/
Author: Кодыш Э.Н. Трекин Н.Н. Никитин И.К.
Tags: строительство железобетонные конструкции строительное проектирование
ISBN: 978-5-93093-679-7.
Year: 2009
Text
Э.Н. Кодыш, Н.Н. Трекин, И.К. Никитин
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
МНОГОЭТАЖНЫХ ЗДАНИЙ
С ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫМ
КАРКАСОМ
Под редакцией заслуженного деятеля наук РФ
доктора технических наук, профессора Э.Н. Кодыша
Издательство Ассоциации строительных вузов
Москва 2009
ГЛАВА 3. РАСЧЕТ КАРКАСА РАМНОЙ
КОНСТРУКТИВНОЙ СИСТЕМЫ
3.1. Общие положения расчета
Если каркас состоит из примерно одинаковых поперечных рам, то
можно ограничиться расчетом одной наиболее нагруженной рамы на дей-
ствие вертикальных и ветровых нагрузок. Для сокращения расхода арма-
туры рассчитывают также торцевую раму на действие приходящихся
на нее вертикальных нагрузок с учетом веса навесных торцевых панелей.
В обоих случаях ветровая нагрузка на раму определяется путем деления
ветровой нагрузки, собранной со всей длины каркаса, на число рам, т.е.
перекрытия, объединяющие рамы каркаса, считаются бесконечно жестки-
ми, поскольку деформации сдвига перекрытий в пределах между рамами
весьма малы.
Если каркас в продольном направлении имеет рамную схему и состоит
из примерно одинаковых продольных рам, то можно также рассчитывать
одну продольную раму на действие ветровых нагрузок, собранных со всей
ширины каркаса, и деленных на число продольных рам. Кроме того, следу-
ет учитывать собственный вес продольных ригелей и нагрузки с участка
перекрытий, опираемых на эти ригели.
При безбалочной схеме перекрытий поперечные и продольные рамы
по характеру работы не отличаются друг от друга.
Расчет на ветровую нагрузку в продольном направлении при связевой
схеме этого направления производится аналогично расчету каркаса связе-
вой конструктивной схемы (см. гл. 4.).
Если каркас состоит из поперечных рам, резко отличающихся друг от
друга либо схемой, либо сечениями элементов, то ветровая нагрузка, при-
ходящаяся на более жесткую раму, будет превышать среднюю. Чтобы оп-
ределить это увеличение, следует учесть поворот перекрытий методом,
аналогичным приведенным в разд. 4.3.
При наличии в крайних продольных рамах жестких связевых элемен-
тов поворотом перекрытий можно пренебречь, и тогда ветровая нагрузка
определяется исходя из одинаковых смещений перекрытий всех рам, опре-
деляемых из расчета каркаса в целом.
Расчетные схемы
Поперечные рамы в рамных каркасах проектируются, как правило, со
всеми жесткими узлами сопряжений ригелей и колонн. Это обеспечивает
унификацию конструкций узлов и достаточную жесткость каркаса, особенно
при большом числе этажей или при больших высотах этажей. Однако в неко-
торых каркасах из сборных элементов применяются и шарнирные узлы, на-
64
пример, при опирании ригелей (балок, ферм) покрытия на торцы колонн.
Обычно такое опирание целесообразно при увеличенных пролетах верхних
этажей, поскольку позволяет сэкономить арматуру в колоннах и ригелях
верхнего этажа, при незначительном уменьшении общей жесткости каркаса.
Для сборных каркасов с числом этажей 5 и меньше более экономич-
ным может оказаться применение жестких узлов только в узлах крайних
колонн. Замена жестких средних узлов, требующих, как правило, мощной
опорной арматуры ригелей на шарнирные, приводит к уменьшению арми-
рования средних колонн при некотором увеличении армирования крайних
колонн, что для рам с числом пролетов 3 и более приводит к общей эконо-
мии арматуры в элементах каркаса при достаточной общей его жесткости.
Кроме того, монтаж конструкции таких каркасов менее трудоемок. Такие
каркасы принято называть комбинированными.
Часто применяемые схемы расчета
Расчет железобетонных рам обычно производят с учетом упругой ра-
боты всех элементов, принимая оси элементов проходящими по линиям
центра тяжести бетонного элемента, а жесткости элементов равными ЕЬ1,
где I - момент инерции сечения бетонного элемента. Рекомендуется
учитывать наличие жестких приопорных участков элементов согласно
разд. 3.2., а также податливость жестких узлов сопряжения элементов со-
гласно разд. 3.3.
Влияние неупругой работы элементов, а также прогибов колонн на
моменты в элементах (деформированная схема) учитывается отдельно уп-
рощенными способами согласно разд. 3.4. и 3.5.
Расчет рамы производят методом деформаций (перемещений) прикла-
дывая в основной системе метода фиктивные защемления во всех узлах, а
также фиктивные горизонтальные опоры на уровне всех ригелей. Опреде-
ление углов поворота узлов и горизонтальных смещений ригелей можно
производить путем решения канонической системы уравнений либо любым
итерационным способом. Такой расчет обычно производится с помощью
компьютерных программ.
Для приближенных расчетов, при невозможности использовать ком-
пьютерные программы, расчеты на вертикальные и горизонтальные нагруз-
ки производятся раздельно. Для расчета на вертикальные нагрузки рама
разделяется на 3 одноэтажные рамы: для верхнего, среднего и нижнего эта-
жей (рис. 3.1).
При этом число пролетов принимается не более 3, примыкающие стой-
ки, кроме стоек 1-го этажа, имеют длины, равные половине высот этажей, и
шарниры по концам. Влиянием жестких приопорных участков, а также го-
ризонтальными смещениями обычно пренебрегают. При учете этих допу-
щений для рам с равными пролетами опорные моменты ригелей при разных
схемах загружения можно определять с помощью табл. 3.1.
65
5 Заказ 979
Рис. 3.1. Фактическая (а) И упрощенные (б) расчетные схемы рамы
Таблица 3.1
Коэффициенты а для определения опорных моментов ригелей при различных
схемах расположения нагрузки q
Схемы расположения нагрузки от энюры моментов к Коэффициенты а для опорных моментов
М,2 м21 Мп Мп
1 2 3 4 5 6
Л О X гч г 1Ш1 шш инн., \ / ч 0,5 1 2 3 4 5 6 -0,072 -0,063 -0,054 -0,046 -0,039 -0,033 -0,027 -0,090 -0,091 -0,093 -0,095 -0,097 -0,099 -0,100 -0,083 -0,085 -0,087 -0,088 -0,089 -0,090 -0,091 -0,083 -0,085 -0,087 -0,088 -0,089 -0,090 -0,091
L 1 L ч 1 ’ 1 ' г < / ►
1 > ШШШ, \ !{ 4 0,5 1 2 3 4 5 6 -0,077 -0,070 -0,062 -0,055 -0,048 -0,042 -0,036 -0,079 -0,074 -0,068 -0,065 -0,063 -0,063 -0,062 -0,006 -0,012 -0,018 -0,022 -0,026 -0,028 -0,030 -0,006 -0,012 -0,018 -0,022 -0,026 -0,028 -0,030
%.
< м / \ >
0,5 1 2 3 4 5 6 0,005 0,007 0,008 0,009 0,009 0,009 0,009 -0,011 -0,017 -0,025 -0,030 -0,034 -0,036 -0,038 -0,077 -0,073 -0,069 -0,066 -0,063 -0,062 -0,061 -0,077 -0,073 -0,069 -0,066 -0,063 -0,062 -0,061
1 <
< 6
66
Окончание табл. 3.1
1 2 3 4 5 6
с 1 ) с \ / > с с 0,5 1 2 3 4 5 6 -0,071 -0,062 -0,052 -0,045 -0,037 -0,032 -0,026 -0,092 -0,095 -0,101 -0,107 -0,112 -0,115 -0,117 -0,088 -0,094 -0,098 -0,100 -0,102 -0,104 -0,105 -0,072 -0,066 -0,059 -0,054 -0,050 -0,046 -0,043
< > А > < 1 >
В табл. 3.1 приняты следующие обозначения:
>2 т В ! I
Му =a-ql ; к =---------1; В и Bcoi- жесткости ригеля и колонны.
В col / ^col
Изгибающие моменты в стойках для каждой схемы загружения рамы
определяют по разности опорных моментов ригелей в узле, распределяя ее
пропорционально погонным жесткостям стоек Dk / lcol.
Расчет на горизонтальные (ветровые) нагрузки производят, принимая
нулевую точку эпюры моментов стоек всех этажей, кроме первого, в се-
редине высоты этажа, а для первого этажа на расстоянии 2/3 высоты от
низа (рис. 3.2).
Рис. 3.2. К упрощенному способу определения усилий
67
5'
Ярусные поперечные силы, равные сумме ветровых сил, приложенных
J
к вышележащим перекрытиям определяют по выражению Qj = £ , а
затем распределяют эти силы между отдельными стойками пропорцио-
нально их жесткостям Qk = Qj
По найденным поперечным силам определяют моменты в стойках всех
этажей, кроме первого, по формуле М = Qkl / 2.
Для первого этажа моменты в верхнем и нижнем сечениях равны соот-
ветственно Мв = Qkl/3 и Ми = 2Qkl/3.
При определении опорных моментов ригелей у средних узлов суммар-
ный момент в узле от выше и ниже расположенных стоек распределяется
между ригелями пропорционально их погонным жесткостям. В крайнем
узле опорный момент ригеля равен сумме моментов стоек.
Уточненные схемы расчета
Приведенные методы расчета не учитывают снижение жесткости
элементов в связи с неупругой работой железобетона. Однако, посколь-
ку результаты расчета рам на силовые воздействия зависят от соотноше-
ния жесткостей элементов, а не от абсолютных их значений, погреш-
ность такого расчета относительно невелика и, как правило, приводит к
дополнительному запасу прочности. Это вызывается перераспределени-
ем моментов в сторону снижения моментов в расчетном сечении из-за
снижения в предельном состоянии жесткости. Однако при расчете эле-
ментов рамы по 2-му предельному состоянию соотношение действи-
тельных жесткостей может отличаться от принятого в расчете и учет его
может привести к завышению моментов.
Жесткость с учетом неупругой работы также влияет на результаты
при расчете рамы по деформированной схеме, при учете влияния вынуж-
денных деформаций (от температуры, от осадок и т.п.), при оценке жест-
кости каркаса на действие ветровой нагрузки. Поэтому часто возникает
необходимость в проверочном расчете, учитывающем уточненное напря-
женно-деформированное состояние элементов рамы. При таком расчете
жесткости участков элементов определяются в зависимости от усилий,
действующих в них, а сам расчет ведется итерациями, принимая в первом
приближении жесткость ЕЬ1. Зависимость жесткости от усилий устанав-
ливается на основе нелинейной деформационной модели, приведенной в
СП 52-101-2003. Подробности такого расчета описаны в гл. 6. Расчет с
учетом деформированной схемы и действительных жесткостей приведен
также в разд. 3.5.
68
3.2. Учет жестких приопорных участков
В рамной схеме оси элементов принимают проходящими по линии
центра тяжести сечения бетонного элемента. У жесткого узла приопорный
участок элемента в пределах высоты сечения элемента другого направле-
ния, очевидно, не может иметь ту же жесткость, что и жесткость элемента
«в свету». Поэтому жесткость этого участка обычно принимают равным
бесконечности, а за расчетное опорное сечение принимают сечение в нача-
ле этого участка, т.е. по грани элемента другого направления (рис. 3.3, а, б).
Эти участки в дальнейшем именуются как жесткие участки. При наличии
открытой трапециевидной консоли колонны длины жестких участков уве-
личиваются на длину этой консоли для ригеля и на среднюю высоту консо-
ли для колонны (рис. 3.3, в, г). При треугольных консолях это увеличение
длин жестких участков можно не учитывать.
Рис. 3.3 Конструктивные (а, в) и расчетные (б, г) схемы жестких узлов
При шарнирных узлах за центр шарнира принимается точка приложе-
ния опорной реакции ригеля. При отсутствии выступающей закладной де-
тали эпюра давления ригеля на консоль принимается треугольной с макси-
мальным давлением у свободного края консоли (рис. 3.4, а). За жесткий
участок ригеля у шарнирного узла принимается участок от оси колонны до
центра шарнира. При этом ось этого участка проходит на уровне верха кон-
соли, т.е. может не совпадать с осью ригеля, что следует учитывать при
назначении длин смежных колонн (рис. 3.4, б). При наличии у колонны
только шарнирных узлов жесткие участки колонны, примыкающие к этому
узлу, отсутствуют.
