УДК 530.1 @75.8)
ББК 22.3;
С 23
Авторы:
В.Л. Гинзбург, Л.М. Левин, М.С. Рабинович, Д.В. Сивухин
Гинзбург В. Л., Левин Л. М., Рабинович М. С, Сиву-
Сивухин Д. В. Сборник задач по общему курсу физики. В 5 т. Кн. V.
Атомная физика. Физика ядра и элементарных частиц / Под ред. Д. В. Си-
вухина. - 5-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006. - 184 с. -
ISBN 5-9221-0606-6.
В предлагаемом сборнике задач по физике использован опыт преподавания
общего курса физики в МГУ, Московском физико-техническом институте и
Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина. По
степени трудности задачи охватывают широкий диапазон: от самых элемен-
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных исследований,
выполнение которых возможно на основе углубленного знания общего курса
физики.
Сборник состоит из пяти книг: I. Механика. П. Термодинамика. III Элек-
Электричество и магнетизм. IV. Оптика. V. Атомная физика. Физика ядра и
элементарных частиц.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
© В. Л. Гинзбург, Л. М. Левин, М. С. Рабинович,
ISBN 5-9221-0606-6	Д. В. Сивухин, 1981, 2006

Содержание
Предисловие к четвертому изданию	 4
о	Ответы и
Задачи решения
§ 1. Кванты света	 5	82
§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	11	91
§ 3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии . .	18	99
§ 4. Рентгеновские лучи и плазма		25	ПО
§ 5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле		29	114
§ 6. Экспериментальные методы в ядерной физике		32	116
§ 7. Ядерная физика		50	130
§ 8. Элементарные частицы		65	146
Приложения		167
1.	Основные физические атомные и ядерные константы	167
2.	Таблицы		168
3.	Фотографии		174

Предисловие к четвертому изданию
Четвертое издание книги «Сборника задач по общему курсу физи-
физики» по сравнению с предыдущим изданием увеличено примерно вдвое.
Последние три параграфа, посвященные физике ядра и элементарных
частиц, переработаны и дополнены М.С. Рабиновичем. Остальные па-
параграфы, содержащие атомную физику, переработаны Д. В. Сивухиным
и отчасти В. Л. Гинзбургом. Небольшое число задач, в особенности
по физике элементарных частиц, выходит за пределы программ по
общей физике. Однако было признано целесообразным сохранить и эти
задачи, ввиду того что эти разделы физики быстро развиваются, а со-
соответствующие программы непрерывно претерпевают изменения.
Д. В. Сивухин

ЗАДАЧИ
§ 1. Кванты света
1.	Найти массу, соответствующую энергии фотона видимого света
с длиной волны Л = 500 нм.
2.	Какую длину волны должен иметь фотон, чтобы масса, соответ-
соответствующая его энергии, была равна массе покоя электрона?
3.	Найти импульс фотона видимого света (Л = 500нм). Сравнить
его с импульсом молекулы водорода при комнатной температуре. Масса
молекулы водорода М = 2,35 • 10~24 г.
4.	При какой длине волны импульс фотона равен импульсу моле-
молекулы водорода при комнатной температуре? (См. предыдущую задачу.)
5.	Сравнить энергию фотона (Л = 500 нм) с кинетической энергией
поступательного движения молекулы водорода при комнатной темпера-
температуре.
6.	Средняя длина волны излучения лампочки накаливания с метал-
металлической спиралью равна 1200 нм. Найти число фотонов, испускаемых
200-ваттной лампочкой в единицу времени.
7.	Выразить энергию <f светового кванта через его импульс и массу,
соответствующую этой энергии.
8.	Показать, что свободный электрон не может излучить световой
квант, так как если предположить, что электрон излучает световой
квант, то не будут выполняться одновременно закон сохранения им-
импульса и закон сохранения энергии.
9.	По классической электромагнитной теории света поток световой
энергии от источника непрерывно распространяется во все стороны.
Через какой промежуток времени, согласно этой теории, отдельный
атом танталового катода может накопить столько энергии, чтобы стал
возможен вылет фотоэлектрона, если катод находится на расстоянии
10 м от 25-ваттной лампочки? Работа выхода электрона для тантала
составляет около 4эВ. Считать, что фотоэлектрону передается вся
энергия, накапливающаяся в атоме тантала, диаметр которого можно
считать равным около 0,3 нм.
10.	Предполагая, что электромагнитная энергия распространяется
не в виде квантов, а так, как принималось в классической теории,
найти время, необходимое для того, чтобы атом меди накопил энергию,
нужную для вылета фотоэлектрона if-оболочки под влиянием жестких
рентгеновских лучей. Считать, что атом поглощает всю падающую на
него энергию. Сечение атома а = 10~15 см2. Поток рентгеновских лучей
S = 2 • 103 эрг/(с • см2) (значение S соответствует рентгеновскому излу-
излучению, получаемому от современных рентгеновских трубок). if-серия
Си возбуждается электронами с энергией не меньше 8,86 кэВ.

6	Задачи
11.	Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вылета-
вылетающих из медного электрода, освещаемого монохроматическим светом
с длиной волны Л = 250 нм. Работа выхода электрона из меди Р =
= 4,17эВ.
12.	Ток насыщения, протекающий через вакуумный фотоэлемент
при его освещении, равен / = 3 • 10~10 А. Найти число N электронов,
вырываемых светом из катода фотоэлемента в одну секунду.
13.	Вычислить длину волны Л для длинноволновой границы фо-
фотоэффекта на серебре, если работа выхода электрона из серебра Р =
= 4,28эВ.
14.	Максимальная скорость фотоэлектронов при освещении цези-
евого электрода монохроматическим светом оказалась равной ушкс =
= 5,5 • 107 см/с. Работа выхода электрона из цезия составляет Р =
= 1,89 эВ. Вычислить длину волны света, применявшегося для освеще-
освещения этого электрода.
15.	В центре посеребренного изнутри вакуумного стеклянного бал-
баллона шаровой формы помещен маленький шарик, покрытый никелем.
Шарик освещается светом от ртутной лампы с длиной волны Л =
= 230,2 нм. Между внутренней поверхностью сферы и шариком при-
приложена задерживающая разность потенциалов. Оказалось, что при
увеличении этой разности до V = 0,75 В ни один из фотоэлектронов не
попадает на посеребренную поверхность сферы. Контактная разность
потенциалов между никелем и серебром равна VK = 1 В. Вычислить
максимальную скорость фотоэлектронов при данных условиях.
16.	Измерения, произведенные на установке, описанной в преды-
предыдущей задаче, показали, что при освещении никелевого шарика моно-
монохроматическим светом с длиной волны А' = 250,7 нм задерживающая
разность потенциалов становится равной V = 0,30 В. Используя эти
данные и данные предыдущей задачи, вычислить постоянную План-
Планка h.
17.	Уединенный цинковый шарик облучается ультрафиолетовым
светом с длиной волны Л = 250 нм. До какого максимального потенци-
потенциала зарядится шарик? Работа выхода электрона для цинка Р = 3,74 эВ.
18.	При каких длинах волн Л облучающего света шарик в условиях
предыдущей задачи заряжаться не будет?
19.	Цинковый электрод вакуумного фотоэлемента освещается мо-
монохроматическим светом с длиной волны Л = 250 нм. При наложении
задерживающей разности потенциалов фототок уменьшается и обра-
обращается в нуль, когда она достигает значения V = 2 В. Определить
внешнюю контактную разность потенциалов VK между цинком и мате-
материалом, из которого изготовлен другой электрод фотоэлемента. Работа
выхода электрона из цинка Р = 3,74 эВ.
20.	Определить изменение длины волны при эффекте Комптона,
если наблюдение ведется перпендикулярно к направлению первичного
пучка излучения.

§ 1. Кванты света	7
21.	В результате комптоновского рассеяния длина волны Л фотона
с энергией 8ф = 0,5 МэВ увеличилась на АЛ = аХ, где а = 0,25.
Определить кинетическую энергию &е электрона отдачи.
22.	Фотон рентгеновского излучения с длиной волны Л в резуль-
результате комптоновского рассеяния на свободном электроне отклонился
от первоначального направления на угол в. Определить энергию <fe
и импульс ре электрона отдачи. Дать числовой ответ для Л = 0,02 нм
и (9 = 90°.
23.	В предыдущей задаче определить угол (р между направлением
первичного фотона и направлением движения электрона отдачи.
24.	Во сколько раз изменение длины волны фотона при компто-
новском рассеянии на свободном электроне превосходит аналогичное
изменение при рассеянии на свободном протоне при одинаковых углах
рассеяния?
25.	Определить максимальное изменение длины волны при рассея-
рассеянии рентгеновского и 7-излучения на свободном протоне.
26.	Фотон с длиной волны Л рассеялся на движущемся свободном
электроне. В результате электрон остановился, а фотон отклонился от
первоначального направления движения на угол в. Найти изменение
длины волны фотона А'-А в таком процессе. Как свести эту задачу
к задаче о рассеянии фотона на неподвижном электроне?
27.	Фотон рассеивается на покоящемся протоне. Энергия рассеян-
рассеянного фотона равна кинетической энергии отдачи, а угол разлета между
рассеянным фотоном и протоном отдачи равен 90°. Найти энергию
падающего фотона.
28.	Фотон с энергией Ш1 = 2тос2 при рассеянии на покоящемся
электроне теряет половину своей энергии, где то — масса покоя элек-
электрона. Найти угол разлета ср между рассеянным фотоном и электроном
отдачи.
29.	Фотон с длиной волны Л = 0,0024 нм после рассеяния на
электроне движется в прямо противоположном направлении. С какой
скоростью v должен двигаться электрон, чтобы частота фотона при
рассеянии не изменилась?
30.	Фотон с энергией hv рассеивается назад на электроне, движу-
движущемся ему навстречу с энергией Ш (включая энергию покоя). Опре-
Определить энергию фотона hv' после рассеяния. Какое значение приоб-
приобретает эта энергия в случае ультрарелятивистского электрона, когда
(тос2J <С Shu (то — масса покоя электрона)?
31.	Определить энергию фотона huf, рассеянного назад покоящим-
покоящимся электроном. Какое значение получает эта энергия, когда энергия
падающего фотона hv удовлетворяет условию hv ^> тос2 (то — масса
покоя электрона)?
32.	Ответить на следующие вопросы: 1. С чем связана независи-
независимость изменения длины волны фотона при комптоновском рассеянии
от вещества облучаемого тела? 2. Каково происхождение несмещенной
компоненты в рассеянном излучении? 3. Чем объясняется уширение

Задачи
обеих компонент в рассеянном излучении? 4. Почему увеличивается
интенсивность смещенной компоненты в рассеянном излучении с уве-
увеличением угла рассеяния, а также с уменьшением атомного номера
элемента?
33.	Показать, что при комптоновском рассеянии частота фотона
до рассеяния в системе отсчета, в которой электрон покоится после
соударения с фотоном, равна частоте фотона после соударения в систе-
системе отсчета, где электрон покоился до соударения (т. е. в лабораторной
системе).
34.	Показать, что при комптоновском рассеянии частота фотона
после рассеяния в системе, в которой электрон покоится после соуда-
соударения, равна частоте падающего фотона в лабораторной системе. Пока-
Показать, что в системе, все время связанной с электроном, комптоновское
рассеяние имеет характер зеркального отражения.
35.	Исходя из представления о квантах, вывести формулу для
эффекта Доплера в предположении, что источник света движется
с нерелятивистской скоростью.
36.	То же, но для источника, движущегося с релятивистской ско-
скоростью.
37.	В предыдущей задаче выяснить характер зависимости частоты v
от угла в при /3 —> 1. Оценить угол в, начиная с которого излучаемая
частота мала по сравнению с частотой, излучаемой под углом 0 = 0.
38.	При движении быстрой заряженной частицы в области про-
пространства, заполненной изотропным электромагнитным излучением
(например, светом Солнца и звезд), частица теряет энергию в резуль-
результате взаимодействия с этим излучением (предполагается, что энергия
частицы больше энергии фотонов, из которых состоит излучение). Счи-
Считая частицу ультрарелятивистской (энергия So ^> тс2), а ее соударения
с фотоном — лобовыми, найти изменение энергии частицы So — S =
= AS и энергию фотона отдачи Тыл. Энергию фотонов (до соударения)
Ьиоо считать малой по сравнению с Ьио. Проанализировать результат.
Чему равна энергия Тьоо, если движущейся частицей является электрон
с энергией So = 2,5 • 109 эВ и Тыоо = 1 эВ?
39.	Электрон с энергией So ^> тс2 рассеивается на фотоне с энер-
энергией bujQ <C тс2. При каком условии энергия этого фотона в системе
отсчета, в которой электрон покоится, удовлетворяет условию Тьоо <С
<С тс2?
40.	Каковы потери энергии, испытываемые ультрарелятивистским
электроном в результате его «трения» в поле излучения (эти потери
обычно называются «комптоновскими», см. задачу 39)? Считать, что
энергия S <С тс2 (тс2/АЪооо). Для учета нелобовых соударений умень-
уменьшить потери в 4 раза.
41.	Электрон с энергией So = 1010эВ в момент t = О начинает дви-
двигаться в поле черного излучения с плотностью энергии w = 1 эВ/см3
и температурой, равной температуре Солнца. Какой будет энергия
электрона через 106 и 108 лет?

§ 1. Кванты света	9
42.	Электрон с начальной энергией So = 1010эВ движется из га-
галактического пространства в направлении на центр Солнца. Какую
энергию потеряет электрон на пути до фотосферы при учете «компто-
новских» потерь?
43.	Влияние среды на распространение света может быть учте-
учтено введением показателя преломления п. Для описания квантовых
свойств света в среде можно также, не вдаваясь в механизм явления,
ввести понятие о квантах света в среде в том смысле, что при излу-
излучении или поглощении кванта света излучатель отдает или получает
энергию S и импульс р. При этом, для того чтобы обеспечить согласие
с опытом, нужно положить, что импульс кванта р = hun/c, а энергия
кванта S = hurt (вместо р = hvjc и S = hv в вакууме). Используя эти
соотношения, вывести выражение для эффекта Доплера при движении
источника в среде с нерелятивистскими скоростями.
44.	То же, но для источника, движущегося с релятивистскими
скоростями. Исследовать особо случай, когда скорость источника пре-
превосходит фазовую скорость испускаемого света в среде.
45.	В предыдущей задаче исследовать характер зависимости часто-
частоты излучаемого света от угла в при C —> 1 для двух случаев: а) п > 1;
б) п< 1.
46.	Используя результат решения задачи 44, найти условие воз-
возникновения излучения Вавилова-Черенкова (см. кн. IV, задача 261),
а также связь между направлением этого излучения и его частотой v.
47.	Электрон движется в диспергирующей среде с непрерывно
возрастающей скоростью. На какой частоте начнется излучение Вави-
Вавилова-Черенкова? Поглощение не учитывать.
48.	Электрон движется в среде без дисперсии с непрерывно воз-
возрастающей скоростью. На какой частоте начнется излучение Вавило-
Вавилова-Черенкова?
49.	Частица движется в среде параллельно оси узкого цилиндриче-
цилиндрического канала. При каких поперечных размерах канала интенсивность
излучения в эффектах Вавилова-Черенкова и Доплера будет того же
порядка, что и при движении в сплошной среде?
50.	Частица равномерно движется в среде, которой она может, из-
излучая фотон, передать энергию ITiujo и импульс Iftko, I = О, ±1, ±2, ...
Такая ситуация возникает, например, при движении частиц в среде,
диэлектрическая проницаемость которой изменяется по закону
е = ?0 + ?icos(u;o?-kor), г0 > \е\\.
Найти частоту излучения, испускаемого в таких условиях под углом в
к направлению скорости частицы v.
51.	При каких условиях можно ожидать, что при распространении
в среде электромагнитных волн возникает черенковское излучение?
52.	В среде распространяется рентгеновский квант (частота ooq,
волновой вектор ко), который рассеивается с образованием нового
рентгеновского кванта и мягкого (оптического) фотона с частотой п

10	Задачи
и волновым вектором К (такое комбинационное рассеяние возможно
только при наличии взаимодействия между излучением разной часто-
частоты, т.е. является нелинейным эффектом). Найти угол, под которым
будет испущен мягкий фотон.
53.	Атом движется по оси узкого канала в недиспергирующей среде
со сверхсветовой скоростью. Вначале он находится на основном энер-
энергетическом уровне. На каком энергетическом уровне будет находиться
атом при прохождении очень большого пути?
54.	Световые кванты обладают не только инертной, но и «тяжелой»
массой. Отсюда следует, что при наблюдении света звезд на Земле
спектральные линии должны быть смещены в красную сторону. Найти
величину красного смещения.
55.	Вычислить красное смещение D-линий Na, испускаемых Солн-
Солнцем. Масса Солнца М = 1,99 • 1033г, радиус его фотосферы R =
= 696000 км.
56.	Найти отклонение светового луча при его прохождении вблизи
Солнца, пользуясь классической нерелятивистской теорией. (См. две
предыдущие задачи.)
57.	В теории жидкости и твердого тела вводится поднятие о кван-
квантах звука (фононах), являющихся аналогами фотонов. Пользуясь такой
аналогией, выразить энергию $ и импульс р фонона через частоту изв
и скорость распространения v3B звуковых волн.
58.	Получить формулу для тонкой структуры линий рэлеевского
рассеяния, исходя из представлений о фотонах и фононах. (См. кн. IV,
задача 761.)
59.	Пользуясь формулой Планка, определить среднее число фото-
фотонов п в единице объема полости, заполненной равновесным (черным)
излучением, при температуре Т.	_
60.	Определить среднюю энергию Ш светового кванта в равновес-
равновесном (черном) излучении при температуре Т. Найти длину волны Л
монохроматического излучения, соответствующую такой средней энер-
энергии кванта.
61.	В полости с зеркальными стенками находится изотропное излу-
излучение со средней плотностью п фотонов в единице объема. Определить
среднее число фотонов г, ежесекундно ударяющихся об единицу пло-
площади стенки.
62.	Какое среднее число фотонов N будет выходить ежесекундно из
полости через отверстие в ее стенке площадью S = 1 см2, если полость
заполнена равновесным излучением при температуре Т = 1000 К?
63.	Среднее число фотонов в единице объема равновесного (черно-
(черного) излучения, приходящееся на интервал частот (о;, ио + duo) или на
соответствующий ему интервал длин волн (Л, Л + dX), можно пред-
представить в виде dn = /(о;, Т) duo = </?(А, Т) dX, где Т — температура
излучения. Найти положение максимумов функций /(о;, Т) и у?(А, Т)
при фиксированной температуре Т.

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	11
64.	Равновесное излучение заключено в полости, стенки которой
поддерживаются при постоянной температуре Т. Вычислить флуктуа-
флуктуации энергии & такого излучения в объеме V в спектральном интер-
интервале (о;, ио + duo), пользуясь формулами: 1) Вина, 2) Рэлея-Джинса,
3) Планка, и интерпретировать полученные результаты с точки зрения
корпускулярных и волновых представлений о свете.
65.	Освещенность L, создаваемая звездой первой величины на
поверхности Земли при нормальном падении света, составляет около
10~6лк. Можно ли объяснить мерцание звезд квантовыми флуктуаци-
ями света?
66.	В какой области спектра равновесного (черного) излучения
при температуре Т = 300 К интенсивность индуцированного излучения
превосходит интенсивность спонтанного?
67.	При какой температуре равновесного (черного) излучения ин-
индуцированное излучение в видимой области (Л = 550 нм) превосходит
спонтанное?
68.	Найти условие самовозбуждения генерации света в резонаторе
лазера, если он состоит из двух плоскопараллельных зеркал и заполнен
газом двухуровневых молекул. Спонтанное время жизни молекул на
верхнем уровне равно rs, полная ширина спектра излучения молекул
равна Аи, расстояние между зеркалами L, коэффициент отражения
зеркал R. Практически все потери излучения происходят на зер-
зеркалах.
§ 2. Строение атома и спектры водородоподобных
атомов
69.	В модели Дж. Дж. Томсона атом представляет собой шар,
равномерно заряженный по объему положительным электричеством,
внутри которого находятся точечные электроны. Найти по классиче-
классической теории частоту колебаний электрона в модели Томсона с одним
электроном.
70.	Сколько спектральных линий может излучать модель атома
Томсона с одним электроном? Каков должен быть радиус атома, чтобы
он излучал волну Л = 500 нм?
71.	Какой молярной теплоемкостью, согласно классической теории,
должен обладать газ, состоящий из атомов Томсона с одним электро-
электроном, если не учитывать вращения атомов?
72.	Показать, что по классической механике при соударении а-ча-
стицы с ядром, заряд которого равен Ze, прицельное расстояние р
связано с углом отклонения ср (рис. 1) формулой
ctg! =

12	Задачи
где т — масса а-частицы, a v — ее скорость.
Рис. 1
73.	Используя результат решения предыдущей задачи, определить
эффективное сечение для рассеяния а-частиц в интервале углов меж-
между (р и <р + dip.
Примечание. Эффективным сечением называется отношение
рассеянного потока к плотности падающего потока а-частиц.
74.	Сколько а-частиц An рассеется в интервале углов между 44
и 46°, если на медную пластинку толщиной в 0,005 мм было выпущено
п = Ю4 а-частиц с энергией в 1 МэВ?
75.	Найти отношение силы электрического взаимодействия 1) двух
электронов, 2) двух протонов, 3) электрона и протона к соответствую-
соответствующей силе гравитационного притяжения между ними.
76.	Найти отношение собственных электростатической и гравита-
гравитационной энергий шара, предполагая, что его масса и заряд равномерно
распределены по его поверхности. Вычислить это отношение для элек-
электрона и протона.
77.	Силы гравитационного взаимодействия заряженных элементар-
элементарных частиц ничтожны по сравнению с электрическими силами, дей-
действующими между ними, так что гравитационным взаимодействием
можно полностью пренебречь. Почему же электрические силы, дей-
действующие между заряженными макроскопическими телами не слиш-
слишком малых размеров, обычно пренебрежимо малы по сравнению с си-
силой тяжести, а в движениях астрономических и космических масс
вообще не играют никакой роли?
78.	Оценить силу F, с которой отталкивались бы два одинаковых
медных шара, находящихся на расстоянии г = 1 м друг от друга, если
бы каждый атом меди был однократно ионизован. Масса каждого шара
т = 1 кг, атомная масса меди А = 63,54.
79.	Электрон совершает затухающие колебания, близкие к гармо-
гармоническим, с частотой v = Ю^с. Через какой промежуток времени
он потеряет 0,9 своей начальной энергии?

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	13
Указание. В электродинамике доказывается, что потеря энергии
колеблющегося электрона вследствие излучения определяется форму-
формулой	0
dW _ 2 е2 .2
dt	Зсз"'
где W — энергия, a v — скорость электрона.
80.	Через какой промежуток времени At электрон, вращающийся
вокруг протона по окружности радиуса ао = 0,053 нм, упал бы на ядро
вследствие потерь на излучение, если бы была справедлива классиче-
классическая теория? Считать, что, несмотря на падение электрона на ядро,
ускорение его все же приближенно равно ускорению при равномерном
движении по окружности соответствующего радиуса.
81.	Какую частоту, по классической теории, должен излучать элек-
электрон, движущийся по окружности с числом оборотов v в 1 с? На какой
из боровских орбит электрон излучал бы интенсивнее: на первой или
второй?
82.	Пользуясь теорией Бора, определить радиус ао первой орбиты
электрона и его скорость vq на ней.
83.	Какова напряженность электрического поля ядра на первой
и четвертой боровских орбитах атома водорода?
84.	Вычислить силу притяжения F между электроном, находящим-
находящимся на первой орбите атома водорода, и ядром. Во сколько раз эта сила
больше силы всемирного тяготения между электроном и протоном на
таком же расстоянии?
85.	Показать, что частота, излучаемая при переходе с (п + 1)-й на
n-ю боровскую орбиту, стремится при п —> оо к частоте обращения
электрона на n-й орбите.
86.	Определить длину волны первых трех линий серии Бальмера.
Постоянная Ридберга для Н равна R = 109677,58 см.
87.	Определить длину волны первых трех линий серий Лаймана,
Пашена, Брэккета и Пфунда 0.
88.	Определить длину волны, соответствующую границе серии
Бальмера.
89.	Определить энергию <f атома водорода в основном состоянии,
а также вычислить потенциал ионизации УИ атома.
90.	Выразить ионизационный потенциал водорода в Дж/моль.
1) Все эти серии охватываются формулой Бальмера-Ритца
4mz	?
m=l, 71 = 2,3,4, ...	серия	Лаймана;
771 = 2, 7i = 3, 4, 5, ... »	Бальмера;
77i = 3, 71 = 4, 5, б, ... »	Пашена;
77i = 4, 71 = 5, б, 7, ... »	Брэккета;
771 = 5, 71 = 6, 7, 8, ... »	Пфунда.

14	Задачи
91.	Первые потенциалы возбуждения Li и Na равны соответственно
1,84 и 2,1В. При какой температуре средняя кинетическая энергия
этих частиц равна энергии возбуждения?
92.	Как относятся друг к другу числа атомов водорода в основном,
первом, втором и третьем состояниях при температуре в 2000 К?
93.	Вычислить первый потенциал возбуждения водорода.
94.	Найти выражения для частот линейчатого спектра поглощения
атомарного водорода.
95.	Будет ли атом водорода поглощать излучение частоты v = 2Rc?
(R — постоянная Ридберга, с — скорость света.)
96.	Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомар-
атомарного водорода электронами с энергией в 12,5 эВ?
97.	Какие линии появятся, если энергия электрона в предыдущей
задаче равна 14 эВ?
98.	Найти границы спектральной области, в пределах которой рас-
расположены линии серии Бальмера атомарного водорода.
99.	Используя данные, полученные при решении предыдущей зада-
задачи, определить длины волн коротковолновых границ водородных серий
Лаймана и Пашена.
100.	Вычислить энергию, которую надо сообщить атому водорода,
чтобы его серия Бальмера содержала только одну спектральную линию.
101.	Какие спектральные линии появятся в спектре атомарного
водорода при облучении его ультрафиолетовым светом с длиной волны
100 нм?
102.	Первоначально неподвижный атом водорода испустил фотон
с частотой, соответствующей головной линии серии Лаймана. Найти
скорость v атома после излучения фотона.
103.	Найти потенциалы ионизации ионов Не+ и Li++.
104.	Найти длину волны резонансной линии Не+.
105.	Определить наименьшую энергию, которую надо сообщить
в основном состоянии трижды ионизованному атому бериллия, чтобы
возбудить полный спектр этого атома.
106.	Фотон головной серии Лаймана иона гелия Не+ поглощается
водородным атомом в основном состоянии и ионизует его. Определить
кинетическую энергию 8, которую получит электрон при такой иони-
ионизации.
107.	Оценить по теории Бора число спектральных линий, которые
можно получить в различных сериях спектра испускания атомарного
водорода в газоразрядной трубке при давлении Р = 5 мм рт. ст. и тем-
температуре Т = 300К.
108.	В спектрах некоторых звезд наблюдается т « 30 линий во-
водородной серии Бальмера. При каком наименьшем числе N штрихов
дифракционной решетки можно разрешить эти линии в спектре перво-
первого порядка?
109.	Процесс рекомбинации заключается в переходе электрона из
свободного состояния в одно из стационарных состояний ионизован-

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	15
ного атома. Рекомбинация может сопровождаться свечением. Какие
особенности спектра рекомбинации позволяют отличить его от линей-
линейчатого спектра, возникающего при термическом возбуждении атома
и при возбуждении ударом?
НО. Выразить постоянную Ридберга R^ для бесконечно тяжелого
ядра через фундаментальные постоянные.
111.	Найти выражение для постоянной Ридберга R водородоподоб-
ного атома, учитывая, что масса ядра не бесконечно велика.
112.	В газоразрядной трубке, наполненной смесью водорода и ге-
гелия, Фаулер наблюдал спектральную серию:
где R — постоянная Ридберга, а Пиккеринг в спектре планетарной
туманности (? Кормы) открыл серию:
До теории Бора серии Фаулера и Пиккеринга приписывались ато-
атомарному водороду. Бор объяснил происхождение обеих серий, считая,
что они принадлежат не водороду, а однократно ионизованным атомам
гелия. Это объяснение было подтверждено прямым опытом, который
показал, что обе серии наблюдаются в чистом гелии, но никогда не
наблюдаются в чистом водороде. Какие спектральные линии однократ-
однократно ионизованного гелия отождествлялись с сериями A) и B)? В чем
отличие спектральных серий ионизованного гелия от соответствующих
серий атомарного водорода?
113.	Вблизи спектральной линии водорода Ai =486,1320 нм Юри
в 1932 г. обнаружил близкую линию А2 = 485,9975 нм. Предполагая,
что эта линия обусловлена небольшой примесью к обычному водороду
его изотопа, определить относительную атомную массу тх/тц этого
изотопа.
114.	Определить разрешающую способность R спектрального аппа-
аппарата, необходимую для наблюдения изотопического сдвига спектраль-
спектральных линий дейтерия относительно линий водорода. Какова должна
быть ширина Ъ основания призмы из тяжелого флинта с дисперсией
dn/dX = 1000 см (в диапазоне красного света) в призменном спектро-
спектрографе, применяемом для обнаружения изотопического сдвига головной
линии серии Бальмера?
115.	Серия Лаймана наблюдается в смеси атомарных водорода
и трития. Определить разрешающую способность спектрального при-
прибора, которая достаточна для разрешения изотопической структуры
спектральных линий этой серии. Как меняется требуемая разрешающая
способность при переходе к другим сериям (Бальмера, Пашена) той же
смеси? Можно ли разрешить изотопическую структуру спектральных
линий той же смеси в видимой области спектра с помощью стеклянной

16	Задачи
призмы с основанием Ъ = 1 см и дисперсией показателя преломления
dn/dX = 1000 см? Каково должно быть эффективное число отраже-
отражений ЛГЭф и порядок т наблюдаемого спектра, чтобы разрешить и иссле-
исследовать ту же структуру с помощью интерферометра Фабри-Перо?
116.	Переход между какими орбитами иона гелия Не+ сопровож-
сопровождается излучением с длиной волны, близкой к На?
117.	Какова разница между длинами волн линии На и соответству-
соответствующей ей линии спектра Не+? (См. предыдущую задачу.)
118.	Постоянные Ридберга для водорода и гелия равны соответ-
соответственно i?H = 109677,6 см, i?He = 109722,3 см. Найти отношения
тц/те и тце/тц, где т\\ и шне — массы протона и а-частицы, ше —
масса электрона.
119.	Определить разность длин волн линий На и Da (первой ли-
линии бальмеровской серии дейтерия — тяжелого водорода). Определить
также разность длин волн линий Н7 и D7.
120.	На сколько вольт ионизационный потенциал дейтерия (D)
больше ионизационного потенциала водорода (Н)? Выразить разность
между энергиями ионизации D и Н в джоулях на моль.
121.	Постоянные Ридберга для водорода и дейтерия равны соответ-
соответственно
RH = A09677,576 ± 0,012) см,
RD = A09707,419 ± 0,012) см,
а атомные массы
Н = 1,008142 ±0,000003 (физическая шкала),
D = 2,014735 ± 0,000006 (физическая шкала).
Постоянная Фарадея
F = NAe = B,89366 ± 0,00003) • 104 СГСЭ/моль =
= (9652,19 ±0,11) СГСМ/моль (физическая шкала).
Пользуясь этими данными, определить е/пг для электрона.
122.	Позитроний представляет собой связанную систему из элек-
электрона и позитрона, вращающихся вокруг центра масс этой системы.
Найти уровни энергии, энергию ионизации и длину волны резонансной
линии для позитрония.
123.	Длина волны На водородной серии Бальмера равна Ха =
= 656,3 нм. Определить энергию ионизации (?и позитрония, находяще-
находящегося в основном состоянии.
124.	Граница водородной серии Пашена характеризуется длиной
волны Аоо = 820,6 нм. Найти длину волны Ха линии На серии Баль-
Бальмера позитрония.
125.	Отрицательные мюоны могут захватываться атомом и заме-
замещать в нем электроны электронной оболочки. Практически может

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	17
замещаться лишь один электрон. Получающиеся в результате такой
замены системы называются мезоатомами. Масса мюона тм = 207 гае.
Вычислить по теории Бора радиус первой круговой орбиты (if-орби-
(if-орбиты) мюона в мезоатоме. Рассчитать энергетические уровни мезоатома.
Какое излучение будет наблюдаться при переходе на if-орбиту мюона
с более высоких орбит? Почему исследование такого излучения при-
применяется для выяснения структуры тяжелых атомных ядер вблизи их
поверхностей?
126.	Определить наименьшие номера уровней атома водорода, меж-
между которыми возможны переходы, сопровождающиеся излучением ра-
радиоволн с длинами 1, 10, 100 и 1000 см.
127.	Определить размер атома водорода, находящегося на уровне
с главным квантовым числом п = 100. При какой концентрации N
газа можно определять энергию этого уровня по формуле, указанной
в ответе предыдущей задачи?
128.	Оценить напряженность электрического поля, в котором атом
водорода быстро ионизуется.
129.	Зная, что длина волны водородной линии серии Бальмера
равна Ха = 656,3 нм, определить, атомы каких химических элементов
внутри Солнца полностью ионизованы. Температуру внутри Солнца
принять равной Т = 2 • 107 К.
130.	Атом водорода, вначале находившийся в неподвижном состо-
состоянии, излучил квант света, соответствующий головной линии серии
Лаймана. Определить относительное изменение частоты фотона Аи/щ
из-за отдачи. Какую скорость приобрел атом за счет энергии отдачи?
131.	Какова была бы энергия связи и радиус водородоподобной
системы из двух нейтронов при учете только силы гравитационного
притяжения между ними? Почему такой «бинейтронный атом» практи-
практически не может существовать?
132.	Помимо гравитационных сил между нейтронами действуют
магнитные силы. Магнитный момент нейтрона численно равен /in =
= 9,65- 10~24эрг/Гс. Сила магнитного взаимодействия FM максималь-
максимальна, когда магнитные моменты нейтронов параллельны и направлены
вдоль прямой, соединяющей нейтроны. Как меняется сила FM с рассто-
расстоянием г между нейтронами? При каких значениях г максимальная сила
магнитного взаимодействия нейтронов становится равной силе грави-
гравитационного притяжения между ними? Можно ли было в предыдущей
задаче пренебрегать силами магнитного взаимодействия?
133.	Близкие искусственные спутники Земли движутся со ско-
скоростями порядка V = 8 км/с. Может ли атом Н, N или О, упруго
отразившись от спутника, ионизовать при своем дальнейшем движении
в атмосфере атом того же типа? Ионизационные потенциалы атомов во-
водорода, азота и кислорода равны соответственно 13,60; 14,47; 15,56 эВ.
134.	Эренфест ввел гипотезу, что в полуклассической теории Бора
должны квантоваться величины, которые по классической механике
являются адиабатическими инвариантами. Найти механическую вели-

18	Задачи
чину, которая является адиабатическим инвариантом для гармониче-
гармонического осциллятора.
135.	В квантовой механике доказывается, что энергия гармони-
гармонического осциллятора определяется выражением <f = Ьи(п + 1/2), где
п может принимать целочисленные значения 0, 1, 2, ... Пользуясь
этим, привести соображения, почему для гармонического осциллятора
величина %/и должна быть адиабатическим инвариантом.
136.	В каком постоянном магнитном поле В энергетические уровни
электрона в атоме водорода будут определяться в основном действием
магнитного поля, а не кулоновского поля протона?
137.	В обычных условиях водород является молекулярным газом
(состоит из молекул Н2), а в жидком и твердом состояниях представ-
представляет собой диэлектрик. Должен ли водород при достаточно высоком
давлении обратиться в металл? Если да, то произвести оценку соответ-
соответствующей плотности водорода, отвечающей металлической фазе.
138.	Рассмотреть частицу, движущуюся по кругу при наличии
магнитного поля, и убедиться, что в этом случае правило квантования
mvr = nh/2ir неприменимо.
Указание. Рассмотреть процесс включения магнитного поля
и установить, что при условии mvr = nh/2ir магнитный поток Ф =
= ш2Н оказывается квантованным, что в общем случае не может
иметь места, как в этом можно убедиться из простых физических
соображений.
139.	Учитывая правило квантования Бора, показать, что поток
магнитного поля через отверстие в массивном полом сверхпроводящем
цилиндре равен
ф _ ппс _ ппс
~ Щ ~ ~2е~'
Здесь |е*| — абсолютная величина заряда носителей сверхпроводящего
тока; этими носителями являются как бы слипшиеся пары электронов,
в силу чего |е*| = 2е, где е — абсолютная величина заряда электрона.
Указание. Если поток магнитного поля через круг радиуса г
равен Ф, то обобщенный импульс частицы с зарядом е* равен р = mv +
+ ^ * (предполагается, что е* < 0).
2тг сг
140.	В жидком гелии при температуре ниже А-точки (т.е. в ге-
гелии II) могут существовать вихревые нити. Вокруг вихревой нити жид-
жидкость движется по окружностям, причем момент количества движения
атомов гелия относительно оси вихревой нити подчиняется правилу
квантования Бора. Найти поле скоростей вокруг вихревой нити.
§ 3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
141.	Найти релятивистское выражение для длины волны де Брой-
ля А электрона или протона, если ускоряющее напряжение равно V.
При каких значениях напряжения можно пользоваться нерелятивист-

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
19
ским выражением, чтобы ошибка не превосходила 5%? Найти Л для
этих частиц при V = 1, 102 103, 105, 10ю, 1015 В.
142.	Получить приближенное выражение для длины волны де Брой-
ля ультрарелятивистской частицы, т. е. такой частицы, кинетическая
энергия <f которой много больше ее энергии покоя тс2. При каких
значениях <? можно пользоваться этим выражением, чтобы ошибка не
превосходила 5%? Вычислить длину волны де Бройля Л для ультра-
ультрарелятивистских протонов с энергией $ = 70,6 ГэВ, получающихся на
Серпуховском синхротроне.
143.	Найти среднюю длину волны де Бройля теплового нейтрона,
т. е. нейтрона, находящегося в тепловом равновесии с окружающей
средой, при комнатной температуре Т = 300 К.
144.	Вычислить длины волн де Бройля Ai и А2 атомов водорода
и ртути с энергиями в 1 и 106эВ, а также длины волн Аз для этих
атомов, движущихся со средней тепловой скоростью, при 0°С.
145.	Определить теоретическое минимально разрешаемое рассто-
расстояние d электронного микроскопа при ускоряющем напряжении V =
= 100 кВ и числовой апертуре А = 0,1.
146.	Доказать, что в атоме водорода и водородоподобных ионах
на круговой стационарной боровской орбите укладывается целое число
длин волн де Бройля. Определить длину волны де Бройля на круговой
орбите с главным квантовым числом п.
147.	При пропускании пучка нейтронов от ядерного реактора через
блок прессованного графита все нейтроны с длинами волн де Брой-
Бройля короче 0,67 нм испытывают интерференционное отражение Вуль-
фа-Брегга. Проходят через блок только медленные, так называемые
холодные нейтроны. Определить максимальную температуру, соответ-
соответствующую самым коротким волнам де Бройля нейтронов, пропускае-
пропускаемым графитом, а также вычислить постоянную d решетки графита.
148.	В одном из способов монохроматизации медленных нейтронов
применяются два диска из кадмия, насаженные на общую ось (рис. 2).
Рис. 2
На периферии дисков на одинаковых расстояниях R от оси сделаны
два малых круглых отверстия диаметра а. Отверстия повернуты отно-
относительно друг друга на угол (р вокруг оси прибора и в этом положении

20	Задачи
скреплены. Диски равномерно вращаются вокруг той же оси с угловой
скоростью О. Определить длину волны де Бройля Л, а также степень
монохроматичности нейтронов, пропускаемых таким монохроматором,
если расстояние между дисками равно /. Произвести численный расчет
для / = 1 м, R = 10 см, О = 300 рад/с, ср = 4°, а = 5 мм.
149.	Протон с дебройлевской длиной волны Л = 0,001 нм упруго
рассеялся под углом тг/2 на первоначально покоившейся а-частице.
Определить дебройлевскую длину волны Л рассеянного протона.
150.	Определить кинетическую энергию <fKHH электрона, при ко-
которой его дебройлевская и комптоновская длины волн равны между
собой.
151.	Найти выражение дли показателя преломления электронных
волн через работу выхода Щ = eVo (Vb — внутренний потенциал
кристалла).
152.	Показать, что при преломлении электронной волны соблюда-
соблюдается закон преломления simp/ simp' = /i.
Указание. При проникновении в кристалл меняется лишь нор-
нормальная компонента скорости электрона.
153.	Как нужно изменить формулу Вульфа-Брегга, если учесть
преломление волн на поверхности кристалла? Считать, что отражаю-
отражающая плоскость параллельна поверхности кристалла.
154.	Определить внутренний потенциал серебра, если для элек-
электронных волн (V = 100 В) при отражении от грани @01) в четвертом
порядке в = 28°. Постоянная решетки для серебра а = 0,40776 нм.
155.	Как изменятся условия Лауэ для дифракции электронных волн
на пространственной решетке при учете преломления? Ограничиться
рассмотрением кристалла кубической структуры и считать, что плос-
плоскость @01) параллельна поверхности кристалла.
156.	Исходя из требования, чтобы групповая скорость волн
де Бройля равнялась скорости движения частицы, и пользуясь
формулой Рэлея, связывающей фазовую и групповую скорости,
определить фазовую скорость w этих волн, а также найти связь между
энергией частицы Ш и частотой v.
157.	В релятивистской и нерелятивистской теориях связь между
волновыми и корпускулярными свойствами свободно движущейся ча-
частицы выражается одинаковыми по виду формулами:
$ = Тго;, р = Кк.
Однако в релятивистской теории под Ш понимается полная, а в нереля-
нерелятивистской — только кинетическая (р2/2то) энергия частицы. Почему
эти два выражения (в области применимости нерелятивистского при-
приближения) не приводят к противоречиям?
158.	Движение электрона описывается плоской монохроматической
волной де Бройля. Электрон в таком состоянии обладает вполне опре-
определенным импульсом, но его координата совершенно неопределенна.
Для определения ж-координаты электрона на пути волны перпендику-

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии	21
лярно к ее распространению ставится непрозрачный экран со щелью.
Пусть координатная плоскость XY расположена в плоскости экра-
экрана, причем ось X направлена перпендикулярно к щели. Показать,
что в результате дифракции на щели возникает состояние электрона,
в котором неопределенности координаты электрона х и импульса рх
удовлетворяют соотношению Гейзенберга.
159.	В мысленном опыте Гейзенберга положение электрона опре-
определяется с помощью микроскопа при освещении электрона светом.
Показать, что при таком методе измерения координата х и импульс
рх электрона не могут быть определены более точно, чем требует
соотношение неопределенностей Гейзенберга.
160.	Скорость макроскопического тела измеряется по доплеровско-
му изменению частоты световой волны при отражении от этого тела.
Разобрать этот способ и показать, что соответствующие неточности
импульса и положения тела удовлетворяют соотношению неопределен-
неопределенностей Гейзенберга.
161.	Положение центра шарика с массой т = 1г и положение
электрона определены с ошибкой Ах ~ 10~5см. Какова будет неопре-
неопределенность в скорости Avx для шарика и электрона?
162.	Показать, что представление о классическом движении элек-
электрона в атоме по боровским орбитам противоречит соотношению
неопределенностей Гейзенберга.
163.	Показать, что в пределе, когда главное квантовое число п
в атоме водорода стремится к оо, движение электрона переходит
в классическое движение по круговой орбите.
164.	Какова должна быть кинетическая энергия (?кин электронного
(и протонного) ускорителя для исследования структур с линейными
размерами / ~ 1 ферми A0~13см)?
165.	Найти по порядку величин радиус атома водорода в основном
состоянии и энергию связи электрона в том же состоянии, пользу-
пользуясь соотношением неопределенностей Гейзенберга. Оценить таким же
способом размер двухатомной молекулы и энергию ее основного состо-
состояния, приближенно рассматривая молекулу как одномерный гармони-
гармонический осциллятор с собственной частотой ujq и приведенной массой /i.
166.	Оценить наибольшую энергию связи Ш электрона, локализо-
локализованного в области пространства, радиус которого г ~ 10~8см (атом)
иг^ 10~13см (атомное ядро). Какие выводы можно сделать из полу-
полученной оценки, если учесть, что энергия связи ядерной частицы в ядре
не превосходит ЮМэВ?
Указание. Воспользоваться соотношением неопределенностей
Гейзенберга в форме точного неравенства Ах2 Ар2 ^ Тг /4.
167.	Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии состав-
составляет около At ~ Ю~8с. При переходе атома в нормальное состояние
испускается фотон, средняя длина волны которого равна Л = 500 нм.
Оценить ширину АЛ и относительную ширину АЛ/Л излучаемой спек-
спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других про-

99
Задачи
цессов. (Такая ширина называется естественной шириной спектральной
линии.)
168.	Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных
состояний частицы массы га, локализованной в одномерной потенци-
потенциальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими стенками
(рис. 3). Ширина ямы равна 2а.
169.	Найти волновую функцию и уровни энергии стационарных
состояний частицы массы га, локализованной в симметричной одно-
одномерной потенциальной яме прямоугольной формы, глубина которой
равна Щ, а ширина 2а (рис. 4).
ДО
00
17
ДО
оо
-а О +а х
Рис.3
U
О
ип
+а
х О
U
ип
Рис. 4
Рис.5
170. Частица локализована в трехмерной потенциальной яме пря-
прямоугольной формы (рис. 5). Это значит, что потенциальная энергия
частицы сферически симметрична относительно силового центра О,
т. е. является функцией только расстояния г от силового центра:
О
при
при
г < а,
г > а.
Найти волновые функции и уровни энергии связанных стационарных
состояний частицы, зависящие только от расстояния г. (В таких состо-
состояниях момент импульса частицы равен нулю.)
171.	Частица локализована в трехмерной потенциальной яме пря-
прямоугольной формы, радиус которой равен а. Определить минимальную
глубину ямы Щ, при которой появится первый уровень энергии. Чему
равна энергия частицы <f на этом уровне?
172.	Энергия связи дейтона, измеренная экспериментально, равна
& = 2,225 МэВ. Дейтон может находиться только в одном связанном
состоянии. Аппроксимируя потенциальную энергию взаимодействия
протона с нейтроном с помощью трехмерной прямоугольной потенци-
потенциальной ямы, определить ее глубину Щ, при которой возможно связан-
связанное состояние. Найти радиус ямы а.
173.	Частица находится в центральном поле силового центра с по-
потенциальной энергией U = —C/rs, где С — положительная постоян-
постоянная, а г — расстояние от силового центра. Исходя из соотношения
неопределенностей, показать, что при s > 2 возможны стационарные

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии	23
состояния частицы со сколь угодно большими по абсолютной величине
отрицательными собственными значениями полной энергии. Частица
будет переходить на нижележащие энергетические уровни — произой-
произойдет ее «падение» в точку г = О, т. е. на силовой центр. Если же s <
< 2, то наиболее низкий энергетический уровень будет иметь конечное
значение полной энергии, т. е. падение на силовой центр не произойдет.
Пользуясь этими результатами, объяснить возможность существо-
существования атомов, например атома водорода, построенного из протона
и электрона.
174.	Пользуясь уравнением Шредингера, найти энергетические
уровни водородоподобного атома в s-состоянии, т. е. таком состоянии,
в котором волновая функция сферически симметрична относительно
ядра атома.
175.	Показать, что среди сферически симметричных решений урав-
уравнения Шредингера для водородоподобного атома, конечных при г = О
и обращающихся в нуль при г = оо, имеется экспоненциальное реше-
решение е~аг. Найти постоянную а и энергию атома в рассматриваемом
состоянии. Что это за состояние?
176.	Найти объемную плотность вероятности нахождения электро-
электрона в водородоподобном атоме для основного состояния.
177.	Найти радиальную плотность вероятности нахождения элек-
электрона в водородоподобном атоме для основного состояния. При каких
значениях г эта величина обращается в максимум?
178.	Найти среднее расстояние г электрона от ядра в основном
состоянии водородоподобного атома.
179.	Найти среднее значение обратного расстояния A/г) электрона
от ядра в основном состоянии водородоподобного атома.
_ 180. Найти средние значения потенциальной U и кинетической
(?кин энергий основного состояния водородоподобного атома.
181. Свободно движущаяся частица массы т с энергией <? подхо-
подходит к границе раздела двух областей I и II, на которой потенциальная
энергия частицы скачкообразно меняет-
меняется от постоянного значения U\ до по-	**~
стоянного значения ?72 (рис. 6). Опре-
Определить коэффициенты отражения и про-
пускания частицы на этой границе по
амплитуде (г и d) и по энергии (R и D).	\ о ц
Исследовать случаи, когда: 1) & > Щ
и 2) & < ?/2. Во втором случае опреде-	Рис- 6
лить среднюю глубину проникновения / частицы во вторую среду.
182.	В предыдущей задаче частицей является электрон с энергией
8* = 2эВ, U\ = О, U2 = 5эВ. Вычислить среднюю глубину проникнове-
проникновения его в область П.
183.	В задаче 181 частица движется в обратном направлении, т.е.
из области II в область I, причем 8, U\, U2 имеют прежние значения.

24	Задачи
17
Обозначим амплитудные коэффициенты отражения и пропускания ча-
частицы через г' и d! соответственно. Показать, что
г1 = —г, г2 + dd! = 1.
184. Частица из области I проходит в область II через одномерный
потенциальный барьер (или яму) прямоугольной формы с шириной /.
Определить амплитудные коэффициенты отражения г и пропускания d
частицы на этом препятствии, пред-
предполагая, что потенциальные энер-
энергии частицы в областях I, II и внут-
^2	ри барьера постоянны и равны со-
соответственно U\, U2, U (рис. 7).
185.	В предыдущей задаче U\ =
^^^^^ = U2. При каком условии частица
не будет отражаться от потенциаль-
рис у	ного барьера (ямы)?
186.	Показать, что в вырожден-
вырожденном слабонеидеальном газе заряженных частиц (т. е. в плазме) условие
идеальности газа с повышением давления (плотности) выполняется все
лучше.
187.	Температура бозе-эйнштейновской конденсации идеального
газа бозе-частиц со спином нуль определяется выражением То =
= 3,31—-ДГ2/3 (т — масса частиц газа, N — их концентрация).
тк
Для гелия температура То = 3 К, т. е. весьма близка к температуре
А-перехода в жидком гелии Т\ = 2,17 К. Применяя такую же оценку
То к жидкому водороду, состоящему из молекул Н2, пояснить, почему
он не переходит в сверхтекучее состояние.
188.	Притяжение между электроном и «дыркой» в полупроводни-
полупроводниках в ряде случаев можно описывать затоном Кулона, действующим
в среде с некоторой диэлектрической проницаемостью е. Найти в таких
условиях уровни энергии Шп и радиусы ап экситона — водородоподоб-
ной системы, состоящей из электрона и «дырки», — при различных
значениях квантовых чисел п. Какова энергия связи и характерный
радиус а\ такого экситона при г = 10 и эффективной массе электрона
и дырки гае = rah = га/10 (га — масса свободного электрона)?
189.	При каких концентрациях электронов и «дырок» (а следова-
следовательно, и экситонов) в полупроводнике можно, в условиях предыдущей
задачи, считать совокупность экситонов газом? Что должно произойти
при повышении концентрации экситонов, предполагая, что экситонные
молекулы — биэкситоны — не образуются?
190.	Электрон и позитрон в атоме позитрония (см. задачу 122),
а также электрон и «дырка» в случае экситонов (см. две предыдущие
задачи) могут аннигилировать с образованием фотонов или других про-
продуктов. Таким образом, соответствующие водородоподобные системы
неустойчивы, и возникает вопрос об условиях применимости формул

§4. Рентгеновские лучи и плазма	25
для уровней энергии, приведенных в указанных задачах. Каковы эти
условия?
191.	Электроны и «дырки» в полупроводнике иногда локализо-
локализованы вблизи поверхности кристалла (на расстояниях порядка атом-
атомных размеров), т.е. находятся в поверхностных состояниях. Будут ли
такие электроны и «дырки» образовывать поверхностные экситоны,
т. е. экситоны, локализованные вблизи поверхности кристалла? Каковы
параметры поверхностных экситонов?
192.	Оценить температуру вырождения То идеального ферми-газа
из соотношения неопределенностей, если концентрация и масса частиц
равны соответственно N и га.
193.	При температурах ниже приблизительно Т = ШОК молярная
теплоемкость Су молекулярного водорода составляет ~ % R, тогда как
при комнатных температурах она равна ~ % R (R — универсальная
газовая постоянная). Пользуясь этими данными, оценить момент инер-
инерции / молекулы водорода относительно оси, проходящей через ее центр
перпендикулярно к оси, проходящей через атомы, из которых построена
молекула. Оценить также частоты v и длины волн Л спектральных
линий, возникающих при переходах между вращательными уровнями
молекулы.
§ 4. Рентгеновские лучи и плазма
194.	Определить наименьшую коротковолновую длину волны Л
рентгеновского излучения при ускоряющем напряжении на трубке V =
= 50кэВ.
195.	Определить наибольшую скорость v электронов на аноде рент-
рентгеновской трубки, если наименьшая длина волны сплошного рентге-
рентгеновского излучения составляет Л = 0,1 нм.
196.	В атоме тантала (Z = 73) совершается переход с М-слоя на
L-слой. Определить длину волны Л испущенного фотона, если посто-
постоянная экранирования а = 5,5.
197.	На кристалл с межплоскостным расстоянием d = 0,3 нм пада-
падает рентгеновский луч с длиной волны Л = 0,15 нм. Определить угол
скольжения в, при котором будет наблюдаться интерференционное
отражение первого порядка.
198.	В рентгеновском спектрографе, работающем по методу интер-
интерференционного отражения Вульфа-Брегга, применяется кристалличе-
кристаллическая пластинка толщиной d. При какой минимальной толщине этой
пластинки можно обнаружить комптоновское смещение при рассеянии
фотонов под углом в = 90° к первоначальному направлению их дви-
движения? Длина волны исходного рентгеновского излучения Л = 0,07 нм.
Рассеянное излучение падает на кристалл спектрографа под углом
скольжения ср = 30°.
199.	Поперечность волн рентгеновского излучения была впервые
доказана Баркла следующим опытом. Пучок рентгеновских лучей

26	Задачи
(рис. 8) рассеивался на теле А. Рассеянное излучение попадало на
тело В и вновь рассеивалось. Доказательством поперечности волн
рентгеновского излучения служило то обстоятельство, что интенсив-
интенсивность вторично рассеянного излучения в направлении ВС была равна
нулю. Объяснить, в чем здесь дело. Почему тела А и В должны быть
сделаны из материала с малым
атомным номером? (В опытах
Баркла эти тела были сделаны из
угля.)
200. Вычислить приближенно
частоту и длину волны Ка-линии
Мо, а также энергию кванта, со-
L^	ответствующую этой линии.
-""	201. Найти приближенно ми-
*"^-^^	нимальное напряжение V на
""^	рентгеновской трубке, при кото-
^ .	ром начинают появляться Ка-ли-
РИС. 8	ЛД	Г	Т7
нии Мо, Си, re.
202.	Найти границу if-полосы поглощения Мо, Си и Fe.
203.	Может ли Ка-излучение Fe вызвать вторичное 7~излУчение
Сг и Со?
204.	Какие линии Ni возбуждаются if-излучением Со?
205.	Известно, что длина Ка-линии одного элемента равна
0,0788 нм, а другого 0,0713 нм. Выяснить, стоят ли эти элементы
рядом в таблице Менделеева. Какие это элементы?
206.	Начиная с какого элемента появляется L-серия?
207.	Найти напряжение на рентгеновской трубке, если известно,
что в излучаемом ею сплошном спектре нет длин волн, меньших
0,0206 нм.
208.	Шарик электроскопа облучается монохроматическим рентге-
рентгеновским излучением. Листочки электроскопа перестают расходиться,
когда потенциал шарика равен
8 кВ. Определить длину волны Л	т
падающего излучения.	^ т Ia
209.	Какова максимальная	^
скорость v электронов, вырыва-		**~
емых из свинца характеристиче-		>
ским излучением железа?		>
210. На пути параллельно-
v
го пучка света перпендикулярно
к направлению лучей поставлена	Рис. 9
линейная решетка (цепочка, со-
состоящая из рассеивающих центров) с периодом а. Найти направления
на дифракционные максимумы и дифракционную картину в фокальной
плоскости линзы, помещенной перпендикулярно к падающим лучам
(рис. 9).

