-4<^».
&
ψηΗΛ4~*4Γ~
τη.
χ
В краткой и увлекательной
форме ρ ссказы тсв о ст
мовл ии и развитии прО:ктивиои г ом три ,
начинав с др »вн ;иших времен и кончав нашими днями
Иэло »ы основные φ кты и понятий
проективной геом трии
■ содер г льном
вид ·■
ВЫЩА Ш ОЛА

глава ^ первая
ИСТОКИ
главалвторая
НАУКА,
РОЖДЕННАЯ ИСКУССТВОМ
глава/'чтретья
ПРОЕКТИВНЫЕ
Π ИЯ

ВАТадеев
живописи
• · ς.
геометрий
Под редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора Я. И. Кованцова
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВЫЩА ШКОЛА»
1988

ББК 22.151.3
Т13
УДК 514.144 (023.11)
Рецензенты:
канд физ -мат. наук, доц. В. Н. Л е й φ у ρ а,
ст. преп. О. И. Б а р а н (Николаевский пединститут)
Редакция литературы по математике и физике
Зав редакцией Ю. Е. Кострица
Тадеев В. А.
Т13 От живописи к проективной геометрии.— К.:
Выща шк. Головное изд-во, 1988.— 232 с: ил.
ISBN 5—11—000119—7.
В книге в увлекательной форме рассказывается о
становлении и развитии проективной геометрии, начиная с
древнейших времен и кончая нашими днями. Изложены основные
факты и понятия проективной геометрии в ее
содержательном виде. Кратко и в достаточной мере доходчиво автор
предлагает читателю по сути конспект классической
геометрии с выходами в современные ее области.
Для широкого круга читателей, интересующихся
историей возникновения и развития проективной геометрии,
может быть использована преподавателями и студентами.
^ 1702040000—257 ___^ Κ№ 90 ... „
Т М211(04)-88 Инф'П· ББК 22151·3
© Издательское объединение
ISBN 5—11—000119—7 «Выща школа», 1988

ПРЕДИСЛОВИЕ
Николай Гаврилович Чернышевский считал, что
можно не знать, не чувствовать влечения к изучению
многих наук, и все же быть культурным и грамотным
человеком. Но не любить и не ценить истории, по его
словам, может только умственно ограниченный
человек.
Никакая наука немыслима без собственной
истории, являющейся естественной составной частью
истории общечеловеческой культуры. Немыслима без
такой истории и математика, в частности геометрия.
К сожалению, многие учебники по математике не
дают представления о становлении и развитии нашей
науки. Недостатком их является и то, что
предлагаемый к изучению материал излагается нередко
с излишними подробностями, недостаточно популярно,
хотя популярность, как известно, никогда не
рассматривалась как некий антипод научности.
Автор настоящей книги попытался соединить в
ней историю, популярность и научность,
последнюю — в тех пределах, которые он сам для себя
определяет. Книга посвящена становлению и развитию
проективной геометрии — одной из красивейших
областей не только всей геометрии, но, в значительной
мере, и всей математики. Недаром ее в свое время
называли царским путем в науке, вкладывая в эти
5

слова представление об изящности, элегантности ее
построений, доступности конструкций и ее высокой
эстетичности.
К сожалению, не всегда проективная геометрия
задавала тон в математике на всех этапах ее развития.
Не играет она роль лидера и в наше время, когда
основное внимание математической мысли
сосредоточено на других предметах, имеющих более четкую,
конкретно выраженную практическую
направленность, связанную с компьютеризацией,
алгоритмизацией.
Однако, увлекаясь сиюминутными практическими
потребностями, мы в суете современной повседневной
жизни нередко забываем о другой стороне нашей
науки, не менее, а может быть и более важной, чем
ее практические приложения. Речь идет о
воспитательной функции науки, о ее гармонии и красоте,
о ее глубоком нравственном смысле. К сожалению,
увлечение чисто технологическими вопросами
математики привело к значительному духовному
обеднению современного человека.
Автор рассматривает историю пути от живописи
к проективной геометрии со времен античной Греции,
когда начинали слагаться представления о тех скрыт
тых механизмах, которые приводили к эстетическому
воздействию на человека тех или иных сторон
окружающей его действительности. Как рисовать, каким
образом располагать предметы на сцене, чтобы
человек, глядя на них, облагораживался, испытывал бы
нравственное возрождение, духовный подъем? Такие
вопросы стали особенно актуальными в эпоху
Возрождения. О том, что художники той поры умели
правильно отвечать на эти вопросы, свидетельствуют
их бессмертные творения, которые потрясают сегодня
и нас, современников постижения тайн ядра и
космических полетов.
6

Картины художников Возрождения
свидетельствуют о том, что они уже владели начатками
проективной геометрии. К сожалению, свои знания в этой
геометрии они передавали лишь как практические
рецепты своим ученикам, не оформляя их в виде
строгих научных рассуждений, которые пришли позднее,
в конце средних веков, и связаны они, главным
образом, с замечательным французским геометром,
инженером и архитектором Жираром Дезаргом. Дезарг —
это детство проективной геометрии. Ее молодость —
Жан Виктор Понселе, живший на 200 лет позднее
Дезарга. Зрелость практической проективной
геометрии — это Якоб Штейнер, Христиан Штаудт.
Значительный вклад в развитие проективной геометрии
внесла русская наука и в первую очередь Константин
Алексеевич Андреев.
Интересную и волнующую историю становления
проективной геометрии, историю открытий и поисков
дает автор в своей книге. При этом о геометрических
фактах он говорит не описательно, а доказательно.
И в ряде вопросов вторая часть его книги может
служить в известной мере кратким пособием по
элементарной классической геометрии.
Каждая наука развивается по своим собственным
внутренним законам. Именно по этим законам мы
отличаем одну науку от другой. По таким законам
развивалась и развивается проективная геометрия.
О том, какие именно внутренние законы являются
движущей силой развития проективной геометрии, в
достаточной степени дает представление книга,
предлагаемая вниманию читателя.
Профессор Я. И. Кованцов
1

глава первая
1
истоки
Отыщи всему начало, и ты многое
поймешь.
КОЗЬМА ПРУТКОВ. Плоды раздумья
ОТ ЕГИПТЯН И СИНДБАДА-МОРЕХОДА К ТИМУ
СЕВЕРИНУ И ТУРУ ХЕЙЕРДАЛУ
«Сколько я испытал в давнее время усталости
и труда! Я совершил семь путешествий, и про каждое
путешествие есть удивительный рассказ, который
приводит в смущение умы!».—Такими восклицаниями,
наполненными нескрываемой гордостью за
собственную храбрость, изобретательность и никогда не
покидавшую его бодрость духа, предварял свои рассказы
о заморских путешествиях знаменитый Синдбад-
мореход.
Как это видно из приведенной фразы, Синдбад
совершил семь морских путешествий. Долгое время
рассказы о них воспринимались не более, чем сказки,
и лишь через тысячу лет после арабских плаваний,
отраженных в «Тысяче и одной ночи», английский
путешественник и историк Тим Северин, совершив
восьмое путешествие по угадываемому из этих
сказок пути Синдбада, показал реальную основу его
рассказов.
8

Желая воссоздать детали вероятных плаваний
Синдбада, Северин решил построить копию арабского
торгового судна тех времен. Из всех возможных типов
парусников предпочтение было отдано буму —
кораблю, весьма популярному на арабском Востоке в VTTT—
Χι веках. Однако арабские судостроители не оставили
ни рисунков, ни чертежей своих кораблей. Вероятнее
всего, они не составляли их вовсе, а опыт
строительства передавался ими устно из поколения в поколение.
В этой ситуации единственно возможный путь был
такой — искать изображение корабля в более поздних
источниках. Удача пришла не сразу. Но вот в руках
исследователя оказалась старинная португальская карта
Индийского океана, датированная 1521 годом. На ней-
то Северин и нашел изображение арабского бума.
Из найденного им рисунка были получены сведения
не только о внешнем облике корабля, но также отчасти
и об его оснастке.
Экспедиция Северина завершилась триумфом.
Подтвердилось то, что в своих рассказах Синдбад-мореход
далеко не всегда подменял истинные факты плодами
своей буйной фантазии. Арабские мореплаватели
действительно могли достигать как Хинда (Индии), так
и Сины (Китая). Поразительно, что такая ценная для
науки экспедиция была совершена благодаря всего
лишь одному рисунку!
В 1978 году интернациональный экипаж под
руководством норвежского ученого-мореплавателя Тура
Хейердала совершил плавание по Индийскому океану
на тростниковой лодке «Тигрис». Тем самым была еще
раз подтверждена гипотеза о существовании широких
морских контактов между Ближним Востоком и
Индией, причем задолго до предполагаемого времени жизни
Синдбада. Плавания Хейердала на папирусных лодках
«Ра» и «Ра-2», совершенные ранее плавания на «Тигри-
се», подтвердили возможности древних мореплава-
9

телей переплывать также и Атлантику и достигать
берегов Америки.
При подготовке экспедиций Хейердал самым
тщательным образом изучал изображения древних судов,
выполненные на скалах и стенах пещер. Особую
ценность представляли те рисунки, на которых были
запечатлены различные этапы древнего строительства.
Так, к примеру, на фресках одной из гробниц,
расположенной вблизи ступенчатых египетских пирамид
в районе Саккары, видны люди, срезающие у самой
воды папирус с пушистыми соцветиями. Связанный
в снопы, этот папирус доставлялся на спинах к месту
постройки лодки, имевшей форму полумесяца. Видна
оснастка лодки, а также инструменты, которыми
пользовались при ее изготовлении. В другом месте
изображены прямой парус, две мачты и две каюты на
лодке. Высокий изогнутый нос указывает на то, что
лодка предназначена для плаваний на море. Такой
нос должен был служить надежной защитой от
высоких волн во время шторма.
Рисунок — одно из древнейших и ценнейших
приобретений человечества. Даже выполненный
неопытной рукой первобытного человека, он часто нес такой
объем информации, который с трудом поддавался
словесному выражению. Со временем возможности
и сферы применения рисунка во много крат
расширились. Произошло это за счет создания
геометрической теории построения изображений. Теорий этих
в настоящее время существует много. Для каждой
области применения рисунка построена своя теория.
К примеру, для выполнения машиностроительных
чертежей существуют одни методы, для изображения
архитектурных композиций — другие, для построения
карт земной поверхности или звездного неба — третьи
и т. д. В настоящей книге ограничимся только
геометрической теорией рисунка в живописи и связью этой
10

теории с возникновением проективной геометрии.
Начало развитию этой геометрии положил ряд общих
геометрических утверждений, связанных со способами
передачи на плоской картине объемных форм
предметов и их взаимного расположения в пространстве
с соблюдением видимых пропорций отдельных частей
(далее это именуется как передача глубины
пространства). Знакомясь с этапами развития проективной
геометрии, мы совершим свое собственное путешествие
во времени и пространстве.
УСЛОВНОСТИ И ТРАДИЦИИ
Следовали ли древние художники каким-либо
правилам при композиционном решении своих картин?
Да, следовали, если правилами назвать крепко
установившиеся традиции, свято сохранявшиеся
тысячелетиями. К примеру, одной из характернейших традиций
живописи в древней цивилизации на американском
континенте является изображение глаза в виде
концентрических окружностей, что символизировало
преклонение перед восходящим солнцем.
В египетской живописи одной из наиболее
характерных традиций был способ цветовой раскраски
изображений человеческих фигур. Контуры фигур
равномерно заполнялись красками строго определенного
цвета (женщин — желтой, мужчин —
красновато-коричневой). Достаточно было и других условностей.
Тем не менее все их разнообразие можно в основном
разделить на две группы. К первой относятся те
условности, которые связывались с теми или иными
культурами, как, например, изображение глаз у древних
народов Америки. Примером такой условности в
египетской живописи является непомерно увеличиваемое
изображение фараонов на фоне других объектов
(в буквальном переводе с древнеегипетского слово
11

Взятие крепости египтянами
«фараон» означает «большой дом» или «дворец». Для
египтян фараон был богом, даже имя его запрещалось
произносить вслух). Так, на фреске «Взятие крепости
египтянами» видим, что размеры фараона и его
колесницы превосходят даже размеры штурмуемой
крепости.
Ко второй группе условностей принадлежат те,
которые связаны с передачей на плоской поверхности
глубины пространства. Те же египтяне придумали для
этого специальный прием, получивший впоследствии
название ярусной композиции. Предметы,
приблизительно равноудаленные от глаза художника, на
картине располагались в ряд. Причем на верхних рядах
картины изображались самые отдаленные предметы,
на нижних — самые близкие, без каких бы то ни было
изменений размеров. Часто применялись даже такие
условные обозначения, которые характерны для
современных топографических карт. К примеру, если
требовалось изобразить небольшое озеро с растущими на
берегу деревьями, то рисовался прямоугольник, круг
или другая плоская фигура, заполненная волнистыми
линиями. По внешней границе этой фигуры
располагались изображения деревьев. Со временем при актив-
12

ном посредничестве религии открытые приемы
канонизировались, т. е. считались обязательными для
всякого. Сущность религии как раз в том и состоит,
чтобы всеми силами защищать любую идею о
незыблемости и верности однажды установленного.
Консерватизм — извечная черта всех религий, в том
числе и языческих. Преодолевать этот консерватизм в
древности было еще труднее, чем в более поздние
времена.
ЧТО УМЕЛИ ДРЕВНИЕ ГРЕКИ
...в многообразных формах греческой
философии уже имеются в зародыше,
в процессе возникновения, почти все
позднейшие типы мировоззрений.
Поэтому и теоретическое естествознание,
если оно хочет проследить историю
возникновения и развития своих
теперешних общих положений, вынуждено
возвращаться к грекам. И понимание
этого все более и более прокладывает
себе дорогу. Все более редкими
становятся те естествоиспытатели, которые,
сами оперируя обрывками греческой
философии, ... как вечными истинами,
смотрят на греков ... свысока... Было
бы только желательно, чтобы это
понимание углубилось и привело к
действительному ознакомлению с греческой
философией.
Ф. ЭНГЕЛЬС. Диалектика природы
Единственным приобретением египтян в деле
геометризации живописи была их ярусная композиция.
Весьма скромные математические и физические
познания обитателей долины Нила обеспечить большее
были не в состоянии. В древнем мире такая задача
оказалась по плечу только грекам, у которых
математика достигла несравненно более высокой степени
13

развития. Здесь ее считали одной из наидостойнейших
меж всеми науками. Философ Платон, живший в
V—IV веках до н. э., возможно и не подозревал, что
его лозунг: «Пусть не входит сюда никто из тех, кто
не знаком с геометрией!», написанный на дверях
ведомой им академии в древних Афинах, так часто будет
цитироваться и более поздними авторами. Одно
предложение, но оно как нельзя более точно выражает
отношение древних греков к математике, имевшей в
основном геометрическую форму, и к ее изучению.
Деятельность самого Платона в области геометрии
заключалась преимущественно лишь в пропаганде
геометрических знаний. Но кому не известны имена
Евклида, Архимеда, Аполлония, Герона, Паппа и
многих других, чьи изыскания вознесли геометрию на
такую высоту, которая приводила в восхищение
и изумление самого Исаака Ньютона, жившего более
чем полтора-два тысячелетия спустя после того, как
жили упомянутые геометры.
И все же, как замечал Марк Твен, знания, которыми
не располагали древние, были весьма обширны. Греки
были знакомы с закономерностями построения рисунка
в живописи, но, как увидим позднее, это знакомство
было еще очень далеко от того, чтобы его можно было
считать сколь-нибудь полным, хотя.именно в Греции
родились те первые ростки одухотворенного
миропонимания, которые привели к подлинному расцвету
искусства Возрождения, где живописи отводилось одно
из первых мест.
Когда позднейшие критики искусства поставили
перед собой задачу исследовать истоки теории живописи,
некоторые из них обратили внимание на одно место
в гомеровой «Илиаде». В XVIII песне приводится
описание щита одного из самых могучих героев Троянской
войны — Ахилла. Согласно описанию Гомера, щит
Ахилла, после того, как был сработан богом-кузнецом
14

Гефестом, «им же был изящно украшен». Известный
немецкий писатель и драматург Г. Э. Лессинг, автор
целого трактата о живописи и поэзии под названием
«Лаокоон» («Лаокоон» — это и название выдающегося
скульптурного произведения), говорил, что на щите
Ахилла, как свидетельствовал Гомер, было изображено
десять сюжетов, повествование о каждом из которых
поэт начинал то словами «Там представил он землю,
представил и небо и море...», то «Там же два града
представил он ясноречивых народов...», го «Сделал
на нем и широкое поле, тучную пашню...» и т. д. Всего
щиту Ахилла Гомер посвятил более ста своих
превосходных стихотворных строк, описывающих
многочисленные, будто бы изображенные на нем предметы.
Нетрудно отсюда сделать вывод о том, что древним
художникам уже во времена Гомера, т. е. в VTT — VT
веках до н. э., были известны некоторые геометрические
приемы передачи глубины пространства, в частности,
вероятно, за счет уменьшения размеров предметов по
мере удаления вглубь изображаемой части
пространства. Тем не менее материальными подтверждениями
такого вывода мы не располагаем, поскольку к нашему
времени почти ничего не дошло из наследия
древнейших греческих художников. Примечательно, что
Гомер нигде, ни в «Илиаде», ни в «Одиссее», не
упоминал о живописи как таковой (украшения щита Ахилла
могли быть только либо отлитыми, либо чеканными),
хотя о других изобразительных искусствах речь у него
заходила неоднократно. Так, в VTT песне «Одиссеи»
упоминается о скульптуре:
Зрелися там на высоких подножиях лики
златые
Отроков: светочи в их пламенели руках,
озаряя
Ночью палату и царских гостей на пирах
многославных.
15

Достойное место отведено у Гомера и описанию
различных архитектурных сооружений — храмов и
дворцов. И ни слова о живописи! В чем же дело?
Не в том ли, что великий поэт прославлял
действительно достойное прославления, а живопись, по
выражению того же Лессинга, еще находилась в
колыбели?
Но вот наступила пора рождения театра. Трагедия
и комедия явились одним из многих чудес, подаренных
греками человеческой цивилизации. При постановке
театральных представлений еще со времен античности
используются рисованные декорации. Честь
изобретения этого важного средства повышения
выразительности театрального представления Аристотель
приписывал самому сочинителю трагедий — Софоклу. А вот
римский архитектор Витрувий считал, что первым в
этом деле был художник Агафарх. Вот какое важное
для нас свидетельство содержится в фундаментальном
труде Витрувия «Десять книг об архитектуре»:
«Впервые в Афинах в то время, когда Эсхил ставил трагедию,
Агафарх устроил сцену и оставил ее описание.
Побуждаемые этим, Демокрит и Анаксагор написали по тому
же вопросу, каким образом по установлению в
определенном месте центра сведенные к нему линии
должны естественно соответствовать взору глаз и
распространению лучей, чтобы определенные образы от
определенной вещи создавали на театральной декорации
вид зданий и чтобы то, что изображено на прямых
и плоских фасадах, казалось бы одно уходящим,
другое — выступающим». Кто был первым, сам ли Эсхил
или Агафарх (деятельность обоих приходится на V век
до н. э.),— особого значения для нас сейчас не имеет.
Важно то, что греческие художники, по крайней мере
декораторы, к середине V века до н. э. уже сделали
первую попытку геометризации живописи, применяя
для этой цели, как видно из цитаты, понятие точки
16

схода. Впоследствии возникает даже специальный
термин — «скиография». В упомянутом труде Витрувия
помещена такая запись: «Скиография есть рисунок
фасада и уходящих вглубь сторон путем сведения всех
линий к центру, намеченному циркулем». И здесь речь
идет, очевидно, о способе создания театральных
декораций, о чем говорит название термина, происходящее
от слова «скена». Скеной в древнегреческом театре
называлось небольшое сооружение для переодевания
актеров, на лицевой стороне которого крепились
декорации (от слова «скена» происходит и современное
«сцена»).
К сожалению, до нашего времени не дошла ни одна
из декораций античного театра. Очень мало
обнаружено и собственно живописных произведений той поры.
Поэтому-то и не просто составить четкое
представление о сущности тех приемов композиционного
построения картин, которые применялись античными
мастерами, в частности, о сущности упомянутого выше
правила точки схода. В изобилии сохранились лишь
восторженные легенды о мастерстве признанных
художников. Да и те, как правило, переданы писателями,
жившими несколько веков спустя после этих
художников. Вот некоторые из таких легенд. По преданию,
греческий художник Зевксис настолько естественно
изобразил виноград на одной из своих картин, что
птицы приняли его за настоящий и прилетали
клевать. Однако художник остался недоволен собой:
«Если бы я хорошо написал мальчика, то птицы
испугались бы его и не тронули виноград». Другой
художник, по имени Паррасий, современник Зевксиса, так
правдиво написал деталь с занавеской, что сам Зевксис
хотел ее отдернуть, дабы лучше рассмотреть
простиравшийся за окном вид.
Римский поэт и ученый Плиний Старший
рассказывал, как однажды знаменитый греческий художник
17

IV века до н. э. Апеллес выиграл соревнование в
живописном мастерстве по изображению лошадей.
Назначенные судьи вначале отдали предпочтение другому
художнику. Тогда Апеллес велел привести к картинам
лошадей. Те же удостоили ржаньем только его
картину, чем указали на действительно наилучший
рисунок.
Есть ли основания верить в справедливость
подобных оценок? Действительно ли греки достигли таких
вершин в живописи? Долгое время это казалось
неразрешимой загадкой. Даже восхищенным античностью
деятелям Возрождения, с особой пристрастностью
собиравшим памятники древнего искусства, ничего
достоверного о греческой живописи известно не было. То,
что они взяли для себя из этих легенд — это критерии,
с которыми следует подходить к произведениям
искусства. В живописном произведении, в первую
очередь, следует стремиться к реализму, к достижению
максимальной степени сходства с реальными
предметами. Только начиная с конца XVIΠ века с упомянутой
тайны начала спадать пелена. В это время в Европе
становятся известными первые значительные находки,
обнаруженные при раскопках трех римских городов:
Помпеи, Стабии и Геркуланума, расположенных в зоне
Неаполитанского залива (раскопки начаты с Помпеи
в 1748 году). Вместе с близлежащими окрестностями
эти города были погребены под пеплом во время
извержения вулкана Везувия. Трагедия свершилась жаркой
августовской порой 79 года н. э. при правлении
императора Тита Флавия. В художественных образах она
замечательно передана К. П. Брюлловым в известном
произведении «Последний день Помпеи».
Самые замечательные фрески и мозаики,
обнаруженные при раскопках, являются копиями или
вольными интерпретациями несохранившихся
прославленных шедевров греческой живописи, которые известны
18

по описаниям. Об одной из таких копий — мозаике,
представляющей битву Александра Македонского и
царя Дария в сражении греков с персами при Иссе,
в подлиннике принадлежащей греческому живописцу
Филоксену,— Гете сказал: «Содержание этой картины
приводит к восторженному изумлению». А ведь это
копия! Значительно более возвышенному и
гуманистическому греческому искусству действительно
принадлежали выдающиеся живописные произведения.
Помпейские росписи дают представление и о
практическом применении правила точки схода, о котором
говорит Витрувий. Многие из фресок имеют
декоративный характер. На них представлены в основном
архитектурные мотивы. В основе этих архитектурных
вариаций лежат изображения колонн, полуколонн,
пилястр, арок, портиков, монументов и целых храмов.
Все в них подчиняется задаче достижения иллюзорной
объемности и впечатления раздвинутых границ
комнаты, что так отвечает новой общественной
психологии, которая утверждалась с расширением границ
римского государства. Как и в театральных декорациях,
во многих Помпейских фресках изображения уходящих
вглубь картины прямых сводились в одну или в
несколько точек схода.
По-видимому, в этот период уже вполне могло
осознаваться, что в точке схода должны пересекаться
изображения параллельных между собой прямых. Во
всяком случае, в поэме знаменитого римского философа
и поэта Лукреция «О природе вещей» содержатся
следующие строки:
Портик, который в конец из конца
равномерно построен,
На протяжении всех утверждений на равных
колоннах,
Кажется все-таки нам, если вдоль сквозь
него мы посмотрим,
19

!\
л.
Фрагмент декоративной росписи
Мало-помалу к концу сходящимся конусом
узким,
Кровлю сближая с землей и правую сторону
с левой,
Вплоть до того, пока весь не сольется
в туманной вершине.
20

На фрагменте декоративной росписи содержится
три точки схода, которые размещены на одной
вертикальной прямой. Как объяснить это новое правило,
возникшее уже после Агафарха? Здесь, вероятно, имеем
дело со стремлением художника следовать
определенным правилам гармонического равновесия картины,
в изобилии появлявшимся в античной культуре.
Представления о гармонии, возникшие в Древней Греции,
оказали огромное влияние на все развитие
человеческой культуры, в том числе и на живопись. Именно
поиск гармонических сочетаний в изображении
пространства привел в конце концов художников к
перспективе, из которой впоследствии родилась
проективная геометрия.
НАЧАЛО УЧЕНИЯ О ГАРМОНИИ В ИСКУССТВЕ
Все в ней гармония, все диво,
Все выше мира и страстей.
А. С. ПУШКИН. Красавица
Древнегреческий вариант учения о гармонии являет
собой пеструю систему философских,
естественнонаучных, математических и эстетических знаний и
представлений. В различные исторические периоды это
учение имело свои характерные черты и свою особую
направленность. Возникновение учения о гармонии
традиционно связывается с именем легендарного
Пифагора, жившего в VT веке до н. э., того самого
Пифагора, которому (правда без достаточных на то
оснований) приписывалось первенство в открытии
известной теоремы о сумме квадратов катетов
прямоугольного треугольника (как показали исследования, эта
теорема была известна вавилонянам задолго до
Пифагора). Пифагорейцы, т. е. ученики и последователи
Пифагора, установили числовые зависимости между
длинами струн равной толщины, изготовленных из
21

одного и того же материала, при одновременном
звучании которых создаются слитные, согласованные
и приятные для слуха созвучия — консонансы
(неприятное для слуха сочетание звуков называется
диссонансом). Эти зависимости описывались с помощью
трех видов пропорций, наличие которых впоследствии
считалось обязательным и в произведениях искусства.
Так, сам Пифагор открыл консонансы, создаваемые
парами струн с отношениями длин: 2 : 1 (октава),
3 : 2 (квинта) и 4 : 3 (кварта). Отсюда, в частности,
был сделан вывод о том, что для извлечения всех трех
консонансов из легендарной четырехструнной лиры
достаточно, чтобы, длины а, Ъ, с, d ее струн
удовлетворяли отношениям
а : b : с : d = 1 : 2 : 3 : 4.
Легко видеть, что тогда
а —Ь = с — d.
Последнее соотношение положено в основу
определения арифметической пропорции. Именно если
произвольные четыре числа а, Ъ, с, d удовлетворяют
последнему соотношению, то говорят, что они образуют
арифметическую пропорцию. Если Ь=с, то пропорция
называется непрерывной, а число σ = —
средним арифметическим чисел and. Далее, для
устройства лиры с тем же свойством достаточно взять
отношения длин ее струн, равные 6:8:9: 12. Тогда
а : b—c : d.
Во всех случаях, когда имеет место последнее
равенство, говорят, что четыре числа а, Ъ, с, d образуют
геометрическую пропорцию. При Ь = с пропорция
называется непрерывной, а число b— \/ad — средним
геометрическим чисел and. Наконец, взяв отношения
длин струн равными 2:4:3: 12, можно придти к
22

гармонической пропорции, которая характеризуется
свойством
J i__j ι_
a b с d
При b=c гармоническая пропорция также называется
непрерывной, а число Ь, удовлетворяющее равенству
—= 1 ,— средним гармоническим чисел а и а.
bad
Непрерывную гармоническую пропорцию образуют,
в частности, длины а, Ъ, d трех струн, которые
создают консонанс, называемый мажорным трезвучием.
Мажорное трезвучие образуют ноты «до», «ми»,
«соль». А длины а, Ъ, d струн, воспроизводящие их,
пропорциональны числам 1, — , — соответственно,
т. е. число b является средним гармоническим чисел
а и d.
На основании полученных опытных данных о связи
музыки и теории чисел пифагорейцы создали
совершенно спекулятивную философию (в те времена
философия включала в себя все области знания).
Основным понятием философии пифагорейцев было число.
Оно у них считалось не только мерой, но и
сущностью, некоей первоосновой всех вещей. Развитая
впоследствии Платоном, который к числам прибавил
еще и геометрические фигуры, философия
пифагорейцев оказывала заметное влияние на всю античную
культуру и особенно на эстетику — науку о
прекрасном. Как непреложный факт считалось, что только
математикой и можно проверить гармонию.
Одним из первых видных теоретиков числовой
гармонии был скульптор Поликлет (V век до н. э.),
который создал математический трактат о числовых
пропорциях в скульптуре, а также скульптурное
произведение под названием «Дорифор» («Копьеносец»),
являющееся своеобразной иллюстрацией к трактату.
23

Впоследствии эта скульптура, да и сам трактат
получили название «Канон», т. е. образец, и на
протяжении долгого времени воплощали в себе систему
пропорций идеально сложенного человека. Отношения
размеров каждой части тела определяются «Каноном»
однозначно. После Поликлета слово «канон» стало
нарицательным. В скульптуре им стали обозначать вообще
всякую систему пропорций для построения
скульптурного изображения человека или животного. Вскоре
свои каноны появились и в архитектуре, где их
называли ордерами.
Вместе с каноном Поликлета широкое
распространение в античности получил канон другого
скульптора — Лисиппа, о котором Плиний Старший
свидетельствовал, что он способствовал усовершенствованию
скульптуры своей манерой изображать волосы, хотя
головы он делал меньше, чем более древние мастера,
а само тело тоньше и суше, благодаря чему казалось,
будто его статуи выше ростом. Лисипп применил
новый подход к построению фигур, заявляя, что старые
мастера, имея в виду, в первую очередь, Поликлета,
«делали изображения людей такими, какими они
бывают в действительности, а он такими, какими они
кажутся».
И у Поликлета, и у Лисиппа в качестве так
называемого модуля, т. е. единицы масштаба, выступает
высота головы. У Поликлета она 7 раз укладывалась
в длине всей фигуры человека, у Лисиппа — 8 раз.
Расстояние от глаз до подбородка у Поликлета
равнялось 7/16, а у Лисиппа — 2/3 длины модуля и т. д. Как
видим, канон действительный и канон зрительно
воспринимаемой фигуры заметно отличаются друг от
друга. Как же тогда быть с живописью? Что положить
в основание канонов в этом виде искусства? Число
как будто бы для этого не годится. Во всяком случае
пока не ясно, как с ним здесь обращаться. Тогда
24

вспомнили о геометрических фигурах. В результате
было создано учение о способах достижения
гармонических сочетаний в искусстве, которое естественно
назвать структурной гармонией, чтобы отличать его
от гармонии числовой.
В современном искусствознании термину
«структурная гармония», как его понимали в древнем мире,
соответствует несколько терминов, основные из
которых следующие: симметрия, равновесие, равнозапол-
ненность, ритмика, периодичность и им подобные.
Таким образом, античная структурная гармония более
всего подходит под современное определение
композиции.
Одним из способов достижения структурной
гармонии в античный период считалось размещение
предметов и действующих лиц таким образом, чтобы они
лучше всего вписывались в какую-нибудь из
простейших геометрических фигур. Убедительным примером
подчинения художественного произведения
требованиям структурной гармонии может служить
скульптурная группа «Лаокоон», созданная около 25 года
до н. э. древнегреческими мастерами Агосандром,
Полидором и Афинодором. Согласно мифу, жрец
Лаокоон увещевал своих сограждан — жителей Трои —
не принимать в подарок от ахейцев-данайцев
деревянного коня, догадываясь о страшной уловке (в этом
коне оказались спрятанными несколько вражеских
воинов, которые ночью открыли ворота юрода).
Покровительствующая ахейцам богиня Минерва послала
двух ужасных змеев с заданием задушить Лаокоона
вместе с его сыновьями. Момент этой смертельной
схватки и запечатлен в скульптурном произведении
«Лаокоон».
Особенностью композиционного построения
«Лаокоона» есть то, что, хотя сыновья жреца имеют все
признаки взрослых людей, их рост обозначен в два
25

•
Лаокоон
раза меньше роста отца. В связи с этим известный
английский критик теории искусства Уильям Хо-
гарт (1697—1764) заключал: «Таким образом, если
26

Ио, Аргус и Меркурий
бы нанять смышленного работника изготовить футляр
для сохранения скульптуры от повреждений или же
для удобства транспортировки, он простым взглядом
вскоре убедился бы, что вся композиция без труда
укладывается в пирамидальную форму и будет в ней
легко упакована» (трактат «О прекрасном»).
27

Примером пирамидальной композиции в античной
живописи может служить римская фресковая копия
картины знаменитого эллинского живописца IV века
до н. э. Никия «Ио, Аргус и Меркурий». Сюжет фрески
основан на мифе. Жена верховного бога Зевса Гера
приставила стоглазого Аргуса стеречь ее соперницу
Ио. Меркурий (на картине слева) убивает Аргуса.
Вероятно, с той же целью следования принципу
структурной гармонии был изобретен и способ
передачи глубины пространства с помощью точек схода,
который применялся в помпейских росписях и о
котором сообщал Витрувий.
Проведенный краткий анализ античных учений о
математической гармонии в искусстве — числовой и
структурной — приводит к следующему выводу. Обоим
этим видам гармонии порознь уделялось громадное
внимание. Но вот объединить их вместе так, чтобы
один не только не противоречил другому, а наоборот,
дополнял и подчеркивал его, не удалось. Вероятнее
всего, эта задача даже не была поставлена.
Заканчивая рассказ о геометрической теории
рисунка в античной живописи, приведем следующую
характеристику достижений древних мастеров известного
зарубежного исследователя истории эстетики Эрвина
Панофского (1892—1968): «Промежутки в глубину
чувствуются, но их невозможно выразить посредством
определенного «коэффициента»; ... размеры по общему
правилу уменьшаются к заднему плану, но это
уменьшение никогда не постоянное, и оно всегда
прерывается «выпадающими из масштаба» фигурами.
Изменения, которым подвергаются форма и краска тел
в зависимости от дистанции, изображаются со столь
виртуозной смелостью, что стиль подобных рисунков
можно рассматривать как предвестие или даже как
явление, параллельное современному импрессионизму.
...мир античного искусства... предстает в сравнении
28

с современным как более прочный и гармонический;
но как только мы начинаем включать в
изображение пространство, т. е. прежде всего в ландшафтных
изображениях, этот мир становится странно
нереальным, противоречивым, сонно колеблющимся» (цит. по
кн.: Лосев А. Ф. Эстетика Возрождения.— М., 1978.—
С. 268).
ЗРЕНИЕ И ВИДЕНИЕ
Картина может быть воспринимаема только
зрительно. В процессе этого восприятия должна
создаваться иллюзия непосредственного рассматривания
запечатленных на ней предметов и событий, как если
бы они были помещены или происходили в реальном
пространстве. И наоборот при создании картины
следует исходить из характернейших особенностей
зрительного восприятия. Науку о видении греки назвали
оптикой. В современной научной терминологии
значение этого термина неизмеримо более объемно. Но
нас сейчас будет интересовать вопрос становления
оптики, который во многом стимулировался искусством
живописи, а впоследствии оказал на нее определяющее
влияние. Следует сказать, что, вероятнее всего,
греческие художники не соотносили свои поиски правил
гармоники с данными оптики. Сделано это было позже,
в эпоху Возрождения. Но необходимыми для этого
представлениями из области оптики греки уже
располагали. Некоторые из этих представлений носили еще
довольно наивный характер, однако взятые в
совокупности они составляли достаточно прочный фундамент
для геометризации живописи.
Главенствующее представление древних о видении
оказалось настолько прочным, что продержалось в
науке почти до XVTT века, а в поэзии держится и
поныне, и не видно никаких причин, которые смогли хотя
29

бы поколебать установившуюся вековую традицию.
Представление о зрении, как осуществляющемся с
помощью особых лучей — флюидов, исходящих из глаз,
имеет очень древнее происхождение. В Древней
Греции оно восходит к пифагорейцам, которые могли
заимствовать его на Востоке. Человек, впервые
задумавшийся о природе зрения, никак не мог
представить его себе без простого осязания, сходного с
осязанием при помощи рук. Мельчайшие частицы,
испускаемые, в его представлении, глазами, должны были
вначале «ощупать» предмет и только после этого
возвратиться в глаза с обнаруженной информацией. Не
последнюю роль в укоренении такого представления
могли сыграть... кошки. Они прекрасно видят в
темноте и ... сверкают при этом глазами. Вполне
естественно в то время было допустить, что это сверкание
происходит от испускания флюидов, что и
обеспечивает видение. У человека «свет очей» (какое милое
и любимое поэтами выражение!) слабее, и поэтому-
де только и не позволяет ему видеть в темноте.
Заблуждения греков относительно физической
природы зрения не оказывали влияния на геометрическую
сторону этого процесса, которая с мастерством была
выявлена Евклидом. Тем самым знаменитым Евклидом,
с «Началами» которого связывается становление в
математике аксиоматического метода.
«Начала» — самый гениальный, но далеко не
единственный труд великого ученого древности. Евклиду
принадлежат и другие сочинения по математике, а
также трактаты по музыке, астрономии, оптике. По
крайней мере, половина из них до нас не дошла.
К счастью, в эту половину не попало сочинение под
названием «Оптика и катоптрика», т. е. «Видение
и видение отражения».
Евклид бы не был самим собой, если бы и это свое
сочинение не построил на аксиоматической основе.
30

Наука получила первый образец
аксиоматического подхода к
физическим явлениям. Спустя
многие столетия Исаак Ньютон
настолько восхитится
творениями Евклида, что по их образцу
создаст величайшее сочинение
своей эпохи —
«Математические начала натуральной
философии», подытожившее
формулировкой знаменитых законов
НЬЮТОНа МНОГОВеКОВОе развитие Евклид
механики.
Фра Мавролико, итальянский математик и физик
XVT века, которого совсем нельзя упрекнуть в
незнании существа дела, позволил себе высказать такое
странное мнение. Он спрашивал: «Почему оптика столь
трудна?» И тут же отвечал: «Не потому ли, что она
требует как физических, так и математических
аргументов, и поэтому известна как пограничная или
разнородная наука?».
Какая же истинно физическая наука в таком
случае «не столь трудна»? Когда была произнесена
процитированная фраза, а это был 1567 год, Ньютон еще
не родился, тем более не родились его
«Математические начала...». Но о сочинении Евклида, да и более
поздних ученых по оптике Мавролико, конечно,
знал. Тем более, что ему самому уже принадлежало
весьма неплохое сочинение по оптике, в котором
математика не только не мешала, а, наоборот,
помогала привести в единую систему множество самых
различных факторов. В отличие от Мавролико,
Евклид совершенно не опасался, что с применением
математики оптика усложнится. Более того,
своим трудом Евклид доказал совершенно
противоположное.
31

В качестве примеров основных положений —
аксиом, которые Евклид заложил в основании «Оптики
и катоптрики», приведем следующие:
1. Лучи, исходящие из глаз, распространяются
прямолинейно и расходятся в бесконечность.
2. Фигура, охватываемая совокупностью
зрительных лучей, есть конус, вершина которого находится
в глазу, а основание — на поверхности видимых
предметов.
3. Видимы те предметы, на которые падают
зрительные лучи, и невидимы те, на которые зрительные
лучи не падают.
4. Предметы, видимые под большими углами,
кажутся больше, видимые под меньшими углами,—
меньше, а видимые под равными углами,— одинаковыми.
Базируясь на подобных немногочисленных
положениях, Евклид обосновывал различные наблюдаемые
факты, которые сейчас входят в состав
геометрической оптики.
Из всего богатого содержания «Оптики и
катоптрики» Евклида позднейшие теоретики живописи
взяли, пожалуй, лишь те несколько аксиом, которые мы
привели. К тому же некоторые из этих положений,
канонизированные авторитетом великого геометра,
способствовали упрочению упоминавшегося
представления о лучах как о «свете очей». Тем не менее этот
первый математический подход к описанию процесса
зрения оказал свое благотворное влияние на
дальнейшее развитие оптики.
СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА В РЫЦАРСКИЕ
ВРЕМЕНА
Свершилось это много веков спустя. Естественно,
что за это время появилось множество других
сочинений по оптике. Еще в античную эгюху, кроме Евклида,
32