69
Рис. 3.4. Конструктивные (а) и расчетные (б) схемы шарнирного
и жесткого узлов
Формулы для реакций и моментов в расчетных опорных сечениях От
единичных деформаций и нагрузок с учетом наличия жестких участков
приведены в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Определение усилий на опорах от единичных деформаций
70
. D а _ Ъ п
i =—; а=—: В =—; D-жесткость элемента.
I I Г
3.3. Определение и учет податливости рамных узлов
Узлы сопряжения ригеля с колонной являются одними из наиболее на-
пряженных зон многоэтажных каркасных зданий, возводимых из сборных
железобетонных конструкций. В них, на достаточно коротких участках,
концентрируются изгибающие и крутящие моменты, продольные и попе-
речные силы. Вследствие неровностей контактных зон, погрешностей изго-
товления и монтажа в сопряжениях сборных конструкций практически не-
возможно достичь равномерно распределенной передачи нагрузок между
стыкуемыми элементами, поэтому имеют место концентраторы напряже-
71
ний и неравномерность распределения деформаций. Кроме того, каждый
элемент сопряжения работает в неравных условиях и на разных стадиях
напряженно-деформированного состояния.
В силу нелинейности деформирования, физической и конструктивной
анизотропии напряженно-деформированное состояние сопряжения необхо-
димо анализировать с позиций его работы в составе пространственной не-
сущей системы здания. Кроме усилий от вертикальных и горизонтальных
нагрузок, определенных согласно плоским расчетным схемам, в сопряже-
ниях ригеля с колонной действуют усилия, обусловленные пространствен-
ной работой каркаса. Ригели являются составной частью диска перекрытия,
при изгибе или повороте которого в своей плоскости возникают сжимаю-
щие и растягивающие напряжения, а также касательные напряжения, вы-
званные сдвиговыми деформациями, и деформации, вызванные изменением
температуры в пределах блока.
После многократного воздействия знакопеременных эксплуатацион-
ных нагрузок - это полезная вертикальная и ветровая нагрузки, в сопряже-
ниях накапливаются остаточные деформации, величина которых зависит от
уровня нагружения элемента. По мнению некоторых авторов [13, 25] счита-
ется, что рама в дальнейшем работает с упруго-податливыми узлами при
горизонтальных нагрузках, т.е. происходит приспособление конструкции.
Однако при увеличении нагрузок или изменении расчетных схем нели-
нейность деформирования проявляется вновь. Такая ситуация может воз-
никнуть, например, при реконструкции, что в настоящее время является
достаточно актуальным направлением.
Основную часть усилий в сопряжении ригеля с колонной рамного кар-
каса вызывают вертикальные нагрузки. Элементы сопряжения работают как
упруго-пластические. Вследствие образования и развития трещин, текуче-
сти арматуры жесткость узла является переменной величиной. Это, в свою
очередь, приводит к снижению опорных усилий и перераспределению их в
пролет, которые могут достигать 40%.
Продольные усилия в ригеле вызывают в основном горизонтальные на-
грузки - ветер, температурные и сейсмические воздействия. По данным не-
которых источников предельное растягивающее усилие ограничивается ве-
личиной 240 кН. Сжимающее усилие от ветровой нагрузки зависит от сетки
колонн, высоты этажа и ветрового района. Величины сжимающих усилий, по
мнению В.В. Ханджи могут достигать 50-80 кН. Имеют место и усилия рас-
пора, возникающие при изгибе балочных конструкций вследствие реакции
отпора вертикальных конструкций. В связи с этим анализ деформируемости
узла должен быть проведен с учетом всех силовых факторов.
Общие принципы теоретического определения угловой жесткости со-
пряжения были заложены В.Н. Байковым и А.К. Фроловым [3]. Эти прин-
ципы основаны на статической схеме работы узла и гипотезе плоских се-
чений на примере узлового сопряжения в связевом каркасе серии ИИ-04 с
металлической накладкой из листовой стали в растянутой зоне для воспри-
ятия фиксированного момента.
72
Применение в расчетах конечного значения коэффициента угловой по-
датливости предполагает его линейную зависимость от внешнего усилия
или расчет в предельном равновесии, между тем известно, что на основе
расчета по упругой схеме с неизменными жесткостными характеристиками
усилия в узлах сопряжений ригеля с колонной получаются существенно
завышенными, что заметно повышает металлоемкость конструкции узла.
Для оценки напряженно-деформированного состояния необходимо вводить
в расчет диаграмму изменения коэффициента податливости в зависимости
от величины внутренних усилий.
В рассматриваемых конструкциях стыков ригеля с колонной верти-
кальная опорная реакция передается на консоль, поэтому влияние попереч-
ных сил на работу сопряжения можно не учитывать.
Работу сопряжения ригеля с колонной рекомендуется рассматривать
для двух состояний: первое - швы не омоноличены, что соответствует ста-
дии монтажа или конструкции так называемого сухого стыка (рис. 3.5, а);
второе - швы омоноличены и бетон шва включается в работу (рис. 3.5, б, в).
В стыках, по аналогии с сечениями железобетонных элементов, могут
возникать три стадии напряженно-деформированного состояния: первая -
условно-упругая; вторая - упруго-пластическая и третья - предельная по
несущей способности.
Критерием предельного состояния узлового сопряжения колонны с пе-
рекрытием рекомендуется принимать допустимый угол поворота опорного
сечения ригеля или плиты перекрытия относительно оси колонны (рис. 3.5),
который определяется:
- для первой группы предельных состояний - из условий достижения
физического или условного предела текучести в растянутой или сжатой
арматуре, временного сопротивления сжатию бетона шва или стыкуемых
конструкций, предельного сдвига или отрыва закладных деталей;
- для второй группы предельных состояний - из условий предельных
прогибов и горизонтальных перемещений, или предельного раскрытия
трещин.
Коэффициент угловой жесткости узла сопряжения ригеля с колонной
Сф равен отношению изгибающего момента М к соответствующему углу
поворота ср опорного сечения ригеля относительно оси колонны:
Сф=—. (3.1)
Ф
У гол поворота опорного сечения ригеля, показанного на рис. 3.5, опре-
делится по выражению
А)
73
где Д5 = £ Да и Дг = -£ Дй - суммарные удлинения растянутой армату-
ры и перемещения сжатой зоны по линии опирания ригеля на консоль; ho -
расстояние между линиями измерения перемещений (расстояние от линии
опирания ригеля или плиты перекрытия на консоль до центра тяжести рас-
тянутой или сжатой арматуры).
Рис. 3.5. Расчетные схемы для определения коэффициента
угловой жесткости сопряжения ригеля с колонной:
а - до омоноличивания торцевого шва; б - после омоноличивания шва; в - после
образования трещин в шве,
где Ns - усилие в растянутой арматуре; Gz - усилие сдвига по линии опирания риге-
ля на консоль; N и М- продольное усилие и изгибающий момент в опорном сечении
ригеля; ср - угол поворота опорного сечения ригеля относительно оси колонны
74
Для рассматриваемых типовых узлов сопряжения ригеля с колонной ко-
эффициент угловой жесткости стыка рекомендуется определять по формуле
С =_________%_________
Ч> п 1 т 1 ’
ZKn— +^Knj —
i=i ва у—1 BTj
(3.3)
11
где --- и - - приращения смещении от единичных усилии соответст-
ва BTj
венно в сжатой и растянутой зонах сечения стыка; KNi, KNj - коэффициенты,
учитывающие влияние осевого сжимающего усилия (при отсутствии про-
дольной силы принимаются равными единице).
Коэффициент угловой жесткости рамного сопряжения в монтажной
стадии, т.е. без учета работы бетона шва на сжатие (рис. 3.5, а):
С ,____________________£
k nsst Dan 7
. 1 1
^2 n + D
\DZK °BR
(3.4)
где Кт, KN2 - коэффициенты, учитывающие влияние продольной силы, оп-
ределяемые по выражениям
Кт=1тп, ^2=1ТЛ±—, П=-, *0“ (3-5)
е0 е0 N
(верхние знаки принимаются при совпадении усилий от изгибающего мо-
мента и продольной силы в нижней зоне);
е - эксцентриситет продольной силы относительно линии опирания
ригеля на консоль;
Bsst = , (3-6)
о
здесь f(x) и ljt - функция распределений продольных деформаций в растяну-
той арматуре (принимается по форме эпюры моментов на опорном участке)
и длина учитываемой зоны растяжения верхней арматуры. На участке с
открытой растянутой арматурой стыка продольные деформации постоянны
и равны
Bsst
ASES
ht
75
Ill
---,---и---- - приращения смещении от единичных усилии соответ-
^ап BzK BzR
ственно растянутой арматуры в зоне анкеровки в бетоне, опорных заклад-
ных деталей консоли колонны и ригеля, определяемые по рекомендациям
М.М. Холмянского или на основе экспериментальных данных [15, 38,47].
Выражение для коэффициента угловой жесткости при моменте, растя-
гивающем нижнюю зону, будет иметь вид
ч>
____________
1 f 1 1
W1 V“” + ^2 Д +Д
Dsst \DZK °BR
(3-7)
Коэффициент угловой жесткости сопряжения рамного узла с учетом
работы бетона шва на сжатие и образования нормальных трещин в бетоне
шва растянутой зоны (см. рис. 3.10, в):
С =-----------------—--------------------------------, (3.8)
К (« МГ 1 + 1 V 1 ( 1 + И
KN2\ KN2~j~r--~ у +Л-Л'2ГН д+д
k ^2 е0 Jy-^sst ”ап ) &BR J
гПе U -1 I ^sh U -Il ^sh__________________^sh В -
ГДе СУ 1 1. I а СУ П 1 I , . 1J „Г. “ а
B'ZK + BzR Bzk+BzR (^ZK+^ZR)m d
здесь d, Еь, %, v, co - толщина шва, модуль упругости бетона шва, относи-
тельная высота сжатой зоны бетона шва, коэффициент упруго-
пластических деформаций, коэффициент полноты эпюры сжатой зоны; т -
коэффициент, зависящий от формы эпюры напряжений в бетоне сжатой
зоны (3 - для треугольной, 2 - для прямоугольной).
Трещиностойкость рамного узла имеет важное значение в зданиях и со-
оружениях, где возможно воздействие агрессивных сред на арматуру и сни-
жение вследствие этого прочности сопряжения. Швы омоноличивания нахо-
дятся в более сложных условиях по сравнению со сплошным сечением. Осо-
бенность работы швов замоноличивания в узлах сопряжения заключается: в
разности характеристик бетонов сопрягаемых конструкций и швов; в нали-
чии зон ослабления по поверхности контакта бетона конструкции и омоноли-
чивания; в совместной работе сопряжения ригеля и консоли колонн, которая
существенно влияет на высоту сжатой зоны. Кроме того, включение в работу
бетона шва происходит при наличии уже определенной части постоянной
нагрузки. Это дает некоторые резервы в трещиностойкости сопряжений.
При обеспечении надежного сцепления бетон омоноличивания вос-
принимает часть растягивающих усилий и повышает жесткость сопряже-
ния. Для получения зависимости по определению трещиностойкости узла
76
принимаем следующие допущения: при <уь < 0,7/?* бетон на сжатие работает
упруго и эпюра сжимающих напряжений приравнивается к треугольной;
сжатие шва происходит на величину деформаций закладной детали от сдви-
гающих усилий.
Эпюра растягивающих напряжений принимается прямоугольной, т.е.
по всей высоте растянутой зоны (h-x) напряжения принимаются равными
Rbt.ser (см. рис. 3.5, б). Бетон растянутой зоны испытывает как упругие, так и
неупругие деформации и принимается v = 0,5. Поэтому перед образованием
трещины растягивающие деформации бетона равны предельным:
_ Rbt,ser _ ^Rbt,ser
Ч,~уь,-Еь~ Еь
(3-9)
В соответствии с эпюрой деформаций (см. рис. 3.10, 6) определяем на-
пряжения и деформации участков сечения, выразив их через напряжения и
деформации крайнего растянутого волокна бетона, для которого ст*( = Rbt,ser.
