрическое произведение счетного множества полных ограниченных (одной константой) метрических пространств полно. 197. Покажите, что тихоновское произведение счетного мно- жества пространств, гомеоморфных полным метрическим про- странствам, само гомеомррфно полному метрическому простран- ству. 198. Точками евклидова пространства Нп являются всевоз- можные последовательности из п действительных чисел. Пусть X ={Xi} € Rn, У = {уJ 6 Rn- Положим р(яг, у) = ]/ 2 (Xi — у,)2- г=1 (а) Покажите, что (Лп, р) — метрическое пространство. (б) Докажите его сепарабельность. (в) Докажите его полноту. 199. Пусть {яп} и {уп} — две фундаментальные последова- тельности метрического пространства (X, р). Образуем последова- тельность {иш}, где zm = хп, если т = 2п — 1, и zm = уп, если т = 2п. Тогда последовательность {zm} фундаментальна в том и только в том случае, когда lim р(хп, уп) = 0. П->оо 200. Пусть (X, р) — метрическое пространство, а {яп}, {уп}'— две его фундаментальные последовательности. Докажите, что по- следовательность действительных чисел ап = р(ян, уп) сходится. Предел этой последовательности называется отклонением данных двух фундаментальных последовательностей метрического про- странства (X, р). 201. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Две фундаментальные последовательности из (X, р) назы- ваются p-эквивалентными, если их отклонение (см. 200 гл. II) равно нулю. Докажите, что указанное отношение р-эквивалентно- сти в множестве всех фундаментальных последовательностей метрического пространства (X, р) есть отношение эквивалентно- сти (т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Отноше- ние р-эквивалептности разбивает все множество фундаментальных Последовательностей на попарно не пересекающиеся классы по отношению р-эквивалентности; их множество обозначается через рХ, а класс последовательности {ггп} обозначается через I I* 202. Пусть (X, р) — полное метрическое пространство. Дока- жите, что для любых двух точек £ € (X, р), т) g (X, р) и лю- бых последовательностей {хп}, {уп}, хп 6 (X, р), уп £ (X, р), 6*
84 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА п = 1, 2, . . ., для которых lim хп = £, lim уп = т), непременно P(L П) = Иш р(жп, уп). 71-+0О 203. Пусть (X, р) — метрическое пространство, а рХ — мно- жество всех классов р-эквивалентности его фундаментальных после- довательностей. Положим р(£, т]) = р({яп}, {уп})> где р({яп}, {j/n}) — отклонение двух фундаментальных последователь- ностей {хп} и {уп}, для которых |{яп} I = g, I{уп} | = т]. Докажи- те, что (рХ, р) — полное метрическое пространство, содержащее в качестве всюду плотного подмножества изометрический образ метрического пространства (X, р). 204. Пусть (X', р')и(Х", р") — два пополнения метрического пространства (X, р). Докажите, что существует изометрическое отображение /: (X', р')-> (X", р"), /(X') = X", для которого fx = х, если х Е X. 205. Докажите, что пополнение (рХ, р) вполне ограниченного метрического пространства (X, р) также вполне ограничено. 206. Пусть X — метризуемое пространство, a pi и р2 — две метрики на X, совместимые с его топологией. Скажем, что pj р2, если всякая последовательность пространства X, фундаменталь- ная в метрике рь фундаментальна и в метрике р2. Докажите, что <>i < р2 в том и только в том случае, когда существует такое непрерывное отображение /: ptX -> р2Х пополнения ptX по метри- ке pi в пополнение р2Х по метрике р2, что fx = х при всех х £ X. 207. Докажите, что сжатое отображение / полного метрическо- го пространства (X, р) в себя всегда имеет единственную непо- движную точку, т. е. такую точку х^Х, что /х0^х0. 208. Приведите пример полного метрического пространства и его изометрического отображения в себя, не имеющего ни одной неподвижной точки. 209. Докажите, что всякое сжатое отображение метрического пространства непрерывно. 210. Приведите пример неполного метрического пространства и его сжатого отображения в себя, не имеющего неподвижной точки. 211. Докажите, что всякое замкнутое в метризуемом простран- стве множество А имеет тип G$. 212. Докажите, что любое метризуемое пространство нор- мально. 213. Докажите, что для метризуемого пространства X сле- дующие условия эквивалентны: 1) X сепарабельно; 2) X имеет счетную базу; 2') X имеет счетную л-базу; 3) X финально компактно.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 85 214. Докажите, что метризуемое пространство X сепарабель- но в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет условию Суслина. 215. Докажите, что для метризуемого пространства X сле- дующие условия эквивалентны: 1) X — пространство со счетной базой; 2) X наследственно сепарабельно ♦); 3) всякое дискретное подпространство Хо с= X счетно; 4) всякое замкнутое дискретное подпространство XQ cz X счетно; 5) X удовлетворяет условию Суслина. 216. Докажите, что вес метризуемого пространства всегда равен его плотности, индексу компактности и л-весу (см. стр. 57). 217. Докажите, что вес любого метризуемого пространства равен его числу Суслина, а также верхней грани мощностей замкнутых дискретных подпространств пространства X. 218. Пусть X — нульмерное сепарабельное метрическое про- странство. Покажите, что для любого 8 > О существует счетное дизъюнктное покрытие со этого пространства открыто-замкнутыми множествами диаметра, меньшего 8. 219. Пусть Хо — связное подмножество пространства X. До- кажите, что множество [Хо] также связно. 220. Пусть X — топологическое пространство, а {Ма: а£Л}— система всех связных подмножеств, каждое из которых содержит точку х0 Е X, Докажите, что множество М — J {Ма: а g Л} связ- но, замкнуто и содержит любое связное подмножество простран- ства X, содержащее точку ж0. 221. Докажите, что образ связного пространства при непре- рывном отображении связен. 222. Отрезок связен (по отношению к обычной топологии). 223. Докажите, что множество А, лежащее на прямой Z, связно в том и только в том случае, если вместе с каждыми своими двумя точками оно содержит весь отрезок, их соединяющий. 224. Перечислите, с точностью до гомеоморфизма, все связные подмножества прямой. Сколько их? 225. Всякий связный компакт, лежащий на прямой, есть либо пустое множество, либо точка, либо отрезок. 226. Выясните, какие из следующих пространств гомеоморф- пы, какие нет и почему: 1) отрезок числовой прямой; 2) полуинтервал числовой прямой; 3) интервал числовой прямой; 4) числовая прямая; 5) окружность. ♦) То есть каждое его подпространство сепарабельно.
86 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 227. Докажите, что образ отрезка числовой прямой при откры- том отображении в хаусдорфово пространство есть или отрезок, или точка. 228. Докажите, что прямая не гомеоморфпа n-мерному евкли- дову пространству при п 2. 229. Докажите, что дополнение до произвольного счетного подмножества тг-мерного евклидова пространства, где п 2, связно. 230. Докажите, что обычный отрезок имеет базу из связ- ных множеств. 231. Укажите два иегомеоморфных компактных подпро- странства обычной плоскости, произведения которых па отрезок гомеоморфны. Можно ли найти такие компакты на прямой? 232. Покажите, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполному метрическому пространству. 233. Пусть метризуемое пространство X метризуемо полной метрикой. Докажите, что всякое его открытое подмножество метризуемо полной метрикой. 234. Пусть X — метризуемое полной метрикой пространство, а множество М cz X имеет в X тип G&. Докажите, что под- пространство М гомеоморфно некоторому полному метрическому пространству. 235. Пусть Y — подпространство хаусдорфова пространства X, всюду плотное в X. Тогда если Y метризуемо полной метрикой, то У — множество типа G& в X. 236. Пусть X — метризуемое полной метрикой пространство. Докажите, что подпространство М cz X гомеоморфно полному метрическому пространству в том и только в том случае, когда оно является множеством типа в X (теорема Александрова — Хаусдорфа). 237. Докажите, что пространство иррациональных точек отрезка или прямой гомеоморфно полному метрическому про- странству. 238. Докажите, что всякое метризуемое полной метрикой пространство X обладает свойством Бэра (см. стр. 77). 239. Покажите, что метризуемое полной метрикой простран- ство X нельзя представить в виде объединения счетного числа нигде не плотных в нем подмножеств. 240. Докажите, что пространство рациональных чисел число- вой прямой не гомеоморфно никакому полному метрическому пространству. 241. Покажите, что о-дискретное (т. е. пространство, пред- ставимое в виде объединения своих дискретных подпространств) полное метрическое пространство X имеет всюду плотное множе- ство изолированных точек.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 87 242. Может ли счетное полное метрическое пространство (X, р) не содержать изолированных точек? 243. Может ли в полном метрическом пространстве (X, р) счетное (или даже конечное) подмножество быть множеством вто- рой категории и при каких условиях? 244. Докажите, что любое сепарабельное метрическое про- странство X имеет мощность, не большую мощности континуума. 245. Точкой бэровского пространства В(х0) является всякая последовательность х = {nk: k Е N+} натуральных чисел Пусть х = {nk: к Е N+} и у — {пк: к Е N+} — две точки бэровского про- странства 2?(х0). Положим р(гг, у) — —-----г, где i(x, у) — I у) = min{A:: nk п^} и р(я, у) = 0, если nk — п^ для всех к Е N+. (а) Докажите, что (В(х0), р) — метрическое пространство. (б) Докажите полноту этого метрического пространства. (в) Положим С7попо ... ng ={# = {^а} Е -В(^о)- = n°v • • • . . ., = ng}. Докажите, что множество С7попо по есть шаровая 12’ k окрестность радиуса всякой своей точки, т. е. для любой точки х ={nk} 6 Unon->... по непременно Unono... по ={«' ={пъ} б В(х0): 1 2 А 1 2 h j р(х, х') < -^-}. Множества вида UnonQ... по называются интерва- лами Бэра. (г) Докажите, что интервалы Бэра не только открыты в В(х0), но и замкнуты. (д) Докажите, что интервалы Бэра образуют базу топологии метрического пространства 5(х0). (е) Докажите, что вес пространства В(х0) равен х0. (ж) Докажите, что два различных интервала Бэра либо не пересекаются, либо один из них содержится в другом. 246. Пусть W — некоторое множество мощности т. Через В(х) обозначим множество всевозможных последователь- ностей я ={^, . . ., gn, . . .} элементов gi Е И7, . . ., Е W, . . . Итак, всякая последовательность х ~{£i, . . ., in, . . £1Е Е W, . . ., Е W, . . ., есть точка в В(т). Пусть х = {?;„} Е 5(т), у ={nn} Е 5(т). Положим р(х, у) = М^ГТ)’ ГДе = (а) Покажите, что (В(т), р) — метрическое пространство (в дальнейшем это пространство будет называться бэровским про- странством веса т). _ J6) Положим Z7|o. ..г-о = {* ={U С . . ., gn = Ви}. Покажите, что множества вида открыто-замкнуты ^(т) и являются шаровыми окрестностями всякой принадлежа- щей им точки (эти множества называются интервалами Бэра).
88 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (в) Покажите, что множества вида Uq .,. so образуют базу топологии В(т). Докажите, что ip(I?(t)) = т. (г) Покажите, что любые два интервала Бэра или не пересе- каются, или один из них содержится в другом. 247. Покажите, что пространство В(х) (см. 246 гл. II) полно. 248. Докажите, что бэровскоепространство В(х0) гомеоморф- но тихоновскому произведению счетного множества дискретных счетных пространств. 249. Точкой гильбертова пространства Z2 является всякая последовательность х = {хп} действительных чисел, для которой оо ряд ^х*п сходится. 71=1 (а) Докажите, что х + у ={хп + уп} принадлежит Z2, если х ={жп} 6 Z2, у ={уп} 6 I2- оо ♦ (б) Положим (ж, у) = 2 где х = {^n} € I2, У € I2- Дока- 71=1 оо жите, что ряд У хпуп сходится. п=1 (в) Докажите, что функция (х, у), х С Z2, у £ Z2, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, т. е. (х, у) = (у, х)\ (х, х) 0 и (х, х) = 0 в том и только в том случае, если все коор- динаты точки х равны нулю; (х, у + у') = (я, у) + (ж, у'); (х, Ку) = Щх, у), где К — произвольное действительное число. / °° (г) Покажите, что р(х, у) = У(х — у, х — у) = у 2 {хп—уп)2‘. где х ={хп} 6 Z2, у ={уп} € Z2,— метрика в Z2. 250. Докажите, что гильбертово пространство (а) полно, (б) сепарабельно. 251. Пусть А — дискретное пространство мощности т, Р = = (0, 1] — полуинтервал с обычной топологией, Р X А — тихо- новское произведение и 0 — объект, не принадлежащий множеству Р X А. Через Kw(x) обозначим тогда множество (Р х A) (J {0} с метрикой, определенной следующими условиями: 1) если z± С Р X А и Zi = (г, а), то p(z1? 0) = г; 2) если Zi, z2E Р X А и z^ = (r15 at), z2 = (г2, а2), то p(z1? z2) = | п — r2 I, когда at = a2, и p(z15 z2) = т\ + r2, когда aY a2. Проверьте, что Kw(x) — связное полное метрическое пространство веса х (такое пространство будем называть «ежом» колючести т). 252. Докажите, что евклидово пространство Rn и гильбертово пространство Z2 имеют счетную базу. 253. Докажите, что куб Qn в евклидовом пространстве Rn вполне ограничен.
§ 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 89 254. Докажите, что ограниченное подмножество конечномер- ного евклидова пространства вполне ограничено. 255. Покажите, что если метрическое пространство (X, р) хотя бы для одного 8 > 0 имеет конечную е-сеть, то оно ограни- чено. 256. Покажите, что (метрическое) подпространство вполне ограниченного метрического пространства само вполне ограни- чено. 257. Если метрическое пространство (X, р) при некотором 8 > 0 обладает конечной 8-сетью $, то каждое подпространство А пространства (X, р) обладает конечной 2е-сетью при том же е > 0. 258. Пусть (X, р) — метрическое пространство и i Е N+} — последовательность множеств в X, причем для каждого i £ в Ai существует конечная -т-"сеть* Тогда А = i Е N+} — вполне ограниченное множество. 259. Пусть X — метрическое пространство и {Af: i Е Л^+} — монотонное неубывающее семейство подмножеств множества X (т. е. Ai cz Ai+i при всех i Е А4). Тогда diam( J {4f. i Е N+}) =• = sup{diam Af: i E N+}- 260. Метрическое пространство (X, p) вполне ограничено> в том и только в том случае, если для всякого 8 > 0 существует конечное покрытие этого пространства замкнутыми множествами диаметра, не большего е. 261. Докажите, что вполне ограниченное метрическое про- странство (X, р) сепарабельно, имеет счетную базу и финально компактно. 262. Докажите, что метрическое пространство (X, р) не вполне ограничено тогда и только тогда, когда существует такое 8 > 0 и бесконечное множество Л с X, что р(#, 8 для лю- бых а: Е А, у Е А, х =Д у. 263. Докажите, что метрическое пространство (X, р) вполне ограничено тогда и только тогда, когда из всякой последователь- ности {яп} (мы пишем опять {хп} вместо точного {xn: п Е точек этого пространства можно выделить фундаментальную под- последовательность. 264. Пусть (Xf, pf) — вполне ограниченные метрические про- странства диаметра, не большего единицы. Докажите, что метри- ческое произведение (X, р) этих пространств тоже вполне? ограничено. 265. Приведите пример ограниченного, но не вполне огра- ниченного множества в гильбертовом пространстве. 266. Пусть (X, р) и (У, р) — два метрических пространства. Докажите, что отображение /: X —> У непрерывно относительно* Порожденных на X и У метриками р и р топологий в том и только
90 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА в том случае, когда для любой сходящейся последовательности {яп} точек из X последовательность {уп} = {fxn} также сходится и lim f(xn) = /(lim хп). П->ОО n-*oo 267* Пусть (X, p) — метрическое пространство и подмноже- ство A gz X произвольно. Докажите неравенство р(х, А) — — Р(У, А) р(аг, у). 268. Пусть А — произвольное подмножество метрического пространства (X, р). (а) Докажите непрерывность функции f(x) = р(х. А), х £ X. (б) Докажите непрерывность функции f(x, у) = р(х, у) как функции двух переменных х £ X, у £ X, что означает следующее: если xQ С X, уо £ X — произвольные фиксированные точки, а е > 0 — произвольное положительное действительное число, то существует такое 6(e) > 0, что | р(#0, У о) — р(я, у) | < е, когда р(х0, я) < 6(e) и р(г/0, z/)<6(e). 269. Пусть R1 — числовая прямая. Постройте график функ- ции f(x) = р(х, А) для случая, когда 1) А есть отрезок числовой прямой; 2) А есть интервал числовой прямой; 3) А — множество всех рациональных точек прямой; 4) А — множество всех ир- рациональных точек прямой; 5) А совпадает с канторовым совер- шенным множеством, построенным на отрезке [0, 1] (см. 185 гл. II). 270. Докажите, что отображение / метрического пространства (X, р) на метрическое пространство (У, р') непрерывно тогда и только тогда, когда для любой точки х0 £ X и любого множества А с X, для которых р(яг0? А) = 0, непременно р'(/^0, М) = 0. 271. Покажите, что всякое изометрическое отображение ме- трического пространства (X, р) на метрическое пространство (У, р') есть гомеоморфизм. 272. Пусть X — прямая (плоскость) с естественной метри- кой. Существует ли изометрия X на собственную часть? 273. Докажите, что евклидово пространство R2 (т. е. плоскость) содержит изометрический образ любого метрического пространства, состоящего не более чем из трех точек. 274. Покажите, что гильбертово пространство Р не является универсальным для всевозможных метрических пространств, со- стоящих из четырех точек (в смысле изометрического вложения), т. е. существует метрическое пространство, состоящее из четырех точек, которое не изометрично никакому множеству, лежащему в гильбертовом пространстве. 275. Пусть / — отображение метрического пространства (X,. р) в метрическое пространство (У, р') и число е >> 0 таково, что для каждого 6 > 0 существуют точки х' 6 X и У' £ X, для которых р(У, х") < 6, но р'(/У, fx") >> 8. Тогда верно хотя бы одно из следующих двух утверждений:
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПЕРВЫЙ КРУГ ЗАДАЧ 91 I) Существует такое а £ Y, что, каково бы ни было б > О, найдутся х' Е X и х Е X, для которых р(У, х") < б, р'(/У, fx") > > е и p’(jx', а) < II) Каково бы ни было конечное множество А с У, существу- ет б > 0 такое, что если р(У, х) < б и р'(/У, fa") > s, то f>W, и р'(К, А)>|. 276. Отображение / метрического пространства (X, р) в метри- ческое пространство (У, р') равномерно непрерывно тогда и толь- ко тогда, когда условие «AczX, Bcz X и р(Л, В) — 0» влечет соотношение р'(/Л, /В) = 0. 277. Пусть / — равномерно непрерывное отображение метри- ческого пространства (X, р) на метрическое пространство (У, р'). Покажите, что (У, р') вполне ограничено, если (X, р) вполне -ограничено. 278. Будет ли всегда ограниченным метрическое пространство (У, р'), являющееся образом ограниченного метрического про- странства (X, р) при равномерно непрерывном отображении /: (X, р) -> (У, р') (сравните с задачей 277 гл. II). 279. Пусть /: (X, р) (У, р') — равномерно непрерывное отображение полного метрического пространства (X, р) на метри- ческое пространство (У, р'). Обязано ли (У, р') быть полным? 280. Пусть /: X У — равномерно непрерывное тополо- гическое отображение метрического пространства X на пол- ное метрическое пространство У. Докажите, что X полно. Мож- но ли в этой задаче отказаться от непрерывности обратного отображения? § 4. Непрерывные отображения топологических пространств. Первый круг задач Пусть со разбиение топологического пространства X (см. стр. 59). Подмножество A cz X называется насыщенным множе- ством по разбиению со или отмеченным множеством для разбие- ния со, если А является объединением какого-то числа элементов разбиения со, т. е. если существует подсистема со' cz со, для кото- рой А = U{^: Р € со'}. Аналогично определяется понятие насы- щенного или отмеченного множества при отображении. Пусть /: X У — отображение множества X на множество У. Подмноже- ство A cz X называется насыщенным множеством при отображе- нии /: X -> У или отмеченным множеством при отображении f, если А = f~1fA. Пусть /—отображение топологического про- странства X в топологическое пространство У. Представляет интерес рассматривать открытые отмеченные множества и замкну- тые отмеченные множества. Особенно важны непрерывные разбие-
92 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ния топологических пространств. Разбиение <о пространства X называется непрерывным, если для всякого элемента F Е со этого разбиения и любой его окрестности UF существует такая окрест- ность U'F этого же F, что если F' Е со и Fr f] U'F А, то F' cz cz UF. Разбиение co пространства X непрерывно тогда и только тогда, когда для всякого элемента F £ со и любой его окрестности UF существует отмеченная окрестность U'F, для которой U'F cz cz UF (пожалуйста, докажите). Пусть £ — предфильтр на множестве Хи/ — отображение множества X в топологическое пространство У. Говорят, что / непрерывно по £ или, что то же самое, непрерывно вдоль если существует точка у Е У, любая окрестность которой содержит целиком образ хотя бы одного элемента из Множество всех таких точек обозначается через Итак, / непрерывно вдоль £ в том и только в том случае, когда limg/ =/= А. При этом точка у Е Ипц/ называется пределом / вдоль Скажем, что последова- тельность {хп: п Е N+} точек множества X конфиналъна пред- фильтру £, если для каждого А Е I существует такой номер к, что хп Е А при всех п к. Отображение / называется секвенциаль- но непрерывным вдоль £, если последовательность {/хп*. п Е сходится в У для каждой последовательности {хп: п £ N+}, кон- финальной g. Непрерывное отображение /: X -+ Y называется псевдооткры- тым, если для всякой точки у Е У и любой окрестности U/~ry множества /~гу в X непременно у Е Int /U (здесь Int /U — мно- жество всех внутренних точек множества /U относительно У; см. стр. 52). 281. Пусть /: X У — отображение пространства X в про- странство У. Докажите, что следующие условия эквивалентны: 1) / непрерывно; 2) для каждого элемента V некоторой базы а пространства У полный прообраз /-1У является открытым в X множеством; 3) для любой точки х Е X и произвольной окрестности V точки /х в У существует окрестность U точки х, для которой fU cz V; 4) /[А1 с: [/А] для любого множества Л сХ; 4') если х Е X, A az X и хбА, то /(х)6/(А); 5) для любого замкнутого в У множества Ф множество /-1Ф замкнуто в X. 282. Пусть /: X У — непрерывное отображение простран- ства X на пространство У. Тогда (а) если А — всюду плотное в X множество, то его образ /А всюду плотен в У; (б) если S — сеть в X, то ее образ /S — {/($): $ Е — сеть в У (причем, очевидно,— см. задачу 25 гл. I — | fS | | S |); (в) покажите, что образ базы в X может не быть базой в У.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПЕРВЫЙ КРУГ ЗАДАЧ 93 283. Пусть /: X —> Y — отображение топологического про- странства X в топологическое пространство У, причем известно, что образ каждого всюду плотного в X множества всюду плотен в У. Следует ли отсюда, что / — непрерывное отображение? 284. Докажите, что пространство (X, дискретно в том и только в том случае, если все его отображения в топологические пространства непрерывны. 285. Покажите, что на каждом множестве X существует и единственна такая топология А, что любое отображение / любого топологического пространства (У, в пространство (X, А) непрерывно. Опишите эту топологию. 286. Композиция (стр. 16) непрерывных отображений — не- прерывное отображение. Докажите аналогичное утверждение для факторных, псевдооткрытых, замкнутых и открытых отображений. 287. Если Д: X -> У и /2- X У — такие непрерывные отображения топологического пространства X в хаусдорфово пространство У, что множество А ={# £ X: fi(x) = /2(я)} всюду ^плотно в X, то fi = /2 на X. 288. Если У cz X, [У] — X и / — непрерывное отображение цространства У в регулярное пространство Z, то / продолжается ' до непрерывного отображения всего X в Z в том и только в том случае, если, для каждой точки х £ X, f продолжается до непре- рывного отображения пространства У J {%} в Z. 289. Пусть даны две системы пространств {Ха: а £ А}, {Уа: а £ А} и для каждого а С А имеется непрерывное отобра- жение /а: Ха-> Уа. Докажите, что произведение /: П{Ха: а £ £ 4} П{Уа: а £ 4} отображений /а непрерывно. 290. Пусть дано топологическое пространство X, семейство топологических пространств {Уа: а С 4} и для каждого а £ А — непрерывное отображение /а: X Уа. Докажите, что диаго- нальное произведение / отображений /а является непрерывным отображением в тихоновское произведение П{Уа: а £ 4} про- странств Уа. 291. Пусть /: X —> У — непрерывное отображение простран- ства X в пространство У и X X У — топологическое произведе- ние пространств X и У. Положим Гу = {(#, у) £ X X У: у == = /(х)}. Подпространство Гу пространства X X У называется графиком отображения /. Докажите, что (а) Гу как подпространство пространства X X У гомеоморф- но X; (б) если У — хаусдорфово пространство, то Гу замкнуто в X X У. 292. Пусть X — квадрат (вместе с границей), У — одна из его сторон и / — проектирование X на У. Покажите, что отобра- жение / непрерывно, открыто и замкнуто (топологии на X и У обычные).
94 ГЛ. И. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 293. Пусть Хо — множество точек обычного квадрата без границы, Уо — его сторона (т. е. отрезок без концов), л: Хо -> Уо— естественное проектирование. Тогда л — непрерывное открытое, но не замкнутое отображение (топологии на Хо и Уо обычные). Сравните эту задачу с задачей 292 гл. II. 294. Пусть X — топологическое пространство и X' cz X. Покажите, что топология подпространства на X' — наименьшая из всех топологий на множестве Хг, относительно которых отобра- жение it X' -> X, описываемое правилом: i(x) = х для всех х £ X', непрерывно. 295. Пусть /: X -> У — отображение топологического про- странства X в топологическое пространство У и У' zd/(X), У' — подпространство пространства У. Тогда (а) если /: X —> У непрерывно, то и /: X —> У' непрерывно; (б) если /: X У открыто, то и /: X У' открыто; (в) если /: X -> У замкнуто, то и/: X —> Yr замкнуто. 296. Проверьте, что семейство подмножеств разбиения, опре- деленное под названием фактор-топологид (стр. 59), действительна является топологией. 297. Покажите, что фактор-топология на разбиении Z про- странства X — это наибольшая (см. стр. 54) из всех топологий на Z, относительно которых естественное проектирование л: X Z непрерывно. 298. Отображение /: X -> У, где /(X) = У, факторное в том и только в том случае, если для любого F cz У равносильны сле- дующие условия: (a) F замкнуто в У; (б) f~xF замкнуто в X. 299. Пусть /: X —У — непрерывное отображение топологи- ческого пространства X на Тгпространство У и Z ={/"1у: у Е У}. Покажите, что Z — разбиение пространства X, которое, будучи наделено фактор-топологией, уплотняется на пространство У посредством естественного отображения ср: Z У, описываемого формулой: <p(/-1z/) — у. Проверьте, что f — факторное отображе- ние в том и только в том случае, если <р — гомеоморфизм. 300. Пусть /: X У — непрерывное отображение и X' cz X, f = f | X', X' -> У — факторное отображение, причем/'(Х') = = f(X') = У. Тогда и / — факторное отображение/ 301. Пусть на множестве X задано семейство топологий {<Уа: а Е М} а € М} (т. е. в (X, .У) открыты те и только те множества, которые открыты в каждом (X, ,Уа), а Е М). Тогда естественное отображение *) л свободной суммы Х$ пространств из семейства £ ={(Х,.У а): а Е М} на пространство (X, является факторным отображением. *) Если у £ то у £ (гаХ, ^а) для некоторого а Тогда полагаем ОД = ia1#, где ia — стандартное вложение (X, в свободную сумму (см. стр. 58).
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПЕРВЫЙ КРУГ ЗАДАЧ 95» 302. Пусть на плоскости по отношению к некоторой пря- моугольной декартово!! системе координат заданы множества: Л = к): к = 0, 1, 2, . . п = 1, 2, . . В = {(0, к): к — 1, 2, . . С — A U В. Множество С наделяется топологией,, индуцированной из плоскости, и 5 определяется как пространство* ^-тривиального разбиения *) пространства С. Докажите, чти 1) естественное проектирование л: С S замкнуто; 2) 5 неметризуемо; 3) отображение л не открыто. 303. Пусть А к = 0, 1,2,. . п = 1, 2, . . то же множество, что и в задаче 302 гл. II. Через * обозначим неко- торый объект, не принадлежащий Л, и на множестве Ф = A U{*} определим топологии У1иУ2 следующим образом. Все точки мно- жества А будут изолированными как по отношению к так и по отношению к 2. Положим Uj ={*} U { &): ~ 1, 2, . . .; п > /}, j — 1, 2, . . . Семейство {UjZ j = 1, 2, . . . } образует базу топологии .У'4 в точке *. Положим Pk = {(тГ’ ^): п = 1, 2, . . . к — 0, 1,2, ... Множество W cz Ф, W в том и только в том случае принадлежит 2, если Pk\W конеч- но для каждого к = 0, 1, 2, . . . Докажите, что 1) пространство (Ф, JT2) гомеоморфно пространству S, по- строенному в задаче 302 гл. II; 2) 1 2J 3) пространства (Ф, STх), (Ф, J^2) не бикомпактны, но нор- мальны. 304. Пусть /: X -> Y — непрерывное отображение топологи- ческого пространства X в топологическое пространство Y и X' — подпространство пространства X, а /' — сужение отображения f на X', X' -> У. Проверьте, верны ли следующие утверждения: (a) f непрерывно; (б) если X' замкнуто в X и f замкнуто, то и f замкнуто; (в) если X' открыто в X и / открыто, то и f открыто; (г) если / — факторное отображение и X'— открыто-замкнутое в X множество, то и /' — факторное отображение; (д) если f — факторное отображение и fX' = Y, то и f — факторное отображение. 305. Пусть /: X -> У — факторное отображение и F с У, X' = /-iy\ f = / | X', X' У'. Тогда *) То есть единственным нетривиальным элементом которого является замкнутое множество Bcz С.
96 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (а) если У' открыто в У, то /' — факторное отображение; (б) если У' замкнуто в У, то /' — факторное отображение; (в) если У' не открыто и не замкнуто в У, то f может не быть факторным отображением. 306* (а) Верно ли, что произведение (см. стр. 17) любого множества факторных отображений является факторным отобра- жением? (б) Верно ли, что произведение любых двух факторных отображений является факторным отображением? 307. Верно ли, что произведение факторного отображения на тождественное отображение произвольного пространства яв- ляется факторным отображением? 308. Пусть /: X -> У — непрерывное отображение топологи- ческого пространства X на топологическое пространство У. Тогда следующие условия равносильны: (а) для каждого У' cz У сужение f отображения / на полный прообраз X' = f-*Y' множества У' является факторным ото- бражением пространства X' на пространство У'; (б) для каждой точки у С У и каждого открытого в X мно- жества U, содержащего f^y, внутренность Int f(U) образа мно- жества U содержит у (т. е. / исевдооткрыто); (в) каковы бы ни были множество A cz У и точка у £ У такие, что у Е 14], непременно f~xy П [/44] Л. 309. Пусть /: X -> У — непрерывное отображение, которое некоторое подпространство X' пространства X отображает на все У псевдооткрыто. Тогда и f — псевдооткрытое отображение. 310. (а) Верно ли, что произведение любого множества псевдо- открытых отображений является псевдооткрытым отображением? (б) Верно ли, что произведение двух псевдооткрытых отобра- жений является псевдооткрытым отображением? 311. Образ пространства Фреше —- Урысона при непрерывном псевдооткрытом отображении является пространством Фреше — У рысона. 312. Если /: X -> У — факторное отображение и /(X) = У, то t(Y) < t(X). 313. Если /: X Y — непрерывное псевдооткрытое отобра- жение, /(X) == У, Ф cz У и F = /-1Ф, то для любой определяющей системы окрестностей множества F в X семействоf’g ={Int fU: t7 £ g} является определяющей системой окрестностей множества Ф в У. 314. Если /: X У — непрерывное псевдооткрытое отобра- жение, /(X) = У, Ф cz У и F = /~хФ, то характер множества Ф в У не превосходит характера множества F в X. 315. Каждое непрерывное замкнутое отображение является факторным.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПЕРВЫЙ КРУГ ЗАДАЧ 97 316. Каждое непрерывное замкнутое отображение является псевдооткрытым. 317. Каждое ли замкнутое отображение одного пространства на другое открыто? 318. Покажите, что естественное проектирование л простран- ства X на пространство Ф-тривпального *) разбиения X замкнуто для любого замкнутого в X множества Ф. 319. Если /: X —> Y — замкнутое отображение и Yr cz У, X' = f^Y', f = f | X', то и /': X' ->• Y' — замкнутое отобра- жение. 320. Отображение / топологического пространства X в топо- логическое пространство У замкнуто в том и только в том случае, если [/(Л)] cz /([Л]) для каждого Л с X. 321. Докажите, что отображение /: X У, где У = /(X), замкнуто тогда и только тогда, когда для любого открытого в X множества U множество f#U ={у Е У: f~ry cz U} открыто в У. 322. Факторное отображение / Тгпространства X на ^-про- странство У замкнуто тогда и только тогда, когда разбиение а = = У Е Y} непрерывно. 323. Если /: X -> У — замкнутое отображение, Ф cz У, F = = /-1Ф и U — произвольное открытое множество в X, содержа- щее F. то существует открытое в Y множество V, для которого Ф cz V и f^V cz и. 324. Если /: X -> У — непрерывное замкнутое отображение, причем /(X) = УиФсУ, F = /-1Ф и £ — определяющая систе- ма окрестностей множества F в X, г] — определяющая система окрестностей множества Ф в У. Тогда U Е Л} — определяющая система окрестностей F в X и ={Int/F: V Е Е 1} — определяющая система окрестностей множества Ф в У. 325. Отображение /: X У замкнуто в том и только в том случае, если для каждой точки у £ У и каждой окрестности U множества f~*y существует такая окрестность V точки у, что /ЛЮ с= и. 326. Пусть X — пространство, Ф — замкнутое в X множество и 2Ф ~ пространство Ф-тривиального разбиения пространства X, л: X —>• — естественное проектирование, z* == л(Ф) Е 2Ф. Тогда характер пространства 2Ф в точке z* равен характеру множества Ф в пространстве X. 327. Если /: X —У — непрерывное замкнутое отображение, причем /(X) — У, то характер каждой точки у Е Y равен характе- ру множества /Л в X. 328. Отображение /: X -> У хаусдорфова пространства X в хаусдорфово пространство У непрерывно и замкнуто в том и *) То есть разбиения, единственным нетривиальным элементом которого является замкнутое в X множество Ф. А. в. Архангельский, В. II. Пономарев
98 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА только в том случае, если замкнутыми отображениями являются проектирования рх: Г/ X и Г/—>~У, где Г/={(#, /(я)): х £ X} — график отображения, несущий топологию подпростран- ства топологического произведения X X У. 329. Образ нормального пространства прп непрерывном зам- кнутом отображении является нормальным пространством. 330. Проектирование тихоновского произведения на сомно- житель является непрерывным открытым отображением (вообще говоря, не замкнутым). 331. Каждое ли открытое отображение одного пространства на другое замкнуто? 332. Каждое непрерывное открытое отображение является псевдооткрытым и тем более факторным отображением. 333. Проектирование л пространства X на его пространство разбиения Z, наделенное фактор-топологией, тогда и только тогда является открытым отображением, когда для любого открытого множества U пространства X его насыщение U по разбиению Z (т. е. множество J {Р Е Z: Р Q U А}) открыто в X. 334. Для того чтобы отображение /: X -> У было открытым, необходимо и достаточно, чтобы образ при / каждого элемента некоторой базы пространства X был открытым в У множе- ством. 335. Докажите, что отображение /: X -> У открыто тогда и только тогда, когда для любого множества В cz У имеет место включение: f~4B] cz 336. Отображение /: X -> У открыто в том и только в том слу- чае, если /^(FrCB)) = Fr(/^(jB)) для всех В cz У, где Fr (В) = [B]\IntS — граница множества В в У. 337. Если /: X У — открытое отображение и Yr cz У, X' = /-1У', f = f I X', то и X' -> Y' — открытое отобра- жение. 338. Произведение любого множества открытых отображений является открытым отображением. 339. Если /: X У —- непрерывное открытое отображение пространства X па пространство У, то вес У не больше веса X. 340. Если /: X -> У — открытое отображение и X' cz X, LX' П f~Ty] = /-11/ для всех у Е У, то и сужение f | X': X' -> У является открытым отображением. 341. Пусть /: X —> У — непрерывное открытое отображение, У — Тгпространство, /(X) = У, у Е У, х* Е f~*y и X' = = (X\/-1(i/)) U {я*}- Тогда отображение /' = / | X', X' У тоже открыто. 342. Пусть /: X —> У — взаимно однозначное непрерывное отображение пространства X на пространство У. Тогда следующие условия равносильны: (а) / — факторное отображение; (б) / от- крыто; (в) / замкнуто; (г) f — гомеоморфизм.
§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПЕРВЫЙ КРУГ ЗАДАЧ 99 343. Постройте негомеоморфные топологические простран- ства X и У, каждое из которых гомеоморфно подпространству другого. 344. Укажите негомеоморфные топологические пространства X и У, каждое из которых взаимно однозначно и непрерывно отображается на другое. 345. Пусть [У] = X, где X — Ti-пространство и ср: X Z — непрерывное отображение, сужение которого <р | У: У ср(У) является гомеоморфизмом. Тогда ср(Х\У) cz 7\ср(У). 346. Пусть Z — пространство какого-нибудь непрерывного разбиения некоторого пространства X. Через Z1 обозначим под- пространство пространства Z, образованное всеми элементами разбиения, состоящими ровно из одной точки пространства X. Положим X1 = {х £ X: существует z £ Z1, для которого {я} = z}. Тогда X1 как подпространство пространства X гомеоморф- но Z1. 347. Верно ли утверждение, получающееся, если в формули- ровке задачи 346 гл. II опустить требование непрерывности раз- биения? 348*. Пусть X = Xi J Х2, где X — топологическое про- странство, удовлетворяющее Тгаксиоме отделимости, Х2 — его замкнутые непересекающиеся подпространства, Ai — замкну- тое множество, лежащее в А2 — замкнутое множество, лежа- щее в Х2, и / — замкнутое отображение пространства Аг на про- странство А 2. Положим Z = Zi J Z2 U Z3, где Zt —{{я}: х Е € ХАЛЭ, Z2 ={{4: х € Х2\А2} и Z3 = {FX: х б А2}, где Fx = = {#} (J / х(х) для каждого х £ А2. Покажите, что (a) Z — непрерывное разбиение пространства X на замкнутые множества; (б) естественное проектирование л пространства X на про- странство разбиения Z осуществляет гомеоморфизм пространства Х2 на замкнутое подпространство пространства Z. 349. Постройте в классе вполне регулярных пространств факторное двукратное отображение, произведение которого на некоторое тождественное отображение не является факторным. 350. Пусть % — предфильтр на множестве X и /: X У — отображение в хаусдорфово пространство У. Тогда | lim$/ | 1. 351. Приведите пример фильтра £ и вещественной функ- ции /, заданных па множестве R всех вещественных чисел, таких, что / секвенциально непрерывна вдоль |, но не непрерывна вдоль L 352. Пусть | — счетно порожденный предфильтр (см. стр. 20) на X и /: X Y — отображение в хаусдорфово пространство У. Тогда / непрерывно вдоль | в том и только в том случае, если оно секвенциально непрерывно вдоль 7*
100 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА § 5. Тихоновские произведения В общей топологии важную роль играет целый ряд понятий, принадлежащих чистой теории множеств и относящихся к поня- тию произведения множеств. Зафиксируем X = П{Ха: а f 4} — некоторое произведение и х £ X, х" £ X. Положим Н(х', х") = = {а£Л: х'а Ф х"а} и условимся Н(х , х”) именовать различаю- щим множеством (точек х' и х"). Очевидно, Щх', х") = Н(х', х'). Запись: х | В = у | В, где В cz А и х Е X, у Е X, означает, что Щх, у) cz Л\В. Пусть у £ X и В cz Л. Множество {х Е X: Н(х, у) cz В} назовем В-оболочкой точки у. Скажем, что Y cz X не зависит от В cz А, если из у Е У, х Е X и Н(у, х) cz В всегда следует, что х £ Y. Пусть Р cz Z cz X — П{Ха: af Л}, / — отображение Z в некоторое множество У. Скажем, что / не зависит от В cz А на Р, если из х £ Р, z £ Z и Н(х, z) cz В всегда следует, что f(x) = /(и). Если, кроме того, Р = Z ~ X, мы говорим просто, что f не зависит от В. Зафиксируем В cz А и у Е X. Отображение (В, уУ X -> X, называемое в дальнейшем (В, у)чгроектированием, определяется так: если х£Х, z £Х, то z = {В, у)(гс), если za = у а при всех a Е В и za = при всех а (иначе: z — (В, у}(х), если Н(х, z) cz В и Н(у, z) cz Л\Р). Множество Р cz X называется В-выпуклым, если из х Е Р п у Е Р непременно следует, что (5, у)(х) Е Р* Пусть т — карди- нальное число. Говорят, что Р х-выпукло, если Р является В-вы- пуклым для всех В cz А таких, что | В | т. Для нас в этом параграфе будет очень важно также понятие произведения множеств с центром в заданной точке. Излишне говорить, что мы пользуемся всем арсеналом обозначений и терминов, определенных ранее для произведений множеств, и в случае произведений топологических пространств (см. стр. 16, 18, 58). С понятием топологии произведения теснейшим образом связано понятие топологии поточечной сходимости на множестве g (X, У) всех отображений одного топологического простран- ства X в другое У. Действительно, §(Х, У) можно отождествить с Yx — произведением | X | экземпляров пространства У. Это произведение берется с естественной топологией произведения (которая, очевидно, не зависит от топологии, заданной на X). Прямое описание возникающей так топологии на о(Х, У) следующее. Фиксируем произвольно конечное множество К cz X. Для каждого х Е X фиксируем произвольно непустое откры- тое множество Vx cz Y. Множество {/ Е (X, У): /(х) Е Vx для ъсех х Е К} есть произвольный элемент стандартной базы неко- торой топологии на ё (X, У). Эта топология и называется, по понятным причинам, топологией поточечной сходимости. Через Сш (X, У) обозначается подпространство пространства ё (X, У), образованное всеми непрерывными отображениями X в У. Топо-
§ 5. ТИХОНОВСКИЕ ДРОИЗВЕДЕНИЯ 101 логия этого и других подпространств пространства S (X, У) тоже называется топологией поточечной сходимости. В этом параграфе впервые появляются обобщенные канторовы дисконтинуумы, играющие важную роль и в дальнейшем. Так называется тихоновское произведение произвольного множества дискретных пространств, каждое из которых состоит ровно из двух точек. Если число сомножителей равно т, возникающий обобщенный канторов дисконтинуум обозначается через Dx. Кор- ректность этого обозначения ясна. Конечно, если т т', то Dx не гомеоморфно Dx\ Противоположного рода образованием по сравнению с обоб- щенными канторовыми дисконтинуумами являются произведения в большом числе связных двоеточий, называемых также слипшими- ся двоеточиями. Связным двоеточием называется топологическое пространство Ро, состоящее из двух точек (обозначаемых обычно через 0 и 1), открытыми множествами которого являются все £)0, пустое множество и одно из двух одноточечных подмножеств. Мы принимаем, что множество {0} открыто, а множество {1} не является открытым (зато последнее замкнуто). Тихоновское произведение т экземпляров связного двоеточия обозначается через Fx. 353. Приведите пример бесконечного пространства, которое нельзя представить в виде произведения пространств, каждое из которых отлично от него. 354. Пусть X = П{Ха: а Е А} — тихоновское произведение топологических пространств и V — произвольное стандартное открытое множество (см. стр. 58), k(U) — {«ь . . as} с: Л, Ua = = ла(17), а Е А. Тогда U = i = 1, . . ., 5}. 355. Пусть X — П{Ха: а Е М} “ тихоновское произведение, М = U{W Р 6 L}, где П = А при р' =/= р", Ур = = П{Ха: а Е Afp} — тихоновское произведение 11Z3 — некоторое подпространство пространства Ур для каждого Р Е L. Тогда суще- ствует естественный гомеоморфизм тихоновского произведения Z = n{Z₽: р Е L} .на подпространство пространства X, совпа- дающее с X, если для каждого Р Е имеет место Zp = Ур. 356. В произведении Ti-пространств для любого сомножителя существует замкнутое подпространство, ему гомеоморфное. 357. Пусть {Ха: а Е М} — семейство топологических про- странств и, для каждого а Е М. Уа — всюду плотное подпростран- ство пространства Ха. Тогда тихоновское произведение У = = П{Уа: а Е М} всюду плотно в тихоновском произведении X = П{Ха: а 6 М}. 358. Произведение счетного множества сепарабельных про- странств сепарабельно. 359. Произведение счетного множества пространств со счетной сетью имеет счетную сеть.
102 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 360. Вес тихоновского произведения топологических про- странств не меньше веса каждого из сомножителей. 361. Пусть X — П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение и Ya — замкнутое подпространство пространства Ха для каждого а Е М. Тогда тихоновское произведение Y = П{Уа: а Е М} яв- ляется замкнутым подпространством пространства X. 362. Пусть, для каждого аЕА, Ха— топологическое про- странство, Уа — его подпространство и — семейство множеств типа 6,5 в Ха такое, что U{^: U Е уа} = Ха\Уа. Пусть, далее, U = U X П{Ха': а' ЕЛ\{а}} Для каждого U Е ?а и уа = = {U' С/6 уа}> У - Uba: а 6 л}, У = П{Уа: а Е А} и X = ~ П{Хга: а Е А} (X и У —- тихоновские произведения). Тогда 1) для каждого а Е А и каждого £7 Е Та, U — множество типа в X; 2) Х\У = U{^: НЕУ}- 363. Пусть X = П{Ха: а Е М} — произведение топологи- ческих пространств Ха по а Е М> Проверьте, что топология про- изведения — наименьшая из всех топологий на X, относительно которых каждое проектирование ла: X -> Ха непрерывно. 364. 1. Докажите, что связное двоеточие является связным То-пространством. Рассмотрим семейство {Da< а ЕЛ}, ]А | = т, пространств Z)a, каждое из которых есть связное двоеточие, и их тихоновское произведение П{£)а: a Е А} — FT. 2. Докажите, что Т0-пространство X имеет w(X) т тогда п только тогда, когда оно гомеоморфно некоторому подпро- странству в Fx. 365. Для любого топологического пространства X и непустого множества А пространство X гомеоморфно диагонали Д ={z Е ХА- rca(z) = х для всех а Е Л}, рассматриваемой как подпространство тихоновской степени ХА. 366. В "любой степени ХА хаусдорфова пространства X ее диагональ А является замкнутым множеством. 367. Если X — хаусдорфово пространство и % — семейство его подпространств, то У = f| {Uz U Е $ } — с топологией, инду- цированной из X,— гомеоморфно замкнутому подпространству тихоновского произведения Z = П{£7: U Е $ }• 368. Пространство X является Ti-пространством в том и только в том случае, если диагональ Д в тихоновском произве- дении X X X является пересечением некоторого семейства откры- тых множеств. 369. Пусть X2 = X X X — произведение множества X на себя и Д —{(я, у) Е X X X: х = у} (т. е. Д — диагональ). Пусть и JT' — две хаусдорфовы топологии на X. Тогда
§ 5. ТИХОНОВСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 103 (а) А замкнуто в топологическом произведении (X, г/ ) X X (X, уу, (б) если 5“ =/= j , то может оказаться, что А не замкнуто в топологическом произведении (X, JT) х (X, JF') (приведите пример). 370. Пусть на множестве X заданы две топологии и J2. Покажите, что диагональ А = {(я, х}\ х Е X} замкнута в про- странстве (X, X (X, JT2) в том и только в том случае, если выполняется условие: (а) для любых Xi, х2 Е X, хх Ф х2, существуют Oxi £ J 1, Oxi Э и Е <^2, Ох2 Э х2 такие, что Ох± П Ох2 ~ Л. 371. X — хаусдорфово пространство в том и только в том случае, если диагональ А квадрата X X X замкнута в X X X. 372. Если X — финально компактное Ti-пространство и диа- гональ А обладает счетной определяющей системой окрестностей в произведении X X X, то X — пространство со счетной базой. 373. Пусть X — П{Ха: а £ А} — топологическое произведе- ние. Докажите, что если Ха для каждого а Е Л удовлетворяет аксиоме отделимости То, Ть Хаусдорфа или регулярно, то той же аксиоме отделимости удовлетворяет и X. 374. Пространство Dx = П{Ха: а £ 71/}, где Ха ={0, 1} для каждого а Е М и | М | = т, содержит дискретное подпространство мощности т. 375. Пространство Dx имеет мощность 2Т и вес т (здесь т > *о). 376. Докажите, что топологическое произведение X = П{2)а: а Е Л}, где | А | = т х0 и каждое Da — конечное дискретное пространство, состоящее более чем из одно!! точки, гомеоморфно обобщенному канторову дисконтинууму Dx. 377. Пусть т — кардинальное число, т х0, и А — мно- жество мощности 2х. Тогда на А существует хаусдорфова тополо- гия веса т. 378. Пространство Dx взаимно однозначно и непрерывно отображается на пространство Fx. 379. Если | М | = т к0 и Ха —неодноточечное простран- ство веса, не большего т для каждого а Е 71/, то вес тихоновского произведения X = П{Ха: а Е 71/} равен т. 380. Пусть X = П{Ха: а £ А} — тихоновское произведение, где Ха — Y для каждого а Е А, Y — дискретное пространство мощности т х0 и | А | = 2х. Тогда в X есть всюду плотное множество мощности т. 381. Пусть т х0 и X = П{Ха: а Е 71/} — тихоновское произведение, причем плотность Ха не больше т для каждого а Е 71/ и | М [ <1 2х. Тогда в X есть всюду плотное множество мощности, не превосходящей т.
104 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 382. Пусть X = П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение, причем в каждом Ха есть счетное всюду плотное множестве, Пусть, далее, Y — хгоболочка некоторой точки х* Е X (см. стр. 18). Тогда, каковы бы ни были кардинальное число т хо и множество А cz У, для которого | А | 2Т, существует мно" жество A cz X такое, что | А | т и [Л] zd А. 383. Если X = П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение и в каждом Ха есть счетное всюду плотное множество, то мощность произвольного семейства попарно не пересекающихся непустых открытых в X множеств не превосходит х0 (т. е. с(Х) х0). 384. Если X = П{Ха: а £ М} — тихоновское произведение и U — элемент стандартной базы пространства X, то U не зави- сит от А — М\С, где С — некоторое конечное множество. 385. Пусть X = П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение, Ха сепарабельно для каждого а Е М и А = [L7], где U — откры- тое в X множество. Тогда существует такое счетное множество С cz М, что А не зависит от L = М\С. 386. Пусть X — П{Ха: a Е М} — тихоновское произведение и / — непрерывное отображение пространства X в регулярное пространство У. Докажите, что если каждое Ха сепарабельно и У — регуляр- ное пространство со счетной базой, то существует такое счетное множество С cz М, что / не зависит от L — М\С. 387. Пусть X = П{Ха: а £ А} — тихоновское произведение, Р cz X, В cz А. Положим, для всех х Е X, (Б, у}(х) = z, гдеяа = уа при всех а Е В и za = ха при всех а Е А \В. Отображение <Б, у): X X называется, по понятным причинам, (В^^проектированием. Докажите, что (а) (Б, х) — непрерывное отображение, при этом если у' £ X и у№ £ X, то уа = у а для всех а Е Л\Б, что эквивалентно равенству (Б, х}(уг) = <Б, х}{у") для любого х Е X; (б) если (В, х}(у') = (В, х^у”), то {В, х')(у') = {В, х’} (у") для любого х' Е X; (в) для любых х Е X, у Е X (В, у){В, х) = (Б, у}\ (г) если у' Е 1Б] и Р' = (Б, у')(Р), то у' £ [Б']; (д) если у' Е [Б] и у" Е X, упа = у'а при всех а Е Л\Б, то у” Е [Б"], где Р" = (В. у"^Р). 388. Пусть X = П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение, Z cz X — его подпространство, /: Z У — непрерывное отобра- жение в хаусдорфово пространство Y, В cz Z, L z MvZ является Б-выпуклым. Докажите, что если / не зависит на Б от Б, то / не зависит от L на [Б]. 389. Пусть У — хаусдорфово пространство. Пусть X = — П{Ха: а Е М} — тихоновское произведение сепарабельных пространств Ха, Z cz X — его подпространство и /: Z—> У —
§ 5. ТИХОНОВСКИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 105 непрерывное отображение. Тогда для каждой точки х Е Z существу- ет множество Ах cz Z и множество Сх cz М такие, что (а) /(Лх) = = f(x); (б) Ах не зависит от множества Lx — М\СХ; (в) | Сх | | где — произвольно фиксированное семейство открытых в Y множеств, для которого {f(x)} = Q{F: V Е еР}. 390. Пусть X = П{Ха: а Е М} — тихоновское произведе- ние, где каждое Ха, а f М,- пространство со счетной сетью (стр. 53), Z с X — х0-выпуклое подпространство пространства X, / — непрерывное отображение пространства Z на хаусдорфово пространство У, В cz Y и каждая точка у £ В является множе- ством типа G& в У (т. е. ф (у, У)<^0)- Какова бы ни была тогда точка z* £ Z, найдется тогда счетное множество С cz М, для которого образ при / некоторого счетного подмножества С-оболочки точки z* в Z (см. стр. 100) содержится и всюду плотен в В. 391. Пусть X == П{Ха: а Е М} — произведение компактов Ха (т. е. метризуемых бикомпактов или, что то же самое, би- компактов со счетной базой — см. 257 гл. III) и либо X' —- произведение пространств Ха с центром в некоторой точке х* 6 X, либо X' = X. Пусть задано непрерывное отображение /: X' У и мно- жество У' cz У, где У — хаусдорфово пространство, /(X') = У и характер пространства У в каждой точке у £ Y' не превосхо- дит к0. Тогда [У'] — компакт. 392. Тихоновское произведение несчетного множества пря- мых не нормально. 393. Пусть Ха, а ЕЛ,— семейство метризуемых полной метрикой пространств и X = П{Ха: а Е Л} — их топологическое произведение. Докажите, что хроболочка любой точки х Е X в X является нормальным пространством. 394. Пусть Ха, а Е Л,— несчетное семейство сепарабельных метризуемых пространств и X = П{Ха: а Е Л} — их топологи- ческое произведение. Можно ли утверждать, что хгоболочка произвольной точки х Е X в X — нормальное пространство? 395. Пусть т — кардинальное число, т х0, {Х^ t Е Т} — семейство топологических пространств, c(Xt) т для каждого t Е Т. Тогда с(Х) С 2\ где X = ЩХ^ t Е Т}. 396. Пусть X — Т г пространство, У — множество всех не- изолированных точек пространства X и Л = Х\У. Через фх обозначим какое-нибудь минимально вполне упорядоченное мно- жество мощности ф(х, X) для х Е Y. Далее множества Л и фх, гДе х Е У, наделим дискретной топологией. Докажите, что Л гомеоморфно замкнутому множеству в X* ~ - X х П{фх: х Е У}.
106 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 397. Пусть СДО, 1] — множество всех непрерывных отобра- жений обычного отрезка I = [0, 1] в себя, наделенное топологией поточечной сходимости (см. стр. 100). Покажите, что (а) СДО, 1] не удовлетворяет первой аксиоме счетности; (б) СДО, 1] гомео- морфно подпространству тихоновского произведения 2К° экземпля- ров отрезка [0, 1]; (в) каждая точка СДО, 1] является множеством типа G&. 398. Пусть X и Y — пространства со счетной базой, причем Y регулярно. Покажите, что тогда пространство СДХ, У) всех непрерывных отображений X в У, наделенное топологией поточеч- ной сходимости *), наследственно сепарабельно, наследственно финально компактно и регулярно. РЕШЕНИЯ 1. Назовем множество U cz X открытым, если C(X\U) = X\U. Семейство всех определенных таким образом открытых множеств обозначим через S'. Покажите сами, что S' — искомая топология на X. 2. Утверждения (а) — (ж) доказываются совсем просто. Для примера, докажем (д). Любое открытое в X множество U содержит все точки множества X, за исключением, быть может, конечного числа. Значит, U содержит и все точки множества Л, кроме, быть может, конечного числа их. Так как А бесконечно, можно заключить, что U содержит бесконечно много точек из А. Сказанное относится, в частности, к любой окрестности точки х. 3. (а) Так как из А £ g и X zd В А следует, что 2? £ g, объединение любого множества элементов семейства S\ является элементом этого семей- ства. Если U С п V С S~t и хотя бы одно из множеств U, V пусто, то U Г) V = А £ S\. Если С #= А и V =# А, то С £ g и У £ g, и так как i — фильтр (см. стр. 20), то U П V С g» откуда U Q V £ S^. Значит, пересече- ние любого конечного множества элементов семейства S\ принадлежит S'%. Но А 4 g, а из того, что g — фильтр, следует, что X £ g. Значит, X £ Мы доказали, что S\ — топология на X. (б) Пусть х С X. Из X = (Х\{х}) (J {х} и X С g следует, так как g — ультрафильтр (см. задачу 128 гл. I), что либо Х\{х} С g, либо {х} £ g. Но соотношение {х} £ g невозможно, ибо ультрафильтр g свободен (в про- тивном случае было бы я £ А для любого А £ g, откуда следовало бы, что g = {A cz X: А Э я})- Значит, X\{z} £ g, и тем более Х\{я} £ S'%. Сле- довательно, множество {#} = Х\(Х\{я}) замкнуто в (X, S'%). (в) S'k с: S\ в силу задачи 2 гл. II. (г) Пусть х* — изолированная точка пространства (X, S'Тогда {х*} £ г/g, и так как {я*} #= А, то {х*} £ g. Но тогда g — сингулярный ультрафильтр (как мы видели в (б)). Это противоречие означает, что в про- странстве (X, S'i) нет изолированных точек. (д) Если и £ g и у £ X\U, то U (J {у} € g (так как g — фильтр) и, значит, U (J {у} — открытое в (X, S'%) множество. Но (U (J {у}) Г) П(Х\С7) — {у}. а это означает, что множество {у} открыто в подпростран- стве X\Z7 пространства (X, S\), т. е. что у — изолированная точка этого подпространства. *) То же заключение и аналогичное доказательство относится и к би- компактно открытой топологии на С [0, 1], которой мы в этой книге не рас- сматриваем (см. Майкл [3], [4], Архангельский [1]).
РЕШЕНИЯ 107 (е) Пусть U g Тогда U #= Л и U (f £. Так как | — ультра- фильтр, то U П V = Л для некоторого V С Выберем у £ U. Тогда V (J {у} о zd V, и потому V □ {у} С Но |cz сУ. Значит, V U {у} g Тогда и {у} = U П (Iz U {у}) С т- е- У — изолированная в пространстве (X, г/ ) точка. 4. Пусть т] — семейство всех окрестностей точки х в X. Тогда = = £ (J г| — предфильтр на X и х — точка прикосновения для (очевидно). Более того, так как zd тр то сходится к х. Примем за £ любой ультра- фильтр на X, содержащий (такой ультрафильтр существует — см. 125, 127, 128 гл. I). Так как сходится к х и £ §*, то £ тоже сходится к х. 6. Очевидно, сТ' является топологией, а «У'", вообще говоря, не являет- ся топологией. 10. Рассмотрим любое множество, содержащее более одного элемен- та. Наделим его антидискретной топологией. Получившееся пространство искомое. 11. Пусть N — множество всех целых чисел, Лг^ = {n g Лг: п А) для каждого к g X. Семейство FT — {A} (J {Л} J {N^: к g 2V} является топологией на N. Пространство (7V, FT) искомое. Действительно, пусть тп g Ат, п g N и т п. Предположим для определенности, что т < п. Тогда если U 6 & и U Э т, то U zd Nm } и, и потому т g [?г] (значит, {п} не зам- кнуто в (X, Но Nn — окрестность точки п, не содержащая т. Следо- вательно, (7V, — Т0-пространство. 13. (а) Пусть о — база, а точка х g X и ее окрестность Ох произ- вольны. Найдется подсистема o' cz о, для которой Ох = (J {U: U g g о7}. Возьмем какое-нибудь £7 g о', для которого х 6 U. Тогда х £ U cz Ох п U С ст. (б) Пусть II cz X — произвольное открытое множество. Для каж- дой точки х g Н зафиксируем какое-нибудь Ux g о, для которого х g Ux cz cz Н. Тогда II = U {Ux: х g II}. Значит, о — база пространства X. 16. Очевидно, множество U открыто в том и только в том случае, если вместе с каждой точкой х £ U в U содержится вся прямая, проходящая через х параллельно I. 17. Очевидно, это — дискретная топология. 18. Для решения задачи надо воспользоваться определением тополо- гического пространства и формулами де Моргана (см. 3 гл. I). 20. (а) Пусть [F] = F. Тогда Х\^ = X\[2^] и для каждой точки х g X\F можно зафиксировать окрестность Ux такую, что Ux П F = Л, т. е. Ux cz X\F. Тогда X\F = (J {Ux: x g XX^} и множество X\F открыто, как объединение открытых множеств, а множество F — X\(X\F) замкнуто. (б) Пусть F — замкнутое множество. Тогда X\F открыто и для про- извольной точки х, не принадлежащей множеству F, множество X\F мож- но рассматривать как окрестность этой точки, не пересекающуюся с F. Значит, из х g [F] следует, что х g F, и потому [F] = F. 22. (а) Следует из определения точек прикосновения множества А (всякая точка х g А является точкой прикосновения множества А). (б) Следует непосредственно из определения точек прикосновения множеств. (в) Включение [A J (J [42] cz [4± U А2] следует из очевидных вклю- чений 41 о: At J 42, 42 с: 4i (J 42 и свойства (б). Пусть х g [4i (J 42]. Предположим, что х $ [4J |J [42]. Это означает, найдется окрестность Ux точки х, яля. которой Ux [\ Ai ~ AwUx 42 = 5=5 А. Следовательно, Ux Q (4i (J 42) — Л, т. е. х $ [4± J 42]. Получили противоречие. (г) Включение [4] cz [[4]] следует из (а) и (б). Пусть х g [[4]]. Тогда сякая окрестность Ux точки х имеет непустое пересечение с множеством [4].
108 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Рассмотрим х' £ Ux R [Л]. Множество Ux является также окрестностью точки х', поэтому Ux R А Ф Л. Следовательно, х С [Л ] и равенство (г) доказано. 24. См. 13 гл. II и определение точки прикосновения множества. 25. Предположим противное — что нашлась точка г* £ X, предельная для множества Л. Положим Л* = Л\{я*}. Тогда х* является предельной точкой и для множества Л*. Тем более, х* £ [Л*]. Но х* Л*. Значит, Л* не замкнуто, что противоречит условию. 26. Действительно, если Л cz В и В замкнуто в X, то [В] = В, [Л] cz cz [В] = В. [Л] — замкнутое множество и Л cz [Л] (20, 22 тл. II). Значит, [Л] — наименьшее замкнутое в X множество, содержащее Л. 27. Это следует из задачи 26 гл. II. 32. Нет, не вытекает. В качестве X возьмем вещественную прямую с обычной топологией, за Л примем множество всех целых (положительных и отрицательных) чисел. Рассмотрим предбазу & обычной топологии прямой, образованную всеми множествами вида {х: а < х} п {х: х < &}, где а, b — любые элементы прямой. Тогда для Л, и X выполняются все условия, приведенные в формулировке задачи, но [Л] = Л #= X. 33. Действительно, U\F = U R (X\F) и F\U = F R (X\tf). 35. Очевидно, из 1) вытекает 2) (здесь не важно, что X — ^-простран- ство). Если 1) не выполняется, зафиксируем окрестность Ох точки х так, чтобы было | Ox R Л | < No- Положим Л' = Л\{я} и Р — Ox R Л' и для каждой точки у С Р зафиксируем окрестность Оух точки х в X, не содер- жащую у. Положим V(x) = R {ОуХ*. у € Р} П ®х- Множество V(x) содержит х и, как пересечение конечного семейства открытых множеств, открыто. Имеем У(^) R Л' = (Ox R Л') R (R (Оух R Л': у g Р}) cz Р R (Х\Р) = А. Значит, и условие 2) не выполняется. Этим доказано, что 1) и 2) равно- сильны. 36. (а) =Ф (в). Зафиксируем для каждой точки х £ А окрестность Ох такую, как в (а). Положим G = J {^‘ х С Л}, F = [Л] и покажем, что Л — G R Р- Очевидно, Л cz G RF. Пусть у С G R F. Зафиксируем х* g Л, для которого у £ Ох*. Так как Ох* — открытое множество, то из у £ F = [Л] следует, что у g [Л R Ох*]. Но [Л R Ox*} R Ох* = Л R ®х* в силу выбора Ох*. Значит, у g Л R Ox* cz А. (в) (а). Пусть Л = Ф Q U, где Ф замкнуто в X, a U открыто в X. Тогда А замкнуто в U в силу определения топологии подпространства. Значит, Ох — U удовлетворяет (а) для всех х g Л. (б) (в). Положим U — Х\([Л]\Л). В силу (б) множество U откры- то. Очевидно, U R [Л] = Л. (в) =Ф (б). Пусть Л = Ф R U, где Ф замкнуто в X, a U открыто в X. Множество Л открыто в Ф. Поэтому [Л]ф\Л = [Л ]ф R (Ф\Л) — замкну- тое в Ф множество. Но [Л]ф = [Л], ибо Ф замкнуто в X. Итак, [Л]\Л зам- кнуто. 38. Дважды воспользуйтесь утверждением задачи 37 гл. II. 39. Это следует из задачи 38 гл. II. 40. Пусть X — любое бесконечное множество. Подмножество множе- ства X назовем открытым, если его дополнение до X конечно. Докажите, что тем самым определена топология на X и что X вместе с этой тополо- гией — искомое топологическое пространство (см. 2 гл. II). 41. В Ti-пространствах и только в них — докажите это сами. 42. Ответ — да. Пусть Уг, где i = 1, 2, . . ., п....— дискретные топологические пространства, равномощные X, в каждом из которых отме- чено по точке у* g Yt. Рассмотрим подмножество У? топологического произ- оо ведения У — [] У*, образованное точками, все координаты которых с но-
РЕШЕНИЯ 109 мерой, большим /, совпадают с соответствующими у?, и положим У* = = Q Y^. Тогда | У* | = | У, X ... X Yj | = | X |, и потому | У* | = = | X |. Кроме того, нетрудно убедиться в том, что У*, как подпространство оо пространства У = || У^, не имеет изолированных точек. Остается как-нибудь i^=l установить взаимно однозначное отображение множества У* на множество X и объявить открытыми в X образы открытых множеств при этом отобра- жении. Полученная топология искомая. 44. Семейство {Оу: у С М} очевидным образом строится по индукции — в соответствии с некоторой нумерацией множества М. 45. Предложение доказывается переходом к дополнению. 47. Очевидно, утверждение 1) равносильно утверждению 2), а утвер- ждение 3) равносильно утверждению 4). Если V открыто в У и И Q X = &, то [Х\б?]у П V = Л. Поэтому из 1) следует, что G cz У\[Х\б?]г. Но (У\[Х\6]у) р X = G, поэтому из 1) следует, что У\[Х\6]у cz G. Зна- чит, утверждения 1) и 3) равносильны. 48. Положим Wi = Int[P], W2 — и W = Wi p W2. Множество P всюду плотно в Wf. Так как W открыто, то Р р W всюду плотно в W2. Ана- логично, множество Q всюду плотно в W2 и потому Q р W всюду плотно в W. Но Р П W еще и открыто. Поэтому Р р W р Q р W = Р О Q р W — всюду плотное в W множество и [Р р (?] zd W = Int[P] р Но тогда и Int[P р (?] zd Int[P] р Int[<?] (см. задачу 37 гл. II). С другой стороны, из [Р р (?] cz: [Р] следует, что Int[P р (?] cz Int[P], и из [Р р <?] cz [()] следует, что Int[P р (>] cz Int[(?]. Значит, Int[P р (?] cz Int[P] р Int[(?]. Обратное включение уже доказано. Значит, Int[P р (?] = Int[P] р Int[(?]. 49. Если Г — непустое открытое в X множество и V р F Л, то У' = У р U — тоже непустое открытое в X множество, У' cz V и V' р Р F - А. 50. Рассмотрим произвольное непустое открытое в X множество О. Найдется непустое открытое множество О’ cz О, для которого О' Р А - Л. Тогда никакая точка х £ О не является точкой прикосновения множества А. следовательно, О' р [А] = Л. Значит, [А] — нигде не плотное множество. 51. (а) Пусть замкнутое множество F cz X нигде не плотно. Тогда для любого непустого открытого в X множества О существует непустое открытое множество О' cz: О такое, что О' р F = Л и О р (X\F) zd О' Л. Значит, X\F всюду плотно в X. (б) Пусть X\F всюду плотно в X и F замкнуто в X, Тогда для любого открытого в X множества О непременно О' = О р (X\F) #= Л и открыто в X. Имеем: О' cz О и О' р F = Л. Следовательно, F нигде не плотно. (в) Множество рациональных чисел и его дополнение в пространстве вещественных чисел — множество иррациональных чисел — оба всюду плот- ны в пространстве вещественных чисел (в последнем берется обычная топо- логия). 54. Имеем | Q2 | — и j zd . Так как JT — хаусдорфова тополо- гия, d — тоже хаусдорфова топология. Если бы точка х была изолирован- ий bJ?2, гГ), то, для некоторой окрестности Ох этой точки в пространстве (у > гГ), множество было бы нигде не плотно в (^2, ,7), что невоз- можно, ибо открытое множество может быть нигде не плотным, только если оно пусто (52 гл. II). Если бы в (Q2, нашлась нетривиальная сходящаяся последовательность (к точке ж* £ <?2)» то эта последовательность сходилась оы к этой точке и в (Q2, FT}, Но, очевидно, множество точек каждой сходя-
но ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА щеёся последовательности в (Q2, у) нигде не плотно в (<?2, г/). Тогда U — = Q2\A, где А — множество точек рассматриваемой последовательности, было бы окрестностью точки х* в пространстве (<?2, сГ), не содержащей точек множества А; получили противоречие. 57. (а) Достаточно показать, что объединение Aj U А2 двух канонп ческих замкнутых множеств At и А2 пространства X есть множество кано- ническое замкнутое. Из определения следует, что Ai = [Int A J, А2— = [Int Л2]. Тогда At U А2 = [Int Aj U [Int A2] = [Int Ai U Int A2], t. e. At U A2 есть замыкание открытого в X множества Int А4 (J Int А2, Таким образом, множество Ai U А2 каноническое замкнутое. (б) Нет, не всегда. Легко придумать два канонических замкнутых мно- жества, пересечение которых есть замкнутое нигде не плотное,—значит, не каноническое множество. На прямой линии или на плоскости можно при- думать два канонических замкнутых множества, пересечение которых состоит ровно из одной точки. (в) Верно, по определению канонического замкнутого множества. 63. X дискретно: если х Е X, то [Х\{я}] =/= X, и следовательно, х — изолированная точка. 64. Обозначим через X и X’ рассматриваемые пространство и его под- пространство соответственно. Если X zd U Д и U открыто в X, то U Q X' бесконечно. Действительно, если Р = U П X' — конечное множество, то оно замкнуто в X, ибо X — Tj-пространство, и потому множество U\P открыто. Но (J7\P) П — А. Из [X'] — X следует теперь, что [7\Р = А, т. е. что U = Р. Значит, U — непустое конечное множество. Выбрав х* g С7, мы заключаем, что Z7\{x*} — конечное и, следовательно, замкнутое в X множество. Поэтому {я*} = {7\({7\{я*}) — открытое множество, т. е. х* — изолированная точка пространства X. Получили противоречие. 65. (а) Положим У* - {V П 5: V£ 3}. Так как П #) П (^2 П П В = (У4 П У2) Q В, то пересечение любого конечного множества элемен- тов из 3* является элементом 3*. Из соотношения: U {Уа П а £ М} — = В р (J {Va: а Е М}) следует, что объединение любого множества эле- ментов из 3* является элементом «У*. Кроме того, если G Е 3* и. U £ 3. то U U G С 3*. Отсюда легко следует, что {U U G: U £ 3, G £ 3*} — тополо- гия на X и что последняя и есть 3. (б) Пусть U С 3 и U о А = Х\В. В силу (а) существуют W Е 3. V Е 3, для которых U ~ (У Q В) J W. Но V П В П А = П В П (Х\В)= = Л. Значит, W zd А, W — искомая окрестность. 66. Пусть Q — множество всех рациональных чисел, 3 — обычная топология на Q, порожденная естественной метрикой, и 3 — В-усиленпе топологии 3, где В — Q\A и А — п Е . Тогда А замкнуто в (Q* 3), но каждая окрестность множества А в «?, 3) содержит некоторую окрестность А в ((?, 3). Множества вида <9е(0) Q В, где е > 0, образуют базу точки 0 в (Q, 3). Очевидно, каждый элемент этой базы пересекается с каждой окрестностью множества А в пространстве (Q, 3) и, следователь- но, с каждой окрестностью А в «?, 3) (см. также 54 гл. II). 68. Предположим противное. Пусть точка х* Е X изолированная в (X, 3*). Тогда существует конечное семейство топологий 3ь . . ., 3k Е и их элементов U± Е 3ь . . ., Z7& Е 3для которых П {С7г-: i = 1, . . . . . ., к} — {ж*} (в силу определения базы объединения топологий — см. стр. 62)^ Но % — гнездо, поэтому существует i0 С {К . . к}, для которого 3-г о при всех i Е {1, . . А;}. Тогда Ui, . . ., Е 3~ifi и {я*} = — П {Uf. 1=1, . . ., к} — открытое в (X, 3i()) множество, т. е. х* — изолированная точка пространства (X, 3^). Это приводит к противоречию-
РЕШЕНИЯ 111 69. Пусть х и 0*х — произвольные точка и ее окрестность в про- странстве (X, У *). Из определения базы топологии г/ * следует, что существуют Uf Е Е %, . . k € Для которых х Е П i == = 1. . . ., к} cz~O*x. Выберем, воспользовавшись регулярностью про- странств (X, d j), i = 1, . . ., к, множества F^ G <7$, для которых х Е £ Fzcz [Fj~.cz иг. Положим V — Л {F^: i= 1, • • £}. Тогда [Fly* cz cz [Г]у. cz [Fjy. cz иь для каждого ? E {!» • • •» &}• ибо zz> j t при i = 1, . . ., к (см. 46 гл. II). Значит, х Е V cz [F]y* cz Q {C7f: i = 1, . . . . . ., k} = U cz O*x, т. e. окрестность V точки x искомая. 70. Естественный гомеоморфизм определяется так: произвольной точке х Е X ставится в соответствие нить произведения П {(X, .7): j Е ^}, все координаты которой равны х. Ясно, что это отображение взаимно одно- значно. То, что оно гомеоморфизм, выводится непосредственно из определе- ний объединения топологий и топологии произведения. 71. Рассмотрим семейство % всех хаусдорфовых топологий 7' на X таких, что 3"’ zz> j и (X, 7') не имеет изолированных точек. Ясно, что % Ф Л, ибо <7 Е В % есть максимальное (в гнездо вследствие прин- ципа максимального элемента (см. стр. 18). Некоторое такое гнездо обозна- чим через ^*. Тогда объединение г/* топологий, принадлежащих Ж*,— хаусдорфова топология на X (см. 5 гл. II) и в (X, 7*) нет изолированных точек (см. 68 гл. II). Из максимальности гнезда следует, что г/ * удовле- творяет и условию (в). 72. Топологии, построенные в задачах 54 и 66 гл. II, играют роль искомой нерегулярной топологии по отношению к обычной (евклидовой) топологии рассматриваемых в этих задачах множеств. Последняя регулярна. 73. Эта задача решается аналогично задаче 71 гл. II, со ссылкой на задачи 69, 68 гл. II. 74. Предположим противное. Положим Xg = X\Xb <7, = {U П Хр U Е 7}, 72 = {U П Х2: U Е З'}. Пусть 7' — топология на X, базой которой служит семейство = 7f (J U «72. Тогда z? Уи j' ибо Х4 Е 7', но Xf Е <7, так как в про- тивном случае множество Х2 не было бы всюду плотно в (X, 7). Но (Х4, <7 J и (Х2, 72) — пространства без изолированных точек (см. задачу 64). Так как (Xf, 7f) и (Х2, З'ъ) — подпространства пространства (X, 7') и X — = Xf (J Х2, то мы заключаем, что в (X, 7') нет изолированных точек. Получили противоречие с максимальностью топологии <7 , ибо топология 7' хаусдорфова (соответственно регулярная), если топология 7 хаусдорфова (соответственно регулярная) —см. сноски на стр. 69 и 70. 75. Пусть X вписано в у и | % | т. Выберем для каждого U Е X ровно один элемент семейства у, его содержащий, и обозначим последний через Ф(£/). Тогда и — {ф(£7): U Е X} — подпокрытие покрытия у и | р | < < I % | < т. 78. Напомним, что, по определению базы в точке, каждый элемент базы должен содержать эту точку. Если х Ф у и у — база в х, то Х\{у} — окрестность точки у. Поэтому найдется U Е У» для которого х Е U cz Х\{у}. Но тогда U $ у и, следовательно, у не является базой в у. 79. Так как х — неизолированная точка, то у не является базой X в х. Значит, существует такая окрестность Ох точки х в X, что в у нет элемента, оодержащего х и лежащего в Ох. Тогда = {U Е # Е U gzz Ox} cz с «^\у, при этом 31* — база X в х. Тем более, «$\у — база X в х. 80. Это следует из задач 78, 79 гл. II. 83. Из (б) всегда следует (а). Однако из (а), вообще говоря, не следует (б) (54, 66, 84 гл. II).
112 ГЛ. IL ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 84. Пусть ф = {Х^: i £ N+} — семейство попарно не пересекающихся счетных множеств. Положим X — (J {Xf: i £ N+} и X* = X (J {я*}, где х* — некоторый объект, не входящий ни в один элемент семейства ф. Точки множества X объявим изолированными, а произвольную окрестность точки х* определим как множество вида {**} L (U {(Wi)- 1 С Лг+}), где {Л- i е — произвольная последовательность конечных множеств, А[ с Хр Так опре- деленное топологическое пространство X* в точке х* не удовлетворяет первой аксиоме счетности. Предположим противное. Пусть В — {Uf i Е Х+} — база в х*, где /Е^}), i£N+. Определим А} как какое-нибудь конечное подмножество множества Хг-, строго содержащее А). Тогда и={х*} U (U {Xj\Ab ;ev+}) — окрестность точки х*, не содержащая ни одного Uf Ut\U А j\A I ф A, i£ А+. Покажите, что построенное пространство нормально. Другое решение. Пусть 39 — множество рациональных чисел прямой с обычной топологией и N — множество всех целых чисел. Рассмотрим разбиение Z пространства единственным неодноточечным элементом кото- рого является множество N. Докажите, что пространство этого разбиения (см. стр. 59) не удовлетворяет в точке {А} первой аксиоме счетности и нор- мально. См. также задачу 54 гл. II. 85. Пусть у — дизъюнктная система открытых в X множеств, а А = {af i Е Аг+} — счетное всюду плотное множество в X. Выберем для каждого U С Y точку a(U) t U 0 А. Тем самым множество у взаимно одно- значно отображено в счетное множество Л, откуда и следует, что | у | Ко- 86. Пусть А — всюду плотное подмножество топологического про- странства X, топология которого порождена порядком <. Тогда семейство {(«!, а2): ai, «2 6 Л}, где а2> = {% € <0^2}, является счетной базой топологии X. 87. Нет, не верно. Рассмотрим несчетное множество Л, в котором все точки, кроме одной (которую мы обозначим через *), изолированные, а среди множеств, содержащих точку *, открыты те, дополнение до которых счетно. Возникшее топологическое пространство пе дискретно, но всякое счетное множество в нем замкнуто. 88. Предположим, что существует последовательность ф = {Un: п Е Е Аг+} непустых открытых в X множеств, элементы которой образуют базу пространства (X, ,7\). Заметим, что каждое Un бесконечно — иначе ультра- фильтр не был бы* сингулярным (см. 128, 131 гл. I). Выберем как-нибудь яъ У\ € Сн =#= У и п предположим, что уже определены х^ щ Е Щ для всех i к. Примем тогда за #£+1, y^+i любые две различные точки множества tffc+i' Си {{хгч yt}‘ i — 1» • .ч к}). Положим А = {xf i Е Аг+} и В — {yf. i Е Е N ь}. Тогда А П В ~ А. Так как A Q Щ Э то имеем: (Х\(Х\А)) П Q Ui = А П Ui =# A, i Е Х+> а это означает, что множество Х\А не содер- жит ни одного Тем более, Х\Л не является объединением никакого семейства множеств С7\-. Значит, Х\Л $ g (так как ф — база топологии ^). Но (Х\Л) Q Э у}, i Е N+. Следовательно, А нельзя представить в виде объединения какого-либо семейства элементов последовательности ф, т. е. А £ § (так как ф — база). Но тогда X = A (J (Х\А) £ %. Получилось про- тиворечие, ибо X Е
РЕШЕНИЯ 113 89. Пусть А — счетное всюду плотное в (X, подмножество мно- жества X. Предположим, что Х\А #= Л. Из A J (Х\Л) = X Е 5 следует, так как f — ультрафильтр (см. 128 гл. I), что если Х\Л £ 5, то А Е Необ- ходимость рассматриваемого условия в этом случае доказана. Если же Х\А с В, то Х\Л — непустое открытое в (X, множество, не содер- жащее точек множества Л. а это противоречит тому, что А всюду плотно в (X, Значит, Х\л 4 g. Докажем достаточность. Пусть А счетно и Л £ Если U =/= А и Z7 Е то U Е ь и, значит, U П Л #= А (см. 128 гл. I — каждый ультрафильтр является центрированным семейством множеств). Этим доказано, что Л всюду плотно в пространстве (X, <7 |). 90. В противном случае U = X\[Z?] — окрестность множества Л, не пересекающаяся с В. 91. Зафиксируем определяющую систему % окрестностей множества Л в X, для которой 1*^1 = т. Для каждого U Е выберем x(U) Е U Q В и положим С = (х(и\. U Е %}- Тогда Сс В и | С | < т. Из следует, что каждая окрестность множества Л пересекается с С. Значит (задача 90 гл. II), A Q [С] =# А. 92. Годится любое счетное хаусдорфово пространство, не удовлетворяю- щее в какой-нибудь точке первой аксиоме счетности (см., например, 84 гл. II). 93. Рассмотрим произвольную окрестность G множества Ф в У. Тогда существует открытое в X множество G cz X такое, что G П У = G. Положим 6?* = G U (Х\У). Тогда G* открыто BXnG*f}Y=GftY=G. Кроме того, F cz (Х\У) U (У Q F) = (Х\У) U Ф cz G (J (Х\У) cz G*. Следова- тельно, существует U* Е у, для которого Fa U* cz G*. Тогда U* Q П У Е у' и Ф с IZ* П с G, что и требовалось. 94. Это сразу следует из задачи 93 гл. II. 95. Воспользуйтесь утверждением задачи 106 гл. I и определением порядковой топологии на стр. 63. 96. Следует сопоставить определения, данные на стр. 57. 97. Из определений следует, что всегда а(Х') <>(Х), Z(X') t(X). Но есть примеры, когда s(X) < s(X') (119 гл. II) и с(Х) < с(Х'). Однако с (X) > > с(Х'), если X' всюду плотно в X. 99. См. задачу 58 гл. II. 100. Совокупность $ всех множеств, представимых в виде пересечения конечного множества элементов семейства является базой топологии гГ. Но ] % | = | <£ | в силу задачи 58 гл. I. 101. Пусть о — произвольная база пространства X, а 6 — база про- странства мощности, равной весу X: | б | = w(X) = т. Заметим, что | 62 | = = т, где б2 = б-б — произведение множества 6 на себя. Пару (У, V') Е б2 множеств V Е б, V' Е б назовем отмеченной, если существует такое U Е О’, что V cz U cz V'. Пусть у — семейство всех отмеченных пар (У, У) Е б2. Имеем у с: б2, следовательно, | у | т (см. 58 гл. I). Каждой отмеченной паре (У, V') Е 7 поставим в соответствие какое-нибудь одпо множество Uy V' £ а» для К0Т0Р0Г0 V cz UVt v, с: У'. Обозначим о* = Wy, v,: (У, У') Е у}. Имеем | о* | = | у | т. Докажем, что а* — база пространства X. Пусть х € X и окрестность Ох произвольны. Так как б и о — базы пространства X, ТО существуют (13 гл. II) множества У' Е б, U Е а, У Е б, для которых х Е € У cz U а У' cz Ох. Тогда (У, У') Е У> т. е. является отмеченной парой. 8 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
114 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Следовательно, этой паре поставлено в соответствие множество Uv у, С о* с: cz о, так что х Е Fez Uv у, cz V' cz Ox. Отсюда следует, что о* cz о — база пространства X мощности, не большей т. Так как wX — т, то | о* | = т. Первая часть утверждения доказана. Для доказательства второго достаточно рассмотреть отрезок в обычной топологии: из сети, образованной всеми его одноточечными подмножествами, нельзя выделить счетной (ибо отрезок несчетен). 102. Обозначим через & множество всех дизъюнктных подсемейств % семейства для которых J {7: V Е U. Рассмотрим частичное упоря- дочение < множества Ф отношением включения: если 6 Е то < %" равносильно %' cz %", Очевидно, упорядочение < на индук- тивно (см. стр. 18). Поэтому существует (стр. 18) максимальный по отноше- нию к < элемент Е Тогда (J {7: V Е ^*} cz U (в силу Е и [U {7: 7 Е ^*}] zz> £7 — в противном случае W — U Q (Х\[ J {7: 7 Е ^*}]) — непустое открытое множество и существует 7* Е 7* #= А, для которого 7* cz W. Тогда 7* П 7 = А для любого 7Е$*, откуда следует, что V* и что «** М* U {У*} е •?’, %* < «**’ ё** #= ё*, а это противоречит максимальности %* в (^°, <). 103. Пусть X — множество точек отрезка [0, 1] и А — множество 1 всех точек вида — , где п Е А+. Кроме множеств, открытых в обычной топо- логии гГ отрезка, объявим открытыми все множества вида U (J (Х\Л'), где U Е 3" и A' cz А. Докажите, что тем самым определена топология на X. Эта топология содержит больше открытых множеств, чем обычная топология отрезка. Поэтому пространство (X, <<*) хаусдорфово. Множество А замкнуто в (X, сГ*) иОЦ, но любая окрестность точки 0 в (X, &*) пересекается с любой окрестностью в (X, гГ*) множества А (определяющую систему окрестностей А в (X, <7 *) образуют открытые в обычной топологии отрезка множества, содержащие Л; базу точки 0 в (X, ZT*) образуют множества вида {а Е [0» 1]: а<еиа$Л}, где е > 0). 104. Свойства 1), 2), 3), 4) устанавливаются очень просто. Из свой- ств 2 и 5) следует свойство 6) (в силу 206 гл. III). Из свойств 5) и 7) следует свойство 8) (в силу 213 гл. II). Таким образом, остается доказать свойства 5) и 7). 5) В силу задачи 206 гл. III достаточно показать, что из любой системы у базисных открытых множеств пространства X* можно выделить счетную подсистему у0, для которой То - U {U: U Е То} = Т = U {U: U£ у}. Каждое U Е У есть полуинтервал [ж, £). Поэтому такое U будем обозначать также и через Ux. Рассмотрим интервал V(U) = £7x\{rr} и систему 6 — = {V(U): U Е у} этих интервалов. Заметим, что каждое V(U) также открыто в X*. Из системы б интервалов можно выделить (172, 213 гл. II; 206 гл. III) счетную подсистему б0» для которой = U {V(U): V(U) Е 60} = 6 = U {V(U): V(U) Е 6}. Докажем, что множество Л = у\6 счетно. Действительно, если х^ Е А и х2 е Л, хх Ф х2, a Е У, Ux2 6 Т> то, очевидно, Ux^ Q Vx^ = А. Тогда для каждой точки х Е Л возьмем какое-то одно Ux Е у (х является левым концом полуинтервала Ux) и обозначим систему этих полуинтервалов через Ti: Ti = (Ux: я ЕЛ}. Система у4 дизъюнктна, поэтому, в силу сепарабель- ности пространства X, счетна, а потому счетно множество Л. Рассмотрим теперь систему у2 = {U: V(U) Е б0} и систему у0 = yt |j у2. Система уо счетна, у0 cz у и у0 — у, что и требовалось доказать.
РЕШЕНИЯ 115 7) Докажем, что X не имеет счетной базы. Если бы X* обладало какой- нибудь счетной базой, то некоторая счетная система о базисных множеств в X* (система полуинтервалов [а, &)) образовывала бы базу в X* (см. 101 гл. II)» Отсюда следовала бы счетность всего множества X*. Получили про- тиворечие. Примечание. Таким же образом можно доказать, что всякое несчетное подпространство пространства X* не имеет счетной базы, а следо- вательно, в силу свойства 5) и задачи 213 гл. II неметризуемо. 105. Положим F = П {Z'(a): Е ^(им)} и Y = X\F. Для каждой точки у £ У существует а Е У(®1) такое, что у 4 Тогда можно выбрать окрестность бу, для которой Оу 1 F(a) — Л (так как F(a) замкнуто). Из открытого покрытия (Оу. у £ У} множества Y можно выделить счетное (так как У финально компактно), обозначим последнее через у. Тогда по опре- делению элементов у для каждого U Е У можно выбрать такое <x(Z7) Е Е Г(Ю1), что U П F(a(U)) = Л. Существует a* Е ^(wi)> Для которого a(L/’) < < а* при всех U Е у, так как | у | < (см. 91 гл. I). Тогда F(a*) cz cz Л {^(a(^))’ U Е у}» Отсюда и из формул де Моргана следует, что Л (а*) Л П (U Е ?}) = А, Т. е. что F(a*) Л У = А. Значит, F(a*) = F = = Л {^(a): a С ^(wi)} и ^(a*) = F(a) для всех а, больших a*. 106. Ясно, что из (а) следует (б). Выведем из (б) утверждение (а). Поло- жим А = {у: существует A' cz А, для которого у Е [А'] и | А' | т} и дока- жем, что А замкнуто. Предположим противное. Тогда, в силу (б), найдутся у* Е [А]\А и Л*с Л, для которых | А* | и у* ЕМ*]. Выберем для каждого у Е А* множество А (у) сз А такое, что у Е [А (у)] и I А (у) | < т,— это возможно в силу определения А. Положим А' — (J {А(у): у £ А*}. Тогда A' cz А, \ А' | т и у* Е [А'],— значит, у* Е А. Получили про- тиворечие. Следовательно, А замкнуто, чем доказано (а). 108. Нет. Рассмотрим какое-нибудь счетное хаусдорфово пространство без изолированных точек и без нетривиальных сходящихся последователь- ностей (54 гл. II). Очевидно, оно искомое. 109. Нет — см. задачу 113 гл. II. 110. Положим А' = А\{х}. Если у $ А' п у х, то у $ А и, так как А замкнуто в X, то d(y, А) =# 0. Тем более, d(y, А') Ф 0. Если бы было d{x, А') Ф 0, то можно было бы заключить, что diy, А') =/= 0 для всех у 4 А', т. е. что А' замкнуто в X. Но тогда х 4 (А'], т. е. точка х изолирована в А. 111. Пусть U — любое открытое в X множество, содержащее х. Тогда Р = X\U замкнуто и х 4 Р- Поэтому d(x, Р) > 0. Выберем номер п* так, чтобы было d(xn, х) <Е d(x, Р) при всех п > п*. Тогда, очевидно, хп Е U при всех п > п*. Значит, £ сходится к х. 112. Пусть A cz X и А не замкнуто в X. Тогда существует х Е [А]\А, Для которого d(x, А) = 0. Поэтому существует последовательность £ = = п Е А+} точек множества А такая, что d(xn, х) < — при всех п Е Лг+. Тогда lim d(xn, х) = 0 и, в силу задачи 111 гл. II, последовательность | П->оо сходится к х. Значит, X секвенциально. 113. Утверждение 1) ясно. Так как | Z | = к0, то достаточно доказать, Что Z регулярно. Но, легко видеть, Z имеет базу из открыто-замкнутых множеств. Имеем: d(0, X) — 1, но d(0, У) = 0 и d(yn, X) = 0 для всех * 6 А+. Значит, 0 Е [^L У с: [X], и потому 0 Е [X]. Отсюда на основании аДач 112 гл. II и 114 гл. II заключаем, что верно 3) (впрочем, 3) легко дока- ать и прямым рассуждением — сделайте это). Чтобы доказать 4), опреде- им две метрики на Z: pt и р2. Полагаем Pi | (У U {0}) = d | (У (J {0}) п А । (X (J {0}) = d | (X U {0}). Если z' Е У и z" Е X (или наоборот), то р,У ’ п? =А Далее> полагаем р2 | (X U У) = d | (X U У) и р2(0, z) = 1, , и) _ 1 При 2 ф 0, Проверьте, что pi и р2 — метрики. Ясно, что
116 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА d(z', z”) — min {pi(z\ z"), рДг', z")} для любых z', z" £Z. Отсюда легко выводится, что топология г/, построенная выше на Z, является пересечением топологий г/! и Т2, порожденных на 7_метриками pi и р2 соответственно. Очевидно, пространства (Z, ,Г4) и (Z, j 2) обладают перечисленными в 4) свойствами. Для доказательства 5) заметим, что свободная сумма пространств (Z, .7 1) и (Z, d 2) отображается на (Z, посредством именно такого ото- бражения, какое нам нужно (см. 301 гл. II). 114. Из (а), очевидно, следует (б). Выведем (в) из (б). Всегда [А] z? Z3 {у z X: d(y, А) — 0}. Пусть z g [А]\А. В силу (б) существует последо- вательность {х^. п g 7V+} точек множества А, сходящаяся к z. Множество 5, состоящее из всех точек этой последовательности и точки z, замкнуто в X (так как X — хаусдорфово пространство). Из z g А следует, что точка z не изолирована в S. Следовательно (110 гл. II), d(z, 5\{z}) = 0. Но £\{z}c: сг. А. Значит, d(z, А) = 0 и [А] = {у g X: d(y, А) = 0). Выведем (г) из (в). Если х g Int Of>x, то х g [Х\Ое.г]. В силу (в) d(x, X\Oerr) = 0 и, значит, Ozx Q (Х\08я) Л — получили противоречие. Из (г) и того, что топология X порождена симметрикой d, следует, что семейство {Int Огх: 8 — поло- жительное вещественное число} для каждого х g X образует базу в X. Значит, из (г) следует (а). 115. Нет, см. задачи 13, 11, 87, 115 гл. III и задачу 52 гл. IV. 116. Пусть Y — произвольное всюду плотное в X подпространство. Каждый элемент U из л-базы пересекается с Y. Выберем в их пересечении произвольно точку, обозначив ее через x(U). Тогда {x(U)\ U £ — иско- мое счетное всюду плотное в Y множество. 117. Обозначим через Q какое-нибудь счетное всюду плотное в X мно- жество. Для каждого х g Q зафиксируем — счетную базу в точке х. Тогда у = [J {7Х: х g Q} — счетное семейство открытых в X множеств, плотное в X, т. е. 7 — счетная л-база (это очевидно). Но всякое всюду плотное под- пространство пространства со счетной л-базой сепарабельно (116 pi. II). 118. Зафиксируем С а X, для которого ) С | т и [С] = X. Для каждого у £ С выберем В (у) az Y такое, что [В(г/)] Э У и | В(у) | т,— это возможно, так как у g [У] и t(X) т. Положим В = (J {В(у\. у g С}. Тогда В cz У, | В | < т, [2?] iz> [С] аэ У. Значит, $(У) < т. 119. Нет — стрелка (см. 104 гл. II) является наследственно сепарабель- ным пространством, но ее квадрат обладает замкнутым несчетным дискрет- ным в себе подпространством (вторая диагональ). См. задачу 11 гл. III. 120. Нет. Пространство & из задач 100, 101 гл. V сепарабельно (в нем всюду плотно счетное множество /Ро) и содержит замкнутое дискретное под- пространство мощности 2ho. См. также задачи 11 и 13 гл. III. 121. Предположим противное — что нашлось множество А мощности 2No, каждое подмножество которого замкнуто в X. Зафиксируем счетное множество 5, всюду плотное в X. Так как X нормально, то для каждого Ра А можно выбрать открытое в X множество ф(Р) такое, что Р cz ф(Р) cz cz [ср(Р)] cz Х\(А\Р). Положим ip(P) = ф(Р) f] S. Так как [5] = X, то [ф(Р)] fl А = Р. Поэтому, если Pf cz А, Р" cz А и Р' =# Р", то 'ф(Р') ^=ф(Р"). Итак, нами построено взаимно однозначное отображение множества ехр А всех подмножеств множества А в множество exp S всех подмножеств множества 5. Но тогда 22*0 = | exp А | exp S | — 2Ко — получили противоречие. 122. Для каждого х g X положим ср(х) = {Р: Рс А и [Р] $х}. Тогда 9 — взаимно однозначное отображение множества X в множество ехр ехр А. Действительно, если xt Ф х2ч то найдутся открытые в X множества и Uz, для которых Ui П ^2 = Л, х± g tZj, хч g U2- Положим Pi = Ui П А, Р2 = =~ и2 П А. Тогда (см. 29 гл. II) [СМ = [Pil => Э *i,1C72l = [Р2] => U2 Э *2- Следовательно, Pj g cp(^i), P2 g 9(^2)* Ho Pi 9(^2), ибо [Pj = [C7i] cz aa X\U2. Значит, ф(#1) #= 9(^2)* Доказано тем самым, что множество X
РЕШЕНИЯ 117 равномощно некоторому подмножеству множества ехр ехр А, откуда | X ] < I exp ехр А | = 22’ А L 123. Зафиксируем в X базу & мощности т. Для каждого х g X поло- жим ф(я) = {U: U £ $ и U Э х} *). Тогда ф(а;) g ехр J и ф- взаимно однозначное отображение множества X в множество ехр J8. В самом деле, если х^ =т^ х2, то существуют открытые в X множества tZj и С72 такие, что Xi g Щ, х2 g U2 и Ui П U2 = Л. Тогда U2 g ф(я2), но U2 g фСч), ибо х2 4 U2. Следовательно, ф(яА) Ф ф(я2). Значит, X равномощно подмножеству множе- ства ехр т. е. | X | | ехр | = 2\ 124. См. 125 гл. II. 125. Недавно венгерский тополог И. Юхас при некоторых предположе- ниях, не противоречащих принятым аксиомам теории множеств, построил пример наследственно нормального, наследственно сепарабельного простран- ства X, для которого | X | =22*0 > 2Хо. 126. Рассмотрим J£(Xi) — минимально вполне' упорядоченное мно- жество мощности Xi. Положим Мо = М. Пусть р £ ^(xj, и Для всех а < ₽ уже определено Ма. Положим = J {Afa: а < Р} и == = {х X: в £р существует последовательность, сходящаяся к х}. Очевидно, М с: Ма cz Мр при а < р. Если 17Иа | < 2No "для всех а < р, то и [ Лр | < 2No. Зафиксировав для каждого х g Afp последовательность £(.г) в £р, сходящуюся к ж, мы получаем взаимно однозначное отображение £ множе- ства 7ИР в множество всех счетных подмножеств^мпожества Так как (2Х°)ХО = 2^*0, то заключаем, что | Мр | 2Хо. Поэтому, если для всех а € ^(xi) множества Ма определены в согласии с описанной процедурой и М* = U {7Иа: а g ^(xi)}, то | М* | 2*4 Очевидно, М cz Af* cz [Af], Покажем, что М* секвенциально замкнуто. Пусть xt g М*, ig 7V+, и х — = lim{xf}. Тогда g Mai для некоторых ос^ g ^(х4) при i g N+. Существует а* (х4) такое, что < а* при всех i g N+ (91 гл. I). Последователь- ность {х}'. i g 7V+} целиком лежит в Ла*, а поэтому ее предел — точка х — принадлежит Тем более, х g М* и М* секвенциально замкнуто. 127. Пусть М всюду плотно в X и | М | х0. Каждой точке х g X поставим в соответствие счетную последовательность ее окрестностей 0 (я) = e {Щх: i g 7V+} таким образом, чтобы {х} = Г) i g Лг+} и [Ui+iX\ cz с= Щх (здесь мы воспользовались условием ф(я, X) — х0 для каждой точки «Ели регулярностью пространства). Обозначим Mtx = Щх П М. Ясно, что Мгх cz М, | М}х | <^ х0, х g Теперь точке х поставим в со- ответствие последовательность у(х) = {М^. i g N+} счетных множеств Afp:. Обозначим через 2(Х) систему {у(я): я € X} построенных последова- тельностей у(я) для каждой точки х g X. Так как | М | < х0, то | | << с и | (AfKo)No | с, следовательно, | 2(Х) | | (AfNo)Xo | с. Докажем, что указанное соответствие у: X 2(Х) взаимно однозначно. Пусть xi g X, х2 g X, Xi Ф х2. Рассмотрим такое ц, чтобы х2 g [ Щгде ,Xi g £ 8(si)* Возьмем также такое i2> чтобы g [Щ2Х21> где Ui2x2 g 0(х2). Из Двух натуральных чисел ц и 12 заведомо одно больше другого. Пусть 12 > ц. Тогда ясно, что xt g [Ui2 х2] и х2 g Рассмотрим Mi2x2 = Ui2x2 Г) Л/, П М. Так как a:i g х2 g [Mj2x2] и Xi g [tZi2#2], ^2g Щ2яг1, To g lMj2x2]fx2 g [Af^ следовательно, M}2Xi^M}2x2t т. e. последователь- ней y(x4) и y(x2) различны. Итак, соответствие у: X -> 2 (X) взаимно одно- 8вачно. Значит, | X | 2 (X) | с, что и требовалось доказать. *) Союз «и» всегда означает, что выполняются оба наложенных огра- ничения.
118 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 128. Ответ авторам неизвестен. 129. Пусть М cz X таково, что [М] = X, | М | С с. Тогда для любой точки х £ X (вследствие того, что t(X) = к0) существует такое Мх cz М, что I Мх | к0 и х Е [Мх]. Так как ф(я', X) х0 для любой точки х' £ X и $([7ИХ]) < к0, то | [7ИХ] | с (см. 127 гл. II). Через Е(М) обозначим мно- жество всевозможных не более чем счетных множеств, принадлежащих множеству М. Так как | М | < с и сХа = с, то | 2(М) | < с. Далее, так как для каждой точки х £ X существует счетное множество Мх С S(M), для которого х Е [MJ, то X = |J {[TV]: N Е 'Я(М)}. Но | S(M) | < с и I [7V] | с для любого N Е S(M), поэтому | X | с. Всё доказано. 130. Рассмотрим замкнутое в X множество [М]. Ясно, что $([М]) с иф(я, [М]) << Ко для любой точки х Е [М]. Кроме того, £([М]) = к0. Поэто- му, пользуясь задачей 129 гл. II, утверждаем, что [ [М] | с, что и тре- бовалось доказать. 131. Для каждой точки х Е X зафиксируем счетную базу простран- ства X в х, содержащую пересечение любых двух своих элементов, и поло- жим % = {ух: х Е X). Если | X | > 2Ко, то для % выполняются все посыл- ки утверждения задачи 122 гл. I. Заключение задачи 122 гл. I означает теперь, что в X существует дизъюнктное семейство несчетной мощности непустых открытых множеств, а это противоречит тому, что X удовлетворяет условию Суслина. 132. Пусть х Е X, V ( f и л { V. Выберем W , для которого х Е W cz: [Ж] cz V. Положим U = W И X'. Тогда U и [U] = [Ж] (см. 29 гл. II). Следовательно, Int [Z7] = Int [Ж] zz> W 3 х и Int [Z7] — = Int [Ж] cz [Ж] cz V. Итак, х Е Int [Z7] cz 7. Кроме того, Int [CZ] Е по определению гГ'. Значит, /Г' — база топологии 133. Пусть — база пространства X'. Для каждого U Е зафик- сируем (в силу определения подпространства это возможно) такое открытое множество U, что U Q X' — U. Тогда U cz [£7] в силу задачи 29 гл. II. Положим = {U: U £ Если х Е V, где х Е X' и V открыто в X, то существует открытое в X множество Ж, для которого х £ Ж cz [Ж] cz V (в силу регулярности X). Положим Ж' = Ж Q X'. Множество Ж' открыто в X' и х Е Ж'. Значит, существует U' Е для которого х Е U' cz Ж'. Тогда х £ U' cz [{/'] cz [Ж'] cz [Ж] cz V и U' £ Этим доказано, что — внешняя база пространства X' в X. Очевидно, | | —|t$ |. 134. Решение следует из задачи 132 гл. II. 135. См. решение задачи 133 — рассуждайте аналогично. 137. Только в дискретных. Действительно, совокупность всех одно- точечных подмножеств пространства всегда является сетью в нем. Если же эта сеть — база, то все точки пространства X изолированные. 140. Годится счетное нормальное пространство без счетной базы, по- строенное в задаче ИЗ гл. II. 143. Эта задача решается аналогично задаче 75 гл. II. 145. Нет. Рассмотрим множество всех точек вещественной прямой с топологией, базу которой образуют всевозможные интервалы и их пере- сечение со множеством иррациональных чисел. Это — хаусдорфово про- странство со счетной базой, в котором множество Q всех рациональных чисел замкнуто, но не является пересечением счетного множества открытых мно- жеств. 146. Нет. Годится пространство, описанное в задаче 145 гл. II. 147. Пусть S — сеть в (X, мощности т. Для произвольной пары ($1, з2) элементов сети S зафиксируем пару cp($i, $2) — (^i, U2) открытых в X множеств таких, что st cz Ui, s2 cz LZ2 и U± Q U2 = Л,— если это возможно. В противном случае положим s2) = (Л, Л). Положим = U {ф ($ь $г): ($i, s2) Е *5 X 5}, т. е. U Е % U Е Ф (si, s2) для некоторых *4 Е S, $2 € Так
РЕШЕНИЯ 119 как | 3 X 3 | = | 3 | = т (см. 52 гл. I), то | т. Семейство % (J {X} является предбазой некоторой топологии «7"* на X (см. 14 гл. II), причем tp(X, /Г*) < | $ | < т (см. 58 гл. I) и S'* cz гГ, ибо % U {X} cz .7 . Пусть Xi х2. Существуют U{ £ г/ , U% € гГ, для которых rq С %2 £ U'z и Ui П ^2 = Л. Так как S — сеть в (X, /Г)» то х2 € $[ cz Uf, х2 € s2 cz U'2 для некоторых s'f £3, 4Е 3. Но тогда ф($р s2) = (Ui, U2)=£ (Л, Л) и s'i С г- Z7i, s'> cz U2l Ut П U2 = A, С % cz j *1U2 £ % cz s *. Значит, j * — хаусдорфова топология. 148. Пусть 3 — сеть мощности т в (X, S'). Можно считать, что {X} С 3 (ибо т к0). В силу 14 гл. II 3 является предбазой некоторой топологии JT' веса, не большего | 3 | = т. Но, в силу определения сети, каждый эле- мент топологии S' является объединением некоторого множества элементов семейства 3. Значит, г/ cz S'1. Из j’ zd S' следует, что S'* — хаусдорфова топология. 149. См. задачи 148, 282 гл. И. 150. См. задачи 149, 282 гл. II. 194. Случай конечного числа сомножителей сводится к случаю, когда этих сомножителей к0, добавлением одноточечных сомножителей в количе- стве к0- Будем поэтому считать, что для каждого i С N+ задано метризуемое топологическое пространство Хр причем мы предположим также, что на зафиксирована метрика рр порождающая топологию г/р заданную на Хр Предположим также, что диаметр Xt по отношению к р^ не превосходит 1 (см. 190 гл. II). На X = П {Хр i £ N+} определим метрику р следующим правилом. Если х' = {x'f. i £ N+} £ X и х" = {х”: i G N+} 6 X, то р(я', х") = Р/ (*^i> %i) = /; -----—~~ • В силу задачи 193 гл. II р — метрика на X. Срав- г=1 _ ним теперь тихоновскую топологию S' на X и топологию г/ р, порожденную метрикой р. Зафиксируем х — {xf i £ N+} £ X и рассмотрим множество оо j 0&х — {х' £ X: р(я, х') < 8}. Подберем п С N* так, чтобы было V. ~zr — г=п+1 1 £ = “2«’<^”2"‘ В каждом Хр где i < и, рассмотрим окрестность Ое/2х^ = — {х? С Xf.pi (хрхj)с-|-1 . Так как pf порождает на Х^ топологию .Г'р то Ое/2#г i- Следовательно, множество U — П {O^xf. 1 i n} X П {Хр n-|- 1 < i < 00} принадлежит топологии произведения S'. Но х С U, и если х' Е U, то pi (яр xi) <z 4- при всех i п и рг-(яр х[) 1 при I > п. [Поэтому П сю р(х,х')< 2 S <у + -2Т <е-СлеД°вательно, ж е г—-1 i=n-{-l Этим доказано, что Огх £ г/ ,— т. е., что j р с S'. С другой стороны, все отображения проектирования Лр X -> Xt непрерывны — из определения р сразу следует, что 2*р(я, х') Рг(я^, щх'). Но г/ — наименьшая из всех топологий на множестве X, относительно которых проектирование па каж- дый сомножитель непрерывно (см. 363 гл. II). Значит, S' cz S' $ и окончатель- но d =- S р. Доказано, что топология произведения S' на X метризуема. 211. Пересечение шаровых окрестностей радиуса , где зам- кнутого множества А равно А — ибо если х $ Л, то р(х, Л) > 0 (а шаровые окрестности — открытые множества).
120 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 212. Пусть X — множество, р — метрика на нем и гГр — топология, порожденная на X метрикой р. Мы должны доказать, что (X, S'р) — нор- мальное пространство. Рассмотрим произвольные замкнутые в (X, S'р) непересекающиеся множества F и Ф. Тогда ех — р(я, Ф) >0, для каждого х G F и ev = р(у, F) > 0 для каждого у £ Ф. ох = |z е х-. Положим р(х, z)<y при X £F, Оу= (z£ X: р(у, ен j при у 6 Ф и U = = U {Ох: х £ F}, V = U {Оу: уЕФ}. Множества U и V открыты в (X, S'р) и F cz U, Фс= V. Покажем, что U П V = Л. Предположим противное — т. е., что нашлось z £ U П V. Тогда z Ё Ох П Оу для некоторых х Ё F и у С Ф. 111 Имеем: р(х, у) < p(xt z) + p(z, у) < у р(х, Ф) + F) < Р(*’ У^ + + V = Р(*» У}* Итак, р(я, у) < р(я, у) — получили противоречие. Л 213. (а) 1) ==> 2). Пусть А = {at: i С N+} — счетное всюду плотное множество в X, а р — метрика на пространстве X, совместимая с его тополо- гией. Для каждого i и рационального числа 0 г 1 рассмотрим окрест- ность Orai = {х С X: р(я, ai) < г} точки аг £ А. Положим а — {Orat: 0 г 1, i £ 7V+}. Система а счетна, как объединение счетного множества счетных систем ог- == {Orat: 0 1). Докажем, что а — база простран- ства X. Пусть фиксированы точка х0 С X и ее окрестность Оех0 = — {я: р(я, х0) < 8). Рассмотрим рациональные числа rit г2, для которых и < < у < Г2 < , и точку aio е А, для которой p(aio, х0) < г,. Тогда х0 6 ОГ2аС С Оея0, что и требовалось доказать. (б) 2) 3) очевидно (см. 77 гл. II). (в) 3) =Ф 1). Для каждой точки х С X рассмотрим окрестность 0}Х — = {х' £ X: р(я', х) < yj и открытое покрытие сог- = {0}х: х £ X}. Поль- зуясь финальной компактностью пространства X, из выделяем счетное подпокрытие со? = {Otxf. j £ 7V+}. Из каждого множества Огх^ возьмем по точке aij^O^Xj. Легко видеть, что счетное множество А — {с^: j ^N+,i C.ZV+} всюду плотно в X. Кроме того, очевидно, из 2') следует 1), а из 2) следует 2'). 214. Ясно, что любое сепарабельное, не обязательно метризуемое пространство удовлетворяет условию Суслина. Докажем обратное утвер- ждение для метрических пространств. Рассмотрим для каждого п £ N + открытое покрытие ©п пространства X множествами диаметра, меньшего у. Воспользуемся утверждением задачи 102 гл. II, в силу которого существует такая дизъюнктная система (Од открытых в X множеств, вписанная в покры- тие <on, что открытое множество (j {U: U С (Од) плотно в X. Так как X удовлетворяет условию Суслина, то | (Од | Ко- Возьмем для каждого U £ (Од точку x(U) С U и рассмотрим множество Ап = {x(U): U С con}. 1 Ясно, что | Ап | < к0. Заметив, что diam Для каждого U £ <0д, легко получаем, что А = (J {Лп: п С -Аг+} — счетное всюду плотное в X множество. 215. Так как всякое подпространство пространства X со счетной базой также имеет счетную базу, а всякое пространство со счетной базой сепара- бельно, то (даже без предположения о метризуемости X) из 1) следует 2). Импликации 2) -Ф 3), 3) =Ф 4) очевидны (без предположения о метризуе- мости пространства X). Доказываем импликацию 4) =Ф 5). Пусть у —
РЕШЕНИЯ 121 = {Ut: t E T} — дизъюнктная система открытых в X множеств. Не нарушая общности, можно предположить, что Ut — где Us,(t)xt — шаровая окрестность радиуса &(t) некоторой точки xt £ X. Обозначим через А мно- жество всех точек xt, i Е Л а через — множество всех тех точек xt, для которых e(t) >4-« Ясно, что А = J {Af i£N+}, а каждое А} — замкну- тое дискретное подпространство пространства X. По условию, | А^ | к0, i = 1, 2, . . . Тогда | А | к0, следовательно, | у | х0. Остается доказать импликацию 5) => 1), но она следует из задач 214, 213 гл. II. 218. С помощью задачи 213 гл. II легко доказывается, что существует счетное покрытие со = {£Л, . . ., . . .} пространства X открыто-зам- кнутыми множествами диаметра, меньшего е. Далее полагаем Vt = Ujf V2 = U2 \ Vlt . . Vn = Un \ (J {Vf i = 1, . . ., n - 1}, . . . Очевидно, система co* = {Ff. i E N+} дизъюнктна и состоит из открыто-замкнутых множеств. Так как Vn cz Un для любого п Е А'+, то diam Vn <z е для всех п С N+. Легко видеть, что со* — покрытие X. 227. Задачу можно решать, например, так. Пусть /: I -+ Y — откры- тое непрерывное отображение отрезка I на хаусдорфово пространство Y. Для каждой точки у С Y рассмотрим х(у) = sup /-1г/. В силу того, что множество f~ry замкнуто в 7, непременно х(у) £ f~ry. Обозначим X = {х(у): у £ У} cz I. Очевидно, отображение /, рассматриваемое только на X, есть взаимно однозначное непрерывное отображение подпространства X на все Y. Несколько труднее доказать, что X замкнуто в I, после чего можно утверждать, что /' = f | X — гомоморфизм X на Y. Теперь остается сослать- ся на задачу 225 гл. II. 233. Пусть Г — произвольное открытое подпространство полного мет- рического пространства (X, р). Для каждой точки х Е Г обозначим рх = — р(х, Х\Г). Это число положительно. Для каждой пары х Е Г, у Е Г определим р.(ж, . V 7 Р(^^) + Рх+Р^ Положим р**(я, у) = max [р(я, у), р*(х, у)]. Читателю предлагается доказать, что р** — искомая метрика на Г (см. Хаусдорф [2]). 234. Если М = П i Е -V+}, где — открытые подмножества пол- ного метрического пространства (X, р), то М как подпространство простран- ства (X, р) гомеоморфно замкнутому подпространству топологического произведения пространств по t Е (см. 367 гл. II). Но каждое Ut мет- ризуемо полной метрикой (233 гл. II). Теперь остается сослаться на задачи 186, 197 гл. II. Придумайте другое доказательство, пол ьзуясь задачей 233 гл. II. 235. Зафиксируем на Y полную метрику р, которая порождает тополо- гию, индуцированную на У из X. Для каждого п Е обозначим через уп семейство всех открытых в X множеств, пересекающихся с У по множеству, 1 диаметр которого не превосходит —. Положим ^n= U {U: U£yn} и У-П {^: n Е Аг+}. Ясно, что уп покрывает У. Поэтому Gnzz У при всех п £ N+ и, следовательно, Y zd Y, Множества Gn открыты в X для всех п Е N+. Покажем, что У = У. Зафиксируем х Е У. Для каждого п Е N+ выберем Un Е уп такое, что х € \Un. Тогда % = (Un: n£N+}~ центрированное семейство открытых в X мно- жеств. Положим Fn = [СТд П У]у, п £ 7V+. Так как [У] = X, то р ~ {Fn\ п Е Е — центрированное семейство замкнутых в У множеств, причем диа- метр множества Fn не превосходит — . Так как (У, р) полно, то существует
122 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА точка у Е У такая, что И {Fn: п Е А+} ~ {у} (см. 187 гл. II). Докажем от противного, что у = х. Пусть у Ф х. Найдутся тогда непересекающиеся открытые в X множества U и V, для которых у С U и х £ V. Но у С У и U П У — окрестность точки у в пространстве (У, р). Поэтому существует е > 0 такое, что О^у = {у' £Y: р(г/, у') < 8} cz U, Тогда [Огу]х П 1 п У — А и, тем более, [Oez/lx $ х. Выберем п Е Аг+, для которого — < 8. Тогда из Fn 9 У ^так как диаметр Fn не превосходит — j следует, что Fn cz CZ [Oez/]. Поэтому [Fjx cz [Oez/]. Ho = [[Z7n fl У]у1х ?Un)x, так как У всюду плотно в X. Следовательно, [Oez/lx Э х, что противоречит полу- ченному ранее. Итак, у = х и х С У, т. е. У = У {Gn: п С N+}. 276. (а) Пусть / равномерно непрерывно. Зафиксируем произвольно е > 0. Тогда можно выбрать 6 > 0 такое, что если р(х', х") < 6, то р'(/я', fx") <С 8. Но из р(4, В) — 0 следует, что найдутся х' £ А и х" С В, для которых р(ж', х") < 6. Тогда р'(М, /В) <pz(/^'» fa") < 8. Так как это верно для любого 8 > 0, то мы заключаем, что р'(М» /#) = 0. (б) Предположим, что отображение / не равномерно непрерывно и 8 > 0 выбрано так, что для любого 6 > 0 существуют точки х' С X и х" £ X такие, что р(я', х") < 6, НО р'(1х\ fx") > 8. Мы по (обычной) индукции построим сейчас в X две последовательности точек £ = {хп: п Е А+} и ц = {уп; п Е Е А+} так, чтобы выполнялись условия: (Д) р'(/^т, /Ук) >-тпРи всех т 6 О 1 ЕА+, к Е N + и (j2) р(яп, уп) < — при всех п Е А+. Рассмотрим предварительно две исчерпывающие возможности. I) В пространстве (У, р') существует точка а Е У, Для которой спра- ведливо утверждение I) из задачи 275 гл. II. В этом случае мы выбираем хп, уп Е X для всех п Е А + независимо, заботясь лишь о соблюдении условий (j2>» (ti): p'(fan, fyn) > 8 при всех п Е Аг + и (t2): p'(fxn, а) <4 . Из аксиомы > о треугольника следует, что тогда будет выполняться и условие (ji). Обозна- чим через А множество точек последовательности £ и через В — множество точек последовательности ц. Тогда р(4, В) = 0 (в силу (jj)), но р'(/4, fB) > у (в силу (j2)). II) По отношению к тройке /, (X, р), (У, р') и взятому 8 выполняется утверждение II) из задачи 275 гл. II. В этом случае £ и т] строятся по (обыч- ной) индукции. Пусть п Е N+ и для всех тп < п точки хт £ X и ут Е X уже определены. Положим А = {хт: т < п} U {ут‘. т < п} (если п = 1, то А = Л). На основании II) задачи 275 гл. II выберем хп и уп так, чтобы было р(жп, уп) <А , р'(/жп, fyn) > е и p'(fxn, A) >-j,p'(fyn, Л)>у. Далее завершаем рассуждение, как выше. 281. (а) 1)=е>2) очевидно. (б) 2)^3). Пусть т0 Е А и окрестность V точки fx0 выбрана произ- вольно. Рассмотрим какое-нибудь Vi Е и, для которого fx0 Е К cz V (см. 13 гл. II). В силу 2) множество У-1 Pi открыто в X. Кроме того, х0 Е У”1 Vi; следовательно, /-1Р1 — окрестность точки xOi яля которой /(/-1 У4) — У4 cz V, (в) 3)=>4). Пусть х0 Е [4]. Надо доказать, что fxQ Е [/4]. Рассмотрим произвольную окрестность V точки fxQ, Выберем на основании 3) окрестность Uxq точки х01 для которой f(UxQ) cz V. Так как х$ Е [4], то UxQ Q Л #= Л. Тогда fUxQ П /4 Л. Следовательно, V П fA Л, т. е. fxQ Е [/4]. Утвер- ждения 4) и 4'), очевидно, равносильны.
РЕШЕНИЯ 123 (г) 4)=>5). Имеем в силу 4) и замкнутости Ф: flf-'Ф] с= [ff-'Ф] = [Ф] = Ф. Отсюда следует, что [/-1Ф] cz /-1Ф. Значит, множество /-1Ф замкнуто. (д) 5)=Ф1). Непрерывность отображения / следует из равенства f-*V = Х\/-1(У\У) и того, что замкнутые множества — это множества, дополнительные к открытым. 283. Нет, не следует. Пусть X состоит из двух (непересекающихся) открыто-замкнутых в X частей Xi и Х2, причем все точки множества Xi изолированы в X, /(Xi) — У, а сужение / на Х2 не непрерывно. Очевидно добиться, чтобы оба эти условия выполнялись, нетрудно — ведь, определяя /, можно задать его на Xi и на Х2 независимо. Тогда любое всюду плотное в X множество А содержит Х4, поэтому fA = /Xi = У — всюду плотное в У множество. Отображение / не является непрерывным, так как его сужение на X2 не непрерывно. 287. Пусть х Е X и у± = fi(x) =# у2 — /2(^). Выберем непересекающиеся открытые множества Ui и U2 в У, для которых у± Е Uly у2 Е U2. В силу непре- рывности fi, где i — 1, 2, существует окрестность Vf точки х в X, для которой /ДУ^) cz i = 1, 2. Но тогда /ДУО П /г(Уг) = Л. С другой стороны, Vi П V2 — непустое открытое множество (ибо х Е У1 П Уг) и» в силу пред- положения, множество Ar — Vi f] V2 П А не пусто. Но тогда Д | А' = = /2 | А' и, следовательно, /ДЛ') = f2(A') =# Л. Но /ДУД zz> h(A') и /2(Г2) zz> zd /2(Л'). Значит, /ДУД П /г(Уг) #= Л — получилось противоречие. 288. Необходимость ясна. Докажем достаточность. Так как Z — хаус- дорфово пространство, то для каждого х Е X продолжение / до непрерывного отображения/"пространства У U {я} единственно (и, по условию, существует). Будем через f(x} обозначать образ точки х при этом продолжении. В резуль- тате определено отображение /: X Z. Покажем, что оно непрерывно. Зафиксируем х* Е X и положим z* = f(x*). Пусть Oz* — произвольная окрестность точки z* в пространстве Z и O*z* — окрестность этой точки такая, что [O*z*] cz Oz*. Так как отображение / | (У [J {ж*}) непрерывно, то суще- ствует окрестность U точки х* в X, для которой f(U f| У) cz 0*z*. Рассмот- рим любую точку х' Е U. Тогда х' Е [Z7 П У] (ибо [У] = X), и из непрерыв- ности отображения / | (У U {я'}) следует, что fix} Е [f(U П У)] = [/(С/ П П У)] cz [O*z*J cz Oz*. Итак, /(£/) cz Oz*, т. е. доказано, что отображение / непрерывно. 291. (а) Отображение q>: X Гу, определенное правилом: ф(ж) = = (ж, f(x)) для всех х Е X, непрерывно, и обратное к ср отображение тоже непрерывно. Действительно, ясно, что ср взаимно однозначно отображает X на Гу. Пусть теперь Ох — произвольная окрестность точки х в X и W — произвольная окрестность точки ф(я) = {х, /(ж)) в Гу. Тогда существуют откры- тое в X множество U и открытое в У множество V, для которых х Е U, f(x) Е СУ, (U X V) П Гу cz ТУ, U cz Ох и /([/) с У,— выполнения последних двух условий всегда можно достигнуть, уменьшая U. Положим ТУ' — (U X X У) П Гу. Тогда (х, f(x)) Е ТУ' и х Е ф-1(ТУ') cz U cz Ох, откуда следует, что ф-1 непрерывно. Далее, ф(С7) cz U X f(U) cz U X У и ф({7) сс Гу. Зна- чит, ф(С7) cz (U X У) П Гу cz ТУ. Следовательно, ф непрерывно, т. е. ф — гомеоморфизм. (б) Мы пользуемся теми же обозначениями, что и выше. Пусть (.г, у) (f (£ Гу. Значит, yi = f(x) Ф у. По предположению, существуют ненересекаю- Щиеся открытые в У множества У4 и У, для которых Е Н, У € У- Так как / непрерывно, то найдется множество U, открытое в X, для которого f(U) сг С Уп х Е U. Тогда ф(С/) cz U X V^ Отсюда и из У4 Q У = Л следует, что w X У) П Гу = Л (причем (х, у) Е U X У).
124 ГЛ. ;п. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 293. Отображение л непрерывно и открыто в силу тех же соображений, что и отображение / в задаче 292 гл. II (см. также общее утверждение зада- чи 330 гл. II). Но / не замкнуто. Убедимся в этом. Обозначим через А и С концы стороны Уо и через В — середину стороны рассматриваемого квадра- та, противоположной Yo. Тогда множество всех точек из Хо» лежащих вне треугольника АВС или на его границе, замкнуто в Хо, но его образ есть У0\{О}, где D — середина стороны Уо. Множество Уо\{£} не замкнуто в Ус- 301. Если U £ д', то U б д'а при всех а С М. Имеем яг1/7 = U {га( U): a G М} — открытое в множество. Обратно, если л-1Л открыто в X* для некоторого A cz X, то я-14 П г«(Х) открыто Bja(X), т. е. А Е <7а для каж- дого а £ М. Значит, 4 Е f| {ja: a £ М} — J . Этим проверено, что л — факторное отображение. Заметим, что если j а =£ j , то сужение отображе- ния л на открыто-замкнутое в Х^ подпространство ia(X) не является фактор- ным отображением — в противном случае это сужение было бы гомеомор- физмом, т. е. было бы д~а = д'. 302. Утверждение 1) — частный случай утверждения задачи 318 гл. II. Вес 5 в точке л(В) равен характеру множества В в пространстве С, так как / замкнуто (см. 326 гл. II). Но (81 гл. VI) характер В в С несчетен, так как В = Fr В — небикомпактное *) подпространство нормального пространства С (пространство С нормально как всякое метризуемое пространство — см. 212 гл. II). Следовательно, S неметризуемо. Ясно, что л — не открытое ото- бражение, иначе S было бы пространством со счетной базой (см. 339 гл. II). 303. 1) Положим /(л(В)) = * и /(а) = а для всех а £А. Очевидно, / — взаимно однозначное отображение множества S на множество Ф. Топо- логия пространства (Ф, д'2) может быть описана как наибольшая из всех, для которых каждое U {*} является бикомпактом с единственной неизо- лированной точкой *. Легко доказать, что аналогичное описание имеет место для топологии пространства S, Отсюда и следует 1). 2) Точка * имеет в (Ф, д'i) счетную базу (таково семейство {Uj\J — = 1, 2, . . .}), а в (Ф, j 2) характер * несчетен (302 гл. II). Значит, cZi у= =7^= <У 2« 3) Бесконечное множество {(1, к): к = 0, 1, 2, . . .} не имеет пре- дельной точки ни в (Ф, zTi), ни в (Ф, д'2). Поэтому (Ф, д i) и (Ф, JT2) не бикомпактны. Оба эти пространства нормальны, как всякое пространство с единственной неизолированной точкой. 304. Утверждения (а), (б) и (в) справедливы. Утверждения (г) и (д) не верны. 305. Утверждения (а) и (б) доказываются легко. В связи с (в) см. зада- чи 308 гл. II и 24 гл. VI или решение задачи 347 гл. II. 306. И на тот, и на другой вопрос ответ отрицателен. См. задачу 307 гл. II. 307. Нет. Рассмотрим отображения л: С -> (Ф, /Г2), (Ф, г/ i) -> (Ф, g'i)1 (л х i): с х (Ф, д\) -> (ф,_.у2) х (Ф, ду^ (л >£0 (#, у) = = (л(ж), i(y)) для всех (ж, у) £ С X (Ф, .У 4), а С, Ф, д i и д 2 — те же, что и в задачах 302, 303 гл. II. Мы при этом пишем (Ф, д 2) вместо S ил: С -> (Ф, .у 2) вместо л: С -+ S, имея в виду, что S отождествлено с Ф посредством естественного отображения (см. решение задачи 303 гл. II). Отображение л факторное и даже замкнутое (302 гл. II), а I — тождественное отображение. Покажем, что h = л X i не является факторным отображением. Положим (см. 302 гл. II) г= | и I } и (т-’ 771) г ~ Вт, г> гДе Ъ т' г — любые целые положительные *) См. задачи 259, 254 гл. III.
РЕШЕНИЯ 125 числа, Fr = U {Pr,m: т = 1, 2, . . F = (J {Fr: г = 1, 2, . . .}. Мно- жество F можно рассматривать и как подмножество множества С X Ф и как подмножество множества Ф X Ф; при этом, очевидно, (л X = = F. Но F замкнуто в С X (Ф, /ГО и F не замкнуто в (Ф, .Г2) X (Ф, <Г1) — а именно, точка (*, *) С [F] \ F. Проверьте все это сами. Другое решение в задаче 349 гл. II. 308. (а) =- (б). Положим А = Y \ f(U), Y' = A U {у}, X' = f^Y'), B^f~xA. Тогда X' = В (J f~ry и U Q В = Л, U zd f^y. Значит, f~ry откры- то в X1 и из (а) следует, что {у} открыто в У', т. е. что у 4 [4] и у £ У\[У\ \fU] = Inif(U). (б) =? (в). Если f^y П [/-14] = Л, то U — Х\(/“М] zdf~*y и U открыто в X. Тогда fU П 4=Ли, в силу (б), Int fU Э У- Из Int U П 4 = Л следует теперь, что у $ [4]. (в) (а). Пусть 4 cz У', В = f~\A С X' и В замкнуто в X'. Поло- жим В = [В]. Тогда из f-*Y' = X' следует, что fB f) У' — 4. Если у £ [4], то, в силу (в), f-*y П В Л, и, следовательно, fB ?у. Значит, если у С [4] П Q У', то у EfB П У' = 4, т. е. 4 замкнуто в У', что и требовалось доказать (см. 298 гл. II). 309. Если U — открытое множество в X и U zd f~ry, где у — некото- рая фиксированная точка пространства У, a f — / | X', U' = U р. Xх, то Int fU о Int fUf = Int/' U' Э у» что и требовалось установить. 310. Ответ отрицателен и на тот, и на другой вопрос. См. задачу 316 гл. II и решение задачи 307 гл. II. 311. Пусть /: X -> У — псевдооткрытое непрерывное отображение, /(X) — У, у С У, В cz У и у С [В]. Положим 4 = f~rB, F = f~xy. Тогда (302 гл. II) [4] р F Л. Зафиксируем х С [4] р F. Если X—пространство Фреше — Урысона, то существует последовательность {хп\ nfiN*}czA) сходящаяся к х. Положим уп = fxn. Так как / непрерывно, то lim уп = у. П->оо 313. Пусть G — любая окрестность множества Ф. Так как f непре- рывно, существует окрестность U множества F, для которой fU a G. Выбе- рем ТУ С £, для которого F <z= W cz U. Тогда fW с G и W td F zd f^y для любой точки у С Ф- Поэтому Int fW 3 У и, следовательно, Int fW zd Ф. Итак, Ф cz Int fW cz G, причем Int fW € f'%. 314. Это следует из задачи 313 гл. II. 316. Это следует из задачи 321 гл. II. 317. Нет. Если X — граница квадрата, а л — проектирование этого квадрата на одну из его сторон параллельно другой стороне, то сужение я на X непрерывно и замкнуто, но, очевидно, не является открытым отобра- жением (сторона (без вершин) квадрата, параллельно которой осуществляется проектирование, является открытым в X множеством но отображается в не- изолированную точку образа). 320. Если Р замкнуто в X, то f(P) — /([Р])- Из [/(Р)] cz /([Р]) следует теперь, что f(P) zd [/(Р)]. Значит, f(P) замкнуто. Если / — замкнутое ото- бражение и 4 cz X выбрано произвольно, то /([4]) замкнуто. Но /(4) cz /[4] (так как 4 cz [4]). Значит, [/(4)] cz [/[4]] = /[4]. 321. Действительно, так как /(X) = У, то для любого Р cz X имеет место JP = У\/^(Х\Р). 322. Пусть f замкнуто, у £ У, F — f~ry и U — произвольное открытое в X множество, содержащее F. Тогда G=f-\Y\/(Х\ U)) открыто в X, F cz G cz U и f~x}G — G. Следовательно, если Ф £ а и Ф Q G Л, то Ф cz G. Значит, а — непрерывное разбиение. Будем исходить теперь из предположения, что а — непрерывное раз- биение. Пусть Р — замкнутое в X множество и у QfP. Тогда f гу cz U = = Х\Р. Так как U открыто в X, f~xy Сайа непрерывно, то в X суще- ствует открытое множество V, для которого f~*y cz У cz £7, причем V таково,
126 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ II МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА что если ФСаиФрУ^А, тоФс Г. Но тогда /-1/Г = V и из факторно- сти / следует, что fV открыто в Y. Но Г П Р = f^fV П Р== Л и, значит, /Г П fP = Л. Так как f~ry cz V, то у £ fV. Итак, fV — окрестность точки у в пространстве У, не пересекающаяся с множеством Р. Следовательно, последнее замкнуто. 323. Положим Р — X\U и Q = fP, V=Y\Q. Множество Р зам- кнуто в X, потому Q замкнуто в У и V открыто в У. Очевидно, Q Q Ф = Л, поэтому V zd Ф. Кроме того, /-17 П Р = Л, поэтому /-17 cz U. 324. Надо воспользоваться задачами 323 и 321 гл. II. 328. Пусть рх и ру замкнуты. Имеем р'х(х) — (х, f(x)) и рур'х(х) = = py(z, /(z)) = /(z) для всех х £ X. Значит, / = ру -р~х (заметим, что область определения отображений ру и рх у нас всюду в этой задаче ограничена множеством Гр поэтому рх — взаимно однозначное отображение на, и опре- делено отображение р^у Пусть А замкнуто в X. Тогда f(A) — ру(р^А), и так как рх непрерывно, a pY замкнуто, то f(A) замкнуто в У. Значит, / — замкнутое отображение. Пусть В замкнуто в У. Тогда /-1В = рхр^(В). Так как ру непрерывно, а рх замкнуто, то /-1(В) замкнуто в X. Значит, / — непрерывное отображение. Предположим теперь, что /: X У непрерывно и замкнуто. Отобра- жение рх: Гу X тогда является гомеоморфизмом (см. 291 гл. II) — здесь важна только непрерывность отображения /. Тем более, рх — замкнутое отображение. Пусть Фс Гу и Ф замкнуто в Гу. Тогда ру(Ф) = f(Px®)- Но / замкнуто и рхФ замкнуто в X. Следовательно, /(рхФ) = Ру(Ф) замкнуто в У и ру — замкнутое отображение. 329. Пусть /: X У — такое отображение, причем /(X) — Y и F^ F2 — замкнутые множества в У, Fi П Р2 ~ Л. Положим Ф! = f~*Fi, Фг = — Множества Ф1? Ф2 замкнуты в X и Ф4 П Ф2 = Л. Так как X нор- мально, то существуют открытые множества Ui cz X, U2 cz X такие, что Ui П ^2 = Л, Ф1 cz Ui, Ф2 cz U2. В силу задачи 323 гл. II существуют открытые множества Vi и V2 в У, для которых Fi cz У17 F2 cz V2 и/-171 cz f^V2 cz U2. Тогда Vi П V2 = Л. 331. Нет. Пусть л — ортогональное проектирование плоскости Р, на которой введена прямоугольная декартова система координат, на ось 1 абсцисс и F — график функции У = ~ (т. е. F — гипербола). Тогда F зам- кнуто в Р, но nF есть ось абсцисс без начала координат — незамкнутое множество (топологии обычные). См. также задачу 293 гл. II. 335. (а) Если / открыто, то у(Х\[у-1В]) открыто и, очевидно, /(Х\ \[у-хВ]) П В —Л. Поэтому и [В] ПЯХХЕ/-1^]) = Л, т. е. /^[В] cz [у-хВ]. (б) Пусть U открыто в X. Положим В — Y\fU. Тогда /-1В П U = Л, и так как U открыто, то [/-1В] П U = Л. Из /~ЧВ] cz [у-1В] теперь следует, что /~ЧВ] П U =Л, т. е. что [В] Q /СГ=Л. Но fU = Y\B. Значит, [В] cz cz В и В = [В]. 337. Пусть U cz X', U открыто в X'. Тогда U = U Q X' для некото- рого открытого в X множества U. Из X' = f^Y' следует, что У(Х\Х') cz cz У\У' и fU cz Y'. Поэтому fU Q Y' —fU = f'U. Ho fU открыто в У, так как / — открытое отображение. Значит, fU открыто в Y'. 338. Если /а: Ха Уа — открытое отображение для каждого а Е М и U = П {Ua. а £ М} — стандартное открытое множество в Х=П {Ха : а £ Л/}» а / = П {/а: а Е М} — произведение отображений /а, а G М\ f: X Y — П (Уа: а Е М}, то fU П {/а?7а: а € М} — очевидно, стандартное от- крытое множество в У (мы принимаем, для простоты, что /аХа — Уа для каждого а С М). Теперь сошлемся на задачу 334 гл. II.