труды по оптике составили знаменитый астроном
Клавдий Птолемей (П век н. э.) и известный ученый Герон
Александрийский (Т век н. э.). Их сочинения, однако,
лишь в незначительной степени продвинули
теоретические вопросы оптики по сравнению с воззрениями
ученых времен Евклида, жившего в Τ Π веке до н. э.
Доминирующее положение в этих сочинениях
занимали умозрительные попытки объяснения тех или иных
наблюдаемых явлений да вопросы изготовления
простейших оптических приборов — зеркал. Для
построения по-настоящему содержательной теории нужны
были все новые и новые экспериментальные факты.
Но в отсутствие физических лабораторий порой
требовались целые десятилетия, чтобы увидеть хорошую
радугу. Наука должна была пережить этот, казалось
бы, бездеятельный период сбора фактов. Даже в том
случае, если бы им оказалось и не средневековье.
Специфические условия, сложившиеся в общественном
укладе периода средневековья, только продлили
период сбора новых опытных данных. Феодальная
раздробленность, религиозное засилье заперли научный
поиск в тесные стены замков и монастырских келий.
На университетских кафедрах доминировала
теология — лженаука, ставившая себе за цель дать
«научное» доказательство бытия божьего. В
лабораториях железо «превращали» в золото, «изобретали»
философский камень. «Испытатели» природы искали
живую воду...
К счастью, у этих «исследований» были побочные
результаты. Это — те самые экспериментальные
данные, так необходимые для настоящей науки.
Да, средневековье дало многие экспериментальные
данные. Но оно же и заглушило науку. На какой же
почве могло произрасти семя новой возрожденческой
науки? Ведь бессмертные «языческие» творения
греков либо вообще были преданы забвению, либо же
33

срочно переделаны и приспособлены к задачам
теологии.
Стараясь ответить на этот вопрос, можно еще раз
воочию убедиться в плодотворном взаимодействии
культур разных народов в различные исторические
периоды. Конечно, не везде средневековье имело
столь мрачный облик, как в Европе. В VTT веке
образовалось огромное арабское государство — Халифат,
в котором науки не были заточены в застенки,
подобные европейским кельям и замкам. Только благодаря
арабам уставшая от междоусобных и религиозных войн
Западная Европа смогла приобщиться к духу большой
науки.
Арабским ученым мировая наука обязана многими
достижениями революционизирующего характера. Не
меньшая заслуга их и в том, что только благодаря
сохранившимся арабским переводам, снабженным в
большинстве случаев подробными и обстоятельными
комментариями, до наших дней дошли многие
бессмертные ' творения Аристотеля, Платона, Евклида,
Архимеда, Аполлония, Герона, Птолемея, Диофанта
и многих других классиков науки.
Во все времена арабские ученые сохраняли
неизменным интерес к астрономии. Естественно, что
оптика, как верная прислужница астрономии, также
пользовалась их вниманием. Еще до эпохи Раннего
Возрождения значительное распространение в Европе
получает фундаментальный труд Ибн аль-Хайсама (965—
1039) (более известного под латинизированным именем
Альгазена) «Сокровища оптики». На базе этого труда
польский ученый Витело, или Вителон (ок. 1226—ок.
12{Ю), создал свою «Перспективу», необычайно
популярную среди европейских ученых.
О том, насколько почитали «Перспективу» Витело,
убедительно свидетельствует тот факт, что известное
сочинение Иоганна Кеплера (1571—1630) «Оптическая
34

часть астрономии» автором было названо несколько
по-иному, чем называем его мы, а именно:
«Дополнение к Вителону, в котором сообщается об
оптической части астрономии». Впервые решительно
порвав с вековой традицией, которой придерживался
и Витело, т. е. «заставив», наконец, зрительные лучи
не исходить из глаз, а, наоборот, попадать в глаза
после отражения и преломления на поверхностях
предметов и обеспечивать именно таким образом
субъективное восприятие действительности, что,
кстати, полностью согласуется с данными современной
науки, Кеплер рассматривал свое сочинение всего лишь
как дополнение к трактату Витело.
А вот еще свидетельства популярности
«Перспективы» Витело. В дневниках Леонардо да Винчи (1452—
1519) были обнаружены следующие заметки:
«Постарайся достать Вителона, который находится в
библиотеке в Павии и трактует о математике» (имеется в виду
достать сочинение Витело); «У Вителона имеется
805 заключений по перспективе».
Столь необычайная популярность труда Витело
(хотя имелись и другие сочинения по оптике, в
частности в ХП веке было переведено на латинский
сочинения Альгазена) объясняется несколькими причинами.
Главная из них — широкое привлечение математики
к анализу оптических явлений; Начиная с Раннего
Возрождения, математика считается главным средством
познания мира. «Перспектива» Витело представляла
конкретный пример математизации физической теории.
Большей популярности «Перспективы» по
сравнению с «Сокровищами оптики», хотя, как было
отмечено, первое сочинение базировалось на втором, могло
способствовать бытовавшее мнение, будто труд
Альгазена есть копия сочинения Птолемея.
Оригинальность и научная новизна «Сокровищ оптики» стали
неоспоримыми лишь после того, как сочинение Пто-
35

лемея было найдено и опубликовано. А то, что Аль-
газен был и Ибн аль-Хайсамом, установлено лишь
в ХТХ веке.
Любопытно отметить, что, следуя в основном идеям
«Сокровищ оптики» Альгазена, Витело отвергал
принятое там и согласующееся с современными научными
данными предположение о природе зрения, согласно
которому, не «свет истекает из глаз», а наоборот —
«свет бьет по глазам», т. е. что видение происходит
за счет попадания в глаза световых лучей либо
непосредственно от яркого предмета, либо же лучей,
отраженных от предмета. Вероятно, в период
всеобщего восхищения греческой древностью трудно было
предположить, что главенствующая когда-то версия
о природе зрения является ошибочной.
Кроме того, не последнюю роль в обеспечении
популярности сочинению Витело могло сыграть и его
название. Термин «дерспектива» возник в конце
средних веков. Вначале как латинский перевод греческого
термина «оптика» («оптика» — буквально «видение»,
обобщенно в то время — наука о зрительном
восприятии). Немного спустя стали различать перспективу
естественную, т. е. собственно оптику, и перспективу
искусственную, объединяющую способы построения
изображений на картинах. Наконец, за перспективой
естественной был оставлен греческий термин «оптика»,
а перспективу искусственную назвали просто
перспективой. Тогда же появилось и новое буквальное
значение термина «перспектива» как «рассматривание
через» (пространственный промежуток, окно). Как
будет видно из дальнейшего, столь родственные связи
между терминами «оптика» и «перспектива», а также
новое буквальное значение второго термина вовсе не
случайны.
36

КРАСНОРЕЧИВЫЕ ПРЕДАНЬЯ
Не много можно привести примеров таких научных
терминов, которые, подобно «перспективе», на
протяжении длительных исторических периодов не сходили
бы с уст людей самого различного рода занятий. На
всех этапах Возрождения перспектива оставалась
предметом оживленных дискуссий не только в среде
художников, ваятелей и зодчих, но и поэтов, критиков,
ремесленников, просвещенной знати. Вот как отзывался
о ней знаменитый немецкий живописец и график
Альбрехт Дюрер (1471—1528) в письме из Италии на
родину: «Я остаюсь здесь еще десять дней, потом еду
верхом в Болонью \ ради искусства тайной
перспективы, которой один там научит меня» (этот «один» —
по всей вероятности известный математик Лука Па-
чоли (ок. 1445—1517), близкий друг Леонардо да
Винчи). Приблизительно к тому же времени относится
и известное изречение итальянского художника Паоло
Ломаццо (1538—1588): «Скорее умереть, чем
пренебречь перспективой». Подобных свидетельств можно
было бы привести необычайно много. Остановимся
еще только на одном, принадлежащем к числу
наиболее красноречивых. Содержится оно в историко-
критическом трактате «Комментарии» известного
скульптора Лоренцо Гиберти (ок. 1381—1455), автора
знаменитых «Райских дверей» для флорентийского
Баптистерия, на изготовление которых ушло более
25 лет упорного труда. Гиберти передает предание
о соревновании греческих художников Апеллеса и
Протогена, почерпнутое им из «Естественной истории»
Плиния. Согласно этому преданию, Апеллес посетил
однажды остров Родос, где жил Протоген, с целью
знакомства с работами своего собрата по кисти. По-
1 Болонья — город на севере Италии.
37

скольку Протогена не оказалось дома, то старуха,
сторожившая поставленную на мольберт картину,
спросила, как ей сказать хозяину кто его хотел видеть.
«Вот кто»,— ответил Апеллес и, взяв лежавшую тут
же кисть, провел на картине цветную линию
чрезвычайной тонкости и ушел. Вернувшись и увидев
столь тонкую линию, Протоген сразу узнал руку
Апеллеса, но, желая посоревноваться, провел по линии
Апеллеса линию еще более тонкую, а старухе
приказал, чтобы в случае возвращения Апеллеса она
ответила: «Это тот, которого ты спрашивал». Когда же
Апеллес вернулся и увидел линию Протогена, то
провел третью линию, отличавшуюся по цвету от первых
двух и еще более тонкую, настолько, что уже не
оставалось более никакой возможности провести линию
еще тоньше. Вернувшийся Протоген признал себя
побежденным.
Закончив пересказ предания, Гиберти продолжал
уже в духе своей эпохи. Соревнование двух
знаменитых художников ему представлялось не в
проведении тончайших линий, а в построении
«превосходнейшие перспективных схем». Правда, понятие
«перспективной схемы» он не конкретизировал. Однако
и без того понятно, что под этим подразумевался
рисунок, позволяющий создать изображение,
впечатление от созерцания которого максимально походило
бы на впечатление от созерцания натуры.
ВОЗРОЖДЕНИЕ
Мое беспечное незнанье
Лукавый демон возмутил...
А. С. ПУШКИН. Бывало в
сладком ослепленье...
Продолжая наше путешествие, дорогой читатель,
мы уже прочно вступили в эпоху Возрождения. Это
38

удивительный период в истории человечества.
Величественные идеи гуманизма, верности природе,
непоколебимая вера в силу разума почти одновременно
распространились по всей Европе. Произошел
невиданный переворот во всей средневековой системе
взглядов на мир и место человека в нем. Авторитетам
«священного» писания были противопоставлены
авторитеты науки, эксперимента и теории. Теологическому
блаженному откровению с большим трудом удавалось
собирать немногочисленную аудиторию. Зато
гениальными творениями античности восхищались почти все.
В античности увидели то, что хотели увидеть —
свободу мысли, действия, веру в человека и в его
созидательную силу. Рост городов и укрепление их
независимости от феодалов и церкви, переход от ремесла
к мануфактуре явились определяющими условиями
возрождения духа античности. Внутри старого
феодального мира зарождались новые капиталистические
отношения, а перестраивающаяся система
производительных сил и производственных отношений
стимулировала развитие точных наук. Великие
географические открытия — открытие Христофором Колумбом
Америки (1492—1498), открытие Васко да Гама
морского пути в Индию (1497—1499), кругосветное
путешествие Магеллана (1519—1522) — в необычайной
степени раздвинули горизонты научных представлений.
Это предопределило появление таких научных теорий,
как гелиоцентрическая система Николая Коперника
(1473—1543) и учение о множественности миров
Джордано Бруно (1548—1600). Весь этот духовный и
материальный подъем получил в истории весьма
красноречивое название. Во Франции его называли
Ренессансом, что в буквальном переводе означает
«Возрождение». В период Возрождения возникает и название
«средние века» для обозначения периода упадка
духовной и материальной культуры в Европе.
39

Грандиозные перемены, которые произошли в
жизни общества, самым коренным образом отразились на
характере мировоззрения и всей культуры
Возрождения. В этот период сформировались совершенно новые
представления об эстетических ценностях в
произведениях искусства. По форме искусство еще в основном
осталось религиозным, но по содержанию — глубоко
реалистичным и гуманистичным. Центральным
образом в искусстве становится образ человека с его
земными радостями и печалями. Изгнанная
средневековьем плоть вновь возвращается на свое место. Хотя
основной эстетической категорией остается понятие
гармонии, которое средневековые схоласты
истолковывали по-своему, теперь оно приобретает новое
содержание. Схоласты видели гармонию в божестве,
в числах, в церковной иерархии, в чем угодно, только
не в реальном мире. Природа представлялась им
нагромождением мертвых, безжизненных и
бездеятельных форм. В эстетике Возрождения «гармония»
выступает как неразрывное единство телесного и
духовного, идеального и материального. В искусстве
средством достижения гармонии объявляется максимально
возможное следование природе, преобразованной
и упорядоченной, если это требуется, рукой человека.
А для этого следует уточнять и создавать заново
числовые пропорции, вести поиск геометрических
подходов к композиции. Но и не только это.
Непременно следует добиваться того, чтобы форма
соответствовала содержанию, вещь — ее месту и назначению.
Необходимым условием для удовлетворения
последним требованиям является координирование
принципов как числовой (пропорции), так и структурной
(композиции) гармонии. Это как раз то наиболее
весомое новшество, которое в учение о гармонии внесло
Возрождение по сравнению с античностью. Особенно
сильно эта новая установка проявилась в живописи.
40

Живопись не только не оставалась в стороне от
всепоглощающего стремления к реализму, но, наоборот,
находилась на самом переднем крае этого движения.
В ней постоянно и с неослабевающим энтузиазмом
происходят искания все новьгх и новых средств
«приближения к природе»; т. е. способов передачи на
полотне места и события с максимальным подобием к
натуре. Но как познать, как изобразить кистью эту
поистине достойную обожествления натуру? Только
наука может дать ответы на эти вопросы. В первую
очередь, математика.
Еще древние одной из важнейших задач
изобразительного искусства считали поиск и воспроизведение
пропорций для достижения гармонических сочетаний.
Следовательно, этим необходимо было заниматься
и сейчас. Пока новые пропорции разрабатываются,
можно использовать древние каноны. Это тоже
вершина мастерства, хотя уже и не самая высокая.
Древние иногда надумывали некоторые пропорции, вместо
того чтобы беспристрастно следовать природе. Простое
заимствование на первых порах допускали скульптура
и архитектура, но не живопись, тем более что
античные живописные произведения в большинстве своем
не сохранились. Как передать объемность
пространства? Это — сложнейшая задача, которую древние
полностью так и не решили. Видимо неспроста греки
отмечали живописным портретом заслуги только
трехкратных олимпийских чемпионов. Победившему
на олимпиаде однажды воздвигали всего лишь...
скульптуру.
41

НАЧАЛО УЧЕНИЯ О ПЕРСПЕКТИВЕ
... живописец и есть тот, кто в силу
необходимости своего искусства
произвел на свет ... перспективу.
ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ. О живописи
В условиях крушения принципов и установок
средневекового искусства новыми средствами
достижения выразительности в живописи могли стать лишь
те приемы и методы, которые опираются на
непосредственное зрительное восприятие. Они-то и
получили обобщающее название — «перспектива».
Чтобы более отчетливо представить себе
новаторский подход ренессанских художников к принципам
своего искусства, примем во внимание основные
черты средневековой живописи. Средневековая
живопись Европы — это иконопись. Вследствие этого она
всецело подчинялась задачам насаждения и
утверждения религиозного сознания. Основа христианской
религии — противопоставление духа и плоти. В образе
Христа, в образах святых воплощена идея бога,
сознательно идущего на мученичество, погибающего
физически, но торжествующего духовно. В
соответствии с этим в искусстве на первый план
выдвигаются задачи воспевания духовного, небесного за счет
пренебрежения земным. Это ведет к схематизации
изображений, употреблению условной атрибутики,
сознательному стремлению сообщить изображаемым
событиям из «житий святых» неземной,
несоизмеримый с действительностью характер. Даже в
многочисленных средневековых «Распятиях» тело Христа
изображается настолько уродливым, аскетическим,
что в сознании верующего вряд ли возникнет
сомнение в том, что это тело должно стать прахом,
дабы дать возможность высвободиться бессмертной
душе.
42

Язык средневековой живописи был назван
обратной перспективой, в отличие от языка живописи
последующих эпох, названного прямой перспективой
или просто перспективой.
Первым художником, чье творчество знаменовало
собой начало возрождения живописи, был
флорентиец Джотто ди Бондоне (1266—1337),
соотечественник, современник и близкий друг великого поэта
Данте Алигьери (1265—1321).
В «Комментариях» Лоренцо Гиберти содержится
примечательная, несколько идеализированная, но
достаточно точно передающая существо дела версия
(впоследствии ее придерживался и Леонардо да Винчи
и известный биограф художников, скульптуров и
зодчих итальянского Возрождения Джорджо Вазари
(1511—1574) о начале творческого пути Джотто.
Согласно этой версии, Джотто не учился, как это
было заведено, живописному мастерству ни у единого
иконописца. В детстве он был пастухом, находясь в
горах и наблюдая за движениями коз и других
животных, начал зарисовывать их на скалах. Постоянные
наблюдения за природой, ее зарисовки, по рассказу
Гиберти, и дали возможность Джотто превзойти всех
когда-либо бравших в руки кисть до него.
В ренессанском искусстве творчество Джотто
положило начало поиску средств достижения эффекта
объемности живописных произведений, т. е. методов
и способов перспективы. В большинстве
произведений мастера объемность достигается, наряду со
светотеневой моделировкой, введением в изображение
задних планов, иногда включающих архитектурные
композиции. Последний прием, берущий, как мы видели,
свое начало в античности, впоследствии станет
доминирующим в живописи Возрождения. Архитектура
оказалась действенным средством в организации
и осознании изображаемого пространства, поскольку
43

предоставляла прекрасную возможность упорядочить
его с соблюдением принципов гармонии.
В соответствии с этим возникли фундаментальные
задачи ренессансного искусства: изучить законы
визуального восприятия архитектурных ансамблей
(архитектурная перспектива), а также способы
выполнения рисунков пространственно протяженных сцен
на различных поверхностях в соответствии с
закономерностями визуального восприятия (геометрическая
перспектива).
В неразрывной связи с этими задачами решались
и задачи воздушной перспективы, трактующей об
изменении цветов и отчетливости очертаний предметов
на различных удалениях. Но на первом месте, в
соответствий с их особой важностью и значимостью, а
также в соответствии с особым положением живописи
в искусстве Возрождения всегда стояли проблемы
перспективы геометрической, а еще более конкретно —
линейной. Линейная перспектива — это теория
построения рисунка на плоскости, рисунка, который затем,
в каждом конкретном случае, путем нанесения красок
возможно превратить в реалистическую живописную
картину.
Отметим, что наиболее распространенными после
линейной геометрической перспективы являются
перспективы панорамная и купольная. В первом случае
изображение строится на внутренней стороне
цилиндрической поверхности, а во втором — на внутренней
стороне сферического сегмента. Далее будем
рассматривать только линейную перспективу. Именно она
приведет нас к замечательной геометрической теории,
которая называется проективной геометрией.
Раннеренессансная живопись путем проб и ошибок
долго шла к выработке правил линейной перспективы.
Поначалу художники совершали те же ошибки в
изображении пространства, что и античные художники.
44

Ρ— ~mL·
\
ч
Построение линейной перспективы
Первенство в теоретической постановке и
разработке проблем линейной перспективы традиционно
приписывается (этого мнения придерживался и Вазари)
флорентийскому архитектору и скульптору Филиппо
Брунеллески (1377—1446). Он высказал очень простую,
но необычайно плодотворную идею о том, что
образование контуров изображения какого-либо предмета
на плоской картине можно представить как
осуществляющееся в результате пересечения плоскостью
картины зрительного конуса, т. е. конуса с вершиной
в глазу художника, поверхность которого охватывает
данный предмет (см. «Построение линейной
перспективы»).
Вероятнее всего, к этой идее Брунеллески привели
глубокие размышления о геометрической сущности
процесса создания рисунка. На основании
распространенных в то время представлений о природе зрения
он пришел к выводу о том, что построение рисунка
условно можно истолковать, как нанесение кистью
на прозрачном холсте картины видимых контуров
предметов в предположении о неизменности
положения точки зрения художника (другими словами,
картина может быть уподоблена виду через окно). Тогда
45

\
Юный живописец
каждое прикосновение кисти дает точку пересечения
с картиной проходящего через конец кисти и глаз
художника зрительного луча. Примером может
служить картина русского художника Ивана Фирсова
(ок. 1733— после 1785) «Юный живописец», которая
иллюстрирует сказанное в предположении о
прозрачности холста.
46

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУТЬ ПЕРСПЕКТИВЫ
Математической моделью процесса образования
рисунка является центральное проектирование.
Определяется оно так.
Пусть задана плоскость проекций π (часто ее
называют плоскостью изображения, а иногда (в
живописи) картинной плоскостью или просто картиной)
и некоторая точка S вне ее. Точку S назовем центром
проектирования или центром перспективы.
Центральной проекцией или перспективой F фигуры F' на
плоскость π из центра S называется геометрическое
место точек пересечения с плоскостью π всех
прямых, соединяющих точки фигуры F' с точкой «S (рис. 1).
Прямая SA называется проектирующей для точки А',
а точка пересечения проектирующей прямой SA' с
плоскостью π называется центральной проекцией точки А'.
Совокупность всех проектирующих прямых для точек
фигуры F' называется проектирующим, иногда
зрительным (в живописи), конусом. Если F' — прямая,
то проектирующим конусом является плоскость.
Фигура может содержать точки, не имеющие своих
центральных проекций. Все такие точки принадлежат
плоскости а, проходящей через точку S
параллельно плоскости π и называемой нейтральной
плоскостью.
Обратим внимание, что в зависимости от
контекста термин «перспектива» может употребляться как
в значении способа построения изображения на
основании центрального проектирования, так и в
значении самого этого изображения. Что касается термина
«линейная перспектива», то в современной
терминологии он используется при геометрическом
построении плоских изображений на основании
центральных проектирований. Центральное проектирование
фигур осуществляется при их фотографировании.
47

Как известно, «скрытое» негативное изображение
Фн пространственной фигуры Ф' образуется в
результате того, что световые лучи, отражающиеся от
поверхности фигуры Ф' и проходящие через одну и ту же
точку S — оптический центр объектива фотоаппарата,
попадают на плоскую поверхность Πι
светочувствительного материала (рис. 2). Говорят, что фигура Ф'
проектируется на Πι из точки S. Затем, в результате
проявления, «скрытое» изображение становится
«явным».
После проявления негатива и проектирования
«явного» негативного изображения Фн на плоскость
Π2ΙΙΠ1 получается «скрытое» позитивное изображение
Фп фигуры Ф', которое можно считать центральной
проекцией фигуры Ф' на плоскость Π 2 и которое после
соответствующей химической обработки становится
фотографическим изображением.
Центральное проектирование положено в основу
функционирования различной проецирующей
аппаратуры — фильмоскопов, проекторов и т. д.
КАК УЧИЛИ РИСОВАНИЮ
Для практической реализации принципа, открытого
Брунеллески (фотография появится лишь в XIX веке'),
следовало найти эффективный способ выполнения
пространственных построений, заключающихся в
определении точек пересечения с картиной различных
проектирующих прямых. Первое остроумное решение
этой задачи было предложено одним из наиболее
выдающихся деятелей итальянского Возрождения
архитектором, скульптором, художником,
писателем-гуманистом Леоном Баттиста Альберти (1404—1472).
Рассказывая о наиболее выдающихся достижениях
Альберти, Вазари сообщал: «В 1457 году, когда немцем
Иоганном Гутенбергом был изобретен полезнейший
48

Рис. 2
Рис.1
/ вГ
М(х;у)

способ печатания книг \ Леон
Баттиста по сходству изобрел
прибор, при помощи которого
можно было строить
перспективы с натуры...».
По своей основополагающей
идее изобретение Альберти
очень простое, но художник им
гордился и при каждом
удобном случае подчеркивал свой
приоритет в его открытии.
А. б. Альберти Сам автор называл «прибор»
завесой или сеткой: «Это
тончайшая завеса из редкой ткани, окрашенная в любой
цвет по твоему вкусу, разбитая более толстыми нитями
на любое число параллелей. Завесу эту я помещаю
между глазом и видимым предметом так, что
зрительный конус проникает через просветы тканей» (из
«Трех книг о живописи» Л. Б. Альберти).
Глаз и завеса должны находиться в таком
положении относительно предметов, которые следует
запечатлеть (роль точки зрения играет узкое отверстие
в протяженном вертикальном предмете), чтобы
контуры последних были видимыми через завесу.
Поверхность чистого полотна под будущую картину
разделяется на равные полосы тем же числом
параллелей (у Дюрера, для большей точности, еще и
вертикалями), что и завеса. Наконец, наблюдая за
предметами из выбранной точки, замечают их видимые
положения относительно полос завесы и переносят
на картину.
Несколько способов построения перспективных
изображений (вместе с только что отмеченным) пред-
1 Книгопечатание было изобретено И. Гутенбергом не
позднее 1445 г.
50

Способ построения перспективных изображений по Дюреру
лагал Альбрехт Дюрер в трактате «Руководство к
измерению», предназначавшемся для начинающих
художников. Картина устанавливается в дверце рамы,
которую можно открывать и закрывать. Затем к каждой
точке изображаемого предмета (на гравюре к лютне —
старинному струнному инструменту, подобному
современной мандолине; разновидностью лютни является
украинская бандура) при от: рытой дверце
протягивается длинная нитка, прикрепленная одним концом
к стене (точка крепления играет роль центра
перспективы). Еще двумя нитками, прикрепленными
своими концами на горизонтальной и вертикальной
сторонах рамы, фиксируется точка пересечения
первой (длинной) нити с плоскостью картины. Опуская
длинную нитку и закрывая дверцу, отмечают на
картине изображение выбранной точки. Взяв достаточное
количество точек на предмете, получают его
изображение.
51

Способ построения перспективных изображений по Дюреру
Как ни остроумны и ни привлекательны все
рассмотренные механические способы построения
перспектив, они далеко не всегда применимы. Область
их применения ограничивается «комнатной
живописью», при которой точка зрения находится на
незначительном удалении от картины. Тем более они
непригодны при рисовании по представлению.
Предназначались эти способы, в первую очередь, в помощь
начинающим художникам при выполнении учебных
рисунков.
ЗАКОНЫ ПЕРСПЕКТИВЫ
Узнать законы перспективы я желал
более, чем получить королевство.
А. ДЮРЕР. Из воспоминаний
Несмотря на личную дружбу и научные контакты
с известным тогда математиком Паоло Тосканелли
(1397—1482), Брунеллески, по-видимому, так и не
удалось достичь более значительных результатов в
теории перспективы, чем сформулированная им идея
о сечении. Вазари сообщал, правда, что Брунеллески
создал несколько живописных видов своего родного
города Флоренции с соблюдением некоторых открытых
52

' ■ 1 ι и
J.
Эскиз перспективы Пьеро делла Франчески
им совместно с Тосканелли правил линейной
перспективы. Возможно под впечатлением от этих видов
создавал эскизы перспективы художник и теоретик
живописи Пьеро делла Франческа (ок. 1420—1492). До
наших дней картины Брунеллески не дошли.
Поэтому-то и невозможно сколь-нибудь определенно
судить, в какой степени правила линейной
перспективы действительно были известны великому
архитектору. Как бы там ни было, задача об их поиске была
поставлена. А это уже и начало ее решения.
Здесь нам, дорогой читатель, весьма уместно
прервать на некоторое время наше путешествие в
историческое прошлое союза живописи и геометрии с тем,
чтобы попытаться самостоятельно разрешить
исключительно важную теоретическую задачу, которая
возникла перед художниками Возрождения,— найти
основные правила линейной перспективы. Поскольку
линейная перспектива основывается на центральных
проектированиях, то для решения этой задачи следует
обстоятельно изучить свойства таких
проектирований.
53

«Принимаясь за дело, соберись с духом»,— учил
Козьма Прутков. Следуя этому необычайно полезному
наставлению, приведем список основных символов
и определений, которые будут использоваться в
дальнейшем.
1. Символ Ц обозначает «не параллельно»,
например, запись а Ц Ь следует читать: прямая а не
параллельна прямой Ь.
2. Если точка А принадлежит (не принадлежит)
фигуре F, то будем записывать А £ F (А $ F).
3. Если каждая часть фигуры F\ является и частью
фигуры F2, а каждая часть фигуры Fi — частью
фигуры F\, то фигуры F\ и F2 совпадают. Обозначим это
F\ ξ= F2. В противном случае — F\ Φ ¥2. Сразу отметим,
что совпадение фигур и их равенство не одно и то же.
Из того, что F\ = F2, следует, конечно, равенство
F\ = /^2. Но обратное неверно. Фигуры могут быть
равными, но не совпадающими.
4. Если фигура F состоит из двух частей F\ и F2, то
это будем записывать F = F\ [} F2 (читается: фигура F
совпадает с объединением фигур F\ и F2). В противном
случае обозначение следующее: F Φ F\ \j F2.
5. Если фигура F является общей частью фигур F\
и F2, то это обозначаем F = F\ (] F2 (читается:
фигура F совпадает с пересечением фигур F\ и F2)· В
противном случае обозначение следующее: F Φ F\ [\ F2.
6. Преобразования фигур будем обозначать
малыми буквами латинского алфавита, например р, f
и т. д. То, что преобразование g переводит фигуру F\
в фигуру F2, будем записывать g(F\) ξ= /^ или g : /м ->
-+F2. Фигура F2 называется образом фигуры F\, а
фигура F\ — прообразом фигуры F2 в преобразовании g.
То, что точка А некоторым преобразованием
переводится в точку А', часто будем обозначать так: А-+А'.
7. Пусть рассматривается преобразование g : /м ->-
->- F2, a F является частью F\. Через убудем обозначать
54

преобразование фигуры F, переводящее произвольную
точку X 6 F в такую точку X'£g(F), в которую ее
переводит преобразование g(gF : F -► g{F)).
Преобразование gF называется сужением преобразования g на
фигуру F.
8. Пусть имеем преобразование f : F -► G, в
котором произвольная точка X 6 F переводится в точку
Υ 6 G, и преобразование g : G -► Ρ, в котором точка У
переводится в точку X' 6 Р. Преобразование /ι, при
котором точка Л переводится в X', называется
произведением (или композицией) преобразований f и g
и обозначается /ι = f · g.
9. Преобразование g : Fi -► F2 называется взаимно
однозначным, если каждая точка У фигуры F2 имеет
прообраз, а различные точки фигуры F\ переводятся
в различные точки фигуры F2 Для взаимно
однозначных преобразований имеет смысл понятие обратного
преобразования. Обратным к взаимно однозначному
преобразованию g : F\ -► F2 называется
преобразование, переводящее произвольную точку Υ £ /^ в точку
Л 6 /м такую, что g(X) ξ= У (обозначение следующее:
g_1 : /^-^ /м). Очевидно, что произведение g-g~l :
F\-> Fi есть тождественное преобразование, т. е.
каждую точку Л 6 Fi оно переводит в себя.
10. Наряду с преобразованиями фигур будем
рассматривать и соответствия между совокупностями или,
что то же самое, множествами фигур. Пусть имеем два
множества фигур F\ и F2 Если каждой фигуре
множества F\ соотнесена каким-либо образом, к примеру, путем
обозначения и тем же символом, но с иным индексом
одна и только одна фигура из множества /•'г, то говорят,
что задано соответствие между множествами F\ и F2
Таким образом, преобразование — это соответствие,
при котором оба множества F\ и F2 мыслятся
состоящими из точек. Поэтому часто преобразования также
называют соответствиями.
55

Все обозначения и определения, связанные с
соответствиями, аналогичны обозначениям и определениям,
связанным с преобразованиями. К примеру,
соответствие f : Fi^ F2 называется взаимно однозначным, если
каждая фигура К из множества /^ имеет прообраз
в множестве Fi, а различным фигурам множества F\
соответствуют различные фигуры множества fV
Приведем пример соответствия, не являющегося
преобразованием. Пусть F\ — множество всех точек
плоскости а, расположенных вне фиксированной
окружности k, a F2 — множество всех прямых из а,
пересекающих окружность к в двух точках. Соответствие
ρ : F\-> F2 определим так. Произвольной точке А £ Fi
поставим в соответствие такую прямую а 6 ^2, которая
проходит через точки касания с к двух касательных,
проведенных через точку А (сделайте рисунок
самостоятельно). Соответствие р, очевидно, взаимно
однозначное.
Собравшись таким образом с духом, мы далее
последуем другому наставлению Козьмы Пруткова и
«посмотрим в корень» центрального проектирования.
Сделать это удобно при сопоставлении свойств
центрального проектирования со свойствами
проектирования параллельного, известного из школьного курса
геометрии.
С помощью параллельного проектирования также
можно получать достаточно наглядные изображения
пространственных фигур на плоскости. Все рисунки
фигур в школьной стереометрии выполнены именно
в параллельной проекции.
Наглядное представление о центральном
проектировании дает образование теней от предметов при
освещении их точечным источником света. Напротив,
образование теней при солнечном освещении
(источник света можно считать бесконечно удаленным)
служит наглядной иллюстрацией параллельного про-
56

ектирования. Если представить себе центр
проектирования S удаляющимся от плоскости проекций π, то по
мере такого удаления углы между проектирующими
прямыми для точек заданной неподвижной фигуры Ф'
будут неограниченно уменьшаться, обратившись в нуль,
когда точка S «уйдет» в бесконечность. Таким
образом, параллельное проектирование можно считать
предельным случаем центрального, при котором центр
перспективы бесконечно удален от плоскости
проекций. Это обстоятельство, помимо методических
соображений, также оправдывает изучение свойств
центральных проектирований через сопоставление их со
свойствами проектирований параллельных.
Определения, связанные с параллельным
проектированием, следующие.
Пусть заданы плоскость проекций π и направление
проектирования — некоторая прямая 1\л (рис. 3).
Параллельной проекцией F фигуры F' на плоскость π
по направлению / называется геометрическое место
точек пересечения с π всех прямых, проходящих через
точки фигуры F' параллельно прямой /. Прямая ХА' \\1
называется проектирующей для точки А' 6 F', а точка
Α Ξ= ХА'() π называется параллельной проекцией
точки А'. Совокупность всех проектирующих прямых для
точек данной фигуры называется ее проектирующим
цилиндром (проектирующий цилиндр является
предельным случаем проектирующего конуса, когда
вершина последнего бесконечно удалена). Если
проектируемой фигурой является прямая, то проектирующий
цилиндр для нее вырождается в «плоскость, которая
называется проектирующей плоскостью для данной
прямой.
Параллельное проектирование является, очевидно,
преобразованием.
Пусть фигура F' совпадает со всем пространством.
Преобразование параллельного проектирования такой
57

фигуры обозначим через р. Основные свойства
преобразования ρ следующие.
1. р(Х') == X' тогда и только тогда, когда X' 6 π.
2. Образом произвольной прямой, т' \ /' является
прямая. Действительно, проектирующая плоскость μ
для прямой т' пересекает ,плоскость π по прямой
т == р(т'), поскольку μ || /, а / \ π (рис. 4).
Если т' || /, т. е. при условии, что прямая т' будет
проектирующей для всех своих точек, то фигуру
р(т') будет составлять единственная точка Мо == т' Π π.
3. Преобразование ρ сохраняет принадлежность
точек прямым (часто говорят инцидентность точек
и прямых). Это значит, что если А' 6 т\ то ρ (А') 6 р("0-
Свойство следует из того, что проектирующая прямая
для любой точки прямой т' принадлежит
проектирующей плоскости для этой прямой.
4. Преобразование ρ сохраняет порядок точек на
прямой, т. е. если точка С лежит между точками
А' и В\ то точка С = р(С') лежит*между точками
Α ξ= ρ (А') и В = р(В'). Действительно, соединим
отрезком прямой точки А' и В (см. рис. 4). Получим два
треугольника А'В'В и А'В А. Применим к ним известную
из школьного курса геометрии теорему о том, что
если прямая не проходит ни через одну из вершин
треугольника, но пересекает одну из его сторон, то она
пересекает одну и только одну из двух других сторон
данного треугольника. Прямая С С пересекает сторону
А 'В' треугольника А'В'В, а стороне ВВ' она
параллельна, поэтому пересекать ее не может. Следовательно,
СС пересекает сторону А 'В в некоторой точке С\.
Далее, прямая С\С пересекает сторону А'В
треугольника А 'В А и параллельна его стороне А'А. Поэтому
прямая C'C==lC\C пересекает сторону АВ, и
утверждение доказано.
5. Параллельной проекцией отрезка является
отрезок, что сразу следует из свойств 2—4.
58

6. Преобразование р сохраняет параллельность
прямых, т. е. если а' || Ъ' \ /, то ρ (а') || р(Ь').
7. Преобразование ρ сохраняет отношение длин
параллельных отрезков, т. е. если отрезки А 'В' и CD'
параллельны, то А'В' : CD'=АВ : CD, где А =р(А'\
В == ρ(Β'), С = р(С'), D = p(D') (доказательства свойств
6, 7 можно найти в школьном курсе геометрии).
8. Параллельное проектирование сохраняет простое
отношение трех точек прямой.
Определение. Простым отношением
трех точек А, В, С прямой а (обозначается (АВ, С))
называется такое число λ, которое удовлетворяет
векторному равенству
At = ICB-
Точки А и В называются базисными, точка С —
разделяющей.
Докажем это свойство. Из определения
непосредственно следует, что (А В, С) положительно в том и
только в том случае, если векторы АС и Со сонаправ-
лены, т. е. если точка С находится внутри отрезка А В
(рис. 5, а). В этом случае
(АВ, С) = -£§-.
Если же точка С находится вне отрезка А В, то векторы
АС и СЁ противоположно направлены (рис. 5, б). В этом
случае
(АВ,С) = - -§§-.
С учетом последних замечаний свойство 8 следует
из свойств 4 и 7.
Чтобы более наглядно представить, как
изменяется простое отношение с изменением положения
разделяющей точки при фиксированном положении
59

базисных, удобно представить его графически. Для
этого поместим начало координат в точку В, а ось
абсцисс направим вдоль прямой / от А к В (рис. 6). Если
абсциссу точки С обозначить через χ и положить
А В = а, то \ЛЕ\ = а-\- χ и |СЙ = χ. Вследствие этого
у = (АВ, Q = X(x) = _iL±i.
Если точка С будет находиться между А и В, то
(АВ, С) = а + * . Но поскольку в данном случае х<сО,
а+'х>0, то (ЛЯ, C) = --^bL.
Если же точка С будет расположена левее точки А
и поскольку в данном случае χ <С 0, α + ль <С 0, то будем
иметь (АВ, С) = - -£-±JL.
Итак, во всех случаях λ(χ) = —fl ~*~ *.
Следовательно, положение точки С на прямой А В однозначно
определяется числом (АВ, С). Кроме того, отметим, что
при х-+0, т. е. при С^В, (АВ, С) стремится к
бесконечности. Если χ -► ± со, т. е. при С -^ со, (Лβ, С) ->- — 1,
Таким образом, при фиксированном положении точек
А, В значения (АВ, С) с изменением положения точки С
заполняют весь числовой промежуток от — со до + °°>
причем различным положениям точки С
соответствуют различные значения простого отношения.
Исключение составляет только случай С = В, в котором,
однако, можно положить (АВ, С) = со.
9. Сужение преобразования ρ на плоскость у\1,
переводящее γ в π, взаимно однозначно. Если же у \\ I,
то ρ (у) является прямой. Доказать эти свойства
предлагаем читателю самостоятельно.
60

Относительно параллельного проектирования
сделаем еще несколько замечаний. Если направление
проектирования / перпендикулярно к плоскости π, то
проектирование называется ортогональным. В
противном случае — косоугольным. Ортогональное
проектирование издавна применяется в архитектуре, в
частности при построении планов строений. В
противоположность этому косоугольное проектирование более
или менее систематически начали использовать
только в XVII веке. Оно оказалось весьма удобным при
проектировке и строительстве оборонительных
укреплений, а также при планировке городов.
СВОЙСТВА ЦЕНТРАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Рассмотрим основные свойства центрального
проектирования.
В отличие от параллельного, центральное
проектирование фигуры, совпадающей со всем пространством,
не является преобразованием. Но если из этой фигуры
исключить нейтральную плоскость α (определение
нейтральной плоскости см. на с. 47) и полученную
таким образом фигуру обозначить через Р, то
центральное проектирование фигуры Ρ из точки S на
плоскость π уже будет преобразованием. Обозначим его
через t и опишем основные свойства центрального
проектирования. С этой целью введем два новых
понятия.
Прямую с одной исключенной точкой назовем
проколотой прямой, саму исключенную точку — точкой
прокола. Плоскость с одной исключенной прямой
назовем плоскостью с разрезом, саму исключенную
прямую — прямой разреза. Ради краткости проколотые
прямые будем обозначать так же, как и прямые без
точек прокола. То же относится и к плоскостям с
разрезами.
61

