Author: Стрелков С.П. Сивухин Д.В. Яковлев И.А.
Tags: физика задачи по физике
ISBN: 5-9221-0602-3
Year: 2006
Similar
Text
УДК 530.1 @75.8)
ББК 22.3; 22.2
С 23
Авторы:
СП. Стрелков, Д. В. Сивухин, В. А. Угаров, И. А. Яковлев
Сборник задач по общему курсу физики. В 5 кн. Кн. I. Механика /
Стрелков С. П., Сивухин Д. В., Угаров В. А., Яковлев И. А.; Под ред. И. А. Яко-
Яковлева. - 5-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006. - 240 с. -
ISBN 5-9221-0602-3.
В предлагаемом сборнике задач по физике использован опыт преподавания
общего курса физики в МГУ, Московском физико-техническом институте и
Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина. По
степени трудности задачи охватывают широкий диапазон: от самых элемен-
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных исследований,
выполнение которых возможно на основе углубленного знания общего курса
физики.
Сборник состоит из пяти книг: I. Механика. П. Термодинамика и моле-
молекулярная физика. III. Электричество и магнетизм. IV. Оптика. V. Атомная
физика. Физика ядра и элементарных частиц.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
Учебное издание
СТРЕЛКОВ Сергей Павлович, СИВУХИН Дмитрий Васильевич,
УГАРОВ Владимир Александрович, ЯКОВЛЕВ Иван Алексеевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ
Книга I
МЕХАНИКА
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: О.Б. Широкова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 30.01.06. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 18,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; .?Ж_5:92_21-0602-3
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Ивановская областная типография»
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru 91785922 106023"
© С. П. Стрелков, Д. В. Сивухин,
ISBN 5-9221-0602-3 В. А. Угаров, И. А. Яковлев, 1977, 2006
СОДЕРЖАНИЕ
о Ответы и
Задачи решения
От издательства 4
Из предисловия к четвертому изданию 4
§ 1. Кинематика 5 125
§ 2. Динамика прямолинейного движения материальной
точки и простейших систем 15 131
§ 3. Статика 24 138
§ 4. Работа, мощность, энергия 29 141
§ 5. Законы сохранения количества движения и энергии. 32 143
§ 6. Динамика движения материальной точки по окруж-
окружности. Движение относительно вращающихся сис-
систем отсчета 42 154
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы 51 165
§ 8. Тяготение 74 186
§ 9. Упругие деформации 85 200
§ 10. Колебания 91 206
§ 11. Гидростатика и аэростатика 102 213
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика 105 215
§ 13. Акустика 113 221
§ 14. Специальная теория относительности 116 223
Приложение 236
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Составление этого сборника задач было начато на физическом
факультете МГУ по инициативе академика СИ. Вавилова. Однако
основная работа по составлению Сборника и подготовке его к изданию
выполнена под руководством С.Э. Хайкина. В 1949 г. вышло в свет
первое издание Сборника в двух частях: I. Механика. Электричество
и магнетизм, под редакцией С.Э. Хайкина; П. Оптика. Молекулярная
физика и термодинамика. Атомная физика и физика ядра, под редакци-
редакцией Д. В. Сивухина. С тех пор Сборник переиздавался в 1960 и 1964 гг.
Предлагаемое, четвертое, издание Сборника существенно отличает-
отличается от всех предшествующих прежде всего по своему объему, так как
число задач, включенных в Сборник, увеличено почти вдвое. Обога-
Обогатилось содержание и повысился уровень задач. По степени трудности,
постановки и решения задачи охватывают широкий диапазон: от самых
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных
исследований, выполнение которых возможно на основе углубленного
знания общего курса физики.
В настоящем издании сборник выходит в пяти книгах, каждая из
которых может быть использована самостоятельно:
I. Механика. П. Термодинамика и молекулярная физика. III. Элек-
Электричество. IV. Оптика. V. Атомная физика. Физика ядра и элементар-
элементарных частиц.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
В подготовке Сборника к изданию был использован опыт пре-
преподавания общего курса физики в МГУ и других вузах. Так, все
параграфы этой книги в значительной мере дополнены задачами, со-
составленными Д. В. Сивухиным, которые предлагались для решения
студентам Московского физико-технического института. В задачник
включен новый § 14, содержащий задачи по релятивистской механике
и написанный В. А. Угаровым на основе опыта преподавания специ-
специальной теории относительности в Московском Государственном педа-
педагогическом институте им. В. И. Ленина. Ряд новых задач, связанных,
в основном, с расчетами движения искусственных спутников Земли,
составлен А. А. Харламовым в ходе его педагогической работы на ка-
кафедре общей физики для механико-математического факультета МГУ,
когда ею руководил С. П. Стрелков. В задачник включены также новые
задачи, составленные сотрудником той же кафедры В. И. Шмальгаузе-
ном и сотрудником кафедры физики кристаллов МГУ О. А. Шустиным.
И. А. Яковлев
ЗАДАЧИ
§ 1. Кинематика
1. Лодка, идущая через реку на веслах, движется относительно
воды со скоростью 2 м/с в направлении, перпендикулярном к течению.
Течение реки имеет скорость 1 м/с. Найти полную скорость v лодки
и направление этого вектора относительно берегов реки.
2. Две пристани перевоза расположены друг против друга на
противоположных берегах реки, скорость течения которой составляет
0,5 м/с. Какой курс должна держать лодка перевозчика, чтобы пере-
пересекать реку по прямой линии от одной пристани до другой? С какой
скоростью v при этом условии лодка будет двигаться поперек реки?
Относительно воды лодка развивает скорость 0,8 м/с.
3. На тележке, равномерно движущейся по горизонтальной плоско-
плоскости, установлена труба. Как должна быть ориентирована на тележке
эта труба, чтобы капли дождя, падающие вертикально, пролетали
через нее, не задевая внутренних стенок? Движение капель считать
равномерным.
4. Корабль идет на запад со скоростью 6,5 м/с. Ветер дует с юго-
запада со скоростью 3,5 м/с. Какую скорость v ветра зарегистрируют
приборы, расположенные на корабле? Каково будет показываемое эти-
этими приборами направление ветра относительно курса корабля?
5. Два самолета одновременно вылетают из одного места по двум
взаимно перпендикулярным направлениям. Один со скоростью v\ =
= 300 км/ч, другой со скоростью г?2 = 400 км/ч. Как возрастает со
временем расстояние между самолетами?
Как велико это расстояние S в момент, А ^ ^ С_
когда первый самолет пролетел путь S\ =
= 900 км?
6. Человек, находясь в точке В на
расстоянии h от прямого участка дороги
(рис. 1), видит в точке А автобус, дви-
двигающийся по дороге с постоянной скоро-
скоростью г;а. Расстояние от человека до авто-
автобуса в этот момент АВ. В каком направлении следует бежать человеку,
чтобы оказаться на дороге в точке С с максимальным опережением по
времени по отношению к автобусу? Отношение расстояний hjАВ = V2;
отношение скоростей человека и автобуса v4jv2i = \/л/2.
7. Два корабля движутся параллельно друг другу в противопо-
противоположные стороны со скоростями v\ и V2. С одного из них стреляют
6 Задачи
в другой. Под каким углом (р к курсу обстреливаемого корабля надо
направить орудие, чтобы попасть в цель, если выстрел производится
в момент, когда оба судна находятся на прямой, перпендикулярной
к направлению их движения? Скорость снаряда vq считать постоянной.
8. Между двумя пунктами, расположенными на реке на рассто-
расстоянии L = 100 км один от другого, курсирует катер. Катер проходит
это расстояние по течению за время t\ = 4 ч, а против течения за
время ?2 = Юч. Определить скорость течения реки v\ и скорость катера
относительно воды v^.
9. Рыбак едет на лодке вверх по реке; проезжая под мостом, он
роняет в воду багор. Через полчаса рыбак это обнаруживает и, повер-
повернув назад, нагоняет багор в 5 км ниже моста. Какова скорость течения
реки, если рыбак, двигаясь вверх и вниз по реке, греб одинаково?
10. С одного из двух встречных поездов, имеющего скорость v\,
на платформу другого, имеющего скорость г?2, бросают некоторый
предмет горизонтально и перпендикулярно к направлению движения
со скоростью ^о (которую во все время движения предмета можно счи-
считать постоянной). 1) Какой угол ср\ с направлением рельсов образует
след проекции движущегося предмета на полотно? 2) Какой угол (f2
с краем платформы другого поезда, параллельным движению поезда,
будет составлять след проекции движущегося предмета на платформе?
3) Каковы величины скорости предмета относительно полотна желез-
железной дороги (У) и относительно платформы (У')?
11. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь все
время перпендикулярной к биссектрисе этого угла, движется по бумаге
со скоростью 10 см/с. Концы линейки пересекают стороны начерчен-
начерченного угла. С какой скоростью движутся по сторонам угла точки их
пересечения с линейкой?
12. Фотограф, находящийся на расстоянии / от железнодорожно-
железнодорожного полотна, хочет сфотографировать поезд, идущий со скоростью v,
в тот момент, когда луч зрения, проведенный от фотографа к поезду,
составляет угол а с полотном дороги. Какую максимальную выдержку
?макс может дать фотограф, если допустимое размытие изображения
на фотопластинке не должно превышать d, а фокусное расстояние
объектива фотокамеры равно /?
13. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, проходит последо-
последовательно два одинаковых отрезка пути ^ по 10 м каждый. Найти
ускорение тела а и скорость ^о в начале первого отрезка, если первый
отрезок пройден телом за время t\ = 1,06 с, а второй за t^ = 2,2 с.
14. Начертить графики зависимости от времени скорости некоторых
тел, если графики ускорения а этих тел имеют вид, представленный на
рис. 2 (начальная скорость тел во всех случаях равна нулю) 0.
х) На приведенных графиках зависимость ускорения от времени схема-
схематизирована: предполагается, что ускорение в некоторые моменты времени
§ 1. Кинематика
7
а, м/с
2
1
О
1
15. Начертить графики зависимости от времени пути и ускоре-
ускорения некоторого тела, если скорость этого тела как функция времени
представлена графиком на рис. 3
(см. примечание к задаче 14).
16. Какова допустимая пре-
предельная скорость v приземления
парашютиста, если человек может
безопасно прыгать с высоты до
/i = 2 м?
17. С вышки одновременно
брошены два тела с одинаковой
начальной скоростью vq: одно вер-
вертикально вверх, другое вертикаль-
вертикально вниз. Как с течением времени
будет меняться расстояние S меж-
между этими телами? Сопротивление
воздуха движению тел не учиты-
учитывать.
18. Какой начальной скоро-
скоростью vq должна обладать сигналь-
сигнальная ракета, выпущенная из ракет-
ракетницы под углом 45° к горизонту,
чтобы она вспыхнула в наивыс-
наивысшей точке своей траектории, если
время горения запала ракеты 6 с?
Сопротивление воздуха движению
О
1
А А А
О
\л
0
Л
Аг
в
А
А
А
у/в f,C
Рис. 2
ракеты не учитывать.
19. В какой точке траектории тела, брошенного под углом к гори-
горизонту, его нормальное к траектории ускорение будет максимальным?
Сопротивление воздуха движению тела не учитывать.
v, м/с
2
1
/ 1 i i \j 1 \/ 1 i 1
О 2 4 6 8 10
Рис.3
20. Шарик, которому сообщена горизонтальная скорость v, падает
на горизонтальную плиту с высоты h. При каждом ударе о плиту
меняется скачком. Такой характер придан рисункам для упрощения дела.
В действительности же ускорения могут изменяться очень быстро, но все
же не скачком — ускорения являются непрерывными функциями времени.
Предположение о скачкообразных изменениях ускорений приводит к тому,
что графики скорости имеют изломы. Аналогичные соображения относятся
и к задаче 15.
Задачи
вертикальная составляющая скорости уменьшается (отношение верти-
вертикальной составляющей скорости после удара к ее значению до удара
постоянно и равно а). Определить, на каком расстоянии х от места бро-
бросания отскоки шарика прекратятся. Считать, что трение отсутствует,
так что горизонтальная составляющая скорости шарика v не меняется.
21. Из артиллерийского орудия произведен выстрел под углом ср
к горизонту. Величина начальной скорости снаряда vq. Исследовать
аналитически движение снаряда, пренебрегая сопротивлением воздуха
полету снаряда и кривизной поверхности Земли. Найденные зависимо-
зависимости изобразить графически. Найти: 1) вертикальную и горизонтальную
компоненты вектора скорости v и абсолютную величину скорости как
функцию времени; 2) время Т полета снаряда от орудия до падения
на землю; 3) зависимость от времени угла а между вектором скорости
снаряда и горизонтом; 4) декартовы координаты (ось X — горизон-
горизонтальное направление, ось Y — вертикальное направление) снаряда как
функции времени; 5) уравнение траектории снаряда у = f(x) (постро-
(построить согласно этому уравнению траекторию полета снаряда); 6) макси-
максимальную высоту /1Макс полета снаряда над землей; 7) горизонтальную
дальность / полета снаряда как функцию его начальной скорости и угла
возвышения орудия. При каком угле возвышения (р* дальность будет
максимальной при заданной начальной скорости снаряда?
22. Вычертить график линии, которую составят концы векторов
скорости снаряда, выпущенного из орудия под углом (р к горизонту,
если все векторы, соответствующие скорости снаряда в каждый мо-
момент времени, построить из одной точки. Искомый график называется
годографом вектора скорости. Сопротивление воздуха полету снаряда
не учитывать.
23. Из трех труб, расположенных на земле, с одинаковой скоро-
скоростью бьют струи воды: под углом в 60, 45 и 30° к горизонту. Найти
отношение наибольших высот h подъема струй воды, вытекающих из
каждой трубы, и отношение дальностей падения / воды на землю.
Сопротивление воздуха движению водяных струй не учитывать.
24. На какое максимальное расстояние I можно бросить мяч в спор-
спортивном зале высотой 8 м, если мяч имеет начальную скорость 20 м/с?
Какой угол (р с полом зала должен в этом случае составлять вектор
начальной скорости мяча? Считать, что высота начальной точки тра-
траектории мяча над полом мала по сравнению с высотой зала. Мяч во
время полета не должен ударяться о потолок зала. Сопротивлением
воздуха полету мяча пренебречь.
25. С палубы корабля, идущего со скоростью v\, выпущен верти-
вертикально вверх снаряд с начальной скоростью vo. Пренебрегая сопро-
сопротивлением воздуха, найти величину и направление вектора скорости
v снаряда в зависимости от времени и уравнение траектории снаряда
в неподвижной системе отсчета. (Для упрощения решения можно вос-
воспользоваться результатами рассмотрения задачи 21.)
§ 1. Кинематика
9
26. Следуя аналитическому методу исследования движения, приме-
примененному в задачах 21 и 25, найти траекторию, скорость v и ускорение а
некоторого тела, координаты которого следующим образом зависят от
времени: х = ct2; у = Ы2.
27. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные коорди-
координаты определяются уравнениями
х = A cos uit, у = В sin uit,
где А, В, и — постоянные. Показать, что точка движется по эллипсу.
Определить его уравнение и радиусы кривизны в точках пересечения
эллипса с осями.
28. Точка движется в плоскости, причем ее прямоугольные коорди-
координаты определяются уравнениями
х = Achkt, у = Bshkt,
где А, В, к — постоянные. По какой траектории движется точка?
Определить ее ускорение.
29. Концы твердого стержня MN могут свободно скользить по
сторонам прямого угла MON (рис. 4). Какую траекторию описывает
точка Р стержня, делящая его на части МР
и PN, длины которых соответственно равны А
и Б?
30. Самолет летит на высоте h горизонталь-
горизонтально по прямой со скоростью v. Летчик должен
сбросить бомбу в цель, лежащую впереди само-
самолета. Под каким углом а к вертикали он должен
видеть цель в момент выпуска бомбы? Каково
в этот момент расстояние / от цели до точки,
над которой находится самолет? Сопротивление
воздуха движению бомбы не учитывать.
31. Скорость пули можно найти по понижению ее траектории Ah
на заданном расстоянии / при горизонтальном выстреле. Понижение
траектории определяется по пробоинам,
сделанным пулей в двух вертикальных по-
последовательно расположенных на пути пу-
пули щитах А и В (рис. 5). Найти скорость
пули, считая Ah и / известными и прене-
пренебрегая сопротивлением воздуха.
32. Цель, находящаяся на холме, вид-
видна с места расположения орудия под уг-
углом а к горизонту. Дистанция (расстояние
Рис. 5 по горизонтали от орудия до цели) равна /.
Стрельба по цели производится при угле
возвышения C. Определить начальную скорость ^о снаряда, попадаю-
попадающего в цель. Сопротивление воздуха не учитывать.
Y
М
О
NX
Рис.4
В
Ah
10 Задачи
33. Из точки, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра
некоторой окружности, по желобам, установленным вдоль различных
хорд этой окружности, одновременно начинают скользить без трения
грузы. Показать, что все грузы достигнут окружности одновременно.
34. Материальная точка скользит без трения по произвольной
наклонной кривой. Показать, что после того как точка опустится на
высоту h, скорость ее будет такой же, как и при свободном ее падении
с той же высоты h.
35. С вышки одновременно с одинаковыми по величине скоростями
выбрасываются по всевозможным направлениям шарики. Показать,
что в отсутствие сопротивления воздуха во всякий момент движения
все шарики будут расположены на сфере, центр которой опускается
с ускорением свободно падающего тела, а радиус равен vot, где ^о —
начальная скорость шариков, at — время, прошедшее с момента их
выброса.
36. Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного
места на другое, находящееся на расстоянии /. Она может разгоняться
или замедлять свое движение только с одинаковым по величине и по-
постоянным во времени ускорением а, переходя затем или в равномерное
движение или останавливаясь. Какой наибольшей скорости v должна
достигать вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше требова-
требование?
37. Лодка, имеющая скорость vq, спускает парус в момент времени
to, но продолжает двигаться. Во время этого движения произведены
измерения скорости лодки, которые показали гиперболическую зависи-
зависимость скорости от времени (г; ~ 1/t). Показать, что ускорение а лодки
было пропорционально квадрату ее скорости.
38. Пользуясь условиями предыдущей задачи, найти зависимости:
1) пути S, пройденного лодкой, от времени t; 2) скорости лодки v от
пути, после того как на лодке был спущен парус.
39. Снаряд выпущен горизонтально вперед со скоростью vCH из
орудия, находящегося на самолете, летящем горизонтально со скоро-
скоростью усш. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) уравнение
траектории снаряда относительно земли; 2) уравнение траектории сна-
снаряда относительно самолета; 3) уравнение траектории самолета отно-
относительно снаряда.
40. Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды ско-
скоростью v, перпендикулярной к течению. Скорость течения реки, ши-
ширина которой d, равна нулю у берегов и линейно возрастает по мере
приближения к середине реки, где она достигает значения и. Найти
траекторию лодки, а также снос лодки хо вниз по течению, от пункта
ее отправления до места причала на противоположном берегу реки.
41. Провести решение предыдущей задачи в предположении, что
скорость течения реки нарастает от берегов к середине реки по пара-
параболическому закону vx = ку2.
§ 1. Кинематика 11
42. Точка движется равномерно по плоской траектории, изобра-
изображенной на рис. 6. В каком месте траектории ускорение точки будет
максимальным?
43. Луна обращается вокруг Земли
с периодом Т = 27, 3 сут относительно
звезд. Средний радиус орбиты Луны
R = 3, 8 • 105 км. Найти линейную ско-
скорость v движения Луны вокруг Земли
и ее нормальное ускорение а.
44. Каковы будут графики зависи-
зависимости от времени абсолютных величин, X
скорости и ускорения при равномерном
движении точки по кругу?
45. Найти среднюю угловую скорость искусственного спутника
Земли, если период обращения его по орбите вокруг Земли составляет
105 мин.
46. Найти среднюю линейную скорость искусственного спутника
Земли, если период его обращения по орбите составляет 111 мин,
а средняя высота полета 1200 км.
47. Пользуясь данными об искусственном спутнике Земли, приве-
приведенными в предыдущей задаче, найти среднее значение его нормаль-
нормального ускорения на орбите.
48. Найти линейную скорость v точек земной поверхности на гео-
географической широте (р, вызванную суточным вращением Земли вокруг
своей оси. Радиус земного шара R = 6400 км.
49. Найти линейную скорость Земли, вызванную ее орбитальным
движением. Средний радиус земной орбиты равен « 1,5 • 108км.
50. Найти нормальное ускорение точек земной поверхности, вы-
вызванное суточным вращением Земли. Найти значение проекции этого
ускорения на направление земного радиуса в данной точке. Оценить
значение искомых величин для широты Москвы E5° северной широ-
широты). Радиус Земли R = 6400 км.
51. Как показали радиолокационные измерения, Венера вращается
вокруг своей оси в направлении, обратном ее орбитальному движе-
движению. Период осевого вращения Венеры (относительно звезд) Т\ = 243
земных суток. Венера обращается вокруг Солнца с периодом Т% = 225
земных суток. Определить продолжительность солнечных суток на
Венере, т. е. время Т между двумя последовательными прохождениями
Солнца через один и тот же меридиан на этой планете (время от
полудня до полудня).
52. Определить скорость, с которой движется тень Луны по земной
поверхности во время полного солнечного затмения, если оно наблю-
наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что плоскости солнечной
и лунной орбит (относительно Земли) совпадают, а земная ось к ним
перпендикулярна. Скорость света считать бесконечно большой по срав-
12 Задачи
нению со всеми остальными скоростями, входящими в задачу. Радиус
лунной орбиты Rj\ = 3, 8 • 105 км.
53. В открытом море на экваторе возвышается высокая вертикаль-
вертикальная скала. Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая
сферической поверхностью Земли при заходе Солнца? Найти ускорение
такого движения. Радиус Земли R = 6400 км. За какое время тень
переместится от основания до вершины скалы, если высота последней
h = 1 км?
54. Якорь электромотора, вращавшегося с частотой N оборотов
в секунду, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, оста-
остановился, сделав п оборотов. Найти угловое ускорение якоря после
выключения тока.
55. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Сколько оборотов
в секунду делают его колеса, если они катятся по шоссе без скольже-
скольжения, а внешний диаметр покрышек колес равен 60 см.
56. При условиях движения автомобиля, описанных в предыдущей
задаче, найти величину нормального ускорения внешнего слоя резины
на покрышках его колес.
57. Разматывая веревку и вращая без скольжения вал ворота, ведро
опускается в колодец с ускорением 1 м/с2. С каким угловым ускорением
вращается вал ворота? Как зависит от времени угол поворота вала?
Радиус вала ворота равен 25 см.
58. Автомобиль, движущийся со скоростью 40 км/ч, проходит за-
закругление шоссе с радиусом кривизны 200 м. На повороте шофер
тормозит машину, сообщая ей ускорение 0,3 м/с2. Найти нормальное
и полное ускорение автомобиля на повороте. Как направлен вектор
полного ускорения аП0Лн по отношению к ра-
радиусу кривизны R закругления шоссе?
59. Колесо радиуса R катится без сколь-
скольжения по горизонтальной дороге со ско-
скоростью г>о (рис. 7). Найти горизонтальную
компоненту vx линейной скорости движения
. произвольной точки на ободе колеса, верти-
вертикальную компоненту vy этой скорости и мо-
модуль полной скорости для этой же точки.
рис 7 Найти значение угла а между вектором пол-
полной скорости точек на ободе колеса и направ-
направлением поступательного движения его оси. Показать, что направление
вектора полной скорости произвольной точки А на ободе колеса всегда
перпендикулярно к прямой АВ и проходит через высшую точку ка-
катящегося колеса. Показать, что для точки A vn0Jlll = В Аи. Построить
график распределения скоростей для всех точек на вертикальном диа-
диаметре (в данный момент времени) катящегося без скольжения колеса.
Выразить все искомые величины через vo, R и угол (р, составленный
верхним вертикальным радиусом колеса и радиусом, проведенным из
центра колеса О в исследуемую точку его обода А.
§ 1. Кинематика 13
Указание. Движение точек обода колеса можно рассматривать
как результат сложения двух движений: поступательного движения со
скоростью vo оси колеса и вращения вокруг этой оси. Для этих точек
при отсутствии скольжения колеса модули векторов скорости посту-
поступательного движения и линейной скорости, обусловленной вращением,
равны друг другу.
60. Найти выражение для радиуса кривизны циклоиды в ее вер-
вершине (см. задачу 63).
61. Пользуясь общими результатами, найденными в задаче 59,
найти величину и направление векторов скорости vi для двух точек
обода катящегося колеса, расположенных в данный момент на про-
противоположных концах горизонтального диаметра колеса. Как будут
направлены ускорения этих двух точек?
62. Колесо радиуса R равномерно ка-
тится без скольжения по горизонтально-
горизонтальному пути со скоростью v. Найти коор-
координаты х и у произвольной точки А на
ободе колеса, выразив их как функции
времени t или угла поворота колеса ср,
полагая, что при t = 0 ср = 0, х = О, у = О
(рис. 8). По найденным выражениям для
х и у построить график траектории точки
на ободе колеса.
63. Пользуясь выражением для пол- Рис. 8
ной скорости точек, лежащих на ободе
катящегося колеса (см. задачи 59 и 62),найти длину полного пути каж-
каждой точки обода колеса между двумя ее последовательными касаниями
полотна дороги.
64. Автомобиль с колесами радиуса R движется со скоростью v по
горизонтальной дороге, причем v2 > Rg, где g — ускорение свободного
падения. На какую максимальную высоту h может быть заброшена
вверх грязь, срывающаяся с колес автомобиля? Указать положение той
точки на покрышке колеса, с которой при данной скорости движения
автомобиля грязь будет забрасываться выше всего. Сопротивление воз-
воздуха движению отброшенной вверх грязи не учитывать.
65. Используя условия качения колеса из задачи 59 и результаты ее
решения, найти горизонтальную и вертикальную компоненты вектора
ускорения произвольной точки на ободе колеса. Указать величину
и направление вектора полного ускорения точек, лежащих на ободе
колеса.
66. Представление о величине и направлении вектора полного
ускорения при ускоренном вращательном движении (например, для
точек якоря электромотора при его пуске) можно получить, рассмотрев
следующую задачу.
Точка движется по окружности радиусом R с постоянным тангенци-
тангенциальным ускорением at, но без начальной скорости. Найти нормальное
14 Задачи
и полное ускорения точки, выразив их: 1) как функцию от времени t
и ускорения at) 2) как функцию от углового ускорения а и угла
поворота (р радиуса-вектора точки из его начального положения. Найти
угол /3 между направлением вектора полного ускорения точки и ее
радиусом-вектором.
67. Кинооператор, снимая через телеобъектив поднимающийся са-
самолет, вращает свою камеру вокруг вертикальной оси с угловой скоро-
скоростью ио\ и вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью оо<2 — оо\/Ъ.
Вращению вокруг какой одной мгновенной оси эквивалентны эти два
движения камеры? Вращение с какой угловой скоростью вокруг этой
одной оси могло бы заменить указанные два вращения?
68. Некоторое твердое тело одновременно вращается с угловыми
скоростями uj\, U2 = 2cji, u% = 3uj\ вокруг трех взаимно перпендику-
перпендикулярных мгновенных осей, проходящих через одну точку. Найти, как
по отношению к названным трем осям должна быть ориентирована
одна ось, вращение вокруг которой могло бы заменить сразу все три
указанных независимых вращения. С какой угловой скоростью тогда
должно вращаться тело вокруг найденной новой оси вращения?
69. Горизонтальный диск вращается с угловой скоростью ио\ вокруг
вертикальной оси. В некоторой точке на этом диске на расстоянии R
от его оси установлен второй диск, ось которого также вертикальна.
Второй диск вращается вокруг своей оси в ту же сторону, что и первый
диск, но с угловой скоростью ио2- Где располагается та мгновенная ось
вращения, движение вокруг которой второго диска будет эквивалентно
его участию в двух описанных вращательных движениях с угловыми
скоростями uj\ и UJ2- С какой угловой скоростью и должен вращаться
второй диск вокруг этой мгновенной оси?
70. Вращение от мотора автомобиля передается ведущим колесам
через дифференциал — устройство, благодаря которому каждое из
ведущих колес может вращаться с разной скоростью. Зачем нужен
дифференциал? Почему нельзя оба ведущих колеса закрепить жестко
на одной оси, которой передается вращение от мотора?
71. На основании общих соображений о движении автомобиля по
криволинейному пути, развитых в предыдущей задаче, рассчитать ско-
скорости колес автомобиля на закруглении. Автомобиль с шириной колеи
1,2 м и радиусом колес г = 30 см движется по закруглению дороги
с радиусом кривизны R = 50 м. Скорость центра автомобиля 36 км/ч.
Найти линейные скорости Vi внутренних (по отношению к центру
кривизны дороги) и внешних va колес автомобиля.
72. Горизонтальный диск равномерно вращается с угловой скоро-
скоростью оо. На расстоянии R от центра диска поставлена вертикальная
палочка. Найти закон движения тени палочки на вертикальном экране,
если весь прибор освещается горизонтальным пучком параллельных
лучей. По найденному закону движения построить график зависимости
пути, скорости и ускорения тени на экране от времени.
§2. Динамика прямолинейного движения
15
§ 2. Динамика прямолинейного движения
материальной точки и простейших систем
73. В лифте установлены пружинные весы, на которых подвешено
тело массы 1 кг. Что будут показывать весы, если лифт: 1) движется
вверх с ускорением 4,9 м/с2, направленным вниз; 2) движется вниз
с ускорением 4,9 м/с2, направленным вверх; 3) движется вниз, ускоре-
ускорение направлено вниз и равно 1 м/с2?
74. На гладком горизонтальном столе лежат 6 одинаковых кубиков
с массой т = 1 кг каждый. Постоянная сила F = 1 кгс действует на
первый кубик в направлении, указанном стрелкой (рис. 9). Найти
F
Рис.9
результирующую силу /, действующую на каждый кубик. Укажите
на рисунке стрелками силы, действующие на соприкасающихся гранях
каждых двух кубиков. С какой силой f\ четвертый кубик действует на
пятый?
75. На гладкий горизонтальный стол положена однородная палочка
АС массы т и длины / (рис. 10). Постоянная сила F толкает правый
А В
М
Рис. 10
конец палочки. С какой силой F\ мысленно выделенный отрезок па-
палочки АВ = А/$1 действует на отрезок ВС той же палочки?
76. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массы М
(рис. 11). Другое тело массы т подвешено на нити, перекинутой через
блок и привязанной к телу массы М.
Найти ускорения тел и натяжение ни-
нити. Трением тела массы М о плоскость
и трением в блоке, а также массами
блока и нити пренебречь.
77. Вернемся к установке, описанной
в предыдущей задаче (рис. 11). 1) Рас-
Рассечем мысленно горизонтальной плоско-
плоскостью на половине высоты тело массы М.
С какой силой верхняя половина тела
действует на нижнюю? 2) Рассечем мыс-
мысленно тело М на половине длины верти-
вертикальной плоскостью (перпендикулярной к плоскости рисунка). С какой
силой левая половина тела действует на правую?
Рис. 11
16
Задачи
78. На гладкую горизонтальную плоскость помещены три мас-
массы т\, ni2 и W3> связанные нитями между собой и с массой М, привя-
привязанной к нити, перекинутой через
блок (рис. 12). 1) Найти ускорение а
системы; 2) найти натяжение всех
нитей при тех же предположениях,
что и в задаче 76.
79. По наклонной плоскости
с углом наклона а скользит тело.
Сила трения между телом и плос-
костью пропорциональна силе нор-
мального давления тела на плос-
кость и не зависит от скорости тела.
Коэффициент трения между трущи-
трущимися поверхностями тела и плоскости равен к. Найти ускорение а,
с которым скользит тело.
80. Два одинаковых тела связаны нитью и лежат на идеально
гладком горизонтальном столе, так что нить представляет собой пря-
прямую линию (рис. 13). Нить может
выдерживать натяжение с силой не ^
более 2кгс. Какую горизонтальную
силу F следует приложить к одно-
р in
щ
му из тел, чтобы нить оборвалась?
81. Изменится ли сила, необхо- Рис. 13
димая для разрыва нити в условиях
предыдущей задачи, если между телами и столом есть трение и коэф-
коэффициент трения одинаков для обоих тел?
82. Две пластинки с массами т\ и тп^ соединены пружиной
(рис. 14). С какой силой нужно надавить на верхнюю пластинку, чтобы
после прекращения действия этой силы верх-
верхняя пластинка, подпрыгнув, приподняла и ниж-
нижнюю? Массой пружины пренебречь.
83. Доска лежит горизонтально на двух
опорах, расположенных под ее концами. Посе-
Посередине доски лежит покоящееся тело. Какие
силы действуют на это тело? Какие силы дей-
действуют на доску и на опоры? (При рассмотре-
рассмотрении этих вопросов собственным весом доски
можно пренебречь.)
84. На доске, описанной в предыдущей задаче, стоит человек.
Внезапно он приседает. Что произойдет в первый момент: увеличится
или уменьшится прогиб доски? Что произойдет, если человек сидел на
корточках и внезапно выпрямился?
85. Лошадь равномерно тянет сани. Рассмотреть взаимодействие
трех тел: лошади, саней и поверхности земли. Начертить векторы сил,
Рис. 14
§2. Динамика прямолинейного движения 17
действующих на каждое из этих тел в отдельности, и установить
соотношение между ними.
86. Как изменятся соотношения между силами в примере, разо-
разобранном в предыдущей задаче, если лошадь и сани движутся с уско-
ускорением а? Найти величину всех сил, если а = 20см/с2. Масса саней
с грузом М = 0, 5 т, масса лошади т = 0, 35 т и коэффициент трения
саней о снег 0,2.
87. Каков должен быть минимальный коэффициент трения к меж-
между шинами ведущих колес автомобиля и дорогой, чтобы автомобиль
массой в 2т с грузом в 4т двигался с ускорением а = 0,2м/с2? Рас-
Рассмотреть задачу для двух случаев: 1) все колеса автомобиля ведущие,
2) ведущие —только задние; считать, что центр масс автомобиля на-
находится посередине между осями его колес, а центр масс груза — над
задней осью.
88. На горизонтальной доске лежит груз. Коэффициент трения
между доской и грузом 0,1. Какое ускорение в горизонтальном направ-
направлении следует сообщить доске, чтобы груз мог с нее соскользнуть?
89. На столе лежит доска массы М = 1 кг, а на доске — груз
массы т = 2 кг. Какую силу F нужно приложить к доске, чтобы
доска выскользнула из-под груза? Коэффициент трения между грузом
и доской 0,25, а между доской и столом 0,5.
90. Воздушный шар массы М опускается с постоянной скоростью.
Какое количество балласта AM надо выбросить, чтобы шар начал
подниматься с той же скоростью? Подъ-
Подъемную силу Р шара считать постоянной.
91. Маятник массы т подвешен
к подставке, укрепленной на тележке
(рис. 15). Найти направление нити маят-
маятника, т. е. угол а нити маятника с вер-
вертикалью, и ее натяжение Т в следующих ¦=
случаях: 1) тележка равномерно движет-
движется по горизонтальной плоскости; 2) те- ,
лежка движется горизонтально с ускоре-
ускорением а; 3) тележка свободно скатывает- Рис 15
ся с наклонной плоскости, образующей
угол (р с горизонтом; 4) тележка с некоторым ускорением Ь, направлен-
направленным вдоль наклонной плоскости, вкатывается на нее; 5) тележка с тем
же ускорением Ъ скатывается с наклонной плоскости.
92. Камень брошен вертикально вверх. В каких точках траектории
камень будет иметь максимальное ускорение? Рассмотреть два случая:
1) сопротивление воздуха отсутствует; 2) сопротивление воздуха рас-
растет с увеличением скорости камня.
93. Как направлено ускорение артиллерийского снаряда после вы-
вылета из ствола орудия, если сопротивление воздуха отсутствует? Как
изменится это направление при наличии сопротивления воздуха?
18
Задачи
94. В снаряде, выпущенном вертикально вверх, на пружинах укреп-
укреплен грузик А массы т (рис. 16). Чему будет равняться сила, действую-
действующая на грузик со стороны пружи-
пружинок, при подъеме и спуске снаряда?
Рассмотреть вопрос без учета и с
учетом сопротивления воздуха дви-
движению снаряда.
95. Простейшую машину Атву-
да, служащую для проверки законов
равноускоренного движения, можно
схематически представить так: на
нити, перекинутой через блок А,
подвешены две неравные массы, т\
и ni2 (рис. 17). Найти ускорение
масс, натяжение нити Т и силу /,
действующую на ось блока этой ма-
машины. Блок и нить считать невесо-
невесомыми, трения в оси блока не учиты-
учитывать.
96. На верхнем краю идеально
гладкой наклонной плоскости укреп-
Рис. 16
Рис. 17
лен блок, через который перекинута нить (рис. 18). На одном ее конце
привязан груз с массой тп\, лежащий на наклонной плоскости. На
другом конце висит груз с массой т^. С каким ускорением а движутся
грузы и каково натяжение Т нити? Наклонная плоскость образует
с горизонтом угол а.
Рис. 18
Рис. 19
97. Определить ускорение массы М в системе, изображенной на
рис. 19. Массой блоков и силами трения можно пренебречь. Клинья
считать закрепленными жестко.
98. Система грузов находится на машине Атвуда (рис. 20). Грузы
ТП2 и тз соединены пружиной. Систему удерживали за груз гп\, а затем
отпустили. Какие ускорения будут у грузов тп\ и тз в начальный
момент движения?
99. На машине, описанной в задаче 95, массы гп\ и тп^ движутся.
Через промежуток времени t после начала движения масса тп\ опусти-
опустилась на n-ю часть того расстояния, которое она прошла бы за то же
время при свободном падении. Каково отношение масс тп\ и Ш2?
§2. Динамика прямолинейного движения
19
100. Каждый из двух грузов на машине, описанной в задаче 95,
висящих по обе стороны блока, имеет массу т = 250 г. На один из гру-
грузов положена дополнительно масса (перегрузок) Am = 5 г. Определить
время t от начала движения, за которое каждый груз пройдет путь s =
= 1 м и скорость v, которую будут иметь грузы, пройдя это расстояние.
101. Определить по данным предыдущей задачи силу давления р
перегрузка на основной груз во время движения.
т2
XJ
а3
\Щ
Рис. 20
Рис. 21
Рис. 22
102. Машина, описанная в задаче 95, уравновешена на весах при
заторможенном блоке (рис. 21) 0. 1) В какую сторону нарушится
равновесие весов, если освободить тормоз блока?
2) Как уравновесить весы при движущихся массах
ТП\ И Ш2?
103. Найти ускорения а\ и а^ масс гп\ и тп^
и натяжение нити Т в системе, изображенной на
рис. 22. Массой блоков и нитей пренебречь.
104. Найти ускорение массы тп\ и натяжения
нитей Т\ и Т<2 в системе, изображенной на рис. 23.
Массой блоков и нитей пренебречь, сил трения не
учитывать.
105. На рис. 24 изображен прибор для демон-
демонстрации законов динамики. На коромысле весов
укреплены два очень легких блока а и с, один
на конце, другой в центре коромысла; через блоки
перекинута нить, на концах которой прикреплены
две одинаковые гирьки А и В по 250 г. Средний
блок устроен так, что груз на нити находится под
точкой опоры коромысла. На другом конце коро-
коромысла подвешена чашка с разновесом.
Щ\
и
т2
\Щ
Рис. 23
х) Вследствие этого массы ттц и Ш2 не движутся.
20
Задачи
Пусть весы уравновешены при одинаковых грузах А и В на нити.
Как следует изменить груз на чашке весов для того, чтобы восста-
восстановить равновесие весов при движущихся грузах в двух следующих
случаях: 1) на гирьку, ви-
висящую на конце коромысла,
положен перегрузок в 25 г;
2) на гирьку под серединой ко-
коромысла положен перегрузок
в 25 г?
106. Система, изображен-
изображенная на рис. 24 (см. преды-
предыдущую задачу), уравновешена
рис 24 ПРИ наличии перегрузка в 50 г
на средней гирьке при затор-
заторможенном блоке. 1) Что следует сделать для восстановления равнове-
равновесия после того, как блок будет освобожден и грузы начнут двигаться?
2) Ответить на этот же вопрос, если вначале весы были уравновешены
при заторможенных блоках при наличии перегрузка в 50 г на крайний
гирьке.
107. Через блок, ось которого горизонтальна, перекинута веревка
длины / (устройство блока см. на рис. 17). За концы веревки держатся
две обезьяны, находящиеся на одинаковых расстояниях 1/2 от блока.
Обезьяны начинают одновременно подниматься вверх, причем одна из
них поднимается относительно веревки со скоростью v, а другая со
скоростью 2v. Через сколько времени каждая из обезьян достигнет
блока? Массой блока и веревки пренебречь; массы
обезьян одинаковы.
108. Обезьяна, движущаяся с большей скоростью
(см. условие предыдущей задачи), обладает вдвое
большей массой, чем другая. Которая обезьяна достиг-
достигнет блока раньше?
109. Обезьяна с массой т уравновешена проти-
противовесом на подвижном блоке В (рис. 25). Блок В
уравновешен грузом с массой 2т на неподвижном
блоке С. Вначале система была неподвижна. С какой
скоростью будет подниматься груз 2т, если обезьяна
начнет выбирать веревку с произвольной скоростью v
(относительно себя)? Массой обоих блоков можно пре-
пренебречь.
110. Два шарика падают в воздухе. Шарики
(сплошные) сделаны из одного материала, но диаметр
одного из шариков вдвое больше другого. В каком
соотношении будут находиться скорости шариков при
установившемся (равномерном) движении? Считать, что сила сопро-
сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения дви-
движущегося тела и квадрату его скорости.
Рис. 25
§2. Динамика прямолинейного движения 21
111. Стальной шарик радиусом 0,05 мм падает в широкий сосуд,
наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося (равно-
(равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в гли-
глицерине равен т\ = 14 дин-с/см2, плотность глицерина d\ = 1,26г/см3,
плотность стали с?2 = 7, 8 г/см3.
Указание. Для решения задачи надо воспользоваться гидродина-
гидродинамической формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испы-
испытываемую шариком, движущимся в вязкой жидкости: / = бттгуг}.
112. Как будет изменяться скорость тела, движущегося вертикаль-
вертикально вверх с начальной скоростью vo, если можно считать, что сила
сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела?
113. Тело бросают вертикально вверх в вязкой среде. Сила вязкого
трения пропорциональна скорости движения тела. Вычислить время t\
подъема тела на максимальную высоту его полета вверх и сравнить его
со временем to подъема в отсутствие трения. Начальная скорость тела
в обоих случаях одинакова.
114. Из одного неподвижного облака через г секунд одна за дру-
другой начинают падать две дождевые капли. Как будет изменяться со
временем расстояние между ними? Решить задачу в двух случаях:
1) полагая, что сопротивление воздуха отсутствует; 2) полагая, что
сопротивление воздуха пропорционально скорости капель.
115. Лодка под парусом развила скорость vo. 1) Как будет убывать
во времени скорость движения лодки в стоячей воде после спуска
паруса, если сопротивление воды движению лодки можно считать
пропорциональным квадрату скорости? 2) Как долго будет двигаться
лодка? 3) Какой путь она пройдет до полной остановки?
116. Рассмотреть вопросы, поставленные в предыдущей задаче,
в предположении, что сопротивление воды движению лодки пропорци-
пропорционально первой степени ее скорости.
117. Пусть сила сопротивления воды движущейся лодки пропорци-
пропорциональна скорости лодки (см. также условия двух предыдущих задач).
Как в таком случае скорость лодки, после спуска паруса будет зависеть
от пройденного лодкой пути?
118. Парашютист совершает затяжной прыжок. До раскрытия па-
парашюта он падает со скоростью 60 м/с, после раскрытия приземляется
со скоростью 4 м/с. Подсчитать, каково было бы максимальное на-
натяжение Т строп парашюта, если бы в конце затяжного прыжка он
раскрывался мгновенно. Масса парашютиста 80 кг, а силу сопротивле-
сопротивления воздуха движущемуся парашюту можно считать пропорциональ-
пропорциональной квадрату скорости (см. также следующую задачу). Считать массу
парашюта и его строп малой по сравнению с массой парашютиста.
119. При затяжном прыжке, рассмотренном в предыдущей задаче,
парашют раскрывается не мгновенно, а постепенно. При этом натяже-
натяжение Т строп все время вплоть до полного раскрытия парашюта остается
примерно постоянным и равным 720 кгс. Найти скорость падения v1
22
Задачи
Рис. 26
к моменту полного раскрытия парашюта и время т, в течение которого
парашют раскрывается.
120. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом,
ускоренно скользит доска массы М (рис. 26). Коэффициент трения
доски о наклонную плоскость равен к.
На доску кладут тело массы га, кото-
которое скользит по доске без трения. Како-
Какова должна быть минимальная масса те-
тела шмин, чтобы движение доски по на-
наклонной плоскости стало равномерным?
121. Через легкий вращающийся без
трения блок перекинута нить. На одном
ее конце привязан груз с массой т\. По
другому концу нити с постоянным отно-
относительно нее ускорением а^ скользит кольцо с массой тп^ (рис. 27).
Найти ускорение а\ массы тп\ и силу трения R кольца о нить. Массой
нити можно пренебречь.
122. Обезьяны, о которых шла речь в задаче 107, начинают подни-
подниматься вверх с постоянным ускорением относительно веревки, причем
одна из них поднимается с ускорением а, а другая с ускорением 2а.
Через какой промежуток времени
каждая из обезьян достигнет блока?
123. Для иллюстрации различных
случаев зависимости движения тяже-
тяжелого маятника от ускорения его точ-
точки подвеса могут служить извест-
известные опыты Н.А. Любимова с маятни-
маятником, подвешенным на падающем щит-
щитке (рис. 28). Щиток, в верхней ча-
части которого укреплена ось вращения
маятника, вертикально падает вниз.
Щиток скользит без трения по на-
направляющим проволокам. 1) Как будет
двигаться относительно щитка маят-
маятник, если отклонить его от вертикали,
удерживая щиток неподвижным, а за-
затем освободить одновременно и щиток
и маятник? 2) Как будет двигаться маятник относительно щитка, если
сначала заставить его колебаться на неподвижном щитке, а затем
освободить щиток в момент, когда скорость маятника не равна нулю?
124. Каков будет период малых колебаний математического маят-
маятника длины /, если маятник колеблется в вагоне, движущемся в гори-
горизонтальном направлении с ускорением а?
125. Каков будет период малых колебаний маятника в лифте, опус-
опускающемся с постоянным ускорением а? Каким будет период маятника
при а = g"? Как будет вести себя маятник при а > g?
о
ml
Рис. 27
Рис. 28
§2. Динамика прямолинейного движения
23
126. Каков будет период малых колебаний Т математического ма-
маятника длины /, подвешенного в вагоне, свободно скатывающемся по
наклонному пути с углом наклона а?
127. Тяжелое тело подвешено на пружине к потолку кабины лифта.
Каково будет движение тяжелого тела относительно кабины, если ка-
кабина внезапно начинает свободно падать под действием силы тяжести?
128. Найти выражение ускорения и скорости тележки А, движу-
движущейся под действием постоянной горизонтальной силы / (рис. 29),
Рис. 29
если на тележке лежит песок, который высыпается через отверстие
в платформе тележки. За 1 с высыпается масса Am песка, в момент
времени t = 0 скорость тележки v равна нулю, а масса песка и тележки
вместе равна М.
129. Два груза соединены весомой нерастяжимой однородной ни-
нитью длины / так, как показано на рис. 30. Массы грузов гп\ = га, тп^ =
= 2/згп, нити ган = xkm. При какой длине вертикального отрезка нити
х\ силы, действующие на грузы со стороны нити, окажутся равными?
Чему равны эти силы? Каково ускорение системы в этом случае?
Массой блока и трением во всех частях системы можно пренебречь.
Рис. 30
Рис. 31
130. Шнур, положенный на доску, пропущен одним концом в от-
отверстие, просверленное в доске (рис. 31). Найти, с какой скоростью v
соскользнет с доски конец шнура, если известна длина всего шнура /
и длина его конца Iq, свешивающегося в момент начала движения.
24
Задачи
Найти зависимость от времени длины свисающего с доски отрезка
шнура. Трение между шнуром и столом не учитывать.
131. Три одинаковых шарика /, 2 и 3 подвешены на пружинах
один под другим так, что расстояния между ними одинаковы (рис. 32).
Следовательно, центр масс этой системы совпадает с центром второго
шарика. Если обрезать нить, удерживающую шарик /,
то система начнет падать, причем ускорение центра масс
системы должно быть 3mg/3m = g (по известному за-
закону: ускорение центра масс системы тел равно сумме
внешних сил, действующих на систему, деленной на
массу всей системы). Но пружина I тянет шарик 2 вверх
сильнее, чем пружина II тянет этот шарик вниз (сила
натяжения пружины I в начальный момент f\ = 2mg,
а сила натяжения пружины II в начальный момент /2 =
= mg), следовательно, шарик 2 начинает падать с уско-
рением, меньшим чем g.
Таким образом, мы пришли как будто к противоре-
чию. 1) Объяснить кажущееся противоречие; 2) найти
ускорения всех шариков в начальный момент; 3) опреде-
лить начальные ускорения шариков, если мы перережем
не нить, а пружину, поддерживающую шарик 3.
132. На горизонтальной плоскости лежит клин массы М (рис. 33).
На грань клина кладут тело массы га. Все поверхности соприкасаю-
соприкасающихся тел гладкие. Найти горизонтальные ускорения обоих тел и си-
силы N и R, с которыми тело давит на клин и клин давит на плоскость.
Рис 32
М
Рис. 33
Рис. 34
133. На наклонной плоскости лежит тело (рис. 34). Коэффициент
трения тела о плоскость ktga, где а — угол наклона плоскости к гори-
горизонту. Тело, толчком вдоль наклонной плоскости, приводят в движение
с начальной скоростью vo. Найти установившуюся скорость скольже-
скольжения тела в зависимости от величины vq и направления толчка.
§3. Статика
134. На горизонтальной плоскости стоит человек веса Р, который
держит на весу с помощью неподвижного блока груз веса Q (рис. 35).
Определить, с какой силой F человек давит на плоскость.
§3. Статика
25
135. Фонарь массы т = 10 кг подвешен на канатике над серединой
улицы шириной / = 10 м. Допустимое натяжение канатика р = 50кгс.
Какова должна быть высота крепления концов канатика, если точка
прикрепления фонаря к канатику должна находиться на высоте h =
= 5м?
136. Анализируя результат задачи 135, можно прийти к следу-
следующему неожиданному выводу: любой канат можно разорвать сколь
угодно малой силой. Действительно, представьте канат натянутым
и закрепленным на концах; тогда достаточно приложить к середине ка-
каната перпендикулярную к нему небольшую силу, чтобы создать сколь
угодно большое натяжение каната. Почему же все-таки канат нельзя
разорвать сколь угодно малой силой?
137. Подвес фонаря устроен так, как показано на рис. 36. Масса
фонаря 5 кг. Определить силы, действующие на брусок АВ и проволо-
проволоку С В (размеры указаны на чертеже).
138. Веревка привязана к крючку А и перекинута через блок С
(рис. 37). К веревке в точке D прикреплен груз 20кг, причем точка
D не может смещаться по веревке. Какой груз Q сле-
следует прикрепить к концу веревки, чтобы натяжение
веревки на участке AD было в два раза больше, чем
0,5 м
Рис. 35
Рис. 36
20 кг
Рис. 37
в остальной ее части, и угол ADC = 90°? Определить силу F, выры-
вырывающую блок С.
139. Клин заколачивают в бревно. Каков должен быть коэффициент
трения, чтобы клин не выскакивал из бревна? Угол клина при вершине
равен 30°.
140. С какой силой / человек должен тянуть веревку, чтобы удер-
удержать платформу, на которой он стоит (рис. 38), если масса человека
т\ = 60 кг, а масса платформы тп^ = 30 кг? С какой силой F человек
давит на платформу? Какова максимальная масса платформы, которую
может удержать человек?
26
Задачи
141. Конструкция и размеры крана указаны на рис. 39. Опре-
Определить силу натяжения F оттяжки АВ и силу Т, растягивающую
Рис. 38
Рис. 39
В
О
стержень ВС, когда кран поднимает груз в 1 т. Узлы В, С и D считать
шарнирами.
142. Однородная палочка АВ, концы которой могут скользить без
трения по горизонтальной плоскости О А и вертикальной стенке ОВ,
удерживается в положении равновесия натя-
натяжением нити ОС (рис. 40). Палочка наклоне-
наклонена к горизонтальной плоскости под углом а,
а нить — под углом /3. Найти натяжение нити
Т, если вес палочки равен Р. При каких
положениях точки С равновесие возможно
и при каких невозможно?
143. Длина коромысла весов 21 = 30 см,
масса коромысла тпк = 300 г, длина стрел-
стрелки D = 30 см. Перегрузок m = 0,01 г од-
одной из чашек отклоняет конец стрелки от
вертикального положения на расстояние к =
= 0,3 см. Определить расстояние d центра масс коромысла от ребра
призмы.
144. Каков должен быть минимальный коэффициент трения к ма-
материала стенок куба о горизонтальную плоскость, чтобы можно было
его опрокинуть через ребро горизонтальной силой F, приложенной
к верхней грани. Чему должна быть равна приложенная сила?
145. Человек везет нагруженные сани с постоянной скоростью
по горизонтальной дороге, натягивая веревку, привязанную к саням,
под углом ср к горизонту. Определить силу натяжения веревки F,
если масса саней с грузом равна М, а коэффициент трения полозьев
Рис. 40
§3. Статика
27
Рис. 41
о снег к. Направление веревки проходит через центр масс системы.
Найти оптимальное значение угла (р. Как меняется оптимальный угол
с изменением к от 0 до 1?
146. Определить расстояние d центра масс
полуокружности радиуса R от стягивающего ее
диаметра.
147. Определить расстояние d центра масс
пластины, имеющей форму полукруга радиуса R,
от ограничивающего ее диаметра.
148. Однородная пластина ограничена полу-
полуокружностью радиуса R и равнобедренным тре-
треугольником с основанием и высотой, равными 2R
(рис. 41). Определить расстояние хс от центра
масс с этой фигуры до окружности.
149. Определить положение центра масс пла-
пластины, вырезанной в виде кругового сегмента,
дуга которого равна 2а, а радиус равен R.
150. Пластина вырезана в форме полукруга радиуса R. Четверо
поднимают ее. Двое взялись за концы диаметра, остальные за окруж-
окружность. На каком расстоянии d от диаметра они должны взяться для
того, чтобы каждый поддерживал четверть веса пластины?
151. В вершинах правильного, горизонтально расположенного ше-
шестиугольника со стороной а (рис. 42) подвешены грузы, веса которых
равны: Р, 2Р, ЗР, 4Р, 5Р и 6Р. Опре-
Определить величину и точку М(х,у) прило-
приложения равнодействующей. Координатные
оси расположить так, как показано на
чертеже.
152. Однородный сплошной шар мас-
массы т, разрезанный вертикальной плоско-
плоскостью пополам и скрепленный нитью по
большому горизонтальному кругу, лежит
на столе. Найти натяжение Т нити.
153. Кронштейн, перспективный чер-
чертеж которого дан на рис. 43, состоит
из трех стержней АВ, АС и AD. Кон-
Концы стержней В, С и D укреплены с помощью шарниров в стене,
а другие концы сварены вместе в узел А. Стержни АВ и АС ле-
лежат в горизонтальной плоскости и образуют между собой угол 2^.
Вертикальная плоскость, проходящая через стержень АВ, рассекает
угол ВАС пополам. Стержень AD образует со стеной угол /3. На
узел А действует сила F в плоскости, параллельной стене, образующая
с вертикалью угол а. Найти: 1) силы, развиваемые в стержнях АВ, АС
и AD; 2) условие, при котором в стержне АС не развивается никаких
усилий.
р
2Р
/
V
\
6Р
а
ЪР
\
¦/
V
5Р
\
/АР
X
Рис. 42
28
Задачи
154. Может ли держаться ящик, висящий на веревке у вертикаль-
вертикальной стены так, как указано на рис. 44, в отсутствие сил трения?
Рис. 43
Рис. 44
Рис. 45
155. Куб массой в 1 т опирается ребром D на выступ в вертикаль-
вертикальной стене, а за ребро В подвешен канатом АВ к стене (рис. 45). Канат
составляет угол 45° со стеной. Определить силу F, с которой куб
действует на выступ D.
156. Два одинаковых бруска опираются концами на опоры, как
указано на рис. 46. Трение между брусками и опорами отсутствует.
Рис. 46
Между брусками зажат цилиндр А, удерживаемый силами трения,
а внизу бруски связаны веревкой В, привязанной к костылям, вбитым
в бруски. Определить силу натяжения Т ве-
веревки и давления F цилиндра на бруски,
если известно расстояние h между осью ци-
цилиндра А и веревкой, равное 20 см. Длина
каждого бруска I = 1,5 м, а масса М = 220 кг,
масса цилиндра га = 20 кг.
157. Два куба с ребром 10 см спаяны
гранями и образуют призму; масса одного
куба 1 кг, масса другого 3 кг. Призма сто-
стоит на шероховатой горизонтальной плоскости
(рис. 47). Какую горизонтальную силу / нуж-
Рис. 47 но приложить к верхнему основанию призмы
§ А. Работа, мощность, энергия 29
перпендикулярно к ее ребру, чтобы опрокинуть призму через ребро?
Зависит ли эта сила / от того, находится наверху легкий куб или
тяжелый?
158. Веревка, оба конца которой свободны, обвита в один ряд во-
вокруг цилиндрического столба. К одному из свободных концов веревки
приложена сила натяжения Т\. Какую силу Т% надо приложить к дру-
другому концу веревки, чтобы она находилась в равновесии? Коэффициент
трения между веревкой и поверхностью столба равен к, а число витков
веревки п.
159. На горизонтальной плоскости лежат три одинаковых шара,
соприкасающиеся между собой, так что их центры расположены в вер-
вершинах правильного треугольника. Над центром этого треугольника
положен четвертый такой же шар. При каком минимальном значении
коэффициента трения к такие соприкасающиеся шары могут удержи-
удерживаться в равновесии, если коэффициенты трения шара о шар и шара
о плоскость опоры одинаковы?
§4. Работа, мощность, энергия
160. Действуя постоянной силой в 20кгс, поднимают груз массой
в 10 кг на высоту 10 м. Какая при этом совершается работа? Какой
потенциальной энергией будет обладать поднятый груз?
161. Подсчитать работу, которую нужно совершить, чтобы опро-
опрокинуть через ребро призму, описанную в задаче 157, для указанных
в этой задаче случаев.
162. Коэффициент трения между некоторым телом и плоскостью,
наклоненной под углом 45° к горизонту, равен 0,2. На какую высоту
поднимается это тело, скользя по наклонной плоскости, если ему
будет сообщена скорость 10 м/с, направленная вверх вдоль плоскости?
Какова будет скорость тела, когда оно вернется в нижнюю исходную
точку своего движения?
163. Какую работу надо совершить, чтобы втащить (волоком) тело
массы га на горку с длиной основания L и высотой Я, если коэффици-
коэффициент трения между телом и поверхностью горки равен к? Угол наклона
поверхности горки с горизонтом может меняться вдоль горки, но его
знак остается постоянным.
164. Какую полезную работу можно получить при соскальзывании
тела массы га с горки, длина основания которой равна L, а высота Н,
если коэффициент трения между телом и поверхностью горки равен к?
Угол наклона поверхности горки с горизонтом может меняться вдоль
горки, но его знак остается постоянным.
165. Показать, что если построить кривую, выражающую кинети-
кинетическую энергию материальной точки как функцию пройденного пути,
то сила, действующая в каждой точке в направлении перемещения,
будет измеряться тангенсом угла наклона касательной в данной точке
кривой энергии к оси абсцисс.
30 Задачи
166. Из залитого подвала, площадь пола которого равна 50м2,
требуется выкачать воду на мостовую. Глубина воды в подвале 1,5 м,
а расстояние от уровня воды в подвале до мостовой 5 м. Найти работу,
которую необходимо затратить для откачки воды.
167. В цилиндр сегнерова колеса налито 2 л воды; высота этого
столба воды равна 60 см. Найти энергию U, запасенную в приборе.
168. Оконная штора массой в 1 кг и длиной 2 м свертывается
на тонкий валик наверху окна. Какая при этом совершается работа?
Трением пренебречь.
169. Горный ручей с сечением потока S [м2] образует водопад вы-
высотой в h [м]. Скорость течения воды в ручье v [м/с]. Найти мощность
ручья W, выразив ее в лошадиных силах.
170. Определить среднюю полезную мощность при выстреле из
гладкоствольного ружья, если известно, что пуля массы т вылетает из
ствола со скоростью vq, а длина канала ствола I (давление пороховых
газов считать постоянным во все время нахождения снаряда в канале
ствола).
171. Отвес удерживают вертикально в вагоне, движущемся по
горизонтальному пути с постоянным ускорением а, а затем сразу
отпускают. Найти: 1) выражение потенциальной энергии U отвеса,
отклоненного от вертикали на угол а; 2) выражение работы А си-
силы, отклонившей отвес на угол а; 3) значение максимального угла
отклонения отвеса амакс в условиях опыта. 4) Показать, что этот
угол максимального отклонения отвеса от вертикали вдвое больше
угла, образуемого с вертикалью направлением установившегося отвеса
в ускоренно движущемся вагоне (см. также задачу 91). 5) Описать
движение отвеса, после того как он был освобожден из вертикального
положения.
172. Отвес в железнодорожном вагоне остается в вертикальном
положении, пока поезд идет с постоянной скоростью. При торможении
поезда отвес начинает качаться, причем его максимальное отклонение
от вертикали составляет 3°. Какой путь S пройдет поезд до полной
остановки, если считать, что его ускорение все время остается посто-
постоянным, а скорость поезда в момент начала торможения была 47 км/ч?
173. На поверхность Земли с очень большого расстояния падает
метеорит. С какой скоростью метеорит упал бы на Землю, если бы ат-
атмосфера не тормозила его движения? Считать, что начальная скорость
метеорита вдали от Земли равна нулю.
174. Дают ли возможность результаты решения предыдущей задачи
ответить на вопрос: какой должна быть минимальная скорость ракеты,
запущенной с поверхности Земли, для того чтобы она преодолела силу
земного тяготения и ушла в межпланетное пространство?
175. На Землю с очень большого расстояния падает метеорит
массой т = 1 т. Найти кинетическую энергию Т метеорита на расстоя-
расстоянии h = 200 км от поверхности Земли. Считать, что начальная скорость
метеорита вдали от Земли равна нулю.
§ А. Работа, мощность, энергия
31
176. Какую мощность W затрачивает лошадь на движение саней,
если она тянет их в гору равномерно со скоростью г;? Масса саней т
и трение между санями и поверхностью горы постоянно, коэффициент
трения к. Угол наклона горы а.
177. Показать (для условий задачи 115), что полная работа силы
трения лодки о воду будет равна начальной кинетической энергии
лодки.
178. Определить потенциальную энергию U сжатой пружины как
функцию ее деформации, считая, что сила деформации пропорциональ-
пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорци-
пропорциональности /3.
179. Определить отношение по-
потенциальных энергий деформации
U\ и С/2 двух пружин с коэффици-
коэффициентами упругости к\ и fc2 в двух
случаях: 1) пружины соединены по-
последовательно и растягиваются гру-
грузом Р (рис. 48 а); 2) пружины висят
параллельно, причем груз Р подве-
подвешен в такой точке, что обе пружи-
пружины растягиваются на одну и ту же
величину (рис. 48 6). Деформацией
пружин под действием собственного
веса пренебречь.
180. Под действием подвешенного груза спиральная пружина удли-
удлинилась от /о Д° I- Потянув рукой за середину пружины, удлинение
верхней половины ее довели до / — /о- После этого руку отняли. В пру-
пружине возникли быстрые колебания. Какое количество тепла выделится
в пружине после того, как колебания затухнут? Коэффициент упруго-
упругости пружины равен к.
181. Маховик радиуса R [м] делает п оборотов в минуту, передавая
ремнем приводу мощность И^[л.с]. Найти натяжение Т [кто] ремня,
идущего без скольжения.
182. Для определения мощности двигателя его вал А сжимают
между двух колодок / и 2 (рис. 49). Этот зажим снабжен рычагом,
Рис. 48
Рис. 49
перпендикулярным к валу, на который подвешивается такой груз, что-
чтобы рычаг сохранял свое горизонтальное положение, когда двигатель
32 Задачи
развивает полную мощность, вращаясь в направлении стрелки. Какова
мощность двигателя, если при п оборотах вала в минуту на расстоя-
расстоянии R [см] от оси вала находится груз массы т [кг]?
183. Два шкива, находящиеся на одном уровне, соединены рем-
ремнем; первый шкив — ведущий (рис. 50). В каком случае предельная
мощность, которую можно передать ремнем при определенном числе
оборотов, будет больше: когда шкивы враща-
вращаются по часовой стрелке или против?
' 184. Через неподвижный блок, массой
которого можно пренебречь, перекинута за-
мкнутая тяжелая веревка массы М. В началь-
начальный момент времени за точку веревки, распо-
расположенную между блоком и нижним заворотом ее, цепляется обезьяна
массы т и начинает карабкаться вверх так, чтобы удержаться на
неизменной высоте. Какую мощность W должна для этого развивать
обезьяна? Через сколько времени она перестанет справляться со своей
затеей, если максимальная мощность, которую она может развивать,
равна VJ/макс?
185. Два протона с энергией Е = 0, 5МэВ каждый летят навстречу
друг другу и испытывают лобовое столкновение. Как близко они могут
сойтись, если учитывать только электростатическое взаимодействие
между ними?
186. Идеально упругий шарик движется вверх и вниз в однородном
поле тяжести, отражаясь от пола по законам упругого удара. Найти
связь между средними по времени значениями его кинетической К
и потенциальной U энергий.
§ 5. Законы сохранения количества движения
и энергии
187. С какой скоростью v после горизонтального выстрела из вин-
винтовки стал двигаться стрелок, стоящий на весьма гладком льду? Масса
стрелка с винтовкой и снаряжением составляет 70 кг, а масса пули 10
г и ее начальная скорость 700 м/с.
188. Определить силу, с которой винтовка действует на плечо
стрелка при выстреле, если считать, что со стороны винтовки действует
постоянная сила и смещает плечо стрелка на S = 1,5 см, а пуля поки-
покидает ствол мгновенно. Масса винтовки 5 кг, масса пули 10 г, и скорость
ее при вылете равна v = 500 м/с.
189. Из пушки, свободно соскальзывающей по наклонной плоско-
плоскости и прошедшей уже путь /, производится выстрел в горизонтальном
направлении. Какова должна быть скорость v снаряда для того, чтобы
пушка остановилась после выстрела? Выразить искомую скорость v
снаряда через его массу ш, массу пушки М и угол а наклона плоскости
к горизонту. Учесть, что т <С М.
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 33
190. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на высоте h =
= 19,6 м на две одинаковые части. Через секунду после взрыва одна
часть падает на Землю под тем местом, где произошел взрыв. На
каком расстоянии ^ от места выстрела упадет вторая часть снаряда,
если первая упала на расстоянии S\ = 1000 м от места выстрела? Сил
сопротивления воздуха при решении задачи не учитывать.
191. Три лодки одинаковой массы т идут в кильватер (друг за
другом) с одинаковой скоростью v. Из средней лодки одновременно
в переднюю и заднюю лодки бросают со скоростью и относительно
лодки грузы массы т\. Каковы будут скорости лодок после переброски
грузов?