РЕШЕНИЯ 127 339. Пусть — база пространства X, мощность которой равна весу X. Тогда = {fU: U £ г$} — база пространства Y, причем | | < | c# |; отсюда следует заключение. 340. Пусть U' — любое открытое в X' множество и U открыто в X, U n X' — U'. Покажем, что тогда fU — fU', чем и будет доказано, что fUr — открытое множество. Если у £fU, то U ~ Л. Из условия сле- дует, что U П f~ry р| X' Л. Значит, fU' 3 У к fU' — fU, т. е. f = / | X' открыто. 341. Рассмотрим произвольное открытое в X' множество U' и такое открытое в X множество U, что X' П U = U'. Если U' Q f^y— Л, то можно за U принять U' (ибо тогда U’ cz X\/_1z/ cz X', причем Х\/_1^ — открытое в X множество). Если U' П /-1у Л, то С7\ U' cz причем у € fU П №'• Поэтому в обоих случаях fU' = fU, и множество fU' открыто в У, так как / — открытое отображение. 343. Пусть X — прямая, а У — се отрезок. Тогда У есть подпростран- ство пространства X, а X гомеоморфно интервалу, получающемуся из У удалением концевых точек. Но X и У не гомеоморфны, так как У — биком- пакт, а X — нет (см. 226 гл. II). 344. Пусть R — пространство вещественных чисел с обычной тополо- гией. Положим X = {3n: N} (J (J Ц1+Зя, 2+Зтг): X}) и У = {Злгг д? £ € U (и {[1 + 3?г, 2 + 3n): nQ N}). Пространства X и У (взятые с тополо- гией, индуцированной из R) не гомеоморфны. В самом деле, компонента 3 точки у в X есть интервал (1,2), а в У нет точки, компонента которой была бы гомеоморфна интервалу. Но при гомеоморфизме компоненты гомеоморфно отображаются на компоненты. Это означает невозможность гомеоморфизма между X и У. Но X можно непрерывно и взаимно однозначно отобразить на У, напри- мер, так: все точки интервалов переходят в себя, а изолированные точки пространства X делятся на два бесконечных подмножества, из коих первое как-нибудь (но взаимно однозначно) отображается на множество изолиро- ванных точек пространства У, а второе взаимно однозначно отображается на множество концов полуинтервалов. Построенное отображение X па У искомое. Чуть сложнее строится взаимно однозначное непрерывное отображение пространства У на про- странство X. При этом множество {[Зп + 1, 3?г -J- 2): п — 0, 1, 2, . . .} полуинтервалов разбивается как-нибудь на счетное множество счетных множеств Лд, к = 1, 2, . . ., т. е. так, что каждое Ah — счетное семейство полуинтервалов. Каждый интервал (3?г1, Зп + 2), входящий в X, раз- бивается на счетное множество попарно не пересекающихся полуинтервалов с?, где С? = [(3п+ О + Зп+ 1 + у) • Между семействами Ск — {С^: i = 1, 2, . . .} и устанавливается какое-нибудь взаимно однозначное соответствие и каждый полуинтервал, входящий в Лд, гомеоморфно отображается на соответствующий ему полу- интервал из семейства Ск. Изолированные точки пространства У отображают- ся на изолированные точки пространства X посредством какого-нибудь взаимно однозначного соответствия. Построенное t отображение У на X искомое. 345. Предположим, что я£Х\У, */£У и <р(х) = ф(у) = z Е ф(У). Выберем непересекающиеся окрестности Ох и Оу точек х, у в пространстве X. Положим V = Оу П У- Тогда ф(У) — окрестность точки z в ф(У), и потому существует открытое в У множество U такое, что U П ф(У) == ф(У). Так Как z £ U, ф(х) = z и ф — непрерывное отображение, то существует откры- в X множество ТУ, для которого х Е ТУсс Ох и ф(ТУ) cz U. Тогда W р, । I У #= Л и ф(ТУ р У) cz ф(У), и потому ф(ТУ р У) cz U р ф(У) = ф(У)
128 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Итак, (W П У) 0 Г = А, но ср(1Г П Y) Q ф(Г) Л, а это противоречит тому, что ф | Y — взаимно однозначное отображение. 346. Пусть я: X -> Z — естественное отображение. Оно замкнуто (322 гл. II). При этом X1 = я-1#1, т. е. X1 является полным прообразом при л подпространства Z1 cz Z, Следовательно, л1 = п | X1 - сужение л на X1 — является взаимно однозначным замкнутым непрерывным отображением пространства X1 на пространство Z1 (см. 319 гл. II). Значит, л1 — гомеомор- физм (342 гл. II). 347. Нет. Пусть X — обычное пространство неотрицательных веще- ственных чисел, п для каждого целого положительного п рассмотрим двух- {1 'i п, — > . Через Z обозначим пространство раз- биения X, нетривиальными (неодноточечными) элементами которого служат все множества Fn и только они. Пусть л: X -> Z — естественное проекти- рование. Далее мы пользуемся обозначениями из решения задачи 346 гл. II. Г 1 Очевидно, X1 = {0} U U ^2> где Yt = j х Е X: х < 1 и х — при всех п == 1, 2, . . . | , У2 = {х Е X: х > 1 и х п при всех п = 1, 2, . . Очевидно, 0 Е ITiL но 0 $ [У2]. Однако [л(У2)]и [ {л(д): п = 1, 2, ...}] = ~ [ { Я ("/Г,) : П ~ 2’ • * • } ] Э л(0). Итак, 0 (J [У2], но л(0) Е [л(У2)]г, т/е. сужение л на X1 не является гомеоморфизмом. Но n^fZ1) = X1 и л — фак- торное отображение. Мы заключаем поэтому, что сужение факторного ото- бражения на полный прообраз не является факторным отображением (см. в связи с этим задачу 305 гл. II). 349. Пусть Xi — интервал (0,1), Х2 — множество ^2,2-р-^- , 2-}- 1 1*1 +— , ..., 2-J- — , ... j , X = Xi U Х2, при этом Xi, Х2 и X наделены обычной топологией. Через У обозначим пространство разбиения, элемен- (1 1 \ — , 24----j и прочие элементы — отдельные точки пространства X. Через Z обозначим совокупность всех точек полу- интервала [0, 1), отличных от при всех п Е Д'*. Произведение л X iz естественного фактор-отображения л: X У и тождественного отображе- ния iz пространства Z -па себя не является факторным отображением. Дей- ствительно, множество Р — {(я(х), х): х Е Zf х > 0} не замкнуто в У X Z, ибо (л(2), 0) Е [Р]\Л хотя (л X iz)-1P замкнуто в X X Z (очевидно, (л X 1?УГР == | (х, х): х Е (0, 1), ж А- , n Е Д+ J j • 351. Пусть Д — множество всех натуральных чисел и £ — семейство всех открытых, по отношению к обычной топологии, подмножеств U мно- жества R, для которых Д\(7 конечно. Определим / на R так: f(x) = 0, если х Е N, и /(я) == 1, если х Е Я\ДГ. Легко показать теперь, что если {xn\ n£N*} — последовательность в R, конфинальная то непременно найдется номер для которого xn Е N при всех п к. Но тогда lim {f(xnY- л £ дг+} «= 0. Значит, функция /, рассматриваемая как отображение мно- жества R в обычное пространство R, секвенциально непрерывна вдоль Однако она не является непрерывной вдоль ибо fU Э 0 и fU Э 1 для любо- го U Е I. 352. Зафиксируем счетный предфильтр ц, являющийся базисом для & Тогда ц cz £, причем каждый элемент предфильтра £ содержит некоторый элемент предфильтра ц. Поэтому последовательность {xn: n Е N+} конфи-
РЕШЕНИЯ 129 нальна g в том и только в том случае, если она конфинальна ц. Значит, сек- венциальная непрерывность отображения f вдоль 5 равносильна его сек- венциальной непрерывности вдоль ц. Аналогично, непрерывность / вдоль В равносильна непрерывности / вдоль ц. Ясно также, что из непрерывности / вдоль т] следует секвенциальная непрерывность / вдоль ц (это верно для любого предфильтра — не только для ц). Предположим теперь, что отобра- жение / не непрерывно вдоль ц, но секвенциально непрерывно вдоль тр Занумеруем элементы ц: ц = {Un: п £ N+}. Изменив, если нужно, тр можно добиться, чтобы было Un+i cz Un1 п £ N+. Выберем произвольно хп £ Un. Тогда {хп: п £ N+} — последовательность, конфинальная g, и существует точка у £ Y, любая окрестность которой содержит все члены последователь- ности {fxn: п £ Лг+}, начиная с некоторого. Но у £ limn /, ибо limn / = Л. Следовательно, найдется окрестность О*у, для которой f(Un)\О*у Л, п £ А*. Зафиксируем уп £ Un, для которого fyn $О*у. Последовательность {уп: п £ 7V+} конфинальна тр и потому {fyn: п £ N+} сходится к некоторой точке у' £ У. Очевидно, у' у. Положим теперь zn = хп, если п четно, и zn = уп, если п нечетно. Очевидно, {zn: п £ N+} — последовательность, конфинальная g, поэтому последовательность {fzn: n £ 7V+} сходится в У. Но последняя содержит подпоследовательность, сходящуюся к и содер- жит подпоследовательность, сходящуюся к у, причем у =/= у'. Ввиду хаусдор- фовости пространства У это невозможно. 353. Достаточно взять простейший бесконечный счетный бикомпакт, лишь одна точка которого не изолирована. 360. Проектирование произведения пространств на сомножитель являет- ся непрерывным открытым отображением. Но в таком случае вес сомножи- теля не превосходит веса произведения (см. 339 гл. II). 364. 1. Элементарно (см. стр. 101). 2. Заметим, что Fx есть Т0-пространство веса т (даже бикомпактное — см. 75 гл. III), так как тихоновское произведение Т0-пространств также является To-пространством, a w(Fx) — | А | (см. 379 гл. II). Тогда всякое подпространство X CZ Fx — также Т0-пространство и w(X) w(Fx) = т. Обратно, пусть X — Т0-пространство и w(X) т. Рассмотрим базу о = = {иа: а £ А} пространства X. Можно считать, что | А | = т. Строим теперь топологическое отображение / пространства X в Fx. Пусть р £ X — произвольная точка. Для каждого а £ А полагаем ха(р) == 0, если р £ Ua, И *а(р) = 1» если Р $ Положим f(p) = {ха(р) : а £ А} £ Fx, (а) Докажем, что / взаимно однозначно. Пусть р £ X, / £ X ир Так как X — Т0-пространство, то существует такое а £ А, что [7а содержит одну из точек р или р' и не содержит другой. Пусть, например, р £ С7а, р' £ Е X\Ua. Тогда ха(р) = 0, ха(р') — 1 и, следовательно, точки /р, fp' различны в F\ (б) Отображение / непрерывно. Пусть /(р) = g £ F\ Возьмем про- извольную базисную окрестность € ^g^ = . . • • •» = 0} точки /(р) = g в Fx. Тогда /(П (Uai: i = 1, . . . , s))cz cz £ • ° , откуда и следует непрерывность отображения / в точ- :Г"2‘ • ’ s не р £ х. (в) Обратное отображение /-1 непрерывно. Действительно, достаточно Доказать, что fUa открыто в fX cz Fx для любого а £ А (ибо о = {Z7a: а £ 6 А} — база пространства X), но это следует из очевидного равенства /С7а = * Я°а П /X. 365. Естественный гомеоморфизм (р между X и Д дается правилом: Ф(я) = z <=> na(z) = х для всех a £ А. ® А. в. Архангельский, В. И. Пономарев
130 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 366. Если z Е ХА\ А, то найдутсяа4 С А, а2 Е А, для которых Xi ~ = ла1 (2) =И= ла2 (z) — х2. Выберем непересекающиеся окрестности в X у точек Xi и х2 — соответствующая этой паре стандартная окрестность точки z в ХА не содержит точек множества А. 367. Каждой точке у Е Y поставим в соответствие точку ф(у) Е все координаты которой равны у. Очевидно, отображение ф — гомеоморфизм пространства Y в пространство Z. Замкнутость множества ф(У) в Z легко выводится из хаусдорфовости пространства X — существенно при этом, что у каждой точки из Z\ <р(У)' найдутся две не равные координаты (последнее очевидно). (Затем надо взять стандартную окрестность в Z, соответствующую каким-нибудь непересекающимся окрестностям этих координат.) 368. Если X — Тi-пространство, то X X X — Тгпространство, и пото- му любое множество в X X X является пересеченпем некоторого семейства открытых множеств. Пусть X не является Ti-пространством. Выберем пару х, у точек из X такую, что каждая окрестность точки х в X содержит у. Рас- смотрим произвольное открытое в X X X множество U, содержащее А. Тогда U Э (я, х) и, в силу определения топологии произведения, найдутся такие открытые в X множества О'х и что (х, х) Е О'х X О"х cz U. Но у Е О'х П О”х по условию. Значит, (я\ у) Е U — т. е. точка (х, у) произве- дения X X X, не лежащая, очевидно, на диагонали А, принадлежит пере- сечению всех открытых в X X X множеств, содержащих А. 369. Доказательство (а) может быть предоставлено читателю. Пример, требуемый в (б), можно построить так. Пусть множество X состоит из эле- ментов некоторой последовательности {хп: п С N+} и еще двух точек: у и z. Топологию ЗГ определим так, чтобы последовательность {хп\ п( А'+} схо- дилась к у, а все точки, отличные от у, были изолированными. Аналогично определяется топология 3~' так, чтобы (X, ЗГ') было бикомпактом и единствен- ной неизолированной в (X, г/') точкой была точка z. Проверьте, что точка (у, z) является предельной для диагонали А = ((х, х): х Е X} в простран- стве (X, /Г) X (X, У"). 370. Если выполняется условие (а),_то Oxi X Ох2 — окрестность точки (х^ х2) в пространстве (X, г/4) X (X, <7 2), не пересекающаяся с А. Сле- довательно, А замкнуто. Обратно, если известно, что А замкнуто, то для произвольной пары (xi, я2) Е (X X Х)\А непременно Xi Ф х2 и существует множество U = = Oxi X Ох2 Э (яч, х2), для которого U р| А = Л и Ох± Е Ох2 Е ЗГ2, Очевидно, тогда х± Е Ох±, х2 Е Ох2 и Oxt f] Ох2 — А. 374. Для каждого a0 Е М определим ф(а0) Е Dx так: х — ф(а0) <=> ^=> = 1 и rra = 0 при а =^= а0. Положим, далее, Z7ao = {х Е Ох: х^ = 1} и А = {ф(а): а Е М}. Тогда из ф(а') ф(а") при а' а" следует, что | А | = | М | = т. Ясно, что Ua О А — {ф(а)} для каждого а Е М. Имея в виду определение подпространства и то, что каждое Ua открыто в D\ мы заключаем, что А — дискретное подпространство пространства Dx. 375. (а) Пусть Ха = (0, 1} для каждого a Е АГ, где {0}, {1} — откры- тые в Ха множества и | М | = т. Для каждого х Е Dx = П {Xa: а Е Е М} положим ф(я) = {а Е АГ: = 1}. Ясно, что ф — взаимно однознач- ное отображение множества X на множество exp М. Следовательно, | Dx | — = | exp М | = 2Т. (б) Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в (а). Рассмотрим стандартную базу ЗВ пространства Dx. Произвольному элементу U Е ЗВ поставим в соответствие пару d(U) — (N, ф), где N — конечное подмноже- ство множества АГ и ф — отображение множества N в множество {0, 1} такие, что U = {х Е Ох: ха — ф(а) при всех a Е Аг}. Пара d(U) существует для каждого U Е ЗВ в силу определения стандартной базы произведения.
РЕШЕНИЯ 131 Мы получили взаимно однозначное отображение d множества & в множество (на самом деле, на множество) L X Q, где L — множество всех конечных подмножеств множества М, a Q = U {#xV: N g £}, причем QN — множество всех отображений множества N в множество {0, 1}. Но | L | — | М | = т (ибо М бесконечно), и | QN | < к0 для всех N £ L> поэтому | Q | = | L | = = т. Следовательно, и | L X Q | = т. Так как & равно мощно подмножеству множества | L X Q |, то | & | т. Следовательно, вес пространства Dx не больше т. (в) Пространство Dx содержит дискретное подпространство мощности т (см. 374 гл. II). Так как вес такого подпространства равен т и вес подпро- странства всегда не больше, чем вес самого пространства, то вес Dx равен т. 376. Существует (см. 60 гл. I) семейство такое, что U {Р: Р £ = = А, I Р | = для всех Р € I 3d I = I Л I = т и Р' (1 Р" = Л, если Р' g Р~е Р' Ф Р”- Тогда (см. 355 гл. II) X = П {ХР: Р g где Хр = П {Da\ а g Р}. Но каждое Хр гомеоморфно канторову совершенному множеству (см. 301 гл. III). Значит, Хр гомеоморфно П {Da: a g Р}, где каждое Z>a — дискретное пространство, состоящее из двух точек. Тогда X гомеоморфно произведению П {Da: a g А}, а последнее есть Dx. 377. Рассмотрим Dx — тихоновское произведение т экземпляров дискретных двуточечных пространств. Пространство Dx хаусдорфово, вес его равен т (см. 375 гл. II), а мощность множества всех точек Dx равна 2х. Зна- чит, А и Dx равномощны, т. е. существует взаимно однозначное отображение / пространства Dx на множество Л. Это отображение позволяет нам ввести искомую топологию в А: мы объявляем открытыми все подмножества мно- жества Л, являющиеся образами при / открытых в Dx множеств. 379. Зафиксируем в каждом Ха базу &а — р g М} мощности 't- для каждого конечного подмножества N множества М обозначим через QN множество всех отображений множества N в множество М. Очевидно, | Qn | = | |. Следовательно, | QN | — т. Положим L = {N а М: | N | < Ко} и] U(N, ф) = {х g X: g при всех a g N}, N g L, ф g Qn. Имеем: | L | = т и, следовательно, | (J {QN: N g L} | = т. Поэтому мощность множества = {U(N, ф): N g L, ф g QN} не превосходит т. Но очевидно,— база пространства X. Следовательно, вес X не пре- восходит т. Из 360 гл. II следует теперь, что вес X равен т. 380. Зафиксируем на А хаусдорфову топологию веса т — это возможно в силу 377 гл. II. Пусть & — база мощности т пространства Л. Обозначим через % множество всевозможных конечных наборов попарно не непересе- кающихся элементов базы Тогда (см. 58 гл. I) | % | = т. Для каждого S g % обозначим через Qs множество всех отображений множества S в У. Тогда | Qs | = I У18' | — | Y | ~ т (см. 56 гл. I). В каждом Xa зафикси- руем некоторую точку Имеем: | U 5 g %} | — т (57 гл. I), поэтому множество — {(5, ф): S g %, ф g имеет мощность т. Каждому эле- менту р — (S, ф) g Ф поставим в соответствие точку (р(р) g X, определен- ную следующим образом: х = (р(р) тогда и только тогда, когда ха = ф(С7), если a g [/ g 5, и = х*, если a 4 j {U: U g S}. Это определение кор- ректно, ибо различные элементы семейства S не пересекаются. Положим Л = (ср(р): р g Тогда | R | | & | = т и R всюду плотно в X — последнее проверяется непосредственно. 381. Зафиксируем дискретное пространство Z мощности т. В каждом Ха выберем всюду плотное подпространство Уа мощности Положим Za = Z для каждого a g М и обозначим через /а какое-нибудь отображение пространства Za на пространство Уа — оно автоматически непрерывно (см. 284 гл. II). 9*
132 ГЛ II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ II МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Рассмотрим тихоновское произведение Z — П {Za: а g М} и его ото- бражение / в пространство X, являющееся произведением отображений /а, т. е. / = П {/а: а g М}. Это отображение непрерывно, ибо каждый сомно- житель является непрерывным отображением. Но в Z есть всюду плотное множество мощности (см. 380 гл. II). Следовательно, и в подпространстве (Zf) пространства X есть всюду плотное множество мощности Заметим теперь, что [f(Z)] — X — это следует из определения отображения / и того, что множество /а(/а) Уа всюду плотно в Ха (см. 357 гл. II). 382. Для каждого х g А положим Мх = (а С Af: ха я*}. Из Л с У и определения Y следует, что [ Мх [ х0. Положим МА = U {Мх: х £ А}. Тогда (см. 57 гл. I) | Мл | < 2Т. Положим А* = {х g X: я?а — х& при а £ $ МА}. Пространство А* как подпространство пространства X гомеоморфно тихоновскому произведению П (Ха: а £ МА} (докажите это аккуратно!). При этом A cz А*. Но в П {Ха: а С AfA}, а значит, и в А* существует всюду плотное множество мощности, не превосходящей т (см. 381 гл. II). 383. Пусть % - {Уэ: Р 6 Z), Vp, (1 Ур„ = А при Р' р", Ур - непустое открытое в X множество для каждого Р g L. Предположим, что j Zr | > Хо, и выберем Lt cz £, для которого | Li | = Хр Зафиксируем теперь некоторую точку х* С X. Ее хгоболочка 2 (я*) всюду плотна в X и, следовательно, пересекается с каждым 7р. Для каждого р С Li выберем в 2 (я*) П Vp точку и положим А = Р б Li}. Тогда х$' х$" при р' Р", и потому | А | = | Li | = Xj. Из A cz 2 (я*) и | А | = < 2Ко следует (см. 382 гл. II), что существует A cz X, для которого | А | х0 и [A] zd А. Но тогда [А] Э хр, и так как Ур Э хр, то A f] Гр А для каж- дого р б Li. Отсюда, так как Ур, р = Л при Р' 5^ Р" и | L± | = хь мы заключаем, что множество А должно быть несчетным, получили проти- воречие. 385. Пусть — стандартная база пространства X. В силу 102 гл.II существует семейство % попарно не пересекающихся элементов базы такое, что и V g CZ и cz [ и {У'- V € %}1 = М = А. Так как каждое Ха сепарабельно, то мощность любого дизъюнктного семейства непустых открытых подмножеств пространства X не превосходит х0 (383 гл. II). Значит, | % [ х0. В силу 384 гл. II для каждого Ff 8 с Л существует конечное множество Су cz М такое, что V не зависит от Ly = M\CV. Но тогда множество W = U {У- У £ не зависит от множества L — р {М\Су: V g %} = Af\U {Cv: V g = М\С, где С = U {Су : У € %} - счетное множество. Легко показать, что и [ТУ] не зависит от L (см. также 388 гл. II). Но [W] ~ А, ибо А = [Z7] и [С7] = [Ж], как это видно из включения: W cz cz и cz [Ж]. 386. Пусть & — {V/: i С N+} — счетная база в У. Положим Ut — = Ai = [Uf], i £ N+. В силу 385 гл. II для каждого i £ N+ суще- ствует счетное множество Q cz М такое, что Аг не зависит от Lt — М \Су Положим С — (J {Cf. I С Ar+}, L= М\ С и покажем, что / не зависит от L. Предположим, что нашлись х' g X, х" £ X, для которых, при всех a g С — М \£, имеют место равенства х& = х& и f(xf) — z’ ф z" — /(#"), Так как — база в У, то можно выбрать У g А+ и t” g А+ такие, что z' g у.,, g Vy и [7J П [FJ = A. Тогда f^[Vy] p НК?] = А и, в силу непрерыв- ности /, получим A[f = [/^У^] cz /-ДУ^], Ar, = cz /-ДУ^]. Следо- вательно, A? П A?, = А. Из C zz> (Ciff (J Cv) и того, как выбраны точки х' и х\ следует, что х'а = х"а при всех a g Су. Но х' g Ay. Следовательно (в силу выбора Су), х" g Ay, а это противоречит тому, что х" g Ay и Ay р fl Ay ~ A.
РЕШЕНИЯ 133 387. Для доказательства утверждений (а), (б), (в) и (г) достаточно сопо- ставить соответствующие определения. Докажем (д). Из (г) следует, что у' £ [Р']. В силу (в) Р" = <В, у") (Р) = {В, у") {В, yf) (Р) = (5, у") (Р'). Из (а) следует, что (В, у"} (у') = у". Так как отображение (В, у") непре- рывно и, в силу (г), у' € [Р7], то у" Е [P"L 388. Пусть х Е [Biz и х" € = ПРИ всех а С M\L и /(У) = = у' =^= у" = f(x”). Выберем открытые в Y множества V' и V", для кото- рых V' Э у', v Э у" и V' П V” = Положим U' =j~lV'. Множество Uf открыто в X, U' 3 х’ и, следовательно, U' П В ¥= Л. Положим A — U' П В. Тогда х Е М] и /А cz fU' = V' cz X \ V", откуда следует, что у" $ [/А1- Рассмотрим теперь множества А' = (L, х') (А) и А" = (L, х"} (А) (содержащиеся в Z, ибо Z является ^-выпуклым). Из A cz В следует, что / не зависит на А от L. Поэтому fA" = /А — fА'. Но х” £ [А"] (см. (д) задачи 387 гл. II), поэтому у" = fx" £ If А"] — [/А] — получили противоречие. 389. Положим у = f(x). Пусть J9 — стандартная база топологии про- странства X. Для каждого элемента V Е & зафиксируем такой элемент V Е что х Е V и f(V Г) Z)cz V (это возможно в силу непрерывности ото- бражения /). Положим Q = {У: V Е <3 } и Ах = Г) {V Pi Е Q}- Тогда Qcz | Q | < | &> |, АхЪх и /(Ах) cz Q {/(V Г) Z): V Е Q} c=Jl {У: V Е ^} = {у}» Множество V не зависит от множества L^ — M\k(V) (см. стр.^58). Положим Сх — U {/с(У): V EQ}> Тогда | Сх ] < ] Ф |, и из АХС2 cz {V: V Е Q} следует, что Ах не зависит от Lx = М\ Сх. 390. Положим А = f-*B, Зафиксируем для каждой точки х Е А мно- жество Ах cz А и множество Сх cz М такие, что (a) f(Ax) — f(x), (б) | Сх | Ко и (в) Ах не зависит от М \ Сх (это возможно — см. 389 гл. II). Опре- делим теперь по индукции последовательность {А£: i Е Лг+} счетных под- множеств множества А и последовательность {Cf. t Е N*} счетных подмно- жеств множества М так, чтобы для всех i выполнялись условия: 1) Az cz А^+п 2) Ci = U {С*- х Е Л J и 3) лс (Аж) всюду плотно в (A) cz П {Ха: а Е Е Ci}. Начнем с Ai — {#i}, где xt — произвольно выбранная точка множе- ства А, и Ci — {Л}. Шаг индукции не вызывает затруднений, ибо П {Ха: а £ CJ — каждый раз пространство со счетной сетью и, следовательно, всякое его подпро- странство обладает счетным всюду плотным множеством. Очевидно, из с cz Ai+i следует, что С£ cz C£+i для всех I. Положим Аоо = U {А^: i Е Лг+}, Coo = и {Ci- i 6 N+} и А* - и Мое- х € Аоо}. Заметим, что | Соо | к0, | Аоо | < х0 и /(Аоо) = /А*. Очевидно,, множество Аоо нс зависит от М \ С со и отображение / не зависит от М \ Со© на Аоо (см. определение С£). С другой стороны, лСоо (А*) всюду плотно в (A) cz П {Ха: а G £«>} — это сразу следует из определения топологии произведения, соотношений С£ cz С£+1У Со© = U {С£: i С N*} и того, что лс> (А*) всюду плотно в лс (А) для каждого I (последнее имеет место, так как A* zd Af+i). Но из к0“выпуклости (и следующей из нее Coo-выпуклости) множества Z и независимости А* от М\ Со© (и соотношения А* с А) выте- кает тогда, что А* всюду плотно в А. Поэтому /А* = В* всюду плотно в В. Но В* = fA* = /Ас© (см. определение Ах). Значит, | В* | < | А«, | <: r0. Наконец, положим (M\Coo, z*) (Аоо) = А. Тогда A cz Z, так как Z является Сэс-выпуклым, и В* = /А», = fA, так как / не зависит от М\Ссо. Очевидно, I А | < [ Аоо 1 < к0, т. е. С»» и А — искомые множества. 391. В силу 390 гл. II для произвольно взятой точки х* g X найдутся счетное множество С cz М и счетное множество (?, лежащее в С-оболочке точки я*, такие, что [/((?)] z? У'. Но из предположений следует, что [<?] —
134 ГЛ. II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА» компакт. Так как f непрерывно, то /[(?] — тоже компакт, но У — хаусдорфово пространство, следовательно, /[(>] замкнуто в У. Из этих утверждений сле- дует, что /[(?] = [/()] zd [У'], значит, [У'] — компакт. См. при этом задачи 265, 29’2, 56. 92 гл. Ш. 392. Пусть Ха — обычное пространство вещественных чисел для каж- дого а Е М, | М | > к0 и Za — совокупность всех неотрицательных целых чисел. Za cz Ха- Тогда Za — замкнутое дискретное подпространство про- странства Ха. Поэтому тихоновское произведение Z — П {Za: a Е М} есте- ственно гомеоморфно замкнутому подпространству пространства X — = П {Xa: а ЕХ} (см. 361 гл. II). Следовательно (см. 62 гл. II), достаточно доказать, что Z не нормально. Положим А — {z С Z: | {a Е М: za — ?} | 1 для каждого i > 1} и В = {z Е Z: | {a Е М: za = i} | < 1 для каждого i ф 1}. Тогда А П В = А, А замкнуто в Z и В замкнуто в Z. Предположим теперь, что пространство Z нормально. Тогда существует непрерывная веще- ственная функция f на Z, для которой/(А) = 0 и f(B) = 1 (см. 25 гл. III). В силу 386 гл. II найдется счетное множество L cz М такое, что если z Е Z, z' Е % и z | L = z' | Z, то /(z) = f(z'). Рассмотрим теперь z° Е Z и z1 Е которые отображают L взаимно однозначно в множество всех целых чисел, бблыпих единицы, и удовлет- воряют условиям: z°(M\L) — 0, z1('7W \L) = 1. Тогда z° Е А, и потому /(zo) = 0; z1 Е В, и потому /(z1) = 1; z° | L = z1 | L и, следовательно, /(z°) = /(zi), т. е. 0=1 — получаем противоречие. 393. См. Корсон [1] и Комбаров [1], [2]. 394. Да. Утверждать можно. Это доказано недавно в работе Комба- рова и М а л ы х п п а [1]. 395. Рассмотрим произвольное семейство у непустых открытых в X попарно не пересекающихся множеств. Предположим, что | у | > 2х. Пусть все U Е У имеют вид U = П {Utz t Е Т}, где Ut открыто в Xt и Ut Xf лишь для конечного множества значений t Е Т — это предположение, оче- видно, не является ограничением. Пусть U' Е У> U" Е У и Uf ф U". Тогда £7' Q £7" = А и из U' = П {£7*: t Е TJ, U* = П {£7*: t Е Т} следует, что £7*о П для некоторого tQ Е Т. Зафиксируем такое t0 и положим/(£7', £7") = t0. Отображение / определено на множестве всех неупорядоченных пар различных элементов семейства у. Для каждого £7' Е у» множество {/(£7', £7"): £7" Е У, £7" #= U'}cz {£ Е Т' Щ =# Xt} = Т’ конечно. Следовательно, раз- биение множества неупорядоченных пар различных элементов у на множества /-1i, где t пробегает Т, удовлетворяет ограничениям из задачи 122 гл. I. Поэтому существуют у* cz у и t* Е Т такие, что | у* | > т, и если I7' Е У*» V” Е у*, V' #= У', то /(У, У') = i*. Тогда у** = {Vt*: V Е У*} — семейство попарно пе пересекающихся непустых открытых в Xt* множеств и | у*% | = — 1 У* I > т — получилось противоречие. 396. Пусть {УХ(С: t С фх} — такая система окрестностей точки х Е У, что П {Ух(0: *€Фх} = {*}• Введем следующие обозначения: Ex(t) = = П {Fx(s): S < t, seyx}\Vx(t) и Ux(t) = X\Es(t). Очевидно, {Ex(t): t £ E фх) — семейство попарно пе пересекающихся множеств; объединение его элементов есть Х\{я}. Кроме того, Ux(t) zd Vx(t) и, следовательно, Ux(t) — окрестность точки х. Для а Е А и х Е У определим tx(a) как тот — единствен- ный — элемент множества фх, для которого а Е Ex(tx(a)). Теперь мы можем определить вложение h множества А в X* следующим правилом: h(a) = (a, {tx(a): х Е У}) для всех а Е А. Так как точки множества А изолированы в X, то h — действительно вложение, т. с. гомеоморфизм А на h(A ); л-1(а) — окрестность точки а, для которой лг1^) П ~ {Ма)}» гДе я: X* X — естественное проектирование произведения на сомножитель. Через усло- вимся обозначать естественное проектирование X* -> фх. Покажем, что h(A) замкнуто в X*. Пусть z Е Х*\^(А). Возможны два случая: I) л(г) Е А и II)ji(z) Е У. Рассмотрим I). Положим а = ?i(z). Существует у0 Е У,
РЕШЕНИЯ 135 для которого (z) #= *</0(а) — иначе было бы z = h(a) £ h(A). Но тогда Л-1(а) 0 n^(nz/0(z)) “ окрестность точки zb X*, не пересекающаяся с /г(4). Рассмотрим II). Тогда rc(z) — yQ £ Y. Положим t0 — пу^ (z). Множество vr^Uy^tQ)) П — окрестность точки z в X*, не имеющая общих точек с множеством h(4), ибо из а £ UyQ (t0) Г) 4 следует всегда, что tyQ(a) tQl т. е. что лУ() (h{a)) ф £0- Итак, Д(4) замкнуто в X*. 397. (а) Рассмотрим нулевую функцию 0 £ GJ0, 1]: 0(7) = {0}. Если бы в 0 выполнялась первая аксиома счетности, то нашлось бы счетное мно- жество % элементов стандартной предбазы пространства С® [0, 1] такое, что семейство всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов 1g, составляет базу в 0. Вводя нумерацию, можем считать, что <£ = { (#., Uf : i С N+}, где xt £ I и Щ — некоторая окрестность нуля в I. Отрезок несчетен; зафиксируем #*£7\{а^: i £ N+}, положим U* — ==[0, V2) cz I (т. е. £7* = {я £ 7: 0 <: а? < 1/г})« Покажем, что окрестность <з*, Г/*) точки 0 не содержит никакого множества, принадлежащего %. Рассмотрим произвольный конечный набор {(я^, , . . ., £7^)} элементов семейства 1g. Так как х* £ {х^, . . ., х^}, то найдется такое непрерывное отображение /: 7 -> 7, что /(з*) = 1 и /(з^.) = 0 £ Ut. при всех 7 = 1, . . &. Тогда / £ Я {<з^., U^): j = 1, . . ., к} и /(з*) Z7*, т. е. / $ <з*, U*). Следовательно, Q {(з^_, Ut.) : j — 1, . . ., к} £ <3*, U*). Утверждение (б) вытекает из того, что | 7 | = 2Ко, и из определения тихоновского произведения экземпляров отрезка (элементы этого произ- ведения суть не что иное, как отображения произвольно фиксированного множества мощности 2Хо в 7). Ничто не мешает взять в качестве такого множества сам отрезок 7. Топология произведения при этом превращается как раз в топологию поточечной сходимости. Определяя [0, 1], мы остав- ляем только непрерывные отображения отрезка в себя, т. е. переходим к подпространству указанного произведения. Следовательно, [0,1] вполне регулярно (задача 38 гл. III). Для доказательства (в) достаточно представить {0} как пересечение счетного семейства открытых в С® [0, 1] множеств. Пусть Q = {xf. 1 £ JV+) — какое-нибудь счетное всюду плотное в 7 множество. Положим СЛу = [0, 1//), j £ 7V+. Тогда {0} = П i £ 7V+; j £ 7V+), ибо если / £ С(0 (О, 1] и / принадлежит правой части, то f(Q) — {0}, и из непрерывности / следует, что /(7) = {0}, т. е. что / = 0. 398. Так же как и в задаче 397 гл. II, можно показать, что (X, Y) гомеоморфно подпространству пространства Y]-Xl. Так как произведение любого множества регулярных пространств регулярно и подпространство регулярного пространства регулярно, то С(д(Х, У), как и любое его под- пространство, регулярно. Наделим теперь множество С[0, 1] всех элементов пространства (X, У) новой топологией «У*. Ее предбаза состоит из всех множеств вида <С7, У), где U £ 381 и V £ «$2. При этом (17, У) = {f £ С[0, 1]: f(U) cz У}, a и — произвольно фиксированные счетные базы в X и У соответственно. Тогда | | < к0 (см. 56 гл. I), и значит, (С[0, 1], <.У*) — пространство со счетной базой. Проверим, что ЗГ сг У'*. Достаточно убе- диться, что (ж, У) £ и* для любого У £ J?2. Пусть / £ (я, У). Тогда j{x} £ £ У. Так как отображение /: X -> У непрерывно, то найдется окрестность Ох точки х, для которой f(Ox) cz У. Тогда / £ {Ох, У) с= (ат, У). Значит, (ж, У) £ еГ* и з * . Но тогда пространство С& (X, У) как уплотнение пространства со счетной базой обладает счетной сетью. Но всякое простран- ство со счетной сетью наследственно финально компактно и наследственно сепарабельно (139, 143, 96 гл. II).
ГЛАВА III БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА. ПОНЯТИЯ, СВЯЗАННЫЕ С БИКОМПАКТНОСТЬЮ § 1. Функциональная отделимость. Вполне регулярные и нормальные пространства Здесь мы рассмотрим особенно важный для топологии и ее применений вид отделимости — функциональную отделимость, или, как мы будем ее называть, а-отделимость. Скажем, что подмножество А топологического пространства X a-отделено от подмножества В этого пространства, если на X существует непре- рывная вещественная функция / такая, что f(A) ={0} и /(В) = {1}. Семейство £ подмножеств пространства X называется а-семейством, если для каждого СЕ? существует В Е ? такое, что В «-отделено от А = Х\С(при этом, очевидно, В с С). Если А а В и А а-отде- лено от Х\В, то В называется ^-окрестностью множества А. Мы будем говорить об а-филътрах и а-предфильтрах, имея в виду фильтры, соответственно предфильтры, которые являются а- семействами. Но ^-ультрафильтр — это а-фильтр, который не содержится ни в каком отличном от него а-фильтре. Вообще гово- ря, а-ультрафильтр не обязан быть ультрафильтром. Последние определения можно отнести к подсемействам фиксированного семейства § множеств (как на стр. 20). Так, по семейству всех открытых в X множеств (в роли S) определяются открытые а- филътры, открытые а-ультрафильтры и т. д. *). Важную роль играет понятие отделимости точки от множества посредством семейства отображений. Скажем, что семейство отображений пространства X в какие-то топологические простран- ства отделяет точку х Е X от множества А о X, если существует / € /: X Yt такое, что /(я) $ Далее, это семейство ^о^ъ^^ярегулярным,^^^^ / Е & непрерывны и отделяет каждую точку множества X от каждого не содержащего ее замкнутого в X множества Р. Если, кроме того, все / Е являются вещественными функциями на X, мы говорим, что ер — регулярное (или расчленяющее) семейство функций на X. *) Все эти понятия восходят к работе Александрова [1].
§ 1. ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ И НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 137 Если на Тгпространстве X. существует регулярное семейство функций, пространство X называется вполне регулярным (см. также стр. 56). Рассматривая непрерывные вещественные функции на топо- логических пространствах, мы с необходимостью выделяем в этих пространствах подмножества специального вида — так называе- мые нуль-множества и конуль-множества. Множество Л с X называется нуль-множеством, если существует непрерывная веще- ственная функция f на X такая, что А = /-1(0). Множество В cr X называется конулъ-множеством, если Х\В — нуль-множество. Внешней псевдобазой множества А в топологическом про- странстве X, его содержащем, называется любое семейство у откры- тых в X множеств, для которого {#}= П{#: V и x£U} для любого х$Х. Наконец, совершенно исключительную роль будут играть, начиная с этого параграфа, во всей книге тихоновские кубы Iх — здесь т — любое кардинальное число и Iх — тихоновское (тополо- гическое) произведение т экземпляров отрезков. Очевидно, когда т — конечное кардинальное (т. е. натуральное) число/ Iх — обычный куб в т-мерном евклидовом пространстве. 1. У функционально отделенных множеств имеются непере- секающиеся а-окрестности. 2. Семейство всех а-окрестностей множества А в простран- стве X является а-семейством на X. 3. Каждое центрированное а-семейство на пространстве X содержится в некотором а-ультрафильтре на X. 4. Каждый а-фильтр является фильтром. 5. Пусть р — а-ультрафильтр на пространстве X, А — неко- торое множество и | — семейство всех его a-окрестностей в X. Тогда если А П U Л при всех U £ Р,*то £ с (J. 6. Если Pi и р2 — а-фильтры на пространстве X, причем Ui Л U2 А для любых Ux £ pi, U2 € Рг? то pi U Рг — также а-семейство. 7. Tt-пространство X вполне регулярно в том и только в том случае, если для каждой точки х £ X семейство а всех открытых в X множеств, содержащих эту точку, является а-фильтром. 8. Каждое подпространство вполне регулярного пространства вполне регулярно. 9. Приведите пример регулярного, ио не вполне регулярного пространства. 10. Пусть X — вполне регулярное пространство, F cz X, Y = X\F, р — а-ультрафильтр на X п Р' ={U П У- U £ Р}. Тогда верно хотя бы одно из следующих утверждений: 1) — а- Ультрафильтр на У; 2) каждый элемент семейства р пересекается cF. 11. Докажите, что X* X X* не нормально (здесь X* — про- с?ранство из задачи 104 гл. II), но вполне регулярно.
138 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 12. Пусть X — вполне регулярное пространство, F — биком- пакт, F cz X п Р — замкнутое в X множество, не пересекающееся с F, Тогда на X существует непрерывная вещественная ограни- ченная функция / такая, что /(F) = 0 и /(Р) = 1. 13. Пусть X — множество точек полуплоскости, ограничен- ной прямой Z, и У = Х\1. Через О(х, г), где г — положительное вещественное число и х Е Z, будем обозначать внутренность круга радиуса г, лежащего в У и касающегося Z в точке х. Положим О(х, г) = О(х, г) U {#}, X = {О(х, г): х Е Z, г > 0}; через 35 обоз- начим семейство всех открытых в обычной топологии плоскости множеств, лежащих в У. Покажите, что 1) $ — X U 3) — база некоторой топологии на X, содержащей обычную топологию; 2) Z — дискретное подпространство пространства Х\ 3) топология, индуцированная (Х,,У) на У, совпадает с топологией, индуци- рованной на У обычной топологией плоскости; 4) X является сум- мой двух метризуемых подпространств, из которых одно замкнуто, а другое открыто, и является множеством типа Fa; 5) X вполне регулярно; 6)Х не нормально. (Пространство Немыцкого.) 14. Каждое пространство X, обладающее базой SS из открыто- замкнутых множеств, вполне регулярно. 15. Каждое Ti-пространство X, только одна точка х§ которого не изолирована, нормально. 16. Если X — хаусдорфово пространство и множество всех неизолированных точек пространства X конечно, то X нормально. 17. Всякое ли счетное хаусдорфово пространство нор- мально? 18. Каждое ли счетное регулярное пространство нормально? 19. Регулярное финально компактное пространство X нор- мально. Если X регулярно, ^сгХ, Л2с:Х — финально ком- пактные подпространства П [Л21 = Л, Л2 П Mil == Л, то у Ai и А 2 имеются непересекающиеся окрестности. 20. Докажите, что регулярное пространство X со счетной базой совершенно нормально (см. стр. 58). 21. Если X — нормальное пространство и % =={Z7i, • * , . ., Uk} — произвольное его конечное открытое покрытие, то существуют замкнутые множества Fb . . ., Fk такие, что U{^': i = 1, = X и cz иг. i - 1, . . ., к. 22. Если A ={xn: n E N+} — замкнутое счетное дискретное подпространство нормального пространства X, причем хп> Ф если п' 5^= п", то существует семейство {Un: п Е открытых в’Х множеств такое, что хп £ Un при всех п Е N+ и, кроме того, у всякой точки х£Х имеется окрестность, пересекаюшдяся не более чем с одним элементом этого семейства. 23. Если тихоновское произведение X X У пространств X и У наследственно нормально, то либо У совершенно нормально, либо каждое счетное множество, лежащее в X, замкнуто.
§ 1. ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ II НОРМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 139 24. Пусть X — нормальное пространство, a UQ и — два открытых множества, для которых [СЛ0] еГ (а) Постройте для каждого двоично-рационального числа г = 9 п -= 1, 2, . . ., q = 1, 2, . . 2П, открытые множества Ur 2П’ таким образом, чтобы [47г ] с: С/г, как только г' < г. (б) Покажите, что открытые множества Ut = U{^r: r О» есяи t € Ю» И» и Ut = X, если t > 1, обладают тем же свойством: Ut, как только f < t. (в) Покажите, что функция f(x) = inf{t: х С Ut} непрерывна па X и равна нулю в точках множества [U^]. 25. Докажите, что пространство X нормально тогда и только тогда, когда для любых двух непересекающихся замкнутых в X множеств Fo и Fi существует непрерывная на всем X функ- ция /(я): I /(^) I /(*) = °’ если х € и /(х) = если х б Ft- 26. Покажите, что всякое нормальное пространство вполне регулярно. 27. Докажите, что следующие утверждения о пространстве X равносильны: (А) каждое подпространство пространства X нормально, (Б) каждое открытое подпространство пространства X нор- мально. 28. Если X — нормальное пространство и У — его подпро- странство типа Fa (т. е. У = U{^i: * € где все Ft замкнуты в X), то У тоже нормально. 29. Каждое подпространство совершенно нормального про- странства X нормально. 30. Докажите, что замкнутое подмножество F нормального пространства X имеет тип G& тогда и только тогда, когда оно является нуль-множеством. 31. Пусть X — нормальное пространство, 4, В — замкну- тые в нем непересекающиеся множества, с — положительное вещественное число. Тогда существует непрерывная веще- ственная функция на X такая, что /(А) ={—с}, f(B) ={с} и /(X) cz [—с, с]. 32. Пусть X — нормальное пространство, А—его замкнутое Подпространство, с — положительное вещественное число и /0 — непрерывная вещественная функция на пространстве А такая, Что I /о(^) | с при всех х £ А. Тогда существует такая веществен- ная функция g, определенная и непрерывная на всем X, что । I < — с ПРИ всех Е X и | /о(^) — £(£) | С 4- с при всех *€А. 3 33. Докажите, что всякую ограниченную непрерывную веще- твенную функцию /, определенную на замкнутом множестве F
140 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА нормального пространства X, можно продолжить до непрерывной функции на всем X. 34. Если X — нормальное пространство и А — его замкнутое подпространство, то всякое непрерывное отображение / простран- ства А в обычное пространство R вещественных чисел можно продолжить до непрерывного отображения / всего X в R. 35. Докажите, что произведение X — П{Ха: а Е Л} любого множества вполне регулярных пространств вполне регулярно. 36. Докажите, что вполне регулярное пространство X веса т имеет расчленяющее семейство непрерывных вещественных огра- ниченных функций мощности, не большей т. 37* Пусть задано пространство X и Тгпространства {Уа: а Е Л} и для каждого а ЕЛ определено непрерывное отображе- ние /а: X -> Уа. Докажите, что в случае, когда система отобра- жений fa: X—>- Уа является расчленяющей, диагональное произве- дение /: X П{Уа: а Е Л} есть гомеоморфизм. 38. Докажите, что пространство X вполне регулярно в том и только в том случае, если оно гомеоморфно подпространству некоторого тихоновского куба. 39. Докажите, что регулярное пространство со счетной базой метризуемо (теорема Урысона). 40. Пусть X — вполне регулярное пространство, а о — систе- ма конуль-множеств в X мощности | а | т. Докажите, что существует пространство Уст веса w Уати непрерывное произве- дение fa: X Уа, при котором каждое U Е ° отмечено, т. е. foU открыто в Уст И 6СЛИ U Е ОТ. 41. Пусть X — вполне регулярное пространство, М cz X — подмножество, о — система конуль-множеств пространства X, образующая внешнюю псевдобазу множества М (см. стр. 137). Пусть | а | т. Докажите, что существует пространство Ум, ivYм т, и непрерывное отображение /м: X —> Ум, при котором М = и — %, если х Е М. § 2. Бикомпактность Точка х пространства X называется точкой полного накопле- ния для множества Л cz X, если | Ox Q Л | = | Л | для каждой ее окрестности Ох. Важным инструментом исследования бикомпактов (и финаль- но компактных пространств) являются свободные последователь- ности: вполне упорядоченное множество (Л, <) точек про- странства X называется свободной последовательностью, если 1{х Е Л: х < у}] П [{* Е Л: х > у}] = Л и \{х Е Л: х < у} | < < I Л | для любого у Е Л. При этом мощность множества Л назы- вается длиной свободной последовательности (Л, <).
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 141 Одно из самых интересных семейств бикомпактов составляют диадические бикомпакты. Так называются хаусдорфовы про- странства, на которые можно отобразить обобщенные канторовы дисконтинуумы. Мотивировкой к их рассмотрению являются не только любопытнейшие свойства, которыми они обладают, но и тот факт (он будет установлен в § 4), что каждый компакт (т. е. метри- зуемый бикомпакт) является непрерывным образом канторова совершенного множества — т. е. простейшего из всех дисконти- нуумов. Таким образом, понятие диадического бикомпакта являет- ся обобщением понятия компакта. Точка х пространства X называется точкой его локальной бикомпактности, если существуют открытое в X множество U и бикомпактное подпространство Ф пространства X такие, что х £ U cz Ф. Множество всех точек локальной бикомпактности пространства X обозначается через G(X), а множество всех точек нелокальной бикомпактности пространства X, т. е. множество X \ G(X),— через R(X). Ясно, что G(X) открыто в X, a R(X) замкну- то в X. Пространство X локально бикомпактно, если G(X.) = X. Мы знаем, что каждое подмножество топологического про- странства само очень естественно превращается в топологическое пространство (стр. 55). Но не менее важно и интересно рассматри- вать топологические пространства, которые данное пространство содержат в качестве подпространства. Пространство Y называется расширением пространства X, если X является всюду плотным подпространством пространства Y (или если задано такое тополо- гическое вложение /: X -> У, что образ /(X) пространства X при / всюду плотен в У). Если расширение У пространства X бикомпактно, то оно называется бикомпактным расширением. Расширения пространства X, являющиеся хаусдорфовыми про- странствами, называются хаусдорфовыми расширениями. Пространство X называется полным в смысле Чеха, если в неко- тором своем бикомпактном хаусдорфовом расширении оно являет- ся множеством типа G§. С понятием бикомпакгности тесно связано понятие абсолютной замкнутости, или Н-замкнутости. Хаусдорфово пространство X называется Н-замкнутым, если при всяком топологическом вложении f его в произвольное хаус- дорфово пространство У образ /(X) замкнут в У. Это же можно выразить и так: хаусдорфово пространство Я-замкнуто, если оно замкнуто в каждом объемлющем его хаусдорфовом пространстве. Усилением аксиомы отделимости Хаусдорфа является аксио- ма отделимости Урысона: говорят, что X удовлетворяет аксиоме отделимости Урысона или урысоновской аксиоме отделимости, если для любых двух различных точек xt и х2 пространства X существуют такие их окрестности Uxi и Ux2, что Q [ Ях21 = Л. Всякое регулярное пространство, очевидно, удовлетворяет этой аксиоме отделимости; обратное неверно. Другим ослаблением
142 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА регулярности является так называемая полурегулярность (или семирегулярность}-. пространство X полурегулярно, если в нем канонические открытые множества (см. стр. 62) образуют базу. С понятием бикомпактности тесно связано также понятие неуплотняемости. Хаусдорфово пространство X называется не- уплотняемым, или минимальным хаусдорфовым пространством, если всякое его взаимно однозначное непрерывное отображение на хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом. Наконец, в этом параграфе впервые нам встретится следующее понятие. Пространство X называется топологически однородным, если для любых двух его точек х и у существует гомеоморфизм / пространства X на себя, при котором f(x) = у. Топологически однородны, например, все обобщенные канторовы дисконтинуумы (см. стр. 101), включая обычное канторово совершенное множество (см. 185 гл. II). 42. Пусть X — бесконечное множество, наделенное следую- щей топологией k: U £ k в томи только в том случае, если U cz X и либо U = А, либо X \ U — конечное множество (см. 2 гл. II). Докажите, что (а) каждое подпространство пространства (X, k) биком- пактно; (б) любое бесконечное М cz X всюду плотно в (X, 43. Если бикомпактное пространство дискретно, то множество его точек конечно. 44. Для того чтобы пространство X было бикомпактно, (необходимо и) достаточно, чтобы из любого покрытия X элемен- тами некоторой фиксированной базы можно было выделить конеч- ное покрытие. 45. Докажите, что пространство X бикомпактно тогда и толь- ко тогда, когда всякая центрированная система замкнутых в X множеств имеет непустое пересечение. 46. Докажите, что пространство X бикомпактно в том и только в том случае, когда всякая центрированная система про- извольных множеств имеет точку прикосновения (см. стр. 53). 47. Докажите, что пространство X бикомпактно тогда и толь- ко тогда, когда всякая максимальная центрированная система множеств имеет точку прикосновения в X. 48. Пространство X бикомпактно в том и только в том случае, если для каждого бесконечного множества М cz X существует точка полного накопления в X. 49. В каждом бесконечном бикомпакте X существует счетное незамкнутое множество. 50. Пусть X — вполне регулярное пространство, А — его* подмножество и каждое бесконечное подмножество С множества А имеет точку полного накопления в X. Верно ли, что тогда [4]^ — бикомпакт?
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 143 51. Пусть X — вполне регулярное пространство, А — его подмножество и каждое центрированное семейство £ подмножеств множества А имеет точку прикосновения в X. Следует ли отсюда, что [Л]х — бикомпакт (ср. с 50 гл. III)? 52. Если пространство X обладает предбазой 9$ такой, что из любого покрытия X элементами семейства $ можно выбрать конечное подпокрытие, то X бикомпактно. 53. Пусть (X) — множество всех непустых замкнутых под- множеств топологического пространства X. Если A g & (X) и В £ (X), положим В) = {С С (X): С П 4 ЛиСс с= 5} и = {5Г(Л, В): А Е ^(Х)9 Ве^ (X)}. Докажите, что если X бикомпактно, то & (X), наделенное топологией, предбазой замкнутых множеств которой служит *) семейство <9\ бикомпактно. 54. Докажите, что замкнутое подпространство бикомпактного пространства бикомпактно. 55. Пусть X — хаусдорфово пространство, В — бикомпактное подпространство пространства X, a xQ £ X — точка, которая не принадлежит F. Докажите, что существуют окрестность UF мно- жества F в X и окрестность UxQ точки х$ £ X, для которых UF П п Uxq = Л. 56. Докажите, что всякое бикомпактное подпространство хаусдорфова пространства X является замкнутым в X множеством. 57. Незамкнутое подпространство хаусдорфова пространства не бикомпактно. 58. Для каждой неизолированной точки х произвольного бикомпакта X существует множество A cz X такое, что х является единственной точкой полного накопления для Л. 59. Каждое регулярное небикомпактное пространство (X, JT) можно представить как незамкнутое подпространство некоторого хаусдорфова пространства. 60. Регулярное //-замкнутое пространство бикомпактно. 61. Докажите, что хаусдорфово пространство X является Я-замкнутым тогда и только тогда, когда из любого открытого покрытия со этого пространства можно выделить конечную под- систему <о' с: со, замыкания элементов которой покрывают X. 62. Докажите, что каноническое замкнутое подмножество [ U\x //-замкнутого пространства X является //-замкнутым подпро- странством. 63. Пусть X — хаусдорфово пространство, каждое замкнутое подпространство которого //-замкнуто. Докажите, что X биком- пактно. *) Семейство Ф множеств пространства X образует предбазу замкну- тых в X множеств, если семейство {X \ 17: U С &} — прсдбаза топологи г пространства X (см. стр. 53).
144 гл. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 64. Докажите нормальность хаусдорфова бикомпактного про- странства. 65. Пусть X — топологическое пространство, Ф — биком- пакт. Ф cz X и {Un: п Е N*} ~ определяющая система его окрестностей в X. Зафиксируем произвольно хп £ Un. Тогда любая подпоследовательность {.rnfe: к Е N+} последовательности {хп: п Е Х+} обладает предельной точкой в Ф. 66. Пусть X — бикомпактное пространство и £ — предфильтр, состоящий из замкнутых в X множеств. Тогда, каково бы ни было открытое в X множество (7, содержащее множество Ф = Г1{Р: Р Е £}, существует Ро Е для которого PQ cz U. 67. Пусть X — бикомпакт, а ? - центрированная система непустых замкнутых в нем множеств. Докажите, что для любой окрестности OF0 множества FQ — Г) {jF: F Е существует такой конечный набор элементов F^ . . ., Fs Е что Fo cz П {Л: * — = 1. ...,$} cz OF0. 68. В бикомпакте X псевдохарактер ф(F, X) любого замкнуто- го множества F всегда равен его характеру %(F, X) (в частности, псевдохарактер и характер любой точки х £ X совпадают). 69. Пусть X — бикомпакт, Ф замкнуто в X, Ф ~4= Л, и U zz зэФ, U открыто в X. Тогда существует бикомпакт F счетного характера в X такой, что Ф cz F cz U. 70. Пусть X — хаусдорфово пространство, Ф и F — его бикомпактные подпространства, т — кардинальное число, т х0, F cz Ф, характер F в Ф не превосходит т и характер Ф в X не превосходит т (т. е. Ф) т, %(Ф, X) т). Тогда и характер F в X не превосходит т. 71. Если X — бикомпакт, т — кардинальное число и Q — множество типа Gx в X, то для любого х Е Q найдется бикомпакт Ф cz X такой, что х Е Ф cz Q и %(Ф, X) т. 72. Если X — пространство с первой аксиомой счетности и F — его счетное бикомпактное подпространство, то характер F в X не превосходит х0. 73. Если X — бикомпактное ^-пространство и F — замкну- тое в X множество, то существует такое семейство у открытых в X множеств, что | у | т, где т — вес X, и F = Q {U: U Е 74. Во всяком ли топологическом пространстве (в том числе и нехаусдорфовом) пересечение любых двух бикомпактных под- пространств является бикомпактным подпространством? 75. Докажите, что топологическое произведение X = = П{Ха: а Е ^4} семейства {Ха: а Е А} бикомпактных пространств также бикомпактно (первая теорема Тихонова). 76. Если А и В — бикомпактные подпространства топологи- ческих пространств X и Y и W — произвольная окрестность мно- жества А X В в произведении X X У, то существуют окрест-
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 145 ность U множества А в X и окрестность V множества В в У, для которых U X V cz W. 77. Пусть {Ха: а f Л} — некоторое семейство топологиче- ских пространств, Фа — бикомпактное подпространство простран- ства Ха при каждом а £ А, Ф = П{Фа: а Е А} - подпростран- ство произведения X = П{Ха: а ЕЛ} и W — окрестность мно- жества Ф в X. Тогда существуют аь . . ., £ А и открытые в Ха. множества С7а., содержащие Фа>, такие, что П{С7а.: г = 1, . . &}хП{Ха: а £ А \ {аь . . а*}}cz W. 78. Пусть F — бикомпакт, % ={fa- « € Л} — семейство не- прерывных отображений бикомпакта F в обычный отрезок I = = [О, 1] вещественных чисел, J = (0, 11 = [0, 1] \ {0} — полу- интервал, X = {х g Ft fa(x) у= 0 при всех а £ А} и /: F -> F А| — отображение, определенное правилом: f(x) = {fa(x): а С Л} при всех х С F. Тогда 1) /-1 (/А|) = X; 2) f(X) — замкнутое в JIA| множество; 3) отображение qr. X J1 Al, где ср(х) == f(x) для всех х £ X, замкнуто (и непрерывно). 79. Пусть F — бикомпакт и {Фа: а £ А} — семейство биком- пактов, лежащих в F. Предположим, что %(Фа, F) х0 для всех а g А. Тогда пространство X = F \ J {Фа: а € Л} гомеоморфно замкнутому подпространству тихоновского произведения 2?1А1Т, где R — прямая и т — вес пространства X. 80 (пример — две окружности П. С. Александрова). Точками пространства X являются точки двух концентрических окружно- стей: 50 (внутренняя) и (внешняя). Окрестностью точки х С So является объединение содержащего эту точку интервала окруж- ности 5о и центральной проекции этого интервала на из кото- рой удалена проекция точки х. Все точки окружности объяв- ляются изолированными. Докажите, что X — бикомпактное хаусдорфово пространство без счетной базы, во всех точках удовлетворяющее первой аксиоме счетности и являющееся суммой (не свободной) двух своих метри- зуемых подпространств. 81. Пусть X' и X" — два экземпляра одного и того же биком- пакта X. Рассмотрим множество Л(Х) == X' J X". Точку х £ X, рассматриваемую как элемент в X', обозначаем через х', а рас- сматриваемую как элемент в X" — через я". Аналогично и мно- жество М cz X обозначаем М', если мы его рассматриваем в экземпляре X', и М", если в X". Вводим в Л(Х) топологию ана- логично 80 гл. III. Базу топологии образуют одноточечные мно- жества {#"}, х” £ X", и множества вида (U' (J 17") \ {я"}, где U — произвольная окрестность точки х бикомпакта X. 10 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
146 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА Докажите последовательно (а) А(Х) — хаусдорфово пространство; (б) X' в индуцированной с А(Х) топологии гомеоморфно бикомпакту X, а значит, само бикомпактно и замкнуто в А(Х); (в) X" — дискретное подпространство, открытое в А(Х); (г) А(Х) — бикомпакт. 82 (пример — пространство Хелли). Пусть X — множество всех неубывающих отображений отрезка [0, 1] в себя (т. е. f £ g X f(x) f(y) при х^ у). Наделим X топологией поточечной сходимости (см. стр. 100),— что то же, топологией, индуцированной из топологического произведения [0, 1]К°Л]|. Покажите, что X — неметризуемый сепарабельный бикомпакт с первой аксиомой счетности. Другой пример такого бикомпакта см. в 87 гл. III. 83. Любое вполне упорядоченное множество (X, <), обла- дающее наибольшим элементом хт, будучи наделено порядковой топологией, становится бикомпактом. 84. Пусть — минимально вполне упорядоченное мно- жество мощности xi, наделенное порядковой топологией, а С 6 и Фа — {х С х а)- Тогда Фа как подпространство пространства Т(сО1) является бикомпактом. 85. Пусть (X, <) — линейно упорядоченное пространство с порядковой топологией. Тогда следующие условия равносильны: (а) X бикомпактно; (б) каждое замкнутое в X непустое .множество В имеет наибольший и наименьший элемент; (в) для каждого непустого A cz X существует sup А и inf А В (X, <). 86. Любое бикомпактное подпространство стрелки (см. 104 гл. II) счетно. 87. Пример («две стрелки Александрова»). Рассмотрим два полуинтервала X = [0, 1), X' = (0, 1], расположенные друг под другом. Множество всех точек этих двух интервалов обозначим через X**. Топологизируем X** следующим образом: базу топо- логии составляют всевозможные множества вида Г1 = [а, р) U « Р')> Г2 = (а, Р) U (а', р']. Здесь [а, Р) — полуинтервал в X, а (а', Р') — проекция интерва- ла (а, Р) на X'; (а', Р'] — полуинтервал в X', а (а, Р) — проек- ция интервала (а', Р') в X. Докажите следующие свойства топо- логического пространства X**: 1) X** — хаусдорфово пространство; 2) X** — бикомпакт; 3) X** допускает совершенное отображение на отрезок число- вой прямой; 4) X** наследственно финально компактно;
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 147 5) X** совершенно нормально; 6) X** — пространство с первой аксиомой счетности; 7) X** сепарабельно; 8) X** не имеет счетной базы; 9) X** неметризуемо; 10) всякое метризуемое подпространство пространства X** не более чем счетно; 11) квадрат этого пространства ненаследственно нормален. 88. Всякий бикомпакт обладает свойством Бэра (см. стр. 77). 89. Если X — непустой бикомпакт и | X | х0, то в X есть изолированная точка. 90. Покажите, что всякое полное в смысле Чеха вполне регу- лярное пространство X обладает свойством Бэра. 91. Пусть /: X У — непрерывное отображение бикомпакт- ного пространства X на пространство У. Докажите, что У биком- пактно. 92. Пусть /: X -> У — непрерывное отображение бикомпакт- ного пространства в хаусдорфово пространство У. Докажите, что отображение / замкнуто. Разбиение бикомпакта X непрерывно тогда и только тогда, когда пространство этого разбиения хаусдор- фово (тогда естественное проектирование на пространство разбие- ния замкнуто). 93. Докажите, что взаимно однозначное непрерывное отобра- жение / бикомпакта X на хаусдорфово пространство У является гомеоморфизмом. 94. Пусть /: X У — отображение бикомпакта X на биком- пакт У. Докажите, что / непрерывно тогда и только тогда, когда график отображения / замкнут в произведении X X У. 95. Пусть (У, — произвольное бикомпактное ^-простран- ство. Всегда ли существует топология У на У такая, что (У, ) — бикомпакт и / cz J7~? 96. Всегда ли взаимно однозначное непрерывное отображение одного бикомпактного пространства па другое является гомео- морфизмом? 97. (а) Докажите, что любая непрерывная функция на биком- пакте X ограничена и достигает своих точных верхней и пижней граней. (б) Существует ли небикомпактное нормальное пространство, всякая непрерывная функция на котором ограничена? 98. Если бикомпакты X и У равномощны и имеют ровно по одной неизолированной точке, то X и У гомеоморфны. 99. Если X — бикомпакт, только одна точка х0 которого не изолирована, то содержащее xQ множество U cz X открыто в том и только в том случае, если X \ U — конечное множество. 100. Докажите, что образ Я-замкнутого пространства при непрерывном отображении — Я-замкнутое пространство. 10*
148 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 101. Докажите, что хаусдорфово неуплотняемое простран- ство X, удовлетворяющее урысоновской аксиоме отделимости, бикомпактно. 102. Докажите, что для того, чтобы хаусдорфово пространство X было неуплотияемо, необходимо и достаточно, чтобы X было Я-замкнуто и по л у регулярно. 103. Пусть X — бикомпакт с первой аксиомой счетности и D cz X — произвольное его счетное подмножество. Можно ли утверждать, что подпространство Хо = X \ D уплотняется на некоторый бикомпакт? 104. Пусть X состоит из всех точек (х, у) евклидовой плоско- сти, координаты которых удовлетворяют условию 0 < х2 + У2 1, и еще двух точек р+ и р". Для точек (х, у) евклидовой плоскости, входящих в X, берутся окрестности те же, которые они имеют на евклидовой плоскости. Окрестности у точек р+ и р~ следующие: = {р+} и {о» у) € X- 0 < Ж2 + у2 < , у > 01 Unp~ = {?"} U {(ж, у): 0 < х2 + у2 < 1, у < 0} . По определению, все рассматриваемые окрестности образуют базу топологии на X. Докажите, что X с такой топологией — хаусдор- фово неуплотняемое и небикомпактное пространство. 105. Счетный бикомпакт имеет счетную базу, а потому мет- ризуем. 106. Если в бикомпакте X есть сеть мощности, не большей т. то в нем есть и база мощности, не большей т. 107. Вес бикомпакта всегда не превосходит его мощности. 108. Если X — бесконечный бикомпакт и X ~ Xf J Х2, то wX = max{u?Xi, wX?}. 109. Если X — бикомпакт, т — кардинальное число, т х0 и X = U {Ха: а £ М}, где wXa т для каждого а £ М и | М | т, то wX т. НО. Существует ли счетное бикомпактное ^-пространство без счетной базы? 111. Если бикомпакт Y является образом при непрерывшш отображении пространства со счетной базой X, то wY х0. 112. Если /: X -> Y — непрерывное отображение, /(X) = Y и Y — бикомпакт, то wY wX. ИЗ. При непрерывном отображении бикомпакта X па хаус- дорфово пространство Y вес не увеличивается. 114. Если X — бикомпакт и диагональ А в X X X является множеством типа то X имеет счетную базу. 115. Всякий ли сепарабельный бикомпакт наследственно сепарабелен?
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 149 116. Пусть X — бикомпакт, т — кардинальное число, и s(F) т для каждого замкнутого в X подпространства F. Тогда s(Y) т для каждого Y cz X. 117. Может ли наследственно сепарабельный бикомпакт иметь мощность большую, чем 2х»? 118. Верно ли, что если мощность бикомпакта больше, чем 2Х<>, то у этого бикомпакта существует дискретное подпространство несчетной мощности? 119. Существует сепарабельный не наследственно нормальный бикомпакт. 120. Если X — бикомпактное ^-пространство, т — карди- нальное число, т >> к0, и 38 — база пространства X такая, что I 38х I т Для всех х С где йх ={U Е то | | т. 121. Пусть X — бикомпакт, т — кардинальное число, т х0, и § — семейство открытых в X множеств такое, что для всех х Е X непременно | ёх | т и {я}= П{Z7: U Е где ёх— = {U Е g: U Э %}- Тогда | g|< т. 122. Пусть X — бикомпакт и 38 — псевдобаза пространства Х(т. е. {х} = П{Е7 6 х} для всех х Е X). Тогда в X суще- ствует и база $>*, для которой I $8* | I S8 |. 123. Если бикомпакт X обладает псевдобазой 88 (см. 122 гл. III), для которой | 38 х | т при всех х Е X (т — кардиналь- ное число, т и 88 х = {U Е U Э %})> то вес этого бикомпак- та не превосходит т. 124. Докажите, что вес любого нульмерного бикомпакта X равен мощности семейства всех его открыто-замкнутых множеств. 125. В каждом бикомпакте F без изолированных точек можно выделить замкнутые непересекающиеся подпространства FQ и Fif в которых тоже нет изолированных (в Fo, соответственно в Ft) точек. 126. Если бикомпакт X не имеет изолированных точек, то мощность этого бикомпакта не меньше 2Х°. 127. Приняв, что xj = 2*% докажите, что всякий бикомпакт мощности, не большей 2К«, хотя бы в одной точке удовлетворяет первой аксиоме счетности. 128. Если бикомпакт X удовлетворяет первой аксиоме счет- ности (во всех точках), то либо | X | х0, либо | X | 2*о. 129. Каждое бикомпактное ^-пространство X веса, не пре- восходящего т, где т х0, обладает сетью мощности, не превос- ходящей т, все элементы которой — замкнутые множества. 130. Бикомпактное Ti-пространство X со счетной базой либо счетно, либо имеет мощность 2К°. 131. Приведите пример бикомпакта 5, обладающего следую- щими свойствами: (а) в S нет изолированных точек; (б) в S есть счетная л-база;
150 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА (в) в S пет ни одной нетривиальной сходящейся последова- тельности. 132. Приведите пример бикомпакта X, в котором нет ни одной нетривиальной сходящейся последовательности, но есть после- довательность {4Z: i Е N+} конечных множеств, удовлетворяющая условиям: 1) Лг П = Л при =И= и 2) для каждого непустого открытого в X множества V суще- ствует к Е N+ такое, что V fl At =£= Л при всех i > к. 133. Для каждого кардинального числа т > х0 существует секвенциальный (см. стр. 57) бикомпакт Вх мощности т, который во всех точках, кроме одной, удовлетворяет первой аксиоме счетности. 134. Каждый ли секвенциальный бикомпакт является про- странством Фреше — Урысона (см. стр. 57)? 135. Всякий ли бикомпакт счетной тесноты является секвен- циальным пространством? 136. Каждый ли бесконечный бикомпакт счетной тесноты со- держит нетривиальную сходящуюся последовательность? 137. Если топология бикомпакта X порождается некото- рой симметрикой d, то X удовлетворяет первой аксиоме счет- ности. 138. Если X — бикомпакт, топология которого порождена некоторой симметрикой d, то X имеет счетную сеть. 139. Всякий симметризуемый бикомпакт метризуем. 140. Длина произвольной свободной последовательности в бикомпакте X не превосходит его тесноты t(X). 141. Пусть X — бикомпакт, АсХ, т- кардинальное число и А = J {[В]: В cz А и | В | т) ф [4]. Тогда I) если х Е [41 A Q и Q — множество типа Gx в X (см. стр. 57), то Q А А Л; II) в X существует свободная последовательность длины т+, все элементы которой лежат в А. 142. Теснота £(Х) произвольного бикомпакта X равна точной верхней грани длин свободных последовательностей в нем. 143. Если X — секвенциальный бикомпакт и U — непустое открытое множество в X, то найдется замкнутое в X множество F типа в X и мощности, не большей 2К<>, лежащее в U. 144. Каждый секвенциальный бикомпакт X на всюду плот- ном" множестве точек имеет характер не больший, чем 2К<\ 145. Если = 2*о, то всякий секвенциальный бикомпакт X удовлетворяет первой аксиоме счетности па всюду плотном множестве точек. 146. Предположим, что 2К<> = Каждый ли бикомпакт счетной тесноты удовлетворяет первой аксиоме счетности на всюду плотном множестве точек?
§ 2. БИКОМПАКТНОСТЬ 151 147. Предположим, что 2^о = Каждый ли наследственно сепарабельный бикомпакт имеет счетную л-базу? 148. Если в хаусдорфовом пространстве X задано семейство ер попарно не пересекающихся непустых бикомпактов счетного характера в X и X удовлетворяет условию Суслина, то ] ер | 2*4 149. Если секвенциальный бикомпакт X удовлетворяет усло- вию Суслина, то | X | 2*4 150. Пусть бикомпакт X удовлетворяет условию Суслина и имеет счетную тесноту. Верно ли тогда, что | X | 2К°? 151. Если бикомпакт X является секвенциальным простран- ством и характер его во всех точках не превосходит 2^о, то | X | < 2>Ч 152. Если однородный бикомпакт X секвенциален, то либо он состоит из конечного числа точек, либо его мощность равна 2К<>. 153. Если X — бикомпакт, т — кардинальное число и %(^, X) т для всех х £ X, то | X | 2Т. 154. Если X — однородный бикомпакт и т = | X |, то найдет- ся т' < т, для которого т 2Т'. 155. Приняв обобщенную континуум-гипотезу (G. С. Н.) 2х = т+ для любого кардинального числа т х0, докажите, что не существует однородного бикомпакта, мощность которого была бы предельным кардинальным числом. 156. Если кардинальное число т сильно недостижимо (т. е. с/(т) = т и 2Т' < т всегда, когда т'< т) и X — такой бикомпакт, что %(гс, X) < т для всех х £ X, то [ X | т. 157. В предположении, что верна обобщенная континуум- гипотеза (см. стр. 29), выясните, существуют ли бикомпакт X и кардинальное число т х0 такие, что %(х, X) < т при всех х £ X, но ] X | > т. 158. Верно ли, что всякое несчетное бикомпактное ^-про- странство, удовлетворяющее первой аксиоме счетности (во всех точках), имеет мощность, не меньшую чем 2К<>? 159. Образ диадического бикомпакта при непрерывном отобра- жении является диадическим бикомпактом. 160. Произведение любого множества диадических бикомпак- тов является диадическим бикомпактом. 161. Каждый компакт (т. е. метризуемый бикомпакт) является Диадическим бикомпактом. 162. Произведение любого множества компактов является Диадическим бикомпактом. 163. Каждый тихоновский куб является диадическим биком- пактом. 164. Диадические бикомпакты составляют наименьшее семей- ство пространств, содержащее все компакты, произведение любого множества своих элементов и непрерывный образ любого своего элемента, удовлетворяющий аксиоме отделимости Хаусдорфа.
452 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 165. Каждый бикомпакт гомеоморфен замкнутому подпро- странству некоторого диадического бикомпакта. 166. Каждый диадический бикомпакт обладает свойством Суслина. 167. Если диадический бикомпакт X удовлетворяет первой аксиоме счетности во всех точках, то он имеет счетную базу. 168. Если X — диадический бикомпакт, У с X и характер пространства X в каждой точке множества Y счетен, то [У] — бикомпакт со счетной базой, т. е. компакт. 169. Приведите пример бикомпакта, не являющегося диади- ческим. 170. Если 2х* > 2*о, то каждый диадический бикомпакт мощности 2*о обладает счетной базой. 171. Если 2Х1 > 2х», то каждый секвенциальный диади- ческий бикомпакт X обладает счетной базой. 172. Верно ли, что каждый секвенциальный диадический бикомпакт метризуем, без предположения, что 2х* > 2х»? 173. Пусть X — произвольный диадический бикомпакт, a D cz X — его произвольное счетное подмножество. Можно ли утверждать, что подпространство Хо = X \ D уплотняется на некоторый бикомпакт (на некоторый диадический бикомпакт)? 174. Для всякого ли диадического бикомпакта X пространство его замкнутых множеств (см. 53 гл. III) является диадическим бикомпактом? § 3. Понятия, близкие к бикомпактности Естественным ослаблением бикомпактности является финаль- ная компактность (см. стр. 58). Ослаблением бикомпактности в противоположном направле- нии является счетная компактность: пространство X счетно ком- пактно, если из любого счетного открытого покрытия этого про- странства можно выделить конечное подпокрытие. Ясно, что бикомпактны те и только те пространства, которые одновременно финально компактны и счетно компактны. Важным примером счетно компактного небикомнактного про- странства является пространство, обозначаемое всюду в дальней- шем через 7’(а>1). Фиксируем минимально вполне упорядоченное множество мощности, равной и наделяем его порядковой топологией (стр. 63). Получившееся пространство и есть Z’(a>i) (см. 91 гл. I, 84 гл. III). Известно (см. 97 гл. III), что любая непрерывная веществен- ная функция на бикомпакте X ограничена. Обратное, однако, не верно: существуют небикомпактные нормальные пространства, на которых любая непрерывная функция ограничена (188, 187, 185 гл. III). Вполне регулярное пространство X называется
£ 3. ПОНЯТИЯ, БЛИЗКИЕ К БИКОМПАКТНОСТИ 153* псевдокомпактным, если всякая вещественная функция, опреде- ленная и непрерывная на X, ограничена. В классе нормальных пространств объемы понятий счетной компактности и псевдоком- пактности совпадают (192 гл. III). В этом параграфе впервые встречается важное понятие ло- кально конечной в данном пространстве системы множеств. Осо- бенно важную роль это понятие будет играть в главе V. Система со множеств пространства X называется локально конечной в X, если для всякой точки х С X существует такая ее окрестность Ux, что |{Л £ со: Ux П А Л} | < (т. е. Ux имеет непустое пересече- ние лишь с конечным числом множеств из со). Система £ множеств пространства X называется счетно центрированной (сравните с определением центрированной систе- мы множеств, стр. 20), если всякая счетная подсистема £' систе- мы | имеет непустое пересечение. Бикомпактные пространства и бикомпактные подмножества топологических пространств, как было отмечено еще раньше, играют чрезвычайно большую роль и при изучении небикомпакт- ных пространств. Существует очень широкий класс пространств (называемых ^-пространствами), топология которых однозначно реставрируется, если указана только система всех их бикомпакт- ных подмножеств. Топологическое пространство называется к- пространством, если множество в нем замкнуто тогда и только тогда, когда пересечение его с любым бикомпактным подмножеством есть бикомпактное подмножество этого пространства. Класс к- пространств достаточно широк: ему принадлежат все бикомпакты, все локально бикомпактные пространства, все пространства, пол- ные в смысле Чеха (см. стр. 141), все пространства с первой аксио- мой счетности. Мы рассматриваем в этом параграфе только fe-npo- странства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Хаусдорфа. Пусть М cz X. Обозначим через [М]1 множество всех точек х пространства X, для каждой из которых существует такое биком- пактное множество F cz X, что х g [Z1 П Л/l. На первый взгляд представляется ясным, что множество [М]1 замкнуто в X, если X является ^-пространством. Однако это, вообще говоря, не так. Естественно пространство X назвать /^-пространством, если Для всякого М с: X множество [М]1 замкнуто в X. Всякое fet- пространство является и fe-пространством. Особое место среди fe-пространств занимают пространства точечно счетного (счетного) типов. Хаусдорфово пространство X называют пространством точечно счетного типа (счетного), если Для всякой точки х £ X (для всякого бикомпакта Ф cz X) суще- ствует такой бикомпакт F cz X, что х g F (Ф cz F) и %(/’, X) No- Наконец, в рассмотрениях этого параграфа определенную роль будет играть понятие псевдобазы пространства X в точках
154 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА заданного множества A cz X или, что же самое, понятие внешней псевдобазы множества А в пространстве X, его содержащем. Это понятие введено на стр. 137, и здесь нет нужды его повторять. Множество A cz X имеет тип FQ в X, если множество Х\А имеет тип в X (см. стр. 57). 175 (пример). Пусть X — полуплоскость, ограниченная пря- мой I и Y = X \ I. По отношению к обычной топологии на X выде- лим в X счетное всюду плотное множество Q, лежащее в У, и для каждой точки х Е I зафиксируем последовательность q(x) = = {<7п(я): п Е N+} точек множества Q. сходящуюся к х. Определим теперь на множестве Z = I U Q новую топологию следующим образом: все точки множества Q изолированные в Z, а базу в про- извольной точке х Е I образуют множества Qk(x) ={Яп(х)' п &}> Проверьте, что 1) (Z, — локально бикомпактное хаусдорфово простран- ство с первой аксиомой счетности; 2) (Z, S") обладает базой из открыто-замкнутых множеств; 2') (Z, .У) вполне регулярно; 3) (Z, .У) локально метризуемо и локально обладает счетной базой; 4) (Z, У') является суммой двух своих дискретных подпро- странств, из которых одно замкнуто, а другое открыто и является множеством типа FG, а именно: Z = I U Q; 5) (Z, сепарабельно, но не имеет счетной базы; 6) (Z, ^) неметризуемо; 7) (Z, .У') не финально компактно. 176. У каждого локально бикомпактного хаусдорфова про- странства X существует бикомпактное хаусдорфово расширение аХ такое, что j аХ \ X | 1 (бикомпактификация Александ- рова). 177. Каждое локальное бикомпактное хаусдорфово про- странство вполне регулярно. 178. Открытое подпространство У бикомпакта X локально бикомпактно. 179. Пусть ЬХ — бикомпактное хаусдорфово расширение про- странства X. Докажите, что X локально бикомпактно в том и только в том случае, если X открыто в ЬХ. 180. Подпространство У локально бикомпактного хаусдорфо- ва пространства X в том и только в том случае локально биком- пактно, когда У открыто в [У]х. 181. Множество G(X) всех точек, в которых пространство X локально бикомпактно, открыто в X и образует локально биком- пактное подпространство пространства X. Соответственно мно- жество 7?(Х) всех точек, в которых пространство X не локально бикомпактно, замкнуто в X.
§ 3. ПОНЯТИЯ. БЛИЗКИЕ К БИКОМПАКТНОСТИ 155 182. Произведение X = П{Ха: а £А} бесконечного множества локально бикомпактных небикомпактных Т\-пространств Ха не локально бикомпактно ни в одной точке. 183. Если пространство X бикомпактно, а У — любое про- странство, то множество R(X X У) точек нелокальной бикомпакт- ности произведениях X У естьХ X R(Y), где R(Y) — множество точек нелокальной бпкомпактности пространства У. 184. Любая (счетная) последовательность ф ={хп- п Е 2VT} точек пространства ^(со^) содержит подпоследовательность, схо- дящуюся к некоторой точке пространства 185. Пространство Z((Oi) не бикомпактно. 186. Докажите, что (а) любые два замкнутых в пространстве Z((Oi) множества Fi, F2 мощности Xi пересекаются; (б) любая непрерывная вещественная функция / на T((Oi) финально постоянна, т. е. для нее существует такое а0, что /(а) = = /(а0) при всех а а0. 187. Пространство нормально. 188. Каждая непрерывная вещественная функция, заданная на пространстве T^cOi), ограничена, т. е. 74(01) псевдокомпактно. 189. Докажите, что топологическое пространство X счетно компактно тогда и только тогда, когда всякое его бесконечное подмножество имеет в X предельную точку. 190. Приведите пример счетно компактного нормального небикомпактного пространства. 191. Докажите, что пространство У, являющееся образом счетно компактного пространства X при непрерывном отображе- нии, является счетно компактным. 192. Докажите, что нормальное пространство X счетно ком- пактно тогда и только тогда, когда X псевдокомпактно. 193. Пространство T(coi) счетно компактно. 194. Докажите, что для топологического пространства X следующие свойства эквивалентны: (а) X счетно компактно; (б) всякая счетная центрированная система замкнутых в X множеств имеет непустое пересечение; (в) всякая счетная убывающая последовательность замкнутых множеств имеет непустое пересечение. 195. Докажите, что вполне регулярное пространство X счет- но компактно, если не только само X, но и всякое его замкнутое подпространство псевдокомпактны. 196. Докажите, что вполне регулярное пространство псевдо- компактно в том и только в том случае, когда всякая локально конечная система у открытых в X множеств (см. стр. 153) конечна. 197. Вполне регулярное пространство X псевдокомпактно в том и только в том случае, когда для каждого центрирован-
156 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА ного счетного семейства S открытых в X множеств имеет место PR 198. Пусть X — нормальное пространство, F — замкнутое множество в X и Ф = Fr F^F fl [X \ F]. Тогда если Ф несчетно компактно, то характер множества F в X несчетен. 199. Приведите пример финально компактного, но не биком- пактного пространства. 200. Если X — финально компактное пространство, то для каждого несчетного множества А с X найдется точка у £ X, любая окрестность которой пересекается с А по несчетному мно- жеству (т. е. у — точка конденсации множества А), 201. Может ли регулярное наследственно финально ком- пактное пространство не удовлетворять первой аксиоме счет- ности? 202. Докажите, что замкнутое подмножество финально ком- пактного пространства является финально компактным простран- ством. 203. Докажите, что пространство У, являющееся образом финально компактного пространства X при непрерывном отобра- жении, само финально компактно. 204. Приведите пример регулярного пространства, удовле- творяющего условию Суслина, но не финально компактного. 205. Приведите пример регулярного сепарабельного про- странства, не являющегося финально компактным. 206. Докажите, что следующие условия, наложенные на регулярное пространство X, эквивалентны: 1) X финально компактно и совершенно нормально; 2) X финально компактно, и всякое его открытое подмноже- ство является финально компактным подпространством; 3) из всякой системы у открытых в X множеств можно выде- лить счетную подсистему у0 cz у, объединение элементов которой совпадает с объединением всех элементов системы у; 4) X финально компактно и всякое его подпространство финально компактно. 207. Докажите, что совершенно нормальное финально ком- пактное пространство удовлетворяет условию Суслина. 208. Докажите, что пространство, являющееся объединением счетного семейства финально компактных подпространств, само финально компактно. 209. Пусть Z = [0, 1] — отрезок числовой прямой с есте- ственной топологией. Определим на I новую топологию следующим образом. Пусть A cz I — вполне несовершенное множество (см. стр. 161) в I мощности, равной мощности континуума (существо- вание такого множества доказывается в 285 гл. III). Базу новой топологии на множестве I (новое пространство будем обозначать через Z*) образуют, по определению, все открытые множества отрезка
§ 3. ПОНЯТИЯ» БЛИЗКИЕ К БИКОМПАКТНОСТИ 157 в естественной топологии и, кроме того, отдельные точки х £ А (т. о. каждое одноточечное множество {х}, если х £ Л, открыто и замкнуто в новой топологии). Докажите: (а) Z* — регулярное топологическое пространство; (б) Z* финально компактно; (б') Z* нормально; (в) Z* имеет точечно счетную базу (см. стр. 70); (г) Z* не имеет счетной базы; (д) Z* неметрпзуемо; (е) I* не совершенно нормально; (ж) I* не наследственно финально компактно. 210. Приведите пример совершенно нормального финально компактного пространства, в котором каждый бикомпакт имеет счетный характер, негомеоморфного никакому подпространству совершенно нормального бикомпакта. 211. Пусть X — финально компактное Т\-пространство, F — замкнутое в X множество, | F | 2^о и каждая точка х £ F является пересечением семейства открытых в X множеств, где | Та | 2*4 Тогда и F является пересечением не более чем 2^о открытых множеств. 212. Если X — финально компактное хаусдорфово простран- ство, которое (а) секвенциально и (б) во всех точках имеет харак- тер, не больший чем 2Х<>, то | X | 2*4 213. Каждое хаусдорфово финально компактное пространство с первой аксиомой счетности имеет мощность, не большую чем 2*4 214. Пусть X — произвольное регулярное финально ком- пактное пространство счетного псевдохарактера. Можно ли X уплотнить на хаусдорфово пространство с первой аксиомой счет- ности? 215. Пусть X — регулярное финально компактное простран- ство и ф(.г, X) х0 Для любой точки х g X. Верно ли, что тогда I X | 2*0? 216. Покажите, что пространство X финально компактно тогда и только тогда, когда всякая счетно центрированная система замкнутых множеств этого пространства имеет непустое пересе- чение. 217. Пусть X — финально компактное пространство, а /: X -> Y — его непрерывное отображение на регулярное простран- ство Y веса ivY — т, где т — допустимое кардинальное число (т. е. тх<> — т). Докажите, что существует замкнутое подмноже- ство F cz X, для которого jF ~ Y и s(F) wY = т. 218. Пусть X — хаусдорфово финально компактное простран- ство, обладающее двумя свойствами: a) t(X) и0; (б) для любого М er X, | М | с, непременно | [7W1 ] с. Пусть А — некоторое множество, | А | = минимально вполне упорядоченное, т. е. А‘= Т Пусть для каждого X С А
158 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА построены пространство YK, непрерывное отображение Д: X —► Ух и замкнутое в X множество FK таким образом, что: 1) с для каждого X £ Л, 2) /Л = YK Для каждого К £ А, 3) Fx cz F^, если % < %', 4) /vAA = FK, если % < X', 5) ji/fk'X cz для любой точки х С X, если X < X'. Докажите, что | X | с. ' 219. Пусть X — регулярное финально компактное простран- ство. которое удовлетворяет следующим двум условиям: (a) t(X) х0; (б) для всякого М cz X, | М | с, непремен- но | [Л/] | с. Тогда если ф(а:, X) с для любой точки х Е X, то | X к с. 220. Пусть X — регулярное финально компактное простран- ство, ф(я, X) х0 Для любой точки х и t(X) = х0. Докажите, что | X | с. 221. Всякое метризуемое подпространство Y совершенно нор- мального бикомпакта обладает счетной базой. 222. Пусть Y — подпространство некоторого совершенно нор- мального бикомпакта и топология Y порождается некоторой сим- метрикой. Верно ли тогда, что Y имеет счетную базу? 223. Каждый совершенно нормальный бикомпакт удовлетво- ряет (во всех точках) первой аксиоме счетности. 224. Каждое замкнутое множество в совершенно нормальном бикомпакте обладает счетной определяющей системой окрест- ностей. 225. Мощность любого совершенно нормального бикомпакта не превосходит 2*о (теорема Александрова). 226. Мощность множества всех замкнутых подмножеств совер- шенно нормального бикомпакта X не превосходит 2К° (предложе- ние справедливо, если X — совершенно нормальное финально компактное пространство с первой аксиомой счетности, в частно- сти, если X имеет счетную базу). 227. Существует ли совершенно нормальный бикомпакт, уни- версальный в том смысле, что каждый совершенно нормальный бикомпакт гомеоморфен его замкнутому подпространству? Дока- жите, что существует семейство мощности, большей 2К», попарно негомеоморфных совершенно нормальных бикомпактов. 228. Если X — совершенно нормальный бикомпакт и У — его подпространство, обладающее сетью пУ мощности, не боль- шей т, то У имеет и внешнюю базу (см. стр. 70) в X мощности, не большей т. Тем более, вес У не превосходит т. 229. Никакое неметризуемое подпространство X совершенно нормального бикомпакта нельзя представить в виде объединения счетного семейства метризуемых подпространств.
§ 3. ПОНЯТИЯ, БЛИЗКИЕ К БИКОМПАКТНОСТИ 159 230. Пусть (X, S) — бикомпакт с первой аксиомой счетности, причем | U | > х0 для каждого непустого U £ S' (в качестве (X, S) для этой задачи возмем отрезок с обычной топологией). Положим • f = {U\A-. U£S\ Л (= X п \А | ^х0}. Покажите, что (X, S) — хаусдорфово топологическое про- странство, обладающее следующими свойствами: 0) Каждое счетное множество А, лежащее в (X, S), замкнута в (X, -Г); 1) c(Y) к0 для каждого У с X (т. е. сс(Х) = к0); 2) $(У) > х0, если Y cz X и ] Y | > к0; 3) каждое подпространство Y пространства X финально ком- пактно; 4) пространство (X, S) не удовлетворяет первой аксиоме счетности ни в одной точке, но во всех точках имеет счетный псевдохарактер; 5) £(Х, S') > к0; 6) 1А]Хо = и в с А и I В I х0} = А для всех А <= Х-, 7) [4]No = {уЕX: если QczX, y£Q и Q — множество типа G& в (X, ,<Г), то Q Я А Л} = [А](Х> и, значит, [[Л для всех А с: X (ср. с 141 гл. III); 8) S cz S, но S =^= S — т. е. тождественное на X отобра- жение (X, S) (X, S) является нетривиальным уплотнением; 9) пространство (X, S') является Я-замкнутым; 10) для всех v 231. При непрерывном отображении в совершенно нормаль- ный бикомпакт вес не увеличивается. 232. Если хаусдорфово пространство Y является образом совершенно нормального бикомпакта X при непрерывном отобра- жении /, то Y — тоже совершенно нормальный бикомпакт. 233. При непрерывном отображении совершенно нормального бикомпакта X на хаусдорфово пространство Y вес никакого под- пространства пространства X не возрастает. 234. Если произведение бесконечных бикомпактов X и У наследственно нормально, то и X, и У совершенно нормальны. 235. Если X — бикомпакт и X X X X X — наследственно нормальное пространство, то X имеет счетную базу. 236. Если тихоновское произведение пространства X на себя является совершенно нормальным бикомпактом, то X обладает счетной базой. 237. Докажите, что каждое пространство с первой аксиомой счетности является ^-пространством.
160 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 238. Докажите, что каждое локально бикомпактное хаусдор- фово пространство является /^-пространством. 239. Замкнутое подпространство ^-пространства является к- прострапством. 240. Докажите, что всякое хаусдорфово пространство точечно счетного типа является ^-пространством. 241. Каждое полное в смысле Чеха пространство является пространством точечно счетного типа. 242. Покажите, что каждое пространство, полное в смысле Чеха, является ^-пространством. 243. Если X — ^-пространство и х — его неизолирован- ная точка, то существует бикомпакт Ф cz X, для которого я € [Ф \ {*}К 244. Каждое ли хаусдорфово ^-пространство является /^-про- странством? 245. Каждое ли полное в смысле Чеха пространство является /^-пространством? 246. Образ /^-пространства при факторном отображении является ^-пространством. 247. Докажите, что хаусдорфово пространство тогда и только тогда является /^-пространством, когда оно есть фактор-про- странство некоторого локально бикомпактного хаусдорфова про- странства. 248. Открытое подпространство хаусдорфова /^-пространства является /^-пространством. 249. Верно ли, что каждое подпространство ^-пространства, удовлетворяющего аксиоме отделимости Хаусдорфа, является Л-пространством? 250. Если каждое подпространство хаусдорфова пространства X является ^-пространством, то X — пространство Фреше — Урысона. 251. Если Y — /^-пространство и /: X Y — совершенное отображение вполне регулярного пространства X на Y, то и X — //-пространство. 252. Пусть X — /^-пространство и У — локально бикомпакт- ное хаусдорфово пространство. Тогда X X Y — тоже А-про- странство. § 4. Компакты Компактами мы называем метризуемые бикомпакты. Важный пример компакта — гильбертов кирпич. Так называется множе- ство (?°° всех точек х ={xt: i = 1, 2, . . .} гильбертова простран- ства Z2 (см. 249 гл. II), для которых 0 хг , вместе с топо- логией, индуцированной из Z2.
§ 4. КОМПАКТЫ 161 При изучении компактов определенную роль играет понятие точки конденсации. Точка пространства называется его точкой конденсации, если всякая ее окрестность является несчетным множеством. Множество М, лежащее в пространстве X, называется вполне несовершенным (в X), если оно не содержит никакого совершенного в X множества. При этом (см. стр. 77) множество А называется совершенным в X, если оно замкнуто в X и как подпространство пространства X не имеет изолированных точек. В этом параграфе важную роль будет играть понятие канто- рова совершенного множества, определенное в гл. II, § 3, за- дача 185. Как мы увидим в дальнейшем, следующее понятие в некотором смысле противостоит понятию канторова совершенного множества. Пространство X называется о-дискретным, если оно является объединением счетного семейства своих дискретных подпро- странств (замкнутыми эти подпространства могут не быть). Наконец, в этом параграфе впервые встречается понятие неприводимого отображения. Оно будет играть особенно важную роль в главе VI. Отображение / пространства X на пространство Y называется неприводимым, если Y не является образом никакого замкнутого в X множества F, отличного от X. Будут рассматри- ваться только непрерывные неприводимые отображения. Докажите следующие утверждения (253—276). 253. Полное вполне ограниченное метрическое пространство (X, р) счетно компактно (см. стр. 60, 61, 152). 254. Счетно компактное метризуемое пространство биком- пактно. 255. Метрическое пространство (X, р) бикомпактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. 256. Подпространство X евклидова пространства Rn являет- ся компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограни- чено в Rn. 257. Бикомпакт X метризуем тогда и только тогда, когда имеет счетную базу. 258. Замкнутое подпространство компакта само является компактом. 259. Метрическое пространство (X, р) счетно компактно тогда и только тогда, когда из всякой последовательности {хр i Е N+} его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 260. Метрическое пространство (X, р) является компактом тогда и только тогда, когда всякая его убывающая последователь- ность непустых замкнутых множеств имеет непустое пересечение. 261. Метрическое пространство (X, р) бикомпактно тогда и только тогда, когда всякая непрерывная функция на (X, р) ограничена. А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
162 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 262. Метризуемое пространство X бикомпактно тогда п только тогда, когда всякая метрика на X, совместимая с его топологией, ограничена. 263. Пополнение метрического пространства (X, р) биком- пактно тогда и только тогда, когда (X, р) вполне ограничено. 264. Всякий компакт замкнут в объемлющем метрическом пространстве. 265. Топологическое произведение счетного семейства ком- пактов есть компакт. 266. Подпространство Q°° (гильбертов кирпич) гильбертова пространства Z2 является компактом. Всякое ли замкнутое огра- ниченное подпространство гильбертова пространства Z2 является компактом (сравните с 256 гл. III)? 267. Класс компактов совпадает с классом замкнутых подпро- странств гильбертова кирпича. 268. Любой компакт, являющийся подпространством про- странства иррациональных точек числовой прямой, нигде не пло- тен в этом пространстве. 269. Пространство иррациональных точек числовой прямой или отрезка нельзя представить в виде объединения счетного семейства его бикомпактных подпространств. 270. Всякое открытое множество Г компакта X есть локально бикомпактное пространство со счетной базой. 271. Метрическое пространство X со счетной базой локально бикомпактно тогда и только тогда, когда является объединением такой счетной последовательности растущих компактов: X = оо = U Fn, Fncz Fn+1, п С N+, что каждая точка х £ X внутренняя П=1 для некоторого Fn. 272. Локально бикомпактное метризуемое пространство X со счетной базой может быть дополнено одной точкой до компакта. 273. Метризуемое локально бикомпактное пространство X локально имеет счетную базу, т. е. для каждой точки х £ X суще- ствует окрестность Ux, которая как подпространство X имеет счетную базу. 274. Метризуемое пространство локально бикомпактно и имеет счетную базу тогда и только тогда, когда гомеоморфно открытому всюду плотному множеству некоторого компакта. 275. В пространстве иррациональных точек числовой прямой или отрезка нет точек локальной бикомпактности. 276. Гильбертово пространство Z2 не имеет точек локальной бикомпактности, а евклидово пространство Rn конечной размер- ности локально бикомпактно во всякой своей точке. 277. Приведите пример локально бикомпактного подпро- странства X числовой прямой Д1, для которого дополнение Y = = R1 \ X — не локально бикомпактное пространство.
§ 4. КОМПАКТЫ 163 278. Укажите не локально бикомпактное подпространство X числовой прямой 7?1, являющееся объединением двух локально бикомпактных подпространств. 279. Всякое нульмерное (см. стр. 56) полное сепарабельное метрическое пространство (У, р) без точек локальной бикомпакт- ности гомеоморфно бэровскому пространству 7?(х0) счетного веса (теорема Александрова). 280. Пространство иррациональных точек гомеоморфно бэров- скому пространству 5(к0). 281. Всякое открытое подпространство бэровского простран- ства В(х0) гомеоморфно 5(к0). 282. Нульмерное сепарабельное метрическое пространство X гомеоморфно подпространству 5(х0). 283. (а) Множество XiCZ X всех точек компакта X, не яв- ляющихся его точками конденсации, есть открытое счетное мно- жество. (б) Дополнительное множество X0 = X\Xi, т. е. множество всех точек конденсации компакта X, — совершенное множество (непустое, если X несчетно). 284. Любой несчетный компакт X имеет мощность, равную мощности континуума. 285. (а) На числовой прямой R1 имеется семейство у мощности С попарно негомеоморфных компактов; (б) на прямой R1 имеется вполне несовершенное множество Z мощности, равной мощности континуума. 286. Если (X, р) — метрическое пространство, a Fcz cz (X, р) — его бикомпактное подпространство, то для любой точки х Е X найдется такая точка у * £ F, что р (х, у *) = = inf {р (х, у): у е F} = р (ж, F). 287. Если (X, р) — бикомпактное метрическое пространство, то в (X, р) найдутся две точки хЛ £ X, х2 € X, для которых Р (^i, ^2) = diam (X, р). 288. Если (X, р) — метрическое пространство, Fi cz X, F2cz X — два его замкнутых пепересекающихся подмножества, то р (7^, F2) > 0, если одно из этих множеств бикомпактно. 289. Расстояние между любыми двумя непересекающимися бикомпактными подпространствами метрического пространства (X, р) положительно и достигается. 290 *. Для всякого конечного открытого покрытия со — = {£71, . . ., Us} компакта (X, р) можно найти такое число Л (со) > 0, что всякое множество A cz X диаметра < ц (со) содержится хотя бы в одном элементе покрытия и). 291*. Для всякого конечного замкнутого покрытия а ком- пакта (X, р) найдется такое число б (а) > 0, что для каждого мно- жества Ясс X, для которого diam А б (а), система множеств ао = {F Е а: А п Л А} имеет непустое пересечение. 11*
164 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 292. Хаусдорфово пространство У, являющееся непрерывным образом компакта X, само является компактом. 293. Всякое непрерывное отображение / компакта (X, р) на компакт (У, р') равномерно непрерывно. 294. Всякая непрерывная функция на компакте (X, р) равно- мерно непрерывна. 295. Сжатое отображение / компакта (X, р) в себя есть отобра- жение на собственную часть этого компакта. 296. Всякая изометрия компакта (X, р) в (X, р) есть изомет- рия на весь компакт (X, р). Можно ли то же самое утверждать для случая, когда (X, р) — полное метрическое пространство? 297. Если (X, р) — компакт, а / — такое отображение X в себя, что р (fx, fy) <Z р (х, у) для любых двух различных то- чек х и у из X, то / имеет в X единственную неподвижную точку. 298*. Если / — отображение компакта (X, р) па себя, при котором р (fx, fy} р (х, у) для любых двух точек х С X, у Е X, то f — изометрия. 299. Всякий компакт X является непрерывным образом кан- торова совершенного множества (теорема Александрова). 300. Нульмерный компакт У без изолированных точек гомео- морфен канторову совершенному множеству (теорема Александрова). 301. Докажите, что (а) канторово совершенное множество гомеоморфно произве- дению счетного числа изолированных двоеточий; (б) произведение счетного числа конечных хаусдорфовых пространств также гомеоморфно канторову совершенному множе- ству; (в) произведение счетного числа пространств, каждое из кото- рых гомеоморфно канторову совершенному множеству, снова гоме- оморфно канторову совершенному множеству. 302. Канторово совершенное множество топологически одно- родно. 303. Компакт У тогда и только тогда является образом канто- рова совершенного множества С при неприводимом непрерыв- ном отображении, когда он не имеет изолированных точек. 304. Полное метрическое пространство без изолированных точек содержит топологический образ канторова совершенного множества. Если X — произвольное полное метрическое простран- ство, то либо X содержит канторово совершенное множество, либо X является объединением счетного числа дискретных подпро- странств. 305. Если X — метризуемый бикомпакт и A cz X — его счет- ное подмножество, то подпространство Хо = X \ А допускает взаимно однозначное непрерывное отображение на некоторый метризуемый бикомпакт.
§ 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БИКОМПАКТАХ 165 306. Можно ли утверждать, что пространство замкнутых мно- жеств (см. 53 гл, III) отрезка числовой прямой гомеоморфно гиль- бертову кирпичу? 307. Гомеоморфны ли пространства замкнутых множеств отрезка числовой прямой и квадрата? 308. Придумайте семейство мощности попарно пегомео- морфных компактов, пространства замкнутых множеств которых гомеоморфны. § 5. Непрерывные функции на бикомпактах Как известно, всякая непрерывная функция на бикомпакте X ограничена и достигает своей точной верхней и нижней грани (см. 97 гл. III). Всякая непрерывная функция на бикомпакте X равномерно непрерывна в следующем смысле: для всякого действи- тельного числа е > 0 найдется такое конечное открытое покрытие со бикомпакта X, что | jxr — fx2 | < е, если только Xt и х2 при- надлежат одному и тому же элементу покрытия (докажите). На любые топологические пространства переносится понятие рав- номерной сходимости последовательности вещественных функций. Последовательность функций {fn: п £ 7V+}, определенных на топо- логическом пространстве X, равномерно сходится к функции / на X, если для всякого е > 0 найдется такой номер n0 £ 7У+, что I fa — I < 8 Для всех п > по и всех х € X. Равномерно сходя- щаяся последовательность {/n: п £ N+} непрерывных функций на пространстве X имеет своим пределом непрерывную функцию (см. 310 гл. III). Говорят, что множество Со функций на X разделяет точки пространства X, если для любых двух различных точек х± и х2 этого пространства найдется такая функция / Е Со, что/^ fx2. Множество Cq функций на X сильно разделяет точки простран- ства X, если для любых двух точек х± Е X, х2 £ X, xt х2, и лю- бых двух действительных чисел а и Ь, а Ь, найдется такая функция / Е С о, что fxi = a, fx2 = Ъ. Главным предметом изучения в этом параграфе является мно- жество (всегда в дальнейшем обозначаемое через С (X)) всех непре- рывных вещественных функций, определенных па биколгпакте X. Это множество превращается естественным образом в линейное коммутативное кольцо (точнее говоря, в алгебру), если за операцию сложения принять обычное (поточечное) сложение двух функций (заметим, что сумма двух непрерывных на X функций есть функ- ция непрерывная), а за операцию умножения принять обычное (поточечное) умножение двух функций (опять надо заметить, что произведение двух непрерывных функций — всегда функция непрерывная). Кроме того, естественным образом определяется Умножение функции / Е С (X) на действительное число. В каче-
166 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА стве единичного элемента в С (X) фигурирует функция, тождест- венно равная единице, а в качестве нуля — функция, тожде- ственно равная нулю. Нетрудно убедиться в том, что С (X) вместе с определенным так сложением и умножением на действительное число представляет собой линейное пространство. Операция про- изведения двух элементов из С (X) удовлетворяет условию ком- мутативности.. Множество С (X) вместе с перечисленными выше операциями, превращающими его в коммутативное линейное коль- цо с единицей (в другой терминологии — в алгебру), называется линейным кольцом непрерывных функций па бикомпакте X (или алгеброй непрерывных функций на бикомпакте X). Алгебра С (Ar) (X — бикомпакт) играет совершенно исключи- тельную роль не только в общей топологии, но и в функциональ- ном анализе. Приведем точное определение линейного кольца (точнее, алгебры — см. Н а й м а р к [1]). Линейное кольцо — это некоторое множество X, в котором, во-первых, определены операция сложения и операция умножения на действительные числа, превращающие это множество в линейное пространство, во-вторых, на X определена еще одна операция — операция умно- жения, сопоставляющая каждой упорядоченной паре элементов х, у из X элемент х°у также из X. При этом требуется выполнение следующих аксиом: (а) а (х°у) = (ах)оу; (б) (х ° у) = х° (y°z); (в) (х 4- у) о z = х о z у ог; г) х о (у + и) = х ° у + х ° z для любых х £ X, у £ X, z Е X и любых чисел а. Если имеется такой элемент е С X, что хое~е°х~х для любого х Е X, и, кроме того, х о у = = у о х для любых двух элементов х С X, у Е X, то линейное коль- цо X называется линейным коммутативным кольцом с единицей (или коммутативной алгеброй с единицей). Все дальнейшие понятия мы будем относить к алгебре С (X) непрерывных функций на бикомпакте X. Подмножество Cocz (7(Х) называется подкольцом, если / + g Е Со, f*g€ CQ, — f Е Со Для любых / Е Со, £ Е Со- Подкольцо Cocz С (X) называется идеалом, если g-f Е Со для любых g Е Со, / Е С (X). Другими словами, подкольцо Cocz С (X) называется идеалом, если Со-С (Х)сг Со. Идеал Со cz С (X) называется нетривиальным, если Со С (X) и Со состоит более чем из одной функции. Наконец, нетривиальный идеал Со с С (X) называется максимальным идеалом, если Со не содержится пи в каком (отличном от Со) нетривиальном идеале. Понятно, что всё С (X) есть тривиальный идеал, тривиален также идеал, состоящий лишь из одной функции (которая необходимо есть функция, тождественно равная нулю, т. е. нулевой элемент в С (X)). Заметим, что у пас, по определению, максимальные идеа- лы — нетривиальные идеалы. Через Сх, х Е X, обозначается мно- жество всех непрерывных на бикомпакте X функций, обращаю- щихся в точке х в нуль, т. е. Сх = {/ Е С (X): fx — 0}.
§ 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БИКОМПАКТАХ 167 На С (X) определяется стандартная метрика (и даже норма). Полагаем ||/|| = max {| fx |: х £ X}, р(/, g) = max{| fx — gx х £ X} = \\f — g|| для любых / С С(Х), g € С(Х), помня при этом, что любая непре- рывная функция на бикомпакте X ограничена и достигает своей точной верхне!! грани. (Заметим также, что функция q(x) = = | /х | непрерывна, если / — непрерывная функция.) Так определенная метрика на С(Х) называется метрикой равномерной сходимости или чебышевской метрикой. Всюду в дальнейшем С(Х) считается наделенным именно этой метрикой. Итак, с одной стороны, С(Х) — коммутативная алгебра с единицей, с другой стороны, С(Х) — метрическое пространство. Легко про- веряется, что операции, определенные на С(Х), непрерывны в мет- рике равномерной сходимости. Это означает, что отображение ср, в силу которого произвольной паре (/, g) функций / Е С(Х), g £ С(Х) соответствует функция / + g, и отображение ф, в силу которого (/, g) ставится в соответствие функция f*g, являются непрерывными отображениями произведения С(Х) X С(Х) на пространство С(Х). Полезны также следующие понятия: множество C’oCzC'(X) равномерно ограничено на X, если существует такое действительное число К > 0, что |/х | < К для любой функции f g Со и любой точки х g X; множество CQcz С (X) равностепенно непрерывно, если для всякого е > 0 найдется такое конечное открытое покры- тие со бикомпакта X, что | fx2 | < & для любой функции / Е С0 и любых двух точек х1? х2 Е X, содержащихся в одном и том же элементе покрытия со. Часто рассматриваются непрерывные функции или отобра- жения, определенные на бикомпакте X, являющемся топологи- ческим произведением семейства {Ха: а Е Л} бикомпактов Ха, «ЕЛ. Пусть / — непрерывное отображение пространства X = = П{Ха: а Е Л} на пространство Y. Говорят, что f зависит только от координат, принадлежащих множеству Л' cz Л, если оно не за- висит от координат, принадлежащих множествуЛ\Л' (см. стр. 100). Иначе говоря, / зависит только от Л'сг Л, если имеется такое .непрерывное отображение g: П {Ха: а Е Л'} У, что / = gnA', где лл, — естественное проектирование всего произведения И {Ха: а Е Л} на Л'-грань П {Ха: а Е Л'}. Мы будем также гово- рить, что /: П{Ха: а Е Л}-^У зависит только от т координат у — кардинальное число), если имеется такое множество Л' cz Л, <4'1 ~ т’ что / зависит только от координат из множества 4 cz Л. 309. Проверьте,что С(Х) (с определенными на стр. 165, 166 опе- рациями) образует коммутативную алгебру.
168 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 310. Функция /о на пространстве X, являющаяся пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных на X функций, также непрерывна. 311. Пусть X — бикомпакт, С(Х) — алгебра непрерывных на X функций с метрикой, определенной на стр. 167. (а) Покажите, что С(Х) — метрическое пространство. (б) Покажите, что последовательность {fn: п Е N*} функций из С(Х) сходится к функции /0 £ С(Х) по метрике в С(Х) тогда и только тогда, когда эта последовательность сходится к функции /о равномерно. (в) Докажите полноту метрического пространства С(Х). 312. Всякое подкольцо С (X), разделяющее точки биком- пакта X и содержащее все функции, тождественно равные констан- там, сильно разделяет точки X. 313. Пусть X — бикомпакт, аСос С(Х) — подкольцо, содер- жащее все константы и являющееся замкнутым подмножеством в метрическом пространстве С(Х). Докажите, что функция g(x) = = | / (х) | принадлежит Со, если / £ Со. 314. Пусть / и g — две непрерывные функции на бикомпак- те X. Определим функции Mf,g и mf,g следующим образом: (ж)=шах {/(я), g(x)}, mf.g (х) =min{/(^), #(я)}. Докажите равенства: л Mf. g (х) = у {| / (х) - g (х)'| + / (х) + g (х)}. 315. Пусть Со cz С(Х) — замкнутое подкольцо (т. е. Со — подкольцо, являющееся замкнутым множеством в метрическом пространстве С(Х)). Покажите, что Mftg 6 Со и Е Со, если / Е Со, g Е Со (см. определение функций Mf, g и mf, g в 314 гл. III). 316. Пусть семейство 31 cz С(Х) непрерывных функций на би- компакте X удовлетворяет двум условиям: 1) 31 сильно разделяет точки в X; 2) если / Е й и g Е 31, то и Mf, g Е 31, ntf, § Е 31. Докажите, что 31 всюду плотно в метрическом пространстве С(Х), т. е. [311с да = С(Х). 317. Пусть Cocz С(Х) — подкольцо, X — бикомпакт. Пусть Со содержит все константы и разделяет точки X. Докажите, что Со всюду плотно в метрическом пространстве С(Х). 318. Выведите из 317 гл. III следующие классические аппро- ксимационные теоремы Вейерштрасса: 1) всякая непрерывная функция на отрезке [0, 1] есть предел равномерно сходящейся последовательности многочленов; 2) всякая непрерывная функция на отрезке [—л, л], принимающая одинаковые значения на концах этого отрезка,
§ 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА БИКОМПАКТАХ 169 есть предел равномерно сходящейся последовательности тригоно- метрических многочленов. 319. Докажите, что пространство С(1) непрерывных функ- ций на отрезке сепарабельно (а следовательно, имеет счетную базу). 320. Бикомпакт X метризуем в том и только в том случае, когда С(Х) сепарабельно. 321. Всякая непрерывная функция на произведении П{Ха: а С А} = X семейства бикомпактов {Ха: а £ А} зависит от счетного числа координат. 322. Пусть X = П{Ха: а £ А} — произведение бикомпактов {Ха: а Е А}, а /: X -> Y — непрерывное отображение на биком- пакт веса w (У) = т, где т | А |, т н0. Докажите, что ото- бражение / зависит от т координат. 323. Всякий диадический бикомпакт X веса w (X) = т являет- ся непрерывным образом обобщенного канторова дисконтинуума Dx веса т. 324. Пусть X — диадический бикомпакт, а /: X -> У — его непрерывное отображение на бикомпакт. Докажите существование замкнутого подмножества Xf в X, для которого w(Xf) = гр(У) и fXf = У. 325. Если /: Х-> У — непрерывное неприводимое (см.стр. 161) отображение диадического бикомпакта X на бикомпакт У, то w(X) = w(Y). 326. Всякий бикомпакт X, л-вес которого равен т, допускает непрерывное неприводимое отображение на бикомпакт веса т. 327. Покажите, что л-вес любого диадического бикомпакта совпадает с его весом. 328. Всякий диадический бикомпакт счетного л-веса метри- зуем. 329. Всякое замкнутое подмножество X типа G& обобщенного канторова дисконтинуума Dm веса т, большего х0, гомеоморфно этому D™. 330. Для каждого замкнутого множества X типа G& в канторо- вом дисконтинууме Dm существует ретракция Dm па X, т. е. непре- рывное отображение g: Dm 2^ X, тождественное па самом X. 331. Замкнутое подпространство типа диадического биком- пакта является диадическим бикомпактом. 332. Пусть С(Х) — алгебра всех непрерывных па бикомпакте X функций. Тогда: (а) для любой точки х0 £ X множество функций СХп ~ ^ {/ Е С(Х): f(x0) = 0} есть идеал в С(Х); (б) любой нетривиальный идеал Со в С(Х) содержится в идеале ®ида Сх; (в) все максимальные идеалы в С(Х) есть идеалы вида Сх.
170 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 333. Пусть С(Х) — алгебра всех непрерывных функций на би- компакте X. Пусть A cz X произвольно. Покажите, что xQ С 1Л] тогда и только тогда, когда CXq zd П {Сх* х А}. 334. Два бикомпакта X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры С(Х) и С(У) изоморфны. 335*. Пусть X, Y — два бикомпакта, С(Х), С(У) —их алгеб- ры непрерывных функций с метрикой равномерной сходимости. Покажите, что всякое непрерывное отображение /: X У поро- ждает изоморфное вложение С'(У) в С(Х) в качестве замкнутого подкольца, и, наоборот, всякое вложение С(У) в С(Х) в качест- ве замкнутого подкольца порождает непрерывное отображение X на У. 336. Пусть X’, У — два метрических пространства; С(Х, У) — множество всех ограниченных отображений X в У. Положим d{j, g) — suP{p(/ (я)> ^)): х € X} для любых двух отображений / Е С(Х, У), g g С(Х, У) (здесь р — метрика в метрическом про- странстве У). Тогда: (а) С(Х, У) с так определенной функцией расстояния есть метрическое пространство; (б) С(Х, У) — полное метрическое пространство, если (У, р) — полное метрическое пространство. 337*. Пусть I — отрезок [0, 1] числовой прямой, С(1) — пространство всех непрерывных на I функций. Докажите, что под- пространство Ф с: С (I) является компактом тогда и только тогда, когда Ф замкнуто в С(2), равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. § 6. Связность Этот параграф озаглавлен «связность», а не «связные простран- ства» не случайно. Понятие связности служит не только для выде- ления связных пространств в отдельный класс. Оно имеет опреде- ленное — иногда очень большое — значение и для изучения не связных пространств. Прежде всего в каждом топологическом пространстве могут быть выделены максимальные связные ча- сти — так называемые связные компоненты (или просто компо- ненты). Множество Л, лежащее в топологическом пространстве X, называется компонентой этого пространства, если оно связно и не существует связного множества В в X, строго содержащего множество Л. Иногда говорят о компонентах множества С, являющегося частью пространства X, имея в виду при этом ком- поненты С как подпространства пространства X. Впрочем, допу- скается легкое смещение в терминологии: компонентой точ- ки х (в пространстве, в множестве) называют всегда ту компонен- ту (этого пространства, множества), которая содержит х.
§ 6. связность 171 Важно также понятие квазикомпоненты точки (в простран- стве) — это пересечение всех открыто-замкнутых (в этом простран- стве) множеств, содержащих рассматриваемую точку. Простран- ство называется вполне несвязным, если квазикомпонента каждой его точки содержит только ее. Связные бикомпакты иначе еще называются континуумами. Континуум С называется неприводимым между своими точками х и у, если всякий континуум С', лежащий в Си содержащий обе точки х, у, совпадает с С. Пространство X называется локально связным, если для всякой точки х £ X и любой ее окрестности существует меньшая окрест- ность, являющаяся связным множеством. Пространство X назы- вается линейно связным, если для каждых двух различных точек х, у множества X найдется гомеоморфное обычному отрезку под- пространство С в X, их содержащее. Непрерывное отображение /: X -> Y называется монотонным, если /-1у связно для любого усу., 338. Пространство X не связно в том и лишь в том случае, если существует непустое открыто-замкнутое подмножество простран- ства X, отличное от всего X. 339. Пространство связно, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств. 340. Приведите пример связных множеств, объединение кото- рых не связно. 341. Приведите пример связных множеств, пересечение кото- рых не связно. 342. Если непрерывная вещественная функция /, определен- ная на связном пространстве X, принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в некоторой точке она обращает- ся в нуль. 343. Пространство X не связно в том и только в том случае, когда его можно непрерывно отобразить на хаусдорфово простран- ство, состоящее из двух точек. 344. Верно ли, что образ несвязного пространства при непре- рывном отображении является пространством несвязным? 345. (Веер Кнастера — Куратовского.) По отношению к за- данной на плоскости прямоугольной декартовой системе коорди- нат определяется следующее множество X: X — {с*} J Со U U {Лс: с С CQ}, где с* = (у, у) , Со — множество точек канто- Рова совершенного множества, расположенного обычным образом На отрезке [(0, 0), (1, 0)1 оси Ох и Ас — подмножество отрезка с концами в точках с* и с, причем, если с — точка первого рода, е. концевая точка некоторого смежного к Со интервала (см. 185, 180 гл. II), то Ас состоит из всех точек рассматриваемого отрезка,
172 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА ординаты которых рациональны, и если с — точка второго рода, то Ас состоит из всех точек, ординаты которых иррациональны. Докажите, что множество X (в топологии, индуцированной обыч- ной топологией плоскости) связно, но что только одноточечные подмножества пространства Х\{с*} связны. 346. Пусть X — топологическое пространство и {Ла: а ЕМ} — семейство его связных подмножеств, причем существует а0ЕМ такое, что Лао f] Ла=#Л для всех а Е М. Тогда J {4а: а Е Е М} — связное множество. 347. Пусть М — связное множество пространства X. Докажи- те связность множества [М]х. Докажите, что если МсУ с [М]х, то Y связно. 348. Если А и В — связные подмножества пространства X и 14] р 2? Л, то 4. J В связно. 349. Пусть X — топологическое пространство, х — его точка и — семейство всех связных подмножеств пространства X, содержащих точку х. Тогда Кх = (J {Р: Р Е — компонен- та пространства X. 350. Докажите, что компонента пространства X замкнута в X. Покажите, что любые две компоненты пространства или совпа- дают, или не пересекаются. 351. Покажите, что множество всех компонент пространства X его покрывает. 352. Если А и В — замкнутые в X множества, объединение и пересечение которых являются связными множествами, то и сами Л и В — связные множества. Покажите на примере, что предполо- жение о замкнутости существенно. 353. Приведите пример счетного хаусдорфова связного про- странства. Существует ли регулярное связное счетное простран- ство? Существует ли метрическое счетное связное пространство? 354. Докажите, что пересечение элементов предфильтра, состоящего из связных бикомпактов, есть связный бикомпакт. 355. Пересечение убывающей последовательности связных бикомпактов есть связный бикомпакт. 356. Приведите пример связного, но не локально связного бикомпакта. 357. Покажите, что для любых двух точек х, у связного биком- пакта X существует неприводимый между ними континуум, их со- держащий. 358. Пусть X — связный бикомпакт и U — открытое в X множество, отличное от X. Тогда замыкание произвольной компо- ненты множества U пересекает множество X\U. 359. Связный бикомпакт X нельзя представить в виде объеди- нения счетного семейства своих непересекающихся замкнутых подмножеств, отличных от X.
§ 6. связность 173 360. Пусть пространство X является подпространством пло- скости Я2: X = ( X [0, И)) U {0, 0} U {0, 1}. Дока- жите, что (а) X гомеоморфно полному метрическому пространству; (б) X является объединением счетного числа компактов; (в) X имеет только две точки, в которых оно не локально бикомпактно; (г) X нельзя уплотнить ни па какой компакт. 361. Пусть X' — подпространство пространства X и х Е X'. Тогда компонента точки х в X' содержится в компоненте точки х в пространстве X. 362. На плоскости с фиксированной декартовой системой координат рассмотрим (вместе с индуцированной топологией) множество X, являющееся объединением прямой у — 0 (оси абсцисс), семейства замкнутых отрезков In, п Е 7V+, где концами 1п служат точки (0,1) и [п, п , и семейства полупрямых х^п, 1 У=Г+ ство и что некоторая компонента дополнения до не имеет ее своей точкой прикосновения. 363. Приведите пример пространства, в котором п = 1, 2, ... Докажите, что X — связное прострап- точки (0,1) квазикомпо- нента точки отлична от ее компоненты. 364. Покажите, что компонента Кх бикомпакта X, содержащая произвольную его точку х(), совпадает с квазикомпонентой точки х0. 365. Если X — бикомпакт, то разбиение Z пространства X на его компоненты непрерывно. 366. Пространство разбиения бикомпакта X на его компонен- ты является нульмерным бикомпактом. 367. Укажите пример метрического пространства X, разбие- ние которого на компоненты (так же, как и разбиение на квазиком- поненты) не является непрерывным. 368. Если X — связный бикомпакт и Л, В — непустые непе- ресекающиеся замкнутые в нем множества, то существует компо- нента множества Х\(Л J В), замыкание которой пересекается и с Л, и с В. 369. Каждое локально связное пространство X является сво- бодной суммой связных локально связных пространств, а именно — своих компонент. 370, Докажите, что следующие два ограничения на простран- ство X равносильны: (а) компоненты открытых множеств являются открытыми мно- жествами; (б) для каждой точки х и каждой ее окрестности Ох найдется такое связное множество V, что х Е Int V V cz Ox.
174 ГЛ. 1П. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 371. Если X — связное локально связное пространство и А В — непустые пепересекающиеся замкнутые в X множества, то* существует компонента множества Х\ (4 J В), замыкание кото-* рой пересекается и с Л, и с В. 372. Покажите, что образ связного локально связного про- странства при непрерывном отображении может не быть локально связным пространством. 373. Доказать, что фактор-пространство локально связного пространства локально связно. 374. Докажите, что хаусдорфово пространство X, являющееся образом отрезка при непрерывном отображении, связно и ло- кально связно. 375. Произведение локально связных пространств локально связно в том и только в том случае, если все сомножители, за ис- ключением, быть может, конечного числа, связны. 376. Докажите, что всякий связный локально связный ком- пакт является непрерывным образом отрезка числовой прямой. РЕШЕНИЯ 1. Если / — непрерывная вещественная функция на X, А с= X, В cz X и/(Л) = 0,/(В)=1,то V=p G X: f(z) <у) hW=[z £ X: f(x) >Zj_ непересекающиеся a-окрестности множеств А и В. 2. Пусть U £ Выберем непрерывную неотрицательную веществен- ную функцию / на X, для которой f(4) = 0 и /(X\t7) — 1. Положим V = == £Х: f(x) <z у , q>(x) = 2f(x), если ](х) , и ф(.г) = 1, если 1 / (х) -х- ; ф(г) = 0, если х £ V, и ty(x) = 2^f(x) —, если х $ У. Функция ср отделяет А от Х\У, а функция ф отделяет V от X\U. Поэтому V 6 В А и является а-семейством. 3. Воспользуйтесь леммой Куратовского — Цорна. 4. Чтобы доказать, что пересечение элементов Ui и С72 а-фильтра £ ему принадлежит, надо взять пересечение элементов Vi и У2 этого а-фильтра, а-отделепных от Х\С7П соответственно от X\U2, и, рассмотрев произведе- ние отделяющих функций, отвечающих СЛ, Vit соответственно Z72, Угг выяснить, что оно отделяет X\(Z71 f} U2) от Vi Q V2. 5. В силу 2 гл. Ill g — а-семейство па X (может быть, пустое). Но тогда £ (J Р — центрированное а-семейство. Но р — а-ультрафильтр, сле- довательно, Р = g J р, т. е. £ cz р. 9. Пусть на плоскости R2, по отношению к некоторой прямоугольной декартовой системе координат, заданы следующие множества и точки: Ln = | (п, у): где п—любое целое четное число, L=U(^n: п четно), pn,k — 1 — y) £ ^2’ 1 'I < 1 — — > CZ R2, где n целое нечетное и к целое, к > 2. Положим S ~ {pn,h' п нечетное, к целое, к > 2), Т = (J {Тп^\ п нечетное, к целое», к > 2). Каждое Тп^ состоит из двух боковых сторон равнобедренного пря- моугольного треугольника, основание (гипотенуза) которого лежит па ос
РЕШЕНИЯ 175 х «псе а вершина находится в точке рл,л. При этом pn,ft $ Tn,k. Очевидно, аосци _2_^р£, = /у|35 = Л< Присоединим к множеству S (J Т U L две S CU-нибудьновые точки а* и &*. Положим Х = 5 U U U {“*} U 1^*}- Определим теперь на X топологию; мы укажем ее базу во всех точках мно- жества каЖдая точка множества Т объявляется изолированной в X. 2) Базисная окрестность каждой точки рп^ состоит из и всех чек соответствующего множества Tn>kl за исключением какого-нибудь конечного множества их 3) Базу в точке (п, у) t Ln образует семейство всех множеств вида ип, у}} U где ЛЪ'У = У') У' = У и | п - х | < 1}, а К — любое конечное множество. а 4) Базу в точке а* образуют множества С7П = {(я, у) С X: х < п}, четно. 5) Базу в точке &* образуют множества вида Vn = {(я, у) С X: х > /?}, n и четно. Легко проверить, что этими условиями определяется некоторая топо- логия на Х\ если & — совокупность всех определенных выше окрестностей В X И X е Vi п Vi 6 «$, v2 е <$, то существует Vs £ что х £ V3 С П П У2; поэтому —база некоторой топологии на X (см. 14 гл. II). Очевидно, замыкания элементов из образуют сеть в X. Следовательно, X регулярно. Покажем, что произвольная непрерывная вещественная функция / на про- странстве X принимает одинаковые значения в точках а* и Ь*. (Это будет означать, что X не вполне регулярно.) (а) Множество Т* h = {(х, у) £ Tnik: fa, у) ¥= f(Pn,k)} счетно. Поэто- 1 му существует у*, для которого 0 у* < и Xу* Г) Т* — Л, где Х( * = = {(ж, у) £ X: у — у*} и Т* = U {Т*к: п нечетно и к целое, к 2}. Через <рп обозначим отражение плоскости R2 относительно прямой х = п, где п нечетно. Тогда <pn(X) — X и фп: Ху* -> Ху* — непрерывное отображение. Множество Ху*[\Тп,ь состоит ровно из двух точек; обозначим через z'n k ту из них, абсцисса которой меньше п, и через z" к ту, абсцисса которой больше п. Очевидно, yn(zn, h) ~ zn, fe* в силу выбора у* будем иметь f(z'n k) = == f(zh,k) — ведь точки z'n k и z" к принадлежат множеству Гп,а\Т* к. Поло- жим ап= ЛППХ^. Тогда cpn+i(an) = ап+2. Кроме того, lim z^+b к= ап и fra Zn+1, k = «п+2- Так как fn+i(zn+i, k) ^/7i+i(*n+i,fe) и f непрерывно, мы заключаем, что f(an) — /(«п+г) Для всех четных п. Значит, f(an) == /(а*) для любых четных п и к. Но lim ап а* и lim ап — Ь*. Поэтому /(а*) = п -> — оо п->4-оо = iim /(ап)= lim /(ап) =/(&*)• П->— оо П->00 10. Предположим, что 2) не верно. Тогда Р'. Зафиксируем У С Р, Для которого V П F = Л, и выберем W € Р, a-отделенное от Х\7. Зафикси- руем также какой-нибудь а-ультрафильтр Р* на У, содержащий Р'. Тогда /'tP'czP* и preP'czP*. Пусть U* 6 р*. Положим V* = W П V «выберем множество W* € Р*» a-отделенное в У от У\7*. Тогда У — а-ок- рестность в X множества W и V* — a-окрестность в V множества W* cl ТУ. еэтому (см. 69 гл. IV) У* — a-окрестность множества ТУ* в X. Но ТУ* пересекается с каждым элементом семейства Р' (ибо р* j ТУ* и Р* о (У, у* *7 ^-ультрафильтр). Тем более, ТУ* для всех U С Р. Но тогда ” (см- 5 гл- Следовательно, и (7* £ р (ибо У* с= U* cz У). Мы 41Лазали’ что Р* <= р. Значит, р* с= Р', т. е. Р* = р' и Р' — а-ультра- *«льтр на У.
176 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 11. Полная регулярность пространства X* X X* = У* является след- ствием полной регулярности пространства X* и утверждения задачи 35 гл. III. Доказываем ненормальность пространства X* X X*. Рассмотрим в X* X X* множество R всех точек у = (х, 1 — х), х С X*. Подпространство R cz X* X X*, очевидно, дискретно и замкнуто в X* X X*. Представим R в виде объединения: R = (J R2 рациональных точек Ri и иррацио- нальных R2. Множества Ri и R2, очевидно, замкнуты в X* X X* и R± р( р| R2 = Л. Покажем, что их нельзя отделить непересекающимися окрестно- стями в X* X X*. Предположим противное: пусть имеются окрестности VRi и VR2 этих множеств, для которых VRi П ^R2 = Л. Для каждой точки у Е 2 рассмотрим такую окрестность Vy = Ux X Ui-X, где Ux — полуин- тервал [z, х') в X*, a Ut-X — полуинтервал [1 — х, х"), чтобы Vy cr VR2 и чтобы длины полуинтервалов Ux и U^-x были равны. Обозначим V'R2 = — U {Vy: У € #2}- Множество V'R2 открыто в X* X X*, R2 сс V’R2 и VRi Г। Q V'R2 — Л. Для каждой построенной окрестности Vy, у Е Rz, через г(у) обозначим действительное число, равное длине полуинтервалов Ux и Z7i-X. г 11 Рассмотрим множества Ak = < у Е Rz- г(у) > — > . Имеем R2 = |J {Л^: к Е L J Е 7V+}. Если R2 рассмотреть с обычной топологией числовой прямой, то R2 метризуемо полной метрикой (237 гл. II) и, следовательно, R2 нельзя пред- ставить в виде объединения счетного числа нигде не плотных множеств (238 гл. II). Значит, некоторое ЛЛо плотно в некотором интервале (а, Ь) пространства Я, рассматриваемого в обычной топологии числовой прямой. Внутри этого интервала лежит некоторая рациональная точка, т. е. точка Уо — U'o> 1 — хо) С #1- Теперь, если Vy° — произвольная базисная окре- стность этой точки в X* X X*, то найдется точка у* = (х*, 1 — х*) Е 4fcocz С. Rz, для которой построенная выше окрестность Vy* пересекается с V . ( Здесь мы воспользовались всюду плотностью множества AkQ в интервале (а, 5), и тем, что для всех y£AkQ непременно г(у) 1 kQ Отсюда следует, что Vy* р| VRi =/= Л, а тогда, тем более, VRi р V'R2 =# Л. Получили про- тиворечие. Итак, пространство X* X X* не нормально. 12. На основании бикомпактности F и вполне регулярности X без тру- да строятся открытые множества £71, . . ., (в конечном числе), покрыва- ющие в совокупности F, и непрерывные ограниченные вещественные функции /1, . . ., на X такие, что МЩ) = 0, /ДР) = 1, i — 1, . . ., к. Функция 1 — /1 Х/2 X . . . X Д (обычное произведение функций Д, . . ., Д) искомая. 13. Пусть Уъ V2Q $ и Vi И У2- Тогда существует такое V3 g что x^V3d Vi П У2. Значит, —база в X. Вторая часть утверждения 1) очевидна. Так как {.г} = О(х, г) р I для всех х Е I, то справедливо 2). Утверждение 3) очевидно. Имеем X = I (J У, где I дискретно, и потому метризуемо и замкнуто в X, а У метризуемо (и имеет счетную базу) в силу 3) и является открытым множеством типа Fa. Это доказывает 4). Вполне регулярность X в точках множества У вытекает из вполне регулярности У, ибо всякая функция, непрерывная на X по отношению к обычной топологии, непрерывна и по отношению к FT. Рассмотрим теперь произвольное О(х, г). Проведем всевозможные хорды в О(х, г), начинающиеся в х. Определим вещественную функцию / на X следующими соглашениями: /г» х(* \ ГУ) = 1’ /г, х(х) — 0, а на указанных хордах определим / по линейности. Легко проверяется, что /г> х — непрерывная функция (если г' < , то diam(/(6>(#, г'))) < е)
РЕШЕНИЯ 177 Представим I в виде I — [J R2, Ri П Я2 —Л, где R{ — рациональ- ные точки в Z, а /?2 — иррациональные. Ясно, что Rt и R2 ~ замкнутые непересекающиеся множества. Так же как и в И гл. III, доказывается, что их нельзя отделить непересекающимися окрестностями. 15. Если множества F и Ф замкнуты в X, причем F Q Ф = Л, jo по крайней мере одно из множеств F или Ф полностью состоит из изолирован- ных точек. Пусть таково F. Положим Ui = F и U2 = X \ F', очевидно, Ui и U2 — непересекающиеся окрестности множеств F и Ф. 16. Пусть {#!..xk} ~ множество всех неизолированных точек пространства X. Так как X хаусдорфово, то существуют попарно непересе- кающпеся окрестности Oxt точек xt, i — 1, . . ., к. Если теперь F и Ф — замкнутые непересекающиеся множества в X, то OF — F(J([J{Oxi: xt ЕЕ})\Ф и Оф = ф J (U {Oxf. xi Е Ф}) \ F — непересекающиеся окрестности мно- жеств F и Ф. 17. Нет. Рассмотрим связное счетное хаусдорфово пространство X (такое существует, см. 353 гл. III). Если бы X было вполне регулярно, то существовала бы непрерывная вещественная функция / на X, отличная от константы. Положим /(X) = У. Тогда У — счетное, но неодноточечное подпространство вещественной прямой. Следовательно, У несвязно (221, 224 гл. II), а потому и X несвязно — получили противоречие. Значит, X не нормально (см. 26 гл. III). См. другой пример в 66 гл. II. 18. Да: счетное пространство финально компактно (208 гл. III), а регу- лярное финально компактное пространство нормально (19 гл. III). 19. Пусть замкнутые в X множества А и В не пересекаются. Для каж- дой точки х Е А зафиксируем окрестность Ох, замыкание которой не пере- секается с В\ соответственно для х Е В окрестность Ох выберем так, чтобы было [£Хг] П А — Л. Положим у — {Ох: х С А}, 1 — {Ох: х Е В}. Так как у U \ А} и X U {X \ В} — открытые покрытия пространства X и А П П (X \ Л) = Л, В П (X \ В) — Л, то существуют счетные семейства у* Су и V с X, для которых у {U: U Е у*} А и (J {V: V Е X*} о В. Перенумеруем элементы у* и X*: у* ={£7f i Е N+}, X* ={V^: i E N+} (допускается, чтобы было = Uj при i ^=7). Положим Gt — \ U {I ] 1} и Hi — Ui \ UUK/l* / 0* В силу выбора окрестностей Ox будем иметь: Л с [J {Gf. i Е N+} — G, В cz U {Hf i Е N+} = Н. Оче- видно, Gi П Hj = Л при любых i и 7. Значит, G П Н = Л. Итак, множе- ства G и Н — непересекающиеся окрестности множеств А и В. Второе утверждение доказывается точно так же. 20. См. 77 гл. II; 19, 206 гл. III. 21. Если к = 1, то утверждение очевидно. Предположим, что для всех нормальных пространств X и для всех их открытых покрытий X, состоя- щих менее чем из п элементов, утверждение доказано, и пусть к — п, т. е. X = — {£71, . . ., Un}. Положим Рп = X \ (J {Uf. i = i, . . ., п — 1}. Тогда Рп замкнуто в X и с Un; поэтому существует открытое в X множество V, для которого Рп cz V cz [У] cz Un. Положим X' — X \ V и Щ — П %'* i — 1, ..., п — 1. Тогда X' замкнуто в X, и потому, вместе с индуцирован- ной из X топологией, является нормальным пространством, причем X' — = U { Щ' * = 1» • • •> и — 1}, т. е. {£7{, . . ., U'n_i} — открытое покрытие пространства X'. По индуктивному предположению, существуют замкнутые в X' множества F^ cz X' такие, что F- cz £7- и [J{F'f. 1, . . ., п — 1} = Х'. Множества F'v i = 1, . . ., п — 1, замкнуты и в X (так как X' замкну- то в X), и F} cz £7р Положим Ft — F\ при ъ — 1, . . ., п — 1 и Fn — [V]. Очевидно, семейство {/\, . . ., Fn} искомое. 22. Так как X регулярно, то существует семейство X — {Vn: п Е N+} попарно непересекающихся открытых множеств, для которых хп Е Vn при всех п Е Н+ (44 гл. II). Тогда A cz G — JJ {Vn: п Е N+} и G открыто в X. 12 А. В. Архангельский. В. И. Пономарев
178 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА II ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА Так как X нормально, то существует открытое в X множество W, для кото- рого Л с W cz [Ж] cz G. Положим Un — Гп Q W. Очевидно. хп £ Un и Un открыто в X при всех п Е А+. Проверим, что семейство у ={Un: п дискретно. Очевидно, п С ^+) ~ W- Пусть z £ [Ж]. Тогда X \ [Ж! —окрестность точки z, не пересекающая ни одного элемента семейства у. Пред- положим теперь, что z £ [Ж]. Тогда z € и потому z £ Vk для некоторого Vk Е X. Тогда Уд — окрестность точки z, пересекающая лишь один элемент семейства у — а именно, U^. Действительно, еслп п к, то Un cz Гп, п из vk 0 п = А следует, что Un Q Vk = A. 23. Пространство Y нормально — оно гомеоморфно замкнутому под- пространству пространства X X Y. Предположим, что нашлось замкнутое в Y множество М, не являющееся пересечением счетного семейства откры- тых в Y множеств, и нашлось счетное множество A cz X, не замкнутое в X. Зафиксируем х* Е [ Аг] \ N и рассмотрим множества А=АХМиВ= = {я*} X (У\М). Из определения тихоновской топологии на X X Y ясно, что в А нет предельных точек для В и в В нет предельных точек для А. Значит, А и В — замкнутые непересекающиеся подмножества пространства (X X У) \ F, где F = [A] Q [В] (замыкания берутся в X X У). Так как X X У наследственно нормально, то существуют непересекающиеся откры- тые (в (X х У) \ F — а значит, и в X х У) множества U и У, для которых A cz Z7, В cz У. Рассмотрим теперь множества Мх — {(х', у): х'=х, у Л/}, где х Каждое Мх замкнуто в X х У (ибо М замкнуто в У) и Mxcz Л с U. Из определения топологии произведения следует, что" найдется для каждого х Е А открытое в У множество Z7X, содержащее М, такое, что Мх cz {я} X X Uxcz U. Семейство {Ux: х С А} счетно. Поэтому (и в силу выбора М) П {Ux: х Е А} \ М Ф А, Зафиксируем у* Е П {Ux- я € N}\ М. Тогда (я*, у*) Е [А X {£*}]. Так как (х*> у*) Е{я} X Uxcz U для всех х Е А, то А X {у*} cz U и, значит, (ж*, у*) Е [Z7]. Но (я*, у*) £ В — ведь у* (j М и В ={я*} X (У \ М). Поэтому (я*, у*) Е V и V f) [27] =# А. Так как V открыто в X, то мы заключаем, что V Q U =£ Л — получили противоречие. 24. (а) Построение открытых множеств 17г, r=-^, п С А+, д = — 1, 2, . . ., 2П, ведется по индукции с использованием малой леммы Урысо- на (45 гл. II). Если, допустим, построены множества U д — 1, 2, . . . 5/2 . . ., 271”1, с тем свойством, что [ U cz U как только -^1- < д2/2 2П-1 <’Л-Г > то множества U п, q — 1, 2, . . ., 2П, строятся следующим обра- Qli Я. Я Т* м /ZK ттч зом: для каждой пары -77- у, г , по малоп лемме Урысона (45 гл. П)г л тт / 1 / 7 7 + 1 \ 2д+1 \ берется открытое множество UT ( г = — I ~Ь ^п-Г ) ~ 2п—)’ для которого с [Г/2n_J с ит<= (£/г] сг (б) При доказательстве утверждения (б) надо воспользоваться тем фактом, что между любыми двумя действительными числами находится много двоично-рациональных чисел, т. е. чисел вида #/2»*, и утверждением (а) нашей задачи. (в) То, что функция j(x) — inf{7: х £ Uf} равна нулю в точках множе- ства [Z7oL следует просто из ее определения. Доказываем непрерывность функции f(x) в произвольной точке xQ Е X. Пусть е > 0 произвольно. Рас- смотрим открытые множества U^x^e и и открытое множество С7а:0 = = £//(зсо)-|-8\^/(хо)-еЬ Нетрудно убедиться в том, что xQ Е UxQ, и для
РЕШЕНИЯ 179 любой точки х £ UxG непременно | / (х) — f (х0) | <е, что и означает непре- рывность функции f(x) в точке х0. Все доказано. 25. (а) Пусть X нормально, a Fo, Fi замкнуты в X и Fq Q F\ = Л. Рассмотрим Ui = X \ Fi и открытое множество UG, для которого FG cz r~ UqCz [Z7o] <= Ui (cm. 45 гл. II). Далее, пользуясь 24 гл. Ill, строим непрерывную на X функцию /: X -> [0, 1], для которой / (х) = 0, если х £[UG], к f (х) = 1, если х С X \ Ui = F^ Тогда / (х) — искомая функция. (б) Пусть для любых двух непересекающихся замкнутых в X множеств Fq и Fi существует непрерывная на X функция f 0, если х с Fq, f(x) = < 1, если х £ F^ I 0 < / (х) <1. Рассмотрим множества UF0 = |х £ X: f(x) < -g-1 , UFt = ух £ X: /(*)>yj. Множества UF0, UI<\, очевидно, открыты в X, Fq cz UFq, Fi cz UFi и UF0 П UFi = A. 26. Полная регулярность нормального пространства, очевидно, следует из утверждения задачи 25 гл. III. 28. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые в Y множества. Каждое Fif в силу замкнутости, является нормальным пространством. По индукции легко могут быть построены открытые в X множества U} и V[, где i 6 А+, так, чтобы выполнялись условия: 1) U} z? (A П F^) И [EEf-J; 2) Iut] п (В и [Fj-11)=A; 3) Vi zd (В n Fi) U (Vf-d; 4) [vj n (4 U I^])= = Л (на каждом этапе этого построения — вполне очевидно и естественно — мы пользуемся нормальностью пространства X). Затем следует взять множества U — * С N+} и V = U{^i: 1 €#+}; тогда U zd A, F z> В, U и V открыты в X и 27 Г| Г=Л. Множества IZ У и У f] У искомые. 29. Каждое открытое подпространство совершенно нормального про- странства является множеством типа FG, и потому нормально (28 гл. III). Рассмотрим теперь произвольное подпространство У пространства X и зам- кнутые в У непересекающиеся множества А и В. Тогда [Л]х Q В = Л и [Д1х R Л = Л — иначе А и В не были бы замкнуты в Л (J В и, тем более, в У z> Л [J В. Положим F = [Л]х Г1 [ВГх и У = X \ F. Из сказанного выше следует, что У z? Л (J В. Положим Л = [Л]~ и 2? = [2?]~. Из Л R 2? = = [А]~ П с [А] П [В1 = 7? = Х \ У и [4]? f] [В]~ <=. ¥ следует, что А П В = А. Итак, Лий — замкнутые непересекающиеся подмножества пространства У, которое открыто в X и потому нормально. Следовательно, существуют открытые в У множества U и У, для которых U z> A zd Л, V zd В zd Ви U П V= А. Тогда U и V открыты вХиЕ/рУ, PR У— иско- мые окрестности множеств Л и В. Кстати, мы доказали утверждение, со- держащееся в задаче 27 гл. III. 30. (а) Пусть X — нормальное пространство, a F cz X — его замкну- тое множество типа G$: F — Г1 {^г: * 6 N+}, где Uf, i Е N\ открыты в X. В силу теоремы Урысона (25 гл. III) для каждого I существует непрерывная на всем X функция /Дя): 0 ft(x) 1, х £ X, для которой fi(x) == 0, если х F, ft(x) == 1, если х С X \ Щ. Рассмотрим на всем X функцию f(x) = оо /£(я). Функция f(x) непрерывна на X п 0 < f(x) <; 1 для любой точки х Е X. Кроме того, очевидно, f (х) ~ 0 для любой точки х £ F. Пусть 12*
180 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 12 ar0 С F. Тогда xq (£ Uif) для некоторого номера Zo, следовательно, fiQ(x0) = 1. Но тогда f(x0) =£ 0. Таким образом, F = /“1(0). (б) Пусть теперь X нормально и для множества F cz X существует непрерывная на X функция f(x), для которой F = /-1(0). Рассмотрим = = {я С X: | f(x) | < у | . Тогда множества i Е N+, открыты в X и F = = П{^-: t € П 31. В самом деле, на X существует непрерывная вещественная функ- ция g, для которой g (4) = 0, g(B) = 1 и g(X) cz [0, 1]. Полагаем f(x) = ‘ ~ 2с ^g(x)--при всех х Е X. Функция / искомая. 32. Положим Ai — / х Е 4: ~с </0(я) 4- с 1 ) уе < fo(x) с ? • Множества 4Л и 42 не пересекаются; они замкнуты в 4 и, следовательно, в X. Поэтому существует непрерывная вещественная функция g на X такая, что g(4i) = { —у с } , g(42) = {у с } и g(X) 02 _ г 1 1 1 CZ -ус, ус . Функция g, очевидно, искомая. 33. Будем считать для определенности, что /(4) с: [—1, 1]. Применим к / утверждение задачи 32 гл. III (где с = 1 и / играет роль /0). Обозначим полученную функцию через gp Положим fi(x) = f(x) — gi(x) при всех х Е 4. [2 21 — у , -у . Применим теперь снова утверждение задачи 32 2 гл. Ill к fi в роли /0 и С С = у — получим функцию g2. Продолжим этот процесс по индукции: если уже определены g1? . . ., gn, то примем п f — ( V Si 1 4 ) за fQ и I ) за с и выберем gn+i в соответствии с заключе- 1—1 1/2\п-1 I нием задачи 32 гл. III. Тогда | gn(x) | -у I у 1 при всех х С X и /(я) — П ОО "“2 |^(т)П При ВСеХ Х £ (И ВС6Х П^' Поэтому ряд 2 Sj(x) г—1 1—1 равномерно сходится на X к некоторой функции g; так как все члены этого ряда непрерывны, то g — тоже непрерывная функция — это доказывается так же, как и соответствующая теорема анализа. Очевидно, g(x) = f(x) при всех х Е А и —1 < g(x) < 1 при всех х Е X. 34. Определим отображение i пространства R на интервал J = (—1, 1) формулой: i(x) — т-Д—г при всех х £ R. Очевидно, i — гомеоморфизм R 1 "j I х I на J. Тогда g = if можно рассматривать как непрерывное отображение пространства А в отрезок [—1, 1]. В силу 33 гл. III существует непрерывное отображение Л пространства X в [—1, 1], являющееся продолжением ото- бражения g. Так как g(4) cz (—1, 1), то В = ^({1, — 1}) — замкнутое в X множество, не пересекающееся с 4. Выберем на X непрерывную веще- ственную функцию к(х), jijlh. которой к(А) — 1, к(В) — 0, к(Х) сс [0, 1]. Положим F(x) = k(x}-Fi(x) при всех х Е X. На А функция F, как и Л, совпадает с g=if. Кроме того, F(X) cz (—1, 1). Тогда 7 = i-*F — непре- рывное отображение пространства X в Я, на А совпадающее с = f.