Теперь перейдем к свойствам центральных
проектирований.
1. f(X') ξ= X' тогда и только тогда, когда X' 6 π.
2. Пусть имеем прямую d' с точкой прокола D' =
ξ d' Π α, не принадлежащей фигуре Р. Образом f (*Г)
прямой d' является некоторая прямая d, проколотая
в точке N такой, что SN \\ d' (рис. 7). Действительно,
проектирующим конусом для проколотой прямой d'
является проектирующая плоскость с разрезом вдоль
прямой SN, пересекающая плоскость проекций по
проколотой прямой d^zf(d').
Если прямая а! || π, но α! ς£ α, то как прямая а', так
и прямая а = f(a') не имеют точек прокола по
отношению к сужению /^'преобразования \ на прямую а', т. е.
точек, для которых не существует соответственно
образа и прообраза в преобразовании f (далее, говоря
о точках прокола для некоторой пары прямых: образ —
прообраз, будем иметь в виду именно такие точки).
3. Преобразование f сохраняет инцидентность
точек и прямых, т. е. если А' £ а', причем А' не является
точкой прокола для прямой а', то точка А = f(A')
принадлежит проекции а прямой а', быть может
проколотой в одной какой-то точке. Свойство следует из
того, что проектирующая прямая точки А'
принадлежит проектирующей плоскости прямой а!'.
4. Преобразование f в общем случае не сохраняет
порядка точек на прямой. Если отрезок А'В'
пересекает нейтральную плоскость α в точке D'(SD' || π), то
точка С == D', лежащая между точками А' и В',
проектируется в точку С, лежащую вне отрезка АВ, где
Л^ДЛ'), B = f(B') (см. рис. 7). В самом деле, прямая
SC проходит между сторонами SA и SB' треугольника
AB'S. Поэтому она пересекает сторону А В' в
некоторой точке С\. Пусть К^А'В' Π π. Прямая SD' || АВ
пересекает сторону В'К треугольника В'ВК. Поэтому
точка S принадлежит отрезку ВВ\ Выходит, что SC
62

ι
ι_
Α
Α
—^—
С Ώ
α
С Β
Β
Β
—*
б
Рис. 8
Рис. 7
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11

пересекает стороны АВ' и ВВ' треугольника АВ'В.
Следовательно, сторону А В она пересекать не может,
и утверждение доказано.
5. Центральной проекцией отрезка А'В'',
проколотого в точке D', является фигура А В, состоящая из
точек Л, В — проекций точек А', В' соответственно —
и всех точек прямой АВ, внешних по отношению к
отрезку А В (следствие свойств 2—4) (см. рис. 7). Если же
отрезок А'В' не содержит проколотой точки, то
образом \(А'В') является отрезок АВ. Для обоснования этого
второго утверждения следует показать, что при его
условиях отображение f сохраняет порядок точек
отрезка А'В'. Предлагаем читателю сделать ото
самостоятельно.
6. Преобразование \ сохраняет отношения разде-
ленности и норазделейности двух пар точек Л, В и С, D
одной прямой.
Определение. Говорят, что пара точек А, В не
разделяет пару точек С, D, прямой I == АВ
(обозначается Л, В —С, D), если либо точки С, D
принадлежат отрезку АВ, либо точки А, В принадлежат
отрезку CD (рис. 8, а). В противном случае, г. е. если
одна и только одна из двух точек С, D принадлежит
отрезку А В (рис. 8, б), говорят, что пара точек А, В
разделяет пару точек С, D (обозначается
А, В + СУ D).
Для доказательства свойства 6 достаточно показать,
очевидно, что преобразование f сохраняет отношение
неразделенное™ двух пар точек. Пусть отрезок А'В'
принадлежит отрезку CD', т. е. является его частью
(случай, когда отрезок C'D' принадлежит отрезку А'В',
рассматривается аналогично). Если отрезок CD' не
содержит проколотую точку, то утверждение следует
из второй части свойства 5. Пусть CD' содержит
проколотую точку M'{SM' || π). Рассмотрим два случая:
а) М' £А'В' (рис. 9); б)' М' i А'В* (выполните рисунок
64

самостоятельно). В случае а) отрезок CD, для
которого С = f(C'), D == f(D'), окажется расположенным
внутри отрезка АВ, где Α = f(A'\ В = f(В'), а в случае б) —
вне отрезка АВ. Утверждение а) следует из того, что
при приближении проектируемой точки X' к точке
прокола УМ' прямой А 'В' проектирующая прямая все
более приближается к положению прямой,
параллельной прямой АВ. Следовательно, образ X === f(X') все
более удаляется по прямой АВ. Таким образом,
точки А и В будут располагаться дальше середины
отрезка CD, чем точки С и D. Аналогично обосновывается
и утверждение б).
7. Преобразование f сохраняет параллельность
прямых, параллельных нейтральной плоскости а.
Действительно, пусть а! II Ъ' || а. Тогда проектирующие
плоскости для прямых а' и У пересекаются по
некоторой прямой с || π. Если бы прямые а = f(a') и b = f(b')
пересекались в некоторой точке С, то эта точка
принадлежала бы прямой с, которая тогда не была бы
параллельной плоскости π. Поскольку а \\ b \\ а', то
отсюда делаем вывод о том, что проекции всех
параллельных прямых, параллельных нейтральной
плоскости, или, что то же самое, плоскости проекций,
параллельны между собой.
Если а' || b' \ а, то прямые а' и У, так же, как и их
образы аиЬ, проколоты. Преобразование f не сохраняет
параллельность проколотых прямых, т. е. а Ц Ь.
Действительно, проектирующие плоскости для прямых а'
и br пересекаются по прямой с, содержащей точку S,
и эта прямая уже не будет параллельной плоскости π.
Прямые а и b пересекаются в общей проколотой точке
С = с Π π (рис. 10). Следовательно, проекции всех
проколотых прямых, параллельных одной и той же
проколотой прямой V \ π, пересекаются в своей общей
проколотой точке. Наоборот, проекции a, b, с, ... всех
проколотых прямых а', Ь', с'', ... , пересекающихся в об-
65

щей проколотой точке О, параллельны (рис. 11).
Докажите это.
Точки пересечения проекций всех совокупностей
параллельных проколотых прямых, параллельных
одной и той же плоскости ε Ц π (пусть ε проходит через
точку S), принадлежат прямой g = ε Π π (см. рис. 10).
8. Легко убедиться в том (сделайте это), что
преобразование f в общем случае не сохраняет отношения
длин двух параллельных отрезков. Исключение
составляют лишь те случаи, когда оба отрезка
принадлежат плоскости, параллельной плоскости π. Отсюда
следует, что простое отношение трех точек (А'В\ С)
сохраняется в результате действия преобразования f в
том и только в том случае, если прямая А'В'
параллельна плоскости π (тривиальный случай, когда С' = Л'
и, следовательно, (Л'/?',С') = 0, не учитывается).
Аналогом простого отношения, не изменяющимся
при любых центральных проектированиях, является
сложное отношение четырех точек.
Определение. Сложным, или двойным,
или ангармоническим, отношением
четырех точек А, В, С, D прямой I (обозначается (АВ, CD))
называется отношение двух простых отношений,
а именно:
(АВ, CD) = i^-D)
Точки А и В называются базисными, точки С и D —
разделяющими.
Будем считать, что все четыре точки, образующие
сложное отношение, различны. Тогда относительно
(АВ, CD) справедливо следующее. Оно будет
положительным тогда и только тогда, когда (АВ, С) и (АВ, D)
одного знака, т. е. если А, В —С, D. (АВ, CD) будет
отрицательным тогда и только тогда, когда Л, В -f- С, D.
Пусть далее точки Л, В, С прямой / фиксированы.
Оказывается, что тогда положение каждой точки D на
66

прямой / однозначно определяется значением
сложного отношения {АВ, CD). Доказательство аналогично
тому, которое было проведено для простого
отношения. Это утверждение в дальнейшем будем называть
свойством единственности сложного отношения.
Докажем еще одно очень важное свойство
сложного отношения: сложное отношение не изменяется
при центральных проектированиях (если ни одна из
точек не является проколотой).
Пусть точки А', В', С, D', принадлежащие /',
различны и ни одна из них не совпадает с проколотой
точкой прямой /'. Пусть также, А = f(A'\ В = f(B'),
С ξ= f(C), D ξ= f(D'). Обозначим через h и Ь!
соответственно расстояния от центра перспективы S до
прямых /==Д/') и /' (рис. 12). Находя площади
треугольников SA'C и SAC и записывая соответствующие
отношения площадей, получаем (знак площади зависит
от направления основания)
h-AC __ SA-SC
h'-A'C SA'-SC '
Отсюда
л ρ л/Г>/ 5Л ·SC h'
Λ^—ΛΙ~ · SA'-SC /Γ'
Находим аналогичные выражения для СВ, AD, DB,
тогда
АС . АР А'С . к'Р'
СВ ' РВ СВ' ' Р'В' '
т. е. (АВУ CD) = (A'B', CD'). С учетом свойства 6 и
сделанных выводов относительно знаков сложных
отношений это полностью доказывает утверждение.
9. Если плоскость ε || π, ε Φ α, то сужение
преобразования f на плоскость ε, переводящее ε в π, взаимно
однозначное. Если S $ ε и ε Ц π, то сужение преобразо-
67

вания f на плоскость ε с разрезом вдоль прямой т! =
ΞεΠα есть взаимно однозначное преобразование
в плоскость π с разрезом вдоль прямой /г = β f] π, где
плоскость β проходит через точку S параллельно ε.
Если, наконец, ε Ц α и S 6 ε, то \(ъ) есть прямая.
Докажите свойства 9 самостоятельно.
Отмеченные свойства центральных проектирований
являются основными. Все они в той или в иной степени
должны учитываться при построении перспектив.
Некоторые наиболее важные для живописной
практики частные случаи этих свойств были названы
основными или главными правилами (или законами)
перспективы. Художники формулируют их в несколько
иных терминах.
ВОЗВРАЩЕНИЕ В ПРОШЛОЕ
Картины, думы и рассказы
Для вас я вновь перемешал...
А. С. ПУШКИН. О вы, которые любили
Как было уже сказано, преемником Брунеллески
в создании линейной перспективы был Леон Баттиста
Альберти. В его трактате «Три книги о живописи»
помимо других вопросов содержится первое
письменное изложение основных положений линейной
перспективы.
Хотя Альберти и весьма гордился найденным им
приемом проектирования, тем не менее он хорошо
осознавал, что применение его оправдано лишь при
обучении живописи. Настоящий же мастер кисти не станет
прибегать к столь пресыщенному техническими
операциями приему. Для него нужны геометрические
правила по достижению эффекта объемности. И
Альберти сформулировал одно из таких правил,
получившее впоследствии название правила или закона глав-
68

Рис. 13
Рис. 14

ной точки (интуитивно и с различными отступлениями
оно соблюдалось еще в античной живописи).
Это правило касается расположения ортогонален —
перспектив прямых, перпендикулярных к плоскости
картины. В формулировке Альберти оно гласит: орто-
гонали всех прямых предметной плоскости
пересекаются в одной точке — главной точке картины.
Предметной называется плоскость, перпендикулярная к
картине, на которую мысленно помещаются все
изображаемые предметы. Поскольку в живописи картинная
плоскость, как правило, мыслится расположенной
вертикально, т. е. параллельно действию силы тяжести,
то предметная плоскость, как правило, горизонтальна.
Используя свойство 7 центральных проектирований,
легко придти к выводу, что главная точка совпадает
с основанием перпендикуляра, опущенного из точки
зрения на картину.
Практическое применение правила главной точки
Альберти демонстрировал на примере решения одной
из весьма актуальных, в связи с доминировавшими
в ренессансной живописи архитектурными фонами,
задач по изображению паркетов.
С геометрической точки зрения задача заключается
в построении центральной проекции плоского
прямоугольника A'B'C'D', разбитого прямыми,
параллельными его сторонам, на η Χ m равных квадратов
(стороны прямоугольника, таким образом, предполагаются
соизмеримыми). Предполагается также, что
прямоугольник A'B'C'D' расположен в предметной плоскости
и что одна из его сторон, например A'D't примыкает
к картинной плоскости π. В целях достижения центрич-
ности композиции прямоугольник A'B'C'D'
располагается так, что центральная плоскость β, содержащая
центр перспективы и перпендикулярная к основанию
картины ΜΝ — линии пересечения картинной и
предметной плоскостей — пересекает его по средней линии
70

E'G' (рис. 13). Невыполнение этого требования не влияет
на предлагаемое Альберти решение, поскольку тогда
заданный прямоугольник можно «дополнить» до
симметрично расположенного относительно плоскости β,
а затем в полученном изображении выделить только
требуемую часть.
Поскольку точки A', D\ а также точки /?', Z', Т', ...
деления стороны A'D' на η равных частей
принадлежат картине, то для их проекций A, D, /?, Ζ, 7\ ...
имеем А =А\ ... , Г == Т\ ... Далее, проекции прямых А'В',
CD', а также всех других линий паркета,
перпендикулярных к картине, пересекутся в главной точке /\
отстоящей от основания картины на высоту центра
перспективы S над предметной плоскостью у. В
соответствии со всем этим построение изображения
паркета начинается с определения на центральной
вертикальной оси EF картинной плоскости положения
главной точки F. При этом истинную высоту точки
зрения над предметной плоскостью следует увеличить или
уменьшить в соответствии с выбранным масштабом
изображения. Таким же образом должна быть
определена и длина симметрично расположенного
относительно прямой EF отрезка AD, который принимается
в качестве изображения стороны A'D'
прямоугольника А'В'CD'. (В дальнейшем то, что отдельные
элементы изображения строятся в соответствии с выбранным
масштабом, оговариваться не будет.) Затем точками
/?, Z, 7\ ... отрезок AD делится на η равных частей
(соответственно количеству плиток паркета по ширине
картины). Соединяя эти точки с точкой F, получим
ортогонали линий паркета, перпендикулярных к
картине.
Последовательность изображений линий раздела
плиточной кладки, параллельных основанию
картины ΜΝ, Альберти устанавливал с помощью
вспомогательных построений в центральной плоскости β
71

Мать у колыбели
(см. рис. 13). При этом использовалось то
обстоятельство (см. свойство 7 центральных проектирований), что
для построения этих прямых достаточно иметь те их
точки U, V, W, ... , которые принадлежат оси картины.
Причем, в соответствии с размерами паркета следует
построить т таких точек. После этого, проводя через
точки U, Vy W, ... отрезки прямых, параллельных
прямой AD, с концами на крайних ортогоналях АВ и CD,
получаем требуемое изображение паркета (рис. 14).
Примером построения перспективы квадратного
паркета в живописном произведении является картина
голландского живописца Питера де Хоха (1629 —
ок. 1685) «Мать у колыбели».
72

IT J
Μ
и'
A
К'\
Μ
*!//_□
А
/\/р 1 7
/ V / /
/ / I
к
L
■о\ \ γ
.с 1
\ Ш \
Л* ν
^ТХ\
а
в'
Р'
тг
ν^, ι
*/
б
Рис. 15
k/V
\v>
к
./ν

Метод решения рассматриваемой задачи о
построении перспективы паркета есть по существу метод
построения перспективы квадратной сетки предметной
плоскости. Представляя эту сетку своеобразной
палеткой, Альберти предложил универсальный способ
построения перспективы любой фигуры из предметной
плоскости. А в качестве примера рассматривал
построение изображения окружности. Заданная
окружность к' вписывается в квадрат Α'β'CD' (рис. 15, б),
который затем прямыми, параллельными его
сторонам, разбивается на достаточное количество равных
квадратиков (образуется палетка). Далее строится
перспектива этой палетки, на которой приближенно
(на глаз) отмечаются изображения точек окружности.
Эти изображения должны принадлежать
перспективам, содержащим данные точки клеток палетки
(рис. 15, а). Чем мельче палетка, тем более точно
можно выполнить построения.
Этот метод, который подводит итог деятельности
Альберти в области линейной перспективы, позволяет
решать любые задачи на построение перспектив фигур
предметной плоскости и только ее. Что же касается
построения перспектив пространственных фигур, то
разработать соответствующие для этого правила
надлежало последователям Альберти. Кроме того, им
следовало усовершенствовать и саму методику изложения
теоретических положений, содержащуюся в научном
трактате Альберти. Сочинение Альберти в большей
степени походит на инструкцию для живописца, чем
на научную книгу. Все промежуточные
математические выкладки и доказательства в нем опущены, «ради
краткости», как говорил автор. Правда, тут же
отмечалось, что «в кругу своих друзей» все описываемые
построения автор «объяснял более пространно, со
всякими геометрическими выкладками». Все же ссылки на
«пространные объяснения в кругу своих друзей» не
74

могли долго утолять
разжигавшуюся день ото дня жажду
строгого математического
обоснования перспективы. Чуть позже
в одном из своих дневников
Леонардо да Винчи писал: «Никакое
человеческое исследование не
может быть названо наукой, если
оно не проходит через
математические доказательства». В этом
афоризме воплощена общая тео-
Пьеро дел ла Франческа, ретическая установка ученых
Возрождения.
Как и многие его современники, Леонардо да Винчи
также обожествлял линейную перспективу.
Раскрытию ее секретов он собирался посвятить целый
математический трактат. Однако этому замыслу не
суждено было свершиться... Леонардо узнал, что такой труд
уже создан и принадлежит он Пьеро делла Франческе.
Франческа, по существу, завершил разработку
теоретических основ линейной перспективы, написав
трактат «О живописной перспективе». Как и Альберти,
Франческа исходил из тех же основных представлений
о процессе видения, которые были заложены в трудах
Евклида и Витело: зрительные лучи исходят из глаз
и «ощупывают» предметы; чем больше угол между
крайними лучами, охватывающими предмет, тем этот
предмет кажется большим; если упомянутые углы
равны, то и предметы кажутся равными и т. д.
Трактат Франчески состоит из трех частей.
Первая часть посвящена начальным положениям
линейной перспективы, а также способам построения
перспективных изображений различных фигур
предметной плоскости. Здесь Франческа, следуя идеям
Альберти, развивал и демонстрировал на конкретных
примерах возможности метода перспективной сетки.
76

Усовершенствование, предлагаемое для этого метода
Франческой, заключалось в том, что покрывающая
фигуру сетка образуется не только равными
квадратами, но и произвольными прямоугольниками, стороны
которых либо параллельны картине, либо
перпендикулярны к ней. Рис. 16 демонстрирует применение
способа Франчески для построения перспективы
правильного пятиугольника. На рис. 16, б выполнено
построение сетки, а на рис. 16, α — построение перспективы
этой сетки и на ней вершин, а затем и сторон
пятиугольника.
Во второй части трактата излагается способ
построения перспектив простейших пространственных фигур,
занимающих частные, наиболее выгодные для
построения изображений положения относительно плоскости
картины. Здесь Франческа делал следующий шаг в
разработке методов линейной перспективы. Он обобщал
правило главной точки, придавая ему значительно
более общую формулировку: в главной точке картины
должны сходиться все ортогонали, т. е. изображения
всех прямых, ортогональных картинной плоскости
(обоснуйте это правило на основании свойств
центральных проектирований). Исходя из этого, Франческа
и разработал свой метод построения перспектив.
На рис. 17, α показан способ построения Франческой
перспективы куба, расположенного на предметной
плоскости. На рис. 17, б в натуральную величину
представлено расположение нижнего основания куба на
плоскости у. Вначале строится перспектива нижнего
основания, как фигуры, принадлежащей предметной
плоскости. Затем строятся перспективы вертикальных
ребер.
В третьей, заключительной, части трактата
Франчески предлагается способ построения перспектив
произвольных геометрических фигур, занимающих
произвольное положение относительно картины.
77

Основывается он на использовании ортогональных
проекций заданной фигуры на две взаимно
перпендикулярные плоскости. Эти проекции, одна из которых
(на горизонтальную плоскость) часто называется
планом, а вторая (на вертикальную плоскость) —
фасадом, издавна применялись в архитектуре. Не
исключена поэтому возможность, что идея
использования планов и фасадов для решения задачи о
построении перспектив была выдвинута еще Брунеллески,
которому в его архитектурной практике мог быть
весьма полезен способ построения наглядных
изображений.
У истоков создания метода условного изображения
пространственных фигур на плоском чертеже с
помощью ортогональных проектирований стоял
знаменитый немецкий живописец Альбрехт Дюрер. Это
бесспорно один из титанов Возрождения. Идейной
установкой деятельности Дюрера в искусстве было
художественное творчество через математическое
познание. В свои молодые годы, познакомившись с работами
итальянских мастеров, Дюрер пленился идеями нового
искусства, в частности перспективой. Он едет в Италию.
Но здесь не очень-то спешили делиться с
чужеземцами новыми приемами в живописи. Правила
перспективы содержались в тайне. Ценой неимоверных усилий
Дюрер почти самостоятельно не только овладел
основными положениями линейной перспективы, но и
развивал их, причем нисколько не заботясь о сохранении
своих результатов в тайне. Наоборот, всеми
возможными способами Дюрер пропагандировал новые идеи.
Свой трактат «Руководство к измерению» Дюрер
предназначал для начинающих живописцев. Однако
многие содержащиеся в нем положения имели
значительно большую ценность. Такова идущая от
Франчески идея о двуплоскостном чертеже пространства,
переоткрытая впоследствии выдающимся француз-
78

Μ
Μ
*J
ι
Λ
Ί
/f—Ai
Ww
f 4{
// \ в\
/ Π
г г
«*.—■'"'"Ί
ВЬ" V»
11 *v>fc>. \
ll^fi
с
^
\
\\ ..
Λ / IJZiJ i_A Ν ^ |
0
W'
0'
υ ν ζ τκ χ
a
.л I
/Λ
<\
\хй
V^
/V
(/' /'Z' ГАГ' 1
б
Рис. 17

ским геометром, инженером и общественным деятелем
Гаспаром Монжем (1746—1818) в XVIII веке,
ЭСПЕРАНТО ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ, НАХОДКА
ДЛЯ ХУДОЖНИКОВ
Среди различных возможных
применений начертательной геометрии имеется
замечательное... по своей
изобретательности: это построение перспективы...
Г. МОНЖ. Начертательная геометрия.
Программа
На вторую половину XVIII века приходится
начало бурного развития капиталистического
производства. Начинается внедрение различных машин и
механизмов, строятся новые дороги, прокладываются
неизвестные ранее морские маршруты, возводятся мощные
военные укрепления, способные выдержать пушечные
залпы. Нарастающая волна грандиозных перемен в
технике требовала осуществления меры, подобной
разработке (столетие спустя) международного языка под
названием эсперанто, языка, доступного многим
народам. Необходимо было создать такой язык для
инженеров, на котором просто, лаконично и
общеупотребительным способом возможно было бы общение как
друг с другом, так и с непосредственными
исполнителями инженерных проектов — рабочими. Такой язык
был создан Гаспаром Монжем и, по предложению
самого автора, был назван «начертательной
геометрией». В настоящее время термин начертательная
геометрия употребляется в более широком смысле. В
первоначальном значении сейчас ее называют еще «методом
Монжа».
Метод Монжа состоит в следующем. Координатные
плоскости πι = Оху, яг ξ= Οχζ* системы координат
Oxyz* в пространстве принимают в качестве горизон-
80

тальной и вертикальной
плоскостей ортогональных проекций.
Ось Οχ ξ= πι Π Я2 называют осью
проекций. Пусть Μ —
произвольная точка пространства (рис. 18).
Проектируя ее ортогонально на
плоскости πι илг, получим
соответственно точки М\ и М*2 Затем
поворачиваем плоскость яг
вокруг оси Ох на угол 90° до
совмещения с плоскостью πι таким
образом, чтобы совпали положи- г. Монж
тельные направления осей Оу и
Οζ*. Обозначаем образ оси Οζ* в результате вращения
через Οζ, а образ точки М*2 — через Μ г Поскольку
плоскость ММ\М*2 перпендикулярна как к плоскости
πι, так и к плоскости π2ι то она же перпендикулярна
к оси Ох. Поэтому при совмещении плоскостей πι,
Л2 точки Αίι, Мг, а также точка Μ о (точка пересечения
оси Ох с плоскостью ММ\М*2) окажутся
расположенными на одной прямой, перпендикулярной к оси Ох
(рис. 19). Эта прямая называется линией связи для
горизонтальной Μι и вертикальной Μ 2 проекций точки М.
Таким образом, каждой точке Μ пространства на
комплексном чертеже (его называют еще эпюром
Монжа, что в буквальном переводе с французского
означает «чертеж»), образованном в результате
совмещения плоскостей πι и π2, соответствует
упорядоченная пара точек (Μι, Μ г). Причем если точка Μ
в системе координат Oxyz* имеет координаты (х\ у\ ζ), то
точки Μι и Мг в системах координат Оху, Oxz
соответственно имеют координаты (х\ у) и (χ; ζ) (см. рис. 19).
Совершенно очевидно, что и, наоборот, всякой
упорядоченной паре точек (Μι, Мг), взятых на эпюре
Монжа так, чтобы они принадлежали одной линии
связи, соответствует единственная точка Μ простран-
81

ства, горизонтальной и вертикальной проекциями
которой являются точки Μι и Μ2. Следовательно, между
точками пространства и упорядоченными парами точек
эпюра Монжа устанавливается взаимно однозначное
соответствие. А это и обусловливает возможность
создания точных условных чертежей различных фигур,
причем чертежей обратимых, т. е. таких, по которым
могут быть установлены все размеры фигур. Часто для
большего удобства пользователя эпюр Монжа
дополняют еще одной, так называемой профильной
проекцией фигуры — ортогональной проекцией на
координатную плоскость яз= Oyz*.
А теперь объединим метод Монжа и центральное
проектирование.
Поскольку построение перспективы любой фигуры
в конечном счете сводится к построению перспектив
точек, то мы и рассмотрим способ построения
перспективы А произвольной точки А', заданной на
комплексном чертеже упорядоченной парой точек (Л'ι,
Λ'2).
Сначала выполним все пространственные
построения в параллельной проекции.
Пусть на комплексном чертеже положение
вертикально расположенной картинной плоскости π JL πι
определяется основанием картины ΜΝ ξ= π Π πι
(предметная плоскость у, таким образом, совмещается
с плоскостью горизонтальных проекций πι), а
положение центра перспективы S — парой точек (Si, S2).
Способ построения перспективы следующий: вначале
построим проекции Αι, Αι точки А на эпюре Монжа,
а затем, исходя из него, восстановим перспективу А
точки А' на отдельно вынесенной картине.
На рис. 20 воспроизведены все пространственные
построения, связанные как с центральным
проектированием точки А' на плоскость π, так и с ортогональными
проектированиями точек А', Л, S на плоскости πι ияг.
82

Для построения точки А проведена плоскость
SSjy4/ JL π. А\ ζ SSiA'. Прямую Μ N эта плоскость
пересекает в точке Αι = MN [}SiA'i, а. плоскость π — по
вертикальной прямой АА\, проходящей через точку А\.
В таком случае A=SA' [\АА\. Следовательно, А\ —
горизонтальная проекция точки А.
Для построения ортогональной проекции Л* 2
точки А на Я2 проведена плоскость AAiAo JL Ox (Лоб
6 Ох). А\Ао\\Оу, а ЛЛ'гНЛИо и Л0Л*2 II ЛЛ1.
Следовательно, ΑιΑ=ΑοΑ*2-
Аналогичным образом построена проекция S*2
точки S.
Прямые SS*2, ЛЛ*2, А'А'*% будучи
перпендикулярными к плоскости яг, параллельны между собой. А
поскольку они пересекают прямую SA', то они
принадлежат одной плоскости. Поэтому точки S*2, Л*2, А'*2,
принадлежащие линии пересечения двух плоскостей,
лежат на одной прямой.
Далее следует: SF JL π (F £ π), S\Fi JL π (Ζ71 6 Μ Ν),
FFi JL ΜΝ. Тогда FFy =SSi = SoS*2, F — главная точка
картины.
На рис. 21, α все описанные построения выполнены
на комплексном чертеже, а на рис. 21, б построена
перспектива А точки А' на картине, плоскость которой
совпадает с вертикальной плоскостью проекций.
Необходимые для этого длины отрезков FF\, A\F\, AA\
определены по комплексному чертежу: FF\ = S0S2,
АА\ —ΑοΑϋ-
Главным достоинством описанного метода
является то, что он дает возможность по двум
ортогональным проекциям фигуры строить ее перспективы при
самых различных положениях картины и точки зрения.
Этим он особо привлекателен для архитекторов, давая
им возможность просто производить визуальную
оценку эстетических достоинств сооружений,
находящихся еще в проекте.
84

2
ί
\У
'
Μ
ί
Μ
0
г2 Α?2 Α'>
S0
4t
Ί
α
F<
ρ
<
ΤΑ
Ft A1
6
Рис.21
Α
*Ό
Ν*
Ν
Χ

и · I U
I
Сватовство майора
Выбор главной точки для усиления впечатления
от произведения использовался художниками
различных школ и направлений. Кого может оставить
равнодушным картина П. А. Федотова (1815 — 1852)
«Сватовство майора»? Возможно, зритель и не думает о
композиции, когда смотрит в лицо молоденькой девушки,
этой маленькой птички, чувствующей, что на нее уже
расставлены силки. Однако он должен понимать, что
произведение построено по строгим правилам
линейной перспективы. Главная точка расположена здесь
как раз в том месте, куда направлено движение
невесты.
86

ЕЩЕ ОДНО ПРИОБРЕТЕНИЕ
И тогда ему показалось, что он
и в самом деле знает мало...
X. К. АНДЕРСЕН. Снежная королева
После Франчески до полного оформления
теоретической части линейной перспективы путь
оставался недолгим. По существу, надлежало открыть и
осознать лишь два правила — правила точек схода и точек
расстояния. Первое правило является обобщением
закона главной точки. Заключается оно в следующем:
перспективы всяких параллельных между собой
прямых, не параллельных картине, имеют одну общую
точку — точку схода, а перспективы всех
совокупностей параллельных прямых, параллельных некоторой
плоскости ε \ π, пересекаются в точках одной прямой
(см. свойство 7 центральных проектирований). Отсюда,
в частности, следует, что перспективы всех
совокупностей параллельных между собой горизонтальных
прямых пересекаются в точках прямой g = ε Ππ,
параллельной основанию картины ΜΝ, где плоскость ε
проходит через центр перспективы S параллельно
предметной плоскости π. Прямая g получила в
живописи название линии горизонта. Для всякой точки X этой
прямой проектирующая прямая SX \\ у. Таким образом,
название «линия горизонта» оправдано тем, что точки
этой прямой можно считать проекциями бесконечно
удаленных точек предметной плоскости, с
совокупностью которых связано интуитивное представление
о горизонте. Линия горизонта содержит главную
точку картины.
Применение правила точек схода в живописи
иллюстрирует гравюра Уильяма Хогарта «Улица Пива». На
репродукции обозначены две точки схода U, V, a UV —
линия горизонта.
87

"*
* » *"
Ч 1
ν
' Ι· ·.
Улица Пива
Правило точек схода позволяет очень быстро
проверить правильность выполнения перспективы
квадратной сетки (см. рис. 14). В натуре диагонали сетки
образуют два семейства параллельных
горизонтальных прямых. Следовательно, перспективы этих
диагоналей должны сходиться в двух точках,
принадлежащих линии горизонта. Естественно, что размещаться
точки схода могут и далеко за пределами картины
(см., например, картину «Мать у колыбели»).
Наибольший вклад в завершение теоретической
части перспективы был внесен в XVI веке итальянским
ученым Гвидо Убальди (1545—1607). В его
«Перспективе», появившейся в 1600 году, содержится свод всех
основных правил перспективы и, в частности,
сформулированное выше правило точек схода (впрочем, рас-
88

члененное автором на несколько отдельных правил).
Всего Убальди выделил 23 правила перспективы. Одним
из основных, помимо правил главной точки и точек
схода, является правило точек расстояния или
дистанционных точек. Так называются точки схода прямых,
параллельных предметной плоскости и наклонных
к картинной плоскости под углом 45°. Таких точек две.
Сейчас в точности неизвестно, кто первым пришел
к этому правилу. Некоторые исследователи полагают,
правда без достаточных оснований, что это открытие
было известно еще Франческе, но по каким-то
причинам не получило применения в его трактате «О
живописной перспективе».
Правило точек расстояния установим в процессе
построения перспективы куба.
ВЕНЕЦ ТЕОРИИ
...я научу теперь изображать тела на
картине такими, как они выглядят. Для
этого я беру простейшее тело — куб,
чтобы показать на нем, как можно
подобным же образом поступать со всеми
телами...
А. ДЮРЕР. Руководство к измерению
Если операции, связанные с построением
перспективы точки, отображенные на рис. 20, применить ко
всем вершинам куба А'В'С D'AOBqCqDq, грань
А'А'ъВ'ъО' которого параллельна картине π, а грань
A'oBbCODO принадлежит предметной плоскости γ, то
получим перспективу ABCDAqBqCqDq этого куба
(рис. 22).
В соответствии с правилом главной точки, ортого-
нали АВУ CD, AqBq, CqDq пересекутся в главной точке F
картины, а в соответствии с правилом точек схода,
точки Ρ == BD f\BoDo, Q = ACf\A0Co, называемые точ-
89

ками расстояния или дистанционными точками, будут
лежать с точкой F на одной прямой g,
параллельной MN, называемой линией горизонта.
Свое название дистанционные точки получили
вследствие того, что отрезки PF и QF, будучи
равными между собой, равны в то же время расстоянию SF —
расстоянию точки зрения (центра перспективы) от
картины. Доказательство элементарное.
Таким образом, правило точек расстояния получает
следующую формулировку: в точках расстояния,
расположенных на линии горизонта симметрично
относительно главной точки картины, сходятся
перспективы двух совокупностей параллельных между собой
горизонтальных прямых, образующих с плоскостью
картины углы в 45°.
Применение этого правила позволяет, в частности,
очень просто устанавливать последовательность
поперечных линий паркета (рис. 23). При решении
таковой задачи Альберти, а вслед за ним и
Франческа применяли вспомогательные построения (см.
рис. 13, 14).
Правило дистанционных точек дает возможность
упростить решение рассмотренной ранее задачи ό
построении перспективы точки по ее координатам.
Действительно, поскольку прямые, отсекающие на
осях координат равные отрезки, образуют с плоскостью
картины углы в 45°, то перспективы этих прямых
должны проходить через дистанционные точки. Если
Ρ — точка схода таких прямых, отсекающих отрезки
одного знака, то, отложив на Ох отрезок ОАо = у и
соединив прямой точки А о и Р, в пересечении этой
прямой с OF получим искомую точку А у (рис. 24).
Этим способом на рис. 25 построено изображение
ABCDAiBiCiDi куба A'B'C'D'A\B\C\D\,
расположенного на предметной плоскости и заданного
совмещенной с плоскостью картины своей ортогональной про-
90

Рис. 22
Ρ
у^^^^^у^
\ \r\/^><$><4^^
\^<7%^>^Ы<^
^wyv'\<Ι χ^
F α
^\\^^^^^^^ν/
Τ Ε
Рис. 23

екцией A\B\C\D\ на предметную плоскость.
Совмещение произведено посредством вращения плоскости у
вокруг прямой MN таким образом, что совмещенное
положение Оу* оси Оу' оказалось противоположным
оси Oz (заметим, что выбор точки О на прямой MN
произвольный).
Совмещенное положение проекции А \B\C\D\
обозначено через A*B\C\D\.
Установленные правила перспективы дают
возможность не только строить изображения различных
фигур по координатам их характерных точек, но и
решать обратную задачу — восстанавливать положения
и размеры фигур по их перспективным изображениям
путем определения координат характерных точек.
В конечном итоге такая задача сводится к
определению координат отдельной точки А'. Естественно,
что для этого еще недостаточно иметь перспективное
изображение А этой точки, поскольку любая точка
проектирующей прямой SA' имеет своей проекцией
ту же точку А. Однако если вместе с точкой А задавать
и перспективу А\ ортогональной проекции А\ точки
А' на предметную плоскость у = Оху', то
рассматриваемая задача становится однозначно разрешимой.
Прямая АА\ должна быть перпендикулярной к основанию
картины MN.
В самом деле, по точке Αι можно определить
координаты х, у точки А' в системе координат Оху'ζ. Для
этого проводим А\Ау\\Ох (Ay£OF). Пусть Ло == РАУ Π
Л Οχ, ΑΧ=Ξ= FAi[)Ox. Тогда ОАх = х, ОАо — у. Затем
строится точка А2 (АУА2 II Oz, ААч ||Олг), по которой
определяется и координата ζ точки A'(FA<i Π Oz = AZi
OAz = z) (см. рис. 24).
Установленное свойство послужило основанием
к созданию перспективных чертежей, для чего следует
задать две параллельные прямые (линию горизонта g
и основание картины MN), а также три точки (главную
92

Рис. 25

Θ точку F картины и две
(достаточно и одну) дистанционные
точки P~Q 6gi для которых PF =
= FQ). Тогда положение любой
точки А' £а пространства на
чертеже будет определяться
упорядоченной парой точек (Л, А\),
принадлежащих линии связи
AAi±g.
Огромный вклад в
разработку теории обратимых перспек-
ж. Дезарг тивных чертежей, т. е. таких
чертежей, которые позволяют
восстанавливать форму, положение и размеры фигур, внес
замечательный немецкий геометр, философ, физик
и астроном Иоганн Генрих Ламберт (1728—1777),
известный своими исследованиями по теории
параллельных линий, а также по установлению природы (а
именно, иррациональности) чисел β и π.
МОЛОДЫЕ ПОБЕГИ СТАРОЙ ТЕОРИИ
Несколько в ином направлении развивал
теоретические вопросы перспективы французский геометр,
архитектор и инженер Жирар Дезарг (1591—1661),
положивший начало развитию особого
аналитического способа построения перспективных изображений.
В 1636 году Дезарг опубликовал небольшое,
объемом всего в 12 страниц, сочинение по перспективе,
озаглавив его целиком в духе своего времени:
«Образец одного из общих способов господина Жирара
Дезарга из Лиона для употребления перспективы...»
Дезарг решал все ту же задачу о построении
перспективных изображений. Предлагается два способа —
графический, фактически рассмотренный нами, в соот-
94

ветствии с которым изображение строится по
известному плану объекта, т. е. по его ортогональной
проекции на предметную плоскость, задаваемому вместе
с числовыми значениями высот характерных точек
(по существу, вертикальной. проекцией), и
аналитический.
Аналитический способ Дезарга заключается в
следующем. Все точки пространства относятся к системе
координат Oxyz, выбранной так, что координатные
плоскости Oxz, Oxy совпадают соответственно с
картинной лис горизонтальной ε плоскостями (рис. 26),
а прямая Оу содержит центр перспективы S. (На
самом деле ни о какой пространственной системе
координат у Дезарга речи нет. Это понятие появилось
в математике позже. Его связывают с именем Филиппа
Де Лагира (1640—1717), отец которого Лоран Де Лагир
считался учеником Дезарга. Однако если построения
Дезарга перевести на современный язык метода
координат, то получится как раз тот способ, который здесь
излагается). Тогда линия горизонта g = Ox, а главная
точка F=0.
Пусть точка S имеет координаты (0; — d; 0), т. е.
отстоит от картинной плоскости на расстояние
d.
Если А' (х\ у\ ζ')— произвольная точка
пространства, а А (х, 0, ζ) — ее перспективное изображение,
то легко устанавливается (обоснование проведите
самостоятельно, пользуясь рис. 26, на котором А'ху,
A'yZ, А'у — ортогональные проекции точки А' на
Oxy, Oyz и О у соответственно), что
х=х' , z=z' . (**)
d + y* d + y' l '
А это обеспечивает возможность по известным
координатам точек просто осуществлять построения их
перспективных изображений.
95