На основе принятых предпосылок и гипотезы плоских сечений относи-
тельная высота сжатой зоны определится:
ац + 0,5
0—+а-ц+1
А
(3.10)
где а = —, р = —, и = ——, Аь = b -h^-, Вг- жесткость закладной детали
Еь Еь Ь-И$
при сдвиге; А, - площадь растянутой арматуры; b - ширина торцевого шва.
Момент образования трещин относительно оси, проходящей по линии
опирания ригеля, будет равен:
Mcre -Rbt,ser
М2} ?3
(З.И)
Угол поворота сечения в момент образования нормальной трещины:
^Rbt,ser 'd
Еь-^ho ’
(3-12)
где d - толщина шва.
Податливость рамного узла до образования трещин, или так называе-
мая начальная податливость стыка, определится из выражения
77
1 2d
C~Eb.^-Wpl^
(3.13)
где - упругопластический момент сопротивления сечения по бетонно-
му шву омоноличивания.
Напряжения и деформации крайнего растянутого волокна бетона при
омоноличивании равны нулю. Образование трещин происходит от прироста
вертикальной и горизонтальной нагрузки в стадии эксплуатации. Поэтому
оценивать трещиностойкость узлового сопряжения следует только на до-
бавляемую часть внешней нагрузки при кратковременном ее действии.
С учетом длительности действия нагрузки необходимо вводить в расчет
дополнительный прирост опорного момента за счет перераспределения
усилий, вызванных ползучестью бетона. Исходя из практики проектирова-
ния, для предварительной оценки учет длительности действия нагрузки
можно производить снижением первоначальной постоянной нагрузки до
50% и введением ее в нагрузку после омоноличивания.
Учет податливости узлов при статическом расчете рамы
При расчете рамы методом перемещений реакции ригеля от единичных
деформаций и внешней нагрузки, учитывающие податливость узлов, опре-
деляют по формулам, приведенным в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Определение опорных реакций ригеля от единичных деформаций
и нагрузок с учетом податливости узлов
Схемы и вид воздействия Эпюры моментов Моменты (реакции)
1 2 3
1 /?12 _>з So NJ NJ ь- II II II £ to 1^ ь 1^ bJ* NJ i £ 1 ,1 ^NJ bJ NJ
' у
= 1 ^12 о ^^^<22^
78
Окончание табл. 3.3
Ci и Сг - угловые жесткости левого и правого узлов ригеля;
rn>r22>ri2>ri>r2 _ реакции /?ц, /?22, ^12, R\ и /?2, определенные без учета
податливости узлов;
D = (г] ] + С]) • (г22 + С2) - ri2;
mi и m2 - опорные моменты жестко защемленного ригеля от внешней
нагрузки, определенные без учета податливости узлов.
При учете жестких приопорных участков ригеля (см. разд.3.2) реакции
от единичных деформаций и внешней нагрузки определяют по формулам,
приведенным в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Определение опорных реакций ригеля от единичных деформаций
и нагрузок с учетом жестких узлов
Схемы и вид воздействия Эпюры моментов Моменты (реакции)
1 2 3
"7.В=<х> В=<я /?11 R\ 1 — R] ] + 2а (/?11 + R] 2) +
qL JT / т +а2 (Ли +R22 +2Я]2);
- IL ...1Т............
1 [Ь Т?22 = 7?22 + 2Р (R-22 + R]2 ) +
М —1 Л
+Р (^i 1 + R22 + 27?i2);
В=<я B=oov-
"Н , А / Т?12 = R12 + а(1 + Р)(7?22 +^12) + +Р2 (1 + а)(Лн +Т?]2)
-У -% 1 Ж
79
R1 = /?] Ч-а^ +^2);
Rz = R2 +Р(^1 + -^2 )
Окончание табл. 3.4
Ли, R22, Rn, Ль R2.M1, М2 - см. формулы табл. 3.3;
a=a/l; р = Ы1;
61, Qi ~ поперечные силы в опорных сечениях жестко защемленного
ригеля, определенные без учета податливости узлов.
3.4. Учет перераспределений моментов в ригелях
С ростом внешней нагрузки на ригелях рамы, в связи с неупругой работой
железобетона, фактические моменты ригеля будут все больше отличаться от
моментов, полученных из расчета рамы как упругой системы, т.е. происходит
процесс, называемый перераспределением моментов. Проследим этот процесс
на примере ригеля с постоянным по длине сечением, жестко закрепленного по
обоим концам и нагруженного равномерно распределенной нагрузкой.
Как известно, моменты в критических сечениях, т.е. на опорах и в се-
редине пролета, определенные из упругого расчета такого ригеля, равны
Если нагрузка увеличивается до достижения обоими опорными момен-
тами момента трещинообразования, значения моментов будут соответство-
вать упругому расчету. Первые трещины возникают в сечении, где момент
наибольший, т.е. в обоих опорных сечениях.
В этих сечениях жесткости уменьшаются, и дальнейший прирост на-
грузки вызывает увеличение приращения моментов в пролете, где жест-
кость осталась прежней, и уменьшение этого приращения в опорных сече-
ниях, как показано на рис. 3.6. При этом из условия равновесия сил сохра-
нятся равенство -Л/оп + Л/||р =
80
Рис. 3.6. Характер перераспределения опорного и пролетного моментов
с ростом нагрузки q для балки с жестко заделанными опорами
С образованием первых трещин в пролете жесткость пролетных сече-
ний уменьшается, что вызывает в критических сечениях некоторое вырав-
нивание моментов. При этом увеличение приращения моментов на опоре
будет заметнее, поскольку участок с трещинами в пролете будет увеличи-
ваться сильнее и быстро превысит участки с трещинами на опорах.
С приближением опорных моментов к предельным по прочности уве-
личиваются пластические деформации арматуры и бетона, что приводит к
более резкому уменьшению жесткостей на опорах, чем в пролете, и следо-
вательно, к возрастанию пролетных моментов. Если предположить доста-
точно большую способность сечений к пластическому деформированию, то
всегда после достижения в опорных сечениях предельных моментов пре-
дельный момент будет достигнут и в пролетном сечении. В этом случае в
критических сечениях могут продолжаться деформации без увеличения
моментов, и следовательно, и нагрузок, т.е. они превращаются в шарниры, а
ригели с тремя шарнирами представляют собой изменяемую систему. Та-
ким образом, за предельное состояние по прочности такого ригеля прини-
мается достижение в критических сечениях предельных значений момен-
тов. При одинаковом армировании опорных и пролетных сечений моменты
в этих сечениях будут равны среднему значению из их упругих величин,
т.е. —М =М =^——.
1 '"ОП '"пр
Отношение предельного фактического момента к моменту от той же на-
грузки, определенного из упругого расчета, принято называть коэффициентом
перераспределения. В нашем случае коэффициент перераспределения равен:
для опорных моментов 12/16 = 0,67, для пролетного момента 24/16 = 1,5.
81
6 Заказ 979
Таким образом, перераспределение моментов в ригелях зависит
в основном от принятого армирования опорных и пролетных сечений
ригеля. Главное, чтобы сумма предельного момента в пролетном сече-
нии и среднего значения предельных моментов в опорных сечениях бы-
ла не меньше момента от внешней нагрузки, подсчитанного как для сво-
бодно опертой балки пролетом, равным расстоянию между опорными
заделками.
Такой подход к проектированию неразрезных балок и ригелей рам ос-
нован на большом количестве экспериментов над неразрезными балками и
фрагментами рам. При этом варьировались в широких пределах как про-
цент армирования балок, так и различные соотношения армирования про-
летных и опорных сечений. И ни в одном из опытов не было зафиксировано
разрушение ранее достижения предельных моментов во всех трех критиче-
ских сечениях, т.е. нигде деформации бетона и арматуры не достигли своих
предельных значений.
Это позволило в Руководстве по расчету статически неопределимых
железобетонных конструкций [46] ограничить перераспределение моментов
только соблюдением эксплуатационных требований по трещиностойкости и
деформативности.
Следует отметить, что работа ригеля в составе рамы может существен-
но отличаться от работы неразрезных балок или ригелей небольших фраг-
ментов рам. Во-первых, учитывая, что расчет различных сечений ригеля
ведется на действие различных расположений временных нагрузок, при
невыгоднейшей комбинации нагрузок для одного опорного сечения, мо-
менты в другом опорном сечении, а также в пролете могут быть весьма да-
леки от предельных значений. Во-вторых, ветровая нагрузка, увеличивая
моменты в одном опорном сечении, уменьшает его в другом. Поэтому в
этом случае, чтобы привести все критические сечения в предельное состоя-
ние, потребуется такая вертикальная нагрузка на данном ригеле, которая
может привести в самом напряженном сечении к недопустимым деформа-
циям бетона и арматуры, т.е. к разрушению до достижения полного пере-
распределения моментов.
Кроме того, в ряде опытов над узловыми сопряжениями наблюдался
преждевременный разрыв состыкованных ванной сваркой надопорных
стержней, что объяснялось наличием больших сварочных напряжений и
охрупчиванием металла в зоне сварки. Поэтому для таких узлов НИИСК
была рекомендована предельная деформация арматуры 0,01 вместо величи-
ны 0,025, принятой в СП 52-101-2003 для арматуры с физическим пределом
текучести.
Позволяет избежать превышения предельных деформаций расчет рамы
с учетом физической и геометрической нелинейности (см. гл. 6)
При использовании обычного расчета рамы как упругой системы учи-
тывать перераспределение опорных моментов удобнее всего с помощью
коэффициентов перераспределения, значения которых должны быть не ме-
нее некоторых граничных величин.
82
Для определения этих величин была проделана большая серия сопос-
тавительных расчетов рам из элементов типовых серий 1.020.1-4 и 1.420.1-
19. Рассматривались ригели пролетом 6 и 9 м и колонны высотой 3,6 и 6 м.
Варьировался также уровень предварительного напряжения от нуля до
0,7Rsn- При расчетах жесткости сечений определялись с помощью диаграм-
мы бетона принятой по рекомендациям ЕКБ-ФИП, мало отличающей-
ся от диафрагмы о-£ по СП 52-101-2003.
Анализ полученных результатов показал, что больше всего на значение
коэффициентов перераспределения для опорных сечений влияет высота
сжатой зоны бетона, определенная из расчета по прочности, х = t;h0, и на-
личие предварительного напряжения нижней арматуры ригелей. Результа-
ты были обобщены следующими формулами:
при Е, < 0,25 К°^ = А + Е,, но не менее С;
при > 0,25 К™р = В + 0,25(£, - 0,25),
где А = 0,5; В = 0,75; С = 0,6 - для ригелей с нижней напряженной армату-
рой; А = 0,6; В = 0,85; С = 0,7 - для ригелей с ненапряженной арматурой.
Поскольку пролетный момент ригеля определяется при невыгодней-
шей комбинации нагрузок для пролетного сечения, упругие опорные мо-
менты при такой комбинации, как правило, меньше упругого пролетного
момента, и поэтому, даже при сниженном армировании опорных сечений,
перераспределение опорных моментов в пролет почти не происходит. Ис-
ключение составляют предварительно напряженные ригели, в которых же-
сткость средней части может быть несколько больше жесткости приопор-
ных участков. Поэтому для пролетных моментов от невыгоднейшей комби-
нации нагрузок коэффициент перераспределения можно принять равным:
для преднапряженных ригелей - 1,1, для ненапряженных ригелей - 1,0.
Но этот момент не должен быть меньше пролетного момента, соответст-
вующего возможному полному перераспределению моментов, т.е. при на-
личии пластических шарниров в обеих опорах от вертикальной нагрузки.
При этом следует участь также момент в пролете от ветровой нагрузки.
Эпюра моментов от этой нагрузки при наличии в опорах пластических
шарниров будет иметь вид треугольника с нулевым моментом на опоре, где
упругие моменты от вертикальной и ветровой нагрузки одного знака, и с
моментом, равным сумме опорных упругих моментов от ветра, на другой
опоре (рис. 3.7). Тогда пролетный момент при такой ситуации будет равен
М +М М +М
Мпр = ----011-2 -":П, (3.14)
где Л/цр.св - максимальный момент в пролете, определенный как для свобод-
но опертой балки: Мт и Л7ПИ, - моменты от ветровой нагрузки на левой и
правой опорах, определенные из упругого расчета рамы; Мопл и Л70п п - пре-
дельные по прочности моменты на левой и правой опорах ригеля.