РЕШЕНИЯ 181 35. Рассмотрим любую точку х* £ X, х* = {ха: а ЕЛ} и любую ее окрестность Ох* в X. Найдутся аь . . ., Е А и открытые в Ха множе- ства L7a_, г = 1, . . ., к, для которых х* Е П{ла.(^а.): 1 ~ ...,&} cz с~ Ох*, где ла — естественное проектирование X на Ха. Так как Ха вполне регулярно, то существует непрерывное отображение f*: Ха [0, 1], для которого fi(xa) = 0, ft(Xa. \ Га.) = {1} при всех i = l, . . к. Тогда и /? = = /гла : X -> [0, 1] — непрерывное отображение. Очевидно, функция /*. заданная правилом: f*(x) = max{/^(rr): i — 1, . . А’}, искомая: f(X\Ox*) = = {1} и f(x*) = 0. 36. Пусть о = {U^: К £ Т} база мощности т, равной весу данного пространства X. Пару (U^ где U% Е a, UK, Е а, назовем отмеченной, если существует непрерывная функция /: X -НО, 1], которая равна нулю во всех точках множества [С7\] и единице во всех точках множества X \ Очевидно, cz Множество всех отмеченных пар обозначим через 6. Очевидно, | 6 | | б2 | = | а ] = т. Каждой отмеченной паре U^,) Е 6 поставим в соответствие какую-нибудь определенную непрерывную функцию /ш: X -> [0, 1], для которой f^\x) — 0, если х Е [Z7aJ, и ~ если х Е X \ Множество всех отобранных таким образом непрерывных функций обозначим через S. Очевидно, | S ] = ] б | покажем, что S — расчленяющее семейство функций. Действительно, пусть х$ Е X и окре- стность Ux0 произвольны. Возьмем такое Е и, чтобы х0 Е U^t cz Ux§. В силу полной регулярности пространства X существует непрерывная функция /: X -> [0, 1], для которой j(x$) = 0 и f(x) — 1, если х Е X \ U*,. Рассмотрим {ll’1 х Е X: f(x) <“2“| точки xQ. Очевидно, [U'x0] cz Теперь остается взять Е о, для которого xQ Е cz U'xQ. Докажем, что пара (Ufa UK,) отмеченная. Строим функцию /1(г)= 1, если f(x) = l, 1 0, если / (^) < -г, £ 2 ^f(x)—g-j, если 1 У</(Х)<1. Функция fi(x) непрерывна, 0 /Дя) < 1 для всех х g X; /Дя) — 0, если х Е /Дж) == если х € X \ UK>. Значит, пара отмеченная. Тогда, по построению S, существует Е S, для которой — 0, если х Е и f^(x) = 1, если х Е X \ U^,. Все доказано. 37. (а) Диагональное отображение / взаимно однозначно. Действи- тельно, если хъ х2 Е X, Xi Ф х2, то найдется такое а Е А, что faXi fax2^ Но тогда fXi Ф fx2. Кроме того, / непрерывно (290 гл. II). (б) Доказываем непрерывность обратного отображения /-1: fX -> X. Пусть F — замкнутое в X множество. Надо доказать, что множество fF замкнуто в fX cz П{Уа: а. £ А}. Пусть у° = fx0 не принадлежит fF. Тогда х0 £ F и существует такое а0 Е А, что fa^xQ £ 1/аоЛу . Рассмотрим проектирование пао: fX -> Уа(>. Имеем = лао/. Тогда лао(/Л cz [nao/F] = = (в силу непрерывности лао). Так как fafx0 < . то /аожо $ (J но тогда fxQ $ Таким образом, [/Л/х = fP Для любого замкнутого множества F в X.
182 ГЛ« HI. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 38. Пространство X вполне регулярно тогда и только тогда, когда на X существует расчленяющее семейство непрерывных вещественных огра- ниченных функций /х: X -> 1 Е Т7. Поэтому вполне регулярное про- странства X гомеоморфно отображается с помощью диагонального отображе- ния / (см. 37 гл. III) в тихоновский куб Y — П{/%: % 6 Т} (и даже в [/Х]у). Оставшаяся часть утверждения следует из 35 и 8 гл. III. 39. Регулярное пространство X со счетной базой o={£^: i Е А+} совершенно нормально (20 гл. III). Пользуясь задачей 30 гл. III, строим для каждого i непрерывную функцию на X: 0 /Дх) 1, для которой X \ Ui = /^(0). Система {/$: i Е N+} этих функций, очевидно, является расчленяющей. Тогда диагональное отображение / гомеоморфно отображает оо пространство X в произведение счетного множества отрезков: г—1 т. е. в заведомо метризуемое пространство (194 гл. II). Таким образом, и само X метризуемо. 40. Прежде всего заметим, что всякое конуль-множество простран- ства X открыто в X. Для каждого U Е а рассмотрим непрерывную на всем X функцию /и: X 1и (здесь — отрезок [0, 1] числовой прямой, снаб- женный индексом U}, для которой fa (X \ U) = 0, а /у ж 0, если х С U. Рассмотрим топологическое произведение U 6 о} = Y (тихоновский куб веса, равного | о | х0*Ясно, что wY = | о | <;т(см. 379 гл. II). Далее рассмотрим диагональное произведение fG: X -> П{/ц: U £ а} для семей- ства отображений /у: X -+ /ц, U Е о. Ясно, что w(jGX) т. В качестве Уа берем /а(Х) cz П{Д/ : U Е о}. Отображение /а: X Уа непрерывно, как диагональное произведение семейства непрерывных отображений. Остается показать, что fQU открыто в Уди ~ U, если, конечно, U Е а. Но это уже не представляет труда. ’ 41. Рассмотрим (пользуясь 40 гл. III) пространство Уа, и?Уа на и непрерывное отображение /ff: X —> Уа, при котором faU открыто в Уа и если U Е о. Так как о — внешняя псевдобаза множества М cz X, то f^fG(x) = х, если х Е М. В частности, ~ М. Все доказано. 44. Пусть — база пространства X и у — его открытое покрытие. Очевидно, в у можно вписать покрытие, составленное из элементов базы Если из этого последнего можно выделить конечное покрытие, то, разу- меется. и в исходном покрытии есть коночное подпокрытие. 45. (а) Пусть X бикомпактно, а | Е А} — произвольная цен- трированная система замкнутых в X множеств. Если бы система £ имела пустое пересечение, то система со = {X \ Fa: X Е А} открытых в X множеств образовывала бы открытое покрытие пространства X. Тогда в силу бикомпактности пространства X из покрытия со можно было бы выделить конечное подпокрытие со0 ~ {X \ F^ , • ••’ X \ пространства X. S з Отсюда следовало бы F^- = Х\ (X \ F^) = X \ X = А, т. е. г—1 г—1 получалось бы противоречие с центрированностью системы (б) Пусть всякая центрированная система замкнутых множеств про- странства X имеет непустое пересечение. Доказываем бикомпактность про- странства X. Пусть со— {U%\ % Е А} — произвольное открытое покрытие пространства X. Надо выделить из него конечное подпокрытие. Предположим противное, пусть всякая конечная подсистема системы со не является покры- тием пространства X. Тогда система g={X\t7x‘ Е А} центрирована и состоит из замкнутых множеств, следовательно, Q {(X \ U%): X Е А} Ф А. Но тогда X \ (П{(Х \ Гх): X Е А}) = U{(* \ (X \ С7г)): К £ А} =
РЕШЕНИЯ 183 X. £ Л} =# X, что противоречит тому, что со — покрытие про- странств81 X. 46. Для решения задачи надо заметить только, что точка прикоснове- ния центрированной системы замкнутых множеств принадлежит всем множе- ствам этой системы, что из центрированности системы множеств следует центрированность системы замыканий этих множеств, и далее воспользовать- ся задачей 45 гл. III. 47. Для решения этой задачи надо только вспомнить, что всякая цен- трированная система множеств содержится в максимальной центрированной системе (127 гл. I), и далее воспользоваться предыдущей задачей. 48. (а) Обозначим через А множество всех точек X, не являющихся точками полного накопления для М. Для каждого х С Л зафиксируем такую окрестность Ох (в X), что | Ox Q М | < | М ]. Если Л = X, то у = {Ох*. х £ А} — открытое покрытие пространства X. Выберем из него конечное подпокрытие к = {Oxi4 . . ., Охк} cz у. Тогда М cz U{Oxt QM: i = 1, ... . ... к} и | М | = шах {I Ох} П M I-* г = 1, . . k} (cm. 90 гл. I) — полу- чили противоречие. Следовательно, X \ Л #= Л, т. е. у М есть точка полного накопления в X. (б) Пусть имеется открытое покрытие у пространства X, из которого нельзя выделить конечного подпокрытия. Положим т* = min{| X |: X cz у и X — покрытие X}. Зафиксируем X* cz у, для которого | X* | =т* и U{^: & € X*} — Я. Тогда, по предположению, т* > к0. Вполне упорядо- чим множество X* минимально — некоторым отношением с. Тогда, в силу выбора X* и отношения <, будем иметь U{V: 7 Е X* и V < U} X для каждого U Е X*. Определим точку x(U) С X \ (J {V (J {ж(7)}: V Е X* и V < U} для каждого U Е X* — это возможно, ибо иначе из X* можно было бы выбрать покрытие меньшей мощности. Положим М = {я(17): € X*}. Пусть у Е X. Покажем, что у не является точкой полного накопления для М. Непременно у С U* для некоторого U* Е X*, так как X* покрывает X. Но из u(Z7) Е U* следует, по выбору x(U), что U <U*. Значит, {Z7: U £ X* и x(U) е U*} cz {U: и е х* и и < #*}. Но I {U: U Е X* и U < £7*} | < |Х*| в силу минимальности <. Следовательно, | М П 17* | < | X* |. Но [ М\ — = | X* | к0, ибо из V' Ф 7", V, V" Е X*, следует, что х (V') х(У"). Итак, у М нет точки полного накопления в X. 49. Выберем в X произвольное счетное бесконечное множество А. В X для А есть точка полного накопления — пусть такова точка а' £ X. Положим А' = 4\{а'}. Множество А' искомое. Возможно и другое реше- ние, не опирающееся на задачу 48 гл. III. • 50. Нет. Примем за X пространство определенное в 100 гл. V, и за Л — его подпространство Тогда каждое бесконечное подмножество С множества А имеет предельную точку в а последняя будет и точкой пол- ного накопления для С. ибо | С | < | А | = х0. Но [Л]х = X, а X неби- компактно. 51. Да. Предположим, что У = [Л]х — не бикомпакт. Из X zd У следует, что У вполне регулярно. Рассмотрим какое-нибудь бикомпактное хаусдорфово расширение bY пространства У (см., например, 14 гл. IV). Выберем г Е bY \ У и положим g = {Oz Q А: Oz — окрестность точки z в У}. Так как [4]&у zd У, то bY = [4]ьУ и, следовательно, семейство g центри- ровано. Очевидно, единственной точкой прикосновения для g в bY является z, значит, в У нет точек прикосновения для g — получим противоречие. 52. Через обозначим совокупность всех таких семейств открытых в X множеств, никакое конечное подсемейство которых не покрывает про- странства X. На имеется естественное частичное упорядочение — по вклю- чению. Очевидно, индуктивно по отношению к нему. В соответствии с принципом Куратовского — Цорна (см. стр. 18) в есть максимальный элемент, содержащий любой наперед заданный элемент семейства . Пусть таков у*. Итак, никакое конечное семейство элементов у* не составляет
184 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА II ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА покрытия X, но если к у* добавить какое угодно открытое множество, ему не принадлежащее, то получившееся семейство уже будет содержать конеч- ное покрытие пространства X. Нам достаточно доказать, что у* не покры- вает X. Рассмотрим X = у* П Так как A cz у* и A cz ^8, то из свойств у* и следует, что X не покрывает X. Покажем, что (J {U: U €?*}<= U{^: Г б А}. Если х С U € У*» то найдутся такие Vi, . . ., Е что rr Е Kt П • • • . . . П Vk cz U (ибо & — предбаза). Если Vt у* при всех i = 1, . . к, то для каждого i из {FJ (J у* можно, в силу выбора у*, выбрать конечное покрытие пространства X. Но тогда, очевидно, и из покрытия y*U {Г1 {Ff. i=l, ...,&}} можно выделить конечное покрытие X. Тем более, конечное покрытие X можно выделить из у* (J{L7} = у* — получили противоречие. Значит, при некотором г*, где 1 i* непременно Е Т*« Но тогда € А и х Е U {^: v € М- Соотношение |J {U: U Е у*} cz: U {V: V Е А} дока- зано. Так как А- не покрывает X, то у* тоже не покрывает X. 53. В силу задач 45, 52 гл. III (надо только перейти к дополнениям) достаточно обнаружить, что каждое центрированное семейство £ элемен- тов имеет непустое пересечение. Пусть | = {о%?(Аа, Ва): а Е М}. Покажем, что семейство цр = {Ap}U {Ва: а Е М} замкнутых подмножеств простран- ства X центрировано при любом 0 £ М. Пусть . . ., Е М. Тогда <Г(43, Яр), е^(Ла1, Ва1), . . ., <W(Aak, Bak) Е g, п потому е%*(4р, Bp) ft k П(0е%?(4ар Яа.)) =# Л; значит, существует ОЕгГ(Х), для которого С cz СП{Яс^: i = 1, . . ., к}, С Г) 4р #= Л. Но тогда 4рр|(П{Яа^ i= 1, . . . . . ., к}) zd С Г) 4р Ф Л. Итак, каждое семейство т]р центрировано. Поэтому р| {Яа: а Е М} = Я* =# Л, Лр Q Я* =£ Л для каждого £ Е М. Но тогда Я* е П {<We, Яа): а Е М}, т. е. | имеет непустое пересечение. 55. X — хаусдорфово пространство, xG С X, F — бикомпактное под- пространство пространства X и гг0 С Я. В силу хаусдорфовости пространства X для каждой точки х Е F и точки х$ берем окрестности Ux точки х и ихт$ точки xq, для которых Ux Q Uxxq — Л. Рассматриваем открытое покрытие {Ux: х £ F} бикомпактного подпространства F п выбираем из него конечное 8 подпокрытие {Uxt: i = 1, 2, . . ., $}: Ux} zd F. Далее рассматриваем г=1 соответствующие окрестности Uv х0, . . ., U„ х0 точки xQ. Имеем Uxi[} 1 S 3 3 П г = 1, 2, ...,$. Тогда |j Uxt Q А ^Х.хо “ Л. Следова- f i=l i=l 1 S 3 тельно. обозначив UF = Ux^ UxQ = UxxQ, получим непересекаю- i=l i=i 1 щиеся окрестности UF множества Я и Ux0 точки xOl что и требовалось доказать. 56. Следует из задачи 55. 58. Множество Х\{ге) не замкнуто в хаусдорфовом пространстве X. Следовательно, Y = Х\ {х} как подпространство пространства X не биком- пактно (57 гл. III), и в У существует бесконечное множество А, для которого никакая точка у С У не является точкой полного накопления (48 гл. III)- Но в X у А есть точка полного накопления, так как X бикомпактно (48 гл. III), и, по доказанному, этой точкой может быть только х. 59. Зафиксируем какое-нибудь открытое покрытие у пространства X, из которого нельзя выделить конечное подпокрытие. Для каждой точки х выберем ее окрестность Ох такую, что [Orc] cz G для некоторого G Е у. Поло- жим А = {[Ort]: х Е X}. Тогда А — покрытие пространства X, вписанное
РЕШЕНИЯ 185 в у, и потому никакое конечное множество элементов X не покрывает X. Следовательно, £ = {X \ Р: Р Е X) — центрированная система открытых в X множеств. Через я* обозначим любой элемент, не принадлежащий X; положим X* = X U О*} и & = & U £*, где £* = О*}: U Е I}. Оче- видно, — предбаза некоторой топологии на X* и (X, является подпространством пространства (X*, «У*). Семейство является предбазой топологии У* в точке х*. Мы видим, что U* Q X Е ё для каждого £7* Е £*• Так как все элементы семейства | не пусты, то заключаем, что х* принадлежит замыканию множества X в пространстве (X*, ,У*). Далее, если х’, х" Е X, то у точек х', х есть непересекающиеся окрестности в пространстве (X*, <У*) (таковыми будут непересекающиеся окрестности этих точек в (X, У)). Если ж Е X, то X \ [бЛг] = Ох* — окрестность точки х* в (X* £Г*) не пересе- кающаяся с множеством Ох, которое является окрестностью в (X*, .3"*) точки х и Е X. Значит, (X*, &*) — хаусдорфово пространство. 60. Следует из задачи 59 гл. III. 61. Присоединим к множеству X еще одну точку £. Получим множество X = X U {£}. Теперь пусть со ={Ua: аЕА} — произвольное открытое покрытие пространства X. Определим на X топологию У (со) следующим образом: каждое открытое в X множество открыто и в X, кроме того, открыто в X всякое множество вида X \ [67ai U • • • U где а1 С Л, . . . . . ., as Е А. Нетрудно убедиться в том, что пространство X с топологией У(со), базу которой образуют описанные выше множества, хаусдорфово. При этом точка £ изолирована в X тогда и только тогда, когда из со можно выделить конечную подсистему, замыкания элементов которой покрывают пространство X. Отсюда следует требуемое утверждение. 62. Пусть со — произвольное покрытие подмножества [ t7]x открытыми в X множествами. Рассмотрим открытое покрытие Q пространства X, состоя- щее из всех элементов системы со и еще множества X \ [67]Х. Пользуясь ^-замкнутостью пространства X и задачей 61 гл. III, выберем конечную подсистему Qo cz Q, замыканпя элементов которой покрывают X. Последнее означает, что множество Qo = U {Uf: Uf Е Qo} плотно в X. Ясно, что Qo П плотно в U, а значит, и в [ U]x. Поэтому замыкания элементов системы соо — = {Ur: U’ Е Qo и W р [С7]х 4=- Л} покрывают подпространство [77]х. Ясно, что со0 cz со, | соо | < ы0. Вследствие 61 гл. III, подпространство (Я]х является Я-замкнутым. 63. Смотрите, например, Илиадис и Фомин [1]. 64. См. решение задачи 55 гл. III. Рассуждайте аналогично. (Решение следует также из 19 гл. III.) 65. Предположим противное. Тогда для каждой точки ж Е Ф можно зафиксировать окрестность Ох так, чтобы было Ох[}{хп : k£N*}~ А. Из покрытия {Ох*. х £ Ф} множества Ф выделим конечное подпокрытие — пусть это {Oxi, . . ., Ох^. Тогда V = U{Oxf. I = 1, . . ., 1} — окрест- ность множества Ф в X, не пересекающаяся с {хп : к Е Лг+). Но существует п*, для которого Un* с V. При этом хп* Е — получили проти- воречие. 66. Положим ц = {(X \ U) П Р: РЕ !}• Семейство ц состоит из замкнутых в X множеств, и Q {(): Q Е ц} cz (X \ U) Q Ф — А в силу опре- деления т) и Ф. Так как X бикомпактно, то мы заключаем, что семейство ц Не центрировано. Значит, существуют Pi, . . ., Pk Е S, для которых h Р (Pi П (X \ U)) = А. Но g — предфильтр, значит, существует Р* Е £
186 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА k k такое, что Р* cz Q Pt. Тогда Р* f) (X \ U) cz A (Pt П \ U)) — к, 1=1 1—1 т. е. Р* cz U. 67. Пусть § — семейство всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов семейства 6* Тогда £ — предфильтр, все элементы его замкнуты и Fq = П {Z’: F Е ?}• Остается сослаться на задачу 66 гл. III. 68. Пусть F = П {Г: U Е у}, где у — семейство открытых в X множеств п F замкнуто в X. Для каждого U Е У зафиксируем открытое множество V (U) такое, что F cz V(U) cz [7(Z7)1 cz £7,— это возможно, так как про- странство X нормально. Тогда F = Л {[lz(?7)]: U Е у}. В силу задачи 67 гл. III, каково бы ни было открытое в X множество OF, содержащее F, найдется конечный набор элементов у, для которого Q{[7(Z7j)]: z = 1, . . ., к} cz OF. Тем более, тогда Q { i = 1, . . &} cz OF. Значит, приняв за X семейство {У(£7): U Е у} и за X—семейство всех множеств, представимых как пересечение конечного числа элементов л, мы вправе утверждать, что (а) 1 X | = | X | < | у | (58 гл. I) и (б) X образует определяющую систему окрестностей множества F в X. Можно дополни- тельно предположить, что | у | — псевдохарактер множества F в X. 69. Положим l\ = U и предположим, что уже определены открытые множества для всех i = 1, . . ., к, где к — некоторое целое положитель- ное число. Пусть, кроме того, zz> Ф и [£7Ж] cz Щ для всех i < к. При- мем тогда за U^+i любое открытое множество такое, что Ф cz £7ь+1 cz [ L7ft+1] с cz С7д. Если последовательность {Uf i Е N+} построена в соответствии с описанной процедурой, то Q {CZp i Е JV+}:= П{[£7Д: i E 7V+} — бикомпакт счетного характера в X (ибо он является множеством типа G$ в X, см. также 68 гл. III), содержащий ф и лежащий в U± — U. 70. Пусть ф ={£7а- a Е Л} — определяющая система окрестностей множества Ф в X, i|; = {Vp: р Е В} — определяющая система окрестностей множества F в Ф и | А | т, | В | т. Для каждой точки х Е Ф \ F зафикси- руем ее окрестность Ох в X, для которой [йж] Q F — Л. Из ур = {7р} U {Ох*, х Е Ф \ F} можно выделить конечное покрытие бикомпакта Ф; пусть это <ор • • -1 Положим Мр = U{Oxi: J = 1, * . «(₽)}• Заметим, что множество Мр открыто в X и [Мр] П Л. Для каждого элемента (а, р) множества С = А X В положим W<a, щ = Ц* \ [Мр]- Покажем, что {W(a, р): (a, Р) Е 0} — определяющее семейство окрестностей множества F в X. Пусть G — любое открытое в X множество, содержащее F. Зафиксируем Ур* Е ф? для которого Fp* cz G. Тогда (J G — окрестность множества Ф в X. Зафиксируем а* ЕЛ, для которого Ua*cz |J G. Тогда F cz Ua* \ [Мр*] cz G, т. е. F cz cz G. Цель достигнута — ведь | С | — | Л X В | < т. 71. Пусть Q — Q {Га: а Е Л), где | Л | < т, Га открыты в X. Для каж- дого а Е Л зафиксируем такой бикомпакт Fa счетного характера в X, что х Е Fa cz Га (см. 69 гл. III). Тогда Ф = П{^а: а Е Л} - искомый биком- пакт (см. 70 гл. III). 72. Для каждой точки х Е F зафиксируем некоторую счетную базу ух точки х в X. Положим у = (J {ух: х Е F}. Тогда | у | к0. Очевидно, семейсл во у* всех множеств, представимых как объединение конечного числа элементов у, счетно и содержит определяющую систему окрестностей множе- ства F в X. 73. В силу 129 гл. III в X есть сеть из замкнутых множеств, для которой | | Положим — {PEtf'- Р П F — Л}. Тогда, очевидно, 1 &F и /?==Г1{Х\Р:РЕ &f}- Таким образом, у = = (Х \ Р: РЕ — искомое семейство множеств.
РЕШЕНИЯ 187 74. Нет. Пусть X — произвольное бесконечное множество и у, z — любые две точки, отличные друг от друга и от всех элементов X. Объявим любое подмножество множества X открытым в X = X |J {у} |J {z}. Кроме того, пусть в X открыты те множества, дополнения до которых конечны, а также пустое множество. Этим X превращено в топологическое простран- ство. Очевидно, Y = X U {у} и Z — X \J{z} — его бикомпактные подпро- странства. Но Y р Z = X и X, как подпространство пространства X, дис- кретно и, значит, небикомпактно (ведь | X | х0). 75. В силу 47 гл. III достаточно показать, что всякая максимальная центрированная система £ множеств пространства X. имеет точку прикосно- вения. Для каждого a g А рассмотрим систему ga = {паМ: М g £} множеств пространства Ха (здесь ла: П{Ха: а С А} Ха — естественное проекти- рование). Понятно, что — центрированная система, следовательно, для нее имеется (в силу бикомпактности пространства Ха— см. 46 гл. III) точка прикосновения ха g Xa. Рассмотрим точку х = {ха: a g A} g X. Докажем, 5 a что х — точка прикосновения системы £. Пусть Ох = *— произ- Ui 1 вольная окрестность точки х из стандартной тихоновской базы (см. 354 гл. II). Понятно, что g C7ai , . . ., х^$ g t7as, следовательно, (1) Jiai M П #= A..........n =# A для любого M g £. Но тогда (2) =# Л, ..., =# A для любого M g L Воспользуемся максимальностью центрированной систе- мы 5 (см. 128 гл. I), тогда из (2) будет следовать, что g £, г = 1,2,... . . ., s, откуда Ox — Cl г* g £ и х — {х^ a g A} g Ox Q M для любого 2=1 1 М g g, т. е. Ох П М Ф Л для любого М g £. Учитывая, что Ох — произ- вольная базисная окрестность точки х в X, получаем х g [ЛГ]^ для любого М g g, т. е. х ={яа: a g А} — точка прикосновения системы g. 76. Для каждой пары (я, у) точек х g А, у g В существуют открытые (в X, соответственно в У) множества О^х, Оху, для которых ОУх X Оху cz W. Зафиксируем такие множества. Из семейства = {Оху: у g В}, покры- вающего В, можно выделить конечное покрытие X множества В (ибо В биком- пактно). Пусть X = {Oxyi, . . ., Охуь}- Множество Ux — П {OVi х\ г = 1, . . . . . ., к} — окрестность точки х в X. Положим Vх = JJ {Оху£ i = 1, . . ., к}\ Vх — окрестность множества В в У. Имеем при этом Ux X Vх cz W. Будем считать, что такие Ux и Vх, как выше, зафиксированы для каждой точки х g А. Тогда у ={Ux: х g А} — открытое покрытие бикомпактного множе- ства А. Выделим из него конечное подпокрытие рь = {Ш^: i — 1, . . ., Z}. Положим V — i = 1, . . ., 1} и U = {J{Uxi: i = 1, . . ., I}. Тогда U — окрестность А в X. V — окрестность В в У и U X У cz W. 77. В силу 75 гл. III Ф — бикомпактное подпространство простран- ства X. Каждая точка р множества Ф входит в W вместе с некоторой своей стандартной окрестностью Ор (зафиксируем последнюю). Через Ар обозначим Конечное подмножество множества А, соответствующее Ор (см. стр. 58). Из покрытия {Ор\ р g Ф} множества Ф выделим конечное покрытие {Gpi, • • Opk). Положим А* = ^{Apf. i = 1, . . ., &). Множество W* — = U {Opf. i ~ 1, . . ., к} — окрестность Ф в X, содержащаяся в И7 и не
188 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА зависящая от элементов множества Л\Л* (см. стр. 100 и задачу 384 гл. II). Рассмотрим X = П{Ха: а Е Л*}, Ф — П{Фа: а Е Л*} и W = где W является проекцией множества W* на грань X произведения X. Тогда W — окрестность Ф в X и Ф cz WX П{Ха: а £ Л\Л*} cz W* cz W. Этим рассуждением решение данной задачи сведено к случаю, когда множе- ство Л конечно. Когда | Л | < 1, утверждение тривиально. Для | Л | — 2 задача реше- на раньше (76 гл. III). Пусть при | Л | к утверждение доказано. Пред- положим, что | Л | — к + 1. Зафиксируем а' Е Л и положим А' — Л\{а'}, X' = П{Ха: а С Л'}, Ф' = П{Фа: а 6 Л'}. Тогда X = X' X Ха„ Ф = — Ф' X Фа, и W — окрестность множества Ф в X. В силу 76 гл. III найдутся множества W' cz X', 77a,cz Xa,, открытые в X' и в Ха, соответственно, для которых W' о Ф', Ua, о Фа, и W' X Z7a, cz W. Но | А' | = к. По индук- тивному предположению, существуют открытые в Ха множества £7а, содержа- щие Фа, для которых П{С7а: а Е Л'} cz W'. Тогда П{£7а: а Е Л} cz W' X X Z7a, cz W. Задача решена. 78. Отображение / непрерывно, как диагональное произведение непре- рывных отображений. Так как F бикомпакт (а /*А1 — хаусдорфово про- странство), то / замкнуто (92 гл. III). Если верно 1), то из 319 гл. II следует, что ф = / | X, ф: X является замкнутым отображением, и потому /(X) = ф(Х) — замкнутое в J1 AI множество. (Просто: /(X) = р П /([Х]р).) Итак, достаточно доказать 1). Но 1) непосредственно вытекает из определения X. 79. Так как характер Фа в F счетен, каждый бикомпакт Фа можно представить как множество всех нулей некоторой непрерывной вещественной функции /а, определенной на пространстве F (см. 30 гл. III). Далее, так как вес X равен т, а F нормально, то существует семейство {фр: РЕВ} непрерывных вещественных функций на F такое, что Г) фр(^) $ 0 при всех р Е В; 2') ] В | =т; 3') существует pi Е В, для которого фрДВ) = {!}; 4') для любых Xi, х2 Е X существует р' Е В такое, что фр, (rq) #=фр,(^г)- Положим Л'=ЛхВ, и для каждого a' = (a, (З)ЕЛ' положим /а, = /а-фр. Ясно, что I Л' I = I Л |‘Т. Далее, очевидно, X ={х Е F: /а,(я) =#0 при всех а' Е Л'}. Из 78 гл. III следует, что сужение ф на X отображения / — диагональ- ного произведения отображений/а, по всем а' ЕЛ' — является непрерывным замкнутым отображением пространства X в пространство J^A^, где J — ~ (0, 1]. Но, в силу 3') и 4'), семейство {/а,: а' ЕЛ'} разделяет точки множе- ства X (для любых х^ х2 Е X найдется а' ЕЛ' такое, что /a,(zi) ф /«/(^г))- Поэтому ф взаимно однозначно и непрерывно, а значит, учитывая предыду- щее, заключаем, что ф — гомеоморфизм пространства X на замкнутое под- пространство пространства j'A l = Но полуинтервал / гомеоморфен замкнутому лучу — замкнутому подпространству прямой В. Поэтому j|A]-t гомеоморфно замкнутому подпространству произведения в1А,’ги, следовательно, X гомеоморфно замкнутому подпространству последнего. 80. 50 как подпространство пространства X представляет собой обыч- ную окружность (окружность с обычной топологией). Поэтому из любого открытого покрытия пространства X элементами его базы, указанной в опре- делении X, можно выделить конечное семейство {Ох1г . . ., Ох%}, покрываю- щее So. Но тогда автоматически и всё 51, за исключением конечного множе- ства точек, оказывается покрытым множествами Oxi, ...» Oxk. Теперь достаточно присоединить к {Oxlt . . ., Ох^} конечное число элементов рас-
РЕШЕНИЯ 189 сматриваемого покрытия — чтобы покрыть исключенные точки,— и полу- чится искомое конечное подпокрытие пространства X, Значит, X биком- пактно (44 гл. III). Ясно, что X — хаусдорфово пространство и что во всех его точках выполняется первая аксиома счетности. Кроме того, X = So J Si и St метризуемо как дискретное пространство, а So метризуемо как обычная окружность. Но в X нет счетной базы — в противном случае счетная база была бы и в *$*!, которое несчетно, дискретно и потому счетной базы не имеет. 81. Собственно говоря, требует доказательства только утверждение (г). Пусть о — открытое покрытие пространства А(Х) базисными множествами (определенными в условии задачи). Рассмотрим о как покрытие подпро- странства X' открытыми в А(Х) множествами. Подпространство X' гомео- морфно бикомпакту X. Поэтому из о можно выделить конечное подсемейство о/ cz со, покрывающее бикомпактное подпространство X'. Так как со' состоит из базисных множеств, конечно и покрывает подпространство X', то непо- крытыми (по определению окрестностей точек х' Е X' в А(Х)) остается, быть может, только конечное число точек х” £ X". Поэтому, добавив, если нужно, к о' еще конечное число элементов из со, покрывающие это конечное число точек, мы получим конечное подпокрытие со0 cz cd пространства А(Х). 82. При естественной интерпретации X как подпространства простран- ства [0, 1Ц пространстве X замкнуто в [0, 1]1 1 — ведь функция, являющаяся предельной для множества неубывающих функций, сама непре- менно неубывающая. Следовательно, X — бикомпакт (см. 54, 75 гл. III). Для доказательства того, что X удовлетворяет первой аксиоме счетности, надо опереться на следующее утверждение: каждая неубывающая веществен- ная функция, определенная на [0, 1], имеет не более счетного множества точек разрыва. Наконец, счетное всюду плотное множество в X строится так же, как в решении задачи 380 гл. II,— надо взять те отображения, входя- щие в X, которые принимают лишь конечное множество значений, причем каждое из этих значений является рациональным числом. Требуется допол- нительно, чтобы все прообразы точек при взятых отображениях были либо рациональной точкой, либо интервалом с рациональными концами. 83. Пусть М cz X, | М | > х0. Положим А — {х С X: ] М П i I = = | М |} (см. стр. 19). Тогда хт Е А, и потому А #= А. Пусть х* = min А, < х*, х' Ф х* и U = {у 6 X: х' < у О*}. Тогда | /(я') П М | < ] М | и I Цх*) П м 1=1 М |. Но 7(х*) П М = (Дя') Л м) и (U Л М). Значит, I U Л М |= | М | (см. 90 гл. I). По определению порядковой топологии, это означает, что я* является точкой полного накопления для М. Следова- тельно, пространство X бикомпактно (см. 48 гл. III). Очевидно, оно хаус- дорфово (7 гл. II). 84. Это утверждение легко выводится из 83 гл. III. 85. (а) (б). Положим /?(р) ={(У: Р Р' и Р' С В} для каждого Р € В. Для любых р4, р2 Е В либо Л(р4) cz /’(Рг), либо F(P2) cz /7(Р1). Кроме того, /’(р) А и /'’(р) замкнуто в X при всех Р Е В. Следовательно, {/Др): Р £ в} — центрированная система непустых замкнутых в X множеств и множество Ф= P{F(p): Р 6 В) не пусто. Зафиксируем любой элемент Р* Е Ф и покажем, что Р* Р для любого Р Е В (заметим, что Р* Е Ф cz В £ силу определения множеств F(P)). Предположим противное: пусть нашлось Р 6 в. для которого р* Тогда /([}) $ Р*, и из Ф cz F(P) следует, что Ф Р* в противоречие с выбором Р*. Значит, Р* — наибольший элемент Множества В. Аналогично находится наименьший элемент в В. (б) (в). Положим В = [А]. В силу (б) в В существует наибольший элемент р*. Покажем, что р* = sup А. Из A cz В следует, что а < Р* для всех а £ А. Пусть с2 Е X и с4 < р* < с2. Из Р* Е В = [А] и определения т°пологии в X следует, что существует а Е А, для которого < а < с2.
190 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА Тогда непременно с4 < я < Р*. Этим доказано, что |3* = sup А. Аналогично доказывается существование inf А в (X, с). (в) (а). Рассмотрим произвольное бесконечное множество A cz X и покажем, что А имеет точку полного накопления в X. Для каждого х £ X положим F(x) = {xf £ А: х х'}. Рассмотрим множество С = {я Е X: | F(x) | = | Л |}. Заведомо inf Л Е поэтому С #= А. В силу (в) существует с* = sup С. Покажем, что с* — точка полного накопления для Л. Пусть ₽ь ₽2 С X, р! < с* < р2. Тогда существует 7 С С, для которого pj <7 < р2. С другой стороны, р2 $ С в силу определения с*. Значит, | {я С А: х^ с}\ — = | Л |, но | {х Е Л: х р2} | < | Л |. Следовательно, |{х £ Л: 7 < х < < р2} I = | Л |. Этим доказано, что интервал с концами в pj и р2 пересекает множество Л по множеству, равномощному Л. В силу определения топологии в X это означает, что с* — точка полного накопления для Л. 86. Множество элементов «стрелки» мы отождествляем, как обычно, с полуинтервалом [0, 1) множества вещественных чисел. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение (*): для каждого несчетного под- множества Л cz [0, 1) существует х£А, для которого множество Ах — — {уЕА: х <z у} несчетно. Легко доказывается, что множество Л точек множества Л, являющихся точками конденсации (см. стр. 161) для Л (по отношению к топологии на Л, индуцированной обычной топологией отрезка), несчетно. Зафиксируем х Е A, z(A, xy=z. Тогда либо х < z, либо z < х. Пусть х < z. Множество Лл., очевидно, в этом случае несчетно. Утвержде- ние (*) доказано. С помощью (*) легко строится в каждом несчетном множе- стве Л cz [0, 1) монотонно возрастающая (строго) последовательность эле- ментов {хп: п Е Аг+}. Очевидно, по отношению к топологии «стрелки», у последовательности {хп: п £ N+} нет предельных точек в [0,1), тем более, нот их и в Л. Значит, Л, как подпространство «стрелки», не бикомпактно. 87. 1) и 7) устанавливаются непосредственно, 2) следует из 3), ибо совершенный прообраз бикомпактного пространства бикомпактен (36 гл. VI). 3) Устанавливается следующим образом: под нашими двумя полуин- тервалами рисуется отрезок с обычной топологией (также длины 1). Искомое отображение заключается в проектировании нашего пространства на этот отрезок. Непосредственно проверяется непрерывность и совершенность ука- занного отображения (см. определение на стр. 59). Для дальнейшего заметим, что полуинтервалы X и X' в наследствен- ной топологии гомеоморфны «стрелке» (104 гл. II). Поэтому свойства 4). 5), 8), 9), 10) являются следствием соответствующих свойств «стрелки» (104 гл. II) и некоторых утверждений (см. 208, 206 гл. III, 213 гл. II). Свойство 6) является следствием совершенной нормальности бикомпакта X** (см. 68 гл. III), а свойство 11) получается, если заметить, что квадрат простран- ства X** топологически содержит квадрат «стрелки», не являющийся нор- мальным пространством (И гл. III). 88. Пусть открытые множества tr$, г £ АГ+, всюду плотны в X. Опреде- лим по индукции последовательность {У}: непустых открытых в X множеств так, чтобы выполнялись условия: (а) [УД cz 1Ц для всех значе- ний г, и (р) [УД cz У; при всех i > / 1. При построении У$ мы существенно опираемся на то, что X регулярно и U} всюду плотно в X. Зафиксируем произвольно непустое открытое множество W cz X. За У1 примем любое непустое открытое множество, для которого [УД cz ТУ Q Ui =# Л. Пред- положим, что множества Уг- определены для всех i <; к. Обозначим тогда через Рд+1 любое непустое открытое множество, для которого [Уд+Д cz Уд П П^А+1 (множество Vk П Uk+i не пусто, ибо всюду плотно в X). Пусть yf определены по указанному правилу для всех i Е 7V+. Имеем тогда: ИТ|(Г|{^: i € V+}) zd П{Ур i Е Х+} = fi {[УД: i Е 7У+}. Но стоящее спра- ва множество не пусто, ибо X — бикомпакт и семейство {V$ i Е Лг+} цен-
РЕШЕНИЯ 191 трировано (см. 45 гл. III). Значит, W ft (П {^г: * С V+}) =# Л для любого открытого в X множества Ж, т. е. it V+} всюду плотно в X. 89. Верно более сильное утверждение — см. 126 гл. III. 90. Пусть Щ, i £ N+,— всюду плотные открытые в полном (в смысле Чеха) вполне регулярном пространстве X множества; РХ — бикомпактное расширение пространства (например, расширение Стоуна — Чеха — см. 14 гл. IV). Тогда X = ft{I\-: i Е V+}, где I\, i 6 Х+,— некоторые открытые в 6Х множества. Для каждого I рассмотрим открытое в рХ множество O(Ut), для которого O(Ui) ft X = Щ. Обозначим <2*(C7f) = O(Ut) ft ГР Очевидно, что O*(Uj) ft X == Но, кроме того, уже (7*(tZf)cz Гг-. Покажем теперь, что 0*{Ut) всюду плотно в рх. Пусть Г — произвольное открытое в РХ множество. Тогда, в силу плотности X в РХ и Ut в X, получаем, что Г ft =/= =£=Л, значит, тем более, Г ft О*(Пг) Ф Л, т. е. О*(С7г) всюду плотно в рх. Тогда ft i £ Лг+}=^ Л и всюду плотно в рХ (88 гл. III). Но ft {й*(^): i £ N'} с ft {1\: i € V+} = X, следовательно, ft {O*(Ut): i £ N+} = = X П ft{(9*(tZf): i € N+} — A{^i: i £ -V+}> значит, множество ft{£^: i N+}" ('\{O*(Ui): i£N+) всюду плотно в X. Все доказано. 92. Пусть F с: X — произвольное замкнутое подмножество биком- пактного пространства X. Подпространство F бикомпактно (см. 54 гл. III). Тогда и fF — бикомпактное подпространство хаусдорфова пространства Y (91 гл. III), которое, следовательно (см. 56 гл. III), замкнуто в Y. Второе утверждение получается из первого и задачи 322 гл. II. 93. Из задачи 92 гл. III следует замкнутость отображения /: X -> У. Поэтому / — гомеоморфизм. 94. (а) Если /: X У непрерывно, то график отображения f замкнут в X X У (см. 291 гл. II), причем бикомпактность пространств X и У несуще- ственна. (б) Пусть график D отображения /: X -> У замкнут в произведении бикомпактов X и У. Рассмотрим отображения рх: £> -> X, ру: D У. Отображение рх: 7) —> X взаимно однозначно и непрерывно. Тогда, вслед- ствие того, что график D — бикомпактное множество, получаем, что непре- рывное отображение ру: D -> У замкнуто, а отображение рх. D -> X — гомеоморфизм. Кроме того, отображение /: X -> У есть суперпозиция ото- бражений р~£ и ру, т. е. / = руРх1. Пусть V — произвольное открытое в У множество. Тогда f^V — РхРу V, ру V открыто в РхРуР = f^V открыто в X. Непрерывность отображения / доказана. Заметим, что для доказательства непрерывности отображения /: X -> У мы воспользовались только тем, что проектирование графика этого отображения на простран- ство X есть топологическое отображение. 95. Не всегда. Пусть X — пространство рациональных чисел с обыч- ной топологией, и У = ЬХ — £ (J X — бикомпактное Ti-расширение про- странства X, определенное в задаче 1 гл. IV. При этом базу топологии ЬХ в точках множества X образуют окрестности этих точек в X (т. е. X открыто в ЬХ), а произвольная открытая окрестность точки g является дополнением До некоторого бикомпактного (следовательно, замкнутого) подпространства пространства X. Обозначим топологию пространства ЬХ через ЗГ и рас- смотрим произвольную топологию ЗГ на множестве точек ЬХ, для которой с и пространство (ЬХ, ЗГ) бикомпактно. Пусть U ^ЗГ. Тогда ЬХ \ U замкнуто в (ЬХ, ЗГ), и потому бикомпактно. Но тогда ЬХ \ U является бикомпактным подпространством пространства (ЬХ, ЗГ) (ибо образ биком- пактного пространства при непрерывном отображении является бикомпакт- ам пространством — см. 91 гл. III). Покажем теперь, что каждое биком- дактное подпространство F пространства (ЬХ, ЗГ) замкнуто. Если F $ Тр F cz X и F является бикомпактным подпространством пространства X. х°гда F замкнуто в (ЬХ, ЗГ) по определению топологии ГГ. Если F Э £ и F Ве замкнуто в (ЬХ, ЗГ), то найдется последовательность {хп: п £ N+} точек
192 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА множества F \ g, сходящаяся к некоторой точке х* С X \ F (в смысле топологии «у , т. е. в смысле обычной топологии рациональных чисел). Тогда Ф = {х*} U {хп: п Е Х+} — бикомпактное подпространство пространства X и. следовательно, 0% — ЬХ \ Ф — окрестность точки g. Но dg не содержит ни одного элемента последовательности {хп‘. п Е N+}. Значит, в F нет ни одной предельной точки для {хп: п £ N+} — получили противоречие. Сле- довательно, F замкнуто в (ЬХ, г/). Доказанное свойство топологии «у позво- ляет, вернувшись к определенному ранее множеству ЪХ \ U, заключить, что оно замкнуто в (ЬХ, Значит, U Е гУ. Тем самым доказано, что гГ с: гГ. Следовательно, & — Но (6Х, не удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа (так как X не локально бикомпактно; см. 179 гл. III). Значит, и {ЬХ, не является бикомпактом. 96. Нет. Наделим множество всех точек отрезка [0, 1] топологией 3\ (см. 2 гл. II, 42 гл. III). Тогда естественное (тождественное) отображение отрезка [0, 1], взятого с обычной топологией, на пространство ([0, 1], JTfe) непрерывно, взаимно однозначно и не является гомеоморфизмом. 97. (а) Пусть / — непрерывная функция на бикомпакте X: f: X -> R, где R — числовая прямая. Подпространство fX cz R бикомпактно (91 гл. Ill), а следовательно (256 гл. III), множество fX на прямой R замкнуто и огра- ничено. Тогда а = inf fX и Ь = sup fX существуют и принадлежат множе- ству fX, т. е. функция / ограничена: а < f(x) Ь для всех х Е X и = а, fx2 = Ь для некоторых х± Е X, х2 Е X. (б) Да, существуют (см. 188, 185 гл. III). Такие пространства назы- ваются псевдокомпактными. 98. Пусть xQ — неизолированная точка пространства X и у0 — неизо- лированная точка пространства Y. Тогда множества Х\{я0} и У\{^0} равномощны; мы обозначим через ф какое-нибудь взаимно однозначное отображение Х\{я0} на У\{Уо}« Определим ф: X -> Y так: <р(^о) = 2/о» <р(ж) = ф(я) при х Е Х\ {я0}. Покажем, что ф — гомеоморфизм. Так как ср взаимно однозначно и ф(Х) — Y, то достаточно проверить, что ф непре- рывно. Пусть U — произвольное открытое в У множество. Если U $ у$, то ф-1# $ х^, и потому ф-Ш открыто в Хо (ведь Хо = X\{^о} дискретно и открыто в X). Если U Э у0, то у0 пе является точкой полного накопления для множества У \ Я. Никакая другая точка множества У также не являет- ся точкой полного накопления для Y\U (так как все точки изУ\{?/о} изолированные). Значит, У \ U — конечное множество. Следовательно, и Х\ф-гЯ конечно. Значит, замкнуто, а ф~хЯ открыто в X. 100. Воспользуйтесь задачами 61 гл. III и 281 гл. II. 101. Вследствие задачи 102 гл. III паше пространство X Я-замкнуто и полурегулярно, ибо оно неуплотняемо. Докажем теперь, пользуясь вторым нашим условием, что оно регулярно. Пусть х0 Е X произвольно. Возьмем произвольную окрестность OxQ точки xQ. Так как X полурегулярно, то суще- ствует окрестность О’х$а: Ох$, являющаяся каноническим открытым множе- ством. Тогда X \ O'xq — каноническое замкнутое множество (см. 56 гл. II). Поэтому X \ О'хц — Я-замкнутое подпространство (см. 62 гл. III). Для каждой точки х Е X \ O'x$ и для точки х§ возьмем окрестности Ux и Ux%o таким образом, чтобы [Ях] Q [ UxxQ\ = А. Рассмотрим открытое покрытие со —{Ux\ х Е X \ О'х0} Я-замкнутого подпространства X \ О'х0. Поль- зуясь задачей 61 гл. III, выделим конечную подсистему соо = {Uxi, Ux2, . . • s . . ., Ux^, для которой X \ O'xq cz [ЯяД. Рассмотрим соответствующие i—i окрестности точки xQ: Uvx0, UxxQ, . . ., U^xq. Имеем [Ях.я01П 1^1 = •А. 1 Л.£ J
РЕШЕНИЯ 193 s i=l, 2, . . s. Обозначим O"x0 == p"4] Ux.xb- Нетрудно убедиться в том, i=l 1 что х0 С О"х0 cz [0"#olx cz O'xq cz Oxq. Итак, X регулярно и Я-замкнуто, а потому бикомпактно (см. 60 гл. III). Все доказано. 102. (а) Пусть хаусдорфово пространство X является Я-замкнутым и пол у регулярным. Пусть /: X -> У — взаимно однозначное непрерывное отображение на хаусдорфово пространство У. Докажем, что / — гомеомор- физм. Так как X полурегулярно, то канонические открытые множества обра- зуют базу в X. Для доказательства топологичности отображения / надо пока- зать, что образ fU канонического открытого в X множества U — открытое в X множество. Множество X \ U канонически замкнуто в X, значит, X \ U является Я-замкнутым подпространством (см. 62 гл. III). Тогда /(X \ U) является Я-замкнутым подпространством хаусдорфова простран- ства У (см. 100 гл. III), в частности, f(X \ U) замкнуто в У, следовательно, fU = Y \ /(X \ U) открыто в У (мы все время помним, что / взаимно однозначно). (б) Пусть X неуплотняемо. 1) Докажем прежде всего, что X полу регулярно. Определим на X топо- логию d , базой которой являются канонические открытые множества хаус- дорфова пространства X. Ясно, что (X, d)— хаусдорфово пространство, a f: X -> (X, d) — взаимно однозначное непрерывное отображение. Так как X неуплотняемо, то / — гомеоморфизм, откуда получаем, что канонические открытые множества в X образуют базу в X, т. е. пространство X полу- регулярно. 2) Докажем Я-замкнутость пространства X. Предположим, что X не Я-замкнуто. Тогда, присоединив к X неизолированную точку можно рас- ширить пространство X до хаусдорфова пространства X. Рассмотрим раз- биение пространства X, все элементы которого одноточечны, кроме одного, который состоит из двух точек: точки g и еще одной точки х0 £ X. Это раз- биение непрерывно. Пространство этого разбиения обозначим через У, естественное отображение пространства X на пространство У заданного разбиения — через /. Так как определенное выше разбиение непрерывно, то отображение /: X -> У непрерывно и замкнуто (см. 322 гл. II). Простран- ство У хаусдорфово (нетрудно убедиться в этом). Рассмотрим сужение f | X = /. Ясно, что /X = У, /: X У взаимно однозначно. Кроме того, f — незамкнутое отображение, в чем нетрудно убедиться, воспользовавшись тем, что § — неизолированная точка в X; значит, X плотно в X. Итак, мы построили взаимно однозначное непрерывное нетопологическое отображе- ние нашего пространства X на хаусдорфово пространство У, что противоре- чит неуплотняемости пространства X. 103. Ответ авторам неизвестен. * 104. Аксиома отделимости Хаусдорфа проверяется без труда. Без труда также показывается, что замыкания любых двух окрестностей точек р + ир- пересекаются, т. о. что X не удовлетворяет урысоновской аксиоме отделимости. Далее легко показать, что X полурегулярно. Теперь покажем, что X является Я-замкнутым. Для этого воспользуемся критерием Я-зам- кнутости (61 гл. III). Пусть о) — произвольное открытое покрытие про- странства X базисными открытыми множествами. Рассмотрим две точки р + и Р“, 6 Uni(p+) 6 со, р~ g Un2(p”) Е ю. Можно считать, не нарушая общно- сти, что = — п. Тогда подпространство X \ (^Unp + (J У)' + у2 < > у ------ 0 | j = { (х9 у): я2 + у2 < 1 J — бикомпакт, и мы Можем выделить из со конечную подсистему <о0, покрывающую это биком- 13 а. в. Архангельский, В. И. Пономарев
194 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА ^актное подпространство. Рассмотрим конечную систему со4, состоящую из всех элементов системы со0 и еще двух множеств Unp + и Unp~, входящих в со. Ясно, что ®1С to, I ©i I < No- Так как множество {(я, у): 0 < я2-|- + у2 < ~ , у = 0 } ) нигде не плотно в X, то замыкания элементов системы©j Покрывают X. Итак, X будет //-замкнутым, полурегулярным п не удовле- творяет урысоновской аксиоме отделимости. Поэтому X пеуплотняемо (вслед- ствие задачи 102 гл. III), а вследствие задачи 64 гл. III небикомпактво. 1^се доказано. 105. См. задачи’107 и 39 гл. III. 106. В силу задачи 147 гл. II хаусдорфово пространство, обладающее сетыо мощности, меньшей или равной т, можно уплотнить на хаусдорфово Пространство с базой мощности, меньшей или равной т. Но каждое уплот- нение бикомпакта па хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом (93^ гл. III). Значит, в самом X есть база мощности, меньшей или рав- ной т. Ясно, что мы воспользовались только неуплотняемостью простран- 107. В самом деле, множество всех одноточечных подмножеств биком- пакта образует сеть в нем. Заключение следует теперь из задачи 106 гл. III. 108. Пусть — база пространства Х\ и &2 — база пространства Х2, причем | | = тах(шХ1, wX2) и | $2 | <т. Тогда U &2 — сеть в пространстве X (141 гл. II) и | ^ | (так как т > n0). Значит (см. 106 гл. III), в X есть и база мощности, меньшей илп равной т. Ясно, что иес X не может быть меньше, чем вес Xi или чем вес Х2. г ^109. Рассуждение аналогично проведенному в решении задачи 108 110. Да, существует. Пусть (X, ^) — произвольное небикомпактное счетное Тгпространство без счетной базы (см. 84, ИЗ гл. II). Тогда (X, Определенное в задаче 1 гл. IV,— счетное бикомпактное Ti-пространство оез счетной базы — если бы последнее не имело места, то счетная база суще- ствовала бы и в (X, <У'), как в подпространстве пространства (X, <<Г). 111. При непрерывном отображении пространство со счетной сетью Переходит в пространство со счетной сетью. Значит, есть счетная сеть в Y. Но тогда в Y есть и счетная база (106 гл. III). 114. Пусть zd A, Ui открыто в X X X и Q {L7> i С V+} = А. Можно считать, кроме того, что [Uj] cz Ut при / > i. Тогда для каждого открытого в X х X множества G, содержащего А, можно найти такое i0, что Ut cz G (см. 67 гл. III). Для каждой точки х С X п каждого значения i зафиксируем такую окрестность О'х точки х в X, что Cfix X О'х cz Ut. Покажем, что Семейство у = {О^х: i £ Дг+, х £ X} — база пространства X. Рассмотрим Произвольную окрестность Ох* произвольно зафиксированной точки х*. *огда U* = (Ox* X Ox*) (J ((X X X) \ (X X х*)) — окрестность множе- ства А в X X X. Существует i*, для которого U^ cz U*. Покажем, что О2*^* ох*> До определению, О^х* X Ог*х* cz U^ cz U* и Ог** Э £*• Следовательно, каково бы ни было у С Ог*х*, будем иметь: (у X х*) С U* = (Ox* X Ох*) и ((X X X) \ (X X х*)). Но тогда (у X х*) £ Ox* X Ох* И, значит, у 6 Ох*, Доказано, что Ог*х* г~ Ох*, При этом Ог*х* С у. Следо- вательно, у — база пространства X. Теперь для каждого i С V+ рассмотрим Покрытие yi — {О^х: х £ X} пространства X и выделим из него конечное Подпокрытие = {#%-: / = 1, . . s(i)}. Тогда у0 = U {Т?: 1 — таК' 'Не база пространства X, у° cz у и | у° | н0. Все доказано. 115. Нет. Для примера рассмотрим семейство {Оа: а £ А}, | А | = Изолированных двоеточий: Da — {0а, 1а}. Как известно, Dc = П{Da: а £ А} —
РЕШЕНИЯ 195 сепарабельный бикомпакт (см. 381 гл. II). Для каждой точки х Е 6 П{Ах: а С ^4} обозначим к(х) = {а£А: ха Q}, Рассмотрим множество М = {я € П{1)а: a Е А}: | к(х) | < х0}- Покажем, что подпространство М cz cz П{Ра: а Е А} пе сепарабельно. Пусть М' — счетное подмножество мно- жества М. Обозначим к(М') = (J {к(х): х£М'}. Ясно, что к(х0) cz к(М'), если xq £ 1М'1м. Но | к(М') | < х0, а | А | = с > х0, поэтому, взяв х0 £ М такое, чтобы к(х^) П к(Мг) = Л, получим точку множества М, не принадле- жащую множеству Заметим, что М всюду плотно в Dc. 116. Множество А точек любой свободной последовательности состав- ляет открытое дискретное подпространство в Г = [Л]у. По условию, суще- ствует С cz F, для которого 1 С] •= F и | С | т. Из изолированности точек А в F и [С] => А следует, что С zd А. Значит, | А |<ти верхняя грань мощно- стей свободных последовательностей в X не превосходит т. Тогда и t(X) т (142 гл. III). В Ф = [У] выберем всюду плотное множество S такое, что | S | <т. Для каждого у £ S зафиксируем множество В(у) cz У со свойства- ми: | В(у) |<т и [/?(*/)] Э У (это возможно, так как 1(Х) <т). Положим В = и {В(у)> У € *$}« Тогда I В I < т, В cz У и [В] zd [5] = Ф zd У. Следо- вательно, й(У) < т. 117. Ответ авторам не известен. 118. Ответ авторам не известен. 119. Существуют вполне регулярные ненормальные сепарабельные пространства — таково, например, пространство Немыцкого (Z, 3 ) из зада- чи 13 гл. III. У (Z, существует бикомпактное хаусдорфово расширение (14 гл. IV) — последнее и является, очевидно, искомым бикомпактом. Дру- гой пример: произведение 2Ко экземпляров обычного отрезка — сепарабель- ный бикомпакт (381 гл. II). Он содержит гомеоморфный образ любого вполне регулярного пространства веса, меньшего или равного 2Хо (36, 37 гл. III), — а среди таких есть ненормальное (13, 11 гл. III). 120. Покрытие % пространства X назовем минимальным, если из 7 cz А, и у % следует, что у не покрывает X. Множество всех минимальных покры- тий пространства X, составленных из элементов базы Ж обозначим через Ясно, что каждое минимальное открытое покрытие бикомпактного простран- ства конечно. Поэтому -- UfoT’n' п Е ^+}, где = {л Е I А, | = п}. Легко доказывается, что | | | | (см. 58 гл. I; мы учитываем, что каждое К Е конечно, и что в X выполнена Тгаксиома отделимости). Пред- положим, что | | > т. Тогда | | >т и, значит, | ^П(} | >т для некото- рого 720 (90 гл. I). Положим (для произвольного у cz JB) е/^по = °^по: У cz л}. Мы докажем сейчас по индукции, что для каждого к -- 0, 1, . .., nQ существует yk cz АВ со свойствами: (a) | yk | = к. (Р) | | >т. Пусть. = 0; полагаем 70 = Л — условие (|3) выполняется, ибо 11 । <?по । Предположим, что ужо определено для некоторого I < nQ, причем | | >т и | уг | = I < п0. Тогда U 6 у;} #= X, иначе, в силу определения с: семейство было бы пусто. Зафиксируем х* 6 х \ и {U-. и е у(). Так как то = (J V 6 I | <т, а | I >т- Значит (88 гл. I), существует Г* g ^х*, для Которого | >т. Очевидно, V* (t у; (ведь х* £ V* и х* И € ?/})• Следовательно, | уг |J {V*} | = I + 1, т. е. у;+1 = уг (J {V*} — скомое семейство. Эта процедура приводит нас, наконец, к системе 7nocz ДЛя которой | упо | = л0 и | | >т. Но так как уП() с: у и | у | = п0, то 13*
496 ГЛ. 1П. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА для любого -у £ (У’пд0 мы заключаем, что -у == уп^ при всех у Е т. е. что Хо° ={?п0} 11 । <^по° 1 = противоречие с | с^° | >т > х0 > 1. 121. Обозначим через % совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов семейства %. Семейство % служит базой некоторой топологии ЗГ на X (14 гл. II). Так как {#} = Q {U\ U £ для всех х Е X, то пространство (X, <^Г) удовлетворяет Тгаксиоме отделимо- сти. В силу задачи 58 гл. 1 | % | = | % | и гГ cz где ЗГ — исходная топология на X. Последнее означает, что (X, «F) бикомпактно. Очевидно, I I <3 для всех х £ X, где ={F Е V Э х}. Заключаем (120 гл. III), что j % ] <т. Следовательно, | % | 122. Будем считать, что | X | Ко- Положим 3F = {Х \ U: U Е <!$}• Очевидно, для каждой точки х Е X имеет место (ж) = Q{F Е SF'* Р 3 х}- Рассмотрим семейство & всех множеств, являющихся пересечением конеч- ного множества элементов из cF'. Тогда | 3F | — | FF I = | 3$ |. Все элементы семейства 3F — замкнутые множества. Покажем, что — сеть в X. Пусть точка х Е X и ее окрестность Ох выбраны произвольно. Рассмотрим = {Pf](*W Р и РЪ*}- Очевидно, R {<?: Q £ cz Q {Р Е &: Р Э х} = Г1 (Р' £-&'• Р' Э я} о {ж}. С другой стороны, Q {Q: Q Е £} с cz X \ Ox cz X \{я}. Следовательно, Q {Q: Q Е £} = А. Так как все эле- менты £ — замкнутые множества, то семейство £ не центрировано (45 гл. III). Значит, найдутся Рь . . ., /\E«F> Для которых Q {/\: i = 1, ...,&} П р| (X \ Ох) = А^ Но тогда х Е П {Pi' t = 1, ...,&} cz и p| {Рг-: I = = 1, . . ., к} Е PF • Итак, & — сеть в X. Поэтому (106 гл. III) существует база пространства X, для которой | < | & ]. 124. Пусть 6 — семейство всех открыто-замкнутых в X множеств. Так как X нульмерно, то б образует базу пространства X. Возьмем такое подсемейство б0 cz б мощности | б0 | = ia(X), чтобы б0 также образовывало базу в X (см. 101 гл. II), и бо — семейство, состоящее из всевозможных объединений конечного числа множеств из 60. Очевидно, б0 состоит из откры- то-замкнутых множеств, т. о. б0 cz 6, образует базу бикомпакта X и | б0 I = = | б0 | = w(X). Покажем, что б0 = б. Пусть РЕЙ произвольно. Для каж- дой точки х Е V возьмем такое Ох Е б0, чтобы х Е Ux и рассмотрим открытое покрытие у(7) = {UX. х Е Р} пространства V, Так как V открыто- замкнуто в бикомпакте X, то V — бикомпакт; следовательно, существует конечное подпокрытие {UXl, ...» UXs} покрытия у(7) подпространства V. 'Тогда V = IJ {Ux. Ux Е Y (V)} = Ux^ Так как каждое Ux. Е So, i ~ -= 1, 2, . . s, то t7x. = V Е 6о- Итак, 6 = б0. Значит, | б I = | б0 | = г=1 7 — | бо ] = и?(Х). Все доказано. 126. На основании 125 гл. III выделим непересекающиеся замкнутые множества FQ cz X и cz X, которые в топологии, порожденной из X. не имеют изолированных точек. Применим снова задачу 125 гл. III к про- странствам Fq и Fi в отдельности — получим замкнутые пересекающиеся множества FOo Р(ь Pot Ро, Pio Pit Рц cz каждое из которых как подпространство пространства X не имеет изолированных точек. Продолжая очевидным образом этот процесс по индукции, мы каждому упорядоченному набору iQl if, . . ., i/j из нулей и единиц поставим в соответствие замкнутое в X множество, которое в топологии, индуцированной из X, не имеет изо ли-
РЕШЕНИЯ 197 рованных точек. При этом будут выполняться условия: (а) Рг^.л^ С2 Л ; ; И (Р) { i ; П Р. . . = Л, если i'k Ф tk, VJ& io, 70г1*,ф/?-1 ?01Г • го?Г*'г/г-Л ц, . . ., ik-i, lit, ik любым образом можно заменить на нули п единицы и к = 0.1, 2, ... Из (а) следует, что для любой последовательности % = = {io> • • •» Ч’ • • .}, состоящей пз нулей и единиц, множество = == П {^о> к = 0, 1, 2, . . .} не пусто (ведь X — бикомпакт). В силу (₽), если £ то Ф|, р Ф= = Л. Так как множество всех различных последо- вательностей из нулей и единиц имеет мощность 2Хо (см. 92 гл. 1: это множе- ство можно отождествить с произведением к0 двоеточий), то | X | > > I U {®г: £ — любая последовательность из нулей и единиц} | > 2Ко. 127/ Нам понадобятся следующие замечания: 1) Если мощность биком- пакта больше единицы, то в нем найдутся два непересекающихся непустых замкнутых множества типа G& (можно воспользоваться задачей 69 гл. III). 2) Пересечение счетной центрированной системы замкнутых множеств типа Gq в бикомпакте является непустым замкнутым множеством типа G& в этом бикомпакте. 3) Если Ф cz F cz X и F — множество типа G,s в I, а Ф - множество типа G& в F, то Ф — множество типа G& в X (см. 70 гл. III). 4) Если F = {я} — множество типа G& в бикомпакте X, то X в точке х удовлетворяет первой аксиоме счетности (см. 68 гл. III). Рассмотрим теперь минимально вполне упорядоченное мпожество (Л, <) мощности Для каждого х С А через Q(x) обозначим множество всех функций со значениями 0 или 1, определенных на 1(х) = {у С А: у < х, у «}. Если / 6 Q(x) и у < х, у х, то через </, у) будет обозначаться сужение функции / на множество 7 (у), а через /+0, соответственно через /+х будет обозначаться [функция, определенная на 1(х) — I(x) U {х} = I(x + 1) и на 1(х) совпадающая с /, а на х равная соответственно нулю или единице. Будем считать теперь, что бикомпакт X ни в одной точке не удовлетворяет первой аксиоме счетности. По индукции относительно (Л, с) можно построить отображение (р множества Q = (J {(?(#): х С Л) в множество всех непустых замкнутых множеств типа G& в X так, что для всех / С <2 будут выполняться условия: (а): <р(/+°) П <р(/+1) = Л; (р): <р </, у} => <р(/); (v): | <р(/) | > 1— при этом следует воспользоваться замечаниями 1) — 4) и сделанным пред- положением. Провести построение предоставляется читателю. Рассмотрим теперь множество Q всех отображений множества Л в множе- ство D = {0, 1}. Через < g, х), для каждого g С Q и каждого х g А, условимся по-прежнему обозначать сужение отображения g на множество 1(х) и опре- делим отображение ф множества Q в множество % непустых замкнутых подмножеств пространства X следующим; образом: <p(g) = Q {ср (g, я): Л}. Из (р) следует, 4T0*(p(g) Л для всех g g Q, а из (а) вытекает, что <Pfe) П cp(g') = Л, коль скоро g g'. Но Q — DA и ] () | = | D |,л1 = 2 \ Из Ni = 2Х° следует, что 2х*1 > к»! == 2К°. Получаем [ |J {(p(g): s £ 2} I > I Q | > 2K° — пришли к противоречию. 128. Мы докажем, что если в условиях задачи X несчетно, то в X суще- ствует замкнутое подпространство без изолированных точек. Через X* обозначим множество всех точек х С X, обладающих окре- тностью Ох такой, что | Ох | к0. Покажем, что ] X \ X* | >1. Каждое ^^ппутое в X множество F, содержащееся в X*, счетно. Если X \ X* — 27 то {х*}— Q {C7n: п— 1, 2, . . .}, где все Un открыты в X, и, следова- Кая*Н0’ = \{я*} = U {X \ Un: п = 1, 2, . . .}. По сказанному выше ^ДОе Х\ Un счетно, следовательно, X* и X также счетны. Из получен-
198 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА кого противоречия следует | X \ X* [ >1. Понятно, что подпространство X \ X* замкнуто и не имеет изолированных точек. Теперь см. 126 гл. III. 129. Пусть — база пространства X и | t'$ | Семейство всех множеств, представимых в виде объединения конечного числа элементов из обозначим через Тогда (58 гл. I) | <^ | <т, и так как X — биком- пактное Ti-пространство, то для любых х £ X и F cz X, где х $ F и F замкну- то в X, найдется V С такое, что х £ V, F cz V. Следовательно. = = {X \ V: V £ <$} — сеть в X. Очевидно, все элементы замкнуты в X И | | - | I <Т. 130. В X существует счетная сеть замкнутых множеств (129 гл. III). Предположим, что X несчетно. Множество А = U U3’- Р € с? 11 I Р I < х*о} счетно. Выберем у £ X \ А, г£Х\Л, у =^= z. Так как X — ^-пространство, то X \{у} — открытое множество, содержащее z. Поэтому существует Ро С сУ’ Для которого z £ Pq cz cz X\{r/}. Множество X \ PQ тоже открыто в X и содержит точку у. Поэтому найдется Pi С для которого у С Pi cz X \ Ро. Из у $ Л, у С Pi С С и z $ А, z С Ро С следует, что к0 < | Ро I и х0 < | Л |. Мы доказали, таким образом, утверждение (♦): если бикомпактное ^-пространство со счетной базой несчетно, то в нем можно найти два замкну- тых непересекающихся несчетных подпространства. Последние также биком- пактны, имеют счетную базу и удовлетворяют Ti-аксиоме отделимости. К ним снова можно применить утверждение (*). Проводя построение по индукции и рассуждая так же, как в решении задачи 126 гл. III, мы заклю- чаем, что X содержит подмножество мощности 2Хо. Всегда мощность ^-про- странства со счетной базой не превосходит 2Ко, что доказывается без труда. Значит, | X | = 2Ко. 131. Годится, например, абсолют канторова совершенного множе- ства — см. 221, 239, 167 гл. VI. 132. Примем за X пространство S из задачи 131 гл. III — абсолют канторова совершенного множества. Зафиксируем в X счетную л-базу £ = {Un: п С N+} — опа там имеется в силу задачи 239 гл. VI. Будем считать, что ил =/= А при всех п £ А+. Так как в X нот изолированных точек (см. 239 гл. VI). то тогда [ Un | > к0 Для всех п € Положим At = {у{}, где у[ — какая-нибудь точка множества Ut. Пусть уже определены конечные множе- ства Ап для всех п j, где j — некоторый элемент из А+. В Ut \ (J {Ап: п выберем точку у]+1 и положим А}-+1 ={yf+^ п = 1, 1}. Последовательность {А у i С А+}, которая возникает таким образом по индукции, искомая: если V А и V открыто в X, то Un* cz V для некоторого п* Е -V+ (так как £ является л-базой), и тогда Ап П Un* А при всех п > п*. Тем более, Ап Q V #= А при всех п > п*. Ясно, что и остальные требования выполняются. 133. Через Вх обозначим бикомпактификацию Александрова (см. 176 гл. III) дискретного пространства Хт мощности т. Положим {£т} — Вх \ Хт. Тогда все точки множества Хх изолированы в Вх, Окрестности точки в Вх — это дополнения в Вх до всевозможных конечных подмножеств множе- ства Хт. Так как | Хт [ — т > х0, то счетной базы у Вх в нет. Но если С [4], где A cz Хт, то | А | > х0. Выбрав любое 4' cz А, для которого | А' | = Ко, будем иметь £ [А']« Значит, Вх секвенциально — оно являет- ся даже пространством Фреше — Урысона (см. стр. 57). 134. Нет. Рассмотрим пространство построенное в задаче 100 гл. V. Оно хаусдорфово и локально бикомпактно. Пусть В = 3d (J {£*} — биком- пактное хаусдорфово расширение пространства^ в смысле П. С. Александро- ва (одной точкой; см. 176 гл. III). Покажем, что пространство В секвен- циально, но не является пространством Фреше — Урысона. Так как всюду
РЕШЕНИЯ 199 плотно в то £* £ [^°oL Но никакая последовательность г| точек множества ^>0 не сходится к £* — ибо в т] всегда есть подпоследовательность, сходящаяся к некоторой точке из FP. Если A cz В и А не замкнуто в В, то либо ([4 ] \ А) П =/= Л, либо | А П | = х0 и [Л ] \ А = {£*}. В первом случае воспользуемся тем, что — локально метризуемое пространство н, следовательно, пространство Фреше — Урысона. Во втором случае сошлемся па то, что любое бесконечное счетное множество элементов из J^i, будучи перенумеровано, становится последовательностью, сходящейся кд* (это сразу следует из определения топологии U {£*} и дискретности множе- ства ./c)i в 135. Сейчас ответ авторам не известен. 136. Ответ авторам не известен. 137. Достаточно доказать (см. 68 гл. III), что каждая точка xG £ X является пересечением счетного семейства открытых в X множеств. Про- странство X регулярно, поэтому у каждой точки х £ X \ {х0} можно выбрать окрестность Ох, лежащую с замыканием в X \{я0}. Семейство ^={Ох\ х £ X \{я0}} покрывает множество X \{^о}- Пусть < — некоторое мини- мальное вполне упорядочение на £ (см. стр. 19). Для каждого U £ | положим и = и \ и 6 У < U}. Если Ui £ £, и2 € £ и Ui Ф U2, то, очевидно, Ui П U2 = А. Кроме того, U {U: U £ £} = X \fr0}- (Конечно, может быть 77 А, но U = А.) Зафиксируем произвольно 8 > 0. Если 77 £ g и суще- ствует точка х £ U, для которой d(x, X \ U) >8, то зафиксируем некоторую такую точку, обозначив ее через x8(U). Множество A8={xs(U): 77 £ £ и Xg(U) определено}, как выяснится, конечно. Ясно, что если xf £ 48. х" £ Аг и х х", то d(xr, х") >8. Покажем сначала, что А& замкнуто. Предположим противное. Тогда существует х* £ X \ А8, для которого d(x*, 48) = 0. Если x8(U) определено, то из ж8(77) £ 77 cz X \fr0} следует, что d(xF(U), xq) >8. Значит, d(x0, А8) 8 и х* Ф я0. Поэтому семейство £* == (77 £ g: х* £ 77} не пусто. Через 77* обозначим его первый элемент. Множество F* = X \ 77* замкнуто и х* F*. Следовательно, существует б > 0, б <8 такое, что d(x*, F*) б. Так как d(x*, 48) = 0, то найдутся 77i и U2 € В, Для которых Ui < 772, xs(Ui) £ А8, xs(U2) £48 и d(a*, х8 (77J) < < б <8, d(x*, x8(U2)) < б <8. Тогда соотношение 77* < 772 не может выполняться, иначе было бы xF(U2) 77* и d(x*, x8(U2)) > б — противо- речие. Значит, Ui < 772 77*. Из d(x8(Ui), Х\ T7J > е и d(x*, x8(Ui)) <8 следует, что х* £ 771? а это противоречит определению 77*. Следовательно, множество 4е замкнуто. Рассмотрим Ае как подпространство топологиче- ского пространства X. Его топология порождена сужением симметрики d на 4е (так как 48 замкнуто в X — см. стр. 70). Если некоторая точка х не изолирована в 48, то d(x , 48\{У}) = 0 в силу НО гл. II, и существует £48\ {х(}, для которого d(xf, х") <8, что противоречит определению 48. Следовательно, 48 дискретно. Так как X — бикомпакт, заключаем, что 4е — конечное множество. Положим Un — £ 77: d(x, X \ 77) } Для каждого Т7£$. Тогда = U (un'z п е N+} п, значит, 'J {Un: U е £ и п £ №+} = X \{х0}. Но = ==:{77 £ Un Ф А} — конечное множество, как следует из проведенного Рассуждения об 48 при 8 = -^-. Следовательно, семейство (77п: 77 £ £, п Е А+ и Un =/= А} счетно. Так как оно покрывает X \{ж0} и замыкания его элементов не содержат точки х0, заключаем, что {х0} — множество типа G$ в X. 138. Для каждого п £ А+ и каждого х £ X зафиксируем открытое в X множество Unx такое, что х Е Uпх Cl [Unx] (^О]Х= £ X: d (у, х) » п
200 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА — это возможно в силу регулярности X и утверждения задачи 137 гл. Ш. Из открытого покрытия {Unx: х £ X} бикомпакта X выберем конечное покрытие уп = {(7пя^: г = 1, . . ., кп}. Положим Fnxt — [г7пятг] и рассмо- трим семейство ф = {Faxt: I = 1, . . ., кп* п g Аг+}. Пополним ф пересече- ниями всевозможных конечных подсемейств семейства ф, получившееся семейство обозначим через ф. Очевидно, | ф | н0. Покажем, что ф — сеть в X. Пусть х* £ X. Зафиксируем при каждом п g Ат + множество Fnxi{n}^ g cz ф так, чтобы было х* g РпхцпУ (это возможно, так как каждое покрывает X). Тогда я* g Ф = П {F^(n): п € N+}- Покажем, что Ф = {я*}. 1 Пусть х' g Ф« Тогда х' £ Fnxi(nyt и потому d(x', хцп>) * Следовательно, lim </(я/(п), х') = 0 и потому (111 гл. II) Иш хцп> = я'. В частности, я* = П->оо п~*ао = lim я^(п). Но X — хаусдорфово пространство, поэтому каждая сходящаяся п-*оо последовательность в X имеет лишь один предел. Значит, я* s== х' для всех х' g Ф, т. е. Ф ={я*}. Рассмотрим произвольную открытую окрестность V точки я*. Семейство {Рпхцп) \ V: ng А+} не центрировано (иначе было бы п • ф\У Ф А). Поэтому существуют п1? . . ., пг g N+ такие, что F~ р {F Зхцпр1 j = 1, . . ., 1} cz V. Но F g ф. Следовательно, ф — сеть в X. 139. Это следует из 138, 106 и 39 гл. III. 140. Предположим, что 5 = {яа: а g 7(т)} — свободная последователь- ность в X и t(X) <т (здесь У(т) — минимально вполне упорядоченное множе- ство мощности т). Существует тогда регулярное кардинальное число т*, для которого t(X) <т* (см. 109 гл. 1). Множество точек свободной последо- вательности §* = {яа: а g /(т*)} (которая является частью свободной после- довательности £) обозначим через А. Тогда | А | = т* > t(X) и некоторая точка я* g X является точкой полного накопления для А (см. 48 гл. III). Так как t(X) <т*, то существует множество A* cz А, для которого ] А* | < <т* и [А*] Э я*. Но т* регулярно, поэтому найдется такое (3* g J(t*), что 4* cz{xa: а < £*}. Тогда х* 6 [4*] cz [{ха: а < Р*}] cz Х\[{ха: Р*<а}1 и, следовательно, U* = Х\[{ха: Р* а}] — окрестность точки х*, содер- жащая менее чем т* элементов множества А, а это противоречит тому, что х* — точка полного накопления для А. 141. Так как X — бикомпакт, a Q — множество типа Gx в нем, то найдется Ф cz X, для которого я g Ф cz Q и %(Ф, X) (71 гл. III). Из я g Ф и я g [А] следует, что каждая окрестность множества Ф пересекается с А. Поэтому (91 гл. II) существует С cz А, для которого ] С | и [<7] f] Ф А. Но тогда, в силу предположения об А, [С] cz А, и мы получаем Q р A zz> [£] П Ф #= А. Этим доказано I). Выведем П) из I). Зафиксируем я g [А ]\ \ А. Положим 70 == X и выберем я0 g А произвольно. Пусть 0 g /(т+) и для всех а < р уже определены открытое множество Va 9 я и точка яа g А. Положим Рр = {яа: а < 0). Из | Рр | <ст+ и Рр cz А следует, что я $ [РрЬ За Fp примем любое открытое множество, для которого я g Fp cz [Fp] cz CZ X \[Рр]. Множество фр = p| {Fa: a p} — множество типа Gx в X и я g <?р, поэтому, в силу I), ()р П А =/= А. За яр примем произвольную точку множества ()р р А. Так мы определяем Va cz X и яа g А при всех a g 7(т+). Из ха е Qa cz Q& при Р <а следует, что [{жа: 0 <а}] cz [<?р] cz [Гр] сс с X \ [Рр] cz X \ [{ха: а < £}]. Итак, [{ха: а < ₽}] [{жа: 0 < а}] = = А и при всех Р g /(т+), т. е. {яа: a g /(т+)} — свободная последователь- ность в X длины т+, все элементы которой лежат в А. II) доказано. 142. Обозначим через т* верхнюю грань длин свободных последова- тельностей в X. Тогда т* t(X) в силу задачи 140 гл. III. Пусть теперь т — произвольное кардинальное число, меньшее чем £(Х). Тогда существует А с X, для которого А = В cz А и | В | <т} =/= [А]. Поэтому
РЕШЕНИЯ 20f /141 гл. Ш) в X есть свободная последовательность длины т+. Отсюда сле- дует, очевидно, нужное заключение. 143. Зафиксируем минимально вполне упорядоченное множество (4 , <) мощности Хр Предположим теперь, что доказываемое утверждение не верно. По индукции относительно < можно определить отображение / множе- ства А в X и отображение ф множества А в множество % всех замкнутых непустых подмножеств типа G$ пространства X так, чтобы выполнялись условия: 1) [//(^)] П фС?) = Л для всех х £ А; 2) <р(х) $ f(x') при х < У; 3) ф(я) ф(я'), ф(*) =^= ф(*') ПРИ всех я < *'» х Ф х’. Предположим, что / и Ф с указанными свойствами уже построены. Тогда из условий 1), 2) и замкнутости всех ф(х) следует, что [//(а:)] П [/(Л \ Z(^))] = Л для всех j £ А. Множество /А имеет мощность ибо | А | — Xi и f(x') f(x") при х' --- х" (см. 1) и 2)). Если х* — точка полного накопления для /4, то найдется счетное множество А1 cz Л, для которого ж* g [М'], так как про- странство X секвенциально (а значит имеет счетную тесноту — см. задачу 107 гл. П). Но существует а* £ А, для которого а < а* при всех а £ А' (см. 91 гл. I). Тогда [//(а*)] Э я* и [/(Л \ 7(а*))] $ я*; значит, х* не является точкой полного накопления для множества /Л. Получили противоречие. Укажем, как построить нужные нам / и ф. Существенную роль будут играть следующие простые утверждения: (а) мощность замыкания счетного множе- ства в хаусдорфовом секвенциальном пространстве не превосходит 2‘0 (126 гл. II): (р) пересечение счетного семейства множеств типа Q есть множе- ство типа G&; (у) для любых х £ X, у f U существует непустое замкнутое множество типа G&, содержащее у, не содержащее х и лежащее в U (см. 69 гл. III). Предположим, что дано а0 € Л и для всех а < а0 определены уже /(а), ф(а) cz U, где ф(а) — непустое замкнутое множество типа G& и ф(а) гэ ф(а') при а < а’ < а0. Положим Ф(а0) = Q {ф(а'): а! < а0}, F(a0) = = [{/(а'): аг < а0}]. Имеем | F(aQ) | 2Ко (126 гл. II). Так как X — биком- пакт, то Ф(а0) — непустое замкнутое множество типа G§. Тогда, по пред- положению, | Ф(а0) | > 2Хо. Значит, Ф(а0) \ Z’(ao) =# Л. Выберем в Ф(а0) \ #(а0) непустое замкнутое множество типа G$ и примем его за ф(а0) (здесь мы снова воспользовались задачами 69, 70 гл. III). За/(а0) примем какую-нибудь точку множества ф(а0)« 144. Если U cz X, U открыто и не пусто, то найдется непустое замкну- тое множество F типа лежащее в Z7, для которого | F | 2Ко (143 гл. III). Тогда ]у}~ F Q (Q {X \{я}: х g F и х у}) для всех у £ F. Значит, каждая точка множества F является пересечением на более чем 2Ко открытых в X множеств. Но тогда (68 гл. III) для всех у С F непременно , X) 2Ко- 145. Каково бы ни было непустое открытое множество & cz X, суще- ствует замкнутое множество F типа G§ и мощности, не большей чем 2Ко, лежа- щее в U (143 гл. III). Но всякий бикомпакт мощности, не большей чем 2Хо, хотя бы в одной точке удовлетворяет первой аксиоме счетности — в пред- положении, что X! — 2Хо (127 гл. III). Следовательно, в F есть точка у типа G§ в F, Но так как F имеет тип G$ в X, то {у} — множество типа G$ з X. Значит (68 гл. III), пространство X в точке у удовлетворяет первой аксиоме счетности. При этом у £ F cz U, 146. Ответ авторам не известен. 147. Да, каждый и даже без всяких дополнительных теоретико-множе- ственных предположений. Это недавно доказано Б. Шапировским. 148. Надо применить утверждение задачи 122 гл. I аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 131 гл. II. 149. Для каждого непустого открытого в X множества U существует бикомпакт F cz U такой, что 1 | F | 2Хо п x(F, X) х0 (143 гл. III). С помощью постулата Куратовского — Цорна (стр. 18) и этого утверждения без труда строится дизъюнктное семейство непустых бикомпактов счетного
202 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА характера в X такое, что Y = (J {F: F £&} всюду плотно в X п | F | < 2Хо для всех F С &- Но раз X удовлетворяет условию Суслина, то | FF | 2Ко (см. 148 гл. III). Следовательно, | У |< 2No-2Х<> = 2h0 и из [У] = X и секвенциальное™ X следует, что | X | 2Ко (126 гл. II). 150. Ответ авторам не известен. 151. Это следует из 212 гл. III или из 219 гл. III. 152. В силу задачи 144 гл. III существует точка у £ X, характер про- странства X в которой не превосходит 2оХ. Так как X однородно, то мы заключаем, что характер пространства X во всех точках не превосходит 2Хо. Но в задаче 151 гл. III доказано, что всякий секвенциальный бикомпакт с этим свойством имеет мощность, не большую чем 2Х0. Если в X есть изоли- рованная точка, то X дискретно, и потому | X | < Ко* Если в X нет изоли- рованных точек, то | X | 2Ко (см. 126 гл. III). Вместе с доказанным выше это позволяет заключить, что тогда | X | = 2Ко. 153. Рассуждение проводится без каких-либо осложнений по схеме решения задачи 212 или 219 гл. III, вместо Ki фигурирует, разумеется, т+. См. также Архангельский [8]. 154. Достаточно рассмотреть случай, когда т > к0« Если %(я, X) =т для всех х £ X, то (см. 128 гл. Ill) ] X | > 2Г >т — получили противоречие. Значит, %(я*, X) для некоторой точки х* С X. Положим т' — х(я0, X). В силу однородности X тогда %(х, Х)~ х' при всех х £ X. Значит (153 гл. III) | X | < 2Т', т. е. т <2Г. 155. Следует из задачи 154 гл. III. 156. Отличаясь небольшими и естественно возникающими техническими упрощениями, рассуждение ведется по схеме решения задачи 212 или 219 гл. III. В качестве множества (4, <), вдоль которого ведется построение по индукции, берется любое минимальное вполне упорядоченное множество мощности т. 157. Да, существует. В самое последнее время эта проблема решена несколькими авторами (см., например, Ю хас [2]). 158. Каков ответ на этот вопрос — авторам не известно. 160. Действительно, произведение обобщенных канторовых дискон- тинуумов является обобщенным канторовым дисконтинуумом и произведение непрерывных отображений является непрерывным отображением. 161. Действительно, каждый компакт является непрерывным образом канторова совершенного множества (299 гл. III), а последнее гомеоморфно Z>So (301 гл. III). 162. См. 161, 160 гл. III. 163. См. 162 гл. III. 165. Тихоновские кубы веса т являются диадическими бикомпактами (163 гл. III) — любой бикомпакт гомеоморфно вкладывается в один из таких кубов (см. 38 гл. III). , 166. Каждый обобщенный канторов диконтипуум Dx обладает свой- ством Суслина в силу задачи 383 гл. II. Очевидно, образ пространства со свойством Суслина при непрерывном отображении тоже обладает свойством Суслина. 167. В силу задачи 391 гл. II X тогда является непрерывным образом некоторого бикомпакта со счетной базой. Поэтому (111 гл. III) и X обладает счетной базой. 168. Из задачи 391 гл. II следует, что [У] является непрерывным обра- зом некоторого бикомпакта со счетной базой. Следовательно, и [У] имеет счетную базу (111 гл. III). 169. В силу задач 167 и 166 гл. III достаточно взять любой неметри- зуемый бикомпакт с первой аксиомой счетности (например, «две окружности»
РЕШЕНИЯ 203 п. С. Александрова) пли любой бикомпакт, не обладающий свойством Сус- липа, например, T(wi)U {«1} (см. 80, 84, 184, 185, 186, 187, 188 гл. III, 24 гл. IV). 170. Если 2Х1 > 2°\ то каждый диадический бикомпакт мощности 2* ° удовлетворяет на всюду плотном множестве точек первой аксиоме счет- ности (127 гл. III). Следовательно, он метризуем в силу задачи 168 гл. III. 171. В силу задачи 145 гл. Ill X удовлетворяет первой аксиоме счетно- сти в точках всюду плотного множества. Поэтому (168 гл. Ill) X имеет счет- ную базу. 172. Да. Архангельский и Пономарев [1] или Ар- хангельский [7]. 173. Да, можно утверждать. Проблема решена в самое последнее время Белугиным. 174. Ответ авторам не известен. 175. Утверждения 1) — 4) вполне очевидны (при этом 2') вытекает из 2) — см. 14 гл. III). Докажем 5) — 7). В (Z, .у) есть дискретное несчетное подпространство — а именно, I. Значит (99 гл. II), в (Z, г7) нет счетной базы. Но (Z, ^) сепарабельно, ибо = Z, | Q | = к0. Пространство (Z, сГ) неметрпзуемо, ибо любое сепарабельное метризуемое пространство обладает счетной базой. Если бы (Z, с7) было финально компактно, то из его покрытия открытыми множествами, обладающими счетной базой, можно было бы выделить счетное подпокрытие, что привело бы нас к счетной базе в (Z, ..?'), а это противоречит 6). 176. Достаточно рассмотреть случай, когда X не бикомпактно. По X можно построить Ti-пространство X, содержащее X в качестве открытого подпространства, для которого Х\Х = {£}, причем окрестности точки | суть дополнения в X до бикомпактных подмножеств пространства X (все бикомпактные подмножества пространства X замкнуты в нем, так как X удо- влетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа). Выведем из наших предположе- ний о пространстве X, что X — хаусдорфово пространство. Пусть ж, у £ X. Если точки х, у принадлежат X, то в X у них есть непересекающиеся окрест- ности — они же будут окрестностями этих точек и в X, так как X открыто в X. Если у ~ тох^Хиу точки х найдется окрестность Ох в X, замыкание которой бикомпактно. Тогда О\ = Х\[Ох]^ — окрестность точ- ки g, не пересекающаяся с Ох. Легко показать также, что X бикомпактно. 177. Мы доказали (176 гл. III), что каждое локально бикомпактное хаусдорфово пространство обладает бикомпактным хаусдорфовым расшире- нием. Но всякое подпространство бикомпакта вполне регулярно (8 гл. III). 178. Пространство X регулярно, поэтому у любой точки х С У суще- ствует окрестность Ох, замыкание которой (в X) содержится в У. Множество бикомпактно, т. е. Ох — искомая окрестность. 179. Если X открыто в ЪХ, то X локально бикомпактно (см. 178 гл. III). Докажем обратное утверждение. Положим F = ЪХ \ X; возьмем произ- вольную точку х С X. У нее есть окрестность Ох, для которой Ф = [<9я]х бикомпактно. Множество Ф замкнуто в X и в ЪХ, ибо эти пространства удо- влетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа. Положим G — X \ Ф. Тогда ~ Поэтому U — ЪХ. Но [Ф]&х ~ Ф П X = [G]x cz X \ Ox cz X \ {х}. Значит, х $ [6%х и (J Ф = ~~~ ЬХ, т. е. х £ ЪХ \ с Фс X и X — открытое в ЪХ множество. 182. Каждое непустое открытое в X множество U содержит стандартное открытое в X множество V = П{(7а: а С А}; здесь Ua А при всех а £ А ® ра = Ха ПРИ а € А \ Л*, где Л* — некоторое конечное множество, уафиксируем а* С Л \ Л * и выберем уа С Ua для всех а £ Л. Тогда и содержит замкнутое, в X подпространство, гомеоморфное Ха*,— таково
204 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА У* = Ха* X П{{yaJ: a Е А \ {а*}} (замкнутость множества У* в X следует из того, что каждое Ха является Ti-пространством). Но У* не бикомпактно; поэтому никакое объемлющее U подпространство пространства X не биком- пактно. 183. Надо сопоставить определения и учесть, что прп проектировании произведения на сомножитель бикомпактное подпространство отображается на бикомпактное подпространство (см. 330 гл. II, 91 гл. III). 184. Существует а Е Cr(u)i), для которого ср cz 1(a). Но 1(a) — счетный бикомпакт (84 гл. III). Значит, 1(a) — компакт, т. е. имеет счетную базу и метризуем (105 гл. III), и заключение следует отсюда (см. также 259 гл. III). 185. Из открытого покрытия у = (I(x)'. х £ Z’(cdi)} пространства X нельзя выделить конечного подпокрытия. Другое решение: для множества всех точек пространства Т(ау^ в T(coi) нет ни одной точки полного накопления. 186. (а) Из | Ft | = | F2 | ~ Ki следует, что F\ конфинально T(wi) и F2 конфинально T'(coi). Так как П ^2 = Л, то можно тогда выбрать такую последовательность {ап\ п Е #+} точек из 7(^1), чтобы а^ < а2 < < а3 < . . . < а,} < а^-н < . . . (в смысле отношения <, заданного на Т(®1)) и a2n Е F2, «2n-i Е Fi для всех п Е N+. Пусть а* — наименьший элемент множества T(toi) такой, что < а* для всех i Е Хт (см. 91 гл. I). Тогда а* Е [{a2n: п Е N+}] с [F2] = F2 и a* Е I{«2n-i: п £ ^+}1 <= Следовательно, a* Е Л (| F2, т. е. ЛП W Л - получили противоречие. (б) Для каждого a Е T(a>i) положим Fa = {0 Е У(®1): a < ₽}. Из опре- деления топологии в T’(coi) следует, что каждое Fa замкнуто. Так как веще- ственная прямая I — хаусдорфово пространство счетной тесноты, то f(Fa) замкнуто в I для каждого a Е T(®i) (см. 79 гл. VI). Очевидно, если а' <а", то f(Fa„) cz f(Fa,). Следовательно (105 гл. II), существует а* Е Дан) такое, что f(Fa*) = f(Fa) при всех а, больших чем а*. Тогда П {f(Fa)i а Е T(a>i)} — = /(^а*) Л- Покажем, что | f(Fa*) | = 1. Если х =£ у, х Е /(Д**), У Е /(^а*), то Рх = /“1(^)> Ру = /-1(у) — непересекающиеся замкнутые множества, кон- финальные T(coi), а это противоречит (а). 187. Пусть и F2 замкнуты в Т(<л>1) и П ^2 = Л. В силу задачи 186 гл. III любые два замкнутых в T(o>i) множества мощности Xi пересекаются. Поэтому можно предположить, что | F± | х0- Выберем a0 Е У(®1), для которого Fi cz /(а0) = {х Е У(сО1): х а0} (такое а0 существует — см. 91 гл. I, 84 гл. III). Положим F2 = F2 Г) Дао)- Подпространство F(a0)открыто- замкнуто в 7’(со1) и является бикомпактом. Следовательно, /(а0) нормально, и существуют открытые в Z(a0) — а следовательно, открытые и в T(a)i) — множества и Щ, для которых Да0) => Fi9 U2 zd F'2 и Ui П Щ — Л. Положим С/2= Щ U {я Е ао < *}♦ Тогда U2 открыто в T((0i), СЛ> z> F2 И Ui n U2 = Л. 188. В силу 186 гл. III, если / — такая функция, то найдется а0 Е Т(®1)» для которого /(а) = /(а0) при всех а > а0. Но Z(a0) = {х Е Д®1): х а0) — бикомпактное подпространство пространства Т(а>1) (см. 84 гл. III). Значит, / | Да0) — ограниченная функция. Следовательно, и f ограничена. 189. (а) Пусть пространство X счетно компактно, а D cz X — его бесконечное подмножество. Если D не имеет предельных точек в X, то D замкнуто в X и у каждой точки d Е D существует окрестность Ud, для которой Ud П = {d}. Тогда из счетного открытого покрытия, состоящего из построенных окрестностей Ud, d £ Do, где Do cz D, | DQ | — x0, и еще открытого в X множества X \ Do, нельзя выбрать конечного подпокрытия. Получили противоречие. (б) Обратно, пусть всякое бесконечное множество пространства X име- ет предельную в X точку. Пусть со= I Е -V+} — счетное открытое по- крытие пространства X, из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия.
РЕШЕНИЯ 205 Не нарушая общности, можно считать, что Ui 02 U 7 <Z 0 для любого i £ N+. Возьмем для каждого i точку xt £ Ut \ (J {Uy. j < i}. Множество Z) ={zp i £ 7V+} бесконечно, следовательно, имеет в X предель- ную точку х0. Рассмотрим первое такое i0, что xG g UiQ. Тогда xt (t UiQ для всех t > i0 (в силу выбора хг) и, следовательно, точка xQ не может быть пре- дельной для множества D. Получили противоречие. 190. Таким пространством является TfOi) — это следует из задач 189, 185, 184 гл. III. 192. (а) Пусть пространство X счетно компактно, a f(x) — непрерывная функция на X, т. е. непрерывное отображение пространства X в веществен- ную прямую R. Образ Y = fX пространства X при отображении / счетно компактен (см. 191 гл. III). Таким образом, У — fX — счетно компактное подпространство метрического пространства /?, а потому бикомпактно и огра- ничено в R (см. 254, 256 гл. III). Следовательно, sup У < оо и inf У > —со, т. е. / — ограниченная функция. (б) Обратно, пусть нормальное пространство X не является счетно компактным. Тогда в X существует бесконечное счетное подмножество D cz X без предельных точек (см. 189 гл. III), т. е. D — замкнутое и дис- кретное подпространство. Тогда можно отобразить D на натуральный ряд N посредством некоторого отображения /: D N. Это отображение является непрерывным отображением за.мкиутого в X множества D в прямую. Следо- вательно, так как X нормально, существует непрерывное отображение /: X -> R, для которого / | D = / (34 гл. III). Функция /не ограничена. 194. (а) (б). Пусть g ~ {Pi> i € N*} — счетная центрированная 00 система замкнутых в X множеств. Если A Ft — Л, то система {X \ Fz: {«I i С 7V+} — счетное открытое покрытие пространства X, из которого нельзя (в силу центрированности выделить конечного подпокрытия. (б) => (в) очевидно. (в) => (а). Пусть со ={t7f. i £ 7V+) — произвольное счетное открытое i покрытие. Рассмотрим замкнутые в X множества F^ = X \ Uj, i £ N+. 7=1 Очевидно, Fi+i cz F^ i £ N+. В силу того, что со — покрытие всего про- ОО ОО i странства X, непременно Q Ft — А (Х\ U = Но тогда для г=1 г=1 7=1 го некоторого г0 множество Ft — х \ II = Л, т. е. . . ., Ut } — 7=-1 ° конечное подпокрытие покрытия со. 196. (а) Пусть X псевдокомпактно, а у = {Ua: а £ А}—локально конеч- ная в X система открытых множеств. Предположим, что у — бесконечная система. Не нарушая общности, можно считать, что у — счетная система: У {Uit ъ £ 7V+}. Для каждого i С N+ возьмем точку xt £ Ut таким образом, чтобы xi xj при i /, переходя, если нужно, к бесконечной же подсистеме системы у. Рассмотрим такие непрерывные на X функции i £ Лг+, что 5* < Л(х) < * Для любой точки х £ X, fi^i) ~ i, Ц(х) = 0, если х (f Ui (такие функции существуют вследствие полной регулярности пространства X). оо Далее рассмотрим функцию f(x) = /f(z). Пусть х0 С X произвольно. Так как у — локально конечная система, то существует окрестность Ux0 *гочки xQ в X, пересекающаяся лишь с конечным числом элементов из систе- у. Значит, /(^о) < оо. Пусть £7* , . . ., Uik — все элементы из у, с кото-
206 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА II ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА рыми пересекается окрестность Ux0. Тогда fj(x$) = 0, если / ц, i2, . . ., И f(xQ) = /^(*0)+ J%(*o)+ • . . + /ц(*о)> Кроме того, очевидно, f(x) = = fi0(x) + • • • — fih(x) для любой точки х g Uxq. Поэтому, если е > 0 произвольно, то. пользуясь непрерывностью функции (х) = + + ft2(x) + • • • т берем окрестность U'x0 точки х0, для которой U'x0 cz Ux0 и | giii2 ih(x) — giii2 ik(x0) I <e, если x g U'x0. Тогда и | f(x) — f(x0) I <8, если x g U'x0. Тем самым доказана непрерывность функции f(x) на X. Кроме того, очевидно, lim. f(xt) = 00, ибо /Джг-) = i. г-* 00 Это противоречит псевдокомпактности пространства X. (б) Пусть f — непрерывная функция на вполне регулярном простран- стве X. Для каждого » g дг+ рассмотрим интервал («, п + 1) числовой прямой. Очевидно, система всех таких интервалов локально конечна на число- вой прямой. Рассмотрим открытые в X (вследствие того, что / — непрерыв- ная функция) множества Un = /-1((?г, п + 1)) —{х g X: fx g (п, п + 1)}. Система y—{Vn'- п С Аг+} открытых в X множеств, очевидно, локально конечна в X. Значит, по условию у конечна. Это означает, что, начиная с некоторого натурального числа п g А+, всегда fX 0 (n, п + 1) = А, т. е. / — ограниченная функция. Все доказано. 197. Предположим, что X псевдокомпактно, а р,{[£7]: U С = А. Перенумеруем элементы семейства g: t={Un . . ., Ui, . . .}. Не нарушая общности, можно предположить, что Ui+i cz Uv i g Аг+. Так как i g Az+} = А, то X ~ i g Аг+}, где Vt — X \ [£7J. Кроме того, Vj+i о Vt, i £N+, ибо Z7/+1 cz Ut, if N+. Пусть x0 g X произвольно. Рассмотрим первое такое i0 g А+, чтобы х0 g ViQ. Тогда rio П £7f = A для всех i io, поэтому Q Ut А может быть только для i < i0. Значит, семейство g локально конечно в X, откуда следует его конечность (см. 196 гл. III). Получаем противоречие с центрированностью семейства |. Обратно, пусть в X для любой счетной центрированной системы £ открытых в X множеств f) {[£/]: U С 1} ¥= А. Докажем псевдокомпактность X. Если X пе псевдокомпактно, то в X существует бесконечная локально конеч- ная система у открытых в X множеств (см. 196 гл. III). Тогда в X существует бесконечная счетная локально конечная система у открытых множеств У = • • •, • • •}, Для которой 7fcz V^i, i g N+, и X= U {V> i g N*\. Вследствие локальной конечности системы у в X только конечное число g у может обладать свойством [VJ = X. Выбросив такие Уг- из у, если таковые имеются, можем теперь считать, что [УД =/= X для любого i € Агч. Тогда Ut = X \ Д. Так как Vt cz Vi+i, i g A+, to Ui Ui+n i g N+, значит, | ={U[' i g N+} — бесконечная центрированная система. Так как X = U {V> i £ ДГ+}, то Q {[?7г]: i g N+} = А. Пришли к про- тиворечию. 198. Пусть Ф не является счетно компактным. Тогда в Ф существует счетное замкнутое множество А = {ап: п g 7У+}, образующее дискретное подпространство пространства X. По индукции тогда легко строится семей- ство {Vn: n£N+} попарно неиересекающихся окрестностей точек множе- ства A: Vn Э лп (см. 22 гл. III), причем такое, что семейство {Гп: ngA+} дискретно в X. Последнее означает, что для любой точки х g X имеется окрестность Ох, которая пересекается не более чем с одним множеством из {7n: ngAr+} —см. 22 гл. III. Значит, при любом выборе хп g Vn множество {хп: п g N +} дискретно и замкнуто. Предположим теперь, что задана счетная система {Gk: к g А+} окрестностей множества в X. Положим V^ — Gh П Ip- Так как ап gFr^1 и У* — окрестность точки ап, то Q (X \ F) А. Для каждого п g Х+ выберем bn g V% П (X \ F) и положим В ~ {bn: п g Ам}- Множество В замкнуто (выше это объяснено) и В П F = А. Следовательно, G — X \ В — окрестность множества F. Но Gn \ G) = fl
РЕШЕНИЯ 207 П В z> 7Й П В Э Ьп, т. е. Gn Q (X \ G) Л для всех п £ Л’+, и следова- тельно, {Gn: п 6 7V+} не есть определяющая система окрестностей мно жества F. 199. Таково, в частности, любое небикомпактное пространство со счет- ной базой. 200. Предположим противное. Зафиксируем для каждого х С X какую- нибудь окрестность Ох, для которой | Ox Q А | < к0- Из покрытия у = ~ {Ох\ х £ X} пространства X можно выделить счетное подпокрытие X. Тогда A cz ’J {U П Л: £7 6 А} и | X | <; к0, | £7 Q Л | к0. Следовательно, | Л | < |U {U П A: U £ %} | Ко — получили противоречие. 201. Да — в качестве примера годится любое регулярное счетное пространство без первой аксиомы счетности — см. ИЗ гл. II. 204. Так как всякое сепарабельное пространство удовлетворяет усло- вию Суслина, то годится пространство (Z, гГ) из задачи 175 гл. III. 205. Таково пространство (Z, г7) из задачи 175 гл. III. 206. (а) 1) -> 2). Пусть U cz X открыто. Так как X совершенно нор- оо мально, то U = 0 Fi, где Ft замкнуты в X, следовательно, финально i— 1 компактны. Отсюда следует (в силу задачи 208 гл. III) финальная компакт- ность подпространства U. (б) 2) -> 3). Пусть у — произвольная система открытых в X множеств. Рассмотрим открытое в X множество у = U {£7: U £ у}, которое, в силу условия 2), является финально компактным подпространством. Поэтому из системы у можно выделить счетную подсистему у0, для которой у0 — = 1Ж: cz е то} = v- (в) 3) -> 4). Пусть A cz X — произвольное подпространство простран- ства X, Рассмотрим произвольное покрытие у множества А открытыми в X множествами. Из системы у (в силу условия 3)) выделим счетную подсистему Уо cz у, для которой Уо = и {^: и € Vo} = У= и {£7: £7 6 у}. Тогда у0 — счетное подпокрытие покрытия у подпространства Л. (г) 4) -> 1). Пусть Г cz X — произвольное открытое в X множество. Рассмотрим покрытие у подпространства Г открытыми в X множествами так, чтобы [ 77] cz: Г для всякого U £ У (такое покрытие множества Г существует, ибо X регулярно, а Г открыто в X). Пользуясь финальной компактностью подпространства Г (условие 4)), из у выделяем счетное подпокрытие у0 этого подпространства. Тогда | у0 | х0 и Г = (J {[£7]: £7 6 Vo}» т. е. Г имеет тип Fc. Следовательно, пространство X совершенно нормально. 207. Следует из задачи 206 гл. III. оо 208. Пусть X = Xt, где Xt, i£N+,— финально компактные под- 1=1 пространства. Возьмем произвольное открытое покрытие со пространства X, Рассмотрим систему со* ={£7 6 со: U П Xt Ф Л}, покрывающую подпро- странство Х^ Выделим из покрытия подпространства Хг счетное под- оо Покрытие со^. Тогда со0 = со^ покрывает все пространство, со0 cz со а I 0)0 I < к0. 209. (а) Заметим, что А открыто в I*, а I* \ А замкнуто в /*. Кроме ’ого, подпространство А дискретно — все это следует из определения про- странства. Если U — интервал или полуинтервал на отрезке I, то его замы- вание [ U]j* в топологии пространства I* заведомо содержится в отрезке l£7]j (это обстоятельство очень легко усмотреть, если понять определение ’опологии пространства I*). Из всего сказанного элементарно следует регу- лярность пространства 7*.
208 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА (б) Прежде чем доказывать финальную компактность, заметим, что в пространстве Z* базу топологии образует система, состоящая пз всевоз- можных интервалов отрезка [0, 1]. полуинтервалов вида [0, а) и (£, 1], а g Z. р g /, п одноточечных множеств {х}, х С А, Эту базу топологии про- странства Z* обозначим через о. Поэтому для доказательства финальной компактности пространства Z* достаточно выбрать счетное подпокрытие из любого покрытия пространства Z* элементами базы о. Пусть со — произ- вольное покрытие пространства Z* элементами базы а. Рассмотрим подпро- странство Z пространства Z*. Это подпространство имеет ту же топо- логию. что и топология I \ А как подпространства числовой прямой. Сле- довательно, I \ А как подпространство в Z* имеет счетную базу, значт, финально компактно (см. 77 гл. II). Пусть cz со — счетная подсистема, покрывающая множество Z\4. Множество V = U{^; U £ открыт как в обычной топологии отрезка Z, так и в Z*. Множество F = I \ V биком- пактно в топологии отрезка и, очевидно, F cz А. Так как А вполне несовер- шенно. то | F | х0. Пополним нашу систему до системы w', co'cz со, одноточечными множествами {^}, х £ F. Очевидно, j со' | к0, со' cz id и со' — покрытие пространства Z*. Финальная компактность пространства доказана. (o') Нормальность Z* следует из ого регулярности и финальной ком- пактности (19 гл. III). (в) Для того чтобы построить точечно счетную базу в Z*, надо взять счетную базу 04 отрезка I в естественной топологии, рассзлотреть систему о2 одноточечных множеств {ж}, xgA. Тогда о0 = <4 U 02 есть искомая база пространства Z*. (г), (д), (е) и (ж) следуют из того, что в Z* имеется несчетное дискрет- ное открытое в Z* подпространство, а именно А (см. при этом 99 и 213 гл. II, 206 гл. III). 210. На плоскости рассмотрим круг К. Пусть С — ограничивающая ого окружность. Внутренность круга К обозначим через О,— таким образом, О = К \ С. Определим новую топологию на множестве К следующим образом. Базу в точках множества О образуют множества, открытые в обыч- ной топологии. Произвольную окрестность произвольной точки х € С мы получим, проведя как-нибудь из х две хорды ху' и ху” (где у' £С я у" £С), взяв W — дополнение в круге К до множества всех его точек, лежащих внутри или на границе угла у'ху” и перейдя к пересечению множества W U {я} с произвольной окрестностью точки х в обычной топологии. Легко проверяется (непосредственно), что получилось регулярное пространство. Топология, индуцированная на С и О из этого пространства, совпадает с обыч- ной для С и О топологией — это тоже ясно. Следовательно (141 гл. II), построенное пространство К имеет счетную сеть. Значит, оно нормально (19 гл. III), финально компактно (143 гл. II) и даже совершенно нормально. Выделим теперь в С какое-нибудь вполне несовершенное подмножество CQ1 j Со j > к0 (см. 285 гл. III). Возьмем также счетное всюду плотное в О множе- ство О0 cz О. Рассмотрим множество X = Со U Оо вместе с топологией, индуцированной из К. Пространство X имеет счетную сеть, удовлетворяет первой аксиоме счетности, каждый бикомпакт, лежащий в нем, счетен, но само X несчетно и не имеет счетной базы — последнее следует из рассмотре- ния топологии в точках Со и несчетности Со. Как подпространство вполне регулярного пространства, X вполне регулярно. Так как счетный бикомпакт в любом пространстве с первой аксиомой счетности имеет счетный характер (72 гл. III), характер любого бикомпакта в X счетен. Но X не вкладывается в совершенно нормальный бикомпакт, как пространство со счетной сетью и без счетной базы (228 гл. III). 211. Положим U{?x: х F}* Для любого у g X \ F найдется X cz у такое, что F cz J {О’ U £ X} cz X \{*/},— ведь X является ^-про- странством. Но F само финально компактно, как замкнутое подпространство
РЕШЕНИЯ 209 финально компактного пространства. Следовательно, найдется Ку с: X, для которого F cz U {£7:| U Е ^у} X \{у} и | %у | х0. Зафиксируем такое ку для каждого у g X \ F и положим Gy = U{^’ U Е ^у}* Тогда, очевидно, Q{Gy* у £X\F}= F. С другой стороны, ку является счетным подсемей- ством семейства у, а мощность у не превосходит 2s°. Так как мощность лножества всех счетных подсемейств семейства мощности 2Хо имеет тоже мощность 2Хо, то различных Ку имеется не более чем 2Хо. Доказательство завершено. 212. Зафиксируем минимально вполне упорядоченное множество (4, <) мощности Xi и множество М мощности 2Ко. Пусть Q(a) для каждого a g А — множество всех отображений множества 7(a) = {a' g А: а' а} В М. Если f g Q(a') и f g @(а"), где а' < а", а! а" и сужение f на Ца') равно то будем писать f -< f", а также f = (/", а'). Положим Q = U {(?(«): а g 4}. Если / g Q(a), то скажем, что длина / равна а, и напишем I (j) = а. Через % обозначим множество всех отображений А в М. Если <р g % и а g 4, то <ф, а) есть сужение отображения (р на Да), значит, <ф, a) g g Q(a). Далее & — семейство всех замкнутых в X множеств, | — некоторая функция-выбор, в силу которой каждому непустому Р cz X соответствует одноточечное подмножество |(Р) = {ж} cz Р, Позволим себе писать при этом %(Р) = х. Положим также ?(А) = Л. Для всех тех R cz X, для которых это возможно, зафиксируем замкнутые в X множества Rm, где т g М, так* чтобы было (I) R =и{Ят: т g М}. Множество всех R cz X, для которых представление (I) определено, обозначим через Можно при этом считать« что в (I), если | R | > 1, то Rm =£ R для всех т g М (здесь нужна аксиома отделимости Хаусдорфа). Замечание (II): если F замкнуто в X и Ф замкнуто в X, причем | Ф | 2Хо (например, Ф = Л), то 7* \ Ф g (это вытекает из 211 гл. III в силу предположения о характере точек в X). Теперь надо рассмотреть отображе- ние ф: Q -> 3й со следующими свойствами. (III) Если f -< то ty(f) zz> зэф(/"), и если, кроме того, | ф(/') | > 1, то ф(/') у=ф(/"). (IV) Для всех f &Q справедливо [т) (/)] П ф(/) = Л — здесь и в дальнейшем т](/) = = U f ~< Г ~< /}• (V) Для каждого a g 4 имеет место X — = U{h(/)1 U / € <?(«)}’ Заметим,* что | Q(a) | < 2*° и | т](/) | < х0. Поэтому | Q | < 2Х° и | [т](/)] | 2К>0 (см. 126 гл. II). Следовательно, | X \ U (ф/: /£(?}!<; 2Х°. Соотношение (IV) можно будет дополнить так: (IV') для любого f g Q справедливо ф(/) \ [т](/>] = U {Ф(Г): /-</' и 1(f) = = Ф) + О* Отображение ф легко строится по индукции вдоль (4, <) — относительно длины / g Q, Если 0 — первый элемент А, то для всех / g (?(0) мы полагаем ф{/) = X. Пусть отображение ф определено пока на множестве U{<?(*): а<а*, а а*}. Для произвольного / С С?(а*) пусть Ft = Г1{ф(/'): /' -К /}, Rf = Ft \ [?](/)] (где т](/) определено в согласии с (IV)). Так как I [л(/)1 I 2К°, то Rf cz Положим ф(/) — Rf. Определение ф завершено. Читатель не встретит трудностей, проверяя, что соотношения (III), (IV), (IV') и (V) выполняются. Предположим, что | X | > 2Х°. Тогда существует я* g X \ (U {h(/)l: / С Q} U {Ш I 4(f) I < 1 и / g (?}). Из (IV') следует, что можно (по индукции вдоль (4, <)) так выбрать fa g Q(a) для каждого a g А, чтобы было fa, ~< /а,„ если а' < а", а' =/= а" и ф(/а) Э я* при всех а g 4. Положим ф(/а) — Fa. В силу выбора х* будем иметь |\ Fa | > 1 при всех а g 4, и из (III) следует теперь, что Fa, zo Fa„, Fa, Ф Fa,f, когда af < а", а' ф а". Значит, для каждого a g 4 определен элемент ха = g (Fa \ Fa+1) g Fa (здесь, как обычно, а + 1 — первый относительно < элемент множества 4, больший чем а). Для каждого а0 g 4 либо {ха: а < а0} = т](/ао),|если у а0 нет 14 А, В. Архангельский, В. И, Пономарев
210 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА непосредственно предшествующего элемента, либо {ха\ а < а0} = т](/ао) U ха'* если а0 = а' + 1 для некоторого а' £ А. Но, в силу (IV), bl(/ao)l П ~ Л. Так как ха, $ FaQ, то мы заключаем, что всегда 1{ха’. а < ац}] П /’ао = Л. Но при а0 < а непременно ха £ FaQ и FaQ замкнуто в X. Значит, для всех а0 £ А имеет место (VI) [{ха: а < а0}] П 1{^а: яо я}] = Л. Очевидно, |fra: а С Л} | = Ki. Так как X финально компактно, то в X есть точка полного накопления для множества {ха: а £ А} (200 гл. III). Обозначим некоторую такую точку через у*. Тогда, так как X секвенциально, то суще- ствует счетное множество A' cz А, для которого у* £ [{яа: а, £ А'}\ (см. 107 гл. II). Найдется (91 гл. I) а* £ А, для которого а < а* при всех а £ А', Имеем теперь у* £ t{xa: а E^z}lc [{^а- а < а*}Ь 11 потому (см. (VI)) у* $ [{*а: а* < а)Ь но эт0 означает, так как множество а < а*} счетно, что у* не является точкой полного накопления для {.га: а £ А} — получили противоречие. Если X регулярно, то возможно другое решение этой задачи, вытекаю- щее из задачи 219 гл. III. Требование %(#, X) 2Х° можно ослабить до требования ф(ж, X) 2Х°. 213» Это частный случай утверждения задачи 212 гл. III. 214—215. Ответ авторам не известен. 216. Решается аналогично задаче 45 гл. III. 217. Пусть о — база пространства У, для которой | <т | = wY —х. Через S обозначим систему множеств пространства У, являющихся пере- сечением не более чем счетного числа элементов базы о. Так как | а [ = т — допустимое кардинальное число, то | S | =т^° =т. Теперь для каждого непустого множества В £ S возьмем некоторую точку х(В) £ f^B. Обозначим М — (х(В): В £ 2, В #= Л}. Ясно, что | М [ =т. Рассмотрим замкнутое в X множество F — [ЛГ]Х. Ясно, что s(F) Докажем, что fF = У. Прежде всего заметим, что множество fM всюду плотно в У, значит, в У всюду плотно и множество fF. Пусть теперь у0 £ У — произвольная точка, a oyQ = {7 £ о: у0 £ V}. Ясно, что a cz о, | а | и о — база в точке у0. Кроме того, уо уо •/о понятно, что /-12/0 = П {/-1V: V £ ауо}. Так как У регулярно, а отображе- ние / непрерывно, то (1) = П {f^V: V £ о^} = П {(У’1 V]x: V £ Для доказательства равенства fF=Y надо доказать, что f~ryQ П F Ф Л для любой точки уо € V”. Для этого мы докажем, что система замкнутых множеств {([/“хУ]х П F}\ V £ оу } счетно центрирована. Действительно, рас- смотрим произвольное счетное подсемейство у = {[/-1 i £ N+} cz {[/-1Их: oo oo У £ Oyo}. Так как A (ибо yQ £ Q Vif V; £ o, i £ JV+), то имеется 1=1 г=1 oo oo точка x £ f"1 ( Уг) П M = (p| /-1У^ П Af, откуда следует, что i— 1 1=1 oo (2) П tmixDF Ф a. 1=1 Итак, система замкнутых в X множеств {([Л1 Их П F): V £ оуо} счетно центрирована. Так как X финально компактно (см. 216 гл. III), то (3) n W-'Vlx П F): VE Оав) Л. Из (3) и (1) тогда и следует, что /-1г/0 П F ф Л.
РЕШЕНИЯ 211 218. Так как s(Fi) < с, а X удовлетворяет условию (б), то | F^ I < с для каждого Е Л. Рассмотрим множество (1) ф= и{П: ^ЕЛ}. Понятно, что | Ф | с. Докажем замкнутость множества Ф в X. Пусть xq 6 [Ф]^. Так как % удовлетворяет условию (а), то найдется Ф' cz Ф. для которого | Ф' | <: х0 п z0 Е [Ф'1х‘ Тогда найдется такое Е А, что Ф' cz г- а следовательно, так как ^о замкнуто, т0 Е F}q cz Ф. Итак, множе- ство Ф замкнуто в X. Мы докажем теперь, что (2) Ф = X. Пусть х0 Е X произвольно. Из условия 2) [задачи следует, что 13) #= А для любого Тогда и подавно (4) Фа, = /к1/а.^оПФ ¥= А для любого Из 5) следует, что Ф^, cz Ф^, если X < А/. В частности, получаем, что система {фх: X Е Л } непустых замкнутых в X множеств счетно центрирована. Так как X финально компактно (см. 216 гл. III), то (5) П{ФХ: ХеЛ}=П{(^/^оПФ)^еА} =£Л. Пусть х Е И {Фл* X Е Л}. Тогда х' Е Ф и (6) fax' = /;*о для любого X Е Л. Поэтому х Е F^ для некоторого Хо Е Л. Возьмем > Ао. Вследствие условия 4) получаем = следовательно, f^fKjxf С /\0, ибо х' Е F^q. Так как (вследствие равенства (6)) fKix' — fKixQ, то х0 Е cz cz FXo cz Ф, ибо Итак, х0 Е Ф. Тем самым мы доказали равенство (2). Так как |Ф | <; с, то и | X | •< с. Все доказано. 219. Сведем это утверждение к утверждению задачи 218 гл. III. Вос- пользовавшись полной регулярностью пространства X (наше пространства даже нормально, см. 19 гл. III), поставим в соответствие каждой точке х £ X такую систему Q(x) открытых в X множеств, что |0(ж) | с, {х} = И {£7: 17 EO(^)}j X\U — нуль-множество для любого U Е0(я). Далее зафикси- руем некоторое минимально вполне упорядоченное множество Л мощности |Л | = Xi. Пусть 1 — первый элемент этого множества. Рассмотрим про- на странство У1? wYi < с, и непрерывное отображение Л: X —> (например, в качестве можно взять любую непрерывную на X функцию, тогда — Подпространство числовой прямой). Воспользовавшись тем, что сКо = с, в задачей 217 гл. III, берем замкнутое в X множество для которого ®(Л) < с и fi(Fi) = Y{. Предположим теперь, что для каждого а Е Л, а < а*, а* 6 Л построены такие пространства Уа, wYa с, непрерывное отображе- на Ви© /а: X —> Уа, замкнутое в X множество Fa, что выполняются условия *) — 5) из задачи 218 гл. III. Рассмотрим множество Ма* — U {Fa: а < а*} и систему 0(ЛГа*) = U {0(я): х Е Ма*}. Так как s(Fa) с, то по условию (б) Получим | Fa | с для любого а < а*. Тогда | Ма* | с, ибо множество М является объединением счетного семейства {Fa\ а < а*} множеств М Мощности | Ма | < с. Но тогда |Ъ(Ма*) | < с, ибо | Мо# | < с и |0(х) | < с Для любой точки х Е Ма*. Для каждого U Е ЩМа*) зафиксируем непрерыв- 14*
212 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА ную на X функцию gu*. X -> Лу, для которой X \ U = g[/(0). Ясно, что gu(U) открыто в gijX и U = grf-guU- Рассмотрим диагональное отображе- ние пространства X для семейства функций {g^: U и семейства отображений {/а: a < а*}. Так как |1 < с, а |{/а: а < а*} | < х0 и u?Ya < с, то и?(П{Лу: U €0(Ма*)} X П{Уа: а < а*}) < с, следовательно, wYa* <с’ r«e Ya* = /а*(х)- Кроме того, /а*!7 открыто в Уа# и /'Va*^= U ДЛЯ любого U 60(Ма*)- Поэтому !а*1а*х = если х € Ма*~ Т°ЧНО так Ж® 0 i^fax Для люб°й точки х С X, если a < а*. Итак, выполнены еле- дующие условия: 4) /^/а*Го = Fa, если а < а*, и 5) f~lfa*x с f~lfax для любой точки х С X и любого а < а*. Воспользуемся задачей 217 гл. III, возьмем замкнутое в X множество Fa#, для которого 1) s(Fa*) с, 2) /a*(Fa*)= = Уа*. Проверим выполнение условия 3). Действительно, если х С то /^/а*ж==а;5 поэтому если fa*(Fa*) = Уа#, то Ма* cz Fa*. Значит, 3) Fa cz cz Fa*, если a < а*. Итак, для всякого a g (4, <) построены пространство на У , wYa с, непрерывное отображение /а: X —> Уа, замкнутое в X множе- ство Fa таким образом, что выполнены все условия задачи 218 гл. III, поэтому вследствие утверждения этой задачи получаем | X | с. Доказательство завершено. Другое решение дает повторение рассуждения из решения задачи 212 гл. III, причем требование регулярности может при этом быть ослаблено до требования хаусдорфовости. 220. Следует из 130 гл. II и 219 гл. III или 212 гл. III. 221. Действительно, любое подпространство совершенно нормаль- ного бикомпакта финально компактно (206 гл. III). Но все метризуемые финально компактные пространства обладают счетной базой (213 гл. II). 222. Ответ авторам не известен. 223. Действительно, характер и псевдохарактер замкнутого множества в бикомпакте всегда совпадают (68 гл. III). 225. Это утверждение — частный случай аналогичного утверждения о всех бикомпактах, удовлетворяющих первой аксиоме счетности (см. 213 гл. III и 220 гл. III). Прямое (и оригинальное) доказательство дано в книге Александрова и Урысона [1]. 226. Действительно, [ X | 2No (см. 225 гл. III). Поэтому вес X тоже не превосходит 2Хо (107 гл. III). Пусть — база X, для которой I | 2х°. Можно, не ограничивая общности, считать, что объединение любого счетного множества элементов базы ^9 снова является ее элементом. Тогда каждому замкнутому в X множеству F можно поставить в соответствие некоторое счетное семейство yF элементов базы & так, чтобы было F ~ = П{^: С Те}’ При этом из F^ =^F2, очевидно, следует, что yFi =# Т/2- Значит, мы взаимно однозначно отобразили множество всех замкнутых под- множеств пространства X в множество всех счетных подмножеств множества мощности 2Хо. А последнее само имеет мощность 2Хо (см. 98 гл. I). 227. Нет, не существует. Филиппов [4] построил 2е попарно не гомеоморфных совершенно нормальных бикомпактов. А мощность множе- ства всех замкнутых подмножеств любого фиксированного совершенно нормального бикомпакта не превосходит 2Хо (226 гл. III). 228. Можно считать, что т > к0. Положим = {[Р]: Р € &}• ^аК как X регулярно, то для каждой точки х g Y и каждого открытого в X множе- ства U, ее содержащего, найдется F g такое, что х g F cz U. Зафиксируем теперь для каждого F g счетную определяющую систему yF окрестностей
РЕШЕНИЯ 213 в X (см. стр. 53) и положим 7 = |J {yF: F g Тогда | 7 | < тах{к0, т} — = т и существует V g yF cz 7, для которого х g F cz 7 cz Я. Так как точка и ее окрестность U были выбраны произвольно, это означает, что 7 — внеш- няя база пространства У в X. 229. В самом деле, каждое подпространство совершенно нормального бикомпакта финально компактно (206 гл. III). Следовательно, все метризуе- мые подпространства совершенно нормальных бикомпактов имеют счетную базу. Но сумма счетного множества пространств со счетной базой имеет счетную сеть. Следовательно, X обладает счетной сетью. Но тогда X имеет и счетную базу (228 гл. III). 230. Ясно, что гГ — топология на X и что (X, гГ) удовлетворяет аксио- ме отделимости Хаусдорфа (ведь FT cz 5^). Очевидно, каждое счетное множе- ство замкнуто в (X, FT), Следовательно, в (X, FT) нет сходящихся последова- тельностей. С другой стороны, никакая точка пространства (X, FT) не изоли- рована (так как [ U | > к0 Для всех непустых U g FT). Следовательно, (Х,^) не удовлетворяет первой аксиоме счетности. Но псевдохарактер пространства (X, FT) равен х0, ибо FT cz У, а (X, FT) удовлетворяет первой аксиоме счетности. Из 0) и этого рассуждения следует также, что t(X) > к0. Кроме того, из 0) и 4) сразу вытекают соотношения 6), 7) и 8). Утверждение 1) следует из 3) (см. 206, 207 гл. III), значит, остается доказать 2), 3), 9), 10). Но 2) прямо следует из 0) — каждое счетное подмножество А множества У замкнуто в У (наделенном топологией, индуцированной из (X, J')) и откры- тое в У множество У \ А не пусто (так как | У | > к0 = | А ]) и не содержит точек множества Л. Докажем 3). Пусть дано произвольное семейство элементов FT, т. е. семейство вида 5 ={^а \ « Е М}. Положим У = U {7: 7 g £}. Рассмотрим семейство т) = {Ua: a g М) и положим У = U {7: 7 g ц}. Тогда У zz> У и, кроме того, так как Ua g «7 для всех a g М, то существует счетное множество М' cz М? для ^которого U{^a: а £ Очевидно, тогда U{^a \^а: а € М'}^ zd У \ В zd У \ В, где 2? = U {Ла: a g М'} — счетное множество. Но каж- дый элемент из В покрыт некоторым элементом семейства зафиксируем последний и обозначим через 7у. Тогда %' = {Ua \ Аа: a g M'j (J {7y: V g B} — счетное подсемейство семейства g и U{7: 7 g ~ y=|J{7: V g £}. Заключаем (см. 206 гл. Ill), что (X, FF) наследственно финально ком- пактно. Докажем 9), т. е. что (X, FT) является Я-замкнутым, предположив, что соотношение 10) уже проверено. Пусть 7 ={Яа \ Аа: a g М} — про- извольное покрытие множества X непустыми элементами семейства FT. Тогда 7={Яа: a g М} — открытое покрытие бикомпакта (X, г7), и, сле- довательно, существует конечное множество М* cz М, для которого и{Яа: a g М*} = X. Тогда (J {Ua \ Ла: a g М*} всюду плотно в (X, ^) *’ значит, X = [U{CZa\Xa: аем*}](х =и([^\Цх ду « 6 ==U{[CZa\4a] (X ЯУ а (послеДн™ переход сделан на основании ^отношения 10)). Следовательно (см. 61 гл. Ill), (X, FT) является Я-замк- «Утым. Докажем 10). Пусть даны непустые Ui £ FT, U2 g Я', cz X, Л2 cz X ® известно, что x £ \ 4t](Xj fry х^иг\Аг. Тогда Z7t Q ¥= A, U2 и потому (Г/Д 40 П (tf2\ A2) о(CZifl U2) \ (4iU 42) =#A как | 4iU A2 I < x0). Значит, x 6 [С7Д 40^ и [С7Д 4t](X = ^1^X40^^.