§4. Рентгеновские лучи и плазма	27
211.	1) Как изменится условие дифракции на цепочке, если свет
падает на нее под углом ао (ао — угол между лучом света и на-
направлением цепочки)? 2) Если цепочка имеет длину L, то при каком
условии на экране, помещенном перпендикулярно к падающему пучку,
дифракционная картина может наблюдаться без линзы в случае, когда
а0 = тг/2?
212.	Какая картина будет наблюдаться на экране при дифракции от
линейной решетки, если экран поставлен перпендикулярно к направле-
направлению цепочки, а свет падает на решетку нормально?
213.	Найти дифракционную картину на удаленном экране от плос-
плоской прямоугольной точечной дифракционной решетки с периодами а
и Ь, если плоскость экрана параллельна плоскости решетки. Каковы
условия максимумов при нормальном падении света?
214.	На трехмерную прямоугольную точечную решетку падает пу-
пучок рентгеновских лучей в направлении одного из ребер параллеле-
параллелепипеда, образующего ячейку решетки. Найти направления на дифрак-
дифракционные максимумы и условия, при которых эти максимумы могут
наблюдаться.
215.	Найти направления на дифракционные максимумы при ди-
дифракции на трехмерной кубической решетке с постоянной а при про-
произвольном падении рентгеновских лучей. Какому условию должна удо-
удовлетворять длина волны Л, чтобы максимумы наблюдались?
216.	Пользуясь условиями, приведенными в решении предыдущей
задачи, найти угол 20 между падающим и дифрагированным лучами
для кубической решетки.
217.	Показать на примере простой решетки, что условие интерфе-
интерференционного усиления Вульфа-Брегга эквивалентно условиям Лауэ.
218.	Возможна ли дифракция рентгеновских лучей на оптической
дифракционной решетке с постоянной 1 мкм, и если возможна, то при
каких условиях?
219.	Сколько атомов приходится на элементарную ячейку в кри-
кристаллах с простой кубической, кубической объемноцентрированной
и кубической гранецентрированной
ячейками?
220.	Образец, состоящий из
мелких кристалликов, поставлен на	Ш-*—-—
пути монохроматических рентге-	||| ^6
новских лучей (метод Дебая-Ше-
рера). Какая дифракционная кар-
картина будет наблюдаться на экране,
перпендикулярном к падающему	рис 10
пучку? Как связано расстояние z
места максимальной интенсивности на экране от центрального пятна
с расстоянием R от образца до экрана (рис. 10)?
221.	Кристаллическая решетка калия — кубическая объемноцен-
трированная, а алюминия — кубическая гранецентрированная. Плот-

28	Задачи
ность 5 этих металлов равна соответственно 0,86 г/см3 и 2,7 г/см3.
Определить постоянные а кристаллических решеток этих металлов.
222.	Для простой кубической решетки, постоянная которой рав-
равна а, найти расстояние dhki между соседними атомными плоскостями
с миллеровскими индексами h, к, I.
223.	Вычислить расстояния б?юо> ^псь ^ш Для 1) простой, 2) объ-
емноцентрированной и 3) гранецентрированной кубических решеток
с постоянной а.
224.	Определить постоянные решеток Fe (объемно-центрированный
куб) и NaCl (для упрощения рассматривать последнюю как простую
кубическую решетку, т. е. различия между атомами Na и С1 не учиты-
учитывать), если плотность pNaCi — 2,164 г/см3 и рре = 7,86 г/см3.
225.	Найти длину волны линии La для W, если при падении ее
на кристалл NaCl под углом 31°32/ к отражающей плоскости @01)
наблюдается спектр четвертого порядка.
226.	Определить постоянную решетки сильвина (КС1), если Ка-ли-
ния железа отражается от грани @01) под углом 18°3' во втором
порядке.
227.	Найти материал антикатода, если наименьший угол скольже-
скольжения излучения, падающего на плоскость @01) кристалла NaCl, при
котором наблюдается максимум, равен 17°. Напряжение на трубке
достаточно велико, чтобы возбудилась if-серия элемента. Учитывать
лишь Ка-линии.
228.	У каких элементов характеристическое рентгеновское излуче-
излучение длинноволновой границы if-серии может испытывать брегговское
отражение от кристалла LiF, постоянная решетки которого d = 0,23 нм?
229.	Поликристаллический бериллий слабо поглощает, но интен-
интенсивно рассеивает нейтроны (брегговское отражение на кристалликах).
На этом основано действие поликристаллического фильтра, пропуска-
пропускающего нейтроны с энергией & < (?гр. Найти <?гр для бериллия, если
межплоскостное расстояние d = 0,2 нм. Масса нейтрона т = 1,67 х
х Ю-24 г.
230.	Почему для рентгеновских лучей, а также для любых волн
в межпланетном и в межзвездном пространстве понятие показателя
преломления среды сохраняет смысл, хотя средние расстояния между
частицами среды велики и даже могут быть очень велики по сравне-
сравнению с длиной волны?
231.	Показать, что показатель преломления плазмы (а также рент-
рентгеновских лучей), рассматриваемой как совокупность свободных заря-
заряженных частиц, определяется формулой
2 ! Ne2/m
nz = 1	L-,
где N — число таких частиц в единице объема.

§5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле	29
232.	Показать, что фазовая и групповая скорости в предыдущей
задаче связаны соотношением
= с\
233.	Для оценки средних и интегральных характеристик межзвезд-
межзвездной плазмы можно использовать экспериментальный факт, установ-
установленный сразу же после открытия пульсаров. Он состоит в том, что
из-за дисперсии плазмы импульсы радиоизлучения пульсаров на более
низких частотах всегда запаздывают по отношению к импульсам более
высоких частот. (В этом можно убедиться, принимая излучение от
пульсара с помощью двух радиоприемников, настроенных на разные
частоты.)
Два квазимонохроматических сигнала с длинами волн Ai = Зсм,
Л2 = 5 см генерируются одновременно и распространяются от пульсара
в межзвездной плазме. Определить полное число N свободных элек-
электронов на пути сигналов в цилиндре площадью 1 см2 и высотой /,
равной расстоянию пульсара до Земли, если эти сигналы запаздывают
относительно друг друга на At = 10~5с. Концентрация электронов
хотя и не постоянна на пути сигналов, но показатель преломления
плазмы везде весьма близок к единице.
§ 5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле
234.	Чему равен по теории Бора орбитальный магнитный момент
атома водорода в нормальном состоянии?
Указание. Магнитный момент тока fi = IS/с, где / — сила тока,
S — площадь поверхности, обтекаемой током, с — скорость света.
235.	Каково отношение орбитального магнитного момента /i элек-
электрона на n-й круговой боровской орбите к его моменту количества
длижения /?
236.	Показать, что ответ к предыдущей задаче правилен и для
эллиптических орбит.
237.	В магнитном поле свободный электрон движется по винтовой
линии, вследствие чего появляется орбитальный магнитный момент.
Поэтому, казалось бы, электронный газ, помещенный в сосуд с идеаль-
идеально отражающими стенками (грубая модель металла), должен обладать
диамагнетизмом. Фактически же в равновесном состоянии диамагнит-
диамагнитный момент сосуда с газом равен нулю (в рамках классической теории).
Дать качественное объяснение этого результата.
Указание. Учесть отражение электронов от стенок сосуда.
238.	Найти энергию магнитного взаимодействия двух атомов водо-
водорода, находящихся на расстоянии 3- 10~6см. Считать, что электроны
в атомах движутся по первым боровским орбитам. Плоскости орбит
обоих атомов параллельны. Спин электрона не учитывать.

30	Задачи
239.	С какой угловой скоростью и должен начать вращаться ци-
цилиндр, подвешенный в магнитном поле с напряженностью Н, направ-
направленном параллельно его оси, если изменить направление поля на обрат-
обратное? Считать, что цилиндр намагничивается до насыщения. (Момент
количества движения электрона в атоме равен /.)
240.	Определить отношение магнитного момента электрона в атоме
к его моменту количества движения, если известно и (см. предыдущую
задачу) и магнитный момент цилиндра в поле.
241.	Какое значение для ио следует ожидать в упрощенном опыте
Эйнштейна-де Гааза (задача 239), если длина цилиндра 1 см, его
масса 1 г, цилиндр сделан из железа и если предположить, что момент
количества движения каждого атома равен таковому для электрона на
первой боровской орбите?
242.	Каковы собственный механический момент количества дви-
движения / и магнитный момент /i электрона? Каково отношение этих
величин?
243.	Определить возможную мультиплетность атомов Н, Не, Li,
Mg, Fe, Hg, U, Cl.
244.	Какова возможная мультиплетность Sr+, Li+, Ca+, C++,
О++++?
245.	Какова высшая мультиплетность атома третьей группы?
246.	На сколько уровней расщепится в магнитном поле терм с / =
= 3 при простом эффекте Зеемана? Какова разность энергий соседних
уровней?
247.	На сколько компонент расщепится в магнитном поле спек-
спектральная линия, связанная с переходом / = 3 —> I = 2, при простом
эффекте Зеемана?
248.	Вычислить расщепление уровня п = 2, 1=1 водорода из-за
магнитного взаимодействия спина с орбитой.
249.	Найти дублетное расщепление первой линии серии Лаймана,
принимая, что состояние п = 1 нерасщепляется, а состояние п = 2
расщеплено на величину, вычисленную в задаче 248.
Примечание. Вычисленное расщепление не равно наблюдаемо-
наблюдаемому, так как в расчете не учтена релятивистская поправка и, кроме того,
сам расчет слишком груб.
250.	Показать, учитывая магнитное взаимодействие спина с орби-
орбитой, что интервалы между компонентами одного мультиплета (в шкале
частот) относятся, как целые числа. Чему равны эти числа?
Указание. Энергия взаимодействия спина с орбитой пропорцио-
пропорциональна cos(Zs), где I — орбитальный и s — спиновый моменты.
251.	На сколько компонент расщепится в слабом магнитном поле
терм с внутренним квантовым числом j?
252.	На сколько компонент расщепится при проведении опыта
Штерна-Герлаха пучок атомов водорода?

§5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле	31
253.	Найти расщепление термов атома группы щелочных металлов,
помещенного в слабое магнитное поле. Считать спин и орбитальный
момент имеющими одинаковое направление.
254.	На сколько компонент расщепится в слабом магнитном поле
линия Na, отвечающая переходу
255.	Найти число компонент сложного эффекта Зеемана линии Na,
указанной в предыдущей задаче, которые поляризованы по магнитному
полю.
256.	Каково максимально возможное число электронов, обладаю-
обладающих заданным главным квантовым числом п?
257.	Показать, что полный момент количества движения замкну-
замкнутых оболочек равен нулю.
258.	Каково максимально возможное число электронов, облада-
обладающих заданными значениями главного и азимутального квантовых
чисел?
259.	Наблюдается простой поперечный эффект Зеемана в магнит-
магнитном поле В = 5000 Гс. Какова должна быть минимальная длина L
заштрихованной части дифракционной решетки, чтобы разрешить все
линии зеемановского триплета?
260.	Определить расщепление спектральной линии рз/2 ~^ s\/2
в слабом магнитном поле. Для натрия эта линия является коротковол-
коротковолновой компонентой (Л = 589,0 нм) двойной линии D с шириной АЛ =
= 0,6 нм. Какие магнитные поля в этом случае являются слабыми?
261.	С помощью эшелона Майкельсона наблюдается зеемановское
расщепление D-линии натрия в магнитном поле Н = 5000 Гс. Какова
должна быть максимальная толщина d пластины, чтобы эшелон был
пригоден для исследования расщепления? Показатель преломления ма-
материала пластины п = 1,5.
262.	Какой эффект Зеемана — простой или сложный — наблюдает-
наблюдается при расщеплении спектральной линии XD^ —> lF^ в магнитном поле
В = 104 Гс? В каких пределах должно лежать расстояние L между зер-
зеркалами интерферометра Фабри-Перо, чтобы обнаружить и исследовать
зеемановское расщепление рассматриваемой линии? Зеркала посереб-
посеребрены так, что эффективное число отражений между ними ЛГЭф = 20.
263.	Оценить величину расщепления 2р-состояния позитрония, вы-
вызванного взаимодействием спиновых магнитных моментов позитрона
и электрона.
264.	Собственное значение проекции спина частицы равно 1/2
(в единицах ft). Доказать, что квадрат полного спина частицы равен
ий-и-

32	Задачи
265.	Сосуд, наполненный парами Hg низкого давления, абсорбиру-
абсорбирует в 1 с 1016 квантов резонансного излучения Hg от ртутной лампы.
Время жизни атома Hg в возбужденном состоянии 23Р равно « 10~7с.
Сколько возбужденных атомов Hg находится в сосуде одновременно?
266.	Какая часть атомов Na в пламени бунзеновской горелки
B000 К) возбуждена к испусканию D-линии (Л = 589,0 нм)?
267.	Для паров Na в пламени бунзеновской горелки (Т = 2000 К)
находят на опыте, что на каждый атом Na испускается п = 2000
квантов (Л = 589,0 нм) в 1 с. Найти среднюю продолжительность t
жизни возбужденного атома натрия.
§ 6. Экспериментальные методы ядерной физики
268.	Какая масса воды достаточна для насыщения парами 10-лит-
10-литрового объема камеры Вильсона при температуре 23 °С? (См. табл. I
в конце книги.)
269.	Определить температуру ^ в камере Вильсона непосредствен-
непосредственно после ее быстрого расширения. Камера наполнена смесью воздух-
водяной пар, для которой 7 = cp/cv = 1,4. Температура стенок камеры
t\ = 20 °С, температурный коэффициент объемного расширения к =
— Vi/Vx — 1,25 (V\ — начальный, V^ — конечный объем камеры).
270.	Пересыщением S в камере Вильсона называют отношение
плотности пара р\ непосредственно после расширения (но до конден-
конденсации) к плотности насыщенного пара р% при температуре Т^ также
непосредственно после расширения. Найти выражение для пересыще-
пересыщения в функции от парциальных давлений Р\ и Р% пара до и после
расширения, температурного коэффициента объемного расширения к =
= V^/Vx и отношения удельных теплоемкостей 7 = cp/cv смеси.
271.	Если 7г и 7п — отношения удельных теплоемкостей cp/cv
газа и пара в камере Вильсона, то коэффициент 7 смеси может быть
определен по формуле Рихарца:
1	1 ^+ 1 Рп
7-1 7г - 1 Р 7п - 1 Р '
где Рг и Рп — парциальные давления газа и пара, а Р = Рг + Рп.
Камера Вильсона работает на смеси воздуха с водяным паром. Найти
ее пересыщение для: 1) Р = 200 ммрт. ст., 2) Р = 11 400 мм рт. ст.
Начальная температура камеры 25 °С; температурный коэффициент
объемного расширения к = 1,2; 7возд = 1,4; 7н2о = 1А Найти пересы-
пересыщение при тех же давлениях, когда вместо водяного пара используется
спирт Gсп = 1,25).
272. Когда температурный коэффициент объемного расширения
(в системе пар-воздух) превосходит 1,37, то даже при отсутствии
ионизующего источника во всей камере Вильсона появляется густой
туман, который затем оседает. Определить, какое пересыщение соот-

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	33
ветствует такому расширению, если начальная температура t\ = 20°С,
а 7= 1,374.
273.	Для случая жидководородной пузырьковой камеры определить
радиус пузырька, находящегося в состоянии неустойчивого равновесия
(так называемый критический радиус RKV), если поверхностное натя-
натяжение жидкого водорода а = 0,97 дин/см, давление жидкости Рж =
= 1 кгс/см2, давление насыщенных паров жидкого водорода при темпе-
температуре камеры B7 К) Рп = 6кгс/см2.
274.	По современным представлениям, причиной образования пу-
пузырьков вдоль следа заряженной частицы в пузырьковой камере яв-
являются 5-электроны 0 с энергией, достаточной для образования пу-
пузырька критического размера, но не настолько большой, чтобы их
пробег превосходил размер этого пузырька. Определить минимальную
энергию 5-электрона, способного образовать пузырек критического раз-
размера в пропановой пузырьковой камере при температуре Т = 328 К
и давлении Рж = 5 кгс/см2. Поверхностное натяжение пропана а =
= 4,46 дин/см, соответствующее давление насыщенных паров Ри =
= 15 кгс/см2, молярная теплота испарения пропана q = 3,9 ккал/моль.
Работой расширения пузырька пренебречь.
275.	Из-за соударения а-частиц с ядрами атомов в конце прямоли-
прямолинейных треков иногда заметны резкие изломы. Обычно на 100 следов
а-частиц один след имеет излом. Вдоль трека а-частицы образуется
~ 3 • 105 капелек тумана, из которых около одной трети возникает
при первичной передаче энергии электрону атома. Определить отно-
относительную вероятность соударения а-частицы с ядром по сравнению
с вероятностью соударения с атомом.
276.	По сравнению с а-частицами (см. задачу 275) /3-частицы
образуют в камере Вильсона значительно более тонкие следы (около 50
ионов на 1 см длины). Следы /3-частиц имеют прерывистый характер.
Следы медленных /3-частиц чрезвычайно извилисты. Определить на
рис. I 2) следы а-частиц, а также быстрых и медленных /3-частиц.
277.	На рис. II приведена фотография, полученная в камере Виль-
Вильсона, находящейся в магнитном поле. Свинцовая фольга подвергалась
просвечиванию 7~лУчами с энергией 17МэВ. Определить частицы,
наблюдаемые в камере, и направление полета 7~квантов.
278.	На рис. III, IV приведены две фотографии камеры Вильсона,
наполненной гелием и работающей в пучке 7~излУчения синхротрона
с энергией не более 150МэВ. Определить, следы каких частиц зареги-
зарегистрированы на этих фотографиях.
*) (^-электроны — вторичные электроны, испускаемые атомами при соуда-
соударении с ними а-частиц или других ионизующих частиц. Они аналогичны
/3-электронам, но более медленные.
2) Фотографии I-XI даны в конце книги.
2 Под ред. Д. В. Сивухина

34	Задачи
279.	На рис. V изображена фотография, полученная в камере
Вильсона в магнитном поле 18 000 Э. Треки, указанные стрелками,
вызваны электронами. Какой частице принадлежит центральный след?
280.	С помощью камеры Вильсона производится попытка обнару-
обнаружения двойного /3-распада в Са48. С этой целью достаточно тонкий
образец кальция массы 5 г, обогащенный до 85% изотопом Са48, поме-
помещается в камеру таким образом, что двойной /3-распад, происходящий
во время фотографирования, длящегося 0,15 с, может быть зареги-
зарегистрирован. Геометрическая эффективность установки составляет 3/4.
Определить, какое количество фотографий необходимо получить, что-
чтобы убедиться, что период полураспада ядра превышает 1019 лет.
281.	С помощью пропановой пузырьковой камеры, помещенной
в пучок тормозного излучения бетатрона, исследовался процесс фото-
фоторасщепления углерода на три а-частицы. Определить сечение этого
процесса а, если пучок 7~лучей проходит вдоль диаметра камеры D =
= 20см, поперечное сечение пучка в камере S = Змм2, плотность про-
пропана (СзН§) р = 0,33 г/см3, плотность эффективных квантов в одном
импульсе ускорителя / = 3 • 104 см~2, количество рассмотренных фото-
фотографий К = 9300, число зарегистрированных случаев фоторасщепле-
фоторасщепления п = 1000. Одна фотография получается за 1 импульс ускорителя.
282.	Определить энергию электрона 8, если радиус кривизны р его
следа в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле Н = 10000 Э,
составляет 2 м.
283.	Определить кинетическую и полную энергии протона по кри-
кривизне его следа в камере Вильсона, помещенной в магнитное поле
Н = 10000 Э, если измеренная длина стрелы сегмента h = 2,5 мм при
хорде а = 20 см.
284.	Если масса исследуемой однозарядной частицы значительно
превышает массу электрона, а ее энергия не очень велика (меньше
1012эВ для протона и меньше 1010эВ для мюона), то потери на иони-
ионизацию (—d&/dx)mH не зависят от массы частицы и являются лишь
функцией ее скорости:
^ L ='
Значения функции / приведены в конце книги (табл. II).
При измерении следа мюона в камере Вильсона в магнитном поле
оказалось, что Нг = 0,64- 105Э-см, где Н — напряженность маг-
магнитного поля, а г — радиус кривизны трека мюона. На 1 см пути
в воздухе мюон создает 780 пар ионов. Определить массу мюона, если
на создание пары ионов необходима энергия 32 эВ. Определить массу
мюона при:
(-d%/dx), 103эВ/см: 1) 12,5; 2) 7,5; 3) 15,0; 4) 25;
Hr, 105 Э-см:	1) 1,1; 2) 1,47; 3) 0,96; 4) 0,55.
Вычислить среднее значение массы.
Указание. Задачу решать графически с помощью табл. П.

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	35
285.	Пробег однозарядной частицы
= Г ds = г ds =м
\ (-d&/dx)mii J J(/32/(l -/32y/2) т
где М — масса исследуемой частицы, am — масса электрона (см. за-
задачу 284). Значения функции g приведены в конце книги (табл. III).
Измеряя пробег R в воздухе и кривизну трека г в камере Вильсона,
определить массу исследуемой частицы для следующих данных:
Hr, 104 Э-см: 1) 5,5; 2) 5,5; 3) 3,87; 4) 18,74;
Я, см:	1) 18; 2) 4; 3) 6,5; 4) 583.
Указание. Задачу решить графически с помощью табл. III.
286.	Для измерения массы частицы камера Вильсона перегоражи-
перегораживалась свинцовой пластиной. Измерялась кривизна трека в магнитном
поле до и после прохождения свинцовой пластины. Вычислялась вели-
(Hr)i-(HrJ d(Hr)	, о
чина -———-—— « —-—-, где индексы 1 и 2 относятся к величи-
Ах	dx
нам Нг, полученным до и после прохождения пластины. Результаты
сведены в следующую таблицу:
(Яг)средн, Ю5 Э-см: 1) 1,60; 2) 4,50; 3) 6,15;
d(Hr)/dx, 105 Э:	1) 2,71; 2) 0,67; 3) 0,542.
С помощью табл. V для функции d(Hr)/dx = f/e/З (см. задачу 284)
найти массу исследуемой частицы.
287.	Ионизующие частицы, проходя через фотоэмульсию, воздей-
воздействуют на кристаллы бромистого серебра таким образом, что после
проявления они образуют ряд черных зерен галоидного серебра, рас-
расположенных вдоль следа частицы. Плотность зерен зависит от типа
эмульсии, способа проявления и возрастает с увеличением удельных
потерь энергии ионизующей частицы. При скоростях vCc
dx	mv2
где Ze — заряд частицы, v — ее скорость, N — число атомов в 1 см3,
т — масса электрона.
а)	Как определить направление движения частицы по ее следу
в эмульсии?
б)	Как относятся удельные потери энергии для протонов, дейтонов
и а-частиц при равных скоростях и соответственно при равных энер-
энергиях частиц?
в)	Протоны, дейтоны и а-частицы имеют в эмульсии одинаковый
пробег 100 мкм. Как относятся их удельные потери энергии в начале
пробега? (Использовать табл. IV.)
288. Зависимость пробега заряженной частицы в веществе от ее
скорости имеет следующий вид:

36	Задачи
где М — масса частицы, Z — ее заряд (элементарный заряд принят
за единицу), v — скорость частицы, т — масса электрона, g(v) —
функция, не зависящая ни от заряда, ни от массы (см. задачу 285
и табл. IV).
а)	Следы протонов, дейтонов и тритонов в эмульсии имеют на
равных участках следа одинаковое число зерен. Как относятся между
собой остаточные пробеги и энергии этих частиц?
б)	Известно соотношение пробег-энергия для протонов (табл. IV).
Найти соотношение пробег-энергия для тритонов в том же веществе.
в)	Для протонов известна зависимость числа зерен N (на участке г)
от пробега Rh %? = f(R). Как определить энергию дейтонов и тритонов,
следы которых не оканчиваются в эмульсии?
289. Заряженная частица, проходя через вещество, испытывает
многократное рассеяние. Среднее значение проекции (на плоскость
фотопластинки) угла многократного рассеяния на участке г равно
pv
где К — константа рассеяния, определяемая обычно экспериментально,
Z — заряд частицы (элементарный заряд принят за единицу), р и v —
импульс и скорость частицы. Измеряя Ф для известной частицы, можно
определить ее энергию. Если известна энергия частицы, то, зная Ф,
можно определить ее массу.
В фотографических эмульсиях зарегистрировано несколько следов
неизвестных частиц. Как определить отношение масс этих частиц, если
их следы оканчиваются в эмульсии? (Использовать метод рассеяния
и метод счета зерен.)
290.	По каким признакам можно различить следы медленных тг~
и тг+-мезонов, оканчивающихся в эмульсии?
291.	В состав ядерных эмульсий входят легкие элементы Н, С,
N, О и тяжелые Ag, Br (около 0, 6% составляют S и I). При иссле-
исследовании взаимодействия частиц с указанными ядрами фотоэмульсии
могут быть использованы в качестве мишеней, являясь одновременно
детекторами заряженных продуктов реакции.
На рис. VII показаны случаи расщепления легкого ядра 7~квантом
на три одинаковые частицы. Определить, на каком ядре и какая про-
произошла реакция.
В аналогичной звезде два следа / и 2 останавливаются в эмульсии,
их пробеги R\ = R2 = 15,3 мкм, угол между ними а = 75°. След 3
выходит из эмульсии.
а)	Определить энергию третьей частицы и энергию 7~кванта> вы-
вызвавшего расщепление. Импульсом 7"кванта пренебречь, считая, что
все три следа компланарны.
б)	Предполагаем, что реакция идет в две стадии: сначала испускает-
испускается частица 3 и образуется промежуточное ядро, затем промежуточное

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	37
ядро распадается на частицы / и 2. Какое промежуточное ядро обра-
образуется и какова должна быть его энергия возбуждения?
292.	На рис. VIII показана трехлучевая звезда, образованная в ре-
результате взаимодействия 7~кванта с ядрами дейтерия, который был
введен в фотографическую эмульсию. Энергия 7~квантов не может
быть больше 250 МэВ. Как видно из микрофотографии, частица /
в конце пробега (в точке К) образовала звезду, частица 2 испытала
в точке S упругое рассеяние.
а)	Определить, какой реакции соответствует указанная звезда.
б)	На каком ядре произошло рассеяние частицы 2, если из изме-
измерений известно, что угол между следами после рассеяния составляет
90°? (Какой угол должен был бы наблюдаться между следами в случае,
если бы рассеяние частицы 2 произошло на дейтоне и при этом пробег
дейтона после рассеяния оказался вдвое больше пробега частицы 2?)
293.	В звезде (рис. IX), зарегистрированной в электроночувстви-
тельных пластинках, наблюдается плотный след, принадлежащий Li8
и оканчивающийся двумя а-частицами, разлетающимися в противо-
противоположные стороны («молоточковый след»). В конце пробега ядра Li8
наблюдается также след электрона.
а)	Какой процесс произошел в конце пробега ядра Li8? Какое другое
ядро могло бы дать в эмульсии аналогичный след?
б)	Определить максимальную энергию электрона, если &ai = &а2 =
= 1,5 МэВ.
294.	В фотографических эмульсиях, не чувствительных к элек-
электронам, исследовалось поглощение медленных тг~-мезонов на ядрах
4Ве9, введенного в эмульсию. На рис. X приведен один из случаев
поглощения тг~-мезона бериллием, сопровождающегося ядерным рас-
расщеплением. В конце следа мезона наблюдается только «молоточковый
след» (см. задачу 293). Какая произошла реакция? Определить энергию
продуктов расщепления.
295.	Фотоэмульсии нередко используются в качестве детектора
нейтронов. Последние могут быть зарегистрированы по протонам отда-
отдачи или по характерным реакциям, происходящим при взаимодействии
нейтронов с элементами, специально введенными в эмульсию.
а)	В случае медленных нейтронов можно использовать реакцию
на ядрах В10 и Li6, введенных в эмульсию. Ожидаются следующие
реакции:
3Li6 + n1 -+ 2Не4 + iH3, 5B10 + n1 -+ 3Li7 + 2He4.
Определить суммарную длину следов а-частицы и тритона в первой
реакции и энергии а-частицы и ядра Li7 — во второй. (Рассмотреть
случай, когда ядро Li7 образуется в первом возбужденном состоянии
с энергией возбуждения « 0,5 МэВ.)
б)	Быстрые нейтроны детектируются обычно по протонам отдачи.
Какие характеристики рассеяния надо измерять, чтобы определить

38	Задачи
энергию нейтрона? (Направление потока нейтронов в эксперименте
известно.)
296.	На рис. XI показана микропроекция звезды, зарегистриро-
зарегистрированной в стопке электроночувствительных эмульсий. Звезда вызвана
космической частицей Р. В ядерном расщеплении возникает if-мезон,
который в конце пробега распадается на три тг-мезона. Два тг-мезона,
7Г2 и тгз, дают в конце пробега /i-e-распад. Один мезон, тгь пройдя
в эмульсии 14 130 мкм, поглощается ядром и дает звезду. По пробегам
(Д^ = 6050 ±250 мкм и Дтгз = 10 700 ±200 мкм) были определе-
определены энергии мезонов тг2 и тг3: ^2 = 17,06 ± 0,85 МэВ, ^3 = 23>61 ±
±0,84МэВ. Энергия tti получена методом рассеяния: %щ = 30,8 ±
±6 МэВ. Определить заряд и массу if-мезона.
297.	На уровне моря плотность потока мюонов космических лучей
составляет 1 мин • см~2, причем каждый мюон на 1 см пути в воздухе
при нормальном атмосферном давлении создает 85 пар ионов. Вы-
Вычислить ток, создаваемый мюонами в цилиндрической ионизационной
камере с радиусом 20 см и высотой 30 см, наполненной воздухом при
давлении 5 атм. Камера расположена вертикально. Считать, что иони-
ионизация создается только частицами, падающими на камеру вертикально.
298.	Определить число космических частиц, прошедших через
ионизационную камеру диаметром 8см, если изменение потенциала
собирающего электрода составило 0,2 В. Камера наполнена воздухом
при давлении 1 атм. Емкость системы собирающего электрода равна
10 пФ. В среднем на 1см пути в воздухе одна космическая частица
создает 60 пар ионов. Частицы падают перпендикулярно к оси камеры.
299.	Определить средний путь электронов в рабочем объеме ка-
камеры (так называемую «эффективную» глубину камеры), если угловое
распределение электронов, попадающих в камеру, изотропно. Геомет-
Геометрическая глубина камеры равна d.
300.	Небольшая газовая полость в толще вещества не искажает
углового и энергетического распределения вторичных электронов, об-
образуемых в веществе 7-излучением. Ионизация /г, создаваемая этими
вторичными электронами в 1 см3 газовой полости, связана с ионизаци-
ионизацией /в, создаваемой в 1 см3 вещества, соотношением /г = 1в/р, где р —
отношение тормозных способностей вещества и газа. Определить число
пар ионов, создаваемых в 1 с в рабочем объеме ионизационной камеры
глубиной 1см и площадью 25 см2, если в камеру падает излучение
радиоактивного источника Со60 интенсивностью 1,5 Ки, расположен-
расположенного на расстоянии 1 м от камеры. Стенки камеры изготовлены из
алюминия, причем толщина их больше пробега наиболее энергичных
вторичных электронов. Коэффициент поглощения 7~излучения в алю-
алюминии равен 0,195 см. За один распад излучаются два 7"кванта
с энергиями 1,17 МэВ, и 1,33 МэВ, энергия образования одной пары
ионов в газе камеры — 33,5 эВ.
Указание. Если пробеги вторичных электронов меньше толщи-
толщины передней стенки камеры, то энергии, теряемые в единице объема

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	39
7-излучением и вторичными электронами, равны между собой. Вели-
Величина р « 0,88n(Z)/n (газ), где п — число электронов в 1 см3. Камера
наполнена воздухом.
301.	При работе с ионизационными камерами на электронных уско-
ускорителях следует учитывать, что рекомбинация ионов в камере в этом
случае будет определяться не средней интенсивностью, а интенсив-
интенсивностью в импульсе, длительность которого обычно бывает порядка
10~5с. Степень достижения режима насыщения в плоскопараллельной
ионизационной камере в этом случае определяется уравнением
/ 1 1 /1 , ч	2,09- 10Wr
— = - ln(l + и), где и = -у-—	,
/нас U	(к\ + k2)V
а — коэффициент рекомбинации ионов, к\ и к^ — подвижности поло-
положительных и отрицательных ионов, г — интенсивность (в рентгенах)
7-излучения в импульсе, d и V — расстояние и разность потенциалов
между электродами камеры. Используя эту формулу, определить, какая
максимальная интенсивность может быть измерена с помощью иони-
ионизационной камеры, расстояние между электродами которой равно 1 см,
а напряженность поля 3000 В/см, при условии, что ионизационный
ток должен составлять не менее 98% от тока насыщения. За секунду
через камеру проходит 25 импульсов 7-излучения; а = 1,6 • 10~6; fci =
= 1,3 см/с, ^2 = 1,8 см/с.
302.	Калориметрические измерения часто используются для опре-
определения интенсивности 7"излУчения мощных радиоактивных источ-
источников и электронных ускорителей. Предназначенный для этих целей
калориметр представляет собой свинцовый цилиндр, установленный
в эвакуированном сосуде на подставках, обладающих ничтожно малой
теплопроводностью (например, из люсита). Размеры цилиндра должны
быть таковы, чтобы измеряемое излучение поглощалось полностью.
Определить, за какое время температура такого калориметра повысится
на 5 К, если теплоемкость его равна 22 кал/К, а внутрь цилиндра
помещен источник Со60 интенсивностью 2 Ки. При одном распаде Со60
выделяется энергия 2,6 МэВ.
303.	Препарат полония интенсивностью 0,1 Ки помещен в кало-
калориметр теплоемкостью 1 кал/К. Найти повышение температуры, про-
происходящее за 1 ч, если известно, что полоний испускает а-частицы
с энергией 5,3 МэВ.
304.	Определить число «эффективных» 7"квантов в одном им-
импульсе синхротрона, если температура свинцового цилиндра калори-
калориметра за 1ч изменилась на 0,016 °С. Диаметр цилиндра был равен
11 см, его длина 20 см, а частота импульсов синхротрона равна 50 с.
Максимальная энергия спектра 7-квантов 200 МэВ. Плотность свинца
11,4 г/см3, его удельная теплоемкость 0,031 кал/(г-°С).
Примечание. Числом «эффективных» 7-квантов обычно называ-
называется отношение U/W, где U — поток энергии в пучке 7-квантов, W —
максимальная энергия их спектра.

40	Задачи
305.	Число фотонов п, образуемых в сцинтилляционном счетчике
при прохождении через него заряженной частицы, можно определить
по формуле п = (fC/Йф, где & — энергия, теряемая частицей в кри-
кристалле, 8ф — средняя энергия спектра испускаемых фотонов, а С -
эффективность счетчика. Для антрацена С = 0,04, а средняя длина
волны спектра излучения 445 нм. Определить энергию, идущую на
образование одного фотона.
306.	Определить число фотонов в световом импульсе, создаваемом
в кристалле фосфора Nal (T1) релятивистским протоном, если энер-
энергия, теряемая протоном в кристалле, равна 2МэВ, а эффективность
и средняя длина волны спектра излучения равны соответственно 0,084
и 410нм.
307.	Сцинтилляционные счетчики используются как для регистра-
регистрации заряженных частиц, так и для регистрации рентгеновских и 7~ЛУ~
чей. Определить эффективность регистрации сцинтилляционным счет-
счетчиком 7-квантов, если эффективность регистрации заряженных частиц
равна 100% (d — толщина счетчика, \± — коэффициент поглощения
7-квантов в кристалле).
308.	Вследствие относительно большой плотности (р = 3,67 г/см3),
а также вследствие относительно большого атомного номера иода (Z =
= 53) кристаллы фосфора Nal (T1) особенно удобны для регистрации
рентгеновских и 7~лучей. Какова интенсивность потока 7~квантов iV7,
если в кристалле Nal (T1) толщиной d = 2 см за 1 мин возникает 240
световых импульсов? Коэффициент поглощения фотонов fi в кристалле
равен 0,126 см.
309.	Импульс света в сцинтилляционном счетчике регистрируется
с помощью фотоумножителя. Определить величину импульса напря-
напряжения V на выходе фотоумножителя, если при очередном световом
импульсе в кристалле из фотокатода умножителя было выбито п = 500
электронов. Коэффициент умножения фотоумножителя М = 2 • 106,
а емкость анода по отношению к Земле составляет С = 10 пФ.
310.	Определить амплитуду импульса напряжения на выходе фото-
фотоумножителя при прохождении через антраценовый кристалл быстрых
электронов, если известно, что каждый электрон теряет при этом
2,5 МэВ, а на фотокатод умножителя попадает около 70% от образо-
образовавшихся в кристалле фотонов. Эффективность фотоумножителя Сф =
= 0,05. Остальные характеристики фотоумножителя и кристалла даны
в задачах 305 и 309.
311.	На выходе фотоумножителя регистрируются импульсы с ам-
амплитудой V ^ 10 В. Определить минимальную энергию протонов, реги-
регистрируемых схемой, если эффективность фотоумножителя равна 0,07;
коэффициент умножения фотоумножителя М = 107, емкость анода
по отношению к Земле 8 пФ, а в качестве фосфора употребляется
стильбен (средняя длина волны спектра излучения Л = 410 нм, эф-
эффективность фотоумножителя Сф = 0,024). На фотокатод падает около

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	41
65% от полного числа фотонов, образуемых при отдельном световом
импульсе.
312.	Через счетчик Гейгера-Мюллера проходит 108 электронов за
один разряд. Вычислить средний ток, проходящий через счетчик, если
происходит 600 разрядов в минуту.
313.	Определить порог V пропорциональной области счетчика,
наполненного аргоном при давлении Р = 60 мм рт. ст. При достижении
порога напряженность электрического поля вблизи нити становится
такой, что электрон на длине свободного пробега приобретает энергию,
достаточную для ионизации ударом. Радиус счетчика гк = 1 см, радиус
нити га =0,005 см. Средняя длина пробега электрона в аргоне при
давлении 1 ммрт. ст. Ло = 6,8- 10~2см; потенциал ионизации аргона
VAt = 15,8 В.
314.	Найти амплитуды импульсов напряжения от пропорциональ-
пропорционального счетчика при прохождении через него: а) а-частицы с энергией
3,5 МэВ, б) быстрого электрона. Счетчик имеет диаметр б? = 2,2см
и наполнен аргоном при давлении 100 ммрт. ст. Удельная ионизация
быстрыми электронами в аргоне — 70 пар ионов на 1 см при давлении
1 атм. Пробег а-частицы в аргоне — 1,9 см. Средняя энергия образо-
образования одной пары ионов — 25,4 эВ. Коэффициент газового усиления
счетчика А = 104. Емкость нити С = 15 пФ.
Указание. Средний путь, проходимый а-частицами в счетчике,
равен 1,7 см; средний путь, проходимый электроном, определяется по
формуле / = iid/А.
315.	Разрешающим временем счетчика называется время, необхо-
необходимое счетчику для возвращения в рабочее состояние после срабаты-
срабатывания. Для сцинтилляционного счетчика разрешающее время опреде-
определяется временем высвечивания. Пусть N — истинное число частиц,
проходящих через счетчик в lc, a n - полученное экспериментально
число срабатываний счетчика в секунду. Найти разрешающее время
счетчика т.
316.	При снятии характеристики счетчика Гейгера-Мюллера ис-
использовались два радиоактивных источника неизвестной интенсивно-
интенсивности. Каждый из источников можно было закрывать экраном. При
переменном закрывании первого и второго источников было зареги-
зарегистрировано п\ и щ срабатываний счетчика в секунду. Когда оба экрана
были убраны, счетчик срабатывал п\ч раз в секунду. Определить раз-
разрешающее время счетчика, если щ = 100, щ = 155, п\2 = 248.
317.	Счетчик срабатывает 1000 раз в секунду. Разрешающее время
счетчика равно 2 • 10~4с. Найти истинную частоту исследуемого собы-
события.
318.	Время высвечивания стильбена равно т ~7 • 10~9с. Разреша-
Разрешающее время фотоумножителя 1,5- 10~9с. Определить число импуль-
импульсов п на выходе фотоумножителя, если число электронов, падающих
на стильбен, N = 5 • 107с~1.

42	Задачи
319.	Разрешающее время счетчика т\ = 3 • 10 5 с, разрешающее
время регистрирующего устройства т^ = 2,5 • 10~4 с (т^ > т\\). Найти
число зарегистрированных частиц, если число частиц, падающих на
счетчик, равно N = 5 • 103 с.
320.	Два одинаковых счетчика соединены по схеме совпадений,
т. е. регистрируются только те случаи, когда одновременно через оба
счетчика проходит ионизующая частица. Пусть разрешающее время
счетчиков равно т, среднее число частиц, прошедших через первый
счетчик, равно п\, а через второй — щ. Определить число случайных
совпадений.
321.	В пучок статистически распределенных частиц (например,
в пучок фотонов от мишени электронного ускорителя) помещено два
сцинтилляционных счетчика, включенных в схему совпадений. Опре-
Определить среднюю интенсивность пучка частиц, если число отсчетов
схемы совпадений оказалось равным 2 • 104с-1, а разрешающее время
схемы равно 10~8с. Эффективность регистрации частиц сцинтилляци-
онным счетчиком равна 100%.
322.	В счетчике средних размеров фон от космических лучей со-
составляет 40 импульсов в 1 мин. Очень слабый радиоактивный источник
дает 5 импульсов в 1 мин. Сколько отсчетов необходимо произвести
на счетчике, чтобы знать интенсивность радиоактивного источника
с точностью до 10%?
323.	Фон счетчика Гейгера-Мюллера — 92 срабатывания в 1 мин.
В присутствии радиоактивного источника счетчик срабатывает 260
раз в минуту. Как долго необходимо производить измерения, чтобы
относительная ошибка была не более 4%?
324.	Схемы совпадений в последнее время часто используются для
уменьшения влияния фона при счете относительно редких событий.
Пусть число регистрируемых в 1 с частиц равно 50, а число импульсов
фона — 105. Для уменьшения влияния фона на результаты измере-
измерений два сцинтилляционных счетчика с разрешающим временем 10~8с
включены в схему совпадений, причем расположение счетчиков таково,
что частицы, которые требуется зарегистрировать, проходят через оба
счетчика. Частицы, создающие фоновые импульсы, регистрируются
как случайные совпадения. Определить, насколько сократится время
измерений, если ошибка опыта не должна превышать 10%?
325.	Для абсолютного определения сечения реакции
iD2 + iD2 -> !Н3 + iH1 + 4,0МэВ
в интервале энергий 15-100 кэВ использована «толстая» мишень из
тяжелого льда (в которой дейтоны полностью затормаживаются и оста-
останавливаются). Заряд, приносимый дейтонами на мишень, измеряется
интегратором тока (конденсатор, который заряжается до определенно-
определенного напряжения и затем автоматически разряжается). Число протонов
определяется счетчиком с известным эффективным телесным углом

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	43
О = 4тг/1000. Принято, что угловое распределение протонов описыва-
описывается формулой
() (o)[A2]
Величина А зависит от энергии дейтонов (А порядка 0,2-0,4).
а)	Определить, под каким углом во следует поместить счетчик,
чтобы по числу отсчетов иметь возможность вычислить полный выход
протонов, не зная А.
б)	Пусть 7V(<f) — полный выход протонов на 1 мкКл дейтонного
пучка, где <? — кинетическая энергия в кэВ:
N{%) = 2,53 • 102 при Ш = 15,4 кэВ,
N{%) = 4,78 • 105 при Ш = 105,6 кэВ.
Можно считать, что
Известна кривая ионизационных потерь дейтонов в тяжелой воде,
которая приблизительно может быть аппроксимирована формулой
^) =2,5-10
ах /ион
(М — число молекул D2O в 1см3). Найти эффективное сечение реак-
реакции как функцию энергии.
326.	Водородный пороговый детектор нейтронов представляет собой
ионизационную камеру, наполненную водородом при таком давлении,
что пробег протонов отдачи значительно меньше размеров камеры.
Импульсы усиливаются и считаются в том случае, если они превос-
превосходят некоторую заданную величину. Найти кривую чувствительности
детектора при энергии нейтрона $ > <?о ($0 — порог) для следующих
условий:
в системе центра масс протона и нейтрона рассеяние нейтронов
в водороде изотропное;
сечение рассеяния о~{Ш) пропорционально <f~ ' .
327.	Осколочной камерой называют ионизационную камеру, в кото-
которой для регистрации нейтронов имеется тонкий слой урана. Ионизация
создается осколками деления. Если хотят регистрировать только быст-
быстрые нейтроны и исключить эффекты деления U235, камеру окружают
слоем кадмия. Основной фон в камере создается а-частицами, получа-
получающимися при а-распаде урана. Определить, что больше — суммарная
ионизация от а-частиц или от осколков, исходя из следующих данных:
1) Камера находится на расстоянии R = 10 см от источника ней-
нейтронов интенсивностью 1 мКи A мКи соответствует п = 3,7 • 107 Бк
(распад/с)). Сечение деления быстрыми нейтронами а = 0,5 • 10~24 см2,
а энергия, передаваемая осколком, Ш = 80МэВ.

44	Задачи
Урановый слой берется толщиной, много меньшей пробега осколков
в уране (несколько микрометров), чтобы знать абсолютную чувстви-
чувствительность камеры.
2) Период полураспада урана г = 4,5 • 109 лет, энергия а-частицы
328.	В последние годы удалось создать сильноточные релятивист-
релятивистские электронные ускорители. Рассмотрите один из таких ускорителей
со следующими параметрами: ток / = 1 МА, энергия электронов W =
= 2МэВ, длительность импульса г = 60 нс, диаметр пучка а = 1см.
Дайте ответ на следующие вопросы:
1)	Какова кинетическая энергия & всех электронов, испускаемых
за один импульс? Каково общее число электронов 7V?
2)	Во сколько раз магнитная энергия пучка превышает кинетиче-
кинетическую, если длина пучка I = 1 м?
3)	Какие радиальные силы действуют на электроны пучка, если
предположить, что плотность пучка распределена по сечению равно-
равномерно?
4)	Можно ли компенсировать силы расталкивания электронов с по-
помощью покоящихся ионов, равномерно расположенных в электронном
пучке? Укажите, каким условиям должна удовлетворять плотность
ионов, чтобы результирующие силы, действующие на ионы и электро-
электроны, были направлены к оси пучка.
329.	Бетатроном называют установку для получения заряженных
частиц большой энергии. Между полюсами электромагнита, ток воз-
возбуждения которого может изменяться во времени по заданному закону,
помещают вакуумную камеру, в которой частица может свободно дви-
двигаться по окружности. Ускорение осуществляется за счет вихревого
электрического поля, возникающего из-за изменения магнитного поля.
Показать, что если магнитный поток Ф(^), проходящий через орбиту
частицы, в каждый момент времени в два раза больше, чем tyR2H(R),
где R — радиус орбиты, a H(R) — магнитное поле на орбите, то радиус
орбиты частицы не будет изменяться. Доказать, что если Ф(^) >
> 2tyR2H(R), to радиус орбиты частицы будет увеличиваться, а если
Ф(^) < 2ttR2H(R), to радиус орбиты частицы будет уменьшаться. При
доказательстве предположить, что магнитное поле зависит лишь от
радиуса R и что орбиты являются окружностями, центр которых лежит
на оси симметрии. Кроме того, следует предположить, что поток Ф
и магнитное поле Н изменяются синфазно: Ф(?) = Ф^)/(Ь), H(t) =
= H(R)f(t).
330.	Доказать, что орбиты заряженных частиц в предыдущей за-
задаче будут устойчивы в радиальном направлении, если магнитное поле
уменьшается к периферии по закону \/Rn при п < 1. Доказать более
общее утверждение, что движение в радиальном направлении будет
Г) f)TT
устойчивым, если — — —— < 1, где H(R) — произвольное магнитное
?1 О±Ъ
поле с осевой симметрией.