192. Человек, стоящий в лодке, подтягивает вторую лодку за верев-
веревку до их соприкосновения и далее удерживает их вместе (рис. 51). Где
Рис. 51
будут находиться обе лодки, когда их движение в результате трения
о воду прекратится? Трение лодок о воду считать пропорциональным
их скорости и одинаковым для обеих лодок, массы лодок тп\ и Ш2,
начальное расстояние между центрами их масс /.
193. Две лодки идут навстречу параллельным курсом. Когда лодки
находятся друг против друга, с каждой лодки во встречную перебрасы-
перебрасывается мешок массой в 50 кг, в результате чего первая лодка останав-
останавливается, а вторая идет со скоростью 8,5 м/с в прежнем направлении.
Каковы были скорости лодок до обмена мешками, если массы лодок
с грузом равны 500 кг и 1 т соответственно?
194. В шар массы тп\, движущийся со скоростью v\, ударяется
другой шар массы Ш2, догоняющий первый в том же направлении со
скоростью V2. Считая удар вполне неупругим, найти скорости шаров
после удара и их кинетическую энергию.
195. Два идеально упругих шарика с массами тп\ и т^ движут-
движутся вдоль одной и той же прямой со скоростями г; 1 и i?2. Во время
столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетиче-
кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем
деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь
переходит в кинетическую. Найти значение потенциальной энергии
деформации в момент, когда она максимальна.
196. На гладком горизонтальном столе лежит шар массы т\, со-
соединенный с пружиной жесткости к. Второй конец пружины закреплен
(рис. 52). Происходит лобовое упругое соударение этого шара с другим
шаром, масса которого тп^ меньше тп\, а скорость равна v. В какую
2 Под ред. И. А. Яковлева
34 Задачи
сторону будет двигаться второй шар после удара? Определить ампли-
амплитуду колебаний первого шара после соударения.
197. Система состоит из двух шариков с массами т и М, соединен-
соединенных между собой невесомой пружиной с коэффициентом жесткости к
(рис. 53). Третий шарик с мас-
с°й т> движущийся вдоль оси пру-
к X//. жины со скоростью v, претерпева-
претерпевает упругое столкновение с шари-
шариком га, как указано на рис. 53.
Считая шарики абсолютно жест-
rj4L- JZ кими, найти после столкновения:
1) кинетическую энергию К движения системы как целого; 2) внут-
внутреннюю энергию системы Евн; 3) амплитуду колебаний одного шарика
относительно другого А. До удара система покоилась, а пружина не
была деформирована. Какие ша-
шарики могут рассматриваться как ^ у , . J* / \
абсолютно жесткие? ч_у *" К- -; v /vv l\_
198. Навстречу друг другу т т j/'
летят два шара с массами т\
и ni2. Между шарами происходит
неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия одного шара в 20
раз больше кинетической энергии другого. При каких условиях шары
после удара будут двигаться в сторону движения шара, обладавшего
меньшей энергией?
199. С какой скоростью v должен лететь снаряд массы га = 10 кг,
чтобы при ударе о судно массы М = 100 т последнее получило ско-
скорость г>1 = 0, 1 м/с? Удар считать неупругим.
200. Ледокол, ударяясь о льдину массы М, отбрасывает ее, сооб-
сообщив ей скорость г>[м/с]. Положим, что давление ледокола на льдину
нарастает равномерно во времени при сближении ледокола со льдиной
и также равномерно убывает, когда они расходятся. Найти при этих
условиях максимальную силу давления льдины на борт корабля, если
удар продолжался г [с].
201. В одном изобретении предлагается на ходу наполнять плат-
платформы поезда углем, падающим вертикально на платформу из со-
соответствующим образом устроенного бункера. Какова должна быть
приложенная к платформе сила тяги, если на нее погружают Ют угля
за 2 с, и за это время она проходит равномерно 10 м? Трением при
движении платформы можно пренебречь.
202. Подсчитать работу, совершенную паровозом за время погрузки
на платформу некоторой массы угля Am (см. предыдущую задачу),
и сравнить ее с кинетической энергией, которую получила погруженная
масса угля.
203. Кусок однородного каната висит вертикально, причем нижний
конец каната доходит до горизонтального стола. Показать, что если
верхний конец каната освободить, то в любой момент падения каната
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 35
сила его давления на стол будет в три раза больше веса части каната,
уже лежащей на столе.
204. На клин, составляющий угол в 45° с горизонтом, вертикально
падает шарик. Какова будет траектория шарика после удара о клин?
Поверхность клина гладкая, удар вполне упругий.
205. Найти количество движения р, получаемое стенкой при упру-
упругом ударе о нее тела массы га, скорость v которого составляет угол а
с нормалью к стенке.
206. Движущаяся частица претерпевает упругое столкновение
с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столк-
столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым
углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после лобового
столкновения?
207. Найти изменение кинетической энергии АК и импульса Ар
тела, движущегося со скоростью v, при упругом ударе его о стенку,
движущуюся в том же направлении равномерно со скоростью и < v.
При каком соотношении между скоростью тела v и скоростью стенки и
ударившееся о нее тело остановится?
208. Ядра дейтерия D и трития Т могут вступать в реакцию
D + T^He4 + n+ 17,6МэВ,
в результате которой образуются нейтроны п и а-частицы, т. е. ядра
гелия Не4. При каждой реакции выделяется энергия 17,6МэВ. Опреде-
Определить, какую энергию уносит нейтрон и какую а-частица. Кинетические
энергии, которыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо малы.
(Дейтерий — изотоп водорода с атомным весом 2, тритий — изотоп
водорода с атомным весом 3, Не4 — гелий с атомным весом 4).
209. Ядра дейтерия D могут вступать друг с другом в реакцию,
в результате которой образуется протон и ядро трития Т. Каждый
протон уносит кинетическую энергию ЗМэВ. Какую кинетическую
энергию уносит ядро атома трития и каков общий энергетический
выход реакции? Кинетические энергии, которыми обладали частицы до
реакции, пренебрежимо малы.
210. Ядра дейтерия могут вступать также в реакцию
D + D -> Не3 + п + 3,25 МэВ.
Какую энергию уносит нейтрон и какую ядро гелия Не3 с атомным ве-
весом 3? Кинетические энергии, которыми обладали частицы до реакции,
пренебрежимо малы.
211. В реакции
Не3 + D -> Не4 + р
получаются протоны с энергией 14,6 МэВ. Какую энергию уносит ядро
гелия (Не4) и какой общий энергетический выход реакции? Кинетиче-
Кинетические энергии, которыми обладали частицы до реакции, пренебрежимо
малы.
36 Задачи
212. При бомбардировке гелия а-частицами с энергией 1 МэВ
найдено, что налетающая частица отклонилась на 60° по отношению
к первоначальному направлению полета. Считая удар упругим, опреде-
определить ее энергию и энергию ядра отдачи.
213. Определить долю энергии, теряемую частицей массы т\ при
упругом столкновении ее с неподвижной частицей массы Ш2, если
после столкновения частица продолжает двигаться в прежнем (когда
гп\ > ni2) или прямо противоположном (когда гп\ < ni2) направлениях.
Показать, что доля теряемой энергии не зависит от того, какая частица
движется, а какая покоится. При каком соотношении масс m\/rri2
потеря энергии максимальна? Используя полученные результаты, объ-
объяснить, почему в ядерных реакторах для замедления нейтронов исполь-
используется рассеяние их на ядрах легких (дейтерий, углерод), а не тяжелых
атомов.
214. Определить долю энергии а, теряемую протоном при упругом
рассеянии под углом 180° на протоне, дейтроне, ядре гелия и ядре
углерода.
215. Каков максимальный угол в рассеяния а-частицы и дейтрона
при упругом рассеянии на водороде?
216. Альфа-частица, летящая со скоростью vq, испытывает упругое
столкновение с неподвижным ядром и летит под углом 90° к первона-
первоначальному направлению движения. При каком соотношении масс а-ча-
стицы m и ядра М это возможно? Определить скорость а-частицы v
и ядра V после столкновения. Определить также угол в между направ-
направлением скорости вылетающего ядра и первоначальным направлением
движения а-частицы.
217. Протон, летящий горизонтально со скоростью V, сталкивается
с невозбужденным неподвижным атомом массы М, после чего он
отскакивает и летит в прямо противоположном направлении с поло-
половинной скоростью V/2, а атом переходит в возбужденное состояние,
т. е. в состояние с более высокой внутренней энергией. Определить
скорость атома v после столкновения и энергию Е, которая пошла
на возбуждение атома. Для каких невозбужденных атомов описанный
процесс невозможен?
218. Атомное ядро с массой m и кинетической энергией Е стал-
сталкивается с другим ядром, которое до столкновения покоилось. Проис-
Происходит ядерная реакция, в результате которой образуются две частицы
с массами тп\ и Ш2, причем на реакцию затрачивается энергия Q. При
каких условиях скорости образовавшихся частиц будут направлены
вдоль или против скорости падающей частицы?
219. Первая искусственная ядерная реакция
наблюдалась Резерфордом в 1919 г. Она идет с поглощением энер-
энергии Е = 1, 13 МэВ. Какую минимальную энергию Eq надо сообщить
в лабораторной системе а-частице (т.е. ядру атома гелия), чтобы при
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 37
бомбардировке неподвижной мишени из N14 указанная реакция могла
пойти?
220. Ядерная реакция Li7 + р —> Be7 + n (литий неподвижен) имеет
порог Етр = 1,88МэВ, т.е. может идти только тогда, когда энергия
протона равна или превосходит величину -ЕПор- При каких энергиях
бомбардирующих протонов Ер нейтроны в такой реакции могут лететь
назад от литиевой мишени?
221. При столкновении протонов высоких энергией могут образо-
образовываться антипротоны р согласно реакции
Какой минимальной (пороговой) кинетической энергией должен обла-
обладать протон, чтобы при столкновении с покоящимся протоном была
возможна такая реакция?
222. Какой минимальной кинетической энергией должен обладать
протон, чтобы при столкновении с покоящимся нейтроном была воз-
возможна реакция _
р + п->р + п + Л + Л?
Массы покоя частиц, участвующих в реакции: шр = 1836ше, тп =
= 1838ше, шл = Шд = 2183ше. Различием масс протона и нейтрона
можно пренебречь.
223. Тело массы т\ ударяется неупруго о тело массы Ш2. Найти
долю q потерянной при этом кинетической энергии, если тело тп^ было
до удара в покое.
224. Лифт опускается с постоянной скоростью. Каково будет на-
натяжение троса, на котором висит кабина, в момент внезапной полной
остановки барабана, с которого сматывается трос? Как будет изменять-
изменяться натяжение троса после происшедшей задержки?
225. Подсчитать максимальную силу Т натяжения каната и его
удлинение (см. предыдущую задачу), если коэффициент упругости
каната для той его длины, при которой произошла остановка барабана,
равен 1 тс/см. Масса лифта 3 т, его скорость 10 м/с.
226. На нити длиной / подвешен груз массы га. Определить, на
какую минимальную высоту надо поднять груз га, чтобы он, падая,
разорвал нить, если минимальный покоящийся груз М, разрывающий
нить, растягивает ее перед разрывом на 1 %. Считать, что сила, с кото-
которой нить действует на груз, пропорциональна растяжению нити вплоть
до ее разрыва.
227. Баллистический маятник — это маятник, употребляющийся
для определения скорости снаряда. Принцип его действия заключается
в том, что снаряд, скорость которого следует измерить, ударяется в те-
тело маятника (рис. 54). Если известны условия удара и массы снаряда
и маятника, то по углу отклонения маятника а можно вычислить
скорость v снаряда до удара. Показать, как это сделать для следующих
различных случаев: 1) снаряд после удара застревает в маятнике;
38
Задачи
м
Рис. 54
2) снаряд отскакивает после удара со скоростью vr назад; 3) снаряд
падает вниз, потеряв свою скорость. Масса маятника М [кг] и масса
снаряда т [кг] известны; маятник можно рассмат-
рассматривать как математический длины /.
228. Механическая система, показанная на
рис. 55, находится в положении равновесия в поле
силы тяжести. Расстояние между осями блоков
равно /, а отношение масс грузов равно m\/rri2 =
= л/2- Размерами и массами блоков и трением
можно пренебречь. Нить следует считать невесо-
невесомой и нерастяжимой. Среднему грузу толчком со-
=, общают скорость, направленную вниз, после че-
чего он опускается, а затем начинает подниматься
вверх. Какую скорость следует сообщить среднему
грузу, чтобы при последующем движении он мог
подняться до высоты уровня осей блоков? На сколько в результате
толчка должен опуститься средний груз?
229. Два маятника в виде шариков разных масс т\ и тп^ сво-
свободно подвешены на нитях разной длины 1\ и 1% так, что шарики
соприкасаются. Первый маятник отво-
отводят в плоскости нитей на угол а от пер-
первоначального положения и отпускают.
Происходит центральный удар шариков.
На какие углы а\ и а^ относительно
отвесной линии отклонятся маятники
после удара (углы считать малыми, удар
считать упругим)?
230. С гладкой наклонной плоско-
плоскости, составляющей угол 45° с горизон-
горизонтом, соскальзывает с высоты h неболь- Рис. 55
шое тело. Как будет двигаться тело,
если оно в конце наклонной плоскости встречает: 1) вполне упругую
горизонтальную плоскость, 2) горизонтальную плоскость неупругую,
но гладкую?
231. На наклонной плоскости стоит ящик с песком; коэффициент
трения ящика к о плоскость равен тангенсу угла а наклона плоскости.
В ящик вертикально падает некоторое тело и остается в нем. Будет ли
двигаться ящик после падения в него тела?
232. От поезда, идущего с постоянной скоростью, отрывается по-
последний вагон, который проходит путь / и останавливается. На каком
расстоянии от вагона в момент его остановки будет находиться поезд,
если тяга паровоза постоянна, а трение каждой части поезда не зависит
от скорости и пропорционально ее весу?
233. Лодка массы М с находящимся в ней человеком массы m
неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль
по лодке со скоростью и относительно лодки. С какой скоростью w
m2\
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 39
будет двигаться человек относительно воды? С какой скоростью v
будет при этом двигаться лодка относительно воды? Сопротивление
воды движению лодки не учитывать 0.
234. Пусть человек прошел вдоль по лодке, описанной в преды-
предыдущей задаче, путь 1. Каковы будут при этом смещения лодки Si
и человека S2 относительно воды?
235. Пусть человек, находящийся в лодке (см. задачи 233 и 234),
начинает бежать вдоль по лодке с ускорением а относительно лодки.
С какими ускорениями ai и а2 будут при этом двигаться, соответствен-
соответственно, человек и лодка относительно воды? С какой силой F бегущий
человек будет действовать на лодку в горизонтальном направлении?
236. На противоположных концах лодки, описанной в задаче 233,
стоят два человека одинаковой массы т и перебрасываются мячом
массы Am. Скорость брошенного мяча относительно воды и. Най-
ти: 1) скорость движения лодки v в течение времени перелета мяча
с одного конца лодки на другой; 2) смещения лодки Si и мяча S2
относительно воды после каждого перелета мяча вдоль лодки, если
длина пути мяча вдоль лодки равна 1.
237. На носу лодки длиной / стоит человек, держа на высоте h
ядро массы га. Масса лодки вместе с человеком равна М. Человек
бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизон-
горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы попасть в корму лодки?
Сопротивление воды движению лодки можно не учитывать.
238. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над
столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки,
а расстояние от дна до поверхности стола равно длине пробирки /.
Нить пережигают, и за время падения муха
перелетает со дна в самый верхний конец
пробирки. Определить время, по истечении
которого нижний конец пробирки стукнется
о стол.
239. На прямоугольный трехгранный
клин ABC массы М, лежащий на абсолютно
гладкой горизонтальной плоскости, положен
подобный же, но меньший клин BED мас-
массы га (рис. 56). Определить, на какое расстояние х сместится влево
большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и займет такое
положение, что точка D совместится с С. Длины катетов АС и BE
равны соответственно а и Ь.
240. Вопрос о движении тела с переменной массой был впервые
исследован И. В. Мещерским. Частную форму уравнения Мещерского
можно вывести из рассмотрения одного простого случая движения
х) При решении задач 233-236 и 240 закон сохранения количества движе-
движения надо применять в векторной форме.
40 Задачи
ракеты. Пусть для получения ускорения ракета выпускает непрерыв-
непрерывную струю газа, вылетающую из ракеты с относительной скоростью и.
Масса газа, вылетающая в единицу времени, /i, масса ракеты в данный
момент времени М. Найти уравнение движения ракеты.
241. Теория ракет для межпланетных сообщений была разработана
К.Э. Циолковским. Им было найдено соотношение, связывающее ско-
скорость v, достигнутую ракетой, с ее массой М в один и тот же момент
времени. Пользуясь результатами решения предыдущей задачи, найти
это соотношение, если масса ракеты на старте равна Мо, а скорость
газовой струи и относительно ракеты постоянна и направлена против
ее движения.
242. Реактивный корабль массы М приводится в движение насо-
насосом, который забирает воду из реки и выбрасывает ее назад с кормы
корабля. Скорость струи воды относительно корабля постоянна и равна
и, а масса ежесекундно выбрасываемой насосом воды также постоянна
и равна /i. Найти: 1) модуль скорости корабля v как функцию времени;
2) коэффициент полезного действия системы г] как функцию величин
и и v. Исследовать выражение коэффициента полезного действия на
максимум. Силы трения в насосе и сопротивление воды движению
корабля не учитывать.
243. В ускорителях на встречных пучках исследуемые частицы,
разогнанные до одинаковых релятивистских энергий, движутся на-
навстречу друг другу и реагируют при столкновении. Суммарный им-
импульс таких частиц, а с ним и кинетическая энергия, связанная с дви-
движением центра масс, равны нулю как до, так и после столкновения.
Поэтому вся кинетическая энергия частиц может быть использована
для получения исследуемой реакции. Разобрать выгоду использования
ускорителей на встречных пучках на следующем примере. Два протона
с одной и той же кинетической энергией К = 10 ГэВ движутся на-
навстречу друг другу. До какой кинетической энергии К' надо ускорить
только один протон, оставляя второй (мишень) неподвижным, чтобы
эта энергия была эквивалентна энергии К (в смысле возможности
превращения сталкивающихся частиц)?
244. Для лучшего уяснения закономерностей движения ракеты
полезно рассмотреть модель ракеты, когда она выбрасывает вещество
не непрерывно, а конечными дискретными порциями одной и той же
массы Am. Пусть при каждом выбрасывании порция вещества Am по-
получает одну и ту же скорость v0TH относительно ракеты, направленную
назад. Определить скорость ракеты vn, которую она достигнет после
N выбрасываний, если начальная масса ракеты равна то. Показать,
что в предельном случае, когда Am —> 0, N —> оо, но произведение
NAm остается постоянным, выражение для vjy переходит в формулу
Циолковского.
245. Найти связь между массой ракеты m(t), достигнутой ею
скоростью v(t) и временем t, если ракета движется вертикально вверх
в поле тяжести Земли. Скорость газовой струи относительно ракеты
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 41
и считать постоянной. Сопротивление воздуха и изменение ускорения
свободного падения g с высотой не учитывать. Какую массу газов fi(t)
должна ежесекундно выбрасывать ракета, чтобы оставаться неподвиж-
неподвижной относительно Земли?
246. Космический корабль движется с постоянной по величине
скоростью v. Для изменения направления его полета включается дви-
двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью и относительно ко-
корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить
угол а, на который повернется вектор скорости корабля, если началь-
начальная масса его то, конечная га, а скорость и постоянна.
247. Космический корабль, движущийся в пространстве, свободном
от поля тяготения, должен изменить направление своего движения на
противоположное, сохранив скорость по величине. Для этого предла-
предлагаются два способа: 1) сначала затормозить корабль, а затем разогнать
его до прежней скорости; 2) повернуть, заставив корабль двигаться по
дуге окружности, сообщая ему ускорение в поперечном направлении.
В каком из этих двух способов потребуется меньшая затрата топлива?
Скорость истечения газов относительно корабля считать постоянной
и одинаковой в обоих случаях.
248. Определить коэффициент полезного действия ракеты, т. е.
отношение кинетической энергии К, приобретенной ракетой, к энергии
сгоревшего топлива Q. Скорость, достигнутая ракетой, v = 9 км/с.
Теплота сгорания топлива q = 4000 ккал/кг, скорость выбрасываемых
продуктов сгорания относительно ракеты и = 3 км/с.
249. В ракете продукты сгорания (газы) выбрасываются со скоро-
скоростью и = 3 км/с (относительно ракеты). Найти отношение г] ее кинети-
кинетической энергии i^paK к кинетической энергии продуктов сгорания Kra3
в момент достижения ракетой скорости vK0H = 12 км/с.
250. С поверхности Луны стартует двухступенчатая ракета. При
каком отношении масс первой (mi) и второй (т^) ступеней скорость
контейнера с полезным грузом (массы га) получится максимальной?
Скорость истечения газов и в двигателях обеих ступеней постоянна
и одинакова. Отношения массы топлива к массе ступени равны соот-
соответственно а\ и а<1 для первой и второй ступеней. Отделение ступеней
и контейнера производится без сообщения добавочных импульсов.
251. Обобщить формулу Циолковского B41.1) 0 на случай реля-
релятивистских движений ракеты. Считать, что скорости ракеты и газовой
струи направлены вдоль одной прямой.
252. Показать, что при C <С 1 релятивистская формула B51.4) пе-
переходит в формулу Циолковского B41.1).
1) В книге принята сквозная нумерация формул для каждой задачи, причем
начало нумерации может быть дано в условии задачи, а продолжение —
в ответе.
42 Задачи
253. Для путешествий к звездам требуются скорости, сравнимые
со скоростью света. Оцените перспективы использования ракет на
химическом топливе для достижения звездных миров. Допустите, что
скорость истечения газа и = 10 км/с (что для химического топлива
сильно завышено) и ракета должна достигнуть скорости v = с/4. Опре-
Определите отношение стартовой массы ракеты то к ее массе т после
достижения указанной скорости.
254. Для межзвездных полетов идеальной была бы фотонная ра-
ракета, в которой вещество превращается в электромагнитное излуче-
излучение. Роль газовой струи играет пучок фотонов, излучаемых ракетой
в определенном направлении. Определить мощность фотонной ракеты,
движущейся за пределами Солнечной системы с нерелятивистской
скоростью и постоянным ускорением g = 10м/с2. Масса ракеты т =
= 1т.
255. Человек поддерживается в воздухе на постоянной высоте
с помощью небольшого реактивного двигателя за спиной. Двигатель
выбрасывает струю газов вертикально вниз со скоростью (относительно
человека) и = 1000 м/с. Расход топлива автоматически поддерживается
таким, чтобы в любой момент, пока работает двигатель, реактивная
сила уравновешивала вес человека с грузом. Сколько времени человек
может продержаться на постоянной высоте, если его масса т\ = 70 кг,
масса двигателя без топлива ТП2 = 10 кг, начальная масса топлива гао =
= 20 кг? Какое расстояние I в горизонтальном направлении может про-
пролететь человек, если он разбежался по земле, приобрел горизонталь-
горизонтальную скорость v = 10 м/с, а затем включил двигатель, поддерживающий
его в воздухе на постоянной высоте?
256. Сферическая капля воды свободно падает в атмосфере пе-
пересыщенного водяного пара. Считая, что скорость возрастания массы
капли dm/dt пропорциональна ее поверхности и пренебрегая силой
сопротивления среды, определить движение капли. Предполагается,
что в момент зарождения капли (t = 0) скорость ее падения равна
нулю.
§ 6. Динамика движения материальной точки
по окружности. Движение относительно
вращающихся систем отсчета
257. Найти силу F, с которой тележка массы га, движущаяся со
скоростью v, давит на мост в одном из следующих случаев: 1) гори-
горизонтальный мост; 2) выпуклый мост (рис. 57); 3) вогнутый мост. (Для
случаев 2) и 3) силу F определить для наивысшей и наинизшей точек
моста.)
258. Тело движется прямолинейно с постоянной скоростью vq по
горизонтальной поверхности стола, которая имеет закругленный край
с постоянным радиусом закругления, равным R (рис. 58). Каково
§ 6. Динамика движения материальной точки по окружности
43
должно быть минимальное значение скорости vq, чтобы тело, падая со
стола, не касалось закругления?
Рис. 58
Рис. 57
259. По гладкой внутренней поверхности чаши, имеющей форму
параболоида вращения с вертикальной осью Z, с высоты h соскальзы-
соскальзывает шарик массы т. Уравнение па-
параболоида: z = k(x2 + у2). Найти
ускорение а шарика и силу его дав-
давления F на дно чаши в ее нижней
точке.
260. С какой начальной скоро-
скоростью г>о должен вылететь снаряд из
орудия в горизонтальном направле-
направлении, чтобы двигаться вокруг Земли, не падая на нее? Каким ускорени-
ускорением будет обладать снаряд при этом? (Радиус Земли R = 6,4 • 103 км.)
261. Выстрел из орудия произведен под некоторым углом к го-
горизонту, начальная скорость снаряда меньше найденной при решении
предыдущей задачи. По какой траектории будет двигаться в этом
случае снаряд и каково будет его ускорение? Сопротивлением воздуха
движению снаряда пренебречь.
262. Тележка массы т скатывается без трения по изогнутым
рельсам, имеющим форму, изображенную на рис. 59. 1) С какой
минимальной высоты h должна скатиться тележка для того, чтобы
она не покинула рельсов по всей их длине? 2) Какие силы действуют
на тележку в наивысшей точке В петли? 3) Каково будет движение
тележки, если она скатывается с высоты, меньшей h? При решении
задачи считать колеса тележки малого размера и малой массы и их
вращательного движения не рассматривать.
263. Каков должен быть минимальный коэффициент трения сколь-
скольжения к между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль
44
Задачи
мог пройти закругление с радиусом R = 200 м при скорости v =
= 100 км/ч?
В
Рис. 59
Рис. 60
264. На внутренней поверхности конической воронки с углом 2а
при вершине (рис. 60) на высоте h от вершины находится малое тело.
Коэффициент трения между телом и поверхностью воронки равен к.
Найти минимальную угловую ско-
скорость вращения конуса вокруг вер-
вертикальной оси, при которой тело бу-
будет неподвижно в воронке.
265. Велосипедист при поворо-
повороте по кругу радиуса R наклоня-
наклоняется внутрь закругления так, что
угол между плоскостью велосипеда
и землей равен а. Найти скорость v
велосипедиста.
266. К Г-образной подставке,
установленной на оси центробежной
машины, привязана нить длины /
с грузом т на конце (рис. 61). 1) На
какой угол а отклонится от вертика-
вертикали нить, если центробежная машина
вращается с угловой скоростью о;?
2) Каково будет при этом натяжение нити Т? 3) Будет ли у нити излом
при вращении машины, если к середине нити прикрепить небольшую
массу?
Рассмотрение вопросов 1) и 2) провести для двух случаев: для
малых углов отклонения нити от вертикали, соответствующих малой
угловой скорости вращения центробежной машины, и для произволь-
произвольной угловой скорости вращения машины. Решение получившегося во
втором случае тригонометрического уравнения для угла а провести
графическим методом.
Рис. 61
§ 6. Динамика движения материальной точки по окружности
45
Рис. 62
267. Шарик радиуса R висит на нити длины / и касается верти-
вертикального цилиндра радиуса г, установленного на оси центробежной
машины (рис. 62). При какой угловой скорости и вращения центро-
центробежной машины шарик перестанет давить на стенку
цилиндра?
268. В вагоне поезда, идущего по закруглению
железнодорожного пути, сделанному, как обычно,
с уклоном внутрь, на пружинных весах подвешено
тело. Весы показывают увеличение веса тела на п%
по сравнению с весом того же тела, измеренным
в поезде, идущем прямолинейно с постоянной ско-
скоростью. Весы могут свободно поворачиваться около
точки подвеса и на закруглении остаются висеть пер-
перпендикулярно к полу вагона. Найти радиус кривизны
пути R, если поезд идет со скоростью v.
269. Шофер, едущий на автомобиле по горизон-
горизонтальной площади в тумане, внезапно заметил неда-
недалеко впереди себя стену, перпендикулярную к на-
направлению движения. Что выгоднее: затормозить или
повернуть в сторону, чтобы предотвратить аварию?
270. Автомобиль движется с постоянной скоростью вдоль изви-
извилистой горизонтальной дороги. Принимая дорогу за синусоиду, найти
максимальную скорость, которую может развивать автомобиль, чтобы
не было заноса.
271. Решить ту же задачу, предполагая, что автомобиль движется
с постоянной скоростью по эллипсу с полуосями А и В. В каких точках
траектории нормальное ускорение автомобиля достигает максимально-
максимального и минимального значений? Найти эти значения.
272. При выполнении самолетом «мертвой петли», осуществленной
впервые русским летчиком П. Н. Нестеровым, сила, действующая на
крылья самолета, изменяется по сравнению с их нагрузкой при гори-
горизонтальном полете.
Пусть самолет Нестерова массой в 3/4т делает «мертвую петлю»
радиуса R = 235 м и движется по ней со скоростью 120 км/ч. Найти
максимальное значение нагрузки на крылья самолета. Указать, в каком
месте траектории эта нагрузка будет максимальной.
273. Самолет делает «мертвую петлю» радиуса R = 100 м и дви-
движется по ней со скоростью v = 280 км/ч. С какой силой тело летчика
массой в 80 кг будет давить на сиденье самолета в верхней и нижней
точках петли?
274. На самолете, делающем «мертвую петлю», подвешен отвес.
Указать направление отвеса в различных точках «мертвой петли» при
различных значениях скорости самолета v и радиуса петли R.
275. Самолет совершает вираж, двигаясь по окружности с постоян-
постоянной скоростью v на одной и той же высоте. Определить радиус г этой
46
Задачи
окружности, если плоскость крыла самолета наклонена к горизонталь-
горизонтальной плоскости под постоянным углом а.
276. Груз массы М может скользить без трения по стержню а,
укрепленному перпендикулярно к оси вращающейся центробежной ма-
машины (рис. 63). Ось машины вертикальна, и сквозь нее проходит
нить, на которой висит груз массы га; нить перекинута через блок с
и другой ее конец прикреплен к грузу массы М. Найти положение
груза массы М на стержне а, когда центробежная машина вращается
с угловой скоростью и.
277. В предыдущей задаче ось вращения центробежной машины
пересекает горизонтальный стержень а. Каков будет ответ, если они не
пересекаются?
278. В каком положении будет находиться груз массы М на
стержне, если всему прибору, описанному в задаче 276 (рис. 63), сооб-
сообщить вращение с угловой скоростью и, а затем отсоединить прибор от
привода центробежной машины? Бу-
М а дет ли у груза устойчивое положе-
==Ц—^ ^ f: | ние на стержне? Моментом инерции
прибора по сравнению с моментом
инерции груза массы М можно пре-
пренебречь. Трения в подшипниках при-
прибора не учитывать.
279. Каково может быть положе-
положение груза массы М в предыдущей
задаче, если моментом инерции Iq са-
самого прибора нельзя пренебрегать?
280. В приборе, аналогичном опи-
описанному в задаче 276, на стержень
насажены по одну сторону от оси вра-
вращения два груза с массами т\ и Ш2,
соединенные нитью длины /. Ближай-
Ближайший к оси груз массы тп\ соединен
нитью длины R с осью вращения. Определить натяжение нитей, если
угловая скорость и вращения машины известна.
281. На приборе, описанном в задаче 276, вместо тела массы га
к нити прикреплена пружина, другой конец которой закреплен непо-
неподвижно. Каковы должны быть свойства пружины, чтобы тело массы М
при вращении машины с угловой скоростью uj могло находиться в рав-
равновесии на любом расстоянии от оси вращения? Когда тело массы М
находится у оси вращения, пружина не натянута.
282. На приборе, описанном в задаче 276, груз массы М = 100 г,
находящийся на стержне, соединен пружиной с осью. Каков коэффи-
коэффициент жесткости к пружины, если известно, что при угловой скорости
вращения и = 120 об/мин она растянулась на 50% первоначальной
длины?
Рис. 63
§ 6. Динамика движения материальной точки по окружности
47
Рис. 64
283. Шарик массы т подвешен на идеальной пружине жестко-
жесткости к и начальной длины / над центром платформы центробежной
машины (рис. 64). Затем шарик начинает вращать-
вращаться вместе с машиной с угловой скоростью и. Какой
угол а образует при этом пружина с вертикалью?
284. В приборе, изображенном на рис. 65, тре-
треугольник CDE вращается вокруг вертикальной
оси АВ с угловой скоростью и. По стержню CD,
представляющему гипотенузу треугольника, может
скользить без трения муфточка К. В каком поло-
положении будет находиться муфточка?
285. Металлическое кольцо, подвешенное на
нити к оси центробежной машины, как указано на
рис. 66, равномерно вращается с угловой скоростью и. Нить составляет
угол а с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.
286. Однородный стержень длины / равномерно вращается вокруг
свободной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его
центр. Какова должна быть угловая скорость вращения ш, при которой
стержень еще не разрывается под действием внутренних напряжений,
возникающих в нем при вращении? Максимальная сила натяжения,
отнесенная к единице площади поперечного сечения стержня, равна Т.
Объемная плотность материала стержня равна р.
287. Жесткие стержни образуют равнобед-
I В ренный прямоугольный треугольник, который
1? _! D вращается с постоянной угловой скоростью и
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
вокруг вертикального катета АВ (рис. 67). На стержень АС надета
и скользит без трения муфта массы т. Муфта связана пружиной
жесткости к с вершиной А треугольника, имеющей в нерастянутом
состоянии длину /. Определить, при каком значении и муфта будет
в равновесии при недеформированной пружине? Будет ли это равнове-
равновесие устойчивым?
48
Задачи
288. Доска качелей с сидящими на ней людьми весит Р. Какое
наибольшее натяжение Т будут испытывать веревки, если отвести
качели на 45° от положения равновесия и предоставить им качаться?
289. На закруглениях железнодорожного пути наружный рельс
делают немного приподнятым по сравнению с внутренним. Объяснить,
для чего это делается, и дать расчет необходимого угла наклона по-
полотна.
290. В качестве аттракциона иногда устраивают комнату, враща-
вращающуюся вокруг вертикальной оси. Пол такой комнаты имеет вогну-
вогнутую форму. Во время вращения все находящиеся в комнате предметы
и люди стоят на этом полу, как
на плоском, устойчиво и нормально
I к его поверхности. Определить фор-
му пола, если угловая скорость вра-
вращения комнаты равна и.
291. На нити длиной L, при-
привязанной одним концом к штифту
в точке О, подвешен как отвес ма-
маленький шарик (рис. 68). Отвес от-
отводят вправо, в горизонтальное поло-
положение / и затем отпускают. В точ-
точке В, расположенной на расстоя-
расстоянии L/2 от точки О, имеется гвоздь,
рис gg за который задевает нить возвратив-
возвратившегося в вертикальное положение 2
отвеса. Найти: 1) какой угол а с вертикалью будет составлять направ-
направление нити отвеса в положении 3 в тот момент, когда ее натяжение
обратится в нуль; 2) какой будет скорость шарика v отвеса в этой точке
его траектории; 3) какой геометрической кривой будет траектория
шарика после того, как сила натяжения нити обратится в нуль?
292. Суточное вращение Земли приводит к отклонению артилле-
артиллерийских снарядов и ружейных пуль от начального направления вы-
выстрела, заданного в горизонтальной плоскости по земным ориенти-
ориентирам. Рассчитать величину поперечного смещения х пули, выпущенной
в плоскости меридиана по горизонтальному направлению, за первую
секунду ее полета. Выстрел произведен на широте Москвы E5°45Х),
начальная скорость пули 1000 м/с. Указать, в какую сторону откло-
отклонится пуля, если в момент выстрела ствол ружья был направлен на
юг. Силу сопротивления воздуха полету пули не учитывать. Решить
задачу в системе отсчета, связанной с Землей.
293. Из орудия, установленного в точке земной поверхности с гео-
географической широтой (р = 30°, производится выстрел в направлении
на восток. Начальная скорость снаряда ^о = 500 м/с, угол вылета
снаряда (т. е. угол наклона касательной в начальной точке траектории
к плоскости горизонта) а = 60°. Пренебрегая сопротивлением воздуха
и учитывая вращение Земли, определить приближенно отклонение у
§ 6. Динамика движения материальной точки по окружности 49
точки падения снаряда от плоскости стрельбы. Какое это будет от-
отклонение: к югу или к северу? (Плоскостью стрельбы называется
плоскость, проходящая через направление касательной в начальной
точке траектории и направление отвеса в той же точке.)
294. На 60° с. ш. паровоз массой в 100 т идет с юга на север со
скоростью v = 72 км/ч по железнодорожному пути, проложенному по
меридиану. Найти величину и направление той силы, с которой паровоз
действует на рельсы в направлении, перпендикулярном к ходу поезда.
295. На 60° с. ш. паровоз массой в 100 т идет с запада на восток
со скоростью v = 72 км/ч по железнодорожному пути, проложенному
вдоль географической параллели данной местности. Найти величину
и направление вертикальной и горизонтальной компонент кориолисо-
вой силы, действующей на паровоз.
296. Пароход движется на восток вдоль параллели с географиче-
географической широтой ip = 60°. Скорость парохода v = 10 м/с. Определить вес
тела Р на пароходе, если взвешивание производится на пружинных
весах. Вес того же тела, неподвижного относительно Земли, в той же
точке земной поверхности равен Pq.
297. На экваторе на рельсах стоит пушка. Рельсы направлены
с запада на восток, и пушка может двигаться по ним без трения.
Пушка стреляет вертикально вверх. Какую скорость vq будет иметь
пушка после выстрела? Куда будет направлена эта скорость? Масса
пушки М, масса снаряда га, длина ствола I. Считать, что снаряд
движется в стволе с постоянным ускорением а.
298. На сколько будут отличаться конечные скорости разбега са-
самолета, если самолет взлетает на экваторе, причем один раз его разбег
производится с запада на восток, а второй раз с востока на запад.
Подъемная сила, действующая на крылья самолета, пропорциональна
квадрату его скорости относительно Земли. Необходимая конечная
скорость разбега самолета вдоль меридиана равна vo.
299. Методом последовательных приближений получить законы
свободного падения тел в поле тяжести Земли с учетом ее вращения.
Движение рассматривать в системе отсчета, в которой Земля непо-
неподвижна.
300. Вращение Земли приводит к отклонению свободно падающих
тел (без начальной скорости) от направления отвеса. В какую сторону
направлено это отклонение и чему равна его величина? Провести
решение задачи в системе отсчета, связанной с Землей.
301. Вычислить восточное и экваториальное отклонения свободно
падающего тела (без начальной скорости) для широты Москвы (<р =
= 56°), если высота падения h = 100 м, 500 м, 1000 м, 2000 м.
302. Провести решение предыдущей задачи в системе отсчета,
связанной не с вращающейся Землей, а с Солнцем и звездами. Ре-
Рекомендуется воспользоваться двумя методами: 1) непосредственным
применением к падающему телу законов Ньютона, 2) применением
к падающему телу закона сохранения момента количества движения.
50 Задачи
303. Из ружья произведен выстрел строго вверх (т. е. параллельно
линии отвеса). Начальная скорость пули vq = 100м/с, географическая
широта места (р = 60°. Учитывая осевое вращение Земли, определить
приближенно, насколько восточнее или западнее от места выстрела
упадет пуля. Сопротивление воздуха движению пули не принимать во
внимание.
304. Под каким углом а к вертикали надо произвести выстрел
вверх, чтобы пуля упала обратно в точку, из. которой был произведен
выстрел? Использовать данные предыдущей задачи.
305. Вращение Земли вызывает отклонение поверхности воды в ре-
реках от горизонтального положения. Рассчитать наклон поверхности
воды в реке к горизонту на широте ср. Река течет с севера на юг.
306. В чем ошибочность следующего рассуждения: пусть А и В —
две неподвижные материальные точки, расстояние между которыми
равно г. Состояние покоя точки В можно рассматривать как результат
сложения двух вращений с одинаковыми, но противоположно направ-
направленными постоянными угловыми скоростями: -\-и> и — uj. При первом
вращении возникает центростремительное ускорение ai = u;2r, при вто-
втором — центростремительное ускорение &% = (—^Jг = ио2г = г.\. Резуль-
Результирующее ускорение точки В равно а = ai + а2 = 2u;2r. Следовательно,
точка А действует на точку В с силой притяжения F = 2тио2г, где т —
масса точки В. Поскольку ио — величина произвольная, получается
абсурдный результат, что точки А и В притягиваются друг к другу
с произвольной, наперед заданной силой.
307. Стрелок и мишень находятся в диаметрально противополож-
противоположных точках карусели радиуса R = 5 м, равномерно вращающейся во-
вокруг вертикальной оси. Период вращения карусели Т = 10 с, скорость
пули v = 300 м/с. Пренебрегая максимальной линейной скоростью вра-
вращающейся карусели uoR по сравнению со скоростью пули, определить
приближенно, под каким углом а к диаметру карусели должен целить-
целиться стрелок, чтобы поразить мишень. Задачу рассмотреть как с точки
зрения вращающейся, так и с точки зрения неподвижной системы,
и сравнить результаты.
308. В диаметрально противоположных точках карусели диаметра
D = 20 м, вращающейся с постоянным угловым ускорением Со, распо-
расположены стрелок в точке С и мишень М. Стрелок целится в мишень,
не вводя поправки на вращение карусели. Каково должно быть уг-
угловое ускорение карусели Со, чтобы при этих условиях пуля попала
в цель, если в момент выстрела угловая скорость карусели была
иоо = 1 рад/мин, а скорость пули vq = 200 м/с. Стрелок и условия
стрельбы предполагаются идеальными. Влиянием центробежной силы
пренебречь.
309. Представим себе, что в земном шаре просверлен канал по
диаметру в плоскости экватора. Вычислить силу F, с которой будет
давить на стенку канала тело, падающее по нему с поверхности Земли,
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 51
в тот момент, когда оно достигнет центра Земли. Считать, что трения
нет, а плотность Земли однородна.
310. Велосипедное колесо радиуса R вращается в горизонтальной
плоскости вокруг своего центра. По спице колеса без трения может
двигаться шарик. В начальный момент времени шарик находился у
обода колеса. Какую начальную скорость vq следует сообщить шарику
в радиальном направлении, чтобы он мог достигнуть оси вращения?
Угловая скорость вращения ио поддерживается постоянной.
311. Один из маятников Фуко установлен в Ленинграде в Исаа-
киевском соборе. Длина маятника / = 98 м, линейная амплитуда коле-
колебаний шара маятника (т. е. наибольшее отклонение его из положения
равновесия) % = 5 м. Маятник отпускался из крайнего положения без
начального толчка. Определить боковое отклонение шара маятника
от положения равновесия в момент прохождения его через среднее
положение. Географическая широта Ленинграда (р = 60°.
312. Для создания искусственной тяжести на космическом корабле,
обращающемся вокруг Земли по круговой орбите, было предложено
ускорять корабль до скорости v, превышающей первую космическую
скорость. Для удержания корабля на круговой орбите при такой скоро-
скорости включается двигатель, сообщающий кораблю ускорение, нормаль-
нормальное к траектории корабля. При какой скорости v космонавт на корабле
будет испытывать такую же «тяжесть», что и на Земле? Подсчитать
расход топлива, который требуется для выведения корабля на круговую
орбиту и последующего (однократного) облета по ней вокруг земного
шара в этих условиях. Скорость газовой струи (относительно корабля)
и = 3 км/с. Считать, что орбита проходит недалеко от поверхности
Земли, и пренебречь изменением ускорения свободного падения g
с высотой.
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
313. Найти ускорение грузов и натяжение нитей на машине, изоб-
изображенной на рис. 69, учитывая момент инерции / вращающегося
блока, при условии, что нить не скользит по блоку. Определить усилие
в подвеске А, если масса блока равна М.
314. Однородный цилиндр массы М и радиуса R (рис. 70) вращает-
вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием веса груза Р,
прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр. Найти угол (р
поворота цилиндра в зависимости от времени, если при t = 0 (р = 0.
315. Представьте себе, что груз Р (см. предыдущую задачу) состо-
состоит из двух одинаковых частей, связанных нитью. Определить натяже-
натяжение этой нити Т.
316. На ступенчатый цилиндрический блок намотаны в противопо-
противоположных направлениях две легкие нити, нагруженные массами т\ и ni2
(рис. 71). Найти угловое ускорение блока и натяжения Т\ и Т^ нитей,
учитывая момент инерции / блока.
52
Задачи
317. Модель ворота укреплена на одной чашке весов (рис. 72).
На ворот с моментом инерции / намотана нить с грузиком массы т.
\т2
\т\
Рис. 69
Рис. 70
Рис. 71
Весы уравновешены, когда ворот заторможен, и нить не разматывается.
Насколько следует изменить вес гирь на другой чашке весов для того,
чтобы восстановить равновесие, когда ворот вращается под действием
опускающегося вниз гру-
грузика?
318. При каких усло-
условиях наступит равновесие
весов прибора, описанно-
|2г го в предыдущей задаче,
в том случае, когда гру-
грузик на модели ворота под-
поднимается вверх вследствие
инерции раскрутившегося
маховичка?
319. Схема демонстра-
демонстрационного прибора (диск
Максвелла) изображена на
рис. 73. На валик радиусом г наглухо насажен сплошной диск ра-
радиуса R и массы М. Валик и диск сделаны из одного материала,
причем выступающие из диска части оси имеют массу т. К валику
прикреплены нити одинаковой длины, при помощи которых прибор
подвешивается к штативу. На валик симметрично наматываются нити
в один ряд, благодаря чему диск поднимается, а затем предоставляют
диску свободно опускаться. Найти ускорение, с которым опускается
диск.
320. Подсчитать ускорение а, с которым будет опускаться диск,
описанный в предыдущей задаче, если к стержню, свободно (без тре-
Рис. 72
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
53
ния) проходящему через отверстие внутри валика, на нитях подвешено
тело массы т = 314 г (рис. 74). Размеры диска указаны на рисунке,
Диск
2R
Рис. 73
Валик
Рис. 74
диск и валик сделаны из стали (плотность 8 г/см3). Весом нитей и оси
пренебречь.
321. На горизонтальную неподвижную ось насажен блок, представ-
представляющий собой сплошной цилиндр массы М. Через него перекинута
невесомая веревка, на концах которой висят две обезьяны массой т
каждая. Первая обезьяна начинает подниматься с ускорением а от-
относительно веревки. Определить, с каким ускорением относительно
неподвижной системы координат будет двигаться вторая обезьяна.
322. Автомобиль трогается с места с постоянным ускорением а.
Одна из дверок автомобиля открыта и ее плоскость составляет угол
90° с кузовом автомобиля (рис. 75). За какой промежуток времени Т
дверка закроется? Центр масс дверки находится на расстоянии d от
петель дверки автомобиля.
323. С каким ускорением а будет опускаться катушка с массой М
и моментом инерции / относительно оси симметрии, если она подве-
подвешена аналогично диску с валиком в задаче 319 (рис. 76). На катушку
намотаны еще две нити, к которым подвешен груз массы т. Опреде-
Определить натяжения нитей.
Рис. 75
Рис. 76
54
Задачи
Рис. 77
324. Найти ускорения, с которыми будут опускаться центры двух
одинаковых дисков прибора, описанного в задаче 319, если один под-
подвешен к другому так, как указано на рис. 77.
Момент инерции диска и валика относитель-
относительно оси диска равен /, масса диска и валика га,
радиус валика, на который намотана нить, г.
325. По наклонной плоскости, образую-
образующей угол а с горизонтом, скатывается без
скольжения сплошной однородный диск. Най-
Найти линейное ускорение а центра диска.
326. Найти ускорение а центра однород-
однородного шара, скатывающегося без скольжения
по наклонной плоскости, образующей угол а
с горизонтом. Чему равна сила трения сцеп-
сцепления шара и плоскости?
327. Найти кинетическую энергию К ка-
катящегося без скольжения обруча массы М,
толщину которого можно считать очень малой
по сравнению с его радиусом.
328. По наклонной плоскости, составля-
составляющей с горизонтом угол а = 30°, скатыва-
скатывается без скольжения сплошной однородный
цилиндр, масса которого равна 300 г. Найти величину силы трения
цилиндра о плоскость.
329. Какова должна быть величина коэффициента трения к, чтобы
однородный цилиндр скатывался без скольжения с наклонной плоско-
плоскости, образующей угол а с горизонтом?
330. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают
скатываться сплошные цилиндр и шар одинаковых радиусов. 1) Какое
тело будет иметь большую ско-
скорость на данном уровне? 2) Во
сколько раз? 3) Во сколько раз
скорость одного будет больше
скорости другого в данный мо-
момент времени?
331. Какая из форм конца ва-
вала, изображенных на рис. 78, вы-
выгоднее (при равных силах давле-
давления на опору и скоростях враще-
вращения) с точки зрения уменьшения потерь на трение при вращении вала
в опорном подшипнике. Трением о боковые стенки можно пренебречь.
332. К тележке, стоящей на горизонтальной плоскости, привязана
нить, перекинутая через блок, укрепленный у края стола; к концу нити
прикреплен груз массы газ = 500 г. Определить ускорение тележки а,
если известно, что масса платформы тележки т\ = 1,4 кг, масса каж-
каждого колеса rri2 = 400 г и колеса представляют собой сплошные диски.
Рис. 78
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
55
Колеса катятся по поверхности стола без скольжения, а трение качения
отсутствует.
333. На горизонтальной плоскости лежит катушка ниток. С каким
ускорением а будет двигаться ось катушки, если тянуть за нитку
Рис. 79
с силой F (рис. 79)? Каким образом надо тянуть за нитку, чтобы
катушка двигалась в сторону натянутой нитки? Катушка движется
по поверхности стола без скольжения.
Найти силу трения между катушкой Щ
и столом. *~~ I j |
334. На шероховатой доске на рас- а0 ^ ^
стоянии / от ее правого конца находит-
находится СПЛОШНОЙ ЦИЛИНДР (рИС. 80). ДОС- рис gQ
ку начинают двигать с ускорением ciq
влево. С какой скоростью относительно доски будет двигаться центр
цилиндра в тот момент, когда он будет находиться над краем доски?
Движение цилиндра относительно
доски происходит без скольжения.
335. Каток состоит из сплошного
цилиндра радиуса R массы М\ и ра-
рамы массы М.2 (рис. 81). К раме катка
нитью привязана масса М3. Всю эту
систему пускают с наклонной плоско-
плоскости, образующей угол а с горизонтом.
Найти ускорение системы а, если из-
известен коэффициент трения к тела Мз
о плоскость. (Каток скатывается без
Рис. 81
скольжения.) Как следует расположить всю систему — массу Мз впе-
впереди и каток позади (как указано на рисунке), или наоборот, чтобы
при движении нить была натянута?
336. Какое максимальное ускорение может развить автомобиль
с задней ведущей осью, если коэффициент сцепления (трения покоя)
колес с дорогой к, расстояние между осями автомобиля /, высота
56
Задачи
центра массы автомобиля над дорогой — /г, и он расположен посередине
колесной базы (рис. 82)?
337. Однородный тонкий тяжелый стержень длины / висит на
горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Какую
начальную угловую скорость и надо
сообщить стержню, чтобы он повер-
повернулся на 90°?
338. Найти момент количества
движения Земли L относительно
ее полярной оси. Считать Землю
правильным шаром радиуса R =
= 6000 км, имеющим плотность d =
= 5, 5 г/см3.
Рис. 82
-, А
339. Какой момент сил следует приложить к Земле, чтобы ее
вращение остановилось через 100000000 лет (год — 366,25 «звездных»
суток)?
340. На краю свободно вращающегося достаточно большого гори-
горизонтального диска, имеющего радиус R и момент инерции /, стоит
человек массы т. Диск совершает п об/мин. Как изменится скорость
вращения диска, если человек перейдет от края диска к центру? Как
изменится при этом энергия системы? Размерами человека по сравне-
сравнению с радиусом диска можно пренебречь.
341. На покоящемся однородном горизонтальном диске массы М
и радиуса R находится человек массы т. Диск может вращаться
без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр.
В некоторый момент человек начал двигаться.
С какой угловой скоростью и вращается диск,
когда человек идет по окружности радиуса г, кон-
концентричной диску, со скоростью v относительно
диска?
342. Экспериментатор стоит на специальной
табуретке и держит в руках вертикальную ось
свободно вращающегося колеса, имеющего момент
инерции 1\ относительно этой оси АА (рис. 83).
Колесо вращается в горизонтальной плоскости
с угловой скоростью ио\. Табуретка устроена так,
что она может свободно вращаться вокруг верти-
вертикальной оси, т. е. представляет собой так назы-
называемую скамью Жуковского. Момент инерции та-
табуретки и экспериментатора вокруг вертикальной
оси равен 1^. Ось колеса и ось табуретки лежат
на одной прямой. На какую величину АЕК изменится кинетическая
энергия Ек всей системы табуретки и колеса, если экспериментатор
повернет ось колеса на 180°, на 90°?
343. Монета массы т и радиуса г, вращаясь в горизонтальной
плоскости вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью со,
г
А
Рис. 83
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы 57
вертикально падает на горизонтальный диск и «прилипает» к нему.
В результате диск приходит во вращение вокруг своей оси. Возникаю-
Возникающий при этом момент сил трения в оси диска постоянен и равен Mq.
Через какое время вращение диска прекратится? Сколько оборотов N
сделает диск до полной остановки? Момент инерции диска относитель-
относительно его геометрической оси /q. Расстояние между осями диска и монеты
равно d.
344. Сплошной однородный короткий цилиндр радиуса г, вращаю-
вращающийся вокруг своей геометрической оси со скоростью п об/с, ставят
в вертикальном положении на горизонтальную поверхность. Сколько
оборотов N сделает цилиндр, прежде чем вращение его полностью пре-
прекратится? Коэффициент трения скольжения между основанием цилин-
цилиндра и поверхностью, на которую он поставлен, не зависит от скорости
вращения и равен к.
345. На горизонтальный диск, вращающийся вокруг геометриче-
геометрической оси с угловой скоростью lj\, падает другой диск, вращающийся
вокруг той же оси с угловой скоростью UJ2- Моменты инерции дисков
относительно указанной оси равны соответственно 1\ и 1%. Оба диска
при ударе сцепляются друг с другом (при помощи острых шипов на
их поверхностях). На сколько изменится общая кинетическая энергия
вращения системы после паде-
падения второго диска? Чем объяс-
объясняется изменение энергии? Гео-
Геометрические оси обоих дисков
являются продолжением одна
другой.
346. Шкивы двух махови-
маховиков соединены ремнем (рис. 84). р ~.
Радиусы шкивов равны R\ и R^.
Моменты инерции маховиков относительно их геометрических осей
равны 1\ и /2. Удерживая второй маховик и ремень неподвижными,
раскручивают первый маховик до угловой скорости ooq, вследствие
чего между осью первого маховика и ремнем возникает скольжение.
Затем ремень и второй маховик отпускают. Пренебрегая всеми силами
трения, за исключением сил трения сколь-
Гш жения между ремнем и осями маховиков,
w найти установившиеся скорости вращения
I ==1 маховиков ш\ и uj^, т.е. скорости после
прекращения скольжения. Найти также по-
потерю АК кинетической энергии на трение
скольжения. Массой ремня пренебречь.
347. Почему в предыдущей задаче пол-
1 j В ный момент количества движения системы
не сохраняется?
348. Однородный диск А массы М\
Рис. 85 и радиуса г\ (рис. 85) раскручен до угловой
58 Задачи
скорости ujq и приведен в контакт с диском В, ось вращения которого
перпендикулярна к оси диска А. Масса диска В равна М^, а рассто-
расстояние между точкой соприкосновения и осью диска А равно а. Найти
установившиеся угловые скорости дисков ио\ и ио^ и потерю энергии
в процессе установления. Трением в осях, а также трением качения
пренебречь.
349. Метеорит массы т = 105т, двигавшийся со скоростью v =
= 50 км/с, ударился о Землю на широте (р = 60°. Вся его кинетическая
энергия перешла в тепловую (внутреннюю) энергию, а сам он испарил-
испарился. Какое максимальное влияние мог оказать удар такого метеорита на
продолжительность суток?
350. Оценить, с какой минимальной скоростью v нужно выпустить
на экваторе Земли снаряд массы т = 1000 т, чтобы изменить продол-
продолжительность земных суток на AT = 1 мин?
351. Пульсарами называются небесные объекты, посылающие им-
импульсы радиоизлучения, следующие друг за другом с высокостабиль-
высокостабильными периодами, которые для известных к настоящему времени пуль-
пульсаров лежат в пределах примерно от 3 • 10~2 до 4 с. Согласно современ-
современным представлениям пульсары представляют собой вращающиеся ней-
нейтронные звезды, образовавшиеся в результате гравитационного сжатия.
Нейтронные звезды подобны гигантским атомным ядрам, построенным
из одних только нейтронов. Плотность вещества р в нейтронной звезде
не однородна, но при грубых оценках ее можно считать одной и той
же по всему объему звезды и по порядку величины равной 1014г/см3.
Оценить период вращения Т, с каким стало бы вращаться Солнце,
если бы оно превратилось в нейтронную звезду. Плотность вещества
Солнца возрастает к его центру, а различные слои его вращаются с раз-
различными скоростями. При оценке этими обстоятельствами пренебречь
и считать, что средняя плотность солнечного вещества ро = 1,41 г/см3,
а период вращения Солнца То = 2,2 • 106 с.
352. Тонкий стержень длины 21 и массы т подвешен за середину
к нижнему концу длинной вертикально висящей проволоки, верхний
конец которой закреплен. На стержне укреплены два одинаковых
сплошных шара радиуса R и массы М, каждый таким
образом, что центры шаров оказались на концах стерж-
стержня. Система закручена на некоторый угол и предоставле-
предоставлена самой себе. Предполагая, что возникающий при этом
вращающий момент пропорционален углу кручения а,
выразить угловое ускорение duo/dt в зависимости от
угла а и параметров системы.
353. Тонкий стержень массы т и длины L (рис. 86)
подвешен за один конец и может вращаться без трения
вокруг горизонтальной оси. К той же оси подвешен на
нити длины / шарик такой же массы т. Шарик от-
Рис. 86 клоняется на некоторый угол и отпускается. При какой
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
59
М
Рис. 87
длине нити шарик после удара о стержень остановится? Считать удар
абсолютно упругим.
354. Математический маятник массы т и стержень массы М
(рис. 87) подвешены к одной и той же точке А, вокруг которой они мо-
могут свободно колебаться. Длина нити маят-
маятника равна длине стержня. Шарик маятни-
маятника отклоняют в сторону, так что он припод-
приподнимается на высоту h относительно своего
нижнего положения. Затем шарик отпуска-
отпускают, и он сталкивается неупруго со стержнем.
Как будут двигаться шарик и нижний конец
стержня после удара и на какие высоты они
поднимутся?
355. Решить предыдущую задачу в пред-
предположении, что до удара был отклонен стер-
стержень (нижний конец его был поднят на вы-
высоту К).
356. Твердый стержень длины / и массы М может вращаться
вокруг горизонтальной оси А, проходящей через его конец (рис. 88).
К той же оси А подвешен математический
^ М маятник такой же длины / и массы т. Пер-
^ воначально стержень занимает горизонтальное
положение, а затем отпускается. В нижнем по-
положении происходит идеально упругий удар,
в результате которого шарик и стержень дефор-
деформируются, и часть кинетической энергии пере-
переходит в потенциальную энергию деформации.
Затем деформация уменьшается, и запасенная
потенциальная энергия вновь переходит в кине-
кинетическую. Найти значение потенциальной энер-
гии деформации U в момент, когда она макси-
максимальна.
357. Вертикально висящая однородная доска длины L = 1,5 м
и массы М = 10 кг может вращаться вокруг горизонтальной оси, про-
проходящей через ее верхний конец. В нижний конец доски ударяет пуля,
летящая горизонтально с начальной скоростью Vo =
= 600 м/с. Пуля пробивает доску и летит далее со
скоростью V. Определить скорость V, если после вы-
выстрела доска стала колебаться с угловой амплитудой
а = 0, 1 рад. Масса пули га = Юг.
358. В общей точке подвеса А (рис. 89) подвеше-
подвешены шарик на нити длины / и однородный стержень
длины L, отклоненный в сторону на некоторый угол.
При возвращении стержня в положение равновесия
происходит упругий удар. При каком соотношении
между массами стержня М и шарика га шарик и точка
О
Рис. 88
Рис.;
60
Задачи
удара стержня будут двигаться после удара с равными скоростями
в противоположных направлениях? При каком соотношении между
массами Мит описанный процесс невозможен?
359. Каким участком сабли следует рубить лозу, чтобы рука не
чувствовала удара? Саблю считать однородной пластинкой.
360. Однородная тонкая квадратная пластинка массы гао может
свободно вращаться вокруг вертикальной оси (рис. 90). В точку А,
находящуюся на расстоя-
расстоянии %а от оси> нормаль-
нормально к пластинке ударяется
шар с массой га, летев-
летевший со скоростью v. Как
будут двигаться пластинка
и шар после соударения,
которое происходит по за-
закону упругого удара?
361. Однородный сос-
сосновый брус с массой М
(плотность 0,5 г/см3), раз-
размеры которого указаны на
рис. 91, может свободно
вращаться около оси АВ.
В точку О бруса ударя-
ударяет горизонтально летящее
ядро массы га = 10 кг. Ка-
Какова скорость ядра v, если брус отклонился на угол ср = 28°, а ядро
упало на месте удара?
362. Стержень массы М и длины /, который может свободно
вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через
один из его концов, под действием силы тяжести переходит из гори-
горизонтального положения в вертикальное (рис. 92). Проходя через вер-
вертикальное положение, нижний конец стержня
упруго ударяет о малое тело массы га, лежащее
на гладком горизонтальном столе. Определить
скорость тела га после удара.
363. Воспользовавшись условием задачи
362, определить, на какое расстояние S переме-
переместится тело га после удара, если коэффициент
трения между телом и столом равен к и не за-
зависит от скорости. Стержень после удара оста-
остановился. Тело скользит по столу без вращения.
364. На гладком горизонтальном стержне,
вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоро-
скоростью и = 40тг с, около оси находится закрепленная неподвижно
муфта массы га = 100 г.
Рис. 90
Рис. 91
Л/
Рис. 92
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
61
'гор
В некоторый момент муфту отпускают, и она скользит без трения
вдоль стержня. Какой момент сил М должен быть приложен к стержню
для того, чтобы он продолжал равномерное вращение? Найти расстоя-
расстояние х муфты от оси в любой момент времени t. В начальный момент
центр тяжести муфты находится на расстоянии ао = 2 см от оси.
365. На полюсе установлена пушка, ствол которой направлен го-
горизонтально вдоль меридиана и может свободно вращаться вокруг
вертикальной оси, проходящей через замок орудия. С какой угловой
скоростью относительно Земли будет вращаться ствол пушки после
выстрела? Считать, что в начальный момент времени снаряд находится
на оси вращения и движется внутри ствола при выстреле с постоянным
ускорением а. Масса пушки (М = 1000 кг) значительно больше массы
снаряда (га = 10кг). Длина ствола значительно больше его диаметра.
366. Вертикальный столб высотой / под-
подпиливается у основания и падает на землю,
поворачиваясь вокруг нижнего основания.
Определить линейную скорость его верхнего
конца в момент удара о землю. Какая точка
столба будет в этот момент иметь ту же
скорость, какую имело бы тело, падая с той ,
же высоты, как и данная точка? '
367. Однородный стержень массы т
и длины / (рис. 93) падает без начальной
скорости из положения /, вращаясь без тре-
трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Найти горизонтальную
^ГОр и вертикальную FBepT составляющие силы, с которыми ось О
действует на стержень в горизонтальном положении 2.
368. Абсолютно твердая однородная балка веса Р и длины L ле-
лежит на двух абсолютно твердых симметрично расположенных опорах,
расстояние между которыми равно I
(рис. 94). Одну из опор выбивают. Най-
Найти начальное значение силы давления F,
действующей на оставшуюся опору. Рас-
Рассмотреть частный случай, когда I = L. По-
Почему при выбивании опоры сила F меня-
меняется скачком?
369. Гимнаст на перекладине выпол-
выполняет большой оборот из стойки на ру-
ках> т- е- вращается, не сгибаясь, вокруг
перекладины под действием собственного
веса. Оценить приближенно наибольшую нагрузку F на его руки,
пренебрегая трением ладоней о перекладину.
370. Человек на аттракционе «гигантские шаги» движется по за-
замкнутой траектории таким образом, что достигаемая им высота от-
относительно положения равновесия меняется в пределах от /гмин до
^макс- Определить максимальную и минимальную скорости человека
рис
J
У
F
Л
L
1
' Р
i
/
„F
Л
рис 94
62
Задачи
Рис. 95
при таком движении, если длина веревки, на которой он удерживается,
равна I.
371. По внутренней поверхности конической воронки, стоящей
вертикально, без трения скользит маленький шарик (рис. 95). В на-
начальный момент шарик находился на высоте ho,
а скорость его vq была горизонтальна. Найти vq,
если известно, что при дальнейшем движении ша-
шарик поднимается до высоты h, а затем начинает
опускаться. Найти также скорость шарика в наи-
наивысшем положении v.
372. Тяжелая веревка (линейная плотность р)
длины L перекинута через блок с моментом инер-
инерции / и радиусом г. В начальный момент блок
неподвижен, а больший из свешивающихся кон-
концов веревки имеет длину /. Найти угловую ско-
скорость вращения блока и, когда веревка соскользнет
с него. Веревка движется по блоку без скольжения, трение в оси блока
не учитывать.
373. На двух параллельных горизонтальных брусьях лежит сплош-
сплошной цилиндр радиуса R и массы т, на который намотана веревка.
К опущенному вниз концу веревки приложена вертикальная сила F,
равная половине веса цилиндра (рис. 96). Найти горизонтальное уско-
ускорение цилиндра и минимальное значение коэффициента трения между
цилиндром и брусьями, при котором будет происходить качение без
скольжения. Ось цилиндра перпендикулярна к брусьям, центр его масс
и сила F лежат в вертикальной плоскости, проходящей посередине
между брусьями.
374. К концу веревки, намотанной на цилиндр (см. условие за-
задачи 373) привязан груз массы М. Веревка переброшена через блок,
как показано на рис. 97. Определить ускорение груза М. Выяснить
М\
Рис. 96
Рис. 97
условия, при которых качение цилиндра будет происходить со сколь-
скольжением. Весом веревки и блока, а также силами трения на оси блока
можно пренебречь. Считать, что во всех случаях движение цилиндра
будет плоскопараллельным.
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
63
375. Обруч радиуса г свободно скатывается с вершины неподвиж-
неподвижной цилиндрической поверхности радиуса R > г (рис. 98). В какой
точке поверхности начнется скольжение обруча? Коэффициент трения
между обручем и поверхностью к = 0, 5.
N
Рис. 98
Рис. 99
376. Два катка, связанные штангой S, скатываются без скольжения
с наклонной плоскости, образующей угол в 30° с горизонтом (рис. 99).
Катки имеют одинаковые массы т = 5 кг и одинаковые радиусы R =
= 5 см, момент инерции первого 1\ = 80кг • см2, второго 1^ = 40кг • см2.
Массами рам катков и штанги можно пренебречь. Подсчитать угловое
ускорение, с которым катки скатываются без скольжения с наклон-
наклонной плоскости. Определить силу, передаваемую штангой, если каток
с большим моментом инерции движется впереди, и наоборот.