214 ГЛ. 1П. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 231. Если /: X -+ Y — непрерывное отображение, где Y — совершен- но нормальный бикомпакт, то в f(X) есть сеть мощность которой не пре- восходит веса пространства X. Но вес пространства /(X) не превосходит мощности Jf* ибо f(X) лежит в совершенно нормальном бикомпакте (228 гл. III). Значит, вес /(X) не больше, чем вес X. 232. Пространство Y — бикомпакт (91 гл. III). Отображение f зам- кнуто (92 гл. III) и/X = У, поэтому для каждого Л с У имеем х(/_М, X) = = %(Х. У) (см. 324 гл. II). Если А замкнуто в У, то замкнуто в X и %(/-U, X) < к0- Значит, и %(4,У)<к0-. 233. См. 232, 231 гл. III. 234. В каждом бесконечном бикомпакте есть счетное незамкнутое множество (49 гл. III). Применяя теперь утверждение 23 гл. III дважды (второй раз X и У меняются ролями), мы получаем доказываемое утверждение. 235. В силу 234, 23 гл. III (и того, что X X X X X = (X X X) X X) либо произведение XXX совершенно нормально, либо в X каждое счетное множество замкнуто. Второе исключено, ибо X — бикомпакт (мы рассма- триваем только нетривиальный случай — когда множество точек простран- ства X бесконечно). Значит, верно первое, т. е. X X X совершенно нор- мально. А тогда X обладает счетной базой — см. 114 гл. III. 236. См. 114 гл. III. 237. Если х £ [М] \ М и {Un: п £ N+} — база в х, причем Uj cz при / > i, то, выбрав хп £ Un Q М при каждом п == 1, 2, . . мы придем к бикомпактному подпространству Ф = {х} IJ {хп: п £ iV+}, причем Фр М — ={хп: п = 1. 2, . . .} и, значит, х С [Ф П ЛЛ- Заметим, что нами таким образом доказано несколько более сильное утверждение, чем требовалось: X является /^-пространством (см. стр. 153). 238. Пусть х £ [М]. Выберем Ох — окрестность точки х, замыкание которой [О^] бикомпактно. Тогда х £ \М П Ох\ cz [М р [О#]], откуда и сле- дует, по определению, что рассматриваемое пространство является /с-про- странством (даже /^-пространством). 240. Пусть X — пространство точечно счетного типа и Р cz X. Пред- положим, что Р р Ф — бикомпакт для любого бикомпакта Ф, лежащего в X. Пусть xq £ 1^1. По условию, существует бикомпакт Фо cz X, который содержит х0 и характер которого в X счетен. Пусть U — произвольная окрестность точки х0, Множество UQ = U П Фо открыто в Фо. Поэтому (69 гл. III) в Uq найдется бикомпакт Ро счетного характера в Фо, содержа- щий х$. Тогда и характер FQ в X счетен (70 гл. III). Пусть у = {Ut: I £ некоторая счетная определяющая система окрестностей бикомпакта Fq в X, для которой Uj cz Ui при у > i. Так как х0 £ [Р] и 3 xq для каждого ь то найдется точка xt £ 1Ц ft Р. Полученная последовательность {а^: г £ Х+} имеет в FQ хотя бы одну предельную точку, так же как и любая ее подпосле- довательность (65 гл. III). Значит, Ft = Fq (J {хп: п = 1, 2, . . .} — биком- пакт. Но тогда Fi Q Р замкнуто по предположению. Поэтому Fi П Р ZD [{zn: п = 1, 2, . . .}!, и так как [{яп: п = 1, 2, . . .}] Q Fo #= Л, то мН заключаем, что Fq Q Р Л. Тем самым мы показали, что для любой окре- стности U точки х0 пайдется точка, принадлежащая U (") Р Q Фо. А это и означает, что х0 £ [Р р Фо1- И силу предположения о множестве Р будем иметь [Р П Фо1 = ? П Фо- Значит, Xq £ Р и Р — замкнутое множество. 241. Пусть X cz &Х, где ЬХ — бикомпакт и X = Q {ё?г-: i £ Лг+}, г#е каждое — открытое в ЬХ множество. Зафиксируем х £ X. Положим Uо = ЬХ, Предположим, что содержащие х открытые в ЬХ множества определены для всех i = 0, 1, . . ., к. Примем тогда за U^i любое открН' тое в ЬХ множество, для которого х £ cz [С/д-н] cz П Пусть последовательность {t7z: i= 0, 1, .. .} определена в соответствИ с указанной процедурой. Положим F = Q {[Z7J: i == 0, 1, . . ТогД Г с 11{[С<]: it 'V*}cx и F = I = 0, 1, . . т. е. F "
РЕШЕНИЯ 215 бикомпакт счетного характера в ЪХ (см. 70 гл. III) и х С F cz X. Следо- вательно, X — пространство точечно счетного типа. 244. Нет. Показать это — значит построить хаусдорфово А-простран- ство X, в котором есть такие точка х и множество Af, что х g [Af] \ Af, но х $ [Ф П Af] нп для какого бикомпактного подпространства Ф простран- ства X. Этим требованиям удовлетворяет пространство, рассмотренное в задаче 113 гл. II. В качестве Af надо взять множество всех его изолирован- ных точек, в качестве х — точку 0 (см. при этом 250 гл. III). Другой пример указан в задаче 60 гл. IV (см. при этом 59 гл. IV и 242 гл. III). 245. Нет. См. 60 и 59 гл. IV. 246. Пусть f: X -> У — рассматриваемое отображение, причем f(X) = = У. Если М cz У и М П Ф замкнуто в Ф для любого бикомпактного под- пространства Ф пространства У, то f~xM П F должно быть замкнуто в F для любого бикомпактного подпространства F пространства X. Действительно, f-iflf П F = /*1(Af П /F), где f* — сужение отображения / на подпростран- ство F. Так как непрерывно, то fF бикомпактно, М Q fF замкнуто в fF и f^M П F замкнуто в F. Но X является /с-пространством. Значит, f~rM замкнуто в X. Так как f — факторное отображение, М замкнуто в У. Следо- вательно, У является А-пространством. 247. Надо доказать только, что каждое A-пространство является фак- тор-пространством некоторого хаусдорфова локально бикомпактного про- странства. Обратное утверждение следует из двух следующих: 1) каждое локально бикомпактное хаусдорфово пространство является А-простран- ством (238 гл. III) и 2) фактор-пространство A-пространства является А-про- странством (246 гл. III). Пусть $3 = {Fa: a g Af} — семейство всех бикомпактных подмножеств пространства X. Рассмотрим свободную сумму Z — %{Fa: а g М} топо- логических пространств Fa (см. стр. 58). По определению, элементами Z являются всевозможные пары (ж, а), где х g а g М. Множество F'a = =={(#, а): х g Fa} естественно отображается на Fa по правилу: ia(x, а) = х при всех х g Fa. Это взаимно однозначное отображение позволяет перенести топологию с Fa на F'a — возникающую таким образом на F'a топологию мы обозначим через ,7'а. Тогда U{^a: Л £ М} является базой пространства Z. Через f обозначается естественное отображение пространства Z на X, суже- ние которого на любое F'a совпадает с 1а. Отображение / непрерывно: если U открыто в X, то U П Fq, открыто в Fa, поэтому и t~£(U П ^а) открыто в Z. Но, очевидно, f~\U) =U Q Fa): a g Af}. Значит, f^U) — открытое множество. Предположим теперь, что Р cz X и f^P замкнуто в Z. Тогда /-ip q рг^ замкнуто. Поэтому (так как ia — гомеоморфизм) i^f^P П F'a) замкнуто в Fa. Но ja(/-xP П Р'а) = р Л Fa. Итак, Р Q Fa замкнуто для каждого бикомпактного подпространства пространства X. Так как X являет- ся A-пространством, то Р замкнуто в X. Доказанное означает, что f — фак- торное отображение. 248. Пусть G — открытое подпространство A-пространства X. В силу 247 гл. III существует факторное отображение /: Z -> X некоторого локально бикомпактного хаусдорфова пространства Z на X. Положим У — и f = f | У, У G. Так как f непрерывно, то У открыто в Z; значит, У — Локально бикомпактное (180 гл. III) хаусдорфово пространство. Кроме того, * — факторное отображение, ибо У — полный прообраз открытого множе- на (см. 305 гл. II). Поэтому и G является А-пространством (247 гл. III). m 249. Нет, не верно — такие пространства суть в точности пространства 'Dpeine—Урысона (см. 250 гл. III). Пример см. в 113 гл. II. 250. Итак, пусть ж^Х, МсХижЕ [Af] \ М. Можно найти множе- но £ cz М такое, что выполняются следующие условия: (a) х g [L]; (р) если
216 ГЛ. HI. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА L' cz М и х С [£']> то | L | | L' |. Так как L U {ж} есть ^-пространство, то существует бикомпакт Ф cz L (J {ж}, для которого х £ [Ф \ {ж}] (243 гл. III). В силу (0), очевидно, | Ф | = | L |. Положим | Ф | =т и покажем, что т = Хо- Этим все будет доказано, ибо тогда Ф — метризуемый бикомпакт (см. 105 и 39 гл. III). Точка х не изолирована в Ф; ее характер в Ф равен т — это следует из | Ф | = т и 68 гл. III. Зафиксируем какую-нибудь базу & ={Ua: а £ А} точки х в Ф, мощность которой равна т. Предположим, что А минимально вполне упорядочено некоторым отношением <. Теперь мы осуществим построение по индукции вдоль (Л, <). Пусть 1 = min (Л. <). Зафиксируем окрестность О^х точки х так, чтобы было [С^ж] cz Ui. Выберем ж1 Е OiX \{ж). Предположим, что 0 g А и для всех а < 0, а g Л. опреде- лены окрестности Оах точки х и точки ха С Ф \{я}. Тогда, в силу (0), [ {ха: а < 0}] £ х (ибо |{жа: а < 0} | <т). Пространство Ф регулярно; выберем окрестность О$х точки х так, чтобы было [{жа: а < 0}] П [<?рж] == = А и [б?рж] cz U$. Так как |{а g А: а 0} | и характер х в Ф равен т, то П {Оах\ а <; 0} \{ж} =/= А. Примем за хр любой элемент множества П {Оах: а 0} \ {ж}. Таким образом можно определить ха и Оа для всех а £ Л. Рассмотрим подпространство X* = {ха: a g Л} U {ж} пространства X. Точка х не изолирована в X*. С другой стороны, для любого 0 g А множество X \ ([{жа: а < 0, а 0}] (J [€>р+1ж]) — окрестность точки жр, не содер- жащая точек множества X* \{жр}. Значит, все ж' g X* \{ж) изолированы в X*. Но X* есть ^-пространство. Поэтому (243 гл. III) существует биком- пакт F cz X*, для которого ж g [F \{ж}]. Но 7?\{ж} cz М. Из определе- ния т следует, что | F | =т. Выберем в -F\{#} бесконечное счетное под- множество Р. В F у Р (в силу бикомпактности F) есть предельная точка, но никакая точка из F \{ж} таковой быть не может. Значит, [Р] Э ж. Но Р cz М. Следовательно, в силу условия (0), т = х0. 252. Пространство X можно представить как фактор-пространство некоторого локально бикомпактного хаусдорфова пространства X (247 гл. III). Обозначим соответствующее факторное отображение через /, через f обозначим тождественное отображение пространства Y на себя. Тогда / X /: ХХУ->ХХУ — факторное отображение (26 гл. VI). Но X X Y — локально бикомпактное хаусдорфово пространство, поэтому (см. 247 гл. III) X X Y есть к-пространство. 279. Рассмотрим 81 = -х-. Согласно 218 гл. II существует счетное дизъюнктное покрытие coj пространства (У, р) открыто-замкнутыми множе- 1 ствами диаметра, не большего 84 = -х-. Вследствие того, что (У, р) не Л бикомпактно, покрытие со± можно предположить бесконечным. Итак, пусть g>i = Ч € А-*}—бесконечное счетное дизъюнктное покрытие пространства 1 (У, р) открыто-замкнутыми множествами, diam , U^ =# А для любого 1 li g A+ и U^[\иА, если ц г{. Теперь для каждого tZ^g а>± и рассмотрим счетную систему h € А+) открыто-замкнутых в 1 (значит, и в X) множеств, для которой diam -^-для любого i2 € А* и Uiit> Q == А, если i2 и Щ = U h € A+}. Так как небикомпактно, то {Uiji2: i2 g A+} можно выбрать таким образом, чтобы Ф А для любого г2 € А+. Заметим, что У = U {/7^: Ч € А+, 12 £ Проделаем то же построение для каждого ч€А+, i2 Е А+, и
РЕШЕНИЯ 217 ез = -2з" и т. д. В результате мы для каждой конечной последовательности натуральных чисел ц, . . in будем иметь открыто-замкнутые в X множе- ства U4 i . При этом будут выполнены следующие условия: (!) = Л> если (2) = (3) Y = U{tfh: h (EAT*}; <4) , diam ич..Лп<-^"’ (5) uii, . ,in =# Л ДЛЯ любых ii 6 N+, . . ., ine A+. Последнее, т. e. условие (5), мы получаем вследствие того, что на каж- дом шаге получаются небикомпактные множества. Рассмотрим теперь бес- конечное счетное семейство {Хп: п £ N+} бесконечных счетных дискретных пространств (т. е. каждое Хп гомеоморфно пространству N натуральных чисел). Тогда каждая точка х топологического произведения П{ХП: п £ N+} есть счетная последовательность натуральных чисел: x = {ii, i2, . . in> . . .}> сю Положим fx = Uit П CZiii2 П ... Q ,in П • • • = П Uii.. .in- Вслед- n=l ствие условий (1) — (5) и полноты пространства (Y, р), для каждой точки х 6 П{ХП: п £ 7V+} множество fx непусто и состоит ровно из одной точки у С У. Таким образом, мы построили отображение /: В(х0) Y (вспомнив, что В(х0) = П{ХП: п g 7V+}). Из условий (3) и (2) следует, что / — отображе- ние на все У, а из (1) следует его взаимная однозначность. В пространстве В(к0) = П{ХП: п Е 7\Г+}множества Ко = {ж = {in: nCN+} Е П{ХП: n£N*}: ii = i?, ...» in = г®} образуют стандартную открытую базу, а множества . .гп* ё А+, ...» in € А'4',— базу пространства X (в чем совсем нетруд- но убедиться). Тогда топологичность построенного отображения /: В(к0) -> ->У вытекает из равенства /V.0 ,0 = и.0, которое легко установить, Ч. . .in i\. . .in пользуясь условиями (1) — (5). 282. См. решение задачи 279 гл. III. 285. (а) Пусть 6 = {Fn: С +) — бесконечное счетное семейства бикомпактов, лежащих на прямой, причем | F [ > Ко для каждого F 6 6 и любые два?множества из д не гомеоморфны (такое семейство, очевидно, существует). Для каждой счетной последовательности £ = {пд: к £ Аг+} натуральных чисел рассмотрим свободное объединение (см. стр. 58) ком- пактов Fn £ 6 и бикомпактификацию Александрова (176 гл. III) Ф? под- пространства А%. Нетрудно убедиться в том, что — компакт, содержа- щийся в прямой. Семейство всех компактов, построенных таким образом по всем последовательностям g натуральных чисел, обозначим через у. Семей- ство у искомое. (б) Пусть р, — система всех бикомпактных подмножеств F cz Б1, I I > х0. (Заметим, см. 284 гл. III, что для бикомпактного метризуемого пространства F, | F | > х0, непременно | F | = с.) Опираясь на утвержде- ние (а), выводим, что | р | = с. Упорядочим систему р, бикомпактов F Е р* ^причем, как всегда, рассматриваем минимальное упорядочение): W Н={Л.^2........Fi, Аналогичным же образом упорядочиваем множество всех точек числовой Прямой Я\={Я1» ^2» • . . . .}.
218 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА Через обозначаем первую точку в упорядочении (2), для которой pi Е a #i — первая точка в упорядочении (2), для которой q{ Е Л \ Pi- Далее» если мы построили точки и q^ для всех к < %*, то берем в качестве точки р^* первую точку в упорядочении (2), для которой р^* Е F^* \ ({рх,: 1 < 1*} (J U{?z: кек*}), и первую точку qK* в упорядочении (2), для которой q%* Е Е \ ({РЛ: U <^*})- Нетрудно понять, пользуясь тем, что | /\ | = с для любого Е М тем, что (1) и (2) — минимальное упоря- дочение множеств R1 п р мощности с, что такое индуктивное построение про- ведено корректно. В результате мы получаем множество Z, состоящее из всех построенных точек р;_. При этом, очевидно, | Z | = | р, | = с. Пусть теперь F — несчетный бикомпакт, лежащий на прямой Я1; тогда F Е р; следова- тельно, по построению множества Z непременно (Я1 \ Z) Q F Ф Л, т.е. FtflZ. Таким образом всякий бикомпакт, содержащийся в/, не более чем счетен, т. е. Z — вполне несовершенное множество. 299. Пусть р — метрика на компакте X. Представим компакт X, поль- зуясь задачей 260 гл. II в виде объединения замкнутых подмножеств Фр ... . . ., Ф51 диаметра, меньшего х/2 (при этом мы можем предположить, что si есть степень двойки, т. е. == 2П1, допуская в представлении X=-^J Фг- г=Л некоторые слагаемые совпадающими). Компакты Фр . . ., Ф81 назовем компактами первого ранга. Каждый компакт Ф^ первого ранга разобьем на компакты Фи1... ., диаметра (J- • -иФй2п2- При этом каждый из компактов первого ранга мы разбиваем на одно и то же (а именно 2П2) число замкнутых подмножеств, допуская, конечно, и совпаде- ние слагаемых. Таким образом весь компакт X мы представим в виде объеди- нения s2 = 2П1+П2 подкомпактов второго ранга ( все компакты второго ранга имеют диаметр, не больший-^-) . Продолжаем так и дальше. Таким образом. для любого натурального числа т мы будем иметь представление всего нашего компакта X в виде объединения sm = 2ni^'"^nm подкомпактов Ф^ im ранга т, причем каждый компакт Ф^ ранга т—1 будет представлен в виде 2Пт компактов ранга т: Ф|ь, U . .im-ii’ а ДиаметР 1—1 всякого 1 компакта ранга т строго меньше . Теперь вспомним задачу 185 гл. II, где проводилось построение канторова совершенного множества. При построении канторова совершенного множества мы имели отрезки ран- гов 1, 2, два отрезка первого ранга, четыре отрезка второго ранга, . . ., 2П отрезков ранга п и т. д. Эти отрезки мы обозначали через где Ь- • • •> /п могут принимать значения или 0 или 1. Рассмотрим теперь для каждого натурального числа т отрезки Д^ > ранга гт в количестве sm=2ni+ -'+Пт=2Гт все они имеют длину Каждый такой отрезок обозначим для удобства через Д^ где прини- мает значения 1,2,3...., 2?к (нетрудно понять, на чем основано такое пере-
РЕШЕНИЯ 219 обозначение). Теперь каждая точка t канторова совершенного множества С совпадаете пересечением однозначно/эпределенной последовательности г? А, • □ . , . □ Д; , а о . . . отрезков, ее содержащих, а эта после- довательность в свою очередь определяет последовательность подкомпактов (компакта X) sd Ф^2 о ... о Ф1112 =>...> а следовательно, точ- ку х С X — точку пересечения этих компактов. Таким образом определено отображение /: С -> X канторова совершенного множества С в компакт X. Легко, доказывается, что это отображение на весь компакт. Действительно, пусть точка х Е X произвольна. Эта точка принадлежит некоторому под- компакту Ф^ ранга 1 (хотя, вообще говоря, не единственному компакту ранга 1), некоторому подкомпакту Ф^2 cz Ф^ ранга 2 и т. д. Тогда мы рассматриваем соответствующую последовательность А^ zd Д—2 zd . . . . . . ZD Ац im О • • . отрезков и точку t канторова совершенного множества, получаемую как пересечение отрезков из этой последовательности. Очевидно, ft = х. Докажем непрерывность отображения /. Для произвольного е > О 1 1 возьмем такое натуральное число тп, чтобы < е. Определим 6 = • — . ’Тогда, если | t — tf | < 6, то точки t и t' канторова совершенного множе- ства С принадлежат некоторому одному и тому же отрезку А^ im ранга гт, а следовательно, точки ft и ft' принадлежат одному и тому же компакту 1 фй.. .im Ранга т- Такиы образом, p(/f, ft') < diam Фч < е. Отображение /: С X непрерывно. Все доказано. 300. См. решение задачи 299 гл. III. Если бы при построении (в этом ре- шении) мы смогли бы выбрать компакты Ф^ im таким образом, чтобы любые два компакта одного и того же ранга имели пустое пересечение, то тогда бы всякая точка у £ Y однозначно определялась последовательностью Ф^ zd : zd Ф{4£2 zd . . . о Ф^ im ZD . . * компактов различных рангов, содержа- щих эту точку у. По этой причине построенное в указанном решении отображение f было бы взаимно однозначным, значит, топологическим (ибо f непрерывно, а канторово совершенное множество и пространство Y — компакты). Таким образом, для любого 8 > О надо суметь представить любой нульмерный компакт Y без изолированных точек в виде объединения попарно не пересекающихся совершенных открыто-замкнутых подмножеств диаметра, меньшего 8, так, чтобы число слагаемых (без повторения) было степенью двойки. Это производится довольно просто (проделайте сами). 303. (а) Пусть /: С Y — непрерывное неприводимое отображение канторова совершенного множества С на компакт Y. Канторово совершенное множество С не имеет изолированных точек (см. 185 гл. II), значит, его непри- водимый образ также не имеет изолированных точек (см. 111 гл. VI). (б) Пусть компакт Y не имеет изолированных точек. В силу 299 гл. III существует непрерывное отображение f: С Y канторова совершенного множества С на У. Найдется такое замкнутое множество Со <= С, что /Со = Y и f I Со: С0 ->Y неприводимо (см. 32 гл. VI). Если CQ неприводимо отобра- жается на компакт Y без изолированных точек, то Со также не имеет изоли- рованных точек (см. 111 гл. VI). Значит, Со удовлетворяет условию зада- чи 300 гл. III, в силу которой Со гомеоморфно канторову совершенному множеству С. Таким образом композиция (/ | Со) -h (где h: С CQ — гомео- морфизм) — неприводимое непрерывное отображение канторова совершен- ного множества С на Y. 304. Пусть (X, р) — полное метрическое пространство без изолирован- ных точек. Так же, как и в решении задачи 126 гл. III, мы строим для каждой конечной последовательности ц, . . ., гд, к £ N+, состоящей из нулей или
220 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА единиц, непустые замкнутые в X множества Fi , без изолированных точек таким образом, что (а) каждое F^ — замыкание открытого в X множества, (б) Fiv..ikih+ic= Fiv--ik «ля любых *1......ih и МЛГ+, (В) П F.f = Л, если {ц, . . ., ik} =H={i{, . . ., i'k}. Кроме того, в нашем г1 ’ * • гк случае можно предположить, что (г) diam Fi - <— , k£N*. Тогда 1 k для любой бесконечной последовательности 5 ={и, . . ., . .} нулей и единиц П г * непусто и состоит ровно из одной точки. Обозначив через S множество всевозможных последовательностей 5 из нулей и единиц (S можно интерпретировать как множество точек произведения счетного числа изолированных двоеточий, т. е. как канторово совершенное множество — см. 301 гл. III), легко показать, что подпространство Р = = и{П{^< $ : & Е Лг+): £ Е S} гомеоморфно канторову совершенному множеству. Второе утверждение нашей задачи легко сводится к первому. Посту- паем следующим образом: точку х £ X назовем точкой о-дискретности про- странства X, если существует такая окрестность Ох этой точки, что под- пространство Ох является объединением счетного семейства дискретных подпространств. Предположив, что X не представляется в виде объединения счетного семейства дискретных подпространств, обозначим через X* множе- ство всех точек в X, не являющихся точками о-дискретности. Нетрудно показать, что при этом предположении X* — непустое замкнутое в X под- пространство, не имеющее изолированных точек. Итак, второе утверждение нашей задачи сведено к первому. 305. Пусть р — некоторая метрика на метризуемом бикомпакте X. Предполагаем, не нарушая общности, что любая точка а Е А не изолирована в X. Запишем точки множества А каким-нибудь образом в виде последова- тельности: А = {«i, а2, . . ., ап, . . .}. Так как ап не изолирована в X, то открытое в X множество Гп = X \ {ап} всюду плотно в X. Значит, всюду оо плотно в X множество Хо = Q Гп = X (см. 88 гл. III). Значит, для п—1 1 каждого тг £ _У+ мы можем взять такую точку хп Е Хо, чтобы р(ял, ап) < — . Определим разбиение на X: его элементы суть двуточечные множества вида (я;п, ап)’ остальные элементы разбиения — одноточечные множества. Докажем непрерывность этого разбиения. Пусть {я0} — одноточечный элемент раз- биения. Предположим, что xQ — предельная точка для точек {хп: п Е N+}° Рассмотрим произвольную е-окрестность Uex0 этой точки. Возьмем такое п> 2 1 чтобы — < е. Тогда, если р(хп, xQ) < — , то р(ал, я0) С р(®п, хп) + 2 Н- р(^л? хо) < ~ < с» т. е. всякий элемент разбиения, пересекающий окре- стность U^xq, содержится в окрестности игх0. Пусть теперь (^п0> ап0) — п некоторый двуточечный элемент разбиения. Рассмотрим окрестности 2 и игаПц. Возьмем п такое, что <8, и рассмотрим окрестности U^xnQr п С71аП(). Нетрудно убедиться в том, что всякий элемент разбиения, пересекаю-
РЕШЕНИЯ 221 щийся с окрестностью U ^xnQ (J Ъ\ап^ элемента (агП(), аП()) разбиения, содер- жится в окрестности игхп^ (J UGanQ этого элемента разбиения. Итак, опре- деленное выше разбиение метризуемого бикомпакта X непрерывно. Простран- ство Y этого разбиения хаусдорфово (см. 92 гл. III) Так как X имеет счетную базу и бикомпактно, то и У будет иметь счетную базу (как бикомпакт, являю- щийся непрерывным образом метризуемого бикомпакта X, см. 292 гл. III). Рассмотрим сужение f | Хо — /0 отображения / на подпространство Хо. Ясно, что fXQ = Y и /0: Хо -> У — взаимно однозначное непрерывное ото- бражение на компакт У. Все доказано. 306. Ответ авторам не известен. 307. Ответ авторам не известен. 308. См. Пе л чинскин [1]. 312. Пусть Xi £ X, х2 Е X, Xi Ф х2 и а, Ъ — два действительных числа, а Ф Ъ. Возьмем функцию / Е Со, для которой fxt ^fx2. Нужную функцию будем искать в виде g — а/ -|- р, где аир — пока не известные константы (точнее, функции, тождественно равные константам а и Р). Очевидно, всякая функция g, таким образом определенная, принадлежит Со. Для нахождения аир имеем равенства gfa) = af(xi) -f- р — a, g(x2) = a/(z2) + Р = Ь. Так как f(xi) ^f(x2), то а и р находятся однозначно. 313. Пусть f Е CQ. Обозначим || f ||= шах | f(x) | = с. Далее | f(x) | — ___________________________________х^Х_______ = ~]/f(x) = ~\/с2 — с2 + /2(ж) — с 1 — ^1 — J . Обозначим g(x) — ^(х) = 1 — ’ . Имеем g Е Со и 0 < g(x) < 1 для любой точки х £ X. Далее . ,, ч । ----т-r 5П 1*1-3...(2п—3) . . 1 /(ж) I = с у 1 — g(x) = с —2«Z-6~ 2п ё (здесь мы восполь- п—1 _____ зовались разложением функции Д/1 — у в ряд по степеням у), Заметим, что все члены ряда принадлежат CQ, а сам ряд равномерно сходится к функции \f(x) |, ибо 0 < g(x) < 1. Отсюда вследствие замкнутости CQ в С(Х) следует 1 /(*) I е Со. 315. Следует из 313 и 314 гл. III. 316. Пусть f Е С(Х) — произвольная непрерывная на X функция и 8 > 0 — произвольное положительное число. Надо найти такую функцию g Е ЭД, чтобы р(/, g) = max | f(x) —- g(x) | <е. х£Х Воспользовавшись условием 1), для каждой пары х, у точек из X возь- мем такую функцию gxy £ Я, чтобы gxy(x) = f(x). gxy(y) = /(у). В силу непрерывности функций gxy и f в точке х1 соответственно в у, найдутся такая окрестность Uxy(x) точки х, соответственно окрестность Vxy(y) точки у, что (!) gxy(t) < f(t) +в для всех t Е Uxy (ж); (2) gxy(t) > f(t) —8 для всех t Е Vxy(y)* Зафиксируем у Е X, а х заставим пробегать весь бикомпакт X. Тогда получим открытое покрытие {Uxy{x}\ х Е X} бикомпакта X, из которого выделим Конечное подпокрытие (3) ичу(х^ . . Uxsy(x*}. Рассмотрим функцию (4) gy (t) = min {gXiy (t)...gXgy (t)} = , gx°y (t).
222 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА В силу условия 2) задачи непременно gy Е SI; кроме того, вследствие (1), (4) и того, что (3) — покрытие бикомпакта X, получаем неравенство (5) gy(t) < f(t) + е для всех t Е X. Для каждой точки у X рассмотрим окрестность (6) зд=ГК^)- 7=1 1 Пользуясь (2), (4) и (5), заключаем, что (7) gy(t) > /(*) — 8 для любого t Е Vy(y)- Рассмотрим открытое покрытие {Vy(y): у С X} бикомпакта X. Выделим из него конечное подпокрытие (8) Vy± (yt), . . VlJh{yh), Рассмотрим функцию *1 Jk По условию 2) задачи g С Пользуясь (7), (9) и тем, что (8) — покрытие, получаем неравенство g(t) > f(t) —8 для всех t Е X. Кроме того, из (5) и (9) следует, что g(t) < f(t) -j- 8 для всех t Е X. Итак, g Е SI и | f(t) — g{t) | <е для всех t Е X, т. е. р(/, g) <е. Задача ретена. 317. В силу 312 гл. III Со сильно разделяет точки из X. Рассмотрим $ — КоЪсх)- Семейство SI удовлетворяет всем условиям задачи 316 гл. III (в действительности 51 — даже замкнутое подкольцо). Тогда [51]с(х> = = llC'o]<7<jc>Jc<jr> = С(Х). Задача решена. 318. Решение просто. Надо только проверить, что множество всех многочленов, равно как и множество всех тригонометрических многочленов, удовлетворяют условиям задачи 317 гл. III. Главным образом надо проверить, что эти множества функций разделяют точки соответствующих отрезков (нетрудно убедиться, что в первом случае многочлен у = х разделяет точки отрезка [0, 1], во втором случае два тригонометрических многочлена у = sin х и у — cos х разделяют точки отрезка [—л, л]). 319. Для доказательства надо рассмотреть подкольцо CQ cz С(Х) всех многочленов с рациональными коэффициентами и показать, что CQ разделяет точки в I, а потом воспользоваться задачей 317 гл. III. 321. Пусть С(Х) — все непрерывные функции на X = П{Ха: а £ А}, а Со с С(Х) — все непрерывные функции, зависящие от счетного числа координат. Прежде всего заметим, что все функции на X, тождественно рав- ные константам, зависят от счетного числа координат, так что Со содержит все константы. Кроме того, легко установить, что Со — подкольцо кольца С(Х). Так, например, если Л Е Cq зависит от счетного числа координат, к примеру от координат из Ai cz Л., | Ai | х0, а/2 Е Со от координат из А 2 cz А, | Л 2 |< Хо» то функция fi + /2 зависит только от Л 1 |J Л2, т. е. так- же от счетного числа координат, значит, (/j -|- /2) Е Со* Кроме всего прочего» С о— замкнутое подкольцо, т. е. если последовательность {/n: п Е 7V+}, fn Е Со (/п зависит от координат из Ап czzz Л, | Ап | <: к0), равномерно сходится к функции /0(х), т° /о(^) — непрерывная функция, зависящая от координат оо из Ло — Лп, | Л0 | х0 (а это означает, что /0 Е Со)* Итак, Со— замкну* 71= 1 тое подкольцо кольца С(Х), содержащее все константы,разделяющее точки бикомпакта X (что легко проверить). Значит, по теореме Вейерштрасса Стоуна (см. 317 гл. III) Со — С(Х). Задача решена.
РЕШЕНИЯ 223 322. По теореме Тихонова (см. 38, 75 гл. III) бикомпакт У можно топо- логически вложить в тихоновский куб Iх — П{7р: р Е В}, | В | = ш(У). Тогда отображение /: X -> У, У с= Iх можно представлять себе как семей- ство {/р: р Е В} непрерывных на X функций. Каждая функция /р, р Е В, зависит от счетного числа координат (321 гл. III). Следовательно, отображе- ние / зависит от т-к0 =т координат. Задача решена. 323. Действительно, X является образом некоторого обобщенного дисконтинуума Dm — П{2)а: а I Л | = т (какого-то веса тп). Из ИЗ гл. Ш следует, что т ^т. В силу 322 гл. III отображение / зависит от т координат, где ы(Х) ~т, т. е. найдется такое AQ с: А, | Ло 1 и такое непрерывное отображение g: П{2)а: а £ Ао} -+ X, что /= где лЛ(): П{2>а: а £ Л} -> П {Da: а С А о} — проектирование. Так как | Ло | W(X) = т, то и/(П{2)а: a Е А0}) атак каквес^при непрерывных отобра- жениях бикомпактов не повышается, то ц/(П{2)а: а Е А0}) = т.Задача решена. 324. Пусть w(X) — т, а ш(У) = п. Очевидно (см. 113 гл. III), т п. Пусть далее g: Dm -> X — непрерывное отображение обобщенного канто- рова дисконтинуума Dm = П{2)а: а ЕЛ}, | А | = яг, на наш диадический бикомпакт X (см. 323 гл. III). Обозначим через h — gf композицию отобра- жений / и g. В силу 322 гл. III существуют такие Л 0 cz Л, | Л 0 | = п, и непре- рывное отображение /г0: П{Ра: а Е Ло}-> У, чт0 (здесь лАо: П{2Э« : а £ А} П{Da: а Е Ло} — проектирование). Обозначим Xf = = g(n{2)*: a ЕЛ}), где Р* == £>a, если a Е Ло, и 2)* = {о}, если а Е А \ Ло (2)а — изолированное двоеточие). Очевидно, П{2)*: а^} гомеоморфно П{2)а: а 6 А 0). Следовательно, [м/(П{2)а: а Е Ло}) = гг(П{2)*: а ЕЛ}) = z= | Ло I = п, поэтому w(Xf) п (при непрерывных отображениях биком- пактов вес не повышается), значит, w(Xf) = п ~ w(Y). Очевидно, fXf = У» Задача решена. 325. В силу 113 гл. III вес бикомпактов при непрерывных отображениях не повышается. Далее надо вспомнить определение неприводимого отображе- ния и воспользоваться задачей 324 гл. III. 326. Пусть 6 — {£7a, a Е Л} есть л-база бикомпакта X, для которой |0 | = т (см. стр. 54). Пару (Z7a, Z7a,) элементов этой л-базы назовем отме- ченной, если [£7a] cz Z7a,. Очевидно, мощность системы а отмеченных пар (17а, Ua>) элементов С7а £0, Ua, £0 не превосходит т. Каждой отмеченной парс (t7a, Ua,) Е о поставим в соответствие (пользуясь 25 гл. III и нормаль- ностью бикомпакта X, см. 64 гл. III) непрерывную функцию /аа,, для которой 0 </аа' <*) < 1 для всех х а /аа' & = °’ если * € 1^aL и /аа- (*) = если х Е X \ Га,. Система отобранных таким образом функций имеет мощ- ность, меньшую или равную т. Диагональное отображение / для этой системы функций (см. 290 гл. II) есть отображение бикомпакта X в бикомпакт веса, не превосходящего т. Легко проверить, что построенное отображение / неприводимо (здесь надо воспользоваться определением неприводимого ото- бражения — см. стр. 161, определением диагонального отображения — см. стр. 17, указанным выше построением, а также плотностью системы 0 в X). 327. Пусть X — диадический бикомпакт. Его л-вес (как, впрочем, любого топологического пространства) не превосходит веса. G другой сторо- ®Ь1’ в силу 326 гл. III бикомпакт X допускает неприводимое отображение бикомпакт У, для которого ц/(У) не превосходит л-веса X. Тогда, поль- зуясь 325 гл. III, заключаем, что вес диадического бикомпакта X равен ®есУ У. Из всего сказанного получаем неравенства w(Y) лн?(Х) w(X} С^\Х) = ш(^)’ откуда ш(Х) — лю(Х) (через ли?(Х) обозначен л-вес про- ^транства X). (См 328. Следует из задачи 327 гл. III и метризационной теоремы Урысона
224 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА 329. Пусть X cz П{£а: а £ А} — замкнутое множество типа G& и \ А | = т > к0. Рассмотрим непрерывную функцию / на П{£>а: а £ А}, которая обращается в нуль в точках множества X и только в точках множе- ства X (см. 30 гл. III). Функция / зависит от счетного числа координат (см. 321 гл. III), т. е. существуют такие Ао cz А, | Ао | = и непрерывная функция fi на П{Оа: а £ Ао}, что / = Л где лЛо, как всегда,— есте- ственное проектирование. Рассмотрим замкнутое в П{Ьа:а £ Ао} множество XQ — /гЧО). Далее легко показать, что X — Xq X П{Ра: а £ А \ Ао}. Затем надо воспользоваться тем, что произведение XQ х любого нуль- мерного метрического компакта Хо на канторово совершенное множество снова гомеоморфно канторову совершенному множеству. Тогда получим X = Хо X Dm ж Хо X 7)ко х X Dm & Dm. Задача решена. 330. Пусть Dm = П{Ра: а £ А}, | А | = т. Так же, как и в решении задачи 329 гл. III, рассмотрим такое Ао с: А, | Ао | = к0, чтобы X = Хо X X П{Ра: а £ А \ Ао}, где Хо — замкнутое множество в канторовом совер- шенном множестве D^o = П{2Эа: а £ Ао} (очевидно, Хо имеет тип G$). Пользуясь 77 гл. VI, рассмотрим ретракцию г: П{£>а: а £ Ао} Хо. Заме- тим, что Dm = Il{Da: а £ А} = П{£а: а £ Ао) X П{7)а: а £ А \ Ао}. Тогда каждая точка | есть пара (х, у), где х £ П{£а: а £ Ао}> у Е П{/)а: а £ А \ А о}. Определим g(g) правилом: g(£) = g(x, у) = (г(я), у). Пара (г(х), у} есть снова точка в Dm. Понятно, что (r(x), #) £ Хо X П{/)а: а £ А \ А о} = X и g(|) = g, если g £ X. Таким образом, g — отображе- ние D™ на X, тождественное на самом X. Ясно также, что g непрерывно. 331. Следует из 329 гл. III. 332. Утверждение (а) устанавливается непосредственной проверкой того, что CXq есть подкольцо кольца С(Х). Так же просто показать, что CXQ — идеал. (б) Пусть Со cz С(Х) — нетривиальный идеал. Если Со не является идеалом вида Сх, то для любой точки х £ X найдется функция fx £ Со, для которой fx{x) Ф 0. Тогда, пользуясь непрерывностью функции /х, возьмем такую окрестность Ux точки х, чтобы fx(x') 0 для любой точки х' £ Ux. Из бесконечного открытого покрытия {Ux-. ж £ X} выделим конечное {Uхц . . ., Uxs}. Рассмотрим непрерывную функцию g= f* -|- f* -f- ♦ • • • • • + fxs' Очевидно, g £ Со и g(x) > 0 для всех х £ X. Пусть теперь 7г — произвольная непрерывная функция. Ее можно записать в виде Д = Так как g £ Со, a CQ — идеал, то h £ Со. Значит, Со s С(Х). Получили про- тиворечие с тем, что Со — нетривиальный идеал. (в) Докажем прежде всего, что всякий идеал вида Сх максимален. Действительно, если Сх — немаксимальный идеал, то существует нетри- виальный идеал Со, содержащий идеал Сх. Согласно (б) идеал Со содержится в идеале вида Сх>: CQ cz Сх,. Надо доказать, что х = х'. Если бы это было не так. то в силу полной регулярности X нашлась бы функция /, равная нулю в х, но равная 1 в точке х'. Тогда получили бы противоречие с включе- нием Сх cz Со cz Сх>. Итак, всякий идеал вида Сх максимален. Пусть теперь Со — произвольный максимальный идеал. Согласно (б) CQ содержится в некотором идеале вида Сх. Значит (вследствие максимальности), С о есть некоторый идеал вида Сх. 333. (а) Пусть яг0 £ [А] и / £ П {Сх. х £ А}. Отсюда получаем, что f(x) — 0 для любой точки х £ А. Тогда (по непрерывности) f(xo) — 0, если € ML (б) Пусть хо — такая точка, что CXQ ZDP {Сх. х £ А}. Предположив» что xq $ [А]. Пользуясь полной регулярностью бикомпакта X, возьмем ^непрерывную функцию] /: Дя0) = 1 и] f(x) — 0, если х £ [А]. Тогда /с £П {Сх: х € А}, но / $ Сх . Получили противоречие.
РЕШЕНИЯ 225 334. Пусть i: С(Х) -> C(Y) — изоморфизм алгебры С(Х) на алгебру C(Y). Очевидно, при этом изоморфизме образ всякого идеала (максимального идеала) будет идеалом (максимальным идеалом). Заметим (пользуясь 332 гл. III), что все максимальные идеалы в С(Х) и C(Y) представляют собой идеалы вида Сх, х g Х\ Су, у £ Y. Тогда для любой точки х g X рассмотрим максимальный идеал Сх. Изоморфный образ (при изоморфизме i) максималь- ного идеала Сх есть максимальный идеал Су. Положим у = fx. Итак, изо- морфизм i: С(Х) C(Y) порождает, очевидно, взаимно однозначное ото- бражение /: X -> Y (на У). Покажем, что / — гомеоморфизм. Пусть xQ g [А], Л г- X. Пользуясь 333 гл. III, получаем С of] {Сл.: х g А}. При изо- морфизме I это включение перейдет во включение Cf г>П {Су: у g /А}, что означает (333 гл. Ill) fx0 g [fA]. Итак, f непрерывно, взаимно однозначно и, значит, является гомеоморфизмом. Обратное утверждение тривиально. 337. См. Колмогоров и Фомин [1], стр. 105. 342. Множество /(X) — связное подмножество числовой прямой (221 гл. II). По условию, существуют отрицательное число а и положительное число Ь, принадлежащие /(X). Но тогда, в силу 223 гл. II, весь отрезок, соединяющий точки а и Ъ (а он содержит число 0), принадлежит /(X); значит, О g /(X), т. е. существует точка x$ g X, для которой 0 = f(xQ). 344. Нет: хаусдорфово пространство, состоящее из двух точек, можно отобразить на пространство, состоящее лишь из одной точки. 345. Пусть Р — открыто-замкнутое подмножество пространства X, содержащее точку с*. В силу замкнутости Р множество С — (с g Со: Ас а: Р} замкнуто. Поэтому множество С = С0\С открыто в компакте Со. Рас- смотрим С" = {с £ С': с — точка второго рода в CQ}. Тогда С" cz С' и С'\С"— счетное всюду плотное в С' множество. Значит, С" — нигде не локально ком- пактное множество типа G& в компакте. Заметим, что если С Со, то С" — непустое множество (это следует из того, что каждая точка канторова совер- шенного множества является его точкой конденсации). Мы сейчас представим пространство С' в виде суммы счетного множества лежащих в нем компактов, чем и приведем предположение С Ф CQ к противоречию (см. 238 гл. II). Назовем точку отрезка 7С, соединяющего с и с*, критической, если в любой ее окрестности есть как точки из Ас Q I7, так и точки из Ас \ Р. На каждом 1С при с g С” существует критическая точка в силу связности отрезка /с и определения С". Зафиксируем ее и обозначим через <р(с). Из опре- деления С", Ас и открытости Р следует, что ордината у(ф(с)) точки <р(с) — рациональное число. Положим, для каждого рационального числа г, Сг = = {с g С": у(у(с)) = г}. Из замкнутости и открытости множества Р следует, что Сг _ замкнутое в Со множество, т. е. компакт. Очевидно, С" = J {Сг: г — рациональное число} — получили противоречие. При доказательстве того, что только одноточечные подмножества про- странства X \ {с*} связны, можно сначала установить, что каждое П (Х\{с*}) является пересечением открыто-замкнутых в Х\{с*} Множеств (это с очевидностью вытекает из того, что каждая точка канторова Множества является пересечением открыто-замкнутых в канторовом множе- тве множеств,— надо взять цилиндры над последними), и заметить затем, то в каждом Ас связными подмножествами являются только точки. Следует ам^тить, что квазикомпоненты (см. стр. 171) подпространства X \ {с*} многоточечны. 346. Положим Ва = Аа U Аа(). Тогда, в силу 220 гл. II, Ва — связное рожество для каждого a g М. Кроме того, Q {Ва: а g М} Аа Л. ц°Эт°мУ из 220 гл. II следует, что (Ва: а g М} — связное множество. °’ очевидно, U {^а: а С М} = U Ма: а Е Л/}. £ 349. Так как {ж} связно и х g{z}, то Э {ж} и %х =£ А. Очевидно, я. Множество Кх связно в силу 220 гл. II (ибо х g f] {Р: Р g *gx} и 5 А п л • Архангельский, В. И. Пономарев
226 ГЛ. Ш. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА каждое Р Е связно). Если Кх и Q связно, то Q Э х, и потому Q Е <^х. Следовательно, Q cz Кх. Этим доказано, что Кх — максимальное связное множество в X. 350. (а) Действительно, если К — компонента пространства X, т. е. максимальное связное в X множество, то [/<] также связно (219 гл. II), следо- вательно, [X] = К. (б) Второе утверждение задачи является следствием задачи 220 гл. II и определения компонент пространства. 351. Это следует из 349 и 350 гл. III. 352. Пусть А не связно. Тогда А = Ai U Л2, где Ai =# Л, 42 =?= А, Ai р 42 = Л и Л1, А2 замкнуты в 4 и, следовательно, в X. Либо Л1 Q = Л, либо 42 р В = Л — в противном случае множество 4 р В ~ = (4i U 42) П В было бы несвязным. Будем считать, что Ai Р В = А. Тогда 41 и С — В J 42 — непересекающиеся непустые замкнутые в X и, тем более, в 4 (J В множества, и 4< (J С ~ A (J В — а это противоречит связности множества 4 (J В. Пример: 4 = {х: 0 х < 1}, В = (0, 1}. Тогда В не связно, но 4 р В — {0} — связное множество и 4 U В — {л?: 0 х 1} — связное множество. 353. Рассмотрим подпространство Z плоскости л, снабженной прямо- угольной декартовой системой координат, образованное всеми точками, первые координаты которых рациональны, а вторые рациональны и неотри- цательны. Множество Z счетно. Введем в него необычную топологию j *. Зафиксируем иррациональное число а (можно, для определенности, считать, что а= Д/5)- Положим Z' —{(я, 0) £ л: х рационально). Все множества, открытые в Zf относительно обычной топологии, индуцированной из плоско- сти, мы объявим открытыми в Z — т. е. элементами топологии гГ*. Сово- купность всех интервалов, лежащих на оси Ох. обозначим через Для каждого U Е % положим £7 + ={(я', у') £ Z \ Z’: прямая (у — у') — — а(х — х') пересекает U} и £7“ yf) Е Z \ Z’\ прямая (?/ — у') — — —и(х — х') пересекает £7). Все множества вида {z} U Р U U (V р Z'), где £7, У ( $ и z Е £7+ р V~, мы назовем открытыми в Z. Все множества, до сих пор названные открытыми в Z, образуют базу некоторой топологии на Z (проверьте сами!). Эта топология искомая. Проверим, что Z — хаусдорфово пространство. Пусть Zi Е Z, z2 Е % и zj =/= z2. Случай z4 Е и z2 Е ясен. Если z4 $ Z', a z2 Е то прямые I и Г, проходящие через точку zi и образующие с осью общие углы, тангенсы которых равны соответ- ственно -j-a и —а, пересекают ось Ох в точках (х. 0) и (У, 0), отличных от z2 (ибо а — иррациональное число!). Выбрав интервалы £7 Э (х. 0), 1’3 3 (х', 0) и W Э z2 непересекающимися, мы заключаем, что {гх} (J (U Р %'} 0 и (У П Z') и W — искомые окрестности. Аналогичное рассуждение проходит для случая, когда z1T z2 Е2\2- Докажем, что Z связно. Пусть Z = Zi |J Z2, где Zi и Z2 — непустые непересекающиеся открытые подмножества пространства Z. Так как [Zf] == (это сразу следует из определения топологии .у *), то Z’ р Zi А и Z' Q Z2 =/= Л, причем Z' р Zi и Z‘ Р Z2 — открытые множества. Выберем на оси Ох интервалы £7 и V, для которых £7 р Z' cz Z' р Zt и V р Z' cz Z' П Тогда, с одной стороны, [£7 р Z'l №11 = Zi и [И р Z'] cz [Z2] и потому [£7 р Z'J р [V р Z'] = Л. С другой стороны, ясно, что l£7 р Z'i zd £7+ U £7~ и [F Р Z'] zd V+ J V~. Теперь достаточно нарисовать множе- ства £7+, £7-, V+ и V", чтобы убедиться, что, каковы бы ни были интервалы и и V, непременно (£7+ (J £7~) р (У+ U F~) =#= Л. Получили противоречие. По существу, мы показали, что замыкания любых двух открытых в Z жеств пересекаются. Счетного регулярного связного пространства X не существует. Дс11' ствительно, если X — счетное регулярное пространство, то оно порма;1^ но (18, 19 гл. III), а следовательно, существует непрерывная функция на отличная от константы. Тогда /(X) — многоточечное счетное подмножеств
РЕШЕНИЯ 227 на числовой прямой, а следовательно, несвязное множество (223 гл. II). Теперь остается сослаться на задачу 221 гл. II. 354. Пусть £ — рассматриваемый предфильтр. Зафиксируем некоторый элемент Хо Е L Положим |0 = {Ф € L' Ф ^о}« Тогда |0, — очевидно, предфильтр на Хо (см. стр. 20) и П {Ф: Ф Е Во) = П (ф: Ф € £} — это сразу вытекает из основного свойства предфильтров. Но пространство Хо нормаль- но (как всякий бикомпакт — см. 64 гл. III), а все Ф Е £о замкнуты в Хо (см. 56 гл. III). В этом преимущества Хо и |0 перед £ и исходным топологи- ческим пространством X. на котором был задан предфильтр £ и о котором мы не предполагали ничего. Положим F — П {Ф: ФЕ £о}- Множество Р замкнуто в Хо и является бикомпактом. Предположим, что F не связно. Тогда F = Ft U F2i где Л, F2 =# Л, Fi и F2 замкнуты в F и, значит, в Х0’ и f 1 ^2 = А. Существуют (55 и 19 гл. Ill) открытые в Хо множества Ui и U2 такие, что Fi cz Ui9 F2 cz U2 и [LZJ Q IZ72] — А. Положим U = (J U L72. Тогда U zd F. Из 66 гл. Ill следует, что существует Ф Е go* для кото- рого F cz Ф cz U. Положим ф1 = ф Q [ L7J и Ф2 = Ф р (€72]. Так как Ф cz [C71J U [С72], то Ф! U Фг = Ф. Из [C7J Q [U2\ = Л следует, что Ф! 0 Р ф2 = Л. Множества Ф! и Ф2 замкнуты в Хо, так как множества Ф, и [U2] замкнуты в Хо. Наконец, Ф! =^= Л, ибо Ф! zz Fi #= Л; Ф2 =/= Л, ибо ф2 сэ F2 Ф Л. Следовательно. Ф не связно — получили противоречие (возникшее от того, что мы предположили F несвязным). 355. Элементы убывающей последовательности связных бикомпактов составляют предфильтр. Поэтому утверждение вытекает из задачи 354 гл. III. 356. Пусть л — плоскость с фиксированной декартовой системой коор- динат хОу. Положим FT = |(х, у) Е л: 0 < х 1, у = sin -|-J , S = {(я, у) £ Ел: я = 0, —1 у 1} и Ф — FT U S. Множество Ф — замкнутое огра- ниченное подмножество плоскости л, следовательно, Ф — компакт. Про- странство Ф связно. Действительно, пространство FT является непрерывным образом (при отображении х sin— jj полуинтервала (0, 1], т. е. связного множества, и потому связно. НоФ — [&]. Следовательно (219 гл. II, 347 гл. III), Ф связно. Но Ф не локально связно ни в одной из точек множе- ства S. Например, рассмотрим открытое подмножество U пространства Ф, являющееся пересечением полосы П — у) Е л: —оо < х < + оо. — < < у < с Ф. Очевидно, компонента точки (0, 0) Е U в пространстве U есть множество ^(х, у): х = 0,---у < у < yj- , не открытое в U. Следо- вательно, Ф не локально связно (см. 370 гл. III). 357. Рассмотрим семейство % всех связных бикомпактных под- множеств пространства X, содержащих обе точки х, у, % ф Л, ибо X Е$. В классе всех гнезд, образованных из элементов семейства существует максимальное гнездо (это следует из принципа Куратовского — Цорна — см. стр. 18). Пусть £ — такое максимальное гнездо. Это означает, что (а) ели А, В Е I, то либо A cz В, либо В а А; (б) В cz % и (в) если {С} (J I — ®ездо и ср, то С0. Положим Ф = П {F: F Е £}• в силУ 354 гл. 111 с ~~ связный бикомпакт и Ф J х, у, ибо все элементы семейства £ Держат х и у. Рассмотрим произвольный бикомпакт С, лежащий в Ф а тличный от всего Ф. Тогда 5 U {Q — гнездо (не утверждается, что в ^), бцКгМ’ Значит’ С т. с. либо С несвязен, либо CF]b {х, у}. Значит, омпакт Ф неприводим между .г и у. (См ^8. Пусть Р — компонента множества U и [Р] cz U, Тогда Р — [Р] с°Деп 7 ГЛ* Существует бикомпакт У с: 17, открытое ядро уо которого РЖит Р (т. е. У0 zd Р). Рассмотрим точку х* Е Р и ее компоненту Сх* 15*
228 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА в пространстве V, Тогда Cx*cz Р cz F° (см. 349 гл. III) и потому Сх* = Р. Рассмотрим пространство разбиения Z пространства V на компоненты и есте- ственное отображение л: V Z (365 гл. III). Положим F = F\ Fo, Ф — = n(F), z* — л(Сх*). Из Сх* П Р—Л следует, что Ф Э z*. При этом, Z — бикомпакт, обладающий базой из открыто-замкнутых множеств (см. 366 гл. III), и Ф замкнуто в Z как бикомпактное подпространство пространства Z (Ф бикомпактно как непрерывный образ бикомпакта F). Следовательно, существует открыто-замкнутое в Z множество Oz* 3 z*, для которого Ф р| Q Oz* = Л. Положим W — Тогда Р cz Jfc V0 и W открыто в F. Тем более. W открыто в V0. Но F0 открыто в X. Значит, W открыто в X, С другой стороны, W замкнуто в Г как прообраз замкнутого множества Oz* при непрерывном отображении л. Так как F замкнуто в X. то W замкнуто в X. Значит, W открыто-замкнуто в X, W zd Р Э х*, т. е. W Л и X \ W zd О X \ С =# Л, т. е. W Ф X, что противоречит связности X. ос 359 . Пусть X = (J Xf. Достаточно рассмотреть случай, когда все Xf i= 1 не пусты. Так как Х2 Q Хх = Л, то существует открытое в X множество С/, для которого (1) Х2 cz 17 cz Х\ХР Выберем точку х £ Х2 и рассмотрим компоненту С пространства Сг, содер- жащую х. Положим Ф^ — [б']. Тогда, в силу (1), Фу Q Xt = Л, в силу 358 гл. III Фу П (X \ U) =/= Л и потому Фу(£ Х2, но Ф| Q Х2 =# Л, ибо х Е Е Ф1 П Х2. Ясно, что Фу — связный бикомпакт. Предположим, что уже опре- г делен связный бикомпакт Фу, для которого Фу 0 (U х>) =Ли Фг(£х, при 7 > i. Положим /0 = Фу Q Ху Л}. Тогда существует f Ф /0, для которого Фу Q Ху, Л. Через V обозначим открытое множество, содер- жащее множество Фу П и такое, что [ V] Q Ху0 = Л. Тогда Фу+у опре- деляется как замыкание в X компоненты какой-нибудь точки х Е Фу П Ху в пространстве F Q Фу. Тогда Фу, 4 — связное бикомпактное множество, для г-Н которого ( Xj) П Ф1+1 = Л, Фж П Х}. л, фж П (Ф/\П с Фг+1 И э=1 П (Фг \ Xj,), ФН1 П (Фг \ Х?) о Фг+1 П (Ф/ \ V) ф Л и ф£+1 с Ф,- Описанное построение по индукции дает убывающую последовательность СО {Фг-: i Е N+) непустых замкнутых множеств, для которой Фг- — непустое i— 1 оо множество, не пересекающееся с множеством Хг — получили противо- речие. 360 . (а) Присоединим к X весь отрезок /0—{0} X [0, 1]. Получим ком- пакт X. Интервал 70\({(0, 0)} I J {(0, 1)}) в этом компакте есть множе- ство типа FG. Тогда наше пространство X в этом компакте имеет тип Q. Значит, вследствие 234 гл. II, X гомеоморфно полному метрическому пространству. (б) Обозначим через Хо = Ц) ( х *1) • Ясно, что Хо есТЬ объединение счетного числа отрезков, а все пространство X является объедй' нением счетного числа отрезков и одноточечных компактов {(0, 0)} и {(0,
РЕШЕНИЯ 229 (в) Рассмотрим точки (0, 0) и (0, 1) в X. Нетрудно убедиться в том» что для любой окрестности U точки (0, 0) или точки (0, 1) замыкание [£7]х небикомпактно. Однако у любой другой точки существует окрестность, замыкание которой бикомпактно. (г) Теперь докажем, что X нельзя уплотнить ни на какой бикомпакт. Предположим, что существует бикомпакт У и взаимно однозначное непрерыв- ное отображение /: X -> У на У. Ясно, что У необходимо метризуем. Обо- значим 1п = X [0, 1]» точки (0, 0) = а0» (0» 1) = Др Отображение /, рассматриваемое на каждом отрезке /п, есть гомеоморфизм, ибо / непрерывно, оо а 1п — бикомпактное подпространство. Значит, У = fln U /до U /«ь n—i где fln гомеоморфно отрезку числовой оси. Обозначим через В множество всех точек i/ £ У, всякая окрестность которых имеет непустое пересечение с бесконечным числом отрезков /Zn, п = 1, 2, . . . Пользуясь непрерывно- стью отображения, легко можно показать, что faQ £ В и faY g В. откуда получаем, что В Ф Л. Ясно, кроме того, что В замкнуто в компакте У. Дока- жем, что В — связное множество. Предположим противное, пусть В — = Bi U Bi f) В2 = Л, Bi =£ Л, В2 ф Л, В± и В2 — замкнутые множе- ства. Рассмотрим, пользуясь нормальностью, открытые в У множества Vj и Уг» Для которых Bt cz В2 cz V2, Vi П 72 ~ Л. Рассмотрим также окре- стность V(B) = Vi U У2 замкнутого множества В. Утверждаем, что окрест- ность V(B) (как и любая окрестность множества В) содержит все отрезки fln, начиная с некоторого номера Если бы это было не так, то нашлась бы последовательность номеров щ < п2 < . . . < тгд < . . . и точек {уп : k к g N+}, для которой уп^ С П (У \ V(B)). Тогда предельная точка yQ для последовательности {уп : к Е существующая вследствие компакт- ности У (см. 259 гл. III), не принадлежит В, вопреки определению этого множества. Итак, все отрезки /7П, начиная с некоторого номера тг0, содержатся в 7(B). Кроме того, всякая окрестность как точки /а0, так и точки /af пере- секает все отрезки //п, начиная с некоторых номеров. Вследствие всего этого найдется такое п* £ JV+, что 7(B) и Ff^A, fln* П V2 ^Л. Учитывая, что Vi П 72 = Л, получаем противоречие со связностью отрезка (см- 222 гл. II). Итак, множество В непусто, связно и замкнуто в компак- те У. Кроме того, П |J — Л, ибо в противном случае В можно было бы П=1 представить в виде объединения счетного семейства попарно не пересекаю- щихся замкнутых множеств, что противоречит задаче 359 гл. III. 362. Воспользуйтесь утверждениями: пространство, гомеоморфное пря- м°й, связно; объединение связных множеств, пересечение которых не пусто, связно (346 гл. III); замыкание связного множества связно (219 гл. II, 347 гл’ Ш). Искомая компонента дополнения до точки (0, 1) — прямая у — 0. 363. На плоскости с прямоугольной декартовой системой координат хОу Вь*делим подпространство X == {(0, 0), (1, 0), (х, у): 0 х < 1, у — , п — Ги1’ Компонента точки (0, 0) в пространстве X состоит из нее в *?ь одной (докажите это аккуратно!). Но квазикомпонента точки (0, 0) откпСОСТОИТ И3 ДВУХ точек: (0» 0) и (1, 0). Мы проверим только, что если U — Так ЫТ°~3амкнУтое в х множество, содержащее точку (0, 0), то и (1, 0) £ U. как U j (О, 0) и U открыто в X, существует целое п0 такое, что U Q Тп Ф при всех п > П(Ь где 1п = { (ж, у): 0 х 1, у = ~ | . Из открыто-
230 ГЛ. III. БИКОМПАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДПРОСТРАНСТВА замкнутости U и связности 1п (см. 222 гл. II) следует, что тогда U =) Тп при всех п > nQ. Но U замкнуто и [(J (1п: п > ??0}1 Э (t 0). Значит, U Э (1, 0). Другой пример — пространство X х {с*} = Хо из задачи 345 гл. III. 364. Пусть — система всех открыто-замкнутых в X множеств, содержащих точку лг0- Покажем прежде всего, что замкнутое множество Z\o = П {Г: U £ пХо} связно. Предположим противное, тогда Рхо = Л U ^2, где Л П Г2 = Л, Fi #= Л, F2 ^г= Л, F2 замкнуты в PXQ (значит, и в X). В силу нормальности бикомпакта X существуют окрестности U(Fi), U(F2) этих множеств (в X), для которых U(Fi) р U(F2) = Л. Рассмотрим окрест- ность U(PX) = U(Fi) U U(F2) замкнутого множества РХ(). Пользуясь 66 и 67 гл. III, находим U £ oXQ, для которого U cz U(PXQ). Тогда U' = U(Fi) р р U, U" = U(F2) р U открыты в X, 6Т= U' U U” и U' Р U" = Л. Следо- вательно, U' и U" открыто-замкнуты в X и U' Ф Л, U" #= Л. Кроме того, Fi cz Ur, F2 cz U”. Поэтому если х0 £ Fi cz U', то Рх$ = (J F2Q2^r» так как IT p U" = Л. Получили противоречие с определением множества Р . Итак, Р связно. Так как — связная компонента точки я0» то Рхо с Остается доказать обратное включение KXQ cz РХ(} = p{6T: U £ о<0}- Если бы Л'& для некоторого U £ <гХо, то мы бы получили собственное непустое открыто-замкнутое в Ххо множество U р KXQ, что противоречило бы связности множества KXQ. Следует заметить, что существуют даже метри- зуемые пространства со счетной базой, для которых наше предложение неверно (см. 363 гл. III). 365. Пусть А £ Z и U — открытое в X множество, U zz> А. Рассмотрим семейство % открыто-замкнутых в X множеств, содержащих множество А. В силу 364 гл. III А = р {(): Q £ %}. Из последнего соотношения и того, что % — семейство замкнутых в бикомпакте X множеств, содержащее пере- сечение любого конечного множества своих элементов, следует (см. 67 гл. III), что Qo cz U для некоторого Qo £ %. Но если А' £ Z и Ar р Qo Л, то A' cz <?о —- это следует из связности множества А' и открыто-замкнутости множества Qq. Этим непрерывность разбиения Z доказана. 366. Рассматриваемое разбиение непрерывно (см. 365 гл. III), а потому пространство разбиения Z — бикомпакт (91, 92 гл. III). Пусть z £ Z, Рас- смотрим z как подмножество z пространства X. Тогда произвольной окрест- ности Oz точки z в Z соответствует открытое в X множество Oz, содержащее множество z. Существует (см. решение задачи 365 гл. III) открыто-замкнутое в X множество U такое, что z cz U cz Oz. Множество U является объедине- нием элементов рассматриваемого разбиения (т. е. оно «отмеченное» — см. стр. 91). Значит, множество U тех точек пространства Z, прообраз которых содержится в U (при естественном проектировании л: X Z — см. стр. 59), открыто-замкнуто в Z (см. определение факторного отображения). Очевидно, z £ U cz Oz. 367. Такое пространство указано в решении задачи 363 гл. III. 368. См. Б у р б а к и [2], стр. 225. 369. В силу 350 гл. III различные компоненты произвольного про- странства не пересекаются. Эти компоненты в рассматриваемом случае являются открытыми множествами (370 гл. III). Но открытое подпространство локально связного пространства локально связно. Добавим, что каждая точка пространства принадлежит некоторой его компоненте и что все ком- поненты связны. Наконец, ясно, что пространство является свободной сум- мой элементов любого своего дизъюнктною открытого покрытия. 370. (а) (б). Рассмотрим компоненту V открытого множества О#* содержащую точку х. В силу условия (а) V открыто и х £ Int V = Г с:
РЕШЕНИЯ 231 (б) (а). Пусть х Е W, где W — компонента открытого множества £7. Примем U за Ох. Из условия (б) тогда следует, что существует связное множество V, для которого х g Int Г с 7с U. Множество W (J V связно как объединение двух пересекающихся связных множеств. Но W U F cz U. Так как W — компонента множества U, мы заключаем, что W U V = W, т. е. что V cz W. Окончательно, х g Int V cz W; значит, W — открытое множество. 371. См. Бурбаки [2], стр. 183. 372. Воспользуемся обозначениями из решения задачи 356 гл. III. Рассмотрим полуинтервал X = {х: 0 с х 4} с] обычной топологией. Положим Zt = {(х, у): х = 1, —2 sin 1}, Z2 = {(х, у): 0 х 1, у = —2), Z3 ={(х, у): х = 0, —2 у <;+!}. Отобразим отрезок Zo = = {х: 1 < 4} на пространство Ц J Z2 U Z3 посредством некоторого гомео- морфизма <р, при котором ф(1) = (1, sin 1), ф(4) ==J0, +1). Полуинтервал Ро = {х: О < х 1} отобразим на множество у по правилу ф(х) = = ^х, sin — ^ . Тогда ф и ф непрерывны и согласуются на Ро Q Zo = {1}. Значит, f: X -* Y = 3" (J Ц (J Л U где f(x) = ф(х) при 1 < х < 4 и f(x) = i|?(x) при 0 < х 1 — непрерывное отображение. Пространство X локально связно и связно, а пространство Y не локально связно — это доказывается точно таким же образом, каким при решении задачи 356 гл. III было доказано, что Ф не локально связно. 373. Пусть X — локально связное пространство, /: X -> Y — фак- торное отображение, /(X) = Y и V — открытое в Y множество. Через С обозначим произвольную компоненту множества V. Покажем, что /-1(С) — открытое в X множество. Если х £ /^(С), то х £ /-1(V) = U. Множество U открыто, поэтому и компонента К множества U, содержащая х^ является открытым множеством (это вытекает из локальной связности X). Но тогда /(X) — связное множество и U /(X) Э /(х). Из /(х) Е С заключаем, что /(X) Q С =И= Л. Следовательно (см. 346 гл. Ill), /(X) 'J С — связное множе- ство, лежащее в 7, и потому /(X) (J С ~ С, т. е. /(X) cz С. Значит, х С X cz cz f-1(C), т. е. множество /~Х(С) открыто. Так как отображение / факторное, то множество С тоже открыто. А это означает, что пространство Y локально связно (см. 370 гл. III). 374. Отрезок связен (222 гл. II). Поэтому и X связно (221 гл. II). Далее, отображение / замкнуто (92 гл. III) и, следовательно, является факторным отображением (315 гл. II). Но отрезок локально связен (230 гл. II). Значит, и пространство X локально связно (373 гл. III). 376. См. Хаусдорф [1], стр. 186, пли Ку р ат о вс кий [1J, т- 2, стр. 261.
ГЛАВА IV БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Пространство Y называется расширением топологического пространства X, если Y содержит X в качестве всюду плотного подпространства. Иногда удобнее такое определение: Y — расши- рение пространства X, если задан гомеоморфизм X на всюду плот- ное подпространство пространства У. Первое и второе определения очевидным образом равносильны. Если при этом У удовлетворяет Тгаксиоме отделимости, то У называют Тграсширением простран- ства X. Соответственно, если У — хаусдорфово пространство, то говорят, что У — хаусдорфово расширение пространства X. Особенно важны бикомпактные хаусдорфовы расширения про- странства X, т. е. те бикомпакты, которые содержат X в качестве всюду плотного подпространства. Символ ЬХ с модификациями — обычное обозначение для того или иного бикомпактного хаусдор- фова расширения пространства X, в то время как через X или через гХ (с модификациями) мы будем обозначать произвольное расши- рение пространства X. Наростом над X в его расширении X, или просто «наростом» расширения X (имеется в виду —- «по отношению к заданному X») называется пространство Х\Х, снабженное топологией, индуци- рованной из X. К числу важных и общих относится задача продолжения непрерывных отображений топологических пространств на их расширения. Пусть / — непрерывное отображение топологиче- ского пространства X в топологическое пространство У и заданы X, У — некоторые расширения этих пространств. Продолжением отображения / на X называется тогда любое непрерывное отображе- ние /: X -> У такое, что / | X — f (т. е. f(x) — j(x) для всех х £ X). Таким образом, термин «продолжение» включает в себя уже предположение о непрерывности. Расширения гхХ и г2Х одно- го и того же пространства X называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм ф пространства гхХ на пространство г2Х такой, что ф (х) = х для всех х £ X (т. е. ф | X — тождест- венное отображение). Понятие эквивалентности расширении очень важно, как и следующее его обобщение.
§ 1. ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ И ОБЩИЕ ЗАДАЧИ 233 Скажем, что расширение гхХ подчинено расширению г2Х или меньше, чем расширение г2Х (и напишем т\Х < г2Х), если суще- ствует непрерывное отображение ф пространства г2Х на простран- ство т\Х такое, что ip’1 (х) = х для всех х g X. Термин «меньше» не имеет здесь смысла «строго меньше». Рекомендуем читателю, прежде чем он приступит к решению задач из этой главы, перечитать теоретическое введение к § 1 гл. III — вопросы, связанные с функциональной отделимостью (а-отделимостью), играют ниже самую существенную роль. § 1. Общие конструкции и общие задачи 1. Докажите, что любое Тгпространство одной точкой может быть дополнено до бикомпактного Тгпространства (сравните с за- дачей 176 гл. III). 2. Пусть X есть Ti-пространство. Покажите, что (а) всякая центрированная система замкнутых в X множеств содержится в некоторой максимальной центрированной системе замкнутых множеств. Пусть | — максимальная центрированная система замкнутых в X множеств. Покажите, что (б) если Fi G £, Е L то Л П jF2 £ (в) если Fi Е S и F2 о Ft, то F2 Е (г) если Fo f| F Л для любого F £ то FQ f 3. Пусть X — Тгпространство, соХ — совокупность всех максимальных центрированных систем замкнутых в X множеств. Для каждого замкнутого в X множества F положим Фр - а Е <оХ: F с I}. Для каждого открытого в X множества U положим Wu ~ о)Х\Ф_у\и* (а) Докажите, что для любой конечной системы {F^ „ 9 Fs} замкнутых в X множеств всегда Пф^=ф« ’ i=1 п 1=1 (б) Докажите, что Wv = {£ Е соХ: существует такое FQ £ L что U}. (в) Семейство всех множеств вида Wv, где U открыто в X, является базой некоторой топологии на соХ. Докажите, что <оХ — бикомпактное Тгпространство по отношению к этой топологии. Множество соХ всегда будет считаться наделенным указанной топо- логией.
234 ГЛ. IV, БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ (г) Покажите, что система (х) всех замкнутых в X множеств, содержащих точку х £ X, есть максимальная центрированная система, а соответствие х -> (х) есть топологическое отображение пространства X на всюду плотное подпространство пространства соХ. В дальнейшем пространство X мы отождествляем с этим топо- логическим образом и называем соХ расширением Уолмена про- странства X. 4. Если Тгиространства X и Y гомеоморфны, то и их уолме- новские расширения соХ и соУ гомеоморфны. 5. (а) Покажите, что для любого замкнутого в X множества Fo непременно == Фг0 (см. 3 гл. IV), где соХ — уолменовское расширение пространства X. (б ) Покажите также, что для любых непересекающихся замк- нутых в X множеств и Fz непременно [fiLx П = Л. 6. Покажите, что уолменовское расширение Трпространства X хаусдорфово тогда и только тогда, когда X нормально. 7. Каждое ли хаусдорфово пространство со счетной базой может быть представлено как подпространство бикомпактного Тгпространства со счетной базой? 8. Докажите, что каждое вполне регулярное пространство веса т имеет бикомпактное хаусдорфово расширение веса т. 9. Вполне регулярны те и только те пространства, которые гомеоморфны подпространствам бикомпактов. 10. Бикомпактные хаусдорфовы расширения btX и Ь2Х вполне регулярного пространства X эквивалентны в том и только в том случае, если соотношения LP]blX П #= Л и {Р\ъ2х П П =# Л равносильны для всех Р, Р'с: X. И. Пусть X — вполне регулярное пространство и / — его непрерывное отображение в некоторый бикомпакт У. Тогда суще- ствуют бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ пространства X (имеющее вес, не больший чем максимум весов X и У) и непре- рывное отображение /: ЬХ У, для которых / | X = /. 12. У каждого вполне регулярного пространства X существует бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ такое, что каждое непрерывное отображение / пространства X в бикомпакт продол- жается до непрерывного отображения / всего ЬХ в этот биком- пакт. 13. Если biX и 62Х — бикомпактные хаусдорфовы расшире* ния пространства X, каждое из которых обладает тем свойством, что любая непрерывная ограниченная вещественная функция, определенная на X, продолжается до непрерывной функций» определенной па всем btX (соответственно на всем 62Х), то Ь{Х и Ь2Х эквивалентны (см. стр. 232). В соответствии с этим утвержде- нием о единственности, каждое из бикомпактных хаусдорфовых расширений, обладающих указанным свойством продолжения»
§ 1. ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ И ОБЩИЕ ЗАДАЧИ 235 называется расширением Стоуна — Чеха пространства X и обычно обозначается через рХ. 14. Пусть X — вполне регулярное пространство и = == {/а* а € А} — семейство всех непрерывных вещественных функций на X, все значения которых заключены на отрезке I = — [О, 1], Положим /а = I = [0, 1] для всех а g А и рассмотрим диагональное произведение ф всех элементов семейства ф: X -> —П {/а: а £ Л} = /'^1 Тогда ф — гомеоморфизм «в», т. е. X гомеоморфно ф (X), где ф (X) рассматривается как подпростран- ство пространства \ и [ф(Х)]^| — расширение Стоуна — Чеха пространства ф(Х) (или пространства X — если отождествить X с ф(Х) посредством ф). 15. Бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ пространства X является его расширением Стоуна — Чеха в том и только в том случае, когда для любых двух функционально отделимых в X множеств Р и Р' выполняется условие А ГР'Ьх — Л. 16. Бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ нормального пространства X является его расширением Стоуна — Чеха в том и только в том случае, если замыкания в ЬХ любых двух замкну- тых в X непересекающихся множеств не пересекаются. 17. Покажите, что уолменовское расширение <оХ нормального пространства X совпадает с расширением Стоуна — Чеха РХ. 18. Если бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ прост- ранства X является расширением Стоуна — Чеха, то любое непрерывное отображение пространства X в бикомпакт можно продолжить до непрерывного отображения всего ЬХ в этот бикомпакт. 19. Если рХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X, Pc: X и Р замкнуто в X, то [Р]рх является расширением Стоуна — Чеха пространства Р в том и только в том случае, если каждая непрерывная ограниченная вещественная функция, опре- деленная на Р, продолжается до непрерывной ограниченной веще- ственной функции, определенной на всем X. Покажите, что послед- кее условие выполняется не всегда. 20. Если X нормально, а А замкнуто в X, то [Л1^ со- впадает с РЛ (здесь рХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X, а рЛ — расширение Стоуна — Чеха про- СтРанства Л). 21. Если рХ — расширение Стоуна — Чеха вполне регуляр- но пространства X иХсУс рХ, то рХ также является рас- тением Стоуна — Чеха пространства У. 22. Если ЬХ — произвольное бикомпактное хаусдорфово Расширение пространства X и рХ — расширение Стоуна — Чеха От°~° пространства, то существует и единственно непрерывное Сражение /: рХ ЬХ, &ля которого / (х) — х при всех х^Х.
236 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Это / будет в дальнейшем именоваться стандартным (или есте- ственным) отображением рХ на ЪХ. 23. Вполне регулярное пространство X имеет более одного (с точностью до эквивалентности) бикомпактного хаусдорфова расширения в том и только в том случае, если существуют зам- кнутые функционально отделимые в X множества и Р2. ни одно из которых не бикомпактно. 24. Покажите, что пространство Т((Оу) (см. стр. 152) имеет един- ственное бикомпактное хаусдорфово расширение (а именно, U {toi})- 25. Если X — нормальное пространство, РХ — его расшире- ние Стоуна — Чеха и Р — замкнутое в X множество типа G& в X, то существует множество Р типа G$ в РХ такое, что Р fl X = Р и Р о [Р]рд> 26. Если вполне регулярное пространство X имеет только одно бикомпактное хаусдорфово расширение (с точностью до эквива- лентности), то X локально бикомпактно и псевдокомпактно. 27. Пусть 6iX, Ь2Х — бикомпактные хаусдорфовы расшире- ния пространства Хи/: btX —> Ь2Х — естественное непрерывное отображение. Тогда /-1Х = X. 28. Пусть пространство X является множеством типа G& в не- котором своем бикомпактном хаусдорфовом расширении vX. Дока- жите, что тогда X имеет тип G& в каждом своем бикомпактном хаусдорфовом расширении. 29. Если /: ЪХ —РХ — естественное непрерывное отображе- ние бикомпактного хаусдорфова расширения ЪХ пространства X на расширение Стоуна — Чеха РХ этого пространства, то / — гомеоморфизм. 30. Расширение Стоуна — Чеха вполне регулярного прост- ранства X — единственное (с точностью до эквивалентности) его бикомпактное хаусдорфово расширение, которое при неподвижных точках X может быть непрерывно отображено на каждое биком- пактное хаусдорфово расширение этого пространства. 31. Пусть /: X Y — непрерывное отображение одного впол- не регулярного пространства в другое. Тогда существует и един- ственно непрерывное отображение /: рХ bY (где рХ — расши- рение Стоуна — Чеха пространства X и bY — произвольное бикомпактное хаусдорфово расширение пространства Y) такое, что / | X = /. 32. Если вполне регулярные пространства X и У го мео- морфны, то и их расширения Стоуна — Чеха 0Х и РУ тоже го- меоморфны. 33. Если РХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X и РХ\Х Л, то ни в одной точке х £ рХ\Х пространство РХ не удовлетворяет первой аксиоме счетности.
§ 1 ОБЩИЕ КОНСТРУКЦИИ II ОБЩИЕ ЗАДАЧИ 237 34. Вполне регулярные пространства X и У, каждое из кото- рых удовлетворяет первой аксиоме счетности во всех точках, гомеоморфны в том и только в тОлМ случае, если гомеоморфны их расширения Стоуна — Чеха РХ и 0У. 35. Пусть X — регулярное финально компактное простран- ство и рХ — его расширение Стоуна — Чеха. Тогда никакое бес- конечное счетное подмножество множества РХ\Х не замкнуто в РХ. 36. Никакое бесконечное счетное множество, лежащее в РДГ\7У, не замкнуто в 0Х (где N — бесконечное счетное дискретное пространство). 37. Пусть {Ха: а ЕЛ} — семейство метризуемых бикомпак- тов, П {Ха: а £4} = X — их топологическое произведение, р ~ {Ра- а Е Л} £ X — произвольная точка в этом произведении и 2(р) — хгоболочка точки р в X (см. стр. 18). Докажите, что расширение (3(S(p)) Стоуна — Чеха подпространства 2(р) про- странства X совпадает с X. 38. Если X — вполне регулярное пространство с первой аксиомой счетности и ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово рас- ширение, являющееся диадическим бикомпактом, то X и ЬХ — пространства со счетной базой. 39. Если X — пространство со счетной сетью, но без счетной базы, то никакое расширение пространства X не является совер- шенно нормальным бикомпактом. 40. Если X — метризуемое пространство без счетной базы, то никакое расширение пространства X не является совершенно нормальным бикомпактом. 41. Сформулировать в терминах, относящихся к топологии самого пространства, критерий существования у него расширения, являющегося совершенно нормальным бикомпактом. 42. У вполне регулярного пространства X существует биком- пактное хаусдорфово расширение ЬХ такое, что ЬХ\Х — финаль- но компактное пространство в том и только в том случае, если X — пространство счетного типа (см. стр. 153). 43. Пусть X — вполне регулярное пространство, ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение и R (X) — множество нсех точек, в которых X не локально бикомпактно. Тогда /?(Х) = - (ЬХ\Х]^\(ЬХ\Х). 44. Пусть X — вполне регулярное пространство и ЬХ — вго бикомпактное хаусдорфово расширение. Тогда ЬХ\Х являет- ся пространством счетного типа в том и только в том случае, если Множество всех точек, в которых X не локально бикомпактно, составляет финально компактное подпространство пространства X. 45. Пусть каждое бикомпактное хаусдорфово расширение Ьцолне регулярного пространства X обладает следующим свой- (см. также 42 и 44 гл. IV):
238 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ (*) для любой точки х С ЪХ\Х существует бикомпакт Фс cz ЬХ\X такой, что х £ Ф и % (Ф, ЬХ) х0. Тогда X финально компактно. 46. X — финально компактное пространство тогда и только тогда, когда некоторое, а значит, и всякое его бикомпактное рас- ширение ЬХ обладает следующим свойством: (**) для каждого бикомпакта Фс ЬХ\Х существует биком- пакт Fez ЪХ\Х такой, что Фс^и (F, ЬХ) х0. 47. Для того чтобы вполне регулярное пространство X было финально компактно, необходимо и достаточно, чтобы каждое его бикомпактное хаусдорфово расширение удовлетворяло усло- вию (*) из 4.5 гл. 4 (см. также 46 гл. IV). § 2. Задачи, связанные с расширением Стоуна—Чеха счетного дискретного пространства Через N всюду в этой главе обозначается множество всех неот- рицательных целых чисел, наделенное дискретной топологией и рассматриваемое, таким образом, как топологическое про- странство. Расширение Стоуна — Чеха пространства N обозначает- ся через ₽7V. 48. Каждый сепарабельный бикомпакт Ф является непрерыв- ным образом пространства рАт. 49. Существует семейство g подмножеств множества R всех рациональных чисел такое, что 1) | g | = 2К% 2) если А £ ё, В и А =/= В, то | А П В | < и 3) [ А | = х0 для всех А £ %. 50. Существует семейство g бесконечных подмножеств мно- жества N такое, что 1) | $ | = 2Ко и 2) если А £ £, В £ ё и Л 5, то ( А П В | < к0*). 51. Пусть A cz N и Вс N. Тогда 1) 14]щу — открытое б множество, 2) если | А р В | < х0, то [Л]^ П П п (РА\А) = л, 3) если 1 А | - х0, то [Aр (₽А\А) =# Ф А. 52. Докажите, что пространство 07V\Ar имеет систему мощно- сти 2*° попарно не пересекающихся открытых в РА\А .множеств (т. е. рА\А не удовлетворяет условию Суслина). 53. Каков вес пространства [ЗА? Какова мощность рЛ7? 54. Пусть X — рА\А — подпространство пространства PJV. Тогда если у — счетное семейство открытых в X множеств, для которого П {U: U Е у} А, то р {U: U £ у} содержит цепу* стое открытое множество. *) Семейства множеств, удовлетворяющие второму условию, моЯ'н<> было бы называть почти дизъюнктными.
§ 2. РАСШИРЕНИЕ СТОУНА-ЧЕХА ДИСКРЕТНОГО ПРОСТРАНСТВА 235) 55. Если Xi = то в пространстве X — рТУ\ТУ есть такая точка j?*, что пересечение любого счетного множества ее окрестно- стей снова является ее окрестностью. 56. Покажите, что пространство РТУ не является наследственно нормальным. 57. Пусть р Е pTV\TV и X = X J {р} наделено топологией* индуцированной из рЛг. Каждое хаусдорфово пространство У, содержащее X в качестве всюду плотного подпространства, песек- вепцпально. 58. Пусть у Е Р^У\ТУ и У = рЛг\{?/} ~ подпространство пространства рАг. Тогда У — локально бикомпактное счетно ком- пактное, но не бикомпактное пространство и рТУ — его расшире- ние Стоуна — Чеха. 59. Пусть X — подпространство пространства рАт, причем ТУс X cz рТУ и X является /^-пространством (сак стр. 153). Тогда множество X открыто в РТУ и, следовательно (178 гл.III), простран- ство X локально бикомпактно. 60. В рТУ постройте подпространство, полное в смысле Чеха* содержащее V и не локально бикомпактное. 61. Пусть R — обычное пространство всех вещественных чисел, N — его подпространство, образованное натуральными числами, р7? — расширение Стоуна — Чеха пространства R и РТУ = [ТУ]0я (см. 20 гл. IV) — расширение Стоуна — Чеха про- странства TV, Докажите, что пространство X = p/?\(PTV\TV) псевдокомпактио, но несчетно компактно. 62. Пусть Х+ = {1,2,...} и каждому п Е TV+ поставлено в соответствие бесконечное множество Еп cz Х'~ так, что Еп> f| Еп»=- = Л при п' =/= n", и/, п” Е ТУ+. Тогда существуют бесконечные множества ТУ* cz ТУ+, X **cz TV+, где ТУ** = ТУ+\ТУ * и | ТУ * П Еп | < х0 для каждого п Е X *, | ТУ ** П Еп | < х0 для каждого п Е X **. 63. Пусть М — дискретное подпространство пространства ₽ТУ\ТУ, \м | = х0 и точка х * предельная для М. Тогда про- странства X = {я*} U X и У = {я*} (J М (наделенные топологией йз РЛ7) негомеоморфны. 64. Докажите, что теснота РТУ равна 2Ко (см. стр. 57). 64'. Если Nj = 2*'°, то любой неметризуемый диадический бйкомпакт (см. стр. 141) содержит топологический образ РтУ. 65. Пусть /: ТУ-> ТУ — отображение натурального ряда, при- йелг /2 — тождественное отображение. Тогда условимся через / (X) обозначать пространство следующего разбиения Z расши- Р®ния Стоуна — Чеха РТУ дискретного пространства TV; Z ~ йа Х U {{*}: х £ N} (где / — продолжение / РТУ). Покая<ите. что Cf(X) естественно интерпретируется как
240 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ бикомпактное хаусдорфово расширение пространства N. Верно ли, что Cj(N) и P7V всегда гомеоморфны? 66. Пусь fi и /2 — два отображения множества N на себя, квадраты которых являются тождественными отображениями. Предположим также, что при нет неподвижных точек, а при /2 ровно одна точка а неподвижна. Пространства Cfi(N) и С/2 (N) определяются по Д и /2 в соответствии с задачей 65 гл. IV. Дока- жите тогда, что расширения (V) и пространства N неэк- вивалентны. 67. Пусть / — отображение натурального ряда на себя, опи- сываемое правилами: если п четно, то /(п) = п — 1, и если п нечетно, то f(n) = п + 1. Через С обозначим пространство Cf(N) (см. 65 гл. IV). Через С* обозначим пространство, получающееся прп присоединении к С некоторой точки не принадлежащей множеству С, в качестве изолированной. Докажите, что С не го- меоморфно С* (хотя С содержит бесконечно много изолированных точек). 68. Покажите, что если к пространству С, определенному в за- даче 67 гл. IV, добавить две новые изолированные точки, то полу- чится пространство, гомеоморфное С. § 3. Бикомпактные расширения и ос-фильтры Напомним читателю некоторые сведения из § 1 гл. III и допол- ним их. Подмножества А и В топологического пространства X назы- ваются a-отделенными (в X), если на X существует непрерывная вещественная функция / такая, что /(А) = {0} и f(B) = {!}. Соответственно множество U с X называется а-окрестностью множества А, если А и В = X\U a-отделены. Семейство % под- множеств пространства X называется а-семейством, если для каж- дого U 6 | существует такое А £ что U является a-окрестно- стью множества А. Фильтр на X называется a-фильтром, если он является а-семейством и состоит из открытых в X множеств. Если а-фильтр не содержится в качестве подсемейства ни в каком отличном от него a-фильтре на X, то его называют а-ультра- фильтром. 69. Пусть X — пространство, Pcz X, Р* cz Р, V — а-окрест- ность множества Р в X и V* cz V — a-окрестность множества Р* в V. Тогда V* — a-окрестность множества Р* в X. 70. Пусть X — вполне регулярное пространство, ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение, z С ЬХ и bz ={U П открыто в ЬХ и С7 Э z}- Проверьте, что bz — a-семейство на X* 71. Пусть X — вполне регулярное пространство, рХ — его расширение Стоуна — Чеха и р — a-фильтр на X. Тогда каждого U 6 Р найдется V С р такое, что П 2=3
§ 3. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ И а-фИЛЬТРЫ 241 72. Пусть X — вполне регулярное пространство, рХ — его расширение Стоуна — Чеха, z С рХ и pz={Z7QX: U открыто в рХ и U 9 я}. Покажите, что pz — а-ультрафильтр на X. 73. Пусть X — вполне регулярное пространство, рХ — его расширение Стоуна — Чеха и р — произвольный а-ультрафильтр на X. Тогда р = pz (см. 72 гл. IV) для некоторой точки z g рХ, причем z = П{^]|зх* G б PI- 74. Пусть X — вполне регулярное пространство, рХ — его расширение Стоуна — Чеха, G — открытое в X множество и G — максимальное открытое в рХ множество, дающее в пересечении с X множество G (см. 149 гл. IV). Докажите, что а-ультрафильтр Р на X содержит множество G в том и только в том случае, если Р = pz (см. 72 гл. IV) для некоторого z g G (см. 149, 72 гл. IV). 75. Пусть X — вполне регулярное пространство и ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение. Пусть для каждо- го z 6 ЬХ семейство bz является а-ультрафильтром на X. Пока- жите, что тогда ЬХ — расширение Стоуна — Чеха простран- ства X. 76. Пусть X — вполне регулярное пространство, ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение, z g ЬХ. Докажите, что bz является а-ультрафильтром в том и только в том случае, если не существует функционально отделенных в X множеств Pcz X и QczX таких, что z £ LP]^ П 77. Пусть X — вполне регулярное пространство, F — его бикомпактное подпространство и Y — X\F. Пусть, далее, РХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X, z £ рХ\Х и Р? = = {U П У: U открыто в РХ и U 9 z}. Тогда Р* — а-ультрафильтр на пространстве У. 78. Пусть X вполне регулярно. Положим В = {pz: z£ РХ} и определим отображение ср: рХ -> В правилом: (р (z) = pz для каждого z С РХ. Далее, пусть .У = {(рU: U cz рХ и U открыто в РХ}, % = {V cz рХ: V = (J {W cz рХ: ТУ открыто в РХ и W П X = V П X}} и = {<рУ: V б Й}- Кроме того, для каж- дого открытого в X множества G через ф(С) обозначим множество всех а-ультрафильтров на X, содержащих G в качестве элемента. Докажите следующие утверждения: 1) Отображение (р взаимно однозначно и <р (РХ) = В. 2) <р (V) — ф (X П У) для каждого V £ ё- 3) = {ф(С): G — открытое в X множество}. 4) В — множество всех а-ультрафильтров на X. 5) 3" — топология на В, — ее база и (В, — бикомпакт, Ричем ср: рх (В, — гомеоморфизм. При этом гомеоморфиз- е произвольная точка пространства X отождествляется с семей- в°м всех открытых в X множеств, ее содержащих. 18 д т> • Архангельский, В. И. Пономарев
242 , ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ § 4. (/-пространства и расширение Хьюитта Вполне регулярное пространство X называется (/-простран- ством (функционально замкнутым пространством), если для каж- дого вполне регулярного пространства У, содержащего X в каче- стве всюду плотного подпространства, на X существует непре- рывная вещественная функция /, которую нельзя продолжить до непрерывной вещественной функции на всем У. В характеристиках и описаниях свойств ^-пространств фунда- ментальную роль играют следующие понятия. Фильтр | называется х0-простым, если существует ц cz £, для которого | ц ] х0 и П {А: А Е т]} = Л. Пусть (X, — топологическое пространство. Семейство всех множеств типа G& в (X, составляет базу некоторой (однозначно определенной) топологии Хо на X. Топологию мы будем называть х0-модификацией топологии У. Соответствен- но пространство (X, будет называться х0-модпфикацией пространства (X, Обычно х0-модификация произвольного пространства X будет обозначаться короче: через (Х)Ко. Для произвольного вполне регулярного пространства X обо- значим символом Q (X) множество всех его бикомпактных хаус- дорфовых расширений ЬХ таких, что X замкнуто в (fcX)No. Если Q(X) у= Л, то нижняя грань весов пространств, принадлежащих Q (X), называется (?-весом пространства X. Все элементы семей- ства Q (X) называются (/-расширениями пространства X. Для произвольного бикомпактного хаусдорфова расширения ЬХ пространства X обозначим через 3D (&Х, X) множество всех бикомпактов, лежащих (в качестве подпространств) в &Х\Х, характер которых в ЬХ счетен. Если семейство 3D (ЬХ, X) покры- вает ЬХ\Х, то нижняя грань мощностей подпокрытий простран- ства &Х\Х, содержащихся в 3) (ЬХ, X), называется Q-дефектом пространства X в расширении ЬХ и обозначается через (/-def(X, ЬХ). В теории (/-пространств определенную роль игра- ют некоторые специальные понятия, связанные с кардинальными числами. Кардинальное число т называется измеримым, если на мно- жестве X мощности т существует о-ультрафильтр (т. е. ультра- фильтр, пересечение любого счетного множества элементов которо- го не пусто) с пустым пересечением. В противном случае карди- нальное число т называется неизмеримым. Кардинальное число % называется сильно недостижимым, если х0, % регулярно, т. е. с/(Х) = X, и для каждого т такого, что т <Х, непременно 2Т Наконец, для кардинального числа т через (/(т) мы обознача- ем (/-вес дискретного пространства мощности т, если этот (/-веС определен (в противном случае символ Q(x) объявляется лишенным смысла).
§ 4. Q-ПРОСТРАНСТВА И РАСШИРЕНИЕ ХЬЮИТТА 243 79. Каждый бикомпакт является (^-пространством. 80. Каждое псевдокомпактное (^-пространство X биком- пактно. 81. Вполне регулярное пространство X является (?-простран- ством в том и только в том случае, если для всякого вполне регу- лярного расширения X пространства X, отличающегося от X одной точкой (т. е. такого, что | Х\Х | = 1), существует непрерывная вещественнозначная функция / на X, которую нельзя продолжить на X. 82. Вполне регулярное пространство X является ^-простран- ством в том и только в том случае, если для каждой точки х* £РХ\Х (где рХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X) существует бикомпакт Fez рХ\Х, содержащий х*, характер которого в рХ счетен. 83. Пространство Т (<хн) (см. стр. 152) не является (7-простран- ством. 84. Пространство X является (^-пространством в том и только в том случае, если множество X замкнуто в х0-мо дификации расширения Стоуна — Чеха рХ пространства X. 85. Вполне регулярное пространство X является (/-простран- ством в том и только в том случае, если х0-прост каждый свобод- ный а-ультрафильтр £ на X (см. стр. 242). 86. Дискретное пространство X является (^-пространством в том и только в том случае, если | X | — неизмеримое кардиналь- ное число (см. стр. 242). 87. Если X — ^-пространство и рХ — его расширение Стоу- на — Чеха, то рХ\Х — пространство точечно счетного типа. 88. Для того чтобы вполне регулярное пространство X было ^-пространством, необходимо и достаточно, чтобы существовало бикомпактное хаусдорфово расширение ЪХ этого пространства,. Удовлетворяющее следующему условию: (*) для каждой точки х £ ЪХ\Х существует бикомпакт F' такой, что 1) х е Faz ЪХ\Х и 2) % (F, ЪХ) = х0. 89. Для того чтобы вполне регулярное пространство X было' ^пространством, необходимо и достаточно, чтобы нарост ЪХ\Х этого пространства в некотором бикомпактном хаусдорфовом рас- ширении ЪХ представлялся как объединение множеств типа 90. Каждое регулярное пространство X со счетной базой явля- ТСя (^-пространством. у 91. Каждое регулярное финально компактное пространство является (^-пространством. Р 92. Если у пространства X есть бикомпактное хаусдорфово ^Щиирение, во всех точках удовлетворяющее первой аксиоме тНости, то X — (^-пространство. 16*
244 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 93. Если X — вполне регулярное пространство с первой акси- омой счетности и ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение, то У = ЬХ\Х — ^-пространство. 94. Если X — вполне регулярное пространство без точек локальной бикомпактности, ЬХ — некоторое бикомпактное хау- сдорфово расширение этого пространства и ЪХ\Х — простран- ство точечно счетного типа, то X — (^-пространство. 95. Если X — пространство точечно счетного типа и ЬХ — какое-нибудь его бикомпактное хаусдорфово расширение, то У = = ЬХ\Х — (^-пространство. 96. Замкнутое подпространство У ^-пространства X является ^-пространством. 97. Произведение любого множества {Ха: а £ А} ^-про- странств является ^-пространством. 98. Пространство X является ^-пространством в том и только в том случае, если оно гомеоморфно замкнутому подпространству тихоновского произведения некоторого множества прямых. 99. Пусть X — вполне регулярное пространство, 0Х — его расширение Стоуна — Чеха и g — семейство всех бикомпактов, лежащих в 0Х\Х, характер которых в 0Х счетен. Положим g = U{^: F € $} и vX = pX\g. Тогда 0) Хе vX; 1) vX — (^-пространство; 2) если У — ^-пространство и X cz У cz рХ, то vX cz У. Построенное таким образом расширение vX пространства X называется его расширением Хьюитта.) 100. Пусть X — вполне регулярное пространство, vX — его расширение Хьюитта, а РХ — расширение Стоуна — Чеха. Тогда vX является расширением Хьюитта и для любого простран- ства У такого, что Xcz Усс vX. 101. Вполне регулярное пространство является ^-простран- ством в том и только в том случае, если оно совпадает со своим р асшир ением X ыоитта. 102. Если/: X -> У — непрерывное отображение «на», .Вес У, А = причем X и В — ^-пространства, то и А является пространством. 103. Прообраз (^-пространства при совершенном отображении является (^-пространством. 104. Каждое непрерывное отображение / вполне регулярного пространства X во вполне регулярное пространство У может быть продолжено (единственным образом) до непрерывного отображе- ния / расширения Хьюитта vX пространства X в расширение Хью- итта vY пространства У. 105. Каждое непрерывное отображение вполне регулярно1^ пространства X в (^-пространство У может быть продолжено Д непрерывного отображения vX в это У (см. 104 гл. IV).
§ 4. Q-ПРОСТРАНСТВА И РАСШИРЕНИЕ ХЬЮИТТА 245 106. Пространство vX (см. 99 гл. IV) является наибольшим среди всех подпространств пространства ₽Х, содержащих X, на которые может быть непрерывно продолжена каждая непрерывная вещественная функция, заданная на X. 107. Пусть X — вполне регулярное пространство и vX — его расширение Хьюитта (см. 99 гл. IV). Докажите, что vX состоит в точности из всех тех точек у расширения Стоуна — Чеха рх пространства X, для которых каждая непрерывная вещественная функция, определенная на X, может быть продолжена до непре- рывной вещественной функции на Xj{?/}. 108. Для каждого вполне регулярного пространства X сле- дующие утверждения равносильны: 1) любое подпространство пространства X является ^-про- странством; 2) любое открытое подпространство пространства X является ^-пространством; 3) для любой точки х £ X непременно X \ {х} — Q-щю- странство. 109. Каждое ли локально бикомпактное хаусдорфово про- странство мощности, не превосходящей 2Хо, является (7-простран- ством? 110. Если X — (^-пространство и A cz X — множество всех точек, в которых обращается в нуль некоторая непрерывная веще- ственная функция /, определенная на X, то Х\Л — ^-про- странство. 111. Если X — (^-пространство и каждая точка х £ X имеет тип G& в X, то каждое подпространство пространства X является ^-пространством. 112. Верно ли, что если каждое подпространство вполне регу- лярного пространства X является (^-пространством, то каждая точка в X является множеством типа в X (ср. с 111 гл. IV)? ИЗ. Если псевдохарактер регулярного финально компакт- ного пространства во всех точках счетен, то каждое подпростран- ство этого пространства является (^-пространством. 114. Если X — вполне регулярное пространство, F — его бикомпактное подпространство, X э У d X\F и Y — ()-про- странство, то и X — (^-пространство. 115. Если /: X У — непрерывное бикомпактное отображе- ®ие вполне регулярного пространства X на пространство У, при- мем каждое подпространство последнего является (7-простран- Ством, то и X — (^-пространство. 116. Если вполне регулярное пространство X уплотняется пространство У, причем каждое Zc= У является (?-простран- ^вом, то и каждое подпространство пространства X является V'Hp ост р анств ом.
246 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 117. Каждое дискретное пространство мощности, меньшей или равной 2К% является (^-пространством. 118. Пространство Немыцкого (см. 13 гл. III), как и любое его подпространство, является (^-пространством. 119. Если X — регулярное финально компактное простран- ство, псевдохарактер которого в каждой точке счетен, то | X | — неизмеримое кардинальное число. 120. Объединение двух дискретных (^-пространств, из которых одно открыто и счетно, а другое замкнуто, может не быть ^-про- странством (даже если оно вполне регулярно). 121*. Если нормальное пространство X является объедине- нием счетного семейства своих замкнутых подпространств Хь где i £ N, являющихся (^-пространствами, то X само является Q- пространством. 122*. Сохранит ли силу заключительная часть утверждения задачи 121 гл. IV, если предположение о нормальности X ослабить до предположения о его вполне регулярности? 123*. Верно ли, что если вполне регулярное пространство X является суммой двух своих замкнутых подпространств, каж- дое из которых есть (^-пространство, то и X — (^-пространство? 124. Если X замкнуто в ^-пространстве Y, bY — ^-расшире- ние пространства У, то и ЬХ = [Х]&у — ^-расширение простран- ства X, причем (^-дефект X в ЪХ не превосходит (7-дефекта У в bY. 125. (2-вес замкнутого подпространства У ^-пространства X не превосходит (7-веса X. 126. (7-вес любого полного метрического пространства X со счетной базой равен к0. 127. (2-вес ^-пространства X не превосходит кардинального числа т, где т х0, в том и только в том случае, если вес X не больше т и существует такое бикомпактное хаусдорфово расшире- ние ЬХ пространства X, что <2-дефект X в ЪХ не превосходит т. 128*. Если X — П{Ха: а Е Л} — тихоновское произведение (7-пространств Ха, (7-вес каждого из которых не превосходит т, где т х0, то (2-вес пространства X не больше max {т, |Л|}- 129*. (7-вес ^-пространства X не превосходит т, где т «о? в том и только в том случае, если X гомеоморфно замкнутому под- пространству тихоновского произведения т экземпляров веще- ственной прямой R. 130*. Если X = S {Xt: t £ Т} — свободная топологиче- ская сумма (см. стр. 58) вполне регулярных пространств Хр г0 (2-вес X не больше max {sup {(2-вес Xt: t Е Т}, Q-вес дискретного пространства Т}. 131. Всякий нульмерный (см. стр. 56) бикомпакт X, вес которо* рого не превосходит т, гомеоморфен замкнутому множеству D ’ 132*. Пусть т — кардинальное число, т х0, и А — ДиС~ кретное пространство мощности X = 2Т, а В — дискретное пр°
§ 5. ПОДЧИНЕНИЯ 247 странство мощности т. Докажите, что А гомеоморфно замкнутому подпространству пространства ВК(ВК — тихоновское произведе- ние Л экземпляров пространства В). 133*. Если дискретное пространство А мощности т является ^-пространством, то и дискретное пространство В мощности 2Г является (^-пространством. 134*. Если мощность дискретного пространства А меньше мощности первого сильно недостижимого (см. стр. 242) кардиналь- ного числа т*, то (?-вес А не превосходит ||А|| = sup{2r: т< |Л |}. 135*. Если т неизмеримо, то Q-вес дискретного пространства мощности т не превосходит 2Т. 136. Выведите из утверждений задач 133 гл. IV и 86 гл. IV, что если т — неизмеримое кардинальное число, то и 2Т неизме- римо (это иначе доказано ранее — в задаче 142 гл. I). 137*. Если <?(т) = %, то (?(т + 1) (т + 1) Здесь ()(т) — — (2-вес дискретного пространства мощности т. 138*. Если т * — первое сильно недостижимое кардинальное число и для каждого т<т * имеет место т+ = 2Т, то (2-вес любого дискретного пространства А мощности, меньшей т *, равен |Л| (т. е. Q (т) = т для всех т< т*). 139*. Пусть 6 — наименьшее неизолированное регулярное (см. стр. 29) кардинальное число. Докажите, что если мощность дискретного пространства А меньше 6, то (2-вес А равен |Л|. § 5. Подчинения Говорят, что во вполне регулярном пространстве X опреде- лено отношение и подчинения (или задано подчинение и), если для всех пар вида (F, Н), где F — замкнутое, а Н — открытое в X множество, известно, ^-подчинено F множеству Н или нет (в пер- К1. К5. вом случае пишем F<ZvH, а во втором — F <fz При этом требуется выполнение следующих аксиом («аксиом подчинения»): К1. Если F < VH, то Х\Н < VX\F. К2. Если F < VH, то FaiH. КЗ. Если Л cz F < vHcz то Л < К4. Если Fi < vHi hF2< vH2, to F± U F2 < vHi U #2- K5. Если F < VH, то существует такая окрестность OF Множества F в X, что F < „OF и [OF] < VH. Кб. Л < „Л. К7. Для всякой точки х £ X в любой ее окрестности Ux не- пременно {z} < „Ux. а Заметим, что из аксиом К1 и Кб следует, что X < VX и что 1 < vHi и F2 < 0Я2 вытекает F± Q F2 < VH± Q H2. toTc лП0МНИМ’ что ^ва множества -4 и В пространства X называ- ри я Функционально отделимыми, если существует такая непре- Ная функция /: Х-+ [0, 1], что / (х) = 0, если х С А, и f (х) = 1,
248 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ если х Е В. Скажем теперь, что замкнутое множество F ^-под- чинено открытому множеству Н, если множества F и Х\В функционально отделимы. Указанное отношение 0 подчинения (аксиомы подчинения для 0 проверяются в 141 гл. IV) называется элементарным подчинением. Пусть теперь v — некоторое отношение подчинения па вполне регулярном пространстве X. Система £ открытых в X мно- жеств называется v-правилъной, если для всякого Е | найдется такое Н2 Е L что [Я2] < тДр Система | открытых в X множеств называется v-концом пространства X (или и- фильтром), если % — p-правильная центрированная система и максимальная система по отношению к ^правильности и центрированности, т. е. £ — такая p-правильная центрированная система, которая не со- держится ни в какой отличной от % p-правильной центрированной системе открытых в X множеств. Если X — вполне регулярное пространство, ар- подчинение, определенное на X, то через vX обозначается множество всех p-концов пространства X. Тогда если Но — открытое в X множество, то полагаем Оя0 = — {| Е vX: Hq Е (иногда множество Он0 обозначаем через Ohq)- На множестве vX определяется топология, базу которой образуют всевозможные множества вида Он, где Н открыто в X. Если F — замкнутое в X множество, то через ФР обозначается множество всех g Е vX, для которых Н f| jF=^=A для любого Н Е Пространство X топологически содержится в иХ и является в нем всюду плотным множеством (см. 147 гл. IV), если каждой точке Xq Е X поставить в соответствие p-конец (xQ), состоящий из всевозможных окрестностей точки х0 в X. В дальнейшем каждая точка х Е X отождествляется с p-концом (х). В задаче 152 гл. IV доказывается, что vX — хаусдорфово бикомпактное расширение вполне регулярного пространства X. Будем говорить, что vX — бикомпактное расширение пространства, порожденное подчине- нием v на X. Если р — отношение подчинения на пространстве X, то мно- жества Aid X, A2gz X называются v-далекими (в этом случае пишем А^А2) в том случае, когда [AJ < DX\[A2L Если множе- ства AjO X, A2cz X не являются p-далекими, то они, по опре- делению, v-близки (в этом случае будем писать A1vA2)- Часто при; ходится па одном и том же вполне регулярном пространстве А рассматривать два или более отношений подчинения. Пусть на дан- ном пространстве X определены подчинение Pj и подчинение № Будем говорить, что подчинение р2 не меньше подчинения Pi (и сать в этом случае р2 > р4), если для любых замкнутого множеств* F cz X и открытого Н czX, для которых F < VlH (т. е. F подчинен Н в смысле подчинения ь\), непременно и F<Z V2H (т. е. F подчин но Ни в смысле подчинения р2). Через еР(Х) мы будем обозначу семейство всевозможных отношений подчинения, которые мс>ь
§ 5. ПОДЧИНЕНИЯ 249 определить на данном вполне регулярном пространстве X. Мы бу- дем считать, что семейство &(Х) снабжено порядком, указанным выше. Нетрудно видеть, что этот порядок — частичный порядок на SP(X). Пусть теперь даны вполне регулярное пространство X вместе с определенным на нем подчинением v и вполне регулярное про- странство Y с подчинением w. Отображение /: X 2^ Y называется (р, ш)-равномерно непрерывным, если для любых p-близких мно- жеств Ai cz X, Л2С1 X множества fAt и fA2 ш-близки в У. В зада- че 159 гл. IV доказывается, что отображение /: X—>У в том и только в том случае (у, м;)-равномерно непрерывно, когда оно непрерывно и из Ф << WO (Ф cz У замкнуто в У, а О открыто в У) всегда следует /-1Ф < vf^O в X. Поэтому, если и v2 — два отношения подчинения на одном и том же пространстве X, то и2 > vi в том и только в том случае, когда тождественное отображе- ние е: X X является (v2l р^-равномерно непрерывным. Кроме того, отображение ft X У будем называть (у, ш)-открытым^ если всегда из F < VH в пространстве X следует [//^у < w < w Int lfH]Y в пространстве У. Пусть теперь X * — некоторое бикомпактное расширение вполне регулярного пространства. Если Ясз X — открытое в X множество, то через О (Я) (или через Ох* (Я)) обозначается мак- симальное открытое в X * множество, для которого 0(H) [) X ~ ~ Н. Пусть X* есть бикомпактное расширение пространства X, порожденное некоторым подчинением v на X, т. е. X* = vX для некоторого подчинения v. Тогда в задаче 149 гл. IV доказыва- ется, что Он~ Ох* (Н) для любого открытого множества Я в X, после чего мы уже не различаем между собой множества 0# и ОХ*(Н). Важным для нас является следующее определение: бикомпакт- ное расширение X* вполне регулярного пространства X называет- ся совершенным относительно открытого в X множества Н, если имеет место равенство [ГгЯ]¥* = ^\‘Х*ОХ*(Н). Если же X* совер- шенно относительно любого открытого в X множества, то оно назы- вается совершенным бикомпактным расширением пространства. Важными являются также следующие понятия. Ваза о пространства X называется алгебраически замкнутой, если для любых двух элементов Ui £ о, U2^ с непременно U U2 Е а, и для любого U £ в непременно Х\[Я] Е а. Ваза 0 пространства X называется периферически бикомпакт- или коротко я-бикомпактной, если подпространство Frt7 икомпактно для любого Я £ сг. Пространство, имеющее л-би- миактную базу, называется я-бикомпактным пространством. 140. Пусть (X) — семейство всех бикомпактных расширений °лне регулярного пространства X.
250 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Докажите, что порядок следования одного бикомпактного расширения за другим (см. определение на стр. 233) есть частич- ный порядок на 38 (X). 141. Докажите, что элементарное подчинение Р на вполне регулярном пространстве X удовлетворяет всем аксиомам подчи- нения (см. стр. 248). Покажите, что в случае, когда пространство X нормально, F < рЯ (здесь F замкнуто, а Н открыто в X) тогда и только тогда, когда F cz Я. 142. Пусть (X, р) — метрическое пространство. Положим F < РЯ в том и только в том случае, когда p(F, Х\Я) > 0. (а) Покажите, что р — подчинение на X. (б) Покажите, что на вполне регулярном пространстве могут существовать различные отношения подчинения. 143. Покажите, что только на вполне регулярном простран- стве можно ввести отношение подчинения. В дальнейшем все про- странства в этом параграфе вполне регулярны. 144. Покажите, что на бикомпакте X единственное существую- щее подчинение есть элементарное подчинение. 145. Пусть X —- вполне регулярное пространство, а сР(Х) — система всех подчинений на пространстве X. Докажите, что поря- док -< в еР(Х) (см. стр. 248) есть частичный порядок. 146. Пусть (X, и) — топологическое пространство вместе с оп- ределенным на нем подчинением у. (а ) Покажите, что любая p-правильная система содержится в некотором у-конце (вообще говоря, в многих у-концах). (б ) Пусть £ — у-конец. Тогда 1) если Hi Е | и Я2 € В, то Н± П Н2 Е 2) если Hi £ g и Я zd Яь то Я Е ?• 147. Пусть v — подчинение на пространстве X, а иХ — семей- ство всех р-концов. Докажите: (а) Ощ П Он2 = Ощ п н2, где Hi и Я2 — произволь- ные открытые в X множества; (б) если Hi cz Я2, то cz Он2\ (в) иХ — топологическое Тгпространство; (г) если xQ Е X, то система (ж0) всех окрестностей точки х0 в X — у-конец; (д) отображение h: X vX, определенное равенством hx = = (х), где х Е X, есть топологическое отображение пространства X на всюду плотное подпространство пространства рХ. В дальнейшем Я(Х) отождествляется с X. 148. Докажите, что для любого открытого в иХ множества 1 всегда 1) l^xprLx = [Г]РХ и 2)Охпг<=[ги. 149. Пусть X* — какое-нибудь расширение пространства X* Пусть Я — произвольное открытое, aF—замкнутое в X множество*
§ 5. ПОДЧИНЕНИЯ 251 (а) Покажите, что 0(H) (см. стр. 249) есть объединение всех открытых в X* множеств Г, для которых Г Q X = Н. (б) Покажите, что Х*\О(Н) — [Х\Я]х* и [^]Y* = - X*\O(X\F). (в) Если Н, =£ Н2, то O(Hi) =£ О(Н2). (г) Hi cz Н2 тогда и только тогда, когда O(Hi) cz О(Я2), (д) F2 cz Fi (где F2 и Ft — замкнутые в X множества) тогда и только тогда, когда [F2]Y*cz LFiLy*- (е) O(Hi П Я2) = O(Hi) П О (Я2). (ж) Покажите, что в случае, когда X* = vX, где v — некото- рое подчинение на пространстве X, непременно 0(H) = Оц для любого открытого множества Яcz X и 150. Пусть (X, и) — пространство с подчинением v и vX — пространство, построенное в задаче 147 гл. IV. (а) Докажите равенство Юп0]иХ = {£ £ г?Х: Я П Яо =/= Л для любого Я С £}• (б) Покажите, что из F<ZJHq (F замкнуто, а Яо открыто в X) следует cz Ощ (что равносильно — см. 149 гл. IV — тому, что И^сО(Я0)). (в) Докажите регулярность пространства иХ. 151. Пусть v — подчинение на пространстве X, a F — про- извольное замкнутое в X множество. Докажите равенства F = = П {UF*. F < VUF} и = П {OUF: F < VUF}. 152. Докажите бикомпактность пространства иХ. 153. Докажите, что F <ЪН в том и только в том случае, когда IF] vx <= Оц. 154. Покажите, что для различных подчинений vY и v2 на данном пространстве X бикомпактные расширения ViX и v2X раз- личны. 155. Пусть X — вполне регулярное пространство, а А'* — произвольное его бикомпактное расширение. Положим F < »Н (F замкнуто, а Я открыто в X) в том и только в том случае, когда №]x»cz 0(H). Докажите, что (a) v — подчинение, удовлетворяющее всем аксиомам К1 — К7 (см. стр. 247); (б) бикомпактное расширение иХ совпадает с бикомпактным Расширением X*. 156. Покажите, что оператор и, сопоставляющий каждому подчинению и £ & (X) на X бикомпактное расширение vX этого пространства, осуществляет взаимно однозначное отображение системы еР(Х) всех подчинений на X на систему J?(X) всех биком- пактных хаусдорфовых расширений этого пространства. 157. Покажите, что бикомпактное расширение рХ, построен- ц0 данному подчинению v на X, тогда и только тогда является иксимальным (т. е. расширением Стоуна — Чеха), когда и совпа- ет с элементарным подчинением на X.
252 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 158. Пусть и — отношение подчинения на пространстве X. Докажите, что множества A cz X, Ba X тогда и только тогда p-далеки (определение см. на стр. 248), когда f| [2?]УХ = Л. 159. Пусть (X, и) и (У, w) — два пространства с подчинения- ми соответственно v и w. Докажите, что отображение /: X -> У на У тогда и только тогда (у. ^-равномерно непрерывно, когда оно непрерывно п всегда из Ф < WO в У (Ф замкнуто, а О открыто в У) следует /-1Ф < 160. Пусть (X, v) и (У, w) — два пространства, на которых определены подчинения соответственно v и w, а /: (X, р)->(У, w) — (г, ^-равномерно непрерывное отображение на все У. Поло- жим (*) — П {ljU]wY- U С £} для каждой точки Е = С vX. Тогда (а) /£ #= Л для любого £ Е рХ; (б) точка 1] Е ^У тогда и только тогда принадлежит /Е, когда а= V Е & (в) множество состоит из одной точки для любого £ Е vX*t (г) / — непрерывное отображение расширения vX на расшире- ние грУ; (д) / — продолжение отображения /: (X, v) (У, w). 161. Пусть (X, р) и (У, р,) — два метрических пространства с метриками р и |х соответственно. Пусть р — подчинение в X, по- рожденное метрикой р, а р — подчинение в У, порожденное мет- рикой р (см. 142 гл. IV). Докажите, что /: (X, р) (У, р) являет- ся (р, р)-равномерно непрерывным тогда и только тогда, когда для всякого 8 > 0 существует такое б > 0, что р (/я, fy) < 8, как только у) < б. 162. Докажите, что отображение /: (X, v) 2^ w) тогда и только тогда (р, ^-равномерно непрерывно, когда существует непрерывное отображение /: vX wY бикомпактного расширения vX на бикомпактное расширение wY пространства У, являющееся продолжением отображения /. 163. Пусть h: vX wX — естественное непрерывное ото- бражение бикомпактного расширения vX пространства X на би- компактное расширение wX того же пространства X. Докажите равенство h^Ov (U) = Ow (U) для любого открытого в X множе- ства U, Как всегда, h#Ov(U) = {т) Е OV(U)} = wX\h(vX\Ov(U)). 164. Покажите, что оператор у, который сопоставляет 155 гл. IV) каждому подчинению v Е &(Х) на пространстве бикомпактное расширение vX Е <^(Х), осуществляет изоморфй3> частично упорядоченных множеств <£Р(Х) и J?(X). 165. Пусть /: X —> У — непрерывное отображение простри1 ства X на пространство У.
§ 5. ПОДЧИНЕНИЯ 253 1) Докажите, что / является (0, 0')-равномерным, где 0 и 0' — элементарные подчинения на X, соответственно на У. 2) Выведите отсюда, что всякое непрерывное отображение f: X -> У допускает непрерывное продолжение /: 0Х -> 0У на расширения Стоуна — Чеха этих пространств. 166. Пусть /: X -> У — непрерывное отображение нормаль- ного пространства X на нормальное пространство У, а /: 0Х -> РУ — его непрерывное продолжение на расширения Стоуна — Чеха этих пространств. Покажите, что f — замкнутое отображение в том и только в том случае, когда f^y — для любой точки y£Y. 167. Пусть /: X -> У — (р, ^-равномерно непрерывное ото- бражение пространства X с подчинением v на пространство У с подчинением w. Докажите, что / тогда и только тогда (и, ^-откры- то, когда единственное существующее (см. 162 гл. IV) непрерывное продолжение /: vX -> wY отображения / на соответствующие под- чинениям v и w бикомпактные расширения иХ и wY открыто. 168. Если /: X -> У — открыто-замкнутое отображение про- странства X на пространство У, то единственное существующее непрерывное продолжение /: 0Х -> 0У отображения / на расши- рения Стоуна — Чеха этих пространств открыто. 169. Если /: X -> У — замкнутое монотонное (см. стр. 171) отображение пространства X на пространство У, то единственное существующее непрерывное продолжение /: 0Х -> 0У этого ото- бражения на расширения Стоуна — Чеха этих пространств также монотонно. 170. Докажите, что бикомпактное расширение vX простран- ства X, порожденное подчинением р, тогда и только тогда совер- шенно относительно открытого в X множества U, когда для любо- го замкнутого в X множества F, для которого F cz U и F <0X\Frf7, непременно и F < VU. 171. Докажите, что расширение 0Х Стоуна — Чеха любого (вполне регулярного) пространства X является совершенным. 172. Докажите, что бикомпактное расширение vX простран- ства X тогда и только тогда совершенно, когда для любых двух непересекающихся открытых в X множеств Ui и С72 выполнено Равенство O(U i (J U2) = O(Ui) U O(U2). 173. Пусть v — некоторое подчинение на X, a vX — соответ- ствующее этому подчинению бикомпактное расширение. Докажите, что равенство (1) O(U U V) = O(U) U 0(7) ^полнено для любых двух открытых в X множеств U и V в том * только в том случае, когда пространство X нормально, а под- инение v совпадает с элементарным подчинением 0 на X
254 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ (а следовательно, vX = 0Х — бикомпактное расширение Стоуна — Чеха пространства X). 174. Докажите, что бикомпактное расширение vX простран- ства X в том и только в том случае совершенно, когда естествен- ное отображение h: 0Х -> vX расширения Стоуна — Чеха РХ этого пространства на расширение vX монотонно (см. стр. 171). 175. Пусть о— алгебраически замкнутая л-бикомпактная база регулярного пространства X. Положим F < ОН (где F замкнуто, а Н открыто в X) в случае, когда существует такое U € о, что Fez Uez [tf]cz H. Докажите, что введенное отношение о есть отношение подчи- нения. Расширение оХ, порожденное такого рода подчинением (т. е. подчинением на основе некоторой алгебраически замкнутой л-бикомпактной базы о в X), называется ^-расширением простран- ства X. 176. Докажите, что л-бикомпактное хаусдорфово простран- ство вполне регулярно. 177. Пусть gX — л-расширение пространства X, построенное на основе алгебраически замкнутой л-бикомпактной базы о (см. 175 гл. IV). Докажите, что оХ совершенно относительно любо- го V Е а. 178. Пусть X — л-бикомпактное пространство, о — база пространства из всех открытых в X множеств с бикомпактной гра- ницей. Докажите, что база о алгебраически замкнута, а бикомпакт- ное расширение оХ, порожденное этой базой (см. 175 и 176 гл. IV), совершенно. 179. Докажите, что в условиях предыдущей задачи никакое бикомпактное расширение vX пространства X, предшествующее расширению оХ, не является совершенным. 180. Пусть X — л-бикомпактное пространство, о— алгебраи- чески замкнутая л-база пространства, о— подчинение, опреде- ляемое базой о(см. 175 гл. IV), а оХ —бикомпактное расширение, порожденное этим подчинением. Докажите, что семейство S = = {ОG (U): U € сг} — база бикомпакта оХ, причем множество OQ (U) П (оХ\Х) открыто-замкнуто в подпространстве оХ\Х. Выведите отсюда, что всякое связное подмножество, принадлежа- щее оХ\Х, одноточечно. 181. Пусть X — л-бикомпактное пространство, о — база про- странства X, состоящая из всех открытых в X множеств с биком- пактной границей, а оХ — бикомпактное расширение простран- ства X, порожденное этой базой (см. 175 гл. IV). Докажите, что всякое совершенное бикомпактное расширение иХ пространства X допускает естественное отображение на расширение оХ. 182. Докажите, что для любого л-бикомпактного вполне регу- лярного пространства X существует и единственно такое бикоМ" пактное расширение уХ, что
РЕШЕНИЯ 255 1) уХ совершенно; 2) всякое бикомпактное расширение, предшествующее расши- рению уХ, не совершенно; 3) всякое совершенное бикомпактное расширение, отличное от уХ, следует за уХ. 183. Всякое ли бикомпактное расширение vX пространства X, следующее за совершенным расширением 0Х, также совер- шенно? 184. Пусть R — интервал числовой прямой с естественной топологией. Докажите, что подпространство состоит из двух компонент связности. РЕШЕНИЯ 1. Пусть X есть ^-пространство и | — некоторый элемент. Рассмо- трим множество X — X U {£}. Определим топологию на X. В X топологию оставляем прежней, т. е. множество U cz X считаем открытым в X тогда и только тогда, когда U открыто в X. Окрестностью точки 5 считаем всякое множество Fc X, £ 6 V, для которого X \ V состоит из конечного числа точек. Нетрудно убедиться в том, что X — топологическое Ti-пространство, содержащее X в качестве открытого множества. Докажем бикомпактность пространства X. Пусть со — произвольное открытое покрытие простран- ства X. Пусть С7ао Е to таково, что | Тогда X \ £7ао конечно: X \ Г7ао — {яр . . ., £s}. Рассмотрим по одному такому элементу Z7ai, . . . ..иаа из со, чтобы Xi е Uai, . . xse Uas. Тогда w0 = {Uai, . . Uaj>, Ua(i} — конечное подпокрытие покрытия со пространства X. Все доказано. Заметим также, что цель будет достигнута, если взять на X другую топо- логию, которая определяется по X так же, как в задаче 176 гл. III, т. е. за окрестность точки 5 принимаются те множества V cz X, для которых % £ V и X \ V — замкнутое бикомпактное подпространство пространства X. Множе- ство X с такой топологией (она, как правило, сильнее первой, т. е. содержит первую) является хаусдорфовым пространством тогда и только тогда, когда X — локально бикомпактное хаусдорфово пространство. 2. (а) Доказывается на основе принципа максимального элемента (см. стр. 18). Пусть Е — совокупность всех центрированных систем замкну- тых множеств, содержащих центрированную систему § замкнутых множеств. S частично упорядочивается следующим образом: ?2 > li € 2» £2 € S, если g2 о 51. Легко показывается, что всякое гнездо (см. стр. 18) в Е с этим порядком имеет максимальный элемент. Тогда, в силу принципа максималь- ного элемента (стр. 18), максимальный элемент имеет и все Е, т. е. существует Максимальная центрированная система замкнутых в X множеств, которая Одержит данную систему 5. (б) Пусть 5 — максимальная центрированная система замкнутых божеств. Рассмотрим систему 5 — £ U {Л П ^2: Л 6 5» ^2 Е 5}- Легко проверяется, что | центрирована. Значит, 5 = 5* Следовательно, если А С В» ге I, то Fi п (в) Доказывается аналогично (б). й Докажем (г). Пусть 5 ~ максимальная] центрированная система П F Л для любого F С 5» Рассмотрим]систему 5 == 5 U {^о П F: £}• Покажем, что 5 центрирована. Пусть F^ . . 7^ £ £ и еще заданы
256 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Fo п Fk+i, . . Fo Р, Fk+l. Тогда = Ft р • • П Fk 6 Fk+i П • • • • • • П Fk+l = F"el (в силу (б)). Поэтому Fo р Л П • • • П Fk Q (Л> П П Fk+l) Р . . . Р (Fe Р Fk+l) = F' р Fo р F” = f"'_P Fo Л, где F = = F’ П F" (также в силу (б)) принадлежит Итак, £ центрирована и состоит из замкнутых в X множеств; следовательно, вследствие максимальности g имеем | — £. откуда и получаем, что Fq Е S 3. (а) Если £ таково, что % Е Фр^ то * = • • •» s’ Значит, i=l S в силу 2 гл. IV непременно Q Ft £ g; следовательно, £ Е Ф s • Обратно, П Ft г=1 8 8 8 если В Е Ф s , то Q Fi б Тогда, так как Q Ft cz FP ..., Q Ft C Fs, Q Fi i—1 i=l i=l i=l 8 то, в силу (в) задачи 2 гл. IV, получим Fi Е I» • . Fs Е 5» т. е. В € f”] Фрг г=1 (б) Так как Wu = <оХ \ ФХчС7, то Wu ={£ Е соХ: F П U =/= Л для любого F £ В}» Покажем, что найдется такое Fq Е В, что Fq cz U. Если F (£.U для любого F Е В, to F Q (X \ U) =£ Л для любого F E В, но тогда в силу (г) задачи 2 гл. IV будем иметь X \ U Е В- Мы пришли к противоречию. Значит, Жусс{| Е соХ: существует Fq Е В, для которого Fq cz U}, Обратное включение очевидно. (в) То, что соХ становится топологическим Ti-пространством, если множества вида Wu (где U открыто в X) объявить базой, доказывается эле- ментарно. Заметим, что множества вида Фр, где F замкнуто в X, замкнуты в соХ (они образуют замкнутую базу в X). Замкнутыми в соХ будут и все- возможные множества, являющиеся пересечением какого-то числа множеств вида Фр. Для доказательства бикомпактности пространства соХ достаточно показать, что любая центрированная система множеств вида Фр имеет непу- стое пересечение. Пусть {Фр^: а£ 4} — произвольная центрированная система таких множеств. Пользуясь утверждением (а) этой задачи, выводим центри- рованность системы {Fa:aE4}. Пополняя ее (см. 2 гл. IV) до максимальной центрированной системы % замкнутых в X множеств, получим £ Е И {Фр : a a С 4}, т. е. П {фр : «Е 4} у= Л. а (г) Система (ж) всех замкнутых в X множеств, содержащих точку х Е X, очевидно, центрирована и максимальна по отношению к этому свой- ству, ибо {#} Е (я). Значит, (х) — точка соХ. Остальное легко выводится (сделайте сами). 5. Прежде всего заметим, что для любого замкнутого в X множества F всегда Фр П X = F. (а) 1) Пусть g0 Е Фр0- Это значит, что Fo Е 1о- Пусть Wu, где U открыто в X, —произвольная базисная окрестность точки в оХ, g0E Wu* Это озна- чает (см. 3 гл. IV), что существует такое FJ Е что FJ cz U. Но так как Fq Е So, то FJ П Fq Ф Л. Поэтому U П Fo =# Л. Значит, Wu П Fo Ф Отсюда следует g0 Е 2) Так как Fq cz ФГ(), то [Fq]^ <zz [Фр01 = Фр0» т. е. если g0 С иоЬХ’ то е фр0. Из 1) и 2) получаем [FO]0X = ФГ().