83
6*
Рис. 3.7. К определению пролетного момента при учете полного
перераспределения опорных моментов;
эпюры моментов: а - от действия предельных по прочности опорных моментов;
б - от действия внешней нагрузки на ригель как свободно опертой балки;
в - от ветровой нагрузки при наличии одностороннего шарнира на правой опоре;
г - от всех нагрузок (расчетная эпюра М)
Как указано выше, ограничением перераспределения опорных мо-
ментов может служить также расчет этих сечений по раскрытию трещин
при действии нормативных нагрузок. Поэтому для такого расчета необхо-
димо знать опорные моменты с учетом перераспределения этих нагрузок.
Для определения коэффициентов перераспределения для такого рас-
чета по той же методике была проведена серия сопоставительных расчетов.
Анализ полученных результатов позволил принять для опорных моментов
следующие коэффициенты перераспределения:
- для ригелей с напрягаемой нижней арматурой К™ = 0,9;
- для ригелей с ненапрягаемой арматурой К™ = 1,0.
Для пролетных сечений любых ригелей при расчете по раскрытию
трещин и деформациям перераспределение моментов можно не учитывать,
т.е. принимать К°р = 1,0.
3.5. Учет деформированной схемы
Рамы в общем случае следует рассчитывать по деформированной
схеме, когда учитываются не только поперечные нагрузки на элементы,
но и моменты от продольных сил, вызванные прогибами элементов. Отли-
чие такого расчета от обычного при расчете рамы методом деформаций
сводится к определению реакций от единичных деформаций и внешних
нагрузок в основной системе методом начальных параметров, разработан-
ным Н.В. Корноуховым [21]. Для отдельных элементов длиной I, сжатых
силой N, имеющих постоянную по длине жесткость D, эти реакции опреде-
ляются по формулам, приведенным в табл. 3.5.
84
Таблица 3.5
Приведенные в табл. 3.5 коэффициенты ф1-ф4, Л! и Лг можно опреде-
лять по более простым формулам:
Ф1 = 3 - 0,2w; t|i = 3 - l,2w;
ф2 = 4-мт7,5; r|2 = 12-l,2w;
фз = 2 + w/30;
ф4 = 6-w/10;
Nl2 2
где w =---= v ,
D
При значениях v не более 1,5, что характерно для элементов железобе-
тонных рам, погрешность при использовании этих формул по сравнению с
табличными весьма мала.
Как видим, при расчете по деформированной схеме существенную
роль играют абсолютные значения жесткости элементов D в отличие от
обычного статического расчета, когда имеют значение лишь соотношения
жесткостей элементов. При этом следует отметить, что для железобетон-
ных элементов значительная доля деформаций является неупругими, и
следовательно, жесткость отдельных участков элементов зависит от мо-
ментов в этих участках, а по длине элемента жесткости оказываются пе-
ременными.
Таким образом, расчет рамы по деформированной схеме правильнее
всего проводить с учетом физической нелинейности железобетона (см. гл.
6). При этом длину каждой колонны в пределах между жесткими участка-.
85
ми разбивают на ряд равных участков длиной, примерно равной высоте
сечения, и по границам этих участков принимают фиктивные защемления
и горизонтальные опоры, препятствующие поворотам и смещениям.
В пределах каждого участка жесткость принимается постоянной и соот-
ветствующей максимальному моменту на этом участке. Таким образом,
для определения реакций от единичных деформаций опоры каждой ко-
лонны следует решать систему канонических уравнений с 2(и-1) неиз-
вестными (где п - число участков), используя для определения коэффици-
ентов формулы из табл. 3.5.
Для ригелей реакции от единичных деформаций можно определять без
учета деформированной схемы в связи с малым значением N, используя
формулы для стержней переменной жесткости.
После расчета всей рамы и определения моментов в каждом участке
элементов следует корректировать принятые жесткости. Расчет произво-
дится итерациями до удовлетворительного соответствия принятых жестко-
стей и полученных моментов. Жесткости для каждого участка элемента
М
принимаются равными----, где кривизны 1/г определяются согласно посо-
1/г
бию [27]. В 1-й итерации можно принимать жесткость как для бетонного
элемента без трещин EJ.
Выясним, как расчет по деформированной схеме изменит усилия, оп-
ределенные из расчета по недеформированной схеме.
Сопоставления результатов расчета рам по деформированной и неде-
формированной схемам, показали, что отношения моментов, определенных
по таким расчетам (r| = весьма существенно зависят от характера
нагрузки, вызвавшей этот момент. Для примера рассмотрим простейшую
раму со схемой по рис. 3.8 с постоянной по длине колонны жесткостью.
При расчете этой рамы по недеформированной схеме моменты в верхнем и
нижнем опорных сечениях колонн от вертикальной нагрузки будут равны
М и 0,5Л7. При расчете по деформированной схеме, т.е. при использовании
формул табл. 3.5, эти моменты равны М и Л7ф3/(р2- Таким образом, для
верхнего сечения имеем г| = 1, а для нижнего г| = 2<р3/<р2, или, приняв
Л72 ,
w -----= 1, имеем:
D
Wi/зо)
4-1/7,5
Моменты в нижнем сечении от горизонтальной нагрузки W при расче-
тах по недеформированной и деформированной схемам соответственно
Wl WI Ф1 , Ф1 3-0,2 1
— и-------г, т.е. коэффициент г| при w = 1 равен т| = — =-= 1,555.
2 2 Th гц 3-1,2
86
Рис. 3.8. Пример простейшей рамы
Этот пример показывает, что моменты в опорных сечениях колонн, вы-
званные вертикальными нагрузками, не вызывающими заметных горизон-
тальных смещений перекрытий, практически не изменяются с переходом на
расчет по деформированной схеме, поскольку всегда должны находиться в
равновесии с опорными моментами примыкающих ригелей, зависящими
только от соотношения жесткостей колонн и ригелей. Исключение состав-
ляют моменты колонн, вызванные в основном поворотом противоположно-
го узла, например, в сечении у заделки колонны в фундамент.
Кроме того, моменты в промежуточных сечениях колонны также
увеличиваются, поскольку эпюры моментов колонн MN даже при отсутст-
вии поперечных нагрузок имеют криволинейный характер в отличие от
эпюры М, полученной из обычного расчета. Однако в рамных каркасах
эпюры моментов колонн, как правило, знакопеременны, и моменты в
промежуточных сечениях, особенно удаленных от опор, всегда сущест-
венно меньше опорных моментов и не являются расчетными. Исключение
может составлять случай, когда максимальный опорный момент меньше
или близок к моменту, равному N-ea (где еа - случайный эксцентриситет,
принятый в СП). Такие случаи могут иметь место в средних колоннах
нижних этажей здания.
Моменты, вызванные действием горизонтальных силовых нагрузок,
всегда увеличиваются с переходом на расчет по деформированной схеме.
При этом, как показывает приведенный выше пример, это увеличение су-
щественно больше увеличения момента при действии вертикальных нагру-
зок. Следует также отметить, что это увеличение моментов связано с уче-
том жесткостей всех колонн каркаса и действием на него всех вертикаль-
ных нагрузок, в отличие от увеличения моментов, вызванного вертикаль-
ными нагрузками, когда оно связано в основном с жесткостью рассматри-
ваемой колонны и с нагрузкой на эту колонну.
Кроме того, это увеличение, связанное с действием горизонтальных
ветровых (т.е. кратковременных) нагрузок, должно зависеть от жесткости
элементов, соответствующей непродолжительному действию нагрузки, не-
смотря на то что моменты, влияющие на эту жесткость, вызваны всеми, в
том числе и продолжительно действующими, нагрузками (т.е. постоянными
и длительными). Поэтому в общем случае расчет по деформированной схе-
ме должен состоять из трех расчетов.
87
1-й расчет - на действие постоянных и длительных нагрузок, принимая
жесткость с учетом их продолжительного действия. При этом, если рассчи-
тывается отдельная рама каркаса с жесткими узлами, учитываются усред-
ненные вертикальные нагрузки при загружении временными нагрузками
всех ригелей. Жесткости элементов, строго говоря, тоже должны прини-
маться усредненными, т.е. учитывающими коэффициент изменчивости бе-
тонных характеристик при заданной обеспеченности и число колонн в кар-
касе. Но для упрощения расчета в некоторый запас целесообразно учиты-
вать нормативные характеристики бетона. В результате итераций опреде-
ляются для каждого участка элемента моменты от постоянных и длитель-
ных нагрузок М№
2-й расчет - расчет на действие кратковременных нагрузок (т.е. ветро-
вых и кратковременных вертикальных), принимая жесткость Bav с учетом
действия постоянных и длительных нагрузок. Если принять как в СП52-
101-2003 и в предыдущих нормах, что кривизйы при непродолжительном
действии момента = Мп - Млл не зависят от деформаций, полученных
при продолжительном действии момента Мда (кривые аб и а'б' на рис. 3.9
параллельны), то
(3-15)
где 1 — 1 и — ~ кривизны от непродолжительного действия соответ-
\ г ) I г )
X' /Кр X' /Кр
ственно моментов Мп = М№ + Мкр и М№.
Расчет также производится итерациями, принимая значения Мал из 1-
го расчета, и в результате определяются моменты М^.
Рис. 3.9. Графики зависимости кривизны от момента при непродолжительном
действии нагрузки (1) и при продолжительном действии нагрузки (2)
88
Здесь следует отметить, что проверять прочность следует при невыгод-
нейшем расположении временных нагрузок на ригелях рамы, при котором мо-
менты в рассматриваемом сечении могут существенно превышать моменты при
действии усредненных нагрузок на всех ригелях рамы, принятые при вычисле-
нии жесткостей. Поэтому целесообразно проводить 3-й расчет на действие вер-
тикальных нагрузок рассматриваемой рамы при невыгоднейшем расположении
временных нагрузок на ригелях. Поскольку моменты от кратковременных вер-
тикальных нагрузок, как правило, составляют незначительную долю от полных
моментов, здесь можно учитывать только длительные временные нагрузки, и
следовательно, расчет будет аналогичен 1-му расчету. Полученные моменты
Мд , складываются с полученными из 2-го расчета моментами М^.
Прочность будет обеспечена, если момент Мп = + Мкр не превы-
сит предельный момент по прочности.
Такой расчет приводит к некоторому «запасу», поскольку момент
Л/кр фактически должен быть меньше вычисленного по 2-му расчету; в этом
расчете использовалась увеличенная жесткость в связи с уменьшенным
значением Мдл. При желании уточнить значения Мкр следует сделать расчет
рамы как несвободной на действие кратковременных вертикальных и гори-
зонтальных смещений перекрытий, полученных из 2-го расчета, принимая
(1V
жесткость по формуле (3.4), в которой кривизна - определяется с уче-
том момента М№ из 3-го расчета.
Поскольку при расчете по деформированной схеме на действие верти-
кальных нагрузок, как было указано выше, моменты в опорных сечениях
колонн, кроме заделок в фундаментах, практически не изменяются по срав-
нению с обычном расчетом, целессобразно только 2-й расчет проводить по
деформированной схеме, а влияние продольного изгиба для сечений в за-
делках и в промежуточных сечениях при действии вертикальных нагрузок
учитывать приближенно с помощью коэффициента т|, приведенного ниже.
Моменты, вызванные вынужденными горизонтальными деформациями
(т.е. деформациями, не зависящими от жесткости колонн, например, от
температурных деформаций перекрытий) при переходе на расчет по де-
формированной схеме будут несколько уменьшаться, что видно из формул
для коэффициентов cpi и ф4 (см. табл. 3.5). Поэтому эти моменты также
можно определять из расчета по недеформированной схеме.
Поскольку продольные силы колонн слабо зависят от жесткостей эле-
ментов, кривизны при каждой итерации удобнее определять, пользуясь за-
ранее построенными диаграммами М- (l/r)i, М- (1/г)2 и М - при
фиксированных продольных силах N, полученных при 1-й итерации. При
этом 1-я диаграмма строится при N от всех нагрузок, учитывая непродол-
жительное действие нагрузок, 2-я и 3-я диаграммы - при N от суммы посто-
янных и длительных нагрузок, учитывая соответственно непродолжитель-
ное и продолжительное действие нагрузок. Эти диаграммы можно строить
по некоторым характерным точкам, соединяя их потом прямыми линиями.