Для практиков Дезарг предложил очень простой
способ произведения расчетов по формулам (**),
который основывается всего лишь на свойствах подобных
треугольников. Для этого он рекомендовал изготовить
нехитрый прибор, состоящий из трех одинаковых
линеек, скрепленных своими концами с помощью
шарнира. Направления отсчета идут от точки крепления О
(рис. 27).
Сами вычисления производятся так. На первой
линейке откладываются длины d и у', как указано на
рис. 27. Пусть О, /С, L — концы этих отрезков. Затем
вторую линейку поворачивают относительно первой
на такой угол, чтобы LL\=x'. Тогда КК\=х, где точки
Κι и L\ второй линейки имеют те же отметки, что и
точки К и L первой линейки. Поступая аналогично
с третьей линейкой, получают значение ζ.
Трактат Дезарга по перспективе был встречен
довольно сдержанно. Практики, которым он адресовался
в первую очередь, предпочитали действовать по
старинке, т. е. строить перспективы с применением
дистанционных точек. Только в 1648 году под руководством
Дезарга и при его личном участии гравер по меди
Абрахам Боссе (1611—1678) опубликовал объемистый
труд по перспективе, основывающийся на методах
Дезарга. Трактат Дезарга 1636 года вошел в него
полностью почти без каких-либо изменений. Но эта
публикация не смогла предотвратить
последовавшего вскоре забвения аналитического метода
Дезарга.
Теоретики оценили трактат Дезарга значительно
выше, хотя одобрительные отзывы и не всегда
отличались проникновенностью. Рене Декарт (1596—1650)
сочинение Дезарга называл «любопытным и
отличающимся четкостью языка», а Пьер Ферма (1601—1665)
отзывался о нем как о «хорошей работе, выполненной
в хорошем духе».
96

Рис 26

Отметим еще один примечательный акт,
связанный с сочинением Дезарга. В качестве приложения
к трактату Боссе (1648) была опубликована
замечательная теорема, известная сейчас как теорема
Дезарга. Это название вполне естественно \ так как и
название приложения — «К теоретикам», и тот высокий
математический уровень, которым оно отличается,
без всяких сомнений свидетельствует об авторстве
Дезарга.
Что касается объективной оценки аналитического
способа построения перспектив, предложенного Дезар-
гом, то, без сомнения, он был новаторским.
Преимущества этого метода состоят в том, что он не
предполагает использования в построениях дистанционных
точек. Это особенно выгодно в тех случаях, когда
упомянутые точки находятся вне пределов чертежа.
Нетрудно представить, насколько усложнились бы
построения перспективы куба (см. рис. 25), если бы
точка Ρ оказалась за пределами чертежа, т. е. если
бы несколько большим было расстояние центра
перспективы от картинной плоскости. Способ Дезарга
позволяет очень просто и искусно обходить эту
значительную трудность.
Аналитический способ Дезарга впоследствии был
положен в основание еще более простого метода
построения точных чертежей, который называется
аксонометрическим, или просто аксонометрией.
Видоизменение указанного метода заключается в том, что
вместо центрального проектирования используется
параллельное.
При параллельном проектировании специальный
1 Почти в том самом виде теорема Дезарга содержалась уже
у древнегреческого математика Паппа (111 в.), который, в свою
очередь, пришел к ней, отправляясь от утерянного сочинения «По-
ризмы» Евклида (IV—III вв. до н. э.).
98

выбор плоскости проекций (перпендикулярно к
предметной) не обеспечивает каких-либо преимуществ,
связанных, к примеру, с использованием главной
точки (линия горизонта вообще отсутствует). Поэтому
эту плоскость можно выбирать в произвольном
положении относительно осей координат. Пусть система
координат обозначена через O'x'y'z', плоскость
проекций — через π, а направление параллельного
проектирования определяется прямой / (рис. 28).
Оказывается, что, как и в перспективе, положение любой
точк,и А (х\ у; ζ) пространства на чертеже,
образованном с помощью параллельного проектированияг
вполне определяется упорядоченной парой точек
(Л, Л ι), где А — проекция самой точки А' (первичная
аксонометрическая проекция), А\—проекция
ортогональной проекции А\ точки А' на одну из плоскостей
координат, например О'х'у' (вторичная
аксонометрическая проекция).
Действительно, пусть, исходя из положения
плоскости проекций и избранного направления
проектирования, определены проекции Ox, 0yy Oz осей координат
0'х\ О'у', Ο'ζ' (аксонометрические оси) и проекции
ОЕ\£Ох, 0Е2£0у, ΟΕζζΟζ единичных отрезков
O^JcOV, 0'Е'2^0'у\ ΟΈίαΟ'ζ' (масштабные
отрезки).
Совокупность трех аксонометрических осей Ох,
Оу, Oz, которые приняты в качестве проекций осей
координат О'х', О'у', Ο'ζ', вместе с масштабными
отрезками 0Е\, ОЕч, ОЕг на них называется
аксонометрической системой координат. Плоскость проекций
π называется аксонометрической плоскостью.
Изображенный на рис. 28 треугольник PQR образован
пересечением плоскости π с координатными плоскостями
системы O'x'y'z'.
Пусть, далее, через точку Л ι проведены прямые,
параллельные осям Ох и Оу и пересекающиеся с ними
99

в точках Ах и Ау. Тогда по свойствам параллельного
проектирования имеем
0АХ ОАу лл,
ΟΕχ ~~Х' ОЕ2 ~У' ОЕз ~Ζ'
Пусть масштабный отрезок ОЕз принадлежит
положительной полуоси О ζ (рис. 29). Тогда знак числа
ζ зависит от того, в одной или в различных
полуплоскостях (с граничной прямой О Α ι) плоскости
ΟζΑ\ лежат точки А и £3. В первом случае ζ>0, а во
втором ζ<:0. Если y4=y4i, то z=0. Знаки чисел х, у
определяются так. Если точка Ах принадлежит
положительной полуоси Ох, то х>0, если отрицательной —
то x<iO. При Лх = 0 х=0. Аналогично определяются
знаки для числа у.
Наоборот, по известным координатам (х\ у\ ζ)
точки А' легко построить первичную и все три
вторичные аксонометрические проекции. Первичная А
и вторичная А\ аксонометрические проекции точки
А' принадлежат одной линии связи АА\, параллельной
оси Οζ. А\===АхА\{\АуА\, где ОАх=ОЕ\-х, Ах£Ох\
ОАу=ОЕ2-у, Ау£Оу; АхА\\\Оу\ АуА\\\Ох. Далее, через
точку Α ι следует провести прямую Α Α11| Οζ и отложить
на ней от точки Αι отрезок ΑιΑ = ΟΕζ·ζ. (Длины
отрезков 0АХ, 0АУ, А\А берутся вместе со знаками,
которые определяют знаки чисел х, у, ζ
соответственно.) Точки Л, А\ — искомые (см. рис. 29). Способ
построения еще двух вторичных аксонометрических
проекций рассмотрите самостоятельно.
Замечательным в аксонометрии является тот факт,
что при построении изображений совершенно
необязательно строить аксонометрическую систему
координат, отправляясь от заданного положения
аксонометрической плоскости и от выбранного направления
параллельного проектирования. Справедлива следу-
100

*кг'А ^^—ч I
"атг
Рис. 28

ющая очень важная для черчения теорема, впервые
сформулированная и доказанная немецким геометром
Карлом Польке (1810—1876): любая плоская фигура,
состоящая из трех попарно различных осей Ох, Оу,
О ζ и трех масштабных отрезков OE\<zzOx, ОЕч<^Оуу
OEzCzOz, может быть принята в качестве
аксонометрической системы координат, т. е. для системы
координат O'x'y'z' всегда существует такое
расположение аксонометрической плоскости π и такое
направление параллельного проектирования /, при котором
образуемая аксонометрическая система координат
является подобной заданной.
Термин «аксонометрия» образован от двух
греческих слов и буквально обозначает «измерение по
осям». Как следует из предыдущего, этот термин очень
точно передает существо аксонометрии как одного из
способов вычерчивания фигур.
При выполнении технических чертежей выбор
аксонометрических систем координат, который по
теореме Польке может быть произвольным,
регламентируется стандартами. Одной из наиболее
употребительных является кабинетная проекция, при
которой ΑΕιΟΕ3=90°, ^£ιΟ£2=135ό, a OEx=20E2=OEz
(рис. 30).
Так, за счет некоторого снижения наглядности
изображений, неизбежном при переходе от центрального
проектирования к параллельному, были достигнуты
значительные упрощения в технологии изготовления
и чтения чертежей. Как уже отмечалось,
параллельное проектирование является предельным случаем
центрального, когда центр перспективы бесконечно
удален.
Таким образом, изображения в параллельной
проекции, применяемые и в школьном курсе
математики, соответствуют рассматриванию с достаточно
удаленной точки зрения. К таким изображениям при-
102

бегают живописцы, когда изображают дальние планы.
Ведь усложнения, связанные с изображением этих
планов в перспективе, были бы неоправданы теми
мизерными отличиями результатов, которые в этом
случае обеспечивает параллельная проекция. Но
особенно широко использовались аксонометрические
проекции практиками-архитекторами, инженерами,
техниками.
А что же живописцы? В каком направлении
продолжали они свои геометрические исследования?
ВСЕ ПРОХОДИТ
Для человека, вижу я теперь,
Нет совершенного.
И. В. ГЁТЕ. Фауст
Уже в период так называемого Высокого
Возрождения * художники все более и более начинали
тяготиться строгими математическими порядками,
царящими в здании линейной перспективы. Причины
на то были, и весьма существенные. Одна из них
связана с изменениями, происшедшими в общественном
сознании. Пора Возрождения проходила. Проходила
потому, что исчезали иллюзии, взлелеянные
зарождавшимися новыми капиталистическими отношениями.
Утрачивалась вера в принципиальную возможность
существования идеальных городов и государств, в
достижимость общественной гармонии. Как следствие,
перед деятелями искусства возникал естественный
вопрос: а стоит ли тогда стремиться к гармонии в
произведениях искусства? Ответ на этот вопрос мог
1 Период особого расцвета изобразительного искусства в
первой половине XVI в., связанного с творчеством великих
итальянских художников Леонардо да Винчи, Рафаэля, Микеланджело и др.
103

быть как утвердительным, так и отрицательным. Те
художники, которые своим творчеством давали
утвердительный ответ, по существу, канонизировали законы
линейной перспективы, считали строгое соблюдение
этих законов как первейшей обязанностью
художника, так и свидетельством его мастерства. Однако
в новых исторических условиях строгое следование
правилам перспективы уже не возбуждало у
зрителя былых чувств восхищения и преклонения. Ренес-
сансный художник был геометром, но геометром
восторгающимся. Теперь же этой восторженности уже
не существует.
Художники, чье творчество определило новые
ориентации в искусстве, шли другими путями. В их
картинах взамен прочных и гармонических
архитектурных фонов появилась неустановившаяся,
пульсирующая и как бы продолжающая свое развитие среда.
Да и сам художник уже не стремился
противопоставить себя этой среде, наблюдая за ней из-за рамы
картины. Он ощущал себя внутри извечно меняющегося
пространства, оставляя за собой право видеть различные
предметы из различных точек зрения. Классическим
воплощением этих новых тенденций в живописи
является творчество великого фламандского живописца
Питера Пауэла Рубенса (1577—1640).
Вторая причина сознательного пренебрежения
некоторыми правилами перспективы связана с вопросами
композиции. Одним из первых «отступников» был
великий Рафаэль Санти (1483—1520). В его
монументальной фреске «Афинская школа» на фоне
величественного архитектурного ансамбля изображена
большая группа самых выдающихся граждан Древней
Греции — ученых, политиков, деятелей искусства.
Чтобы как можно лучше передать интерьер
помещения, Рафаэль избирал две точки зрения,
незначительно смещенные друг относительно друга. Из ниж-
104

/
I
Афинская школа
ней точки изображен потолок залы, а из верхней —
ее пол. Если с помощью линейки построить точки
схода ортогоналей потолка и пола, то получим две
главные точки, соответствующие двум упомянутым
точкам зрения.
Наконец, третья причина связана с осознанием того
факта, что линейная перспектива является
математической моделью творчества только одноглазого
художника. Видение же двумя глазами, или так
называемое бинокулярное зрение, отличается от видения
одним глазом (монокулярного зрения), поскольку
в еще большей степени предполагает участие
мыслительной деятельности, в частности, для координации
зрительных впечатлений, доставляемых каждым
глазом, и преобразования этой информации в оценки
удаленности, размеров и форм. Все это обусловли-
105

\ ϊ
Петр I допрашивает царевича Алексея в Петергофе
вает некоторые, порой весьма существенные, отличия
зрительных впечатлений непосредственного
восприятия от впечатлений восприятия картины, созданной по
правилам линейной перспективы.
Для корректирования перспектив с учетом
особенностей бинокулярного зрения, а также с учетом
влияния психологических механизмов визуального
восприятия в живописи применяется ряд отступлений
от законов линейной перспективы. Из них наиболее
часто в творчестве художников встречаются
следующие: 1) плавное искривление прямых линий таким
образом, что увеличиваются проекционные размеры
предметов дальних планов; 2) применение нескольких
точек схода для параллельных линий, что опять же
можно истолковать как искривление прямых.
Искривление прямых (диагоналей паркета) осуществлено,
например, в монументальном психологическом по-
106

лотне русского живописца Н. Н. Ге (1831—1894) «Петр Τ
допрашивает царевича Алексея в Петергофе».
Как видим, линейная перспектива отнюдь не
является самым совершенным способом построения
плоских изображений пространственных объектов. Да и
есть ли он этот самый совершенный способ? И все
же она по сей день продолжает служить основой
изобразительной грамоты для художников.
Изображения, получаемые по правилам линейной
перспективы, составляют каркас для создания
«усовершенствованных» рисунков с учетом тех или иных
эффектов визуального восприятия. Кроме того,
перспектива входит в арсенал изобразительных средств
представителей и других сфер занятий, в первую очередь
архитекторов. А еще она положила начало развитию
проективной геометрии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПЕРВОГО ЭТАПА
Дорогой читатель! Половина избранного нами
маршрута пройдена. Мы проследили историю развития
линейной перспективы как главного метода
геометризации живописи. В следующей главе предстоит
совершить переход от живописи к особой
математической науке, которая называется проективной
геометрией. А пока можно отдохнуть и перевести
дух. Более содержательным твой досуг могут сделать
два следующих ниже номера заданий для научной
самодеятельности.
№ 1. Рассмотрите репродукцию «Ложная
перспектива» — оригинальное наглядное наставление для
живописцев по проблемам линейной перспективы. Это
акватинта Лекёра с утраченного рисунка
упоминавшегося нами английского художника и критика теории
искусства Уильяма Хогарта. «Ложная перспектива»
содержит множество намеренно сделанных ошибок,
107

* 1 .
Ложная перспектива
выявление и разбор которых являются хорошим
теоретическим занятием для начинающих художников.
Вот некоторые из ошибок. Линии пола, на котором
стоит главная фигура, расходятся в глубь картины.
В правом нижнем углу изображены овцы, причем по
мере удаления их изображения не уменьшаются, а
увеличиваются. То же относится и к ряду деревьев
108

ЧУ
Mi
Рис. 31
fCfA
Рис.33
Рис 34
Рис 32
Гипербола
\s*~" ~~*\/ \
ОкружностьУ^
Эллипс У
Парабола jr
V
Рис. 35

за мостом. Подобные неправильности характерны для
обратной перспективы, о которой шла речь при
характеристике средневековой живописи Европы.
А вот неправильности другого рода, связанные
с обратной перспективой. Художник изобразил мост,
перекинутый не поперек, а наискосок реки, чего, как
известно, никто не делает. На дальнем плане за рекой
изображен человек неправдоподобно большого роста,
если сравнивать его с колокольней, изображенной
на том же плане.
Предлагаем читателю найти многочисленные другие
ошибки.
№ 2. Для читателей, желающих глубже вникнуть
в содержание этой книги, будет функционировать
рубрика «Задачи и упражнения». Содержание
заданий, а также все сведения, необходимые для их
выполнения, не входящие в программу школьного курса
математики, исчерпываются материалом книги. Более
трудные задачи помечены звездочкой. Нумерация
заданий единая во всей книге.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. На предметной плоскости художник может поместить
любой предмет, в частности куб. Постройте перспективу куба
A'B'C'D'P'Q'R'T', заданного вместе с картиной (основание MN)
и центром перспективы 5 (Si, S2) на эпюре Монжа (рис. 31).
2. а) Решите задачу 1, используя аналитический метод Дезарга.
б) Постройте «цветную» перспективу кубика Рубика в
случайном положении.
3. Используя аналитический способ Дезарга, постройте
перспективу окружности предметной плоскости (по достаточному
количеству точек), считая, что ее радиус равен 5, центр имеет
координаты (3; 7; —5), а центр перспективы S — координаты
(0; —9; 0).
4. Простое отношение трех точек зависит от порядка, в
котором они берутся, т. е. от того, какие точки считаем базисными,
а какую разделяющей. Различным образом переставляя точки
А, В, С, можно получить 3! = 6 различных простых отношений:
НО

{AB,C), (AC,B), (BA,C), {BCA\ (CA,B), (CB,A). Показать
справедливость равенств: (BA,C)=(AB,C)-{; (AC,B)=(CA,B)-1; (BCA) =
=(CB,A)~1', (AC,B)=-\-(AB,C); (BC,A)=-\ —(AB,C)~l.
5. По четырем точкам А, В, С, D можно построить 4! = 24
сложных отношения. Пусть {АВ, CD) = μ. Докажите, что:
а) (BA,DC)={CDUiB) = (DC,BA) = F,
б) (βΛ,CD)=(i4β,DC)=(CD,β;4)=(DCИβ)=μ~,;
в) (BD,AC)=(DB,CA)=(AC,BD) = (CA,DB)=\ -μ;
г) (DA,CB)=(AD,BC)=(CB,DA) = (BC,AD)= 1 -μ"';
A) (DB,AC)=(BD,CA)=(AC,DB) = (CA,BD)=(\ - μ)"1;
e) (AD,CB)=(DA,BC)=(CB,AD)=(BC,DA)=(1 — μ"1)-1.

глава вторая
2
НАУКА,
Сколь трудно полагать основания! Ведь
при этом мы должны как бы одним
взглядом охватывать совокупность всех
вещей, чтобы нигде не встретилось
противопоказаний.
М. В. ЛОМОНОСОВ. Из заметок по физике
и корпускулярной философии
ГЕОМЕТРИЯ «ОСЯЗАТЕЛЬНАЯ»
И ГЕОМЕТРИЯ «ЗРИТЕЛЬНАЯ»
Некто предложил известному механику и
математику Пьеру Вариньону (1654—1722) следующую
задачу: выяснить, как следует посадить два
прямолинейных ряда деревьев, чтобы наблюдатель*
расположившийся в определенном месте, видел их
равноотстоящими друг от друга, т. е. параллельными, на
всем протяжении. Вариньон задачи не решил, но
благодаря его имени она стала популярной. Достаточно
точное решение этой задачи было найдено Пьером
Бугером (1698—1758) и заключалось оно в следующем:
для посадки деревьев следует взять такие
прямолинейные ряды, для которых изображения а, Ь
направляющих прямых а\ Ъ' на плоскости проекций π,
совмещенной с плоскостью кажущейся приподнятости
112

поверхности земли, были бы параллельны ~ между
собой при проектировании из точки зрения S
наблюдателя (рис. 32). Кажущаяся приподнятость
поверхности земли при зрительном восприятии объясняется
физическим эффектом в атмосфере, называемым
рефракцией. Угол приподнятости зависит от условий
наблюдения, в частности, от высоты точки зрения,
и может быть определен. Пусть So — основание
перпендикуляра, опущенного из точки S на
горизонтальную плоскость земли у (она называется точкой стояния
наблюдателя), a SR (#6 γ)— прямая, параллельная
плоскости π. Прямые а' и Ъ' могут размещаться в
плоскости у произвольно, лишь бы они содержали точку
R (убедитесь в этом, используя рис. 32).
Рассмотренная задача о посадке деревьев служит
изящной иллюстрацией того несколько банального
факта, что между представлениями о мире,
получаемыми с помощью чувств осязания и зрения,
взятыми в отдельности, имеются существенные различия.
Быть может об этой задаче никто бы сейчас и не
вспомнил, если бы сама ее постановка не наводила на
мысли о построении особой «зрительной» геометрии.
В буквальном переводе с древнегреческого слово
«геометрия» означает «землемерие». Эта этимология
непосредственно указывает на источник, породивший
науку геометрию — на практические измерения,
производить которые человека заставляли сами условия
его жизни. Геометрические понятия возникли в
результате абстрагирования от конкретных пространственных
форм и от сравнения их с помощью измерений. Что
касается последних, то их выполнение явно или
неявно предполагает деятельное участие осязания.
Кусок веревки может быть измерен в локтях, в
саженях, в футах, в других веревках, принятых за
единицу длины. Мартышка из мультфильма «38 попугаев»
быстро сообразила, что удава можно измерить и в
113

©слоненках, и в мартышках, и в
попугаях, и еще в чем угодно, лишь
бы только то «что угодно» было
под руками и без особых усилий
поддавалось бы перемещению
вдоль тела удава (как известно, из
трех предложенных мартышкой
масштабов — «слоненок»,
«мартышка», «попугай»—удаву
больше всего понравился последний,
поскольку в этом случае удав был
ж. в. Понселе наиболее длинным — его длина
равнялась 38 попугаям).
Итак, важнейшее понятие евклидовой геометрии —
понятие длины — есть порождение осязательного
опыта. Такой же вывод можно сделать и относительно
другого важнейшего понятия геометрии — понятия
параллельности прямых. Первоначально параллельные
прямые ассоциировались с двумя длинными веревками,
расположенными так, что расстояния точек одной из
них до второй равны между собой на всем
протяжении. При этом условии веревки не пересекаются,
сколько бы их ни продолжали. В то же время
параллельные прямые далеко не всегда кажутся
параллельными. Чаще всего они представляются
пересекающимися, хотя и достаточно далеко.
Уже такой простой анализ приводит к выводу
о том, что должны существовать по крайней мере
две принципиально различные геометрии — геометрия
«осязательная», т. е. обычная, евклидова, под которой
здесь и всюду далее понимается геометрия, изучаемая
в школе, и геометрия «зрительная».
Что касается «зрительной» геометрии, основанной
на монокулярном зрении, то впервые четкое
определение этой науки было дано французским
математиком, механиком и инженером Жаном Виктором Пон-
114

селе (1788—1867) в его основополагающем «Трактате
о проективных свойствах фигур» (1822 г.).
«Зрительную» геометрию Понселе назвал проективной,
поскольку центральное проектирование является
математической моделью монокулярного зрения.
Проективная геометрия, согласно Понселе, должна изучать
только проективные свойства геометрических фигур,
т. е. свойства, не изменяющиеся (говорят еще —
остаются инвариантными) при всевозможных центральных
проектированиях, в совокупность которых включены
и параллельные проектирования.
По определению, данному Понселе, проективная
геометрия выступает лишь как особая часть
евклидовой геометрии. Дальнейшее развитие проективной
геометрии показало, что, подобно евклидовой
геометрии, она также может быть построена на
определенной системе аксиом.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Сущность аксиоматического метода вполне
раскрывается в школьном курсе геометрии. Вначале вводятся
в рассмотрение основные понятия, которые не
определяются и, вообще говоря, в нашем воображении
могут связываться с любыми объектами, реально
существующими, или же возникшими в результате
абстрагирования от предметов реального мира. К
примеру, если к основным понятиям некоторой теории
относится точка, то представлять этот объект можно
и как след на бумаге от очень тонко заостренного
карандаша, и как некоторое действительное число,
и как прямую линию и т. д. С прямой линией может
ассоциироваться и длинная туго натянутая струна,
и многочлен второй степени, и световой луч и пр.
Далее, основные понятия следует поставить в
определенные отношения друг с другом и назвать эти
115

отношения («проходить через»,
«лежать на», «лежать между»
и т. д.). Но суть не в названии, а в
том, какими свойствами эти
отношения и соответствующие
основные понятия обладают.
Формулировки этих свойств будем
называть аксиомами. Аксиома — одно
из основных понятий,
рассматриваемых здесь.
Значительную роль в утвер-
н. а. Глаголев ждёнии аксиоматического
метода в математике сыграла и
проективная геометрия, на протяжении
длительного периода привлекавшая геометров к построению
своей аксиоматики.
После решения усилиями многих математиков, в
том числе и советского геометра Нила
Александровича Глаголева (1888—1945), этой важной и
оказавшейся достаточно трудной теоретической задачи,
проективная геометрия в смысле Понселе стала
рассматриваться всего лишь в качестве одной из
возможных интерпретаций или моделей проективной
геометрии в обобщенном смысле, как геометрии,
построенной на особой системе аксиом.
Другим важным понятием является понятие
модели. Как уже отмечалось, при аксиоматическом
построении какой-либо математической теории основные
понятия и отношения не определяются. Единственное
условие, которое на них накладывается —
удовлетворять аксиомам. Интерпретацией, моделью или
реализацией системы аксиом называется всякое конкретное
истолкование основных понятий и отношений между
ними, удовлетворяющих всем аксиомам. При этом
основные понятия и отношения, на которых
проводится интерпретация, могут быть как реально суще-
п».

ствующими, так и существующими в другой и даже
в той же математической теории, в частности,
аксиоматической. Хорошо известна наглядно-физическая
интерпретация системы аксиом евклидовой геометрии,
в которой точки моделируются следами от тонко
заостренного карандаша, прямые — линиями,
проведенными под линейку все тем же карандашом,
расстояния между точками — числами, указывающими
количество масштабных отрезков, укладываемых в
отрезке, соединяющем точки, и т. д. Рассмотрим другой
пример уже математической интерпретации системы
аксиом евклидовой геометрии на плоскости. При этом
ограничимся только интерпретацией аксиом
принадлежности точек и прямых, хотя эту интерпретацию
можно расширить до интерпретации всех аксиом
планиметрии.
Назовем «плоскостью» обычную плоскость π,
проколотую в точке S. Пусть «точками» называются
все точки плоскости π за исключением S.
«Прямыми» назовем все прямые, проходящие через точку S,
и все окружности, также проходящие через S
(рис. 33).
Отношение «принадлежности точек и прямых»
введем так: «точка принадлежит прямой», если
соответствующая точка принадлежит соответствующей прямой
или окружности. Тогда будем говорить, также, что
«прямая проходит через заданную точку». Легко
проверить, что «точки» и «прямые», подчиненные
введенному отношению «принадлежности»,
удовлетворяют следующим аксиомам, приводимым в школьных
учебниках.
Т,. Какова бы ни была «прямая», существуют «точки,
принадлежащие этой прямой», и «точки, не
принадлежащие ей».
Т2. Через любые две «точки» можно провести
«прямую», и только одну.
117

Если модель системы аксиом построена, то каждой
теореме, каждому построению или выводу
математической теории соответствует определенное
утверждение относительно свойств модели. К примеру,
утверждению «две прямые пересекаются в точке» на
рассмотренной только что модели соответствуют два
утверждения: а) «если прямые проходят через точку
S, то кроме этой точки они более нигде не
пересекаются»; б) «две окружности, проходящие через
точку S, кроме этой точки имеют еще одну общую
точку». Таким образом, интерпретацию системы
аксиом можно считать интерпретацией всей геометрии,
построенной на этой системе.
Построение интерпретации позволяет решить вопрос
о непротиворечивости аксиоматики — важнейшем
требовании, предъявляемом к системе аксиом. Система
аксиом называется непротиворечивой, если на
основании этой системы нельзя доказать двух каких-либо
взаимоисключающих друг друга утверждений.
Например, «диагональ квадрата равна его стороне,
умноженной на /2~» и «диагональ квадрата равна его
стороне».
Система аксиом, очевидно, будет
непротиворечивой, если существует ее интерпретация в образах,
реально существующих или существующих в теории,
непротиворечивость которой считается установленной.
В самом деле, если бы было не так, то двум
противоречащим друг другу утверждениям аксиоматической
теории соответствовали бы два противоречащих друг
другу факта в интерпретации. Однако таковых по
предположению не существует.
Аксиоматика допускает различные интерпретации.
Может случиться, что все они в определенном смысле
«устроены» единообразно или, как говорят математики,
изоморфны. Это значит, что между понятиями или
объектами и отношениями между ними во всех интер-
118

претациях можно установить взаимно однозначные
соответствия таким образом, что если два понятия или
объекта одной интерпретации находятся в некотором
отношении А, то соответствующие им понятия или
объекты в другой интерпретации находятся в
отношении А', которое соответствует отношению А
(соответствия такого вида называются изоморфизмами
моделей). В таком случае аксиоматика называется
полной. Аксиоматика евклидовой геометрии полная.
Теорию, построенную на полной аксиоматической
системе, можно изучать, изучая какую-либо из ее
интерпретаций.
Возвратимся теперь к проективной геометрии, к
ее аксиоматике.
В качестве аксиом проективной геометрии были
приняты фундаментальные факты, имеющие место
в интерпретации этой геометрии в терминах
евклидовой геометрии как науки о проективных свойствах
фигур. Правда, кроме терминов евклидовой
геометрии понадобились еще некоторые, ей не
принадлежащие. Вызвано это тем, что центральные
проектирования фигур в общем случае не являются
преобразованиями, так как все точки фигуры,
принадлежащие нейтральной плоскости, не имеют образов.
Насколько это обстоятельство делает громоздкой
задачу изучения проективных свойств фигур,
показывает хотя бы такой простой пример.
Возьмем прямую /. Пусть она проектируется из
точки Si на плоскость πι. Образом в общем случае
проколотой прямой / будет некоторая, также в общем
случае проколотая, прямая U, лежащая в плоскости
πι. Спроектируем, далее, 1\ из точки S2 на плоскость
Л2. Образом уже дважды проколотой прямой 1\ (одна
точка прокола образовалась при первом
проектировании) будет дважды проколотая прямая /г, лежащая
в плоскости Л2, одна из точек прокола которой будет
119

проекцией точки прокола прямой 1\. Произведение
обоих проектирований даст преобразование прямой
/ с двумя проколами (точек прямой /, не имеющих
образов на прямой 12\ в прямую h также с двумя
проколами. Продолжая эту цепочку проектирований и
далее, после /ι-го шага получим, что образом прямой
/, проколотой в η точках, является прямая /Л, также
проколотая в η точках (рис. 34, для п=2).
С изменением центров проектирований и
плоскостей проекций будут меняться и положения точек
прокола. Настоящая вакханалия точек прокола!
Совладать с нею было бы не так-то просто, если бы
не остроумный прием, предложенный Дезаргом.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Я, древних изучив, открыл свою дорогу...
ПЬЕР POHCAP. Едва Камена
мне источник свой открыла...
Кроме упомянутого ранее небольшого сочинения
по перспективе, Дезаргу принадлежит еще одно,
также небольшое, но очень содержательное и
совершенно новаторское математическое сочинение под
названием «Черновой набросок подхода к явлениям,
происходящим при встрече конуса с плоскостью»
(1639 г.). В этом сочинении Дезарг впервые начал
изучать проективные свойства фигур, в особенности
конических сечений — кривых, по которым плоскость
может пересекать коническую поверхность (здесь
конической поверхностью называется совокупность
прямых, содержащих образующие кругового конуса;
эти прямые называются образующими конической
поверхности). Возможные виды конических сечений
были исследованы еще древнегреческим математиком
Менехмом, жившим в IV веке до н. э. Оказалось,
что коническое сечение может быть либо эллипсом
120

(и в частном случае окружностью), либо гиперболой,
либо параболой, либо, наконец, парой прямых,
которые, в частности, могут и совпадать между собой.
Первая возможность достигается в том случае, когда
секущая плоскость пересекает все образующие
конической поверхности (по одну сторону от вершины),
вторая — если плоскость пересекает образующие по
разные стороны от вершины (тогда она параллельна
двум и только двум образующим), третья — если
плоскость параллельна только одной образующей,
и, наконец, четвертая — если плоскость содержит
вершину конической поверхности и пересекает или
касается ее (рис. 35). Эллипс, гипербола и парабола
называются невырожденными или нераспадающимися
коническими сечениями, пара прямых (которые могут
быть и параллельны, если вершина конической
поверхности бесконечно удалена; тогда коническая
поверхность называется цилиндрической) —
вырожденным коническим сечением. В последнем случае
говорят также, что коническое сечение распадается
на пару прямых. Невырожденным сечением
цилиндрической поверхности может быть только эллипс.
Можно доказать, что эллипс как коническое сечение
является в то же время и параллельной проекцией
некоторой окружности, т. е. что это та же кривая,
которая известна в школьном курсе математики.
Точно так же парабола как коническое сечение
является кривой, которая может быть определена
уравнением у=ах2. Гиперболы же, известные школьникам
как графики функций у=—, являются всего лишь
частными случаями гипербол как конических сечений,
именно теми, где образующие конической
поверхности, которым параллельна секущая плоскость,
составляют угол в 90°. Упомянутые образующие
определяют в плоскости гиперболы направления двух пря-
121

мых, к которым ветви гиперболы неограниченно
приближаются. Эти прямые называются асимптотами
гиперболы.
В одном из наиболее фундаментальных
математических сочинений древности — «Конических
сечениях» Аполлония Пергского (ТП век до н. э.) изучаются
свойства каждого из трех видов нераспадающихся
конических сечений в отдельности. Дезарг же открыл
некоторые из тех свойств этих кривых, которые
являются общими для всех трех их видов. Эти свойства
оказались проективными. И это не мудрено. Ведь
каждое из нераспадающихся конических сечений
можно считать центральной проекцией любого другого,
и, в частности, окружности из вершины конической
поверхности (см. рис. 35).
К сожалению, «Черновой набросок» Дезарга
оказался в тени после появления «Геометрии» Декарта,
вышедшей в 1637 году, которая содержала начала
аналитической геометрии. Трактат Дезарга на долгое
время оказался забытым, А Понселе, соотечественник
Дезарга и преемник его в геометрии, даже не знал
о существовании этого сочинения. Примечательно
в этой связи, что Понселе пришел к тому же решению
проблемы проколотых точек, что и Дезарг. Не говорит
ли это о наиболее естественном решении данной
проблемы? Вот в чем его сущность.
Вернемся к центральному проектированию
плоскости на плоскость. Пусть плоскость πι с разрезом
проектируется на плоскость яг с разрезом (л^Хяг) из точки
S (рис. 36). Обозначим это преобразование через h.
Пусть / — произвольная прямая плоскости πι, не
параллельная яг. Возьмем на / последовательность точек
Л, В, ..., приближающихся к точке прокола Р£1 (здесь
и далее, в отличие от предыдущего, буквами со
штрихами будут обозначаться не отображаемые фигуры,
а их образы, что более принято в геометрии; употреб-
122

s'i
Сг
Рис.38

ление штрихов в обозначениях проектируемых фигур
принято в начертательной геометрии). Образы А\ В', ...
этих точек в преобразовании h будут неограниченно
удаляться вдоль прямой l'^=h(l) так, что в граничном
положении образ точки Р, если h считать
определенным и для этой точки, «уйдет» в бесконечность. Это
обстоятельство наводит на мысль поставить в
соответствие проколотой точке Ρ также некоторую, хотя
и не существующую на евклидовой плоскости, точку,
назвав ее бесконечно удаленной или несобственной
точкой прямой /'. Название «бесконечно удаленная»
исходит из отмеченных интуитивных представлений.
Название же «несобственная» указывает на то, что
прямой она не принадлежит.
В свою очередь, проколотую точку V прямой
Г можно считать образом бесконечно удаленной
или несобственной точки Τ'„ прямой / в преобразовании
h (бесконечно удаленные точки будем обозначать
так же, как и обычные (иногда говорят
собственные), но с индексом оо, например Р'^). При этих
условиях преобразование hi является взаимно
однозначным.
Определение. Прямая, пополненная несобственной
точкой, называется пополненной или
расширенной прямой.
Определение. Плоскость, каждая прямая которой
расширенная, называется пополненной или
расширенной плоскостью.
Если, далее, каждую прямую плоскостей πι и яг
снабдить несобственной точкой, то центральное
проектирование расширенной плоскости πι на
расширенную плоскость Л2 будет преобразованием. При этом
образом или прообразом несобственной точки может
быть как собственная, так и несобственная точка.
Первый случай имеет место тогда, когда содержащая
несобственную точку расширенная прямая не парал-
124

лельна не содержащей ее плоскости, второй — если
параллельна.
Мы рассмотрели случай, когда лДя^. Если πι||π2,
то образом и прообразом любой несобственной точки
будет точка несобственная.
Если мы хотим сохранить взаимную однозначность
преобразования h, то должны пойти на еще одну
условность. Чтобы разобраться, в чем ее сущность,
предположим, что прямые 1\, Ц, ..., принадлежащие
плоскости rt2, параллельны /' (см. рис. 36). Прообразы
этих прямых в преобразовании h проходят через точку
Р, являющуюся прообразом несобственной точки
прямой /'. Эта же точка является и прообразом
несобственных точек прямых /ί, /£, ... . Таким образом, для
обеспечения взаимной однозначности преобразования
h следует считать, что прямые /', /1, /£,... и вообще всякие
параллельные прямые имеют общую несобственную
точку. Всякое проектирование пространства будет
преобразованием, если считать, что все прямые,
параллельные одной и той же прямой, имеют общую
несобственную точку. Тогда и параллельное
проектирование можно считать центральным с бесконечно
удаленным центром.
Определение. Геометрическое место всех
бесконечно удаленных точек плоскости называется
бесконечно удаленной или несобственной
прямой.
Почему прямой? Возвратимся к рис. 36. Бесконечно
удаленная прямая плоскости π2 является проекцией
прямой ρ плоскости πι, по которой эту плоскость
пересекает плоскость а, проходящая через 5
параллельно яг. Ввиду того, что проекцией всякой прямой
ίφρ плоскости πι является прямая, то, не желая
исключать и этот случай, приходят к термину
«несобственная прямая». Есть и другая причина. Всякая прямая
расширенной плоскости пересекается с геометриче-
125

ским местом несобственных точек в одной-единствен-
ной точке — в своей несобственной точке. Это свойство
характерно для прямых.
Прямая расширенной плоскости, не являющаяся
несобственной, часто будет именоваться собственной.
Определение. Геометрическое место всех
бесконечно удаленных точек и прямых, принадлежащих
всем расширенным плоскостям пространства,
называется бесконечно удаленной или
несобственной плоскостью (обоснуйте
естественность термина). Евклидово пространство
(пространство, в котором имеет место евклидова геометрия),
пополненное несобственной плоскостью, называется
расширенным пространством.
Простейшие свойства расширенного пространства,
касающиеся принадлежности простейших фигур
(точки, прямой, плоскости, причем безотносительно к
тому, являются ли точки, прямые, плоскости
собственными или несобственными), принимаются в
качестве первой группы аксиом проективной геометрии —
аксиом принадлежности или инцидентности или,
говорят еще, соединения. Вот эти аксиомы.
ΐι· Каковы бы ни были точки А и В, существует
прямая, проходящая через точки А и В.
Т2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует
не более одной прямой, проходящей через точки
А и В.
Т3. На каждой прямой имеется не менее трех
точек. Существуют по крайней мере три точки, не
лежащие на одной прямой.
Т4. Каждые две прямые, принадлежащие одной
плоскости, имеют общую точку.
Т5. Через каждые три точки Л, В, С, не лежащие
на одной прямой, проходит некоторая плоскость а. На
каждой плоскости имеется по крайней мере одна
точка.
126

ΐ6. Через каждые три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит не более одной плоскости.
Т7. Если две точки А и В прямой а лежат на
плоскости а, то каждая точка этой прямой лежит на
плоскости а.
Т8. Если две плоскости имеют общую точку, то они
имеют еще, по крайней мере, одну общую точку.
Т9. Имеется, по крайней мере, четыре точки, не
лежащие в одной плоскости.
Почти все аксиомы проективной геометрии,
входящие в первую группу, либо принимаются в
качестве аксиом евклидовой геометрии, либо
доказываются в ней как теоремы. Единственное исключение
составляет аксиома Т4. Поэтому все следствия аксиом
Tj — ΐ3, Т5 — tg проективной геометрии имеют место
и в евклидовой геометрии. Присоединение новой
аксиомы Τ4 влечет за собой и такие утверждения
проективной геометрии, которые уже не имеют места
в евклидовой геометрии. Предлагаем читателю
доказать, в частности, справедливость в проективной
геометрии следующих трех утверждений:
а) прямая и плоскость всегда имеют общую точку;
б) две плоскости всегда имеют общую прямую;
в) три плоскости всегда имеют общую точку.
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
В качестве примера нетривиального утверждения,
доказуемого только на основании аксиом
принадлежности проективной геометрии, рассмотрим теорему
Дезарга, о которой упоминалось на с. 98. При этом
будем особо оговаривать лишь ссылки на
утверждение аксиомы Т4, так как из всех утверждений,
заключенных в аксиомах соединения проективной
геометрии, только оно не выполняется в школьной геометрии.
127