377. На подставке, имеющей массу mi, укреплена ось, на которой
может свободно вращаться цилиндр радиуса R и массы газ. Нить, на-
намотанная на цилиндр, прикреплена к телу массы т^. Определить уско-
ускорения масс т\ и ТП2 и цилиндра при следующих условиях: 1) к массе
ТП2 приложена горизонтальная сила F (рис. 100) и сил трения нет;
2) те же условия, но при наличии сил трения между плоскостью и те-
пъ Ь-
Рис. 100
лами масс т\ и тп^. Трением в оси цилиндра пренебречь; 3) к веревке
в точке А приложена горизонтальная сила F, масса тп^ убрана; опре-
определить ускорения массы тп\ и цилиндра. Движение всех тел считать
плоским.
378. Когда диск Максвелла достигает нижнего положения, он на-
начинает подниматься вверх, сообщая «рывок» нитям. С каким ускоре-
ускорением поднимается диск? Найти натяжение нити во время опускания
64
Задачи
М
Рис. 101
и поднятия диска, а также оценить приближенно натяжение нити во
время рывка. Масса диска М = 1кг, его радиус R = 10 см, радиус
валика г = 0,5 см. Массой валика, а также
растяжением нити во время рывка пренебречь.
Предполагается, что вначале диск был подве-
подвешен на длинных нитях, причем длина намотан-
намотанной части каждой нити равна / = 50 см.
379. К шкиву креста Обербека (рис. 101)
прикреплена нить, к которой подвешен груз
массы М = 1 кг. Груз опускается с высоты h =
= 1 м до нижнего положения, а затем начина-
начинает подниматься вверх. В это время происхо-
происходит «рывок», т.е. увеличение натяжения нити.
Найти натяжение нити Т при опускании или
поднятии груза, а также оценить приближенно
натяжение во время рывка Трыв. Радиус шкива
г = Зсм. На кресте укреплены четыре груза
с массой га = 250 г каждый на расстоянии R = 30 см от его оси.
Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению
с моментом инерции грузов. Растяжение
нити во время рывка не учитывать.
380. Определить ускорение а центра
шарика, скатывающегося без скольже-
скольжения по наклонному желобу, образующе-
образующему угол а с горизонтом. Форма попе-
поперечных сечений желоба изображена на
рис. 102.
381. С какой высоты Н должен ска-
скатиться по наклонному желобу шарик
с радиусом инерции р, для того чтобы он
смог без скольжения описать мертвую петлю по желобу радиуса R?
Радиусом шарика г по сравнению с R пренебречь.
382. Цилиндр или шар радиуса г катится по плоскости, наклонен-
наклоненной под углом а к горизонту. Определить, при каком значении угла а
начинается качение со скольжением, если коэффи-
"^^Г циент трения скольжения между катящимся телом
l и плоскостью равен к.
.. q 383. Шарик радиуса г скатывается без началь-
начальной скорости и без скольжения по поверхности
сферы из самого верхнего положения А (рис. 103).
Определить точку, в которой он оторвется от
сферы и начнет свободно двигаться под действием
силы тяжести.
384. По наклонной плоскости, образующей
угол а с горизонтом, скатывается массивный по-
полый цилиндр массы га и радиуса г (рис. 104).
2h
а
Рис. 102
Рис. 103
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
65
По поверхности цилиндра бежит собака таким образом, что она все
время занимает наивысшее положение на поверхности цилиндра. Опре-
Определить, с каким ускорением а скатывается ци-
цилиндр, если масса собаки т\.
385. По поверхности большого полого ци-
цилиндра, лежащего на горизонтальной плоско-
плоскости, начинает бежать собака массы га в на-
направлении к наивысшей точке А и притом так,
что она все время находится на одном и том
же расстоянии от этой точки (рис. 105). В ре-
результате цилиндр начинает катиться по гори-
горизонтальной плоскости без скольжения. Масса
цилиндра М, а угол АОВ равен а. Опреде-
Определить: 1) ускорение оси цилиндра а; 2) си-
Рис. 104
Рис. 105
лу трения между цилиндром и плоскостью во время качения FTp;
3) время t, в течение которого собака способна оставаться на указан-
указанном расстоянии от точки А, если макси-
максимальная полезная мощность, которую она
способна развить, равна РМакс- Какая при
этом будет достигнута максимальная ско-
скорость г>макс поступательного движения ци-
цилиндра? (Полезной мощностью здесь назы-
называется мощность, которая затрачивается со-
собакой на увеличение кинетической энергии
системы.)
386. Определить ускорение а, с которым
цилиндрическая бочка, целиком заполнен-
заполненная жидкостью, скатывается без скольжения с наклонной плоскости,
образующей угол а с горизонтом (рис. 106). Трение между жидкостью
и стенками бочки считать пренебрежимо ма-
малым.
387. Полый цилиндр массы М скатыва-
скатывается без скольжения с наклонной плоскости,
образующей угол а с горизонтом. В цилин-
цилиндре находится гладкий шарик, который может
скользить по внутренней поверхности цилин-
цилиндра без трения. Существует ли такое положе-
положение шарика, при котором он будет двигаться
параллельно наклонной плоскости, т. е. с тем
же ускорением а, с каким движется ось ци-
цилиндра? Найти это положение, если оно существует. Что будет в пре-
предельном случае: га « М и а « 1 (угол а мал).
388. Известно, что для того чтобы отличить сырое яйцо от сварен-
сваренного вкрутую, достаточно попытаться закрутить его на столе. Вареное
яйцо крутится долго. Сырое же раскрутить не удается. Объяснить, на
чем основан этот способ.
Рис. 106
3 Под ред. И. А. Яковлева
66 Задачи
389. Величина трения между осью и смазанным подшипником
в основном определяется движением и внутренним трением жидкости
в смазывающем слое.
В гидродинамической теории смазки Н. П. Петрова дается следу-
следующее выражение для момента сил трения, действующего на единицу
длины вращающейся оси:
где /i — вязкость смазывающей жидкости, а — радиус оси, uj — ее
угловая скорость и 5 — толщина слоя. Пользуясь этим выражением,
найти закон вращения ротора, ось которого укреплена в подшипниках;
другие внешние моменты сил на ротор не действуют.
390. Сплошному цилиндру радиуса R = 10 см и веса Р сообщено
вращение вокруг его оси с угловой скоростью ио = 10 об/с. Вращаю-
Вращающийся цилиндр кладут на горизонтальную плоскость и предоставляют
самому себе. Он начинает двигаться по плоскости, причем коэффи-
коэффициент трения скольжения между цилиндром и плоскостью равен 0,1.
Определить, через какое время Т движение цилиндра перейдет в чи-
чистое качение без скольжения. Сила трения скольжения предполагается
не зависящей от скорости, а трение качения отсутствует. Какое уско-
ускорение будет иметь цилиндр при t > Т?
391. Сплошной цилиндр, ось которого горизонтальна, движется
без вращения по гладкой горизонтальной плоскости в направлении,
перпендикулярном к его оси. В некоторый момент цилиндр достигает
границы, где поверхность становится шероховатой и возникает посто-
постоянная (не зависящая от скорости) сила трения скольжения, а трение
качения отсутствует. Каково будет движение цилиндра после перехода
границы? Как распределится кинетическая энергия поступательного
движения цилиндра?
392. Сплошному однородному шару радиуса г, лежащему на гори-
горизонтальной плоскости, сообщается в начальный момент времени посту-
поступательная скорость г>о без вращения. Учитывая трение скольжения, но
пренебрегая трением качения, найти угловую скорость шара, когда его
движение перейдет в чистое качение. Определить потерю кинетической
энергии на трение.
393. Сплошной однородный шар радиуса г, вращающийся вокруг
горизонтального диаметра с угловой скоростью ujq, ставится на гори-
горизонтальную плоскость без сообщения ему поступательного движения.
Учитывая трение скольжения, но пренебрегая трением качения, найти
линейную скорость v центра шара, когда его движение перейдет в чи-
чистое качение. Определить потерю кинетической энергии на трение.
394. На внутренней стороне тонкого обруча массы М и радиу-
радиуса R = 0, 5 м прикреплено тело массы m = /юМ, размеры которого
значительно меньше R. Обруч катится без скольжения по горизонталь-
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы 67
ной плоскости. Какой должна быть скорость центра обруча vq, когда
тело находится в нижнем положении, чтобы обруч «подпрыгнул»?
395. Бильярдный шар катится без скольжения по горизонтальной
плоскости со скоростью v и ударяется в покоящийся такой же би-
бильярдный шар, причем линия центров параллельна скорости движения.
Определить скорости обоих шаров после того, как их движения пе-
перейдут в чистые качения. Какая доля первоначальной кинетической
энергии перейдет в тепло? Считать, что при столкновении шаров пе-
передачи вращательного движения не происходит. Потерей энергии на
трение при чистом качении пренебречь.
396. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы сила
трения шара о сукно бильярдного стола заставляла его двигаться:
а) ускоренно, б) замедленно, в) равномерно? Предполагается, что удар
наносится горизонтально в вертикальной плоскости, проходящей через
центр шара и точку касания его с плоскостью бильярдного стола.
397. Как надо ударить кием по бильярдному шару, чтобы при столк-
столкновении с другим (неподвижным) шаром 1) оба шара стали двигаться
вперед (удар с накатом), 2) первый шар остановился, а второй двигался
вперед, 3) второй шар двигался вперед, а первый откатился назад (удар
с оттяжкой)? Относительно направления и плоскости удара ввести
те же предположения, что и в предыдущей задаче.
398. Вращающийся с угловой скоростью ujq сплошной однородный
цилиндр радиуса г ставится без начальной поступательной скорости
у основания наклонной плоскости, образующей угол а с горизонталь-
горизонтальной плоскостью, и начинает вкатываться вверх. Определить время,
в течение которого цилиндр достигает наивысшего положения на на-
наклонной плоскости.
399. Считая в предыдущей задаче коэффициент трения скольже-
скольжения к цилиндра о наклонную плоскость заданным и постоянным,
определить: 1) ускорение цилиндра а\, когда качение происходит со
скольжением; 2) время t\, по истечении которого наступает чистое
качение; 3) высоту Н\, которой достигает цилиндр, прежде чем начи-
начинается чистое качение; 4) ускорение а^ при чистом качении; 5) допол-
дополнительную высоту Щ, на которую поднимается цилиндр при чистом
качении; 6) полную высоту поднятия Я; 7) время обратного скатывания
цилиндра вниз t. Предполагается, что к > tga.
400. Вращающийся с угловой скоростью uoq сплошной однородный
цилиндр массы т\ ставится без начальной поступательной скорости
на длинную доску массы Ш2, лежащую на гладкой горизонтальной
плоскости. Начальная скорость доски равна нулю. Пренебрегая си-
силой трения качения, но учитывая трение скольжения между доской
и цилиндром, найти угловую скорость вращения цилиндра после того,
как его движение перейдет в чистое качение. Доска предполагается
настолько длинной, что чистое качение успевает установиться до того,
как цилиндр скатится с доски.
68 Задачи
401. Большой однородный свинцовый шар массы М лежит на плос-
плоской горизонтальной поверхности. Небольшая пуля массы т выпущена
из ружья горизонтально со скоростью V в направлении к центру шара.
После выстрела пуля застревает внутри шара. Определить линейную
скорость шара v после того, как его движение перейдет в чистое
качение. При рассмотрении движения шара после удара считать его
однородным, пренебрегая массой застрявшей пули. Трением качения
пренебречь.
402. Шар массы М = 1000 г, лежащий на горизонтальной плоско-
плоскости, пробивается по диаметру пулей, летящей горизонтально с началь-
начальной скоростью Vo = 500 м/с. После удара шар начинает скользить по
плоскости. Спустя некоторое время его движение переходит в чистое
качение с постоянной скоростью v = 3 м/с. Определить скорость пули
V после вылета ее из шара, если масса пули т= Юг. Трением качения
пренебречь.
403. На гладком горизонтальном столе лежит однородный стержень
длины /, который может двигаться по столу без трения (рис. 107).
В начальный момент, когда скорость стержня равна нулю, в него
ударяется шарик, движущийся по столу перпендикулярно к стержню.
На каком расстоянии х от центра стержня С ударился шарик, если
непосредственно после удара концы стержня А
и В начали двигаться со скоростями va и vb
соответственно? (Скорости va и vb считаются
положительными, когда они направлены в ту же
сторону, что и скорость шарика до удара, и от-
рицательными в противоположном случае.)
404. На идеально гладкой горизонтальной по-
поверхности лежит стержень длины / и массы М,
который может скользить по этой поверхности
без трения (см. рис. 107). В одну из точек стерж-
стержня ударяет шарик массы га, движущийся перпен-
Рис. 107 дикулярно к стержню. На каком расстоянии х
от середины стержня должен произойти удар,
чтобы шарик передал стержню всю свою кинетическую энергию? Удар
считать абсолютно упругим. При каком соотношении масс М и т это
возможно?
405. В конец стержня массы М, лежащего на гладком горизон-
горизонтальном столе, попадает шарик, летевший перпендикулярно к стержню
и параллельно плоскости стола со скоростью vq. Считая массу шарика
от пренебрежимо малой по сравнению с массой стержня, определить
кинетическую энергию К стержня после удара, если удар был абсо-
абсолютно упругий.
406. В доску массы М, лежащую на горизонтальном столе, попа-
попадает пуля массы га, летевшая перпендикулярно к доске и параллельно
плоскости стола со скоростью vo. Определить кинетическую энергию
К, перешедшую во внутреннюю энергию (тепло) системы, если точка
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы 69
попадания пули находится от конца доски на расстоянии 1/4 ее дли-
длины. Массу пули по сравнению с массой доски считать пренебрежимо
малой, шириной доски пренебречь.
407. На гладком горизонтальном столе лежит однородный упругий
стержень массы М. В конец стержня ударяет упругий шарик массы га,
движущийся со скоростью v перпендикулярно к стержню. Найти зна-
значение энергии деформации системы в момент, когда она максимальна.
Трением между стержнем и столом пренебречь.
408. На гладком горизонтальном столе лежит однородный твердый
стержень длины / и массы М, в край которого ударяет твердый шарик
массы га, движущийся со скоростью vq, перпендикулярной к стержню.
Считая удар идеально упругим и предполагая, что силы трения между
поверхностью стола и лежащими на ней телами пренебрежимо малы,
вычислить угловую скорость вращения стержня после удара.
409. По гладкой горизонтальной поверхности стола поступательно
движется твердый стержень длины / и массы М со скоростью Vo,
перпендикулярной к его продольной оси. Навстречу стержню перпен-
перпендикулярно к той же оси движется твердый шарик массы га. Шарик
ударяется в конец стержня, а затем отскакивает от него. Считая удар
абсолютно упругим и предполагая, что трение между поверхностью
стола и движущимися по ней телами пренебрежимо мало, определить,
с какой скоростью vq должен двигаться ша-
шарик, чтобы после удара центр масс стержня О 1_
остановился. Найти также угловую скорость
вращения стержня вокруг центра масс после
удара.
410. Легкая штанга длины / может сво-
свободно вращаться вокруг горизонтальной оси О, 1
проходящей через один из ее концов (рис. 108). / i j \
На втором конце штанги укреплена другая \ " J
ось А, на которую насажен однородный диск "'
радиуса г. Закрепив диск на оси А, штан- рис jQg
гу поднимают до горизонтального положения,
а затем отпускают. Когда штанга проходит через положение равнове-
равновесия, диск мгновенно освобождают, так что он в дальнейшем может
свободно вращаться вокруг оси А. Определить высоту подъема диска
х при последующем движении системы.
411. Гладкий твердый стержень длины 1$ и массы М равномерно
вращается с угловой скоростью uoq вокруг неподвижной оси, проходя-
проходящей через один из концов стержня перпендикулярно к его продольной
оси. На стержень надет шарик массы га. Вначале шарик находится на
свободном конце стержня и вращается вместе с ним (упор, имеющийся
на конце стержня, не позволяет шарику соскользнуть со стержня).
В некоторый момент шарику сообщается скорость v, направленная
вдоль стержня к оси вращения. Определить наименьшее расстояние /,
до которого приблизится шарик к оси вращения, и угловую скорость
70
Задачи
В
Рис. 109
системы и в этом положении. В какую сторону будет изогнут стержень,
когда шарик движется по направлению к оси вращения? Как изменится
изгиб стержня, когда шарик, до-
достигнув наименьшего удаления до
оси, начнет двигаться в обратном
направлении?
412. На тело А, находящее-
находящееся на горизонтальной поверхности
стола, положено сверху тело В
(рис. 109). Какую нужно прило-
приложить горизонтальную силу F к телу А, чтобы тело В соскользнуло
с поверхности тела А. Коэффициент трения между столом и телом А
равен к\, между телами А и В равен к%. Массы тел гпа и тв-
413. Определить горизонтальную составляющую ускорения тела а^
и ускорение клина а\ (задача 132, рис. 33) при следующих условиях:
1) если между телом и клином имеется трение (коэффициент тре-
трения к), а между клином и плоскостью трения нет; 2) если между
телом и клином трения нет, а меж-
между плоскостью и клином есть тре-
ние с коэффициентом к; 3) указать
максимальные значения коэффициен-
коэффициентов трения, при которых движения
клина и тела будут иметь место.
414. Прямоугольная призма стоит
на шероховатой доске, лежащей на го-
горизонтальном столе (рис. ПО). С ка-
каким минимальным ускорением амин на-
надо начать двигать доску по столу,
чтобы призма опрокинулась назад (по
отношению к направлению движения
доски) через свое нижнее заднее реб-
ребро? Найти силу нормального давления N и координату х ее точки
приложения, с которой доска действует на призму при движении доски
с ускорением а.
Провести решения задачи в системах отсчета, связанных с доской
и со столом.
415. Автомобиль с шириной колеи 2Ь и высотой h центра массы над
землей проходит горизонтальное закругление дороги радиуса R. 1) По-
Показать, что при скорости автомобиля v > л/bRgJh он опрокинется,
если не возникнет скольжения колес в направлении, перпендикулярном
к движению автомобиля. 2) Предполагая, что скорость автомобиля
достаточна для того, чтобы он мог опрокинуться, найти, при каком
минимальном значении коэффициента трения к между колесами авто-
автомобиля и покрытием дороги это может произойти?
416. На горизонтальном вращающемся диске стоит цилиндр. При
какой угловой скорости ио цилиндр свалится с диска, если расстояние
А
2
1
\
Ь
2
h
а
Рис. ПО
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
71
D
между осями диска и цилиндра R, а коэффициент трения k > D/h, где
D — диаметр цилиндра, a h — его высота (рис. 111).
417. Физический маятник, состо-
состоящий из шарика, насаженного на ко-
конец тонкого жесткого стержня, мо-
может свободно колебаться вокруг го-
горизонтальной оси А, проходящей че-
через верхний конец стержня. Ось А
неподвижно закреплена на геомет-
геометрической оси горизонтального дис-
диска, равномерно вращающегося вокруг
этой (вертикальной) геометрической
Рис. 111
оси с угловой скоростью и. Таким образом, плоскость колебаний маят-
маятника вращается вместе с диском с той же угловой скоростью и. Найти
период малых колебаний маятника, если масса стержня пренебрежимо
мала по сравнению с массой шарика. При каком условии нижнее
вертикальное положение стержня станет неустой-
неустойчивым положением равновесия?
418. Легкий желоб свернут в виде вертикаль-
вертикальной цилиндрической спирали радиуса R, которая
может свободно вращаться около вертикальной
оси симметрии (рис. 112). Витки спирали накло-
наклонены к горизонту под углом ip = тг/4. По желобу
скользит без трения тело массы т. Какую ско-
скорость приобретет тело в конце спирального спус-
спуска, опустившись с высоты h, если скольжение
началось без начальной скорости. Считать массу
желоба равной массе тела. Какова будет угловая
скорость вращения желоба?
419. А просит В разъяснить следующее недо-
недоразумение.
A. — Как сообщается ускорение велосипеду, я понимаю, а как оно
сообщается паровозу, — не понимаю. Возникновение силы, действую-
действующей на раму велосипеда, мне представляется
так: действие ведущей цепи на заднее ко-
колесо можно изобразить силой, направленной
вперед и приложенной к колесу в некоторой
точке над осью (рис. 113). Эта сила вращает
колесо вокруг мгновенной оси, проходящей
через точку С, т.е. точку соприкосновения
шины с дорогой, так что колесо толкает ось
вперед и сообщает движение всей машине. //////х//
Ведь это правильно?
B. — Верно. Но вы не все учли.
А. — Так же можно рассматривать паровоз, но у паровоза нет
ведущей цепи, а есть водило, и это радикально меняет дело. Дей-
Рис. 112
Рис. 113
72
Задачи
¦to-
¦tomb
ствительно, когда точка приложения силы со стороны водила к колесу
находится над осью, сила поршня тянет колесо вперед, и здесь, так
же как и у велосипеда, колесо толкает паровоз вперед. Но ведь через
пол-оборота точка приложения силы к колесу будет под осью и сила
будет направлена назад. Рассуждая так же, как
ш f и раньше, приходим к выводу: колесо толкает па-
паровоз назад. Почему же паровоз идет вперед?
В. — Все наши рассуждения о силах, действу-
действующих на колесо, правильны, но ...
Выясните вопрос.
420. Определить силу /, действующую со сто-
стороны рельса на колесо (см. ответ задачи 419),
в те моменты, когда место соединения его с води-
лом (шип) находится над (или под) осью колеса.
Известны: сила давления на поршень Q, радиус
колеса R и расстояние от оси колеса до оси шипа г.
421. Тонкий стержень длиной а + Ъ шарнирно
закреплен в точке, отстоящей на расстояние Ъ от
ч..^ у одного из его концов, и вращается с угловой скоро-
скоростью uj вокруг вертикальной оси, описывая круго-
рис Ц4 вои конус (рис. 114). Определить угол отклонения
стержня от вертикали.
422. Найти угловую скорость прецессии наклоненного волчка, пре-
цессирующего под действием силы тяжести. Волчок имеет момент
инерции /, угловую скорость вращения и, расстояние от точки опоры
до центра массы волчка равно /. В каком направлении будет прецесси-
ровать волчок?
423. Подсчитайте момент М гироскопических сил, действующих на
вал со стороны пропеллера, если самолет при скорости и = 300 км/ч
делает поворот радиуса R = 100 м. Про-
Пропеллер с моментом инерции / = 7 кг • м2
делает N = 1000 об/мин.
424. Оценить, с какой минимальной
скоростью v надо выпустить на полюсе
Земли снаряд массы т = 1000 т, чтобы
повернуть земную ось относительно си-
системы «неподвижных звезд» на угол а =
= 1°. Масса Земли М = 6 • 1021 т. Длина
градуса земного меридиана I = 111км.
Землю считать однородным шаром.
425. Симметричный волчок, ось фи-
фигуры которого наклонена под углом а
к вертикали (рис. 115), совершает регулярную прецессию под действи-
действием силы тяжести. Точка опоры волчка О неподвижна. Определить,
под каким углом /3 к вертикали направлена сила, с которой волчок
действует на плоскость опоры.
Рис. 115
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы 73
426. Гироскопический маятник, используемый в качестве авиаго-
авиагоризонта, характеризуется следующими параметрами: масса маховичка
гироскопа т = 5 • 103 г, момент инерции маховичка относительно оси
фигуры /ц = 8 • 104 г- см2, расстояние между точкой подвеса и центром
массы маховичка а = 0,25 см. Гироскоп делает 20000 об/мин. Когда
самолет, на котором был установлен прибор, двигался равномерно, ось
фигуры маятника была вертикальна. Затем в течение времени г =
= 10 с самолет двигался с горизонтальным ускорением ^о = 1 м/с2.
Определить угол а, на который отклонится от вертикали ось фигуры
гироскопического маятника за время ускорения.
427. Однородный гладкий сплошной шар, находящийся на гори-
горизонтальном столе, быстро вертится вокруг своего вертикального диа-
диаметра с угловой скоростью ujo (рис. 116). В него ударяет второй,
в точности такой же щар. Происходит абсолютно упругий удар без
передачи вращения. Ударяемый шар начи-
начинает двигаться по столу со скольжением. 4Ш°
Коэффициент трения скольжения к счи-
тается не зависящим от скорости. Найти /"~Л \
угол а между мгновенной осью вращения ( —)—
ударяемого шара и вертикальной линией Ъ^У..
для любого момента времени t, когда еще
не прекратилось скольжение. Найти также рис ц^
значение этого угла в момент, когда движе-
движение переходит в чистое качение. Трением верчения и трением качения
пренебречь. Рассмотреть частный случай, когда величины vq и uq
связаны соотношением vq = оо^г.
428. Гироскопические эффекты используются в дисковых мельни-
мельницах. Массивный цилиндрический каток (бегун), могущий вращаться
вокруг своей геометрической оси, приводится
, щ iP- во вращение вокруг вертикальной оси (с угло-
| | СЗ вой скоростью О) и катится по горизонталь-
г\ |—Н; ной опорной плите (рис. 117). Такое враще-
вращение можно рассматривать как вынужденную
прецессию гироскопа, каковым является бегун.
р 117 При вынужденной прецессии возрастает сила
давления бегуна на горизонтальную плиту, по
которой он катится. Эта сила растирает и измельчает материал, подсы-
подсыпаемый под каток на плиту. Вычислить полную силу давления катка
на опорную плиту, если радиус бегуна г = 50 см, а рабочая скорость
1 об/с.
429. Диск радиуса г, вращающийся вокруг собственной оси с уг-
угловой скоростью и, катится без скольжения в наклонном положе-
положении по горизонтальной плоскости, описывая окружность за время Т.
Определить Т и радиус окружности R, если R ^> г, а угол между
горизонтальной плоскостью и плоскостью диска равен а.
74
Задачи
430. Условие, при котором симметричный гироскоп может совер-
совершать регулярную прецессию, можно получить, применяя теорему Ко-
риолиса. Рассмотреть тонкое кольцо, равномерно вращающееся в своей
плоскости с угловой скоростью uj и прецессирующее вокруг одного
из диаметров с постоянной угловой скоростью О (рис. 118). Какие
силы надо приложить к кольцу для поддер-
поддержания такой регулярной прецессии?
431. Планета движется вокруг Солнца по
эллипсу, в одном из фокусов которого нахо-
находится Солнце. Доказать, что момент количе-
количества движения планеты относительно Солн-
Солнца есть величина постоянная.
432. Доказать, что момент количества
движения планеты относительно Солнца мо-
может быть представлен в виде
Рис. 118
L = rmvl = 2mcr = const,
где т — масса, а а — секториальная скорость планеты. (Секториаль-
ной скоростью планеты называется площадь, описываемая радиусом-
вектором планеты за единицу времени.)
433. Найти производную по времени момента импульса системы
материальных точек L относительно начала координат О, движуще-
движущегося с произвольной скоростью vq. Все скорости материальных точек
относить к «неподвижной» (инерциальной) системе отсчета. В каких
случаях результат переходит в обычное соотношение L = М?
434. Найти параметры эллипсоида инерции для точки А, лежащей
в вершине однородного куба массы М с длиной ребра / (рис. 119).
Рис. 119
Рис. 120
435. Для прямоугольного однородного параллелепипеда массы М
и длиной ребер /, т, п (рис. 120) определить момент инерции относи-
относительно его диагонали.
§ 8. Тяготение
436. Определить ускорение свободного падения g на поверхности
Земли по следующим данным: средний радиус Земли R « 6400 км;
§8. Тяготение 75
средняя плотность Земли d = 5,4 г/см3, гравитационная постоянная
G = 6,7- Ю-8 дин-см2/г2.
437. Определить ускорение свободного падения g на высоте 20 км
над Землей, принимая ускорение свободного падения на поверхности
Земли go — 981 см/с2, а радиус Земли R « 6400 км.
438. Найти ускорение свободного падения gj\ на Луне, если ее
радиус равен 1738км, а средняя плотность составляет 0,6 плотности
Земли.
439. Подсчитать ускорение свободного падения а на поверхности
Солнца, если известны 7?~150-106км — радиус земной орбиты,
г ~ 7 • 105 км — радиус Солнца и Т — время обращения Земли вокруг
Солнца.
440. Какое ускорение а сообщает Солнце телам, находящимся на
Земле?
441. Тело на экваторе взвешивается на пружинных весах в полдень,
когда гравитационные силы Земли и Солнца тянут его в противопо-
противоположные стороны. Одновременно такое же тело взвешивается в полночь
в диаметрально противоположной точке земного шара, когда обе эти
силы направлены в одну сторону. Вес какого тела будет больше?
Неоднородностью гравитационного поля Солнца в окрестности Земли
пренебречь.
442. Решить предыдущую задачу с учетом неоднородности грави-
гравитационного поля Солнца, считая, что, кроме Земли и Солнца, никаких
других небесных тел нет.
443. Найти разность между весами одинаковых тел в диаметрально
противоположных точках земного шара, обусловленную неоднородно-
неоднородностью гравитационного поля Луны. Считать, что центры Луны, Земли
и обе рассматриваемые точки / и 2 лежат на одной прямой (см. задачу
441). От гравитационного поля Солнца и прочих астрономических тел
отвлечься.
444. Маятник, который делает в Ленинграде 3601,4 колебаний за
час, за это же время и при той же температуре делает в Москве 3600,0
колебаний. Каково отношение ускорений свободного падения для этих
двух городов?
445. Как изменился бы ход маятниковых часов на Луне по сравне-
сравнению с их ходом на Земле?
446. Время обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше
времени обращения Земли. Сколько километров от Юпитера до Солн-
Солнца, если расстояние от Земли до Солнца равно 150- 106км. Считать
орбиты планет круговыми.
447. Определить отношение массы Солнца М к массе Земли га,
если среднее расстояние R от Земли до Солнца в 390 раз больше
среднего расстояния г от Земли до Луны, а время обращения Т Земли
вокруг Солнца больше времени обращения t Луны вокруг Земли в 13,4
раза.
76 Задачи
448. Найти ускорение свободного падения gc на поверхности Солн-
Солнца, если известны: продолжительность земного года Т, расстояние от
Земли до Солнца R (« 8, 3 световых минуты) и угол а, под которым
виден диаметр Солнца (~ 32х).
449. Найти расстояние d планеты от Солнца, если даны: масса
Солнца М, период обращения планеты вокруг Солнца Т и гравитаци-
гравитационная постоянная G.
450. Луна делает полный оборот вокруг Земли за время Т =
= 27сут 7 ч. Радиус ее орбиты равен 60 радиусам Земли. Найти уско-
ускорение свободного падения g на Земле. Радиус Земли R « 6400 км.
451. Силы приливного трения, вызываемые лунными приливами,
замедляют вращение Земли вокруг своей оси. Этот процесс будет про-
продолжаться до тех пор, пока угловая скорость вращения Земли вокруг
своей оси не станет равной угловой скорости орбитального движения
Луны вокруг Земли. Определить общую угловую скорость вращения
Земли и орбитального вращения Луны и, продолжительность земных
суток Т и радиус лунной орбиты а, после того как это произойдет.
Использовать следующие данные: в настоящее время угловая ско-
скорость вращения Земли вокруг своей оси uj^ равна 7,29- 10~5 рад/с,
момент количества движения Земли относительно своей оси L% =
= 5,91 • 1О4Ог-см2/с, радиус лунной орбиты ао = 3, 84 • 1010см, время
обращения Луны вокруг Земли (относительно звезд) Тд = 27, 3 сут,
масса Луны m = 7, 35 • 1025 г, момент инерции Земли относительно оси
вращения /з = 8, 11 • 1044 г • см2. Для простоты считать, что земная ось
перпендикулярна к плоскости лунной орбиты.
452. Найти потенциальную энергию тела (точки) массы m на
различных расстояниях R от центра Земли. Величину потенциальной
энергии на бесконечно большом расстоянии считать равной нулю.
453. Согласно третьему закону Кеплера отношение куба большой
полуоси эллиптической орбиты а к квадрату периода обращения плане-
планеты Т есть величина, одинаковая для всех планет Солнечной системы.
Она называется постоянной Кеплера и обозначается буквой К. Третий
закон Кеплера строго справедлив, когда масса планеты пренебрежимо
мала по сравнению с массой Солнца. Найти выражение для постоянной
Кеплера.
454. Как изменится третий закон Кеплера, если не пренебрегать
массой планеты m по сравнению с массой Солнца М?
455. Найти расстояние R между компонентами двойной звезды,
если их общая масса М\ + М^ равна удвоенной массе Солнца Mq
и звезды обращаются по круговым орбитам вокруг их центра масс с пе-
периодом Т = 2То, где То — продолжительность земного года. Расстояние
от Земли до Солнца i?o = 1, 5 • 108 км.
456. Минимальное расстояние между компонентами двойной звез-
звезды, обращающимися один относительно другого, равно г\. Относи-
Относительная скорость их в этом положении равна v\. Сумма масс обоих
компонентов равна М. Найти расстояние между компонентами т^ и их
§8. Тяготение 77
относительную скорость v^ при максимальном удалении относительно
друг друга. При каком минимальном значении относительной скорости
v\ двойная звезда распадается?
457. Показать, что если высота над земной поверхностью мала по
сравнению с радиусом Земли R, то зависимость ускорения свободного
падения от высоты определяется приближенной формулой
где go — значение g на земной поверхности. Предполагается, что
высота h измеряется в километрах.
458. Для вычисления средней плотности Земли р Эйри предложил
и осуществил следующий метод. Измеряются ускорения свободного
падения go на поверхности Земли и g в шахте глубины h. Принима-
Принимается, что плотность Земли в поверхностном слое толщины h однород-
однородна и равна ро — 2, 5 г/см3. (Это предположение плохо соответствует
действительности.) В опытах Эйри было g — go = 0,000052go, R/h =
= 16000 (R — радиус Земли). Пользуясь этими данными, вычислить
среднюю плотность Земли. (Обратите внимание, что g вблизи поверх-
поверхности Земли возрастает с глубиной! Чем это объяснить?)
459. При каких условиях движение планеты вокруг Солнца будет
финитным и при каких — инфинитным? (Финитным называется движе-
движение, при котором планета остается в ограниченной области простран-
пространства и не может уходить в бесконечность. Если же область, в которой
может двигаться планета, неограничена, т. е. планета может уходить
в бесконечность, то движение называется инфинитным.)
460. Как показывает интегрирование уравнений движения, планета
вокруг Солнца движется по коническим сечениям. Когда траектория
планеты будет эллиптической, гиперболической и параболической?
461. Допустим, что в результате взрыва астероид, двигавшийся
по круговой орбите вокруг Солнца, распался на два осколка одинако-
одинаковой массы. Один осколок непосредственно после взрыва остановился,
другой — продолжал движение. По какой траектории будет двигаться
второй осколок: эллиптической, гиперболической или параболической?
462. В условиях предыдущей задачи оба осколка разлетаются
в перпендикулярных направлениях с одинаковыми скоростями. По ка-
каким орбитам они будут двигаться?
463. Снаряду с массой покоя то = 1000 т сообщена скорость V
в направлении касательной к земной орбите. Какова должна быть
разность между скоростью света с и скоростью снаряда V, чтобы Земля
стала двигаться относительно Солнца по параболической траектории?
Масса Земли М = 6 • 1021 т, скорость ее орбитального движения v =
= 29, 8 км/с. Сравнить кинетическую энергию снаряда с кинетической
энергией орбитального движения Земли.
464. Планета движется вокруг Солнца по эллипсу. Не интегрируя
уравнений движения, а пользуясь только законами сохранения энергии
78 Задачи
и момента импульса, найти выражение для длины большой оси 2а
этого эллипса.
465. Комета движется вокруг Солнца по ветви гиперболы. Не инте-
интегрируя уравнений движения, а пользуясь только законами сохранения
энергии и момента импульса, найти расстояние 2а между вершинами
рассматриваемой и сопряженной с ней ветвей гиперболы.
466. Какую скорость на поверхности Земли надо сообщить ис-
искусственному спутнику, чтобы вывести его на эллиптическую орбиту
с расстояниями от центра Земли: в перигее г\ = 31/зоД в апогее т^ =
= 33/зо^ (R — радиус Земли)?
467. Искусственный спутник Земли был выведен на орбиту с мак-
максимальным удалением от поверхности Земли /iMaKC = 1300 км и ми-
минимальным /гмин = 292 км. Через некоторое время период обращения
спутника уменьшился на AT = Змин. Какая часть начальной полной
энергии спутника была израсходована к этому моменту на работу
против сил трения? Радиус Земли R = 6370 км.
468. Показать, что если планета движется по эллипсу, то средние
по времени значения ее полной и кинетической энергий связаны соот-
соотношением
К = -Е.
469. Показать, что если планета движется по кругу, то ее полная
и кинетическая энергии связаны соотношением
470. Пусть от поверхности Земли до ее центра прорыта узкая шахта
и некоторое тело падает из бесконечности в эту шахту, достигая центра
Земли. Какую скорость будет иметь тело в этот момент, если Землю
считать однородным шаром?
471. Найти скорость v движения искусственного спутника Земли
по круговой орбите радиуса R. Выразить значение v через R, радиус
Земли Rq и ускорение свободного падения g на поверхности Земли.
472. Найти радиус R орбиты «стационарного» спутника Земли.
(Стационарным называют спутник, движущийся по круговой орбите
вокруг Земли так, что время его оборота равно 24 часам.) Стационар-
Стационарный спутник, движущийся в плоскости экватора в сторону вращения
Земли, будет оставаться неподвижным относительно нее. Выразить R
через радиус Земли Rq, угловую скорость ио вращения Земли и ускоре-
ускорение свободного падения g на ее поверхности.
473. С воображаемой возвышенности, расположенной на полюсе
Земли, посылаются с одинаковой скоростью vq два снаряда. Начальная
скорость первого снаряда направлена так, что он движется по направ-
направлению радиуса Земли; начальная скорость второго перпендикулярна
к радиусу Земли, и он движется по эллиптической траектории. 1) Ка-
Какой снаряд достигнет максимального удаления от Земли? 2) Найти от-
отношение i?i/i?2 максимальных возможных расстояний от центра Земли
§8. Тяготение 79
соответственно первого и второго снарядов. Скорость vq > \/gRo =
= г>кр, где г>кр есть скорость движения спутника Земли по круговой
орбите (теоретической) с радиусом Земли Rq. Сопротивление воздуха
движению снарядов не учитывать и полагать, что на снаряд действует
только поле тяготения Земли.
474. С некоторой площадки на экваторе посылаются два спутника
по эллиптическим орбитам: первый в направлении вращения Земли,
второй против. Каково будет наибольшее удаление R\ и R^ каждого из
спутников от центра Земли, если известно, что начальные горизонталь-
горизонтальные скорости их относительно Земли одинаковы по величине и равны
г>о = 10км/с? Расстояния выразить через радиус Земли Rq.
475. Показать, что период спутника, обращающегося вокруг плане-
планеты (или любого другого тела со сферически симметричным распреде-
распределением масс) в непосредственной близости от ее поверхности зависит
только от средней плотности планеты р. Вычислить период такого
спутника для нейтронной звезды, считая, что плотность вещества ней-
нейтронной звезды такая же, что и плотность вещества внутри атомных
ядер (р « 1014г/см3).
476. Как связаны между собой период Т\ спутника, обращающегося
вокруг планеты в непосредственной близости от ее поверхности, и пе-
период колебаний тела Т% внутри прямолинейного канала, проходящего
от одного полюса планеты к другому, если плотность вещества планеты
р постоянна? Качественно описать, как изменится соотношение между
периодами, если плотность планеты при сохранении ее массы будет
возрастать к центру.
477. Вычислить массу Земли, используя параметры орбиты со-
советского искусственного спутника «Космос-380». Период обращения
спутника (относительно звезд) Т = 102,2 мин, расстояние до поверх-
поверхности Земли в перигее 210 км, в апогее 1548 км. Землю считать шаром
с радиусом 6371 км.
478. Среднее время обращения советского корабля-спутника «Во-
«Восток», на котором Ю.А. Гагарин 12 апреля 1961 г. впервые облетел
вокруг земного шара, Т\ = 89,2 мин при средней высоте полета над
земной поверхностью h = 254 км. Ближайший спутник Марса — Фо-
Фобос — обращается вокруг планеты за время Т% = 7 ч 39 мин, находясь
от центра Марса в среднем на расстоянии R% = 9350 км. Определить
отношение массы Марса М^ к массе Земли М\, если средний радиус
земного шара R = 6371 км.
479. Искусственный спутник, имеющий форму шара радиуса г =
= 0, 5 м, обращается вокруг Земли по круговой орбите на такой вы-
высоте (« 200км), где плотность атмосферы р= 10~13г/см3. Оценить,
на сколько будет снижаться спутник за один оборот вокруг плане-
планеты. Плотность вещества спутника, усредненная по его объему, р0 =
= 1г/см3.
480. Спутник поднят ракетой-носителем вертикально до макси-
максимальной высоты, равной R = 1,25Дз (Дз ~ радиус Земли), отсчитыва-
80
Задачи
емой от центра Земли. В верхней точке подъема ракетное устройстве
сообщило спутнику азимутальную (горизонтальную) скорость, равную
по величине первой космической скорости: vo = v\, и вывело его на
эллиптическую орбиту (рис. 121). Каково макси-
максимальное и минимальное удаление спутника от цен-
центра Земли?
481. Легкий спутник Земли вращается по кру-
круговой орбите с линейной скоростью vq. Ракет-
Ракетное устройство увеличивает абсолютную величину
этой скорости в л/1,5 раза, и спутник перехо-
переходит на эллиптическую орбиту (рис. 122). С какой
скоростью спутник пройдет наиболее удаленную
от центра Земли точку А (апогей) своей орбиты?
Сопротивление атмосферы не учитывать.
482. Спутник Земли, вращаясь по круговой ор-
орбите радиуса R~R% (низкий спутник), перешел на
эллиптическую орбиту с большой осью 2а = AR^ (R3 — радиус Земли).
Определить, во сколько раз увеличится время обращения спутника?
Сопротивление атмосферы не учитывать.
м
Рис. 121
Рис. 122
Рис. 123
483. Спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R =
~~ радиус Земли), получает радиальный импульс, который сооб-
сообщает ему дополнительную скорость vp, направленную от центра Земли
по радиусу (рис. 123). Каково должно быть минимальное значение до-
дополнительной скорости, чтобы спутник мог покинуть область земного
притяжения?
484. Спутник, вращаясь по круговой траектории радиуса R = 2R$
(R3 ~~ радиус Земли), получает радиальный импульс, сообщающий ему
дополнительную скорость vp в направлении центра Земли, равную по
величине скорости v^ движения по круговой орбите (рис. 124). На ка-
какое минимальное расстояние рмин приблизится спутник к центру Земли
и какова будет его скорость в этой точке? Сопротивление атмосферы
не учитывать.
485. Спутник запускается на круговую орбиту в два этапа: сначала
на поверхности Земли ему сообщают горизонтальную скорость и вы-
§8. Тяготение
81
водят на эллиптическую орбиту, перигей которой совпадает с точкой
запуска (рис. 125), а апогей — с точкой на круговой орбите. В апогее
ракетное устройство увеличивает величину скорости спутника и выво-
выводит его на круговую орбиту. Каковы должны быть начальная скорость
запуска v\ и увеличение скорости в апогее Av, чтобы вывести спутник
на круговую орбиту радиуса R = 2R3 (R3 — радиус Земли)? Сопротив-
Сопротивление атмосферы не учитывать.
486. Легкий спутник, вращаясь по круговой орбите радиуса R =
= 2i?3 (Дз ~~ радиус Земли), переходит на эллиптическую орбиту при-
приземления, которая касается земной поверхности в точке, диаметрально
Рис. 124
Рис. 125
Рис. 126
противоположной точке начала спуска (рис. 126). Сколько времени
продлится спуск по эллиптической орбите? Сопротивление атмосферы
не учитывать.
487. Спутник, круговая орбита которого расположена в экватори-
экваториальной плоскости, «висит» неподвижно над некоторой точкой земной
поверхности. Спутник получает возмущающий импульс, сообщающий
ему малую вертикальную скорость vq (рис. 127). Какова возмущенная
траектория спутника по отношению
к земному наблюдателю?
488. Определить вторую космиче-
космическую скорость, или скорость, которую
нужно сообщить телу для того, чтобы
оно удалилось на бесконечно большое
расстояние от Земли. Каково должно
быть направление этой скорости относи-
относительно вертикали?
489. Вычислить приближенно тре-
третью космическую скорость, предполагая,
что ракета выходит из зоны действия
земного тяготения под углом в к направ-
направлению орбитального движения Земли вокруг Солнца. Считать, что,
кроме Земли и Солнца, на ракету никакие другие тела не действуют.
Восток
Запад
Рис. 127
82 Задачи
(Третьей космической скоростью называется минимальная скорость,
которую надо сообщить ракете относительно Земли, чтобы ракета на-
навсегда покинула пределы Солнечной системы (ушла в бесконечность).)
490. Вычислить приближенно четвертую космическую скорость,
т. е. минимальную скорость, которую надо сообщить ракете на поверх-
поверхности Земли, чтобы ракета могла упасть в заданную точку Солнца.
Средний угловой радиус Солнца а = 4,65 • 10~3 рад. Предполагает-
Предполагается, что Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите со ско-
скоростью VK = 29, 8 км/с. Вычислить, в частности, значение четвертой
космической скорости при дополнительном условии, чтобы ракета па-
падала на Солнце радиально (т. е. чтобы продолжение ее прямолинейной
траектории проходило через центр Солнца).
491. Искусственный спутник Земли вращается по круговой орбите
радиуса R с периодом Т\. В некоторый момент на очень короткое время
был включен реактивный двигатель, увеличивший скорость спутника
в а раз, и спутник стал вращаться по эллиптической орбите. Двига-
Двигатель сообщал ускорение спутнику все время в направлении движения.
Определить максимальное расстояние спутника от центра Земли, ко-
которого он достигнет после выключения двигателя. Найти также период
Т% обращения спутника по новой (эллиптической) орбите.
492. Космический корабль вращается вокруг Луны по эллиптиче-
эллиптической орбите с максимальным удалением от поверхности Луны (в апо-
апоселении) 312 км и минимальным удалением (в периселении) 112 км.
На сколько надо изменить скорость корабля, чтобы перевести его на
круговую орбиту с высотой полета над поверхностью Луны 112 км,
если двигатель включается на короткое время, когда корабль нахо-
находится в периселении? (Средний радиус Луны R = 1378 км, ускорение
свободного падения на ее поверхности g = 162 см/с2.)
493. Космический корабль подходит к Луне по параболической
траектории, почти касающейся поверхности Луны. Чтобы перейти на
стелющуюся круговую орбиту, в момент наибольшего сближения вклю-
включают тормозной двигатель, выбрасывающий газы со скоростью и =
= 4 км/с относительно корабля в направлении его движения. Какую
часть общей массы системы будет составлять горючее, использованное
для торможения корабля? (Данные, относящиеся к Луне, см. в преды-
предыдущей задаче.)
494. Вычислить вторую космическую скорость при старте ракеты
с поверхности Юпитера, используя следующие данные. Третий спутник
Юпитера — Ганимед — вращается вокруг планеты практически по
круговой орбите радиуса R = 1,07 • 106 км с периодом обращения Т =
= 7, 15 сут. Радиус планеты г = 7 • 104 км.
495. Искусственный спутник запущен вокруг Земли по круговой
орбите. Из-за наличия разреженной атмосферы траектория спутника
переходит в медленно свертывающуюся спираль. Как влияет сила
сопротивления среды на величину скорости спутника и момент количе-
количества движения его относительно центра Земли? Спутник с массой га =
§8. Тяготение 83
= 1т снижается за сутки на 100 м. Найти тангенциальную составля-
составляющую ускорения спутника и силу сопротивления среды, которую он
испытывает.
496. Космический корабль без начальной скорости свободно пада-
падает на Землю из удаленной точки. В каком месте следует повернуть
направление движения корабля на 90° (без изменения величины его
скорости), чтобы он стал двигаться вокруг Земли по круговой траекто-
траектории?
497. Космический корабль движется вокруг Земли по эллиптиче-
эллиптической орбите. В какой точке орбиты и на какой угол следует изменить
направление скорости корабля (без изменения ее величины), чтобы
корабль стал двигаться по круговой орбите?
498. Космический корабль движется вокруг Земли по эллиптиче-
эллиптической орбите. В точке пересечения эллипса с его малой осью включается
двигатель. Как надо изменить скорость корабля в этой точке, чтобы он
перешел на параболическую орбиту?
499. Наибольшее расстояние кометы Галлея от Солнца h = 35,4,
наименьшее I = 0, 59 (за единицу принято расстояние Земли от Солн-
Солнца). Линейная скорость движения кометы v\ = 0,91км/с в точке
наибольшего удаления ее от Солнца в афелии. Как велика линейная
скорость V2 кометы, когда она ближе всего подходит к Солнцу в пери-
перигелии?
500. Определить начальную скорость метеоритов ^оо, если мак-
максимальное прицельное расстояние, при котором они еще падают на
Землю, равно I (I > R, R — радиус земного шара). Получить числовой
ответ при / = 2R. (Прицельным расстоянием называется длина пер-
перпендикуляра, опущенного из центра Земли на исходное направление
касательной к траектории метеорита, когда он находился в бесконеч-
бесконечности.)
501. Найти отношение силы гравитационного притяжения между
двумя электронами (и двумя протонами) к силе их электростатического
отталкивания.
502. Найти потенциальную энергию и силу гравитационного при-
притяжения между однородной полой сферой массы М и материальной
точкой массы т.
503. Доказать, что две однородные полые сферы притягиваются
друг к другу так, как если бы их массы были сосредоточены в их
центрах.
504. Доказать, что два однородных шара притягиваются друг к дру-
другу так, как если бы масса каждого шара была сосредоточена в его
центре. Доказать также, что если внутри однородного шара имеется
сферическая полость, центр которой совпадает с центром шара, то
гравитационное поле внутри такой сферы равно нулю. Показать, что
эти результаты справедливы и для шаров с концентрически слоистым
распределением масс, т. е. таким, когда плотность вещества р в каждом
шаре зависит только от расстояния до его центра.
84 Задачи
505. Рассчитать напряженность гравитационного поля, т. е. силу,
действующую на единицу массы, внутри и вне шара радиуса R, запол-
заполненного веществом с постоянной объемной плотностью р.
506. Подсчитать гравитационную энергию U шара радиуса R, рав-
равномерно заполненного веществом с объемной плотностью р.
507. В прошлом столетии Г. Гельмгольц и В. Томсон выдвинули
гипотезу, согласно которой излучение Солнца поддерживается за счет
гравитационной энергии, освобождающейся при его сжатии. Оценить
возраст Солнца t по такой гипотезе, предполагая, что в начальном
состоянии вещество Солнца было равномерно распределено по всему
бесконечному пространству, а в конечном состоянии плотность сол-
солнечного вещества одинакова по всему объему Солнца. Масса Солнца
М = 2 • 1033 г, радиус R = 7 • 1010 см. Считать, что мощность излучения
Солнца за все время его образования оставалась постоянной и равня-
равнялась современному значению Р = 3, 86 • 1033 эрг/с. Обсудить правдопо-
правдоподобность гипотезы Гельмгольца-Томсона, приняв во внимание, что по
геологическим данным возраст Земли составляет 4-4,5 • 109 лет.
508. В сплошном однородном шаре с плотностью вещества р сде-
сделана сферическая полость, центр которой О\ смещен относительно
центра шара О (рис. 128). Найти гравитаци-
гравитационное поле в такой полости.
509. Определить величину потенциаль-
потенциальной энергии тела (материальной точки), на-
находящегося в воображаемой вертикальной
шахте, проходящей через центр Земли. Мас-
Массу Земли считать равномерно распределен-
распределенной по всему объему земного шара.
510. Тело падает с уровня поверхности
Земли в воображаемую вертикальную шах-
шахту, проходящую через центр Земли. Опреде-
рис 128 лить скорость тела, когда оно будет проле-
пролетать вблизи центра Земли. Трение о стенки
шахты и сопротивление воздуха движению тела не учитывать.
511. Представьте себе снаряд такого размера, что в нем могут
находиться люди вместе с приборами. Пусть этот снаряд летит в меж-
межпланетном пространстве с некоторым ускорением, обусловленным су-
существующим в этой области пространства полем тяготения. Что будут
показывать нагруженные еще на Земле пружинные весы в снаряде?
Каким способом можно измерять массу тел в снаряде во время полета?
512. Что будут показывать пружинные весы предыдущей задачи
при взвешивании тела массы га, если снаряд попадает в атмосферу
планеты и получает, кроме ускорения в поле тяжести, ускорение а
вследствие сопротивления атмосферы движению снаряда?
513. В одной книге описывается, что в некоторый момент времени
обитатели снаряда, пущенного на Луну, перестали ощущать наличие
силы тяжести. Когда это может произойти?
§9. Упругие деформации 85
514. Простой анализ механических движений позволяет выяснить,
являются ли кольца планеты Сатурн сплошным образованием или
скоплением мелких спутников. Для этого нужно лишь знать, какой
край кольца, внутренний или внешний, движется быстрее. Какие за-
закономерности можно положить в основу такого анализа?
515. Четыре тела А, В, С и D (рис. 129), которые можно считать
материальными точками, вращаясь вокруг некоторого центра, остаются
все время на одной прямой и сохраняют неизменным расстояние друг
от друга. Между всеми телами действуют силы притяжения по закону
всемирного тяготения Ньютона. Массы С и D равны и ничтожно
малы по сравнению с массами А и В, а расстояние г очень мало
по сравнению с R. Какие еще силы должны действовать со стороны
тела В на С и D, чтобы расстояния между всеми телами оставались
неизменными?
R
Рис. 129
516. Солнце притягивает тела, находящиеся на Земле, с некоторой
силой, которая ночью направлена в ту же сторону, что и силы притяже-
притяжения этих тел Землей, а днем направлена в обратную сторону. Вызывает
ли это изменение направления силы притяжения Солнца изменение
веса тел в течение суток? (См. задачи 441-443).
517. Анализируя результат предыдущих задач, объясните проис-
происхождение приливов, вызываемых притяжением Луны. Вычислите при-
ливообразующую силу, или уменьшение силы веса тела, когда оно
находится вблизи линии, соединяющей центры Земли и Луны.
518. Найти ту точку на прямой линии, соединяющей Землю и Луну,
в которой напряженность g результирующего поля тяготения Земли
и Луны равна нулю. Масса Земли приблизительно в 81 раз больше
массы Луны, среднее расстояние между этими планетами 384 000 км.
519. Пренебрегая сопротивлением атмосферы, найти минималь-
минимальную работу, которую надо затратить, чтобы доставить массу в 1 кг
с поверхности Земли на поверхность Луны. Радиус Земли 6400 км,
радиус Луны 1740 км; ускорение свободного падения на Луне, вызван-
вызванное ее собственным притяжением, составляет gn = 0, 16g3> где g$ =
= 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Влияние Солнца и других планет не учитывать.
§ 9. Упругие деформации
520. Коэффициент линейного теплового расширения стали ра-
равен 12 • 10~6 °С~\ модуль Юнга Е = 2 • 1012 дин/см2. Какое давление р
86 Задачи
необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его
оставалась неизменной при повышении температуры на 100 °С?
521. Можно ли использовать кабель из тонкой медной проволоки
в свинцовой броне для телефонной связи с привязным аэростатом,
находящимся на высоте 300 м? Предел прочности свинца 2кгс/мм2.
Плотность свинца 11,4г/см3.
522. При укладке рельсов трамвая их сваривают между собой
в стыках. Как велики напряжения р, появляющиеся в них при коле-
колебаниях температуры от t^ = — 25 °С зимой до t^ = 30°С летом, если
укладка произведена при t\ = 15 °С? Для железа модуль Юнга Е =
= 2 • 106 кгс/см2, а линейный коэффициент теплового расширения а =
= 1,25- Ю-^С.
523. Стальной канат, могущий выдержать вес неподвижной кабины
лифта, имеет диаметр Эмм. Какой диаметр должен иметь канат, если
кабина лифта может иметь ускорение до 8g?
524. Насколько изменится объем упругого однородного стержня
длины / под влиянием силы Р, сжимающей или растягивающей стер-
стержень по его длине?
525. Какую равномерно распределенную нагрузку Q может выдер-
выдержать гранитная плита, представляющая собой правильный шестиуголь-
шестиугольник со стороной а = 10 см, если допускаемое напряжение на сжатие
гранита равно р = 45 кгс/см2?
526. Насколько вытягивается стержень из железа, подвешенный
за один конец, под влиянием собственного веса? Насколько при этом
меняется его объем?
527. Стержень поперечного сечения S растягивается силой F,
параллельной его оси. Под каким углом а к оси наклонено сечение,
в котором тангенциальное напряжение г максимально? Найти это
напряжение.
528. Резиновый цилиндр с высотой h, весом Р и площадью основа-
основания S поставлен на горизонтальную плоскость. Найти энергию упругой
деформации цилиндра, возникающей под действием его собственного
веса. Во сколько раз изменится энергия упругой деформации рассмат-
рассматриваемого цилиндра, если на верхнее основание его поставить второй
такой же цилиндр?
529. Определить относительное изменение объема полого латун-
латунного шара радиуса R = 5 см, в который накачан воздух до давления
11 атм (наружное давление 1 атм). Толщина сферической оболочки d =
= 1 мм. Модуль Юнга латуни Е = 1012 дин/см2, коэффициент Пуассона
/i = 0,3.
530. Прямоугольная пластинка зажата между вертикальными плос-
плоскостями, перпендикулярными к оси X, так что в направлении этой
оси частицы пластинки смещаться не могут (рис. 130). В направ-
направлении оси Z пластинка подвергается равномерному одностороннему
давлению Р. Определить давление Рх, которому подвергается пла-
пластинка со стороны плоскостей, между которыми она зажата. Найти
§9. Упругие деформации
87
выражение для плотности упругой энергии и, а также относительное
сжатие пластинки в направлении оси Z и относительное расширение
в направлении оси Y.
X
Рис. 130
Рис. 131
531. Стержень длины / шарнирно закреплен на одном конце и под-
подвешен на двух пружинах (рис. 131); коэффициент жесткости пружины,
прикрепленной к концу, равен к\, а прикрепленной к середине — к%.
Определить удлинение пружин и силы натяжения их под действием
нагрузки Р, приложенной к концу стержня. Стержень считать абсо-
абсолютно жестким и невесомым, а пружины нерастянутыми в отсутствие
внешней нагрузки.
532. Груз подвешен на трех тросах, как указано на рис. 132. Тросы
сделаны из одного материала, причем два крайних троса одинаковой
длины. Найти соотношение между напряжениями в материале тросов,
если деформации при нагрузке очень малы.
533. Груз весом Р подвешен на трех тросах, как сказано в условии
предыдущей задачи (см. рис. 132). Найти усилия в тросах, если все
они имеют одинаковые сечения и сделаны из одного материала.
?
р
Рис.
133
Рис. 132
534. На трех тягах одинаковой длины подвешена абсолютно жест-
жесткая балка, к которой привязан груз Р (рис. 133). Тяги сделаны из
одного материала и имеют сечения S\, S^ и S%. Определить усилия
в тягах Р\, Р2, Р%, если они расположены на одинаковых расстояниях,
а груз подвешен посередине между двумя тягами. Определить условие,
Задачи
при котором все три тяги будут растянуты. Весом балки можно прене-
пренебречь.
535. Стальной стержень с прямоугольным сечением (рис. 134) за-
заделан одним концом в стену. Отношение высоты стержня к его ши-
ширине равно 3:1. Для стержня выбран пятикратный запас прочности.
1) Какая нагрузка Р допустима на конце стержня, если длина его
15 см, а ширина 5 мм? Разрушающее напряжение в материале равно
100кгс/мм2. 2) Рассчитать стрелу прогиба Л стержня при допустимой
нагрузке. Модуль Юнга равен Е = 20000кгс/мм2.
Рис. 134 Рис. 135
536. Балка закреплена концами на шарнирах (рис. 135), причем
один из шарниров подвижен. Определить стрелу прогиба Л балки под
действием силы Р, приложенной к середине балки. Известны длина
балки /, модуль Юнга материала Е и момент инерции поперечного
сечения /. Балку считать невесомой и прогибы очень малыми.
537. Решить задачу 531, считая стержень упругим (см. рис. 131).
Модуль Юнга материала стержня равен Е и момент инерции попереч-
поперечного сечения равен /.
538. Коромысло весов имеет прямоугольное сечение со сторонами
а = 8 мм (горизонтальная) и Ъ = 10мм (вертикальная). Длина коро-
коромысла I = 250 мм. Какова наибольшая стрела прогиба коромысла Л,
если весы рассчитаны на максимальную нагрузку Р = 500 гс, а модуль
Юнга материала коромысла равен 15 000 кгс/мм2?
539. Деревянная балка длины / = 4 м и квадратного сечения со
стороной а = 40 см покоится своими концами на двух опорах и несет
посередине груз Р = 2 тс. Как велика стрела прогиба Л, если модуль
Юнга данного сорта дерева равен 1000 кгс/мм2?
540. Медная трубка, внешний и внутренний диаметры которой D =
= 20 мм и d = 10 мм, концами опирается на подставки, расстояние
между которыми / = 400 мм. Посередине трубка несет груз Р = 90кгс.
Модуль Юнга для меди Е = 104 кгс/мм2. Определить стрелу прогиба
Л трубки посередине между опорами.
541. Круглый металлический стержень радиуса R= 10 мм закреп-
закреплен одним концом в горизонтальном положении, а на другом его конце
висит груз Р = 1 кгс. Длина стержня / = 1 м. Стержень под влиянием
груза прогибается, стрела прогиба Л = 4 мм. Чему равен модуль Юнга
Е материала стержня?
§9. Упругие деформации
542. Как изменилось бы выражение для расчета модуля Юнга Е
в предыдущей задаче, если бы стержень был укреплен обоими конца-
концами, а груз помещен посередине?
543. Стержень круглого сечения расположен вертикально и за-
закреплен верхним концом. К нижнему концу прикреплен горизонтально
блок радиуса R = 50 мм. Ось стержня проходит через центр блока.
От концов диаметра блока идут по касательной две нити, на кото-
которые действуют равные силы Р = 5 кгс, закручивающие блок в одном
направлении. На какой угол (р закрутится стержень? Модуль сдвига
материала стержня N = 8000кгс/мм2, радиус стержня г = 5 мм, длина
его I = 1 м.
544. На тонкий вертикальный вал насажен эксцентрично диск мас-
массы га; расстояние между центром диска и осью вала равно d. Известно,
что горизонтальная сила, приложенная к валу в месте закрепления
диска, вызывает смещение, пропорциональное силе. Коэффициент про-
пропорциональности к. Найти прогиб вала ? при угловой частоте вращения
вала и. Массой вала по сравнению с массой диска можно пренебречь.
545. Как показывает опыт, скорость v распространения импульса
поперечных деформаций вдоль натянутой однородной струны зависит
от силы ее натяжения F и от массы р, приходящейся на единицу
длины струны. Пользуясь методом размерностей, найти выражения
зависимости скорости v от указанных параметров струны.
546. Рамку чувствительного гальванометра, вращающуюся между
полюсами магнита, подвешивают на тонкой платиновой нити. Най-
Найти максимально допустимый вес рамки гальванометра, если предел
прочности платины « 30кгс/мм2, а для подвеса использована нить
диаметром в 4 мкм.
547. Как показывает опыт, скорость v распространения продольных
деформаций в сплошной среде зависит от модуля упругости среды Е
и от ее плотности р. Пользуясь методом размерностей, найти выраже-
выражения для зависимости v от указанных параметров среды.
548. В упругом стержне создана такая начальная деформация сжа-
сжатия, что скорости всех частиц в деформированной области направлены
в одну сторону (например, вправо), причем в каждой точке плотность
потенциальной энергии в а раз превосходит плотность кинетической
энергии. Определить, какая доля первоначальной энергии будет унесе-
унесена возмущением, распространяющимся вправо, а какая доля — возму-
возмущением, распространяющимся влево.
Указание. В бегущем возмущении плотность потенциальной
энергии равна плотности кинетической.
549. Проволоку натягивают между двумя зажимами А и В, нахо-
находящимися на расстоянии / (рис. 136). На середине проволоки подвеши-
подвешивают груз весом Р, вследствие чего возникает прогиб Л. Определить
зависимость прогиба Л от Р, если известны модуль Юнга Е, диаметр
проволоки d и выполнено условие А/7 <С 1.
90
Задачи
550. Какую максимальную скорость может приобрести стрела мас-
массы т при стрельбе из лука? Считать, что концы лука при выстреле
2/
' хо«1
Рис. 136
движутся по прямой, а натяжение тетивы линейно зависит от сме-
смещения ее центра: Т = То + ях, где То — предварительное натяжение
тетивы, а к — постоянный коэффици-
коэффициент (рис. 137).
551. Стальная проволока диамет-
диаметром d = 1 мм огибает барабан диамет-
диаметром D = 2 м. Определить дополнитель-
дополнительные напряжения, возникающие в ма-
материале проволоки, если модуль Юнга
стали Е = 2- 106кгс/см2.
552. На гладкую горизонтальную
плоскость положен брусок АВ из одно-
однородного материала массы га, сечения S и длины L, упирающийся одним
концом в выступ (рис. 138). На другой конец бруска действует постоян-
постоянная сила F, равномерно распределенная по всему сечению бруска. Как
известно, длина бруска при этом уменьшится на величину AL = AL =
= — — F, где Е — модуль Юнга. Спрашивается, насколько сожмется
Е Ь
брусок и как в нем будет распределено сжатие, если он не будет
упираться в выступ, а все прочие условия останутся неизменными?
Рис. 137
Рис. 138
553. Упругий стержень массы т, длины / и площади поперечного
сечения S движется в продольном направлении с ускорением а (одина-
(одинаковым для всех точек стержня). Найти упругую энергию деформации,
возникающую вследствие ускоренного движения.
554. Из задачи 552 вытекает, что в ускоренно движущемся бруске
существует напряжение. Будет ли существовать напряжение в свобод-
свободно падающем бруске?
§ 10. Колебания
91
555. Однородный диск массы М и радиуса R вращается вокруг
своей оси с угловым ускорением C (рис. 139). Силы, ускоряющие
диск, равномерно, распределены по ободу
диска. Найти касательную силу F, действую-
действующую на единицу длины окружности, ограни-
ограничивающей мысленно выделенную часть диска
радиуса г (заштрихованную на рисунке).
556. Тонкий однородный упругий стер-
стержень, длина которого L, масса М и мо-
модуль Юнга Е, равномерно вращается с угло-
угловой скоростью ио вокруг оси, перепендикуляр-
ной к стержню и проходящей через один из
его концов. Найти распределение усилий Т
в стержне и полное его удлинение AL. При подсчете линейной дефор-
деформации и усилий считать поперечное сечение неизменным и удлинение
малым.
Рис. 139
АЛЛЛА
Рис. 140
§ 10. Колебания
557. Построить графики зависимости от времени смещения, ско-
скорости и ускорения при простом гармоническом колебании. Построить
графики зависимости скорости и ускорения от смещения. Найти соот-
соотношения между амплитудами сме-
m m щения, скорости и ускорения.
558. Найти выражения для по-
: тенциальной, кинетической и пол-
полной энергии материальной точки
массы гп, совершающей гармониче-
гармоническое колебание по закону A cos uot.
559. Два одинаковых груза массы m связаны пружиной (рис. 140).
Как изменится частота собственных колебаний системы, если один из
грузов закрепить?
560. Ареометр с цилиндрической трубкой
диаметра D (рис. 141), плавающий в жидкости
плотности р, получает небольшой вертикальный
толчок. Найти период колебаний Т ареометра,
если масса его m известна. Движение жидко-
жидкости и ее сопротивление движению ареометра не
учитывать.
561. На ракете, взлетающей вертикально
вверх с ускорением а, установлены маятниковые
часы. Какой промежуток времени Т\ измерят часы с момента старта
ракеты до падения ее на Землю, если двигатель работал время Т во
время подъема ракеты, измеренное по часам на Земле?