§6. Экспериментальные методы ядерной физики
45
331.	Доказать, что в магнитном поле с осевой симметрией (как
у бетатрона, см. задачу 329) движение по окружности с центром, лежа-
лежащим на оси симметрии поля, будет устойчивым относительно смещения
от средней плоскости в вертикальном направлении (т. е. в направлении
оси симметрии поля), если магнитное поле уменьшается к периферии,
и будет неустойчивым, если магнитное поле возрастает к периферии.
332.	В бетатроне положение равновесной орбиты Rq, удовлетво-
удовлетворяющей условию Ф(Ro) = 2тгRqH(R) (cm. задачу 329), соответствует
минимуму вихревого электрического поля Е^. Доказать это свойство
и показать, как оно может быть использовано для нахождения равно-
равновесной орбиты в бетатроне.
333.	При движении по кругу электрон излучает электромагнитные
2	4
волны и теряет за один полный оборот энергию
4тг е2 / ^ \4
	^
3 R \m<?) ' ГД6
R — радиус орбиты, а ^ - энергия электрона, то — масса покоя
электрона. Рассчитать, какую энергию теряет электрон за один оборот
в бетатроне на 100 МэВ в конце процесса ускорения, если радиус
орбиты составляет 80см. Определить, при какой энергии потери на
излучение за один оборот будут равны энергии, приобретаемой за один
оборот от вихревого электрического поля, если dH(t)/dt = 2 • 106Э/с.
(H(t) — поле на орбите электрона).
334.	В циклотроне ионы закручиваются магнитным полем и по-
получают ускорение в щели между двумя ускоряющими электродами,
называемыми дуантами (рис. 11). Для резонансного ускорения частота
обращения иона и частота электрического поля должны совпадать.
Однако частота обращения иона не остается постоянной, так как масса
иона растет согласно соотношению Эйнштейна: т = то/\/\ — v2/c2 .
Поэтому в циклотроне происхо-
происходит расстройка, и ионы не могут
достигнуть очень большой энер-
энергии. Очевидно, наибольшей энер-
энергии можно достичь, если рас-
расстройка, т. е. разность частоты
обращения и частоты ускоряюще-
ускоряющего поля, будет наименьшая. До-
Допустим, что магнит циклотрона
создает постоянное поле 15000Э
и радиус магнита равен 65см.
В циклотроне предполагают уско-	Рис- * *
рять протоны. Спрашивается, ка-
какую следует выбрать частоту ускоряющего поля, чтобы расстройка
циклотрона в среднем была наименьшая?
335.	Для того чтобы в циклотроне не возникала расстройка (см. за-
задачу 334), В. И. Векслер предложил медленно изменять частоту ускоря-
ускоряющего поля. Такой ускоритель называют фазотроном. По какому зако-
закону и на сколько процентов следует изменять частоту ускоряющего поля

46	Задачи
при ускорении дейтонов до энергии 200 МэВ? Магнитное поле равно
15 000 Э. В среднем за оборот дейтон приобретает энергию 15000эВ.
336.	Для того чтобы в ускорителе типа циклотрона не возникала
расстройка (см. задачу 334), можно изменять магнитное поле во вре-
времени. Тогда частота обращения частицы будет оставаться постоянной.
Такой ускоритель получил название синхротрона. Изобретателем син-
синхротрона, как и фазотрона, является В. И. Векслер. Найти изменение
радиуса в синхротроне в магнитном поле, однородном в пространстве
и изменяющемся по закону H(t) = Hq sin fit. Частота электрического
ускоряющего поля равна ojq, а собственная энергия ускоряемой части-
частицы <?о-
337.	В синхротроне на 72 МэВ магнитное поле изменяется по
синусоидальному закону с частотой 50 Гц. Амплитуда магнитного поля
равна 8000 Э. До 2 МэВ электроны ускоряются в бетатронном режиме
на орбите радиуса 29,4 см. Затем включается ускоряющее электри-
электрическое поле с частотой ujq = 108с~1. Центральный сердечник, обес-
обеспечивающий вначале ускорение в бетатронном режиме, насыщается,
и ускорение происходит только за счет электрического поля ускоряю-
ускоряющих промежутков, т.е. в синхротронном режиме. Найти: 1. изменение
радиуса орбиты во время синхротронного режима; 2. момент времени,
соответствующий переходу от бетатронного режима к синхротронному;
3. длину траектории электрона в бетатронном и синхротронном режи-
режимах, если в бетатронном режиме частицы начинают ускоряться, имея
начальную энергию 13 600эВ.
338.	В физических исследованиях на ускорителях иногда приме-
применяется метод совпадений (см. задачу 320). В отличие от задачи 320,
в бетатроне или фазотроне выход пучка происходит короткими импуль-
импульсами, причем частота этих импульсов в случае бетатрона и синхротро-
синхротрона равна частоте магнитного поля ускорителя, а в фазотроне — числу
циклов модуляции высокой частоты.
Определить число случайных совпадений в секунду для двух счет-
счетчиков, помещенных вблизи бетатрона, работающего при частоте пита-
питания магнитного поля /. Разрешающее время схемы совпадений равно т,
число импульсов в секунду в каждом счетчике N\ и Щ, длительность
импульса пучка 7~лУчеи t. Разрешающее время Т самого счетчика
значительно больше г и длительности импульса 7~лУчеи- Рассмотреть
следующие случаи: t = 2т; t > 2r; t < 2т.
339.	Если в ускорителе типа циклотрона одновременно изменяется
и частота ускоряющего электрического поля и магнитное поле, то такой
ускоритель называют синхрофазотроном. Найти такую связь между
магнитным полем H(t) и циклической частотой электрического поля
u;o(t), чтобы ускорение происходило на орбите постоянного радиуса
R = R0.
340.	Определить, сколько энергии приобретает протон в среднем за
один оборот в синхрофазотроне. Радиус орбиты равен 4,5 м. Магнитное
поле возрастает пропорционально времени до 15 000 Э за 1с. При

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	47
расчете можно не учитывать влияния вихревого электрического поля.
Определить максимальную энергию, которая будет достигнута в этом
ускорителе, и длину пути, пройденного протоном, если начальная энер-
энергия равна 4МэВ.
341.	Определить закон изменения частоты в синхрофазотроне
(см. задачу 339) на ЮОООМэВ. Траектория протона состоит из четы-
четырех дуг с радиусом 28 м и длиной 44 м каждая, соединенных 8-мет-
8-метровыми прямолинейными промежутками. Начальная энергия протонов
9МэВ. Магнитное поле возрастает во времени по линейному закону
от 0 до 13000Э за 3,3 с и спадает с ростом радиуса орбиты по закону
~ R~2^. Найти также: 1) напряженность магнитного поля в начале
процесса ускорения; 2) изменение траектории, если частота ускоряю-
ускоряющего поля в какой-то момент отклоняется на 0,2% от установленного
в начале процесса ускорения значения.
342.	Релятивистская частица с массой га, движущаяся в однород-
однородном магнитном поле, излучает электромагнитные волны, в результате
чего теряет в единицу времени энергию (при & ^> тс2)
_<№_ = 2с /_е^\2я2 (_%_\2 = о 98 • 10~3Я2 ( —
dt 3 V тс2) "*" \ тс2)	'	"*" \ тс2,
где Н± — напряженность магнитного поля, перпендикулярного к траек-
траектории частицы, a <f — полная энергия частицы. Найти потери энергии
на излучение в конце процесса ускорения в синхрофазотроне, описан-
описанном в предыдущей задаче.
343.	В электронных циклических ускорителях (синхротронах) на
большие энергии излучение электронов существенно усложняет уско-
ускорительную систему, на которую теперь возлагается не только ускорение
электрона, но и, что более трудно, компенсация излученной энергии.
Рассмотрите два электронных синхротрона на 100 ГэВ (таких еще
не существует) и 10 ГэВ: <? = 100 ГэВ, периметр орбиты П = 20 км,
время ускорения t = 1 с, число ускоряемых электронов N = 1012; <f =
= 10 ГэВ, периметр орбиты П = 200 м, время ускорения t = 3,3 с, число
ускоряемых электронов N = 1012.
Рассчитать максимальную энергию, излучаемую за один оборот
одним электроном, AW; энергию, излучаемую за все время ускорения
всеми электронами, Q; максимальную мощность излучения всех элек-
электронов Р.
344.	В последнее время синхротронное излучение нашло широкое
применение как источник мягкого рентгеновского излучения с исклю-
исключительно высокой плотностью мощности. Синхротронное излучение
используют для исследований по физике твердого тела, изучения био-
биологических объектов, для рентгенолитографии с размером элементов
в микросхемах до ~ 1,5 — 2 мкм, возбуждения мёссбауэровских уров-
уровней.
Направленность синхротронного излучения (по отношению к век-
вектору скорости электрона) очень велика, т.е. 7 ~ {тс2/Щ2 <С 1, где

48
Задачи
& — полная энергия электрона. Излучение наиболее интенсивно на
2
длине волны Л = —-—, где К
3 /
= -
. Рассмотрите синхротрон:
, где К
i\	2 \ тпс J
энергия электронов <f = 1 ГэВ, радиус круговой орбиты R = 2 м, число
электронов на орбите N = 1013. Амплитуда вертикальных колебаний
1см, показатель магнитного поля п = 0,64 (см. задачу 330). Какова
длина волны излучения, соответствующая максимуму интенсивности?
Какова плотность интенсивности рентгеновского излучения на рассто-
расстоянии 4 м от орбиты? Можно считать, что в интервале частот Аи; « 0,1а;
сосредоточено около 10% полной интенсивности излучения.
345. Сила радиационного торможения электронов равняется
Храд" ж?'
где dft/dt — энергия, излучаемая в 1с (см. задачу 342). Составить
уравнение вертикальных колебаний электронов, используя выражение
для восстанавливающей вертикальной силы магнитного поля (см. за-
задачу 331), и рассчитать величину радиационного затухания вертикаль-
вертикальных колебаний.
346. Линейный ускоритель частиц устроен следующим образом.
Пучок ионов проходит внутри трубок разной длины, расположенных
на одной линии (рис. 12). Ускорение происходит в промежутке между
(Ш)
Рис. 12
трубками. Трубки присоединены к противоположным клеммам генера-
генератора попеременно, так что в каждый данный момент времени разность
потенциалов в четных промежутках равна Vq cos fit, а в нечетных —
—Vq cos fit. Предполагая, что ионы впускаются в ускоритель с началь-
начальной энергией Wm4 и что промежутки между трубками составляют
25% от длины трубок, вычислить необходимую длину трубок в ли-
линейном ускорителе. Рассмотреть линейный ускоритель для протонов на
40МэВ: Wm4 = 4МэВ, fl = 12,56 • 108с~1. Протон за одно прохожде-
прохождение ускоряющего промежутка получает 1 МэВ.
347. В современных линейных ускорителях (см. задачу 346) трубки
не присоединяются к клеммам генератора. Вместо этого их помещают

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	49
в резонатор, в котором возбуждается синфазное электрическое поле,
направленное вдоль трубки. Как в этом случае должна быть изменена
длина трубок по сравнению с трубками линейного ускорителя, рас-
рассмотренного в задаче 346?
348.	Среди новых типов современных линейных ускорителей наи-
наибольшее распространение получил линейный ускоритель с бегущей
волной. Представим себе электромагнитную волну, распространяющу-
распространяющуюся вдоль оси Z и имеющую аксиальную составляющую электрическо-
электрического поля Ez. Пусть вдоль этой же оси движется заряженная частица.
Если скорость частицы сильно отличается от скорости волны, то ча-
частица при движении будет попадать в различные фазы электрического
поля Ez, в том числе и соответствующие замедлению, так что никакого
выигрыша энергии в среднем не получится. Однако в том случае, когда
волна распространяется с фазо-
фазовой скоростью, равной или близ-
близкой к скорости частицы, части-
частица может находиться долгое время
приблизительно в одинаковой фа-
зе по отношению к полю и уско-
ряться. Волну необходимого типа
можно получить в волноводе (по-
(полой трубке), если ввести в него	^ис- ^
диафрагмы с отверстиями на оси (рис. 13). В зависимости от расстоя-
расстояний между диафрагмами будет меняться фазовая скорость волны.
Найти зависимость фазовой скорости волны от расстояния от вход-
входного отверстия ускорителя. Во сколько раз должна измениться фазовая
скорость волны для резонансного ускорения протонов и электронов от
4 до 1000 МэВ?
349.	На основании общей теоремы электростатики о невозможно-
невозможности устойчивого равновесия электростатических систем доказать от-
отсутствие устойчивости в линейных ускорителях с бегущей волной по
крайней мере в каком-либо одном направлении: в направлении оси
волновода или в перпендикулярном направлении.
350.	В линейном ускорителе с бегущей волной для электронов
иногда фазовую скорость распространения волны выбирают постоянной
и равной скорости света. Предположим, что электроны входят с Wm4 =
= 4 МэВ и начинают двигаться в горбе волны с амплитудой Eq на-
напряженности 20кВ/см. Длина волны равна 1 м. Насколько электроны
отстанут от волны при ускорении до WK = 100 МэВ? Для простоты
расчета положить, что со временем напряженность поля в волне из-
изменяется не по синусоидальному, а по «прямоугольному» закону, т. е.
напряженность поля имеет всего два значения: Е = ±Eq.
351.	Для увеличения фокусирующих сил, обеспечивающих дви-
движение заряженных частиц по заданной траектории в магнитном поле
ускорителей, используют так называемый метод «сильной фокусиров-
фокусировки». Для этой цели магнит составляют из 2N одинаковых по размеру

50	Задачи
секторов, отличающихся, однако, тем, что в одной (первой) половине
секторов магнитное поле возрастает по закону Rn, а в другой (второй)
половине — убывает по закону R~n
(п > 0), где R — расстояние от цен-
центра магнита до рассматриваемой точ-
точки. Магнитные секторы с разными
характеристиками располагаются по-
попеременно. При этом на некоторой
окружности радиуса Rq значение маг-
магнитного поля не зависит от азимута
(см. рис. 14, на котором указано рас-
расположение секторов магнита; стрелки
показывают направление возрастания
Рис 14	г	г
магнитного поля, перпендикулярного
к плоскости рисунка). Рассмотреть движение частицы при небольших
отклонениях от круговой орбиты с радиусом Rq и найти условие
устойчивости движения, считая п ^> 1.
§ 7. Ядерная физика
352.	О Определить постоянную распада некоторого вещества, если
известно, что за час интенсивность испускаемого им /3-излучения
уменьшилась на 10%. Продукт распада не радиоактивен.
353.	Найти постоянную распада радия, если период полураспада
радия Т = 1602 годам.
354.	Сколько атомов радия распадается в 1 с в 1 г препарата радия?
Считать известной постоянную распада Л (задача 353).
355.	Определить и проанализировать Т радиоактивных элементов
из следующих измерений:
Время в часах
0
0,5
1,0
1,5
2,0 2,5 3,0 3,5
Число срабатываний счетчика в
4
6 1
1 10
12
мин
2345 1195 | 654 390 | 263 | 197 165 | 144 | 130 98 78 | 61 | 48
Указание. Построить график, отложив по оси абсцисс время,
а по оси ординат — натуральный логарифм числа срабатываний счет-
счетчика за 1 мин.
356.	Препарат RaD в равновесии с продуктами своего распада ис-
испускает 105 а-частиц в 1 с. Сколько атомов RaD, RaE и Ро содержится
в препарате? Сколько /3-частиц RaD и RaE испускает препарат в 1 с?
357.	Определить, какой объем радона (при нормальных темпера-
температуре и давлении) находится в равновесии с 1 г радия (радон, или
эманация радия, — это газообразный продукт распада радия).
1) Общие указания к задачам 352-374 см. в решениях. При решениях
пользуйтесь табл. VI и VII в конце книги.

§ 7. Ядерная физика	51
358.	Сколько кубических миллиметров гелия выделяется в резуль-
результате распада 1 г радия в течение года? Считать, что Не находится при
0°С и атмосферном давлении.
359.	Подсчет сцинтилляций показывает, что в результате распада
1 г UI (урана I) выделяется примерно 1,21 • 104 а-частиц в 1 с. Найти
постоянную распада UI.
360.	U234 (или UII) является продуктом распада основного изотопа
урана U238 (или UI). Определить период полураспада U234, если его
содержание в естественном уране 0,0055%. Период полураспада U238
Т8 = 4,51- 109 лет.
361.	Период полураспада радиофосфора Р32 15 дней. Найти актив-
активность препарата Р32 через 10, 30, 90 дней после его изготовления, если
начальная активность 100 мКи.
362.	Определить период полураспада UI, если известно, что число
атомов Ra, находящихся в равновесии с N атомами урана, равно
N • 3,45 • 10~7. Считать также известной постоянную распада Ra (за-
(задача 353).
363.	Определить порядковый номер и атомную массу иония, полу-
получающегося из урана в результате двух а-превращений и двух /3-пре-
вращений. Изотопом какого элемента является ионий?
364.	В некоторых урановых рудах содержится примесь чистого
уранового свинца (А = 206). Предполагая, что весь свинец получился
в результате распада урана и его продуктов, определить возраст t
урановой руды. Принять, что в 1 г руды содержится 0,2 г свинца.
365.	Образец иода I127 облучается нейтронным потоком такой ин-
интенсивности, что в 1 с образуется 107 атомов радиоактивного иода I128,
период полураспада Т которого 25 мин. Найти число атомов I128 и ак-
активность препарата через 1, 10, 25, 50 мин после начала облучения.
Каковы максимальные числа атомов I128 и активность препарата при
долгом облучении (т. е. при облучении до насыщения)?
366.	В настоящее время в природном уране содержится к$ =
= 99,28% U238 и к5 =0,72% U235. Какое соотношение между U238
и U235 было в момент образования Земли, если возраст Земли равен
4 • 109 лет? Необходимые данные взять из задачи 368.
Вычислить возраст Земли в предположении, что в момент образо-
образования Земли содержание U235 и U238 было одинаковым.
367.	Период полураспада U234 равняется Т = 2,48 • 105 лет. Остался
ли хотя бы один атом U234, который существовал в момент образования
Земли — 4 • 109 лет тому назад? Как объяснить, что в природном уране
содержится примесь U234 в количестве 0,055 %?
368.	Периоды полураспада U238 и U235 равны соответственно Т$ =
= 4,51 • 109 лет и Т5 = 0,713 • 109 лет. Определить средние времена
жизни этих изотопов.
369.	Согласно теории вероятности вероятность перехода из какого-
либо заданного состояния пропорциональна числу равновозможных
конечных состояний, в которые система может перейти. При /3-распаде

52	Задачи
электрон и нейтрино можно рассматривать как свободные частицы,
если их энергия не очень мала (больше потенциала ионизации if-обо-
if-оболочки). Энергия /3-распада распределится между электроном и нейтри-
нейтрино пропорционально плотности уровней в конечном состоянии, отне-
отнесенной к единичному интервалу энергии: dp/d&, где р — плотность
уровней, а & — энергия электрона или нейтрино. (Величина dp/d($
будет иметь разное значение для разных распределений общей энер-
энергии /3-распада между электроном и нейтрино.) Рассчитать величину
dp/d($ — ее значение будет пропорционально плотности вероятности
распределения энергии электрона или нейтрино. (Плотность уровней
удобно рассчитывать для дискретного спектра энергии, считая элек-
электрон и нейтрино локализованными в некотором объеме V = а3, который
не войдет в окончательный ответ. Спины частиц можно не учитывать.)
370.	Объяснить природу долгоживущих изомеров атомных ядер,
переходящих в основное состояние путем испускания 7~квантов.
371.	Объяснить качественно, почему нет нейтронной радиоактив-
радиоактивности, практически не наблюдается протонная радиоактивность и в то
же время существует а-радиоактивность.
372.	Почти все а-радиоактивные ядра испускают а-частицы только
в ограниченном интервале энергий: 4МэВ ^ Ша ^ 9МэВ. Исключе-
Исключением является ряд а-радиоактивных редкоземельных элементов, из-
излучающих а-частицы с энергией ~ 2МэВ. В то же время высота
кулоновского барьера для а-частиц 24-30 МэВ. Объяснить, почему
не наблюдаются а-радиоактивные излучатели в интервале энергий
9 МэВ < ga < 30 МэВ и в интервале <$а < 4 МэВ.
373.	Какую скорость приобретает ядро RaB (Po218), получающееся
в результате распада RaA, если энергия а-частиц, излучаемых при
распаде, равна 4,7 МэВ?
374.	Определить энергию, уносимую в 1 ч а-частицами, получа-
получающимися при распаде 1 г радия, если скорость а-частиц Ra равна
1,51 • 109 см/с, а период полураспада радия равен 1602 годам. Продукты
распада радия не принимать во внимание.
375.	Препарат радия массой 1 г заключен в оболочку, не проница-
проницаемую для а-частиц. Какое количество тепла Q выделится в препарате
и оболочке за 1 ч?
Указание. Учесть отдачу, получаемую ядром.
376.	Какие скорости имеют позитрон, протон и а-частица с энер-
энергией 1 МэВ?
377.	Реакция Li7(p, n)Be7 является удобным источником нейтронов
известной энергии в интервале 0,2-1,5 МэВ и выше. Для изменения
энергии нейтронов можно менять энергию первичных протонов и угол
наблюдения. 1. Зная массу атомов Li7, Be7, H1 и нейтрона в атомных
единицах (см. табл. VI в конце книги), найти выделение энергии
в реакции Li7(p, n)Be7. 2. При какой минимальной энергии протонов
возможна эта реакция? Какова связь между энергиями нейтрона и про-
протона в лабораторной системе и системе центра масс?

§ 7. Ядерная физика
53
378.	Пользуясь табл. VI в конце книги, определить энергию свя-
связи Li6.
379.	Определить энергию связи ядра гелия (а-частицы).
380.	Определить атомную массу дейтерия, если известно, что энер-
энергия связи дейтона равна 2,22 МэВ. Определить также атомную массу
дейтона и атомную массу электрона (атомная масса С12 принимается
за 12).
381.	Относительно медленные протоны с энергией в несколько
сотен или даже десятков килоэлектронвольт могут вызывать расщеп-
расщепление лития:
Li7 + Н1 -> 2Не4.
Какую энергию имеют обе а-частицы?
382.	На опыте можно наблюдать дезинтеграцию (разрушение) дей-
дейтона на протон и нейтрон под действием 7-лучей ThC/, имеющих энер-
энергию 2,62 МэВ. Определить энергию и направление вылета нейтрона
и протона при пренебрежении импульсом 7~кванта. (См. задачу 380.)
383.	В химической реакции выделилось 10000 кал тепла. Каково
изменение массы реагентов?
384.	На сколько граммов увеличится масса 1 кг воды при нагрева-
нагревании ее на 100°С?
385.	Какова разница между массой атома водорода и суммой масс
протона и электрона?
386.	Свободное покоящееся атомное ядро массы М переходит из
возбужденного состояния в основное, испуская 7~квант- Найти энер-
энергию 7"кванта и энергию отдачи R, если энергия возбуждения равня-
равнялась <fi2. Числовой ответ получить для Ir191, если 8*12 = 129кэВ.
387.	Свободное покоящееся атомное ядро массы М переходит
в возбужденное состояние с энергией возбуждения <fi2, поглощая
7-квант. Определить энергию 7~кванта и энергию отдачи ядра R.
388.	Найти разность энергий испускаемого и поглощаемого 7~кван-
тов в случае свободных ядер. Сравнить эту разность с естествен-
естественной (Г) и доплеровской шириной линий (доплеровская ширина рав-
равняется &\2у/2кТ/(Мс2) ). Найти температуру Те, при которой допле-
доплеровская ширина равняется разности энергий для испускания и по-
поглощения. Объяснить, почему затруднено наблюдение резонансного
поглощения 7-квантов для свободных ядер, приведенных в следующей
таблице:
Ядро
Tu169
Fe57
Dyi6i
Ir193
Aui97
Eri66
^12,КЭВ
8,4
14,4
26
73
77
80,6
Me2, ГэВ
157,3
53
149,9
179,7
183,4
154,5
Г/&12
10-п
3- 10-13
6-10-13
10-12
3 • 10"i2
3- 10-12
Ядро
Zn67
wi82
hF7
Ir191
Re 187
^12,кэВ
93
100
113
129
187
Me2, ГэВ
60,3
169,4
164,8
177,8
174,1
Г/812
5-10-16
4-10-12
10-п
4- 10-п
3-10-1°

54	Задачи
389.	Эффект Мёссбауэра состоит в том, что в кристаллах могут
осуществляться процессы испускания и поглощения 7~квантов «без
отдачи ядер». В этом случае закон сохранения импульса выполняется
за счет передачи импульса всему кристаллу. Поэтому процессы ис-
испускания и поглощения 7~квантов вследствие очень большой массы
кристалла происходят с пренебрежимо малой потерей энергии. Линии
испускания и поглощения без отдачи имеют естественную ширину.
Кристалл Ir191 испускает 7~кванты с энергией 129 кэВ. Линия
Мёссбауэра испускания и поглощения 7"квантов имеет ширину Г =
= 4,6- 10~6эВ. Предположим, что кристалл, испускающий 7~кванты,
движется со скоростью v, а поглощающий кристалл покоится. Вычис-
Вычислить наименьшую скорость v источника, которую можно зарегистри-
зарегистрировать по изменению величины поглощения 7"квантов- Предположить,
что можно уверенно зарегистрировать доплеровское смещение частоты
7-квантов движущегося источника, равное 1/6 ширины линии.
390.	В 1957 г. Р. Мёссбауэр пытался изучить резонансное поглоще-
поглощение 7-лучей Ir191 с энергией (?7 = 129 кэВ. Показать, что в этом случае
при комнатной температуре резонансное поглощение возможно, так как
энергия отдачи R < D (D — доплеровское уширение), а при температу-
температуре Т ~ 80 К оно практически невозможно, так как R> D. Объяснить,
почему вместо ожидаемого уменьшения эффекта резонансного погло-
поглощения 7"квантов ПРИ низких температурах наблюдалось увеличение
этого эффекта. В чем причина этого явления, получившего название
эффекта Мёссбауэра? Почему для наблюдения эффекта Мёссбауэра
нужно было охлаждать излучатель и поглотитель?
391.	Ф. Л. Шапиро показал, что эффект Мёссбауэра можно объяс-
объяснить на основе классической электродинамики. Как известно, в элек-
электродинамике ядро можно рассматривать как излучающий осциллятор
с собственной частотой ujq. В кристалле атомное ядро совершает ко-
колебания около положения равновесия с частотой ft. Таким образом,
точка, из которой излучает ядро, все время смещается. Если ядро
колеблется вдоль оси х, то его координату можно записать следующим
образом: х = xosinQt. Если наблюдать излучение ядра в некоторой
фиксированной точке вдоль оси х, то в поле излучения получится фа-
фазовый сдвиг, связанный со смещением точки излучения. Электрическое
поле волны в этой точке равняется
Е = Ео ехр |ги;0 \t - -^—	J |.
Если xquoq/c <С 1, то
exp|i^sinm| =
4 V с } ' Ч с у""""" ' V с

§ 7. Ядерная физика	55
Воспользовавшись приведенным выражением, найти вероятность / из-
излучения спектральной линии с несмещенной частотой.
392.	Источник 7-лучей Fe57 (—- = -• 10~12, <?7 = 14,4 кэВ) поме-
щен в центр вращающегося диска, а поглотитель из того же матери-
материала — на радиусе R = 1 м. С какой частотой О нужно вращать диск,
чтобы смещение Аи; частоты поглотителя относительно излучателя
равнялось 1/10 линии Мёссбауэра?
393.	Если нет отдачи, то при испускании 7"кванта в эффекте
Мёссбауэра кинетическая энергия излучающего ядра увеличивается,
а поглощающего уменьшается из-за изменения массы ядра на величину
(?7/с2, где (?7 — энергия ^-къштг. (Уменьшение или увеличение кине-
кинетической энергии поглощающего или излучающего ядра происходит за
счет уменьшения энергии 7~кванта.) Вычислить это изменение энергии
7-кванта и объяснить, в каком случае этот эффект можно наблюдать
с помощью обычной техники наблюдения эффекта Мёссбауэра.
394.	Для того чтобы интенсивность линии Мёссбауэра была до-
достаточна для практического использования, потеря энергии на отдачу
свободного ядра R (см. задачи 380 и 381) не должна превышать кТр,
где Тр — дебаевская температура кристалла. Определить, при каких
энергиях 7-квантов и при каких массовых числах А практически мож-
можно наблюдать эффект Мёссбауэра, если принять, что Tjj для разных
кристаллов изменяется от 160 до 480 К.
395.	Используя эффект Мёссбауэра, можно измерить гравитаци-
гравитационное смещение частоты. Для этой цели были использованы 7~ЛУ~
чи, испускаемые возбужденным ядром Fe57 (энергия 7~лУчеи <?12 =
= 14,4кэВ, ширина линии Г = 3 • 10~13<?i2 = 4 • 10~9эВ). При какой
разности высот между приемником (поглотителем) и источником 7-ли-
ния сместится на 1 % от ширины линии (при этом еще можно заметить
изменение поглощения 7-лучей)?
396.	В условиях предыдущей задачи поглощение 7~лУчеи зависит
не только от разности высот, но и от разности температур 5Т при-
приемника и источника (см. задачу 393). Какому изменению разности
высот с точки зрения ее влияния на изменение поглощения 7~лУчеи
соответствует в опытах с Fe57 разность температур AT = 1°С?
397.	Одним из методов установления независимости хода «часов»
от их ускорения является исследование температурной зависимости
положения линии поглощения в эффекте Мёссбауэра (см. задачу 396).
Дело в том, что излучающие 7~ЛУЧИ ядра в твердом теле движутся
с огромным ускорением, достигающим значения а « ?12х • 1017см/с2
(здесь п — циклическая частота колебаний ядра в кристалле, а х — ам-
амплитуда колебаний; при оценке использованы вполне реальные в ряде
случаев значения О ~ 1013 с и х ~ 10~9см). Поскольку расчет, ис-
использующий формулы, полученные в предположении о независимости
хода «часов» от ускорения, согласуется с опытом, как раз и делается
вывод о справедливости упомянутого предположения в применении

56
Задачи
к «часам» — излучающему ядру. Как объянить этот результат, ис-
используя энергетические соображения, в применении к колеблющемуся
ядру?
398.	Оценить по порядку величины время жизни возбужденного
уровня ядра при дипольном, квадрупольном и мультипольном излу-
излучении 7"кванта с энергией ~ 1 МэВ. (Классическое выражение для
энергии дипольного излучения осциллятора в единицу времени: / =
= 2/(Зс2)сР.) Оценить времена жизни возбужденного ядра с радиусом
R = 4 • 10~13см и энергией испускаемого 7~кванта <^у = 1 МэВ (для
дипольных и мультипольных переходов).
399.	В следующей таблице приведены значения полной энергии
связи зеркальных ядер:
Ядра
iH3
2Не3
2Не5
зЫ5
зЫ7
4 Be7
5Ben
бС11
бС13
8N13
7N15
8о15
8о17
9F17
Энергия
связи, МэВ
8,48212
7,71828
27,410
26,330
39,2455
37,6012
76,2067
73,4418
97,1099
94,1069
115,4939
111,9522
131,7635
128,221
Ядра
9F19
ioNe19
ioNe21
nNa21
„Na23
i2Mg23
12Mg25
13AI25
13AI27
14Si27
14Si29
ISP29
Энергия
связи, МэВ
147,8029
143,7823
167,4073
163,078
186,566
181,7273
205,5893
200,527
224,9534
219,3612
245,0121
239,286
Предполагая, что протоны внутри ядра расположены равномерно,
а ядерные силы между протонами и нейтронами не зависят от электри-
электрического заряда, вычислить радиусы атомных ядер. Предполагая, далее,
что радиус ядра R = гоА1/3, найти по методу наименьших квадратов
постоянную го.
400. Определить качественно (т. е. найти число и положение мак-
максимумов или минимумов на соответствующей кривой) зависимость
сечения рассеяния протона на нейтроне при больших энергиях от
угла рассеяния в в системе центра масс при трех предположениях
о характере сил, действующих между протоном и нейтроном:
а)	100% сил имеют обменный характер;
б)	100% сил имеют обычный классический характер (силы Вигне-
ра);
в)	50% сил имеют обменный характер, а 50% — обычный класси-
классический характер.
Посмотрите в учебнике (например, в книге: Ю.М. Широкова и
Н.П. Юдина «Ядерная физика», Наука, 1980, с. 185) эксперименталь-

§ 7. Ядерная физика	57
ные данные о дифференциальных сечениях рассеяния нейтронов на
протонах при энергии налетающего нейтрона 315 МэВ и сделайте вы-
вывод о характере ядерных сил в этом случае.
401.	Поверхностная энергия атомного ядра равняется примерно
— 17А2/3МэВ. Радиус атомного ядра R= 1,25a1/3 ферми. Найти по-
поверхностное натяжение а атомного ядра. Сравнить найденное значение
с поверхностным натяжением ртути (анё = 470эрг/см2).
402.	Определить среднюю плотность ядерного вещества, полагая,
что радиус ядра равен R = 1,25а1/3 ферми, упаковочный фактор / =
= &/А = 8,5 МэВ, где & — энергия связи ядра. Средняя масса нуклона
т = 938,9 МэВ.
403.	Определить энергию &к кулоновского расталкивания протонов
в ядре в предположении, что протоны распределены по ядру равномер-
равномерно. Установить зависимость (?к от массового числа А и заряда ядра Z.
Радиус ядра R = 1,25а1/3 ферми.
404.	Кулоновские силы способствуют делению атомного ядра, а си-
силы поверхностного натяжения препятствуют. Определить отношение
кулоновской &к и поверхностной &и энергий атомного ядра, при кото-
котором деление на два равных осколка энергетически выгодно. Выразить
то же условие через параметр деления Z2/A, пользуясь формулой
Вейцзекера для энергий <fK и <fn.
405.	Энергия связи атомных ядер при заданном числе А нуклонов
в ядре уменьшается с увеличением числа протонов из-за возрастания
Z2
кулоновской энергии |<?к| = 0,7—— МэВ. С другой стороны, в со-
соответствии с принципом Паули на каждом уровне не может быть
более двух нейтронов и двух протонов. Поэтому при отличии числа
нейтронов от числа протонов энергия связи уменьшается на величину
& = 45GV — ^J/BА)МэВ. Определить при заданном А оптимальное
значение Z, при котором энергия ядра минимальна. Определить Z/A
при А = 10; 50; 100; 150 и 200. Найти ближайшие изотопы по таблице
из книги: Широков Ю.М., Юдин И. П. Ядерная физика. М.: Наука,
1980, с. 721.
406.	Ядра неустойчивы относительно деления, если <?к/2<?п > 1-
Дать качественное обоснование этого неравенства и определить значе-
значения параметра деления Z2/А, при которых могут существовать ядра.
407.	Почему при делении атомного ядра все осколки деления
/3~-радиоактивны, а не /3+-радиоактивны?
408.	Почему от Солнца идет поток нейтрино, а все реакторы деле-
деления атомных ядер являются источниками антинейтрино?
409.	Найти максимально возможные значения Z и А атомного ядра,
при которых оно еще устойчиво по отношению к делению, предполагая,
что ядро лежит на кривой устойчивых ядер. (См. ответы к задачам 405
и 406.)

58
Задачи
410.	Для замедления нейтронов используется вещество с массовым
числом А. Какова будет максимальная и средняя потеря энергии ней-
нейтрона при одном упругом соударении?
411.	Параметром соударения ? нейтрона с ядром замедлителя на-
называют величину ( In —^-) , где <f i — энергия нейтрона до соударения,
V G>2 /cp
а (?2 — после соударения. Найти параметр ?.
412.	За какое среднее число соударений нейтрон уменьшит свою
кинетическую энергию от 2МэВ до 0,025 эВ? В качестве замедлителя
используются углерод, водород, бериллий.
413.	Величину d = ?/As называют замедляющей способностью ве-
вещества. Здесь As — длина свободного пробега нейтрона до момента
упругого соударения, а ? — параметр соударений, определенный в зада-
задаче 411. Замедляющая способность химического соединения определя-
определяется как ^ х ' где сУммиРование ведется по всем элементам химиче-
химического соединения. Найти замедляющую способность углерода и длину
траектории для нейтронов с энергией 1 эВ, если сечение упругого
рассеяния а = 4,8 • 10~24 см2, а плотность углерода 1,67 г/см3 (с учетом
пористости). Поперечное сечение рассеяния нейтронов в углероде а
в интервале энергий от 105 до 0,025 эВ можно считать постоянным.
Найти замедляющую способность воды и длину траектории при замед-
замедлении нейтрона от энергии 104эВ до 1 эВ при постоянном значении
поперечного сечения упругого рассеяния в воде а = 43 • 10~24см2.
Параметр соударений для воды ? = 0,924.
414.	Качество замедлителя в реакторе определяется не только его
замедляющей способностью, но также свойством его мало поглощать
нейтроны. Для сравнения качества замедлителей вводят коэффициент
замедления нейтронов к3:
где ? — параметр соударений (см. задачу 411), As — длина свободного
пробега нейтрона до упругого соударения, Аа — длина свободного
пробега до поглощения нейтрона с тепловой энергией (т. е. с энергией
0,025 эВ).
Вычислить коэффициент к3 для воды, тяжелой воды, бериллия
и графита, а также ? для бериллия и графита, используя данные
следующей таблицы:
Замедлитель
Вода
Тяжелая вода
Бериллий
Графит
Параметр
соударений ?
0,924
0,518
р
р
Сечение упругого
рассеяния as,
Ю-24 см2
49
11
6,1
4,8
Сечение
поглощения сга,
Ю-24 см2
0,58
0,000285
0,0081
0,0045

§ 7. Ядерная физика
59
415.	Считая рассеяние нейтронов изотропным в лабораторной си-
системе координат (что приближенно правильно, если А замедлителя
больше 10), оценить среднеквадратичное смещение нейтрона в углеро-
углероде при замедлении от энергии 105 до 0,025 эВ.
416.	При делении ядер выделяются мгновенные нейтроны за время
~ 10~14 с и небольшое число запаздывающих нейтронов со временем
запаздывания от 0,2 до 55,7 с. Почему нельзя считать, что некоторые
осколки деления обладают свойством нейтронной радиоактивности?
417.	Определить среднее время запаздывания нейтронов, используя
данные о времени полураспада осколков деления, в результате которого
появляются ядра — источники запаздывающих нейтронов:
Период полураспада Ti осколка, с
0,2
27
0,6
74
2,3
253
6,2
125
22,7
140
55,7
21
Величина /%, приведенная в таблице, есть доля нейтронов данной
группы от полного числа нейтронов деления, включая мгновенные
нейтроны.
418. При захвате нейтронов атомными ядрами делящихся элемен-
элементов конкурируют два процесса:
а)	радиационный захват с поперечным сечением а7;
б)	деление ядра с поперечным сечением <т/.
В одном акте деления в среднем выделяется v нейтронов. Вычис-
Вычислить коэффициент г], равный числу нейтронов на один акт деления,
которые в дальнейшей цепной реакции произвели бы деление в чистом
изотопе, если бы он был бесконечным. Воспользоваться данными таб-
таблицы поперечных сечений для нейтрона с энергией 0,025 эВ:
Изотоп
О233
О235
ри239
Gf, Ю-24 см2
527
582
746
G7, Ю-24 СМ2
54
112
280
2,52
2,41
2,92
419. Тепловые нейтроны могут делить только изотопы U235, а изо-
изотоп U238 их поглощает, но сам не делится. Найти коэффициент rj,
определение которого дано в предыдущей задаче, для естественного
урана, в котором доля U235 равна х = 0,00714. Поперечные сечения а
и v для U235 приведены в предыдущей задаче. Известно также отноше-
ние 5 7 5 = 4,08 • 10~3. Верхние индексы 5 и 8 указывают, к какому
изотопу урана относятся поперечные сечения.
420. Размножение нейтронов в делящейся среде можно условно
представить как смену поколений. Существовавшие в некоторое время
нейтроны будут все рано или поздно поглощены ядрами. На смену
«умершего» поколения нейтронов появится новое поколение нейтронов,
которое опять через некоторое время «умрет», чтобы дать «жизнь» сле-
следующему поколению. Конечно, время жизни нейтронов неодинаково,

60	Задачи
но можно ввести среднее время жизни одного поколения, точно так
же как это делается для поколений человечества. Отношение числа
нейтронов второго поколения к числу нейтронов первого поколения
в делящейся среде называется коэффициентом размножения к^. Если
кос < 1, то говорят, что система находится в подкритическом состоя-
состоянии. Число нейтронов в такой системе будет уменьшаться во времени.
Пусть в подкритической бесконечной системе в некоторый момент
времени появилось Щ нейтронов. Определить общее число нейтронов,
образующихся в системе, включая исходное число их ЛГ0.
421.	Доказать, что в системе из чистого U238 нельзя достигнуть
fcoo > 1. Воспользоваться следующими данными. Порог деления U238
равен 1,1 МэВ. Для энергии больше 1,1 МэВ поперечное сечение по-
поглощения не больше 10~24см2: аа = Of + <т7 < 10~24см2, где Of —
сечение деления, а <т7 — сечение радиационного захвата. В то же время
сечение неупругого рассеяния, при котором нейтрон теряет относитель-
относительно большую часть своей энергии, ас ~ 3 • 10~24см2.
422.	Реактивностью реактора называют величину
к- 1
'=—'
где к — коэффициент размножения нейтронов; если |fc — 1| <С 1, то
р ~ к — 1. Найти в этом приближении изменение мощности P(t) ре-
реактора в надкритическом режиме, когда к > 1. Определить период Т
реактора, т. е. время возрастания мощности Рве раз. Среднее время
жизни одного поколения нейтронов равно т.
423.	При каких значениях реактивности реактора р, определенного
в предыдущей задаче, запаздывающие нейтроны определяют зависи-
зависимость мощности от времени? Доля запаздывающих нейтронов C =
= 0,00640.
424.	Поток нейтронов из обычного реактора равен 1014 с • см~2.
Определить скорость реакции в мишени толщиной 1 см. Поперечное
сечение реакции а = 10~27см2, плотность мишени п = 1022см~3.
425.	Обозначим через N(t) число нейтронов в системе, а через
C(t) число осколков деления, способных испускать запаздывающие
нейтроны. Время жизни поколения мгновенных нейтронов равняется
г = 10~3 с. Среднее время запаздывания нейтронов т = 13 с. Уравнения
динамики реактора можно записать в виде
dN_ = k(l-/3)-l N | 1 с d<Z = №N_l_c
dt	т	т ' dt т	т
где /3 — доля запаздывающих нейтронов, а к — коэффициент размно-
размножения нейтронов.
а)	Рассмотреть критический режим реактора, когда к = 1. Найти
стационарное решение и время установления стационарного режима.
б)	Найти период реактора в слабонадкритическом режиме, когда
к — 1 <С 1. (Периодом реактора Т называют время, за которое число
нейтронов и мощность реактора возрастают в е раз.)

§ 7. Ядерная физика	б 1
426.	При радиационном захвате нейтрона ядро U238 в результате
ряда реакций превращается в ядро Ри239. (Как и U235, Ри239 делится
тепловыми нейтронами.) Этим процессом «неядерное горючее» U238
превращается в «ядерное горючее» Ри239. Коэффициентом воспроиз-
воспроизводства «ядерного горючего» кв называют отношение числа атомов
созданного «горючего» к числу атомов затраченного. Пусть первона-
первоначально в ТВЭЛах (ТВЭЛ — тепловыделяющий элемент) содержалось
10% Ри239 и 90% U238. При каком значении Р(кв - 1), где Р -
тепловая мощность реактора, отнесенная к единице веса «горючего»,
доля плутония удвоится за 10 лет непрерывной работы реактора?
427.	Во всем мире в 1978 г. было выработано тепловой энергии
около 1010 т условного топлива (ТУТ). Условное топливо эквивалентно
7000 кал на 1 г. Какое количество естественного урана потребовалось
бы для выработки 1010 т условного топлива тепловой энергии? Считать,
что в реакторах кв = 0,8. (Определение &всм. в задаче 426.)
428.	Основная реакция в водородной среде в центрах звезд Н +
+ Н1 —> Н2 + е+ + ие происходит по слабому взаимодействию с очень
маленьким сечением. Например, при энергии протонов 1 МэВ а =
= 10~47см2, а при энергии 1 кэВ а = 10~51 см2. Поэтому эту реакцию
в лабораторных условиях осуществить до сих пор не удалось. Рас-
Рассчитать, какой ток / протонов с энергией 1 МэВ должен падать на
мишень, чтобы за 1 ч произошла одна такая реакция. Пробег протона
/ = 8- Ю-4 г/см2.
429.	В центре Солнца плотность водорода р = 158 г/см3, темпе-
температура 15- 106К. Поперечное сечение реакции образования дейтерия
порядка 10~51 см2 (см. предыдущую задачу). Рассчитать время выгора-
выгорания водорода в центре Солнца на 50% за счет указанного процесса.
430.	При создании управляемой термоядерной реакции предполага-
предполагается, что дейтерий будет использован как ядерное горючее. Особенно
большое значение имеют следующие первичные ядерные реакции, иду-
идущие примерно с равной вероятностью:
б) D2 + D2 —> Не3 + п + <2б-
Вычислить энергии Qa и Q^ этих реакций (см. табл. VII).
431.	В термоядерном реакторе с дейтериевым горючим могут про-
происходить вторичные термоядерные реакции:
а)	He3 + D2^He4 + p + ga;
б)	H3 + D2^He4 + n + g6.
Вычислить энергии Qa и Q^ этих реакций (см. табл. VII).
432.	Известно, что тяжелая вода (D2O) содержится в морской воде
в качестве небольшой примеси. Примерно на каждые 6000 молекул
обычной воды приходится одна молекула тяжелой воды. Какая энергия
выделится в термоядерном реакторе при сжигании всего дейтерия,
содержащегося в 1 л воды? Какому количеству бензина эквивалентен

62	Задачи
по энергии 1 л воды, если при сжигании 1 кг бензина выделяется
13 кВт • ч энергии?
433.	Вычислить количество термоядерных реакций, происходящих
в 1 см3 в 1 с, если известно сечение реакции a(v), где v — относитель-
относительная скорость реагирующих дейтонов, а N — число дейтонов в 1 см3?
434.	Какая мощность создается термоядерными реакциями в 1 см3,
если N = 1015см~3, ~gv = 10~17см3/с (такое значение ~gv принимает
при температуре дейтерия Т « 40кэВ « 4,6 • 108 К)?
Примечание. Здесь использованы обозначения задачи 433. При
вычислениях учитывать лишь энергию первичных реакций (см. задачу
430).
435.	Для термоизоляции горячего ионизованного газа дейтерия
(плазмы) от стенок термоядерного реактора предполагают использовать
давление магнитного поля. Вычислить давление магнитного поля с Н =
= 20 000 Э на плазму в предположении, что магнитного поля внутри
плазмы нет.
436.	Сколько тепла выделяется при образовании 1 г Не из протонов
и нейтронов? (См. задачу 379.)
437.	В первом поколении термоядерных реакторов предполагается
использовать реакцию дейтерия с тритием:
Н2 + Н3 -^Не4 C,5МэВ) + п A4,1 МэВ).
Величина ~ov, где а — сечение реакции, a v — относительная скорость
реагирующих частиц, усредненная по максвелловскому распределению
скоростей, равна
av = 5,5 • 10~21 см3/с при Т = 1 кэВ,
av = 1,1 • 10-16см3/с при Т=10кэВ.
Предполагая, что плазма содержит равное количество атомов дейтерия
и трития, рассчитать плотность тепловой мощности, а также полную
мощность W термоядерной установки, если объем плазмы 500 м3,
а плотность электронов п = 1014см~3.
438.	Согласно условию Лоусена термоядерная реакция в смеси
дейтерия и трития будет самоподдерживающейся при Т = ЮкэВ, если
пт >3- 1014см-3-с,
где п — плотность электронов, а г — энергетическое время жизни
плазмы, определяемое ее излучением, теплопроводностью и диффузией.
(Энергетическим временем жизни плазмы называется отношение энер-
энергии плазмы к мощности потерь энергии из плазмы Р.) Потери энергии
компенсируются заряженными продуктами реакции, в данном случае
ядрами гелия. Рассчитать при п = 1014см~3 и пт = 3 • 1014см~3-с
плотность мощности Р тепловых потерь плазмы.
439.	Проверить, что условие Лоусена для энергетически выгодной,
но не самоподдерживающейся термоядерной реакции при Т = ЮкэВ

§ 7. Ядерная физика	63
и п = 1014 см 3 имеет вид пт > 2 • 1014 см 3 • с. (Обозначения такие же,
как и в предыдущей задаче. Энергетически выгодной считается такая
реакция, при которой потери энергии из плазмы в три раза меньше,
чем полная выделяющаяся термоядерная энергия.)
440.	При рассмотрении движения быстрых заряженных частиц
в магнитных полях вводится параметр R = ^-, называемый жестко-
жесткостью. Здесь с — скорость света, р — импульс и Ze — заряд части-
частицы. Если энергию частицы измерять в электронвольтах, то единицей
жесткости будет вольт. Наличие у Земли магнитного поля приводит
к тому, что на каждой широте в определенном направлении на Землю
могут приходить частицы, жесткость которых не меньше пороговой
RnOp. Какова минимальная кинетическая энергия ШКШ{\ 1) электронов,
2) протонов, 3) а-частиц, регистрируемых на широте с Ruov = 1,1 х
х 109В?
441.	Ультрарелятивистский протон движется в магнитном поле.
Может ли он излучать тг^- и тг°-мезоны, электроны и позитроны?
442.	Найти интенсивность 7~лУчеи (т. е. число фотонов • см~2 х
х с -ср), образующихся в Галактике в результате распада тг°-мезо-
нов и приходящих в пределы Солнечной системы от центра, антицентра
и полюса Галактики. Сечение образования тг-мезонов космическими
лучами на протонах межзвездного газа а = 2 • 10~26см2. Интенсив-
Интенсивность космических лучей в Галактике считать изотропной и равной
^кл = 0,2см~2-с-1 -ср. Число протонов в межзведной среде N(L) на
луче зрения в направлении от Солнечной системы на центр, полюс
и антицентр Галактики примерно равно 6- 1022, 1021 и 1022см~2 соот-
соответственно.
443.	Интенсивность космических лучей /кл в метагалактическом
пространстве неизвестна. Ее можно надеяться определить, измеряя
интенсивность /7 для 7~лУчеи> испускаемых при распаде тг-мезонов
в Метагалактике (см. задачу 442). Выразить /кл через /7, считая
концентрацию межзвездного газа равной п = D00) см~3 и учитывая
расширение Метагалактики.
Указание. Скорость удаления галактик и газа на расстоянии R
от Земли равна и = hR, постоянная Хаббла h сейчас принимается
равной 55км/(с• Мпк) (закон и = hR годен до тех пор, пока м<с =
= 3 • 1010см/с, но им можно пользоваться и при и < 0,5 с).
444.	Установить связь между шириной A<f уровня собственной
энергии частиц и временем их жизни г для следующих A<f: 100 МэВ,
1МэВ и 104эВ.
445.	Объяснить, почему сечения взаимодействия медленных ней-
нейтронов с ядрами изменяются в среднем, как l/v, где v — скорость
нейтронов.
446.	Какое биологическое значение имеет то обстоятельство, что
протон немного легче нейтрона? Что было бы, если бы было наоборот,
т. е. протон был немного тяжелее нейтрона?

64	Задачи
447.	В современной теории протон считается абсолютно устойчивой
частицей. Действительно, протон — самый легкий барион. Его распад
означал бы, что закон сохранения барионного заряда нарушается, на-
например, в такой реакции:
Р -> /^+ + *V
Тем не менее физики в течение ряда лет со все возрастающей точно-
точностью эксперимента ищут именно этот распад. Для этого они изучают
появление /i+ в глубоких пещерах, в которые не могут проникнуть
мюоны от космических лучей. До сих пор реакция распада свобод-
свободного протона не зарегистрирована. Исходя из точности эксперимента,
можно показать, что время жизни протона более 1030 лет. Усилия
экспериментаторов поддерживает надежда проверить новую, единую
теорию всех типов сил с одной константой взаимодействия (эту теорию
иногда называют «великим объединением»). В этой теории протон
может распадаться со временем жизни г = 1031 лет. Предположив, что
теория «великого объединения» верна, рассчитать, сколько протонов
распадется за 1 мин в 1 км3 воды.
448.	На каком расстоянии ядерные силы взаимодействия двух
протонов равняются силам кулоновского отталкивания? Считать, что
потенциал ядерных сил равен (g/r) exp(—r/R), где г — расстояние
между протонами, R — радиус действия ядерных сил, равный ~ 1 фер-
ми, a g2/(?ic) = 15.
449.	Какой минимальной кинетической энергией должна обладать
а-частица, чтобы при бомбардировке такими частицами атомов лития
эти атомы начали излучать полный спектр рентгеновского излучения
лития?
450.	Космические гамма-лучи, являющиеся продуктом распада
тг°-мезонов, образуются в некоторой области (оболочке сверхновой
звезды, галактике), содержащей газ с массой М. Каков будет поток
гамма-лучей с энергией &7 > 100 мэВ, наблюдаемый на Земле, если
расстояние до источника равно R, интенсивность космических лучей
в источнике /кл такая же, как у Земли, и для наблюдаемых у Земли
космических лучей среднее по спектру произведение сечения образо-
образования гамма-лучей на интенсивность космических лучей (а1кл) для
<ё1 > 100 мэВ равно 10~26 с • ср?
451.	Очень компактные космические тела, обладающие сильными
гравитационными полями (белые карлики, нейтронные звезды, «черные
дыры»), могут продолжительное время излучать за счет падения на
них окружающего газа (так называемая «аккреция»). Найти верхний
предел светимости источника, обусловленной аккрецией.
452.	Какова энергия протонов, попадающих на поверхность ней-
нейтронной звезды в результате аккреции (т. е. попадания газа на звезду
под действием ее гравитационного притяжения)?
453.	На звезду с массой М и радиусом R происходит падение
(аккреция) вещества со скоростью М(г), где г — расстояние до центра

§8. Элементарные частицы	65
звезды. Считают, что светимость звезды L обусловлена в основном
аккрецией (т. е. определяется переходом гравитационной энергии па-
падающего вещества в излучение), а основным источником поглоще-
поглощения света в атмосфере является томсоновское рассеяние свободными
электронами с эффективным сечением его = -^ (-%¦) • Определить
. 3 V гаг /
максимально возможную скорость аккреции М. Оценить максимально
возможную плотность аккреции вещества для белых карликов с
М « М© = 2 • 1033 г, Д « 103 км
и нейтронных звезд сМ^ М0, Д « 10 км.
454. Частица испытывает упругие соударения с хаотически дви-
движущимися облаками, которые можно считать бесконечно тяжелыми.
Скорость каждого облака — w <C v (v — скорость части-
частицы). Сечение взаимодействия частицы с облаком — а.
Плотность облаков в пространстве — п. Оценить сред-
среднюю скорость увеличения энергии частицей (вариант
механизма ускорения Ферми).
455. Механизм ускорения Ферми можно проиллю-
ш
W/
h
стрировать на следующей простой модели. Шарик упруго
отражается от двух стенок, сближающихся со скоро- рис. 15
стью w (рис. 15). Найти закон изменения импульса ша-
шарика со временем. Скорость стенок гораздо меньше скорости шарика.
456.	Почему при синтезе тяжелого ядра из легких не учитывают
гравитационный дефект массы? Рассчитать относительный гравитаци-
гравитационный дефект масс для Солнца и урана. Радиус Солнца равен R@ =
= 7 • 1010 см, а радиус ядра урана — 8 • 10~13 см. Масса Солнца М@ =
= 2 • 1033 г, а ядра урана 4 • 10~22 г.
§ 8. Элементарные частицы О
457.	Показать, что в релятивистской системе единиц (Ть = с =
= 1) размерность любой физической величины выражается некоторой
степенью единицы длины.
458.	Каковы характерные длины для массы электрона, массы про-
протона, гравитационной постоянной в релятивистской системе единиц?
(См. задачу 457.)
459.	Определить в релятивистской системе единиц (см. задачу 457)
размерность электрического заряда, скорости, силы, энергии, гравита-
гравитационной постоянной.
460.	Перечислить строгие законы сохранения при реакциях эле-
элементарных частиц, т. е. законы, которые справедливы для всех типов
взаимодействий.
1) Общие указания к решению задач см. в решениях.
3 Под ред. Д. В. Сивухина

66	Задачи
461.	Перечислить все стабильные фундаментальные частицы и дать
объяснение их стабильности.
462.	Сравнить величины электростатических и гравитационных
сил, действующих между двумя протонами.
463.	Показать невозможность аннигиляции электрона и позитрона
с испусканием одного 7~кванта
е+ + е~ —> 7>
а также распада 7~кванта на лету
7 —> е+ + е~.
464.	Показать, что комптоновская длина волны электрона опре-
определяет по порядку величины предел применимости нерелятивистской
квантовой механики к электрону, в которой исключаются из рассмот-
рассмотрения рождение пар и другие релятивистские эффекты.
465.	Установить связь комптоновской длины волны пиона с радиу-
радиусом действия ядерных сил.
466.	Ширина резонанса рождения частицы равняется бОМэВ. Ка-
Каково ее время жизни?
467.	Оценить по порядку величины сечение комптоновского рассе-
рассеяния 7-кванта на электроне.
468.	В электрическом поле какой напряженности начнут интенсив-
интенсивно рождаться электронно-позитронные пары, т.е. начнется «пробой»
вакуума?
469.	Составить из гравитационной постоянной G, постоянной План-
Планка Ь и скорости света с величину с размерностью длины. Вычислить
эту длину. Какие время и плотность отвечают этой длине (т. е. полу-
получаются только с использованием тех же постоянных)?
470.	Найти массу частицы, гравитационный радиус которой равен
длине, определенной в предыдущей задаче. Каково было бы поведение
такой нейтральной частицы, если бы поместить ее на поверхность
Земли?
471.	Было высказано предположение, что гравитационная посто-
постоянная G на самом деле не постоянна, а медленно уменьшается со
временем, так что \dG/dt\/G « 3 • 10~п год. Как сказалось бы из-
изменение G на круговых орбитах планет и их спутников (оценить соот-
соответствующий эффект)? Как сказалось бы изменение G на колебаниях
маятника, находящегося на Земле?
472.	Слабые силы в атомном ядре ответственны за явление /3-рас-
пада. Радиус действия этих сил неизвестен. Константой слабого взаи-
взаимодействия g называют энергию этого взаимодействия, проинтегриро-
проинтегрированную по всему пространству:
g- = 1,4 • 1(Г46эрг-см3.