РЕШЕНИЯ 257 (б) Пусть F± и F2 — два замкнутых в X множества, для которых Л П F* = Л. Имеем [Лкх = ФГ1 = {£ С соХ: Л С g}, [F2]aX - Ф^2 = = {£ Е соХ: F2 С §}• Поэтому, раз П F2 = Л, то и ФГ1 Q Ф^2 = Л, т. е. [Л1(ох П [ТУсох = Л. 6. (а) Пусть X нормально и gf, £2 — две различные точки из соХ. Так как и g2 различны, то найдутся F% £ и £ ?2> Для которых FJ Q pi F% = Л, Пользуясь нормальностью пространства X, берем окрестности UF^ и UF% множеств FJ и F% в X, для которых CZFJQ UFI — Л. Рассмотрим окрестность ЖтгДточки в соХ и окрестность ИС _2 точки £2 в соХ. Утверж- UFq UFq даем, что W . П ИС_2 = Л» ибо если некоторое g С соХ принадлежало бы UFq L Fq их пересечению» то для некоторого Fo С 5 мы имели бы одновременно Fo cz cz UF%, Fq cz UFq, что противоречило бы пустоте пересечения Z7FJ и UF'$. (б) Обратно, пусть юХ — хаусдорфово пространство. Тогда оно являет- ся бикомпактом. Пусть Fi и F2 — два непересекающихся замкнутых в X множества, имеем ft = Л (см. 5 гл. IV). Пользуясь нормаль- ностью бикомпакта соХ, возьмем открытые в соХ множества W\ и W2 таким образом, чтобы было l/’Jcox cz Wit [F2^x cz W2 Ж! П W2= A. Тогда = IVi П X и [/2 = Ж2Г|Х открыты в X, не пересекаются и Ft= = П X cz Ui, F2= [F2]„x П X cz U2. 7. Нет. В бикомпактном T ^пространстве со счетной базой есть счетная сеть из замкнутых множеств (см. 129 гл. III). Но свойство иметь такую сеть сохраняется при переходе к любому подпространству. Достаточно теперь взять любое хаусдорфово пространство без счетной сети из замкнутых множеств (см., например, задачу 146 гл. II). 8. Если вес вполне регулярного пространства X равен т, то в X суще- ствует расчленяющее семейство (см. 36 гл. III) {/а: а £ А} функций /а: X ->/а мощности т. Диагональное произведение / отображений из этого семейства есть гомеоморфизм в бикомпакт Y = П{1а: а £ А} веса т (см. 37 гл. III и 379 гл. II). Тогда [/Х]у — бикомпакт также веса т, который топо- логически содержит X в качестве всюду плотного подпространства. 9. Каждый бикомпакт является нормальным (см. 64 гл. III) и потому (26 гл. III) вполне регулярным пространством. Но подпространство вполне регулярного пространства вполне регулярно (8 гл. III). Следовательно, все подпространства бикомпактов вполне регулярны. Обратное утверждение следует из 38 и 75 гл. III или из 8 гл. IV. 10. Необходимость очевидна. Докажем достаючность. Для каждого х £ biX обозначим через |х семейство всех множеств вида X П Ох, где Ох — окрестность х в &jX. Положим ф(я) = р {1^]ь2х• ? £ |х}- Семейство £х цен- трировано, поэтому ф(ж) Ф Л. Покажем, что | ф(я) | — 1. Если у £ ф(я), z С ф(я) и у z, то у точек у и z найдутся окрестности Оу и Oz в Ъ2Х, замы- кания которых в Ь2Х не пересекаются. Тогда Р± = [Оу\ъ х П X и Р2 = = [Oz]b2X р X — замкнутые в X непересекающиеся множества, причем П Р Ф Л для любого Р С £х и i = 1, 2. Из определения |х следует теперь, что X 6 и X е [Л>]Ь1А? Т. о. Q [^г]Ь1х л — получили про- тиворечие. Итак, | ф(л?) |=1. Если х £ X, то, очевидно, ф(я) J х и потому Ф(я) = {х). Условимся понимать теперь под ф(я) тот элемент, из которого состоит мпожество ф(ж). Тогда ф — отображение пространства biX в про- странство Ъ2Х, сужение которого па X является тождественным отображе- нием. Докажем, что ф непрерывно. Пусть х £biX и у = ф(я). Зафиксируем окрестность Оу точки у в Ь2Х. Так как Q {[^]b2x: ? Е ?х} = {у} и семейство %х А. в. Архангельский, В. И. Паномарев
258 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ является предфильтром (а Ь2Х бикомпактно), то найдется Ро Е для кото* рого [P0]b2^cz Оу. Но Ро = OQxf]Xt где OQx — некоторая окрестность точки х в btX. Каково бы ни было х' £ О0х, непременно Ро Е £х, и потому ф(ж') Е гг Оу. Итак, ф(О0ж) cz Оу — непрерывность ф доказана. Проверим, что ф взаимно однозначно. Если xt =£ х2, х^ х2 Е &1Х, то [Oxt IbiX П л для некоторых окрестностей точек xt и х2 в Ъ^Х. Положим Ох^ Q X — Р± и Ох2 г\Х = Р2. Тогда [Pi]blX R [Р2]Ь1ЛГ = А, и потому [PJb2x В = = А. Но Pt е Рг € ?Х2; следовательно, ipfci) Е [Pi]b2x и Tfe) С [P2]b2x. Заключаем, что ф(^±) #= ф(я2)- Из ф(ж) = х для всех х £ X следует, что (p(&iX) ю X. Но ф(&1Х) — бикомпактное и, значит (56 гл. III), замкнутое подпространство пространства Ъ2Х. Следовательно, ф(Ь1%) = Ь2Х. Будучи взаимно однозначным непрерывным отображением бикомпакта Ъ^Х на биком- пакт Ь2Х, ф есть гомеоморфизм между ними. 11. Через b' X обозначим какое-нибудь бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X (вес которого равен весу X — см. 8 гл. IV). Рассмотрим график Гу отображения /. Тогда Гу = {(ж, /(я)): х £ X} — под- пространство произведения X X У с 6'Х X У, причем правило ф(ж) = = (ж, f(x)) описывает гомеоморфизм между X п Гу (291 гл. II). Заметим, что f(x) = лф(ж) для всех х Е X, где л: b'X X Y -> Y — проектирование на второй сомножитель. Положим Z = [Гу]ь^хУ. Тогда Z — бикомпактное хаусдорфово расширение пространства Гу и л | Z — непрерывное отображение Z в У, причем вес Z не превосходит максимума весов X и У. Заменим теперь в Z каждую точку (ж, /(ж)) множества Гу на х, а топологию сохраним. Тогда Z превратится в бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X, отображение л | Z превратится в непрерывное отображение 7: /X ->• У, сужение которого на X совпадает с /. 12. Через & обозначим какое-нибудь семейство непрерывных ото- бражений пространства X в бикомпакты, удовлетворяющее условию: (*) если /: X У — непрерывное отображение и У — бикомпакт, то существуют f ?' X -> У', и гомеоморфизм ф бикомпакта У' в У такие, что ф/' = /. Конечно, в качестве FF годится семейство всех непрерывных отображе- ний пространства X в бикомпакты, однако последнее не является множе- ством. Для нас важно, что удовлетворяющее условию (*), можно выбрать так, чтобы оно было множеством (см. стр. 13). Для каждого / Е & зафиксируем некоторое бикомпактное хаусдорфово расширение 6уХ пространства X, на которое / продолжается до непрерыв- ного отображения / (см. 11 гл. IV). Рассмотрим произведение ф отображе- ний 7 по всем f Е & * Через Уу будем обозначать образ при 7 через У — про- изведение П{Уу: / Е через F — произведение П{5уХ: / Е При этом. Лу — проектирование пространства У на Уу, а множество A czz F состоит из всех тех точек Дж), каждая координата которых совпадает с некоторым х Е X. Соответствие х i(x) есть гомеоморфизм между множеством А как подпространством пространства F и пространством X. Отождествим посред- ством этого гомеоморфизма X с А. Тогда / = (лутр) | X. Но отображение ЛуФ определено и непрерывно и на [X]/?. Итак, каждое f Е & имеет непрерывное продолжение (а именно, (луф) | [Х]р) на бикомпактное хаусдорфово рас- ширение [Х]^ пространства X. Ясно, что условие (*) теперь гарантирует нам, что каждое непрерывное отображение пространства X в бикомпакт продолжается до непрерывного отображения пространства ЪХ — [Х)к* 13. Это сразу следует из утверждений задач 15, 10 гл. IV. 14. Семейство FF является расчленяющим, так как X — вполне регУ; лярное пространство. Следовательно, ф — гомеоморфизм пространства л
РЕШЕНИЯ 259 на его образ Y (37 гл. III). Теперь достаточно проверить, что каждая непрерыв- ная вещественная функция g(y), определенная на У и такая, что #(ф(Х)) с: сг [0, 1], может быть продолжена до непрерывной вещественной функции, определенной на всем F = (см. 13 гл. IV; ясно, что F—биком- пактное хаусдорфово расширение пространства ф(Х)). Положим ф = grp. Тогда ф — непрерывная вещественная функция на X иф(Х) cz [0, 1]. Значит, ф £ FF. Выберем а* 6 4, для которого /а* = ф. Рассмотрим ла*: /I।-► ->• /а* — проектирование на сомножитель IПо определению диагональ- ного произведения отображений, ла*ф = /а*. Значит, ла*ф — #ф, откуда яа*(у) = g(y) для всех у £ ф(Х). Итак, g является сужением отображения I на ф(Х). Но ла* определено и непрерывно на всем Г — в частности, и на Следовательно, ла* | F — искомое продолжение отображе- F = [<p(X)]^|. ния g. 15. Если Р и Р' функционально отделимы и / — непрерывная веще- ственная функция на Хч для которой f(P) == {0}, f(P') — {1} и /(X)cz [0, 1], то для непрерывного продолжения / функции / на ЬХ имеют место соотноше- ния: /([Р]ьх) - [{0}] = {0}и/([Р'Ы = [{!}] = {!}. Значит, [P]w П = Л. Мы доказали необходимость. Докажем достаточность. Существует (см. 12 гл. IV) бикомпактное хаусдорфово расширение Ъ'Х, на которое непрерывно продолжается любое непрерывное отображение пространства X в бикомпакт (тем более, продол- жается любая непрерывная вещественная ограниченная функция). В силу уже доказанной необходимости A = Л в том и только в том случае, если Р та Р' функционально отделимы в X, т. е. (по данному нам при доказательстве достаточности) тогда и только тогда, когда [Р']&х А А = Л. Значит (10 гл. IV), расширения Ь'Х и ЬХ эквивалентны, а потому и на ЬХ можно непрерывно продолжить любое непрерывное ото- бражение пространства X в бикомпакт. 16. В нормальном пространстве множества Р и Р' функционально отделимы в том и только в том случае, если их замыкания в этом про- странстве не пересекаются (25 гл. III). Отсюда заключение следует в силу 15 гл. IV. 17. Если X нормально, то соХ — хаусдорфово бикомпактное расши- рение пространства X (см. 6 гл. IV), а в силу 5 гл. IV для любых двух непере- секающихся замкнутых в X множеств их замыкания в соХ также не пересе- каются; следовательно (см. 16 гл. IV), соХ совпадает с рХ. 19. Необходимость. Если [Р]р^ — расширение Стоуна — Чеха про- странства Р и / — непрерывная ограниченная вещественная функция на Р, то существует / — непрерывная вещественная функция, определенная на УЧрх и совпадающая на Р с /. Но РХ — нормальное пространство, поэтому / можно продолжить с замкнутого в рх множества [Р]рх до непрерывной вещественной функции ф, определенной на всем рх (см. 34 гл. III). Послед- вяя ограничена. Тогда ф | X — искомое продолжение функции / на X. Достаточность. Зафиксируем непрерывную ограниченную веществен- ную функцию /, определенную на Р. По условию, ее можно продолжить до некоторой непрерывной ограниченной вещественной функции /, определен- ои на всем X. Последняя непрерывно продолжается на рХ до некоторой Функции ф. Тогда ф | [Р]рх — продолжение функции / до непрерывной функ- заданной на всем пространстве [Р]рх- Существование такого продолже- я ввиду произвола, допущенного при выборе /, означает, что [Р]рх — р сЮирение Стоуна — Чеха пространства Р (см. 13 гл. IV). 20. Это следует из 33 гл. III и 19 гл. IV. 17*
260 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 21. Чтобы продолжить на РХ непрерывную ограниченную веществен- ную функцию, заданную на У, достаточно взять ее сужение на X и продол- жить на рХ это последнее. 22. Тождественное отображение пространства X на себя, рассматри- ваемое как отображение в бикомпакт ЬХ, можно продолжить до непрерыв- ного отображения /: РХ -* ЬХ (12 и 13 гл. IV). Единственность / следует из того, что любые два непрерывные отображения в хаусдорфово простран- ство, которые совпадают на всюду плотном множестве, совпадают везде (287 гл. II). 23. Рассмотрим РХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X. Положим Fi = [Pjpx и = [Palpjr Тогда Ft Q F2 == Л (см. 15 гл. IV) и Fi \ Pi Ф Л. F2 X Р2 ¥= Л. Следовательно, | рХ \ X | > 2. Зафикси- руем z! £ Fi \ Pi и z2 £ F2 \ Р2- Рассмотрим разбиение пространства рХ, единственным нетривиальным (неодноточечным) элементом которого является множество A ={zi, z2}. Пространство этого разбиения можно рассматривать (см. 318, 329 гл. II и 92 гл. III) как бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X. Обозначим его через &*Х. Имеем А £ у и А £ в силу определения топологии в Ъ*Х. Значит, [Pj^y П [Рг^х =5^ Л и рас- ширения рх, Ь*Х не эквивалентны. Этим доказана достаточность рассма- триваемого условия. Докажем его необходимость. Пусть Ъ±Х и Ь2Х — неэк- вивалентные бикомпактные хаусдорфовы расширения пространства X. По определению, это означает, что существуют множества Р± cz X, Р2 о X такие, что [Pilblx Г) 1^21ь1х = Л, но [Pi]b2x П 1^2](>2х ¥= Л. Очевидно, Pt и Р2 можно считать замкнутыми в X множествами. Из наших предположений сразу следует, что [Р±] b2x \ Л ¥= Л и [Р2]ь2х \ Рг Ф Л, т. е. Р± и Р2 не замкнуты в Ь2Х и, следовательно, ни одно из них не бикомпактно. Множе- ства [Pi]f)1 х и (Pabiх функционально отделимы в btX как непересекающиеся замкнутые подмножества нормального пространства д4Х. Тем более Pi и Р2 функционально отделимы в X. 24. Каждая непрерывная вещественная функция, определенная на 7’(о>1), финально постоянна, т. е. для некоторого а £ Г((О1) и всех х, у, боль- ших a, f(x) = /(у). Следовательно, если / продолжить на пространство P(wi) U {ю1}» являющееся одноточечной бикомпактификацией П. С. Алек- сандрова пространства 7т(о>1) (см. 176 гл. III), положив /(coj) — f(x), где х больше а, 7 | T(cdi) = /, то мы получим непрерывную функцию Д Значит, T’(cdi) U {^1} — расширение Стоуна — Чеха пространства P(coi). Если Ь(Г(сО1)) — произвольное бикомпактное хаусдорфово расширение P(cdi), то существует непрерывное тождественное на T(coi) отображение <р: P(oh)jU U {®i} b(T(d)i)). Имеем <p({(Oi}) = &(T(w1))\ T’(cdi) (27 гл. IV), т. е. ф — взаимно однозначное отображение. Следовательно, ф — гомеоморфизм, точ- нее, эквивалентность. Возможно короткое решение этой задачи, основан- ное на 23 гл. IV и 186, 184 гл. Ill и на очевидном факте: счетно компактное счетное пространство бикомпактно. 25. Пусть Р = П {C7f. Ui £ N+}, где каждое — открытое в X множе- ство. Тогда [Р]рх П \ = Л’ ибо X нормально, а Р и X \ Щ — непересекающиеся замкн/тые в X множества. Тогда Р-= Q {рХ \ [X \ г £ 7V+}, очевидно,— искомое множество. 26. Пусть ЬХ — бикомпактное хаусдорфово расширение простран- ства X и | ЪХ \ X | > 2. Зафиксируем zt £ ЪХ \ X, z2 £ ЪХ \ X, z4 и рассмотрим пространство Z непрерывного разбиения пространства единственным неодноточечным элементом которого является множеств A =z {zp z2} (см. 318, 322 гл. II). Зафиксируем окрестности Ozj и Oz2 точек Zi и z2, для которых [Оыьх I' П [Oz2]M = Л. Положим Pl — X Q [Ozi]bx, Р2 = [Oz2]bx П Тог^,чеМ и Р2 — непересекающиеся непустые замкнутые в X множества, прич
РЕШЕНИЯ 261 Е и z2 Е Рассуждая далее, как при решении задачи 23 гл. IV, мы приходим к выводу, что Z можно рассматривать как некоторое биком- пактное хаусдорфово расширение Ь*Х пространства X, причем [Pi]b*x П [Рг1ь*х Ф Л. Следовательно, Ъ*Х и ЬХ — неэквивалентные расширения пространства X (10 гл. IV), т. е. у X имеется по крайней мере два бикомпактных хаусдор- фовых расширения, что противоречит условию. Значит, | ЬХ \ X | 1. Поэтому множество ЬХ \ X замкнуто, а множество X = ЬХ \ (ЬХ \ X) открыто в ЬХ. Следовательно, пространство X локально бикомпактно. Пред- положим теперь, что X не псевдокомпактно. Тогда на’Х существует неогра- ниченная непрерывная вещественная функция /. В /X о R тогда можно выбрать два непересекающихся замкнутых в R (где R — обычное про- странство всех вещественных чисел) подмножества А и В, ни одно из которых не бикомпактно (тем более не пусто). Тогда Р = f-1A и Q — f~xB — непере- секающиеся замкнутые множества в X, ни одно из которых не бикомпактно (ибо образ бикомпактного пространства при непрерывном отображении является бикомпактным пространством). Но Р и Q функционально, отде- лимы — достаточно взять композицию функции / и функции ф на /X, отде- ляющей Л от В. Получили противоречие (см. 23 гл. IV). 27. Предположим, что у 6 btX \ X и /(у) = х Е X. Тогда у х и суще- ствуют окрестности Оу и Ох точек х и у в Ь^Х, для которых П [ЗДьцзг— = А. Положим Pi ~ П X и Р2 — П X. Имеем у g [Pilbjx» х $ Pi- Поэтому, в силу непрерывности /, получим х = = fy Е lfPi]b2x- Но fPi — Pi, х С X, и так как Pi замкнуто в X, то х Е Pi — получили противоречие. См. также 345 гл. II. 28. Рассмотрим расширение Стоуна — Чеха РХ пространства X и его естественное непрерывное отображение / на vX. Пусть ЬХ — произвольное бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X и g: рХ -> &Х — естественное отображение. Зафиксируем счетное семейство у открытых в иХ множеств, для которого X = Q {V: V Е у}. Положим X={/-1V: V Е у}» Так как / непрерывно, то % — семейство открытых в рх множеств (счетное). Имеем П {U: U Е М = П {Z"1^- V Е у} = /’ЧП {F: V Е у}) = /^Х. Но /^Х = = X (см. 27 гл. IV). Значит, Q {U: U Е = X. Далее, положим ц — {ЬХ \ \ g(px \ U): U Е М- Отображение g замкнуто, поэтому ц состоит из открытых в ЬХ множеств. Очевидно, | ц | | X | к0. Имеем g~\bX \ \ g(px \ U)) cz U для всех U Е X. Поэтому g^p {Ч7: W Е ц}) = Г1 {g-1lV: IP Е и) cz П {U* U Ety = X. Но из g-1X = X (см. 27 гл. IV) следует, что W zd X для всех W Е И- Значит, Г) {W: X, т. е. множество X имеет тип в ЬХ. 29. В силу 18 гл. IV существует непрерывное отображение ф: РХ ЬХ, Для которого ф(я) = х при всех х Е X. Положим g = ф/, g: ЬХ ЬХ. Тогда g(a?) = ф/(лт) = х для всех ж Е X и g — непрерывное отображение. Следова- тельно, g — тождественное отображение пространства ЬХ на себя (287 гл. II). Так как / — отображение на рХ, то мы заключаем, что / — гомеоморфизм, точнее, / осуществляет эквивалентность расширений РХ и ЬХ. 30. См. 12, 13, 18, 29 гл. IV. 31. Единственность / вытекает из того, что любые два непрерывных Отображения, совпадающих на всюду плотном множестве, совпадают везде (287 гл. II). Существование 7 следует из задачи 18 гл. IV. 33. Предположим противное. Пусть ж* Е РХ \ X и {ж*} — множество *®па в РХ. Тогда существует непрерывная вещественная функция / на рХ, Для которой /-1(0)={я*} (см. 30 гл. III). R* = /X рассматривается как Подпространство обычного пространства R всех вещественных чисел. Из х* Е
262 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ £ [X] и /-1(0) ={я*} и непрерывности / следует, что [Л*]д \ R* Э 0. Тогда существуют Р и Q — непустые замкнутые в R* непересекающиеся множества, для которых 0 £ [Р]д, 0 £ [<?]/?. Положим /0 = f | X. Будем рассма- тривать /о как отображение пространства X в пространство R*. Оно непре- рывно. Поэтому А = /охР и В = f-^-Q — непустые замкнутые в X (непере- секающиеся) множества. Пространство Я* нормально (как всякое метриче- ское пространство), поэтому существует непрерывная ограниченная веще- ственная функция ф на R* такая, что ф(Р) = {0}, ф(<?) = {1} и ф(Я*) а: [0, 1]. Тогда g = ф/0 — непрерывная ограниченная вещественная функция на X, для которой g(A) — {0} и g(B) — {1[. Значит, А и В функционально отделимы в X. Но Э х* и Э х* • Действительно, если, например, [А]рх $ ж*, то /[А]рх $ 0 (так как /"х(0) = {а;*}), и так как fA = Pnf — замкнутое отображение, то f[A zd [Р] Э 0. Полученное противоречие означает, что MW Q =# Л. Но это невозможно, ибо А и В функционально отделимы в X и рХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X. 34. Необходимость — частный случай общего утверждения (см. 32 гл. IV). Докажем достаточность. Пусть ф: рХ -> РУ — гомеоморфизм, ф(РХ) = ру. В силу 135 гл. II пространство рХ (соответственно РУ) в каж- дой точке х £Х (соответственно в каждой точке у £ У) удовлетворяет пер- вой аксиоме счетности. Кроме того, ни в одной точке х £ рх \ X (соот- ветственно ни в одной точке у £ РУ \ У) пространство РХ (соответственно пространство РУ) не удовлетворяет первой аксиоме счетности — это содер- жание задачи 33 гл. IV. Достаточно заметить теперь, что при любом гомео- морфизме одного пространства на другое точка, в которой выполняется первая аксиома счетности, переходит в точку, в которой тоже выполняется первая аксиома счетности — последнее очевидно. 35. Верно более сильное утверждение: никакое финально компактное подпространство в РХ \ X не замкнуто в рХ, если X финально компактно. Для решения (от противного) воспользуйтесь рассуждениями из 19 гл. III. 37. Очевидно, что S(p) всюду плотно в X. Нам надо показать (см. 13 гл. IV), что всякая ограниченная (вещественная) функция /, определенная и непрерывная на S(p), допускает непрерывное продолжение на бикомпакт X. Но, пользуясь задачей 389 гл. II и рассуждая аналогично решению задачи 390 гл. II, можно показать, что функция / зависит лишь от счетного множества координат, т. е. существует такое счетное Ао cz А, что для любых двух точек х £ X, у £ X, для которых ха = уа, если а £ Ао, непременно fx = fy> Рассмотрим проектирование лАо: X -> П{Ха: а £ Ао} = У. Ясно, что лАо (2(р)) = У. Сужение отображения лАо на 2(р) обозначим через пАо* *^егко проверяется, что — непрерывное открытое отображение. То, что функция / на 2(р) зависит лишь от координат с индексами из Ао, означает, что существует такая вещественная функция /0 на У, ч то / = /оЯАо- Покажем, что отображение /0: У R (где R — обычная вещественная прямая) непрерывно. Пусть U — открытое множество в R и V = /о1^- Тогда из (S(p)) = У и / = /ол^о следует, что rt^f-^U^V. Но/: S(p) -* R непрерывно и потому /-1(Г7) открыто. Значит, и V открыто в У, так как — открытое отображение. Рассмотрим функцию f — /олА(). Ясно, что функция / определена и непрерывна на всем X и является продолжением функции /. Итак, всякая непрерывная ограниченная функция, заданная на S(p), продолжается Д° непрерывной функции на бикомпакте X. Значит, pS(p) = X. 38. Это сразу следует из 168 гл. III. 39. Это переформулировка утверждения задачи 228 гл. III. 40. Действительно, каждое метризуемое подпространство совершенно нормального бикомпакта обладает счетной базой (221 гл. III). 41. Авторам не известно удовлетворительное решение этой задачи.
РЕШЕНИЯ 263 42. Необходимость. Зафиксируем бикомпакт F cz X. Для каждой точки р С ЬХ \ X выберем открытое в ЬХ множество Up типа Fc, содержа- щее р и не пересекающееся с F (это возможно — для этого надо воспользо- ваться полной регулярностью ЬХ). Из открытого покрытия {Up: р С ЬХ \ X} множества ЬХ \ X можно выделить счетное подпокрытие X. Положим U = = ’J {G: G С А}. Тогда U — открытое в ЬХ множество типа Fa, не пересе- кающееся с F, но содержащее ЬХ \ X. Поэтому Ф = ЬХ \ U — замкну- тое в ЬХ множество типа G§, лежащее в X и содержащее F. Тогда Ф — бикомпакт и характер его в ЬХ, а следовательно, и в X счетен. Достаточность. Рассмотрим произвольное покрытие у пространства ЬХ \ X открытыми в ЬХ множествами. Положим F = ЬХ \ j {U: U Су). Очевидно, F — бикомпакт, лежащий в X. По условию, найдется бикомпакт Ф с X, содержащий F, характер которого в X счетен. Тогда, легко видеть, счетен и характер множества Ф в ЬХ (см. 135 гл. II — рассуждение проходит без изменений с заменой точки на бикомпакт и дополнительной ссылкой на 56 гл. III). Значит, ЬХ \ Ф — сумма счетного множества бикомпактов и поэтому финально компактна (см. 208 гл. III). При этом ЬХ \ X cz ЬХ \ \ Фо U{£7: U 6 у}. Из покрытия у можно выделить счетное покрытие X множества ЬХ \ Ф. Тогда X — счетное покрытие множества ЬХ \ X, являющееся подпокрытием исходного покрытия. 43. Пусть у $ [ЬХ \ Х]ьх \ (ЬХ \ X) и у £ X. Имеем [6Х \ Х]&л; \ \ (ЬХ \ X) cz X. Поэтому у $ ЬХ \ X, а тогда и у $ [&Х \ Х]ьх. Суще- ствует окрестность Оу точки у в пространстве ЬХ, для которой Следовательно, X локально бикомпактно в точке у и у $ /?(Х). Предположим теперь, что у $ 7?(Х). Иными словами, пространство X локально бикомпактно в точке у. Зафиксируем открытое в X множество U и бикомпакт Фс X, для которых у С U о Ф. Тогда с: [Ф]&х = Ф <= с X, и потому U = Int [ U]bX — открытое в ЬХ множество, содержащее точку у и лежащее целиком в X. Итак, U р| (ЬХ \ X) = Л и у (f [ЬХ \ Х]ьх. Задача решена. 44. Необходимость. Положим X* = ЬХ \ X и ЬХ* — [X*]bx, X** =- — ЬХ* \ X*. Можно рассматривать ЬХ* как бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X*. Так как последнее счетного типа, то X** — — ЬХ* \ X* финально компактно в силу 42 гл. IV. Но, очевидно, X = = X** U (ЬХ \ [Х*]&х). В силу 43 гл. IV ЬХ \ (Х*]6¥ совпадает с множе- ством всех точек, в которых пространство X локально бикомпактно. Достаточность. Следует из 42 гл. IV. 45. Рассмотрим расширение Стоуна — Чеха РХ пространства X и про- извольный бикомпакт Ф, лежащий в рХ \ X. Далее рассмотрим непрерыв- ное разбиение пространства рХ, единственным нетривиальным элементом которого является Ф. Пространство этого разбиения — бикомпакт (см. 92 гл. III) и его можно естественным образом интерпретировать как некоторое ’бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ пространства X. Через /: рХ -* ЬХ обозначим естественное отображение пространства рх на ЬХ. Тогда Ф = f^y* для некоторой точки у* £ ЬХ \ X. По предположению, ЬХ удо- влетворяет условию (*), т. е. существует бикомпакт Ф* cz ЬХ \ X такой, что у*- g ф* и %(Ф*, ЬХ) n0. Положим F = /^Ф*. Тогда Ф cz F cl РХ \ X (см. 27 гл. IV), и так как / — непрерывное замкнутое отображе- ние (см. 92 гл. III), то %(F, рХ) %(Ф*, ЬХ) х0 (см. 324 гл. II). Но тогда (см. 46 гл. IV) X финально компактно. 46. Необходимость. Зафиксируем для каждой точки х С X ее окрест- ность Ох в пространстве ЬХ такую, чтО’[Оя] р Ф — Л. Семейство у = {Ох: * 6 X} покрывает X, и множества Оя’П % открыты в X. Так как X финально компактно, то существует счетное семейство 1 о -у, для которого U{^: ¥ € X} zz) X. Положим F — р| {ЬХ \ [Z7]: U С X}. Можно считать, что замкнуто в ЬХ. Тогда из всего сказанного следует, что Ф cz F о ЬХ \ X.
264 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Так как ЪХ — бикомпакт и | % | < к0, то %(F, ЪХ) <; х0 (см. 68 гл. III), т. е. бикомпакт F искомый. Достаточность. Пусть у — произвольное открытое покрытие простран- ства X. Для каждого U € у рассмотрим открытое в ЪХ множество O(U), для которого O(U) П X — U. По условию, для бикомпакта Ф = ЪХ \ \ UW^)-' U £у} существует бикомпакт Fez ЪХ\ X, для которого Ф cz F и ЪХ) <; n0. Значит, открытое в ЪХ множество ЬХ \ F имеет тип Fc, а потому финально компактно (208 гл. III) и X cz bX\F, {O(U): U £ у} — открытое покрытие множества ЪХ \ F, из которого можно выделить счетное подпокрытие К. Тогда {7 Q X: V СМ — счетное подпокрытие покрытия у пространства X. 47. Достаточно соединить утверждения задач 46 и 45 гл. IV. 48. Зафиксируем счетное всюду плотное в Ф множество Q и отображе- ние f множества N на множество Q. Отображение f непрерывно и поэтому продолжается до непрерывного отображения /: рХ Ф(31 гл. IV). Так как Ф — хаусдорфово пространство, a рХ бикомпактно, то / замкнуто. Отсюда и из соотношений Q cz~j($N) cz Ф, [(?] — Ф следует, что f (РХ) — Ф. 49. Зафиксируем для каждого иррационального числа т последова- тельность рациональных чисел (т. е. элементов R), к нему сходящуюся (по отношению к обычной топологии); множество чисел, являющихся членами этой последовательности, обозначим через ср(т). Тогда | <p(m) П ф(тп') | < Ко при т Ф т' и | ф(т) | = к0, ф(т) cz R при всех ттг. Так как мощность множе- ства всех иррациональных чисел равна 2^° , то % — {ф(тп): nt — иррацио- нальное число) — искомое семейство. 50. Следует из задачи 49 гл. IV. 51. 1) Имеем [A]3N U [Х\ - [A (J (N \ Л)]ЗЛ. - [Х]^ - рХ. Так как N нормально, а А и N \ А — замкнутые в N непересекающиеся множества, то [A]3jV Q [X \ AL]3jV = Л (16 гл. IV). Следовательно, [Лг]рдт “ = рХ \ [X \ — открытое в рх множество.1 2) Доказывается легко со ссылкой на 16, 17 и 5 гл. IV. 3) [A ]32V <ф- X, ибо [Л]32у — бесконечный бикомпакт, а таковых в N нет. 52. Легко следует из задач 50 и 51 гл. IV. 53. Семейство & = М cz N} является базой пространства рХ в силу определения топологии (&N — уолменовского расширения простран- ства N — и того, что рХ = соХ (мы пишем знак равенства вместо знака эквивалентности — ясно, что это допустимо). Но | «$ [ == 2Ко. С другой стороны, базы мощности, меньшей 2h0 , у пространства РХ нет, ибо в рХ \А существует дизъюнктное семейство мощности 2Ко непустых открытых множеств (52 гл. IV). Значит, вес РХ равен 2No. Несколько сложней оценить мощность рх. Из рХ ~ соХ (см. 3, 17 гл. IV) и определения соХ следует, что | рХ ] < 2е. Но рХ можно непрерывно отобразить на любой сепарабель- ный бикомпакт, в частности, на Dс — произведение континуума (дискрет- ных) двоеточий (381 гл. II, 48 гл. IV). Поэтому | рх | | Dz | = 2е = 22 (см. 375 гл. II). Следовательно, | рх | — 2е. 54. В рХ множества вида где М cz N, образуют базу. следует, например, из того, что уолменовское расширение соХ для X совп дает с расширением Стоуна — Чеха и из определения топологии соХ (3, . гл. IV). Поэтому семейство — {[М]37у П (РХ \ X): М cz N и | М I является базой пространства X = РХ \ X. Положим р (рХ\Х) = М. Так как р {U: U £ у) Л, то можно построить систему X==jMn: п=^1, 2, . . .}о: J8, для которой Л =Л П {ЛГП: п € X+)cz П ф Jfn+i cz Мп. Положим Ф = Q {ЛГП: п £ Лг+). Достаточно показать, что
РЕШЕНИЯ 265 содержит непустое открытое в X множество. Из Mn+icz Мп следует (51 гл. IV), что Mn+i \ Мп — конечное (быть может, пустое) множество. Но тогда, если Jfn+i = ЛГл+1 П т0 ^n+i — ^n+i (51 гл. IV). Поэтому можно считать, что Mn+1cz Мп при всех п. Так как | Мп | = к0, п = 1, 2. . . ., то по индукции без труда строится последовательность 1п элементов множества N такая, что (а) in Е Мп и (б) гп+1^{ч, . . ., in}- Положим М* ={in‘ п — 1^_2, . . Тогда | М*J_= Ко и | М* \ Мп | < к0 Для всех п = 1^2, . . . Значит, М* =# Л и М* cz с Мп при всех п = 1, 2, . т. е. ЛГ* cz Q {Мп: п = 1, 2, . . .} cz cz (^{£7: U Е у). Множество М* = [M*]pN Q (pTV \ TV) открыто в X (51 гл. IV). 55. Вес пространства X равен 2х °, т. е. кР Через (Г, <) обозначим минимально вполне упорядоченное множество мощности к4 и зафиксируем базу в X, элементы которой приведены во взаимно однозначное соответ- ствие с элементами множества Т: — {Ut: t £ Т}. Теперь мы по индукции определим убывающую последовательность {Vt: t Т} открытых в X множеств. Положим Vo = X (трр 0 — первый элемент множества Т). Если tQ Е Т и для всех t Е 7, где t < t0, непустое открытое в X множество Vt уже определено, то положим WtQ = f\{Vt: t £ Т, t < £0}- Если IVfo =/= Л, то выберем непустое открытое множество V'iQ, содержащееся с замыканием в TKfo, — это возможно в силу 54 гл. IV. Далее, если Vt'o Q U(q Л, то положим 7<о = V^o П UfQ. В противном случае положим Vfo — Пусть, множества Vt определены для всех t £ Т. Заметим, что [7f,] cz Vv, при t" << f и Vt Ф Л при всех t Е Т. Поэтому Р — Q {[Vj: t Е Т} = Q {Vz: t Е Т} =# Л. Зафиксируем х* Е Р и покажем, что семейство Q = {Vf: t С 7’} образует базу в точке х*. Рассмотрим произвольную окрестность Ох* точки х*. Найдется (так как — база X) t* Е Т, для которого х* Е &t* cz Ох*. Из zd Vt* Р х* следует, что Ut* Q Wt* Л. Поэтому Vt* a Ut* (в силу определения Vt*). Итак, х* Е cz U& cz Ох*, т. e. доказано, что Q — база в точке х*. Если R — счетное множество окрестностей точки х* в X, то для каждого G С R зафиксируем t(G) так, чтобы было х* £ Vt(G) cz G, и выберем t € Т, для которого t(G) <z Тпри всех G Е R (это возможно, так как множе- ство R счетно). Тогда П {б?: G Е R} о р {У/(о- G Е R} чт0 и тРе" бовалось, т. е. точка х* искомая. 56. Существует сепарабельный бикомпакт Ф, некоторое подпростран- ство Z которого не нормально (119 гл. III). В силу 48 гл. IV существует непрерывное отображение /: рЛг -> Ф, f($N) = Ф. Отображение /, как Непрерывное отображение бикомпактов, совершенно. Тогда pJV не может быть наследственно нормальным, ибо тогда и Ф было бы наследственно нор- мальным. Последнее легко получается, если воспользоваться задачами 319, 329 гл. II. 57. Предположим противное. Тогда в У\ {р} существует последова- тельность {i/n: п Е^} точек, сходящаяся к р. Мы сейчас построим по индук- ции последовательность £={£7n: п Е N} непустых попарно не пересекаю- щая ОТКРЫТЫХ в Y множеств такую, что (а) [С7П] $ р для всех п Е N ® (о) какова бы ни была подпоследовательность ц ={Unk: к Е N} последова- тельности имеет место [|J {Unk* к 9 7V}] 9 р. Предварительно определим Для каждого открытого в У множества G, содержащего р, и каждого п Е N . пустое открытое множество <p(G, п) и номер k(G, п) Е N со свойствами: Как Р’ %) k(G. п) > п; 4) <p(G, п) 9 . Покажем, я это сделать. Существуют п' Е N и п" Е N такие, что п' > п, п" > п, Уп" и уп, Е G, уп„ Е G. Выберем у точек уп и уп„ непересекающиеся
266 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯВ окрестности V' и V", лежащие в G. Положим Р' = V' П N и Р” = V" П А. Тогда Р' П Р” = Л; так как N всюду плотно в У, то [Р'] = [7'], [Р"] = [7"]. Но из Р' р Р" = Л и того, что N U {р} — подпространство пространства рА, следует, что либо р $ [Р"], либо р $ [Р7]. Пусть р 4 [P'L Тогда р 4 [7'], п мы полагаем k(G, п) = п', <p(G, п) — 7'. Примем теперь за UQ любую окрестносгь точки у0, замыкание которой не содержит точки р. Пусть I £ N и для всех п I множества Un определены так, что выполняется условие (а). Положим тогда G = Y\ |J {[ Un]: п 1} и Ui+i — <p(G, Z). В силу 2) [Z7^+1] $ р. Таким образом множества опре- деляются для всех i £ А. Они непусты, открыты, попарно не пересекаются; ясно, что для них выполняется условие (а). Из построения следует, что для каждого к £ А существует £ N, > п, такое, что $ уп^ Так как любая подпоследовательность последовательности {ynk'> к £ N} сходится к р, то условие (б) тоже выполняется. Положим Ai = (U{^i: i € N, i четно}) Q N и A2 = (U Wi' i E V, i нечетно}) Q А. Тогда, очевидно, At Q A2 = Л, но [A J } P и [A21 Э p — получили противоречие. 58. Из15,21и23 гл. IV следует, что рА — РУ — единственное биком- пактное расширение пространства У. Тогда У локально бикомпактно и псев- докомпактно (см. 26 гл. IV). Счетную компактность У докажите сами, вспом- нив ее определения и эквиваленты. 59. Положим У = Х\А. Для каждой точки у £ У зафиксируем биком- пакт Ф(г/), лежащий в X, такой, что у С [Ф(^)ПА] (очевидно, у £ [А]\ЛТ для всех у £ У, поэтому это возможно). Положим V(y) — [Ф(у) П А]. В силу определения топологии в рА, V(y) — открыто-замкнутое бикомпактное под- пространство пространства РА (51 гл. IV). При этом V(y) = [Ф(г/) Q A] cz <zz Ф(у) cz X. Имеем X = У (J А = U {V(y)i у £ У} U А. Все множества, стоящие в правой части, открыты в рА; следовательно, и X открыто в рА. 60. В рА\А выберем произвольное счетное бесконечное подмноже- ство М. Оно не замкнуто в РА (36 гл. IV). Через х* обозначим какую-нибудь предельную для М точку множества рА\7И. Положим (? = П {PA\{z}: х С М}. Тогда Q полно в смысле Чеха по определению, и Q zz А, ибо М П П А = Л. Очевидно, Q } х* и Q всюду плотно в рА. Пространство Q не локально бикомпактно — в противном случае множество Q было бы открыто в РА (см. 179 гл. III) и вместе с точкой х* содержало бы некоторую ее окре- стность и, значит, какие-то точки множества М, что невозможно, ибо М П п Q = Л. 61. Множество А лежит в X, оно там не имеет предельных точек. Сле- довательно, X не счетно компактно (см. 189 гл. III). Предположим, что X не псевдо компактно. Тогда существует неограниченная непрерывная веще- ственная функция / на X. Так как R\N всюду плотно в X, то множество /(7?\А) является некомпактным подпространством пространства R. Поэтому найдется бесконечное множество A cz /(Я\А), не имеющее в R предельных точек. Для каждого а £ А зафиксируем х(а) £ Я\А такое, что f(x(a)) = а* Тогда Р = {х(а): а £ А} — бесконечное множество, лежащее в X и не имею- щее там предельных точек,— последнее следует из непрерывности / и свой- ства множества А. Имеем A cz Я\А, А и А — замкнутые в R множества. Следовательно (16 гл. IV), [А]рнП [А]рд = Л (так как R — нормальное пространство). Значит, [А]рк cz X. Но А замкнуто в X. Поэтому А = [Ajp%’ а это противоречит тому, что А — бесконечное дискретное подпространство пространства X. Этим доказано, что X псевдокомпактно. + 62. Рассматривая поочередно, в естественном порядке, элементы Л ’ мы для каждого п £ А+ решим, отнести ли его к А* или кА**. Положи* 1 £ А* и Zs’jXJl} с: А**. Пусть i > 1 и для всех j < i уже установлено; какое из соотношений имеет место: / £ А* или / £ А**, а также по А* и л распределены все элементы множества (J {Ef. 7 < i}. Рассмотрим i я Ус ловим, когда i следует отнести к А* и когда — к А**, также дадим соотв
РЕШЕНИЯ 267 ствующее правило относительно элементов множества Et. Прежде всего может случиться, что i £ U {Ef j < г}. Возможны тогда два случая. 1) i £ £ У**. Полагаем тогда, что если п £ Е^ и п > I, то п £ 1\т* (очевидно, для п £ Ei при п > i вопрос о принадлежности к N* или 7V** ранее не решался). 2) i £ N*. Полагаем тогда, что если п > i и п £ Et, то п £ Лг**. Если же I £ U {Ef j < i}, то мы принимаем, что i £ Л’*, и для всех п £ Е^ больших г, каки в случае 2), полагаем п £ 7V**. Очевидно, указанная процедура опре- деляет разбиение множества N + на два бесконечных непересекающихся мно- жества с нужным свойством — последнее тривиально содержится в опре- делении N* и 7V**. 63. Пусть нашелся гомеоморфизм пространства X на У. Образ точки л** при нем непременно есть точка х*, так как х* — единственная неизоли- рованная точка в обоих пространствах. Образ произвольного элемента и £ 7V = {0, 1, 2, . . .} при этом гомеоморфизме условимся обозначать через хп. Итак, М = {хп: п = 0, 1, 2, ...}. Зафиксируем теперь семейство попарно не пересекающихся окрестностей Охп точек хп множества М в про- странстве РХ, взятых из стандартной базы топологии пространства f3vV. Итак, Охп — (A^nlpjv, где Nn — некоторое бесконечное подмножество нату- рального ряда, причем Nn, Q Nn„ = Л при п #= п". Теперь мы воспользуемся результатом задачи 62 гл. IV. Существуют непересекающиеся бесконечные множества N* cz TV, TV** cz TV, для которых TV* и №** = N и I TV* П TVn | < Ко, если n £ TV*, | TV** П I < если n £ Лг**. Тогда либо [TV*] Э x*, либо [TV**] Э «*• Пусть, для определен- ности, [TV*] Э х*. Тогда, в силу выбора нумерации множества М, получим: {{яп: п € TV*}] Э х*. Но [TV*] — открытое в p2V множество (51 гл. IV), т. е. окрестность точки х*. Следовательно найдется n* £ V*, для которого £ € [AT*]pN.C другой стороны, Охп* = [ЛГп»]₽лг- Следовательно, [7V*]pJV П П [-WndfiN п (РЛ^чЛГ) ¥= Л. Поэтому I Nn* [~| N* | = х0 (51 гл. IV), а это противоречит тому, что n* £ TV*. 64. Существует непрерывное отображение /: pTV -> Dz на канторов дисконтиуум Dz веса с, ибо Dz сепарабельно (см. 381 гл. II, 48 гл. IV). Но теснота любого диадического бикомпакта равна его весу (см. Архан- гельский и Пономарев [1]); значит, теснота Dz равна 2Хо, а тес- нота при непрерывных замкнутых отображениях не повышается. С другой стороны, очевидно, i(PTV) <^2Ко. 64'. См. Ефимов [1], [3]. t 67. Легко вывести из 65, 66 гл. IV. См. также Березницкий [1]. * 68. Это легко вытекает из того, что Cf(N) и Cf (TV) гомсоморфны, если У / и /' одинаковое число неподвижных точек или если / и f совпадают всюду, кроме, быть может, конечного множества точек. 69. Пусть <р — непрерывная вещественная функция на X и яр — непре- рывная вещественная функция на 7, для которых <р(Р) = {1}, ф(Х\7) = {0), яр(р*) =={!}, ф(7\7*) = {0} , 0 ф(л:) 1 при всех х £ V. Положим f(x) = = Ф(^)*ф(^), если х £ V, и f{x) —{0}, если х £ Х\7. Проверьте сами, что / — непрерывная на всем X функция, и /(Р*) = {1}, /(Х\7*) = {0}. 70. Это легко следует из вполне регулярности пространства ЬХ. 71. По определению а-фильтра, найдется V £ р, для которого суще- ствует на X непрерывная ограниченная вещественная функция / такая, что *(Х\С7) = {0} и /(И) — {1}. Остается сослаться на задачу 15 гл. IV. 72. Так как рХ — вполне регулярное пространство, нуждается в дока- зательстве только максимальность pz. Предположим, что нашелся а-фильтр Р» строго содержащий pz. Рассмотрим любое U £ P\pz. Выберем V £ р, £ля которого существует непрерывная ограниченная вещественная функция jja X такая, что /(Х\С7) = {1} и f(V) — {0}. Любая окрестность точки z Пресекается с X\U — иначе U £ pz, что противоречит U £ P\PZ. Значит,
268 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ z G [Х\17]^х- Но [Г]рл: П [X\t7]px = А (см. 15 гл. IV). Следовательно, z i [Р]|3х* Тогда Oz = рХ\[ V]$x ~~ окрестность точки z в РХ, и поэтому П X £ pz cz (3.. Но, очевидно (Oz р X) П V == Л, а это противоречит тому, что р — фильтр. 73. Множество Ф = П G 6 Р} ¥= Л, ибо семейство {[Gjpx: G £ Е р} центрировано и состоит из замкнутых в бикомпакте РХ множеств. Выбе- рем з£Ф. Тогда, очевидно, Pz U Р — а-ультрафильтр. Но и pz — а-ультра- фильтр (см. 72 гл. IV). Из pz и Р Pz и Pz U р О р следует теперь, по опре- делению а-ультрафильтра, что р = рг U Р — Pz* 74. В силу 73 гл. IV имеем Р = р2, где {z} = Q {[Г7]рх: С Р}* Пока- жем, что z£G. Если z $ G, то (см. 149 гл. IV) z С [Х\(?]рх. Из G С Р и того, что р — а-ультрафильтр (см. стр. 240), следует, что [К]^ П [XXG]^ = А для некоторого V £ р (см. 15 гл. IV). Но G = pX\[X\G]px (см. 149 гл. IV) и z С [И]]зх* Следовательно, z С G. Очевидно, если z £ G, то G £ Pz- 75. Предположим противное. Тогда найдутся (см. 15 гл. IV) замкнутые в X функционально отделенные множества Р и Q, для которых А у= [Р]ьх П П Мъх- Множество Х\Р принадлежит семейству всех а-окрестностей множества Q в X, а множество Х\@ принадлежит семейству всех а-окре- стностей множества Р в X. Зафиксируем z g [Р]&х П Так как — а-семейство и фильтр и так как каждый элемент а-семейства bz, которое тоже является фильтром, пересекается с каждым элементом семейства bz U ip — тоже а-семейство. Но bz — а-ультрафильтр. Поэтому bz U Ip ~ = bz, т. е. bz zd gp. Аналогично доказывается, что bz zd |q. Но у функцио- нально отделенных множеств всегда имеются непересекающиеся а-окрсстности (см. 1 гл. III). Поэтому некоторый элемент семейства не пересекается с некоторым элементом семейства Jq, а это противоречит тому, что bz — а-ультрафильтр и bz zd gp U Bq* 76. По существу это доказано в решении задач 73 и 75 гл. IV. 77. Рассмотрим pz = {U р X: U открыто в рХ и U Э z}. В силу 72 гл. IV pz — а-ультрафильтр на X. Остается заметить, что Y = (РХ\Р) П X, z С рХ\Р, следовательно, Y £ pz. Теперь ссылаемся на задачу 10 гл. III. 78. Утверждение 1) справедливо, так как X есть Ti-пространство. В силу 72 гл. IV каждое pz является а-ультрафильтром на X, а из 73 гл. IV следует, что В есть множество всех а-ультрафильтров на X. Этим доказано 4). Для каждого открытого в X множества G существует G С % такое, что G П Q X = G (см. 149 гл. IV). Поэтому 3) вытекает из 2). Из 1), определения У и и того, что % — база пространства РХ, следует утверждение 5). Нако- нец, 2) справедливо в силу 74 гл. IV. 80. Каждая непрерывная вещественная функция /, заданная на X, ограничена и потому продолжается до непрерывной функции на рХ — рас- ширении Стоуна — Чеха пространства X. По определению, это означает, что либо X — не ^-пространство, либо X = РХ, т. е. X — бикомпакт. 82. Необходимость. Пусть X есть ^-пространство. Тогда существует непрерывная вещественная функция / на X, которая не продолжается на пространство X j {я*}* При любом к С N положим Х£ = {х £ X: | f(x) I <^к} и Xk = {х £ X: | f(x) | > к -|- 1}. Множества Хк и Хк замкнуты в % и функционально отделены (функцией /), поэтому (см. 15 гл. IV) [Х^]рх П П [ХЙрх — А при всех к g N. Покажем, что х* (f [Xk]$x. Предположим противное. Тогда х* (£ [Хь]до. Рассмотрим функцию /' на X, определенную так: f(x) = f(x), если | f(x) | к -|- 1; /'(я) = & -f- 1, если f(x) > & f(x) = (к 1), если f(x) — (к -f- 1). Очевидно, f — непрерывная 0ГРа. ниченная вещественная функция на X. Поэтому ее можно продолжить на РХ — и тем более на X J {я*} — до некоторой непрерывной функции / • Положим f(x*) = f(x*) и f(x) = f(x) при всех х £ X. Из х* [х£]рх следу61'
РЕШЕНИЯ 269 что /' и / совпадают на пересечении некоторой окрестности точки х* с X. Поэтому7 — непрерывная функция на X J {**}, продолжающая /, — полу- чили противоречие. Значит, 1Х£]рх £ х* при всех к £ N. Множество = = открыто и содержит точку х*. Существует (см. 69 гл. III) бикомпакт Ф& счетного характера в рХ, лежащий в и содержащий х*. Тогда F = П {Фд: к £ N} — бикомпакт счетного характера в рХ и х* £ С F а р {U^: к £ N} cz рХ\Х — последнее включение вытекает из того, что и {[XJhx: к е N} о и {Х^: к С N} = X. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть F cz рХ\Х, yw(F, РХ) = х0* Тогда на рХ существует непрерывная вещественная функция ф такая, что Ф-1(0) = F (см. 30 гл. III). Положим f(x) = —— для всех х £ X (заметим, что ф(х) 0 ф \х) при х £ X, ибо F П X = Л). Для любой точки у С F и любого 8 > 0 найдется 1 окрестность Оу точки у в рХ такая, что | ф(я) | < 8. Тогда | f(x) | > — для всех х С Оу Q X. Так как всегда Оу^\Х #= Л и & произвольно, мы заклю- чаем, что функцию / нельзя продолжить до непрерывной функции на X U {у}, как бы ни было выбрано у С F. Пусть теперь X — {ж*} J X, [Х]% — X, х* £ X и X — вполне регулярное пространство. Рассмотрим естественное отображение g расширения Стоуна — Чеха рХ пространства X на расшире- ние Стоуна — Чеха рХ пространства X (такое отображение существует, ибо РХ является, очевидно, некоторым бикомпактным хаусдорфовым рас- ширением пространства X cz X). Выберем у* £ g"1^*). Из х* $ X следует, что у* С рХ\Х (см. 27 гл. IV). Как мы видели выше, существует непрерыв- ная вещественная функция / на X, которая не продолжается на X (J {у*}. Так как сужение g на X IJ {у*} является уплотнением пространства X (J U {у*} на пространство X = X U {я*}, то у / нет продолжения на X. 83. См. 188, 185 гл. III и 80 гл. IV. 84. Базой Ко~модификации пространства рХ служит совокупность всех множеств типа G^ в рХ. Поэтому наше утверждение сразу вытекает из 82 гл. IV и следующего замечания (см. 71 гл. III): если А — множество типа Gfr в бикомпакте F и х £ А, то существует бикомпакт Ф такой, что х £ £ Ф cz А и %(Ф, F) < х0. 85. Рассмотрим расширение Стоуна — Чеха рХ пространства X. Пусть X — ^-пространство и £ — произвольный свободный а-ультрафильтр на X. Тогда, в силу 73 гл. IV, существует точка z С РХ\Х такая, что | = р2. Так как X — ^-пространство, существует счетное семейство % = {Un: п С € V+} открытых в рХ множеств такое, что i С П п £ N+} cz рХ\Х (82 гл. IV). Тогда г) = {Un П X: п 6 Nr}<= I, I П 1 = и Щ {V: V е г)} = = Л — необходимость доказана. Обратно, если у — любая точка из РХ\Х, то р^ — свободный «-уль- трафильтр на X (см. 72 гл. IV). По условию, он х0-прост, значит, существует счетное семейство 0 окрестностей точки у в РХ такое, что Q {U П X: U £ 0} = А. Но тогда уЕП {^: € 0} cz рХ\Х, чем доказана (см. 84 Гл- IV) достаточность. 86. Если X дискретно, то каждый а-ультрафильтр на пространстве X является ультрафильтром на множестве X и, наоборот, каждый ультра- фильтр на множестве X является а-ультрафильтром на пространстве X. Условие к0-простоты а-ультрафильтра при этом тождественно требованию, Чтобы ультрафильтр не был а-ультрафильтром (см. стр. 242, 32). Теперь Остается сопоставить утверждение задачи 85 гл. IV с определением неизме- римого кардинала (см. стр. 242). 87. Это сразу вытекает из 82 гл. IV и следующего простого утвержде- н®я: если F cz У cz X и %(/?, X) = к0, то х(/\ У) < к0.
270 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 88. Необходимость следует из 82 гл. IV: если X — ^-пространство> то рХ обладает свойством (*). Покажем теперь, что если некоторое биком- пактное хаусдорфово расширение ЬХ пространства X обладает свойством (*), то и расширение Стоуна — Чеха рХ этого пространства тоже обладает этим свойством. Рассмотрим естественное отображение /: рх ЬХ (см. 22 гл. IV). Зафиксируем х* £ РХ\Х и положим г/* = f(x*). Выберем биком- пакт Ф cz ЬХ\Х, %ля которого у* £ Ф и %(Ф, ЬХ) — х0, и положим F = = /^Ф. Тогда F — бикомпакт, и из /(РХ\Х) cz ЬХ\Х (см. 27 гл. IV) следует, что F cz РХ\Х. Так как / — замкнутое отображение, то из 324 гл. II следует, что x(F, рХ) = х0- Кроме того, х* £ F. Итак, рХ обладает свойством (*)• А тогда (82 гл. IV) X — ^-пространство. 89. Необходимость вытекает из 84 гл. IV, в качестве ЪХ подходит рХ. Достаточность следует из 88 гл. IV и того, что множество типа в би- компакте всегда представимо как объединение некоторого множества биком- пактов счетного характера в этом бикомпакте (см. 71 гл. III). 91. Это следует из задач 46 и 88 гл. IV. 92. Это прямо следует из 88 гл. IV (искомые бикомпакты счетного характера — одноточечные множества). 93. Каждая точка пространства X удовлетворяет первой аксиоме счет- ности и в пространстве ЬХ. Поэтому [У]^ — бикомпактное хаусдорфово расширение пространства К, удовлетворяющее условию (*) из 88 гл. IV. Следовательно (88 гл. IV), Y — ^-пространство (см. также 89 гл. IV). 94. Так как у X нет точек локальной бикомпактности, то ЬХ\Х всюду плотно в ЬХ (см. 43 гл. IV). Поэтому если F cz ЬХ\Х и F —- бикомпакт счетного характера в &Х\Х, то и %(F, ЬХ) = х0. Так как &Х\Х — про- странство точечно счетного типа, можно заключить, что ЬХ обладает свой- ством (*) по отношению к X (см. 88 гл. IV). Следовательно (88 гл. IV), X — ^-пространство. 95. Положим bY = [У]ь^. Тогда 6У\У — замкнутое подпространство пространства X. Зафиксируем произвольно z € ЬУХЧУ. Так как z £ X, то существует бикомпакт Ф cz X такой, что %(Ф, X) х0. Из [X]&Jf = ЬХ следует, что и %(Ф, ЬХ) х0. Положим F = (bY\Y) Q Ф. Тогда F — бикомпакт счетного характера в bY, причем z £ F cz bY\Y (мы учли, что F — замкнутое множество типа G§ в бикомпакте bY). Значит, bY обладает свойством (*) и У — ^-пространство (см. 88 гл. IV). 96. Воспользуйтесь задачей 88 гл. IV. 97. Для каждого а £ А зафиксируем бикомпактное хаусдорфово рас- ширение ЬаХа пространства Ха, обладающее свойством (*) из задачи 88 гл. IV,—например, в качестве ЬаХа можно взять рХа—расширение Стоуна — Чеха пространства Ха. Тихоновское произведение П (ЬаХа: а £ А} являет- ся бикомпактным хаусдорфовым расширением (обозначим его через ЬХ) тихоновского произведения X = П {Ха: а £ А}. Из 362 гл. II или 77 гл. III следует, что ЬХ обладает свойством (*) по отношению к X, т. е. является ^-расширением пространства X. Поэтому (88 гл. IV) X — ^-пространство. 98. Прямая является ^-пространством (90 гл. IV), произведение ^-про- странств является ^-пространством (97 гл. IV) и замкнутое подпространство ^-пространства является (J-пространством (96 гл. IV). Отсюда следует доста- точность. Докажем необходимость. В силу 82 гл. IV если X — ^-простран- ство, то в рХ — расширении Стоуна — Чеха пространства X — существует семейство у = {Фа: а £ А} бикомпактов такое, что %(Фа, РХ) <: Хо и U {Фа: а £ А} = рХ\Х. Из 79 гл. III следует теперь, что X гомеоморфно замкнутому подпространству произведения |А |*т экземпляров прямой» где т — вес пространства X. 99. Если F £ %, то X Q X = Л. Поэтому $ Q Х = Л и X cz vX соотношение 0) выполняется. Из 0) следует, что РХ является бикомпактным хаусдорфовым расширением и пространства vX. Но нарост РХ \ vX ==? = U {^: F — объединение бикомпактов счетного характера в рХ»
РЕШЕНИЯ 271 Значит (см. 82 гл. IV), vX — ^-пространство. Этим доказано 1). Докажем 2). Воспользуемся тем, что рХ — расширение Стоуна — Чеха пространства Y (это верно — см. 21 гл. IV, так как X с У с рХ). Нам дано, что Y — ^-пространство. Поэтому (82 гл. IV) существует семейство бикомпактов, лежащих в рХ\У и имеющих счетный характер в рх, причем (J {Ф: Фс г~ <&'} = РХ\ У. Но тогда (так как X с У) с откуда РХ \ У cz Значит, У zd pX\<g = vX, что и требовалось. 100. Имеем X с У cz vX cz рХ. Поэтому рХ является расширением Стоуна — Чеха пространства У (21 гл. IV), a vX является наименьшим из всех (2-пространств, лежащих в РХ — РУ и содержащих У (см. 99 гл. IV). Следовательно (снова 99 гл. IV), vV — vX. 102. Пользуясь задачей 291 гл. II, можно доказать, что А гомеоморфно замкнутому подпространству произведения X X В. Но тогда, так как произ- ведение ^-пространств всегда есть ^-пространство и замкнутое подпростран- ство ^-пространства является ^-пространством, то А — тоже ^-пространство. 103. Воспользуйтесь задачей 47 гл. VI и задачами 102, 79 гл. IV. 104. Существует (31 гл. IV) непрерывное отображение /: РХ -> рУ расширения Стоуна — Чеха пространства X в расширение Стоуна — Чеха пространства У такое, что f [ X — f. Имеем (см. 99 гл. IV) X cz vX cz РХ, У cz vY czzz рУ. Положим Z = f-^vY). Тогда X cz Z cz РХ и Z — ^-про- странство (102, 103 гл. IV). Поэтому vX cz Z (99 гл. IV) и, следовательно, /(vX) cz vV. Значит, f = J | vX — искомое отображение. 106. Прямая является ^-пространством (см., например, 90 гл. IV). Поэтому каждая непрерывная вещественная функция, определенная на X, продолжается до непрерывной функции на vX (105 гл. IV). Пусть у £ рХ\ vX. Так как vX — ^-пространство, существует непрерывная вещественная функция g на vX, которую нельзя продолжить до непрерывной функции на vX J {у}. Положим /0 = S I X. Тогда /0 не продолжается на X U {^} (см. 288 гл. II), тем более /0 не продолжается ни на одно пространство, содер- жащее XU {у}. Отсюда, очевидно, вытекает, что если X cz Z cz рХ и /0 продолжается до непрерывной функции на Z, то Z £ у и, значит, Z cz vX. 107. Это легко следует из задачи 106 гл. IV. 108. Ясно, что из 1) следует 2) и из 2) следует 3). Выведем теперь 1) из 3). Пусть У — произвольное подпространство пространства X; положим А = X \ У. Имеем У = Q {X \ {х}: х 6 А}. В силу 367 гл. II У гомеоморфно замкнутому подпространству тихо- новского произведения Z = П {X \ {я}: х С Л). Но Z — ^-пространство, ибо каждое X \ {я} — ^-пространство (97 гл. IV). Поэтому и У — ^-про- странство. 120. Таково пространство из задач 100 и 101 гл. V: 3й Q и — ^-пространства, ибо | | = к0 и | ^ | = 2Ко (см. 117 гл. IV). 121. См. М р у в к а [1] (впрочем, легко доказать и самостоя- тельно). 122. Нет. Таково пространство из задач 100, 101 гл. V. 123. Нет, не верно. Пример см. М р у в к а [1]. 131. Пусть о — {t7a: a £ А} — база пространства X мощности | о | •С и>Х, состоящая из открыто-замкнутых множеств. Поставим в соответствие Каждому a £ А изолированное двоеточие Da — {0a, la}. Пусть х £ X. Поло- Жим/ах = 0а, если х £ С7а, и /аж = 1а, если х £ С7а. Ясно, что /а: X Da — Кепрерывпое отображение. Рассмотрим диагональное произведение /: X -> семейства отображений {/a: а С Л}. Отображение f непрерывно (см. 290 гл. II), поэтому (и вследствие бикомпактности пространства X) мйО/кество /X бикомпактно, а значит, замкнуто в Кроме того, /: X -> /X — замкнутое отображение. Для доказательства того, что / — гомео- МоРфизм, надо показать, что / взаимно однозначно. Пусть xi С X, х2 6 X,
272 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ =/= х2. Возьмем такое а0 £4, чтобы х^ С Яа<), а #2 $ UaQ. Тогда /a(£i ¥= =£faX2, значит, и fxi ^fx2. 140. Надо доказать следующее утверждение: если каждое из двух бикомпактных расширений ЪХ и сХ. следует одно за другим, то они совпа- на на дают. Пусть f: ЬХ —> сХ и g: сХ —> ЬХ — естественные непрерывные ото- бражения. Рассмотрим отображение h = gf. Теперь утверждение следует из задачи 288 гл. II. 141. (а) Проверим выполнение всех аксиом. К1. Пусть F < рЯ. Значит, существует непрерывная функция /: X -* -> [0, 1], для которой fF — {0}, а /(X \ II) — {1}. Рассмотрим функцию g(x)~ = 1 — f(x). Она, очевидно, непрерывна; 0 g(x) <; 1. Кроме того, g(F) — = •{!}, a g(X\II) = {0^. Значит, Х\Н < pX\F. Аксиомы К2, КЗ и Кб, очевидно, выполнены. Докажем выполнение аксиомы К4. Пусть Fj II4; F2 Св Я2. Зна- чит, существуют непрерывные функции /i: X -> [0, 1]; /2: X [0, 1], для которых/1(А)={0}, fi(X\Hi)={l], f2(F2)={0], f2(X\Il2)={l\. Рассмотрим непрерывную на X функцию f(x) = /iU)/2(^)- Очевидно, 0 С fx 1 для всех х С X. Пусть xQ £ F± J F2. Тогда, очевидно, f(xQ) ~ /1(яо)/2(яо) = 0* Пусть х0 С Х\(Я4 U Я2). Значит, х0 £ Х\Я1 и х0 С Х\1Г2; следовательно, Л(яо) = 1 и /2(ж0) = 1» т. е. fx0 = 1. Таким образом, Fi U F2 U Я2. Доказываем аксиому К5. Пусть F СрЯ; /: X -> [0, 1] — непрерывная на X функция, для которой fF = {0} и/(Х\Я) = {1}. Рассмотрим непрерывные на X функции {1, если /(я) = 1, о, если 2(/(ж)—у)’ если г 0, если / (х) = 0, 1 1, если f(z)>y , 2/(я), если 0<f(rr)<~ и окрестность OF — £ X: 0 fx < --у множества F. Тогда/i([OF])={0}, Л(Х\Я) = {1}, f2(F) = ^0}, /2(X\[OFJ) = {!}. Следовательно, F OF; {OF] < рЯ. Выполнение аксиомы К7 следует из полной регулярности про- странства X. (б) В нормальном пространстве X по «большой лемме Урысона» (см. 25 гл. Ill) F <рЯ тогда и только тогда, когда F с: Я. 142. (а) Надо проверить выполнение всех аксиом подчинения (см. стр. 247). (б) Пусть (X, р) — плоскость с естественной метрикой на ней. Достаточно проверить, что элементарное подчинение (см. стр. 248 и зада- чу 141 гл. IV) в (X, р) не совпадает с подчинением р. Для этого в качестве замкнутого в X множества Fi возьмем множество всех точек прямой у = 0’ а в качестве замкнутого множества F2 — множество всех точек гиперболы ху = 1. Ясно, что Fi (Х\1?2), но Fi не подчинено множеству X\F2 в смыс- ле подчинения р, ибо p(F1? F2) — 0. 143. Действительно, в любом вполне регулярном пространстве можво ввести подчинение, например, элементарное (см. 141 гл. IV). Обратно, пусть в Трпространстве X введено подчинение р, удовлетворяющее всем аксиома» KI — К7.
РЕШЕНИЯ 273 Докажем полную регулярность пространства X. Из аксиом К7, К5 и К2 прежде всего следует регулярность пространства X. Полная же регу- лярность пространства X доказывается по той же схеме, что и большая лемма Урысона (см. 25 гл. III); надо только все время пользоваться аксиомой К5 для подчинения v. 144. Во-первых, на бикомпакте X существует подчинение, например, элементарное (см. 141 гл. IV). Докажем, что оно единственно. Пусть и — какое-нибудь подчинение. Из F по аксиоме К2 следует F cz Н, Надо доказать обратное. Этим утверждение и будет доказано. Итак, пусть F cz Н. В силу аксиомы К7 для каждой точки х £ F непременно {я} <«Я; воспользо- вавшись аксиомой К5, возьмем окрестность Ux точки ж, для которой [Ux\ <Zv>H. Рассмотрим открытое покрытие coF — {Ux: х £ F} замкнутого в би- компакте X множества F. Выделим из этого покрытия конечное подпокрытие со^— {СЛГ1, . . ., Uxs}. Имеем [ЯхД <УЯ, i = 1, 2, . . s. Тогда F cz 8 8 c|J LrXj, а по аксиоме К4 получим [ Uxt] <ZVH, следовательно (поаксио- г=1 1--1 ме КЗ). F Все доказано. 146. (а) Доказательство того, что любая ^-правильная система откры- тых множеств пространства X с подчинением v содержится в некотором p-конце, является простым упражнением на принцип максимального эле- мента. (б) Пусть В — р-конец js (X, v). 1. Рассмотрим систему g = g J {Н’ П Н": Н' £ £ 5}. Легко про- веряется, что g — центрированная система. Пусть Но £ В произвольно. Если Но £ g, то, в силу p-правильности системы g, найдется такое Hi £ В <= В, что [ЯJ <ZvHQ, Если Ho = Hi Q Я2, Я1 £ g, Я2 £ g, то возьмем такие Я{ £ g и Я2 Е В» чтобы [Я^] <гЯ1, [Я2] СрЯа. Тогда (см. аксиомы подчинения на стр. 247)_[Я£ П Н'2] = [Я£] Q [Я^] П Н2 - Яо и Я{ П Е В- Итак, система g является p-правильной. Тогда в силу того, что g — максимальная p-правильная система, т. е. р-конец, получим g = g. Отсюда получаем, что Я4 n ih € В. 2. Пополним наш р-конец g до системы g, состоящей из всех открытых в X множеств, содержащих хотя бы одно Я £ g. Легко проверяется, что | есть p-правильная центрированная система. Значит, g = g, в силу чего Я £ g, если Я zd Я1 и Я! е В- 147. (а) Пусть g £ ОН1 П Тогда Н± £ В и Я2 Е В- Так как 6 — p-конец, то 1Ц П Я2 £ В (см. 146 гл. IV), следовательно, g £ (: °Н1ПН2- обРатно> пусть g £ ОН^И2, Это означает, что Hi Q Я2 £ g. Но Hi cz Hi П Я2 и Я2 zz> Hi Q Я2. Значит, в силу того, что g — p-конец, Hi £ Е В, я2 £ g (см. 146 гл. IV), т. е. g £ Он^ П ОН2. (б) Пусть Hi cz Я2 и В Е ОН{. Тогда Ht £ g, а так как g — р-конец (см. 146 гл. IV), то Я2 £ g, т. е. g £ (в) Устанавливается без труда. (г) Пусть (х0) — система всех открытых в X множеств, содержащих точку Xq £ X. Очевидно, (ж0) центрирована и p-правильна (последнее следует из аксиом К5 и К7 для подчинений). Докажем, что (я0) — р-конец. Пред- положим, что (ж0) — не р-конец. Тогда (х0) содержится в некотором р-конце В (см. 146 гл. IV). Так как пространство X регулярно, a g — центрированная система, то непременно [Я] Э я0 Для любого Я £ g. Возьмем такое Я £ g, чтобы Я $ (ж0), т. е. Xq & Н. Пользуясь p-правильностью системы g (аксиома возьмем такое Я' £ g, чтобы [Я'] < VH. Но тогда по аксиоме К2 [Я'] cz Н, следовательно, xQ $ [Я']. Получили противоречие. 18 А. в. Архангельский, В. И. Пономарев
274 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ (д) Прежде всего понятно, что hxi hx2, если rq £ X, х2 Е X, xi Ф х2+ ибо X — Ti-пространство. Пусть теперь Н — произвольное открытое в X множество; через (Н) обозначим образ множества Н при отображении h. Тогда понятно, что Он П *(Х) = (Я), a h\ X vX — гомеоморфизм на плотное множество h(X) пространства vX. После отождествления пространства X с его топологическим образом h(X) указанное выше равенство запишется в виде Он n X = н, где И— произвольное открытое в X множество. 148. Прежде всего заметим, что множество X р Г плотно в Г, где Г открыто в иХ. Это следует из того, что X всюду плотно в vX (см. 147 гл. IV). В частности, X П Он = Н плотно в Он. Доказываем равенство ~ = [ГЬх- Так как X П Г плотно в ОХС]Г, то [X Q Г]иХ = [ОуПГ]иХ, а так как X П Г плотно в Г, то [X Q = [Г]0-Х> Отсюда и следует доказываемое равенство. Наконец, из доказанного равенства с очевидностью вытекает включение с 1Г]©х- 149. (а) Ясно. (б) Если 0(H) есть объединение всех открытых в X* множеств, пере- сечение которых с X есть данное Я, то Х*\О(Н) есть пересечение всех зам- кнутых в X* подмножеств, которые при пересечении с X дают множество Х\Я, т. е. Х*\О(Н) = [Х\Я]х*. Второе из доказываемых в (б) равенств следует из первого. (в) Очевидно. (г) Пусть Hi cz Я2. Тогда, рассмотрев открытое в X* множество Г — O(Hi) и О(Я2), будем иметь Г Q X = Я2. Поэтому, вследствие определе- ния множества О(Я2), получим, что Г = О(Н2). Ясно, что тогда O(Ht) cz <zz О(Н2). Обратное же утверждение очевидно. (д) Следует из утверждения (г); надо при этом воспользоваться утвер- ждением (б) и перейти к дополнениям. (е) O(Hi) П О(Н2) cz О(Ягп Я2), ибо O(Hi) П О(Н2) П X = Н, Q Я2, a O(Hi П Я2) — максимальное открытое в X* множество, для которого O(Hi П Я2) 0 X = Hi П Я2. Включение O(Hi 0 Я2) cz О(НХ) П О(Н2) сле- дует из утверждения (г) и очевидных включений Hr zd Hi П Я2, Я2 zz> Hi П П я2. (ж) Доказываем равенство 0(H) = Он для любого открытого в X множества Я для случая, когда X* = vX. Включение Он cz 0(H) следует из того, что Он П X — Я (см. 147 гл. IV), a 0(H) — максимальное открытое в vX множество, высекающее из X данное Я. Доказываем обратное включение 0(H) cz Он, Пусть и-конец £ принадлежит 0(H). Так как всевозмож- ные множества вида Он (Н открыто в X) образуют базу топологии в i?X, то найдется такое 1Г £ 5» что g Е Он> <= 0(H). Но тогда Он, (~\ X cz 0(H) П X, т. е. Я' cz Я. Но Hf Е следовательно, и Я Е I (см. 146 гл. IV), откуда | Е Он. Далее рассмотрим vX\OH == vX\O(H) = [Х\Н]пХ. Если ё € Е vX\OH, то тогда Я' Ct Я для любого Я' Е следовательно, Н' П (Х\Я)^ #= А для любого Я' Е L Если £ Е таково, что Я' П (Х\Я) А для любого Я' Е то § $ Он, следовательно, g Е иХ\Он. Таким образом, [Лих = уХ\О(Х\Л = vX\Ox^F = ФР = {£ Е »Х: Я П F Л для любого Я Е £}• 150. (а) Пусть Е Тогда для любого Я Е I непременно @н П О Но ~ Л* следовательно, Я П Яо ^=А для любого Я 6 S (здесь мы воспользовались задачей 147 гл. IV и тем, что всевозможные мно-
решения 275 жества вида Он образуют базу в vX), Обратно, пусть g g vX таково,, что Н р Но #= Л для любого Я g g. Отсюда получаем, что для любого Я g t непременно Он р OH(i = OHqHq Ф Л. Но так как множества Он, Я g g, образуют базу точки g в vX, то получаем g g I^h^Lx- (б) Пусть F <Zv>Hq в X; надо доказать, что [F]yA- cz OHq. Пусть gg g [Л.,х- Но (см. 149 гл. IV) [Л»х = Фр = {g g »Х: Я р Г #= Л для любого Я g g), значит, Я р F X для любого Я g g. Нам нужно доказать, что § g ЯЯо, т. е. Яо g g. Для этого мы рассмотрим систему g, состоящую из всех элементов p-конца g и всех открытых в X множеств Я', для которых F Я' cz [Я'] < 0 Яо. Не представляет труда доказать^р-пра- вильность и центрированность системы g. Так как 5 — р-конец и g zz> g, то g = g; отсюда следует Яо g g. (в) Регулярность пространства vX непосредственно следует из (б). 151. (а) Пусть х0 $ F. Тогда < DX\F (аксиома К7). По аксиоме К5 существует окрестность UxQ, для которой [ СЛг0] <ZvX\F‘ Отсюда (по аксио- ме KI) F <0Х\[Яя0]‘ Итак, для любой точки х0 $ F мы нашли окрестность UF — Х\[Яя0] множества F, для которой F <zvUF и xQ g UF. Значит, F = р {UF: F < »UF}. (б) В силу 150 гл. IV имеем включение [Л ихП {Qu?* F<VUF}, а в силу 149 гл. IV равенство [Лих = {g g vX: А для любого Я g g). Если g g П {OUF: F <v UF}, то UF g g для любого F>vUF. Пусть Я р F — Л для некоторого Я g g. Возьмем такое Я' g g, чтобы [Я'] <»Н. Тогда F cz Х\Я<РХ\[Я'] и Х\[Я'] $ g, а это противо- речит тому, что g g р {&uF'. F <ZvUF}. Итак, Я Р F =/= Л для любого Я g g. Значит, g g [Лих- Таким образом, и второе равенство доказано. 152. Для доказательства бикомпактности пространства vX достаточно показать, что всякая центрированная система множеств вида Ф^ = [Л©Х’ где F замкнуто в X, имеет непустое пересечение (действительно, множества Фр, где F замкнуто в X, образуют замкнутую базу в vX, ибо рХ\Фр = OX^F, а множества Он, где Я открыто в X, образуют базу топологии в vX). Итак, пусть Е = {®Ft: € Л — произвольная центрированная система таких множеств. Для каждого t g Т рассмотрим систему = {UFt: Ft <vUFt\ открытых в X множеств. Вследствие 151 гл. IV, получаем равенство: (*) Л = П {UFt: UFt g aj. Рассмотрим систему а — JJ {of: t g 71}. 1. Система а центрирована. Действительно, пусть U± g а, . . ., Us g сг. Тогда Ui gcr/p . . Us g aZs. По определению систем otv . . ., ofs, из pa- s венства (*) получаем включения Fti cz Ut, . . ., Ft&aUs . Так как Ffi i=i s Л, то и Q Щ =£ Л. 1—1 2. Система о является p-правильной. Пусть U g а. Тогда U g ot для некоторого t g T, значит (по определению системы и из равенства (*)), F-t<ZvU' Следовательно, найдется такое открытое в X множество U', что F <ZVU' cz [ U'] CVU. Тогда Uf g ot cz о и [Я'] <РЯ. Итак, a — p-правильная центрированная система, а потому она содер- жится в некотором p-конце g. Так как (см. 151 гл. IV) выполнены равенства: (** ) [Л]»х — Ф^ = П {PuF^- UPf С То 5 g Ф^ для любого t g Т, значит, П € 71} Л. 18*
276 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 153. Если F с ПЯ, то [Лух^ Он (см. 150 гл. IV). Обратно, пусть [Лех cz Он. Рассмотрим систему открытых в X множеств: a(F) = {Я cz <zz X: F <?;Я}. Вследствие 151 гл. IV получаем равенства: F — Q {Я: Я £ С a(F)}, [Лих = В {Яу: U Е о(Л}- Заметим, что если Я Е о(Л> то найдется такое Я' £су(Л, что [*Лх < v V (аксиома К5), и если Ui £ o(F), . . . , Us £ s £а(Л> то UQ— pj Я/ £ u(F) (аксиомы KI и K4). Так как, кроме того, из i=l l^'Lc < vU следует [[(7'1хкт = Wu’]»x 0 °и (см. 148, 150 гл. IV), то П{Оц-: U С cr(F)} = П {[Ои)ох: U £ а(Г)} = [F]cX. Тогда, в силу биком- пактности пространства vX, найдутся такие Ui £ a(F), . . ., Us g <s(F), что S S 8 [П,Х С П [OVi]vXc2 OH. Ho Uo = П Ut E 0(F) и 0Vo=0 , =Q 1=1 1-1 Q Ui 1=1 1=1 s следовательно, F <оЯ0 и OuQ cz p| [ЯгJ cz Ян. Значит, F <vUq cz If. 1=1 Поэтому F <vH, Все доказано. 154. Так как и v2 — различные подчинения на пространстве X, то имеются такие замкнутое в X множество F и открытое множество II, что, например, F <Р1 Я, но F <^V±H. Предположим, что v,X = v2X, т. е. между ними существует естественный гомеоморфизм, после чего р4Х мы можем отож- дествить с v2X. Так как FН. то (см. 150 гл. IV) [ЛУ1х cz Я®]. Но так как ViX == р2Х, то = [Ли2х и Ov^ = Ojf; следовательно, [Л„2х <= ^f. В силу 153 гл. IV отсюда следует F <ZV2H — получаем противоречие. Значит, если 1?1 #= р2» то vtX ф v2X. 155. (а) Проверяем аксиомы подчинения (см. стр. 247). К1. Пусть F <vH. Это означает, что [F}x*cz 0(H). Отсюда заклю- чаем, что Х*\Я(Я) - [Х\Я]х*с= Х*\[Лх* = О(Х\Л (см. 149 гл. IV). Следовательно, Х\Я <zvX\F. К2 следует из равенств [Лх* В X = F, 0(H) [} X — Н. КЗ, очевидно, выполнена. К4. Пусть Л <v#i и Л <»Я2. Это означает [Л1х* Я(Я0, (Л1х* с cz О(Н2). Но [Л U F2]x* = (Л]х* U [Л]х* <= O(Hi) U О(Н2) = O(Hi U Я2); следовательно, Л U Л U Н2. К5. Пусть F <VH. Значит, [Лх* cz 0(H). Пользуясь нормальностью бикомпакта X*, возьмем открытое в X* множество Г, для которого [Лх* с= cz Г cz [Г] cz 0(H) и Г = О(Г Q X). Тогда F <Р(Г Q X) и [Г В Х]х <VH. Кб и К7, очевидно, выполнены. (б) Пусть | Е X*. Рассмотрим систему | всех окрестностей точки 5 в X* и систему = {Г£ В X: Г| С 1} открытых в X множеств. Ясно, что — центрированная v-правильная система (последнее следует из опре- деления подчинения v, регулярности бикомпакта X* и очевидного равенства = [О(ГВ^)1х* “ ПГB^Wx*’ выполненного в силу плотности про- странства X в X*). Ясно также, что вследствие хаусдорфовости бикомпакта X* непременно hti Ф h^2i если и £2 — различные точки в X*. Докажем теперь, что - v-конец. Предположим, что ht, не является v-концом. Тогда содержится в некотором v-конце ц. Пусть V Е т)\^’ Тогда % (£ OX^(V), ибо 0х* (V) f. Рассмотрим такое Vf С Ц, чтобы (V'lx <0К Тогда [OX*(V')]X* cz 0x*(V), а следовательно, g < [0х* (V')Jx*'
РЕШЕНИЯ 277 Рассмотрим окрестность Г£ = точки £. Обозначив U = = П X, будем иметь U Е cz тр V Е Л и U И V' = Л, вопреки центри- рованности у-конца г). Итак, мы построили взаимно однозначное отображе- ние h бикомпакта X* в бикомпакт vX. Нетрудно убедиться в том, что h — естественное отображение бикомпактного расширения X* пространства X в бикомпактное расширение уХ, т. е. что hx — (х) = х, если х Е X. Докажем теперь непрерывность отображения h. Пусть £0 Е X* произ- вольно. Рассмотрим произвольную базисную окрестность Оу (U открыто в X) точки h%Q в бикомпактном расширении vX. Теперь рассмотрим также открытое в X* множество <9(£7), т. е. максимальное открытое в X* множе- ство, для которого O(U) П X = U. По построению отображения h непре- менно hO(U) cz Од. Кроме того, U Е следовательно, т. е. O(U) — окрестность точки £0 в X*, отображающаяся с помощью h в окре- стность 0$ точки в vX. Непрерывность отображения доказана. Итак, h: X* иХ — естественное непрерывное взаимно однозначное отображение бикомпактного расширения X* пространства X в бикомпактное расширение vX этого пространства (следовательно, гомеоморфизм), а значит, и отображение на это бикомпактное расширение vX. Тем самым доказано, что иХ совпадает с X*. 156. Следует из задач 154, 155 гл. IV. 157. (а) Пусть v совпадает с элементарным подчинением на X. Это означает, что F <zvH тогда и только тогда, когда F и Х\Я функционально отделимы. В силу 150 гл. IV тогда [F]ux^ Оя» т. е. (Лих П (^Х\Оя) = Л, но dX\Oh = [Х\Я]ох (см. 149 гл. IV), следовательно, [Я]рх П [Х\Я]ох = = Л. Значит, любые функционально отделимые замкнутые в X множества имеют непересекающиеся замыкания в иХ (если v — элементарное подчине- ние на X), откуда следует совпадение vX с рХ (см. 15 гл. IV). (б) Обратно, если vX == рХ, то тогда (см. 153 гл. IV) F <ZvH в том и только в том случае, когда [Лрх С~ О^х (Я), т. е. когда [Я]рх П [Х\Я]рх = = Л. Но это (вследствие того, что иХ = рХ) означает, что F <zvH тогда и только тогда, когда F и Х\Н функционально отделимы, т. е. когда у — элементарное подчинение. 158. (а) Пусть множества А и В у-далеки. Это означает, по определению, что [4jx<’DX\[fi]x. Положим А = [4]^, В = [Я]Х, Х\[Я]х =Я. Из 153 гл. IV следует, что [4]оХ <= Он, т. е. [4]0х П (уХ'\0н)==Л. Так как иХ\Он — = [5U - [Х\Я]оХ (см. 149 гл. IV) и [4]pJC = [4U, [Я]оХ = [Я]юХ, то [4]иХ П [Лих — Л. (б) Обратно, пусть множества 4 <= X, Я cz X таковы, что [A]Dx Q П [Я]пх = Л. ВведЯ—Обозначения 4 = [4]х, Я=[Я]Х, будем иметь [4]иХ = = Ubx> [Я]«х = (Лох, а так как [4]иХ <= уХ\1Я]оХ = Он, где Я = = Х\Я, то 4 < 0Х\Я (см. 153 гл. IV), следовательно, 4 и Я у-далеки. 159. (а) Пусть /: X —> У является (у, 1у)-равномерно непрерывным отображением. Ясно, что / непрерывно, ибо если х Е [4]х, 4 cz X, то это означает, что точка х у-близка к множеству 4, откуда получаем, что точка fx w-близка к множеству /4, т. е. fx Е [/4], а включение /[4] cz [/4] для любого множества 4 cz X означает непрерывность отображения / (см. 281 гл. II). Пусть теперь Ф замкнуто в У, О открыто в У и Ф<?гО. Тогда /-1Ф замкнуто в X, a f~rO открыто в X. Если множество /-1Ф не у-подчинено мно- жеству /~хб7, то это означает, что множества /-1Ф и Х^-Ю у-близки, но тогда (по условию) множества Ф = //~ХФ и О = /(Х\/-1б?) гу-близки. Полу- чили противоречие с тем, что Ф <ZwO. (б) Обратно, пусть 4 cz X, В cz X и 4уЯ. Надо доказать, что fAwfB. предположим противное. Пусть fAwfB. Это означает, что [/4] у <W(Y\ \1/Я]). Тогда, по условию, F = f^lfAjy замкнуто в X, Я = /-1(У\[/Я]у)
278 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ открыто в X и F <»н. Так как [4]х с F, Н сг Х\[В]х, то отсюда (см. аксиому КЗ) следует, что [А]х <D(X\[B]x), т. е. AvB. Получили проти- воречие. 160. (а) Система {fU: U Е В} (где % Е »Х) центрирована в У. ибо центрирована система В в X и всегда имеет место включение / Q С7г- q i=-i С pj fUf. Отсюда вследствие бикомпактности пространства wY непременно 1=1 11 = П <1/Wwy: и е В} ¥= Л. (б) Пусть т] Е wY таково, что ц £ /В- Рассмотрим систему о = == {/-1 V: V £ г)} и систему В = В U Докажем ^-правильность и центри- рованность системы В. 1) *£ центрирована. Действительно, пусть дана произвольная конечная подсистема {£71, . . /-1FJ системы В» где ^1» • • < Uk из 5, a /“xVi, • . из о. Тогда, пользуясь тем, что В — у-конец в (X, р), а ц — w-конец в (У, w) (см. 146 гл. IV), заключаем, что UQ = Ui Q . . . . . . Г1 Cffc Е В, Fo — Vi П ’ ’ • П Fz 6 Л» и нам остается показать, что Uo Q pi f^Vo Ф Л. Но ц Е I/U]wy для любого Z7 Е В, следовательно, Гу П fl fU Ф Л для любых F £ т] и CZ £ В (здесь Гу = {ц Е wY*. V Е ц}). Поэтому V (5 fU Ф Л для любых V U ЕВ-В частности, 70 Q /С/о Ф Л. Но тогда /^Fo П U§ #= Л, что и требовалось доказать. 2) Пусть U Е В В» В силу p-правильности В найдется такое U' Е € В что Пусть f^V Е сг cz В- В силу ^’-правильности ц най- дется такое F' Е что [V'] <WF. Тогда, вследствие (р, ^-равномерности отображения /, непременно /-11 V'] TIo нетрудно убедиться в том, что cz /-1[ F']« (воспользоваться всего лишь непрерывностью отобра- жения /). Тогда [Л1V'] <vf^V и /-1F € а с= В- Итак, система В = В U о является p-правильной. Поэтому в силу того, что система В —* вконец, получим В = В; следовательно, a cz: В- Обратно, пусть ц Е и? У таково, что о = {/—1F: F £ ц) cz В- Надо показать, что ц Е /В- Пусть F Е Л произвольно. По условию, f^V Е В- Значит, f^V Q U Ф А для любого U Е В (так как В центрирована и f^V Е В)- Но тогда V fU ф А для любого U Е В, значит, Гу П fU Ф А для любого U Е В» где Гу = {ц Е и?У-‘ F Е л}‘ Поэтому, вследствие то го,что множества вида Гу образуют базу в и?У, a F Е Ц произвольно, получаем ц Е [fU]wY для любого U Е В- Значит, ц Е /В’ что и требовалось доказать. Утверждения (в) и (г) задачи являются простыми следствиями только что доказанного утверждения (б) и могут быть предоставлены читателю. (д ) Пусть xq^X. Рассмотрим р-конец_ (ж0), где (xQ) — система всех окрестностей точки xQ Е X в X. Тогда fxQ = f(x0) == Q WC^olwY-’ Uxq € (*o)}- 161. Для решения надо воспользоваться задачами 276 гл. II, 142, 158, 159 гл. IV. 162. (а) Определяем (как в 160 гл. IV) /В = 0 С В} Для всякой точки В Е vX. Из 160 гл. IV следует, что /В состоит из одной точки и /7 рХ wY есть непрерывное отображение расширения vX пространства X на расширение wY пространства У, являющееся продолжением отображе- ния /. (б) Пусть / — такое отображение пространства X с подчинением v на пространство У с подчинением w, что существует непрерывное продолжение
РЕШЕНИЯ 279 /: vX wY этого отображения на соответствующие бикомпактные расши- рения. Докажем, что / является (р, и?)-равномерно непрерывным отобра- жением.) Для этого согласно определению надо показать, что любые два и-близких множества А и В в X при отображении / перейдут в гр-близкие множества /А и /В. Если А и В p-близки, то [AQ [Я]УХ =£ А (см. 158 гл. IV). Кроме того, /[4]вХ= [/k]wY- = [/4]шУ и ДВ]вх = = [/51шу (здесь мы воспользовались непрерывностью и замкнутостью отображения f и тем, что/ — продолжение отображения /). Отсюда получаем, что [/А]шу р П [/#]wу ¥= Л; следовательно, множества /А и fB ip-близки (158 гл. IV). 163. (а) Пусть т] Е OW(U). Тогда Z7 Е т), откуда U Е g для любого 5 Е А-1ц (вследствие 160 гл. IV и очевидного равенства h~rU = U), Это в свою очередь означает, что о OV(U), т. е. г] Е h#Ov(U). (б) Обратно, пусть ц0 Е h#Ov(U). Тогда <= Ov(U). Так как h — непрерывное и замкнутое отображение, то множество W = h#Ov(U) = = {т] Е wX: Я-1г| cz OV(U)} открыто в wX (см. 321 гл. II), а значит, является окрестностью точки ц0 в wX. Положим U' = W р X. Понятно, что U' — непустое открытое в X множество, причем U' Е и Я' cz U. Поэтому U Е Е т)0, т. е. r|o € OW(U). Все доказано. 164. Следует из 156 и 162 гл. IV. 165. 1) Для доказательства (£, р')“РавномеРности отображения / надо показать, что для любых двух функционально отделимых замкнутых в Y множеств Фо и Ф4 замкнутые в X множества /-1Ф0 и f~^i функционально отделимы (вспомните определение элементарного подчинения иопределение (Р, (У^равномерности отображения). Действительно, если непрерывная на Y функция g(y) отделяет Фо от Фо то непрерывная на X функция h(x) = = g(f{x)} будет отделять /-1Ф0 от /^Фр 2) Следует из 1) и 162 гл. IV (другое решение см. в 31 гл. IV). 166. (а) Если / — замкнутое отображение, то f~ry = для вся‘ кой точки у Е Y (см. 73 гл. VI). При этом следует заметить, что X и Y — любые вполне регулярные пространства. (б) Обратно, пусть F cz X, F замкнуто. Тогда /1Л|Зх = l/Лру. Надо доказать, что /F замкнуто в Y. Пусть у0 Е [/Лу. Предположим, что у0 £ fF. Тогда /-1у0 П Р == А, откуда, вследствие нормальности пространства X, следует (см. 16 гл. IV), что! [/“^ohx П 1Лрх = А. Но I/’^oJpx = 7-1#о. Значит, уо € Р?Х7[Л|Зх = Р^\[/Лру = ₽У\[[/Л у]ру. Получили противо- речие с тем, что у0 Е [/Л у. 167. (а) Пусть (р, ^-равномерно непрерывное отображение /: X -> У, кроме того, (р, ipj-открыто. Докажем, что продолжение /: рХ -> wY отобра- жения / на соответствующие бикомпактные расширения открыто. Прежде всего докажем, что Int [/Я]у Е fl для любого Я Е g. Действительно, /g = = р {1/Я]шУ: н С g}- Возьмем Я' Е I и Я Е I так, чтобы [Я']х <^7/. Так как / является (р, гр)-открытым, то [/[Я']^]у <w Int [/Я]у, следовательно. l[/l#'lxly]wy <= Ow(Int [/Я]у), где Ow(Int 1/Я]у) — максимальное открытое в wY множество, для которого Ow(Int [/Я]у) р У = Int [/Я]у.Кроме того, {/[77']х1у IfH'lY и IfH'lwY = [l/Я']у]шу. Значит, [/Я']шу с: 0w(lnt[/#]y). Так как/g Е [/Я%у, то/g Е Ош(1п1[/Я]у), т. е. 1п1[/Я]у Е 7g. Итак, Intt/Я] УЕ E/g, если Я Е g. Докажем теперь открытость отображения /: рХ -> wY. Пусть О — произвольное открытое в рХ множество. Пусть Цо €/^. Возьмем такое g0 Е 0^ = т]0, и такое Яо Е g0>_4To6bi [OD (Hq)]dX Тогда /[Ор(Яо)1 = /[Я0]ох = [/Я0]шу = [[/ЯоЛ^у cz fO. Кроме того, 1п1[/Я0]у Е Е /go по доказанному выше. Будем иметь Int[/Z70ly <= [/Я0]у. Значит, Ow(Int[/#0]y) с= [[/Яо]у]шу cz fO. Так как Int[/#0]y Е /go, то /g0 Е
280 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ £ <?ш(1п1[/Я]у), т. е. Tjo = /5о — внутренняя точка множества /О. Итак, открытость отображения /: vX -> wY полностью доказана. (б) Обратно, пусть отображение /: vX -> wY, являющееся продолже- нием (р, м>)-равномерно непрерывного отображения /: X Y, открыто. Пусть F cz X замкнуто, Яс X открыто и F Тогда [Лих cz Ov(H) (см. 153 гл. IV). Кроме того, /[Л»х = [/Fl^y = [[/Лу^у, /[Лрх cz fOD(H), а множество Г = fOv (Я) открыто в wY. Итак, [[/Л у]юу cz Г. Значит, [/Лу <Ш(Г П П Так как f[Oo(H)] = /[Я]иХ = [fH]wY = [[/Я]у]а.у, то (Г П У) cz [/Я]у; следовательно, (Г П У) с 1п1[/Я]у. Поэтому [/Л у <f(? <ZW Int[/Я]у, т. е. / является (р, и?)-открытым. 168. Надо доказать, что отображение f: X -> У является (р, (^-откры- тым, где р — элементарное подчинение на X, а Р' — элементарное подчинение на У. После этого надо воспользоваться задачами 165 и 167 гл. 1У.Итак, пусть F < рЯ в X, где F cz X замкнуто, а Я cz X открыто. Это означает, что F функционально отделимо от Х\Я. Пусть <р: X -+ [0, 1] — непрерыв- ная на X функция, для которой ф(Л = {!},а ф(Х\Я) = {0}. Определим функ- цию ф на У следующим образом: ф(у) = sup{cp(x): х С /-1у}. Вследствие 128 гл. VI, функция ф(у) непрерывна на У. Ясно также, что 0 ф(у) 1 для любого у СУ. Рассмотрим замкнутое в У (вследствие замкнутости отобра- жения /) множество Ф — fF и открытое в У (вследствие открытости отобра- жения /) множество /Я = V, Ясно, что ф(Ф) = {1}, аф(У\ V = {0}), т. е. мно- жества Ф и У\У функционально отделимы. Значит, fF < $,fH cz Int[/7/], следовательно, fF < р,1п![/Я]. Все доказано. 169. Предположим противное, пусть /: рх РУ немонотонно. Вос- пользуемся задачей 34 гл. VI. Для каждого ц С РУ рассмотрим разбиение бикомпакта 7-1ц на связные компоненты (см. стр. 170). Рассмотрим раз- биение X = U т] С РУ} бикомпакта рХ. Это разбиение X непрерывно (см. 34 гл. VI); пространство этого разбиения, обозначаемое также через Z, является бикомпактом (см. 92 гл. III). Пусть ф: рх -> Z —- естественное ото- бражение бикомпакта рх на пространство этого разбиения, а ф: Z рУ — естественное нульмерное отображение бикомпакта Z на бикомпакт РУ. Имеем / = ф-ф, ф — монотонное отображение, а ф — нульмерное отобра- жение (35 гл. VI). Так как f — немонотонное отображение, то ф — нс гомео- морфизм. Так как / замкнуто, то [/-1у]рх = 7-1У для любой точки у б У (см. 166 гл. IV). Тогда, вследствие монотонности отображения /, каждое множество как замыкание связного множества f~*y также связно. Значит, ф(/~1У) = У; следовательно, Z является бикомпактным расширением про- странства У и ф(у) = у, если у £ У, т. е. Z — бикомпактное расширение пространства У, следующее за максимальным бикомпактным расширением РУ (расширением Стоуна — Чеха, см. 29 гл. IV или 164, 165 гл. IV), что противоречит максимальности расширения рУ. 170. (а) Пусть vX совершенно относительно U cz X. Пусть F зам- кнуто в X, F cz U и F <DX\Fr{7. Из 153 гл. IV следует, что [Л??х С 0(X\FrZ7). Вследствие той же задачи 153 гл. IV, достаточно показать, что [Лох с Предположим противное, пусть [Лих #(Я). Из F cz U следует [Лих <= [^(Я)]. Если [Лих<ХЯ(Я), то [Лох П FrDx^(^) #= Отсюда, так как FrDx^(^) = [Frx^Lx и 0(X\FrZ7) = рХ\[РгЯ]рх == vX\FrvXO(U) (см. 149 гл. IV), получаем [Лох 0(X\Fr!7). Пришли к противоречию, ибо [Лох cz O(X\FrU). (б) Пусть открытое в X множество U таково, что для всякого замкну- того в X множества F, для которого F cz U и F <DX\FrZ7, непременно и F <VU. Надо доказать, что FrvXO(U) = [Fryf/bx- Ясно, что всегда [КгхЯ]ух cz FrvXO(U). Доказываем обратное * включение. Пусть 5 6
РЕШЕНИЯ 281 е FrcXO(U), т. е. g с [O(Z7)L,X\O(LZ). Отсюда получаем 0(H) Q O(U) = = О(Н П U) =£ Л для любого Я £ I* Имеем: (1) I е [o(U) п o(H)]vx = Ю(н n я)кх = = [[Я П для любого Я е ё; (2) £ < O(U). Надо доказать, что g £ [Frxtf]ox. Предположим противное. Тогда найдется такое Но 6 5, что (3) [Я0]х <уХ\РгЯ. Из (1) следует (4) 5 6 ПЯо П tflxU. Из (3), в частности, получаем (5) [ЯО]ХС и и (Х\[ЯЬ), а из (5) следует, что множество [Я0]х П U замкнуто в X. Тогда получаем (6) [Яо П U]x cz [Я0]х Q U cz U, Кроме того, [Яо П U\x cz [Я0]х <рХ\РгЯ, следовательно (аксиома КЗ для подчинений), (7) [Яо П U]x <гХ\РгЯ. По условию, из (7) и (6) заключаем о том, что (8) [Яо П U]x <VU. Но тогда (см. 153 гл. IV) (9) [[ЯоП U]X]VX^O(U). Поэтому из (4) и (9) получаем (10) Вео(Я), что противоречит (2). Все доказано. 171. Нам нужно показать, что для произвольного открытого множества U cz X элементарное подчинение р (см. стр. 248), а именно оно порождает расширение рх Стоуна — Чеха (см. 157 гл. IV), удовлетворяет условию задачи 170 гл. IV. Пусть F cz X — произвольное замкнутое в X множество, для которого (1) F cz и и F <pX\Frtf. По определению элементарного подчинения р, существует непрерывная на X функция /, для которой (2) f(x) — 0, если х 6 F, и f(x) = 1, если х € FrC7. Определим на X функцию g(x) следующим образом: ,3 = f(x), если х е [Z7]x, и g(x) — 1, если х С Х\Я. Легко видеть, что функция g(x) непрерывна на X и отделяет замкну- тые множества F и Х\Я, значит, (4) Остается сослаться на задачу 170 гл. IV. 172. (а) Пусть vX — совершенное бикомпактное расширение про- странства X. Пусть Ui, U2 — два открытых в X множества, для которых U1 П и2 = Л. Так как Ut Q U2 = А, то Fr(Z74 (J U2) <= FrUi (J FrI72.
282 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ Аналогично, <1) Fr„ j (О (U^ U О (U2)) с Fr„xO (Щ) U FroXO (U2), ибо О (Ut) ["j О (Uo) = Л. Так как vX — совершенное расширение, то Fr„xO (Ut) = = [Frt/1]0x, FroXO (^г) = [РгСГ2]РХ, Fr„xO(tfi U U3) = [Fr (l\ U U2)]vX. Вслед- •ствие этого получаем: (2) Fr0xO (Ut U U2) C FroxO (Ut) U FroXO (Uz). Кроме того, имеем: (3) [<2(Z7i U tfz)bx = [C/i U U2]vX = = №x U I^x = »x U KWbx- Из формул (1), (2), (3) получаем: O(Ui (J U2) cz O(Ui) (J О(£72). Остается заметить, что обратное включение имеет место всегда. (б) Обратно, пусть U — произвольное открытое в X множество. Рас- смотрим открытое в X множество 7=Х\[(7]. Ясно, что FrZ7 = X\(Z7U (J 7), следовательно, (4) [FrU]„x = IX \ (U U V)U = = vX\O(U U V) = vX\(O(U) U O(V)). Кроме того, (5) vX\[O(C7)]oX = vX\[[tf]xbx = O(X \ IU]X) = 0(7) (здесь мы использовали равенства из задачи 149 гл. IV), откуда (6) Fr,xO(tf) = \ (0(0) U 0(V)). Соединяя (6) с (4), получаем [Frt7]pX = Ffux^W- Совершенность расши- рения vX доказана. 173. (а) Пусть X — нормальное пространство, а ₽ — элементарное подчинение на X. Для того чтобы доказать равенство (1) для любых двух открытых в X множеств, достаточно доказать равенство [Fi П == [Fjpx П [F2]px для любых двух замкнутых в X множеств Ft и F2. Пусть £ $ [Fx Q F2]px- Тогда существует окрестность 0% точки £ в рХ, для которой (2) [Ollpx П 1Л П F2]₽x = Л. Обозначим (3} ^ = [0ё]3хПЛ, U Очевидно, (4) Тогда (см. 16 гл. IV) (2 * 4 5 6) п [^2]зх = Л. Следовательно, » (6) В $ 1Л]|зх П Отсюда получается включение [Fjpx П [^2]рх <= 1Л П F2]|3x- Обратное включение, очевидно выполнено всегда. Итак, равенство (Г), а следователь- но, и равенство (1) доказаны. Равенство также следует из 17 и 5 гл. IV. (б) Пусть равенство (!') выполнено для любых двух замкнутых в X множеств и F2 в расширении vX, в частности, для любых двух непересе- кающихся замкнутых в X множеств и F2. Итак, любые два.непересекаю- щихся замкнутых в X множества Fi и Ft v-далеки, а следовательно, и фуя*'
РЕШЕНИЯ 283 ционально отделимы, что бывает только тогда, когда пространство X нор- мально, v — элементарное подчинение, а иХ — расширение Стоуна — Чеха пространства X. 174. Прежде всего сформулируем совсем простое утверждение, дока- зательство которого может быть предоставлено читателю. Отображение /: X -> У тогда и только тогда монотонно, когда для любых двух непересе- кающихся открытых в X множеств Ui и U2 выполнено равенство {Ui (J и ^2) =игде, как всегда, f#U = {у С У: f^y cz U}= Y \ \f{X \ U), Теперь, пользуясь только что сформулированным предложением, решим нашу задачу. (а) Пусть естественное отображение h: РХ -> vX монотонно. Пусть Яр U2 — два произвольных открытых в X множества, для которых Ui П П U2 = Л. Рассмотрим открытые в рХ множества O$(Ui) и Ор(Я2). Ясно, что O^Ui) П <№ = л, а значит, (J OSi(U2)) = h^O^Ul) U Ь#(Щи2). Кроме того, вследствие совершенности расширения РХ, будем иметь: O$(Ui L) U2) = Ofi(Ui) U Ор(и2). Из 163 гл. IV получаем равенства: U U2)) = Ov(Ul IJ U2), h^O^Ui) = h^Ofi(U2) = O„(U2). Из полученных равенств вытекает равенство Ov(Ui U U2) = Or{Ui) U U OV{U2)^ a это означает совершенность расширения vX (см. 172 гл. IV). (б) Обратно, надо доказать монотонность естественного отображения h: РХ -> гХ, зная, что иХ — совершенное расширение. Предположим, что h не монотонно. Пусть т|0 g vX таково, что множество /г-1т)0 несвязно. Тогда существуют такие открытые в рх множества и Г2, что (1) [rd П [Г2] == Л, <= Г4 и г2, й'Ч Л =Н= Л, П Г2 Л. Положим Ui = rd И = Г2 И X. Понятно, что Ui и U2 — открытые в X множества и С/^Л U2 = Л. Заметим, что мы всегда, не нарушая условий (1), можем предполагать, что 1\ — 0${Ui), Г2 = 0${и2)- Пользуясь совер- шенностью расширений рХ и иХ, а также задачей 163 гл. IV, получим ра- венства: h^o^Ui и и2) = и о^и2)), и и2) = Ov(Ui и и2) = OB(U2) и OV(U2) = = h^O^Ui) и fe*Op(IZ2). f Так как fc-hfo cz O^(Ui) (J O$(U2), то т)0 £ O„(Ut) IJ Oo(J72); с другой стороны, fe-1r|o (1 =/= Л, Л-1т|о П O$(U2) =£ Л; значит, т)0 $ h^O^(Ui) = = Ov(Ui), r]o $ h#Ofi(U2) — O„(U2). Получаем противоречие. 175. Прежде всего рассмотрите аксиомы подчинения (стр. 247). Все аксиомы подчинения для введенного в условии задачи отношения доказы- ваются без труда. Доказательства требует лишь аксиома К5. Итак, пусть Р cz Ui cz [ <74] cz Я, Ui £ о. Пользуясь тем, что пространство X регулярно, а о — база этого пространства, мы для каждой точки х £ FrL7i возьмем такое € сг, что [Ял] cz Я, [ Ux} Л Р = Л. В результате получим покрытие = {Ux'. х £ FrZZJ бикомпакта РгЯр из которого выделяем конечное иодпокрытие: соо = {Ялр . . ., Uxs}. Положим Я2 — |) [Uxj], U3 = i=l s U U Так как ст — алгебраически замкнутая база (см. определение яа стр. 249), то U2 6 п, U3 Е а» а так как (оо — покрытие множества Fr^i
284 ГЛ. IV. БИКОМПАКТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ hQ {ихД^Н, J П F = Л, то Fez U2 cz [ Я2] = [ Z7i\ J [lfy]]c 1—1 1=1 1=1 s s cz Ui cz [CZ,] cz tfiU U Uxt = U3cz [Z73J = [CZJ (J |J [Ш-] с H. Таким 1=1 1=1 образом мы нашли такие U2 € о и U3 Е <Ь что F cz Я2, [U2\ cz £74, [Я<] cz £73, [273] cz H. Так как Ui E а, Я2 E a, U3 E a, to F<CT£72, [£72] <a^i, [<a <аЯ3. Заметим кстати, что F<OU, если Fez U и U E и [Я11<:СТЯ2, если C7j E or и [Я^ cz U2. 176. (а) Доказательство регулярности легко получается, если вос- пользоваться задачей 55 гл. III. (б) Доказываем полную регулярность пространства X. Для этого заме- тим прежде всего, что система о всех открытых в л-бикомпактном простран- стве X множеств с бикомпактной границей образует алгебраически замкну- тую базу. Теперь вводим в X отношение подчинения так же, как и в зада- че 175 гл. IV, и ссылаемся на задачу 143 гл. IV. 177. Пусть U Е а. Если замкнутое множество F cz X таково, что F cz U. то непременно F < a U в смысле подчинения, определяемого алгеб- раически замкнутой л-бикомпактной базой пространства X (см. 175 гл. IV). Тогда, вследствие задачи 170 гл. IV, бикомпактное расширение стХ, порож- денное этим подчинением (см. 175 гл. IV), совершенно относительно откры- того множества U, 178. То, что база о алгебраически замкнута, доказывается без труда. Тогда база а порождает подчинение, обозначаемое также через о (см. 175 гл. IV), а следовательно, бикомпактное расширение стХ. Пусть U — произ- вольное открытое в X множество, а замкнутое множество F cz X таково, что F cz U и F <aX\Frt7. По определению подчинения о, найдется такое 27z Е ar, что Fez £7'cz [£7'] cz X\Fr£7. Тогда F<a£7', [£/']< aX\Fr £7. Кроме того, понятно, что Fr(t7\[ CZ']) cz Fr£7 |J Fr£7'. Отсюда заключаем, что подпространство Fr(£7\[ £7']) бикомпактно. Так как о состоит из всех открытых множеств с бикомпактной границей, то U\[Uf] Е о. Пользуясь тем, что F cz £7\[£7'] cz £7, а также определением подчинения ст, выводим отсюда, что F <ZuU. Значит, стХ совершенно (см. 170 гл. IV). 179. Вследствие задач 164 и 162 гл. IV, тождественное отображение h: X X является (ст, ^-равномерно непрерывным, но не (у, ст)-равномерно непрерывным, т. е. найдутся такие замкнутое множество Fez X и открытое Н cz X, что F < аЯ, но F < VII. Так как F < аЯ, то существует такое Я' Е и, что F<OH', [Я']<ОЯ. Тогда F < ГЯ', ибо Я' cz Я и F < ГЯ. Так как Я' Е ст, то подпространство ЕгЯ' бикомпактно. Отсюда заключаем, что F <г)Х\ЕгЯ'. Учитывая, что F с. Н' и F < VH', получаем вследствие задачи 170 гл. IV, что расширение иХ не совершенно относительно открытого множества Я'. 180. (а) Пусть £ Е оХ, а Г£ — произвольная окрестность точки Z в стХ. Возьмем такие Я4 Е 5» Я2 Е 5, чтобы [Я^ Я2 и Оа(Я2) cz Г£. По определению подчинения ст (см. 175 гл. IV), найдется такое £7 Е ст, что [Я±] <a U cz [Я] <а Я2. Ясно, что U Е I и OG(U) az Оо(Н2) cz Г£. Итак, семейство S = {0o(U): U Е о} — база бикомпакта стХ. (б) Воспользуемся теперь задачей 177 гл. IV, вследствие чего стХ совершенно относительно U £ ст. Тогда, пользуясь бикомпактностыо подпространства Fr£7, если U Е о, получим Егда(Я) = [Fr Я]ах = ^гЯ для любого U Е or, откуда FrOa(£7) р (стХ\Х) = Л. Значит, для любого U Е от множество OG(U) р (стХ\Х) открыто-замкнуто в подпространстве стХ\Х. . (в) Последнее утверждение — простое следствие регулярности под- пространства стХ\Х и только что доказанного утверждения (б). Обратите внимание на определение связности (стр. 55).
РЕШЕНИЯ 285 181. Рассмотрим естественное отображение h: 0Х оХ расширения Стоуна — Чеха ₽Х пространства X на расширение оХ. Расширение сХ совершенно (см. 178 гл. IV), значит, h — монотонное отображение (см. 174 гл. IV). Докажем, что Л-1т] — максимальное бикомпактное множество под- пространства рХ\Х, если т] Е аХ\Х (максимальное в том смысле, что й“1т) не содержится ни в каком отличном от связном бикомпактном мно- жестве подпространства 0Х\Х). Пусть С cz рХ\Х, С связно и бикомпакт- но. Тогда hC связно и hC cz оХ\Х. Но все связные множества, принадле- жащие оХ\Х, одноточечны (см. 180 гл. IV); значит, существует такая (единственная) точка т) С аХ\Х, что С cz Пусть теперь vX — произ- вольное совершенное бикомпактное расширение пространства X, а /: рХ -> уХ — естественное (монотонное вследствие 174 гл. IV) отображение рас- ширения Стоуна — Чеха рХ на расширение рХ. Вследствие только что доказанного, для каждой точки £ £ иХ\Х существует единственная точка т| Е аХ\Х такая, что /-1£ cz Д_1т|. Так как, кроме того, /~гх — h^x = х, если х £ X, то тем самым определено естественное отображение g: vX -*• аХ бикомпактного расширения vX на бикомпактное расширение оХ, причем h == gj. Ясно, что g — непрерывное естественное отображение. 182. Ясно, что таким бикомпактным расширением является биком- пактное расширение оХ, построенное на основе базы а, состоящей из всех открытых множеств с бикомпактной границей (см. 178, 179, 181 гл. IV). Понятно также, что условия 1), 2) и 3) обеспечивают единственность суще- ствования такого бикомпактного расширения. 183. Нет, не всякое. Пусть X — произвольное вполне регулярное про- странство, а 0Х — произвольное его бикомпактное расширение, отличное от расширения Стоуна — Чеха. Тогда всегда существует несовершенное биком- пактное расширение, следующее за ОХ. Действительно, пусть /: |ЗХ ОХ — естественное отображение. Так как 0Х отлично от 0Х, то для некоторой точки т] 6 0Х\Х множество /-Lq многоточечно. Выделим две точки € У"1!]» 1г € /-•% 11 =# ?2- Определим разбиение Z бикомпакта рХ следующим обра- зом: все элементы разбиения — отдельные точки в рХ, кроме одного эле- мента, состоящего из двух точек и Ясно, что разбиение Z непрерывно, пространство этого разбиения (см. 92 гл. III) — хаусдорфово бикомпактное несовершенное расширение пространства X, следующее за ОХ. 184. Пусть bR — бикомпактное расширение числовой прямой, гомео- морфное отрезку числовой прямой. Нетрудно убедиться в том, что bR — совершенное расширение для R. С другой стороны, единственное предше- ствующее bR бикомпактное расширение — окружность — не является совер- шенным расширением. Из сказанного, в силу 182 и 174 гл. IV, следует решение задачи.
ГЛАВА V МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ Пусть X — множество, у — некоторое семейство его подмно- жеств. Элемент U семейства у называется максимальным, если он не содержится ни в каком отличном от него элементе семейства у. Через т(у) будет обозначаться множество всех максимальных элементов семейства у. Мы называем тп(у) поверхностью семей- ства у. Скажем, что у — нётерово семейство множеств, если каждый его элемент содержится лишь в конечном множестве элементов у. Пусть х Е X и п — натуральное число. Мы пишем Кр (х, у) п, если не более чем п элементов семейства у содержит точку х\ в противном случае пишем Кр(я, у) > п. Семейство у называется точечно конечным, если для каждой точки х Е X существует нату- ральное число п такое, что Кр(я, у) п. Напомним, что семей- ство множеств называется дизъюнктным, если его элементы попар- но не пересекаются. Семейство у называется в-точечно конечным (а-дизъюнктным), если оно является объединенным счетного се- мейства точечно конечных (соответственно дизъюнктных) семейств множеств. Если каждый элемент семейства у пересекается только с конечным (счетным) множеством элементов этого семейства, то мы говорим, что у звездно конечно (соответственно звездно счетно). Пусть АсХ. Мы полагаем у(А) = U{^€y*^AA^A} и называем у (А) звездой множества А относительно семейства у, или звездой семейства у относительно множества А. Если х Е X и А = {х}, то мы пишем у (х) вместо у({х}). Далее, y+Cr)=n{tf: и U)x}, у'(А) = U{[^]:^ey и [Р] п А = A}, v(x) = Т”({ж}), у0 (ж) = v-(z) П у+ (х) и (7) = = {у0 (гг): х € А"}. Множество у“(А) называется антизвездой семей- ства у относительно множества А. Пусть у = {(7а: аЕА} и % = {Уа: аЕА} — два индекси- рованных семейства подмножеств множества- X, причем множе- ством значений индексов служит в обоих случаях одно и то же множество А. Скажем, что % вписано в у комбинаторно, если Va cz U* для каждого аЕА. Заметим, что для индексированного семейства у = {Ua: а Е А} может быть — Ua» при некоторых а', а" Е А таких, что а' а". Это обстоятельство для некоторых рассуждений оказывается весьма удобным. Для индексированных семейств множеств определения точечной конечности, дизъюнкт-
ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 287 ности, сг-точечной конечности и т. д. получаются при очевидном изменении соответствующих определений, данных выше. Напри- мер, в этом случае Кр (х. у) п, если |{а Е А: £7а Э я} | и, и у дизъюнктно, если при а', а" Е А и а' а" непременна UA Uа" — Л. Это соглашение относится и к некоторым дальней- шим определениям. Мы будем иметь его в виду, не делая более спе- циальных оговорок. Напомним, что семейство % множеств называется вписанным в семейство у множеств, если для каждого V Е К существует U Е у такое, что V о U. Говорят, что X звездно вписано в у, если семей- ство {Л,(;г): х Е X} вписано в у, т. е. если для каждой точки х Е X существует U Е У такое, что X(z) cz U. Если для каждого У>Е X су- ществует элемент U семейства у такой, что X (V) cz £7, то мы гово- рим, что X сильно звездно вписано в у. Все определения, данные выше, разумеется, относятся и к тому специальному случаю, когда рассматриваемые семейства множеств являются покрытиями данного множества X. Так, например, мы можем говорить о a-точечно конечных покрытиях, о звездной впи- санности одного покрытия в другое и т. д. Определим три специфических для покрытий термина. Покрытиеу множествах называется бинарным. если оно состо- ит ровно из двух элементов. Покрытие у множества X называется минимальным, если никакое отличное от у подсемейство X семейства у не покрывает множества X. Пусть ер — семейство покрытий множества X. Для каждого У Е выберем Uv Е У и положим Р =П у Е &}• Семейство всех множеств Р. которые можно получить таким образом, оче- видно, покрывает множество X; оно называется (покрытием) производным (от) семейства ер. Всюду далее мы предполагаем, что X — топологическое про- странство. Скажем, что покрытие X пространства X вписано с замыканием в покрытие у этого пространства, если покрытие {[У]: V Е X} впи- сано в у. Семейство у подмножеств пространства X называется локаль- но конечным в X, если для каждой точки х Е X существует ее окрест- ность Ох. пересекающаяся лишь с конечным множеством элемен- тов семейства у. Если для каждой точки х Е X существует окре- стность Ох. пересекающаяся не более чем с одним элементом семейства у, то у называется дискретным в X, Семейство множеств ^-локально конечно (в-дискретно). если оно является объединением счетного множества локально конеч- ных (соответственно дискретных) семейств множеств. Назовем семейство у множеств слабо дискретным, если, как оы ни выбрали по точке x(U) из каждого элемента U семейства у^
288 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ множество {x(U): U £ у} составляет замкнутое дискэетное под- пространство пространства X (такие поднространст * простран- ства X мы называем дискретными в X). Семейство у называется консервативным, если для каждого его подсемейства у* непременно [ (J {Р: Р С У *)) = U Р Е У*}- Пространство X называется коллективно нормальным, если для каждого дискретного семейства % = {Fa: а Е Л} его подмно- жеств существует дискретное семейство у = {(7а: а ЕЛ) открытых в X множеств такое, что Facz Ua для каждого а Е Л. Пространство X называется паракомпактным (сильно пара- компактным), если в каждое его открытое покрытие можно впи- сать открытое локально конечное (соответственно звездно конеч- ное) покрытие. Пространство X называется слабо паракомпактным (а-мета- компактным), если в каждое его открытое покрытие можно впи- сать точечно конечное (соответственно о-точечно конечное) откры- тое покрытие. Слабо паракомпактные пространства называются еще точечно паракомпактными и метакомпактными. Паракомпактами мы называем паракомпактные хаусдорфо- вы пространства. Пространство X счетно паракомпактно, если в каждое его счетное открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. Пространство X называется просеянным, если в каждое его открытое покрытие можно вписать о-дизъюнктное открытое покрытие. Разумеется, наследственно паракомпактными мы называ- ем те пространства, каждое подпространство которых параком- пактно. С понятием паракомпактности тесно связано понятие разбие- ния единицы, подчиненного данному открытому покрытию у. Это такое семейство непрерывных неотрицательных вещественных функций на X, что выполняются следующие условия: 1) для каждой функции / множество {х ^Xz f(x) > 0} содер- жится в некотором элементе покрытия у; 2) для каждой точки х существует ее окрестность Ох такая, что множество {/ Е JF: f(Ox) {0}} конечно; 3) 2 {f(x): / Е JF} = 1 для каждой точки х Е X. Пространство X называется звездно нормальным (иногда — звездно паракомпактным), если в каждое его открытое покрытие можно звездно вписать открытое покрытие. Дальнейшие определения относятся к базам и семействам покрытий. База пространства X называется равномерной, если для каждой точки х Е X и каждой ее окрестности Ох семейство {{7Е^:яЕ#и(7П (Х\Ох) =# Л} конечно.
ГЛ V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 289 База 98 пространства X называется регулярной, если для каждой тот и х Е X и каждой ее окрестности Ох суще- ствует окрестность О& этой точки такая, что семейство {U Е U П OiX =# Л и U f| (X \ Ох) #= Л} конечно. Семейство у множеств называется регулярным, если для каж- дого U Е У и каждой точки х Е U существует окрестность Ох этой точки такая, что множество {У Е У- V f| Ох Ф Л и V f| (X\U) Л} конечно. База пространства X называется NS-базой. если она является a-локально конечным семейством множеств. Пусть — база пространства X. удовлетворяющая условию: каковы бы ни были точка х Е X и последовательность {Un: п Е N*} элементов этой базы такие, что х Е Un и С7л+1с Un. Un+t Un при всех п Е N4*, семейство {Un: п Е N+} является базой простран- ства X в точке х. Будем говорить тогда, что 98 — база счетного порядка. Пусть § — некоторое семейство покрытий пространства X. Назовем § измельчающимся, если, каковы бы ни были точка х Е X и ее окрестность Ох. существует у Е ё, для которого у (х)с Ох. Если все элементы семейства £ — открытые покрытия, то ска- жем, что — измельчение. Измельчение g называется счетным. если | S | х0. Семейство S открытых покрытий пространства X мы назы- ваем Ti-измелъчением. если для каждой точки х Е X имеет место П Y € ё} = {х}. Измельчение ё называется k-измельчением. если для каждого бикомпактного подмножества Ф пространства X и каждой его окрестности U существует у Е § такое, что у(Ф) cz U. Полезны также понятия фильтрации и ТУфильтрации. Множество JT семейств открытых в X множеств называется фильтрацией (^-фильтрацией). если для каждой точки х Е X и каждой ее окрестности Ох (соответственно и каждой точки у. отличной от х) существует у Е 9F такое, что множество у (х) не пусто и у(х) cz Ох (соответственно и у (я) £ у). Естественно, фильтрация (^-фильтрация) JT называется счет- ной. если | jF I к0- Пусть £ — некоторое множество сеАмейств открытых в X множеств. Назовем ^-ядром множества U <zzX совокупность всех точек х множества V таких, что для некоторого у Е £ выполняются усло- вия: у(х) =#= Л и y(rr)ci U. Условимся обозначать £-ядро множе- ства U через (Ц)^ — или через (U), если ясно, какое семейство I имеется в виду. Множество U называется ^-полным. если {U) — = U. Скажем, что семейство £ систем открытых множеств про- странства X мажорирует покрытие К этого пространства, если 19 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
290 ГЛ. V МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ для каждой точки х £ X существуют ее окрестность Ох, элемент U покрытия % и элемент у семейства £ такие, что у(Ох) =£ А и y(Ox)cz U. Множество открытых покрытий .пространства X называется фундаментальным, если оно мажорирует каждое открытое покрытие этого пространства. Особенно важны счетные фундаментальные множества покры- тий. Особую роль будут играть звездно монотонные последователь- ности открытых покрытий. Последовательность | = {yn: п Е N+} открытых покрытий пространства X называется звездно монотон- ной (соответственно сильно звездно монотонной}, если при каждом п Е N+ покрытие уп+1 звездно вписано в уп (соответственно, если уп+1 сильно звездно вписано в уп). Кроме того, в этой главе нам впервые встретится термин д-про- странство. Пространство X называется q-пространством, если для каждой точки х существует такая последовательность {Оп(х}\ п £ С А+} ее окрестностей, что если хп Е Опх при каждом п Е А+, то множество {хп: п Е N*} имеет предельную точку в X. В нескольких задачах встретятся также следующие модифика- ции введенных выше понятий. Множество семейств открытых в X множеств слабо мажори- рует покрытие у пространства X, если для каждой точки х С X существуют элемент U покрытия у и такое к Е , что К(х} =/= А и Х{х} сг U, Если для каждого открытого покрытия у пространства X существует счетное семейство открытых покрытий этого про- странства, которое слабо мажорирует покрытие у, то пространство X называется в-паракомпактным. Наконец, назовем X слабо про- сеянным пространством, если для каждого его открытого покрытия у существует счетное множество семейств открытых в X мно- жеств, которое слабо мажорирует покрытие у. Нам встретится также следующее специальное понятие. Впол- не регулярное пространство X называется перистым (р-простран- ством), если существует счетное семейство покрытий простран- ства X множествами, открытыми в его расширении Стоуна — Чеха рХ, jaKoe, что П{у(^): Y € <^}cz X для каждой точки х Е X. Семейство называется оперением пространства X в рХ. § 1. Общие задачи о покрытиях и базах 1. В каждое открытое покрытие регулярного пространства можно вписать открытое покрытие с замыканием. 2. Локально конечное семейство множеств пространства X консервативно. 3. Производное конечного множества открытых покрытий пространства является открытым покрытием этого пространства.
§ 1 ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ И БАЗАХ 291 4. Для каждого конечного множества 0 открьпых покрытий пространства X можно найти открытое покрытие X, вписанное во все элементы множества 0 одновременно. 5. В сепарабельном пространстве X каждое точечно счетное семейство у непустых открытых множеств счетно. 6. Пусть X — пространство, Y — его сепарабельное подпро- странство и у — семейство открытых в X множеств такое, что |{С7 g у: U 9 у} | к0 для всех у Е У. Тогда | {U Е у: U Л Y ¥= Л} | < х0. 7. Пусть у — звездно счетное семейство открытых в простран- стве X множеств. Тогда можно представить у в виде объединения своих подсемейств уа (где а пробегает некоторое множество Л) таким образом, что 1) | уа | х0 при всех а Е Л и 2) если U Е Уа' и V Е уа", где а' #= а", то U Л V = А. 8. Если у — звездно счетное открытое покрытие пространства X, то существуют множество Л и для каждого а Е Л подсемейство уа семейства у и подпространство Ха пространства X такие, что: 1) I Та I С «о; 2) если а' а", то уа, Л Та- = А; 3) (J {U: V Е Е Та} = ^а; 4) Ха открыто и замкнуто в X; 5) и {уа; а Е Л} = у; 6) U {Ха: а Е Л} = Х\ 7) если а' #= а", то Ха* Л -Ха* = А (всюду выше а, а' и а" — любые элементы множества Л). 9. Каждое звездно счетное открытое покрытие у топологическо- го пространства X о-дискретно. 10. Каждое точечно счетное открытое покрытие пространства X его сепарабельными подпространствами звездно счетно. И. Если существует точечно счетное открытое покрытие у пространства X подпространствами, каждое из которых обладает счетной базой, то X представляется в виде объединения непересе- кающихся открыто-замкнутых подпространств, каждое из которых имеет счетную базу. 12. Каждое звездно счетное открытое покрытие у непустого связного пространства счетно. 13. Если в открытое покрытие у пространства X можно вписать локально конечное (точечно конечное, звездно конечное) открытое покрытие, то в у можно комбинаторно вписать локально конечное (точечно конечное, звездно конечное) открытое покрытие. 14. Пусть у — точечно конечное покрытие топологического пространства X. Тогда существует минимальное покрытие X про- странства X, содержащееся в у. 15. Пусть у — минимальное открытое покрытие ^-простран- ства X. Тогда существует замкнутое дискретное множество в X, равномощное у. 16. Пусть у* — точечно конечное семейство подмножеств мно- жества X, X* cz X и каждому Л Е У* поставлено в соответствие некоторое множество р(Л)с= Л. Пусть, кроме того, на у* задано вполне упорядочение <, причем выполняется условие: 19*
292 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ (U {р(^4): А ^})U(U {А : В < СА) dX* для каждого В Е у*. Тогда ОШ): А Еу*}оХ*. 17. Пусть у — открытое точечно конечное покрытие нормаль- ного пространства X. Тогда для каждого U Е У можно так опреде- лить открытое множество p(U), что будут выполняться условия: 1) [р(CZ)] cz U и 2) U {lp(U)]: U£y} = X. 18. В каждое точечно конечное открытое покрытие нормаль- ного пространства X можно комбинаторно вписать покрытие замкнутыми множествами. 19. Пусть у — точечно конечное открытое покрытие простран- ства X и Хп = {х £ X: |{ U Е у: U^x}\ = п} для каждого п Е N*. Пусть Vn^i — некоторое открытое множество, содержащее Хп_15 причем Хо == Л, Vo = Л. Тогда 1) каждое Хп замкнуто в X; 2) Хп \ Vn^ покрывается дискретным семейством замкнутых в X множеств, вписанным в у. 20. Если семейство множеств у звездно вписано в семейство 'множеств X, то у(у(А))ст % (Л) для любого множества А. 21. Пусть у, у' и у" — семейства подмножеств множества X и у' звездно вписано в у, а у" звездно вписано в у'. Тогда у" сильно «звездно вписано в у. 22. Если в каждое открытое покрытие пространства X можно звездно вписать открытое покрытие, то в каждое открытое покры- тие X можно вписать открытое покрытие и сильно звездно. 23. Если в каждое бинарное открытое покрытие пространства X можно звездно вписать открытое покрытие, то X нормально. 24. Если в каждое открытое покрытие пространства X можно звездно вписать открытое покрытие, то X коллективно нормально. 25. Если £ — открытое покрытие пространства X и существует счетное множество у открытых покрытий X, которое мажорирует покрытие то существует открытое покрытие пространства X, звездно вписанное в £. 26. Всякое дискретное (а-дискретное) семейство множеств пространства локально конечно (о-локально конечно) в нем. 27. Если в топологическом пространстве существует счетное фундаментальное множество покрытий, то в любое открытое покрытие этого пространства можно звездно вписать открытое покрытие. 28. В каждое открытое покрытие метрического пространства можно звездно вписать открытое покрытие. 29. Каждое метрическое пространство коллективно нормально. 30. Пусть — некоторое множество семейств открытых в пространстве X множеств. Тогда каждое ^-полное множество явля- ется открытым. 31. Пусть t = {yn: п Е N} — звездно монотонная последова- тельность открытых покрытий пространства X. Тогда £-ядр°
§ 1. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ И БАЗАХ 293 (£7) произвольного множества U cz X является открытым S-пол- ным множеством. 32. Если X — покрытие пространства X и £ — звездно монотон- ная последовательность открытых покрытий этого пространства, мажорирующая покрытие X, то существует вписанное в % открытое покрытие у, состоящее из В-полных множеств. 33. Пусть % = {уп: п Е 7V) — сильно звездно монотонная последовательность открытых покрытий пространства X и у — покрытие X ^-полными множествами, вполне упорядоченное некоторым отношением <. Положим t(U) = U \ Ц {V Е у; V < CU и V^U}, tn(U) = {xet(U): yn(x)^U}, On(U)=- = Yn+i(^(^))- Тогда (a) U E y} — покрытие X; (6) {tn{Uy. £7 E y, n E N} — покрытие X; (в) никакой элемент семейства уп не пересекает двух различ- ных элементов семейства {tn(U)- U Е у}, где п N; (г) никакой элемент семейства уп+! не пересекает двух раз- личных элементов семейства {On(U): U Е у}, где п Е (д) {On(U): £7 Е у, Е N} — о-дискретное открытое покрытие пространства X, вписанное в у. 34. Если звездно монотонная последовательность g = {уп: п Е N} открытых покрытий пространства X мажорирует покрытие % этого пространства, то в X можно вписать о-дискретное открытое покрытие. 35. Объединение конечного семейства £ локально конечных (в пространстве X) семейств множеств является локально конечным семейством множеств. 36. Производное т] конечного семейства % локально конечных (в пространстве X) семейств множеств является локально конеч- ным семейством множеств. 37. Если % — локально конечное семейство множеств в про- странстве X и л = {[(>]: Q Е £}, то и Л локально конечно (в X). 38. Если у — локально конечное семейство множеств в про- странстве X и F — бикомпактное подпространство пространства X, то F пересекается лишь с конечным множеством элементов семейства у. 39. Если с(Х) х0, то каждое локально конечное в X се- мейство у непустых открытых подмножеств счетно. 40. В каждое о-локально конечное открытое покрытие g пространства X можно вписать локально конечное покрытие. 41. Каждое слабо дискретное дизъюнктное покрытие у любого ^'Пространства X локально конечно. 42. Если у = {£7а: а Е^} и % =* {7а: а Е Л} - семейства множеств в пространстве X такие, что Vacz Ua при всех а Е А й У слабо дискретно, то и X слабо дискретно. t
294 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 43. В каждое слабо дискретное покрытие топологического пространства можно вписать дизъюнктное слабо дискретное покрытие. 44. Если X — регулярное пространство и в каждое открытое покрытие пространства X можно вписать локально конечное покрытие (элементы которого не обязаны быть ни открытыми, ни замкнутыми множествами), то X паракомпактно. 45. Каждое метрическое пространство паракомпактно. 46. Покажите, что регулярное ^-пространство паракомпактно в том и только в том случае, если в каждое его открытое покрытие можно вписать слабо дискретное покрытие. 47. Регулярное пространство точечно счетного типа параком- пактно в том и только в том случае, если в каждое его открытое покрытие можно вписать слабо дискретное покрытие. 48. Если X — нормальное пространство, £ = {Fa: а Е А) — дискретное семейство замкнутых в X множеств и у - {Ua: а Е А} — семейство их попарно не пересекающихся окрестностей (где Ua о Fa для каждого а Е ^4), то существуют такие открытые множества Va ^Fa, что семейство {Va: а Е А} дискретно. 49. Пусть у — некоторое семейство множеств, лежащих в про- странстве X, и % — локально конечное покрытие замкнутыми мно- жествами, каждое из которых пересекается лишь с конечным чис- лом элементов у. Тогда {Х~(Л): ЛЕ?} — локально конечное семей- ство открытых множеств, причем АГ(Л) zd А для всех А Е У- 50. Если % — локально конечное открытое покрытие простран- ства X, то (А) = {Л,0 (гг): х Е X} — открытое покрытие простран- ства X, вписанное в X. 51. Если А и у — открытые локально конечные покрытия пространства X и А вписано в у с замыканием, то (AU?) звездно вписано в у — точнее, семейство {<AUT> (^): "Р € М вписано в у. 52. Пусть X — топологическое пространство, у — его счетное открытое покрытие и для каждого U Е V определено такое t(U) — открытое в X множество, что 1) [£(Z7)J cz £7 и 2) J {t(U): U £ у} = X. Тогда в у можно вписать локально конечное открытое покрытие пространства X (причем даже счетное). 53. Каждое локально конечное семейство бикомпактных под- пространств пространства X звездно конечно. 54. Пусть ц — звездно конечное открытое покрытие про- странства X и для каждого U Е И задано конечное семейство открытых в X множеств, покрывающее U. Тогда {U f| V: V Е A<j, U Е и} — звездно конечное открытое покрытие пространства X. 55. Пусть S = {Fk\ к Е N+} — последовательность замкнутых, а т| = {FZl: к Е N+}— последовательность открытых в простран- стве X множеств, причем U{f\: к ЕХ+} = X и Fkcz Vkcz для всех к Е Л Пусть для каждого А: задано конечное семейство Ал открытых в X множеств, покрывающее Fk, и А = И" г
§ 1 ОБЩИЕ ЗАДАЧИ О ПОКРЫТИЯХ И БАЗАХ 295 Тогда существует звездно конечное открытое покрытие простран- ства X, вписанное в %. 56. Пусть X — топологическое пространство, X = {Uirf. Z Е X, j Е X} — покрытие X открытыми множествами такое, что [Ui, j, ] cz Ui, j* при /'</'. Положим Ui — \}{Ui,f, j N} и у = {Uf. i E X}. Постройте звездно конечное открытое покрытие пространства X, вписанное в у. 57. Пусть X — нормальное пространство и для каждого к Е X заданы открытое множество и замкнутое множество так, что 1) Vh zjFk и 2) U{^A- к Е X} = X. Тогда в покрытие и = =--- {V&: к Е X} можно вписать звездно конечное открытое покрытие. 58. Если X —нормальное пространство и у — счетное откры- тое покрытие пространства X, в которое можно вписать счетное замкнутое покрытие, то в у можно вписать и звездно конечное открытое покрытие. 59. В каждом конечном семействе множеств существует мак- симальный элемент. 60. Если покрытие у пространства X нётерово, то поверхность т(у) семейства у покрывает X. 61. Каждое регулярное семейство множеств нётерово. 62. Подсемейство регулярного семейства множеств регулярно. 63. Регулярное семейство множеств у, каждый элемент которо- го максимален, локально конечно. 64. Поверхность т(у) регулярного семейства множеств у является локально конечным семейством. 65. Поверхность равномерной базы 35 пространства X является точечно конечным открытым покрытием X. 66. Каждое Т^-пространство X с равномерной базой 35 обла- дает счетным измельчающимся семейством точечно конечных открытых покрытий. 67. Если f = {yn: п Е X} — измельчающаяся последователь- ность точечно конечных открытых покрытий пространства X и уп, вписано в при п' > га", то у = U{Yn: п Е X} — равномерная база пространства X. 68. Если в регулярном пространстве X существует о-дискрет- ная база, то в X есть и регулярная база. 69. Тгпространство X, обладающее регулярной базой регулярно. 70. Пространство X, обладающее регулярной базой пара- компактно. 71. Регулярное пространство X с о-дискретной базой пара- компактно. 72. Если в каждое открытое покрытие регулярного простран- ства X можно вписать о-локально конечное открытое покрытие, То X паракомпактно.
296 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 73. Каждое регулярное пространство X с TVS-базой нор- мально. 74. Докажите, что регулярное пространство X с TVS-базой совершенно нормально. § 2. Основные метризационные теоремы 75. Пусть X — To-пространство и £ = {yn: п g TV} — сильно звездно монотонная и измельчающаяся последовательность его открытых покрытий. Для х,у g X положим п (х, у) = = min {п Е N: уп(х) $ у} и f(x,y) - , если х =/= у, и / (гг, у) — 0, если х = у. Конечную последовательность 0 = = {хт, . . ., tfr+s} точек X, занумерованных натуральными чис- лами от г до г -j- s, будем называть цепочкой ранга $, соединяю- я— 1 щей хт с а число 2/(яг+г, xr+i+i) условимся называть длиной г—О этой цепочки и обозначать через £(0). Ранг цепочки 0 будем обо- значать через /?(0). Примем за d(x, у) нижнюю грань длин цепочек (всевозможного ранга), соединяющих х с у. Докажите, что 1) /(^, У) = КУ) х) для любых х, у С X, где х у; i 2) f(xQ, xi+t) 2 2 f(xt> xi+i) = 2L(0) для любой цепочки 0 « г=0 = {х0, . . ., соединяющей х0 с #z+1; 2') d(x, у) < f(x, у) < 2d(x, у), х,у g X; 3) d(x. у) — метрика на множестве X; 4) | у. d(x,y) < уп(х); 5) {у: d(x,y) < ±}c=yn_i(x); 6) d порождает топологию, заданную на X. 76. Если паракомпакт X обладает счетным измельчением {yz: i g TV+}, то он метризуем (и обратно). 77. Для того чтобы Т0-пространство X было метризуемо, необ- ходимо и достаточно, чтобы в X существовало счетное фундамен- тальное множество покрытий. 78. Докажите, что Т0-пространство X метризуемо тогда и толь- ко тогда, когда в X существует счетное ^-измельчение. 79. Регулярное пространство со счетной базой метризуемо. 80. Регулярное пространство с а-дискретной базой метризуе- мо. Верно и обратное утверждение. 81. Каждый ли паракомпакт с ог-дизъюнктной базой метри- зуем? 82. Верно ли, что каждое совершенно нормальное простран- ство с о-дизъюнктной базой метризуемо?
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТРИЗАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ 297 83. Если регулярное пространство X обладает TVS-базой, то оно метризуемо. 84. Докажите, что регулярное пространство X с TVS-базой метризуемо, обобщив рассуждение из задачи 39 гл. III. 85. Паракомпакт с равномерной базой метризуем (и обратно). 86. Верно ли, что каждое регулярное финально компактное пространство с точечно счетной базой метризуемо? 87. (а) Если регулярное пространство X имеет точечно счетную базу и, кроме того, для каждой точки х С X существует окрест- ность, являющаяся пространством со счетной базой, то X метри- зуемо. (б ) Локально бикомпактное хаусдорфово пространство с то- чечно счетной базой метризуемо. 88. Каждое Тгпространство X с регулярной базой метризуе- мо (и обратно). 89. Если у ={Ua: а Е А} — локально конечное открытое покрытие регулярного пространства X его метризуемыми подпро- странствами Ua, то X метризуемо. 90. Если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем. 91. Паракомпакт, локально метризуемый полной метрикой, метризуем полной метрикой. 92. Метрическое пространство X метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно полно в смысле Чеха, т. е. является множеством типа в каком-нибудь (а тогда и в любом) своем бикомпактном хаусдорфовом расширении. 93. Локально метризуемое, локально бикомпактное хаусдор- фово слабо паракомпактное пространство X метризуемо. 94. Каждое метризуемое локально бикомпактное простран- ство X представимо в виде объединения дизъюнктного семейства* своих открыто-замкнутых подпространств, каждое из которых является объединением счетного множества компактов. 95. Каждый симметризуемый бикомпакт метризуем. 96. Пусть топология хаусдорфова пространства X порож- дена симметрикой d, которая удовлетворяет следующему ус- ловию: (к) если А замкнуто в X, а Ф — бикомпакт, лежащий в X и не пересекающийся с А, то с?(Ф, А) > 0. Тогда (а) в X выполнена первая аксиома счетности; (б) X метризуемо. 97. Пусть X — метризуемое небикомпактное пространство. Докажите, что существует метризуемое (вообще говоря, небиком- пактное) расширение X пространства X (отличное от X). 98. Докажите, что метризуемое пространство X бикомпактно* в том и только в том случае, когда всякая метрика на X, совмести- мая с его топологией, полна.
298 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 99. Если X — метризуемое пространство, А — его замкнутое подпространство и р — метрика на А, порождающая топологию, индуцированную из X на Л, то существует метрика р на про- странстве X, согласующаяся с его топологией, сужение которой на А есть р. 100. Постройте регулярное пространство со следующими свойствами: 1) = $>Q и где — открытое дискретное подпро- странство пространства а — замкнутое дискретное подпро- странство пространства <ьР, причем еР0 П = Л, | (3% | = х0, | ^1| = 2К0; 2) каждое бесконечное подмножество С множества аР0 имеет предельную точку в (точнее, в $\). 101. Докажите, что всякое регулярное пространство удовлетворяющее условиям 1) и 2) из задачи 100 гл. V, (а) локально бикомпактно; (б) вполне регулярно; (в) локально метризуемо; (г) псевдокомпактно; (д) сепарабельно; (е) неметризуемо; (ж) не счетно компактно, (з) не финально компактно; (и) не нормально, (к) не слабо паракомпактно; (л) обладает измельчающейся последо- вательностью покрытий; (м) не имеет точечно счетной базы; (н) допускает непрерывное замкнутое отображение на простейший бесконечный компакт такое, что граница прообраза неизолиро- ванной точки не бикомпактна; (о) не является ^-пространством. § 3. Пространства, близкие к метризуемым. Специальные теоремы о метризации и метрических пространствах 102. Если пространство X обладает счетным измельчением, то каждое замкнутое в X множество имеет тип G&. 103. Если пространство X обладает счетной Тгфильтрацией (фильтрацией) и каждое замкнутое в X множество имеет тип G$, то X обладает и счетным Т^-измельчением (измельчением). 104. Если пространство X уплотняется на пространство со счетным Т^измельчением (со счетной Т^фильтрацией), то X само обладает счетным Т^-измельчением (соответственно счетной Тг фильтрацией). 105. В пространстве X имеется счетное Тгизмельчение в том и только в том случае, если диагональ А является множеством типа в тихоновском произведении X X X. 106. Если ср = {уа: а £ А} — Тгизмельчение в пространстве X, то U {уа: а £ Л} — псевдобаза этого пространства. 107. Если финально компактное пространство X обладает счетным Tt-измельчением, то X обладает и счетной псевдобазой. 10$. Бикомпакт со счетной Ti-фильтрацией совершенно нор' мален.
§ 3. ПРОСТРАНСТВА, БЛИЗКИЕ К МЕТРИЗУЕМЫМ 299 109. Каждый бикомпакт X, обладающий счетной Т\-фильт- рацией, имеет счетную базу и потому метризуем. 110. Верно ли, что каждое вполне регулярное псевдокомпакт- ное сепарабельное пространство со счетным измельчением метри- зуемо? 111. Если 2^1 >> 2No и X — нормальное сепарабельное пространство со счетным измельчением, то каждое несчетное мно- жество А с: X имеет в X предельную точку. 112. Если пространство X обладает счетным измельчением £ и каждое несчетное множество A cz X имеет в X предельную точку, то X финально компактно. ИЗ. Если X — регулярное пространство со счетным измель- чением, причем каждое несчетное множество A cz X имеет пре- дельную точку в X, то X — метризуемое пространство со счетной базой. 114. Если 2К* > 2*о, то каждое сепарабельное нормальное пространство X со счетным измельчением метризуемо и обладает счетной базой. 115. Каждое сепарабельное нормальное пространство со счет- ным измельчением метризуемо в том и только в том случае, если каждое несчетное подпространство X числовой прямой содержит подмножество, не являющееся множеством типа Fo в X. 116. Если каждое нормальное пространство с равномерной базой метризуемо, то и каждое сепарабельное нормальное прост- ранство со счетным измельчением метризуемо. 117. Каждое метрическое пространство X веса т гомеоморфно некоторому подпространству пространства (Kw (т))Хо— счетной тихоновской степени ежа колючести т (см. 251 гл. II). 118. Мощность пространства (А«?(т))Хо равна 119. Если т — неизмеримое кардинальное число, то Kw(x) и ^(т) — (Kwty)^ являются (^-пространствами. 120*. (7-вес (см. стр. 242) пространства Kw(x) — ежа колюче- сти т, равен Q(x) — (7-весу дискретного пространства мощности т. 121*. (7-вес пространства (Kiv(x))^ равен Q(x) для любого неиз- меримого кардинального числа т. 122*. Q-ъес любого подпространства Y пространства ^(т) — = (Kw(x))^ не превосходит шах{(7(т), тХо}, где х — произ- вольное неизмеримое кардинальное число. 123*. Если т — неизмеримое кардинальное число и X — мет- рическое пространство веса т, то X — (^-пространство и его (7-вес не превосходит Q(x)-x^. 124*. Если верна обобщенная континуум-гипотеза и х — кардинальное число, меньшее первого сильно недостижимого кар- динального числа, то каждое метрическое пространство веса х го- меоморфно замкнутому подпространству пространства 7?тКо ти- хоновского произведения экземпляров обычной прямой.
300 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 125*. Каждое метрическое пространство веса т, где т — неизмеримое кардинальное число, обладает ^-расширением, вес которого не превосходит (?(т)«тКо. § 4. Паракомпакты 126. Приведите пример нормального сепарабельного непара- компактного пространства. 127. Каждое подпространство пространства X паракомпактно, если каждое его открытое подпространство паракомпактно. 128. Пусть X — паракомпактное пространство, В — его подмножество, Л — некоторое семейство подмножеств множества X, причем выполняются условия: (с) Р ~ J {A: A g Л} — замкнутое в X множество; (s) для каждого А £ Л существует открытое в X множество UA такое, что UA zd А и [CZA] Q В = Л. Тогда у Р в X есть окрестность, замыкание которой не пере- секается с В. 129. Паракомпактное хаусдорфово пространство X регулярно. 130. Паракомпактное хаусдорфово пространство нормально. 131. Если существует локально конечное покрытие регулярно- го пространства X паракомпактными подпространствами, то X само паракомпактно. 132. Каждое регулярное финально компактное пространство является паракомпактом. 133. Если X — паракомпактное пространство и с(Х) х0, то X финально компактно. 134. Пусть X — паракомпакт и у — его открытое покрытие. Существует тогда семейство Jr непрерывных вещественных функ- ций на X такое, что: 1) для каждого / € множество {х Е X: j{x) =# 0} (называе- мое носителем функции /) содержится в некотором элементе покрытия у; 2) у каждой точки х Е X существует окрестность Ох такая, что множество {/ Е 'F- Ох \ /-1(0) #= Л} конечно; 3) 2 t Е 'F и/(я) =# 0} = 1 для всех х £ X (заметим, что в силу 2) множество {/ Е F: / (я) #= 0} конечно для всех х Е X). 135. Пусть X — множество всех точек плоскости, обе коор- динаты которых — целые числа. Каждую точку (m, п) Е X, от- личную от (0, 0), объявим изолированной. Множество A cz: X, А Э (0, 0), называется открытым, если X \ А пересекается с каж- дой прямой, параллельной оси у = 0, кроме, быть может, некоторо- го конечного числа таких прямых, по конечному множеству. Покажите, что X с такой топологией — недискретный пара- компакт без счетной базы, все бикомпактные подпространства которого конечны (следовательно, X — не ^-пространство).