89
Координаты 1-й точки - это М= 0 и 1/г = 0; 2-й точки - М = Мск и 1/г =
М
---; 3-й точки - М= Мск и кривизна 1/г, соответствующая этому мо-
Ebl^red
менту после образования трещин; если при М = Mcrc £(,jmax < Ем.геЛ то коор-
динаты 4-й точки соответствуют £/,.max ~ Zbi.red, для 5-й точки М и 1/г, соот-
ветствующие e's = RS/ES, и, наконец, для 6-й точки - М и 1/г, соответст-
вующие Ejmax = Ebi,«it, т.е. предельному состоянию по прочности. Значения
Mcrc, Fbi, Ebi,red > £b,uit принимают по указанному СП 52-101-2003 или посо-
бию [23]. Если момент трещинообразования Мсгс превышает предельный
момент по прочности, все сечение всегда сжато, и тогда определяются ко-
ординаты М И 1/г, соответствующие £дпмх= 0,6 Ri/Eb и £(,>тях = £(,1, т.е. ис-
пользуется трех линейная диаграмма ст*—е&.
При вычислении кривизн используют диаграммы аь-гь, учитывая нор-
мативные сопротивления бетона и R^n и арматуры Rn. В сечениях, где
предполагается предельное состояние по прочности (опорные сечения, се-
чения на расстоянии (1/3... 1/2)/ от опоры при однозначной эпюре момен-
тов) принимаются расчетные сопротивления бетона и арматуры.
Как видим, такой расчет требует многократного решения систем канони-
ческих уравнений для каждой колонны рамы; при этом должно быть известно
армирование всех элементов, а также невыгоднейшее для каждого расчетного
сечения элемента расположение временных нагрузок на ригелях рамы.
Очевидно, этот расчет выполним только с помощью компьютерных
программ. Для задачи подбора необходимого армирования для всех эле-
ментов такой расчет весьма трудоемок даже при использовании быстродей-
ствующих компьютеров. Поэтому его целесообразно применять в качестве
проверочного расчета.
Можно обойтись без решения систем уравнений для колонны, если
применять упрощенное определение реакции колонн от единичных дефор-
маций при жесткостях, постоянных по длине и равных эквивалентным же-
сткостям Вэкв.
Для каждого вида вычисляемой реакции эти эквивалентные жесткости
определяются из равенства соответствующих реакций, определяемых из
расчета по недеформированной схеме колонны с переменными (действи-
тельными) жесткостями и с постоянной (эквивалентной) жесткостью. Такой
прием дает погрешность не более 3%.
В каждом стержне с переменной жесткостью можно выявить 6 различ-
ных видов реакций, показанных на рис. 3.10. При известных эквивалентных
жесткостях эти реакции определяются по формулам:
R -2^2.; R3=6^-; fi.=6^i;
1 I 2 / /2 /2
D П
D _. 1 ^ЭКВ.5 . П . л ЛЭКВ.6
/<5 - 12—, Я6 - 4——.
I »
90
Рис. 3.10. Схемы единичных деформаций и эпюры моментов от них
Используя формулы для реакций элементов с переменной жесткостью
и приравнивая их к вышеприведенным формулам для 7?, можно получить 6
формул эквивалентных жесткостей для каждого вида реакций:
„ С ЗпВ-2С
Джв.1 ^')КВ-2 jy
В ,
-^экв.З
в
D’
„ 22иЛ-В п з А п Зп(пА-В)+С
^экв.4 — ’ ^экв.5 Джв.6—’
гдеЛ = Е—; В^Ег-2-~(-~1)2; D = 4AC-3B2;
t=iBj Й Д й д
п - число участков разбиения длины колонны; I - номер участка разбиения,
отсчитываемого от одного какого-либо узла; Bt - жесткость z-ro участка.
Теперь при расчете по деформированной схеме реакции колонн можно
определить по формулам табл. 3.5, принимая D = Д,кв,.
При учете жестких приопорных участков (см. разд. 3.2) эти формулы
преобразуются в формулы, приведенные в табл. 3.6.
Поскольку эпюры моментов колонн, полученные из расчета по дефор-
мированной схеме, имеют криволинейный характер, при использовании
эквивалентных жесткостей моменты по границам участков разбиения дли-
ны колонны, необходимые для определения жесткостей участков, следует
определять по формуле
91
My sin(v - vx) ± M2 sin vx
sinv
где v = v, =x^;
(3.16)
x - расстояние от сечения с моментом Мх до сечения с моментом Му, Му и
М2 - моменты в опорных сечениях колонны; при учете жестких участков
опорные сечения проходят по границам жестких участков; I - расстояние
между опорными сечениями.
За жесткость D можно принимать минимальное значение эквивалент-
ной жесткости из B3XS.i...B3Kb.s- Знак «минус» принимается при знакопере-
менной эпюре моментов, знак «плюс» - при однозначной эпюре.
Если из предварительных расчетов известны примерные отношения
Взкв/Еь1 для колонн и ригелей, то расчет рамы по деформированной схеме
по сложности принципиально не отличается от обычного расчета. Пользу-
ясь таким расчетом, можно подбирать армирование элементов с выбором
невыгоднейших расположений временных нагрузок на ригелях рамы со-
гласно разд. 7.2 и 7.3. При этом в формулах табл. 3.5 и 3.6 значения N
должны соответствовать полным нагрузкам независимо от того, для какого
загружения проводится тот или иной расчет. Полученные в результате та-
кого расчета моменты не корректируются.
Таблица 3.6
Определение реакций от единичных деформаций с учетом жестких участков
92
Окончание табл. 3.6
2
# = у(ф4+Г]2а)
тЬа = *Тфз + Ф4(“ + ₽) + П2а₽]
Ча='(фз+Ф4«)
т'а = /(ф2 +ф4а)
та =г(ф2+2Ф4а + П2а2)
ть = т'ь =i—~
sinv
V
tgv
<7=^2
™b = l~ (ф4 + П2₽)
т'ь =™'а = |‘Ф4
та =|(Ф4+П2а)
<Pi =3-0,2w; г|| =3-1,2w,
WWW
Ф2=4--; (р,=2ч-; <р4=6-; ть = 12-1,2w;
7,5 30 10
Nl2 г- . D а п Ъ
w =-; v = Vw; z=—; а = —; р = —.
D Г I I
w;
Как показали расчеты, отношения Вэкв/Еъ1 обычно находятся в преде-
лах 0,4-0,8.
Расчетом по деформированной схеме можно наиболее правильно опре-
делять горизонтальные смещения перекрытий от ветровой нагрузки и выяв-
лять случаи, когда эти смещения превышают предельно допустимые значе-
ния, приведенные в табл. 22 СНиП 2.01.07-85*.
93
Кроме того, расчетом по деформированной схеме можно оценить опас-
ность потери общей устойчивости здания даже в случае выполнения
требований по прочности и деформативности. Такие случаи возможны для
рам с этажами большой высоты, значительными вертикальными нагрузка-
ми. Для этого строится график зависимости горизонтальных смещений вер-
ха рамы от вертикальных нагрузок на всех перекрытиях А = f(q) при неиз-
менной ветровой нагрузке и определяется критическая нагрузка <?кр в виде
асимптоты, к которой должна стремиться кривая А = f(q). При построении
этой кривой игнорируются требования по прочности, а жесткости прини-
маются не менее той, что соответствует предельному моменту по прочно-
сти. Отношение критической нагрузки к расчетной не должно быть меньше
принятого коэффициента запаса на устойчивость. Этот коэффициент реко-
мендуется принимать в пределах 1,4-1,5.
Оценить опасность потери устойчивости можно более простым спосо-
бом, если определять увеличение смешений перекрытий при переходе на
расчет по деформированной схеме. Как показали расчеты, увеличение этих
смещений в 4 раза примерно соответствует достижению коэффициента за-
паса на устойчивость в указанных пределах.
Поскольку большинство компьютерных программ ориентировано на
расчет рам по недеформированной схеме, встает вопрос, как скорректиро-
вать результаты такого расчета, приблизив его к результатам расчета по
деформированной схеме.
В СП 52-101-2003, как и во всех предыдущих нормах проектирования,
для определения корректирующего коэффициента ц = MN/Mn принят способ
критических сил, выражаемый через формулу
Ч = —тг- <317>
1
где Ncr = —-— критическая (Эйлерова) сила; /0 - расчетная длина элемен-
те
та, определяемая из расчета на устойчивость; D - усредненная жесткость
колонны в предельной стадии.
В СП 52-101-2003 и пособии [27] к нему жесткость D принята на основе
экспериментальных исследований шарнирно закрепленных стоек длиной
I = 10 на кратковременное действие продольных сил N с постоянными по дли-
не стойки начальными эксцентриситетами е0 и выражается через формулу
д = 0,15Д,/
0,3 + 8е
где I als~ моменты инерции соответственно бетонного сечения и сечения
всей арматуры относительно центра тяжести бетонного сечения; бе = e(t/h,
но не менее 0,15.
94
При продолжительном действии нагрузки, под влиянием ползучести
бетона, прогиб элемента дополнительно возрастает и увеличивается экс-
центриситет продольной силы. Это учитывается коэффициентом ф/ = 1 +
+ Мц/Mi > 1, на который делится бетонная часть жесткости D, что увеличи-
вает коэффициент г]. Здесь Мп и М\ - моменты относительно растянутой
или менее сжатой арматуры соответственно от суммы постоянных и дли-
тельных нагрузок и от всех нагрузок.
Поскольку, как показано выше, коэффициент г] должен зависеть от ви-
да нагрузки, в пособии [27] приняты два вида коэффициента т|:
т] v - вводимый на моменты от вертикальных нагрузок в тех случаях,
когда переход на расчет по деформированной схеме приводит к увеличе-
нию момента;
т|а - вводимый на моменты от горизонтальных силовых нагрузок и,
следовательно, приняты две группы расчетных длин:
1-я группа - расчетные длины, полученные из расчета на устойчивость
стоек с закрепленными от горизонтальных смещений концами;
2-я группа - то же, для стоек с незакрепленными концами.
При этом моменты от вертикальных нагрузок в опорных сечениях,
кроме заделок в фундаментах, а также моменты от вынужденных горизон-
тальных деформаций не корректируются.
Каждый вид коэффициента г] приблизительно равен отношению мо-
ментов MN и М, определенных при соответвующих нагрузках и при одина-
ковых жесткостях колонн, принятых в формуле (3.7) и при расчете по де-
формированной схеме.
Во всех случаях коэффициент расчетной длины ц = -у-, соответствую-
щий потере устойчивости, определяют из уравнения г] = оо, т.е.
N Nl2^2
Ncr п2 D
= 1, откуда
2 2
4 = 1иЦ=^
л vcr
где vcr = 1^— - параметр стойки, получаемый из решения уравнения ус-
тойчивости. Как известно, это уравнение представляет собой равенство ну-
лю детерминанта, составленного из коэффициентов при неизвестных сис-
темы канонических уравнений метода деформации.
Определим коэффициенты ц для расчетных длин 1-й группы.
Рассмотрим несвободную стойку с податливыми заделками на обоих
концах (рис. 3.11, а), имеющих угловые жесткости, равные Q и С2. При
основной системе по рис. 3.11, б уравнение устойчивости имеет вид
г'ф2 + С, гфз
г'ф3 гф2 + С2
95
где I = D/l. Преобразовав его, имеем уравнение
(ф2+С1)(ф2+е2)-фз =0,
где ci = C/z и С2 = C2/z - относительные угловые жесткости заделок.
Рис. 3.11. К определению расчетной длины несвободной стойки:
а - расчетная схема; б - основная система
Решая это уравнение при заданных значениях ci и с2, получим значе-
ния v = Vo-, а по ним и коэффициенты ц, представленные в табл. 3.7.