§8. Элементарные частицы	67
Пользуясь соображениями размерности, найти для слабого взаимодей-
взаимодействия величину, играющую роль квадрата заряда, если радиус действия
слабых сил равен R. При каких значениях R слабое взаимодействие
было бы того же порядка, что и электромагнитное?
473.	тг°-мезон распадается на два 7~кванта. Найти функцию рас-
распределения / 7-квантов по энергиям, если энергия тг°-мезона равна <JV
474.	тг-мезон (т^ = 273,1ше) распадается на /i-мюон (гам =
= 206,8ше) и нейтрино. Найти энергию и импульсы мюона и нейтрино.
475.	Частица с кинетической энергией W и массой т\ соударяется
с частицей массы Ш2, первоначально находящейся в покое. В результа-
результате соударений рождается одна или несколько частиц общей массы М
без изменения масс реагирующих частиц. Найти порог рождения новых
частиц. Порогом рождения частиц называется минимальная энергия
налетающей частицы, при которой возможно, в соответствии с закона-
законами сохранения импульса и энергии, образование частиц массы М (т\,
ni2, M — это массы покоя).
476.	Пользуясь результатом предыдущей задачи, определить порог
рождения протона и антипротона:
а)	при соударении протона с покоящимся протоном;
б)	при соударении фотона с покоящимся протоном;
в)	при соударении электрона с покоящимся электроном.
477.	Чтобы полнее использовать энергию налетающих частиц для
рождения новых частиц, создают системы, получившие название на-
накопительных колец. В накопительных кольцах соударяются встречные
релятивистские пучки (в лабораторной системе, совпадающей с си-
системой центра масс). Кроме энергии налетающих частиц & ^> тс2
вводят понятие эффективной энергии накопительного кольца W3§ =
2&2
= —2» гДе m ~~ масса налетающей частицы. Пользуясь результатом
решения задачи 475, выяснить физический смысл величины W3§.
478.	Какова наименьшая частота излучения z/, способного вызвать
рождение пары позитрон-электрон? Какова энергия <f кванта этого
излучения?
479.	а) Какова максимальная кинетическая энергия <?макс позитрона
пары, образованной 7"квантом с энергией <? = 150МэВ? б) Какова
максимальная энергия <fMaKC спектра тормозного излучения электрона
с энергией <? = 80МэВ?
480.	В случае частиц с очень малым временем жизни, меньшим
10~20 с, невозможно зафиксировать след заряженных частиц или рас-
расстояние от места образования нейтральных частиц до места их распа-
распада. Фактически регистрируются только продукты распада. Как в этом
случае экспериментально отличить процесс
2тг+ + 2тг
тг
°
от процесса

Задачи
где р, р — протон и антипротон, и — новая короткоживущая частица?
481.	При рождении и распаде частиц выполняется (помимо законов
сохранения энергии, импульса и момента количества движения) ряд
точных законов сохранения:
1.	Закон сохранения заряда.
2.	Закон сохранения барионного заряда (барионный заряд равен 1
для барионов, т.е., например, для нуклонов (п и р) и гиперонов (Л,
Е, S); —1 для антиба?ионов, т.е., например, для антинуклонов (п и р)
и антигиперонов (Л, Е, S); 0 для всех остальных типов частиц).
3.	Закон сохранения электронного лептонного заряда /е и закон
сохранения мюонного лептонного заряда 1^. Для электрона (е~) и элек-
электронного нейтрино (z/e) принято, что 1е = \, а для позитрона и элек-
электронного антинейтрино /е = — 1. Для всех остальных частиц /е = 0.
Аналогично, 1^ отлично от нуля только для четырех частиц: /i~, z/^,
/i+, z/д (мюонов и мюонных нейтрино), причем для первых двух частиц
/м = 1, а для последних двух /м = — 1.
Указать, какие из приведенных ниже реакций запрещены перечис-
перечисленными законами сохранения:
1.	п->р + е~+17е.	5. тг~ +р -> Л° + К°.
2.	р^п + е+.	6. К-+п^Л° + тг-.
3.	/х~ -> е~ + i/д + z/e- 7. 7Г+ + п -> Л° + К+.
4.	К+ -^ тг- + 2е+.	8. тг+ + п -> К+ + К0.
482.	Рассмотреть приведенные ниже реакции и указать, какие из
них запрещены:
1.	тг~ —> /х~ +z/M.	6. z/M + p^n + e+.
2.	7r~^/i~+z/e-	7. z/e + P^n + /i+.
3.	/i~ ^ e~ + z/e +^e- 8- ^e + P^n + e+.
4.	/i~ -^ e~ + z/e + г/д- 9. /i~ —> e~ + 7.
5.	?м + p -^ n + /i+.
483.	Взаимодействие и распад частиц происходят в результате
сильного, электромагнитного или слабого взаимодействий. Вероят-
Вероятность процессов при слабом взаимодействии примерно в 1010 — 1012 раз
меньше, чем при сильном. Сильное взаимодействие может происходить
только между адронами и при сохранении нового квантового числа S
(странности). При слабом взаимодействии странность не сохраняется.
S = 0 для нуклонов, антинуклонов, тг ^мезонов;
S = -I для Л, Е+, ?", К", Е°, К0 (К-мезонов, Е-гиперонов,
Л-частицы);
S = —2 для S~, S° (каскадных гиперонов);
S = — 3 для О~^ _ _
S = +1 для Л, Е+, Е-, Е°, К+, К0;
5 = +2 для Н", S0;
5 = +3 для 0+
(тильда сверху — знак античастицы). При изменении странности на 1

§8. Элементарные частицы	69
вероятность процесса уменьшается в 1010 — 1012 раз, а при изменении S
на 2 реакция не наблюдается, если возможна реакция с изменением S
только на 1. Реакции между частицами с нарушением странности, т.е.
происходящие по слабому взаимодействию, практически ненаблюдаемы
из-за малости вероятности процесса при существующей интенсивности
частиц, генерируемых в ускорителях. Однако распад частиц с нару-
нарушением закона сохранения странности всегда наблюдается, так как
вероятность распада за время наблюдения равняется 1.
Выяснить, какие из перечисленных реакций разрешены по закону
сохранения S, какие запрещены по этому закону и, следовательно,
идут с малой вероятностью или практически не наблюдаются:
1.	тг-+р->Л + К°.	8.	тг+ + п^Л + К+.
2.	тг- + р -> Л + тг°.	9.	К+ + р -> Е+ + 7г+.
3.	Л^р + тг-.	10.	р + Е+^К++7г+.
4.	S-^Л + тг-.	11.	р + Е+^тг++7г+.
5.	Н~ -> 2тг~^ р.	12.	тг~ + р -> Н~ + S+ + п.
6.	тг+ + р^Е++К-.	13.	тг-+р^Е++К-.
7.	тг+ + р^Е++7г-.	14.	7T-+p^S-+K+ + K°.
484. При распадах адронов (барионов и мезонов), приводящих
к рождению лептонов, существует эмпирическое правило, управляю-
управляющее вероятностью распада. Если изменение странности адрона при
реакции AS не равняется изменению заряда адронов AZ, то такой
распад не наблюдается. Например, наблюдается реакция
Е- -> п + е~ + ие (AZ = AS = +1),
но не наблюдается реакция
Е+ ^n + e+ + z/e
Определите, какие реакции из перечисленных ниже разрешены по
правилу AZ = AS, а какие запрещены:
1.	К+ ^тг++7г++е- + *7е.	6. ?° -> Е++е~ +z7e-
2.	К+ -> тг+ + тг- + е+ + z/e.	7. ?° -> Е" + е+ + ие.
3.	Н- -> Л + е- + ие.	8. К+ -> е+ + */е + тг°.
4.	Е0^Л + е-+^е+.	9. К+ -^ тг+ + /х+ + /х".
5.	A^p + e~+z7e-	Ю- К~ ^ тг~ + тг~ + е+ + ve.
485. Частицы иногда образуют группу с близкими значениями
масс (отличие масс в группе порядка 1%). Группу частиц с близкими
массами называют изотопическим мультиплетом (дублетом, трипле-
триплетом, квартетом). Одиночные частицы называют синглетами. Каждой
группе N частиц приписывается значение изотопического спина Т =
= (N — 1)/2. Удвоенный средний электрический заряд мультиплета
2Zcp = ^ называют гиперзарядом мультиплета, т. е. считается, что
все частицы мультиплета имеют одинаковый гиперзаряд. Поскольку

70	Задачи
изотопический спин Т — квантовый вектор, он имеет 2Т + 1 проекций
на любую ось (точно так же, как вектор момента количества движения
или спина). Число проекций изотопического спина совпадает с числом
частиц в мультиплете N. Проекцию изотопического спина на какую-
либо координатную ось декартовой системы, например Тз, связывают
с электрическим зарядом: Тз = Z — Zcp = Z — *§/2. Оказалось, что
странность S (см. задачу 483) связана с гиперзарядом ^ и барионным
зарядом А простым соотношением: S = ^ — А. Пользуясь приведенны-
приведенными равенствами, определить S, Т, Тз и ^? для Л, Е-, S-, ?1~, тг-, К-,
ту-частиц.
486.	По таблице элементарных частиц из Приложения определить
относительную разность масс изотопических мультиплетов Am/m
в единицах константы тонкой структуры а = е2/(Tic).
487.	Перечислить известные вам приближенные законы сохране-
сохранения. Указать условия, при которых эти законы соблюдаются. (Прибли-
(Приближенные законы сохранения справедливы не для всех типов взаимодей-
взаимодействий.)
488.	Строгие законы сохранения (см. задачу 481) ограничивают
число типов реакций. Нестрогие законы сохранения ограничивают ти-
типы взаимодействий. Какие из приведенных ниже реакций разрешены
законами сохранения, какие строго запрещены, какие практически
ненаблюдаемы? (См. задачу 483.)
1.	p^n + e+ + z/e.	4. /i~ —> е~ + е+ + е~.
2.	11~ -> е~ + z7e + 7- 5. К+ + п -> ?+ + тг°.
3.	тг0 -^ е~ + е+ + 7- 6. n^p + e~+z/e-
489.	Указать, какие из перечисленных ниже реакций невозможны
или практически ненаблюдаемы из-за нарушения законов сохранения:
1.	Е+^7г+ + п.	5. тг~+р^Е-+К+.
2.	Е-+р^7г°+^К°.	6. Е°^Л + 7-
3.	тг- + р -> Л + К0.	7. Е° -^ Л + е- + z7e.
4.	тг-+р^Е++К-. 8. Е°^7г° + 7г0.
По какому взаимодействию происходит распад частиц 1, 6, 7?
490.	Рассмотреть приводимые ниже реакции и определить тип
взаимодействия.
1.	К-+р^Л + тг°.	4. ?°^Л + 7г°.
2.	тг+ + р -> Е+ + К+. 5. тг° -> 7 + 7-
3.	Е° -^ Л + 7-	6. О" -> Н- + тг°.
491.	Чем отличаются друг от друга К°-мезон и К°-мезон?
492.	При ядерных реакциях, как правило, ядерные и кулоновские
силы действуют одновременно, но, поскольку ядерные силы пример-
примерно в 100 раз более сильные, чем кулоновские, действием последних
обычно можно пренебречь. Ядерные силы, действующие между ядрами

§8. Элементарные частицы	71
дейтерия (iH2), или водорода (iH1) и трития (iH3), одинаковы. Объяс-
Объяснить, почему реакция
происходит с вероятностью, примерно в 100 раз меньшей, чем реакция
2) 1Н1 + iH3 -^2Не4 + 7г°.
493. Определить типы взаимодействий при следующих реакциях:
1. К-+2Не4^2Не3 + Л + 7г-. 6. п~ -> К" + Л.
2.	!Н2 + !Н2 -+ 2Не4 + тг°.	7. тг- -^ /х- + v^
3.	р + 2Не4 -> 2Не3 + iH2.	8. п -> р + е" + 1/е.
4.
5. 2He4 + 2He4^3Li6 + iH2+7r°.
494.	Обычно тг°-мезон распадается на два 7~кванта:
1.	тг°^27.
Однако существуют и другие каналы распада:
2.	7г° -> е~ + е+ + 7-
3.	7г° -> е~ + е+ + е~ + е+.
Оценить по порядку величины относительные вероятности распада
тг°-мезона по второму и третьему каналу. Сравнить оценки с экспери-
экспериментальными данными.
495.	Почему не разрешен распад тг°-мезона на три 7~кванта:
тг° -> 27, 7г° /> 37?
496.	Какова зарядовая четность позитрона в триплетном и синглет-
ном состояниях? На какое число 7~квантов распадается позитрон?
497.	Вычислить по порядку величины время двух- и трехфотонной
аннигиляции позитрония. Сравнить с экспериментом, который дает для
двухфотонной аннигиляции время т2 = 1,25 • 10~10с, для трехфотонной
тз = A,45 ±0,15) • 10~7с. При оценках считать, что электрон и по-
позитрон аннигилируют, когда они сближаются на расстояние порядка
комптоновской длины электрона. Для оценки вероятности испускания
фотона использовать ответ к задаче 467.
498.	/х~-мюон захвачен атомом А127. Определить радиус орбиты
/х~-мюона и время его пребывания внутри атомного ядра.
499.	Из эксперимента известно, что время жизни отрицательных
мюонов, захваченных атомом 13AI27, равняется 0,88- 10~6с. Восполь-
Воспользовавшись результатом решения задачи 498, найти длину свободного
пробега мюона в ядре.
500.	Пользуясь результатами решения задачи 499, оценить сечение
реакции
А*~ +Р —> n + zv
501.	Электронное нейтрино z/e имеет лептонный заряд 1е = 1, а элек-
электронное антинейтрино — заряд /е = — 1. Как проявляется это отличие

72	Задачи
при взаимодействии с веществом? Как экспериментально отличить
нейтрино от антинейтрино?
502.	Какими экспериментами можно отличить электронное нейтри-
нейтрино ие от мюонного нейтрино z/^? Какое из этих двух нейтрино более
эффективно поглощается в веществе?
503.	Сечение взаимодействия нейтрино z/e с веществом можно
оценить, сделав предположение, что оно пропорционально квадрату
константы слабого взаимодействия *§ = 1,4 • 10~49эрг-см3 и квадрату
импульса нейтрино. Первое предположение следует из того факта, что
в диаграмме Фейнмана процесса поглощения нейтрино имеет два узла
(нарисуйте эту диаграмму). Второе предположение объясняется тем
фактом, что почти вся энергия нейтрино перейдет в кинетическую
энергию конечного состояния в реакции
Известно, что вероятность процесса (см. задачу 369) пропорциональна
статистическому фактору, который в свою очередь пропорционален р2.
Исходя из соображений размерности, используя константу слабого
взаимодействия ^, импульс нейтрино р и мировые константы, оценить
сечение взаимодействия нейтрино с веществом при энергиях ЮМэВ,
100 МэВ и 1ГэВ.
504.	Какова вероятность, что нейтрино ие с энергией 100 МэВ будет
поглощено в веществе Земли при движении сквозь Землю через ее
центр? При оценках вероятности примите, что сечение поглощения
нейтрино а ~ 10~39 см2 (см. задачу 503). Радиус Земли R = 6,4 • 103 км,
масса 6 • 1027 г. Можно принять, что в Земле 50% нейтронов и 50%
протонов.
505.	Какова вероятность, что нейтрино с энергией 1 МэВ, образо-
образованное в центре Солнца, будет поглощено, прежде чем выйдет на по-
поверхность? Для оценки сечения поглощения нейтрино воспользуйтесь
результатом решения задачи 503. Радиус Солнца 0,7 • 1011 см, масса
2 • 1033 г. Солнце в основном состоит из водорода, гелия примерно
в 4 раза меньше, а остальных элементов не более 0,1 %.
506.	Мюон /i~, попадая в смесь атомов водорода (р), дейтерия (d)
и трития (t), образует мезоатомы (/ip), (/id) и (/it) и мезомолеку-
лы (/ipp), (/ipd), (/idt) и т.д. Радиус мезоатомов и мезомолекул при-
примерно в гам/те ~ 200 раз меньше радиуса обычных молекул (тм —
масса мюона, те — масса электрона). Оценки показывают, что рас-
расстояние между ядрами мезомолекулы равняется ~ 5 • 10~п см. При
таких расстояниях очень быстро происходит реакция синтеза ядер
дейтерия и трития, описанная в задачах 430 и 431. Поскольку ядер-
ядерный синтез происходит при нормальной температуре, его называют
«холодным синтезом» или /i-катализом. Ядерный синтез мезомолекулы
(/idd) происходит за 10~п с, а мезомолекулы (/idt) — за 10~12с, т.е.
практически мгновенно по сравнению со временем жизни /i~-мезона.
КПД образования медленного /i~-мезона в ускорителях заряженных

§8. Элементарные частицы	73
частиц равняется 2,5%. Сколько (/idt)-молекул должен образовать
один мюон, чтобы выделившаяся энергия синтеза превышала энергию,
затраченную на образование медленных /i~-мезонов?
507. Эффективность /i-катализа ядерной реакции синтеза в ос-
основном определяется скоростью образования мезомолекулы (/idt). Эта
скорость известна только из теоретических расчетов, так как экспе-
эксперименты до сих пор не проведены. По-видимому, проведению экспе-
экспериментов мешает высокая радиоактивность трития, требующая особых
мер обеспечения безопасности работы. До 1977 г. считалось, что время
образования мезомолекулы (/idt) в жидкой смеси дейтерия и трития
равняется г = 10~4с. Однако недавно теоретическими расчетами было
обнаружено слабо связанное состояние мезомолекулы (/idt) с энергией
диссоциации 0,7±0,1эВ вместо обычных энергий порядка несколь-
нескольких сотен электронвольт. Преимущество слабо связанного состояния
состоит в том, что выделившаяся энергия 0,7 эВ легко может быть
резонансным образом передана молекуле, ядрами которой являются по-
положительно заряженная (^~-Ь+с1+)-молекула и ядро d+, в соответствии
с реакцией
где символом (d+d+e~e~) мы изобразили молекулу D2, а звездочка
означает, что получившийся комплекс возбужден, но не разрушен,
так как 0,7эВ меньше энергии диссоциации молекулы D2. В резуль-
результате резонанса время реакции образования молекулы г уменьшится
до ~ 10~8с. Достаточна ли такая скорость реакции для получения
положительного энергетического выхода холодного ядерного синтеза?
Если скорость недостаточна, то что можно предложить, чтобы сделать
холодный синтез энергетически выгодным?
508. Понятие о гиперзаряде появилось в результате математиче-
математического усреднения электрических зарядов изотопических мультиплетов
(см. задачу 485). Затем оказалось, что гиперзаряд связан со странно-
странностью. Возникает вопрос о существовании какой-то симметрии между
гиперзарядом и электрическим зарядом. Для того чтобы найти ответ
на этот вопрос, была сделана попытка сгруппировать частицы в так
называемые унитарные мультиплеты, в которых соотношение между
зарядом и гиперзарядом было в определенном смысле обратным к ранее
известному соотношению в изотопических мультиплетах. В унитарном
мультиплете все частицы имеют одинаковый заряд (а в изотопиче-
изотопическом — одинаковый гиперзаряд). Электрический заряд всех частиц
унитарного мультиплета равен удвоенному среднему гиперзаряду ча-
частиц (а в изотопическом мультиплете гиперзаряд равен удвоенному
среднему электрическому заряду). Попытайтесь разбить октет частиц
р, п, Л°, Е~, Е°, Е+, S~, S° на изотопические и унитарные мульти-
мультиплеты. Нарисуйте унитарные мультиплеты на плоскости, где по оси
абсцисс отложен заряд, а по оси ординат гиперзаряд.

74
Задачи
509.	Подсчитайте, на сколько процентов отличаются массы частиц
в унитарных мультиплетах, и сделайте предположение о порядке вели-
величины сил, связанных с гиперзарядом. Используйте табл. VIII.
510.	По схеме Саката все частицы можно композиционно составить
из трех частиц п, р, Л и их античастиц п, р, Л. При комбинировании
частиц следует добиваться, чтобы все квантовые числа комбинации ча-
частиц и моделируемой частицы совпали. Считается, что за счет дефекта
масс всегда можно получить правильное значение массы моделируемой
частицы. Попытайтесь составить композицию барионов Е~, Е°, Е+,
2°, Н", п~ и мезонов тг+, тг°, тг", К", К+, К0, К0.
511.	Недостаток схемы Саката состоит в том, что заряд и ги-
гиперзаряд входят несимметрично, так как протон и нейтрон — изо-
изотопический дублет, Л — изотопический синглет. В то же время эти
частицы являются частями унитарного синглета, дублета и триплета
(см. задачу 508).
Какими свойствами должны обладать три частицы, симметричные
по отношению к заряду и гиперзаряду? Введите предположение, что
частицы 1 и 2 образуют изотопический дублет с зарядами Z\ и Z^
(Z\ — Z2 = 1) и гиперзарядом ^, частицы 2 и 3 — унитарный дублет
с одинаковыми зарядами Z2, а гиперзаряд частицы 3 равен ^3. Допу-
Допустите также, что частица 1 — унитарный, а частица 3 — изотопический
синглет. Кроме того, частицы 1 и 2 должны быть обыкновенными,
а 3 — странной.
512.	Предполагая, что все частицы составлены из кварков и анти-
антикварков (u, d, s, и, d, s), электрический заряд Z, барионный заряд А,
гиперзаряд ^ и странность S которых определяются таблицей:
и
d
s
Z
2/3
-1/3
-1/3
А
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
-2/3
S
0
0
-1
а все кварки имеют спин 1/2, определить, из каких кварков состоит
октет барионов р, п, Л, Е±, Е°, S0, Е~.
513.	Построить из кварков декаплет барионов (А; Е*; S*; Q~).
514.	Построить из кварков и антикварков тг-и К-мезоны.
515.	Свободные кварки не были обнаружены. Однако существова-
существование кварков внутри протонов и нейтронов было подтверждено в 1979 г.
в серии экспериментов, проведенных на самом большом современном
ускорителе, дающем протоны с энергией 450ГэВ (США).
Рассматривались следующие реакции:
1)	р + тг~ —> /i~ + /i+ + всё остальное,
2)	р + тг+ —> /1~ + /i+ + всё остальное,
и регистрировались события, в которых рождаются пары мюонов. Ка-
Какие еще другие частицы рождались в этом эксперименте — неважно.
Поскольку мюон — слабо взаимодействующая частица, она не может

§8. Элементарные частицы	75
быть рождена кварком. Однако пара мюонов может возникнуть в ре-
результате аннигиляции кварка и антикварка:
и + и —> /i~ +/i+,
Сделаем предположение, что пары мюонов образуются в результате
аннигиляции кварков, входящих в состав протона (см. задачу 512),
и антикварков, входящих в состав пионов (см. задачу 514). Если это
предположение правильное, то какое должно быть соотношение между
сечениями реакций 1 и 2?
516. В ноябре 1974 г. была открыта новая частица, получившая
двойное название J/ф. Масса частицы 3095 МэВ, а время жизни
определяется шириной А& = 69 ± 7кэВ. Такое большее время жизни
(вместо обычного для частиц такой массы 10-60 МэВ) указывало на то,
что существует запрет по какому-то новому квантовому числу, которое
назвали очарованием и обозначили буквой С. В соответствии с этим
ввели четвертый, очарованный кварк с со следующими свойствами:
Спин
1/2
Электрический заряд
+2/3
Странность
0
Очарование
1
Барионный заряд
1/3
Оказалось, что i/ф состоит из кварка с и антикварка с. По аналогии
с позитронием 3/ф назвали чармонием (charm — очарование). Очаро-
Очарование чармония равно нулю. Указать, какие могут быть очарованные
барионы со спином 3/2 и очарованием 1, 2 и 3 и мезоны со спином
1/2 и очарованием —1 и +1. Укажите их заряды и сгруппируйте по
изотопическим мультиплетам, считая, что масса с-кварка значительно
больше массы остальных кварков, масса s-кварка больше массы d- и и-
кварков. Массы d- и u-кварков почти одинаковы.
517.	Рассмотрите изотопические дублеты очарованных частиц,
определите их странность, гиперзаряд и установите связь между стран-
странностью, гиперзарядом и очарованием.
518.	В экспериментах, проведенных в 1977 и 1978 гг., была обна-
обнаружена новая ипсилон-частица (Т) с массой 9,4 ГэВ. Удалось измерить
электромагнитную ширину распада ипсилон-частицы — она оказалась
равной 1,3±0,4кэВ, что в четыре раза меньше, чем у ^^-частицы.
Это дало основание предположить, что ипсилон-частица состоит из
нового, пятого кварка и соответствующего антикварка, для которых
принято обозначения b и b и название «красота» (beauty) или «дно»
(bottom). Поскольку элементарные частицы появляются парами, напри-
например: (e~z/e)> (/^"^/J, (ud), (sc), то ожидают, что существует шестой
кварк, для которого заготовлен символ t и название «правда» (truth)
или «вершина» (top). При таком обилии кварков ни один из них не
был зарегистрирован в свободном состоянии. Существует точка зрения,
что свободные кварки ненаблюдаемы, т. е. кварки внутри нуклонов

76	Задачи
находятся «в плену». Попытайтесь объяснить причину пленения квар-
кварка. Как должны зависеть силы от расстояния между кварками, чтобы
осуществить пленение кварка? Можно ли по классическим законам
физики объяснить пленение кварка?
519. Соударение электрона очень большой энергии с протоном
(масса покоя М) обычно характеризуют двумя инвариантными ве-
величинами: энергией z/, переданной протону в той системе отсчета,
в которой протон первоначально покоился, и величиной q2c4 = с2р2 —
— и2, где р2 — квадрат импульса, переданного протону. Показать, что
в пренебрежении массой электрона
1 - cos#), v = \%' - ?|,
где <f' и & — энергии электрона до и после соударения, а в — угол
рассеяния.
520.	Рассмотреть неупругое соударение электрона большой энергии
с протоном и показать, что
М*2 -М2 = 2Mv/c2 -q2,
где М* — общая масса продуктов реакции, М — масса протона.
Остальные обозначения те же, что в задаче 519. Вычислить массу
покоя всех частиц после соударения электрона с энергией 15ГэВ
с покоящимся протоном, если электрон рассеялся на угол 10°, а его
энергия после соударения равняется ЮГэВ.
521.	Показать, что при упругом соударении электрона большой
энергии с протоном величины, определенные в задаче 519, связаны
соотношением
где М — масса покоя протона.
522.	Воспользовавшись результатами решения задачи 516, рассмот-
рассмотреть взаимодействие релятивистского электрона с протоном в системе
центра масс, если импульс каждой частицы в этой системе равен р,
а величины v и q известны. Определить энергию AS*, передаваемую
протону в системе центра масс. В расчете пренебречь массой электрона
и считать, что р > Мс, где М — масса протона.
523.	Оценить по порядку величины время взаимодействия электро-
электрона с нуклоном в условиях задачи 522.
524.	Рассчитать эффективную массу кварка, входящего в состав
протона, при его взаимодействии с электроном, налетающим на протон,
если импульс электрона в системе центра масс равен р. В основу рас-
расчета положить следующую простую модель. Предположим, что кварк
имеет массу покоя /i, поперечный импульс р± и что он воспринимает
при вылете продольный импульс протона хр, где 0 < х < 1. По опреде-
определению М2ф = р • А(%/с2, где AS* — энергия, затраченная на образование

§8. Элементарные частицы	11
свободного кварка. Считать, что
р2х2 >/i2c2+pi и р2(\ -xf >M2c2+pi,
М — масса протона. Продольным импульсом называют составляющую
импульса кварка в направлении движения центра масс протона. По-
Поперечный импульс кварка перпендикулярен к направлению движения
центра масс протона.
525.	При изучении взаимодействия электрона очень большой энер-
энергии с протоном предполагают, что электрон взаимодействует с некото-
некоторой частью протона (которую назвали партоном от английского слова
«part», означающего часть).
Партон, хотя и сильно связан с протоном, ведет себя, как свободная
частица. Вполне возможно, что партонами являются кварки — состав-
составные части протона. Воспользовавшись результатами решения задач 522
и 523, определить, при каких условиях кварк можно считать свободным
при взаимодействии с электроном высокой энергии, если известна его
эффективная масса Мэф.
526.	Структура протона и нейтрона описывается кварковой моде-
моделью, согласно которой
р — (u ud), n — (и dd).
Вероятность, что спины одинаковых кварков внутри нуклона парал-
параллельны, в два раза больше, чем вероятность, что они антипараллельны.
Предполагая, что магнитный момент кварка пропорционален его за-
заряду, найти отношение магнитного момента протона /ip к магнитному
моменту нейтрона /in и сравнить найденное значение с эксперимен-
экспериментальными данными. Считать, что орбитальный момент кварков равен
нулю.
527.	Уже почти 20 лет некоторые физики пытаются рассчитать
свойства гипотетической частицы (тахиона), движущейся со скоро-
скоростью, большей скорости света в пустоте (г; > с). Эта частица имеет
необычное соотношение между энергией и скоростью:
и	Мс2
6 = -
/с2 - Г
и, следовательно, может двигаться со скоростью, только большей ско-
скорости с. Импульс частицы определяется обычным соотношением: р =
= -^ v. При этом возникают две трудности: 1) знак энергии Ш не
с1
инвариантен относительно преобразования Лоренца; 2) последователь-
последовательность событий, совершающихся над тахионом, также не инвариантна
относительно такого преобразования. Выяснить, при какой скорости
системы отсчета и изменяются знаки энергии и интервала времени
между двумя событиями, совершающимися над тахионом.
528. Как показано в предыдущей задаче, энергия тахиона становит-
становится отрицательной в системе координат К, движущейся со скоростью

78	Задачи
и > с2/v < с, где v > с — скорость тахиона. В этой системе координат
изменен порядок событий. Например, сначала тахион поглощается,
а затем рождается. Оба эти факта неприемлемы и, казалось, закрывают
принципиальную возможность существования тахиона.
Чтобы спасти идею тахиона, обратим внимание, что два явления
(изменения знака энергии и последовательности событий) происходят
одновременно. Если частица с отрицательной энергией поглощается яд-
ядром, то энергия ядра уменьшается. Уменьшение энергии ядра происхо-
происходит при испускании, а не поглощении частицы с обычной (положитель-
(положительной) энергией. Следовательно, поглощение частицы с отрицательной
энергией эквивалентно испусканию частицы с положительной энерги-
энергией. Испускание частицы с отрицательной энергией эквивалентно по-
поглощению частицы с положительной энергией. Введем такое правило:
как только в вычислениях появится отрицательная энергия, заменим
ее на положительную, а явления испускания будем считать за явления
поглощения, явления же поглощения — за явления испускания такой
частицы. Таким образом, оказалось, что последовательность событий
(рождение — поглощение) во всех системах координат останется той
же. Изложенный выше метод получил название метода переключения.
Как, по вашему мнению, достаточен ли такой метод для сохранения
последовательности событий? Можно ли придумать такой механизм,
который однозначно мог бы позволить различать, в какой точке про-
произошло рождение тахиона, а в какой — поглощение? Как доказать, что
именно в точке А тахион родился, г в В поглотился, а не наоборот?
529. Современные законы физики не противоречат предположению
о существовании положительных и отрицательных магнитных зарядов
±g\ Пусть имеются заряженные частицы: с электрическим и магнит-
магнитным зарядами е и g. Рассмотреть движение одной такой частицы
(еь g\) в поле другой (е2, gs):
где Е = в2г/г3, а Н = g2r/V3> и найти сохраняющийся вектор, анало-
аналогичный моменту количества движения.
530.	Рассмотреть движение монополя g в поле электрического
заряда е и установить связь между е и g из условия, что проекция
момента количества движения на линию, соединяющую заряды, может
принимать только целочисленные значения Тг/2.
531.	То, что мы видим в зеркале, не всегда похоже на то, что
перед зеркалом. Чтобы убедиться в этом, попытайтесь прочесть в зер-
зеркале текст книги. Без тренировки это вам не удастся сделать. Таким
образом, при зеркальном изображении явления изменяются, но не
изменяются законы природы. Поэтому то, что мы видим в зеркале,
не противоречит законам природы и, следовательно, может быть осу-
осуществлено в природе. Этот принцип носит название принципа зеркаль-
зеркальной симметрии.

§8. Элементарные частицы	79
Определить, как изменяются при зеркальном изображении век-
векторы импульса р, момента количества движения М, напряженности
электрического и магнитного поля Е и В, скалярный и векторный
потенциалы. Во всех случаях векторы перпендикулярны к поверхности
зеркала. Векторы, которые изменяются при зеркальном изображении,
называются полярными, а которые не изменяются — аксиальными.
Какие из перечисленных выше векторов аксиальные, а какие полярные?
532.	Доказать, что преобразование инверсии х —> —х, у —> —у, z —>
—> — z эквивалентно:
1)	последовательному зеркальному изображению в трех зеркалах,
перпендикулярных к осям координат; начало координат всегда лежит
в плоскости зеркала;
2)	изображению в зеркале, перпендикулярном какой-либо оси коор-
координат, и повороту вокруг той же оси на 180°.
533.	Спиральностью частицы называется косинус угла между век-
векторами спина и импульса частицы. Для частиц со спином 1/2 спи-
ральность может принимать только два значения: ±1, так как спин по
любому направлению может иметь только две ориентации. Показать,
что спиральность — релятивистски инвариантная величина только для
частиц массы, равной нулю.
534.	Известно, что спиральность нейтрино всегда отрицательна.
Доказать, что этот факт противоречит принципу зеркальной симметрии
(см. задачу 531).
535.	Наблюдать спиральность нейтрино очень сложно. Как можно
определить спиральность мюонного нейтрино по наблюдению распада
пиона
7Г+ -> /i+ + Z/M?
536.	Комбинированное зеркальное изображение состоит в после-
последовательности двух операций: зеркального изображения (в зеркале,
перпендикулярном вектору) и замены всех частиц на античастицы.
Зеркало, обладающее таким свойством, мы назовем комбинированным
зеркалом. Как при такой двойной операции будут изменяться векторы
электрического Е и магнитного В поля? Какой из этих векторов будет
полярным, а какой — аксиальным? (См. задачу 531.)
537.	Принцип комбинированной зеркальной симметрии гласит, что
законы природы не изменяются при комбинированном зеркальном
изображении. Это значит, что хотя изображение в комбинированном
зеркале не похоже на предмет, но в природе можно осуществить то,
что мы видим в комбинированном зеркале. Определить, противоречит
ли принципу комбинированной зеркальной симметрии тот факт, что
нейтрино всегда имеет спиральность отрицательную, а антинейтрино
положительную.
538.	Из факта зеркальной симметрии, которой обладают электро-
электромагнитные и сильные взаимодействия, должен следовать закон сохра-
сохранения. Однако в классической физике закон сохранения, связанный

80	Задачи
с зеркальной симметрией, не возникает. Этот закон сохранения имеет
квантовую природу. Функция называется четной (или обладающей
положительной четностью), если при преобразовании инверсии (трех
зеркальных изображений; см. задачу 532) она не изменяется, и нечет-
нечетной (или обладающей отрицательной четностью), если при преобразо-
преобразовании инверсии она меняет знак. Из свойств зеркальной симметрии
следует закон сохранения во времени — свойство волновой функции
быть четной или нечетной. Если имеются две частицы, то волновая
функция системы является произведением волновых функций частиц
на волновую функцию их относительного движения:
ф = ^l(ri)^2(r2)/(r),	Г = Г2 - ГЬ
где ф\ — волновая функция частицы 1, ф% — волновая функция
частицы 2, а / — волновая функция их относительного движения. Как
найти четность функции ф, если известны четность функций ф\, ф%
и/?
539.	Поскольку слабые взаимодействия не обладают зеркальной
симметрией, закон сохранения четности при слабых взаимодействиях
не соблюдается. Какой закон сохранения для слабых взаимодействий
следует из существования комбинированной зеркальной симметрии для
слабого взаимодействия?
540.	Пионы тг^ и 7г° обладают отрицательной четностью, тг° —
истинно нейтральная частица. Какой четностью обладают системы
1)ТГ°+7Г0, 2)ТГ++7Г-, 3) 7Г++7Г-+7Г0, 4) 7Г° + 7Г° + 7Г°?
Какой комбинированной четностью обладают эти системы?
Указание. Так как пионы имеют спин, равный нулю, то они под-
подчиняются статистике Бозе. Это, в частности, требует, чтобы волновая
функция многих пионов не изменялась при перестановке координат
частиц и изменении знака электрического заряда.	_
541.	Может ли частица К0 переходить в античастицу К0?
542.	Четность мезонов К0 и К0 отрицательная. Какова комбиниро-
комбинированная четность этих частиц?	_
543.	В задаче 542 показано, что мезоны К0 и К0 не обладают
определенной комбинированной четностью. Можно ли из волновых
функций частиц К0 и К0 составить две волновые функции, одна из
которых, Ki, обладала бы положительной комбинированной четностью,
а другая, К2, обладала бы отрицательной комбинированной четностью?
Часто символы частиц, например К0 и К0, используют для обозначения
их волновых функций. Воспользуйтесь такой системой обозначений.
544.	При распаде К°-мезонов наблюдается необычное для других
частиц явление. Половина К0 -мезонов распадается за короткое время
rs на два пиона (тг+ + тг~ или тг° + тг°), а вторая половина мезонов рас-
распадается за время, в 651 раз большее tl и равное 5,77 • 10~8с. Распад
в этом случае происходит на три пиона (тг+ + тг~ + тг° или тг° + тг° +
+ 7г°). Сначала предполагали, что существует два сорта К°-мезонов, но

§8. Элементарные частицы	81
это предположение противоречит законам их образования. Затем учли,
что К°-мезон не обладает определенной комбинированной четностью,
в то время как вылетающие при распаде пионы обладают определен-
определенной комбинированной четностью (см. задачу 540). Было известно, что
при распадах комбинированная четность сохраняется. Напрашивается
предположение, что К°-мезон не может вообще распасться ни на два,
ни на три пиона. Воспользуйтесь результатами решения задач 542
и 543 и попытайтесь объяснить, как при распаде К°-мезонов сохраня-
сохраняется комбинированная четность и почему распад К°-мезона происходит
в два этапа.
545.	При более детальном исследовании распада К°-мезонов оказа-
оказалось, что примерно в двух случаях из 1000 К°-мезон распадается на
два мезона не за короткое время ts, как обычно, а за время тх, за кото-
которое обычно К0 распадается на три пиона (см. задачу 544). Возможно ли
объяснить это явление в рамках закона сохранения комбинированной
четности? Если такое объяснение невозможно, какие выводы отсюда
следуют?
546.	Попытайтесь объяснить явление регенерации Ki-состояния
К°-мезонов. Когда мезон К0 находится в состоянии Ki, он распадается
на два пиона за время ts (cm. задачу 544). Если рассматривать пионы
за время tl ^ t ^> ts, to распада К°-мезона не происходит. Однако
когда на пути К°-мезона поставлено вещество, то после прохождения
через него происходит распад К°-мезонов на два пиона, т. е. создается
впечатление, что состояние Ki-мезонов регенерируется. Произведите
баланс мезонов. Сколько их распалось на два и на три пиона, сколько
поглощено в веществе?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 1. Кванты света
l.m = hi//с2 = h/c\ « 0,44 • 1(Г32 г.
2.	Л = h/mc = 2,426 • 10~3нм (комптоновское смещение для 90°).
3.	Импульс фотона р = hi//с = /г/Л ~ 1,3 • 10~22 г • см/с. Импульс молекулы
водорода
Р « V3kTM « 5,4 • 1(Г19 г • см/с.
4.	Л /,
5.	Энергия фотона видимого света hi/ = /гс/Л ~ 4 • 10~12 эрг, энергия моле-
молекулы водорода ~ %^ ~ б • 10~14 эрг.
6.	Число фотонов « 1,2 • 1021.
7.	$ = p2/m (m = hi//с2).
8.	Для простоты возьмем систему отсчета, в которой электрон первоначаль-
первоначально покоился. Пусть электрон излучил фотон с импульсом рф и энергией &ф.
Пусть после излучения импульс электрона будет рэ, а энергия &э. Из законов
сохранения импульса и энергии следует
Рэ + Рф = 0, %э + С9ф = Ш0С2.
С учетом соотношения (Шэ/сJ — р2э = (шосJ для электрона и соотношения
^ф = p^c для фотона получится &$moc = 0, где то — масса покоя электрона.
Таким образом, &ф = 0, т. е. излучение невозможно. Таким же рассуждением
убеждаемся, что невозможно и поглощение.
9.	Около 450 с.
10.	Около 2 ч.
11.	?w = сА/Ат (^-Р) = 527км/с.
12.	N = 1/е= 1,9- Ю9^1.
13.	Л = /гс/Р = 290нм.
14. Л = 	5-^7	 = 668 нм-
шу2шкс/2 + Р
15.	iw = л/НУ + К)/ше = 784 км/с.
16.	h = -—-Д	-^- = 6,76 • 10~27эрг-с. Небольшое расхождение с таб-
личными значениями объясняется ошибками измерении.
17.	У ^Ар
7
18.	Л>/гс/рв=331нм.
19.	Ук = —	V = —0,78эВ. Отрицательный знак означает, что
при контакте цинка с материалом второго электрода фотоэлемента потенциал
цинка окажется ниже.
20.	АЛ = — sin2 в- = — = 2,4263 • 10 нм.
тес	2 тес

§ 1. Кванты света	83
21. &е = -^— ?ф = i ?ф = 0,4 МэВ.
1 ~\~ OL	О
22 Я -
2
Л Л + zAK sin \p 11)
Здесь Лк = 2,4263 • 10~3нм — комптоновская длина волны электрона. При в =
= 90°
^ ^V = 0,108^ = 0,67 • 104 эВ, сре = 8,3 • 104 эВ,
А
с А А + Ак ' А
т.е. фотон передал электрону около 10% своей энергии, а импульс электрона
отдачи по абсолютной величине оказался больше импульса первичного фотона.
23. Как видно из рис. 16, из закона сохра-
сохранения импульса следует
hv hv1 Л	.	hv1 . Л
Ре COS Ю =	COS 0, ре Sin Ю = 	 Sin в.
ее	с
Почленным делением находим
sin<9
ь^ i//i/'-cos0'
Отсюда с учетом соотношения	1 = —- sin в легко получить
7 / '	ГП Г>?
и'	тс2
=
\+his/mec2'
При 0 = 90° tg(p = 0,8916, (р = 41°43;.
24.	(АЛ)е/(АЛ)р = Шр/ше = 1836 раз.
25.	(АЛ)макс = 2AKme/mp = 2,643 • 10~6нм, где Ак — комптоновская длина
волны электрона.
9h	й
26.	А; — А =	sin2 - В результате рассеяния длина волны фотона
тес 2
уменьшается. Ответ станет очевидным, если рассмотреть рассеяние фотона на
неподвижном электроне, а затем изменить на противоположные направления
движения всех частиц.
27.	&1 = 2шос2 = 1,877 ГэВ, где то — масса покоя протона.
28.	(р = тг/2.
ее	h
29.	v = .	=¦ ~ —^, где Ак = — = 0,0024нм — комптоновская
Vl+A/AK л/2	тс
длина волны для электрона.
30.	hv' =	^—^ *	 hv, где р — импульс электрона. В ультра-
(тос2J + 2hu{G +pc)
релятивистском случае
hv =
Таким образом, ультрарелятивистский электрон передает практически всю
свою энергию фотону.
31.	hv' = -———:	-. Если hv > moc2, то hv' « moc2/2.
1 + 2hiy/moc2
32.	1. Рассеяние происходит на свободных электронах, т.е. таких, энергия
связи которых много меньше энергии, передаваемой им при столкновениях

Ответы и решения
с первичными фотонами. 2. Несмещенная компонента возникает из-за рассея-
рассеяния на сильно связанных электронах, а также на атомных ядрах. 3. Уширение
обеих компонент рассеянного излучения получается потому, что рассеяние
происходит на движущихся частицах (электронах и атомных ядрах). 4. С уве-
увеличением угла рассеяния увеличивается энергия, передаваемая первичным
фотоном электрону. В результате этого условие, при котором электрон может
считаться свободным, становится менее жестким. Это ведет к увеличению
числа свободных электронов, следовательно, и интенсивности рассеяния. Ана-
Аналогично влияет и увеличение атомного номера элемента.
33. Пусть pi = (р, шос) — 4-импульс электрона, а кг = (ри, hi;/с) — 4-
импульс фотона до соударения. Те же величины после соударения обозначим
теми же буквами, но штрихованными. Так как столкновение упругое, то
в любой системе отсчета должно быть
Pi + h = Pi
ИЛИ Pi ~ к[ = Щ - кг.
Возведем это равенство 4-векторов в квадрат и учтем, что квадрат 4-вектора
является инвариантом (р2 = р2 — т2с2 = —ttiqC2, для фотона то = 0, так что
к2 = к'2 = 0). Тогда получим
рг-к'г- = p'iki — инвариант.
В системе, где электрон покоился до соударения, pi = @, тос), так что pik'i =
= —hmov1. Аналогично, в системе, где электрон покоится после соударения,
Pi = @, шос), а потому р'г-кг = —hmov'. Таким образом, из равенства pik[ =
= p[ki получаем i/ = и, что и требовалось доказать.
34.	Решается аналогично предыдущей задаче.
35.	Пусть М — масса источника, a v — его скорость. Энергия источ-
источника слагается из кинетической энергии l/2Mv2 и внутренней энергии &
возбужденных атомов. При испускании одного фотона внутренняя энергия &
изменяется на вполне определенную величину (энергия квантуется!): Ш1 — & =
= —/и/о, где щ — частота фотона, испускаемого неподвижным источником.
При испускании фотона тело испытывает отдачу, и его скорость меняется. По
закону сохранения энергии
где v — частота фотона, излучаемого движущимся источником. Написав закон
сохранения импульса и спроецировав его на направление скорости v и на
перпендикулярное направление, получим
Mv = Mv' cos a -\	cos 0. 0 = Mv' sin a	sin 6,
с	с
где в и а — углы между направлением скорости v и направлениями импульсов
испущенного фотона и источника после испускания. Исключая v' и а, найдем
2hM(v - щ) - 2Mv— cosO + ^ = 0.
с	с1
Если масса источника М достаточно велика, то можно пренебречь последним
членом, и мы получим
V = 	^	.
1 - - cos в
с

§ 1. Кванты света	85
36. В релятивистском случае не имеет смысла выделять особо внутрен-
внутреннюю энергию источника, так как ее изменения автоматически учитываются
изменением массы покоя источника. Пусть массы покоя источника до и после
излучения равны М и М'. Тогда законы сохранения импульса и энергии можно
записать в форме
M'v'	hv
cos a -\	cos #,
с
Mv . hv . n	Me2	M'c2
0 = .	sin a	sm^,
V^-P/2	c
К ним следует добавить соотношение
(М -М')с2 = Кщ.
Исключая из этих уравнений a, v', М', найдем
= Мсщ —
или, после пренебрежения последним членом,
wl-/?cos#'
37. При (9 = 0 i/@) = щл/l -f32/(l - C). При 0 = (тг/2) i/(tt/2) =
= 1/ол/1 — (З2 • Если /3 —>> 1, то i/@) > 1/(тг/2). Отсюда ясно, что в узкой окрест-
окрестности угла ^ = 0 частоты излучаемого света особенно велики. Найдем угол О,
для которого и(в) = ai/@), где a < 1. Для этого угла нетрудно получить
откуда в = 2	A — j3). Так как yl — /З2 = —^-, где 8" — полная энергия
а	е
1	(тс2\ I \ - а тс2	,
частицы, то 1 — р ~ - ^— . Это дает 9 = W	7—. При a = 1/2
2	у б у	у а ®
получаем ^ = тс /<$.
38. Ag = ftw = f-?V) , .^ , . .. Если So < тс2(тс2/4Йа.о), то
\mc2 J \ -\- AGohujo/m2c4
fiuj « Bcp/mc2J/iic;o <^ ^o- В противоположном предельном случае huj
В приведенном примере /го; = 108 эВ.
39. По формуле для эффекта Доплера
UJ^\ ~V2/C2
UJQ =
\+v/c
(фотон и электрон считаются движущимися навстречу друг другу, причем
скорость электрона равна v). В ультрарелятивистском случае отсюда следует,
что оио = оитс2/2^о, и условие fiou <C тс2 принимает вид

Ответы и решения
40. В рассматриваемом случае сечение рассеяния фотонов на электронах
является томсоновским:
После каждого соударения фотон отдачи в среднем имеет энергию I—-
Поэтому
-\-гг) = <П—о )По°оЩс « 2 • 10 гуф(з
\ dt /к V тс2 /	V тс2
где щ — концентрация фотонов с энергией %ujq и уоф = щЪооо — плотность
энергии излучения. Если уоф измеряется в эВ/см3, то в приведенной формуле
потеря энергии, равная —(d&/dt)K, измеряется в эВ/с.
41. 8 = ^
1
ГПС
(См. решение задачи 38.) Через 106 лет энергия электрона уменьшится на 3%,
а через 108 лет она будет равна <$о/А = 2,5 • 109эВ. Знать температуру излуче-
излучения нужно лишь для того, чтобы удостовериться в справедливости неравенства
сро <^ mc2(mc2/hujo) для подавляющего числа фотонов (см. задачу 39).
42. При приближении к Солнцу энергия электрона меняется по закону
1	1
<§(г) $0	гп2с3 • сг
(соударения в этом случае являются всегда лобовыми). Отсюда
43. v =	—тг—т	, или, пренебрегая последним членом
в знаменателе,
v =
vn(y)
с
44. Рассуждая так же, как и при решении задачи 36, напишем:
Mv	M'v'	hu
=	г- cos a+ n— cose/,
M'v' .	hu . л	Me2	M'c2
0 =	r- sin а — n— sint/,	=	r- + hv.
Отсюда
1 - /3n(u) c
Возможны два случая.
1. Знаменатель в A) положителен. Тогда излучение кванта hv возможно
лишь при условии М — М' = Нщ/(? > 0, т. е. атом в результате излучения

§ 1. Кванты света	87
переходит с более высокого на более низкий энергетический уровень. В этом
случае
1 - Pn{v) cose + ^j л/1 - /З2 [пЦи) - 1]
или, пренебрегая квантовыми поправками,
B)
1 -/3n(i/)cos0'	V }
2. Знаменатель в A) отрицателен. Излучение кванта hv возможно лишь
при условии М' — М = Нщ/(? > О, т. е. в результате излучения атом перехо-
переходит на более высокий энергетический уровень. Энергия излучаемого кванта
заимствуется из кинетической энергии излучающего атома. В этом случае
Ь
Ь
/3n(v) cos0 - 1 - ^j V1 - Р2 [n2
или, пренебрегая квантовыми поправками,
=
V ~ Cn(v)cos6- Г	U
Ограничимся, ради краткости, более простыми выражениями C) и E).
Если 1 — /Зп(г/) > 0, т. е. v < с/п(и) (скорость источника меньше фазовой
скорости света в среде), то может осуществиться лишь первый случай, и,
следовательно, при излучении фотона атом переходит на более низкий энерге-
энергетический уровень. В частности, невозбужденный атом в этом случае излучать
не может.
Если же 1 — /Зп(г/) < 0, т. е. v > с/п(и) (скорость источника больше
фазовой скорости света в среде, и можно говорить о сверхскоростном эф-
эффекте Доплера), то возможны оба случая. Атом переходит на более низкий
энергетический уровень, если угол в, под которым излучается фотон, удовле-
удовлетворяет условию cos# < \/f3n(u), — иными словами, излучение направлено
вне черенковского конуса: cos# = \/f3n(u). Атом переходит на более высокий
энергетический уровень, если направление излучения лежит внутри этого
конуса. В частности, в этом направлении может излучать невозбужденный
атом. Наконец, под углом cos# = \/f3n(u) возможно излучение без квантовых
переходов атома с одного энергетического уровня на другой.
45. В случае а) существует узкая окрестность угла во, определяемого урав-
уравнением cos#o = l/f3n(v), в которой частоты излучаемого света очень велики.
В случае б) такого угла и такой окрестности не существует.
[7 /	2~	1
1 Н	;г \ 1	T (п2(и) — 1) . Излучение возмож-
2Мс2 V с2
но, если правая часть этой формулы не превосходит единицы (это условие
практически совпадает с условием, получаемым из интерференционных сооб-
соображений, см. кн. IV, задача 261).
47. На частоте, для которой показатель преломления п(и) максимален.