§ 4. ПАРАКОМПАКТЫ 301 136. Существует ли счетный паракомпакт, ни в одной точке не удовлетворяющий первой аксиоме счетности? 137. Пусть X — паракомпакт, ХоаХ~ подмножество про- странства X типа Fa. Докажите, что во всякое покрытие со про- странства Хо открытыми в X множествами можно вписать a-ло- кально конечное в X покрытие Хо открытыми в X множествами. 138. Докажите, что всякое подпространство Хо типа Fa пара- компакта X является паракомпактом. 139. Каждое паракомпактное совершенно нормальное про- странство наследственно паракомпактно. 140. Если пространство X наследственно паракомпактно и с(Х) х0» то X наследственно финально компактно. 141. Каждый ли бикомпакт, каждое подпространство которого паракомпактно, совершенно нормален? 142. Если каждое подпространство бикомпакта паракомпакт- но, то является ли этот бикомпакт пространством Фреше — Уры- сона (или хотя бы секвенциальным пространством)? 143. Если пространство X наследственно паракомпактно и Л(Х) = X J d(X) — его удвоение по методу П. С. Александрова (см. 81 гл. III), то и Л(Х) наследственно паракомпактно. 144. Всякий ли наследственно паракомпактный бикомпакт с первой аксиомой счетности совершенно нормален? 145. Если пространство X совершенно нормально и в каждое его открытое покрытие можно вписать о-дизъюнктное открытое покрытие, то X паракомпактно. 146. Пусть X — коллективно нормальное ^-пространство, X zd Y и Y = (J {Fi С где каждое Ft замкнуто в У. Пусть, кроме того, 1) каждое Fi как подпространство пространства X паракомпактно и 2) каково бы ни было открытое в X множество £7, содержащее У, подпространство X \ U паракомпактно. Тогда и все X паракомпактно. 147. В каждое открытое покрытие g хаусдорфова параком- пактного пространства X можно звездно вписать открытое по- крытие. 148. Пространство X является паракомпактом в том и толь- ко в том случае, если оно удовлетворяет Ti-аксиоме отделимости и в каждое открытое покрытие этого пространства можно вписать открытое покрытие звездно. 149. В каждое открытое покрытие паракомпакта можно силь- но звездно вписать открытое покрытие. 150. Следующие утверждения равносильны: (а) X — паракомпакт; (б) X — ^-пространство, в каждое открытое покрытие кото- рого можно вписать открытое покрытие звездно; (в) X — регулярное пространство, и в каждое его открытое Покрытие можно вписать о-локально конечное открытое покрытие:
302 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ (г) X — регулярное пространство, в каждое открытое покры- тие которого можно вписать локально конечное покрытие; (д) X — регулярное пространство, и в каждое его открытое покрытие можно вписать о-дискретное открытое покрытие; (е) X — регулярное пространство, в каждое открытое покры- тие которого можно вписать консервативное покрытие. 151. Существует консервативное покрытие вполне регулярно- го пространства X бикомпактами. Непременно ли тогда X — па- ракомпакт? 152. Пусть X — вполне регулярное пространство и ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение. Покажите, что X па- ракомпактно в том и только в том случае, если для каждого биком- пакта F, лежащего в ЬХ \Х, существует локально конечное (в X) покрытие пространства X его открытыми подмножествами, замы- кания которых (в ЬХ) не пересекаются с F. 153. Пусть X — паракомпакт. Докажите, что следующие усло- вия эквивалентны: 1) dim X = 0, т. е. во всякое конечное открытое покрытие пространства X можно вписать (конечное) дизъюнктное открытое покрытие; 2) Ind X = 0, т. е. для каждого замкнутого в X множества F и произвольной его окрестности UF существует открыто- замкнутая окрестность U'F, которой U'F cz UF; 3) в любое открытое покрытие со пространства X можно впи- сать дизъюнктное открытое покрытие. 154. Пусть X — метризуемое пространство. Покажите, что следующие условия эквивалентны: 1) dim X = 0; 2) существует база о пространства X, являющаяся объедине- нием счетного семейства дизъюнктных открытых покрытий X: а = = и{®г: г 6 N+}. 155. Пусть В(х) — бэровское пространство веса т (см. 246 гл. II). Докажите, что dim В (т) = 0. 156. Пусть X — метризуемое пространство и dim X = 0. Докажите, что dim Хо = 0 для всякого подпространства Xocz X. § 5. Свойства типа паракомпактности: счетная паракомпактность, сильная паракомпактность, слабая паракомпактность и другие 157. Если пространство X нормально, то следующие утверж- дения равносильны: (а) в каждое счетное открытое покрытие пространства X можно вписать точечно конечное открытое покрытие; (б) в каждое счетное открытое покрытие пространства X можно комбинаторно вписать покрытие из замкнутых множеств;
§ 5. СВОЙСТВА ТИПА ПАРАКОМПАКТНОСТИ 303 (б') в каждое счетное открытое покрытие X можно вписать, счетное покрытие из замкнутых множеств; (в) в каждое счетное открытое покрытие X можно вписать локально конечное открытое покрытие; (г) в каждое счетное открытое покрытие X можно вписать звездно конечное открытое покрытие. 158. Каждое совершенно нормальное пространство счетно паракомпактно. 159. Нормальное пространство X счетно паракомпактно в том и только в том случае, если выполняется условие: какова бы ни была счетная центрированная система 5 замкну- тых в X множеств, пересечение элементов которой пусто, для каж- дого F 6 £ можно так определить содержащее F открытое множе- ство U(F), что будет Q{U(F)\ F С £} = Л. 160. Если X нормально, то оно счетно паракомпактно тогда и только тогда, когда в каждое счетное открытое покрытие у = {Uit i £ N*} пространства X можно звездно вписать счетное открытое покрытие. 161. Каждое регулярное финально компактное пространство X сильно паракомпактно. 162. Всякое регулярное пространство со счетной сетью сильно паракомпактпо. 163. Докажите, что метрическое пространство Kw(x) («еж колючести т»), построенное в задаче 251 гл. II, при т > х0 не силь- но паракомпактно. 164. Если пространство X допускает дизъюнктное открытое покрытие у, каждый элемент которого является сильно параком- пактным подпространством пространства X, то X сильно параком- пактно. 165. Регулярное пространство X сильно паракомпактно в том и только в том случае, если в каждое его открытое покрытие можно вписать звездно счетное открытое покрытие. 166. Если некоторое звездно конечное семейство открытых множеств, каждое из которых есть сумма счетного множества би- компактов, лежащих в регулярном пространстве X, покрывает X, то X сильно паракомпактно. 167* . Каждое локально бикомпактное паракомпактное хау- сдорфово пространство X может быть покрыто семейством у откры- тых множеств таким, что: 1) замыкание каждого U £ у в X бикомпактно и 2) у каждой точки х £ X есть окрестность Ох, пересекающаяся более чем с двумя элементами семейства у. 168. Каждое локально бикомпактное паракомпактпое про- странство X может быть покрыто попарно непересекающи- ^ися открыто-замкнутыми финально компактными подпростран- ствами.
304 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 169. Всякое паракомпактное локально бикомпактное хаусдор- фово пространство X сильно паракомпактно. 170. Пусть X — вполне регулярное пространство и £Х — его расширение Стоуна — Чеха. Докажите, что следующие утверждения равносильны: 1) X сильно паракомпактно; 2) для каждого открытого в |ЗХ множества G, содержащего X, найдется такое множество X cz G, содержащее X, что X как под- пространство пространства ₽Х сильно паракомпактно; 3) если G открыто в РХ и G z> X, то существует открытое силь- но паракомпактное подпространство X cz G пространства РХ, содержащее X. 171. Пусть X — вполне регулярное пространство и ЬХ — его бикомпактное хаусдорфово расширение. Покажите, что X сильно паракомпактно в том и только в том случае, если для каждо- го бикомпакта F, лежащего в ЬХ\Х, существует звездно конечное покрытие множества X открытыми в ЪХ множествами, замыка- ния которых не пересекаются с F. 172. Паракомпакт коллективно нормален. 173. Каждое связное сильно паракомпактное пространство X финально компактно. 174. Каждое паракомпактное пространство слабо параком- пактно. 175. Каждое пространство X с равномерной базой слабо паракомпактно. 176. Каждое ли локально бикомпактное слабо паракомпактное пространство паракомпактно? 177. Каждое ли нормальное локально бикомпактное слабо паракомпактное пространство паракомпактно? 178. Существует ли непаракомпактное нормальное локально бикомпактное слабо паракомпактное пространство с первой аксио- мой счетности? 179. Нормальное слабо паракомпактное пространство счетно паракомпактно. 180. Если X — небикомпактное слабо паракомпактное Тр пространство, то в X существует бесконечное замкнутое дискрет- ное множество. 181. Счетно компактное слабо паракомпактное ^-простран- ство бикомпактно. 182. Верно ли, что пространство Дсог) (см. стр. 152) слабо паракомпактно? 183. Во всякое открытое точечно конечное покрытие у коллек- тивно нормального пространства X можно вписать о-дискретное открытое покрытие с замыканием. 184. Коллективно нормальное пространство со счетным измель- чением метризуемо.
§ 5« СВОЙСТВА ТИПА ПАРАКОМПАКТНОСТИ 305 185. Хаусдорфово пространство паракомпактно в том и только в том случае, если оно коллективно нормально и слабо параком- пактно. 186. Если пространство X обладает о-точечно конечной базой, то в нем есть и счетная фильтрация, состоящая из точечно конечных семейств множеств. 187. Если в пространстве X каждое замкнутое множество является множеством типа G§ и X обладает счетной фильтрацией, элементы которой — точечно конечные семейства множеств, то в X есть равномерная база. 188. Если в пространстве X каждое замкнутое множество имеет тип 6?$ и X обладает а-точечпо конечной базой, то X обладает и равномерной базой. 189. Каждое коллективно нормальное совершенно нормальное пространство с о-точечно конечной базой метризуемо. 190. Если пространство X а-метакомпактно, то оно и просеяно, причем требуемые определением семейства множеств можно вы- брать точечно конечными. 191. Если пространство X а-метакомпактно и каждое замкну- тое множество в X имеет тип G&, то X слабо паракомпактно. 192. Если пространство X удовлетворяет условию Суслина и 1 — семейство непустых открытых множеств в X такое, что Кр(я, X) к для некоторого к £ N+ при всех х Е X, то X счетно. 193. Если пространство X удовлетворяет условию Суслина, — база X и X — несчетное конечнократное семейство непустых открытых множеств в X, то для каждого к С N+ существует V Е Si такое, что Кр(я, X) к при всех х Е У и | { U Е U П V =£ Л} | > к0> 194. В каждом полном в смысле Чеха пространстве X суще- ствует такая последовательность п Е N+} его баз, что если Un Е и t/n+i <= Un для каждого п Е Лг+, то П {[ £7^]: п Е N*} Л. 195. Если X — полное в смысле Чеха пространство и с(Х) х0, то каждое точечно конечное семейство % непустых открытых множеств пространства X счетно. 196. Если X — полное в смысле Чеха пространство и с(Х) С«о, то следующие утверждения равносильны: 1) X а-метакомпактно; 2) X слабо паракомпактно; 3) X паракомпактно; 4) X сильно паракомпактно; 5) X финально компактно. 197. Если регулярное пространство X локально полно в смы- сле Чеха и локально удовлетворяет условию Суслина, то сле- дующие утверждения равносильны: 1) X слабо паракомпактно; 2) X паракомпактно; А. В. Архангельский, В, И, Пономарев
306 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 3) X сильно паракомпактно; 4) X является свободной суммой финально компактных топо- логических пространств. 198. Если сг-метакомпактное пространство X локально полно в смысле Чеха и локально удовлетворяет условию Суслина, то оно просеяно. 199. Если X локально полно в смысле Чеха, локально удов- летворяет условию Суслина, совершенно нормально и о-метаком- пактно, то X паракомпактно. 200. Если X — совершенно нормальное локально бикомпакт- ное пространство, то следующие утверждения равносильны: 1) X о-метакомпактно; 2) X слабо паракомпактно; 3) X параком- пактно; 4) X сильно паракомпактно. 201. Если бикомпакт X удовлетворяет условию Суслина и F — замкнутое в X множество, то следующие утверждения равно- сильны: 1) характер %(F, X) множества F в пространстве X счетен; 2) пространство X \ F о-метакомпактно. 202. Бикомпакт X, удовлетворяющий условию Суслина, совер- шенно нормален в том и только в том случае, если каждое его (открытое) подпространство о-метакомпактно. 203. Каждое полное в смысле Чеха пространство с о-точечно конечной базой, удовлетворяющее условию Суслина, является метризуемым пространством со счетной базой. 204. Нормальное пространство со счетным измельчением имеет о-дискретную сеть. 205. Можно ли утверждать (без всяких теоретико-множествен- ных предположений), что всякое нормальное пространство со счет- ным измельчением метризуемо? 206. Пространство X о-паракомпактно в том и только в том случае, если в каждое его открытое покрытие можно вписать а-дискретное покрытие, состоящее из замкнутых множеств. § 6. Некоторые дальнейшие задачи 207. Для каждого открытого локально конечного покрытия <о = {Z7a: «€>1} нормального пространства X существует со-ото- бражение / пространства X на некоторое метрическое пространство Увеса % = | со |. Непрерывное отображение / : X У называется (^-отображением, где со—открытое покрытие пространства X, если существует такое открытое покрытие X пространства У, что се- мейство {/-1 V : У £ вписано в со. 208. Пусть X — множество и £ — звездно монотонная после- довательность его покрытий ^-полными множествами. Пусть, кро- ме того, П {у (х): у Е £} = {х} для всех х Е X. Тогда совокупность всех ^-полных подмножеств множества X составляет метризуе- мую топологию на X.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ДАЛЬНЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 307 209. Хаусдорфово пространство X паракомпактно в том и толь- ко в том случае, если для каждого его открытого покрытия со существует о-отображение этого пространства на некоторое мет- рическое пространство веса | о | . 210. Пусть X — паракомпакт. Тогда следующие три утверж- дения равносильны: (а) диагональ А в тихоновском произведении X X X является множеством типа G&; (б) X обладает Тризмельчением; (в) X уплотняется на метрическое пространство (см. стр?54). 211. Для каждого открытого покрытия о паракомпакта X существует звездно вписанное в <о открытое покрытие со' такое, что I (О' К I со I . 212*. Пусть X — паракомпакт, т — неизмеримое кардиналь- ное число, т>к0, ЬХ — бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X, причем выполняются следующие условия: 1) вес X не превосходит т; 2) X = f] {U: U С ^}, где 8 — некоторое семейство открытых в ЬХ множеств и | ё | т. Тогда @-вес пространства X не превосходит 213*. Каждый паракомпакт веса т гомеоморфен замкнутому подпространству тихоновского произведения некоторого семей- ства метрических пространств, вес каждого из которых не прево- сходит т. 214*. Если вес паракомпакта X является неизмеримым кар- динальным числом, то этот паракомпакт является ^-пространством. 215*. Пусть X — паракомпакт, т — кардинальное число, меньшее первого сильно недостижимого, т > х0> верна обобщен- ная континуум-гипотеза. Тогда следующие утверждения равно- сильны: 1) (>-вес X не превосходит тХо; 2) X гомеоморфно замкнутому подпространству пространства (Где __ Прямая)« 3) вес X не превосходит тКо, и существует бикомпактное хаус- дорфово расширение ЬХ пространства X, в котором псевдохарак- тер множества X не превосходит 216. Верно ли, что произведение двух паракомпактов всегда является паракомпактом? 217. (а) Если X — секвенциальный паракомпакт, a Y нор- мально и счетно компактно, то произведение X X Y нормально. (б) Если X — паракомпакт и t(X) х0, а У нормально, при- для каждого счетного В cz У множество [5] бикомпактно, то X У нормально. 218. Докажите, что произведение паракомпакта X на локально ^компактное хаусдорфово паракомпактное пространство У — каракомпакт. 20*
308 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 219. Произведение Z = X X Y совершенно нормального паракомпакта X на метризуемое пространство Y является совер- шенно нормальным паракомпактом. 220. Обязано ли быть нормальным произведение наследственно паракомпактного пространства X на метризуемое пространство У? 221. Пусть X — отрезок [0, 1] числовой оси, а 10 - множе- ство всех иррациональных точек этого отрезка. Обычную тополо- гию на множестве X обозначим через . Топологию на X определим как совокупность всех множеств вида U U Р, где U открыто в обычной топологии отрезка, аРсХ0 — произвольное подмножество множества Хо. Тогда (а) (X, JT*) — топологическое пространство; (б) (X, У*) наследственно паракомпактно; (в) пространство Z = (X, У*) X Хо не нормально (где Хо несет обычную топологию). 222. Докажите, что произведение счетно паракомпактного нор- мального пространства X па метризуемый бикомпакт У нормально. 223. Произведение X X I пространства X на отрезок I = = [0, 1] числовой оси тогда и только тогда нормально, когда X нормально и счетно паракомпактно. 224. Верно ли, что произведение каждого нормального про- странства на отрезок нормально? 225. Верно ли, что каждое нормальное пространство счетно паракомпактно? 226. Каждое вполне регулярное пространство со счетным из- мельчением является р-пространством. 227. Если р-пространство обладает сетью мощности т, то оно обладает и базой мощности т. 228. Паракомпактные р-пространства и только они совершенно отображаются на метрические. 229. Паракомпактное р-пространство с точечно счетной базой метризуемо. 230. Всегда ли образ р-пространства при совершенном отобра- жении есть р-пространство. 231. Образ паракомпактного р-пространства при совершенном отображении — паракомпактное р-пространство. РЕШЕНИЯ 5. Зафиксируем счетное множество Л с X, всюду плотное в X. Тогда Y = U {Ya: а £ АУ гДе Та = {U С у: из а}, причем | уц | < *о Для всех а С А. Поэтому (19 гл. I) и | у | < к0- 6. Решение аналогично решению задачи 5 гл. V. 7. Для каждого U С у положим XJj = {У € у: У П М и, если уже определено Х^ для некоторого к С 2V+, положим Х^1 = U {Ху: V С Множество Х^ счетно; если счетно Х^, то и Х^1 счетно, поэтому Х£- счетн°
РЕШЕНИЯ 309 для всех п Е N+. Положим (J {Х$: п Е N+}. Тогда, очевидно, верно следующее: U) I I -С (2) если V Е Хц, то и сг Х^; (3) для любых U Е у, V С у либо Х^ = Ху, либо Хи П Ху = Л; (4) Z7 Е Ха и потому (5) U {Х^. U Е у} = ?. Заметим, что (3) следует из (2). Теперь решение задачи заканчивается без труда. 8. Семейство {уа: а Е А}, удовлетворяющее условиям 1), 2) и 5), существует в силу задачи 7 гл. V. Положим Ха = U {^: € Та}- Тогда выполняется условие 3), из 3) и 5) следует, что верно 6), а из 2) и 3) выте- кает 7). Иными словами, {Ха: а £ Л}~ покрытие пространства X попарно не пересекающимися открытыми множествами. Следовательно, все Ха замкнуты в X и условие 4), как и все прочие, выполняется. 9. Пусть {уа: а С Л} - семейство подсемейств покрытия, обладающее свойствами 1) — 7) из задачи 8 гл. V. В силу 1) элементы каждого уа можно перенумеровать (не обязательно взаимно однозначно): уа = {Uf- i Е N}- Положим 0f = {Uf: а £ Л}, i £ N. Из свойств 3), 4), 6) и 7) следует, что дискретно в X. При этом в силу 5) (J {0^: i Е Лт} = у. Итак, у есть а-ди- скретное покрытие. 10. Это следует из задачи 6 гл. V. И. Покрытие у непременно звездно счетно (см. 10 гл. V). Рассмотрим семейства {уа: Л} и {Ха: а ЕЛ), определенные по у, как в задаче 8 гл. V. Тогда каждое Ха имеет счетную базу—чтобы ее получить, достаточно вы- брать счетную базу в каждом элементе семейства уа и все такие базы сложить. 12. Рассмотрим семейство {уа: а Е А} подсемейств семейства у, удо- влетворяющее условиям 1) — 7) задачи 8 гл. V. Из условий 2), 3) и 4) сле- дует, что | Л | = 1 — т. е. что у == уа, где Л = {а). В силу 1) [ у | = = | уа | <: х0 — задача решена. 13. Пусть X — локально конечное (соответственно точечно конечное или звездно конечное) открытое покрытие, вписанное в у. Зафиксируем для каждого V Е X какой-нибудь один элемент семейства у, содержащий 7, и обозначим его через <р(7). Положим, далее, g(L7) = (J {VEX: tp(V) = U} для каждого U Е У- Тогда, как легко проверить, {g(U): U Е у} — локально конечное (соответственно точечно конечное или звездно конечное) открытое покрытие, комбинаторно вписанное в у. 14. Рассмотрим множество % всех подпокрытий, содержащихся в у. Введем в % отношение частичного порядка: X' < X", если X" cr X'. Из X' <; X" и К < X' следует, что Xz = X". Покажем, что отношение с индуктивно. Пусть § — произвольная цепь в %. Положим X* = р {X: X С £}• Семейство л покрывает X. Действительно, пусть х £ X. Рассмотрим множество 0 всех элементов покрытия у, содержащих х. Множество 0 конечно: 0 = {^i? . . ., U^}, Если X* П 0 = Л, то найдутся Х1? . . ., Xfe С 5 такие, что $ Хг. Но среди элементов Х1? . . ., Х^ цепи % есть наибольший — пусть Это Тогда 0 р Xf* = Л — а это противоречит тому, что Х{* покрывает X. Следовательно, X* Q 0 Л, т. е. X* является покрытием пространства X. чевидно, X* с у, поэтому X* Е При этом X < X* для всех X Е S- Дока- Ho, Что упорядоченное множество g индуктивно. Тогда в нем есть макси- ПОКЛЬНЫЙ Элемент (см- СТР’ ^). Очевидно, последний и является минимальным крытием пространства X, содержащимся в у. Митт ’ Для каждого U Е у положим 1(Z7) = X\U {V Е У’ V #= U}- Из «ено аЛЬН0СТИ слеДУет, что 1(L7) Ф А для каждого U Е У- Кроме того, ц0 ’ ято 4V) замкнуто. Покажем, что семейство т] = {!({/): U Е у) дискрет- X. Пусть х Е X. Зафиксируем U* Е У> для которого х Е U*, и пусть
310 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ V С У» V Ф Тогда из х £ U* fl V следует, что х 4 1(7)» т. е. U* fl 1(7) = = Л. Значит, £7* — окрестность точки х, пересекающаяся лишь с одним элементом семейства т) (а именно, с 1(Я*)), и т] — дискретное семейство. Выберем х(И) 6 1(£7). Тогда {{x(U)}*. U Е у} — дискретное семейство, и так как каждое {x(U)} замкнуто, то {x(U)* U Е у} — замкнутое дискретное мно- жество в X, очевидно, равномощное у. 16. Рассмотрим произвольную точку х* Е X*. Положим X = {А Е У* А Э я*}. Из наших предположений следует, что X — непустое конечное множество. Обозначим через В* наибольший элемент семейства % (по отно- шению к заданному нам вполне упорядочению <). Тогда (U {р(4): А с < Я*}) (J (U {4: В* <с4}) зэ X* Э **. Но <с^> $ **• Значит, х* Е и {р(4): А <: В*) cr и {р(4): 4 Е V*}, и, следовательно, X* с: с= U {Р(Л): А Еу*} *). <17. Зафиксируем некоторое вполне упорядочение < на множестве у. Будем строить множества p(U) по индукции вдоль (у, <). Пусть U* Е У» и для всех U < U*, где U Ф U*, определено открытое множество p(U) так, что выполняются условия: 1) [p(Z7)J с U и 2') если V < U* и V =/= U*, то (U {p(U}: U < 7}) (J (U {Z7: V <с U}) = X. Положим X* = X\U {U Е Е Y* U* <: U} и у* == {U Е У* U <с Я*}. Тогда выполняются посылки утверждения задачи 16 гл. V, следовательно, (J {p(U): U <с Я*} о X* и имеет место 2*) (U (р(Я): U <с Я*}) U (U {U: U* < U}) = X. Положим F* = X\(U {U: U* сс U} U (IJ {p(U): U <с Я*}). Тогда В* замкнуто в X и в силу 2*) F* cz U*. Примем за p(U*) любое открытое множество, содержащее F* и лежащее с замыканием в Я*. Тогда (U {р(Я): U < Я*})и U (U {U' U* <с U}) = X, и построение можно продолжить. Пусть p(U) определены в соответствии с описанной процедурой для всех U Е у. Тогда {p(U)\ U Е ?} — покрытие пространства X в силу 16 гл. V. Значит, условия 1) и 2) выполняются. 18. См. задачу 17 гл. V. 19. Докажем 1). Если х 4 Хп, то существуют попарно различные эле- менты <71, . . ., Un+1 семейства у, содержащие х. Тогда множество U = = П {Я$: i = . . ., п + 1} открыто, содержит х и не пересекается с Хп. ^Рассмотрим теперь замкнутое (в силу 1)) множество Рп = ХП\7М и докажем 2). Для каждого х Е Рп положим Fn(x) = fl {U fl Рп: U Е У и Я Э я}. Семейство £ = {4 с X: существует х Е Рп, для которого 4 = = Fn(x}}, очевидно, вписано в у и покрывает Рп. Покажем, что В дискретно в Рп и, следовательно, в X. Для этого достаточно установить, что каждое Fn(x) открыто в Рп и что для любых х', х" Е Рп либо Fn(x') = Fn(х"), либо ^nl^) Я Fn(x") — А. Так как у точечно конечно, то Fn(x) открыто в Рп (см. определение множества Fn(x)). Предположим, что Fn(x') fl Fn(x") Л. Зафиксируем х* Е Fn(x') fl Fn(x”). Положим у' — {U Е У- U Э я'}, у" == = {U Е у: U Э я") и у* = {U Е у: U Э я*}. Из х’ Е Xn, х” Е Xn, х* Е Хп следует, что | у' | = | у" | = | у* | = п < х0. Но так как х* Е Fn(x’}, то yz cz у* и потому у' = у*. Так как х* Е Fn(xny то у" с: у* и потому у' — = у*. Значит, у' = у" и Fn(x’) = Fn(x"). Итак, J — дискретное (в X) покры- тие пространства Рп замкнутыми в X множествами и 2) доказано. 21. Надо установить, что для каждого Н Е у" существует такое G ЕУ» что всякий элемент Я* семейства у", пересекающий Н, содержится в G. Зафиксируем произвольно xQ Е Н и выберем G Е у из условия у'(^о) с Множество G искомое. Действительно, выберем х* Е Н fl Н*. Тогда хо Е Я fl Н* cz у"(я*) cz Е для некоторого Е Е у' (ибо у" звездно вписано в у'). Поэтому Н* с: Е cz у'(жо) cz G, и, значит, у"(Я) cz: G. у 24. Пусть £= {Fa: a Е А} — дискретное семейство замкнутых в множеств. Тогда семейство ц всех открытых в X множеств, каждое из кото- *) Напомним, что В* <с 4 означает, что В* А и В Ф А (см. сноску на стр. 19).
РЕШЕНИЯ 311 рых пересекается не более чем с одним элементом семейства 5> покрывает X. Впишем в т) звездно какое-нибудь открытое покрытие у. Тогда y(Fa,) П П = Л при а' =И= а*- Действительно, если х Е y(Fa,) fi y(Fa„), то у(х) fl Fa, =£ Л и у(х) П Fa„ Ф Л. Но у(я) cz G для некоторого 6? Е Л* Тогда Q q Fa, Ф Л и G П F а„ ф Л, что противоречит определению т). Значит, y(Fa)„ а Е 4,—попарно непересекающиеся окрестности множеств Fa, а Е А, и X коллективно нормально. 25. Элементы у как-нибудь перенумеруем: у = {%£, Х2, . . .} (возмож- ны повторения). Не нарушая общности, можно считать, что Хт вписано в при т > п (ибо для каждого конечного семейства 0 открытых покрытий можно найти открытое покрытие, вписанное во все элементы 0 одновре- менно). Назовем открытое множество Н cz X отмеченным, если существуют натуральное число п, Г Е и G Е £ такие, что Н cz Г и %П(Я) cz G. Каждому отмеченному Н поставим в соответствие некоторое п = п(Я), удовлетворяю- щее только что сформулированному условию. Так как у мажорирует |, то семейство т] всех отмеченных множеств покрывает X. Для произвольной точки х Е X проверим, что ее звезда Т1(ж) относительно покрытия т] содержится в некотором элементе покрытия 5« Положим п* = min {п(Я): Я Е Л и Н Э я} и выберем Я* Е “П, Я* Э х так, чтобы было п(Я*) = п*. По определению п(Я*), существует G* Е 5» для которого %П#(Я*) cz Я*. Покажем, что т](я) cz с~ ХП#(Я*). Если Я' Е Л и Я' Э т° п' = n(Hf) > п*, по определению п*. Существует Г' Е для которого Я' cz Г'. Но %п, вписано в (ибо п' >> > п*),— значит, существует Г* Е ^п*> для которого Г' с: Г*. Тогда х Е Е Я' с Г*, и потому Я* cz Г* cz Хп*(ж) с %П*(Я*) czz G*. Этим доказано, в силу выбора Я', что т](я) cz б?*. Итак, открытое покрытие т] звездно впи- сано в g. 27. Это непосредственно следует из задачи 25 гл. V. 28. Для каждого i Е N+ обозначим через у$ покрытие рассматриваемого метрического пространства (X, р) всеми открытыми множествами, диаметр которых не превосходит у . Тогда 5 = {yf: г Е Я+},~ очевидно, фунда- ментальное множество покрытий пространства X. Остается сослаться на утверждение задачи 27 гл. V. 29. Следует из задач 24, 28 гл. V. 30. Действительно, у(х) — открытое множество для любого х Е X, а из множеств вида у (я), где у Е 5, складывается любое g-полное множество. 31. Пусть х Е (Я). Выберем n Е Я, для которого yn(x) cz U. Тогда Yn+iCVn+iC5)) Я (см. 20 гл. V), откуда следует, что уп+1(я) cz {Я). Это означает как то, что <Я) открыто, так и то, что (Я) 5-полно. 32. Примем за у совокупность J-ядер всех элементов X. Тогда у покры- вает X (ибо 5 мажорирует %). Далее, каждый элемент покрытия у открыт и 5-полон (см. 31 гл. V). 33. Утверждение (а) очевидно, а (б) вытекает из (а). Доказываем (в): если V Е уп, Я' Е у, Я" Е у, Я' < Я", Я' =/= Я", V П tn(U') Ф Л, то V cz Я', ® потому V Q t(U") = Л, тем более, V П = Л. Доказываем (г) от &°/г;лесли.w е ь+!. у' е у, yt еу, и1 ^иа и w п (o„(tn) #= л, V Л^лп(С7 }) * Л) то WiW П tn(U') Ф Л и Ь+1(Ю П in(I7") ф Л. Но содержится в некотором элементе V семейства уп, для которого, «хате?\=0’ VfttntU' ) Л и V П tn(U") =/= Л — а это противоречит (в). Откп и очевиДН0’ вытекает, что (ОП(Я): Я Е У» n Е Я} — о-дискрстиое КаЖдогов ^°кРытие пространства X. Оно вписано в у, ибо On(U) сг U для Можно считать последовательность 5 сильно звездно монотон- в противном случае перейдем к подпоследовательности, образованной
312 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ членами с четными номерами. Далее, g-ядра элементов X образуют вписанное в к покрытие у пространства X g-полными (открытыми) множествами (32 гл. V). Наконец, в у можно вписать а-дискретное открытое покрытие в силу 33 гл. V. Последнее, очевидно, вписано и в %. 38. Зафиксируем у каждой точки х С F окрестность Ох, пересекающуюся лишь с конечным множеством элементов семейства у. Из покрытия % = = {Ох\ х g F} множества F выделим конечное покрытие F: X* = {Oxi, . . . . . ., Oxk}. Тогда F cz (J {Oxt: i = 1, . . ., к} и (J {Oxt: i = 1, Л ., к} пересекается лишь с конечным множеством элементов у. Тем более, послед- нее верно для F. 39. Положим $ = {U cz X: U открыто в X и ] {7 С у: V Q U Ф Л} | < х0}. Из нашего предположения о у следует, что & — база про- странства X. Поэтому (см. 102 гл. II) существует дизъюнктное семейство к элементов такое, что [|J {V: V g X}] = X. Так как с(Х) < к0» то | к | No. Но каждый элемент семейства у пересекается с некоторым элементом семейства к — ибо U {^: У € ty всюду плотно в X. Из Хс и определе- ния & теперь следует, что | у | к0. 40. Пусть g = U i Е N}, где каждое g$ локально конечно. Поло- жим Wi = U {tf: и е Gi = U W j g TV и j < 1} и тц = \Gf: U g g}, T] = и Ov i g ЛГ). Тогда (1) г] вписано в g; (2) т] покрывает X и (3) т] локально конечно. Утверждение (1) очевидно; докажем (2) и (3). Зафиксируем х g X и по- ложим iQ = min{i g N: Wi Э #}• Так как g покрывает X, то (J {W\c i g N} = X и t0 определено корректно. Из WiQ Э я, Wj J х при j < iQ следует, что giQ покрывает х и Значит, T]io покрывает х — т. е. т] — покрытие. Далее, так как каждое gz- локально конечно, то существует окрестность Ох точки х, для которой 1{С7 g U i М: П Gx Л} | < х0. Тем более, конеч- но множество {V g U {rjf. i < г0}: V f] Ох =# Л}. Но WiQ — окрестность точки xiQ, не пересекающаяся ни с одним элементом семейства U {лр > *o}« Значит, О*х = Wio П Ох — окрестность точки х, которая пересекает- ся лишь с конечным множеством элементов семейства т], т. е. ц локаль- но конечно. 41. Рассмотрим произвольную точку х g X и последовательность g = {Oi{xY i g 7V+} ее окрестностей, упомянутую в определении ^-простран- ства (см. стр. 290). Предположим, что для каждого i g N+ множество Of (х) пересекается с бесконечным множеством элементов покрытия у. Тогда мож- но выбрать xi g Ot(x) и Ui g у так, чтобы было Щ #= Uj при i Ф / и xi € Ui П Oi(x) при всех i g 7V+. Так как у слабо дискретно, то множество {х^. i g TV+} должно быть дискретно в X, но оно имеет предельную точку, ибо Xi g Oi(x). Получили противоречие. 43. Ясно, что в каждое покрытие произвольного множества можно вписать дизъюнктное покрытие комбинаторно (вполне упорядочиваем заданное покрытие и берем разность элементов с объединением всех пред- шествующих). В силу задачи 42 гл. V последнее покрытие и есть ис- комое. 44. Пусть g — произвольное открытое покрытие X и у — какое-нибудь вписанное в пего локально конечное покрытие. Рассмотрим семейство 'П всех открытых множеств, каждое из которых пересекается лишь с конечны» числом элементов у. Тогда т] покрывает X. Через к обозначим какое-нибудь открытое покрытие X, вписанное в т| с замыканием. Впишем в к локальн конечное покрытие 0 и положим р, = {[Р]: Р g 0}. Тогда ц локально коне но, покрывает X, состоит из замкнутых множеств и вписано в т] (см. 37 гл. * Р Поэтому каждый элемент покрытия р, пересекается лишь с конечным мноя^о ством элементов семейства у. Для каждого A g у зафиксируем мпожест
РЕШЕНИЯ 313 U(A) С 5 такое, что A cz ЩА). Тогда 6 = {р~(Л): А £ у} — локально ко- нечное открытое покрытие пространства X, причем р“(Л) zd А для всех Л £ у (см. 49 гл. V). Тогда U(A) Q р_(Л)zd А, и поэтому семейство {U(A) П р_(Л): Л £ у} покрывает X. Очевидно, оно вписано в g, состоит из открытых множеств и локально конечно, ибо 6 локально конечно. Значит, X пара- компактно. 45. Решение следует из задач 28, 34, 40, 44 гл. V. 46. Это следует из задач 41, 43, 44 гл. V. 47. Легко видеть, что каждое пространство точечно счетного типа является g-пространством. Утверждение теперь следует из 46 гл. V. 48. Положим F = J {Fa: а С Л}, U = (J {Z7a: a С Л} и Р = X\U. Множество F замкнуто, так как £ дискретно. Кроме того, U открыто, а Р замкнуто и U F, Р (V = А. Пространство X нормально, поэтому суще- ствуют открытые непересекающиеся множества W сэ Р и V zd F. Положим Уа — П => F П ~ и проверим, что семейство т| = {7а: а ЕЛ} дискретно. Пусть х £ X. Если х $ £7, то W — окрестность точки х, не пере- секающаяся ни с одним элементом семейства т|. Если х С U, то х £ £7а* для некоторого a* G Л. Тогда из Ua zd Va и дизъюнктности семейства у следует, что £7а* — окрестность точки х, пересекающаяся только с одним элементом семейства т]. Значит, т) дискретно. 49. Имеем: Х_(Л) — X\(J {Р: Р и PQ Л = Л}. Очевидно, Х""(Л) zd Л и Х_(Л) открыто, так как % — локально конечное замкнутое покры- тие (см. 2 гл. V). Зафиксируем точку х С X. Ее окрестность Ох и конечное семейство р cz % выберем так, чтобы было Ox cz и {Р: Р £ р}. Положим 0 — = {Л: Л С у и Ох П Х“(Л) Ф А} и 0Р = {Л: Л £ У и Р П Х“(Л) Ф А}. Тогда 0 cz j {0Р: Р £ р}. Но из Р Q Х_(Л) =# А следует, что Р П А Ф А, поэтому 0Р cz {Л Gy: Р П ¥=М и, следовательно, 0Р конечно. Значит, и 0 конечно (ибо р конечно). 50. Так как X локально конечно, то для любой точки х £ X множество Р(х) = U {(GJ: G Е X и х $ [G]} замкнуто в X. Поэтому = Х\Р(х) открыто. Очевидно, Р(х) $ х и, следовательно, Э х. Положим £ = = {U £ X: U Э я}. Тогда | | | < »0 и П {^: # Е 1} = Х+(ж) — непустое открытое множество, содержащее х (так как семейство X точечно конечно). Поэтому х G Х0(ж) — Х+(я) П Х“(;г) и Х0(я) — открытое множество, Х°(я) G Е (X). Этим доказано, что (Х> — открытое покрытие пространства X. Пусть U Е (X); тогда U — Х°(я) для некоторого х £ X. Зафиксируем VEX, V $ х. Тогда U — X0(z) cz Х+(я) cz V, т. е. U cz V. Мы доказали, что <Х> впи- сано в X. 51. Положим XJ у — р. Пусть V £ X. Зафиксируем U g у, для которо- го [7] cz U. Проверим, что \р)(7) с U. Пусть G G (р> и G Q V Ф А. Тогда G — р°(я) при некотором х g X. Непременно х £ [Т J — иначе р°(лг) cz p-(z) cz cz Х-(&) cz Х\[И], что противоречит ро(я) И 7 #= А. Имеем р°(я) cz y+(x)cz ci U, т. е. G cz U. Доказано, что (р)(7) cz U. Но X покрывает X, следова- тельно, {(р)(я): х Е X} вписано в у. Семейство (р> — открытое покрытие пространства X, так как X U у — локально конечное открытое покрытие (см. 50 гл. V). 52. Перенумеруем как-нибудь элементы семейства у натуральными числами: у — {Uf. i £ N} и положим Vt = t{Ui). Положим Gt = Ut\ \U{lVj]: 7 < i, j G A}, X = {Gf. i g N}. Очевидно, X состоит из открытых множеств и вписано в у. Покажем, что X покрывает X. Пусть х £ X. Положим г(ж) == min {г £ N: Ui Э я}. Тогда х g £7рх> и х (J Uj при / < 1(х), тем более, х $ [7у] при у < 1(х). Значит, х Е ^(х> и X — покрытие X. Покажем, что X локально конечно в х. Так как IJ {Vy. j g N} — X, то можно выбрать j{x) g € N так, чтобы было Vj(xy Э Тогда Gt Q У7(х) = А при всех i j(x) и, следовательно, Vyx) — окрестность точки х, пересекающаяся лишь с конеч- ным множеством элементов X. Итак, X локально конечно, счетно и вписано в у. 53. См. задачу 38 гл. V.
314 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 55. Положим Wk_l = Vk\Fk_v где к g N\ Fo = Ли Хо= {Л}. Оче- видно, Wk_i открыто и содержит множество Fk\F^^. Из U {Р^\Р^^*. к g е ДГ+} и (F2\F1) и (/V\*2) U • • • = U {М W = X следует, что семейство ц = {ГУй: к £ N} покрывает X. Так как yAcz Fk+i при всех к, то WklZ) И\2 = Л, если | kt — кг | > 2 и р звездно конечно (у каждого элемента р не более двух соседей). Кроме того, Х^ — конечное открытое покры- тие множества Wk* Тогда 0 = (J {0^: к g N}, Од = {Wk П U\ U g Хд}, ’ является звездно конечным открытым покрытием X (см. 54 гл. V), очевидно, вписанным в X. 56. Положим Fq = Л, Fk = U {[С^, &]: i 6 N и i к}, Уд = U {Ui, k+t* i N и i Тогда Уд открыто, Fk замкнуто, Fk с: Уд cz Fk+i и U {/д: к £ N} = X, Кроме того, U {Uf j < к} zd Fk. Значит, выполняются посыл- ки утверждения задачи 55 гл. V (роль Xft играет семейство {Uf j к}). Полагая Wk, j — (^fe\^A-i) П мы получаем открытое звездно конечное покрытие {Wk,j- & Е 7 (: N и / <; &}, вписанное в у (см. решение 55 гл. V). 57. Так как X нормально, то для каждого к g N можно определить по- следовательность Uk,j открытых множеств так, чтобы было Fk ^k,j cz <z= [Uk,j]CZ Uk,j+i СУд при всех; g N, Положим Uk = U {Uk,f* j g N} и у = == {Uk* к g N}, Тогда у — покрытие X, вписанное в р, причем для семей- ства {Uktf j g N, к g N} выполняются все посылки утверждения 56 гл. V. Поэтому существует звездно конечное открытое покрытие, вписанное в у, а значит, и в р. 58. Пусть % — какое-нибудь счетное замкнутое покрытие простран- ства X, вписанное в у. Перенумеруем как-нибудь его элементы: X = {Ff. i g g TV}. Для каждого ъ g N определим Uf как какой-нибудь элемент семейства у, содержащий Ft, Тогда для семейств {Uf, i g N} и {Ff, i g N} выпол- няются все посылки утверждения задачи 57 гл. V. Поэтому в у можно вписать звездно конечное открытое покрытие. 60. Зафиксируем a: g X и g у, U $ х, Тогда множество Хц = {У g у: У zz> U} конечно, следовательно, в нем есть максимальный элемент — один из таких мы обозначаем через У*. Тогда, очевидно, У* Э я и У* g тп(у), т. е. тп(у) — покрытие множества X. 63. Зафиксируем х g X и U g у, U Ъ я* Так как у регулярно, суще- ствует окрестность Ох точки х в X, для которой X = {У g у: У Q Ох Л и У\С7 =/= Л} — конечное множество. Но У\С7 =# Л для всех V g X, отлич- ных от U (ибо каждый элемент У семейства у максимален). Значит, {У g у: У П Ох Ф Л} = X U {U} — конечное множество и у — локально конечное семейство. 64. В самом деле, само X = тп(у) является регулярным семейством как подсемейство регулярного семейства (62 гл. V). Очевидно, каждый элемент семейства X максимален в X (ибо он максимален в у и у zd X). Но тогда X локально конечно — см. 63 гл. V. 65. Легко видеть, что равномерная база нётерова. Следовательно (60 гл. V), т($) является открытым покрытием пространства X. Надо дока- зать только, что точечно конечно. Но если какая-нибудь точка х g X принадлежит бесконечному множеству £ элементов т(&), то £ является базой пространства X в х (ибо | cz ^8 и & — равномерная база). Тогда в £ непре- менно найдется два элемента, один из которых содержится в другом, что противоречит тому, что g cz лг(^8) и все элементы семейства т{&) мальны. 66. Определим по индукции для всех п g N+ так: положим Jb .J* и если ужо определено, то &k+i ~ &k\m*№8k)i где ™*(&k) — сово- купность всех максимальных элементов семейства каждый из которых содержит более одной точки. Из &k & и равномерности J8 следует, что m*(&k) является точечно конечным семейством открытых неодноточечных множеств (65 гл. V) — отсюда легко вытекает, что <$k+i является равномер- ной базой пространства X. Поэтому m(*^A+i) — открытое точечно коночное
РЕШЕНИЯ 315 покрытие пространства X (см. 65 гл. V) — и, значит, все ти(«$п), п g Лг+, таковы. Мы покажем, что семейство {m(j9n): п g N+} измельчающееся. Зафик- сируем х £ X и выберем Un g иг(<39п)’ х € Un Для каждого п g N+. Если суще- ствует п С А+, для которого | Un | = 1, то{Un* п g N+} — база в х. Если | Un | > > 2 для всех п g 2V, то из определения семейств следует, что Un, =И= Un/f при п* #= п". Тогда {Un: п £ A+J — бесконечное множество элементов рав- номерной базы содержащих х, следовательно, {Un: п g А+) — база в X. Это означает, что {m(J$n): п £ 7V+} измельчается. 68. Пусть — база X и & — (J {yf i Е А+}, где каждое у$ дискретно. Для каждой пары (г, j) g N+ X N+ положим Xi,j — {U g yf: существует V g У/ такое, что [У] cz U}, X* j = {У g существует U g Yi такое, что [У] с CZ}, Рм = U {[П: Кбм, G^-X^P^ 0y=XljU {^,Л Множество замкнуто, множество Gitj открыто, 0$,у локально конеч- но и покрывает X, причем каждая точка множества Р^ покрывается ровно одним элементом семейства 0bJ-, который принадлежит Занумеруем элементы счетного семейства % = {0ifJ-: (i, у) Е X +Х JV+} как-нибудь в по- следовательность: | = {p-t, . . ., рд,. . .}, и определим vk как произ- водное (см. стр. 287) от семейства {pi, . . ., р*}. Так как все р4, . . ., р^ — локально конечные открытые покрытия X, то тоже является локально конечным открытым покрытием X (3, 36 гл. V). Мы сейчас установим, что v = U {vfci к £ N*} — регулярная база пространства X. Пусть точка х С X и ее окрестность Ох выбраны произвольно. Выберем U g и У £ так, чтобы было х g V cz [У] cz 77 cz Ох. Зафиксируем i * g N+ и /* g N+ такие, что U g Yf* и У g у7-*. Тогда U g fa*,;*, У g и, следовательно, [У] cz cz Отсюда вытекает, что только один элемент семейства пере- секается с [У], а именно, U. Пусть 0$*j* = р^*. Тогда для каждого эле- мента W семейства v^, где к*, пересекающегося с [У], элемент семейства Рь*, выбираемый при определении ТУ, непременно должен совпадать с U. Следовательно, ТУ cz U, т. е. J {v^([y]): к g А+ и > к*} cz U. Так как Vfc* — покрытие, то существует ТУ g vft*, для которого х g ТУ. Тогда ТУ П П [У] Ф Л, и потому х g ТУ cz U cz Ох, т. е. v — база. Но = U {v^: к g g А+ и к &*} — локально конечное семейство множеств. Следовательно, существует окрестность OjX точки х в X, для которой | {G g₽fe*: G р 0^=/= Л} | < х0. Положим 02х = У pl OiX. Тогда, очевидно, {G g v: G П 1П02х Л и G р (X\U) Ф A}cz {G g G П O^x Ф A} — конечное мно- жество. Значит, v — регулярная база. 69. Пусть Р замкнуто в X и х g Х\Р. Существует окрестность Ох точки х такая, что Ox Р = Л и 1 = {77 g U П Ох Ф Л и U П Р Ф Ф Л} конечно. Для каждого U g X имеем | U | > 2. Так как X — ^-про- странство, мы заключаем, что — база X. Тогда у = {U g Jj': U Q Р ф Л} покрывает Р и (|J {£7: U g у}) П Ох =.= Л, т. е. G — |J (U: U g g у} и Ох — непересекающиеся окрестности множества Р и точки х. Зна- чит, X регулярно. 70. Пусть у — открытое покрытие X. Положим У^= {U : суще- ствует G g у, для которого V cz G}. Тогда, очевидно, база простран- ства X и семейство у^ вписано в у. В силу 62 гл. V у^ регулярно. Тогда — поверхность семейства у^ —является локально конечным откры- тым покрытием пространства (см. 64 гл. V), вписанным в у. 71. Действительно, в X существует регулярная база (68 гл. V), а каж- дое пространство с регулярной базой паракомпактно (70 гл. V). Возможно также другое решение. 72. Из задачи 40 гл. V следует, что в каждое открытое покрытие про- странства X можно вписать локально конечное покрытие. Но X регулярно, поэтому можно применить задачу 44 гл. V и заключить, что X параком- пактно.
316 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 73. Пусть о = и i G Лг+} — база пространства X, где каждое (О/ локально конечно в X. Рассмотрим произвольные непересекающиеся замкнутые в X множества Fi и Г2. Положим Qi = {£7 £ a: U П Fi =/= Л И [<7] П F2 = Л}, о2 = {U £ a: U П F2 Л и [U] R Л = Л}, ©: = ot Q П сог, со? — а2 П Ясно, что Oj = U {сор i £ N+} и а2 = (J {со^: i £ N+}. Кроме того, Fi cz (J {£7: £7 £ oj и F2 cz U £7 £ аг}- Положим Г. = = и {£7: и Е to-} и Г? = (J {U: U £ о?}. Имеем Л cz U {Г£: i £ N+} и F2 cz U {Г?: i £ JV+}. В силу локальной конечности семейств со- и со? имеем [Г-] = U {М: U £ со|}, [Г?] = U {[£7]: U £ со?} (см. 2 гл. V). Вследствие определения Qi и а2, имеем [Г?] Q F2 = Л и [Г?] Q Л = Л для всех i £ N+. Положим V;= Ц\и {[Г?]: j Е N+ и / < Z}, У? = T?\U {[Г}]: j £ N + и у < 0- Ясно, что Fi cz U {Vv i е Х+}, A cz U {У?: i £ N+} и (U {Fp i € e n+}) n (u {v'>-1 e n*}) = a. 74. Нормальность такого пространства нами уже доказана (73 гл. V). Остается показать, что всякое открытое в X множество V имеет тип Fo. Пусть a = (J {cof. i £ А+} — база в X, причем каждое со^ локально конечно. Положим о(У) — {£7 £ о: [£7] cz У} и со< = о(У) Q сог-. Ясно, что о(У) = = U {«р i Е А+} и V = (J {[£7]: U £ о(У)}. Так как со^ локально конечно в X, то F^ = U {[£7]: £7 £ со<} замкнуто в X (см. 2 гл. V). Кроме того, Ft cz V и У = |J {Ff: i £ N+}. 15. Если yn(x) Э у, то уп(у) Э ж и наоборот, потому п(.г, у) = п(у, х) и /(#> у) — Ку, х) — доказано 1). Если х у, то существует п £ А, для которого уп(х) $ у (или уп(у) $ х), поэтому п(х, у) определено, п(ж, у) > 1 и /(#, у) 0. Из 1) следует, что d(x, у) = d(y, х). Пусть х, у, z £ X и а, b — числа, a > 0 и & > 0, и существуют цепочка 01 от х до у длины, меньшей а, и цепочка 02 от у до z длины, меньшей &. Тогда существует цепочка 0 от х до г, длина которой не превосходит а + £>,— чтобы получить такую, доста- точно продолжить цепочку 0j цепочкой 02. Следовательно, d(x, z) d(x, у) + ^(у, z)» Из 2) будет следовать 2') (левая часть 2') вообще три- виальна), а из 2') вытекает, что если х у, то d(x, у) 0. Итак, чтобы доказать 3), осталось доказать 2). Доказательство 2) проводится по индукции относительно ранга цепоч- ки. Если 7?(0) = 1, то 2) верно. Будем считать, что для цепочек ранга, не большего I + 1, соотношение 2) верно, и рассмотрим цепочку 0 = {х0, . . . . . ., xi+i} ранга I + 2. Положим а = L(0), и пусть к — наибольшее целое число, для которого L{xq, . . ., xh} С ~ . Тогда L{xQ, . . ., xk, ^+i}> , Л Л и потому £{жд+1, . . ., я^-н} == а — L {аг0, . . ., х^, агд+1}<;-2- . По пред- Л положению индукции, /(^0, хк) 2£{я0, • • ч ^л} < 2 • ~ = а и /fe+i’ & xi+i) < 2L{^a+1, ., xi+i} Кроме того, /(#*, 7^(0)==л- Положим т = min п £ N: < a j . Тогда j(xQ, xh) ^A+i) 1 1 < и /(^+i’ «г+1) • Значит, ym-i(^0) Э xk> Э xk+i и Ym-i fe+i) Э т. е. можно выбрать £7, У и W £ ym-i так, чтобы было х01 xkE U, xk, xk+i Е V, xh+i, xl+i Е W. Тогда ж0, xHi £ U U V U ТУ<= С2Тт-.1(У) CZ G для некоторого G £ ym^2. Значит, ут_2(я0) } жг+1 и п(х0, xl+i) >
РЕШЕНИЯ 317 > т — 2, /(я0, #|+1) 2т-Т *С2а — соотношение 2) доказано (а вместе с ним доказаны соотношения 2') и 3)). 1 1 Доказываем 5): если d(x, у) < gn » то f(x, у) < р в силу 2'), и пото- 1 му уп-1(х)Э у. Доказываем 4): если у С ?п(я), то п(х, у)>п и f(x, у) . 1 Тем более (тривиальная часть 2')) d(x, у) < gn • Так как {yn: п С N} — измельчение, то множества (уп(я): п £ N} обра- зуют базу заданной на X топологии в точке х. Поэтому из соотношений 4) и 5) сразу следует, что метрика d порождает ту же топологию на X. 76. В каждое yt впишем локально конечное открытое покрытие %г-. Тогда % = U РЦ: * € N} — база пространства X, ибо i £ N} — измель- чение. Эта база о-локально конечна. Кроме того, X — регулярное простран- ство (129 гл. V). Поэтому (83 гл. V) X метризуемо. Другое решение выте- кает из 51, 21, 75 гл. V. 77. Пусть В = (Хь %2, . . .} — счетное фундаментальное множество покрытий X, элементы которого как-то перенумерованы. Определим по индукции последовательности {yi, ?2> • • •} открытых покрытий X так: полагаем yi = и если у& уже определено, то принимаем за уй+1 какое- нибудь открытое покрытие пространства X, сильно звездно вписанное как в так и в 4k (такое существует — см. 25, 21 гл. V). Тогда у2, • • •’ Тп’ • • • — сильно звездно монотонная и измельчающаяся после- довательность открытых покрытий Т0-пространства X — из 75 гл. V сле- дует, что X метризуемо. Доказательство обратного утверждения не пред- ставляет труда (см. решение задачи 28 гл. V). 78. (а) Пусть в X существует ^-измельчающаяся последовательность | = {<х> i С N+} открытых покрытий. Можно предположить, не нарушая общности, что вписано в сог. Для доказательства метризуемости X (в силу 77 гл. V) достаточно показать, что | образует фундаментальное мно- жество покрытий пространства X. Пусть xQ £ X и окрестность OxQ точки xQ произвольны. Надо доказать, что найдется меньшая окрестность OiX0, для которой <Bn(OiS0) = U {U- # Е ®п» П =# A} cz Oxq при некотором п. Предположим противное. Рассмотрим окрестности OnxQ ~ соп(лго) — U {*7: U С соп, xq Е U} точки xq. Так как £ — измельчение (по условию, £ — даже fc-измельчение), система окрестностей {Опх$'. п С N+} образует базу в точ- ке х0. Кроме того, Оп+1Х0С2 Опх0 (ибо а>п-ы вписано в соп). В силу нашего предположения имеем: а>п(Опх0) Q (X \ Oxq) #= Л, н £ А+. Поэтому можно выбрать хп С Ол#о так, чтобы было оп(^п) П (^\^о) =# А. Понятно, что lim хп — xq. Поэтому F — {хп\ п £ N+ и. хп £ OxQ} (J {я0} — бикомпактное П-ьоо подпространство пространства X, а Ох0 — его окрестность. Вследствие определения точек хп, получаем a>n(F) П (Х\<Ъ0) => ®п(хп) П (Х\Рхв) =/= А для всех п. Но это противоречит /с-измельчаемости последовательности £. (б) Обратно, пусть X — метризуемое пространство, ар — метрика на X, согласованная с топологией. Рассмотрим последовательность | = == {con: п С А+} открытых покрытий пространства X такую, что для каж- 1 Дого U £ имеем diam U < —. Докажем, что последовательность £ &-из- р п Мельчается. Пусть F cz X — произвольное бикомпактное подпространство, а UF — любая его окрестность. Ясно, что p(F, X\UF) = р0 > 0 (см. 288 Гл- III). Тогда если п 6 N+ и р0, то con(F) cz UF.
318 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ 79. См. 39 гл. III. Приведем другое решение. Пусть — счетная база регулярного пространства X. Для каждой пары £7, V элементов & такой, что [7] cz U, возьмем открытое покрытие уц v пространства X, состоящее из двух элементов U и Х\[7]. Множество всех так определенных уц v есть, легко видеть, счетное фундаментальное множество покрытий пространства X, Поэтому (77 гл. V) X метризуемо. 80. Пусть X— регулярное пространство и <$ = U {Xn: п Е А+}— база про- странства X, причем каждое — дискретное (в X) семейство множеств, т. е. у каждой точки пространства X есть окрестность, пересекающаяся не более чем с одним элементом семейства %л. Зафиксируем произвольно упо- рядоченную пару (г, у) натуральных чисел. Положим 0/, j = {U Е суще- ствует V Е Хь Для которого [7] cz U}, fa, j = {V Е X,-: существует U Е для которого [У] с U} и Pit f= (J {[У]: V 6 Xi, Gl, j = X\pi,j< Tij — = j (J {Gif j}. Так как fa, j cz Ху и — дискретное (следовательно, кон- сервативное — см. 2 гл. V) семейство множеств, то Pt,jзамкнуто, соответственно Gi, j открыто в X. Ясно, что 0г-, у покрывает множество Pit р поэтому у*, * — открытое покрытие пространства X. Покажем, что £ = {у^ f. (i, j) £ N + X X N+} — фундаментальное множество покрытий пространства X. Пусть точка х Е X и ее окрестность Ох в X выбраны произвольно. Существует U* Е Для которого х Е U* cz Ох. Зафиксируем номер I* так, чтобы было U* Е В силу регулярности X найдется такое V* Е что х Е [7*] cz U*. Пусть V* Е fy*. Тогда U* Е fy*, j* cz уг*, jt, V* Е fa*, j*, и потому 7* cz 'Pf*, у*. Следовательно, £ х. Отсюда и из дискретности у* вытекает, что никакой элемент семейства у£*, отличный от £7*, не содержит точку х. Значит, у^, у*(я) = U* cz Ох и f фундаментально. Оче- видно, % счетно. В силу 77 гл. V пространство X метризуемо. Возможны другие решения — найдите их. Докажите также обратное утверждение. 81. Нет — неметризуемым паракомпактом с о-дизъюнктной базой является пространство I* из задачи 209 гл. III. 82. Да, верно. Пусть у == {£7а: а ЕЛ} — семейство попарно не пере- секающихся открытых в X множеств. Положим F = X\{J{Ua: а Е Л}. Множество F замкнуто. Если {Gf. i£N+} — такое (счетное) семейство открытых в X множеств, что Р = П {[^]: * 6 А+}> то положим 7^ = Ua П П (X\[6rJ) и {7^: а ЕЛ}, I Е N+- Легко видеть, что каждое — уже не просто дизъюнктное, но и дискретное семейство открытых в X мно- жеств. При этом (J i Е N*} покрывает в точности те же точки простран- ства X, что и семейство у. Из этого рассуждения легко следует, что каждое совершенно нормальное пространство с о-дизъюнктной базой обладает о-дискретной базой, и потому (80 гл. V) метризуемо. 83. Пусть {у^: i £ N+} — последовательность локально конечных семейств открытых в X множеств, причем & = U {уг-: i N+} — база X. Не нарушая общности, можно предполагать, что каждое у^ — покрытие X. Положим = U {yf: i С к}. Тогда — локально конечное семейство множеств (35 гл. V), cz %; при j > i и (J * € N+} = Положим 0ft = (kk) = {ll(x): х Е X} и проверим, что g = {0*: к Е N+} — фунда- ментальное множество покрытий X. В силу 50 гл. V 0ft — открытое покры- тие пространства X. Зафиксируем точку х Е X и ее окрестность Ох в X. Выберем номера ;♦ и i* и множества 7 Е U Е ^i* так, чтобы было у* ;> i* и х Е 7 с- [7] cz U cz Ох -— это возможно (почему?). Докажем, что 07-*(7) = и cz Ох. Произвольный элемент семейства 0у* имеет вид Ху*(я*) при некотором ж* Е X. Предположим, что 1°*(я*) Г1 7 У= А. Тогда х* Е Е [7] — иначе было бы Х®*(ж*) cz ^*(х*) cz Х\[7], так как 7 Е fy** Н° [7] cz U, поэтому х* Е U и ^(ж*) cz &*♦(#♦) cz £7, ибо U Е М' Этим доказано, что 0у*(7) cz U cz Ох. Значит, фундаментальное
РЕШЕНИЯ 319 (счетное) семейство покрытий X и X — метризуемое пространство (77 гл. V). 84. Пусть а = (J {coz: i £ N+} — NS-база пространства X. Простран- ство X совершенно нормально. Не нарушая общности, можно предполо- жить, что каждое cof — локально конечное открытое покрытие простран- ства X. Несколько изменяя рассуждения в решении задачи 207 гл. V, для каждого находим такое метризуемое пространство Yt и непрерывное ото- бражение X -*• У/, что для каждого U С множество giU открыто в и g^gtU = U. Рассмотрим диагональное произведение g отображений gt, g: X У, где У cz П{У^: i С N+} (и g(X) = У). Пространство У как подпространство метризуемого пространства П{У^: i £ N+} метризуемо (194 гл. II). Отображение g непрерывно (290 гл. II). Кроме того, для любого U непременно gU открыто в g(X) и g~xgU = U. Так как о — база про- странства п gU открыто в g(X) №я. любого U £ о, то g — открытое отобра- жение. Далее, если Xi Ф х2, £ X, х2 С X, то возьмем такие £ a, U2 € о, что л?! 6 х2 6 U2, Ui П U2 = Л. Тогда Ui = g^gUn U2 = g~1gU2, gUi И gU2 = Л, а следовательно, gXi y= gx2. Итак, g — взаимно однознач- ное непрерывное и открытое, т. е. топологическое отображение пространства X на метризуемое пространство g(X). 85. Действительно, Т^пространство с равномерной базой обладает счетным измельчением (66 гл. V). А всякий паракомпакт с измельчением .метризуем (76 гл. V). 86. Нет — годится пространство I* из задачи 209 гл. III. 87. (а) Пусть а — точечно счетная база в X. Не нарушая общности, можно предположить, что каждое подпространство U £ о имеет счетную базу (удалив, если надо, все U из а без счетной базы). Тогда (11 гл. V) X пред- ставляется в виде объединения непересекающихся открыто-замкнутых под- пространств, каждое из которых имеет счетную базу. Из задачи 89 гл. V следует теперь метризуемость пространства X. Утверждение (б) следует из (а) и задачи 121 гл. III. 88. Действительно, X регулярно (69 гл. V) п паракомпактно (70 гл. V). Следовательно, X — паракомпакт. Так как регулярная база является спе- циальным случаем равномерной базы, то остается сослаться на задачу 85 гл. V. Обратное утверждение докажите сами. Возможно другое решение, основанное на последовательном выделении поверхностей у регулярной базы — см. 64 и решение задачи 66 гл. V,— с по- следующей ссылкой на задачу 83 гл. V. 89. В каждом С7а зафиксируем о-локально конечную базу = = (J{^a: Положим V = (J а^А}. Так как у локально конечно и каждое локально конечно, то V локально конечно. Ясно поэтому, что «= U {V: i С N} — о-локально конечная база в X. Следовательно, X метризуемо (83 гл. V). 90. См. 89 гл. V. 91. См. Архангельский [И]. 92. Если X метризуемо полной метрикой, то оно является множеством типа Q в любом своем хаусдорфовом расширении (235 гл. II). Проведем обратное рассуждение. Пусть X — метрическое пространство, X — его пополнение и F — какое-нибудь бикомпактное хаусдорфово расширение пространства X. Так как X всюду плотно в X, то F является также биком- пактным хаусдорфовым расширением пространства X. Но тогда из данного нам в условии следует, что X — множество типа G& в F (см. 28 гл. IV). Тем более, X — множество типа G$ в своем пополнении X. А тогда X само мет- ризуемо полной метрикой (234 гл. II). 93. Локально X обладает счетной базой (ибо метризуемый биком- акт всегда имеет счетную базу). Так как X еще и слабо паракомпакт-
320 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ но, то X имеет точечно счетную базу. Поэтому (см. 87 гл. V) X метри- зуемо. 94. Воспользуйтесь конструкциями, описанными в решениях задач 7. 8, 11 гл. V (см. также 168 гл. V). 95. См. задачу 139 гл. III. 96. Докажем сначала (а), а затем, с его помощью, более сильное утвер- ждение (б). Пусть А сг. X, Л = {у Е X: d(y, А) = 0}. Если мы установим, что А замкнуто в X, то из 114 гл. II будет следовать, что верно (а). Пред- положим, что z С Х\А и d(z, А) — 0. Выберем точки уп Е А для всех п Е Х + так, чтобы было d(yn. z) < —. Множество S, состоящее из всех выбранных уп тЦ точки z, является бикомпактом (так как каждая подпоследовательность последовательности {уп: п Е Аг+} сходится к z. Так как уп Е Л, то для каж- дого п С 7У+ можно так определить хп Е Л, чтобы было d(xn, уп) Обозначим через Р множество всех точек последовательности ц — = {хп\ n£N+}, Непременно уп (£ Л для всех достаточно больших п — иначе было бы z G Л. Поэтому можно считать, что уп $ Л для всех п Е Аг+. Тогда Р П S — Л и d (Р, S) d(xn, уп) для всех п С Х+, т. е. d(P, 5)= = 0. Но тогда Р не замкнуто. Значит, существует z* £ А и подпоследова- тельность ц* = {хп : к £ N+} последовательности ц такие, что lim d(z*, k h->oo ) = 0 и, следовательно, lim x„ = z*. Из z* £ А вытекает, что z* z. Множество P*, состоящее из всех точек, вошедших в ц*, и точки z*, является бикомпактом и, следовательно, замкнуто в X (так как X — хаусдорфово пространство — см. 56 гл. III). Из Р* П 8 = Л следует теперь, что d(P*, S)#= Ф 0. Но d(P*, 5) для вссх & Е #+ и, значит, d(P*, $)= = 0 —- получили противоречие. Этим доказано утверждение (а). Докажем (б). Для каждого х £ X положим Unx = Int { у Е X: 1 'I d(x, у) < — | и уп = {Unx: х Е X) для всех п Е Лг+. Из (а) и задачи 114 гл. II следует, что Unx Э х для всех х Е X. Поэтому каждое уп является открытым покрытием пространства X. Покажем, что семейство {yn: п Е Х+} покрытий будет /с-измельчающимся. Затем метризуемость X следует из зада- чи 78 гл. V. Пусть F — любой бикомпакт, лежащий в X, и V — произвольное открытое в X множество, его содержащее. Предположим, что удалось для каждого п Е Х+ выбрать Unxn Е уп так, чтобы было Unxn р F Ф Л и Unxnf\ П (X\V) =# Л. Зафиксируем произвольно zn £ Unxn Q (X\V) и yn E UnxTl П П F. Так как F — метризуемый бикомпакт (см. 95 гл. V), то можно выделить 1 сходящуюся в F подпоследовательность {у : к Е Х+}. Но d(x , уп ) <— , k h h nk к E N+. Рассуждая, как и выше (при доказательстве (а)), заключаем, что 1 lim.г, =- lim Е F. Повторяя этот прием снова, из d(x„ , z„ fe->OO « ift—>оо « k k f< выведем, что lim z„ — lim х„ E F. Ho z„ E X\F, и так как X\TZ зам- k-^oo fe->oo кнуто, то lim zn £ X\7. Итак, (ХХУЭрР^Л — получилось противоречие. h-»-oo k
РЕШЕНИЯ 321 97. Пусть р — метрика, совместимая с топологией X. Так как X — не компакт, то существует бесконечное счетное множество А — {af i £ Лт+} без предельных точек в X. Рассмотрим систему открытых в X множеств у = {О\\ i £ N+, J g 7V+}, обладающую следующими свойствами: (1) <Н$О\, (2) О\ р О\, = Л, если i I' для любого у С N+; (3) diam (Я < Д-, i С г i (4) [OJ+1] с О{. Ясно, что такая система существует. Заметим также, что система уу = = {03f. i £ N+} дискретна в X. Определим открытые в X множества J7& = U {0%: i &}. Ясно, что будем иметь Q {U?f. к £ N+} = Л и [СТд+iJ cz Uk1 к £ N+. Рассмотрим пространство X = X (J {£}, получающееся из X присоединением точки база в которой задается множествами {£} U С7д = Kfe- Понятно, что X с такой топологией представляет собой Т^пространство. Доказываем регулярность пространства X. Пусть х £ X и ее окрестность Ох произвольны. Если х = g, то можно считать, что Ох = V^. Тогда [ F&, ибо [£7д+1] cz U^. Если х =# то возьмем такое к0, что х $ UkQ. Определим О'х = Ясно, что х £ О'х, О'х П Vko = Л, £ С FfeQ. Возьмем окрестность О^х, для которой cz О'х. Тогда [Орг]х == <= О'х cz Ох. Итак, X рсгу- А лярно. Докажем, что в X существует о-локально конечная база. Рассмотрим о*-локально конечную базу пространства X: о = (J {оп: п Е N+} = {Gnf. t С Тп, п G N+}, где on = {Gnf t С Тп} локально конечно в X. Не нарушая общности, можно считать, что каждое 01 g у пересекает лишь конечное число элементов системы Оу. Тогда множество Uj пересекает не более счетного числа элементов из о. Пусть Uj имеет непустое пересечение только с множествами Gjtl, Gjt2 , . . ., Gjin, . . . Рассмотрим систему 0J = {G3st: t £ Ts, s = 0, 1, 2, . . где 0^ = = {G\f. t g Ts} при s > 0 состоит только из одного элемента Gjt&, а при s=0 состоит из всех элементов Gjt £ не пересекающихся с Uj. Система 0 = U {0^ 7 € N+}, очевидно, образует о-локально конечную базу в X, а система S = 0 U g, где g= {7ft: к g 7V+}, — о-локально конечную базу в X (здесь Vk = {£} U Uk, к£ N+). 98. (а) Если метризуемое пространство X бикомпактно, то всякая метрика р на X, совместимая с его топологией, полна (см. 255 гл. III). (б) Обратно, если метризуемое пространство X небикомпактно, то существует (см. 97 гл. V) метризуемое расширение (вообще говоря, небиком- пактное) X, отличное от X. Рассмотрим метрику 7> на X, совместимую с его топологией. Тогда р индуцирует на X такую метрику р = р | X, что (X, р) — неполное метрическое пространство, хотя р порождает на X ту же тополо- гию. Получили противоречие. 99. См. Хаусдорф [2]. ~ 100. Положим = N, где N — натуральный ряд, где — некоторое семейство подмножеств множества N такое, что (а) если 4 G ^*, В С $* и А Ф В, то А р В — конечное множество;^ (б) | А | = х0 Для всех А С (в) ] | = 2Хо и (г) если С cz N и | С | = х0, то A Q С А. в. Архангельский, В. И. Пономарев
322 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ бесконечно для некоторого А Такое существует в силу 50 гл. IV и 118 гл. I. Определим теперь на множестве Ф = 0 U топологию следующим образом. Все точки множества изолированные в РР. Если | С то базу точки | в РР составляют множества вида 0^ = {£} (J (£\£), где К — некоторое конечное подмножество множества N. Из (а) следует, что 3й — хаусдорфово пространство. Условие 1), оче- видно, выполняется. Выполняется и требование 2) в силу (г) и определения топологии в точках множества .^i. Пространство РР регулярно, ибо множе- ства 0^ не только открыты, но и (очевидно) замкнуты. 101. (а) Если х £ ^0, то {х} — бикомпактная окрестность точки х в силу 1) задачи 100 гл. V. Если x£J°j, то из условия 1) задачи 100 гл. V следует, что существует окрестность Ох точки х в РР такая, что Ox Q q ==. Но 3й — регулярное пространство, следовательно, можно найти окрестность О^х точки х в «2°, для которой [<91Ге] с Ох. Тогда — бикомпакт. Действительно, если С cz и ] С | — х0, то С' — С\{х} cz cz и | С' | = n0. В силу 2) задачи 100 гл. V некоторая точка х' £ £Р является предельной для С'. Но из условия 1) задачи 100 гл. V следует, что х' £ а тогда х' £ [Oja:] и х' — х в силу определения окрестностей Ох и Oix. Значит, [Ор:] = О$х — бикомпакт и утверждение (а) доказано. (б) Локально бикомпактное хаусдорфово пространство всегда вполне регулярно (см. 177 гл. III). (в) Множество О±(х) (см. (а)) счетно (ибо О^х\ {х} cz и | I = к0). Но счетный бикомпакт метризуем (105, 39 гл. III). Значит, & локально метризуемо. (г) Пусть / — произвольная непрерывная вещественная функция на /: Ф R. Тогда fcP = в силу непрерывности / (см. 281 гл. II). Итак, достаточно доказать, что функция / ограничена на ^°0. Но если бы это было не так, то нашлась бы последовательность {хп: п £ N+} попарно различных элементов множества такая, что lim | f(xn) | = оо. Но С = {хп: п £ 7V+} cz и I С | = х0. Поэтому некоторая точка х* £ & является предельной для С (см. 1) задачи 100 гл. V). Мы видим, что функ- ция f в точке х* не непрерывна — получилось противоречие. Утверждение (г) доказано. Из = £Р и | [ = х0 следует (д). (е), (ж), (з) Если бы ?Р было метризуемо, то, так как сепарабельно, РР обладало бы счетной базой, а тогда любое подпространство пространства было бы сепарабельно, в том числе и — а это противоречит тому, что PPi дискретно и | | = 2Ко. Множество РРi — несчетное множество, у кото- рого нет в РР предельных точек. Значит, РР не счетно компактно (189 гл. III) и не финально компактно (200 гл. III). Заметим также, что из открытого несчетного покрытия у = \РХ'* х € пространства где Ох = {х}, если х £ ^о» и Озе Г\ 3di = {х}, если х £ «5^, нельзя выделить никакого отличного от него покрытия пространства РР (т. е. у минимально). (и) Если бы РР было нормально, то, будучи псевдокомпактным, оно было бы и счетно компактно (см. 192 гл. III), что противоречит (ж). Значит, не нормально. (к) Всякое точечно конечное открытое покрытие сепарабельного про- странства, легко видеть, счетно. Следовательно, если бы РР было слабо пара- компактно, то оно было бы и финально компактно, что противоречит (з). (л), (м) Зафиксируем для каждого х £ РР бикомпактную окрестность Ох так, чтобы было Ox Q PPi = {х}, если х £^\, и Ох = {я}, если х £ это возможно, см. доказательство (а). Положим X = {Ох: х £^} и = {(Оя\ К) U {ж}: х £ РР} для произвольного конечного множества К cz РРо- Каждое является, очевидно, открытым покрытием пространства РР. Если xq £ PPq и К Э то X# (лг0) — звезда точки xQ относительно — совпадает с {я0}. Если Xi £ то Хх (а^) есть Oxt\ К. Рассмотрим теперь произвольную окрестность Uxi точки в и пока- жем, что можно подобрать конечное множество Kt cz так, чтобы было
РЕШЕНИЯ 323 cz Uxi. Проверим, иначе говоря, что | Oxi \Uxi | < х0. Положим С = Oxi \ Uxi. Так как xi — единственная неизолированная точка биком- пакта Oxi и VXi — окрестность точки Xi, то множество С не имеет предельных точек в Oxi и, следовательно, С конечно. Этим доказано, что {Хк: К cz и | К | с х0} — измельчение (очевидно, счетное) пространства В 3й нет точечно счетной базы, ибо иначе, так как 3й сепарабельно, в была бы счетная база, что противоречит (е) и (з). Для доказательства (н) рассмотрим естественное отображение л пространства на пространство Z его разбие- ния, единственным нетривиальным элементом которого является множество FPi. Это отображение замкнуто (318, 322 гл. II). Имеем | Z | = х0. Мы уста- новим, что Z — бикомпакт, единственной неизолированной точкой которого является точка zi = ji(^°i). Если z £ Z\(zt}, то ji-1(z) cz <7%, и потому n-1(z) открыто в & (см. 1) задачи 100 гл. V). Значит, множество {z} открыто в пространство Z, т. е. точка z изолирована в Z. Далее, если A cz Z\{z0} и | А | = х0» то С = л-1(А) cz и I С | = х0 и, в силу 2) задачи 100 гл. V, [С] П *^i=# Л. Тогда, ввиду, непрерывности отображения л, будем иметь zt == л(^1) С [л(С)] = [Л]. Итак, точка z4 является предельной для любого бесконечного подмножества А пространства Z. Следовательно, Z — бикомпакт (пространство Z хаусдорфово, как Ti-пространство с единствен- ной неизолированной точкой — см. 15 гл. II). Утверждение (н) доказано. Так как каждое псевдокомпактное ^-пространство бикомпактно (80 гл. IV), не является (^-пространством. 102. Пусть А — замкнутое в X множество и £ = {yn: п С N+} — измельчение. Тогда Р = П {YnW: п € A+}\A — А — в противном случае условие измельчения нарушалось бы в любой точке множества Р. 103. Пусть ф == {yf: i С А'+} —- Tj-фильтрация на X. Положим = = X\U {U: U G Тг}. Множество F} замкнуто, поэтому существуют откры- тые в X множества Gitp где / £ Аг+, такие, что П / Е Ar+}= F} при всех i £ А+. Положим j = Yf U {67, Д. Тогда, как легко проверить, f, i, i 6 А+) — (счетное) Тt-измельчение на X. 105. Пусть % = i Q N+} — Tt-измельчение в X. Положим Gt = = U {U X U: U Е и покажем, что Q {Gz: i g N+} = Д. Так как Yi покрывает X, то для каждого х С X существует U С 4i такое, что х Е U. Тогда (ж, х) С U X U cz Gt и, значит, A cz G при всех i £ N+. Рассмотрим любой элемент (х, у)4 множества (X X Х)\Д. Тогда х у= у, и так как % — Тi-измельчение, то существует i' Е А+, для которого Yi' (х) $ у. Тогда из t7 С Yi* и U х следует, что U X U $ (я, у). Очевидно, если U £ уг и U $ ж, то тоже U X U (я, у). Итак, (х, у) $ U X U рдя. всех U С Yr» т* е- (ж’ У) С Значит, Q {Gf. i С N+} = Д. Достаточность дока- жите сами. 107. Пусть ф = {yp i 6 А+) — Ti-измельчение в X. Выберем в каж- дом yt счетное покрытие пространства X. Тогда {%г-: i £ N+} — Tj-измель- чение. Следовательно (см. 106 гл. V), = (J {If i С А+} — псевдобаза пространства X, очевидно, счетная. 108. Для каждого п g N+ и каждого х С X положим п(х) — X, если Yn не покрывает х. В противном случае положим п(х) = U, где U — какой- нибудь (в дальнейшем — фиксированный) элемент семейства уп» содержащий точку х. Далее, пусть Okx = Q {п(х)*. п £ А7+, п <: к} для всех к С А + и х £ X. Очевидно, каждое О^х открыто и содержит х. Скажем, что точка х € А является n-центром множества Л с X, если Опх zd А. Если у множе- ства А есть хотя бы один n-центр, то будем называть А n-малым. Пусть F— замкнутое множество в бикомпакте X; тогда для каждого конечного покры- тия у множества F открытыми в X множествами существует при любом п С N ‘ь Конечное семейство X тг-малых открытых в X множеств, у каждого из кото- рых есть n-центр в F, с замыканием вписанное в у и покрывающее F. При- меняя это утверждение на каждом этапе, не составляет труда построить 21*
324 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ по индукции последовательность £ = {yf: i £ N+} конечных семейств откры, тых в X множеств такую, что (1) Fez и {F: V е Тг}; (2) каждый элемент V семейства уп n-мал, имеет n-центр в F и пере- секает F; (3) каждый элемент семейства с замыканием содержится в неко- тором элементе семейства уп для всех п £ N\ Положим Gn = U {V: V £ ?«} Тогда Gn открыто в X и Gn zd F в силу (1). Покажем, что Q {Gn: п С 7V+) = F. Предположим противное. Пусть Z £ П {Gn- п £ TV+IXZ7. Положим = {Г £ yn: v э *}. Тогда Хп =# /V, и ДЛЯ семейства т) = {Xn: п £ 7V+}, очевидно, выполняются выписанные выше условия (2) и (3), а также следующее условие: (Г) каждый элемент каждого С Л содержит точку z. Через хп обозначим какой-нибудь n-центр множества Fn, лежащий в F (см. (2)). Последовательность {хп: п £ N*} имеет предельную точку в F, пусть такова точка х* £ F. Так как xt £ Vi cz Vn при всех i > «, то х* £ £ [7n+1] cz Vn при всех п £ 7V+, т. с. х* £ Q {Vn: п £ 1V+). Из х* £ Fee. Х\{z}, так как €р — Tj-фильтрация, следует, что найдется номер «* £ Аг*, для кото- рого (а): уп* покрывает х* и (р): никакой элемент семейства уп* не содержит точек х* и z одновременно. Короче (а): уп*(х*) Ф Л и (р): yn^(x*) $ z. В силу (а) уп#(х*) — окрестность точки я*. Найдется поэтому номер i* £ 7V+, для кото- рого i* > п* и х& £ уп*(х*). Так как х^ — г*-центр множества то имеем х^ £ V^cz О^(х^) = fi {п(х^): п £ N + и « < i*}. Отсюда и из i* > «* следует, что cz «*(^*). Но по выбору i* непременно уп*(х*) Э т- е> Тп* покрывает х^. Поэтому, в силу определения п(х), будем иметь п*(х^) £ упФ1 Из V^cz п*(х^) следует, что z £ «*(я^*) и ж* £ п*{х^) — мы пришли к проти- воречию с условием (р). 109. В силу 108 гл. V каждое замкнутое в X множество имеет тип G& Поэтому X обладает счетным Теизме л ьчением (103 гл. V). Значит, X имеет счетную псевдобазу (107 гл. V). Но тогда X имеет и счетную базу (122 гл. III). 110. Нет. Примером может служить пространство из задач 100 и 101 гл. V. 111. Это есть теорема Джонса [1]. Недавно Шапиров- с к и й [1] доказал более сильное утверждение (заменив сепарабельность на свойство Суслина). Впрочем, см. решение задачи 121 гл. II. 112. Пусть у — произвольное открытое покрытие пространства X. Для каждого л £ | положим Х^ = {х £ X: существует G £ у, для которого А,(я) cz б?}. Так как у покрывает X, а £ измельчается, то £J {Х\: X £ = X. Достаточно установить, что из покрытия т)х — {/Ця): х £ Х^} множества Х\ можно выделить счетное покрытие этого множества (тогда и из у сразу выделяется счетное семейство, покрывающее Х^, ибо т]х вписано в у). Множество A cz X% назовем %-дискретным, если никакой элемент покрытия X не содержит более одной точки множества А. Из принципа Кура- товского — Цорна следует, что в Х^ существует максимальное %-дискретное множество Лх. Максимальность А % означает, что (J {%(#): х £ Лх} со Xi- Но | Лх I OV Действительно, иначе нашлась бы в X предельная точка х* для множества Лх- Выберем 67* £ k, 67* Э х*. Имеем | Лх П U* | > > 1, что противоречит Х-дискретности множества Лх. Итак, из цх мы выде- лим счетное покрытие {Х(я): х £ Лх} множества Хх. ИЗ. В силу 112 гл. V X финально компактно, потому метризуемо (76 гл. V) и имеет счетную базу (213 гл. II). 114. Каждое несчетное множество Л cz X имеет в X предельную точку (111 гл. V). Поэтому X метризуемо и обладает счетной базой (113 гл. V). 115. См. Хит [1] и Бинг [2]. 116. См. Хит [1].
РЕШЕНИЯ 325 117. Выберем в X а-дискретную базу $ = |J {yf. i С N+}> где каждое Yi — дискретное в X семейство открытых множеств. Положим Gi = = U {^: € Tf) и Множество Ft замкнуто в X и потому имеет тип G& в X. Существует, следовательно, непрерывная вещественная функ- ция fi на X такая, что /^(0) = Ft и /(X) cz [0, 1]. Зафиксируем какое-нибудь взаимно однозначное отображение q?f множества в множество А, фигури- рующее в задаче 251 гл. II (далее мы используем еще некоторые обозначения из формулировки задачи 251 гл. II) — это возможно, так как | у^ | не пре- восходит веса X, равного т. Определим отображение ф*: X ->-Хш(т)так: если х 6 Ft, то 1р;(г) = 0; если х g U С ц, то трДх) = (Д(х), <рг(«7)) 6 (0, 1]х Л — последнее правило корректно, ибо из х С U £ yi следует, что h(x) £ £ (0, 1]. Семейство & отображении ф^, где i Е -№*, расчленяющее — докажем это. Пусть произвольно выбраны замкнутое в X множество Q и точка х £ £ Х\ф. Надо найти i Е Х+, для которого фДл:) (f [фг«?)]ки?(т). Так как J9 — база пространства X, то существуют i* Е N+ и U* Е yt* такие, что х Е U* <= с X\Q. Тогда С (0, 1] X <p;»(t/*) cz A'w(t) и ^*(*2) П ((0, 1] X X Фг*(^*)) = Л. Заметим, что множество (0, 1] X <Pj*(£7*) открыто в kir(T). Следовательно, [ф;*((?) 1ко?(п £ Ф[*(я) и & — расчленяющее семей- ство. Поэтому (см. 37 гл. III) диагональное произведение отображений фг является гомеоморфизмом пространства X в (Хш(т))х°. 118. Так как | Kw(x) | = Т‘2Х°, то | Хгг(т)Ко | = (т-2Хо)Хо = = тКо . 2Хо*к° — тКо (иб0 т > к0 > 2). 119. Надо воспользоваться задачей 86 гл. IV. 126. Пусть X — любое непаракомпактное вполне регулярное про- странство веса, не превосходящего 2Хо, в котором из любых двух замкнутых непересекающихся множеств одно непременно является бикомпактом (таково, например, пространство T(coi); см. 186 гл. III). Можно считать, что X являет- ся подпространством тихоновского произведения Iе континуума отрезков (см. 36, 37 гл. III). Зафиксируем счетное множество 5, всюду плотное в Iе (такое множе- ство S существует в силу 381 гл. II). Рассмотрим результат удвоения про- странства 7е в смысле П. С. Александрова: А (Iе) = Iе U d(7e), гДе несет по отношению к себе обычную топологию, a d(Ie) (рассматриваемое как экземпляр множества Iе) дискретно в А(Iе) (см. 81 гл. III). Через d(S) обо- значим экземпляр множества 5, лежащий в d(Ie). Из определения топологии в 4 (7е) и всюду плотности S в Iе следует, что d(S) всюду плотно в А (7е). Положим У = d(S) U X. В топологии, индуцированной из A(7V), У является нормальным сепарабельным, но непаракомпактным пространством. Множе- ство d(S) счетно и всюду плотно в У, значит, У сепарабельно. Точки множе- ства d(S) изолированы в А (7е), тем более они изолированы в У. Следователь- У° (так как X = У\й(5)), X замкнуто в У. Значит, У не паракомпактно (иначе и X было бы паракомпактным пространством, а это, по предположе- нию, не так). Докажем, что У нормально. Пусть Р и Q замкнуты в У иРП IIV = Л. Множества Р' — Р X к Q' = Q X замкнуты в X и не пере- даются. Поэтому одно из них — бикомпакт. Предположим, для определен- °сти, что Р' — бикомпакт. Пространство У, как подпространство биком- пакта А (7е) (А (7е) является бикомпактом в силу 81 гл. III), вполне регулярно. зам° Вполне регулярном пространстве бикомпакт и не пересекающееся с ним стямН^Т°е множество могут быть отделены непересекающимися окрестно- го Поэтому существуют открытые в У множества U и У, для которых Положим W = V П (Х\Р) и G = U J Р =
326 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ = U U (P\U). Так как P\U cz d(S), то множество P\U открыто в у Итак, W Q, G то Р, Ж П (7 = Л и VF, G — открытые в Y множества Следовательно, Y нормально. 128. Зафиксируем для каждого А открытое множество UA такое, что [ГА] П 5 = Л, А cz UA, и рассмотрим семейство у = {Уд' А G U {Х\Р} — последнее, очевидно, является открытым покрытием простран- ства А’. Впишем в у локально конечное открытое покрытие Л — ведь X паракомпактно, поэтому это возможно. Пусть У С % и У П Р #= Л. Тогда г содержится в некотором элементе G покрытия у. Очевидно, G Х\р, Следовательно, G = UA* для некоторого Л* G Но тогда [У] cz [G] == = [ UA *] cz Х\В. Положим U = U {У: У Е А, и У Q Р =# Л). Тогда С эр (ибо X — покрытие) и U — открытое множество. Так как А локально конечно, то [С7] = U {[И]: € А и У П Р =/= Л} (см. 2 гл. V). и на основании предше- ствующего замечания мы заключаем, что [ U] сс Х\В. 129. Пусть А — замкнутое в X множество, х G Х\4. Зафиксируем у каждой точки у С А окрестность Оу, замыкание которой не содержит точ- ки х. В открытое покрытие у = {Оу: у G 4} JJ {Х\4} впишем локально конечное открытое покрытие Л и положим А* = {U О Q А Л). Тогда [ U] J х для каждого U G А* (ведь U содержится в некотором элементе у, отличном от Х\4,— значит, в некотором Оу). Так как А локально конечно, то [U {U: U е А*}] = U {[£/]: U G X*} cz т. е. W = U {U: U G G А*} — окрестность множества А, замыкание которой не содержит точки х. 130. Это вытекает из утверждений задач 128 и 129 гл. V. 131. Надо воспользоваться задачей 44 гл. V. 132. См. задачу 72 гл. V. 133. Это сразу следует из задачи 39 гл. V. 134. Так как X — паракомпакт, то можно считать, что у — локально конечное открытое покрытие: у = {Z7a: a G 4}. Существует (см. 18, 13 гл. V) локально конечное покрытие А = {Fa: а £ А} пространства X замкнутыми множествами, комбинаторно вписанное в у, т. е. такое, что Pa cz 17а при всех a G 4. Пространство X нормально (130 гл. V). В соответствии с этим для каждого a G 4 существует неотрицательная непрерывная вещественная функция /а на X такая, что fa(Fa) = {1} и fa(X\Ua) = {0}. Семейство = {/a: a G 4} удовлетворяет, очевидно, условиям 1), 2) и следующему условию 3') (более слабому, чем условие 3)): <р(я) = 3 {fa(x)t a е Л и fa(x) 0} > 0 для всех х G X. Из 1) и 2) легко следует, что функция <pW непрерывна на X (действительно, во всех точках окрестности Ох, фигури- рующсй в условии 2), ф(ж) = 2 {/a(x): a € гДе А' = {a £ A: fa (Ох) Ф {0}} — конечное множество). Тогда и функция фа, определенная форму- лой: фаСс) = Ya ' ср (.г) непрерывна на X. Очевидно, ее носитель совпадает с носителем функции /а. Отсюда следует, что для семейства^ == (фа: а £ А} выполняются условия 1) и 2). Но УОМж): а € А иг|?а(ж) =# 0} = и/а(ж) =И=0} = ~~ = 1. Значит, и условие 3) для семейства выполняется. 135. Ясно, что точка (0, 0) не изолирована в X. Следовательно, X не дискретно. Как всякое пространство с ровно одной неизолированной точкой, X нормально (см. 15 гл. III). Но | X | == х0, поэтому X финально компактно. Так как регулярное финально компактное пространство — всегда параком- пакт, то X является паракомпактом. Если бы X в (0, 0) удовлетворяло перв° аксиоме счетности, то в X нашелся бы бесконечный компакт, содержат** (0, 0). Итак, нам осталось показать, что всякое бикомпактное подпростран- ство Ф пространства X конечно. для всех х G X (заметим, что всегда ср(я) 0 в силу
РЕШЕНИЯ 327 Пусть I — произвольная прямая, параллельная оси у = 0. Так как j q Z — замкнутое дискретное подпространство пространства X, то Ф Г) I конечно. Но тогда U = {(0, 0)} (J (Х\Ф) — открытое в X множество и из U П Ф = {(0» 0)} мы заключаем, что все точки бикомпакта Ф изоли- рованы в Ф. Следовательно, | Ф | < к0. F 136. Да. Возьмите счетное всюду плотное подпространство в 7е (см. 381 гл. II). 137. Пусть Хо — U {Ft- i £ N+}, где Ft замкнуты в X. Рассмотрим для каждого i открытое покрытие 2$ всего пространства X, состоящее из всех элементов системы со и еще открытого множества X\F^ В впишем локаль- но конечное открытое покрытие 2 г пространства X. Через со; обозначим семейство всех тех элементов Г Е Qt, для которых Г П Ft #= Л. Ясно, что си локально конечно в X, состоит из открытых в X множеств, вписано в со и покрывает по крайней мере Тогда семейство ©' = (J {он: i 6 Л’+} локально конечно в X, состоит из открытых в X множеств, вписано в со и по- крывает (по крайней мере) подпространство Хо. 138. Это, например, следует из задачи 137 гл. V. 139. Это следует из задач 138 и 127 гл. V. 140. Достаточно (см. 206 гл. III) показать, что каждое открытое подпространство Y пространства X финально компактно. Так как с(Х) х0 и Y открыто в X, то c(Y) к0. Кроме того, Y паракомпактно по условию. Значит (см. 133 гл. V), Y финально компактно. 141. Нет. Если X — бикомпактификация Александрова (см. 176 гл. III) несчетного дискретного пространства, то каждое подпространство простран- ства X либо дискретно, либо бикомпактно и в обоих случаях паракомпактно (даже сильно паракомпактно). 142. Ответ авторам не известен. 143. Достаточно для произвольного открытого в 4(Х) подпростран- ства Y доказать, что оно паракомпактно (см. 127 гл. V). Пусть у — произ- вольное открытое покрытие пространства Y. Положим И=УПХи1 = = {U П X: U £ у}. Тогда Z открыто в X и X — открытое покрытие про- странства Z. Впишем в % локально конечное (в Z) покрытие а пространства Z открытыми в Z (а значит, и в X) множествами. Для каждого V £ р зафикси- руем некоторый элемент семейства у, его содержащий,— обозначим его через i(F). Положим, кроме того, r(F) = V U d(V), где d(V) — естественная проекция множества V в d(X), т. е. экземпляр множества F, лежащий в d(X). Так как V открыто в X, то r(F) открыто в 4(Х). Из локальной конечности р в точках множества Z следует, что и семейство {r(F): V С р} локально конеч- но в точках Z. Положим q(V) = r(F) Q i(F). Тогда и | — fa(F): F (Е р} локально конечно в точках Z, Но q(V) zd F, q(V) открыто в 4(Х) и g(F) с= cz t(V) £ у. Значит, g — вписанное в у семейство открытых в Y множеств, локально конечное в точках множества Z и покрывающее Z, Множество J\U (q(F): F е р} замкнуто в У и дискретно. Поэтому ц = | J {{И: У $ iU W): к е и}} — локально конечное открытое покрытие пространства очевидно, вписанное в у. 144. Нет. Рассмотрим бикомпакт П. С. Александрова «две окружно- сти» (см. 80 гл. III). Он получен в результате «удвоения» из обычной окруж- ности, а последняя, как и любое метрическое пространство, наследственно п*ракомпактна. Но при удвоении наследственно паракомпактного про- странства получается наследственно паракомпактное пространство (143 л- V). Значит, бикомпакт «две окружности»— наследственно паракомпакт- ое пространство. Этот бикомпакт удовлетворяет первой аксиоме счетности и содержит дискретное подпространство мощности 2Хо — последнее озна- ает, что он не совершенно нормален (206 гл. III). . у5. Если у — дизъюнктное семейство открытых в X множеств и G =» ** U (17: и £ р = x\G, то Р замкнуто в X и потому Р == П {W^ i С
328 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ С N+}, где все Wf открыты в X. Положим = Х\И^. Очевидно, Ft с G причем Ft замкнуто, a G открыто в X. Выберем на основании нормальности X открытое множество 7г-, для которого F} cz Vi cz [FJ о G. Положим А- = — {^j П € у}- Семейство A^ состоит из открытых множеств и, оче- видно, дискретно в X. Поэтому А = (J {А^: i Е Лг+) —- о-дискретное семей- ство открытых множеств, вписанное в у. Из [J {^: i £ N+}= G и определе- ния Vi следует, что (J {A: A g А} = G — U {U: U £ у}. Это рассуждение показывает, что для каждого о-дизъюнктного открытого покрытия про- странства X существует вписанное в него о-дискретное открытое покрытие. Следовательно (72, 26 гл. V), X — паракомпакт. 146. Рассмотрим произвольное открытое покрытие у пространства X. Для каждого i £ N+ зафиксируем сг-дискретное покрытие А; множества F- замкнутыми в Ft множествами, вписанное в у,— такое, очевидно, существует* см. 150 гл. V. Так как X коллективно нормально, то найдется а-дискретное семейство открытых (в X) окрестностей элементов семейства А^, вписанное в у (см. 48 гл. V). Положим р = (J {pf: г £ N+} и U = U {G: G £ р}. Тогда р — о-дискретное семейство открытых в X множеств, вписанное в у, и открыто в X и [Z d У. Подпространство Р = Х\ U пространства X пара- компактно, и потому существует о-дискретное покрытие 0 пространства Р замкнутыми (в Р и, следовательно, в X) множествами, вписанное в у. От 0 перейдем к о-дискретной в X системе 0 окрестностей (в X) элементов семей- ства 0 — можно при этом считать, что 0 вписано в у. Здесь мы снова вос- пользовались коллективной нормальностью пространства X. Тогда 0 (J р — сг-дискретное открытое покрытие пространства X, вписанное в у. Но X — регулярное пространство, поэтому, так как у было выбрано произвольно, можно заключить, что X — паракомпакт (см. 150 гл. V). 147. Впишем в % локально конечное открытое покрытие у. Простран- ство X регулярно (129 гл. V). Поэтому семейство т] = {U о X: U открыто в X и существует G £ у такое, что [£7] cz G} покрывает X. Впишем в т| локаль- но конечное открытое покрытие А. Тогда у п А удовлетворяют посылкам утверждения задачи 51 гл. V, и поэтому существует открытое покрытие X, звездно вписанное в у,— таково, например, (у (J А). 148. Необходимость доказана в задаче 147 гл. V. Докажем достаточ- ность. Пространство X регулярно и даже коллективно нормально (см. 24 гл. V). Для каждого открытого покрытия А пространства X можно построить звездно монотонную последовательность 5 — {уп: п С N+} открытых покры- тий X, где yi вписано в А. Тогда % мажорирует покрытие А, и потому в А можно вписать сг-дискретное открытое покрытие (34 гл. V). Но А — любое открытое покрытие пространства X. Следовательно, X — паракомпакт (см. 72 гл. V), ибо о-дискретное покрытие, очевидно, о-локально конечно. 149. См. задачи 147 и 22 гл. V. 150. Эквивалентность (а), (б), (в), (г), (д) установлена в 148, 72, 44, 34 гл. V. Доказательство равносильности им (е) см. Майкл [1], [2]. 151. Не всегда. См. Поточны [1]. Более сильный пример недавно построил С. Перегудов. 152. Необходимость. Так как X П F — Л и F замкнуто в ЪХ, а ЪХ регулярно, то для каждой точки х £ X можно так зафиксировать ее окре- стность Ох в 6Х, чтобы было [Ох] р F = Л. В открытое покрытие у = {0х П П X: х С X} пространства X впишем локально конечное открытое покрытие А. Очевидно, оно искомое. Достаточность. Пусть g — произвольное покрытие пространства X ег открытыми подмножествами. Для каждого С7 £ £ зафиксируем открыто в ЪХ множество t(U) такое, что t(U) (\Х — U. Положим G = IJ Ut £ g} и F = bX\G. Очевидно, G открыто в ЪХ и G zz> X. Поэтому F — биК° пакт, лежащий в ЪХ\Х. По условию, существует локально конечное откр тое покрытие г] пространства X такое, что [У]&х П F = Л Для всех "
РЕШЕНИЯ 329 Из [Яьх П Р = л следует, что \У]ЪХ cz G. Но t(& = {t(U): U El} — откры- тое покрытие пространства G, a [ V]bx — бикомпакт. Следовательно, из можно выделить конечное покрытие бикомпакта [V%Y. Значит, для каждого* у £ т] существует конечное подсемейство семейства % такое, что IJ {U: U Е Е £v} Мы фиксируем для дальнейшего такое при всех F £ тр Поло- жим Цу = {Г П U: U Е Sv). Тогда цу — конечное семейство открытых в X множеств, вписанное в §, объединение элементов которого равно в точ- ности V. Следовательно, X = (J {т]у: V Е л} — локально конечное открытое- покрытие пространства X, вписанное в и X паракомпактно. 153. 1) => 2). Пусть F cz X — произвольное замкнутое в X множе- ство, UF -— произвольная его окрестность. Рассмотрим открытое покрытие со == {UF, ХХДб7'/1]}, состоящее из двух элементов: множества UF и мно- жества Х\[С7'У], где U'F — окрестность множества F, для которой [{7'F] cz г- UF (мы воспользовались нормальностью паракомпакта X — см. 130' гл. V). Впишем в со дизъюнктное открытое покрытие со7. Ясно, что каждое U Е открыто-замкнуто в X. Рассмотрим окрестность U"F = U {U Е со': U П F Ф Л} множества F. Ясно, что U"F F к U"F открыто-замкнуто. Кроме того, U"F cz UF. Импликация 1) => 2) доказана (при этом заметим,, что она верна для любого нормального, не обязательно паракомпактно го, пространства). 2) 3). Пусть со — произвольное открытое покрытие паракомпакта X. Впишем в него локально конечное открытое покрытие со' = {Z7f: t Е Т}. В покрытие со' (пользуясь 17 гл. V) комбинаторно впишем открытое покры- тие со" = {Уу t Е Т} так, чтобы [У/] cz Ut для всех t Е Т. На основании 2)* выберем открыто-замкнутые множества Гр для которых [Fj cz cz С7р Ясно, что у = {Гр t Е Т} — локально конечное покрытие пространства X открыто-замкнутыми множествами, вписанное в со', а значит, и в со. Пред- полагая множество Т вполне упорядоченным, положим ^ = rf\U{rr: Замечая, что = Г^ для любого г, а вся система у локально конечна (зна- чит, консервативна), заключаем, что открыто-замкнуто в X для любого t Е Т- Очевидно, семейство у' = {Wt: t Е Т} дизъюнктно и является покры- тием пространства X, вписанным в со', а значит, и в со. Импликация 2) =Ф 3) доказана. 3) =Ф 1). Пусть со = {Ui, . . ., Us} — произвольное конечное откры- тое покрытие пространства X. На основании 3) впишем в него дизъюнктное открытое покрытие у. Ясно, что у локально конечно в X и состоит из откры- то-замкнутых в X множеств. Положим yt = {V £ у: У cz U±}, у2 = {У € 8-1 V cz £72}, . • Уз = {V С ^з}. Рассмотрим множе- i—1 ства Г, = U {Г: V Е Vi}, Г2 - U {V: У Е у2}, . . ., Г5 = U {V: V Е Ys}. Множества Гр i = 1, 2, . . ., s, открыты. Кроме того, Г^ П Г^ = Л, если i =£j. Ясно также, что у' = {Гъ Г2, . . Ts} — покрытие пространства X, вписанное в со. Импликация 3) =^> 1) доказана. 154. 1) => 2). Заметим, что X — паракомпакт (45 гл. V). В любое °ткрытое покрытие со пространства X можно вписать дизъюнктное открытое покрытие (153 гл. V). Для каждого i Е в покрытие пространства X откры- тыми множествами диаметра, не превосходящего , впишем дизъюнктное °ткрытое покрытие сор Семейство о = U {сор i Е N+} — искомая'база, v 2)м=>1). Не нарушая общности, можно считать, что cop-i вписано в сор дВЖдый элемент любого покрытия — открыто-замкнутое в X множество. &амТаТ0ЧН0 (вслеДствие 153 гл. V) доказать, что Ind X = 0. Пусть F — мкнутое в X множество, a OF — произвольная его окрестность. Для,
330 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ каждого i рассмотрим подсистему cof(F, OF) cz определяемую следующим образом: (1) cof(F, OF) = {U е U Q F Л и U cz OF}. Так как каждое cof локально конечно в X, а все U С a>j открыто-замкнуты в X, то г- = и {Я: и е Ut(F, OF)} для всех I £ Я + открыто-замкнуто в X (см. 2 гл. V). Так как о — база пространства Xf то F cz (J {Г$: i Е А’+} cz OF. Положим Я1 = гь и2 = г2\го ..нп = гп\и {Г- I < «}. Ясно, что Hi, Н2. . . Нп, ... — открыто-замкнутые в X множества. Ясно также, что ЯП1 Q НП2 = Л, если щ п2, и F cz J {Яп: п Е Я+} — = U {Гг: i € Л^} с OF. Остается доказать, что множество U {Яп: п Е Лг+} открыто-замкнуто. Для этого достаточно установить, что семейство g = {Я1} Н2, ...» Нп, . . .} локально конечно в X. Семейство g локально конечно в точках из F, так как оно дизъюнктно и покрывает F. Пусть х0 $ F произвольно. Возьмем первый номер i0 такой, что xQ Е U* € (%, F П Р = Л. Тогда U* Q = Л для всех i iQ. Поэтому Я* П Я^ = Л для всех i i0. Так как xQ £ U*, то тем самым мы доказали локальную конечность семейства g в точке х0. 155. Это следует из 246 гл. II и 154 гл. V. 156. Так как X метризуемо и dim X = 0, то (см. 154 гл. V) в X суще- ствует база а, являющаяся объединением счетного семейства дизъюнктных открытых покрытий пространства X. Но тогда такая же база есть и в про- странстве Хо — годится, например, Оо = {U П Хо: U С о}. Теперь снова ссылаемся на задачу 154 гл. V. 157. Из (б) следует (г) в силу 58 гл. V. Очевидно, из (г) следует (в), а из (в) следует (а). Условие (б') только на вид слабее условия (б) — можно так занумеровать элементы этих покрытий, чтобы получилась комбинаторная вписанность. Остается вывести (б) из (а), и равносильность всех четырех условий будет установлена. Зафиксируем счетное открытое покрытие у = = {Uf i Е N+} пространства X и комбинаторно вписанное в него точечно конечное открытое покрытие X (сделать это легко — см. 13 гл. V). Так как X нормально, а X точечно конечно, то в % можно комбинаторно вписать покры- тие ц пространства X замкнутыми множествами (17 гл. V). При этом ц комбинаторно вписано иву. 158. См. 157 гл. V. 159. Необходимость. Положим у = {X\F: F £ g}. Тогда у — счетное открытое покрытие пространства X. В у можно комбинаторно вписать покры- тие X пространства X замкнутыми множествами (157 гл. V). Элемент семей- ства X, соответствующий при этом элементу Я Е у, условимся обозначать через <р(Я). Положим U{F) = X\q?(X\F). Тогда U{F) открыто, U(F) zz F, так как <p(X\F) cz X\F и П {^(F): F £ g} = Л, ибо X — покрытие. Достаточность. Так как X нормально, то достаточно проверить (см. 157 гл. V), что в каждое счетное открытое покрытие у пространства X, не со- держащее никакого конечного покрытия X, можно комбинаторно вписать покрытие замкнутыми множествами. Но тогда g = {Х\Я: U £ у} — цен- трированное семейство замкнутых множеств, пересечение элементов которого пусто. Зафиксируем для каждого Я £ у открытое множество W(U), содер- жащее Х\Я, так, чтобы было f| {W(U): Я б у} = Л. Положим Г(Я) = = X\W(U). Тогда F(U) замкнуто, F(U) cz Я и J {?(U): UEy}=X, т. е. {F{U): Я Е у} — искомое покрытие. 160. Решается так же, как и задача 148 гл. V.
РЕШЕНИЯ 331 161. Пространство X является паракомпактом (см. 132 гл. V). Из про- извольного открытого покрытия V пространства X можно выделить счетное покрытие X. Но во всякое счетное открытое покрытие паракомпакта (более того, нормального счетно паракомпактного пространства) можно вписать звездно конечное открытое покрытие (157 гл. V). 162. Пространство со счетной сетью финально компактно (143 гл. II), а каждое регулярное финально компактное пространство сильно параком- пактно (161 гл. V). 163. Воспользуемся обозначениями из задачи 251 гл. II. Заметим, что 7’(1) = {(я, а) Е Kw(x): х = 1} — дискретное подпространство пространства Kw(x). Если бы Kw(x) было сильно паракомпактно, то оно было бы и финаль- но компактно (см. 173 гл. V — здесь важно, что Kw(x) связно). Тогда Kw{x} имело бы счетную базу (213 гл. II) и Т(1) было бы сепарабельно, что противо- речит ] Т (1) |= т > Ко- 165. Нуждается в доказательстве только достаточность. Пространство X паракомпактно — ведь оно регулярно и в каждое его открытое покрытие можно вписать звездно счетное открытое покрытие, а последнее (см. 9 гл. V) автоматически будет о-дискретным покрытием — теперь можно сослаться на задачу 150 гл. V. Пусть теперь % — произвольное открытое покрытие пространства X. у — звездно счетное открытое покрытие, вписанное в X, и {уа: аМ}, {Ха: а £ А} - семейства, обладающие по отношению к у и X свойствами 1) _ 7), сформулированными в задаче 8 гл. V. Так как Ха замкнуто в X, то Ха тоже является паракомпактом. Семейство уа является счетным откры- тым покрытием пространства Ха, поэтому в уа можно вписать звездно конеч- ное открытое покрытие (см. 157 гл. V) — обозначим последнее через ца. Тогда если W' Е £ На" и то И7' П Ж" = Л (см. 7) задачи 8 гл. V). Значит (см. 8 гл. V), р, = (J {ра: а Е А} — звездно конечное откры- тое покрытие пространства X, вписанное в у. 166. Надо воспользоваться задачами 8 гл. V, 208 гл.III и 161, 164 гл. V. 168. Возьмем такое локально конечное открытое покрытие у простран- ства X, что [ U\ — бикомпакт для любого U С У- В силу 53 гл. V это покрытие звездно конечно. Воспользуйтесь теперь задачей 8 гл.У, после чего остается сослаться на задачу 208 гл. III. 169. Следует из задач 168, 161, 164 гл. V. 170. 1) => 3). Зафиксируем для каждой точки х Е X ее окрестность Ох в рХ такую, что с= G. В покрытие X — {Ох*, х £ X} пространства X впишем звездно конечное покрытие -у пространства X открытыми в X мно- жествами. Существует открытое покрытие р, = {V(L7): U £ у} пространства X такое, что [У(U)]x cz U при всех U £ У- Положим F(U) = [F(#)]|3x- и U — Int[{7]px. Тогда (так как X — нормальное пространство и рх — его расширение Стоуна — Чеха) F(U) cz U и легко построить открытое в рх множество W(U), являющееся суммой счетного множества бикомпак- тов, такое, что F{U) cz W(U) cz U. Положим X = (J {Ж(Е7): U E у}. Из всю- ду плотности X в РХ следует, что U П #' =/= Л только в том случае, если и Г) U1 Л. Значит, (W(U): U £ у} — звездно конечное открытое покры- тие пространства X множествами, каждое из которых есть объединение счет- ного семейства бикомпактов. Поэтому X сильно паракомпактно (см. 166 гл. V). Кроме того, очевидно, W(U) cz G для каждого U 6 У- Значит, X cz G. Ясно, что из 3) следует 2). Из 2) выведем теперь 1). Рассмотрим произ- вольное покрытие К пространства X открытыми в X множествами. Для Каждого U Е Л. зафиксируем открытое в РХ множество U такое, что U Q X = == U. Положим G == (J (U: U Е у}. Тогда G открыто в рХ и X cz G. Выберем ® РХ в соответствии с 2) сильно паракомпактное подпространство X такое,
332 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ что X с X с G. Семейство g = {U: V £ у} покрывает G. Тем более, £ покрывает X. Впишем в £ звездно конечное открытое покрытие т) простран- ства X. Тогда, очевидно, 0 = {V П X: Гб'П} — звездно конечное открытое покрытие пространства X, вписанное в X. Этим доказательство равносиль- ности условий 1), 2) и 3) завершено. 171. Достаточность доказывается так же, как в задаче 152 гл. V — надо заметить только, что если заменить каждый элемент U звездно конеч- ного семейства ц множеств некоторым конечным семейством элементов, объединение которых равно U, то возникающее в результате семейство X — = U £ т)} снова звездно конечное. Так же, как и в задаче 152 гл. V, доказывается и необходимость: сле- дует заметить только, что если | — семейство открытых в X множеств, a t(U) для каждого U £ В — такое открытое в ЬХ множество, что t(U) Q X = = £7, то из звездной конечности семейства £ вытекает звездная конечность семейства U С В} (ведь U Q U' =£ Л в том и только в том случае, если /(£7) П ) =# Л). 172. См. задачи 148 и 24 гл. V. 173. В произвольное открытое покрытие у пространства X можно впи- сать звездно конечное открытое покрытие X. Но % непременно счетно в силу 12 гл. V. Следовательно, из у можно выделить счетное покрытие (см. 75 гл. II). 175. Рассмотрим открытое покрытие % пространства X и положим = = {U £ существует G С В, для которого U cz G}. Тогда — база пространства X и притом равномерная. Поверхность семейства тогда является точечно конечным открытым покрытием пространства X, вписанным в В (см. 65 гл. V). 176. Нет. Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве обычный куб X3, заданный по отношению к некоторому ортонормированному реперу следующим образом: К3 == {(х, у. z): 0 < х < 1, 0 < у < 1, 0 < z < 1}. Множества а = {(ж, у, z): 0 <: х <: 1, у = О, 0 z 1} и Р = {(я, у, z): О я 1, у = 1, 0 < z < 1} — противоположные грани куба К3. Мно- жество Ф = {(я, у, z): 0 <: я С 1, у = 0, z = 0} — нижнее основание (ребро) грани а. Положим а* = а\Ф. В множество X = а* (J Р введем нестандартную топологию. Положим = {(я, у, z): я = л, у = 1, 0 < z < 1}, где X 6 [0, 1]. Тогда р = U {F^: X £ [0, 1]}, причем FK, = = Л при V V. Каждое наделим обычной топологией отрезка. Потре- буем, далее, чтобы каждое F^ было открытым в X множеством. Этим опре- делена топология пространства X во всех точках множества р. Базисная окрестность Ор любой точки р С а* в X имеет вид Op = Up U (л(£7р)\В), где Up — какая-нибудь окрестность точки рва*, наделенном обычной топо- логией подпространства евклидова пространства, n(Up) — (ортогональная) проекция множества Up на грань р и В = U {F\: 1 Е X}, где Е — произ- вольное конечное подмножество отрезка [0, 1]. Определение пространства X завершено. Ясно, что оно хаусдорфово. В точках множества р пространство X, очевидно, локально бикомпактно. Топология, индуцированная из X на а*, совпадает с обычной топологией. Если бесконечное множество A cz Р пересекается с каждым Fx9 где X Е [0, 1], по конечному (быть может, пусто- му) множеству, то проекция А на а имеет точку полного накопления в а (по отношению к обычной топологии), и если эта точка принадлежит а*, то она, очевидно, будет точкой полного накопления для самого множества А в X. Легко вывести отсюда, что X локально бикомпактно в точках множе- ства а*. Пусть Ф' — проекция ребра Ф на грань Р, т. е. Ф' = {(я, у, z): 0 <я < 1, у = 1, z = 0}. Ясно, что Ф' является замкнутым дискретным подпространством пространства X. Точки множества Ф' можно окружить дизъюнктным семейством окрестностей. Если бы X было нормально, то oi этого
РЕШЕНИЯ 333 семейства можно было бы перейти к дискретному семейству окрестностей. Но каждая из этих окрестностей задевала бы множество р\Ф\ Это дало бы возможность определить несчетное дискретное замкнутое в X множество, лежащее в £\Ф'. Но это множество имело бы, в силу стандартных причин, точку полного накопления в а* — получили противоречие. Следовательно, X не нормально, и, тем более, не паракомпактно. Но X слабо паракомпактно. Действительно, пусть у — произвольное открытое покрытие пространства X. В у можно вписать дизъюнктное семейство р попарно не пересекающихся открытых множеств, покрывающее Ф' (см. выше). Но Х\Ф', как легко видеть.— открытое финально компактное подпространство простран- ства X. Следовательно, в у можно вписать открытое точечно конечное покрытие X множества Х\Ф'. Очевидно, X (J р — точечно конечное открытое покрытие пространства X, вписанное в у. Значит, X слабо пара- компактно. 177. Ответ авторам не известен. 178. Ответ авторам не известен. 179. Это вытекает из задачи 157 гл. V. 180. Пусть у — открытое покрытие пространства X, причем никакое конечное семейство элементов у не покрывает X. Впишем в у точечно конеч- ное открытое покрытие X и из Л выделим минимальное подпокрытие р (см. 14 гл. V). Тогда р тоже открыто и точечно конечно, причем | р | > х0. В силу 15 гл. V в X существует замкнутое дискретное множество, равномощное р, т. е. бесконечное. 181. Это следует из задач 180 гл. V и 189 гл. III. 182. Нет. Пространство Г(®1) нормально и счетно компактно (187, 193 гл. III). Если предположить, что 77((о1) еще и слабо паракомпактно, то Т(й)1) бикомпактно (см. 181 гл. V), а последнее неверно (185 гл. III). 183. Положим Хп= {х £ X: | {U £ у, U Э х} | = п}, n Е Каждое Хп замкнуто в X (см. 19 гл. V) и U {Xn: п Е Лг+} — X. Мы определим сейчас по индукции последовательность {?]n: п Е N*} дискретных систем тщ откры- тых множеств, вписанных с замыканием в у, так, чтобы (J {т]п: п к} покры- вало Хд при каждом к Е N+. В силу 19 гл. V существует дискретное покры- тие Х4 множества Xi замкнутыми в X множествами, вписанное в у. Примем за Tji какую-нибудь дискретную систему окрестностей элементов Хп каждая из которых с замыканием содержится в некотором элементе у,— такая суще- ствует, так как X коллективно нормально и в силу 48 гл. V. Предположим, что для п к семейства уже определены, причем так, что 7д= (J {Z7: U Е € U {Лп: п к}} — открытое множество, содержащее Хд. Тогда, в силу 19 гл. V, существует дискретное покрытие Хд+1 множества Хд+i замкнутыми в X множествами, вписанное в у. Примем за 'Пд-ы какое-нибудь дискретное семейство окрестностей элементов Хд+i — такое существует, см. 48 гл. V. Можно при этом считать, так как X нормально, что замыкание каждого элемента семейства т)д+1 содержится в некотором элементе покрытия у. Продолжая, мы получаем последовательность {?]n: п Е ЛГ+}. Очевидно, г) = = U {Лп: ft Е N+} — о-дискретное открытое покрытие пространства X, вписанное с замыканием в у. 184. Пользуясь задачами 204 и 48 гл. V, можно построить не только о-дискретную сеть в X, но и <т-дискретную базу в X. Далее см. задачу 80 гл. V. 185. См. 183^150 и 172, 174 гл. V. 186. Пусть /А — счетное множество точечно конечных семейств откры- тых в X множеств и & = (J {у: у Е — база пространства X. Для каж- дого у Е & и каждого х Е X положим ух = {U Е У- U 3 х}, Пусть к Е Лг+. Обозначим через Х?,д множество всех точек х Е X, для которых | ух | = к. Положим далее Vv(x) — П {U: U Е ухЬ если ух =£ Л. Заметим, что если * £ As k и У С А’ т0 либо 7?(ж) = 7?(^), либо х $ Vv(y) и у $ Дей- ствительно, если х Е ^Y(y), то уу cz ух. Но из | уу | = | ух 1 следует тогда,
334 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ что уу = ух. Положим теперь Х7, & = {7у(я): х Е и 3й = {Хм, к £ £ JV+, у £&}. Покажем, что семейство &> является фильтрацией в л. Пусть точка х С X и ее окрестность Ох выбраны произвольно. Выберем У Е для которого х Е V CZ Ох. Для некоторого у* Е & будем иметь 7 £ у*. Поло- жим к = I у* |. Тогда к Е N+ и х Е 7?*(я) cz Ox, х Е k и 7v*(x) Е Х?* fe. Далее, никакой элемент семейства Х^*, fe, отличный от 7?*(ж), не содержит точки х — мы установили это несколькими строками выше. Значит, Х?* h(x) — ~ Vy*(x) — непустое множество, содержащееся в Ох. Этим доказано, что 3° — фильтрация. Пусть z Е X, х Хъ и Vv(x) Э z. Тогда yz zd ух. Но | yz | < n0 и 7т(ж) = П {U: U € Ух)* Значит, каждый элемент семейства Xv, д, содер- жащий точку г, является пересечением конечного множества элементов фик- сированного конечного семейства yz. Следовательно, Х7, — точечно конеч- ное семейство множеств. 187. Мы рассуждаем так же, как в решении задачи 103 гл. V при по- строении измельчения. В данном случае измельчение, которое возникает, будет (автоматически) состоять из точечно конечных семейств множеств. Остается сослаться на задачу 67 гл. V. 188. Для доказательства достаточно сопоставить утверждения задач 186 и 187 гл. V. 189. Это следует из задач 188, 175, 185, 85 гл. V. 190. Надо рассуждать так же, как в решении задачи 186 гл. V, но отправляясь не от о-точечно конечной базы, а от о-точечно конечного откры- того покрытия, вписанного в заданное покрытие. 191. Пусть у — открытое покрытие пространства X. «Просеиваем» сначала это покрытие счетным семейством точечно конечных семейств откры- тых в X множеств согласно задаче 190 гл. V. Затем, как в решении задачи 187 гл. V, строим вписанное в у семейство открытых множеств, напоминающее по свойствам равномерную базу (чтобы добиться вписанности в у, мы просто отбрасываем все нарушающие эту вписанность множества). Совокупность максимальных элементов этого семейства и является точечно конечным откры- тым покрытием, вписанным в у. 192. Если к = 0, то утверждение очевидно. Пусть для к = п наше утверждение доказано. Предположим, что Кр(#, X) к 4- 1. Существует (так как с(Х) n0) счетное у cz % такое, что [(j {U: U Е у}1 U {^: £ Е X} (см. решение задачи 39 гл. V). Положим G ~ {U: U Е уЬ X* = Х\у и р = {U П G: U Е X*}. Можно рассматривать р как семей- ство открытых множеств в пространстве G. При этом Кр(я, р) к при всех х £ G, и, так как G открыто в X, то c(G) с(Х) n0. Кроме того, из определения G следует, что 7 П G =# Л для каждого 7 Е к. Можно, таким образом, применить индуктивное предположение. Заключаем: | р | n0. Значит, и | X* | < к0. Наконец, 11 | < I X* | 4~ | у j n0 + n0 = No- 193. Положим Е = {х Е X: Кр(я, X) к — 1}, Y == {х Е X: Кр(я, %) > к}. Тогда X ~ Е U Y. Очевидно, У открыто в X. Значит, с(У) -< < к0- В силу 102 гл. II существует счетное семейство ус такое, что U {U: и Е у} <= у CZ [{£/: U £ у}]. Положим G = U{^‘ U Е у}, р = {^: U Е к и U П G = Л}, F = [G] и W ~ X\F. Множество W открыто. Так как Кр(я, X) <: к — 1 для всех х Е W и c(W) < No, то из 192 гл. V следует, что | р | No- Поэтому | Х\р | > n0. Ясно, что XV р cz X* = {U Е U П G =/= Л}. Следовательно, | X* | > n0. Но X* — (J {G(Z7): U Е у}, ГДС 0(Г) = {V Е X: V П U Л}. Так как | у | <: n0, то существует U* Е 7» для которого | 0(U*) | > n0. Множество U*, очевидно, искомое. 194. Зафиксируем бикомпактное хаусдорфово расширение ЬХ про- странства X и семейство {Gt: открытых в ЬХ множеств такое, чЮ Г1{бч: i € N+} == X. Положим = {U cz X: U открыто в X, U и [£7]&х GjJ- Семейство {&п: n£N+}, как легко видеть, искомое.
РЕШЕНИЯ 335 195. Зафиксируем в X семейство {&п: п £ N+} баз такое, как в фор- мулировке задачи 194 гл. V. Предположим, что | X | > х0. Так как X_____ регулярное пространство и для любого открытого в X множества U имеет место c(U) <: с(Х) <: Ко, то, последовательно применяя утверждение зада- чи 193 гл. V, мы можем выбрать такую последовательность {ип: п £ Лг+), что для каждого п £ N+ будем иметь (i,) [LZn+i] cz Un; (i2) Un £ (i3) । {y 6 € X: V П Z7n} | > к0 и (i4) Kp(x, A) > n при всех x C Un. Некоторая тон- кость связана с тем, чтобы добиться выполнения условия (ij). Для этого, определяя Un+i, надо от перейти к базе пространства Uny состоящей из всех элементов семейства «$п, содержащихся с замыканием в Un. В осталь- ном последовательность {Un: п £ N+} строится без труда. Если она опре- делена, то fi {Un: п £ N+} = fi {[^nh п £ N*} =# Л и, очевидно, Кр(^, X) > > к для любого х С fi {^п: и любого к £ Лт+ — т. е. каждая точка множества fi {Z7n: п £ N+} принадлежит бесконечному множеству элемен- тов семейства X. Это противоречит точечной конечности последнего. 196. Так как 1) — самое слабое, а 5) — самое сильное из этих утвер- ждений, достаточно из 1) вывести 5). В силу 195 гл. V каждое о-точечно конечное открытое покрытие пространства X счетно. Значит, если X а-мета- компактно, то оно и финально компактно. 197. Достаточно из 1) вывести 4). Если X слабо паракомпактно, то существует открытое точечно конечное покрытие у пространства X полными в смысле Чеха подпространствами, удовлетворяющими условию Суслина. Из задачи 195 гл. V легко следует, что у звездно счетно и что каждый элемент семейства у — финально компактное пространство. Теперь утверждение 4) просто выводится из задачи 8 гл. V (см. также решение задачи 166 гл. V). 198. Пусть у = U {ур i С Х+) — открытое покрытие пространства X, где каждое уг точечно конечно и c(U) х0, U полно в смысле Чеха для каждого U £ у. В силу 195 гл. V у^ звездно счетно. Из задачи 9 гл. V легко следует, что у^ является объединением счетного семейства дизъюнктных семейств множеств — т. е. что у^ а-дизъюнктно. Но тогда и у о-дизъюнктно. Так как такое покрытие, как у, можно вписать в любое открытое покрытие пространства X, то заключаем отсюда, что X просеяно. 199. В силу 198 гл. V пространство X просеяно. Но просеянное совер- шенно нормальное пространство паракомпактно (см. 145 гл. V). 200. Утверждения 3) и 4) эквивалентны для всех локально бикомпакт- ных хаусдорфовых пространств (169 гл. V), а 3) сильнее, чем 2) и 1). Поэтому достаточно вывести 3) из 1). Каждый совершенно нормальный бикомпакт удовлетворяет условию Суслина (207 гл. III) и является, очевидно, полным в смысле Чеха пространством. Поэтому искомое заключение вытекает из утверждения задачи 199 гл. V. 201. Так как множество Х\/7 открыто в X. то с(Х\7^) с(Х) к0. Кроме того, X\F локально бикомпактно и, тем более, полно в смысле Чеха. Поэтому из 2), в силу 196 гл. V, следует, что финально компактно. Отсюда легко выводится, что F — множество типа в X. А тогда %(F, X) < к0 (68 гл. III). Обратно, если %(7?, X) <; х0, то X\F — сумма счетного семейства бикомпактов и, следовательно, финально компактное пространство. Тем более, будет о-метакомпактным. 202. Ясно, что если каждое открытое подпространство пространства X о-метакомпактно, то и каждое его подпространство о-метакомпактно. Теперь Достаточно сослаться на задачу 201 гл. V. 203. Каждая о-точечно конечная база такого пространства счетна в силу 195 гл. V. Рассматриваемое пространство метризуемо как вполне Регулярное пространство со счетной базой. 204. Достаточно показать, что во всякое открытое покрытие со можна. вписать а-дискретное замкнутое покрытие. Будем считать, что элементы йз со занумерованы элементами некоторого вполне упорядоченного множе-
336 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ II ПАРАКОМПАКТНОСТЬ отва. Пусть у = {yz: i £ N+} — счетное измельчение и вписано в yh Для каждого U С ез положим t(U, I) — множество всех таких точек х Е X, что никакой элемент покрытия со, содержащий точку х, не предшествует U 6 се в заданном упорядочении со и каждый элемент из у*, содержащий х, содержится в U. Система фг- = {t(U, i): U £ &} дискретна и замкнута, а $ = U {фг* * Е А+} — о-дискретное замкнутое покрытие, вписанное в со. 205. Ответ авторам не известен. 206. Необходимость доказывается примерно таким же рассуждением, какое проведено в решении задачи 204 гл. V. Достаточность показана в ра- ботах Чобана [3] и Берка [1]. 207. Выберем для каждого а Е А замкнутое в X множество Fa так, чтобы было Fa <zz Ua и U {Fa: a £ А} = X. Через Е обозначим множество вс^х вещественных функций, определенных на А, каждая из которых обра- щается в нуль вне некоторого (зависящего от нее) конечного множества. Для каждого а £ А зафиксируем непрерывную вещественную функцию / на X такую, что f(X) cz [0, l]//(X\t7a) = {0} и f(Fa) = {!}. Через ф обо- значим отображение множества X в множество Е, определенное так: {ф(я))(а) = fa(x) для всех a Е А. Так как со — точечно конечное покрытие, то cf (х) Е Е. Расстояние между любыми двумя элементами g' и g" множества Е определим как обычно: p(g', g") = тах{] g'(a) — g"(a) ]: a £ А}. Так как g' и g" отличны от нуля лишь на конечном множестве элементов А, то это определение корректно. Убедимся теперь, что <р: X Е является со-ото- бражением пространства X в пространство (Е, р). Рассмотрим произвольный элемент е множества ф(Х) cz Е, Зафикси- руем х* С Для которого ф(я*) = е, Существует такое a* Е А, что Fa* Э я*. Тогда e(a*) = = 1. Покажем, что если р(е, <p(z)) <1, то х Е £7а*, иными словами, что прообраз при <р шара радиуса 1 в ф(Х) с центром в е -содержится в Положим ф(я) = е'. Так как р(е, ef) < 1, то | е(а*) — — I < 1. Но е'(а*) = fa*(x), e(a*) = 1. Значит, fa*(x) > 0, . т. е. х £ ^а*. Осталось проверить, что ф — непрерывное отображение. Пусть ф(л:) = е, Так как со локально конечно, то существует окрестность Ох точки х в X, вне которой все {/а: а £ А}, кроме некоторого конечного семейства {/а: а Е А'}, обращаются в нуль. Выберем теперь по 8>0 окрестность О'х Э х так, чтобы было ] /а(ж) — /а(ж') I С е при всех а Е А' и х' Е О'х. Тогда р(ф(а/), ф(я)) < 8 для всех х Е О'х Q Ох, Так как & можно взять сколь угодно малым, то это означает, что ф — непрерывное отображение. Ясно, что вес (Е, р) равен т. 208. Легко видеть, что (X, — Ti-пространство и £ — звездно монотонная измельчающаяся последовательность его открытых покрытий. Следовательно (75 гл. V), (X, FT) метризуемо. 209. Каждый паракомпакт нормален (130 гл. V). Теперь для доказа- тельства необходимости остается сослаться на задачу 207 гл. V. Достаточ- ность следует из определения со-отображения и паракомпактности метриче- ского пространства. 210. Условия (а) и (б) всегда равносильны (105 гл. V). Также всегда из (в) следует (а): если /: X -> У — непрерывное взаимно однозначное ото- бражение, где У — метрическое пространство, то его квадрат ф — / X /• X X X -> У X У тоже является непрерывным отображением, причем про- образ диагонали Д' cz У X У при гр является диагональю A cz X X X. Но пространство У X У метризуемо и Д' — замкнутое в нем множество. Значит, Д' — множество типа 6?^ в Y X У. А тогда и А, как прообраз множества Д' при непрерывном отображении, является множеством типа G§ в X X А\ Выведем теперь (в) из (б) в предположении, что X— иаракомпакт. Пусть % = {уг-: i Е Аг+} — некоторое Теизмельчение в X. С использованием паракомпактности X без труда строится по индукции сильно звездпо моно- тонная (счетная) последовательность § открытых покрытий пространства X,
РЕШЕНИЯ 337 являющаяся Т4-измельчением. В силу 32 гл. V все элементы этих покрытий можно считать ^-полными множествами. Тогда семейство FT всех ^-полных подмножеств множества X образует меньшую, быть может не строго, чем исходная, топологию на X, причем (по отношению к гГ) £ есть звездно моно- тонное измельчающееся множество открытых покрытий — последнее сразу следует из определения гГ. Кроме того, (X, гГ) — Ti-пространство. Следо- вательно, (X, гГ) метризуемо (75 гл. V, см. также 208 гл. V). Тождественное на X отображение пространства (X, гГ) на пространство (X, .У) — искомое уплотнение. 211. Существует со-отображение f пространства X на метрическое пространство У, вес которого не превосходит | со | (см. 207 гл. V). В покры- тие У всеми открытыми множествами, прообраз каждого из которых содер- жится в некотором элементе со, можно звездно вписать открытое покрытие (см. 28 гл. V), а из последнего можно выделить покрытие 1 множества У, для которого | % | не превосходит веса У. Прообраз % при f — искомое покры- тие пространства X (это очевидно). 216. В задаче 11 гл. III описано регулярное финально компактное пространство (следовательно, являющееся паракомпактом — см. 132 гл. V), произведение которого на себя не нормально — тем более, не паракомпактно (130 гл. V). См. также 221 гл. V. 217. См. Комбаров [2]. 218. Пространство У является объединением локально конечной систе- мы у = {Of t £Т} бикомпактных подпространств. Для каждого t £ Т произведение X X Ф( — паракомпакт (см. 43 гл. VI). Ясно, что у* = {(X X X Ф/): t £ Т} — локально конечное покрытие пространства X X У замкну- тыми паракомпактными множествами. Поэтому X X У — паракомпакт (см. 131 гл. V). 219. Пространство Z регулярно, как произведение регулярных про- странств. Зафиксируем в У о-локально конечную базу 0= {Va: a£Ait i С N+} (каждое 0^ = {Fa: а £ At} локально конечно). Положим А = = U {Af * Е Аг+). Сначала докажем, что произвольное открытое в Z мно- жество О имеет тип FG. Очевидно, существует такое семейство {Ra: а £ А} открытых в X множеств, что U {7?а X Уа: а С А} = О = U {7?а X [Уа]: а С А} (для некоторых а С А может быть Ra = А). В X всякое открытое множество имеет тип Fa, поэтому при всех а С А имеем Ra = U {Ва, f. j g £ Дг+), где — некоторое замкнутое в X множество для каждого у £А+. Положим yit} = {Ba^j X [VJ: Va g 0J и Рь] = Ц. {С: С £ Ясно, что y^j — локально конечное семейство замкнутых множеств в Z. Очевидно, О = IJ i € N+, j € A+}. Итак, О — множество типа FG, Рассмотрим теперь произвольное открытое покрытие со пространства Z. Для каждого a £ А существует семейство T)a = {Rt: t £ Т(а)} открытых в X множеств такое, что {Rt X Va: t С Т’(а), а £ А} — покрытие пространства Z, вписанное в «. Положим Wa = IJ {Rf. t g Ta}. В силу 137 гл. V можно в покрытие т)а пространства Wa вписать откры- тое покрытие |а, являющееся объединением счетного семейства {ga> f i £ N+} локально конечных в X семейств множеств |а,г-. Тогда |тг,у = {G X Va: G £ Е |а,у, а б J — как легко проверить, локально конечное в Z семейство открытых множеств. Кроме того, ц — (J f. i £ 7V+, у £N+] покрывает Z и вписано в со. Значит, в каждое открытое покрытие пространства Z можно вписать о-локально конечное открытое покрытие. Но Z регулярно. Значит (72 гл. V), Z — паракомпакт. 220. Нет, не обязано, см. 221 гл. V. 221. Утверждение (а) очевидно. Без труда проверяется, что (X, ZT*) регулярно. Докажем (б). Достаточно (см. 127 гл. V) установить, что каждое открытое подпространство V пространства (X, «7 *) паракомпактно. Имеем = U U Р> где U £ г/ , Р cz Хо. Положим FB = {U 6 У • U cz У} и 22 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
338 ГЛ. V. МЕТРИЗАЦИЯ И ПАРАКОМПАКТНОСТЬ £ = {{у} у С Р}- Ясно, что U 5 — база пространства V (ибо гГ (J {{у}: У £ Хо),— очевидно, база пространства (X, /Л*)). В произвольное открытое покрытие со пространства V надо вписать локально конечное открытое покры- тие. Можно считать, что (о с U t Тогда со = (щ U <о2, где cdi = П ®, а а>2 = £ П Очевидно, щс у и покрывает Z7. Так как подпростран- ство U пространства (X, ЯГ) паракомпактно, то можно в со± вписать локально конечное открытое покрытие пространства U. Это y-j является одновременно локально конечным семейством открытых множеств в пространстве Г. Оче- видно, (о2 дискретно в У. Значит, (J со2 — локально конечное открытое покрытие пространства V, вписанное в о. Осталось доказать (в). Положим Q = Х\Х0, Л = Q X Хо, В — {(я, х)\ х g Хо}. Множества А и В замкнуты в/иЛр|5=Л. Докажем, что у А и В нет не пересекаю- щихся окрестностей. Пусть V — произвольная окрестность множества В в Z. Положим для каждого я 51/п(ж)={г/ёхо:|я —для х£Х0, , Un = {ж Е Хо: ({х} X 51/п (х)) с V}. Ясно, что Хо = U {Un: n^N+}. Так как Хо не является множеством типа Fq в X, то найдется к £ N+, для которого [ и^]х Q Q Ф Л. Зафиксируем € Wk\x 0 Q и У* € Хо так, чтобы было | х* —- у* | Любая окре- стность W точки (ж*, у*) в пространстве Z содержит такую точку (xf, у')г что х' £ Uk, | х* — х' | < и y' = у*. Но ({a/} X Si7feCz'))cz 7, итак как z/c ill | y* — Z | < I у* — ж* I + I ж* — ж' I <'2k+'2k=^ > T0 (*'» 3/*) £ С ({xf} X cz 7. Итак, W П 7 =£ Л, откуда следует, что (ж*, у*) £ С [V]. Но (ж*, у*) б Л. Этим неотделимость множеств А и В доказана. 222. Рассмотрим проектирования р: X X У X и л: X X Y У. Отображение р совершенно (см. 33 гл. VI). Пусть а = {7^: i С — счет- ная база в У. Для каждого конечного множества 5 cz N+ положим 7S = = U {Vj: i Е В}. Ясно, что 5 = {7s: S cz N+, | S | < х0) — также счет- ная база в У. Для каждого М cz X X У через Мх обозначаем множество- л(({^} X У) fl М). Пусть А и В — два замкнутых непересекающихся мно- жества в X X У. Для каждого 7§ £ S положим Us = {* е X: AxczVscz [7S] <= У\ВХ}. Так как Х\Гв = PU П (X X (У\7в))) U Р(В П (XX [7S])) и р — замкнутое отображение, то Us открыто в X. Нетрудно убедиться в том, что (о - {Us: S cz N+, | S | < к0} (счетное) открытое покрытие пространства X. Так как X нормально и счетно паракомпактно, то существует такое его локально конечное счетное открытое покрытие со' = {U's: S cz N+, | S | < ы0}, что U's cz [U's] cz cz Ug (cm. 157 гл. V). Рассмотрим открытое в X X У множество Г= (J {(U's X X 7s): S cz 7V+, | S | < k0}. Докажем, что Л с Г и В П [Г] = Л. Для каждой точки (ж, у) А имеем х U's cz Us для некоторого S cz N*r | S | < K0. Тогда (x, y} € U's X Vscz Г. Пусть теперь (x, у) С В Q [ГЬ
РЕШЕНИЯ 339 Рассмотрим окрестность Ох точки х £ X, пересекающуюся лишь с конеч- ным числом элементов покрытия о/. Тогда окрестность Ox X У точки (ж, у) в пространстве X X У имеет непустое пересечение лишь с конечным числом элементов системы {U's X 7g: 5 cz Л"+, | S | < к0}. Пусть это будут k VS1 х ySj’ • • •’ usk x ysh- TaK KaK <x’ У) s fn, TO (x, y) e Jj [{U's.x X Fs.)] и (x, y) 6 В П [U's. X FgJ = В П ([U^] X (FSJ) c £f| (Ug'x X [Fs ]) для некоторого i к. Тогда x £ Usу б C| [Fs ]. Но, по опрс- делению Usиз х £ Z7S следует, что Вх р [7S ] = Л. Возникшее противо- речие означает, что В р [Г] == Л. Следовательно, X X У нормально. 223. (а) Если X нормально и счетно паракомпактно, то X X I нор- мально в силу 222 гл. V. (б) Пространство X гомеоморфно замкнутому подпространству про- странства X X I и поэтому нормально. Пусть {Fp i Е N+} — семейство замкнутых в X множеств, причем Fi+i cz для каждого i £ ДГ+и Р {F$: i £ £ = л. Рассмотрим открытые в X X I множества Uj = (X\Fj) х X [О, j jc X X Л где / £ 7V+, и непересекающиеся замкнутые множества А - ('X X /)\U {Up j Е Я+}, В = X X {0}. Вследствие нормальности про- странства X X If найдутся открытые в X X I множества U и V, для которых А с. U, В cz V, U р У == Л. Рассмотрим далее открытые в X множества И^ = |я£Х: (я, ~^ £, i £ N+. Так как В р 1^1 = А, то р {И7^ i Е N+} = Л* Очевидно, Рг X X {-i-^cz A cz U. Поэтому cz Заключение о счетной паракомпакт- ности пространства X следует теперь в силу 159 гл. V. 224. Нет. Пример построила М. Рудин [2]. 225. Нет, не верно — это следует из задач 222 и 224 гл. V. 227. См. Архангельский [2]. 228. См. Архангельский [2]. , 229. См. Филиппов [4] или Пономарев [3]. 230. Нет, не всегда. Соответствующий пример совсем недавно построил Воррел. 231. См. Филиппов [1]. 22*
ГЛАВА VI ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В § 1 настоящей главы подробно изучаются два следующих класса отображений: псевдооткрытые и бифакторные отображения. Псевдооткрытые отображения определены на стр. 92. Всякое псевдооткрытое отображение факторно (определение факторного отображения см. на стр. 58). Обратное неверно. С другой стороны, всякое непрерывное открытое, равно как и всякое непрерывное замкнутое отображение, являются псевдооткрытыми. К классу псевдооткрытых отображений тесно примыкает введенный совсем недавно в топологию класс бифакторных ото- бражений. Класс псевдооткрытых отображений занимает проме- жуточное место между классом факторных и классом бифакторных отображений, т. е. всякое бифакторное отображение псевдоот- крыто, а всякое псевдооткрытое отображение факторно. При этом, конечно, не всякое факторное отображение псевдооткрыто и не всякое псевдооткрытое отображение бифакторно. Однако если непрерывное отображение f: X -> Y бикомпактно (см. стр. 59), то из его псевдооткрытости следует бифакторность (17 гл. VI). Итак, отображение /: X -+ Y называется бифакторным в точ- ке у £Y, если для всякого покрытия у множества f~ry открытыми в X множествами существует такое конечное подсемейство Xcz у, | X | < х0, что у С Int J {fU: U Е X}. Если отображение /: X -+ -> Y бифакторно в каждой точке у £ Y, то оно называется просто бифакторным. Через Int А, где А о X, а X — топологическое пространство, обозначается, как всегда, множество всех внутренних точек мно- жества А, т. е. открытое ядро множества А в X. Кроме того, в этой главе фигурируют уже встречавшиеся и ра- нее классы отображений: замкнутые отображения (см. стр. 59)- совершенные отображения (см. стр. 59), факторные отображения (см. стр. 58), открытые отображения (см. стр. 59), неприводимые отображения (см. стр. 161) и другие типы отображений. Настоящая глава посвящена подробному изучению всех пере- численных типов отображений, в особенности в связи с классифи- кацией топологических пространств. П. С. Александров [21 еще в 1961 г. поставил следующую общую проблему:
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 341 а) Каковы те пространства, которые являются образами «хоро- ших» пространств (метрических, паракомпактных, нульмерных и т. д.) при «хороших» непрерывных отображениях (замкнутых, совершенных, открытых ит. д.)? б) Каковы те пространства, которые можно отобразить на «хо- рошие» пространства посредством «хороших» отображений? С этим кругом вопросов тесно связан также вопрос о сохране- нии при тех или иных отображениях тех или иных топологических свойств, как при переходе к образу, так и при переходе к прообра- зу. В особенности интересен следующий вопрос: при каких ото- бражениях образ метризуемого пространства метризуем? Все эти вопросы занимают значительное место в §§ 1—4 настоящей главы. Дадим определения некоторых классов отображений, встре- чающихся эпизодически в этой главе. 1°. Непрерывное отображение /: X Y называется s-отобра- жением, если для любого у £ Y подпространство f~xy cz X сепара- бельно. Если X метризуемо, то /: X —> У является s-отображением в том и только в том случае, когда для каждого у £ У подпростран- ство /“xz/cz X имеет счетную базу. 2°. Непрерывное отображение f: X -> У называется монотон- ным. если для каждого у С У подпространство f~xy cz X связно. 3°. Непрерывное отображение /: X -> У нульмерно, если для всякого у £ Y подпространство f~ry нульмерно (точнее, нульмерно в смысле ind, см. стр. 56). 4°. Отображение /: X -> У конечнократно, если | f~ry | < х0 для любой точки у £ У, называется в точности п-кратным. где п — положительное натуральное число, если | f~xy | — п для любо- го у € Y. и счетнократным, если l/"1#] Для любого y$Y. 5°. Точка xQ С X является точкой локального гомеоморфизма отображения f: X -+Y, если существует такая окрестность Ux0 этой точки, что сужение / | UxQ отображения / на UxQ является го- меоморфизмом на некоторую окрестность точки fxQ в У. Если всякая точка х g X является точкой локального гомео- морфизма отображения/: X У, то/называется локальным гомео- морфизмом или локально топологическим отображением. 6°. Отображение /: X -> У называется ^-накрывающим (здесь к —начальная буква в слове «компактность»), если для всякого бикомпактного подпространства Фс= У найдется такое биком- пактное подпространство Fez X. что Фс fF. Теперь напомним классическое понятие ретракта и ретрак- ции. Подпространство F пространства X называется ретрактом пространства X. если существует такое непрерывное отображе- ние /: X F. /(X) = F. что fx = х. когда х g F. Отображение / в этом случае называется ретракцией пространства X на свое подпространство F. Если при этом / — замкнутое отображение, то
342 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ оно называется замкнутой ретракцией пространства X на свое подпространство F. С какими же классами пространств чаще всего приходится оперировать в этой главе? Это, конечно, прежде всего классы бикомпактных и метризуемых пространств, а также классы пара- компактов, т-паракомпактов *), где т — кардинальное число, счетно компактных пространств, т-компактных пространств *), счетно паракомпактных пространств, финально компактных и сильно паракомпактных пространств. Эти классы пространств определены ранее. Важное место в этой главе занимают простран- ства с первой аксиомой счетности (см. стр. 57), пространства с то- чечно счетной базой (см. стр. 70), пространства с равномерной базой (см. стр. 288), пространства со счетным измельчением или, что то же самое, пространства с измельчающимся счетным семейством открытых покрытий (см. стр. 289), а также пространства счетного и точечно счетного типа (см. стр. 153). Все эти классы пространств часто встречались в предыдущих главах. В §§ 5 и 6 подробно изучается новый класс пространств, так называемые экстремально несвязные пространства. Экстремально несвязные пространства играют совершенно выдающуюся роль в теоретико-множественной математике. Сами по себе, если исхо- дить только из их формального определения, экстремально несвяз- ные пространства образуют довольно экзотический класс с целым рядом необычных свойств. Однако повторяем, их роль весьма важ- на. Достаточно сказать, что экстремально несвязные пространства играют важную роль в теории булевых алгебр, в аксиоматической теории множеств, а также в некоторых областях функционального анализа. Важность класса экстремально несвязных пространств в общей топологии в особенности становится ясной и понятной в связи с так называемой теорией абсолютов топологических про- странств, которой посвящен последний § 6 этой главы, о чем речь будет идти несколько позже. Теперь дадим определение: пространство X называется экстре- мально несвязным, если для всякогр его открытого множества U сг X множество [U] не только замкнуто, но и открыто в X. Как правило, мы рассматриваем регулярные экстремально несвязные пространства (заметим, что они тогда автоматически вполне регулярны). Остановимся на одном важном понятии, кото- рое фигурирует в § 4 этой главы. Это понятие примыкает к клас- сическому понятию Л-операции в дескриптивной теории множеств, правда, у пас в § 4 оно выполняет несколько подсобную роль. *) Пространство X называется т-па раком пакт ним, если во всякое открытое покрытие со этого пространства мощности | со | т можно вписать локально конечное открытое покрытие. Если из всякого открытого покры- тия со, ] со | <1 т, пространства X можно выделить конечное подпокрытие, то X называется т-компактным пространством.