562. Жидкость налита в изогнутую трубку (рис. 142), колена ко-
которой составляют с горизонтом углы а и /3, длина столба жидкости /.
Рис. 141
92 Задачи
Если жидкость выведена из положения равновесия, то начинаются
колебания уровня в трубках. Найти период колебаний. Капиллярными
силами и вязкостью жидкости прене-
пренебречь.
563. Вертикальный цилиндр, имею-
имеющий поперечное сечение S = 80 см2,
закрывается поршнем массы т = 1 кг.
Объем цилиндра под поршнем vq = 5 л.
В начальный момент давление ро возду-
Рис. 142 ха в цилиндре равнялось атмосферному.
Каково будет движение поршня, если
его сразу отпустить? Трение между поршнем и цилиндром отсутству-
отсутствует. Считать процесс сжатия и расширения воздуха адиабатным G =
= cp/cv = 1,4).
564. Что изменится в предыдущей задаче, если вместо воздуха
в цилиндре будет: 1) водород; 2) гелий? Остальные условия те же.
565. Представьте себе шахту, пронизывающую земной шар по од-
одному из его диаметров. Найти закон движения тела, упавшего в эту
шахту, учитывая изменения значения ускорения свободного падения
внутри Земли. Трение о стенки шахты и сопротивление воздуха не
учитывать.
566. Как изменится период малых колебаний маятника, подвешен-
подвешенного вблизи поверхности Земли, если под маятником в Земле сделана
сферическая полость радиуса г = 8 м, а расстояние между центром
полости и точкой подвеса маятника h = 20 м? Длина маятника пре-
пренебрежимо мала по сравнению с h. Средняя плотность Земли ро —
= 5,5 г/см3, плотность грунта у поверхности Земли в окрестности
полости р = 2, 75 г/см3. Радиус Земли R = 6400 км.
567. Рассмотреть движение поезда под действием силы тяжести
в отсутствие трения и сопротивления воздуха в гипотетическом тун-
туннеле длиной / = 6400 км, прорытом вдоль одной из хорд земного шара.
Влияние осевого вращения Земли не учитывать. Как будет направлена
линия отвеса в движущемся поезде? Какое время будут показывать
маятниковые часы, установленные на поезде, когда он достигнет проти-
противоположного конца хорды, если на поверхности Земли они шли точно?
Землю считать однородным шаром радиуса R = 6400 км.
568. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окружность
на постоянной высоте. Какое направление будет указывать нить отвеса,
подвешенного в салоне самолета? Найти период малых колебаний мате-
математического маятника внутри самолета, если длина маятника равна I,
корпус самолета наклонен к направлению горизонта под углом а.
569. Самолет летает на постоянной высоте по окружности радиу-
радиуса R = 25 км с постоянной скоростью v = 250 м/с. В кабине самолета
установлены пружинные и маятниковые часы. Какое время полета tr
покажут маятниковые часы, если это время, измеренное пружинными
§ 10. Колебания
93
часами, равно t = 1 ч? Часы считать идеальными. Силу Кориолиса,
ввиду ее малости, не учитывать.
570. На тележке укреплен горизонтальный стержень, по которому
может скользить без трения муфта массы т = 1 кг (рис. 143). К муфте
прикреплены две пружины, общий коэффициент жесткости которых
к = 0, 1 кгс/см. Как будет двигаться груз относительно системы от-
отсчета, связанной с тележкой? Рассмотреть два случая: 1) тележка
получает ускорение, очень мед-
медленно нарастающее от нуля до п *"~
а = 0,98 м/с2; 2) тележка в мо-
момент t = 0 внезапно получа-
получает ускорение а, остающееся за-
затем неизменным. Трение считать
очень малым.
571. В состоянии равновесия
центры масс муфты и тележки,
описанные в условии предыду-
предыдущей задачи, находились на од-
одной вертикали (см. рис. 143). Какое возникает движение, если муфту
сместить от положения равновесия на величину / = 6 см и прикрепить
нитью к тележке, а затем нить пережечь? Масса тележки без муфты
равна М = 5 кг, массой пружины можно пренебречь. Силу трения не
учитывать.
572. Найти период свободных малых колебаний грузика массы га,
укрепленного на середине тонкой струны длины L (рис. 144). Массой
струны можно пренебречь; натяжение струны постоянно и равно Р.
т
-П-
Рис. 143
Рис. 144
Рис. 145
573. Материальная точка в поле тяжести скользит по хорде круга
АВ без начальной скорости (рис. 145). Показать, что время ее движе-
движения из точки А в точку В не зависит от положения точки А на окруж-
окружности. (Этот факт был использован Галилеем для установления законов
малых колебаний математического маятника. Для нахождения периода
колебаний маятника Галилей заменил малую дугу окружности ADB,
по которой движется материальная точка, хордой АВ.) Вычислить
94
Задачи
период колебаний маятника в этом приближении и убедиться, что
оно приводит к правильной зависимости периода колебаний от длины
маятника I и ускорения свободного падения g. Сравнить результат
с правильной формулой.
574. Через неподвижный блок с моментом инерции / (рис. 146)
и радиусом г перекинута нить, к одному концу которой подвешен груз
массы т. Другой конец нити привязан к пружине с закрепленным ниж-
нижним концом. Вычислить период колебаний груза, если коэффициент
упругости пружины равен к, а нить не может скользить по поверхности
блока.
575. К пружине, один конец которой закреплен, подвешен груз ве-
веса Р, лежащий на подставке так, что пружина не растянута (рис. 147).
Без толчка подставка убирается. Найти движение груза и максималь-
максимальное натяжение пружины. Ко-
Коэффициент жесткости и пру-
пружины известен.
Рис. 146
Рис. 147
Рис. 148
576. Найти частоту малых собственных колебаний около положе-
положения устойчивого равновесия для системы, показанной на рис. 148.
Нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы и не имеют трения
в осях.
577. На доске лежит груз весом Р = 1 кгс. Доска
совершает гармоническое колебание в вертикальном на-
направлении с периодом Т = 1/2 с и амплитудой а = 2 см.
Определить величину силы давления F груза на доску.
578. С какой амплитудой А должна колебаться доска
с грузом в предыдущей задаче, чтобы груз начал отска-
отскакивать от доски?
579. На массивной чашке пружинных весов лежит
маленький грузик (рис. 149). Масса чашки равна га, мас-
масса грузика пренебрежимо мала. Ко дну чашки подвешен
груз массы М. Вся система находится в равновесии. При
каком соотношении между массами М и га грузик на
чашке начнет подскакивать, если быстро снять груз М?
Рис. 149
§ 10. Колебания
95
580. Горизонтальная мембрана совершает синусоидальные коле-
колебания с круговой частотой и и амплитудой А. На мембране лежит
маленький грузик. При каком условии грузик будет колебаться вместе
с мембраной и при каком он начнет подскакивать?
581. Доска совершает гармоническое колебание в горизонтальном
направлении с периодом Т = 5 с. Лежащее на ней тело начинает
скользить, когда амплитуда колебания достигает величины А = 0, 6 м.
Каков коэффициент трения покоя к между грузом и доской?
582. На чашку весов, подвешенную на пружине, падает с высо-
высоты h груз массы m и остается на чашке (рис. 150), не подпрыгивая
относительно нее. Чашка начинает колебаться. Коэффициент жестко-
жесткости пружины к. Определить амплитуду А колебаний (массой чашки
и пружины по сравнению с массой груза можно пренебречь).
583. К пружине прикреплена нить, на которой висит груз мас-
массы m = 1 кг (рис. 151). Оттягивая груз вниз и отпуская, приводят
его в колебания. На какое расстояние х можно оттянуть вниз груз,
чтобы при колебаниях нить все время была натянута? Коэффициент
жесткости пружины к = 0,05кгс/см.
584. Материальная точка (например, шарик на пружине) под дей-
действием квазиупругой силы F = —кх совершает колебания вдоль оси X
вокруг положения равновесия. Показать, что средние по времени зна-
значения кинетической и потенциальной энергий при таких колебаниях
одинаковы.
Рис. 150
Рис. 151
Рис. 152
585. Тело подвешено на пружине и имеет собственный период
колебаний 1/2 с (рис. 152). На тело действует направленная вертикаль-
вертикально синусоидальная сила с амплитудой F = 100 дин и некоторая сила
трения. Определить амплитуду FTp силы трения и коэффициент трения
(сила трения пропорциональна скорости движения), если амплитуда
колебаний при резонансе Ар составляет 5 см.
586. Система совершает вынужденные колебания под действием
внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону. Показать,
что при резонансе при прочих равных условиях работа внешней силы
за период будет максимальной.
96
Задачи
Л
Рис. 153
587. Однородная палочка подвешена за оба конца на двух одина-
одинаковых нитях длины L. В состоянии равновесия обе нити параллельны.
Найти период Т малых колебаний, возни-
возникающих после некоторого поворота палочки
вокруг вертикальной оси, проходящей через
середину палочки.
588. Тело вращения радиуса а с момен-
моментом инерции / (относительно геометриче-
геометрической оси) и массой m катается без сколь-
скольжения по внутренней поверхности цилиндра
радиуса R, совершая малые колебания около
положения равновесия (рис. 153). Найти пе-
период этих колебаний.
589. Решить предыдущую задачу в предположении, что тело ка-
катается по внутренней поверхности эллиптического цилиндра. Одна
из главных осей соответствующего эллип-
эллипса 2А расположена горизонтально, а дру-
другая 2В (ось симметрии) — вертикально
(рис. 154).
590. Достаточно тонкая пластинка
из однородного материала имеет форму
равностороннего треугольника высоты h
(рис. 155). Она может вращаться вокруг
горизонтальной оси, совпадающей с одной
из сторон пластинки. Найти период малых
колебаний Т этого физического маятника.
591. Кольцо из тонкой проволоки совершает малые колебания, как
маятник около горизонтальной оси (рис. 156). В одном случае ось
лежит в плоскости кольца (рис. 156а), в другом перпендикулярна к ней
(рис. 156 6). Определить отношение периодов малых колебаний Т\ и Т%
при этих двух видах колебаний кольца.
Ж
/
/
1
\ т/
/ 90°
/
/
\
\
\
\
\
J
Рис. 154
Рис. 155
Рис. 156
592. Сплошной однородный диск с радиусом г = 10 см колеблется
около оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через
край диска. Какой длины / должен быть математический маятник,
имеющий тот же период колебаний, что и диск?
§ 10. Колебания
97
593. Диск состоит из двух половин одинаковой толщины: одна по-
половина алюминиевая (плотность 2,5 г/см3), вторая — свинцовая (плот-
(плотность Юг/см3). Каково будет отношение периодов
колебаний этого диска вокруг осей, перпендику-
перпендикулярных к плоскости диска? В одном случае ось
проходит через точку А, в другом — через точку В
(рис. 157).
594. Физический маятник состоит из стерж-
стержня квадратного сечения, подвешенного за ко-
конец, и груза, прикрепленного на другом конце
(рис. 158). Груз имеет форму куба с ребром а =
= 40 мм, а стержень длину / = 400 мм и сторону
сечения 6 = 4мм; груз и стержень сделаны из
одного материала. Найти приближенное значение
периода колебаний Т такого маятника (при расчете можно полагать
стержень достаточно тонким).
595. При колебаниях маятника, описанного в преды-
предыдущей задаче, с амплитудой ао = 10°, груз отрывается от
стержня в тот момент, когда маятник проходит положение
равновесия. Каковы будут амплитуда а'о и период колеба-
колебаний Т стержня после отрыва груза?
596. Ответить на вопросы, поставленные в предыдущей
задаче, если груз отрывается при наибольшем отклонении
маятника от положения равновесия.
597. Тонкий однородный стержень длины / качается
около оси, проходящей через конец стержня перпендику-
перпендикулярно к нему. Есть ли такое место на стержне, прикрепив
к которому небольшое по размерам тело значительной мас-
массы, мы не изменим периода колебаний стержня?
Рис. 158 598. Маятник метронома представляет собой груз М,
качающийся около оси О, с прикрепленной к нему спи-
спицей, по которой может перемещаться малый груз m (рис. 159).
Как зависит период колебаний маятника от координаты х грузика?
Массу m считать точечной.
599. В какой точке следует подвесить
однородный стержень длины / (рис. 160),
чтобы частота его колебаний, как физиче-
физического маятника, была максимальна? Чему
равна эта частота?
600. На тонкий стержень длины / наде-
надето с трением небольшое кольцо массы га.
Какая сила действует со стороны стержня
на кольцо, когда стержень, подвешенный
за конец, колеблется, как маятник с малой
угловой амплитудой ао? Расстояние кольца Рис. 159 Рис. 160
4 Под ред. И. А. Яковлева
98
Задачи
к
к
Рис. 161
от оси маятника равно d. Массой кольца при вычислении периода
колебаний можно пренебречь.
601. Однородная пластинка, имеющая форму равностороннего тре-
треугольника, подвешена за вершины тремя нитями, имеющими одинако-
одинаковую длину L. В состоянии равновесия пластинка горизонтальна и нити
вертикальны. Найти период крутильных колебаний пластинки вокруг
вертикальной оси (считать, что каждая
нить отклоняется на малый угол от верти-
вертикали).
602. На горизонтальной плоскости на-
находится цилиндр с моментом инерции /
(относительно продольной геометрической
оси), массой т и радиусом г. К оси цилин-
цилиндра прикреплены две одинаковые горизон-
горизонтально расположенные спиральные пру-
пружины, другие концы которых закреплены
в стене (рис. 161, вид сверху). Коэффи-
Коэффициент жесткости каждой пружины равен к; пружины могут работать
как на растяжение, так и на сжатие. Найти период малых колебаний
цилиндра, которые возникнут, если вывести его из положения равно-
равновесия и дать возможность кататься без скольжения по горизонтальной
плоскости.
603. Однородная квадратная плита подвешена за свои углы к потол-
потолку зала на четырех параллельных веревках, длина каждой из которых
равна /. Определить период малых крутильных колебаний плиты, кото-
которые возникнут, если повернуть ее на малый угол вокруг вертикальной
оси.
604. Три однородных стержня длины / каждый соединены корот-
короткими нитями, образуя фигуру в виде перевернутой буквы П. Горизон-
Горизонтальный стержень этой системы поворачивают на малый угол вокруг
вертикальной оси, проходящей через
центр системы, и отпускают. Найти пе-
период возникших при этом малых коле-
колебаний, если массы стержней одинаковы.
605. Шарик массы т подвешен
на двух последовательно соединенных
пружинках с коэффициентами жестко-
жесткости к\ и &2 (рис. 162). Определить пе-
период его вертикальных колебаний.
606. Найти период крутильных ко-
колебаний диска, плотно насаженного на
составной стержень, состоящий из двух
различных последовательно соединен-
соединенных стержней (рис. 163). Верхний конец А стержня неподвижно за-
закреплен. Если бы диск был насажен только на первый стержень, то
Рис. 162
Рис. 163
§ 10. Колебания
99
>k
период колебаний был бы равен Т\. Если бы он был насажен только на
второй стержень, то период колебаний оказался бы равным Т2.
607. Найти период малых колебаний
физического маятника массы га, к центру
масс С которого прикреплена горизонтальная
спиральная пружина с коэффициентом жест-
жесткости к. Другой конец пружины закреплен
в неподвижной стенке (рис. 164). Момент
инерции маятника относительно точки подве-
са равен /, расстояние между точкой подвеса §1 vv
и центром масс маятника равно а. В положе-
положении равновесия пружина не деформирована.
608. Колебательная система состоит из
однородного стержня длины / и массы га, ко- Рис. 164
торый может вращаться вокруг горизонталь-
горизонтальной оси О, проходящей через его конец и перпендикулярной к про-
продольной оси стержня (рис. 165). Другой конец стержня подвешен на
пружине с коэффициентом жесткости к. Рассто-
Расстояние между серединой стержня и осью вращения
СО = а. Момент инерции стержня относительно
оси О равен /. Найти удлинение пружины xq
(по сравнению с ее длиной в недеформированном
состоянии) в положении равновесия, если в этом
О положении стержень горизонтален. Определить
также период малых колебаний стержня около
положения равновесия.
609. К концу однородного стержня длины /
рис 165 и массы га прикреплена короткая упругая пла-
пластинка. Пластинку зажимают в тисках один раз
так, что стержень оказывается внизу, а другой раз — вверху (рис. 166).
Определить отношение периодов малых колебаний стержня в этих слу-
случаях. Момент упругих сил пластинки пропор-
пропорционален углу отклонения стержня от положе-
положения равновесия, причем коэффициент пропорци-
пропорциональности равен к.
610. Два незакрепленных шарика с масса-
массами гп\ и ni2 соединены друг с другом спираль- /
ной пружинкой с коэффициентом жесткости к.
Определить период колебаний шариков относи-
относительно центра масс системы, которые возникнут
при растяжении пружинки.
611. Два диска с моментами инерции 1\ и /2 Рис. 166
насажены на общую ось, проходящую через их
центры. Осью является стержень с модулем кручения /. Определить
период крутильных колебаний одного диска относительно другого
в предположении, что система свободна. Массой стержня пренебречь.
100
Задачи
¦/WW
§ WWv
Рис. 167
612. Как изменится ход карманных часов, если их положить на
горизонтальный абсолютно гладкий стол? Считать, что ось крутильного
маятника часов проходит через их центр, а момент инерции часов /q
в 500 раз больше момента инерции маятника /.
613. Два сплошных однородных цилиндра одинакового радиуса R
с массами т\ и тп^ лежат на горизонтальном столе и соединены
между собой двумя одинаковыми пру-
пружинами с коэффициентом жесткости к
каждая, как показано на рис. 167 (вид
сверху). Определить период малых ко-
колебаний, которые возникнут, если рас-
растянуть пружины и предоставить систе-
систему самой себе, не сообщая ей дополни-
дополнительной скорости. Цилиндры катаются
по столу без проскальзывания около
неподвижного центра масс системы. Пружины могут работать как на
растяжение, так и на сжатие.
614. На тележке, стоящей на горизонтальных рельсах, подвешен
маятник длины /, масса которого М сравнима с массой тележки т.
Тележка может кататься по рельсам практически без трения. Найти
период малых колебаний маятника. Массой колес пренебречь.
615. На конце тонкого однородного стержня длины / продела-
проделано малое отверстие, через которое продета горизонтально натянутая
непрогибаемая проволока. Найти периоды малых колебаний такого фи-
физического маятника в двух случаях: 1) когда маятник колеблется в вер-
вертикальной плоскости, перпендикулярной проволоке; 2) когда колебания
происходят в вертикальной плоскости, параллельной
проволоке. Во втором случае точка подвеса маятника
может скользить по проволоке без трения. Найти также
отношение этих периодов.
616. В сплошном однородном цилиндре радиу-
радиуса R сделана цилиндрическая полость радиуса R/2
с осью, проходящей через середину радиуса цилиндра
(см. рис. 247). Определить период малых колебаний Т,
которые возникнут, если положить цилиндр на горизон-
горизонтальную плоскость и дать ему возможность кататься по
ней без скольжения.
617. Физический маятник состоит из двух одина-
одинаковых массивных шаров радиуса г = 5 см на невесо-
невесомом стержне (рис. 168). Ось маятника расположена
на расстоянии Ь = 10 см ниже центра верхнего шара.
При каком расстоянии х между центрами шаров период маятника Т
будет наименьшим? Найти этот период, приведенную длину маятника /
и расстояние а между осью и центром масс маятника С.
618. По штанге, вращающейся в горизонтальной плоскости с посто-
постоянной угловой скоростью и;, может скользить без трения груз массы га,
А
С
¦ а
Т
Рис. 168
§ 10. Колебания
101
удерживаемый на некотором расстоянии от оси вращения пружиной
с коэффициентом жесткости к и начальной длиной го. Найти движение
груза, которое возникнет, если штангу мгновенно остановить.
619. На горизонтальной пружине укреплено тело массы М = 10 кг,
лежащее на гладком столе, по которому оно может скользить без тре-
трения (рис. 169). В это тело по-
попадает и застревает в нем пуля
массы т = Юг, летящая с го-
горизонтальной скоростью v =
= 500 м/с, направленной вдоль
м
Рис. 169
оси пружины. Тело вместе с за-
застрявшей в нем пулей отклоня-
отклоняется от положения равновесия и начинает колебаться относительно
него с амплитудой а = 10 см. Найти период колебаний тела.
1 = 25 см
т =
2/
Юг
= 50 см
т -
1 = 25 см
i
i
= 10г f'<
F = 4 кгс
Рис. 170
620. На струне с постоянным натяжением в 4 кгс укреплены две
массы по Юг, как показано на рис. 170. Какие следует задать на-
начальные условия грузикам, чтобы они совершали гармоническое коле-
колебательное движение с одинаковым периодом?
Вычислить частоту этих колебаний (их называ-
называют нормальными). Отклонения при колебаниях
считать очень малыми по сравнению с I.
621. Н.Е. Жуковским было предложено
устройство совершенного (без потерь) подвеса
маятника, схематически показанное на рис. 171.
Муфта А, насаженная на вал С, составляет
одно целое с маятником В. Вал расположен
горизонтально и равномерно вращается с угло-
угловой скоростью и, маятник совершает колебания
в плоскости, перпендикулярной к валу.
Показать, что если угловая скорость вала
достаточно велика и сила трения муфты о вал
не зависит от скорости скольжения, то потери
энергии колебаний в подвесе не будет. Как ве-
велика должна быть угловая скорость вращения
Рис. 171 вала?
102 Задачи
622. Каким образом изменится характер колебаний маятника, если
сила трения муфты о вал (см. рис. 171) будет зависеть от скоро-
скорости скольжения муфты по валу, при сохранении остальных условий
предыдущей задачи? Рассмотреть два случая: 1) сила трения возрас-
возрастает с увеличением скорости скольжения; 2) сила трения уменьшается
с увеличением скорости скольжения.
623. Определить положение равновесия, около которого совершает
колебания маятник, описанный в предыдущей задаче. Известно, что
сила трения вала о муфту равна /iP, где ц — постоянная величина,
Р — величина давления муфты на вал; расстояние от оси вращения до
центра массы маятника равно а и радиус вала R.
§11. Гидростатика и аэростатика
624. Два сплошных тела из одного и того же вещества подвешены
к концам неравноплечего рычага и уравновешивают друг друга в воз-
воздухе. 1) Сохранится ли равновесие, если погрузить эти тела в сосуд
с водой? 2) Изменится ли равновесие, если вещество тел различно?
625. Из какого материала надо сделать гири, чтобы при точном
взвешивании можно было не вводить поправки на потерю веса в воз-
воздухе?
626. Полый металлический шар, внешний и внутренний диаметры
которого d\ и d,2, плавает на поверхности жидкости. Плотность металла
р\, плотность жидкости р2- Какой груз р нужно добавить внутрь
шара, чтобы он плавал внутри жидкости? Сжимаемостью шара можно
пренебречь.
627. Найти условие устойчивости однородного прямоугольного па-
параллелепипеда, плавающего на поверхности жидкости в положении,
когда одно из оснований его горизонтально. Длины сторон горизон-
горизонтального основания А и В, высота С (А > В). Плотность материала
тела относительно жидкости р < 1.
628. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и высоты /,
плавающего в вертикальном положении.
629. Та же задача для однородного цилиндра радиуса г и длины /,
плавающего в горизонтальном положении.
630. Какова подъемная сила F 1 м3 гелия, идущего на наполнение
дирижаблей, если плотность гелия относительно воздуха равна 0,137
и 1 м3 воздуха весит 1,3 кгс?
631. Баллон сферического аэростата имеет объем 700 м3. Баллон
заполнен водородом, 1 м3 которого при давлении в 1 атм весит 90 гс.
Вес корзины, оболочки, всех принадлежностей и двух пассажиров
447 кгс. 1) Сколько надо добавить балласта A\Q, чтобы аэростат урав-
уравновешивался вблизи поверхности Земли при нормальном давлении?
2) Сколько надо затем сбросить балласта A2Q, чтобы подняться на вы-
высоту 2 км, если на этой высоте 1 м3 воздуха весит 1 кгс? У поверхности
Земли 1 м3 воздуха весит 1,3 кгс.
§11. Гидростатика и аэростатика
103
Рис. 172
632. На дне сосуда с жидкостью (или газом) лежит тело, плотность
которого немного больше плотности жидкости (или газа). Можно ли,
повышая давление на жидкость (или газ), за-
заставить тело подняться вверх.
633. Каково давление Р воздуха в кес-
кессоне, опущенном в воду и предназначенном
для подводных работ на дне реки на глу-
глубине /г[м], если атмосферное давление рав-
равно Н [ммрт. ст.]? Плотность ртути р.
634. Тонкая палочка одним концом при-
прикреплена к стенке сосуда, а другим погружена
в воду (рис. 172). Палочка может свободно
вращаться относительно горизонтальной оси шарнира А, находящегося
над уровнем жидкости. Найти плотность р материала палочки, если
при равновесии в воду не погружена \/п часть палочки. Капиллярные
силы не учитывать.
635. Найти силу давления F воды на квадратную стенку аквариума
(сторона равна а). На какой высоте h от дна находится точка прило-
приложения равнодействующей сил давления на стенку?
636. Желоб имеет сечение, указанное на рис. 173. Желоб наполнен
до краев водой. Определить силу давления на 1 м длины боковой
стенки и момент этой силы М относительно ребра А дна.
12 см-
12 см
10 см
24 см
- 26 см -
Рис. 173
Рис. 174
637. Сечение желоба дано на рис. 174. Желоб наполнен водой.
Ответить на вопросы, поставленные в предыдущей задаче.
638. Найти результирующую силу
i c i давления Р воды на речную плотину,
имеющую форму трапеции (рис. 175),
если /i = 5м, d = 10м, с = 15м.
639. Специальным щитом закры-
закрывают воду в канале, подающем во-
воду на мельничное колесо. Определить
момент сил, действующих на щит от-
относительно горизонтальной оси, лежа-
h
LA
104
Задачи
5м
щей в плоскости щита на высоте 0,25 м над уровнем воды, если ширина
канала 1 м и высота уровня запертой в канале воды 0,75 м.
640. Подсчитать усилие, разрывающее вертикальный шов на вы-
высоте Н = 1 м в цилиндрическом сосуде, наполненном водой до краев
(рис. 176).
641. Баллоны из ткани, которая выдерживает на разрыв 850 кгс
на погонный метр, наполнены газом 0. Баллоны с газом представляют
собой шары радиуса Юм. Какое превышение давле-
давления Ар над атмосферным допустимо в баллонах?
642. На какой высоте h плотность воздуха
в земной атмосфере уменьшается вдвое (предпола-
(предполагается, что температура атмосферы неизменна по
всей ее высоте)? У поверхности Земли считать дав-
давление ро — Ю330кгс/м2 и плотность воздуха ро —
= 1,293кг/м3.
643. Найти распределение давления внутри зем-
земного шара, считая его состоящим из однородной
несжимаемой жидкости и пренебрегая осевым вра-
вращением Земли. Вычислить в том же приближении
давление в центре Земли Рц (см. задачу 505).
644. На тележке стоит сосуд с водой. Тележка
движется в горизонтальном направлении с ускоре-
ускорением 0, 29g\ Какой угол а с горизонтом составляет
поверхность воды?
645. Цилиндрический замкнутый сосуд, наполненный водой, за-
закрыт сверху пробкой (рис. 177). Какое ускорение а в горизонтальном
направлении вдоль оси сосуда нужно сообщить сосуду для того, чтобы
пробка вылетела, если она может выдержать давление 0,05 атм, а рас-
расстояние отверстия от одного днища
сосуда 1 м и от другого 0,1 м?
646. Как изменился бы от-
ответ к предыдущей задаче, если
бы сосуд был не цилиндрическим,
а имел вид усеченного конуса,
но расстояния отверстия до днищ
оставались бы теми же самыми?
647. Поезд, в составе кото-
которого имеется закрытая цистерна
с нефтью, двигался со скоростью vo, а затем в результате торможения
начал двигаться равномерно замедленно и, пройдя отрезок пути s,
Рис. 176
0,1м
1м
Рис. 177
1) Упругие напряжения, действующие во всякого рода оболочках, пленках
и т.п., удобно характеризовать силой, отнесенной к единице длины попереч-
поперечного сечения оболочки. Приведенная в условиях задачи прочность ткани на
разрыв означает, что полоса этой ткани шириной в 1 м может, не разрываясь,
выдержать равномерно распределенную по ширине полосы силу в 850 кгс.
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
105
остановился. Найти силы давления нефти на заднюю и переднюю
стенки цистерны во время торможения поезда. Цистерну считать пря-
прямоугольным параллелепипедом с длиной /, шириной а и высотой h;
плотность нефти равна р.
648. Оценить сплюснутость Земли, обусловленную ее осевым вра-
вращением, считая Землю однородным несжимаемым жидким шаром.
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
649. Какова скорость v истечения жидкости из отверстия в стенке
сосуда, если высота h уровня жидкости над отверстием 4,9 м? Вязкость
жидкости не учитывать.
650. Цистерна наполнена водой и нефтью (плотность 0,9г/см3).
Какова будет вначале скорость v истечения воды из отверстия в дне,
если высота слоя воды h\ = 1 м, а слоя нефти h% = 4 м? Вязкостью
пренебречь.
651. Подсчитать максимальное давление ветра, имеющего скорость
20 м/с, на горизонтальную стену, если ветер дует перпендикулярно
к стене. Величину давления выразить в сантиметрах водяного столба.
Плотность воздуха считать равной Vs кгс * с2/м4.
652. В цилиндрическом сосуде, стоящем на подставке, расположены
два отверстия на расстоянии 25 см одно над другим. Струи, вытекаю-
вытекающие из отверстий, пересекаются. Найти точку пересечения струй, если
известно, что уровень воды выше верхнего отверстия на 25 см.
All
Рис. 178
653. На рис. 178 представлена схема водомера: по горизонтальной
трубе переменного сечения протекает вода. Определить расход воды Q
по разности уровней воды Ah в двух манометрических трубках, если
сечения трубы у оснований трубок известны.
654. Схема устройства, позволяющего паровозу на ходу пополнять
запас воды, изображена на рис. 179. Вдоль рельсов устроен канал,
наполненный водой. К паровозу приделана изогнутая труба, опускаю-
опускающаяся в канал так, что ее отверстие направлено вперед. Подсчитайте,
на какую высоту h поднимется вода, если скорость v поезда равна
36 км/ч. Вязкостью воды пренебречь.
106
Задачи
655. Когда один моряк пытался в трюме судна закрыть доской
небольшое отверстие, через которое врывалась струя воды, то это ему
не удавалось, струя отбрасывала
доску. Когда же с помощью това-
товарища ему удалось прижать доску
плотно к отверстию, то он мог за-
затем держать ее один. Объяснить,
почему давление на доску в обоих
случаях разное?
656. В аэродинамических тру-
трубах с помощью вентилятора созда-
создается поток воздуха. Контур закры-
закрытой аэродинамической трубы круг-
круглого сечения имеет форму, показан-
показанную на рис. 180. В начале трубы
находится раструб, через который засасывается воздух из окружающей
среды, затем идет цилиндрическая часть, в которую помещают мо-
модель. Далее — расширяющаяся труба и за ней опять цилиндрическая,
в которой и располагается вентилятор.
1) Рассчитать давление Ар снаружи
на стенку средней цилиндрической ча-
части трубы при скорости потока v =
= 100 м/с. 2) Как изменится результат,
если учесть вязкость воздуха?
Рис. 179
А
h
В
Рис. 180
Рис. 181
657. Схема устройства пульверизатора изображена на рис. 181.
Определить максимальную высоту h, на которую он может засасывать
жидкость из резервуара, если давление перед вхо-
входом в трубку А, где скорость очень мала, равно ро-
Вязкостью пренебречь.
658. Подсчитайте, какая сила F вырывает из ба-
бака сливную трубку, если поперечное сечение струи
S = 4 см2, а расход воды Q = 24 л/мин? Трубка име-
имеет форму, показанную на рис. 182.
659. Найти зависимость от времени силы F,
действующей на дно цилиндрического стакана пло-
Рис. 182 щади S, в который наливают воду из чайника
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
107
Рис. 183
(рис. 183). Известно, что за секунду в стакан наливают постоянное
количество Q [см3] воды.
660. В вертикально стоящий цилиндрический сосуд налита иде-
идеальная жидкость до уровня Я (относительно дна сосуда). Площадь
дна сосуда равна S. Определить вре-
время t, за которое уровень жидкости
в сосуде опустится до высоты h (от-
(относительно дна сосуда), если в дне
сосуда сделано малое отверстие пло-
площади а. Определить также время Т,
за которое из сосуда выльется вся
жидкость.
661. Прямоугольная коробка
плавает на поверхности воды, погру-
погружаясь под действием собственного
веса на глубину h. Площадь дна
коробки равна S, высота Я. Через
какое время коробка утонет, если
в центре дна ее проделать малое отверстие площади а и с помощью
боковых направляющих сохранять неизменной ориентацию коробки?
662. Через какое время наполнится водой шаровая колба радиу-
радиуса R, если в центре ее нижнего основания сделано малое отверстие
площади а? Колба погружена в воду до нижнего основания ее гор-
горлышка.
663. На горизонтальной поверхности стола стоит цилиндрический
сосуд, в который налита вода до уровня Я (относительно поверхности
стола). На какой высоте h (относительно поверхности стола) надо
сделать малое отверстие в боковой стенке сосуда, чтобы струя воды
встречала поверхность стола на максимальном
расстоянии от сосуда? Вычислить это расстоя-
расстояние.
664. Определить форму сосуда, чтобы уро-
уровень жидкости в нем опускался с постоянной
скоростью, если в центральной точке дна про-
проделать малое отверстие.
665. В широкий сосуд с плоским дном на-
налита идеальная жидкость. В дне сосуда сдела-
сделана длинная и узкая щель, в которую вставле-
вставлена насадка, образованная двумя плоскостями,
наклоненными друг к другу под малым углом
(рис. 184). Расстояние между ними в нижней
части насадки равно 1\, а в верхней — 1%. Опре-
Определить распределение давления жидкости в насадке, если атмосферное
давление равно Pq. Длина насадки равна h, расстояние между нижним
концом насадки и уровнем жидкости в сосуде равно Я.
Рис. 184
108
Задачи
Рис. 185
666. Вода вытекает из широкого резервуара через вертикальную
коническую трубу, вставленную в его дно. Длина трубы равна I,
диаметр верхнего основания d\, нижнего осно-
основания d<i (d\ > (I2). При каком уровне Н воды
в резервуаре давление в верхнем сечении трубы
будет равно Р, если атмосферное давление рав-
равно Ро?
667. Определить скорость v стационарного
истечения через малое отверстие струи идеаль-
идеальной несжимаемой жидкости, находящейся под
давлением Р в закрытом сосуде (рис. 185).
668. Для того чтобы струя жидкости выте-
вытекала из сосуда с постоянной скоростью, при-
применяют устройство, изображенное на рис. 186. Определить скорость
истечения струи v в этом случае.
669. Определить скорость стационарного течения вдоль оси и рас-
расход несжимаемой жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами
с внутренним радиусом R\, внешним Щ и длиной /. (Расходом жидко-
жидкости называется масса ее, ежесекундно протекающая через поперечное
сечение трубы.)
670. Показать, что при ламинарном стацио-
стационарном течении несжимаемой жидкости вдоль
прямолинейной трубы произвольного попереч-
поперечного сечения S и длины / скорость жидкости
v удовлетворяет уравнению
ду2
dz2
F70.1) ^?fb^
(Координатная плоскость YZ перпендикулярна
к оси трубы, оси Y и Z взаимно перпендику-
перпендикулярны и ориентированы произвольно.)
671. Определить скорость течения и расход рис ^6
жидкости в трубе эллиптического сечения.
672. Пользуясь соображениями размерности, найти вид формулы,
определяющей расход несжимаемой жидкости при стационарном лами-
ламинарном течении вдоль прямолинейной трубы произвольного поперечно-
поперечного сечения.
673. На тележке стоит цилиндрический сосуд, наполненный водой.
Высота воды в сосуде 1 м. В сосуде с противоположных сторон по ходу
тележки сделано два крана с отверстиями площадью 10 см2 каждое,
одно на высоте h\ = 25 см над дном сосуда, а другое на высоте h^ =
= 50 см. Какую горизонтальную силу F нужно приложить к тележке,
чтобы она осталась в покое при открытых кранах?
674. На весах для демонстрации давления жидкости на дно сосуда
(рис. 187) установлен прямой цилиндр с водой. Высота столба воды
в нем h = 25 см. Как изменится нагрузка, уравновешивающая давление
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
109
на дно, если через отверстие в дне цилиндра вытекает струя воды
с сечением 5=1/4 см2? Понижение уровня воды в цилиндре можно
не учитывать.
h=25см
Рис. 187
Рис. 188
675. Как изменится сила давления воды на щит (см. задачу 639),
если поднять его над дном канала так, что из-под щита будет вытекать
струя воды высотой 5 см, а уровень воды перед щитом останется
прежним? Скорость по высоте струи считать одинаковой.
676. Дать приближенный расчет максимальной мощности и опре-
определить наивыгоднейшую скорость вращения нижнебойного колеса
(рис. 188), если известны: высота напора воды ft = 5 м, поперечное
сечение струи S = 0,06 м2, радиус колеса R = 1,5 м. Вода струи непре-
непрерывно бьет в лопасти и после удара падает вниз.
677. Вода, вытекающая из насадки пожарного насоса, имеет ско-
скорость, достаточную для того, чтобы струя достигала высоты 20 м.
Насколько поднимется температура воды, если направить эту струю
в закрытый неподвижный бак? Считать, что выделяющееся тепло пой-
пойдет только на нагревание воды. Трением воздуха пренебречь.
678. При обсуждении проекта гидроледореза — машины для ре-
резания льда струей воды, выбрасываемой под давлением около 60 атм,
высказывалось предположение, что резание льда происходит за счет
того, что при ударе о лед вода нагревается и лед под ней тает. Обсудите
справедливость такого предположения.
679. Определить форму свободной поверхности жидкости, равно-
равномерно вращающейся с угловой скоростью и вокруг вертикальной оси Z
в цилиндрическом сосуде.
680. 1) Найти распределение давления р на дне сосуда вдоль ради-
радиуса в условиях предыдущей задачи. 2) Определить величину давления
у стенок сосуда вблизи его дна, если сосуд вращается со скоростью
4 об/с. Высота столба воды на оси цилиндра равна 10 см. Радиус
цилиндра равен также 10 см.
681. Цилиндр, наполненный водой, закрыт со всех сторон; в нем
находятся: пробка, кусочек свинца и некоторое тело А, плотность
по
Задачи
которого равна плотности воды. Цилиндр приводят в быстрое вращение
вокруг его оси. Как будут расположены тела в цилиндре, если ось
вращения вертикальна?
682. Цилиндр, наполненный водой, равномерно вращается со ско-
скоростью 1 об/с вокруг вертикальной оси, увлекая за собой и воду.
К гладкому горизонтальному стержню, расположенному по диаметру
цилиндра и погруженному в воду, прикреплен кубик с ребром в 2 см,
сделанный из материала с плотностью р = 2 г/см3. Кубик прикреплен
так, что может скользить по стержню и удерживаться пружинкой на
расстоянии 50 см от оси цилиндра. Найти натяжение пружинки Т.
683. Во вращающемся сосуде давление на дно у стенки сосуда
(см. задачу 680) больше, чем в центре. Почему же при вращении сосуда
вода не течет от стенки к его центру?
684. Можно ли измерить распределение давления жидкости во
вращающемся сосуде следующими способами.
1) Манометрическая трубочка В вращается вместе с сосудом и за-
заполняется той же жидкостью, что и сосуд, как указано на рис. 189.
Капиллярные давления в трубочках можно не учитывать.
2) Манометрическая трубочка состоит из двух частей, соединенных
через муфту С, как показано на рис. 190. Часть трубочки АС закреп-
закреплена неподвижно относительно сосуда, вторая часть CD неподвижна
относительно земли. Муфта С обеспечивает герметичное соединение
этих частей и находится на оси цилиндра.
3) Манометрическая трубочка имеет такой же вид, как показано на
рис. 190, но обе части трубочки у муфты С скреплены друг с другом.
Следовательно, и часть АС неподвижна относительно земли. Трубочка
АС, находящаяся в сосуде, достаточно тонка и не влияет на движение
жидкости. Край отверстия А расположен горизонтально.
685. В сосуде, изображенном на рис. 189, над водой находится
масло, так что высота слоя масла в центре равна 2 см. Какую форму
принимает теперь поверхность воды при вращении сосуда около верти-
вертикальной оси и как изменится высота уровня в трубочке, если плотность
масла 0,8 г/см3?
15см
Рис. 189
Рис. 190
Ф
Рис. 191
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
111
686. Вращающаяся в сосуде вода приняла форму, изображенную
на рис. 191. Высота воды у стенки сосуда h = 15 см. Найти силу F,
действующую на вертикальную полоску стенки сосуда шириной в 1 см.
687. Цилиндрический сосуд радиуса R с налитой в него идеаль-
идеальной несжимаемой жидкостью вращается вокруг своей геометрической
оси, направленной вертикально, с угловой скоростью и. Определить
скорость истечения струи жидкости через малое отверстие в боковой
стенке сосуда при устано-
установившемся движении жидкости
(относительно сосуда).
688. Некто предложил сле-
следующий проект вечного двига-
двигателя. Сосуд А (рис. 192) плот-
плотно окружен кольцевым жело-
желобом С с трубкой В; стенки
сосуда имеют отверстия Е, че-
через которые жидкость из сосу-
сосуда проходит в желоб С и труб-
трубку В. Сосуд А может вращать-
вращаться, а желоб С остается при
этом в покое. Легко видеть,
что при вращении возникает
движение жидкости по труб-
трубке В, если она предваритель-
предварительно вся была заполнена жидко-
жидкостью. При равномерном враще-
вращении сосуда А жидкость будет переливаться через трубку В, и струю
жидкости можно использовать для приведения во вращение водяного
колеса D. Автор проекта предлагал часть работы водяного колеса,
через специальную передачу (на рисунке не показана), использовать
на преодоление трения при равномерном вращении сосуда. Почему не
будет работать такой двигатель?
689. В боковой стенке сосуда имеется отверстие, нижний край
которого находится на высоте h (рис. 193). При каком горизонтальном
ускорении а сосуда налитая в него жид-
жидкость не будет выливаться из отверстия,
если в покоящемся сосуде (при закрытом
отверстии) жидкость была налита до вы-
высоты Я?
690. Сосуд прямоугольной формы, на-
наполненный водой, может без трения пе-
перемещаться вдоль горизонтальных рельсов
(рис. 194). В боковой стенке сосуда вблизи
Рис. 192
я
1
j:
h
Рис. 193
его дна сделано малое отверстие, закрытое пробкой. Если вынуть
пробку, то под действием силы реакции вытекающей струи сосуд
придет в движение. Определить скорость этого движения, когда вся
112
Задачи
жидкость вытечет из сосуда. Массу сосуда в течение всего времени
движения считать пренебрежимо малой по сравнению с массой воды.
(В конце движения это условие перестанет выполняться. Обсудить, как
это обстоятельство повлияет на точность окончательного результата.)
Негоризонтальностью поверхности жидкости во время движения пре-
пренебречь.
h
Рис. 194
Рис. 195
691. Решить предыдущую задачу в предположении, что сосуд име-
имеет коническую форму (рис. 195).
23 см -
15 см
10 см
10 см 10 см 10 см 10 см
Рис. 196
692. На рис. 196 изображен известный опыт с течением вязкой
жидкости по трубе, показывающий падение давления вдоль трубы.
Как на основании данных, указанных на рисунке, определить скорость
вытекающей жидкости, если плотность ее равна 1 г/см3?
693. Для определения подъемной силы крыла важно знать, что при
плоском безотрывном обтекании 0 тела идеальной жидкостью сила,
действующая вверх со стороны потока на любой мысленно вырезанный
1) При плоском течении каждая трубка тока лежит в плоскости, параллель-
параллельной некоторой заданной плоскости. Безотрывное течение — такое, при котором
жидкость плавно обтекает тело без образования завихрений за телом.
§13. Акустика 113
вертикальный цилиндрик сечения dS, выражается так:
где v\ — скорость у верхней поверхности цилиндрика, v^ — у нижней,
р — плотность жидкости. Вывести приведенную формулу.
694. Модель корабля длиной 1\ = 5 м приводится в движение
мотором с мощностью Р\ = 5 л. с. со скоростью v\ = 15 км/ч. Какой
мощности Р требуется мотор для приведения в движение корабля
длиной / = 80 м, геометрически подобного модели, если его движение
гидродинамически подобно движению модели? Определить скорость
корабля v при таких условиях.
695. Во сколько раз следует изменить угловую скорость вращения
вертикального винта вертолета и мощность его двигателя, чтобы подъ-
подъемная сила осталась неизменной при замене винта и самого корпуса
вертолета геометрически подобными им, но с линейными размерами,
увеличенными в а раз?
§ 13. Акустика
696. Пуля пролетела со скоростью 660 м/с на расстоянии 5 м от че-
человека. На каком расстоянии от человека была пуля, когда он услышал
ее свист?
697. Эхолот измеряет глубину моря по отражению звука от мор-
морского дна. Какова должна быть минимальная точность в определении
времени отправления и возврата сигнала, если прибор рассчитывается
на измерение глубин более 30 м с точностью до 5%? Скорость звука
в воде 1500 м/с.
698. Паровоз подходит к наблюдателю со скоростью 20 м/с. Какую
частоту основного тона гудка он услышит, если машинист слышит тон
в 300 Гц? Насколько изменится частота гармоник гудка?
699. Два камертона дают 20 биений за 10 с. Частота колебаний
одного камертона 256. Чему равна частота колебаний другого?
700. Камертон, излучающий звук частоты щ, приближается к уда-
удаленной стене со скоростью и по нормали к ней. Неподвижный прием-
приемник звука помещается на линии движения камертона. Пусть: 1) ка-
камертон находится между стеной и приемником; 2) приемник находится
между камертоном и стеной. Будет ли приемник звука регистрировать
акустические биения, если скорость и много меньше скорости звука с?
Какова будет частота этих биений?
701. При измерении скорости звука методом пыльных фигур Кунд-
та (рис. 197) длина полуволны звука в воздухе оказалась равной 6 см.
Чему равна скорость v звука в стержне, если длина стержня равна
60 см и закреплен он в середине?
702. Длина закрытой с концов трубы равна 1,7 м. Подсчитать
собственные частоты Nk этой трубы.
114 Задачи
703. Найти частоты N^, на которые будет резонировать труба
длиной 1,7 м, закрытая с одного конца.
Труба Стержень
"II" "И" "И" "И" "II" 11 fk
?ц Тиски
Рис. 197
704. В цилиндрической, открытой с концов трубе возбуждаются ко-
колебания, соответствующие второй гармонике. Изобразить графически
распределение амплитуды смещения частиц вдоль трубы, распределе-
распределение амплитуд скорости и амплитуд давления. Указать места, в которых
потенциальная и кинетическая энергия имеют наибольшее значение.
705. Какова длина L струны, если при укорочении ее на 10 см
частота колебаний повышается в полтора раза? Натяжение струны
остается неизменным.
706. Две синусоидальные волны излучаются двумя источниками.
Как найти движение частицы, находящейся на расстояниях d\ и с?2
от этих источников, если распространение волн подчиняется принципу
суперпозиции, источники колеблются в одинаковой фазе и с одинако-
одинаковой частотой и если направления колебаний в рассматриваемой точке
совпадают?
707. Определить адиабатическую сжимаемость воды, если скорость
звука в воде примерно равна 1500 м/с. (Коэффициент сжимаемости ве-
вещества равен относительному уменьшению его объема при увеличении
давления на 1 атм.)
708. В жидком гелии, обладающем при Т = 4,2К плотностью
0,15 г/см3, скорость звука равна 220м/с. Найти адиабатическую сжи-
сжимаемость C жидкого гелия.
709. Стержень с закрепленными концами имеет длину / = 1 м. При
трении стержень издает звук, основная частота которого щ = 700 Гц.
Какова скорость звука с в стрежне? Какие обертоны может иметь звук,
издаваемый стержнем?
710. Две струны имеют одинаковую длину и натяжение. Как
относятся периоды их собственных колебаний, если диаметр одной
струны в два раза больше диаметра другой? Струны сделаны из одного
материала.
711. Как следует изменить натяжение струны, чтобы она давала
тон в три раза более низкий?
712. Почему скорость звука в идеальном газе не зависит от давле-
давления, а зависит только от температуры?
713. Подсчитать максимальное ускорение и максимальную скорость
частицы воздуха в ультразвуковой волне с частотой 50000 Гц и ампли-
амплитудой смещения частицы 0,1 мкм. (Законы распространения ультразву-
§13. Акустика 115
ковых волн в воздухе впервые были исследованы Н. П. Неклепаевым
в лаборатории П. Н. Лебедева.)
714. Струна звучит с частотой 400 Гц. В каком месте и как следует
задержать движение струны, чтобы она звучала с частотой: 1) 800 Гц;
2) 1200 Гц? Можно ли, зажимая струну, понизить частоту ее звучания?
715. Показать, что для любой бегущей акустической волны отно-
относительное изменение давления dp/p в данной точке равно отношению
скорости частицы к скорости звука, умноженному на 7 — cp/cv, где ср
и cv — теплоемкости вещества среды соответственно при постоянном
давлении и постоянном объеме.
716. Плоская бегущая акустическая волна может быть представле-
представлена следующим уравнением:
2/ = O,O5sinA98O?-6x),
где у — смещение частицы в направлении распространения волны
в сантиметрах, t — время в секундах, х — расстояние в метрах по оси,
вдоль которой распространяется волна. Найти: 1) частоту колебаний
v в секунду; 2) скорость с распространения волны; 3) длину волны Л;
4) амплитуду колебаний скорости и каждой частицы и 5) амплитуду
колебаний давления Ар, если давление р и объем v связаны законом
адиабаты рг>1?4 = const.
717. По одному направлению бегут две синусоидальные плоские
волны со скоростями распространения v\ и v^ и длинами волн Ai и А2
соответственно. Найти скорость и перемещения в пространстве тех то-
точек, где колебания, соответствующие каждой волне, имеют одинаковую
фазу. Найти расстояние Л между двумя подобными точками.
718. Понятие групповой скорости можно весьма наглядно иллю-
иллюстрировать, разобрав следующий пример. Пусть идут рядом две коман-
команды спортсменов: мужская и женская. В каждой команде спортсмены
идут цепочкой, один за другим, с интервалами в женской команде
d\, в мужской d^. Женская команда движется со скоростью v\, муж-
мужская со скоростью г?2. Через определенные промежутки времени мимо
неподвижного наблюдателя проходит пара идущих рядом спортсменов.
Если наблюдатель сам начнет двигаться, то он может эти промежутки
времени уменьшить. С какой скоростью и должен двигаться наблюда-
наблюдатель, чтобы мимо него спортсмены проходили только парами?
719. Амплитуда колебаний давления звуковой волны Ар = 100
дин/см2 (громкий звук). Найти поток энергии J, попадающей за 1
с в ухо человека. Считать площадь S уха равной 4 см2 и ухо перпенди-
перпендикулярным к направлению распространения волны. Плотность воздуха
р = 1,3- 10~3 г/см3, скорость звука 334 м/с.
720. Человек с хорошим слухом может еще слышать звук с ко-
колебанием давления до 0,001 дин/см2 при частоте 2000 Гц. Подсчитать
амплитуду А смещения частиц воздуха в такой волне.
721. Акустический резонатор представляет собой обычно шарооб-
шарообразную полость с нешироким горлом и отростком с очень малым от-
116 Задачи
верстием на противоположной стороне (рис. 198). Акустическая волна
приводит в колебание воздух в горле резонатора. Масса этого воздуха
колеблется вдоль горла примерно как
твердое тело, а воздух в полости по от-
отношению к этой массе играет роль пру-
пружины, так как скорость частиц воздуха
S [) ^р при колебаниях в горле велика по срав-
сравнению с их скоростью в шарообразной
полости.
Найти период собственных колеба-
колебаний воздуха в резонаторе, считая из-
рис jgg вестными площадь сечения горла S,
его длину /, объем шаровой полости V
и скорость звука в воздухе с. Воспользоваться аналогией с задачей 563
о колебаниях поршня, закрывающего цилиндр с газом.
722. Как изменится частота, на которую будет резонировать аку-
акустический резонатор, если его наполнить водородом вместо воздуха?
(Плотность водорода относительно воздуха 0,069.)
§ 14. Специальная теория относительности О
723. Вдоль оси X инерциальной системы отсчета К движется
ракета со скоростью V = 0,9с (с — скорость света), проходящая начало
координат О в момент времени t = 0. В момент t\ = 9 с вслед за
ракетой посылается световой сигнал из точки О, а с ракеты — световой
сигнал в точку О. Предполагая, что ракета движется в вакууме, найти:
1) момент времени ^2, когда световой сигнал, посланный из точки О,
достигнет ракеты; 2) момент времени ?3> когда сигнал, посланный
с ракеты, придет в точку О; 3) на каком расстоянии х^ от точки О
будет ракета, когда к ней придет сигнал из точки О; 4) когда вернется
в точку О посланный из нее сигнал, если он отражается от зеркала,
установленного на ракете (момент времени ?4)?
724. Найти связь между промежутком собственного времени меж-
между двумя событиями (т. е. в инерциальной системе отсчета, в которой
рассматриваемые события наступают в одной точке) и промежутком
времени между этими же двумя событиями в другой инерциальной
системе отсчета, в которой эти два событие наступают уже в разных
точках (и где отсчитывается уже координатное время), с помощью
следующего мысленного эксперимента.
х) Поскольку разделу «Специальная теория относительности» лишь в по-
последнее время стали уделять заметное внимание в курсе общей физики, а в
этот задачник впервые вводятся задачи, связанные с СТО, было сочтено
целесообразным привести в виде Приложения основные предположения и опре-
определения, принятые в СТО (см. стр. 236). Как в условиях, так и в решениях
задач данного параграфа приводятся ссылки на формулы этого Приложения.
§ 14. Специальная теория относительности
117
zo = zo
В системе К' на оси zr на расстоянии z'o от начала отсчета О'
закреплено зеркало (рис. 199). Из источника, находящегося в 0х,
вдоль z1 направляют световой сигнал, посылка и об-
обратный приход которого фиксируются по часам, по- ^
коящимся в О'. Эти часы отсчитывают промежуток
собственного времени Дто. Эти же два события (по-
(посылку и прием сигнала) рассмотрите в системе К
(рис. 200) и найдите промежуток времени между
двумя этими событиями в этой системе. Считая, что
в момент посылки сигнала начала отсчета О и О'
совпадают, а часы в этот момент в обеих системах о1 "~
в точке, где совпадают начала О и 0х, отсчитывают
моменты времени t = 0 и t' = 0, найти показания рис jgg
часов из систем К и К' для события «возвращение
сигнала». Расстояния по направлениям, перпендикулярным скорости
относительного движения, определенные во всех системах, одинаковы.
725. Космический корабль с посто-
К янной скоростью V = B4/25)с движется
по направлению к центру Земли. Какое
расстояние в системе отсчета, связанной
с Землей, пройдет корабль за промежуток
времени Д?х = 7 с, отсчитанный по кора-
корабельным часам? Вращение Земли и ее ор-
орбитальное движение не учитывать.
726. Найти связь между собственной
длиной стержня Zo и его длиной, изме-
измеренной в системе отсчета К, относительно
которой он движется со скоростью V, на
основе следующего мысленного эксперимента. В системе К' покоящий-
покоящийся стержень расположен на оси х', так что один его конец находится
в О' (х\ = 0), а другой в точке х'2 = Zo (рис. 201).
Из О' вдоль стержня посылается световой сиг-
сигнал, который, отражаясь от зеркала, установ-
установленного в точке х2, возвращается обратно. В О'
есть часы, отмечающие моменты посылки и воз-
возвращения сигнала; разность показаний этих ча-
часов определяет интервал собственного времени
Дто. Длина стержня Zo равна сДто/2. Рассмот-
Рассмотрите эти же два события (посылку и приход рис 201
светового сигнала) в системе К и, пользуясь
постулатом об инвариантности скорости света в вакууме во всех систе-
системах отсчета, найдите длину стержня Z в системе К (рис. 202) и связь
между Z и Zo.
727. Космонавт находится в неосвещенном космическом корабле,
движущемся относительно Земли со скоростью, очень близкой к ско-
скорости света с. На небольшом расстоянии от космонавта расположено
О Ш В ШОГ х, х'
2 2
Рис. 200
Л К1
118
Задачи
зеркало так, что линия, соединяющая космонавта и зеркало, параллель-
параллельна скорости корабля. Увидит ли космонавт свое изображение в зеркале
после включения источника света,
расположенного рядом с космонав-
космонавтом? (Загадка Эйнштейна.)
728. 1) Фронт плоской свето-
световой волны, идущей в вакууме, пада-
падает под углом а на плоскую поверх-
поверхность АВ фотолюминесцирующего
вещества. Найти скорость v пере-
перемещения границы свечения Ф вдоль
Рис. 202
прямой АВ. Можно ли считать эту скорость v скоростью распростра-
распространения некоторого сигнала вдоль прямой АВ (рис. 203)?
2) Световой «зайчик» от пульсара NP-0532 в Крабовидной туман-
туманности перемещается по поверхности Земли со скоростью v ~ 1024см/с
(угловая скорость вращения пульсара
^200с~1, а расстояние до пульсара по-
порядка 1021 см). Можно ли скорость v пе-
перемещения «зайчика» пульсара рассмат-
рассматривать как скорость распространения све- j Ъ*^ в
тового сигнала? Ф
729. Из начала отсчета системы К ри 203
вдоль оси х через интервал времени Т
(по часам К) посылаются кратковременные световые импульсы. Найти
интервал времени, через который эти импульсы будут приходить к на-
наблюдателю в системе К', учитывая также относительность промежут-
промежутков времени между событиями (см. задачу 724). Рассмотреть случаи
удаления и сближения наблюдателя и источника. Переходя от пери-
периодов к частотам, получить релятивистские формулы для продольного
эффекта Доплера.
730. Используя преобразования Лоренца, показать, что: 1) два
события, одновременно наступившие в одной системе отсчета К, во
всех других системах отсчета наступают в разные моменты времени
(если только они не наступили в одной и той же точке системы К);
2) два события, наступившие в одной и той же точке системы К, во
всех других системах отсчета наступают в точках, имеющих различные
координаты (если только в системе К они не были одновременны).
731. Неподвижный в системе К наблюдатель может измерить
длину движущегося стержня следующим образом. Пусть стержень
ориентирован вдоль общей оси х, х1 и покоится в К'. Наблюдате-
Наблюдателю из К известна (он может ее измерить) скорость системы К' (и
стержня) V. В руках наблюдателя часы, по которым он отмечает
моменты прохождения мимо него начала и конца стержня t\ и t^\ пусть
At = t2 — t\. Тогда он считает длиной стержня величину V(t\ —?2).
Показать, что и при таком определении длины справедлива формула
I = hy 1 — V2/c2, где /о — собственная длина стержня.
§ 14. Специальная теория относительности 119
732. Получить формулу, связывающую промежуток собственного
времени между двумя событиями Дто с промежутком времени между
теми же двумя событиями At', отсчитанными в любой другой системе
отсчета (К'): t
Если два события происходят в системе К в одной и той же точке, но
в разные моменты времени t\ и t^, то Дто = t^ —t\. Наблюдатель любой
другой системы, определив координаты этих же событий, установит
расстояние между точками, в которых они наступили, и, разделив его
на известную ему относительную скорость систем отсчета, получит
величину At'.
733. Стержень, собственная длина которого равна 1$, покоится
в системе отсчета К'; он расположен так, что составляет с осью х'
угол ip'. Какой угол составляет этот стержень с осью х другой системы
отсчета К? Чему равна длина этого стержня в системе К?
734. Пользуясь формулами преобразования Лоренца, показать, что
в момент t = 0 (в системе К) все часы системы К', находящиеся на
положительной оси х, отстают от часов системы К, а все часы из К' на
отрицательной оси х опережают часы системы К. Разница показаний
часов возрастает по мере удаления от начала координат О по закону
Аналогично в момент t' = 0 (в системе К') все часы системы К,
находящиеся в точках х' > О оси х', опережают часы из системы К',
а находящиеся в точках х' < О — отстают. Разница показаний часов
возрастает по мере удаления от начала координат О' по закону
В чем причина различия в знаках в полученных формулах? Не наруша-
нарушается ли этим равноправие систем К и К'? Что нужно сделать, чтобы
добиться симметрии в формулах?
735. Стержень, собственная длина которого равна 1о, расположен
параллельно оси х и движется в положительном направлении оси у.
Скорость его в системе К равна w. В системе К' этот же стержень
оказывается несколько наклоненным относительно положительного на-
направления оси х'. Объясните этот результат, не пользуясь преобразо-
преобразованиями Лоренца. Пусть центр стержня проходит через точку х = О,
у = 0, х' = 0, у' = 0 в момент времени t = t' = 0. Вычислите угол (р',
образованный стержнем и осью х' в системе К'.
736. Метровый стержень, расположенный параллельно оси х си-
системы К, движется вдоль оси х со скоростью V. Тонкая пластинка,
параллельная плоскости xz системы К, движется вверх вдоль оси у
со скоростью w. В пластинке проделано круглое отверстие диаметром
120 Задачи
в 1 м, центр которого лежит на оси у. Середина метрового стержня
оказывается в начале координат системы К в тот самый момент,
когда движущаяся вверх пластинка достигает плоскости у = 0. Но
метровый стержень относительно К испытал лоренцево сокращение и,
следовательно, свободно проходит через отверстие. Соударения между
стержнем и пластинкой по этим соображениям не произойдет.
Однако рассмотрим это «столкновение» с точки зрения системы К',
связанной со стержнем. В системе К' стержень не подвержен сокраще-
сокращению, поскольку он покоится, зато лоренцево сокращение испытывает
отверстие в пластине. Следовательно, по этим соображениям соударе-
соударение между метровым стержнем и отверстием будто бы неизбежно.
Произойдет ли соударение стержня с пластинкой в действительно-
действительности? (Парадокс метрового стержня.)
737. Имеются три инерциальные системы отсчета К, К', К", все
оси координат которых параллельны друг другу. Система К' движется
равномерно и прямолинейно со скоростью V\ относительно системы К,
причем вектор ее скорости параллелен осям х. Система К" движется
с постоянной скоростью V2, параллельной V\, относительно систе-
системы К'. В начальный момент времени начала координат всех трех
систем совпадают между собой.
Показать, что результат последовательно выполненных преобразо-
преобразований Лоренца для координат и времени при переходе от системы К
к системе К' и затем от системы К' к системе К" эквивалентен
преобразованию Лоренца, осуществляемому непосредственно при пе-
переходе от системы К к системе К", с соответствующим значением их
относительной скорости.
Показать, что результат двойного преобразования Лоренца в этом
случае коммутативен относительно скоростей V\ и У% систем коорди-
координат К' и К".
738. Пусть система К' движется относительно системы К так,
как описано в условии предыдущей задачи, но система К" движется
равномерно относительно системы К' со скоростью V2, параллельно
осям у. Выразить координаты х", у", z" и время t", измеряемые
в системе К", через х, у, z и t в системе К. Заметьте, что в этом
случае окончательный результат преобразования времени t" —> t и ко-
координат х", у", z" —> х, у, z не коммутативен относительно скоростей
V\ и V2 (ср. предыдущую задачу).
739. Пусть в системе К движение частицы задано выражениями:
х = x(t), у = y(t), z = z(t). Определяя скорость обычными формулами,
например, vx = dx/dt и т.д., и применяя преобразования Лоренца,
найти формулы преобразования компонент скоростей при переходе от
системы отсчета К к системе К', где соответственно vx = dx/dt' и т.д.
740. 1) Используя формулы преобразования компонент скорости,
полученные в предыдущей задаче, рассмотреть случай, когда в систе-
системе К частица движется вдоль оси х, так что vx = v. Найти формулу
преобразования величины скорости для этого случая.
§ 14. Специальная теория относительности 121
2) Для случая движения частицы вдоль оси х, рассмотренного
в п. 1, доказать следующую теорему. Если скорость движения частицы
v в системе К меньше с, то в любой другой системе отсчета ее скорость
также меньше с. При этом предполагается, что относительная скорость
систем отсчета также всегда меньше с.
741. С помощью формулы преобразования скоростей (см. задачу
740) получить результат опыта Физо. В этом опыте в лабораторной
системе отсчета определялась скорость света в воде, текущей со скоро-
скоростью V. В результате опыта Физо получил для скорости света значение
с ( 1 \
v = —Ь VI 1 о ), где п — показатель преломления воды. Какого
п \ п1)
порядка члены относительно V/c отброшены при выводе теоретической
формулы?
742. Пусть в системе К две частицы движутся вдоль оси х на-
навстречу друг другу со скоростями г; 1 = а\с и i?2 = а<}С, где а\ и а^
больше 1/2, но меньше 1. Найти скорость сближения этих частиц
в системе К. Эта скорость превосходит с, что, однако, не противоречит
основам теории относительности. Почему? Найти относительную ско-
скорость частиц согласно формуле преобразования скоростей и убедиться,
что эта скорость всегда меньше с.
743. 1) В системе К' частица движется в плоскости х'у' со скоро-
скоростью v' под углом в' к оси х'. Найти абсолютную величину скорости v
в системе К и угол 9, который составляет скорость частицы с осью х.
2) Пусть в системе К' луч света распространяется в вакууме
вдоль оси у'. Найти угол, который образует этот луч света с осью у
системы К (угол аберрации), применяя формулы, полученные в преды-
предыдущей задаче. Оси у и у' направить вниз. Найти выражение для угла
аберрации классической теории, т. е. применяя преобразования Галилея
и классическую формулу «сложения» скоростей. На какой порядок от-
относительно величины V/c отличаются классическая и релятивистская
формулы?
744. Проверить, что преобразования Лоренца оставляют инвари-
инвариантным интервал между событиями.
745. Имея в виду, что положение частицы в данный момент време-
времени является событием, записать интервал между двумя такими событи-
событиями в системе К, относительно которой она движется, и в системе К',
относительно которой она покоится. В силу инвариантности интервала
еще раз получить связь между промежутком собственного времени
между двумя событиями и промежутком координатного (лабораторно-
(лабораторного) времени между теми же событиями.
746. Найти условие того, что можно подобрать такую систему К'',
в которой два события, происходящие в системе отсчета К в разных
точках пространства и в разные моменты времени, происходили бы:
1) в одной точке системы К'\ 2) одновременно в системе К'\ 3) насту-
наступали бы в системе К1 в одной точке и в один и тот же момент времени.
122 Задачи
747. Исходя из классического и релятивистского уравнений движе-
движения, вывести выражения для энергии частицы.
748. Найти зависимость координаты и скорости частицы от време-
времени, если движение одномерное, сила постоянна, а уравнение движе-
движения — релятивистское. Сравнить полученное решение с решением для
того же случая, но для классического уравнения. Убедиться, что при
решении релятивистского уравнения — в соответствии с основными
принципами теории относительности — скорость частицы в любой
момент времени остается меньше с.
749. Сравнить величину релятивистского и классического импуль-
импульсов электрона при скорости v = B4/25)с = 0,96с.
750. Найти выражение для трехмерного ускорения частицы из
релятивистского уравнения движения (9).