Ответы и решения
48.	На частоте v = 0. (См. ответ к задаче 46.)
49.	Когда радиус канала а<А. При а >> Л интенсивность излучения резко
падает.
50.	Используя законы сохранения, находим
hv I— k
'	с ^ к	'
где Аср — уменьшение энергии, а Ар — уменьшение импульса частицы. Они
связаны соотношением А& = vAp. Используя его, получаем:
а)	при / = 0 cos# = с/у/г v (условие черенковского излучения);
б)	при / ф О и =	г~т\	 —л> гДе ^ ~ Угол между к и v.
1 — (v/c) y/eo cost/
Так как частота ш всегда положительна, то значения / < 0 соответствуют
уменьшению (а не увеличению, как при / > 0) энергии среды.
51.	Если учитывать нелинейность среды, то мы придем к выводу о воз-
возможности возникновения этого излучения; при этом должно выполняться
черенковское условие c/n(oj)v ^ 1, где роль скорости v играет групповая ско-
скорость распространения электромагнитного поля, возбуждающего черенковское
излучение с частотой ш. Картина оказывается особенно простой, если воз-
возбуждающим полем является поле некоторого волнового пакета, движущегося
с групповой скоростью v. Распространение такого пакета при наличии нели-
нелинейности среды приводит к черенковскому излучению волн с частотами, удо-
удовлетворяющими условию cos# = c/n(oj)v < 1. При отсутствии нелинейности
среды справедлив принцип суперпозиции и черенковское излучение становится
невозможным (см. задачу 52).
52.	Из законов сохранения
оио = ои + п, k0 = к + К
следует
COS О =
Здесь в — угол между векторами к0 и К, ш и к — частота и волновой вектор
рассеянного рентгеновского кванта, щ, п и N — показатели преломления
соответственно исходного и рассеянного рентгеновских квантов и оптического
фотона. Если среда анизотропна, то N = 7V(O, ~K/K) может принимать два
значения, соответствующие двум возможным типам поляризации фотона. Ве-
Вероятность такого комбинационного рассеяния, которое еще не наблюдалось,
весьма мала даже в анизотропной среде, а в оптически изотропной среде она
вообще практически равна нулю. Если пренебречь квадратом частоты О, то
1 d{ujn)	с
cos в = — ¦
N duj
где frpfoo) — ~г,—чтт~ ~ групповая скорость излучения с частотой с^о- Из
d{nuj)/duj
последнего выражения ясно, что мы можем в данном случае говорить о черен-
ковском излучении (см. также задачу 51).
53. Атом ионизуется. Дело в том, что при п = const существует конеч-
конечная вероятность излучения внутрь черенковского конуса с переходом атома
на более высокий энергетический уровень. Возможны и обратные переходы.

§ 1. Кванты света
Однако при бесконечной длине канала атом в конце концов перейдет в верхнее
энергетическое состояние, т.е. ионизуется.
54.	Аг/ = —uGM/Rc2, где G — гравитационная постоянная, М — масса
звезды и R — ее радиус.
55.	АЛ = XGM/Rc2 = 0,0012 нм.
56.	Аср = 2GM/Rc2, где R — расстояние светового луча от центра Солнца.
Согласно общей теории относительности эффект должен быть вдвое больше.
Если луч проходит вблизи края Солнца (R — радиус Солнца), то 2Аср =
= AGM/Rc2 = 1,75".
57.	& = hi/3B, p = hi/3B/v3B.
58.	Рассеяние света есть процесс поглощения или излучения фонона фо-
фотоном. На основании законов сохранения энергии и импульса можно написать
для такого процесса:
7 / 7 . ,	nhv1 n nhv hv3B
hi/ = hi/ ± hv3B, 	 cos6> = 	±	 cos a,
С	С	^зв
nhv1 . ,hv3B .
	 sin с/ = ±	 sin a,
с	v3B
где в — угол между направлениями движения падающего и рассеянного
фотонов, а — угол между направлениями движения падающего фотона и со-
соответствующего фонона. Знак плюс относится к поглощению, а знак минус —
к излучению фонона. Постоянная Планка выпадает из уравнений, что указы-
указывает на возможность классической интерпретации явления. Исключение а и и'
приводит к квадратному уравнению относительно v3B:
1 п2 \ 2 Ап21У1Узв . 2 9 Ап21У2 . 2 9 _
v?B с2 J	с2	2	с2	2
Пренебрегая вторым слагаемым по сравнению с последним, а также пренебре-
пренебрегая п2/с2 по сравнению с l/v3B, получим
2nv e
Щъ = 	^зв sm -,
что совпадает с ответом к задаче 761 из кн. IV.
59.
А
1
0
где к — постоянная Больцмана, аГ- температура в Кельвинах.
61.	z = xU
62.	N = 0,б44^ ~ 1,5-1020.
h 7T С
63.	Для функции /(и, Т) максимум получается при huo/kT = х, где х —
корень уравнения: (х — 2)ех +2 = 0, т.е. х = 1,593624. Соответствующая
длина волны Ai находится из соотношения
— = — = 0,902867 [см • К].
кх кх

90	Ответы и решения
Для функции <?>(А, Т) максимум получается при Л = Л2, причем
hc/(XkT) = f, где ? - корень уравнения (? - 4)ее + 4 = 0, т. е. f = 3,920690.
Таким образом, Х2Т = 0,368967 см • К. Следовательно, Л2 < Ль
64. Воспользуемся термодинамическсй формулой
Применяя к ней формулы Вина, Рэлея-Джинса и Планка, получим
(ДГJ = Шоо (Вин),	A)
ff? (Рэлей-Джинс),	B)
(АЩ2 = %Ъи + \ Г (Планк).	C)
Формула A) имеет такой же вид, что и формула для флуктуации числа
частиц идеального газа (см. кн. II, задача 385). Ее можно было бы получить
из корпускулярных представлений, рассматривая излучение в полости как газ
независимых частиц. Напротив, формула B) соответствует волновым пред-
представлениям о свете. Здесь флуктуации возникают из-за суперпозиции волн
различных частот. В формуле C) отражены и волновые и корпускулярные
свойства света.
65. Среднее число фотонов, попадающее от звезды в зрачок глаза в одну
секунду, равно
где А — механический эквивалент света @,00160 Вт/лм), площадь зрачка глаза
S принята равной 0,5 см , а длина волны Л = 550 нм. В рассматриваемой об-
области спектра с хорошим приближением можно пользоваться формулой Вина,
а потому
1 /
л-17
Отсюда видно, что квантовые флуктуации света к мерцанию звезд не имеют
отношения.
66. Если 1 и 2 — какие-либо два невырожденных уровня в стенках поло-
полости, в которых заключено равновесное излучение, то отношение интенсивности
индуцированного к интенсивности спонтанного излучения равно
1
S =
ehv/kT _ \ '
как в этом можно убедиться с помощью коэффициентов А%\ и В^х, введен-
введенных Эйнштейном в теорию излучения. Если ehu/kT ^2, т.е. Л ^ -———,
kTmz
то интенсивность индуцированного излучения становится равной или больше
интенсивности спонтанного. При Т = 300 К получаем Л ^ 692 мкм.
67.	Т> —^- «3,8- 104К.
лл ^ кХ\п2
68.	Генерация возникает, когда мощность света, излучаемая молекулами,
превышает потери мощности при отражении на зеркалах. Когда световая волна

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	91
проходит расстояние L, она один раз отражается от зеркала, теряя при этом
часть 1 — R своей энергии. За единицу времени теряется часть энергии, равная
Время ту можно считать временем жизни фотона в резонаторе. Таким образом,
потеря мощности излучения на зеркалах резонатора равна
V (Е2) _ (E2)c(\-R)V
±г —	-.	 — 	-.—z	,
тг 4тг	4тгЬ
где V — объем резонатора, а (Е )/8тг — средняя плотность электрической
энергии в световой волне.
Скорость убывания числа молекул на верхнем энергетическом уровне 2
определяется уравнением
^1 = -AnN2 - B2lN2Pv + Bl2NlPv,
Ot
где N\ и N2 — концентрации молекул на уровнях 1 и 2, pv — спектральная
плотность энергии излучения на частоте перехода v между этими уровнями,
В\2 = #21 и ^.21 = 1/ts — коэффициенты Эйнштейна, связанные между собой
соотношениями
с
#21 = #12 =
Спонтанным излучением, поскольку оно происходит по всем направлениям,
можно пренебречь. В этом приближении для мощности индуцированного из-
излучения в резонаторе находим
Pi = -Vhv^- = V(N2 - JVi)
dt
В этом приближении с учетом равенства
PvAv=-L{E?)
условие генерации Pi ^ Рг света принимает вид
§ 2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов
69.	v = -— \ —г , где а — радиус положительно заряженной сферы, т. е.
2тг V та
радиус атома Томсона, е — заряд и т — масса электрона.
70.	Гармонически колеблющийся электрон излучает одну частоту
= 2,6- 10~8см.
71. Су = 9/2R.

92	Ответы и решения
72. Уравнения сохранения энергии и момента количества движения в по-
полярных координатах (рис. 17) имеют вид
г2в2 2Ze2 mv2 2/>
dr •
так как заряд а-частицы равен 2е. Замечая, что г = — 0, исключим 0. Затем
аи
Рис. 17
введем подстановку г = \/р. После элементарных вычислений получим
( 2Ze2 \2 AZ2e4 1
+)
1
Дифференцируя это уравнение по в и сокращая на dp/dO, найдем
d2P , 2Ze2
ад1	mpzvz
Отсюда
p = Acos6> + Bsin<9-^^,	B)
mp2v2
rj\e А и В — постоянные интегрирования. Они, однако, не независимы друг от
друга, а в силу A) связаны соотношением
^	C)
pi m2p4v4
Начальное условие: р = 1/г = 0 при 0 = тг дает А = —2Ze2/mp2v2. Поэтому
из C) получаем В2 = 1/р2. Теперь B) переходит в выражение
р = A(l + cos 0) + В sin 0, или - = 2(А cos - + Б sin - J cos -. D)
Из D) видно, что г обращается в бесконечность при cos@/2) = 0 или 0 = тг
(это мы уже использовали) и при 0 = ср, где ср определяется уравнением
ср	В mpv2	. .
Ctg==	E)

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	93
73.	da = 2тг——	л, , s dip.
тЛ4 sin4 0/2) ^
74.	An = п—р—— J7", 6 4Sm ^ч rfy? ~ 13 частиц, где р = 8,9 г/см3 —
A m2'u4sm4((^/2)
плотность меди, А = 63,57 — ее атомная масса, Z = 29 — атомный номер,
N а — число Авогадро, V — рассеивающий объем.
3) 3± = _f!_^ = 2,27 ¦ 1039.
Fg тргпе&
Здесь G — гравитационная постоянная. Результат не зависит от расстояния
между взаимодействующими частицами.
-« со /о?	пг i \2 \ 2,4 • 10~43 для электрона,
76. ^грав/^эл. ст = G(mey = < \ 1Г._37
v '	v / / [ 8,1 • 10 5/ для протона.
78.	F = e2m2/A2mfir2 « 2 • 1027дин = 2 • 1022Я, где шн — масса атома
водорода.
79.	Если смещение электрона х = acosujt, то и = — ooasmoot, v =
= — и2a cos out. Полная энергия электрона: W = х/2ти2а2. Средняя потеря
энергии в секунду:
2е2- 1 е2 4 2 2 e2u;2 TT7
6 с6	б с6	3 mr
Поэтому для скорости изменения энергии электрона можно в среднем написать
dW_ _ _2 е2и2
~dt ~ ~3 ^з" •
Обозначая через Wq начальное значение энергии, отсюда получаем
Зшс2 Wq	1/л-8
^^1910
80.	At = agc23m2/4e4 = 1,5 • 101 с.
81.	Будет излучаться одна частота и, если не учитывать изменения состо-
состояния движения электрона. Интенсивность излучения должна быть больше на
первой орбите.
j 2 2
82.	а= . 2 „ 2? ао = О,53-10-8см (n=l,Z=l);
^о = 2,183 -108 см/с.
дгг
83. Е = — • 300 В/см, где а — радиус орбиты.
Ех = 5,13 • 109 В/см, ?4 = 2 • Ю7 В/см.
84. F = 8 • 10 Здин; сила тяготения меньше примерно в 2 • 1039 раз.
86. j = R(^2~ ^2); Я« = 656,3нм; Я^ = 486,1 нм; Я7 = 434,0нм.

94	Ответы и решения
87.	Ал = 121,6 нм; ЛПаш = 1875,1 нм; ЛБр = 4,05 • 10 см = 4,05 мкм; ЛПф =
= 7,40- 10 см = 7,40 мкм.
88.	А = 4/Я^364,7нм.
89.	& = hcR = 2,153 • Ю1 эрг, К = Ш/е = 13,5 В.
90.	1,44- 106Дж/моль.
91.	14300 и 16300 К.
92.	щ : п2 : п3 = 1 : ехр ( - ^) : ехр ( -
93.	V = 10,15В.
94.	v = Rc(—	2 )' где i? — постоянная Ридберга, с — скорость света.
95.	Поглощение частоты 2Rc имеет место и сопровождается ионизацией
атома (фотоэффект на атоме).
96.	А = 121,6нм, А = 102,6нм и А = 656,3нм.
97.	Все линии линейчатого спектра водорода.
98.	Ai < А < А2, где Ai = A/Rh = 364,705 нм, А2 = 36/5ЯН = 656,468 нм.
99.	Для серии Лаймана Аоо = V4A1 = 91,1762 нм. Для серии Пашена Аоо =
= %Ai = 820,586 нм.
100.	(fi < Ш < &2, где gi = 8/9hcRH = 12,09 эВ, g2 = l5/iehcRH = 12,75 эВ.
101.	Ai = 4/3i^H = 121,5682нм, А2 = 9/8Ян = 102,57317нм, А3 =
= 36/5ЯН = 656,46828 нм.
102.	v = 326 см/с.
103.	Уне = 4Vh = 54 В; VLi = 9Vk = 122 В.
104.	А = 30,375 нм.
105.	^Ве = hcZ2RH = 217,57468 эВ.
106.	Ш = 2^и = 27,2 эВ, где &И — энергия ионизации атома водорода.
107.	Водородные серии Лаймана, Бальмера, Пашена и т.д. получаются
при условии, что излучающие атомы изолированы. Атомы можно считать
изолированными, если диаметр боровской орбиты 2а = 2п2ао не превосходит
среднее расстояние между атомами / = ^/кТ/Р. Пользуясь этим, максималь-
максимально допустимый номер орбиты п можно оценить по формуле п « д/7/Bао),
где ао = 0,529- 10~8см — радиус первой боровской орбиты. Максимально
возможное число линий, которые можно наблюдать в трубке при давлении
и температуре, указанных в условии задачи, будет равно
в серии Лаймана п — 1 ~ 12,
в серии Бальмера п — 2 « 11,
в серии Пашена п — 3 « 10.
108.	N « ш3/8 = 3400 штрихов.
109.	В спектре рекомбинации присутствуют все линии спектральных
серий, а за коротковолновыми границами серий наблюдается непрерывный
спектр.
ПО. Roo = ?е = 109737,3177 см-1.
h3c
111.	R=	°° . . где М — масса ядра.
1+Ше/М
112.	В однократно ионизованном гелии должны наблюдаться серии
^-4), гг=5, 6, 7, ...	Bа)
? п1)

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	95
Первая из них при четных п представляет серию Фаулера, вторая при нечетных
п — серию Пиккеринга. При четных п линии серии Bа) почти совпадают
с водородными линиями серии Бальмера. Таким образом, серии Фаулера и Пик-
Пиккеринга представляют не все, а только половину спектральных линий соответ-
соответствующих серий однократно ионизованного гелия. Из-за различия масс ядер
водорода и гелия постоянная Ридберга в сериях Aа) и Bа) немного больше,
чем у водорода. Поэтому линии однократно ионизованного гелия должны быть
немного смещены в коротковолновую сторону спектра относительно соответ-
соответствующих линий водорода.
Ше	Ше	Ai - А2 Ше	1 ^	Ше	1	ГПХ
113.	— «	, — =	-. Отсюда — =	, — « 2. Линия
тх тц	Х\ тц 1835	тх 3727 тн
\2 принадлежит дейтерию.
114.	R > 2— « 3700; Ь > —^— « 3,7 см.
те	an/ал
115.	Разрешающая способность должна быть не меньше	 ~ 2800. Она
2 ше
одинакова для всех линий спектральных серий смеси. Разрешающая способ-
способность призмы bdn/dX = 1000, т.е. недостаточна для разрешения.
3 mD
т < - —-
2 me
116.	Переход с уровня п = б на п = 4.
117.	Ан - АНе = 5/з6А2(Яне - Дн) = 0,267нм.
Rh
=
118.
oo
Roo —
~	о,Уо.
Шп	Roo - ЛНе
119. AHa - ADa = ¦=?- — = 0,1786hm,
5R ш
= 0,1321 нм.
120.	Vd-Vh = — (Rd- Rh) = 0,00370 B,
gD - gH = hcNA(RD - Rh) = 357 Дж/моль.
121.	Постоянные Ридберга для водорода и дейтерия:
" 1+Ше/Мн'	U l+me/MD'
где Мн и Md — массы ядер водорода и дейтерия. Отсюда получаем
me Rd - Rh V Мн MD / '
Умножая обе части этого соотношения на е и принимая во внимание, что
(Мн + me)NA = H, (MD + me)NA = D, NAe = F, найдем
e	F ( Rh	Rd
me Rd — Rh V H — NAme D — NAme
Так как атомная масса электрона NAme мала по сравнению с Н и D, то при вы-
вычислении Н — NAme и D — NAme нет необходимости знать ее с высокой точ-

96
Ответы и решения
ностью. Имеем: NAme = 6,025 • 1023 • 9,108 • 108 = 5,49 • 10; H - NAme =
= 1,007593; D — Nattiq = 2,014186. Подставляя эти значения в предыдущую
формулу, получим
— = 5,2732 • 1017 СГСЭ/г = 1,7590 • 107 СГСМ/г.
122. &п = -
= у Roo = 6,80эВ, Лрез = 243,0045нм.
123. К = ^ ^ = 10,9 • Ю-12 эрг = 6,85 эВ.
5 Л
124.	Аа = :
125.	а0 =
= 1313нм.
h2{\
1
= - • 0,0028 • 10"" см, что примерно в 188 раз
меньше соответствующего значения а$ для водородоподобного иона с тем же
значением заряда ядра Z. Результат получен в предположении, что К-орбита
мюона проходит вне ядра. Электронная оболочка практически не оказывает
влияния на этот результат, так как из-за сферической симметрии электронного
облака создаваемое им электрическое поле в месте нахождения мюона может
считаться равным нулю. В том же предположении
= 2520Z2.
1
Отсюда видно, что излучение, возникающее при переходе мюона на К-орбиту
с более высоких орбит, будет расположено в рентгеновской области спектра,
а при больших Z — в области 7-лучей. При больших Z К-орбита мюона прохо-
проходит внутри ядра атома. В этом случае приведенные выше формулы становятся
неприменимыми. Результаты сильно зависят от распределения электрического
заряда в ядре, с чем и связана возможность использования мезоатомов для
изучения структуры атомного ядра.
126. Наименьшие номера уровней получаются при переходах между сосед-
соседними уровнями, когда
1
1
(п-1J
2R
так как в радиодиапазоне п >> 1. Отсюда п = \/2R\ ~ 60л/А, где А измеряется
в сантиметрах. Воспользовавшись этой формулой, получаем
А, см
1
10
100
1000
и =
3
3
3
3
с/А, Гц
• 1010
•109
• ю8
• ю7
п
60
130
280
600
127. Характерный размер атома водорода
/J 2
ап =
= 0,529- 10"Vcm.
Отсюда aioo ~ Ю 4см. Атом можно считать изолированным, а потому беспре-
беспрепятственно пользоваться формулами предыдущей задачи при концентрациях

§2. Строение атома и спектры водородоподобных атомов	97
N <С а~3, так как тогда среднее расстояние между атомами 7V~1//3 >> a.
В условиях задачи N <С 1012см~3.
z<J±
r^j \ or
V 36
натрия.
130. -
kT
~ы a
128.	В поле с напряженностью Е ~ -~ ~ ед ~ 3 • 109 В/см, где ai ~
af 7г
h2/mee2 — радиус атома.
129.	Будут ионизованы практически все элементы с порядковым номером
И, т.е. все элементы от водорода приблизительно до
^ 4-«2 = 5,44 ¦ Ю-9;
щ	zmaTcz 16 шат
3 Ше 2	оос	,
г? =	ас = 326 см/с,
8 Шат
где a = е //гс = 1/137 — постоянная тонкой структуры.
131. \&i\ = (^ф ~ Ю-83эрг, ах = -^ - 1028см. Размер «бинейтронно-
го атома» так велик, что неучет действия других масс Вселенной, очевидно,
совершенно недопустим.
-у^Т^	Т Т Л	V-V ГЛ i-V Л ГТЧ ^^1 *-Т Т Т Т Т Т Т	ЛЛ			/	'
132.	FM ~ 1/г . На расстоянии г = \ — — ~ 55 м силы гравитационного
V G mn
и магнитного взаимодействий нейтронов становятся равными по величине.
Поэтому при г > 55 м магнитное взаимодействие можно совсем не учитывать.
133.	Пренебрежем тепловой скоростью движения атомов. Максимальная
скорость атома, упруго отразившегося от спутника, получается при лобовом
ударе и равна 2V, а его кинетическая энергия равна 2mV . Эта энергия
передается другому атому, с которым сталкивается рассматриваемый атом, не
целиком. Максимальная передача энергии получается также при лобовом уда-
ударе. В этом случае, в силу законов сохранения энергии и количества движения,
т r9 mv2 m'v'2 cr>
2mV2 =	+	+ &
+ g + &,
2mV = mv + mv\
где v и v' — скорости атомов после удара, т и т' — их массы, а & —
энергия ионизации второго атома. Исключая v', получим квадратное уравне-
уравнение относительно скорости v. Чтобы ионизация была возможна, необходимо
и достаточно, чтобы корни этого квадратного уравнения были вещественны.
При т = т! это условие имеет вид mV2 > &. Энергии mV2 в электронволь-
тах для атомов Н, N и О равны соответственно 0,668; 9,35; 10,7. Поэтому
во всех случаях ионизация невозможна. Этот вывод изменится, если учесть
тепловое движение атомов. Ионизацию могут производить единичные атомы,
движущиеся навстречу спутнику с большими тепловыми скоростями и упруго
сталкивающиеся с ним.
134. Рассмотрим сначала двумерный гармонический осциллятор — то-
точечную частицу массы т, на которую действует центральная квазиупругая
сила F = —muj2r. Пусть под действием такой силы частица вращается по
окружности радиуса а. Если коэффициент квазиупругой силы к = ти2, а с
ним и частота обращения по окружности ш будут изменяться, но сила F
все время остается центральной, то при таком изменении будет изменяться
и расстояние а частицы до силового центра. При медленном изменении к
4 Под ред. Д. В. Сивухина

98	Ответы и решения
собственная частота и будет изменяться также медленно, а траектория частицы
при каждом обороте будет мало отличаться от окружности. Однако момент
импульса частицы относительно силового центра L = тг2оо изменяться не
будет. Следовательно, при круговом движении момент L является адиабатиче-
адиабатическим инвариантом. Так как он связан с кинетической энергией соотношением
^кин = L2 /2ma2 = Luj/2, то будет адиабатическим инвариантом и величина
сркин/с^. При круговом движении кинетическая энергия осциллятора равна
потенциальной энергии &П0Т = 1^ка2. Значит, адиабатической инвариантностью
обладает и &/w, где & = &КИН + &пот — полная энергия.
Рассмотрим теперь одномерный гармонический осциллятор. В этом случае
полная энергия осциллятора равна половине полной энергии частицы при
вращении ее по окружности, радиус которой равен амплитуде колебаний
одномерного осциллятора. Следовательно, и для одномерного гармонического
осциллятора величина &/и остается адиабатическим инвариантом.
135.	Сколь угодно медленное изменение параметров системы не меняет
квантового состояния, а лишь смещает энергетические уровни ее. Для ос-
осциллятора & = huj(n + 1/2) и, следовательно, остается постоянной величина
&/uj = h(n + 1/2), поскольку п — целое число.
136.	Электрическая сила, действующая на электрон атома водорода в ос-
основном состоянии со стороны ядра, определяется выражением Fe = е2/а\, где
а\ — радиус круговой орбиты электрона в этом состоянии. В отсутствие маг-
магнитного поля а\ = Ti2/mee2. В этом состоянии электрон движется со скоростью
v = ас, где а = е2/he — постоянная тонкой структуры. Сила, действующая
на электрон со стороны внешнего магнитного поля FM в том же состоянии,
будет FM = - vB = aeB. Если FM > Fe, то рассматриваемое состояние будет
разрушено и энергетические уровни атома будут определяться в основном
магнитным полем. Условие FM >> Fe легко привести к виду В >> —— а2тес2 =
eh
= 2,4- 109Гс.
137.	При достаточно большом сжатии все вещества становятся металлами,
так как электронные оболочки атомов оказываются раздавленными. (Имеются
в виду сжатия, при которых ядра еще сохраняют свою индивидуальность, т. е.
не происходит образования нейтронной жидкости.) Грубая оценка плотности р,
при которой наступает металлизация водорода, дается соотношением Naf ~ 1,
где N — концентрация атомных ядер, а а\ — радиус атома водорода. Отсюда
р ~ mw/a\ ~ 1 - 10 г/см3.
138.	При медленном включении магнитного поля
m(v - vo) = -^ (Ф - Фо) = -g (Я - Но),
где Ф = тгг2Н — магнитный поток. Если величина mvr, а с ней и изменение
m(v — vo) квантуются (т. е. mv — mvo = nh/2ir), то изменение потока Ф — Фо =
= nhc/e тоже квантуется и при этом зависит от заряда частицы е. Но один или
несколько электронов не могут оказать существенного влияния на значение
потока внешнего магнитного поля. Отсюда ясно, что при наличии магнитного
поля величина mvr не квантуется. Полученный вывод связан с тем, что
при наличии магнитного поля обобщенный импульс частицы р не равен mv.
Напротив, при определенных условиях, обеспечивающих применимость правил
квантования Бора, правило квантования pr = nh/2ir остается справедливым.

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии	99
139.	Ток в сверхпроводнике течет только в тонком поверхностном слое
толщиной, обычно не превосходящей 10~5см. За пределами этого слоя в толще
сверхпроводника ток равен нулю и, следовательно, скорость упорядоченного
движения электронов v = 0. Поэтому на окружности с радиусом г, немного
большим, но практически равным радиусу отверстия в цилиндре, справедливо
соотношение
|е*|Ф h	he
pr = —J— = n—, отсюда Ф = n-—г.
2тгс	2тг	|е*|
140.	По правилу квантования момент количества движения М = nh/2ir =
= nfi, n = О, 1,2, ...; для круговых орбит М = рг. Импульс атома гелия р =
= тнеУ, и, следовательно,
nh
§ 3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
141. Л = h/p. Импульс р находится из формулы
тс + eV \2
)
\2 2
) -Р
где т — масса покоя частицы. Эта формула дает
Л= h Л | & Г1/2
При eV <C 2?пс приближенно
\/2meV V 4mc2
В нерелятивистском приближении
Если eV < Убтпс2, то нерелятивистская формула дает ошибку, не превосходя-
превосходящую 5%. Для электронов это будет при V < 100 кэВ, для протонов — при
V < 200 МэВ. Если V выражать в вольтах, Л — в нанометрах, то приближенно
A+0,978 • 10"V)/2 (для электронов),
+ 0,533 • 10"9)/2 • 10 (для протонов).
При V = 1, 102, 103, 105, 10ю, 1015 В длины волн Л соответственно для
электронов: 1,22; 0,122; 0,0387; 4,06- 10; 1,24- 10"8; 1,24- 103нм; для
протонов: 2,285 • 10; 2,85 • 10; 9,04 • 10; 2,85 • 10; 1,17 • 10; 1,24 х
х 102нм.
142.	Л = he/Ш. Если Ш > 20шс2, т.е. для протонов Ш > 20000МэВ, то
эта формула дает ошибку, не превосходящую 5%. При & = 70,6 ГэВ из нее
получаем Л = 1,76 • 10~8 нм.
143.	Л « h/л/ЗткТ « 0,145нм, где к — постоянная Больцмана.

100	Ответы и решения
144.	Для Н: Ai = 0,0284 нм, А2 = 0,284- 10нм, А3 = 0,151 нм; для Hg:
Ai = 0,002 нм, А2 = 2 • 10нм, А3 = 0,0107 нм.
145.	d = к/Ал/2теУ = 0,039 нм.
147.	Т = h2/3mkX2 = 14 К, d = А/2 = 0,335 нм.
148.	А = hif/mUR = 0,92 нм, ДА/А = a/lip = 0,072.
149.	А' = д/573 А = 0,00129 нм.
150.	^кин = mc2(V2 - 1) = 0,212МэВ.
151.	\i = -у = у—^—^ = у 1 + 77 (& и V соответственно энергия
электрона в вакууме и разность потенциалов, пройденная им).
153.	2d\J'\i2 — cos2 0 = пАо, где Ао — длина волны в вакууме, \i — показа-
показатель преломления, 0 — угол скольжения.
154.	Vo = -Чг гп2 — У sin2 в = 15 В, где V — в вольтах, а — в нанометрах,
Аа2
m — порядок отражения.
155.	a(cosa — cosao) = кл/\, 50/V ,
a(cosf3- cos A)) = ky/l,50/V,
где У — в вольтах, а — в нанометрах, 70 и 7 ~~ углы между нормалями
к падающей и дифрагированной волнам (в вакууме) и нормалью к поверхности
кристалла.
iCC	v const	1 2 ,	,
156.	u> = —I	, til/ = - mv + const.
2 v	2
По формуле Рэлея групповая скорость и = w — Xdw/dX. Полагая здесь
А = h/p = h/mv и и = v и рассматривая движение с нерелятивистскими
скоростями (т = const), получим
dw d , ч
v = w -\- v—— = — (гуг?),
dv dv
откуда
г;	г; const
wv =	h const, w = —I	.
2	2	г;
Далее,
w v/2 + const/t' mv2/2 + const
A	h/mv	h
Во всех явлениях произвольные постоянные, входящие в выражения для г/ и w,
не играют роли. Их можно положить равными нулю.
Разумеется, решение можно распространить и на движения с релятивист-
релятивистскими скоростями (когда т зависит от v). Тогда, если отбросить не играющие
роли постоянные интегрирования, формулы примут вид
с2	2	т0с2
w = —, тс = .	= = hv.
v1	^\-v2/c2
157.	Физические явления зависят только от разностей энергий. Сами
энергии, а следовательно, и соответствующие им частоты волн де Бройля

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
101
определены с точностью до произвольных постоянных, которые не проявляются
ни в каких явлениях. В нерелятивистских теориях постоянные выбираются
так, чтобы покоящейся частице соответствовала энергия, равная нулю, а в
релятивистских — шос2. Частоты волн де Бройля относятся к принципиальным
ненаблюдаемым величинам. Все реальные величины, доступные измерению
на опыте, в обеих теориях получаются одинаковыми. К таким величинам
относится, например, групповая скорость волн де Бройля du/dk. Обе теории
для нее дают одно и то же выражение, а именно скорость частицы v. В этом
легко убедиться, дифференцируя соотношения
Пк2
uj = 	,
158.	Если электрон прошел через щель, то в плоскости самой щели коорди-
координата х будет фиксирована с точностью Ах ~ d, где d — ширина щели. Однако
в результате дифракции на щели волновая функция электрона ф будет иметь
максимумы и минимумы. Электрон может быть обнаружен в любом месте,
где ф ф 0. Наиболее интенсивным получится максимум нулевого порядка. Его
угловая ширина равна 20, причем dsinO = Л. Практически достаточно принять
во внимание только такой максимум. В этом приближении после прохождения
через щель неопределенность Арх импульса электрона получится порядка
Арх = psinO = - sin0 = -. Таким образом, Ах • Арх ~
~ h. Более определенное неравенство, которому должны
удовлетворять Ахх и Арх, с помощью этих соображений
указать нельзя, поскольку не указан точный смысл самих
величин Ах и Арх.
159.	При рассеянии фотона на электроне рассеянный
фотон может попасть в любую точку плоскости изобра-
изображения. Дифракционная картина в этой плоскости состо-
состоит из концентрических светлых и темных колец с цен-
центральным светлым кружком, называемым кружком Эйри,
радиус которого равен R « Х//3 (рис. 18). Практически
рассеянный фотон может быть зафиксирован только внутри
этого кружка, поскольку интенсивность там наибольшая.
В этом приближении положение точки попадания фотона
в плоскость изображения может быть определено с точ-
точностью порядка R. Неточность положения Ах электрона
в предметной плоскости найдется из условия синусов Аббе:
Rf3 = Axsina, т.е. Л = Axsina. При рассеянии фотона на электроне по-
последний испытывает отдачу, в результате чего импульс электрона получает
неконтролируемое приращение Арх ~ - sin а. Таким образом, Ах • Арх ~ h.
А
160.	Пусть телом является идеально отражающее зеркало, а свет падает
нормально на его поверхность. На основании законов сохранения энергии
и импульса
Рис. 18
- huj + - mv ,	{[)
—- + mvo =	\-mv,	B)
с	с
где т — масса тела, vo и v — его скорости до и после отражения света, ио
и и — частоты падающего и отраженного фотонов. Переписав эти уравнения

102	Ответы и решения
в виде
2
m(v2 - vl) = 2%(uj - wo),	C)
m(v -vo) = -(lj + ljo),	D)
с
почленным делением находим
UJQ — UJ
v + vo = 2c-
m можно счи
фотона. Тогда
UJO + UJ
Массу зеркала т можно считать бесконечно большой по сравнению с массой
UJQ — UJ	, г ч
v = v0 = с	.	E)
UJQ + UJ
Измерив частоты и0 и uj, можно по этой формуле вычислить скорость зерка-
зеркала v. Частоту ojo можно считать измеренной точно. Тогда ошибка Av в зна-
значении скорости будет определяться неточностью измерения частоты ш. Чтобы
измерить uj с точностью Auj, надо производить измерение в течение времени
At, удовлетворяющего условию Auj • At ~ 2тг. На основании E)
Л 2ujr\Auj	Auj
Av = -с-	¦—tit ~ -с—.
Так как моменты отражения фотона известны с ошибкой At, то неточность
в значении скорости v поведет к ошибке Ах в определении координаты зерка-
зеркала:
Ах - \Av • At| - ^- \Аи • At| - —.
ZUJo	UJo
Согласно D) при взаимодействии с фотоном зеркало получает неконтролируе-
неконтролируемое изменение импульса Ар ~ 2ujq%/c. Следовательно, Ах • Ар ~ 2тг/г = h.
161.	Avx ~ h/m • Ах. Для шарика Avx ~ 10~22 см/с, для электрона Avx ~
~ 10 км/с. Отсюда видно, что можно с высокой точностью говорить о движении
шарика по классическим траекториям, а для электрона — нет.
162.	Чтобы имело смысл представление о классическом движении электро-
электрона по первой боровской орбите, необходимо выполнение соотношения Аг <С
<С г, где г = Ь /те — радиус этой орбиты, а Аг — его неопределенность
при определении положения электрона. Соответствующая неопределенность
в радиальном импульсе будет
Л	h h 2nh 2тгте2
А^ >
Ар^ >	,
Аг г г	%
что превосходит сам импульс электрона р = те2/%. Сказанное справедливо
и для других боровских орбит, если только главное квантовое число не очень
велико.
164.	(^кин > тпс у 1 + (А//J — тсг, где Л = h/mc — комптоновская длина
волны электрона (протона). Для электрона &КИН > тес2\е/1 « 720МэВ. Для
протона &КИН > трс2л/\ + (Ар//J — трс2 « 600 МэВ.
165.	В стационарном состоянии квантовомеханические средние значения
кинетической и потенциальной энергий системы связаны соотношением
где & — полная энергия системы.

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии	103
В случае двухатомной молекулы (если не учитывать ее вращения)
©кин = ^~Р, U = -
причем в силу соотношения неопределенностей
Таким образом,
Л
z	8/ix2
Левая часть достигает минимума при х2 = ft/2/xuo. Следовательно,
Если допустить, что минимум достигается в основном состоянии (это можно
доказать, решая уравнение Шредингера), то для такого состояния
& = -hujOl х2 =
2
Размер молекулы порядка
Для атома водорода подобное рассуждение нельзя провести с такой же
степенью строгости. В этом случае
Если атом находится в s-состоянии, то
По порядку величин г ~ у г2, A/r) ~ 1/г. Поэтому
Ъ2 р2
- 8М(гJ г '
Величина справа достигает минимума при
Ь2
чем и определяется порядок величины размера атома водорода в основном
состоянии. Соответствующая энергия
166. ^ > h2/(Smr2). Для электрона в атоме ^ > 1 эВ, для электрона
в атомном ядре & > 10 эВ = 104МэВ. Отсюда следует, что электроны в ядре
находиться не могут, так как энергия связи ядерной частицы в ядре не
превосходит ЮМэВ.

104	Ответы и решения
\2	д\	\
167. АЛ - —— - 10нм, — - —— - 10.
с- At	А с- At
168.
1	П7ТХ ,	IOC	\
—= cos-— (n= 1, 3, 5, ...),
^л = i у/а	2а
Y	1	1	П7ГХ ,	,
_sm_ („ = 2,4,6, ...),
ср =	 п2 в обоих случаях. Потенциальная энергия на дне ямы принята
omaz
равной нулю. Начало координат помещено в центре дна ямы.
169. Примем за начало координат центр дна ямы О (см. рис. 4). Тогда
уравнение Шредингера для связанных состояний внутри ямы будет
а вне ямы
где введены обозначения
/с = +^2m$/h2, а = +^2m(U0 - Щ/П2.	C)
Не теряя общности, условимся считать величины к и а существенно положи-
положительными. Внутри ямы общее решение имеет вид
ф = A cos кх + В sin /еж.
Вне ямы решение, удовлетворяющее условиям на бесконечности х = ±оо, будет
ф = Се~ах при х > а,
-0 = ?)еаж при ж < —а.
Из соображений симметрии следует, что плотность вероятности \ф\2 должна
быть симметричной функцией х относительно начала координат. Следователь-
Следовательно, должно быть С2 = D2, т.е. возможны два случая: С = D и С = —D.
Постоянные А, В, С, D надо выбрать так, чтобы на краях ямы функция ф
и ее производная <1ф/<1х были непрерывны. На границе х = -\-а это дает
Acoska + Bsinka = Ce~aa,
-kAsmka + kB cos ka = -аСе~аа,
а на границе х = —а
A cos ka — В sin ka = De~aa,
к A sin /са + /с5 cos ka = aDe~aa.
Отсюда
2Acos/ca = (C + L>)e"aa, 2Ы sin fca = a(C + D)e~aa,
2B sin fca = (C - L>)e-aa, 2/сБ cos ka = -a(C - D)e~aa.

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
105
Если А ф 0 и С = D, то
Если же В ф 0 и С = — Д то
ktgka =
/cctg/са = —а.
D)
E)
Эти условия не могут быть удовлетворены одновременно, так как в противном
случае получилось бы к2 = —а2, а это невозможно ввиду вещественности к
и а. Решение, когда все коэффициенты А, В, С, D равны нулю, физического
смысла не имеет. Таким образом, все возможные решения разделяются на два
класса: решения с четной волновой функцией, когда А ф О, В = О, С = D,
и решения с нечетной волновой функцией, когда А = О, В ф О, С = —D.
Уровни энергии найдутся путем графического или численного решения
уравнения D) или уравнения E), в которых положительные величины к и а
определяются выражениями C). Для графического решения введем безразмер-
безразмерные величины
? = ак, 7? = аа.	F)
Тогда
e+v2 = 2-^,	G)
причем для решений с четной волновой функцией
а для решений с нечетной волновой функцией
т? = -fctgf.
Dа)
Eа)
На рис. 19 а построены кривые rj = ?tg?, на рис. 19 6 — кривые 77 = —?ctg?.
Вертикальными штриховыми линиями изображены асимптоты этих кривых.
Ч
8
6"
4
2
О
_
_
JJLP
II
4JLP
И
i
i *^*
i +-»
1 SAJ*
^\ 1 ' РГ
1 ^\ 1 ^
1 гк}
! 3Г\
! !\
/ i\
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
1
п
Ж
~2
5%
3JLP
Рис. 19
Ввиду положительности ? и 7? нужны только участки этих кривых, располо-
расположенные в положительном квадранте (? > 0, 7? > 0). Пересечем эти кривые

106	Ответы и решения
окружностью G), радиус которой л/2тЩ а/% должен считаться известным.
Координаты точек пересечения этой окружности с кривыми Dа) и Eа) да-
дадут возможные значения ? и г]. После этого по формулам C) легко найти
значения &. Число уровней всегда конечно и определяется глубиной Щ и ши-
шириной 2а потенциальной ямы. Например, если радиус окружности равен 7, то
получается пять уровней. Точкам пересечения 1,3,5 соответствуют четные,
а точкам 2,4 — нечетные волновые функции. Если 0 < Ща2 < %2тг2/8т, то
имеется только одна точка пересечения, которой соответствует четная волновая
функция.
170.	В сферической системе координат уравнение Шредингера для стаци-
стационарных состояний с волновыми функциями, зависящими только от г, имеет
вид
1 d ( 2dip\ 2т где ТТ/ \-\ i n	/i\
 Т V ~Г ) + ТТ [%-и(г)]ф = О.	A)
г2 dr \ dr) ft
Введем новую функцию % = гф. Тогда
Надо найти решения этого уравнения, конечные при г = 0 и обращающиеся
в нуль при г = +оо. Это будут
X = В sin кг при г ^ а,
X = Се~аг при г ^ а,
где
Задача свелась к предыдущей. Уровни энергии определяются так же, как там.
Надо только отбросить состояния с четными и сохранить одни лишь состояния
с нечетными волновыми функциями.
171.	Из рис. 19, с последующим уточнением численными расчетами, нахо-
находим г] = 1,262, ? = 0,9353. Отсюда
»= ,756
2ma2' w ' 2ma2
172.	Uo = l,57g = 3,50МэВ; a = 0,892/i/vWI = 3 • 10~13 см. Здесь т -
масса протона. Различие масс протона и нейтрона не учитывалось.
173.	Пусть частица локализована вокруг силового центра внутри сферы,
радиус которой порядка г. Ее потенциальная энергия будет порядка —C/rs.
Неопределенность координаты будет порядка г, а следовательно, неопределен-
неопределенность импульса — порядка h/r. Такого же порядка будет и сам импульс.
Следовательно, средняя кинетическая энергия будет порядка Ь2/тг2, а полная
энергия
* П2 С
б ~ —	.
mr2 rs
Если s > 2, то Ш может принимать сколь угодно большие отрицательные
значения. Но в таком случае должны существовать и уровни энергии со
сколь угодно большими по абсолютной величине отрицательными значениями
& — произойдет падение частицы на силовой центр. Если же s < 2, то сколь
угодно большие по абсолютной величине значения & невозможны, а потому
и невозможно падение на силовой центр.

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии	107
174. Волновая функция ф зависит только от г — расстояния электрона от
ядра атома. Если Ze — заряд ядра, то уравнение Шредингера в сферической
системе координат будет
*±+*%+(!-ф = 0,	A)
dr2 г dr \r	J
где введены обозначения
/32 = -^, q =*%*-.	B)
Введем новую функцию и(г) по формуле
Тогда
"« = 0.	C)
dr2	dr r
Ищем решение этого уравнения в виде ряда
D)
где 7 — постоянное число, пока что не определенное. Подставляя D) в C)
и приравнивая члены с одинаковыми степенями, придем к соотношениям
7G-1) = 0,	E)
к(к + l)afc+i — 2Cкак + qak = 0 при к > 7-	F)
Из E) следует, что либо ^ = 0, либо 7=1- Значение 7 = 0 невозможно,
так как тогда при г = 0 функция ф обращалась бы в бесконечность как 1/г,
а она должна быть конечной. (Точнее, исходя из требования сохранения числа
частиц, можно показать, что ф может обращаться в бесконечность не быстрее,
чем l/rs, где s < 1.) Поэтому 7=1-
Исследуем теперь поведение ряда D) на бесконечности. Из F) при к > 1
получаем
2Cк- д	, .
Отсюда следует, что
Но коэффициенты с*
а>к
при к —»> оо
Q>k
; разложения
fc(fc
+
+
1)
Г
асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты
так как
Cfc

108	Ответы и решения
Значит, на бесконечности сумма ряда D) асимптотически ведет себя как
показательная функция e+2f3r, а волновая функция ф(г) — как ef3r/r, т.е.
при произвольно выбранном значении & функция ф(г) при г = оо обращается
в бесконечность. Этого не будет только для таких значений &, при которых
ряд D) обрывается, т. е. переходит в сумму конечного числа членов. Пусть,
например, при к = п числитель 2/Зк — q = 0. Тогда, как видно из G), an+i
и все последующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд D) оборвется.
Следовательно, п-й энергетический уровень определится условием 2Cп — q =
= 0. Используя его, из B) находим
mZ2e4
*	(8)
что совпадает с соответствующей формулой теории Бора.
175.	ф = e~qr^2, Ш = —mZ2e4:/2fi2. Постоянная q определяется выраже-
выражением B) решения задачи 174. Функция ф представляет основное состояние
водородоподобного атома.
176.	|</f = jU"<"\
177.	Атгг2\ф\2 = q3r2e~qr. Эта величина максимальна при г = 2/q =
= Ь /mZe = а\, где а\ — радиус первой круговой боровской орбиты.
178.	r = 3/g = %ai.
179.	7X/r) = q/2
180.	U = -Ze2/a{; &Кии = Ze2/2сц = -U/2.
181.	Запишем уравнение Шредингера в виде
^ + к2ф = 0,	A)
где
fc2 = ^(g'-f/).	B)
В области I волновая функция частицы состоит из падающей волны
фх =e*(fci*-^)
и отраженной
ф[ = re-Ubx+wt) ^
а в области II — из прошедшей волны
ф2 = dei{k<lX~ut\
где индексами 1 и 2 отмечены волновые векторы в областях I и II соответ-
соответственно. Амплитуда падающей волны принята равной единице, что, очевидно,
не нарушает общности получаемых ниже результатов. Волновая функция и ее
производная по х на границе раздела должны быть непрерывны. Это приводит
к уравнениям
I -\-г = d, к\ — к\г = А^г,
из которых находим
r=fcl"fc2, d= 2fc' .	C)
к\ + к2	к\ + к2

§3. Волновые свойства частиц. Квантование энергии
109
1) Если & > U2, то волна ф2 однородна. Для однородной волны поток
энергии пропорционален плотности вероятности \ф\2, кинетической энергии
& — U, т. е. к2, и скорости частицы v, т. е. групповой скорости волны duj/dk =
= к/т. Учитывая это, при & > U^ из C) находим
к\ — к2
к\
Aklk2
D)
так что R + D = 1 в согласии с законом сохранения энергии.
2) Если & < [/2, то /с2 — чисто мнимое, т.е. волна во второй области
неоднородна. В этом случае R= 1, т.е. отражение полное. Полагая /с2 = га,
для волны во второй области получим
о/.
E)
т. е. амплитуда колебаний в области II экспоненциально затухает при удалении
от границы раздела областей.
Глубина проникновения / определяется как расстояние, на котором плот-
плотность потока энергии убывает в е раз. Для нее получаем
2а 4тг'
где
А2 =
- Щ
F)
G)
(а А)
I
II
182. / = 0,5бнм.
184. Используем обозначения, применявшиеся в задачах 181 и 183. По-
Поместим начало координат на первой границе области I. Амплитуду падающей
волны примем за единицу. Направления
распространения волн в областях I, II,
а также внутри потенциального барьера
(ямы) на рис. 20 обозначены стрелка-
стрелками. Каждая волна характеризуется ам-
амплитудой и волновым числом. Напри-
Например, (а, к) и F, — к) обозначают вол-
волны внутри барьера (ямы) с амплитудами
а и b соответственно. Из них первая
волна распространяется вправо, а вто-
вторая — влево. На границах барьера вол-
волновая функция и ее производная по х должны быть непрерывными. Из этих
условий можно определить обе неизвестные величины гик. Однако решение
упростится, а окончательный результат выразится в более компактной форме,
если исходить из уравнений
г = п + d[b, a = d\ + r[b.
Первое из них выражает тот факт, что волна (а, к) получается в результате
прохождения волны A, ki) через первую границу и отражения от той же
границы волны F, — к). Аналогичный смысл имеет и второе уравнение. При
написании аналогичных уравнений на второй границе необходимо принять во
внимание, что комплексные амплитуды преобразуются при смещении начала
Рис. 20

110	Ответы и решения
координат, получая при этом фазовые множители, зависящие от направления
распространения волн. С учетом этого имеем
Ъе~ш = r2aeikl, deik>1 = d2aeikl.
Решая полученные уравнения и учтя, что г[ = — n, r\ -\-d\d[ = 1, находим
искомые коэффициенты:
n+r2e2ikl d	^fc)*
Г
185.	Полная энергия & должна быть больше потенциальной энергии U
частицы внутри барьера (ямы). Толщина барьера (ямы) должна быть / = Л/4,
ЗА/4, 5Л/4, ..., где Л = h/y^2m(& — U) — длина волны де Бройля внутри
барьера (ямы).
186.	Энергия взаимодействия (в расчете на частицу) U ~ е2/d ~ e27V1//3,
в то время как кинетическая энергия &кии ~ — 7V2//3. Поэтому с ростом
концентрации N неравенство U <С &КИН усиливается.
187.	Плотность жидкого водорода р « 0,07 г/см3, а потому То ~ б К.
Однако водород затвердевает (при атмосферном давлении) при Т = 14К, т.е.
«не успевает» перейти в сверхтекучее состояние.
ср	в4	ШеШь	?12?П2 Ше + Шь ^
188.	бп =	9 	, ап = —	. При указанных значе-
2fi e2n2 me + mh	e^ m^m^
ниях I gi I = 13,5/2000 « 7 • 10~2 эВ, oi « 10~6 см.
189.	Условие газового приближения: TVa3 <C 1, откуда концентрация эк-
ситонов N <С 1018см~3. При повышении 7V экситоны коллективизируются
и в дальнейшем с ростом N образуют металлическую экситонную жидкость.
190.	Необходимо, чтобы время жизни та относительно аннигиляции было
достаточно велико по сравнению с характерным временем т ~ %/\Ш\\, где
\Ш\\ — энергия связи позитрония или экситона (считаем их находящимися
в основном состоянии).
191.	Образование поверхностных экситонов возможно. Их энергии связи
и радиусы (в направлении поверхности кристалла) определяются такими же
выражениями, как в трехмерном случае (см. ответ к задаче 188). Однако, как
следует из точного расчета, коэффициенты в соответствующих формулах все
же несколько иные. Это можно использовать для исследования поверхностных
(двумерных) экситонов.
192.	Среднее расстояние между частицами d ~ 7V~1//3. Их кинетическая
(нулевая) энергия, как следует из соотношения неопределенностей, &КИН ~
~ (f0 ~	 ~ — 7V2//3. Отсюда То ~ — ~ — 7V2//3, где к — постоянная
2mdz m	к гак
Больцмана.
193.	/ « Ь2 /кТ ~ 10~40 г-см2, где к — постоянная Больцмана; v ~ /(/ +
+ \)kT/h, где/ = О, 1, 2, ..., i/мин -/сТ//г - 2 • 1012с-\ Лмакс - c/i/feT - 1,5 х
х 10~ см. Соответствующая линия лежит в далекой инфракрасной области
спектра.
§4. Рентгеновские лучи и плазма
194.	Л = h/V2meV = 5,49 • 10-10см.
195.	v = h/mX = 7,28 • 108 см/с.