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 343 Пусть задано некоторое множество W мощности т, т>х0, и топологическое пространство X. Предположим, что каждой конечной последовательности Х4, . . ., Хп элементов множества W (где п Е произвольно) поставлено в соответствие открытое мно- жество СЛ,1...а,п пространства X. При этом это соответствие должно быть таково, что имеет место равенство С^1...Хп = U . AnXn+i: ^n+l € W} для любого n Е и любой конечной последовательности Хь . . . ..хп, меж, к2 е w, ..кп е w. В этом случае семейство Ф = {UKi...Kn-. м е w, . . € w, п £ N+} называется А ^системой открытых множеств пространства X. Заметим, что мы, во-первых, не предполагаем, что конечные после- довательности (Хь . . Xn), € VF, . . ., Xn Е ТУ, состоят из по- парно различных элементов множества W, во-вторых, мы не пред- полагаем, что различным последовательностям (Хь . . ., Хп) и (Х'р . . ., Хп) (т. е. таким последовательностям (Хь . . ., Хп), (%', . . ., Хп), что Xz =# k'i для некоторого i п) ставятся в соот- ветствие раличные множества U. « и Для каждого фиксированного п С N* положим Фп = {С/м...Хп^1€ТУ, ..., ХпеТУ}. В том случае, когда фп — покрытие пространства X для каждого п £ Аг+ (кстати, для этого достаточно потребовать, чтобы фА было покрытием пространства X), Аг-система ф называется А ^после- довательностью открытых покрытий пространства X. Если при всем этом семейство {срп: п Е N+} покрытий срп измельчается в X (см. стр. 289), то семейство ф называется измельчающейся Ат-после- довательностью открытых покрытий пространства X. Далее Ах-последовательность ф = Xi Е W, . . . * • ч Xn E W, n E N+} открытых покрытий в X называется полной, если для любой счетной бесконечной последовательно- сти Х17 . . ., Хп, . . . элементов множества W непременно П{^Х1.. П е N+} #= А. Наконец, А ^последовательность ф дизъюнктна, если для любого п Е N+ и различных последовательностей (Хь . . ., Хп) и X;), Xt Е W, . . ., Xn Е W, X' Е W, . . ., X; Е W, непре- менно IL . р %' = А. Теперь перейдем к заключительному параграфу. Центральное место здесь занимает понятие абсолюта регулярного пространства. Будем говорить, что пространство Y является совершенным непри- водимым прообразом регулярного пространства X, если суще- ствует совершенное неприводимое отображение / пространства Y на X.
344 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Пространство X называется абсолютом регулярного простран- ства X, если, во-первых, X — совершенный неприводимый прооб- раз пространства X, а во-вторых, всякий совершенный неприво- димый прообраз пространства X гомеоморфен X. Оказывается, у всякого регулярного пространства X суще- ствует и притом единственный, с точностью до гомеоморфизма, абсолют X. Этот абсолют вполне регулярен и экстремально- несвязен. Мы скажем, что два регулярных пространства X и У соабсо- лютны, если их абсолюты X и У гомеоморфны. Ясно, что отноше- ние соабсолютности симметрично и транзитивно. Таким образом, все регулярные пространства разбиваются на классы соабсолют- ных пространств. Два соабсолютных пространства имеют много общих свойств. В особенности нас будут интересовать те простран- ства, которые соабсолютны с некоторым метризуемым простран- ством. Первая серия задач посвящена построению абсолюта данного регулярного пространства, доказательству его единственности, а также доказательству его основного свойства (см. 218 гл. VI). Изложим основную конструкцию и введем основные понятия, необходимые для построения абсолюта. Пусть X — произвольное регулярное пространство. Через 23 (X) мы обозначаем семейство всех непустых канонических замк- нутых множеств в X. Напомним, что замкнутое в X множество А называется кано- ническим, если оно является замыканием открытого в X множества, следовательно, является замыканием своего открытого ядра. Система 23(Х) канонических замкнутых в X множеств и-цен- трирована, если f]{Int А: А Е £'} =# Л для любой конечной подсистемы £'сг £. Всякую х-центрированную систему % канонических замкнутых множеств пространства X будем называть п-системой. Если х-система § не содержится ни в какой другой (отличной от S) х-сис- теме, то | называется м-улътрафилътром. Если Q {А: А Е Л, где g — х-система, то эта х-система называется отмеченной. Наконец в случае, когда х Е ПМ: А € 5}» где я Е X — некоторая точка, а § — х-система, эта н-система отмечена точкой х. Важную роль играет понятие канонического покрытия про- странства. Конечное замкнутое покрытие а пространства X назы- вается каноническим, если все его элементы — канонические замкну- тые множества и открытые ядра различных элементов из « не пересекаются. Иногда полезно допускать к рассмотрению и бесконечные замкнутые покрытия с перечисленными только что свойствами, правда, требуя при этом, чтобы они были локально
ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 345 конечны в X. Такие покрытия мы будем называть локально конеч- ными каноническими покрытиями пространства X. Если а — каноническое покрытие, то будем обозначать а0 — = {Int А: А £ а), через а — множество всех элементов из а, снабженное дискретной топологией, а через а (х). где х f X, — звезду точки х относительно покрытия а, т. е. а(я) = = UU6a:^4 Если каноническое покрытие а2 вписано в каноническое покрытие аь то будем говорить, что а2 следует за сц, и писать при этом а2 > аР Через й (X) мы обозначаем семейство всех канонических покрытий данного регулярного пространства X. Это семейство измельчается и направлено. Последнее означает, что для любых двух покрытий С4 Е Й(Х), «2 6 Й(Х) существует такое покрытие «з 6 Й(Х), что а3> at и > а2. Если а Е й (X), Р Е Й(Х), то у = а Д р — {[Int А П Int В]: А £ а, В Е Р и Int А П П Int В Л}. Пусть теперь йо(Х) — некоторое измельчающееся направлен- ное семейство канонических покрытий пространства X. Рассмот- рим тихоновское произведение Ро = П{а: а Е йо(^)}- Если мы для каждого а Е Я о(^О зафиксируем элемент Аа Е а, то получен- ную систему | = {Ла: а Е йо(Х)} мы можем рассматривать как точку в Ро. Точку £ = {Аа: а Е Йо (X)} будем называть нитью в семействе йо(^)» если Л^сг Л°\ как только а2 > аь где а2 Е Е Йо (X), at Е ЙО(Х). Множество всех нитей в семействе йо(Х) мы обозначаем через 30(Х) и снабжаем топологией, индуцирован- ной с тихоновского произведения Ро = П{а: а Е йо(Х)}. Нить £ £E.q(X) назовем отмеченной. если f| {Л: А Е £} ф Л. Если при этом х Е П{Л: Л Е 5}? то нить 1- отмечена точкой х. Через Хо обозначаем множество всех отмеченных нитей в семействе ЙО(Х), снабженное также индуцированной с Ро топологией. Если £ Е Хо, то мы полагаем = Q {Л: Л Е £}• Из того, что семейство Йо (X) измельчается, следует, что состоит ровно из одной точки. Таким образом мы определили отображение Хо -> X простран- ства Хо всех отмеченных нитей в семействе йо(^) в пространство X. Это отображение называется натуральным отображением, порожденным семейством Йо (X). Если мы применим эту конструк- цию к семейству й (X) всех канонических покрытий данного регу- лярного пространства X, то получим пространство всех нитей в Й(Х), обозначаемое через S(X), пространство всех отмеченных нитей в й (X), обозначаемое через X, и натуральное отображение X —> X. В результате X будет абсолютом пространства X,
346 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ a Н(Х) — расширением Стоуна — Чеха этого абсолюта (см. 204 гл. VI). Введем некоторые обозначения, встречающиеся в § 6. 1°. Если А, е 25 (X), . . ., As £ 93 (X), то (Ль . . .’, Л?) = {£ € Е(Х): А, е L • • As £ g}, <Л1? . . Л5) = {UX: л4е L • • * 2°. Если а Е И (X) — каноническое покрытие, то (а) = {(Л): Л £ а} и (а) - {(Л): Л £ а}. 3°. (а) (£) = U {И) 6 <«>: g Е (Л)}, где I £ X. § 1. Факторные, бифакторные и псевдооткрытые отображения 1. Непрерывное отображение /: X-> У пространства X на пространство Y является факторным отображением в том и только в том случае, когда для каждого отображения g: Y -> Z из непре- рывности gf следует непрерывность g. 2. Докажите, что всякое Ti-пространство X можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на бикомпактное ^-про- странство. 3. Докажите, что всякое хаусдорфово локально бикомпактное пространство можно взаимно однозначно и непрерывно отобразить на некоторый бикомпакт. 4. Произведение (стр. 17) любого множества бикомпактных отображений (стр. 59) является бикомпактным отображением. 5. Покажите, что если X — хаусдорфово пространство, а / — ретракция на /(X)cz X, то /(X) замкнуто в X. 6. Пусть (X, р) — метрическое пространство, /: X —> Y — факторное бикомпактное отображение пространства X на простран- ство У и d(y', у") = f^y") для всех у', у" £ У. Покажите, что d — симметрика на У, порождающая заданную на Утопологию. 7. Если бикомпакт является образом метрического простран- ства при факторном бикомпактном отображении, то он метризуем. 8. Пусть f — совершенное отображение метрического про- странства (X, р) на ^-пространство У и d(yf, у") = р^"1/, /“V') для всех у', у" б У. Покажите, что 1) d — симметрика на У; 2) d порождает заданную на У топологию; 3) d удовлетворяет условию (к) из задачи 96 гл. V. Выведите отсюда и из задачи 96 гл. V, что У метризуемо. 9.. Если диадический бикомпакт X является фактор-простран- <$твом метрического пространства, то X обладает счетной базой.
§ 1. ФАКТОРНЫЕ, БИФАКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 347 10. Верно ли, что произведение любого множества псевдо- открытых бикомпактных отображений хаусдорфовых пространств является псевдооткрытым бикомпактным отображением? И. Если X — совершенно нормальное пространство (см. определение на стр. 58), то для любого псевдооткрытого биком- пактного отображения /: X -> У, где /(X) = У, каждое замкну- тое в У множество имеет тип G6. 12. Если пространство У является образом пространства X при псевдооткрытом бикомпактном отображении, то вес У не пре- восходит веса X. 13. Каждое бифакторное отображение является факторным. 14. Каждое бифакторное отображение псевдооткрыто. 15. Если /: X У —- бифакторное отображение и У' cz У, Xr = , то /' = / | X', X' Yf является бифакторным отображением. 16. Отображение /: X Y, где /(X) = У, является бифактор- ным в том и только в том случае, когда для любого предфильтра £ на У и любой его точки прикосновения у (см. стр. 53) существует точка являющаяся точкой прикосновения для - = В а}. 17. Бикомпактное отображение бифакторно в том и только в том случае, когда оно псевдооткрыто. 18. Образ локально бикомпактного пространства при бифак- торном отображении является локально бикомпактным простран- ством. 19. Произведение любого множества бифакторных отображе- ний является бифакторным отображением. 20. Пусть /: X У, /(X) — У, — бифакторное отображение. Тогда вес У не превосходит веса X. 21. Пусть /: X -> У — факторное отображение, У — хаус- дорфово пространство и /(X) = У. Пусть, далее, у — точка про- странства У, для которой f~Ly — финально компактное подпро- странство пространства X. Предположим также, что пространство У в точке у удовлетворяет первой аксиоме счетности. Тогда / бифакторно в точке у. 22. Если /: X -> У — факторное отображение пространства со счетной базой X на хаусдорфово пространство с первой аксио- мой счетности У, то У имеет счетную базу. 23. Если хаусдорфово пространство У с первой аксиомой счет- ности является фактор-пространством локально бикомпактного пространства со счетной базой, то У — локально компактное мет- ризуемое пространство со счетной базой. 24. Существует ли факторное не псевдооткрытое отображение локально бикомпактного хаусдорфова пространства на бикомпакт? 25. Пусть /: X У — факторное отображение, /(X) = У и i: F F — тождественное отображение бикомпакта F на себя.
348 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Тогда произведение (р = / X i: X X F^Y X F отображений / и i является факторным отображением (сравните с задачей 307 гл. II). 26. Если /: X -> Y — факторное отображение, /(Х) = У, Z— локально бикомпактное хаусдорфово пространство и у: Z -> Z — тождественное отображение, то fXj*. XxZ-^YxZ тоже является факторным отображением. 27. Если /: X -> Y — факторное монотонное отображение сильно паракомпактного метризуемого пространства X на про- странство Y с первой аксиомой счетности, то Y метризуемо и сильно паракомпактно. 28. В классе хаусдорфовых пространств пространства Фреше — Урысона и только они являются образами метрических пространств при непрерывных псевдооткрытых отображениях. § 2. Совершенные отображения 29. Композиция совершенных отображений является совер- шенным отображением. 30. Сужение совершенного отображения на замкнутое подпро- странство снова является совершенным отображением. 31. Произведение (любого множества) совершенных отображе- ний вполне регулярных пространств является совершенным ото- бражением. 32. Для каждого совершенного отображения /: X У, /(Х) = У, существует такое замкнутое множество F*c:X,4to /(F*) ~ у nf\F* — совершенное неприводимое отображение. 33. Пусть X — произвольное топологическое пространство, F — бикомпакт, X X F — топологическое произведение и л: X X X F -> X — естественное проектирование на первый сомножитель, т. е. л(я, а) — х для всех х g X, а С F. Докажите, что л — совершенное отображение. 34. Пусть X — хаусдорфово пространство, а 2 = {Ft: t £ Т} — его непрерывное разбиение на бикомпакты (см. стр. 92). Каж- дый бикомпакт Ft разобьем на его связные компоненты (стр. 170); Pt = U {Fts- $ Е St} (здесь Fts — связная компонента бикомпакта Ft)- Рассмотрим разбиение Ж пространства X: X = U{^ts- 4 Е Е т. s е 5J. Докажите, что ЗР — также непрерывное разбиение про- странства X. 35. Пусть f: X -+ У — совершенное отображение хаусдорфова пространства X на хаусдорфово пространство У. Докажите, что существует такое хаусдорфово пространство Z и такие совершенные отображения q>: X Z и ф: Z -> У, что / = фф, ср монотонно, а ф нульмерно.
§ 2. СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 349 36. Если /: X -> Y — совершенное отображение пространства X на бикомпактное пространство Y, то X бикомпактно. 37. Если /: X Y — непрерывное, замкнутое отображение пространства X на финально компактное пространство У, при котором подпространство f~*y для всякой точки у С У финально компактно, то X финально компактно. 38. Если / — непрерывное замкнутое отображение простран- ства X на т-паракомпактное (стр. 342) (где т — фиксированное кар- динальное число, т^х0) пространство У такое, что /“х(#) — т-компактное подпространство (стр. 342) в X каждого у С У, то X является т-паракомпактным. 39. Пусть / — непрерывное замкнутое отображение простран- ства X на т-компактное (где т — фиксированное кардинальное число, т^к0) пространство У, причем/”1# является т-компактным для каждой точки у £ У. Тогда X будет т-компактным. 40. Если / — непрерывное замкнутое отображение простран- ства X на счетно паракомпактное пространство У и прообразы всех точек счетно компактны, то X счетно паракомпактно. 41. Если пространство У является образом пространства X при совершенном отображении, то вес У не превосходит веса X. 42. Если пространство X совершенно отображается на про- странство У веса т, то из каждого открытого покрытия про- странства X можно выделить подпокрытие мощности т. 43. Произведение паракомпакта X на бикомпакт У является паракомпактом. 44. Непрерывное отображение /: X -> У является совершен- ным в том и только в том случае, если для каждого предфильт- ра £ в X и каждой точки # £ У, являющейся точкой прикосновения для/£ = {/Р: Р 6 £}, существует точка прикосновения х fzf^y, Для g. 45. Непрерывное отображение / локально бикомпактного хаусдорфова пространства X на (небикомпактпое) локально биком- пактное хаусдорфово пространство У в том и только в том случае является совершенным отображением, когда / можно продолжить до непрерывного отображения /: аХ аУ, где аХ и аУ — биком- пактные расширения П. С. Александрова пространств X и У (т. е. | аХ\Х К 1 и |аУ\У| 1 - см. 176 гл. III). 46. Пусть ЬХ — бикомпактное хаусдорфово расширение про- странства X, bY — бикомпактное хаусдорфово расширение про- странства У и /: ЬХ -> bY — непрерывное отображение, причем 7(ЬХ) = bY и/(ЬХ\Х) с= &У\У. Тогда /: X -> У — совершенное отображение X на У, где / = /1X. 47. Пусть ЬХ, bY — бикомпактные хаусдорфовы расширения Еространств X, У соответственно и /: ЬХ bY — непрерывное
350 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ отображение, сужение которого /0 = /1X на X является совершен- ным отображением X в Y. Тогда f(bX\X) cz ЬУ\У. 48. Пусть /: X —> У — совершенное отображение вполне регулярного пространства X на вполне регулярное простран- ство У. (а) Покажите, что в случае, когда одно из этих пространств локально бикомпактно, то и другое также локально бикомпактно. (б) Покажите, что из полноты в смысле Чеха одного из этих пространств вытекает полнота в смысле Чеха и другого. 49. Если X — метризуемое пространство, а / — совершенное отображение пространства X на Тгпространство У, то У метри- зуемо. 50. Вполне регулярное пространство У, являющееся образом вполне регулярного пространства X точечно счетного типа при совершенном отображении, может не быть пространством точечно счетного типа. 51. Если X имеет базу кратности т, т^к0, и /: X -> У, /X = У — совершенное отображение, то и У имеет базу кратности т. 52. Приведите пример регулярного финально компактного пространства, которое не отображается совершенно ни на какое сепарабельное пространство. 53. Пусть /: X У — непрерывное отображение простран- ства X на пространство У; ЬХ, bY — бикомпактные хаусдорфовы расширения этих пространств, причем задано продолжение ото- бражения / до непрерывного отображения /: ЬХ bY. Предполо- жим, что (а) сужение f\(bX\X) является гомеоморфизмом про- странства ЬХ\Х на пространство bY\Y и (б) существует такое непрерывное отображение ср: У X, что /<р(у) = у для каждого y£Y. Докажите, что сужение f\R(X) является гомеоморфизмом пространства R(X) на пространство R(Y) (где R(X) состоит из всех точек пространства X, в которых X не локально бикомпактно; аналогичное замечание относится к R(Y)). 54. Пусть X — бикомпакт, содержащий более одной точки, У — вполне регулярное не локально бикомпактное пространство, л: X X У -+Y — проектирование и b(X X У), bY — такие би- компактные хаусдорфовы расширения пространств X X У и У соответственно, что л продолжается до непрерывного отображения л*: b(X X У) -> bY. Тогда отображение л*|(Ь(Х X У) \ \(Х X У)) не может быть гомеоморфизмом. 55. Если/: X -> У — совершенное отображение и g: X -> Z — непрерывное отображение, причем Z — хаусдорфово пространство» то диагональное (стр. 17) произведение /Ag: X -> У X Z тоя<с является совершенным отображением (не предполагается, что /(X) - У и g(X) = Z).
§ 2. СОВЕРШЕННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 351 56. Пусть /: X Y и g: Y Z — непрерывные отображения, причем gf: X Z — совершенное отображение и У — хаусдорфо- во пространство. Тогда отображение / тоже совершенно. Кроме того, если f(X) ~ У, то g тоже совершенно. 57. Если /: X -> У — непрерывное отображение, X — хаус- дорфово пространство, Х^с X и /: У — совершенное ото- бражение (последнее означает, что /: У — совершенное ото- бражение пространства Xi на замкнутое подпространство про- странства У), то Xi замкнуто в X. 58. Диагональное произведение любого множества отображе- ний хаусдорфова пространства, одно из которых совершенно, является совершенным отображением. 59. Если X допускает совершенное отображение в простран- ство У и непрерывное взаимно однозначное отображение (уплотне- ние) в хаусдорфово пространство Z, то X гомеоморфно некоторому замкнутому подпространству пространства У X Z. 60. Пусть У — произвольное пространство и X — вполне регулярное пространство. Тогда следующие утверждения равно- сильны: (а) существует совершенное отображение f:X-^Y; (б) существует такой бикомпакт Z, что X гомеоморфно некото- рому замкнутому подпространству пространства У X Z. 61. Если хаусдорфово пространство X, обладающее сетью мощности, не большей т, можно совершенно отобразить на прост- ранство веса, не большего т, то и X имеет вес, не больший т. 62. Если пространство X совершенно отображается на метри- ческое пространство и уплотняется на другое метрическое про- странство, то оно метризуемо. 63. Если пространство X совершенно отображается на про- странство веса, не большего т, и уплотняется на хаусдорфово про- странство веса, не большего т, то вес его самого не превосходит т. 64. Если пространство X совершенно отображается на про- странство с первой аксиомой счетности и уплотняется на про- странство с первой аксиомой счетности, то оно и само удовлетворя- ет первой аксиоме счетности. 65. Если пространство X совершенно отображается на про- странство с равномерной базой и уплотняется на хаусдорфово пространство с равномерной базой, то оно само имеет равномер- ную базу. 66. Если пространство X совершенно отображается на про- странство со счетным измельчением и уплотняется на хаусдорфово пространство со счетным измельчением, то оно само обладает счетным измельчением. , 67. Хаусдорфово пространство, являющееся прообразом -пространства при совершенном отображении, — тоже &-про- Странство.
352 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 68. Пусть /: X Y — нульмерное замкнутое отображение нормального локально связного пространства X на пространство У. Пусть 0 = {У*: t б Т} — база пространства У. Для каждого t € Т рассмотрим систему о* = {С7*а: а £ At} всех связных ком- понент множества Докажите, что система сг = (J {сг*: t £ Т} = = {Uia: а £ Л*, t £ Т} — база пространства X. 69. Пусть ft X У — совершенное отображение локально связного пространства X на пространство У веса, не большего т, где т — бесконечное кардинальное число. Тогда для каждого открытого в У множества V cz У семейство оу связных компонент множества /~1У имеет мощность, не превосходящую т. 70. Пусть /: X У — замкнутое нульмерное отображение нормального локально связного пространства X на метризуемое пространство У. Тогда X также метризуемо. 71. Пусть /: X -> У — совершенное нульмерное отображе- ние нормального локально связного пространства X на простран- ство У. Тогда вес пространства X совпадает с весом простран- ства У. 72. Пусть /: X -> У — совершенное нульмерное отображение нормального локально связного пространства X на пространство У счетного веса. Докажите, что X метризуемо. § 3. Замкнутые отображения 73. Пусть ЬХ и bY — бикомпактные хаусдорфовы расширения пространств X и У соответственно и /: ЬХ -> bY — непрерывное отображение, сужение /0 == / | X которого на X является замкну- тым отображением пространства X в пространство У. Тогда l/o^lbx = f~xy для любого у € Y. 74. Если f: X -> У — непрерывное замкнутое отображение, /(X) = У и каждое замкнутое в X множество имеет тип то и каждое замкнутое в У множество имеет тип 6?б. Верно ли ана- логичное утверждение для других мощностей? 75. Образ коллективно нормального пространства при непре- рывном замкнутом отображении является коллективно нормаль- ным пространством. 76. Регулярное пространство У, являющееся образом пара- компакта X при непрерывном замкнутом отображении, также паракомпактно. 77. Пусть X — метризуемое пространство: dim X = 0 (см. 153 гл. V), a F — замкнутое в X подмножество. Тогда существует такое непрерывное замкнутое отображение f: X F на F, что fx = если х С F (F — ретракт X при замкнутой ретракции). 78. Пусть В(х) — бэровское пространство веса т (246 гл. П)> а X cz В(х) — его замкнутое подпространство. Докажите, что существует замкнутая ретракция В (т) на X.
§ 3. ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 353 79. Пусть X — хаусдорфово пространство счетной тесноты (см. стр. 57) и /: Т^)—> X (см. стр. 152) — непрерывное отобра- жение. Тогда / замкнуто. 80. Пусть /: X -> Y — непрерывное замкнутое отображение пространства X на счетно компактное Tt-пространство Y. Тогда, каковы бы ни были точка у Е Y и непрерывная вещественная функция ср на X, сужение ср на множество Fr (Z"1#) является огра- ниченной функцией (здесь Fr (/-1у) — граница множества/"1# в X). 81. Если /: X Y — непрерывное замкнутое отображение нормального пространства X в Тгпространство Y с первой аксио- мой счетности, то граница множества /-1# для каждого у Е Y счетно компактна. 82. Если /: X -+• Y — непрерывное замкнутое отображение нормального слабо паракомпактного пространства X в ^-про- странство Y с первой аксиомой счетности, то для каждой точки у Е Y граница множества /-1# является бикомпактом. 83. При непрерывном замкнутом отображении нормального пространства X на счетно компактное Тгпространство Y граница прообраза каждой точки счетно компактна. 84. Пусть /: X Y — непрерывное замкнутое отображение нормального пространства X на Тгпространство Y и у — некото- рая точка пространства У, обладающая таким счетным семейством у окрестностей в У, что, как бы ни были выбраны y(U) Е U с со- блюдением условия y(U) y(V) при С7 =# 7, множество {y(U): U£ Е у} имеет предельную точку в У. Тогда граница множества /-1# является счетно компактным пространством. 85. Если X — паракомпакт, У — Ti-пространство точечно счетного типа и /: X —> У — непрерывное замкнутое отображение, /(X) = У, то граница множества /-1# в X бикомпактна для каждо- го у Е У. 86. Пусть У — простейший счетный бикомпакт, Z = T(coi) (см. стр. 152), X — Y х Z (топологическое произведение) и /: X -> У — естественное проектирование пространства X па первый сомножитель. Тогда: (а) X нормально; (б) X счетно компактно; (в) отображение / замкнуто; (г) Fr(/-1#*) = /“1(#*) гомеоморфно Z и не является бикомпактом, где #* — единственная неизолирован- ная в У точка. 87. Если /: X У — непрерывное замкнутое отображение паракомпакта X па Tj-пространство У с первой аксиомой счетности, то существует такое замкнутое подпространство X* пространства что /X* = У и /0 = / | X*, /0: X* У — совершенное отображение. 88. Пусть /: X -> У — непрерывное замкнутое отображение ^-пространства X на Тгпространство У, при котором граница прообраза каждой точки бикомпактна. Тогда существует замкну- тое подпространство X* пространства X, для которого /(Х*)=У 2з А А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
354 ’ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ и сужение f*=f\X*:, f*\X*—^Y является совершенным ото- бражением. 89. Если Тгпространство Y точечно счетного типа является образом метрического пространства X при непрерывном замкну- том отображении, то оно метризуемо. 90. Пусть (X, р) — метрическое пространство и % — такое его разбиение на замкнутые попарно непересекающиеся множе- ства, что для любого 8 > 0 множество элементов разбиения %, диаметр которых превосходит 8, конечно. Тогда % — непрерывное разбиение. 91. Приведите пример непрерывного разбиения % сепара- бельного метрического пространства X на попарно непересекаю- щиеся замкнутые небпкомпактные множества с пустой внутренно- стью. 92. Приведите пример нормального пространства, ни в одной точке не удовлетворяющего первой аксиоме счетности, которое является образом сепарабельного метризуемого пространства при непрерывном замкнутом отображении. 93. Пусть у = {Ga: а ЕЛ} — точечно конечное открытое покрытие Tf-пространства X и /: X Y — непрерывное замкну- тое отображение этого пространства на некоторое ^-пространство Y (см. стр. 153). Тогда множество D = {y £ У: П (X \ \ U {^а: а € -4'}) =5^ А для любого конечного множества 4'cz А} дискретно в У (а значит, и замкнуто — см. стр. 288). 94. Если /: X У — непрерывное замкнутое отображение слабо паракомпактного локально бикомпактного Tf-пространства X на пространство У, то для всех у £ Y, лежащих в дополнении до некоторого дискретного в У множества А, подпространство f~*y бикомпактно. 95. Образ локально бикомпактного слабо паракомпактного Tj-пространства при непрерывном замкнутом отображении пред- ставим в виде объединения двух своих локально бикомпактных подпространств, из которых одно открыто, а другое замкнуто. 96. Если X — регулярное пространство со счетной сетью &\ /: X У — замкнутое непрерывное отображение и /(X) = У, то множество всех точек у Е Y, для которых /~гу небикомпактно, имеет мощность не более х0. 97. Если f: X У — непрерывное замкнутое счетнократное отображение регулярного пространства X со счетной сетью на Tt-пространство У, то У можно представить как объединение счетного семейства подпространств, гомеоморфных некоторым под- пространствам пространства X. 98. Пусть {Fa: а £ М} — семейство всех элементов некоторо- го непрерывного разбиения топологического пространства X и I = {t7a: а Е М} — семейство открытых в X множеств такое, что Ua zd Fa при каждом a g М. Положим = {а f М: существует
§ 3. ЗАМКНУТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 355 а' 6 Л/\{а}, для которого Uar zz)Fa}. Тогда, для любого Р С Мг | {а Е М \ М& (U$) 0 Fa Л} |^1, где {U — наибольшее отмеченное открытое множество, лежащее в £7Р, т. е. объединение всех элементов рассматриваемого разбиения, содержащихся в (см. стр. 92). Далее {{/’а}: а € М\М^} = Z\Z& где Z — про- странство рассматриваемого разбиения, Z% ~ {{^а}: a Е М%} и Z\Z% дискретно в Z (см. стр. 288). 99. Пусть (X, р) — метрическое пространство и / — его замк- нутое непрерывное отображение па некоторое Тгпространство Z. Тогда Z = U {Yt: i = 0, 1, 2, . . .}, где, при каждом i 1, Yt — дискретное замкнутое в Z множество и — компакт для любого z Е Yq. 100. Тгпространство У, являющееся образом метрического пространства X при непрерывном замкнутом отображении /, представляется в виде объединения метризуемого подпространства и счетного семейства замкнутых дискретных (следовательно, тоже метризуемых) подпространств. 101. Если Тгпространство У является образом некоторого метризуемого пространства со счетной базой X при непрерывном замкнутом отображении, то в У найдется такое подпространство У*, обладающее счетной базой, что | У\У*| х0. 102. Пусть /: X -> У — замкнутое непрерывное отображение, X — паракомпакт, /X = У, a Y — Тгпространство, в котором каждое недискретное в У подмножество содержит счетное не зам- кнутое в У подмножество. Тогда мощность множества всех тех точек пространства У, прообразы которых не бикомпактны, не пре- восходит тко, где т — вес пространства X. 103. Пусть т — кардинальное число, X — паракомпакт, кото- рый удовлетворяет первой аксиоме счетности и обладает сетью мощности, не большей т. Тогда при любом непрерывном замкнутом отображении пространства X прообразы всех точек, за исключе- нием, быть может, некоторого множества мощности, не превосхо- дящей т, бикомпактны. 104. Пусть / — непрерывное замкнутое отображение пара- компакта X веса т на ^-пространство У, удовлетворяющее усло- вию: каждое педискретное подпространство пространства У содер- жит счетное незамкнутое (в У) множество (иначе говоря, У — пространство счетной тесноты). Тогда в У существует подпростран- ство У* веса, не большего т, такое, что | У\У*| т. 105*. Приведите пример паракомпакта X, | X | > wXt и его замкнутого непрерывного отображения на паракомпакт Уг при котором /~гу не бикомпактно для любой точки у Е У. 106. Если паракомпакт X является ^-пространством и /: X —>• — его непрерывное замкнутое отображение на Трпростран- тво У, то У = У* U У' где вес У* и мощность У' не превосходят Веса пространства X.
356 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 107. Если топологически однородное (см. стр. 142) ^-про- странство У, не являющееся объединением никакого счетного семейства своих дискретных подпространств, является образом метризуемого пространства при непрерывном замкнутом отобра- жении, то оно само метризуемо. 108. Если несчетное топологически однородное ^-простран- ство У является образом регулярного пространства X со счетной базой при непрерывном замкнутом отображении /, то У само имеет счетную базу. 109. Пусть/: X У — замкнутое неприводимое отображение, f(X) = У. Тогда для любого открытого в X множества U множе- ство открыто, непусто, лежит в U и всюду плотно в U. Здесь/# 17 = НУ:П/с U}. 110. Пусть /: X -> У — замкнутое неприводимое отображе- ние. Тогда f[U] = [f#U] для любого открытого в X множества U и образ любого канониче- ского замкнутого в X множества есть каноническое замкнутое в У множество (см. определение на стр. 62). 111. Пусть/: X -> У — замкнутое неприводимое отображение Тг-пространства X на Тг-пространство У. Тогда точка £ X изолирована в X в том и только в том случае, когда точка изо- лирована в У. 112. Если /: X Y — неприводимое отображение ^-про- странства X на некоторое пространство У, то для каждой точки у £ У либо граница множества /-1у в X совпадает с /~ту, либо \Ггу I = 1. ИЗ. Пусть /: X -> У — непрерывное, замкнутое и неприво- димое отображение вполне регулярного пространства X на вполне регулярное пространство У. Докажите, что непрерывное продол- жение /: РХ -> рУ (на расширения Стоуна •— Чеха этих про- странств) также неприводимо (см. 31 гл. IV). 114. Всякое непрерывное замкнутое неприводимое отображе- ние паракомпакта на ^-пространство с первой аксиомой счетности совершенно. § 4. Открытые отображения 115. Каждое Тгпространство X, удовлетворяющее перво® аксиоме счетности, является образом некоторого метрического пространства S (можно считать, что S cz В(х), где т = wX и 7?(т) —' бэровское пространство) при непрерывном открытом отображении (верно и обратное утверждение). 116. Верно ли, что бикомпакт, являющийся образом метриче- ского пространства при непрерывном открытом отображении» непременно метризуем?
§ 4. ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 357 117. Трпространство X обладает точечно счетной базой в том и только в том случае, если оно является образом некоторого мет- рического пространства S при таком непрерывном открытом ото- бражении, что прообраз каждой точки обладает счетной базой (при этом можно считать, что S cz 2?(т), где т — wX, а В(т) — бэровское пространство веса т; см. 246—248 гл. II). 118. Трпространство Y в том и только в том случае обладает равномерной базой, если оно является образом некоторого метри- ческого пространства S при непрерывном открытом бикомпактном отображении (можно считать, что S cz В(т), т — wY). 119. Если локально бикомпактное хаусдорфово пространство X является образом метрического пространства при непрерывном открытом s-отображении, то оно метризуемо. 120. Пусть f: М -> X и g: X -> У — непрерывные открытые бикомпактные отображения «на», где М — метрическое, а X и У — вполне регулярные пространства. Верно ли, что тогда У обладает равномерной базой и, следовательно, (см. 118 гл. VI) является образом некоторого метрического пространства при непрерывном открытом бикомпактном отображении? 121. Верно ли, что прообраз бикомпакта при непрерывном открытом бикомпактном отображении является бикомпактом? 122. Пусть X — вполне регулярное пространство, в котором каждое замкнутое множество имеет тип и / — непрерывное открытое бикомпактное отображение этого пространства на вполне регулярное пространство У. Верно ли, что и в У каждое замкнутое множество имеет тип С§? 123. Докажите, что всякое открытое, непрерывное и неприво- димое отображение /: X У хаусдорфовых пространств является гомеоморфизмом. 124. Каждое локально гомеоморфное ровно й-кратное отобра- жение хаусдорфова пространства замкнуто. 125. Всякое открытое ровно ^-кратное отображение хаусдор- фова пространства X на пространство У локально гомеоморфно (т. е. у каждой точки существует окрестность, которая гомеоморф- но отображается на открытое в образе множество) и замкнуто. 126. Пусть /: X —> У — непрерывное открытое конечнократ- ное отображение, вес У не превосходит т, X — хаусдорфово пространство и Тогда в X есть сеть мощности, не большей т. 127. (а) Если хаусдорфово пространство X открыто-замкнуто и конечнократно отображается на пространство У и вес У не мень- Ше *0, то вес X равен весу У. (б) Если X — р-пространство (в частности, X полно в смысле ^е*а) и /: X -> У — непрерывное открытое (пе обязательно замк- аУт°е) конечнократное отображение на пространство У, то = wY (см. определения на стр. 141 и 290).
358 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 128. Если /: X Y — открыто-замкнутое отображение X на У, а (р: X I — непрерывная ограниченная вещественная функция, то функция ф, определенная на У формулой ф(гу) = = sup {(р(я): х Е для каждого у Е У, определена и непре- рывна на У. 129. Каждое ли непрерывное открытое отображение одного метрического пространства на другое является к-накрывающим? 130. Пусть Sn — конечное множество для каждого п С Л+, причем S = U {Sn: и € N*} бесконечно. Пусть /: S 5 — много- значное отображение, удовлетворяющее условиям: (а) для любого U Е $п и любого п £ N* имеет место равен- ство П 5л+1) - f'U и Рп+1, где Рп = 5\1Ж: i < п} и f-^U) = {U'eS:fU'3U}; (₽) r\sn)^pn, пел- Тогда можно так выбрать Un Е Sn, чтобы было /(Z7n+i) Э Un при всех п е Л+. 131. Пусть для каждого п £ задано конечное множество Sn и однозначное отображение /п: 5n+1 —> Sn. Можно так выбрать тогда Un Е Sn, что будет /n(J7n+i) = Un, п Е Л+. 132. Пусть Sn (для каждого п Е Аг+) — конечное семейство множеств, лежащих в топологическом пространстве X), причем каждый элемент семейства Sn+i содержится в некотором элементе семейства Sn. Тогда можно так выбрать Un Е Sn, чтобы было Un^i с= Un при любом п Е Л+. 133. Если / — открытое отображение метрического простран- ства (X, р) на бикомпактное пространство У, то в (X, р) существу- ет такая последовательность {yf: i ЕЛ+} конечных семейств откры- тых в (X, р) множеств, что при всех г £ N+ 1) если U Е ун то diam (U) ; 2) для каждого U Е Ун-i существует V Е yf такое, что U cz V; 3) fyt = {fU: U £ уJ покрывает У. 134. Пусть / — открытое (не обязательно непрерывное) ото- бражение метрического пространства (X, р) на бикомпактное про- странство У, причем (/-1z/, р) полно для всех у Е У. Тогда суще- ствует такое замкнутое в (X, р) вполне ограниченное подпрост- ранство (Ф, р), что /Ф=У. Если, кроме того, (X, р) полно, то, в силу 255 гл. III, подпространство Ф — компакт. 135. Если / — открытое (не обязательно непрерывное) отобра- жение пространства X на пространство У, при котором прообраз f~ry каждой точки у С У замкнут в X, а — база X в точке х £ то f$ х = {fU: U Е ^х} — псевдобаза У в точке fx Е Y. 136. Пусть / — открытое отображение метрического простран- ства (X, р) на бикомпакт У, причем (f^y/p) полно для каждого у Е У. Тогда У обладает счетной базой.
§ 4. ОТКРЫТЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 359 137. Если бикомпакт Y является образом полного метриче- ского пространства X при непрерывном открытом отображении /, то Y метризуем. 138. Каждое открытое отображение метрического простран- ства X на Y, при котором прообразы всех точек полны относитель- но метрики, заданной на X, является k-накрывающим отображе нием. 139. Пусть / — непрерывное открыто-замкнутое отображение бикомпакта F на компакт Ф и {уп: п С N+} — последовательность точек пространства Ф, сходящаяся в Ф к некоторой точке у. Верно ли, что тогда в F существует такая последовательность {хп\ сходящаяся к некоторой точке х, что fxn = уп при всех 140. Приведите пример непрерывного открытого конечнократ- ного отображения счетного нормального пространства без нетри- виальных сходящихся последовательностей на простейший беско- нечный компакт. 141. Пусть/: X -> Y —* открытое отображение полного в смыс- ле Чеха пространства X на паракомпакт У. Тогда существует такое замкнутое множество Fez X, что f(F) = У, а сужение /0 = = / | F отображения / на F — совершенное отображение. 142. Докажите, что паракомпакт У, являющийся образом полного в смысле Чеха пространства X при открытом отображении, также полон в смысле Чеха. 143. Пусть /: X У — открытое отображение метризуемого полной метрикой пространства X на метризуемое пространство У. Докажите, что и У метризуемо полной метрикой. 144. Докажите, что паракомпакт У, являющийся образом мет- ризуемого полной метрикой пространства X при открытом отобра- жении /, также метризуем, причем полной метрикой. 145. Пусть/: X -> У — открытое отображение полного в смыс- ле Чеха пространства X на хаусдорфово пространство У. Тогда / — k-накрывающее отображение. 146* . Если /: X -> У — открытое отображение, /(X) = У, X — полное метрическое пространство с метрикой р, У — пара- компакт размерности dim У = 0 (см. 153 гл. V), то найдется такое замкнутое в X множество F, что /(F) = У, а сужение /0 = / | F — гомеоморфизм. 147. Пространство X в том и только в том случае является образом бэровского пространства В(т) (см. 246 гл. II) при откры- том отображении, когда в X существует полная измельчающаяся А^последовательность (см. стр. 343) открытых покрытий. 148. Пространство X тогда и только тогда гомеоморфно бэров- с«ому пространству В(т) веса т, когда в нем существует дизъюнкт- полная измельчающаяся Лх-последовательность открытых
360 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 149, Если (X, р) — полное метрическое пространство размер- ности dim X = 0, однородное по весу (т.е, wU ~ wX для каждого открытого подпространства U cz X) и не имеющее точек локаль- ной бикомпактности, то X гомеоморфно бэровскому пространству /?(т), где т = wX. 150. Всякое полное метрическое пространство (X, р) веса т является образом бэровского пространства В(т) веса т при откры- том отображении. 151. Если X — паракомпакт, то X метризуемо полной метрикой в том п только в том случае, когда является образом бэровского пространства В(х) при некотором открытом отображении. 152. Всякое полное метрическое пространство (X, р) является образом бэровского пространства при некотором замкнутом непре- рывном отображении. § 5. Экстремально несвязные пространства 153. Покажите, что всякое дискретное Ti-пространство X экстремально несвязно. 154. Регулярное экстремально несвязное пространство X вполне регулярно. 155. Пространство X экстремально несвязно тогда и только тогда, когда для любых непересекающихся открытых в X множеств их замыкания также не пересекаются. 156. Докажите, что всякое открытое подпространство U экстре- мально несвязного пространства X является экстремально несвяз- ным пространством. 157. Докажите, что всюду плотное подпространство Хо экстремально несвязного пространства X также экстремально несвязно. 158. Покажите, что расширение Стоуна — Чеха 0Х экстре- мально несвязного вполне регулярного пространства X также экст- ремально несвязно. 159. Покажите, что расширение Стоуна — Чеха $D любого дискретного пространства D экстремально несвязно. 160. Пусть /: X -> Y — замкнутое, неприводимое отображе- ние хаусдорфова пространства X на экстремально несвязное про- странство У. Докажите, что отображение / — гомеоморфизм, а про- странство X также экстремально несвязно. 161. Пусть X — нормальное экстремально несвязное простран- ство, У — его замкнутое подпространство иРсУ, причем Р — открыто-замкнутое множество в У. Найдется тогда открыто- замкнутое в X множество G, для которого G f] У = Р, 162. Пусть X — экстремально несвязньш бикомпакт, а Хо — его всюду плотное подпространство. Докажите, что расширение Стоуна — Чеха РХО пространства Хо совпадает с бикомпактом X*
§ 5. ЭКСТРЕМАЛЬНО НЕСВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 361 163. Пусть X — экстремально несвязное регулярное простран- ство, a Did X и D2cz X — два его финально компактных под- пространства, для которых Dx П [D2] == Л и D2 f| ID J = Л. Тогда [DJ П [D2] — Л. 164. Пусть X — регулярное экстремально несвязное простран- ство, Did X и D2cz X — два его счетных дискретных подпро- странства, для которых [DJ П D2 = Л и Dj П [D2] = Л. Тогда [DJ П [D2] = Л. 165. Пусть X — экстремально несвязный бикомпакт, a D — его счетное дискретное подпространство. Докажите, что [DJX совпадает с расширением Стоуна — Чеха 0D этого подпростран- ства, а следовательно, ибо D гомеоморфно пространству N нату- ральных чисел в дискретной топологии, совпадает с расширением РТУ Стоуна — Чеха пространства N. 166. Покажите, что бесконечный экстремально несвязный бикомпакт содержит топологический образ расширения Стоуна — Чеха РТУ пространства N натуральных чисел. 167. Докажите, что в бесконечном экстремально несвязном бикомпакте нет ни одной нетривиальной счетной сходящейся пос- ледовательности. 168. В экстремально несвязном вполне регулярном простран- стве нет ни одной нетривиальной сходящейся последовательности. 169. Пусть X — экстремально несвязный бикомпакт, D cz X— его подпространство, удовлетворяющее следующему условию: (к) для каждой точки d £ D существует такая ее окрестность Ud в X, что семейство у = {Ud: d £D} дизъюнктно. Тогда [D]x совпа- дает с расширением pD Стоуна — Чеха этого подпространства D. 170. Докажите, что регулярное экстремально несвязное про- странство нульмерно (в смысле ind — см. стр. 56). Приведите пример нульмерного не экстремально несвязного бикомпакта. 171. Докажите, что вес любого бесконечного экстремально несвязного бикомпакта X не меньше 2К% а его мощность* не мень- ше 2е. 172. Каждое ли замкнутое подпространство экстремально несвязного бикомпакта экстремально несвязно? 173. Для того чтобы бикомпакт X был экстремально несвяз- ным, необходимо, чтобы X было расширением Стоуна — Чеха •всякого своего всюду плотного подпространства, и достаточно, чтобы X было расширением Стоуна — Чеха всякого своего всюду плотного открытого подпространства. 174. Пусть X — бесконечный экстремально несвязный биком- пакт, D cz X — его бесконечное счетное дискретное подпростран- ство, все точки d£D которого не изолированы в X. Тогда подпро- странство XQ — X\D нельзя уплотнить ни на какой бикомпакт, т. е. не существует взаимно однозначного непрерывного отображе- ния Хо ни на какой бикомпакт.
362 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 175. Любой бесконечный экстремально несвязный бикомпакт X можно непрерывно отобразить на расширение Стоуна — Чеха (37V пространства натуральных чисел. 176. Докажите, что всякий бесконечный экстремально несвяз- ный бикомпакт не наследственно нормален. 177. Докажите, что образУ экстремально несвязного простран- ства X при открытом непрерывном отображении / является также экстремально несвязным пространством. 178. Нарост X = $N\N расширения Стоуна — Чеха ди- скретного пространства натуральных чисел не экстремально несвязен. 179. Сохраняется ли экстремальная несвязность при совер- шенных отображениях? 180. Пусть/) — дискретное пространство мощности | D | = т. Докажите, что \$D | = 22\ где $D — расширение Стоуна — Чеха пространства D. 181. Пусть / — отображение топологического пространства X в себя и к — целое число, к^2. Семейство у попарно не пересекаю- щихся открыто-замкнутых в X множеств называется (/, /^-се- мейством, если 1) fU П U — А для всех U б у, 2) /(J {U* U £ С у}) cz U {U- U € у} и 3) | у | = к. Множество U {^: U бу} условимся называть при этом (/, /с)-разложимым; будем обозна- чать его через (у). В предположении, что / — непрерывное ото- бражение, докажите, что (а) если у — (/, &)-семейство, то существует такое (/, к)- семейство X, что (al) у вписано в X и (а2) /~х<у> = (X); (б) если у — (/, &)-семейство, пространство X экстремально несвязно и /—гомеоморфизм на замкнутое подпространство про- странства X, то существует такое (/, &)-семейство ц, что (61) у вписано ври (62) /^((л) = (ц); (в) если X экстремально несвязно и — дизъюнктное семей- ство (/, /с)-разложимых множеств (возможно, бесконечное), то п [J {А: А б <^}1 — (/, /с)-разложимое множество. 182. Если / — гомеоморфизм нормального экстремально несвязного пространства X в себя, отличный от тождественного, причем /(X) замкнуто в X, то 1) в X существует непустое (/, 3)-разложимое множество; 2) в X существует такое пепустое (/, 3)-разложимое множество А, что (1Г) /‘М = А и (1Г) если А' =0= А и А' является (/, 3)- разложимым множеством, то A' Q А =/= А; 3) в X существует такое непустое (/, 3)-разложимое множество А, что f(x) — х для всех х б Х\А. 183. Если/—гомеоморфизм нормального экстремально несвяз- ного пространства X в себя, при котором /(X) замкнуто в X, то X = BQ U U В2 U В3, где Во, В±, B2i В3 — открыто-замкнутые в X попарно не пересекающиеся множества, причем /(х) = х для
§ 6. АБСОЛЮТЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 363 всех х Е Bq и /(#0 П Bi = А при i = 1, 2, 3. В частности, мно- жество всех неподвижных при / точек открыто-замкнуто в X. 184. При всяком ли гомеоморфизме / экстремально несвязного бикомпакта на себя (отличном от тождественного) существует непустое (/, 2)-разложимое множество? 185. Пусть X — нормальное экстремально несвязное простран- ство, а / — его такой гомеоморфизм в себя, что / (X) — замкнутое нигде не плотное в X множество. Тогда / не имеет ни одной непод- вижной точки. 186. Пусть X — экстремально несвязный бикомпакт, Fez X — замкнутое нигде не плотное в X множество. Предположим, что существует подпространство Y ez F, гомеоморфное биком- пакту X. Тогда подпространство F не является топологически однородным 187. Докажите, что бикомпакт X — рХ\Х, где $N — расши- рение Стоуна — Чеха дискретного пространства натуральных чисел, не является топологически однородным. § 6. Абсолюты регулярных пространств и совершенные неприводимые отображения. Соабсолютные пространства 188. Пусть а — каноническое покрытие пространства X и Xq Е X — произвольная точка. Тогда Xq Е Inta (х0), где а (я0), как всегда, есть звезда точки xQ относительно покрытия а. 189. Пусть и а2 - два канонических покрытия пространст- ва X и а2 > аь т. е. а2 вписано в аР Тогда (а) каждый элемент покрытия а2 содержится в единственном элементе покрытия af, (б) всякий элемент покрытия at является объединением всех содержащихся в нем элементов покрытия а2. 190. Пусть аир — два канонических покрытия пространства X. Докажите, что у = а Д Р (см. определение на стр. 345) — кано- ническое покрытие пространства X, вписанпое как в а, так и в р. Предложение верно и в случае, когда аир — локально конечные канонические покрытия. В этом случае а Д Р — также локально конечное каноническое покрытие. 191. Пусть X — пространство, St (X) — семейство всех кано- нических покрытий пространства с естественным порядком (см. определение на стр. 345). Тогда И (X) частично упорядочено и на- правлено в том смысле, что для любых a Е Я (X), Р Е 51 (X) существует у Е $[(Х), для которого у > а, у > р. 192. Покажите, что семейство ?[(Х) всех канонических покры- тий Тгпространства X измельчается тогда и только тогда, когда пространство X регулярно. 193. Пусть X — хаусдорфово пространство, 21(Х) — семей- ство всех канонических покрытий пространства X. Тогда если £ —
364 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ отмеченная нить в 21(Х), то П{4: А £ Е} состоит ровно из одной точки. 194. Пусть X — хаусдорфово пространство, 2S(X) — семей- ство всех канонических замкнутых множеств в X. (А) Докажите, что всякая х-система ц (соответственно, отме- ченная точкой х0 £ X) принадлежит некоторому х-ультрафильтру (соответственно, отмеченному точкой х0 g X). (Б) Покажите, что х-система ц тогда и только тогда является х-ультрафильтром, когда выполнены следующие условия: 1) если 41 € т) и Л2 6 л» то Unt A Int 421 € т]; 2) если 41 Е ц и 4tc: 42,42£95(Х), то 42 £ Т, 3) если В £ 25(Х) и Int В A Int 4 =^= А для любого 4 £ ц, то В £ ц. (В) Если ц — х-ультрафильтр и 4 £ 2S(X), то либо 4 £ ц, либо [Х\4] £ т]. 195. Пусть X — хаусдорфово пространство. Тогда х-система £ тогда и только тогда является х-ульрафильтром в семействе ЙДХ) (соответственно, отмеченным х-ультрафильтром), когда | есть нить (соответственно, отмеченная нить) в семействе 21 (X) всех канониче- ских покрытий пространства X. 196. Пусть X — хаусдорфово пространство, xQ £ X — про- извольная точка и 4о — каноническое замкнутое множество про- странства X, содержащее точку х0. Тогда найдется отмеченная нить Е в семействе21(Х), для которой {я0} = А М: А € и 40 £ Е. 197. Покажите, что натуральное отображение X X множества X всех отмеченных нитей в пространство X (см. стр. 345) есть отображение на все X. 198. Пусть X — хаусдорфово пространство, 21(Х) — семей- ство всех канонических покрытий пространства X. Рассмотрим тихоновское произведение П{а: а £ 21(Х)} = Р. Тогда X cz с E(X)cz Р. Считаем, что на X и S(X) определена топология, индуцированная с тихоновского произведения П{а: а £ 21(Х)} == — Р (см. стр. 345). Докажите: (а) множества вида (40) = {£ £ Е(Х): 40 £ £} образуют базу топологии в S (X), а множества вида (40) = {Е £ X: 40 £ Е} — базу топологии в X; (б) Е(Х) замкнуто в Р; (в) Е(Х) — бикомпакт; (г) подпространство X cz Е(Х) всюду плотно в Е(Х). 199. Пусть X — хаусдорфово пространство, ЭД(Х) — семей- ство всех канонических покрытий пространства X, X — простран-
§ 6. АБСОЛЮТЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 365 ство всех отмеченных нитей в Й(Х) и % X — натуральное отображение. Тогда для любого канонического замкнутого множе- ства А о С 23(Х) имеют место равенства: (а) лх((А0)) == Ао; (б) л#«А0)) = Int Ао, где, как всегда, л#((А0» = = {х£ X: (А0)}. 200. Пусть X — хаусдорфово пространство. Тогда натураль- ное отображение ях: Х-+Х неприводимо и бикомпактно. Если же X регулярно, то и непрерывно. 201. Пусть X регулярно, Й(Х) — семейство всех канониче- ских покрытий пространства X. Для каждого а £ Й(Х) положим (а) = {(A): A f а} и (а) = {(А): А С а}. Тогда 1) (А) = [<A)]s(X) для каждого канонического замкнутого в X множества А; 2) для каждого а Ей (X) система (а) (соответственно систе- ма (а)) — дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие простран- ства Е(Х) (соответственно пространства X); в частности, (а), со- ответственно (а) — канонические покрытия в S(X), соответ- ственно в X; 3) семейство {(а): а £ Й(Х)}, соответственно {(а): а Е Е й (X)}, измельчается в S(X), соответственно в X; 4) (а2) вписано в (04) (<а2) вписано в (а^) тогда и только тогда, когда а2 вписано в а4. 202. Если X регулярно, то натуральное отображение X X есть совершенное неприводимое отображение на X. 203. Если /: X —>- Y — замкнутое неприводимое отображение, /(X) = У, AiCzX и А2сХ — канонические замкнутые в X множества, для которых /Aj == /А2, то А4 = А2. 204. Пусть X регулярно, й (X) — семейство всех канониче- ских покрытий в X. Тогда (a) S(X) — экстремально несвязный бикомпакт; (б) X — экстремально несвязное вполне регулярное простран- ство; (б') X — абсолют пространства X; (в) расширение Стоуна — Чеха 0Х пространства X совпадает с Е(Х). 205. Покажите, что у каждого регулярного пространства X существует абсолют, являющийся экстремально несвязным вполне регулярным пространством.
366 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 206. Всякое регулярное пространство X является образом нульмерного (в смысле ind) вполне регулярного пространства прп совершенном неприводимом отображении. 207. Докажите, что во всяком регулярном пространстве веса т существует измельчающаяся направленная система канониче- ких покрытий мощности т. 208. Докажите, что всякое регулярное пространство X веса т является образом нульмерного (в смысле ind) вполне регулярного пространства Y веса т при совершенном неприводимом отображе- нии. При этом Y можно считать подпространством обобщенного дисконтинуума Dx (см. стр. 101). 209. Всякий бикомпакт X веса т является образом нульмерно- го бикомпакта веса т при непрерывном неприводимом отображении. 210. Всякий бикомпакт веса т является образом замкнутого множества в Dx при совершенном неприводимом отображении. 211. Всякое нульмерное (в смысле ind) регулярное простран- ство X, вес которого не превосходит т, гомеоморфно множеству в D\ 212. Покажите, что всякий нульмерный бикомпакт веса, не большего т, гомеоморфен замкнутому множеству в D\ 213. Пусть /: X —> Y — замкнутое неприводимое отображе- ние регулярного пространства X на регулярное пространство У, ?1(Х), соответственно (У)—семейство всех канонических покры- тий пространства X, соответственно У. Тогда (а) если | — нить в Ш(Х), то Д = {/А: А С — нить в 9ЦУ); (б) если | — отмеченная нить в ?[(Х), то fl = {fA: А £ — отмеченная нить в ?[(У); (в) если и £2 — различные нити в §[(Х), то = {/А: А 6 С 11} и /^2 = {/А: А 6 g2} — различные нити в Э(У). 214. Пусть /: X У — замкнутое неприводимое отображение «на», X и У регулярны. Если т] — нить в семействе ?1(У), то система £ — {Г/-1 (Int В)]: В С л} — нить в семействе ?1(Х). 215. Если f: X -> У — совершенное неприводимое отображе- ние «на», X и У регулярны и т] — произвольная отмеченная нить в семействе ?1(У) всех канонических покрытий пространства У, то £ — {I/"1 (Int В)]: В С л} — отмеченная нить в семействе ?ЦХ) всех канонических покрытий пространства X. 216. Пусть /: X У — замкнутое неприводимое отображе- ние «па», X и У регулярны. Если £ — нить в семействе 81(Х), то положим = {/А: А £ В силу задачи 213 гл. VI /5 = = {/А: А £ £} — нить семейства 31 (У). Докажите, что / — взаим-
§ 6. АБСОЛЮТЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 367 но однозначное отображение пространства S(X) на простран- ство Е(У). Будем говорить, в дальнейшем, что отображение /: х(Х)-> 5(У) порождено замкнутым неприводимым отображением /: X У. 217. Пусть f: X —> У — замкнутое неприводимое отображение «на», X и У регулярны. Положим = {/А: А £ Е), где £ £ X. (а) Докажите, что / — взаимно однозначное отображение про- странства X в пространство У. (б) Если f совершенно и неприводимо, то / — взаимно одно- значное отображение на все У. (в) Отображение /: S(X) В(У) есть продолжение отображе- ния /: X -> У. Будем говорить в дальнейшем, что отображение /: X У порождено замкнутым неприводимым отображением /: X У. 218. Пусть X и У регулярны, /: X У совершенно и неприво- димо,/(X) = У. Рассмотрим отображение /: X -> У, порожденное отображе- нием / (см. 217 гл. VI). Тогда (а) / — гомеоморфизм на все У; (б) коммутативна следующая диаграмма: т. е. У(лх(5)) = (/(£)) любого | £ X. 219. Пусть /: X У — замкнутое неприводимое отображе- ние «на», X и У регулярны, X -> X и лу : У -> У — соответ- ствующие натуральные отображения, /: X У и /: S(X) 2(У) — отображения, порожденные данным замкнутым непри- водимым отображением /: X У. Тогда (а) коммутативна диаграмма f X --------> Y д
368 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (б) / — гомеоморфизм в У; (в) / — гомеоморфизм S(X) на Е(У), являющийся продолже- нием гомеоморфизма /. 220. Пусть регулярные пространства X и У связаны замкну- тым неприводимым отображением /: X -> У п /(X) — У. Тогда расширения Стоуна — Чеха РХ, 0У соответственно пространств X и У гомеоморфны. 221. У всякого регулярного пространства X существует и при- том единственный с точностью до гомеоморфизма абсолют. Кроме того, абсолют любого регулярного пространства — вполне регу- лярное экстремальное несвязное пространство. 222. Пусть X регулярно. Докажите, что пространство рХ является абсолютом пространства X тогда и только тогда, когда рХ экстремально несвязно, вполне регулярно и существует совер- шенное неприводимое отображение пространства рХ на X. 223. Если для двух регулярных пространств X и У существу- ет совершенное и неприводимое отображение одного пз этих про- странств на другое, то X и У соабсолютны. 224. Два регулярных пространства X и У соабсолютны тогда и только тогда, когда существует регулярное пространство Z и совершенные неприводимые отображения рх- Z -> X и pY : Z -> -> Y, px(Z) = X,pY(Z) = Y. 225. Докажите, что регулярное пространство X тогда и только тогда является своим собственным абсолютом, когда оно экстре- мально несвязно. 226. Пусть /: X —У — совершенное неприводимое отобра- жение «на», X и У регулярны. Пусть Z — экстремально несвязное вполне регулярное пространство и g: Z У — совершенное не- приводимое отображение на У. Тогда существует такое совер- шенное неприводимое отображение 7г: Z -> X на X. что коммута- тивна диаграмма 227. Пусть X вполне регулярно. Докажите, что любые два его бикомпактных хаусдорфовых расширения Ъ^Х. и &2Х соабсолютны. 228. Пусть вполне регулярные пространства X и У связаны замкнутым неприводимым отображением /: X У, /(X) = У- Докажите, что любые бикомпактные расширения ЪХ и cY этих пространств соабсолютны.
§ 6. АБСОЛЮТЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 369 229. Пусть X вполне регулярно. Докажите равенство (РХ)* = = РХ (здесь X — абсолют пространства X; РХ — его расширение Стоуна — Чеха, (РХ)*— абсолют расширения РХ Стоуна — Чеха пространства X). 230. Докажите, что все счетные компакты соабсолютны между собой, причем этот абсолют гомеоморфен расширению Стоуна — Чеха P7V пространства N натуральных чисел. 231. Обязан ли абсолют X нормального пространства быть также нормальным пространством? 232. Пусть X вполне регулярно, а регулярное пространство Y соабсолютно с X. Следует ли отсюда полная регулярность про- странства У? 233. Пусть регулярные пространства X п У соабсолютны. Докажите, что в случае, когда одно из этих пространств соответ- ственно бикомпактно, финально компактно, паракомпактно, локально бикомпактно, полно в смысле Чеха, то и другое простран- ство таково же. 234. (а) Докажите, что абсолют X любого бесконечного биком- пакта X имеет мощность | X |^2С, а вес ipX^c. (б) Приведите пример бесконечного бикомпакта X, для которо- го | X | = 2е и wX - с. 235. Пусть /: X -> У — замкнутое неприводимое отображе- ние регулярного пространства X на регулярное пространство У. Тогда л-вес пространства X совпадает с л-весом пространства У. 236. Пусть регулярные пространства X и У соабсолютны. Докажите, что в этом случае л-вес пространства X совпадает с л- весом пространства У, т. е. nwX — ли?У (см. стр. 56). 237. Докажите, что бикомпакт X соабсолютен с некоторым компактом тогда и только тогда, когда ли?Х х0. 238. Докажите, что любые два компакта X и У без изолирован- ных точек соабсолютны. 239. Докажите, что бикомпакт X соабсолютен с канторовым совершенным множеством С в том и только в том случае, когда nwX х0 и X не имеет изолированных точек. Докажите, что любые два бикомпакта счетного л-веса и без изолированных точек соабсолютны. 240. Если два регулярных пространства соабсолютны, то их плотности, а также числа Суслина совпадают. 241. Бикомпакт X с первой аксиомой счетности соабсолютен с некоторым компактом тогда и только тогда, когда сепарабелен. 242. Совершенно нормальный бикомпакт X соабсолютен с не- которым компактом тогда и только тогда, когда он сепарабелен. 243. Всякий диадический бикомпакт X, соабсолютный с неко- торым компактом, метризуем, следовательно, является компактом А. в. Архангельский, В. И. Пономарев
370 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Если вполне регулярное пространство X соабсолютно с некоторым метризуемым пространством У, а некоторое его бикомпактное рас- ширение ЬХ дпадично, то X, а также ЬХ и У имеют счетную базу, а значит, X и ЬХ метризуемы. Если диадический бикомпакт удовлет- воряет первой аксиоме счетности, то оп имеет счетную базу, а зна- чит, метризуем. 244. Бикомпакт л-веса соабсолютен с некоторым би- компактом веса т. 245. Регулярное пространство X тогда и только тогда параком- пактно, когда во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное каноническое покрытие. 246. Всякий экстремально несвязный паракомпакт совершен- но нульмерен, т. е. во всякое его открытое покрытие можно вписать дизъюнктное открытое покрытие. 247. Докажите, что абсолют X паракомпакта X совершенно нульмерен и, следовательно, является сильно паракомпактным пространством. 248. Пусть /: X У — совершенное отображение сильно паракомпактного пространства X на пространство У. Будет ли У сильно паракомпактно? 249. Пусть 04 и а2 — два локально конечных канонических покрытия пространства X. Пусть а2 > «1, т. е. а2 вписано в cq. Тогда (а) каждый элемент из а2 содержится только в одном эле- менте из а£; (б) каждый элемент из а4 является объединением содержащихся в нем элементов покрытия а2. 250. Пусть X — метризуемое пространство. Тогда в X суще- ствует счетная измельчающаяся последовательность ♦) {az: i Е N*} локально конечных канонических покрытий. Если при этом X гомеоморфно полному метрическому пространству, то последова- тельность {at: i Е N+} можно выбрать полной**) и измельчающейся. 251. Пусть X регулярно, = {«г- * € — измельчаю- щаяся последовательность локально конечных канонических покрытий пространства X. Пусть | | = | az+1 | — т для любого i Е Х+, где т > ко- Тогда существует подпространство 3 бэров- ского пространства /?(т) (см. 246 гл. II) и совершенное неприво- димое отображение /: 3 —> X, /(В) — X. Если при этом последо- вательность полна, то В можно считать замкнутым в В(т). Если af дизъюнктно для каждого i Е Х+, а {аг: i £ N+} измельча- ется, то X гомеоморфно подпространству 3 в -й(т). Наконец, если дизъюнктно для любого i Е Х+, а последовательность {a^: i Е Х+} полна и измельчается, то X гомеоморфно замкнутому подпространству 8 в В(т). *) Т. е. af+i>af для любого **) Т. е. каждая нить в {а^: i$N+} отмечена.
РЕШЕНИЯ 371 252. Всякое метрическое пространство X веса т является обра- зом подпространства бэровского пространства В(т) при совершен- ном неприводимом отображении. Если при этом X — полное про- странство, то X — образ замкнутого подпространства в В(т) при совершенном неприводимом отображении. РЕШЕНИЯ 1. Необходимость. Если- U a Z и U открыто в Z, то (g/)“x(t7) = == /"1(g“1(^)) открыто в X, а потому (ведь / факторно) g-*U открыто в У. Значит, g — непрерывное отображение. Достаточность. Наделим множество У соответствующей отображению / фактор-топологией .ТС/). Примем пространство (У, <у(/)) за Z, а на роль g возьмем отображение I: У Z, тождественное на У. Отображение if непре- рывно, ибо это просто фактор-отображение пространства X па пространство (У, гГ(/)). Значит, и i — непрерывное отображение. Поэтому гГ(/) cz где гГ — исходная топология на У. Но так как / — непрерывное отображе- ние, а ^Г(/) — фактор-топология на множестве У, то ЕГ cz J~(/) (297 гл. II). Значит, ЕГ = ET(f) и f — факторное отображение. ' 2. Можно рассуждать, как в решении задачи 3 гл. VI, при этом следует опереться на результат задачи 1 гл. IV. Другое решение: множество X наделяем топологией JT, состоящей из пустого множества и всех тех U cz X, для которых X\U конечно. Тогда если г/ — заданная топология на X, то тождественное отображение i: (X, Я') (X, ЕГ) является уплотнением (ибо ЕГ — Ti-топология, и потому ЕГ zd ЕГ), причем (X, ЕГ) — бикомпактное Тгпространство. 3. Пусть X — хаусдорфово локально бикомпактное пространство. Рассмотрим его бикомпактное расширение Александрова X (см. 176 гл. III): Х\Х — одна точка, которую обозначим через £. Рассмотрим еще какую- нибудь точку 6 X. Определим разбиение (см. стр. 59) бикомпакта X следующим образом: каждая точка х g X, отличная от xQ и |, есть отдельный элемент разбиения; кроме того, отдельным элементом разбиения будет пара точек я0 и £. Множество всех этих элементов разбиения обозначим через У, а через /: X —> У — «естественное» отображение бикомпакта X на мно- жество У всех элементов разбиения ставящее в соответствие каждой точке х g X тот единственный элемент разбиения, который ее содержит. Снабжаем У факторной топологией, т. е. такой топологией, чтобы f: X У было факторным отображением. Пространство У, таким образом, есть биком- пактное Ti-пространство, как непрерывный образ бикомпакта X. Разбиение очевидно, непрерывно (см. стр. 92), а отображение / замкнуто (322 гл. II). Значит, У — бикомпакт (92 гл. III), а сужение / | X — взаимно однозначное отображение X на У. 5. Пусть у g [/Х]\/(Х). Тогда у' = f(y) g/(X), и потому у у'. Зафиксируем непересекающиеся окрестности Оу и Оу' точек у и у' в X так, чтобы было f(Oy) cz Оу'. Так как отображение / непрерывно, а X — хаус- дорфово пространство, это сделать можно. Положим А = Оу р /(X). Тогда л л и, с одной стороны, /А = Л ст Оу, с другой, — /А ст fOy cz Оу’ cz с Х\ Оу. Получили противоречие. Значит, /X замкнуто в X. 6. Так как (X, р) — метрическое пространство и /-1у', f^y"_пепере- евкающисся бикомпакты, когда у’ =Гу", то d(y', у") — 0 в том и только ® ТОМ случае, когда у' = у". Очевидно, d(y', у") — d(y", у'). Следовательно, ® — симметрика па У (мы учли также, что /(X) = У). Пусть А замкнуто ® Т” и у0 (£ Л. Тогда /-1А замкнуто, а /-1у0—бикомпакт, причем /-1А р И А. Поэтому /~ХА) > 0. Но, очевидно, d(y0, А) = р(/-1у0, 24*
372 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ /-1А); значит, d(yQ, А) > 0. Предположим теперь, что А не замкнуто в Y. Так как / — факторное отображение, то множество /~гА не замкнуто в X. Зафиксируем точку х* g [/‘М ] \/-1А; положим у* "fx*. Тогда из р(я*, /4Л) = 0, очевидно, следует, что d(y*, А) = 0, а из х* $ /-1А вытекает, что у* $ А. Таким образом, доказано, что d порождает топологию, заданную на Y. 7. Из 6 гл. VI следует, что рассматриваемый бикохмпакт симметрп- зуем. Отсюда и из 95 гл. V вытекает, что он метризуем. 8. Утверждения 1) и 2) следуют сразу из задачи 6 гл. VI, так как каж- дое совершенное отображение является факторным бикомпактными отобра- жением. Пусть Ф с У, Р cz К, Ф — бикомпакт, Р замкнуто в У и Ф р| Р = = Л. Положим F = /“ХФ, Q = f^P. Тогда F Г) Q = Л, F — бикомпакт (так как /— совершенное отображение; см. 36 гл. VI), a Q—замкнутое в X множество. Поэтому p(^, Q) > 0 (288 гл. III). Но, очевидно, с?(Ф, Р) = = p(F, Q). Следовательно. <2(Ф, Р) > 0. Далее см. задачу 96 гл. V. 9. См. 312 гл. II, а потом Архангельский и Понома- рев [1]. 10. Да, верно. Решение основывается на теореме Уоллеса (см. 76, 77 гл. III). И. Пусть Ф замкнуто в У, F = /-1Ф, F = П {Gp i € Л^+}, где каж- дое Gt открыто в X и [6-+1] cz Gi- Для любого бикомпакта Pcz X\F най- дется Gt такое, что [GJ П Р == Л (иначе семейство {[GJ П Р: i £ 7V’+} было бы центрированным). Принимая теперь за Р прообраз любой точки у С У, мы заключаем отсюда, что Q {fGp. i N+} = Ф. Так как / псевдооткрыто, то Ф cz Int fGi для каждого t £ N+. Значит, Ф = fl {Int /6?z: i С N+}. 12. Так как каждое псевдооткрытое бикомпактное отображение являет- ся бифакторным отображением (17 гл. VI), то данное утверждение является частным случаем утверждения задачи 20 гл. VI. 16. Необходимость. Предположим противное — пусть существуют пред- фильтр 5 на У и точка прикосновения у £ У для g такие, что у каждой точки x^f~xy имеется окрестность Ux в X, не пересекающаяся с некоторым мно- жеством вида f~x(Bx), где Вх g g. Тогда у = {Ux\ х £ f~xy} — покрытие мно- жества /-1у открытыми в X множествами. Существует конечное семейство X = = {Пх}. 1 = 1, . . ., к} элементов у такое, что V = Int((J {fUxp. 1 = 1, . . . . . ., к}) Э у (ибо / бифакторно). HofUxi Я Bxt = Л и Вхг g g, 1 = 1, . . ., к'. ’Так как g — предфильтр, то существует В* С В, для которого В* cz П {Вх}. ё = 1, . . ., к}. Тогда В* Г) (□ {fUxp i = 1, . . ., к}) = Л, тем более, В* Q n V = Л. Но V — окрестность точки у. Значит, у $ [В*], а это противоречит тому, что у—точка прикосновения для g. Достаточность. Пусть / не бифакторно. Тогда существуют точка у и покрытие у множества /~гу открытыми в X множествами такие, что никакая окрестность точки у не покрывается конечным семейством множеств вида f(U), где U 6 у. Положим g= {Y\[J {fU: U £ X}: % — произвольное конеч- ное семейство элементов из у}. Тогда g — предфильтр и у—точка прикосно- вения для g, но никакая точка множества /-1у не является точкой при- косновения для /-1g. Докажем последнее. Пусть х* £ f^y. Выберем U* 6 у, для которого U* Э ж*. Тогда Р* = Y\fU* С ё, f-Yp* q ц* __ д и зна- чит, х* $ [/-1Р*]. 18. Пусть /: X У — исследуемое отображение. Нам дано, что X локально бикомпактно. Рассмотрим произвольную точку у £ У. Для каж- дого х Е f~xy зафиксируем открытое в X множество Ux is. бикомпактное под- пространство Фя пространства X, для которых х £ Ux cz Фя. Так как / бифакторное отображение, a y={Ux\ х ^f~ry} — покрытие множества f~ly открытыми в X множествами, то найдется конечное семейство % = {Uxi, . . • . . ., Uxk}cz у такое, что Int (!J {fUxt: i = 1, . . ., Лг}) Э у. Но F — /((J {/Ф*г: 1=1, . . ., к}) — бикомпактное подпространство пространства У (ибо / —
РЕШЕНИЯ 373 непрерывное отображение) и F тэ Int ((J {fUxt: i = 1, . . к}). Следова- тельно, Y — локально бикомпактное пространство. 19. Пусть дано семейство бифакторных отображений {/а: Ха Уа: а е А}, где /(Ха) — Ya для каждого а £ А, и f = П {/а: а 6 А}, /: X -> У, где X — П {Ха: а Е А} и У = П {Уа: а С А) — топологические произве- дения (т. е. / — произведение отображений уа по а Е А). Рассмотрим любую точку у Е У и любой предфильтр | в У, касающийся у. Положим р — У’1! = {/~гР: Р Е £}. Мы должны показать, что суще- ствует точка х £ f^y, которой р касается,— отсюда, в силу 16 гл. VI, будет следовать, что отображение у бифакторно. Существует (4 гл. II) ультрафильтр | на У, содержащий | и сходящийся к у. Тогда предфильтр ла£ = {ла(): Q С ?} (где па — проектирование, ла: У Уа) сходится к ?/а == тсау при всех а Е А (очевидно). Так как Уа — бифакторное отображение, то суще- ствует точка х^ Е Уа1^, являющаяся точкой прикосновения для предфильтра /^(^оЛ) (см* 16 гл. VI). Пусть х — точка произведения X, a-я координата которой равна ха при всех а £ А. Тогда, по определению у, непременно я Е У"1#, и остается, таким образом, показать, что У-1£ касается точки ж. Пусть Ua — окрестность точки ха в Ха и Р eTL Тогда Ua П f^naP Ф Ф Л. Но f^naP = даУ*1^ (где qa — проектирование, qa: X -*• Ха). Значит, Р П Л. Так как это верно для любого Р Е I и £ — ультрафильтр, тоу^“г(Г7а) Е Значит, и любое множество вида Q {fq^{Uay. i=l, , . nJ, где Ua — окрестность точки ха в Ха , принадлежит § и, следовательно, пересекается с любым Р Е Но тогда непременно р • i — 1, . . ., п} р У-1Р #= Л для каждого Р Е Е, т. е. х Е [У^Р] для всех Р £ g, и, значит, х является точкой прикосновения для У"1^. 20. Зафиксируем в X базу мощность которой равна весу X. Можно считать, что объединение любого конечного множества элементов базы & ей принадлежит. Положим {Intytf: U Е &}• Легко показать, что ф — база пространства У. Очевидно, | g |<J \ $ |; значит, вес У не превос- ходит веса X. I 21. Рассмотрим произвольное покрытие у множества У-1 у открытыми I в X множествами. Так как f^y — финально компактное пространство, можно >с самого начала считать, что у счетно: у == {Un: п Е N+}, Un cz Un+i и Un P f^y К при всех значениях п^+. Зафиксируем счетную базу {W}. I 6 N+} пространства У в точке у так, чтобы W-t о ТУ^-н при всех значениях г Е 7V+. Тогда непременно найдется n0 Е Для которого Я^п0) = Wno и, следовательно, отображение у бифакторно в у. Докажем это рассуждением от противного. Пусть 1УП\У(17П) =7^ Л при всех п Е N+. Выберем точку уп Е 1УП\У(17П) Для каждого п Е Лг+. Положим Q = {уп: п Е N+}. Очевидно, Q не зам- кнуто в У, а у — единственная точка пространства У, предельная для Q. Положим Р = f~2Q. Множество Р не замкнуто в X (ибо Q не замкнуто в У ® У — факторное отображение). Выберем х* Е [Р]\Р. Тогда /(я*) (£ (?, но /(я*) £ [уР]у = [(J]y, т. е. f(x*) — предельная для Q точка. Следовательно, У /(я*) и х* Е Зафиксируем номер и', для которого х* Е Un,. Положим Рп, _ 5=5 U {У”1^): п == nz, п + 1, . . .}. Из ж* Е (Р]\Р следует, что х* Е [^п*1 а ^nz П =# Л. Следовательно, найдется номер и*, для которого Vп, ^(i/n*) Л и n* > Но тогда и Un* р У"1^*) т- е- Л^п*) Э Уп*> т° противоречит выбору точки уп* (вспомним, что у нас уп Е Йп\/(^п) для каждого п Е JV+).
374 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 22. Следует из задач 21 и 20 гл. VI. 23. Следует из задач 21, 22 и 18 гл. VI. 24. Да. Пусть Y — несчетное вполне упорядоченное отношением <; множество, обладающее наибольшим элементом Q, и на У\О упорядочение < минимально, причем | {х с х': х С У} |<х0 Для любого х' £ У\{&}, Наделим Y обычной топологией, порожденной упорядочением (см. стр. 63). и рассмотрим Xi — У\ {Q}, Х2 = {х € У- точка х не изолирована в У} — подпространства пространства У. Через X обозначим свободную сумму пространств Xi и Х2 (см. стр. 58) и через л: X У — естественное ото- бражение (т. е. отображение, для которого лц: Xj У, Л12: Х2 У. где ц и г2 — естественные вложения в свободную сумму (см. стр. 58), являются тождественными отображениями). Проверьте, что отображение л искомое. 25. Рассмотрим произвольное замкнутое в X X F множество Р, отме- ченное по отношению к отображению ф = / X г,— т. е. такое, что ф-1(фР) = = Р. Зафиксируем произвольно точку z = (у, а) £ (Y X Р)\фР, где у £ У. а С F. Положим Ф = /~гу. Тогда ф-1(х) — Ф X {а} — замкнутое в X X F множество, не пересекающееся с Р. Если для каждой окрестности О а точки а в F имеет место (Ф X О a) Q Р Л, то и ({ж}Х О a) Q Р =^= Л для произ- вольной точки х £ Ф, ибо Р — отмеченное множество (и, пересекаясь с мно- жеством Ф X {а}, оно непременно целиком его содержит). Тогда (х, а) £ [Р], хотя (х, а) £ Х\Р, что противоречит замкнутости Р. Следовательно, существует окрестность О*а точки а в Р. для которой (Ф X [О*а]) Q Р = Л. Положим Р* = {(х, а') С Р* а' Е [О*а]} и Р** = {(х, а') £ X X F: а' £ £ [0*а] и существует (xr, af) £Р*, для которого х — х'}. Множество Р** получается, если проварьировать вдоль [О*я] вторую координату каждого элемента множества Р*. Положим Q -- {(х, а') £ X X F: а Е Тогда, очевидно, Р* = Р Q Q _ замкнутое множество и Р** = л~1(лР*) П где л — проектирование произведения XX F на X. Отображение л совер- шенно (33 гл. VI), поэтому лР* — замкнутое множество, а значит, и Р** замкнуто. Очевидно, из определения ф следует, что и Р* и Р** — отмеченные множества. Из (Ф X [О*а]) Q Р = Л следует, кроме того, что Р** Q (Ф X X [О*а]) = Л. Положим V — Х\лР*. Тогда V — открытое отмеченное по отношению к / множество (ибо лР* — замкнутое и отмеченное по отноше- нию к f множество), Ф cz V и (V X О*а) Q Р = Л. Значит, fV открыто в У и fV X О*а — окрестность точки z = (?/, а) в У X Р, не пересекающаяся с фР. Поэтому фР замкнуто в У X F и ф — факторное отображение. 26. Представим Z как открытое подпространство некоторого биком- пакта F (см. 179 гл. III). Через i обозначим тождественное отображение этого бикомпакта па себя. Тогда /Xi: X X F Y X F — факторное отображе- ние (25 гл. VI). i | Z = / и (/ X i) | X X Z — / X /. Наконец, и это самое важ- ное, (/X i)-1(y X Z) — X X Z (очевидно). Отсюда, так как X X Z откры- то в X X Р, мы заключаем, что (/ X I) | X X Z = / X / — факторцое ото- бражение. 27. См. Пономарев [4] и Чобан |1]. 28. Достаточность доказывается очевидным прямым рассуждение^ Доказательство необходимости аналогично доказательству соответствующей части теоремы о Ar-пространствах (см. 247 гл. III); надо взять только свобод- ную сумму не всех бикомпактных подпространств рассматриваемого про- странства Фреше — Урысона, а свободную сумму всех его метризуемЫ* бикомпактных подпространств. Надо учесть также, что факторное отобраЖ6' ние на пространство Фреше — Урысона всегда псевдооткрыто. 31. Пусть /а: Ха -* Уа — совершенное отображение для каЖДоГ° а £ А. Можно считать, что /(Ха) = Уа для всех а £ А. Через /^ обознаий^ естественное продолжение отображения /а до отображения расширен#11 Стоуна —Чеха: /а: £Ха -* рУа. Отображение /^ непрерывно и/а(рХа\ %а)
РЕШЕНИЯ 375 == ₽Уа\Уа (47 гл. VI), так как/а совершенно. Поэтому f = П {/а: а £ Л} — непрерывное отображение пространства X — П {|ЗХа: а £ А} на простран- ство У = П {РУа: а £ 4}, при этом 7(Х\Х) = У\У, где X =--- П {Ха: а^Л) и У = П {Уа: а С Л}. Но X и У — бикомпакты п, значит, биком- пактные расширения пространств X и У. При этом / | X — / — П {/а: а 6 £4}. Так как / переводит нарост Х\Х в нарост У\У, то / | X совер- шенно (см. 46 гл. VI), т. е. / совершенно. 32. Рассмотрим систему гР = {Ра: а £ 4} всех замкнутых в X мно- жеств Fa, для которых = У. Система естественным образом частично упорядочивается: положим Fa, > Fa, Tj\e Fa, E Fa в том и только в том случае, когда Fa, cz Fa. Итак, 3й с таким порядком — частично упо- рядоченное множество. Рассмотрим гнездо (см. стр. 18) £ cz в этом частично упорядоченном множестве. Покажем, что для £ в имеется максимальный элемент. Рас- смотрим замкнутое в X множество Fo — П {F: F £ £}. Докажем, что Fo — максимальный элемент для £ в Ясно, что для этого надо показать, что Fq £ т. е. что /(Ро) = У. Пусть х £ X произвольно. Так как /(Р) = У для любого F £ то множество Ф(Р) = /-1/^ П Р непусто для любого F £ £ и, очевидно, бикомпактно. Рассмотрим систему ц — {Ф(Р): F £ £} этих непустых бикомпактных множеств. Ясно, что т] линейно упорядочено по включению. Значит, П (Ф(Р): Р 6 5} = Фо ¥= Л; очевидно, Фо cz Ро- Отсю- да получаем, что f-^x Q Fo Л, т. е. f(FQ) -- У. Итак, каждое гнездо £ в & имеет в 3й максимальный элемент. Поэтому, вследствие принципа макси- мального элемента (см. стр. 18), и все Ф имеет максимальный элемент. Это означает, что имеется замкнутое в X множество F* cz X, для которого f(F*) = У и / | F* неприводимо. Понятно также, что f | F* совершенно, ибо F* замкнуто в X. 33. Докажем, что л — замкнутое отображение. Пусть Р замкнуто в X X F и у £ Х\лР. Тогда (X X F)\P — U — открытое в X X F множе- ство, содержащее множество Fy — л"1^}. Но Fy можно представить как произведение бикомпактных подпространств, лежащих в сомножителях, а именно, Fy = {у} X F. В силу 76 гл. III найдется открытое в X множество И7» И7 Э У, Для которого W X F cz U. Но тогда W Q лР = Л. Следова- тельно, лР замкнуто в X и л — замкнутое отображение. Очевидно, оно непрерывно и бикомпактно, а потому и совершенно. 34. Пусть PfoSQ — произвольная связная компонента некоторого (также произвольного) элемента Ft разбиения Z, a UPt(iSQ — окрестность множе- ства FfoSo в X. Пользуясь задачами 365 и 366 гл. ITT, возьмем открыто-зам- кнутое в подпространстве Р*о множество HiQ az F't для которого FtQSQ cz <zz HtQ cz UFt^SQ, Обозначим H'tf) = FtQ\HtQ. Множество H'tQ также открыто- замкнуто в FiQ. Так как FtQ — бикомпакт, то и HtQ и Н^ — бикомпакты, кроме того (по построению), HtQ Q = Л. Значит, существуют открытые в X множества и 7*о, для которых (2) Vt0 П V'ta = Л; (здесь мы воспользовались тем, что непересекающиеся бикомпактные мно- жества в хаусдорфовом пространстве X отделяются открытыми в X мно- жествами).
376 ТЛ. VJ. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Рассмотрим окрестность WFt(i = VtQ |J V't() бикомпакта Fto в X. Так как разбиение X непрерывно, то найдется окрестность cz WFto для элемента Ft , для которой (4) Ft cz W'FtQ, если только Ft Q W'Ffo A, т. e. отмеченная окрестность для разбиения X (см. стр. 91). Наконец, обо- значим (5) U’Ft0S<) = lT'Ff0 П Vt0. Очевидно, U’F^ открыто в X и U'FtoSQ с UFt(tSrj. Теперь пусть элемент Fi$ разбиения таков, что (6) F^II'F^A. По определению разбиения суГ, множество Fts есть связная компонента биком- пакта Ft. Вследствие (6), получаем (7) Ft fl ТГ'^0 Ф А, откуда, в силу (4), следует (8) Ft <= W'Ft9 с vt0 U Но из (5) следует также (9) Fts П VtQ А. Так как и V'to открыты в X, a Fts—связное множество, то Fts (в силу (8) и (2)) принадлежит либо VtQ, либо V}0, откуда, в силу (9), получаем FtsC2 Vt Соединяя последнее с (8), получаем (*) Fts с W'F10 П Vt0 = U'FtgS0. Итак, U'FtQ$Q — отмеченная для разбиения &С окрестность элемента F/oS(p содержащаяся в UF^^ что означает непрерывность разбиения (см. стр. 92). Все доказано. 35. Так как отображение / замкнуто, а пространства X и У удовлетво- ряют аксиоме отделимости Ть то разбиение Ж == {f~*y- у € Y} пространства X непрерывно (см. 322 гл. II). Разбивая каждый бикомпакт f~ry на его ком- поненты: f~Yy — U {Fys: s € Sy}, получаем разбиение X: X = U {Fys'. s € С Sy1 у £Y} на связные бикомпактные множества Fys, у £ У, s С Sy. Про- странство этого разбиения обозначим через Z. Разбиение X в силу 34 гл. VI непрерывно. Естественное отображение пространства X на пространство Z разбиения X (ставящее в соответствие каждой точке х С X тот единственный элемент разбиения X, который содержит точку х) обозначим через ф. Так как разбиение X непрерывно, то отображение ф: X Z непрерывно и зам- кнуто и, очевидно, бикомпактно,— значит, совершенно. По нашему построе- нию, ф — монотонное отображение. Через обозначим отображение, сопо- ставляющее каждому континууму Fis, т. е. точке (Fis) пространства Z, тот единственный бикомпакт Ft, компонентой которого является Fts, получим отображение 4: Z -+ У. Очевидно, / = 4ф- Отображение ф: X Z совер- шенно и монотонно. Рассмотрим отображение ф: Z Y. Если yQ £ У, то ф-11/0 есть ПР°” странство разбиения Х7. бикомпакта /-1#о на его связные компоненты. Раз- ®о биение X.. непрерывно (см. 365 гл. III), а пространство Z = ф_1£/о этого разбиения есть нульмерный бикомпакт (см. 366 гл. III). Значит, 4- % -*• У
РЕШЕНИЯ 377 факторное нульмерное бикомпактное отображение. Его замкнутость тогда следует из совершенности отображений /, <р и того, что / = фф (см. 56 гл. VI). Теорема доказана. 36. Пусть со — произвольное открытое покрытие пространства X. Рассмотрим для каждого у Е Y покрытие со^ = {U Е со: U р Л} бикомпактного подпространства j~Ay, из которого выделим конечное под- покрытие СОу Рассмотрим открытые в Y множества Vy = У\/(Х\со£), где ToJ = = U {С7: U Е из открытого покрытия {Vy: у £Y} бикомпактного про- странства Y выделим конечное подпокрытие {Vyi, . . Vys}, Тогда X — 3 3 S 3 = /_1У = Л1 = U с U“V СлеД°вательн0> Ио = U i=l i=l i=l г=1 ‘‘ конечное подпокрытие покрытия со пространства X. 38. Пусть у = {С7а: аЕ^} — открытое покрытие пространства X и | А | <: т. Через А обозначим семейство всех конечных подмножеств мно- жества Л; тогда | 2 |<т. Так как /-1у т-компактно при любом у Е Y, то существует конечное множество Г с: 2, для которого j~xy cz (J {Z7a: a E Г}. Положим Уг = У\/(Х\и Ша: а Е Г}). Множество 7Г открыто, в силу замкнутости отображения /, у Е Уг и /“1(РГ) cz (J {Ua: a Е Г}. Следова- тельно, %={7г: ГЕ 2} — открытое покрытие пространства Y мощности, не превосходящей т. Так как Y является т-паракомпактным, то существует локально конечное открытое покрытие {Жр: р Е #}, вписанное в X. Для каждого р Е В можно зафиксировать такое Гр Е А, что /-1(Жр) cz (J {Z7a: a Е Гр}. Тогда р — {/“г(Жр) П Ua: Р Е В, a Е Гр} — локально конечное открытое покрытие пространства X, вписанное в у. Действительно, {/-1(ТГр): Р Е В} локально конечно, ибо {Жр: р Е В} локально конечно в Y и / — непрерывное отображение. Переходя к р, мы заменяем каждое множество' /-1(Жр) на конечное семейство открытых множеств {/-1(Жр) П £7a: а Е Гр}, объединение которых есть в точности /^(Жр). Поэтому р открыто и локально конечно. 41. Так как каждое совершенное отображение является бифакторным отображением, то решение следует из задачи 20 гл. VI. Приведите непосред- ственное доказательство этого утверждения. 43. Отображение проектирования л: XX Y -+ X совершенно (33 гл. VI). Поэтому, так как X — паракомпакт, то и X X Y — паракомпакт (38 гл. VI). 44. Необходимость. Пусть отображение / совершенно. Если в множе- стве нет точки прикосновения для то у каждой точки х Е най- дется окрестность Ох, для которой Ох П Вх — А при некотором Вх Е В. Из. покрытия {Ох: х ЕЛ1*/} множества {~гу выделяем конечное: {Ох^ . . ., Ох^} и полагаем U — (J {Oxf. i — 1, ...,&}. Выберем в £ элемент В так, чтобы было Ва П {Bxt: i= 1, . . ., к}. Тогда UzDf^y nU Г\ В — А. Положим Оу = = Y\j{X\U). Множество Оу открыто в Y, так как / — замкнутое отобра- жение, и у Е Оу (так как U a f~ry). Далее, ]~г0у a U (очевидно). Значит, Оу Q jB = А, т. е. у $ [/В], а это противоречит тому, что у — точка при- косновения для Э fB. Достаточность. Покажем, что / замкнуто. Пусть Р а X, Р замкнуто в X, Q = fP a Y и у Е [<?]у. Рассмотрим предфильтр т] == {(? Q Оу: Оу — окрестности точки у в У} к положим | == {Р Q А Е л}- Очевидно, £ — предфильтр. Так как А Q и fP = Q, то f(P П /-1И) = А для всех А Е Л- Значит, = тр Так Как т] касается у, существует точка прикосновения х Е /-1у для Но тогда € [Р] (ибо все элементы предфильтра 5 являются подмножествами множества и, следовательно, х Е Р, у — £ fP — Q, т. е. множество Q замкнуто.
378 ГЛ. VI» ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Итак, доказано, что /—замкнутое отображение. Проверим теперь, что {~гу — бикомпактное подпространство пространства X для любой точки у £ Y. Предположим противное. Тогда найдется такой предфильтр состоя- щий из подмножеств множества f~vy, что П {l^lx: Р С 5} = Л» Оче- видно. 7] = /g — предфильтр па У, единственным элементом которого являет- ся множество {у}. Поэтому у — точка прикосновения для тр Но, по определе- нию В, никакая точка множества j~ry не является точкой прикосновения для 5 — получили противоречие. Значит, ]~гу бикомпактно для всех у g Y и / — совершенное отображение. 45. Достаточность. Пусть {£} = аХ\Х и {т)} = аУ4' У. Имеем /(X) = У, У cz /(аХ) с аУ. Но У не бикомпактно, a f(aX) бикомпактно, как непрерывный образ бикомпактного пространства (91 гл. III). Значит, Г(аХ) = аУ,/(Х) £ 7] и 7(5) = т}._Поэтому 7-1(л) = | и T4Y) = X. Но аХ и аУ — бикомпакты и, -значит, / — совершенное отображение (92 гл. III). Тогда и сужение / на X — тоже совершенное отображение (так как7“1(У) = — X — см. 319 гл. II). Но f | X = /. Итак, / — совершенное отображение. Необходимость. Положим /(х) = /(ж) при всех х С X и 7(5) = тр Пусть Ф с X, Ф — бикомпакт. Положим Оф (|) = аХ\Ф. Множества вида б*ф(5) образуют,базу топологии пространства аХ в точке £ (см. решение задачи 176 гл. III). Аналогично, множества вида OF (т|), где F— бикомпакт, лежащий в У, и OF (?])= а У \ F, образуют базу топологии а У в точке тр Но, очевидно, /“ЧЭ^т]) = О/_1/г(5) и f^F cz X, j~rF — бикомпакт (так как — f | X — совершенное отображение — см. 36 гл. VI). Следовательно, отображение / непрерывно в точке g. Оно непрерывно во всех точках множе- ства X, ибо X открыто в аХ и / совпадает на X с непрерывным отображе- нием /. 46. Из f(bX) — bY и f(bX\X) cz &У\У вытекает, что /-1У == X. Но f — замкнутое (и, очевидно, бикомпактное) отображение, так как ЬХ — бикомпакт и bY — хаусдорфово пространство. Сужение же совершенного отображения на полный прообраз является совершенным отображением (319 гл. II), поэтому / | X совершенно, 47. Надо доказать только, что /-1У cz X, т. е. что f~ry cz X для каждой точки у С Y. Но f~ry = [f^-y^x = /отак как fQLy — би- компакт, faly cz X и /о = / | X замкнуто (при этом см. 73 гл. VI или 166 гл. IV). 48. Рассмотрим расширения рх и рУ Стоуна — Чеха пространств X и У соответственно и продолжение /: рХ -* рУ отображения / на эти рас- ширения (см. 31 гл. IV). В силу 46 и 47 гл. VI совершенность отображения/ эквивалентна тому, что /((ЗХ\Х) = РУ\У, а значит, и равенству /-1(РУ\ \У) == рХ\Х. С другой стороны, локальная бикомпактность про стране! в а X означает, что нарост рХ\Х — бикомпакт, точно так же локальная биком- пактность У означает бикомпактность нароста рУ\У (см. 179 гл. III). Таким же образом полнота в смысле Чеха пространств X или У означает, что парост рХ\Х, соответственно рУ\У, сг-бикомпактен, т. е. является объединением счетного числа бикомпактов. Поэтому наши предложения получаются из сле- дующего утверждения. Совершенный образ, как и совершенный прообраз бикомпакта, соот- ветственно сг-бикомпакта *),— также бикомпакт, соответственно о-бикомпакт (см. 36 гл. VI, 91 гл. III). *) сг-бикомпакт — это пространство, являющееся объединением счет- лого семейства своих бикомпактных подпространств.
РЕШЕНИЯ 379 Заметим, что отображение /: рХ\Х рУ\У совершенно, ибо совер- шенно отображение /: рХ -> РУ (как непрерывное отображение бикомпак- тов) и имеет место равенство /-1(₽У\У) = РХ\Х. 49. См. 8 гл. VI. Приведем другое решение. Пусть р — какая-нибудь метрика на X, порождающая заданную на X топологию. Для каждого у £ У и каждого п С Аг+ положим Опу^= {/ £Y\ cz Oi/n(f~1y)}, гдеО^^/-1?/) = f 1 1 — < x £ X: р(ж, f^y) <— | . Из задачи 321 гл. II и совершенности ото- бражения / следует, что Опу — открытое множество. Положим уп = == {Опу. у Е У) и покажем, что у = {уп: п Е Л+} — фундаментальное мно- жество покрытии пространства X; отсюда будет следовать метризуемость X в силу 77 гл. V. Зафиксируем у* Е У и окрестность Оу* точки у* в У. Тогда е* = X^J-^Oy*)} > О, так как f^y* — компакт, а Р* — X \ \f~40y*) — пе пересекающееся с f~hj* замкнутое множество (см. 288 гл. III). Положим V — и выберем отмеченное открытое в X множество U, содержащее f~Yy* и лежащее в V. Это возможно, ибо / — замкнутое отображение (см. 325 гл. II). Напомним, что U — отмеченное множество для отображения /, если f~rfU = U. Пользуясь тем, что /-1у* — компакт, а мно- жество Х\С7 замкнуто, заключаем, что р(/-1у*, X \[7) = 6* > 0. При этом 1 6* б* е*. Выберем такое п* Е -V+, чтобы — < -у-, и рассмотрим окрестность Оп*у* точки у* и покрытие Покажем, что уп*(Оп*У*) cz Оу*. Рассмотрим произвольное у9 £ У, для которого Оп*у' П Оп*у* #= Л. Зафиксируем у" £ Оп*у’ Q Оп*у*. Тогда f-^y") cz 06*,2(f-ly’) П 06*/2(}-гу*), откуда следует, что p(f-V, /-1у*) < б*, т. о. что /-1у' П О6*(/-1у*) #= Л. Тогда, в силу выбора б*, непременно f~ryf Q £7 =# Л, а следовательно, f-hj' cz U cz V. Соответственно f^tO^y') cz 0б*(К). cz O8*/2(V) cz O^if^y*)^ cz f~40y*). Значит, On*y' cz Oy*, t. c. yn*(On*y*) cz Oy*. 50. Рассмотрим какое-нибудь вполне регулярное пространство точечно счетного типа X, которое не является пространством счетного типа (укажите такое пространство). Зафиксируем такой бикомпакт F cz X, что характер каждого бикомпакта Ф, лежащего в X и объемлющего F, несчетен. Рассмотрим отображение л естественного проектирования простран- ства X на пространство У его разбиения, единственным нетривиальным эле- ментом которого является F. Отображение л совершенно (см. 318, 322 гл. II). Легко доказать, что У — вполпе регулярное пространство(докажите акку- ратно последнее сами). Положим у* ~ nF. Если бы нашелся бикомпакт В^ у*, В cz У такой, что %(5, У) то его прообраз п~гВ был бы биком- пактом (ибо л — совершенное отображение (см. 36 гл. VI) счетного харак- тера в X (см. 324 гл. II)), содержащим F. Получили противоречие. Значит, У не является пространством точечно счетного типа (в точке у*). 51. См. Филиппов [2], где доказано более сильное утверждение. 52. Пусть X — несчетное множество, х* — фиксированная его точка и & получается присоединением к семейству Л всех счетных подмножеств множества X \{я*}, пустого множества и семейства {Л<"Х: А^х*[. Очевидно, .Г — семейство всех замкнутых множеств по отношению к неко- торой топологии У на X. Пространство (X, Г) финально компактно, ибо любая окрестность точки х* содержит все точки множества X кроме, быть может, некоторого счетного множества. Очевидно, (X, .Т) — ^-простран- ство, а так как только одна точка множества X неизолированная (а именно, х*), то (X, Г) является нормальным пространством (см. 15 гл. III). Пред- положим теперь, что имеется совершенное отображение f пространства X на некоторое сепарабельное пространство У. Через М обозначим какое-нибудь счетное всюду плотное в У множество. Зафиксируем для каждой точки у Е М
378 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Итак, доказано, что f— замкнутое отображение. Проверим теперь, что — бикомпактное подпространство пространства X для любой точки ?/ 6 У. Предположим противное. Тогда найдется такой предфильтр g, состоя- щий из подмножеств множества f^y, что П Р Н} = Л. Оче- видно. = /g — предфильтр на У, единственным элементом которого являет- ся множество {у}. Поэтому у —точка прикосновения для ц. Но, по определе- нию g. никакая точка множества f-1y не является точкой прикосновения для 5 — получили противоречие. Значит, f^y бикомпактно для всех у £ У и / — совершенное отображение. 45. Достаточность. Пусть {g} = аХ\Х и {т|} = аУ^ У. Имеем Г(Х) = У, У cz /(аХ) о аУ. Но У не бикомпактно, a f(aX) бикомпактно, как непрерывный образ бикомпактного пространства (91 гл. III). Значит, Г(аХ) = аУ,/(Х) £ р и 7(g) = т)._ По этому 7-1{р) = g пТЦУ) = X. Но аХ и а У — бикомпакты и, -значит, f — совершенное отображение (92 гл. III). Тогда и сужение / на X — тоже совершенное отображение (так как7-1(У) = — X — см. 319 гл. II). Но / | X = /. Итак, f — совершенное отображение. Необходимость. Положим f(x) = f(x) при всех х £ X и 7(g) = Пусть Фс X, Ф — бикомпакт. Положим Оф (g) = аХ\Ф. Множества вида Оф (g) образуют гбазу топологии пространства аХ в точке g (см. решение задачи 176 гл. III). Аналогично, множества вида OF (i]), где F— бикомпакт, лежащий в У, и OF (1])= аУ \ F, образуют базу топологии аУ в точке тр Но, очевидно, /"^Ил) — ^-ij?(g) и f~xP cz X, i^P — бикомпакт (так как — / | X — совершенное отображение — см. 36 гл. VI). Следовательно, отображение / непрерывно в точке g. Оно непрерывно во всех точках множе- ства X, ибо X открыто в аХ и / совпадает на X с непрерывным отображе- нием /. _ 46. Из /(dX) = bY и f(bX\X) cz &У\У вытекает, что /^У = X. Но f — замкнутое (и, очевидно, бикомпактное) отображение, так как ЬХ — бикомпакт и 6 У — хаусдорфово пространство. Сужение же совершенного отображения на' полный прообраз является совершенным отображением (319 гл. II), поэтому 7 I X совершенно. 47. Надо доказать только, что f~rY cz X, т. е. что f~ry cz X для каждой точки у £ У. Но f^y = = /о1^, так как f^y — би- компакт, fa1 у с: X и /0 — / | X замкнуто (при этом см. 73 гл. VI или 166 гл. IV). 48. Рассмотрим расширения рХ и (ЗУ Стоуна — Чеха пространств X и У соответственно и продолжение /: РХ ->• (ЗУ отображения f на эти рас- ширения (см. 31 гл. IV). В силу 46 и 47 гл. VI совершенность отображения/ эквивалентна тому, что /(РХ\Х) = РУ\У, а значит, и равенству /-1(рУч \ У) — рХ\Х. С другой стороны, локальная бикомпактность пространства X означает, что нарост рХ\Х — бикомпакт, точно так же локальная биком- пактность У означает бикомпактность нароста рУ\У (см. 179 гл. III). Таким же образом полнота в смысле Чеха пространств X или У означает, что нарост рХ\Х, соответственно рУ\У, а-бикомпактен, т. с. является объединением счетного числа бикомпактов. Поэтому наши предложения получаются из сле- дующего утверждения. Совершенный образ, как и совершенный прообраз бикомпакта, соот- ветственно о-бикомпакта *),— также бикомпакт, соответственно о-бикомпакт ^см. 36 гл. VI, 91 гл. III). *) о-бикомпакт — это пространство, являющееся объединением счет- шого семейства своих бикомпактных подпространств.
РЕШЕНИЯ 379 Заметим, что отображение /: ₽Х\Х -> рУ\У совершенно, ибо совер- шенно отображение /: ₽Х рУ (как непрерывное отображение бикомпак- тов) и имеет место равенство /-1(рУ\У) = РХ\Х. 49. См. 8 гл. VI. Приведем другое решение. Пусть р — какая-нибудь метрика на X, порождающая заданную па X топологию. Для каждого у С У и каждого п С Л'+ положим Опу = {у' £Y: f^(y') cz 0{/n(f~1y)}t ^eOi/n(f~1y)^= {1 x £ X: p(x, /-1y) < —z • Из задачи 321 гл. II и совершенности ото- бражения / следует, что Опу — открытое множество. Положим уп == = {PnV: У € У} и покажем, что у = {yn: п £ N+} — фундаментальное мно- жество покрытий пространства X; отсюда будет следовать метризуемость X в силу 77 гл. V. Зафиксируем у* £ Y я окрестность Оу* точки у* в У. Тогда €* = р{/“ху*, Х\/-1(Оу*)} >0, так как f~ry* — компакт, а Р* = X \ \Лх(Оу*) — не пересекающееся с f^y* замкнутое множество (см. 288 гл. III). Положим V — O^^il^y*) и выберем отмеченное открытое в X множество U, содержащее /-1у* и лежащее в V. Это возможно, ибо / — замкнутое отображение (см. 325 гл. II). Напомним, что U — отмеченное множество для отображения /, если f^fU = U. Пользуясь тем, что f~xy* — компакт, а мно- жество X\U замкнуто, заключаем, что р(/“ху*, X\U) ~ б* > 0. При этом 1 6* б* <; е*. Выберем такое п* С 2V+, чтобы — < -j- , и рассмотрим окрестность Оп*у* точки у* и покрытие уп*. Покажем, что уп*(ОЛ*у*) cz Оу*. Рассмотрим произвольное у9 £ У, для которого Оп*у' П Оп*у* ф Л. Зафиксируем у” £ Оп*у' П Оп*У*- Тогда 7"х(у") с Об*/2(/"ху') П 0^/2{f~1y*)9 откуда следует, что р(/-1у', /-1у*) <6*, т. е. что /-1у' Q O^(f~ly*) Л. Тогда, в силу выбора б*', непременно f^y' П U А, а следовательно, f^y' cz U cz V. Соответственно f^tO^y') cz 06*(V),cz О8*/2(Ю <= O^fJ^y*)^ cz РЦОу*). Значит, On*y' cz Оу*, t. e. yn*(On*y*) cz Oy*. 50. Рассмотрим какое-нибудь вполне регулярное пространство точечно счетного типа X, которое не является пространством счетного типа (укажите такое пространство). Зафиксируем такой бикомпакт F cz X, что характер каждого бикомпакта Ф, лежащего в X и объемлющего F, несчетен. Рассмотрим отображение л естественного проектирования простран- ства X на пространство У его разбиения, единственным нетривиальным эле- ментом которого является F, Отображение л совершенно (см. 318, 322 гл. II). Легко доказать, что У — вполне регулярное пространство(докажите акку- ратно последнее сами). Положим у* = nF. Если бы нашелся бикомпакт В J у*, В cz У такой, что %(£, У) то его прообраз п~гВ был бы биком- пактом (ибо л — совершенное отображение (см. 36 гл. VI) счетного харак- тера в X (см. 324 гл. II)), содержащим F. Получили противоречие. Значит, У не является пространством точечно счетного типа (в точке у*). 51» См. Филиппов [2], где доказано более сильное утверждение. 52. Пусть X — несчетное множество, х* — фиксированная его точка и & получается присоединением к семейству Jk всех счетных подмножеств множества X \{я*}, пустого множества и семейства {4^’Х: А^х*[. Очевидно, ,-F — семейство всех замкнутых множеств по отношению к неко- торой топологии У на X. Пространство (X, Г) финально компактно, ибо любая окрестность точки х* содержит все точки множества X кроме, быть может, некоторого счетного множества. Очевидно, (X, /7 ) — ^-простран- ство, а так как только одна точка множества X неизолированная (а именно, х*), то (X, Г) является нормальным пространством (см. 15 гл. III). Пред- положим теперь, что имеется совершенное отображение / пространства X на некоторое сепарабельное пространство У. Через ЛГ обозначим какое-нибудь счетное всюду плотное в У множество. Зафиксируем для каждой точки у £ М
380 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ такую точку ху £ X, чтобы f(xy) — у. Тогда А = (ху: у С М} счетно. Следо- вательно, А замкнуто в X. Но тогда М —*fA замкнуто в У. Так как М всюду плотно в У, мы заключаем, что М = У. Заметим теперь, что каждое биком- пактное подпространство пространства X конечно (ведь в X любое счетное множество замкнуто). Значит, X = /~1У = счетно, что противоречит условию. 53. Из (а) следует, что f-^bY \ У) = ЬХ \ X n'f~1(Y) = X. Поэтому / =7 I X — совершенное отображение (см. 46 гл. VI). Так как R(X) замкнуто в X, то цель будет достигнута, если мы установим, во-первых, что f(R(X)) = = R(Y) и, во-вторых, что f(x') f(x") для любых двух точек xf С R(X). х” С R(X), х' х”. Пользуясь условием (а), а также непрерывностью и зам- кнутостью отображения /, заключаем, что }[ЬХ \ Х]ьх — [&У \ У]ьу. Так как, кроме того,7 I X = / и }(Х) = У, toJ([6X \ Х]ьх \ (ЬХ \ X)) — = [bY \ У]ьу \ (bY \ У), следовательно, ~f(R(X)) = Я(У), ибо R(X) = = [ЬХ \ Х]ъх \ (ЬХ \ X); R(Y) = [&У \ У]ЬУ \ (bY \ У). Далее, так как сужение f на множество ф(У) является, по условию, взаимно однозначным отображением, то задача будет решена, если мы установим, что R(X) cz ф(У). Имеем7([фУ]ь^) = bY, ибо множество /([фУ]ьх) содержит У и замкнуто в bY. Так как 7(ф^) = то Л1фУ1ьх \ ф^) bY \ У. Поэтому [фУ]^ zd ЬХ \ X, следовательно, R(X) cz [ЬХ \ Х]ъх cz [фУ]^. Все доказано. 54. Для л легко определяется непрерывное отображение ф: У X X У такое, что лф: У -> У — тождественное отображение — например, зафикси- руем х* £ X и положим ф(у) = (х*, у) при всех у £ Y. Рассуждая от против- ного, мы можем применить теперь результат задачи 53 гл. VI и заключить, что сужение л на множество R(X X У) точек не локальной бикомпактности произведения X X У является гомеоморфизмом. Но в нашем случае это явно не так: R(X X У) = X X R(Y) (см. 183 гл. III) и л | (X X R(Y)) но взаимно однозначно. 55. Через 1Х, 1% обозначим соответственно тождественные отображе- ния пространства X и пространства Z на себя. Очевидно, отображение / Д g может рассматриваться как композиция диагонального произведения 1Х Д g: X X X Z и произведения /X X X Z У X Z, т. е. / Д g = = (/ X iz) fa & &)• Но посредством ix Д g пространство X отображается гомеоморфно на график отображения g, который образует замкнутое подпро- странство пространства X X Z, ибо Z — хаусдорфово пространство (см. 291 гл. II). Отображение f X iz совершенно, как произведение двух совер- шенных отображений (31 гл. VI). Значит, и / Д g — совершенное отображение, как композиция двух совершенных отображений (29 гл. VI). 56. Воспользуемся результатом задачи 55 гл. VI. Диагональное произ- ведение / Д (gf): X Y X Z является совершенным отображением, при этом (/Д gf)(X) cz ={(у, g(y)): у 6 Y}, где Tg — график отображения g. Как известно, сужение л | проектирования л: У X Z У является гомео- морфизмом пространства на пространство У (см. 291 гл. II). Но, очевидно, n-(fAgf) = {. Значит, как композиция совершенного отображения и гомео- морфизма, / является совершенным отображением (29 гл. VI).Второе утверж- дение доказывается совсем просто. 57. Положим fi = / | Xi и обозначим через тождественное отображе- ние пространства Х£ в пространство X. Тогда А = и можно воспользо- ваться утверждением задачи 56 гл. VI, в силу которого ц — совершенное отображение. Значит, Xi = ^(Xi) замкнуто в X. 58. Действительно, можно считать, что все сомножители — отображе- ния «на». Тогда, пользуясь задачами 55 гл. III и 325 гл. II, можно показать, что образы — хаусдорфовы пространства. После этого решение легко следует из задачи 56 гл. VI.
РЕШЕНИЯ 381 Возможно другое решение этой задачи для вполне регулярных про- странств, основанное на задачах 46 и 47 гл. VI. 59. Если /: X Y — совершенное отображение, a g: X -* Z — уплотнение, причем Z — хаусдорфово пространство, то диагональное про- изведение /Ag есть гомеоморфизм пространства X на замкнутое подпро- странство пространства Y X Z (см. задачу 55 гл. VI и замечание к задаче 57 гл. VI). 60. Из (б), очевидно, вытекает (а) — ведь проектирование л: У X Z-> ->• Y является совершенным отображением (см. 33 гл. VI), и сужение послед- него на произвольное залмкнутое в Y X Z подпространство также является совершенным отображением (см. 30 гл. VI). Выведем (б) из (а). Так как X вполне регулярно, существует гомеоморфное отображение I пространства X в некоторый бикомпакт Z (75, 38 гл. III). В силу 55 гл. VI диагональное произведение f\i является совершенным отображением пространства X в Y X Z. Но f\i взаимно однозначно. Значит, /Аг гомеоморфно отображает X па замкнутое подпространство (/Дг)(Х) пространства Y X Z. 61. Пространство X, как всякое хаусдорфово пространство с сетью мощности, не большей т, уплотняется на хаусдорфово пространство веса, не большего т (см. 147 гл. II). Но класс всех пространств веса, не большего т, замкнут относительно перемножения конечного числа его элементов и отно- сительно перехода к подпространству. Поэтому можно воспользоваться утверждением задачи 59 гл. VI и заключить из него, что wX 68. Ясно, что каждое а С At, t £ Т,— открытое в X множество, ибо X локально связно, a Ut(Xt — связная компонента открытого в X множества /”ХУ^ (см. 370 гл. III). Пусть xQ G X произвольно, а Ох0 — произвольная окрестность точки xQ. Рассмотрим такую окрестность О'х0 точки х0, что О'х0 cz Ох0, а множество FQ = О'х0 Q Л1/^ открыто-замкнуто в подпро- странстве f^fxQ (ясно, что такая окрестность OfxQ точки xQ существует, ибо подпространство f~^fxQ нульмерно, т. е. в этом подпространстве существует база из открыто-замкнутых в нем подмножеств). Теперь еще рассмотрим открыто-замкнутое в подпространстве f~rfxQ множество Fv = X Fq. Ясно, что Fq и Fi замкнуты в X и Fq Q Fi = Л. Воспользуемся нормально- стью пространства X, Рассмотрим открытые в X множества Го и Г1? для которых Fq cz Го, Л cz Гь Го П = Л и, кроме того, rocz O'xq. Положим Г = Го IJ Гр Ясно, что Г открыто в X и f^fao cz Г. Вследствие замкнутости отображения /: X У, будет открытым в У множество /#Г = У \ /(Х\Г). Понятно, что fxQ £ /#Г. Возьмем такое VtQ £ 0, чтобы /х0\£ VtQ cz /#Г (вспом- ним при этом, что 0 — база в У). Рассмотрим теперь ту единственную связную компоненту ^оС6о множе- ства f^V^, для которой Xq € Ясно, что cz Г. Вспомним, что Г — Го U Г1 и Го И Г4 = Л. Тогда вследствие своей связности множество ^оССо лежит в Го и не пересекается с Гр ибо х0 £ хо € Го, но $ Г1 (разумеется, важно, что Ut^ cz Го U Г1). Итак, xq £ UtQao <= Го cz cz O’xq cz OxQ9 где Все доказано. 69. Пусть ay ={t7a: a С А}. Так как /-1F открыто в X, а X локально связно, то каждое Ua открыто в X (см. 370 гл. III). Положим /у = / | /-17. Так как / совершенно, а f^V — полный прообраз, то fv: f^V V — совер- шенное отображение. Для каждого a С А зафиксируем точку ха £ Ua и поло- жим F = {яа: a € А}. Так как av — дизъюнктное семейство и /“г7 = == U{#a: a 6 А}, то F — замкнутое в f^V дискретное подпространство. Рассмотрим сужение fF = fv | F = / | F. Вследствие того, что fy совершенно, а F замкнуто в /_1Р, отображение fF: F fF совершенно, а так как F дис- кретно, то дискретным пространством будет и fF, причем | fF | = | F |. Для дискретного же пространства мощность совпадает с весом. Итак, | F | = = | fF | = w(fF) wY Значит, | оу | <т, что и требовалось доказать
382 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 70. Так как Y метризуемо, то в У существует о-дискретная база оо (см. 80 гл. V): 0 = 0^, где 0^, i Е Vх,— дискретные в У системы откры- i- 1 тых множеств. Пусть 0г- = {Vit: t Е 7\-}. Для каждых i С iV+, t £ Tt рас- смотрим систему а С Ац} связных компонент открытого в X множества Положим = |J {о^: t £ Г/}, 0 = и to- t 6 Аг+}, /-10j = tzTj}. Пользуясь совершенной нормальностью метризуе- ОО мого пространства У, можно так выбрать о-дискретиую базу 0— (J fy, i=l чтобы системы ог- были о-дискретными в X для любого i Е Аг+. Тогда а также будет о-дискретной в X системой. После этого остается сослаться на задачи 68 гл. VI и 80 гл. V. 71. При совершенных отображениях вес не повышается (см. 41 гл. VI), значит, wX ivY. Для доказательства обратного неравенства надо вос- пользоваться задачами 69 и 68 гл. VI. 72. Вследствие задачи 71 гл. VI, нормальное пространство X имеет счетную базу. Значит, X метризуемо (см. 79 гл. V). 73. Доказывается аналогично задаче 166 гл. IV. 75. Если /: X У, /(X) = У — замкнутое отображение ио — дис- кретное в У семейство замкнутых множеств, то /-1о = {/-1Ф, Ф Е О’} — такое же семейство в X. Остается воспользоваться определением коллектив- ной нормальности (стр. 288) и задачей 323 гл. II. 76. Решение следует из задачи 150 гл. V и следующего совсем простого предложения: Если /: X -*• У — замкнутое отображение, f(X) = У и у — консерва- тивное (стр. 288) семейство множеств в X, то fy = {fA: А С — консерватив- ное семейство множеств в У. 77. См. Энгелькинг [3]. 78. Следует из задач 155 гл. V и 77 гл. VI. 79. Положим А = f(F), где F замкнуто в Т (toj. Если х £ [А], то су- ществует счетное множество A' cz А, для которого х С [А'] (ведь X — про- странство счетной тесноты). Очевидно, найдется такое счетное множество В' cz F, что f(Bf) = А'. Положим В = [В']. Тогда В — бикомпакт (84 гл. III) и В cz F. Так как / — непрерывное отображение в хаусдорфово про- странство, то множество f(B) бикомпактно и замкнуто в X (56, 91 гл. III). Далее, из /(В) о f(B') = А' теперь следует, что f(F) = A zd fB = — [fB] zz> [A'] Э x. Значит, f(F) = А замкнуто в X. 80. Предположим противное. Тогда существует последовательность {хп\ п Е N+} точек множества Fr f~ry, для которой | ф(а:п+1) | > | q(xn) | 4* 1 при всех значениях п. Положим = | ф(я) — <р(яг-) | с } • Множество Уг- открыто (так как <р — непрерывная функция), хг £ и семей- ство 7={Уг-: i Е дискретно в X (т. е. каждая точка пространства X имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с одним элементом семей- ства у). Выберем теперь zt С fy, i € А7+, так, чтобы было (a) zt х^ я (б) f(zt) Ф f(zj) при I /. Это делается легко по индукции: если для I к точки Z} определены в соответствии с требованиями (а) п (б), то примем за Z&+1 произвольную точку множества \ (f^y U (U j = 1, . . ., к})). Так как xk+i — граничная точка множества а все f^fizi) замкнуты в (ведь У — Tj-пространство) и либо не пересекаются с /”1у, либо совпадают* с f~ry> то выбрать так z^+i можно.