Теорему Дезарга удобно сформулировать с
употреблением следующих терминов.
Трехвершинником называется фигура, состоящая
из трех точек, не лежащих на одной прямой (вершин
трехвершинника), и трех прямых, соединяющих эти
точки (сторон трехвершинника) (сравните с
определением треугольника). Трехвершинники обозначаются
указанием их вершин, например, ABC. Говорят, что
два трехвершинника Лl^iCi и А2В2С2 перспективны,
или что они имеют центр перспективы S, если прямые,
соединяющие вершины Л ι и Л 2, В ι и В 2, С ι и С2,
проходят через точку S. Трехвершинники А\В\С\ и А2В2С2
называются гомологичными («гомология» в переводе
с древнегреческого обозначает «соответствие») или
имеющими ось гомологии s, если стороны А\В\ и
А2В2, А\С\ и Л2С2, В\С\ и В2С2 пересекаются в точках,
принадлежащих одной прямой s. Ось гомологии часто
называют и осью перспективы, а центр перспективы —
и центром гомологии.
Теорема Дезарга. Если два трехвершинника А\В\С\
и А2В2С2 имеют центр перспективы (гомологии), то
они имеют и ось перспективы (гомологии).
Справедлива и обратная теорема Дезарга.
Если два трехвершинника А\В\С\ и А2В2С2 имеют ось
перспективы, то они имеют и центр перспективы.
Центр перспективы называют еще дезарговой
точкой, а ось перспективы — дезарговой прямой.
Доказательство. Пусть имеем два
трехвершинника AiBiCi и А2В2С2, расположенных в разных
плоскостях πι и яг, причем так, что AiA2(]B\B2()CiC2 = S
(рис. 37). Требуется доказать, что точки L = ;4iCi Л^гСг,
М = А\\и {\A2B2, N^B\C\[\B2C2 существуют и лежат
на одной прямой.
' Поскольку прямая Л ι Л 2 пересекается с прямой
В\В2 в точке S, то точки S, Л ι, Л 2, Βι, Β2 лежат в одной
плоскости. В этой же плоскости лежат прямые А\В\
128

и А2В2. Следовательно, они пересекаются (Т4). Пусть
Μ — точка их пересечения. С одной стороны, эта точка
должна принадлежать плоскости трехвершинника
А\В\С\, т. е. Ль ибо она принадлежит прямой А\В\,
а с другой — плоскости π 2 трехвершинника АчВ^Съ
поскольку принадлежит прямой А2В2. Значит, точка
Μ принадлежит линии пересечения 5 этих плоскостей.
Аналогично убеждаемся, что точки L, N также
лежат на 5. Таким образом, для трехвершинников,
расположенных в разных плоскостях, прямая теорема
доказана.
Докажем обратную теорему для данного
случая.
Пусть трехвершинники А\В\С\ и А4В4С4
расположены В раЗЛИЧНЫХ ПЛОСКОСТЯХ πι И Я2 И T04KHL=i4iCi Π
ПЛ2С2, Μ=ΑιΒι(]Α2Β2, N = BiCi[)B2C2 принадлежат
одной прямой 5 (см. рис. 37). Эта прямая есть линия
пересечения плоскостей πι и яг, ибо точки L, Μ, Ν
одновременно принадлежат этим плоскостям.
Прямые ΑιΒι и А2В2 пересекаются в точке М,
поэтому лежат в одной плоскости. Соответственно
в плоскостях лежат и пары прямых А\С\, А2С2 и В\С\У
В2С2. Прямые, по которым пересекаются эти три
плоскости, суть ЛИ2, В1Б2, С\С2, любые две из них
пересекаются (Т4).
Пусть A\A2{\B\B2 = S. Предположим, что А\А2
пересекается с С\С2 в какой-то другой точке S', отличной
от S. Тогда прямые В\С\ и В2С2 следует считать
расположенными в различных плоскостях. Но это не так.
Значит, точки S и S' совпадают.
Если бы прямые А\А2, В\В2, С\С2 пересекались
в трех точках S, S\ S", то последние образовывали
бы трехвершинник, в плоскости которого лежали бы
и трехвершинники А \В\С\ и А2В2С2, чего быть не может.
Пусть теперь трехвершинники А\В\С\ и А2В2С2,
имеющие центр перспективы S, принадлежат одной
129

плоскости πι. Возьмем точку S' вне плоскости πι и
проведем прямые S'A2, S'B2, S'C2. На прямой SS' возьмем
точку S"^S' и не лежащую в плоскости πι. Затем
проведем прямые S'Mi, S"£i, S"C\ (рис. 38). Пары
прямых S7l2, SMi, S'£2 и S"BU S'C2 и S"d лежат
в плоскостях {S'S"AiA2), (S'S"flifl2), (S'S"dC2).
Поэтому существуют точки Лз, /?з, Сз такие, что Лч =
= SM2nSMi, Я3 —S'^flS"^, С3 —S'C2flS"Ci (см. ΐ4).
Трехвершинники Л3Я3С3 и >4i£iCi расположены в
различных плоскостях и имеют центр перспективы
S". В таком случае по уже доказанной
«пространственной» теореме точки М^А\В\(]АзВз, L==y4iGn
ПЛ3С3, N = BiCi(}B3Cz лежат на прямой 5 = πιΠπ2.
Аналогично трехверпшнники ЛзЯзСз и А2В2С2,
принадлежащие различным плоскостям, имеют центр
перспективы S'. Поэтому точки М\=А2В2Г\АзВз, £ι =
= А2С2[\АзСз, #1==£2С2ПЯзС3 принадлежат все той же
прямой s. Но поскольку, например, M,Mi£s и М,
М{£АзВз, то Μ = Μι. Аналогично N=%Ni, L = L\.
Тогда Μ = ΑιΒι[)Α2Β2, L = А\Сх{\А2С2у N = BxCx[\B2C2
и L, Μ, N£s, и прямая теорема полностью доказана.
Пусть, наконец, трехверпшнники А\В\С\ и А2В2Сч
расположены в одной плоскости πι и имеют ось
перспективы s (см. рис. 38). Проведем через s произвольную
плоскость π2^πι. В плоскости π2 произвольным
образом проведем три прямые, проходящие через точки
L, Λί, N. Они образуют некоторый трехвершинник
ЛзЯзСз. Согласно выше доказанной обратной
«пространственной» теореме, прямые Л2Лз, В2Вз, С2Сз
пересекаются в одной точке. Обозначим ее S'. По
сходной причине в одной точке пересекаются и прямые
А \АзУ В{Вз, С1С3. Эту точку обозначим S".
Проведем прямую S'S" и найдем точку S
пересечения ее с плоскостью πι. Имеем
S'C2nS"C, —Сз,
130

следовательно, точки S', S", G, Сч лежат в одной
плоскости, поэтому С\Сч и S'S"*пересекаются в точке
S. Аналогично устанавливается, что прямые А\Ач
и В\Вч проходят через точку S. Это и доказывает
теорему Дезарга.
Теорема Дезарга с известными оговорками имеет
место и в евклидовой геометрии. Они связаны с тем,
что в евклидовом пространстве одна, две или все три
пары соответствующих сторон перспективных трехвер-
шинников А\В\С\ и АчВчСч могут быть параллельными.
Независимо от этого могут быть параллельными и
прямые А\А% В\Вч, CiC2.
В дальнейшем зачастую результаты проективной
геометрии, интерпретируемой в расширенном
пространстве, будем применять к решению задач
евклидовой геометрии. Рассмотрим следующую задачу на
использование теоремы Дезарга: провести прямую,
соединяющую данную точку L с точкой пересечения
двух заданных прямых а и Ь, которая либо является
недоступной, либо вообще находится за пределами
чертежа.
Для решения задачи возьмем произвольную
доступную точку S и проведем три произвольные прямые
р, q, г через нее. Пусть точки пересечения прямых
р, гс прямыми а и b есть соответственно Л ι, С\ и Л2, Сч
(рис. 39). Проведем затем прямые LC\ и LC<i. Пусть
точки их пересечения с прямой q есть соответственно
В\ и /?2, а А\В\{\А2В2^М. Трехвершинники А\В\С\
и А4В4С4 — перспективные, a LM — их ось
перспективы. Эта прямая и является искомой (все построения
выполняются с использованием одной только линейки).
«Пространственную» теорему Дезарга удобно
применяв к решению задач на проекционном чертеже.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Дана пирамида SA\B\C\. Требуется построить
сечение этой пирамиды плоскостью, которая содержит точку А2,
131

расположенную на ребре SA\, и прямую /, принадлежащую
плоскости основания пирамиды (рис. 40).
Решение. Сначала находим точки M=A\CiC\l, Ν=Α\Βι(}1,
а затем точки B2=A2Nr\SB\, C2=A2Mf\SC\. Треугольник А2В2С2 —
искомый (прямая / является осью перспективы для трехвершин-
ников А\В\С\ и ЛгВгСг). Построение можно произвести и в другой
последовательности, например, сначала построить точки
L=£iCif|/ и M=,4iCin/, а затем искомые точки C2=A2Mr\SC\
и B2=LC2{\SBX
Пример 2. На трех попарно скрещивающихся ребрах
параллелепипеда взято по точке Р, Q, R. Построить сечение
параллелепипеда плоскостью az=PQR.
Решение. Пусть точки Р, Q, R принадлежат
соответственно сторонам АВ, CG, A\D\ параллелепипеда ABCDA\B\C\D\
(рис. 41). Построим точку Р\£А\В\ так, чтобы РР\\\ВВ\ Тогда трех-
вершинники PQR и P\CiR— перспективны (центр перспективы
есть несобственная точка прямых РР\ и QC\ В качестве прямой,
проходящей через две совпавшие соответственные точки R=R,
следует взять прямую, параллельную РР\). В таком случае ось
перспективы RK (K^PQ(\P\C\) является линией пересечения
плоскостей α и А\В\С\, а точка Gz=C\Dif\RK — одной из вершин
искомого многоугольника. RG и GQ—две искомые стороны.
Другие стороны могут быть определены аналогичными
построениями. Однако можно воспользоваться и тем, что прямые
пересечения произвольной плоскости с параллельными плоскостями
параллельны между собой. Вследствие этого PEWRG (Е£ВС),
RF\\QE (F£AAi). Шестиугольник EQGRFP (почему именно
шестиугольник?) — искомый (см. рис. 41).
АКСИОМЫ ПОРЯДКА И НЕПРЕРЫВНОСТИ
Аксиомы принадлежности 1{ — 19 допускают
интерпретации на фигурах, состоящих из конечного числа
«точек», «прямых» и «плоскостей». Приведем один
пример, а чтобы не утомлять читателя излишней
громоздкостью, ограничимся только аксиомами
планиметрии, а именно, аксиомами 1Х — 14.
Рассмотрим следующую конструкцию. Возьмем
квадрат с двумя семействами отрезков, параллельных
его сторонам, разобьем его на 49 равных квадратиков —
полей. Каждое поле будем мыслить расположенным
на соответствующих горизонтали и вертикали по
132

аналогии с шахматной нотацией. Горизонтали
обозначим через /ι, /г, /з, Ц, 1& 1& h и назовем «прямыми»,
а вертикали — через L\t L2, Lz, L4, Lb, L6, L7 и назовем
«точками». Факт «принадлежности точки прямой»
или, что то же «прохождения прямой через точку»,
отметим кружочком, поставленным в соответствующем
поле. Пусть в результате получена конструкция,
изображенная на рис. 42, в которой, к примеру,
«точка» L5 «принадлежит прямой» Ц. Несложно проверить,
что эта конструкция относительно введенного
отношения принадлежности «точек» и «прямых»
удовлетворяет аксиомам Ιι — 14. Она является моделью
так называемой конечной проективной плоскости
Фано (Джино Фано (1871—1952)—итальянский
математик) .
Теория конечных проективных плоскостей,
описываемых только аксиомами Ij —14, ныне в
достаточной степени развита. Но в ней все еще существует
много нерешенных задач, причем формулируемых
в терминах курса математики средней школы.
Читателю, желающему ознакомиться с этой теорией более
детально, а возможно, и попробовать свои силы в
решении таких задач, рекомендуем книгу Ф. Картеси
«Введение в конечные геометрии» (М.: Наука, 1980).
Пример конечной проективной плоскости Фано
показывает, что проективная геометрия, если одной
из ее моделей должна служить теория, трактующая
о проективных свойствах фигур в расширенном
пространстве, должна базироваться, кроме аксиом
принадлежности, еще и на таких аксиомах, которые бы
исключали возможность получения конечных плоскостей.
С этой целью вводятся аксиомы порядка.
В качестве аксиом порядка принимаются
простейшие свойства разделенности и неразделенности пар
точек. Уже было установлено, что при
проектированиях в евклидовом пространстве отношение раз-
134

h
h
h
U
U
h
I?
Li
О
о
о
i?
о
о
о
L3
о
о
о
ЦЦ
о
о
о
о
о
о
L6
о
о
о
L?
о
о
о!
0-*1-М 2—-Z 3
11/\ /ι /г з
2| ΪΙ χ "2 2
1У 1/2 2 3
3 /Ъ 3 "3 3
l/ 1 2 2 3
4| 4 4 "4 4
-з..
3
~2"
3
~з"
3
4
Рис. 42
Рис. 43
Рис. 46
/'<
Рис. 47
V'

деленности и неразделенное™ пар точек сохраняется.
Сохраняется это свойство и при проектированиях
в расширенном пространстве (убедитесь в этом).
Несложно проверить, что в расширенном пространстве
имеют место и другие факты, принимаемые в
качестве аксиом порядка. Вот эти аксиомы.
II,. Две различные точки А и В прямой а разбивают
все остальные точки этой прямой на два класса, в
каждом из которых имеется по крайней мере по одной
точке.
Определение. Каждый из классов, дополненный
точками А и В, называется отрезком. (В случае
разбиения собственными точками А и В расширенной
прямой а тот из двух отрезков, который не содержит
несобственной точки, обозначается _через АВ, другой
отрезок можно обозначить через АВ.) Точки А и В
называются концами отрезков.
Определение. Если точки С и D принадлежат
одному и тому же отрезку с концами в точках А и В,
но не совпадают с точками А, В, то пары точек Ау В и
С, D называются неразделенными (обозначение
Л, В —С, D). В противном случае пары А, В и С, D
называются разделенными (Л, β-Ξ-C, D).
И2. Если Л, β-f-C, D, то и С, D-M, В.
П3. Любые четыре различные точки прямой могут
быть лить единственным образом разбиты на две
разделенные пары.
П4. Всякое проектирование разделенные пары точек
переводит в разделенные. (При этом определение
проектирования аналогично определению
центрального проектирования в евклидовом пространству.
Поскольку в проективной геометрии нет параллельных
прямых, то вместо термина «центральное
проектирование» употребляется термин «проектирование».)
Посмотрим теперь, каким образом аксиомы порядка
«запрещают» конечные проективные плоскости. При-
136

меняя к отрезку с концами Л, В аксиому II,,
получим, что на прямой А В существуют точки С, D,
отличные от Л и В. Применяя затем ту же аксиому к
различным отрезкам с концами в точках Л, В, С, D, делаем
вывод о существовании на прямой А В других точек
и т. д. Таким образом, каждая прямая имеет
бесконечное множество точек1. Из описанного способа
следует, что это множество по крайней мере счетно.
Определение. Множество элементов произвольной
природы называется счетным, если все его
элементы можно занумеровать, т. е. установить между ними
и натуральным рядом чисел взаимно однозначное
соответствие.
Чтобы отчетливо представить смысл утверждения
0 счетности множества точек на прямой, покажем,
например, что множество рациональных чисел счетно.
Действительно, пусть все рациональные числа
представлены в виде таблицы, бесконечной справа и снизу
(рис. 43). Нумерацию рациональных чисел можно
произвести способом, указанным в таблице с помощью
стрелок. Первым элементом будет число 0, затем
числа 1, — 1, -L, -L --L и т. д. При этом если на
каком-то шаге встречается число, уже
занумерованное, то оно пропускается (одно и то же рациональное
число представимо различными дробями). Таким
образом, счетность множества рациональных чисел
доказана.
Наоборот, множество всех действительных чисел
не является счетным, т. е. запас его элементов больше.
Действительно, допустим противное, т. е. что все
действительные числа каким-либо образом иредставле-
1 Это рассуждение не следует рассматривать как строгое
доказательство. Ведь надо бы еще доказа ι ь, что мы не полечим
конечного множества отрезков. Однако в более подробные
рассуждения входить не будем.
137

ны в виде последовательности αϊ, аг, аз, ..., аЛ, ... .
Образуем число α по следующему правилу. Целую
часть этого числа возьмем любую, но отличную от
целой части числа αι. Первую цифру после запятой
в десятичной записи числа α возьмем любую, но
отличную от таковой в десятичной записи числа а2.
Вторую цифру после запятой — любую, но отличную
от таковой в десятичной записи числа аз и т. д. В
результате получим бесконечную десятичную дробь, не
равную ни одному из чисел αϊ, α2, аз, ..., аЛ, .... Но это
противоречит предположению. Таким образом,
предположение о счетности множества действительных
чисел неверно. (Подумайте, почему таким же путем
нельзя доказать утверждение о несчетности
множества рациональных чисел.)
Этот небольшой экскурс в область анализа нам
необходим для того, чтобы представить отличие
прямой со счетным количеством точек от прямой
с несчетным количеством точек, каковой, в частности,
является расширенная прямая. Это отличие очень
ярко проявляется, если множества рациональных
и действительных чисел интерпретировать точками
на числовой прямой. Множество действительных
чисел заполняет всю числовую прямую «непрерывно»,
множество же рациональных — «дискретно». Это
значит, что между двумя различными точками с
действительными координатами каждая точка
изображает некоторое действительное число. Наоборот,
между двумя точками с рациональными
координатами не каждая точка изображает рациональное число.
Аксиомы принадлежности и порядка обеспечивают
заполнение прямой дискретным рядом точек. Для того
чтобы заполнение было непрерывным, необходимо
принятие так называемой аксиомы непрерывности
Дедекинда (Рихард Юлиус Вильгельм Дедекинд
(1831—1916)—немецкий математик):
138

III. Пусть все точки отрезка с концами Л, В
разбиты на два класса, причем точка Л принадлежит
одному из них, а точка В — другому. Пусть X —
произвольная точка первого класса, отличная от Л, a У —
произвольная точка второго класса, отличная от В. Если
для каждой пары точек X и У выполняется условие
Л, Y-^rX, В, то существует такая точка С упомянутого
отрезка с концами Л, В, которая принадлежит и
первому и второму классам и, кроме того, Л, С-т-Х, Υ и
С, В-^-Х, Υ для всех точек X, У, отличных от С (рис. 44).
Подобно тому, как присоединение к
рациональным числам пределов сходящихся
последовательностей с рациональными членами (такие
последовательности можно интерпретировать, как приближения
действительных чисел с избытками или с
недостатками) приводит к несчетному множеству
действительных чисел, так присоединение к каждой
паре точек Л и В точки С по аксиоме III приводит
к несчетному множеству точек на каждой прямой
в проективной геометрии.
Три группы аксиом (принадлежности, порядка и
непрерывности) представляют собой тот фундамент,
на котором может быть построена проективная
геометрия. Проведенное доказательство теоремы Де-
зарга является одним из фрагментов такого
построения. При этом особо следует отметить, что поскольку
монокулярное зрение, в отличие от бинокулярного,
не обеспечивает возможностей для оценивания
величин углов и длин отрезков и, кроме того, ни величины
углов, ни длины отрезков не сохраняются при
центральных проектированиях, то, следовательно,
аксиоматика проективной геометрии не должна
включать метрических аксиом — аксиом измерения и
откладывания отрезков и углов. Однако поскольку
знакомство с основными фактами проективной
геометрии будет осуществляться по модели этой геометрии
139

в расширенном пространстве, то тем самым будут
использоваться и метрические понятия. Таким
образом, к трем группам аксиом проективной геометрии
незаконно фактически будет присоединена еще
одна — группа метрических аксиом евклидовой
геометрии. Но, как оказалось, к тем фактам
проективной геометрии, которые могут быть получены с
помощью метрических аксиом, можно придти и на
основании только аксиом проективной геометрии,
естественно, более длинным и трудным путем.
Следовательно, использование метрических понятий
в проективной геометрии оправдано только
методическими соображениями.
Система аксиом проективной геометрии
оказывается полной. Благодаря этому излагать
проективную геометрию можно по одной из ее моделей, в
частности, в расширенном пространстве.
Определение. Пространство, в котором имеет место
проективная геометрия, называется проективным.
Плоскости и прямые проективного пространства
называются соответственно проективными
плоскостями и проективными прямыми.
ТОПОЛОГИЯ В ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Кроме уже отмеченных ранее свойств
проективного пространства, в расширенном очень наглядно
интерпретируются так называемые топологические
свойства. Топология — бурно развивающаяся ныне
математическая наука, которая изучает те свойства
фигур, что остаются неизменными при любых взаимно
однозначных и взаимно непрерывных
преобразованиях. Одним из примеров физической интерпретации
таких преобразований может служить деформация
мяча во время удара по нему. Взаимная непрерывность
преобразования здесь предполагает то, что удар не
140

настолько сильный, чтобы мяч мог разорваться. Об
интересной науке топологии рекомендуем прочитать
в книге В. Г. Болтянского, В. А. Ефремовича
«Наглядная топология» (М: Наука, 1982. Б-чка «Квант»,
вып. 21).
Топологическим свойством проективной прямой
является ее замкнутость. Особенно наглядно это
свойство проявляется в возможности установления взаимно
однозначного преобразования расширенной прямой /
в окружность к. Преобразование осуществляется
с помощью центрального проектирования прямой /
на окружность к из точки S'£k. Определение
центрального проектирования прямой / на к следующее: обрат
зом точки X6/, для которой прямая S'X пересекается
с к кроме точки S' еще и в точке X', является точка Х'\
если же прямая S'X касается к, то образом точки X
является точка S'. На рис. 45 построены проекции
на окружность к точек Л, В, С^, S£l {SS' —
касательная к к).
Казалось бы, аналогичным образом можно
проиллюстрировать и свойство замкнутости проективной
плоскости, взяв вместо расширенной прямой
расширенную плоскость π, а вместо окружности —
сферу σ. Однако проектирование плоскости π на сферу σ
из точки S'£o (так называемая стереографическая
проекция, определение которой аналогично
определению проектирования прямой на окружность) не
является взаимно однозначным преобразованием,
поскольку прообразом точки S' служат все точки
некоторой прямой (какой?). Поэтому стереографическая
проекция еще не иллюстрирует свойства
замкнутости проективной плоскости.
Взаимно однозначно расширенную плоскость π
можно преобразовать в замкнутую поверхность,
полученную из полусферы, путем отождествления
или «склеивания» диаметрально противоположных
141

точек ее края. Действительно, пусть плоскость π
параллельна основанию полусферы ε и касается ее
поверхности в некоторой точке О (рис. 46). Тогда
проектирование ρ:π->-ε из центра S' края полусферы
будет взаимно однозначным преобразованием, при
котором образами собственных точек Л, В, ...,
принадлежащих π, будут «внутренние» точки А', В', ...,
принадлежащие ε, а образами бесконечно удаленных
точек Х^, Уж1 ..., принадлежащих π,—
отождествленные диаметрально противоположные точки Х'==Х*,
У'=У*, ... края полусферы ε.
Поскольку полусферу с отождествленными
диаметрально противоположными точками края следует
считать замкнутой поверхностью, то и проективная
плоскость также является поверхностью замкнутой.
К сожалению, реализовать полученную
математическую, точнее, топологическую модель в виде
физической модели нельзя, так как склеить в обычном смысле
этого слова все диаметрально противоположные
точки края полусферы не представляется возможным.
Без разрезов поверхности склеить можно лишь часть
края полусферы ε. Следовательно, реализовать в виде
физической модели можно лишь часть топологической
модели проективной плоскости, взяв для этого часть
полусферы ε, расположенную, например, между двумя
плоскостями, которые проведены перпендикулярно
к плоскости π через точки Χ', Υ' и соответственно
точки X*t У* края полусферы (точка X* —
диаметрально противоположная точке X', а точка У* —
точке У). Поскольку при непрерывных деформациях
топологические свойства фигур не меняются, а
полученную часть полусферы ε можно деформировать
в прямоугольник, то для образования указанной
модели вместо полосы можно взять произвольный
прямоугольник ΧΎ'Χ*Υ*, например, бумажный, и склеить его
противоположные стороны ΧΎ* и Υ'Χ* таким образом,
J 42

чтобы совпали точки X' и Χ*, Υ' и У* (рис. 47).
Полученная поверхность называется листом Мёбиуса — по
имени немецкого математика Августа Фердинанда
Мёбиуса (1790—1868), впервые увидевшего в ней
топологическую модель части проективной плоскости. Для
того чтобы из листа Мёбиуса образовать
топологическую модель всей проективной плоскости, следовало
бы подобным же образом склеить и другую пару
противоположных сторон прямоугольника X'Y'X*Y*
(см. рис. 47). Но для реализации этого намерения
необходимо «выйти» в четырехмерное пространство
(после первого склеивания осуществился выход из
двумерного в трехмерное пространство), что возможно
только мысленно, поскольку размерность физического
пространства, в котором мы живем и которое служит
одной из моделей евклидова пространства, равна
трем.
Наверняка с листом Мёбиуса читатель так или иначе
знаком. Описание его замечательных свойств имеется
во многих научно-популярных изданиях. Вот одно из
них. Лист Мёбиуса — односторонняя поверхность.
Обходя довольно непростое математическое определение
односторонней поверхности, укажем на одно из
наглядных ее свойств: непрерывным движением кисти
можно выкрасить всю поверхность листа Мёбиуса,
не выходя за ее край (проверьте это).
Из других топологических свойств проективной
плоскости отметим следующие.
На проективной плоскости любые две точки А и В
всегда можно соединить отрезком, не пересекающим
любую наперед заданную прямую т. Это следует из
того, что две точки на проективной прямой
определяют два отрезка. Иногда отмеченное свойство
формулируют в виде занятного утверждения: если бы в
проективной плоскости протекала река, то она имела
бы только один берег.
143

Две прямые тип разбивают проективную
плоскость на две области F и G так, что любые две точки
одной области можно соединить отрезком, не
пересекающим ни прямой т, ни прямой η (сравните с
соответствующим свойством евклидовой плоскости).
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА И АКСИОМАТИКА
ПРОЕКТИВНОЙ ПЛАНИМЕТРИИ
Имея в виду отмеченные топологические свойства
проективной прямой и проективной плоскости, можно
составить представление о топологических свойствах
проективного пространства. На этом
останавливаться не будем, тем более что далее ограничимся
рассмотрением основных фактов проективной
планиметрии.
Правда, деление проективной геометрии на
планиметрию и стереометрию, принятое в евклидовой
геометрии, возможно только условно, поскольку проективная
планиметрия в определенном смысле неотделима
от проективной стереометрии. Это значит, что на
основании аксиом, принадлежащих только проективной
планиметрии (аксиомы I, — 14, II, — И4, III), нельзя
доказать всех тех утверждений, относящихся к
плоскости, которые доказуемы с присоединением
аксиом 15 — 19. Свидетельство тому — «плоская» теорема
Дезарга (дезарговы трехвершинники лежат в одной
плоскости). Эта теорема доказывается посредством
«выхода» в пространство. И это не случайно.
Видный немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943)
доказал, что без использования метрических
аксиом на основании только аксиом проективной
планиметрии, т. е. без «выхода» в пространство, теорема
Дезарга доказана быть не может. Таким образом,
аксиоматика проективной планиметрии является
неполной.
144

Чтобы сделать ее полной,
следует уже во всяком случае
причислить к списку аксиом
«плоскую» теорему Дезарга,
либо же такую аксиому,
которая бы вместе с другими
обеспечивала доказуемость этой
теоремы.
Наряду с аксиоматикой
проективной геометрии, построенной
в «духе» Гильберта, большой
ПОПУЛЯРНОСТЬЮ у математиков Д. 3. Гильберт
пользуется аксиоматика в «духе»
Германа Вейля — видного немецкого математика. И это
не случайно.
СВЯЗКА ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
КАК МОДЕЛЬ ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
В начале настоящей главы была описана модель
евклидовой планиметрии на евклидовой плоскости.
Подобно этому можно построить и модели
проективной геометрии в проективном же пространстве.
Модель плоскости на плоскости будет построена в
следующей главе. Сейчас рассмотрим модель проективной
плоскости в проективном пространстве, которая
называется моделью в связке прямых и
плоскостей.
Определение. Связкой прямых и
плоскостей с це нт ρ о м S называется множество прямых
и плоскостей пространства (любой природы, например,
евклидова, расширенного евклидова или общего
проективного), проходящих через одну и ту же
точку S.
В обозначении связки—S(a, 6, с, ..., α, β, ...) —
кроме ее центра указывается еще несколько принадле-
145

жащих ей прямых и плоскостей; в данном случае
это прямые а, Ь, с и плоскости α, β.
Упомянутая модель строится так. Назовем
«точками» проективной плоскости π прямые связки S(a, b,c, ...,
α, β, ...). Пусть «точки» обозначаются буквами а,
Ь, с, .... Назовем «прямыми» плоскости π плоскости
связки. Обозначать «прямые» будем буквами α, β,
γ, .... Отношение «принадлежности» введем так:
будем говорить, что «точка» а «принадлежит»
«прямой» а, или что «прямая» а «проходит через» «точку» а,
если прямая а принадлежит плоскости а. Не составляет
большого труда убедиться в том, что введенное таким
образом отношение «принадлежности» удовлетворяет
всем аксиомам первой группы проективной
планиметрии.
Отношение разделенности связывается с точками
одной и той же прямой. На рассматриваемой модели
проективная прямая моделируется пучком прямых.
Определение. Пучком прямых с це нт-
р о м S называется множество всех прямых
плоскости, проходящих через точку S.
В обозначении пучка — S(a, 6, ...) — кроме его
центра указывается еще несколько принадлежащих
ему прямых; в данном случае это прямые а и Ь.
Отношения разделенности и неразделенное™ двух
пар точек на модели проективной прямой в пучке
прямых моделируются следующим образом. Пары
«точек» a, by и с, d «прямой» а называются
«разделенными» (обозначается a, b-±-c, d), если при
пересечении прямых а, Ь, с, d прямой 5, не содержащей
точки S — центра пучка, образуются две разделенные
пары точек: Л, β-f-C, D, где A^a(]s, Z?=6f]s, C=cf|s,
D^=d[)s. В противном случае пары «точек» а, Ь и с, d
называются «неразделенными» (записывается a, b — c, d).
Аксиома П4 обеспечивает независимость
определения «разделенности» и «неразделейности» пар точек
146

от выбора секущей прямой s. Действительно, при
выборе в качестве секущей иной прямой s' точки А\
В', С, D' ее пересечения с прямыми а, Ь, с, d можно
считать проекциями точек Л, В, С, D из точки S. На
рассматриваемой модели тогда получают
соответствующие интерпретации все аксиомы второй и третьей
групп проективной геометрии. Таким образом, мы
действительно имеем модель проективной плоскости
в связке прямых и плоскостей. Попутно построена
также модель проективной прямой в пучке прямых,
в которой точки моделируются прямыми.
Модель проективной плоскости в связке,
построенная нами в общем проективном пространстве, в свою
очередь, моделируется связкой прямых и плоскостей
в расширенном евклидовом пространстве. Центр этой
связки может быть как собственной, так и
бесконечно удаленной точкой. Само собой разумеется, что
между моделью в связке и моделью на расширенной
плоскости существует изоморфизм (см. определение
изоморфизма на с. 118). Проще всего его установить
с помощью перспективного соответствия. В том, что
перспективное соответствие является изоморфизмом
обеих моделей проективной плоскости в
расширенном пространстве, убедитесь самостоятельно. При
этом следует принять во внимание, что если центр S
связки собственный, то несобственным точкам из
плоскости π соответствуют прямые плоскости α (α||π),
содержащей точку S. Сама плоскость α
соответствует тогда несобственной прямой из л. Если же
точка S несобственная, то несобственным точкам
(прямым) плоскости π соответствуют несобственные
прямые (плоскости) связки.
Помимо иллюстративных функций различные
модели одной и той же математической теории
выполняют и более важные задачи. Они служат источником
новых математических фактов. Ведь всякому понятию,
147

всякой фигуре на модели соответствуют какое-то
иное понятие и иная фигура, а всякому
утверждению — новое утверждение о новых фигурах и
понятиях. К примеру, «плоской» теореме Дезарга о
расположении точек и прямых проективной плоскости
в построенной только-что модели в пучке прямых
и плоскостей соответствует новая теорема
(сформулируйте ее), касающаяся расположения прямых и
плоскостей в связке.
Кроме всего этого, различные модели одних и тех
же математических теорий дают «пищу» для
дальнейшего развития математики, для установления связей
между различными ее теориями и направлениями,
наконец, для все новых и новых обобщений в
моделируемой теории. Об этих обобщениях, применительно
к проективной геометрии, мы сейчас и начнем
разговор.
Несколько неожиданным для нас сейчас может
быть незначительное видоизменение модели
проективной плоскости π в пучке прямых и плоскостей
расширенного пространства. Ради краткости эту
модель мы назовем векторной. Строится она так.
Произвольной прямой и связки S(a, 6, с, /η, ..., α,
β, μ, ...) с собственным центром S, представляющей
в связке точку U проективной плоскости π, поставим
в соответствие класс {и } коллинеарных векторов без
нуль-вектора, принадлежащих прямой и и выходящих
из точки S. Плоскости μ, представляющей в связке
проективную прямую /ηζπ, поставим в соответствие
совокупность {Й} векторов плоскости μ без нуль-
вектора, которые выходят из точки S. Что касается
отношений принадлежности и разделенности, то
формулировать их следует так:
U£m тогда и только тогда, когда {и }6{ЛГ};
i/, V-i-W,Z (точки ί/, V, W, Ζ принадлежат одной
148

проективной прямой т) тогда и только тогда, когда
для прямых и, υ, ад, ζ связки, которым соответственно
принадлежат совокупности векторов {U}, {V }, {№},
{Ζ }, имеем и, ιζ-ч-ад, ζ. В противном случае ί/, V— W, Ζ.
Понятно, что векторная модель изоморфна модели
в связке.
На первый взгляд, векторная модель может
показаться явно надуманной. Ведь точкам соответствуют
не только фигуры иной природы, не относящиеся даже
к основным понятиям в евклидовой геометрии, но еще
и в множественном, более того, в бесконечном числе.
Это же замечание относится и к прямым. Однако в
действительности в этой модели содержатся глубокие
идеи. Одна из них связана с введением координат.
ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ
Определение. Проективными
координатами точки U проективной плоскости π называются
координаты любого вектора и из соответствующего
точке U в векторной модели класса векторов {и }.
Согласно определению, каждая точка ί/£π
характеризуется тремя проективными координатами,
значения которых определяются с точностью до
числового множителя. Следовательно, если (х; у, ζ) —
проективные координаты точки U (т. е. координаты вектора
и £{и }), то и любую упорядоченную тройку чисел
(ρ*; ЯУ\ Qz), q¥=0, также следует считать
координатами точки U, поскольку вектор qu £{u }. Заметим, что
все три проективные координаты точки одновременно
не могут быть нулевыми, так как нуль-вектор исключен
из всех классов коллинеарных векторов типа {и }.
Ситуация необычная. Точка на плоскости
определяется тремя координатами. Но это же проективная
плоскость!
149

У читателя, конечно, могут
возникнуть сомнения
относительно целесообразности
введения проективных координат
рассмотренным способом.
Рассуждать можно так. Почему бы идею
установления соответствия с
целью введения координат на
проективной плоскости не
реализовать проще, использовав для
этого систему координат на
г. вейль евклидовой плоскости. Ведь
можно, установить взаимно
однозначное соответствие между точками проективной
и расширенной плоскостей и тогда координатами
точки U проективной плоскости назвать координаты
соответствующей ей точки W расширенной плоскости.
И, казалось бы, точка U тогда будет иметь не три,
а две координаты.
Возражение состоит в том, что система координат
на евклидовой плоскости не является системой
координат на расширенной плоскости, так как в ней
нельзя определить координаты точек несобственной
прямой.
Векторная модель проективной плоскости для
введения проективных координат представляет для нас
особый интерес. Это — построение векторной
аксиоматики, названной нами ранее аксиоматикой в «духе»
Вейля (1885—1955).
Определение векторной модели проективной
плоскости можно принять в качестве эквивалентного
к принятому ранее определению самой проективной
плоскости, а именно, проективной плоскостью можно
назвать всякое множество π, элементы которого
названы точками, лишь только для этого множества
удастся определить взаимно однозначное соответствие
150

а:л->-{Уз}, где символ {Уз} обозначает множество всех
классов коллинеарных векторов евклидова
пространства с началом в фиксированной точке S.
Проективными прямыми в плоскости π тогда следует считать
прообразы в отображении σ совокупностей всех
классов коллинеарных векторов, принадлежащих
фиксированным плоскостям связки с центром S.
Любые представители и , υ , w каких-либо трех из
этих классов {и }, {υ }, {w } принадлежат одной
плоскости. При этих условиях один из них, например υ ,
можно выразить через другие, т. е. представить в виде
так называемой линейной комбинации: υ ==аи -\-βυυ ,
где α=^0, β=^0 — какие-то числа. Это важный факт,
которым пользуются в аналитической геометрии
проективной плоскости, например при выводе
уравнения прямой. Посмотрим, как это осуществляется.
Пусть прямая m проективной плоскости π задана
двумя точками Ρ и Q с координатами (р\\ рч\ рз) и (qi; qi\
Цз\ соответственно. Составим ее уравнение. Пусть
М(х\ у\ ζ) — произвольная точка прямой т. Тогда
представителями классов векторов {р }, {q }, {m},
прообразами которых в соответствии а:л^{Уз} являются
точки Р, Q, УМ, есть соответственно векторы ρ (ρ ι; рч\
Рз), Q (<7ι; Я2\ <7з), т(х\ у\ ζ). И, кроме того, существуют
такие числа α и β, что
т=ар -\-fiq .
Переходя от векторного равенства к равенствам
координат, получим
χ=αρι + β<7ι, ί/=αρ2+β<72, ζ=αρ3+ β?3·
Отсюда, исключая параметры α и β (например, путем
определения их из первых двух равенств с
последующей подстановкой значений в третье), которые
151

меняются с изменением точки М, получим искомое
уравнение
Ax+By+Cz=0,
где A=p2q3—p3q2> B=pzq\—p\qz, C=p\q2—p2qz-
Внешне это уравнение похоже на уравнение
прямой в евклидовой плоскости. Однако в нем три
неизвестных и, кроме того, отсутствует свободный член.
Несложно проверить, что если координатами точек
Р, Q, Μ считать какие-либо иные тройки чисел (λ ι/? г,
λι/?2", λι/?3), (λ2<7ι; λ2<72', λ2<73), (λ3*; λβί/; λζζ), где λι, λ2, λζ —
некоторые числа, отличные от нуля, то полученное
уравнение прямой не изменится.
ОБОБЩЕНИЯ
Эквивалентность векторного определения
проективной плоскости и принятого ранее следует из того,
что существует изоморфизм между моделью
проективной плоскости, построенной на основании старого
определения (расширенной плоскостью), и моделью
той же плоскости, построенной на основании нового
определения (связкой прямых евклидова пространства).
Итак, рассмотрено совершенно отличное от
принятого ранее определение проективной плоскости. Оно
и было принято в качестве одной из аксиом
проективной планиметрии в векторной аксиоматике.
Основными понятиями в этой аксиоматике являются
«точка» и «вектор». Заметьте, прямая не относится к
основным понятиям, так как может быть определена на
основании понятий «точки» и «вектора».
Что касается понятия «точка», то оно не нуждается
в аксиоматическом описании. Точка — это всего лишь
элемент множества π, которое названо проективной
плоскостью. В противовес этому понятие «вектора»
должно быть либо аксиоматически определено, либо
же к аксиоме-определению проективной плоскости
152