§ 4. Рентгеновские лучи и плазма	111
196.	А = Xo/(Z — аJ = 1,140 • 10~8см, где Ао — длина волны водородной
серии Бальмера.
197.	О = arcsin(A/2d) = 14°29/.
198.	dMim = —-— О/Л lns — = 2нм, где Ак = h/mec = 0,0024нм — комп-
тоновская длина волны для электрона.
199.	Все дело в поляризации рассеянного излучения. Если падающий луч
не поляризован, а колебания в нем поперечны, то луч, рассеянный телом А
и идущий в направлении к В, будет поляризован, и притом так, что плоскость
колебаний его будет совпадать с плоскостью чертежа. Значит, вынужденные
колебания электронов тела В будут совершаться в направлении, параллельном
ВС. В этом направлении электроны не излучают, чем и объясняется отсут-
отсутствие рассеянного излучения в рассматриваемом направлении.
Вещества с большими атомными номерами непригодны потому, что они
дают жесткое собственное характеристическое излучение, и притом значитель-
значительной интенсивности. Уголь, парафин и т.п. дают слабое и мягкое собственное
излучение, поглощающееся в воздухе на пути уже в несколько сантиметров, —
такое излучение не мешает при постановке опыта.
200.	i/ = Rc(Z- 1J(|- ^) =4,16- Ю^с; Ха = 0,072нм (в действи-
действительности Аа = 0,071 нм). & = hi/= 2,72- 10"8эрг= 17 ЮОэВ.
201.	V = 1234/А В, где А в нанометрах; УМо ~ 23кВ, VCu ~ ЮкВ, VFe «
« 8,5 кВ. Истинные значения V соответственно равны Умо = 20 кВ, Vcu =
= 8,9кВ, УРе = 7,1кВ.
202.	Амо ~ 0,062нм, AFe ~ 0,17нм, ACu ~ 0,14нм.
203.	Излучение Сг возбуждается; излучение Со не возбуждается.
204.	Возбуждаются все линии всех серий, кроме К-серии.
205.	Zr и Мо; между ними находится элемент Nb.
206.	Na
207.	60000 В.
208.	А^0,154нм.
209.	г>«5- 109см/с.
210.	a cos а = пХ, где п — целое число. В фокальной плоскости наблюда-
наблюдается система гипербол.
211.	1) a(cosa — cosao) = пХ. 2) Расстояние до экрана D должно удовле-
удовлетворять условию
А
где N — число рассеивающих центров.
212.	Система концентрических колец.
213.	a cos a = щХ, bcos[3 = П2А, где гц и щ — целые числа, а а и J3 — углы
между направлением дифрагированного луча и взаимно перпендикулярными
линейными цепочками точек, из которых состоит плоская решетка. Дифрак-
Дифракционная картина состоит из пятен, расположенных в точках пересечения двух
семейств гипербол: одно семейство соответствует дифракционной картине от
одной линейной цепочки точек, а другое — от линейной цепочки, к ней
перпендикулярной.
214.	a cos a = п\Х\ bcosfi = П2А; сA — cos 7) = ^зА, где 7 — угол между
направлением падающих лучей и дифрагированным лучом. Максимумы на
экране находятся в тех местах, где концентрические окружности, соответству-

112
Ответы и решения
ющие дифракции на линейной цепочке, параллельной направлению падающих
лучей, проходят через точки пересечения гипербол, соответствующих дифрак-
дифракции от плоской решетки. Вообще говоря, при произвольной Л максимумы
наблюдаться не будут, Л должна удовлетворять условию
(П2 \2 / По, Л2
т) + {-) =
4 sin2 G/2)
А2 '
215.
a(cosa — cosao) = гцХЛ
a(cosC — cos Д)) = n2A, > условия Лауэ.
a(cos7 — cos 70) = ^зА J
cos а0 + п2 cos Д) + Щ cos 70)
216.
А = -2а
2а
щ + ni + ni
sin# = A.
217. Примем ребра элементарного параллелепипеда ai, a2, а3 решетки
за базисные векторы косоугольной си-
системы координат. Радиус-вектор атома
* решетки представится выражением
г = хэ.\ + у 3.2 + za3,
где координаты х, у, z принимают це-
целочисленные значения. Пусть so — еди-
единичный вектор в направлении падающе-
падающего луча, a s — в направлении одного
из дифрагированных пучков (рис. 21).
Условия Лауэ запишем в виде
Рис. 21
(s - so)ai = mi A, (s - so)a2 = m2A, (s - so)a3 = m3A.
Вектор N = s — so параллелен биссектрисе угла между падающим и отражен-
отраженным лучами. С введением этого вектора получаем
(Nai) = 7711 A, (Na2) = m2A, (Na3) = m3A.
Через атом в начале координат О проведем плоскость, перпендикулярную
к вектору N. Ее уравнение имеет вид (Nr) = 0. Чтобы атом лежал в этой
плоскости, необходимо и достаточно, чтобы его координаты удовлетворяли
уравнению
или TTiiж + гп2у + тзг = 0. Каковы бы ни были целые числа ттц, ш2, ш3,
существует двухпараметрическсе семейство целочисленных решений этого
уравнения. Тем самым доказано, что плоскость (Nr) = 0 является атомной
плоскостью.
Из доказанного следует, что для любого дифрагированного луча s можно
указать атомную плоскость, а следовательно, и бесконечное семейство па-
параллельных ей атомных плоскостей, при зеркальном отражении от которых
возникают лучи того же направления, что и рассматриваемый дифрагирован-
дифрагированный луч. Тем самым доказано, что условием Вульфа-Брегга охватываются

§ 4. Рентгеновские лучи и плазма	113
все направления, по которым могут распространяться дифрагированные рент-
рентгеновские пучки. Значит, каждый боковой пучок, возникший при дифракции
на той или иной атомной плоскости, совпадает по направлению с пучком,
зеркально отразившимся какой-то другой атомной плоскостью. Направлениями
зеркально отраженных лучей исчерпываются все возможные направления на
дифракционные максимумы.
218.	В принципе дифракция возможна всегда, но угол дифракции ни-
ничтожно мал, особенно при нормальном падении лучей на решетку. Кроме
того, падающий пучок должен быть в высокой степени параллельным. Прак-
Практически дифракция рентгеновских лучей на решетке не наблюдается, когда
углы падения значительно отличаются от 90°. Только при приближении угла
падения к 90° удается преодолеть указанные трудности. Обычно углы падения
выбирают больше предельного угла полного внутреннего отражения. Тогда
удается получать отчетливую дифракцию рентгеновских лучей от обычных
отражательных решеток.
219.	1; 2; 4.
220.	Будет наблюдаться система концентрических колец (центр — след
первичного пучка). tg26 = z/R, 2dsinO = п\.
221.	Для калия а = %/2Атъ/5 = 5,35 • 10~8см. Для алюминия а =
= %/2Атн/8 = 4,05 • 10~8см, где А — атомная масса, шн — масса атома
водорода.
222.	Пусть одна из плоскостей проходит через начало координат. По
определению миллеровских индексов соседние параллельные ей плоскости
отсекают на осях координат отрезки a/h, a/k, a/I. Следовательно, уравнение
этих плоскостей будет hx + ky + lz = а. Из этого уравнения находим искомое
межплоскостное расстояние:
d =
л/h2
223. l)dioo = o, duo = a/
224.	aNaCi = ^/Ji/2Nlp = 0,2814 нм; aFe = л/2^/ИАр = 0,287 нм (NA -
число Авогадро, \i — молярная масса).
225.	А = 0,147нм.
226.	d = 0,628 нм.
227.	Ni.
228.	Рассматриваемому излучению соответствует энергия
Я= 13,6(Z- 1J- ^эВ,
где Z — порядковый номер элемента. Минимальное значение Z определится
из условия А < 2d. Отсюда легко получить Z > 18.
229.	Условие пропускания: А > 2d, где А — длина волны де Бройля для
бериллия. Отсюда
230. Для сколь угодно удаленной точки наблюдения среду можно разбить
параллельными плоскостями на бесконечно тонкие слои, перпендикулярные

114	Ответы и решения
к направлению распространения волны. Поперечные размеры слоев практи-
практически ничем не ограничены. Каждый такой слой будет содержать практи-
практически неограниченное число частиц, и поэтому на далеких расстояниях его
излучение совпадает с излучением макроскопического тела. Для большей
конкретности каждый слой можно разбить на зоны Френеля и применить для
вычисления поля излучения метод зон Френеля. Подобными рассуждениями
легко убедиться в том, что показатель преломления имеет смысл для сколь
угодно разреженной среды. Он определяет скорость распространения фазы.
233. Время распространения сигнала
Г dx
J ^rp
, ^ If	dx
с
где сиш — плазменная частота, т.е. и2л = Аттп(х)е2/те. Разлагая корень,
находим время запаздывания At, а затем число свободных электронов
Г / \ т At 2тг	. 1Г.17
N = пух) ах = —— ~2—Г2 ~ 4 • 10 электронов,
J	го/с А2 — Aj
где го = е2/(тес2) = 2,8 • 10~13см — классический радиус электрона.
§ 5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле
234.	/х = е/г/Dтгшс) = 0,92 • 1О-2Оэрг/Гс.
235.	fj,/l = e/Bmc).
238.	(f ^/х2/г3^3- Ю4эрг.
239.	и = 2nl/J, где п — число атомов в цилиндре и J — момент инерции
цилиндра.
240.	а = ц/l = 2M/(ol>J), где М = п/л — магнитный момент цилиндра.
241.	и = ъ/гА0 Lp = 1,12 • 10~3 с. Здесь т — масса цилиндра, L — его
Mm2 r	лт	а
длина, М — атомная масса железа, р — его плотность, Na — число Авогадро.
242.	/ = /г/Dтг) = 0,52 • 10~27 эрг/с; /х = е/г/Dтгшс) = 0,92 • 1О-2Оэрг/Гс;
a = ii/l = e/(mc) = 1,76 • 108 с/Гс.
243.	Н: 2; Li: 2; Fe: 1, 3, 5, 7, 9; Cl: 2, 4, б, 8; He: 1, 3; Mg: 1, 3; Hg: 1, 3;
U: 1, 3, 5, 7.
244.	Sr+: 2; LI+: 1, 3; Ca+: 2; C++: 1, 3; O++++: 1, 3.
245.	4.
246.	Дср = е/гЯ/Dтгшс); число уровней равно семи.
247.	На 3 компоненты (в силу правила отбора Am = 0, ±1).
248.	А^ = —?i-A/_!_ Agcos^). Z = 1, п = 2, / = 1, s = 1/2,
2тасаъп 2тг тс 2тг
cos(/s) = ±1, а\ = А3а30, А& = 2 • 107эрг.
249.	АЛ = 0,0003 нм.
250.	Если Аи — интервал между компонентами с внутренними квантовы-
квантовыми числами j и j' = j + 1, то Аи пропорционально f.
251.	2j+ 1.
252.	На 2.
253.	$ = сро + mg-A	, где $ — энергия атома в поле, Ш$ — энергия без
4тгтс
поля, m = -j, -J + 1, ..., +з и g" = Bj + 1)/BZ+ 1).

§5. Сложные атомы. Атом в магнитном поле
115
254.	На 18.
255.	6.
256.	2п2.
258.	2B/+1).
259.	L^^f =4,3 см.
260.	Множитель Ланде
Для терма рз/2 j = 3/2, / = 1, s = 1/2 этот множитель равен g\ = 4/3; для
терма si/2 j = 1/2, / = 0, s = 1/2, а потому g = g2 = 2. Смещения подтермов,
на которые расщепляются соответствующие термы, пропорциональны grrij,
где rrij — проекция полного момента j на направление магнитного поля.
Соответствующие значения приведены в следующей таблице:
РЗ/2
Sl/2
Vflj
grrij
Vflj
grrij
-3/2
-2
-1/2
-2/3
-1/2
-1
+ 1/2
+2/3
+ 1/2
+ 1
+3/2
+2
Разрешенные переходы между подтермами удовлетворяют правилу отбора
{mj)x — (mjJ = О, ±1. Остальные переходы являются запрещенными. Разре-
Разрешенные переходы и соответствующие им номера испускаемых спектральных
линий с указанием поляризации (тг или а) приведены в следующей таблице:
Переходы
1 i
см см
со со
1 1
1 1
см см
+ 1/2-
+ 1/2-
3/2-
3/2^
1 2
,+1/2
,-1/2
^+1/2
,-1/2
,+1/2
,-1/2
,1/2
-1/2
Поляризация
запрещен
G
G
7Г
7Г
G
G
запрещен
{grrijI -{grrijJ
—2 — (—1) = —1
—2/3 - 1 = -5/3
-2/3+1 = 1/3
2/3- 1 = -1/3
2/3 + 1 = 5/3
2-1 = 1
№ линии
2
1
4
3
6
5
Смещенные линии расположены симметрично относительно несмещенной:
три линии смещены влево, остальные три — вправо. Всего получается шесть
смещенных компонент.
Магнитное поле считается слабым, если ларморовская частота еВ/2тес
мала по сравнению с частотой 2тгсДА/А2, соответствующей расстоянию
в частотах между компонентами исходного мультиплета. Это дает В <С
<С 4тгтес2ДА/еА2. В этом случае получается сложный эффект Зеемана. Для
D-линии натрия должно быть В < 3,7 • 105Гс. В противоположном случае
эффект Зеемана будет простым.
261. Как показано в предыдущей задаче, одна из линий дублета расщеп-
расщепляется в магнитном поле на б компонент с расстоянием между крайними
компонентами

116	Ответы и решения
где О = еН/2тес — ларморовская частота. (Аналогично, но на 4 компоненты
расщепляется вторая линия дублета.) Спектральный прибор для исследования
расщепления должен не только разрешать расщепленные линии, но и не
должен давать перекрытия порядков. Значит, область дисперсии АЛ должна
быть не меньше
Аи _ Л2 10 еЯ _ 5 Л2еЯ
из 2тгс 3 2тес 6 тгтес2
Подставляя АЛ = Л/m, где m = d(n — 1)/Л — порядок спектра, получим
6тгтеС
262. Нормальный (простой), так как рассматриваемая линия — синглет.
Разрешающая способность интерферометра N3$m должна быть не меньше
uj/Suj, где Suj = О = еН/тес. Величина SX = —— du должна быть меньше
дисперсионной области Х/т, где т = L/X — порядок спектра. Из этих условий
получаем
2тгтес2	2тгтес2
< <
эф	еЯ '
или в рассматриваемом случае
0,54 мм < L < 10,7 мм.
263. Энергия магнитного взаимодействия позитрона и электрона & ~
~ Мв/^3. гДе Мв = eh/2mec — магнетон Бора, а г = 8h2/mee2 — радиус 2-й
боровской орбиты позитрония. Возможны два состояния позитрония: с парал-
параллельными и антипараллельными спинами. Разность энергий в обоих состояни-
состояниях А& = 2&. Отсюда нетрудно получить
где а = e2/fic = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Соответствующее
расщепление в длинах волн АЛ ~ 88 см.
264.	Требуемое получается усреднением выражения s2 = s2x + s2y + s2z
с учетом симметрии пространства.
265.	109.
266.	п/щ « 5 • Ю-6.
§ 6. Экспериментальные методы ядерной физики
268.	т = fipV/RT « 0,2 г.
269.	Т2 = Тхк1'1 « 268 К, ?2 = -5°С.
270.	По определению S = pi/рг, где pi = mi/Vi, p2 = m^/V^. Здесь mi —
масса пара, насыщающего сжатый объем камеры V\ при температуре Т\,
а 7П2 — масса пара, насыщающего расширенный объем камеры У2 при темпе-
7П] Vе)
ратуре Тч. Таким образом, S =	. По уравнению Клапейрона для пара до
1712 ^1

§ 6. Экспериментальные методы ядерной физики	117
и после расширения камеры находим
Второе из этих уравнений относится к случаю, когда избыток паров сконден-
сконденсировался, причем мы пренебрегли незначительным повышением температу-
температуры за счет конденсации. Из этих уравнений, используя уравнение адиабаты
7~\ найдем
s= — (YlY~1 = ^h1'1
271.	Для воды: 1) 3,1, 2) 4,1; для спирта: 1) 2,3, 2) 2,7.
272.	? = 6,5.
273.	RKp = 2сг/(Рп — Рж) ~ 4 • 10~7см. Мы пренебрегли зависимостью
давления насыщенного пара от кривизны поверхности. Легко убедиться, что
это допустимо.
274.	Энергия (^-электрона & должна быть не меньше энергии образования
пузырька с радиусом RKp (см. задачу 273). Последняя энергия складывается
из поверхностной энергии пузырька и теплоты испарения жидкости в пузырек.
Поэтому
& > A7raR% + — R%nq « 200 эВ,
о
поскольку число молей в единице объема пара при давлении Рп и критический
радиус равны соответственно
п = Pu/RT = 5,4 • 10, Якр = 2сг/(Рп - Рж) = 9 • 10 см.
275.	Ю-7.
277.	7-кванты двигались снизу вверх. На снимке отчетливо видны две
пары (электрон и позитрон), созданные 7-квантами.
278.	Одиночный «жирный» след на одной из фотографий принадлежит
ядру гНе3, образованному в результате реакции
На другой фотографии зарегистрирована реакция
где более «жирный» след соответствует тритону, а тонкий след — протону.
279.	Центральный след принадлежит мюону. Действительно, этот след
не может быть следом электрона, так как энергия частицы, создающей след,
больше, чем энергия электронов, а толщина трека шире. Но центральный след
не может быть и следом протона, так как на фотографии видно, что трек
слегка изгибается в магнитном поле камеры, и, следовательно, его энергия не
может быть очень большой. При небольших энергиях трек протона был бы
значительно толще. Мюон от пиона можно отличить по характеру распадов
и поглощению веществом.
280.	Около 76000 фотографий.

118	Ответы и решения
281. Число расщеплений п = пящсг, где пя — число ядер углерода в про-
пропане, облучаемых потоком фотонов из щ эффективных квантов. Это дает
= А,А- 108см2,
пяпф 3KfSDpNA
где /х — молекулярная масса пропана, Na — число Авогадро.
282.	g = рс « 600 МэВ.
283.	8П0ЛН = М<?у/\ + (еНр/Мс2J = 1113 МэВ; 8КИН = ^полн - Мс2 =
= 175 МэВ, где М — масса протона, е — его заряд, с — скорость света,
р = a2/8h — радиус кривизны следа.
12
284. М = .	—те. Масса мюона М в единицах массы
\/\32У	2
электрона равна ~ 202ше. В остальных случаях: 1) 212ше, 2) 211ше, 3) 241ше,
4) 174ше; шср = 208.
285. Решаются два уравнения:
х	(Нг)А	х	е'
где А = 5,87 • 10~4, а х = J
1) 197ше, 2) 359ше, 3) 181ше, 4) 220ше.
286.	1) 188ше, 2) 220ше, 3) 200ше.
287.	а) С уменьшением скорости частицы возрастают ее ионизационные
потери. Следовательно, число зерен на единицу длины следа увеличивается
в направлении движения частицы.
б)	При равных скоростях удельные потери для протонов, дейтонов и а-ча-
стиц относятся, как 1 : 1 : 4, а при равных энергиях - как 1 : 2 : 16.
в)	« 1; 1,55; 4,05. Плотности зерен различаются существенно меньше,
что весьма затрудняет разделение одинаково заряженных частиц на равных
пробегах.
288.	а) Равенство плотности зерен указывает на равенство скоростей
частиц (см. задачу 287). Из приведенной формулы следует, что остаточные
пробеги однозарядных частиц при равных скоростях относятся, как массы этих
частиц, т. е. Rp : Rd : Rt = 1 : 2 : 3. Очевидно, gp : gd : &t = 1 : 2 : 3.
б)	Если частицы, обозначаемые индексами а и Ъ, имеют одинаковые скоро-
скорости, то из формулы, приведенной в тексте задачи, следует:
ZbJ \Ma) а\Мь
Это соотношение — точное для частиц с равными зарядами. (В случае частиц
с разными зарядами оно останется точным, если вместо Za и Zb подставить
некоторые эффективные заряды.) Пользуясь им и зная Ra = /($) для частицы
с массой Ма, легко построить зависимость Rb = /($) для частицы с мас-
массой Мь. Результаты для тритонов приведены в табл. IV.
в)	Следует определить число зерен N на таком же участке т отрезка следа,
укладывающегося в эмульсии; из зависимости N = f(R) определить пробег,
а из зависимости & = f(R) — энергию протона, которому соответствует такая
же плотность зерен. Энергии дейтона и тритона при одинаковой плотности

§ 6. Экспериментальные методы ядерной физики	119
зерен (равной скорости) будут соответственно в 2 и 3 раза больше энергии
протона.
289.	Измерив число зерен N на последовательных участках (т) следа,
построить зависимость N = f(R) для каждой частицы. Равному числу зерен,
т. е. равной скорости, будут соответствовать различные остаточные пробеги
частиц Ri.
Определить средний угол многократного рассеяния для i-го следа на рас-
расстоянии Ri от конца следа. Так как в точках, находящихся на указанных
расстояниях от конца следа, скорости частиц равны, то отношение углов
рассеяния равно обратному отношению масс.
290.	Медленные тг~-мезоны в поле ядра захватываются на боровскую
орбиту и, взаимодействуя с ядром, поглощаются им. При этом происходит
расщепление ядра. В фотографических эмульсиях след мезона оканчивается
в большинстве случаев звездой (см. рисунки VIII, X, XI). Следует, однако,
иметь в виду, что в эмульсиях приблизительно в 30% случаев поглощение
тг~-мезонов приводит к испусканию только нейтральных частиц.
Медленный тг+-мезон распадается на /х+-мюон с энергией 4,1 МэВ и ней-
нейтрино, /х+-мюон в свою очередь распадается на электрон и два нейтрино. Таким
образом, в фотографических электроночувствительных эмульсиях в конце про-
пробега тг+-мезона наблюдается след /х+-мюона определенной длины (~ 600мкм),
а в конце следа /х+-мюона — след электрона (см. рис. VI).
291.	На рис. VII показаны две звезды, соответствующие реакции
6С12 + 7 -> 2Не4 + 2Не4 + 2Не4.
Никакое другое из легких ядер эмульсии не может дать расщепление на три
одинаковых частицы.
а)	Энергию частицы 3 можно определить из закона сохранения импульса:
рз = р! + р2. Если Ш\ = &2, то отсюда &з = 2&\(\ + cos а). Из табл. IV
находим, что пробегу R = 15,3 мкм соответствует энергия а-частицы, равная
4МэВ. Это дает g3 « 10МэВ. Энергия 7-кванта: g7 = Ш\ + &2 + $з + Къ-
Энергия связи Ш'св равна разности масс начального и конечного состояний
и в нашем случае составляет ~ 7,3 МэВ. Следовательно, Ш1 ~ 25,3 МэВ.
б)	Если реакция идет в две стадии, то испускание а-частицы приводит
к образованию ядра бериллия. Это ядро нестабильно в основном состоянии
и распадается на две а-частицы. Хорошо известно также возбужденное со-
состояние Be8 с энергией возбуждения ~ 2,9 МэВ. Если в результате расчета
мы получим эту энергию возбуждения, то тем самым будет доказано наше
представление о процессе распада С12G, За). Общее выражение для энергии
возбуждения ядра, распадающегося на две частицы 1 и 2:
где ?7ii, ?7i2, тпз — массы частиц, а Ш"в — энергия связи рассматриваемого
промежуточного ядра, равная разности масс этого ядра и частиц распада. Оно
получается из следующих соотношений:
^A+2) = ^A+2) + ^св, ^A+2) = ^1 + Щ.-,
%1 - <^св = ^3 + ^A+2) + ^A+2), ^7 - ^св = $1 + ^2 + $3,

120	Ответы и решения
где Щ и Щ — энергии частиц 1 и 2 в системе центра масс промежуточного
ядра, <^(i+2) — кинетическая энергия промежуточного ядра. Учитывая, что
рз =р(\л-2), т.е. $п+2) = $з	—, легко получить указанное соотношение.
ТП\ + ГП2
Для Be8 ере" = —0,1МэВ, и, следовательно, cpge8 ~ 2,9 МэВ. Таким образом,
процесс расщепления С12G, За) действительно идет с образованием промежу-
промежуточного ядра Be8 в возбужденном состоянии с энергией « 2,9 МэВ.
292. а) След / принадлежит тг~-мезону (см. задачу 290). Так как про-
происходит фоторасщепление дейтона, то суммарный заряд двух других частиц
должен быть равен +2е, а их суммарная масса — 2 а.е.м. При указанных
в задаче энергиях 7-квантов можно ожидать лишь реакцию типа
б) Пусть ядро массы шз, на котором произошло рассеяние, вначале покои-
покоилось. Пусть $3 — энергия этого ядра после рассеяния, а &2 — энергия частицы
с массой 7П2 после рассеяния. Из закона сохранения импульса следует:
где в — угол между направлениями движения рассеянных частиц (в = 90°
при 7712 = тпз). Этому условию удовлетворяет рассеяние протонов на водороде
и рассеяние дейтонов на дейтерии, которым были наполнены эмульсии. По-
Последнее, однако, исключается, поскольку дейтоны в рассматриваемой реакции
не испускаются. В случае рассеяния протонов на дейтерии при <$з = 2^2 угол
6 = 120°.
293. a) 3Li8 -»> е~ + v + 4Ве8*; 4Ве8* -»> 2Не4 + 2Не4. Произошел распад
ядра 3Li8 на электрон и нейтрино. При этом образовалось ядро 4Ве8* в возбуж-
возбужденном состоянии, которое распалось на две а-частицы. «Молоточковый след»
мог быть вызван также процессом
5Ве8 -> е+ + v + 4Ве8*; 4Ве8* -> 2Не4 + 2Не4.
б) Так как распад 3L18 произошел в конце пробега, то максимальную ки-
кинетическую энергию электрона можно вычислить из разности масс начального
и конечного состояний, учтя потерю энергии на возбуждение 4Ве8:
Am = (my + 3me) — [(шве + 4те) + 771е] + 77le ~ 16МэВ,
где тли и тпве — массы ядер. В таблицах (см. табл. VI) приводятся обычно
массы атомов. Последний член уравнивает число орбитальных электронов
в начальном и конечном состояниях. Так как две а-частицы разлетаются
в противоположные стороны, то кинетическую энергию 4Ве8 можно считать
равной нулю, и энергия возбуждения 4Ве8 равна
Тогда (^е-)макс ~ 13,1 МэВ. Распад 3L18 в 90% случаев идет на уровень 4Ве8,
равный 2,9 МэВ.
294. Звезда на рис. X вызвана реакцией
4Ве9

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	121
Энергия покоя тг~-мезона 139,6МэВ. Энергия связи, определенная по разности
масс, равна 18,2МэВ (см. табл. VI). Энергия &q, распределяющаяся меж-
между продуктами реакции, составляет 121,4 МэВ. Законы сохранения импульса
и энергии:
$Li	TTln	eg	eg	о?
-?- = 	, ©О = GLi + ©п.
©п	ГПи
В нерелятивистском приближении: энергия нейтрона 108 МэВ, энергия лития
13,4МэВ.
295.	а) В нейтронной физике медленными нейтронами считаются нейтроны
тепловых скоростей. Поэтому энергией и импульсом нейтрона в рассматрива-
рассматриваемых реакциях можно пренебречь. Указанные в задаче звезды будут состоять
из двух противоположно направленных следов частиц. Энергии частиц можно
определить из законов сохранения. Энергия, распределяющаяся между части-
частицами, будет равна разности масс начального и конечного состояний. В случае
второй реакции часть этой энергии идет на возбуждение Li7. (Используйте
табл. VI.)
Первая реакция: &0 = Am = 4,65 МэВ, &а = 1,98 МэВ, &нз =
= 2,66 МэВ, Ra + RH3 « 42 мкм.
Вторая реакция: &0 = Am = 2,87МэВ, &а = 1,51 МзВ, &и =
= 0,86 МэВ.
б) Быстрые нейтроны рассеиваются в эмульсии на водороде. Из закона
сохранения импульса легко получить Шп = ^p/cos2/3, где C — угол между
направлениями движения рассеянного протона и налетающего нейтрона. Чтобы
определить энергию нейтрона, надо измерить угол C и пробег протона.
296.	К-мезон распадается на два тг+-мезона и один тг~-мезон. Заряд К-
мезона положительный. Выражая массы в энергетических единицах, можно
написать
шк = Зтт^ + &щ + ^2 + К3 = 490,2 ± 6,1 МэВ.
Ошибка в определении масс тг-мезонов не учитывалась. (Массу тг+-мезона см.
в табл. VIII.)
297.	4,2- Ю-14 А.
298.	Изменение потенциала собирающего электрода: AV = Q/C; заряд,
собранный на нем: Q = AV • С = 2 • 10~12Кл. Число пар ионов, созданных
в камере космическими частицами: N = Q/e = 1,25 • 107. Средний путь косми-
космических частиц в камере равен 2ir/d, где d — диаметр камеры. Таким образом,
одна частица в среднем создает 306 пар ионов. Следовательно, через камеру
прошло -^— • 107 = 4,1 • 104 частиц.
306
d
тг/2	/ тг/2
299.	4± = ^=,cos0= \ cosOsmOdO / Г sinOdO = -, d3(b = 2d.
cos6>	0	/0	2
300.	9 • 107 пар ионов в секунду.
301.	Из уравнения для ///нас получаем 0,3524г = 1пA +0,3595г). Решая
это уравнение графически, находим г = 0,111 Р. Максимальная интенсивность,
измеряемая камерой при указанных условиях, около 2,8Р.
302.	За 4,2 ч.
303.	2,7°С.
304.	0,8 • 107 7-квантов.
305.	П/п= ^ф/С
306.	5,6 • 104 фотонов.

122	Ответы и решения
307.	Так как эффективность регистрации заряженных частиц равна 100%,
то сцинтилляционный счетчик должен регистрировать каждый 7~квант> по~
глощенный или рассеянный (неупруго) в счетчике. На этом основании для
искомой эффективности счетчика нетрудно получить / = 1 — e~^d.
308.	N1 = N/f ~ 18 7"квантов в секунду. Здесь N — число световых
импульсов в секунду. Выражение для / дается в ответе к предыдущей задаче.
309.	V=^k 16B.
310.	40В.
311.	Около 140кэВ.
312.	0,16- 10"9А.
313.	У = УАг1п^/1п
/
314.	а) Амплитуда импульса напряжения в пропорциональном счетчике
У = QA/C, где Q — заряд быстрых частиц, С — емкость. Зная энергию
а-частицы и среднюю энергию образования пары ионов, можно найти среднее
число пар ионов, образуемых а-частицей на полном пробеге, а затем на 1 см
ее пути. Последнее число равно 7,3 • 104. Зная средний путь, проходимый
а-частицей в счетчике, легко найти, что среднее число пар ионов, созданных
а-частицей при прохождении через счетчик, равно 1,1 • 105. Ему соответствует
амплитуда импульса напряжения 1,63 В.
б) 1,7- 10"* В.
315.	Если число частиц, зарегистрированных счетчиком, равно п, а раз-
разрешающее время счетчика т, то в течение времени пт счетчик не сможет
зарегистрировать ни одной из попавших в него частиц. Число частиц, про-
прошедших в течение этого времени через счетчик, равно Nnr. Следовательно,
полное число частиц, прошедших через счетчик в единицу времени, равно N =
= п + Nnr, т.е. сумме зарегистрированных и незарегистрированных частиц.
Отсюда для разрешающего времени счетчика получаем т = (N — n)/Nn.
316.	т = ^ [l- ,/l-ni2(ni+n2-ni2) 1=2,3-КГ* с.
317.	N = 1250с-1.
318.	Так как разрешающее время фотоумножителя меньше разрешающего
времени кристалла, то фотоумножитель зарегистрирует все частицы, зареги-
зарегистрированные кристаллом. Следовательно, число зарегистрированных частиц
будет определяться только временем высвечивания стильбена: п = N/(\ +
+ Nr) = 3,7- Ю'с.
319.	Число частиц, зарегистрированных счетчиком: щ = N/{\ + Nr\).
Число импульсов счетчика, зарегистрированных регистрирующим устройством:
п = —^— = 	^	 = 2,1 • 103 с.
1 + П\Г2	1 + N(T\ + Т2)
320.	Число случайных совпадений равно и = 2гп\П2. Множитель 2 по-
появляется потому, что разряд во втором счетчике может либо предшествовать,
либо следовать за разрядом в первом счетчике с интервалом т.
321.	Число совпадений ои = 2гп2, откуда п = 106 частиц.
322.	Прохождения через счетчик космических частиц, составляющих фон,
можно рассматривать как случайные события. Известно, что если вероятность
события пропорциональна времени, в течение которого это событие наблюда-
наблюдается, то среднее квадратичное отклонение D = \/(п — пJ = л/п, где п —

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	123
наблюдаемое число событий, an — истинное среднее значение числа событий.
Если наблюдаются два независимых события, то D\2 = JD\ + D\ .
Относительная ошибка равна у D2 + D% /п. В нашем случае D2 = п,
a D\ = 8гг. Следовательно, относительная ошибка равна 3/\/Й. Отсюда нахо-
находим, что п должно быть не меньше 900.
323.	5% мин.
324.	Время измерения в первом случае (без употребления схемы совпаде-
совпадений) равно 67 мин, а во втором случае — 10 с.
325.	а) Найдем направление среднего излучения, для чего потребуем,
чтобы
[	[ -j =4тт(<90);
таким образом, следует взять cos2 ^о = 1/3.
б) Полный выход на один первичный дейтон:
х (Ш)	№
N' = 2М I a(x) dx = 2М
о	о
Дифференцируя по &, получаем
dN' _ 2М(т
~Ж ~ \d%/dx\'
учитывая, что N' = 1,6 • 1O~137V, имеем
- 6 103 Х d% dN _ 1,9- Ю-23
° ~ '	2M dx d& ~ y/%
326.	Энергия протона отдачи равна $cos20 = &\ @ — угол между на-
направлениями налетающего нейтрона и протона отдачи). Дифференциальное
сечение возникновения протона отдачи в системе центра масс пропорционально
телесному углу dcosOo, где во — угол в системе центра масс. Но во =
= 2в, поэтому d cos во = 2<icos2#. Следовательно, сечение пропорционально
d(%i/%). Таким образом, сечение возникновения протона с энергией &\ > %0,
равно cos2 ва(&)(ё — &о)/$, т.е. пропорционально Ш~ ' A — Шо/Щ. Этой же
величине пропорциональна чувствительность детектора.
327.	Вероятность деления каждого ядра урана ujf = n<7f/DirR ) = 1,47 х
х 1О~2Ос~1, а вероятность а-распада ооа = 1п2/т = 5 • 10~18с~1. Отно-
Отношение числа импульсов oja/ojf = 340, а отношение выделяемых энергий
op I / w \ 	 1 о
Ввиду большого числа импульсов от а-частиц необходимо обеспечить
такую чувствительность, чтобы они не считались.
W
328.	1) Энергия всех электронов Ш = — 1т = 1,2 • 10 Дж.
2) Отношение магнитной энергии к кинетической
K = Si^D + i) = 36'4-
са2 V тс2 + W

124	Ответы и решения
4) Для того чтобы силы, действующие на ионы и электроны, были направ-
/ тс2 х2
лены к оси, необходимо, чтобы пе > n\Z > пЛ —^	) , где пе — плотность
V тс2 + W J
электронов, П[ — плотность ионов, Ze — заряд ионов. Действительно,
F\ = 2rKe2{Zri[ — ne)Zr,
[29	"I
Пе( 71 w) -ZTblr,
\ me2 + W J	J
/	/
Пе = 	s- ~ 	S--
329. Если ^ — полная энергия электрона, то
<№_ _ еФ(Д) ^
<2? ~~ с 2тг'
где и = ecH(R)/& — циклотронная частота для электрона. Радиус орбиты
mcv	ШC	о .
электрона в магнитном поле равен it = —— = —-—-—, где р = v/c. Диффе-
еН еЫ(К)
ренцируем R:
dR _ R d%	(Н дН
~dt ~ ~&]Р ~dt ~ \~H + ~dR
Вводя обозначение п =	—— и помня, что d<$/dt = dW/dt, после неслож-
Н dR
ных преобразовании найдем
A -n) dR _ Н ( Ф
R dt ~ H \2izR2H
~
Отсюда при условии Ф/Н = Ф/Н следуют утверждения, подлежащие доказа-
доказательству. Здесь точкой обозначена частная производная по времени.
330. Рассмотрение устойчивости движения можно свести к статической
задаче, переходя к вращающейся системе координат. Во вращающейся системе
* 2 /о тт eH(R)v
на частицу действуют центробежная сила mv /R и сила Лоренца	.
Результирующая сила
mv2 eH(R)v
Движение по окружности постоянного радиуса Ro в нашей системе соответ-
соответствует положению равновесия:
о
щ	с
Для того чтобы это положение равновесия было устойчивым, сила f(R) долж-
должна быть восстанавливающей. Это значит, что при R > Ro сила / должна
быть меньше нуля, т. е. направлена в сторону меньших радиусов. Наоборот,
при R < Ro сила / должна быть больше нуля, т. е. направлена в сторону
больших радиусов. Легко видеть, что это осуществляется, если H(R) убывает
не быстрее, чем 1/R. Указанное выше требование к / может быть перенесено
на df /dR, так как f(Ro) = 0, и, следовательно, в окрестности Ro функция

§6. Экспериментальные методы ядерной физики
125
Отсюда легко найдем, что для устойчивости необходимо, чтобы
_RO_h
Н dR
331. Магнитное поле, уменьшающееся к периферии магнита, имеет «боч-
«бочкообразный» вид (рис. 22). Стрелками показано направление действия силы
Лоренца на ионы, находящиеся вне центральной плоскости. Рассматривая дей-
действие на заряженную частицу компоненты поля, направленной вдоль радиуса,
легко доказать устойчивость движе-
движения.
Наоборот, если поле растет к пе-
периферии, то магнитные силовые ли-
линии втягиваются внутрь магнита,
и движение будет неустойчивым.
Аналитическое доказательство
следующее. Сила, действующая в на-
направлении оси Z (ось Z совпадает
с осью симметрии поля), равна
ev , . ev dHr
fz = -Hr(z,r) = -—z,
так как в силу симметрии Яг@, г) =
= 0. Из условия rot H = 0 получим
-if-
\
\
I # #/
1 1 11
1^
»i 111»i и 11111
,. ' 111 и м 111111
itfi-ri-H+irt+trr
П I I И 1 I I I 1 H 1 I
] 1111111 i 1111
дНг dHz
? ev dHz
отсюда fz =	-—
с дг
dz	dr
Для того чтобы сила fz была
восстанавливающей (см. задачу 330),
производная dHz/dr должна быть	рис> 22
меньше нуля.
332.	\Е(р\ = Ф/BтгRe). Легко доказать, что при выполнении бетатронного
условия (см. задачу 329) dE^/dR = 0 и d2E^/dR2 = 0, если -^ Щ- < 1.
Н oR
Расположим витки на разных орбитах в бетатроне и измерим ЭДС индук-
индукции. Построим график, на котором по оси ординат отложим ЭДС индукции,
деленную на 2ttR, а по оси абсцисс отложим радиус R, на котором находился
виток. Полученные точки соединим плавной кривой. Ее минимум будет соот-
соответствовать положению равновесной орбиты.
333.	За один оборот электрон теряет 12 эВ на излучение. При указанных
условиях потери на излучение за один оборот электрона и приобретаемая энер-
энергия сравняются при 292 МэВ. Собственная энергия электрона равна 0,51 МэВ.
334.	Для того чтобы расстройка была наименьшая, очевидно, частота
обращения и частота электрического поля должны совпадать, когда протон
достигнет половины конечной энергии. В этом случае в центре магнита частота
обращения будет больше частоты электрического поля. Когда протон достигнет
половины максимальной энергии, частоты сравняются. При достижении конеч-
конечной энергии частота обращения будет меньше частоты электрического поля как
раз на ту величину, на которую она была больше в центре магнита. В нашем
случае максимальная энергия W\ равна 44,5 МэВ. Действительно,
Ш2 v2
e2tf2 c2
е2Я2

126	Ответы и решения
где & = &Q + W — полная энергия протона, а &о = 938,2 МэВ — собственная
энергия протона. Отсюда
W = y&0 + e2R2H2 - g0.
Циклотронная частота
^= * ?С^Л/О = 1,404-Ю8 рад/с.
335. Пусть дейтон приобретает энергию за один оборот, равную а. Тогда
скорость роста энергии d%/dt = аи/2тг, где и — циклическая частота об-
обращения дейтона. Известное выражение для частоты и = есН/& перепишем
следующим образом:
= есН,
Z7T /
О
где &о = 18,76- 108эВ — энергия покоя дейтона. Дифференцируя это соотно-
соотношение по t и считая Н = const, получим дифференциальное уравнение для
нахождения uj(t):
^з + 2тгесЯ ~ '
В результате получим
u(t) = -^p=, где А =
2тгесЯ'
В нашем примере сс;нач = 0,719 • 108 с 1,А = 92с 1. Полное изменение частоты
Аш/шнач = (%-%о)/%о = 10,65%.
336.R=—Xll- ~°'®°
у	ф sin2 fit '
337.	1. Изменение радиуса равно 0,6 см.
2.	Через 83мкс после того, как магнитное поле перешло через нуль.
3.	При вычислении длины траектории в бетатронном режиме можно счи-
считать, что магнитное поле изменяется линейно со временем, так как бетатрон-
ный режим длится 83 мкс. За это время фаза Ш изменится несколько больше
чем на 1,5°. Энергия, приобретаемая частицей за один оборот, равна 136 эВ.
Следовательно, в течение бетатронного режима электрон совершил 1,46- 104
оборотов и прошел путь, равный 27 км. В синхротронном режиме можно
считать с очень большой степенью точности, что v = с. Отсюда находим, что
путь, пройденный электроном в синхротронном режиме, равен около 5000 км.
338.	Так как Т ^> t, то в каждом цикле ускорения счетчик не может
зарегистрировать больше одного импульса.
Пусть t = 2т; тогда число случайных совпадений
При t > 2т число случайных совпадений уменьшится в отношении 2т/t:
N_ 2JV,JV2r
ft

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	127
При t < 2т N не меняется, пока т < 1//.
Таким образом, при импульсной загрузке счетчиков число случайных
совпадений сильно возрастает по сравнению с таким же числом в режиме
непрерывной загрузки счетчиков.
339.	wo(t) = oJk/VL2 + 1 , где L = $o/(eRoH), ouK = c/Ro — частота об-
обращения в предельном случае, когда скорость частицы v ~ с (с — скорость
света, &о — энергия покоя частицы; для протона &о = 958 МэВ, для электрона
(fo = 0,511 МэВ).
340.	Поскольку ускорение происходит на орбите постоянного радиуса, ско-
скорость нарастания энергии должна быть такая же, как и в бетатроне. Используя
это замечание, найдем, что на одном обороте протон приобретает 191 эВ.
Максимальная энергия равна примерно 1,3- 109эВ; длина пути протона —
1900 км.
341.	Частота ик при наличии прямолинейных промежутков равна 2тгс/П,
где П — периметр орбиты (см. задачу 339). В нашем случае ик = 2тг • 1,44 х
х 106с~1, a L = 0,28/t, где t — время в секундах, отсчитываемое от момента
обращения магнитного поля в нуль. 1. Магнитное поле в начале процесса
ускорения Н = 155 Э. 2. Ошибка в частоте Аи при (З2 <С 1 смещает орбиту на
величину
„ Аи	П -
AR=-R	-, где F=l
F
nil
Это выражение получается дифференцированием закона связи сио и Н (см. за-
задачу 339) в предположении, что L >> 1; п — показатель магнитного поля,
равный 2/3. В нашем случае \AR\ = 11 см.
342.	Около 20МэВ/с = 3,2 • 1(Г12 Вт.
343.	AV^ =% — (^-tY ~ — ^4кэВ (см. задачу 333), где R - в м,
R V tyiqc2 ) R
a g - в ГэВ;
Подставляя данные, получим для синхротрона
%= 100 ГэВ: AW = 2,83 ГэВ, Q = 8,4 • 1015 ГэВ = 1,36 МДж, Р = 6,8 МВт;
%=ШэВ: AW = 28,3 МэВ, Q = 4,48 МДж, Р = 6,8 МВт.
344. К = 1,1 • 1010. Длина волны, соответствующая максимуму интен-
интенсивности, Л = 1,1 нм. Интенсивность излучения Р = d<$/dt = AW • Nc/U =
= 1,7 МВт. Направленность излучения настолько велика, что она не сказыва-
сказывается на расходимости пучка по вертикали. Расходимость пучка определяется
амплитудой z вертикальных колебаний. Угол между скоростью частицы и сред-
средней плоскостью
z
=
с
4 ю
с	с	R
Таким образом, на расстоянии 4 м излучение будет сосредоточено в кольце
высотой 3,2см. Площадь кольца S = 4 • 103см2. Учитывая, что в нужный
диапазон частот попадет 10% излучения, получим плотность интенсивности
4,3 Вт/см2.
345. Уравнение вертикальных колебаний:

128	Ответы и решения
где и — частота обращения по орбите, п — показатель магнитного поля
/	d\nHz\
Амплитуда колебаний затухает с инкрементом
7 2$ dt
=	y=.1oc
dt 3R2$ КтсЧ	R2	'
где R — вм, аср — в ГэВ. Поскольку 7 зависит от времени, то затухание
колебаний определяется множителем
Г 2,1
J —
( Г 2,1$10 7
xpv J —^—
346. Для того чтобы частица попала в ускоряющее поле при одном и том
же значении разности потенциалов, необходимо, чтобы расстояние между
серединами соседних щелей 1п росло пропорционально скорости частицы:
vnT _ Хрп _ А / (%о\
T"TV Ш
где А — длина волны электрического поля. Действительно, в этом случае
время, затраченное на пролет между двумя щелями, будет равно Т/2. Пусть
за каждое прохождение частица приобретает энергию еУк < eVo; тогда длина
п-й трубки
В нашем примере можно считать (Wm4 + еУв,п)/&о <С 1. Поэтому
/2Штч ,, , ^iLn = 5,2^1+0,25п.
wm4
Таким образом, длина трубок меняется от 5,2 до 16,4 см.
347.	Длина трубок при той же частоте ускоряющего поля должна быть
в два раза больше.
348.	Обозначим расстояние от входного отверстия ускорителя через z,
тогда кинетическая энергия
zz,
W = Wum + eEzz
а фазовая скорость
где &о — энергия покоя. В ускорителе для протонов v меняется в 9,5 раз, а для
электронов всего на 0,6%.
349. Согласно указанной теореме электростатики в системах, в которых
действуют только электростатические силы, не может быть устойчивого поло-
положения равновесия. Поскольку в линейных ускорителях фазовая скорость волны
v < с, мы можем рассмотреть движение в системе координат, движущейся
в данный момент со скоростью v, и свести, таким образом, задачу к электро-
электростатике. Как доказывается в упомянутой теореме, положения равновесия могут
иметь вид «седловых точек», т. е. если в каком-либо направлении имеется

§6. Экспериментальные методы ядерной физики	129
устойчивость, то в перпендикулярных направлениях устойчивость отсутствует.
Для линейного ускорителя это означает, что если имеется устойчивость в на-
направлении распространения волны («фазировка»), т. е. частица может ускорять-
ускоряться, не отставая и не опережая волну, то обязательно отсутствует устойчивость
в перпендикулярном направлении и пучок отклонится к стенке волновода.
И наоборот, если мы обеспечим «фокусировку», то будет отсутствовать «фази-
«фазировка». Преодолеть эту трудность можно хотя бы с помощью дополнительного
постоянного магнитного поля либо с помощью сеток в отверстиях диафрагм,
на которых появляются электрические заряды. В этом случае теорема электро-
электростатики неприменима, так как в движущейся системе координат появляется
либо фокусирующее магнитное поле, либо движущиеся заряды.
350. Решая тем же методом, что и задачу 348, получим, что частица
отстанет от волны на
2&0WK -
где /Знач = vHa4/c. В нашем случае (WHa4 + ^оJ/^о > 1, поэтому
351. Как видно из ответа к задаче 331, уравнение колебаний частицы в вер-
вертикальном направлении (т. е. в направлении, перпендикулярном поверхностям
магнитных полюсов) может быть записано в виде
е dHz	, .
mz--—z = 0.	A)
Так как в первой половине секторов Hz изменяется, как Rn, то A) переходит в
z - ou2nz = 0.	B)
Для второй половины секторов
z + u2nz = 0,	C)
где и — частота обращения по орбите радиуса Rq. Колебания частиц в ра-
радиальном направлении (т. е. в средней плоскости между полюсами магнита)
описываются такими же уравнениями B) и C) (п >> 1), если только поменять
местами соседние секторы. Уравнения B), C) решаются методом сшивания.
Удобно ввести азимут частиц в = ut вместо времени t. Азимут отсчитывают
в каждом секторе от нуля. Сначала сшиваются решения для двух соседних
секторов. Каждая пара секторов составляет полный период изменения условий
движения. Пользуясь этим, сошьем решения для соседних пар секторов. В ре-
результате получим
z\ = A sin у/п 0 + В cos у/п 0,
z2 = (АС - BS) shyfa в + (AS + ВС) chyfa в,	^
где	^	^
C = cosy/n—, S = smy/n—.	E)
Вводя для каждой пары секторов номер ш, пробегающий все целые значения,
получим разностные уравнения для постоянных Аш и Вш в m-м и (ш + 1)-м
5 Под ред. Д. В. Сивухина

130	Ответы и решения
секторах:
Am(SC2 + CS2) + Вт(СС2 - SS2) = Вт+и
СС2) + ВШ(СБ2 - SC2) = Am+i,	( }
где
C2 = en л/п —, D2 = shv^ -T7-
Решение уравнений F) имеет вид
Am = Deilim, Brn = fDei^rn.	G)
Подставляя G) в F), легко получить
cos \i = СС2
или, разлагая cos/x в ряд по степеням фг ir/N,
Чтобы решение было устойчивым, необходимо, чтобы | cos /x| < 1. В центре
области устойчивости cos/x = 0, т. е.
2 afNV
п =6 — .
V 7Г /
Помимо главной области устойчивости, центр которой найден, имеется
бесконечный ряд областей устойчивости вокруг тех значений п, для которых
cos/x обращается в нуль. Однако практическое значение имеет лишь главная
область устойчивости.
§ 7. Ядерная физика
(Общие указания к решению задач 352-374)
Если N — число радиоактивных атомов в момент ?, то число распадов
за время dt будет XN dt, где Л — константа, называемая постоянной распада
в единицу времени (в 1 с). Изменение числа радиоактивных атомов за время
dt равно
dN=-XNdt.	A)
Интегрируя A) с начальным условием N = Щ при t = 0, получаем закон
радиоактивного распада
N = Noe~xt.	B)
Подставляя в A) t = Т = In 2/А, видим, что за время Т число радиоактивных
атомов уменьшается в 2 раза. Время Т = 1п2/Л = 0,693/А называется периодом
полураспада радиоактивного вещества, а время т = 1/Л — временем жизни.
Активностью (или интенсивностью) радиоактивного препарата называется
число распадов, происходящих в нем в единицу времени: п = —dN/dt. На
основании A)
п = XN;	C)
активность препарата убывает по тому же экспоненциальному закону, что
и число радиоактивных атомов. В качестве единицы активности часто употреб-
употребляют кюри: 1 Ки = 3,7 • 10ю распад -с, т. е. числу распадов 1 г Ra в 1 с.