751. Рассмотреть движение электрона в плоском конденсаторе (на-
(напряженность электрического поля Е) на основе классического и реля-
релятивистского уравнений динамики. Начальные условия: в момент t =
= 0 электрон влетает в конденсатор со скоростью vo, параллельной
пластинам. Найти скорость и координаты электрона как функцию вре-
времени и траекторию электрона. Сравнить классический и релятивист-
релятивистский случаи и убедиться, что при условии (у/с) <С 1 релятивистские
результаты переходят в классические. Почему проекция скорости элек-
электрона на направление, параллельное пластинам конденсатора, остается
постоянной в классическом случае и убывает в релятивистском?
752. Найти скорость частицы (заряд е, масса га), прошедшей
разность потенциалов V без начальной скорости. Найти предельные
выражения для скорости: 1) для классического случая (г; <С с) и 2) для
ультрарелятивистского (v « с).
753. Две одинаковые частицы движутся в лабораторной системе
отсчета К навстречу друг другу с одинаковыми релятивистскими ско-
скоростями. Система К является для них системой центра масс и их
энергия в этой системе равна 2<? (<? — энергия каждой частицы). Най-
Найти суммарную энергию частиц в системе отсчета, где одна из частиц
покоится. Найти выигрыш в энергии столкновения, если две частицы,
каждая с энергией 8, идут навстречу друг другу, по сравнению с тем
случаем, когда одна частица с энергией 8 падает на неподвижную.
754. Показать, что релятивистское уравнение движения заряжен-
заряженной частицы в постоянном магнитном поле совпадает с классическим
уравнением движения при тех же условиях, но с некоторым другим
значением массы.
755. Найти пробег / релятивистской заряженной частицы с зарядом
е и массой т при начальной полной энергии So B тормозящем однород-
однородном электрическом поле, параллельном начальной скорости частицы.
756. Какую часть энергии покоя частицы должна составлять реля-
релятивистская кинетическая энергия, чтобы относительная ошибка, полу-
полученная при использовании нерелятивистского выражения для кинети-
§ 14. Специальная теория относительности 123
ческой энергии, составляла бы 1 %? Найти соответствующую энергию
для протона и электрона.
757. Выразить в мегаэлектроновольтах энергию покоя электрона
и протона.
758. На 1 м2 поверхности, перпендикулярной направлению солнеч-
солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферы приходит примерно 1,4
кВт световой энергии от Солнца. (Значение 1,4 кВт/м2 называется
солнечной постоянной.)
Какое количество массы теряет Солнце в секунду за счет излучения
света? На какое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать
его излучение? Расстояние от Солнца до Земли составляет около 150 х
х 106 км. Масса Солнца 2 • 1030 кг.
759. Доказать с помощью преобразований A7) справедливость
соотношения A8), т.е. инвариантность модуля 4-вектора.
760. Показать, что из формул преобразования компонент 4-скоро-
сти получаются формулы преобразования 3-скорости, выведенные из
преобразований Лоренца в задаче 739.
761. Найти компоненты 4-вектора ускорения W = dV/dr. Найти
формулы преобразования 3-ускорения при переходе от системы К'
к системе К двумя способами: 1) способом, использованным в задаче
739, т. е. составив выражения dvx и т.д. из E) и деля их на dt из
C); 2) преобразуя компоненты 4-ускорения согласно A7). Объяснить,
почему равноускоренное движение в одной системе отсчета — уже не
равноускоренное во всех остальных.
762. Найти преобразование компонент 4-импульса частицы при
переходе от собственной системы К0 к любой другой системе отсчета.
(Собственной системой отсчета частицы называется система, где ча-
частица покоится.)
763. Доказать, что квадрат модуля 4-вектора энергии-импульса
Р — определяет массу покоя частицы. Найти формулу, связывающую
релятивистские энергию и импульс частицы с ее массой; найти выра-
выражение энергии релятивистской частицы через ее импульс.
764. В собственной системе отсчета К0 на частицу действует
трехмерная сила F. Преобразуя компоненты 4-силы, найти компоненты
3-силы в произвольной системе отсчета К1.
765. Записать формулы преобразований Лоренца, 3-скоростей
и 3-ускорений для случая произвольного направления относительной
скорости систем отсчета К и К'.
766. Выразить релятивистский импульс частицы, масса которой
равна га, через ее релятивистскую кинетическую энергию.
767. Найти выражение 3-скорости частицы через ее релятивист-
релятивистский импульс.
768. По заданной релятивистской энергии <? и массе частицы т
найти 3-скорость частицы. Рассмотреть отдельно нерелятивистский
(г; <С с) и ультрарелятивистский (г; ~ с) пределы.
124 Задачи
769. На покоящуюся частицу массы т\ налетает частица массы Ш2,
кинетическая энергия которой равна Т^. После столкновения частицы
слипаются и движутся как целое. Найти массу образовавшейся части-
частицы. При каких условиях эта масса приблизительно равна сумме масс
исходных частиц? Найти скорость образовавшейся частицы.
770. При распаде некоторой частицы появляются две частицы
с массами т\ и т^. Из опыта известны абсолютные величины импуль-
импульсов р\ и р2 этих частиц и угол в между направлениями их разлета.
Найти массу распавшейся частицы.
771. Покоящееся тело массы М распадается на две части с мас-
массами т\ и Ш2. Вычислить кинетические энергии Т\ и Т% продуктов
распада.
772. Частица массы m испытывает упругое соударение с непо-
неподвижной частицей такой же массы. Найти кинетическую энергию Т\
рассеянной частицы по кинетической энергии То налетающей частицы
и углу рассеяния в\.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
§ 1. Кинематика
1. \v\ = л/5 м/с; вектор скорости составляет с берегом реки, от которого
удаляется лодка, угол а = 63° 30'.
2. Курс лодки должен составлять угол в 39° с прямой, соединяющей
пристани; v = 0,62 м/с.
3. Труба должна быть наклонена от вертикали вперед, по ходу тележки,
на угол а = aictg(vT/vK).
4. v = 9,3 м/с; угол 165° относительно курса корабля.
5. Расстояние между самолетами возрастает каждый час на величину
500 км; S = 1500 км.
6. сропт = 105° (ср — угол между прямыми АВ и ВС).
7. Под углом ср = arccos[(i>i + v2)/vo].
о L t2 — t\ _ r , L t2 + t\ r ,
8. v\ = — = 7, 5 км/ч, г?2 = — = 17, 5 км/ч.
2 t\t2 2 t\t2
9. v = 5 км/ч.
10. 1) (pi = arctg(vo/vi), 2) <p = arctg[vo/(^i + v2)], 3) v' =
у (г
11
11. 14,1 см/с.
12. tMaKc = Id/(fvsin2 a).
Указание. Поезд находится от фотографа на расстоянии //sinа. Со-
Составляющая скорости поезда в направлении, перпендикулярном к лучу зрения
(только она вызывает размытие изображения), есть vsina. Скорость движения
изображения поезда на фотопластинке vm = (vfsin2 a)/I, tMaKC = d/vm.
13. Si = voti + atf/2, ^2 = (v0 + ati)t2 + at\/2. Так как Si = S2 = S, то
1 1 - ,
11,5м/с.
14. См. рис. 204.
К рис. 204 a. Зависимость скорости от времени описывается соотношением
v = at.
К рис. 204 б. График составлен из чередующихся отрезков горизонтальных
(г? = const при а = 0) и наклонных (г? = at при a = const ф 0) прямых.
К рис. 204 в. График составлен из отрезков горизонтальных прямых и от-
отрезков парабол, описываемых уравнением вида v = Ы2/2 (при а = Ы), если
при построении этих парабол принимать за начало координат точки 1, 3, 5.
К рис. 204 г. График составлен из отрезков парабол. От точек 0, 2, 4, б
построены параболы, удовлетворяющие уравнению вида v = Ы2/2. В пределах
126
Ответы и решения
участков оси времени 1-2, 3-4, 5-6 расположены отрезки парабол, удовлетво-
удовлетворяющие уравнению v = г>макс — kt2/2 1).
Г, м/с
12 О
4 8 12
б
12 О
12 t,c
15. См. рис. 205 и 206.
S,m
Рис. 204
10 t,c
Рис. 205
К рис. 205. На участке 0-1 зависимость 5 от ? описывается уравнением
S = at2/2, на участках 1-3, 3-4, 4-6 — уравнениями
S = vM&KC • ?, S = vM&KC • t - at2/2,
S = const и т. д.
К рис. 206. На участке 0-1 dv/t = a = const > 0. На участках 1-3 и 3-4 —
соответственно a = 0 и a = const < 0 (см. примечание к ответу задачи 14).
1) Функциональные зависимости кинематических величин от времени, при-
приводимые здесь и в решении задачи 15, отыскиваются путем графического или
аналитического дифференцирования и интегрирования.
§ 1. Кинематика
127
2 -
1 -
0
2 4 <
S
8
10 t,c
Рис. 206
6, 2 м/с.
16. v = y/2g}
17. S = 2vot.
18. v0 = 82 м/с.
19. В наивысшей точке траектории нормальное ускорение будет максималь-
максимальным и равным ускорению g свободного падения; во всех остальных точках
траектории оно равно проекции g на нормаль к траектории в этой точке.
20. х = v^JWfg A + а)/A - а).
21. 1) vx = vo cos cp, vy = vo sin cp — gt, v =
t ; 2) Г =
-; 4) ж =
3) tga =
^o cos (^
- ^-; 5) у = xtg(p -
-; 7) / =
6) /W=^
= 45°.
22. См. рис. 207.
23. /ц : /i2 : /13 = 3 : 2 : 1; h : /2
= \/3 :2 : л/3.
24.
25.
г>|2 = v\ + ^o —
Рис. 207
) + g?2, tga = (vo — gt)/v\, где а — угол вектора
v с горизонтом; уравнение траектории снаряда будет
^о g 2
У= —Х- ^2Х »
если совместить начало координат с той точкой пространства, в которой был
выпущен снаряд.
26. у = (Ъ/с)х, v = 2tVc2 + b2, a = 2V^2 + b2.
2 2
27. Точка движется по эллипсу -— + -^ = 1 с ускорением а = — и2г, где
г — радиус-вектор движущейся точки, направленный от центра эллипса.
Решение. В точках пересечения большой оси с эллипсом скорость v =
= \у\ = \ujB cosujt\ = ljB, ускорение нормальное и равно а = \х\ = и2А. То
же ускорение можно выразить через радиус кривизны эллипса: а = v /R =
= и2В2/R. Сравнивая результаты, получим R = В2/А. В точках пересечения
эллипса с малой осью R = А2/В.
28. По гиперболе (ж2/А2) — (у2/В2) = 1 с ускорением а = к2г.
29. Эллипс (ж2А42) + (у2/В2) = 1.
30. tga = Ул/2/hg , / = v^/2h/g .
128
Ответы и решения
31. v = l^/g/BAh), где g — ускорение свободного падения.
32. v0 =
33. Грузы, двигаясь по желобам с ускорением gsina, должны пройти до
встречи с окружностью пути / = 2Rsina, где а — угол желоба с горизонтом,
a R — радиус окружности. Поэтому они достигают окружности через проме-
промежуток времени т = y^AR/g, не зависящий от угла наклона желоба.
36. v = Via.
о-7 т- . /. ^ fvoto\ Voto V
37. Если v = voto/t, то а = — = — = для t > to.
at \ t / tz voto
38. 1) S = voto In — для t > t0; 2) v = v0 exp ( ) для S > 0.
to V voto /
Решение, v = dS/dt = voto/t, следовательно,
dS = voto —,
или S =
откуда можно получить и ответ на второй вопрос.
39. 1) у =
2(г>с
¦ «снарJ
X
Г,
начало системы координат в точке выстрела;
2) У = gx2/2v2cmp, начало систе-
системы координат на самолете; 3) у =
= — gx2 /2v2mp, начало системы
координат на снаряде. Ось X всю-
всюду направлена горизонтально по
курсу самолета, ось Y направлена
вертикально вниз.
40. Траектория состоит из вет-
ветвей двух парабол (рис. 208): у =
v dx 7
d
Решение. Написанные уравнения находим для первой параболы из
условий:
при? = 0 х = 0 и у = 0, D0.1)
и уравнении
vy = v = const
dx
или у = vt,
2и
D0.2)
D0.3)
Интегрирование уравнения D0.3) при учете D0.1) и D0.2) дает х= — t .
Исключая время t, находим уравнение ветви первой параболы. Подставляя
в него у = d/2, находим снос лодки на первой половине ее пути. Уравнение
ветви второй параболы легко получить следующим образом. Выберем новое
начало координат X'O'Y' в той точке О' на середине реки, которой достигнет
лодка, пройдя первую половину пути. Теперь начальные условия движения
2и
запишутся так: при t = 0 х' = 0 и у' = 0. Далее, у' = vt, но vx = и у'.
d
§ 1. Кинематика 129
7 /72 /7
^ , a a vx a
Решая эти уравнения, как и в первом случае, находим у = - — \ .
Возвращаясь к прежним координатам, при помощи соотношений у = у' +
+ - и х = х' -\ , находим уравнение ветви второй параболы в прежних
координатах. Очевидно, что эта ветвь второй параболы будет перевернутым
повторением ветви первой параболы.
41. Первая половина траектории лодки будет описываться уравнением у =
= ^/3vx/k, вторая половина траектории будет, как и в предыдущем случае,
обращенным повторением первой ветви. Величина сноса лодки жо = kd3/\2v.
42. Там, где кривизна траектории наибольшая, т. е. около точки А.
43. v = 2ttR/T = 3 650км/ч; а = 4тг2R/T2 = 35км/ч2.
44. Прямые, параллельные оси времени.
45.^ = 0,00093 с ^ 0,001 с.
46. v « 7,2 км/с.
47. aN « Q,7g.
48. v = 1670cos ip км/ч.
49. v « 30 км/с.
50. aN = 0,03 cos (p м/с2 и clr = 0,03 cos2 (р м/с2, где ^ — географическая
широта точки; соответственно для Москвы имеем адг = 0,017 м/с и ад ~
«0,01 м/с2.
51. Г = ТХТ2/{ТХ +Т2) = 116 земных суток.
52. Тень движется с запада на восток со скоростью
v = 27г(Дл/Тмес - Яз/Тсут) « 0, 5 км/с,
где Тсут — продолжительность суток, Тмес — продолжительность месяца.
53. Тень будет двигаться вверх с постоянным ускорением
а = 4тг2Я/^сут = 3,4 см/с2, ? = y/2h/a = 4 мин.
54. а = irN2/n.
55. п « 9 об/с.
56. алг ~ 950 м/с2 « 95g.
57. а = 4 рад/с2, <р = 2t2 рад.
58. алг = 0, б м/с2, аПОлн = 0,67 м/с2. Угол между аПОлн и R составляет 153°.
59. vx = г?оA +cos(/?) = 2^оcos2 -, vy = -vosmcp, уП0Лн = 2v0cos-, a =
= -arctg(tg|) =-|.
60. Решение. Ускорение движущейся точки направлено к центру катя-
катящегося круга и равно v /R. В вершине циклоиды скорость точки равна 2v,
ускорение нормальное и может быть представлено в виде BvJ/p. Отсюда р =
= 4Д.
61. Для обеих точек колеса |vi| = |v|\/2, где v — скорость качения
колеса; вектор скорости передней точки будет наклонен вперед и вниз под
углом 45° к горизонтальному диаметру. Для задней точки — соответственно
вверх и вперед под тем же углом. Вектор ускорения передней точки будет
горизонтален и направлен против хода движения колеса. Вектор ускорения
задней точки — горизонтален и направлен по ходу движения колеса.
62. х = R((p — sincp) = R(out — sinout), у = R(l — coscp) = R(l — cos out),
где (p = out и и = г?/Я есть угловая скорость вращения колеса. Траекторией
5 Под ред. И. А. Яковлева
130
Ответы и решения
точек, находящихся на ободе движущегося колеса, будет простая циклоида,
уравнения которой в параметрической форме и получены (рис. 209).
Рис. 209
63. S = SR.
Решение.
^полн = 2^о COS ^ = 2^#COS ^ = 2-? ^
2 2 at 2
dS = vU0Jlu dt = 2^ Я cos | dt = 2#cos | dip.
Таким образом, для подсчета пройденного точкой пути интегрирование по
времени можно свести к интегрированию по углу поворота ср колеса. Очевидно,
что угол поворота колеса ср между двумя последовательными касаниями дороги
одной и той же точкой на ободе колеса изменяется в пределах от 0 до +2тг.
Таким образом, находим
64.
¦%d<p = 8R.
^ 2v2 '
/w = * + ? +
[cos ip}huaKC = -Rg/v2,
F4.1)
F4.2)
где ср — угловая координата искомой точки на ободе колеса (см. рис. 8
к задаче 62).
Решение. Координата у произвольной точки на ободе колеса может быть
записана выражением
(j) F4.3)
F4.4)
F4.5)
откуда
Величины у, у и h связаны соотношением
у = v sin — t.
R
Подставляя выражения F4.3) и F4.4) в F4.5), находим F4.2) из условия
dh/dcp = 0. После этого из F4.5) при учете F4.2), F4.3) и F4.4) получаем F4.1).
v2 v2
65. аГОриз = — sin ср, аверт = — cos ср. При равномерном вращении полное
R R
ускорение всегда направлено к центру колеса.
§2. Динамика прямолинейного движения 131
2 «2
66. |ajv| = -^- = 2aR(p, |аПОлн
~ ~o^2 ~ ~2^'
67. Искомая ось вращения должна была бы составить с вертикалью
угол ср = arctgO, 2. Угловая скорость вращения вокруг этой оси должна быть
68. Косинусы углов между новой осью вращения и тремя прежними осями
определяются выражениями
12 3
пгла rv — —__ COS R — COS /у — ш
14 л/14 л/14
Угловая скорость вращения вокруг новой оси будет ш\у/\Л.
69. Искомая мгновенная ось вращения будет описывать окружность с ради-
радиусом г = uj2R/(uj\ + 002) вокруг оси первого диска. Угловая скорость вращения
вокруг этой мгновенной оси будет и = uj\ + uj^.
70. При повороте автомобиля его внешние и внутренние (по отношению
к центру закругления дороги) колеса описывают разные окружности, т. е. про-
проходят разные пути, и угловая скорость вращения колес, если они не скользят
по дороге, должна быть различной. Это условие для задних ведущих колес
обеспечивает дифференциал в заднем мосте автомобиля. Колеса, не имеющие
привода от мотора, могут вращаться независимо друг от друга с различной
угловой скоростью, так как они установлены на подшипниках.
71. Vi = 9, 88 м/с, va = 10,12 м/с.
72. Если х есть смещение в горизонтальном направлении тени палочки на
экране, то х = Rcos(ut ± ср). Здесь ср — угол между плоскостью экрана и вер-
вертикальной плоскостью, проведенной через палочку и центр диска в момент
времени t = 0. Величина х измеряется от той точки экрана, в которую падает
световой луч, прошедший через центр диска. Очевидно, что колебания тени
палочки будут симметричны относительно этой точки экрана. Зависимости
от времени величин скорости v тени палочки и ее ускорения а запишутся
соотношениями
v = — = — Ruo sin(o;t ± ф) = Ruo cos (out ± tp -\—
а = ——г = — Ruj cosioot ± (р) = Ruj cosioot ± (р + тг).
at1
Графически зависимости величин х, v и а от времени представятся синусоида-
синусоидами, смещенными относительно друг друга по фазе.
§ 2. Динамика прямолинейного движения материальной точки
и простейших систем
73. 1) Т = 0,5кгс; 2) Г = 1,5кгс; 3) Т = 0,9кгс.
Указание. Показания весов можно найти из уравнения движения тела,
подвешенного на весах, та = mg — Т, где m — масса тела, g — ускорение
свободного падения, Т — сила натяжения пружины (ею определяются показа-
показания весов), а — ускорение тела массы т.
74. / = УбКгс, /1 = Узкгс.
75. Fx = -%F.
132 Ответы и решения
т ^ Mm
76. а =
-Мь' М + ть'
Решение. Так как длина нити не меняется во время движения грузов,
то оба тела движутся с одинаковым по величине ускорением а. На тело М
действует по направлению движения только сила натяжения нити Т, откуда
Т = Ма. G6.1)
На тело массы m вдоль направления движения (по вертикали) действуют две
силы: сила притяжения Земли mg и сила натяжения нити Т. Следовательно,
mg — Т = та; принимая во внимание уравнение A), находим искомые вели-
величины.
77. 1) Верхняя половина тела действует на нижнюю с силой, вертикальная
составляющая которой равна Mg/2, а горизонтальная — Ма/2. 2) левая
половина действует на правую с направленной горизонтальной силой —Ма/2,
где а — ускорение, с которым движется тело.
78. а = g, Т\ = (mi + m2 + тз)а, Т2 = (т2 + тз)а,
М + т\ + гп2 + ™>з
79. а = g-(sina — к cos a).
80. F ^ 4кгс.
81. Сила натяжения нити, связывающей два тела, определяется только
величиной приложенной к ним силы F и не зависит от коэффициента трения
между телами и столом, если он одинаков для обоих тел.
82. F > (mi +m2)g\
Указание. Для того чтобы нижняя масса т2 приподнялась над столом,
верхняя mi должна подпрыгнуть настолько, чтобы пружина растянулась на
величину х > m^g/k относительно своего недеформированного положения, где
к — коэффициент жесткости пружины. Подпрыгнет же масса mi на такое же
расстояние вверх от деформированного ее
| весом положения пружины, на какое она
I опустилась вниз от этого положения под
Л
j действием внешней силы F.
I
з
83. См. рис. 210. 1, 2 и 3 — силы, при-
приложенные к доске. Силы 1 и 2 действуют
со стороны опоры, «противодействующая»
каждой из них приложена к опоре и на-
направлена вниз. Сила 3 действует со сторо-
! ны тела на доску, «противодействующая»
| ей сила приложена к телу. («Противодей-
(«Противодействующие» силы обозначены пунктирными
стрелками.)
84. Прогиб доски уменьшится при при-
Рис. 210 седании, увеличится при выпрямлении че-
человека.
85. Пусть А, В, С схематически изображают лошадь, сани и землю
соответственно (рис. 211). Тогда силы F2 и f приложены к лошади со стороны
саней и земли, силы Fi и f - к саням, fi и f[ — к земле. На основании
третьего закона Ньютона
| т^ т^ | | х? | | х? IW IW
§2. Динамика прямолинейного движения
133
Так как движение равномерное, то на основании второго закона Ньютона
|f| = |F2
/i
С
Я
Рис.211
86. При тех же обозначениях, что и в предыдущей задаче, получим следу-
следующие новые соотношения:
f - F2 = ma, Fi - f; = Ma, f' = 0, 2Mg;
учитывая, что по-прежнему |Fi| = |F2|, имеем / = M@, 2g + a) + ma ~
~ 117кгс.
87. 1) Если все колеса ведущие, то к ^ a/g ~ 0,02. В этом случае необхо-
необходимый минимальный коэффициент трения от веса автомобиля не зависит, так
как сила трения пропорциональна давлению колес.
2) Если только задние колеса ведущие, то к ^ (^/(ng), где п — доля общего
веса, приходящаяся на задние колеса автомобиля; в рассматриваемом случае
п = % и к ^ 0, 2(%g) « 0,024.
88. Ускорение доски должно быть больше, чем 0,98 м/с .
89. Больше 2,25 кгс.
Решение. Уравнение движения доски F — 0, 5(m + M)g — f = Ma и, со-
соответственно, уравнение для груза / = та, где / — сила трения между грузом
и доской, а — ускорение. Максимальное значение / = 0, 25mg; следовательно,
максимальное ускорение груза 0,25g\ и максимальная сила F, при которой
еще будет происходить движение груза и доски как целого, должна сообщать
доске и грузу ускорение 0, 25g\ А для этого должно быть
F = 0,25(М + m)g + 0, 5(М + m)g = 2,25 кгс.
90. AM = 2(M-P/g).
Указание. Для опускающегося шара Mg — Р — R = 0, для поднимаю-
поднимающегося шара (М — AM)g — Р + R = 0, где R — сила сопротивления воздуха.
91. 1) а = 0, Т = mg;
2) а = arctg -, Т = тл/а2 + g2;
3) а = —ср, т.е. нить нормальна к наклонной плоскости; Т = mg cos ip;
Здесь a — угол между нитью маятника и вертикалью; этот угол считается
положительным при отклонении нити маятника от вертикали в направлении
хода часовой стрелки; положительное направление вертикали совпадает с на-
направлением ускорения свободного падения.
134 Ответы и решения
92. 1) Ускорение всюду одинаково и равно g. 2) Ускорение камня макси-
максимально в начале движения в нижней точке его траектории.
93. В отсутствие сопротивления воздуха ускорение направлено верти-
вертикально вниз. При наличии сопротивления ускорение отклонено от вертикали
в направлении, противоположном движению снаряда.
94. В результате выстрела возникнут колебания грузика А; когда они
затухнут, результирующая сила со стороны пружинок будет равна нулю, если
сопротивление воздуха отсутствует. Если на снаряд действует сила сопротив-
сопротивления воздуха, то результирующая сила пружинок равна т(а — g), причем как
ускорение снаряда а, так и натяжение пружинок считается положительным,
когда они направлены вниз. При подъеме эта сила направлена вниз, при
спуске — вверх, т. е. навстречу движению.
95. а = ПУл!^, т = 2^^g, f = 2Г =
771+ Ш 771+ ТП
^, т 2g, f 2Г Ag.
7711 + Ш2 7711 + ТП2 7711 + 777,2
96. а = — -g, Т = 1—=— A +sina)g\
ГП\ + 1712 7711 + 7712
М(т\ + ТП2) — 4miТП2 sin a
M{m\ + ТП2) + Am\m2
98. а\ = ¦ (mig - m2g - m3g), a3 = 0.
Решение. Натяжение пружины Т в начальный момент будет Т =
поэтому аз = 0, а\ = (jnig — m^g — rnsg).
7711 + ГП2
99. —- = . Этот результат легко получить из ответа задачи 95,
1П2 га — 1
положив а = g/n.
100. t^4,5c;^ 44 см/с.
101. р= 2АЛШ^ =4,95 гс.
2 + Ага/га
102. 1) Весы наклонятся вправо, так как при движущихся массах ттц и Ш2
сила давления на ось блока будет равна удвоенной силе натяжения нити 2Т =
\m\rri2 / ч / ^гч
= р" < (mi + m2)g (см. ответ к задаче 95).
ТП\ + 1712
2) Для сохранения равновесия весов в этом случае надо снять с правой
/ \ Лт G711 TTloJ
чашки груз (mi + m2)g — 2Т =
g
ГП\ + 1712
2Mi - М2 ai 3MtM2
g' a2 = "У Т= 4МГТ^
103- ai = 2M1+M2/2
Указание. Условие, связывающее ускорения а\ и аг, можно получить,
обозначив через х\ и Х2 расстояния масс М\ и М.2 от горизонтальной плоско-
плоскости; тогда х\ + 2ж2 есть величина постоянная. Дифференцируя это равенство
два раза, получаем искомое условие а\ = —2а2.
_ mi (т2 + 7713) - 4т2шз ^ _ 8mim2m3g" ^ _
?тг1 (тгг2 + ?тгз) + 4т2тз ' 4?тг2?7гз + ttzi (m2 + ?тгз)'
2з 777-1 (т77-2 + тз)
Указание. Обозначив через жь Х2, хз расстояния масс mi, тг, тз от
плоскости, к которой прикреплен блок, можно написать следующее равенство:
Х2 + хз + 2ж1 = /2 + 2/i + const, где h и h — длины нитей. Дифференцируя
его два раза, получаем необходимое для решения задачи соотношение между
ускорениями всех трех масс: п2 + аз + 2ai = 0.
§ 2. Динамика прямолинейного движения 135
105. В обоих случаях необходимо добавить на чашку одинаковый груз
Ар = г—;— Amg « 12 гс.
2 + Ат/т s
106. 1) Добавить на чашку весов груз Ар = -———— « 22,7гс.
2) Снять с чашки весов груз Ар = — Amg = 27, Зге.
2 + Ат/т
107. Обе обезьяны достигнут блока одновременно через промежуток вре-
времени т = l/3v. Действительно, натяжение веревки по обе стороны от блока
одинаково. Значит, одинаковы ускорения и скорости обезьян относительно
блока. Так как они приближаются друг к другу со скоростью 3v, то весь путь I
они пройдут за время l/3v.
108. Блока достигнет раньше более легкая обезьяна, потому что ее уско-
ускорение относительно блока будет направлено вверх, а ускорение тяжелой обе-
обезьяны — вниз.
109. Груз будет двигаться вверх со скоростью v/A, независимо от того,
постоянна она или нет.
110. Скорость большего шарика будет в у/2 раз больше скорости мень-
меньшего.
111. v=-^^gr2 = 0,25см/с.
9 ?7
112. v = —^- (vo Ь 1 )е~ш 1 — 1 где т — масса тела, г — коэффи-
г LV mg ) \
циент сопротивления воздуха.
Решение. Уравнение движения имеет вид mdv/dt = — mg — rv. Полу-
Полученный выше результат найден интегрированием этого уравнения с начальным
условием v = vo при t = 0.
113. ti = to— In ( 1 Ч—- ) ~ ——, где г>о = 1,73г>* (г>* — скорость устано-
vo V v* J 1,73
вившегося движения тела в вязкой среде), to = vo/g.
114. 1) AS = gr(t+^y, 2) ASf = ^o[r+ye-mt^l-e-mT^], где v0 -
скорость установившегося движения капель, г — коэффициент сопротивления
при падении капель в воздухе. Время t отсчитывается от начала падения
первой капли.
115. 1) Изменение скорости лодки v со временем будет происходить по
mv0
закону v = , где т — масса лодки, г — коэффициент сопротивления
m + rvot
воды. При сделанном предположении о зависимости силы сопротивления от
скорости лодка должна двигаться бесконечно долго, и пройденный ею путь
также будет стремиться к бесконечности: S = — In M -\ -t). Но это пред-
предположение о силе сопротивления перестает быть справедливым при малых
скоростях движения лодки, когда сила сопротивления становится пропорцио-
пропорциональной первой степени скорости (см. следующую задачу).
116. v = v$e~m l и очевидно, что при сделанном предположении движение
лодки будет продолжаться неограниченно долго. Однако для пути S, пройден-
пройденного лодкой после спуска паруса, будет иметь место условие lira S = v^mlr
(ср. с результатом предыдущей задачи).
т
117. v = vn S, где обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
т
136 Ответы и решения
118. Тмакс = mg^f^ = 18 000кгс.
^приземл
Примечание. Такого натяжения не выдержали бы ни стропы пара-
парашюта, ни парашютист, на которого стропы действовали бы с такой силой.
В действительности парашют раскрывается не мгновенно, и натяжение строп
оказывается гораздо меньше.
119. у' = J— UnpM = 12 м/с, т = m^~V) = 0 61 с
У rag 1 — rag
120. Шмин = ¦
Решение. Уравнение движения доски при условии, что тело скользит по
ней без трения, имеет вид
Ma = Mg sin a — (М + m)kg cos a.
Полагая а = О, находим тмин = М-^— . При т > тмин доска остано-
остановится.
mi rnig - m2{g - а2) D ra\ra2[2g - а2)
1Z1. CL\ = , К = .
ra\ + ra2 ra\ + ra2
122. Обе обезьяны достигнут блока одновременно через промежуток вре-
времени т = л/21/За. В самом деле, сила натяжения веревки вдоль всей ее длины
одинакова, значит, и ускорения обезьян относительно Земли одинаковы. Дви-
Движение они начинают одновременно, приближаясь друг к другу с ускорением За;
чтобы достичь блока, они обе вместе должны пройти путь I.
123. 1) Маятник будет падать вместе со щитком, сохраняя на нем неиз-
неизменное положение.
2) С момента начала падения щитка скорость маятника относительно
щитка перестанет изменяться, и с этой скоростью он начнет вращаться вокруг
точки подвеса.
124. Т = 2тгл/Щ1, где g' = x/g2 + а2.
125. Т = 2ttw . При а = g период становится бесконечным, т. е. ма-
маятник качаться не будет. При а > g маятник перевернется и будет колебаться
около своего наивысшего положения с периодом Т = 2тгд/7/(а — g).
126. Т = 27rx/l/(gcosa).
127. Тело будет совершать колебания на пружине. Амплитуда колебаний
будет равна той длине, на которую груз растягивал пружину в неподвижной
кабине.
128. Ускорение тележки — = . Интегрируя это уравнение и учи-
171 f м
тывая, что v = 0 при t = 0, получаем v = -— In .
r J Am M - Arat
129. Силы становятся равными, когда длина свешивающейся части нити
принимает значение х\ = % U N = % mg, x\ = 3/^g-
Решение. Уравнения динамики для нити и масс тп\ и тп2 запишутся:
plx'i = px\g + N\ — N2, m\x\ = m\g — N\, m2x\ = N2, где х\ — длина свеши-
свешивающейся части нити, р = mH/l — масса нити на единицу длины. Определяя
отсюда х\, N\, N2 и приравнивая значения N\ и N2, получаем приведенные
ответы.
130. v = Уf (Р - Щ), х = loch (^| t)
§ 2. Динамика прямолинейного движения 137
171
У к а з а н и е. Решение получается интегрированием уравнения тх = — gx,
где т — масса всей веревки, а х — длина ее части, свешивающейся в данный
момент времени со стола. Начальные условия: v = О при / = /о-
131. Для того чтобы расстояние между шариками было одинаковым, пру-
пружины в нерастянутом состоянии должны иметь несколько различную длину
(или иметь различную жесткость), так как на пружину I действует вес двух
шариков, а на пружину II — вес одного шарика. Поэтому:
1) при свободном падении всей системы шариков центр шарика 2 уже не
является центром масс системы, а ускорение массы шарика 2 не является
ускорением центра масс системы, так как при движении расстояние между
шариками меняется под действием пружинок. Центр масс системы имеет
постоянное ускорение g;
2) а\ = 3g, а2 = аз = 0;
3) а\ = 0, а2 = -g, а3 = g.
Решение. Исходные условия равновесия рассматриваемой системы шари-
шариков будут иметь вид
mg - Ти + Т\ = 0, mg - Т\ + Т2 = 0, mg - Т2 = 0,
где Т\, Т2 и Тн — натяжения соответственно пружин I и II и нити. Из
этих уравнений могут быть найдены значения Т\, Т2 и Тн. При мгновенном
перерезывании нити или пружины обращаются в нуль силы Тн или Т2. В этот
момент времени уравнения второго закона динамики для шариков в первом
случае примут вид
mg + T\= ma\, mg — T\+T2 = ma2, mg — T2 = таз,
а во втором
mg — TH-\-T\ = ma\, Trig — Т\ + Т2 = ma2, mg = таз.
Решая для каждого случая соответствующую ему систему уравнений, находим
искомые значения ускорений шариков в начальный момент времени.
132. Ускорения клина и тела, соответственно равны
mg sin 2a Mg sin 2a
2(М + msin2 a)' 2(М + msin2 a)'
сила давления тела на клин N и сила давления клина на горизонтальную
плоскость R определяются выражениями
Mm cos a M{m-\- M)g
М -\-т sin2 а М + т sin2 ск
Решение. Начертим силы, действующие на каждое тело (рис. 212).
Только сила N может сообщить клину ускорение в направлении оси X (го-
(горизонтальной оси). Обозначим ускорение клина М через а\, горизонтальную
составляющую ускорения тела т через а2 и вертикальную через аз. Тогда
уравнения динамики дают:
N sin a = Ma\, mg — N'cos а = таз, N/sina = ma2, \N\ = \N' .
Между ускорениями а\, а2, аз существует еще кинематическая связь,
выражающая условие скольжения тела т по грани клина. Эту связь можно
получить так: обозначим координаты какой-либо точки тела т на поверхности,
соприкасающейся с клином М, через х и у; эта точка лежит на линии у =
138
Ответы и решения
= tga(x — b). Принимая во внимание, что при движении х и Ь изменяются,
а а остается постоянным, продифференцируем это равенство два раза: у =
= tga(x — b); легко видеть, что у = —аз, х = — а2 и Ь = а\\ тогда равенство
X
Рис. 212
аз = tga(<22 + a\) и есть искомое соотношение. Совместное решение уравнений
динамики при использовании найденного соотношения между ускорениями
даст приведенные выше ответы на поставленные вопросы.
133. 1>оо — /2^оA ~ Sin (/?())•
Решение. Составляя уравнения динамики для движущегося тела в про-
проекции на ось У и в проекции на касательную, находим: ij = dv/dt. Отсюда
у = у + с, где v — абсолютная величина скорости тела. При t = О
у@) =
Полагая при t
v@) = v0, с= -г?0A
о^ и t?(t) —>> г>оо, получаем ответ.
§3. Статика
134. F = Р - Q (Q должно быть < Р).
135. H = h-
1 5,5 м.
136. Если бы канат был нерастяжимым и опоры абсолютно жесткими,
то тогда, действительно, канат можно было бы разорвать сколь угодно малой
силой; однако наличие даже небольших растяжений каната и деформаций опо-
опоры существенно ограничивает величину вызываемых малой силой натяжений
каната.
137. На брусок АВ действует сила сжатия 5 кгс; на проволоку СВ — сила
растяжения « 7, 1 кгс.
138. т = 4л/5 кг, F = 4(л/5 + 2л/5 + л/5 — 2л/5 ) кгс и наклонена к вер-
^ л/5 - 1 .
тикали под углом а = arctg в сторону крючка А.
139. к^ tgl5° = 0,176.
140. / = 22, 5 кгс; ^ = 37,5кгс; (т2)макс = 180 кг.
Указание. Обозначим через fa натяжение участка а веревки, через
fb — натяжение участка Ь и т.д. Тогда fa = fb = f^fc = fd = 2/. Условия
равновесия: m\g + m2g = fa + fb + fd = 4/.
§3. Статика 139
141. F = 200 кгс, Т = 1000 кгс.
142. Т = ; —. Равновесие возможно, если а > в, т. е. когда точка С
2sin(a-/3)
лежит ниже центра масс палочки. В противном случае равновесие невозможно.
143. d = — л/D2 - к2 « 0,05 см.
гпк
144. /смин = 1/2, F > mg/2, где m — масса куба.
145. F = f , tg<z>onT = к. При к = 0 (/?Опт = 0; при к = 1 юот =
cos (^ + к sin <p
= 45°.
146. d=-R.
147. d = %R/ir.
1/IQ ЗтГ+16
148. жс = Я.
Зтг+12
, ЛЛ 2 i?sin3o;
149. жс = :—, где хс — расстояние от центра круга.
да — cos a sin ск
150. d = 8/3R/7r.
151. Д = 21Р, х = 8а/7, у =
152. T = 3mg-/32.
Указание. Можно считать, что на каждое из полушарий действуют две
силы, по величине равные Т и приложенные в точках, где нить переходит
с одного полушария на другое; так как расстояние центра масс полушария от
центра шара равно 3/sR, то уравнение моментов дает R = 2TR.
2 8
icq }\ гг F (cosatgfi sina\ F(cosatgC sina\
153. 1) lAB = 7Г h , lAC = 7Г : ), J-AD =
p Z V cos 7 sin 7/ z V cos 7 sin 7/
cos/?
2) tga = tg/3tg7, при этом сила i^ лежит в плоскости, образованной
стержнями АВ и AD.
154. Нет, так как нет силы, которая уравновесила бы момент силы тяжести
относительно ребра В.
155. F = л/Т0/4тс, причем слагающая, направленная вниз, равна %тс,
а направленная к стене — XU тс.
156. T = F=^(Mg + mg) = 900кгс. А
Указание. Так как трения в опорах уу ^
нет, то F = Т; эти силы образуют пару, у
момент которой Т • h и уравновешивает
моменты сил тяжести относительно опоры.
157. / = 1 кгс в обоих случаях.
158. Решение. Рассмотрим бес-
бесконечно малый участок веревки АВ
(рис. 213). Сила нормального давления его
на поверхность столба будет Т da. Раз- Рис. 213
ность натяжений на концах веревки dT =
= -— da должна быть уравновешена силой трения кТ da. Это приводит к урав-
-9
нению dT Ida = кТ, интегрирование которого дает Т^ = Т\е~ (формула
Эйлера).
159. Решение. Пусть А, В, С, D — центры шаров (рис. 214). По
условию они должны находиться в вершинах правильного тетраэдра. Возьмем
140
Ответы и решения
единичные векторы ei,
эдра. Силы Fi, F2, F3,
, ез, исходящие из вершины D вдоль ребер тетра-
тетракоторыми шары А, В, С давят на шар D, можно
представить в виде
= — ае\, F2 = —
3 =
где а — положительный числовой коэффициент.
Сила трения fi, с которой шар А действует
на шар D, лежит в плоскости ADE, где Е —
середина ребра СВ. Вдоль прямой DE направ-
направлен вектор (е2 + ез). Таким образом, векторы ei
и (е2 + ез) лежат также в плоскости ADE, а по-
потому по ним можно разложить силу fi, т. е. fi =
= C(е2 + ез) + 7еь Так как сила fi перпендику-
л п лярна к ei, то скалярным умножением на ei от-
р 214 сюда получаем /3 + 7 = 0. (Мы воспользовались
соотношениями е^ = е^ = е^ = 1, eie2 = в2вз =
= e3ei = cos60° = х/2). Следовательно, fi = C(е2 + е3 — ei). Коэффициент E
отрицателен, так как сила fi должна быть направлена наружу тетраэдра.
Возведением в квадрат и последующим извлечением квадратного корня из
последнего равенства находим f\ = —(Зл/2. С другой стороны, величина силы
трения fi может быть представлена в виде f\ = kF\ = ка. Это дает C =
= —ка/л/2. Аналогичные рассуждения применимы и к силам трения f2 и f3,
с которыми на шар D действуют шары В и С. В результате получается
f - -—(е +е -е )
п ка f , ч
V2
+e2 -e3).
Результирующая сил давления и трения, действующих на шар D, будет
—аA + к/у2){е\ + е2 + е3). Она должна быть уравновешена весом шара mg.
Это дает
«2(i
Отсюда а =
-k/V2)\ex
mg
2 =
е3J =
¦k/V2f=m2g2.
л/6 A ч-/с/л/2)
Найдем, наконец, силы трения п, тг, т3, действующие на шары А, В,
С со стороны горизонтальной плоскости, на которой они лежат. (Чтобы не
усложнять рисунок, мы приложили эти силы к центрам шаров, хотя на самом
деле они приложены в точках касания шаров с упомянутой плоскостью.) Для
наших целей достаточно найти одну из этих сил, например т\. Эта сила
направлена вдоль биссектрисы АЕ угла ВАС. Туда же направлен вектор
(ег + ез)/2 — еь Поэтому можно положить п = г(е2 + ез — 2ei), где г — чис-
числовой коэффициент. Возведя в квадрат, а затем извлекая квадратный корень,
получим т\ = ?\/3. С другой стороны, давление на плоскость всех четырех
шаров равно Amg, а давление в точке касания шара А = %mg. Поэтому т\ =
= /з kmg, а следовательно,
4 4
k и п = —7^kmg(e2 + е3 - 2ei).
Зл/3
Зл/3
§4. Работа, мощность, энергия 141
Остается только написать условие равновесия шара А. (Условия равновесия
шаров В и С не дают ничего нового.) Оно имеет вид F[ + f[ + г + N =
= 0, где Fi = —Fi, f[ = — fi — силы давления и трения, действующие на шар
А со стороны шара D, а через N обозначена сила, нормальная к плоскости
опоры. Для исключения N умножаем написанное условие скалярно на вектор
(ег + ез — 2ei), нормальный к N. После простых преобразований приходим
к квадратному уравнению Ак2 + Зл/2 к — 1 = 0, из которого находим
к = (\/34 -3\/2)/8 = 0,198.
Это и есть минимальное значение коэффициента трения, при котором равно-
равновесие возможно.
§ 4. Работа, мощность, энергия
160. Работа А = 200кгс-м. Потенциальная энергия U = 100кгс-м. Поло-
Половина работы идет на увеличение кинетической энергии поднимаемого тела.
161. 0,06кгс-м; 0,038кгс-м.
162. 4,25 м; «8,16 м/с.
163. А = mg(H + kL).
164. А = mg(H — кЬ). Необходимо, чтобы в любом положении тела
соблюдалось условие h — кх > 0, где h — высота, с которой спустилось тело
к рассматриваемому моменту, а х — пройденный им путь в горизонтальном
направлении к тому же моменту. В противном случае тело скатиться с горки
не сможет.
1С. d fmv2\ dv dt dv
165. — —- = m • — — = m— = F.
ds V 2 ) dt ds dt
166. A «4,3- 105кгс-м.
167. U = 0,6кгс-м.
168. 1 кгс-м.
169. W = -^f
/ о
170. W = ™"
41 '
171. 1) U = mgl(l — cos a). 2) A = j mal cos a da = mal sin a.
о
3) Приравнивая работу силы инерции потенциальной энергии отвеса, от-
отклоненного на угол а, находим g(\ — cosaMaKC) = asinaMaKc, откуда легко
СКмакс О, п . а
получаем tg -^— = — или амакс = 2arctg —.
4) Сравнивая найденный результат с результатами задачи 91, получаем,
что, действительно, амакс = 2ао, так как ао = arctg —.
g
5) После освобождения отвеса он сначала отклонится на угол амакс, а затем
начнет колебаться от направления, определяемого этим углом, до вертикали,
т.е. около направления, определяемого значением угла ао. Постепенно колеба-
колебания затухнут и отвес остановится в положении, задаваемом этим углом. В этом
положении сумма действующих на отвес сил будет равна та, и отвес будет
двигаться вместе с вагоном.
172. 330м.
Решение. При торможении с ускорением а возникнут колебания (см. ре-
решение предыдущей задачи), и отвес отклонится на наибольший угол 2а/g =
= Зтг/180 = 0,052, следовательно, 2а = 0, 51 м/с и S = v2/2a.
142 Ответы и решения
173. v = л/ZgR = 11,2 км/с, где R — радиус земного шара.
174. Ввиду того, что поле тяготения является потенциальным полем и все
механические процессы в нем обратимы, очевидно, что ракета, начальная
скорость которой превышает значение, найденное в предыдущей задаче, пре-
преодолеет силу земного тяготения и уйдет в межпланетное пространство.
175. Т ~ -—^—— ~ б, 2 • 109кгс-м, R — радиус Земли и g — ускорение
1 + а/ К
свободного падения у поверхности Земли.
176. W = mgv(k cos a + sin a).
177. Решение. Уравнение движения лодки будет иметь вид mdv/dt =
= — rv2. Умножая обе части уравнения на элемент пути dS, получаем справа
элементарную работу dA силы сопротивления на отрезке пути dS:
dv jo 2 jo vlm2dS
m— dS = — rv dS = — r —— — = dA,
dt (m + rv0tJ
или
(mv2\
mv dv = a( —— 1
vlm2v dt iik3 dt
(m + rvotJ (m + i
Интегрируя последнее уравнение при условиях, что v = vq при t = 0 и v =
= 0 при t -^ оо, находим, что правая часть равенства также равна mvl/2, что
и требуется доказать.
178. U = (ЗхА/А, где х — деформация пружины.
179. 1) U1/U2 = fe/Zci; 2) U1/U2 = к\/к2. Когда одна из пружин — очень
жесткая по сравнению с другой, практически вся потенциальная энергия будет
запасена в случае а) в более мягкой, а в случае б) — в более жесткой пружине.
180. Q = x/Ak{l-hf.
181. Т = 2250W/GrRn) [кгс].
182. W = irnRmg/3000 [кгс • м].
183. По часовой стрелке, так как при этом работающий участок ремня
будет меньше провисать и охватывать большую часть окружности шкивов, чем
при вращении против часовой стрелки, и сцепление ремня со шкивом будет
больше.
М
185. г = е2/2Е, где е — заряд протона. Для вычислений формулу целе-
целесообразно преобразовать, положив Е = eV. Тогда г = e/2V = 1,4 • 10~13см
BV = 106 В). Опыты по рассеянию ядерных частиц показали, что радиус
действия ядерных сил по порядку величины равен 10~13см. Поэтому при рас-
расчете столкновения протонов, энергии которых превосходят примерно 0,5 МэВ,
помимо электростатических сил, надо учитывать также ядерные силы.
186. Поместив начало координат в одной из точек пола и направив ось X
вертикально вверх, получаем
— (тпхх) = тпх — mgx = 2К — U,
at
где К — кинетическая, a U = mgx — потенциальная энергии шарика. Проин-
Проинтегрируем это соотношение от_? =_0_до t = Т, а затем устремим Т к бесконеч-
бесконечности. В результате найдем 2К = U.
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 143
§ 5. Законы сохранения количества движения и энергии
187. v = 10 см/с.
2 2
188. F = = 17кгс, где М и т — массы винтовки и пули.
т cos a
Указание. Приведенное выражение для v легко получить, применив
закон сохранения количества движения к слагающим импульса пушки и сна-
снаряда, направленным вдоль наклонной плоскости, непосредственно до и после
момента выстрела. Импульс силы тяжести (действующей на оба тела) за
короткий промежуток времени At выстрела пренебрежимо мал.
190. S2 = 5000 м.
Решение. Падение одной половины снаряда под местом разрыва пока-
показывает, что все количество движения, которое имел снаряд в верхней точке,
передано второй половине снаряда. Падение за 1 с с высоты в 19,6 м говорит
за то, что падающая часть получила при разрыве начальную скорость vo вниз,
следовательно, и вторая половина получила такое же количество движения
вверх. Поэтому вторая часть снаряда после разрыва имеет начальную ско-
скорость 2г>ГОр в горизонтальном направлении (где vrop есть горизонтальная состав-
составляющая скорости снаряда при выстреле), а в вертикальном направлении vq.
стт2
Скорость vo определится из равенства h = vqt + ^—, где т — время падения
первого осколка. Горизонтальная составляющая скорости vrop определится из
равенства S\ = vropt и h = gt2 /2\
Расстояние места падения второго осколка от места разрыва по горизонтально-
горизонтальному направлению можно определить по формулам, описывающим полет снаряда
в безвоздушном пространстве:
о | /г г , 12h
02 — О i = .
Заменяя г>ГОр на ^Jgj2h S\, получаем ответ:
тгг + m\ т + 7ni
192. хоо = 1/2.
Решение. В рассматриваемом случае центр масс системы будет смещать-
смещаться за счет действия внешней силы (сил трения). Обозначим силу натяжения
веревки между лодками Т. Тогда:
ТП\Х\ + Нх\ = Т, 7712X2 + hX2 = ~Т, ТП\Х\ + 7772^2 + Н(х\ + Х2) = 0.
Последнее равенство справедливо и после того момента, когда лодки столкнут-
столкнутся и будут двигаться совместно до остановки. Проинтегрируем его по времени
144
Ответы и решения
от 0 до оо:
7ТЦЖ1
7712X2
h{x\ + X2)
= 0;
так как xi(O) = ?2@) = :
= ^2@0) = Жоо, получим:
193. 9 м/с и 1м/с.
194. v =
195. U =
) = ±2@0) = 0, xi@) = 0,
— / = 0, Жоо = //2.
= /, xi(oo) =
ТП\ + 7П2
1 Vfl\Vfl2
jr _
1712V2)
2(mi +m2)
2 ТП\ + 7П2
196. После соударения второй шар отскочит назад. А =
Mmv2
m\
197. 1) К =
(mvJ
-, 2) FBH =
:,3)A = v
Mm
2(M + m)' 7 BH 2(M + ) V( )
198. При условии, что m\/m2 > 20, где ?ni — масса шара, имевшего
меньшую энергию. Ответ легко найти из следующих соотношений:
20m\Vi = 7772^2,
m\v\ - m2v2 n
г? = > 0,
ТП\ + 7П2
где v — скорость шаров после удара, v\ и V2 — их скорости до удара.
199. v = 1000м/с (из равенства mv = Mv\).
200. F = 2Mv/r.
201. F = Amiv/At ~ 2500кгс, где Ami - масса угля и At — время, за
которое эта масса погружена на платформу.
202. Работа FAS' = —— vAS' = Am • v2, кинетическая же энергия угля
равна Am • v2/2, т. е. вдвое меньше. При соприкосновении с платформой
куски угля сначала скользят по полу платформы (в сторону, противоположную
движению платформы), и работа паровоза идет также на преодоление возни-
возникающих при этом сил трения. Эта работа (превращающаяся в тепло) равна
Am • V2/2-
203. Дополнительное давление на стол (сверх веса части каната, уже
лежащей на столе) вызвано потерей импульса падающими элементами канаты
при их ударе о стол. Пусть за элемент времени dt на стол падает элемент
каната с массой dm = fidx, где \i — масса, приходящаяся на единицу длины
каната, г dx — элемент длины каната. Сила, действующая со стороны этого
элемента на стол, будет
AF = dm • — = fidx • — = [iv2,
at at
где v — скорость, с которой элемент dm
достигает стола. Но, как нетрудно заметить,
v2 = 2gx, где х — длина части каната, ле-
лежащей на столе. Отсюда AF = 2/^gx. Та-
Таким образом, полная сила, действующая на
стол, будет равна 3/^gx.
204. Шарик отразится от клина в гори-
горизонтальном направлении и полетит дальше
по параболе (рис. 215).
205. р = 2mi>cosa.
Рис. 215
§5. Законы сохранения количества движения и энергии
145
206. Решение. Пусть v — скорость первой частицы до столкновения,
vi и v2 — скорости частиц после столкновения. Законы сохранения импульса
и энергии дают
v = vi + v2, v2 = vf + v\.
Возводя первое соотношение в квадрат и вычитая из него второе, получим
(viv2) = 0. Если оба вектора vi и v2 не равны нулю, что будет при нелобовом
ударе, то угол между ними будет равен 90°. При лобовом столкновении vi = О,
v2 = v, т. е. частицы просто обмениваются скоростями.
207. АК = 2m(v — и)и; Ар = —2m(v — и); тело после удара остановится,
если и = 17/2.
Указание. Законы упругого удара о движущуюся стенку легко по-
получить, если в формулах для скоростей, имеющих место после удара двух
упругих тел, перейти к пределу, полагая массу одного тела (стенки) бесконечно
большой.
208. а-частица уносит 3,5 МэВ, нейтрон — 14,1 МэВ.
209. Ядро трития уносит энергию 1 МэВ; общий энергетический выход
реакции 4 МэВ.
210. Нейтрон уносит энергию 2,44 МэВ, ядро Не3 — 0,81 МэВ.
211. Ядро Не4 уносит энергию 3,7 МэВ; общий энергетический выход
реакции 18,3 МэВ.
212. У4МэВ и 3/4МэВ.
л
= 4-
Потеря энергии максимальна при т\ = га2.
213. = 4
Е (т\ +ш2J
214. а = 4А/A + АJ, где А — атомная масса частицы, с которой
сталкивается протон.
А
а
1
1
2
0,89
4
0,64
12
0,284
215. Решение. Пусть mi — масса рассеива-
рассеиваемой частицы (а-частицы или дейтрона), v — ее
скорость до рассеяния; га2 — масса рассеивающей
частицы (атома водорода); i7i и г>2 — скорости частиц
после рассеяния (рис. 216). Законы сохранения им-
импульса и энергии дают
771117 = TTll 17i COS a + ?7121>2 COS E,
7711 i7i sin a = ra2i>2 sin C,
РИС. 216 2 2 2
m\v = TTii 171 + 1712V2.
Исключив отсюда угол C и скорость г>2, получим для i7i квадратное уравнение
17?
(mi + 7712I7? — 2т7цI7i7i cos a + (mi —
^2 = 0.
Условие вещественности корней его, как легко видеть, имеет вид
sin a ^ 77i2/гаь Максимальный угол а, удовлетворяющий этому условию,
и будет равен углу в. Таким образом, sin# = 7712/rai. Отсюда находим для
а-частицы в = 14°30;, для дейтрона в = 30°.
216. Масса а-частицы должна быть меньше массы ядра: га < М;
V = V0\
V =
tg<9 =
146 Ответы и решения
__ 3 mV _. 3m V2 (. Ът\ __
217. v = , .Е = —-— 1 , где т — масса протона. Процесс
2 м 8 V м J
невозможен, если М < Зш.
218. Решение. Пусть р — импульс падающей частицы, pi и р2 —
импульсы образовавшихся частиц. Если все импульсы коллинеарны, то
Исключив р2, получим квадратное уравнение для р\. Потребовав, чтобы его
корни были вещественными, найдем искомое условие:
т\ + Ti
В случае равенства оба корня квадратного уравнения совпадают, в случае
неравенства они различны.
219. Решение. Импульс а-частицы до столкновения: ро = тнеУо. После
столкновения импульс сохранится. С ним связана кинетическая энергия дви-
движения центра масс:
2(тНе + rnN) ШН
которая не затрачивается на ядерные превращения. Искомая энергия Ео най-
найдется из условия
Ео = Е + Кц.м = Е + ШНе Е
+ mN
откуда
0 ,
mN
220. Решение. Минимальное значение искомой энергии протона Ер
соответствует лобовому столкновению, когда все частицы до и после столкно-
столкновения движутся вдоль одной и той же прямой. Поэтому можно ограничиться
только такими столкновениями.
Допустим сначала, что энергия бомбардирующего протона равна пороговой
Епор. Тогда получающиеся в результате реакции ядро Be и нейтрон должны
двигаться вперед с одинаковыми скоростями и уносить кинетическую энергию
Ео = Рп2ор/[2(шве + ?71р)], где РПОр — импульс протона, соответствующий поро-
пороговой энергии Епор = Рп2Ор/Bшр). Разность этих двух энергий
Т? Т? гаВе + Шп ~ Шр ^
?/пор -&0 ;Aiop
Шве + Тип
затрачивается на ядерную реакцию.
Найдем теперь энергию бомбардирующего протона Ер, при которой по-
получаются нейтроны в состоянии покоя, а ядра бериллия летят вперед. Если
Рр — импульс протона до реакции, то Ер = Рр/Bшр), а кинетическая энергия
образовавшегося ядра бериллия ?JBe = Рр/Bтве)- Разность этих энергий
Ер -Еве=1-Р*(^-^) = ^^^ Ер B20.2)
2 pVm mB/ mB
§5. Законы сохранения количества движения и энергии \А7
идет на ядерную реакцию, а потому равна величине B20.1). Приравнивая
выражения B20.1) и B20.2), находим
+гпп -тр)
mle - mp
или, пренебрегая различием масс протона и нейтрона,
Ер = 2 Ве 2 Кор = ^ Кор = 192 МэВ.
m|e-mp 48
При больших энергиях появятся нейтроны, летящие назад.
221. Решение. Условие, при котором рассматриваемая реакция про-
происходит с минимальной затратой энергии, легко найти, рассмотрев процесс
в системе центра масс. Затраченная энергия будет минимальна, если в этой
системе все четыре образовавшихся частицы покоятся. В лабораторной системе
они будут двигаться с одинаковыми скоростями, как если бы образовалась одна
частица с массой покоя М = 4шр или энергией покоя 4шрс2. Эту энергию
удобно обозначить как 2Е. Таким образом, 2Е = 4шрс2 = АЕо, где Eq —
энергия покоя протона. Полная энергия движущегося протона (с импульсом р)
до реакции будет JЕ% + (рсJ. Поскольку при столкновении импульс со-
сохраняется, полная энергия образовавшихся частиц представится выражением
/ + (рсJ. Закон сохранения энергии дает
^ Щ + (рсJ +Е0 = ^BЕJ + (рсJ;
(рс) = ш -•
Чтобы найти исходную кинетическую энергию протона, надо из полной энергии
его вычесть энергию покоя. Это дает
V \Ьо
В рассматриваемом случае Е = 2Ео, так что К = 6?Ь = 5,62 ГэВ.
222. 7,08 ГэВ.
223. q = 7712/G711 +7712).
224. В момент остановки барабана, как и при движении лифта, сила
натяжения будет равна весу лифта, а дальше трос будет растягиваться и сила
натяжения будет постепенно возрастать, пока кабина не остановится. В момент
остановки кабины сила натяжения будет наибольшая — больше веса кабины.
(Отсюда видно, что в таком положении лифт не может оставаться неподвиж-
неподвижным; он начнет подниматься кверху — возникнут колебания кабины.) Быстрота
нарастания натяжения во времени и его величина зависят от упругих свойств
троса и массы кабины.
225. Удлинение « 55 см, Т ~ 55 тс.
226. h = 0,005—L
227. !) v = 2^±^y/leanSL.t 2) ,= 2My^sinW2)W; у =
m 2 m
148 Ответы и решения
Решение задачи о соударении баллистического маятника и пули прове-
проведено путем применения закона сохранения количества движения к системе
маятник-пуля. Этот способ решения, очевидно, справедлив только в том слу-
случае, если удар пули не передается оси вращения маятника. Дело обстоит
именно так в том случае, когда пуля ударяется в так называемый центр ка-
качания маятника, находящийся на расстоянии приведенной длины физического
маятника от его оси вращения, и скорость пули перпендикулярна к прямой,
соединяющей точку подвеса маятника с его центром качания. При ударе
же пули в произвольную точку маятника для решения задачи необходимо
воспользоваться законом сохранения момента количества движения в системе
маятник-пуля. В первом же случае применение закона сохранения момента
количества движения будет эквивалентно применению закона сохранения ко-
количества движения. Аналогичных вопросов об ударе в твердое тело, закреп-
закрепленное на оси, касаются_задачи 359-361.
228. XX = V0 = У2 л/gl , XX макс = 1у/2 •
Решение. Отсчитывая координаты грузов от уровня осей блоков, запи-
запишем для положения равновесия:
_Ш1_л/2 _7Г 0_^
Из условия нерастяжимости нити следует кинематическая связь:
Х2 + \1 X* + (-) = L, Х2 + XX COSif = О,
где L — полудлина нити.
Записывая полную энергию Е = К + U для трех положений системы х\ =
= 0, хх = х°{ = 1/2, хх = хх макС:
Е = -2m2g(b -l-)=
7711 , 2 ч 2 0 / . ~. . / /. \2
= Y" A + cos2 (^о)^о - rnxgx°x + 2m2g J(s?J + (i) - 2m2gL =
/ I Л2
= -mxgxx макс + 2m2g\jxj макс + [-) ,
получим два уравнения, из которых следуют_^начения, приведенные в ответе.
тх — тп2 2тпх
а, а2 =
тпх + тп2 тпх + та2
230. 1) Опишет над плоскостью параболу, вершина которой будет на
высоте /г/2; 2) будет равномерно скользить по плоскости со скоростью л/gh .
231. Ящик не будет двигаться, потому что сообщаемые ему нормальная
Pn и тангенциальная pt (по отношению к наклонной плоскости) слагающие
импульса р вертикально падающего тела будут удовлетворять соотношению
pjsf/pt = tga, которому удовлетворяют слагающие веса ящика mgN/rngt =
= tga = к, а в результате действия последних ящик не приходит в движение.
После полной остановки падающего тела в ящике увеличение веса ящика по
той же причине не приведет его в движение.
232. На расстоянии /, где М — масса поезда до момента отрыва
М -та
вагона, am — масса вагона.
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 149
М + т' М + т
234. Si = ~ml , S2 = M1 .
M + m M+m
лл- Ma —ma. ^ mMa
235. ai = — , a2 = — , F = -
236- v =
М + т' М + т' М + т'
-Amu -Ami (M + 2тI
M+m
237. v= l
Решение. Из закона сохранения количества движения имеем Ми =
= -ши, где I/ — скорость лодки с человеком после броска, v — скорость
ядра. Скорость ядра v0TU относительно лодки v0TU = i? + i> = i>(l+ т/М). Для
того чтобы ядро попало в корму лодки, необходимо, чтобы смещение ядра
по горизонтали относительно лодки за время его падения (? = ^/2h/g) было
равно длине лодки: г>отн? = /.
238. t = y/l/g .
239. х= -^—(a-Ъ).
М + т У J
240. Mdv/dt = -fjLU.
Решение. Уравнение движения легко получить из условия сохранения
количества движения в системе ракета-газ. Приравнивая количество движения
системы в момент времени t количеству движения системы в момент времени
t + dt, получаем
Mv = (M - dM)(y + dv) + dM(y + u).
Отбрасывая члены второго порядка малости и учитывая, что dM = fidt,
получаем искомое уравнение.
о/ii n л -fJbudt -dM udt dM __
241. Решение, dv = ——— = — —- = ~u^rf- Интегрируя это
уравнение при условии v = 0 при М = Mq, находим: v = u\yi(Mq/M) или
е
v/u
= М0/М. B41.1)
Полученное соотношение называется формулой К. Э. Циолковского.
242. v = -и(\ - е~м *), ц = ч( 1 - ^\) Щ; т/тах = 1/2 при v = и/2.
Решение. Приравнивая количества движения системы в момент време-
времени t и t + dt, получаем уравнение
Mv = M(v + dv) -(и- v)fidt. B42.1)
Интегрируя его, находим зависимость модуля скорости корабля от времени.
Для получения КПД системы надо составить отношение величины полезной
работы (в данном случае это будет приращение кинетической энергии корабля
d(Mv2/2) = Mvdv) к величине работы насоса (fidt • и2/2) за одинаковые про-
промежутки времени: rj = 2Mv dv/fiu2 dt; пользуясь уравнением B42.1), можно
написать:
г/ = 2(и — v)v/u .
Отыскивая максимум этого выражения как функцию v/u, находим ?7макс =1/2
при v = и/2.
150 Ответы и решения
243. Решение. Рассмотрим сначала движение частицы в системе центра
масс. В этой системе протоны движутся навстречу друг другу с одинаковыми
скоростями. Обозначим через Е полную энергию каждого из них в этой
системе. Поскольку суммарный импульс протонов равен нулю, они вместе
могут рассматриваться как одна частица (как до, так и после столкновения)
с массой покоя М, определяемой соотношением 2Е = Мс .
Перейдем теперь в лабораторную систему отсчета, в которой один из про-
протонов (мишень) покоится, а другой движется. Такой переход, очевидно, никак
не скажется на внутренних превращениях, которые могут претерпеть частицы.
Обозначим через Е' полную энергию движущегося протона, а через Р — его
импульс в лабораторной системе отсчета. Задача состоит в том, чтобы найти
связь между энергиями Е и Е'. Суммарный импульс обоих протонов в той
же системе отсчета будет, очевидно, Р, а энергия Е' + Eq. В релятивистской
механике энергия связана с импульсом соотношением
{Pcf = ^{2Ef + {Pc
С другой стороны, если написать соотношение между энергией и импульсом
только для движущегося протона, то получится
Е' = у/Е* + (РсJ, откуда {Pcf = Е'2 - Е20.
Сравнивая оба выражения для {Pcf, получим
Чтобы получить кинетическую энергию протона К' в лабораторной системе,
надо вычесть отсюда энергию покоя Eq. Это дает
к1 --
ае, .
r^j 0
= 2
Ео
Е2
Ео
(--
\Е0
Ео).
<^Е, то
{К
' + Kof
Ео
Если, как в разбираемом случае,
К'
Для протона Ео = 0,937 ГэВ, а потому К' « 250 ГэВ.
244. Решение. Пусть v\, V2, ... — скорости ракеты после 1-го, 2-го, ...
выбрасываний. По закону сохранения импульса: (mo — Am)v\ + Am • w =
= 0, где w — скорость выброшенной массы Am после первого выбрасывания.
Очевидно и = v\ — w. Исключая w, получим
vi = —u. B44.1)
m0
Найдем теперь V2. В системе отсчета, движущейся со скоростью V2, ракета
перед вторым выбрасыванием неподвижна, а после второго выбрасывания при-
приобретает скорость V2 — v\. Поэтому можно воспользоваться формулой B44.1),
сделав в ней замену то —> то — A?n, v\ —>> V2 — v\. Это дает
Am
v2-vi = т— и.
mo — Am
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 151
Комбинируя это соотношение с B44.1), находим г^. Продолжая этот процесс
дальше, нетрудно получить
_ Г Am , Am , , Am
vN= + ;— + -..