в векторной аксиоматике должны быть
присоединены все аксиомы евклидовой геометрии, так как на их
основании вводится определение всех понятий,
связанных с векторами. Выбрать следует первый путь,
так как он обеспечивает независимое от евклидовой
геометрии существование и развитие геометрии
проективной.
В качестве аксиом для определения понятия
«вектора» были приняты основные свойства векторов как
направленных отрезков евклидова пространства,
а именно, векторами были названы элементы
произвольного множества V — векторного пространства,
с введенными на нем двумя операциями, которые ради
краткости назвали просто сложением векторов и
умножением векторов на скаляры (числа), если обеспечено
выполнение следующих ниже трех групп аксиом.
Употребляемые символы для операций, равенства
векторов и их обозначений обычные («+», «·», «=»,
малые буквы латинского алфавита со стрелками
наверху, например, а ). Для сокращения записи аксиом
удобно применять следующие три распространенных
в современной математике символа V» 3 , 3 !, которые
обозначают соответственно «для любого»,
«существует», «существует и единственный».
Вот какими аксиомами определяется понятие
«вектора» (эти аксиомы называют еще аксиомами
векторного пространства):
I. Аксиомы сложения векторов
1. V^, b*£V 3\c*£V: ΤΓ+b =с* (вектор с
называется суммой векторов а и b ).
2. Va , b 6 V a -\-b =b +a (коммутативность).
3. Va^, 5*, c^eV 7?+(lf+!?)=&+lT)+c*'
(ассоциативность).
153

4. 3 0 £V:\/x£V a +0 =α (вектор 0 называется
нуль-вектором).
5. vTeV 3 (-а^)еV: а*+(—сГ) = (Г (вектор — а*
называется противоположным к вектору а ).
II. Аксиомы умножения вектора на число
1. V^eV, Υλ6# (/( — множество чисел) 3\b*eV:
λα = b (вектор b называется произведением
вектора а на число λ).
2. γλ, μ6/С, Va 6V (λμ)α = λ(μα )
(ассоциативность умножения).
3. Va^eV \·ΊΪ=Τ.
4. α (α -\-b ) = αα Η-α&, « ^ .
ν ' _^/ _^_ _^_ (свойства дистрибутивности).
5. (α+β) α = αα +βα
Определение. Векторы а и Ь называются кол-
линеарными тогда и только тогда, когда
а = ab , αζ/C.
III. Аксиома размерности
Существует η линейно независимых векторов аТ,
άΤ, ..., аХ (т. е. таких, что равенство λιαΓ+...Η-λπαΓ= 0
возможно лишь при λι = ... ==λπ=0), составляющих
базис векторного пространства (т. е. таких, что
\fct^V справедливо равенство а*= сиаГ + <Х202 + ... +
+anat).
Определение. Числа он, аг, ..., ап, взятые в
указанном порядке, называют координатами
вектора а* в базисе аГ, а%, ..., аЛ. Векторное
пространство V называют тогда п-м ер н ы м (желая это
подчеркнуть, его обозначают через Vn).
154

Сформулировав с помощью аксиом определение
абстрактного /г-мерного векторного пространства,
мы должны отметить, что в принятом векторном
определении проективной плоскости фигурирует
модель трехмерного векторного пространства,
построенная в пространстве евклидовом. Поэтому,
развивая проективную геометрию строго
аксиоматически, эту модель следует заменить абстрактным
трехмерным векторным пространством. Следует
также уточнить и определение прямой. Прямая
должна определяться как такое множество точек
проективной плоскости π, образы {и }, {и }, {w} любых
трех элементов U, V, W в соответствии σ которого
имеют представителей и , υ , w, удовлетворяющих
при некоторых числовых значениях α и β равенству
Кроме того, теперь можно догадаться и о том,"
что для аксиоматического определения
проективного пространства следует использовать
четырехмерное векторное пространство. Наконец,
аналогично можно определить проективное
суперпространство (назовем его условно так) и изучать его
над векторным пространством любой сколь угодно
большой размерности п. Эти вопросы определяют
одно из направлений развития современной
проективной геометрии.
Думается, читателю интересно будет узнать еще
об одном очень важном в теоретическом аспекте
направлении научных исследований в области
современной проективной геометрии, которое произошло
от одного обобщения в аксиоматике векторного
пространства. Обратимся к аксиомам умножения
вектора на скаляр. В этих аксиомах фигурирует
множество чисел /С, которые предполагались нами
числами действительными. Но существуют и другие ана-
155

логичные числовые системы, называемые в математике
числовыми полями, например, поле рациональных
или поле комплексных чисел.
Определяются они также аксиоматически, а
именно, числовым полем называется произвольное
множество К элементов — чисел, если на этом
множестве введены две операции: сложение и
умножение — с выполнением следующих трех групп аксиом:
I. Аксиомы сложения
1. Υα,β Э ·Υ: α+β=Υ (число у называется
суммой чисел а и β).
2. Vet,β α+β=β+α (коммутативность).
3. Υα,β,Υ α+(β+ν)=(α+β)+γ (ассоциативность).
4. 3 θ: Va α+θ=α (число θ называется
нейтральным элементом или нулем).
5. V» 3 «'· α+α/=θ (число а' называется
противоположным к а).
Операция вычитания может быть определена
через операцию сложения как обычно. Разностью
а—β чисел α и β называется такое число γ, что γ+β=α.
II. Аксиомы умножения
1. Va,β 3!γ: α·β=γ (число у называется
произведением чисел α и β).
2. ν«,β α·β = β·α (коммутативность).
3. Υα,β,γ α·(β·γ)=(α·β)·Υ (ассоциативность).
4.3 ~ε: V« α·ε=α (число ε называется
единичным элементом или просто единицей).
5. \/аф& 3 α": α·α"=ε (число а" называется
обратным к числу а).
III. Аксиома связи двух операций
Υα,β,Υ α(β+γ)=αβ+αγ (дистрибутивность).
Легко можно убедиться, что множества
действительных и рациональных чисел являются полями,
156

а множество целых чисел не является полем (не
выполняется пятая аксиома второй группы).
Использование в качестве множества К
числовых полей различной природы необычайно
раздвинуло сферу исследований в современной
проективной геометрии. Достаточно сказать, что в современной
математике и в ее приложениях большое
распространение имеют не только поля с бесконечным
количеством элементов, как, например, поле действительных
чисел, но и поля конечные, состоящие из конечного
числа элементов. Это, в частности, позволяет включить
в сферу проективной геометрии и конечные
проективные плоскости.
Приведем один пример. Определим поле К,
состоящее из трех элементов, которые мы обозначим
через 0, 1, 2, с помощью таблиц сложения и
умножения:
о"
"Г
τ
0
δ~ -
о"
о"
1
(Г
"Г
τ
2 I
δ~
2~
F
о"
V
2~
0
о~
Г
Τ
1
"Г
Τ
ο~
2 Ι
2~
0~
F
Результаты операций записаны на пересечении
строк и столбцов, соответствующих заданным
числам, например: 2+2^Т7 а ΤΓ·Τ=ΊΓ. Несложно
проверить (предоставим это читателю), что К —
действительно поле, т. е. что выполняются все аксиомы
поля, которое называется полем вычетов по
модулю 3. Название связано с тем, что поле К допускает
очень простую интерпретацию в множестве целых
чисел. Пусть О, Т7 2~— классы целых чисел, имею-
157

щих при делении на модуль р=3 соответственно
остатки 0, 1, 2 — классы вычетов по модулю 3:
ОТ ..., —9, —6, —3, 0, 3, 6, 9, ...
ΪΓ ..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, ...
2\ ..., —7, —4, — 1, 2, 5, 8, 11, ...
Введение операций сложения и умножения в
классе вычетов осуществляется по представителям.
Представителем некоторого класса называется любое
целое число, которое в него входит. Например,
число 7 является представителем класса 1. А
результатом сложения (умножения) двух классов
а и Ь, имеющих своими представителями числа а и Ь,
называется тот класс с, в который входит
представитель c=a-{-b (c=a-b). Легко понять, что это
определение не зависит от выбора представителей.
Выполнимость всех аксиом поля для классов
вычетов по модулю 3 проверяется без труда. В
частности, противоположными элементами к 0, 1,
2 являются соответственно числа 0, 2, 1, а
обратными к 1 и 2 — соответственно числа 2 и 1 .
Так же просто установить, что таблицы
сложения и умножения имеют вид, представленный на
с. 157.
Отметим, что подобным же образом, взяв в
качестве модуля ρ другое натуральное число, можно
построить и другие поля вычетов. Правда,
установлено, что ρ должно быть простым. В противном
случае не будет выполняться аксиома о
существовании обратного элемента. Так, отсутствует
обратный элемент для класса 2 множества вычетов по
модулю 4 (проверьте это). Числовые системы, в
которых выполняются все аксиомы поля за
исключением аксиомы существования обратного элемента,
158

называются кольцами. Примером кольца является
множество целых чисел, а также множество
классов вычетов по любому составному модулю.
Следующий наш шаг — построение трехмерного
векторного пространства Уз над полем вычетов по
модулю 3.
Поскольку Уз должно быть трехмерным, то по
аксиоме размерности должны существовать три вектора
а\, аг, аз, через которые все векторы этого
пространства выражаются в виде линейных комбинаций. Приняв
эти векторы за базисные, будем иметь щ (1; 0; 0),
ач (0; 1; 0), аз (0; 0; 1), поскольку, например,
а2 = 0 · а\ + 1 · а,2 · 0 · аз (см. определение координат
на с. 154). Никакие пары этих векторов не коллинеарны,
поскольку не существует такого числа λ, при котором
di=Xaj, i, /=1, 2, 3, ίΦ\. Действительно, допустим,
что, например, щ = λ аг, т. е. 1 · щ + 0 · ач +0 · аз =
= λ (0~· αϊ +1 · а2+0 -аз). Поскольку по аксиоме
размерности представление векторов через базисные
•должно быть однозначным, то отсюда следуют такие
три равенства: Т~= λ~· 0~; 0~=λ~· ΤΓ; 0~= λ~· (Γ. Но
первое из них не имеет места ни при каких λ . Поэтому
предположение неверно.
Подобным же образом можно доказать, что некол-
линеарными с базисными и между собой являются еще
четыре вектора, существование которых следует из
факта существования векторов щ , ач , аз и из аксиом
сложения и умножения: Ъ\(\\ 1; 0) = 1 · щ + 1 · cli +
+~U · at, Ίζ(Ί\ "0; Τ) =Τ· at + "0"· at + Τ · at, Й"("0;
"Π ~ϊ) = ~0~· aT+T.at+T.at, b^CU ΊΠ Τ) = Τ·αΓ +
+ Τ· at + Τ· at.
159

Что касается остальных векторов пространства Уз,
в которых, по крайней мере, одна координата равна"?,
то каждый из них коллинеарен какому-либо из векторов
~aif ~S]\ i = 1, 2, 3, / = 1, 2, 3, 4. Нулевой вектор ~(Γ(~δ; "θ;
0) нас вообще не должен интересовать, поскольку
он не играет роли в определении проективной
плоскости. Таким образом, пространство Vl содержит 7
попарно неколлинеарных векторов. Поэтому
построенная над ним проективная плоскость π содержит ровно
7 точек.
Чтобы полностью изучить вопрос о строении
плоскости π, следует выяснить расположение точек и
прямых на ней. Предоставляем читателю возможность
проверить, что для любых двух из семи векторов α£·,
bj существует единственный вектор из этой же
совокупности, выражающийся через первые два в виде
линейной комбинации. Например, для векторов α<ι, 63
таким является вектор аз = 2 ач + 1 6з.
Следовательно, на каждой прямой располагается по три точки.
Всего таких различных троек точек будет 7 (проверьте).
Поэтому плоскость π содержит 7 прямых. Суммируя
все это, приходим к выводу, что π есть рассмотренная
ранее плоскость Фано (см. с. 134, а также рис. 42).
Плоскость Фано является дезарговой, т. е. на ней
имеет место теорема Дезарга (вспомним, что «плоская
теорема Дезарга без принятия специальной аксиомы
вовсе не имеет места). В частности, для перспективных
трехвершинников А\АъВ\,В\ВгВъ, для которых
дезарговой точкой является точка Л2, дезарговой прямой
служит прямая В\Въ Доказано, что все конечные
проективные плоскости, построенные над конечными
полями, являются дезарговыми. Недезаргову плоскость
можно получить, взяв, например, вместо поля кольцо
вычетов по составному модулю. Предлагаем читателю
160

построить модель недезарговой плоскости,
аналогичную модели плоскости Фано (см. рис. 42).
Начав свой путь из далекого прошлого проективной
геометрии, с ее предыстории, мы постепенно пришли к
некоторым теперешним ее проблемам и методам.
Нами обсуждены две аксиоматики проективной
геометрии, составляющие ее фундамент. Для создания
цельного представления об этой науке нам следует еще
немного вникнуть в ее детали. Это будет сделано
в следующей заключительной главе. Для простоты
проективная плоскость будет интерпретироваться
на расширенной плоскости.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
6. Пусть π — проективная плоскость над полем вычетовч по
модулю р. Докажите, что эта плоскость содержит ровно р2-\-р-\- 1
точек, расположенных на стольких же прямых по р-\- 1 на каждой.
7. Постройте проективную плоскость над кольцом вычетов по
модулю ρ=4. Является ли эта плоскость дезарговой?

глава третья
3
ПРОЕКТИВНЫЕ
Π ИЯ
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
И СЛОЖНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Что изучает евклидова геометрия? Вопрос этот не
риторический и чтобы ответить на него, нужно
обстоятельно поразмыслить. Во-первых, о свойствах
простейших фигур (точек, прямых, плоскостей, отрезков и
углов), которые непосредственно следуют из аксиом.
Во-вторых, о свойствах фигур, определяемых на
основании аксиом и непосредственных следствий из них,
а затем о свойствах фигур, определяемых на основании
ранее изученных свойств, и т. д. Но о каких свойствах
идет все время речь? Ведь не о любых же. К примеру, не
о тех, которые характеризуют взаимно однозначные
и непрерывные деформации фигур (ранее было
отмечено, что такие свойства изучаются в топологии).
Евклидова геометрия изучает те свойства фигур,
которые остаются неизменными при различных движениях
и преобразованиях подобия, и только такие свойства.
Например, площадь плоской фигуры не зависит от
того, в каком месте евклидова пространства эта фигура
размещена. При движениях фигур их площади не
изменяются. При преобразованиях подобия не
изменяются, например, величины углов
многоугольников.
162

Подобно этому предмет проективной геометрии
определяется как учение об инвариантных свойствах,
иногда просто говорят, об инвариантах так называемых
проективных преобразований. В настоящей главе мы
определим эти преобразования и приведем основные
их свойства.
Рассмотрим цепочку проектирований прямых на
плоскости (см. рис. 34), считая, что все центры
проектирования находятся в одной плоскости с прямой /.
Тогда и все прямые /i, h, ..., L будут находиться в этой
же плоскости, которую мы будем считать совпадающей
с плоскостью чертежа. Итак, пусть в проективной
(расширенной евклидовой) плоскости задана какая-либо
цепочка проектирований прямых на прямые, в которой
прямая / проектируется на прямую 1\ из центра Si,
прямая 1\ — на прямую /г из центра S2 и т. д. прямая Ιη_λ —
на прямую и из центра S\. Поскольку каждое
проектирование является взаимно однозначным
преобразованием, переводящим расширенную прямую в иную
расширенную прямую, то в результате осуществления
всех проектирований прямая / взаимно однозначно
преобразуется в прямую /Л. В частном случае прямая
/„ может совпадать и с /. Тогда будем иметь взаимно
однозначное преобразование прямой / в себя.
При каждом проектировании сохраняется сложное
отношение любой четверки собственных точек
(вспомним определение и свойства сложного отношения).
Определение сложного отношения можно
распространить и на те случаи, когда одна из четырех точек
несобственная (ранее было установлено, что сложные
отношения будут рассматриваться только для четверок
различных точек; поэтому несобственной может быть
только одна из четырех точек, если, конечно, все
четыре точки не являются несобственными). Значения
сложного отношения в этих случаях определяются путем
предельного перехода. К примеру
163

(AB^CD^ ) = lim (ABfCD) = lim μ(χ) = — b = - (AB,C\
где μ (χ) = (AByCD). С учетом результатов
упражнения 5 аналогично устанавливается, что
(ЛЯ.Со, D)=-(BAfDUAB00 fCD)=-(CDiAl(A(X> £,CD)=
=-(DC,B).
Предлагаем читателю доказать (а для этого опять же
следует воспользоваться операцией предельного
перехода), что и в тех случаях, когда одна из точек
несобственная (на прямой, либо на ее образе, либо и на
той и на другой), сложное отношение также
сохраняется при проектированиях, и что соответствие между
положениями точки D на прямой и значениями
функции v(x)=(AB,CD) при фиксированных Л, В, С
остается взаимно однозначным (свойство единственности
сложного отношения). Возвращаясь теперь к
рассматриваемой цепочке проектирований, заключаем, что
поскольку сложное отношение любой четверки точек
сохраняется при каждом проектировании, то оно не
изменится и после выполнения всех этих
преобразований (в их произведении), т. е. если Л, В, С, D —
любая четверка -точек прямой /, а Л', В', С, D' —
их образы на прямой 1п, то (A'B',C'D')=(AB,CD).
Оказывается, что и наоборот, как только какое-то
преобразование прямой 1\ в прямую h сохраняет
сложное отношение любой четверки точек, то его можно
реализовать с помощью некоторой цепочки
проектирований прямых на прямые.
Действительно, преобразование, переводящее 1\в h
и сохраняющее двойное отношение, вполне
определяется заданием трех пар соответственных точек А-+А',
В^-В', С^С\ поскольку образ D' любой точки D£l\
после этого определяется однозначно (по свойству
единственности сложного отношения). Для построения
искомой цепочки через точки Л и Л' (если ни одна
164

А Рис. 53
Ώ

из них не совпадает с точкой 0=/ifU2l в противном
случае берем другую пару соответственных точек)
проведем прямую, на которой возьмем две различные
точки S,S'j£/ilJ/2 (рис. 48). Далее проведем прямые SB,
SC, S'B', S'C и построим точки C0=SC{]S'C,
Bo==SB[)S'B'. Точки Во и Со соединим прямой /о.
Преобразование прямой 1\ в /г, переводящее точки А,
В, С в точки Л', β', С и сохраняющее сложное
отношение, раскладывается, таким образом, в произведение
двух проектирований: прямой 1\ на прямую BqCq из
точки S и прямой BqCo на прямую h из точки S'.
Определение. Преобразование расширенной прямой
1\ в расширенную прямую h называется проектив-
н ы м, если оно сохраняет сложное отношение любой
четверки точек.
Обозначается это Ц (AiB1C1D1...)7\h(A\B/JC/iD\...) и
означает, что парами соответственных точек являются
Л-^Л', В^В\ С^-С, ... . Построенная прямая 10==В0Со
(см. рис. 48) называется осью перспективы двух проек-
тивно соответственных расширенных прямых 1\ и /г.
Для построения образа D' произвольной точки D£l\
помимо выполненных построений следует осуществить
еще следующие: SDflBoCo^Do, D'^SDofth. Построение
прообраза какой-либо точки У прямой /г
осуществляется в обратном порядке: S'Y'[)BoCo=Yo, Y==SYo[}li.
Ввиду свойств единственности сложного отношения
проективные преобразования прямых взаимно
однозначные. Поэтому существуют обратные к
проективным преобразования, которые, очевидно, также
являются проективными.
В общем случае проективного преобразования
прямой 1\ в несовпадающую с ней прямую h образом и
прообразом точки 0=l\[)l2 являются точки, отличные
от нее. Но может случиться, что образом, а
следовательно, и прообразом (докажите это) точки О является
сама эта точка. В этом случае проективное преобразо-
166

вание можно представить всего лишь одним
проектированием из центра перспективы, в котором
пересекаются все прямые, соединяющие пары
соответственных точек. Поэтому такое преобразование называется
перспективным и обозначается
/,(Л,Я,С,0,...)^ /2(Л',Я',С',0',...);
точка S над знаком л обозначает центр перспективы.
Естественно, перспективное преобразование является
проективным. Обратное, вообще говоря, неверно.
Теорема. Для того чтобы проективное
преобразование прямой в прямую было перспективным,
необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых
соответствовала сама себе.
Доказательство. Необходимость. Пусть
ЦА,В,С,...)Ъ12(А',В',С',...).
Любые две соответственные точки прямых /i, h лежат
на одной прямой с точкой S. Точка О', соответствующая
точке 0==/if]/2, должна принадлежать как прямой h,
так и прямой SO. Но прямая SO пересекает h в точке
О. Следовательно, 0'^=0 (рис. 49).
Достаточность. Пусть U{A,B,C,0,...)7\l^A\B\C\0,...).
Обозначим AA'[\BB'tE=S. Рассмотрим перспективное
преобразование прямой 1\ в прямую h из точки S. Оно
таково, что Л-к4', В-+В', 0^-0. Но этими тремя парами
соответственных точек однозначно определяется
проективное преобразование прямой 1\ в прямую h.
Следовательно,
/1(Л|Я|0,...)л' Μ',Β'.Ο, ...)
и теорема полностью доказана.
Интересен вопрос о количестве неподвижных или
инвариантных, говорят еще двойных, точек в
проективных преобразованиях прямой, т. е. таких точек, которые
в силу этих преобразований переводятся сами в себя.
167

Θ Ответ на этот вопрос дает теорема
Штаудта (Штаудт фон Карл Георг
Кристиан (1798—1867) —
немецкий геометр).
Теорема (Ш τ а у д τ а).
Проективное преобразование прямой
может иметь не более двух
неподвижных точек. Если же
таковыми являются хотя бы три
точки, то преобразование
тождественно, т. е. оставляет на мес-
к. Штаудт те все без исключения точки
данной прямой.
Доказательство. Пусть /(Л,Б,С,Д...)л/(ДЯ,-С,
D',...). Тогда для любой пары соответствующих точек
D^D' будем иметь (AByCD)=(AB£D'). Но по свойству
сложного отношения D^D', т. е. точка D —
неподвижная. Теорема доказана.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ
Не слишком ли просто доказывается теорема
Штаудта, чтобы называть ее именем известного геометра,
не лежит ли она, как говорят математики, на
поверхности? Не будем спешить с утвердительным ответом
на эти два вопроса. Вспомним, что в настоящей главе
проективная геометрия рассматривается на модели в
расширенном пространстве. А само определение
проективного преобразования дано с использованием
чуждых проективной геометрии метрических понятий
(вспомните определение сложного отношения четырех
точек).
Определение проективного преобразования
расширенной прямой с помощью сложных отношений было
предложено замечательным немецким геометром
Якобом Штейнером (1796—1863). Штаудт же предложил
168

другое определение,
эквивалентное определению Штейнера, но
не опирающееся на метрические
понятия. Эквивалентность
определений обозначает то, что если
прямая /ι проективно
преобразуется в прямую h и произвольная
точка А 61\ переводится в точку
4' 6 h согласно определению
Штейнера, то то же имеет место и
согласно определению Штаудта,
и наоборот. Таким образом, опре- я. Штейнер
деление Штаудта оказалось
правомочным не только в одной реализации проективной
геометрии — в расширенном пространстве, подобно
определению Штейнера, но и во всей проективной
геометрии. А вот теорема Штаудта в этом общем
случае доказывается значительно сложнее. Ее название
отмечает заслуги Штаудта в развитии проективной
геометрии.
Штаудт исходил из результатов Штейнера и других
геометров. Но в определении проективного
преобразования прямой в прямую он требовал сохранения
сложного отношения не любых четверок точек, а только
так называемых гармонических четверок, которые
удается определить и без метрических понятий.
Определение. Четверка точек Ау Ву С, D
расширенной прямой I называется гармонической,
причем пара точек А, В — гармонически разделенной
парой точек С, D, если (AB,CD)= — \ (поскольку (АВ,
CD)<Z0, то разделенность пар точек А, В и С, D
соответствует принятому ранее определению этого
понятия).
Почему четверки точек, для которых сложное
отношение равно —1, были названы гармоническими?
Оказывается, что определение гармонических четве-
169

рок связано, определенным образом, с
гармонической пропорцией, о которой говорилось ранее (см.
с. 23).
Действительно, обозначая длины отрезков Л С, А В
и AD в случае собственных точек Л, В, С, D
соответственно через а, Ъ, d, с учетом равенства (AB,CD) = — 1
и отношения A,B-i-C,D (рис. 50, a, 6J будем иметь
АС . 4D
СВ DB
b + bd=
■=-
2ad,
а
или
2
b
а) :
=
d
' =F(rf-
- + -
b)
,следо
fr есть среднее гармоническое чисел a, d.
С гармоническими четверками вы, дорогой читатель,
уже встречались' на уроках математики и физики,
возможно и не замечая их. Они встречаются в оптике.
Рассмотрим ход лучей в вогнутом параболическом
зеркале 3 (рис. 51). Пусть А — точка на оптической
оси. А' — ее изображение, F — фокус, О — центр, Ρ —
вершина зеркала, причем PF=FO. Тогда четверка
точек Р, О, А', А является гармонической. Докажите это
самостоятельно, воспользовавшись формулой зеркала
—.—\-—г=-|- , известной из курса физики.
А вот другой пример. Возьмем произвольный
треугольник NAB и проведем биссектрисы NC, ND
внутреннего и внешнего углов при вершине N (рис. 52).
Как известно, j^-=z-jtd~ » что можно записать в виде
(у4Б,С)=-^-. Аналогично на основании свойства бис-
(АΠ ΝΑ \
"75]Г="л?]г) приходим к
выводу, что (AB,D) = — -Μ.. Следовательно, (AB,CD)= — l.
Этот факт дает возможность более простым способом
170

построить «четвертую гармоническую» точку D к трем
заданным точкам Л, В, С.
Построения производятся в следующей
последовательности. Вначале следует через точки Л, В провести
некоторую окружность. Затем точкой F разделить
пополам одну из дуг этой окружности с концами в точках
а, Ъ. Вторая общая точка хорды FC и окружности
определит вершину N треугольника AN В, для которого
NC является биссектрисой внутреннего угла при
вершине N. Восставляя, наконец, в точке N к NC
перпендикуляр, в пересечении последнего с прямой А В
получим искомую точку D.
Предложенное построение «четвертой
гармонической» точки реализуется с помощью циркуля и
линейки. Существует, однако, и такой способ построения,
когда достаточно одной только линейки, причем, что
существенно, однобортной линейки, т. е. такой, которая
не позволяет осуществлять построение параллельных
прямых. Этот-то способ и привлек внимание Штаудта,
так как он позволил производить построения
гармонических четверок проведением одних только прямых,
т. е. на основании только аксиом проективной
геометрии.
Этот способ основывается на замечательных
свойствах полного четырехвершинника.
Полным четырехвершинником называется плоская
фигура, образованная четырьмя точками (вершинами),
из которых никакие три не лежат на одной прямой,
и шестью прямыми (сторонами), определяемыми
каждой парой вершин. В полном четырехвершиннике две
стороны, не проходящие через одну вершину, называют
противоположными. Точки пересечения
противоположных сторон называют диагональными. Прямые,
соединяющие диагональные точки, называются
диагоналями. Так, на рис. 53 Р, Q, R, S — вершины полного
четырехвершинника, PQ и RS, QR и PS, PR и QS — три
171

пары его противоположных сторон, точки Л, В, О —
диагональные, прямые АО, OB, AB—диагонали.
Для установления «гармонических» свойств полного
четырехвершинника поступим следующим образом.
Рассмотрим точки Л, В, С, D. Спроектируем их из
центра Q на прямую PR. Получим точки Р, R, О, D
и, согласно свойству сложного отношения, (AB,CD) =
=(PR,OD). Спроектируем, далее, точки Ρ, Р, О, D
обратно на прямую AD, но уже из центра S. Получим точки
В, А, С, D, причем, по тому же свойству, (BA,CD)=(PR,
0D). Учитывая оба проектирования, имеем (BA,CD)=
=(AB,CD). Но на основании другого свойства сложного
отношения (см. упр. 5,а)) (BA,CD)=(AB,CD)~\
вследствие чего (AB,CD)2=\. Учитывая, наконец, разделяе-
мость пар точек Л, В и С, D, т. е. что (AB,CD)<:0,
приходим к равенству (AB,CD)= — 1.
Аналогично можно установить, что и (PP,OD)= —1,
и что на каждой стороне и на каждой диагонали
полного четырехвершинника после построения всех
сторон и всех диагоналей образуются гармонические
четверки точек.
Последовательность построений «четвертой
гармонической» точки D к трем заданным точкам А, В, С
указана на рис. 53 цифрами в скобках. Точки Q и Ρ на
этапах (1) и (5) выбираются произвольно. Свойство
единственности сложного отношения обеспечивает
независимость положения точки D от выбора точек
Ρ и Q.
В частном случае точка С может быть срединной
для евклидова отрезка Л В. Тогда (АВ,С)=Ь = \.
Поэтому «четвертой гармонической» точкой D к точкам
Л, Б, С в этом случае будет бесконечно удаленная
точка D , а сторона PR полного
четырехвершинника окажется параллельной диагонали Л В. Этот факт
используется, например, при решении следующей
задачи.
172

Задача. Даны середина отрезка АВ и точка R вне его. Провести
через эту точку прямую, параллельную А В (с помощью одной
только линейки).
Решение. Пусть С — середина отрезка АВ. Возьмем
произвольную точку Q на прямой BR, отличную от точек В и R, и, приняв
ее за одну из вершин полного четырехвершинника, строим
«четвертую гармоническую» к точкам А, В, С. Ею будет бесконечно
удаленная точка прямой АВ. Последовательность построений
указана на рис. 53.
ВОЗВРАЩЕНИЕ К ГЛАВНОЙ ТЕМЕ
Возвратимся опять к той проблеме, которую с
помощью гармонических четверок решил Штаудт. Пока
что мы должны признать, что хотя построение
«четвертой гармонической» точки с помощью полного
четырехвершинника и сводится к проведению только
прямых линий, т. е. не опирается как будто бы на
метрические понятия, но его обоснование было
произведено все-таки с использованием этих понятий. В
самом определении гармонических четверок точек неявно
присутствуют метрические понятия, так как они
присутствуют в определении сложного отношения. Однако
теперь мы можем избавиться и от этого последнего
порога.
Можно принять следующее определение: четверка
точек Л, В, С, D прямой / называется гармонической
или, что то же, точка D — «четвертой гармонической»
к тройке точек Л, В, С, если точка D определена
с помощью построений, аналогичных тем, что
выполнены на рис. 53. Правда, чтобы такое определение было
логически безупречным, следует убедиться в том, что
положение точки D не зависит от выбора точек Q и Ρ на
этапах (1) и (5), причем убедиться без использования
метрики (в таком случае ссылки на свойства функции
μ(χ) уже неприемлемы). Но такой зависимости
действительно нет, что можно доказать, несколько раз
ссылаясь на «плоскую» теорему Дезарга. Вот в этом,
173

кстати, причина того внимания, с которым «дело» о
теореме Дезарга изучал Давид Гильберт. Оказывается,
доказуемость или недоказуемость этой теоремы в
рамках проективной планиметрии важна не только сама по
себе, но и потому еще, что на ее основании
доказывается свойство единственности «четвертой
гармонической» точки к трем заданным, на котором, в свою
очередь, строится определение важнейшего понятия
проективной геометрии — понятия проективного
преобразования.
Вот как может быть доказана единственность
«четвертой гармонической» точки.
Пусть «четвертая гармоническая» точка D к тройке
точек Л, В, С построена с помощью двух полных че-
тырехвершинников PRQS и P'R'Q'S' (рис. 54). Тогда
две пары трехвершинников PRS и P'R'S', SQR и S'Q'R'
удовлетворяют условиям обратной теоремы Дезарга.
Поэтому существуют такие точки Μ и Ν, что М=РР'{}
ftSS'WR', a N=SS'[)QQ'{)RR'. Точки Μ и Ν, очевидно,
совпадают, так как обе лежат на прямых SS' и RR'.
Вследствие этого трехвершинники PSQ и P'S'Q'
удовлетворяют условиям прямой теоремы Дезарга.
Значит, точки A=SP()S'P', B^SQftS'Q', D=PQ{\P'Q'
лежат на одной прямой. А это и доказывает
утверждение.
Определение (Ш та уд та). Преобразование
проективной прямой 1\ в проективную прямую h называется
проективным, если каждой гармонической
четверке точек прямой 1\ соответствует гармоническая
четверка точек прямой h, и наоборот.
Очевидно, что проективное преобразование прямой
в прямую, по Штаудту, также определяется тремя
парами соответственных точек Л-к4', В-+В', С^-С.
Другие пары соответственных точек строятся так.
На прямой 1\ строится «четвертая гармоническая» точка
D к тройке точек А, В, С. Она преобразуется в «четвер-
174

тую гармоническую» точку D' к тройке точек А', В',
С прямой /г. Далее, строится «четвертая
гармоническая» точка Ε к точкам Л, С, D. Ее образ — «четвертая
гармоническая» точка Е' к точкам А', С, D' и т. д.
Так, на прямой 1\ определяется счетное множество
точек, а на прямрй /г — счетное множество их образов.
Но аксиома непрерывности Π Τ гарантирует наличие
образа X' у любой точки X прямой 1\, который, однако,
в общем случае определяется с помощью своеобразного
предельного перехода в последовательности образов
Л'пб/г точек Χη£1ι, сходящихся в смысле аксиомы
непрерывности к точке X. Сходимость последовательности
Хп к точке X обозначает то, что, начиная с некоторого
номера, все точки принадлежат одному и тому же
отрезку А В прямой /ι и разбивают этот отрезок на два
класса так, что выполняется аксиома Π Т. Тогда X —
общая точка этих классов. Аналогично определяется
предельный переход в последовательности Х'п.
Определение Штаудта применимо и в случае
конечных проективных плоскостей.
Это можно истолковать как факт освобождения
проективной геометрии от метрических аксиом.
Поскольку оба определения проективных преобразований
(Штейнера и Штаудта) на модели проективной
геометрии в расширенном пространстве эквивалентны, то
будем пользоваться первым из них, помня, что в целях
логической безупречности проективной геометрии его
следует заменить на определение типа определения
Штаудта, имеющего проективную «природу».
ИНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
То обстоятельство, что пучок прямых является
моделью проективной прямой на проективной плоскости,
позволяет ввести понятия проективных соответствий
176

между пучками или пучками и прямыми. На
расширенной плоскости они вводятся на основании понятия
сложного отношения четырех прямых.
Определение. Сложным (или двойным, или
ангармоническим) отношением (ab,cd) четырех
прямых а, Ъ, с, d пучка с центром S, из которых прямые
а, Ь названы базисными, а прямые c,d — разделяющими,
называется число, равное сложному отношению
(AB,CD) четырех точек, в которых прямые а, Ь, с, d
пересекает произвольная прямая s, не содержащая
центра пучка.
Поскольку (АВ,CD) не изменяется при
проектированиях, то сложное отношение (ab,cd) не зависит от
выбора прямой s.
Определение. Соответствие между двумя пучками
Li(a,b,c,...) и L^a\b\c\...) называется проективным
(обозначается L\(a,b,c,...)/\L£a\b',c',...) и это значит,
что пары прямых а и а\ b и Ь\ с и с' ... являются
соответственными), если оно сохраняет сложное
отношение любой четверки прямых.
Определение. Соответствие между прямой /(Л,В,С,...)
и пучком L(a,b,c,...) называется проективным
(обозначается l(A,ByC,...)/\L(a,b,c,...); соответственными
являются пары элементов А^а, Β^-b, С^с, ...), если
оно сохраняет сложное отношение любой четверки
соответственных элементов.
Исходя из определений, построение
соответственных элементов в двух пучках или в пучке и прямой
сводится к построению таких элементов в
проективном преобразовании прямой в прямую. Ясно, также,
что оба вида соответствий взаимно однозначные и что
задаются они с помощью трех пар соответственных
элементов.
Рассмотрим для примера способ построения
соответственных элементов для проективно
соответственных пучков. Пусть L\(a,b,c,...)j\L£a',b',c',...) (в частном
177

случае точки L\ и Li могут и совпадать). Проведем
две различные прямые 51 и 5г, не содержащие точек
L\ и /,2. Согласно определению проективного
соответствия между пучками, преобразование прямой s\ в
прямую 52, при котором Ax=s\{\a-+A2=S2{\a\ B\==s\{\b^*-
-►£2=s2f]b', .Ci=si[)c^C2^S2[)c\ ...,— проективное.
Поэтому образом а' произвольной прямой d будет такая
прямая, которая содержит образ U2 точки Di=5if1^
в проективном преобразовании s\(A\,B\ C\ ..ОЛзгС^гЯг,
С2,..)·
Для упрощения построений, при L\^L2, прямые 51
и 52 следует провести через точку пересечения двух
каких-либо из трех пар соответственных прямых,
определяющих соответствие, например а и а' (рис. 55).
Тогда преобразование 51 в 5г, поскольку точке А ι =51 f\a
соответствует эта же точка, будет перспективным.
Центр перспективы Ьо==В\В2Г\С\С2 этого
преобразования называется центром перспективы проективно
соответственных пучков.
На построении соответственных элементов
проективного соответствия между прямой и пучком особо
останавливаться не будем. Укажем только, что и в
этом случае вначале следует произвести сечение пучка
прямой, а после этого использовать установившееся
проективное преобразование прямой в прямую.
В частных случаях проективные соответствия
между пучками и прямой и пучком называются
перспективными. Соответствие L\{a,b,с,...)/\L2(a',b',с',...)
называется перспективным, если все соответственные прямые
а-+а'\b^*~b\c->c',... пересекаются в точках одной и той
же прямой /о — оси перспективы. Тогда вместо символа
1о
Л употребляется символ л Соответствие /(Л,В,С,...)Λ
/\L(a,b,c,...) называется перспективным, если всякая
точка ΧζΙ имеет своим образом прямую LX (вспомните
определение перспективного соответствия между связ-
178

кой прямых и плоскостью; см. с. 147). В этом случае
вместо символа Л употребляется символ 7\-
Несложно доказать (проведите доказательство
самостоятельно), что соответствие L\{a>b,c,...)/\L2{a'\b'\c',...)
перспективно тогда и только тогда, когда LxLi-^L^Lx.
Отсюда очевидное следствие: перспективное
соответствие между двумя пучками определяется двумя
парами соответственных прямых. Предлагаем, также,
доказать (это совершенно просто), что нетождественное
проективное соответствие между двумя пучками с
совпадающими центрами может иметь не более двух
инвариантных прямых (теорема Штаудта).
На проективной плоскости проективное
соответствие между пучками или прямой и пучком можно
определить с помощью гармонических четверок прямых
аналогично тому, как определяется проективное
преобразование прямой в прямую с помощью
гармонических четверок точек.
Определение. Четверка прямых а, Ь, с, d с центром
пучка S называется гармонической, если при
пересечении этих прямых произвольной прямой s, не
содержащей точки S, образуется гармоническая
четверка точек /4=af]s, B=b()s, C=c(}s, D^==d[\s.
Чтобы понять, как это следует сделать, читателю
достаточно вспомнить определение проективного
преобразования проективной прямой (см. с. 174).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
8. Проективное преобразование прямой 1\ в прямую /г задано
тремя парами соответственных точек А-+А', В-+В', С-+С.
Постройте образ и прообраз общей точки данных прямых.
9. Постройте образ и прообраз несобственной точки в
проективном преобразовании прямой / в себя, заданном тремя парами
соответственных точек А-+А' ,В-+В' ,С-+С.
10. Проективное соответствие между двумя пучками с
различными центрами задано тремя парами соответственных прямых а-+а\
179

b^~b', c-^cf. Постройте образ и прообраз общей прямой этих
пучков.
11. Проективное соответствие между двумя пучками с
совпадающими центрами задано тремя парами соответственных прямых.
Постройте образ и прообраз произвольно выбранной прямой,
инцидентной общему центру.
12. Проективное соответствие установлено между двумя
пучками с несобственными центрами. Постройте образ и прообраз
общей прямой этих пучков.
13. Проективное соответствие между прямой / и пучком с
центром L задано тремя парами соответственных элементов А-*~а,В-+Ь,
С-+с. Постройте образ и прообраз двух произвольно выбранных
элементов D и е соответственно.
14. Зная ход лучей в собирающей линзе, постройте изображение
произвольной точки А, принадлежащей главной оптической оси.
Пусть это будет точка А'. Пусть, далее, А * — точка, симметричная
А относительно оптического центра О линзы, а Ф — точка,
расположенная с той стороны от линзы, что и А * и удаленная от точки О
на удвоенное фокусное расстояние. Докажите, пользуясь формулой
линзы 1 =—, известной из курса физики, что (А'А *,0Ф)=— 1.
d d (
15. На евклидовой плоскости заданы две параллельные прямые.
С помощью одной только линейки разделите пополам отрезок АВ,
расположенный на одной из этих прямых.
16. Через точку, не лежащую ни на одной из двух
параллельных прямых, с помощью линейки провести третью прямую,
параллельную к ним.
17*. На одной из двух параллельных прямых взят
произвольный отрезок. Как с помощью одной линейки:
а) увеличить его в η раз;
б) разделить на k равных частей?
18*. Построения одной линейкой при условии, что в плоскости
построений начерчена всеми своими точками некоторая
окружность и указан ее центр, называются построениями Штейнера (он
разработал теоретические основания этих построений). Соблюдая
условия построений Штейнера:
а) через данную точку провести прямую, параллельную
произвольно заданной прямой;
б) разделить заданный отрезок в рациональном отношении
р'-я;
в) через заданную точку провести прямую, перпендикулярную
к заданной прямой.
19. Докажите на основании свойств полного четырехвершин-
ника, что точка пересечения боковых сторон трапеции лежит на
180