Таблица 3.7
Коэффициенты расчетной длины р для несвободной стойки
\ Cl С2 \ 0 2 5 10 20 □0
0 1,00 0,87 0,80 0,76 0,73 0,70
2 0,87 0,77 0,71 0,68 0,66 0,63
5 0,80 0,71 0,66 0,63 0,60 0,58
10 0,76 0,68 0,63 0,59 0,57 0,55
20 0,73 0,66 0,60 0,57 0,55 0,52
00 0,70 0,63 0,58 0,55 0,52 0,50
96
Пользуясь этой таблицей при определении угловых жесткостей заде-
лок С] и С2, следует учитывать реакции от единичного поворота концов
только примыкающих ригелей, считая, что выше- и нижерасположенные
колонны близки к потере устойчивости и дают нулевые реакции. Кроме
того, желательно учитывать соотношения действительных жесткостей ко-
лонн и примыкающих ригелей, а также работу соседних колонн и ригелей,
но, поскольку эти факторы учесть затруднительно, в пособии [27] для рас-
четных длин 1-й группы приняты значения коэффициентов ц, зависящие
только от характера закрепления концов колонны и приводящие к заведо-
мому запасу. Эти значения ц равны:
при шарнире на одном конце, а на другом:
жесткая заделка - 0,7;
податливая заделка - 0,9;
при заделке на обоих концах: жесткой - 0,5,
податливой - 0,8;
при податливой заделке на одном конце и жесткой на другом - 0,7.
Аналогично определим коэффициенты ц для расчетных длин 2-й группы.
Рассмотрим свободную стойку с податливыми заделками на обоих кон-
цах (рис. 3.12, а), имеющих угловые жесткости Cj и С2. При основной
системе по рис. 3.12, б уравнение устойчивости имеет вид
Рис. 3.12. К определению расчетной длины свободной стойки:
а - расчетная схема; б - основная система
97
7 Заказ 979
Преобразовав его, получим уравнение
(ф2 +ci )[Л2(Фг+с2)-<Р4]-<Рз(ФзП2 ~Ф4)+
+Ф4(ФЗФ4 -Ф4<Ф2 + С2)] = О,
где с,= C\/i, с2 = C2/i.
Решая это уравнение при заданных значениях щ и с2, получим значе-
ния v = v.„ а по ним и коэффициенты ц, представленные в табл. 3.8.
Таблица 3.8
Коэффициенты расчетной длины р для свободной стойки
\ С1 С2 \ 0 2 5 10 20 ОО
0 00 2,90 2,38 2,20 2,1 2
2 2,90 1,83 1,57 1,48 1,43 1,37
5 2,38 1,57 1,37 1,28 1,23 1,18
10 2,20 1,48 1,28 1,19 1,15 1,10
20 2,10 1,43 1,23 1,15 1,10 1,05
□0 2,00 1,37 1,18 1,10 1,05 1,00
При определении коэффициентов ц для расчетных длин 2-й группы
следует учитывать, что жесткость D, принятая в коэффициенте ц, как ука-
зано выше, соответствует жесткости стойки в предельной стадии, т.е. ми-
нимально возможная. Однако дополнительные смещения перекрытий сво-
бодной рамы, вызванные продольными силами, зависят от усредненной
жесткости всех колонн этажа, которая будет существенно больше жестко-
сти D. Поэтому правильнее будет эти коэффициенты ц умножить на
Го”
----< 1, где Оср - предполагаемая усредненная жесткость колонн. По-
V Г-Р
скольку оценить этот и другие упомянутые факторы затруднительно, в по-
собии [27] для расчетных длин 2-й группы приняты значения коэффициен-
98
тов ц, зависящие только от характера закреплений концов и несколько сни-
женные по сравнению с приведенными в табл. 3.8 при минимально воз-
можных значениях с. Так, для колонн с шарниром вверху и жесткой задел-
кой снизу (т.е. для колонн одноэтажных зданий при шарнирном опирании
стропильных конструкций) коэффициент ц принят равным 1,5, а не 2, как
следует из табл. 3.8. Для этих колонн с податливой заделкой внизу принято
ц = 2,0, что менее значений ц из 1-го столбца табл. 3.8. При жестких задел-
ках обоих концов принято ц = 0,8 вместо р = 1,0 из табл. 3.8. Прн податли-
вых заделках обоих концов принято ц = 1,2, что приводит к излишним «за-
пасам», так как даже несниженное значение ц = 1,19 из табл. 3.8 соответ-
ствует Ci = с2 = 10, что меньше любой практически возможной жесткости
заделки. При податливой заделке на одном конце и жесткой заделке на дру-
гом принято ц = 1,0, что меньше значений ц из нижней строки табл. 3.8.
Таким образом, приведенные значения ц имеют весьма приближенный
характер и приводят в большинстве случаев к некоторому запасу. Но это
практически не имеет большого значения, поскольку уточненные моменты
от ветровых нагрузок в рамах составляют, как правило, небольшую долю
суммарного момента.
Следует также отметить, что приведенные в табл. 3.8 значения ц соот-
ветствуют раме с примерно одинаковыми колоннами и узлами в пределах
рассматриваемого этажа. При наличие в одном этаже колонн существенно
разных сечений или при сочетании жестких и шарнирных узлов использо-
вание табличных значений ц приведет к дополнительной неточности.
В частности, при наличии шарнирных узлов для колонн с жесткими узлами
эти коэффициенты будут заниженными, поскольку в табл. 3.8 предполага-
лись усредненные угловые жесткости заделок всех колонн этажа. Поэтому
для рам с резко различными жесткостными характеристиками разных ее
частей метод критических сил для определения коэффициентов гр не со-
всем удобен.
Для каркасов связевой схемы, характеризующихся именно резко раз-
личными жесткостными характеристиками колонн и связевых устоев удоб-
нее применять другой метод - метод «отклоняющих сил», изложенный
в разд. 4.3. Этот метод может быть использован и при расчете рамных кар-
касов, если надежно установлены жесткости колонн.
99
7*
ГЛАВА 6. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ ПО УЧЕТУ
ФИЗИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТИ
На напряженно-деформированное состояние многоэтажных каркасных
зданий заметное влияние оказывает физическая и геометрическая нелиней-
ность деформирования несущей системы и ее элементов.
Под физической нелинейностью понимают нарушение линейной зави-
симости между нагрузкой и перемещениями конструкции, вызванное воз-
никновением нелинейной зависимости между напряжениями и деформа-
циями конструкции в целом или ее элементов. Для железобетонных конст-
рукций физическая нелинейность вызывается неупругими деформациями
бетона и арматуры в элементах и узловых сопряжениях, а также возникно-
вением и развитием в них трещин. Величина физической нелинейности
деформирования материалов зависит от уровня и знака возникающих в них
напряжений.
Под геометрической нелинейностью понимают нарушение линейной
зависимости между нагрузкой и перемещениями, вызванное возникновени-
ем дополнительных усилий при деформировании конструкции или отдель-
ных ее элементов. Учет геометрической нелинейности можно осуществлять
через уравнения, связывающие перемещения с деформациями или с помо-
щью уравнений равновесия. Расчеты с учетом геометрической нелинейно-
сти часто называют расчетами по деформированной схеме.
Для узлов соединения сборных железобетонных элементов характерен
особый вид нелинейности - конструктивной. Она заключается в том, что
омоноличенные части узлов, при отсутствии в них металлических связей,
сопротивляются сжатию, но не сопротивляются растяжению. Это приводит
к неодинаковой деформативности таких узлов при действии на них знако-
переменных усилий.
Аналитическими методами практически достаточно сложно детально
учесть все виды нелинейности деформирования каждого элемента, по-
скольку проблематично подобрать монотонные функции, в общем случае
описывающие закон распределения нелинейных деформаций по элементам.
Поэтому при анализе здания по дискретно-континуальной модели и в прак-
тических методах расчета нелинейность деформирования элементов и свя-
зей обычно учитывают введением обобщенных коэффициентов, корректи-
рующих их жесткостные характеристики или перемещения.
Численные методы, в том числе МКЭ, позволяют задавать деформаци-
онные свойства отдельных частей конструкции независимо от остальных
элементов. Это дает возможность описывать физическую нелинейность
каждого элемента на основании его диаграммы деформирования и уровня
напряжений. Решение задачи при этом сводится к правильной организации
итерационного процесса с рационально выбранной функцией зависимости
деформаций элемента от напряжений. При этом следует учитывать, что МКЭ
159
предусматривает постоянство жесткостных характеристик в пределах конеч-
ного элемента. Поэтому учет физической нелинейности требует дополни-
тельного увеличения частоты разбивки конструкции на конечные элементы.
6.1. Диаграммы деформирования арматуры и бетона
При расчете железобетонных конструкций на основе нелинейной де-
формационной модели используются уравнения равновесия внешних сил и
внутренних усилий в сечении элементов. При этом распределение относи-
тельных деформаций бетона и арматуры по высоте сечения элемента при-
нимают по линейному закону (гипотеза плоских сечений), а связь между
осевыми сжимающими и растягивающими напряжениями бетона и армату-
ры (ст* и ст§)и относительными деформациями (с* и сЛу) принимают в виде
заданных непрерывных или дискретных функций.
При определении изгибной жесткости неравномерность деформаций
вдоль элемента учитывается коэффициентами и ц/д соответственно для
арматуры и бетона. Исходя из зависимостей «Стд-£й» и «сгу-Су», по соответ-
ствующим деформациям определяются напряжения в бетоне, арматуре и
внутренние усилия в сечении.
При расчете методом конечных элементов учет специфики железобе-
тона, а именно нелинейность деформирования, образование и раскрытие
трещин, наличие арматуры и их влияние на жесткость сечений, чаще всего
производят с помощью переменного модуля упругости при постоянной
геометрии сечений. При таком подходе модуль упругости приобретает
комплексный смысл. Определение характера изменения приведенного мо-
дуля упругости должно основываться на реальных свойствах материалов и
конструктивных особенностях элемента или сопряжения.
Диаграммы деформирования арматуры аппроксимируются в зависимо-
сти от класса применяемой арматурной стали. Для сталей с площадкой те-
кучести аппроксимирующая диаграмма принимается в виде идеально упру-
го-пластической диаграммы Прандля с условиями:
при 0 < Су >Ц§о <Т,’ — EsSs',
(6-1)
при С$() < Су <C.S2 CJ.S’ ~ Е$-
Для арматурных сталей без площадки текучести аппроксимирующая
диаграмма принимается в виде ломаной линии. Тогда зависимость между
напряжениями и деформациями запишется в общем виде:
при 0 < Су < e$i ст.у = Es-es;
при Су| < С у < С УО
! £л £Я !
J£S'O-£Я %.
RS£URS;
(6.2)
при еот < Су < C.S2
СГу - 1,1 Wy.
160
Имеется много предложений по аналитическому описанию полной диа-
граммы деформирования бетона при центральном сжатии, основанных на
экспериментальных данных и учитывающих отдельные факторы, влияющие
на одноосное напряженное состояние. В действующих нормах диаграммы
деформирования бетона рекомендуется представлять так же, как и для арма-
турных сталей, в кусочно-линейном виде (рис. 6.1).
Рис. 6.1. Диаграммы состояния растянутой арматуры:
а - для мягкой стали; 6 - - для высокопрочной стали
Для двухлинейной диаграммы (рис. 6.2, а) напряжения <лд определяют-
ся следующим образом:
ПрИ 0 < < E-bl.red Hb.rad
ПрИ &bl,red < — &Ь2 ^b Rb,
где Eh red - приведенный модуль деформации бетона, равный
Еь.гга Rbl^bX.redi
= 0,0015; ек= 0,0035.
161
11 Заказ 979
Рис. 6.2. Диаграммы состояния сжатого бетона
Сопротивление бетона растянутой зоны не учитывается (т.е. принима-
ется Cj = 0), за исключением расчета бетонных элементов, в которых не
допускается образование трещин. В этих элементах связь между осевыми
растягивающими напряжениями бетона <5bt и относительными его деформа-
циями также принимаются в виде двухлинейной диаграммы с заменой
На ^btl.red 0,0008, £/,2 На £/,/2 0,00015, Ebtred Иа R-bt /^bti.red'
При трехлинейной диаграмме (рис. 6.2, 6) напряжения определяются
по выражениям:
при 0 < Е6 < ЕЛ|
Eb
При E^f < E/j < Е/,0
< ^b JEbO~Ebl
где 061 = 0,6^;
ПрИ Е/,о < £/, < Ей
= Rb.
6.2. Диаграмма деформирования бетона в условиях
стесненных поперечных деформаций
В реальных конструкциях всегда имеет место сложное напряженное
состояние, а наличие продольной и поперечной арматуры оказывает суще-
ственное влияние на характер диаграмм деформирования бетона, которое
необходимо учитывать в расчетах.