L mo mo — Am '" mo — (N — I) Am
В пределе, когда Am —»> 0, N —>> oo, mo — (N — l)A?n —»> m, сумма, стоящая
в квадратных скобках, переходит в интеграл, и мы получаем
га0
dm1
v = и | г
т'
где ?71 — конечная масса ракеты. После взятия интеграла получается формула
Циолковского.
at и
Решение. Уравнение движения ракеты
dv _ dm
перепишем в форме
d , , ,v dm d(v + gt) и
m— (v + p-t) = — u—— или =
dt V б J dt
(v + pt) uили 7 .
dt V б J dt dm m
Величина /х, очевидно, равна —dm/dt и находится из условия, что для непо-
неподвижной ракеты dv/dt = 0.
О/1С w m0
246. а = - In —.
г; т
Решение. Ускорение корабля по абсолютной величине равно u2r = ujv,
причем v = const. Поэтому уравнение движения т dv/dt = и dm/dt переходит
в уравнение mvuj dt = —и dm. Замечая, что da = ш dt есть угол поворота за
время dt, и интегрируя, получим ответ.
247. Первый способ требует меньшей затраты топлива.
249. Решение. Приращение скорости ракеты v связано с изменением
ее массы т соотношением mdv = —и dm, причем dmra3 = —dm, где dmra3 —
масса выброшенных газов. Приращение кинетической энергии газов равно
dKra3 = - dmTa3v2Ta3 = —^ dv.
Подставив сюда vYa3 = v — и и воспользовавшись формулой Циолковского т =
~vlu? получим
или после интегрирования
152 Ответы и решения
где для краткости введено обозначение х = vK0H/u. Кинетическая энергия
ракеты:
1 2 1
В результате находим
77 =
При ж = 4 77 = 45%.
250. Решение. Если бы не было притяжения Луны, то задача свелась бы
к нахождению наивыгоднейшего отношения 7712/7774 для достижения заданной
скорости ракеты. Поэтому от действия силы тяжести можно отвлечься и счи-
считать, что ракета движется в пространстве, свободном от тяготения. Примем за
единицу массы полную массу ракеты в момент старта. Тогда
7711 +7712 +771 = 1- B50.1)
После выгорания топлива в первой ступени масса системы уменьшится на
а\т\. Если при этом будет достигнута скорость v\, то по соотношению Циол-
Циолковского
ev\/ir
A — а\)т\ + 7П2 + 771
Масса A — а\)т\ отделяется, и включается двигатель второй ступени. После
выгорания топлива во второй ступени скорость ракеты возрастает еще на
величину V2, причем
ev2/u 1712+171
e
A — OL2)vfl2 + 771 '
В этом можно убедиться, если перейти в систему отсчета, в которой ракета
в момент отделения первой ступени покоится. Полная достигнутая скорость
найдется перемножением двух предыдущих соотношений и последующим ло-
логарифмированием. Исключая еще при этом массу rri2 с помощью соотношения
B50.1), получим
- = 1пA — ттц) — ln(l — ащц) — ln[(l — аг)A — т\) + агга].
Здесь Til и и играют роль постоянных параметров, а тп\ — аргумента, от ко-
которого зависит скорость v. Дифференцируя по ттц и приравнивая производную
нулю, получим условие максимума
Ц + ^ + '
т\ — 1 р — т\ 7 ~~ mi
где введены обозначения
/3=-, -y=l + j^-m.
Oi\ I — OL2
Условие B50.2) приводит к квадратному уравнению относительно т\, решая
которое, найдем
mi = 1 - л/1 + {h - f3 - 7).
§5. Законы сохранения количества движения и энергии 153
Перед корнем взят минус, так как по смыслу задачи 0 < т\ < 1. С помощью
B50.1) находим массу Ш2, а затем искомое отношение т^/ггц. Возвращаясь
при этом к прежним параметрам а\ и а^, получим
а2 \ - а\
ф^г
гп0 у m 1 — ol2 ,
т\ 1а2 1 -т
1-W —
а\ 1 — а2
Решение имеет смысл при выполнении условия
OL2 1 — OL\
т < 1.
а\ 1 - а2
В реальных условиях, когда т< 1,а параметры а\ и а^ отличаются не очень
сильно, это условие соблюдается. При а\ = а^ получается простая формула
т2/т\ = л/т. B50.4)
251. Пусть т и v — масса покоя и скорость ракеты в произвольный момент
времени ?, a mra3 и г>газ — те же величины для газов, образовавшихся из
топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие
ракету, не оказывают влияния на ее движение, то можно принять тгаз = 0.
Однако газы непрерывно образуются, так что dmra3 ф 0. На основании закона
сохранения импульса и энергии (релятивистской массы)
7TIV Tnra3Vra3 /ос 1 1\
— И - = const, B51.1)
л О/О/ч О/О ' ^ '
, m + , Шгаз = const. B51.2)
Vl-^/c2 V^-vL/c2
Дифференцируя уравнение B51.1) с учетом B51.2) и полагая в окончательном
результате mra3 = 0, получим
-dv + (v- vra3) d m - = 0.
у/\ — V2/c2 yj\ — V2
По релятивистскому закону сложения скоростей
1Ьз= , """, B51.3)
1 — vu/c2
где I/ — скорость газовой струи относительно ракеты. Исключая vra3, после
несложных преобразований находим
dv и dm
v2 — с2 с2 m
Предполагая скорость и постоянной и интегрируя, получим
±|)c/2u. B51.4)
-/3/ v J
253. По формуле B51.4) mo/m = 5 • 103327. Для ориентировки заметим,
что масса Галактики ~ 3 • 1044г, Метагалактики ~ 1056г. Таким образом, даже
масса Метагалактики невообразимо мала по сравнению с массой космического
корабля. Было бы неосторожно применять к столь гигантским «кораблям»
обычные законы физики и, в частности, формулу B51.4). Наш пример показы-
154 Ответы и решения
вает лишь абсолютную непригодность ракет на химическом топливе в качестве
звездолетов.
254. Решение. Если v — скорость ракеты, то mv = Р = Е/с, где
Р — полный импульс, а Е — энергия излученного света. Дифференцируя по
времени и пренебрегая изменением массы ракеты, находим искомую мощность
—- = meg = 3 • 1012 Вт = 3 • 109 кВт, что превосходит мощность крупной
at
электростанции примерно в 1000 раз.
255. t = — In ( 1 -\ ) = 22 с. Приближенно ввиду малости величи-
величием \ т\ + гп2/
т0
ны
т\ + то
t^^^- = 25c, l = vt = 220м.
тх + т2 g
256. Решение. Уравнение движения капли
d(mv) dv v dm
———l = mg или -— Н — = Р-.
dt б dt m dt б
Так как т ~ г3 и, по предположению, dm/dt ~ г2, то dr/dt = С = const.
Отсюда с учетом начальных условий получаем г = С?. Уравнение движения
приводится к виду
dt t б
Решая его и учитывая, что при t = 0 v = 0, получаем v = xUgt. Падение капли
будет равноускоренным с ускорением а = р//4.
§ 6. Динамика движения материальной точки по окружности.
Движение относительно вращающихся систем отсчета
2 2
257. 1) F = mg, 2) F = mg - ^-, 3) F = mg + ^-, где R - радиус
кривизны моста.
258. ^омин = л/Щ -
Решение. Радиус кривизны траектории, нормальное ускорение тела и его
скорость связаны соотношением р = v2/an. Для начала закругления нор-
нормальное ускорение максимально и равно ап = g, следовательно, рМИН = v^/g.
Условие р ^ R дает для скорости г*2, ^ i^g-, откуда и следует приведенный
ответ.
259. F = A + ±kh)mg, a = Akgh.
Решение. В нижней точке траектории шарик будет иметь ускорение адт,
направленное вверх. Поэтому давление шарика на дно чаши можно запи-
записать так: F = m(g + адт). Ускорение адт можно найти следующим образом.
Дифференцируя уравнение параболоида два раза по времени, имеем: z =
= 2к(х2 + у2) + 2к(хх + уу). Поэтому искомое ускорение шарика а в нижней
точке траектории, где х = у = 0, будет иметь значение
а = z'o = aN = 2к{±1 + yl) = 2kvl, где vl = 2gh. B59.1)
Следовательно, zq = адг = Akgh. Заметим, что в изложенном приеме решений
обойдено вычисление радиуса кривизны параболы в ее нижней точке, который
§6. Динамика движения материальной точки по окружности
155
обычно бывает необходимо знать для вычисления нормального ускорения
CLN = —,
Р
B59.2)
где р — радиус кривизны траектории. Зная уравнение параболы, можно было
бы методами дифференциальной геометрии найти значение
1
P=2k'
B59.3)
иначе,
Тогда, используя выражения B59.1)-B59.3), можно найти значение
чем это было сделано выше.
260. vo = yJgR ~ 8 км/с; ускорение снаряда равно g и нормально к тра-
траектории; vo принято называть первой космической скоростью.
261. Траекторией снаряда будет дуга эллипса. Эта кривая изображена на
рис. 217 сплошной линией. Остальная часть эллипса изображена пунктиром.
Один из фокусов этого эллипса будет совпадать
с центром Земли. Ускорение а снаряда будет
направлено всегда к этому фокусу эллипса, при-
причем а = GM/R2, где G — постоянная тяготения,
М — масса Земли и R — расстояние до центра
Земли.
262. 1) h = 5R/2. 2) На тележку действуют
сила притяжения Земли mg и сила давления
рельсов mv /R — mg, где v — скорость тележки
в этой точке. 3) Не доходя до верхней точки,
тележка отделится от рельсов и будет двигаться
по параболе до встречи с рельсами в нижней
части петли.
263. k = v2/{Rg) «0,4.
2 _ g(cos a — k sin a)
264. а/
Рис. 217
h tg Q;(sin a + к cos a)'
Решение. Так как в рассматриваемом случае сила трения имеет мак-
максимальное значение kN (N — сила
2
t
o2rn
g
¦ /
f
(О2/
g
/
У
0
sin a 1
a,
л a
2
щ -корень
уравнения
Рис. 218
нормального давления тела на стенку
воронки) и направлена вдоль образу-
образующей конуса вверх, то уравнение вра-
вращательного движения тела (массы т)
вокруг вертикальной оси и условие от-
отсутствия ускорения тела по вертикали
можно записать в виде
ти h tg a = N cos a — kN sin a,
mg = N sin a + kN cos a,
откуда и следует искомый результат.
265. v = y/Rg ctg a .
266. 1) sina = oo2r0/(g - uo2l).
2) Тригонометрическое уравнение
uj2lsma + uj2rQ = gtga решаем,
пользуясь рис. 218. 3). На нити
будет излом в месте прикрепления
к ней дополнительной массы, так
156 Ответы и решения
как направление нити, определяемое углом а, зависит от величины /, вдвое
большей для одного из грузов.
267. и2 = g
269. Затормозить.
270. При движении по синусоиде нормальное ускорение максимально в ее
вершинах, где кривизна кривой максимальна. Если у = у(х) — уравнение
синусоиды, то в вершинах у' = 0, и радиус кривизны в этих точках можно
вычислить по формуле \/R = \у"\. Записав уравнение синусоиды в виде у =
= Asin27r • х/l (амплитуда А и пространственный период / постоянны), нетруд-
I Пш
но получить условие, при котором заноса не будет: v < —
коэффициент трения, g — ускорение свободного падения.
271. амакс = Av2/B2, аМИН = Bv2/А2. Заноса не будет при условии v <
272. Самолет во время совершения петли будет иметь ускорение а =
= v2/R = 9м/с2, направленное к центру петли. В нижней точке петли на
крылья будет действовать давление воздуха
т(а + g) — mg A Н— ) ~ 1»92mg « 1,4 тс,
т. е. нагрузка на крылья будет почти вдвое больше, чем при горизонтальном
полете. Отсюда видна необходимость запаса прочности в конструкции самолета
для выполнения им фигур высшего пилотажа.
273. В нижней точке петли летчика будет прижимать к сиденью с си-
лой — F0,5 + 9,8) кгс ~ 563 кгс, соответственно в верхней точке — с силой ~
9,8
« 403 кгс.
274. При v2/R > g в точке А «отвес» будет направлен вверх, при v2/R <
< g — вниз (рис. 219). На этом же рисунке указано расположение отвеса
в других точках при v2/R < g.
Рис. 219
§6. Динамика движения материальной точки по окружности 157
275. r = v2/(gtga).
Указание. Когда самолет летел прямолинейно, плоскость крыла была
горизонтальна. Подъемная сила в этом случае направлена вертикально вверх,
т. е. перпендикулярна к плоскости крыла. При повороте корпуса самолета
вокруг продольной оси подъемная сила поворачивается на тот же угол, т. е.
продолжает оставаться перпендикулярной к плоскости крыла, так как силы
взаимодействия самолета с окружающей средой зависят лишь от относитель-
относительного движения самолета и среды.
276. Груз массы М займет либо ближайшее возможное положение к оси,
либо наиболее удаленное. Положение на расстоянии R = mg/(Mu2) от оси
соответствует равновесию, но оно неустойчиво, так как даже при небольшом
увеличении радиуса R веса mg будет недостаточно, чтобы удерживать мас-
массу М на окружности, и она уйдет в наиболее удаленное положение от оси.
Наоборот, при небольшом уменьшении радиуса R вес mg будет больше силы,
необходимой для того, чтобы удерживать массу на расстоянии R, и она будет
приближаться к оси.
277. То же, что и в задаче 276.
278. Решение. Груз массы М будет
совершать движение по кругу радиуса Ro =
— rag/(Ми2). Так как момент количества
движения массы М должен оставаться по-
постоянным, то MoljR2 = L = const. Отсюда
следует, что центробежная сила может быть
представлена в виде
Центробежная сила
Вес массы т
R
f = Muj2R =
L2
MR3'
Рис. 220
График зависимости центробежной силы от R изображен на рис. 220. По-
Постоянная сила натяжения нити F = mg, действующая на массу М в противо-
противоположную сторону, изобразится на этом же рисунке в виде прямой, параллель-
параллельной оси абсцисс. Устойчивому положению массы М на вращающемся стержне
соответствует точка пересечения этой прямой с кривой центробежной силы.
Отклонение груза массы М от положения Ro, независимо от направления этого
отклонения, вызывает силу, возвращающую массу М в положение Ro. Это
и означает, что положение массы М на расстоянии Ro от оси вращения будет
устойчивым. Различие в полученных результатах по сравнению с результатами
предыдущей задачи объясняется постоянством момента количества движения
системы, заданным в условиях за-
задачи. Все это рассмотрение имеет
смысл, если выбраны условия, при
которых Ro не мало. Иначе нельзя
было бы пренебречь моментом инер-
инерции прибора по сравнению с момен-
моментом инерции массы М.
279. Возможны (при не слиш-
слишком большой массе ш) два поло-
положения равновесия: устойчивое R02
и неустойчивое Ro\, если не счи-
считать устойчивого положения равно-
равновесия R = 0 (рис. 221). Так как
в этом случае постоянный момент
Центробежная
сила
Вес массы т
^02
Рис. 221
R
158 Ответы и решения
количества движения есть (MR + Iq)uj = а, то центробежная сила равна
Ma2R/(Io + MR2J. Пользуясь графиком сил так же, как и в ответе предыду-
предыдущей задачи, можно решить вопрос об устойчивости равновесия.
Наличие двух положений равновесия тела на стержне в этом случае
непосредственно вытекает из того, что величина центробежной силы должна
обращаться в нуль не только при R —*> оо, как в условии предыдущей задачи,
но также и при R —>> 0. Действительно, существование у системы момента
инерции /о приводит к тому, что при приближении массы М к оси вращения
угловая скорость вращения остается конечной величиной и выражение Moo2R
при R —>> 0 обращается в нуль. Между двумя равными нулю значениями непре-
непрерывной функции должен иметь место максимум этой функции и, следователь-
следовательно, кривая функции должна дважды пересечь всякую прямую, параллельную
оси абсцисс и проходящую ниже максимальной ординаты функции. В дан-
данном случае график дважды пересечет прямую, соответствующую значению
силы mg. Знаки производной функции в местах ее пересечения с прямой / =
= mg и определяют устойчивость и неустойчивость положений равновесия
массы М.
280. Нить, привязанная к оси, натянута силой uj2[m\R + rri2(R + /)]; нить,
связывающая массы, натянута силой и rri2(R-\-l).
281. Сила натяжения пружины должна быть пропорциональна ее удлине-
удлинению. Коэффициент упругости пружины должен быть равен Ми2.
282. к « 48 гс/см.
___ о kg к — muj2 . /-j—,— ч
283. а = 0, если uj < ——— ——-, иначе cosa = g—т—— (и <Wk/m).
mlo(g/lo + k/m) & си2к10 v
Решение. Пусть Т — натяжение пружины. Тогда
TTiP 9
Tcosa = mg, T = , Tsina = mu r,
cos a
где г = /sinа. Если а ф 0, то имеем
muj2 \ 2 у ^? /1 ^2 \
— mijJ 'о cos a, cos а = —?¦ 1 ^- ,
к J си2 \ Щ/
где О? = f-, Оо = — • Это справедливо, если . * 2 г- < о; < О2. Если о; <
< 2 -, то а = 0; при а; —>> О2 / —>> оо, т. е. пружина обрывается.
284. В зависимости от значения ш либо внизу, либо вверху, так как по-
положение равновесия, соответствующее расстоянию от оси R = gCE/(uj2ED),
неустойчиво. См. ответ к задаче 276.
285. x = (g/u2)tga.
286. pl2u2 < ST.
287. ои2 = — у/2. Равновесие устойчиво, если Ы > mg cos a = —=mg.
I л/2
Решение. Запишем уравнение динамики для системы координат, враща-
вращающейся вместе с треугольником:
maOm = mg + Fynp + N + FK + Fu6.
§6. Динамика движения материальной точки по окружности 159
Здесь N — сила нормальной реакции, Fk — сила Кориолиса, FU6 — центро-
центробежная сила инерции. В проекции на гипотенузу АС получим
mR = —mg cos a — k(R — I) + mou R sin a,
или
R=-
k — muj sin а Г Ы — rag" cos ск
Г fc/ — mg cos ск 1
л — . 2 ,
L /c — mc<;z sin a J
где i? — расстояние груза (коррдината) от точки А на гипотенузе. Полагая
R = 0, определяем положение равновесия муфты:
* kl-mg cos а , 2-2 , п\
R = ^ s— (/с — ти sm af 0 ;
к — muj1 sin ск
Приравнивая i^* = /, находим угловую скорость:
/ sin ск /
Если ввести смещение из положения равновесия {; = R — R*, то получим
v k — тсь>2 sin2 ск
га
что для /с > ти2 sin2 а соответствует гармоническим колебаниям муфты около
положения равновесия с частотой
О = \ со2 sin2 a
V га
и означает устойчивость положения равновесия.
288. Г« 1,6Р.
289. Наклон делается для того, чтобы давление поезда на полотно желез-
железной дороги было нормально к плоскости полотна и чтобы реборды колес не
срывали рельсы со шпал в сторону;
tga = v2/(Rg),
где а — угол наклона полотна к горизонту, v — скорость поезда и R — радиус
закругления.
290. Пол комнаты представляет собой параболоид вращения z = — (ж2 +
+ у2); ось Z направлена по оси вращения, начало координат находится в ниж-
нижней точке, а оси X и Y лежат в горизонтальной плоскости.
291. 1) Сила натяжения нити обратится в нуль, когда она займет положе-
положение, определенное углом а (см. рис. 68), для которого cos a = 2/3.
2) В этой точке траектории шарика v = ^gL/3 .
3) Дальнейшее движение шарика будет происходить по параболе до тех
пор, пока нить не будет вновь натянута в результате перемещения шарика.
292. Решение. Пуля вылетает из ружья, имея скорость, направленную
на юг. Следовательно, на нее будет действовать направленное на запад корио-
лисово ускорение
d x/dt = 2vuj sin cp,
где и — угловая скорость вращения Земли и ср — географическая широта
местности, в которой произведен выстрел. Считая в первом приближении
вектор скорости пули постоянным, получаем (путем двукратного интегрирова-
160
Ответы и решения
ния по времени выражения для кориолисова ускорения) величину западного
отклонения пули от первоначального направления выстрела х = vt2oo sin cp =
= 5,8 см.
AujVn sin (г> cos a sin2 a
293. К югу, у = ^—2 « 71 м.
294. Паровоз действует на правый (по ходу поезда) рельс железнодорож-
железнодорожного пути с силой (ход решения задачи ясен из рис. 222)
F = 2mvu sin cp = 25 кгс,
где и — угловая скорость вращения Земли вокруг своей оси.
Рис. 222
Рис. 223
295. Расположение нужных для решения векторов угловых скоростей и сил
показано на рис. 223. Вектор скорости поезда перпендикулярен к плоскости
чертежа и направлен за чертеж. Направленная вертикально компонента ко-
риолисовой силы Fr = 2mvcj cos ip = 14,9 кгс. Направленная на юг горизон-
горизонтальная компонента кориолисовой силы Ft = 2mvuj sin cp = 25,3 кгс, где ср —
географическая широта места.
ttVflj ( ^ cosy) « P0(l -7,5-Ю-5)
296. P = P0[l .
0[l
Po(i -2
(R — радиус Земли).
297. г>о = 2mlcJo/(M + т). Скорость пушки направлена на запад.
Решение. В системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения
пушки со снарядом во время движения снаряда внутри ее ствола можно
записать в виде
(М
dv
т) — =
угловая скорость враще-
где v — мгновенное значение скорости снаряда, и,
ния Земли вокруг ее оси. Следовательно,
\ dv = ——— tdt, где to = л/21 /к .
J } М -\- т
0 0
298. Av ~ 2ouov2)/g, где оио — угловая скорость вращения Земли вокруг
своей оси.
Решение (в системе координат, связанной с Землей). С учетом действия
центробежной силы инерции и кориолисовой силы условия отрыва самолета от
Земли можно записать в виде:
§6. Динамика движения материальной точки по окружности
161
1) при разбеге с запада на восток
mg — 2mujov\ — mouoR = kv\;
2) при разбеге с востока на запад
mg + 2mujQV2 — mulR = kv\\
3) при разбеге вдоль меридиана
mg — R А
где v\ и V2 — окончательные скорости разбега, R — радиус Земли.
Решение этой системы дает
v2-vi = °-J-.
Учитывая, что g >> uj^R, находим Av.
299. Решение. Уравнение движения:
Отбрасывая малый член 2[vcj], находим ускорение и скорость в нулевом
приближении: а = g, v = vo + gt. Подставляя полученное значение v в правую
часть уравнения движения, находим ускорение, а его интегрированием —
скорость в первом приближении:
а = g + 2[vocj] + 2t[gw], v = v0 + gt + 2t[vocj] + ?2[gcj].
Аналогично находятся второе и высшие приближения. Во втором приближении
а = g + 2[vocj] + 2t[gw] + 4?[[v0u;]u;] + 2t2[[gu;]u;],
v = v0 + gt
г = r0 + vot + - )
у [g<*>] ¦
2
2 з t4
3 6
В частности, если тело падает без начальной скорости, то для его смещения
из начального положения s = г — го получим
s - - t2 + ^ г п ' tA
~ 2
300. К востоку:
к экватору:
sB0CT = -
9
t g cos (p = - o;t/i cos (/?,
= - out sin <^> • sB
где (/? — географическая широта рассматриваемого места, t — время, h —
высота падения.
301.
s
S
h,
зост
экв,
м
СМ
СМ
5,
100
1,2
3- 10~5
1,
500
13,8
3- 10~3
5,
1000
38,7
з- ю-3
2,
2000
ПО
1 • Ю-2
б Под ред. И. А. Яковлева
162
Ответы и решения
302. 1) В неподвижной системе отсчета отклонение падающего тела к во-
востоку (от вертикали, проведенной через точку первоначального положения
тела) объясняется различием в тангенциальных скоростях точек земной по-
поверхности и тела, находившегося над Землей на высоте h. Вызванная суточным
вращением Земли линейная скорость точки С (рис. 224 а) vc = Rcu, где R —
X
Рис. 224
радиус Земли и и — угловая скорость ее вращения. Соответственно для тела,
находящегося на высоте h в точке A, vT = (R + К)ш. Следовательно,
vT — vc = huj.
C02.1)
Согласно закону инерции падающее тело должно сохранять свою тангенци-
тангенциальную скорость неизменной. Поэтому в процессе падения тело сместится на
восток дальше, чем точка С. Это обстоятельство было впервые указано Нью-
Ньютоном в 1679 г. При h <C R различие в скоростях точек А и С C02.1) в течение
времени падения тела t = ^/2h/g должно привести к смещению тела на восток
от точки С на расстояние х = hoo^j2h/ g .
Однако приведенный расчет является лишь приближенным. Мы предпола-
предполагали, что в тангенциальном по отношении к Земле направлении падающее тело
движется по инерции равномерно. Между тем, сила тяжести будет нормальна
к первоначальной скорости тела только в точке А. В последующих точках
эллиптической траектории падающего тела (см. задачу 261) сила тяжести,
направленная всегда к центру Земли, уже не будет перпендикулярна к скорости
падающего тела и будет изменять не только ее направление, но и абсолютную
величину. Произведем расчет, учитывая это обстоятельство. На рис. 224 6
легко видеть, что ускорение падающего тела вдоль направления X будет
x = -gsma^-g- «-b R
После интегрирования этого уравнения при начальных условиях
(dx/dt)o = vo = (R + К)ш
при t = 0 получим для г>Тела следующее уточненное выражение:
г;тела = dx/dt = -l/2 gut2 + (R + h)w.
§6. Динамика движения материальной точки по окружности 163
Следующее интегрирование (выполненное при начальных условиях х = 0 при
t = 0) даст уточненное значение: жтела = — l/egut3 + (R + h)ut. За время
падения тела точка С на поверхности Земли сместится на отрезок хс = Root
(при /г <С R). В результате смещение упавшего тела на восток относительно
точки С окажется равным
_ 2л/2 h^2uj
3 л/g7
Разумеется, полученное выражение совпадает с результатом решения зада-
задачи 300, выполненным во вращающейся системе отсчета, связанной с Землей.
2) Применение к падающему телу закона сохранения момента количества
движения основано на следующих соображениях. На падающее тело действует
центральная сила притяжения Земли. Поэтому момент количества движения
тела относительно земной оси должен оставаться неизменным. Следовательно
(рассматривается падение тела на экваторе)
m(R + hfu = m{R + уJ (ш + -^—), C02.2)
где М — масса тела, R — радиус Земли, h — первоначальная высота тела
над Землей, у — расстояние тела до поверхности Земли, и — угловая скорость
вращения Земли, v — тангенциальная скорость тела относительно Земли.
Полагая h и у <С R, находим из C02.2) v = 2uj(h — у). С другой стороны,
h — у = gt2/2. Поэтому v = oogt2. Смещение х упавшего тела от основания
перпендикуляра, проведенного с поверхности Земли в точку первоначального
положения тела, будет
Г Г 2 , 2л/2
¦ = I v dt = ug I t dt = —^-
0 0
Последнее изящное решение задачи принадлежит К. А. Туманову. Если опыт
производится на географической широте ср, то в выражение для х войдет
множитель cos ср.
303. Пуля отклонится к западу на расстояние
4 vlu
Хгги = -z ~\- COSCf « 51 СМ.
Результат может показаться неожиданным. При движении вверх кориолисова
сила направлена на запад, а при движении вниз на восток. На первый взгляд
кажется, что отклонение к западу должно компенсироваться последующим
отклонением к востоку. На самом деле это не так. Когда тело движется
вверх, его боковая начальная скорость равна нулю. В наивысшую точку тело
приходит, однако, с западной составляющей скорости, которую оно приобретает
под действием кориолисовой силы. Поэтому обратное падение тела начинается
с начальной скоростью, направленной на запад. Следовательно, скорость все
время направлена на запад и перед ударом о землю обращается в нуль.
304. Ствол ружья надо наклонить к востоку под углом
2 VqUJ _ г 1ГЧ—4 п. or' r л"
а=- cos ip « 2,45 • 10 рад « 0, 85 ^51 .
305. Поверхность воды образует с горизонтом угол а, определяемый фор-
формулой tga = {2v(jj/g)smip, где v — скорость течения реки, и — угловая
164
Ответы и решения
скорость вращения Земли, g — ускорение свободного падения. Результат нахо-
находится из условия, что поверхность жидкости должна быть нормальна к равно-
равнодействующей приложенных к ней сил, т. е. силы тяжести и кориолисовой силы.
306. Решение. Не учтено кориолисово ускорение. Введем систему от-
отсчета S, равномерно вращающуюся вокруг точки А с угловой скоростью -\-uj.
Пусть точка В вращается относительно этой системы с угловой скоростью — и.
Обозначая вектор АВ через г, имеем для скорости и ускорений точки В:
Vqth = -[wr], аотн = апер = -ои2г, акор = 2[cjvoth] = 2ои2г.
Следовательно, аабС = аотн + акор + апер = 0.
307. а = AttR/(vT) = 0,0209 рад = 1,2°.
308. Решение. В системе отсчета, связанной с вращающейся карусе-
каруселью, боковое ускорение пули аб0К = 2[v0TH^] + [rcj], или в скалярной форме
абок = — 2vouj + ги. Отклонения вправо считают-
М ся положительными, влево — отрицательными
ш/ /"""" ; '^\ (рис. 225). Радиус г считается положительным вы-
выше центра О и отрицательным — ниже. Учитывая
начальные условия г = —D/2, и = ujq при t = О,
получим
г = vot — D/2, uj = ujq + Cot,
абОк = -2voujo - 3ujvot - l/2 Duj.
Интегрируя последнее уравнение, находим боковое
отклонение. При t = D/vq оно должно обращать-
обращаться в нуль. Это дает и = Avqujq/D = 2/3 рад/с2.
Линейное ускорение на периферии карусели будет
6,67 м/с2.
: О, 12Р, где Р — вес тела на поверхности Земли,
Т — продолжительность звездных суток, R — радиус Земли.
310. ^о > uR.
311. Решение. Задача решается проще, если движение рассматривать
в неподвижной системе отсчета (точнее, в системе отсчета, вращающейся
относительно Земли вокруг вертикали рассматриваемого места с угловой ско-
скоростью —cjb, где ив — вертикальная составляющая угловой скорости осевого
вращения Земли). В этой системе уравнение малых колебаний математического
маятника имеет вид: г + О2г = 0, где О2 = g/l, a r — смещение маятника из
положения равновесия. В начальный момент маятник, вращаясь вместе с Зем-
Землей, имеет боковую скорость ujbxq. Поместим начало координат О в положение
равновесия маятника. Ось X направим из точки О к точке (ж = хо,у = 0),
в которой маятник находился в начальный момент. Для движения вдоль оси Y
имеем: у + О у = 0. Решая это уравнение при начальных условиях yt=o = О,
ijt=o = ^вжо, получим
у = -^
Рис. 225
В среднем положении
наша формула дает
= тг/2, и для бокового отклонения в этом положении
у =
UJBX0 LUXq
=
= — sin <р « 1 мм.
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 165
312. Решение. Если корабль движется по круговой орбите с постоянной
скоростью v, то на тело массы \i в корабле действует центробежная сила
инерции fiv21R, направленная от Земли. «Вес» тела на корабле получится
вычитанием из нее силы гравитационного притяжения fig: fi(v2/R — g). По
условию эта величина должна равняться fig. Отсюда находим v = ^2gR,
т. е. корабль должен двигаться по круговой орбите с параболической (второй
космической) скоростью vn = \/2gR = 11,2 км/с. Если Mq — стартовая масса
корабля, а то — масса, с которой он выводится на круговую орбиту, то
^=ехр^. C12.1)
т0 и
Найдем теперь расход массы при облете корабля вокруг земного шара.
Уравнение движения имеет вид
dm
таабс = ~и~,—Ь ш?">
где скорость газовой струи и направлена радиально от центра Земли. Так
как при обращении корабля аабС = «норм = -^ = 2g, то mg = —udm/dt, или
в скалярной форме dm/m = —g dt/u. Отсюда
/ gt\
т = то ехр .
V и)
Если t — период обращения, то gt = 2nRg/vu = тгг>п. Следовательно, для
конечной массы ткон получаем
то 7гг;п
—— = ехр ,
ткон U
или на основании C12.1)
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
313. CL2 = —а\ = г^ ?• Натяжение нитей:
m2 + mi + I/r2 &
т _ 2m\m2g + migl/r2 _ 2m{m2g + m2gl/r2
m\ + m2 + I/r2 ' m\ + m2 + I/r2
усилие
T T+T
Решение. Натяжение нити будет различным для правого (Т2) и лево-
левого (Т\) отрезков нити. Уравнения поступательного движения подвешенных
грузов:
m2g-T2 = m2a2, C13.1)
mig -T\= miai. C13.2)
Уравнение вращения блока вокруг его геометрической оси
(r2-Ti)r = /^, C13.3)
166 Ответы и решения
где du/dt — угловое ускорение блока. Учитывая отсутствие скольжения нити
по блоку и нерастяжимость нити, получаем уравнения
а2 = -ах =г — . C13.4)
dt v '
Решение пяти уравнений C13.1)—C13.4), содержащих пять неизвестных ах,
а2, и, Тх и Т2, дает ответ на задачу.
314.^= ^
^ 2R(\+Mg/2P)'
315 Т= Mg
A(\+Mg/2P)'
316.^= m2R~
m2R2 + тпхг2 + /
317. С чашки весов надо снять груз
1 + I/mr2 '
318. Если с чашки весов снят тот же груз, что и в предыдущей задаче,
потому что при подъеме и при спуске грузика ускорение его одно и то же как
по величине, так и по направлению.
319* п= mr2 + MR2 + 2(M + m)r2 g'
320. а = — -—т g « 196 см/с2, где / — момент инерции диска
М + 171 + I /г2
и валика, а М — их масса.
+
Решение. Уравнения движения обеих обезьян по вертикали относительно
неподвижной системы координат, уравнение вращательного движения блока
и уравнение кинематической связи можно записать в виде
=Т\ — mg, ma^ = T2 — mg,
У2 MR2f3 = (Ti - T2)R, ax = a - a2,
где ах и а2 — ускорения первой и второй обезьян, j3 — угловое ускорение
блока, равное C = а2/R, Тх и Т2 — соответствующие натяжения веревки, R —
радиус блока. Отсюда и получаем а2.
Т
где / — момент инерции дверки, m — ее масса. Интегрирование выполнено
численно.
323. Решение. Пусть Л/2 и Т2/2 — натяжение верхней и нижней
нитей. Тогда ускорение центра масс катушки а = (Mg + Т2 — Л)/М; угловое
ускорение катушки duj/dt = (Т2 + Т\)г/1\ ускорение груза ai = (mg- — T2)/m.
Из кинематических условий следует: a = r du/dt = ai/2. Отсюда:
а= im + M2Zyg' T>=Bm + I/r2)a-mg, T2 = m(g-2a).
324. Ускорения центра нижнего и верхнего дисков
70 1 | О 7" / 2 72 1 i О 7" / 2
а у \-\-61/mr ax \-\-Zl/mr
(l+3//mr2J ^' a2 ~ dt2" ~ //mr2 + (l+//mr2J
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 167
Решение. Обозначив через у координату центра нижнего диска, че-
через х — координату центра верхнего диска, через ил и U2 — угловые скорости
нижнего и верхнего дисков, через Т\ натяжение нижней пары нитей и че-
через Т2 — натяжение верхней пары нитей, можно написать следующие уравне-
уравнения движения и кинематические соотношения
(кинематические соотношения вытекают из усло-
условия нерастяжимости нитей):
hv >\4>Simg slna
mg + T\ — T2 = таг, a?. = u^r, mg — T\= ma\,
d\ — CL2 = LO\T, Т2Г = I(JJ2, Т\Г = IiO\.
Решая совместно эти уравнения, получаем значе-
значения ускорений. Рис. 226
325. a = 2/3gsina (рис. 226).
Решение. Уравнение движения центра массы диска параллельно на-
наклонной плоскости
mg sin a — /тр = та. C25.1)
Уравнение вращательного движения диска вокруг геометрической оси диска
/— = ЛРЯ, C25.2)
где du/dt — угловое ускорение диска, / — момент инерции и R — радиус
диска. Вследствие отсутствия скольжения
a = R^- C25.3)
Из уравнений C25.1)—C25.3) находим a, du/dt и /тр. Так как диск сплошной
и однородный, то / = mR /2. Подставляя значение / в выражение для а,
получаем результат, приведенный в ответе.
326. а = ъ/т gsma. Сила трения равна % rag" sin a, где т — масса шара.
327. К = Mv2, где v — скорость движения центра обруча.
328. / = Уз mg-sin a = 50 гс.
329. к^ y3tga.
330. 1) Шар. 2) В д/15/14 раз в данном месте. 3) В 15/14 раз.
331. Выгоднее ось, сточенная на конце. Сила трения остается неизменной,
но момент силы трения относительно оси пропорционален радиусу поверхности
опоры. Если kN — сила трения, N — сила давления на опору, то при
равномерном распределении силы трения по поверхности опоры на единицу
площади ее момент будет равен 2/3kNR, где R — радиус круга опоры.
332. а = ^ = 115см/с2.
т\ + ОШ2 + газ
___ F(Rcosa-r)R
333. а = g ' гДе j и ?п — момент инерции и масса катушки
соответственно; а > 0, если cos a > r/R; сила трения / = i^cosa — ma.
334. у = 2л/1а~^1?>.
Решение. В системе координат, связанной с доской, уравнения поступа-
поступательного и вращательного движения цилиндра имеют вид
та = тао — FTp, la/r = FTpr,
168 Ответы и решения
где ттшо — сила инерции, FTp — сила трения, действующая на цилиндр со
стороны доски, / — момент инерции цилиндра и г — его радиус. Решение
этой системы уравнений дает а = 2/з«о- Учитывая, что v = \/2Za, находим
окончательный результат.
335. Обозначим натяжение нити через Т и силу взаимодействия между
рамой и катком через Т'. Если каток идет сзади, то можно написать уравнения
движения так:
3/2Mia = М\g sin a + Т' для катка,
М2а = M2g- sin a — Т1 + Т для рамы,
Мза = M3g"(sina — к cos a) — Т для тела массы М3.
Из этих уравнений получим
(Mi + М2 + М3) sin ск — кМ$ cos ск
3/2Mi + М2 + М3 б '
У2М1 sin а - кC/2М\ + М2) cos a
- М2 + Мз
Если tga > /сC + 2M2/Mi), то Т > 0. Чтобы нить была натянута в этом
случае, каток следует пускать сзади. Если tga < /сC + 2M2/Mi), то каток
следует пускать впереди.
336. а < _ kg, „N и a < kg.
G0
Решение. Условия равновесия сил и моментов (в неинерциальной системе
отсчета):
ma = T, mah + mg- = Р21, ?2 = -^- Н
для критического случая Т = кР2
g" mah\
Это справедливо, если /с/г// ^ 1/2. В противном случае (Pi < 0) автомобиль
опрокидывается; поэтому всегда а ^ kg.
337. uj = y/3g/l.
Указание. По закону сохранения энергии
1 т 2 I I 2 mgl
338. L = 2/5mR2ou « 52 • 1040 г • см2/с
339. 1,67 • 1011 тс-км. Величину момента количества движения см. в от-
ответе предыдущей задачи.
340. Скорость вращения возрастет в A +mR2/I) раз. Кинетическая энер-
энергия вращения возрастет во столько же раз. Увеличение энергия произойдет за
счет работы, произведенной человеком при перемещении его по диску.
341 — mrv
' U ~ l/2MR2 + mr2'
342. 1) АЕК = 21\и\112\ 2) АЕК = 1\ш\/212.
344. N = 37rrn2/(Akg).
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 169
345. Кинетическая энергия вращения уменьшится на
346. Решение. Благодаря трению скольжения натяжения ремня сверху
Т\ и снизу Т2 будут разными. Записывая для маховиков уравнения движения,
получим
hd^= h^i = {Ti_Tl)Ri,
at at
Поделим эти уравнения соответственно на R\ и R2, сложим и проинтегрируем.
Тогда получим
±\UJ\ J-2^2
_ + _ = const.
Входящая сюда постоянная равна I\ujq/R\, так как в начальный момент ш\ =
= с^о, 002 = 0. Когда скольжение прекратится, то u\R\ = U2Ri- Решая получен-
полученную систему уравнений, найдем угловые скорости ил и U2 после прекращения
скольжения:
\ I1R1R2
Потеря кинетической энергии на трение равна
Mxr\ Mxr\ a a
348. ш\ = —— 1-—7 (jJq UJ2 = ^-— h~^ — ^0 = —
M\r\ + М2а2 М\г\ + М2а2 г2 г2
М{М2г2а2
Потеря энергии о о
ММг2а2
349. Максимальное изменение продолжительности суток AT, вызванное
ударом метеорита, определяется формулой
AT rnvR cos (f
где Т = 86 164 с — продолжительность суток, R = 6400 км — радиус, М =
= 6 • 1021 т — масса Земли, / — ее момент инерции. Если считать Землю
однородным шаром, то / = 2/$MR2 (на самом деле из-за возрастания плот-
плотности к центру Земли момент инерции ее несколько меньше и составляет
приблизительно / = l/3MR2). В результате получится АТ/Т ~ 2 • 10~15, AT ~
~2- Ю-10с.
350. Наивыгоднейшим является выстрел в горизонтальном направлении
в плоскости экватора. В этом случае
с-у _ _5_ т2с2Т2 _ 25 гп2с2Т4 _ 22
с ~ 18 7г2/М(АТJ ~ 36 t:2M2R2{ATJ ~
где с — скорость света в вакууме. Остальные обозначения такие же, как
в предыдущей задаче.
351. Т « То(Ро/рJ/3 =1,3- Ю-3 с.
352.^ = -,
dt ^kml2 + 2M[2/5R2 + (l + RJ
353. /
170 Ответы и решения
354. Решение. Скорость шарика в нижнем положении до удара vo =
= y^2gH. Так как удар неупругий, то непосредственно после удара шарик
и нижний конец стержня в нижнем положении будут иметь одну и ту же ско-
скорость v. Она найдется из закона сохранения момента импульса относительно
оси А:
= mlv + leu,
где / = УзМ/2 — момент инерции стержня относительно той же оси. Так как
v = 1ш, то написанное уравнение дает
ml2 3m
V° =
I + ml2 w M + 3m w'
Теперь надо решить, будут ли шарик и стержень после столкновения
двигаться вместе или при дальнейшем движении они разойдутся. С этой целью
вычислим скорость шарика v\ и нижнего конца стержня г>2 при поднятии на
какую-то одну и ту же высоту h\, если при этом они двигались бы независимо
друг от друга. Эти скорости найдутся из уравнений сохранения энергии
v2-v2 = 2ghu \\("'2 "^ n/r~hl
Преобразовав второе уравнение к виду
v — v 2 =
видим, что v\ > V2. Поэтому в любом положении шарик будет стремиться
обогнать стержень. А так как шарик движется позади стержня, то он все
время будет прижиматься к стержню. Отсюда следует, что после удара шарик
и стержень будут подниматься как единое тело. Высоту поднятия h легко
определить из закона сохранения энергии. Она равна
I + ml2 2 _ 6m2
~ (М + 2m)g^2 V ~ (M + 2m)(M + 3m)
355. После удара шарик поднимается на высоту h\ = - (——-—) H,
( М \2 2
нижний конец стержня — на высоту /г2 = ( ——-—) Н = -h\.
V А4 + от, / о
orc TT I ml2 3 Mm
356. U = - ——tz Mgl = - gl, где / — момент
2 1 + ml2 2 М + 3m
инерции стержня. .
Л/Г / О
р 357. V = Vo \ - gL sin^ = 444 м/с.
^ m у 3 2
358. ML2 = ml2. Так как L ^ /, то для возможности про-
процесса необходимо М ^ т. При М > т процесс невозможен.
359. Лозу следует рубить участком сабли, отстоящим на
% длины от ручки сабли.
Решение. Пусть удар с силой F пришелся на расстоя-
расстоянии г от середины сабли, которую будем считать однородной
пластинкой (рис. 227). Под действием этой силы пластинка
начнет двигаться поступательно и вращаться; если при этом
точка О останется в покое, то рука не будет чувствовать удара.
Напишем уравнение движения центра тяжести С пластинки:
Рис. 227 dv
т— = F,
dt
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 171
где dv/dt — ускорение центра тяжести. Для вращения пластинки относительно
оси, проходящей через центр тяжести С, имеем
ml2 duo
F
где duj/dt — угловое ускорение пластинки, т — масса пластинки, ml2/12 —
момент инерции пластинки относительно центра тяжести С. Точка О будет
в покое, если скорость поступательного движения v и линейная скорость
точки О, обусловленная вращением пластинки вокруг точки С с угловой
скоростью uj, будут равны по величине и противоположны по направлению,
dv I duo __
или если — = . Подставляя это условие в уравнения движения, получаем
г = 7б/, откуда уже легко найти ответ.
Искомая точка на пластинке (сабле) есть так называемый центр удара,
совпадающий с центром качаний физического маятника той же пластинки,
подвешенной в точке О. Разгрузка оси вращения от действия удара особенно
необходима в случае баллистического маятника (см. также задачу 227).
о^л гт /- « 12m v
360. Пластинка будет вращаться с угловой скоростью ои = ,
о л 4т + Зто а
ото — Am
а шар полетит назад со скоростью v\ = v.
Am + Зто
362. „=.
М + Зт
Решение. Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара
и законы сохранения момента количества движения и энергии к системе
стержень-тело во время удара, получим
\ X-Ml2u\ \м12ш = \м12ш + mvl,
где и и и' — угловые скорости вращения стержня при его вертикальном
положении до и после удара соответственно, v — скорость тела после удара.
Из решения этой системы уравнений получаем значение v.
363. S= l/6M2l/(m2k).
Решение. Применяя закон сохранения энергии к стержню до удара
и закон сохранения момента количества движения к системе стержень-тело во
время удара, получим
1 7 1 mfioj2 1 ,,,2 ,
-Mgl = - —^—, -М1ш = mvl,
где и — угловая скорость вращения стержня в момент удара, v —скорость
тела т сразу после удара. Перемещение S тела можно найти из условия
mv2/2 = kmgS. Из написанных уравнений следует ответ.
364. Движение муфты вдоль стержня будет происходить по закону
х = aochujt = 2chD07r?) см,
М = 2х— ujv « 64 • 105 sh(807r?)AHH • см.
172 Ответы и решения
Решение. Движение муфты удобно рассматривать во вращающейся си-
системе координат. Тогда уравнение движения вдоль стержня под действием
центробежной силы будет иметь вид: md2x/dt2 = mu2x. Общее решение этого
уравнения: х = Аё°ь + Be~ut. Подставляя ж@) = оо, х{0) = 0, получаем реше-
решение. Момент количества движения муфты относительно оси вращения стержня
равен L = тих2; он растет со временем. Для его увеличения необходимо
приложить внешний момент сил М = dL/dt = 2тихх.
365. ш = Зтоио/М = 2, 2 • 10~6 рад/с, где ш0 = 7, 3 • 10~5 рад/с — угловая
скорость вращения Земли вокруг своей оси.
Решение. В системе координат, связанной с Землей, на движущийся
внутри ствола снаряд (а, следовательно, и на систему пушка-снаряд) будет
действовать сила Кориолиса, направленная на запад и равная F = 2mvuo, где
v — мгновенное значение скорости снаряда ишо- угловая скорость вращения
Земли вокруг своей оси.
Уравнение движения пушки со снарядом имеет вид
/—-
at
где / — момент инерции пушки (моментом инерции снаряда можно пренебречь
ввиду условия М >> т), г — расстояние снаряда от оси вращения в данный
момент времени, ш — мгновенное значение угловой скорости вращения ствола
пушки. Полагая v = at, получим
- Ml2 \ duj = тиф2 \ t3 dt,
3 J J
о о
где to = л/21/a — время движения снаряда внутри ствола. Интегрируя это
уравнение, находим и.
366. v = л/Sgl. Искомая точка находится на расстоянии х = %/ от осно-
основания столба.
367. Решение. Кинетическая энергия стержня в горизонтальном поло-
положении У^/а/ = Угга^1"/. Центростремительное ускорение центра масс стержня
в том же положении u2l/2. Отсюда по теореме о движении центра масс
i^rop = -ти 1= —mg= 2mg'
Применив к вращению стержня в положении 2 уравнение I du/dt = М, полу-
получим Iduj/dt = mgl/2. Отсюда находим вертикальную составляющую ускорения
центра масс в том же положении:
I duj mgl2 3
Далее, та = mg — FBepT. В результате получится
^верт = m(g - а) = XUmg.
369. F = A + 4a m/I)mg, где m — масса, / — момент инерции человека
относительно перекладины, а — расстояние между осью вращения и центром
масс человека. Если при оценке момента инерции моделировать человека од-
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
173
нородным стержнем, вращающимся вокруг одного из его концов, то получится
F = Amg.
370. Решение. На основании закона сохранения энергии
¦ 2gh = const.
C70.1)
Момент силы тяжести относительно точки подвеса не имеет вертикальной
составляющей. Момент силы натяжения веревки равен нулю. Поэтому при
движении человека вертикальная составляющая его момента количества дви-
движения остается неизменной. В положениях, где
высота h максимальна или минимальна, ско-
скорость человека v горизонтальна, а момент коли-
количества движения равен mvr, где г — расстояние
до вертикальной оси, вокруг которой вращается
человек. Значит, в этих положениях величина vr
одна и та же. В момент, когда высота h макси-
максимальна или минимальна, опишем в вертикаль-
вертикальной плоскости окружность с центром в точке
подвеса О, проходящую через точку нахождения
человека М (рис. 228). По известной геометри-
геометрической теореме г2 = АВ • ВС, или г2 = B1 —
— h)h. Поэтому в положениях, где h максималь-
максимальна и минимальна,
B1 — h)hv = const.
C70.2)
Рис. 228
Запишем соотношения C70.1) и C70.2) для этих положений, имея в виду, что
максимуму h соответствует минимум v, и наоборот. Получим
¦ 2ghMiiH =
2ghMa
Решая эти уравнения, получим
у2 = 2ghmKCBl - кшкс)
21 — (кмгкс + /гМин) '
C70.3)
C70.4)
При этом учтено, что в реальных условиях h < I, так что величина C70.3) дей-
действительно максимальна, а C70.4) — действительно минимальна. Если hMaKC
и /гмин пренебрежимо малы по сравнению с I, то г>2акс = 2ghMaKC, г>2ин = 2ghMiiH.
371. vl = 2gh2/(h + h0), v2 = 2ghl/(h + ho).
372. u2 =
2 + 4r2 - I2 - (L - I - irrJ
I + Lpr2
Указание. Воспользоваться законом сохранения энергии.
373. Решение. Уравнение моментов вращения цилиндра около оси, ле-
лежащей на плоскости качения, будет
где R — радиус цилиндра. При качении без скольжения центр масс цилиндра
получает горизонтальное ускорение dv/dt = Rdu/dt, которое сообщает сила
174 Ответы и решения
трения; следовательно,
dt шA + У2)'
где к — искомый коэффициент трения. По условию задачи F/m = g/2. Таким
образом, dv/dt = g/З и к ^ 2/9.
374. Решение. Качение без скольжения. Силы, действующие на ци-
цилиндр, показаны на рис. 229. Сила натяжения веревки F, сила трения /,
ускорение груза а. Уравнения поступательного движения: цилиндра F + / =
= Угттш, груза Mg — F = Ma и уравнение вра-
~^*~ щения цилиндра (F — f)R = l/2mR2a/2R. Отсюда
< \ а получаем
Г —> ] Ускорение у
а=A+3/8ш/М)-^.
р 29Q Скольжения не будет, если |/| < fcmg" или /с ^
^ (8 + Зш/М), где /с — коэффициент трения.
Качение со скольжением. Угловое ускорение цилиндра J3, ускорение оси
цилиндра Ь. Теперь уравнения движения будут
F + f = mb, (F- f)R=l/2mR2f3, Mg - F = Ma.
Ускорения связаны условием а = Ь + f3R и сила трения / = kmg. Отсюда
получаем а = A — УзЬп/М)A + x/^m/M)~xg, при условии к < (8 + Зш/М).
Замечание. Полезно рассмотреть движение при / = 0 в отсутствие сил
трения.
375. Скольжение начнется в точке с угловой координатой ip* = arccosO, 8
или на высоте О, 8R от горизонтального диаметра цилиндрической поверхно-
поверхности.
Решение. Записываем уравнения динамики для скатывающегося обруча:
тап = mg cos ip — N, таТ = mg sin cp — FT,
IqCj = rFT, aT = ur,
где an = v2/(R + r), aT = dv/dt, FT — сила сухого трения, TV — сила
нормального давления, /о — момент инерции обруча. Отсюда определяем
силу трения FT = simp и силу нормального давления обруча на цилиндр
2 2
TV = mg cos ср — m— . Закон сохранения энергии дает — = g(\ —coscp),
следовательно,
N = mgBcoscp — 1).
Условие начала скольжения
FT = FT макс = kN.
Приравнивая соответствующие величины при к = 0,5, получаем: coscp = 0,8;
или высота от горизонта, на которой начинается скольжение, h = Rcoscp =
= 0,8 Д.
376. Обозначив силу, действующую на катки со стороны штанги, через /,
можно записать уравнения движения катков (линейные и угловые ускорения
обоих катков одинаковы): для первого
dv . duo
m— = mg sin a + / — F\, I\ — = F\R;
dt dt
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 175
для второго
dv . duj
т— = mg sin a — f — F2, h~r — F2R,
at at
где F\ и Fz — силы трения, возникающие между катками и плоскостью. Кроме
того, так как скольжение отсутствует, то dv/dt = Rdu/dt. Отсюда
duj _ 2RgSma 2 _ Ix - h duj _
Положительное значение / при выбранных нами знаках в уравнениях дви-
движения соответствует тому, что штанга сжата и толкает катки. Следовательно,
если каток с большим моментом инерции внизу, штанга сжимается, если он
вверху, штанга растягивается.
377. Решение. Обозначим ускорение груза Ш2 через а, ускорение под-
подставки Ь, угловое ускорение цилиндра C, натяжение нити Т, коэффициент
трения к.
1) Уравнения движения:
F-T = т2а, Т = (пц + m3N, TR=^ m3R2f3.
Условие, связывающее ускорения, а = Ъ + ER. Отсюда определяем а = (/х +
+ 77i2)~1ir, где
+ 2Г\ Ъ(з + 2уа, /^(l + U.
газ/ V газ/ \ m^J R
2) Первые два уравнения движения:
F — Т — kni2g = т2<2, Т — (mi + m^)kg = (mi + тзN,
третье такое же, как и в случае 1, и такая же связь между ускорениями.
Отсюда получаем
3) а = (тщ + ms)~lF — в отсутствие трения; а = (тщ + ms)~lF — kg —
при наличии трения, /3 = 2F/(m$R).
378. Пока движение совершается без рывка, диск опускается и поднима-
поднимается с одним и тем же ускорением, направленным вниз:
2г2
Натяжение нити при опускании и поднятии диска также одно и то же и равно
Г0=Ш1-^«4,83Н.
Для оценки среднего натяжения нити во время рывка Трь1В обозначим через
v максимальную скорость диска в нижнем положении. За время полоборота
диска At = irr/v количество движения диска изменяется на 2Mv. Это из-
изменение равно импульсу силы, действующей на диск, за то же время, т. е.
BТрь1В — Mg)At. Вычисления дают
Т -M
176 Ответы и решения
Во время рывка нить испытывает дополнительное натяжение
АТ^ — — Mg^3,14 Н.
7ГГ g
Полное натяжение нити во время рывка Т = То + AT ^ 8,0 Н.
1 + Mr2/I I + Mr2/DmR2) TzmR2
~ 1,42То, где / — момент инерции системы, То — натяжение нити при
неподвижном грузе.
R2 - h2
380. а) а = -^——^—-j-g-sina, где р — радиус инерции шарика, 2h —
pz + (Rz - hz)
R2
ширина желоба; б) а = — -gsina.
381. Н = ——-—i^. Для сплошного шара Н = 27/wR, для полого Я =
382. tga > g—^' где Р "" РаДиУс инерции катящегося тела. Для
сплошного шара tga > У2&;, для полого tga > %^- Для сплошного цилиндра
tga > 3/с, для полого tga > 2к.
383. Положение точки В, в которой шарик отрывается от сферы и начи-
начинает свободно двигаться под действием силы тяжести, определяется углом а,
косинус которого равен
где р — радиус инерции шарика. Результат не зависит от радиуса сферы. Для
сплошного шарика cos a = 10/i7, для полого cos а = 6/п-
384. Будем рассматривать все движения в системе отсчета, в которой
наклонная плоскость неподвижна. Так как центр масс системы и мгновенная
ось вращения А (см. рис. 104) движутся параллельно, то уравнение моментов
относительно этой движущейся оси имеет вид Iduj/dt = М (см. задачу 433).
Момент количества движения системы L слагается из момента количества
движения цилиндра 1и и момента количества движения собаки m\vh, где h =
= r(l +cosa) — длина перпендикуляра, опущенного на наклонную плоскость
из точки S. Итак,
L = Iu + m\ rv( I + cos a),
причем под / следует понимать момент инерции цилиндра относительно мгно-
мгновенной оси, т. е. величину 2тг2. Из-за отсутствия скольжения v = иг, а потому
L = [2т + ?7ii A + cos a)]rv.
Так как центр масс системы и мгновенная ось А движутся параллельно, то
производная L по времени должна равняться моменту внешних сил относи-
относительно мгновенной оси А, т.е. (т-\-m\)g r sin а. Приравнивая оба выражения,
получим
т + тп\
а = g sin a.
2m + mi A + cosck)
oor mgsino; . . Ртах 1
385. a = —. -, FTV = (M + m)a, t = -, г?макс =
p 2M + m(l + cosck) 2M + m a2
гмакс v J
ra)a'
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
177
dL
—
at
dv
—
at
386. Решение. При отсутствии трения между жидкостью и стенками
бочки вращение бочки не передается жидкости. Жидкость движется посту-
поступательно как целое со скоростью v, равной скорости движения центра масс.
Момент количества движения системы относительно мгновенной оси А ра-
равен L = Iau + mRv, где R — внешний радиус бочки, 1а — момент инерции
ее относительно мгновенной оси А, т — масса жидкости. Из-за отсутствия
скольжения v = ujR, так что
L = (— +mR)v.
V R )
Центр масс бочки движется параллельно мгновенной оси, а потому
/Т + m)Rg sin a,
где М — масса бочки (см. решение задачи 433). Отсюда
(M + m)R2
а = ±-—¦ '—;- g sin a.
Ia + rnR2
При этом мы не учитывали моменты инерции днищ бочки, считая их пренебре-
пренебрежимо малыми. Можно решить ту же задачу с помощью уравнения моментов
относительно центра масс, а также с помощью
уравнения сохранения энергии.
387. Решение. Допустим, что требуе-
требуемое положение шарика существует. На осно-
основании теоремы о движении центра масс:
(М + т)а = (М + m)g-sina — FTp,
где FTp — сила трения, с которой наклонная
плоскость действует на цилиндр (рис. 230).
Уравнение вращения цилиндра (без шарика)
будет
Таио _.
mg
Рис. 230
где / = Mr2 — момент инерции цилиндра
относительно его геометрической оси. Сила
давления шарика на цилиндр в это уравнение
не входит, так как она нормальна к поверхности цилиндра и не дает момента
относительно его оси. Ввиду отсутствия скольжения а = rdu/dt. Из написан-
написанных уравнений находим
М + т
Найдем теперь то же ускорение из уравнения движения шарика
та = mg sin a — FAaB sin cp, FAaB cos cp = mg cos a,
где .Рдав — сила, действующая со стороны цилиндра на шарик. Отсюда а =
= g"(sina — cosatg^?). Путем сравнения с ранее найденным выражением по-
получаем
J АЛ
tga.
2М-
178 Ответы и решения
Из полученного результата следует, что требуемое положение шарика суще-
существует, причем (р < а. Если т <С М, то tgtp ~ V2 tga. Если сверх того а< 1,
то (р ~ %а.
388. Яйцо, сваренное вкрутую, вращается как твердое тело, сырое —
как сосуд, наполненный жидкостью; сообщая скорлупе вращение, мы еще не
сообщаем вращения всем частицам жидкости.
389. I duj/dt = —2тг[ш31и/6, где / — момент инерции ротора и / — длина
подшипников. Отсюда ои = иоехр , где оио — начальная скорость.
V Ы J
390. Решение. На цилиндр, имеющий вначале момент количества дви-
движения 1и0, действует сила F = О, IP. Эта сила сообщает цилиндру угловое
и линейное ускорения:
таким образом, ои = оио — 0, 2— t и v = 0, lg-?. Время Т определится из условия
v = uR или ^0# - 0, 2gT = О, lg-T. Отсюда Т « 2, 14 с. При ? > Г ускорение
равно нулю.
391. Движение после перехода границы будет сначала равнозамедленное,
а затем с постоянной скоростью; 1/3 энергии превратится в тепло, 2/9 —
во вращательную энергию и 4/9 останется в виде энергии поступательного
движения.
Решение. Пусть масса цилиндра т, момент инерции /, сила трения /
и начальная скорость vq. Тогда
т— = —г, fr = 1—,
dt J J dt
откуда
/ , frt
v = vo — —t, uj = -—.
m I
После перехода границы шероховатости скорость скольжения будет vCK = v —
1 г2 3
— иг = vo — a ft, где а = 1 = — (так как / = тг /2). Через время Т =
m I m
= vo/af скорость скольжения обратится в нуль, дальше начнется чистое каче-
качение без скольжения. Скорость поступательного движения при чистом качении
будет
1щ Л 1 \ 2^о
vK = vо = vo[ l ) = ——.
maj V ma) 3
Угловая скорость качения ujk = = vо —. Следовательно,
Iaf la
,,2
mvQ / 1 у
Ц/пост == ^ I 1 ) ,
2 V тек/
в тепло превращается энергия
Ц/тепл — ~2 Ц/пост - Ц/вращ — ^" — •
Можно также независимо подсчитать работу сил трения и доказать, что она
mvl 1
равна —2- —.
§ 7. Динамика твердого тела. Динамика системы
179
392. Решение. Напишем уравнение движения центра масс и уравнение
моментов (относительно центра шара):
dv ^
т— = —F,
dt
lev
= rF,
где F — сила трения, действующая в точке касания шара с плоскостью.
Исключая почленным делением силу F, находим dv/du = —I/(mr). Интегри-
Интегрирование этого уравнения дает v = —Iuj/mr + С. Постоянная интегрирования
С найдется из условия, что при v = vo шар не вращается (и = 0). Это приводит
к соотношению j
— v =
ш.
тг
Когда наступит чистое качение, должно выполняться второе соотношение v =
= иг. Из этих двух соотношений находим
тг 5 vo
1 + тг1 7 г
Вычислив кинетические энергии в начале и в конце, найдем потерю кинетиче-
кинетической энергии на трение:
АК = -
2 1 + тг2
mv0 =
393. v =
Ir
Т , 2
1
9 1 9 9
90
2 I + mr2
= 8, 1 м/с.
iv, второго V2 = bhv. Потеря кинети-
49 начального значения кинетической
394. v0 > л/(М/т + Am/M + ;
395. Скорость первого шара v\ =
ческой энергии на трение составляет
энергии.
396. Шар будет двигаться равномерно, если точка удара лежит выше его
центра на расстоянии 2/5 радиуса. Такие удары называются нормальными Если
она лежит еще выше, то движение шара будет ускоренным. Если же точка
удара лежит ниже, то шар будет двигаться замедленно. Соответствующие
удары называют высокими и низкими. Решение получе-
получено в предположении, что сила трения шара о плоскость
стола пренебрежимо мала по сравнению с силой, с ко-
которой на шар действует кий во время удара.
397. Случай 1 реализуется при высоких ударах,
случай 2 — при нормальных, случай 3 — при низких.
398. Решение. Пусть F — сила трения, дей-
действующая на цилиндр, в месте соприкосновения его
с наклонной плоскостью (рис. 231). Она заставляет ци-
цилиндр подниматься по наклонной плоскости. Сначала,
пока не установилось чистое качение, F является силой
трения скольжения. После перехода движения в чистое
качение F становится силой трения покоя (сцепления). Однако, независимо
от характера движения, оно всегда подчиняется уравнению движения центра
масс mdv/dt = F — mg sin а и уравнению моментов (относительно геометри-
геометрически оси цилиндра) I du/dt = —Fr. Исключая F, получим
dv Tduj
тг— = — 1
dt dt
Рис. 231
180 Ответы и решения
Интегрирование этого уравнения с учетом начального условия (и = ujq при t =
= 0) дает
mrv = I((jJq — ш) — mgrt sin a.
Это соотношение справедливо в течение всего времени движения, независимо
от того, происходит ли оно со скольжением или является чистым качением.
В наивысшей точке должно быть v = 0. Отсюда следует, что в той же точке и =
= 0. В противном случае цилиндр продолжал бы вкатываться, и рассматрива-
рассматриваемая точка не была бы наивысшей. Поэтому время подъема t найдется, если
в предыдущем уравнении положить v = и = 0. Это дает
mgr sin a 2g sin a '
Любопытно, что время поднятия t не зависит от коэффициента трения
между цилиндром и наклонной плоскостью. Результат не изменился бы даже
тогда, когда коэффициент трения стал переменным. Решение предполагает,
однако, что трение достаточно велико, чтобы цилиндр мог вкатываться на
наклонную плоскость. При недостаточном трении будет происходить лишь
замедление скорости вращения цилиндра. Нетрудно подсчитать, что время
замедления определяется прежней формулой.
Напротив, время обратного скатывания цилиндра вниз, а также наиболь-
наибольшая высота поднятия его зависят от коэффициента трения. Такое различие
объясняется тем, что скатывание цилиндра все время является чистым каче-
качением. Поднятие же его вверх сначала происходит со скольжением, а затем
переходит в чистое качение.
399. а\ = g(k cos a — sin а), направлено вверх;
, 1ЩГ UJQT 1 2 •
t\ = ^т т. = т ^' Н\ = - a\t\ sin a,
(/ + mrz)a\ + mrzg sin a [ok cos a — sin a)g 2
mr2 . 2 a\
g sin a g sin a H
mr . 2 a\
CL2 = о g sin a = - g sin a, H^ = — H\\
I + mr2 3 CL2
к cos a - sin a 2 2
—-— :
Ag(dk cos a — sin a)
H = Hi + H2 =
п2 sin a 2g sin a \ 3k cos a — sin a
.nn m\ +m2
400. uj = — ujq.
m\ + 3?7Z2
5 m лт
402. V = Vo-l—v = 80м/с.
5 m
403. x = - — —. Результат не зависит от характера удара.
О VA + VB
404. х = —-=г \\ 1 . Для возможности описанного процесса необходи-
2л/3 V ш
мо М ^ т. Условие х < 1/2 дает еще М < Am.
405. К =16^^.
406. К = 4M~7m ^
AM 2 '
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 181
407. U = —— —. В предельных случаях 1)М = 0и2)М = оо
Ivl ~~г~ Ц^ТТЪ Zd
получаем 1) U = 0 и 2) U =
408. Решение. Если .F — сила, действующая на шарик во время удара,
то уравнение движения шарика будет mdv/dt = —F. Уравнение движения
центра масс стержня: М dV/dt = F. Уравнение моментов для стержня от-
относительно центра масс: I du/dt = Fl/2. Почленным делением исключаем F
и получаем
m dv _ _2 М dV _2
7 d^ ~ ~7' У dJ ~ 7'
Интегрируя в пределах от начального значения угловой скорости и = 0 до
конечного, найдем
г> — г>о = — -— оо, У = т—w,
/ m I M
причем в этих уравнениях v, V и ш озвачают величины соответствующих
скоростей после удара. Угловая скорость и найдется из уравнения сохранения
энергии. Если в него подставить значения v и V, то для и получится квадрат-
квадратное уравнение
L I2 M)
Один из корней этого уравнения (и = 0) дает угловую скорость стержня до
удара, второй — после удара. По условию задачи надо взять второй корень.