§ 7. Ядерная физика	131
Пусть (под влиянием облучения нейтронами или другими частицами или
в результате распада материнского вещества) в единицу времени образуется v
радиоактивных атомов с постоянной распада Л. За время dt число этих атомов
изменяется на величину dN:
dN = vdt- XNdt,
откуда следует (считая N = О при t = 0)
N=V-{\-e-M).	D)
Вначале (при t <Г) число радиоактивных атомов нарастает практически ли-
линейно; однако рост числа атомов постепенно замедляется, и через промежуток
времени, равный нескольким периодам полураспада, достигается насыщение
числа атомов, при котором число новых радиоактивных атомов, образующихся
в 1 с, равно числу атомов, распадающихся за то же время, т. е.
Пусть период полураспада Т\ материнского радиоактивного вещества очень
велик по сравнению с наибольшим из периодов полураспада Tk его после-
последовательных продуктов распада. По истечении времени t >> Tk число атомов
продуктов распада перестанет нарастать и согласно D) будет равно
где v — число распадов материнского вещества в единицу времени, равное
Следовательно, AiiVi = A2./V2 = ... = \Ni, т. е. активность (числа распадов)
всех членов радиоактивного семейства одинакова. Такое состояние называется
состоянием радиоактивного равновесия.
352.	А = 2,9- Ю^с.
353.	А=^ = 1,37-10-11с-1.
354.	AN = 3,7 • 10ю.
355.	Из вида графика можно убедиться, что присутствуют по крайней мере
два радиоактивных элемента. Сразу можно определить длинный период полу-
полураспада, который оказывается равным 8 ч. Более короткий период полураспада
можно найти следующим образом. Нужно вычесть из показаний счетчика зна-
значения, соответствующие длинному периоду полураспада, и построить график
для новых значений. Короткий период оказывается равным 40 мин.
356.	В силу радиоактивного равновесия RaD, RaE и Ро испытывают
одинаковое число распадов в 1 с, т. е. число /3-частиц, испускаемых в 1 с RaD
или RaE, равно числу а-частиц, испускаемых Ро. Число атомов каждого рода
находится из условия равенства активностей:
ARaD^RaD = АКаЕА^аЕ = Apo7Vpo = 105 С.
По схеме распадов ряда урана-радия (табл. VII) находим период полурас-
полураспада RaD: Г = 6,4 • 108 с, откуда
0,693 0,693	9 -1
XRD=	=	= W C

132	Ответы и решения
1 ГM
A^RaD = т^—g = Ю14 атомов, NPo = 1,87 • 1012 атомов,
NRaE = 6,7 • 10ю атомов.
357. Период полураспада радия — 1602 года; в 1 г радия содержится
NRa = M|^ = 2,66 -1021 атомов.
Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, находим число
распадов, происходящих в 1 г Ra в 1 с, и число атомов радона в равновесии
с 1 г Ra (период полураспада радона TRn = 3,82 сут):
ARaiVRa = 3,65 ¦ 10ю, NRn = ^^ = 1,74 • 1016.
ARn
Так как 1 моль газа занимает при нормальных условиях объем в 22 400 см3,
объем радона, находящийся в равновесии с 1 г Ra, равен
VRn = 2240060^Q23 = 6,5 • Ю-4 см3 = 0,65мм3.
358.	Примерно 43 мм3. В расчете не учтено выделение Не продуктами
распада радия.
359.	Л = 4,8- Ю-18 с.
360.	В силу радиоактивного равновесия между U238 и U234 Л234 • N234 =
= А2з8 • N238, откуда
^234 А238 ^234 г г i n-5 гр	о /I Q 1 Г*5
—- = -— = —— = 5,5 • 10 ; Т234 = 2,48 • 10 лет.
-L 238 А234 JV238
Период полураспада U234 много меньше возраста Земли (порядка 109 лет);
таким образом, наше предположение о наличии радиоактивного равновесия
между U и U234 оправдано.
361.	Активность препарата, как и число активных атомов, убывает про-
пропорционально e~xt = 2~t//T. Активность препарата Р32через 10 дней после
изготовления:
362.	Тщ = TRaNm/NRa = 4,5 • 109 лет.
363.	Z = 90; А = 230; ионий — изотоп тория.
364.	t = Ы^2 fe) Tui « 1,65 • 109 лет (к = NPb/Nm).
365.	При облучении до насыщения число распадающихся в 1 с атомов иода
(т. е. активность препарата) равно числу атомов, образующихся ежесекундно,
т. е.
Пнасыщ = Ю7 распад-с.
Число атомов иода при активации до насыщения равно
А^насыщ = y = 1q7t^ = 2,16 • 10ю атомов.
Л	In 2

§ 7. Ядерная физика	133
Число атомов иода через время t после облучения
N = ЛГнашщA - е"Л*)
или при малых t (t <Г)
При ? = 1 мин
7V = nt = 107 • 60 = б • 108 атомов.
При t = 25 мин
7V = А^аСыщA - e"At) = 1,08 • 10ю атомов.
+5[]
4 • 109 лет тому назад содержание U235 составляло 16,08%. Примерно б • 109 лет
тому назад содержания U235 и U238 могли быть равными. Конечно, в период
образования Земли в природе были и другие изотопы урана (см. задачу 367).
367.	С момента образования Земли за время t = 4 • 109 лет вероятное
содержание U234 на Земле должно было бы уменьшиться в е^1п2^Т4 « е11180 ~
« 104855 раз. Если даже предположить, что в момент образования Земля
состояла только из U234, то и тогда на Земле уже давно не осталось бы ни
одного атома U234. Изотоп U234 существует в природе благодаря а-распаду
U238 и C~-распаду Th234 и Ра234. Содержание U находится из условия
радиационного равновесия (см. задачу 360).
368.	-% = 6,45 • 109 лет; -% = 1,016 • 109 лет.
In 2	In 2
369.	Если предположить, что частицы находятся в некотором замкнутом
объеме V, то число состояний нейтрино и электрона в интервале импульсов
dpv и dpe равно
4тгр2 dpe • 4ттр1 dpu 2
dp=—(^w—
Используя соотношения d&e = d&u = d&, pdp = & d&/c и закон сохране-
сохранения энергии & = &и + ере, исключим неизвестную энергию нейтрино и, выразив
импульс электрона через его энергию, получим
где А — константа, me — масса электрона. (Масса нейтрино считается равной
нулю.)
Пояснение. В квантовой механике часто используется прием, изложен-
изложенный в ответе. Спектр свободных частиц непрерывен. Однако если мы будем
рассматривать частицы в некотором объеме, который не войдет в окончатель-
окончательный ответ, то спектр станет дискретным. Например, при движении вдоль оси х
длина волны де Бройля А = 2тг/г/рж должна укладываться целое число раз
вдоль грани куба, равной а. Таким образом, а/А = арх/Bтг?1) = N, где N —
целое число. Расстояние между уровнями dpx = 2тг/г/а.
Производя рассмотрение вдоль осей у и z найдем, что в импульсном
пространстве, в котором вдоль осей отложены рх, ру, pz, в объеме Bтг/гK/а3 =
= Bтг/гK/У находится лишь один уровень. В нашем случае все направления

134	Ответы и решения
равноправны, поэтому мы можем написать для бесконечно малого объема выра-
выражение Airp2 dp, где р2 = р2х + р2у + p2z. Поскольку у нас две частицы — электрон
и нейтрино, число состояний равно произведению возможных состояний для
электрона и нейтрино.
370.	Порядок мультипольного излучения атомной или ядерной системы
зависит от разности моментов количества движения в конечном и начальном
состояниях. При мультипольном излучении порядка т (т = 1 для дипольного
излучения, т = 2 для квадрупольного и т.д.) должно быть выполнено следу-
следующее условие:
|/н-/к| <Ш< |/н + /к|,
где /н и /к — начальный и конечный моменты количества движения ядра. Если
разность |/н — /к| велика, то излучение происходит с высоким моментом т,
т.е. с малой вероятностью (см. задачу 398). Долгоживущие изомеры — это
ядра в возбужденном состоянии, в котором момент количества движения отли-
отличается от момента количества движения нижележащих состояний на большую
величину, обычно равную 4/г или 5/г.
371.	Радиоактивностью называют задержанный распад атомных ядер, ко-
когда такой распад энергетически выгоден. Объяснить радиоактивность — это
значит определить причину задержки распада ядер по сравнению с распа-
распадом при ядерных реакциях. Как известно, /^-радиоактивность объясняется
слабостью сил, ответственных за /3-распад. Нейтронной радиоактивности не
существует, так как нейтроны электрически нейтральны, и если энергетически
выгодно испускать нейтрон, то он вылетает за характерное для атомного ядра
время порядка 10~14с. Поэтому радиоактивностью называют вылет частиц
за время, значительно большее чем 10~14с, скажем за время 10~9-1СГ10с
и больше. Заряженные частицы, если это даже энергетически выгодно, не
вылетают быстро из ядра из-за существования кулоновского барьера. Однако
кулоновский барьер слабо удерживает протоны. Для а-частиц кулоновский
барьер выше, чем для протонов, а масса в четыре раза больше. Оба эти фактора
сильно влияют на прозрачность барьера, так как ее значение экспоненциально
зависит от высоты барьера, поэтому прозрачность барьера для а-частиц умень-
уменьшается на несколько десятков порядков по сравнению с прозрачностью барьера
для протонов.
372.	Для а-частиц с уровнем выше 9МэВ кулоновский барьер практически
прозрачен. Поэтому не происходит замедления распада ядер. Если уровень
расположен ниже 2-4 МэВ, то замедление распада настолько велико, что
практически наблюдать а-распад не представляется возможным. (См. также
ответ к задаче 371.)
373.	V = —v = 2,8 • 107см/с. Здесь т — масса а-частицы, v — ее
М
скорость, а М — масса ядра RaB.
374.	100Дж/ч.2
375.	Q = N-- ( 1 + — ) — 24,44 кал/ч. Здесь N — число распадов в 1 ч,
т и М — массы а-частицы и ядра отдачи.
/
/
376. v = cj 1 -
\2
) . Для позитрона v = 2,82 • 10ю см/с. В слу-
)
у	1 + б/(тс2)
чае а-частиц и протонов & <С тс2 и можно пользоваться приближенной
формулой v = ^/2&/т. Для протона v ~ 1,4 • 109 см/с, для а-частицы v ~
«7- 108см/с.

§ 7. Ядерная физика	135
377. 1. При реакции поглощается энергия (см. табл. VI):
Q = -931,5G,016004+ 1,007825 - 7,016930- 1,008665) МэВ = 1,645 МэВ.
2. Из закона сохранения энергии и импульса для неупругого процесса
Шве	ГПи
дем, полагая тп = тр = ——- = ——-:
1) в системе центра масс
2) в лабораторной системе
= 64
где срп и ^п — энергии нейтрона в системе центра масс и лабораторной системе,
Щ, &р — то же для протона; ас и а — углы между направлениями скорости
протона и нейтрона в системе центра масс и лабораторной системе.
Из формул ясно, что минимальная энергия протона (порог реакции) в си-
системе центра масс равна Щ = 7/sQ = 1,44 МэВ, а в лабораторной системе
<fP = 8/7<9= 1,88 МэВ.
378.	32 МэВ.
379.	28,3 МэВ.
380.	Лейтерия = 2,01410; Ллектрона = 0,000548; Лейтона = 2,01356.
381.	17,34МэВ.
382.	Энергии протона и нейтрона равны между собой и составляют
0,2 МэВ. Протон и нейтрон разлетаются в противоположные стороны.
383.	Am = 0,46 • 10"9 г.
384.	Am = 4,6 • 10"9 г.
385.	Am = 2,4 • 102 г.
386.	При испускании 7~кванта должны выполняться законы сохранения
энергии и импульса
$12 = 1ш> + R,
с	с
где pr — импульс ядра после испускания 7"кванта- Решая эти уравнения,
получим
%UJ = $12 —
2Мс2'
387.
2 Ad с
388. Из решения задач 386 и 387 получаем, что разность энергий испуска-
испускаемых и поглощаемых квантов для свободных ядер равняется 2R « $i2/(Mc2).

136
Ответы и решения
Г /2кТ 2R
Сравнивать удобнее относительные ширины линий: ——, \	 и -—. Ис-
2	$12 V Me2	(fi2
комая температура Те = 12 . Для ядер, приведенных в условии задачи,
Z1V1 С К
получаем следующую таблицу:
Ядро
$12
т9
Ти169
0,53
3
Fe57
2,7
22
Dy161
1,7
26
Ir193
4,1
172
Аи197
4,2
186
Eri66
5,2
241
Zn67
15,4
825
w182
5,9
449
Hf177
6,9
340
Ir191
7,2
535
Re187
10,7
1152
Из полученной таблицы видно, что естественная ширина линий на много
порядков меньше разности энергий испускаемых и поглощаемых 7"квантов,
а Те для большинства ядер довольно велико. Эти обстоятельства затрудняют
наблюдение резонансного поглощения 7-квантов на свободных ядрах.
389. Изменение энергии 7-кванта из-за эффекта Доплера
Полагая А& = Г/б, получаем v/c = б • 10~12, v = 0,18 см/с.
390. Эффект Мёссбауэра происходит, когда импульс отдачи воспринима-
воспринимается кристаллами излучателя и поглотителя; это возможно, так как энергия
отдачи на много порядков меньше энергии связи между ядрами. Охлаждение
необходимо, чтобы при испускании и поглощении квантов не происходило
индуцированное испускание акустических волн. Влияние температуры разъяс-
разъясняется следующими числами:
R « 5,37 • 10cf2 [кэВ]/А = 4,6810 эВ;
D = 2,27 • \O~2VTR [эВ];
D = 4,39 • 10 эВ при Т = 80 К;
D = 8,50 • 10~2 эВ при Т = 300 К.
391. Усредненный вектор Пойнтинга несмещенной линии равен
12 |Еп12с Г 1 /жс
еХР "о ~
|Е0|2
4тг
1-А
4тг
Таким образом, вероятность излучения несмещенной линии
392.	Смещение частот — = —— Если — = - • 10 13, то О = 74,5 рад/с.
uj 2c2	uj 3
393.	А& = ———Р , - ^— « ±^Г7 тт^' гДе V — импульс ядра.
Таким образом, энергия испущенного фотона уменьшилась, так как энергия
тратится на увеличение кинетической энергии ядра. При поглощении энергия
фотона также уменьшается, так как уменьшается кинетическая энергия ядра.
Поскольку указанный эффект действует одинаково при испускании и по-
поглощении 7-квантов, он может наблюдаться только в том случае, когда темпе-

§ 7. Ядерная физика	137
ратуры излучателя (Т\) и поглотителя (Т2) разные. Относительное смещение
линий поглощения и испускания:
Рассмотренный эффект чисто релятивистский, так как он пропорционален
{v/cf. Его можно объяснить также на основе теории поперечного эффекта
Доплера.
394.	g12 < 5-/ГоА/160 [кэВ]. При А = 225 и 7Ъ = 480 К находим g12 <
< 75\/3 кэВ. При А = 64 и 7Ъ = 160К получим gi2 < 40\/3 кэВ. Отсюда
можно прийти к выводу, что для наблюдения эффекта Мёссбауэра приходит-
приходится ограничиваться энергиями 7~квантов> не сильно превышающими 100 кэВ,
и массовыми числами, большими 50.
Тс2
395.	h = —-—— « 28 м, где g — ускорение свободного падения.
\\J\JG\2g
396.	В соответствии с решением задачи 393, если разность температур из-
излучателя и приемника равна ST, то частоты излучения и поглощения смещены
~ Ъки5Т	gh
на дг/ = 	тг- Смещение частоты из-за разности высот Аг/ = ^ и, и, таким
2Мс	с
образом, значение 6Т = 1 °С отвечает разности высот
хи ЗкбТ оо
397.	Согласно принципу эквивалентности действие ускорения эквивалент-
эквивалентно действию гравитационного поля, сообщающего телам то же ускорение.
Отсюда ясно, что в условиях задачи наличие ускорения приводит к изменению
энергии системы на величину порядка &а ~ Мах, где М — масса ядра.
В приведенном примере даже для тяжелого ядра сМ^ 10~22г энергия &а ~
~ 10~ эВ. В то же время энергия испускаемых ядром 7~лУчеи обычно не
меньше значения 104эВ. Следовательно, рассматриваемое ускорение не может
заметно повлиять на энергию 7~лучей. Из этого и аналогичных примеров ясно,
что в конечном счете заключение о независимости хода атомных и ядерных
«часов» от их ускорения связано со слабостью гравитационного взаимодействия
по сравнению с электромагнитным и сильным (ядерным) взаимодействием. При
этом, разумеется, мыслимы столь сильные ускорения (или гравитационные
поля), при которых даже атомные или ядерные «часы» уже нельзя считать
нечувствительными к действию ускорения.
398.	Число 7"кв^нтов, излучаемых в единицу времени, равняется I/Tmj =
= 1/т2. Отсюда
<?Пш _ Tic /А\2 1
72 ~ uu4e2R2 ~ ~ I
о	^ с	200 гд.	т
где R — радиус атомного ядра, А = — ~ —	 [ферми] — длина волны
UJ	G [МэВ]
7-кванта с энергией &, выраженной в мегаэлектронвольтах. После подстановки
числовых значений
_ 8- Ю-20 /200\2
где время т2 получается в секундах. При & = 1 МэВ и R = 4 ферми формула
дает т2 = 2- 10"Гбс.

138
Ответы и решения
Приведенный выше расчет относился к дипольному излучению. При квад-
рупольном излучении формула будет приблизительно та же самая, но вместо
дипольного момента войдет квадрат квадрупольного момента. При излучении
более высокого порядка в формулу для излучения войдет более высокий
мультипольный момент.
Из электродинамики известно, что при разложении электрического поля
в ряд по моментам параметром разложения является размер системы. Если
в дипольный момент входит размер системы R в первой степени, то в квадру-
польный момент входит R2, а в момент порядка т — Rm. Поэтому по порядку
величины время излучения с моментом т равняется
8- 10-
	 /200\2™
Т2'т~ &~\Ш '
Если ж = 5, R = 4 ферми, Ш = 1 МэВ, то т2,5 = 0,008 с.
399. Разница энергий связи рассматриваемых пар зеркальных ядер А& =
3 е2
= - — [(Z + \)Z — (Z — l)Z], где Z — меньший атомный номер каждой пары.
Отсюда R = \J3(Z/A&) ферми. Значения R при различных А приведены
в следующей таблице:
Ai
Ri
3
2,26
5
3,11
7
3,15
11
3,12
13
3,45
15
3,42
17
3,90
19
3,87
21
3,99
23
3,93
25
4,10
27
4,02
29
4,22
Проэкстраполируем полученные значения функцией Ri = roA/ . Задача
состоит в нахождении го по методу наименьших квадратов. Составим функцию
от го:
4/32
где Ri и Ai — данные, приведенные в таблице. Параметр го выберем так, чтобы
/(го) было минимально. Полагая df/dro = 0, получим
У RiAl/3
го = 	г-ф~
ферми.
400. При больших энергиях рассеяние частиц можно рассматривать квази-
классически. Отсюда следует, что сечение рассеяния растет при уменьшении
угла рассеяния, так как, когда параметр соударения а увеличивается, пло-
площадь кольца 2тгас1а возрастает. Однако если в процессе соударения протон
превратится в нейтрон, а нейтрон — в протон, то окажется, что рассеяние
на 180° будет наиболее вероятно. Это иллюстрируется рис. 23, на котором
—®
Рис. 23

§ 7. Ядерная физика
139
рассматривается соударение без обменных сил и соударение с обменными
силами. Исходя из приведенных рассуждений, можно дать ответ на вопросы,
содержащиеся в задаче.
а)	Сечение имеет максимум при в = 0°;
б)	Сечение имеет максимум при в = 180°;
в)	Сечение имеет два одинаковых максимума — при в = 0° и в = 180°.
Эксперимент близок к случаю в).
401. а = 1,38 • 1020 эрг/см2 = 0,30 • 1018crHg.
_ тА-(&/А)А _ т-&/А [" МэВ ] _ [т-&/А]
УзтгД3
= 2,02 • 1014 г/см3.
402.
1,6- Ю-6
Ю-39-9- 1020
403.	»ж = | R
404.	При делении на два равных осколка
Узтг- 1,253 [ферми3
= 0,69Z(Z -
- 1),
где &п = -\7А2/3 [МэВ], ^к = -0,7
[МэВ] « 0,
- 1),
[МэВ].
Деление энергетически выгодно, когда А&п -\- А&к > 0, т. е.
Отсюда находим
- 1,253
[МэВ].
> 17.
405. Масса атомного ядра
МЯ(А, Z) = Zmp
- Z)mn - Шк -
где f(A) — функция А, слабо зависящая от Z. Приближенно минимум
МЯ(А, Z) можно найти, считая Z непрерывной переменной и полагая
(/) = 0. В результате получим
Z =
А
+ 0,015А2/з'
При пользовании этой формулой нужно брать ближайшее целое значение Z:
А
10
50
100
Z
5
23
44
Ядро
5в10
23 V50
44RU100
А
150
200
Z
60
80
Ядро
62Sm150
soHg200
406. Деление ядер — результат конкуренции двух сил: поверхностного
натяжения и кулоновского отталкивания — при небольших деформациях по-
поверхности атомного ядра. При таких деформациях силы поверхностного натя-
натяжения изменяются в два раза сильнее, чем кулоновские, так как поверхностное
натяжение ~ R , а кулоновские силы ~ \/R. Отсюда с учетом задач 401 и 403
получается условие стабильности ядер: Z2/А < 49.

140	Ответы и решения
407.	Осколки деления перенасыщены нейтронами. От лишних нейтронов
осколки деления освобождаются двумя способами: путем прямого испускания
нейтронов или посредством превращения нейтронов внутри ядра в протоны,
т.е. путем E~-распада.
408.	Осколки деления /3~-радиоактивны (см. задачу 407). Из закона со-
сохранения лептонного заряда следует, что при распаде нелептонов должны
рождаться лептон и антилептон. Поскольку электрон — частица, с ним должно
рождаться антинейтрино. Поэтому вместе с /3~-частицами (электронами) из
реактора всегда вылетают антинейтрино. На Солнце происходит синтез ядер
из протонов, следовательно, часть протонов должна превращаться в нейтроны
с испусканием позитронов. Поскольку позитрон — античастица, вместе с ним
должно рождаться нейтрино.
409.	Следует численно решить уравнение (см. задачу 405) Z =
и неравенство Z2/А < 49. Это дает А < 368, Z < 135.
1,97 + 0,15А2/з
/.1Л ГТ	Л	2Ag(l-COS^c)
410. Потеря энергии при одном соударении Л =	-^	—-—-;
л	\АШ л	2А&
Амакс = /1+Ач2>	СР=7ГТАJ'
где 8" — энергия нейтрона до соударения, Ос — угол рассеяния в системе центра
масс, в которой рассеяние изотропно,
A cos 0с = cos в • у А2 — sin2 в — sin в.
:еяния в j
411. i=\ [in——^^	^^cos^c= 1- v~T/; ln:
Здесь ^ — угол рассеяния в лабораторной системе.
+i
+ +	c	2А ш А - Г
-1
412. Разностное уравнение замедления:
где &п — энергия нейтрона перед n-м соударением, а &п+\ — после п-го соуда-
соударения. Величина S зависит от массового числа замедлителя и угла рассеяния:
но не зависит от п, если произвести усреднение по углам. Решение разностного
уравнения при этом условии:
р
Таким образом, число соударений п = ?~11п-^. Параметр соударений,
согласно решению задачи 411, для углерода равен

§ 7. Ядерная физика	141
Следовательно, п= 115. Аналогично, для водорода п= 18,2, для бериллия
п = 87.
413. Длина траектории при постоянном значении As равняется
Длина свободного пробега As = \/(Ncr), где N — число частиц в 1см3. Для
углерода в рассматриваемом интервале энергий
N= 6.10^.1,67 =0>831.ltfsCM-3>
Л	251	С °158
0,831 • 1023 • 4,8 • Ю-24 "
г 2>51 ,„ Ю5
0,158 0,025
Аналогичино, для воды
414.	Величина ? вычисляется согласно решению задачи 411: ? = 0,206 для
бериллия и ? = 0,158 для графита. Для воды кг = 80; для тяжелой воды 20000;
для бериллия 155; для графита 170.
415.	Среднеквадратичное смещение
= V241,5 • 2,51 = 24,6см,
где L — длина траектории, a As — длина свободного пробега, вычисленные
в задаче 413.
416.	Время запаздывания в точности совпадает со временем /3-радиоактив-
ности некоторых осколков деления. Это означает, что происходит не задержка
в вылете нейтронов, когда такой вылет энергетически выгоден, а задержка
в образовании ядра, для которого энергетически выгодно испустить мгновен-
мгновенный нейтрон. Ядро-излучатель нейтронов образуется в результате /3-распа-
да. С теоретической точки зрения нейтронная радиоактивность невозможна
(см. задачу 371).
6
417.	т= ——	= 12,97 с.
О
In 2 • У^ Ci
1
418.	г] = VGf ; г] = 2,29 для U233; 2,07 для U235; 2,12 для Ри239.
(Ту + G-у
419.	г] = у—ъ	^—s—	— = 1,32.
420.	N = Щ .
421.	коо < г]	—. В данном случае коо < О,25?7, т.е. коо < 0,75.
(У а + (Ус
422.	P(t) = P@)kt/r = P@)e(t/r) lnfc « P@)ept/r; T = r/p.

142	Ответы и решения
423.	При р < C. В отсутствие запаздывающих нейтронов к — C < 1 ре-
реакция только на быстрых нейтронах затухла бы. При р > C реакция может
развиваться и без запаздывающих нейтронов. (Подробнее см. задачу 425.)
424.	— = 1014 • Ю-27 • 1022 = 109 событий/(см2 • с).
at
425.	а) При к = 1 стационарное решение имеет вид
Т
Определим время приближения к стационарному режиму:
N(t) = [N@) - AT]e"t/T + TV,
гдеТ= J_T • Полагая т= 10~3с, ат= 13 с, /3 = 0,0064, получим Т = 0,16с.
рт + т
б) В надкритическом режиме период
т - т(к - кр - 1) + у/[т - т(к -к/3- I)]2 + 4тт(к - 1)
2(fe-l)
При к — 1 <С 1 время Т = -—-, т. е. полностью определяется запаздывающими
нейтронами.
426. В 1 т «горючего» содержится N = 2,5 • 1026 атомов плутония. В одном
акте деления выделяется Q = 3,2 • 10~п Дж. За 10 лет непрерывной работы
(т.е. t = 3,15 • 108 с) при заданной мощности реактора, выраженной в мегават-
мегаваттах и отнесенной к одной тонне «горючего», образуется N\ ядер плутония на
тонну «горючего»:
^^	25
Ni = кв^-^ = 0,98 • 1025Р • кв.
Q
Здесь 106 — коэффициент, переводящий мегаватты в ватты, кв — коэффициент
воспроизводства. В то же время на создание мощности Р было затрачено Щ
атомов плутония:
ЛГ0 = «J* = 0,98 • 1О25Р.
Q
Допустим, что через 10 лет число атомов плутония удвоилось, т.е.
N + Ni - No = 2N.
Тогда 2,5 • 1026 + 0,98 • 1025(Р/св - Р) = 5 • 1026,
Р(кв - 1) = 25,5 МВт/т.
427. 10ю т условного топлива (ТУТ) = 2,93- 1020Дж. За 1 акт деления
выделяется 3,2 • 10~п Дж энергии. Следовательно, число актов деления N =
2 93 • 102^
' ——г. Количество урана:
3,2- 10-
2'93-1031 = 7,12-1032 атомов,
3,2- 1,8-0,00714

§ 7. Ядерная физика	143
что эквивалентно 282,6 • 103т естественного урана. Здесь 1,8 = 1 + кв;
0,00714 - доля U235.
428./= —*——. Здесь t = 3,6- 103с, nl = 8 - 10~4 • 6 • 1023, а = 10-47см2,
пег • I • t
е= 1,6- 109Кл;
/ = F • 1023 • 8 • 10 • 107 • 3,6 • 103 • 0,66 • 1019) = 9250 А.
_ _ dn	n2
429.	¦— = — — av, где п — плотность вещества, v — тепловая скорость.
Интегрируя это уравнение, получим
где t\ — время, за которое плотность водорода убывает в два раза. Средняя
квадратичная скорость атома водорода v = л/ЗкТ/т = 6,1 • 107см/с, плот-
плотность водорода п = pNA = 9,5 • 1025см~3, t2 = 1,1 • 10ю лет.
430.	Qa = 4,0МэВ; Q6 = 3,25 МэВ.
431.	Qa = 18,3МэВ; Q6 = 17,6МэВ.
432.	Как следует из ответов к задачам 430 и 431, на один «сгоревший»
дейтон выделяется энергия УеD + 3,25 + 17,6+ 18,3) = 7,2МэВ. Пользуясь
этим, легко найти, что при полном сгорании дейтерия, содержащегося в 1 л
воды, выделится энергия 3,6 • 103кВт-ч, что равно энергии, получающейся при
сгорании 277 кг бензина.
433.	Число реакций, происходящих в 1 с в 1 см3, равно l/2N2cr(v)v, где
черта означает усреднение по всем значениям относительных скоростей атомов
дейтерия.
434.	2,9 Вт/см3.
435.	Р = Я2/8тг « 16 атм.
436.	1,6- 108 ккал.
2	2
437.	P = Q—av= 17,6- 1,6- 10~13— av [Вт/см3].
4	4
При Т = 1 кэВ Р = 3,87 • 10~5 Вт/см3, W = 19,35 кВт.
При Т = ЮкэВ Р = 0,774Вт/см3, W = 387 МВт.
438.	Р =	= 0,16 Вт/см3. То же самое можно рассчитать по мощности
пт
выделения энергии а-частиц, так как энергия а-частиц, как раз должна
равняться тепловой энергии, теряемой плазмой. Получаем величину плотности
энергии в 3,5/17,6 раз меньшую, чем в предыдущей задаче при Т = ЮкэВ:
Р = 0,15Вт/см3 = ^ovQ.
2
439. Мощность термоядерной реакции в 1 см3 равна Р = Q— ~ov. Согласно
решению задачи 437 Р = 0,774 Вт/см3. Потери энергии из плазмы
^ 3-104-f10:f-10"9 = 0,24 Вт/см».
Таким образом, Р/Р\ ~ 3.
440. сркин = ^/(ZeRnOpJ + (me2J — meг, где m — масса покоя частицы.
1) &ин = 1,1 ¦ 109эВ; 2) ШКШ = 0,51 ¦ 109эВ; 3) &„„ = 0,92 • 109эВ.

144	Ответы и решения
441.	Если энергия протона достаточно велика, то он может излучать
тг°-и тг+-мезоны, а также позитроны (реакции р ^ р + тг°, р^п + тг+, р —*>
—>> п + е+ + v). тг~-мезоны и электроны излучаться не могут.
442.	/7 = 2aIKJlN(L),
/7, Центр ~ 5 • 1СГ4 СМ~2 • С • Ср~\
J--y, антицентр ~ Ю СМ • С • Ср ,
/7, полюс ~ ЮСМ-С -Ср.
443.	/кл ~ —-— ~ 200/7 [см~2 • с • ср]. Фотометрический радиус Ме-
ф
тагалактики (R$ « 5 • 1025см) можно приближенно определить из уравнения
Хаббла и = hR при условии и ~ с/2.
444.	Времена жизни: 0,66 • 103 с; 0,66 • 101 с; 0,66 • 109с.
445.	Длина волны де Бройля А = h/mv медленного нейтрона значительно
больше размера ядра, поэтому сечение а ~ Л2/, где Л2 пропорционально се-
сечению взаимодействия нейтрона с ядром, а / — вероятность проникновения
нейтрона внутрь ядра через его границу. Величина / ~ v, где v — скорость
налетающего нейтрона. Это можно доказать, приняв во внимание, что скорость
нейтрона внутри ядра w >> v. Для доказательства можно использовать закон
непрерывности pv = p'w, где р — плотность нейтронов, налетающих на ядро,
ар'- плотность нейтронов, проникших в ядро.
446.	Если бы протон был тяжелее нейтрона, то реакции
происходили бы не только внутри ядра, но и в свободном состоянии. Водород
был бы радиоактивным, и притом с коротким временем жизни, т. е. не суще-
существовал бы в природе в естественном состоянии. Жизнь была бы невозможна.
447.	N = —	— ?; здесь о — плотность воды, V — объем в см3, Na —
Mr
число Авогадро, М — молекулярная масса воды, t — время наблюдения,
выраженное в тех же единицах, что и время жизни протона, коэффициент 2
учитывает, что в молекуле воды два свободных протона
2.1О'5.6.1(Я.6О
18- 1031 -3,15- 107	' '
448.	Приравнивая градиенты потенциалов электростатического и ядерного
взаимодействий, получим трансцендентное уравнение
g^ = ехР(г/Д)
е2 1 + r/R '
Решая его при g/e2 = 2055,4, получим r/R = 10,02, т.е. г = 10 ферми.
449.	l-mav2a = ^a2Z2(l + Щ = 204,086 эВ, где а = f = -i- -
2	2	V muJ	fie 137
постоянная тонкой структуры, aZ = 3- порядковый номер лития.
/icn г oTkji^V 5- 10-3М гфотон] /	М
450.	F, = -^- = -^- [-р-\ [N « ^^ - среднее число
ядер в источнике, 2-10 24 г — средняя масса ядер межзвездного газа, содер-
содержащего в основном водород, а также гелий).

§ 7. Ядерная физика	145
451. Поток вещества не может стать неограниченно большим, так как
будет остановлен возрастающим давлением радиации. Сила давления на элек-
электрон со стороны излучения равна аЬ/(Аттг2с), где L — светимость, а =
= 6,65 • 10~25см2 — томсоновское сечение, г — расстояние до источника. Если
эта сила станет больше гравитационной GMp/r2 (/x — масса, приходящаяся
на один электрон и равная массе протона, если газ — чистый водород),
аккреция прекратится. Верхний предел светимости, обусловленный аккрецией,
находится из равенства этих сил:
aL
4тгг2с	г2 '
т. е. LKp = 47rGM/iC = 1,3 • Ю38-^- [эрг/с], где М0 = 2 • 1033 г - масса Солн-
G	М0
ца. Этот предел, называемый пределом Эддингтона, зависит только от массы
источника.
452.	Типичный радиус нейтронной звезды го ~ 10 км (г = (М/рI//3, М ~
~ М@, р ~ 1014). При таких параметрах энергия протона
%= 9Hh^_ ^2,2- Ю-4эрг- 1,4-108эВ-0,15шрс2.
453.	Приравнивая скорость аккреции вещества максимальной светимости,
полученной в задаче 451, получим максимальную скорость аккреции: М =
= AirGMpc/a и плотность аккреции: m = М/Dтг#2). Для белых карликов
m ~ 1 г/(с • см2), а для нейтронных звезд m ~ 104 г/(с • см2).
454.	Изменение импульса частицы р при упругом столкновении с облаком
равно
(f = pc2/v — полная энергия частицы; знак + или — зависит от того, встречное
ли это столкновение или догоняющее. Частота встречных столкновений равна
i/_l_ ~ na(v + w),
догоняющих v- ~ na(v — w). Следовательно, в среднем
AШ _ с2р dp c2p 1
1, — сю 1, '~ со о ^V^/Vt " — J'~\	I Tl&C P\G>).
455. Если до столкновения с движущейся стенкой шарик имел импульс р,
то после столкновения его импульс
где & = pc2/v — энергия шарика. Так как w/v <C 1, то приращение импульса
шарика за одно столкновение мало и составляет

146	Ответы и решения
Столкновения происходят через промежутки времени
Отсюда
dp _ 2wp
dt Lq — wt'
или
p= 	potL
456. При образовании звезды из более разреженного облака освобождается
энергия связи, которую сразу можно оценить по порядку величины:
G = 6,67- 1(Г8см3/(г-с2).
R
Действительно, потенциал гравитационного поля на поверхности равен GM/R.
Средний потенциал — того же порядка величины, точный расчет дает & =
3 GM2 ^	AM GM _	GM (	2GM\
Отсюда ——- ~ ~Б~2- Величину —— (иногда —— J называют
=	. Отсюда	~ Б2- Величину	(иногда	J
гравитационным радиусом. Из приведенных в условии задачи данных получаем
для гравитационного радиуса Солнца и ядра урана значения 1,46 км и 3 х
х 10~50см. А относительный дефект масс составляет 2 • 10~6 и 4 • 1СГ38.
§ 8. Элементарные частицы
(Общие указания к решению задач)
Изучение физики элементарных частиц происходит в конце курсов общей
и теоретической физики. Цель данного раздела задачника — помочь изучить
элементарные частицы в курсе общей физики; он невольно носит описательный
характер, хотя в основе его лежит самый сложный аппарат теоретической
физики. Поэтому, несмотря на простоту большинства собранных здесь задач,
они могут вызвать психологическую трудность у студентов.
Современная физика элементарных частиц в рамках общего курса физики
изложена, например, в книге Ю. М. Широкова и Н.П. Юдина «Ядерная фи-
физика», Наука, 1980. Предполагается знакомство с седьмой главой этой книги.
Дадим ряд пояснений, относящихся к физике элементарных частиц. Каждая
частица полностью характеризуется двумя типами квантовых чисел. Первый
тип чисел — это величины, существенно положительные: масса, время жизни,
спин, изотопический спин, унитарный спин. Второй тип квантовых чисел —
это так называемые заряды, принимающие как положительные, так и отрица-
отрицательные значения: электрический, барионный, лептонные заряды, гиперзаряд,
странность, очарование, красота, проекции спинов на оси координат.
Кроме того, частицы характеризуются внутренней четностью, которая вы-
выражается не числом, а свойством волновой функции частицы изменять или не
изменять свой знак при преобразовании инверсии системы координат (х —*> —ж,
у -> -у, z -»> -z).
Каждой частице соответствует античастица с такими же, как у части-
частицы положительными квантовыми числами, но с противоположными заряда-
зарядами. Нужно различать электрически нейтральные частицы (нейтрон, нейтрино,
ламбда и т.д.), у которых электрический заряд равен нулю, а некоторые другие

§8. Элементарные частицы	147
заряды отличны от нуля, от истинно нейтральных частиц, у которых все заряды
равны нулю (фотон, нейтральный пион и др.)- Две частицы неразличимы,
если совпадают все квантовые числа и четность. Таким образом, для истинно
нейтральных частиц частица и античастица совпадают. Говорят, что совпадают
данная частица и композиция кварков, если все квантовые числа частицы
и композиции кварков одинаковы.
Классификация частиц проводится по разным признакам:
1.	По времени жизни: устойчивые частицы (фотон, протон, электроны,
три типа нейтрино); частицы, распадающиеся по слабому взаимодействию,
частицы, распадающиеся по электромагнитному взаимодействию, частицы,
распадающиеся по сильному взаимодейстию (последние часто называют резо-
нансами).
2.	По типу взаимодействия. Фотон — единственная частица, обладающая
только электромагнитным взаимодействием. Частицы, обладающие слабым
взаимодействием (они могут обладать также электромагнитным взаимодей-
взаимодействием, но не сильным), называются лептонами.
Частицы, обладающие сильным взаимодействием, называются адронами.
Адроны могут обладать также и другими взаимодействиями (слабым, электро-
электромагнитным). Число известных адронов очень велико (больше сотни), но есть
основание предполагать, что все они образуются из шести кварков и шести
антикварков. Число шесть взято по аналогии с шестью лептонами.
В настоящее время известны пять кварков (d, u, s, с, Ь) и пять антикварков
(d, u, s", Z, b). Переносчиком сильного взаимодействия между кварками являют-
являются гипотетические частицы — глюоны, их 8 сортов. Таблица кварков приведена
в конце книги (табл. VIII). Там же можно узнать об упомянутых выше шести
лептонах (три типа нейтрино, электрон, мюон и тау-частица). Переносчиками
слабого взаимадействия являются пока еще не открытые три промежуточных
бозона (Z+, Z~, Z°). Массы промежуточных бозонов очень велики (порядка
90ГэВ).
3.	По характеру спинов. Частицы с целым спином называются бозонами
(они подчиняются статистике Бозе). Частицы с полуцелым спином называются
фермионами (они подчиняются статистике Ферми). Фотон является бозоном,
лептоны — фермионами. Адроны могут быть как бозонами (и в этом случае
их называют мезонами), так и фермионами (и в этом случае их называют ба-
рионами). Кварки являются фермионами, глюоны и промежуточные бозоны —
бозонами.
4.	По массам. Значение массы частицы дает полную энергию частицы.
Предполагается, что энергетический спектр частиц определяется сильным
и электромагнитным взаимодействиями. При вычислении массы частиц сла-
слабыми и гравитационными силами можно пренебречь. Сильное взаимодействие
обладает самой высокой степенью симметрии. Если бы существовало только
сильное взаимодействие, то адронов было бы на порядок меньше, так как
уровни были бы сильно вырождены (восьмикратно, десятикратно и т.д.).
Электромагнитное взаимодействие и некоторая часть сильного взаимодействия
не обладают такой высокой симметрией, как сильное (например, отсутствует
симметрия между электрическим зарядом и гиперзарядом), они расщепляют
уровни, снимают вырождение. Вместо одного уровня (одной массы) появляется
восемь уровней энергии (масс) или десять уровней и т. д. Разница энергий
расщепленных уровней (разность масс) порядка 20%, что соответствует менее
симметричной части сильного взаимодействия. Большие супермультиплеты

148	Ответы и решения
(октеты, декуплеты) получили название унитарных. Однако внутри супермуль-
типлета и находятся группы частиц (дублеты, триплеты, квартеты), массы
которых отличаются всего на несколько процентов. Естественно предположить,
что это расщепление вызвано электромагнитным взаимодействием, которое как
раз примерно в сто раз слабее сильного.
В физике элементарных частиц особое значение имеют принципы сим-
симметрии и связанные с этими принципами законы сохранения. Законы со-
сохранения могут быть получены из принципов симметрии без существенного
использования динамических законов. Например, в механике закон сохранения
энергии и импульса может быть получен из однородности времени и простран-
пространства без использования всей системы уравнений Ньютона, хотя исторически
это происходило по-другому. Фундаментальность законов сохранения энер-
энергии, импульса, момента количества движения следует из фундаментальности
принципов симметрии, из которых они следуют (однородность и изотропность
пустого пространства и однородность времени). Законы сохранения барионных
и лептонных зарядов являются строгими, т. е. они выполняются при всех видах
взаимодействия. В настоящее время не известно ни одного случая нарушения
этих законов. Но все же они не имеют такого прочного обоснования, как
законы сохранения энергии и импульса. Для того чтобы это подчеркнуть,
помещена специальная задача о поисках распада протона с нарушением закона
сохранения барионного заряда. Приводится много задач на нестрогие законы
сохранения, т. е. такие, которые соблюдаются не при всех видах взаимодей-
взаимодействия (например, законы сохранения странности, изотопического спина и др.).
Трудности вызывают понятия изотопического и унитарного спинов. Часто
непонимание связано с самим названием, так как не существует физической
аналогии между изотопическим спином и спином, а математическая аналогия
находится за пределами рассмотрения этого вопроса в курсе общей физики.
В данном параграфе практически все расчеты проводятся по порядку вели-
величины, и это требует свободной ориентации в основных атомных и ядерных
величинах и фундаментальных константах и умения использовать анализ раз-
размерностей.
При вычислении по порядку величины электромагнитных процессов следу-
следует использовать константу тонкой структуры а = e2/(hc). Следует убедиться,
что в релятивистской системе единиц боровский радиус ае = 1/(теа), энергия
электрона &о = —теа2/2, скорость электрона v = а, а вероятность диполь-
ного излучения фотона в единицу времени ~ а. Это позволит более смело
использовать величину а для описания более сложных процессов, например
комптоновского рассеяния, аннигиляции электрона с позитроном.
Особую роль в оценочных расчетах играет комптоновская длина волны.
Очень важное значение имеют релятивистские инвариантные величины при
взаимодействии частиц. Всюду, где говорится о массе, имеется в виду инвари-
инвариантная масса (т.е. масса покоя).
При решении ряда задач используются диаграммы Фейнмана. В связи
с этим следует сказать несколько слов о виртуальных состояниях частиц меж-
между узлами диаграмм Фейнмана и о кажущемся нарушении закона сохранения
энергии.
Часто возникают вопросы о правомерности использования виртуальных
состояний, о том, насколько эти состояния можно рассматривать как реально
наблюдаемые. Для того чтобы сделать эти состояния привычными, во-первых,
нужно прорешать как можно больше задач на виртуальные состояния, во-

§8. Элементарные частицы	149
вторых, следует показать, что никакого нарушения закона сохранения энергии
не происходит, если оставаться в рамках соотношения неопределенности энер-
энергии Дср • т ~ ft. Кажущееся нарушение закона сохранения энергии происхо-
происходит, если кратковременные виртуальные состояния рассматривать длительное
время, т. е. если выйти за пределы соотношения неопределенности энергии.
Конечно, в этом последнем случае виртуальные состояния нереальны, т. е.
ненаблюдаемы.
457.	Время в этой системе имеет размерность длины I = ct = t, масса —
размерность 1~1 (например, комптоновская длина волны электрона Ак =	=
= —, откуда и следует последнее утверждение).
458.	— = 3,8-6- Ю-11 см; — = 2, • 10 • 10-14см; y/G = 1,6- 10-33см.
Ше	Шр
459.	Электрический заряд и скорость безразмерны, размерность силы 1~2,
энергии 1~1, гравитационной постоянной I2.
460.	Существует 7 строгих законов сохранения при взаимодействии ча-
частиц: законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, электрическо-
электрического, лептонного (электронного и мюонного) и барионного зарядов.
461.	Нейтрино и антинейтрино (электронное и мюонное), электрон, пози-
позитрон, протон, антипротон, фотон.
Нейтрино, фотон — частицы нулевой массы покоя; протон — самый легкий
барион; электрон — самый легкий заряженный лептон.
462.	Отношение гравитационных сил к электростатическим m2G/e2 = 8 х
х 10~37, где G — гравитационная постоянная.
463.	Первый процесс противоречит закону сохранения импульса. Действи-
Действительно, в системе центра масс электрона и позитрона полный импульс этих
частиц равен нулю. При аннигиляции импульс сохраняется, поэтому импульс
образовавшихся фотонов также должен равняться нулю. Но это невозможно,
если образуется только один фотон. Из тех же соображений следует невоз-
невозможность распада 7-кванта на электрон и позитрон на лету (т. е. в отсутствие
третьего тела).
464.	Если электрон локализован с точностью до его комптоновской длины
волны Ак, то энергия электрона, в соответствии с соотношением неопределен-
неопределенности, становится релятивистской, т.е. сравнимой с энергией покоя. Становит-
Становится возможным рождение пар и другие релятивистские эффекты.
465.	Соотношение А<$ • т ~ % определяет максимальное время существо-
существования виртуального мезона:
П
Тмакс г^> л со 1
где Дсрмин = т^ос2 = 135МэВ. Радиус действия ядерных сил стмакс =
= 1,4-10 см. Он совпадает с комптоновской длиной волны пиона.
= = 10с.
467. Комптоновское рассеяние можно разбить на два акта: поглощение
и испускание электроном фотона. Первый из них следует рассматривать как
виртуальный процесс, так как при этом масса электрона не изменяется. Вир-
Виртуальные процессы возможны лишь за время т, определяемое из соотношения

150	Ответы и решения
неопределенности А& • т ~ h, где А8" — неопределенность в энергии. В данном
случае она равна энергии фотона, т.е. А& = two.
Для наглядного описания процесса используют диаграммы Фейнмана 0.
Мировые линии частиц на диаграмме Фейнмана изображают разными линия-
линиями: фотон — волнистой линией, электрон — прямой. Взаимодействие частиц
происходит мгновенно в узлах (точках). Линии, соединяющие узлы, показы-
показывают частицу в виртуальных состояниях. Открытые концы линий показывают
начальное и конечное состояния. Вре-
Время течет слева направо. Комптонов-
ское рассеяние описывается диаграм-
диаграммой, представленной на рис. 24.
В каждом узле диаграммы про-
происходит электромагнитное взаимодей-
• "-у ствие, пропорциональное квадрату за-
заряда. Для удобства запишем квад-
квадрат заряда в безразмерных единицах:
Рис. 24	а = е2/(he). Сечение взаимодействия
имеет размерность квадрата длины.
В выражение для сечения комптоновского взаимодействия должен входить
квадрат комптоновской длины волны. Это следует из того, что минимальная
ширина траектории электрона в релятивистской квантовой механике равна
комптоновской длине волны (см. дополнение к решению). На основании изло-
изложенного для оценки сечения комптоновского рассеяния можно написать
М2 /
	 =
тес/ \
При точном вычислении появляется множитель 8тг/3:
8тг
\тес2)
(формула Томсона). Последняя формула верна при условии	 < 1. В общем
mecz
случае ак определяется формулой Клейна-Нишины.
Дополнение. Можно более детально обосновать, почему в расчетах
использована комптоновская длина волны, а не длина волны 7-кванта. Вероят-
Вероятность поглощения и испускания фотона пропорциональна a(AvJ/с2, где Av —
изменение скорости электрона. Это соотношение легко получить из формулы
для дипольного излучения электрона
с№ _ 2e2(vJ
dt ~ Зс3 '
Следовательно, вероятность излучения за время At
A(f e2 (AvJ I
w =
flUJ	flC С2 At-L
0 См. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980,
с. 317.

§8. Элементарные частицы
151
Можно считать, что основная частота излучения и ~ I/At, следовательно,
гу ~ а(Аг>) /с . Наиболее сильное изменение скорости электрона произойдет
при процессе, изображенном на рис. 25. Падающий фотон создает виртуальную
пару (электрон плюс позитрон), а затем позитрон аннигилирует с первона-
первоначальным электроном. Такой процесс может произойти только на расстоянии,
меньшем комптоновской длины волны электрона
(см. задачу 464).	v'v
о 2 3	* v
468.	Е ~ -^- « 3 • 1016 В/см, так как поле Е
eh
должно совершить работу 2тс , над виртуальными
парами е+ и е~ на расстояниях порядка комптоновской
длины волны электрона ft/(тс) (см. задачи 464 и 467
и рис. 25).
469.	Ig ~ л/Gh/c3 = 1,6 • Ю-33 см, tff - /ff/c -
\
4/
0,5 • 1(Г
c5/(hG2)
5 • 1093 г/см3.
\
Рис. 25
470.	Mg = lgc2/2G ~ 10~5 г. Такая частица, на
которую действуют только силы гравитации, почти сво-
свободно проходила бы через все тела. Поэтому частицы
двигались бы к центру Земли и при отсутствии потерь энергии колебались
бы около этого центра; при учете потерь частицы накапливались бы в центре
Земли.
471.	Адиабатическим инвариантом при движении тела по окружности
является момент количества движения L = mvr = тл/GMr (учтено, что
v2/r = GM/r2, M — масса центрального те-
тела). Поэтому при медленном изменении па-
параметра G получится AG/G = —Ar/г, и за
год для Земли Аг ~ 500 см при AG/G =
= —3 • 10~п. Период маятника пропорциона-
пропорционален G~1//2, поскольку ускорение свободного
>; падения g пропорционально G.
/	S22L ^ \ йт	472. е2 - g/R2; R - л/g/e2 = 7,8 х
473. В системе покоя тг°-мезона распре-
рис 26	деление по углам изотропно, т. е. /@о) =
= — У2 d cos 0о. Здесь 0о — угол между v7
и v^ в системе центра масс, &1 = т^/2. В лабораторной системе
X
пределы изменения &1: -^- M ± — j (рис. 26).
474. gM = (Ш" +m^)c2 = 215mec2 = 109,8 МэВ.
2
= 58mec,

152	Ответы и решения
475. Поскольку в лабораторной системе импульс в начальном состоянии
отличен от нуля, то он будет отличен от нуля и в конечном состоянии.
Таким образом, в конечном состоянии кинетическая энергия отлична от нуля.
Следовательно, часть кинетической энергии W налетающей частицы затра-
затрачивается на рождение новых частиц массы М, а часть — на кинетическую
энергию конечного состояния. Поэтому в лабораторной системе трудно рас-
рассчитать пороговую энергию и целесообразно перейти в систему центра масс.
В системе центра масс возможно такое соударение, когда все частицы, как
реагирующие, так и вновь образованные, находятся в покое. В этом случае вся
кинетическая энергия системы центра масс Wc затрачивается на образование
новых частиц. Очевидно, что эта энергия является пороговой. Все другие
соударения, при которых в конечном состоянии кинетическая энергия отлична
от нуля, требуют большей энергии. Таким образом, чтобы найти пороговую
энергию, нужно просто вычислить кинетическую энергию в системе центра
масс. Это можно сделать, используя преобразования Лоренца. Однако более
просто использовать инвариантность во всех системах координат выражения
сс2	2 2	2 4
W -с р =т с ,
где & — полная энергия частиц общей массы покоя т. Если применить
это выражение ко всем частицам, включая вновь рожденные, при пороговом
значении энергии W, то в системе центра масс импульс будет равен нулю,
а полная энергия &с — энергии покоя. Следовательно
t - р2с2 = (mi + m2 + М) V = &2С1
где &, р — полная энергия и импульс в лабораторной системе:
& = ТП\С + 7712С2 + W.
Аналогичное соотношение можно применить и к одной налетающей части-
частице:
B + WJ -p2c2 = т\с\
Исключая из написанных трех уравнений импульс р и энергию &, получим
выражение для пороговой энергии:
1712
476.	а) 5,63 ГэВ; б) 3,75 ГэВ; в) 3450 ГэВ.
477.	В соответствии с решением задачи 475 энергия порога рождения
М2 о	о
частиц массы М равна W = -— с , если W > т^с . В накопительном кольце
2ш2
Мс2 = 2&. Поэтому W = 2& /(тс2). Таким образом, эффективная энергия
накопительного кольца — это энергия гипотетического обычного ускорителя,
который обеспечивал бы рождение частиц такой же массы, что и накопитель-
накопительное кольцо.
478.	v = 2^- = 2,47 • lO^c, & = 1,02 МэВ. Рождение пары возможно
лишь в присутствии третьего тела (см. задачу 163).
479.	a) (fMaKC < ? - 2тс2 « 149 МэВ; б) cfMaKC < % - тс2 « 79,5 МэВ
(см. задачи 463 и 478).