Анализ многочисленных экспериментальных исследований показал, что
диаграммы сжатия армированного бетона, например поперечными сетками,
отличаются от деформирования бетонных образцов. Поперечное армирова-
162
ние при частом расположении препятствует свободному развитию попереч-
ных деформаций, вследствие этого повышается прочность бетона. Кроме
того, возрастают деформации, соответствующие максимуму несущей спо-
собности, одновременно изменяется и сам характер диаграмм сжатия.
Многими исследователями указывалось, что влияние поперечного ар-
мирования на диаграмму сжатия в начальной стадии нагружения при отно-
сительно низких уровнях напряжений невелико. С началом развития дест-
руктивных процессов в бетоне (микротрещины и поверхностные разрывы)
прирост поперечных деформаций возрастает. В этой стадии сетки косвен-
ного армирования активно препятствуют их свободному развитию, и тем
больше, чем выше количество поперечной арматуры. Процесс микротре-
щинообразования продолжается практически до достижения в стержнях
сеток косвенного армирования напряжений, соответствующих пределу те-
кучести. При таком уровне напряжений происходит резкий прирост про-
дольных деформаций при незначительном увеличении осевой нагрузки.
На основе обобщения результатов экспериментальных исследований
можно отметить, что в процессе нагружения сжатых элементов с объемным
армированием можно выделить три стадии: условно-упругую, упруго- пла-
стическую и стадию разрушения.
Условно-упругий участок деформирования начинается с момента при-
ложения нагрузки и закончивается уровнем напряжений, при котором про-
исходит начало разрушения защитного слоя. Продольные деформации, со-
ответствующие верхней границе упругого участка, равны предельным для
бетона е*. При этом напряжения в бетоне ядра сечения превышают
предел прочности при одноосном сжатии R/,.
Напряжения в бетоне ядра сечения в этом состоянии зависят от
объемного коэффициента косвенного армирования и могут быть опре-
делены по зависимости
Gb.red = Цгр-1,66). (6.3)
Упруго-пластический этап деформирования занимает значительную
часть диаграммы сжатия элементов с косвенным армированием. В этой ста-
дии происходит накопление повреждений в бетоне, которые сдерживаются
поперечной арматурой. Упруго-пластический этап деформирования огра-
ничивается достижением максимальных напряжений в бетоне ядра, равных
приведенной призменной прочности R^ red-
В стадии разрушения плавное падение сопротивления бетона происхо-
дит до уровня нагрузки 0,7 NR. Дальнейшие деформирования сопровожда-
ются развитием сдвиговых деформаций по наклонным площадкам.
Указанные особенности деформирования сжатых элементов с объем-
ным армированием свидетельствуют о том, что ранее предложенные функ-
ции, выражающие зависимость «<5-ъ» для неармированного бетона, в при-
менении к данным конструкциям требуют уточнения.
163
11*
С целью установления общей закономерности деформирования, учи-
тывающей влияние косвенного армирования, режима нагружения и некото-
рых других факторов по результатам испытания была построена диаграмма
в относительных величинах, зависимости <«5t/Rb,red - е/ед», представленная
на рис. 6.3. Опытные точки принадлежат образцам с различным содержани-
ем поперечной арматуры. При этом прочность бетона варьировалась в пре-
делах Rb = 22,3-^29,3 МПа.
Рис. 6.3. Обобщенная диаграмма сжатия бетона с объемным армированием
Из графика рис. 6.3 видно, что при одинаковом режиме нагружения
точки располагаются достаточно близко независимо от армирования.
Полученную опытную зависимость можно с достаточной точностью
аппроксимировать многочленом, предложенным для описания диаграммы
сжатия неармированного бетона в виде
°В ^h.red
Е
а,— + а2
Ед
(6-4)
где Rb,red - приведенная призменная прочность бетона ядра сечения; ед -
продольные относительные деформации, соответствующие максимальным
напряжениям в бетоне; аг~ коэффициенты многочлена.
Полнота описания диаграммы сжатия зависит от количества членов
полинома и соблюдения ряда нормирующих требований. В работе В.И. Бай-
кова [4] отмечалось, что для бетона зависимость о = /(е), с учетом всех нор-
мируемых показателей, может быть представлена пятью членами. Однако
проверочные расчеты показали, что с увеличением числа слагаемых в выра-
жении (6.4) несколько снижается точность аппроксимации в промежуточных
стадиях, не входящих в нормирующие условия, и усложняются расчетные
зависимости.
164
На основе анализа опытных и расчетных данных было установлено,
что для описания кривых в выражении (6.4) достаточно учитывать три чле-
на ряда. Очевидно, что для определения постоянных коэффициентов а, не-
обходимо соответствующее количество условий.
Одним из основных требований является соответствие пределов проч-
ности опытной и аппроксимирующей кривой, в связи с этим первое условие
запишется:
—= 1 при — = 1.
Rb,red
Из рассмотрения обобщенной диаграммы сжатия, представленной на
рис. 6.3, следует, что в точке с единичными координатами по обеим осям
существует экстремум функций, характеризующих достижения предельных
напряжений, и переход деформирования в область нисходящей ветви. На
основании этого второе условие можно выразить в виде
= 0 при — = 1. (6.5)
<*ь
Для центрально сжатых элементов интерес в основном представляет
восходящий участок диаграммы сжатия, поскольку на этой стадии находится
диапазон эксплуатационных нагрузок. Поэтому соответствие аппроксими-
рующей кривой на участке роста нагрузки имеет первостепенное значение.
Характерной стадией напряженно-деформированного состояния при
сжатии косвенно армированных элементов является уровень напряжений,
соответствующих началу разрушения защитного слоя. По существу, сжа-
тый элемент переходит в новое состояние. При этом установлено, что про-
дольные деформации равны предельным для неармированного бетона. То-
гда третье условие можно записать в виде
^b,red Rb,red
sb
а1~ + а2
(6.6)
где s/> - предельные деформации неармированного бетона; oh reti - напряже-
ния в бетоне ядра сечения при ez = zb, определяемые по выражению (6.3).
Используя принятые условия, система уравнений по определению а,
будет иметь вид
а] + а2 + а3 =1
• а} + 2а2 + а3 = 0
2 3 ,
а}а + а2а +а3а — к
165
(6.7)
В (6.7) приняты следующие обозначения:
SR &b,red
Решая систему (6.7), получили выражение для определения alt аъ а3:
а} = 2 + а3
а2 = —(1 + а3)
Ar + а2 -2а
Ъ =-------5--3
а - 2а + а
(6-8)
Используя опытные данные по выражениям (6.8), были определены ко-
эффициенты многочлена (6.6). Для бетона призменной прочности Rb = 22,3
-:-29,3 МПа выражение для описания опытных диаграмм сжатия примет вид
ст,, = Rb.redC^,5а - 2а2 + 0,5а3). (6.9)
Предлагаемая формула учитывает повышенную деформативность бе-
тона при так называемом боковом обжатии и наличии продольной армату-
ры. При отсутствии армирования в предлагаемых выражениях меняются
граничные условия и, как следствие, постоянные коэффициенты в (6.9).
6.3. Учет нелинейности деформирования изгибаемых
железобетонных элементов на основе диаграмм «М-1/р»
Современные программные комплексы по расчету конструктивных
систем в большинстве своем основаны на реализации метода конечных
элементов. При этом неупругость работы конструкции учитывается после-
довательными нагружениями (шаговый метод) или итерациями, при кото-
рых производится корректировка матрицы жесткости по напряжениям и
деформациям в соответствии с заданными диаграммами деформирования
материалами. Для железобетонных конструкций необходимо вводить как
минимум две диаграммы: бетона с учетом различного сопротивления сжа-
тию и растяжению, а также арматурной стали.
При расчете зданий и сооружений по пространственным расчетным
схемам с большим количеством разнотипных элементов это существенно
увеличивает матрицу исходных данных и усложняет формирование расчет-
ной схемы. Нелинейность деформирования железобетонных элементов,
166
(6.10)
жесткостные параметры можно определять по диаграммам « М-1/р». Для
изгибаемых железобетонных элементов предлагается использовать одну
обобщенную диаграмму «ст-е», обеспечивающую ту же прочность и де-
формативность. Рассмотрим методику построения диаграммы «о-s» на
примере изгибаемого элемента прямоугольного сечения, материал которого
одинаково работает при сжатии и растяжении, т.е. нейтральная ось является
осью симметрии. Тогда деформации по граням элемента е, на i-м этапе на-
гружения при соблюдении гипотезы плоских сечений определятся
h 1
=т—
2 р
где I/р, - кривизна сечения; h - высота сечения.
На каждой ступени нагружения должно соблюдаться условие
1 М,-
Рг ^redi
где Mt и Bred i - изгибающий момент и приведенная жесткость при изгибе на
i-м этапе.
Изгибающий момент в общем случае определится из уравнения мо-
ментов всех сил относительно нейтральной оси
= j <5zlzdz, (6.12)
F
где <iz - нормальные напряжения в сечении балки; z - расстояние от ней-
тральной оси до точки, где определяется напряжение; F - площадь попе-
речного сечения элемента.
Подставляя выражения (6.11) и (6.12) в (6.10), получим зависимость
для определения деформаций по граням изгибаемого элемента на каждом
этапе нагружения
п р
г -----------
2 fy-edi
По формуле (6.13), зная значения внутренних усилий и деформаций на
определенных стадиях напряженно-деформированного состояния реальной
конструкции, в частности изгибаемого элемента, можно получить серию
точек на диаграмме «ст-е», которая по своей сути является обобщенной,
поскольку построена с учетом работы как бетона, так и арматуры.
167
(6-13)
Рассмотрим диаграмму «Л/-1/р» железобетонного изгибаемого элемен-
та, показанную на рис. 6.4. Для конструкций без предварительного напря-
жения с оптимальным процентом армирования при нагрузках, не выше экс-
плуатационных, можно выделить стадии: первая - условно упругая, харак-
теризуемая практически линейным соотношением между внутренними уси-
лиями и деформациями; вторая - упругопластическая, которая начинается с
образования нормальных или наклонных трещин к продольной оси. При
этом конструкция становится менее жесткой и прирост деформаций суще-
ственно возрастает. Следует отметить, что предварительное напряжение
изменяет положение так называемой точки перелома или повышает момент
трещинообразования.
Рис. 6.4. Заданная диаграмма деформирования изгибаемого элемента (а)
и обобщенная билинейная диаграмма деформирования материала (б)
Для практических расчетов реальную диаграмму «Л/—1/р» можно заме-
нить кусочно-линейной. В этом случае искомая диаграмма «ст-s» также
будет иметь два линейных участка. И задача будет состоять в том, чтобы
определить точки диаграммы 1 и 2 на рис. 6.4.
В первую очередь определяем значения продольных деформаций по
соответствующим значениям кривизны балки
h 1 h 1
-----, е2 =---------•
2 Р] 2 р2
(6-14)
Напряжения в соответствующих точках диаграммы определим по из-
гибающим моментам для этих же состояний при условии выполнения
1 1 _ М2
Pl ^red\ Р2 ^red2
(6.15)
168
где М\, М2, Bred} и Bredi - изгибающие моменты и жесткость балки соответ-
ственно для состояния перед образованием трещин и в предельной стадии.
Момент трещинообразования определится по известной зависимости
= Mcrc = RbtWpl + Мг.
(6.16)
Значение М2 определится по пределу несущей способности, которое
для прямоугольного железобетонного элемента будет равно
М2 = Л66х(йо-О,5х) + 7?ге4(йо-а'). (6.17)
Напряжения в точке 1 определятся исходя из предположения упругой
работы (рис. 6.4, б) по известной зависимости
(6.18)
В соответствии с принятой билинейной диаграммой напряжения в точ-
ке 2 будут соответствовать максимальным напряжениям на эпюре внутрен-
них усилий, показанной на рис. 6.4, б, и определятся по формуле
ст2 = — (—М2 - |,
2 2 1 ’J
(6.19)
где
_й2 + 2foq _ й2 - fef] - 2х2
W1 ч W о —
1 12 2 6
h M\Bred2
2 M2Bredi'
Предлагаемую методику проиллюстрируем на примере железобетон-
ной балки сечением 30x60 см пролетом 6 м, изготовленной из бетона
класса В25 и армированной 2025A-III. Момент трещинообразования при
отсутствии предварительного напряжения будет равен Мсгс = М} =
= 33,7кНм и соответственно кривизна сечения 1/р, = 0,22х10~5 см-1. Пре-
дельный изгибающий момент при одиночном армировании и кривизна
сечения, с учетом образования трещин, составят М2 = 187,4 кНм и
1/р; = 10,6х 10 5 см4. При таких исходных данных обобщенная диаграмма
«ст—е», показанная на рис. 6.4, б, будет иметь координаты основных точек:
Ei= 6,5x10 5; Ст1 = 1,75 МПа; е2 = 141x10 5 и ст2 = 9,87 МПа.