1 \2
р
2 \2mvQ
для него получаем и =
г- т 1 л /г/2
С учетом соотношения / = — Ml для него получаем и =
12 м J ~ Dш + М)Г
409. cj = — Vo, v0 = ^^ Vo.
411. uj = ujo + -г/ r^5—, ^ = h\ — • При приближении шарика к оси
(УзМ + т)/^ V и;
вращения стержень будет изгибаться в сторону, противоположную вращению.
При удалении шарика изгиб стержня изменится в обратную сторону.
412. F > Fo, где Fo = (k\ + k2)(mA + mB)g.
Решение. Максимальное горизонтальное ускорение, которое может иметь
тело В, равно а = k%g. Сила Fo, сообщающая ускорение а, определится из
условия
Fo - k\(rriA + rnB)g = (гпа + тпв)а;
подставляя сюда значение а, находим ответ.
.._ ч -r M(sina — kcosa) cosa
413. 1) Ускорение тела а^ = -——— : -— g, клина а\ =
М + m(sm a — к cos a) sm a
= (т/М)а2.
_ч ЛТ Msma(cosa + к sin a)
2) Ускорение тела а2 = —- : -— g, клина а\ =
М + m sin Q;(sin a — к cos a)
m sin a cos а — &(М + ?тг cos2 a)
М + ?тг sin o;(sin a — к cos a)
3) В первом случае к < tga, во втором — условие движения клина /с <
i
m sin ск cos a
М + га cos2 ск'
414. амин = gb/h, где g- — ускорение свободного падения; N = mg; x =
182
Ответы и решения
415. /смин > b/h; если к < кМИН, то автомобиль при v = ^/bgR/h соскольз-
соскользнет с дороги на ее закруглении.
416. Цилиндр опрокинется и свалится с диска при угловой скорости
вращения диска
- = y/Dg/(Rh).
417. Т = 2ir^l/(g — Iuj2) , если Iuj2 < g. При Iuj2 > g положение равнове-
равновесия неустойчиво.
Решение. Закон сохранения момента количества движения для системы
желоб-тело
Iouj + m(u cos ip + Ruj)R = 0,
где и — скорость тела относительно желоба, ш — угловая скорость вращения
желоба, /о — момент инерции желоба. Закон сохранения энергии для этой
2 2 2 2
системы дает Iuj2 +
+ RuuJ + и2 sin2 ф\ = 2mgh. Отсюда:
v = (иcos(p + Ruu) + и sin cp = /sgh~l,67gh.
419. Нельзя ограничиться анализом сил, действующих только на колеса,
нужно учитывать и силы, действующие на остальные части паровоза.
Рассмотрим силы, действующие на колесо и паровоз, в отдельности
(рис. 232 а). Для простоты считаем у паровоза одно ведущее колесо. При
положении водила выше оси колеса
к паровозу приложены силы Q' со
стороны водила и F' со стороны ко-
колеса. К колесу приложены силы / со
стороны рельсов, F со стороны па-
паровоза и Q со стороны водила. Для
простоты рассуждений предположим
равномерное движение паровоза. По
второму закону динамики F = / +
+ Q, по третьему Q = Q' и F =
= F'. К паровозу приложена сила
/ = F' — Q', направленная вперед.
Для положения водила ниже оси
(рис. 232 6) распределение сил сле-
следующее: силы, приложенные к ко-
колесу, - /, Q и F, f + F = Q (по
второму закону динамики), а силы,
приложенные к паровозу, — F' и Q'
(F' = F и Q' = Q (по третьему зако-
закону)), и потому к паровозу приложена
равнодействующая Q' — F' = /, т. е.
сила, направленная вперед.
Рис. 232
Итак, во втором случае ось колеса толкает паровоз назад (сила F'), но,
кроме того, большая сила (сила Q1) толкает его вперед.
420. / = (r/R)Q.
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 183
421. сева =
( )
Решение. В системе координат, вращающейся вокруг вертикальной оси
с угловой скоростью си, условие равновесия стержня можно записать в виде
Мц.с = Мс.т, где Мц.с — момент центробежной силы и Мс.т — момент силы
тяжести относительно точки закрепления стержня.
Центробежная сила инерции, действующая на элемент стержня длиной dx,
находящийся на расстоянии х от точки закрепления, будет равна
7 _, т dx о
dFn с = г и х sin a.
а + Ъ
Соответствующий момент силы можно записать в виде
dMn.c = d-Рц.с • ж cos a.
Отсюда для полного момента центробежной силы инерции имеем
9 п 9
mar sin a cos а Г 9 т 1 mar sin a cos а , ч 7чч
Мц.с = — \ х dx = — (о + Ъ ).
а + о J о а + о
-Ь
гт ъ/г а — Ъ .
Приравнивая эту величину моменту силы тяжести Мст = mg sin a, по-
получим ответ.
422. Угловая скорость прецессии
„ _ mgl sin a _ mgl
Ijsma Iuj
где а — угол, образованный осью волчка с вертикалью. Направление прецессии
совпадает с направлением вращения волчка.
612Нм.
R
424. Решение. Максимальный поворот получится, когда скорость сна-
снаряда v перпендикулярна к земной оси. Снаряд уносит момент импульса L =
= 771 [rv]/'д/1 — v2/c2, перпендикулярный к скорости v. Земля получает такой
же момент в обратном направлении. При этом вектор угловой скорости враще-
вращения Земли oj отклоняется вбок на угол а = L/{Iuj). Подставив сюда / = /$Мг2
и учтя, что разность с — v очень мала, получим
cj-v_ _ 25m2c2 _ 22
с ~ 8M212uj2
Заметим, что приведенная оценка годится для поворота земной оси «в
пространстве», т. е. относительно системы «неподвижных звезд». Для исследо-
исследования поворотов оси вращения «в теле», т. е. относительно самой Земли, надо
учесть сплюснутость земного шара. Это связано с тем, что вращение шара
вокруг фиксированного в нем диаметра неустойчиво.
425. tg/3 = a3m2g sin a/(i|a;2), где /ц — момент инерции волчка относи-
относительно оси фигуры, т — масса волчка, а — расстояние от точки опоры волчка
до его центра массы.
426. а « тауот/(Цш) « 0,43° « 25;.
427. Решение. После удара центр ударяемого шара начнет двигаться
с начальной скоростью vo. По теореме о движении центра масс его скорость
в момент времени t будет v = vo — kgt. Пусть и> — мгновенное значение
вектора угловой скорости. Момент силы трения относительно центра шара
184 Ответы и решения
будет kmgri, где i — единичный вектор, направленный за плоскость рисунка
и перпендикулярный к ней. Из уравнения моментов I dw/dt = kmgri получаем
2/$rd<jj/dt = kgi. Отсюда uj = ujq Л — i- Мгновенная ось вращения всегда
лежит в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка. Угол а определя-
определяется уравнением tga = 5/2kgt/(ruJo).
Определим теперь момент начала чистого качения. Скорость поступатель-
поступательного движения шара зависит только от горизонтальной составляющей вектора
uj. Момент начала чистого качения найдется из условий ^hkgt = vq — kgt.
С этого момента угол а становится и продолжает оставаться постоянным,
причем tga = bhvo/rujo. В частном случае, когда vq = ш$г, tga = 5/z, a =
= 35°32;. Заметим, что найденное решение определяет поворот оси вращения
относительно внешнего пространства, а не внутри самого шара.
428. ^дав = Р + 1\\&2/г = Р + - тп2г, где Р — вес бегуна, am — его
масса. При г = 50 см и рабочей скорости 1 об/с (О = 2тг рад/с) получаем
У2тП2г ~ Trig" = Р. Следовательно, FAm ~ 2P. Заметим, что полный момент
импульса L не направлен вдоль оси фигуры бегуна, так как имеется еще
момент, возникающий из-за вращения вокруг вертикальной оси. Однако по-
последний момент остается неизменным при вращении катка, а потому при
решении задачи его можно не принимать во внимание.
T=tg«,tf=
g 2 g
430. Решение. Разделим мысленно кольцо на бесконечно малые эле-
элементы — материальные точки с массами dm. Рассмотрим движение одной
из таких материальных точек. Так как v0TH = [u;r], то по теореме Кориолиса
действующая на точку сила
df = -dmuj2r + dm [П[Пг]} + 2dm [?l[wr\].
Это выражение меняет знак при изменении знака г, а потому при интегриро-
интегрировании по всему кольцу дает нуль. Отсюда следует, что результирующая сила,
действующая на кольцо, должна равняться нулю. Для вычисления момента dM
силы c?f введем прямоугольную систему координат с ортами i, j, k, направив
ось X вдоль и, а ось Y — вдоль ft. После простых вычислений получим
dM = 2[?lw]y2 dm + ПBси] - Qi)yz.
При интегрировании по всему кольцу последнее слагаемое дает нуль, а потому
M = 2[tlw]Iz = [По;] 4,
где Iz и 1Х — моменты инерции кольца относительно осей Z и X соответствен-
соответственно. Таким образом, искомый момент М должен быть перпендикулярен как к и,
так и к ft. Результат верен и в том случае, когда векторы и> и ft не взаимно
перпендикулярны.
431. Согласно закону динамики, dL/dt = М, где L — вектор момента
количества движения, а М — момент силы, действующей на тело. В рас-
рассматриваемом случае момент силы, действующей на планету (рассчитанный
относительно Солнца), М = [rF], где г — радиус-вектор планеты, a F — сила
тяготения, действующая со стороны Солнца на планету. Так как векторы г
и F направлены по одной прямой, то М = 0 и, следовательно, L = const.
Это утверждение справедливо для всех движений под действием центральных
сил.
§7. Динамика твердого тела. Динамика системы 185
432. Решение. Для доказательства можно воспользоваться следующими
соотношениями:
L = [r(mv)] = [тг[ил*]] =
где u; = dcx/dt — угловая скорость планеты, а а — угол поворота ее радиу-
са-вектора. Учитывая, что
Г da 11 mr2 da _ ds
Г Г da 11 mr da _ as _
mr — r = = 2m— = 2mcr,
I I dt \ \ dt dt
получаем искомое равенство. В самом деле, по правилам векторной алгебры,
последнее векторное произведение может быть представлено так: [г[ил*]] =
= ил*2 — г(ги;) = ил*2, так как г 1 w. Но ил*2 dt = r2 da. есть удвоенная
площадь, описываемая радиус-вектором г за время dt. Из ранее доказанного
(см. предыдущую задачу) следует, что а = const. Последнее соотношение
представляет содержание второго закона Кеплера.
433. Решение. В случае одной материальной точки L = [(г — го)р], где
г — радиус-вектор материальной точки относительно неподвижного начала,
г0 — радиус-вектор движущейся точки О относительно того же неподвижного
начала, р = mv — количество движения материальной точки. Дифференциро-
Дифференцированием по времени получаем L = [(г — i*o)p] + [(v — vo)p]. Первое слагаемое
в правой части есть момент М силы F = р относительно движущегося начала.
Слагаемое [vp] обращаются в нуль ввиду коллинеарности векторов v и р.
В результате получается L = М + [pvo] = М + m[vvo].
Для обобщения полученного результата на случай системы материальных
точек напишем последнее соотношение для каждой материальной точки, а за-
затем такие соотношения сложим. Введя при этом скорость движения центра
масс системы vc = ^miVi/m, найдем L = М + m[vcvo], где т, L и М
теперь означают массу, момент количества движения и момент внешних сил
для всей системы материальных точек. Если скорости vc и v0 коллинеарны,
то L = М. В частности, это имеет место, когда начало О помещено в центре
масс системы.
434. Главная полуось эллипсоида инерции направлена по диагонали, со-
соединяющей противоположные вершины куба, и равна а = 1/\/7о; две другие
полуоси равны между собой: Ъ = с = а/л/5,5, где /о = 1/е>т12 — момент
инерции для любой оси, проходящей через центр масс куба.
Решение. Эллипсоид инерции для центра куба — шар радиуса а =
= \/у/То. Для точки А ось, совпадающая с диагональю куба, остается главной
с моментом инерции /0. Для любой оси, перпендикулярной к диагонали в точ-
точке А, момент инерции определяется по теореме Штейнера
IA=IQ + m{d/2)\
где d = - л/3 — диагональ куба. Отсюда следует приведенный выше ответ.
У 12+ш2+п2 ¦
Решение. Главные моменты инерции для центра масс:
т М , о 9\ -г М /7о 9\ -г М /7о
186
Ответы и решения
направляющие косинусы для оси вращения относительно системы координат,
связанной с главными направлениями и с началом в центре масс, равны
I n m n
cos а = -, cos р = —, cos 7 = —,,
add
где d2 = I2 + m2 + n2 (d — диагональ параллелепипеда). Момент инерции
для оси любого направления представляется через главные моменты инерции
следующей формулой:
I = I\ cos a -\-12 cos f3 + /3 cos 7-
Подстановка в эту формулу значений величин приводит к данному ответу.
436. g = 47rRGd/3
§ 8. Тяготение
: 974см/с2.
^975 см/с2.
28g\ где g — ускорение свободного падения на
День
mm r
438. gn « 162см/с2.
439. а = A7r2R3/(T2r2)
поверхности Земли.
440. Такое же, как и самой Земле (если пренебречь размерами Земли по
сравнению с расстоянием до Солнца), т. е. ускорение а = 4тг2R/T2 ~ 0, б см/с2,
где R — радиус земной орбиты, а Т — период обраще-
обращения Земли вокруг Солнца.
441. Веса обоих тел одинаковы.
442. Решение. Веса тел в диаметрально проти-
противоположных точках земного шара / (день) и 2 (ночь)
будут соответственно равны
Р\ = F$ — Fq(R — г) — muj r + mwo,
Р2 = F3 + Fq(R + r) — moj2r — mwo
(рис. 233). Здесь F3 и Fc — силы гравитационного
притяжения Земли и Солнца соответственно, R —
расстояние между их центрами, г — радиус Земли,
wo — ускорение центра Земли под действием гра-
гравитационного притяжения Солнца. Очевидно, mwo =
= F(R). Вычитая, находим
P2-Pi = [FC(R + г) - FC(R)] + [FC(R - г) - FC{R)].
mm r
Ночь
Рис. 233
Разлагая обе разности в квадратных скобках по формуле Тейлора и ограничи-
ограничиваясь квадратичными членами по г, получим P<i — Р\ = г2 d2Fc/dR2. Преоб-
Преобразуем это выражение, используя соотношения Fc = GMm/R2 = A7r2R/T2m,
Р = rng (M — масса Солнца, Т — период обращения Земли вокруг Солнца,
m — масса тела). После несложных преобразований найдем
Р2-Р\ _ 24тг2 г2 _ 12тг2г2
Р ~ gT2 ~R ~ sR
Здесь s = l/2gT2 означает расстояние, которое проходила бы Земля в течение
года, если бы она двигалась равноускоренно с ускорением g. Вычисляя это
расстояние, получим s ~ 5 • 1012 км и далее (Рг — Р\)/Р ~ б, 5 • 10~12.
3. Тяготение 187
443. ——— = — 2^4- ~ 8 ' 100' гДе М3 и Мл - массы Земли
-Р Мз RgT
и Луны, i? — расстояние между их центрами, Т — период обращения Луны
вокруг Земли, г — радиус Земли. Таким образом, влияние Луны на разность
весов Ръ — Р\ примерно на два порядка больше, чем Солнца.
444. gjx = g-M(l + 2AT/T) = ?мA + 0,0008), где AT - разность значений
периодов Т колебаний маятника в Москве и Ленинграде.
445. Часы шли бы медленнее примерно в 2,5 раза, так как gn/g$ ~ 0, 16
(см. задачу 438).
446. Я ^785- 106км.
)
?) « 275м/с2.
449. d = ^/MGT2/4тг2.
450. g- = 4тг2603Я/Т2 « 985 см/с2.
451. Решение. Используя приведенные данные, находим: момент инер-
инерции Луны относительно оси вращения Земли /л = тпа\ = 1,08 • 1047 г • см2
(моментом инерции Луны относительно ее собственной оси пренебрегаем),
угловую скорость вращения Луны по орбите ujj\ = 2,67 • 10~6 рад/с, момент
количества движения Луны Lj\ = Ij\ojj\ = 28,9 • 1040 г • см2/с, полный момент
количества движения системы Земля-Луна L = L3 + Ал = 34, 8 • 1040 г • см2/с.
По закону сохранения момента количества движения Gз + тпа )и = L. По
закону Кеплера а3и2 = а^Шд. Из этих двух уравнений можно получить неиз-
неизвестные а и си. Пренебрегая моментом инерции /з, пишем ma^uj = L и находим
а = а0 0Ll 9 =aof—f = l,45ao = 5,58- 10ю см,
452. C/(i?) = —mgRl/R, где i^o — радиус Земли.
Решение. Сила тяготения, действующая на тело, находящееся на рассто-
расстоянии г от центра Земли, равна / = mgRl/r2. Тогда потенциальная энергия на
расстоянии R будет
453. К = а3/Т2 = СМ/4тг2, С — гравитационная постоянная.
Указание. Рассмотреть круговое движение планеты.
454. Решение. Когда масса планеты пренебрежимо мала, Солнце можно
считать неподвижным и написать mr = F. С учетом движения Солнца это
уравнение заменится на /xr = F, где \i = Mm/(M + m) — приведенная масса.
Переписав его в форме тпг = F, видим, что учет движения Солнца фор-
формально эквивалентен увеличению гравитационной постоянной в (М + тп)/М
раз. Поэтому
а3 _ М + m М а3 G
Т2~~М~ 4^2' ИЛИ Т2(
455. R Rq{ ^
v i о
188
Ответы и решения
2GM
Звезда распадается, если
459. Кинетическая энергия планеты К = mv2r/2 + L2/B1), где первый
член представляет энергию радиального, а второй — вращательного движения,
причем момент импульса планеты L относительно Солнца сохраняется. Так
как момент инерции планеты относительно Солнца / = тг , то уравнение
сохранения энергии запишется в виде
L2
2тг2
Mm
— G = Ь = const,
где М — масса Солнца, am — масса планеты. При г = оо Е = mvl/2. Это
равенство может выполняться только при Е > 0. При Е < 0 оно выполняться
не может. Отсюда следует, что при Е < 0 движение будет финитным, а при
Е > 0 — инфинитным.
460. Если Е < О, то траектория планеты — эллипс, если Е > О — ги-
гипербола. В промежуточном случае Е = 0 траектория — парабола. Эллипс
может вырождаться в отрезок прямой, а гипербола — в прямую, уходящую
в бесконечность.
461. По гиперболической.
462. Оба осколка будут двигаться по параболам.
463. c-V;
2(л/3 -2V2)M2v2
Кт/К3 « 2(V^ -
1(Г17см/с;
8, 3 • 103
464. Решение. В перигелии Р и в афелии А (рис. 234) радиальная
скорость планеты равна нулю. Поэтому момент количества движения планеты
в этих точках можно записать в виде mvr. Учтя уравнения сохранения момента
количества движения и энергии, получим для
Н В этих точек
L2
= 0.
Е 2тЕ
При Е < О это квадратное уравнение имеет
два вещественных положительных корня п
и гг. Один из корней соответствует периге-
перигелию Р, другой — афелию А. Сумма корней
П + Г2 дает длину большой оси эллипса:
Рис. 234
= -G^ = -G™, D64.2)
Е ?
где г = Е/т — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты.
Так как для движения по эллипсу г < 0, то выражение D64.2) существенно
положительно, как это и должно быть.
465. Решение. Пусть комета движется по правой ветви гиперболы
(рис. 235). В ее вершине справедливо уравнение
L2 =о.
3. Тяготение
189
Вообразим, что по сопряженной ветви гиперболы движется вспомогательная
частица с той же массой т и энергией Е, но на эту частицу действует сила
Рис. 235
отталкивания, исходящая из фокуса F\, величина которой совпадает с силой
притяжения, действующей на комету. Для такой частицы в вершине гиперболы
2
-G
Mm
L2
= 0.
Е 2тЕ
Разность положительных корней написанных уравнений и дает искомую длину
2a = G^ = ^,
где г = Е/т — полная энергия, приходящаяся на единицу массы планеты.
466. v = г>цд/1 — R/2a = 8, 1 км/с, где v\\ = yj2gR = 11,2 км/с — вторая
космическая скорость, 2а — длина большой оси эллиптической орбиты.
467. Щ- = -|f^« -0,02 (Е<0).
468. Решение. Если р — импульс, а г — радиус-вектор планеты относи-
относительно Солнца, то
— (рг) = Fr + pv = -(
at i
При периодическом движении среднее по времени значение — (рг), очевидно,
at
равно нулю, откуда и вытекает результат: Е + К = 0.
470. v = ^/3gRo, где Ro — радиус Земли.
471. v = уол/Ro/R, где vo = л/gRo ~ 7,9км/с — скорость движения
спутника по круговой орбите (теоретической) с радиусом Земли Ro.
Указание. Сила тяготения, действующая со стороны Земли на спутник
массы т, равна mgRl/R2.
472. R = ?1-§- До « 6,61 До, где ш = 2ж рад/с.
у ujzKo z4 • dbUU
Указание. Центростремительное ускорение спутника oo2R должно быть
равно ускорению, сообщаемому спутнику силой тяготения, gR^/R2.
473. 1) Первый. 2) R\/R2 = 2gRo/v2o.
Решение. Для первого снаряда, по закону сохранения энергии, имеем
= — g—-, или R\ =
2gR0 - v20'
190 Ответы и решения
так как его скорость в верхней точке равна нулю. (См. также задачу 452 и ее
решение.)
Для второго снаряда, по закону сохранения энергии,
2 * R2'
где v\ — скорость в наиболее удаленной точке; кроме того, по закону сохране-
сохранения момента количества движения, г>о^о = V1R2. Отсюда получаем
2
474. Rx = —— « б,8^о, R2 = —— « 2,52Яо, где
и — угловая скорость и Ro — радиус Земли.
Указание. См. решение задачи 473.
475. Т = л/ЩЩр) «1,2- Ю-3 с.
476. Если р = const, то Т\ =Т%. Если р возрастает к центру планеты, то
Тх > Т2.
л 2 3
477. М = ~ б • 1027г, где а — большая полуось эллиптической
G Т1
орбиты спутника.
478. ^ = (^-)(^) « 0, 11, где Rx = R + h = 6625км - среднее
расстояние корабля-спутника от центра Земли.
479. AR/R - 37rRp/(rp0) = 1,2 • 10, ДЯ - -8 м, где Д - радиус зем-
земного шара. (При решении использовано выражение для силы сопротивления
F ~ pv2S, где ? = тгг2 — площадь поперечного сечения спутника.) Почему
снижение спутника не зависит от значения гравитационной постоянной?
480. Минимальное удаление р\ = 1,25/fe; максимальное удаление р^ =
= 2,1Дз-
Решение. Энергия спутника в полярных координатах равна
Е = j [р2 + (Р2ФJ} ~-р {С = СшМг).
Момент количества движения относительно центра сил равен L = тр(рф).
Исключая из уравнения энергии ф и учитывая, что в точках максимального
и минимального удаления спутника от центра Земли р = 0, уравнение энергии
можно записать в следующем виде:
Здесь учтено, что полная энергия спутника Е на эллиптических орбитах всегда
отрицательна. Два корня этого уравнения дают расстояние до перигея р\
и апогея р% эллиптической орбиты. Согласно теореме Виета
С L2
= 2a=—-, /91/92 =
\Е\' ИИ 2т\Е\'
где а — главная полуось эллиптической орбиты. Используя уравнение эллипса
в полярных координатах, записанное для перигея и апогея: р1>2 = р/A ±г),
3. Тяготение 191
можно представить все геометрические параметры орбиты через механические
константы движения.
В данной задаче полная энергия спутника:
2 2 С
где Vq = vf = — квадрат первой космической скорости. Большая ось
171R^
орбиты 2а = — = pi + /02, отсюда pi = 1, 25ife, P2 = т^у - pi ~ 2, life.
|И| |?|
Решение. Для круговой орбиты г*2, = , Rq = p\ — радиус круговой
171 Rq
орбиты, С = GmM3, т — масса спутника, G — гравитационная постоянная.
Для эллиптической орбиты: v\ = vq • л/1, 5 = vp. Полная энергия спутника
_ mv\ С _ / 1,5 Л С 1С
Большая ось орбиты
С
2а = р\ + р2 = —- = 4i?o = 4pi, отсюда р2 = 4pi - pi = 3pi = 3i^0.
\ь\
Для концов большой оси орбиты имеет место равенство L = mpwp =
= mp2VA (L — момент количества движения), отсюда
Р\
vA = vP— =
Р2 д
482. Тэ/Тк = 2лД ^2,82.
Решение (см. решение задачи 480). Выражая момент количества движе-
движения через секториальную скорость для эллиптической орбиты: L = 2mds/dt,
получаем для периода
2т т
Тэ = —— Ь = 2тг— ао.
Li L/
L2
Поскольку Ъ = а——, то
Тэ2 = BтгJ— а3 {С = GmM3).
Для круговой орбиты:
Отсюда, с учетом данных задачи, получим
= 2 , или — =
483. vp = \/2/W^3 = vu/л/З, vu — вторая космическая скорость.
192 Ответы и решения
Решение. Условие преодоления спутником земного притяжения: —
С
= Е = 0, где С = GmM3, E — полная энергия спутника; отсюда v2 =
R 2C С
= v2o + vlo = . На круговой орбите г& = , поэтому
н * mR * mR
—ф^~ R n R / 2O
484. рмин = * = — = R3, v = v<p = \ —— = vu, v\\ — вторая
zc z рМин V m-"e
космическая скорость.
Решение. Момент количества движения спутника массы т на новой
орбите определяется из условия:
L = mv^R = турмии = const. D84.1)
Квадрат скорости движения спутника на круговой орбите равен
v2 = -IL (С = GmM3). D84.2)
тпгС
Полная энергия спутника на новой орбите:
?=^"-f = ?« + ^)-f=0. D84.3)
Z рМин Z К
Из D84.1)-D84.3) следует ответ.
485. Скорость запуска с Земли v\ = B/y/b)v\ ~ 1, 16^i, где v\ — пер-
первая космическая скорость. Добавочная скорость в апогее Av = A/л/2 —
- 1/\/3)гл «О,13гл.
Решение (см. решение задачи 480). Для эллиптической орбиты большая
ось равна
2а = 2R3 + R3 = 3R3 = С/\Е\ (С = GmM3).
Энергия спутника
, , _ С _ С mv2 _ С mv\
3R3 R3 2 2R3
9
2 4 С 4 2 2
откуда скорость запуска спутника v\ = = - vf, скорость в апогее v2 =
3 mR3 3
1 С 1 2 ^ 2 1 2 *
= - —— = -vf, скорость на круговой орбите г? = -vf; отсюда добавочная
о mR3 о 2
скорость
= vK-v2 =
2 - 1/\/3)гл.
О / О D
486. Время снижения т = - тту^ — •
Решение. Большая ось орбиты снижения 2а = R3 + 2R3 = 3R3. Время
обращения по эллиптической орбите
Тэ = 2тг J^a? =2т (С = GmM3).
3. Тяготение 193
Время снижения
487. Спутник будет описывать малый эллипс:
х(?) = A — cos uot), y(t) = — sin out,
UJ UJ
вершина которого лежит в точке равновесного положения спутника, а центр
смещен на запад на расстояние 2vo/ou, ии — угловая скорость вращения Земли.
Решение. Исходим из уравнения динамики: шао = Р — [2ma;vo], где Р —
«вес» тела, который для точки равновесия спутника А равен нулю:
Ра = —^ + muu2R0 = О (С = GmM).
Ro
Для возмущенного движения
(Ro + yJ R30
В проекциях на оси координатной системы X, Y, Z с началом в точке А
уравнения динамики записываются в виде
х = —2ujy, у = 3uj2y + 2ujx, z = 0.
Отсюда х = —2ujy, у + uj2y = 0, что при начальных условиях у@) = 0, у@) =
= ^о дает
y(t) = — sin cut.
Для координаты х при х@) = 0 получаем
488. v\\ = ^2gRo ~ 11,2 км/с. Скорость может составлять любой угол
с вертикалью.
Решение. По закону сохранения энергии ——^ —mgRo = 0. Потенциаль-
Потенциальная энергия на поверхности Земли (см. задачу 452) —mgRo, а на бесконечном
расстоянии кинетическая и потенциальная энергии равны нулю.
489. Решение. Все скорости относительно Земли условимся обозначать
малыми, а относительно Солнца — большими буквами. Разделим движение
ракеты на два этапа. На первом этапе движение будем рассматривать в си-
системе отсчета, в которой Земля неподвижна, пренебрегая при этом полностью
неоднородностью поля солнечного тяготения. В этом приближении сила гра-
гравитационного притяжения Солнца полностью компенсируется силой инерции,
связанной с ускоренным движением центра Земли. Считая массу Земли М
бесконечно большой по сравнению с массой корабля ш, запишем уравнение
энергии в виде
mv ~ Mm rnv^
G
G >
где г>оо — скорость ракеты в тот момент, когда она практически выходит
из зоны действия земного тяготения. Вводя круговую скорость vK = GM/r,
получим vIq = v2 — 2v\. После того как ракета выйдет из зоны действия
7 Под ред. И. А. Яковлева
194 Ответы и решения
земного тяготения, будем относить ее движение к системе отсчета, в кото-
которой неподвижно Солнце. Скорость ракеты в этой системе отсчета векторно
складывается из скорости Voo и скорости кругового движения Земли VK: V =
= VK + Voq. Возведя в квадрат, получим
V2 = V2 + vL + 2VKVoo = V2 + г4 + 2Ук^оо cos в.
Чтобы найти третью космическую скорость, надо в этом соотношении поло-
положить V = Vu = у/2 VK, где Vu — параболическая, a VK = 29,8 км/с — круговая
скорости движения ракеты относительно Солнца. Это приводит к уравнению
v2oo + 2VKvoocos0-V2 = 0,
из которого находим
Voo = (у/\ +cos26> -cos6)VK
(Положительный знак перед квадратным корнем выбран потому, что величина
г^оо по своему смыслу существенно положительна.) После этого получаем
v2 = (\Л + cos26> - cos(9)V;
V2 + 2v2
2v2K.
Наименьшее значение третьей космической скорости получается при в = О
(ракета выпущена в направлении орбитального движения Земли), наибольшее
при в = тг (ракета выпущена в направлении против орбитального движения
Земли):
2 - l)VK2 + 2v2 « 16, 7 км/с,
= V (\/2 + \)V2 + 2vl « 72, 7 км/с.
490. Решение. Ракета на старте движется вокруг Солнца вместе с Зем-
Землей со скоростью VK. Чтобы ракета упала на Солнце, надо ее движение
затормозить. Как и в предыдущей задаче, находим, что по выходе из поля
земного тяготения ракета будет иметь скорость V = VK + Voo (относительно
Солнца). Наименьшая для замедления ракеты затрата энергии соответствует
случаю, когда скорости VK и Voo направлены противоположно. В соответствии
с этим полагаем V = VK — г>оо (все ско-
скорости положительны) и находим энергию,
приходящуюся на единицу массы ракеты:
е = У2(к - VooJ - GM/R =
р .„, (i^ = С А — расстояние ракеты до центра
Солнца, рис. 236). Если эта величина от-
отрицательна, то ракета будет описывать вокруг Солнца эллипс с большой осью
2а = -— = 2RV"
Один из фокусов эллипса находится в центре Солнца. Пусть х = СР —
расстояние от центра Солнца до ближайшей вершины этого эллипса, тогда
3. Тяготение 195
2а = R + х. Это приводит к квадратному уравнению, меньший корень кото-
которого
/ 2х
Заданием расстояния х на поверхности Солнца определяется линия, на которой
должна лежать заданная точка. Таким образом, искомая скорость v определя-
определяется выражением
При x = 0 (прямолинейное движение по направлению к центру Солнца) ско-
скорость v максимальна и равна
^макс = VK2 + 2^ «31,8КМ/С.
Ракета упадет в передней точке Солнца. При х = г (г — радиус Солнца)
скорость минимальна:
29,2км/с.
Ракета упадет в задней точке Солнца, двигаясь по касательной к его поверх-
поверхности.
491. Решение. Обозначим через Ек полную энергию спутника при
движении по круговой орбите, тогда
Ек = -К, U = -2К.
После того как отработал двигатель, скорость спутника возросла в а раз,
а кинетическая энергия К — в а2 раз. Потенциальная энергия не изменилась,
так как за время работы двигателя спутник переместился пренебрежимо мало.
Таким образом, полная энергия спутника на эллиптической орбите будет
Еэ = а2К + U = (а2 - 2)К = B - а2)Ек.
Большие оси эллиптических орбит обратно пропорциональны полным энергиям
(см. решение задачи 464). Поэтому
Орбита будет эллиптической, если а ^ 2. Максимальное расстояние спутника
от центра Земли (в апогее)
Лмакс — Za — К — -.
Период обращения Т^ найдется из третьего закона Кеплера:
Т2 = Т1/B-а2K/2.
492. Решение. Изменением потенциальной энергии корабля во время
кратковременной работы двигателя в периселении (или апоселении) можно
пренебречь. Поэтому Аг = Д(г>2/2) = vAv. С другой стороны, так как 2а =
= —GM/s, As = —2~ А*2 = ~ g'^ai гДе g' — ускорение свободного падения
196
Ответы и решения
на Луне в периселении. Приравнивая оба выражения, после некоторых преоб-
преобразований получим
R
493.
494. v
Av=—x*- Да =-42м/с.
1— « 60 км/с.
495. Решение. Движение спутника почти круговое, а потому К = — Е
(см. задачу 469). Сопротивление среды уменьшает полную энергию спутника,
а следовательно, увеличивает кинетическую энергию его. Момент количества
движения спутника уменьшается. Перепишем предыдущее соотношение в виде
mv2 = —U и дифференцируем по времени: 2mvdv/dt = —dU/dt. Подставив
сюда U = mgR /r (R — радиус Земли) и введя скорость снижения спутника
w = —dr/dt, получим
dv
g R
^ = |--^^|-^8- 10-b см/с2.
Здесь можно считать, что v ~ 8км/с (первая космическая скорость). Танген-
Тангенциальное ускорение направлено по движению спутника. Сила сопротивления
среды может быть найдена из уравнения энергии и равна F = mdv/dt ~
« 80 дин.
496. Посередине между центром Земли и начальным положением корабля.
497. Решение. Так как энергия корабля зависит только от длины 2а
большой оси его орбиты, то переход на круговую орбиту произойдет на рас-
расстоянии а, т. е. в точке пересечения эллипса с его малой осью. Направление
скорости корабля надо повернуть на такой угол, чтобы оно оказалось перпен-
перпендикулярным к линии, соединяющей корабль с центром Земли.
498. Увеличить в у/2 раз.
499. v2 = v\h/l = 54, б км/с.
2gR . При I = 2R Voo = xj4^~
500. ^оо = R\
6, 5 км/с.
501. Frp/F3Jl = Gm /e , где е = 4, 8 • 10 СГСЭ — элементарный заряд.
Подставляя в формулу массу электрона те = 9, 11 • 10~28г и массу протона
тр = 1,67 • 10~24г, получим для электрона Frp/F3Jl = 2,4 • 10~43, для протона
Frp/F9Jl = 8 • Ю-37.
502. Решение. Соединим центр сферы О с точкой А, в которой поме-
помещена точечная масса m (рис. 237). Из точки О, как из вершины, опишем два
круговых конуса с общей осью ОА, образующие которых наклонены к этой
Рис. 237
3. Тяготение 197
оси под углами в и в + dO. Они вырежут на поверхности сферы элементарный
поясок с площадью dS = 27rr2sin#<i#, где г — радиус сферы. Масса этого
пояска dM = М - = MsinOdO. Так как точки пояска равноудалены от
точки А, то потенциальная энергия гравитационного взаимодействия пояска
и точечной массы т равна
Перейдем к новой переменной р — расстоянию между точечной массой т
и какой-либо точкой пояска. Эта переменная связана с 0 соотношением р =
= R2 + г2 — 2Rr cos 0, где R — расстояние О А между центром сферы и точеч-
точечной массой т. При перемещении вдоль поверхности сферы величины R и г
остаются постоянными, поэтому
pdp = RrsinO dO,
а, следовательно,
Рмин
Если точка А лежит вне сферы (рис. 237а), то максимальное и минималь-
минимальное значения р равны соответственно рМакс = R -\- г и рмии = R — г. В этом
случае интегрирование дает
U = -^^. E02.1)
Потенциальная энергия такая же, как если бы вся масса сферы была со-
сосредоточена в одной точке, а именно в центре сферы. То же справедливо
и для силы взаимодействия F = —dU/dR = —GMm/R2. Можно сказать, что
сфера притягивает материальную точку так, как если бы вся ее масса была
сосредоточена в ее центре. Можно сказать и иначе: точечная масса притягивает
сферу так, как если бы вся масса последней была сосредоточена в ее центре.
Если же точка А лежит внутри сферической полости (рис. 237 6), то рмакс =
= г + R, рмин = г — R, и интегрирование дает
^ E02.2)
На границе полости выражения E02.1) и E02.2) совпадают. Согласно
E02.2) потенциальная энергия материальной точки внутри полости не зависит
от R, она постоянна. Сила F, действующая на материальную точку в этом
случае, равна нулю, так как U = const, а потому F = —U/dR = 0.
503. Доказательство. Как показано в предыдущей задаче, грави-
гравитационное поле первой сферы не изменится, если всю массу этой сферы
сосредоточить в ее центре. Поэтому не изменится и сила, с которой это поле
действует на вторую сферу. Задача свелась к нахождению силы, с которой
точечная масса действует на сферу. Но в предыдущей задаче показано, что эта
сила не изменится, если и массу второй сферы сконцентрировать в ее центре.
Этим и завершается доказательство.
505. Решение. Поле вне шара равно g = GM/r2, где М — масса шара.
Для вычисления поля в точке А (рис. 238), лежащей внутри шара на расстоя-
расстоянии г от центра, проведем через эту точку вспомогательную сферу с центром
в точке О. Вещество шара, расположенное вне вспомогательной сферы, не
198 Ответы и решения
влияет на поле внутри нее. В частности, оно не влияет на поле в точке А.
Гравитационное поле в точке А создается только веществом, сосредоточенным
внутри вспомогательной сферы. Оно равно Gm/r2, где
т — масса вещества, ограниченного вспомогательной
сферой. Таким образом,
G— = р, если г ^ R,
Г 3 г* E051)
^ = ——- рг, если г < R.
г2 3
При г = R оба выражения совпадают.
506. Решение. Гравитационная энергия шара
Рис. 238 есть потенциальная энергия, обусловленная силами тя-
тяготения, действующими между материальными точка-
точками, на которые можно мысленно разбить шар. Она равна взятой с противо-
противоположным знаком работе, которую должны затратить внешние силы, чтобы
привести вещество шара в бесконечно разрозненное состояние, когда каждая
частица вещества удалена в бесконечность. Эта работа не зависит от способа,
каким шар переводится из начального состояния в конечное. Поэтому при
вычислении можно поступить следующим образом. Разделим мысленно весь
шар на бесконечно тонкие концентрические слои и будем последовательно
удалять в бесконечность каждый из таких слоев, начиная с самого крайнего.
Напряженность поля тяготения в любой точке выделенного слоя, создаваемая
веществом, внешним по отношению к этому слою, равна нулю. Поле создается
только веществом, которое окружено рассматриваемым слоем. Если т — масса
этого вещества, a dm — масса слоя, то работа, затрачиваемая на удаление
слоя в бесконечность, равна dA = Gmdm/r. Но для однородного шара т =
М2
= M(r/RK, где М — масса всего шара. Поэтому dA = 3G—- г4 dr. Учитывая,
что dA = —dU и интегрируя, получим
uivj | 4 j 3 GM
U = -3—-Г- \ г dr = --
5 R '
о
За нуль потенциальной энергии мы приняли энергию шара в бесконечно
разрозненном состоянии.
507- 1~ t HfTTT «5,9- 1014 c^ 1,9- 107 лет.
508. Решение. Вообразим, что полость заполнена веществом, плотность
которого равна плотности шара. Тогда искомое гравитационное поле g пред-
представится разностью гравитационных полей двух сплошных шаров с центрами
в О и О\ соответственно. Точка наблюдения А расположена внутри каждого
из этих шаров. Поэтому можно воспользоваться формулой E05.1) и написать
4тг / 4тг \ 4тг
где R — радиус-вектор, проведенный из центра шара О к центру полости О\.
Поле однородно, т. е. во всех точках полости одинаково по величине и направ-
направлению.
509. U{г) = —^- mgRo, где m — масса тела и г — расстояние его
/Ко 2
от центра Земли.
3. Тяготение 199
Решение. Внутри шахты (см. задачу 505) сила тяготения / = mg
поэтому
или
Можно выбрать величину U@) так, чтобы значение потенциальной энергии по
формуле, приведенной в задаче 452, совпадало с полученным на поверхности
Земли при п = Ro; тогда
U(R0) = U@) + ^|^ = -mgRo, или U@) = -^mgR0.
510. v = л/gRo =7,2 км/с.
Указание. См. задачу 509.
511. Все тела в снаряде, находясь в том же поле тяготения, что и снаряд,
испытывают такое же, как снаряд, ускорение, поэтому тело, подвешенное
к неподвижным относительно снаряда пружинным весам, не вызовет их рас-
растяжения. Массу тела можно измерить, например, так. С помощью пружины
можно сообщить телу некоторое ускорение относительно снаряда, и по отно-
отношению силы (отсчитываемой по растяжению пружины) к ускорению можно
найти массу тела (предполагается, что масса снаряда много больше измеряемой
массы).
512. Весы покажут «вес» р = та. Подвешенные в снаряде пружинные
весы будут в этом случае растягиваться в направлении, противоположном
ускорению снаряда (вызванному сопротивлением атмосферы планеты).
513. Если бы не было сопротивления воздуха, то приборы в снаряде пере-
перестали бы регистрировать наличие силы тяжести при выходе снаряда из жерла
орудия. Вследствие сопротивления воздуха снаряд получает дополнительное
отрицательное ускорение, а приборы, находящиеся в снаряде, регистрируют
силу «тяжести», направленную в сторону, противоположную испытываемому
снарядом ускорению, т. е. в сторону движения снаряда.
514. Линейная скорость движения любого спутника по орбите обратно
пропорциональна квадратному корню из расстояния спутника от центрального
тела. Линейная же скорость элементов сплошного кольца, наоборот, прямо
пропорциональна их расстоянию от центрального тела.
R
о с^Г^Г
Рис. 239
515. Решение. Пусть центр масс тел А и В находится в точке О
(рис. 239). Неизменное расстояние между телами А и В будет сохраняться
1 Ig(ma + mb)
только при вращении их с угловой скоростью ш = — \ — вокруг
R у R
точки О. Условия равновесия тел С и D во вращающейся (связанной с тела-
телами А и В) системе координат запишутся так:
200 Ответы и решения
где положительное направление выбрано от А к В, Fc и Fb — искомые силы,
G — постоянная тяготения. Исключая ш, принимая во внимание соотношение
аи2 = GMb/R2 и пренебрегая членами высших порядков относительно r/R,
получаем окончательно:
Fc = GMC{ -^f + jp (ЗМа + Mb)},
FD = GMD{^? - -jg CMA + M
т. е. при Me = Mb обе силы меньше силы притяжения этих масс телом В на
одинаковую величину.
516. Решение. В задаче 515 можно рассматривать А как центр Солнца
и Ма как его массу, В — как центр Земли и Мв — как ее массу, С и D —
как два положения одного и того же тела массы Мс = Мв на поверхности
Земли (С — днем, D — ночью) (см. рис. 239). Из решения этой задачи
следует, что все тела будут в полночь и в полдень весить немного меньше, чем
утром и вечером. Но эта разница в весе, как легко видеть, гораздо меньше,
чем сила притяжения Солнца, так как сила притяжения Солнца GMcMa/R2
умножается на очень малую величину Зг/R. (Массой Земли Мв по сравнению
с ЗМа, где Ма — масса Солнца, при оценке изменений веса, конечно, можно
пренебречь.)
517. Схему задачи 515 можно применить к объяснению происхождения
приливов, вызываемых Луной. Луна А и Земля В вращаются вокруг общего
центра масс О (см. рис. 239). В точках С и D на поверхности Земли, где вода
«весит» меньше, чем во всех других точках, образуются водяные «горбы». Для
расчета приливообразующей силы подставим вместо Ма и Мв соответственно
массы Луны и Земли. Тогда из формул, полученных в задаче 515 (так как
массой Луны по сравнению с массой Земли можно пренебречь), найдем при-
приближенно вес тела массы М в ближайшей к Луне и в наиболее удаленной от
нее точках земной поверхности
где go ~~ ускорение, сообщаемое Землей, г — радиус Земли, R — расстояние
от центра Земли до центра Луны.
518. Точка, в которой g = 0, делит отрезок прямой линии между центрами
этих планет в отношении 9 : 1 и, следовательно, лежит на расстоянии «
~ 36, 7 • 103 км от поверхности Луны.
519. А «6,12- 106кгс-м.
Решение. Минимальная работа по перемещению массы т с Земли на
Луну может быть записана следующим образом: А « mR^gd, — mRj\gj\, где R%
и Дл — радиусы Земли и Луны, g3 и gj\, соответвенно, ускорения свободного
падения на поверхности этих планет, вызванные силами тяготения самих
планет (см. решение задачи 473).
§ 9. Упругие деформации
520. р = 2450кгс/см2.
521. Нет. Длина цилиндра, который не выдержит собственного веса, равна
= p/pg, где р — напряжение разрыва, ар — плотность материала; I = 175 м.
§9. Упругие деформации
201
522. p = J
(сжатие).
523. D = 27mm.
524. AV =
1000кгс/см2 (растяжение) ирлет « — 375кгс/см2
- IP, где Е — модуль Юнга, \i — коэффициент Пуассона.
E
AV < 0 при сжатии, AV > 0 при растяжении.
525. Q= ^-a2p^ 11,7- 103кгс.
526. А/ = pgl2 J2E, где р — плотность вещества стержня, / — его длина,
Е — модуль Юнга; объем увеличивается на AV =
2SE
, где Vo —
первоначальный объем, /л — коэффициент Пуассона, S — поперечное сечение.
527. а = 45°, r = F/2S.
528. U = P2h/FES). Упругая энергия увеличится в 7 раз.
529. Решение. В силу симметрии касательное напряжение т, действу-
действующее в оболочке, одно и тоже и одинаково во всех направлениях. Возьмем
малый элемент оболочки, имеющий форму прямоугольника. При вычислении
относительного изменения площади этого элемента под действием касательных
напряжений т можно отвлечься от кривизны элемента, приняв его за плос-
плоскую прямоугольную пластинку. Тогда вычисление дает AS/S = 2A — р)т/Е
(изменением площади, вызванным нормальным давлением, пренебрегаем). По-
Поскольку площадь S пропорциональна У2//3, относительное изменение объема
будет AV/V = % AS/S. Так как поверхность искривлена, то натяжение т
создаст разность нормальных давлений. Для нее нетрудно получить 2rd/R
(см. формулу Лапласа в учении о поверхностном натяжении). Эта разность
должна быть уравновешена разностью давлений газа АР по разные стороны
оболочки. В результате получим
AV
з A-
9
Ed
АР « 5 • 10"
1
2
532. Деформации (удлинения) тросов показаны на рис. 240 в увеличенном
виде. Если длина среднего троса L, то отно-
относительные удлинения первого и третьего тро-
тросов ?i = ?з — cos а, второго ?2 = =
Л 7
= . Напряжение а = Ее для каждого
Lcosck
троса, Е — модуль Юнга материала. Поэтому
С\ = <7з = <72 COS а.
533. Силы натяжения среднего троса Р%,
бокового троса Р\\
Рх =
Pcos2a
1 + 2 cos3 a '
+ 2 cos3 (
Рис. 240
Замечание. Полезно рассмотреть случай, когда сечение среднего троса
в два раза меньше, чем крайних.
202 Ответы и решения
Р 6СК9 ^ ^^ ^
534. Силы натяжения: Р\ = — ^—, Р2 = тг —"^l ' ^—' ^з =
2 ol\ -\- 4ск2 + скз 2 ol\ -\- 4ск2 + скз
= — —, где а\ = \/S\, a2 = \/S2, аз = 1/$з- Все тяги растянуты
2 CKi + 4ск2 + скз
при S\ > S2/2.
Решение. Если удлинение первой тяги Axi, а третьей — Ахз, то можно
составить следующие уравнения:
Pi=ASiAxu P2 = AS2Axi +
где А — определенная постоянная величина. Добавим еще два уравнения:
Р\ + Р2 + Рз = Р — уравнение равновесия сил и Р\ = Р2 + ЗРз — следствие
уравнения моментов. Решая эти пять уравнений, найдем ответ.
535. Р= 125кгс, Л = 5мм.
Указание. 1) Если максимальное напряжение в поперечном сечении
стержня у места заделки будет равно а, то распределение нормальных на-
напряжений в этом сечении описывается выражением Bа/a) z, где а — высота
поперечного сечения и z — расстояние от середины сечения. Тогда равенство
моментов внешних сил Р1 и внутренних сил в сечении заделки можно записать
так:
а/2
Acrb Г 2 7 cba2
Р1 = z dz = ,
a J 6
О
где Ь — ширина сечения стержня.
2) Кривая прогибов консоль-
но закрепленного стержня у(х)
(рис. 241) определяется дифференци-
дифференциальным уравнением х)
Рис.241 P(l-x)=EIpt,
dx2
где P(l — х) — момент внешних сил относительно сечения балки, имеющего
координату х, I — момент инерции площади поперечного сечения стержня
относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс сечения. Для
прямоугольника высотой а и шириной Ъ I = а36/12. Уравнение, определяющее
прогибы, можно два раза проинтегрировать, и учесть, что у (О) = -j- @) = 0.
Тогда
о
отсюда Л = у{1) = Р13/(ЗЕ1); подставляя значение I, получаем для стрелы
прогиба Л = АР13/(а3ЬЕ) = 5 мм.
536. Х = Р13/(А8Е1).
Указание. Стрелу прогиба можно подсчитать по формуле, указанной
в ответе предыдущей задачи, если учесть, что поперечное сечение в середине
1) См., например, СП. Стрелков. Механика.— М.: «Наука», 1975, §88, 89.
§9. Упругие деформации 203
балки не повернулось при деформации. Поэтому прогиб будет такой же, как
и прогиб консольно закрепленной половины балки под действием реакции
опоры конца балки, равной Р/2.
537. Решение. Пусть смещение конца стержня А/. Под действием си-
силы Р2 средней пружины стержень выгнется вверх и стрела прогиба будет 5.
Тогда стержень будет находиться в равновесии под действием сил, показанных
на рис. 242, где Рх = к{А1, Р2 =
= к2{ —— 5). Считая А/ очень ма-
V 2 / ул
лым, можно определить о по форму- gpo „__ _
ле, указанной в ответе предыдущей <я "~~~-
задачи, или S = —. Усло-
2AEI
вие равенства моментов сил: Р2—\-
-\- P\l = PL Из этих уравнений нахо-
находим
р2
[М
А/
'Р
4 + /3 + 2а кх ' Рис. 242
fe/3 / жесткость средней пружины \ к2 тт л ,
где а = ——— и р = —. Исключая А/
2AEI V«жесткость» половины стержня на изгиб/ к\
и 5, получим ответ:
4 +2а „ „ 2/9
- 5 =
Проверьте случай абсолютно жесткого стержня (а = 0) и случай идеаль-
идеального гибкого стержня (а = оо).
538. Л = Р13/BаЪ3Е) « 0,03 мм (см. указание к задаче 536).
539. Л = Р13/(АаАЕ) « 1,25 мм.
540. Так как момент инерции сечения трубки / = tt(Da — dA)/6A, то Л =
4Р13
4Р^
541. ?J = — ~ 104кгс/мм2 (см. момент инерции в ответе предыдущей
задачи).
3
4ж
Указание. Стрелу прогиба и в этом случае можно подсчитать по формуле
задачи 536, если учесть, что вследствие симметрии каждую четвертую часть
длины балки можно рассматривать как консольно закрепленную (рис. 243).
Это возможно потому, что изгибающий момент равен нулю в тех местах,
где мы мысленно рассекли балку. Вследствие симметрии кривизна в этих
местах равна нулю, а следовательно, и изгибающий момент равен нулю.
543. Решение. Считаем, что при закручивании поперечное сечение
стержня, находящееся на расстоянии dl от другого сечения, поворачивается
на угол dip относительно него. Кольцо, вырезанное между этими сечениями,
имеющее радиус р и толщину dp, сдвинется на угол (рис. 244) da = pdcp/dl.
Касательное напряжение в сечении на расстоянии р от оси будет т = Npdcp/dl.
Момент сил, действующих на поверхность кольца радиуса р и толщины dp,
dM = Ivpdprp = 2ttN^ p3 dp.
204
Ответы и решения
Момент сил в сечении
= 2ttN
где г — радиус стержня. Момент М равен моменту внешних сил; отсюда
л/г ппп гт dcp APR
М = 2PR. Подставляя это в предыдущее выражение, получаем — =
dl
следовательно, <р =
4PRI
I
Рис. 243
Рис. 244
544. Центр масс диска описывает при вращении окружность радиуса d +
+ ?, где ^ — прогиб вала, зависящий от числа его оборотов. Упругая сила
к? сообщает центру масс центростремительное ускорение. Поэтому можно
написать muj2(d-\-^) = k?, откуда прогиб (в мм)
d
E44.1)
(Угловую частоту ш = yjk/m, при которой ^ —»> оо, называют критической
частотой и, очевидно, стараются так подобрать условия работы вала, чтобы
он не работал при критических частотах. Вал может работать и при частоте
выше критической. Для этого надо, ускоряя вращение вала, достаточно быстро
пройти через критическое значение угловой частоты. Амплитуда колебаний
вала не успевает заметно возрасти.)
545. v = кл/F/p, где к — безразмерный коэффициент, значение которого
не может быть найдено примененным методом решения задачи.
Решение. [F] = МЬТ~2, [р] = ML~l, [v] = LT~l, где М - масса,
L — длина и Т — время. Имеем: v = f(F,p), или [v] = [Гшрп], LT~l =
= (MLT~2)m • (ML~l)n, откуда для степеней Т, L и М в выражении для
размерности скорости получаем соответственно уравнения: m — п = 1, 2т = 1,
m + п = 0, из которых находим m = +1/2, п = —1/2.
546. 0,4 гс.
547. у = кл/Е/р.
Указание. См. решение задачи 545.
548. Решение. Для простоты введем такие единицы, чтобы плотности
кинетической и потенциальной энергий выражались формулами wKHH = v2,
§9. Упругие деформации
205
wn0T = P2. Представим начальное возмущение Р, v (P — давление, v — ско-
скорость частиц стержня) в виде суммы двух возмущений: Pi, v\ и Р2, v2. Тогда
Р = Pi + Р2, г? = v\ + г>2. Величины Pi, v\ и Р2, г>2 подберем так, чтобы каждое
из начальных возмущений Pi, v\ и Р2, v2 порождало возмущение, бегущее
в одном направлении. Тогда Р2 = v2, P2 = v\. Если первое возмущение бежит
вправо, а второе — влево, то P\v\ > О, Р2г>2 < 0. Учитывая это, получаем Pi =
= г?1, Р2 = — v2 и далее
Pi = vi = (Р + v)/2, Р2 = -V2 = (P- v)/2.
Отношение энергий, уносимых возмущениями, равно
_ 1 + 2Р/^ + (P/vJ
или
- 2P/v + (P/vJ '
+ 1\2
/а + 1 У
/S -17 '
550. ^ = 2ж0
777-Z
где ?71 — масса стрелы, / — длина тетивы.
Решение. Сила, действующая на стрелу,
f = 2Tcosa = 2T-^ = 2(Т0 + ^х)у.
Приравнивая энергию деформации лука кинети-
кинетической энергии стрелы, находим ее скорость.
551. Из подобия треугольников (рис. 245)
А1
следует: —-
d d/
21
при D > /, откуда — =
. Напряжения, возникающие при удлине-
D + d
нии верхнего волокна, равны
а = Е^ = F^— = 2 ¦ 104
Нейтральная
линия
2000
= 10кгс/мм .
Центр барабана
Рис. 245
552. Укорочение бруска будет в два раза меньше.
Решение. В отсутствие упора брусок будет ускоренно двигаться. Сила
сжатия в сечении стержня на расстоянии х от А будет Т = F(\ — x/L), так как
предшествующие элементы бруска должны сообщать ускорение последующим.
Изменение длины элемента стержня dx, удаленного на х от А, будет
Общее изменение длины, следовательно, будет
553. U = ma2l/FES).
554. Никакого напряжения не будет, так как в этом случае сила при-
притяжения Земли действует на все элементы бруска, сообщая им одинаковое
206
Ответы и решения
ускорение. В задаче 552 сила была приложена к одному концу бруска, и по-
последующие элементы бруска получили ускорение только вследствие сжатия
предшествующих.
R А
М.
555' F = 2 2?#
556. T=^(L2-ж2), AL =
емого сечения от оси вращения.
3ES
2
L , где x — расстояние рассматрива-
§10. Колебания
557. Графики зависимости от времени — синусоиды, смещенные относи-
относительно друг друга по фазе (на рис. 246 эти графики изображены для колебания
Смещение
Скорость юх0
Ускорение
1
Рис. 246
Графики зависимости скорости от смещения — эллипс, уско-
ускорения от смещения — прямая. Если амплитуда смещения жо, то амплитуда
и амплитуда ускорения у0 = uj2xo, где ш — угловая частота
Ш ^
скорости v =
колебаний.
558. Ект
1 42 2
= - ТПА 00 .
559. Уменьшится в
Еиот =
ш ш
2 раз.
561. Ti =TV/1 +a/g.
Решение. Во время взлета ракеты с ускорением часы будут идти быстрее
1 -\-cb/g раз, чем в обычных условиях. После выключения двигателя часы
остановятся. Таким образом они покажут время Т\ = Тд/l + a/g .
562. Т =
I
gasmen + sin/?)
563. Движение поршня будет происходить по закону
§ 10. Колебания 207
т. е. возникнут колебания с периодом
7Ро
564. 1) Не изменится ничего; 2) частота уменьшится, а амплитуда уве-
увеличится. (Для двухатомных молекул N2, O2 и Н2 7 = cp/cv = 7/5. Для
одноатомного газа Не 7 = 5/3.)
565. Гармоническое колебание с периодом Т = 2ir^Ro/go, где Ro —
радиус земного шара, go — ускорение свободного падения на поверхности
Земли.
Решение. Ускорение в точке, находящейся на расстоянии г от центра
земного шара, если г < Ro, есть gor/Ro, т.е. ускорение пропорционально сме-
смещению. Значит, тело будет совершать гармонические колебания около центра
земного шара с амплитудой Ro и периодом Т = 27ry^Ro/go (см. задачу 509).
566. Если То — период колебаний маятника при отсутствии полости, то
при наличии полости период будет
567. Поезд будет совершать гармонические колебания с периодом Т =
= 2ir^R/g « 84 мин, не зависящим от длины хорды I. Линия отвеса будет
перпендикулярна к хорде, вдоль которой движется поезд. Часы в поезде будут
идти медленнее, чем на Земле, в ^/l/cos^ раз, где 2ср — центральный
угол, опирающийся на хорду длины I. По прибытии в противоположную точку
земного шара часы покажут время i! = t^/cos cp = 0,933?, где t — время,
отсчитываемое по неподвижным часам. Таким образом, часы отстанут на 2,8
мин.
568. Нить отвеса установится перпендикулярно к полу салона самолета.
Т =
569. t' = t(l + -^-A = 1 ч5бс.
V AR2g2)
570. 1) Муфта будет постепенно (по мере роста ускорения) смещаться
в направлении, обратном ускорению; максимальное смещение ? = ma/k ~ 1 см.
2) Муфта начнет совершать колебания по закону х = —— A — cos cut), где
х — координата муфты относительно тележки, отчитываемая от начального
положения муфты, причем х считается положительным в направлении, проти-
противоположном ускорению тележки; ш = ^/к/т ~ 9, 9 с. Вследствие наличия
трения и сопротивления воздуха эти колебания постепенно будут затухать.
Замечание. При вычислении величин смещения ? и частоты и необходи-
необходимо соответствующие величины, указанные в условии задачи, перевести в одну
систему единиц (СИ, СГС и т.п.). Это замечание следует иметь в виду и при
решении других задач.
571. Если отклонение муфты от общего центра масс будет х\, а откло-
отклонение тележки — Х2, то тх\ = Мх%. Уравнение движения тележки Mx% =
= —к(х2 + х\); заменяя х\ из предыдущего равенства, получаем
Аналогично для муфты
тх\ + к(\ + — )х\ = 0.
208 Ответы и решения
Следовательно, будут происходить гармонические колебания тележки и муф-
/к{т + М) _! „
ты с частотой о; = у ~ 10, 8 с . Амплитуды колебании муфты
7 М т
= 5см, тележки / — = 1 см.
М + т М + т
572. Г =
573. Г = 8-v/Z/g- •
574. Г = 2тгу/A/г2
57b. cj0 = —-
1/2
Р / /fee \
575. ж = — ( 1 — cos \ -^- ? 1. Максимальное натяжение пружины рав-
но 2Р.
1/2 1 + cos (^o /
Решение. Для малых колебаний около положения равновесия кинетиче-
кинетическая энергия системы равна
а потенциальная энергия
d2U
2 дх\
1 2га2
2
здесь ? = xi — ж? — малое отклонение среднего груза от положения равновесия.
Полагая ?(?) = Acos(ic;o? + «) и [/макс = ^макс, находим искомый ответ.
577. Если сила, действующая на груз со стороны доски, F' = —F, то
уравнение движения груза Р — F' = md2x/dt2. Значение ускорения груза
находим из закона его колебаний: х = a cos out; тогда получаем
-F' = F = -Р -таи2 cos wt = -A + 0, 32cos4tt?) кгс.
Рекомендуем начертить график изменения силы F со временем.
Р ?• 9 8
578. А > = -% = —1—г м. При предельной амплитуде Ао ~ б, 2 см сила
mu;2 и;2 16тг2
давления груза в верхней точке становится равной нулю.
579. Решение. При снятии груза М положение равновесия сместится
вверх на величину жо = Mg/k. Возникнут колебания чашки относительно
нового положения равновесия: х = xocosojt. Когда чашка начнет подниматься
вверх, то вместе с ней будет подниматься и грузик т. В верхнем положении
ускорение чашки достигает максимального значения амакс = ш х$ = кхо/т =
= Mg/m и направлено вниз. Если амакс < g, т. е. М < т, то при обратном
движении чашки вниз грузик будет продолжать лежать на ней, и подскакива-
подскакивания не возникнут. Если амакс > g, т.е. М > ш, то грузик отстанет от чашки
и появятся подскакивания.
580. При и2А > g грузик будет подскакивать, при и2А < g — колебаться
вместе с мембраной.
581. к = Air2A/(gT2) «0,1.
A./l + .
к у mg
583. х < mg/k = 20 см.
585. При резонансе сила трения равна внешней силе: FTp = 100 дин.
Амплитуда скорости vq = Apuj = 20тгсм/с, к = FTp/vo = 5/тгг/с.
§ 10. Колебания 209
586. При резонансе фаза скорости совпадает с фазой внешней силы и ам-
амплитуда скорости наибольшая, поэтому работа внешней силы за период А =
т
= J f ds = J fvdt будет наибольшей,
о
587. Т = 27T^L/3g .
588. Решение. Рассматривая движение тела как вращение вокруг мгно-
мгновенной оси с угловой скоростью ш, напишем для скорости его центра v = ша.
Ту же скорость можно представить в виде v = (R — а)ф. Приравнивая оба
выражения, находим и = ф. Кинетическая энергия по теореме Кёнига
а
K=I-uj2 + j(R- аJф2 = l- (m + ^) (R - аJф2.
Потенциальная же энергия
U = mg(R-a)(l-
Применяя общий метод, находим
Т = 2 /A + _Ц)^?.
у V ma2/ g
В частности, для сплошного цилиндра и сплошного шара
589. Т = 2тт\ 11 Н J — . В частности, для сплошного цилиндра
V V ma2/ g
и сплошного шара
590. Т = 27ry/h/2g, где h — высота треугольника.
591. T2/Ti =2/\/3.
592. /= 15 см.
593. Та/Тв «0,9.
Решение. Пусть х — расстояние центра масс полудиска от центра диска,
у — расстояние центра масс всего диска от центра диска. Тогда по теореме
Гюйгенса-Штейнера момент инерции полудиска относительно оси, проходящей
через его центр масс, /о = m(R2/2 — ж2), где m — масса полудиска и R —
радиус диска. Момент инерции относительно оси, проходящей через точку А,
равен
R2 9\ . ,„ ч2 , (R2
+ majl(R-x) +7П
- R + 2х) + тал [-R-:
Момент инерции относительно точки В:
210 Ответы и решения
Периоды колебаний будут:
1в
(шал + mCB)(R + y)g ' у (шал + mCB)(R - y)g '
,, ^св - тал тсв Ю 3/ т
Учитывая, что у = ж и = — = 4, получаем у = /5^. Так как
тсв + тал тал 2, 5
х = 3/2R/tt, то Та/Тв « 0,9.
594. Т = 2,М^ + (/ + У2 + ;^ * 1, 29 с, где а = Ь/а = 0, 1; /9 =
= а// = 0,1-
Решение. Т = 2ir^I/(Mgh), где / — момент инерции колеблющейся
системы, М — ее масса, h — расстояние от точки подвеса до центра масс.
В данном случае
где р — плотность материала.
595. а'о = arccos(l — lu2al/Cg)) « 8°, где и — частота колебаний маят-
маятника до отрыва груза; Т = 27r^2l/3g « 1,04 с.
Указание. В момент отрыва груза стержень обладает угловой скоро-
скоростью а = аоси, кинетической энергией ЕКИН = 1стси2а1/2, где /ст — момент
инерции стержня. Приравнивая эту энергию работе по подъему центра масс
стержня до его полной остановки Mg- (I — cosa'0), находим новую амплитуду.
596. Период будет таким же, как и в предыдущей задаче. Амплитуда будет
равна начальному отклонению маятника, т.е. 10°.
597. Да, это место — центр качаний, находящийся на расстоянии 2/31 от
подвеса. Подвеска груза в центре качания любого физического маятника не
изменит его периода, однако размеры груза должны быть значительно меньше
расстояния от центра качания до точки подвеса.
598. Т = 2тг
Ма — тх
Решение. Уравнение малых колебаний системы грузов будет
(/ + тх )ф + (Ма — mx)g(p = О,
откуда и получаем ответ (/ — момент инерции маятника без грузика относи-
относительно оси качания.)
/ If) I о ??" ГтТЪ Р" i—
599. sMaKc = \ — = —1=, ^макс = тт \ \ т~ = т v 3, где s — расстояние
V m 2v3 2 у 1q I
точки подвеса от середины стержня.
Решение. Для физического маятника: от = —^— = -—-—- /0 = —- / .
Is /о + ms2 \ 12 У
Максимум частоты находим из условия: du.r/ds = 0, откуда и получаем ответ.