РЕШЕНИЯ 383 Построенное в результате множество Р ~ {zf i£N+} замкнуто в X. Более того, замкнуто в X п любое его подмножество (мы учли дискрет- ность семейства у и то, что z^ £ Vif i g 7V+). Из замкнутости отображения / следует теперь, что и любое подмножество множества fP замкнуто в У. Значит, в У нет предельных точек для fP (25 гл. II). Но | fP | = к0 — это следует из (б). Мы получили противоречие со счетной компактностью про- странства У. 81. Если Fr /-1у не счетно компактно, то существует замкнутое дискрет- ное множество A cz Fr f~ly мощности х0 (189 гл. III). Перенумеруем его элементы: А={хп: n£N+} и перенумеруем элементы какой-нибудь счетной базы АВ точки у в У: АВ ={Vn: п € -V*}. Так как X нормально, то существует дискретное в X семейство у = {Un: n^N+} открытых (в X) множеств Un, где Un Э (22 гл. III). Можно, уменьшив, если нужно, множества Un, добиться того, чтобы было fUn cz Vn при каждом значе- нии п (так как / — непрерывное отображение). Поскольку хп лежит на границе множества /~ту, то Un П (% \ /-1У) ¥= Выберем прп каждом п g N+ точку х% g Un П (X \ Тогда/(я*) g Vn и, следовательно, точка у принадлежит замыканию множества Q = {fafi: п g Лг+}, являющегося обра- зом множества Р = {я*: п g Лг+} при /. Но х% $ /~гу, и потому у (£ Q. Значит, Q не замкнуто, в то время как Р — замкнутое множество (ибо семейство {Un: п g TV*} дискретно и х* g Un). Так как fP = Q, то имеем противоречие с замкнутостью отображения /. 82. Следует из задач 81 гл. VI, 181 гл. V. 83. Предположим, что граница F прообраза некоторой точки оказалась не счетно компактным пространством. Граница замкнутого множества всегда замкнута, поэтому F — замкнутое в X множество. Выберем теперь в F замкну- тое (в F, а значит, и в X) дискретное множество А мощности к0 и рассмотрим произвольную неограниченную вещественную функцию ф на нем. Она на А непрерывна, так как А — дискретное пространство. Так как X нормально, а А замкнуто в X, то ф продолжается до некоторой непрерывной вещественной функции <р, определенной на всем X (см. 34 гл. III). Мы пришли к противо- речию с утверждением задачи 80 гл. VI. 84. Достаточно произвести небольшие, вполне очевидные, изменения в доказательстве утверждения задачи 81 гл. VI, чтобы получить нужный вывод. 85. В пространстве точечно счетного типа каждая точка обладает таким счетным семейством окрестностей, которое нужно, чтобы опереться на утверждение задачи 84 гл. VI (см. 65 гл. III). Теперь достаточно сослаться на задачу 181 гл. V. 86. (а) Пространство Z, очевидно, счетно паракомпактно, поэтому его произведение на любой метризусмый бикомпакт — a Y таков — нормально (222 гл. V). (б) Так как проектирование пространства X на счетно компактное про- странство Z (см. 193 гл. III) является совершенным отображением (см. реше- ние задачи 33 гл. VI), то X — счетно компактное пространство (39 гл. VI). (в) Каждое замкнутое подпространство F пространства X счетно ком- пактно. Поэтому и его образ fF при / является счетно компактным простран- ством. Но fF cz Y и, значит, | fF | к0. Следовательно, fF — бикомпакт и fF замкнуто в Y. Утверждение (г) очевидно. 87. Для доказательства надо воспользоваться задачей 82 гл. VI. 89. В силу 85, 88 гл. VI У является образом некоторого подпростран- ства пространства X при совершенном отображении.Поэтому У метризуемо (см. 8, 49 гл. VI). 90. Пусть Л g Z и Л cz U cz X, где U открыто в X. Для х g А положим ех — • Тогда 8Х > 0. Положим" — {В g Z: В Л и diam В
384 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ >ех} и Р = U {В: В Е Семейство по условию, конечно, состоит из замкнутых множеств и его элементы не пересекаются с А (ибо все они отличны от 4, a X — разбиение). Поэтому Р замкнуто, х $ Р и, значит, 6Х = = min {р(х, Р), 8Х} > 0. Положим Ох — {у Е X: р(х, у) с 6Х}. Тогда, оче- видно, если В Е £ п В П Ох Ф Л, то diam В 8Х и pfr, В) <8Х, откуда следует, что В cz O2f>xx — {у Е X: р(ж, у) < 2вх} cz U. Рассмотрим множество V = U {Ох: х Е 4}; V — открытое множество, содержащее 4, причем, если В р| V Ф Л, то В cz U. Можно заключить теперь, что разбиение Z непрерывно (см. стр. 92). 91. Пусть В — множество всех рациональных чисел отрезка [0, 1] числовой прямой, наделенное обычной метрикой и топологией, a Q = R2 = = {(#. у): х R, у £ R} — метрическое произведение R X R. Перенумеруем как-нибудь элементы R: R = {г1т г2, . . ., гп, . . Для каждого п £ N+ зафиксируем конечное дизъюнктное покрытие уп пространства R замкнутыми в R (не бикомпактными) множествами диаметра, меньшего 1/п. Положим Лп = {Р X {rn}: F С уп} и X = (J {Xn: п Е V+}. Очевидно, % — дизъюнктное покрытие пространства Q замкнутыми в Q множествами, причвхм для каж- дого 8 >w0 диаметр лишь конечного множества элементов из % превосходит 8. Следовательно (см. 90 гл. VI), X является непрерывным разбиением про- странства Q. Очевидно, каждый элемент из % является небикомпактным множеством с пустой внутренностью. 92. Рассмотрим разбиение % пространства Q, построенное в задаче 91 гл. VI. Оно непрерывно, поэтому соответствующее этому разбиению отображе- ние л: Q -> Z, где Z — пространство разбиения X, является непрерывным замкнутым отображением (322 гл. II), а само Z является Tj-пространством, так как все элементы рассматриваемого разбиения замкнуты. Но тогда Z нормально (329 гл. II). Кроме того, | Z | — х0. Ни в одной точке про- странство Z не удовлетворяет первой аксиоме счетности — иначе прообраз этой точки имел бы бикомпактную границу (см. 82 гл. VI), а элементов с бикомпактной границей в указанном разбиении нет. 93. Предположим противное. Пусть существует точка у* Е V, пре- дельная для D. Положим Di = D \{у*}. Ясно, что Dt не замкнуто в У. Так как Y является ^-пространством, то найдется бикомпактное подпро- странство F cz У, для которого множество F Q Di не замкнуто в F. Следо- вательно, | F Q Di | х0. Выберем множество Е' cz F Q для которого | Е’ | = х0. Так как F бикомпактно, то некоторая точка у** является предельной для Е'. Положим Е = Ег Тогда у** £ [Е} \ Е, Е cz D, | Е | = х0. Занумеруем элементы множества Е натуральными числами: £ ={уп: п Е Л’+}. Положим Ап — t~ry^ Определим последовательность {хп: п Е N*} в X по индукции. Возьмем в качестве Xi какую-нибудь точку из 4р Если точки хп для всех п к определены, то за возьмем любую точку множества 4fc+1\(iJ {у{хп): п к}), где у(х) = (J {&' U я U 3 х}- Так как уь+i Е D, а покрытие у точечно конечно, то множество 4&+Г\ \(и{у(ж7г): « М) не пусто, а следовательно, препятствия к определению xk+i нет. Итак, построена последовательность {хп: п Е N+} точек простран- ства X, Докажем, что множество Р точек этой последовательности замкнуто в X (в действительности, Р даже дискретно в X). Пусть х Е X произвольно. Если у(х) Р = Л, то х (f [Р], ибо у — открытое покрытие. Если хп, Е ?(я), то х Е у(хП') и $ Ч&п') ПРИ п > п’ (это следует из определения хп). Значит, |у(яп,) П ? I < ко* Если х (£ Р, то х$Р’ — у(хп,) р| Р. Пользуясь тем» что X — Ti-пространство, мы тогда можем найти окрестность Ох точки х> не пересекающуюся с конечным множеством Р'. Тогда О*х — Ох П у(хпг) — окрестность точки х в X, не пересекающаяся с Р. Итак, Р замкнуто в X, значит, Е = fP замкнуто в У. Но у** Е [Р] \ Е, Получили противоречие. Значит, D дискретно в У
РЕШЕНИЯ 385 94. Пространство X является ^-пространством (238 гл. III). Так как каждое непрерывное замкнутое отображение является факторным и образ ^-пространства при факторном отображении является А-пространством (246 гл. III), то Y — также A-пространство. В покрытие X пространства X всеми открытыми множествами, замыкания которых в X бикомпактны, впишем точечно конечное открытое покрытие у. К этому у и отображению f применим результат задачи 93 гл. VI. Заключаем, что множество А всех тех у Е У, про- образ которых не покрывается никакой конечной совокупностью элементов из у, дискретно в У. Тогда если у £ У \ А, то /-1у cz U{^: U £ у7}, где у' — некоторое конечное подсемейство семейства у. Имеем /-1у cz (J {[Z7]: U С у'}— = Ф. Для каждого U Е у' множество [ Z7] бикомпактно (ибо у вписано в X, а X было выбрано соответствующим образом). Тогда Ф бикомпактно, как объединение конечного семейства бикомпактов, а следовательно, и f-*y бикомпактно, как замкнутое подпространство бикомпактного пространства Ф. Заметим, что замкнутость множества /-1у вытекает из непрерывности / и того, что У — Ti-пространство. Пространство же У является ^-пространством, так как / замкнуто, а X, по условию,— ^-пространство. 95. Сужение непрерывного замкнутого отображения на полный про- образ всегда является непрерывным замкнутым отображением (319 гл. II). В данном случае надо взять полный прообраз множества всех точек, про- образы которых бикомпактны. Заключение теперь следует из утверждения задачи 94 гл. VI и того, что образ локально бикомпактного пространства при совершенном отображении является локально бикомпактным пространством (48 гл. VI). 96. Можно считать, что сеть ff такова: Р П Q € оУ’ для каждых Р Е ff и Q Е Положим S' ^{fP: Р Е #}, а через Уо обозначим множество всех таких у Е У, что существует конечное семейство г/ ' cz S', для которого М = П {(?: <? 6 &'}• Ясно, что | Уо I < I I + Ко < I е/’ | + s-о < No. Докажем, что /-1у — бикомпактное подпространство пространства X для всякой точки у Е У \ У в- Зафиксируем точку х Е /-1у. Далее, занумеруем в последовательность {Pn(xY п £ N+} все элементы сети ff, содержащие эту точку х. Тогда всякая последовательность {zn: п Е ZV+}, где zn £ Рп(х), имеет точку х своей предельной точкой, т. с. х Е l(zn: п Е Jv+}]. Простран- ство X, как пространство со счетной сетью, финально компактно, а так как оно, кроме того, регулярно, то является паракомпактом (см. 143 гл. II, 132 гл. V). Паракомпактом тогда является и всякое подпространство f^y,. у Е У, ибо множество f~ry замкнуто в паракомпакте. Значит, если подпро- странство /-1у не бикомпактно, то оно и не счетно компактно (см. 181 гл. V). Тогда существует последовательность А = {хп: п Е Лг+} попарно различ- ных точек множества /-1у, не имеющая предельных точек в X (т. е. А —. замкнутое дискретное счетное бесконечное множество). Возьмем такое- дискретное в X семейство {C7n: п Е Лг+} открытых в X множеств, что хп Е 17п для всякого п Е N + (здесь важно, что X — нормальное пространство, что вытекает из его регулярности и финальной* компактности: см 19 гл. III). Построим по индукции три последовательности: L = п Е^*}, 1з= {Опх: n$N+} так, чтобы выполнялись условия: (а) Okx Э х\ при всех п > к и к Е 7У+; (б) X \ zd при всех п < к и к Е Лт+; (в) х^ Е Рп(х) пРи всех я Е N+; (г) х% Е Un при всех п Е (д) fx\ = fx” Ф у при всех n Е ZV+. х/2 25 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
386 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Заметим, что Okx, к Е N+,— окрестность точки х в X. Построение будем вести следующим образом: Выберем точку х* £ X \ }~гу произвольно, а окрестность О^х возьмем согласно условию (б). Пусть теперь х%, х7}, Опх уже определены для любого п / согласно условиям (а) — (д). Так как — сеть в пространстве X, то существуют Р Е o/S для которых х С Р cz OjX и xj+i £ Pf cz i/y+i. Положим P* — P p, Pj+i(x). По условию, P* Efjf. Будем иметь: (fP* p/P')\ \{z^}=# Л. Выберем точки x}+i£P*, QP' таким образом, чтобы fx}^.\ = = у. За Oj+ix примем какую-нибудь окрестность точки х, для кото- рой х С О^х cz: cz X \ U {f^fxp *=1,2, + 1}. Шаг построения выполнен. Продолжая, получим искомые последовательности. Так как {х]ъ: п Е Лг+} сходится к х, то у = fx Е [{/^К- и Е 7V+}] = l{fx”: п € Лг+}] = {fx7//. п Е N+}, Получим противоречие с тем, что у у= fx77/ Мы учли сейчас, что / — замкнутое отображение и что {х/\ п £ N+} — замкнутое множество (последнее является следствием дискретности семейства {Un: п £ N+} в пространстве X). 97. Обозначим через Y' множество тех у Е Y, Для которых /~гу не бикомпактно. Тогда | У' | < (см. 96 гл. VI). Положим У* = У \ У', X* = f^Y* и /* = / | X*. Отображение /*: X* У* совершенно и /(X*) = = У*. Очевидно, достаточно доказать, что У* распадается в счетное семей- ство подпространств, гомеоморфных подпространствам пространства X*. Так как X* — регулярное пространство со счетной сетью, то в X* суще- ствует и счетная сеть <у*, состоящая из замкнутых в X* множеств. Каждое f^y (где у £Y*) является счетным бикомпактом, поэтому хотя бы одна точка пространства f^y изолирована в f-^-y. Имея в виду это замечание, рассмотрим для каждого Р Е /f* сужение fp = f | Р отображения / на подпространство Р. Так как Р замкнуто в X*, то fp -— непрерывное замкнутое отображение. Через Р обозначим множество всех х Е Р, для которых f-1f(x) = {х} (т. е. Р — множество всех точек однократности отображения /р). Очевидно, /р1/рР — Р, поэтому= fp | Р — тоже непрерывное и замкнутое отображение. Но /~, кроме того, взаимно однозначно, следовательно, /~ устанавливает гомеомор- физм между пространством Р и подпространством/рР=/Р пространства У. Мы покажем теперь, что У* — (J {/Р: Р Е <^*}« Пусть у* Е V*. Выберем точку х*, изолированную в f^y. Множество U = X* \ (f-1y \{я*}) являет- ся окрестностью точки ж* в пространстве X*. Так как &* — сеть в X*, то найдется Р* Е о?5*, для которого ж* ЕР*с U. Ясно, что тогда /р*/р*Сг*) == = х*, е. х* ^Р* и у* = fx* Е f(P*) У*. Итак, У = (U {{#}: у Е У'}) (J U(U {fP- Р Е о/5*}) — искомое представление. 98. Если ai Е ЛГ \ Mg, а2 Е М \ а2, П Fai =/= Л и W П Fa2 Л> то и => W => Fa2 (так как W"" отмеченное множество), и потому либо р, либо а2#= р. Пусть, для определенности, =# р. Но тогда ai Е Mg — получили противоречие. Первое утверждение доказано. Второе вытекает из первого. Действительно, образ множества (U$) в пространстве Z разбиения открыт (так как разбиение непрерывно), содержит {Рр} Е Z и пересекается с множеством {{Ра}: а Е \ \ М%} пе более чем по одному элементу. Но Z ~{{Рр}: р Е М}» Значит, Z \ Zg дискретно в Z, 99. Положим ={O1/i/“1z: z Е i Е N+. По определим Z- , как в задаче 98 гл. VI, и положим Уг- = Z \ Z^ , Уо = Z \ (J (yf: i Е Тогда Z = U {Уг-: i Е N} и Уо = Q ; i Е N+}> В силу задачи 98 гл. VI
РЕШЕНИЯ 387 при i 1 каждое Y} дискретно в Z. Осталось обнаружить, что /~1z_компакт для любого z Е Yo. По определению Уо, для каждого i £ N + найдется zt С Zt z^ z такое, что zd /-1z. Тогда, очевидно, любая подпоследователь- ность последовательности {zf. i £ N+} имеет z своей предельной точкой (ибо замыкание объединения полных прообразов элементов этой последова- тельности пересекается с f-1z). Значит, {^: t Е Лг+} сходится к z. Обозначим через Z* подпространство пространства Z, образованное точкой z и точками последовательности {zf. i N+}. Из сказанного ясно, что Z* удовлетворяет первой аксиоме счетности. Положим X* — f^Z* и /* = / | X*. Тогда /*: X* Z* — непрерывное замкнутое отображение и fX* = Z*. В силу 85 гл. VI граница множества f~rz в X* является компактом. Но соотношение zd f-^-z гарантирует нам, что все точки множества f^z являются по отношению к X* граничными. Значит, /-1z — компакт. 100. В силу 99 гл. VI существует счетное семейство у дискретных зам- кнутых подпространств пространства Y такое, что для каждой точки у Е Y* — = Y \U {Р: Р Е у} множество /-1у бикомпактно. Положим X* = /-1У* и /* = / | X*. Тогда /* — совершенное отображение метрического простран- ства X* на Ti-пространство У*. Следовательно, У* метризуемо (49 гл. VI). Искомое разложение пространства У: У = У* U (U{^: Р С у}). 101. В силу 96 гл. VI множество Y' всех точек пространства У, для которых }-*у не бикомпактно, счетно. Положим У* — У \ У', X* = /-1У* и /♦ — f | X*. Тогда /* — совершенное отображение пространства X* на пространство У*. Поэтому У* обладает счетной базой (41 гл. VI). 102. Будем считать, что вес пространства X несчетен — в противном случае см. задачу 96 гл. VI. Зафиксируем базу в X, мощность которой т равна весу X. Далее, предположим, что X не бикомпактно — иначе наша задача тривиальна. Тогда X не счетно компактно (ибо оно паракомпактно — см. 181 гл. V). Пусть у — произвольное дискретное в X счетное бесконечное семейство элементов базы y={Un' n£N+}. Рассмотрим множество точек пространства У, прообраз каждой из которых пересекается со всеми элементами семейства у. Покажем, что Му дискретно в У. Допустим противное. Выберем незамкнутое счетное множество {уп: n^N+}a Му и хп Е /-1уп П Un, n Е -V+. Множество (хп: п Е -V+} дискретно в У, так как дискретно у, но его образ — множество {уп\ п Е 7V+} не замкнуто, что противоречит замкнутости/. Таким образом, Му дис- кретно в У. Но У, как непрерывный образ пространства веса т, обладает сетью мощности, не большей т. Тогда и Му обладает такой сетью. Но Му — дискретное пространство. Следовательно, | Му | Мощность семейства всех счетных подсемейств базы & не превосходит тКо. Значит, | (J {Mv: у cz | у ] = Ко и у дискретно в X} | = тХо. Покажем, что каждая точка у Е У> прообраз которой не бикомпактен, попала в некоторое Му. Если пространство /'гу не бикомпактно, то оно и не счетно компактно (так как X — а значит, и f~Ty — паракомпакт). Тогда в {~гу можно выде- лить замкнутое дискретное множество А мощности к0. Пусть А = {хп: п £ N+}. Пространство X нормально, поэтому существуют открытые в X множества £7ПЕ & такие, что хп Е Un при[ всех значениях п и семейство У = {Un: п Е N+} дискретно в X (см. 22 гл. III). Но тогда у Е Му. 103. Пусть /: X У — непрерывное замкнутое отображение и /(X) = == У. Выберем в X сеть мощности, не большей т. Можно предположить, что пересечение конечного множества элементов принадлежит оу. Для каждой точки х Е X зафиксируем последовательность {Рп(х)\ п Е N+} элементов образующую сеть в этой точке. Такая последовательность существует, ибо X везде удовлетворяет первой аксиоме счетности. Полагаем, как в решении задачи 96_гл. VI, гГ = {/Р: Р Е &} и Уо = (у Е У: существует конечное мно- жество j ' cz для которого {у} = П {С?: Q € Тогда | .У | <.т, и потому | У0 | Мы докажем, что для любого у Е У\Уо полный 25*
388 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ прообраз f^y является счетно компактным подпространством пространства X, Так как X паракомпактно, а /-1г/ замкнуто в X, то отсюда будет следовать, что множество /~гу бикомпактно. Доказательство счетной компактности про- странства /-1у повторяет соответствующее место рассуждения, проведенного при решении задачи 96 гл. VI. 108. В наших предположениях пространство X метризуемо. Поэтому можно применить утверждение задачи 99 (или 96) гл. VI. В силу послед- него Y = У* IJ У', где | У' | и /~гу — бикомпакт для каждого у £ У*. Отсюда и из неравенства | У | > к0 следует, что У* =?£ Л. Зафиксируем точку у* £ У*. Множество f^y* — бикомпакт, лежащий в метризуемом простран- стве X. Поэтому характер множества f~ry* в X счетен. Так как отображе- ние / непрерывно и замкнуто, то тогда мы заключаем, что пространство У удовлетворяет в точке у* первой аксиоме счетности (см. 327 гл. II). Из одно- родности пространства У следует теперь, что оно во всех точках удовлетво- ряет первой аксиоме счетности. Но тогда можно сослаться на задачу 89 гл. VI — и требуемое заключение отсюда следует (заметим, что У финально компактно). 109. Так как / неприводимо, то f#U непусто для любого открытого в X множества U, а так как / замкнуто, то f#U открыто в У, ибо f#U = У \ \ /(X \ U) и U открыто в X. Тогда, вследствие непрерывности отображе- ния /, множество f^f^U открыто в X. Итак, f^f^U непусто и открыто в X. Ясно, что cz U. Докажем, что f-^U всюду плотно в U. Пусть U' — открытое в X множество и U' cz U, Так как / неприводимо, то f^U' =?£ Л. Значит, U' П f-1/# U =# Л. НО. В силу неприводимости и замкнутости отображения /, множество f#U непусто и открыто в X, а множество /-1/^ U всюду плотно в U (см. 109 гл. VI). Тогда [L']==[/“1/#{7], а следовательно, f[U]=f[f~1f#U] = = = что и требовалось доказать. (Здесь мы воспользовались равенством /[4] = [МL характеризующим замкнутые непрерывные отображения.) Вто- рое утверждение следует из доказанного. 111. (а) Пусть точка xG £ X изолирована в X. Значит, одноточечное подмножество {#0} открыто-замкнуто в X. Вследствие задачи 109 гл. VI множество /^{ж0} — {у Е V: f-ry cz {ат0}} непусто и открыто в У. Но, очевид- но, {^о} — значит, fx0 изолирована в У. (б) Пусть точка fxQ изолирована в У. Тогда множество f~rfxQ открыто- замкнуто в X. Докажем, что /~г/х0 — {я0}. Ясно, что xQ £ Предположим, что множеству принадлежит более одной точки. Рассмотрим множество Хо = (X \ /-1/^о) U {^о}’ Ясно, что Хо замкнуто в X и f(X0) = Y. Кроме того, Хо — собственное подмножество пространства X. Получили противо- речие. 112. Предположим, что | J"1 у | > 1 и что внутренность Int f~*y множе- ства f~*y не пуста — пусть некоторая точка х* ей принадлежит. Так как I f~*y I > 1, то существует х Е /~1у, х* х, Выберем, воспользовавшись тем, что X — ^-пространство, окрестность Ох* точки х*, для которой Ox* cz Int(/~1?/) и х $ Ох*, Тогда X* = Х\Ох* — замкнутое подпростран- ство пространства X, /-1/ cz X* при у' у и /-1у П X* zz{x} #= Л. Значит, /X* = У, что противоречит неприводимости /. ИЗ. Для неприводимости отображения /: РХ -+ (ЗУ, очевидно, доста- точно показать, что для любого открытого в РХ множества Г существует точка т] Е PV, для которой /-1т] cz Г. Рассмотрим такое открытое в рХ множество Г', чтобы [Г'] cz Г. Положим U' = Г7 Q X. Пользуясь неприводимостью отображения /: Х->У, берем точку yo^Y, для которой Г^Уоа U', Тогда [/-1йхс: ^u'hx== [Г'^сг Г. Вследствие же замкнутости
РЕШЕНИЯ 389 отображения /, получаем [/-1УоЬх = /~1^о (см. 73 _гл. VI). Таким обра- зом, мы нашли точку у0 € <= ₽У, для которой /"1у0 с: Г. 115. Пусть у = {С7а: а £ Л} — база в X п | у [ = ггХ. Положим Ап = А при всех и 6 Аг+ и каждое Ап будем рассматривать как дискретное топологическое пространство. Рассмотрим топологическое произведе- ние М(Л) = П{ЛП: п Е N+}. Определим подпространство S про- странства М(Л) так: 5 ={{аг: i Е N+] Е М(А): {Ua*. i С 7V+} — база в некоторой точке х Е X и ^а.+1 cz ^а. при всех i Е Аг+}, и точке а = (осг: i Е А'+} множества S поставим в соответствие точку ф(а) = Q {Ua : i Е N+} множества X, В дальнейшем всюду через а, а', а* и т. д. обозначается та или иная точка множества М(Л), а через о^, соответственно о^, а? и т. д. обозначается ее ня координата — элемент множества Аг-. Пространство М(А), а следовательно, и пространство 5, метризуемо, как произведение счетного множества метризуемых (здесь — дискретных) пространств. Мы покажем, что определенное выше отображение ср: S -> X является непрерывным открытым отображением S на X. Рассмотрим произвольное а Е S, любую окрестность U точки х = == ф(а) в X и любую окрестность V точки а в S. По определению ф, непре- менно U^t cz U при некотором значении п' индекса г. Множества Vj — = {а' Е S: u'i — когда 1 i составляют в совокупности базу точ- ки а в 5 по определению топологии в М(А). Поэтому найдется значение п" индекса /, при котором Vn„ cz V. Положим теперь п* = max{n', п"}. Тогда а Е CZ V,x Е a U, Мы покажем, что <р(Уп*)= Если а' £ vn*> то оЦ = о^ при 1 <п*, и потому £7^==^^. Из ф(а') Е иап* заключаем, что ф(Гп*) G2 С7а^. Если х' Е то х' £ ^а. ПРИ и потому (здесь мы пользуемся тем, что X удовлетворяет первой аксиоме счетности) можно так выбрать оЦ Е i Е Аг+, чтобы при 1 i п* было ai=ai (и» значит, U ,= Ua ) и семейство {U составляло базу в х', °Ч i подчиненную условию U , cU Тогда a'EL* и x'= ф(а'). Итак, ai +1 ai ф(7п*)2Э ^an*- Значит, ф(Уп*)= E силу произвола, допущенного при выборе a, U и V, мы заключаем, что ф — непрерывное открытое отображение. Соотношение ф(5) = X непосредственно вытекает из того, что X удовле- творяет первой аксиоме счетности во всех точках. Обратное утверждение очевидно. 116. Нет, не верно. Каждый бикомпакт с первой аксиомой счетности (а среди таких есть неметризуемые — см. 80, 82, 87 гл. III) является (115 гл. VI) образом некоторого метрического пространства при непрерывном открытом отображении. 117. Необходимость. Пусть /: X Y — отображение, данное в усло- вии. В X есть база J9, являющаяся объединением семейств yif г = 1, 2, . . ., каждое из которых локально конечно. Тогда каждое множество /-1у пере- секается лишь со счетным множеством элементов семейства i = 1, 2, . . . (так как все элементы семейства у^ открыты, а — сепарабельное про- странство). Значит, [{£7 Е J8: U П f~*y А} | < к0. Отсюда |{/£7: fU Э У и U Е *59} I ^’о» т- е. {/#: U Е — точечно счетное семейство множеств. Так как / — непрерывное открытое отображение, то {/Z7: U Е — база пространства У. Достаточность. Годится построение, на котором основано решение зада- чи 115 гл. VI, —надо только исходить не из семейства всех открытых в X множеств: за у следует принять какую-нибудь точечно счетную] базу
390 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ рассматриваемого пространства, причем можно считать, что | y|=wX. Следует затем учесть, что произведение счетного множества пространств со счетной базой всегда является пространством со счетной базой. 118. Обратимся сначала к доказательству достаточности. Пусть /: X У — такое отображение, как в условии задачи, р — метрика на X и yt — некоторое открытое локально конечное покрытие пространства X множествами диаметра, меньшего 1Л‘, i = 1, 2, ... Будем считать также, что yi+i всегда вписано в yt. Положим ={fU: U С Tf}- Так как /-1у — бикомпакт, то |{U: U Е Тг- и U Q /-1у =/= Л} | < х0. Значит, {V: V £ и V Э у} — конечное множество для каждого у Е У. Учитывая, кроме того, что / — открытое отображение и f(X) — Y, мы заключаем, что — открытое точечно конечное покрытие пространства У при каждом i £ N+. Покажем теперь, что {Ip i Е N+} — измельчающееся семейство покрытий. Зафикси- руем у £ У и V} Е kj так, что V} 3 У при всех t Е N+. Выберем £7г- Е У/, Для которого fUi = V}. Рассмотрим произвольную окрестность Оу точки у. Так как / непрерывно, то найдется окрестность G множества /-1у в Л”, для которой fG cz Оу. Но /~гу — бикомпакт и X — метрическое пространство. Существует поэтому натуральное п, для которого О1/Л(/-*У)= X: Р(Х, С2в. Тогда из U Е уп и U П /-1у #= Л следует (так как диаметр множества U не превосходит 1/п), что U cz G. Следовательно, все элементы семейства %п, содержащие у, лежат целиком в Оу, в частности, Vn cz Оу. Этим доказано, что {А,р i Е V+} — измельчающаяся последовательность открытых точечно конечных покрытий пространства У. Тогда U{^z: t € Лг+}—равномерная база в У (67 гл. V). Доказательство необходимости основывается на том, что каждая равно- мерная база & представляется в виде & — U {?z: * € V+}, где каждое yt — ={%: елг и последовательность {^: i Е N+} измельчающаяся (66 гл. V). Теперь построение отображения (а затем исследование его свойств) ведется точно так же, как в решении задачи 115 гл. VI, на основе множеств Af, i£N + (хотя они теперь не совпадают, вообще говоря, с каким-либо одним фикси- рованным множеством Л). Затем учитывается, что произведение (счетного) семейства конечных множеств бикомпактно. 119. В силу 117 гл. VI X обладает точечно счетной базой. Остается теперь сослаться на задачу 87 гл. V. 120. Ответ авторам не известен. Однако если ослабить требование вполне регулярности X до хаусдорфовости, ответ отрицателен. Укажем пример. Пусть Q — несчетное всюду плотное подмножество отрезка [0, 1]» в котором каждый бикомпакт счетен (см. 285 гл. III). Положим Т =[0, 1] п *={(*, у): 0<я<1, у = 0} U{(^ у)- xtQi y^N}, где N — множество всех натуральных чисел. За базу топологии сУ на X примем совокупность множеств следующих трех типов: (1) {(гг, у)} для всех х Е Q и У Ф 0; (2) Ос{х} — {(ж, 0)} U {(*> УУ* У > с} Для всех х Е Q при с Е JV; (3) Gac(;r) = {(я, 0): х Е Т П a} U {(*, у): * Е Q П У > где а - открытое в отрезке [0, 1] множество, a с Е N- Построенное так пространство X, очевидно, хаусдорфово и имеет равно- мерную базу. В силу 118 гл. VI X является образом некоторого метрического про- странства М при непрерывном открытом бикомпактном отображении, которое мы обозначим через /. Каждой точке (ж, у) множества X поставим в соответ- ствие ее первую координату х — этим определено отображение g множе- ства X на множество точек отрезка [0, 1]. Наделим множество 10,1] следую- } — точечно конечное открытое покрытие пространства У
РЕШЕНИЯ 391 щей нестандартной топологией З'^х А £ З'* в том и только в томслучае1 когда существует такое открытое в обычной топологии отрезка множество U cz А, что А \ U cz Q. Положим Y = ([0, 1], // *) (см. 209 гл. III). Оче- видно. g: X -> Y — непрерывное открытое бикомпактное отображение. Теперь остается сослаться на свойства пространства Y в задаче 209 гл. III и воспользоваться задачей 118 гл. VI. 121. Нет. Более того, можно построить непрерывное открытое конечно- кратное отображение вполне регулярного счетного пространства, не содер- жащего никакого бесконечного бикомпакта, на простейший бесконечный бикомпакт (140 гл. VI). 122. Ответ авторам в настоящее время не известен. Если ослабить требование вполне регулярности X до хаусдорфовости, то ответ отрицателен— годится отображение gx X -* У, построенное в задаче 120 гл. VI. 123. Очевидно, достаточно доказать взаимную однозначность отображе- ния /. Пусть С X, х2 £ X и Xi х2. Рассмотрим окрестности Ux^, Ux2. П Ux2 — А. Так как/неприводимо, то f^Uxt = {у С У: f~xy <= Uxi} =/= А, а множество f^f^Uxi плотно в Uxi. Тогда = /[/-1/# Uxi\ cz [/#СЛч] (здесь мы, кроме того, воспользовались непрерывностью /). Так как / открыто, то fUx2 открыто в У, а множество У \ jUx2 замкнуто. Кроме того, f&Uxt cz <zz У \ fUx2, значит, с У \ fUx2, следовательно, р fUx2= = А. Так как, помимо прочего, fxt £ /[СЛч] cz [/#Ux^\, fx2 £ fUx2, то получим 124. Пусть /: X У — такое отображение, Р замкнуто в X, Q = fP и у £ fP. Тогда /~гу П Р = А. Рассмотрим точки xif . . ., х%, из которых состоит множество f^y. Выберем для xt окрестность Ох^ не пересекающуюся с Р, и потребуем, чтобы было р| Ох= А при I Ф j, а / отображало Ох^ гомеоморфно на открытое в У множество. Тогда V — (^{fOxf. i = 1, . . ., к} — окрестность точки у, не пересекающаяся с Q. Значит, Q = fP замкнуто. 125. Пусть /: X -> У — такое отображение. Зафиксируем х и положим У — F = f~*y- Тогда х £ F и | F | = к. Перенумеруем элементы Fx F —{xit . . ., хь}. Пусть, для определенности, х = xif Так как X — хаус- дорфово пространство, можно построить попарно непересекающиеся окре- стности Ох1ч . . ., Оху точек хц . . ., х%. Тогда V = И {fOxf. i = 1, . . ., к} — открытое в У множество, V Э у. Положим Ui ~ Ох$ П /-1У« Очевидно, fUt — = У, i = 1, . . ., к. и Ui П Uj =;Л при I ф j. Значит, f] =# А для каждой точки у' £ V, и из | /-1у' | = к следует, что / | Ut — взаимно однозначное отображение.^ Но / открыто и непрерывно. Значит, так как Ui открыто, отображение / | Щ открыто (и непрерывно). Следовательно, f | Ui — гомеоморфизм. При этом /(СТ/) = V — открытое в У множество. Далее см. задачу 124 гл. VI. 126. Положим Уп = {у е У: I f1» | = п}, Хп = fn = f | Хп, fn: Хп Уп, п С 7V+. Тогда fn открыто и непрерывно, так как этими свой- ствами обладает отображение /, а Хп — полный прообраз (см. 337 гл. II). Кроме того, /п ровно n-кратно. Значит (125 гл. VI), /п — локальный гомео- морфизм (и совершенно). Поэтому Хп можно покрыть открытыми в Хп множе- ствами веса, не большего т. Но /п замкнуто (124 гл. VI) и, значит, совер- шенно. Значит, из указанного покрытия пространства Хп можно выделить покрытие мощности, не большей т. Поэтому вес всего Хп не превосходит т. Но X — U{*n: n£N+}. Следовательно, в X есть сеть мощности, не большей т. 127. (а) Пусть т — вес У. Из 126 гл. VI следует, что в X есть сеть мощности, не большей т. Но тогда (см. 61 гл. VI) и вес X не превосходит т. Очевидно (в силу непрерывности и открытости отображения), вес У не пре- восходит веса X. Значит, вес X равен весу У. (б) Следует из задачи 126 гл. VI и 227 гл. V.
392 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 128. Рассмотрим точки а £ /, b £ I, а <6. Положим Lb = {х Е Z: х < Ъ}, Ма = {£ Е Г. a <z %}- Ясно, что Lb и Ма открыты в Z, a Ua, ь == = Lb П Ма совпадает с интервалом (а, &). Имеем Ъ = П = В П А, где В = ^~гЬь = {у: [<р(/_1г/)] а Ьь} и А = ^-гМа = {у: П Л}. Зафиксируем теперь точку у* Е В. Вследствие непрерывности отображе- ния ф и нормальности пространства Z, существует такое открытое множество 7 с X, содержащее множество f-^y*, что [qp(V)] cz Lb. Из замкнутости f следует тогда, что /-1(Ж) cz Г для некоторого открытого в Y множества W, содержащего точку у*. Будем иметь [ф(/-1(Ж))] cz [<р(V)] cz Lb. Отсюда следует, что W cz В. Значит, множество В открыто в У. Покажем теперь, что и множество А открыто. Пусть ij С А произвольно. Тогда существует такое х Е X, что fx — у и ф(я) С Ма. Так как ф непрерывно, то существует такое открытое в X множество У, что я Е V и ф(7) cz Ма. Положим W — fV, Отображение f открыто, следовательно, W открыто в У. При этом у Е Ж, /-1/ П У =# Л для любой точки у' Е 17 и П 7)с с Ма, если у' Е Значит, ф(/-1/) П Ма Ф Л для каждого у' Е 17, откуда получаем Ж cz А. Итак, А открыто в У. Учитывая изложенное выше, заключаем, что множество ф"х^7а, ь = В Q А открыто в У. Так как при этом множества вида Ua, ь образуют базу топологии в отрезке I, то функция ф непрерывна. Все доказано. 129. Нет, не каждое. Через л обозначим проектирование квадрата I X I на отрезок I. Мощность множества % всех компактных подпространств пространства I X I равна мощности отрезка I (см. 226 гл. III). Пусть ср — взаимно однозначное отображение I на %. Для каждой точки у Е I через х(у) обозначим любой элемент множества <p(z/) П л~х(у)> если ф(*/) П л~х(у) =£ =/= Л. Если ф(у) Г| л-1(^) — Л, то выберем х(у) Е лгх(у) произвольно. Положим А — {х(у): у Е 1}ч X’ = X \ А и я' = л [ X’. Тогда л': Xr 1 — открытое непрерывное отображение (ибо л открыто и [(л')-1(г/)] — л-1(у) для каждой точки у Е I — см. 340 гл. II). Предположим, что существует компакт F cz X', для которого n'(F) = I. Тогда F Е рассмотрим у' = Ф-Х(Л и х(у'). Так как n'(F) = I, то F 0 л-1(/) =# Л. Следовательно, х(у') Е F, а это противо- речит тому, что х{уг) Е^1, Fez Х\Л. 130. Положим 5оо = {U Е S: I I = Ко}. Из | Sn | < к0, I S | = = х0 и условия (р) следует, что Soo П $п =й= Л, п Е V*. Более того, в силу (а), если U £ Sn Q Soo, то существует V Е Sn+i Q Soo, для которого /V Э U. Последнее замечание позволяет без труда построить по индукции нужную последовательность [Un\ /г Е N*}. 131. Можно считать, что множества и Sy при i j не пересекаются. Тогда S = (J {Sn: п Е N+} — бесконечное множество. Для U Е Sn+t положим f(U) ={fn(U), fn-ifn(U). . . ., А . . ./n(CZ)}, т. е. V£f(U), если существует такая последовательность tZn+1, . . ., одним из членов которой являет- ся 7, что Z7n+i = U и А(1А+0 — Ui ПРИ 1 < * < п. При этом f(Un+i) = Un, где Un+i Е Sn+i и Un Е Sn, в том и только в том случае, когда /n(^n+i) ~ Очевидно, для /, Sn, п Е У+, выполняются условия (а) и (р) из задачи 130 гл. VI. Пользуясь задачей 130 гл. VI, заключаем, что нужная нам последо- вательность {Un: п £ N+} существует. 132. Для каждого U Е Sn+i зафиксируем элемент семейства Sn, содержа- щий U. Обозначим его через fn(U). Таким образом возникает отображение /п: $п+1 __ В силу 131 гл. VI можно так выбрать Un Е Sn, чтобы было fn(Un+i) — = EZn, п Е -V+. Тогда, по определению /п, непременно tZn+1 cz Un. 133. Такая последовательность легко строится по индукции. Пусть уп уже определено, причем /уп покрывает Y и все U Е ?п открыты в X, Поло-
РЕШЕНИЯ 393 жим Хп+1 ={ГсХ: F открыто в X, F содержится в некотором элементе семейства уп и diam(7) < — L~y } • Тогда /Хп+1 — открытое покрытие про- странства У. Следовательно, существует конечное семейство уп+1 элементов из Xn+i, для которого семейство /yn+i покрывает У. Условия 1), 2) и 3) для Yn+i 11 Уп выполняются. 134. Существует (см. 133 гл. VI) такая последовательность z £ Х+) конечных семейств замкнутых в X множеств, что для всех i Е Лг + (1) вписано в yi, (2) fyt покрывает пространство У; (3) если Р Е то diam Р ~. Положим F} = (J {Р: Р Е Уг}• В мно- жестве есть конечная 1/г-сеть (см. стр. 60). Для того чтобы ее получить, надо в каждом Р Е у г выбрать по точке. Отсюда следует, что множество ф ~ р| {/Д: г£Дт+} вполне ограничено. Ясно также, что Ф замкнуто в X, ибо замкнуто в X каждое множество i £ N+, Покажем, что /Ф = У. Пусть у* £ У произвольно. Для каждого i Е N+ положим yf —{Р Е yf- Р П ¥= Л}. Из свойств (1), (2), (3) для последовательности g вытекают следующие свойства для последовательности ={у?: i € Х+}: (1*) у*^_1 вписано в у?; (2*) fP 9 у* для каждого Р Е уг и любого i Е 7V+; (3*) если Р Е TH то diam Р . Кроме того, вспомним, что каждое Р Е у* cz для любого i £ N + замкнуто в X. Теперь каждому элементу Р семейства у^_1 поставим в соот- ветствие некоторый содержащий его элемент семейства у?, который обозна- чим через (р(Р). Теперь для функции выбора ф и для последовательности i Е Х+} применим утверждение задачи 131 гл. VI. Тогда для каждого (в силу этого утверждения 131 гл. VI) i Е N + можно так выбрать Pj Е У*, чтобы ф(Р^+1) = Pi при всех i Е Х+. Из (2*) тогда получаем, что Qi+i cz Qi для любого i Е Лг+, где Qi ~ f^y* Q Pt. Ясно, что каждое Qt, i Е N+, замкнуто в полном метрическом пространстве р). Кроме того, из (3*) и из определения множеств Qi получаем, что diam Qi . Тогда из полноты (/-1у*, р) следует, что F = Я {<2z: * С V+} Л (187 гл. II). Ио F cz Ф и f(F) Э у*, следовательно, /Ф Э у*. Так как у* Е У произвольно, то это означает, что /Ф = У. Заметим, что множество f~xy Q П Ф — компакт для любого у Е У- Все доказано Дадим другое доказательство частного случая этого утверждения, основанное на задаче 141 гл. VI. В силу этой задачи, если (X, р) полно (значит, и полно в смысле Чеха — см. 92 гл. V), а / непрерывно и открыто, то существует замкнутое подпространство Ф с X, для которого /Ф — У и сужение /0 = / I Ф совершенно. Тогда Ф — бикомпакт, как совершенный прообраз (при отображении /0) бикомпактного пространства У (см. 36 гл. VI). 136. В метрическом пространстве (X, р) существует (134 гл. VI) вполне ограниченное подпространство Ф такое, что /Ф — У. Но (261 гл. II) Ф тогда сепарабельно, поэтому существует счетное семейство открытых в X множеств, содержащее некоторую базу каждой точки х Е Ф в X. Тогда ~ {fU: U Е (в силу 135 гл. VI) — псевдобаза пространства У. Очевид- но, | f'$ | к0. Остается сказать, что бикомпакт со счетной псевдобазой обладает и счетной базой (122 гл. III). Другое доказательство для частного случая, когда само X полно, основывается на задаче 141 гл. VI. Приведем ого. Пространство X, как полное метрическое пространство, полно в смысле Чеха (92 гл. V). Пользуясь задачей 141 гл. VI, возьмем замкнутое подпро- 26 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
394 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА II НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ странство Ф с X, для которого /(Ф) = У, а сужение / | Ф = /0 совершенно. Подпространство Ф cz X бикомпактно, как совершенный прообраз (при /0)> бикомпактного пространства У (см. 36 гл. VI). Далее Ф — подпространства со счетной базой, как метризуемый бикомпакт (см. 257 гл. III). Остается теперь заметить, что при совершенном отображении f0: Ф У (см. 41 гл. VI> вес не повышается. 139. Нет, не верно. За Ф примем простейший бесконечный бикомпакт. Лишь одна точка пространства Ф не изолирована — обозначим ее через у*. Кроме того, |Ф\{у*} | = к0. Мы будем считать, что точки множества ф \{у*} взаимно однозначно перенумерованы натуральными числами: ф \ {у*} = {уп: п £ N+}. По определению топологии в Ф, последователь- ность {уп: п g А+} сходится к у*. Пусть X — какой-нибудь бикомпакт, в котором нет нетривиальных сходящихся последовательностей, но есть последовательность т] = {А у i £ N+} непустых попарно не пересекающихся конечных множеств такая, что каждое непустое открытое множество пересекает все члены этой последова- тельности, начиная с некоторого. Такой бикомпакт описан в задаче 132 гл. III. Рассмотрим Z = Ф X X (тихоновское произведение) и непрерывное отображение эт: Z Ф (естественное проектирование на первый сомножи- тель). Положим Sn = {у} X Ап, S* ={у*} X X. F — U{^n: п € Ar+} (J 5* и f = л | F, /: F -> Ф. Тогда F замкнуто в Z. Действительно, если z $ F, то z $ S*, и потому z g{yn#} X X при некотором п* g Но множество {Уп*} х % открыто в Z, ибо {уп*} открыто в Ф и X открыто в X. Имеем ({уп*} X X) р F = — конечное множество. Следовательно, точка z не является предельной для F, поэтому из z g F следует, что z (f [F]. Отображе- ние /, как сужение непрерывного отображения л, непрерывно, а потому и замкнуто, ибо F — бикомпакт, а Ф — хаусдорфово пространство. Наконец, так как при всех п g А+ множество Ап непусто, то fF = Ф. Покажем, что f — открытое отображение. Пусть W открыто в F и у £ g fW. Если ij ф у*, то одноточечное множество {?/} открыто в Ф и ij £{у} cz cz fW. Предположим теперь, что у = у*. Тогда W Q S* =^= А. Выберем х* £ X таким образом, чтобы (у*, x*) g W П S*. Зафиксируем открытое в Z множе- ство £7, для которого U П F = W. В силу определения топологии произве- дения существует такое п* g N+ и такое открытое в X множество V ^х*, что (уп, х) £ U при всех п > я* и х g У. Но V zz> Un0 при некотором и0 € А+. Имеем: если л > л0, то V f] Ап zz> Ап П UnQ =# А. Для всех значений п, больших и0 + «*, выберем хп g V Q Ап. Тогда (уп, хп) g U и (уп, хп) g F. Следовательно, (уп, хп) g U f) F — W. Значит, fW ЭЛуп, xn) = Уп ПРИ все^ п > по + п*, т. е. точка у* входит в множество fW вместе с некоторой своей окрестностью. Этим установлено, что fW — открытое множество, а / — открытое отображение. Покажем теперь, что в F нет ни одной нетривиальной сходящейся после- довательности. Так как пространство 5* — {у*} X X гомеоморфно простран- ству X, ав X нет нетривиальных сходящихся последовательностей, то доста- точно рассмотреть произвольную последовательность 0 —{(уп.> xiF i € А'+} точек множества F \ S*, все члены которой попарно различны, и выяснить, что у нее нет предельных точек в F. Если Г #= г", но Пу = то хг, =/= Ху, так как yn.f = и xv) #= хг„). Если , то, так как х-у g Ay, Ху, g Ay, и Ay Ау, = А, заключаем, что xy =# Ху,. Следовательно, X = {xy i g N+} — нетривиальная последовательность точек простран- ства X. Предположим, что последовательность 0 сходится в F. Тогда последо- вательность X, получающаяся из 0 проектированием произведения Ф X X
РЕШЕНИЯ 395 на X, будет сходиться в X, что невозможно. Итак, в F нет нетривиальных сходящихся последовательностей. 140. Рассмотрим отображение /: F -+ Ф, построенное в задаче 139 гл. VI. В множестве S* cz F (см. 139 гл. VI) выберем произвольно точку г* и положим X* = (^\5*) U {**}, /* = / I X*. Тогда /*: X* Ф — непре- рывное открытое (очевидно, конечнократное) отображение, причем /*Х* = ф. В X* нет нетривиальных сходящихся последовательностей, ибо таких последовательностей нет в F z> X*. 141. См. Пасынков [2]. 142. Пользуясь задачей 141 гл. VI, утверждаем, что существует зам- кнутое в X множество Хо с X, для которого /Хо = У, а сужение /о = / | Хо совершенно. Замкнутое подпространство Хо полного в смысле Чеха про- странства X также полно в смысле Чеха. Тогда пространство У, как совер- шенный образ (при отображении /0) полного в смысле Чеха пространства Хо, также полно в смысле Чеха (см. 48 гл. VI). 143. Для доказательства надо прежде вспомнить, что метризуемое пространство метризуемо полной метрикой тогда и только тогда, когда оно полно в смысле Чеха (см. 92 гл. V), затем вспомнить, что всякое метризуемое пространство — паракомпакт (см. 45 гл. V). Далее надо воспользоваться утверждением задачи 141 гл. VI и вспомнить, что полнота в смысле Чеха сохраняется при совершенных отображениях (см. 48 гл. VI). 144. Пространство X, как метризуемое полной метрикой пространство, полно в смысле Чеха, а У, по условию,— паракомпакт. Мы находимся, таким образом, в условиях задачи 141 гл. VI. Вследствие утверждения этой задачи, найдется такое замкнутое множество F cz X, что fF = У, а сужение /0 = / | F совершенно. Пространство У, как образ метризуемого пространства F при совершенном отображении, метризуемо (см. 49 гл. VI). Далее надо сослаться на задачу 143 гл. VI. 145. Пусть Ф с У - бикомпакт в У. Рассмотрим замкнутое в X множество /"ХФ = Хо и сужение /0 — f | Хо отображения / на подпростран- ство /-1Ф = Хо. Отображение /0 открыто, ибо /-1Ф — полный прообраз множества Ф cz У при открытом отображении / (см. 337 гл. II). Кроме того, Хо = /-1Ф полно в смысле Чеха, как замкнутое подпространство полного в смысле Чеха пространства. Теперь воспользуемся утверждением задачи 141 гл. VI, в силу которого найдется такое замкнутое в Хо, а значит и в X, множество F cz Хо, что fo(F) = f(F) — Ф, а сужение /0 | F = / | F — fi совершенно. Остается теперь заметить, что множество F, как прообраз бикомпакта Ф при совершенном отображении Л, также является бикомпак- том (см. 36 гл. VI). 147. Вспомним бэровское пространство 2?(т) веса т (см. 246, 247, 248 гл. II). Пусть А — множество мощности | А | =т. В В(т) определены стан- дартные базисные множества 1 ft i ft = {£ = {«•: i^N+}eB(x): =alt ..a'k=ak}. Положим Ofc ={6^ * .afe: ai £ А}. Для всякого к g N+ семей- ство 0д — открытое дизъюнктное покрытие пространства В(т), причем diam U „ Для любого Ur. „ . Нетрудно убедиться в том, *1то • • • aft К Г * ’ h семейство 0 = {Z7a a • «i б Л, . . ., ад ЕЛ, к Е N+} удовлетворяет всем u 1 * ft условиям полной измельчающейся Л т-последовательности покрытий и, кроме того, условию дизъюнктности. Далее, если /: X —> У — открытое отображе- ние «на» и 0 —(Ua^ <a : at Е Л, . . ., ад Е Л, к Е N+} — полная измель- чающаяся Л ^-последовательность открытых покрытий на X, то /0= {/Z7a '1- • 26*
396 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ai Е А, . . ., ад Е А, к Е N+} — полная измельчающаяся Аг-последователь- ность открытых покрытий пространства Y (проверка условий не составляет труда). Пусть теперь .а. где А — множество мощности | А | =т к0> есть полная измельчающаяся А ^последовательность открытых покрытий пространства X. Положим yk — — {Vr, w : at E A, . . ., ah E А}. Для каждого k(N+ система гд — откры- тое покрытие пространства X, причем последовательность {v^: к Е Аг+} этих покрытий полна и измельчается. Пусть g — {a^: i Е N+} — произволь- ная точка в В(т) (см. 246 гл. II), где аг- Е А для любого i Е Лг+. Рассмотрим множества , Гг/ п , . . I „ п п , . . . из у. Так как у— полная al ala2 ala2’ • ak измельчающаяся А ^последовательность, то пересечение Q {V : к Е N+} непусто и состоит ровно из одной точки, которую обозначим через х. Тогда положим /£ = х. Здесь g = {af i Е N+} Е #(т) и {#} = р| {Va a : i Е Х+}. Таким образом, определено отображение /: В(х) X. Рассмотрим в В(х) произвольное стандартное базисное множество Z7a0 a0 = {£=--; {az: i E^+)E i ’ k E B(x): aA = a?, . . ., aA==‘ag}. Из определения отображения следует, что fU 0 = V 0. ao...a" ao...a« Учитывая, что v образует базу в X, а 0 = {Z7 „ : ai £ А, . . ад Е А; 1 • ' h к Е N+} базу в В(т), делаем отсюда заключение о непрерывности и открыто- сти отображения. Легко видеть также, что / — отображение на все X. 148. В 147 гл. VI уже показано, что в В(х) имеется дизъюнктная пол- ная измельчающаяся А ^последовательность открытых покрытий. Пусть у = {Va а : ai Е А, . . ., ад Е А; к Е Х+}, где | А | = т,—дизъюнктная пол- ная измельчающаяся Ат-последовательность открытых покрытий простран- ства X. Рассмотрим построенное в 147 гл. VI открытое отображение / бэров- ского пространства В(х) на X. Из условия дизъюнктности Ах-послодователь- ности у следует, что Va а р V t , = Л, если а$ #= а^ для нското- рого i к. Поэтому, если gi - {ah i Е Х+} Е В(т), |2 - fаГ : i Е € В(х) и ф g2, то а^ а? для некоторого i Е 7V+. Через i0 обозначим первое такое i ЕХ+, для которого а- а?. Рассмотрим стандартные базисные множества U , , в U » ,, в В (т). Попятно, что U , , П U „ „ = Л, ai...aio a!...ai0 аг...аг«0 Е U , , , Ъ Е U ,, „ . Имеем fU , V , , , fU „ -- ai...a/0 “ а1...а1-() аг. ..ai() ai...aio == V » V , f Pl V „ = Л, откуда получаем, что /gi /^2- <Х1... cz-i. . . cty. . . 149. В силу 148 гл. VI в X достаточно построить дизъюнктную полную измельчающуюся А ^последовательность открытых покрытий. Пусть А — некоторое множество мощности [А |—т. Так как вес метрического про- странства (X, р) равен т. X — не бикомпакт и dim X = 0, то, пользуясь 153, 154 гл. V и 217 гл. II, легко построить дизъюнктное открытое покрытие vt мощности, равной т. Можно предполагать, что diam U < 1 для любого U Е Vp Осуществим некоторое взаимно однозначное отображение множества А па множество Vj. Тогда Vj = a Е А}; при этом Ua, р, Ua„ = Л, если а' ай. Так как X однородно по весу, то вес каждого подпространства
РЕШЕНИЯ 397 Z7a, также равен т, поэтому (и потому, что £7а — не бикомпакт) мы для каждого U& Е a Е А. сможем построить дизъюнктное открытое покрытие 0а подпространства Ua мощности 10а | -- т. Легко видеть, что каж- дое С7а, а ЕЛ, открыто-замкнуто в X, значит, открыто-замкнутым будет и всякое С/£0а, а£А, Опять можно предположить, что diam U С — для любого U Е0а и любого а Е Л. Снова осуществим некоторое взаимно однозначное отображе- ние ha множества А на множество 0а при каждом а С Л. Тогда каждое U Е0а есть некоторое Uaa/i где Uaa/ — образ а' Е А при данном взаимно однозначном отображении А на 0а. Положим v2 = U{^a: аСЛ}. Тогда v2 ai Е A, a2 Е Л}. Ясно также, что | v2 | = т. Заметим, что U„ „ П U , / = А, если ai Ф аА или если а2 а.'. Кроме того, v2 — «1«2 I aia2 1 / L - дизъюнктное открытое покрытие пространства X. Из построения также следует, что Uai = LH^cW a2 €4}. Теперь пользуясь тем, что Н^а1а2) =т n tfa)O2—не бикомпакт для любого подпространства ^aiCt2 Е v2, проведем те же построения для каждого tZaia2E v2 и т. д. В результате мы получим семейство v = {C7atao_ а • оц Е Л, . . ак Е Л; k£N+} открыто-замкнутых множеств пространства X, для которого будут выполнены следующие условия: (1) vk — {^aia2 <a : «1ЕЛ, . . а^ЕЛ} при каждом фиксированном к Е N+ — дизъюнктное открытое покрытие пространства X; (2) Ur/t„n „ Г\ U , , , = А, если а,- =/= а- для некоторого i < к\ aia2...afe*’ аха2. . .ал 1 1 г (^) ^aia2...a, 1 = U {^aia2. . . а. £А}, 1 (4) diam а <-р Для лт°бых ои Е Л, . . ., ад Е Л. Условия (1), (2), (3) означают, что v есть дизъюнктная Л ^последова- тельность открытых покрытий пространства X. Из полноты метрического пространства X и условия (4) получаем, что v полна и измельчается. Таким , образом, мы находимся в условиях задачи 148 гл. VI, из которой и получаем j требуемое заключение. 150. Пусть Л — множество мощности | Л | = т. Рассмотрим такое открытое покрытие a>i пространства X, что diam U <Е 1 для любого U Е ©i- Ясно, что | 0)1 | Зафиксируем некоторое отображение множества Л на множество юА. Положим Ua ~ gia, где а ЕЛ. Таким образом, o)i — — {^a: а С Л}. При этом вполне может случиться, что Ua ~ Ua„ если даже » a а'. Для каждого a Е Л рассмотрим такое открытое покрытие 0а под- пространства Ua, чтобы diam U для любого U Е0а и любого а ЕЛ. Зафиксируем для каждого а отображение g^ множества Л на множество 0а. Положим Haia2 = gai(a2), где а, £4, a2g4. Тогда 0ai={Haia2: a2£4} и uai= U{^aia2: a2€4}. Положим v2 = U{6a): 6 А}. Тогда v2 = ~{^aia2: ai a2 ЕЛ}. Проведем те же построения для каждого t/Taia2, ai ЕЛ, a2 ЕЛ, и т. д. В результате мы получим систему v=--{t7aiCC2 а^: а4 Е Л, . . .. ак Е Л, к Е А’+}. Легко проверяется, что v — Лг-носледова- 1 тельность открытых покрытий пространства X. Так как diam f7aia2.. .a^ < для любых aj Е Л, a2 Е Л, . . ., ак Е Л, а (X, р) — полное метрическое пространство, то Лт-послодовательность v полна и измельчается. Таким образом, мы находимся в условиях задачи 147 гл. VI, из которой и получаем требуемое заключение.
398 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 151. Решение следует из задач 150 и 144 гл. VI и полноты бэровского пространства (см. 246. 247 гл. II). 152. Вследствие 150 гл. VI, пространство X является образом бэров- ского пространства 2?(т) при некотором открытом непрерывном отображе- нии /. Так как X — паракомпакт (как всякое метрическое пространство), а В(т) — полное метрическое пространство (значит, полное в смысле Чеха), то, вследствие 141 гл. VI, существует такое замкнутое в В(т) множество Г, что /(F) = X и сужение /0 = / I F — совершенное отображение F на X. Теперь надо воспользоваться задачей 78 гл. VI, из которой следует существо- вание замкнутого непрерывного отображения g всего бэровского простран- ства В(т) на свое замкнутое подпространство F. Композиция f0*g есть замкнутое непрерывное отображение бэровского пространства В(т) на пространство X. Другое решение этой задачи основывается на задаче 252 гл. VI и вновь на задаче 78 гл. VI. 154. Регулярное экстремально несвязное пространство, очевидно, имеет базу из открыто-замкнутых множеств. Теперь см. задачу 14 гл. III. 155. (а) Пусть X экстремально несвязно, a Ui X, U2 X — два открытых в X множества, для которых Ui Q U2 = Л. Тогда (см. 37 гл. II) [t/iJ П U2 = Л. Так как [ZZi] открыто в X (ибо X экстремально несвязно), то и [Z7J Q [£72] ~ Л (опять см. 37 гл. II). (б ) Пусть для любых двух непересекающихся открытых в X множеств их замыкания также не пересекаются. Пусть U — произвольное открытое в X множество. Тогда V — X \ [Г] также открыто в X. Кроме того, X — = [Ш U [V] и U П V = Л. По условию, [U] П (И = Л, следовательно, и [V] открыто-замкнуты в X. Все доказано. 157. Пусть Ui и U2 — два непересекающихся открытых в Хо мно е- ства. Возьмем открытые в X множества Vi и V2, для которых Ui = Vt П о. U2 = V2 П Xo. Так как Хо всюду плотно в X, то Vi П Уг = Л, а вследсъ ге экстремальной несвязности пространства X, получим тогда (см. 155 гл. VI) № П I^lx = Л. Имеем (№ П *о) П (1^1 П *о) = Л, ]tfjxo<= П [^2Uo cz [У2]х П х0‘ Следовательно, [#11х0 П 1^2 а0 = Л- Значит, Хо экстремально несвязно (см. 155 гл. VI). 158. Воспользуемся характеристическим свойством расширения Стоу- на — Чеха РХ данного пространства X, указанным в задаче 15 гл. IV. Пусть Г1 и Г2 — два непересекающихся открытых в |ЗХ множества. Рассмотрим открытые в X множества Ui = Г3 П X и U2 — Г2 П X. Очевидно, Ui Г) U2 — == Л, но тогда, вследствие экстремальной несвязности пространства X, получим [Ui]x П [СТУх = Л. Так как, кроме того, [Z7i]x и [Z72Ix открыто- замкнуты в X, то они функционально отделимы (см. стр. 136). Значит (см. 15 гл. IV), [[t/ilxbx П [(^хЬл:“X. Но, кроме того, вследствие плот- ности X в рх, имеем [Г1]рх = [Г± П Х]$х — [[^ilxhx> [Г21₽х = 1Г2 П -^hx = = Из-за всего этого и получаем, что Q [Г,2]рх==Л. Таким образом, рх экстремально несвязно (см. 155 гл. VI). 159. Пространство D, как дискретное пространство, экстремально несвязно. Тогда экстремально несвязно его расширение Стоуна — Чеха (см. 158 гл. VI). 160. Экстремальная несвязность пространства X явится следствием того, что /: X ->• Y — гомеоморфизм. Ясно, что надо только доказать взаим- ную однозначность отображения /, ибо известно уже, что / непрерывно и замкнуто. Итак, пусть х± С X, х2 С X, Xi =^= х2. Рассмотрим окрестности U^i и Ux2 этих точек (X — хаусдорфово пространство), для которых Uxt f) Ux2 — Л. Тогда, очевидно, f^Uxi Q f^Ux2 ~ Л, где /# Uxt = {у £Y: cz Uxt} = Y \ /(X \ Uxi), i — 1, 2. Из задачи 109 гл. VI следует, что эти множества открыты и непусты в У, ибо / замкнуто и неприводимо. Тогда вследствие экстремальной несвязности пространства У (пользуясь задачей 155 гл. VI), получим (*) л I/# Ux2] = Л.
РЕШЕНИЯ 399 Кроме того (см. НО гл. VI), 1хх Е /[C7^i] — [f^t7^], fx2 £ /[Ux2} — [/#СЛг2]. Учитывая равенство (*), получаем fxi fx2, что и требовалось доказать. 161. Существует открытое в X множество Р, для которого Р р Y = Р. Множество Р замкнуто в X (ибо У замкнуто в X) и Р о Р. Так как X нор- мально, то существует открытое в X множество U, для которого Р гэ [{/] zd zd U гэ Р. Положим G = [Г]. Тогда G открыто в X (ибо X экстремально несвязно), G zP и с Р П с Р- Значит, СП У= Р и G — искомое открыто-замкнутое множество. 162. Действительно, X есть некоторое бикомпактное расширение ЬХ0 пространства Хо, ибо Хо плотно в X. Тогда существует естественное непре- рывное отображение h: рХ0 ЬХ0 (см. 22 гл. IV) расширения Стоуна — Чеха рХ0 пространства Хо на экстремально несвязной бикомпакт ЬХ0 = X. Очевидно, h — неприводимое отображение, ибо hx — х и h~xhx = х для любого х С Хо (см. 27 гл. IV). Тогда (вследствие задачи 160 гл. VI) отображе- ние h — гомеоморфизм, следовательно, РХО = X, что и требовалось доказать. 163. Так как Di [Z>2] = А» [Pi] П Р2 = Л и X регулярно, то мы можем воспользоваться задачей 19 гл. III, в силу которой найдутся такие открытые в X множества Ui и U2, что Di cz Uit D2 cz U2 и. Ui П U2 ~ Л. Тогда, в силу экстремальной несвязности X, получим [PJ [172] = Л. 'Следовательно, [PJ Q [Р2] == Л. 164. Так как | Dt | < х0, | Р2 I < No, то Di и Р2 — финально ком- пактные подпространства. Поэтому мы находимся в условиях задачи 163 гл. VI. 165. Ясно, что [Р]х есть некоторое бикомпактное расширение bD пространства D. Для того чтобы доказать, что bD = рР, достаточно (см. 16 гл. IV) показать (в силу нормальности подпространства Р), что для любых двух непересекающихся замкнутых в D подмножеств Di и D2 их замыкания в bD — [Р]х также не пересекаются. Итак, пусть Di cz Р, D2 cz D — замкнутые в D подмножества (кстати, в D любое подмножество и открыто, и замкнуто, ибо D — дискретное под- пространство), для которых Di D2 = Л. Очевидно, Di и D2 — дискретные подпространства бикомпакта X и [PJX П ^2— Л, [Р2]^ П — Л. Поэтому, пользуясь задачей 164 гл. VI, заключаем отсюда, что [PJ^ П — Л. Кроме того, очевидно, [Pj]x cz [D]x = bD и [P2]x cz [P]y = bD. Поэтому П = Л. Значит, [P]x = bD = PP = PV. 166. Следует из задачи 165 гл. VI и того, что в бесконечном регу- лярном пространстве существует бесконечное счетное дискретное подпро- странство. 167. Следует из задачи 165 гл. VI. 168. Надо рассмотреть расширение РХ Стоуна — Чеха нашего экстре- мально несвязного вполне регулярного пространства X, воспользоваться задачей 158 гл. VI, а потом задачей 167 гл. VI. 169. Из условия (к) следует, в частности, что подпространство Р дис- кретно, а следовательно, нормально. Поэтому, если мы покажем, что из Pi cz Р, Р2 с Р и Pi П Р2 = Л следует [PJ П [Р2] ~ Л, то, в силу 16 гл. IV. мы и докажем, что [Р] совпадает с РР. Положим Г*! = IJ {Ud: d £ Di} и Г2 = U {Ud: d f P2}. Так как у = = {Pd: d G D} дизъюнктна и Dt f) P2 = Л, to f] Г2 — Л. Ясно, что I\ и Го открыты в X. Значит, вследствие экстремальной несвязности X '(см. 155 гл. VI), непременно [TJ П [Г2] = Л. Следовательно, [PJ И [Р2] = = Л, ибо [PJ cz [FJ, [Р2] cz [Г2]. 170. Первая часть очевидна. В качестве примера годится канторово совершенное множество (см. 185 гл. II), ибо в экстремально несвязном биком- пакте нет нетривиальных сходящихся последовательностей (167 гл. VI), & в канторовом совершенном множестве такие последовательности есть. 171. Утверждение является следствием задач 166 гл. VI и 53 гл. IV.
400 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА II НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 172. Нет. Рассмотрим |ЗЛТ — расширенно Стоуна — Чеха дискретного натурального ряда. Оно экстремально несвязно (см. 159 гл. VI). Но (ЗХ \ 7V замкнуто в PN и не экстремально несвязно — см. 178 гл. VI. 173. (а) Если X — экстремально несвязный бикомпакт и Хо с X — его всюду плотное подпространство, то РХО совпадает с X (см. 162 гл. VI), (б) Пусть бикомпакт X является расширением Стоуна — Чеха всякого своего всюду плотного открытого подпространства. Пусть U cz X — произ- вольное открытое в X множество. Рассмотрим открытое в X множество V - X \ [U]. Ясно, что U 0 V = Л. Положим W = U IJ У. Из определе- ния множества Г следует, что W открыто и всюду плотно в X. Кроме того, U и V открыто-замкнуты в пространстве W, а так как, кроме того, они не пересекаются, то они функционально отделимы в подпространстве W. Поэто- му, поскольку pJ'V X, непременно [(7]^- 0 [V]x “ А (см. 15 гл. IV). Отсюда и из очевидного равенства X = lW]Y — [Z7 (F = [t/Jy U следует, что множество f£70Y открыто. Значит, X экстремально несвязно. 174. Предположим противное. Пусть существует бикомпакт Y и взаим- но однозначное непрерывное отображение /: Хо Y* ДХ0) =- Y, Так как любая точка d Е D не изолирована в X, то открытое в X множество X \{d} для любого d Е D всюду плотно в этом бикомпакте. Значит, Хо— 0 {(Х\{d}): d Е D} всюду плотно в X, как пересечение счетного семейства открытых и всюду плотных в бикомпакте X множеств (см. 88 гл. III). Поэтому, в силу экстремальной несвязности бикомпакта, из задачи 162 гл. VI следует, что рХ0 совпадает с X. С другой стороны, раз рХ0 н= X, то существует продол- жение отображения f: Хо Y до непрерывного отображения /: X -> У (см. 31 гл. IV). Так как X и У — бикомпакты и / непрерывно, то / и совер- шенно. Тогда, поскольку D дискретно, подпространство ~fD cz У также дис- кретно. Кроме того, очевидно, | fD | < х0, ибо | D | = h*0- Для каждой точки р Е fD зафиксируем ее окрестность Vp в У таким образом, чтобы семей- ство 6 ={Ур: р Е fD} было дизъюнктным (это сделать можно, ибо fD счетно, является дискретным подпространством и принадлежит нормальному про- странству У — см. 22 гл. III). Семейство /-10 — {f^Vp: р £~{D} также дизъ- юнктно и состоит из открытых в X множеств. Рассмотрим еще множество A = 7“1(7(-О)) п множество Е = А 0 Хо. Ясно, что | Е | < No» D дискретно. Пользуясь определением множества Е, семейства /-1 0 и экстремальной несвязностью бикомпакта X, нетрудно доказать, что [2>] 0 [£] --- Л. С другой стороны f [/)] = [//)], ?[£]_^ Г/А'], fD — fE — fE. Поэтому имеется точка у0€ У, для которой /“^о = = я0, х0 Е X и xq Е *о € [£>L Т. е. [£] 0 [j9] =/= Л. Получили противо- речие. 175. Во всяком бесконечном бикомпакте X лежит счетное бесконечное дискретное подпространство D. Занумеруем точки из D в последовательность: D — {dp i Е N+}. Для каждой точки dt Е D зафиксируем ее окрестность Uf в X таким образом, чтобы семейство y={Up. г Е Х+} было дизъюнктно. Положим Uq = X \ [ 0 {Up i Е Х+}], у* — {Up i Е N} и W = IJ {Dp i Е Лт} (можно предположить, что Uo =£ Л). Определим отображение / под- пространства W на N следующим образом: положим fx — i, где i Е Лг, если х Е Щ. Легко видеть, что /: W -+ N непрерывно, где N— пространство натуральных чисел с дискретной топологией. Кроме того, понятно, что W плотно в X. Так как X — экстремально несвязный бикомпакт, то совпадает с X (см. 162 гл. VI). Тогда существует продолжение отображения / до непрерывного отображения /: X (ЗХ, /(X) = рХ. 176. Бесконечный экстремально несвязный бикомпакт X содержит топологический образ (см. 166 гл. VI), а рЛг ненаследственно нормально (см. 56 гл. IV). Значит, ненаследственно нормально и X.
РЕШЕНИЯ 401 177. Как известно (см. 335 гл. II), отображение /: X У открыто в том и только в том случае, когда cz I/"1/?] для любого подмножества В cz Y. Пусть Ус У — произвольное открытое в У множество. Множество /-17 открыто в X, a [f~rУ] открыто-замкнуто в X (пбо X экстремально несвязно). Тогда /-1[Г] cz [/-1Г]. Поэтому //-1[7] = [7] cz /[/'4’1 cz cz [//~1V] = [ 7] (здесь мы воспользовались еще раз непрерывностью отобра- жения /). Так как / — открытое отображение, а [/-1Г] — открытое в X множество, то множество /[/“х7] открыто в У. Тогда из доказанного включе- ния [V] cz /[/~х7] cz [7] следует совпадение множества [7] с открытым в У множеством /[/-х7]. Значит, У экстремально несвязно. 178. В пространстве X существует семейство у мощности 2> 0 непу- стых попарно не пересекающихся открытых (в X) множеств (см. 52 гл. IV). В каждом U С У зафиксируем точку x(U) Е U. Положим D — U Е у}. Очевидно, D — дискретное подпространство. Предположим теперь, что X экстремально несвязно (мы заметим при этом, что X — бикомпакт). Тогда мы находимся в условиях задачи 169 гл. VI. Тогда [Z?]Y совпадает с $D. Поэтому (см. 180 гл. VI) | [Z)]A | — | | = 22'D| — 22"* . Так как | РЛ7 | — 22*0, то | [Р]А |>| PV |, что противоречит включению [P]AczXcz [37V. 179. Нет, не сохраняется. Простейший бесконечный компакт является непрерывным образом pTV. 180. Решается аналогично задаче 53 гл. IV. Нетривиально доказывает- ся, что | рР | 22Т. Для этого надо воспользоваться тем, что тихоновское произведение 2х экземпляров дискретных двоеточий имеет всюду плотное множество мощности т (см. 381 гл. II). Отсюда выводится, что рР непрерывно отображается на это произведение. 181. (а) Пусть ср — какое-нибудь отображение множества у на себя, при котором ни один элемент нс остается на месте. Положим V(U) — U (J U \ (?), где Q = (J {U: U Е у}, U Е у. Тогда V(U) zz> Р, Р—U{7(P): U£y} zz> Q и /(7(Р)) cz fU U cz Q cz P. Если P #= P', to фР qu', и потому фР О фР' = Л, /~х(фР) Р /-1(фР') = Л. Отсюда, ввиду U р| U' — A, мы легко выводим, что 7(Р) р 7(Р') = Л. Из непре- рывности / следует, что 7(Р) открыто-замкнуто (мы учли, что все элементы семейства у открыто-замкнуты). Очевидно, |{7(Р): Р Е I — | у | = Аг. Чтобы заключить, что % = {7(Р): Р Е является (/, ^-семейством, остается проверить выполнение условия 1) для семейства X. Имеем /(7(Р)) П 7(Р) cz CZ (fU и фР) П У (U) (= (<2 \ Р) П (Р и (X \ Q)) = Л. Соотношение 7(Р) zz> U означает, что у вписано в %={7(Р): Р Е ?}• Далее, f~1Q = = IJ {/-1 Р: U Е у} = U {/-1(фР): U Е у} = U {Р U (Mp(P) \ 0: Е у} = = UO’W)’- Р Е ?} = Р- Утверждение (а) доказано. (б) Положим у! = у и в предположении, что определено (/, АО-семей- ство уг, примем за yz+1 какое-нибудь такое (/, /г)-семепство, чтобы /-x(yz) = = <УН1> и У1 вписано в у^ (из (а) следует, что такое у/+1 существует). Рас- смотрим последовательность {yn: п Е 7V+} построенных (/, А:)-семейств уп, п Е 7V+. Так как уп при каждом п Е V4* является (/, &)-семейством и уп вписа- но в уп+1 для всякого п Е 7V+, то при каждом п Е 7V + элементы семейства уп можно так снабдить индексами: уп ~{Uf: i = 1, 2, . . к}, что Р?1 cz Uf2 при щ < п2 и любом I и, кроме того, Р^1 Q U^2 = Л при ц i2 и любых п2. Положим Wf = [J {Р™: п Е 7V+}, i = 1, 2, . . ., к. Разумеется, {Wf. I = 1, 2, . . ., к} не обязано, вообще говоря, быть (/, А^-семейством, ибо Wi может не быть замкнутым множеством. Однако каждое Wt открыто 11 П — Л, если i' i". Положим 7f = [Т7Д, t — 1, 2, . . ., к, и рас- смотрим семейство р, ={7f: i ~ 1, 2, . . ., к}. Так как X экстремально несвязно, то каждое 7^, i — 1, 2, . . ., к,— открыто-замкнутое множество.
402 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Кроме того, вследствие той же экстремальной несвязности (см. 155 гл. VI), непременно Vv fl Vy = Л при Г =/= I", ибо fl И7-,, = Л. Из равенства fUf fl Uf = Л легко выводится, что fl fWt = Л. Так как / непрерывно, то jVi = flWj] cz U{LfHzj): 7 =£ i, j = 1, 2, . . ., к}. Значит, p, является (/, ^-семейством. Очевидно, у вписано в ц. Проверим, что /^(р.) = (р>. Положим G = U {И7;: i — 1, 2, . . ., к}. Имеем: G = J {<Tn>: п £ 2V+}, (yn> cz cz (Vn+i) и = <Тп+1>- Поэтому f^G — G, Кроме того, очевидно, (р) == — [G]. Значит, в силу непрерывности отображения / получим включение /-4G] [G], Докажем обратное включение. Предположим, что у С X и /-1у £ $ [G]. Тогда, так как / —замкнутое отображение, то для некоторой окрестно- сти Оу точки у имеем включение f-10y cz X \ [G] (см. 325 гл. II). Тогда f~rOy fl f^G^f-^Oy fl G = Л. Следовательно, Оу fl G = Л и у С [G], Тем самым доказано, что /-1[6^] cz [G]. Итак, окончательно имеем равенство /"4G] = [G]. Утверждение (б) полностью доказано. (в) Имеем: <f = {(уа>: а £ А}, где (уа,) fl (уа„) = Л при а' =# а7' и у a = {Uf: i = 1, 2, . . к} является (/, &)-семейством. Положим И7г- = = U{^?: аЕЛ}, 1=1, 2, ..., к. Тогда /Wf fl Wt = Л, i = 1, 2, . . ., к, и/(и{И^: i = 1, 2, . . ., к}) cz U{W^: i — 1, . . к}. Так же, как и при доказательстве утверждения (б), устанавливается, что p={Vf i — 1, 2, . . . . . ., к}, где Vi — [TVJ, является (/, /г)-семейством. 182. 1) Зафиксируем ж* С X, для которого у* = f(x*) х*. Положим А = f(X). По условию, А замкнуто в X. Выберем непересекающиеся открыто- замкнутые в X множества U и V, для которых U Э V Э У* и fU с. V. Множество fU открыто-замкнуто в А; поэтому (161 гл. VI) найдется открыто- замкнутое в X множество Ж, для которого W fl А = fU. При этом можно считать, что W fl U = Л, заменив в противном случае W на W' = (X\U) fl fl W. Положим теперь U$ ~ U, Ui = И7 и предположим, что для некоторого целого к 1 уже определены открыто-замкнутые в X попарно непересе- кающиеся множества Uy i = 1, ...» так что f(Ui^) \ С70 = A fl t7f. Тогда Uk fl А = / (*4-1) \ Uq и fUkaA. Поэтому Ut fl fUk cz fl 4 cz CZ/t/j-i и Ui fl fUk cz fUt-i fl fUk = Л при всех i — 1, . . ., к (мы учли, что Ui-i fl Uh = Л). Итак, множество fU^ открыто-замкнуто в X и fUk cz Х\ U {Uf i — 1, . . ., к}. Примем за U^i какое-нибудь открыто- замкнутое в X множество, для которого U^+i fl А = fU^ \ Uo и Uk+i cz X \ (J {Uf i — 0, 1, . . ., к} — такое множество суще- ствует в силу 161 гл. VI. Продолжая, мы получаем такую беско- нечную последовательность Uo, U±, . . ., С7д, ... открыто-замкнутых в X попарно непересекающихся множеств, что fUt cz Uo (J Ut+i при всех i = = 0, 1, . . ., к, ... Некоторые из множеств Ut могут быть пусты. Положим Go = Uo, Gi = U{^2i+i‘ i С N}, G2 = U{^2j- i € N+}- Тогда, очевидно, /(<?o U Gi U G2) = /(U {Uf i e TV}) cz IJ{ Ui: i € N} = Go U Gi U G2 и /Gt cz cz Go (J G2, /Go cz Gj, fG2 cz Go (J Gi, t. e. /Go fl Gq — A, /Gt fl Gi — Л. /G2 fl G2 — Л, ибо множества Go, Gi и G2 попарно не пересекаются. Из экстре- мальной несвязности пространства X с очевидностью следует, что множества [Go], [GJ и [G2] также попарно не пересекаются (см. 155 гл. VI). Нетрудно убедиться в том, что у ={[G0], [GJ, [G2]} образует (/, 3)-семейство. Множе- ство же G = [Go] U [GJ U во-первых, непусто, ибо точки ж* и у* ему заведомо принадлежат, а во-вторых, (/, 3)-разложимо. 2) Зафиксируем в X какое-нибудь непустое (/, 3)-разложимое множе- ство F. Семейство {F}. в согласии с принципом Куратовского — Цорна (стр. 18), можно дополнить до максимального дизъюнктного семейства у (f, 3)-разложимых множеств. В силу 181 (в) гл. VI получаем, что Ф = = IU {Р € ?}] — (Л 3)-разложимое множество — очевидно, непустое. Из 181 (б) гл. VI следует, что существует (/, 3)-разложимое множество А, содержа- щее Ф, для которого /“ХА = А.
РЕШЕНИЯ 403 Условие (IF) выполняется. Если 4' П = Л, А' =£ Л и А' является (/, 3)-разложимым, то А' р| Ф = Лиу-{Л'} |J 7 — дизъюнктное семейство (/, 3)-разложимых множеств, строго содержащее у, что противоречит макси- мальности 7. Значит, и условие (II") выполняется. 3) Рассмотрим множество 4, удовлетворяющее требованиям 2). Оно открыто-замкнуто как всякое (/, &)-разложимое множество. Из /-14 = А следует, что fB cz В, где В = X \ А. Рассмотрим сужение f* гомеоморфиз- ма f на открыто-замкнутое подпространство В пространства X. Очевидно, множество f*B замкнуто в В, Если f* — нетождественное отображение, то можно, отнеся утверждение 1) этой задачи к гомеоморфизму /*: В -> В, найти в В непустое (/*, 3)-разложимое множество С. Ясно, что С будет и (/, 3)-разложимым. С другой стороны, С П А = А, ибо С cz В и В = Х\А. Мы тем самым получили противоречие с утверждением (1Г). Итак, f*x = = х = fx для любой точки х 6 В. Все доказано. 183. Это утверждение прямо вытекает из определений и утверждения 3) задачи 182 гл. VI. 184. Еслц бикомпакт X состоит из трех элементов 1, 2 и 3 и отображе- ние / таково: /(1) — 2, /(2) = 3 и /(3) = 1, то, как легко показать, в X нет непустого (/, 2)-разложимого множества. 185. Действительно, вследствие 183 гл. VI, множество U всех непо- движных точек для гомеоморфизма / открыто-замкнуто в X. Ясно, что U cz /(X). Поскольку /(X) нигде не плотно в X, непременно U — А. 186. Зафиксируем некоторый гомеоморфизм ф пространства X на Y. Так как F zz> У, то Y также нигде не плотно в X. Значит, в силу 185 гл. VI, гомеоморфизм ф не имеет неподвижных точек. Возьмем точку х Е F и рассмо- трим у = фж. Так как, очевидно, ф(7?) с У с ?, то у С У cz F. Кроме того, х Ф у, ибо ф не имеет неподвижных точек. Предположим теперь, что существует такой гомеоморфизм /: F F, что fy — х. Рассмотрим гомео- морфизм g = /ф, являющийся композицией гомеоморфизмов ф и /. Ясно, что g отображает все X в У. Имеем: g(x) — f(q(x)) = fy = х, т. е. гомео- морфизм g: X X, где g(X) нигде не плотно в X, имеет неподвижную точку (а именно, точку х}, что противоречит задаче 185 гл. VI. Итак, F неоднородно. 187. Возьмем счетное бесконечное дискретное подпространство D cz X. Но X с |Ж а [ЗА — экстремально несвязный бикомпакт (см. 159 гл. VI), следовательно (в силу 165 гл. VI), непременно == рР, где рР — рас- ширение Стоуна — Чеха подпространства D. Ясно, что РР гомеоморфно рАг, PD сХ, X нигде не плотно в рА. Поэтому мы находимся в условиях задачи 186 гл. VI, в силу которой X = рА \ N неоднородно. Другое решение основы- вается на задачах 144 и 146 гл.1. 188. Рассмотрим множество Ра(ж0) — U И Е а: х0 $ А}. Так как каж- дое А Е а — замкнутое в X множество, а а — покрытие конечное (или локально конечное в X), то Ра(я0) замкнуто в X. Тогда xQ Е X \ Ра(я0) cz cz а(я0), откуда следует, что х0 — внутренняя точка множества а(я0), т. е. х0Е Е Int а(^о)’ 189. (а) Предположим, что для элемента 4^2) Е «2 имеются два различных элемента Af* Е 04, Af* Е 04, для которых A?(za2) cz A?1, 4“(^2)cz cz А?1. Тогда Int 4^2)cz Int 4“*, Int 4?^cz Int 4^, следовательно, Int 4^ П Int 4^ А, что противоречит каноничности покрытия 04. (б) Возьмем произвольный элемент 4^Е 04. Возьмем точку х§ Е Int Af1 и элемент 4^2, для которого #0 Е 4“2. Докажем прежде всего, что 4“2<z:4^1. Прежде всего Int 4?1 Q 4^2 =# А, следовательно, Int A?1 f] Int4^2=^A. Так как а2 > 04, то имеется элемент 4 J? Е а1? для которого 4“2cz А?,1 .
404 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА II НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Поэтому из Int Af1 П IntAj2^ Л следует, что Int Af1 Q Int Л^1 д, ибо Int Af2cz Int Af,1. Следовательно, так как — каноническое покрытие, Af,1 = Af1. Итак, если Л®2 С а2 таково, что АQ Int Af1 =/= Л, то непре- менно A^ClAf2. Отсюда'следует, что Int Л^с (J {Л Е а2: A Q Int Л?1 А}, откуда, вследствие замкнутости множества J (Л Е а2: Л р] Int Af1^ А}, получаем Л^1 = [Int Af1} cz tJ{Л Е а2: А р, Int Л?1 =/= А}. Так как из А Е а2, А Р] Int Л?1 =/= А следует A cz Af1, то Af1 = J {Л Е «2: A [ , Р Int Af1^ А}. Остается заметить, что из А Е сс2. A cz Af1 следует, что А р Int Af1 Л, после чего можем написать, что А^= IJ {Л Е «2« ЛссЛ^1}. 190. Положим а0 = {Int Л: А Еа), ₽° = {Int В: В Е Р}. Ясно, что а° и ро состоят из попарно не пересекающихся открытых множеств. Кроме того, множества а° — U {Int А: А Е а} и ро = |J {Int В: В Е Р} плотны в X. Рассмотрим систему у0 = {(Int А р| Int В): А Е а, В Е Р» Int Л f'| Int В ФА}. Ясно, что уО состоит из попарно не пересекающихся открытых множеств, причем множество у° =|j {(Int Л р Int В): А Е а, В Е Р} плотно в X. Тогда понятно, что у— {[(/]: U Е Y0}— каноническое покрытие пространства X, причем у = а Д р (см. определение на стр. 345). Если А Е а, В Е Р, то, оче- видно, [Int А р Int Z?] cz [Int Л] = А и [Int Л р Int В] cz [Int 5] = В. Значит, каноническое покрытие у — а Д Р вписано и в а и в р, т. е. у > а, У > Р- 191. Аксиомы частичного порядка легко проверяются. Направленность семейства (X) следует из задачи 190 гл. VI. 192. (а) Пусть пространство X регулярно. Пусть точка xQ Е X и ее окрестность UxQ произвольны. Возьмем, в силу регулярности X, окрест- ность U'x0 точки .т0, для которой [U'xQ] cz Ux0. Теперь рассмотрим канони- ческое покрытие а0, состоящее из двух канонических замкнутых множеств, а именно, множества [ U'xq] и множества [X \ [Z7'^o]J- Очевидно, звезда точки xq относительно покрытия а0 совпадает с множеством а сле- довательно, содержится в UxQ, значит, семейство 21 (X) измельчается. (б) Обратно, пусть 21 (X) измельчается. Возьмем произвольную точку xq Е X и произвольную се окрестность Uxq. В силу измельчаемости системы 21 (X) найдется такое каноническое покрытие а0 Е 51 (X), что а0(т0) cz UxQ. Из 188 гл. VI получаем, что х0 Е Int ао(^о)- Положим U'x0 = Int а0(я0)- Имеем: х0 Е U'xq cz [U'x0] — [Int а0(я0)]^ ао(*о) cz Ux0. 193. Пусть g — отмеченная нить в 21 (X), Xi Е П {А: А Е 1} и хг € Е р,{Л: Л Е 5}- Предположим, что xt %2- Так как X — хаусдорфово про- странство, то существует такая окрестность Uxi точки х^ что х2 4 [J7#iL Рассмотрим каноническое покрытие а0> состоящее из двух множеств: [Z7^J и [X \ [ £7rq]]. Тогда, по определению нити, либо [Ux^} £ g, либо [X \ [ C7:q]]E Е £ (одновременно принадлежать | они нс могут). Если [Ux}\ Е В, то х2 4 4 П {Л: А Е В}, ибо х2 4 [Uxi]. Получили противоречие. Если [Х\ [Е то х^ 4 f i{A: А Е ?}, ибо х& [X \ [C7^i]]. Опять получили противоречие. Значит, множество П{Л: А Е 1} одноточечно. 194. (А) Пусть ц есть х-система (отмеченная точкой я0). Через .^(Л) обозначим все х-системы (отмеченные точкой x.q Е А), содержащие т). Пусть £1 € ,4- (л) и Ё2 Е .^(л)- Будем считать, что ?2 > ^, если cz £2. Тогда ^/(Л) частично упорядоченно. Пусть cz .л?(л) — гнездо (см. определение' на стр. 18) в частично упорядоченном множестве ^/(л). Для того чтобы пока- зать, что имеет в <#(л) максимальный элемент, требуется доказать, что = lj«{5: £ С #9 есть х-система (отмеченная точкой xQ Е X), что прове- ряется^без труда. Теперь из принципа максимального элемента (см. стр. 13) следует, что максимальный элемент существует и во всем ^(л), т. е. л содер- жится в некотором х-ультрафильтре (отмеченном точкой xq Е X).
РЕШЕНИЯ 405 (Б) Пусть теперь т] — х-ультрафильтр. 1) Если Ai Е Л- Л2 € Л’ т0’ присоединив к системе л множество [Int р р Int Л2], мы не нарушим свойства х-центрированности. Значит, вследствие максимальности т], непременно [Int A i р IntA2] Е тр 2) Это утверждение также легко устанавливается. 3) Пусть В Е 93(Х) и Int В р Int А А для любого Л С Л- Положим —{5} U т| U {{Int В р Int А]}: Л Е Л}- Нетрудно убедиться в том, что т|* — х-система. Поэтому, вследствие максимальности х-системы л (веДь р — х-ультрафильтр), мы получаем, что г| = л*- Значит, В Е Л- Итак, всякий х-ультрафильтр удовлетворяет условиям 1), 2), 3). Обратно, пусть х-система л такова, что для нее эти условия выполнены. Предположим, что т] содержится в некоторой х-системе л*♦ Тогда во всяком случае будем иметь Int В р Int Л А, если В £ л* и А Ел с Л*’ Но для л выполнено условие 3). Значит, В Е Л’ откуда получаем, что т|* обязана совпадать с л» т. е. л — х-ультра- фильтр. (В ) Получается из предыдущего утверждения. 195. (А) Пусть § — х-ультрафильтр. 1) Пусть а Е (X) — произвольное каноническое покрытие простран- ства X. Надо доказать, что существует такое Л Е что А Е I- Предположим, что такого Л С а нет. Тогда, пользуясь задачей 194 (В) гл. VI, можно утверж- дать, что для каждого Л Е а непременно [X \ Л] El- Отсюда (в силу 194 (Б) гл. VI) будем иметь [р {Int[X \ А]: А Е а}] Е I- Но Int[X\A] = Х\Л и р {(X х Л): Л Е ~ X \ U {Л: Л Е «} = А. Итак, Л £ £. Получим противоречие. Теперь пусть At Е а, Л2 С а и At El, Л2 El- Тогда Л2 cz cz [X \ AJ и [X \ А^ Е I (см. 194 (Б) гл. VI). Получаем противоречие с задачей 194 (В) гл. VI. Итак, g р а непусто и состоит ровно из одного эле- мента для любого а С 91 (X). 2) Пусть at Е 91(Х), а2 € Й(Х) и а2 > Пусть {AJ = g Р ап {А2} = I Р а2, т. е. Лр соответственно Л2, есть тот единственный элемент из а4, соответственно из а2, который принадлежит Надо доказать, что Л2 cz ЛР Но это включение следует из 189 гл. VI и только что доказан- ного в 1). (Б) Пусть теперь g — нить в 9ЦХ). Надо доказать, что g — х-ультра- фильтр. Пусть Л1 Е I» Л2 Е I- По определению нити, имеем {AJ = | р {Л2} — £ Р а2 для некоторых канонических покрытий 04 и а2. Рассмотрим каноническое покрытие а3 = оц Д а2. В задаче 190 гл. VI доказано, что «з > «о «з > «2- Теперь рассмотрим элемент Л3 С I Р а3. Тогда, по опре- делению нити, непременно А3 cz Л1} Л3 cz Л2. Но а3 = Д а2, значит, А3 — [Int А' р Int А"], где Ar Е 04, А" С «2- Ясно, что непременно должно быть А1 = Л', Л2 — А". Таким образом. А3 ~ [Int А4 р Int Л2| С I- Отсюда, в частности, следует, что £ является х-центрированнок, т. е. 5 есть х-система. Предположим теперь, что 5—немаксимальная х-система, т. е. £—не х-ультра- фильтр. Тогда % содержится в некотором х-ультрафильтре Из доказанного в (А) настоящей задачи получаем, что | р а непусто и состоит ровно из одного элемента для любого а Е 91 (X). Получили противоречие с тем, что меньшая подсистема | уже этим свойством обладает. Итак, g — х-ультра- фильтр. Заметим теперь, что, очевидно, если £ — отмеченная нить, то £ есть и отмеченный х-ультрафильтр. Верно и обратно. Все доказано. 196. Рассмотрим систему |0, состоящую из одного элемента, а именно, множества Ло. Понятно, что £0 — х-система, отмеченная точкой я0, ибо Xq Е Л о- В силу 194 (А) гл. VI существует х-ультрафильтр g, который тоже отмечен точкой х0 и для которого 5о cz g, т. с. £ — такой х-ультрафильтр, что А о Е I и {.r0} = Р{А: А Е I}- Но (195 гл. VI) всякий х-ультрафильтр (отмеченный данной точкой) является в то же время нитью (отмеченной той же точкой). Все доказано.
406 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 197. Действительно, из 196 гл. VI следует, что для любой точки х Е X существует отмеченная точкой х нить В, т. е. такая нить, что {х} = Q{4: А £ В}- По определению натурального отображения, тогда лхВ = х. 198. (а) Пусть Во € ЩЯ) — произвольная точка. По определению тихо- новской топологии в Р = П{а: а Е Sl(X)}, множества вида О(А^ , . ф , • • - = еР: A«at € g, . . ., 4°, е В}, где 4^ € сц, . . ., 4»s 6 ae, 6 С ?1(Х), . . ., as Е $(Х), образуют стандартную базу топологии в Р = = П{а: а £ $(Х)}. Пусть О(А^±, . . 4^) — произвольная окрестность точки Во € Е(Х) в Р из стандартной базы в Р. Тогда понятно, что О(А^ . . ф ..Л«я) 0 Е(Х) = <4»4.........4»s) = {g е S(X): 4»4 eg,..., 4^ е В}— окрестность точки Во Е S(X) в S(X). Рассмотрим (пользуясь 191 гл. VI) каноническое покрытие <х0 Е 91(Х), для которого а0 > аг-, i = 1, 2, . . s. Возьмем элемент А^ £ а0, являю- щийся представителем нити Во в «о, т. е. {4 у = Во П ао- Теперь рассмотрим множество (4®о) = {В Е S(X): 4®о Е В}- Понятно, что (4 у есть окрестность точки Во в В(Х), ибо (Гу = О(4®0) р S(X), где О(А^) = {В ЕР: Ay Е 6}, С а° — одноиндексная стандартная окрестность точки Во в Р. Докажем, что 4у. Пусть В Е Му. Это значит, что А»о Е %, где А^ е а0. Так как 4®0 Е Во (ведь (Гу — окрестность точки Во), 4® 4 Е Е Во, • ^as Е Во и а0 > 04, . . -, «о > «в, то 4^о cz 4£. для каждого i — 1, 2, . . ., s. Отсюда, а также из того, что 4®0 Е В, следует 4® J Е В, 4^ Е Е В, . - 4® Е В, ибо В — нить и в то же время х-ультрафильтр (см. 195 гл. VI и 194 гл. VI). Поэтому В Е <4у . . ., 4у. (б) Пусть Во Е Р = П{а: а Е 21(Х)} и Во Е [S(X)]p. Надо доказать, что Во — нить. Пусть ai Е ЩХ), а2 Е &(Х) и а2 > аь Рассмотрим коорди- нату 4°^ точки Во в аь и координату 4^2 этой точки в а2, т. е. {4® } = = Во П cq, му = Во П «2. Надо доказать, что 4®2 cz 4у Рассмотрим стандартную окрестность 0(4у 4у точки Во в Р- Тогда €>(4у 4у П П S(X) ф Л, ибо Во С [Е(Х)]р. Зафиксируем точку В € #(4у 4® 2) П 2W- Отсюда следует, что В — нить и 4® Е В, 4®2 Е В- Так как а2 > а4, то тогда 4®2 cz 4у Утверждение (б) доказано. (в) Следует из (б), бикомпактности и хаусдорфовости тихоновского произведения Р ~ П{а: а Е ЭД(Х)} конечных дискретных пространств oq а Е ШХ). (г) Очевидно, ибо (40)0^= Мол 199. (а) Пусть В Е (40). Это означает, что 40 Е В- Тогда, по определению отображения получим л^В ~ П М: А С В} ={*} cz 40, т. е. лхВ Е 40- Таким образом, лх((40)) cz 40- Обратно, пусть х0 Е 40. Пользуясь зада- чей 196 гл. VI, рассмотрим отмеченную точкой х0 нить Во, для которой 4о € Во, т. е. точку Во Е X, для которой 40 Е Во и Мо} = П{4: 4 Е Во}- Отсюда получаем, что Во Е Мо) и ЛуВо — хо- Таким образом, 40 cz пх ({AQ}). Итак, утверждение (а) доказано. (б) Пусть xq Е Int А о произвольно и 4 о Е «о- Рассмотрим теперь про- извольную отмеченную пить В, для которой лхВ = х0, т. е. {х0} = Г)М: 4 Е В}- Для всякой такой отмеченной нити представителем в покрытии является непременно множество 40. Значит, всякая такая нить принадлежит
РЕШЕНИЯ 407 множеству (Ло). Но tc^xq — {£ Е X: П{Л: ЛЕЙ ~ {^о}}- Значит, л^о с с (Ло). Отсюда получаем включение л^(Л0) zdInt А0. Обратно, пусть Xq £ я^(Л0), Т. е. л^о = {£ Е X: Q {Л: А Е £}= {*о}} cz <Л0). Тогда Ло Е £ для всякого % Е л^^о. Пусть а0 € таково, что Ло Е а0. Если бы х0 $ $ Int Л о, то в покрытии а0 нашелся бы еще один элемент Aq Е а0, Aq Ф Ао, для которого Xq Е Aq. Тогда нашлась бы отмеченная нить (см. 195 гл. VI} So, для которой л; Е tj и {х0}= А {Л': Л' Е 1о}- Тогда бы Е и Лд Е 5^ С другой стороны, раз Е л^яо/то Ло Е 5о- Получили, таким образом, что Л о Е 1о А «о, Л о Е I'q А«о, Ло =# Л^ Пришли к противоречию с утвержде- нием задачи 195 гл. VI. Итак, л^ Ло) с: Int Ло. Поэтому (б) также доказано. 200. Докажем бикомпактность отображения лт. Пусть х0 Е X произ- вольно. Надо доказать бикомпактность подпространства Для этого’ ввиду бикомпактности пространства Е(Х), достаточно доказать замкнутость множества л^о в S(X). Прежде всего понятно, что л^1ж0= {I Е А {Л: А Е = {^о}}’ Пусть Во Е (л^яо]^). Отсюда для каждой^ одноиндексной окрестности (ЛЬ>, Л ° Е £о> точки £0 в S(X) непременно <ЛО>Г) л^^о =И= Л. Пусть -qo Е <Л®/ А т. е. р0 — отмеченная нить, Л° Е T]o и А {Л: Л С Т}0}= = {до}. Отсюда, в частности, получаем, что xq Е Л °. Итак, xQ Е Л° для всякого Л° Е Во» т. е- £о — отмеченная нить и {я0} = П {Л°: Л° £ |0}. Таким образом, Во Е л^-го. Значит, л^я0 замкнуто в S(X). Неприводимость отображения Лх следует из задач 199 (б) гл. VI и 198 (а) гл. VI. Предположим теперь, что пространство X регулярно. Тогда семейство 21(Х) всех канонических покрытий измельчается (см. 192 гл. VI). Поэтому для всякой точки xq Е X и любой ее окрестности UxQ найдется каноническое замкнутое множество Ло, для которого xq £ Ло cz Ux0. Поэтому если Во Е X такова, что л^Во — я0, то понятно, что Ло Е Во, следовательно, (Ло)— окрест- ность точки Во» Для которой Лх((Л0)) = Л о <zz Uxq (здесь мы воспользовались задачей 199 (а) гл. VI). Все доказано. 201. 1) следует из очевидного равенства <Л > А X — <Л) и всюду плот- ности X в 2(Х) (см. 198 гл. VI). 2) Дизъюнктность систем <а> и <а> следует из того, что для каждой нити В пересечение В А а состоит только из одного элемента, а то, что (а) и <а> — покрытия соответственно S(X) и X, получается, если учесть, что В Г] а Л для любой нити В- Понятно также, что каждое множество (Л) ({Л}) открыто-замкнуто в Е(Х) (в X). 3) следует из того, что каждое <а>, а_Е 21(Х) (соответственно <а», дизъюнктно, а совокупность множеств вида (Л), А Е $(Х) (соответственно (Л>), образует базу в 3(Х) (соответственно в X). 4) Очевидно. 202. Непрерывность, бикомпактность и неприводимость отображения л^ Доказаны ранее (см. 200 гл. VI). Ранее также было доказано, что лх — ото- бражение «на» (см. 197 гл. VI). Остается доказать замкнутость лх. Пусть К cz X —- произвольное замкнутое в X множество. Для доказательства замкнутости в X множества лх(К)> очевидно, достаточно доказать откры- тость в X множества л^(Х \ К) — X \ лх(К). Пусть xQ 6 л^(Х \ К)е
408 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Тогда л^1.т0 cz X \ К, а X \ К — Ояг£х$ — окрестность бикомпактного множества л^Хг0 в X. Для каждой точки g С ^Ххо рассмотрим такое канони- ческое покрытие az Е 91 (X), чтобы (1) <at> (|) с= Ол\1^0, где (at) (?) — звезда точки | относительно покрытия (at) пространства X (см. при этом 201 гл. VI). Так как (az) — дизъюнктное покрытие (см. 201 гл. VI), то (az) (5) совпадает с некоторым множеством <А(£)) Е (а-). Итак, для каждой точки % Е тс£х$ мы взяли покрытие at Е 91(Х) и элемент й(с-) Е at таким образом, что 0)' g € «£)> С Опх^-о. Рассмотрим открытое покрытие (2) <о —{(A (£)): бикомпакта Лу1^ п выделим из него конечное подпокрытие (3) Ф0 - {MO: 1, 2, . . ., s}. Возьмем теперь каноническое покрытие a* Е 91(Х) пространства X, для которого а* > at. для всех t ~ 1, 2, . . ., s. Рассмотрим теперь дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие (а*) пространства X (см. 201 гл. VI). Из этой же задачи 201 гл. VI заключаем, что (а*) вписано во все покрытия <a£.), i ~ 1,2,. . ., s. В силу включений (1), (Г) и построения покрытия (а*) получаем следующее включение: .(4) (а*)(л^хх0)= (J {(А)Е<а*): (Х)Пл^0 ф A} С Ол^ж0. Положим (5) Х\(а*> (л^1 j’o) = Н. Будем иметь (6) Н = ’J IM) Е (а*): <А)Пл^ А}. Множество Н, как объединение конечного числа открыто-замкнугых в X множеств, само открыто-замкнуто в X. Из (6), пользуясь 199 (а) гл. VI, получаем пх(Н) — р {лл-«А»: (А) Е а* и Л4) П л^1л0 = Л} = р {А Е а*: re0(JA}, откуда следует, что множество л¥(Я), как объединение конечного числа замкнутых в X множеств, само замкнуто в X. Поэтому множество X \ открыто в X. Кроме того, оно содержит точку х0 и содержится в множестве л^(Х \ А’), что следует из (1), включения (4) и равенства (5). Все доказано. 203. Так как AiczX, Л2с:Х — канонические замкнутые множества, то At = [IntXi], А2 —- [Int Л2]. Из задачи НО гл. VI тохда получаем равенства (1) Ml = [/*(Int А,)], м2= [/Mint А2)]. Легко видеть, что имеют место включения: 41)) с /-‘(Int a: At, /-‘(/^(Int A2)) c /-‘(Int /(A2)) a: A2. Так как, кроме того, множество /_‘(/# (Int Ai)) плотно в А,, а/-‘(/#(Int 42))
РЕШЕНИЯ 409 плотно в Л2 (см. 109 гл. VI), то получаем равенства /-!(/# (Int 40) = [f-4Int f(A 0)] = 4,, ;-»(/#(Int 4 2)) = [f-Klnt /(42))] = 42. Но из равенства (1) и равенства fA± = fA2 следует равенство Int/(Xi) = = Int f(A 2). Поэтому, учитывая это, а также равенства (3), получим требуемое равенство At = А2. 204. (а) Пусть Г cz Е(Х) — произвольное открытое в Е(Х) множе- ство. Надо доказать, что [Г]3 открыто в Е(Х). Вследствие плотности X в Е(Х), получаем равенство Iда — [Г П X]s (X) МТ И XL]S (Т)* И) Положим (2) Ai = л*([Г П XL), Л2 = [X \ А,]х и рассмотрим покрытие а0 ={A, А2} пространства X, Так как ях — совер- шенное неприводимое отображение (см. 202 гл. VI), (Г Q X]. — канониче- ское замкнутое в X множество, то At — каноническое замкнутое в X множе- ство, следовательно, и А2 — каноническое замкнутое в X множество. Значит, а0 — каноническое покрытие пространства X. Рассмотрим открыто-замкнутые в X множества Mt) ={§ £ X: Ai С g}, (Л2) — {I € X: Л2 Е £}• В задаче 199 гл. VI доказано, что Поэтому, так как (Л 1) — каноническое замкнутое множество в X, [Г р XL — каноническое замкнутое множество в X и ^((Л^) = л^([Г рх].), где пх со- вершенно и неприводимо, то [Г П X]. = <Л1) (см. 203 гл. VI). Но [<Л4)]2(= = (Л1), <Лi> — открыто-замкнутое в Е(Х) множество, поэтому, учитывая (1), получаем равенство (Л?) = = Пг П XL]S(X) = [Г]в (Х)< Значит, множество [Г]^ (X) открыто-замкнуто в Е(Х). (б) Так как Е(Х) экстремально несвязно, то и всюду плотное подпро- странство X cz Е(Х) экстремально несвязно (см. 157 гл. VI). Кроме того, Е(Х) — бикомпакт, как замкнутое подпространство бикомпакта П{сс: а С Е & (X)}, а X вполне регулярно, (б') Следует, по определению абсолюта (см. стр. 344), из (б) и задачи 160 гл. VI. (в) Следует (в силу 162 гл. VI) из того, что Е(Х)— экстремально несвязный бикомпакт, а X cz Е(Х) всюду плотно в Е(Х). 205. Следует из задачи 204 гл. VI — пространство X и есть абсолют пространства X. 206. Возьмем абсолют X пространства X (см. 204, 205 гл. VI) и нату- ральное отображение X X, которое совершенно и неприводимо (см. 202 гл. VI). Пространство X вполне регулярно, содержится в нульмерном бикомпакте П {а: а £ $ (X)}. Значит, само X также нульмерно (в смысле ind— см. стр. 56). 27 А. В. Архангельский, В. И. Пономарев
410 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 207. Пусть о ={Ь\’ X Е У} — база X, для которой | о | — w(X). Для каждого D\ Е а рассмотрим каноническое покрытие X ={[£/%], [X \ \ I пространства X. Для каждого п Е ^V + и каждой конечной последо- вательности а = (Хь . . ., Хп) рассмотрим каноническое покрытие а = = Xi Л Х2 Д . . . Д Хп (см. 190 гл. VI). Через 51 (а, X) обозначим систему всех построенных описанным способом канонических покрытий простран- ства X. Очевидно, | 51 (о, X) | =т. Легко проверить, что 51 (о, X) измель- чается. Направленность системы 51 (и, X) следует из ее построения и из задачи 190 гл. VI. 208. Пусть о — база X, мощность которой равна весу X. Рассмотрим измельчающуюся направленную последовательность 51 (о, X) канонических замкнутых покрытий пространства X, построенных по данной базе а (см. 207 гл. VI). Далее рассмотрим пространство Х(о), построенное точно так же, как пространство X для семейства 51 (X) всех канонических покрытий простран- ства, т. е. Х(о) есть пространство всех отмеченных нитей в семействе 51 (о, X). Точно так же строится натуральное отображение Х(о) -> X и так же доказывается, что это отображение совершенно и неприводимо. При этом Х(о) является подпространством обобщенного дисконтинуума П{а: а Е Е 51 (а, X)} веса, равного ] 51 (а, X) ] =т. Значит, вес Х(о) не превосходит т. Так как при совершенных отображениях вес не повышается (см. 41 гл. VI), то вес Х(о) равен т. Кроме того, ind (Х(о)) = 0, ибо П{а: а Е 51 (а, X)} — нульмерный бикомпакт, топологически содержащий Х(о). Все доказано. 213.^(а) Так как £ — нить, то | является и х-ультрафильтром. Мы пока- жем, что /£ = {fA: А Е В} — х-ультрафильтр в семействе 53 (У) всех канони- ческих замкнутых множеств в Y. Прежде всего заметим, что fA для каждого А ЕВ — канонически замкнутое в У множество (см. 110 гл. VI). Пусть Ai Е В и А2 Е В- Так как § — х-ультрафильтр, то множество [Int А\ р р Int Л2] #= А и принадлежит g (см. 194 гл. VI). Так как / замкнуто и непри- водимо, то [/#(Int А^] = /[Int Ad = fAi и [/#(Int A2)] = /[Int A2] = fA2 (cm. 110 гл. VI). С другой стороны, [Int /А4] = /4j, [Int/A2] = /А2, причем Int fAi и Int fA2 — максимальные открытые в У множества с этим свойством. Значит, тогда непустое открытое множество /#(Int Ai) cz Int/Ai и плотно в Int fAi. Аналогично, /#(Int А2) cz Int /А2 и плотно в Int /А2. Тогда будем иметь /# (Int Ai р Int А2) = /# (Int A J р /^(Int A4) cz Int fAi p Int /A2, причем /#(Int Ai p| Int A2) плотно в множестве Int/At P Int/A2. Отсюда получаем равенство [/#(Int Ai P Int A2)] = /[Int Ai p Int A2] — [Int/Ai P p Int/A2] (здесь мы также воспользовались задачей 110 гл. VI). Так как [Int Ai Р| Int A2] E В, то [Int fAi p Int fA2] £ /В- Таким образом, f% является х-системой. Для доказательства того, что /£ — х-ультрафильтр, очевидно (см. 194 гл. VI), достаточно проверить, выполняется ли свойство 3) из этой задачи для х-ультрафильтров. Итак, пусть В Е $ (У) таково, что Int В Р р Int /А #= А для любого /А Е /В- Опять множество /-1(Int /А) открыто, непусто, содержится в А и плотно в А. Значит, [/-x(Int /А)] = А. Из Int В П Р Int /А #= А следует /-1(Int В) Р /-1(Int /Л) А, а следовательно, Int[/-1(Int В)] р Int А 5^= А для любого А Е В- Значит, так как g — х-ультра- фильтр, получаем, что [/~x(Int 5)] Е В» Тогда /[/-1(Int 5)] = [Int 5] = Значит, В Е /В- Итак, /$ — х-ультрафильтр в S3 (У), а значит, нить в ?1(П (см. 195 гл. VI).
РЕШЕНИЯ 411 (б) Пусть — отмеченная нить. Значит, П{А: А G £} Л. Тогда /(П М: А G I}) cz П {/А: А £ £}, следовательно, fl {fA: А G #= Л, т. е. /Е-— отмеченная нить в Й (У). (в) Если и |2 — нити в 21 (X) и ?2, то существуют такие Ai Е €1» А2 Е 52» что ^i¥=^2- Тогда, в силу 203 гл. VI, непременно /А1=^/А2. Значит, fa Ф &2- 214. В силу 195 гл. VI нам достаточно доказать, что £ — х-ультра- фильтр. Для этого надо проверить условия 1), 2) и 3) из задачи 194 гл. VI для § (необходимые и достаточные для того, чтобы система канонических замкнутых множеств была х-ультрафильтром). Заметим, что достаточно проверить выполнение свойств 1) и 3). Прежде всего ясно, что с, состоит из непустых канонических замкнутых в X множеств. 1) Пусть [/-1(Int Bi)] G Ь [/^(Int В2)] Е 5» где Bi Е Л» &2 6 Л- Имеем следующие равенства: (1 ) /[/-Vint В^ П /-T(Int В2)] = - [/(/~i(Int В^ П /^(Int В2))] = [Int Bi fl Int B2], /[/^(Intllnt Bi fl Int B2])] = [Int[Int Bi fl Int B2]] = [Int В± fl Int B2]. Отсюда (вследствие 203 гл. VI) получаем равенство (2 ) [/-i(Int Bi) fl /^(Int B2)] = [/-i(Int B3)], где В2 = [Int Bi fl Int B2]. Ho Bi G Ц и B2 G Л» следовательно, [Int Br fl f] Int B2] — В2 G Л (так как Л — х-ультрафильтр). Учитывая это, а также равенства (2), (1) и определение системы £, мы получаем [Int[/-i(Int Bi)] П Int[/-1(Int В2)]] G 5. Тем самым свойство 1) х-ультрафильтров (см. 194 гл. VI) доказано. Из дока- занного следует, в частности, х-центрированность системы £. 3) Пусть A cz X — такое каноническое замкнутое в X множество, что Int A fl Int[/-1(Int В)] А для любого В G Л- Тогда Int A fl /-1(Int В) ф А для любого В G Л (пбо /^(Int В) содержится в Int[/~1(Int В)] и плотно в нем). Отсюда теперь получаем: /^(Int A) fl Int В^А для любого В G Л- Здесь, как всегда, /^(Int А) — {у G Y: f-*y cz Int А}. Отсюда заключаем, что ‘Int[/tt(Int А)] fl Int В А для любого В G Л- Тогда, так как/А =[/#(Int А)) получаем, что Int /А fl Int В А для любого В G Л- Вследствие того, что Л — х-ультрафильтр, заключаем (см. 194 гл. VI), что /А G Л- Но тогда [/-1 Int(/A)] G L Итак | — х-ультрафильтр, а следовательно, нить в $(Х). 215. Из 214 гл. VI следует, что g—нить в семейгтве 21(Х). Надо теперь только доказать, что fl {[/-1(Int В)]: В G л) #= А. Так как Л ~ отмеченная нить в Й(У), то fl {В: В G л} А и состоит ровно из одной точки, которую обозначим через у0. Рассмотрим бикомпактное множество Так как Ро Е В для любого В G Л и имеет место равенство /[/-1(Int В)] = В, то FB — = /-1уо fl [/-1(Int В)] А для любого В Е Л- Легко видеть, что система {ВБ: В G Л} центрирована и состоит из бикомпактных множеств. Значит, fl {FB: В G ц} #= А, а следовательно, fl {[/^(Int В)]: В G л) А. 216. Следует из задач 213 и 214 гл. VI. 217. Следует из задач 213, 214, 215, 216 гл. VI. 218. (а) В задаче 217 гл. VI доказано, что / — взаимно однозначное отображение X на Y, Пусть (Ао) — {I Е Х\ А о Е — произвольное базисное множество в X (см. 198 гл. VI), которое не только открыто, но и замкнуто в X. Множество /Ао каноническое замкнутое в Y (см. 110 гл. VI). Рассмо-
412 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ трим базисное в Y множество </Л0> = {т] Е У: Mo Е т]}. Тогда имеет место равенство /<Л05 = </Л0). Действительно, если g Е (Л0Ь то Ло Е g, следова- тельно, /Ло Е Д, т. е. fl Е </Л0). Обратно, если т] Е <М0>, то /Ло Е П» а так как (/^(Int /Ло)] = Ло, то Ло Е I, где g = {[/^(Int 5)]: В Е т)}. Но g Е X и /g = = 1], значит, g = /-Ц] Е (Ло). Так как множества вида <Л), Л Е ЯЗ(Х), образуют базу в X, множества вида (В), В £ 2Э(У),— базу в У, а каждое В Е &(Y) является образом при / некоторого, притом единственного, Л Е %(Х), то, учитывая только что доказанное равенство, получаем топологичность отображения /. (б) Пусть g Е X. Тогда /(g) = {/Л: Л Е a Jiy(/(g)) = П {М: Л Е fe} = = {Уо}> где у о — та единственная точка из У, которая принадлежит этому пересечению. С другой стороны, лх(1) = П{Л: Л Е £} и /(nx(g)) =/(Q {Л: А Е £}) cz Q {/Л: Л Е ={уо}- Но так как пересечение р| {Л: Л Е Врсостоит ровно из одной точки, то /(Jtx(g)) = у0. Итак, отy(/(g)) = /fe(g)). Утвержде- ние (б) доказано. 219. (а) доказывается дословно так же, как (б) в задаче 218 гл. VI. Так же, как и (а) в задаче 218 гл. VI, доказывается утверждение (б) настоя- щей задачи. Заметим только, что /, вообще говоря, не является отображе- нием «на», ибо /, вообще говоря, несовершенно. Утверждение (в) доказы- вается так же, как и утверждение (а) в задаче 218 гл. VI. При этом прежде всего надо заметить, что / — взаимно однозначное отображение «на» (см. 216. 217 гл. VI), и надо доказать равенство /(Л) = </(Л)> для любого канонического замкнутого множества. 220. Действительно, расширения Стоуна — Чеха £Х, рУ пространств X и У совпадают соответственно с пространствами Е(Х) и Е(У) (см. 204 /гл. VI), а вследствие 219 гл. VI пространства S(X) и 5(У) гомеоморфны. 221. Существование абсолюта у регулярного пространства X нами уже доказано (см. 204, 205 гл. VI): абсолютом пространства X является пространство X всех отмеченных нитей в семействе (X) всех канонических покрытий пространства X. Докажем, что X — единственный абсолют про- странства X. Пусть У — также абсолют пространства X. Тогда существует (по определению абсолюта) совершенное неприводимое отображение / про- странства У на X: /: У X. Рассмотрим пространство X и натуральное отображение лх: X X. Рассмотрим также семейство 91 (У) всех канонических покрытий простран- ства У, пространство У всех отмеченных нитей в семействе 91(У) и натураль- ное отображение лу: Y -> У. Теперь рассмотрим гомеоморфизм /: У -> X на все X, порожденный отображением /: У -+ X (см. 217, 218 гл. VI). Тогда (см. 218 гл. VI) коммутативна следующая диаграмма:
РЕШЕНИЯ 413 Так как У — абсолют пространства X, а У — совершенный неприводимый прообраз пространства У (например, при натуральном отображении лу), то, по определению абсолюта, пространство У гомеоморфно У: У » У. С другой стороны / — гомеоморфизм «на», следовательно, У « X. Значит, У X, что и требовалось доказать. Остается заметить, что в силу только что доказанного и задач 204, 205 гл. VI, абсолют любого регулярного пространства — вполне регулярное экстремально несвязное пространство. 224. Если X и У соабсолютны, то мы рассмотрим их общий абсолют Z. По определению абсолюта, существуют совершенные неприводимые ото- бражения рх- Z X и ру: Z У. Обратное утверждение получается из задачи 223 гл. VI. 226. Рассмотрим натуральные отображения лх: X X, лу: У У и Л£: Z Z. Рассмотрим также гомеоморфизмы /: X -> У, g: Z У, порожденные соответственно отображениями / и g. Вследствие задачи 218 гл. VI, следующие диаграммы коммутативны: X X Так как Z экстремально несвязно, то отображение л^ — гомеоморфизм. Положим h — л^у-^л^1. Понятно, что h — искомое отображение. 227. Действительно, пусть РХ 6fX, h2. РХ -* Ъ2Х—естественные отображения расширения Стоуна — Чеха РХ на соответствующие расшире- ния &jX и Ь2Х (см. 22 гл. IV). Ясно, что hi и h2 — неприводимые совершенные отображения. Отсюда следует, что &ЛХ соабсолютно с рХ и Ъ2Х соабсолютно с РХ (см. 223 гл. VI), и значит, biX и Ъ2Х соабсолютны. 228. Вследствие ИЗ гл. VI продолжение /: РХ РУ отображения /: X У на расширения Стоуна — Чеха этих пространств неприводимо. Тогда рХ и РУ соабсолютны (см. 223 гл. VI). Далее, рХ соабсолютно с любым бикомпактным расширением ЬХ пространства X, так же как и рУ соабсолютно с любым бикомпактным расширением сУ пространства У (см. 227 гл. VI). Вследствие соабсолютности рХ и рУ соабсолютны ЬХ и сУ. 229. Действительно,пусть лх: X -> X — совершенное неприводимое отображение абсолюта X пространства X на пространство X. Простран- ство X экстремально несвязно, значит, экстремально несвязно его расшире- ние РХ Стоуна — Чеха (см. 158 гл. VI). Рассмотрим продолжение лх: рХ рХ отображения X X на расширения РХ, рХ Стоуна — Чеха пространств X и X. Отображение лх является продолжением совершенного неприводимого отображения значит (см. 113 гл. VI), само неприводимо (и. конечно, совершенно). Поэтому экстремально несвязное пространство рХ допускает совершенное неприводи- мое отображение лх на пространство рх, вследствие чего (см. 222 гл. VI) РХ является абсолютом пространства РХ, т. е. рХ=(РХ). Утверждение доказано.
414 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА II НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 230. Действительно, два счетных компакта X и Y являются биком- пактными расширениями натурального ряда TV: X = dpV, Y = b2N. Далее см. задачи 225, 229, 158 гл. VI. 231. Нет не обязан. Надо построить регулярное ненормальное про- странство и его совершенное неприводимое отображение на нормальное пространство. См. Мищенко [2]. 232. Нет, вообще говоря, не следует. Возьмем какое-нибудь регулярное не вполне регулярное пространство Y (см. 9 гл. III). Абсолют Y любого регулярного пространства Y обязан быть вполне регулярным пространством (см. 205 гл. VI), т. е. любое регулярное пространство соабсолютно с некото- рым вполне регулярным пространством, а именно, со своим абсолютом. 233. Следует из того, что абсолюты X и Y этих пространств гомео- морфны, что X и Y связаны соответственно с X и Y совершенными (даже неприводимыми) отображениями, и из того, что указанные в условии задачи топологические свойства инвариантны при совершенных отображениях как при переходе к образу, так и при переходе к прообразу (см. 48, 36, 37, 38, 76 гл. VI и 91, 203 гл. III). 234. (а) Абсолют X бесконечного бикомпакта X бесконечен, экстре- мально несвязен и бикомпактен. Заметив это, сошлемся на задачу 171 гл. VI. (б) Рассмотрим произвольный счетный компакт X. Для него (см. 230 гл. VI) абсолют X гомеоморфен расширению Стоуна — Чеха рЛт натураль- ного ряда. Далее остается сослаться на задачу 53 гл. IV. 235. Пусть о — л-база пространства X. Так как / замкнуто и непри- водимо, то (см. 109 гл. VI) множество f#U = {у £Y: f-ry cz U} — Y \ \ j(X \ U) непусто и открыто в У, если U открыто в X. Легко i видеть, что система = {f#U:U Go} есть л-база пространства У. Отсюда по- лучаем nwY ztwX. Пусть теперь о — л-база пространства У. Рассмотрим систему /~хо — — {/-1V: V G о}. Все множества этой системы открыты. Пусть U cz X — произвольное открытое в X множество. Рассмотрим непустое открытое в У множество f&U (см. 109 гл. VI). Найдется такое V £ о, что V cz f#U (так как о — л-база пространства У). Тогда/-1 У cz cz UС /-1а. Из дока- занного следует, что nwX ли?У. Соединяя вместе два неравенства, полу- чаем требуемое равенство siwX = ли?У. 236. Следует из задач 235 и 224 гл. VI. 237. (а) Пусть бикомпакт X соабсолютен с некоторым компактом. У. Тогда л,юХ = rcivY (см. 236 гл. VI), но nwY wY х0 (даже л и? У = wY, ибо У — компакт, см. 216 гл. II и 257 гл. III), откуда stwX х0- (б) X — бикомпакт и nwX к0. Тогда (см. 326 гл. III) существует компакт У и непрерывное неприводимое отображение /: X У (которое автоматически совершенно). Из задачи 223 гл. VI следует, что X и У соаб- солютны. 238. Компакт X (так же, как и компакт У) является совершенным неприводимым образом канторова совершенного множества С (см. 303 гл. III). Далее см. 224 гл. VI. 239. Пусть X — бикомпакт, tiwX и X не имеет изолированных точек. Надо доказать, что X соабсолютен с канторовым совершенным множе- ством. Вследствие того, что ziwX ко, существуют компакт У и совершен- ное неприводимое отображение /: X У (см. 326 гл. III). Так как X не имеет изолированных точек, а отображение / совершенно и неприводимо, то и У не имеет изолированных точек (см. 111 гл. VI). Из задачи 223 гл. VI следует соабсолютность пространств X и У, а из задачи 238 гл. VI — соабсо- лютность компакта У и канторова совершенного множества С. Итак, X соаб- солютен с канторовым совершенным множеством С.
РЕШЕНИЯ 415 Пусть бикомпакт X соабсолютен с канторовым совершенным множе- ством С\ Прежде всего заметим, что nwX = nwC = х0 (см. 236 гл. VI). Теперь надо воспользоваться задачами 224, 111 гл. VI. 240. Очевидно, в силу 224 гл. VI, достаточно показать, что s(X) = s(Y) и с(Х) = с(У) для того случая, когда X и Y связаны совершенным неприво- димым отображением /: X У, f(X) — У. Это вытекает из следующих эле- ментарных предложений. 1) Если / непрерывно и A cz X плотно в X, то fA плотно в У. 2) Пусть / замкнуто и неприводимо, 5 с У плотно в У. Для каждого у С В зафиксируем f~ly. Тогда множество А = {ху: у £ В} плотно в У И |Л | = |В |. 3) Если / непрерывно и у = {Vt: t С Т} — дизъюнктная система откры- тых в У множеств, то система /~ху — t Е Т} дизъюнктна и состоит из открытых в X множеств. 4) Если / замкнуто и неприводимо и со — дизъюнктная система откры- тых в X множеств, то /#со = {f#U: U £ со} — дизъюнктная система непустых открытых в У множеств. 241. Если бикомпакт X соабсолютен с некоторым компактом, то nwX х0 (см. 237 гл. VI). Следовательно, и s(X) с х0, т. е. X сепарабелен. Обратно, пусть X — сепарабельный бикомпакт с первой аксиомой счетности. Пусть A cz X, [ Л | <. No и [Л]х = X. Для каждой точки а £ А зафикси- руем, пользуясь первой аксиомой счетности в X, счетную базу иа в этой точке. Положим а = (J {оа: а £ А}. Ясно, что | п | n0 и о — плотная в X система открытых множеств. Значит, я>юХ к0. Следовательно (см. 237 гл. VI), X соабсолютно с некоторым компактом. 242. Следует из задачи 241 гл. VI. Надо только заметить, что совер- шенно нормальный бикомпакт удовлетворяет первой аксиоме счетности. 243. Из задачи 237 гл. VI следует, что л-вес X равен х0. Значит, в силу 327 гл. Ill, X имеет счетную базу, а потому метризуем. Дадим теперь доказательство второго утверждения задачи. Для всякого диадического бикомпакта число Суслина равно n0 (см. 166 гл. III), значит, c(bX) — n0. Следовательно, для плотного в ЬХ подпространства X также с(Х) — х0- Воспользуемся задачей 240 гл. VI, откуда получаем, что с(У) = х0 (ибо У соабсолютно с X, а с(Х) = n0)- Так как У метризуемо, то с(У) — nwY — = wY — х0 (см. 216, 217 гл. II). Значит, У имеет счетную базу. Так как X соабсолютно с У, то и nwX = х0 (см. 236 гл. VI). Но X плотно в ЬХ, значит, и тсш(ЬХ) — n0. Отсюда заключаем (см. 327 гл. III), что w(bX) = х0, а значит, и wX = х0. Третье утверждение доказано в задаче 167 гл. III. Дадим другое дока- зательство. Если X — бикомпакт с первой аксиомой счетности, то | X | < 2Хо (см. 151, 213 гл. III), а значит, wX < 2Хо. Ио диадический биком- пакт X веса wX 2Хо является непрерывным образом обобщенного кан Юрова дисконтинуума Dc веса 2Ко (см. 323 гл. III). Известно, что Dc имеет счетное всюду плотное множество (381 гл. II). Тогда и X сепарабельно (см. 282 гл. II). В силу 241, 237 гл. VI получим: шиХ х0. Тогда и wX n0 (см. 327 гл. III). Утверждение доказано. 244. См. задачи 326 гл. III и 223 гл. VI. 245. (а) Если во всякое открытое покрытие регулярного простран- ства X можно вписать локально конечное каноническое покрытие,— следо- вательно, локально конечное замкнутое покрытие,— то X паракомпактно (б) Пусть X — паракомпакт и Q — произвольное его открытое покры- тие. Впишем в Й некоторое локально конечное открытое покрытие со. Пусть \^»С) — минимально вполне упорядоченное множество мощности, равной Мощности покрытия со. Занумеруем все элементы из со элементами t £ Т. Пусть со ={Ut: t £ Т}. Пользуясь задачей 13 гл. V, в покрытие со впишем
416 ГЛ. VI. ПРОСТРАНСТВА И НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ такое открытое покрытие со' = {#f: t С Т} (комбинаторно), чтобы [/ZJ с Ut для любого t Е Г. Ясно, что со' и замкнутое покрытие со7 = {[#J: i £ уч локально конечны в X. Положим Уо = Яо и вообще ? Vt = Ht \ U {[Яг]: tf <i}. Нетрудно убедиться в том, что = t £ Т} ~ дизъюнктная локально конечная в X система открытых множеств, вписанная в со'. Легко также показать, что а0 — U{^f: t € — плотное в X множество. Тогда а = = {[7Д: *Е Т}— локально конечное каноническое покрытие простран- ства X, вписанное в со, а значит, и в Q. Всо доказано. 246. Пусть со — произвольное открытое покрытие экстремально несвяз- ного паракомпакта X. Впишем в со (пользуясь задачей 245 гл. VI) локально конечное каноническое покрытие а. Пусть At fa, Л2 Е а и A t А Тогда Int^i fl IntX2 = A (вследствие каноничности а), следовательно (вслед- ствие экстремальной несвязности X, см. 155 гл. VI), [Int AJ П [Int Л2] = А. [Int А] открыто-замкнуто в X для любого Л 6 а. Остается заметить, что [Int Л] = Л, ибо Л —каноническое замкнутое множество. Итак, а — дизъюнктное покрытие пространства X из открыто-замкну- тых множеств, вписанное в со. 247. Следует из того, что абсолют X паракомпакта X — паракомпакт (233 гл. VI) и экстремально несвязен (222 гл. VI). Тогда, вследствие задачи (246 гл. VI), абсолют X совершенно нульмерен. Всякое же совершенно нуль- мерное пространство сильно паракомпактно. 248. Нет, нс обязательно. Возьмем паракомпакт X, не являющийся сильно паракомпактным пространством (см. 163 гл. V). Его абсолют X совершенно нульмерен, значит, и сильно паракомпактен (см. 247 гл. VI). Кроме того, X и X связаны совершенным (даже неприводимым) отображением лА-: X X, лх(Х) = X. 250. Пусть р — метрика на X, причем полная, если X гомеоморфно полному метрическому пространству. Для каждого г £ рассмотрим такое открытое покрытие про- странства X, чтобы diam Ul<Z 4- для любого Ui С ©j. Так как метризуемое пространство X паракомпактно (45 гл. V), то, пользуясь задачей 245 гл. VI,. для каждого i £ N+ возьмем локально конечное каноническое покрытие, q^, вписанное в со^. Положим at = ср4 и вообще = Ф1 А фг А • . * А Фг» i £ N+ (определение на стр. 345). Тогда локально конечное каноническое 1 покрытие для любого i £ Ar+, ссг-+1 > для любого i £ N + и diam А1 < ~г для любого Ai б аг» * Е Аг+. Значит, {af: i £ N+} — счетная измельчающаяся последовательность локально конечных канонических покрытий, полная, если р — полная метрика. 251. Решается аналогично задачам 193, 196, 199, 200, 202 гл. VI. 252. В силу 250 гл. VI в X существует измельчающаяся последова- тельность {at: i б N+} локально конечных канонических покрытий, полная г если метрическое пространство X полно. Если вес X равен т, то можно пред- положить, что | | = | <%i+i | =т для любого i. Далее остается сослаться на задачу 251 гл. VI.
ЛИТЕРАТУРА Александров П. С. 1. О бикомпактных расширениях топологических пространств, Матем. сб. 5 (47) (1939), 403—424. 2. О понятии пространства в топологии, УМН 2, № 1 (1947), 5—57. 3. Введение в общую теорию множеств и функций, Гостехиздат, 1948. 4. О некоторых результатах в теории топологических пространств за последние 25 лет, УМН 15, № 2 (1960), 25—95. 5. On some results concerning topological spaces and their continuous map- pings, General Topology and its relations to Modern Analysis and Algebra— Proceed. Symp., Prague, 1962, 41—54. 6. О некоторых основных направлениях в общей топологии, УМН 19, № 6 (1964), 3—46. Александров П. С., Урысон П. С. 1. Мемуар о компактных топологических пространствах, «Наука», 1971. Архангельский А. В. 1. Бикомпактные множества и топология пространств, Тр. Московск* матем. о-ва 13 (1965), 3—55. 2. Об одном классе пространств, содержащем все метрические и все локаль- но бикомпактные пространства, Матем. сб. 67 (109), № 1 (1965), 55—85. 3. О замкнутых отображениях, бикомпактных множествах и одной задача П. С. Александрова, Матем. сб. 69 (111), № 1 (1966), 132—184. 4. Отображения открытые и близкие к открытым, Тр. Московск. матем. о-ва 15 (1966), 181—223. 5. Отображения и пространства, УМН 21, № 4 (1966), 181—223. 6. Экстремально несвязный бикомпакт веса с неоднороден, ДАН СССР 175, № 4 (1967), 751-754. 7. Аппроксимация теории диадических бикомпактов, ДАН СССР 184, № 4 (1969), 767—770. 8. О мощности бикомпактов, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, ДАН СССР 187, № 5 (1969), 967—970. 9. Число Суслина и мощность. Характеры точек в секвенциальных биком- пактах, ДАН СССР 192, № 2 (1970), 255—258. 10. О бикомпактах, которые удовлетворяют условию Суслина наследствен- но. Теснота и свободные последовательности, ДАН СССР 199, № 6 (1971), 1227—1230. И. О топологических пространствах, полных в смысле Чеха, Вести.. Московск. гос. ун-та, сер. матем., 1961, № 2, 37—40. Архангельский А. В., Пономарев В. И. 1. О диадических бикомпактах, ДАН СССР 182, № 5 (1968), 993—996. Архангельский А. В., Филиппов В. В. 1. Пространства с базами конечного ранга, Матем. сб. 87 (129), № 2 (1973К 147—158.
418 ЛИТЕРАТУРА Белугин В. И. 1. Уплотнения на бикомпакты, ДАН СССР 207, № 2 (1972), 259—261. Б е л ь н о в В. К. 1. Метрические расширения.!, II, Вести. Московск. гос. ун-та, сер. матем., мех., 1970, № 4, 60—65; № 5, 7—14. 2. О метрических расширениях, ДАН СССР 207, № 5 (1972), 202. Березницкий 10. 1. Негомеоморфность двух бикомпактов, Вести. Московск. гос. ун-та, сер. матем., 1971, № 6, 8—10. Берк (Burke D.) 1. On subparacompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 23 (1969), 656—663. Бинг (Bing R. H.) 1. Metrization of topological spaces, Canad. J. Math. 3, № 2 (1951), 175—186. 2. Challenging conjectures, Amer. Math. Monthly 74 (1967), 56—64. Борджес '(Borges C. J. R.) 1. On function spaces of stratifiable spaces and compact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 17, № 5 (1966), 1074—1078. Б у p б а к и H. 1. Теория множеств, «Мир», 1965. 2. Общая топология (основные структуры), «Наука», 1968. В и к к е (W i с k е Н. Н.) 1. On Hansdorff open continuous images of Hausdorff paracompact p-spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 22, № 1 (1969), 136—140. Владимиров Д. A. 1. Булевы алгебры, «Наука», 1969. Владимиров Д. А., Ефимов Б. А. 1. О мощности экстремально несвязных пространств и полных булевых алгебр, ДАН СССР 194, № 6 (1970), 1247-1250. Воррел (Worrell J. М.) 1. A characterization of metacompact spaces, Portug. Math. 25, № 3 (1966), 171—174. 2. The closed continuous images of metacompact topological spaces, там же, 176-179. Вудс (Woods R. Grant) 1. Co-absolutes of remainders of Stone —Cech compactifications, Pacif. J. Math. 37, № 2 (1971), 545—560. Гельфанд И. M., Райков Д. А., Ш и л о в Г. Е. 1. Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1960. Гиллман, Джерисон (Gillman L., Jerison М.) 1. Rings of continuous functions, N. Y., 1960. Грейс, Хит (Grace E. E., Heath R. W.) 1. Separability and metrizability in pointwise paracompact Moore spaces, Duke Math. J. 31, № 4 (1964), 603-610. Даукер (Dowker С. H.) 1. On countably paracompact spaces, Canad. J. Math. 3 (1951). Джонс (Jones F. B.) 1. Concerning normal and completely normal spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 43 (1937), 671—679. Елькин А. Г. 1. О /^-разложимых пространствах, не являющихся максимально разложи- мыми, ДАН СССР 195, № 2 (1970), 274-277. Ефимов Б. А. 1. Диадические бикомпакты, Тр. Московск. матем. о-ва 14 (1965), 211—247. 2. Об экстремально несвязных бикомпактах л-веса с, ДАН СССР 183, № 3 (1968), 15—18. 3. Экстремально несвязные бикомпакты и абсолюты, Тр. Московск. матем. ю-ва 23 (1970), 235—276.
ЛИТЕРАТУРА 419 Зайцев В. И. 1. Finite spectra of topological spaces and their limite spaces, Math» Ann. 179 (1969), 153—179. 2. Проекционные спектры, Тр. Московск. матем. о-ва 27 (1972), 129—193. Илиадис С. Д., Фомин С. В. 1. Метод центрированных систем в теории топологических пространств, УМН 21, № 4 (1966), 47-76. Исбелл (Isbell J. R.) 1. Uniform spaces, Providence, R.I., 1964. И с п в а т a (I s i w a t а Т.) 1. Mappings and spaces, Pacif. J. Math. 20 (1967), 455—480. Катетов (Katetov M.) 1. Complete normality of cartesian products, Fundam. Math. 36 (1948), 271—274. Кейслер, Тарский (Keisler H. J., Tarski A.) 1. From accessible to inaccessible cardinals, Fundam. Math. 53 (1964), 225-308. Келли Дж. Л. 1. Общая топология, «Наука», 1968. К и слинг (Keesling I.) 1. On the equivalence of normality and compactness in hyperspaces, Pacif. J. Math. 33 (1970), 657—667. Колмогоров A. H., Фомин С. В. 1. Элементы теории функций и функционального анализа, «Наука», 1968. Комбаров А. П. 1. О S-произведениях топологических пространств, ДАН СССР 199, № 3 (1971), 526—528. 2. О произведении нормальных пространств. Равномерности на 2-произ- ведениях, ДАН СССР 205, № 5 (1972), 1033—1035. Комфорт (Comfort W. W.) 1. Retractions and their continuous maps from PX onto рх \ X, Trans. Amer. Math. Soc. 114, № 1 (1965), 1—9. 2. A survey of cardinal invariants, General Topology and its Applications 1, № 1 (1971), 163—199. Комфорт, Негрепонтис (Komfort W. W., Negrepon- t i s S.) 1. Homomorphs of three subspaces of pA \ A, Math. Z. 107, № 1 (1968), 53—58. 2. Some topological properties associated with .measurable cardinals, Fundam. Math. 69, № 3 (1970), 191—205. Корсон (Corson H. H.) 1. Normality in subsets of product spaces, Amer. J. Math. 81 (1959), 785—796. К о ф н e p А. Я. 1. О псевдо кружевных пространствах, Fundam. Math. 70, № 1 (1971), 25-47. Куратовскяй К. 1. Топология, т. I, «Мир», 1966; т. II, «Мир», 1969. Л а ш н е в Н. С. 1. О непрерывных разбиениях и замкнутых отображениях метрических пространств, ДАН СССР 165, № 4 (1965), 756—758. 2. О замкнутых образах метрических пространств, Дх4Н СССР 170, К» 3 (1966), 505—507. Майкл (Michael Е.) 1. A note on paracompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1953), 831—838. 2. Another note on paracompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), 3. K0-spaces, J. Math. Meeh. 15 (1966), 983—1002.
422 ЛИТЕРАТУРА Стоун (S7t о”п е А. Н.) 1. Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948) 977-982. 2. Metrisability of decomposition spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 7 (1956), 690-700. 3. Non-separable Borel sets, Rozprawy Mat. 23 (1962), 3—40. 4. Non-separable Borel sets II, General Topology and its Applications 2 (1972), 249—270. Тамайо (Tamano H.) 1. On paracompactness, Pacif. J. Math. 10 (1960), 1043—1047. У p ы с о н П. C. 1. Труды по топологии и другим областЯлМ математики, тт. 1, 2, Изд. АН СССР, 1951. Федорчук В. В. 1. Совершенные неприводимые отображения и обобщенные близости, Матсм. сб. 76 (118), № 4 (1968), 513—536. 2. Некоторые вопросы теории упорядоченных пространств, Сиб. матем. ж. 10, № 1 (1969). 172—187. 3. Об Я-замкнутых расширениях пространств 0-близости, Матем. сб. 89, № 3 (1972), 400-412. Филиппов В. В. 1. О совершенном образе паракомпактного перистого пространства, ДАН СССР 176, № 3 (1967), 533—536. 2. Факторпространства и кратность базы, Матем. сб. 80 (122), № 4 (1969), 521—532. 3. О совершенно нормальных бикомпактах, ДАН СССР 189 (1969), 36—39. 4. О перистых паракомпактах, ДАН СССР 178, Яг 3 (1968), 555—558. Френкель А., Бар-Хиллел И. 1. Основания теории множеств, «Мир», 1966. Фролик (Frolik Z.) 1. Applications of complete families of continuous functions to the theory of Q-spaces, Чехослов. матем. ж. 11 (86) (1961), 115—133. 2. Sums of ultrafilters, Bull. Amer. Math. Soc. 73 (1967), 87—91. 3. Homogeneity problems for extremally disconnected spaces, Comm. math. Univ. Carolinae 8, Яг 4 (1967), 757—763. Хайна л, Юхас (Hajnal A., Juhasz I.) 1. Discrete subspaces of topological spaces, Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet., Ser. A 70, Яг 3 (1967), 343-356. 2. Discrete subspaces of topological spaces II, Proc. Koninkl. Nederl. Akad. Wet., Ser. A 72, Яг 1 (1969), 18—30. Хаусдорф (Hausdorff F.) 1. Теория множеств, ОНТИ, 1937. 2. Erweiterung einer Homoomorphie, Fundam. Math. 16 (1930), 359-360. 3. Summen von Mengen, Fundam. Math. 26 (1936). Хенриксен, Исбелл (Henriksen M., Isbell J. R.) 1. Some properties of compactifications, Duke Math. J. 25, Яг 1 (1958), 83-106. Хит (Heath R. W.) 1. Screenability, pointwise paracompactness and metrization of Moore spaces, Canad. J. Math. 16 (1964), 763—770. 2. On spaces with point-countable bases, Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math., 13, Яг 6 (1965), 393-395. 3. Semi-metric spaces and related spaces, Proc. Arizona Topolog. Conference, Tempe (Arizona), 1968, 153—161. Хьюитт (Hewitt E.) 1. A note on 0-dimensional compact groups, Fundam. Math. 50, Яг 1 (1961),- 95—97.
ЛИТЕРАТУРА 423 Чех (Cech Е.) 1. Topological spaces, v Prague, 1959. Чех, Посппшел (Cech E., Pospisel B.) 1. Sur les espaces compacts, Publ. de la fac. de univ. Masaryk, Brno, 258 (1938). 1—14. Чобан M. M. 1. О поведении метризуемости при факторных s-отображениях, ДАН СССР 166 (1966), 562—565. 2. Некоторые метризационные теоремы для перистых пространств, ДАН СССР 173 (1967), 1270—1272. 3. О о-паракомпактных пространствах, Вести. Московск. гос. ун-та, сер. матем., мех., 1969, № 1, 20—27. 4. К теории p-пространств, ДАН СССР 194, № 3 (1970), 528—531. 5. Многозначные отображения и борелевские множества, Тр. Московск. матем. о-ва, 22 (1971), 229—250; 23 (1972), 277—301. Шанин Н. А. 1. О произведении топологических пространств, Тр. Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова 24 (1948). Ш апиро вский Б. 1. О сепарабельности и метризуемости пространств с условием Суслина, ДАН СССР 207, № 4 (1972). 2. О дискретных подпространствах топологических пространств, Вес, теснота и число Суслина, ДАН СССР 202, № 4 (1972), 779—782. 3. О плотности топологических пространств, ДАН СССР 206, № 3 (1972), 559—562. Энгелькинг (Engelking R.) 1. Cartesian products and dyadic spaces, Fundam. Math. 58 (1965), 287—304. 2. On functions defined on Cartesian products, Fundam. Math. 59 (1966), 221-231. 3. On closed images of the space of irrationals, Proc. Amer. Math. Soc. 21, № 3 (1969), 583—586. 4. Outline of General Topology, Amsterdam, 1968. Эрдёш, Радо (Erdos P., Rado R.) 1. A partition calculus in set theory, Bull. Amer. Math. Soc. 62 (1956), 427-489. Ю x a c (J uh asz I.) 1. Cardinal functions in topology, Math. Centre Tract. 34, Amsterdam (1971). 2. On two problems of A. V. Archangelski, General Topology and its Applica- tions 2 (1972), 151-156.
Александр Владимирович Архангельский Владимир Иванович Пономарев ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ М., 1974 г., 424 стр. с илл. Редакторы В. В. Донченко, В. Л. Илюшин Технический редактор В. И. Кондакова Корректор 3. В, Автонеева Kharkov University Сдано в набор 2/1 1974 г. Подписано к печати 21/VI 1974 г. Бумага 60x901/16. Физ. печ. л. 26,5. Условн. печ. л. 26,5. Уч.-изд, л. 34,94. Тираж 14 000 экз. Т-11285. Цена книги Заказ №063 Издателем}» Маука» Главная редакция физико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Трудового Красного знамени Московская типография № 7 «Искра революции» Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9.