Расчет рассматриваемой балки на равномерно распределенную нагруз-
ку методом конечных элементов на программном комплексе ЛИРА показал
хорошую сходимость заданной диаграммы и результатов расчета.
169
6.4. Учет нелинейности деформирования
рамного сопряжения ригеля с колонной
Одним из основных сопряжений в многоэтажных каркасах является
стык ригеля с колонной. В зависимости от его конструктивного решения
принимается расчетная схема несущей системы здания.
В рамных сопряжениях (рис. 6.5, а) соединение между ригелем и ко-
лонной осуществляется сваркой опорных закладных деталей, а в верхней
зоне выполняется приварка стальных пластин - накладок или арматурных
стержней к закладным деталям или к выпускам арматуры колонн и риге-
лей. Верхняя арматура устанавливается по расчету для восприятия сум-
марного изгибающего момента от расчетных вертикальных и горизон-
тальных нагрузок.
Соблюдая конструктивные требования в узлах, как показывает практи-
ка проектирования, обеспечить абсолютно жесткое сопряжение достаточно
сложно и в реальности при взаимном деформировании стыкуемых элемен-
тов возникает переменное по величине сопротивление. Это прежде всего
происходит вследствие повышенной деформативности опорных закладных
деталей и сварных соединений арматуры. Кроме того, податливость сопря-
жения может быть вызвана развитием неупругих и накоплением остаточ-
ных деформаций в элементах соединений, что особенно проявляется при
нагрузках, превышающих (0,3-Н),4) MR (где MR, - предельный момент по
несущей способности рамного сопряжения), как это показано на графике
рис. 6.5, б, полученном из экспериментальных исследований.
Для учета нелинейности деформирования железобетонных элементов
необходимо вводить диаграмму деформирования бетона с учетом различ-
ного сопротивления сжатию и растяжению и диаграмму деформирования
арматурной стали, а для сопряжений - диаграмму деформирования арма-
туры со сварными стыками и соединений по закладным деталям. Прове-
дение этих мероприятий представляется достаточно проблематичным.
Поэтому предлагается более обобщенный подход к оценке нелинейности
работы сопряжения ригеля с колонной, основанный на применении одной
обобщенной диаграммы «<т-£», на основе которой обеспечивается тре-
буемая прочность и деформативность.
Жесткость стыка принято оценивать по величине угла податливости -
Ф, на который повернется опорное сечение ригеля относительно колонны,
под действием изгибающего момента - Сф = ЛЙр. Среднее значение коэф-
фициента жесткости стыка при изгибе определяется как тангенс угла на-
клона секущей на диаграмме «Л7-ф» (рис. 6.5, б).
На рис. 6.6 представлены диаграммы изменения коэффициента угловой
жесткости сопряжений ригеля с колонной от угла поворота опорного сечения,
полученные на основе обработки данных различных авторов. Для практиче-
ских расчетов изменение жесткости сопряжения ригеля с колонной с достаточ-
ной для практики точностью можно описывать линейной зависимостью в виде
170
'Ф L'<»° m
Фя
(6.20)
где СфЯ и Сф0 - коэффициент жесткости стыка соответственно в начальной
и предельной стадии; <ря - угол поворота опорного сечения ригеля в пре-
дельной стадии.
Рис. 6.5. Рамный узел сопряжения ригеля с колонной (а), опытный график
зависимости угла поворота опорного сечения от изгибающего момента (б)
и приведенная билинейная диаграмма деформирования (в) для учета
нелинейной работы узлового сопряжения
171
Рис. 6.6. Графики зависимости коэффициента угловой жесткости сопряжения
колонны с перекрытием от угла податливости (сплошная линия - опытные
значения, пунктир - теоретические значения):
а - для связевого каркаса; б - для неомоноличенного узла рамного каркаса;
в - для омоноличеяяого узла рамного каркаса
Принимаем для простоты расчетов билинейную диаграмму деформиро-
вания «g-е». В этом случае необходимо определить всего две точки искомой
диаграммы. Первая характерная точка (см. рис. 6.5, в) при Mt = 0,3MR соответ-
ствует моменту трещинообразования, вторая - пределу по несущей способно-
сти. Соответственно напряжения в указанных точках диаграммы составят:
172
_L - ^crc .
Wpl wpl ’
o2 = — | -M2 -
w2[b 12)wpl
где Wpi - упругопластический момент сопротивления сечения сопряжения;
h2 - har - 2а2 и/1 h2 + 2ha
— уу Л —
6 2 12
Л McrcCR „
здесь а =------——; Ссгс - коэффициент угловой жесткости стыка при об-
2 MRCcrc
разовании трещин в растянутом бетоне шва; h - высота сечения.
Продольные деформации, соответствующие найденным напряжениям,
определим, используя гипотезу плоских сечений по значениям угла поворо-
та опорного сечения:
„ _ h^crc . с _ hv?R
El _------- t _---------
2/- 2Z-
где ljt - длина зоны стыка.
На рис. 6.5, в показана приведенная диаграмма «о-в» для типового
рамного стыка ригеля с колонной с несущей способностью 400 кНм. Пред-
лагаемая методика позволяет на стадии проектирования регулировать пере-
распределение усилий, например, в ригелях плоских рам каркаса.
6.5. Учет деформированного состояния
многоэтажного каркасного здания
При учете геометрической нелинейности в уравнениях, связывающих пере-
мещения с деформациями, предполагается, что геометрия системы под нагруз-
кой сохраняется, но ее сжатые элементы вследствие продольно-поперечного из-
гиба изменяют свою жесткость. Следовательно, задача становится нелинейной
по отношению к действующей на стержне нагрузке. В расчетах несущей систе-
мы методом перемещений при вычислении реакций от продольных сил в обыч-
ных канонических уравнениях снижение жесткости гибких элементов произво-
дится введением специальных функций. Специальные функции, в свою очередь,
зависят от условий закрепления и вида деформации.
Д ля практических расчетов чаще всего используются способ по учету гео-
метрической нелинейности, основанный на уравнениях равновесия. В деформи-
рованной схеме многоэтажного здания учитывают дополнительные усилия, воз-
никающие от вертикальной нагрузки при горизонтальных прогибах. Действие
этих усилий, в свою очередь, вызывает дополнительный горизонтальный прогиб
173
несущей системы, что опять приводит к возникновению дополнительных усилий
и т.д. Если этот процесс затухающий, т.е. каждый дополнительный прогиб
меньше предыдущего, то влияние продольного изгиба выражается лишь в коли-
чественном изменении напряженно-деформированного состояния несущей сис-
темы. В противном случае происходит разрушение здания от потери общей ус-
тойчивости несущей системы. Отметим, что расчет по деформированной схеме
не гарантирует сжатые элементы от потери устойчивости, поэтому затухание
процесса приращений прогибов является необходимым, но не достаточным ус-
ловием сохранения общей устойчивости несущей системы.
Для получения строгого решения, наиболее точно отражающего фак-
тическое напряженно-деформированное состояние конструкции, геометри-
ческую нелинейность следует рассматривать по расчетной схеме, показан-
ной на рис. 6.7, а.
б)
Qi.
Qi.
Qi.
Qi.
Qi.
Qi.
Qi.
Qi.
Рис. 6.7. Расчетная схема к учету деформированного состояния:
а - деформированное состояние рамы; б - замена деформированного состояния
введением дополнительных горизонтальных нагрузок Q,
Здесь учтено изменение первоначального положения конструкции, а
линии действия вертикальных нагрузок смещены в соответствии со смеще-
ниями каждой точки их приложения.
Учитывая, что величина относительных горизонтальных смещений в зда-
ниях мала, можно принимать упрощенную расчетную схему, где сохранены
исходные расположения конструкций и точек приложения вертикальных сил.
Влияние дополнительных усилий учитывается дополнительными нагрузками,
приложенными по высоте здания (рис. 6.7, 6). Обычно это горизонтальные си-
лы, принимаемые, в зависимости от метода расчета, сосредоточенными в опре-
деленных точках или распределенными по определенному закону.
174
При расчете по дискретно-континуальной модели практические методы
основаны на общей теории расчета здания с добавлением в уравнения равнове-
сия дополнительных нагрузок, закон распределения которых также принят с
некоторыми упрощениями. Наиболее распространенным является способ, при
котором считается, что к системе приложена распределенная горизонтальная
нагрузка, значение которой в каждой точке по высоте вертикальной подсисте-
мы пропорционально первой производной от функции прогибов и величине
соответствующей вертикальной нагрузке в рассматриваемой точке (рис. 6.8, а).
Рис. 6.8. Расчетные схемы к определению горизонтальных сил
при продольном изгибе:
а - в сплошных и проемных диафрагмах; б - в связевых устоях и рамах
с жесткими узлами; в - при представлении эпюры прогибов прямой линией
Такое приложение дополнительных нагрузок, с точки зрения их влия-
ния на изгиб здания, отражает упрощенное представление функции проги-
бов в виде прямой линии, тангенс угла наклона которой одинаковый в каж-
дой точке. В этом случае вертикальная сила Рк в любой точке I создает из-
гибающий момент, равный моменту от заменяемой силы Qk:
Mik(Qk) = Pk*(fk -ft) = Qk х(д*-д,).
При расчетах по МКЭ представляется более рациональным использование
итерационного пути, где в отличии от аналитических методов алгоритм реше-
ния не зависит от прилагаемых нагрузок. Неизменяемость алгоритма составле-
175
ния матричных уравнений при итерациях позволяет использовать универсаль-
ные программы, а при необходимости легко автоматизировать итерационный
процесс. При этом представляется предпочтительным выполнять расчеты по
недеформированной схеме, изменяя только приложение нагрузки. При исполь-
зовании готовых программ это позволит упростить ввод исходных данных на
каждой итерации. При автоматизации итераций использование недеформиро-
ванной схемы значительно сократит продолжительность их выполнения, по-
скольку особенности применяемых в современных программах методов реше-
ния систем линейных уравнений таковы, что количество правых частей практи-
чески не влияет на время расчета. Это позволит при автоматизированных итера-
циях задавать критерии сходимости, не ограничиваясь количеством шагов.
Таким образом, основной проблемой определения напряженно-
деформированного состояния несущих систем многоэтажных зданий по де-
формированной схеме становится правильный выбор дополнительной на-
грузки, прикладываемой к условно недеформируемой схеме (рис. 6.8, б). Эти
силы, прикладываемые в соответствии с расчетной схемой в уровне каждого
этажа, должны изменять напряженно-деформированное состояние несущей
системы каркасного здания так же, как его изменяют соответствующие вер-
тикальные силы, приложенные к деформированной схеме здания.
В настоящее время при расчетах используются два способа определе-
ния таких сил.
В практических методах с использованием дискретно-континуальной
модели прикладывается распределенная горизонтальная нагрузка, пропор-
циональная производной от функции прогибов [12]. Дискретизируя такую
нагрузку, получим сосредоточенные силы, значение каждой из которых про-
порционально величине, соответствующей вертикальной нагрузки и тангенсу
угла наклона конструкции в рассматриваемой точке (см. рис. 6.8, а, б):
Qk = pk-№h- (6-22)
Величины горизонтальных сил следует определять из условия равенст-
ва моментов в заделке от смещенной вертикальной нагрузки и заменяющей
ее горизонтальной силы по формуле
Qk=Pkfklzk- (6-23)
Такие подходы не отвечают основному условию - совпадению во всех
сечениях по высоте каркаса прогибов и усилий от горизонтальных нагрузок
с прогибами и усилиями от смещенных вертикальных. При рассмотренных
подходах это условие может соблюдаться, только если функция прогибов
здания - прямая линия (рис. 6.8, в).
Тестовые расчеты показали, что нагружение несущей системы гори-
зонтальными силами, определенными по формулам (6.22) и (6.23), часто
приводит к некоторым погрешностям. Для более правильного определения
заменяющей нагрузки следует учитывать равенство моментов не только в
заделке, но и в уровне каждого этажа.
176