прямой, которая соединяет средины ее оснований, и что на этой
же прямой лежит точка пересечения диагоналей трапеции.
20. Докажите, что прямые, содержащие средние линии
параллелограмма и его диагонали, образуют гармоническую четверку
прямых.
НАЧАЛО ЕЩЕ ОДНОГО ВОСХОЖДЕНИЯ
Теперь уже все готово, чтобы подняться еще на
одну ступеньку в изучении проективной геометрии.
Если в рассматриваемой уже несколько раз цепочке
проектирований (см. рис. 34) вместо прямой / взять
плоскость π, то в силу того, что каждое проектирование
будет взаимно однозначным преобразованием
расширенной плоскости в другую расширенную плоскость,
в результате осуществления (произведения) всех этих
проектирований получим преобразование плоскости π
в плоскость π„. Будем считать (в этом случае
отпадает необходимость в пространственных построениях),
что π„=π. Тогда упомянутая цепочка проектирований
определит преобразование плоскости π в себя,
обладающее следующими основными свойствами:
1) образом (и прообразом) прямой является прямая;
2) сохраняется инцидентность точек и прямых;
3) сохраняется сложное отношение любой четверки
точек одной прямой.
Определение. Такое преобразование расширенной
плоскости, которое обладает свойствами 1) — 3),
называется проективным.
Можно доказать, что всякое проективное
преобразование плоскости в себя можно реализовать с помощью
некоторой цепочки проектирований плоскостей на
плоскости (останавливаться на этом не будем), что
и оправдывает название проективных преобразований.
Очевидно, что обратное преобразование f~l к
проективному преобразованию f плоскости в себя также
проективное.
181

Теорема. Проективное преобразование расширенной
плоскости полностью и однозначно определяется
четырьмя парами соответствующих точек Α^Α',Β^-Β',
C->-C',D-^D', при условии, что никакие три точки из
четверок точек Л, В, С, D и А\ В\ С, D' не лежат на
одной прямой.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Докажите также следующую теорему Штаудта: если
проективное преобразование расширенной плоскости
имеет четыре инвариантные точки, никакие три из
которых не принадлежат одной прямой, то такое
преобразование тождественно.
Последняя теорема названа именем Штаудта за его
заслуги в освобождении проективной геометрии от
метрических понятий. Принятое нами определение
проективного преобразования расширенной плоскости
(определение Штейнера) эквивалентно определению
Штаудта. Последнее же не опирается на метрические
понятия, поэтому имеет силу в любой интерпретации
проективной геометрии, в частности, и в расширенном
пространстве.
ГОМОЛОГИИ
По теореме Штаудта, нетождественное проективное
преобразование плоскости может иметь не более
трех инвариантных точек, не принадлежащих одной
прямой. Последнее условие («не принадлежит одной
прямой») существенно. Оказывается, что существуют
нетождественные проективные преобразования,
которые имеют целую прямую инвариантных точек. Такие
преобразования называются гомологиями. Прямая
инвариантных точек называется осью гомологии.
Простейший способ получения гомологии — с
помощью всего лишь двух проектирований: плоскости π
на π{ из некоторого центра S\ и плоскости πι обратно
182

на π из другого центра S2. Если Si и S2— различны,
получим нетождественную гомологию. При Si==S2
гомология будет тождественным преобразованием.
Важнейшее свойство гомологии заключается в том,
что, кроме прямой инвариантных точек, существует
еще одна инвариантная точка, которая в общем случае
не принадлежит оси гомологии. Эта точка называется
центром гомологии.
Действительно, возьмем три различные точки
Л, В, С. Пусть в гомологии с осью s образами этих
точек будут соответственно точки А', В', С (рис. 56).
Поскольку всякое проективное преобразование, в том
числе, конечно, и гомология, сохраняет инцидентность
точек и прямых, то образом прямой А В будет прямая
А'В', а. образом точки Bo = ACf\s, поскольку она
принадлежит оси гомологии,— эта же точка. Значит,
точка Во принадлежит и прямой А'С Аналогичные
рассуждения приводят к выводу, что и точки Со = АВ()
{\А'В', Ао = ВС[)В'С принадлежат прямой s. Таким
образом, трехвершинники ABC и А'В'С удовлетворяют
обратной «плоской» теореме Дезарга, а значит,
прямые АА\ В В', С С пересекаются в одной точке S.
Обратим внимание на прямую АА'. Образ ее точки
А есть точка А'. Образ точки Ko^AA'f\s есть эта
же точка Ко. Следовательно, образом прямой А Ко
является прямая А 'Ко. Другими словами, прямая
А А' — инвариантна. Точно так же устанавливается,
что и прямые ВВ' и СС инвариантны (заметьте,
прямые инвариантны, т. е. отображаются сами в себя,
но это не значит, что все точки этих прямых
инвариантны, как это имеет место для оси гомологии).
Получается, вследствие этого, что образ точки S = /4/4'f]
{\ВВ'{\СС должен принадлежать и прямой АА', и
прямой ВВ', и прямой СС Это возможно только
тогда, когда эта точка инвариантна. Утверждение
доказано.
183

Аналогичным образом, опираясь уже на прямую
«плоскую» теорему Дезарга, можно доказать, что если
проективное преобразование плоскости имеет пучок
инвариантных прямых, то оно имеет и прямую
инвариантных точек. Вот почему перспективные трехвер-
шинники называются еще гомологическими.
В общем случае проективное преобразование
плоскости определяется четырьмя парами
соответственных точек. Это же относится и к гомологии. Но для
получения данного частного случая, пары точек,
определяющих преобразование, должны быть выбраны
специальным образом. Прямые, которые их соединяют,
должны пересекаться в одной точке. Вследствие этого
для задания гомологии достаточно задать всего лишь
три пары соответственных точек Л-►Л', В^*-В\ С^С,
расположенных так, чтобы три прямые АА\ В В', С С
пересекались в одной точке S (тогда пара точек S^-S
будет четвертой, определяющей вместе с заданными
тремя парами проективное преобразование плоскости).
Осью этой гомологии является ось перспективы
перспективных трехвершинников ЛВС и А'В'С, поскольку
точки Ao = BC{\BfC\ Bq==AC[\A'C\ Cq=AB{\A'B'
инвариантны в проективном преобразовании плоскости
и, в частности, в сужении этого преобразования
на прямую s=y4o/?o· Тогда, по теореме Штаудта, все
точки прямой 5 инвариантны, т. е. это ось гомологии.
Центром гомологии является центр перспективы S
трехвершинников ABC и А'В'С (см. рис. 56).
Из всего этого имеем следующий способ
построения образа произвольной точки X в данной
гомологии. Образ X' точки X, поскольку последняя
принадлежит инвариантной прямой SX, должен
принадлежать этой прямой. Образ той же точки X, поскольку
она принадлежит прямой АХ, должен принадлежать
образу этой последней — А'Хо, где Xo^=AXf}s. Поэтому
X' = SX()A'Xo-
184

Построение прообраза X точки X' производится
в обратной последовательности: Хо=А'Х''f]s, Α'ξξ
^SX'ftAXo.
Вместо трех пар соответственных точек гомологию
можно задавать центром S, осью 5 и одной парой
соответственных точек А^-А'. Единственное условие,
которому должны удовлетворять эти элементы,
заключается в том, что центр S гомологии должен
принадлежать прямой АА\ Способ построения
соответствующих точек Х-+Х' при таком способе задания
гомологии нами фактически уже описан: Xo=AX[)s;
X' = SX(]A'X0 (см. рис. 56).
Центр гомологии может принадлежать ее оси.
В этом случае гомология называется особой. Способ
построения соответственных точек в особой
гомологии ничем не отличается от рассмотренного.
Обратным преобразованием к гомологии с центром
S, осью 5 и парой соответственных точек А^-А'
является гомология с теми же центром и осью, но с парой
соответственных точек Л'-^Л (докажите это).
Гомология, как частный случай общего
проективного преобразования плоскости, имеет свои частные
случаи. Примеры таких преобразований изучаются
в школе. В школьной геометрии рассматривается
евклидова плоскость, на которой несобственные
элементы отсутствуют. Поэтому для того чтобы в
качестве частных случаев гомологии получить
преобразования евклидовой плоскости в себя, следует либо
несобственную прямую принять в качестве оси
гомологии, либо задать гомологию так, чтобы
несобственная прямая была одним из элементов инвариантного
пучка прямых. Рассмотрим эти возможности.
1. Пусть ось s гомологии — несобственная прямая,
а центр S — собственная точка (неособая гомология).
Пусть А^А' — какая-либо пара соответственных точек
(рис. 57). Ни одна из этих точек не должна совпадать
185

ни с центром гомологии, ни с какой-либо точкой на
оси гомологии. В противном случае, при А Ф А',
преобразование не было бы взаимно однозначным.
Возьмем две различные точки В и С некоторой
прямой b инвариантного пучка прямых. Тогда для
образа В' точки В имеем B/^SB[]A/Booo, где В0оо —
точка пересечения прямой АВ с s. Для построения
образа А'Вож прямой А В следует через точку А'
провести прямую, параллельную прямой АВ. Аналогично
строится образ точки С. По известной из школьного
курса математики теореме Фалеса из SA'=qSA следует
SB' = qSB, SC' = qSC. Таким образом, для любой пары
соответственных точек Х^-Х' прямой b имеем
SX' = qSX. Но прямая b произвольная. Поэтому это
справедливо и для всякой пары соответственных
точек. Гомология в этом случае является гомотетией с
коэффициентом к, для которого \k\-q. Знак к зависит
от взаимного расположения точек S, Л, и Л" на
евклидовой прямой А А''. Если точка S лежит внутри
евклидова отрезка АА', то £<С0, если вне его — то k>0.
2. Если гомология с несобственной осью особая,
т. е. если ее центр является несобственной точкой,
то параллельными будут не только прямые А В и
А'В', АС и Л'С, ..., но и АА' и ВВ', АА' и СС, ... .
Гомология в этом случае будет параллельным переносом
на вектор А А' (сделайте чертеж самостоятельно).
3. Пусть теперь 5 — собственная прямая, a Sx —
несобственная точка (неособая гомология), А-+А' —
пара соответственных точек. Тогда для любой пары
соответственных точек В-+В' будем иметь ВВ'\\АА'
(рис. 58). Такое преобразование евклидовой плоскости
в себя называется родственным или родством,
прямая 5 — осью родства, а направление прямой А А' —
направлением родства. При y4y4'JLs и ААо=АоА', где
Ао = АА' Π 5, родство является осевой симметрией.
186

Рис. 59
Рис. 60
Рис. 61

ДРЕВНИМ ВОПРЕКИ
Способ нелегкий сеченья цилиндров
постичь не старайся... И не тщись конус
трояко рассечь.
ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ. Надпись на
мраморной колонне в Александрии
Преобразование гомологии удобно использовать
при решении задач на построение плоских сечений
различных пространственных фигур — призм,
пирамид, цилиндров и конусов. Рассмотрим для примера
задачу на построение сечения конуса плоскостью,
заданной тремя точками Р, Q, R на его боковой
поверхности. Задача эта будет, очевидно, решена, если будет
указан способ построения сечения плоскостью PQR
конической поверхности, образуемой прямыми,
которые содержат образующие конуса (вершина конуса
называется вершиной конической поверхности). Будем
считать, что никакие две из трех точек Р, Q, R не
принадлежат одной образующей конуса. В противном
случае решение задачи элементарно — сечением будет
треугольник или же секущая плоскость будет
касаться конуса.
Предположим, что между расширенными
плоскостями основания π конуса и сечения α установлено
соответствие f посредством центрального
проектирования из вершины конуса S'. Тогда f(&i)==&', где k\ —
окружность основания конуса, a kf — кривая сечения
конической поверхности плоскостью а. Соответствие
\ обладает, очевидно, следующими свойствами: 1) оно
взаимно однозначно; 2) сохраняет принадлежность
точек и прямых; 3) сохраняет сложное отношение
любой четверки точек одной прямой; 4) все точки
прямой s' = π Π π — инвариантны. Все эти свойства
сохранятся и после параллельного проектирования
плоскостей α и π на плоскость чертежа. Образы фигур
188

при последнем проектировании будем называть
изображениями этих фигур. Пусть изображениями
кривых к\ и к' являются соответственно кривые к\ и к.
Пусть, также, две тройки точек Я, Q, R и Pi, Qi, Ri
являются изображениями каких-либо трех точек
искомого сечения и проекций упомянутых точек на
плоскость π из точки S' соответственно и, наконец, S, s —
соответственно изображения точки S' и прямой s'
(рис. 59). Тогда в расширенной плоскости чертежа
у установится проективное преобразование h : γ->-γ,
в котором изображениям точек плоскости π
соответствуют изображения проекций точек плоскости π
на плоскость α из точки S'. Преобразование h имеет
прямую инвариантных точек s, содержащую точки
L = PQ{\PxQu M = P#flPi#i, N==QR[)QiRi,
поскольку точки этой прямой являются изображениями точек
прямой s', инвариантной в преобразовании f.
Следовательно, h — это гомология с осью 5. Поскольку
h(P{) = P, /i(Qj)^Q, h(Ri)==R, то центром этой
гомологии служит точка S и, кроме того, /ι(£ι) = £. Итак,
изображение к сечения к' плоскости α с конической
поверхностью является образом кривой к \ в гомологии
h. Для построения кривой к следует построить
достаточное количество ее точек. На рис. 58 построены
две такие точки Ε и G.
В общем случае только часть кривой к является
сечением конуса, так как секущая плоскость может
пересекать коническую поверхность и по разные
стороны от вершины (см. рис. 35). Кроме того, она может
пересекать и основание конуса (рис. 60). Тогда та
часть кривой к, которая находится вне конуса (не
конической поверхности), должна быть заменена
отрезком оси гомологии 5 с концами в точках /,/e = sf]&i·
Подобным же образом можно доказать, что
изображения сечений цилиндрических, пирамидальных
и призматических поверхностей также являются об-
189

разами изображений их оснований в соответствующих
гомологиях. Призматической (пирамидальной)
называется поверхность, образованная совокупностью
прямых, проходящих через все точки многоугольника
основания призмы (пирамиды) параллельно боковым
ребрам (через вершину) призмы (пирамиды). Для
цилиндрической и призматической поверхностей
центром гомологии, точнее родства, является
несобственная точка пересечения изображений образующих. Для
пирамидальной поверхности центром гомологии
является изображение вершины этой поверхности, т. е.
точка пересечения изображений образующих. Ось
гомологии и пара соответственных точек определяются,
исходя из конкретных условий задачи. Так, в
рассмотренной нами задаче на построение сечения
параллелепипеда (см. рис. 41) осью гомологии является
прямая KR, а парой соответственных точек, например,
C^Q. Может случиться, что при осуществлении
построений возникнет необходимость в проведении
прямой через недоступную точку пересечения двух
прямых (могло оказаться, например, что точка К
на рис. 41 располагается за пределами чертежа).
Способ решения этой задачи, основанный на «плоской»
теореме Дезарга, был нами рассмотрен (с. 131).
Наконец, сама ось гомологии может проходить за
пределами чертежа. А в построениях используются точки
пересечения с ней различных прямых. Однако без
всех этих сложных построений, связанных с
проведением прямых через недоступные точки, можно
и обойтись. Для построения точек искомой фигуры
можно воспользоваться тем, что гомология сохраняет
принадлежность точек и прямых. Поэтому, построив
образ какой-либо прямой, проходящей через
определенную точку основания, в пересечении этого образа
с соответствующей прямой инвариантного пучка
получим искомую точку сечения.
190

Сказанное проиллюстрируем на примере. Пусть
точки Р, Q, R, определяющие секущую плоскость,
находятся в боковых гранях пирамиды SAiBiCiDi
(рис. 61). Построим сечение. Обозначим Ρι==/ι-1(Ρ),
Qi = /i_1(Q), Ri^h~\R), где h — гомология,
переводящая изображение основания пирамидальной
поверхности, содержащей боковую поверхность пирамиды
SA\B\C\D\, в изображение сечения этой поверхности.
Пусть Nx = RxP{{\BxQx. Тогда N = h(Nx) = SN\[\RP,
a h(BiQi) = QN. Точка B = h(Bi) = QN{}SBi
принадлежит ребру пирамиды. Следовательно, это одна из
вершин искомого многоугольника сечения.
Дальнейшие построения очевидны, как очевидно и то, что
Эратосфен из Кирены, слова которого мы привели в
эпиграфе, не был знаком с проективной геометрией,
в противном случае он не был бы столь пессимистичен.
Находить сечения цилиндров и рассекать конус не
столь уж сложно, как думал древний мудрец.
ГОМОЛОГИЯ В НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Проективные преобразования находят широкое
применение в начертательной геометрии, поскольку
основные методы построения и реконструкции —
метод Монжа, аксонометрия и перспективные
проекции (вспомните соответствующий материал первой
главы) — основаны на проектированиях и их свойствах.
Здесь мы имеем пример плодотворного и взаимообо-
гащающего содружества двух наук: одной постарше,
ориентированной на решение практических задач —
начертательной геометрии, другой — ее своенравной
дочери, науки чисто теоретической — проективной
геометрии. Не имея возможности останавливаться на
этих вопросах подробно, приведем всего лишь один
пример решения задачи по начертательной геометрии
191

с привлечением методов геометрии проективной.
Желающим обстоятельно познакомиться с
начертательной геометрией рекомендуем книгу Н. Л. Русске-
вича «Начертательная геометрия». (К.: Вища шкм
Головное изд-во, 1978).
Пусть на чертеже Монжа заданы прямая / и
плоскость а. Пусть прямая / задана горизонтальной 1\
и вертикальной h проекциями, т. е. проекциями на
горизонтальную πι и вертикальную яг плоскости
проекций (записывается это 1(11,/2)). Пусть плоскость
α задана с помощью пересекающихся прямых т (т^шч)
и /ι(/ΐι,/ι2). Проекции А\==т\{\п\, Ач^тч[\пч общей
точки этих прямых, как и всякой иной точки пространства,
должны принадлежать одной линии связи А\Ачч
перпендикулярной к оси проекций Ох (рис. 62); в
противном случае прямые /η, η будут скрещиваться, т. е. не
будут определять одну плоскость. Ставится задача:
построить проекции L ι, L2 точки L = / f| α.
Решение задачи основано на том, что
горизонтальная и вертикальная проекции любой точки
плоскости α являются соответственными в одном и том
же родственном преобразовании φ плоскости чертежа
в себя. Действительно, соответствие между этими
проекциями проективное и, кроме того, имеется
инвариантный пучок прямых с несобственным центром —
линий связи. Следовательно, φ — гомология с
несобственным центром гомологии, т. е. родство. Осью
родства φ является прямая ΜΝ, где М^т\{\т%
N^ni(]ri2, а парой соответственных точек — А1-+А2.
Искомая точка L принадлежит как прямой I, так
и плоскости а. Поэтому ее проекции Li, L2 должны
быть соответственными в родстве φ и в то же время
принадлежать соответственно прямым 1\ и h. Таким
образом, решение поставленной задачи заключается
в построении такой пары соответственных точек
L\-+L2 в преобразовании φ, для которых Li£/i, £26/2.
192

Рис. 62
Рис. 65

Построим образы в родстве φ точек βι==/ιΓ|/ΐι
и Ci = l\(]m\. Пусть это будут точки β 2 и Съ Тогда
φ (/,)== £2С2. Поэтому прямая ВчСч является
вертикальной проекцией той прямой плоскости а, для которой
горизонтальной проекцией является 1\. Точка /,2 =
= /гП/?2С2 является, таким образом, вертикальной
проекцией как некоторой точки прямой /, поскольку
^2 6 h, так и некоторой точки плоскости а, поскольку
/-гб^гСг. Это и есть вертикальная проекция искомой
точки L. Горизонтальная проекция L\ принадлежит
прямой 1\ и линии связи L1L2, перпендикулярной к оси
проекций Ох. Задача полностью решена.
Завершая рассказ о проективных преобразованиях
прямой и плоскости, остановимся еще на одном очень
важном практическом применении проективной
геометрии — в фотограмметрии, которая занимается
способами измерений по фотографическим снимкам.
Возможность приложения проективной геометрии к этой
науке основана на том, что всякая фотография есть
не что иное, как перспективное изображение. Мы
рассмотрим одну из задач фотограмметрии.
Если допустить, что плоскость фотопленки во время
съемки была параллельной условной горизонтальной
плоскости Ло, то полученная фотография Φι будет
планом местности. Однако добиться этого в силу
различных причин очень трудно. Поэтому следует
уметь строить план по снимку Фг со случайного
положения фотокамеры.
Если план Φι и снимок Фг совместить с плоскостью
чертежа π, то в последней установится проективное
соответствие h (докажите), по которому изображению
Фг соответствует план Φι. Это-то и позволяет
построить план по любой имеющейся фотографии. Для
этогЪ в выбранном масштабе наносят на карту Φι
положения четырех различных характерных объектов
местности по результатам непосредственных измере-
194

ний. Затем отмечают их прообразы по
фотографическому изображению <t>2. Преобразование h, таким
образом, будет задано. Тогда Φι=/ι(φ2). Способ
построения соответствующих точек в проективном
преобразовании плоскости нам уже известен.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
21. Проективное преобразование плоскости задано тремя
инвариантными точками А, В, С и парой соответственных точек
D-+D'. Построить образ заданной точки X в данном
проективном преобразовании.
22. Проективное преобразование плоскости задано двумя
инвариантными точками А, В и двумя парами соответственных
точек А\-+А\, В\-+В\. Построить образ и прообраз заданной
прямой χ в данном проективном преобразовании.
23. Построить образ и прообраз несобственной прямой в
проективном преобразовании плоскости, заданном четырьмя парами
соответственных точек А-+А', В-+В', С-+С, D-+D'.
24. Гомология f задана центром S, осью s и парой
соответственных точек А-^А'^. Построить f(B), f(f(B)), f~\B), ί~\Γι(Β)),
где В — произвольная точка плоскости, f_I — обратное к f
преобразование.
25. Гомология задана центром 5, осью s и парой
соответственных точек А-+А'. Построить образ точки В£АА'.
26. Гомология задана центром 5, осью s и парой
соответственных точек А-+А'. На данной прямой / найти такую точку
L, образ которой лежит на данной прямой т.
27. Неособая гомология называется инволют и вной, если для
любой пары соответственных точек А-+А' пара точек А'-*~А
также соответственна. Говорят тогда, что точки А и А' находятся
в инволюции. Доказать:
а) если в гомологии одна пара соответственных точек
находится в инволюции, то и всякая другая такая пара точек
находится в инволюции;
б) для любой пары соответственных точек А-*-А'
выполняется равенство (5Л0, ЛЛ')=— 1, где 5 — центр гомологии,
Л о — точка пересечения прямой А А' с осью гомологии.
28. Построить плоское сечение цилиндра, проходящее через
три различные точки на его боковой поверхности.
195

НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА СТАРЫЕ ПРЕДМЕТЫ
Помилуй, Санчо,— возразила
герцогиня,— с одного боку невозможно
разглядеть весь предмет, на который ты
смотришь.
СЕРВАНТЕС. Дон Кихот
Так же, как евклидова геометрия изучает не только
фигуры, составленные из прямых и их частей, но
и различные криволинейные фигуры, точно так же
криволинейные фигуры изучаются и в проективной
геометрии. Кривые линии и поверхности в
евклидовой геометрии определяются как геометрические
места точек, подчиняющихся определенным условиям,
задаваемым, в частности, уравнениями от двух или
трех переменных, которые (переменные) являются
координатами произвольной точки фигуры. А
условия, накладываемые на точки криволинейных фигур,
определяются различными метрическими
соотношениями и зависимостями. Вспомните, например,
определение окружности, поверхности вращения,
гиперболы (как графика функции у—— ), параболы
(как графика функции у=ах2-\-Ьх+с) и др. Как же
определять криволинейные фигуры в проективной
геометрии, в которой вообще отсутствуют
метрические понятия? — К ответу на этот вопрос можно
подойти, отправляясь от анализа одного из способов
определения окружности.
Рассмотрим на расширенной плоскости окружность
W (рис. 63). Пусть Si и S£— две ее различные точки.
Через точки А', В', С, D', ..., принадлежащие k',
проведем пары прямых S\A' и SiA\ S\B' и S2B', S\C и
S2C, S'\D' и SW, ... . В таком случае соответствие
между пучком прямых с центром Si и пучком прямых
с центром S% в котором соответственными являются
196

пары прямых S\A'^SiA', S'lB'^SbB', S\C'-+S'2C,
SiD'-^SiD', ..., будет проективным (но, очевидно, не
перспективным). Действительно, оба пучка как
фигуры, состоящие из соответственных в указанном
преобразовании прямых, равны, поскольку, например,
/-A'S\B'= /-A'S^B' как опирающиеся на общую дугу
окружности к'. Особо обратим внимание на то, что
прямой Si К', касающейся окружности k', соответствует
общая прямая SiS'i пучков (поскольку /-K'S\A' =
= /-S'iS'2A'), а прямой S\Sr2 по сходной причине
соответствует касательная SiM'· Тогда сложное отношение
любой четверки прямых пучка с центром Si равно
сложному отношению четверки соответственных
прямых пучка с центром SS, что и доказывает
утверждение.
Наоборот, окружность можно определить как
геометрическое место точек пересечения соответственных
прямых двух равных, но не перспективных пучков
с различными центрами. Оба центра будут
принадлежать окружности, а образ и прообраз общей прямой
обоих пучков — касаться окружности в центрах
пучков.
Примем, далее, окружность к' за основание
кругового конуса с некоторой вершиной S и рассмотрим
коническую поверхность, содержащую образующие
этого конуса. Если эту поверхность пересечь какой-
либо плоскостью π, не содержащей вершины S, то
в сечении получится невырожденное коническое
сечение к — эллипс, гипербола или парабола, которое
можно считать центральной проекцией окружности
к' из точки S на плоскость π (см. рис. 35). Пусть
проекциями точек Si,S2 — центров двух равных
образующих окружность пучков — являются точки Si, S2
соответственно. В силу свойств центральных
проектирований имеем следующее свойство нераспадающихся
конических сечений: соответствие между прямыми
197

двух пучков с центрами Si, S2 на коническом
сечении, соответствующие прямые которых пересекаются
в точках кривой к (рис. 64), проективное. Это
соответствие не может быть перспективным, так как в
противном случае соответственные прямые пересекались
бы в точках двух прямых: оси перспективы /о и общей
прямой S1S2 обоих пучков (поскольку каждая точка
этой прямой также является точкой пересечения
двух соответственных прямых S\S<i^S<2.S\).
Справедливо и обратное утверждение, называемое
теоремой Штейнера: точки пересечения
соответственных прямых двух проективных, но не перспективных
пучков прямых на расширенной плоскости
принадлежат одному и тому же невырожденному
коническому сечению. Образ и прообраз общей прямой обоих
пучков касаются конического сечения в их центрах.
Если проективное соответствие перспективное, то, как
мы видели, образуемая кривая распадается на пару
прямых: На доказательстве теоремы Штейнера
останавливаться не будем.
Теорема Штейнера служит основанием для
определения важнейшего класса кривых в проективной
геометрии, называемых кривыми второго порядка.
Определение. Кривой второго порядка
в проективной плоскости называется геометрическое
место точек пересечения соответственных лучей двух
проективных пучков прямых. Если проективные пучки
не перспективны, то кривая второго порядка
называется овальной, или невырожденной, или,
наконец, нераспадающейся. Если пучки
перспективны — то вырожденной или, ввиду отмеченного
обстоятельства, распавшейся на пару η ρ я -
М Ы X.
Название «овальная кривая» оправдывается тем,
что произвольная прямая пересекается с такой
кривой не более чем в двух точках (с вырожденной кри-
198

вой прямая может иметь и бесконечное множество
общих точек, если совпадает с одной из ее
компонент), что является характерным свойством овала
в евклидовой геометрии. В самом деле, пусть
овальная кривая к определяется двумя проективными, но
не перспективными пучками: Si(Siy4, S\B, Si С, ...) Л
AS^S2Ay S2B, S2C, ...)· Пересекая эти пучки прямой
/, получим проективное, но не тождественное
преобразование этой прямой в себя: / (Л i, B\, Ci, ···) Λ
Λ/(Λ2, Я2, С2, ...), где Ai — l(]SiA9 Bx = l{\SxB, Ci —
= l(]SiCt ...; A2^l(]S2Ay B2^l()S2B, C2^l{\S2C
Точки пересечения / с к будут инвариантными в этом
преобразовании. Но таких по теореме Штаудта может
быть не более двух (чертеж выполните
самостоятельно).
Общее название «кривые второго порядка» связано
с тем, что в проективных координатах их уравнения
могут быть приведены к виду aix2-\-a2y2 + azz2=0,
т. е. к уравнению второго порядка относительно
переменных х, у, ζ; αϊ, α2, аз— числовые параметры.
Конические сечения называются кривыми второго
порядка в расширенной плоскости. Естественно, что
деление невырожденных кривых второго порядка на
эллипсы, гиперболы и параболы правомочно только
в расширенной плоскости. Здесь эллипс не имеет
несобственных точек, парабола имеет одну, а
гипербола две такие точки (см. виды конических сечений,
с. 120). В проективной же плоскости, где все точки
равноправны, все эти кривые принадлежат к одному
классу (докажите, что они замкнуты).
ДАЛЬНЕЙШИЕ ОБОБЩЕНИЯ
Конечно же, кривые второго порядка не
единственный класс кривых, изучаемых в проективной
199

геометрии. Другие виды кривых могут быть
определены путем различных обобщений определения
кривых второго порядка. Рассмотрим один из путей.
Из способа построения соответственных прямых в
проективном соответствии между пучками следует, что
образование кривой второго порядка можно
представить так. Пусть имеем две различные точки Si и S2,
принятые в качестве центров пучков, две различные
прямые s\ и 52, а также третью точку Р, не совпадающую
ни с Si, ни с S2. Считаем, также, что Si, S2, P£siUs2.
Будем проводить через точку Ρ всевозможные прямые.
Пусть они пересекают прямые 51 и 52 в точках Pi, ...
и Ρ2, ... соответственно. Таким образом, установятся
два перспективных соответствия
5_i_ Sg
Si(SiPif...)A/>(WV.·). P(PPi,...)AS2(S2P2,..)
(si и 52 — оси перспектив). А их композиция даст
проективное соответствие Si(SiPi,...)A«S2(S2P2,·..)·
Поэтому точки X = SiPi f]S2P2, ... принадлежат некоторой
кривой второго порядка (рис 65).
Представим теперь, что в этих построениях вместо
пучка прямых с центром Ρ взят пучок кривых
второго порядка — совокупность всех кривых,
проходящих через четыре фиксированные точки, а все
остальное оставлено без изменения. (Вообще кривая второго
порядка определяется пятью точками; так что через
четыре точки проходит целое семейство кривых —
пучок.) Произвольная кривая к пучка пересекает
прямые s\ и 52 соответственно в общем случае в двух
парах точек Pi, P\ и Рг, Ръ Точки ΛΊ, Υ\ пересечения
прямой SiPi с прямыми S2P2 и S2P2, а также точки
^2,^2 пересечения прямой SiP{ с теми же прямыми
(рис. 66) образуют некоторую кривую уже третьего
или четвертого порядка (с произвольной прямой
она имеет не более четырех общих точек, а в проек-
200

тивных координатах выражается
уравнением третьего или
четвертого порядка). Если вместо пучка
кривых второго порядка взять
пучок кривых четвертого
порядка, то таким же образом могут
быть определены кривые до
восьмого порядка и т. д. В этом
направлении исследований работал
замечательный русский геометр
Константин Алексеевич
Андреев (1848—1921), КОТОРЫЙ Обобщил К. А. Андреев
определение проективного
соответствия между пучками таким образом, что прямой
одного пучка соответствует не одна, а в общем случае
несколько прямых во втором пучке, и наоборот,
каждая прямая второго пучка имеет несколько прообразов.
Такие соответствия были названы многозначными.
За достижения в изучении многозначных соответствий
и кривых, ими определяемых, К. А. Андреев был
избран членом-корреспондентом Петербургской АН
(1884).
Не вникая в подробности, отметим, что существуют
разнообразнейшие другие способы определения
кривых высших порядков, отличные от предложенного
К. А. Андреевым и рассмотренного здесь нами в общих
чертах.
ЕСЛИ ВАМ 16 ЛЕТ
То обстоятельство, что всякое коническое сечение
является проекцией некоторой окружности и, кроме
того, моделью кривой второго порядка на
проективной плоскости, позволяет просто установить одно из
главных свойств таких кривых, известное под
названием теоремы Паскаля.
201

d^^^^h Впервые приводимый ниже
^г ^^ способ отыскания проективных
й \ свойств кривых наметил Дезарг
щ~ :^f \ в своем «Черновом наброске».
I »*^ 1 Впоследствии этот способ при-
I „/ I меняли Паскаль, Понселе и дру-
1 I гие геометры. Именно так и была
V- § открыта знаменитая теорема
\ й Паскаля, которую сам автор на-
^к ^р зывал теоремой о мистическом
шестивершиннике.
Б. Паскаль Постройте вписанный в
окружность шестивершинник
ABCDEF и продлите пары сторон А В и DE, ВС
и EF, CD и FA до пересечения в точках L, Μ, Ν
соответственно. Если вы проделаете эти построения
достаточно точно, то увидите, что точки L, Μ, Ν лежат
на одной прямой (рис. 67). Эту тройку точек
называют паскалевой тройкой, содержащую их прямую —
паскалевой прямой, утверждение о .принадлежности
паскалевых точек паскалевой прямой — теоремой
Паскаля для окружности.
Кстати, если вам шестнадцать лет и вы
внимательно прочитали предыдущие страницы, вы находитесь
на равных с замечательным французским
математиком и философом Блезом Паскалем (1623—1662),
сделавшим свое открытие как раз в этом возрасте. Не
хотите ли посмотреть, сколько времени вам
потребуется, чтобы самостоятельно найти доказательство
теоремы Паскаля?
Докажем эту теорему. Рассмотрим две фигуры,
состоящие из четырех прямых каждая: FE, FD, FCy
FA и BE, BD, ВС, ΒΑ. Они равны, так как равны
углы между соответствующими прямыми, например
/_EFD=/_EBD. Поэтому (RD, CN) = {ED, HL), где
R==FE[)CD, H = BC(]DE. Обозначим точку пересе-
202

чения прямых MN и ЕН через Z/. Тогда (ED, HL') =
=(RD, С Ν), так как
Μ
(Ε, D, Я, Ζ/)Ά(#, #, С, ЛО.
Следовательно, (£D, HL)=(ED, HL'), откуда Ζ/
совпадает с L.
Читатель легко обоснует следующую форму
теоремы Паскаля для кривых второго порядка: если в
невырожденную кривую второго порядка вписать шести-
вершинник (фигуру, состоящую из шести вершин Л, В,
С, D, Е, F и шести прямых АВ, ВС, CD, DE, EF, FA —
сторон), то три точки пересечения его
противоположных сторон (а таковыми по аналогии с выпуклым
шестивершинником ABCDEF называют пары сторон
АВ и DE, ВС и EF, CD и FA) лежат на одной прямой.
Справедлива и обратная теорема Паскаля
(сформулируйте ее).
Теорема Паскаля имеет место и для шестивершин-
ника, вписанного в вырожденную кривую второго
порядка, т. е. когда его вершины каким-либо образом
располагаются на двух прямых. Легко убедиться в том,
что доказательства требует только тот случай, когда
ни одна из противоположных сторон шестивершинника,
образующих паскалеву тройку, не принадлежит
какой-либо из заданных прямых. В противном случае
по крайней мере две из трех паскалевых точек
совпадают, и теорема очевидна. Существенным случаем
теоремы Паскаля для вырожденной кривой второго
порядка является теорема Паппа (см. [10, с. 167]),
вследствие чего ее называют иногда теоремой Паппа —
Паскаля.
На основании обратной теоремы Паскаля очень
просто решается задача о построении точек кривой
к второго порядка по пяти заданным ее точкам Л,
В, С, D, Е. Проведем через точку А произвольную
204

прямую α. Кроме точки А эта прямая имеет с кривой
к еще одну общую точку (которая может совпадать
с Л в единственном случае — если а есть
касательная). Пусть это точка F (она еще не определена). Даже
при неопределенном положении точки F
определенными являются две паскалевы точки для шестивер-
шинника ABCDEF : L = AB{]DE и N=CD{\a, а значит
и паскалева прямая LN (рис. 68). В таком случае
M = BCf\LN— третья паскалева точка, а ЕМ —
недостающая шестая сторона шестивершинника.
Следовательно, F^EM[\a. Изменяя положение прямой а,
получим сколько угодно точек кривой. Все построения
осуществляются проведением одних только прямых.
Установив теорему о вписанном в кривую шести-
вершиннике, Паскаль извлек из нее множество
следствий, что и дало ему основание назвать этот шести-
вершинник мистическим. Приведем основные из этих
следствий.
1. Представим себе, что в шестивершиннике
ABCDEF совпали две соседние вершины, например
Ε и F. Тогда прямой EF следует считать касательную
к кривой к в точке Е. Теореме Паскаля тогда можно
придать следующую формулировку: если в кривую
второго порядка к вписать пятивершинник ABCDE,
то две точки пересечения двух пар несмежных сторон
(L^ABf\DE, N^=CD{\AE) лежат на одной прямой
с точкой пересечения (Λί) пятой стороны (ВС) с
касательной к кривой, проведенной в противоположной
вершине (Е) (рис. 69).
Теорема Паскаля для пятивершинника также
имеет важное приложение к построениям — к решению
задачи о построении касательной к кривой второго
порядка в принадлежащей ей точке. Решение
заключается в проведении одних только прямых, так что
к любому коническому сечению и, в частности, к
окружности касательная может быть построена с по-
205