600. Решение. Движение маятника происходит по закону а =
= «о cos ^/3g/2l t. Второй закон Ньютона для кольца дает: F — mgsma =
= mad, где F — нормальная составляющая искомой силы (нормальное
давление стержня). Так как sin а « а, то F = m(a<i + g-a); подставляя вместо
§ 10. Колебания
211
а и а их значения из закона движения стержня, находим
F = aomg(l - 3d/21) cos ^3g/2l t.
Касательную к стержню компоненту искомой силы (силу трения) Q определим
из следующего уравнения: Q — mg cos a = m(aJd. Заменяя cos а на 1 — а2/2,
получим Q = m[g(l — а /2) + (a) d] или, окончательно,
602. Т = —
г
. Для сплошного цилиндра Т = тгд/3т//с.
603. Т = 2ir^l/3g. В более общем случае, когда плита не однород-
однородна, но центр масс ее совпадает с геометрическим центром плиты, Т =
= 2тгу7211 /(Mgа2), где / — момент инерции плиты относительно вертикаль-
вертикальной оси, проходящей через ее центр, а — длина одной из сторон плиты.
604. Т --
605. Т --
606. Т --
607. Т = 2ir^I/(mga + ко?).
608. хо = mga/kl, T = 2тгу/Т/Ы2~.
609. ^ =
610. Т = 2тг
611. Т = 2тг
V
2к — mgl
2к + mgl
{т\
612.
t I — - —, где Т — период колебаний неподвижных
Т yi+///0 2 /0
часов, а Т' - часов, лежащих на абсолютно гладком горизонтальном столе.
Ход часов ускорится на 0,1 %.
613. Т = 7Г
614.T = 27J-^T.
V М + m g
615. Тх = 2ттл/21Щ, Т2 = 2ттл/ТЩ, Тх/Т2 = 2.
616. Решение. Задача сводится к нахождению выражений для потен-
потенциальной и кинетической энергий системы. С этой целью мысленно заполним
полость тем же веществом, из которого сделан цилиндр. Образовавшийся
таким образом сплошной однородный цилиндр назовем цилиндром /, а ци-
цилиндр вдвое меньшего радиуса, заполняющий полость, — цилиндром 2. Массы
цилиндров обозначим соответственно через т\ и т2. Энергия системы, как
212
Ответы и решения
потенциальная, так и кинетическая, будет равна разности энергий цилиндров
1 и 2. При повороте системы из положения равновесия на угол ср (рис. 247)
центр масс цилиндра / остается на прежней высоте, его потенциальная энергия
U\ не изменяется. Потенциальная же энергия цилиндра 2 становится равной
U2 = rri2gh2, где /i2 = R + V2-R cosср —
высота центра масс этого цилиндра над
горизонтальной плоскостью, на которой
находится система. Полная потенциаль-
потенциальная энергия всей системы
U = Ui-U2 =
= const — rri2gR( 1 + /2 cos (p).
Единственное переменное слагае-
слагаемое, которое она содержит, есть
— l/2rri2gRcoscp. Поэтому при надлежащем выборе аддитивной постоянной
величину U всегда можно представить в виде
Рис. 247
U = const + -ni2gR(l — cosф) = const -
2 Ф
ni2gRsin —,
или для малых углов ср U ~ const + xUm2gRcp2. Кинетическая энергия систе-
системы К = V^/i — 12)ф2, где 1\ и /2 — моменты инерции цилиндров относительно
мгновенной оси. При изменении угла ср величины 1\ и /2 изменяются. Но для
малых колебаний этими изменениями можно пренебречь и отнести 1\ и h
к тому моменту, когда система находится в положении равновесия. В этом
положении с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера нетрудно получить 1\ =
= 3/2Tn\R2, /2 = l9/srri2R2. Приняв еще во внимание, что т\ = 4гп2, найдем
К = 29/i6rri2-R2^2. На основании полученных выражений для U и К заклю-
заключаем, что малые колебания системы будут гармоническими с периодом Т =
617. а = ХП/2(Ъ2 + %г2) = 7,42см, / = а + ^ ' "' ' /D< = 4
V а
= 27rv/l/g = 1,42 с, х = 2(а + Ъ) = 34, 8 см.
618. г = го ПН—2 2 COSCc;oM, где с^о = л/к/т. При этом должно быть
оо < ojq. В противном случае груз на вращающейся штанге неограниченно
удалялся бы от оси вращения, и равновесие, вопреки условию задачи, было бы
невозможно.
mv
620. 1) Если отвести оба грузика в одну сторону в плоскости, проходящей
через точки крепления струны, на одинаковое расстояние, то период колебаний
Т\ = 27ry/ml/F « 0,05 с. 2) Если отвести оба грузика на одинаковые рассто-
расстояния в разные стороны, то период Т2 = 2n^/ml/2F ~ 0,035 с. См. замечание
к ответу задачи 570.
Указание. В первом случае средняя часть струны (между грузиками)
будет всегда параллельна первоначальному положению, и ускорение массам
будут сообщать натяжения только крайних отрезков струны. Следовательно,
массы будут двигаться так, как вдвое большая масса, находящаяся на середине
укороченной в два раза струны при том же натяжении. Во втором случае
средняя точка струны находится в покое; следовательно, каждый грузик ко-
колеблется так, как если бы он находился в середине струны, укороченной в два
раза.
§11. Гидростатика и аэростатика 213
621. Если при колебаниях маятника его максимальная угловая ско-
скорость (d(p/dt)MaKC меньше угловой скорости вала ш, или ш — dip/dt > 0 для
любого момента времени, то момент силы трения, действующей со стороны
вала на маятник, всегда направлен в одну сторону. Так как этот момент
постоянен, а маятник при колебаниях проходит по направлению вращения
и против вращения один и тот же путь, то работа момента сил трения за
период равна нулю.
622. При колебаниях сила трения, действующая на муфту со стороны
вращающегося вала за одну половину периода, направлена по движению ма-
маятника, когда вал и муфта вращаются в одну сторону, а в другом полупериоде
эта сила направлена против движения маятника.
1) Если сила трения увеличивается со скоростью скольжения, то она боль-
больше в ту половину периода, когда муфта и вал вращаются в противоположные
стороны. Следовательно, работа силы трения маятника о вал за целый период
положительна, затухание маятника возрастает из-за трения между муфтой
и валом.
2) Если сила трения уменьшается со скоростью скольжения, то по тем
же причинам, наоборот, работа силы трения маятника о вал за весь период
отрицательна, вал сообщает энергию маятнику и затухание колебаний умень-
уменьшается. В том случае, когда работа силы трения о вал больше, чем потери
энергии на трение других частей маятника, энергия колебаний маятника будет
увеличиваться, амплитуда будет возрастать, а маятник может совершать авто-
автоколебания.
623. Положение равновесия смещено в сторону вращения вала на
угол (ро = aictg(jjiR/а).
§11. Гидростатика и аэростатика
624. 1) Да. 2) Равновесие может нарушиться, если объем тел различно
изменяется при погружении в воду вследствие того, что сжимаемость их
различна. Сжимаемостью называется величина — AV/(ApV), где AV — изме-
изменение объема V, вызванное изменением давления Ар.
625. Гири должны быть из того же вещества, что и взвешиваемое тело.
627. В2 > 6рA — р)С2.
628. г2 > 2р{\- рI2.
629. l/r > [2sin(a/2)]2, где угол а определяется из трансцендентного
уравнения а — sin а = 2тгр. Например, при р = Тг из него получаем а =
= тг, и условие устойчивости принимает вид / > 4г. При других значениях р
равновесие может быть устойчивым и при меньших значениях I. Так, при а =
= тг/2 и а = Зтг/2 получаем соответственно р = 1/4 — 1/2тг ~ 0,091 и р =
= 3/4+ 1/2тг « 0,841. При таких значениях р равновесие устойчиво, если
I > 2г. При I > Аг равновесие устойчиво, каково бы ни было р < 1.
630. F « 1,12кгс.
631. 1) AiQ « 400кгс, 2) A2Q = 196кгс.
Указание. Давление водорода в баллоне аэростата практически будет
равно внешнему атмосферному давлению и на высоте 2 км. Часть водорода
уйдет из баллона через клапан. Зная вес 1 м3 воздуха на высоте 2 км, можно
найти вес 1 м3 водорода при новом давлении из пропорции 1/1,3 = ж/90.
214 Ответы и решения
632. Если сжимаемость жидкости (или газа) больше сжимаемости тела, то
принципиально можно.
633. Р = Н Н ¦ мм рт. ст.
Р
634. р=1- 1/п2.
635. F = l/2a3pg, где р — плотность воды, h = Уза.
636. Р = 8,64кгс, М = 41,6 кгс-см.
637. Р = 32, 56 кгс, М = 332,8 кгс • см.
638. P = h2^^ = 146 тс.
639. М = 210кгс-м.
640. Решение. Выделим в стенке сосуда пояс шириной 1 см, распо-
расположенный на высоте 1 м. Силы со стороны соседних к поясу частей стенки
не действуют на пояс в горизонтальном направлении, и поэтому силы дав-
давления жидкости уравновешиваются только упругими силами пояса. Выделим
элемент этого пояса длиною Rdcp, где R — радиус цилиндра и dip — угол.
К концам этого элемента приложены со стороны соседних элементов силы,
уравновешивающие силу давления pRdcp на элемент, т.е. 2Fdcp/2 = pRdcp.
F представляет искомое усилие. Подставляя р = 0,4кгс/см2, R = 1 м, получа-
получаем F = 40кгс/см.
641. Др = 0,017кгс/см2.
Указание. Для решения задачи можно воспользоваться следующими со-
соображениями. Рассечем мысленно баллон произвольной диаметральной плоско-
плоскостью. На каждую полусферу будет действовать сила ApirR2. Полусфера будет
удерживаться в равновесии силами натяжения ткани Т, приложенными на
окружности большого круга (в сечении баллона диаметральной плоскостью).
Это значит, что ApirR2 = Т • 2ttR, откуда Ар = 2T/R. Подставляя для Т его
предельное значение 850кгс/м, находим максимально допустимое превышение
давления газа в баллоне над внешним атмосферным давлением.
642. /г« 5,4 км.
Указание. Изменение давления dp с изменением высоты dh связано
равенством dp = — pg dh, где р — плотность воздуха. При постоянной темпе-
температуре p/pg = Po/pgo- Подставляя это в предыдущее равенство и интегрируя,
получаем р = poe~pgoh^Po.
643. Р = -|- (R2 — г2), Рц = l/2PgR, где г — расстояние от центра Земли,
lib
R — радиус Земли. Если бы земной шар состоял из несжимаемой воды, то
было бы Рц = V20-R (Рц — в атмосферах, R — в метрах). С учетом плотности
Земли (р = 5, 5) Рц = 0,275R « 1, 75 • 106 атм.
644. а = arctgO,29 = 16° 10'.
645. а = 0, 5g при ускорении в направлении удаленного днища, а = 5g —
в обратном направлении.
646. Не изменится.
647. Сила давления на переднюю и заднюю стенки цистерны
648. Решение. Так как фигура Земли мало отличается от шаровой,
то ускорение свободного падения внутри земного шара можно считать на-
направленным к центру Земли и пропорциональным расстоянию до ее центра.
В этом приближении с учетом центробежной силы уравнения гидростатики
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика 215
принимают вид
дР х , 2 дР у , 2 дР z
где Rq — радиус Земли, и — угловая скорость ее вращения. Начало координат
мы поместили в центре Земли, а ось Z направили вдоль оси ее вращения.
Интегрируя эти уравнения, получим
где С — постоянная интегрирования, определяющаяся значением давления Р
на земной поверхности (его можно считать равным нулю, так как атмосферное
давление пренебрежимо мало). Сплюснутость Земли определится из требова-
требования постоянства давления на земной поверхности. Выбрав сначала точку на
экваторе, а затем на полюсе, пишем P(R3,0,0) = Р@,0, Ru), где R3 и Ru —
экваториальный и полярный радиусы Земли. С учетом явного вида давления
/г, Р- \ г, Р- г,
отсюда получаем [uj — —- )R3 = — —- Rn и далее
Следовательно, для сплюснутости г земного шара получается
?= Rq = 2g ^ 580'
Действительное сжатие Земли заметно больше, а именно 1/297. Расхождение
объясняется грубостью модели, положенной в основу рассуждений, а также
несовершенством метода расчета. При строгой постановке задачи надо учиты-
учитывать, что поле тяготения сплюснутого шара не является центральным ). Тем
самым задача сильно усложняется, так как само гравитационное поле заранее
неизвестно, а зависит от неизвестной формы поверхности Земли. Подробное
исследование показывает, что задача, сформулированная таким образом, не
имеет однозначного решения. Возможно несколько различных форм равновес-
равновесной поверхности, в том числе и эллипсоид вращения с определенной степенью
сжатия.
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика
649. v = ^2gh = 9, 8 м/с.
650. v = V2g-(/ii+0,9/i2) « 9, 5 м/с.
651. р = 2,5 см вод. ст.
652. Точка пересечения струй лежит ниже второго отверстия на 25 см.
653. Q = SlS2^2gAh/(S22 - S2).
654. h = v2/2g = 5,1 м.
655. Когда моряк подносил доску к отверстию, то врывающаяся струя воды
действовала на доску с силой pv2S = 2pghS, где h — высота столба воды над
отверстием и S — площадь отверстия. Когда доска закрыла отверстие, на нее
действовала сила pghS, т.е. в два раза меньшая.
1) С учетом этого обстоятельства расчет дает г = %uj2Ro/g « 1/232.
216 Ответы и решения
656. 1) Ар = pv2/2 ~ 0,06 атм (р — плотность воздуха). Вентилятор
создает разрежение, и воздух под действием разности давления Ар получает
в трубе скорость v. 2) Из-за вязкости давление увеличится, ибо часть перепада
давления уравновесится силами трения.
657. h = po/(pg), где р — плотность жидкости.
658. F = pQ2/S « 40 гс.
659. Решение. Вертикальная скорость струи на уровне воды в стакане
v = ^/2g(H — К). За 1с уровень воды поднимается на величину А/г = Q/S.
Сила давления на дно от падающей воды: AhpSv, где р — плотность воды. Все
давление равно F = hgSp + AhSvp. Через время t после начала h = AM =
= (Q/S)t и F = AhpS[gt + y/2g(H-h)\. Окончательно
661.
662Л= 15. V*
663. h = Я/2, Хмакс = Я.
664. Площадь горизонтального поперечного сечения сосуда должна быть
пропорциональна квадратному корню из расстояния этого сечения от отвер-
отверстия. Если сосуд обладает осевой симметрией, то он должен иметь форму
параболоида вращения четвертого порядка.
665. Р = Ро — pgx + pgH< I — — —-——-^ >, где х — расстояние по
вертикали от нижнего конца насадки.
666_ н = (Pb-Pypg-Kda/di)*
667. v = д/2(Р — Ро)/р + 2gh, где Ро — атмосферное давление.
668. Пока уровнь жидкости в сосуде выше нижнего конца трубки АВ,
скорость истечения постоянна и равна v = ^2gh. После этого скорость
истечения начнет уменьшаться.
669. Решение. Рассмотрим кольцевой слой жидкости с внутренним
радиусом г и внешним г + dr. Сила внутреннего трения, действующая на него
в направлении течения, равна
о 7 \( dv\ ( dv\ 1 о 7 d ( dv\ j
2тгЫ г— - г— = 2тг1г]— г— dr.
LV dr/r+dr \ drJrl dr V dr/
(Индексы г и г + dr обозначают, что величины, заключенные в круглые скобки,
должны быть вычислены при значениях радиусов г и г + dr соответственно.)
В том же направлении действует сила разности давлений (Pi — Р2) • 2irrdr.
При стационарном течении сумма обеих сил обращается в нуль. Это приводит
к уравнению
d ( dv\ P\-P<i
— ( г — ) = г.
dr V dr) lr\
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика 217
Решение его, обращающееся в нуль при г = R\ и г = R2, есть
Расход жидкости:
п 7TP(Pl - Р2)
Q= w
670. Решение. Возьмем прямоугольную систему координат X, Y, Z
с осью X, направленной вдоль трубы (рис. 248). Выделим столб жидкости,
имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными
координатным осям. На боковую грань этого параллелепипеда, перпендику-
перпендикулярную к оси Y, действует сила внутреннего трения —rjldz(dv/dy)y, на
противоположную — сила rjldz (dv/dy)y+dy, где I — длина параллелепипеда.
Сумма этих сил:
ду/y+dy \oy/y] oyz
Аналогично находится результирующая сил внутреннего трения, действующих
на остальные две грани. Полная сила внут-
реннего трения будет rjl ЬI —— + —— ).
XI
1
Рис.
248
в
-л
dy
с
, + .
оу1 ozl J
Она должна быть уравновешена силой
разности давлений (P2 — P\)dS. Отсюда
и следует искомый результат. "
671. Эта задача относится к типу за-
дач, решаемых методом угадывания. Уга-
дывается вид решения дифференциального
уравнения F70.1), а затем коэффициенты в этом решении подбираются так,
чтобы удовлетворить граничному условию на стенке трубы: v = 0. Направим
координатные оси Y и Z вдоль главных осей нормального эллиптического
поперечного сечения трубы и будем искать решение в виде v = Ay2 + Bz2 + г^.
Р\ — Рч
Это выражение удовлетворяет уравнению F70.1), если 2А + 2В = .
IT)
На внутренней поверхности эллиптической трубы v = 0, т. е. Ay2 + Bz2 + vo =
= 0. Это уравнение должно переходить в уравнение эллиптического сечения
трубы ^- + — = 1, а потому А = —vo/a2, В = —vo/b2. Для определения
постоянных А, В, vo получилось три линейных уравнения. Решая их, находим
Рх-Р2 a2b2 ( у2
Постоянная vq есть, очевидно, скорость течения на оси трубы.
Вычислим теперь расход жидкости. Поверхности, на которых скорость v
постоянна, суть эллиптические цилиндры —^ + —^ = 1, полуоси которых опре-
/2 <2v0 — v 7/2 i<2v0 — v n
деляются соотношениями а = a и b = b . Возьмем два таких
v0 v0
эллиптических цилиндра с бесконечно близкими значениями параметра v.
218 Ответы и решения
Площадь нормального сечения между ними dS = d(i:a'b') = —тг—dv. Расход
жидкости:
о
— о v dv, или О = —-— vq.
672. Решение. При стационарном ламинарном течении силы вязкости
уравновешиваются градиентами давлений. В уравнения движения давления
входят только через градиенты. Поэтому разность давлений Р\ — Р2 на концах
трубы и длина последней I могут войти только в комбинации (Pi — Р2)/1-
А так как жидкость движется без ускорения, то характер течения не может
зависеть от плотности жидкости р. Поэтому плотность р и расход жидкости Q
могут войти лишь в комбинации Q/ р. Принимая все это во внимание, методом
размерностей нетрудно получить
где S — площадь поперечного сечения трубы, а С — постоянный числовой
коэффициент, значение которого зависит от формы этого поперечного сечения.
В полученной формуле содержатся все законы, экспериментально установлен-
установленные Пуазейлем.
673. Нужно приложить силу F = 2Spg(h\ — h2) = 0, 5кгс, толкающую
тележку со стороны отверстия, расположенного выше.
674. Показания весов уменьшаются на 12,5 кгс.
Решение. Вытекающая из отверстия вода приобретает ежесекундно ко-
количество движения pv S = 2pghS. Следовательно, с такой силой вода в ци-
цилиндре действует на воду в струе. Значит, струя действует вверх на воду
в цилиндре с силой 2pghS. Поэтому со стороны сосуда, стоящего на весах,
к покоящейся воде должна быть приложена сила, меньшая веса воды на эту
величину. Таким образом, уменьшение давления воды в цилиндре на его
дне будет в два раза больше прежнего давления pghS столбика покоящейся
жидкости на ту же площадку S.
675. Сила давления воды на щит уменьшится на 72,5 кгс.
Указание. Вытекающая под щитом вода будет ежесекундно получать
количество движения pSv2 = 2pghS = 72,5 кгс • с, т. е. вода перед щитом
будет действовать на вытекающую струю с силой 75 кгс. По третьему закону
динамики струя с равной и обратной по направлению силой будет действовать
на воду в канале (реакция струи).
676. Полагаем, что струя после удара о лопасть продолжает движение со
скоростью лопасти v. Тогда ежесекундно масса воды S(^/2gh — v)p теряет
скорость {^/2gh — v). Поэтому на колесо действует сила F = S(^/2gh — vJp,
работа которой за секунду равна Sp(y/2gh — vJv. Максимум будет при v =
= l/s^/2gh. Следовательно, максимальная мощность будет 3^2
~ 8,75 кгс-м/с и оптимальная угловая скорость вращения
«2,2с.
677. На 0,047°С.
678. Если бы кинетическая энергия струи, составляющая около бДж на
1см3 воды (~ 1,5 кал/см3), полностью превращалась в тепло, то температура
струи в результате удара о лед повышалась бы всего на 1,5 °С; этого явно
недостаточно для объяснения эффекта.
§ 12. Гидродинамика и аэродинамика 219
679. Параболоид вращения; образующая парабола z = ^—х2, где х —
расстояние от оси вращения, z — повышение уровня поверхности по сравнению
с уровнем ее в центре сосуда.
680. 1) р = ро -\ —, где ро — давление в центре дна, р — плотность
воды и R — расстояние от центра дна; 2) р « 42, 3 гс/см3.
681. Пробка — у оси вверху, свинец — у стенки цилиндра внизу, тело А —
в любом положении (если его сжимаемость равна сжимаемости воды).
682. Т « 16 гс.
683. Разность давлений сообщает каждой частице жидкости центростре-
центростремительное ускорение как раз такое, которое необходимо, чтобы частицы дви-
двигались по окружности и не приближались к оси вращения.
684. 1) Жидкость в трубочке В поднимается до того уровня, где про-
продолжение поверхности параболоида вращения, образованного поверхностью
вращающейся жидкости, пересечется со стенками трубочки. Следовательно,
высота жидкости в трубочке не покажет давления у измерительного отверстия
трубочки.
2) При любом положении отверстия А жидкость в трубочке D поднимается
только до уровня жидкости на оси цилиндра, так как жидкость в трубочке
С А находится во вращательном движении. Поэтому в горизонтальном колене
трубочки С А будет перепад давления, измеряемый разностью высоты над
точкой А и центром. Следовательно, и этот способ непригоден.
3) Высота столба в трубочке D будет равна высоте уровня жидкости над
отверстием А. Таким способом можно измерить распределение давления.
685. Наличие масла не изменяет формы поверхности воды. Высота уровня
будет ниже того уровня, о котором шла речь в предыдущей задаче, на 4 мм.
686. F« 112,5 гс.
687. Решение. Перейдем в систему отсчета, в которой жидкость по-
покоится. В ней добавятся две силы инерции: центробежная и кориолисова.
Кориолисова сила не совершает работы. Она лишь искривляет линии тока, но
не сказывается на справедливости и форме общего уравнения Бернулли. Цен-
Центробежная сила добавляет новый член к потенциальной энергии. Полная по-
потенциальная энергия единицы массы жидкости будет и = gz — V^V2!, так что
уравнение Бернулли запишется в виде
— +gz- -u2r2 + - = В = const, F87.1)
где v — относительная скорость жидкости (т. е. скорость
относительно вращающейся системы отсчета). Постоян-
Постоянная Бернулли В одна и та же для всех линий тока,
поскольку все они начинаются вблизи поверхности жид-
жидкости, где скорость v пренебрежимо мала. Применим
уравнение F87.1) к линии тока АВ, начинающейся на Рис. 249
поверхности жидкости в точке А (рис. 249). Если начало
координат поместить в точке А, то za = га = va = 0, Ра = Рв = -Ро, vb = v,
zb = —h, rв = R, и мы получим v = ^2(gh + uj2R2) . Здесь h означает высоту
наиболее низкой (центральной) точки А уровня жидкости относительно отвер-
отверстия. Переход к неподвижной системе отсчета не представляет затруднений.
688. Потому, что для равномерного вращения сосуда к нему необходимо
приложить момент сил М, больший момента сил трения Мтр. Работа момента
М — МТр идет на увеличение энергии воды, переходящей при переливании
А Л
220
Ответы и решения
от центра к периферии сосуда А, и энергия падающей воды не может быть
больше этой работы. Следовательно, работа водяного колеса недостаточна для
поддержания равномерного вращения сосуда.
689. Сосуд должен иметь ускорение а ^ 2g(H — h)/l, направленное вправо
на рис. 193.
690. v = 2y/2gh0 .
691. v = 6y/2gh0 .
692. Падение давления на трение на участке трубы между сосудом и пер-
первой манометрической трубкой должно быть тоже 5 см; следовательно напор
в 3 см сообщает кинетическую энергию жидкости, текущей в трубке. Эта энер-
энергия на 1 см3 жидкости равна pgh = 2940 эрг/см3, откуда скорость жидкости
« 77 см/с.
693. Решение. На рис. 250 показано сечение бесконечно длинного ци-
цилиндрического тела, образующая которого перпендикулярна к рисунку. Там же
Ро>Щ
Рис. 250
показаны трубки тока, прилегающие к телу, и указаны давления р и скорости
v вблизи трех сечений трубок тока, отмеченных индексами 0, 1,2. Сечение О
достаточно удалено от тела. Тогда, по уравнению Бернулли,
Сила, действующая вверх на цилиндрик, вырезанный из тела, будет равна
(p2-px)dS=p-{v\-vl)dS.
При выводе учитывается, что dS\ cosai = dS и dS2 cos «2 = dS, где dS\ — пло-
площадь верхней поверхности цилиндра, а а\ — угол, который образует нормаль
к этой поверхности с вертикалью; так же и для нижней поверхности.
694. Решение. Кинематическая вязкость воды v = 0,010см2/с. Вычис-
Вычисляя числа Рейнольдса и Фруда для модели, получаем
Re = — = 2,1 • Ю7, F = ^- = 0,022.
Щ gl\
Определяющую роль играет число Фруда, влияние числа Рейнольдса не очень
существенно. Из равенства чисел Фруда получаем v = v\{l/l\I^2 = 60км/ч.
Далее из соображений размерности находим
Р = pv2l5/2gl/2f(Re, F) = Ptl7/2g3/2f(Re, F).
Отсюда, если пренебречь влиянием числа Рейнольдса, Р = P\{l/l\O^2 ~
^80 000 л. с.
§13. Акустика 221
695. Решение. Из соображений размерности следует, что подъемная
сила и мощность должны выражаться формулами
Поскольку плотность воздуха и его вязкость в обоих случаях одинаковы,
подъемная сила не изменится, если не изменятся значения функции fx и ко-
коэффициента при ней. Условием этого является 1\ш\ = 1\ш2, откуда ш2/ш\ =
= Aх/12J = I/a2 и далее
Р2 _ р\ш1 _ 12uj2 Zi 1
Рх 1\uj\ 1\Ш\ l2 a'
§ 13. Акустика
696. x « 9,6 м.
Решение. Звук, вышедший из точки А, через время т достигнет уха
человека D (рис. 251); в это время пуля будет в точке С. Учитывая, что
угол ADC — прямой, a AD = 340т, АС = 660т, получим ответ.
697. Ю-3 с. АС
698. Высота тона повышается прибли-
приблизительно на 18 Гц, высота гармоник — на
п • 18 Гц, где п — номер гармоники.
699. 254 или 258.
700. Биения с частотой 2щи/с бу-
будут зарегистрированы приемником только
в первом случае.
701. v = 3400 м/с.
702. Nk = kc/BL), где с — скорость звука в газе, заполняющем трубу,
L — длина трубы, к = 1, 2, 3,... Основной тон, если труба заполнена воздухом,
соответствует Nx = 100 Гц.
™о лг 2к + 1 С г-
703. Wfc+i = ; обозначения те же, что и в предыдущей задаче.
A L
Основной тон соответствует частоте N\ = 50 Гц.
704. См. рис. 252. Точки 2 и 4 — узлы смещений и скорости, пучности
давления, места наибольших значений потенциальной энергии (при t = 0, t =
= 1/2Т). Точки 1, 3 и 5 — узлы давлений, пучности скоростей и смещений,
места наибольших значений кинетической энергии (при t = 1/аТ, t = 3/аТ), Т —
период колебаний. .
1 Гт
Указание. Частота колебаний v = — w — , где Т — натяжение струны,
р — масса струны на единицу длины и L — длина струны. Пользуясь этим
соотношением, находим первоначальную длину.
705. Если t d
ух = ах sin2тг( — — ) = а\ sin(o;t — (pi)
\1 Л /
— колебание рассматриваемой частицы, вызываемое первой системой волн, а
— колебание, вызываемое второй системой волн, то суммарное колебание
у = ух + 2/2 = Asm(ut + ф),
222
Ответы и решения
где
г 2 , 2 , г» / м1/2 / j
= а] + <22 + 2aia2cos((/?2 - <z?i)l 7 , ф = arctg
+ a2 sin g?2
a2cos(p2
о о
x Смещение при t = 0
Скорость при t = О
^ Скорость при ? = Г/4
Смещение при t = Т/4
Давление при t = Т/4
Давление при t = О
Рис. 252
706. L = 30cm.
707. Скорость звука и связана с адиабатической сжимаемостью C = —
v ар
соотношением и = yj\/pf3, где р — плотность среды, v — ее объем и р —
давление. Для воды находим C ~ 4, 35 • 10~5 см2/кгс.
708. Р ж 1,35- 10~2 см2/кгс. Жидкий гелий выделяется среди других
жидкостей, в частности, своей большой сжимаемостью.
709. с = 2щ1 = 1400 м/с. Обертоны v = ки0, где к = 2, 3 и т.д.
710. Период колебаний тонкой струны меньше в два раза.
711. Уменьшить в девять раз.
712. Скорость звука в газе зависит от отношения давления к плотности.
Так как это отношение при постоянной температуре — величина постоянная,
то скорость звука от давления не зависит.
713. Ускорение а = 0, 1BтгJ • 52 • 108 мкм/с2 « 1000g, скорость v = 0, 1 х
х2тг • 5 • 104 мкм/с « 3, 14см/с.
714. 1) Зажать струну на очень коротком участке в середине; 2) так же
зажать на расстоянии 1/3 от конца. Понизить тон звучания струны такими
способами нельзя.
715. Решение. Из уравнения адиабаты следует dp/p = 7dp/P- Если у —
смещение частицы в волне, то относительное сжатие есть —ду/дх и dp/p =
= —ду/дх. Следовательно, dp/p= — ^ ду/дх. С другой стороны, если смеще-
2пх\
—)'Т0
ние в бегущей волне у = A sin (
wt-
ду_
дх
2тгА ( , 2тгх\
cos ut
X У'
а скорость частицы
ду
ду ( 2тгх\
и = — = Auj cos uot — .
ot V Л /
§ 14. Специальная теория относительности 223
Отсюда
и Auj ( 2ттх\ 2ттА ( 2ттх\ ду
- = — cos [ujt — ) = —— cos (wt — ) = - —,
cc \ A/A V A/ dx
а значит, dp/p = ju/c.
716. 1) 1/ = 990/тг^ 315 c, 2) c = 330м/с, 3) A = тг/3 « 1,05м, 4) и =
= 99 см/с, 5) Ар = ^ри/с « 3, 2 мм рт. ст.
у _ ^iA2 - V2M д AiA2
А A
Ai — А2
Решение. Ищем точки х\ и Х2, в которых в момент t фазы обеих волн
совпадают. Координаты точек должны удовлетворять уравнениям:
(uj\t — к\х\) — (uj2t — fexi) = 0, (ujxt — k\X2) — (u2t — hx2) = 2тг,
где к\ и &2 — волновые числа, равные 2tt/Ai и 2тг/Аг соответственно. Отсюда
А AiЛ2 ^ „ , ,/
Л = Х2 — хх = . Точка, в которой фазы совпадают, в момент времени t
Ai - А2
будет иметь координату х\ т. е.
— кхх'х) — (oo2tf — к2х[) = О,
откуда скорость перемещения этой точки
— хх uux — 0U2 vi A2 — ^Ai
и =
t1 — t kx — k2 A2 — -
= vldl.
0,2 — dx
719. J = ^- — « 460 эрг/с = 4, б • 10~5 Вт.
2 ре
2
Указание. Поток энергии J = ?—cS, из решения задачи 715 и/с =
= Ар/Gр); учтя, что скорость звука с = л/^/р/р, получаем ответ
720. А = — = ~ 2 • 10~9 см (см.
из 7 V и
давление считать равным 1013 • 103 дин/см2)
/
р у
720. А = — = ~ 2 • 10~9 см (см. решение задачи 715, атмосферное
из 7 V и
i/
722. Частота колебаний увеличится в 1/^/0,069 ^3,8 раз.
§ 14. Специальная теория относительности
723. t2 = Юс, U = 9,9c, t4 = 11 с.
В момент времени t\ ракета будет находиться на расстоянии х\ = Vt\ от
начала координат О. Момент времени fe можно найти двумя эквивалентными
способами:
1) Скорость, с которой световой сигнал догоняет ракету, равна с — У. По-
X] V 1
этому ?2 — U = 77 = 77 ?ь Определяя отсюда fe, получим ^ = -—777- tx.
c — Vc—V 1— У/с
2) В момент времени ti расстояние между ракетой и началом координат О
равно хх. Пусть световой сигнал догонит ракету в точке Х2 = Vfe. Ясно, что
Х2 = хх -\- (V/c)x2, откуда хх = A — V/c)x2. Но Ж1 = yti, а Ж2 = Vfe, и мы
снова получаем ?2 = ¦:—ттг^-
1 — У/с
224 Ответы и решения
Скорость сигнала, идущего от ракеты к точке О, равна с, поэтому t$ — t\ =
= xi/c= (V/c)tu откуда t3 = A + V/c)t{.
В момент времени t2 ракета находится на расстоянии ж2 = Vt2 от точки О,
и отраженный сигнал придет в точку О в момент t\ такой, что t4 — t2 = (V/c)t2,
\+V/c.
откуда t4 = y—j^ti.
724. Очевидно, что Ато = 2zq/c. Но в системе К источник и зеркало
движутся, так что путь светового луча — ломаная ОАО'. Длина этой ломаной
больше, чем z'o, поэтому промежуток времени At между той же парой событий
больше Ато (скорость света с во всех системах одинакова!). Из рис. 199 ясно,
что О А = \JOB2 + ^,aAt = 2- О А/с. Но OB = V At/2, и комбинируя два
последних равенства с учетом того, что zq = z'o, мы найдем, что At = ГАто,
где Г определяется согласно B).
Показание часов из К1 в точке О' равно i! = 0 + Ато = Ато. Показание
часов из К в точке О1 равно t = 0 + At = ГАто.
725. Если на корабле отсчитан промежуток собственного времени At', то
по земным часам будет отсчитан промежуток At = Г At', где Г = 25/7, поэтому
8 = VAt = ^ с • у At; = 24ст (At' = 7т, т = 1 с).
726. Обозначим длину стержня в системе К через I. Тогда промежуток
времени At между посылкой и приходом светового сигнала в О' можно
сосчитать так. Время, необходимое свету, чтобы дойти до зеркала S\, рав-
равно t\ = 1/{с — V), а чтобы после отражения вернуться к источнику t2 =
= //(с + V). Ясно, что At = ti +12 = B//с)Г2. Но At = ГАт0 = ГB/0/с). Из
двух последних равенств следует искомая формула
- (V/сУ.
727'. Да, увидит; если пренебречь временем реакции глаза, мгновенно!
728. v = с/ sin а. В обоих случаях скорости v не соответствуют распро-
распространению какого-либо физического объекта, а потому не являются скоростями
распространения сигнала.
729. Пусть источник покоится в К, а наблюдатель — в К'. Если источник
посылает импульсы с интервалом Т, то удаляющийся наблюдатель в К' полу-
получает эти сигналы через промежуток времени
т' = —!—т
1 - У/с
(по часам К). Чтобы получить промежуток времени по часах наблюдателя К,
следует перейти к собственному времени наблюдателя Tq, для которого Tq =
= A/Г)Т', и мы получим То' = л '— Т. Переходя к частотам, получим
Аналогично, при сближении источника и наблюдателя
11 + V/c
UJQ.
§ 14. Специальная теория относительности 225
730. 1) Используя формулу C), получим при At = О
At' = -Y(V/c)Ax ф 0.
2) Используя формулу C), получим при Ах = О
Ах' = -TVAt ф 0.
731. Очевидно, 10 = х'2 - х\. Однако по формуле C) Ах' = -ГУAt = П
(Ах = 0), поскольку At = t2 — t\.
732. At = Ато. Согласно C) Ах' = —ГУАто, а наблюдатель из К' должен
считать At' = -(Ax'/V); отсюда At' = ГАт0.
733. В системе К проекции стержня на оси х и у будут равны Ах =
= Аж'/Г, Ау = Ау'. Очевидно, $ = (Ах'J + (Ay'J, a tgcp' = Ay'/Ax'. Таким
образом, в системе К:
- ^ (Ах'J = /оу 1 - ^ cos2 у',
так как Ах' = locosip'. Что касается угла ср, то он определится из соотношения
734. Из формул A) и A;), положив t = 0 и t; = 0, получим искомые форму-
формулы. Различие в знаках обусловлено тем, что для К направление относительной
скорости совпадает с положительным направлением оси х, а для системы К'
эти направления противоположны.
735. В системе К все точки стержня пересекают ось х, х' одновремен-
одновременно, однако этого нет в системе К'. В момент времени t = 0 (по часам К)
часы из К' вдоль положительной части оси х отстают от часов системы К,
а вдоль отрицательной части их опережают (см. задачу 734). Значит, по часам
системы К' в момент t! = 0 правый конец стержня уже пересечет ось х',
а левый будет только к ней приближаться, но середина стержня в момент t! = О
будет находиться на оси х (в начале координат). Следовательно, в системе К'
стержень несколько наклонен по отношению к оси х, х'.
В системе К правый конец пересекает ось х в точке х\ = Iq/2 в момент
t = 0. Координаты этого же события в системе К' (см. A)): х' = Г/о/2, t' =
= —Г(/0/2)(У/с2). Но нам нужно положение правого конца в момент t! = О,
т.е. на время St' = T(lo/2)(V/c2) позже. Чтобы определить положение правого
конца в этот момент времени, нужно знать компоненту скорости стержня по
оси у в системе К'. Она найдется по формуле F): w'y = w/Г, тогда как w'x =
= —V. В момент t' = 0 правый конец окажется в точке с координатами
у'о = w'ySt' = (w/T)T(lo/2)(V/c2) = (lo/2)(wV/c2),
х'о = Г(/о/2) = w'jt' = По/2 - VT(lo/2)(V/c2) =
= ГAо/2)A-У2/с2) =
8 Под ред. И. А. Яковлева
226 Ответы и решения
Имея в виду, что в этот момент времени середина стержня находится в начале
координат, получим для угла ср' значение:
tg(p' = у'о/х'о = YwV/c.
736. Соударения не произойдет и в системе К'. В системе К' стержень
не подвергается лоренцеву сокращению, но плоскость движущейся пластинки
наклоняется (ср. решение задачи 735). В итоге метровый стержень с полностью
«сохранившейся» длиной проскальзывает через сократившееся отверстие, но
расположенное уже под углом к стержню. При этом концы стержня в систе-
системе К проходят через плоскость пластинки не одновременно.
737. Запишем последовательно выполняемые преобразования Лоренца, при
переходе от системы К к системе К' и от системы К' к системе К":
, t-V\x/c2 , x-V\t , ,
t = . , х = . , у = у, z = z;
Vl-(Vi/cJ Vl-(Vi/cJ
„ t'-V2x'/c2 „ x1 -V2t' //////
t = . , X = . , у = у z = Z .
Vl№/J Vl(V/J
Путем простого пересчета можно показать, что выражения для t" и х" могут
быть приведены к виду
t - Wx/c2 ,, _ x-Wt
t" =
- (W/cJ ' Vl - (W/cJ
где W = -—\ГТГ2, о — относительная скорость систем К" и К. Последнее
1 + V\V2/c2
выражение не изменяется при перестановке в нем величин V\ и V2, что
и требовалось доказать.
738. Запишем последовательно выполняемые преобразования Лоренца при
переходе от системы К к системе К' и от системы К' к системе К"\
, t-V\x/c2 , x-V\t , ,
t = , х = , у = у z = z,
v/l-W/cJ v/l-W/cJ
f_ t'-V2y'/c* x,, = x „ y'-V2t' _„__
v l - (v2/cJ V1 - (^2/cJ
Из написанных формул легко получить:
V\x V21
х-Vit
X —
Vl - (Vi/cJ Vl - (У2/сJ ' у/\ - (Vi/cJ '
// _ У - Vit // _
у ~ v/i - №/сJ' ^ ~ ^'
откуда очевидна некоммутативность окончательного результата относительно
скоростей V\ и V2 систем отсчета К' и К".
739. Если движение частицы в К задано, то через преобразование Лоренца
можно найти: х' = x'(t'), у' = y'{t'), z' = z'(t'), поскольку t' = t'(t). Пусть в К
время изменилось на dt. Тогда непосредственно найдем dx, dy, dz, а согласно
A) и dx; = T{dx - Vdt), dy' = dy, dz' = dz, dt' = r(dt - -^ dx). Разделив
почленно первые три равенства на четвертое, получим формулы F).
§ 14. Специальная теория относительности 227
2) Решение. Согласно предыдущему результату нетрудно получить
1 =
с \-{v/c)V/c
откуда и следует нужный результат.
741. Пусть К' — система отсчета, где вода покоится. В этой системе
скорость света v' равна с/п. Переходя к системе К, относительно которой К1
движется со скоростью V, имеем
_
-) -
спJ _ п
Для скорости воды V/c <C 1 знаменатель можно принять равным единице
с точностью до V2/с?. Тогда
с \Л У (л 1 \ V2
v=-\l + — 1-— )-—
1
--2
опять же с точностью до V2/с2.
742. Пусть v\ направлено в положительном направлении оси х (v\ > 0),
a V2 — в отрицательном (г?2 < 0). Скорость их сближения в системе К равна
г>сбл = г?1 — г?2 = («1 + 0^2)с > с.
Однако это не есть реальная скорость распространения чего бы то ни было
физического. Относительная скорость частиц в теории относительности —
это скорость одной частицы в системе отсчета, где другая частица покоится.
Воспользуемся формулой преобразования скоростей, полученной в задаче 740.
Чтобы v[ было равно нулю, необходимо, чтобы V = v\ = a\c (это очевидно,
так как система К' связана с частицей). Но тогда
/ — OL2C— OL\C OL\ + OL2
V С
Остается только доказать, что при заданных условиях коэффициент при с
всегда меньше единицы, но это сразу же следует из неравенства (а\ — 1) х
хA -а2) < 0.
743. 1) Используя формулы E), легко обнаружить, что vz = 0, т.е. что
и в К частица движется в плоскости ху. Вводя углы 9 и 0', образуемые
скоростью частицы соответственно с (совпадающими) осями х, х', запишем:
vx = vcos9, vy = vsin9, v'x = v'cos 9'', vy = v/sin9/. Подставляя значения
компонент в E), получим (В = V/c):
vfcos0f + V . n
v cos 9 = -. —.—, v sm 9 =
с
а разделив вторую формулу на первую, —
v1 cos 9f + V
228 Ответы и решения
Возводя в квадрат эти же формулы и складывая, получим
2 _
VCOSO
B) A +
2) В случае распространения света (для фотона!) v = v' = с. Пусть свет
падает вдоль оси у'. Тогда О' = тг/2 (свет идет сверху вниз), и из формулы
/ / V2 /V\
для tg 0 предыдущей задачи имеем tg 0 = ( у 1 / — ). Угол аберрации
ar — дополнительный к углу 0 (аг + в = тг/2); tgar = ctg# = —
с /
По классическим формулам v'x = 0, v'y = с, v'z = 0, и так как v = v; + V, то
vx = V,vy = с, vz = 0; отсюда tgar = У/с. Классическая и релятивистская
формулы совпадают с точностью до V3/c3.
745. ds2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = с2 dt'2 - dx'2 - dy'2 - dz'2. В систе-
системе К': dx' = dy' = dz' = 0, a dt' = г. Отсюда
2 7 2 2 Л dx2 + dy2 + dz2\ 2
с dr = с 1 — dt =
и окончательно dr = у 1 — г>2/с2 dt.
746. s22 = s[22, т. e. c2t22 - l\2 = c2t'22 - 1'22.
1) Если l[2 = 0, то s22 = c2t'22 ^ 0;
2) если t;12 = 0, то s\2 = -1'22 < 0;
3) если l[2 = 0 и t[2 = 0, то это означает (за исключением случая, когда
распространяется световой сигнал), что t\2 = 0 и 1\2 = 0.
747. В обоих случаях применяем один и тот же прием. Обе части уравне-
уравнения движения
dp/dt = F
скалярно умножаются на скорость v. Справа получим работу силы над ча-
частицей в единицу времени (мощность). Следовательно, по закону сохранения
энергии, слева должно стоять изменение энергии в единицу времени. Преобра-
Преобразование левой части для классического и релятивистского уравнений различно.
Из уравнения Ньютона:
dw d
т—- v = —
dt dt
причем Тд приравниваем нулю. Из релятивистского уравнения, имея в виду,
что 7 = J3Pf3 Ф = v/c), получим
d
Vdt
dt
Мы воспользовались также соотношением vv = vv, вытекающим из равенства
v2 = v2. Таким образом, получается:
— (тс 7) = Fv, & = тс 7 + А,
§ 14. Специальная теория относительности 229
где А — некоторая постоянная. Нужно показать, что она равна нулю. Для
этого рассматривается предельный нерелятивистский случай v/c —>> 0, V/c —*>
—>> 0. Из B9) имеем для преобразования импульса
mv'x = mvx (тс2 + А).
Следствием этой формулы должен быть классический закон сложения скоро-
скоростей. Однако он получается только при условии А = 0.
~м^ d ( mv \ _. Т1
748. — = = F. Интегрируя, получим
dt \^\-(v/cJ ) V УУ У
(считаем, что при t = 0 скорость v = 0). Из последнего выражения находится
зависимость скорости от времени:
Ft/m vc
v = ' = . с< с,
^1 + (Ft/тсJ л/у2+с2
где vc = Ft/m.
749. Так как pr = m^v, a pc = mv, то их отличие определяется множите-
множителем 7 = 25/7.
Указание. Раскрыть левую часть A1), произведя дифференцирование,
и учесть B8).
751. Выберем ось у параллельно начальной скорости электрона, а ось х —
в направлении, противоположном полю Е. Движение происходит в плоскости
ху. Уравнение движения запишется в виде
поскольку сила, действующая со стороны электрического поля на заряд, равна
еЕ. Импульс — релятивистский — р = mjv. Уравнение движения в компо-
компонентах рх = еЕ, ру = 0, откуда рх = eEt + рох, ру = роу. Так как, исходя из
начальных условий, рох = 0, а роу = ро, то
р2 =pi+p2y = (eEtJl
Пользуясь связью между энергией и импульсом & = сл/р2 + т2с2, найдем
Ш = Jnl + (ceEtJ, где g§ = т2с4 + pgc2.
2
Согласно C0) v = -= р, откуда
dx pxc2 dy рус2
Подставляя полученные выше выражения для рх, ру и & и интегрируя, с уче-
учетом начальных условий найдем
^0 РОС
-, y= —
230 Ответы и решения
Исключив t из этой системы, получим траекторию
х = —- ( ch —- — 1) (цепная линия).
еЕ V сро J
Для сравнения с классическим результатом (он предполагается известным)
полагают v/c <С 1. Тогда 7 ~ 1» Ро = mvo, а ^о = ?пс2. Кроме этого, нужно
использовать формулу, годную для о< 1:
ch а = 1 + °- + ...
752. Кинетическая энергия равна работе поля, так что
Тг = mc2G- I) = eV,
еу
откуда 7 = 1 Н 2~, а следовательно, г? = су 1 — (I/7J • Окончательно:
. +еУ/Bшс2)
[1+еУ/(шс2)]2 '
Если eV <C ?пс2, то
_ 2eV Л _ 3 еУ \
V 7тг V 4 ?тгс2 / '
если eV > me2, то о п
В последних двух случаях используется разложение подкоренного выражения
основной формулы в ряд по малому параметру.
753. В лабораторной системе К Ш\ = &2 — тпс2^ = *&\ импульсы частиц
рх = —7T17V, р2 = m^/v; 4-векторы частиц: Pi ( — р, - &), Р2(Р, - ^). В си-
V с У V с У
стеме К', где частица 2 покоится {у'2 = 0), Р2 = 0. Согласно B9)
+ V^j « 2ГЙ;
последние преобразования выполнены для ультрарелятивистских частиц, ко-
когда, согласно C0), для v ~ с имеем р = &/с, а У/с ~ 1. Этот же результат
легко получается из общей формулы A3)
2 I
с 7 >
где 7; относится к скорости частицы / в системе К'. Согласно F)
/ 2V , 1 О/, . 5! / 5!n
Но в системе К Г = 7, и следовательно, ^ = 2^2тс2, т. е. cpi ~ 2Г(^. Отсюда
видно, что ту же «полезную» энергию столкновения можно получить при
покоящейся частице 2, разгоняя частицу / до энергии 2Гср, в Г раз большей,
чем для «встречных» пучков.
754. Релятивистское уравнение движения имеет вид
d e
-(m7v) = -[vH].
§ 14. Специальная теория относительности 231
Так как магнитное поле не меняет энергии частицы и 7 = const, то уравнение
движения принимает вид
— = — [vH],
at 7717c
где множитель перед векторным произведением — постоянная величина. Это
уравнение движения отличается от нерелятивистского только тем, что вместо
массы тела т стоит масса 7717.
755. По закону сохранения энергии кинетическая энергия Тг полностью
расходуется на работу против сил поля: Тт = & — me2 = eEl, откуда и можно
определить I.
Другой способ использует соотношение
т
I = \vdt,
о
где т — время полной остановки частицы.
Из формулы C0) v = с2р/&, а из A1) dp = eEdt, поэтому
с2 Г pdp с
= \vdt
0 Р0 Р0
756. Воспользовавшись разложением бинома:
U2 1 I v2 3 v4
1 + +
получим для (v/c) <C 1:
2/ in mv2 3 mvA
T(l) +
Составив отношение второго члена Тг к первому, приравняем это отношение
одной сотой:
4
4 &
В этом же приближении:
Тг _ v2/c2 = 1
тс2 ~ 2 150'
757. Энергия покоя электрона 0,51 МэВ, протона — 938,2 МэВ.
758. Если пренебречь потерями при распространении света, полная энер-
энергия, излучаемая Солнцем в секунду, равна солнечной постоянной, умноженной
на площадь сферы, проведенной из центра Солнца радиусом, равным расстоя-
расстоянию от Солнца до Земли. Эта площадь равна ~ 3 • 1023м2, а энергия
A,4Дж/(с-м2))-C- 1023 м2) «4- 1023Дж/с.
Таким образом, Солнце за счет излучения света теряет в секунду массу:
4- 1023Дж/с
9- 1016 м2/с2
- 106кг/с.
232 Ответы и решения
Десятая часть массы Солнца составляет 2 • 1029кг. Она будет израсходована за
2 • 1029/4 • 106 = 5 • 1022 с « 1015 лет.
760. Пусть в К задана 4-скорость V(jv,icj). Компоненты 4-скорости
V; в системе К' выразятся уже через новые переменные: VG/v/,ic7/)> так
как абсолютная величина скорости меняется: 7 ф l'• Используя формулы A7)
и A9), запишем
и'х = Г( и\ + i— u\), щ = щ, щ = щ, щ = Г( и\ — г— и\);
V с / V с /
• V \ / / т,( .У
',— и\ , щ = щ, щ = щ, U4 = i- [U4 — г —
с ) \ с
подставляя значения компонент, имеем
j'v'x = T(jvx - jV), j'v'y = jvy, j'v'z =
Из последнего равенства вытекает, что
7 1
У ГA -Vvx/c2)'
С помощью этого соотношения три первых равенства G60.1) сводятся к F).
761. 1) Воспользуемся соотношениями E), связывающими значения vx,
vy, vz и vx, vy, v'z, для того, чтобы найти связь между бесконечно малыми
приращениями скоростей dvx и dv'x (и остальных). Имеем
dvx = dvx.
A + Vvx/c2J
Разделим обе части этого равенства почленно на dt = Г( di! -\—- dx'
(см. C)). Левая часть полученного равенства dvx/dt даст значение ускорения
тела vx в системе К, а отношение dv'x/dt' = vx — ускорение тела в системе К
Окончательно имеем
Г3A+У</с2K'
Формула для vz записывается аналогично формуле для vy. Движение тела
в системе К не будет равноускоренным даже в том случае, если оно равно-
равноускоренно в К', так как vx, vy, vz зависят от v'x.
2) В формулы A7) подставляют значения компонент 4-вектора W и W;:
W;G; v; + j'v'j', icry'j').
( У \
Из соотношения A\ =TlA[ — г— А'Л следует, например,
7 vx + 7^7 = М 7 vx + 7 vxl - г— гс7 7 ) •
Или ,
G61.1)
§ 14. Специальная теория относительности 233
Из соотношения А\ = т(А'А + г— А[ j следует:
Используя соотношение
7 \+Vv'Jc2
и G61.2), найдем выражение для vx из G61.1), совпадающее с выражением,
найденным способом A). Для нахождения формул преобразования vy и vz
нужно воспользоваться соотношениями A<i = А2, A% = А'ъ.
762. В системе К0 4-импульс: P°(O,i&o/c), где &о = тс2 — энергия покоя.
Переход к К' производим по формулам A7):
Р/ = r(Pi + i^ Pa) , Р2; = Р2, Рз = Рз, Р4 = Г(Р4 - i^ Pi),
т. е. рж = — Г^^- ©о = — g = —- V, так как © = Г©о> Pv — Vz — О-
с с сг
763. Р2 = Р? + Р| + Р| + Pi = Р2 - % = («nvJ - (V^l'f = -r
р2 = —т2с2, Ш = сл/р2 + гп2с2.
764. В системе К0: F = F(F,0). Используя A7), получим
-j(Fxv) = r( -i—Fx\ G64.1)
с V с /
откуда (так как 7; = Г)
F' — F F' — ]
гх — гх, -Гу — J-
Физический смысл равенства G64.1) предоставляем выяснить читателям.
v-V + (r-l)-^[(vV) + V2]
765-v'=vii+ < = w^
(r-l)(vV)V (vV)v
где s = 1 — vV/c2.
Решение. В векторной записи необходимо различать преобразование
векторов, параллельных направлению относительной скорости и перпендику-
перпендикулярных к ней. Если есть два вектора а и Ь, то слагающими вектора а,
параллельными и перпендикулярными вектору Ь, будут векторы
b (ab) b b
a,| = - —= ^(ab), a± = a-a||=a-^(ab).
3-радиус-вектор можно представить, следовательно, так:
г = гх+гц = J(rV) + r-^(rV),
гц = zi, rj_ = yi + zk.
234 Ответы и решения
Помня о том, что пространство изотропно и что ось х в наших обычных
формулах A) направлена по V, можно переписать A) следующим образом:
г± = г±; г,, = Г(гц - Vt),
г = г± + г|| = г± + Г(гц - Vt) = Г(г - Vt) + A - Г)г± =
= Г(г - Vt) + A - Г) *V ; = Г(г - Vt) + (Г -
v v -
Аналогично для преобразования скорости и ускорения нужно восполь-
воспользоваться формулами F) и формулами, полученными в задаче 761. Формула
для v; может быть получена дифференцированием формулы для г' no dt' =
dt dx). Аналогичным образом из формулы для v; можно получить
выражение для v;.
766. Воспользуемся соотношениями р2 = —— т2с2, Ш = тс2 + Т. Под-
Подставляя &, выраженное через Т, в выражение для импульса, непосредственно
находим
767. Исходя из C0) и результата задачи 763, имеем
_ с2 _ ср
* л/гП2С2 + р2
768. Исходим из соотношения & = So/yl — ^2/с2, откуда г?/с =
= yj\ — (JSq/Щ2 , где ^о — '/пс2. Для перехода к нерелятивистскому случаю
нужно учесть, что & = Т + тс2, причем по условию задачи Т <С тс2. Тогда:
Ультрарелятивистский случай соответствует неравенству (&о/Щ <С 1, откуда
v/c=l-l/2($0/$f.
769. Запишем законы сохранения энергии и импульса:
Ei + Е2 = Е, где Ei = mic2, E2 = m2c2 + Т2,
pi + р2 = Р, где pi = 0, р2 задан.
Масса М образовавшейся системы определяется из соотношения
М2с2 = ^ - Р2 = c2(mi + m2J + 2T2mi.
Суммарная масса примерно равна сумме масс исходных частиц, если
(Т2гп\/с2) <С (mi +7712J. Скорость образовавшейся частицы
с2
сл/Т2{Т2 + 2ш2с2)
?7 (mi+m2)c2
§ 14. Специальная теория относительности 235
770. М2с2 = — - Р2, Е = Ех + Е2, Ei>2 = cJp22 + т22с2, Р = pi + р2,
где индексы 1 и 2 относятся к частицам, возникшим после распада,
= (m? + т\)с2 + 2{yJ(p[ + т2с2)(р2 + m^c2) - pip2 cos(9).
771. Запишем законы сохранения энергии и импульса в системе, где
покоится исходное тело:
Мс2 = &1 + &2, Pi+P2 = 0, G71.1)
откуда р\ = pi, т.е. Ш\ — т\сА = Ш\ — т\сА, или %>\ — %>\ = сА{т\ — т\).
Разделив это на G71.1), получим
»i-«2 = ^:(m?-m|). G71.2)
Из G71.1) и G71.2) найдем ^ и %2:
со 1 ГЛ/Г2 2,2/2 2м
1 = 2м' С +с (mi -m2)l>
Отсюда
2
Т\ = $i — mic2 = {(М — miJ — m2},
С 2 2
772. Запишем законы сохранения энергии и импульса для процесса соуда-
соударения:
РО = Pi + Р2, Р2 = РО - РЬ
(P0~Pl) =Р2> Pi ~ Р\ ~ РО = ~2poPl COS 01.
Но р2с2 = Т(Т + 2тс2), поэтому
2 2 2 2Ti (Tq + 2mc ) /г7Г7сл 1 \
Р2 ~Р\ -Ро = ~2 • G72.1)
С другой стороны:
cos6>i = -t^p. yT0Ti(T0 + 2mc2)(Ti + 2mc2). G72.2)
Приравнивая G72.l) и G72.2), получим после некоторых алгебраических пре-
преобразований:
Tq cos в\
2 тс2
ПРИЛОЖЕНИЕ
В специальной теории относительности (СТО) под событием понимают все
то, что происходит в данной точке пространства в данный момент времени.
В СТО рассматриваются только инерциальные системы отсчета, которые
определяются как системы отсчета, в которых справедливы все три закона
Ньютона. Все инерциальные системы отсчета движутся друг относительно
друга равномерно и поступательно (с различными скоростями). В задачах
предполагается, что во всех системах отсчета оси у, у' и z, z' соответственно
параллельны друг другу, а относительная скорость любых двух систем отсчета
направлена по общей оси х, х'. Скорость системы К' относительно К обо-
обозначается через V (скорость системы К относительно К' равна —V). Система
отсчета всегда связана с материальными телами, и поэтому ее скорость V
всегда меньше с. Здесь и всюду через с обозначена скорость электромагнитных
волн (света) в вакууме. В каждой системе отсчета можно определить коорди-
координаты любого события (в «координаты» включается также и время наступления
события). Преобразования Лоренца — это преобразование координат события
при переходе от одной системы к другой. Эти преобразования при переходе от
К к К' и от К' к К имеют следующий вид:
x' = T(x-Vt), y' = y, z' = z, t' = Y(t--2x), A)
где
В B) входит постоянная скорость относительного движения двух систем от-
отсчета, поэтому Г — постоянная величина. Ниже вводится величина
7= 1/д/1 -v2/c2.
в которую входит переменная скорость частицы v.
Преобразования Лоренца A) и A;) подразумевают, что наборы часов,
покоящихся в каждой системе отсчета, синхронизованы по Эйнштейну, а в
момент совпадения начал отсчета О и О' часы из систем К и К', находящиеся
в точке О, О', показывают соответственно t = 0 и i! = 0.
Если рассмотреть два события с координатами {x\,y\,z\,t\) и (?2,2/2,22,^2),
то, записав для каждого из них преобразования A) и составив разности х'2 —
- х[ = Ах, г/2 - 2/1 = А2Ь Z2-z[= Az, t'2 - t[ = At', x2 - x\ = Ax и т.д., мы
Приложение 237
получим удобные формулы для преобразования пространственных расстояний
и промежутков времени между событиями:
Ах = T(Ax-VAt), Ay' = Ay, Az' = Az,
At' = r(At- ^AxY C)
V c2 )
Ах = Г(Ах' + VAt'), Ay = Ay', Az = Az',
At = r(At' + ^Ax'Y C;)
V c2 )
Промежутком собственного времени между двумя событиями называется
промежуток времени, отсчитываемый в той системе отсчета, в которой эти два
события наступают в одной точке; промежуток собственного времени отсчиты-
вается одними часами; здесь мы его будем обозначать через Ат. Промежуток
собственного времени для двух данных событий можно отсчитать лишь в одной
системе отсчета. Во всех других системах отсчета эти события наступают уже
в разных точках, и промежуток времени между их наступлением отсчиты-
вается уже двумя часами, находившимися в точках, где наступили события.
Отсчитанный промежуток времени будет промежутком координатного времени
At. Промежутки координатного и собственного времени пропорциональны друг
другу:
At = ГАт. D)
При переходе от одной системы отсчета к другой компоненты скорости
преобразуются следующим образом: для перехода от К' к К
_
Vx —
у , Vy — у , Vz — у
1 + Т V' 1 + -^ V' 1 + -^ V'
& & &
для перехода от К к К'
i vx -V
F)
Сигналом в СТО называется любой способ передачи энергии и импуль-
импульса из одной точки пространства в другую, так что, передав сигнал, можно
инициировать (прекратить) некоторое явление или включить (или выключить)
какой-либо прибор. СТО учит, что всякая передача энергии связана с переда-
передачей импульса. Скорость передачи сигнала не может превышать с.
Интервалом между двумя событиями 1 и 2 называется выражение
81 2 = VC'fe - tlf ~ (Х2 ~ Xxf ~ (j/2 - yXf - (z2 ~ ZXf , G)
где (x\,y\,z\,t\) и (x2,y2,Z2,t2) — координаты первого и второго событий.
Удобно ввести обозначения
tl2 =t2~ti= At,
/12 = (Х2 - xxf + (j/2 - yxf + (z2 - zxf = (AxJ + (AyJ + (A^J. (8)
Тогда
*?2 = ct\2 - l\2 = c2(Atf - (AxJ - (Ayf - (AzJ. (9)
238 Приложение
Основное свойство интервала — его инвариантность по отношению к преобра-
преобразованиям Лоренца:
s\2 = Ct\2 - l\2 = S'x2 = Ct[22 - l[22. A0)
Релятивистское уравнение движения частицы имеет вид
|(m7v) = F, A1)
где
l(t) = 1 A2)
VI -v2(t)/c2
v = v(t) — скорость частицы.
Полная энергия частицы
mc2 A3)
Кинетическая энергия в релятивистской механике Тг определяется как
разность
Тг = &-&0 = mc2(j- 1), A4)
где &о = тс2 — энергия покоя частицы. В формулах A1)-A4) через т
обозначена масса покоя. Никакой другой массы ни в формулировках задач, ни
в решениях не встречается.
Очень плодотворной оказалась четырехмерная интерпретация теории отно-
относительности. В 4-пространстве-времени («мир Минковского») в каждой точке
с координатами (ж, у, z, t) может наступать событие. Существенное упрощение
в выкладках достигается введением четвертой мнимой координаты 0 ict и сим-
симметризацией обозначений х\ = х, х2 = у, #з = z, х\ = id (i2 = —1). Таким
образом, вводится 4-радиус-вектор R D-векторы обозначаются стрелочкой над
буквой) с компонентами:
(Х1 Ж2 Хз Х\)=(г,га). A5)
х у z id ) к ' v '
Преобразования Лоренца — это преобразование компонент 4-вектора R:
.V \ , , ^( .V
, f У \ , , , ( У \
Х\ = 1 \Х\ + %— Х\ , Х2 = Ж2, Жз = Жз, I4 = М Ж4 ~ *— Ж1 , ( 10 )
V с / V с /
rY ; -у Л / / т-f ' 1 v Л /i«/\
Xl = 1 \Х\ — I— Ха, , Ж2 = Ж2, Жз = Жз, Ж4 = 1 Ж4 + I— Х\ . ( Ш )
\ С / \ С /
(С помощью A5) нетрудно проверить, что эти формулы совпадают с A) и A;)-)
1) Необходимо подчеркнуть, что появление мнимой координаты связано ис-
исключительно с тем, что мы хотим сохранить тот вид основных геометрических
формул, к которому привыкли в трехмерном евклидовом пространстве. Можно
избежать введения мнимой координаты, но тогда появляется необходимость
введения метрического тензора и разделения ко- и контравариантных коорди-
координат; введение этих понятий едва ли оправдано в курсе общей физики.
Приложение 239
Все 4-векторы преобразуются по правилам преобразования 4-радиуса-век-
тора. Если заданы компоненты 4-вектора A(Ai, А2, A3, А4) в системе К, то
компоненты этого же вектора в К' найдутся по формулам (мы приводим также
и формулы обратного перехода):
A\=T[Ax+i-AAy A'2 = A2, A'3 = A3, A\ = Г(А4 - i- AiJ, A7)
V1c/' ' ' V 4 с / '
Квадрат модуля 4-вектора является инвариантом и определяется по формуле
А2 = А\ + At + А\ + А\ = Л',2 + A'i + A'i + At A8)
В механике СТО вводят 4-векторы:
4-скорости
v=dR>
где dr = dt/j — собственное время частицы. Компонентами 4-скорости явля-
являются (приводим обычные и симметричные обозначения в фигурных скобках,
а также сокращенное обозначение с использованием трехмерных векторных
величин)
«2 «а , M7V)ic7); A9)
гс7
Р = mv, B0)
где т — инвариантная масса покоя, с компонентами
Я р2 Рг А 1 / gN
.» Ыр-*-)- B1)
В B1) р — релятивистский импульс частицы:
р = m7v, B2)
а $ — релятивистская энергия частицы A3);
4-силы Минковского F с компонентами
где F — обычная трехмерная сила;
4-ускорения
W=^ B4)
с компонентами
w(Wl 2.^2 . W3 W4. }. B5)
[ 7 v + 77V гс77 J
Запишем четырехмерное уравнение движения
dP dv
F
240 Приложение
в компонентах (первые три компоненты сведены в одно трехмерное векторное
уравнение):
-? (m7v) = F, B7)
at
-J (mc27) = Fv. B8)
at
Уравнения B7) и B8) легко получаются из B4), если воспользоваться B1),
B3) и учесть, что dr = dt/j.
Используя A7) и определение B1), получим закон преобразования импуль-
импульса и энергии частицы:
р'у=Ру, Pz=Pz, Ш' = Т(П-УРх). B9)
Из определения релятивистской энергии частицы и релятивистского им-
импульса следует полезное соотношение
mc2j & ( Л
р = 7T17V = —г— v=7v. C0)
Для системы невзаимодействующих частиц масса М системы определяется
соотношением
где суммирование ведется по всем частицам, а &г и р^, определяются согласно
A3) и B2).
Для системы невзаимодействующих частиц можно определить также ско-
скорость центра масс системы. Из B9) видно, что для того, чтобы р'х = О,
необходимо скорость V принять равной
V = <?Рх/Ш. C2)
Обобщение этого результата на систему частиц очевидно:
V = ЭД^- C3)
2 ®