§8. Элементарные частицы	153
480. Если промежуточный процесс существует, то в системе координат,
в которой частица и покоится, ее энергия покоя ср° равняется сумме энергий
частиц, на которые и распадается, т. е.
Аналогично, для импульса
р' = PU + Р*- + Р^о = 0.
Так как величина & — р2с2 не изменяется при переходе в другую систему, то
в лабораторной системе
где Ш и р — суммарные энергия и импульс трех частиц (тг~, тг°
Если частица и существует, то, рассматривая много реакций распада
и каждый раз вычисляя & — р2с2, мы должны получать одну и ту же величину
для (&°шJ.
481.	Запрещены реакции 2 и 4, так как не сохраняется лептонный заряд,
и реакция 8, так как не сохраняется барионный заряд; в реакции 2 нарушается
еще закон сохранения энергии.
482.	Реакции 2, 3, б, 7, 9 запрещены, так как в них не сохраняется лептон-
лептонный заряд. При изучении взаимодействия нейтрино, полученных по реакции 1,
с протонами было показано, что идет реакция 5, а не б, хотя последняя
энергетически более выгодна. Тем самым было доказано существование двух
нейтрино.
483.	В реакциях 1, б, 8, 10, 12, 14 |А5| = 0, и они идут по сильному
взаимодействию. В реакциях 2, 3, 4, 7,9, 11 \AS\ = 1. Поэтому распады 3
и 4 происходят за время, характерное для слабого взаимодействия: ~ 10~10с,
а реакции 2, 7,9, 11 практически ненаблюдаемы. В процессах 5 и 13 |А5| = 2,
и поэтому такие процессы не наблюдаются. Каскадный гиперон распадается по
реакции 4, а затем Л распадается по реакции 3.
484.	1. AZ = 1; AS = -1. б. AZ = AS = 1.
2.	AZ = AS = -1. 7. AZ = -1; AS = 1.
3.	AZ = AS = I. 8. AZ = AS = -1
4.	AZ = AS = 0. 9. AZ = 0; AS = -1.
5.	AZ = AS = 1. 10. AZ = -1; AS = 1.
Таким образом, разрешены распады 2, 3, 4, 5, б, 8; запрещены по правилу
AZ = AS распады 1, 7, 9, 10.
485.	1. Барион Л — синглет с зарядом Z = 0. Следовательно, N = 1, Т =
= 0, Zcp = О, S = -1, ^ = О, Т3 = 0.
2.	Барион Т, — триплет с зарядом ±1 и 0. Следовательно, Zcp = О, N = 3,
Т= 1, ^ = 0, ? = -1, Т3 = Z.
3.	Барион S — дублет с зарядами 0 и —1. Следовательно, N = 2, Т = 1/2,
Zcp = -1/2, S = -2, ^ = -1, Т3 = -1/2 для Z = -1 и Т3 = +1/2 для Z = 0.
4.	Отрицательно заряженный барион О~ — синглет. N = 0, Zcp = — 1, 5 =
= -3, ^ = -2, Г = О, Т3 = 0.
5.	Мезон тг с зарядами ±1,0. Следовательно, N = 3, Т = 1, Т3 = Z, 5 = О,
^ = 0. Заметим, что если в составе мультиплета имеется истинно нейтральная
частица, то при вычислении числа частиц в мультиплете N нужно считать

154	Ответы и решения
вместе частицы и античастицы. Во всех других случаях под N подразумевает-
подразумевается число частиц.
6.	Мезон К — дублет с зарядами 0 и +1. Следовательно, N = 2, Zcp = 1/2,
S=l,T= 1/2, Т3 = 1/2 для К+ и Т3 = -1/2 для К0.
7.	Мезон г] — нейтральный синглет. N = 1, Т = S = Zcp = Тз = 0.
Примечание. Для античастиц все заряды (электрический, барионный,
гиперзаряд) противоположны зарядам частиц. Такое же правило справедливо
для странности и Тз. Изотопический спин Т и число N у частиц и античастиц
совпадают. Совпадают также массы, время жизни и спины. Истинно нейтраль-
нейтральными частицами являются тг°-и ?7-мезоны, так как все заряды для них равны
нулю (см. общее указание к задачам).
486.
Пары частиц: п - р, ?° - Е+, Е" - Е°, S" - S0, К°-К±, тг± - тг°,
Am/m: 0,2а, 0,36а, 0,56а, 0,67а,	1,1а,	4,6а.
Таким образом, относительная разность масс частиц в изотопических муль-
типлетах порядка а. Это наводит на мысль, что указанная разность связана
с энергией электромагнитного взаимодействия.
487.	Наиболее широко используются приближенные законы сохранения
четности, странности или гиперзаряда (при сильных и электромагнитных
взаимодействиях) и закон сохранения изотопического спина (при сильных
и слабых взаимодействиях) Странность, гиперзаряд и четность при слабых
взаимодействиях не сохраняются. Изотопический спин не сохраняется при
электромагнитных взаимодействиях. Таким образом, когда действуют все виды
взаимодействий, указанные законы следует рассматривать как приближенные.
Существуют и другие приближенные законы сохранения.
488.	В реакциях 2 и 4 не соблюдается закон сохранения лептонного
заряда, они строго запрещены. Реакция 5 практически ненаблюдаема из-за
несохранения странности. Реакции 3 и 6 разрешены законами сохранения.
Реакция 1 запрещена законом сохранения энергии.
489.	Реакции 2 и 8 невозможны, так как не сохраняется барионный заряд.
Реакции 3 и 4 могут проходить только по слабому взаимодействию, так как не
сохраняется странность, т. е. они практически ненаблюдаемы. Распады 1 и 7
происходят по слабому взаимодействию, распад 6 — по электромагнитному.
Реакция 5 происходит по сильному взаимодействию.
490.	Реакции 1 и 2 происходят по сильному взаимодействию; 3 и 5 — по
электромагнитному; 4 и 6 — по слабому взаимодействию.
491.	У К°-мезона странность +1, а у К0 — странность —1, поэтому К0,
в отличие от К0, слабо поглощаются веществом. Действительно, все барионы
имеют странность, отрицательную или равную нулю. Поэтому поглощение
К0 веществом может происходить лишь с несохранением странности, т. е. по
слабому взаимодействию.
492.	В реакции 1 изотопический спин не сохраняется, поэтому она может
происходить только при электромагнитном взаимодействии, а реакция 2 может
происходить при сильном взаимодействии. Действительно, изотопический спин
2Не4 и iH2 равняется нулю. Изотопический спин iH1 и iH3 равняется 1/2,
а изотопический спин тг° равняется 1.
493.	Реакции 1, 3, 4 происходят по сильному взаимодействию; реакции 6,
7, 8 — по слабому; 2 и 5 — по электромагнитному взаимодействию.

§8. Элементарные частицы
155
494. Вероятность второй реакции ~ aw\ (эксперимент: \fiaw\), вероят-
вероятность третьей реакции ~ a2w\ (эксперимент: 0fi5a2w\), где а = е2 /Ъс, awi-
вероятность первой реакции. Действительно, диаграмма Фейнмана (рис. 27)
Рис. 27
для распада 2 содержит дополнительный узел распада виртуального фотона на
пару электрон-позитрон, а для распада 3 — два таких узла. Каждый распад
происходит по электромагнитному взаимодействию, а потому каждый узел
вносит в вероятность распада дополнительный множитель а. (Напомним, что
между узлами диаграммы Фейнмана изображены виртуальные частицы.)
495.	тг°-мезон и 7-квант ~~ истинно нейтральные частицы, т. е. совпада-
совпадают со своими античастицами. В этом случае имеет место закон сохранения
зарядовой четности, тг°-мезон обладает положительной зарядовой четностью,
а 7-квант — отрицательной зарядовой четностью, т. е. возможен распад тг°-ме-
зона только на четное число 7-квантов. Четной функцией называется функция,
не изменяющаяся при преобразовании инверсии (х —*> —х, у —*> —у, z —*> —z)\
нечетной — функция, изменяющая свой знак при инверсии. По аналогии, за-
рядово-четной функцией называется функция, не изменяющая знак при замене
всех частиц на античастицы, и зарядово-нечетной, когда функция меняет знак
при этой операции. Состояние системы не меняется при замене частиц на
античастицы, если частица или система частиц истинно нейтральные (т. е. все
заряды: электрический, барионный, лептонный и т. д. — равны нулю). В этом
случае можно говорить о законе сохранения зарядовой четности волновой
функции при реакции. Волновая функция 7-кванта зарядово-нечетна, так как
векторный потенциал электромагнитного поля меняет знак при изменении
знаков у электрических зарядов. Если бы тг°-мезон обладал отрицательной
зарядовой четностью, то он распался бы на три, пять 7-квантов. Поскольку
он распадается на два 7-кванта, это означает, что тг°-мезон — зарядово-четная
частица (точнее, ее волновая функция — зарядово-четная).
496.	Зарядовая четность позитрона С = (—1)г+<5, где S — полный спин си-
системы, а I — момент количества движения. Таким образом, С = 1 (в состоянии
^о) и С = — 1 (в состоянии 3S\). В соответствии с этим, распад в синглет-
ном состоянии возможен на два кванта, а в триплетном — на три, так как
зарядовая четность 7-кванта отрицательна (см. ответ к задаче 495). Распад на
большее число квантов маловероятен. (При перестановке спиновых координат
волновая функция меняется на (—l)s+1. При перестановке пространственных
координат двух частиц волновая функция меняется на (— \I. При перестановке

156	Ответы и решения
зарядовых координат волновая функция меняется на С. При перестановке всех
координат волновая функция электрона и позитрона должна изменять знак
в соответствии с принципом Паули для фермионов:
(—О^+Ч—II • с = (-1), с = (-i)i+s = (-1)",
где п — число фотонов, на которые распадается позитрон).
497. Вероятность аннигиляции позитрония пропорциональна вероятности
сближения электрона и позитрона на расстояние Лк = h/(mec) и вероятности
испускания двух фотонов.
Рассмотрим позитроний в синглетном состоянии, тогда вероятность сбли-
сближения частиц пропорциональна А3/а3, где а — радиус позитрония (а = Хк/а;
а = е2/(fie)). Вероятность испускания двух фотонов в единицу времени с дли-
длиной волны порядка Ак равняется а2с/Хк. Таким образом, вероятность анниги-
аннигиляции в единицу времени
аъс
Дк
или время двухфотонной аннигиляции
2
Время распада на три 7-кванта тз уменьшается в \/а = 137 раз.
Примечание. В ответе к задаче 467 показано, что вероятность испус-
испускания одного фотона w\ ~ a(Av/c2). Вероятность испускания двух фотонов
W2 ~ a2(Aw/c)A. Вероятность испускания в единицу времени Р2 ~ w^oo, где
и ~ с/Ак — частота 7"кванта. В нашем конкретном случае при аннигиляции
можно считать Av/c ~ 1, поэтому вероятность испускания двух фотонов:
127 л = J_ h
ZOL
2
х 10~12см (а = — = —Z-). Доля времени пребывания мюона в ядре при-
V he 137/
498.	Боровский радиус орбиты мюона в атоме кг а = — —-— = 1,97 х
" = -)
he m)\
близительно равняется (R/a) , где R= 1,3- 10 см — радиус ядра. Время
пребывания мюона в ядре, таким образом, равняется тя ~ r^(R/af = 6,32 х
х 10~10с, где тм = 2,2 • 10~6 с — время жизни мюона.
499.	Время жизни мюона т определяется формулой - =	1	( — ) ,
т т^ тя V a J
где тм = 2,16 • 10~6 с — время жизни свободного мюона, тя — время жизни
мюона в ядре; скорость мюона v = Zac, а длина свободного пробега I = утя =
= Zac(-K^^- = 1,2см (а= — = —V
\а) т^-т '	V	he 137/
500.	Сечение реакции а = 1/(/п), где / — длина свободного пробега мюона
в ядре, оцененная в задаче 493; п = —.	 — концентрация протонов в ядре,
4/зтг R6
R = 1,25А1/3 — ферми-радиус ядра. Отсюда а = 1,36 • 10~38см2.
501.	ve может превратить нейтрон в протон согласно реакций
щ + п —>> р + е~,

§8. Элементарные частицы	157
но не может превратить протон в нейтрон, так как реакция
запрещена. Антинейтрино ие может превратить в атомном ядре протон в ней-
нейтрон, но не может превратить нейтрон в протон. Пользуясь этим свойством,
можно отличить г/е от ие.
502.	При взаимодействии с веществом электронное нейтрино превращает
в атомном ядре протон в нейтрон и электрон, а мюонное нейтрино — протон
в нейтрон и мюон:
^м + Р —> п + рГ.
Таким образом, поглощение v^ в веществе происходит с меньшей вероят-
вероятностью, чем i/e, если их энергии одинаковы. Действительно, большая часть
энергии v^ затрачивается на рождение частиц, так как масса рГ в 207 раз
больше массы электрона. Известно, что чем больше освобождается кинети-
кинетической энергии в конечном состоянии, тем больше вероятность процесса, так
как с ростом кинетической энергии увеличивается число возможных конечных
состояний (см. задачу 369).
503.	Известно, что величина ^/(ficR2) безразмерна, р/% имеет размер-
размерность R~l. Здесь R — радиус действия слабого взаимодействия, который не
войдет в окончательный ответ. Сечение а имеет размерность R2. Поэтому
в соответствии с условием задачи
h2
где & — энергия нейтрино. По-видимому, это выражение справедливо при &,
значительно большем энергии покоя электрона. Выражая & в мегаэлектрон-
мегаэлектронвольтах, получим а [см2] - б • 10482 - 103&2, а ~ 1(Г41 см2 (& = ЮМэВ),
сг- Ю-39 см2 (g~ 100МэВ), сг- Ю-37 см2 (&= 1ГэВ).
504.	Вероятность поглощения нейтрино нейтронами с энергией 100 МэВ
равняется Р ~ О,5р7Ул • 2Ra =	 ctNa = 2 • 10~6, где р — плотность Земли,
М — ее масса, R — радиус, Na — число Авогадро. Таким образом, нейтрино
практически проходит сквозь Землю без поглощения.
505.	Вероятность поглощения нейтрино
р=к1змаМл = 7. ю-10- ю-9,
где К — доля нейтронов (из приведенных в условии задачи данных получим
К = 0,12, а из решения задачи 503 а « 10~43см2).
506.	Если КПД равняется 2,5%, то на создание одного мюона затрачива-
затрачивается энергия 40шм- = 4,2 ГэВ. При синтезе атома дейтерия с атомом трития
выделяется 17,6 МэВ. Таким образом, один мюон должен обеспечить холодный
синтез более чем в 240 мезомолекулах, чтобы скомпенсировать затраты на его
образование.
507.	Время образования мезомолекулы (/xdt) т = 10~8 с следует сравнить
со временем распада \i~ (тм = 2,2 • 10~6 с). Поэтому один \i~-мезон за время
своей жизни может образовать 220 мезомолекул, если не будет поглощен
какими-либо другими молекулами. Поэтому образования 220 мезомолекул
недостаточно для получения выигрыша в энергии (см. задачу 506). Выход из
этого положения может быть все-таки найден. В реакции ядерного синтеза

158
Ответы и решения
выделяется нейтрон с энергией 14,1 МэВ и а-частица с энергией 3,5 МэВ
(см. задачи 428 и 429). Известно, что быстрые нейтроны могут осуществить
деление U238, при этом выделяется энергия порядка 200МэВ и образуется ядро
Ри239, которое является ядерным горючим. Подобная система носит название
системы «синтез-деление» или гибридного ре-
реактора.
508. Из октета частиц можно образо-
образовать унитарный и изотопический синглеты (Л)
и (Л), два унитарных и два изотопических
дублета (р?+; ?~?~) и (рп; ?~?°) и уни-
унитарный и изотопический триплеты (пХ°?°)
и (Х~Х°Х+). На диаграмме изотопические
мультиплеты расположены по горизонтали,
унитарные — по вертикали (рис. 28).
V
-1 Л
•л
2°
, -.0
•p
E+
+1 Z
509.
Рис. 28
Am
251
124
122
253
o/
/o
23,6
9,8
9,7
22,7
Силы, связанные с гиперзарядом, составляют по порядку величины 1/10 от
ядерных сил (см. табл. VIII).
510. Е"-(Лрп),	тг+-(рй),
тг° - (пп) ¦
Е+-(Лрп),
Н°-(ЛЛп),	К--(Лр),
Н--(ЛЛр),	К+-(Лр),
О- -(ЛЛЛрй),	К°-(Лп),
К0-(Ли).
511. По определению гиперзарядов
Решая эти уравнения, получаем
Zx =2/3, Z2 = -l/3,
f, = 1/3, & = -2/3.
Если потребовать, чтобы частицы 1 и 2 имели странность 0, а частица 3 —
странность —1, то следует считать, что все три частицы имеют барионный
заряд А = 1/3, так как странность S = ^ — А. Гипотетические частицы,
обладающие указанным свойством, получили название кварков.
512. р -(uud),	?°	-(uds),
п - (udd),	S+	- (uus),
Л - (uds),	E~	- (dss),
Е- -(dds),	E°	-(uss).

§8. Элементарные частицы	159
513.	п~	- (sss),
?*°?*-	- (uss)(dss),
S*+S*°S*-	- (uus)(uds)(dds),
А++А+А°А-	- (uuu)(uud)(udd)(ddd).
514.	7г+ - (ud), ^	K+ - (us),
тг° - (uu; dd; ss), K° - (ds),
тг~ — (ud),	K~ — (us),
K° - (ds).
515.	Основное правило физики элементарных частиц гласит, что сече-
сечение аннигиляции пропорционально квадрату заряда частиц, аннигилирующих
в результате электромагнитного взаимодействия между ними (см. дополнение
к ответу задачи 467). Квадрат заряда кварка и равен 4/9, а кварка d ра-
равен 1/9. Это означает, что сечение аннигиляции (uu) в четыре раза больше,
чем сечение аннигиляции (dd). Кварковый состав мезонов тг+ и тг~ известен
(см. задачу 514). тг+-мезон состоит из кварков d и и, а тг~ состоит из кварков
и и d. Сечение рождения пары мюонов при столкновении тг+ с протонами будет
в четыре раза меньше, чем при взаимодействии протонов с тг~-мезонами. Таким
образом, сечение реакции 2 будет в четыре раза меньше сечения реакции 1.
Этот результат и был получен на опытах, проведенных на ускорителе.
516.	Барионы с очарованием 1 образуют изотопические синглет, дублет
и триплет [(essH; (cds)° (cus)+; (cdd)° (cud)+ (cuu)++]. Барионы с очарованием
+2 образуют синглет и дублет [(ccs)+; (ccd)+ (ccu)++]. Имеется один барион
с очарованием +3 — это (ссс)++. Мезоны с очарованием +1 — это (cs)+
и (cu)° (cd)+. Мезоны с очарованием —1 — это (cs)~ и (cu)° (cd)~.
517.	Из ответа к предыдущей задаче следует S = ^ — А — С.
518.	На классическом языке объяснить пленение кварка невозможно, так
как, сообщив кварку достаточно большую энергию, можно всегда получить
кварк в свободном состоянии, поскольку он устойчив. Однако в квантовой
механике известно, что, если сообщить кварку достаточно большую энергию,
он может родить пару кварк-антикварк и соединиться с одной из рожденных
частиц, в то время как вторая вернется в ядро. Если силы такие большие, что
рождение пары произойдет внутри ядра, то свободный кварк никогда не удаст-
удастся получить. Такая ситуация была бы возможна, если бы силы, действующие
между кварками, не уменьшались с ростом расстояния между ними.
519.	Закон сохранения энергии:
Закон сохранения импульса:
Во втором равенстве мы пренебрегли массой покоя электрона и положили & =
= рес, &' = р'ес, где ре и р^ — импульсы электрона до и после соударения. Угол
в — это угол между ре и ре. Отсюда легко получить
gV = с2р2 - (&' - Щ2 = 2$&'(\ - cosO).

160	Ответы и решения
520. Используя решение задачи 519, получим
где М = 938,2 МэВ, &/с2 = 15ГэВ, &'/с2 = ЮГэВ, cos 10° = 0,9848, отсюда
М* = 2,388 ГэВ.
521. Из закона сохранения энергии (см. ответ к задаче 519) следует:
При упругом соударении массы покоя частиц не изменяются, т. е. М* = М.
Отсюда получаем 2Mv = q2c2. Хотя расчет проведен в системе координат, где
протон первоначально покоился, приведенное выше соотношение справедливо
в любой системе координат, поскольку все входящие в него величины являются
инвариантами.
522.
(М*2 - М2)с3 _ с[2Ми - д2с2]
2[л/р2 + М2с2^р\ ~	4р	'
523. Время взаимодействия определяется длиной волны виртуального фо-
фотона, передающего взаимодействие от электрона к протону:
524.
X
с
,2С2 +
п
А%
4pft
с[2Ми - q2c2} '
хJр2 + р2± + М2с2 — д/р2 + М2с2 > ^
2A -х)х
Импульс кварка хр + р±, импульс остатка A — х)р — р±. В этом выражении
первый корень есть полная энергия свободного виртуального кварка, второй
корень — полная энергия остатка протона после вылета виртуального кварка
(масса покоя протона при этом не меняется). Наконец, третий корень — полная
энергия протона до вылета кварка. Таким образом, в фигурных скобках стоит
энергия А&, затраченная на генерацию свободного кварка. Затем используем
неравенства для приближенного вычисления корней из приведенного выраже-
выражения и получим приближенное выражение для эффективной массы кварка.
525. Время существования кварка в свободном состоянии равняется
t =
Мэфс2 '
Здесь —— — релятивистский фактор возрастания времени жизни,
МэфС	^	^*^ —г—— ^"~"» — МэфС
, а МЭфС2 — энергия, которая должна быть «занята»
кварком на время t. При этом учитывается, что кварк сильно связан в протоне,

§8. Элементарные частицы	161
т. е. его энергия связи почти равна его массе в свободном состоянии. Чтобы
кварк действовал как свободная частица, необходимо, чтобы
t > ?вз,
где ?вз определено в задаче 523. Отсюда получаем
2Мг/-д2с2>4Мэ2фс2,
или
М*2 - М2 > 4Мэ2ф,
где М — масса протона, а М* — масса частиц после реакции.
526. Для протона вероятность спинового состояния (|u; |u; jd) равняет-
равняется 2/3, а спинового состояния (|u; ju; |d) равняется 1/3. Следовательно,
1/2	2	1 \ 2 г2	2	/ 1
Мр = з U^1 - зMl " зН + з [зMl + зMl " (" з
Аналогично, для нейтрона /хп = —2/зМь Отсюда /хп/мР = —2/3 = —0,667. Экс-
Эксперимент дает для /хп/мР = —0,685. Покажем, почему появляются вероятности
1/3 и 2/3 при разных спиновых состояниях протона. Каждый кварк имеет
спин 1/2, поэтому максимальный спин трех кварков равен 3/2 — (и | и | d |).
Как мы видим, такое состояние только одно, поскольку максимальная про-
проекция вектора на какую-то ось совпадает с абсолютной величиной векто-
вектора. Состояний с положительной проекцией спина 1/2 на вертикальную ось
два: (и | и | d |) или (и | и | d |). Естественно предположить, что эти два
состояния описывают полный спин 1/2 и повернутый от вертикальной оси
спин 3/2. Теперь нам нужно составить чистые состояния, одно из которых
описывает повернутый спин 3/2, а второе — спин 1/2. Обратим внимание, что
при повороте состояния (и | и | d |) вероятность получить (и | и | d |) вдвое
больше, чем (и | и | d |), так как кварков и два, а кварк d один. Кроме того,
невозможно отличить состояние (и | и | d |) от (и | и | d |). Таким образом,
мы можем сказать, что с вероятностью 2/3 состояние (и | и | d |) описывает
повернутый спин 3/2, следовательно с вероятностью 1/3 оно описывает спин
1/2. Состояние (и | и | d |) с вероятностью 1/3 (т. е. в два раза меньшей,
чем состояние (u | и | d [)) описывает повернутый спин 3/2. Следовательно,
с вероятностью 2/3 оно описывает состояние со спином 1/2. Можно показать,
что состояние со спином 3/2 описывает частицу A+(u | u | d |).
Аналогичные рассуждения для нейтрона показывают, что состояние
(и | d | d |) входит с вероятностью 2/3, а состояние (u | d | d |) —
с вероятностью 1/3. Частица (u | d | d |) со спином 3/2 — это А°-частица.
527 &'=
Отсюда видно, что изменение знака энергии и интервала времени при переходе
от одной системы отсчета к другой происходит тогда, когда и > c2/v.
528. Поскольку энергетический метод определения по энергии рождения
и поглощения систем в данном случае не проходит, так как тахион может иметь
отрицательную энергию, постольку остается использовать статистику. Пусть
б Под ред. Д. В. Сивухина

162	Ответы и решения
в точках А и В происходит рождение или поглощение тахиона. Изготовим
экран, полностью поглощающий тахион, и будем этим экраном перекрывать
путь между А и В в случайные моменты времени. Затем изучим корреляцию
времен перекрытия пути со временами событий в А и В. Если мы обнаружим,
что корреляция времен перекрытия с событиями в точке В имеется, а с собы-
событиями в точке А не имеется, то это означает, что тахион рождается в точке А,
а поглощается в точке В. Таким абсолютным методом мы установили причину
(рождение тахиона в точке А) и следствие (поглощение в точке В). Означает
ли это, что принцип переключения не работает? По-видимому, это так. Однако
вдруг мы не обнаружим корреляцию времен перекрытия пути с событиями
и в точке Айв точке В? Это кажется невозможным по современным взглядам,
но мы не до конца знаем законы, которые следовало бы применить к гипотети-
гипотетическим частицам — тахионам.
529.	Сохраняется величина
I = [г • mv] - (eig2 - e2gi)- ^
530.	По аналогии с предыдущей задачей
I = [г mv] + — - = const, (I • г) = tin = —,
где п — целое или полуцелое число. При п = 1 ge /(he) = е, g = 137е.
531.	Строя изображение движущейся и вращающейся частицы, легко по-
показать, что р — полярный вектор, а М — аксиальный. Рассматривая в зеркале
изображения конденсатора и контура с током, убедимся, что вектор Е —
полярный, а В — аксиальный. Однако при этом мы должны допустить, что
знаки электрического заряда и его изображения в зеркале одинаковы (рис. 29).
Далее поскольку радиус-вектор является полярным, то потенциал ip в зеркале
не изменяется (Е = —V</?), а векторный потенциал изменяет знак в зеркале на
обратный (В = rot А) (рис. 30).
f E	Предмет
^^^—^^^— Зеркало
# Е	Изображение
+ + '+ + +	Предмет Зеркало Изображение
Рис. 29	Рис. 30
532.	1) При зеркальном изображении в зеркале, перпендикулярном оси х,
координата х изменяется на обратную, а координаты у и z не изменяются.
Поэтому последовательное отражение в трех зеркалах, упомянутых в условии
задачи, полностью эквивалентно инверсии.
2) Если после первого зеркального изображения, упомянутого в первом
пункте, произвести вращение системы координат на 180° вокруг оси х, то
координата х не изменится, а координаты у и z изменятся на противоположные.
533.	Предположим, что спиральность частицы положительна.
Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью, большей ско-
скорости частицы. Тогда импульс частицы в движущейся системе координат

§8. Элементарные частицы
163
будет иметь противоположное направление, а направление вектора спина не
изменится. Это означает, что спиральность частицы в движущейся системе
координат изменит знак и станет в данном случае отрицательной. Однако такие
рассуждения неприемлемы к частице с нулевой массой, так как она движется
со скоростью с.
534. Рассмотрим нейтрино в зеркале, нормальном к импульсу (рис. 31).
Если в природе спиральность отрицательна, то в зеркале спиральность нейтри-
нейтрино положительна. Но то, что мы видим в зеркале, может быть осуществлено
Предмет
Зеркало Изображение
Рис. 31
в природе. Если в природе нет нейтрино с положительной спиральностью, то
это значит, что принцип зеркальной симметрии нарушен. Поскольку нейтрино
обладает только слабым взаимодействием, то отсюда следует, что слабые силы
зеркально несимметричны.
535. Спин пиона тг+ равен нулю, поэтому должен равняться нулю и спин
системы /х+ +v^. Это означает, что векторы спинов /х+ и v^ направлены в про-
противоположные стороны. Поскольку в системе центра масс противоположны
также и импульсы частиц, то спиральности мюона и мюонного нейтрино при
Рис. 32
распаде пиона тг+ совпадают. Измерить спиральность /х+ значительно легче,
чем измерить спиральность v^ (рис. 32).
536. Используя тот же прием, что и для задачи 531, получим, что при ком-
комбинированном зеркальном изображении вектор Е не изменяется, т. е. является
аксиальным, а вектор В меняет знак на противоположный, т. е. является по-
полярным. Таким образом, мы видим при сравнении с задачей 531, что свойство
векторов Е и В быть полярными или аксиальными зависит от выбора операции
зеркальной симметрии. Абсолютным утверждением является разное поведение
векторов Е и В по отношению к любому зеркальному изображению.
Предмет
Комбинированное Изображение
зеркало
Рис. 33
537. Рассмотрим нейтрино с отрицательной спиральностью в комбиниро-
комбинированном зеркале (рис. 33). Мы видим антинейтрино с положительной спираль-

164	Ответы и решения
ностью. В природе существует антинейтрино с положительной спиральностью.
Следовательно, принцип комбинированной зеркальной симметрии не нарушен.
Это значит, что слабое взаимодействие обладает комбинированной зеркальной
симметрией.
538.	Припишем четной функции число +1, нечетной функции — число —1.
Четность функции ф будет определяться числом, равным произведению чисел
четности функций ф\, ф2 и /. Например, если все три функции нечетны, то
нечетна и функция ф. Если все три четны или если ф\ и ф2 нечетны, а / четна,
то функция ф четная.
539.	При слабом взаимодействии сохраняется во времени комбинированная
четность, т. е. сохраняется четность или нечетность волновой функции при
комбинированной инверсии, т. е. при последовательном проведении преобразо-
преобразования инверсии и замене частиц на античастицы (последнее преобразование
носит название зарядового сопряжения).
540.	1) Рассмотрим систему тг° + тг°. В соответствии с решением задачи
538 четность системы определяется произведением четности трех функций
'0i(ri)'02(r2)/(r), где ф\ — волновая функция первого пиона, ф2 — волновая
функция второго пиона, а / - волновая функция относительного движения,
г = г2 — п, где ri и г2 — радиусы-векторы пионов. Функции ф\ и ф2 нечет-
нечетные, при инверсии они меняют знак. Преобразование инверсии означает, что
ri —*> —п, г2 —*> —г2, г —*> —г. Таким образом,
^l(ri) -»> -^i(-n), ф2(г2) -> -^2(-Г2).
Поскольку преобразование г —>> —г эквивалентно замене ri —>> г2, г2 —>- п, т.е.
перестановке частиц, то, согласно указанию к задаче, /(г) = /(—г). Отсюда
получаем, что волновая функция ф\ф2/ не меняет знака при преобразовании
инверсии, следовательно, система тг° + тг° обладает положительной четностью.
Эта система обладает также положительной комбинированной четностью, так
как 7г° — истинно нейтральная частица.
2)	Подвергнув систему тг+ + тг~ тем же преобразованиям, что и систему
7г° + 7г°, мы столкнемся с единственной разницей. Замена частиц на антича-
античастицы эквивалентна перестановке местами тг+ и тг~; преобразование инверсии,
как показано выше, делает то же самое; поэтому система тг+ + тг~ обладает
также положительной четностью и положительной комбинированной четно-
четностью.
3)	Рассмотрим систему тг+ + тг~ + тг° и запишем ее волновую функцию
как ф±фо/, где ф± — волновая функция системы тг+ + тг~. Мы знаем, что
она четная. Функция фо нейтрального пиона тг° нечетная, а / — волновая
функция движения тг° относительно центра масс системы тг+ + тг~. Функция /
будет четной, если момент количества движения / относительно центра масс
системы равен нулю. Функция / будет нечетной, если момент 1=1. Таким
образом, состояние тг+ + тг~ + тг° — четное при / = 0 и нечетное при / = 1.
Комбинированная четность для пионов совпадает с их четностью.
4)	Система тг° + тг° + тг° обладает теми же свойствами, что и система тг~ +
+ 7Г++7Г0.
541.	Переходы К0 ^ К0 в принципе возможны по слабому взаимодей-
взаимодействию. При таких переходах странность изменяется на две единицы, AS = 2,
поэтому переходы происходят с очень малой вероятностью.
542.	К0 и К0 не обладают определенной комбинированной четностью, так
как К0 и К0 не являются истинно нейтральными частицами. При комбиниро-

§8. Элементарные частицы	165
ванной инверсии К0 переходит в К0. Волновые функции частиц К0 и К0 не
связаны друг с другом простым соотношением типа ф\ = zb02» и это означает,
что волновые функции К°-мезона не имеют определенной (положительной или
отрицательной) комбинированной четности.
К° + К°
543.	Волновая функция Ki = 	—— обладает положительной комбини-
К° -К0
рованной четностью, а функция К2 =	-j=	отрицательной комбинирован-
л/2
ной четностью. В знаменателе мы пишем у 2 для нормировки волновых функ-
функций. Обратите внимание, что если ф(х) — произвольная функция х, то сумма
ф(х) + ф(—х) — четная функция, а ф{х) — ф(—х) — нечетная. При операции
инверсии волновые функции испытывают следующие преобразования: К0 —>>
—*> —К0, К0 —*> —К0. При операции зарядового сопряжения (т. е.^замене частиц
на античастицы) преобразование функций следующее: К0 —>> —К0, К0 —»> —К0.
Знак минус у функций при преобразовании зарядового сопряжения выбран
нами произвольно. Если бы мы выбрали знак плюс, то выражения для Ki и К2
следовало бы поменять местами.
544.	В задаче 543 мы нашли две функции Ki и К2, составленные из
волновых функций К0 и К0. Разрешая два уравнения, найдем, что К0 =
=	2. Вспомнив, что здесь символами К0, Ki и К2 обозначены волновые
л/2
функции, мы можем утверждать, что состояние, описываемое функцией К0,
соответствует состоянию, которое с вероятностью 0,5 может быть описано
волновой функцией Ki и с вероятностью 0,5 описано функцией К2.
Состояние Ki обладает положительной комбинированной четностью и мо-
может распасться на два пиона, обладающих той же комбинированной четностью.
Состояние К2 обладает отрицательной комбинированной четностью и мо-
может распасться на три пиона. Распад на три пиона происходит за большее
время, так как при этом распаде освобождается меньше кинетической энергии,
чем при распаде на два пиона.
545.	Объяснить это явление в рамках закона сохранения комбинированной
четности невозможно. Это означает, что небольшая доля слабого взаимодей-
взаимодействия (~ 0,2%) не сохраняет комбинированной четности.
546.	В соответствии с задачей 544 волновая функция мезона Ки =	.
За время t > ts состояние Ki распадается, и, согласно задаче 543,
ко _, Кг_ = К°-К°
~" л/2 л/2 •л/2'
При прохождении через вещество К°-мезоны поглощаются, а К°-мезоны про-
проходят, не поглощаясь (см. задачу 491). Следовательно,
К0 - К0 К0 Ki + К2
2	* 2 ~ 2л/2
Таким образом, происходит регенерация состояния Кь Можно подвести баланс
числа К°-мезонов. 50% К°-мезонов распалось на два пиона через время rs
после образования К0. В веществе поглощена 1/4 доля мезонов. В результате
регенерации состояния Ki распалась A/2л/2J = 1/8 доля мезонов. Остав-

166
Ответы и решения
шаяся 1/8 доля мезонов распадается на три пиона через время гь. Процесс
иллюстрируется рис. 34. Масштаб на рисунке невозможно сохранить, так как
Источник
К0
Распад
состоя-
состояния Кл
Регенерация
состояния К-\_
Распад
состояния К2
Вещество
Рис. 34
расстояние от источника К0 до распада на три тг должно быть в 651 раз больше,
чем расстояние от источника К0 до места распада К0 на два тг.

ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические атомные и ядерные константы
Информация о физических константах приведена в соответствии со значе-
значениями, опубликованными в журнале «Успехи физических наук», 1975, т. 115,
вып. 4, с. 623 (см. также «Таблицы физических величин». — М.: Атомиздат,
1976). Значения величин даны с точностью до единицы последней значащей
цифры. Аналитические выражения записаны в системе СГС.
Элементарный заряд е = 4,8032 • 10~10 ед. СГС = 1,6022 • 10~19 Кл
Постоянная Планка % = — = 1,05459 • 10~27 эрг • с
Скорость света с = 2,99792458 • 10ю см/с.
Число Авогадро NA = 6,02209 • 1023 моль
е2	1	_о
Постоянная тонкой структуры а = — = тт^т^ = 7,29735 • 10
пс 1о7,0оо
Масса электрона ше = 9,1095 • 108 г; шес2 = 0,51100 МэВ
2
Классический радиус электрона ге = 	~ = 2,81794 • 10~13см
тес2
Комптоновская длина волны электрона Хе = -^ =	= 3,86159 • 10~п см
2тг тес
Радиус Бора ае = 	т = геа~2 = 0,52917 А A А = 10~8см)
meez
Магнетон Бора [iB = -^— = 9,2740 • 10~21 эрг/Гс = 0,578838 • 10~14 МэВ/Гс
ZiTYIqC
Отношение масс протона и электрона тр/те = 1836,151
Масса протона шр = 1,67264 • 10~24г; трс2 = 938,28 МэВ
1 а.е.м. (углеродная) = 1,66056 • 10~24г = 931, 50МэВ
Разность масс нейтрона и протона тп — тр = 1,2934 МэВ
Комптоновская длина волны протона Ар = 	= 2,10309 • 10~14см
шрс
Ядерный магнетон /хя = ^^— = 5,0508 • 10~24 эрг/Гс = 3,15245 х
х 108МэВ/Гс
Магнитный момент протона /хр = 2,7927/хя
Магнитный момент нейтрона /хп = — 1, 9131/хя
Атомное электрическое поле Еа = — = 4е = 5,14 • 1011 В/м
Гравитационная постоянная G = 6,67 • 10~8 см3/(г • с2)

168
Приложения
Газовая постоянная R = 8,314 • 107 эрг/(моль • К)
1 калория = 4, 184 Дж
1 год = 3,1536- 107с
1эВ = 1,60219- 109Дж= 1,60219- 102эрг =
= 2,41797- Ю-14 Гц = 8,0655- кЯсм = 11604,9 К
Плотность воздуха = 1,205 • 10г/см3 (при 20°С)
1атм = 1033,2 г/см2
1 радиан = 57,29578°
In 2 = 0,69315; In 10 = 2,30259; lg 2 = 0,30103;
е = 2,71828; lge = 0,43429; 1/е = 0,367879
2. Таблицы
Давление паров воды и этилового спирта
при различных температурах
Таблица I
Температура,
°С
35
30
28
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
Давление
вода
42,188
31,834
28,35
23,76
22,38
21,07
19,83
18,65
17,54
16,48
15,48
14,53
13,64
12,79
11,99
11,23
10,52
9,84
9,21
8,61
8,05
7,51
7,01
мм рт. ст.
этиловый
спирт

78,41
70,09
59,03
55,70
52,54
49,54
46,69
44,00
41,45
39,05
36,77
34,62
32,60
30,69
28,89
27,19
25,59
24,08
22,66
21,31
20,04
18,84
Температура,
°С
5
4
3
2
1
0
- 1
-2,0
-2,8
-3,0
-4,0
-5,0
-6,0
-7,0
-8,0
-9,0
-10,0
-10,6
-11,0
-12,0
-13,0
-16,5
-24,5
Давление
вода
6,54
6,01
5,68
5,29
4,92
4,58
4,25
3,95
—
3,67
3,40
3,16
2,93
2,71
2,51
2,32
2,14
—
1,98
1,83
1,68
—
-
мм рт. ст.
этиловый
спирт
17,70
16,62
15,69
14,60
13,65
12,73
—
—
9,49
—
—
—
—
—
—
—
6,47
5,20
—
—
—
3,23
1,72

2. Таблицы
169
Таблица II
V dx /ион
— Э2I/2
A - /?2I/2
0,126
0,18
0,255
0,315
0,366
0,411
0,60
/, 103эВ
на пути в 1 см
в воздухе
45,2
25,9
14,8
10,8
8,7
7,4
4,68
A-/?2I/2
0,894
1,15
1,39
1,61
2,68
4,74
/, 103эВ
на пути в 1 см
в воздухе
3,28
2,83
2,69
2,52
2,41
2,49
Значения
Rm
М
= g как функция от
(R — пробег частиц)
Таблица III
A _ /32I/2
Р
A-Я./2
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
S ^A _ p2y/2 J '
на пути в 1 см в воздухе
при нормальных условиях
0,05
0,10
0,275
0,70
1,60
3,0
5,25
8,40
Р
A-/^/2
0,18
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
g ( ^ 1 10~2
на пути в 1 см в воздухе
при нормальных условиях
12,35
21,00
41
61
102
183
265

170
Приложения
Таблица IV
Соотношение пробег-энергия для частиц в эмульсии
Пробег,
мкм
5
10
20
30
40
50
Энергия, МэВ
Р
0,47
0,78
1,26
1,66
2,00
2,32
d
0,58
0,98
1,60
2,10
2,55
2,97
t
0,63
1,10
1,82
2,40
2,89
3,37
а
1,50
2,84
4,86
6,47
7,85
9,10
Пробег,
мкм
60
70
80
90
100
150
Р
2,60
2,88
3,10
3,35
3,60
4,60
Энергия, МэВ
d
3,37
3,79
4,05
4,35
4,65
6,00
t
3,80
4,20
4,60
5,00
5,30
7,00
а
10,30
11,35
12,35
13,25
14,23
18,15
Таблица V
_	d{Hr)
Значения —	 в свинце как функция от
dx
A -
A-02I/2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Р
0,288
0,372
0,449
0,515
0,574
0,625
0,667
dx
на 1 см свинца
8,33
4,33
2,71
1,91
1,45
1,15
0,94
0
A-/32I/2
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,8
Р
0,706
0,739
0,768
0,793
0,814
0,832
0,848
0,874
^,10*.Э.см
ах
на 1 см свинца
0,80
0,72
0,67
0,62
0,56
0,545
0,543
0,542
Таблица VI
Массы нейтральных атомов
(в углеродных а. е. м; за вычетом энергии связи электронов)
"А
Н1
Н2
Н3
Не3
1,00866527
1,00782522
2,01410222
3,01604971
3,01602968
Не4
Li6
Li7
Li8
Be7
4,0026033
6,0151232
7,0160044
8,0224874
7,0169295
Be8
Be9
Bio
C12
8,0053052
9,0121829
10,0129385
12,0000000

2. Таблицы
171
Таблица VII
Радиоактивное семейство урана-радия
Название элемента
Уран UI
UXi
\
\
их2
1
Уран UII
1
1
Ионий 1о
1
1
Радий Ra
1
Радон Rn
1
RaA
1
RaB
1
RaC
/\
/ RaC
RaC" /
\ /
\ /
RaD
i
i
RaE
i
i
Полоний Po
i
i
Свинец Pb
Z
92
90
91
92
90
88
86
84
82
83
84
81
82
83
84
82
A
238
234
234
234
230
226
222
218
214
214
214
210
210
210
210
206
Вид распада
a
p
/3
a
a
a
a
a
P
/9(99,96%)
ck@,04%)
a
a
устойчивый
Период
полураспада
4,5 • 109 лет
24 дня
1,14 мин
2,48 • 105 лет
8,3 • 104 лет
1602 года
3,82 дня
3 мин
26,8 мин
19,7 мин
1,5- Ю-4 с
1,3 мин
22 года
5 дней
140 дней
Энергия
частиц, МэВ
4,21
0,13
2,32
4,75
4,66
4,79
5,49
6,00
0,65
3,2
5,5
7,68
1,80
0,025
1,17
5,30
Таблица VIII
Элементарные частицы
Эта таблица не претендует на полноту, а носит учебный, вспомогательный характер.
Лептоны (спин 1/2)
Наименование частицы
Электронное нейтрино
Мюонное нейтрино
Тау-нейтрино
Электрон, позитрон
Мюон
Тау
Символ
VT
е±
М±
т±
Масса, МэВ
0
0
0
0,51100
105,659
1782+1
Время
жизни, с
оо
оо
оо
оо
2,2- Ю-6
3,5- Ю-12

172
Приложения
Барионный октет (спин 1/2)
Наименование
Протон
Нейтрон
Лямбда
Сигма-плюс
Сигма-минус
Сигма-нуль
Кси-нуль
Кси-минус
Символ
Р
п
Л
?°
Е°
Масса, МэВ
938,28
939,57
1115,60
1189,37
1197,35
1192,48
1314,9
1321,29
Время жизни, с
ОО
918 dz 14
2,6- 10-ю
0,80- 10-ю
1,48- 10-ю
< 10-14
2,96- 10-ю
1,65- 10-ю
Странность
0
0
-1
-1
-1
-1
-2
_2
Изоспин
1/2
1/2
0
1
1
1
1/2
1/2
Барионный декуплет (спин 3/2)
Символ
Д-, А°, Д+, Д++
2*~ Х*0 Х*+
?*+
и*-
н*—
Масса, МэВ
1236 ±0,55
1385
1383 ± 1
1387 ± 1,2
1531,8 ±0,3
1,535,1 ±0,7
1,672,2 ±0,4
Ширина ре-
резонанса, МэВ
120 ±2
40
35 ±2
42 ±5
9,1 ±0,5
10,6 ±2,6
Время жизни, с
5,5- Ю-24
1,64-10-23
1,9-10-23
1,6-10-23
7,2- Ю-23
6,4- Ю-23
@,82 ±0,06)- 10-ю
Стран-
Странность
0
-1
-1
-1
-2
_2
-3
Изоспин
3/2
1
1
1
1/2
1/2
0
Мезонный октет (спин 0)
Символ
7Г°
к-}
к°1
КО f
ту
Масса, МэВ
139,56
134, 96
493,7
497,7
548,8
Время жизни, с
2,60- Ю-8
@,84 ±0,1)- 10—16
1 1,23- Ю-8
f 0,88- 10-ю
\ E,77 ±0,59)- Ю-8
2, 50+0'71 1-10-19
-0,45 J
Странность
0
0
1
-1
1
-1
0
Изоспин
1
1
1/2
1/2
1/2
1/2
0

2. Таблицы
173
Экзотические частицы
Название
частицы
Чармоний
Очарованные
частицы
Ипсилон
В-частицы
(красивые
частицы)
Символ
ф'
ф"
D0
D+
F+
Т
т/
т„
В
Масса,
МэВ
3098
3684
4100
1863 ±1
1868 =Ь 1
2030 ± 60
9460 ± 10
10016 ±20
10380
5300
Ширина
резонанса
или время
жизни
69±7кэВ
220 кэВ
150 МэВ
Ю-13 с
Ю-13 с
Ю-13 с
25кэВ
50кэВ
ю-14
Квар-
ковый
состав
(ее)
(ее)
(се)
(си)
(cd)
(cs)
(bb)
(bb)
(bb)
(bu)
(bd)
(bs)
(be)
Стран-
Странность
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
Очаро-
Очарование
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
-1
Кра-
Красота
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
Кварки (спин 1/2)
Символ
U
d
S
с
b
Барионный
заряд
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
Примечание.
на противоположный
Гипер-
Гиперзаряд
1/3
1/3
-2/3
4/3
-2/3
Электрический
заряд
+2/3
-1/3
-1/3
+2/3
-1/3
Странность
0
0
-1
0
0
Очарование
0
0
0
1
0
Красота
0
0
0
0
1
У антикварков все приведенные в таблице числа изменяют знак

174
Приложения
3. Фотографии
Рис.1

3. Фотографии
175

176
Приложения
Рис. IV
Рис. V

3. Фотографии
177

178
Приложения
Рис. VII

3. Фотографии
179

180
Приложения
Рис. IX
л
Рис. X

3. Фотографии
181
¦=¦
«
У
X
к

182
Приложения
н
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИС
ЭЛЕМЕНТОВ Д. И. МЕНДЕ
IV
Li
литиа
з
6,941
Be,
9,01218
§ ЕРШИ 1!
5
ЮЯ1
в
ИР
6
/2.0/1
7
14,0067
УГЛЕРОД
N
дзот
Na
НАТРИИ
22,9897
Mq 12
**& 24.305
11Г111
13 AL
26,98154 *
АЛЮМИНИЯ
14 о:
28,085 ^'
1РШМ11
15 р
30.97376
ФОСФОР
к 19
1 % 39.098
ПАЛИЙ
Са
КАЛЬЦИЙ
20
40.08
21
44,9559
СКАНДИЙ
Ti
ТИТАН
4190
V	23
? 50ЖЩ
ВАНАДИЯ
29 Си
$3,546
МЕДЬ
30 Zn
65,38
ЦИНК
31 Ga
$9,72
ГАЛЛИI
32 Ge
72.58
ГЕРМАНИЯ
зз As
М.9216
МЫИШ
Rb 37
85,468
¦РУБИДИЙ
Sr 38
87,62
СТР0НЦИ1
88,9059
ИТТРИЯ
9122
ЦИРКОНИЙ
Nb
92M64
Н10Б11
47 Ag
107,868 &
СЕРЕБР.1
t,
49
114.82
Ш1И1
In
ИНДИЙ
олово
51
121.7
Sb
СУРЬМА
132.9054
6
ЦЕЗИЙ
D 1J7J3
EAPll
138,905
ЛАНТАН
Ш72
I78AB
ГАФНИЙ
Та
73
ТАНТАЛ
79 Аи
196,3665
ЗОЛОТО
81
200,5В
нд
PTITI
81
204,37
ТАИ Ш
82 РЬ
СВИНЕЦ
83 В\
208.9804
ВИСМУТ
Fr 87
1	B23)
ФРАИИИ1
'26,0254
* 89
B27)
¦РАДИЯ
АИТ1НИЯ'
КУРЧАТОВИЯ
Db 105
ДУБНИЙ
>ЛАНТАНОИДЫ
ЦЕР11
иом
Рг 59
140,9077
ПРАЗЕОДИМ
Nd 60
144,24
НЕ0Д1М
Рт61
049
ПРОМЕТИ
Sm62
150,4
САМАРИ1
Ей 63
15196
ИРИН
Gd64
157.25
ГАДОЛИНИЙ
*¦ АКТИНОИДЫ
Am
B43)
АМЕРИЦИЙ
23Z03811
ТОРН |
Pa 91
2310359
гтАЛитй
U
238,02В
УРАН
Np93
¦М1
Ри 94
B44)
ПЛУТОНИЙ
95
Cm
КЮРИИ
B47)

Периодическая система Менделеева
183
ТЕМА
Л ЕЕВА
VI
15.999
О
КИСЛОРОД
16 5
32,06
СЕРА
VII
1
10079
И
ВОДОРОД
18,998403
ФТОР
17
35,453
хлор
VIII
ГЕЛИЙ
10 Me
20,179 ' ^ °
IE01
18
Аг
АРГОН
Обозначений
элемента
Атомный
номер
Целое число е скобках-
массовое число наиболее
устойчивого радиоизотопа
^ 51996
ХРОМ
Мп 25
549380
МАРГАНЕЦ
Fe 26
ЖЕЛЕЗО
КОБАЛЬТ
Ni
НИКЕЛЬ
28
5&70
34
Se
КЛЕН
35 Вг
?В,904
IFOi
38
83,80
Кг
КРИПТОН
Мо 42
МОЛИБДЕН
Тс 43
98,9062
ТЕХНЕЦИЙ
Ru
PFTEill
101.07
Pill!
Pd 4S
ПАЛЛАДИЙ
52 Те
127.60
ТЕЛЛУР
53
126,9045
I
иод
54
КСЕНОН
W 74
ВОЛЬФРАМ
Re
РЕНИЙ
75
ОМИЙ
Ir
ИРИДИЙ-
77
Pt 78
19Ш
ПИТИЙ
B09)
Ро
ПОЛОНИ!
85
B10)
At
АСТАТ
86 Rn
B22)
РАДОН
Sb 1Ю
C1ESFTU
Bh ш
БОРИ
Hs
ГАССМ1
Mt 109
ИЕИТНЕРИИ
ТЬ 65
158,9254
ТЕРБИИ
Dy m
¦ Jm2,so
ДИСПРОЗИИ
Но 67
164,9304
гимн
Ег 68
¦ 167,26
ЭРЕ11
Тт69
168
ИЛИ
Yb70
173.04
ИТТЕРБИИ
Lu 71
174М7
ЛЮТЕЦИИ
S7
Вк
B47)
БЕРКЛИ1
Cf 98
B51J
КАЛИФОР'НИЙ
Es "
B54)
Fm100
, B57)
ФЕРМИЙ
Md101
B53)
МЕНДЕЛЕВИИ
No]102
' B55)
1БЕЛ11]
р
B50)
'Л0УРЕНСИ11

Учебное издание
ГИНЗБУРГ Виталий Лазаревич
ЛЕВИН Лев Михайлович
РАБИНОВИЧ Матвей Самсонович
СИВУХИН Дмитрий Васильевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Книга V
АТОМНАЯ ФИЗИКА. ФИЗИКА ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
Редактор ДА. Миртова
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
Подписано в печать 30.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,5. Уч.-изд. л. 13,8. Тираж 3000 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
; ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0606-6
9 78592206061