мощью одной линейки (вспомните, как строится
касательная к окружности, проходящая через
принадлежащую ей точку, посредством циркуля и линейки).
Решение состоит в следующем. Возьмем на кривой
к кроме заданной точки Ε еще четыре какие-либо
различные точки Л, В, С, D. Считая, далее, что с
точкой Ε совпадает шестая вершина F шестивершинника,
вписанного в k, построим паскалевы точки L=AB()
{\DE и N^CD[\AF, а также паскалеву прямую NL.
Третья паскалева точка Μ = С В Π NL. Тогда MF —
искомая касательная (см. рис. 69).
2. Допустим теперь, что в шестивершиннике
ABCDEF совпали две пары соседних вершин; например,
В с С, а Е с F. Тогда третьей паскалевой точкой, кроме
точек L^ABf\DE, N^CDf\FA, следует считать точку
М\ пересечения касательных в противоположных
вершинах В и Ε четырехвершинника ABDE. Если
совпадающими посчитать вершины А, В и Д Ε
шестивершинника, то, согласно теореме Паскаля, придется
признать, что на прямой LN, кроме точки М\, лежит
еще и точка Μ 2 пересечения касательных к кривой
в противоположных вершинах А и D
четырехвершинника ABDE (рис. 70). Итак, имеем следующую форму
теоремы Паскаля для четырехвершинника: две точки
пересечения противоположных сторон
четырехвершинника, вписанного в кривую второго порядка, лежат
на одной прямой с двумя точками пересечения
касательных к кривой в противоположных вершинах.
3. Если, наконец, в шестивершиннике ABCDEF',
вписанном в кривую второго порядка k,
совпадающими считать три пары соседних вершин А и В,
С и D, Ε и F, то получим теорему Паскаля для трех-
вершинника: три точки пересечения сторон трехвер-
шинника, вписанного в кривую второго порядка, с
касательными в противоположных вершинах лежат на
одной прямой (рис. 71).
206

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
29. Даны четыре точки кривой второго порядка и касательная
в одной из них. Как построить другие точки кривой?
30. Даны три точки кривой второго порядка и касательные
в двух из них. Как построить другие точки кривой?
31. Докажите, что две различные кривые второго порядка не
могут иметь более четырех общих точек.
32.* Докажите, что всевозможным перестановкам букв Л, θ,
С, D, Е, F в обозначении шести фиксированных вершин шести-
вершинника, вписанного в кривую второго порядка, соответствует
60 паскалевых прямых.
33. Докажите, что если трехвершинник Лi^iCi описан около
овальной кривой второго порядка, а точки А2, В2, Сч — точки
касания его сторон В\С\, С\А\, А\В\ соответственно, то трехвер-
шинники А\В\С\ и А2В2С2 — перспективны.
34.* Докажите, что шесть точек пересечения
несоответственных сторон двух гомологических (т. е. соответственных в
гомологии) трехвершинников принадлежат одной и той же кривой
второго порядка.
35.* Как построить сколько угодно точек гиперболы, если
заданы одна из ее точек и обе асимптоты?
36* Заданы два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности. Укажите способ построения с помощью линейки точек
этой окружности.
ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ
В предыдущей главе было отмечено, что построение
модели проективной плоскости на этой же плоскости
позволит получить новые геометрические факты,
исходя из уже установленных. Обсудим эти вопросы.
Но вначале введем понятия «полюс» и «поляра».
Возьмем на проективной плоскости овальную
кривую второго порядка к и некоторую точку Р££.
Проведем через точку Ρ произвольную секущую АС
(Л, С6&)· В точках А и С построим касательные к
кривой к. Пусть N — точка пересечения этих
касательных. Построим, далее, на прямой АС точку К, для
которой (Л С, Р/С)=— 1. Положение последней, как мы
207

знаем, определяется однозначно. Точки N и К
определяют некоторую прямую, которую обозначим
буквой ρ (рис. 72).
Проведем затем через точку Ρ произвольную
вторую секущую BD (В, D£k) и проделаем те же
построения: вначале найдем точку L пересечения
касательных к кривой к в точках В и D, а затем точку
S, четвертую гармоническую к тройке точек В, D, Р.
Точки L и S определяют некоторую прямую р'.
Оказывается, однако, что прямые ρ и р' совпадают.
Действительно, рассмотрим четырехвершинник ABCD,
вписанный в овальную кривую второго порядка к.
По следствию из теоремы Паскаля для четырехвер-
шинника четыре точки L, N, M=AB[\CD, T=AD[\BC
лежат на одной прямой. А по свойству полного че-
тырехвершинника ABCD на той же прямой лежат
и точки К и S, поскольку МТ — диагональ четырех-
вершинника, а К и S — точки пересечения с этой
диагональю противоположных сторон АС и BD. Таким
образом, р = р'.
Прямая ρ называется полярой точки Ρ
относительно кривой к, а точка Ρ — полюсом прямой ρ
относительно той же кривой.
Определение. Полярой ρ точки Ρ
относительно овальной кривой второго порядка называется
геометрическое место вторых и третьих диагональных
точек полных четырехвершинников, вписанных в
кривую, для которых первая диагональная точка
совпадает с точкой Р.
А теперь еще раз обратимся к рис. 72. Он
иллюстрирует важное свойство полюсов и поляр,
называемое свойством взаимности. Согласно принятому
определению, полярой точки Т, принадлежащей
поляре ρ точки Р, является прямая РМ, содержащая
точку Р, а полюсом прямой РТ — некоторая точка
Μ 6 Р. Поскольку с изменением положения секущей
208

АС точка Т пробегает всю прямую ρ, то свойство
это всеобщее. Таким образом, свойство взаимности
состоит в том, что поляра любой точки некоторой
прямой р, имеющей полюсом точку Р, проходит через
Р, а полюс любой прямой, содержащей точку Р,
принадлежит прямой р.
Трехвершинник РТМ (см. рис. 72) обладает тем
свойством, что каждая его сторона является полярой
противоположной вершины, а каждая вершина, как
следствие,— полюсом противоположной стороны. Трех-
вершинники, имеющие такие расположения
относительно овальных кривых второго порядка, называются
автополярными трехвершинниками.
Отметим еще одно важное свойство полюсов и
поляр, которое, в частности, можно применить к решению
задачи о построении касательных.
Предположим, что секущая Μ С, «участвующая»
в построении поляры РТ точки Μ (см. рис. 72),
вращаясь вокруг точки М, приближается к положению
касательной. В предельном положении точки D и С
совпадут с точкой касания F, которая располагается
на РТ, поскольку F является третьей диагональной
точкой для вырожденного полного четырехвершинника
ABFF (второй диагональной точкой является точка
Р, а первой — точка М). Отсюда заключаем, что если
поляра данной точки пересекает кривую, то ее
полюсом является точка пересечения касательных к кривой,
проведенных через точки сечения. И обратно, поляра
точки, в которой существуют касательные к кривой,
проходит через точки касания. Это обстоятельство
позволяет логично ввести определение поляры и в том
случае, если полюс принадлежит кривой.
Определение. Полярой точки P£k называется
касательная ρ к кривой k, содержащая точку Р. Точка
касания Ρ называется полюсом касательной ρ
относительно кривой k.
209

Логичность такого определения заключается в том,
что с его принятием не нарушается свойство
взаимности. В самом деле, пусть N — какая-либо точка
поляры AN полюса А 6 к (см. рис. 72). По доказанному
поляра точки N пройдет через точку А.
Отметим также, что попутно мы доказали
утверждение: через всякую точку, не принадлежащую кривой
второго порядка, можно провести либо две различные
касательные, либо ни одной такой прямой. Кроме
того, ясен также способ построения касательных.
(Ранее на основании теоремы Паскаля эта задача была
решена для того случая, когда заданная точка
располагается на кривой). Для решения задачи следует
построить поляру данной точки. Точки пересечения
этой поляры с кривой являются точками касания.
Задача имеет либо два решения, либо не имеет решений.
В первом случае заданная точка называется внешней
точкой кривой второго порядка, во втором —
внутренней. В расширенной плоскости, где овальными
кривыми второго порядка являются окружности, эллипсы,
гиперболы и параболы, задача решается с применением
одной линейки.
Теперь можно легко построить модель
проективной плоскости на этой же плоскости. Зозьмем в
проективной плоскости π овальную кривую второго
порядка k и определим соответствие g: π->-π в
множестве точек и прямых плоскости π, по которому
каждой точке X соответствует ее поляра χ
относительно той же кривой k, а каждой прямой у — ее полюс
Υ относительно той же кривой k. Такое соответствие
носит специальное название — поляритет. Обладает
оно следующими замечательными свойствами:
1) соответствие g взаимно однозначное;
2) каждой прямой / (Л, В, С, ...) соответствует
пучок L (а, Ь, с, ...) и обратно (здесь а, Ъ, с, ...— поляры
точек Л, В, С, ... , a L — полюс прямой /);
210

3) образами вершин всякого полного четырехвер-
шинника являются стороны другого полного четырех-
вершинника, и обратно;
4) сужение соответствия g на прямую или на пу-
ι
чок — проективное, т. е. / (Л, В, С, ...)Λ£ (a, b, с, ...)
(см. свойство 2)).
Первое свойство очевидно. Второе и третье
следуют из свойства взаимности полюсов и поляр.
Обоснования требует четвертое свойство. Оно следует? из
третьего. Действительно, поскольку свойство 3) имеет
место, то всякой гармонической четверке точек
соответствует гармоническая четверка прямых, и обратно.
Следовательно, такое соответствие проективное (по
Штаудту, а значит и по Штейнеру (для расширенной
плоскости)).
Таким образом, с установлением поляритета мы
получим модель проективной плоскости на этой же
плоскости, в которой (модели) точки моделируются
прямыми, а прямые — точками. Осуществление в этой
модели аксиом принадлежности проективной
планиметрии следует из свойства 1), а остальных аксиом —
из свойств 2) и 4). Действительно, пучок прямых,
находящийся в перспективном соответствии с
проективной прямой, является моделью последней (см. с. 146).
А всякое проективное соответствие между этими
фигурами может быть задано с помощью
последовательного осуществления нескольких перспективных
соответствий (докажите; для проективного
соответствия между прямыми аналогичное свойство доказано
на с. 166). Поэтому пучок прямых, находящийся в
проективном соответствии с прямой, также является
моделью последней.
211

ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ
Результатом построения модели является
обоснование так называемого принципа двойственности
на проективной плоскости, который состоит в том,
что если в любом предложении проективной геометрии,
относящемся к точкам и прямым проективной
плоскости, заменить слово «точка» на слово «прямая»,
а слово «прямая» на слово «точка», то получится
двойственное предложение, истинное, если истинно
исходное, и ложное, если ложно исходное. Правда,
для того чтобы полученные после таких замен
формулировки были для нас привычными, следует заменить
еще некоторые слова и словосочетания, например
«лежать на», «проходить через» и т. д. Ведь заменой
только слов «точка» и «прямая» из утверждения «три
точки лежат на одной прямой», например, получили
бы «три прямые лежат на одной точке», что не
соответствует установившейся терминологии. Поэтому,
заменив еще словосочетание «лежать на» на
«проходить через», получим «три прямые проходят через
одну точку».
Рассмотрим более сложный пример двойственных
предложений. С этой целью выпишем рядом
формулировки прямой и обратной «плоских» теорем Дезар-
га, несколько видоизменив эти формулировки.
Прямая. Если два трех-
вершинника расположены
в одной плоскости так,
что прямые, соединяющие
их соответственные
вершины, пересекаются в
одной точке, то
соответственные стороны этих
трехвершинников пересе-
Обратная. Если два трех-
вершинника расположены
в одной плоскости так,
что точки пересечения
соответственных сторон
лежат на одной прямой, то
прямые, соединяющие
соответственные вершины
этих трехвершинников,
212

каются в трех точках, пересекаются в одной
принадлежащих одной точке.
прямой.
Пояснение. Соответственными называются те вершины
перспективных трехвершинников, которые лежат на одних прямых
с центром перспективы. Стороны называются соответственными,
если они проходят через соответственные вершины.
Соответственные вершины (стороны) являются также соответственными
в гомологии, определяемой перспективными или, что то же
самое, гомологичными трехвершинниками.
Сравнивая формулировки «плоских» теорем Де-
зарга, заключаем, что одна из этих теорем получается
из другой по принципу двойственности. Поэтому,
вообще говоря, достаточно установить только одну
теорему. Тогда истинность обратной будет следовать
из прямой и принципа двойственности. Математики,
работающие в области проективной геометрии, всегда
подобным образом и поступают. Убедитесь на
основании принципа двойственности, что справедлива
теорема, обратная к теореме Паппа — Паскаля.
Основные заслуги в обосновании принципа
двойственности на основании поляритета принадлежат
французским математикам Жану Виктору Понселе
и Жозефу Диасу Жергонну (1771—1859). Последний
ввел в проективную геометрию термин «поляра».
Термин «полюс» почти в то же время был введен
соотечественником Жергонна Ф. Ж. Сервуа (1767—1847).
Многие свойства полюсов и поляр для конических
сечений были известны еще Аполлонию. Общие
свойства этих понятий для всех видов конических сечений
были установлены Дезаргом.
Кроме новых утверждений о расположении точек
и прямых в проективное плоскости, которые можно
получить из старых по принципу двойственности,
установление поляритета дает возможность получать
новые утверждения из известных и в тех случаях, если
213

последние относятся и к иным фигурам, в частности
к кривым второго порядка. Мы остановимся всего лишь
на одном, но зато классическом примере.
Пусть в кривую k, которая определяет поляритет
в проективной плоскости π, вписан шестивершинник
ABCDEF. Построим образ этой фигуры в поляритете
относительно кривой к (рис. 73). Вершинам Л, В, С, Д
£, F шестивершинника будут соответствовать
касательные а, Ь, с, d, e, f κ кривой к в этих точках; сторонам
АВ, ВС, CD, DE, EFy FA (вследствие свойства
взаимности) — точки В* = а П b, С* ==bflc, D* =cf}d, E* =
Ξ= d Π e, F* = e f]f, Аж == f {\a\ паскалевым точкам
L 3= AB П DE, M==BC(]EF, N = CD{\FA — прямые
/, m, /ι, которые по свойству взаимности пройдут
соответственно через пары точек В* и £*, С* и F*, А*
и D*. Поскольку точки /, m, n по теореме Паскаля лежат
на одной прямой о, то по тому же свойству взаимности
прямые /, m, n пересекутся в одной точке О.
Рассмотрим шестивершинник A*B*C*D*E*F*. Он
описан вокруг овальной кривой второго порядка. Если
пары вершин А* и D*, В* и £*, С* и F* назвать
противоположными, то факт пересечения прямых /, m, n в одной
точке О можно сформулировать в виде теоремы,
которую связывают с именем французского математика
Шарля Жульена Брианшона (1783—1864): если вокруг
овальной кривой второго порядка описать
шестивершинник, то прямые, соединяющие его
противоположные вершины — прямые Брианшона, пересекутся в
одной точке — точке Брианшона.
Любопытно, что доказал свою теорему Брианшон
лишь в 1806 году, т. е. более чем через 150 лет после
открытия Паскалем теоремы о «мистическом» шести -
вершиннике.
Применением поляритета к следствиям из теоремы
Паскаля можно получить частные случаи теоремы
Брианшона для пяти-, четырех- и трехвершинников,
214

описанных вокруг овальной кривой второго
порядка. Сформулируйте эти утверждения, пользуясь
рис. 74, а, б, в.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
37. Провести из заданной точки касательные к коническому
сечению. Задачу исследовать.
38. Через точку внутри окружности провести хорду, которая
делилась бы в ней пополам. Задачу решить с помощью линейки.
39. Даны пять касательных к коническому сечению.
Укажите способ построения любой шестой касательной.
40. Даны четыре касательные к коническому сечению и точка
касания одной из них. Укажите способ построения любой пятой
касательной.
41. Даны три касательные к коническому сечению и точки
касания двух из них. Укажите способ построения любой
четвертой касательной.
42. Даны пять касательных к кривой второго порядка.
Построить точки касания.
ДОСТОЙНАЯ ТЕМА ДЛЯ ФИНАЛА
Достоинства всякой научной теории оцениваются
тем выше, чем более сложные проблемы она решает.
Имея это в виду, закончим наш рассказ о проективной
геометрии решением задачи, привлекавшей в разное
время многих, в том числе и выдающихся математиков.
Задача состоит в том, чтобы в заданную окружность к
вписать треугольник, стороны которого принадлежали
бы прямым, проходящим через три наперед заданные
точки А, В, С (рис. 75).
Эта задача была поставлена еще в III веке н. э. Пап-
пом Александрийским, но решена только в XVIII веке
итальянским математиком и литератором Джиованни
Франческо Кастильоном (1705—1791), почему и
известна в математике как задача Кастильона. Почти
одновременно с Кастильоном задачу решили французский
216

математик и механик Жозеф Луи Лагранж (1736—
1813), великий академик Петербургской АН, математик,
физик, механик и астроном Леонард Эйлер (1707—
1783), а также два его ученика, также академики
Петербургской АН Николай Иванович Фусс (1755—1826)
и Андрей Иванович Лексель (1740—1784).
Каждый из упомянутых математиков предложил
свой способ решения задачи Кастильона. Однако
самое красивое и самое простое решение этой задачи,
допускающее к тому же обобщение на все
нераспадающиеся конические сечения, можно получить,
пользуясь методами проективной геометрии. В этом решении
все построения могут быть осуществлены одной
линейкой.
Подход к решению задачи Кастильона с
привлечением методов проективной геометрии заключается
в следующем. Проведем через одну из заданных точек,
например через Л, произвольную прямую х. Пусть она
пересекает кривую k, под которой будем подразумевать
любое коническое сечение, в точках Ρ и Q. Далее
найдем точку R пересечения прямой BQ с к, отличную
от Q. Наконец, построим точку Р' пересечения прямой
CR с k, отличную от R (см. рис. 75). Если точки Ρ и Я'
совпадают, то PQR — искомый треугольник.
Чтобы найти это «счастливое» положение, следует
изучить соответствие, которое устанавливается на
кривой к между точками Ρ и Я' при изменении
положения прямой х. Инвариантные точки этого
соответствия будут искомыми положениями для точки Р,
а дальнейшие построения очевидны.
Упомянутое соответствие можно представить как
результат осуществления (произведение) трех
проектирований кривой k на себя из точек А, В и С
соответственно. При первом проектировании точка Ρ
преобразуется в Q, при втором Q в R, наконец, при третьем
точка R в Р'. Что это за соответствия? К какому соот-
217

ветствию приводит их произведение? Как найти
инвариантные точки последнего? Ответы на эти вопросы
дадут и способ решения задачи Кастильона.
Оказывается, что соответствие на коническом
сечении, инвариантные точки которого нам следует
найти для решения задачи, принадлежит к классу
проективных соответствий.
Определение. Преобразование овальной кривой
второго порядка k в себя (или соответствие на кривой k),
при котором точки Л, В, С, ..., преобразуются
соответственно в точки А\ В\ С, ..., называется проективным
(записывается k(A, В, С, ...) 7\ k'(A', В', С, ...)), если
S\(SiA, SiB, SiC, ...)7\ S2 (S2A\ S2B', S2C...), где центры
пучков Si, S2— некоторые точки кривой k (рис. 76).
Убедимся, что данное определение не зависит от
выбора точек Si и S2. Действительно, если вместо этих
точек взять произвольные иные точки Т\ и Т2, то,
согласно обратной теореме к теореме Штейнера,
Γ,(ΓιΛ, Г,Я, TiC, ...) 7^ Si(SiA, SiB, StC, ...) и Т2(Т2А\
T2B\ T2C, ...)7\52 (S2A\ S2B', S2C, ...)· Отсюда ТХ(ТХА,
Trf, TxC, ...)7\T2 (T2A\ T2B\ T2C\ ...)·
Поскольку проективное соответствие между
пучками определяется тремя парами соответственных
прямых, то проективное преобразование кривой k
определяется тремя парами соответственных точек А-*~А\
В-+ В', С -► С. Для построения любой четвертой пары
соответственных точек D -► D' следует построить пару
соответственных прямых в проективном соответствии
Si(Sii4, SiB, SiC, ...)~fcS2(S2A\ S2B', S2C, ...). Для
упрощения построений, а в особенности для того чтобы
иметь способ определения инвариантных точек, в
качестве центров S2, Si пучков удобно взять какую-
либо пару несовпадающих соответственных точек
(если все три пары А-+А', В^В', С -► С
соответственных точек совпадающие, то преобразование
218

тождественно (теорема Штаудта)). Пусть это будут
соответственно точки Л и Л' (рис. 77). В таком случае
проективное соответствие А'(А'А, А'В, А'С, ...)~7\А(АА',
АВ', АС, ...) перспективное, поскольку А'А^АА'.
Ось перспективы /о этого соответствия,
содержащая точки Во = А'В Π АВ\ Со = А'С Л АС, называется
осью перспективы проективного преобразования
кривой к.
С построением оси перспективы образ D'
произвольной точки D 6 к определяется следующими
построениями: Do ξ= A'D Π ЯоСо, D' = ADo f] k. Построения
прообраза точки D' 6 к осуществляются в обратном порядке:
Do = AD' П ВоСо, D == A'Do Π Λ (см. рис. 77). Исходя из
этого, заключаем, что точки Λ, h пересечения оси
перспективы с кривой к (если они существуют)
являются инвариантными точками в проективном
преобразовании этой кривой. Точки U и h могут совпадать.
Тогда ось перспективы ВоСо касается кривой k, а
проективное соответствие имеет одну инвариантную точку.
Наконец, прямая ВоСо может и не пересекать кривую к.
Тогда проективное соответствие вовсе не имеет
действительных инвариантных точек. Инвариантными еще
могут быть все точки кривой к. Тогда ось перспективы
не определена (вспомните о выборе центров
пучков А и А').
Отметим, что проективные соответствия на
овальной кривой второго порядка могут быть применены
к построению инвариантных элементов проективных
соответствий вида /(Л, В, С, ...)"Д/(Л', В', С, ...) или
S(a, Ь, с, ...)^S(o', Ь\ С, ...).
Для примера рассмотрим первую возможность.
Спроектируем точки Л, В, С, ..., Л', В\ С, ... прямой / на
некоторую овальную кривую второго порядка к из
произвольной принадлежащей ей точки S (рис. 78).
Получим точки Ль В\, G, ..., А'и £'i, C'i, ... . Тогда
219

k(Ai, Яь Ci, ...)T\k(A'i, B\, C{, ...)· Прообразы X, У
инвариантных точек /ι, /г в проектировании / на /г из
точки S и будут искомыми инвариантными точками
в преобразовании прямой / (см. рис. 78).
Остается доказать, что проектирование овальной
кривой второго порядка к на себя из произвольной
точки Ρ £ k, т. е. преобразование f, при котором
образом точки А 6 к является вторая точка пересечения
с кривой к проектирующей прямой РА (тогда f(A') =
= Л), является проективным (рис. 79). Но это
действительно так. Примем за центры пучков две какие-либо
различные соответственные точки А' и А. Построим
также поляру ρ центра проектирования Р. Тогда
преобразование f определяет перспективное соответствие.
_р_
А'(А'В\ А'С\ ...)7\А(АВ\ АС\ ...),
где В' = f(B), C' = f(C), ... (вспомните определение
поляры). Следовательно, f — проективное
преобразование, а прямая является его осью перспективы.
Возвращаясь теперь к задаче Кастильона,
заключаем, что каждое проектирование кривой к из точек
А, В, С является проективным преобразованием
кривой k, произведение которых, очевидно, также есть
проективное преобразование. Для задания последнего
определим три пары соответственных точек Pi-►Pi,
Ρ2 -► Р'г. Рз -► Р'з. Далее построим инвариантные точки
1\ и /г. И, наконец, искомые треугольники (рис. 80).
В данном конкретном случае задача имеет два
решения. Но может быть и одно решение, если Л ==/2.
Решения могут и вовсе отсутствовать, если полученное
проективное преобразование не имеет инвариантных
точек. Наконец, в частном случае это преобразование
может быть тождественным. Тогда все точки кривой
к инвариантны, а задача Кастильона имеет бесконечное
множество решений. Интересно выяснить располо-
220

5
Рис. 83

жение вершин Л, В, С относительно кривой к в этом
исключительном случае.
Если задача имеет бесконечное множество
решений, то при любом выборе точек Pi, Р2, Рз, ··
соответствующие им точки Pi, Р2, Рз, ... (см. рис. 80) должны
совпадать с Pi, P2, Рз, ··· Пусть вначале точка Pi
выбрана произвольно. Построим Q\= AP\[\k (Q\ φ Ρι);
Rx = BQ,(]k (Ri Φ Qi); CRi П AQi = P, (рис. 81).
Положим далее P2 == /?i. Находим Q2 = AP2 Π & (Q2 ^ P2);
/?2==βρ2η£ (/?2^Q2); C/?2fMQ2==P2. Из всего этого
заключаем, что R2=P\ и что, следовательно, прямая
ΡιΡ2 проходит через точку С. Полагая аналогично далее
Рз == Qi и Р4 = Q2, придем к выводу, что и прямая QiQ2
проходит через точку С. Поэтому четырехвершинник
P1Q1Q2P2 — полный и вписан в кривую второго
порядка к. Точки А, В, С являются его диагональными
точками. Следовательно, трехвершинник ABC —
автополярный относительно к. Обратное утверждение,
состоящее в том, что если трехвершинник ABC
автополярный относительно k, то полный
четырехвершинник PiQiQ2P2 вписан в кривую к, следует из свойств
полюсов и поляр. Таким образом, приходим к выводу,
что задача Кастильона имеет бесконечное множество
решений тогда и только тогда, когда трехвершинник
ABC автополярный относительно заданной кривой к.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
43. Решите следующую обобщенную задачу Кастильона: в
заданное невырожденное коническое сечение вписать /г-вершин-
ник, т сторон которого (m ^ 0) проходят через заданные m точек,
а остальные η—т сторон параллельны заданным прямым (для
каждой стороны своя прямая).
44.* Постройте трехвершинник, стороны которого принадлежат
прямым, проходящим через три заданные точки А, В, С, а.
вершины — трем заданным прямым а, Ь, с.
222

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Так, дорогой читатель, окинув взором вековую
историю поисков идей и методов для геометризации
живописи, выявив основные черты возникшей из этих
задач классической проективной геометрии, созданной
усилиями Дезарга, Паскаля, Понселе, Штейнера и
Штаудта, краешком глаза заглянув в сегодняшнее этой
науки, решив при всем этом много интересных и
трудных задач из школьного курса геометрии, наконец,
отметив возможные приложения проективной геометрии
к фотограмметрии и к геометрии начертательной, мы
приблизились к конечному пункту нашего
путешествия.
Наш рассказ о проективной геометрии много
утратил бы, если бы в нем не нашлось места для связи
проективной геометрии с другими неевклидовыми
геометриями.
НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ
Клянусь вам богом, я бы не поверил,
Когда бы не бесспорная порука
Моих же глаз.
ВИЛЬЯМ ШЕКСПИР. Гамлет
Повседневный опыт видения двумя глазами может
подсказать идею наделения каждой прямой не одной,
а двумя несобственными точками, одной — в одном
направлении, а другой — в другом, противоположном
первому. Но тогда множество бесконечно удаленных
точек плоскости нельзя будет назвать
несобственной прямой, поскольку всякая прямая плоскости будет
пересекаться с этим множеством не в одной точке, как
должно быть для прямых, а в двух точках. Кроме того,
в этом случае придется считать, что прямые т и п, со-
223

©единяющие центр перспективы
S с бесконечно удаленными
точками Х^ и Уто произвольной
прямой а, различны, т. е.
образовывают некоторый угол,
отличный от развернутого (рис. 82),
ибо в противном случае
следовало бы отказаться от одного из
фундаментальных положений
геометрии — две точки
определяют одну прямую. Через точки
Н. И. Лобачевский X00, Уто ПрОХОДИЛИ бы
Прямые а и X^SY^.
Как видим, с учетом сделанных замечаний
наделение всякой прямой евклидовой плоскости двумя
бесконечно удаленными точками — вполне возможная
процедура. Естественно, что в результате получится
геометрия, совершенно отличная от евклидовой.
Оказывается, такой путь ведет к геометрии Лобачевского
(Николай Иванович Лобачевский
(1792—1856)—русский математик, творец неевклидовой геометрии).
Если сохранить термин «параллельность» для
обозначения прямых, пересекающихся в бесконечно
удаленной точке, то придем к выводу, что через каждую
точку S вне прямой а проходят две прямые тип,
параллельные прямой а, причем угол между прямыми т
и η отличен от 180°. А это есть одно из
фундаментальных положений геометрии Лобачевского.
К этой геометрии почти одновременно с
Лобачевским и независимо от него, а также независимо один
от другого пришли еще два выдающихся математика
XIX века — немецкий ученый Карл Фридрих Гаусс
(1777—1855) и венгерский математик Янош Больяй
(1802—1860). Но с наибольшим пристрастием и
самоотверженностью право на существование новой
геометрии защищал Лобачевский. Ему же принадлежат
224

и наиболее фундаментальные
результаты в этой науке. Вот
почему эту науку по праву чаще
всего называют геометрией
Лобачевского.
К большому сожалению, мы
не имеем возможности
останавливаться на богатой и подчас
драматичной, более чем двухты-
сячелетней истории изысканий,
приведших к геометрии
Лобачевского. О ней читатель МО- К. Ф. Гаусс
жет узнать из многих
общедоступных источников, опубликованных, в частности,
в журнале «Квант», в научно-популярных сборниках
«У свт математики», а также из книги Анны
Ливановой «Три судьбы. Повесть о великом открытии»
(М.: Знание, 1975).
Геометрия Лобачевского базируется на тех же
аксиомах, что и евклидова геометрия (предполагаем, что
читатель узнал об аксиоматике евклидовой геометрии
из названных книг), за исключением аксиомы
параллельности, которая здесь принимается в форме
противоположного предложения (в форме Лобачевского):
в плоскости через точку вне прямой можно провести
по крайней мере две прямые, не пересекающие данной.
Если принять эту аксиому, то на основании ее и
остальных аксиом евклидовой геометрии может быть
доказано, что таких прямых существует бесконечно много.
Совокупность прямых, пересекающих данную прямую,
и совокупность прямых, не пересекающих ее,
разделяются двумя предельными прямыми, которые
называются параллельными к заданной прямой. Таким
образом, в геометрии Лобачевского через точку S вне
прямой а можно провести две и только две прямые
тип, параллельные а, т. е. мы имеем то же положение,
225

©которое характеризует
геометрию пространства
субъективных образов при
бинокулярном восприятии. Следовательно,
если предположить, что все иные
аксиомы этого пространства
образов совпадают с аксиомами
евклидовой геометрии (кроме
аксиомы параллельности), что в
большинстве случаев согласуется с
опытом, то отсюда непременно
я. Больяй последует вывод: геометрия
пространства субъективных
образов при бинокулярном восприятии есть геометрия
Лобачевского.
В геометрии Лобачевского конечно же имеют место
все те предложения евклидовой геометрии, которые
выводятся без ссылок на евклидову аксиому
параллельности. Например, в геометрии Лобачевского, так же
как и в геометрии Евклида, два перпендикуляра к
одной и той же прямой не пересекаются, внешний угол
треугольника больше всякого внутреннего, с ним не
смежного, диаметр окружности делит пополам
перпендикулярную к нему хорду и т. д. И, конечно же, в
геометрии Лобачевского не имеет места ни одно из
положений евклидовой геометрии, прямо или косвенно
опирающееся на евклидову аксиому параллельности.
Например, в геометрии Лобачевского сумма углов
треугольника всегда меньше 180°, средняя линия
треугольника не равна половине основания, при пересечении
двух непересекающихся прямых третьей образуемые
внутренние разносторонние углы не всегда равны
между собой и т. д.
В малых масштабах, однако, отличия между
геометрией Лобачевского и геометрией Евклида
незначительны. Вот почему, в частности, учет художниками эффек-
226

тов бинокулярного восприятия
ведет лишь к плавному
искривлению прямых.
Наиболее распространенной
моделью планиметрии
Лобачевского является модель Кэли —
Клейна на расширенной
плоскости, названная в честь английского
математика Артура Кэли (1821—
1895) и выдающегося немецкого
геометра Феликса Христиана
Клейна (1849—1925). Строится Ф. Клейн
она следующим образом.
Возьмем на расширенной плоскости
невырожденное коническое сечение к (рис. 83) и назовем его
абсолютом плоскости Лобачевского. Абсолют
моделирует множество бесконечно удаленных или
несобственных точек плоскости Лобачевского. Точки внутри
кривой к (как мы помним, точка называется
внутренней относительно данного невырожденного
конического сечения, если она не содержит ни одной
касательной к этой кривой) моделируют собственные точки
плоскости Лобачевского. Наконец, точки вне кривой к
моделируют так называемые идеальные точки
плоскости Лобачевского.
Прямым плоскости Лобачевского соответствуют
прямые расширенной плоскости. Таким образом,
различают два вида прямых в плоскости Лобачевского. Те,
которые имеют две бесконечно удаленные точки,
называются собственными, остальные — идеальными.
Отношение принадлежности точек и прямых
моделируется обычным образом: точка плоскости Лобачевского
принадлежит прямой этой плоскости, если
соответствующая точка на модели принадлежит
соответствующей прямой, и обратно. Не представляет труда
проверить (сделайте это), что на модели Кэли — Клейна
227

выполняются все аксиомы принадлежности
евклидовой геометрии, а следовательно, и геометрии
Лобачевского.
Параллельным прямым на модели соответствуют
те прямые, которые пересекаются на абсолюте.
Остальные собственные прямые называются либо
пересекающимися (точка пересечения внутри абсолюта), либо
сверхпараллельными (точка пересечения вне абсолюта).
Таким образом, идеальные точки плоскости
Лобачевского — это точки пересечения сверхпараллельных
прямых. То, что на модели выполняется аксиома
параллельности Лобачевского, не вызывает сомнений.
Так, на модели Кэли — Клейна (см. рис. 83)
изображены две прямые тип, проходящие через точку Л
параллельно прямой а. Прямые / и а —
пересекающиеся, a t и а — сверхпараллельные.
На модели Кэли — Клейна выполняются все
аксиомы планиметрии Лобачевского. Понятие длины
отрезка интерпретируется на модели Кэли — Клейна
с помощью сложного отношения четырех точек, в
котором участвуют точки абсолюта. Всякое движение
плоскости Лобачевского, как преобразование,
сохраняющее длины отрезков, представляется на этой
модели проективным преобразованием расширенной
плоскости, переводящим абсолют в себя.
Следовательно, на «языке» проективной геометрии планиметрия
Лобачевского, изучающая, подобно евклидовой
планиметрии, инварианты движений плоскости, является
наукой об инвариантах проективных преобразований
расширенной плоскости, переводящих абсолют в себя.
ЭРЛАНГЕНСКАЯ ПРОГРАММА
Рассмотренная модель планиметрии Лобачевского
подсказала идею построения интерпретаций все новых
и новых геометрий средствами проективной геометрии:
228

фиксировать в проективной плоскости какой-либо
абсолют (для планиметрии Лобачевского в качестве
абсолюта выступает овальная кривая второго порядка,
а можно брать и другие фигуры, в частности прямую
линию, несколько прямых, прямую и точку, несколько
точек и т. д.) и изучать те свойства геометрических
фигур, которые инвариантны относительно
проективных преобразований проективной плоскости,
переводящих абсолют в себя.
Эти идеи легли в основу программного доклада,
произнесенного в 1872 году Феликсом Клейном при
вступлении его в должность профессора Эрлангенского
университета. Доклад, имевший название
«Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований», впоследствии получил название «Эрлангенской
программы».
«Эрлангенская программа» Клейна на длительный
период определила магистральную линию
геометрических исследований. В частности, оказалось, что не
только геометрия Лобачевского, но и другие две
классические геометрии — евклидова и сферическая
(геометрия на сфере) могут быть интерпретированы
в духе этой программы. Восторгаясь этими успехами,
Артур Кэли сказал: «Ироективная геометрия есть
вся геометрия!»
О развитии геометрии в свете «Эрлангенской
программы» Клейна, являющимся по существу
дальнейшим развитием проективной геометрии, более подробно
можно узнать из книг Н. И. Кованцова «Геометричт
перетворення» (К.: Вища шк., 1972) и Р. Н. Щербакова,
Л. Ф. Пичурина «От проективной геометрии к
неевклидовой» (М.: Просвещение, 1979).

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ефимов Н-В. Высшая геометрия.— 6-е изд.— М: Наука, 1978.—
576 с.
2. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии.— М: Наука,
1980.— 320 с.
3. Кованцов М. I. Геометричш перетворення.— К.: Вища шк.,
1972.— 64 с.
4. Кованцов М. I. Проективна геометр1я.— 2-ге вид.— К: Вища
шк. Головне вид-во, 1985.— 367 с.
5. Комацу М. Многообразие геометрии.— М.: Знание, 1981.—
207 с.
6. Пидоу Д. Геометрия и искусство.— М.: Мир, 1979.— 332 с.
7. Потоцкий М. В. Что изучает проективная геометрия? — М.:
Просвещение, 1982.— 79 с.
8. Ратничин В. М. Перспектива.— К: Вища шк. Головное изд-во,
1982.— 232 с.
9. Соловьев С. А. Перспектива.— М.: Просвещение, 1981.— 144 с.
10. Четверухин Н. Ф. Проективная геометрия.— 8-е изд.— М.:
Просвещение, 1969.— 368 с.
11. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии —
к неевклидовой.— М.: Просвещение, 1979.— 159 с.
12. Эйдельс Л. М. Занимательные проекции. От пещерного рисунка
до кинопанорамы.— 2-е изд.— М.: Учпедгиз, 1963.— 207 с.
13. Яглом И. М. Геометрические преобразования: В 2 т.— М.:
Гостехиздат, 1956.—Т. 2 — 611 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава первая. ИСТОКИ
От египтян и Синдбада-
морехода к Тиму Северину
и Туру Хейердалу .... 8
Условности и традиции . . 11
Что умели древние греки 13
Начало учения о гармонии
в искусстве 21
Зрение и видение .... 29
Состояние вопроса в
рыцарские времена 32
Красноречивые преданья 37
Возрождение 38
Начало учения о
перспективе 42
Математическая суть
перспективы 47
Как учили рисованию ... 48
Законы перспективы ... 52
Свойства центрального
проектирования 61
Возвращение в прошлое . . 68
Эсперанто для инженеров,
находка для художников 80
Еще одно приобретение . . 87
Венец теории 89
Молодые побеги старой
теории 94
Все проходит 10.3
Заключение первого эта rid 107
Задачи и упражнении II·'4
Глава вторая. НАУКА, РОЖДЕННАЯ ИСКУССТВОМ
Геометрия «осязательная» и
геометрия «зрительная» . .112
Аксиоматический метод . . 115
Несобственные элементы 120
Теорема Дезарга 127
Аксиомы порядка и
непрерывности 132
Топология в проективной
геометрии 140
Теорема Дезарга и
аксиоматика проективной
планиметрии 144
Связка прямых и плоскостей
как модель проективной
плоскости 145
Проективные координаты 149
Обобщения 152
Задачи и упражнения . . .161
231

Глава третья. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Центральные
проектирования и сложные отношения 162 с 1С ол.
«._ Если вам 16 лет 201
Гармонические четверки 168
Возвращение к главной Задачи и упражнения . . . 207
теме 173
Иные интерпретации . . .176 Полюсы и поляры .... 207
Задачи и упражнения ... 179 Принцип двойственности 212
Начало еще одного восхож- 3^ачи и Упражнения ... 216
дения 181 , , „,с
2 «00 Достойная тема для финала 216
Гомологии 182 " ^
Древним вопреки .... 188 Задачи и упражнения . . . 222
Гомология в начертательной
геометрии 191 Заключение 223
Задачи и упражнения . . . 195 Неевклидовы геометрии . . 223
Эрлангенская программа 228
Новый взгляд на старые
предметы 196 Список рекомендуемой ли-
Дальнейшие обобщения . .199 тературы 230
Η а у ч н о-п опулярное
издание
ТАДЕЕВ
Василий Александрович
ОТ ЖИВОПИСИ
К ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Редактор Л. П. Онищенко
Оформление художника
Л. А. Дикарева
Художественный редактор
С. В. Анненков
Технические редакторы
И. И. Каткова,
А. И. Омоховская
Корректор
Н. П. Кунцевская
ИБ № 10088
Сдано в набор 12.05.87. Подп. в печать
28.12.87. БФ 27210. Формат 70хЮ07з2·
Бумага офс. № 1. Балт. гарн. Офс.
печать. Усл. печ. л. 10,15+0,16 форз.
Усл. кр.-отт. 20,78. Уч.-изд. л.9,76+
+0,29 форз.Тираж 10 000 экз. Изд.
№ 7022. Зак. 7-142. Цена 65 к.
Головное издательство издательского
объединения «Вища школа», 252054,
Киев-54, Гоголевская, 7
Книжная фабрика «Коммунист»,
310012, Харьков-12, Энгельса, 11.